Osnove aritmetike i drugi spisi

Gottlob Frege OSNOVE ARITMETIKE i drugi spisi Odabrali i preveli Filip Grgić Maja Hudoletnjak Grgić

Ova je knjiga tiskana uz potporu Ministarstva znanosti i tehnologije Republike Hrvatske

Recenzenti SREĆKO KOVAČ ZVONIMIR ŠIKIĆ

SADRŽAJ

Za izdavača KRUNO ZAKARIJA Tisak »M&D« - ZAGREB Sva prava pridržana. Niti jedan dio knjige ne smije se reproducirati bez prethodnoga dopuštenja izdavača, osim u slučajevima kratkih navoda u stručnim člancima. Izrada kopija bilo kojeg dijela knjige u bilo kojem obliku predstavlja povredu zakona.

CIP - Kataloglzacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna biblioteka. Zagreb UDK 164 510.21 FREGE, Gottlob Osnove aritmetike i drugi spisi / Gottlob Frege ; odabrali i priredili Filip Grgić... [et. ai]. - Zagreb : Kruzak. 1995. - 231 str. 21 cm Prijevod djela: Die Grundlagen der Arithmetik. - Kazala ISBN 953-96477-0-3 950605108 ISBN 953-96477-0-3

Predgovor

7

Osnove aritmetike. Logičko-matematičko istraživanje pojma broja

9

Funkcija i pojam

139

Ο smislu i značenju

167

Ο pojmu i predmetu

195

Što je funkcija?

213

Bilješka ο tekstovima

225

Stvarno kazalo

227

Imensko kazalo

231

PREDGOVOR N a s l o v i z v o r n i k a Gottlob Frege DIE GRUNDLAGEN DER ARITHMETIK Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl Centerausgabe Mit ergänzenden Texten kritisch herausgegeben von Christian Thiel Felix Meiner Verlag. Hamburg 1986.

Gottlob Frege FUNKTION. BEGRIFF. BEDEUTUNG Fünf logische Studien Herausgegeben von Günther Patzig 6. Auflage Vandenhoeck & Ruprecht. Götüngen 1986.

Unatoč širokoj važnosti Fregeova djela te njegovu ogromnom utjecaju na suvremenu filozofiju, logiku i matematiku. Fregeovi su spisi u nas prevođeni iznimno malo. Stoga je osnovna namjera ove knjige u tome da omogući hrvatskom čitatelju neposredno upoznavanje s Fregeovim pogledima na filozofiju matematike, teoriju značenja, neke logičke i filozofske probleme itd. Što su sabrani u radovima koje ovdje objavljujemo. U teksiu prijevoda Fregeove vlastite bilješke označavali smo brojkama, dok smo napomene prevodilaca označavali zvjezdicom te stavljali u uglate zagrade. Intervencije urednika izdanja kojima smo se koristili. Ch. Thiela i G. Patziga, nismo unosili, nego smo samo prešutno preuzimali njihove ispravke ponekih navoda stranica djela što ih Frege spominje. Na koncu smo dodali imensko i stvarno kazalo (u kojemu smo uz pojedini hrvatski izraz stavili i odgovarajući njemački), za koje se nadamo da će olakšati razumijevanje. Prvotnu verziju prijevoda pregledali su. pogreške ispravili te poboljšanja predložili prof. dr. Zvonimir Šikić i dr. Srećko Kovač, kojima se i ovom se prilikom najsrdačnije zahvaljujemo. U Zagrebu, svibnja 1995.

Copyright © za njemačko izdanje Gnindlagen der Arithmetik: Felix Meiner Verlag, Hamburg 1986. Copyright © za hrvatski prijevod: Filip Grgić & Maja Hudoletnjak Grgić & »Kruzak«

F. G. M. H. G.

Osnove aritmetike Logičko-matematičko istraživanje pojma broja

Sadržaj

Uvod I. Mnijenja nekih pisaca ο naravi aritmetičkih stavaka Mogu li se brojevne formule dokazati? Jesu li zakoni aritmetike induktivne istine? Jesu li zakoni aritmetike sintetički apriorni ili analitički?

13 26 26 32 37

II. Mnijenja nekih pisaca ο pojmu broja Je li broj svojstvo izvanjskih stvari? Je li broj nešto subjektivno? Broj kao skup

44 46 52 56

III. Mnijenja ο broju jedan i jedinici Izražava li brojka "jedan" svojstvo predmeta? Jesu li jedinice međusobno jednake? Pokušaji prevladavanja poteškoće Rješenje poteškoće

57 57 62 69 75

IV, Pojam broja Svaki je pojedini broj samostalan predmet Da bismo došli do pojma broja, moramo utvrditi smisao brojevne jednakosti Dopuna i dokaz održivosti naše definicije Beskonačni brojevi

83 83 89 97 114

V. Zaključak Drugi brojevi

117 121

UVOD Na pitanje što je broj jedan ili što znači znak 1 najčešće ćemo dobiti odgovor: jednu stvar. A ako tada upozorimo na to da rečenica "broj jedan je jedna stvar" ["die Zahl Eins ist ein Ding"] nije definicija, jer se na jednoj strani nalazi određeni član, a na drugoj neodređeni, da ona kaže samo to da broj jedan pripada stvarima, ali ne kaže koja je to stvar, onda će se od nas možda zahtijevati da izaberemo neku stvar koju hoćemo nazvati brojem jedan. No kad bi svatko imao pravo pod tim imenom razumjeti što hoće. tada bi isti stavak ο broju jedan za različite ljude značio različito; ne bi bilo zajedničkoga sadržaja takvih stavaka. Neki možda to pitanje odbacuju upućujući na činjenicu da u aritmetici ne može biti navedeno ni značenje slova a; a kad bi se reklo kako α znači neki broj, tada bismo u tome mogli naći istu pogrešku kao i u definiciji "jedan je jedna stvar". Odbacivanje pitanja u pogledu α posve je opravdano: a ne znači određen broj, broj koji se dade navesti, nego služi tome da se izrazi općenitost stavaka. Ako z a a u a + a-a = a postavimo bilo koji. ali posvuda isti broj, onda uvijek dobivamo istinitu jednakost, U tom se smislu upotrebljava slovo a. Ali u slučaju broja jedan stvar je ipak bitno drukčija. Možemo li u jednakosti 1 + 1 = 2 za 1 na oba mjesta staviti isti predmet, recimo Mjesec? Naprotiv, čini se da za prvi 1 moramo staviti nešto drugo nego za drugi. Zašto se ovdje mora dogoditi upravo ono što bi u onome slučaju bila pogreška? Aritmetici samo slovo α nije dostatno; ona mora upotrijebiti i druga slova - b, c itd. - da bi općenito izrazila odnose između različitih brojeva. Tako bi trebalo misliti da ni znak 1. kad bi na sličan način služio tome da se stavcima dade općenitost, ne bi mogao bili dostatan. No ne izgleda li broj jedan poput određena

14

OSNOVE ARITMETIKE

UVOD

predmeta s navedivim svojstvima, npr. da pomnožen sa samim sobom ostaje nepromijenjen? U tome se smislu o a ne može navesti nikakvo svojstvo; jer ono što se iskazuje o a jest zajedničko svojstvo brojeva, dok 1 = 1 ne iskazuje ništa ni o Mjesecu ni o Suncu ni o Sahari ni Rtu od Teneriffa; jer što bi mogao biti smisao takva iskaza?

nim, jer se u umišljenome bogatstvu ne smatra nužnim prisvajati njegove plodove. I ovaj je rad, dobro znam, izložen takvoj opasnosti. Kada se računanje nazove agregativnim, mehaničkim mišljenjem, tada susrećem onu sirovost shvaćanja.2 Sumnjam da takvo mišljenje uopće postoji. Prije bi se moglo dopustiti agregativno predočivanje; ali za računanje je ono bez značenja. Mišljenje je u biti posvuda isto; ne uzimaju se u obzir različite vrste zakona mišljenja prema njihovu predmetu. Razlike postoje samo u većoj ih manjoj čistoći i neovisnosti o psihološkim utjecajima i o vanjskoj pomoći mišljenju, kao što su jezik, brojke i si., zatim možda još u finoći građe pojmova; no upravo s obzirom na to matematiku ne bi mogla nadmašiti nijedna znanost, pa ni sama filozofija.

Na takva pitanja ni većina matematičara neće imati zadovoljavajući odgovor. Nije li za znanost sramotno da je tako nejasna u pogledu svojega najbližega i naizgled tako jednostavnoga predmeta? Tim će se manje moći kazati što je broj. Ako pojam koji leži u osnovi neke velike znanosti zadaje teškoće, onda je ipak zacijelo neodgodiva zadaća da ga točnije istražimo i da te teškoće prevladamo, naročito stoga što bi se sve dok je uvid u osnove cijele zgrade aritmetike manjkav teško moglo uspjeti doći do pune jasnoće u pogledu negativnih brojeva, razlomaka i kompleksnih brojeva. Naravno, mnogi to neće smatrati vrijednim truda. Pojam o kojemu je riječ, kako oni misle, u elementarnim je priručnicima dovoljno obrađen i time zauvijek riješen. Jer tko vjeruje da može još nešto naučiti o tako jednostavnoj stvari? Drži se kako je pojam pozitivnoga cijeloga broja tako lišen svake teškoće da se može smatrati znanstveno iscrpljenim prikazima za djecu i da svatko bez daljnjega razmišljanja i bez upoznatosti s onim što su drugi mislili može s njim izići na kraj. Jer tako često nedostaje onaj prvi preduvjet učenja: znanje o neznanju. Posljedica je to da smo još uvijek zadovoljni s grubim shvaćanjem, iako je već Herbart naučavao ispravnije. Žalosno je i zastrašujuće što na taj način uvijek iznova prijeti gubitak spoznaje koja već bijaše zadobivena, što tako mnogi rad čini se da postaje uzalud-

Iz ovoga će se spisa moći razabrati kako i naizgled navlastito matematički zaključak, kao onaj od n na n + 1, počiva na općim logičkim zakonima, kako ne potrebuje posebne zakone agregativnoga mišljenja. Naravno, brojke se mogu upotrebljavati mehanički, kao što se može papagajski govoriti, ah to bi se teško moglo nazvati mišljenjem. To je moguće samo nakon što je zbiljskim mišljenjem matematički znakovni jezik tako oblikovan da on, kako se kaže, misli za nas. To ne dokazuje da su brojevi oblikovani na posebno mehanički način kao što je. recimo, hrpa pijeska oblikovana od zrnaca bjelutka. Mislim da je u interesu matematičara da se suprotstave takvu nazoru, koji može umanjiti vrijednost poglavitoga predmeta njihove znanosti, a time i nju samu. Ali i kod matematičara nalazimo posve slične tvrdnje. Nasuprot tome, pojmu broja trebat će se priznati finija građa negoli je grada većine pojmova drugih znanosti, iako je on još jedan od najjednostavnijih aritmetičkih pojmova. 2

1

Sämmtliche Werke, herausgegeb. von. Hartenstein, sv. X. 1. dio. Umriss pädagogischer Vorlesungen. § 252. b. 2: "Dva ne znači dvije stvari, nego udvostručivanje" itd.

15

K. Fischer. System der Logik und Wissenschaftslehre. 2. izd.. § 94.

Metaphysik oder

16

OSNOVEARITMETIKE

UVOD

Da bismo opovrgnuli zabludu kako u odnosu na pozitivne cijele brojeve zapravo uopće ne postoje nikakve poteškoće, nego da vlada opća suglasnost, učinilo mi se da je dobro raspraviti o nekim mnijenjima filozofa i matematičara o pitanjima koja ovdje razmatramo. Vidjet ćemo kako se može naći malo suglasja, tako da se pojavljuju upravo suprotne tvrdnje. Jedni kažu npr. "jedinice su me-

čuvstvena, ali bi, isto kao i njezine osnove, ispala neodređena. Ne, s čuvstvima aritmetika uopće ne može ništa napraviti. Isto tako, ne može napraviti ništa ni s nutarnjim slikama koje su sastavljene iz tragova ranijih osjetilnih dojmova. Ono nestalno i neodređeno što posjeduju sve te tvorevine u snažnoj je suprotnosti s određenošću i čvrstoćom matematičkih pojmova i predmeta. Moglo bi biti korisno razmotriti predodžbe i njihovu mijenu koja se pojavljuje pri matematičkome mišljenju; no neka si psihologija ne umišlja da može bilo što pridonijeti zasnivanju aritmetike. Matematičar kao takav ravnodušan je prema tim nutarnjim slikama, njihovu nastanku i preinaci. Stricker sam kaže kako si kod riječi "sto" ne predočuje ništa više doli znak 100. Drugi si mogu predočiti slovo C ili nešto drugo; ne proizlazi U iz toga kako su te nutarnje slike u našemu slučaju za bit stvari potpuno nevažne i slučajne, slučajne kao i crna ploča i komad krede, kako one uopće ne zaslužuju da se zovu predodžbama broja 100? Bit se stvari u takvim predodžbama ipak ne vidi. Neka se za definiciju ne uzima opis nastanka neke predodžbe, a za dokaz neka se ne uzima navođenje duševnih i tjelesnih uvjeta za to da nam neki stavak dođe do svijesti i neka se pomišljenost nekoga stavka ne zamijeni s njegovom istinom! Moramo se, kako se čini, podsjetiti na činjenicu kako stavak ne prestaje biti istinit kada na nj više ne mislim, isto kao što ni Sunce ne nestaje kada zatvorim oči. Inače dolazimo i do toga da se kod dokaza Pitagorina poučka mora uzeti u obzir fosforni sadržaj našega mozga i da se astronom svoje zaključke boji protegnuti na davno prošla vremena da mu se ne bi prigovorilo: "Ti sad računaš 2 • 2 = 4; ali predodžba broja posjeduje razvoj, povijest! Može se sumnjati je li ona već i u prošlo doba bila takva. Po čemu znaš da je u onoj prošlosti taj stavak već postojao? Nisu li tada živuća bića mogla imati stavak 2 • 2 = 5, iz kojega se tek prirodnim izlučivanjem u borbi za opstanak razvio stavak 2 • 2 = 4 koji je sa svoje strane možda

đusobno jednake", drugi drže kako su različite, a i jedni i drugi imaju razloge za svoju tvrdnju koji se ne daju jednostavno odbiti. Time želim pobuditi potrebu za točnijim istraživanjem. Ujedno želim prethodnim rasvjetljenjem nazora što su ih izreldi drugi utrti put svojemu vlastitu shvaćanju, čime se unaprijed potvrđuje da oni drugi putovi ne vode cilju i da moje mnijenje nije jedno od mnogih jednako opravdanih, a tako se nadam da ću pitanje, barem u glavnini, konačno riješiti.

Naravno, moji su izvodi time zacijelo postali filozofskijim nego što se mnogim matematičarima može činiti prikladnim; no temeljito istraživanje pojma broja uvijek će morati ispasti ponešto filozofsko. Ta je zadaća zajednička matematici i filozofiji. Ako zajednički rad tih znanosti, unatoč pokojim zamasima s obje strane, nije tako uspješan koliko bi se željelo i koliko bi bilo moguće, onda je tome razlog, kako mi se čini, u prevladavanju psiholoških načina razmatranja u filozofiji, a koji prodiru čak i u logiku. Matematika s tim usmjerenjem uopće nema dodirnih točaka i stoga se lako dade objasniti nenaklonost mnogih matematičara filozofskim razmatranjima. Kada npr. B. Stricker3 predodžbe brojeva naziva motoričkima, ovisnima o mišićnim oćutima. tada matematičar u tome ne može prepoznati svoje brojeve i s takvim stavom ne može započeti ništa. Aritmetika koja bi se osnivala na mišićnim oćutima sigurno bi bila prilično 3

Studien über Association der Vorstellungen, Wien. 1883.

17

OSNOVE ARITMETIKE

UVOD

određen za to da se na istome putu dalje razvije u 2 • 2 = 3?" Est modus in rebus, sunt certi denique finesi Povijesni način razmatranja, koji želi osluškivati nastajanje stvari i iz nastajanja spoznati njihovu bit, sigurno ima veliko opravdanje; no ima i svoje granice. Kad u jednome tijeku svih stvari ne bi ostalo ništa čvrsto, vječno, nestalo bi spoznatljivosti svijeta i sve bi se sručilo u metež. Misli se. kako se čini, kako pojmovi u pojedinoj duši nastaju poput listova na drveću i kako se njihova bit može spoznati tako da se istraži njihov nastanak i da se pokušaju psihološki objasniti iz naravi ljudske duše. No to shvaćanje sve pomiče u ono subjektivno te na koncu dokida istinu. Ono što se naziva poviješću pojmova ili je povijest naše spoznaje pojmova ili je povijest značenja riječi. Velikim duhovnim radom, koji može trajati stoljećima, uspijeva se često tek spoznati pojam u njegovoj čistoći, izvaditi ga iz tuđe ljuske koja ga skriva od duhovnih očiju. Što treba reći o tome kada netko umjesto nastavljanja toga rada. gdje on još ne izgleda dovršenim, drži taj rad ništetnim, odlazi u dječju sobu ili se uživljava u najstarije zamislive razvojne stupnjeve čovječanstva, da bi tamo, poput J. S. Milla. otkrio recimo aritmetiku paprenjaka ili oblutaka! Nedostaje još samo to da se dobrome okusu kolača pripiše posebno značenje za pojam broja. To je ipak upravo suprotno umnome postupanju i u svakome slučaju onoliko nematematički koliko je to moguće. Nije čudo da matematičari o tome ne žele ništa znati! Umjesto da posebnu čistoću pojmova nađemo tamo gdje vjerujemo da smo blizu njezina izvora, sve gledamo razliveno i nerazlučeno kao kroz maglu. To je kao kad bi se tkogod, da bi upoznao Ameriku, htio vratiti u Kolumbov položaj kada je on ugledao prvi dvojbeni svjetlosni obris svoje navodne Indije. Naravno, takva usporedba ništa ne dokazuje, no nadam se da pojašnjava moje mnijenje. Štoviše, može biti da je povijest otkrića u mnogim slučajevima korisna kao priprema za daljnja istraživanja: no ona ne može stupiti na njihovo mjesto.

Što se tiče matematičara, opovrgavanje takvih shvaćanja jedva da bi bilo potrebno. Ah budući da bih razmotrena sporna pitanja, koliko je to moguće, želio ponuditi za raspravu i filozofima, bio sam prinuđen malo se upustiti u psihologiju, makar samo toliko da se osvrnem na njezino upadanje u matematiku.

18

19

Uostalom, i u matematičkim se priručnicima pojavljuju psihološki izričaji. Kada se osjećamo obvezanim ponuditi definiciju, a da nam to nije moguće, tada želimo barem opisati način kako se dolazi do dotičnoga predmeta ili pojma. Taj slučaj lako prepoznajemo po tome što u daljnjemu tijeku više nikada ne posižemo za takvim objašnjenjem. Za svrhe učenja takvo je uvođenje u stvar posve na mjestu, samo bismo ga trebali uvijek jasno razlikovati od definicije. Da i matematičari mogu zamijeniti dokazne razloge s nutarnjim ili izvanjskim uvjetima izvođenja dokaza, za to je E. Schröder4 dao jedan zabavan primjer, nudeći pod naslovom "Jedini aksiom" sljedeće: "Princip na koji mislim zacijelo bi se mogao nazvati aksiomom inherencije znakova. On nam daje sigurnost za to da pri svim našim razvojima i zaključivanjima znakovi čvrsto stoje u našemu pamćenju - no još čvršće na papiru" itd. Koliko matematika mora zabraniti svaku pripomoć od strane psihologije, toliko malo ona može poricati svoju usku vezu s logikom. Da, slažem se s nazorom onih koji oštro razdvajanje drže nepriličnim. Priznat će se toliko da svako istraživanje vrijednosti nekoga izvođenja dokaza ili opravdanje neke definicije mora biti logičko. No takva se pitanja uopće ne mogu otkloniti od matematike, jer se tek odgovorom na njih može postići nužna sigurnost. Naravno, i u tom smjeru idem ponešto iznad onoga uobičajenoga. Većina je matematičara pri istraživanjima 4

Lehrbuch der Arithmetik and Algebra.

20

OSNOVE ARITMETIKE

UVOD

takve vrste zadovoljna ako je udovoljeno neposrednim potrebama. Ako se definicija podatno ponaša u dokazima, ako nigdje ne naiđemo na protuslovlja, ako se dadu spoznati veze između naizgled udaljenih stvari i ako iz toga proizide viši poredak i pravilnost, onda definier obično držimo dostatno osiguranom i malo pitamo o njezinoj logičkoj opravdanosti. Ono što je u svakome slučaju u tome postupku dobro jest to što se cilj ne može lako posve promašiti. I ja mislim da definicije svoju održivost moraju dokazati svojom plodonosnošću, mogućnošću da njima dokazujemo. No valja držati na umu kako strogost izvođenja zaključaka ostaje privid, mogao niz zaključaka biti i potpun, ako su definicije samo naknadno opravdane time što nismo naišli ni na kakvo protuslovlje. Tako se u osnovi uvijek postiže samo iskustvena sigurnost i zapravo moramo računati s tim da na koncu ipak nailazimo na protuslovlje koje ruši cijelu zgradu. Zato mislim da moramo zaći dalje u općenite logičke osnove, dalje nego što je možda većina matematičara držala da je nužno.

tom, a da ga ne promijenimo. Iz toga proizlazi neodrživost Široko prihvaćene formalne teorije razlomaka, negativnih brojeva itd. U ovome spisu mogu samo nagovijestiti kako zamišljam poboljšanje. U svim će tim slučajevima, kao i kod pozitivnih cijelih brojeva, biti važno to da se utvrdi smisao neke jednakosti.

U ovome sam istraživanju kao načela utvrdio sljedeće: oštro valja lučiti psihološko od logičkoga, subjektivno od objektivnoga; o značenju riječi treba pitati u kontekstu rečenice, a ne u njihovoj pojedinačnosti; pred očima valja imati razliku između pojma i predmeta. Da bih se držao onoga prvoga, riječ "predodžba" upotrebljavam uvijek u psihološkome smislu te predodžbe razlikujem od pojmova i predmeta. Ako ne uzmemo u obzir drugo načelo, gotovo da smo prisiljeni kao značenje riječi uzimati nutarnje slike ili činove pojedine duše te time povrijediti i prvo načelo. Što se tiče trećega načela, samo je privid ako mislimo da pojam možemo učiniti predme-

21

Mislim da će moji rezultati, barem što se tiče glavnine, naići na odobravanje onih matematičara koji se potrude uzeti u obzir moje razloge, čini mi se da oni vise u zraku, a pojedini od njih možda su već svi barem približno izrečeni; ali u ovoj bi međusobnoj povezanosti oni ipak mogli biti novi. Ponekad sam se čudio što se prikazi koji se u jednome vidu toliko približavaju mojemu shvaćanju u drugome vidu tako jako od njega udaljuju. Prijam će kod filozofa biti različit već prema stajalištu, no zacijelo će biti najlošiji kod onih empirista koji kao izvorni način zaključivanja žele priznati samo indukciju, pa ni nju uopće ne kao način zaključivanja, nego kao naviku. Možda jedni ili drugi ovom prilikom osnove svoje spoznajne teorije podvrgnu novom ispitivanju. A onima koji bi moje definicije možda htjeli protumačiti kao neprirodne dajem neka promisle o tome kako pitanje ovdje nije jesu li prirodne, nego pogađaju li srž stvari i jesu li logički otporne na prigovor. Nadam se da će u bespredrasudnu ispitivanju i filozofi u ovome spisu moći naći nešto upotrebljivo.

22

OSNOVE ARITMETIKE

§§ 1-4

§ 1. Nakon što se matematika poduže vrijeme bila udaljila od euklidske strogosti, sada joj se vraća, pa čak i stremi ponad nje. U aritmetiku je - već zbog indijskoga podrijetla mnogih njezinih načina postupanja i pojmova -uveden drukčiji način mišljenja nego u geometriju, koju su razvili naročito Grci. On je pronalaskom više analize samo nastavljen; jer, s jedne strane, strogoj se obradi tih učenja suprotstavljaju znatne, gotovo nesavladive teškoće, a za njihovo se prevladavanje, s druge strane, čini kako se napori koji su u to uloženi malo isplate. Ipak, daljnji je razvoj uvijek jasnije poučavao kako u matematici nije dostatno samo moralno uvjerenje poduprto mnogim uspješnim primjenama. Sada je potreban dokaz za mnogo toga Što je prije vrijedilo kao samorazumljivo. Granice važenja tek su time u mnogim slučajevima postale ustanovljene. Pokazalo se da je potrebno strože određenje pojmova funkcije, neprekinutosti, granice, beskonačnoga. Negativni i iracionalni broj, koji su u znanosti odavno prihvaćeni, svoje su opravdanje morali podvrći točnijemu ispitivanju.

mogh' zadovoljiti euklidskom strogošću, došlo je do istraživanja povezanih s aksiomom o paralelama.

Tako se posvuda pokazuje nastojanje da se strogo dokazuje, da se točno povlače granice valjanosti i, da bi se to moglo, da se strogo shvaćaju pojmovi. § 2. Taj put u daljnjemu slijedu mora voditi do pojma broja i najjednostavnijih stavaka koji vrijede za pozitivne cijele brojeve, a koji tvore osnove cijele aritmetike. Naravno, brojevne formule kao što j e 5 + 7=12 i zakoni kao što je asocijativnost kod zbrajanja tako su mnogostruko potvrđeni nebrojenim svakodnevnim primjenama da se gotovo može činiti smiješnim htjeti ih traženjem dokaza dovesti u sumnju. No u biti je matematike da ona, gdje god je to moguće, daje prednost dokazu pred osvjedočavanjem pomoću indukcije. Euklid dokazuje mnogo toga što bi mu svatko bez daljnjega priznao. Budući da se sami nismo

23

Tako je pokret usmjeren na najveću strogost već mnogostruko nadmašio potrebu koja se u početku osjećala i koja se postojano širi i jača. Dokaz nema samo tu svrhu da istinitost nekoga stavka izdigne nad svaku sumnju, nego i tu da dade uvid u međusobnu ovisnost istina. Pošto smo se uzaludnim pokušajima da pokrenemo kamenu gromadu uvjerili da je ne možemo pokrenuti, možemo dalje pitati što je onda tako sigurno podupire. Što se ta istraživanja dalje razvijaju, to je manje osnovnih istina na koje sve svodimo; a to je pojednostavljivanje već po sebi cilj vrijedan nastojanja. Možda se potvrdi i nada da se mogu postići općeniti načini oblikovanja pojmova ih utemeljivanja koji se dadu primijeniti i u zamršenijim slučajevima, time što nam dolazi do svijesti ono što su ljudi instinktivno učinili u najjednostavnijim slučajevima i iz toga izlučili ono općevaljano. § 3. Na takva su me istraživanja navele i filozofske pobude. Pitanja o apriornoj ih aposteriornoj, sintetičkoj ih analitičkoj naravi aritmetičkih istina ovdje željno očekuju svoj odgovor. Jer iako sami ti pojmovi pripadaju filozofiji, ipak vjerujem da rješenje ne može uslijediti bez pripomoći matematike. Naravno, to ovisi o smislu koji se pridaje tim pitanjima. Nije rijedak slučaj da se najprije zadobije sadržaj nekoga stavka i da se zatim na drugome težem putu izvodi strogi dokaz, kojim se često točnije spoznaju i uvjeti valjanosti. Tako valja općenito razdvojiti pitanje o tome kako dolazimo do sadržaja suda od pitanja o tome odakle uzimamo opravdanje za našu tvrdnju.

OSNOVE ARITMETIKE

§§ 1-4

Ona razlikovanja apriornoga i aposteriornoga. sintetičkoga i analitičkoga ne tiču se, po mojemu mišljenju,5 sadržaja suda, nego opravdanja za suđenje. Tamo gdje toga nema, izostaje i mogućnost te podjele. Zabluda a priori stoga je isto takva besmislica kao, recimo, i plavi pojam. Ako se neki stavak nazove aposteriornim ili analitičkim u mojemu smislu, onda se ne sudi o psihološkim, fiziološkim i fizikalnim odnosima koji su omogućili da se u svijesti izgradi sadržaj toga stavka, a ni o tome kako je netko drugi, možda na pogrešan način, došao do toga da ga drži istinitim, nego o tome na čemu u najdubljoj osnovi počiva opravdanje za to da ga se drži istinitim.

§ 4. Ishodeći od ovih filozofskih pitanja dolazimo do istoga zahtjeva koji se neovisno o njima sam pojavio na području matematike: ako je ikako moguće, načela aritmetike dokazati najvećom strogoćom; jer samo ako najbrižljivije izbjegnemo svaki propust u nizu zaključaka možemo sa sigurnošću reći na koje se osnovne istine dokaz oslanja; a samo ako to znamo možemo odgovoriti na prethodna pitanja.

24

Time se pitanje odmaknulo od područja psihologije i dodijelilo se matematici, ako je riječ o matematičkoj istini. Stvar je u tome da pronađemo dokaz i da ga svedemo na osnovne istine. Naiđemo li na tome putu samo na opće logičke zakone i na definicije, onda imamo analitičku istinu, pri čemu pretpostavljamo da su uzeti u obzir i stavci na kojima možda počiva dopustivost definicije. No ako dokaz nije moguće izvesti, a da se ne rabe istine koje nisu opće logičke naravi nego se odnose na posebno područje znanja, onda je stavak sintetičan. Da bi istina bila aposteriorna zahtijeva se da je nemoguće dokazati je bez pozivanja na činjenice, tj. na nedokazive istine bez općenitosti koje sadrže iskaze o određenim predmetima. Ako je, nasuprot tome, dokaz moguće izvesti posve iz općih zakona koje same niti je moguće niti potrebno dokazati, onda je istina apriorna. 6

25

Pokušamo li slijediti taj zahtjev, vrlo brzo dolazimo do stavaka čiji je dokaz nemoguć sve dok se pojmovi koji se u njima pojavljuju ne uspiju razlučiti u jednostavnije ili svesti na općenitije. Ovdje je to prije svega broj, koji treba definirati ili prihvatiti kao nešto što se ne može definirati. To treba biti zadaća ove knjige.7 O rješenju te zadaće ovisit će odluka o naravi aritmetičkih zakona. Prije negoli se sam dohvatim tih pitanja, želim prethodno napomenuti nešto što može dati naputak za odgovor na njih. Ako se naime s drugih stajališta ispostave razlozi za tvrdnju kako su načela aritmetike analitička, onda oni govore i u korist njihove dokazivosti i u korist mogućnosti definiranja pojma broja. Suprotan će učinak imati razlozi u korist aposteriornosti tih istina. Stoga bi se ta sporna pitanja mogla najprije podvrći prethodnome razjašnjenju.

5

Time, naravno, ne želim dodati neki novi smisao, nego samo pogoditi ono što su mislili prethodni pisci, posebno Kant. 6

Ako uopće priznamo da postoje općenite istine, onda moramo prihvatiti i to da postoje takvi osnovni zakoni, jer iz samih pojedinačnih činjenica ne slijedi ništa, osim ako to nije na temelju nekoga zakona. Sama indukcija počiva na općenitome stavku kako ona sama može utemeljili istinu ili pak vjerojatnost nekoga zakona.

Za onoga koji to niječe indukcija nije ništa više nego psihološka pojava, način na koji ljudi dolaze do vjerovanja u Istinu nekoga stavka, a da to vjerovanje nije njome ni na koji način opravdano. 7 Nadalje, ako nije kazano ništa više. neće biti riječi nj o kojim drugim brojevima doli o pozitivnim cijelim brojevima, koji odgovaraju na pitanje "Koliko?".

26

OSNOVE ARITMETIKE

I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka Mogu li se brojevne formule dokazati? § 5. Brojevne formule u kojima je. kao npr. u 2 + 3 = 5. riječ o određenim brojevima, moramo razlikovati od općih zakona koji vrijede za sve cijele brojeve. Prve su neki filozofi8 držali nedokazivima i neposredno jasnima poput aksioma. Kant9 ih tumači kao nedokazive i sintetičke, no suspreže se od toga da ih nazove aksiomima. jer nisu općeniti i jer je njihov broj beskonačan. Tu tvrdnju o beskonačno mnogim nedokazivim osnovnim istinama Hankel10 s pravom naziva neprikladnom i paradoksalnom. Ona zapravo protuslovi potrebi uma za preglednošću prvih osnova. A je U onda neposredno bjelodano da je 135664 + 37863 = 173527? Ne! I upravo je to navelo Kanta na tvrdnju o sintetičkoj naravi tih stavaka. No to prije govori protiv njihove nedokazivosti; jer kako ih drukčije valja uvidjeti doli pomoću dokaza, budući da nisu neposredno bjelodani? Kant si želi pomoći zorom prstiju ili točaka, pri čemu je zapao u opasnost da dopusti da se ti stavci, suprotno njegovu mišljenju, pojave kao empirijski; jer zor 37863 prstiju, u svakome slučaju, ipak nije čisti zor. Isto tako. čini se da 8 Hobbes. Locke. Newton. Usp. Baumann. Die Lehren von Zeit. Raum und Mathematik, str. 241 1 242. str. 365 i d.. str. 475. 9 Kritik der reinen Vernunft, herausgeg. v. Hartenstein, III. str. 157 [= B 204-206; usp. i hrv. prijevod: I. Kant. Kritika čistoga uma, preveo V. D. Sonnenfeld. Zagreb. 1984. str. 98-99]. 10

Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Func tionen, str. 53.

I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka

27

izraz "zor" ne može posve odgovarati, budući da već i 10 prstiju položajem što ga imaju jedan prema drugome mogu izazvati najrazličitije zorove. Imamo li onda uopće zor 135664 prstiju ili točaka? Kad bismo ga imali i kad bismo imah zor 37863 prstiju i zor 173527 prstiju, tada bi ispravnost naše jednakosti, kad bi bila nedokaziva, odmah bila bjelodana, barem za prste; ali tome nije tako. Očito, Kant je na pameti imao samo male brojeve. Tada bi formule za velike brojeve bile dokazive, dok bi za male brojeve bile neposredno bjelodane putem zrenja. No povlačenje načelne razlike između malih i velikih brojeva jalov je posao, posebno zato što se među njima ne bi mogla povući oštra granica. Kad bi dokazive bile brojevne formule od, recimo, 10 nadalje, tada bi se s pravom postavilo pitanje: a zašto ne od 5 nadalje, od 2 nadalje, od 1 nadalje? § 6. Drugi su pak filozofi i matematičari tvrdili i dokazivost brojevnih formula. Leibniz11 kaže: "Nije nikakva neposredna istina da su 2 i 2 4, pretpostavivši da 4 označuje 3 i 1. To se može dokazati, i to ovako: Definicije: 1) 2 je 1 i 1 2) 3 je 2 i 1 3) 4 je 3 i 1. Aksiom: Ako jednako zamijenimo jednakim, ostaje jednako. Dokaz: 2 + 2 = 2+1 + 1 = 3 + 1=4. Def. 1 Def. 2 Def. 3 Dakle: prema aksiomu: 2 + 2 = 4". Isprve se čini kako je ovaj dokaz izgrađen posve iz definicija i navedena aksioma. I on bi se mogao preinačiti u definiciju, kao što je to Leibniz sam učinio na drugome 11

Nouveaux Essais. IV. § 10. Erdm.. str. 363.

28

I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka

OSNOVE ARITMETIKE

mjestu.12 Čini se da o 1, 2, 3, 4 ne treba znati ništa više nego ono što je sadržano u definicijama. Ipak, pri točnijemu promatranju otkriva se praznina, koja je skrivena ispuštanjem zagrada. Naime, točnije bi trebalo napisati: 2 + 2 = 2 + (1 + 1) (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4. Ovdje nedostaje stavak 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1, koji je poseban slučaj od a + (b + c) = (a + b) + c. Pretpostavimo li taj zakon, lako vidimo kako se tako može dokazati svaka formula zbrajanja. Tada je svaki broj definiran iz prethodnoga. Zapravo ne vidim načina na koji bi nam recimo broj 437986 mogao biti prikladnije dan nego što je to lajbnicovski način. Tako ipak njime raspolažemo, pa i ako nemamo predodžbu o njemu. Beskonačno se mnoštvo brojeva takvim definicijama svodi na broj jedan i uvećavanje za jedan, a svaka se od beskonačno mnogo brojevnih formula može dokazati iz nekih općih stavaka. To je mnijenje i H. Grassmanna i H. Hankela. Zakon a + (b + 1) = (a + b) + 1 Grassmann želi dobiti pomoću definicije kažući:1 12 l3

Won inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm., str. 94.

Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. I. dio: Arithmetik. Stettin. 1860. str. 4.

29

"Ako su a i b bilo koji članovi temeljnoga niza, onda pod zbrojem a + b razumijemo onaj član temeljnoga niza za koji vrijedi formula a + (b + e) = a + b + e". Pritom e treba značiti pozitivnu jedinicu. Tomu se objašnjenju dade prigovoriti na dvostruki način. Prije svega, zbroj se objašnjava pomoću sebe samoga. Ako još ne znamo što treba značiti a + b. onda ne razumijemo ni izraz a + (b + e). Ali taj se prigovor možda može ukloniti tako da se, naravno u protuslovlju s doslovnim tekstom, kaže kako treba objasniti ne zbroj, nego zbrajanje. Tada bi se još uvijek moglo prigovoriti kako bi a + b bilo puki znak kad ne bi postojao nijedan član ih bi pak postojalo više članova temeljnoga niza tražene vrste. Grassmann jednostavno pretpostavlja da tome nije tako. a da to ne dokazuje, tako da je strogost samo prividna. § 7. Brojevne formule valja pomišljati kao sintetičke ili analitičke, aposteriorne ili apriorne, već prema tome jesu li takvi opći zakoni na koje se njihov dokaz oslanja. Ipak, tome se suprotstavlja mnijenje Johna Stuarta Milla. Čini se kako on najprije želi, poput Leibniza, našu znanost utemeljiti na definicijama.14 budući da pojedinačne brojeve tumači kao i Leibniz; ali njegova predrasuda da je sve znanje empirijsko odmah kvari ispravnu misao. Naime, on nas podučava da te definicije nisu definicije u logičkome smislu, da one ne utvrđuju samo značenje nekoga izraza, nego da se njima tvrdi i opažena činjenica. Ta što, za ime svijeta, uopće može bili opažena, ili, kako Mill još kaže, fizikalna činjenica koja se tvrdi u definiciji broja 777864? 14

System der deducttven und inducliven Logik, übersetzt von J. Schiel. III. knjiga. XXTV. pogl., § 5. 15

Na nav. mj.. II. knjiga. VI. pogl.. § 2.

OSNOVE ARITMETIKE

I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka

Od čitava bogatstva fizikalnih činjenica koje se ovdje pred nama otkriva Mill nam. imenuje samo jednu jedinu, koju treba tvrditi u definiciji broja 3. Ona se, po njemu, sastoji u tome što postoje složevine predmeta koje se, dok na osjetila izazivaju dojam °o°, mogu razdijeliti na dva dijela, ovako:oo o . Kako je ipak dobro što sve u svijetu nije čvrsto zavareno i zakovano; tada se ne bismo mogli poduzeti toga razdvajanja i 2 + 1 ne bi bilo 3! Kakva šteta što Mill nije preslikao i fizikalne činjenice koje leže u osnovi brojeva 0 i 1!

dosta reći da postoje velike skupine stvari koje se mogu razlagati, jer time nije rečeno da postoje tako velike skupine i takve vrste kakve su potrebne za definiciju recimo broja 1 000 000, a način njihova razdvajanja također nije točno naveden. Millovo shvaćanje nužno vodi zahtjevu da se za svaki broj posebno promotri jedna činjenica, jer bi se u općemu zakonu izgubila upravo ona posebnost broja 1 000 000 koja nužno pripada njegovoj definiciji. Prema Millu, ako se ne bi promotrio upravo ovaj poseban način razlaganja skupine stvari, koji je različit od onoga koji pripada bilo kojemu drugome broju, zapravo se ne bi smjelo postaviti 1 000 000 = 999 999 + 1.

30

Mill nastavlja: "Pošto je ovaj stavak prihvaćen, sve takve razdiobe nazivamo 3". Odatle uviđamo kako je zapravo netočno da ako sat otkucava tri da se onda govori o trima otkucajima ili da se slatko, kiselo i gorko nazivaju trima osjetima okusa; isto tako ne treba dopustiti izraz "tri načina rješavanja neke jednadžbe", jer o tome nikada nemamo osjetilni dojam kao o °o°. Mill potom kaže: "Računanja ne slijede iz same definicije, nego iz promatrane činjenice". No gdje bi se Leibniz u gore priopćenu dokazu stavka 2 + 2 = 4 trebao pozvati na spomenutu činjenicu? Mill propušta ukazati na pravi nedostatak, iako daje dokaz stavka 5 + 2 = 7 koji posve odgovara Leibnizovu. 16 Pravi nedostatak, koji leži u ispuštanju zagrada, on previđa kao i Leibniz. Kad bi definicija svakoga pojedinoga broja uistinu tvrdila određenu fizikalnu činjenicu, tada se čovjeku koji računa s devetoznamenkastim brojevima ne bismo mogli dostatno nadiviti zbog njegova fizikalnoga znanja. Možda Millovo mnijenje ipak ne ide na to da pojedinačno treba promotriti sve te činjenice, nego je dovoljno indukcijom izvesti opći zakon u kojemu su one skupno obuhvaćene. No pokušamo li izreći taj zakon, iznaći ćemo kako je to nemoguće. Nije 16

Na nav. mj.. III. knjiga. XXIV. pogl.. § 5.

31

§ 8. Čini se kako Mill misli da se definicije 2 = 1 + 1. 3 = 2 + 1,4 = 3+ 1 itd. ne bi mogle stvoriti, a da se prije ne promotre činjenice koje se u njima spominju. Zapravo se 3 ne može definirati kao (2+1) ako se s (2 + 1) ne povezuje uopće nikakav smisao. No postavlja se pitanje je li za to nužno promotriti skupinu i njezino razlaganje. Tada bi zagonetan bio broj 0; jer dosada još zacijelo nitko nije vidio niti opipao 0 oblutaka. Mill bi 0 sigurno protumačio kao nešto besmisleno, kao puki izričaj; računanja s 0 bila bi puka igra s praznim znakovima i samo bi čudom iz toga moglo proizići nešto umno. No ako ta računanja imaju ozbiljno značenje, onda ni sam broj 0 ne može biti posve besmislen. A pokazuje se mogućnost da bi 2 + 1 na sličan način kao 0 moglo imati smisao i kad činjenica što je spominje Mill ne bi bila opažena. Tko zapravo može tvrditi kako je činjenica koja je, prema Millu, sadržana u definiciji osamnaesto znamenkastoga broja ikada opažena i tko može poreći kako takva brojka unatoč tome ima smisao? Možda se misu da bi se fizikalne činjenice mogle upotrijebiti samo za manje brojeve, recimo do 10, time što bi se ostali mogli sastaviti iz njih. Ali ako se 11 može oblikovati iz 10 i 1 samo definicijom, a da se nije vidjela odgovarajuća

32

OSNOVE ARITMETIKE

I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka

skupina, onda nema razloga zašto se i 2 ne bi moglo na taj način sastaviti iz 1 i 1. Ako računanja s brojem 11 ne slijede iz jedne od činjenica koje su za taj broj karakteristične, kako to da se računanja s 2 moraju oslanjati na promatranje stanovite skupine i njoj svojstvenoga razlaganja? Možda se tkogod pita kako bi aritmetika mogla postojati kad osjetilima ne bismo mogli razlikovati uopće nijednu stvar ili samo tri stvari. Za naše poznavanje aritmetičkih stavaka i njihovih primjena takva bi okolnost sigurno bila nešto nezgodno, no bi U to bila i za njihovu istinu? Ako se neki stavak nazove empirijskim jer bismo morali izvršiti promatranja da bismo postali svjesni njegova sadržaja, onda se riječ "empirijski" ne upotrebljava u smislu kao da je suprotstavljena riječi "a priori". Tada se izriče psihološka tvrdnja koja se tiče samo sadržaja stavka; pritom se ne uzima u obzir je U taj stavak istinit. U tom su smislu i sve Münchausenove priče empirijske; jer sigurno se moralo mnogo toga promatrati da bi ih se izmislilo. Jesu li zakoni aritmetike induktivne istine? § 9. Prema dosadanjim je prosudbama vjerojatno da se brojevne formule mogu izvesti samo iz definicija pojedinih brojeva posredstvom nekoliko općih zakona, da te definicije niti tvrde promatrane činjenice niti su te činjenice pretpostavka njihove pravilnosti. Potrebno je dakle spoznati narav tih zakona. 17

Za svoj prije spomenuti dokaz formule 5 + 2 = 7 Mill se želi poslužiti stavkom "Što je sastavljeno iz dijelova sastavljeno je iz dijelova tih dijelova". On drži da je to 17 Na nav. mj., III. knjiga, XXIV. pogl.. § 5.

33

karakterističan izraz stavka koji je inače poznat u obliku "zbrojevi jednakoga jesu jednaki". Naziva ga induktivnom istinom i prirodnim zakonom najvišega reda. Za netočnost Millova prikaza karakteristično je to što se on na taj stavak uopće ne poziva na onome mjestu dokaza gdje je on, po njegovu mišljenju, neophodan; ipak, čini se kako njegova induktivna istina treba zamijeniti Leibnizov aksiom "Ako jednako zamijenimo jednakim, ostaje jednako". No da bi aritmetičke istine mogao nazvati prirodnim zakonima, Mill im pridaje smisao koji one nemaju. On npr.18 misli kako bi jednakost 1 = 1 mogla biti lažna, jer jedna funta nema uvijek upravo onu težinu koju ima druga. Ali stavak 1 = 1 to uopće ne tvrdi. Mill znak + razumije tako kao da se njime izražava odnos dijelova nekoga fizikalnoga tijela ili neke hrpe prema cjelini; no to nije smisao toga znaka. 5 + 2 = 7 ne znači da ako se u 5 prostornih dijelova tekućine sliju 2 prostorna dijela tekućine da se dobije 7 prostornih dijelova tekućine, nego je to primjena stavka 5 + 2 = 7, koja je dopuštena samo ako uslijed, recimo, kemijskoga djelovanja ne dođe do promjene volumena. Mill uvijek miješa primjene što ih može imati neki aritmetički stavak - koje su često fizikalne i koje kao pretpostavku imaju opažene činjenice - s čisto matematičkim stavkom samim. Za znak plus može se doduše u mnogim primjenama činiti kako odgovara oblikovanju hrpe; no to nije njegovo značenje, jer u drugim primjenama ne može biti govora o hrpama, agregatima, odnosu fizikalnoga tijela prema njegovim dijelovima, npr. ako se računanje odnosi na događaje. Doduše, i ovdje se može govoriti o dijelovima; no tada se ta riječ ne upotrebljava u fizikalnome ili geometrijskome, nego u logičkome smislu, kao ako se umorstva državnih poglavara nazovu dijelom ubojstva uopće. Ovdje imamo logičku podređenost. 18 Na nav. mj.. II. knjiga. VI. pogl.. § 3.

