Physik für Mediziner

Physik fur Mediziner

Vorlesungsskriptum C. Wilke & T. Klinger

Intitut fur Physik der Ernst-Moritz-Arndt Universitat zu Greifswald September 1999

1

Aufbau der Vorlesung

Aufbau der Vorlesung 1

Mechanik

1.1 Messen physikalischer Groen . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kinematik { die Lehre von der Bewegung . . . . . . 1.2.1 Die Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Die Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Von Translation zur Rotation . . . . . . . . . 1.3 Mechanik des Massepunktes . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Die Newtonschen Axiome . . . . . . . . . . . 1.3.2 Krafte und Felder . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Arbeit, Energie und Leistung . . . . . . . . . 1.3.4 Kraftsto und Impuls . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Erhaltungssatze fur Energie und Impuls . . . 1.4 Der starre Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Statik des starren Korpers . . . . . . . . . . . 1.4.2 Dynamik des starren Korpers . . . . . . . . . 1.4.3 Der Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Die Corioliskraft als Tragheitseekt . . . . . 1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen . . . . . . . . 1.5.1 Chemische Bindungen und Aggregatzustande 1.5.2 Deformierbarkeit fester Korper . . . . . . . . 1.5.3 Harte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Mechanik der Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Ober- und Grenz ache . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Druck und Hydrostatik . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Schwingungen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Schallwahrnehmung . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4

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4 5 5 5 5 6 7 7 10 11 12 12 13 16 18 20 21 21 22 23 24 24 26 28 32 32 35 38 38 39 41

W armelehre

40

2.1 Temperatur- und Temperaturmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2

Aufbau der Vorlesung

2.2 Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Feste Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Warmemenge und Warmekapazitat . . . . . . . . . . . . 2.4 Phasenumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Phasenkoexistenz: Dampfdruck und Verdunsten . 2.4.2 Das Phasendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Die Hauptsatze der Warmelehre . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Der 1. Haupsatz der Warmelehre . . . . . . . . . 2.5.2 Carnotscher Kreisproze . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Der 2. Hauptsatz der Warmelehre . . . . . . . . 2.5.4 Der 3. Hauptsatz der Warmelehre . . . . . . . . 2.6 Warmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Warmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Warmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Diusion und Osmose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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Elektrizit at und Magnetismus

3.1 Elektrische Felder . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Stationarer Strom u . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Der elektrische Strom . . . . . . . . 3.2.2 Das Ohmsche Gesetz . . . . . . . . . 3.2.3 Die Kirchhoschen Regeln . . . . . . 3.3 Magnetische Felder . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Elektromagnetische Induktion . . . . . . . . 3.5 Wechselstromlehre . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Schwingkreis und Resonanz . . . . . 3.6 Grundzuge der Elektrodynamik . . . . . . . 3.6.1 Die Maxwellgleichungen . . . . . . . 3.6.2 Elektromagnetische Wellen . . . . . 3.7 Mechanismen des Ladungstragertransportes 4

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41 41 42 42 43 46 47 49 50 50 51 52 53 53 53 53 54 54 57

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57 62 62 63 64 66 71 74 77 78 78 78 80

Optik

82

4.1 Lichtmegroen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Energetische Groen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82

3

Aufbau der Vorlesung

4.1.2 Photometrische Groen . . 4.2 Geometrische Optik . . . . . . . . 4.2.1 Lichtausbreitung . . . . . . 4.2.2 Brechung und Re exion . . 4.2.3 Spiegel . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Linsen . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Das menschliche Auge . . . 4.2.6 Mikroskop . . . . . . . . . . 4.3 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interferenz und Beugung . . 4.3.2 Polarisation . . . . . . . . . 4.3.3 Dispersion . . . . . . . . . . 4.3.4 Extinktion . . . . . . . . . 4.4 Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Funktionsprinzip . . . . . . 4.4.2 Medizinische Anwendungen 5

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Atom- und Kernphysik

5.1 Einige Schlusselbeobachtungen . . 5.1.1 Rutherfords Streuversuche . 5.1.2 Linienspektren . . . . . . . 5.1.3 Radioaktivitat . . . . . . . 5.1.4 Franck-Hertz-Versuch . . . 5.2 Atommodelle . . . . . . . . . . . .

83 85 85 86 89 92 96 97 100 100 104 107 107 108 108 112 113

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113 113 114 115 116 116

Mechanik

2

1 Mechanik 1.1 Messen physikalischer Groen Physikalische Groen werden nach einem einheitlichen Schema aufgeschrieben, z.B.3.5km 3.5

"

k

"

m

"

Zahlenwert Vorsatz Einheit Zahlenwert, Vorsatz und Einheit sind formal ein Produkt (\3.5 mal 1000 mal ein Meter"). Die nachsten beiden Tabellen stellen die Einheiten der sieben Basisgroen und die wichtigsten Vorsatze zusammen: Basisgroe Lange Zeit Masse Temperatur Stromstarke Stomenge Lichtstarke

Einheit Meter Sekunde Kilogramm Kelvin Ampere Mol Candela

Symbol m s kg K A mol cd

Vorsatz Symbol Faktor nano n 10-9 = 1=1000000000 mikro  10-6 = 1=1000000 milli m 10-3 = 1=1000 centi c 10-2 = 1=100 hekto h 102 = 100 kilo k 103 = 1000 mega m 106 = 1000000 giga g 109 = 1000000000

1960 wurde das \Systeme International d'Unites" (SI) international als verbindlich vereinbart. Es baut alleine auf den genannten sieben physikalischen Grundgroen auf.

Langen, Flachen, Volumina, Winkel: Sie bauen direkt auf dem Lagenma \Meter" auf: Lange: 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 2 2 2 Flache: 1 m = 100 dm = 10000 cm = 106 mm2 Volumen: 1 m3 = 1000 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3 Winkel werden entweder in \Grad" oder im Bogenma \Radian" gemessen.

Zeit: Der Zeitbegri unterscheidet sich in einem wichtigen Detail vom Raumbegri: Jede Wirkung hat eine Ursache (Kausalitat) und die Wirkung zeigt sich stets nach Auftreten der Ursache. Die Zeit ist also eine gerichtete Groe; sie ist irreversibel. Zeit: 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s

1.2 Kinematik { die Lehre von der Bewegung

3

1.2 Kinematik { die Lehre von der Bewegung

Strecke s

1.2.1 Die Geschwindigkeit

Abb. 1.1: Geradlinige, ungleichformige Bewegung eines Korpers. Die Steigung der Kurve in jedem Punkt entspricht der momentanen Geschwindigkeit zum betrachteten Zeitpunkt t 0.

∆s t’ ∆t

Zeit t


s und lim v = lim
s = ds = v(t 0)
t!0
t!0
t
t dt Die Geschwindigkeit ist generell eine vektorielle Groe ~v. in Formelschreibweise: v =

1.2.2 Die Beschleunigung  Beschleunigung ist die Anderung der Geschwindigkeit pro Zeitabschnitt; in Formelschreibweise:


v = dv = a(t 0) :
t!0
t dt lim

~. (a = Abkurzung von \acceleration"). Auch die Beschleunigung ist generell ein Vektor a

1.2.3 Von Translation zur Rotation geradlinige Bewegung (Translation) Groe De nition Einheit Lange/Weg s m Geschwindigkeit v = ds=dt m/s Beschleunigung a = dv=dt m/s2

Kreisbewegung (Rotation) Groe De nition Einheit Winkel  rad Winkelgeschwindigkeit ! = d=dt rad/s Winkelbeschleunigung d!=dt rad/s2

Tabelle 1.1: Als Analogie wird die Kinematik der Rotationsbewegung formuliert. Im allgemeinen sind alle Groen vektoriell. Soll diese Eigenschaft hervorgehoben ~ ~v; !; ~ ~a. werden, so sind die Groen mit einem Pfeil gekennzeichnet, also ~s; ;

1.3 Mechanik des Massepunktes

4

Oft interessiert man sich fur die Bahngeschwindigkeit einer Kreisbewegung: Die Lange eines Kreisbogen
s ist mit dem Winkel
 uber
s = r

 verbunden, und es ergibt sich fur die Bahngeschwindigkeit (skalar)

d = r ! v = ds =r dt dt





und die Bahnbeschleunigung

d! + dr ! = Winkelbeschleunigung + Radialbeschleunigung =r a = dv dt dt dt





Bahn ∆s

∆φ

Zentrum

r

v

Abb. 1.2: Die Geometrie der Kreisbewegung. Die niten Groen
 und
s lat man im Gedanken beliebig klein werden (Dierentiale d und ds).

~ weist in das Zentrum der Drehbewegung (bei konstanter Der Beschleunigungsvektor a ~ steht auf der Drehachse. Winkelgeschwindigkeit), die Winkelgeschwindigkeit !

) Zentripetalkraft und Zentripetalbeschleunigung (Abschnitt 1.4). 1.3 Mechanik des Massepunktes Hau g ist es moglich, die Bewegung eines realen Korpers als Bewegung eines Punktes (d.h. eines Korpers ohne Ausdehnung und Volumen) zu beschreiben. Diese Abstraktion vereinfacht die mathematische Beschreibung des Problems erheblich. Eine Kraft F (Abkurzung fur \force") lat sich alleine anhand ihrer Wirkungen (Bewegungsanderung, Verformung) charakterisieren und messen. Auf dieser Idee bauen die Newtonschen Axiome auf.

1.3 Mechanik des Massepunktes

5

1.3.1 Die Newtonschen Axiome 1. Newtonsches Axiom: Ein Korper verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen, gleichformigen Bewegung, solange die Summe der einwirkenden Krafte Null ist. 2. Newtonsches Axiom: Die Beschleunigung ist proportional der angreifenden Kraft, ~F = Konstante
a ~;

wobei die Konstante der Masse m entspricht. Wichtige Folgerung: trage Masse = schwere Masse. 3. Newtonssches Axiom: actio = reactio; Die Erfahrung zeigt, da, wenn ein Korper A auf einen Korper B eine Kraft FAB ausubt, der Korper B umgekehrt auch auf Korper A eine Kraft FBA ausubt. Das dritte Axiom behauptet nun

FAB = -FBA : Die spezielle Relativitatstheorie von Einstein hat gezeigt, da bei Geschwindigkeiten in der Nahe der Lichtgeschwindigkeit das zweite und das dritte Axiom verletzt werden!

1.3.2 Krafte und Felder Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet in skalarer (ungerichteter) Form 2 F = mr1m 2

mit = 6:67
10-11Nm2 kg-2 , der Gravitationskonstante. Die Einheit von F ist Newton: N=

kg
m s2

1.3 Mechanik des Massepunktes

6

Abb. 1.3: Einen bahnbrechender Versuch (1798) zum Nachweis der Gravitationskraft stellte seinerzeit die Cavendish-Waage dar.

Erdanziehungskraft: Setzt man fur m2 die Erdmasse und fur r den Erdradius ein, so

erhalt man die Gravitationskraft (Schwerkraft) der Erde auf eine beliebige Masse m1 = m. Nach dem 2. Newtonschen Axiom lat sich dann die Erdbeschleunigung idendi zieren:

F = m a mit a = mr Erde = 9:81 m=s2


Erde

Schwerefeld: Ein wichtiges, ganz allgemeines Konzept ist die Einfuhrung des Feldes:

Ein Feld ist dadurch ausgezeichnet, da jedem Punkt des Raumes, den das Feld ausfullt, eine bestimmte physikalische Groe zugeordnet ist. Das { skalare { Schwerefeld ordnet den Raumpunkten eine bestimmte Gravitationskraft zu. Andere Beispiele: Elektrisches und magnetisches Feld (vektoriell), Luftdruckfeld und Temperaturfeld (skalar).

Schwerelosigkeit: Um einen Zustand der Schwerelosigkeit, d.h. der Kraftefreiheit, zu erreichen, mu ein statisches oder dynamisches Gleichgewicht herbeigefuhrt werden.

Unter einem Gleichgewicht versteht man, da die Summe aller Krafte verschwinden muss. Erdober ache  Freier Fall  Spaceshuttle 

! ! !

Gravitationskraft der Erde = Zwangskraft Gravitationskraft der Erde = Tragheitskraft Gravitationskraft der Erde = Zentripetalkraft

1.3 Mechanik des Massepunktes

7

Harmonische Bewegung: Krafte F, die zu einer Verruckung s proportional sind

F = -k s


fuhren zu einer harmonischen Bewegung. Fur Schwingungsdauer Bewegung einer Masse m gilt die Formel

T der harmonischen

s

T = 2 m k Beispiele sind Feder, Drehschwingung und das Pendel, das jetzt genauer betrachtet wird:

α

Ft

Fr

Abb. 1.4: Das mathematische Pendel { die Gravitationskraft F wird durch ein Krafteparallelogramm in eine Tangential- Ft und eine Radialkomponente Fr zerlegt.

F

I I

Die Radialkraft Fr sorgt fur Spannung des Fadens. Die Tangentialkraft Ft fuhrt zu der periodischen Pendelbewegung. Mathematisch:

Ft = -mg sin 



mg = -mg sl

-

An diesem Ausdruck kann man k = mg=l ablesen. Dies in den o.g. Ausdruck fur die Periodendauer einer harmonischen Bewegung eingesetzt ergibt ein vielleicht unerwartetes Ergebnis: s s

ml = 2 l ; T = 2 mg g

d.h. die Periodendauer des Pendels ist unabhangig von der Masse m.

1.3 Mechanik des Massepunktes

8

1.3.3 Arbeit, Energie und Leistung

Unter Arbeit W versteht man das Produkt aus Kraft und Weg. Arbeit [Joule] = Kraft  Weg Diese Festlegung mu erweitert werden, wenn die Kraft nicht konstant sondern abhangig vom Wege selber ist, d.h. F = F(s). Dann muss man den Weg zwischen dem Anfangs- und Endpunkt (s1 und s2 ) in beliebig kleine Stucke konstanter Kraft zerlegen und erhalt:

W=

Zs

2

s1

F(s) ds also bei konstanter Kraft W = F s :


WH: Gegen die Schwerkraft wird ein Korper auf Hohe h gehoben. Beschleunigungsarbeit WB: Ein Korper wird langs des Weges s beschleunigt. Verformungsarbeit WF: Eine Feder der Konstante D wird um den Weg s verlangert. Reibungsarbeit WR: Ein Korper wird gegen die Reibungskraft FR um s bewegt.

Hubarbeit

WH = mgh

WB = mas

WF = 12 Ds2

WR = FRs

Unter Energie E versteht man die Fahigkeit eines Korpers, Arbeit zu verrichten. Energie [Joule] = Arbeitsvermogen oder Arbeitsvorrat.

Abb. 1.5: Albert Einstein hat im Rahmen der allgemeinen Relativitatstheorie die vielleicht beruhmteste und folgenreichste Formel der Physik gefun den: E = mc2 , die Aquivalenz von Masse und Energie.

1.3 Mechanik des Massepunktes

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Energiequellen: Chemische Energie, Kernenergie, Fusionsenergie, Strahlungsenergie, Warmeenergie, elektrische Energie, mechanische Energie

$ Umwandlung.

Potentielle Energie: Die Hubarbeit Wh, die an einem Korper verrichtet wurde, wird als potentielle Energie gespeichert:

Epot = mgh Kinetische Energie: Die Bewegungsenergie eines Korpers, der sich (translatorisch = geradlinig) mit der Geschwindigkeit v bewegt ist:

Ekin = 12 mv2 Bei den Begrien Arbeit und Energie spielt es keine Rolle in welcher Zeit sie verrichtet wird. Interessiert man sich aber fur die Schnelligkeit, mit der Arbeit verrichtet wird, so gelangt man zum Begri der Leistung.

Unter Leistung P versteht man das Verhaltnis von Arbeit zu Arbeitszeit. Leistung [Watt] = benoArbeit tigte Zeit . 1.3.4 Kraftsto und Impuls

Abb. 1.6: Sto zwischen zwei Kugeln gleicher Masse (links) und Sto zwischen zwei He-Kernen (rechts). Oft ist die Wirkungsdauer einer Kraft auf eine Masse so kurz, da der eigentliche Vorgang der Beschleunigung nicht beobachtbar ist. Ein solcher Vorgang wird als Sto bezeichnet. Ist die Kraft F uber den Stozeitraum
t konstant, so gilt fur die Geschwindigkeitsanderung
v = a

t. Man erhalt fur den Kraftsto

F
t = ma
t = m
v =
p

1.4 Der starre Korper

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Impuls: Die Bewegungsgroe ~p = m~v heit Impuls. Er ist eine vektorielle Groe. Nach

Einfuhrung dieses Begries lautet das zweite Newtonsche Axiom in seiner allgemeinsten Form:

 2. Newtonsches Axiom: (Neufassung) Die zeitliche Anderung des Impulses eines Korpers ist gleich der Summe der angreifenden Krafte. ~F = d~p

dt

1.3.5 Erhaltungssatze fur Energie und Impuls Energie E und Impuls p sind wichtige Begrie, da sie Erhaltungsgroen darstellen: p3 WReibung p

2

pges

E pot

E ges

E kin

p

1

Abb. 1.7: Impuls und Energie sind Erhaltungsgroen. Der Gesamtimpuls setzt sich vektoriell aus seinen Einzelbeitragen zusammen. Die Gesamtenergie als Betrag ergibt sich aus der kinetischen und der potentiellen Energie sowie der Reibungsarbeit.

Ekin + Epot + WR = Wges : Konst. ~p1 + ~p2 + : : : =

Xn ~p i=1

i

=

~pges

:

Konst.

In einem abgeschlossenen System (es wirken keine aueren Krafte) sind die Gesamtenergie Eges und der Gesamtimpuls ~pges stets konstant, d.h. es kann nur zwischen den Energieanteilen bzw. den Einzelimpulsen umverteilt werden.

1.4 Der starre Korper Bislang wurden Korper als punktformig betrachtet. Das ist naturlich eine Abstraktion, die auf dem Prinzip beruht, da die ganze Masse in einem Punkt, dem Schwerpunkt,

1.4 Der starre Korper

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konzentriert ist. Alle auf den Korper einwirkenden Krafte greifen nur an diesem Punkt an. So einfach lassen sich allerdings nur wenige Korper (z.B. Kugeln) beschreiben. Kompliziertere starre Korper stellt man sich aus vielen Massepunkten zusammengesetzt vor, wobei angreifende Krafte nicht zur Deformation fuhren konnen sollen. Ein paar weitere Betrachtungen sind jetzt notwendig.

