Physik für Mediziner: Eine Einführung, 13. Auflage

Springer-Lehrbuch Ulrich Harten Physik für Mediziner Eine Einführung 13., bearbeitete Auﬂage Mit 434 Abbildungen un...

Author: Ulrich Harten

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Springer-Lehrbuch

Ulrich Harten

Physik für Mediziner Eine Einführung

13., bearbeitete Auﬂage Mit 434 Abbildungen und 27 Tabellen

123

Prof. Dr. Ulrich Harten Hochschule Mannheim Paul-Wittsack-Straße 10 68163 Mannheim E-Mail: [email protected]

ISBN-13

978-3-642-16315-9 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

Bibliograﬁsche Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograﬁe; detaillierte bibliograﬁsche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverﬁlmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspﬂichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer Medizin Springer-Verlag GmbH ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer Medizin Verlag Heidelberg 1974, 1975, 1977, 1980, 1987, 1993, 1997, 1999, 2002, 2007, 2011 Produkthaftung: Für Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen kann vom Verlag keine Gewähr übernommen werden. Derartige Angaben müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung: Christine Ströhla, Heidelberg Lektorat: Markus Pohlmann, Heidelberg Projektmanagement: Rose-Marie Doyon, Heidelberg Umschlaggestaltung & Design: deblik Berlin Abbildung Umschlag: ©photos.com PLUS Ordernumber: 12232857 Satz: Fotosatz-Service Köhler GmbH – Reinhold Schöberl, Würzburg Druck- und Bindearbeiten: Stürtz GmbH, Würzburg Gedruckt auf säurefreiem Papier 15/2117 rd – 5 4 3 2 1 0

V

Vorwort ,QM8Pa[QSPIVLMT\^WVLMV6I\]ZOM[M\bMV]VLLQMOIT\MV[KPWVIT[LQM-ZLMVWKP_Û[\]VL TMMZ_IZ>MZ[\Õ¾MOMOMVLQM6I\]ZOM[M\bM_MZLMVVQKP\JM[\ZIN\[QM[QVLOIZVQKP\MZ[\UÕO TQKP,I[OQT\I]KPNÛZWZOIVQ[KPM[4MJMV]VLÃZb\TQKPM3]V[\0MZb]VL4]VOM5IOMV]VL ,IZU)]OM7PZ]VLLI[OIVbM6MZ^MV[a[\MUWJOM[]VLWJSZIVSIOQMZMVQU:IPUMV LMZ6I\]ZOM[M\bM£Zb\MMJMV[W ,M[PITJU][[[QKPMQV5MLQbQV[\]LMV\I]KP_MVVM[VQKP\[MQVM4MQLMV[KPIN\Q[\UQ\ 8Pa[QSJMNI[[MV,QM[M[*]KP^MZ[]KP\LI[6W\_MVLQOM^MZ[\ÃVLTQKPb]XZÃ[MV\QMZMV0QTNMV NÛZLI[8Pa[QSXZIS\QS]Ub]OMJMV]VLLQMUMLQbQVQ[KPMV)V_MVL]VOMVI]Nb]bMQOMV ,I[ *]KP MZTÃ]\MZ\ _MQ\MZPQV ITTM QU /MOMV[\IVL[SI\ITWO I]NOMNÛPZ\MV 4MZVQVPIT\M ?MTKPM ;QM LI^WV QV LMZ 8ZÛN]VO IV 1PZMZ =VQ^MZ[Q\Ã\ \I\[ÃKPTQKP JZI]KPMV UÛ[[MV ;QM [MTJ[\PMZI][âVLMV1VLMZbMV\ZITMV£Zb\TQKPMV8ZÛN]VOLM[1588_QZLSMQVM[_MO[ITTM[ OMJZI]KP\1U1VPIT\[^MZbMQKPVQ[]VLIVLMV3IXQ\MTÛJMZ[KPZQN\MVPIJMQKPLQMJM[WVLMZ[ XZÛN]VO[ZMTM^IV\MV3IXQ\MTNÛZ;QMUIZSQMZ\,QM4MZV\IJMTTMVLQM>MZ[\ÃVLVQ[NZIOMV]VL LQM TMQKP\MZMV »J]VO[I]NOIJMV WZQMV\QMZMV [QKP MJMVNITT[ IV LMZ £8 -QVQOM 7ZQOQVIT 1588.ZIOMVUQ\>MZ_MQ[MVI]NLQMXI[[MVLMV*]KPSIXQ\MTâVLMV[QKPI]NLMZ1V\MZVM\[MQ\M ___TMPZJ]KPUMLQbQVLMXPa[QS 1V LQM[MZ )]ãIOM _]ZLM MQVM 8ZIS\QS]U[JW` b] B]NITT[^MZ\MQT]VOMV QV 3IXQ\MT PQV b]OMNÛO\,QM;MQ\MVb];\ZÕU]VO3IXQ\MT]VL?MTTMV3IXQ\MT_]ZLMVVM]OMNI[[\ 3WUXTM\\VM]Q[\I]KPLQM?ÃZUMTMPZM3IXQ\MTLQMLI[MZTIOTIO_QMLMZQVLMV0ÃVLMV^WV:W[M5IZQM,WaWV1PZOQT\UMQVJM[WVLMZMZ ,IVSNÛZLQM^QMTNÃT\QOMV0QTNMV 2IV]IZ

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VII

Biographie

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Physik für Mediziner: Das Layout 1

Einleitung: thematischer Einstieg ins Kapitel

Rechenbeispiele: Schritt für Schritt physikalische Zusammenhänge und Rechnungen nachvollziehen

2 3 4 5 6

Leitsystem: Orientierung über die Kapitel und Anhang

7 8

Inhaltliche Struktur: klare Gliederung durch alle Kapitel

9 10 11 12 13 14

Besonders wichtige Inhalte sind durch ! hervorgehoben

Schlüsselbegriffe sind fett hervorgehoben Verweise auf Abbildungen und Tabellen sind deutlich herausgestellt und leicht zu ﬁnden

15 16 17

Merke: das Wichtigste auf den Punkt gebracht

18 19 20

Klinik-Box: der äÄskulapstab schärft den Blick für die Klinik

Exkurs: Hintergründe und vertiefende Infos

Navigation: Seitenzahl und Kapitelnummer für die schnelle Orientierung

Praktikum: Grundlagen für typische Versuche

In Kürze: die wichtigsten Formeln und Deﬁnitionen

Verständnisfragen zum Üben

Übungsaufgaben: nach Schwierigkeitsgrad geordnete Fragen. Ausführliche Lösungen ﬁnden Sie im Anhang

Über 430 Abbildungen machen die Physik deutlich

Website: Mehr zum Thema? Animationen, Links unter www.lehrbuch-medizin.de/physik

Sagen Sie uns Ihre Meinung ⇒ www.lehrbuch-medizin.de

XI

Inhaltsverzeichnis ! Besonders wichtige Kapitel zur Vorbereitung auf die IMPP-Fragen

1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.4 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physikalische Größen und ihre Einheiten Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Länge, Fläche, Volumen ! ! . . . . . . . . . . . . . . . SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengenangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masse und Stoffmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichten und Gehalte ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statistik und Messunsicherheit . . . . . . . . . . . Messfehler ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mittelwert und Streumaß ! . . . . . . . . . . . . . . Messunsicherheit ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fehlerfortpﬂanzung ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoren und Skalare ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wichtige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkelfunktionen ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialfunktion und Logarithmus ! ! Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 3 4 8 8 8 9 11 11 11 13 15 16 18 18 20 22 23

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6

Mechanik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fahrstrecke und Geschwindigkeit ! . . . . . . Überlagerung von Geschwindigkeiten . . . Beschleunigung ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehbewegungen ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegung von Gelenken . . . . . . . . . . . . . . . . Kraft, Drehmoment, Energie . . . . . . . . . . . . . Kräfte ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewichtskraft und Gravitation ! . . . . . . . . . . Arbeit und Energie ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinetische Energie ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hebel und Drehmoment ! . . . . . . . . . . . . . . . Die Grundgleichungen des Gleichgewichts ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kraft und Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Newton’schen Gesetze ! . . . . . . . . . . . . . Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impuls ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trägheitskräfte ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 28 28 30 31 35 36 37 37 40 40 44 46

2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4

48 49 51 51 54 55 57

2.3.5 2.3.6

Drehbewegungen ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trägheitsmoment und Drehimpuls . . . . . .

59 62

3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4

Mechanik deformierbarer Körper . . . . . . . Die Aggregatzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Struktur der Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verformung von Festkörpern ! . . . . . . . . . . . Viskoelastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stempeldruck ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schweredruck ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auftrieb ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Manometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompressibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blutdruckmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzﬂächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohäsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adhäsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ideale Strömung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zähigkeit (Viskosität) ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reale Strömung durch Rohre ! ! . . . . . . . . . . Umströmung von Hindernissen . . . . . . . . . .

67 68 69 69 70 73 73 73 75 77 79 80 81 82 83 83 86 88 88 91 92 95

4

Mechanische Schwingungen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . 102 Alles, was schwingt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Harmonische Schwingungen ! . . . . . . . . . . . 102 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . 105 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . 107 Überlagerung von Schwingungen . . . . . . . 107 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Wellenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Harmonische Seilwellen ! . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Intensität und Energietransport ! . . . . . . . . 113 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Schallwahrnehmung ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Doppler-Effekt ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.2.7

XII

Inhaltsverzeichnis

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6 5.4.7 5.4.8 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3

Wärmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Die grundlegenden Größen . . . . . . . . . . . . . 128 Wärme ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Temperatur ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Temperaturmessung ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Wahrscheinlichkeit und Ordnung . . . . . . . . 132 Die Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Wärmekapazität ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Das ideale Gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Die Zustandsgleichung ! ! . . . . . . . . . . . . . . . 137 Partialdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Die Energie im Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Transportphänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Wärmeleitung ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Osmose ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Phasenumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Umwandlungswärmen ! . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Schmelzen oder Aufweichen?. . . . . . . . . . . . 150 Schmelzen und Gefrieren ! . . . . . . . . . . . . . . 151 Lösungs- und Solvatationswärme . . . . . . . . 153 Verdampfen und Kondensieren ! . . . . . . . . 153 Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Zustandsdiagramme ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Absorption und Adsorption. . . . . . . . . . . . . . 158 Wärmenutzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Wärmehaushalt des Menschen . . . . . . . . . . 159 Warum kostet Energie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Wärme- und Entropiehaushalt der Erde 162

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.3 6.3.1 6.3.2 6.4 6.4.1 6.4.2

Elektrizitätslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Die wichtigsten Messgrößen . . . . . . . . . . . . . 169 Strom, Spannung, Ladung ! . . . . . . . . . . . . . . 169 Leistung und Energie ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Die wichtigsten Zusammenhänge . . . . . . . 173 Elektrischer Widerstand ! . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Das Ohm’sche Gesetz ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Stromwärme ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Kapazität ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Energie des geladenen Kondensators . . . . 177 Wechselspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Effektivwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Kapazitiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Widerstände in Reihe und parallel ! . . . . . . . . 181 Speziﬁscher Widerstand (Resistivität) . . . . . 183

6.4.3 6.4.4 6.4.5 6.4.6 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.5.6 6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5 6.6.6 6.7 6.7.1 6.7.2 6.8 6.8.1 6.8.2 6.8.3 6.9 6.9.1 6.9.2 6.9.3 6.10 6.10.1 6.10.2 6.10.3 6.11 6.11.1 6.11.2 6.11.3 6.11.4 6.12 6.12.1 6.12.2 6.12.3

Spannungsteiler ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Innenwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hoch- und Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kondensatorentladung und e-Funktion ! Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Feldbegriff ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrisches Potential ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Potentialfeld ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kräfte zwischen Ladungen ! . . . . . . . . . . . . . Feld im Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . Materie im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . Inﬂuenz und elektrische Abschirmung . . . Der elektrische Strom ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dielektrizitätskonstante (Permittivität) ! . . Das freie Elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ruhemasse und relativistische Masse . . . . Gasentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrochemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dissoziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrolyte ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzﬂächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Membranspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Galvani-Spannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thermospannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrophysiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Auswertung des EKG nach Einthoven Elektrische Unfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kräfte im Magnetfeld ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erzeugung von Magnetfeldern ! . . . . . . . . . Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einführung ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformatoren ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Induktiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . Der Schwingkreis ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschlossene elektrische Feldlinien . . . . . . Der schwingende elektrische Dipol . . . . . .

7 7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3

Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . 248 Der strahlende Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Spektralbereiche ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Wellenausbreitung ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

184 186 187 188 190 190 191 193 196 198 199 200 200 201 202 204 207 208 209 209 211 213 213 215 216 217 217 219 220 222 222 225 227 229 229 232 233 235 236 236 239 239

XIII

Inhaltsverzeichnis

7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 7.2.9 7.2.10 7.2.11 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.5 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3

Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lichtbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiegelung ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brechung ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linsen ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildung durch Linsen ! . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungsgleichungen ! . . . . . . . . . . . . . . . Abbildung durch einfache Brechung . . . . . Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fehlsichtigkeit und Brillen . . . . . . . . . . . . . . . Optische Instrumente ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intensität und Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strahlungs- und Lichtmessgrößen . . . . . . . Optische Absorption ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temperaturstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Farbsehen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarisiertes Licht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interferenz ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kohärenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dünne Schichten und Beugungsgitter ! Beugungsﬁguren ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Lichtquant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energiezustände und Spektren ! . . . . . . . . . Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Röntgenstrahlen ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Röntgendiagnose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronenbeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronenmikroskope . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253 253 255 257 260 261 264 265 268 268 270 272 275 275 277 280 281 285 285 286 288 289 291 293 293 295 297 299 302 303 305 305 305 307

8 8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.1.4 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.2.6

Atom- und Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Aufbau des Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Das Bohr’sche Atommodell ! . . . . . . . . . . . . . 314 Elektronenwolken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Das Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Charakteristische Röntgenstrahlung . . . . . 317 Aufbau des Atomkerns . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Kernspinresonanztomographie . . . . . . . . . . 317 Nukleonen und Nuklide ! ! . . . . . . . . . . . . . . . 319 Der Massendefekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Radioaktivität ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Nachweis radioaktiver Strahlung . . . . . . . . . 323 Zerfallsgesetz ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

8.2.7 8.2.8

Kernspaltung und künstliche Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Antimaterie ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.2 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 9.2.5

Ionisierende Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Dosimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Energie- und Äquivalentdosis ! . . . . . . . . . . 334 Ionendosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Aktivität und Dosis ! ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Strahlennutzen, Strahlenschaden . . . . . . . . 336 Radioaktive Tracer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Strahlentherapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Natürliche Exposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Zivilisationsbedingte Exposition . . . . . . . . . 339 Strahlenschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 A1 Antworten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 A2 Physikalische Formelsammlung . . . . . . . . . . 360 A3 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Praktikumsboxen Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Dichtebestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Messen der Oberﬂächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . 86 Viskosität und Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Ermittlung einer Mischtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . 135 Elektrischer Widerstand, Gleichstromkreis . . . . . . . . 185 Oszillograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Linse (Augenmodell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Spektralphotometer, Interferenz, Beugung . . . . . . . 279 Polarisation des Lichtes (Saccharimetrie) . . . . . . . . . 286 Röntgenstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Radioaktiver Zerfall, Absorption. . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

1

Grundbegriffe 1.1

Physikalische Größen und ihre Einheiten

1.1.1

Physikalische Größen

1.1.2

Zeit

1.1.3

Länge, Fläche, Volumen ! !

1.1.4

SI-Einheiten

1.2

Mengenangaben

1.2.1

Masse und Stoffmenge

1.2.2

Dichten und Gehalte ! ! – 9

1.3

1.3.4

Statistik und Messunsicherheit Messfehler ! – 11 Mittelwert und Streumaß ! – 11 Messunsicherheit ! – 13 Fehlerfortpﬂanzung ! – 15

1.4

Vektoren und Skalare !

1.5 1.5.1

Wichtige Funktionen – 18 Winkelfunktionen ! – 18

1.5.2

Exponentialfunktion und Logarithmus ! ! – 20

1.5.3

Potenzfunktionen

1.5.4

Algebraische Gleichungen

1.3.1 1.3.2 1.3.3

–2

–3 –4

–8

–8 –8

– 11

– 16

– 22 – 23

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6_1, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

–2

1

2

1 2 3 4 5 6 7

Kapitel 1 · Grundbegriffe

> > Einleitung Die Physik ist eine empirische und quantitative Wissenschaft; sie beruht auf Messung und Experiment. Daraus folgt eine intensive Nutzung mathematischer Überlegungen, denn Messungen ergeben Zahlenwerte, und die Mathematik ist primär für den Umgang mit Zahlen erfunden worden. Die Natur ist damit einverstanden. Selbst rechnet sie zwar nicht, aber wenn der Mensch ihre Gesetzmäßigkeiten einfach und korrekt beschreiben will, dann tut er dies am besten mit Hilfe mathematischer Formeln und Kalküle.