36

OSNOVE ARITMETIKE

I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka

37

pojam "ono što se dobije stalnim uvećavanjem za jedan". Razliku između tih dvaju slučajeva možemo naći u činjenici što smo na slojeve samo nailazili, dok su brojevi stvoreni i prema svojoj čitavoj biti određeni uvećavanjem za jedan. To može značiti samo to da se iz načina na koji je neki broj, npr. 8, nastao uvećavanjem za jedan mogu izvesti sva njegova svojstva. Time se u osnovi priznaje kako svojstva brojeva slijede iz njihovih definicija i otvara se mogućnost da se opći zakoni brojeva dokažu iz načina nastajanja koji im je zajednički, dok bi posebna svojstva pojedinih brojeva trebala slijediti iz posebnoga načina na koji su oni oblikovani stalnim uvećavanjem za jedan. Tako se i ono što je kod slojeva zemlje određeno već samom dubinom na kojoj smo na sloj naišli, dakle njegovi položajni odnosi, dadu zaključiti upravo iz toga, a da nije bila nužna indukcija; no ono što time nije određeno ne može nas naučiti ni indukcija.

svjedočanstvima osjetila, iako nam bez osjetila nikada ne bi palo na um da o njima razmišljamo. "Čitava nam je aritmetika urođena i u nama je na virtualan način." Jedno drugo mjesto pokazuje kako on razumije izraz "urođen": "Nije istina da sve što se uči nije urođeno; istine brojeva su u nama, a ipak ih učimo, bilo tako da ih izvodimo iz njihova izvora ako ih učimo na dokazujući način (što upravo pokazuje da su urođene), bilo tako...".

Čini se da postupak indukcije, ako pod indukcijom ne razumijemo puku naviku, sam može biti opravdan samo posredstvom općih stavaka aritmetike. Ona naime uopće nema snagu koja jamči istinitost. Dok znanstveni postupak prema objektivnim mjerilima visoku vjerojatnost jednom nalazi utemeljenu u jednoj jedinoj potvrdi a, drugi put, tisućustruka ispunjenja drži gotovo bezvrijednima, dotle je navika određena brojem i snagom dojmova te subjektivnim odnosima koji nemaju nikakva prava da vrše utjecaj na sud. Indukcija se mora oslanjati na učenje o vjerojatnosti, jer ona neki stavak nikada ne može učiniti nečim višim doli vjerojatnim. No ne nazire se kako bi se to učenje moglo razviti bez pretpostavke aritmetičkih zakona.

analitičko aposteriorno

§ 11. Nasuprot tome, Leibniz20 misli da nužne istine, kao što su one kakve nalazimo u aritmetici, moraju imati principe čiji dokaz ne ovisi o primjerima, pa dakle ni o 20

1 209.

Baumann, na nav. mj.. sv. II, str. 13 1 14; Erdm., str. 195. str. 208

Jesu li zakoni aritmetike sintetički apriorni ili analitički? § 12. Prihvatimo li suprotnost analitičkoga i sintetičkoga, proizlaze četiri kombinacije, od kojih ipak jedna, naime

ispada. Ako smo se s Millom odlučili za aposteriorno, ne ostaje dakle nikakav izbor, tako da nam ostaju da ih razmotrimo samo još mogućnosti sintetičko apriorno ili analitičko. Za prvo se odlučuje Kant. U tome slučaju ne preostaje ništa drugo nego da se pozovemo na čisti zor kao na posljednji temelj spoznaje, iako je ovdje teško reći je U on prostorni ili vremenski ili koji bi inače mogao biti. Baumann22 se slaže s Kantom, iako s nešto drukčijim obra21

Baumann, na nav. mj., sv. II. str. 38; Erdm.. str. 212.

22

Na nav. mj.. sv. II, str. 669.

38

OSNOVE ARITMETIKE

zloženjem. I prema Lipschitzu'" stavci koji tvrde neovisnost broja od načina brojenja te komutativnost i asocijativnost zbrajanja proistječu iz nutarnjega zora. Hankel24 učenje o realnim brojevima zasniva na trima načelima, kojima pripisuje karakter notiones communes: "Oni eksplikacijom postaju potpuno evidentni, za sva područja veličina vrijede prema čistome zoru veličine i mogu se, a da ne izgube svoj karakter, pretvoriti u definicije tako da kažemo: pod zbrajanjem veličina razumijemo operaciju koja zadovoljava te stavke". U posljednjoj se tvrdnji nalazi nejasnoća. Možda se može načiniti definicija, ali ona ne može predstavljati zamjenu za ona načela, jer kod primjene bi se uvijek radilo o tome jesu li brojevi veličine i je li ono što se običava nazivati zbrajanjem brojeva zbrajanje u smislu te definicije. A za odgovor bismo morali već poznavati one stavke o brojevima. Nadalje, smeta i izraz "čisti zor veličine". Kad razmislimo o tome što se sve naziva veličinom brojevi, dužine, površine, obujmi, kutovi, lukovi, mase, brzine, sile, jakosti svjetla, galvanske jakosti struje itd. - onda zacijelo možemo razumjeti na koji se način to može podrediti pojmu veličine; no izraz "zor veličine", a čak ni "čisti zor veličine" ne može se prihvatiti kao odgovarajući. Ja uopće ne mogu dopustiti zor od 100 000, a još puno manje zor broja uopće ili čak veličine uopće. Kada ne možemo navesti drugi razlog, prelako se pozivamo na nutarnji zor. No pri tome ipak ne trebamo posve ispustiti iz vida smisao riječi "zor". Kant u Logici (ed. Hartenstein, VIII, str. 88) daje ovu definiciju:

I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka

39

communes) ili reflektirana predodžba (repraesentatio discursiva)". Ovdje uopće ne dolazi do izražaja odnos prema osjetilnosti, koji se ipak uzima u obzir u transcendentalnoj estetici, a bez kojega zor ne može služiti kao princip spoznaje za sintetičke sudove a priori. U Kritici čistoga uma (ed. Hartenstein, III, str. 55)* Kant kaže: "Dakle pomoću osjetilnosti daju nam se predmeti, i samo nam ona daje zorove". Smisao je naše riječi u logici stoga širi nego u transcendentalnoj estetici. U logičkome se smislu 100 000 možda može nazvati zorom, jer to nije opći pojam. No uzet u tome smislu zor ne može poslužiti za zasnivanje aritmetičkih zakona. § 13. Uopće, bit će dobro da ne precijenimo srodnost s geometrijom. Već sam protiv toga naveo jedno mjesto iz Leibniza. Neka geometrijska točka promatrana za sebe uopće se ne može razlikovati od bilo koje druge; isto vrijedi za pravce i površine. Tek ako se u zoru istodobno obuhvati više točaka, pravaca i površina, oni se razlikuju. Ako se u geometriji opći stavci dobivaju iz zora, onda se to dade objasniti iz činjenice što zrene točke, pravci, površine zapravo uopće nisu zasebne i stoga mogu vrijediti kao zastupnici cijeloga svojega roda. Drukčije stvar stoji kod brojeva: svaki broj ima svoju posebnost. Ne može se bez daljnjega kazati u kojoj mjeri određeni broj može zastupati sve druge, a gdje može vrijediti njegova zasebnost.

"Zor je pojedinačna predodžba (repraesentatio singularis), a pojam je općenita (repraesentatio per notas 23

Lehrbuch der Analysis, sv. I, str. 1.

24

Theorie der complexen Zahlensysteme, str. 54 i 55.

[B 33: gornji je citat naveden prema hrvatskome prijevodu, str. 33.]

OSNOVE ARITMETIKE

I. Mnijenja nekih pisaca ο naravi aritmetičkih stavaka

§ 14. I uspoređivanje istina u odnosu na područje kojim vladaju govori protiv empirijske i sintetičke naravi aritmetičkih zakona.

brojeva trebali stajati u najnutarnjijoj vezi sa zakonima mišljenja?

40

Iskustveni stavci vrijede za fizičku ili psihološku zbiljnost, geometrijske istine vladaju područjem prostorno zornoga, bila to zbiljnost ili proizvod snage uobrazilje. Najmahnitije fantazije prilikom groznice, najsmionije izmišljotine priča i pjesnika koje dopuštaju da životinje govore, da se zvijezde zaustave, da iz kamena nastaju ljudi, a iz ljudi drveće i koje podučavaju kako se za vlastiti čuperak izvući iz močvare - ipak su, ukoliko ostaju zorne, vezane za aksiome geometrije. Toga se na određeni način može osloboditi samo pojmovno mišljenje, ako, recimo, pretpostavi prostor od četiri dimenzije ili prostor pozitivne mjere zakrivljenja. Takva razmatranja nisu posve beskorisna, no ona posve napuštaju područje zora. Ako ih i pritom pozovemo u pomoć, onda je to ipak uvijek zor euklidskoga prostora, jedinoga čijih tvorevina imamo zor. Samo. on se tada ne uzima onakav kakav jest, nego simbolički za nešto drugo; npr. pravim ili ravnim naziva se ono što se ipak zrije kao zakrivljeno. Za pojmovno mišljenje možemo ipak prihvatiti ono što je suprotno ovom ili onom geometrijskom aksiomu, a da se, ako povlačimo zaključke iz takvih pretpostavaka koje su protuslovne zoru, ne zapletemo u protuslovlje sa samima sobom. Ta mogućnost pokazuje da su geometrijski aksiomi neovisni jedan ο drugome i ο osnovnim logičkim zakonima, dakle da su sintetički. Može li se isto reći ο načelima znanosti ο brojevima? Ne bi li se sve sručilo u metež kad bismo jedno od njih htjeli poricati? Bi li mišljenje onda još bilo moguće? Ne leži li temelj aritmetike dublje negoli temelj sveg iskustvenoga znanja, čak dublje negoli temelj geometrije? Aritmetičke istine vladaju područjem brojivoga. To je područje najobuhvatnije, jer ne pripada mu samo ono zbiljsko, niti samo ono zorno, nego sve mislivo. Ne bi li dakle zakoni

41

§ 15. Može se predvidjeti kako se Leibnizov sud dade tumačiti samo u korist analitičke prirode zakona broja, budući da se za njega ono apriorno poklapa s onim analitičkim. Tako on kaže25 da algebra svoje prednosti posuđuje od jednoga mnogo višega umijeća, naime od istinske logike. Na drugome mjestu26 nužne i slučajne istine uspoređuje s komenzurabilnim i nekomenzurabilnim veličinama i misli da je kod nužnih istina moguć dokaz ili svođenje na identitete. Ipak. te izjave gube na težini jer Leibniz naginje tome da sve istine shvati kao dokazive: "... da svaka istina ima svoj apriorni, iz pojma termina izveden dokaz, iako nije uvijek u našoj moći da dođemo do te analize'". Naravno, usporedba s komenzurabilnošću i ne-komenzurabilnošću ipak uvijek podiže barem za nas nepre-koračivu granicu između slučajnih i nužnih istina. Vrlo se odlučno u smislu analitičke prirode zakona broja izjašnjava W. Stanley Jevons:28 "Broj je samo logičko razlikovanje, a algebra je visoko razvijena logika". § 16. No i taj nazor ima svoje teškoće. Treba U se ovo visoko, razgranate) i još uvijek rastuće stablo znanosti ο brojevima korjeniti u pukim identitetima? I kako prazni oblici logike uspijevaju iz sebe steći takav sadržaj? Mill misli: "Nauk da umjetnim baratanjem jezikom možemo otkriti činjenice, da možemo pronaći skrivene procese

25

Baumann. aa nav. mj.. sv. II. str. 56; Erdm..

str. 424.

26

Baumann, na nav. mj., sv. II, str. 57; Erdm..

str. 83.

27

Baumann. na nav. mj.. sv. II. str. 107; Pertz,

II. str. 55.

28

The principles of science, London, 1879. str.

156.

42

OSNOVE ARITMETIKE

prirode tako je suprotan zdravome razumu da već iziskuje neki napredak u filozofiji kako bismo u to povjerovali". Sigurno, ako se kod umjetnoga baratanja ne misli ništa. Mill se tu okreće protiv formalizma koji jedva '"< netko zastupa. Svatko tko upotrebljava riječi i matematičke znakove zahtijeva da oni nešto znače i nitko neće očekivati da iz praznih znakova proiziđe nešto smisleno. No moguće je da matematičar izvodi duža računanja, a da pod svojim znakovima ne razumije nešto osjetilno zamjetljivo, zorno. Zbog toga ti znakovi još nisu besmisleni; ipak se njihov sadržaj razlikuje od njih samih, makar je i on možda shvatljiv samo posredstvom znakova. Svjesni smo da su i drugi znakovi mogli biti određeni za isto. Dovoljno je znati kako valja logički obrađivati sadržaj koji je predočen u znakovima i. ako želimo izvršiti primjene na fiziku, kako se mora događati prijelaz na pojave. No u takvoj se primjeni ne može vidjeti pravi smisao stavaka. Pritom se uvijek gubi velik dio općenitosti i pridolazi nešto posebno, što se kod drugih primjena zamjenjuje drugim. § 17. Unatoč svemu podcjenjivanju dedukcije, ipak ne možemo zanijekati kako zakoni zasnovani indukcijom nisu dostatni. Iz njih se moraju izvesti novi stavci, koji nisu sadržani ni u kojemu pojedinom od njih. Činjenica da su u svima zajedno na neki način već skriveni ne oslobađa nas posla da ih odatle razvijemo i zasebno iznesemo na vidjelo. Time se otvara sljedeća mogućnost. Umjesto da se niz zaključaka neposredno nadoveže na činjenicu, može se, dopuštajući da to bude neispitano, njezin sadržaj zadržati kao uvjet. Time što se tako sve činjenice u misaonu nizu zamijene uvjetima dobiva se rezultat u tom obliku da je uspjeh učinjen ovisnim od niza uvjeta. Ta bi istina bila utemeljena jedino mišljenjem, ili, kažimo zajedno s Millom. umjetnim baratanjem jezikom. Nije nemoguće da su zakoni broja te vrste. Oni bi tada bih analitički sudovi, iako ne bi trebalo da budu pronađeni samo mišljenjem; jer ovdje nije

I. Mnijenja nekih pisaca o naravi aritmetičkih stavaka

43

relevantan način iznalaženja, nego vrsta dokaza; ili, kako kaže Leibniz:29 "ovdje se ne radi o povijesti naših otkrića, koja je različita u različitih ljudi, nego o povezanosti i prirodnome poretku istina, koji je uvijek isti". Promatranje bi na koncu imalo odlučiti jesu li ispunjeni uvjeti sadržani u tako utemeljenim zakonima. Tako bismo na koncu dospjeli upravo tamo kamo bismo- došli neposrednim nadovezivanjem niza zaključaka na promatrane činjenice. No ovdje naznačenoj vrsti postupanja valja u mnogim slučajevima dati prednost, jer ona vodi do općega stavka koji ne treba biti primjenljiv samo na upravo postojeće činjenice. Istine aritmetike tada bi se prema istinama logike odnosile slično kao što se poučci odnose prema aksiomima geometrije. Svaka bi u sebi zgusnuto sadržavala čitav niz zaključaka za buduću upotrebu, a njezina bi se korist sastojala u tome što se više ne trebaju praviti pojedinačni zaključci, nego se odmah može izreći rezultat čitava niza.30 U pogledu silnoga razvoja aritmetičkih učenja i njihovih mnogostrukih primjena naravno da se tada ne mogu održati široko rašireno omalovažavanje analitičkih sudova i priče o neplodonosnosti čiste logike. Kad bi se ovaj nazor, koji ovdje nije prvi put iznesen, mogao u pojedinostima provesti tako strogo da za njim ne bi ostala ni najmanja sumnja, tada on, kako mi se čini, ne bi bio posve nevažan rezultat.

29 30

Nouveaux Essais. IV, § 9; Erdm., str. 362.

Upada u oči što, kako se čini. taj nazor izriče i Mill (na nav. mj., II. knjiga, VT. pogl.. § 4). Njegov zdravi razum s vremena na vrijeme razbija njegovu predrasudu o onome empirijskome. No to uvijek sve ponovno dovodi do pomutnje, jer mu dopušta da fizikalne primjene aritmetike pobrka s aritmetikom samom. Čini se da on ne zna kako hipotetički sud može biti istinit i onda ako uvjet nije istinit.

44

II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja

OSNOVE ARITMETIKE

II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja § 18. Okrenemo li se sada izvornim predmetima aritmetike, razlikujemo pojedine brojeve [Zahlen] - 3, 4 itd. - od općega pojma broja [Anzahl]. Već smo se odlučili za to da se pojedini brojevi najbolje izvode na način Leibniza, Milla, H. Grassmanna i drugih, iz jedan i uvećavanja za jedan, no da takva objašnjenja ostaju nepotpuna sve dok nisu objašnjeni jedan i uvećavanje za jedan. Vidjeli smo kako su potrebni općeniti stavci da bi se iz tih definicija izvele brojevne formule. Takvi zakoni upravo zbog svoje općenitosti ne mogu slijediti iz definicija pojedinih brojeva, nego samo iz općenitoga pojma broja. Njega sada podvrgavamo pomnijemu razmatranju. Pritom ćemo po svoj prilici morati razjasniti i jedan i uvećavanje za jedan, a time će i definicija pojedinih brojeva biti upotpunjena. § 19. Ovdje bih se odmah htio okrenuti protiv pokušaja da se broj shvati geometrijski, kao omjerni broj dužina ili površina. Time što su se aritmetika i geometrija odmah u počecima dovele u najužu vezu očito su se mislile olakšati mnogovrsne primjene aritmetike na geometriju. 31

Newton pod brojem ne želi toliko razumjeti skup jedinica koliko apstraktan omjer bilo koje veličine prema nekoj drugoj iste vrste, koja se uzima kao jedinica. Možemo priznati kako je time prikladno opisan broj u širemu smislu, čemu pripadaju i razlomci i iracionalni brojevi; ipak, pritom se pretpostavljaju pojmovi veličine i odnosa veličina. Stoga se čini kako objašnjenje broja u užemu smislu, kardinalnoga broja [Anzahl], nije suvišno, jer Euklid upotrebljava pojam višekratnika da bi definirao jednakost dvaju omjera dužina, a pojam višekratnika uvijek se svodi na jednakost brojeva. No može biti da se jednakost odnosa 31

Baumanrt. na nav. mj.. sv. I. str. 475.

45

dužina može definirati neovisno o pojmu broja. Ipak, tada bismo ostali u neizvjesnosti glede toga u kojemu bi odnosu tako geometrijski definiran broj stajao prema broju u običnome životu. On bi tada bio posve odvojen od znanosti. A ipak od aritmetike zacijelo možemo tražiti da ona mora pružiti točke nadovezivanja za svaku primjenu broja, makar sama primjena nije njeziria stvar. I obično računanje utemeljenje svojega postupka mora naći u znanosti. A tada se postavlja pitanje da li se sama aritmetika zadovoljava geometrijskim pojmom broja ako je riječ o broju korijena neke jednakosti, o brojevima koji su primbrojevi u odnosu na neki broj, a manji su od njega i sličnim slučajevima. Nasuprot tome, broj koji daje odgovor na pitanje "Koliko?" može odrediti i to koliko je jedinica sadržano u nekoj dužini. Računanje s negativnim brojevima, razlomcima, iracionalnim brojevima može se svesti na računanje s prirodnim brojevima. No Newton je pod veličinama, kao čiji se odnos definira broj, možda htio razumjeti ne samo geometrijske veličine, nego i skupove. Ipak, tada objašnjenje za našu svrhu postaje neupotrebljivo, jer od izraza ""broj koji biva određen skupom" i "odnos skupa prema jedinici skupa" posljednji ne daje bolju obavijest od prvoga. § 20. Prvo će pitanje biti može li se broj definirati. Hankel32 se izjašnjava protiv toga: "Što znači neki objekt jedanput, dvaput, triput ... misliti ili postaviti, to se pri principijelnoj jednostavnosti pojma postavljanja ne može definirati". Ipak, ovdje je manje stvar u postavljanju koliko u onomu jedanput, dvaput, triput. Kad bi se to moglo definirati, tada bi nas nemogućnost definiranja postavljanja manje uznemiravala. Leibniz naginje tome da broj shvati barem približno kao adekvatnu ideju, tj. kao takvu ideju koja je tako razgovijetna da je sve što se u njoj pojavljuje opet razgovijetno.

32

Theorie der complexen Zahlensysteme, str. 1.

46

OSNOVE ARITMETIKE

Ako smo u cijelosti više skloni tomu da držimo kako se broj ne može definirati, onda je stvar zacijelo više u neuspjehu pokušaja što su na to usmjereni nego na postojanju proturazloga koji su uzeti iz same stvari. Je li broj svojstvo izvanjskih stvari? § 21. Pokušajmo barem broju naznačiti njegovo mjesto među našim pojmovima. U jeziku se brojevi većinom pojavljuju u pridjevskome obliku i u atributivnome spoju, slično kao i riječi tvrd, težak, crven, koje znače svojstva izvanjskih stvari. Postavlja se pitanje moraju li se i pojedini brojevi tako shvatiti i bi li se, sukladno tome, pojam broja mogao staviti na istu razinu recimo s pojmom boje. Čini se kako je to mišljenje M. Cantora3 kada on matematiku nazivlje iskustvenom znanošću ukoliko je njezino polazište u promatranju objekata izvanjskoga svijeta. Broj nastaje samo apstrakcijom od predmeta. Prema E. Schröderu,34 broj, uzet iz zbiljnosti, može je oponašati tako što se jedinice odslikavaju u broju jedan. On to zove apstrahiranjem broja. Ako se apstrahira od svih drugih određenja stvari, kao što su boja i oblik, u tom bi odslikavanju jedinice bile predstavljene samo u pogledu svoje učestalosti. Tu je učestalost samo drugi izraz za broj. Schröder dakle učestalost ih broj stavlja u istu liniju s bojom i oblikom te ih razmatra kao svojstvo stvari.

II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja

§ 22. Baumann35 odbacuje misao da su brojevi pojmovi izvedeni iz izvanjskih stvari: "Jer izvanjske nam stvari, naime, ne prikazuju nikakve stroge jedinice; one nam prikazuju omeđene skupine ih osjetilne točke, ali mi imamo slobodu da njih same opet promatramo kao mnoštvo". Zapravo: dok nisam u stanju pukim načinom shvaćanja ni najmanje promijeniti boju neke stvari ili njezinu tvrdoću, Ilijada mogu shvatiti kao jedan spjev, kao 24 pjevanja ili kao velik broj stihova. Ne govori li se u posve drukčijemu smislu o 1000 listova nego što se govori o zelenim listovima stabla? Zelenu boju pridajemo svakome listu, a broj 1000 ne. Sve listove stabla možemo obuhvatiti pod ime njegova Ušća. I ono je zeleno, ali nije 1000. Kome onda zapravo pripada svojstvo 1000? Gotovo se čini kako ne pripada ni pojedinome listu ni cjelini; možda zapravo uopće ne pripada stvarima izvanjskoga svijeta? Ako nekome dam kamen uz riječi "odredi težinu od toga", onda sam mu time dao cijeli predmet njegova istraživanja. No ako mu u ruku dam svežanj igraćih karata uz riječi "odredi broj od toga", onda on ne zna želim li doznati broj karata ili broj svih igara za koje je taj svežanj dostatan ili možda broj jedinica vrijednosti u igri skat. Time što mu u ruku dajem svežanj, još mu nisam u potpunosti dao predmet njegova istraživanja; moram pridodati neku riječ karta, igra, jedinica vrijednosti. Isto tako, ne može se kazati kako ovdje različiti brojevi, kao različite boje, postoje jedan pored drugoga. Ja mogu pokazati na pojedinu obojenu površinu, a da ne kažem ni riječ, no ne mogu tako pokazati na pojedini broj. Ako neki predmet mogu s istim pravom nazvati zelenim i crvenim, onda je to znak da taj predmet nije pravi nositelj zelenoga. Njega imam tek u nekoj površini koja je samo zelena. Tako ni predmet kojemu s istim pravom mogu pripisati različite brojeve nije pravi nositelj broja.

33

Grundzüge einer Elementararithmetik, str. 2. § 4. Slično Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, Bonn, 1877. str. 1. 34

11.

Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipzig. 1873, str. 6. 10 i

47

35

Na nav. mj., sv. II. str. 669.

48

II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja

OSNOVE ARITMETIKE

49

Bitna razlika između boje i broja sastoji se stoga u tome što plava boja pripada nekoj površini neovisno o našoj volji. To je sposobnost da se neke zrake svjetla odbiju, a druge više ili manje upiju, a to naše shvaćanje ne može ni najmanje promijeniti. Nasuprot tome, ne mogu reći kako svežnju igraćih karata po sebi pripada broj 1 ili 100 ili bilo koji drugi, nego samo da mu pripada u odnosu na naš proizvoljni način shvaćanja, a ni tada ne tako da mu broj jednostavno možemo pridodati kao predikat. Ono što želimo nazvati igrom karata očito je proizvoljno određenje i svežanj karata ništa ne zna o tome. No razmatrajući ga u tom pogledu možda otkrijemo da ga možemo nazvati dostatnim za dvije igre. Onaj tko ne bi znao što nazivamo nekom kartaškom igrom vjerojatno bi na njemu iznašao prije neki drugi broj nego upravo dva.

broj. Brojka "jedan" u izrazu "jedna travka slame" ipak ne izražuje kako je ta travka sastavljena iz stanica ili molekula. Još više poteškoća stvara broj 0. Moraju li onda travke slame uopće tvoriti svežnjić da bi se mogle izbrojiti? Moraju li se slijepci u njemačkome carstvu posve ujediniti u jedan zbor da bi izraz "broj slijepaca u njemačkome carstvu" imao smisao? Da li tisuću zrnaca pšenice, nakon što je posijano, više nije tisuću zrnaca pšenice? Postoji li zapravo agregat dokaza nekoga poučka ili događaja? A ipak se i oni mogu brojiti. Pritom je svejedno jesu li događaji istodobni ili razdvojeni tisućljećima.

§ 23. Na pitanje čemu broj kao svojstvo pripada ,Mill36 odgovara ovako:

Mill37 misli da istina kako ono što je sastavljeno iz dijelova jest sastavljeno iz dijelova tih dijelova vrijedi za sve prirodne pojave, jer se sve mogu izbrojiti. No ne može li se izbrojiti još i daleko više toga? Locke38 kaže: "Broj nalazi primjenu na ljude, anđele, djelatnosti, misli, na svaku stvar koja egzistira ili se može predočiti". Leibniz39 odbacuje mišljenje skolastika kako se broj ne može primijeniti na netjelesne stvari te broj naziva u neku ruku netjelesnom figurom koja je nastala ujedinjenjem bilo kojih stvari, npr. Boga, anđela, čovjeka, kretanja, kojih je zajedno četiri. Stoga, misli on, broj je nešto posve općenito te pripada metafizici. Na jednom drugom mjestu40 kaže: "Ne može se izvagati ništa što nema silu i snagu; ono što nema dijelova nema, sukladno tome, mjere; no ne postoji ništa

"Ime nekoga broja označuje neko svojstvo koje pripada agregatu stvari, a koje nazivamo tim imenom; to je svojstvo karakterističan način na koji je agregat sastavljen ili se može razdijeliti u dijelove". Najprije, tu je jednina u izrazu "karakterističan način"* pogreška, jer postoje vrlo različiti načini na koje se agregat može razdijeliti i ne može se kazati kako bi samo jedan bio karakterističan. Npr. svežnjić slame može se razdijeliti tako da se sve travke presijeku ili tako da se svežnjić razluči u pojedine travke ili tako da se iz njega načine dva svežnjića. Je li onda hrpa od stotinu zrnaca pijeska složena isto kao i svežnjić od 100 travki slame? A ipak imamo isti 36

Na nav. mj., III. knjiga, XXIV. pogl., 8 5.

[U izvorniku zapravo stoji: "određeni član u izrazu *die charakteristische Welse'".]

§ 24. Time dolazimo do drugoga razloga da se broj ne stavi u istu razinu s bojom i čvrstoćom: to je njegova daleko veća primjenljivost.

37

Na nav. mj., III. knjiga, XXIV. pogl., § 5.

38

Baumann. na nav. mj., sv. I. str. 409.

39

Isto, sv. II, str. 2.

40

Isto, sv. II, str. 56.

50

OSNOVE ARITMETIKE

što ne dopušta broj. Tako je broj takoreći metafizička figura". Bilo bi zapravo čudno ako bi se neko svojstvo apstrahirano od izvanjskih stvari moglo bez mijenjanja smisla prenijeti na događaje, predodžbe, pojmove. To bi bilo upravo onako kao kad bi se htjelo govoriti o topljivome događaju, o plavoj predodžbi, o slanome pojmu, o žilavome sudu. Neskladno je da se na neosjetilnome pojavljuje ono što je po svojoj prirodi osjetilno. Ako gledamo plavu površinu, onda imamo jedinstven dojam koji odgovara riječi "plavo" i njega prepoznajemo ako opazimo neku drugu plavu površinu. Kad bismo htjeli pretpostaviti kako pri pogledu na trokut riječi "tri" na isti način odgovara nešto osjetilno, tada bismo to morali ponovno pronaći i u tri pojma; nešto neosjetilno na sebi bi imalo nešto osjetilno. Možemo doduše priznati kako riječi "trokutast" odgovara neka vrsta osjetilnih dojmova, ah pritom tu riječ moramo uzeti kao cjelinu. Tri u tome ne vidimo neposredno, nego vidimo nešto na što možemo nadovezati neku duhovnu djelatnost koja dovodi do suda u kojemu se pojavljuje broj 3. Jer čime uviđamo recimo broj figura zaključaka što ih postavlja Aristotel? Možda očima? Najviše što vidimo jesu neki znakovi za te figure zaključaka, a ne one same. Kako trebamo moći vidjeti njihov broj, ako one same ostaju nevidljive? No možda se misli kako je dovoljno vidjeti znakove; njihov je broj jednak broju figura zaključaka. Odakle se to zna? Za to nam one ipak već moraju biti određene na drugi način. Ili je stavak "broj figura zaključaka jest četiri" samo drugi izraz za "broj znakova figura zaključaka jest četiri"? Ne! Ništa se ne želi iskazati o znakovima, nitko ne želi o znakovima ništa znati, osim ako neko njihovo svojstvo ujedno ne izražava neko svojstvo onoga što je označeno. Budući da bez logičke pogreške isto može imati različite

II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja

51

znakove, broj se znakova uopće ne treba podudarati s brojem onoga označenoga. § 25. Dok je za Milla broj nešto fizikalno, za Lockea i Leibniza on postoji samo u ideji. Dvije jabuke, za razliku od tri jabuke, dva konja, za razliku od tri konja, zapravo su. kako kaže Mill,41 fizikalno različite stvari, međusobno razlučeni fenomeni što su dostupni vidu i opipu.42 No treba li odatle zaključiti kako su dvojstvo. trojstvo nešto fizikalno? Jedan par čizama može biti ista vidljiva i osjetilna pojava kao i dvije čizme. Ovdje imamo brojevnu razliku kojoj ne odgovara nikakva fizikalna razlika, jer dva i jedan par nisu ni u kojemu slučaju isto. kako Mill na čudan način, čini se. vjeruje. Konačno, kako je moguće da se dva pojma fizikalno razlikuju od tri pojma? Tako Berkeley43 kaže: "Valja primijetiti da broj nije ništa fiksno i utvrđeno što bi realno postojalo u stvarima samim. On je u potpunosti tvorevina duha koji razmatra ili ideju po sebi ili neku kombinaciju ideja, kojoj želi dati neko ime čineći tako da vrijedi kao jedinica. Prema tome kako duh varirajući kombinira svoje ideje, varira jedinice i kao što varira jedinice, tako varira i broj, koji je samo skup jedinica. Jedan prozor - 1; jedna kuća u kojoj je mnogo prozora = 1; mnoge kuće čine jedan grad". 41

Na nav. mj., III. knjiga. XXIV. pogl.. § 5.

42

Točno uzevši, valjalo bi dodati: ukoliko su to uopće fenomeni. No ako netko ima jednoga konja u Njemačkoj, a jednoga u Americi (i nijednoga drugoga), onda on posjeduje dva konja. Oni ipak ne tvore nikakav fenomen, nego bi se tako mogao nazvati samo svaki konj za sebe. 43

Baumann, na nav. mj., sv. II. str. 428.

52

OSNOVE ARITMETIKE

Je li broj nešto subjektivno? § 26. U ovomu razmišljanju lako dođemo do toga da broj shvatimo kao nešto subjektivno. Čini se kako način na koji broj u nama nastaje može naznačiti uvid u njegovu bit. Onda bismo dakle došli do psihološkoga istraživanja. U tome smislu dakako Lipschitz 4 kaže: "Tko želi zadobiti pregled nad nekim stvarima, taj će započeti s nekom određenom stvari i uvijek neku novu stvar pridodati prijašnjoj". Čini se da to mnogo bolje odgovara načinu na koji mi dobivamo recimo zor zviježđa nego tvorenju broja. Namjera da se zadobije pregled jest nebitna, jer teško da će se moći reći kako stado postaje pregledno kad se dozna iz koliko se grla sastoji. Takav opis nutarnjih događanja koji prethode donošenju suda o broju nikada ne može, pa i ako je odgovarajući, zamijeniti pravo određenje pojma. On se nikada neće moći uzeti kao dokaz za neki aritmetički stavak; njime ne dozna-jemo nijedno svojstvo brojeva. Jer broj je onoliko malo predmet psihologije ili rezultat psihičkih događanja koliko je to recimo Sjeverno more. Objektivnosti Sjevernoga mora ne nanosi nikakvu štetu činjenica što o našoj volji ovisi koji dio općega vodenoga pokrivača Zemlje omeđimo i želimo obuhvatiti imenom "Sjeverno more". To nije razlog da se to more želi istraživati na psihološki način. Tako je i broj nešto objektivno. Ako kažemo "Sjeverno je more veliko 10 000 kvadratnih milja", onda niti sa "Sjeverno more" niti s "10 000" ne upućujemo na neko stanje ili događanje u našoj nutarnjosti, nego tvrdimo nešto posve objektivno, što je neovisno o našim predodžbama i si. Ako, recimo, drugi put granice Sjevernoga mora povučemo nešto drukčije ih bismo pod "10 000" htjeli razumjeti nešto 44

Lehrbuch der Analysis, str. I. Pretpostavljam da Lipschitz na pameti Ima neko nutarnje događanje.

II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja

53

drugo, onda ne bi bio pogrešan isti sadržaj koji je prije bio ispravan, nego bi na mjesto istinitoga sadržaja bio možda gurnut pogrešan, čime se istina onoga prvoga ni na koji način ne bi dokinula. Botaničar, kada navodi broj latica nekoga cvijeta, kao i kada navodi njegovu boju, želi kazati isto tako nešto činjenično. Jedno ovisi o našoj volji jednako malo kao i drugo. Postoji dakle određena sličnost broja i boje, ah ona se ne sastoji u tome što je oboje osjetilno zamjetljivo na izvanjskim stvarima, nego u tome što je oboje objektivno Ja razlikujem ono objektivno od onoga opipljivoga, onoga prostornoga, onoga zbiljskoga. Zemljina os, središte masa Sunčeva sustava jesu objektivni, no ne bih ih mogao nazvati zbiljskima kao Zemlju samu. Ekvator se često naziva zamišljenom linijom, ah bilo bi pogrešno nazvati ga izmišljenom linijom; on nije nastao mišljenjem, nije rezultat nekoga duševnoga događanja, nego je samo mišljenjem spoznat, dohvaćen. Kada bi bivanje spoznatim bilo nastajanje, tada o njemu ne bismo mogli iskazati ništa pozitivno s obzirom na vrijeme koje je prethodilo tomu tobožnjemu nastajanju. Prostor, prema Kantu, pripada pojavi. Moguće je da se on drugim umnim bićima prikaže posve drukčije nego nama. Da, uopće ne možemo znati da h se on jednome čovjeku pojavljuje onako kao i drugome, jer prostorni zor jednoga ne možemo položiti pored prostornoga zora drugoga da bismo ih usporedili. No ipak je u tome sadržano nešto objektivno. Svi priznajemo iste geometrijske aksiome, pa makar samo činom, a to moramo da bismo se snalaziti u svijetu. Ono objektivno u tome jest ono zakonito, pojmovno, ono prosudljivo, što se dade izraziti u riječima. Ono čisto zorno nije priopćivo. Pretpostavimo, pojašnjenja radi, dva umna bića kojima su zorna samo projektivna svojstva i odnosi: položenost triju točaka na nekome prav-

54

II. Mnijenja nekih pisaca o pojmu broja

OSNOVE ARITMETIKE

cu, četiriju točaka na nekoj površini itd.; neka se jednome kao ravnina pojavljuje ono što drugi zrije kao točku i obrnuto. Ono što je za jednoga pravac koji povezuje točke, drugome je sjecište površina itd., uvijek na odgovarajući način dualno. Tada bi se oni međusobno mogli dobro sporazumjeti i različitost se njihova zrenja nikada ne bi mogla zamijetiti, jer u projektivnoj geometriji svakome poučku odgovara njegov dualni par, a odstupanje u nekoj estetskoj procjeni ne bi bilo nikakav siguran znak. U odnosu na sve geometrijske poučke oni bi posve bili u suglasju, samo bi si riječi različito prevodili u svoj zor. Recimo, s riječju "točka" jedan bi povezivao ovaj, a drugi onaj zor. Stoga se ipak može kazati kako im riječ "točka" znači nešto objektivno; samo, pod tim se značenjem ne smiju razumjeti nikakve posebnosti njihovih zrenja. A u tom je smislu i Zemljina os objektivna. Obično se pod riječju "bijelo" pomišlja na neki osjet koji je, naravno, posve subjektivan; no čini mi se da već u običnoj jezičnoj upotrebi često nastupi objektivan smisao. Ako snijeg nazovemo bijelim, onda želimo izraziti jedno objektivno svojstvo koje se pri običnome danjemu svjetlu spoznaje po nekome osjetu. Pokaže U se on obojenim, onda se to pri prosudbi uzima u obzir. Možda kažemo: on se sada čini crvenim, no on je bijel. I onaj tko je slijep za boje može govoriti o crvenom i zelenom, iako on te boje u osjetu ne razlikuje. On razliku spoznaje time što je prave drugi ili možda nekim fizikalnim pokusom. Tako riječ za boju često ne označuje naš subjektivni osjet, o kojemu ne možemo znati da se podudara s osjetom nekoga drugoga - jer očito je da isti naziv to ne jamči nego objektivno svojstvo. Stoga pod objektivnošću razumijem neovisnost o našemu osjećanju, zrenju i predočivanju, o projiciranju nutarnjih slika iz sjećanja na ranije osjete; no pod objektivnošću ne razumijem i neovisnost o umu, jer odgovoriti na pitanje o tome što su stvari neovisno o umu značilo bi

55

suditi, a da se ne sudi, značilo bi prati se, a da ne smočimo kožu. § 27. Stoga se ne mogu složiti ni sa Schloemilchom, 45 koji broj naziva predodžbom mjesta nekoga objekta u nekome nizu.46 Kad bi broj bio predodžba, tad bi aritmetika bila psihologija. Ona je to toliko malo koliko je to recimo astronomija. Kao što se astronomija ne bavi predodžbama planeta, nego planetima samim., tako ni predmet aritmetike nije nikakva predodžba. Kad bi dva bilo predodžba, tad bi to prije svega bila samo moja predodžba. Predodžba nekoga drugoga već je kao takva neka druga predodžba. Tada bismo možda imah mnoge milijune dvica. Moralo bi se kazati; moje dva, tvoje dva, jedno dva, sva dva. Ako se prihvate latentne ili nesvjesne predodžbe, onda bi se trebale prihvatiti i nesvjesne dvice, koje bi onda kasnije ponovno postale svjesne. Kako se ljudi razvijaju, tako bi uvijek nastajale nove dvice, i tko zna ne bi li se one u tisuću godina tako promijenile da bi 2 x 2 postalo 5. Unatoč tome 45

46

Handbuch der algebraischen Analysis. str. 1.

Tome se može prigovoriti i to da bi se tada kada nastupi isü broj uvijek morala pojaviti Ista predodžba mjesta, što je očito pogrešno. Ono što slijedi ne bi odgovaralo kad bi pod predodžbom htio razumjeti objektivnu ideju; no koja bi tada bila razlika između predodžbe mjesta i mjesta samoga? Predodžba u subjektivnome smislu jest ono na što se odnose psihološki zakoni asocijacije; ona je osjetilna 1 slikovita. Predodžba u objektivnome smislu pripada logici i u biti je neosjetilna, lako riječ koja označuje objektivnu predodžbu u sebi često uključuje i subjektivnu, što ipak nije njezino značenje. Za subjektivnu se predodžbu često dade pokazati da je različita u različitih ljudi, dok je objektivna predodžba za sve ista. Objektivne se predodžbe mogu podijeliti u predmete i pojmove. Da bih izbjegao zbrku, riječ "predodžba" upotrebljavat ću samo u subjektivnome smislu. Povezujući s tom riječju oba značenja Kant je svojemu nauku dao vrlo subjekdvnu, idealističku boju te otežao da se pogodi njegovo pravo mnijenje. Razlika što smo je ovdje povukli opravdana je isto koliko i razlika između psihologije i logike. Njih uvijek valja posve strogo razlikovati.

56

III. Mnijenja o jedinici i broju jedan

OSNOVEARITMETIKE

bilo bi dvojbeno bi li, kao što se obično misli, bilo beskonačno mnogo brojeva. Možda bi IO10 bilo samo prazan znak, te uopće ni u kojemu biću ne bi bilo predodžbe koja bi se tako mogla nazvati. Vidimo do kakvih čudnovatosti dolazi ako misao da je broj predodžba protegnemo nešto dalje. Dolazimo do zaključka kako broj nije ni prostoran ni fizikalan, poput Millove hrpe šljunka i paprenjaka, a niti subjektivan poput predodžaba, nego je neosjetilan i objektivan. Osnova se objektivnosti ne može nalaziti u osjetilnome dojmu - koji je, kao afekcija naše duše, posve subjektivan - nego, koliko vidim, samo u umu.

57

mogli uvidjeti zajednički sastavni dijelovi, očito je da ne bi nastala ideja broja. Nije stvar u tome da se uopće daju imena, nego u tome da za sebe postane označeno što je u tome broj. Za to je nužno da se on spozna u svojoj posebnosti. Valja obratiti pozornost i na sljedeću razliku. Neki broj nazivaju skupom stvari ili predmeta; drugi, kao već Euklid,48 tumače ga kao skup jedinica. Taj izraz potrebuje posebno razjašnjenje.

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

Bilo bi čudno kad bi se najegzaktnija znanost trebala oslanjati na psihologiju, koja još nesigurno pipka oko sebe.

Izražava li brojka "jedan" svojstvo predmeta? Broj kao skup § 28. Neki pisci broj tumače kao skup, mnoštvo ili množnost. Tu je neprilika u tome što su brojevi 0 i 1 isključeni iz toga pojma. Izrazi "skup", "mnoštvo" i "množnost" prilično su neodređeni: sad se približuju značenju "hrpe", "grupe", "agregata" - pri čemu se pomišlja na prostorno zajedništvo - a sad se upotrebljavaju gotovo jednoznačno s "brojem", samo neodređenije. Stoga se u takvu Objašnjenju ne može naći neko suvislo tumačenje pojma broja. Za oblikovanje broja Thomae47 zahtijeva da se različitim skupovima objekata dadu različita imena. Time se očito pomišlja strože određenje onih skupova objekata za koje je davanje imena samo izvanjski znak. No pitanje je koje je vrste to određenje. Kad bi se za "3 zvijezde", "3 prsta", "7 zvijezda" htjela uvesti imena u kojima se ne bi Elementare Theorie der analytischen Functionen, str. 1.

§ 29. U definicijama što ih Euklid daje na početku 7. knjige Elemenata čini se da on riječju "μονάς" označuje sad neki predmet koji treba brojiti, sad svojstvo takva predmeta, sad broj jedan. Kroza sve to provlači se prijevod "jedinica" [Einheit], no samo zato što se sama ta riječ prelijeva u tim različitim značenjima.* Schröder49 kaže: "Svaka stvar koju treba brojiti nazivlje se jedinicom". Postavlja se pitanje zašto se stvari najprije podvode pod pojam jedinice, a ne da se jednostavno tumači kako je broj skup stvari, čime bismo se ponovno vratili na ono prethodno stajalište. Prije svega, u nazivanju stvari jedinicama moglo bi se htjeti pronaći pobliže određenje time što bi se, sukladno jezičnome obliku, "jedan" razumje48

7. knjiga Elemenata, na početku: Movas έστι, καθ'ην εκαοτον των όντων εν λέγεται. 'Αριθμός δε τό εκ μονάδων σιτγκείμενον ττληθος. 49

Na nav. mj., str. 5.

* [Treba imati na umu da i njemačko 'Einheit' označuje kako 'jedinicu', tako i 'jedinstvo'.]

58

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

OSNOVE ARITMETIKE

lo kao pridjev i "jedan grad" shvatilo kao i "mudar čovjek". Tada bi jedinica bila neki predmet kojemu bi pripadalo svojstvo "jedan" te bi se prema "jedan" odnosila slično kao što se "jedan mudrac" odnosi prema pridjevu "mudar". Razlozima što smo ih gore istaknuli protiv tvrdnje da je broj neko svojstvo stvari valja ovdje dodati još neke posebne. Prije svega, bilo bi čudnovato što svaka stvar ima to svojstvo. Bilo bi nerazumljivo zašto se uopće još nekoj stvari izričito pridaje to svojstvo. Tvrdnja da je Solon mudar smisao dobiva samo mogućnošću da nešto nije mudro. Sadržaj se nekoga pojma smanjuje ako se njegov opseg povećava; ako opseg postane sveobuhvatan, onda sadržaj mora posve iščeznuti. Nije lako zamislivo kako bi jezik došao do toga da stvori pridjev koji uopće ne bi mogao služiti tome da pobliže određuje neki predmet. Kad bismo "jedan čovjek" mogü shvatiti slično kao "mudar čovjek", tada bismo trebali misliti kako bi se "jedan" moglo upotrijebiti i kao predikat, tako da bi se moglo kazati "Solon bijaše jedno" ili "Solon bijaše jedan", isto kao i "Solon bijaše mudar". No iako se može pojaviti i "Solon bijaše jedan", to ipak samo po sebi nije razumljivo. To bi moglo npr. značiti: Solon bijaše jedan mudrac, ako "mudrac" valja dodati iz konteksta. No čini se da "jedan" samo ne može biti predikat.50 To je još razgovjetnije u slučaju množine. Dok se "Solon bijaše mudar" i "Tales bijaše mudar" mogu spojiti u "Solon i Tales bijahu mudri", ne može se kazati "Solon i Tales bijahu jedan". Nemogućnost toga ne bismo mogli uvidjeti kad bi "jedan", isto kao i "mudar", bilo svojstvo kako Solona, tako i Talesa.

50 Postoje izričaji za koje se čini kako tome protuslove; no pri točnijemu ćemo razmatranju iznaći kako valja dodati neku riječ za pojam ili kako se "jedan" ne rabi kao brojka, kako ne treba tvrditi jedinost, nego jedinstvenost.

59

§ 30. S time je u svezi činjenica što nitko nije mogao dati nikakvu definiciju svojstva "jedan". Kada Leibniz51 kaže "jedno je ono što sažimljemo jednim činom razuma", tada on "jedan" objašnjava pomoću njega samoga. A ne bismo li i mnogo mogli sažeti jednim činom razuma? To je Leibniz na istome mjestu i priznao. Slično kaže Baumann:52 "Jedno je ono što shvaćamo kao jedno"; i dalje: "Ono što postavljamo kao točku ih što ne želimo više postaviti kao podijeljeno, to shvaćamo kao jedno; no svako jedno izvanjskoga zora, kako čistoga, tako i empirijskoga, možemo shvatiti i kao mnogo. Svaka je predodžba jedno ako je omeđena od neke druge predodžbe; no u sebi se ona ponovno može razlučiti u mnogo". Tako se ovdje briše svako stvarno ograničenje pojma i sve ovisi ο našemu shvaćanju. Ponovno pitamo: koji smisao može imati pridavanje nekome predmetu svojstva "jedan" ako, već prema shvaćanju, svaki predmet može biti jedno, a može i da ne bude jedno? Kako na nekome tako neodređenome pojmu može počivati znanost koja svoju slavu traži upravo u najvećoj određenosti i točnosti? §31. Iako Baumann53 dopušta da pojam jednoga počiva na nutarnjemu zoru, na gore navedenu mjestu kao obilježja ipak navodi nepodijeljenost i omeđenost. Kada bi ta obilježja odgovarala, tada bismo mogli očekivati da bi i životinje mogle imati neku predodžbu jedinice. Ima li pas pri pogledu na Mjesec neku makar neodređenu predodžbu ο onome što označujemo riječju "jedan"? Teško! A on ipak sigurno razlikuje pojedine predmete: neki drugi pas, njegov gospodar, kamenčić kojim se igra sigurno mu se pojavljuju isto tako omeđeni, za se postojeći, nepodijeljeni kao i nama. 51

Baumann, na nav. mj., sv. II, str. 2; Erdm... str. 8.