1.4.1 Statik des starren Korpers M Drehachse

r

F

Abb. 1.8: Ein starrer Korper (z.B. Erdnu) wird mit einer Drehachse versehen (z.B. Nadel). Fur die Wirkung von der Kraft ~F ist von Bedeutung, welchen Abstand ihr Angrispunkt von der Drehachse hat. Dies fuhrt zum ~. Begri des Drehmomentes M

~ stets senkrecht auf der Kraft ~F und dem AbDas Drehmoment steht als Vektor M

standsvektor ~r. Damit ergibt sich fur das Drehmoment die mathematische Formulierung ~ = ~r ~F ; M 

Drehmoment = Kraftarm  Kraft :

Das Drehmoment bestimmt die Rotationsbewegung. Ganz allgemein gilt fur die Bewegung starrer Korper der folgende Satz:

Jede beliebige Bewegung eines starren Korpers kann man aus einer Translations- und einer Rotationsbewegung zusammensetzen. Krafte und Drehmomente werden durch Vektoraddition zusammengesetzt.

) Krafteparallelogramm

1.4 Der starre Korper

12

Gleichgewicht Ein freier starrer Korper be ndet sich im Gleichgewicht, d.h. im Zustand der Ruhe, wenn er weder Translations- noch Rotationsbeschleunigung erfahrt. Dies ist der Fall, wenn sich alle Krafte und Drehmomente aufheben: ~F1 + ~F2 + : : : =

Xn ~F i=1

i

=

~ 1+M ~ 2 + ::: = 0 und M

Xn M~ i=1

i

=

0:

Wir der starre Korper im Raum xiert (z.B. die Drehachse des Pendels), dann werden alle Translationskrafte ~Fi von der Aufhangung aufgefangen und die Bedingung reduziert sich auf n ~ 1+M ~ 2 +::: = M

X M~ i=1

i

=

0:

Der Massemittelpunkt (Schwerpunkt) eines Korpers bestimmt sich durch die Drehmomente aller Masseelemente , auf die die Schwerkraft wirkt.

Ist die Summe aller Drehmomente aller Masseelemente eines um eine Achse drehbaren starren Korpers fur jede seiner Stellungen gleich Null, so geht die Achse durch den Schwerpunkt. Der Korper be ndet sich dann in jeder Stellung im Gleichgewicht. Der Schwerpunkt kann auch auerhalb des Korpers liegen.

A ri ∆ mi S rj ∆ mj

V

Abb. 1.9: Die senkrechte Lage ist die Gleichgewichtslage des um A drehbaren Korpers. S ist sein eigentlicher Schwerpunkt. Zur Ableitung der Gleichgewichtsbedingung denkt man sich den Korper in kleinste Masselemente mj (links von der Vertikalen V ) und mi ( rechts von der Vertikalen V ) zelegt. Die gepunktete Position ist eine Nichtgleichgewichtslage.

1.4 Der starre Korper

13

Wird ein Korper mit einer Drehachse versehen, so kann keine Translationsbewegung mehr erfolgen. Daher mu nur noch die o.g. Gleichgewichtsbedingung fur die Rotationsbewegung angewandt werden

X
M~ X
m g ~r X
M~ X
m g~r i i i j j j i i i j | {z } | {z } links von V =

=

=

rechts von V

Man sieht, da sich links und rechts die Groe g gerade herauskurzt. Der Korper begibt sich also in eine solche Lage, da die Vertikale V gerade so liegt, da

X ~r
m k

k

k

=

!

0

Z

~rdm = 0 :

Wird der ausgezeichnete Punkt S (siehe Bild 1.9) als Drehachse gewahlt, so ist der Korper  bezuglich Drehbewegungen in einem indierenten Gleichgewicht (d.h. keine Anderung der potentiellen Energie, siehe unten).

Gleichgewichte mussen in drei Arten unterteilt werden:

stabil

indifferent

labil

Der Korper, der durch kleine Auslenkungen aus seiner Ruheposition gebracht wird : : :

: : : verharrt in der neuen Position: : : : kehrt in die Ruheposition zuruck: : : : nimmt eine neue Ruheposition ein:

) ) )

indierentes Gleichgewicht stabiles Gleichgewicht instabiles Gleichgewicht

Im indierenten Gleichgewicht bleibt die Lage des Schwerpunktes unverandert. In einem stabilen Gleichgewicht wird der Schwerpunkt durch die Auslenkung angehoben, in einem instabilen Gleichgewicht dagegen abgesenkt.

1.4 Der starre Korper

14

Ganz allgemein lassen sich die Gleichgewichte uber ein Extremalprinzip de nieren:

Im Gleichgewicht nimmt die potentielle Energie des Korpers einen Extremwert an, d.h. ÆEpot = 0.

Abb. 1.10: Von links nach rechts: Beispiel fur das indierente, das stabile und das instabile Gleichgewicht eines starren Korpers. Dabei ist S der Schwerpunkt, und mg ist die Gewichtskraft. Gestrichelt gezeichnet ist stets die ausgelenkte Lage des Korpers.

1.4.2 Dynamik des starren Korpers Ein rotierender starrer Korper { zusammengesetzt aus Masseelementen
mk { hat durch die Bewegung eine kinetische Energie der Groe

X Ekin = 21
mkv2k : k

Bei der Rotationsbewegung sind die Geschwindigkeiten vk der Masseelemente
mk nicht mehr uberall gleich (im Gegensatz zur Translationsbewegung).

1.4 Der starre Korper

15

A r1

∆ m1

∆ m2

Abb. 1.11: Die Geschwindigkeit der beiden exemplarischen Masseelemente
m1 und
m2 ist proportional zum jeweiligen Abstand r1 und r2 zum Drehpunkt A.

r2

Geschwindigkeit

vk = ! rk


)

kinetische Energie

X X Ekin = 21 mk v2k = 12 !2 mk r2k k

k

Die kinetische Energie der Rotationswegegung eines starrem Korpers ist

X Ekin = 21 J !2 mit J = mkr2k ;


k

wobei als neue Groe das Tragheitsmoment J eingefuhrt wurde. Im Kontinuumsgrenzfall (beliebig kleine Masseelemente
mk ) ist das Tragheitsmoment

J=

Z

V

r2 dm :

Schon in Abschnitt 1.2.3 wurden die kinematischen Groen durch einen Analogieschlu hergeleitet. Die Tabelle 1.1 kann nun erganzt und damit vervollstandigt werden: geradlinige Bewegung (Translation) Groe Symbol Einheit Kraft ~F N Masse m kg Impuls ~p kg
m=s

Kreisbewegung (Rotation) Groe Symbol Einheit ~ Drehmoment M kg
m/s Tragheitsmoment J kg
m2 ~L Drehimpuls kg
m

1.4 Der starre Korper

16

In Analogie zum Impuls ~p ist dabei die neue Groe \Drehimpuls" ~L eingefuhrt worden. Analog zum 2. Newtonschen Axiom ~F = d~p

dt

d~v bzw. ~F = m
dt

erhalt man fur die Drehbewegung das folgende Gesetz:

Das Gesamtdrehmoment der an einen Korper angreifenden aueren Krafte  ist gleich der zeitlichen Anderung des Gesamtdrehimpulses. ~ ~ ~ = dL bzw. M ~ = J d! M dt dt


~ berechnen lat. Eine direkte Folgerung ist, da sich der Drehimpuls nach ~L = J!

m v r

Abb. 1.12: Der Drehimpuls einer mit der Geschwindigkeit ~v rotierenden Masse m (mit festem Drehpunkt) ist durch ~L = m~r  ~v gegeben. ~L steht senkrecht auf ~r und ~v.

Der Drehimpuls ist { wie die Energie und der Impuls bei der Translation (Abschnitt 1.3.5) { eine Erhaltungsgroe, ~L1 + ~L2 + : : : =

Xn ~L i=1

i

=

~Lges

:

konst.,

d.h. in einem abgeschlossenen System ist der Gesamtdrehimpuls stets konstant.

1.4.3 Der Kreisel Ganz allgemein versteht man in der Physik unter einem Kreisel einen beliebigen starren Korper, der an hochstens einem Punkt raumfest gehalten wird, ansonsten aber um eine

1.4 Der starre Korper

17

(momentane) Drehachse rotiert. Kreisel konnen sehr kompliziertes Verhalten zeigen. Die wichtigsten Eekte sind die folgenden:

Figurenachse

Im

pu

lsa

ch

se

Präzessionskegel

ω S

mg

Abb. 1.13: Ein einfaches Modell fur einen Kinderspielkreisel. Ein aueres ~, Drehmoment M fuhrt { neben der eigentlichen Kreiselbewegung { zu einer Prazessionsbewegung entlang eines Kreiskegels.

Haupttragheitsachsen: Zu jeder denkbaren Drehachse eines Kreisels gehort ein

Tragheitsmoment J. Die Achsen, denen das grote und das kleinste Tragheitsmoment zukommen, nennt man die Haupttragheitsachsen. Bei drehsymmmetrischen Kreiseln fallen Haupttragheitsachsen und Figurenachsen zusammen.

~ , das durch die Gewichtskraft m~g auf den Schwerpunkt S Prazession: Ein Drehmoment M

hervorgerufen wird, versucht den Kreisel zu kippen. Dies bewirkt beim Kreisel eine  Anderung des Drehimpulsvektors ~L, was schlielich zu einer Prazessionsbewegung um die Vertikale fuhrt.

Nutation: Fallt die Figurenachse nicht mehr mit der Drehimpulsachse zusammen, her-

vorgerufen etwa durch einen kurzen Schlag, so bewegt sich die Figurenachse um die Richtung des resultierenden Drehimpulses auf einem Kreiskegel. Die Bewegung der  Figurenachse wird als Nutation bezeichnet. Uberlagert mit einer Prasessionsbewegung ergibt sich eine Nickschwingung des Kreisels.

Praktisches Auftreten: Erde, Diskus, Fahrrad, Kreiselkompa, Ultrazentrifuge

1.4 Der starre Korper

18

1.4.4 Die Corioliskraft als Tragheitseekt Die Corioliskraft ist ein Bespiel fur das Auftreten von Tragheitskraften bei der Roation.

Der mitbewegter Beobachter auf einem rotierendem Bezugssytem beobachtet zwei verschiedene Tragheitskrafte, die an an einen Korper mit der Masse m und der Geschwindigkeit ~v angreifen, Zentrifugalkraft Corioliskraft

~FZ

~FC

= =

~ ~r) m(! ~) 2m(~v ! 



Abb. 1.14: In einem Tiefdruckgebiet erfahren die einstomenden Luftmassen auf der Nordhalkugel eine Rechtsdrehung { es bildet sich eine Zyklone. Auf der Sudhalbkugel kommt es hingegen zu einer entgegengesetzt drehenden Antizyklone. Dies ist das Resultat der Corioliskraft. B C

A

ω

Abb. 1.15: Auf einer rotierenden Scheibe bewegt sich ein Korper radial von innen nach auen. Der Tragheit folgend erfahrt er auf seinem Weg die Zentrifugalkraft (in radialer Richtung) und zusatzlich die Corioliskraft (in tangentialer Richtung).

I bewegter Korper auf ruhender Scheibe I bewegter Korper auf bewegter Scheibe

! !

geradlinige Bewegung von A nach B. geradlinige Bewegung von A nach B + zusatzliche Bewegung von B nach C.

1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen

19

1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen Materie in stoicher Form ist ein Aggregat aus einer sehr groen Anzahl von Atomen und Molekulen. Die physikalischen Eigenschaften der makroskopischen Materie sind direkt mit der Natur und der Anordnung der mikroskopischen Atome und Molekule verbunden.

1.5.1 Chemische Bindungen und Aggregatzustande chemische Bindung Ionenbindung Valenzbindung Dipolbindung van der Waals-Bindung metallische Bindung

Stobeispiele NaCl, LiF Si, Diamant Eis, HF Ar, organische Stoe Fe, Na

ein wichtiges Merkmal elektrolytische Leitfahigkeit groe Harte Bildung von Molekulgruppen geringe Harte groe Leitfahigkeit, undurchsichtig

Bedingung fur stabiles Gleichgewicht ist wieder das Kraftegleichgewicht

Fanziehend = Fabstoend

,

Minimum in der potentiellen Energie

)

r0

'

mittlerer Atom-/Molekulabstand.

Abb. 1.16: Links ein typisches Beispiel fur ein Makromolekul, die beruhmte Desoxyribonukleinsaure (DNS). Sie besteht aus zwei antiparallelen Wendeln, die aus einer Reihe von Zucker- und Phosphatgruppen aufgebaut sind. Wie einfach ist dagegen der Kochsalzkristall (NaCl) rechts aufgebaut!

1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen

20

Die vier Aggregatzustande der Materie sind durch die Temperatur bestimmt:

Festkorper Flussigkeit Ordnung

Struktur

Formbestandigkeit ja

ETh

Energie



Gas

Plasma

Nahordnung keine

keine

schwach

keine

EBdg ETh EBdg '

keine

ETh > EBdg ETh

300K



EBdg

100000K

Temperatur

1.5.2 Deformierbarkeit fester Korper Bis zu dieser Stelle wurde ein Korper als starr angesehen. Tatsachlich sind alle Korper deformierbar, d.h. sie verandern sich durch Einwirkung einer aueren Kraft F in ihren Abmessungen und ihrem Volumen (Lange l  Ober ache A). Dehnung

 =
l l

Spannung

 = AF

Spannung

σ C´ C

D

B A

ε Dehnung

Abb. 1.17: Schematischer Verlauf der Spannung  (z.B. eines Drahtes) als Funktion der Dehnung . Man unterscheidet A: Proportionalitatsgrenze B: Elastizitatsgrenze C: Fliegrenze C{C: Querschnittsverminderung D: Reigrenze.

Bis zur Elastizitatsgrenze B nimmt der Korper nach Beendigung der Krafteinwirkung wieder seine ursprungliche Gestalt an. Bei Dehnung bis zur Fliegrenze C bleiben Restdefomationen des Korpers zuruck (plastische Verformung). Bei daruber hinausgehender Spannung, C{C, beginnt das Material zu ieen und geht bei D irreversibel zu Bruch.

1.5 Mechanische Eigenschaften von Stoen

21

Fur Spannungen unterhalb der Proportionalitatsgrenze A gilt das Hooksche Gesetz.

Die Spannung ist der relativen Deformation { der Dehnung { proportional

=E 


bzw.

 = E1 


Die Groe E nennt man den Elastizitatsmodul, seine Einheit ist N
m2 . Er charakterisiert die Kraft, die ein Korper einer von auen vorgenommenen Verformung entgegensetzt.

) Volumeneekt

Abb. 1.18: Torsion (Scherung) eines Wurfels um den Winkel . Die Kraft F verteilt sich nun auf eine Flache A = l2 . Daher ist die Schubspannung  = F=l2 . Fur Torsion erhalt man eine Variante des Hookschen Gesetzes

 = G ;


wobei G als der Scherungs-, Schub- oder Torsionsmodul bezeichnet wird.

1.5.3 Harte Unter Harte versteht man den Widerstand, den ein Korper dem Eindringen eines anderen entgegensetzt (z.B. Spitze, Schneide). Auf diesem Prinzip basieren auch die Harteskalen.

Abb. 1.19: Mikroharteprufung nach Vickers: Man bestimmt unter dem Mikroskop (hier 1200-fache Vergoerung) von dem Eindruck eines pyramidenformig geschlienen Diamanten die Diagonale.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

22

Mineral

Mohsharte Vickersharte N/mm2 Talkum 1 23 Gips 2 350 Kalkspat 3 1080 Fluspat 4 1860 Apatit 5 5300 Feldspat 6 7900 Quarz 7 11000 Topas 8 14000 Korund 9 20000 Diamant 10 100000

Mohsharte: Jeder vorhergehende Sto wird durch den nachfolgenden geritzt. Diese Skala hat heute kaum noch Bedeutung.

Brinellharte: Eine Stahlkugel von 1cm Durchmesser hinterlat bei 30 kN Kraft einen Abdruck, dessen Durchmesser als Ma fur die Harte dient.

Vickersharte: Statt einer Stahlkugel wird

eine quadratische Diamantpyramide verwendet. So konnen auch harteste Materialien gepruft werden.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten Im Gegensatz zum festen Korper besitzen Flussigkeiten keine Formelastizitat. Allerdings zeichnen sie sich durch eine gewisse Volumenelastizitat aus. In Flussigkeiten konnen sich die Atome und Molekule relativ frei bewegen, was fur die Mechanik wichtige Folgen hat.

1.6.1 Ober- und Grenz ache Wahrend sich im Flussigkeitsinneren die Anziehungskrafte der Molekule gegenseitig kompensieren, ist dies an einer Grenz ache nicht mehr der Fall.

! Ober achenspannung Abb. 1.20: Prinzip der Ober achenspannung: Im Flussigkeitsinneren kompensieren sich die Anziehungskrafte. Auf ein Teilchen an der Flussigkeitsober ache ensteht jedoch eine resultierende Kraft, die senkrecht auf der Flussigkeitsober ache steht und in das Flussigkeitsinnere zeigt. Die zugehorige potentielle Energie ist die Ober achenenergie.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

23

Im Gleichgewicht versucht die Flussigkeitsober ache stets, ein Minimum der Ober achenenergie anzunehmen; sie bildet eine Minimal ache (z.B. Kugelgestalt des Tropfens). Ober achenspannung

an Ober achenenergie
Eob  = Zuwachs = Zuwachs an Ober ache
A

Die Ober achenspannung  hat als spezi sche Ober achenenergie die Einheit J=m2 . FA FK FA FR

FK FR benetzend

nicht benetzend

Abb. 1.21: Im benetzenden System sind die Adhasionskrafte ~FA groer als die Kohasionskrafte ~FK. Die Resultierende ~FR zeigt in Richtung des Festkorpers. Im nicht benetzenden System sind die Kohasionskrafte starker als die Adhasionskrafte. Die Resultierende zeigt dann ich Richtung der Flussigkeit.