1.1

Physikalische Größen und ihre Einheiten

1.1.1 Physikalische Größen

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

,M[5MV[KPMVTQMJ[\MZ5][SMTQ[\LI[0MZb#SMQV IVLMZM[ 7ZOIV _QZL ÃPVTQKP UQ\ /MNÛPT[_MZ\MV JMNZIKP\M\)VI\WUQ[KPPIVLMT\M[[QKP]UMQVMV 0WPTU][SMTLMZOIVbVIKP)Z\MQVMZ3WTJMVX]U XML]ZKPXMZQWLQ[KPM£VLMZ]VO[MQVM[3IUUMZ ^WT]UMV[ LMV *T]\SZMQ[TI]N I]NZMKP\MZPÃT\ >WU 0MZbMV MQVM[ MZ_IKP[MVMV 5MV[KPMV _QZL ^MZ TIVO\LI[[M[QVLMZ5QV]\MM\_I[MKP[4Q\MZ*T]\ ]UX]UX\wJMQSÕZXMZTQKPMZ*MTI[\]VOI]KPVWKP

UMPZw]VLLIb]QVLMZ)WZ\IMJMVRMVMV,Z]KS I]NZMKP\MZPÃT\LMZOMJZI]KP\_QZL]ULMV*T]\ [\ZWU L]ZKP LQM )LMZV ]VL 3IXQTTIZMV LM[ /M NÃ¾[a[\MU[ PQVL]ZKPb]JMSWUUMV 6IKP LQM [MV.WZLMZ]VOMVUÛ[[MV[QKP3WV[\Z]S\QWV]VL *M\ZQMJ[JMLQVO]VOMV LM[ 0MZbMV[ ZQKP\MV IT[W ;KPTIO^WT]UMV5][SMTSZIN\]VL;KPTIONZMY]MVb 8ZÃbQ[MZ ]VL IV[KPI]TQKPMZ IT[ UQ\ ?WZ\MV TÃ[[\ [QKP LMZ Herzzyklus L]ZKP MQVM :I]US]Z^M JM[KPZMQJMV ]VL b_IZ QV MQVMU LZMQLQUMV[QW VITMV,QIOZIUULI[b*LMV,Z]KSLMZ0MZb SIUUMZ VIKP WJMV LI[ 3IUUMZ^WT]UMV VIKP ZMKP\[ ]VL LQM BMQ\ VIKP PQV\MV I]N\ZÃO\ ,MU OM[KP]T\MV *M\ZIKP\MZ JZI]KP\ MQV [WTKPM[ ,QI OZIUUVQKP\MQVUITIT[ZÃ]UTQKPM[5WLMTTXZÃ [MV\QMZ\ b] _MZLMV QPU OMVÛO\ MQVM XMZ[XMS\Q ^Q[KPM BMQKPV]VO VIKP )Z\ LMZ . Abb. 1.1 5IV U][[ NZMQTQKP [KPWV [WZONÃT\QO ]VL OMVI] PQV[M PMV_MVVUIVMQVM[WTKPM,IZ[\MTT]VOZQKP\QOQV \MZXZM\QMZMV_QTT ,QM)JJQTL]VOQ[\MQVMU4MPZJ]KPLMZ8Pa[Q WTWOQMMV\VWUUMV;MQV>MZNI[[MZ[M\b\IT[[MTJ[\ ^MZ[\ÃVLTQKP ^WZI][ LI[[ RMLMZ LMZ b] LQM[MU *]KP OZMQN\ MQV [WTKPM[ RI VQKP\ UMPZ OIVb MQV NIKPM[,QIOZIUUI]KPiTM[MVtSIVV,Ib]OMPÕ ZMV ZÃ]UTQKPM[ >WZ[\MTT]VO[^MZUÕOMV ]VL MQVQ OM3MVV\VQ[[MLMZMTMUMV\IZMV/MWUM\ZQM>WZIT . Abb. 1.1. Druck-Volumen-Zeit-Diagramm eines Herzzyklus (linker Ventrikel eines Hundes). Die blaue Kurve beginnt mit der Füllungszeit: Zunahme des Volumens bei geringem Druck. Es folgt die Anspannungszeit: rascher Druckanstieg bei konstantem Volumen (Herzklappen geschlossen). Sobald der diastolische Aortendruck überschritten wird, beginnt die Austreibungszeit: Volumenabnahme der Herzkammer bei weiter steigendem Druck. Die Austreibung endet, wenn der Maximaldruck erreicht ist und die Klappe zur Aorta schließt. Es folgt die Entspannungszeit: Druckabnahme bei konstantem Volumen. Das Diagramm enthält noch die nächste Füllungszeit

3

1.1 · Physikalische Größen und ihre Einheiten

TMUIJMZU][[UIV_Q[[MV_I[UQ\LMV?WZ\MV ,Z]KS>WT]UMV]VLBMQ\OMUMQV\Q[\ ,QMLZMQ>WSIJMTV_MZLMVPQMZOMVI]QU;QVVM LMZ 8Pa[QS JMV]\b\# [QM JMbMQKPVMV physikalische Größen/MUMQV[IUM[3MVVbMQKPMVITTMZXPa[QSI TQ[KPMV/ZÕ¾MVQ[\QPZM5M[[JIZSMQ\#MQVMRMLM^WV QPVMV Q[\ TM\b\TQKP ]VIJPÃVOQO ^WV ?WZ\MV ]VL ;XZIKPML]ZKPQPZ[XMbQMTTM[5M[[^MZNIPZMVLMâ VQMZ\;W]V\MZ[KPQMLTQKPLQM[M>MZNIPZMVQU-QV bMTVMVI]KP[MQVUÕOMVOZ]VL[Ã\bTQKPOMP\M[JMQ RMLMZ5M[[]VO]ULI[OTMQKPM8ZQVbQX"]UMQVMV Y]IV\Q\I\Q^MV>MZOTMQKPb_Q[KPMVLMZ5M[[OZÕ¾M ]VL QPZMZ 5I¾MQVPMQ\ ?MTKPMV *Z]KP\MQT WLMZ _MTKPM[>QMTNIKPMLMZ-QVPMQ\[\MTT\LQMb]UM[[MV LM/ZÕ¾MLIZ',IZI][NWTO\"2MLMXPa[QSITQ[KPM/ZÕ ¾MQ[\LI[8ZWL]S\I][MQVMZBIPT]VLMQVMZ-QVPMQ\ wLI[?WZ\ Produkt_QZLPQMZOMVI]QU;QVVLMZ 5I\PMUI\QS ^MZ_MVLM\ ,M[PITJ LIZN UIV I]KP UQ\LMV;aUJWTMVLMZ5I\PMUI\QS[KPZMQJMV" Merke Physikalische Größe = Zahl · Einheit.

:MKPMVWXMZI\QWVMV _QM 5ITVMPUMV ]VL <MQTMV [QVL]Z[XZÛVOTQKPV]ZNÛZLMV=UOIVOUQ\BIP TMVMZN]VLMV_WZLMV,I[[UIV[QMI]KPI]N5I¾ MQVPMQ\MVIV_MVLMVSIVV]VLMQV[KPTQM¾TQKPLMZ ,QNNMZMV\QI\QWV]VLLMZ1V\MOZI\QWV[WOIZI]NLQM XPa[QSITQ[KPMV /ZÕ¾MV [MTJ[\ UIO ÛJMZZI[KPMV LWKPM[Q[\[W ?WTT\M UIV XPa[QSITQ[KPM /ZÕ¾MV UQ\ QPZMU ^WTTMV 6IUMV QV .WZUMTV MQV[M\bMV [W _ÛZLMV LQM.WZUMTV]VPIVLTQKP,M[PITJ^MZ_MVLM\UIV MQVbMTVM*]KP[\IJMVIT[;aUJWTMM\_IXNÛZLMV ,Z]KS>NÛZLI[>WT]UMV]VL\NÛZLQMBMQ\4MQ LMZOQJ\M[IJMZ_MQ\UMPZXPa[QSITQ[KPM/ZÕ¾MV IT[*]KP[\IJMV[MTJ[\_MVVUIVLI[OZQMKPQ[KPM )TXPIJM\ LIb]VQUU\ -QVM QV RMLMZ *MbQMP]VO MQVLM]\QOM B]WZLV]VO Q[\ LIZ]U VQKP\ UÕOTQKP 1V\MZVI\QWVITM -UXNMPT]VOMV PMTNMV [QVL IJMZ VQKP\b_QVOMVL1V\MZVI\QWVITM3WV^MV\QWVMUX âMPT\ I]KP *]KP[\IJMV LQM NÛZ /ZÕ¾MV [\MPMV S]Z[Q^b][KPZMQJMV]VL*]KP[\IJMVLQMNÛZ-QV PMQ\MV[\MPMVOMZILM ?MVVUIVMQVMXPa[QSITQ[KPM/ZÕ¾ML]ZKPQP ZM-QVPMQ\\MQT\JTMQJ\MQVMZMQVMBIPTÛJZQO,I[MZ TI]J\LQM)KP[MV^WV,QIOZIUUMVb]Zahlengera-

1

. Abb. 1.2. Beschriftung der Volumenachse der . Abb. 1.1 nach internationaler Empfehlung; die Achse wird dadurch zur Zahlengeraden

denb]UIKPMV,QM>WT]UMVIKP[MLMZ. Abb. 1.1 _ÃZM LIVV [W b] JM[KPZQN\MV _QM LQM . Abb. 1.2 bMQO\;W^WZb]OMPMVPI\MQVQOM>WZ\MQTM]VLLI[ ^WZTQMOMVLM*]KP^MZNÃPZ\[W1VIVLMZMV*ÛKPMZV âVLM\UIVM[IJMZI]KPIVLMZ[ BIPTMV WPVM -QVPMQ\MV JMbMQKPVM\ UIV IT[ idimensionslost 8Pa[QSITQ[KPM /ZÕ¾MV [QVL LM[ PITJL]ZKP_MOiLQUMV[QWVQMZ\t#LQM.T]OPÕPMLM[ .T]ObM]O[PI\MJMV[WLQM,QUMV[QWVMQVMZ4ÃVOM _QMLMZ,]ZKPUM[[MZMQVM[0IIZM[ ,QMUQ\\TMZM>WT]UMV[\ZWU[\ÃZSM1LM[*T]\M[ QV LMZ )WZ\I Q[\ LMZ 9]W\QMV\ I][ LMU L]ZKPOM ãW[[MVMV>WT]UMVΔ>]VLLMZLIb]JMVÕ\QO\MV BMQ\[XIVVMΔ\#IT[.WZUMT"

0QMZ[\MPMVLQM*]KP[\IJMVNÛZXPa[QSITQ[KPM /ZÕ¾MV,IZ]UJMbMQKPVM\UIVMQVM[WTKPM.WZ UMTIT[Größengleichung;QMJM[KPZMQJ\MQVMVXPa [QSITQ[KPMVB][IUUMVPIVO]VLUIKP\SMQVM>WZ [KPZQN\MVÛJMZLQM-QVPMQ\MVLQMJMQMQVMZSWVSZM \MV:MKPV]VOJMV]\b\_MZLMV7JUIVLQMBMQ\QV ;MS]VLMV5QV]\MVWLMZ;\]VLMVUQ[[\[XQMT\NÛZ LQM /ZÕ¾MVOTMQKP]VO SMQVM :WTTM B]_MQTMV _MZ LMVIJMZI]KP[WO ZahlenwertgleichungenI]NOM [KPZQMJMV *MQ QPVMV [\MPMV LQM *]KP[\IJMV V]Z NÛZ BIPTMV_MZ\M _M[PITJ MQVM BIPTMV_MZ\OTMQ KP]VOWPVM)VOIJMLMZ-QVPMQ\MVNÛZLQM[QMOQT\ [QVVTW[Q[\

1.1.2 Zeit

)TTM[_I[OM[KPQMP\OM[KPQMP\QU4I]NMLMZBMQ\ ,I[OQT\I]KPNÛZLMV0MZbbaST][,M[PITJ[QVLQV [MQVMU,QIOZIUU. Abb. 1.1,Z]KS]VL>WT] UMVOMOMVLQMBMQ\I]NOM\ZIOMV?I[Q[\LI["BMQ\' ?MVV/WM\PM^WUi[I][MVLMV?MJ[\]PTLMZ BMQ\t[XZQKP\]VL;KPQTTMZ^WVLMZi[KPÕVMVBMQ\ LMZ R]VOMV 4QMJMt LIVV UMQVMV JMQLM OM_Q[[

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 1 · Grundbegriffe

VQKP\LI[[MTJM]VL[KPWVOIZVQKP\LQMXPa[QSITQ [KPM/ZÕ¾MZeit-[OQJ\MJMVUMPZ*MOZQNNMQVLMZ ?MT\IT[?WZ\MQVLMZ;XZIKPM-QVQOSMQ\LIZÛJMZ _I[ UQ\ JMV]\b\MV ?WZ\MV OMUMQV\ [MQV [WTT Q[\ >WZI][[M\b]VOMQVMZ>MZ[\ÃVLQO]VO,QM5M\PWLM LMZ8Pa[QSQ[\M[/ZÕ¾MVQVLMZ:MOMTL]ZKP5M[[ ^MZNIPZMVb]LMâVQMZMV

[MZ;I\bQ[\VQKP\OIVbSWZZMS\LMVVLQM6MZ^MV TMQ\]VOLM[BMQ\VMPUMZ[JZI]KP\[MTJ[\MQV_MVQO BMQ\]ULI[WX\Q[KPM;QOVIT^WU8]T^MZLIUXNLMZ ;\IZ\XQ[\WTMI]NLMZ6M\bPI]\MV\[\IVLMVQVMQVM 3WV\ZIS\QWV LM[ ,I]UMVU][SMT[ ]Ub][M\bMV ,QM[MZ[WO persönliche FehlerJM\ZÃO\QVLQ^QL]MTT ]V\MZ[KPQMLTQKP MQVQOM BMPV\MT[MS]VLMV# L]ZKP )TSWPWTQU*T]\TÃ[[\MZ[QKPJM\ZÃKP\TQKP^MZTÃV Merke OMZVMZTI[[?MVV M[]U:MSWZLMOMP\_QZLLIZ]UPM]\b]\IOMI]\W ,I[SÕVVMVLQM;KP_QVO]VOMVMQVM[;KP_MZMXMV UI\Q[KPLPMTMS\ZWVQ[KPOMUM[[MVI]NLQM0]V LMT[[MQV_QMJMQ=ZOZW¾^I\MZ[;\IVL]PZWLMZLQM LMZ\[\MT[MS]VLM OMVI] ,QM[M 8ZÃbQ[QWV MZZMQKP\ MQVM[ ,ZMPXMVLMT[ _QM JMQ /ZW¾^I\MZ[ WT]UQVI]VL7JMZãÃKPMV^WV3ÕZXMZV]VL JMV I]N LMZ -ZLM PI\ [QKP TMLQOTQKP ]VL VW\_MV 0WPTZÃ]UMV _MZLMV ^WV QPZMV TQVMIZMV )JUM[ LQOMZ_MQ[MI]NLMVMZPÃT\VQ[ ^WV 3ZMQ[]U ZM[V]ZVWKPJMQLMVS]ZbMVBMQ\MQVPMQ\MV]V\MZ LMZ;MS]VLML]ZKP[M\bMVSÕVVMV" 5 2IPZI≈
. Abb. 1.3. Geometrisch einfache Körper. Oberﬂäche A und Volumen V von: Quader mit den Kantenlängen a, b und c; Kreiszylinder mit dem Radius r und der Höhe h; Kugel mit dem Radius r