52

Na nav. mj.. sv. II. str. 669.

53

Na nav. mj.. sv. II. str. 669.

60

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

OSNOVE ARITMETIKE

On će zamijetiti razliku između toga treba li se braniti od puno pasa ili samo od jednoga, no to je razlika koju je Mill nazvao fizikalnom. Napose bi stvar bila u tome ima li on ο onome zajedničkome, što mi izražujemo riječju "jedan", neku još makar tako nejasnu svijest, npr. u slučajevima kada ga ugrize jedan veći pas i kada progoni jednu mačku. To mi ne izgleda vjerojatnim·. Iz toga zaključujem kako ideja jedinice nije, kao što misli Locke,54 razumu privedena sa svakim izvanjskim objektom i svakom nutarnjom idejom, nego je spoznajemo višim duhovnim moćima, koje nas razlikuju od životinja. Tada svojstva stvari kao što su nepodijeljenost i omeđenost, koje zamjećuju i životinje i mi, ne mogu biti ono bitno u našemu pojmu. § 32. Ipak možemo naslutiti stanovitu vezu. Na to upućuje jezik, time što od "jedan" izvodi "jedini" [einig]. Nešto je utoliko prikladnije da bude shvaćeno kao zaseban predmet što se više razlike u njemu povlače nasuprot razlika prema okolini, što u većoj mjeri preteže nutarnja sveza no sveza s okolinom. Tako "jedini" znači svojstvo koje pobuđuje da se nešto u mišljenju odijeli od okoline i razmotri samo za sebe. Ako francusko "uni" znači "ravan", "gladak", onda se to može i tako objasniti.* I riječ "jedinstvo" rabi se na sličan način kada se govori ο političkome jedinstvu neke zemlje, ο jedinstvu nekoga umjetničkoga djela. No u tome smislu izraz "jedinstvo" [Einheit] pripada manje izrazu "jedan" [Ein] nego što pripada izrazima "jedini" [einig] ili "jedinstven" [einheitlich]. Jer ako kažemo kako Zemlja ima jedan mjesec, onda mjesec time ne želimo proglasiti omeđenim, za se postojećim, nepodijeljenim mje54

55

secom, nego to kažemo u suprotnosti prema onome što je posrijedi u slučaju Venere, Marsa ili Jupitera. U odnosu na omeđenost i nepodijeljenost Jupiterovi bi se mjeseci mogli mjeriti s našim te su oni u tome smislu isto tako jedinstveni. § 33. Neki su pisci nepodijeljenost podigli na razinu nedjeljivosti. G. Kopp56 svaku nerazdjeljivu i za se postojeću pomišljenu osjetilno ili neosjetilno zamjetljivu stvar naziva pojedinačnošću, a pojedinačnosti koje se broje naziva jednima, pri čemu se "jedan" očito upotrebljava u smislu "jedinica". Obrazlažući svoje mnijenje da izvanjske stvari ne predstavljaju stroge jedinice činjenicom da imamo slobodu razmatrati ih kao mnoštvo, Baumann i nerazdvojivost navodi kao obilježje stroge jedinice. Time što se nutarnja povezanost podiže na razinu onoga neuvjetovanoga očito se želi dobiti obilježje jedinice koje je neovisno ο našemu proizvoljnome shvaćanju. Taj pokušaj propada u tome što tada ne preostaje gotovo ništa što bi se moglo nazvati jedinicom i brojiti. Zato se i odmah pravi uzmak pa se kao kriterij ne postavlja sama nerazloživost, nego tek naše pomišljanje nečega kao nerazloživog. No time smo po-novno dospjeli do našega nestalnoga shvaćanja. A postiže U se time nešto da se stvari pomišljaju drukčije negoli jesu? Upravo suprotno! Iz lažne pretpostavke mogu slijediti lažni zaključci. A ako iz nerazdjeljivosti ne želimo ništa zaključiti, što onda ona vrijedi? Ako bez štete možemo odustati od strogosti pojma jedinice, ako to čak i moramo, čemu onda ta strogost? No možda samo ne treba misliti na razdjeljivost. Kao da bi se nedostatkom mišljenja nešto moglo postići! No postoje slučajevi u kojima ne možemo izbjeći da mislimo na razdjeljivost, u kojima zaključak čak ovisi ο načinu na koji je jedinica razdijeljena, npr. u zadatku: ako jedan dan ima 24 sata, koliko sati imaju 3 dana?

Baumann, na nav. mj.. sv. I, str. 409. [Fr. 'uni' znači 1 'ravan',

'gladak' 1 'jednostavan' i 'složan'.] Ο povijesti riječi "jedinstvo" usp. Eucken. Geschichte der philosophischen Terminologie, str. 122-123. str. 136. str. 220.

61

56

Schularithmetik. Eisenach, 1867. str. 5 1 6.

62

OSNOVE ARITMETIKE

Jesu li jedinice međusobno jednake? § 34. Tako ne uspijeva nijedan pokušaj da se objasni svojstvo "jedan" te moramo odustati od toga da u označivanju stvari kao jedinica vidimo neko pobliže određenje. Ponovno se vraćamo na naše pitanje: zašto se stvari nazivlju jedinicama kad je "jedinica" samo drugo ime za stvar, kad su sve stvari jedinice odnosno mogu se shvatiti kao jedinice? E. Schröder 57 kao razlog navodi jednakost koja se pripisuje objektima brojenja. Prije svega, nije vidljivo zašto to jednako tako dobro ne mogu naznačiti riječi "stvar" i "predmet". Tada se postavlja pitanje: zašto se predmetima brojenja pripisuje jednakost? Da li se ona njima samo pripisuje, ih su oni zbilja jednaki? U svakome slučaju, dva predmeta nikada nisu posve jednaki. S druge strane, gotovo se uvijek može pronaći vid u kojemu se dva predmeta podudaraju. Ako, nasuprot istini, stvarima želimo pripisati jednakost koja nadilazi onu što im pripada, onda ponovno dolazimo do našega proizvoljnoga shvaćanja. Mnogi pisci zapravo bez ograničenja jedinice nazivaju jednakima. Hobbes kaže: "Broj, apsolutno iskazan, u matematici pretpostavlja jednake jedinice, iz kojih se uspostavlja". Hume59 sastavne dijelove kvantitete i broja drži posve jednakovrsnima. Thomae60 individuum naziva skupom jedinica i kaže: "Jedinice su međusobno jednake". Isto tako ih, štoviše, ispravnije moglo bi se kazati: individue skupa međusobno su različite. Sto ta navodna jednakost treba značiti za broj? Svojstva po kojima se stvari razlikuju za njihov su broj nešto nevažno i tuđe. Zato ih želimo držati po strani. No na ovaj nam način to ne polazi za rukom. Ako se, kako traži Thomae, "apstrahira od osebujnosti indivi-

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

dua nekoga skupa objekata" ili ako se "pri razmatranju odvojenih stvari apstrahiraju obilježja po kojima se stvari razlikuju", onda ne ostaje, kako misli Lipschitz, "pojam broja razmotrenih stvari", nego se dobiva općeniti pojam, pod koji te stvari potpadaju. Same stvari time ne gube ništa od svojih posebnosti. Ako npr. pri promatranju jedne bijele i jedne crne mačke apstrahiram svojstva po kojima se one razlikuju, onda dobivam recimo pojam "mačka". A ako i obje podvedem pod taj pojam i nazovem ih recimo jedinicama, onda bijela mačka ipak još uvijek ostaje bijela, a crna ostaje crna. No time što ne mislim na boje odnosno što iz njihove različitosti ne namjeravam izvlačiti nikakav zaključak mačke ne postaju bezbojne i ostaju različite kakve su i bile. Pojam "mačka", koji je dobiven apstrakcijom, više ne sadrži doduše posebnosti, ah je upravo time samo jedan. § 35. Pukim pojmovnim postupcima ne uspijeva nam različite stvari učiniti jednakima; no kad bi nam to uspjelo, tada više ne bismo imah stvari, nego samo jednu stvar; jer, kako kaže Descartes,61 broj [Zahl] - bolje: množina [Mehrzahl] - u stvarima izvire iz njihova razlikovanja. E. Schröder62 s pravom tvrdi: "Zahtjev da se stvari broje može se na razuman način postaviti samo tamo gdje postoje takvi predmeti koji se jedan od drugoga dadu razgovijetno razlikovati, tj. pojavljuju se prostorno i vremenski razlučeni i omeđeni jedan prema drugome". Zapravo je to ponekad otežano prevelikom sličnošću, npr. u slučaju brojenja letava neke ograde. Posebnom se oštrinom u tome smislu izražuje W. Stanley Jevons:63 "Broj je samo drugo ime za različitost. Točan identitet jest jedinica, a s različitošću nastaje množ-nost". I dalje (str. 157): "Često se kaže kako su jedinice

57

Na nav. mj., str. 4-5. 58 Baumann, na nav. mj.. sv. I, str. 242.

59

Isto, sv. II, str. 568.

60

Na nav. mj.. str. 1.

63

61

Baumann, na nav. mj., sv. I, str. 103.

62

Na nav. mj.. str. 3.

63

The Principles oj Science, 3. izd., str. 156.

64

OSNOVEARITMETIKE

jedinice ukoliko su međusobno potpuno jednake; no iako bi one u nekim vidovima mogle biti potpuno jednake, barem u jednoj točci moraju biti različite, inače se pojam množnosti na njih ne bi mogao primijeniti. Kad bi tri kovanice bile tako jednake da zauzimaju isti prostor u isto vrijeme, tada to ne bi bile tri kovanice, nego jedna kovanica". § 36. No odmah se vidi kako nazor ο različitosti jednota nailazi na nove poteškoće. Jevons objašnjava: "Jedinica (unit) je svaki predmet mišljenja koji se može razlikovati od svakoga drugoga predmeta koji se u istome zadatku smatra jedinicom". Ovdje se jedinica objašnjava putem sebe same, a dodatak "koji se može razlikovati od svakoga drugoga predmeta" ne sadrži nikakvo pobliže određenje, jer je samorazumljiv. Neki predmet nazivamo drugim upravo samo zato što ga možemo razlikovati od prvoga. Jevons64 kaže dalje: "Ako napišem simbol 5, onda zapravo mislim 1 + 1 + 1 + 1 + 1 i potpuno je jasno kako je svaka od ovih jedinica različita od svake druge. Ako je potrebno, mogu to označiti ovako:

Γ + 1" + V" + 1"" + 1"'"." Sigurno da je potrebno da ih različito označimo ako su različite; inače bi nastala najveća zbrka. Kad bi već različita mjesta na kojima se pojavljuje 1 trebala značiti različitost, tada bi se to moralo postaviti kao beziznimno pravilo, jer inače nikada ne bismo znali treba li 1 + 1 značiti 2 ili 1. Tada bismo trebali odbaciti jednakost 1 = 1 te bismo bih u neprilici što istu stvar nikada ne bismo mogli označiti po drugi put. Očito je da to ne ide. No ako različitim 64

Na nav. mj., str. 162.

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

65

stvarima želimo dati različite znakove, onda ne možemo uvidjeti zašto se u tome još uvijek držimo zajedničkoga sastavnoga dijela, a ne da radije umjesto 1' + 1" + 1'" + 1"" + 1'"" pišemo a + b + c + d + e. Jednakost se sada ipak izgubila i naznačivanje stanovite sličnosti ne koristi ništa. Tako nam broj jedan kliže iz ruku; dobivamo predmete sa svim njihovim posebnostima. Ti znakovi, 1', 1", 1'", bjelodan su izraz neprilike: jednakost nam je nužna - zato 1; različitost nam je nužna - zato oznake, koje, nažalost, jednakost ponovno dokidaju. § 37. U drugih pisaca nailazimo na istu teškoću. Locke kaže: "Ponavljanjem ideje jedinice i pridodavanjem nje drugoj jedinici stvaramo kolektivnu ideju koja se označuje riječju 'dva'. A tko to može dalje činiti i tako nastavljati posljednjoj kolektivnoj ideji koju je imao ο nekome broju uvijek dodavajući još jednu i tko tome može dati ime, taj može brojiti". Leibniz 66 broj definira kao 1 i 1 i 1 ih kao jedinice. Hesse67 kaže: "Ako možemo stvoriti predodžbu ο jedinici koja se u algebri označuje znakom 1, ... onda možemo misliti i na neku drugu jednako opravdanu jedinicu i na dalje jedinice iste vrste. Ujedinjenje druge s prvom u cjelinu daje broj 2". 65

Baumann, na nav. mj., sv. I, str. 410-411.

66

Baumann, na nav. mj., sv. II, str. 3.

67

Vier Species, str. 2.

66

OSNOVE ARITMETIKE

Ovdje valja obratiti pozornost na međusobni odnos značenja riječi "jedinica" i "jedan". Leibniz pod jedinicom razumije pojam pod koji potpadaju jedan i jedan i jedan, kao što i kaže: "Ono apstraktno od jedan jest jedinica". Locke i Hesse, čini se. jedinicu i jedan rabe kao da znače isto. U osnovi to zacijelo čini i Leibniz; jer pojedine predmete koji potpadaju pod pojam jedinice skupno nazivljući jedan on tom riječju ne označuje pojedini predmet, nego pojam pod koji potpada. § 38. Da ne bismo dopustili da se zbrka raširi, bit će ipak dobro strogo provoditi razliku između jedinice i jedan. Kada kažemo "broj jedan" [die Zahl Eins], određenim članom naznačujemo određeni, pojedinačni predmet znanstvenoga istraživanja. Ne postoje različiti brojevi jedan, nego samo jedan. U 1 imamo vlastito ime koje je kao takvo nemoguće u pluralu, isto kao i "Friedrich Veliki" ili "kemijski element zlato". Nije slučajna, a niti predstavlja netočan način označivanja činjenica da se 1 piše bez crtice koja bi naznačila različitost. Jednakost 3 - 2 - 1 S. Jevons bi prikazao ovako: (1' + 1" + 1"') - (1" + 1"') = 1'. No što bi bio rezultat od (1' + 1" + 1'") - (1"" + 1'"")? U svakome slučaju ne F. Iz toga proizlazi da bi, prema njegovu shvaćanju, mogli postojati ne samo različiti brojevi jedan, nego i različiti brojevi dva itd.; jer 1"" + 1""' ne bi moglo zastupati 1" + 1"'. Odavde se prilično jasno vidi kako broj nije gomila stvari. Aritmetika bi se dokinula kad

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

67

bismo umjesto broja jedan, koji je uvijek isti, htjeli uvesti različite stvari, koliko im god znakovi bili slični. Učiniti te znakove jednakima također bi bilo pogrešno. Ipak, ne možemo prihvatiti kako je najdublja potreba aritmetike pogrešno zapisivanje. Zato je nemoguće 1 shvatiti kao znak za različite predmete, kao što su Island, Aldebaran, Solon i si. Besmislica toga shvaćanja bit će najočitija ako pomislimo na slučaj jednakosti koja ima tri korijena, naime 2, 5 i 4. Ako se dakle, prema Jevonsu, za 3 piše 1' + 1" + 1"', onda bi 1' - ako se pod Γ, 1", 1'" razumiju jedinice i, sukladno tome, prema Jevonsu, ovdje razmatrani predmeti mišljenja ovdje značilo 2, 1" bi značilo 5, a 1'" bi značilo 4. Ne bi li tada umjesto 1' + 1" + 1'" bilo razumljivije pisati 2 + 5 + 4? Plural je moguć samo za riječi koje označuju pojmove. Ako se dakle govori ο "jedinicama", onda se ta riječ ne može rabiti u istome značenju kao i vlastito ime "jedan", nego kao riječ koja označuje pojam. Ako "jedinica" znači "predmet koji treba brojiti", onda se broj ne može definirati kao jedinice. Ako pod "jedinica" razumijemo pojam koji pod sobom obuhvaća samo broj jedan i ništa drugo, onda plural nema nikakva smisla i ponovno je nemoguće s Leib-nizom broj definirati kao jedinice ili kao 1 i 1 i 1. Ako je "i" upotrijebljeno kao u "Bunsen i Kirchhoff", onda 1 i 1 i 1 nije 3 nego 1, kao što zlato i zlato i zlato nije ništa drugo nego zlato. Znak plus u 1 + 1 + 1 =3

68

III. Mnijenja ο jedinid i broju jedan

OSNOVE ARITMETIKE

mora se dakle shvatiti drukčije nego "i", koje pomaže da se označi skupnost, "kolektivna ideja". § 39. Prema tome, nalazimo se pred sljedećom poteškoćom: Ako hoćemo dopustiti da broj nastaje spajanjem različitih predmeta, onda dobivamo gomilu u kojoj su predmeti sadržani upravo s onim svojstvima po kojima se razlikuju, a to nije broj. Ako, s druge strane, broj želimo stvoriti spajanjem jednakih predmeta, onda se to neprestano stječe u jedno te nikada ne dolazimo do množnosti. Ako s 1 označimo svaki predmet koji treba brojiti, onda je to greška, jer ono što je različito dobiva isti znak. Dodamo li uz 1 razlikovnu crticu, on za aritmetiku postaje neupotrebljiv. Riječ "jedinica" savršeno je prikladna da sakrije tu poteškoću, a to je - makar nesvjestan - razlog zašto se prednost daje njoj, a ne riječima "predmet" i "stvar". Najprije se stvari koje treba brojiti nazivlju jedinicama, pri čemu različitost zadržava svoje pravo; zatim spajanje, skupljanje, ujedinjenje, dodavanje, ili kako se već to želi nazvati, prelaze u pojam aritmetičke adicije, a riječ koja označuje pojam "jedinica" neprimjetno se preobrazuje u vlastito ime "jedan". Tada time dobivamo jednakost. Ako slovu u pridodam n, a njemu d, onda svatko lako vidi kako to nije broj 3. No ako u, n i d podvedem pod pojam "jedinica" i za "u i n i d" sad kažem "jedinica i jedinica i još jedna jedinica" ili " l i l i 1", onda lako povjerujemo kako time imamo 3. Poteškoća se riječju "jedinica" tako lako skriva da je sigurno naslućuje samo malo ljudi. Ovdje Mill s opravdanim prijekorom može govoriti ο umjetnome baratanju jezikom; jer ovdje on nije izvanjska pojava misaonoga događanja, nego ga samo lažno prika-

69

zuje. Ovdje stvarno imamo dojam kao da, budući da ono različito treba postati jednakim samo time što se nazivlje jedinicom, ispražnjenim riječima pripada stanovita tajanstvena snaga. Pokušaji prevladavanja poteškoće § 40. Sada razmotrimo neke izvode koji se prikazuju kao pokušaji rješenja te poteškoće, iako nisu uvijek s jasnom sviješću načinjeni u tu svrhu. Prije svega, u pomoć možemo pozvati jedno svojstvo prostora i vremena. Naime, ako se razmotri sama za sebe, neka se prostorna točka ne može razlikovati od druge, isto kao što se međusobno ne mogu razlikovati dva pravca, ravnine, kongruentna tijela, dijelovi površina ili crta, nego se mogu razlikovati samo u svojemu zajedničkom obitavanju kao sastavni dijelovi skupnoga zora. Tako se čini kako se ovdje jednakost ujedinjuje s mogućnošću razlikovanja. Slično vrijedi i za vrijeme. Stoga dakako i Hobbes 68 mnije kako teško da bi se moglo misliti kako jedinice nastaju drukčije doli dijeljenjem kontinuuma. Thomae69 kaže: "Ako se u prostoru predoči skup individuuma ili jedinica te ih se sukcesivno broji, za što je potrebno vrijeme, onda kao razlikujuće obilježje jedinica pri svoj apstrakciji još uvijek preostaje njihov različit položaj u prostoru i njihov različit slijed u vremenu". Dvojba glede takva načina shvaćanja prije svega je u tome što bi se u tom slučaju ono brojivo ograničilo na prostorno i vremensko. Već Leibniz70 odbacuje mišljenje skolastika kako broj nastaje iz pukoga dijeljenja kon68

Baumann, na nav. mj., sv. I, str. 242.

69

Elementare Theorie der analyt. Functionen, str. 1. 70

Baumann, na nav. mj., sv. II, str. 2.

72

III. Mnijenja o jedinici i broju jedan

OSNOVE ARITMETIKE

§ 43. Vjerojatno da bi izbjegao poteškoće do kojih dolazi S. Jevons, za kojega svaki znak 1 može značiti jedan od predmeta koji se broje, E. Schröder će dopustiti da znak 1 samo odslikava taj predmet. Posljedica je topn da on tumači samo brojku, ne broj. Naime, kaže:74 "ua bismo dobili znak koji može izraziti koliko je takvih jedinica75 prisutno, pozornost se redom usmjeruje svaki put na pojedinu od njih i odslikava se s crticom [jedan, jedno); one se postavljaju u red, no međusobno se povezuju znakom + (plus), budući da bi se inače primjerice 111 prema uobičajenu označivanju brojeva čitalo kao stotinu i jedanaest. Na taj način dobivamo znak kao što je 1 + 1 + 1 + 1 + 1, čija se sastavljenost može opisati time da se kaže: Neki prirodni broj jest zbroj brojeva jedan". Odavde se vidi da je za Schrodera broj znak. Ono što je izraženo tim znakom, a što sam prije nazvao brojem, on riječima "koliko je takvih jedinica prisutno" pretpostavlja kao poznato. Isto tako, pod riječju "jedan" on razumije znak 1, a ne njegovo značenje. Znak + služi mu prije svega samo kao izvanjsko sredstvo povezivanja bez vlastita sadržaja; zbrajanje se tumači tek kasnije. Kraće je mogao kazati ovako: napišimo znakova 1 jedan pored drugoga isto onoliko koliko ima predmeta koje treba brojiti i povežimo ih znakom +. Nula bi se izrazila time da se ne dopise ništa. § 44. Da se razlikovna obilježja stvari ne bi prenijela u broj, S. Jevons kaže:76 74

"Sad će biti pomalo teško izgraditi jasnu predodžbu brojevne apstrakcije. Ona se sastoji u apstrahiranju od karaktera različitosti iz koje proizlazi mnoštvo, tako što ostajemo samo pri njegovoj opstojnosti. Ako govorim ο trima muškarcima, onda ne trebam odmah navesti obilježja svakoga pojedinoga, po kojima se svaki od njih može razlikovati od drugoga. Ta obilježja moraju postojati ako su to zbilja tri muškarca, a ne jedan i isti, a time što ο njima govorim kao ο mnogima ujedno tvrdim opstojnost potrebnih razlika. Apstraktni je broj dakle puka forma različitosti." Kako ovo razumjeti? Možemo ili apstrahirati od razlikovnih svojstava stvari prije nego što ih ujedinimo u jednu cjelinu ih prvo možemo oblikovati cjelinu, a tada apstrahirati od načina razlikovanja. Na prvi način uopće ne bismo došli do razlikovanja stvari te dakle ne bismo mogli utvrditi ni postojanje razlike; čini se da Jevons misli na ovo drugo. No ne vjerujem da bismo tako dobili broj 10000, jer nismo u stanju istodobno shvatiti toliko mnogo razlika i utvrditi njihovo postojanje; jer kad bi se to zbivalo u slijedu, broj nikada ne bi bio gotov. Mi doduše brojimo u vremenu, no time broj ne dobivamo, nego ga samo određujemo. Uostalom, navođenje načina apstrahiranja nije definicija. Što treba pomišljati pod "pukom formom različitosti"? Možda stavak kao što je "a je različito od b", pri čemu α i b ostaju neodređeni? Bi li taj stavak bio recimo broj 2? Znači li stavak

Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, str. 5 1 d. 7o

predmeta koje treba brojiti. 76

73

"Zemlja ima dva pola"

Na nav. mj., str. 158.

isto što i

74

OSNOVE ARITMETIKE

"Sjeverni je pol različit od Južnoga"? Očito ne. Drugi bi stavak mogao postojati bez prvoga, a prvi bez drugoga. Za broj 1000 imali bismo tada 1000 . 999 1 · 2

takvih stavaka koji izražuju različitost. Ono što kaže Jevons naročito nije prikladno za 0 i 1. Od čega zapravo treba apstrahirati da bi se npr. od Mjeseca došlo do broja 1? Apstrahiranjem se zacijelo dobivaju pojmovi pratilac Zemlje, pratilac nekoga planeta, nebesko tijelo bez vlastita svjetla, nebesko tijelo, tijelo, predmet; no na 1 u tome nizu ne možemo naići, jer on nije pojam pod koji bi mogao potpasti pojam Mjeseca. U slučaju 0 uopće nemamo predmet od kojega bismo u apstrahiranju mogli poći. Neka se ne prigovori kako 0 i 1 nisu brojevi u istome smislu kao i 2 i 3! Broj odgovara na pitanje "Koliko?" i ako npr. pitamo "Koliko mjeseca ima ovaj planet?", onda se na odgovor 0 možemo pripremiti isto kao i na odgovor 1 ili 2 ili 3, a da se smisao pitanja ne promijeni. Doduše, broj 0 posjeduje nešto posebno, a isto tako i 1, no to u osnovi vrijedi za svaki cijeli broj, samo kod velikih brojeva uvijek manje upada u oči. Posve je proizvoljno ovdje stvarati neku vrsnu razliku. Ono što nije prikladno za 0 ih 1, to ne može biti bitno za pojam broja. Konačno, pod pretpostavkom ovoga načina nastanka broja uopće se neće ukloniti poteškoća na koju smo naišli kod razmatranja opisa 1' + 1" + 1'" + 1"" + 1'""

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

75

za 5. Ovo zapisivanje stoji u suglasju s onim što Jevons kaže ο apstrakciji koja tvori brojeve; naime, gornje crtice naznačuju da je prisutna različitost, a da ipak ne naznačuju njezinu vrstu. No, kako smo vidjeli, već je puko postojanje različitosti dostatno da se, po Jevonsovu shvaćanju, stvore različite jedinice, dvice, trice, što je posve nespojivo s postojanjem aritmetike. Rješenje poteškoće § 45. Pregledajmo sada ono što smo prije utvrdili te pitanja koja su još ostala neodgovorena. Broj nije apstrahiran od stvari na način boje, težine, čvrstoće, nije svojstvo stvari u onome smislu u kojemu su to boja, težina, čvrstoća. Još ostaje pitanje ο čemu se nešto iskazuje kada se navodi broj. Broj nije ništa fizikalno, ali ni išta subjektivno, nije nikakva predodžba. Broj ne nastaje tako da se stvari pridoda stvar. To ne mijenja ni davanje imena nakon svakoga pridodavanja. Izrazi "mnoštvo", "skup", "množnost" zbog svoje neodređenosti nisu prikladni da posluže za objašnjenje broja. U pogledu broja jedan i jedinice ostaje pitanje kako ograničiti proizvoljnost našega shvaćanja za koje se čini da briše svaku razliku između jednoga i mnogoga. Omeđenost, nepodijeljenost, nerazloživost nisu upotrebljiva obilježja onoga što izražujemo riječju "jedno". Ako stvari koje treba brojiti nazovemo jedinicama, onda je bezuvjetna tvrdnja kako su jedinice jednake pogrešna. Da su u stanovitu pogledu jednake, to je doduše točno, ali

A

76

OSNOVE ARITMETIKE

bezvrijedno. Različitost stvari koje treba brojiti dapače je nužna ako broj treba biti veći od 1. Tako se čini da bismo jedinicama trebali pridati dva protuslovna svojstva: jednakost i mogućnost razlikovanja. Valja povući razliku između broja jedan i jedinice. Riječ "jedan" kao vlastito ime nekoga predmeta matematičkoga istraživanja ne može imati plural. Besmisleno je dakle dopustiti da brojevi nastaju spajanjem jedinica. Znak plus u 1 + 1 = 2 ne može značiti takvo spajanje. § 46. Da bi se stvar rasvijetlila, bit će dobro broj razmotriti u kontekstu suda, gdje i nastupa njegov izvorni način primjene. Ako u pogledu iste izvanjske pojave jednako istinito mogu kazati "ovo je jedna skupina stabala" ili "ovo su pet stabala" ili "tu su četiri odreda" i "ovdje je 500 ljudi", onda se pritom ne mijenja ni pojedinačnost ni cjelina, agregat, nego moje imenovanje. Ono je pak samo znak zamjenjivanja jednoga pojma drugim. Time nam se kao odgovor na prvo pitanje prethodnoga paragrafa nagovješćuje da navođenje broja sadrži iskaz ο nekome pojmu. To je možda najjasnije u slučaju broja 0. Ako kažem 'Venera ima 0 mjeseca", onda uopće ne postoji mjesec ili agregat mjeseca ο kojemu bi se nešto moglo iskazati, nego se time pojmu 'Venerin mjesec" pridaje neko svojstvo, naime svojstvo da pod sobom ne obuhvaća ništa. Ako kažem "carevu kočiju vuku četiri konja", onda broj četiri pridajem pojmu "konj koji vuče carevu kočiju". Ako navođenje broja iskazuje neko svojstvo pojma, onda bi se moglo prigovoriti kako bi pojam npr. "pripadnik njemačkoga carstva", iako njegova obilježja ostaju nepromijenjena, imao to svojstvo promjenljivo od godine do godine. Nasuprot tome može se kazati kako i predmeti mijenjaju svoja svojstva, što ne priječi da ih priznamo kao iste. No razlog se ovdje dade navesti još točnije. Naime, pojam

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

77

"pripadnik njemačkoga carstva" kao promjenljiv sastavni dio sadrži vrijeme, odnosno, da se izrazim matematički, taj je pojam funkcija vremena. Za "a je pripadnik njemačkoga carstva" može se kazati "a pripada njemačkome carstvu", a to se odnosi na upravo sadanju vremensku točku. Tako je dakle u pojmu samome već nešto prolazno. Nasuprot tome, pojmu "pripadnik njemačkoga carstva na početku 1883. godine berlinskoga vremena" za svu vječnost pripada isti broj. § 47. Da navođenje broja izražuje nešto činjenično, neovisno ο našemu shvaćanju može čuditi samo one koji pojam drže za nešto subjektivno, jednako predodžbi. No taj je nazor pogrešan. Ako npr. pojam tijela podredimo pojmu teškoga ili pojam kita pojmu sisavca, onda time tvrdimo nešto objektivno. Kad bi pojmovi bili subjektivni, tada bi podređenost jednoga pojma drugome, kao njihova međusobna veza. također bila nešto subjektivno, kao veza između predodžaba. Naravno, na prvi se pogled čini kako je u rečenici "svi kitovi su sisavci" riječ ο životinjama, a ne ο pojmovima; no ako tkogod pita ο kojim je onda životinjama riječ, ne možemo mu pokazati ni na koju pojedinu. Pretpostavimo li i da je pred nama neki kit, naša rečenica ο tome ipak ne tvrdi ništa. Iz nje se ne bi moglo zaključiti kako je ta životinja sisavac, a da se ne doda rečenica da je ona kit, ο čemu naša rečenica ne sadrži ništa. Uopće, nemoguće je govoriti ο nekome predmetu, a da ga nekako ne označimo ili imenujemo. No riječ "kit" ne imenuje nikakvo pojedinačno biće. Ako na to tkogod uzvrati kako doduše nije riječ ο pojedinačnome, određenome predmetu, ali ipak jest ο neodređenome, onda mislim da je "neodređen predmet" samo drugi izraz za "pojam", i to loš, protuslovan. Iako se naša rečenica može opravdati samo promatranjem pojedinih životinja, to ipak

78

OSNOVE ARITMETIKE

ništa ne dokazuje ο njezinu sadržaju. Za pitanje ο čemu je u njoj riječ nevažno je je li ona istinita ili nije. ili iz kojih je razloga držimo istinitom. Ako je pojam nešto objektivno, onda i iskaz ο njemu može sadržavati nešto činjenično. § 48. Privid da istome pripadaju različiti brojevi, koji se pojavio malo prije kod nekih primjera, objašnjava se time što su predmeti pritom pretpostavljeni kao nositelji broja. Čim istinskoga nositelja, pojam, rabimo ispravno, brojevi se pokazuju u jednakoj mjeri isključujući kao što su to boje na svojemu području. Sada vidimo i kako dolazi do toga da se do broja želi dospjeti apstrakcijom od stvari. Ono što se time dobiva jest pojam, na kojemu se onda otkriva broj. Tako apstrakcija zapravo često prethodi oblikovanju suda ο broju. Zbrka je ista kao kad bi se htjelo kazati: pojam opasnosti od vatre dobiva se time što se kuća gradi iz konstrukcije s tavanom od dasaka i slamnatim krovom čiji je dimnjak propuštan. Sabirajuća snaga pojma daleko nadmašuje ujedinjujuću snagu sintetičke apercepcije. Njome ne bi bilo moguće pripadnike njemačkoga carstva povezati u cjelinu; no oni se zacijelo mogu podvesti pod pojam "pripadnik njemačkoga carstva" i brojiti. Sada se dade objasniti i velika primjenljivost brojeva. Zapravo je zagonetno kako se isto može iskazati ο izvanjskim i ujedno ο nutarnjim pojavama, ο prostornome i vremenskome i ο neprostornome i nevremenskome. No u navođenju broja to uopće nije slučaj. Samo se pojmovima, pod koje se svodi ono izvanjsko i ono nutarnje, ono prostorno i ono vremensko, ono neprostorno i ono nevremen-sko, pridaju brojevi.

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

79

§ 49. Za naš nazor potvrdu nalazimo i u Spinoze, koji kaže: "Odgovaram da se stvar naziva jednom ili jedinstvenom samo u pogledu svoje egzistencije, ali ne u pogledu svoje esencije; jer mi kao brojive stvari zamišljamo samo nakon što smo ih sveli na neku zajedničku mjeru. Tko npr. u ruci drži jedan sesterc i jedan imperijal, taj neće misliti na broj dva ako tome sestercu i tome imperijalu ne može dodijeliti jedno i isto ime, naime zlatnik ih kovanica; tada može potvrditi da ima dva zlatnika ih dvije kovanice, jer imenom kovanica ne označava samo sesterc, nego i imperijal". Kada nastavlja: "Odavde je jasno da se stvar naziva jednom ih jedinstvenom samo nakon što je predočena neka druga stvar, koja se (kako se kaže) s njom podudara" i kada misli da se Bog u navlastitu smislu ne može nazvati jednim ih jedinstvenim, jer od njegove esencije ne možemo oblikovati nikakav apstraktan pojam, tada griješi misleći da se pojam može steći samo neposredno, putem apstrakcije od više predmeta. Štoviše, i od obilježja se može doći do pojma, a tada je moguće da poda nj ne potpada nijedna stvar. Kad toga ne bi bilo, egzistencija se nikada ne bi mogla zanijekati, a time bi i potvrđivanje egzistencije izgubilo svoj sadržaj. § 50. E. Schröder78 naglašuje da ako treba govoriti ο učestalosti neke stvari, onda ime te stvari uvijek mora biti rodno ime, općenita riječ za pojam (notio communis): "Čim se naime neki predmet potpuno uoči - sa svim njegovim svojstvima i odnosima - onda će on stajati pred nama kao jedinstven u svijetu i nigdje neće imati neki sebi jednak. Ime će predmeta tada nositi karakter vlastita imena (no-men proprium), a predmet se ne može pomišljati kao nešto što se opetovano pojavljuje. No to ne vrijedi samo za konkretne predmete, to vrijedi uopće za svaku stvar, pa i ako 77

Baumann., na nav. mj., sv. I, str. 169.

78

Na nav. mj., str. 6.

OSNOVE ARITMETIKE

80

njezina predodžba nastane i apstrakcijama, samo ako ta predodžba u sebi uključuje takve elemente koji su dostatni da dotičnu stvar učine potpuno određenom... Ovo posljednje" (postati objektom brojenja) "kod neke stvari postaje moguće tek ukoliko se neka obilježja ili odnosi što su joj svojstveni, a kojima se ona razlikuje od svih drugih stvari, ne uzmu u obzir ih se od njih apstrahira; tek time onda ime stvari postaje pojmom koji se dade primijeniti na vise stvari". §51. Ono što je u ovome izvodu istinito zaodjeveno je u tako naopake i varljive izraze da je neophodno raspletanje i razgledanje. Prije svega, neprikladno je općenitu riječ za pojam nazvati imenom stvari. Time nastaje privid da je broj svojstvo stvari. Općenita riječ za pojam označuje upravo neki pojam. Ona samo s određenim članom ili pokaznom zamjenicom vrijedi kao vlastito ime neke stvari, no time prestaje vrijediti kao riječ za pojam. Ime neke stvari jest vlastito ime. Predmet se ne pojavljuje opetovano, nego više predmeta potpada pod jedan pojam. Već smo kod Spinoze prigovorili kako pojam ne dobivamo samo apstrakcijom od stvari koje podanj potpadaju. Ovdje dodajem kako pojam ne prestaje biti pojmom time što poda nj potpada samo jedna jedina stvar, koja je, prema tome, njime potpuno određena. Takvu pojmu (npr. Zemljin pratilac) pripada upravo broj 1, koji je u istome smislu broj kao i 2 i 3. U slučaju pojma uvijek se postavlja pitanje potpada li nešto poda nj i što je to otprilike. U slučaju vlastita imena takva su pitanja besmislena. Ne trebamo se dati zavarati time što jezik neko vlastito ime, npr. Mjesec, upotrebljava kao riječ za pojam i obrnuto; usprkos tome, razlika ostaje. Čim se neka riječ upotrijebi s neodređenim članom ili u množini bez člana, ona je riječ koja označuje pojam. § 52. Daljnja se potvrda nazora da se broj pridaje pojmovima može naći u njemačkoj jezičnoj upotrebi, naime

III. Mnijenja ο jedinici i broju jedan

81

u činjenici da se kaže "zehn Mann", "vier Mark", "drei Fass".* Jednina nam ovdje naznačuje da se misli na pojam, a ne na stvar. Dobra strana takva načina izražavanja posebno se ističe u slučaju broja 0. Inače jezik broj pridaje predmetima, a ne pojmu: kaže se "broj smotaka", kao i "težina smotaka". Tako se naizgled govori ο predmetima, dok se zapravo nešto želi iskazati ο nekome pojmu. Ta je jezična upotreba zbunjujuća. Izraz "četiri plemenite ruže" pobuđuje privid kao da "četiri" pobliže određuje pojam "plemenita ruža", isto kao što "plemenita" pobliže određuje pojam "ruža". Ipak, samo je "plemenita" takvo obilježje; riječju "četiri" iskazujemo nešto ο pojmu. § 53. Pod svojstvima što se iskazuju ο pojmu ne razumijem, naravno, obilježja koja ulaze u sastav pojma. To su svojstva stvari koje potpadaju pod pojam, a ne svojstva pojma. Tako "pravokutan" nije svojstvo pojma "pravokutan trokut"; no stavak da ne postoji pravokutan pravocrtan jednakostraničan trokut izriče svojstvo pojma "pravokutan pravocrtan jednakostraničan trokut"; njemu se pridaje broj nula. U ovomu je pogledu egzistencija slična broju. Potvrđivanje egzistencije nije ništa drugo nego nijekanje broja nula. Budući da je egzistencija svojstvo pojma, ontološki dokaz ο egzistenciji Boga ne dostiže cilj. No kao ni egzistencija, ni jedinstvenost nije obilježje pojma "Bog". Jedinstvenost se ne može upotrijebiti za definiciju toga pojma, isto kao što se ni trajnost, prostranost i udobnost neke kuće ne mogu upotrijebiti zajedno s kamenjem, žbukom i gredama pri njezinoj gradnji. Ipak se iz činjenice da je nešto svojstvo nekoga pojma ne može općenito zaključiti kako ono ne bi moglo slijediti iz pojma, tj. iz njegovih [Stvar je u tome što su riječi "Mann" (muškarac). "Mark" (marka) i "Fass" (bure) upotrijebljene u jednini, iako im se pridaje broj veći od jedan - deset, četiri odnosno tri.]

82

OSNOVEARITMETIKE

obilježja. Pod nekim je okolnostima to moguće, kao što se iz vrste građevinskoga materijala kadšto može izvesti zaključak ο postojanosti neke zgrade. Stoga bi bilo previše tvrditi kako se iz obilježja nekoga pojma nikada ne bi moglo zaključiti na jedinstvenost ili egzistenciju; samo, to se ne može nikada dogoditi onako neposredno kao što se obilježje nekoga pojma kao svojstvo dodjeljuje nekome predmetu koji poda nj potpada. Isto bi tako bilo pogrešno nijekati kako bi egzistencija i jedinstvenost ikada mogli biti obilježja pojmova. One samo nisu obilježja onih pojmova kojima bi se, susljedno jeziku, mogle pripisati. Ako se npr. svi pojmovi pod koje potpada samo jedan predmet skupe pod jedan pojam, onda je jedinstvenost obilježje toga pojma. Poda nj bi potpadao npr. pojam "Zemljin mjesec", ali ne tako nazvano nebesko tijelo. Tako neki pojam može potpadati pod viši pojam, takoreći pod pojam drugoga reda. No taj odnos ne treba brkati s odnosom

podređenosti.

§ 54. Sad će biti moguće na zadovoljavajući način objasniti jedinicu. Na str. 7 spomenutoga priručnika E. Schröder kaže: "Ono rodno ime ili pojam naziva se imenom broja koji je oblikovan na navedeni način i taj je pojam jedinica tog broja". Ne bi li zapravo bilo najprikladnije neki pojam nazvati jedinicom u odnosu na broj koji mu pripada? Tada bismo iskazima ο jedinici, kako je ona razlučena od okoline i nedjeljiva, mogli iznaći neki smisao. Jer pojam kojemu se dodjeljuje broj na određeni način općenito izdvaja ono što poda nj potpada. Pojam "slovo riječi broj" izdvaja b u odnosu na r, r u odnosu na ο itd. Pojam "slog riječi broj" riječ ističe kao cjelinu i kao nešto nedjeljivo u tom smislu da dijelovi više ne potpadaju pod pojam "slog riječi broj". Nisu svi pojmovi takvi. Ono što potpada pod pojam crvenoga npr. možemo razdijeliti na mnogostruki način, a da

IV. Pojam broja

83

dijelovi ne prestaju poda nj potpadati. Takvu pojmu ne pripada nikakav konačan broj. Stavak ο izdvojenosti i nedjeljivosti jedinice dade se, prema tome, izraziti ovako: Jedinica u odnosu na neki konačan broj može biti samo takav pojam koji ono što podanj potpada na određeni način izdvaja i ne dopušta nikakvo proizvoljno dijeljenje. No vidljivo je kako nedjeljivost ovdje ima posebno značenje. Sada lako odgovaramo na pitanje kako se jednakost jedinica može pomiriti s mogućnošću njihova razlikovanja. Riječ "jedinica" ovdje je upotrijebljena u dvostruku smislu. Jedinice su jednake u gore objašnjenu značenju te riječi. U stavku "Jupiter ima četiri mjeseca" jedinica je "Jupiterov mjesec". Pod taj pojam potpada i I. i II. i III. i IV. Jupiterov mjesec. Stoga se može kazati: jedinica na koju se odnosi I. ista je jedinica na koju se odnosi II. itd. Ovdje imamo jednakost. Ako pak tvrdimo mogućnost razlikovanja jedinica, onda pod time razumijemo mogućnost razlikovanja brojenih stvari. IV. Pojam broja Svaki je pojedini broj samostalan predmet § 55. Nakon što smo spoznali kako navođenje broja sadrži iskaz ο nekome pojmu, možemo pokušati Leibnizovu definiciju pojedinih brojeva dopuniti definicijom 0 i 1. Gotovo da smo skloni objašnjenju: nekome pojmu pripada broj 0 ako podanj ne potpada nijedan predmet. No čini se kako je ovdje na mjesto 0 stupilo "nijedan", koje znači isto; stoga prednost treba dati sljedećoj formulaciji: nekome pojmu pripada broj 0 ako općenito, što god bilo a, vrijedi stavak da α ne potpada pod taj pojam.

84

OSNOVE ARITMETIKE

Na sličan bi se način moglo kazati: nekome pojmu F pripada broj 1 ako, što god bilo a, općenito ne vrijedi stavak da a ne potpada pod F i ako iz stavaka "a potpada pod F" i "b potpada pod F" općenito slijedi da su a i b isto. Još preostaje da se općenito objasni prijelaz od nekoga broja neposrednome sljedbeniku. Pokušajmo sljedeću formulaciju: pojmu F pripada broj (n + 1) ako postoji predmet a koji potpada pod F i koji je takav da pojmu "ono što potpada pod F, ali nije a" pripada broj n. § 56. Ove nam se definicije prema našim dosadanjim rezultatima nude do te mjere nenametljivo da je potrebno razjašnjenje zašto nas ne mogu zadovoljiti. Dvojbu će ponajprije pobuditi posljednja definicija; jer, točno uzevši, smisao izraza "pojmu G pripada broj n" isto je tako nepoznat kao i smisao izraza "pojmu F pripada broj (n + 1)". Doduše, pomoću posljednje i pretposljednje definicije možemo kazati što znači "pojmu F pripada broj 1 + 1", a potom, koristeći se time, možemo navesti smisao izraza "pojmu F pripada broj 1 + 1 + 1"; itd. no - da damo jedan nezgrapan primjer - našim definicijama nikada ne možemo odlučiti pripada li nekome pojmu broj Julije Cezar, je li taj poznati osvajač Galije broj ili nije. Dalje, pomoću našega pokušaja objašnjenja ne možemo dokazati da mora biti a = b ako pojmu F pripada broj a i ako istome pojmu pripada broj b. Izraz "onaj broj koji pripada pojmu F" ne bi se dakle mogao opravdati te

IV. Pojam broja

85

bi time uopće bilo nemoguće dokazivati jednakost brojeva, jer uopće ne bismo mogli dohvatiti neki određeni broj. Samo je privid da smo objasnili 0, 1; zapravo smo samo utvrdili smisao izričaja "broj 0 pripada", "broj 1 pripada"; no 0 i 1 u tome nije dopušteno razlikovati kao samostalne, prepoznatljive predmete. § 57. Ovdje je mjesto da se nešto pomnije osvrnemo na našu tvrdnju kako navođenje broja sadrži iskaz ο nekome pojmu. U stavku "pojmu F pripada broj 0" 0 je samo dio predikata, ako kao stvarni subjekt uzmemo pojam F. Stoga sam izbjegavao brojeve kao što su 0, 1,2 nazivati svojstvima pojma. Pojedini se broj kao samostalan predmet pojavljuje upravo time što tvori samo dio iskaza. Već sam gore upozorio na činjenicu da se kaže "die 1" te da se određenim članom 1 postavlja kao predmet. Ta se samostalnost pokazuje posvuda u aritmetici, npr. u jednakosti 1 + 1 = 2. Budući da nam je ovdje stalo do toga da pojam broja shvatimo onako kako je on upotrebljiv za znanost, ne treba nas smetati što se u svakodnevnoj jezičnoj upotrebi broj pojavljuje i atributivno. To se uvijek dade izbjeći. Npr. rečenica "Jupiter ima četiri mjeseca" može se preinačiti u "broj Jupiterovih mjeseca jest četiri". Ovdje se "jest" ne smije smatrati pukom kopulom kao u rečenici "nebo je plavo". To se očituje u tome što možemo kazati "broj Jupiterovih mjeseca jest četiri" ili "jest broj 4". Ovdje "jest" ima smisao "jest jednako", "jest isto kao". Imamo dakle jednakost koja tvrdi kako izraz "broj Jupiterovih mjeseca" označuje isti predmet kao i riječ "četiri". A forma jednakosti jest forma koja vlada u aritmetici. Ovo shvaćanje nije osporeno time što u riječi "četiri" nije sadržano ništa ο Jupiteru ili ο mjesecu. Ni u imenu "Kolumbo" ne nalazi se ništa ο

86

87

otkriću ili ο Americi, a ipak se isti čovjek naziva Kolumbom i otkrivačem Amerike.

koja zahtijeva rečenicu u kojoj se pojavljuje ta riječ ili recimo ta riječ kada je izgovorena u sjećanje doziva napisanu.