Kohasion: Wechselwirkung infolge von Anziehungskraften zwischen gleichartigen Mo-

)

lekulen (z.B. innerhalb einer Flussigkeit) = ~FK

Adhasion: Wechselwirkung infolge von Anziehungskraften zwischen verschiedenartigen

)

Molekulen (z.B. zwischen Flussigkeit und Festkorper) = ~FA

Die freie Ober ache einer Flussigkeit in einer Kapillare bildet einen Ausschnitt einer (konkaven oder konvexen) Kugel ache, den sogenannten Meniskus. Die Steighohe ist


h = r2g fl mit

 r fl g

: : : :

Ober achenspannung Radius der Kapillare Dichte der Flussigkeit Erdbeschleunigung .

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

24

2r ∆h ∆h

Aszension

Depression

Abb. 1.22: Aszension: Benetzende Flussigkeiten stehen in dunnen Kapillaren hoher als in dicken. Depression: In dunnen Kapillaren stehen nicht benetzende Flussigkeiten tiefer als in dicken. Diese Gleichung ergibt sich durch Gleichsetzen von potentieller Energie und Ober achenenergie. Sie gilt streng genommen nur fur vollkommen benetzende Flussigkeiten.

1.6.2 Druck und Hydrostatik

h

F

Abb. 1.23: In einem Rohr steht eine Flussigkeitssaule der Hohe h. Ihr Gewicht bewirkt eine Kraft F auf den Boden des Gefaes, der die Flache A hat. Die Kraft wird hier von einer Feder ausgeglichen.

Der Druck p ist die Kraft, die eine Flussigkeit auf eine gegebene Flache ausubt. Druck [Pascal] = Kraft pro Flache p= F

A

Diese Kraft wird meist durch das Gewicht der Flussigkeit ausgeubt. Man sprcith dann vom Schweredruck einer Flussigkeit, der bei der Flussigkeitsdichte  nur von der Flussig-

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

25

keitshohe h und der Erdbeschleunigung g abhangt, nicht aber von der Form des Gefaes: Tiefe h

0

Druck p

Ahg = gh : p = AF = mg = A A Die Hydraulik basiert auf einer einfachen Schlufolgerung:

gleichmaige Druckausbreitung ) Seitendruck = Schweredruck in gleicher Hohe.

F1

A1

F2 A2

Abb. 1.24: Die hydraulischen Presse: Der Druck p breitet sich gleichmaig aus. Die Kraft F1, die auf die kleinere Flache A1 ausgeubt wird, fuhrt auf der groeren Flache A2 zu einer entsprechend groeren Kraft F2 , d.h. p = F1=A1 = F2=A2.

Die hydraulische Presse ist ein einfaches Beispiel fur kommunizierende Rohren.

    

Druckmeverfahren U-Rohr-Manometer Zeigermanometer Membranmanometer Dehnungsstreifen Blutdruckmegerat

Prinzip Schweredruck Bourdon-Rohr Druckdose elektrischer Widerstand Stempeldruck

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

26

Auftrieb: Auf einen in eine Flussigkeit getauchten Korper wird von allen Seiten Druck ausgeubt, ...

Fo

Fl

Fr

Fu

Abb. 1.25: ... jedoch ist dieser auf der Unterseite wegen der groeren daruberstehenden Wassersaule hoher als auf der Oberseite. Der Seitendruck kompensiert sich. Alles zusammen resultiert in einer nach oben gerichteten Kraft, dem Auftrieb.

Das Archimedische Prinzip: Die Auftriebskraft an dem Korper ist gleich der Gewichtskraft der verdrangten Flussigkeit.

Fa = Vflg = mfl g Anwendungen: Dichtebestimmung mit Araometer, Pyknometer, Mohrscher Waage. 1.6.3 Hydrodynamik Die Hydrodynamik ist die Lehre von der Bewegung { der Stromung { von Flussigkeiten.

Abb. 1.26: Die turbulente Stromung eines Wasserstrahls ist durch die Ausbildung kleiner Wirbel charakterisiert.

Laminare und turbulente Stromungen gehorchen vollig verschiedenen Gesetzmaigkeiten. Wahrend man bei ersterer die Bewegung der Flussigkeit durch Stromlinien charakterisieren kann, ist letztere durch die Bildung und Bewegung von Wirbeln bestimmt.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

27

 Der Parameter, der den Ubergang von lamiarer zu turbulenter Stromung bestimmt ist die Reynoldszahl, welche die dynamischen Krafte mit den Reibungskraften in Bezug setzt:

Re = FFdyn R

Turbulenz setzt oberhalb einer sog. kritischen Reynoldszahl ein. Die Gesetzmaigkeiten laminarer Stromungen sind recht gut verstanden. Nutzlich ist dabei das Konzept der Stromlinien:

A2 v2

A1 v1

Abb. 1.27: Aus den Teilchengeschwindigkeiten lassen sich die Stromlinien konstruieren. Die Dichte der Stromlinien ist ein Ma fur die Geschwindigkeit der Stromung. So fuhrt die Verengung einer Rohre zum Anstieg der Stromungsgeschwindigkeit (Duseneekt). Der Duseneekt lat sich leicht begrunden: Im Fall einer inkompressiblen Flussigkeit gilt die Kontinuitatsbedingung:

Pro Zeiteinheit iet durch jede Querschnitts ache A die gleiche Menge der Flussigkeit,

A1 v1 = A2 v2





Bei vielen Flussigkeiten spielt Zahigkeit, also die innere Reibung, keine groe Rolle. Man spricht dann von idealen Flussigkeiten. Neben der Erhaltung des Massestroms gilt dann auch die Erhaltung der Energie

mgs + 12 mv2 = Konst, mit mgs = AF V = pV folgt pV + 12 mv2 = Konst. Nach Division durch V erhalt man die Bernoullische Gleichung:

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

28

Satz von Bernoulli:

Staudruck

+

statischer Druck = Konst.

1  v2 2

+

p = pges

Anwendungsbeispiele: Dusenzerstauber, Wasserstrahlpumpe, Bunsenbrenner

p

1

p

p

2

3

Abb. 1.28: Das hydrodynamische Paradoxon: An Stellen, wo wegen der Rohrverengung eine groere Stromungsgeschwindigkeit herrscht, mit man einen geringeren statischen Druck p, d.h. im Bild p1 = p3 aber p2 < p1 und p2 < p3 . Bis hierhin wurden ideale, d.h. reibungsfreie Flussigkeiten betrachtet. In einer Vielzahl von Flussigkeiten spielt Reibung zwischen den Teilchen eine groe Rolle. Eine Folge dieser Reibung ist die Viskositat.

Die Newtonsche Gleichung verknupft die Viskositat  mit einer tangential angreifenden, inneren Reibungskraft

F =  A dv dz





Dabei ist dv=dz das Geschwindigkeitsgefalle in die Tiefe, im Bild in z-Richtung.

1.6 Mechanik der Flussigkeiten

29

Abb. 1.29: Auf einer Flussigkeitsober ache schwimmend wird eine Platte der Flache A in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v bewegt. Durch Reibung kommt es zu einer eine Tangentialkraft F, die diese Bewegung auf tiefer liegende Flussigkeitsschichten ubertragt.

v

z

x

 Newtonsche Flussigkeiten: Viskositat  = konst., z.B. Wasser, Quecksilber, Ol

Nicht-Newtonsche Flussigkeiten: Viskostitat (v) 6= konst., z.B. Erythrozythen, Blut

v

Abb. 1.30: Zum Hagen-Poiseuillschen Gesetz: Stromung viskoser Flussigkeiten in einem Rohr. Durch Reibung an der Wand und zwischen den Flussigkeitsteilchen entsteht ein Geschwindigkeitspro l.

Die Duch uleistung einer Flussigkeit, die durch ein Rohr stromt, bestimmt der Volumenstrom =

transportiertes Flussigkeitsvolumen Zeiteinheit

dV I =
V !
t dt

Bei der laminaren Stromung einer Newtonschen Flussigkeit ndet man die folgenden Gesetzmaigkeiten: Der Volumenstrom ist proportional ...

I I I I

/ / / /


p 1=l r4 1=

... zur Druckdierenz zwischen Rohranfang und -ende. ... zum Inversen der Rohrlange. ... zur vierten Potenz des Rohrradius. ... zum Inversen der Viskositat.

Dies fuhrt zu einem Gesetz fur den laminaren Volumenstrom in einem Rohr.

Hagen-Poiseuillesches Gesetz:

r
p = I = dV dt 8l 4

1.7 Schwingungen und Wellen

30

Ein nutzlicher Begri ist der Stromungswiderstand =

Druckdierenz Volumenstrom

hintereinander geschaltete Stromrohren: parallel geschaltete Stromrohren:

R =
p I :

Rges = R1 + R2 + : : : 1=Rges = 1=R1 + 1=R2 + : : : R1

R1

R2

R2 Serienschaltung von Röhren Parallelschaltung von Röhren

1.7 Schwingungen und Wellen 1.7.1 Schwingungen Nichtperiodische Vorgange: Ablaufe, die nur einmalig oder wiederholt aber unregelmaig aufteten. Beispiele: Aufprall, Prasseln von Hagelkornern.

Periodische Vorgange: Ablaufe, die sich nach einem bestimmten Zeitintevall T exakt wiederholen. Beispiele: Herzschlag, tropfender Wasserhahn.

Harmonische Vorgange: Spezialfall der harmonischen Vorgange; sie sind durch eine Sinusfunktion darstellbar. Beispiel: Saitenschwingung, Pendel.

Formaler Ausgangspunkt aller Schwingungsphanomene ist die Schwingungsgleichung. Sie ergibt sich aus der Kraftebilanz und der Newtonschen Gleichung: Impulsanderung = Reibungskraft + rucktreibende Kraft 2 m ddts2 = - ds dt - ks

,

2 2 m ddts2 + ds dt + m! s = 0

1.7 Schwingungen und Wellen

31

Die harmonische Losung der reibungsfreien Schwingungsgleichung ( = 0) lautet:

s(t)

= =

A

A sin(!t + ) ! A sin 2 T t+

T 2




t φ ω




Mit ! wird die Kreisfrequenz und mit T die Periodendauer notiert. Treten bei der Schwingung Verluste in Form von Reibung auf, d.h. > 0, dann ist die Schwingung nicht mehr harmonisch:

s(t) = A sin(!t + ) exp(-Æt)





Klingt die Amplitude einer Schwingung klingt exponentiell ab, so wird sie als gedampft bezeichnet. Je groer die Reibung ist, desto schneller klingt die Schwingung ab; genauq 2 er Æ = =2m. Die Frequenz der gedampften Schwingung ist ! = !0 - Æ2 . Um den

s(t) t

Abb. 1.31: Zeitlicher Ablauf einer gedampften Schwingung Eekt der Resonanz zu verstehen, bertrachten wir nun das reibungsfreie Federpendel (Federkonstante D). Schwingungsdauer und Schwingungsfrequenz sind dann

s

s

D: T = 2 m und ! = D m Mit Hilfe einer Exzenterscheibe lat sich ein Federpendel periodisch antreiben.

1.7 Schwingungen und Wellen

32 getriebenes Federpendel

einfaches Federpendel

Abb. 1.32: Ein einfaches Federpendel (links) und ein Federpendel mit periodischer Erregung an der Aufhangung (rechts).

F=-Ds F=+mg

 Andert man die Frequenz !ex des Erregers (z.B. Exzenter), so wachst die Schwingungsamplitude in der Nahe der Eigenfrequenz des Pendels stark an. Sie wird dann auch als Resonanzfrequenz bezeichnet:

s

D !ex ! !res = m Schwingungsamplitude

Abb. 1.33: Resonanzkurve eines periodisch erregten, schwingungsfahigen Systems. Stimmt die Frequenz des Erregers mit der Resonanzfrequenz des Systems uberein, so ist die Schwingungsamplitude ω res Erregerfrequenz maximal. Fur Schwingungen gilt das Superpositionsprinzip, welches besagt, da sich zwei zur  Uberlagerung kommende Schwingungen nicht gegenseitig storen, z.B. Schwebungen:

s(t)

=

s(t)

=

s1 (t) + s2 (t) = s0 cos(!1t) + s0 cos(!2t) ! - !  ! + !  2s0 cos 1 2 2 t cos 1 2 2 t

)

 Die Resultierende der Uberlagerung zweier einzelner Schwingungen ist also eine Schwingung mit der halben Summen- und Dierenzfrequenz.

1.7 Schwingungen und Wellen

33

 Abb. 1.34: Uberlagerung zweier Schwingungen ahnlich groer Frequenz: In das eingezeichnete Zeitintervall (gestichelte Linie) passen bei der ersten Schwingung vier ganze Perioden, bei der zweiten  deren funf. Durch die Uberlagerung kommt es zu einer Schwebung (\periodisches An- und Abschwellen") mit der Schwebungsdauer TS.  Die Uberlagerung vieler harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenz ergibt einen periodischen, aber meist anharmonischen Vorgang. Umgekehrt lassen sich periodische Vorgange als eine Summe harmonischer Schwingungen darstellen:

Fouriersches Theorem: Jede beliebige periodische Funktion s(t) lat sich in die folgende Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen zelegen:

s(t) =

1 X a n=0

[

n sin(n!t) + bn cos(n!t)]

1.7.2 Wellen Bis hierhin wurden ausschlielich zeitlich periodische Vorgange { Schwingungen { diskutiert. Eine Erweiterung ist der zeitlich und raumlich periodische Vorgang, die Welle: Mathematisch ist eine Welle durch die Frequenz ! und die Wellenzahl k bestimmt

u(x; t) = u0 sin(!t + kx)

1.7 Schwingungen und Wellen

34

Abb. 1.35: Wellen in einer Feder, einem Glas und einem Seil (von oben nach unten). Mit c wird hier die Ausbreitungsgeschwindigkeit bezeichnet. Bei einer Welle breitet sich die Schwingung raumlich mit der Geschwindigkeit c aus. Die zeitliche Periodendauer ist T , die entsprechende raumliche , die Wellenlange.

T = 2 !

 = 2 k

cT = 

,

c = !k

Longitudinalwellen basieren auf Volumenelastizitat, z.B. Wellen in Gasen Transversalwellen basieren auf Schubkraften, z.B. Wellen in Festkorpern Wellen transportieren Energie. Bei Longitudinalwellen erfolgt der Energietransport in Ausbreitungsrichung (z.B. Licht, Schall), bei Transversalwellen senkrecht dazu. Bewegt sich eine Welle relativ zum Beobachter, so kommt es zum Dopplereekt.

Abb. 1.36: Demonstration des Dopplereektes bei Wasserwellen. Die Quelle (vibrierende Stange) bewegt sich nach rechts. Als Folge beobachtet man von links Wellen geringerer Frequenz (groe Wellenlange), dagegen von rechts Wellen hoherer Frequenz (kleine Wellenlange).

1.7 Schwingungen und Wellen

35

Frequenzerhohung $ Quelle bewegt sich auf Beobachter zu Frequenzerniedrigung $ Quelle bewegt sich vom Beobachter weg. Brechung und Re exion: Die Ausbreitungseigenschaften von Wellen hangen von der  Natur des Mediums ab. Das wird besonders deutlich beim Ubergang zwischen verschie-

denen Medien:

1

2

α 1 α 1’

α2

.

Abb. 1.37: Eine Welle trit auf die Grenz ache zwischen zwei Ausbreitungsmedien: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium (2) sei kleiner als im Medium (1), d.h. c2 < c1. Ein Teil der Welle geht in Medium (2) uber und wird dabei gebrochen. Ein anderer Teil der Welle erfahrt an der Grenz ache Re-

exion

Es nden sich die folgenden Gesetzmaigkeiten fur Brechung Re exion

sin 1 sin 2

=

c1 c2

1 = 10 :

Bei der Superposition von Wellen

u(x; t) = u1(x; t) + u2 (x; t) + : : : kommt es zu Interferenzerscheinungen, die das Huygens-Fresenelsche Prinzip erklart.

Huygens-Fresnelsches-Prinzip: Der Schwingungszustand eines Punktes im Wel lenfeld ist gegeben durch die Uberlagerung samtlicher Elementarwellen in diesem Punkt.

1.8 Akustik

36

Abb. 1.38: Superposition von zwei in Phase schwingende Quellen (1) und (2). Trit ein Wellenberg der von (1) ausgehenden Welle auf einen Wellenberg von (2), so verstarken sich hier die Wellen ( im Bild). Trit dagegen ein Wellenberg auf ein Wellental, so loschen sich die Wellen gegenseitig aus (Æ im Bild). So enstehen regelmaige Zonen der Verstarkung und der Ausloschung (Verbindungslinine von  bzw. Æ). Die Bedingung fester Phasen, die fur das Auftreten von Interferenzeekten so wichtig ist, wird als Koharenz bezeichnet.

1.8 Akustik 1.8.1 Schallwellen Akustik ist in der Physik die Lehre von der Ausbreitung von Verdichtungswellen, den Schallenwellen. In Gasen handelt es sich dabei um Longitudinalwellen. Die Schallgeschwindigkeit ist dann gegeben durch

s

c =  MRT mol  R T Mmol

: : : :

Adiabatenexponent Gaskonstante Gastemperatur molare Masse

mit

7=5(fur O2; N2) = 8:31J=mol K = 300K = 29g=mol

=




Die o.g. Zahlen sind die (typischen) Werte fur Luft. Das Ergebnis ist cLuft = 347m=s.

1.8 Akustik

37

Festkorper (20Æ C) Aluminium Eisen Gummi

c [m/s] Flussigkeit (20Æ C) c [m/s] Gas (0ÆC) c [m/s] 6260 5850 1040

Wasser Aceton Glycerin

1483 1192 1923

Helium CO2 Luft

965 259 331

1.8.2 Schallwahrnehmung Das menschliche Ohr nimmt in der Regel Schallwellen wahr in einem Frequenzbereich

Hörwahrnehmung

16Hz - 20000Hz :

Hörschwelle

Schallintensität

Abb. 1.39: Die Intensitat einer Schallwelle ist der Quotient aus Leistung und Flache, I = P=A. Fur die subjektive Schallwahrnehmung wird der schematisch im Diagramm gezeigte Zusammenhang gefunden.

