P-адический анализ и математическая физика

B.C.Владимиров, И.В.Волович, Е.И.Зеленов P-АДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА М.: Физматлит, 1994.—352 с.

Впервые в отечественной литературе излагаются результаты исследований по использованию p-адического анализа в теоретической и математической физике. Дается введение в теорию p-адических чисел и неархимедову геометрию, приводится большое число результатов по интегральному исчислению, теории обобщенных функций и псевдодифференциальных операторов над полем pадических чисел. Излагаются элементы классической и квантовой механики над полем p-адических чисел, включая спектральную теорию квантового p-адического гармонического осциллятора. Описаны применения p-адического анализа к квантовой теории поля, теории струн, квантовым группам, теории случайных процессов. Для математиков и физиков-теоретиков—студентов старших курсов, аспирантов, преподавателей и научных работников. ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 7 I. Анализ над полем p-адических чисел 19 § 1. Поле p-адических чисел 19 1. p-адическая норма 19 2. p-адические числа 21 3. Пространство p-адических чисел Qp 23 4. Квадратичные расширения поля Qp 27 30 5. Полярные координаты и окружности в поле Q p ( ε ) 6. Отображение Qp в R 7. Пространство Q

n p

§ 2. Аналитические функции 1. Степенные ряды 2. Аналитические функции 3. Алгебра аналитических функций 4. Функции ex, ln(l+x) , sin x, cos x 5. Теорема об обратной функции § 3. Аддитивные и мультипликативные характеры 1 Аддитивные характеры поля Qp 2. Мультипликативные характеры поля Qp 3. Мультипликативные характеры поля Q p ( ε ) § 4. Интегрирование 1. Инвариантная мера в поле Qp 2. Замена переменных в интегралах 3. Примеры вычисления интегралов

31 34 35 35 37 39 40 46 48 48 52 56 57 57 58 61

4. Интегрирование в Q np § 5. Гауссовы интегралы 1. Гауссовы интегралы по окружностям Sγ 2. Гауссовы интегралы по кругам Bγ 3. Гауссовы интегралы по Qp 4. Дальнейшие свойства функции λp(a) 5. Пример 6. Исследование функции S(α,q) § 6. Обобщенные функции 1. Локально постоянные функции 2. Основные функции, n= 1 3. Обобщенные функции, n= 1 4. Линейные операторы в D' 5. Основные и обобщенные -функции, n>1 6. Прямое произведение обобщенных функций 7. Теорема о «ядре» § 7. Свертка и преобразование Фурье 1. Свертка обобщенных функций 2. Преобразование Фурье основных функций 3. Преобразование Фурье обобщенных функций 4. Пространство L2 5. Умножение обобщенных функций § 8. Однородные обобщенные функции 1. Однородные обобщенные функции 2. Преобразование Фурье однородных обобщенных функций и Гфункция 3. Свертка однородных обобщенных функций и B-функция 4. Однородные обобщенные функции многих переменных II. Псевдодифференциальные операторы над полем p-адических чисел § 9. Оператор Dα 1. Оператор Dα, α ≠ −1 2. Оператор D−1 3 Уравнение Dαψ=g 4. Спектр оператора Dα в Qp, α > 0 5. Ортонормированный базис собственных функций оператора Dα 6. Разложения по собственным функциям § 10. Операторы типа Шредингера 1. Ограниченные снизу самосопряженные операторы 2. Критерии компактности функций в L2( Q np ) 3 Оператор типа Шредингера a*+V 4. Оператор Dα, α>0, в Br

67 74 75 86 88 89 94 99 101 101 103 106 109 111 112 113 114 114 118 126 129 131 134 134 142 151 155 163 163 163 167 173 175 176 185 187 187 190 191 195

5. Оператор Dα, α>0, в Sr 6. Оператор Dα+V(|x|p), α>0, в Q p , ( p ≠ 2)

199 201

7. Оператор Dα+V(|x|p), α>0, в L2 (Q p ), p ≠ 2 8. Наименьшее собственное значение 9. Оператор Dα+V(|x|p), α>0, в Q p , ( p ≠ 2) (продолжение)

203

10. Пример потенциала V(|x|p)=|x|pα, α>0, p ≠ 2 11. Оператор Dα+V(|x|p), α>0, вне круга ( p ≠ 2) 12. Обоснование метода 13. Дальнейшие результаты о спектре оператора Dα+V(|x|p) 14. Нестационарное уравнение типа Шредингера III p-адическая квантовая теория § 11. p- адическая квантовая механика 1. Классическая механика над Qp 2. Представление Вейля 3. Свободная частица 4. Гармонический осциллятор 5. Лагранжев формализм 6. Фейнмановские континуальные интегралы 7. Квантовая механика с p-адичнозначными функциями § 12. Спектральная теория в p-адической квантовой механике 1. Гармонический анализ 2. Теория операторов 3. Теорема о размерностях инвариантных подпространств 4. Исследование собственных функций 5. Системы Вейля и когерентные состояния 6. Симплектическая группа 7. Исследование собственных функций при p ≡ 3 (mod 4) § 13. Системы Вейля. Бесконечномерный случай 1. Алгебры Вейля 2. Положительные функционалы 3. Представление Фока 4. Эквивалентность L-фоковских представлений § 14. p-адические струны 1. Дуальные амплитуды 2. p-адические амплитуды 3. Адельные произведения 4. Струнное действие 5. Пространство модулей и тэта-функции 6. Многопетлевые амплитуды 7. Жесткая аналитическая геометрия и p-адические струны § 15. q-анализ (квантовые группы) и p-адический анализ

211 212 217 220 221 225 225 226 227 231 233 236 241 245 248 249 250 251 259 264 273 277 286 287 288 290 295 298 298 300 304 306 307 310 313 317

205 208

1. p-адический интеграл и q-интеграл 2. Дифференциальные операторы 3. Спектры q-деформированного осциллятора и p-адической модели § 16. Случайные процессы над полем p-адических чисел. 1. Случайные отображения и марковские процессы 2. Броуновское движение на p-адической прямой 3. Обобщенные случайные процессы 4. Квантовая теория поля Библиографический обзор Список литературы

317 318 319 320 320 325 327 328 330 338