§ 58. Moglo bi se prigovoriti kako ο predmetu što ga nazivamo četiri ili brojem Jupiterovih mjeseca ne možemo stvoriti nikakvu predodžbu79 kao ο nečemu samostalnome. No za to nije kriva samostalnost što smo je dali broju. Doduše, lako se povjeruje kako u predodžbi ο četiri točke neke igraće kocke postoji nešto što bi odgovaralo riječi "četiri", no to je varka. Pomislimo na zelenu livadu i ispitajmo mijenja li se predodžba ako se našim riječima doda brojka "jedan". Time se ne dodaje ništa, dok riječi "zelena" ipak odgovara nešto u predodžbi. Predočimo li otisnutu riječ "zlato", isprve pritom ne pomišljamo ni na kakav broj. Pitamo li potom iz koliko se slova ona sastoji, proizlazi broj 5; no predodžba time ne postaje recimo određenija, nego može ostati posve nepromijenjena. Pojam koji se dodaje, "slovo riječi zlato", upravo je ono u čemu otkrivamo broj. U slučaju četiriju točaka neke kocke stvar je nešto skrivenija jer nam se sličnošću točaka pojam tako neposredno nameće da teško da usred toga zamjećujemo njegovo pojavljivanje. Broj se ne može predočiti ni kao samostalan predmet ni kao svojstvo na nekoj izvanjskoj stvari, jer on nije niti nešto osjetilno niti je svojstvo neke izvanjske stvari. Stvar je vjerojatno najrazgovjetnija u slučaju broja 0. Uzalud ćemo pokušavati predočiti 0 vidljivih zvijezda. Doduše, nebo možemo pomišljati posve naoblačeno, no u tome nema ničega što bi odgovaralo riječi "zvijezda" ili 0. Predočujemo si samo neko stanje stvari koje može izazvati sud: sada se ne može vidjeti nijedna zvijezda.

To se ne događa samo u slučaju čestica. Nesumnjivo je da nemamo nikakvu predodžbu naše udaljenosti od Sunca. Jer iako znamo pravilo koliko puta moramo umnožiti neko mjerilo, ipak nam ne uspijeva nijedan pokušaj da si prema tome pravilu stvorimo sliku koja se barem u nekoj mjeri približuje onome što želimo. No to nije razlog da posumnjamo u ispravnost računanja na temelju kojega je iznađena ta udaljenost i ni na koji nas način ne priječi da ne utvrdimo daljnje zaključke za postojanje te udaljenosti.

§ 59. Svaka riječ možda izaziva neku predodžbu u nama, čak i takva kao što je "samo"; no ta predodžba ne mora odgovarati sadržaju riječi, u drugih ljudi može biti neka posve druga. Onda ćemo si zacijelo predočiti takvu situaciju 79

"Predodžba" uzeta u smislu nečega slikovnoga.

§ 60. Čak tako konkretnu stvar kao što je Zemlja ne možemo predočiti onakvom kakvom smo je spoznali da jest, nego se zadovoljavamo kuglom umjerene veličine koja nam vrijedi kao znak za Zemlju; no znamo da je ona od Zemlje vrlo različita. Iako naša predodžba često uopće ne pogađa ono što želimo, mi ipak s velikom sigurnošću sudimo ο predmetu kao što je Zemlja i tamo gdje se radi ο veličini. Mišljenjem smo uopće često dovedeni iznad onoga predočivoga, a da time nismo izgubili osnove za naše zaključivanje. Iako je, kako se čini, nama ljudima mišljenje bez predodžaba nemoguće, ipak je njihova sveza s onim mišljenim posve izvanjska, proizvoljna i konvencionalna. Dakle, nepredočivost sadržaja neke riječi nije razlog da joj odreknemo svako značenje ih da je isključimo iz upotrebe. Privid suprotnoga nastaje vjerojatno stoga što riječi razmatramo pojedinačno te kada pitamo ο njihovu značenju za njega uzimamo neku predodžbu. Tako se za neku riječ za koju nam nedostaje odgovarajuća nutarnja slika čini kako nema sadržaj. Pred očima uvijek moramo imati potpunu rečenicu. Zapravo samo u njoj riječi imaju nek

OSNOVE ARITMETIKE

IV. Pojam broja

značenje. Nutarnje slike koje pritom možda imamo pred očima ne moraju odgovarati logičkim sastavnim dijelovima suda. Dovoljno je ako rečenica kao cjelina ima smisao; time i njezini dijelovi dobivaju svoj sadržaj.

No iako ono subjektivno nema nikakva mjesta, kako je moguće da objektivni broj 4 nije nigdje? Tvrdim da u tome nema nikakva protuslovlja. Broj 4 uistinu jest isti za sve koji se njime bave; no to nema nikakve veze s prostornošću. Nema svaki objektivni predmet neko mjesto.

88

Čini mi se da ova napomena može baciti svjetlo na mnoge teške pojmove, kao što je pojam beskonačno malenoga,80 a njezin se domet sigurno ne ograničuje na matematiku. Samostalnost što je zahtijevam za broj ne treba značiti da brojka označuje nešto izvan konteksta nekoga stavka, nego time želim isključiti samo njezinu upotrebu kao predikata ili atributa, čime se njezino značenje ponešto mijenja. § 61. Ali. možda tkogod prigovara, iako je i Zemlja zapravo nepredočiva, ona je ipak izvanjska stvar, koja ima određeno mjesto. No gdje je broj 4? On nije ni izvan nas ni u nama. To je, razumljeno u prostornome smislu, točno. Mjesno određenje broja 4 nema nikakva smisla; no iz toga slijedi samo to da broj 4 nije nikakav prostorni predmet, a ne da on uopće nije nikakav predmet. Nije svaki predmet negdje. Ni naše predodžbe81 nisu u tom smislu u nama (subcutan). U nama su ganglijske stanice, krvna tjelešca i si., ali ne i predodžbe. Prostorni se predikati na njih ne mogu primijeniti: jedna predodžba nije ni desno ni lijevo u odnosu na drugu; predodžbe nisu međusobno u udaljenostima koje se dadu navesti u milimetrima. Ako ipak kažemo kako su u nama, onda ih pritom želimo označiti kao subjektivne. 80

Stvar je u tome da se definira smisao jednakosti kao što

je

df(x) = g(x)dx, a ne da se pokaže na neku dužinu omeđenu dvjema različitim točkama, čija bi duljina bila dx. 81

Razumijemo li tu riječ čisto psihološki, a ne psihofizički.

89

Da bismo došli do pojma broja, moramo utvrditi smisao brojevne jednakosti § 62. Ako ο broju ne možemo imati nikakvu predodžbu ili zor, kako nam onda broj treba biti dan? Riječi nešto znače samo u kontekstu nekoga stavka. Stvar je dakle u tome da se objasni smisao stavka u kojemu se pojavljuje brojka. To ponajprije još više otvara mjesta samovolji. No već smo utvrdili kako pod brojkama valja razumjeti samostalne predmete. Time nam je dana vrsta stavaka koji moraju imati smisao - stavci koji izražuju prepoznavanje tih samostalnih predmeta. Ako nam znak a treba označivati neki predmet, onda moramo imati kriterij koji posvuda odlučuje je li b isto što i a, iako nije uvijek u našoj moći da taj kriterij primijenimo. U našemu slučaju moramo objasniti smisao stavka "broj koji pripada pojmu F isti je broj koji pripada pojmu G"; tj. sadržaj toga stavka moramo prikazati na drugi način, ne upotrijebivši izraz "broj koji pripada pojmu F". Time navodimo općeniti kriterij jednakosti brojeva. Nakon što smo se tako domogli sredstva da određeni broj shvatimo i da ga prepoznamo kao istoga, možemo mu kao vlastito ime dati neku brojku.

90

OSNOVE ARITMETIKE

IV. Pojam broja

91

82

§ 63. Takvo sredstvo spominje već Hume: "Ako se dva broja tako kombiniraju da jedan uvijek ima jedinicu koja odgovara svakoj jedinici drugoga, onda ih proglašavamo jednakima". Čini se da je u novije doba među matematičarima83 naišlo na odobravanje mnijenje da se jednakost brojeva mora definirati pomoću jednoznačnoga pridruživanja. No pojavljuju se u prvom redu logičke dvojbe i poteškoće, koje ne možemo mimoići bez ispitivanja. Odnos se jednakosti ne pojavljuje samo kod brojeva. Čini se kako iz toga slijedi da se taj odnos ne može posebno objasniti za ovaj slučaj. Valja misliti da je pojam jednakosti već prije utvrđen te da bi onda iz njega i pojma broja moralo proizići kada su brojevi međusobno jednaki, a da za to nije potrebna još jedna posebna definicija. Nasuprot tome valja primijetiti da za nas pojam broja još nije utvrđen, nego treba biti određen tek pomoću naše definicije. Naša je namjera oblikovati sadržaj nekoga suda koji se dade shvatiti kao jednakost tako da je svaka strana te jednakosti neki broj. Ne želimo dakle jednakost objasniti posebno za taj slučaj, nego pomoću već poznatoga pojma jednakosti steći ono što valja smatrati jednakim. Naravno, čini se kako je to jedna vrlo neobična vrsta definicije, za koju logičari zacijelo smatraju kako još nije zadovoljavajuća; no neki bi primjeri mogli pokazati da nije i nečuvena.

Bauniann, na nav. mj.. sv. II. str. 565. 82 83

Usp. E. Schröder, na nav. mj.. str. 7 1 8; E. Kossak. Die Elemente der Arithmetik, Programm des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums. Berlin, 1872, str. 16; G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen MannichfaUigkeitslehre. Leipzig. 1883.

§ 64. Sud "pravac a paralelan je s pravcem b", u znakovima α // b. može se shvatiti kao jednakost. Ako tako učinimo, dobivamo pojam smjera i kažemo: "smjer pravca a jednak je smjeru pravca b". Dakle, znak // zamjenjujemo općenitijim znakom = razdjeljujući posebni sadržaj prvoga na a i b. Sadržaj razdvajamo na drukčiji način nego što je izvorni i time dobivamo novi pojam. Naravno, stvar se često shvaća obrnuto i mnogi učitelji definiraju: paralelni su oni pravci koji imaju isti smjer. Stavak "ako su dva pravca paralelni s trećim, onda su oni međusobno paralelni" dade se tada vrlo prikladno dokazati pozivanjem na stavak ο jednakosti koji glasi slično. Samo. šteta što se istinita činjenica time postavlja na glavu! Jer sve geometrijsko ipak mora izvorno biti zorno. Sad pitam: ima li netko zor ο smjeru pravca? Samo ο pravcu! No razlikuje li se u zoru od toga pravca još i njegov smjer? Teško! Taj pojam iznalazimo tek duhovnom djelatnošću povezanom sa zrenjem. Nasuprot tome, imamo predodžbu ο paralelnim pravcima. Onaj dokaz nastaje samo varljivom zamjenom, time što je ono što valja dokazati pretpostavljeno upotrebom riječi "smjer"; jer kad bi stavak "ako su dva pravca paralelni s trećim, onda su oni međusobno paralelni" bio netočan, onda se a // b ne bi moglo preinačiti u jednakost. Na taj se način iz paralelizma površina može dobiti pojam koji odgovara pojmu smjera kod pravaca. Za to sam naišao na ime "položaj". Iz geometrijske sličnosti proizlazi pojam oblika, tako da se npr. umjesto "dva su trokuta slični" kaže "dva trokuta imaju isti oblik" ili "oblik jednoga trokuta jednak je obliku drugoga". Tako se i iz kolineacijama vezane

geometrijske tvorevine može dobiti pojam za koji još nedostaje ime.

92

IV. Pojam broja

OSNOVE ARITMETIKE

§ 65. Da bismo npr. od paralelizma došli do pojma smjera, ispitajmo sljedeću definiciju. Neka stavak ·

"pravac a paralelan je s pravcem b"

znači isto što i stavak • "smjer pravca a jednak je smjeru pravca b". Ova definicija od uobičajene odstupa utoliko što ona naizgled određuje već poznati odnos jednakosti, dok zapravo baš ona treba uvesti izraz "smjer pravca a" koji se pojavljuje samo uzgred. Iz toga izvire druga dvojba: ne bismo li se takvom postavkom mogli zaplesti u protuslovlje s poznatim zakonima jednakosti? Koji su ti? Oni se kao analitičke istine mogu razviti iz samoga pojma. Leibniz85 definira: "Eadem sunt, quorum unum potest substitui alteri salva veritate". Ja ovu definiciju jednakosti prihvaćam. Sporedno je kažemo li "isto", kao Leibniz, ili "jednako". Doduše, čini se da "isto" označuje potpuno podudaranje, a "jednako" samo podudaranje u ovome ili onome pogledu; no možemo prihvatiti takvu formulaciju da ta razlika otpada time što npr. umjesto "putovi su u duljini jednaki" kažemo "duljina putova jest jednaka" ih "ista", umjesto "površine su u boji jednake" "boja površina jest jednaka". A tako smo tu riječ upotrebljavali gore u primjerima. Zapravo su u općenitoj zamjenljivosti sadržani svi zakoni jednakosti. 884 Ovdje govorim ο paralelizmu kako bih se mogao prikladnije izraziti i kako bih bio razumljiviji. Ono bitno u ovim objašnjenjima lako će se moći prenijeti na slučaj jednakosti brojeva. 85

Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm.. str. 94.

93

Da bismo opravdali naš pokušaj definicije smjera nekoga pravca, morali bismo dakle pokazati da se smjer od a uvijek može zamijeniti sa smjer od b ako je pravac a paralelan s pravcem b. To se pojednostavljuje time što se ο smjeru nekoga pravca najprije ne poznaje nijedan drugi iskaz osim podudaranja sa smjerom nekoga drugoga pravca. Trebali bismo dakle samo dokazati zamjenljivost u takvoj jednakosti ili u sadržajima koji bi te jednakosti sadržavali kao sastavne dijelove.86 Svi bi se drugi iskazi ο smjerovima morali tek objasniti i za te definicije možemo postaviti pravilo da zamjenljivost smjera nekoga pravca mora ostati očuvana smjerom nekoga pravca koji je s njim paralelan. § 66. No protiv našega se pokušaja definiranja pojavljuje i treća dvojba. U stavku "smjer od a jednak je smjeru od b" smjer od a pojavljuje se kao predmet 7 i u našoj definiciji imamo sredstvo da taj predmet prepoznamo ako on treba U nekome bi se hipotetičkome sudu npr. jednakost smjerova mogla pojaviti kao uvjet ili posljedica. To naznačuje određeni član [u izrazu "die Richtung von α" ("smjer od α")]. Pojam je za me mogući predikat nekoga singularnoga prosudljivoga sadržaja, a predmet je njegov mogući subjekt. Ako u rečenici "smjer osi teleskopa jednak je smjeru Zemljine osi" smjer osi teleskopa shvatimo kao subjekt, onda je predikat "jednak smjeru Zemljine osi". To je pojam. No smjer Zemljine osi samo je dio predikata; on je predmet, budući da ga možemo učiniti i subjektom.

94

OSNOVEARITMETIKE

IV. Pojam broja

nastupiti u nekom drugom obliku, recimo kao smjer od b. No to sredstvo nije dovoljno za sve slučajeve. Prema njemu se npr. ne može odlučiti je li Engleska isto što i smjer Zemljine osi. Oprostite na tome primjeru koji izgleda besmislen! Naravno, nitko neće Englesku pobrkati sa smjerom Zemljine osi; no za to nije zaslužno naše objašnjenje. Ono ne kaže ništa ο tome treba li stavak

samo na jedan jedini način; jer inače iz toga što g nije uvedeno našom definicijom ne bi slijedilo da ono ne bi moglo biti tako uvedeno. Sve bi se jednakosti svele na to da bi kao isto bilo priznato ono što nam je dano na isti način. No to je tako samorazumljivo i tako neplodno da se ne bi isplatilo ni izreći. Iz toga se zapravo ne bi mogao izvući nikakav zaključak koji bi bio različit od svake od pretpostavaka. Mnogostrana i značajna primjenljivost jednakosti počiva, štoviše, na tome što se nešto može prepoznati iako je dano na različite načine.

"smjer od a jednak je g" potvrditi ili zanijekati, ako g samo nije dano u obliku "smjer od b". Nedostaje nam pojam smjera, jer kad bismo ga imali, tada bismo mogli utvrditi: ako g nije smjer, onda naš stavak valja zanijekati; ako g jest smjer, onda odlučuje ranije objašnjenje. Lako bi se dalo definirati: g je smjer ako postoji pravac b čiji je g smjer. No sada je jasno da smo se vrtjeli u krugu. Da bismo tu definiciju mogli primijeniti, morali bismo već u svakome slučaju znati treba li stavak

"g je jednako smjeru od b" potvrditi ili zanijekati. § 67. Kad bi se htjelo kazati kako je g smjer ako je uveden gore narečenom definicijom, tada bi način na koji je predmet g uveden bio obrađen kao njegovo svojstvo, što taj način nije. Definicija nekoga predmeta kao takva zapravo ne iskazuje ništa ο njemu, nego utvrđuje značenje nekoga znaka. Nakon toga ona se preinačuje u sud u kojemu se radi ο predmetu, no tada ga više ne uvodi te s drugim iskazima ο njemu stoji na istoj liniji. Kad bismo odabrali ovaj put, pretpostavili bismo da predmet može biti dan

95

§ 68. Budući da tako ne možemo dobiti nikakav oštro ograničen pojam smjera i, zbog istih razloga, niti takav pojam broja, pokušajmo jedan drugi način. Ako je pravac α paralelan s pravcem b, onda je opseg pojma "pravac paralelan s pravcem a" jednak opsegu pojma "pravac paralelan s pravcem b" i obrnuto: ako su opsezi spomenutih pojmova jednaki, onda je α paralelno s b. Pokušajmo dakle objasniti: smjer pravca α jest opseg pojma "paralelan s pravcem a"; oblik trokuta d jest opseg pojma "sličan trokutu d". Želimo li to primijeniti na naš slučaj, onda na mjesto pravaca ili trokuta trebamo postaviti pojmove, a na mjesto paralelizma ili sličnosti mogućnost da se predmeti koji potpadaju pod jedan pojam obostrano jednoznačno pridruže onima koji potpadaju pod drugi pojam. Poradi kratkoće ću pojam F nazvati jednakobrojnim pojmu G ako ta mogućnost postoji; no moram zamoliti neka se ta riječ uzme kao proizvoljno izabran način označivanja, čije značenje ne treba uzeti iz jezičnoga konteksta, nego iz ovoga određenja. Prema tome, definiram:

96

OSNOVE ARITMETIKE

IV. Pojam broja 88

broj koji pripada pojmu F jest opseg pojma "jednakobrojan pojmu F". § 69. Isprve će možda biti manje jasno da je ova definicija ispravna. Ne pomišljamo li pod opsegom nekoga pojma nešto drugo? Ono što se pod njim misli vidljivo je iz osnovnih iskaza koji bi se mogli načiniti ο opsezima pojmova. Oni su sljedeći: 1. da su jednaki, 2. da je jedan obuhvatniji od drugoga. Sad je stavak opseg pojma "jednakobrojan pojmu F" jednak je opsegu pojma "jednakobrojan pojmu G" istinit uvijek onda i samo onda ako je istinit i stavak "pojmu F pripada isti broj kao i pojmu G". Ovdje je dakle potpuni sklad. Doduše, ne kažemo kako je jedan broj obuhvatniji od drugoga u onome smislu u kojemu je opseg jednoga pojma

Vjerujem da bi se za "opseg pojma" moglo kazati jednostavno "pojam". No tomu bi se mogle prigovoriti dvije stvari: 1. to stoji u protuslovlju s mojom ranijom tvrdnjom kako je pojedini broj neki predmet, što je naznačeno određenim članom u izrazima kao što je "die Zwei" te nemogućnošću da se ο jedan, dva itd. govori u pluralu, kao i time što broj čini samo jedan dio predikata navođenja broja; 2. moglo bi se prigovoriti kako pojmovi mogu biti istoga opsega, a da se ne podudaraju. Mislim da bi se oba prigovora mogli ukloniti, ali to bi ovdje moglo odvesti predaleko. Pretpostavljam da je poznato što je opseg pojma.

97

obuhvatniji od opsega drugoga pojma; no ne može se ni pojaviti slučaj da je opseg pojma "jednakobrojan pojmu F" obuhvatnije od opsega pojma "jednakobrojan pojmu G"; jer ako su svi pojmovi koji su jednakobrojni pojmu G jednakobrojni i pojmu F, onda su, obrnuto, i svi pojmovi koji su jednakobrojni pojmu F jednakobrojni i pojmu G. Ovo "obuhvatniji" ne smije se, naravno, brkati s "veći" koje se pojavljuje kod brojeva. Dakako da je zamisliv i slučaj u kojemu bi opseg pojma "jednakobrojan pojmu F" bio obuhvatniji ili manje obu-hvatan od nekoga drugoga opsega pojma koji onda, prema našoj definiciji, ne bi mogao biti broj; a nije uobičajeno neki broj nazivati obuhvatnijim ili manje obuhvatnim od opsega nekoga pojma. No, isto tako, ništa ne priječi da se takva formulacija prihvati, u slučaju da se jednom treba pojaviti. Dopuna i dokaz održivosti naše definicije § 70. Definicije dokazuju održivost svojom plodnošću. Takve definicije koje slobodno mogu izostati, a da se ne otvori praznina u izvođenju dokaza valja odbaciti kao potpuno bezvrijedne. Ispitajmo dakle dadu li se poznata svojstva brojeva izvesti iz našega objašnjenja broja koji pripada pojmu F. Zadovoljit ćemo se ovdje s najjednostavnijim. Za to je nužno još nešto točnije shvatiti jednakobrojnost. Objasnili smo je pomoću obostrano jednoznačna pridru-

98

OSNOVE ARITMETIKE

živanja, a sada treba izložiti kako želim razumjeti taj izraz, jer bi se u njemu lako moglo pretpostaviti nešto zorno. Razmotrimo sljedeći primjer. Želi li neki konobar biti siguran da je na stolu onoliko noževa koliko je tanjura, on ne mora brojiti ni jedne ni druge, dovoljno je samo da desno od svakoga tanjura položi nož, tako da se svaki nož na stolu nalazi desno od tanjura. Tanjuri i noževi tako su obostrano jednoznačno međusobno pridruženi, i to jednakim položajnim odnosom. Ako u stavku "a leži desno od A" za a i A pomišljamo umetnute uvijek druge predmete, onda dio sadržaja koji time ostaje nepromijenjen sačinjava bit odnosa. Poopćimo to. Izlučivši a i b iz nekoga prosudljivoga sadržaja u kojemu se radi ο predmetu α i predmetu b, kao preostao dobivamo odnosni pojam koji, prema tome, na dvostruki način potrebuje dopunu. Ako u stavku "Zemlja ima veću masu od Mjeseca" izlučimo "Zemlja", dobivamo pojam "ono što ima veću masu od Mjeseca". Ako, nasuprot tome, izlučimo predmet "Mjesec", dobivamo pojam "ono što ima manju masu od Zemlje". Izlučimo li oboje ujedno, ostaje odnosni pojam koji sam za sebe ima smisao isto tako malo kao i neki jednostavan pojam: on uvijek traži dopunu da bi činio prosudljM sadržaj. No to se može dogoditi na različite načine: umjesto Zemlje i Mjeseca mogu postaviti npr. Sunce i Zemlju, a time će se utjecati i na izlučivanje. Pojedini se parovi pridruženih predmeta odnose na sličan način - moglo bi se kazati kao subjekti - prema odnosnom pojmu kao i pojedini predmet prema pojmu

IV. Pojam broja

99

pod koji potpada. Subjekt je ovdje sastavljen. Kadšto, kada se odnos dade obrnuti, to dolazi do izražaja i jezično, kao u stavku "Pelej i Tetida bijahu Ahilejevi roditelji".89 Nasuprot tome, ne bi npr. bilo lako moguće sadržaj stavka "Zemlja je veća od Mjeseca" prikazati tako da se "Zemlja i Mjesec" pojave kao sastavljeni subjekt, jer ono "i" uvijek naznačuje stanovito izjednačavanje. No to ne mijenja ništa na stvari. Dakle, odnosni pojam, kao jednostavan pojam, pripada čistoj logici. Poseban je sadržaj odnosa ovdje irelevantan; relevantan je jedino logički oblik. A ono što se ο njemu može iskazati, istina toga je analitička i spoznaje se a priori. To vrijedi za odnosne pojmove kao i za druge pojmove. Kao što je "a potpada pod pojam F" općeniti oblik nekoga prosudljivoga sadržaja, u kojemu se radi ο nekome predmetu a, tako se "a stoji u odnosu φ prema b" može uzeti kao općeniti oblik nekoga prosudljivoga sadržaja, u kojemu se radi ο predmetu α i ο predmetu b. § 71. Ako dakle svaki predmet koji potpada pod pojam F stoji u odnosu φ prema nekome predmetu koji potpada pod pojam G i ako prema svakome predmetu koji potpada pod G u odnosu φ stoji neki predmet koji potpada pod F, onda su predmeti koji potpadaju pod F i G međusobno pridruženi odnosom φ. 89

S Uni ne treba pobrkati slučaj u kojemu "1" samo naizgled povezuje subjekte, a zapravo povezuje dvije rečenice.

100

OSNOVEARITMETIKE

Još se može postaviti pitanje što znači izraz

IV. Pojam broja

101

i

"nijedan predmet koji potpada pod F ne stoji prema α u odnosu φ"

"svaki predmet koji potpada pod F stoji u odnosu φ prema nekome predmetu koji potpada pod G" ako pod F ne potpada uopće nijedan predmet. Pod tim razumijem:

ne mogu oba biti istiniti, što god moglo biti a.

stavci

§ 72. Sada smo vidjeli kada se predmeti koji potpadaju pod F i pod G međusobno pridružuju odnosom φ. Το pridruživanje ovdje treba biti obostrano jednoznačno. Pod tim razumijem da vrijede sljedeći stavci:

"a potpada pod F"

"a ne stoji u odnosu φ ni prema kojemu predmetu koji potpada pod G" ne mogu oba biti istiniti, što god značilo a, tako da je lažan ili prvi ili drugi ili oba. Iz toga proizlazi da je "svaki predmet koji potpada pod F stoji u odnosu φ prema nekome predmetu koji potpada pod G" istinito ako ne postoji predmet koji potpada pod F, jer onda prvi stavak, "a potpada pod F", uvijek valja zanijekati, što god bilo a. Isto tako, "prema svakome predmetu koji potpada pod G neki predmet koji potpada pod F stoji u odnosu φ" znači da stavak "a potpada pod G"

1. ako d stoji u odnosu φ prema α i ako d stoji u odnosu φ prema e, onda je općenito, što god mogli biti d, a i e, a isto što i e; 2. ako d stoji u odnosu φ prema α i ako b stoji u odnosu φ prema a, onda je općenito, što god mogli biti d, b i a, d isto što i b. Time smo obostrano jednoznačno pridruživanje sveli na čiste logičke odnose te sada možemo definirati ovako: izraz "pojam F jednakobrojan je pojmu G" znači isto što i izraz "postoji odnos φ koji predmete koji potpadaju pod pojam F obostrano jednoznačno pridružuje predmetima koji potpadaju pod pojam G". Ponavljam: broj koji pripada pojmu F jest opseg pojma "jednakobrojan pojmu F"

OSNOVE ARITMETIKE

IV. Pojam broja

102 i dodajem: izraz "n je broj" znači isto što i izraz "postoji pojam takve vrste da je n broj koji mu pripada". Tako je definiran pojam broja, dakako naizgled sobom samim, no ipak bez greške, jer je "broj koji pripada pojmu F" već definirano. § 73. Sada najprije želimo pokazati da je broj koji pripada pojmu F upravo jednak onome broju koji pripada pojmu G ako je pojam F jednakobrojan pojmu G. Naravno, to zvuči poput tautologije, no to nije tautologija, budući da značenje riječi "jednakobrojan" ne proizlazi iz konteksta, nego iz gore dane definicije. Prema našoj definiciji valja pokazati da je opseg pojma "jednakobrojan pojmu F" isti kao i opseg pojma "jednakobrojan pojmu G" ako je pojam F jednakobrojan pojmu G. Drugim riječima, mora se dokazati da pod tom pretpostavkom općenito vrijede stavci: ako je pojam Η jednakobrojan pojmu F, onda je on jednakobrojan i pojmu G

družuje predmetima koji potpadaju pod pojam G ako postoji odnos φ koji predmete koji potpadaju pod pojam F jednoznačno obostrano pridružuje predmetima koji potpadaju pod pojam G i ako postoji odnos ψ koji predmete koji potpadaju pod pojam Η obostrano jednoznačno pridružuje predmetima koji potpadaju pod pojam F. Sljedeći će poredak slova to učiniti preglednim: Η ψ F φ G. Takav se odnos zapravo može navesti; on leži u sadržaju "postoji predmet prema kojemu c stoji u odnosu ψ i koji prema b stoji u odnosu φ" ako iz njega izlučimo c i b (shvaćene kao točke odnosa). Može se pokazati kako je taj odnos obostrano jednoznačan i kako on predmete koji potpadaju pod pojam Η pridružuje predmetima koji potpadaju pod pojam G. Na sličan se način može dokazati i drugi stavak.90 Te će naznake, nadam se, dostatno pokazati kako osnovu dokaza ne moramo uzimati iz zrenja i kako se s našim definicijama nešto dade učiniti. § 74. Sada možemo prijeći na objašnjenja pojedinih brojeva. Budući da ništa ne potpada pod pojam "nejednak samome sebi", definiram: 0 je broj koji pripada pojmu "nejednak samome sebi". 90

ako je pojam Η jednakobrojan pojmu G, onda je on jednakobrojan i pojmu F. Prvi se stavak svodi na to da postoji odnos koji predmete koji potpadaju pod pojam Η obostrano jednoznačno pri-

103

Tako je 1 obrnuto od toga: ako je broj koji pripada pojmu F isti kao i broj koji pripada pojmu G. onda je pojam F jednakobrojan pojmu G.

104

OSNOVE ARITMETIKE

Možda tkogod prigovori što ovdje govorim ο pojmu. Možda prigovori kako je u tome sadržano protuslovlje i podsjeća na stare znance, drveno željezo i četvrtasti krug. Mislim da oni uopće nisu tako loši kakvima su ih učinili. Oni doduše ne mogu baš biti od neke koristi, ali ne mogu ni štetiti; dovoljno je da ne pretpostavimo kako nešto pod njih potpada, a to još ne činimo njihovom pukom upotrebom. Činjenica da neki pojam sadrži protuslovlje nije uvijek tako očita da ne potrebuje nikakva istraživanja; za to istraživanje pojam tek trebamo imati i logički ga obraditi kao i svakog drugog. Sve što se s logičke strane može tražiti od nekoga pojma, a za strogost izvođenja dokaza, jest oštro ograničenje da je za svaki predmet određeno potpada li pod taj pojam ili ne. Taj zahtjev sasvim zadovoljava pojam koji sadrži protuslovlje, kao što je "nejednak samome sebi", jer za svaki se predmet znade da ne potpada pod takav pojam.91 Riječ "pojam" upotrebljavam na takav način da je "a potpada pod pojam F" općeniti oblik prosudljivoga sadržaja u kojemu se radi ο nekome predmetu α i koji ostaje prosudljiv što god stavimo za α. Α u tom smislu 91

Od toga je posve različita definicija predmeta iz pojma pod koji potpada. Izraz "najveći pravi razlomak" [der grösste ächte Bruch] npr. nema sadržaj, jer određeni član zahtijeva da se pokaže jedan određeni predmet. Nasuprot tome je pojam "razlomak koji je manji od 1 i takav da ga u veličini ne nadmašuje nijedan razlomak koji je manji od 1" posve nedvojben i kako bi se moglo dokazati da ne postoji nijedan takav razlomak potreban je čak i takav pojam, iako on u sebi sadrži protuslovlje. No kad bi se tim pojmom htio odrediü neki predmet koji poda nj potpada, svakako bi bilo nužno prije toga pokazati dvoje: 1. da pod taj pojam potpada neki predmet; 2. da poda nj potpada samo jedan jedini predmet. No budući da je već prvi od ovih stavaka lažan, besmislen je i izraz "najveći pravi razlomak" [der grösste ächte Bruch].

IV. Pojam broja

105

"α potpada pod pojam 'nejednak samome sebi'" znači isto što i "a je nejednako samome sebi" ili "a nije jednako a". Za definiciju 0 mogao sam uzeti svaki drugi pojam pod koji ne potpada ništa. No bilo mi je stalo do toga da izaberem takav ο kojemu se to može dokazati čisto logički, a za to je najprikladniji "nejednak samome sebi", pri čemu dopuštam da za "jednak" vrijedi prije navedeno Leibnizovo objašnjenje, koje je čisto logičko. § 75. Pomoću onoga što je prije utvrđeno sada se mora dati dokazati da je svaki pojam pod koji ne potpada ništa jednakobrojan svakome pojmu pod koji ne potpada ništa i samo takvome, iz čega slijedi da je 0 broj koji pripada takvu pojmu i da nijedan predmet ne potpada pod pojam ako je broj koji tomu pojmu pripada 0. Pretpostavimo li da nijedan predmet ne potpada ni pod pojam F ni pod pojam G, onda nam je, da bismo dokazali njihovu jednakobrojnost, nužan odnos φ, za koji vrijede stavci: svaki predmet koji potpada pod F stoji u odnosu φ prema nekom predmetu koji potpada pod G; prema svakome predmetu koji potpada pod G u odnosu φ stoji neki predmet koji potpada pod F. Prema onome što je ranije kazano [§ 71] ο značenju ovih izraza, te uz naše pretpostavke, svaki odnos ispunjava te uvjete, dakle i jednakost, koja je, povrh toga, i obostrano jednoznačna, jer vrijede oba gore [§ 72] za to tražena stavka.

106

OSNOVEARITMETIKE

IV. Pojam broja 10

Ako, nasuprot tome, pod G potpada neki predmet, npr. a, dok pod

F ne potpada nijedan, onda su stavci "a potpada pod G" i "nijedan predmet koji potpada pod G ne stoji u odnosu φ prema a" istiniti za svaki odnos φ, jer prvi je istinit prema prvoj pretpostavci, a drugi prema drugoj. Ako naime ne postoji nijedan predmet koji potpada pod F, onda ne postoji ni predmet koji bi stajao u bilo kakvu odnosu prema a. Ne postoji dakle odnos koji bi, prema našemu objašnjenju, predmete koji potpadaju pod F pridruživao predmetima koji potpadaju pod G te su, prema tome, pojmovi F i G nejednakobrojni. § 76. Sada želim definirati odnos u kojemu dva susjedna člana niza prirodnih brojeva uvijek stoje jedan prema drugome. Stavak "postoji pojam F i predmet x koji poda nj potpada takav da je n broj koji pripada pojmu F i da je m broj koji pripada pojmu potpada pod F, ali nije jednak s x' " znači isto što i "u nizu prirodnih brojeva n slijedi neposredno iza m". Izbjegavam izraz "n je onaj broj koji neposredno slijedi iza m" [n ist die auf m nächstfolgende Anzahl], jer bi se za opravdanje određenoga člana tek morali dokazati dva

7

stavka.92 Zbog istoga razloga ovdje još ne kažem "n = m + 1", jer se i znakom jednakosti (m + 1) označuje kao predmet. § 77. Da bismo došli do broja 1, moramo prije svega pokazati da postoji nešto što u nizu prirodnih brojeva neposredno slijedi iza 0. Razmotrimo pojam - ili, ako se tako više želi, predikat "jednak 0". Podanj potpada 0. Nasuprot tome, pod pojam "jednak 0, ali nejednak 0" ne potpada nikakav predmet, tako da je 0 broj koji pripada tome pojmu. Prema tome, imamo pojam "jednak 0" i predmet koji poda nj potpada, 0, za koji vrijedi: broj koji pripada pojmu "jednak 0" jednak je broju koji pripada pojmu "jednak 0"; broj koji pripada pojmu "jednak 0, ah ne jednak 0" jest 0. Dakle, prema našoj definiciji [§ 76], broj koji pripada pojmu "jednak 0" u nizu prirodnih brojeva slijedi neposredno iza 0. Ako sad definiramo: 1 je broj koji pripada pojmu "jednak 0", onda posljednji stavak možemo izraziti ovako: u nizu prirodnih brojeva 1 slijedi neposredno iza 0. Možda nije suvišno primijetiti da definicija broja 1 za svoju objektivnu legitimnost ne pretpostavlja nikakvu pro92

Usp. b. na str. 102.

108

OSNOVE ARITMETIKE

IV. Pojam broja

109

matranu činjenicu; jer lako se možemo zbuniti misleći kako moraju biti ispunjeni stanoviti subjektivni uvjeti da bismo mogli načiniti definiciju i da nam za to povoda daju osjetilni opažaji.94 To bi čak i mogao biti slučaj, a da izvedeni stavci ne prestanu biti apriorni. Takvim 'uvjetima pripada npr. i to da krv u dostatnome obilju i ispravne kakvoće struji kroz mozak - barem koliko znamo - no istina je našega posljednjega stavka ο tome neovisna; ona postoji i kada toga više nema; pa i kad bi sva umna bića jednom istodobno trebala zapasti u zimski san. ona ne bi nipošto bila ukinuta, nego bi ostala posve netaknuta. Istina našega stavka nije njegova pomišljenost.

Time još nije kazano da za svaki broj postoji neki drugi koji u brojevnome nizu neposredno slijedi iza njega ili iza kojega on neposredno slijedi.

§ 78. Ovdje navodim neke stavke koje valja dokazati pomoću naših definicija. Čitatelj će lako dokučiti kako se to može učiniti.

§ 79. Da bismo sad mogli dokazati da u nizu prirodnih brojeva iza svakoga broja (n) neposredno slijedi neki broj, moramo pronaći pojam kojemu pripada ovaj posljednji broj. Kao taj pojam izabiremo

1. Ako u prirodnome nizu brojeva a slijedi neposredno iza 0, onda a = 1.

"ono što pripada nizu prirodnih brojeva koji završava s n"

2. Ako je 1 broj koji pripada nekome pojmu, onda postoji predmet koji potpada pod taj pojam. 3. Ako je 1 broj koji pripada nekome pojmu F; ako predmet x potpada pod pojam F i ako y potpada pod pojam F, onda x — y, tj. x je isto što i y. 4. Ako pod pojam F potpada neki predmet i ako se općenito iz toga što x potpada pod pojam F i što y potpada pod pojam F može zaključiti da x - y, onda je 1 broj koji pripada pojmu F. 5. Odnos m prema n, koji je postavljen stavkom

93

Stavak bez općenitosti.

94

Usp. B. Erdmann. Die Axiome der Geometrie, str. 164.

"u nizu prirodnih brojeva η slijedi neposredno iza m" jest obostrano jednoznačan odnos.

6. U nizu prirodnih brojeva svaki broj osim 0 neposredno slijedi iza nekoga broja.

i prvo ga trebamo objasniti. Najprije nešto drukčijim riječima ponavljam definiciju slijeda u nizu što sam je dao u svojemu Pojmopisu. * Stavak "ako svaki predmet prema kojemu x stoji u odnosu φ potpada pod pojam F i ako iz toga što d potpada pod pojam F općenito, što god bilo d, slijedi da svaki predmet prema kojemu d stoji u odnosu φ potpada pod pojam F, onda y potpada pod pojam F, koji god pojam bio F znači isto što i * [Usp. G. Frege, Begriffschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle. 1879, 60 (def. 76).]

110

OSNOVEARITMETIKE

IV. Pojam broja

111

"u φ-nizu y slijedi iza x"

slučaju izvanjskim okolnostima mogli biti spriječeni da prosudimo je li odgovarajući. To je za stvar samu posve nevažno.

"u φ-nizu x prethodi y".

Ne moramo uvijek prijeći sve međučlanove od početnoga člana do nekoga predmeta da bismo bih sigurni da on slijedi za početnim, članom. Ako je npr. dano da u φ-nizu b slijedi iza a, a c iza b, onda, prema našemu objašnjenju, možemo zaključiti da c slijedi iza a bez poznavanja međučlanova.

i

§ 80. Uz ovo neće biti suvišne neke opaske. Budući da je odnos φ ostao neodređen, niz ne treba nužno pomišljati u obliku prostornoga i vremenskoga poretka, iako ti slučajevi nisu isključeni. Možda bismo prirodnijim mogli držati jedno drugo objašnjenje, npr.: ako polazeći od x svoju pozornost uvijek skrećemo od jednoga predmeta na drugi, prema kojemu onaj stoji u odnosu φ, i ako na taj način naposljetku možemo dokučiti y, onda kažemo kako u φ-nizu y slijedi iza x. Ovo je način istraživanja stvari, a ne definicija. Dokučujemo li y premještanjem naše pozornosti, to može ovisiti ο raznim subjektivnim sporednim okolnostima, npr. ο vremenu koje nam stoji na raspolaganju ili ο našemu poznavanju stvari. Da li u φnizu y slijedi iza x, to općenito nema veze s našom pozornošću i uvjetima njezina pomicanja, nego je nešto stvarno, isto kao što zeleni list reflektira neke zrake svjetla, bez obzira na to upadaju li mi u oči i izazivaju li osjete ili ne, isto kao što se zrno soli topi u vodi, bez obzira na to bacam li ga u vodu i promatram li događaj ili ne i kao što je topivo čak i kada uopće nemam mogućnosti s njim prirediti neki pokus. Mojom je definicijom stvar uzdignuta iz područja subjektivnih mogućnosti u područje objektivne određenosti. Zapravo: činjenica da iz stanovitih stavaka slijedi neki drugi jest nešto objektivno, neovisno ο zakonima kretanja naše pozornosti te je zato svejedno izvodimo li mi uistinu zaključak ih ne. Ovdje imamo kriterij koji pitanje rješava svugdje gdje se ono može postaviti, iako bismo u ponekom

Jedino će tom definicijom slijeda u nizu biti moguće način zaključivanja od n na (n. + 1), koji je prividno svojstven matematici, svesti na općenite logičke zakone. § 81. Ako kao odnos φ imamo onaj odnos u kojemu je odnos m prema n postavljen stavkom "u nizu prirodnih brojeva n slijedi neposredno iza m", onda umjesto "φ-niz" kažemo "niz prirodnih brojeva". Dalje definiram: stavak "u φ-nizu y slijedi iza x ili y je isto što i x" znači isto što i "y pripada φ-nizu koji započinje s x" i "x pripada φ-nizu koji završava s y".

112

OSNOVE ARITMETIKE

i prema tome, a pripada nizu prirodnih brojeva koji završava s n ako u nizu prirodnih brojeva n ili slijedi iza a ili je jednako a.95

§ 82. Sada valja pokazati da - pod uvjetom koji još treba navesti - broj koji pripada pojmu "ono što pripada prirodnome nizu brojeva koji završava s n" u prirodnome nizu brojeva neposredno slijedi iza n. Α time je onda dokazano da postoji broj koji u nizu prirodnih brojeva neposredno slijedi iza n, da ne postoji posljednji član toga niza. Očito je da se taj stavak ne može utemeljiti na empirijski način ili indukcijom. Odvelo bi nas predaleko da ovdje dademo sam dokaz. Dostatno je samo ukratko naznačiti njegov tijek. Valja dokazati 1. ako u nizu prirodnih brojeva a neposredno slijedi iza d i ako za d vrijedi: broj koji pripada pojmu "ono što pripada prirodnome nizu brojeva koji završava s d" u nizu prirodnih brojeva neposredno slijedi iza d, onda i za a vrijedi: broj koji pripada pojmu 95 Ako n nije broj. onda jedino n pripada nizu prirodnih brojeva koji završava s n. Ne dajmo se smesti tim izrazom..

IV. Pojam broja

113

"ono što pripada prirodnome nizu brojeva koji završava s a" u nizu prirodnih brojeva slijedi neposredno iza a. Drugo, valja dokazati da za 0 vrijedi ono što je upravo izrečenim stavcima iskazano ο d i a te onda zaključiti da to vrijedi i za n ako n pripada nizu prirodnih brojeva koji započinje s 0. Ovaj je način zaključivanja primjena definicije što sam je dao [§ 79, § 81] za izraz "y u nizu prirodnih brojeva slijedi iza x" time što kao pojam F valja uzeti onaj zajednički iskaz ο d i a, ali s 0 i n uvrštenim za d i a. § 83. Da bismo dokazali stavak (1) prethodnoga §, moramo pokazati da je a broj koji pripada pojmu "ono što pripada nizu prirodnih brojeva koji završava sa, ali nije jednako α". Α za to opet valja dokazati kako je taj pojam istoga opsega kao i pojam "ono što pripada nizu prirodnih brojeva koji završava s d". Za to nam je potreban stavak da nijedan predmet koji pripada nizu prirodnih brojeva što započinje s 0 u nizu prirodnih brojeva ne može slijediti iza samoga sebe. To se isto tako mora dokazati pomoću naše definicije slijeda u nizu, kako je gore naznačena.96

96 Čini se da E. Schröder (na nav. mj., str. 63) taj stavak shvaća kao posljedicu jednoga načina označivanja koji se može zamisliti i drukčije. I ovdje se dade zamijetiti nedostatak koji umanjuje vrijednost čitava njegova istraživanja ove stvari: da se ne zna točno je li broj znak i što je onda njegovo značenje ili je on sam upravo to značenje. Iz toga što se služimo različitim znakovima, tako da se nikada ne vraća Isti, još ne slijedi da ti znakovi znače i nešto različito.