NIVO ]VL 3ZMQ[L]ZKPUM[[MZ +WUX]\MZ PIJMV π I]N \I][MVL ;\MTTMV PQV\MZ LMU 3WUUI I][OM ZMKPVM\# XPa[QSITQ[KP OQJ\ LI[ SMQVMV ;QVV _MQT [QKPMQVMMV\[XZMKPMVLM5M[[OMVI]QOSMQ\RILWKP VQKP\MZZMQKPMVTÃ[[\)][_MVLQOb]TMZVMVJZI]KP\ UIV V]Z π≈# NÛZ )J[KPÃ\b]VOMV OMVÛO\ M[ WN\π≈b][M\bMV 1V RMLMZ .WZUMT b]Z *MZMKPV]VO MQVM[ >WT] UMV[MZ[KPMQV\LI[8ZWL]S\LZMQMZ4ÃVOMV[MQM[ V]VIT[IJKIT[ZPWLMZIT[ZwITTMVNITT[Q[\ VWKPMQVBIPTMVNIS\WZLIJMQ,MUVIKP[\MP\LQM XPa[QSITQ[KPM /ZÕ¾M Volumen QV MVOMU B][IU UMVPIVOUQ\LMZXPa[QSITQ[KPMV/ZÕ¾MLänge#LI[ >WT]UMVPI\LQM Dimension4ÃVOMPWKPLZMQ.ÛZ LQM XPa[QSITQ[KPM /ZÕ¾M Fläche MZOQJ\ [QKP OIVb IVITWO LQM ,QUMV[QWV 4ÃVOM PWKP b_MQ ,IZI][ NWTOMV_QMLMZ]UNM[\M*MbQMP]VOMVb_Q[KPMVLMV -QVPMQ\MV*MQLMZ4ÃVOMPI\UIV[QKPQV\MZVI\Q WVITI]NLQM-QVPMQ\ MeterOMMQVQO\IJOMSÛZb\U .WTOTQKPQ[\LQM-QVPMQ\LMZ.TÃKPM5M\MZY]ILZI\ LI[ UIV TQMJMZ 9]ILZI\UM\MZ VMVV\ ]VL U IJ SÛZb\]VLLQMLM[>WT]UMV[i5M\MZPWKPLZMQtIT [WUL]ZKP_MO3]JQSUM\MZOMVIVV\ ,QM .M[\TMO]VO ^WV -QVPMQ\MV Q[\ ZMQVM ?QTT SÛZ#LI[JM_MQ[MVITTLQM^QMTMV5MQTMV-TTMV]VL .Û¾M LQM 3I]ãM]\MV VWKP QU ^WZQOMV 2IPZP]V LMZ\OZW¾M]VL]VVÕ\QOM5ÛPMJMQU=UZMKPVMV OMUIKP\ PIJMV 1V\MZVI\QWVITM -QVQO]VO JMLM] \M\ PQMZ [KPWV NÛZ [QKP ITTMQV MQVMV .WZ\[KPZQ\\ w _MTKPM-QVPMQ\M[LIVV\ZQNN\Q[\QU/Z]VLMVQKP\ UMPZ[W_QKP\QO ,I[ >MZNIPZMV LMZ 4ÃVOMVUM[[]VO Q[\ JM SIVV\#RMLMZUIVV_MQ¾_QMUIVUQ\MQVMUBWTT [\WKS]UOMP\"5IV\ZÃO\QPV_QMLMZPWT\TÃVO[LMZ b] UM[[MVLMV ;\ZMKSM IJ ]VL bÃPT\ _QM WN\ LI[ OMP\ 1U )TTOMUMQVMV _QZL NZMQTQKP MQV *Z]KP\MQT ^WU 5M\MZ ÛJZQO JTMQJMV# ]U I]KP QPV b] UM[ [MVQ[\LMZBWTT[\WKS]V\MZ\MQT\QVOZÕ¾MZM)J [KPVQ\\MLQM ZentimeterKU]VLSTMQVMZM LQMMillimeterUU

1

5

1.1 · Physikalische Größen und ihre Einheiten

5 5 5 5

P%U P%KU P%UU P%UU

)TTM^QMZ;KPZMQJ_MQ[MVJM[IOMVLI[[MTJM ?WTT\M UIV LQM ?MTTMVTÃVOMλ LMZRMVQOMV ;XMS\ZITTQVQM LM[ -LMTOI[M[ 3ZaX\WV LQM NZÛPMZ b]Z,MâVQ\QWVLM[5M\MZ[LQMV\MI]KPQV5M\MZV IVOMJMV[WPÃ\\MUIVb][KPZMQJMV"

λ%U ,QM ^QMTMV 6]TTMV [QVL _MLMZ PIVLTQKP VWKP ÛJMZ[QKP\TQKP ,IZ]U _MQKP\ UIV OMZV QV LQM ;KPZMQJ_MQ[M UQ\ BMPVMZXW\MVbMV I][" λ%wU»JTQKPQ[\IJMZI]KP-QVPMQ\MV ]U OIVbM ,MbQUITNIS\WZMV b] ZML]bQMZMV WLMZ b] MZ_MQ\MZV ]VL LQM[ L]ZKP ^MZMQVJIZ\M >WZ[QT JMV ]VL LMZMV )JSÛZb]VOMV IVb]bMQOMV BMV\Q UM\MZ]VL5QTTQUM\MZ_]ZLMV[KPWVOMVIVV\3Q TWUM\MZ[QVLOMTÃ]âO.ÛZLQM?MTTMVTÃVOMV[QKP\ JIZMV 4QKP\M[ Q[\ LI[ Nanometer VU IVOMUM[ [MV#M[MV\[XZQKP\w!U"

λ%VU ,QMQV\MZVI\QWVITNM[\OMTMO\MV*MbMQKPV]VOMV MV\PÃT\LQM. Tabelle 1.1

. Tabelle 1.1 Erweiterung von Einheiten Vorsilbe

Kennbuchstabe

Zehnerpotenz

Pico

p

10–12

Nano

n

10–9

Mikro

μ

10–6

Milli

m

10–3

Zenti

c

10–2

Dezi

d

10–1

Merke

Hekto

h

102

Messen heißt, die Messgröße mit ihrer Einheit vergleichen.

Kilo

k

103

Mega

M

106

Giga

G

109

Tera

T

1012

?MVVMQV5MV[KPUKU]VLUUOZW¾Q[\ LIVVLIZNUIVNÛZ[MQVM4ÃVOMP[KPZMQJMV"

6

Kapitel 1 · Grundbegriffe

1 2 3 4 5 6

. Abb. 1.4. Messung der Körpergröße eines Menschen

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0QMZMZ_MQ[\[QKP_QMLMZMQVUITLQM3ÛZbMLM[ )TXPIJM\[IT[TÃ[\QO",MZ*]KP[\IJMiUtU][[QV .WZUMTVLQMXPa[QSITQ[KPM/ZÕ¾M5I[[M^MZ\ZM\MV IT[-QVPMQ\LI[5M\MZ]VLIT[8ZÃâ`LMV.IS\WZw iUQTTQtOMVIVV\ i-QVM 4ÃVOM UQ[[\ UIV L]ZKP )J\ZIOMV MQ VM[5I¾[\IJM[t?QMIJMZUQ[[\UIVLMV,]ZKP UM[[MZMQVM[.]¾JITTM[')VLQM4ÃVOMLQMOMUM[ [MV _MZLMV [WTT SWUU\ UIV RI UQ\ LMU BWTT [\WKSVQKP\PMZIV,M[PITJSTMUU\UIVLMV.]¾ JITTb_Q[KPMVb_MQXIZITTMTM4I\\MV]VLUQ[[\LM ZMV)J[\IVL6IKPLMUOTMQKPMV;KPMUIOMP\LMZ )Zb\^WZ_MVVMZLQM3ÕZXMZOZÕ¾MMQVM[8I\QMV\MV JM[\QUU\. Abb. 1.4#PQMZ[WZO\MQVM5MKPIVQS NÛZLQM8IZITTMTNÛPZ]VOLM[5M[[NÛPTMZ[ -QV 8IV\WNNMT\QMZKPMV SIVV UIV VQKP\ b_Q [KPMVLQM*IKSMVMQVMZ;KP]JTMPZMSTMUUMV#[MQ VM 4ÃVOM _QZL ]V\MZ LMU 5QSZW[SWX JM[\QUU\ ,M[[MV 7S]TIZ JM[Q\b\ PQMZNÛZ MQV OkularmikrometerMQVM;SITILQMLMZ*MWJIKP\MZb]OTMQKPUQ\ LMU7JRMS\[KPIZN[QMP\. Abb. 1.5WJMZM[<MQT JQTLw_QMLI[UÕOTQKPQ[\w_QZLQU 7 Kap. 7.2.11 JM[XZWKPMV ,IUQ\ SMVV\ UIV LQM 4ÃVOM LM[ 8IV\WNNMT\QMZKPMV[ b]VÃKP[\ MQVUIT QV ;SITMV\MQ TMVLM[7S]TIZUQSZWUM\MZ[PQMZKI ;SITMV\MQ TM?MTKPM4ÃVOMLI[8IV\WNNMT\QMZKPMVV]VPI\ TÃ[[\ [QKP JM[\QUUMV _MVV UIV LI[ 8IV\WNNMT \QMZKPMV OMOMV MQV Objektmikrometer ^MZ\I][KP\ MQVMVSTMQVMV5I¾[\IJLMZQV]V[MZMU*QTLJTI] OMbMQKPVM\Q[\]VL<MQT[\ZQKPMI]NMQVMU5QTTQ UM\MZMV\PÃT\6]V[QMP\UIVLI[[ ;SITMV\MQTM OMZILMMQVMU5QTTQUM\MZMV\[XZMKPMV

. Abb. 1.5. Objektmikrometer. Pantoffeltierchen unter einem Mikroskop mit Skala im Okular

3MVV\ UIV ^WV MQVMU /MOMV[\IVL ITTM TQVM IZMV )JUM[[]VOMV [W SMVV\ UIV I]KP [MQVM 7JMZãÃKPM[IO\LQM5I\PMUI\QS]VLQU8ZQVbQX PI\ [QM :MKP\ 0IVLTQKPM .WZUMTV JQM\M\ [QM NZMQ TQKP_QMLMZV]ZNÛZ_MVQOMOMWUM\ZQ[KPMQVNIKPM .ÃTTMIV_QM[QMLQM. Abb. 1.3_QMLMZOQJ\ -QVM]VZMOMTUÃ¾QOJMOZMVb\MIJMZMJMVM.TÃ KPMJM[\QUU\UIVIUMQVNIKP[\MVLIL]ZKPLI[[ UIV[QM^MZOZÕ¾MZ\^MZSTMQVMZ\WLMZI]KPVI\]Z OM\ZM] I]N 5QTTQUM\MZXIXQMZ ÛJMZ\ZÃO\ ]VL LIVV OIVb [\]UXN[QVVQO LQM 9]ILZI\UQTTQUM\MZ I][ bÃPT\ 6IPMb] PWNNV]VO[TW[ _QZL M[ IJMZ JMQ ]V ZMOMTUÃ¾QO OM_ÕTJ\MV .TÃKPMV 5IV JM[\QUU\ [QM VQKP\ UMPZ UIV [KPÃ\b\ [QM IJ 4]VOMVJTÃ[ KPMVb*[QVLVIPMb]3]OMTVUQ\TMQLTQKPMQVPMQ\ TQKPMU:ILQ][KIUUJMQU5MV[KPMVIJ PÃVOQO VI\ÛZTQKP LI^WV WJ MZ OMZILM MQV WLMZ I][OMI\UM\PI\3MVV\UIVQPZM)VbIPTVJMQU 5MV[KPMVKI ]VL]V\MZ[KPTÃO\UIVITTLQM :ÕPZKPMVLQM[QMUQ\MQVIVLMZ^MZJQVLMV[WLIZN

1.1 · Physikalische Größen und ihre Einheiten

. Abb. 1.6. Ersatzzylinder. Er dient zur Abschätzung der Körperoberﬂäche eines Menschen. Es ist nicht wesentlich, ob man den Umfang zu 97 cm oder zu 95 cm ansetzt

UIVNÛZLQMOM[IU\M4]VOMVWJMZãÃKPM)4VÃPM Z]VO[_MQ[M[M\bMV" )4≈πZV

7

1

. Abb. 1.7. Messzylinder. Gefüllt mit 31 ml Flüssigkeit, die Messgenauigkeit ist bescheiden

^WVLMZ.WZULM[/MNÃ¾M[QVLI[UIV[QMOQM¾\w ]V\MZVWZUITMV=U[\ÃVLMVRMLMVNITT[1[\LI[/M NÃ¾ MQV 0WPTbaTQVLMZ [W Q[\ LI[ ?I[[MZ^WT]UMV LMZ 0ÕPM LM[ ?I[[MZ[XQMOMT[ XZWXWZ\QWVIT UQ\ LMZ/Z]VLãÃKPMLM[BaTQVLMZ[IT[8ZWXWZ\QWVITQ \Ã\[SWV[\IV\M.WTOTQKPSIVVUIVMQVM;SITITÃVO[ [MQVM[5IV\MT[[\I\\QVKUOTMQKPQVKU\MQTMV]VL [WMQVMVMesszylinderPMZ[\MTTMV. Abb. 1.7.ÛTT\ UIVQVQPVMQVMJM[\QUU\M5MVOM?I[[MZ>WT] UMV > ]VL \I]KP\ UIV LMV 8ZWJMSÕZXMZ >W T]UMV>3PQVMQV[W[\MQO\LMZ?I[[MZ[XQMOMTI]N LQM5IZSM>,IVVOQT\

*MQU5MV[KPMVOQJ\LI[Z]VLU#UQ\PQV ZMQKPMVLNMQVMZ=V\MZ\MQT]VOTÃ[[\[QKPI]N_MVQO :I]U^QMT.TÃKPM]V\MZJZQVOMV :Q[SIV\MZQ[\[KPWVLQMNWTOMVLM)J[KPÃ\b]VO" -QVMZ_IKP[MVMZ5MV[KPQ[\M\_IUOZW¾P5 ]VLPI\MQVMV*Z][\]VL0ÛN\]UNIVO=5^WV]V OMNÃPZ!KU,QM7JMZãÃKPM[MQVM[3ÕZXMZ[_QZL LIVV_WPTVQKP\_M[MV\TQKP^WVLMZMQVM[MV\[XZM KPMVLMV 3ZMQ[baTQVLMZ[ IJ_MQKPMV . Abb. 1.6 >3%>w> ,M[[MV7JMZãÃKPMTÃ[[\[QKPVIKPLMV:MOMTVLMZ 5I\PMUI\QSI][ZMKPVMV w I]KP \ZQ^QITMV B][IUUMVPÃVOMV SIVV UIV UQ\MQVMZ.WZUMTMQVMV0I]KP^WV?Q[[MV[KPIN\ Merke TQKPSMQ\OMJMVB]_MQTMVUIKP\LI[)JTM[MVMQVM[ 5M[[baTQVLMZ[M\_I[;KP_QMZQOSMQ\MV",QM7JMZãÃ Zum Umgang mit quantitativen Größen gehört KPMV[XIVV]VO7 Kap. 3.4.1SIVVLI[?I[[MZIV zuweilen auch der Mut zur groben Schätzung, LMZ?IVLMQV_MVQOPWKPbQMPMV5IVU][[LIVV nicht immer muss präzise gemessen werden. UQ\LMU)]OMUQ\\MTV6IKPLMUOTMQKPMV8ZQVbQX _QM LQM 5M[[baTQVLMZ IZJMQ\MV Pipetten ]VL Bü,I[>WT]UMVMQVM[]VZMOMTUÃ¾QOOMNWZU\MV3ÕZ rettenLQMZMKP\OMVI]IJOMUM[[MVM.TÛ[[QOSMQ\[ XMZ[ TÃ[[\ [QKP UMQ[\ MQVNIKPMZ ]VL OMVI]MZ JM UMVOMVIJOMJMVSÕVVMV7N\âVLM\UIVI]N[WT [\QUUMV IT[ [MQVM 7JMZãÃKPM WT]UMV-QVM^WZOMOMJMVM?I[[MZ UMVOMJMPÃT\IJMZQPZ>WT]UMVJMQ]VIJPÃVOQO

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 1 · Grundbegriffe

1.1.4 SI-Einheiten 3Die Festlegung von Einheiten ist reine Willkür. Es empﬁehlt sich aber, System in diese Willkür zu bringen. Vor nicht langer Zeit waren Meter und Sekunde unabhängig voneinander deﬁniert; das machte sie zu Grundeinheiten des internationalen Maßsystems und die zugehörigen Größen Länge und Zeit zu Grundgrößen. Der Präzisionsmesstechnik zuliebe hat man inzwischen das Meter über die Lichtgeschwindigkeit an die Sekunde gekoppelt; es ist der 299.792.458te Teil der Strecke, die das Licht im Vakuum in einer Sekunde zurücklegt. Trotzdem behandelt man das Meter aus alter Gewohnheit als Grundeinheit. Im Maßsystem kann man sich leichte Inkonsequenzen leisten. Es geht um Zweckmäßigkeit, nicht um Physik. Am zweckmäßigsten ist aber dasjenige System, das von den meisten Staaten akzeptiert wird. Es heißt Système International d’Unités, abgekürzt SI; seine Einheiten sind die SI-Einheiten. Es besitzt die sieben Grundgrößen Länge, Zeit, Masse, elektrische Stromstärke, Temperatur, Stoffmenge und Lichtstärke.