Weber-Fechnersches Gesetz (Erfahrungssatz): Die Emp ndungsstarke ist proportional dem Logarithmus der Reizstarke. Weber-Fechner-Gesetz fur Schallwellen: Der Schallpegel L steigt logarithmisch mit der Schallintensitat I (bzw. dem Schalldruck p):

Schallpegel [Bel]=konst. log (Schallintensitat/Normintensitat)

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10-10bar hat man sich international auf die Reizschwelle bei f = 1000Hz geeinigt. Weber-Fechner-Gesetze gelten auch fur andere Sinnesorgane, z.B. das Auge.

1.8 Akustik

38

Pressluftsirene 7m Entfernung Startendes Dusen ugzeug 4m Entfernung Startendes Dusen ugzeug 200m Entfernung Autohupe 1m Entfernung Personenkraftwagen 7m Entfernung Unterhaltungssprache 1m Entfernung Zimmerlautstarke Wohngerausche Blatterrauschen Uhrenticken Horschwelle

131 dB Schmerzgrenze 120 dB 115 dB 110 dB 80 dB 65 dB 50 dB 30 dB 20 dB 10 dB 0 dB Wahrnehmungsgrenze

Tabelle 1.2: Vergleich der Lautstarken einiger alltaglicher Gerauschquellen. Abb. 1.40: Der Horbereich des menschlichen Gehors hangt von der Frequenz (in Hz) und vom Schallpegel (in dB) ab. Insgesamt ergibt sich dieses Diagram.  ist der Sprachbereich, der Musikbereich. Die unterste Kurve ist die Horschwelle. jjj

Die mit Wellen generell verbundenen Phanomene treten auch in der Akustik auf. So kommt es auch bei Schallwellen zu Schwebung, Interferenz, Re exion und Beugung, sowie zum Dopplereekt:

1.8 Akustik

39

1.8.3 Ultraschall Schallwellen (\Tone") mit Frequenzen > 20kHz sind vom menschlichen Ohr nicht mehr wahrnehmbar. Schallwellen im Frequenzbereich f = 20 kHz-1GHz werden als Ultraschall bezeichnet.

Abb. 1.41: Die Erzeugung von Ultraschall geschieht mittels elektrischer Wandler, die einen Wechselstrom in eine Vibration umsetzen. Im Bild ein handelsubliches Modell. Ultraschallwellen haben vielfaltige technischen Anwendungen: Verfahren Ultraschallreinigung Echolot Sonographie Lithotripsie Dispergieren Homogenisieren

typischer Anwendungsbereich Haushalt, Labor, Zahnmedizin Schiahrt, Fischfang Medizin Medizin Chemie, Pharmazie Chemie, Pharmazie

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57

Elektrizitat und Magnetismus

3 Elektrizitat und Magnetismus Die Elektrizitatslehre befat sich mit der Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen. Dabei ist Ladung eine physikalische Eigenschaft von Elementarteilchen, z.B. Elektronen. Ladungen sind entweder positiv oder negativ. Gleichartige elektrische Ladungen fuhren zu abstoenden, ungleichartige zu anziehenden Kraften. Abb. 3.1: Mit Elektroskopen kann elektrische Ladung nachgewiesen werden. Einheit [Coulomb]: C=A
s Das Instrument nutzt die Gesetzmaigkeit, da sich gleichartige Ladungen abstoen. Elektrische Ladungen konnen auf der Ober ache eines nichtleitenden Korpers verschoben werden, was zu Ladungstrennung fuhrt (Reibungselektrizitat). Es gilt dabei der

Erhaltungssatz der Ladungen:

X

(

q- + q+ ) = 0 :

Elektrische Ladungstrager (wichtig: Elektronen mit Elementarladung e = 1; 602
10-19 C) konnen weder verschwinden noch entstehen { sie konnen jedoch verschoben werden, was zur Au adung von Korpern fuhrt.

I Leiter ! guter Ladungstragertransport I Isolator ! schlechter Ladungstragertransport 3.1 Elektrische Felder

Die Ausgangspunkt bei der Einfuhrung des Feldkonzeptes ist die Untersuchung der Kraftwirkung zweier elektrischer Ladungen q1 und q2 aufeinander, beschrieben durch

Coulombsches Gesetz

1 q1 q2 F = 4 r2 0





q1 ; q2 r 0

:

Ladungen 1 und 2

:

Abstand zwischen den Ladungen

:

elektrische Feldkonstante = 8; 85
10-12

C Vm

58

3.1 Elektrische Felder

 Ahnlich wie bei der Gravitation (vergl. Abschnitt 1.3.2) fuhrt man den Begri des elektrischen Feldes E anhand der Kraft ein, die auf eine Ladung an den verschiedenen Punkten im Raum wirkt.

F = q1 E


Kraft auf Ladung Q1 durch Feld E; also

1 q2 E = 4 0 r2


Das elektrische Feld wird gra sch mit Hilfe von Feldlinien veranschaulicht. Die Richtung von E entspricht der (lokalen) Richtung der Feldlinien, die Starke ist durch die Feldliniendichte gegeben.

Abb. 3.2: Verlauf elektrischer Feldlinien um (a) eine positive und (b) eine negative Punktladung, (c) zwischen einer positiven und einer negativen Punktladung und (d) zwischen zwei negativen Punktladungen. Experimentell lassen sich solche Feldlinienverlaufe durch Grieskorner in Glycerin nachweisen.

59

3.1 Elektrische Felder

Vektorielle Kraft auf Ladung q:

~F = q
~E

Das Verschieben einer elektrischen Ladung in einem (vektoriellen) Feld ~E vom Ort 1 zum Ort 2 erfordert eine Kraft ~F. Langs des Weges wird Arbeit geleistet:

1 E

W=

2

Z2 1

~F
d~s = q

Z2 1

~E
d~s

Um unabhangig von der Ladung q zu werden, de niert man einen neuen Begri:

elektrisches Potential

(P) =

ZP P0

~E
d~s =

1E q pot

Arbeit, die notwendig ist, eine positive Einheitsladung von einem Punkt auf der Erdober ache P0 an den betracheteten Punkt P zu transportieren. Die Potentialdierenz zwischen zwei Punkten bezeichnet man als Spannung U [Volt].

U = (P1) - '(P2)

Einheit V =

J C

 Linien/Flachen gleichen Potentials bezeichnet man als Aquipotentiallinien/-  achen. E

φ=konst +

 Abb. 3.3: Elektrisches Feld ~E und Aquipotentiallinien  = konst. um eine positive Punktladung (vergl. Abb. 3.2). Dieses Bild ist tatsachlich eine Querschnitt  quipotential achen (Kugeldurch die A ober achen).

60

3.1 Elektrische Felder

Ladung, elektrisches Feld und die damit vebundene Kraft fuhrt zu einer Vielzahl von Phanomenen, von denen die wichtigsten nachfolgend diskutiert werden.

In uenz: Eine positive (bzw. negative) Ladung wird an einen Leiter angenahert. ++ ++ ++

----

+ + +++ +

An seiner Ober ache be ndlichen sich freie Elektronen als negative Ladungstrager, die dadurch angezogen (bzw. abgestoen) werden. Durch diese Storung der Ladungstragerverteilung wird in den Leiter Ladung und damit ein elektrisches Feld E in uenziert.

Kapazitat: Das Verhaltnis zwischen Ladung q, die auf einem Leiter sitzt und dem auf der Ober ache herrschenden Potential  wird als Kapazitat C bezeichnet:

C = Uq

Einheit F =

C=A s V V


Dabei ist U =  - 0 die Spannung bezogen auf einen zweiten, gegenuberliegenden Leiter. φ

-

- - Q - - - - - Fläche A

-

φ0

d

Die Kapazitat beschreibt das Vermogen, Ladung zu speichern. Fur den Plattenkondensator gilt C = 0
A=d. Kondensatoren sind Bauelemente mit de nierter Kapazitat.

Cges

=

1 Serienschaltung Cges

=

Parallelschaltung

X n

Cn

X1

n Cn

Polarisation: Eine positive (bzw. negative) Ladung wird an einen Isolator angenahert. + + +++ +

-

+ + -

+ + -

+ + -

+ + -

+ +

Die Ladungstrager eines Isolators sind nicht beweglich. Statt dessen wird die Ladungstragerverteilung innerhalb eines jeden Atoms verschoben; das Atom wird polarisiert. Makroskopisch fuhrt dies zu einer Gesamtpolarisation des Korpers und zum Auftreten von Ober achenladungen. Molekule mit einem permamenten Dipolmoment richten sich unter dem elektrischen Feld aus. Man redet dann von Orientierungspolarisation.

61

3.1 Elektrische Felder

Dielektrikum: Das elektrische Feld zwischen zwei Ladungen (z.B. Kondensatorplatten, siehe Bild) wird im Inneren eines Dielektrikums infolge der Polarisation geschwacht. ohne Dielektrikum

mit Dielektrikum

-

+ + + + + + +

+ + + + + + +

-

+ + + +

Infolge der Polarisation baut sich innerhalb des Isolators ein elektrisches Gegenfeld auf, welches das ursprungliche elektrische Feld abschwacht. Als Ma fur die Polarisierbarkeit eines Mediums im elektrischen Feld dient die Dielektrizitatskonstante: ~Ed

=

1 ~E  0


Cd =  C0

und




mit   1

 = 1 entspricht Vakuum)

(

Das elektrische Feld wird durch das Dielektrikum verringert Ed < E0 und die Kapazitat des Kondensators wird durch das Dielektrikum vergroert Cd > C0 . Wegen der verringerten Feldstarke Ed verringert sich auch die Columbkraft zwischen den Ladungen:

1 q1 q2 < F Fd = 4 0 r2 0





Energiegehalt: Die Arbeit, die zum Au aden eines Kondensators notig ist, wird als elektrische Feldenergie Wel gespeichert. Pro Volumen V ndet man ~ ~E mit D ~ =  0 ~E:  = WVel = 21  0 ~E2 = 21 D














~ setzt sich aus aus dem Betrag des Vakuums Die dielektrische Verschiebungsdichte D (0
~E) und aus dem des Dielektrikums (elektrische Polarisation ~P = Dipolmoment pro Volumen) zusammen - vektoriell: ~ = 0 ~E + ~P : D


Die elektrische Polarisation ~P steht fur den Anteil elektrischer Feldenergie, der im Dielektrikum gespeichert wird. Wichtige resultierende Eekte:

I I I

Elektrostriktion Pyroelektrizitat Piezoeekt

! ! !

elastische Verformung im E-Feld Ladungstrennung durch Erwarmen Ladungstrennung durch Kraft

62

3.2 Stationarer Strom u

3.2 Stationarer Strom u Galvanische Elemente waren historisch mit die ersten kunstlichen Quellen elektrischer

Energie. Auch heute haben sie als Akkumulatoren groe technische Bedeutung.

Abb. 3.4: Elektrischer Strom u im galvanischen Element: Negative Ladungstrager (Elektronen) ieen durch den Metalldraht (Leiter), positive Ladungstrager (Zn++ -Ionen)

ieen durch die verdunnte Schwefelsaure vom Zn{ zum Cu{Stab.

Unterschiedliche Losungstension (Losungsbestreben positiver Metallionen) verschiedener Metalle in einem Elektrolyten L. Leitungselektronen bleiben im Metall zuruck ) Potentialdierenz, z.B.:

U(Zn; Cu) = U(Zn; L) - U(Cu; L) Metalle nach abnehmender Losungstension geordnet ergeben die

Voltasche Spannungsreihe: Al Zn Fe Cd Ni Pb H Cu Ag Hg Au Pt 3.2.1 Der elektrische Strom Der elektrische Strom ist die transportierte Ladungsmenge pro Zeiteinheit:

I = dQ dt

Einheit: Ampere A

I I = konst. I I = I0 sin(!t + )

: Gleichstrom : Wechselstrom

63

3.2 Stationarer Strom u

3.2.2 Das Ohmsche Gesetz Fur Strom u (also Ladungstragertransport) gibt es zwei Voraussetzungen:

I I

Potentialdierenz
 = U 6= 0 geschlossener Stromkreis

Es gilt dann das

Ohmsche Gesetz

U = R I mit R = (T ) Al





R : Ohmscher Widerstand (T ) : spezi scher Widerstand A; l : Querschnitt, Lange des Leiters

Der Strom ist der Potentialdierenz proportional. Die Proportionalitat ist durch den elektrischen Widerstand R bestimmt.

R Einheit [Ohm]: = V=A Wenn R nicht von der Spannung abhangt spricht man von einem Ohmschen Widerstand. Ohmscher Widerstand

I nichtOhmscher Widerstand

U

Unterscheidung Leiter{Nichtleiter:

Abb. 3.5: Ein Ohmscher Widerstand ist durch die Proportionalitat zwischen Strom und Spannung gekennzeichnet. Bei nicht-Ohmschen Widerstanden besteht ein funktionaler Zusammenhang R(U), z.B. Diode. Klassi kation =
m Supraleiter 0 Leiter 10-7 - 10-6 Halbleiter stark temperaturabhangig Isolator 10 - 1014

Technische Verfahren zur Strommessung: Drehspulgalvanometer, Hitzdraht-

instrument, Weicheiseninstrument, Dynamometer, Stromzange, Analog-Digital-Wandler.

64

3.2 Stationarer Strom u

3.2.3 Die Kirchhoschen Regeln Die Kirchhoschen Regeln behandeln die Verteilung von Stromen und Spannungen in Netzwerken, die sich aus Widerstanden und Stomquellen zusammensetzen konnen.

Knotenregel: Da in einem Knotenpunkt keine elektrische Ladung aufgestaut werden

kann, ist die Summe der ankommenden Strome gleich der Summe der ab ieenden Strome. I0

I2 U0

I1

I1

I2

I3

R1

R2

R3

I3

I1 = I2 + I3 bzw. allgemein

n X k=1

Ik = 0 fur n Strompfade.

Eine direkte Folge ist das Gesetz fur die Parallelschaltung von Widerstanden. Die angelegte Spannung U0 fuhrt zum Strom I0 = I1 + I2 + : : : + In mit Ik = U0 =Rk .

n 1 I0 = 1 = 1 + 1 + : : : + 1 = X U0 Rges R1 R2 Rn k=1 Rk

Maschenregel: In einer Masche ist die Summe aller Spannungen gleich Null. I0 R1

U1

R2

U2

+

U0

U0 = U1+U2 bzw. allgemein

n X k=0

-

Uk = 0 fur n+1 Spannungen uber Maschenelemente.

65

3.2 Stationarer Strom u

Die Maschenregel lat sich aus der Energierhaltung fur den elektrischen Strom herleiten:

n X j=0

Uj I t =





m X k=0

I2 Rk t )





n X j=0

Uj = I

m X k=0

Rk :

Eine Folge der Maschenregel ist das Gesetz fur die Serienschaltung von Widerstanden.

Rges = R1 + R2 + : : : + Rn =

n X k=1

Rk

Innenwiderstand: Jedes reale Megerat besitzt einen gewissen Innenwiderstand Ri. Im idealen Fall gilt fur Strommegerate Ri = 0 und fur Spannungsmegerate Ri = 1. Ri

Ri ideales I-Mess

ideales U-Mess

Dieser ist bei der Strommessung in Serie mit dem Mekreis geschaltet, bei der Spannungsmessung liegt er parallel zum Mekreis. Die Magabe lautet:

Ri Ri

 

Rm fur Stommessung Rm fur Spannungsmessung ;

wobei Rm der Widerstand des Mekreises ist.

Poggendorfsche Kompensationsmethode: Auch Batterien (Netzgerate) haben einen Innenwiderstand Ri . Bei Belastung durch einen Lastwiderstand Rl (! Strom I) sinkt die = U0

Ri U kl

Klemmspannung Ukl = U0 -Ri
I :

Rl

Zur Messung von U0 darf die Batterie nicht belastet werden. Dazu bedient man sich der Poggendorfschen Kompensationsmethode ...

66

Ut =

3.3 Magnetische Felder

R Ic

= U0

Der einstellbare Widerstand R (Potentiometer) wird variiert bis der Kompensationsstrom Ic verschwindet. Kennt man Ut, so ergibt sich aus der Potentiometerstellung die gesuchte Spannung U0 .

Wheatstonesche Mebrucke: Die Messung eines elektrischen Widerstandes ist prak-

tisch nicht so einfach, da oft die verfugbaren Meinstrumente die Werte beein ussen (wg. Innenwiderstand). Abhilfe schat da die Wheatstone-Brucke. +

Kompensationsbedingung:

Ic = 0 )

Rx = R2 R1 R3

Rx

R2

=

R1

Ic

R3

Die Widerstande R2 und R3 werden typischerweise als Potentiometer ausgefuhrt. Mit R1 als bekannten Referenzwiderstand lat sich aus der Potentiometerstellung der gesuchte Rx bestimmen.

3.3 Magnetische Felder Ein elektrischer Strom kann sich in vielerlei Weise bemerkbar machen, z.B. chemische Wirkung, Warme oder Licht. Eine der wichtigsten Eekte des elektrischen Strom usses ist die Erzeugung magnetischer Felder, der Elektromagnetismus. Historisch: Magnetstein ) Permanentmagnet

S

N

Analog der Kraftwirkung zwischen elektrischen Ladungen gibt es eine Anziehung (Attraktion) zwischen gleichnamigen und Abstoung (Repulsion) zwischen nichtgleichnamigen ~ (~r ein - Einheit: A/m). Polen. Ganz entsprechend fuhrt man das magnetische Feld H

67

3.3 Magnetische Felder

Es besteht jedoch ein entscheidender Unterschied zwischen den Quellen, also der Herkunft ~ (~r) andererseits: der elektrischen Felder ~E(~r) einerseits und der magnetischen Feldern H

Es gibt keinen magnetischen Monopol! Es werden also keine allein existierende magnetische Ladungen (z.B. \Nord") beobachtet.

Abb. 3.6: Elektrischer Strom ~I erzeugt ein ~ . Dies wird magnetisches Feld H wie zuvor das elektrische Feld durch Feldlinien visualisiert. Das Bild zeigt das magnetische Feld eines stromdurch ossenen Leiters. Es gilt hier H = I=2r, wobei r der zum Leiter senkrechte Abstand ist. Bei einem geraden Leiter bilden die magnetischen Feldlinen geschlossene, konzentrische Kreise. Fur die Richtung des magnetischen Feldes gilt die \rechte Hand Regel".