114

IV. Pojam broja

OSNOVEARITMETIKE

Time smo prinuđeni stavku da broj koji pripada pojmu "ono što pripada nizu prirodnih brojeva koji završava s n",

a koji u nizu prirodnih brojeva slijedi neposredno iza n pridodati uvjet da n pripada nizu prirodnih brojeva koji započinje s 0. Za to je upotrebljiv kraći način izražavanja, koji sad objašnjavam: stavak "n pripada nizu prirodnih brojeva koji započinje s 0" znači isto što i "n je konačan broj". Posljednji stavak tada možemo izraziti ovako: u nizu prirodnih brojeva nijedan konačan broj ne slijedi iza sebe samoga. Beskonačni brojevi § 84. Nasuprot konačnima stoje beskonačni brojevi. Broj koji pripada pojmu "konačan broj" jest beskonačan. Označimo ga recimo s beskonačno Kad bi on bio konačan, u nizu prirodnih brojeva ne bi mogao slijediti iza samoga sebe. No može se pokazati da to čini ∞1 U tako definiranu beskonačnome broju ∞ , nema ničega na neki način tajanstvenoga ili začudnoga. "Broj koji pripada pojmu F jest ∞1", ne znači ništa više i ništa manje nego: postoji odnos koji predmete koji potpadaju pod pojam F obostrano jednoznačno pridružuje konačnim bro-

115

jevima. To je, prema našoj definiciji, posve jasan i nedvoznačan smisao i to je dostatno da bi se opravdala upotreba znaka ∞1 i da bi mu se osiguralo značenje. Posve je nevažno što ne možemo stvoriti nikakvu predodžbu ο beskonačnome broju; to bi se ticalo i konačnih brojeva. Na taj način naš broj ∞1 isto je tako određen kao i bilo koji konačan broj; nedvojbeno je da se može prepoznati kao isti i razlikovati od nekoga drugoga. § 85. Nedavno je G. Cantor u jednome pozornosti vrijednome spisu9 uveo beskonačne brojeve. Posve se s njim slažem u prosudbi nazora koji kao zbiljske želi dopustiti da vrijede uopće samo konačni brojevi. Osjetilno zamjetljivi i prostorni nisu ni ti brojevi ni razlomci, ni negativni, iracionalni i kompleksni brojevi; i ako se zbiljskim nazove ono što utječe na osjetila ili što barem ima takve učinke koji bi za svoju bližu ili udaljeniju posljedicu mogli imati osjetilne zamjedbe, onda, naravno, nijedan od tih brojeva nije zbiljski. No mi takve zamjedbe uopće i ne trebamo kao dokazne razloge za naše poučke. Neko ime ili znak koji je uveden logički bez prigovora u našim istraživanjima možemo upotrijebiti bez straha te je tako naš broj °°1 opravdan isto kao i broj dva ili tri. Slažući se u tome, kako vjerujem, s Cantorom, ipak se u nazivlju ponešto od njega udaljujem. Moj broj on naziva "moć", dok se njegov pojam broja98 odnosi na uređaj. Dakako, za konačne brojeve ipak vrijedi neovisnost ο slijedu u nizu, ali, nasuprot tome, to ne vrijedi za beskonačno velike brojeve. No jezična upotreba riječi "broj" i pitanje "Koliko?" ne sadrži nikakvo upućivanje na određeni uređaj. 97

Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, Leipzig, 1883. 98 Može se činiti kako taj izraz protuslovi ranije istaknutoj objektivnosti pojma; no subjektivan je ovdje samo nazivak.

116

V. Zaključak

OSNOVE ARITMETIKE

11 7

Cantorov broj prije odgovara na pitanje "Najkolikiji član u uređaju jest krajnji član?". Stoga mi se čini da se moje nazivlje bolje slaže s jezičnom upotrebom. Ako se proširi značenje neke riječi, onda se mora paziti na to da svoje važenje dobije što je više moguće općenitih stavaka, a pogotovo tako osnovni stavak kao što je za broj to neovisnost ο slijedu u nizu. Mi nismo učinili nužnim uopće nikakvo proširenje, jer naš pojam broja odmah obuhvaća i beskonačne brojeve. § 86. Da bi došao do svojih beskonačnih brojeva, Cantor uvodi odnosni pojam slijeda u uređaju, koji odstupa od mojega "slijeda u nizu". Prema njemu bi npr. uređaj nastao i kad bi se konačni pozitivni cijeli brojevi uredili tako da u svojemu prirodnome nizu neparni brojevi za sebe i isto tako parni za sebe slijede jedan za drugim i kad bi se, nadalje, utvrdilo da svaki parni treba slijediti iza svakoga neparnoga. U tom bi uređaju npr. 0 slijedilo iza 13. No nijedan broj ne bi neposredno prethodio 0. To je slučaj koji se ne može pojaviti u slijedu u nizu kako sam ga ja definirao. Može se strogo dokazati, a da se ne poslužimo nijednim aksiomom zrenja, da ako y u φ-nizu slijedi iza x, onda postoji predmet koji u tome nizu neposredno prethodi y. Čini mi se da još nedostaju točne definicije slijeda u uređaju i Cantorova broja. Stoga se Cantor, tamo gdje treba težiti za dokazom iz definicija i gdje bi on zacijelo bio i moguć, poziva na ponešto otajstven "nutarnji zor" Vjerujem da predviđam kako bi se ti pojmovi dali odrediti. U svakom slučaju, ovim opaskama uopće ne želim napasti njihovo opravdanje i plodnost. Nasuprot tome, u ovim istraživanjima pozdravljam proširenje znanosti, posebno zato stoje njime prokrčen čisto aritmetički put prema višim beskonačno velikim brojevima (moćima).

V. Zaključak § 87. Nadam se da sam u ovome spisu učinio vjerojatnim da su aritmetički zakoni analitički sudovi i, sukladno tome, apriorni. Po tome bi aritmetika bila samo šire izgrađena logika, svaki bi aritmetički stavak bio neki logički zakon, premda izveden. Primjene aritmetike na objašnjenje prirode bile bi logičke razrade promatranih činjenica;" računanje bi bilo izvođenje zaključaka. Za zakone brojeva, da bi se dali primijeniti u izvanjskome svijetu, neće, kako misli Baumann, °° biti nužno praktično opravdanje; jer u izvanjskome svijetu, cjelokupnosti prostornoga, nema pojmova, nema svojstava pojmova, nema brojeva. Dakle, zakoni se brojeva zapravo ne mogu primijeniti na izvanjske stvari: oni nisu zakoni prirode. Ali se svakako dadu primijeniti na sudove koji vrijede za stvari izvanjskoga svijeta: oni su zakoni zakona prirode. Oni ne tvrde svezu između prirodnih pojava, nego svezu između sudova, a njima pripadaju i zakoni prirode. § 88. Kant101 je očito podcijenio vrijednost analitičkih sudova - što je zacijelo posljedica preuskoga određenja toga pojma - iako mu je ovdje upotrijebljen širi pojam, čini se, lebdio pred očima. 102 Uzme li se kao osnova njegova definicija, podjela na analitičke i sintetičke sudove nije potpuna. On misli na slučaj općepotvrdnoga suda. Tada se može govoriti ο pojmu subjekta te pitati je li u njemu - u skladu s definicijom - sadržan pojam predikata. No što već samo promatranje uključuje neku logičku djelatnost. 100

Na nav. mj., sv. II, str. 670.

101

Na nav. mj.. HI, str. 39 1 d [= KrV Β 10-14; hrv. prijevod str. 26-27]. 102

Na str. 43 kaže kako se neki sintetički stavak može shvatiti prema načelu protuslovlja samo ako je pretpostavljen neki drugi sintetički stavak. [Usp. Β 14 1 hrv. prijevod, str. 381.]

118

OSNOVEARITMETIKE

ako je subjekt pojedinačan predmet? Što ako je posrijedi egzistencijalni sud? U tome smislu tada uopće ne može biti riječ ο pojmu subjekta. Čini se da Kant pojam pomišlja određen putem pridodanih obilježja; no to je jedno od najmanje plodnih tvorenja pojma. Pregledamo li gore dane definicije, jedva da ćemo naći jednu takve vrste. Isto vrijedi i za uistinu plodne definicije u matematici, npr. neprekinutosti neke funkcije. Ovdje nemamo niz pridodanih obilježja, nego bližu, mogao bih kazati organskiju povezanost određenja. Razlika se može učiniti zornom pomoću geometrijske slike. Ako se pojmovi (ili njihovi opsezi) predoče područjima neke ravnine, onda pojmu koji je definiran putem pridodanih obilježja odgovara područje koje je svim područjima obilježja zajedničko; on biva okružen dijelovima njihovih omeđenosti. Dakle, u takvoj je definiciji riječ ο tome da se - slikovito govoreći - već dane crte na novi način primijene za omeđenje područja.103 No pritom se ne pojavljuje ništa bitno novo. Plodna određenja pojma povlače granične crte koje još nisu bile dane. Ne može se unaprijed predvidjeti što se iz njih dade zaključiti; pritom se ne može jednostavno ponovno iznijeti iz ormara što se unutra stavilo. Ti zaključci proširuju naša znanja te ih zato, prema Kantu, treba držati sintetičkima; usprkos tome, mogu se dokazati čisto logički te su dakle analitički. Zapravo su sadržani u definicijama, no poput biljke u sjemenu, ne poput balkona u kući. Često je za dokaz nekoga stavka potrebno više definicija, a on, sukladno tome, nije sadržan ni u kojoj pojedinoj, a ipak iz svih zajedno slijedi čisto logički. § 89. Moram protusloviti i općenitosti Kantove104 tvrdnje da nam bez osjetilnosti ne bi bio dan nijedan predmet. Nula, jedan jesu predmeti koji nam ne mogu biti dani osjetimo. I oni koji manje brojeve drže zornima ipak moraju dopustiti da im nijedan od brojeva koji je veći od 103 104

Isto je tako ako su obilježja povezana s "Ili". Na nav. mj., IH, str. 82. [= Β 14 1 hrv. prijevod, str. 49].

V. Zaključak

119

1000(10001000) ne može biti dan zorno, a da mi ipak podosta znamo ο njima. Možda je Kant riječ "predmet" upotrijebio u ponešto drukčijemu smislu; no onda nula, jedan, naš 00 1 posve ispadaju iz njegova razmatranja, jer to nisu ni pojmovi, a i za pojmove Kant traži da im se u zoru pridruži predmet. Kako mi se ne bi prigovorilo zbog sitničavih pokuda upućenih duhu kojega svi možemo gledati samo sa zahvalnim divljenjem, mislim da moram istaknuti i slaganje koje uvelike prevladava. Da dotaknem samo ono što je najbliže: veliku Kantovu zaslugu vidim u tome što je povukao razliku između sintetičkih i analitičkih sudova. Nazvavši geometrijske istine sintetičkima i apriornima otkrio je njihovu pravu bit. A to je još i danas vrijedno ponavljati, jer se još uvijek često krivo shvaća. Ako je Kant i pogriješio u pogledu aritmetike, to, vjerujem, ne nanosi bitnu štetu njegovim zaslugama. Njemu je bilo važno to da postoje sintetički sudovi a priori; od manjeg je značenja pojavljuju li se samo u geometriji ili i u aritmetici. § 90. Ne pripisujem si zaslugu da sam analitičku narav aritmetičkih stavaka učinio nečim višim no vjerojatnim, jer se još uvijek može dvojiti ο tome može li se njihov dokaz izvesti iz čisto logičkih zakona, ne upleće li se negdje neprimjetno dokazna osnova druge vrste. Ta se dvojba ne oslabljuje posve ni naznakama što sam ih dao za dokaz nekih stavaka; on se može pružiti samo neprekinutim nizom zaključaka, tako da se ne događa ni jedan korak koji nije sukladan nekima od malog broja kao čisto logički priznatih načina zaključivanja. Tako dosada jedva da je izveden koji dokaz, jer je matematičar zadovoljan ako je svaki prijelaz na neki novi sud uočen kao ispravan, bez pitanja ο naravi te očevidnosti, je li ona logička ih zorna. Jedan takav korak često je vrlo složen i jednakovrijedan s više jednostavnih zaključaka, pored kojih može uskočiti još i nešto iz zora. To se događa skokovito i iz toga nastaje

OSNOVE ARITMETIKE

120

naizgled bogata mnogostrukost načina zaključivanja u matematici; jer što su veći skokovi, to oni mogu zastupati raznovrsnije kombinacije jednostavnih zaključaka i aksioma zrenja. Unatoč tome, takav nam je prijelaz često neposredno očevidan, a da nismo svjesni međustupnjeva, a budući da se on ne pokazuje kao jedan od priznatih logičkih načina zaključivanja, odmah smo spremni tu očevidnost · zorne i dokučene istine držati sintetičkom, pa i onda ako područje važenja očito prelazi ono zorno. Na taj način nije moguće čisto razdvojiti ono sintetičko, koje počiva na zrenju, od analitičkoga. Ne uspijeva nam ni aksiome zrenja u potpunosti rasporediti tako da se svaki matematički dokaz može izvesti jedino iz tih aksioma prema logičkim zakonima. § 91. Ne može se dakle odbiti zahtjev da se izbjegnu svi skokovi u zaključivanju. Teško mu je udovoljiti zbog dugotrajnosti postupka koji se provodi korak po korak. Svaki samo ponešto zamršeniji dokaz prijeti da postane grdno dugačak. Tomu pridolazi i to što prevelika raznolikost logičkih oblika koji su iskovani u jeziku otežava omeđivanje područja načina zaključivanja koji su dostatni za sve slučajeve i lako se dadu pregledati. Da bih umanjio te neprilike izmislio sam svoj pojmopis. On treba postići veću kratkoću i preglednost izraza te se kretati poput računa u malenome broju čvrstih oblika, tako da ne dođe ni do kojega prijelaza koji nije sukladan pravilima koja su postavljena jednom zauvijek.105 Tada se nijedna dokazna osnova ne može ušuljati neprimjetno. Tako sam, ne posudivši nijedan aksiom iz zrenja, dokazao stavak106 koji bismo na prvi pogled mogli držati sintetičkim, a koji ovdje želim izreći ovako: 105 On ipak treba biti u stanju izraziti ne samo logički oblik, poput Booleova načina označivanja, nego i sadržaj. 106

Begriffschrift. Halle a/S.. 1879, str. 86, formula 133.

V. Zaključak

121

Ako je odnos svakoga člana nekoga niza prema sljedećem članu jednoznačan i ako u tome nizu m i y slijede iza x, onda u tome nizu y prethodi m ili se s njim podudara ili slijedi iza njega. Iz toga se dokaza može vidjeti kako stavci koji proširuju naše znanje mogu sadržavati analitičke sudove.1 Drugi brojevi § 92. Naše smo razmatranje dosada ograničili na kardinalne brojeve [Anzahlen]. Bacimo sada još jedan pogled na druge vrste brojeva i pokušajmo se za to šire područje poslužiti onim što smo spoznali na užemu. Da bi pojasnio smisao pitanja ο mogućnosti nekoga broja, Hankel kaže.:108 "Stvar, supstancija, koja egzistira samostalno izvan mislećega subjekta i objekata koji je uzrokuju, samostalni princip, kao recimo u pitagorovaca - broj to danas više nije. Pitanje se ο egzistenciji brojeva stoga može odnositi samo na misleći subjekt ili na pomišljene objekte, čije odnošaje predstavljaju brojevi. Strogo uzevši, matematičaru kao nemoguće vrijedi samo ono što je logički nemoguće, tj. ono što samome sebi protuslovi. Nije potreban dokaz za to da se u tome 107 Taj će se dokaz još uvijek držati odviše opširnim, što je nedostatak koji možda više no izravnava gotovo bezuvjetnu sigurnost pred greškom ili prazninom. Moj cilj tada bijaše: sve svesti na što je moguće manji broj što jednostavnijih logičkih zakona. Uslijed toga. primijenio sam samo jedan jedini način zaključivanja. No već sam tada u predgovoru (str. VII) upozorio kako bi za širu primjenu bilo preporučljivo dopustiti više načina zaključivanja. To je moguće bez štete po raznolikost niza zaključaka te se tako dade postići značajno skraćivanje. 108

Na nav. mj.. str. 6 i 7.

122

V. Zaključak

OSNOVE ARITMETIKE

smislu nemogući brojevi ne mogu dopustiti. No ako su ti brojevi logički mogući, ako je njihov pojam jasno i potpuno definiran i dakle bez protuslovlja, onda se ono pitanje može svesti samo na to postoji li neki njihov supstrat u području realnoga ili području onoga što je zbiljsko u zrenju, aktualnoga, postoje li objekti na kojima se pojavljuju brojevi, dakle intelektualne sveze određene vrste". § 93. U pogledu prve rečenice može se dvojiti da li, prema Hankelu, brojevi egzistiraju u mislećemu subjektu ili u objektima koji ih uzrokuju ili u obojemu. U prostornome smislu oni u svakome slučaju nisu ni unutar ni izvan niti subjekta niti objekta. Doduše, izvan su subjekta u tome smislu što nisu subjektivni. Dok svatko osjeća samo svoju bol, svoje veselje, svoju glad, može imati svoj osjet zvuka ili boje, brojevi mogu biti zajednički predmeti za mnoge i za sve su upravo isti, a nikako nisu samo više ili manje slična nutarnja stanja različitoga. Kada pitanje ο egzistenciji brojeva Hankel želi vezati uz misleći subjekt, tada ga, čini se, pretvara u psihologijsko, što ono nikako nije. Matematika se ne bavi prirodom naše duše i mora joj biti posve svejedno kako se odgovara na bilo koja psihološka pitanja. § 94. Moramo prigovoriti i tvrdnji da bi matematičaru kao nemoguće vrijedilo samo ono što protuslovi samome sebi. Neki je pojam dopušten i ako mu obilježja sadrže protuslovlje; samo se ne smije pretpostaviti da nešto potpada podanj. No iz činjenice što neki pojam ne sadrži protuslovlje još se ne može zaključiti da podanj nešto potpada. Uostalom, kako treba dokazati da neki pojam ne sadrži protuslovlje? To nipošto nije uvijek odmah jasno; iz činjenice što ne vidimo nikakvo protuslovlje ne slijedi da ga i nema, a potpunost definicije ne daje za to nikakvo svjedočanstvo. Hankel dokazuje da bi neki zatvoren, Na nav. mj., str. 106 i 107.

123

kompleksan sustav brojeva, koji je viši od uobičajenog, a koji bi bio podvrgnut svim zakonima zbrajanja i množenja, sadržavao protuslovlje. To se ipak mora dokazati i nije odmah vidljivo. Prije Hankelova dokaza netko je upotrebom takva sustava brojeva ipak mogao doći do čudesnih rezultata, čije obrazloženje ne bi bilo lošije od onoga što ga σ

110

Hankel daje ο stavcima ο determinantama pomoću alternirajućih brojeva; jer tko jamči da u pojmovima tih brojeva nije sadržano skriveno protuslovlje? I kad bi se neko takvo protuslovlje moglo općenito isključiti za bilo koliko alternirajućih jedinica, još uvijek ne bi slijedilo da takve jedinice postoje. A upravo to trebamo. Uzmimo kao primjer 18. stavak prve knjige Euklidovih Elemenata: U svakome trokutu nasuprot većoj stranici leži veći kut. Da bi to dokazao. Euklid od veće stranice AC oduzima komad AD, koji je jednak manjoj stranici AB, a pritom se poziva na jednu raniju konstrukciju. Kad ne bi bilo takve točke D. dokaz sam po sebi ne bi vrijedio, jer nije dosta da se u pojmu "točka na AC čija je udaljenost od A jednaka AB" ne otkrije nikakvo protuslovlje. Euklid će nadalje Β povezati s D, a činjenica što postoji dužina koja povezuje Β s D jest stavak na koji se dokaz oslanja. § 95. Strogo se neprotuslovnost nekoga pojma može izložiti samo dokazom da nešto poda nj potpada. Obratno bi bilo pogrešno. U tome griješi Hankel111 kad u pogledu jednadžbe x + b = c kaže: "Jasno je da ako je b > c, u nizu 1, 2, 3... ne postoji broj x koji rješava navedeni zadatak; oduzimanje je 110

Na nav. mj.. § 35.

111

Na nav. mj.. str. 5. Slično E. Kossak. na nav. mj.. str. 17

dolje.

124

V. Zaključak

OSNOVE ARITMETIKE

tada nemoguće. Ipak, ništa nas ne sprečava da u tome slučaju razliku (c-b) shvatimo kao znak koji rješava zadatak i s kojim valja operirati upravo onako kao kad bi on bio numerički broj iz niza 1, 2, 3...". Nešto nas svakako sprečava da (2 - 3) bez daljnjega shvatimo kao znak koji rješava zadatak; jer prazan znak ne rješava zadatak, bez nekoga sadržaja on je samo tinta ili tiskarsko crnilo na papiru, kao takav ima fizikalna svojstva, ali nema svojstvo da uvećan za 3 daje 2. To zapravo uopće ne bi bio nikakav znak, a njegova bi upotreba kao takva bila logička pogreška. Ni u slučaju u kojemu je c > b rješenje zadatka nije znak ("c - b"), nego njegov sadržaj. § 96. Isto bi se tako moglo kazati: među dosad poznatim brojevima ne postoji nijedan koji istodobno zadovoljava jednadžbe x + l = 2 i x + 2 = l; no ništa nas ne sprečava da uvedemo znak koji rješava zadatak. Kaže se: zadatak sadrži protuslovlje. Naravno, ako se kao rješenje traži realan ili običan kompleksan broj; no ipak proširimo naš sustav brojeva, stvorimo ipak brojeve koji udovoljavaju zahtjevima! Pričekajmo hoće li nam tko-god dokazati protuslovlje! Tko može znati što je kod tih novih brojeva moguće? Tada naravno nećemo moći održati jednoznačnost oduzimanja; no želimo li uvesti negativne brojeve, moramo napustiti i jednoznačnost vađenja korijena; s kompleksnim brojevima logaritmiranje postaje vi-šeznačno. Stvorimo i brojeve koji omogućuju zbrajanje divergentnih redova! Ne! Ni matematičar ne može stvoriti bilo što, kao ni geograf; i on može samo otkriti ono što postoji te to imenovati.

125

Od ove pogreške boluje formalna teorija razlomaka, negativnih i kompleksnih brojeva.112 Postavlja se zahtjev da se, gdje je moguće, i za nove brojeve koje treba uvesti zadrže poznata pravila računanja, a iz njih se onda izvode općenita svojstva i odnosi. Ako nigdje ne naiđemo na protuslovlje, onda se uvođenje novih brojeva drži opravdanim, kao da protuslovlje ipak ne bi negdje moglo biti skriveno i kao da bi neprotuslovnost već bila egzistencija. § 97. Razlog zbog kojega do te pogreške dolazi tako lako jest nedostatno razlikovanje pojmova i predmeta. Ništa nas ne sprečava da upotrebljavamo pojam "kvadratni korijen iz -1" [Quadratwurzel aus -1], no nemamo bez daljnjega pravo da ispred toga stavimo određeni član te izraz "die Quadratwurzel aus -1" shvatimo kao smislen. Pod pretpostavkom da je i2 = -1 možemo dokazati formulu kojom se sinus nekoga višekratnika kuta α izražava pomoću sinusa i kosinusa samoga a; no ne smijemo zaboraviti da taj stavak onda u sebi sadrži uvjet i2 = -1, koji ne smijemo bez daljnjega ispustiti. Kad uopće ne bi bilo ničega čega kvadrat jest -1, tada, što se našega dokaza tiče, jednakost ne bi trebala biti ispravna,113 jer uvjet i2 = -1 nikada ne bi mogao biti ispunjen, ο čemu ovisi važenje našega dokaza. To bi bilo kao kad bismo se u nekome geometrijskome dokazu poslužili pomoćnom Unijom koja se uopće ne bi mogla povući. § 98. Hankel114 uvodi dvije vrste operacija, koje naziva litičkom i tetickom i koje određuje pomoću nekih svojstava što ih te operacije trebaju imati. Protiv toga se ništa ne može kazati sve dok se ne pretpostavi kako postoje takve 112

Slična je stvar kod Cantorovih beskonačnih brojeva.

113

Na drugi bi se način ona ipak mogla strogo dokazati.

114

Na nav. mj., str. 18.

126

OSNOVE ARITMETIKE

V. Zaključak 116

operacije i predmeti koji mogu biti njihovi rezultati. Kasnije on neku tetičku, potpuno jednoznačnu, asocijativnu operaciju označuje s (a + b), a odgovarajuću, isto tako potpuno jednoznačnu litičku s (a - b). Neku takvu operaciju? Koju? Bilo koju? Onda to nije definicija od (a + b); a ako ne postoji nijedna? Kad riječ "zbrajanje" još ne bi imala nikakvo značenje, logički bi bilo dopušteno kazati: neku takvu operaciju želimo nazvati nekim zbrajanjem [eine Addition]; no ne možemo kazati: neka se takva operacija treba zvati zbrajanjem [die Addition] i označiti je s (a + b) prije nego što se utvrdi da postoji jedna i samo jedna takva operacija. Ne smije se na jednoj strani definicijske jednakosti upotrijebiti neodređeni, a na drugoj određeni član. Hankel bez dvoumljenja kaže i "modul operacije" [der Modul der Operation], a da nije dokazao da postoji jedan i samo jedan takav modul. § 99. Ukratko, ova čisto formalna teorija jest nedostatna. Ono vrijedno u njoj samo je sljedeće. Njome se dokazuje da ako operacije imaju neka svojstva kao što su asocijativnost i komutativnost, onda ο njima vrijede neki stavci. Sad se pokazuje da zbrajanje i množenje, koji su već poznati, imaju ta svojstva, i ο njima se odmah mogu izreći ti stavci, a da se dokaz u svakome pojedinome slučaju ne ponavlja opširno. Tek tom primjenom na drukčije dane operacije dospijevamo do poznatih stavaka aritmetike. No nikako ne smijemo vjerovati da se na taj način mogu uvesti zbrajanje i množenje. Daje se samo naputak za definicije, ne one same. Kaže se: ime "zbrajanje" treba biti dano samo tetičkoj, potpuno jednoznačnoj, asocijativnoj operaciji, čime ono što treba tako nazvati još uopće nije zadano. Prema tome, ništa ne bi stajalo na putu da se množenje nazove 115 = a. 116

To Hankel čini zapravo već uporabom jednakosti Θ (c, b)

Na nav. mj.. str. 29.

127

zbrajanjem te da se označi s (a + b) i nitko ne bi mogao sa sigurnošću kazati je li 2 + 3 5 ili 6. § 100. Ako napustimo ovaj čisto formalni način razmatranja, onda se čini kako se izlaz nudi u okolnosti da se istodobno s uvođenjem novih brojeva proširuje značenje riječi "zbroj" i "umnožak". Uzmemo neki predmet, recimo Mjesec, i tumačimo: Mjesec pomnožen sa samim sobom jest -1. Tada u Mjesecu imamo kvadratni korijen iz -1. Ovo se tumačenje čini dopuštenim, jer iz dosadanjega značenja množenja smisao takva umnoška još uopće ne proizlazi te se, dakle, kod proširenja toga značenja može utvrditi proizvoljno. No trebamo i umnoške nekoga realnoga broja s kvadratnim korijenom iz -1. Izaberimo stoga radije razmak od jedne sekunde za kvadratni korijen iz -1 i označimo ga s i. Tada ćemo pod 3 i razumjeti razmak od 3 sekunde itd.117 Koji ćemo predmet tada označiti recimo s 2 + 3i? Koje bi značenje u tome slučaju bilo dano znaku plus? To se mora utvrditi općenito, što, naravno, neće biti lako. Ipak, pretpostavimo jednom da smo svim znakovima oblika α + bi osigurali smisao, i to takav da vrijede poznati stavci zbrajanja. Tada bismo dalje morali utvrditi da općenito treba biti (a + bi) (c + di) = ac - bd + i (ad + bc), čime bismo dalje odredili množenje.

117

S istim bismo pravom za kvadratni korijen iz -1 mogli izabrati i neki kvantum elektriciteta, neku površinu itd., a tada bi se, naravno, U različiti korijeni morali i različito označiti. Činjenica da se prividno može stvoriti proizvoljno mnogo kvadratnih korijena iz -1 postaje manje čudnovata uzmemo li u obzir da značenje kvadratnoga korijena prije tih određenja nije bilo već nepromjenljivo utvrđeno, nego je određeno tek njima.

OSNOVE ARITMETIKE

V. Zaključak

§ 101. Sada bismo mogli dokazati formulu za cos (na), kad bismo znali da iz jednakosti kompleksnih brojeva slijedi jednakost realnih dijelova. To bi moralo proizići iz smisla od α + bi, za koji smo ovdje pretpostavili kako postoji. Dokaz bi vrijedio za kompleksne brojeve, za njihove zbrojeve i umnoške, samo u onom smislu koji smo utvrdili. Budući da se za cijelo realno n i realno a samo i više ne pojavljuje u jednakosti, pokušajmo zaključiti: dakle, posve je svejedno znači li i jednu sekundu, jedan milimetar ili nešto drugo, dovoljno je samo da vrijede naši stavci ο zbrajanju i množenju; stvar je samo u njima, za ostalo ne trebamo brinuti. Možda se značenje od a + bi, od zbroja i umnoška može utvrditi na različit način, tako da naši stavci i dalje vrijede; no nije svejedno može li se uopće naći ikakav smisao za te izraze.

nevažno ima U "a + bi" neki smisao ili je puko tiskarsko crnilo. Za to nije dosta tražiti da "a + bi" treba imati neki smisao ili kazati kako mu je smisao zbroj od α i bi ako se prije nije objasnilo što u tome slučaju znači "zbroj" i ako se nije opravdala upotreba određenoga člana.

128

§ 102. Često se postupa kao da je već puki zahtjev njegovo ispunjenje. Zahtijeva se da oduzimanje, 118 dijeljenje, korjenovanje uvijek budu izvedivi te se vjeruje kako je time učinjeno dovoljno. Zašto se ne zahtijeva i to da se kroz bilo koje tri točke povuče jedan pravac? Zašto se ne zahtijeva da za trodimenzionalni kompleksni sustav brojeva vrijede svi stavci zbrajanja i množenja kao i za realni? Zato što taj zahtjev sadrži protuslovlje. E, pa dokažimo onda najprije da oni drugi zahtjevi ne sadrže protuslovlje! Prije nego što se to učini, svekolika mnogotražena strogost nije drugo no isprazan privid i magla. U nekome se geometrijskome poučku ne pojavljuje pomoćna crta koja je povučena u svrhu dokaza. Možda je moguće i više njih, ako se npr. neka točka može izabrati proizvoljno. No koliko god svaka pojedina mogla biti nepotrebna, snaga dokaza ipak ovisi ο tome što se može povući bar jedna crta tražene kakvoće. Puki zahtjev nije dostatan. Tako ni u našemu slučaju za snagu dokaza nije 118

• § 103. Gore ispitanoj odredbi smisla od "i" dade se, dakako, puno toga prigovoriti. Na taj način u aritmetiku unosimo nešto posve tuđe - vrijeme. Sekunda ne stoji ni u kakvu nutarnjem odnosu prema realnim brojevima. Stavci koji se dokazuju pomoću kompleksnih brojeva, kad ne bi bilo druge vrste dokaza ili kad se za i ne bi mogao pronaći nikakav drugi smisao, bili bi aposteriorni sudovi ili pak sintetički. Najprije u svakome slučaju moramo pokušati sve stavke aritmetike dokazati kao analitičke. Kada ο kompleksnom broju Kossak119 kaže "To je sastavljena predodžba različitih grupa međusobno jednakih elemenata",120 tada se čini da je time izbjegao upletanje nečega tuđega; no to se čini također samo uslijed neodređenosti izraza. Ne dobivamo uopće nikakav odgovor na pitanje što zapravo znači 1 + i: predodžbu jedne jabuke i jedne krviške ili zubobolje i kostobolje? Ono ipak ne može značiti oboje istodobno, jer tada 1 + i ne bi uvijek bilo jednako 1 + i. Kaže se: to je stvar posebnoga određenja. No onda ni u Kossakovu stavku još uopće nemamo nikakvu definiciju kompleksnoga broja, nego samo općeniti naputak za to. No mi trebamo više; moramo određeno znati što znači "i" i kad bismo slijedeći onaj naputak htjeli kazati "predodžbu jedne kruške", tada bismo u aritmetiku ponovno uveli nešto tuđe. 119 120

Usp. Kossak. na nav. mj., str. 17.

129

Na nav. mj.. str. 17.

Ο izrazu "predodžba" usp. § 27, ο Izrazu "grupa" ono što je kazano ο "agregatu" (§ 23 i § 25). a ο jednakosti elemenata usp. §§ 34-39.

130

OSNOVE ARITMETIKE

V. Zaključak

Ono što običavamo nazivati geometrijskim prikazom kompleksnih brojeva ima pred dosada razmatranim pokušajima barem tu prednost što se u njemu 1 i i ne pojavljuju posve nepovezani i nejednakovrsni, nego što dužina koja se razmatra kao prikaz od i stoji u pravilnu odnosu prema onoj dužini kojom se prikazuje 1. Uostalom, ispravno uzevši, nije točno da time 1 znači neku dužinu, a i neku dužinu jednake veličine koja je na nju okomita, nego "1" posvuda znači isto. Kompleksni broj ovdje pokazuje kako dužina koja vrijedi kao njegov prikaz proizlazi iz dane dužine (jedinične dužine) umnažanjem, dijeljenjem i okretanjem.121 No i nakon toga se svaki poučak čiji se dokaz mora oslanjati na egzistenciju nekoga kompleksnoga broja pojavljuje kao ovisan ο geometrijskome zoru te dakle sintetičan.

uvjeravamo time što se pri uvođenju znaka an za potenciju pokazuje da je njome izražen uvijek jedan i samo jedan pozitivan cijeli broj, ako su a i n pozitivni cijeli brojevi. Otišli bismo predaleko kad bismo ovdje htjeli u potankostima izložiti kako se to događa. Način na koji smo u § 74 objasnili nulu, u § 77 jedan, u § 84 beskonačni broj 00 1 i naznaka dokaza da iza svakoga konačnoga broja u prirodnome nizu brojeva neposredno slijedi neki broj (§§ 82 i 83) omogućit će da se to spozna u svojoj općenitosti.

§ 104. Čime nam onda trebaju biti dani razlomci, iracionalni brojevi i kompleksni brojevi? Uzmemo li u pomoć zor, u aritmetiku uvodimo nešto tuđe; no ako samo pojam takva broja odredimo obilježjima, ako samo zahtijevamo da broj ima neka svojstva, onda ništa ne jamči da nešto potpada pod pojam i odgovara našim zahtjevima, a ipak se dokazi moraju oslanjati upravo na to. No kako onda stvar stoji u slučaju kardinalnoga broja? Je li zbilja tako da ne smijemo govoriti ο 1000(100° prije nego što nam je u zrenju dano toliko predmeta? Je li to sve dotle jedan prazan znak? Ne! On ima posve određen smisao, iako nam je psihološki već s obzirom na kratkoću našega života nemoguće zamisliti si toliko predmeta;122 no, usprkos tome, 100010001000 jest predmet čija svojstva možemo spoznati, iako on nije zoran. U to se 121

zurabilija.

Poradi jednostavnosti ovdje apstrahiram od inkomen-

122 I jednostavniji račun pokazuje da za to ne bi bili dovoljni milijuni godina.

131

Na koncu, i kod definicije razlomaka, kompleksnih brojeva itd. cijela je stvar u tome da se potraži neki mogući sadržaj suda koji se može pretvoriti u jednakost, a čije su strane onda upravo novi brojevi. Drugim riječima: moramo utvrditi smisao suda prepoznavanja za takve brojeve. Pritom valja obratiti pozornost na dvojbe što smo ih (§§ 63-68) razjasnili s obzirom na takvo pretvaranje. Pokušamo li isto što i tamo, novi će nam brojevi biti dani kao opsezi pojmova. 105. Iz ovoga se shvaćanja brojeva,123 kako mi se čini, dade lako objasniti čar bavljenja aritmetikom i analizom. Preinakom poznate misli zacijelo bi se moglo kazati: navlastiti predmet uma jest um. U aritmetici se ne bavimo predmetima koji su nam posredovanjem osjetila poznati kao nešto strano izvana, nego onima koji su neposredno dani umu, a koje on kao svoje najvlastitije može potpuno prozrijeti.124

123 Mogli bismo ga nazvati 1 formalnim, no Ipak je posve različit od onoga što smo gore prosuđivali pod tim imenom. 124 Time uopće ne želim poricati da bismo bez osjetilnih dojmova bili glupi kao daska i da ne bismo poznavali ni brojeve ni Išta drugo; no ta nas se psihološka tvrdnja ovdje uopće ne tiče. To još jednom naglašujem zbog stalne opasnosti brkanja dvaju u osnovi različitih pitanja.

OSNOVEARITMETIKE

V. Zaključak

A ipak - ili, štoviše, upravo zato - ti predmeti nisu subjektivne utvare. Nema ničega objektivnijeg od aritmetičkih zakona.

§ 107. Sada se postavilo pitanje: kada je opravdano neki sadržaj shvatiti kao sadržaj suda prepoznavanja? Za to mora biti ispunjen uvjet da u svakome sudu bez štete po njegovu istinu lijeva strana za pokus uzete jednakosti može biti zamijenjena desnom. Bez pridodavanja daljnjih definicija ο lijevoj ili desnoj strani takve jednakosti nije nam ο njima poznat nijedan drugi iskaz, nego upravo njihova jednakost Zamjen-ljivost je dakle trebala biti dokazana samo u jednakosti.

132

§ 106. Bacimo još jedan kratak pogled unatrag na tijek našega istraživanja. Nakon što smo ustanovili da broj nije ni hrpa stvari ni svojstvo stvari, ah da nije ni subjektivni proizvod duševnih događanja, nego da se navođenjem broja ο pojmu iskazuje nešto objektivno pokušali smo najprije definirati pojedine brojeve - 0, 1 itd - i napredovanje u nizu brojeva. Prvi pokušaj nije uspio, jer smo definirali samo one iskaze ο pojmovima koji 0 i 1 sadrže kao dijelove, a ne i 0 i 1 same za sebe. To je imalo za posljedicu nemogućnost dokazivanja jednakosti brojeva. Pokazalo se da se broj kojim se bavi aritmetika ne smije shvatiti kao nesamostalan atribut, nego supstantivno.125 Broj se tako pojavio kao predmet koji se dade prepoznati, iako ne kao fizikalan üi samo prostoran, a ni kao ono ο čemu pomoću moći uobrazilje možemo stvoriti sliku. Potom smo postavili načelo da se značenje neke riječi ne smije objašnjavati pojedinačno, nego u kontekstu rečenice, a mislim da jedino držimo li se toga možemo izbjeći fizikalno shvaćanje broja, a da ne zapadnemo u psihološko. Postoji jedna vrsta stavaka koji moraju imati smisao za svaki predmet, a to su stavci prepoznavanja, koji se kod brojeva nazivaju jednakostima. Vidjeli smo da i navođenje broja valja shvatiti kao jednakost. Stvar je dakle u tome da se utvrdi smisao jednakosti brojeva te da se ona izrazi, a da se ne upotrijebi brojka ili riječ "broj". Mogućnost da se predmeti koji potpadaju pod neki pojam F obostrano jednoznačno pridruže predmetima koji potpadaju pod neki pojam G spoznali smo kao sadržaj suda prepoznavanja brojeva. Dakle, naša je definicija tu mogućnost morala prikazati kao istoznačnu s jed-nakošću brojeva. Podsjetili snw na slične slučajeve: na definiciju smjera iz paralelizma, oblika iz sličnosti itd. 12

°

Ta razlika odgovara razlici između "plavo" i "boja neba".

133

No ostala je još jedna dvojba. Naime, stavak prepoznavanja uvijek mora imati neki smisao. Ako mogućnost da se predmeti koji potpadaju pod pojam F obostrano jednoznačno pridruže predmetima koji potpadaju pod pojam G shvatimo kao jednakost time što za njih kažemo "broj koji pripada pojmu F jednak je broju koji pripada pojmu G" te time uvedemo izraz "broj koji pripada pojmu F", onda za jednakost imamo smisao samo ako obje strane imaju upravo navedeni oblik. Prema takvoj definiciji ne bismo mogli prosuditi je li jednakost istinita ili je lažna ako samo jedna strana ima taj oblik. To nas je navelo na definiciju: Broj koji pripada pojmu F jest opseg pojma "pojam jednakobrojan pojmu F", time što smo neki pojam F nazvali jednakobrojnim nekome pojmu G ako postoji mogućnost obostrana jednoznačna pridruživanja. Smisao izraza "opseg pojma" pritom pretpostavljamo kao poznat. Ovaj način da se prevlada poteškoća zacijelo neće svugdje naići na odobravanje i mnogi će radije one dvojbe htjeti otkloniti na drugi način. Ne pridajem, međutim, odlučujuću težinu posizanju za opsegom pojma. § 108. Još je preostalo objasniti obostrano jednoznačno pridruživanje; sveli smo ga na čisto logičke odnose. Nakon toga smo naznačili dokaz stavka "broj koji pripada pojmu F jednak je broju koji pripada pojmu G ako je pojam F

OSNOVE ARITMETIKE

V. Zaključak

jednakobrojan pojmu G", definirali smo 0, izraz "u nizu prirodnih brojeva n slijedi neposredno iza m" te broj 1 i pokazali da u nizu prirodnih brojeva 1 slijedi neposredno iza 0. Naveli smo neke stavke koji se na tome mjestu lako dadu dokazati te smo potanje ušli u sljedeći, koji omogućuje spoznaju beskonačnosti niza brojeva:

Na koncu smo se našim rezultatima poslužili za kritiku formalne teorije negativnih brojeva, razlomaka, iracionalnih i kompleksnih brojeva, kojom je postala očita njezina nedostatnost. Njezinu smo pogrešku uvidjeli u tome što ona neprotuslovnost pojma pretpostavlja kao dokazanu ako se nije pokazalo nikakvo protuslovlje, te što neprotuslovnost nekoga pojma već vrijedi kao dostatno jamstvo za njegovu ispunjenost. Ta si teorija umišlja da je dovoljno postaviti zahtjeve; njihovo se ispunjenje onda samo po sebi razumije. Ona se ponaša poput kakva boga koji ono što potrebuje može stvoriti svojom pukom riječju. Valjalo je također prigovoriti slučaju kada se neki naputak za definiciju prikazuje kao definicija sama; to je naputak slijeđenje kojega bi u aritmetiku uvelo nešto njoj tuđe, premda se on sam u izrazu želi držati slobodnim od nečega takvog, no samo zato što ostaje puki naputak.

134

U nizu prirodnih brojeva iza svakoga broja slijedi neki broj. Time smo dovedeni do pojma "ono što pripada nizu prirodnih brojeva koji završava s n", za koji smo htjeli pokazati da broj koji mu pripada u nizu prirodnih brojeva neposredno slijedi iza n. Najprije smo ga definirali pomoću slijeda nekoga predmeta y iza nekoga predmeta x u općenitome φ-nizu. Na čisto logički odnos sveden je smisao i toga izraza. Time smo uspjeli za način zaključivanja od η na (n + 1), koji se obično smatrao navlastito matematičkim, pokazati kako počiva na općim logičkim zakonima zaključivanja. Potom smo za dokaz beskonačnosti niza brojeva trebah stavak da u nizu prirodnih brojeva nijedan konačan broj ne slijedi iza samoga sebe. Tako smo došli do pojmova konačnoga i beskonačnoga broja. Pokazali smo da beskonačan broj u osnovi nije ništa manje logički opravdan nego konačan. Za usporedbu smo uzeli Cantorove beskonačne brojeve i njegov "slijed u uređaju", pri čemu smo uputili na različitost u izrazu. § 109. Iz svega prethodnoga s velikom je vjerojatnošću proizišla analitička i apriorna narav aritmetičkih istina te smo dospjeli do poboljšanja Kantova nazora. Nadalje, vidjeli smo što još nedostaje da bi se ta vjerojatnost uzdigla do sigurnosti te smo naznačili put koji tomu mora voditi.

135

Tako je ta formalna teorija dospjela u opasnost da padne natrag u aposteriorno ih pak sintetičko, ma koliko da se činilo kako lebdi u visini apstrakcija. Naše ranije razmatranje pozitivnih cijelih brojeva pokazalo nam je mogućnost da izbjegnemo upletanje izvanjskih stvari i geometrijskih zorova, a da ipak ne zapadnemo u pogrešku te formalne teorije. Kao i tamo, stvar je u tome da se utvrdi sadržaj suda prepoznavanja. Zamislimo li da se to posvuda događa, onda nam se negativni brojevi, razlomci, iracionalni i kompleksni brojevi ne pojavljuju nipošto tajanstveniji od pozitivnih cijelih brojeva, koji nisu realniji, zbiljskiji, zahvatljiviji od njih.

Funkcija i pojam Ο smislu i značenju Ο pojmu i predmetu Sto je funkcija?

FUNKCIJA I POJAM Prije duljega sam vremena 1 imao čast u ovome Društvu održati predavanje ο sustavu znakova što sam ga nazvao pojniopisom. Danas to želim osvijetliti s jedne druge strane i priopćiti nekoliko dopuna i novih shvaćanja u čiju sam se nužnost od toga vremena osvjedočio. Pritom ne može biti riječi ο potpunome izlaganju mojega pojmopisa, nego samo ο tome da se osvijetle neke osnovne misli. Polazim od onoga što se u matematici naziva funkcijom. Ta riječ isprve nije imala onako široko značenje kakvo je dobila kasnije. Bit će dobro da u našemu razmatranju krenemo od izvornoga načina upotrebe i da tek onda obratimo pozornost na kasnija proširenja. Najprije želim govoriti samo ο funkcijama jednoga jedinoga argumenta. Neki se znanstveni izraz pojavljuje u svojemu jasno određenu značenju najprije tamo gdje je potreban za izricanje neke zakonitosti. Za funkciju to je započelo otkrićem više analize. Tu se ponajprije radilo ο tome da se postave zakoni koji vrijede za funkcije uopće. Želimo li razumjeti što se u matematici isprve razumjelo pod riječju "funkcija", trebamo se dakle vratiti u vrijeme otkrića više analize. Na to pitanje kao odgovor vjerojatno dobivamo: "Pod nekom funkcijom od x razumio se računski izraz koji sadrži x, formula koja uključuje slovo x". Prema tome bi npr. izraz 2 · x3 + x

bio funkcija od x, a 2 · 23 + 2 1

10. siječnja 1879. 1 27. siječnja 1882

140

GOTTLOBFREGE

FUNKCIJA I POJAM

bio bi funkcija od 2. Ovaj odgovor ne može zadovoljiti, jer tu se ne razlikuju oblik i sadržaj, znak i označeno, što je pogreška koju doduše i danas vrlo često susrećemo u matematičkim spisima, pa i u spisima uglednih autora. Već sam ranije2 uputio na nedostatke suvremenih formalnih teorija u aritmetici. Tu se govori ο znakovima koji nemaju sadržaj, niti ga trebaju imati, no zatim im se ipak pripisuju svojstva koja na razuman način mogu pripadati samo sadržaju znaka. Tako je i ovdje: sam izraz, oblik za neki sadržaj, ne može biti bit stvari, nego to može biti jedino sam sadržaj. No što je sadržaj, značenje od "2.23 + 2"? Isto ono što i od "18" ili od "3 · 6". U jednakosti 2 · 23 + 2 = 18 izraženo je daje značenje spoja znakova s desne strane isto što i značenje onoga s lijeve strane. Ovdje se moram suprotstaviti gledištu da npr. 2 + 5 i 3 + 4 doduše jest jednako, ali da nije isto. U osnovi je toga shvaćanja ponovno ono brkanje oblika i sadržaja, znaka i označenoga. To je isto kao kad bi tkogod mirisnu ljubičicu htio smatrati različitom od viola odoraia jer im imena različito zvuče. Sama različitost označivanja ne može biti dostatna kako bi se zasnovala različitost označenoga. Stvar je ovdje manje jasna samo stoga što značenje brojke 7 nije nešto osjetimo zamjetljivo. Sada vrlo raširena sklonost da se kao predmet ne priznaje ništa što ne može biti zamijećeno osjetilima zavodi nas da same brojke držimo za brojeve, za navlastite predmete razmatranja,3 a tada bi 7 i 2 + 5 doista bili različiti. No takvo se shvaćanje ne može prihvatiti, jer uopće se ne može govoriti ο nekim aritmetičkim svojstvima brojeva, a da se ne vratimo značenju brojaka.