-QVQOM PÃ]âOMZ OMJZI]KP\M ;1-QVPMQ\MV JMSWU UMVMQOMVM6IUMV_QMJMQ[XQMT[_MQ[MLQM3ZIN\ MQVPMQ\ 6M_\WV%6%SOU[ WLMZ LQM ,Z]KS MQVPMQ\8I[KIT%8I%SOU[)]KPL]ZKP>WZ [QTJM MZ_MQ\MZ\M ;1-QVPMQ\MV _QM 5QSZWOZIUU O]VL3QTWUM\MZSUOMPÕZMVb]LMV;1-QV PMQ\MV ,QMQV\MZVI\QWVITM-QVQO]VOI]NLI[;1[KPTQM¾\ LQM-UXNMPT]VOMQV\]VTQKP[\V]ZVWKP;1-QVPMQ \MVb]^MZ_MVLMV
Merke Die Grundgrößen und -einheiten des „Système International d‘Unités“: 5 die Länge mit der Einheit Meter (m) 5 die Zeit mit der Einheit Sekunde (s) 5 die Masse mit der Einheit Kilogramm (kg) 5 die elektrische Stromstärke mit der Einheit Ampère (A) 5 die Temperatur mit der Einheit Kelvin (K) 5 die Stoffmenge mit der Einheit Mol (mol) 5 die Lichtstärke mit der Einheit Candela (cd)

Der Wert einer physikalischen Größe ist unabhängig von der Wahl der Einheit.

1.2

Mengenangaben

1.2.1 Masse und Stoffmenge

3MQV *IKSZMbMX\ SIVV I]N 5MVOMVIVOIJMV ^MZ bQKP\MV" 4\Z5QTKP O ?MQbMVUMPT -QMZ i4\Zt [\MP\ PQMZ NÛZ 4Q\MZ *MQ .TÛ[[QOSMQ\MV TÃ[[\ [QKPLI[>WT]UMVIUTMQKP\M[\MVUM[[MV/ZÕ¾M ZM7JRMS\M_QMLQM-QMZSIVVUIVMQVNIKPIJbÃP )TTMIVLMZMVXPa[QSITQ[KPMV/ZÕ¾MV[QVL^WU/M TMV*MQU5MPTJM^WZb]O\UIVIJMZLI[/M_QKP\ [M\bOMJMZb] abgeleiteten GrößenMZSTÃZ\_WZLMV OMUM[[MVUQ\MQVMZ?IIOM2MLMZ3I]NUIVVRMLM[ -QVMZIJOMTMQ\M\MV/ZÕ¾M_QZLMV\[XZMKPMVLQPZMZ 8W[\IU\JMV]\b\?IIOMV?QM[QMN]VS\QWVQMZMV ,MâVQ\QWVMQVMIJOMTMQ\M\M;1-QVPMQ\b]OMWZLVM\ _QZL QV 7 Kap. 2.2.7 JM[KPZQMJMV _MZLMV ,IJMQ b* _QZL[QKPPMZI][[\MTTMVLI[[LQM=UOIVO[[XZIKPM UQ\LMU?WZ\i/M_QKP\tLQMXPa[QSITQ[KPM/ZÕ Abgeleitete Größe Deﬁnition SI-Einheit ¾M Masse UMQV\ ,MZMV -QOMV[KPIN\MV _MZLMV QV 2 2 7 Kap. 2.3.1 OMVI]MZ JMPIVLMT\ 2MLMVNITT[ Q[\ LQM Fläche Länge m 3 3 5I[[MMQVM/Z]VLOZÕ¾MQU;1]VLJMSWUU\LQM Volumen Länge m Volumenstromstärke Volumen/Zeit m3/s -QVPMQ\ Kilogramm SO .ÛZ LMV 0I][OMJZI]KP Dichte Masse/Volumen kg/m3 _QZLLI[3QTWOZIUUPQVZMQKPMVLOMVI]ZMXZÃ[MV \QMZ\L]ZKPLQM5I[[M^WVUT?I[[MZ

1.2 · Mengenangaben

9

1

TMSÛTIZ\MVIT[LI[[UIVITTMQPZM5WTUI[[MVQVMQ VMULQKSMVWT]UQ VM[5WTMSÛT[b]SMVVMV]U[MQVMUWTIZM5I[[M VI^MZ[KPQMLMV[QVL',QM.ZIOMTÃ[[\[QKPVQKP\JM I][b]ZMKPVMV" IV\_WZ\MV_MQTLMZ/MJZI]KPLMZ>WSIJMTi;]J 5 ?I[[MZ[\WNNI\WU"50%OUWT [\IVbUMVOMtVQKP\MQVLM]\QOLMâVQMZ\Q[\,QMJMQ 5 ;I]MZ[\WNNI\WU"57%OUWT LMVi;\WNNUMVOMVt[QVLRMLMVNITT[^MZ[KPQMLMV 5 ?I[[MZUWTMSÛT"507% OUWT )TTM5I\MZQMJM[\MP\I][)\WUMVLQM[QKP^WV Merke _MVQOMV)][VIPUMVIJOM[MPMVb]5WTMSÛTMVb] [IUUMVTMOMV-QVVI\ÛZTQKPM[5I¾NÛZLQM5MV Die molare Masse 5%UV mit der Einheit OMMQVMZ;]J[\IVb_ÃZMLQM)VbIPT6QPZMZ5WTM g/mol einer Molekülsorte ist die Summe der SÛTM .ZMQTQKP 5WTMSÛTM [QVL STMQV ]VL MV\[XZM molaren Massen der das Molekül bildenden KPMVLbIPTZMQKP#b]PIVLTQKPMV5MVOMVOMPÕZMV Atome. ]VPIVLTQKP OZW¾M )VbIPTMV _MQ\ ÛJMZ =U [QMb]^MZUMQLMVPI\UIVQVLI[;a[\ÇUM1V\MZ VI\QWVITLs=VQ\È[MQVM[XMbQMTTMb]6XZWXWZ\QW VITM/Z]VLOZÕ¾MMQVOMNÛO\"LQM StoffmengeVUQ\ 1.2.2 Dichten und Gehalte ! ! LMZ-QVPMQ\MoliIJOMSÛZb\tUWT,QM8ZWXWZ\QW VITQ\Ã\[SWV[\IV\MPMQ¾\ >WT]UMV5I[[M]VL;\WNNUMVOM[QVL3MVVOZÕ ¾MV MQVbMTVMZ ;]J[\IVbXZWJMV MQVM[ [QTJMZVMV Avogadro-Konstante6)%UWTw 4ÕNNMT[M\_IMQVM[;\ÛKS[?ÛZNMTb]KSMZMQVMZ)[ XQZQVW Teilchen in einer Probe. Ihre Einheit Mol entT]UMVJMbQMP\5IV[XZQKP\LIVV^WVMQVMZ Dichspricht 6,0220 · 1023 Teilchen. te ,MV 3MPZ_MZ\ MQVMZ ,QKP\M VMVV\ UIV speziﬁsches VolumenI]KP_MVVLQM-QVPMQ\VI\ÛZTQKP ,IUQ\Q[\LI[8ZWJTMUIJMZb]VÃKP[\V]Z^MZ[KPW >WT]UMVL]ZKP5I[[MWLMZ5WTQ[\,QMOÃVOQO[ JMVLMVVVQMUIVLSIVVLQM5WTMSÛTMI]KPV]Z \MV/ZÕ¾MV[QVLQV. Tabelle 1.2I]NOMTQ[\M\ MQVM[;IVLSWZV[IJbÃPTMV]VLL]ZKP6)LQ^QLQM .ÛZ LQM >MZSMPZ[\ÛKP\QOSMQ\ MQVM[ )]\WNIP ZMV]ULQM;\WNNUMVOMb]JM[\QUUMV5IVTMO\ ZMZ[ [XQMT\ M[ MQVM MZPMJTQKPM :WTTM WJ MZ OMZILM _MQ\MZPQV [MQVM ;]J[\IVbXZWJMV I]N LQM ?IIOM MQVM PITJM .TI[KPM *QMZ WLMZ MQVM PITJM .TI[KPM UQ[[\IT[WQPZM5I[[MU]VLZMKPVM\]UUQ\LMZ ;KPVIX[OM\Z]VSMVPI\2MLMZ,WXXMTSWZVMV\PÃT\ UMPZ )TSWPWT IT[ LI[ [\ÃZS[\M *WKSJQMZ ?I[ Q[\ [WO LIUQ\OMUMQV\';XQZQ\]W[MV[QVL5Q[KP]VOMVQU molare Masse ?M[MV\TQKPMVI][)TSWPWT]VL?I[[MZ#LQM_QKP\Q LMZ JM\MQTQO\MV 5WTMSÛTM 5 _QZL I]KP Molmas- OMV/M[KPUIKS[[\WNNMLQMb*3QZ[KP_I[[MZ^WV seOMVIVV\wLQM-QVPMQ\Q[\OUWT,INÛZLIZNLQM 0QUJMMZOMQ[\]V\MZ[KPMQLMV[XQMTMVUMVOMVUÃ 8ZWJMITTMZLQVO[I][V]ZMQVMZMQVbQOMV5WTMSÛT ¾QO SI]U MQVM :WTTM B]Z 3MVVbMQKPV]VO MQVM[ [WZ\MJM[\MPMVLMZMV5WTUI[[MUIVSMVV\?W /MUQ[KPM[LQMV\LMZ PMZ'1V6I\]Z]VL<MKPVQSOQJ\M[^QMTb]^QMTM5W Merke

10

Kapitel 1 · Grundbegriffe

1

. Tabelle 1.2 Dichten und speziﬁsches Volumen

2

Name

3 4 5 6 7

Formelzeichen

Einheit

Dichte

Stoffmengendichte

Teilchenanzahldichte

speziﬁsches Volumen

Molvolumen

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Gehalt%

3TIZ^WU/MPIT\b]]V\MZ[KPMQLMVQ[\LQMKonzentrationLQMÛJTQKPMZ_MQ[MLQM[MTJM-QVPMQ\_QM LQM,QKP\MPI\)T[9]W\QMV\b_MQMZ5MVOMVQ[\LMZ /MPIT\MQVMZMQVMBIPT]VLTÃ[[\[QKPLIZ]UI]KP QV8ZWbMV\IVOMJMV*MQU*T]\ITSWPWTJM^WZb]O\ UIV LI[ ]U MQVMV .IS\WZ STMQVMZM 8ZWUQTTM JMQ;X]ZMV^WV*MQUMVO]VOMVLI[XXU#LQMLZMQ *]KP[\IJMV [\MPMV NÛZ iXIZ\[ XMZ UQTTQWVt IT[W w 0WKPMV\_QKSMT\M ;X]ZMVIVITa[M LZQVO\ JM ZMQ\[ QV LMV *MZMQKP XXJ MQV iXIZ\[ XMZ JQTTQWVt# OMUMQV\ Q[\ w! LMVV QU )VOMT[ÃKP[Q[KPMV MV\ [XZQKP\ iJQTTQWVt LMZ LM]\[KPMV 5QTTQIZLM %! ]VL VQKP\ LMZ *QTTQWV % ,QM ;]UUM ITTMZ /MPIT\M MQVMZ 5Q[KP]VO U][[ VW\_MVLQOMZ_MQ[M MZOMJMV )]N_MTKPM5MVOMVIVOIJM[QKPMQV/MPIT\JM bQMP\ Q[\ b]VÃKP[\ VWKP WNNMV# UIV U][[ M[ LI b][IOMV,MZ Massengehalt%

_QZL b]_MQTMV IT[ i/M_ t JMbMQKPVM\ IT[ iGewichtsprozentt]VLLMZ

19 20

Volumengehalt%

IT[ i>WT t IT[ iVolumenprozentt IT[W ?MVV UIVM[OIVbOMVI]VQUU\U][[UIVMQV_MVQO

Rechenbeispiel 1.1: Schnaps 7 Aufgabe. Wie groß ist die Stoffmengendichte des Alkohols in einem Schnaps mit 40 Vol.%? Die Dichte des Ethylalkohols (C2H5OH) ist 0,79 g/ml. 7 Lösung. Die Stoffmengendichte des reinen Alkohols kann zum Beispiel als Anzahl der Alkoholmoleküle in Mol pro Liter Alkohol angegeben werden. Dazu muss die Massendichte durch die Molmasse 5 des Ethylalkohols geteilt werden. Laut Anhang ergibt sich die Molmasse zu: 5+070%5+5057 ≈OUWTOUWTOUWT %OUWT Die Stoffmengendichte des reinen Alkohols ist dann

Im Schnaps ist aber nur 40% des Volumens Alkohol, also ist hier die Stoffmengendichte um den Faktor 0,4 kleiner:

1

11

1.3 · Statistik und Messunsicherheit

I]NXI[[MV",QM<MQTUI[[MVMQVMZ5Q[KP]VOILLQM ZMV[QKPXZÃbQ[Mb]Z/M[IU\UI[[M#LQM>WT]UQVI \]VLQM[VQKP\]VJMLQVO\)TTMZLQVO[Q[\LQM>WT] UMVSWV\ZIS\QWV WLMZ LQTI\I\QWV JMQU 5Q[KPMV UMQ[\OMZQVO,MZ

5M[[NMPTMZTI[[MV[QKPQVb_MQOZW¾M/Z]XXMVMQV \MQTMV" LQM systematischen ]VL LQM zufälligen Fehler?MVVUIV[MQV4QVMITI]NMQV*TI\\5QTTQUM \MZXIXQMZ TMO\ [QMP\ UIV b]UMQ[\ MQVM LM]\TQKPM ,Q[SZMXIVb b_Q[KPMV LMV JMQLMV ;SITMV# 8IXQMZ Q[\SMQVO]\M[5I\MZQITNÛZ4ÃVOMVUI¾[\ÃJM?MZ Stoffmengengehalt [QKP\ZW\bLMUI]N[MQV*TI\\5QTTQUM\MZXIXQMZ^MZ TÃ[[\UIKP\MQVMV[a[\MUI\Q[KPMV.MPTMZ_MQTLQM ;SITIVQKP\OMVI][\QUU\/Z]VL[Ã\bTQKPOQT\LI[ NÛZRMLM4ÃVOMVUM[[]VONÛZRMLM5M[[]VOÛJMZ Q[\ LMU <MQTKPMVIVbIPTOMPIT\ OTMQKP LMVV LQM PI]X\)]KP8ZÃbQ[QWV[UM[[QV[\Z]UMV\MSÕVVMV )^WOILZW3WV[\IV\M[\MP\QUBÃPTMZ_QMQU6MV Eichfehler QPZMZ ;SITMV VQKP\ ^WTT[\ÃVLQO ^MZUMQ VMZ SÛZb\ [QKP IT[W _MO -QVMV ;\WNNUMVOMVOM LMV =U [QM QV /ZMVbMV b] PIT\MV UÛ[[MV b* PIT\ JMbMQKPVM\ UIV I]KP IT[ Molalität WLMZ IT[ 0ÃVLTMZQPZM?IIOMV^WVBMQ\b]BMQ\VIKPMQKPMV i)\ tAtomprozentXXU]VLXXJ_MZLMVÛJ TI[[MV)JMZI]KPQV5M[[^MZNIPZMVSÕVVMV[a[ TQKPMZ_MQ[MV]ZJMQ;\WNNUMVOMVOMPIT\MV^MZ_MV \MUI\Q[KPM .MPTMZ QUXTQbQ\ MQVOMJI]\ [MQV 0W LM\ ]VL VIKP VM]M[\MZ -UXNMPT]VO IU JM[\MV PM<MUXMZI\]ZMV_QZLUIVWN\M\_I[b]VQMLZQO UM[[MVLILMZ5M[[NÛPTMZ[MQVM<MUXMZI\]ZMZ[\ OIZVQKP\ IVOTMQKPMVU][[]VLLMZ*MV]\bMZ^QMTTMQKP\VQKP\ LQM/ML]TLI]NJZQVO\TIVOMOMV]Ob]_IZ\MV 1.3

Statistik und Messunsicherheit Merke

1.3.1 Messfehler

!