68

3.3 Magnetische Felder

Mit der Rechte-Hand-Regel lat sich das magnetische Feld der Spule konstruieren:

Abb. 3.7: Das magnetische Feld um einen Kreisstrom (links) ergibt sich aus dem gekrummten, stromdurch ossenen Leiter (vergl. Bild 3.6). Durch Superposition erhalt man das magnetische Feld der stromdurch ossenen Spule (rechts). Im Inneren der Spule gilt fur die magnetische Feldstarke:

I n l

H = I nl


:

Spulenstrom

:

Anzahl der Spulenwindungen

:

Lange der Spule

Wie im Falle elektrischer Felder wird auch das magnetische Feld durch Materie modi ziert (vergl. Polarisation). Man fuhrt dazu die magnetische Induktion ein:

V
s m2

~B

=

0  H~

0

=

Vs 1; 256 10-6 Am magnetische Feldkonstante







Einheit: [Tesla] T =




magnetischen Eigenschaften der Materie

! Permeabilitatskonstante 

 < 1 Diamagnetismus  = 1 Vakuum  > 1 Paramagnetismus

69

3.3 Magnetische Felder





1 Ferromagnetismus

Im Abschnitt 3.1 wurde die elektrische Spannung eingefuhrt. Es lohnt sich nun, den Zusammenhang zwischen der Spannung U und dem elektrischen Feld ~E zu rekapitulieren:

Z

Z

~E
d~s

=

U elektrische Spannung,

~ d~s H

=

::: magnetische Spannung ?




Es zeigt sich, da die magnetische \Spannung" mit dem Strom idendi ziert werden kann, der durch einen beliebig geformten, geschlossenen Ring iet.

Ampere-Maxwellsches Durch utungsgesetz

I

H~ d~s = Iges


Dabei ist Iges die Summe der Stromstarken der eingeschlossenen Strome.

I H

Abb. 3.8: Zum Durch utungsgesetz: Das Produkt aus der magnetischen Feldstarke und einem geschlossenen Umlaufweg ist gleich der Starke des eingeschlossenen Stromes: z.B. beim geraden Leiter ist 2r
H = I. Vergl. Abb. 3.6.

Kraft auf stromdurch ossene Leiter - Die Lorentz-Kraft: Ein Strom u I erzeugt ein

Magnetfeld. Letzteres ubt auf ein zweites, bereits vorher vorhandenes Magnetfeld B eine Kraft F aus (je nach Richtung anziehend oder abstoend ! zwei Stabmagnete).

F Gesetzmaigkeiten F F

/ / /

I B l : Lange des Leiters

70

3.3 Magnetische Felder

Kraft, Richtung des Stroms und Magnetfeld stehen senkrecht aufeinander.

Kraft auf stromdurch ossenen Leiter:

~F = l
~I  ~B

Abb. 3.9: Ein vom Strom ~I durch ossener Leiter ~ der Lange l, der in das Magnetfeld B des Hufeisenmagneten eingebracht wird, erfahrt eine Kraft ~F. Die Richtung der Kraft lat sich durch die Drei ngerregel der rechten Hand bestimmen. Der Permanentmagnet lat sich durch einen weiteren, stromdurch ossenen Leiter ersetzen. Die Kraft zwischen zwei solchen Leitern wird zur De nition der Stromstarke (Basisgroe) wie folgt herangezogen:

SI-De nition der Einheit Ampere: Ein Ampere ist die Starke eines zeitlich unveranderlichen elektrischen Stromes, der, durch zwei im Vakuum im Abstand 1 m voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlassigbarem Querschnitt ieend, zwischen diesen Leitern fur jeden Abschnitt der Lange 1 m eine Kraft von F = 2
10-7 N hervorrufen wurde.

I1

F

I2

1m

1m

Aus der allgemeinen Formel fur die Kraft auf stromdurch ossene Leiter (s.o.) folgt fur zwei parallele Drahte mit Lange l und Abstand R, durch die die Strome I1 und I2 ieen

0 l I I F = 2 R 1 2


da

0 I2 = magnetische Induktion des zweiten Leiters. B = 2 R

71

3.4 Elektromagnetische Induktion

Strome parallel: Strome antiparallel:

I1 > 0; I1 > 0;

I2 > 0 ) F > 0 anziehende Kraft I2 < 0 ) F < 0 abstoende Kraft

Was fur den Strom im Leiter gilt, gilt allgemein fur Ladungen Q, die sich mit Geschwindigkeit v bewegen. Elektrischer Strom ist nichts anderes als die Bewegung von Ladungen: ~I = A

~v

mit

8 > < A  = Q=V > : ~v

: : :

Querschnitts ache des Leiters Ladungsdichte=Ladung pro Volumen Geschwindigkeit der Ladungstrager

Fur das Volumen gilt V = A
l und man erhalt den Ausdruck fur die

Lorentz-Kraft

~F = Q
~v  B ~

Hall-Eekt: Die Lorentz-Kraft kann man zur Messung der magnetischen Fludichte B~ ausnutzen (Hall-Sonde): Abb. 3.10: Lat man namlich einen Strom durch einen dunnen Streifen Material ieen, der sich in einem Magnetfeld be ndet, so erfahren die Ladungstrager eine Querablenkung. Dies fuhrt am Rand zur Ladungsanhaufung und so zum Auftreten einer Querspannung UH. Bei bekannten Material kann man mit UH die magnetische Fludichte ~B bestimmen.

3.4 Elektromagnetische Induktion Zur Formulierung des Induktionsgesetzes mu eine neue Groe eingefuhrt werden:

magnetischer Flu  = B
A

Einheit [Weber]: W = V
s

72

3.4 Elektromagnetische Induktion

d

Induktionsgesetz Uind = dt

 induzierte Spannung = - zeitliche Anderung des magnetischen Flusses Abb. 3.11: Zum Nachweis der elektromagnetischen Induktion kann man z.B. einen Stabmagneten (langsam oder schnell) in eine Leiterschleife einfuhren. Dadurch andert sich zeitlich die magnetische Fludichte B. Die Flache A, die von der Leiterschleife eingeschlossen wird, bleibt hingegen konstant. Praktische Anwendungen des Induktionsgesetzes sind der Dynamo (A wird geandert) und Transformator bzw. Spule (B wird geandert).

Ein Transformator besteht aus zwei Spulen mit N1 bzw. N2 Windungen, die uber einen Eisenkern magnetisch verbunden sind. Der magnetische Flu  ist also in beiden Spulen stets gleich. Ein Strom durch die erste Spule erzeugt ein magnetisches Feld H = IN1 =l (mit l als Spulenlange). Ein zeitlich veranderlicher Strom erzeugt eine zeitlich veranderliche magnetische Fludichte B = 0H, was zur Induktion fuhrt (N1 geht nochmal ein).

dI = -L dI Uind = -N210 Al dt dt

L : Induktivitat - Einheit [Henry]: H = Vs A

Windungszahl 2 , Permeabilitat, Feldkonstante, Querschnitts ache und Lange wurden dabei zur Induktivitat L der Spule zusammengefat. Wegen der Konstanz von  gilt

d ) Verhaltnis U1 = - N1 : U1 = N1 d und U2 = -N2 dt dt U2 N2

73

3.4 Elektromagnetische Induktion

Eine induzierte Spannung Uind fuhrt i.a. zu einem Induktionsstrom, der wiederum ein Magnetfeld erzeugt. Die Lenzsche Regel macht eine Aussage uber die Krafte zuwischen dem primaren und dem induzierten magnetischen Feld.

Die vom Induktionsstrom ausgehende Kraft wirkt der Ursache des Induktionsstromes stets entgegen. Beispiele: Wirbelstrombremse, Waltenhofensches Pendel, Experiment von Aragos

Naturliche Magnetfelder existieren im gesamten Weltall. Die Erde besitzt - wie ein

Stabmagnet - ein Dipolfeld. Im menschlichen Korper werden Magnetfelder von Stromen geladener Teilchen hervorgerufen. Elektromagnet Permanentmagnet Erdmagnetfeld Mensch

B = 0 - 100 T B = 0:1 - 2 T B 10-4 T B = 10-9 - 10-14 T '

Zur Messung magnetischer Felder, naturlich oder kunstlich, werden verschiedene Verfahren herangezogen. Einige wichtige Methoden und Anwendungen sind:

I Methode I Methode I Anwendung

Hall-Sonde mittlere (technische) magnetische Feldstarken SQUIDs Magnetfelder erzeugt von Hirnstromen MKG, MEG Magnetfelder erzeugt von Muskelstromen

MKG = Magnetokardiogramm MEG = Magnetoenzephalogramm SQUID = superconductive quantum interference device

74

3.5 Wechselstromlehre

3.5 Wechselstromlehre Als Vorbereitung fur die Wechselstromlehre - das Verhalten von Kapazitaten und Induktivitaten gegenuber Wechselstromen - wird zunachst das Schaltverhalten untersucht.

Kondensatoren sind elektrische Bauteile mit einer de nierten Kapazitat C. Das Schalt-

verhalten des Kondensators ergibt sich aus seiner Lade-/Entladekurve beim plotzlichen Anlegen von Gleichspannung. Der Strom u wird von einen Widerstand R begrenzt (a).

Aus der zeitlichen Ableitung der Kirchhoschen Maschenregel ergeben sich die Verlaufe: Au adestrom (b) Kondensatorspannung (d)

IL = I0 e-t=RC UC = U0 1 - e-t=RC









Der Spannungsabfall (c) uber R ist zum Strom proportional U0 / IL (Ohmsches Gesetz). Die Kombination R
C hat die Dimension der Zeit. Sie legt fest, wie schnell, d.h. auf welcher Zeitskala (z.B. s, s, min ...) der Au adevorgang vor sich geht.

Zeitkonstante der R-C-Kombination  = R
C Induktivitaten bzw. Spulen sind Bauteile mit de nierter Induktivitat L. Das Zeitver-

halten der Induktivitat ist vom Auf- bzw. Abbau des magnetischen Feldes bestimmt.

75

3.5 Wechselstromlehre

Der (durch einen Widerstand R begrenzte) Strom fuhrt zum Aufbau eines magnetischen Feldes, wobei die Selbstinduktionsspannung der angelegten Spannung entgegenwirkt. Es ergibt sich fur den Strom

I = UR0 1 - e-tR=L U Abschaltverhalten I = 0 e-tR=L R

Einschaltverhalten





Zeitkonstante der R-L-Kombination  = L=R Wechselstrome und Netzwerke Sinusformige Bewegungen sind bereits im Abschnitt 1.7.1 ausfuhrlich diskutiert worden. Bei Wechselstrom handelt es sich um einen vorgegeben sinusformigen Verlauf des Stromes, Kreisfrequenz !, Amplitude I0 . Entsprechendes gilt fur die Wechselspannung.

I U

= =

I0 sin(!t + ) U0 sin(!t)



 

= 6=

0 in Phase 0 auer Phase

Auch bei dem Transport elektrischer Ladungstrager wird Arbeit verrichtet. Pro Zeit gerechnet erhalt man die

elektrische Leistung P = I
U

Einheit [Watt] = V
A = J=s

Bei einem Wechselstromkreis, in dem sich Induktivitaten und Kapazitaten be nden, mu man sorgfaltig zwischen zwei Energieanteilen unterscheiden ...

I I

... den Blindanteil, der zum Aufbau des elektrischen bzw. magnetischen Feldes des Kondensators bzw. der Spule erforderlich ist; ... den Wirkanteil, der sich dem Stromkreis tatsachlich entziehen lat. Blindleistung Wirkleistung

PBl PWi

= =

Ueff Ieff cos  mit U = U0 und I = I0 eff eff 2 2 Ueff Ieff sin 











p

p

76

3.5 Wechselstromlehre

Der Phasenwinkel  des Wechselstromes bestimmt die Verteilung der Gesamtleistung auf Blind- und Wirkanteil. In diesem Zusammenhang wichtige Kenngroen: Amplituden Spitzenwert Eektivwerte

: : :

I0 2 I0 I0= 2


p

U0 2 U0 U0= 2


p

Kapazitaten und Induktivitaten im Wechselstromkreis beein ussen den Phasenwinkel . Die Gesamtheit aller beteiligten Bauelemente in einer Schaltung nennt man Netzwerk.

Kondensator C

 = -=2 : Spannung eilt Strom voraus. Wechselstromwiderstand RC = 1=(!
C)

Induktivitat/Spule L

 = -=2 : Spannung folgt Strom. Wechselstromwiderstand RL = !
L Der Ohmsche Widerstand R ruft naturlich keine Phasenverschiebung hervor, d.h.  = 0. Abb. 3.12: Gesamtwechselstromwiderstand Rges bei Serienschaltung von einer Spule L, einem Kondensator C und einem Ohmschen Widerstand R. Der Gesamtwiderstand ergibt sich durch Addition, die jeweiligen Phasenverschiebungen  = =2 werden in der Zeichenebene durch Zeiger berucksichtigt.

ωL 1 ωL - ω C

R ges R 1 ωC

Die Phasenwinkel der Bauteile entsprechen den Winkeln zwischen den Zeigern. Der resultierende Wechselstromwiderstand wird durch Vektoraddition ermittelt. Fur den Betrag: v u u t

Rges = R2 +

1 2 !L - !C !

allgemein: Scheinwiderstand 2 = Wirkwiderstand 2 + Blindwiderstand 2

77

3.5 Wechselstromlehre

3.5.1 Schwingkreis und Resonanz Die Energiespeicher Kondensator C und Spule L bilden - wie zuvor in der Mechanik das Pendel - ein schwingungsfahiges System. Verluste (Strom ) Warme) kommen durch ohmsche Widerstande zustande. Serienschwingkreis:

R

C

L

Bei Anlegen einer Wechselspannung U = U0 sin(!t) an den Schwingkreis kommt es wieder zur Resonanz: Bei der Resonanzfrequenz ! = !r wird der Strom u maximal.

Abb. 3.13: (a) Serienschwingkreis, der von einer Wechselspannung angetrieben wird. (b) Das Maximum der Resonanzkurve fur verschiedene R (Vergl. Abb. 1.33). Der Scheinwiderstand (s.o.) des Serienschwingkreises wird minimal, wenn !L = 1=(!C). s

1

Thomsonsche Formel !res = LC

Abb. 3.14: Parallelschwingkreis: Zum Serienschwingkreis analoge Betrachtungen gelten bei der Parallelschaltung von R, L und C. Allerdings wird hier der Strom im Resonanzfalle minimal.

78

3.6 Grundzuge der Elektrodynamik

3.6 Grundzuge der Elektrodynamik 3.6.1 Die Maxwellgleichungen Der schottische Physiker Maxwell hat die Gesetze vom Zeitverhalten elektrischer und magnetischer Felder zu einem in sich stimmigen Gesamtkonzept vereinigt. Die beiden wichtigsten Maxwellschen Gleichungen sind hier bereits vorgekommen:

Faraday-Henry-Gesetz Ampere-Maxwell-Gesetz

I

I

~E
d~s

=

~ d~s H

=




~ 0A ddtH

-

~ 0A ddtE + ~I

~ sehr  Es fallt auf, da die mathematische Form der Gesetze fur ~E und H ahnlich ausfallt: .

H

.

I

E

Abb. 3.15: Das Schema der Maxwell-Gleichungen. Zeitliche Veranderung des magnetischen Feldes fuhrt zu zeitlicher Veranderung des elektrischen Feldes, welches zu Strom u fuhrt. Dieser Strom erzeugt wiederum magnetische Felder. Der gesamte Zusammenhang bildet einen in sich konsistenten Kreisschlu. Schreibwei~ se: H_ = dH=dt und E_ = d~E=dt.

3.6.2 Elektromagnetische Wellen Eine der wichtigsten Losungen der Maxwellgleichungen ist die elektromagnetische Welle. Abb. 3.16: Elektrisches und magnetisches Feld stehen bei der elektromagnetischen Welle stets senkrecht aufeinander. Es handelt sich um Transversalwellen. Zusammen genommen bedeutet dies ~E ? H ~ ? ~c mit ~c in x-Richtung.

79

3.6 Grundzuge der Elektrodynamik

Analog zu ebenen Wellen in der Mechanik schreiben sich elektromagnetische Wellen in der Form ~E

~ H

= =

~E0 e-i!t+i~k
~r

H~ 0 e-i!t+i~k ~r ;


~ 0 senkrecht aufeinander stehen, d.h. ~E0 ? B ~ 0 . Die Maxwellwobei die Vektoren ~E0 und H gleichungen machen uber die Ausbreitungsgeschwindigkeit eine Aussage.

c

=

p

in Vakuum

c0

=

p

1 00 1 = (299792456; 2 1; 1) m=s 00

Lichtgeschwindigkeit in Materie



Abb. 3.17: Durch Anlegen von Wechselspannung an einen langgestreckten Draht (Dipol) werden oszillierende Ladungen erzeugt. Gezeigt ist die Ausbildung elektrischer und magnetischer Felder wahrend einer halben Periode der angelegten Wechselspannung. t = 0 : Die Ladungen sind getrennt, ein entsprechendes elektrisches Feld ~E liegt vor. t = T=4 : Die Ladungen ieen infolge der an~ baut sich auf. gelegten Wechselspannung aufeinander zu, ein Magnetfeld H t = T=2 : Die Ladungen sind gerade vertauscht und das unspungliche elektrische Feld (umgekehrtes Vorzeichen) baut sich wieder auf. Die Felder bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit c von dem Dipol weg.

80

3.7 Mechanismen des Ladungstragertransportes

Die Frequenz ! = 2f der naturlich vorkommenden und der kunstlich erzeugten elektromagnetischen Wellen erstreckt sich uber mehr als 20 Groenordnungen. Das Schema nimmt eine grobe Klassi kation der verschiedenen Erscheinungsformen elektromagnetischer Wellen vor. Besonders wichtig:

+ Optik

Kapitel 4

3.7 Mechanismen des Ladungstragertransportes Strom u ist untrennbar mit dem Transport von Ladungstragern verbunden. Ladungstrager sind meistens Elektronen, konnen aber auch Ionen (Atome/Molekule mit einem oder mehreren fehlenden Elektronen) sein. Ladungstransport:

dQ dt

I I I I I

im Vakuum in ionisierten Gasen (Plasma) in Elektrolyten in Halbleitern in Metallen

81

3.7 Mechanismen des Ladungstragertransportes

Vakuum: Im Vakuum konnen sich Ladungstrager ungehemmt ausbreiten. Ihre Dichte bestimmt den Strom. Mechanismen zur Freisetzung von Elektronen sind die folgenden:

Eekt Wirkung auf Ober ache Resultat Photoemission EM-Wellen freies Elektron Thermionische Emission thermische Bewegung \ Feldemission elektrisches Feld \ Sekundaremission Elektronensto \ Plasma: Ein Plasma ensteht durch die Ionisierung zuvor neutraler Gase. Es setzt sich aus Elektronen und Ionen ungefahr gleicher Anzahl zusammen ) sehr guter Leiter.