Primjerice, svojstvo od 1 da pomnoženo sa samim sobom ponovno daje sebe sama bilo bi čista izmišljotina, jer nijedno mikroskopsko ili kemijsko istraživanje, koliko god prodrlo, na nevinoj tvorevini što je nazivljemo brojkom jedan nikada ne bi moglo otkriti to svojstvo. Možda je riječ ο definiciji; ali nijedna definicija nije na takav način stvaralačka da bi nekoj stvari mogla udijeliti svojstva koja ona sada uopće ne posjeduje, osim jednoga svojstva - da izrazi i opiše ono za što ga definicija uvodi kao znak. Nasuprot tome, tvorevine što ih nazivljemo brojkama imaju fizikalna i kemijska svojstva koja ovise ο sredstvu za pisanje. Moglo bi se zamisliti da se jednom uvedu posve nove brojke, kao što su npr. arapske brojke istisnule rimske. Nitko neće ozbiljno misliti da bi time nastali posve novi brojevi, posve novi predmeti aritmetike s dotada neistraženim svojstvima. Ako se dakle od brojaka moraju razlikovati njihova značenja, onda se i izrazima "2", "1 + 1", "3 - 1", "6 : 3" mora pripisati isto značenje; jer uopće nije vidljivo ono u čemu bi se trebala sastojati razlika. Možda tkogod kaže: 1 + 1 je zbroj, no 6 : 3 je količnik. No što je 6 : 3? To je onaj broj koji pomnožen s 3 daje 6. Kaže se "onaj broj" [die Zahl], a ne "broj" [eine Zahl]. Određenim se članom naznačuje da postoji samo jedan jedini takav broj. Sada je

2

Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, 1884. § 92 1 d. i Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, Jahrg. 1885, sjednica od 17. srpnja. 3 Usp. rasprave Η. ν. Helmholtza (Zählen und Messen erkenntnistheoretisch betrachtet) 1 Leopolda Kroneckera {Über den Zahlbegriff) {Philosophische Aufsätze. Eduard Zeller zu seinem fünfzigjähngen Doktorjubiläum gewidmet. Leipzig. 1887).

141

(1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) = 6, pa je dakle (1 + 1) upravo onaj broj koji je bio označen kao (6 : 3). Različiti izrazi odgovaraju različitim shvaćanjima i vidovima, ali ipak uvijek istoj stvari. Jednakost x2 = 4 inače bi imala ne samo korijene 2 i -2, nego i (1 + 1) i nebrojene druge, koji se međusobno razlikuju, iako bi svi u stanovitome pogledu međusobno bili slični. Priznajući samo dva realna korijena odbacuje se mišljenje da znak 4

Pritom je uvijek riječ ο tome da se sa znakom poveže smisao ili značenje. Tamo gdje smisao i značenje posve nedostaju ne može zapravo biti govora ni ο znaku ni ο definiciji.

GOTTLOBFREGE

142

jednakosti ne znači nikakvo potpuno poistovjećivanje, nego samo

djelomično podudaranje. Držimo li se toga, vidimo da izrazi

ι

"2 · l3 + 1" "2 · 23 + 2" "2 · 43 + 4"

znače brojeve, naime 3. 18, 132. Kad bi funkcija uistinu bila samo značenje nekoga računskoga izraza, ona bi bila upravo broj. a time za aritmetiku ne bismo dobili ništa novo. Naravno, kod riječi "funkcija" obično se pomišlja na izraze u kojima je broj samo neodređeno naznačen slovom x, kao recimo "2 · x3 + x";

ali time se ništa ne mijenja, jer taj izraz također samo neodređeno naznačuje neki broj i nema nikakve bitne razlike dopišem li njega ili samo "x". Ipak, upravo smo zapisom u kojemu se rabi neodređeno naznačujuće "x" dovedeni do ispravna shvaćanja, x nazivamo argumentom funkcije i u "2 · l3 + 1", "2 · 43 + 4", "2 · 53 + 5" prepoznajemo istu funkciju, samo s različitim argumentima, naime 1, 4 i 5. Iz toga možemo uočiti da u onome zajedničkome tih izraza leži prava bit funkcije, tj. dakle u onome što u "2 · x3 + x"

FUNKCIJAIPOJAM

143

postoji još izvan "x", a što bismo mogli pisati otprilike ovako: "2 · ( )3 + ( )".

Važno mi je pokazati da argument ne spada u funkciju, nego da zajedno s funkcijom tvori potpunu cjelinu; jer funkciju samu za sebe treba nazvati nepotpunom, takvom da potrebuje dopunu odnosno nezasićenom. I po tome se funkcije u osnovi razlikuju od brojeva. Iz te biti funkcije dade se objasniti to što, s jedne strane, u "2 · l3 + 1" i "2 · 23 + 2" prepoznajemo istu funkciju, iako ti izrazi znače različite brojeve, dok. s druge strane, u "2 · l3 + 1" i "4 - 1", unatoč istim brojevnim vrijednostima, ne pronalazimo istu funkciju. Sada također vidimo kako lako možemo biti zavedeni da upravo u obuku izraza vidimo ono bitno funkcije. U izrazu spoznajemo funkciju time što ga pomišljamo rastavljenoga, a takvo moguće rastavljanje naznačeno je njegovim oblikom. Dva dijela na koja je računski izraz na taj način rastavljen, znak argumenta i izraz funkcije, različite su vrste, budući da je argument neki broj, jedna u sebi zatvorena cjelina, što funkcija nije. To se može usporediti s dijeljenjem dužine točkom. Tada smo skloni tome da točku dijeljenja pribrojimo objema segmentima. No ako dijeljenje želimo obaviti čisto, naime tako da se ništa ne računa dvostruko i da ništa nije ispušteno, onda točku dijeljenja smijemo pribrojiti samo jednome segmentu. On time biva potpuno u sebi zatvoren i može se usporediti s argumentom, dok drugome nešto nedostaje. Naime, ne pripada mu točka dijeljenja, koju bismo mogli nazvati njegovom krajnjom točkom. Iz njega dobivamo nešto potpuno tek time što ga upotpunjujemo tom krajnjom točkom ili nekom dužinom s dvjema krajnjim točkama. Ako npr. kažem "funkcija 2 · x3 + x", onda x ne treba smatrati onim što

144

145

GOTTLOB FREGE

FUNKCIJA I POJAM

spada u funkciju, nego to slovo služi samo tome da naznači neku vrstu potrebovanja dopune, time što obilježava mjesta na koja treba stupiti znak argumenta.

nalazimo da ona općenito za isti argument ima istu vrijednost kao i ona gore. Imamo općenito

Ono što dobijemo kada funkciju dopunimo njezinim argumentom nazivljemo vrijednošću funkcije za taj argument. Tako je npr. 3 vrijednost funkcije 2 · x2 + x za argument 1, jer imamo 2 · l2 + 1 = 3.

koji god broj uzmemo za x. Stoga je krivulja koju dobivamo iz

Postoje funkcije, kao npr. 2 + x - x ili 2 + 0 · x, čija je vrijednost uvijek isto, što god bio njihov argument; imamo 2 = 2 + x - x i 2 = 2 + 0 · x. Kad bi se argument ubrajao u funkcije, tada bi se broj 2 držao tom funkcijom. No to je pogrešno. Iako je ovdje funkcijska vrijednost uvijek 2, samu funkciju ipak treba razlikovati od 2, jer izraz neke funkcije uvijek mora pokazivati jedno ili više mjesta koja su određena da budu ispunjena znakom argumenta. Metoda analitičke geometrije daje sredstvo da se vrijednosti neke funkcije za različite argumente učine zornima. Naime, promatramo li argument kao brojevnu vrijednost apscise, a pripadnu funkcijsku vrijednost kao brojevnu vrijednost ordinate neke točke, dobivamo jednu skupinu točaka koja se u običnim slučajevima zorno prikazuje kao krivulja. Svaka točka krivulje odgovara jednome argumentu s pripadnom funkcijskom vrijednosti. Tako npr. y = x2 - 4x daje parabolu, pri čemu "y" naznačuje funkcijsku vrijednost i brojevnu vrijednost ordinate isto kao što "x" naznačuje argument i brojevnu vrijednost apscise. Usporedimo li s time funkciju x(x - 4),

x2 - 4x = x(x-4),

y = x2 - 4x ista kao i ona što proizlazi iz y = x(x - 4).

Ja to izražujem ovako: funkcija x(x - 4) ima isti vrijednosni tok kao i funkcija x - 4x. Ako napišemo x2 - 4x = x(x - 4). onda nismo izjednačili jednu funkciju s drugom, nego samo funkcijske vrijednosti međusobno. A ako tu jednakost razumijemo tako da ona treba vrijediti bez obzira na to koji bi argument mogao biti stavljen za x, onda smo time izrazili općenitost neke jednakosti. No za to možemo kazati i "vrijednosni tok funkcije x(x - 4) jednak je vrijednosnom toku funkcije x - 4x" i u tome imamo jednakost između vrijednosnih tokova. Da je sada moguće općenitost neke jednakosti između funkcijskih vrijednosti shvatiti kao jednakost, naime kao jednakost između vrijednosnih tokova, to se. kako mi se čini, ne da dokazati nego se mora uzeti kao osnovni logički zakon. 5 U nekim formulacijama uobičajenoga matematičkoga načina izraživanja riječ "funkcija" odgovara onome što sam ovdje nazvao vrijednosnim tokom funkcije. No funkcija u ovdje upotrijebljenu smislu riječi jest ono logički prvotnije.

146

GOTTLOBFREGE

FUNKCIJAIPOJAM

Sada možemo uvesti i kratak način obilježavanja vrijednosnog toka funkcije. U tu svrhu u izrazu funkcije znak argumenta zamjenjujem grčkim znakom za samoglasnik, sve stavljam u zagrade i ispred stavljam isto grčko slovo s tihim hakom. Prema tome je npr.

pisati i "y2 - 4y", a da se smisao ne promijeni; jer "y", jednako kao i

έ (ε2 - 4ε) vrijednosni tok funkcije x2 - 4x, a ά (α · [α- 4]) vrijednosni tok funkcije x{x - 4), tako da u

147

"x", samo neodređeno naznačuje neki broj. No kada obje strane ujedinjujemo u jednu jednakost, tada s obje strane moramo izabrati ista slova, a time izražujemo nešto što ne sadrži niti lijeva strana za sebe, niti desna strana, niti znak jednakosti, naime upravo općenitost, dakako općenitost neke jednakosti, ali ipak u prvome redu općenitost. Kao što se neki broj neodređeno naznačuje uz pomoć slova kako bi se izrazila općenitost, tako je potrebno da se i funkcija neodređeno naznači uz pomoć slova. Većinom se u tu svrhu koristimo slovima f i F, na taj način da u "f(x)" i "F(x)" x stoji za argument. Potreba za dopunom funkcije ovdje dolazi do izražaja time što slovo f ili F uza. se ima zagradu, čija je nutarnjost određena za primanje znaka argumenta. Prema tome,

"έ (έ2-4ε) = ά (α· [α- 4])

"έ f (έ)" imamo izraz za to da je prvi vrijednosni tok isti kao i drugi. Namjerno su izabrana različita grčka slova, da bi se naznačilo da ništa ne sili da se uzmu ista.

"x2 - 4x = x(x - 4)" izražuje doduše isti smisao - ako ga razumijemo kao gore - ah na drugi način. Ono prikazuje smisao kao općenitost jednakosti, dok je novouvedeni izraz jednostavno jednakost, čija desna strana, isto kao i lijeva, ima u sebi zatvoreno značenje. U "x2 - 4x - x(x - 4)" lijeva strana, promatrana sama za sebe, naznačuje, samo neodređeno, neki broj, a isto tako i desna strana. Kad bismo imali samo "x2- 4x", tad bismo umjesto toga mogli

naznačuje vrijednosni tok funkcije koja je ostavljena neodređenom. Kako je onda značenje riječi "funkcija" prošireno napredovanjem znanosti? U tome se mogu razlikovati dva smjera. Naime, prvo je prošireno područje računskih operacija koje pridonose oblikovanju funkcije. Zbrajanju, množenju, potenciranju i njima obrnutim postupcima pridodane su različite vrste prelaženja granice, a da se, doduše, nije uvijek posjedovala jasna svijest ο bitno novom do čega je pritom došlo. Išlo se dalje i postalo je štoviše nužno pribjeći govornome jeziku, jer je znakovni jezik analize zakazao, kada je npr. bila riječ ο funkciji čija je vrijednost za racionalni argument 1, a za iracionalni 0.

GOTTLOB FREGE

FUNKCIJAIPOJAM

Drugo, prošireno je područje onoga što može nastupiti kao argument i funkcijska vrijednost, i to uvođenjem kompleksnih brojeva. Time se ujedno morao dalje odrediti smisao izraza "zbroj", "umnožak" itd.

a ipak se "24" može zamijeniti s "4 · 4", jer oba znaka imaju isto značenje. Prema tome, "24 = 42" i "4 · 4 = 42" također imaju isto značenje. Otuda se vidi da jednakost značenja nema kao posljedicu jednakost misli. Kada kažemo "Večernjača je planet čije je vrijeme ophodnje manje od vremena ophodnje Zemlje", tada smo izrazili drugu misao nego u rečenici "Danica je planet čije je vrijeme ophodnje manje od vremena ophodnje Zemlje", jer onaj tko ne zna da je Danica Večernjača mogao bi jednu rečenicu držati istinitom, a drugu lažnom. No značenje te dvije rečenice ipak mora biti isto, jer riječi "Večernjača" i "Danica" samo su međusobno zamjenljive riječi koje imaju isto značenje, tj. one su vlastita imena istoga nebeskoga tijela. Moramo razlikovati smisao i značenje. "24" i "4 · 4" imaju doduše isto značenje, tj. oni su vlastita imena istoga broja, ali nemaju isti smisao. I otuda "24 = 42" i "4 · 4 = 42" doduše imaju isto značenje, ali nemaju i isti smisao; to u ovome slučaju znači: oni ne sadrže istu misao.6

148

Nadalje idem u oba smjera. Najprije uza znakove +, -itd., koji služe oblikovanju izraza za funkciju, dodajem i znakove kao što su =, >, <, tako da mogu govoriti npr. ο funkciji x2 = 1, gdje x, kao i ranije, stoji za argument. Prvo pitanje što se ovdje pojavljuje jest pitanje ο vrijednosti te funkcije za različite argumente. Postavimo li, redom, za x -1, 0, 1, 2, dobivamo (-1)2 02 l2 22

= = = =

1 1 1 1.

Od ovih su jednakosti prva i treća istinite, a ostale su lažne. Sada kažem: "vrijednost naše funkcije jest istinosna vrijednost" i razlikujem istinosnu vrijednost istinitosti od istinosne vrijednosti lažnosti. Jednu kratko nazivam istinitošću, a drugu lažnošću. Odatle npr. "22 = 4" znači istinitost, isto kao što "22" znači 4. A "2 =1" znači lažnost. Prema tome, 2

4

149

Dakle, s istim pravom s kojim pišemo "24 = 4 · 4" možemo pisati i "(24 = 42) = (4 · 4 = 42)" i

2

"2 = 4", "2 > 1", "2 = 4 "

"(22 = 4) = (2 > 1)".

znače isto, naime istinitost, tako da u (22 = 4) = (2 > 1) imamo ispravnu jednakost. Ovdje postoji prigovor kako "22 = 4" i "2 > 1 ipak znače nešto posve različito, izražuju posve različite misli; ali "24 = 42" i "4.4 = 42" također izražuju različite misli,

6

Shvaćana da se ovo isprve može činiti proizvoljnim i umjetnim te da bi moglo biti potrebno iscrpnije obrazloženje. Usp. moj članak "Über Sinn und Bedeutung" koji uskoro izlazi u Zeitschrift für Philosophie und phil. Kritik [usp. i ovu knjigu, str. 167193].

GOTTLOB FREGE

FUNKCIJAIPOJAM

Nadalje, mogli bismo postaviti pitanje u koju su svrhu znakovi =, >. < prihvaćeni u krug onih koji pomažu u oblikovanju nekoga izraza funkcije. Čini se da danas sve više pristaša dobiva gledište kako je aritmetika šire razvijena logika, kako se strože utemeljenje aritmetičkih zakona svodi na čisto logičke i samo na takve. I ja tako mislim te na tome temeljim zahtjev da se aritmetički znakovni jezik mora proširiti u logički. Sada ću naznačiti kako se to događa u našemu slučaju.

imaju za isti argument uvijek istu vrijednost, naime za -1 ili +1 istinitost, a za sve druge argumente lažnost. Prema onome što je prije ustanovljeno kazat ćemo dakle da te funkcije imaju isti vrijednosni tok, a to ćemo u znakovima izraziti na ovaj način:

Vidjeli smo kako je vrijednost naše funkcije x2 = 1 uvijek jedna od dvije istinosne vrijednosti. Ako je sada za neki određeni argument, npr. za -1, funkcijska vrijednost istinitost, onda to možemo izraziti ovako: "broj -1 ima svojstvo daje njegov kvadrat 1" ili, kraće, "-1 je kvadratni korijen iz 1" ili "-1 potpada pod pojam kvadratni korijen iz 1". Ako je vrijednost funkcije x - 1 za neki argument, npr. za 2, lažnost, onda ćemo to moći izraziti ovako: "2 nije kvadratni korijen iz 1" ili "2 ne potpada pod pojam kvadratni korijen iz 1". Iz toga vidimo u kakvoj je uskoj vezi ono što u logici nazivamo pojmom s onim što nazivamo funkcijom. Mogli bismo bez ustezanja reći: pojam je funkcija čija je vrijednost uvijek istinosna vrijednost. I vrijednost funkcije

U logici se ovo naziva jednakošću opsega pojmova. Stoga opseg pojma možemo označiti kao vrijednosni tok funkcije čija je vrijednost za svaki argument istinosna vrijednost.

150

(x + 1)2 = 2(x + 1) je uvijek istinosna vrijednost. Istinitost dobivamo npr. za argument -1, a to ćemo moći i ovako izraziti: -1 je broj koji je za 1 manji od broja čiji je kvadrat jednak dvostruko većemu broju. Time je izraženo potpadanje broja -1 pod pojam. Sada funkcije x2 = 1 i (x + 1)2 = 2(x + 1)

151

ε (ε2 = 1) = ά ([α + 1]2 = 2[α + 1]).

Nećemo ostati kod jednakosti i nejednakosti. Jezični oblik jednakosti jest tvrdnja. Tvrdnja kao smisao sadrži neku misao ili u najmanju ruku zahtijeva da je sadrži -a ta je misao općenito istinita ili lažna, tj. ona općenito ima neku istinosnu vrijednost koju isto tako treba shvatiti kao značenje rečenice, kao što je recimo broj 4 značenje izraza "2 + 2" ili kao što je London značenje izraza "glavni grad Engleske".

Tvrdnje se općenito, isto kao i jednakosti ili izrazi u analizi, mogu pomišljati kao rastavljene u dva dijela, od kojih je jedan u sebi zatvoren, a drugi je potrebit dopune, nezasićen. Tako se npr. rečenica "Cezar je osvojio Galiju" može rastaviti u "Cezar" i "je osvojio Galiju". Drugi je dio nezasićen, ima prazno mjesto i zatvoren se smisao pojavljuje tek time što to mjesto biva ispunjeno vlastitim imenom ili nekim izrazom koji stoji za vlastito ime. I ovdje značenje toga nezasićenoga dijela nazivam funkcijom. U ovome je slučaju argument Cezar.

GOTTLOB FREGE

FUNKCIJA I POJAM

Vidimo da se ovdje proširenje provodi i u drugome smjeru, naime u pogledu onoga što može nastupiti kao argument. Više nisu prihvatljivi samo brojevi, nego i predmeti uopće, pri čemu u predmete svakako moram ubrojiti i osobe. Već su maloprije kao moguće funkcijske vrijednosti uvedene dvije istinosne vrijednosti. Moramo poći dalje i predmete uzeti bez ograničenja kao funkcijske vrijednosti. Da bismo imali jedan primjer za to, zapoćnimo recimo s izrazom

Tvrdnja ne sadrži prazno mjesto, te stoga njezino značenje valja shvatiti kao predmet. No to je značenje istinosna vrijednost. Dakle, dvije istinosne vrijednosti jesu predmeti.

152

153

Maloprije smo postavili jednakosti između vrijednosnih tokova, npr. "έ (ε2 -' 4ε) = ά (α [α - 4])"

"glavni grad njemačkoga carstva". Taj izraz očito stoji za vlastito ime i znači neki predmet. Rastavimo ga sad u dijelove "glavni grad [od] [des]" i "njemačko carstvo", pri čemu genitivni oblik ubrajamo u prvi dio jer je nezasićen, dok je drugi u sebi zatvoren. Sukladno onome prije, "glavni grad od x" nazivam izrazom funkcije. Uzmemo li kao njegov argument njemačko carstvo, kao funkcijsku vrijednost dobivamo Berlin. Ako smo tako predmete uzeli bez ograničenja kao argumente i kao funkcijske vrijednosti, onda se sada postavlja pitanje što se ovdje naziva predmetom. Školsku definiciju smatram nemogućom, jer ovdje imamo posla s nečim što zbog svoje jednostavnosti ne dopušta logičko rastavljanje. Moguće je samo upozoriti na ono što se misli. Ovdje se može samo kratko kazati: predmet je sve ono što nije funkcija, čiji izraz dakle nema prazno mjesto.

Το možemo rastaviti u "έ (ε2 - 4ε) i "( ) = ά (α [α - 4])". Ovaj je posljednji dio potrebit dopune, jer lijevo od znaka jednakosti ima prazno mjesto. Prvi dio, "έ (ε2 - 4ε)", posve je u sebi zatvoren, dakle znači predmet. Vrijednosni tokovi funkcija jesu predmeti, dok same funkcije to nisu. I έ (ε2 = 1) nazvali smo vrijednosnim tokom, no mogli smo to označiti i kao opseg pojma kvadratni korijen iz 1. I opsezi pojmova su dakle predmeti, iako sami pojmovi to nisu. Nakon što smo tako proširili područje onoga što se može uzeti kao argument moramo pronaći točnije odredbe značenja već uobičajenih znakova. Sve dok se u aritmetici predmetima smatraju samo cijeli brojevi, slova α i b u "a + b" naznačuju samo cijele brojeve; znak plus treba biti objašnjen samo kao znak koji stoji između cijelih brojeva. Svako proširenje područja predmeta koji su naznačeni s "a" i "b" tjera nas na novo objašnjenje znaka plus. Kao nalog znanstvene strogosti pojavljuje se poduzimanje potrebnih koraka protiv toga da neki izraz može biti bez značenja, da računamo s praznim znakovima vjerujući kako imamo posla s predmetima. Ranije smo imali loših iskustava s divergentnim beskonačnim nizovima. Nužno je dakle načiniti odredbe iz kojih proizlazi što npr. znači

j

154

GOTTLOB FREGE

⊙+

1

ako ⊙ treba značiti Sunce. Razmjerno je svejedno koja se pravila postavljaju; no bitno je da to učinimo, da "a + b" uvijek dobiva značenje, koji god znakovi određenih predmeta zamijenili "a" i "b". Sto se tiče pojmova, u tom pogledu imamo zahtjev da oni za svaki argument kao vrijednost imaju jednu istinosnu vrijednost, da je za svaki predmet određeno potpada U pod pojam ih ne, drugim riječima: za pojmove imamo zahtjev za njihovim oštrim ograničavanjem, a bez ispunjenja toga zahtjeva bilo bi nemoguće postaviti logičke zakone ο njima. Za svaki argument x za koji bi "x +1" bilo bez značenja ni funkcija x + 1 = 10 ne bi imala nikakvu vrijednost, dakle niti ikakvu istinosnu vrijednost, tako da pojam ono što uvećano za 1 daje 10 ne bi imao oštru granicu. Zahtjev oštroga ograničavanja pojmova povlači dakle za sobom zahtjev što se tiče funkcija uopće, zahtjev da one za svaki argument moraju imati neku vrijednost. Dosada smo istinosne vrijednosti razmatrali samo kao funkcijske vrijednosti, a ne kao argumente. Prema onome što je upravo kazano, funkcija mora dobiti vrijednost i tada kada se kao argument uzima istinosna vrijednost; no što se tiče već uobičajenih znakova, u tu je svrhu stvar samo u tome da pravilo postoji, a time se ne uzima u obzir ono što se određuje. No sad se mogu razmotriti neke funkcije koje su važne upravo kada je njihov argument istinosna vrijednost Kao takvu funkciju uvodim ── x

FUNKCIJAIPOJAM

155

tvrdeći da vrijednost te funkcije treba biti istinitost ako se kao argument uzme istinitost, a da je, nasuprot tome, vrijednost te funkcije u svim drugim slučajevima lažnost; dakle i onda ako je argument lažnost, kao i onda ako on nije nikakva istinosna vrijednost. Prema tome je npr.

── 1 + 3 = 4 istinitost, dok su ƒ1 + 3 = 5 i

ƒ 4 lažnost. Ta funkcija dakle kao vrijednost ima argument sam ako je on istinosna vrijednost. Prije sam ovu vodoravnu crtu zvao sadržajnom crtom, no to se ime sada više ne čini prikladnim. Sada je želim jednostavno zvati horizontalom. Ako zapišemo neku jednakost ili nejednakost, npr. 5 > 4, onda time obično ujedno želimo izraziti sud; u našemu se slučaju želi tvrditi da je 5 veće od 4. Prema shvaćanju što sam ga ovdje izložio, u "5 > 4" ili "1 + 3 = 5" sadržani su samo izrazi ο istinosnim vrijednostima, a da se time ne treba ništa tvrditi. To razdvajanje suđenja od onoga ο čemu se sudi čini se neophodnim, jer se inače ne bi dala izraziti jedna puka pretpostavka, postavljanje nekoga slučaja, a da se odmah ne sudi ο njegovu nastupanju. Potrebujemo dakle jedan poseban znak da bismo nešto mogli tvrditi. Za to se koristim okomitom crtom na lijevom kraju horizontale, tako da npr. s

ƒ 2 +3 = 5

156

GOTTLOB FREGE

tvrdimo: 2 + 3 jednako je 5. Dakle, tu nije samo, kao u

FUNKCIJA I POJAM znači istinitost i ispred možemo staviti sudnu crtu

„ 22 = 5

"2 + 3 = 5", zapisana neka istinosna vrijednost, nego je istodobno kazano i to da je to istinitost. Naredna jednostavna funkcija može biti ona čija vrijed nost jest lažnost upravo za one argumente za koje je vri jednost od ------ x istinitost i, obratno, čija je vrijednost istinitost za one argumente za koje je vrijednost od ------------ x lažnost. To označujem kao

†

x

pri čemu malu okomitu crtu zovem niječnom crtom. Tu funkciju razumijem kao funkciju s argumentom ------------ x:

(† x) = (†[ƒ x]) obje vodoravne crte pomišljajući kao spojene. No to je i

(ƒ[† x]) = ( † x) †

x uvijek istinosna vrijednost. Dakle, dva dijela crte lijevo i desno od niječne crte u «† x» shvaćam kao jer je vrijednost od

horizontale u maloprije objašnjenu posebnome smislu riječi. Prema tome npr. "» † 22 =5 «

te time tvrdimo da 22 = 5 nije istinitost, odnosno da 22 nije 5. No i

„

2

je istinitost, jer --------2 je lažnost:

 „ 2; 

tj. 2 nije istinitost. Iz jednoga će se primjera najbolje vidjeti kako prikazujem općenitost. Treba izraziti da je svaki predmet jednak samome sebi. U x=x

imamo funkciju čiji je argument naznačen s "x". Sada treba kazati kako je vrijednost te funkcije uvijek istinitost, što god da se. uzme kao argument. Sada pod

«

’

f(}) «

razumijem istinitost, ako funkcija f(x) kao vrijednost uvijek ima istinitost, što god bio njezin argument; u svim drugim slučajevima

« Sudna se crta ne može upotrijebiti za oblikovanje izraza funkcije jer ona ne služi, zajedno s drugim znakovima, za označivanje nekoga predmeta. « ƒ 2 + 3 = 5 « ne označuje ništa, nego nešto tvrdi.

157

’

f(}) «

158

GOTTLOB FREGE

treba značiti lažnost. Za našu funkciju x-x imamo prvi slučaj. Dakle,

FUNKCIJA I POJAM

159

tj. "nije svaki predmet kvadratni korijen iz 1" ili "postoje predmeti koji nisu kvadratni korijen iz 1".

Š’Š je istinitost, a to pišemo ovako:

Š’Š

a = a.

Vodoravne crte desno i lijevo od udubine valja shvatiti kao horizontale u našemu smislu. Umjesto "a" moglo bi se izabrati i bilo koje drugo gotičko slovo, osim onih koja, poput t f, trebaju služiti kao slova za funkcije.Ovaj način označivanja daje mogućnost da zaniječemo općenitost, kao u

†’

†

gore ustanovljeno o niječenoj crti.Imamo dakle

x2 = 1

Iz

Š’Š

†

a2 = 1

spajanjem horizontala nastaje

a2 = 1

Naime, Š’Š a2 = 1 je lažnost,jer nije svaki argument funkcijska vrijednost x2 = 1 istinitost.Naime,za argument 2 npr.dobivamo 22 = 1 ,a to je lažnost.Ako je dakle Š’Š a2 = 1 lažnost ,onda je †’ a2 = 1. istinitost prema onome što je

†  ’Š

Može li se izraziti i to da postoje kvadratni korijeni iz 1!Naravno. Potrebno je usmjesto funkcije x2 = 1 uzeti funkciju

Š’†

a2 = 1

To znači lažnost, jer nije za svaki argument vrijednost funkcije

†

x2 = 1

†

12= 1

istinitost. Npr.

2

a =1

je lažnost, jer l2 = 1 je istinitost. Budući da je dakle

Š’† a lažnost,

2

=1

160

FUNKCIJA I POJAM

GOTTLOB FREGE

†’†

a2 = 1

Odatle je vidljivo kako treba izraziti toliko važne egzistencijalne rečenice. Naznačimo li neki pojam neodređeno sa

slovom za funkciju/, u

je istinitost:

†’† †’†

a2 = 1

†

†’† a2 = 1, †’† a ≧ 0 ,†’†

x =1

istinitost", odnosno "nije za svaki argument vrijednost funkcije x2 = 1 lažnost", odnosno "postoji najmanje jedan kvadratni korijen iz 1". Evo još nekoliko primjera u znakovima i riječima:

"» †’† a2 - 3a2 + 2a = 0 « iz ovoga oblika proizlaze na sličan način na koji npr. iz x2 proizlaze "l2", "22", "32". Kao što u x2 imamo funkciju čiji je argument naznačen s "x", tako i

postoji najmanje jedan pozitivan broj;

†’†

†’† a < 0 postoji najmanje jedan negativan broj;

a3 – 3a2 + 2a = 0

postoji najmanje jedan korijen jednadžbe

x3 - 3x2 + 2x = 0.

a

< 0,

2

†’† a ≧ 0

f (a)

imamo oblik u kojemu su, bez obzira na su dnu crtu, sadržani ovi posljednji primjeri. Izrazi

tj. "nije za svaki argument vrijednost funkcije

†  ’†

161

f(a)

shvaćam kao izraz funkcije čiji je argument naznačen s "f. Takva je funkcija očito bitno različita od onih ranije razmatranih, jer njezin argument može biti samo neka funkcija. Kao što se funkcije bitno razlikuju od predmeta, tako se i funkcije čiji argumenti jesu i moraju biti funkcije bitno razlikuju od funkcija čiji su argumenti predmeti i ne mogu biti ništa drugo doli predmeti. Ove posljednje zovem funkcijama prvoga, one gore funkcijama drugoga stupnja. Isto tako razlikujem pojmove prvoga i drugoga stupnja. Funk8

Usp. moje Grundlagen der Arithmetik (Breslau, 1884). § 53 na koncu, gdje sam umjesto "drugoga stupnja" kazao "drugoga reda [usp. ovu knjigu, str. 82], Ontološki dokaz za opstanak Boga trpi od pogreške što egzistenciju razmatra kao pojam prvoga stupnja.

162

FUNKCIJAIPOJAM

GOTTLOB FREGE

cije drugoga stupnja odavno su se pojavile posebno u analizi, npr. u određenim integralima, ukoliko se funkcija koju treba integrirati razmatra kao argument. Može se dodati još nešto ο funkcijama s dva argumenta. Izraz funkcije dobili smo rastavivši složeni znak nekoga predmeta u zasićeni i nezasićeni dio. Tako npr. znak istinitosti "3 > 2" rastavljamo u "3" i "x > 2". Nezasićeni dio "x > 2" možemo dalje na isti način rastaviti u "2" i "x > y", gdje "y" obilježava prazno mjesto, koje prije bijaše ispunjeno s "2". U x>y imamo funkciju s dva argumenta, od kojih je jedan naznačen s x”, a drugi s "y", dok u 3>2 imamo vrijednost te funkcije za argumente 3 i 2. Ovdje imamo funkciju čija je vrijednost uvijek istinosna vrijednost. Funkcije s jednim argumentom nazvali smo pojmovima, a one s dva argumenta zovemo odnosima. Odnose imamo npr. u x2 + y2 = 9 iu x2 + y2 > 9,

163

dok funkcija

x2 + y2 kao vrijednosti ima brojeve. Nećemo je dakle nazvati odnosom.

Ovdje možemo navesti jednu funkciju -koja nije svojstvena aritmetici. Vrijednost funkcije

† ‡

x y

jest lažnost ako se kao argument naznačen s y uzme istinitost, a istodobno se kao argument naznačen s x uzme predmet koji nije istinitost; u svim je drugim slučajevima vrijednost te funkcije istinitost. Donju vodoravnu crtu i dva dijela u koje je gornja rastavljena okomicom valja shvatiti kao horizontale [u našem smislu]. Prema tome, kao argu mente naše funkcije uvijek možemo smatrat ƒƒ x i ƒƒ y, tj. istinosne vrijednosti. Među funkcijama s jednim argumentom razlikujemo one prvoga i one drugoga stupnja. Ovdje je moguća velika raznolikost. Funkcija s dva argumenta može u odnosu na njih biti istoga ih različitoga stupnja: funkcije jednakog i nejednakog stupnja. One koje smo prije razmatrali bijahu jednakoga stupnja. Funkcija nejednakog stupnja je npr. dife-rencijalni količnik ako se kao argumenti uzmu funkcija koju treba diferencirati i argument za koji se diferencira ili pak određeni integral ako se kao argumenti uzmu funkcija koju treba integrirati i gornja granica. Funkcije jednakog stupnja mogu se dalje podijeliti u funkcije jednakog stupnja prvoga i funkcije jednakog stupnja drugoga stupnja. Takva funkcija drugoga stupnja jest npr.

164

GOTTLOB FREGE

FUNKCIJA I POJAM

su poučci takve vrste. Zatim se napredovalo prema općenitijim zakonima koji vrijede za sve brojeve. U označivanju tome odgovara prijelaz na računanje pomoću slova. U

gdje "F" i "f " naznačuju argumente. Kod funkcija drugoga stupnja s jednim argumentom moramo praviti razliku prema tome može li se kao taj argument pojaviti funkcija s jednim ili funkcija s dva argumenta, jer funkcija s jednim argumentom tako se bitno razlikuje od funkcije s dva argumenta da jedna ne može doći kao argument upravo na ono mjesto na koje druga može. Neke funkcije drugoga stupnja s jednim argumentom kao argument zahtijevaju funkciju s jednim argumentom, a druge zahtijevaju funkciju s dva argumenta i te su dvije klase oštro razlučene.

Š”Š“†’†Š ‘ ŽŠ ŽŠŠŠŠŠ

b=a f(c,a) f(c,b)

je primjer funkcije drugoga stupnja s jednim argumentom koja kao argument zahtijeva funkciju s dva argumenta. Slovo f pritom naznačuje argument, a dva mjesta razdvojena zarezom u zagradi što slijedi iza 'f' pokazuju da f stoji za funkciju s dva argumenta.

Kod funkcija s dva argumenta raznolikost je još veća. Osvrnemo li se odavde na razvoj aritmetike, uviđamo stupnjevito uspinjanje. Prvo se računalo s pojedinačnim brojevima, s 1, 3 itd. 2 + 3 = 5,

2·3 = 6

165

(a + b)c = a · c + b · c imamo poučak takve vrste. Pri tome su se u razmatranju primjenjivale pojedine funkcije, ali se riječ "funkcija" još nije rabila u matematičkome smislu, a niti se shvaćalo njezino značenje. Naredni viši stupanj bijaše spoznaja općega zakona ο funkcijama, a time i stvaranje tehničkoga izraza "funkcija". U označivanju tome odgovara uvođenje slova kao što su/, F za neodređeno naznačivanje funkcije. U

imamo poučak takve vrste. Pritom se došlo do pojedinih funkcija drugoga stupnja, a da se ipak nije shvatilo ono što smo mi nazvali funkcijom drugoga stupnja. To predstavlja naredni korak. Moglo bi se pomisliti da je tako išlo dalje. No vjerojatno već ovaj posljednji korak nije tako bogat posljedicama kao raniji, jer se u daljnjemu razvoju umjesto funkcija drugoga stupnja mogu razmatrati funkcije prvoga stupnja, kako treba pokazati na drugome mjestu. No time razlika između funkcija prvoga i drugoga stupnja nije iščezla, jer ona nije načinjena svojevoljno, nego je utemeljena duboko u naravi stvari. Moguće je također umjesto funkcija s dva argumenta razmatrati funkcije s jednim jedinim no kompleksnim argumentom, pri čemu ipak razlika između funkcija s jednim i funkcija s dva argumenta i dalje postoji u svoj oštrini.

O SMISLU I ZNAČENJU

Jednakost1 nas tjera na razmišljanje pitanjima koja su s njom povezana i na koja nije lako odgovoriti. Je li ona neki odnos? Je li neki odnos između predmeta? Ili pak između imena ili znakova za predmete? Ovo posljednje pretpostavio sam u svojemu Pojmopisu. Razlozi za koje se čini kako govore u prilog tome jesu sljedeći: α = αία = b očito su stavci različite spoznajne vrijednosti: stavak α = α vrijedi a priori i treba ga, prema Kantu, nazvati analitičkim, dok stavci oblika a - b često sadrže vrijedna proširenja naše spoznaje i ne mogu se uvijek zasnovati α priori. Otkriće da svakoga jutra ne izlazi novo Sunce, nego uvijek isto, bilo je možda jedno od najplodonosnijih otkrića u astronomiji. Ni danas nije prepoznavanje nekoga malenoga planeta ili nekoga kometa uvijek nešto samorazumljivo. Kada bismo u jednakosti htjeli vidjeti odnos između onoga što znače imena "a" i "b", tada bi se činilo da α = b ne može biti različito od a = a, naime u slučaju da je a — b istinito. Time bi bio izražen odnos stvari prema sebi samoj, i to takav odnos u kojemu svaka stvar stoji prema samoj sebi, no nijedna ne stoji prema nekoj drugoj. Čini se da ono što se želi kazati s a = b jest to da znakovi ili imena "a" i "b" znače isto, a tada bi riječ bila upravo ο tim znakovima; tvrdio bi se neki odnos između njih. No taj bi odnos postojao između imena ili znakova samo ukoliko oni nešto imenuju ih označuju. To bi bio odnos posredovan povezivanjem svakoga od tih znakova s istim označenim. No ono je proizvoljno. Ne može se nikome zabraniti da kao znak za bilo što prihvati bilo koji proizvoljni događaj ili predmet. Time se stavak α = b ne bi više 1 Tu riječ upotrebljavam u smislu identiteta te "a = b" razumijem u smislu "a je isto što i b" ili "a i b se podudaraju".

GOTTLOB FREGE

Ο SMISLUI ZNAČENJU

odnosio na samu stvar, nego samo još na naš način označivanja; time ne bismo izrazili pravu spoznaju. No ipak, u puno slučajeva želimo upravo to. Kad bi se znak "a" od znaka "b" razlikovao samo kao predmet (ovdje oblikom), a ne kao znak - dakle, ne u načinu kako nešto označuje - tada bi spoznajna vrijednost od α = α u biti bila jednaka spoznajnoj vrijednosti od α = b, u slučaju da je α = b istinito. Različitost može nastati samo time što razlika između znakova odgovara razlici u načinu danosti onoga označenoga. Neka su a, b, c dužine koje kutove nekoga trokuta povezuju sa središtima suprotnih stranica. Točka u kojoj se sijeku α i b tada je ista ona točka u kojoj se sijeku b i c. Imamo dakle različite oznake za istu točku, a imena "točka u kojoj se sijeku α i b" i "točka u kojoj se sijeku b i c" ujedno upućuju na način danosti i stoga je u rečenici sadržana zbiljska spoznaja.

Smisao vlastitoga imena razumije svatko tko dostatno poznaje jezik ili sustav znakova kojima ono pripada;2 no time je značenje, u slučaju da postoji, ipak uvijek samo jednostrano razjašnjeno. Za potpunu spoznaju značenja bilo bi potrebno da mi ο svakome danom smislu odmah možemo reći pripada li mu. Dotle ne dospijevamo nikada.

168

Jasno je dakle kako sa znakom (ime, sintagma, slovo) osim onoga označenoga, koje bismo mogli nazvati značenjem znaka, kao povezano valja pomišljati i ono što bih htio nazvati smislom znaka, u kojemu je sadržan način danosti. U našemu bi primjeru stoga značenje izraza "točka u kojoj se sijeku α i b" i "točka u kojoj se sijeku b i c" doduše bilo isto, ali ne bi bio isti i njihov smisao. Značenje izraza "Večernjača" i "Danica" bilo bi isto, ali ne bi bio isti i njihov smisao. Iz konteksta proizlazi da sam ovdje pod "znak" i "ime" razumio bilo koju oznaku koja stoji za vlastito ime, čije je značenje dakle određeni predmet (uzmemo U tu riječ u najširemu opsegu), ali nije ni pojam ni odnos, koje treba pobliže razmotriti u jednom drugom članku. Oznaka pojedinoga predmeta može se sastojati i iz više riječi ili drugih znakova. Poradi kratkoće može se svaka takva oznaka nazvati vlastitim imenom.

169

Pravilna veza između znaka, njegova smisla i njegova značenja takva je da znaku odgovara određen smisao, a smislu opet određeno značenje, dok jednome značenju (jednome predmetu) ne pripada samo jedan znak. Isti smisao u različitim jezicima, pa i u istome, ima različite izraze. Naravno, postoje iznimke od toga pravila. Sigurno je da bi u savršenome sustavu znakova svakome izrazu trebao odgovarati određen smisao; no narodni jezici često ne ispunjavaju taj zahtjev te moramo biti zadovoljni barem time da u istome kontekstu ista riječ uvijek ima isti smisao. Možda se može priznati da gramatički ispravno oblikovan izraz koji stoji za vlastito ime uvijek ima smisao. No time nije rečeno odgovara li smislu i značenje. Riječi "nebesko tijelo najudaljenije od Zemlje" imaju smisao; vrlo je dvojbeno, međutim, imaju li i značenje. Izraz "najmanje konvergentan niz" ima smisao; no dokazuje se da on nema značenje, budući da se za svaki konvergentan niz može naći manje konvergentan, ah još uvijek konvergentan. Dakle, time što shvaćamo smisao nemamo još sa sigurnošću i značenje.

2

U slučaju pravoga vlastitoga imena kao što je "Aristotel" mišljenja se ο smislu, naravno, mogu razilaziti. Kao smisao bi se moglo pretpostaviti npr. Platonov učenik i učitelj Aleksandra Velikog. Tko to čini, taj će s rečenicom "Aristotel bijaše rodom iz Stagire" povezati drugi smisao nego onaj koji kao smisao imena "Aristotel" pretpostavlja učitelj Aleksandra Velikog rodom Iz Stagire. Sve dok samo značenje ostaje isto, te se varijacije smisla mogu tolerirati, iako i njih u izgradnji dokazne znanosti valja izbjegavati te se ne smije dopustiti da se pojave u savršenome jeziku.

170

GOTTLOBFREGE

Ako se riječi upotrebljavaju na uobičajen način, onda je ono ο čemu se želi govoriti njihovo značenje. No može se dogoditi i to da se želi govoriti ο samim riječima ih njihovu smislu. To se događa npr. ako se nečije riječi navode u upravnome govoru. Vlastite riječi tada prije svega znače riječi drugoga i tek one imaju uobičajeno značenje. Tada imamo znakove ο znakovima. U zapisu se u tome slučaju riječi stavljaju u navodnike. Ne smije se dakle riječ koja stoji u navodnicima uzeti u uobičajenome značenju. Ako želimo govoriti ο smislu izraza Ά', onda to možemo učiniti jednostavno izričajem "smisao izraza Ά'". U neupravnome se govoru govori ο smislu npr. nečijega govora. Iz toga je jasno da ni u tome načinu govora riječi nemaju svoje uobičajeno značenje, nego znače ono što je inače njihov smisao. Ukratko, želimo kazati: u neupravnome [ungerade] se govoru riječi upotrebljavaju nepravo [ungerade], odnosno imaju svoje nepravo značenje. Stoga razlikujemo uobičajeno značenje riječi od njezina nepra-voga značenja i njezin uobičajen smisao od njezina nepra-voga smisla. Nepravo je značenje riječi dakle njezin uobičajen smisao. Takve se iznimke uvijek moraju imati pred očima kada u pojedinome slučaju želimo ispravno razumjeti način povezivanja znaka, smisla i značenja. Od značenja i smisla znaka treba razlikovati s njim povezanu predodžbu. Ako je značenje znaka neki osjetilno zamjetljiv predmet, onda je moja predodžba ο tome nutarnja slika nastala iz sjećanja na osjetllne dojmove što sam ih imao te na djelatnosti - kako nutarnje, tako i vanjske - što sam ih izvršio.3 Ona je često puna osjećaja; 3

Predodžbama možemo pridružiti i zorove u kojima osjetilni dojmovi i djelatnosti sami stupaju na mjesto tragova što su ih ostavili u duši. Ta je razlika za našu svrhu nevažna, prije svega jer pored osjeta i djelatnosti i sjećanja na njih pomažu da se upotpuni zorna slika. No pod zorom se može razumjeti i neki predmet ukoliko je on osjetilno zamjetljiv ili prostoran.

0 SMISLU I ZNAČENJU

171

jasnoća njezinih pojedinih dijelova raznolika je i nestalna. Nije uvijek, čak ni kod istoga čovjeka, ista predodžba povezana s istim smislom. Predodžba je subjektivna: predodžba jednoga nije predodžba drugoga. Time su same po sebi dane mnogostruke razlike predodžaba povezanih s istim smislom. Slikar, jahač, zoolog vjerojatno će s imenom "Buchephalus" povezati vrlo različite predodžbe. Predodžba se time bitno razlikuje od smisla znaka', koji može biti zajedničko vlasništvo mnogih te dakle nije dio ili modus pojedine duše; jer ne može se zanijekati da ljudi imaju zajedničko blago misli koje prenose s jednoga naraštaja na drugi.4 Dok prema tome nije prijeporno govoriti ο smislu naprosto, kad je riječ ο predodžbi mora se određenije dodati kome pripada i u koje vrijeme. Mogli bismo možda reći: kao što s istom riječi jedan povezuje ovu, a drugi onu predodžbu, jednako tako s njom jedan može povezivati ovaj, a drugi onaj smisao. Ipak, razlika tada postoji u načinu toga povezivanja. To ne priječi da obojica shvate isti smisao, ali istu predodžbu ne mogu imati. Si duo idem faciunt, non est idem. Ako si dvojica predočuju isto, onda svaki ipak ima svoju vlastitu predodžbu. Ponekad je doduše moguće ustanoviti razlike predodžaba, pa i osjećaja različitih ljudi; ali točna usporedba nije moguća, jer te predodžbe ne možemo zajedno imati u istoj svijesti. Značenje vlastitoga imena sam je predmet što ga tim vlastitim imenom označujemo; predodžba koju pritom imamo posve je subjektivna, a između toga leži smisao, koji doduše nije više subjektivan kao predodžba, ali ipak nije ni sam predmet. Sljedeća je usporedba možda prikladna da bi se pojasnili ti odnosi. Netko promatra Mjesec kroz teleskop. Sam Mjesec uspoređujem sa značenjem; on je 4 Stoga je svrsi neprimjereno riječju "predodžba" označivati nešto u osnovi tako različito.