3MQV5M[[MZOMJVQ[SIVVIJ[WT]\M/MVI]QOSMQ\NÛZ [QKPQV)V[XZ]KPVMPUMV7N\UIT[Q[\[KPWVLQM 5M[[OZÕ¾M[MTJ[\OIZVQKP\XZÃbQ[MLMâVQMZ\?MVV MQV;\ZI¾MV[KPQTLQV6QSWTI][JMZOJMPI]X\M\JQ[ /Õ\\QVOMV[MQMVM[SULIVVOMVÛO\LI[NÛZLQM B_MKSMLM[;\ZI¾MV^MZSMPZ[^WTTI]N/MUMQV\Q[\ [WM\_I[_QMi.IPZ[\ZMKSM^WV7Z\[UQ\\MJQ[;\IL\ bMV\Z]Ut?WTT\MUIVLQM-V\NMZV]VOI]NUU OMVI]IVOMJMVUÛ[[\MUIVb]VÃKP[\LQMJMQLMV 7Z\[IVOIJMVXZÃbQ[QMZMVb*i4]N\TQVQM^WVLMZ ;XQ\bMLMZ?M\\MZNIPVMI]NLMZ3TW[\MZSQZKPM^WV 6QSWTI][JMZOJQ[b]Z6I[MV[XQ\bMLM[/ÃV[MTQM[MT[ I]NLMU*Z]VVMV^WZLMUIT\MV:I\PI][QV/Õ\ \QVOMVt,MZUM[[\MKPVQ[KPM)]N_IVL[\QMOMJM \ZÃKP\TQKP]VLVQMUIVLPÃ\\MM\_I[LI^WV*MQIT TMV 5M[[]VOMV U][[ UIV )]N_IVL ]VL 6]\bMV OMOMVMQVIVLMZIJ_ÃOMV Merke Messfehler: Differenz zwischen Messwert und grundsätzlich unbekanntem wahren Wert der Messgröße.

Systematischer Fehler: prinzipieller Fehler des Messverfahrens oder Messinstruments, z. B. Eichfehler – reproduzierbar.

;a[\MUI\Q[KPM .MPTMZ [QVL [KP_MZ b] MZSMVVMV# UIV U][[ [QKP [MQV 5M[[^MZNIPZMV [MPZ OMVI] ]VLSZQ\Q[KPIV[MPMV ,MZb]NÃTTQOM.MPTMZUMTLM\[QKP[MTJ[\_MVV UIV MQVM 5M[[]VO _QMLMZPWT\" ,QM -ZOMJVQ[[M _MQKPMV^WVMQVIVLMZIJ4M\b\MV-VLM[ZÛPZ\LQM [MStreuung^WV;\ÕZMNNMS\MVPMZLQMUIVVQKP\JM PMZZ[KP\]VLb]UOZW¾MV<MQTVQKP\MQVUITSMVV\ Merke Zufällige Fehler verraten sich durch Streuung der Messwerte.

1.3.2 Mittelwert und Streumaß

!

?QMOZW¾Q[\MQVM-ZJ[M',QM[M.ZIOMbQMT\I]NLQM i-ZJ[M IV [QKPt VQKP\ I]N MQV OIVb JM[\QUU\M[ -QVbMTM`MUXTIZ,IJMQ[XQMT\LQM;WZ\MMQVM:WTTM LMZ*WLMVLQM,ÛVO]VOLI[?M\\MZ)JMZI]KPQV

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Kapitel 1 · Grundbegriffe

VMZPITJMQVMZ-ZV\M^WVMQVMUOIVbJM[\QUU\MV .MTL[\ZM]MVLQM,]ZKPUM[[MZ^MZ[KPQMLMVMZ-ZJ [MVLM]\TQKP,M[PITJSIVVV]ZVIKPMQVMZUQ\\TM ZMV/ZÕ¾MOMNZIO\_MZLMV 6IKP IT\MZ :MOMT JM[\QUU\ UIV LMV Mittelwert$`&MQVMZ:MQPM^WV5M[[_MZ\MV`RLIL]ZKP LI[[UIV[QMITTMb][IUUMVbÃPT\]VLLI[:M[]T \I\L]ZKPQPZM)VbIPTVLQ^QLQMZ\"

VMOI\Q^M>WZbMQKPMVPIJMV]VL[QKPb]6]TTI]NIL LQMZMV#[WQ[\TM\b\MV-VLM[LMZ5Q\\MT_MZ\LMâVQMZ\ ,QM9]ILZI\M`Rw$`&[QVLIJMZ_QMITTM9]ILZI\ bIPTMVOZ]VL[Ã\bTQKPXW[Q\Q^?MVVUIV[QMILLQMZ\ ]VLL]ZKPVw\MQT\JMSWUU\UIVLQM[WO Varianz

LMZ-QVNIKPPMQ\PITJMZ[QVLPQMZLQM/ZMVbMVLMZ ;]UUMVQKP\UQ\OM[KPZQMJMV_WZLMV,I[[L]ZKP Vw ]VL VQKP\ L]ZKP V LQ^QLQMZ\ _QZL TQMO\ LIZ ,MZ1VLM`RTÃ]N\^WVJQ[VMZSMVVbMQKPVM\ IVLI[[UIVUQVLM[\MV[b_MQ5M[[_MZ\MJZI]KP\ LMVMQVbMTVMV5M[[_MZ\6]V_QZLVQMUIVLITTM ]UMQVMV5Q\\MT_MZ\I][ZMKPVMVb]SÕVVMV-QV bQO\I][MVL-ZJ[MVMQVMZ-ZV\MMQVbMTVI][UM[[MV MQOMVM[*]KP[\IJMV[aUJWTJMSWUU\LQM>IZQIVb ]ULMV_IPZMV5Q\\MT_MZ\$L_&LM[,]ZKPUM[ VQKP\#[QMQ[\LI[9]ILZI\LMZ [MZ[ b] JM[\QUUMV 5IV JMOVÛO\ [QKP UQ\ MQVMZ Standardabweichung StichprobeB]U*MQ[XQMT_]ZLMVJMQV%_QTT SÛZTQKP I][ MQVMZ <Û\M PMZI][OMOZQNNMVMV -ZJ[MV 5IVKPM
bester Schätzwert des unbekannten wahren Wertes.

15 16 17 18 19 20

?QMb]^MZTÃ[[QOQ[\MQV5Q\\MT_MZ\'/MVI]TÃ[[\[QKP LI[VQKP\[IOMVIJMZLQM?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\[ZMKP V]VOPQTN\_MQ\MZ;W^QMTTM]KP\M\MQV",MZ5Q\\MT _MZ\LMZ;\QKPXZWJM_QZL]U[Wb]^MZTÃ[[QOMZ[MQV RMOZÕ¾MZUIVLMV=UNIVOVLMZ;\QKPXZWJMUIKP\ ]VLRM_MVQOMZLQMMQVbMTVMV5M[[_MZ\M[\ZM]MVV PI\ UIV [MTJ[\ QV LMZ 0IVL [MQVM /ZÕ¾M Q[\ MQVM .ZIOMLM[)]N_IVLM[LMVUIV\ZMQJMV_QTT*MVÕ \QO\_QZLIJMZVWKPMQVM/ZÕ¾MLQM[IO\_QM[\IZS LQM5M[[_MZ\M[\ZM]MVMQV[WOMVIVV\M[Streumaß ,QM ,QNNMZMVbMV `Rw$`& b_Q[KPMV LMV MQVbMTVMV 5M[[_MZ\MV ]VL LMU 5Q\\MT_MZ\ SÕVVMV LQM[M[ 5I¾VQKP\]VUQ\\MTJIZTQMNMZV_MQT[QMXW[Q\Q^M_QM

. Abb. 1.8. Diagramm mit Streubalken. Trombelastogramm während einer Behandlung mit Heparin als Beispiel für ein Diagramm mit Fehlerbalken (in diesem Zusammenhang spielen das Messverfahren und die medizinische Bedeutung der Messwerte keine Rolle). Blaue Kreise und Fehlerbalken: Mittelwerte aus einer Beobachtungsgruppe von 28 Patienten mit Standardabweichung; die Quadrate und Dreiecke gehören zu zwei Mitgliedern der Beobachtungsgruppe: Einzelne Messwerte können durchaus weit außerhalb des Standardabweichung liegen. Die Dreiecke demonstrieren ein häuﬁges Dilemma medizinischer Messungen: manche Patienten halten sich nicht an die Norm

13

1.3 · Statistik und Messunsicherheit

RMLMU 5M[[X]VS\ MQVMV Fehlerbalken bMQKPVMV LMZLQM;\IVLIZLIJ_MQKP]VOIVOQJ\ *MQ=V\MZ[]KP]VOMV_QMLMZQV.Abb. 1.8MZ _IZ\M\UIVLI[[[QKPLQM5M[[_MZ\MMV\[XZMKPMVL

1

LMZ[WO Normalverteilung[8ZIS\QS]U;\I\Q[\QS ]UQPZMV5Q\\MT_MZ\[KPIZMV,IVVSÕVVMVXZÃbQ [M)][[IOMVÛJMZLQM5M[[]V[QKPMZPMQ\NWZU]TQMZ\ _MZLMV,IZ]UOMP\M[QUVÃKP[\MV)J[KPVQ\\

Praktikum Statistik Recht häuﬁg ﬁnden sich im Medizinerpraktikum Versuche, bei denen zufällig variierende Größen wie die Reaktionszeit oder radioaktive Zerfälle untersucht werden. Es wird dann ein Mittelwert, eine Standardabweichung und oft auch eine Zufallsverteilung bestimmt. Wir wollen hier das Beispiel einer Messung radioaktiver Zerfälle mit dem Geiger-Müller-Zählrohr betrachten: Jedes Mal, wenn ein ionisierendes Teilen in das Zählrohr eindringt, macht es „klick“. Ein Zählrohr hat eine „Dunkelrate“, wenn kein radioaktives Material in der Nähe ist, von im Mittel vielleicht 1 Klick/s. Wird radioaktives Material an das Zählrohr gehalten, erhöht sich die mittlere Zählrate auf z. B. 13 Klicks/s. . Abb. 1.9 zeigt, mit welcher theoretischen Wahrscheinlichkeit jeweils wie viele Klicks pro Sekunde auftreten. Hätte man also z. B. 200 s lang die Dunkelrate gemessen, so hätte man für 200 × 0,37 = 74 s einen Klick gemessen und 3 Klicks für 200 × 0,06 = 12 s. Eine reale Messung kann da natürlich etwas abweichen, da es sich ja um Zufallsereignisse handelt. Das ist die Voraussetzung für diese theoretischen Verteilungen: Ein bestimmter Zerfall ﬁndet völlig unabhängig von den vorangegangenen Zerfällen statt. Die beiden dargestellten Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind Poisson-Verteilungen. Sie gehorchen der Formel:

λV 8λV%4Mwλ V Pλ (n) ist in unserem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Sekunde n Klicks auftreten, wenn λ die mittlere Zählrate ist. e ist die Euler-Zahl (7 Abschn. 1.5.2) und n! = 1·2·3·…·n die sog. Fakultät von n. Schon für eine mittlere Zählrate von 13 sieht diese Verteilung fast symmetrisch aus. Man nennt das dann zuweilen auch eine „Glockenkurve“. Tatsächlich nähert sich die Poisson-Verteilung für größer werdende λ immer mehr der Normalverteilung an. Diese ergibt sich für zufällig verteile Messwerte, die nicht nur natürliche Zahlen sind (wie bei Zerfällen pro Sekunde), sondern die beliebige Zahlenwerte annehmen können (wie die Durchmesser unserer Erbsen). Diese Normalverteilung hat eine andere Formel:

`w$`& w011 [ 8`%01 –––M [√π P(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Erbse der Durchmesser x gemessen wird, wenn sich bei der Vermessung vieler Erbsen der Mittelwert <x> ergibt mit einer Standardabweichung s.

1.3.3 Messunsicherheit

!

?]ZLMb]U*MQ[XQMTQU8Pa[QSXZIS\QS]UNÛZ5M LQbQVMZMQVJM[\QUU\MZ5M[[_MZ\`OMUM[[MV[W Q[\ LQM .ZIOM b] [\MTTMV" ?QM b]^MZTÃ[[QO Q[\ LMZ V]V' *MIV\_WZ\M\ _QZL LQM[M .ZIOM UQ\ LMZ )V OIJMMQVMZMessunsicherheit]`,IUQ\[IO\UIV .WTOMVLM[",MZ]VJMSIVV\M_IPZM?MZ\LMZ/ZÕ ¾M TQMO\ UQ\ PWPMZ ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\ b_Q[KPMV `w]`]VL`]`,M[PITJ[KPZMQJ\UIVb* NÛZMQVM4ÃVOMVUM[[]VOPQV",MZ)J[\IVLLJM \ZÃO\ . Abb. 1.9. Poisson-Verteilung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht es wie oft pro Sekunde „klick“? Schwarz: mittlere Zählrate λ = 1 Klick/s; blau: mittlere Zählrate λ = 13 Klicks/s

KUQ[\LMZ5M[[_MZ\]VLKUQ[\LQMabsolute 5M[[]V[QKPMZPMQ\5IVSIVVLQM5M[[]V[Q

14

1

Kapitel 1 · Grundbegriffe

KPMZPMQ\I]KPI]NLMV5M[[_MZ\JMbQMPMV]VLJM SWUU\LIVVLQMrelative5M[[]V[QKPMZPMQ\"

2 3

,QM[M_QMLMZ]USIVVUIVQV8ZWbMV\I][LZÛ KSMV]VLLIVV[KPZMQJMV"

1U)TTOMUMQVMVÃVLMZV[QKP>IZQIVb]VL;\IV LIZLIJ_MQKP]VOVQKP\_MVVUIVLQMBIPTVLMZ 5M[[]VOMVMZPÕP\,I[PMQ¾\IJMZLI[[LQM;\IV LIZLIJ_MQKP]VOLM[5Q\\MT_MZ\M[]UOMSMPZ\XZW XWZ\QWVIT b] STMQVMZ _QZL ,]ZKP -ZPÕP]VO LMZ BIPT LMZ 5M[[]VOMV SIVV IT[W LQM 5M[[]V [QKPMZPMQ\ OZ]VL[Ã\bTQKP JMTQMJQO STMQV OMUIKP\ _MZLMV6]Z_ÃKP[\LMZ)]N_IVLTMQLMZY]ILZI \Q[KPUQ\LMU/M_QVVIV/MVI]QOSMQ\

4

L%KU!

5

Merke

Merke

Messunsicherheit: Abschätzung des Intervalls, in dem der unbekannte wahre Wert wahrscheinlich liegt. Absolute Messunsicherheit ]`, relative Messunsicherheit: absolute Messunsicherheit durch Messwert: ]``.

Standardabweichung des Mittelwertes: Schätzwert der sich aus zufälligen Messfehlern ergebenden Messunsicherheit.

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

;MPZ WN\ _QZL UIV LQM 5M[[]V[QKPMZPMQ\ MQVNIKP [KPÃ\bMV",QM[MV4ÃVOMVUI¾[\IJSIVVQKPI]NM\ _I XT][UQV][ MQVMV 5QTTQUM\MZ OMVI] IJTM[MV *M[[MZ Q[\ M[ VI\ÛZTQKP _MVV LMZ 0MZ[\MTTMZ LM[ 5M[[OMZÃ\M[M\_I[ÛJMZLQM/MVI]QOSMQ\[IO\_QM LQM[ JMQ 8ZÃbQ[QWV[UM[[OMZÃ\MV QUUMZ LMZ .ITT Q[\ 1[\ UIV MQVQOMZUI¾MV [QKPMZ LI[[ LQM 5M[[ ]V[QKPMZPMQ\ QU ?M[MV\TQKPMV I]N b]NÃTTQOMV 5M[[NMPTMZVJMZ]P\PMTNMV5Q\\MT_MZ\]VL;\ZM] UI¾ [MPZ ^QMT _MQ\MZ 5IV SIVV LIVV LQM 5M[[ ]V[QKPMZPMQ\L]ZKPUMPZNIKPM[?QMLMZPWTMVLMZ 5M[[]VOJM\ZÃKP\TQKPZML]bQMZMV]VL[QMUQ\0QT NMLM[;\ZM]UI¾M[[MPZOMVI]IJ[KPÃ\bMV ,MZJM[\M;KPÃ\b_MZ\NÛZLMV_IPZMV?MZ\LMZ 5M[[OZÕ¾MQ[\VI\ÛZTQKPLMZ5Q\\MT_MZ\LMZ]U[W b]^MZTÃ[[QOMZ_QZLI][RMUMPZ-QVbMTUM[[]VOMV MZ OMJQTLM\ _QZL ,QM ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\[ZMKP V]VO[IO\VÃUTQKP.WTOMVLM[" ;QVL LQM 5M[[_MZ\M \I\[ÃKPTQKP b]NÃTTQO ^MZ \MQT\[WTQMO\LMZ5Q\\MT_MZ\$`&UQ\MQVMZ?IPZ [KPMQVTQKPSMQ\^WV VQKP\_MQ\MZIT[MQVMStandardabweichung des Mittelwerts ^WV LMU ]VJM SIVV\MV_IPZMV5Q\\MT_MZ\MV\NMZV\,QM[M;\IV LIZLIJ_MQKP]VOLM[5Q\\MT_MZ\M[MZPÃT\UIVLI L]ZKPLI[[UIVLQM;\IVLIZLIJ_MQKP]VO[L]ZKP LQM?]ZbMTLMZBIPTLMZ5M[[]VOMV LQ^QLQMZ\"

:MQKP\ MQVMU MQVM ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\ LI[[ LMZ _IPZM ?MZ\ QU IVOMOMJMVMV =V[QKPMZPMQ\[QV \MZ^ITTTQMO\^WV VQKP\[WSIVVUIVNÛZLQM 5M[[]V[QKPMZPMQ\ b_MQUIT LQM ;\IVLIZLIJ_MQ KP]VO LM[ 5Q\\MT_MZ\M[ IV[M\bMV ,IL]ZKP _QZL LQM ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\ I]N QUUMZPQV ! MZ PÕP\ ,QM[M [W XZÃbQ[M JM[\QUU\M 5M[[]V[QKPMZ PMQ\VMVV\UIVI]KPKonﬁdenzintervall 1VLMZ8Pa[QS]VLQU\ÃOTQKPMV4MJMVUIKP\ UIV [QKP UMQ[\ VQKP\ LQM 5ÛPM LQM ;\IVLIZL IJ_MQKP]VO LM[ 5Q\\MT_MZ\M[ \I\[ÃKPTQKP I][b] ZMKPVMV,QMUMQ[\MV5M[[^MZNIPZMV[QVLNÛZQP ZMV B_MKS XZÃbQ[M OMV]O [WLI[[ [QKP 5M[[_QM LMZPWT]VOMV VQKP\ TWPVMV
15

1.3 · Statistik und Messunsicherheit

Merke Man sollte alle Dezimalstellen angeben, die man zuverlässig gemessen hat, nicht weniger, aber auch nicht mehr.