I Glimmentladung I Bogenentladung I Mikrowellenentladung I Fusionsplasma Elektrolyt: Auch in Elektrolyten hat man es mit freien Elektronen und Ionen zu tun, allerdings in einer Flussigkeit eingebettet, die dadurch elektrisch leitfahig wird.

1. Faradaysches Gesetz: Die Masse der an den Elektroden infolge Strom u umgewandelten Stoe ist proportional der transportierten Ladung.

m=k Q


 k : elektrochemisches Aquivalent

2. Faradysches Gesetz: Die aus verschiedenen Elektrolyten abgeschiedenen Sto-

 mengen verhalten sich - bei gleichem Ladungs u - wie ihre Aquivalentmassen.

m1 = e1 m2 Q e2

wobei

e1;2 =



m1;2 = Molmasse Q mol Wertigkeit

Halbleiter & Metall: In Metallen steht eine groe Anzahl im Metallgitter frei beweglicher Elektronen zur Verfugung (Elektronengas), wodurch Strom ohne weiteres ieen kann. Bei Halbleitern mussen hingegen solche Leitungselektronen erst erzeugt werden; entweder durch Temperatureekte oder durch Verunreinigung (Donatoren).

82

Optik

4 Optik Wie bereits im vorherigen Kapitel angesprochen, handelt es sich bei Licht um elektromagnetische Wellen. Sichtbares Licht umfat den Frequenzbereich f = 3:9 - 7:7
1014 Hz bzw. Wellenlangenbereich  = 390 - 770 nm. Wellenlange  und Frequenz f sind durch

c=f 


mit der Lichtgeschwindigkeit c (im Vakuum  3
108 m=s) verknupft. Im gesamten Spektrum elektromagnetischer Wellen bildet der Bereich sichtbaren Lichtes nur einen winzigen Ausschnitt (vergl. Abschnitt 3.6.2). Fur das Leben auf der Erde ist gerade dieser Wellenbereich von besonderer Bedeutung: Er wird von Sinnesorganen wahrgenommen, ermoglicht viele lebenserhaltende biochemische Reaktionen und zeigt starke Wechselwirkung mit Materie. Das - bereits uber 2000 Jahre alte - Gebiet der Optik konzentriert sich daher i.w. auf diesen Spektralbereich und seine Nachbarschaft.

4.1 Lichtmegroen Die Lichtintensitat ist mit der Energie des elektromagnetischen Wechselfeldes direkt verknuft. Zieht man bei der Messung auch die physiologischen Aspekte der Lichtwahrnehmung in Betracht, so redet man von Photometrie. 4.1.1 Energetische Groen Ausgangspunkt ist hier die Feldenergie des elektromagnetischen Wellenfeldes. Sie ist durch die Feldstarken gegeben.

E

. H

Abb. 4.1: Die Energiestromdichte ~S (Energiedichte mal Geschwindigkeit) der elektromagnetischen ~ wie folgt Welle ist durch ihre Felder ~E und H gegeben:

S

~S = ~E  H ~

Man nennt ~S auch den

Poyntingschen Vektor.

Der Betrag des Poyntingschen Vektors ist

S = c ", wobei " die Energiedichte des elek


83

4.1

Lichtmegr oen

tromagnetischen Wellenfeldes ist (Einheit: J/m3). Die elektromagnetische (Strahlungs-) Quelle wird als punktformig angenommen, was bei groer Entfernung durchaus gerechtfertigt ist. Zwei Groen sind fundamental:

Strahlungs u  Strahlstarke I

=

d=d

Einheit [Watt] Einheit [Watt/Steradiant]

Der Strahlungs u  ist der pro Sekunde von der Quelle emittierte Energiestrom. Die Strahlungsstarke bezieht sich auf ein \Lichtbundel", gegeben durch den Raumwinkel .

Quelle

r

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

A

Abb. 4.2: Der Raumwinkel ist das Verhaltnis eines Kugel achenstucks zum Quadrat ihres Radius (Abstand zur Quelle) = A=r2 . Einheit: Sterandiant [Sr] Der gesamte Raumwinkel ist 4.

Die Flache A wird vom Strahlungs u  und dem Energiestrom I durchsetzt. Auf die Groe der strahlenden Flache As bzw. der bestrahlten Flache Ab bezogen erhalt man

(Be-) Stahlungsstarke E Stahldichte L

= =

=Ab Einheit [Watt=m2] I=As Einheit [Watt=(Sterad m2)]


4.1.2 Photometrische Groen Analog zu den energetischen Groen werden die Lichtmessgroen eingefuhrt, die die Emp ndlichkeitskurve des menschlichen Auges mitbewerten. Sie werden als physiologisch bewertete Groen bezeichnet, und man redet von der visuellen Photometrie.

Lichtstrom Lichtstarke Beleuchtungsstarke Leuchtdichte

v Iv Ev Lv

= = = =

K() K() K() K()







 I E L

[lm] Lumen [cd] Candela [lx] Lux [sb] Stilb

lm = cd
sr (Basiseinheit) lx = cd
sr=m2 sb = cd=m2

Die Gewichtungsfunktion K() folgt aus der spektrale Emp ndlichkeit des Auges.

84

4.1

Lichtmegr oen

Abb. 4.3: Spektrale Emp ndlichkeitskurven V () bzw. V () des menschlichen Auges: 0

(a) Helladaption V () (photopisches Sehen = Farbsehen mit Zapfchen), Maximum bei Wellenlange max = 507 nm. (b) Dunkeladaption V () (skotopisches Sehen = Hell-Dunkel-Sehen mit Stabchen), Maximum bei Wellenlange max = 555 nm. 0

Die Emp ndlichkeitskurve V () legt die spektrale Gewichtungsfunktion fest (fur skotopisches Sehen sind alle Groen mit Strichen zu versehen):

V () = I I(v() ) = K(K() ) v

max

)

max

K() wie folgt

K() = K(max) V ()


Da die Emp ndlichkeitskurve V () die physiologische Wahrnehmung bei gleicher physikalischer Ursache beschreibt, kurzt sich I() = I(max) heraus. Nun mussen nur noch alle Wellenlangen  \aufgesammelt" werden. Man erhalt so die Groen

gesamte Lichtstarke Iv;ges

=

gesamte Leuctdichte Lv;ges

=

Z Km I  Z

( )


V () d

Km L() V () d :


 Es bleiben nun noch die photometrischen Aquivalente Km = K(max) festzulegen.

I I

 photometrisches Aquivalent fur photopisches Sehen  photometrisches Aquivalent fur skotopisches Sehen SI-De ntion der Basiseinheit Candela

Km = 683 Lm=W Km = 1699 Lm=W 0

Ein Candela ist die Lichtstarke, die von einer Strahlungsquelle erzeugt wird, die monochromatisches Licht der Frequenz 5; 4
1014 Hz (in Luft  = 555 nm) mit einer Leistung von 1=683 Watt pro Raumwinkeleinheit emittiert.

85

4.2

Leuchtdichten von Lichtquellen [Cd/m2] Auenbeleuchtung: Nachthimmel  10-3 Mond  103 Sonne  109 Innenbeleuchtung: 5 Gluhlampenkolben  3
10 Gluhlampenwendel 0; 5 - 3; 5
107 Xe-Hochstdrucklampe  1010

Geometrische Optik

Leuchtstarken von Lichtquellen [Lux] Sonnenschein bedeckter Himmel Straenbeleuchtung

5000 - 70000 900 - 2000 0; 5 - 30

Grobarbeitsplatz Feinarbeitsplatz Feinstarbeitsplatz

50 - 100 300 - 1000 1000 - 4000

4.2 Geometrische Optik Eine der unmittelbarsten Eigenschaften von Licht ist die Geradlinigkeit seiner Ausbreitung (in homogener Materie). Das folgende Experiment macht deutlich, da eine fundamentale Unterscheidung in der Beschreibung optischer Phanomene notwendig ist.

Quelle

Blende

Schirm

d

Licht fallt durch eine Lochblende auf einen Schirm. Bei groem Lochdurchmesser verhalt sich der Strahl geometrisch. Bei kleinem Lochdurchmesser treten Interferenzstreifen auf.

I d I d





 : Geometrische Optik  : Wellenoptik

In diesem Abschnitt werden die Elemente der geometrischen Optik diskutiert. Die Besonderheiten und Eekte der Wellenoptik werden im nachfolgenden Abschnitt 4.3 diskutiert. 4.2.1 Lichtausbreitung Die geradlinige Ausbreitung des Lichtes und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c (in optisch homogenen Medien, z.B. Vakuum) ermoglicht es, den Lichtweg zur Angabe von Entfernungen zu nutzen (Lichtjahr=Strecke, die das Licht in einem Jahr zurucklegt).

86

4.2

Geometrische Optik

Das Grundgesetz der geometrischen Optik ( Hero von Alexandria) Gesetz von der geradlinigen Ausbreitung:

Licht breitet sich in optisch homogenen Stoen geradlinig aus. Die Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle wird durch das Konzept des Lichtstrahls beschrieben, der die Richtung des Poyntingschen Vektors ~S hat. Dieses Gesetz basiert auf dem Fermatschen Prinzip, welches besagt, da zwischen zwei

Punkten sich das Licht auf dem Weg fortp anzt, fur den es die kurzeste Zeit benotigt. Die Zeit, die Licht benotigt um die Wegstrecken s1 ; :::; sn zu durchlaufen ist

t=

Xn si i=1

c

=

n 1X c0 i=1 si ; 0

wobei c die Lichtgeschwindigkeit in dem jeweiligen Medium und c0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum sind. Die si = ni si sind die mit dem Brechungsindex gewichteten Strecken (siehe unten). Die rechte Summe wird als optische Weglange bezeichnet. Das Fermatsche Prinzip lautet dann praziser: Ein Lichtstrahl durchlauft den Weg der klein0

sten optischen Weglangen.

4.2.2 Brechung und Re exion Brechung und Re exion elektromagnetischer Wellen treten an Grenz achen zwischen  zwei optisch verschieden dichten Medien auf. Beispiel: Ubergang Luft-Wasser.

1

2

α 1 α 1’

α2

Abb. 4.4: Nocheinmal das Bild 1.37 zur Brechung und Re exion mechanischer Wellen aus Kapitel 1. Im Zusammenhang mit der geometrischen Optik stehen die Pfeile allerdings fur tatsachlich raumlich lokalisierte (Licht-) Strahlen, und nicht mehr alleine fur die Wellenfronten. Die Beugungs- und Re exionsgesetze bleiben aber gultig.

Was bedeutet nun \optisch verschieden dicht"?

87

4.2

Geometrische Optik

Medium (1) und Medium (2) unterscheiden sich durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle, d.h. durch die jeweilige Lichtgeschwindigkeit c1 6= c2. Es gilt dann das Brechungsgesetz: sin 1 sin 2

=

c1 c2

$

sin 1

c1

=

sin 2

c2

Man multipliziert nun die rechte Gleichung auf beiden Seiten mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 und de niert den Brechungsindex

n1 = cc0 und n2 = cc0 1

2

Brechungsindex =

Vakuumlichtgeschwindigkeit Lichtgeschwindigkeit im Medium

sin 1 sin 2

Snelliussche Brechungsgesetz

=

n2 n1

Bei Re exion an der Ober ache eines Mediums sind Ein- und Ausfallswinkel stets gleich:

1 = 1: 0

Totalre exion: Es gehort zu den alltaglichen Beobachtungen, da an sich transparente Medien unter einem bestimmten Beobachtungswinkel das Licht zu re ektieren beginnen. ng

Brechu

Medium 2

αg Medium 1

n

lexio

ref Total

Beobachter

Dieses Phanomen wird als Totalre ektion bezeichnet.

88

4.2

Geometrische Optik

 Ubergang vom optisch dichteren ins dunnere Medium bedeutet n1 > n2 . Betrachte sin 1 =

n2 sin  2 n1 |{z}

Grenzwinkel 1 = g bei sin 2 = 1

<1

Fur alle acheren Einfallswinkel 1 > g = arcsin(n2 =n1) wird das Licht an der Grenz ache vollstandig re ektiert. Fur 1 < g wird es teilweise gebrochen, teilweise relektiert.  Totalre extion tritt also beim Ubergang von optisch dichteren zu optisch dunneren Medien auf, n2 > n1 . Anwendungen dieses Eektes sind Lichtleiter, die in der Medizin (Endoskopie) und Kommunikationstechnik (Datenleitungen) groe Bedeutung haben.

n1 n2 n1

Abb. 4.5: Bei einem Lichtleiter gilt n2 > n1 . So kommt es zu fortgesetzter Totalre exion am Mantel, und das Licht wird von dem Lichtleiter gefuhrt.

Bei modernen Lichtleiternist der Brechungsindex zum Rand hin graduell abgestuft. Prisma und Regenbogen basieren auf der Kombination von Brechung, Re exion und Dispersion. Die landlau ge Erklarung fur den Regenbogen geht auf Rene Descartes zuruck. Ein Lichtstrahl dringt in einen Regentropfen (als rund angenommen) ein, wird gebrochen, totalre ektiert und durch Dispersion (d.h. der Brechungsindex hangt von der Wellenlange ab) in seine Spektralfarben zerlegt (siehe auch Abschnitt 4.3.3).

89

4.2

Geometrische Optik

 Der gesamte Regenbogen ergibt sich aus der Uberlagerung des Lichtes der einzelnen Regentropfen. Man kann zeigen, da dieser Regenbogen einen Durchmesser von 42 Grad hat. Daruber hinaus existiert oft noch ein Nebenregenbogen der unter 51 Grad erscheint und eine umgekehrte Farbreihenfolge aufweist. Dieser entsteht durch zweimalige Totalre exion im Tropfen. Wie gerade erwahnt, hangt in den meisten optisch dichten Medien die Lichtgeschwindigkeit (und damit der Brechungsindex) von der Wellenlange des Lichtes ab, n = n(). Auf diesem Prinzip basiert das Prisma.

Brechnung

α1

Dispersion

α2 rot grün blau

Licht verschiedener Farbe (=verschiedener Wellenlange) wird an den Grenz achen des Mediums verschieden stark gebrochen spektrale Zerlegung des weien Lichtes.

)

4.2.3 Spiegel Ein planparalleler Spiegel ist eine vollstandig ebene, das Licht re exktierende Ober ache. L´

Spiegel

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

L

Abb. 4.6: Abbildung einer punktformigen Lichtquelle L an einem planparallelen Spiegel. Es gilt das Re exionsgesetz Eifallswinkel = Ausfallswinkel. Durch den Strahlengang ensteht ein virtuelles Bild L . 0

I reelles Bild I virtuelles Bild

: Lichtstrahlen kreuzen sich im Bildpunkt : Lichtstrahlen kreuzen sich in der ruckwartigen Verlangerung

Ein reelles Bild kann auf einem Schirm abgebildet werden. Ein virtuelles Bild benotigt hingegen noch einer weitere Abbildung (z.B. durch die Linse des menschlichen Auges).

90

4.2

Geometrische Optik

Abb. 4.7: Das virtuelle Bild eines mit der Spitze schrag zum Betrachter gehaltenen Bleistiftes lat sich nach den o.g. Vorschriften unmittelbar konstruieren. Probieren Sie es aus! Fur optische Anordnungen sind gekrummte Spiegel von Bedeutung. Mit Ihnen lassen sich Vergroerungen von reellen und Virtuellen Bildern vornehmen. Ein gekrummter Spiegel kann als Segment eines geometrischen Korpers gesehen werden. Man unterscheidet

I I I

spharische Spiegel : Kugelsegment parabolische Spiegel : Parabelsegment elliotische Spiegel : Ellisensegment . Jede Spiegelgeometrie hat Vor- und Nachteile. Betrachte den spharischen Spiegel: Prinzipiell lat sich das Bild eines Gegenstandes durch direkte Anwendung des Re exi-

Abb. 4.8: Entstehung eines reellen Bildes im sparischen Spiegel. Man benotigt fur die Konstruktion des Bildes der Kerze mindestens zwei Stahlen (Re exionsgesetz). Am einfachsten wahlt man die beiden Strahlen, die durch den Krummungsmittelpunkt C und den Brennpunkt F gehen. Der direkt auf der optischen Achse verlaufende Strahl verbleibt dort auch nach der Re exion. Zur optischen Achse parallele Strahlen werden in den Brennpunkt F abgebildet. Durch C gehende Strahlen werden in sich selbst zuruckre ektiert.

91

4.2

Geometrische Optik

onsgesetzes konstruieren. Zu beachten ist dabei, da die Re exionswinkel stets an der Krummungstangente bestimmt werden: Tangente

wichtige optische Parameter Krummungsradius Brennweite

R [m] f [m]

) )

Krummungsmittelpunkt Brennpunkt

C F

P

C F

Ein groer Nachteil des sparischen Spiegels ist, da nur achsennahe parallele Strahlen in den Brennpunkt F abgebildet werden. Die einfache Konstruktionsvorschrift (Abb. 4.8) ist also nur eingeschrankt gultig. Die \Fehler" bei der Abbildung achsenferner paralleler Strahlen fuhren zur Kaustik. Stets korrekt bleibt naturlich das Re exionsgesetz an den Tangentialebenen des Spiegels.

Abb. 4.9: Entstehung eines virtuellen Bildes im sparischen Spiegel. Der Gegenstand be ndet sich jetzt zwischen Brennpunkt F und Spiegelober ache. Strahl #1 verlauft zunachst parallel zur optischen Achse und wird in den Brennpunkt F re ektiert. Lichtstrahl #2 verlauft entlang des Radius und wird in sich selbst re ektiert. Beide Strahlen kommen nur ruckwartig zur Kreuzung, wo sich das virtuelle Bild des Gegenstandes be ndet. Strahl #3 wird im Punkt V mit gleichem Winkel re ektiert. Eine genauere Betrachtung zeigt, da parabolische und elliptische Spiegel die zur optischen Achse parallele Strahlen stets in den Brennpunkt abbilden. So werden Kaustikphanomene (Abbildungsfehler) vermieden.