GOTTLOB FREGE

0SMISLUIZNAČENJU

predmet promatranja koji je posredovan realnom slikom koju projicira objektiv u nutarnjosti teleskopa te slikom na mrežnici promatrača. Prvu sliku uspoređujem sa smislom, a drugu s predodžbom odnosno zorom. Slika u teleskopu, doduše, samo je jednostrana, ovisi ο položaju. No ipak je objektivna, ukoliko se njome može služiti više promatrača. U svakom slučaju, moglo bi se urediti daje više promatrača rabi istodobno. No što se tiče slike na mrežnici, svaki bi promatrač ipak imao svoju vlastitu sliku. Zbog različite građe očiju jedva da bi se mogla postići i geometrijska kongruencija, no zbiljsko bi podudaranje bilo isključeno. Ova bi se usporedba možda mogla navoditi i dalje, pretpostavi li se da se slika na mrežnici od A može učiniti vidljivom B-u; ili bi i sam A mogao u ogledalu vidjeti vlastitu sliku na mrežnici. Time bi se možda pokazalo kako se predodžba doduše može uzeti kao predmet, ali kao takva promatraču ipak ne bi bila ono što neposredno jest onomu koji predočuje. No otišli bismo predaleko idemo li u tom smislu dalje.

Ο predodžbama i zorovima ne treba dalje više govoriti. Oni su ovdje spomenuti samo zato da se predodžba koju neka riječ pobuđuje u slušatelja ne bi pobrkala s njezinim smislom ili značenjem.

172

Sada možemo uočiti tri stupnja razlike između riječi, izraza i cijelih rečenica. Razlika se najviše odnosi ih na predodžbe ih na smisao, ah ne na značenje, ih konačno i na značenje. U odnosu na prvi stupanj valja primijetiti da, zbog nesigurnoga povezivanja predodžaba s riječima, za jednoga može postojati razlika koju drugi ne nalazi. Razlika između prijevoda i izvornika ne treba zapravo prekoračiti prvi stupanj. Razlikama koje su ovdje još moguće pripadaju obojenosti i osvjetljenja koje pjesništvo i govorništvo nastoje dati smislu. Te obojenosti i osvjetljenja nisu objektivni, nego ih svaki slušatelj i čitatelj mora sebi sam stvoriti na temelju nagovještaja pjesnika ih govornika. Bez neke srodnosti ljudskoga predočivanja umjetnost dakako ne bi bila moguća; no nikada se ne može točno doznati u kojoj mjeri odgovaramo nakanama pjesnika.

173

Da bismo se kratko i točno izrazili, mogle bi se ustanoviti sljedeće formulacije: vlastito ime (riječ, znak, spoj znakova, izraz) izražuje svoj smisao, znači ili označuje svoje značenje. Nekim znakom izražujemo njegov smisao i njime označujemo njegovo značenje. S idealističke i skeptičke strane možda je već odavno upućen prigovor: "Ti ovdje bez dvoumljenja govoriš ο Mjesecu kao predmetu; ah odakle znaš da ime 'Mjesec" uopće ima neko značenje, odakle znaš da uopće bilo što ima značenje?" Odgovaram da nam namjera nije govoriti ο našoj predodžbi Mjeseca i da se, isto tako, ne zadovoljavamo smislom kada kažemo 'Mjesec', nego pretpostavljamo značenje. Kad bismo htjeli pretpostaviti kako je u rečenici "Mjesec je manji od Zemlje" riječ ο predodžbi Mjeseca, to bi značilo da upravo promašujemo smisao. Kada bi govornik htio to, tada bi upotrijebio izričaj "moja predodžba Mjeseca". No u toj pretpostavci očito možemo i pogriješiti, a takve su se pogreške i dogodile. Ah pitanje griješimo h mi možda uvijek u tome može ovdje ostati neodgovoreno. Da bi se opravdao govor ο značenju znaka - pod uvjetom da neko takvo značenje postoji - dovoljno je uputiti na našu namjeru pri govorenju odnosno mišljenju. Dosad smo razmatrali smisao i značenje samo onih izraza, riječi, znakova koje smo nazvali vlastitim imenima. Sada pitamo ο smislu i značenju cijele tvrdnje. Takva rečenica sadrži misao. 5 Treba li tu misao shvatiti kao njezin smisao ih kao njezino značenje? Pretpostavimo prvo da 5 Pod mišlju ne razumijem subjektivni čin mišljenja, nego njegov objektivni sadržaj, koji može biti zajedničko vlasništvo mnogih.

GOTTLOB FREGE

0 SMISLU I ZNAČENJU

rečenica ima značenje. Zamijenimo li sada u njoj jednu riječ drugom riječju istoga značenja, ali drugoga smisla, to ne može imati nikakav utjecaj na značenje rečenice. No vidimo da se u takvu slučaju mijenja misao. Jer npr. misao rečenice "Danica je tijelo što ga obasjava Sunce" različita je od misli rečenice "Večernjača je tijelo što ga obasjava Sunce". Onaj tko ne zna da je Večernjača Danica, taj bi jednu misao mogao držati istinitom, a drugu lažnom. Misao dakle ne može biti značenje rečenice, štoviše trebat ćemo je shvatiti kao smisao. No što je onda sa značenjem? Možemo li uopće ο njemu pitati? Ima li možda rečenica kao cjelina samo smisao, ali ne i značenje? U svakom slučaju, može se očekivati da postoje takve rečenice, jednako kao što postoje dijelovi rečenice koji imaju smisao, ali ne i značenje. Takve će vrste biti i rečenice koje sadrže vlastita imena bez značenja. Rečenica "Čvrsto spavajući Odisej iskrcao se na kopno u Itaci" očito ima smisao. No budući da je dvojbeno ima U ime "Odisej" što se u njoj pojavljuje značenje, dvojbeno je i to ima li cijela ta rečenica značenje. No ipak je sigurno da netko tko tu rečenicu ozbiljno drži istinitom ili lažnom i imenu "Odisej" pripisuje značenje, a ne samo smisao; jer značenju toga imena pripisuje se ili odriče predikat. Tko ne priznaje značenje, taj mu ne može ni pripisati ni odreći predikat. No napredovanje do značenja imena bilo bi suvišno; kad bismo htjeli ostati kod misli, mogli bismo se zadovoljiti smislom. Kad bi stvar bila samo u smislu rečenice, u misli, tada bi bilo nepotrebno brinuti se ο značenju dijela rečenice. Za smisao rečenice relevantan može biti samo smisao, a ne značenje toga dijela. Misao ostaje ista bez obzira na to ima li ime "Odisej" značenje ili ne. Činjenica da se uopće bavimo značenjem dijela rečenice znak je toga da i za samu rečenicu uopće priznajemo i zahtijevamo značenje. Misao gubi za nas na vrijednosti čim spoznamo da jednome njezinu dijelu nedostaje značenje. Posve je dakle opravdano što se ne zadovoljavamo smislom rečenice, nego pitamo i ο njezinu značenju. No zašto onda želimo da svako vlastito ime

ima ne samo smisao, nego i značenje? Zašto nas misao ne zadovoljava? Jer nas, i utoliko što nas, ona upućuje na svoju istinosnu vrijednost. To nije uvijek tako. Npr. pri slušanju kakva epa pored blagozvučja jezika zaokuplja nas samo smisao rečenica te predodžbe i osjećaji što odatle proizlaze. S pitanjem ο istini napustili bismo umjetnički užitak i posvetili se znanstvenome razmatranju. Stoga nam je, sve dok pjesmu razumijemo kao umjetničko djelo, i svejedno ima li npr. ime "Odisej" neko značenje.6 Dakle, težnja za istinom jest ono što nas svugdje tjera da napredujemo od smisla prema značenju.

174

175

Vidjeli smo da se kod rečenice značenje treba tražiti uvijek kad je riječ ο značenju sastavnih dijelova, a to je slučaj uvijek i samo kada pitamo ο istinosnoj vrijednosti. Tako smo došli do toga da kao značenje rečenice prihvatimo istinosnu vrijednost. Pod istinosnom vrijednošću rečenice razumijem okolnost da je ona istinita odnosno da je lažna. Druge istinosne vrijednosti ne postoje. Poradi kratkoće jednu nazivam istinitost, a drugu lažnost. Svaku tvrdnju u kojoj pitamo ο značenju riječi treba dakle shvatiti kao vlastito ime, a njezino je značenje, u slučaju da ga ima, ili istinitost ili lažnost. Svatko tko uopće sudi, tko nešto drži za istinito, dakle i skeptik, priznat će, makar samo prešutno, ta dva predmeta. Označivanje istinosnih vrijednosti kao predmeta može ovdje izgledati kao proizvoljna dosjetka ili možda kao puka igra riječima iz koje se ne mogu izvući duboki zaključci. Ono što nazivam predmetom može se točnije razjasniti samo u vezi s pojmom i odnosom. To želim zadržati za jedan drugi članak. No ipak 6

Za znakove koji trebaju Imati samo smisao bilo bi poželjno imati neki poseban izraz. Kad bismo Ih nazvali recimo slikama, tada bi riječi glumca na pozornici bile slike, zapravo bi sam glumac bio slika.

178

GOTTLOBFREGE

0SMISLUIZNAČENJU

vidjeli, u tom slučaju nije uobičajeno. Rečenica u upravnome govoru ponovno znači rečenicu, a u neupravnome misao.

Činjenica da je u našim slučajevima značenje zavisne rečenice zapravo misao vidljiva je i iz toga što je za istinu cjeline svejedno je li ta misao istinita ih je lažna. Usporedimo npr. dvije rečenice: "Kopernik je vjerovao da su putanje planeta kružnice" i "Kopernik je vjerovao da je privid kretanja Sunca prouzročen zbiljskim kretanjem Zemlje". Ovdje je moguće jednu zavisnu rečenicu zamijeniti drugom bez štete po istinu. Glavna rečenica, zajedno sa zavisnom rečenicom, kao smisao ima samo jednu jedinu misao, a istina cjeline ne uključuje ni istinu ni neistinu zavisne rečenice. U tim slučajevima nije dopušteno u zavisnoj rečenici jedan izraz zamijeniti drugim koji ima isto uobičajeno značenje, nego samo takvim koji ima isto nepravo značenje, tj. isti uobičajen smisao. Ako bi netko htio zaključiti da značenje rečenice nije njezina istinosna vrijednost "jer tada bi se ta rečenica mogla uvijek zamijeniti drugom iste istinosne vrijednosti", taj bi previše dokazivao. Isto bi se tako moglo tvrditi da značenje riječi "Danica" nije Venera, jer ne može se uvijek za "Danicu" reći 'Venera". S pravom se može zaključiti samo to da značenje rečenice nije uvijek njezina istinosna vrijednost i da "Danica" ne znači uvijek planet Veneru, naime ne znači tada kada ta riječ ima svoje nepravo značenje. Takva se iznimka nalazi u gore razmatranim zavisnim rečenicama čije je značenje misao.

Došli smo tako do razmatranja zavisnih rečenica. One nastupaju kao dijelovi rečeničnoga niza koji s logičke točke gledišta također izgleda kao rečenica, i to kao glavna rečenica. No tu se susrećemo s pitanjem vrijedi li u tome slučaju i za zavisne rečenice da je njihovo značenje isti-nosna vrijednost. Već znamo da je u slučaju neupravnoga govora upravo suprotno. Zavisne rečenice gramatičari shvaćaju kao ono što stoji za dijelove rečenice i prema tome ih dijele na imenske rečenice, pridjevske rečenice i priloške rečenice. Odatle bi moglo proizići mišljenje da značenje zavisne rečenice nije istinosna vrijednost, nego da je istovrsno značenju imenice, pridjeva üi priloga, ukratko dijelu rečenice koji kao smisao nema misao, nego samo dio misli. To bi moglo razjasniti samo podrobnije istraživanje. Pritom se nećemo strogo držati gramatičkoga putokaza, nego ćemo skupiti ono što je tome logički istovrsno. Potražimo najprije takve slučajeve u kojima smisao zavisne rečenice, kako smo gore predmnijevali, nije samostalna misao. Apstraktnim imenskim rečenicama koje počinju s "da" pripada i neupravni govor, a vidjeli smo da u njemu riječi imaju svoje nepravo značenje, koje se podudara s onim što je obično njihov smisao. U tom slučaju, dakle, zavisna rečenica kao svoje značenje ima misao, a ne istinosnu vrijednost. Kao smisao nema misao, nego smisao riječi "misao da...", koji je samo dio misli čitavoga rečeničnoga niza. To dolazi nakon "reći", "čuti", "mniti", "biti uvjeren", "zaključiti" i sličnih riječi.8 Drukčije, i to prilično zamršeno, stvar stoji s riječima kao što su "spoznati", "znati", "misliti", što će trebati razmotriti poslije. 8 U "A je lagao da je vidio B-a" zavisna rečenica znači misao ο kojoj je prvo kazano kako ju je A tvrdio kao istinitu, a zatim kako je A bio uvjeren u njezinu lažnost.

179

Kada kažemo "čini se da...", pod tim podrazumijevamo "čini mi se da..." ili "mislim da...". Ponovno dakle imamo isti slučaj. Slično je s izrazima kao što su "veseliti se", "žaliti", "pristajati", "kuditi", "nadati se", "bojati se". Kada se Wellington pri kraju bitke kod Waterlooa veselio što su došli Prusi, razlog njegove radosti bila je uvjerenost. Da se prevario, ne bi se, za vrijeme trajanja njegove zablude, veselio ništa manje, a prije nego što je postao uvjeren da su Prusi došli nije se mogao tome veseliti, iako su oni zapravo već nadolazili.

182

GOTTLOB FREGE

pretpostavljeno da ime "Kepler" nešto označuje. Ali zbog toga u smislu rečenice "Kepler je umro u bijedi" ipak nije sadržana misao da ime "Kepler" nešto označuje. Kad bi to bio slučaj, nijekanje ne bi smjelo glasiti

Ο SMISLUI ZNAČENJU

183

planeta. Kad bi to bilo točno, tada bi nijekanje moralo glasiti "onaj koji je prvi spoznao eliptični oblik putanja planeta nije umro u bijedi ili nije postojao onaj koji je otkrio eliptični oblik putanja planeta".

"Kepler nije umro u bijedi", nego "Kepler nije umro u bijedi ili ime 'Kepler' je bez značenja". Činjenica da ime "Kepler" nešto označuje jest štoviše pretpostavka kako za tvrdnju "Kepler je umro u bijedi". tako i za njoj suprotnu tvrdnju. Jezici sada imaju taj nedostatak što su u njima mogući izrazi koji prema svojemu gramatičkomu obliku izgledaju određeni za to da označuju predmet, ali to svoje određenje u pojedinim slučajevima ne postižu, jer to ovisi ο istini rečenice. Tako ο isäni rečenice "postojao je onaj koji je otkrio eliptični oblik putanja planeta" ovisi da li zavisna rečenica "koji je otkrio eliptični oblik putanja planeta" zbiljski označuje predmet ili samo izaziva privid toga, a zapravo je ipak bez značenja. I tako se može činiti kao da naša zavisna rečenica kao dio svojega smisla sadrži misao da je postojao netko tko je otkrio eliptični oblik putanja

To dakle stoji do nepotpunosti jezika, od čega uostalom nije posve oslobođen ni znakovni jezik analize. I tu bi se mogle pojaviti veze znakova koje stvaraju privid kao da nešto znače, a koje su, barem dosad, još uvijek bez značenja, npr. divergentni beskonačni nizovi. To se može izbjeći npr. posebnom tvrdnjom da divergentni beskonačni nizovi trebaju značiti broj 0. Od logički savršenoga jezika (pojmopisa) valja zahtijevati da svaki izraz koji je iz već uvedenih znakova na gramatički ispravan način oblikovan kao vlastito ime uistinu označuje predmet i da nijedan novi znak neće biti uveden kao vlastito ime, a da mu nije osigurano značenje. Logičke nas knjige odvraćaju od više-značnosti izraza kao izvora logičkih pogrešaka. Ništa manje umjesnom ne držim opomenu od prividnih vlastitih imena koja nemaju značenje. Povijest matematike može pripovijedati ο pogreškama koje su odatle nastale. U tome je, isto tako, očita demagoška zloupotreba, možda očitija nego kod višeznačnih riječi. Kao primjer za to može služiti "volja naroda"; jer lako će se ustanoviti kako ipak ne postoji nikakvo općeprihvaćeno značenje toga izraza. Nije dakle sasvim nevažno izvore tih pogrešaka jednom zauvijek začepiti, barem u znanosti. Tada onakvi prigovori kakve smo upravo naveli postaju nemogući, jer tada nikada ne može ο istini misli ovisiti ima li neko vlastito ime značenje. Tim imenskim rečenicama u raspravi bismo mogli pridružiti i neku vrstu pridjevskih i priloških rečenica, koje su im logički srodne.

184

GOTTLOB FUEGE

I pridjevske rečenice služe tome da se oblikuju složena vlastita imena, iako one, za razliku od imenskih rečenica, same nisu za to dostatne. Te pridjevske rečenice treba razmatrati na isti način kao i pridjeve. Umjesto "kvadratni korijen iz 4 koji je manji od 0" [die Quadratwurzel aus 4. die kleiner ist als 0] može se također reći "negativni kvadratni korijen iz 4" [die negative Quadratwurzel aus 4]. Ovdje" imamo slučaj daje iz izraza za pojam uz pomoć određenoga člana u jednini oblikovano složeno vlastito ime, što je u svakom slučaju dopušteno kada pod pojam potpada jedan i samo jedan predmet.9 Izrazi za pojmove mogu se oblikovati tako da se oznake navedu pridjevskim rečenicama, kao u našemu primjeru rečenicom "koji je manji od 0". Bjelodano je da takva pridjevska rečenica, isto kao ni prije imenska rečenica, kao smisao ne može imati misao, a kao značenje ne može imati istinosnu vrijednost, nego kao smisao, koji se u većini slučajeva može izraziti i pojedinim pridjevom, ima samo dio misli. I ovdje, kao i kod onih imenskih rečenica, nedostaje samostalni subjekt, a time i mogućnost da se smisao zavisne rečenice iznese u samostalnoj glavnoj rečenici. Mjesta, vremenske točke, vremenski razmaci jesu, logički razmotreni, predmeti. Stoga jezičnu oznaku određenoga mjesta, određenoga trenutka ili vremenskoga razmaka valja razumjeti kao vlastito ime. Priloške rečenice mjesta i vremena mogu se upotrijebiti za oblikovanje takva vlastitog imena na način koji je sličan onome što smo ga uvidjeli u slučaju imenskih i pridjevskih rečenica. Isto se tako mogu oblikovati izrazi za pojmove koji obuhvaćaju mjesta itd. I tu valja primijetiti da se smisao tih zavisnih rečenica ne može iznijeti u glavnoj rečenici, jer nedostaje jedan bitan 9 Prema onome što smo gore primijetili, takvu bi se Izrazu zapravo posebnom odredbom uvijek trebalo osigurati značenje, npr. određenjem da bi kao njegovo značenje imao vrijediti broj 0 ako pod pojam ne potpada nijedan predmet ili više nego jedan.

Ο SMISLU I ZNAČENJU

185

sastavni dio, naime određenje mjesta ili vremena koje je samo naznačeno odnosnom zamjenicom ih česticom. 10 I u pogodbenim rečenicama, kao što smo vidjeli da je i kod imenskih, pridjevskih i priloških rečenica, većinom valja priznati jedan neodređeno naznačujući sastavni dio kojemu u apodozi odgovara upravo isti takav. Time što jedan na drugoga upućuju, oni dvije rečenice povezuju u cjelinu koja u pravilu izražava samo jednu misao. U rečenici "ako je neki broj manji od 1 i veći od 0, onda je i njegov kvadrat manji od 1 i veći od 0" taj je sastavni dio "neki broj" u protazi i "njegov" u apodozi. Upravo tom neodređenošću smisao dobiva općenitost koja se očekuje od nekoga zakona. No upravo time biva i to da sama protaza kao smisao nema potpunu misao i zajedno s apodozom izražuje misao - i to samo jednu jedinu - čiji 10 Uostalom, kod takvih su rečenica lako moguća različita shvaćanja. Smisao rečenice "nakon što se Schleswig-Holstein odcijepio od Danske Prusija i Austrija su se zavadile" možemo prikazati i u obliku "nakon odcjepljenja Schleswig-Holsteina od Danske Prusija i Austrija su se zavadile". Pri takvu je razumijevanju zacijelo dostatno jasno da kao dio smisla ne treba shvatiti misao da se Schleswig-Holstein jednom odcijepio od Danske, nego da je to nužna pretpostavka za to da izraz "nakon odcjepljenja Schleswig-Holsteina od Danske" uopće ima značenje. Naša se rečenica, dakako, dade shvatiti 1 tako da njome treba biti iskazano da se Schleswig-Holstein jednom odcijepio od Danske. Tada imamo slučaj koji će trebati razmotriti kasnije. Premjestimo se, da bismo jasnije uvidjeli razliku, u dušu nekoga Kineza, koji u svojemu slabom poznavanju europske povijesti činjenicu da se Schleswig-Holstein jednom odcijepio od Danske drži lažnom. On našu rečenicu, shvaćenu na prvi način, neće držati ni istinitom ni lažnom, nego će joj odreći svako značenje, jer bi ono tada nedostajalo zavisnoj rečenici. Rečenica bi samo naizgled određivala neko vrijeme. Ako, nasuprot tome, našu rečenicu shvati na drugi način, u njoj će naći Izraženu misao koju bi držao lažnom, pored jednoga dijela, koji bi za njega bio bez značenja.

GOTTLOBFREGE

Ο SMISLUI ZNAČENJU

dijelovi nisu više misli. Općenito je netočno da su u hipo-tetičkome

obliku "kvadrat nekog broja koji je manji od 1 i veći od 0 manji je od 1 i veći od 0".

186

sudu dva suda postavljeni u uzajamni odnos. Ako se kaže tako ili slično, onda se riječ "sud" upotrebljava u istome smislu koji sam ja povezao s riječi "misao", tako da bih zato mogao kazati: "u hipotetičkoj su misli dvije misli postavljene u uzajamni odnos". To bi moglo biti istinito samo ako nedostaje jedan neodređeno naznačujući sastavni dio;11 · no tada ne bi bilo ni općenitosti. Ako u prolazi i apodozi treba neodređeno naznačiti vremensku točku, to se onda nerijetko događa samo uz pomoć tempus praesens glagola, koji u tom slučaju ne suoznačuje sadašnjost. Taj je gramatički oblik tada u glavnoj i zavisnoj rečenici neodređeno naznačujući sastavni dio. "Kada se Sunce nalazi u Rakovoj obratnici, na sjevernoj polutci imamo najduži dan" jest primjer za to. I ovdje je nemoguće smisao zavisne rečenice izraziti u glavnoj rečenici, jer taj smisao nije potpuna misao. Jer kad bismo kazali "Sunce se nalazi u Rakovoj obratnici", to bismo stavili u odnos prema našoj sadašnjosti i time bismo izmijenili smisao. Isto tako, ni smisao glavne rečenice nije misao; smisao sadrži tek cjelina koja se sastoji od glavne i zavisne rečenice. Uostalom, i više zajedničkih sastavnih dijelova mogu biti neodređeno naznačeni u protazi i apodozi. Bjelodano je da imenske rečenice s "tko", "što" i priloške rečenice s "gdje", "kada", "uvijek gdje", "uvijek kada" valja prema smislu često razumjeti kao pogodbene rečenice, npr. "Tko dodiruje smolu, taj se prlja". I pridjevske rečenice mogu stajati za pogodbene rečenice. Tako smisao ranije navedene rečenice možemo izraziti i u

11

Izričita jezična naznaka ponekad nedostaje i mora se razabrati iz cijeloga konteksta.

187

Stvar je posve drukčija ako se zajednički sastavni dio glavne i zavisne rečenice označi vlastitim imenom. U rečenici "Napoleon, koji je uvidio opasnost za svoje desno krilo, sam je poveo svoje trupe na neprijateljski položaj" izražene su dvije misli:

1. Napoleon je uvidio opasnost za svoje desno krilo; 2. Napoleon je sam poveo svoje trupe na neprijateljski položaj. Kada se i gdje to dogodilo, to se može doduše spoznati samo iz konteksta, no valja ga razumjeti kao time određeno. Ako cijelu našu rečenicu izgovaramo kao tvrdnju, onda time ujedno tvrdimo oba dijela rečenice. Ako je jedan od tih dijelova lažan, onda je time lažna i cjelina. Ovdje imamo slučaj da zavisna rečenica sama za sebe kao smisao ima potpunu misao (ako je dopunimo naznakom vremena i mjesta). Značenje je zavisne rečenice prema tome isti-nosna vrijednost. Možemo dakle očekivati da se zavisna rečenica bez štete po istinu cjeline može zamijeniti rečenicom iste istinosne vrijednosti. Tako i jest; samo moramo paziti na to da njezin subjekt mora biti "Napoleon", iz čisto gramatičkoga razloga, jer samo tada ona može biti stavljena u oblik pridjevske rečenice koja spada u "Napoleon". Napustimo U pak zahtjev da je promatramo u tome obliku i dopustimo li da iza slijedi "i", onda to ograničenje otpada. Potpune su misli izražene i u zavisnim rečenicama s "iako". Ta rječca zapravo nema nikakav smisao te i ne

188

GOTTLOB FREGE

mijenja smisao rečenice, nego ga samo na osebujan način osvjetljuje.12 Mogli bismo doduše bez štete po istinu cjeline dopusnu rečenicu zamijeniti nekom drugom rečenicom iste isünosne vrijednosti, no osvjetljenje bi tada lako moglo izgledati neodgovarajuće, kao kad bi se pjesma žalosna sadržaja htjela pjevati na veseli način. U posljednjim je slučajevima istina cjeline obuhvaćala istinu dijelova rečenica. Drukčije je ako pogodbena rečenica izražuje potpunu misao time što umjesto samo naznačujućega sastavnoga dijela sadrži vlastito ime ili nešto što treba promatrati kao tome jednako. U rečenici "ako je Sunce sada već izišlo, nebo je jako oblačno" vrijeme je sadašnjost, dakle određeno. I mjesto valja pomišljati kao određeno. Ovdje se može reći da je postavljen odnos između istinosnih vrijednosti protaze i apodoze. naime takav da ovaj slučaj ne nalazimo tamo gdje protaza znači istinitost, a apodoza lažnost. Prema tome, naša je rečenica istinita i ako Sunce sada još nije izišlo - bez obzira na to je U nebo jako oblačno ili nije - i ako je Sunce već izišlo, a nebo je jako oblačno. Budući da je ovdje stvar samo u istinosnim vrijednostima, svaki od dijelova rečenice možemo zamijeniti drugim iste istinosne vrijednosti, a da ne promijenimo istinosnu vrijednost cjeline. Naravno, i ovdje bi osvjetljenje većinom bilo neodgovarajuće: misao bi lako mogla izgledati iskrivljeno. No to nema nikakve veze s njezinom istinosnom vrijednošću. Pritom valja uvijek držati na pameti da se s njom zajedno pojavljuju sporedne misli, no one nisu navlastito izražene pa ih stoga ne smijemo ubrojiti u smisao rečenice, u istinosnu vrijednost koje dakle ne možemo zadirati.13 12

Slično imamo i kod "ali", "ipak".

13 Misao naše rečenice mogla bi se izraziti i ovako: "ili Sunce sada još nije izišlo ili je nebo jako oblačno", iz čega je vidljivo kako valja shvatiti tu vrstu rečeničnoga niza.

0 SMISLU 1 ZNAČENJU

189

Time su navedeni jednostavni slučajevi. Bacimo jedan pogled unatrag na ono što smo spoznali. Zavisna rečenica većinom kao smisao nema misao, nego samo njezin dio te, susljedno tome, kao značenje nema istinosnu vrijednost. Razlog je toga ih u činjenici što u zavisnoj rečenici riječi imaju svoje nepravo značenje - tako da je misao značenje, a ne smisao zavisne rečenice - ih u tome što je zavisna rečenica zbog u njoj samo neodređeno naznačujućega sastavnoga dijela nepotpuna, tako da ona tek zajedno s glavnom rečenicom izražuje misao. No postoje i slučajevi u kojima je smisao zavisne rečenice potpuna misao i tada zavisnu rečenicu možemo bez štete po istinu cjeline zamijeniti drugom iste istinosne vrijednosti, ukoliko ne postoje gramatičke zapreke. Promotrimo li potom sve zavisne rečenice na koje možemo naići, namjerit ćemo se na takve koje neće moći odgovarati u tu lepezu. Razlog će tomu. koliko vidim, ležati u činjenici što te zavisne rečenice nemaju tako jednostavan smisao. Gotovo uvijek, čini se, s glavnom misli koju izgovaramo povezujemo sporedne misli, koje i slušalac, iako one nisu izražene, u skladu s psihološkim zakonima povezuje s našim riječima. A budući da se te sporedne misli tako čine same po sebi povezane s našim riječima, gotovo kao i glavna misao sama, mi tada želimo izraziti i takvu sporednu misao. Time smisao rečenice postaje bogatiji i lako se može dogoditi da imamo više jednostavnih misli nego rečenica. U nekim slučajevima rečenicu treba razumjeti tako, u drugima može biti dvojbeno pripada li sporedna misao smislu rečenice ili ga samo prati. 14 Tako bi se možda moglo iznaći da u rečenici

14

To može biti od važnosti za pitanje je li neka tvrdnja laž, je li neka zakletva krivokletstvo.

190

0SMISLUIZNAČENJU

GOTTLOB FREGE

"Napoleon, koji je uvidio opasnost za svoje desno krilo, sam je poveo svoje trupe na neprijateljski položaj" ne bi bile izražene samo dvije gore naznačene misli, nego i ta da je spoznaja opasnosti bila razlog zbog kojega je poveo trupe na neprijateljski položaj. Zapravo može biti dvojbeno je li ta misao' samo lagano sugerirana ili je uistinu izražena. Postavlja se pitanje bi li naša rečenica bila lažna da je Napoleonova odluka bila donesena još i prije uočavanja opasnosti. Kad bi naša rečenica unatoč tome mogla biti istinita, tada našu sporednu misao ne bi trebalo shvatiti kao dio smisla naše rečenice. Vjerojatno ćemo se odlučiti za to. U drugom bi se slučaju stvari prilično zamrsile: tada bismo imali više jednostavnih misli nego rečenica. Ako dakle i rečenicu "Napoleon je uvidio opasnost za svoje desno krilo" zamijenimo drugom iste istinosne vrijednosti, npr. rečenicom "Napoleon već bijaše stariji od 45 godina", time bi se promijenila ne samo naša prva, nego i naša treća misao, a time bi i njezina istinosna vrijednost mogla postati drukčija - naime u slučaju da njegova starost nije bila razlog za odluku da trupe povede na neprijatelja. Odatle je vidljivo zbog čega u takvim slučajevima rečenice iste istinosne vrijednosti ne mogu uvijek jedna drugu zamijeniti. Rečenica tada prema svojoj povezanosti s drugom izražuje više nego sama za sebe. Promotrimo slučajeve gdje se to događa pravilno. U rečenici

191

"Bebel pogrešno misli da bi se vraćanjem Alsace-Lorraine mogla stišati francuska težnja za osvetom" izražene su dvije misli i nije tako da jedna od njih pripada glavnoj rečenici, a druga zavisnoj, naime 1. Bebel vjeruje da -bi se vraćanjem Alsace-Lorraine mogla stišati francuska težnja za osvetom; 2. vraćanjem Alsace-Lorraine ne bi se mogla stišati francuska težnja za osvetom. U izričaju prve misli riječi zavisne rečenice imaju svoje nepravo značenje, dok iste riječi u izričaju druge misli imaju svoje uobičajeno značenje. Iz toga vidimo da zavisnu rečenicu u našemu izvornome rečeničnome nizu zapravo valja uzimati na dvostruki način, s različitim značenjima, od kojih je jedno misao, a drugo istinosna vrijednost. Budući da istinosna vrijednost nije cijelo značenje zavisne rečenice, zavisnu rečenicu ne možemo jednostavno zamijeniti drugom iste istinosne vrijednosti. Slično imamo kod izraza kao što su "znati", "spoznati", "poznato je". S uzročnom zavisnom rečenicom i njom pripadajućom glavnom rečenicom izražavamo više misu, no koje pojedinačno ne odgovaraju rečenicama. U rečenici "budući da je led specifično lakši od vode, on pliva na vodi" imamo: 1. led je specifično lakši od vode; 2. ako je nešto specifično lakše od vode, ono pliva na vodi;

192

GOTTLOB FREGE

193

3. led pliva na vodi.

ne možemo općenito zamijeniti drugom iste istinosne vrijednosti.

Treća misao možda ne treba biti izričito navedena jer je sadržana u prve dvije. S druge strane, niti prva i treća niti druga i treća zajedno ne bi činile smisao naše rečenice. Vidimo da je u našoj zavisnoj rečenici "budući da je led specifično- lakši od vode" izražena kako naša prva misao, tako i dio naše druge misli. Odatle proizlazi da našu zavisnu rečenicu ne možemo jednostavno zamijeniti drugom iste istinosne vrijednosti, jer time bi se promijenila i naša druga misao, a to bi se lako moglo ticati i njezine istinosne vrijednosti. Slična je stvar i u rečenici "da je željezo specifično lakše od vode, ono bi plivalo na vodi". Ovdje imamo dvije misli, da željezo nije specifično lakše od vode i da nešto pliva na vodi ako je specifično lakše od vode. Zavisna rečenica opet izražuje jednu misao i dio druge misli. Ako ranije razmatranu rečenicu "nakon što se Schleswig-Holstein odcijepio od Danske, Prusija i Austrija su se zavadile" shvatimo tako da je u njoj izražena misao da se SchleswigHolstein jednom odcijepio od Danske, onda prvo imamo tu misao, a na drugome mjestu misao da su se u vrijeme koje je pobliže određeno zavisnom rečenicom Prusija i Austrija zavadile. Ni ovdje dakle zavisna rečenica ne izražuje samo jednu misao, nego i dio druge misli. Stoga je

Teško je iscrpiti sve mogućnosti koje su dane u jeziku. Ipak se nadam da sam u bitnome pronašao razloge zbog kojih ne može uvijek bez štete po istinu cijeloga rečeničnoga niza zavisna rečenica biti zastupljena drugom iste istinosne vrijednosti. Ti su razlozi: 1. time što zavisna rečenica izražava samo jedan dio misli ona ne znači istinosnu vrijednost; 2. time što smisao zavisne rečenice osim jedne misli obuhvaća i dio druge misli ona doduše znači istinosnu vrijednost, ah se ne ograničuje na nju. Prvi slučaj nastupa a) kod nepravoga značenja riječi; b) kada dio rečenice samo neodređeno naznačuje umjesto da je vlastito ime. U drugome slučaju zavisnu rečenicu možemo uzeti dvostruko, naime jednom u uobičajenu značenju, drugi put u nepravu značenju. Ih: smisao jednoga dijela zavisne rečenice može ujedno biti sastavni dio druge misli koja s onim što je neposredno izraženo u zavisnoj rečenici zajedno čini cjelokupni smisao glavne i zavisne rečenice. Odatle s dostatnom vjerojatnošću proizlazi da slučajevi u kojima se zavisna rečenica ne može zamijeniti drugom iste istinosne vrijednosti ne dokazuju ništa protiv naše tvrdnje da je istinosna vrijednost značenje rečenice, a da je njezin smisao misao. 3. Vratimo se sada našoj polazišnoj točki.

194

GOTTLOB FREGE

Ako smo iznašli da su spoznajne vrijednosti od "a = a" i "a = b" općenito različite, onda se to dade objasniti činjenicom što za spoznajnu vrijednost smisao rečenice, naime u njoj izražena misao, nije ništa manje relevantna od njezina značenja, koje je njezina istinosna vrijednost. Ako je α = b, onda je doduše značenje od "b" isto kao i značenje od "a", pa je dakle i istinosna vrijednost od "a = b" ista kao i od "a = a". Unatoč tome, smisao od "b" može biti različit od smisla od "a", a time i misao izražena u "a - b" može biti različita od misli izražene u "a = a"; tada ta dva stavka nemaju ni istu spoznajnu vrijednost. Ako, kao gore. pod "sud" razumijemo napredovanje od misli do njezine istinosne vrijednosti, onda ćemo reći i da su sudovi različiti.

O POJMU I PREDMETU

Benno Kerry se u nizu članaka ο zoru i njegovoj psihičkoj preradi u ovome tromjesečniku* često osvrtao na moje Osnove aritmetike i druge spise, dijelom s odobravanjem, dijelom s osporavanjem. To me može samo veseliti i vjerujem da ću svoju zahvalnost najbolje pokazati tako da se poduzmem objašnjavanja onoga što je on osporavao. To mi se čini utoliko potrebnijim što njegovo protuslovljenje dijelom počiva u svakom slučaju na nerazumijevanju - koje bi mogao dijeliti s drugima - onoga što sam kazao ο pojmu i što je ova stvar dovoljno važna i teška da bi se i bez ovoga posebnoga povoda trebala razmotriti podrobnije nego što mi se u mojim Osnovama činilo da je prikladno. Riječ "pojam" upotrebljava se različito, dijelom u psihološkom, dijelom u logičkom smislu, a dijelom možda u nejasnoj mješavini obojega. Kada jednom postoji takva sloboda, ona svoje prirodno ograničenje nalazi u zahtjevu da se čvrsto držimo jednom prihvaćenoga načina upotrebe. Odlučio sam da se strogo držim logičke upotrebe. Pitanje je U ova ih ona upotreba prikladnija želio bih ostaviti po strani kao manje važno pitanje. Lako ćemo se sporazumjeti oko načina izražavanja jednom kad je priznato da je riječ ο nečemu što zaslužuje poseban nazivak. Čini ml se da je Kerryjevo nerazumijevanje uzrokovano time što on nehotimično brka svoju vlastitu upotrebu riječi "pojam" s mojom. Odatle lako izviru protuslovlja za koja ne treba kriviti moj način upotrebe. *[Vierteljahrschrtft für wissenschaftliche Philosophie 9 (1885), 433-493; 10 (1886), 419-467; 11 (1887), 53-116; 249-307; 13 (1889), 71124; 392-419.]

O POJMU I PREDMETU

GOTTLOB FREGE 196 Kerry osporava ono što naziva mojom definicijom pojma. Tu bih želio prije svega primijetiti kako moje objašnjenje nije zamišljeno kao prava definicija. Ne može se zahtijevati da sve bude definirano, kao što se ni od kemičara ne može zahtijevati da razluči sve tvari. Ono što je jednostavno ne može se razlučiti, a ono što je logički jednostavno u navlastitu se smislu ne može definirati. Ono što je logički jednostavno nije, kao ni većina kemijskih elemenata, unaprijed dano, nego se dobije tek znanstvenim radom. Ako je pronađeno nešto što je jednostavno ih što barem do daljnjega mora vrijediti kao jednostavno, onda će za to biti potrebno iskovati naziv, budući da jezik izvorno neće imati točno odgovarajući izraz. Nije moguća definicija za uvođenje imena za ono što je logički jednostavno. Stoga ne preostaje ništa drugo nego da se čitatelj ili slušatelj navještajima uputi da pod riječima razumije ono što se mislilo. Kerry ne želi dopustiti da razlika između pojma i predmeta vrijedi apsolutno. On kaže: "Na ranijem smo mjestu iznijeli mišljenje da je odnos između sadržaja pojma i predmeta pojma u stanovitu vidu osebujan, nesvodiv; no s time nije nipošto bilo povezano mišljenje da se svojstva "biti pojam' i 'biti predmet' međusobno isključuju; ovo posljednje iz prvoga slijedi jednako malo kao što recimo iz toga što odnos između oca i sina nije povratan slijedi da netko ne bi mogao ujedno biti otac i sin (iako naravno ne npr. otac onoga čiji je sin)." Nadovežimo se na ovu prispodobu. Ako bi postojala ih ako su postojala bića koja doduše jesu očevi, ali ne bi mogla biti sinovi, onda bi takva bića očito bila posve drukčije vrste od svih ljudi koji su sinovi. Slično je i ovdje. Pojam - kako ja razumijem tu riječ - jest predikativan.l Nasuprot tome, ime predmeta, vlastito ime uopće ne može 1

On je naime značenje gramatičkoga predikata.

197

biti upotrijebljeno kao gramatički predikat. Da ne bi izgledalo pogrešno, ovo zacijelo potrebuje objašnjenje. Ne može li se o nečemu jednako iskazati da je to Aleksandar Veliki ili da je to broj četiri ih da je to planet Venera kao što se o nečemu može iskazati da je to zeleno ih da je to sisavac? Razmišljamo li tako, ne razlikujemo načine upotrebe riječi "jest". U posljednja dva primjera ono služi kao kopula, samo kao riječ koja oblikuje iskaz. Kao takvu, ponekad je može zastupati samo glagolski nastavak. Usporedimo npr. "ovaj je hst zelen" i "ovaj [se] hst zeleni". Tada kažemo kako nešto potpada pod pojam i kako gramatički predikat pritom znači taj pojam. Nasuprot tome, u prva tri primjera "jest" je upotrijebljeno kao što se u aritmetici upotrebljava znak jednakosti, da bi se izrazila jednadžba. 2 U rečenici "Danica je Venera" imamo dva vlastita imena, "Danica" i 'Venera", za isti predmet. U rečenici "Danica je planet" imamo jedno vlastito ime - "Danica" - i jednu riječ za pojam - "planet". Jezično se doduše ne događa ništa osim što se "Venera" zamjenjuje s "planet". No stvarno je odnos postao posve drukčiji. Jednakost se dade obrnuti; potpadanje predmeta pod pojam nije obrtljiv odnos. U rečenici "Danica je Venera" "je" očito nije samo kopula, nego je i sadržajno bitan dio predikata, tako da u riječi "Venera" nije sadržan cijeh predikat.3 Zato bi se moglo reći: "Danica nije ništa drugo nego Venera", i tu ono što je prije ležalo u jednostavnome "je" imamo rastavljeno na četiri riječi, a u "nije ništa drugo nego" je sada "[ni]je" 2 Riječ "jednak" i znak "=" upotrebljavam u smislu "Isto kao 1", "ništa drugo nego". "Identično s". Usp. E Schroder, Vorlesungen iiber die Algebra der Logik (Leipzig, 1890), 1. sv., 8 1; Ipak, valja prigovoriti kako Schroder tu ne pravi razliku između dvaju odnosa koji su u osnovi različiti: između potpadanja nekoga predmeta pod pojam i podređenosti jednoga pojma drugome. I primjedbe o punome

korijenu [Vollwurzel] daju povoda za razmišljanje. Znak =6 u Schrodera ne stoji jednostavno za kopulu. 3

Usp. moje Grundlagen, § 66, bilj.

198

GOTTLOBFREGE

uistinu još uvijek samo kopula. Ovdje se dakle ne iskazuje Venera,

nego ništa drago nego Venera. Te riječi označuju pojam pod koji doduše potpada samo jedan jedini predmet, no takav se pojam još uvijek mora razlikovati od predmeta.4 Ovdje imamo riječ "Venera", koja zapravo nikada ne može biti predikat, iako može tvoriti dio predikata. Značenje5 te riječi ne može dakle nikada nastupiti kao pojam, nego samo kao predmet. Zacijelo, ni Kerry ne bi želio osporiti da postoji nešto takvo. No time bi se dopustila razlika čije je priznavanje vrlo važno, razlika između onoga što može nastupiti samo kao predmet i svega ostaloga. A ta se razlika ne bi izbrisala ni kad bi bilo istinito ono što misli Kerry, da postoje pojmovi koji mogu biti i predmeti. Doista postoje slučajevi za koje se čini da podupiru to mišljenje. Sam sam uputio na to [Osnove, § 53, na kraju) da pojam može potpadati pod viši pojam, no to ipak ne treba zamijeniti s podređenošću jednoga pojma drugome. Kerry se ne poziva na to, nego daje primjer: "pojam 'konj' jest lako polučljiv pojam" i misli da je pojam "konj" predmet, i to jedan od predmeta koji potpadaju pod pojam "lako polučljiv pojam". Posve točno! Dvije riječi "pojam 'konj'" označuju predmet, ali upravo zato ne i pojam, kako ja upotrebljavam tu riječ. Ovo je potpuno u skladu s mojim kriterijem6 prema kojemu kod jednine određeni član uvijek upućuje na predmet, dok neodređeni član prati riječ za pojam. Kerry doduše misli da se na jezičnim razlikama ne mogu osnivati nikakva logička pravila. Ali na način na koji ja to činim uopće nitko tko iznosi takva pravila tome ne može izbjeći, jer se bez jezika ne možemo razumjeti i stoga smo na koncu ipak uvijek upućeni na pouzdanje da riječi, 4

Usp. moje Grundlagen. § 51.

5

Usp. moj članak "Über Sinn und Bedeutung", koji će se uskoro pojaviti u Zeitschrift/. Phil. u. phil. Kritik [usp. i ovu knjigu, str. 167-194]. 6 Grundlagen, § 51. § 66 bilj., § 68. str. 80 [usp. ovu knjigu, str. 80 i 93 b. 87].

0 POJMU I PREDMETU

199

oblike i rečeničnu tvorbu drugi u bitnome razumije onako kao i mi sami. Kao što je već rečeno, ne želim dati definiciju, nego samo navještaje pozivajući se pritom na općeniti njemački jezični osjećaj. Pritom mi dosta može biti od koristi to što se jezična razlika tako dobro podudara sa stvarnom. Kod neodređenog člana uopće se ne može primijetiti iznimka od našega pravila, osim starinskih formula poput "ein edler Rat". Stvar nije tako jednostavna kod određenog člana, posebno u množini; ali na taj se slučaj moj kriterij ne odnosi. Koliko vidim, kod jednine je stvar dvojbena samo kada ona stoji umjesto množine, kao u rečenicama "Turčin je opkolio Beč [der Türke belagerte Wien]", "konj je četveronožna životinja [das Pferd ist ein vierbeiniges Tier]". Ti se slučajevi tako lako dadu uvidjeti kao posebni da teško da štete vrijednosti našega pravila. Jasno je da je u prvoj rečenici "Turčin" vlastito ime naroda. Druga se rečenica može vjerojatno na najprikladniji način shvatiti kao izraz općega suda poput "svi su konji četvero-nožne životinje" ih "svi su konji pravilne građe četveronožne životinje", ο čemu će još biti govora kasnije.7 Kada Kerry moj kriterij naziva neprikladnim tvrdeći da u rečenici "po7

Danas su ljudi, kako se čini, skloni preuveličavanju domašaja tvrdnje kako različiti jezični izrazi nikada ne mogu biti potpuno jednake vrijednosti i kako se jedna riječ nikada ne može točno iznijeti u drugome jeziku. Možda bi se moglo ići i dalje te kazati kako ljudi jednoga jezika istu riječ uopće ne shvaćaju posve jednako. Ne želim istraživati koliko u tome ima istine, nego samo naglasiti da u različitim izrazima ipak nerijetko leži nešto zajedničko, što nazivam smislom, a kod rečenica mišlju, drugim riječima: moramo priznati da se isti smisao, ista misao mogu izraziti različito, pri čemu onda različitost nije različitost smisla, nego shvaćanja, osvjetljenja, obojenosti smisla te je irelevantna za logiku. Moguće je da neka rečenica ne daje ništa više i ništa manje obavijesti od neke druge, a usprkos svoj raznolikosti jezika čovječanstvo ima zajedničko blago misli. Kad bi se svaka preinaka izraza htjela zabraniti uz izliku kako bi se time promijenio i sadržaj, tada bi se logika osakatila; jer njezina je zadaća nerješiva ne nastojimo li misli prepoznati u njihovim raznolikim odijelima. Isto tako, svaku bi definiciju tada trebalo odbaciti kao lažnu.