1.3.4 Fehlerfortpﬂanzung

!

7N\UIT[ _MZLMV 5M[[MZOMJVQ[[M ^MZ[KPQMLMVMZ /ZÕ¾MV SWUJQVQMZ\ ]U MQVM IJOMTMQ\M\M /ZÕ¾M I][b]ZMKPVMV# LIJMQ ZMQKPMV [QM QPZM 5M[[]V[Q KPMZPMQ\MVIVLQM[MIJOMTMQ\M\M/ZÕ¾M_MQ\MZ1U ]V\MV NWTOMVLMV :MKPMVJMQ[XQMT _QZL LQM ,QKP\M I][ LMZ 5M[[]VO MQVMZ 3IV\MVTÃVOM MQVM[ ?ÛZ NMT[]VL[MQVMZ5I[[MOM_WVVMV.ÛZLQM*MZMKP V]VOLMZ5M[[]V[QKPMZPMQ\LMZIJOMTMQ\M\MV/ZÕ ¾MQU*MQ[XQMTLMZ,QKP\MPI\[QKPLQM*MbMQKP V]VO i.MPTMZNWZ\XãIVb]VOt MQVOMJÛZOMZ\ WJ _WPT M[ [QKP MJMV MQOMV\TQKP ]U MQVM 5M[[]V[Q KPMZPMQ\[NWZ\XãIVb]VOPIVLMT\ -[ OQJ\ b_MQ _QKP\QOM :MOMTV UQ\ LMVMV [QKP LQMUMQ[\MV;Q\]I\QWVMVUMQ[\MZVTI[[MV" Merke Bei der Addition/Subtraktion von Messwerten addieren sich die absoluten Unsicherheiten.

/M_Q[[LIZNUIVLIZI]NPWNNMVLI[[[QKPJMQMQVMZ )LLQ\QWV^WV5M[[OZÕ¾MVLQMIJ[WT]\MV5M[[NMPTMZ b< SWUXMV[QMZMV IJMZ ^MZTI[[MV LIZN UIV [QKP LIZI]NVQKP\,M[PITJU][[UIVQUUMZUQ\LMZ)L LQ\QWV LQM IJ[WT]\MV =V[QKPMZPMQ\MV IJ[KPÃ\bMV ,QM[MZ B][IUUMVPIVO SIVV b] PWPMV ZMTI\Q^MV =V[QKPMZPMQ\MVNÛPZMV_MVV[QKPLQMOM[]KP\M/ZÕ ¾MV]ZIT[STMQVM,QNNMZMVbb_MQMZOZW¾MZ5M[[ _MZ\MJM[\QUUMVTÃ[[\?QM^QMT6IPZ]VOMQV;Ã]O TQVOJMQU;\QTTMVI]NOMVWUUMVPI\[\MTT\UIVÛJTQ KPMZ_MQ[M LIL]ZKP NM[\ LI[[ UIV QPV ^WZPMZ ]VL PQV\MZPMZ_QMO\UQ\[IU\LMV?QVLMTV/Z]VL[Ã\b TQKPSÕVV\MUIVI]KPLQM5]\\MZ_QMOMVIJMZLIVV _ÃZMLI[:M[]T\I\_MVQOMZOMVI] Merke Bei der Multiplikation/Division von Messwerten addieren sich die relativen Unsicherheiten.

1

,QM)JTMQ\]VOLQM[MZVQKP\[WNWZ\WNNMV[QKP\TQKPMV :MOMT [WTT PQMZ I][OMTI[[MV _MZLMV ;QM OQT\ VÃPM Z]VO[_MQ[M _MVV LQM =V[QKPMZPMQ\MV STMQV OMOMV LQM5M[[_MZ\M[QVL1VLMU:MKPMVJMQ[XQMTUQ\LMZ ,QKP\M_QZLLQM[M:MOMTb]Z)V_MVL]VOSWUUMV ,MZ>WTT[\ÃVLQOSMQ\PITJMZ[MQVWKPMZ_ÃPV\ LI[[LMZN]VS\QWVITMB][IUUMVPIVONÛZLQMIJ OMTMQ\M\M/ZÕ¾MVI\ÛZTQKPI]KPSWUXTQbQMZ\MZ[MQV SIVVIT[V]ZMQVM3WUJQVI\QWV^WV)LLQ\QWV]VL 5]T\QXTQSI\QWV]VLb]U*MQ[XQMTMQVMV;QV][WLMZ MQVMV 4WOIZQ\PU][ MV\PIT\MV SIVV )]KP LIVV OQJ\ M[ MQVM .WZUMT NÛZ LQM .MPTMZNWZ\XãIVb]VO ,QM[MMV\PÃT\LQMXIZ\QMTTMV)JTMQ\]VOMVLM[N]VS \QWVITMVB][IUUMVPIVO[ Rechenbeispiel 1.2: Schwimmt der Bauklotz? 7 Aufgabe. Es soll die Massendichte eines würfelförmigen Spielzeugbauklotzes aus Holz bestimmt werden. Dazu wird die Kantenlänge mit einem Lineal zu I%UU gemessen. Dabei wurde die Ablesegenauigkeit zu ± 0,25 mm geschätzt. Die Masse wurde mit einer einfachen digitalen Laborwaage zu U %O gemessen. Welchen Wert hat die Dichte und mit welcher Messunsicherheit ist dieser Wert behaftet? 7 Lösung. Das Volumen des Bauklotzes berechnet sich zu > = I % UU. Hier wurden aber sicher unsinnig viele Stellen angegeben. Die relative Messunsicherheit für die Kantenlänge ist: Da zur Berechnung des Volumens a zweimal mit sich selbst multipliziert wird, ist die relative Unsicherheit des Volumens nach der zweiten Regel zur Fehlerfortpﬂanzung dreimal so groß:

Die absolute Unsicherheit des Volumens ist also ]>% !UU. Eine vernünftige Angabe des Volumens lautet also >%!KU. Die Dichte ist

Die relative Unsicherheit ergibt sich wieder aus einer Addition:

6

16

Kapitel 1 · Grundbegriffe

Die Unsicherheit der Dichte wird also im Wesentlichen durch die Unsicherheit des Volumens bestimmt. Die absolute Unsicherheit der Dichte ist nun:

1 2

OMV[I\bb]LMV]VOMZQKP\M\MVSkalaren;QMPI\]V \MZLMU;\QKP_WZ\>MS\WZZMKPV]VOJM[WVLMZM:M KPMVZMOMTVMV\_QKSMT\LQM^WVLMZ8Pa[QSLIVS JIZÛJMZVWUUMV_MZLMV Merke

3

So erhalten wir das Endergebnis:

Vektor: physikalische Größe, die eine Richtung im Raum hat. Skalar: ungerichtete physikalische Größe.

4 Die Dichte ist also kleiner als die von Wasser.

5 6 7 8 9 10 11 12

1.4

Vektoren und Skalare

!

?MVVUIVb]MQVMU4Q\MZ?I[[MZMQVMVb_MQ\MV PQVb]OQM¾\ LIVV PI\ UIV b_MQ 4Q\MZ ?I[[MZ ?MVVUIVIJMZQV6M_AWZS^WU
>MS\WZMV TI[[MV [QKP L]ZKP 8NMQTM [aUJWTQ[QM ZMVQVLMZ4ÃVOMLMU[SITIZMV BetragLMZ/ZÕ ¾MXZWXWZ\QWVITQVLMZ:QKP\]VOQPZXIZITTMT.WZ UIT LIZN UIV LM[PITJ MQVMV RMLMV >MS\WZ a IT[ LI[8ZWL]S\[MQVM[*M\ZIOM[I]VL[MQVM[Einheitsvektors eI IV[MPMV QV .WZUMTV _MZLMV >MS\WZ [aUJWTML]ZKPMQVMVÛJMZOM[M\b\MV8NMQTOMSMVV bMQKPVM\ -QVPMQ\[^MS\WZMV [QVL >MS\WZMV UQ\ LMU*M\ZIOMQV[ Merke Ein Vektor a ist das Produkt aus (skalarem) Betrag a und dem Einheitsvektor eI

)LLQMZ\ _MZLMV >MS\WZMV L]ZKP )VMQVIVLMZ PÃVOMV QPZMZ 8NMQTM" . Abbildung 1.11 MV\[XZQKP\ IT[WLMZ/TMQKP]VO

13 14

,QM[M :MOMT MZTI]J\ RMLMV >MS\WZ QV Komponenten b] bMZTMOMV LMZMV ;]UUM MZ LIZ[\MTT\ w

15

b_MQ 3WUXWVMV\MV QV LMZ -JMVM LZMQ QU :I]U . Abb. 1.12;\MTT\UIV[QM[MVSZMKP\I]NMQVIV LMZ [W JQTLMV b][IUUMVOMPÕZQOM >MS\WZXNMQTM ZMKP\_QVSTQOM,ZMQMKSM#LI[^MZMQVNIKP\Y]IV\Q\I \Q^M:MKPV]VOMV"5IVSIVV[W_WPTLMV Lehrsatz

16 17 18 19 20 . Abb. 1.10. Stadtplan von Manhattan

. Abb. 1.11. Vektoraddition. Vektoren werden zumeist durch einen übergesetzten Vektorpfeil gekennzeichnet

1.4 · Vektoren und Skalare

. Abb. 1.12. Vektorzerlegung. Zerlegung des räumlichen Vektors a in die drei senkrecht aufeinander stehenden Komponenten a`, aa und ab

17

1

. Abb. 1.14. Rechte-Hand-Regel: Vektorprodukt A × B = C; A (Daumen) weist nach oben, B (Zeigeﬁnger) weist nach hinten, C (abgewinkelter Mittelﬁnger) steht senkrecht auf A und B

LM[*M\ZIOM[]U]VLQV[WNMZVI]KPLI[_I[UIV TIVLTÃ]âOi:QKP\]VOtVMVV\1U;QVVLMZ>MS\WZ ZMKPV]VOPIJMVIJMZb_MQIV\QXIZITTMTM>MS\WZMV OTMQKPM:QKP\]VO,I[UIOIVLQM[MZ;\MTTMM\_I[ IJ[\ZIS\STQVOMV#[XÃ\MZQU*]KP_MZLMVXPa[QSI TQ[KPM*MQ[XQMTMNÛZUMPZ)V[KPI]TQKPSMQ\[WZOMV QV[JM[WVLMZM I]KP NÛZ LQM RM\b\ VWKP b] JM[XZM KPMVLMVVektorprodukte >MS\WZMV LIZN UIV UQ\MQVIVLMZ U]T\QXTQbQM . Abb. 1.13. Vektorielles Produkt. Der Produktvektor (Flächen A) steht senkrecht auf jedem der beiden AusgangsvekZMVJMQ[XQMT[_MQ[MLQMJMQLMV;MQ\MVa]VLbMQVM[ toren (den Kanten der Rechtecke). Zum Beispiel: a × c = A :MKP\MKS[;QMPIJMV:QKP\]VOMV[QVLIT[W>MS \WZMVI]KP_MVVLI^WVQV7 Kap. 1.1.3VWKPVQKP\ des Pythagoras IT[ I]KP LQM Winkelfunktionen ;Q LQM:MLM_IZ=VL_QMQ[\M[UQ\LMZ.TÃKPM[MTJ[\' V][]VL3W[QV][TMQKP\IV_MVLMV,IJMQQ[\MQVM[ ,QM^QMZ?ÃVLMMQVM[BQUUMZ[[\MPMV[MVSZMKP\ b] JMIKP\MV" -QVNIKPM >MS\WZMV PIJMV _QZSTQKP *WLMV]VL,MKSMTQMOMVPWZQbWV\IT#ITTM[MKP[;MQ V]ZMQVM:QKP\]VOQU:I]U[QMPIJMVSMQVM4I \MVPIJMVXIIZ_MQ[M]V\MZ[KPQMLTQKPM:QKP\]VOMV OM,QM[QM[aUJWTQ[QMZMVLMV8NMQTMLÛZNMVJMTQM QU:I]U1V[WNMZVSIVVUIV.TÃKPMVIT[>MS\WZMV JQOI]NLMU8IXQMZPMZ]UOM[KPWJMV_MZLMVIT I]NNI[[MV.ZIO\[QKPV]ZQV_MTKPMZ:QKP\]VOQP ZM>MS\WZXNMQTMOMbMQKPVM\_MZLMVUÛ[[MV,Ib] TMZLQVO[V]ZXIZITTMTb][QKP[MTJ[\ [IO\LQM5I\PMUI\QS"[MVSZMKP\b]Z-JMVMIT[WQV Merke :QKP\]VOLMZ Flächennormalen. Abb. 1.13,QM .TÃKPMATLM[:MKP\MKS[Q[\LMUVIKPLI[vektorielVektoraddition: Aneinanderlegen der Vektorle ProduktLMZJMQLMV>MS\WZMVa]VLb" pfeile. Komponentenzerlegung: Vektor als Summe seiner Komponenten (z. B. parallel zu den Achsen des Koordinatenkreuzes).