92

4.2

Geometrische Optik

4.2.4 Linsen Linsen sind optische Bauelemente, die auf dem Eekt der Brechung beruhen.

Die Konstruktionsvorschriften fur reelle und virtuelle Bilder bei Sammellinsen und Zerstreuungslinsen sind im Prinzip die gleichen wie beim Hohlspiegel:

einfallender Strahl

ausfallender Strahl

Sammellinse parallel zur Achse in den Brennpunkt durch Linsenmittelpunkt unverandert durch Brennpunkt F parallel zur Achse ?

Zerstreuungslinse divergent ? unverandert parallel zur Achse

Die ruckwartige Verlangerung geht durch den Brennpunkt der Linse.

Ist die Dicke der Linse vernachlassigbar, so leitet man aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz die folgende Gleichung fur die Abbildung der Linse her (Bezeichnungen siehe Bild):

Abbildungsgleichung der dunnen Linse

1+1 =1+ 1 g b f f

0

Dabei ist f die gegenstandseitige Brennweite (Distanz Linsenmittelpunkt{Brennpunkt F) und f die bildseitige Brennweite (Distanz Linsenmittelpunkt Brennpunkt F ). Die Abbildungsgleichung gilt gleichermaen fur alle Linsentypen. 0

I Plan-konvex-Linsen & Plan-konkav-Linsen I Konkav-konvex-Linsen & Konvex-konkav-Linsen I Bikonvex-Linsen & Bikonkav-Linsen

0

93

4.2

Geometrische Optik

Abb. 4.10: Links: Sammellinsen (positive Brennweite f > 0); (a) Plan-konvex-Linse, (b) Konkav-konvex-Linse, (c) Bikonvex-Linse. Rechts: Zerstreuungslinsen (negative Brennweite f < 0); (a) Plan-konkav-Linse, (b) Konvex-konkav-Linse, (c) Bikonkav-Linse. Bei allen Linsen ist die Abbildung eines achsenparallelen Lichtstrahls eingezeichnet. Man kann sich die Einzelabbildungen an den beiden brechenden Flachen der Linse auch als einen gemeinsamen Vorgang vorstellen, fur den dann folgerichtig gilt

1 =1+ 1 fg f f

0

)

1+1= 1 g b fg

In diesem Fall hat fg die Bedeutung der Brennweite der Linse.

Brechkraft der Linse

D = f1

g

Einheit [Dioptrie]: dpt =

1

m

Fur Linsensysteme (Objektive) kombinieren sich die Brennweiten. Die resultierende Brennweite f zweier Linsen mit f1 und f2 und Abstand
ergibt sich aus der Formel:

1= 1+ 1-
f f1 f2 f1f2

94

4.2

Geometrische Optik

Bildkonstruktionen erfolgen bei Linsen nach den bereits am Hohlspiegel demonstrierten Prinzipien. Zerstreuungslinsen liefern stets virtuelle Bilder. Sammellinsen konnen sowohl reelle als auch virtuellen Bilder erzeugen.

Abb. 4.11: Strahlengange der (a) Sammellinse (b) Zerstreuungslinse. Die drei Hauptstrahlen sind

I I I

Parallelstrahl 1 Brennstrahl 2 Mittelpunktstrahl 3

Abbildungsfehler = Abweichungen von den idealen Abbildungsgesetzen: Sparische Aberration: Achsenferne Strahlen haben eine kleinere Brennweite als achsennahe Strahlen Kaustik.

)

Astigmatismus: Bei nicht mehr kugelformiger sondern ovaler Linsen ache hat die Linse in zwei zueinander senkrechten Ebenen verschiedene Krummungsradien und damit verschiedene Brennweiten. Paralleles Licht wird in zwei separate, zueinander senkrechte Striche abgebildet. ?

)

Chromatische Aberration: Dispersion verursacht verschiedene Brennweiten fur verschiedene Wellenlangen des Lichtes mehrere farbige Bilder.

)

?

auch: Licht fallt schrag auf eine spharisch gekrummte Linsen ache.

95

4.2

Geometrische Optik

Dicke Linsen verstoen gegen die bisher gemachte Annahme, da die Dicke der Linse d  0 bzw. d  r (Krummungsradius) ist. modi zierte Abbildungseigenschaften:

)

Abb. 4.12: Bildkonstruktion bei der dicken Sammellinse. Der achsenparallele Strahl wird bis zur zweiten Hauptebene durchgezogen und verlauft von dort zum Brennpunkt F2. Der zentrale Strahl wird bis zur ersten Hauptebene durchgezogen und dann bei der zweiten Hauptebene im gleichen Winkel zur Achse weitergefuhrt. Der Brennpunktstrahl verlauft hinter der ersten Hauptebene achsenparallel. Wesentlicher Unterschied zwischen dunnen und dicken Linsen ist also die Einfuhrung zweier Hauptebenen anstelle der Mittelebene der dunnen Linse. Die Lage der Hauptebenen kann man aus den Brechzahlen und den Krummungsradien der Linse berechnen; sie ist allerdings auch durch Vergroerung V = 1 direkt (auch experimentell) bestimmt. Be nden sich Gegenstand und Bild in optisch verschiedenen Medien, so erfolgt der Versatz des zentralen Strahles nicht mehr an den Haupt- sondern an den Knotenebenen.

I sechs Kardinalelemente: I I

zwei Brennebenen F1 und F2 zwei Hauptebenen H1 und H2 zwei Knotenebenen K1 und K2

96

4.2

Geometrische Optik

4.2.5 Das menschliche Auge

Abb. 4.13: Links: Aufbau und Einzelelemente des menschlichen Auges. Rechts: Optische Daten und die optischen Kardinalebenen des menschlichen Ausges. Auf der Licheintrittsseite wird das Auge durch die Hornhaut abgeschlossen. Es folgt die vordere Augenkammer mit dem Kammerwasser. Daran schliet sich die eigentliche Augenlinse an. Ihre Brechkraft kann durch Betatigung des Ziliarmuskels verandert werden. Der sich an die Linse anschlieende Glaskorper ist eine gallertartige Masse mit der gleichen Brechzahl wie das Kammerwasser. Das Bild entsteht auf der Netzhaut.

Abb. 4.14: Aufbau der Netzhaut des menschlichen Auges (Querschnitt).

97

4.2

Geometrische Optik

Die Netzhaut enthalt Lichtrezeptoren, die Signale an das Gehirn weiterleiten:

I I

Zapfchen : Farbsehen Stabchen : Hell-Dunkel-Sehen

groere Schwellenenergie geringere Schwellenenergie

Das Auge kann Strukturen < 0; 1 mm nicht mehr au osen. 4.2.6 Mikroskop Ein einfaches Mikroskop wird aus aus zwei Sammellinsen aufgebaut, dem Objektiv (dem Objekt zugewandt) und dem Okular (dem Auge zugewandt).

Abb. 4.15: Optischer Strahlengang im Mikroskop. Das Objektiv erzeugt ein reelles Bild B. Das Okular wird wie eine Lupe verwandt, erzeugt also entweder einen parallen oder einen divergenten Lichtstrahl (also ein vergroertes virtuelles Bild). Der Abbildungsmastab (Verhaltnis Bildgroe zu Gegenstandsgroe) des Mikroskops ist das Produkt aus Objektiv- und Okularvergroerung:

Vges = VOb VOk


Die Wellennatur des Lichtes begrenzt beim Lichtmikroskop die erreichbare (forderliche) Vergroerung auf  2000. Wegen des begrenzten Au osungsvermogens des Mikroskops (siehe unten) ist mit weiterer Vergroerung kein Informationsgewinn verbunden. Das Au osungsvermogen des Mikroskops ist durch die Beugung des Lichtes an der Objektivonung bzw. den Objektstrukturen fundamental begrenzt. Durch Beugung wird die Lichtintensitat uber Haupt- und Nebenmaxima verteilt. Untersuchungen zur beugungsbegrenzten Au osung sind mit zwei Namen verbunden:

98

4.2

Geometrische Optik

I Helmholtz ! selbstleuchtende Objekte I Abbe ! nichtselbstleuchtende Objekte Auge

Okular

f2 Zwischenbild

t

f1 Objektiv Objektivblende

s

Abb. 4.16: Stahlengang zweier Objekte (zur Unterscheidung in Blau und Rot) in einem einfachen Lichtmikroskop. f1 und f2 sind die Brennweiten von Objektiv und Okular, t ist die optische Tubuslange.

Das Beugungsphanomen wurde bereits am Anfang des Kapitels erwahnt und wird Gegenstand der nachfolgenden Abschnitte sein. Es ist das Resultat der Welleneigenschaften des Lichtes. Kriterien fur den Minimalabstand s zweier Objekte, deren Bilder noch getrennt sichtbar sind (s. Bild 4.16):

selbstleuchtende Objekte

s = n0; 61sin 

nichtselbstleuchtende Objekte

 s = n sin 










 : Wellenlange des emittierten Lichtes n : Brechungsindex des Mediums zwischen Objekten und Objektiv   : halber Onungswinkel des Strahlenbundels Der Faktor im Nenner n
sin  wird auch als numerische Apertur bezeichnet.

99

4.2

Geometrische Optik

Zur Begrundung der Kriterien fur das Au osungsvermogen des Mikroskops werden in Abb. 4.17 zwei selbstleuchtende punktformige Objekte 1 und 2 betrachtet, deren Licht durch eine Lochblende fallt. α > αc

Beungungsbild Lochblende α

1 2

d

αc

α < αc

Abb. 4.17: Das Rayleighsche Kriterium zur Au osung zweier selbstleuchtender Punkte, die an einer Lochblende (z.B. Objektivonung) gebeugt werden. Wird der kritische Winkel c = 1; 22
=d unterschritten, so uberlappen die beiden Beugungsmuster, und die beiden Quellen konnen nicht mehr getrennt werden.

c = 1; 22 d Aus geometrischen Betrachtungenen folgt daraus der Faktor 0; 61 im Ausdruck fur die Rayleigh-Kriterium fur Nichtuberlappung




Au osungsgrenze bei der Betrachtung selbstleuchtender Objekte. An den Strukturen nichtselbstleuchtender Objekte wird das einfallende Licht ebenfalls gebeugt. Es lat sich nun argumentieren, wieviele Beugungsordnungen in das Objektiv eintreten mussen:

Fur die Au osung einer Struktur mussen neben der nullten Beugungsordnung (zentrales Maximum) mindestens auch die Beugungsmaxima ersten Ordnung (Nebenmaximum) in das Objektiv des Mikroskops eintreten konnen.

I I I

0. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung ...

! ! !

Helligkeitsinformation Strukturinformation 1. Ordnung (grob) Strukturinformation 2. Ordnung (feiner)

Fur die Au osung zweier Punkte benotigt man mindestens Haupt- und 1. Nebenmaximum der Begungs gur Au osungsgrenze bei der Betrachtung nichtselbstleuchtender Objekte. Sie ist etwa um einen Faktor 1; 5 schlechter als die selbstleuchtender Objekte.

)

100

4.3

Wellenoptik

Eine Reihe verschiedener Techniken erlaubt es, das Au osungsvermogen zu verbessern: konventionelle Lichmikroskopie Immersionsmikroskopie Konfokale Mikroskopie Elektronenmikroskop

s  300 nm s  200 nm s  10 nm s  0; 3 nm

4.3 Wellenoptik Die gesamte Optik lat sich durch die Ausbreitungseigenschaften elektromagnetischer Wellen beschreiben. Die bis hierhin behandelte geometrische Optik stellt nur eine (konzeptionelle) Vereinfachung dar. Bereits im vorherigen Kapitel ist die Beugung als herausragendes Phanomen der Wellenoptik aufgetreten. Hinzu kommen als Eekte die Polarisation und die Dispersion. 4.3.1 Interferenz und Beugung Wellen lassen sich uberlagern, d.h. die Amplituden addieren sich an jedem Raumpunkt  auf. Bei koharenter Uberlagerung (d.h. zwischen den Wellen besteht eine feste Phasenbeziehung) spricht man von Interferenz.

Bild: konstruktive Interferenz (gleichphasig) und destruktive Interferenz (gegenphasig) Huygenssches Prinzip (Reformulierung)

 Jede Welle kann als Uberlagerung von Kugelwellen (Elementarwellen) angesehen werden. Elementarwellen werden durch eine einfallende Welle in jedem Raumpunkt angeregt.

101

4.3

Wellenoptik

Abb. 4.18: Blendet man aus einer ebenen Welle einen nahezu punktformigen Bereich (Spaltbreite < Wellenlange) aus, so bleibt hinter dem Spalt nur noch eine Kugelwelle (Huygenssche Elementarwelle) ubrig. Links: Wasserwellenexperiment. Rechts: Prinzipdarstellung. Beugung am Doppelspalt: Von zwei benachbarten, engen Spalten (Spaltbreite d <  und Spaltabstand D >  mit  : Wellenlange des Lichtes) gehen gleichzeitig Kugelwellen aus, die miteinander konstruktiv oder destruktiv interferieren Beugung.

)

Abb. 4.19: (a) Interferenz der beiden Kugelwellen am Doppelspalt. Die Interferenzmaxima sind durch Linien verbunden. (b) Schematische Darstellung des enstehenden Streifenmusters. Die mit dem Index n = 0; 1; 2; 3; ::: gekennzeichneten Interferenzmaxima ensprechen den Verbindunglinien in Bild (a). Man ndet:

102

4.3

Beugungsmaxima D
sin  Beugungsminima D
sin 

= =

n   (2m + 1) 2





Wellenoptik

mit n = 1; 2; 3; :::

mit m = 1; 2; 3; :::

Beugung am Einzelspalt tritt auf, wenn die Spaltonung d nicht mehr als einzelner Punkt angesehen werden kann. Die Spaltonung bildet dann eine groe Zahl von Punktquellen, von denen Kugelwellen ausgehen. Der Vergleichsmastab ist die Wellenlange  des Lichtes.

I d< I d

enger Spalt einfacher Spalt

Es kommt dann - wie beim Doppelspalt - zur Interferenz benachbarter Kugelwellen.

Abb. 4.20: Beugung am Einzelspalt. An diesem Beispiel soll das Vorgehen fur die Ableitung der Formeln fur die Lage der Beugungsmaxima/-minima demonstriert werden: Am ersten Beugungsminimum loschen sich diejenigen Kugelwellenpaare aus, deren Zentren voneinander den Abstand d=2 haben, denn die Phasendierenz zwischen diesen Wellen betragt gerade  (entspricht der halben Wellenlange =2). Beugungsminimum

d sin  =  : 2 2


Allgemein:

Beugungsmaxima d
sin  Beugungsminima d
sin 

= =

2n + 1) 2 m  (







mit n = 1; 2; 3; ::: mit m = 1; 2; 3; :::

103

4.3

Wellenoptik

Beugungsmaxima und -minima ansteigender Ordnung bilden das Beugungsmuster.

Abb. 4.21: Beugungsmuster am Einfachspalt. Oben: Intensitatsverteilung des Lichtes im Beugungsbild. Das Maximum liegt an der direkten Verbindungslinie zum Spalt (optishe Achse). Unten: Photographie des Beugungsbildes. Beugung am Gitter funktioniert nach den gleichen Prinzipien wie die Beugung am Spalt und Doppelspalt. Man kann sich das Gitter einfach als Vervielfaltigung des Doppelspaltes vorstellen.

Beugungsmaxima D
sin 

=

n 


mit n = 1; 2; 3; :::

Abb. 4.22: Vorderansicht (links) und Queransicht (rechts) eines Beugungsgitters. Der Abstand D zwischen je zwei Einzelspalten wird als Gitterkonstante bezeichnet.

104

4.3

Wellenoptik

Analog zu den behandelten Situationen wird bei der Beugung am Draht und der Beugung an der Lochblende vorgegangen. Stets erhalt man die Lage (bzw. den Beugungswinkel) der Beugungsmaxima und -minima aus den Bedingungen fur konstruktive und destruktive Interferenz der Elementarwellen. 4.3.2 Polarisation Elektromagnetische Wellen sind Transversallwellen. Die Schwingungsrichtung liegt in einer Ebene F, die senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung ~S steht (vergl. Bild 4.1). Schwingungsrichtung der Transversalwelle = Polarisationsrichtung

Abb. 4.23: (a) Zwei linear polarisierte transversale Wellen mit unterschiedlicher Schwin~ 0 gibt die jeweilige Polarisationsrichtung an. gungsrichtung: Der Vektor A (b) Linear polarisierte elekromagnetische Welle: Der elektrische Feldvektor ~E0 ~ 0 stehen stets senkrecht aufeinander. Die und der magnetische Feldvektor H Polarisationsrichtung der elektromagnetischen Welle wird durch ~E0 festgelegt. lineare Polarisierung erfolgt durch

I I I

Dichroismus Polaroid-Filter Doppelbrechung Nicol-Prisma Re exion Brewster-Re exion

Allgemein werden drei Arten von Polarisation unterschieden: Polarisation linear zirkular elliptisch

Richtung Feldvektor konstant andert sich periodisch andert sich periodisch

Betrag Feldvektor andert sich periodisch konstant andert sich periodisch

105

4.3

F

Wellenoptik

linear

zirkular elliptisch

Abb. 4.24: Der Feldvektor in der Schwingungsebene F (vergl. Bild 4.23). (i) Lineare Polarisation: Der Feldvektor ist entlang einer Gerade orientiert. (ii) Zirkulare Polarisation: Feldvektor rotiert um die Ausbreitungsrichtung. (iii) Elliptische Polarisation: Feldvektor rotiert und andert periodisch seinen Betrag.

Linear polarisiertes Licht lat sich aus unpolarisiertem Licht durch Re exion an einem transparenten Medium erzeugen. Ist der Einfallswinkel gleich dem Brewsterschen Win-

kel

tan b = n

so ist das re ektierte Licht vollstandig linear polarisiert.