0 POJMU 1 PREDMETU

GOTTLOB FREGE

200

jam ο kojemu sada upravo govorim jest individualni pojam" ime koje se sastoji od prvih šest riječi sigurno označuje pojam, tada on riječ "pojam" ne razumije u mojemu smislu, a protuslovlje ne leži u mojoj postavci. No nitko ne može zahtijevati da se moj način izražavanja mora podudarati s Kerryjevim. Moramo priznati- da kada tvrdimo da pojam konj nije pojam,8 dok npr. grad Berlin ipak jest grad, a vulkan Vezuv ipak jest vulkan postoji jezična nezgrapnost koju ne možemo izbjeći. Jezik je ovdje u nevolji koja opravdava odstupanje od uobičajenoga. Da je tu riječ ο posebnome slučaju Kerry sam naznačuje navodnicima kod riječi "konj". U istu svrhu ja upotrebljavam kurziv. Nije bilo nikakva razloga da se na sličan način istaknu riječi "Berlin" i "Vezuv". U logičkim istraživanjima nerijetko postoji potreba da se nešto iskaže ο pojmu i da se i to odjene u oblik uobičajen za takve iskaze, da naime iskaz postane sadržaj gramatičkoga predikata. Prema tome, kao značenje gramatičkoga subjekta očekivali bismo pojam. No on se zbog svoje predikativne naravi ne može tako pojaviti, nego se prvo mora preinačiti u predmet, odnosno, točnije govoreći, mora biti zastupljen predmetom9 koji označujemo pomoću riječi "pojam" koju stavljamo ispred, npr.

201

"Berlin" ili 'Vezuv". Ako kažemo "Isus potpada pod pojam čovjek", onda je predikat (ne uzmemo li u obzir kopulu) "potpadajući pod pojam čovjek", a to znači isto što i "čovjek". No sintagma

"pojam čovjek" samo je dio toga predikata. Nasuprot predikativnoj naravi pojma moglo bi se isticati da se ipak govori ο pojmu subjekta. No i u takvim, slučajevima, npr. u rečenici "svi sisavci imaju crvenu krv" moramo priznati predikativnu narav pojma; možemo kazati

"pojam čovjek nije prazan".

jer umjesto toga

"ono što je sisavac ima crvenu krv" 10

Prve dvije riječi ovdje valja shvatiti kao vlastito ime, koje se ne može upotrijebiti predikativno, kao ni recimo 8

Slično je kada u odnosu na rečenicu "ova ruža je crvena" kažemo kako gramatički predikat "je crvena" pripada subjektu "ova ruža". Riječi "gramatički predikat 'je crvena'" ovdje nisu gramatički predikat, nego subjekt. Upravo time što to izričito nazivamo predikatom oduzimamo mu to svojstvo. 9

Lfsp. moje Grundlagen, str. X [usp. ovu knjigu, str. 20].

10

Vlastitim imenom nazivljem svaki znak za neki predmet.

ili "ako je nešto sisavac, onda ima crvenu krv".

11

Ono što ovdje nazivljem predikativnom naravi pojma samo je poseban slučaj potrebe za dopunom ili nezasićenosti koje sam U svojemu spisu "Funktion und Begriff (Jena, 1891) [usp. ovu knjigu, str. 139-165] naveo kao bitne za funkciju. Izraz "funkcija fix)" tamo se nije mogao izbjeći, iako se i tamo pojavila poteškoća što značenje tih riječi nije funkcija.

202

GOTTLOB FREGE

Dok sam pisao svoje Osnove aritmetike još nisam pravio razliku između smisla i značenja,12 pa sam stoga u izrazu "prosudljM sadržaj" obuhvaćao ono što sada razlikujući označujem riječima "misao" i "istinosna vrijednost". Zato više ne pristajem posve doslovno uz objašnjenje što sam ga tamo dao na str. 77,* iako još uvijek u bitnome mislim isto. Razumijevajući "predikat" i "subjekt" u jezičnome smislu kratko možemo reći: pojam je značenje predikata, a predmet je ono što nikada ne može biti čitavo značenje predikata, ali može biti značenje subjekta. Uz to valja primijetiti da riječi "svi", "svaki", "nijedan", "neki" stoje ispred riječi koje označuju pojmove. U općim i par-tikularnim potvrdnim i niječnim rečenicama izričemo odnose među pojmovima i tim riječima naznačujemo određenu vrstu toga odnosa; njih dakle ne treba logički uže povezati s riječi koja označuje pojam i koja slijedi iza njih, nego ih treba protegnuti na čitavu rečenicu. To je lako vidljivo kod nijekanja. Kad bi u rečenici "svi sisavci jesu kopnene životinje" sintagma "svi sisavci" izražavala logički subjekt predikata Jesu kopnene životinje, tada bismo, da bismo zanijekali cjelinu, morali zanijekati predikat: "nisu kopnene životinje". Umjesto toga "nisu" trebamo staviti ispred "svi", iz čega slijedi da "svi" logički pripada predikatu. Nasuprot tome. rečenicu "pojam sisavac podređen je pojmu kopnena životinja" niječemo tako što niječemo predikat: "nije podređen pojmu kopnena životinja". Držimo U se činjenice da u mojemu načinu izražavanja izrazi kao što je "pojam F" ne označuju pojmove nego 12

Usp. moj članak "Über Sinn und Bedeutung" u Zeitschrift f. Phil. u. phil Kritik [usp. i ovu knjigu, str. 167-194]. [Usp. ovu knjigu, str. 93 b. 87.]

Ο POJMU I PREDMETU

203

predmete, najveći dio Kerryjevih prigovora postaje velikim dijelom slabašan. On griješi kada misli (str. 281) da ja poistovjećujem pojam i opseg pojma. Ja sam samo iznio mišljenje da se u izrazu "broj koji pripada pojmu F jest opseg pojma jednakobrojan pojmu F" riječi "opseg pojma" [Umfang des Begriffes] mogu zamijeniti riječju "pojam" [Begriff]. Tu se dobro vidi kako je riječ "pojam" tada povezana s određenim članom. Uostalom, to je bila samo jedna usputna primjedba, na kojoj ništa nisam temeljio. Prema tome, dok Kerryju ne polazi za rukom premostiti ponor između pojma i predmeta, moji bi se vlastiti iskazi mogli tako protumačiti. Kazao sam kako navođenje broja sadrži iskaz ο nekome pojmu.13 Govorim ο svojstvima koja se iskazuju ο pojmu i dopuštam da pojam potpada pod viši pojam.14 Egzistenciju sam nazvao svojstvom pojma. Jedan će primjer najbolje pokazati kako to mislim. U rečenici "postoji barem jedan kvadratni korijen iz 4" ne iskazuje se nešto recimo ο određenome broju 2, niti ο -2, nego se ο jednome pojmu, naime kvadratni korijen iz 4, iskazuje da nije prazan. Ako pak istu misao izrazim, ovako: "pojam kvadratni korijen iz 4 jest pun", onda prvih pet riječi tvori vlastito ime predmeta i ο tome se predmetu nešto iskazuje. No lako se vidi kako ovaj iskaz nije isti kao onaj iskaz ο pojmu. To je čudno samo za onoga koji ne shvaća da se misao može mnogostruko raščlaniti i da se time kao subjekt i kao predikat pojavljuje sad ovo, a sad ono. Sama misao još ne određuje što treba shvatiti kao subjekt. Ako kažemo "subjekt ovoga suda", onda nešto određeno označujemo samo ako ujedno upućujemo na određenu vrstu raščlambe. To većinom činimo u odnosu na određen doslovni smisao. No nikada ne smijemo zaboraviti da različite rečenice mogu izražavati istu misao. Tako bi se u našoj misli mogao naći i iskaz ο broju 4: 13

Grundlagen. § 46.

14

Grundlagen. § 53.

204

GOTTLOB FREGE

"broj 4 ima svojstvo da postoji nešto čiji je on kvadrat". Jezik ima sredstvo da dopusti da se kao subjekt pojavi sad ovaj, a sad onaj dio misli. Jedno od najpoznatijih sredstava jest razlikovanje aktivnih i pasivnih oblika. Stoga nije nemoguće da se ista misao u jednoj raščlambi pojavi kao singularna. u drugoj kao partikularna, a u trećoj kao opća. Prema tome, ne treba čuditi što se ista rečenica može shvatiti kao iskaz ο pojmu i kao iskaz ο predmetu; samo valja obratiti pozornost na činjenicu da su ti iskazi različiti. U rečenici "postoji barem jedan kvadratni korijen iz 4" riječi "jedan kvadratni korijen iz 4" nije moguće zamijeniti riječima "pojam kvadratni korijen iz 4": tj., iskaz koji odgovara pojmu ne odgovara predmetu. Iako naša rečenica ne dopušta da se pojam pojavi kao subjekt, ona ipak nešto ο njemu iskazuje. To se može shvatiti i tako kao da se izražava potpadanje pojma pod viši pojam.15 Ali time se nipošto ne briše razlika između predmeta i pojma. Prije svega, primjećujemo da se u rečenici "postoji barem jedan kvadratni korijen iz 4" pojmu ne odriče njegova predika-tivna narav. Možemo kazati "postoji nešto što ima svojstvo da pomnoženo sa samim sobom daje 4". Slijedom toga, nikada se ο predmetu ne može iskazati ono što se ovdje iskazuje ο pojmu. Jer vlastito ime nikada ne može biti izraz za predikat, iako može biti dio takva izraza. Ne želim reći da je pogrešno ο predmetu iskazati ono što se ovdje iskazuje ο pojmu, nego želim reći da je to nemoguće, da je besmisleno. Rečenica "postoji Julije Cezar" nije ni istinita ni lažna, nego je besmislena, iako rečenica "postoji neki čovjek [es gibt einen Mann] s imenom Julije Cezar" ima smisao. No ovdje opet imamo pojam, kako pokazuje neodređeni član. Isto imamo i u rečenici "postoji samo jedan [es gibt nur ein] Beč". Ne smijemo se dati zavarati time 15 U svojini sam Grundlagen takav pojam nazivao pojmom drugoga reda. a u svojemu spisu "Funktion und Begriff pojmom drugoga stupnja, što ću učiniti i ovdje.

Ο POJMU I PREDMETU

205

što jezik ponekad upotrebljava istu riječ sad kao vlastito ime, sad kao riječ za pojam. Brojka ovdje naznačuje da je riječ ο posljednjem. "Beč" je ovdje jednako tako riječ za pojam kao i "prijestolnica". U tom se smislu može kazati "Trst nije Beč [Triest ist kein Wien]". Ako, nasuprot tome, u rečenici "pojam kvadratni korijen iz 4 jest pun" vlastito ime što ga tvori prvih pet riječi zamijenimo s "Julije Cezar", onda dobivamo rečenicu koja ima smisao, ali je lažna; jer ispunjenost, kako je ta riječ ovdje shvaćena, uistinu se može iskazati samo ο predmetima posve određene vrste, naime takvima koji se mogu označiti vlastitim imenima oblika "pojam F". Riječi "pojam kvadratni korijen iz 4" ponašaju se glede svoje zamjenljivosti bitno drukčije od riječi "kvadratni korijen iz 4" u našoj izvornoj rečenici, tj. značenja tih dviju sintagma bitno su različita. Ono što je ovdje pokazano na jednome primjeru vrijedi općenito: pojam se ponaša bitno predikativno i tamo gdje se ο njemu nešto iskazuje. Slijedom toga, on se i tamo može zamijeniti opet samo pojmom, a nikada predmetom. Dakle, iskaz ο pojmu uopće ne odgovara predmetu. Pojmovi drugoga stupnja, pod koje potpadaju pojmovi, bitno su različiti od pojmova prvoga stupnja, pod koje potpadaju predmeti. Odnos predmeta prema pojmu prvoga stupnja pod koji on potpada različit je od doduše sličnoga odnosa pojma prvoga stupnja prema pojmu drugoga stupnja. Možda bi se moglo, da bi se uza sličnost opravdala i razlika, kazati kako predmet potpada pod pojam prvoga stupnja, a pojam potpada u pojam drugoga stupnja. Razlika između pojma i predmeta ostaje dakle u svoj oštrini. S ovim je u vezi ono što sam u § 53. svojih Osnova rekao ο svojemu načinu upotrebe riječi "svojstvo" i "obilježje". Kerryjevi izvodi daju mi povoda da se tome još jednom vratim. Riječi "svojstvo" i "obilježje" služe za označivanje odnosa u rečenicama kao što su "Φ je svojstvo od Γ" i "Φ je obilježje od Ω". Prema mojemu načinu izra-

206

GOTTLOBFREGE

žavanja, nešto može ujedno biti svojstvo i obilježje, ali ne istoga.

Pojmove pod koje potpada predmet nazivam njegovim svojstvima, tako da je "biti Φ jest svojstvo od Γ" samo drugi izraz za Τ potpada pod pojam od Φ". Ako predmet Γ ima svojstva Φ, X i Ψ, onda ja ta svojstva mogu obuhvatiti u Ω, tako da je isto kažem li kako Γ ima svojstvo Ω ili kako Γ ima svojstva Φ, Χ i Ψ. Tada Φ, Χ i Ψ nazivam obilježjima pojma Ω i ujedno svojstvima od Γ. Jasno je da je odnos Φ prema Γ posve različit od odnosa Φ prema Ω i da je stoga potreban različit nazivak. Γ potpada pod pojam Φ; no Ω, koje je i samo pojam, ne može potpadati pod pojam prvoga stupnja Φ, nego bi moglo stajati samo u sličnome odnosu prema pojmu drugoga stupnja. Dočim je Ω podređeno Φ. Pogledajmo uz ovo jedan primjer. Umjesto da kažemo: "2 je pozitivan broj" i "2 je cijeli broj" i "2 je manje od 10" možemo reći "2 je pozitivan cijeli broj manji od 10". Ovdje se biti pozitivan broj biti cijeli broj biti manji od 10

Ο POJMU I PREDMETU

207

pojavljuju kao svojstva predmeta 2, no ujedno kao obilježja pojma

pozitivan cijeli broj manji od 10. On nije ni pozitivan ni cijeli broj niti je manji od 10. On jest podređen pojmu cijeli broj, ali ne potpada poda nj. Usporedimo sada s ovim ono što Kerry kaže u drugome članku, str. 424: "Pod brojem 4 razumijemo rezultat adi-tivnoga povezivanja 3 i 1. Pojmovni predmet na taj način danoga pojma jest brojevni individuum 4. posve određeni broj niza prirodnih brojeva. Taj predmet očito na sebi nosi upravo ona obilježja koja su imenovana u njegovu pojmu i - ako, kao što zacijelo moramo, odustanemo od toga da beskonačno mnogobrojne odnose u kojima on stoji prema svim drugim brojevnim individuama uračunavamo kao njegova propria - ništa drugo: 'to' ['die'] 4 također je rezultat aditivnoga povezivanja 3 i 1". Odmah se vidi kako je ovdje posve izbrisana razlika što sam je povukao između svojstva i obilježja. Kerry ovdje razlikuje između broja 4 i "toga" ["die"] broja 4. Moram priznati da mi je ta razlika nerazumljiva. Broj 4 treba biti pojam; "taj" broj 4 treba biti pojmovni predmet i ništa drugo nego brojevni individuum 4. Ne treba obrazlagati kako ovdje nema mojega razlikovanja između pojma i predmeta. Gotovo se čini kao da Kerryju ovdje - iako posve nejasno - lebdi pred očima razlika što sam je povukao između smisla i značenja riječi "broj 4".16 No samo se ο značenju može reći kako je rezultat aditivnoga povezivanja 3 i 1. Kako onda u rečenicama "broj 4 je rezultat aditivnoga povezivanja 3 i 1" ["die Zahl 4 ist das Resultat der additiven 16

Usp. moj gore navedeni članak "Über Sinn und Bedeutung".

210

GOTTLOB FRECE

OPOJMUIPREDMETU

podudaraju, da je broj 4 'taj' broj 4, ili. ako se radije želi, da broj 4 nije ništa drugo nego 'taj' broj 4, čime bi se razlika što ju je načinio Kerry dokazala kao slabašna. Ipak. ovdje nije moja zadaća da dokažem protuslovlja u njegovu prikazu. Zapravo me se ne tiče što on razumije pod riječima "predmet" i "pojam"; ovim bih htio tek jasnije rasvijetliti moj vlastiti'način upotrebe tih riječi i pritom pokazati da ona na svaki način odudara od njegove, bez obzira je li ona održiva ili nije.

dvostruki način potrebuju dopunu: subjektom i akuzativom. I samo tom nezasićenošću smisla one mogu služiti kao poveznik. Tek kada su u tome dvostrukome vidu dopunjene imamo zatvoren smisao, imamo misao. Za takve riječi ili sintagme kažem kako označuju odnos. Kod odnosa imamo istu teškoću koju smo željeli izbjeći kod pojma, jer riječima "odnos potpadanja predmeta pod pojam" ne označujemo odnos nego predmet, a tri vlastita imena - "broj 2", "pojam primbroj", "odnos potpadanja predmeta pod pojam" - odnose se jednako krhko jedan prema drugome kao i samo prva dva; kako god ih spojili, ne dobivamo rečenicu. Lako uočavamo da se teškoća koja leži u ne-zasićenosti dijela misli dade pomaknuti, ali ne i izbjeći. "Zatvoreno" i "nezasićeno" jesu doduše samo slikoviti izrazi, no ono što ovdje želim i mogu dati samo su navještaji.

Ne odričem Kerryju posve pravo da riječi "predmet" i "pojam" upotrebljava na svoj način, no želio bih isto pravo sačuvati i za sebe te tvrditi kako sam svojim označivanjem zahvatio razliku najviše važnosti. Čitatelju za razumijevanje očito stoji na putu osebujna prepreka, da naime sa stanovitom jezičnom nužnošću moj izraz, uzet posve doslovno, kadšto promašuje misao, imenujući predmet tamo gdje se pomišlja pojam. Potpuno sam svjestan da sam u takvim slučajevima potpuno upućen na dobrohotnu susretljivost čitatelja koji ne štedi sa zrncem soli. Možda tkogod misu kako je ta teškoća umjetno stvorena, kako uopće ne treba uzeti u obzir nešto tako nespretno kao što je ono što sam nazvao pojmom i kako se s Kerryjem potpadanje predmeta pod pojam može shvatiti kao odnos u kojemu se kao predmet jednom može pojaviti ono što drugi put nastupa kao pojam. Riječi "predmet" i "pojam" služile bi tada samo tome da se naznači različit položaj u odnosu. To se može učiniti; no jako griješi onaj tko misli da time izbjegava teškoću. Ona je samo pomaknuta, jer od dijelova neke misli ne smiju svi biti zatvoreni, nego barem jedan mora na neki način biti nezasićen ili predikativan, inače oni ne bi mogli prianjati jedan uz drugoga. Tako npr. smisao sintagme "broj 2" ne prianja uza smisao izraza "pojam primbroj" bez nekoga poveznika. Takav poveznik upotrebljavamo u rečenici "broj dva potpada pod pojam primbroj". Sadržan je u riječima "potpada pod", koje na

211

Razumijevanje se može olakšati ako čitatelj usporedi moj spis "Funkcija i pojam". Naime, kod pitanja što se u analizi zove funkcijom nailazimo na istu prepreku. A u podrobnijemu razmatranju naći ćemo kako je u samoj stvari i u naravi našega mišljenja utemeljeno da se stanovita neprimjerenost jezičnoga izraza ne da izbjeći i da ne preo-staje ništa drugo nego da je postanemo svjesni te da je uvijek uvažavamo.

ŠTO JE FUNKCIJA?

Još uvijek nije izvan svake sumnje koje značenje u analizi ima riječ "funkcija",1 iako se već dugo učestalo upotrebljava. U definicijama nalazimo dva izraza što se uvijek iznova pojavljuju, dijelom međusobno povezani, dijelom zasebno: "računski izraz" i "promjenljivica". Uočavamo također nestalnu upotrebu te riječi - funkcijom se naziva sad ono što određuje neku vrstu zavisnosti ili možda vrsta zavisnosti sama. sad zavisna promjenljivica. U novije vrijeme u definicijama prevladava riječ "promjenljivica". No ona je sama vrlo potrebita objašnjenja. Svaka promjena događa se u vremenu. Stoga bi se analiza, budući da promjenljivicu podvrgava svojemu razmatranju, morala baviti vremenskim događanjem. No ona nema što raditi s vremenom, jer činjenica da se može primijeniti na vremenske događaje ne mijenja ništa na stvari. Analiza se primjenjuje i na geometriju, kod koje je vrijeme sasvim irelevantno. To je jedna od glavnih poteškoća na koju uvijek iznova nailazimo kada želimo pomoću primjera proniknuti u stvar. Jer čim pokušamo navesti neku promjenljivicu dolazimo do nečega promjenljivoga što se mijenja u vremenu i što dakle ne pripada čistoj analizi. A ipak mora biti moguće uputiti na neku promjenljivicu koja u sebi ne uključuje ništa što je aritmetici strano (ako su promjen-ljivice uopće predmeti analize). Ako je već u mijenjanju sadržana poteškoća, onda nailazimo na novu kada pitamo što se mijenja. Kao odgovor najprije dobivamo: veličina. Potražimo primjer. Šipku možemo nazvati veličinom ukoliko je dugačka. Svaka pro1

Ovo se razmatranje treba ograničiti na funkcije s jednim jedinim argumentom.

214

GOTTLOBFREGE

mjena šipke s obzirom na njezinu duljinu, koja može uslijediti npr. zagrijavanjem, događa se u vremenu; a niti šipke niti duljine nisu predmeti čiste analize. Takav pokušaj da se u analizi uputi na neku promjenljivu veličinu ne uspijeva. Isto tako ne mogu uspjeti ni mnogi drugi, jer ni duljine kao veličine ni površine kao veličine ni kutovi kao veličine ni mase kao veličine nisu predmeti aritmetike. Od svih veličina pripadaju joj samo brojevi. A baš zato što ova znanost posvema ostavlja po strani pitanje ο tome mjerenjem kojih se veličina u pojedinome slučaju dobiju brojevi, ona je sposobna za najraznovrsniju primjenu. Pitamo dakle: jesu U promjenljivice analize promjenljivi brojevi? Što bi drugo i mogle biti ako uopće trebaju pripadati analizi? Kako to da se gotovo nikada ne kaže "promjenljivi broj" a, nasuprot tome, često se kaže "promjenljiva veličina"? Taj izraz zvuči prihvatljivije nego "promjenljivi broj", jer glede njega javlja se sumnja: postoje U promjenljivi brojevi? Ne zadržava U svaki broj svoja svojstva nepromijenjenima? Naravno, kaže se, samorazumljivo je da su 3 i π nepromjenljivi brojevi, konstante; no postoje i promjenljivi brojevi. Kada npr. kažem "broj koji u milinietrima naznačuje duljinu ove šipke", tada imenujem broj i taj je broj promjenljiv, budući da šipka ne zadržava uvijek istu duljinu. Dakle, tim sam izrazom označio neki promjenljivi broj. Usporedimo ovaj primjer sa sljedećim: kada kažem "kralj ovoga carstva", tada označujem nekoga čovjeka. Prije deset godina kralj ovoga carstva bio je starac, sada je kralj ovoga carstva mladić. Onim sam izrazom dakle označio nekoga čovjeka koji je bio starac, a sada je mladić. Tu mora biti neka pogreška. Izraz "kralj ovoga carstva" bez naznake vremena uopće ne naznačuje nekoga čovjeka. Ah čim se doda naznaka vremena taj izraz nedvoznačno može označivati nekoga čovjeka. No tada je ta naznaka vremena nužan sastavni dio izraza i kada damo drugu naznaku vremena dobivamo drugi izraz. Dakle, u našim dvjema rečenicama uopće nemamo isti subjekt iskaza. Isto tako ni izraz "broj koji u milimetrima naznačuje duljinu ove šipke" bez naznake vre-

ŠTOJE FUNKCIJA?

215

mena uopće ne označuje broj. Ako se doda naznaka vremena, time se može označiti broj, npr. 1000; no to je onda nepromjenljivi broj. Kod druge naznake vremena dobivamo drugi izraz, koji sada može označivati i drugi broj, npr. 1001. Ako kažemo "Prije pola sata broj koji je u milimetrima naznačivao duljinu ove šipke bio je kubni broj; sada broj koji u rmlimetrima naznačuje duljinu ove šipke nije kubni broj", tada uopće nemamo isti subjekt iskaza. 1000 se nije povećalo do 1001, nego se njime zamijenilo. Ili, primjerice, je li broj 1000 isti kao i broj 1001, samo s drugim izrazom lica? Ako se nešto mijenja, onda na istome predmetu imamo jedne za drugima različita svojstva, stanja. Kada taj predmet ne bi bio isti, tada uopće ne bismo imah subjekt ο kojemu bismo mogli iskazati promjenu. Šipka se zagrijavanjem rasteže. Dok se to događa, ona ostaje ista. Ako bi umjesto toga bila uklonjena i zamijenjena duljom, onda ne bismo mogli kazati kako se rastegnula. Čovjek stari; ah ako ga unatoč tome ne bismo mogli priznati kao istoga, onda ne bismo imah ništa ο čemu bismo mogli iskazati starenje. Primijenimo to na broj. Što ostaje isto kada se broj mijenja? Ništa! Prema tome, broj se uopće ne mijenja, jer nemamo ništa ο čemu bismo mogli iskazati promjenu. Kubni broj nikada ne postaje primbroj, a iracionalni broj nikada ne postaje racionalni. Ne postoje dakle promjenljivi brojevi, a to potvrđuje činjenica što nemamo vlastita imena za promjenljive brojeve. Nije nam uspio pokušaj da izrazom "broj koji u milimetrima naznačuje duljinu ove šipke" označimo promjenljivi broj. No ne označujemo li s "x", "y", "z" promjenljive brojeve? Takav se način izražavanja doista rabi. Ah ta slova nisu vlastita imena promjenljivih brojeva onako kao što su "2" i "3" vlastita imena konstantnih brojeva. Jer brojevi 2 i 3 razlikuju se na navediv način, no u čemu se razlikuju promjenljivice navodno označene s "x" i s "y"? To ne možemo kazati. Ne možemo navesti koja svojstva ima x i koja od toga različita svojstva ima y. Ako s tim

9

216

GOTTLOB FREGE

slovima uopće nešto povezujemo, onda je to kod obojega ista nejasna predodžba. Tamo gdje se prividno pojavljuju razlike riječ je ο primjenama. No ο njima ovdje ne govorimo. Budući da svaku promjenljivicu ne možemo shvatiti u njezinoj posebnosti, promjenljivicama ne možemo pridati nikakva vlastita imena. Gospodin E. Czuber pokušao je otkloniti neke od navedenih poteškoća.2 Da bi se riješio vremena, on promjenljivicu tumači kao neodređeni broj. No postoje li neodređeni brojevi? Treba li brojeve podijeliti na određene i neodređene? Postoje li neodređeni ljudi? Ne mora li svaki predmet biti određen? No nije li broj η neodređen? Ne poznajem broj n. "rt" nije vlastito ime nekoga broja, ni određenoga ni neodređenoga. Pa ipak se ponekad kaže "broj n". Kako je to moguće? Takav se izraz treba razmotriti u kontekstu. Uzmimo jedan primjer. "Ako je broj π paran, onda je cos ηπ = 1". Ovdje samo cjelina ima smisao, a niti protaza za sebe niti apodoza za sebe. Na pitanje je U broj η paran ne može se uopće odgovoriti, jednako kao ni na pitanje je li cos ηπ = 1. Za to bi "n" moralo biti vlastito ime nekoga broja koji bi tada nužno bio određen broj. Slovo "rt" piše se da bi se postigla općenitost. Pritom se pretpostavlja da ako se ono zamijeni vlastitim imenom nekoga broja, onda i protaza i apodoza dobivaju smisao. Naravno, ovdje se može govoriti ο neodređenosti. Ipak, ovdje "neodređen" nije pridjev za "broj", nego [je 'neodređeno'] možda prilog uz "naznačiti". Ne može se reći kako "rt" označuje neodređen broj, ali se može reći kako on neodređeno naznačuje brojeve. I tako je uvijek kada se u aritmetici upotrebljavaju slova, uz nekoliko iznimaka (π, e, i), gdje slova nastupaju kao vlastita imena; no tada označuju određene, nepromjenljive brojeve. Ne postoje da2 ¸ Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Leipzig. Teubner, 1. § 2.

STOJE FUNKCIJA?

217

kle neodređeni brojevi i ovaj pokušaj gospodina Czubera nije uspio. Drugo, on pokušava doskočiti nedostatku što se nijedna promjenljlvica ne može shvatiti kao različita od druge. Cjelokupnost vrijednosti što ih može poprimiti varijabla on naziva područjem varijable- i kaže: "Varijabla x vrijedi kao definirana ako se za svaki realni broj koji se označuje može ustanoviti pripada li tome području ili ne". Ona vrijedi kao definirana, no da U ona to i jest? Budući da ne postoje neodređeni brojevi, nemoguće je definirati neki neodređeni broj. Područje se postavlja kao ono koje obilježava varijablu. Stoga bismo kod istoga područja imali istu varijablu. Prema tome bi u jednakosti "y — x2" y bilo ista varijabla kao i x ako je područje od x područje pozitivnih brojeva. Ovaj pokušaj moramo smatrati neuspjelim, posebno zato što je izraz "varijabla poprima neku vrijednost" posve nejasan. Varijabla treba biti neodređen broj. Kako se događa to da neodređen broj

poprima neki broj? Jer vrijednost je očito neki broj. Poprima li možda i neki neodređen čovjek nekog određenog? Inače se kaže kako predmet poprima svojstvo; ovdje broj mora igrati obje uloge. Kao predmet on se naziva varijablom ih promjenljivom veličinom, kao svojstvo naziva se vrijednošću. Zbog toga riječ "veličina" pretpostavljamo riječi "broj"; jer moramo se prevariti u pogledu činjenice da su promjenljiva veličina i vrijednost koju ona tobože poprima u osnovi isto, da to uopće nije slučaj u kojemu neki predmet poprima jedno za drugim različita svojstva, da dakle ne može ni na koji način biti riječi ο promjeni. U pogledu promjenljivica ispostavilo nam se sljedeće. Promjenljive veličine doduše možemo prihvatiti, ah one ne pripadaju čistoj analizi. Promjenljivi brojevi ne postoje. Riječ "promjenljivica" nema, prema tome, opravdanja u čistoj analizi.

GOTTLOB FREGE

ŠTOJE FUNKCIJA?

Kako dospijevamo od varijable do funkcije? To se u biti uvijek događa na isti način i zato slijedimo prikaz gospodina Czubera koji u § 3 piše:

Dakle, pridruživanje se događa prema nekome zakonu, a možemo zamisliti različite takve zakone. Tada izraz "y je funkcija od x" nema smisao ako nije dopunjen naznakom zakona prema kojemu se pridruživanje odvija. To je pogreška u definiciji. A nije li zakon koji s objašnjenjem postupa .kao s nepostojećim zapravo glavna stvar? Primjećujemo kako je time promjenljivost posve iščezla, dok u naše vidno polje stupa općenitost, jer na nju upućuje riječ "zakon".

218

"Ako je svakoj vrijednosti realne varijable x, koja pripada njezinu području, pridružen određen broj y, onda se y također općenito definira kao varijabla i naziva se funkcijom realne varijable x. Ova se činjenica izražuje jednakošću oblika y = f(x)". Ovdje najprije upada u oči činjenica da se y naziva određenim brojem, dok ono kao varijabla ipak mora biti neodređeni broj. y nije ni određen ni neodređen broj, nego je znak "y" pogrešno pridodan uz više brojeva, a ipak se poslije govori kao da postoji samo jedan jedini. Jednostavnije bi i jasnije bilo slučaj prikazati ovako: svakome broju područja x pridružen je jedan broj. Cjelokupnost tih brojeva nazivam područjem y. Očito je da tako imamo područje y, ali ne y, ο kojemu bismo mogli reći kako je funkcija realne varijable x. Za pitanje ο biti funkcije ograničavanje područja čini se nebitnim. Zašto ne bismo jednako tako kao područje mogli prihvatiti cjelokupnost realnih brojeva ili cjelokupnost kompleksnih brojeva skupa s realnima? Srž stvari leži ipak na posve drugome mjestu, naime skriveno u riječi "pridružen". Na osnovi čega zapažam je li broj 5 pridružen broju 4? Na to se pitanje ne može odgovoriti ako se ono na neki način ne dopuni. A ipak se, prema Czuberovu objašnjenju, čini kao da je za bilo koja dva broja bez daljnjega određeno je li prvi pridružen drugome ih nije. Na sreću, gospodin Czuber dodaje primjedbu: "O zakona pridruživanja koji je na najopćenitiji način naznačen karakteristikom f gornja definicija ne sadrži nikakav iskaz. On se može utvrditi na najrazno-likije načine".

219

Različitosti zakona pridruživanja u vezi su s različitostima funkcija i ne mogu se više shvatiti kao kvantitativne. Ako samo pomislimo na algebarske funkcije, na logaritamske funkcije, na eliptične funkcije, odmah se osvjedočujemo kako je ovdje riječ ο kvalitativnim različitostima. To je jedan razlog više da funkcije ne tumačimo kao promjen-ljivke. Kad bi bile promjenljivice, tada bi eliptične funkcije bile eliptične promjenljivice. Takav zakon pridruživanja općenito izražujemo jednakošću na čijoj lijevoj strani stoji slovo "y", dok se na desnoj strani pojavljuje računski izraz koji se sastoji od brojki, računskih znakova i slova x, kao npr. "y = x2 + 3x". Funkcija je definirana kao takav računski izraz. U novije doba taj je pojam iznađen kao preuzak. No ta bi se neprilika mogla otkloniti uvođenjem novih znakova u aritmetički znakovni jezik. Teži je jedan drugi prigovor, naime da računski izraz kao skupina znakova uopće ne pripada aritmetici. Formalnu teoriju koja kao predmete te znanosti navodi znakove mogu smatrati kao konačno odbačenu mojom kritikom u drugome svesku Osnovnih zakona aritmetike. Između znaka i označenoga nije se uvijek pravila oštra razlika, tako da se pod računskim izrazom {expressio analytica) dijelom razumjelo i njegovo značenje. Sto

220

GOTTLOB FREGE

ŠTOJE FUNKCIJA?

221

označuje "x2 + 3x"? Zapravo ništa, budući da slovo "x" samo naznačuje brojeve, a ne označuje ih. Zamijenimo li "x" brojkom, dobivamo izraz koji označuje broj; dakle, ništa novo. Kao i samo "x", tako i "x2 + 3x" samo naznačuje. To se može učiniti kako bi se izrazila, općenitost kao u stavcima

Ono je uostalom zamišljeno samo za iznimku, gdje neku funkciju želimo označiti posve izoliranu. U "sin 2" samo "sin" vec označuje funkciju.

GOTTLOBFREGE

222

STOJE FUNKCIJA?

223

neodređen. Nasuprot tome, vidjeli smo da takvi brojevi uopće ne postoje i da se funkcije u osnovi razlikuju od brojeva.

Ali veća je šteta to što je time otežan uvid u bit funkcije. Osebujnosti znaka funkcije što smo je nazvali nezasićenošću naravno odgovara nešto na samim funkcijama. I njih možemo nazvati nezasićenima te time opisati kao u osnovi različite od brojeva. Naravno, to nije definicija. No nešto takvo ovdje nije ni moguće.4 Ovdje se moram ograničiti na to da jednim slikovitim izrazom uputim na ono što mislim, a pritom sam upućen na susretljivo razumijevanje čitatelja. Biva li funkcija nekim brojem dopunjena tako da daje neki broj, onda to nazivamo vrijednošću funkcije za taj broj kao argument. Jednakost "y = f(x)" obično čitamo: "y je funkcija od x". U tome su dvije pogreške: prvo, znak jednakosti prevodi se kao kopula; drugo, funkcija sa svojom vrijednošću brka se s argumentom. Iz tih je pogrešaka nastalo mnijenje kako je funkcija broj, iako promjenljiv ili 4

Definicija što je daje H. Hankel u svojim Untersuchungen über die unendlich oft oszillierenden und unstetigen Funktionen (Universitätsprogramm, Tübingen, 1870), § 1 zbog začaranoga je kruga neupotrebljiva, jer sadrži izraz "ßx)". koji za svoje objašnjenje pretpostavlja ono što treba definirati.

Težnja za kratkoćom u matematički je jezik uvela mnoge netočne izraze, koji su pak zamutili misli i proizveli pogrešne definicije. Matematika bi zapravo trebala biti uzor logičke jasnoće. U stvarnosti možda u spisima nikoje druge znanosti ne nalazimo više naopakih izraza i sukladno tome više naopakih misli nego u matematičkim spisima. Nikada se logička ispravnost ne bi trebala žrtvovati kratkoći izraza. Stoga je od velike važnosti stvoriti matematički jezik koji s najstrožom točnošću povezuje najveću moguću kratkoću. Za to će najprikladniji biti pojmopis, sustav pravila prema kojima se pomoću napisanih ili otisnutih znakova bez glasovnoga posredovanja mogu neposredno izraziti misli.

BILJEŠKA 0 TEKSTOVIMA 1. Osnove aritmetike. Logičko-matematičko istraživanje pojma broja: G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Centerausgabe, mit ergänzenden Texten kritisch herausgegeben von Christian Thiel (Hamburg: Felix Meiner Verlag, 1986). [Ta se knjiga sastoji od: Uvoda priređivača (XXI-LXIH), teksta Osnova (uz navođenje i izvorne paginacije), tekstova prvih reakcija na Osnove (109-142) (riječ je ο recenzijama: E. R. E. Hoppea, G. Cantora, stanovitoga G.-L, R. Euckena, K. Laßwitza, Η. Scholza, zatim ο Zermelovoj primjedbi uz Cantorovu recenziju, Fregeovu odgovoru na Cantorovu recenziju, te ο stajalištima što su ga prema Osnovama zauzeli E. Schröder u Vorlesungen über die Algebra der Logik i E. Husserl u Philosophie der Arithmetik), potom od priređivačevih bilježaka uz tekst (143-174), pregleda literature i kazala.] Osnove aritmetike prvi su puta objavljene u Breslauu 1884. 2.

Funkcija i pojam: G. Frege, Funktion und Begriff. Vortrag, gehalten in der Sitzung vom 9. Januar 1891 der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft (Jena: H. Pohle, 1891). Tekst je preveden prema: G. Frege, Funktion, Begriff, Bedeutung. Fünf logische Studien, herausgegeben und eingeleitet von Günther Patzig (Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 61986), 17-39. Ο smislu i značenju: G. Frege, "Über Sinn und Bedeutung", Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik C (1892), 25-50. Tekst je preveden prema Funktion, Begriff, Bedeutung, 40-65.

226

BILJEŠKAOTEKSTOVIMA

STVARNO KAZALO Ο pojmu i predmetu: G. Frege, "Über Begriff und Gegenstand". Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie XVI (1892), 192205. Tekst je preveden prema Funktion, Begriff, Bedeutung, 66-80. što je funkcija?: G. Frege, "Was ist eine Funktion?". Festschrift'Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage, 20. Februar 1904 (Leipzig: J. A. Barth. 1904), 656-666. Tekst je preveden prema Funktion, Begriff, Bedeutung, 81-90.

analitičan [analytisch] 37, 41-43, 99, 117-121, 129, 167. a priori (apriorno) 23, 24, 29, 32, 37, 39, 41, 99, 108, 117, 119, 167. α posteriori (aposteriorno) 23, 24, 29, 37, 129. argument [das Argument] 139, 142, 143-145, 147, 148, 150-152, 154, 155-158, 160-165, 213 b. 1, 220-222. broj [die Zahl] 13-18, 22, 26-32, 34-36, 38-42, 44-52, 55-58. 62, 63, 65-90, 96, 97, 103, 107, 108, 112-118, 121-131, 132, 134, 140, 141-148, 152, 153, 163, 164, 165, 184 b. 9, 185, 197, 203, 206210, 214-223. broj [die Anzahl] 22, 25, 38, 44, 46-48, 50, 53, 56, 63, 83, 86, 89,90, 95-97, 101-103, 105-109, 112-116, 125 b. 112, 132, 134. kardinalni broj [die Anzahl] 44, 121, 130. brojka [das Zahlzeichen] 31, 49, 58 b. 50, 72, 88-90, 132, 140, 141, 205, 219-221. funkcija [die Funktion] 22, 77, 118, 139-157, 201 b. 11, 211, 213223.

iskaz [die Aussage] 14, 76, 78, 83, 85, 93, 94, 132, 168, 200, 203205, 214, 215. istinitost [das Wahre] 148, 150, 155-163, 175, 176, 188. istinosna vrijednost [der Wahrheitswert] 148, 150-156, 162, 163, 175181, 184, 187-194, 202.

228

STVARNO KAZALO

jedinica [die Einheit] 16, 29, 44-47, 51, 57-70, 72, 75, 76, 83, 90, 123.

jednadžba [die Gleichung] 30, 123, 124. jednakobrojan [gleichzahlig) 95-97, 101, 102, 105. jednakost [die Gleichheit, die Gleichung] 13, 27, 33, 67, 68-71, 76, 83, 85, 86, 88 b. 80, 89-93, 95, 125, 126, 128, 131, 140, 145148, 151, 153, 155, 167, 197, 208, 209. 219, 220. kontekst [der Zusammenhang] 20, 58, 76, 88, 89, 169, 181, 186 b. 11, 187.

GOTTLOB FREGE

229

predodžba [die Vorstellung] 16, 20, 28. 38. 50, 52, 55, 56, 59, 65, 71, 73,

77, 80, 86-89, 91, 115. 129, 170-173, 175.

prepoznavanje [die Wiedererkennung] 93, 95, 115, 131, 167. pridruživanje [die Zuordnung] 90, 218, 219 jednoznačno [eindeutige] 90. obostrano jednoznačno [beiderseits eindeutige] 95, 99, 131. rečenica [der Satz] 13. 20, 87. 93 b. 87, 99 b. 89. 149, 157, 161, 168, 169 b. 2, 172-194, 195, 199, 202-205, 207, 209, 211, 214. vidi i stavak

lažnost [das Falsche] 148, 151, 155-160, 163, 175, 188. Sintetičan [synthetisch] 37, 39, 40, 78, 117-120. 129, 130. misao [der Gedanke] 148, 149, 151, 173-194, 199, 202-204, 210, 211, 223.

smisao [der Sinn] 31. 49, 59, 89, 98, 115. 127-130. 141 b. 4, 146, 147, 149, 151, 167-194, 199, 202, 203, 205, 207, 209, 216.

navođenje broja [die Zahlangabe] 75-78, 83, 85, 97 b. 88, 132, 203.

stavak [der Satz] 13. 17, 23-26, 30, 32, 33, 35, 34, 38-40, 42, 43, 52. 73, 77, 83-85, 88, 89, 91, 92, 94, 96, 99-102, 105-108, 110, 111, 113, 114, 116-121, 123, 125-129, 132, 167, 194, 220.

niz [die Reihe] 55, 71, 109-116, 121 122, 125, 131, 133, 134. pojam [der Begriff] 17, 18, 20, 22, 25, 35, 38, 46, 50-52, 55, 58, 59, 61, 63, 66, 67, 70, 74, 76-86, 91, 93-99, 101-109, 112-115, 117119, 122, 123, 125, 130-133, 139-167, 168, 175, 184, 195-211. predikat [das Prädikat] 58, 85, 88, 93 b. 89, 107, 117, 174, 176, 196 b. 1, 197, 198, 200-203. predmet [der Gegenstand] 20, 24, 46, 47, 55, 57-60, 62, 64, 66-68, 7072, 74, 76-89, 93, 96 b. 88, 98-111, 113, 115-119, 125-127, 130132, 140, 141, 152-154, 156 b. 7, 157, 159, 161, 167, 169, 170173, 175, 176, 181-184, 195-211, 215, 217.

subjekt [das Subjekt] 85, 93 b.87, 98, 99, 117, 118, 176, 181, 184, 187, 200 b. 8, 201, 202-204, 211, 214, 215. sud [das Urteil] 23, 24, 36, 42, 43, 50, 52, 76, 78, 86, 88, 90, 91, 93 b. 86, 94, 98, 99, 104, 117-119, 121, 129, 131, 133, 155, 156 b. 7. 158, 161, 176, 186, 194, 199, 202. tvrdnja [die Behauptung, der Behauptungssatz] 32, 151, 153, 173, 175, 176, 182, 187, 189 b. 14.

230

STVARNO KAZALO

vlasüto ime [der Eigenname] 80, 90, 149, 151, 152, 168, 169, 171, 173-175,

181, 183, 184, 187, 188, 196, 197, 199, 200, 203-205, 209, 215, 216.

vrijednosni tok [das Wertverlauf] 145-147, 151, 153.

značenje [die Bedeutung] 13, 18, 20, 29, 67, 72, 87, 88, 94, 95, 113 b. 96, 115, 116. 127, 139-142, 149, 151, 153, 154, 165, 167-194, 198, 202, 207, 219. znak [das Zeichen] 29, 31, 33, 42, 50, 56, 66, 68, 71, 72, 87, 89, 91, 94, 113 b. 96, 115, 124, 130, 140, 141, 147-154, 156 b. 7, 162, 167-171, 173, 175 b. 6, 183, 200 b. 10, 218, 220-223. zor [die Anschauung] 26, 27, 37-40 53, 54, 59, 69, 71, 89, 91, 116, 119, 130, 170 b. 3, 172, 173, 195. zrenje [die Anschauung, das Anschauen] 27, 54, 103, 116, 120, 130.

IMENSKO KAZALO Aristotel 48

Jevons, W. S. 41, 63, 64, 66, 67, 70-74.

Baumann, J. J. 26 b. 8, 37, 44 b. 31, 47, 49 b. 38, 51 b. 43, Kant, I. 26, 27, 37, 38, 53, 117-119, 134. 59, 60 b. 54, 61, 62 b. 58, 63 b. 61, 69, 79 b. 77, 90 b. 82, Kerry, B. 195, 196, 198-200, 117. 202, 203, 205, 207-210. Berkeley, G. 51 Kopp, G. A. 61. Boole, G. 120 b. 105 Kossak. E. 90 b. 82, 123 b. 111, 128 b. 118, 129. Cantor, G. 90 b. 83, 115, 116, 125 Kronecker, L. 140 b. 3. b. 112, 134. Cantor, M. 46. Leibniz, G. W. 27, 29, 30, 33, 34, 36, 39, 41, 43-45, 49, Czuber, E. 216-218, 220. 51, 59, 65, 66, 69, 83, 92. Lipschitz, R. 38, 46 b. 3, 52, Descartes, R. 63. 63. Erdmann, B. 108 b. 94. Eucken, R Locke, J. 26 b. 8, 49, 51, 60, 65, 66. 60 b. 55. Euklid 22, 44, 57, 123. Fischer, K. 15 b. 2.

Mill, J. S. 18, 29-33, 37, 41-44, 48, 49, 51, 56, 60, 68.

Grassmann, H. 28, 29, 44.

Newton, I. 26 b. 8, 44, 45.

Hankel, H. 26, 28, 38, 45, 71, Schloemilch, O. 55. 121-123, 125, 126, 222 b. 4. Schröder, E. 19, 46, 57, 62, 63, Helmholtz, H. 140 b. 3. 71,72, 79, 90 b. 82, 113 Herbart, J. F. 14. b. 96, 197 b. 2. Hesse, O. 65, 66. Spinoza, B. de 79, 80. Hobbes, Th. 26 b. 8, 62, 69. Stricker, B. 16. Hume, D. 62, 90. Thomae, J. 56, 62, 69.