M[_QZLQV.WZUMTVUQ\MQVMU5ITSZM]bOMSMVV bMQKPVM\]VLLIZ]UI]KPKreuzproduktOMVIVV\ *MQU9]ILMZPI\M[_MVQO*MLM]\]VOWJLQM ,QM5]T\QXTQSI\QWVMQVM[>MS\WZ[UQ\MQVMU;SI 8NMQTM LMZ .TÃKPMV I][ QPU PQVI][ WLMZ QV QPV TIZ ÃVLMZ\ V]Z [MQVMV *M\ZIO VQKP\ [MQVM :QKP PQVMQVbMQOMV)TTOMUMQVLIZNUIVIJMZVQKP\[W \]VO*MQLQM[MU;I\bU][[UIVI]NXI[[MV"5]T\Q TÃ[[QO [MQV ,IVV OQT\ LQM [WO Rechte-Hand-Regel XTQSI\QWVUQ\LMU;SITIZwSMPZ\LI[>WZbMQKPMV . Abb. 1.14"5IVLMVS\[QKP #LMV,I]

18

Kapitel 1 · Grundbegriffe

?QVSMTβb_Q[KPMVLMVJMQLMV>MS\WZMVA]VLl UQ\MQV"

1 2

0QMZU][[LQM?QVSMTN]VS\QWVKosinus[\MPMV LMVVLI[>WT]UMVQ[\JMQU[MVSZMKP\MVBaTQVLMZ IUOZÕ¾\MVLIVVIT[W_MVVA]VLlXIZITTMTTQM OMV. Abb. 1.15

3 4

Merke

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 1.15. Skalares Produkt zweier Vektoren am Beispiel des Volumens eines Kreiszylinders

Vektormultiplikation: skalares Produkt:

UMVLMZZMKP\MV0IVLTMO\UIVLIVVQV:QKP\]VO vektorielles Produkt: ^WVALMVBMQOMâVOMZQV:QKP\]VO^WVB,MZIJ OM_QVSMT\M5Q\\MTâVOMZPI\LIVVLQM:QKP\]VOLM[ # 8ZWL]S\^MS\WZ[ C ,QM[ PI\ MQVM I]N LMV MZ[\MV C senkrecht auf A und B. *TQKS ÛJMZZI[KPMVLM 3WV[MY]MVb .ÛZ LI[ 8ZW L]S\ MZOQJ\[QKPLQMMV\OMOMVOM[M\b\M:QKP \]VO b] LI V]V LMZ ,I]UMV QV :QKP\]VO ^WVB]VLLMZBMQOMâVOMZQV:QKP\]VO^WVAOM 1.5 Wichtige Funktionen TMO\_MZLMVU][[XZWJQMZMV;QMM[I][,QMJMQ LMV 8ZWL]S\^MS\WZMV TQMOMV IV\QXIZITTMT [QM PI 1.5.1 Winkelfunktionen ! JMVMV\OMOMVOM[M\b\M>WZbMQKPMV" *MQ LMV 5]T\QXTQSI\QWVMV LMZ >MS\WZMV [XQMTMV LQM JMQLMV Winkelfunktionen ;QV][ ]VL 3W[QV][ *MQU^MS\WZQMTTMV8ZWL]S\LÛZNMVLQMJMQLMV MQVM:WTTM,MZ>WTT[\ÃVLQOSMQ\PITJMZ[MQPQMZIV >MS\WZMVVQKP\^MZ\I][KP\_MZLMVLI[OM_WPV\M QPZM ,MâVQ\QWVMV QU ZMKP\_QVSTQOMV ,ZMQMKS MZ QVVMZ\" 3WUU]\I\Q^OM[M\bOQT\VQKP\ ?MVVb_MQ>MS\WZMVA]VLB^MS\WZQMTTU]T\Q 5 ;QV][%/MOMVSI\PM\M0aXW\MV][M XTQbQMZ\_MZLMV[WTTMVUÛ[[MV[QMVQKP\[MVSZMKP\ 5 3W[QV][%)VSI\PM\M0aXW\MV][M I]NMQVIVLMZ[\MPMV#LMZ?QVSMTαLIZN^WV!IJ 5 MS\WZXZWL]S\OQT\ ,QM=USMPZN]VS\QWVMVb]LMV?QVSMTN]VS\QWVMV _MZLMV Arkusfunktionen OMVIVV\ *MQ[XQMT[_MQ[M +%)*[QVα OQT\"_MVV[QVα%ILIVVOQT\α%IZK[QVI ?QVSMT UQ[[\ UIV ÛJTQKPMZ_MQ[M NMZVIJ ^WV *MQ 9]ILMZV ]VL BaTQVLMZV JMZMKPVM\ UIV LI[ >WT]UMV VIKP LMU ;KPMUI i/Z]VLãÃKPM ,MbQUIT[a[\MU]VL;1QV Winkelgrad"!NÛZLMV UIT0ÕPMt-QV>WT]UMVPI\SMQVM:QKP\]VOQU ZMKP\MV NÛZ LMV OM[\ZMKS\MV ]VL NÛZ :I]U#JMQLQM[MZ5]T\QXTQSI\QWVb_MQMZ>MS\WZMV LMV>WTT_QVSMTiMQVUITPMZ]Ut5I\PMUI\QS]VL 5IV 8Pa[QSJM^WZb]OMVIJMZLI[ Bogenmaß5IVJM U][[ MQV ;SITIZ PMZI][SWUUMV" [XZQKP\^WVMQVMU Skalarprodukt]VLSMVVbMQKP SWUU\M[QVLMUUIV]ULMV;KPMQ\MTLM[?QV VM\M[L]ZKPMQVMV5ITX]VS\»JTQKPMZ_MQ[MLMâ SMT[αMQVMV3ZMQ[UQ\LMU:ILQ][Z[KPTÃO\,QM VQMZ\UIVLQMi0ÕPMtMQVM[BaTQVLMZ[L]ZKPLMV ;KPMVSMT [KPVMQLMV I][ QPU MQVMV 3ZMQ[JWOMV [MVSZMKP\MV)J[\IVL[MQVMZJMQLMV/Z]VLãÃKPMV# LMZ 4ÃVOM[ PMZI][ . Abb. 1.16 LMZ [W_WPT b] LI[[SITIZM8ZWL]S\OQJ\[QKPI]KPUQ\LMZ4ÃVOM α_QMb]ZXZWXWZ\QWVITQ[\,MUMV\[XZMKPMVLLM lLM[BaTQVLMZ[b]NZQMLMVJMbQMP\LIVVIJMZLMV âVQMZ\UIV

19

1.5 · Wichtige Funktionen

. Abb. 1.16. Winkel im Bogenmaß: α % [Z

1

,QM.]VS\QWVMV;QV][]VL3W[QV][MZTI]JMV ;KP_QVO]VOMV UI\PMUI\Q[KP b] JM[KPZMQJMV 4Ã[[\UIVMQVMV8]VS\I]NMQVMZ3ZMQ[JIPV]U TI]NMV. Abb. 1.17[WSIVVUIVLMVFahrstrahl LP LQM 8]VS\ ]VL BMV\Z]U ^MZJQVLMVLM /MZI LMIT[0aXW\MV][MLMZ4ÃVOM)MQVM[ZMKP\_QVS TQOMV ,ZMQMKS[ UQ\ LMU ?QVSMT α IU BMV\Z]U LMZ)VSI\PM\M`]VLMQVMZ/MOMVSI\PM\MUQ\LMZ 4ÃVOM`I]NNI[[MV" `α%)[QVα ]VL `α%)KW[α 4Ã]N\LMZ8]VS\UQ\SWV[\IV\MZ/M[KP_QVLQO SMQ\]U[W_ÃKP[\αXZWXWZ\QWVITb]ZBMQ\\"

α\%ω\ . Abb. 1.17. Umrechnung von Winkelgrad in Bogenmaß

UQ\LMZ.WTOM `\%)[QVω\]VL`\%)KW[ω\

,QM 8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\[SWV[\IV\M ω JMSWUU\ LMV6IUMVWinkelgeschwindigkeit )V[KPI]TQKP MV\[\MPMV ` L]ZKP PWZQbWV\I )T[9]W\QMV\b_MQMZ4ÃVOMVQ[\LMZ?QVSMTMQ TM ]VL ` L]ZKP ^MZ\QSITM 8ZWRMS\QWV LM[ ]UTI] VMLQUMV[QWV[TW[MBIPT
20

1 2 3 4 5 6 7

Kapitel 1 · Grundbegriffe

UIT_MZ\ -QVMV >QMZ\MT]UTI]N [XÃ\MZ α%π Q[\ M[ ]UOMSMPZ\ 6IKP MQVMU ^WTTMV =UTI]N α%π _QMLMZPWT\ [QKP LI[ ;XQMT ^WV VM]MU /MOMV JMTQMJQO OZW¾M ?QVSMT PI\ LQM 5I\PMUI \QSMJMV[W_MVQOMQVb]_MVLMV_QMOMOMVVMOI\Q ^M-QVM;KP_QVO]VO_QMLMZPWT\[QKPVIKP)JTI]N MQVMZ Schwingungsdauer < ,IZI][ NWTO\ NÛZ LQM ?QVSMTOM[KP_QVLQOSMQ\ π ω%5 < ,MV 3MPZ_MZ\ LMZ ;KP_QVO]VO[LI]MZ JM bMQKPVM\UIVIT[

. Abb. 1.19. Exponentialfunktion

FrequenzN%4 < ,QM3WV[MY]MVb

8 9

ω%πN UIKP\^MZ[\ÃVLTQKPLI[[ωI]KPKreisfrequenzOM VIVV\_QZL

10 1.5.2 Exponentialfunktion und

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Logarithmus

!!

?MZ LQM Exponentialfunktion SMVV\ JMOMOVM\ QPZ QV LMZ 6I\]Z QUUMZ _QMLMZ ;QM Q[\ LQM .]VS\QWV LM[ ]VOM[\ÕZ\MV ?IKP[\]U[ M\_I MQVM[ -U JZaW[^WZLMZBMTTLQNNMZMVbQMZ]VOWLMZMQVM[]V JMZÛPZ\MV ;XIZO]\PIJMV[ UQ\ BQV[ ]VL BQV[M[ bQV[#[QMQ[\IJMZI]KPLQM.]VS\QWV]VOM[\ÕZ\MV )JJI][M\_IMQVM[5MLQSIUMV\[QU7ZOIVQ[U][ LM[ 8I\QMV\MV WLMZ ^WV )\WUMV L]ZKP ZILQWIS \Q^MVBMZNITT*MQLQM[MV*MQ[XQMTMVPIVLMT\M[[QKP ]U .]VS\QWVMV LMZ BMQ\ 5I\PMUI\Q[KPM )TTOM UMQVOÛT\QOSMQ\^MZTIVO\IJMZLMZM.]VS\QWVb] VÃKP[\MQVUITLQMBIPT`IT[]VIJPÃVOQOM>IZQIJ TMb]b]WZLVMVB_MQ;KPZMQJ_MQ[MV[QVLÛJTQKP"

. Abb. 1.20. Exponentialfunktion mit negativem Exponenten

M% j

I]KP _MVV M[ I]N LMV MZ[\MV *TQKS IVLMZ[ I][ [QMP\"MQ[\MQVVQKP\XMZQWLQ[KPMZ]VMVLTQKPMZ,M bQUITJZ]KP )]N 5QTTQUM\MZXIXQMZ I]NOM\ZIOMV TQMNMZ\ M` MQVM b]VÃKP[\ ãIKP ]VL LIVV QUUMZ [\MQTMZ IV [\MQOMVLM3]Z^M. Abb. 1.19;QMQ[\ÛJMZITTXW [Q\Q^TQMO\IT[W[\M\[WJMZPITJLMZ)J[bQ[[MM`& ]VL[KPVMQLM\LQM7ZLQVI\MJMQM%RMLMBIPT IT[WI]KPMOQJ\QVV]TT\MZ8W\MVbLQMMQV[6IKP a`%M`%M`X` LMV :MOMTV LM[ 8W\MVbZMKPVMV[ OQT\ Mw`%M` ,QM b_MQ\M MUXâMPT\ [QKP ^WZ ITTMU LIVV ?MQT M` UQ\ _IKP[MVLMU ` IV[\MQO\ NÃTT\ Mw` UQ\ _MVV LMZ XPa[QSITQ[KPM B][IUUMVPIVO LQM _IKP[MVLMU`IJ#LMZ/ZIXPTÃ]N\I[aUX\W\Q[KP BIPT`b]MQVMUSWUXTQbQMZ\MV)][LZ]KS_MZLMV I]NLQM)J[bQ[[Mb]WPVM[QMRMb]MZZMQKPMV)]KP TÃ[[\# LQM MZ[\M ;KPZMQJ_MQ[M TÃ[[\ TMQKP\MZ MZSMV Mw`JTMQJ\[\M\[XW[Q\Q^]VL[KPVMQLM\LQM7ZLQVI VMV_WZ]UM[[QKPMQOMV\TQKPPIVLMT\,MZ*]KP \M JMQ LMZ MQV[ . Abb. 1.20 5Q\ XW[Q\Q^MU -` [\IJMM[\MP\NÛZMQVMOIVbJM[\QUU\M1ZZI\QWVIT XWVMV\MV JM[KPZMQJ\ LQM M.]VS\QWV ]VOM[\ÕZ\M[ ?IKP[\]UUQ\VMOI\Q^MU]VOM[\ÕZ\MU)JJI] bIPTLQMEuler-Zahl"

21

1.5 · Wichtige Funktionen

Merke

Merke

Exponentialfunktion

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur e-Funktion.

`

M %M`X`

1

positiver Exponent: Wachstumsfunktion, negativer Exponent: Abbaufunktion.

)][ UI\PMUI\Q[KPMV /ZÛVLMV SÕVVMV -`XW VMV\MVV]ZZMQVMBIPTMVWPVMXPa[QSITQ[KPM-QV PMQ\[MQV#IVITWOTI[[MV[QKPI]KPV]ZLQUMV[QWV[ -QVMLMZJMQLMV=USMPZ]VOMVLMZ8W\MVbQ[\LMZ TW[MBIPTMVTWOIZQ\PUQMZMV?MVVMQVM-`XWVMV LogarithmusLQMIVLMZMQ[\LQM?]ZbMT/IVbITT \QITN]VS\QWVV]VIJMZ?IKP[\]UWLMZ)JJI]JM [KPZMQJMV[WTTLIVVU][[LQMBMQ\\UQ\MQVMZMV\ OMUMQVOQT\" [XZMKPMVLMV-QVPMQ\QU-`XWVMV\MVMZ[KPMQVMV _MVVI%JKLIVVK%TWOJI ;QMSIVVLQM[V]Zb][IUUMVUQ\MQVMU,Q^Q[WZτ OMTM[MV" iK OTMQKP 4WOIZQ\PU][ I b]Z *I[Q[ Jt LMZMJMVNITT[QVMQVMZBMQ\MQVPMQ\b]UM[[MV[MQV B]Z M.]VS\QWV OMPÕZ\ LMZ 4WOIZQ\PU][ b]Z *I U][[ 2M VIKP LMV =U[\ÃVLMV _MZLMV QPU 6I [Q[M#MZ_QZLnatürlicher LogarithmusOMVIVV\]VL UMV _QM :MTI`I\QWV[bMQ\ Zeitkonstante -TQUQVI TVOM[KPZQMJMV" \QWV[bMQ\ WLMZ 4MJMV[LI]MZ OMOMJMV ;MTJ[\^MZ [\ÃVLTQKP LIZN MZ L]ZKP MQVMV .IS\WZ λ % τ MZ _MVVa%M`LIVV`%TVa%TWOMa [M\b\_MZLMV" )]KPLQM[MBIPTMV_MZ\MUÛ[[MVUQ\LMUMZPIT\MVQ[\ ,QM[MZ4WOIZQ\PU][âVLM\QVLMZ5M[[\MKPVQS VQKP\I]NLQM.IS\WZMVM]VLMJM[KPZÃVS\,QM ;KPZQ\\_MQ\M `%TV PITJQMZ\ LMV ?MZ\ LMZ IJ JMQU8MOMTUI¾)V_MVL]VO7 Kap. 4.2.6 NITTMVLMV M.]VS\QWV OTMQKPOÛT\QO ^WV _MTKPMU 3Der Logarithmus zu irgendeiner anderen Basis a `I][LQM[MZ;KPZQ\\OM\IV_QZL. Abb. 1.21-V\ kann wie folgt berechnet werden: Deﬁnitionsgemäß [XZMKPMVLTÃ[[\[QKPLQM4MJMV[LI]MZτMQVM[ZILQW gilt ja a = exp(ln a), also auch IS\Q^MV8ZÃXIZI\M[TMQKP\QVLQMOMJZÃ]KPTQKPMZM a%I_%CM`XTVIE_ Nun potenziert man eine Potenz durch Multiplikation der beiden Exponenten: a%M`X_TVI Daraus folgt aber TVa%_TVI%TWOIaTVI und

Die beiden Logarithmen unterscheiden sich also nur um einen Zahlenfaktor.

Halbwertszeit<%τTV%!τ

]UZMKPVMVLI^WV_QZLQV 7 Kap. 8.2.6VWKPOM VI]MZLQM:MLM[MQV,QM-QOMV[KPIN\JMQ^WZOM OMJMVMZ;KPZQ\\_MQ\M]VIJPÃVOQO^WU)][OIVO[ X]VS\]UMQVMVNM[\MV.IS\WZIJb]NITTMVWLMZIV b][\MQOMVQ[\3MVVbMQKPMVLMZM.]VS\QWV -QVM_QKP\QOM:WTTM[XQMT\LMZ4WOIZQ\PU][QV UIVKPMV,QIOZIUUMV1U)VPIVOâVLM\[QKPMQ VM
22

Kapitel 1 · Grundbegriffe

1

Merke

2

Kennzeichen der Exponentialfunktion: Änderungsgeschwindigkeit proportional zum Momentanwert.