Abb. 4.25: Modell zur Erlauterung des Brewsterschen Winkels: Links: Der elektrische Feldvektor ist senkrecht zur Ober ache orientiert. Es wird keine Licht re ektiert. Rechts: Der elektrische Feldvektor ist parallel zur Ober ache orientiert. Das Licht wird vollstandig re ektiert. Der Brewsterwinkel ergibt sich aus den Abstrahlungseigenschaften der an der Grenz ache des Mediums zur Schwingung angeregten Atome. Re exion von linear polarisiertem Licht (Orientierung parallel zur Ober ache) erfolgt wenn re ektierter und gebrochener Strahl senkrecht aufeinander stehen.

106

4.3

Wellenoptik

Polarisiertes Licht kann als nutzliches Meinstrument dienen. Polarimetrie: Sie nutzt aus, da viele organische Stoe die Schwingungsebene des durchgehenden Lichtes drehen.

Abb. 4.26: Schematische Darstellung eines Polarimeters. Polarisator und Analysator sind jeweils dichroistische Polarisationsfolien. Der Polarisator erzeugt linear polarisiertes Licht. Wird die Probe in die optische Strecke eingebracht, so dreht die Substanz die Polarisationsrichtung. Diese Drehung wird mit dem Analysator festgestellt. Der Drehwinkel  der Polarisationsebene hangt bei optisch drehenden Stoen ab von:

I Wellenlange des Lichtes I Konzentration des Stoes I Losungsmittel I Temperatur I optische Weglange in der Probe Mit Polarimetrie lat sich z.B. die Zuckerkonzentration in wasseriger Losung bestimmen.

107

4.3

Wellenoptik

4.3.3 Dispersion Dispersion wurde bereits im Zusammenhang mit dem Prisma als optisches Instrument erwahnt. Generell gilt fur optisch dichte Medien, da in ihnen die Lichtgeschwindigkeit c nicht nur kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 ist, sondern auch von der Frequenz des Lichtes abhangt.

dc = 0 df 6

)

Brechungindex

8> dn >< df >>: dn df

> 0

normale Dispersion

< 0

anomale Dispersion

Meistens hat man es mit normale Dispersion zu tun, d.h. nblau > nrot . Abb. 4.27: Verlauf des Brechungsindex n fur verschiedene durchsichtige Stoe in Abhangigkeit von der Wellenlange  = c=f des Lichtes. SFS1, SK1, BK1, 900 403, 820 451 sind Firmenbezeichungen verschiedener Glassorten. Abhangig von der Dispersion variiert fur Licht verschiedener Wellenlange der Brechungswinkel geringfugig (siehe Snelliussches Gesetz). 4.3.4 Extinktion Auch die durchsichtigen Stoe zeigen eine Abschwachung der Lichtstrahlung: Extinktion.

Lambertsches Extinktionsgesetz

I = I0 e-s


mit

 = (; C)

108

4.4

Laser

Die Intensitat I des Lichtes fallt also exponentiell mit der Wegstrecke s ab. Dabei ist () der (stark von der Wellenlange  und der Stokonzentration C abhangige) SchwachungskoeÆzient. Grunde fur Extinktion:

I Absorption von Licht durch die Molekule des Mediums I Streuung von Licht an den Molekulen des Mediums Aus der Messung von  lat sich auf die Stokonzentration C zuruckschlieen.

4.4 Laser Wie nur wenige Innovationen hat der LASER (Light Ampli cation by Stimulated Emission of Radiation) Forschung und Technik beein ut. Bei der Erlauterung des Laserprinzips mu bereits auf einige Prinzipien der Atomphysik vorgegrien werden. 4.4.1 Funktionsprinzip Hilfreiches Konzept:

Wellenvorstellung .. . Wellenpaket Frequenz f

()

Teilchenvorstellung .. . Teilchen Energie E = hf

Welle

Das Photon ist ein Beispiel fur den Welle-Teilchen-Dualismus der Mikrophysik.

Teilchen

E=hf 1/f

Emissions- und Absorptionsvorgange von Licht sind mit dem Bild der elektromagnetischen Welle nur unzureichend beschrieben. Hier wirkt das Licht wie ein Strom von (Quasi-) Teilchen, den Photonen. Sie werden im Rahmen der Quantentheorie mit Wellenpaketen der Energie E = h
f idendi ziert.

109

4.4

Energiequantum elektromagnetischer Strahlung

E = h f mit dem Planckschen Wirkungsquantum h = 6; 6261 10-34 J s





Stimulierte Emission: Die Wechselwirkung Licht-Materie geschieht uber die Elektronenschale der Atome: Bei Absorption wird ein Photon vom Elektron aufgenommen, was seine potentielle Energie um den Betrag E = h
f erhoht. Bei spontaner Emission gibt das Elektron die potentielle Energie wieder ab und emittiert ein Photon mit der Energie E = h
f. Bei stimulierter Emission wird letzterer Vorgang von einem einfallenden Photon der Energie E = h
f ausgelost.

Abb. 4.28: Die drei entscheidenden Emissions- und Absorptionsvorgange. Die obere Linie steht jeweils fur eine hohere potentielle Energie. einfallendes austretendes Energieniveau Photon Photon des Elektrons Absorption wird absorbiert { steigt { wird emittiert fallt spontane Emission stimulierte Emission stimuliert wird emittiert fallt




Laser

110

4.4

Laser

Resultierende

Schwingungen einer kohärenten Lichtquelle

Abb. 4.29: Der groe Vorteil stimulierter Emission ist, da alles Licht mit der gleichen Frequenz f (monochromatisch) und mit fester Phasenbeziehung (koharent)  berlagerung dieemittiert wird. Die U ses Lichtes (Resultierende) ergibt sehr groe Intensitaten.

Gewohnliche Lichtquellen (Bsp. Gluhbirne) emittieren ihr Licht in Form von elektromagnetischen Wellenpaketen spontan und bei vielen verschiedenen Frequenzen (kontinuierliches Spektrum). Stimulierte Emission spielt dabei keine Rolle. Solche inkoharenten  und polychromatischen Wellen konnen in der Uberlagerung ebenfalls zu Verstarkung fuhren, aber eben auch zu Ausloschung geringere Lichtintensitat.

)

Besetzungsinversion: Wechselwirkung Licht-Materie mit ...

N1 Atomen im Grundzustand E1 : Abschwachung durch Absorption N2 Atomen im angeregten Zustand E2 : Verstarkung durch stimulierte Emission E2

angeregter Zustand

E1

Grundzustand

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist N1 < N2 , also ist Absorption dominant. Man kann durch Energiezufuhr einen Nichtgleichgewichtszustand herbeifuhren, in dem N2 > N1 ist. Man redet dann von Besetzungsinversion Dominanz der induzierten Emission.

)

Abb. 4.30: Links: Thermodynamisches Gleichgewicht. Es be nden sich mehr Atome im Grundzustand als im angeregten Zustand (Boltzmannverteilung). Rechts: Nichtgleichgewicht. Erheblich mehr Atome be nden sich im angeregten Zustand als im Grundzustand (Besetzungsinversion).

111

4.4

Besetzungsinversion durch

I I I I

optisches Pumpen Stoanregung  Stromdurchgang p-n-Ubergang chemisches Pumpen

: : : :

Laser

Festkorperlaser Gaslaser Diodenlaser chemische Laser

Die Methodik zum Erreichen einer Besetzungsinversion ist ein wesentliches Charakteristikum des jeweiligen Lasertyps. Der physikalische Mechanismus des Lasereektes lat sich nun an einem Atom mit drei Energieniveaus demonstrieren: E3 strahlungslose Übergänge E2 Pumpprozeß

Strahlungsübergänge

E1

Abb. 4.31: Drei atomare Energieniveaus E1 < E2 < E3 . Ausgehend von E1 wird in den  Zustand E3 gepumpt. Von dort erfolgen stahlungslose Uberg ange (z.B. atomare Stoe) zum Zustand E2 , der dadurch stark bevolkert wird. Von hier aus erfolgen durch stimulierte Emission Strahlungsubergange zuruck zum Grundzustand E1 . Durch den Drei-Niveau-Trick wird vermieden, da der Pumpproze das gepumpte Niveau durch stimulierte Emission wieder entleert. Bei dem Niveau E2 handelt es sich meist um ein metastabiles Niveau, d.h. das Atom verbleibt besonders lange in diesem energetisch angeregten Zustand.

Drei Elemente des Lasereektes

I I I

stimulierte Emission Besetzungsinversion optischer Resonator:

112

4.4

Laser

Optischer Resonator: Um den Eekt der stimulierten, phasenrichtigen Emission zu vergoern, bringt man das optisch aktive (Licht emittierende) Medium zwischen zwei planparallele Spiegel S1 und S2 ein, zwischen denen die Lichtwelle hin- und herlauft. S2 ist etwa 2% lichtdurchlassig, so da ein Teil der Welle den Laser verlassen kann. 4.4.2 Medizinische Anwendungen Laserlicht hat herausragende Eigenschaften, die es fur Forschung, Technik und auch Medizin ausgesprochen nutzlich machen: Laserlicht ist ...

I I I I

extrem intensiv (sehr hohe Leuchtdichte), monochromatisch, koharent, zu einem parallelen Lichtstrahl gebundelt.

Wirkungsmechanismus Thermochemische Prozee

Photochemische Reaktionen Mechanische Eekte (optischer Durchschlag)

Gewebsreaktion unspezi sche Deaktivierung & Denaturierung

Anwendung Laserchirurgie

Koagulieren Schneiden Verdampfen

spezi sche Photochemotherapie Deaktivierung & Denaturierung Nekrotisieen Gewebszerreiung Laserchirurgie Mikrochirurgie

Tabelle 4.1: Einige wichtige Wirkungsmechanismen, Gewebsreaktionen und medizinische Anwendungen von Laserlicht. Wegen ihrer Eigenschaft, monochromatisches Licht auszusenden, kann man die Wellenlage der medizinischen Anwendung genau anpassen. Ein Beispiel: Das Laserlicht der Wellenlange  wird vom Gewebe ...

I I

stark absorbiert schwach absorbiert

! !

Schneiden, Verdampfen Koagulation

113

5

Atom- und Kernphysik

Atom- und Kernphysik

In den ersten Jahrzehnten des 20ten Jahrhunderts hat sich unser Weltbild noch einmal grundlich geandert. Eine Anzahl Schlusselexperimente fuhren zu der Erkenntnis, da streng zwischen makroskopischer und mikroskopischer Physik unterschieden werden mu. Die mikroskopische Physik (Atome, Kerne, Elementarteilchen) entzieht sich unserem Anschauungsvermogen, das von der makroskopischen Welt gepragt wurde. Die Gesetzmaigkeiten der atomaren Welt werden im Rahmen der Quantenphysik systematisiert. 5.1 5.1.1

Einige Schl usselbeobachtungen Rutherfords Streuversuche

Zur Jahrhundertwende wurde intensiv um das korrekte Bild von der Struktur der Atome gerungen. Mit einem einfachen Streuexperiment hat Rutherford einen entscheidenden Beitrag geleistet.

Abb. 5.1: Rutherfords Streuexperiment: Naturliche -Strahlund (zweifach positiv geladene Heliumkerne) wird uber eine Lochblende durch eine dunne Goldfolie geschickt. Die an den Atome der Folie gestreuten Teilchen werden als Lichtblitze auf einem Fluoreszenzschirm beobachtet. Entscheidend fur die Interpretation ist der Streuwinkel , gegeben durch die Formel:

dn n

/

d

=2)

sin4 (

 d

dn n

: : : :

Streuwinkel Raumwinkel Anzahl der in d gestreuten Teilchen gesamte auftreende Teilchenzahl

114

5.1

Einige Schl usselbeobachtungen

Die Rutherfordsche Streuformel erlaubt den folgenden Schlu:

I I

kleine Streuwinkel  groe Streuwinkel 

=) =)

positive Ladungen im Atom gleichmaig verteilt positive Ladungen in einem Punkt konzentriert Abb. 5.2: Resultat des Rutherfordschen Streuversuchs: Die -Teilchen werden oft stark abgelenkt (groe Streuwinkel), was bedeutet, da der positiv geladene, schwere Anteil des Atoms in einem Kern konzentriert sein mu. Die negativ geladenen, leichten Elektronen bilden um den Kern herum eine Wol" ke\.

Rutherfords Streuexperimente bestatigten also das Planetenmodell des Atoms (die Elektronen ziehen um den Kern ihre Bahnen wie die Planeten um das Zentralgestirn Sonne). Atomkern +Z
e positive Ladung 5.1.2

Elektronenhulle -Z
e negative Ladung

=)

Atom ist neutral

Linienspektren

Bereits Newton zerlegte das weie Licht in sein Spektrum mittels eines Prismas. Aber erst Kirchho und Fraunhofer entdeckten die Linienspektren in Emission und Absorbtion: Abb. 5.3: SW-Photographie eines Spektrums, wie es von einer WasserstoGasentladung emittiert wird. Man erkennt klar die diskreten Linien, die hier mit H , H , ... bezeichnet werden. Fur die Wellenlangen  der Spektrallinien wurde ein empirisches Gesetz gefunden:

1 = R1 1 - 1 !  n2 m2

n = 1 m = 2;3;::: n = 2 m = 3;4;::: n = 3 m = 4;5;:::

Lyman-Serie Balmer-Serie Paschen-Serie

115

5.1

Einige Schl usselbeobachtungen

Die verschiedenen Serien (es gibt noch mehr als die genannten) nden sich in den verschiedenen Wellenlangenbereichen ( Farben\) des Spektrums. die wichtigsten sind "

Die Spektroskopie hat in der Physik und in der analytischen Chemie erheblich Bedeutung erlangt. Man erhalt duch die Beobachtung einzelner Spektrallinien sehr detaillierte Informationen uber die Strukturen und Ablaufe auf atomarer Ebene. Energie

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 weißes Licht

Emissionsspektrum

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

Absorbtionsspektrum

Bei Spektren gilt es, generell die folgenden Unterscheidungen zu treen. Struktur Quelle Messung Kontinuierliches Spektrum Emissionsspektrum Dispersionsspektrum Linienspektrum Absorbtionsspektrum Beugungsspektrum Bandenspektrum 5.1.3

Radioaktivit at

Eine weiter wichtige Entdeckung war die naturliche Radioaktivitat durch Bequerel 1896. Uransalz

!

unsichtbare Strahlung

!

schwarzt Photoplatten

Diese Untersuchungen wurden durch das Ehepaar Curie systematisch fortgesetzt. Es gelang ihnen mit I Polonium und I Radium noch zwei weitere, naturlich radioaktive Elemente isolieren.

116 5.1.4

5.2

Atommodelle

Franck-Hertz-Versuch

Ein weiteres Schlusselexperiment ist der Franck-Hertz-Versuch.

Abb. 5.4: Versuchsanordnung nach Franck und Hertz zur Messung unelastischer Stoe zwischen Elektronen und Atomen. Zwischen dem Heizdraht und dem Gitter G liegt eine Beschleunigungsspannung an, zwischen dem Gitter G und der der Anode A eine Bremsspannung. Zum Strom I konnen daher nur Elektronen beitragen, die Ihre kinetische Energie nicht durch inelastische Stoe mit Atomen verloren haben. Im unteren Teil des Bildes ist die Mekurve dargestellt, der Anodenstrom I als Funktion der Beschleunigungsspannung Ug . Der Franck-Hertz-Versuch zeigt, da der Energieaustausch zwischen beschleunigten Elektronen und Atomen durch elastische Stoe nicht kontinuierlich sondern diskret erfolgt: Die Kurve I(Ug ) zeigt bei ganzzahligen Vielfachen von Ur ausgepragte Minima, die durch die Abgabe von kinetischer Energie der Elektronen an die Gasatome zustande kommen. 5.2

Atommodelle

Die Erklarung der genannten (und weiterer) Experimente erforderte ein neues Atommodell. Das Planetenmodell des Atoms warf zwei gravierende Probleme auf:

I Stabilitat: I

Elektron auf Kreisbahn Abstrahlung EM-Wellen standiger Energieverlust Spektrum: Emission, kontinuierlich

) ) )

Das Planetenmodell kann Rutherfords Streuversuche erklaren, nicht aber das Auftreten diskreter Spektren und uberhaupt die langlebige Existenz von Atomen!

117

5.2

Atommodelle

Der danische Physiker Nils Bohr hat die Probleme des Planetenmodells einfach durch a priori angenommene Postulate behoben.

Die Elektronen bewegen sich auf bestimmten stationaren Bahnen (Zustanden), mit diskreten Energien E1 ;E2 ;:::;En;:::, auf denen keine Energieabstrahlung erfolgt.

1. Bohrsches Postulat:

Die stationaren Zustande sind dadurch festgelegt, da der Bahndrehimpuls auf der n-ten Bahn umlaufenden Elektrons gequantelt ist:

2. Bohrsches Postulat:

Ln = me r2n !n = n 2h Dabei ist h = 6;626 10-34 J s das Plancksche Wirkungsquantum.














Die Ausstrahlung von Energie (Lichtemission) erfolgt  bei einem sprunghaften Ubergang eines Elektrons von einer stationaren Bahn hoherer Energie En zu einer stationaren Bahn geringerer Energie Em . Die Energiedierenz wird in Form eines Lichtquants (Photon) emittiert.

3. Bohrsches Postulat:

En - Em = h f


Rechtfertigung fur die Bohrschen Postulate

! spater im Rahmen der Quantenmechanik.

Abb. 5.5: Mit dem Bohrschen Atommodell lie sich erstmals das diskrete Wasserstoemissionspektrum befriedigend erklaren. Das Bild zeigt die innersten stationaren Bahnen des Bohrschen Atommodells und die Elektronenubergange bei der Emission von Spektrallinien.

118

5.2

Atommodelle

Das Bohrsche Atommodell erlaubt die Ableitung des o.g. empirisch gefundenen Gesetzes fur die Wellenlangen des Wasserstoemissionsspektrums (die sogenannte Rydbergformel). Man ndet fur die Konstante den universellen Ausdruck

R1 = Z8e2hm3e : 2 4 0

Dabei ist Z = 1 die Kernladungszahl des Wasserstos.

Abb. 5.6: Das Termschema des Wasserstoatoms. Die Energie der diskreten Zustande (linke bzw. rechte Skala) lat sich im Rahmen des Bohrschen Atommodells  berechnen. Uberg ange zwischen den atomaren Zustanden erzeugen die Spek trallinien der entsprechenden Serien. Die Uberg ange (vertikale Linien) sind mit 10 der Wellenlange ( in 10 m) des emittierten Lichtes versehen.