3 4 5 6 7

. Abb. 1.21. Charakteristik der e-Funktion. Die Schrittweite x½ ist eine für den Abfall der e-Funktion charakteristische Größe: sie halbiert die Ordinate unabhängig von dem Punkt, von dem aus der Schritt getan wird

8 9 10

15 16 17 18 19 20

MQVMZ5]T\QXTQSI\QWVb_MQMZBIPTMVMV\[XZQKP\LQM )LLQ\QWVQPZMZ4WOIZQ\PUMV

12

14

TOMI`%I`TOM%I`

TVIJ%TVITVJ#

11

13

1V MQVNIKPTWOIZQ\PUQ[KPMZ ,IZ[\MTT]VO _QZL LQM ,IUXNLZ]KSS]Z^MLM[?I[[MZ[NI[\b]Z/MZILMV ,IUQ\[QOVITQ[QMZ\[QMLI[[LMZ,IUXNLZ]KSNI[\ M`XWVMV\QMTTUQ\LMZ<MUXMZI\]ZIV[\MQO\?QM[W' ,MZ LMSILQ[KPM 4WOIZQ\PU][ MQVMZ -`XWVMV\QIT N]VS\QWVMV\[XZQKP\JQ[I]NMQVMVSWV[\IV\MV.IS \WZQPZMU-`XWVMV\MV]VLLIUQ\I]KPLM[[MV]V IJPÃVOQOMZ>IZQIJTMV"

. Abb. 1.22. Logarithmischer Maßstab. Dampfdruckkurve des Wassers in linearem und in logarithmischem Maßstab (Einzelheiten im Text)

<MUXMZI\]ZMVSI]U^WVLMZ)J[bQ[[M1V[WTKPMV .ÃTTMVMUXâMPT\M[[QKPTÃVO[LMZ7ZLQVI\MVQKP\ LQM,IUXNLZÛKSMX,[MTJ[\I]Nb]\ZIOMV[WVLMZV LQM b* LMSILQ[KPMV 4WOIZQ\PUMV QPZMZ 5I¾ bIPTMV cX,e . Abb. 1.22 ZMKP\M[ <MQTJQTL ZMKP \M;SITI 6]V SIVV UIV VQKP\ ^MZTIVOMV LI[[ RMLMZ UIVVLQM?MZ\MLM[LMSILQ[KPMV4WOIZQ\PU][QU 3WXNPI\,M[PITJQ[\M[ÛJTQKPVQKP\[QMIVLQM7Z LQVI\Mb][KPZMQJMV[WVLMZVLQM5M[[_MZ\M[MTJ[\ . Abb. 1.22 ZMKP\M[ <MQTJQTL TQVSM ;SITI 5IV [XZQKP\LIVV^WVMQVMZ logarithmischen Skala]VL ^WVMQVMU,QIOZIUUQVMQVNIKPTWOIZQ\PUQ[KPMZ ,IZ[\MTT]VO QU /MOMV[I\b b]Z LWXXMT\TWOIZQ\P UQ[KPMVJMQLMZJMQLM)KP[MVTWOIZQ\PUQ[KPOM \MQT\[QVL

Merke Wichtige Rechenregeln für den Logarithmus:

1.5.3 Potenzfunktionen

-QV9]ILZI\LMZ3IV\MVTÃVOMIJM[Q\b\LQM.TÃKPM )9%ILMZMV\[XZMKPMVLM?ÛZNMTLI[>WT]UMV >?%I*MQLMVPotenzfunktionen[\MP\LQM]VIJ PÃVOQOM>IZQIJTMQVLMZ*I[Q[]VLVQKP\QU-`XW VMV\MV _QM JMQ LMV -`XWVMV\QITN]VS\QWVMV .ÛZ LQM 8W\MVbMV [MTJ[\ OMT\MV IJMZ LQM OTMQKPMV :M KPMVZMOMTV /MVMZMTTOQJ\M[b]Z8W\MVbb_MQ=USMPZN]VS \QWVMV" LMV JMZMQ\[ JM[XZWKPMVMV 4WOIZQ\PU][

23

1.5 · Wichtige Funktionen

1

1%=: ]VLLQM?]ZbMT,QM3IV\MVTÃVOMIQ[\LQMb_MQ\M LQM 9]ILZI\_]ZbMT LMZ .TÃKPM)9 LM[ 9]ILZI\[ ]VLLQMLZQ\\MLQM3]JQS_]ZbMTLM[?ÛZNMT^WT] )]ãÕ[]VO VIKP 1 -\_I[ [KP_QMZQOMZ _QZL M[ UMV[>?" _MVVLQM/ZÕ¾MVIKPLMZI]NOMTÕ[\_MZLMV[WTT VQKP\V]ZQVLMZMZ[\MV[WVLMZVI]KPQVLMZb_MQ \MV 8W\MVb ^WZSWUU\ -QVM [WTKPM quadratische 3MPZ_MZ\M OIVbMZ BIPTMV QU -`XWVMV\MV Gleichung JZQVO\ UIV b]VÃKP[\ QV QPZM NormalMV\[XZMKPMV ?]ZbMTV 1V LMZ 6ÃPMZ]VO[NWZUMT form NÛZ LQM 3ÕZXMZWJMZãÃKPM MQVM[ 5MV[KPMV ^WV `X`Y% 7 Kap. 1.1.3MZ[KPQMVLQM5I[[MUUQ\LMU-`XW VMV\MV %,I[ JMLM]\M\ LQM ?]Z ;WLIVV[]J\ZIPQMZ\UIVY" bMTLMZ8W\MVb" `X`%wY ]VL ILLQMZ\ LQM [WO Y]ILZI\Q[KPM -ZOÃVb]VO ,IU][[UIV[KPWVMQVMV
2M\b\SIVVUIVVÃUTQKPVIKPLMU;KPMUI IJ%IIJJ LQM /TMQKP]VO I]N LMZ TQVSMV ;MQ\M ]U[KPZMQJMV b] XX ` 3 %4wY

]VLIV[KPTQM¾MVLLQM?]ZbMTbQMPMV 1.5.4 Algebraische Gleichungen

-QVM /TMQKP]VO JTMQJ\ IT[ /TMQKP]VO MZPIT\MV _MVVUIVI]NJMQLMV;MQ\MVLI[/TMQKPM\]\LQM OTMQKPMV/ZÕ¾MVILLQMZ\WLMZ[]J\ZIPQMZ\UQ\LMV OTMQKPMV/ZÕ¾MVU]T\QXTQbQMZ\WLMZXW\MVbQMZ\][_ 6IKPLQM[MU;KPMUITI[[MV[QKP/TMQKP]VOMVumformen]VLVIKPMQVMZOM_ÛV[KP\MV/ZÕ¾M auﬂösen,MâVQ\QWV[OMUÃ¾Q[\LMZMTMS\ZQ[KPM?QLMZ [\IVL: LMZ 9]W\QMV\ I][ MTMS\ZQ[KPMZ ;XIVV]VO =]VLMTMS\ZQ[KPMU;\ZWU1" :%=1 5]T\QXTQSI\QWVUQ\1NÛPZ\b] =%1: )]ãÕ[]VOVIKP=IV[KPTQM¾MVLM,Q^Q[QWVL]ZKP :b]

I]KPVMOI\Q^M/ZÕ¾MVTQMNMZVXW[Q\Q^M9]ILZI\M# 9]ILZI\_]ZbMTV [QVL LM[PITJ JMQLM >WZbMQKPMV MZTI]J\2M\b\TÃ[[\[QKPVIKP`I]ãÕ[MV"

-QVMY]ILZI\Q[KPM/TMQKP]VOPI\LMUVIKP 5 b_MQ4Õ[]VOMV_MVVX&Y 5 MQVM4Õ[]VO_MVVX%Y 5 SMQVM4Õ[]VO_MVVX$YRMLMVNITT[SMQVM

ZMMTTM

24

1

Kapitel 1 · Grundbegriffe

In Kürze Einheiten

2

Physikalische Größen kann man messen. Das Ergebnis einer Messung wird angegeben als Produkt aus einer Maßzahl und der Einheit der betreffenden Größe. Die Einheiten sind festgelegt im internationalen Einheitensystem SI.

3

Basiseinheiten

Meter, Sekunde, Kilogramm, Ampère, Kelvin, Mol, Candela

Abgeleitete Einheiten

zum Beispiel Kraft:

4 5 6

, Newton

Messunsicherheiten Messungen sind nie beliebig genau. Weicht der gemessene Wert vom tatsächlichen Wert der Größe bei jeder Messung um den gleichen Betrag ab, so spricht man von einem systematischen Fehler. Streuen die Messwerte bei wiederholter Messung um einen Mittelwert, so spricht man von einem zufälligen Fehler. Ein mathematisches Maß für diese Streuung ist die Standardabweichung s, eine Schätzung für die Messunsicherheit die Standardabweichung des Mittelwertes. Absolute Messunsicherheit

7 8

Relative Messunsicherheit

9

Fehlerfortpﬂanzung

10

]`; `: Messwert Bedeutet: Der wahre Wert der Größe beﬁndet sich sehr wahrscheinlich zwischen den Werten `w]` und `]`. absolute Messunsicherheit geteilt durch Messwert (dimensionslos) Regel 1: Bei Multiplikation oder Division von Messwerten addieren sich die relativen Messunsicherheiten. Regel 2: Bei Addition oder Subtraktion von Messwerten addieren sich die absoluten Messunsicherheiten.

Schätzung des Messwertes bei vielen Messungen x1, …, xn

Mittelwert

12

Schätzung der Messunsicherheit

Standardabweichung des Mittelwertes

13

Exponentialfunktion und Logarithmus

11

14 15

Exponentialfunktion

a%MI`

Rechenregeln

MI`%MI#M`a%M`Ma

Beispiel: radioaktiver Zerfall

6\%6M\τ

16 17

Halbwertszeit

18

Halblogarithmische Auftragung

6: Teilchenzahl \: Zeit C[E τ : Zeitkonstante C[E 6: Teilchenzahl bei \ %

<%τTV C[E Nach jeweils der Halbwertszeit halbiert sich die Teilchenzahl

In der halblogarithmischen Auftragung ergibt sich eine fallende Gerade mit der Steigung –1/τ.

19 20

I größer Null: ansteigend I kleiner Null: abfallend

Umkehrfunktion zu M`

Logarithmusfunktion (zur Basis e)

a%TV`

Rechenregeln

TVMI%I#TVIJ%TVITVJ#TVIJ%JTVI

25

Übungsfragen

1

Quadratische Gleichung p-q-Formel

`X`Y%

Verständnisfragen 1. Was ist für die statistische Abschätzung der Messunsicherheit maßgeblich: die Standardabweichung oder die Standardabweichung des Mittelwertes? 2. Ändert sich die relative Unsicherheit eines Messwertes, wenn der Messwert durch drei geteilt wird? 3. Welche Größen sind Vektoren, welche nicht: Kraft, Temperatur, Volumen, die Bewertung einer Fernsehsendung, Höhe, Geschwindigkeit, Alter? 4. Der radioaktive Zerfall wird durch eine abfallende Exponentialfunktion beschrieben. Wartet man eine Zeitspanne Δt, so sind zwei Drittel aller ursprünglich vorhandenen radioaktiven Atome zerfallen. Wie viele der ursprünglich vorhandenen Atome sind zerfallen, wenn man noch mal die Zeitspanne Δt wartet?

Übungsaufgaben (• leicht; •• mittel; ••• schwer) • 1. Für wissenschaftliche Vorträge gilt eine beherzigenswerte Regel: Rede niemals länger als ein Mikrojahrhundert. Wie lange ist das? • 2. Welches Volumen steht dem Gehirn eines Menschen ungefähr zur Verfügung? Zur Abschätzung sei angenommen, dass der Schädel eine hohle Halbkugel von etwa 20 cm Durchmesser bildet. • 3. Wie lang ist das Pantoffeltierchen der . Abb. 1.5? • 4. Wie groß ist schätzungsweise die Körperoberﬂäche des Griechen von . Abb. 1.6? • 5. Welche Massen haben 3,5 Mol Wasserstoffgas (H2) und ein Molekül Ethylalkohol C2H5OH? Sie müssen die Tabellen im Anhang zur Hilfe nehmen! •• 6. Wie groß ist das Molvolumen des Wassers?

Messunsicherheit •• 7. Wenn der Zuckerfabrik ungewaschene Rüben angeliefert werden, zieht sie vom gemessenen Gewicht einen Anteil als Erfahrungswert ab. Systematischer oder zufälliger Fehler, relativer oder absoluter Fehler? • 8. Der Radius eines Kreises ist mit einer relativen Messunsicherheit von 0,5% bekannt. Was ist dann die Unsicherheit für die Kreisﬂäche?

• 9. Durch einen elektrischen Widerstand ﬂießt bei einem Spannungsabfall von 2 V ± 0,1 V ein Strom von 1 A ± 0,1 A. Wie groß ist die relative Unsicherheit für die im Widerstand umgesetzte Leistung? • 10. Ein Vorgang dauert von t1 = 10 s bis t2 = 20 s. Beide Zeitpunkte sind nur auf eine Zehntelsekunde genau gemessen. Wie groß ist die absolute Unsicherheit für die Dauer des Vorgangs?

Vektoren • 11. Wann verschwindet das Vektorprodukt, wann das Skalarprodukt zweier Vektoren unabhängig von deren Beträgen?

Exponentialfunktion •• 12. 1850 lebten auf der Erde 1,17 Milliarden Menschen, 1900 waren es bereits 1,61 Milliarden und 1950 2,50 Milliarden. Entsprechen diese Zahlen einer „Bevölkerungsexplosion“, wenn man das Wort „Explosion“ mit exponentiellem Wachstum gleichsetzt? •• 13. Nimmt die Anzahl der Quecksilbertropfen in . Abb. 3.27 exponentiell mit der Zeit ab? Wenn ja: welche Zeitkonstante?

27

Mechanik starrer Körper 2.1

Bewegung

2.1.1

Fahrstrecke und Geschwindigkeit ! – 28

2.1.2

Überlagerung von Geschwindigkeiten

2.1.3

Beschleunigung !

2.1.4

Drehbewegungen ! – 35

2.1.5

Bewegung von Gelenken

2.2

2.2.5

Kraft, Drehmoment, Energie – 37 Kräfte ! – 37 Gewichtskraft und Gravitation ! – 40 Arbeit und Energie ! – 40 Kinetische Energie ! – 44 Hebel und Drehmoment ! – 46

2.2.6

Die Grundgleichungen des Gleichgewichts ! – 48

2.2.7

Gleichgewichte

2.3

Kraft und Bewegung

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4

– 28 – 30

– 31 – 36

– 49

2.3.1

– 51 Die Newton’schen Gesetze ! – 51

2.3.2

Reibung

2.3.3

Impuls ! – 55

2.3.4

Trägheitskräfte ! – 57

2.3.5

Drehbewegungen ! – 59

2.3.6

Trägheitsmoment und Drehimpuls

– 54

– 62

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6_2, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

2

28

1 2 3 4 5 6

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

> > Einleitung Seit eh und je bildet die Mechanik die Grundlage der Physik und gehört deshalb an den Anfang eines Lehrbuches. Sie handelt von den Bewegungen der Körper und den Kräften, die sie auslösen. Damit spielt sie in alle Gebiete der Naturwissenschaften hinein, über die Bindungskräfte der Moleküle in die Chemie, über die Muskelkräfte in die Medizin, über die von Benzinund Elektromotoren entwickelten Kräfte in die Technik usw. Wenn Kräfte nicht durch Gegenkräfte kompensiert werden, haben sie Bewegungsänderungen zur Folge, Beschleunigungen genannt. Dabei wird Energie umgesetzt; sie ist eine der wichtigsten physikalischen Größen überhaupt.

7 2.1

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Bewegung

2.1.1 Fahrstrecke und Geschwindigkeit

!

,MUUW\WZQ[QMZ\MV5MV[KPMVQ[\LQM>WSIJMTiGeschwindigkeitt OMTÃ]âO ^WU
. Abb. 2.1. Steigungsdreiecke. Zur graphischen Ermittelung der Geschwindigkeit: Alle zu der gleichen Geraden gezeichneten Steigungsdreiecke sind einander ähnlich; die Quotienten ihrer Katheten sind gleich

?MZ MQ[MZV LQM !SUP L]ZKPPÃT\ SWUU\ LMUVIKPQVLMZ;MS]VLMU_MQ\QVLMZ5QV]\M U%SU]VLQVLMZ;\]VLMMJMV!SU ,QM 4ÃVOM Δ[ LM[ b]ZÛKSOMTMO\MV ?MOM[ Q[\ LMZ .IPZbMQ\Δ\XZWXWZ\QWVIT. Abb. 2.1" Δ[%^Δ\

)]\W[VÃUTQKP#4I[\_IOMVZMOQ[\ZQMZMV[WOIZUQ\ MQVMU .IPZ\MV[KPZMQJMZ ?QM [WTKPM /MZÃ\M QU -QVbMTVMV N]VS\QWVQMZMV QV\MZM[[QMZ\ PQMZ VQKP\ 1U/Z]VLM[QVL[QM,ZMPbIPTUM[[MZ"[QM^MZUMT LMV_QMWN\[QKPLQM0QV\MZIKP[MLM[.IPZbM]O[QV LMZ;MS]VLMQVLMZ5QV]\MPMZ]ULZMP\8Pa[QSI TQ[KPSWZZMS\MZ",ZMPbIPTUM[[MZUM[[MVLQM

,QM8W[Q\QWVIT[.]VS\QWVLMZBMQ\Q[\MQVM/M ZILM UQ\ SWV[\IV\MZ ;\MQO]VO . Abb. 2.1 ,QM ;\MQO]VO MQVMZ /MZILMV Q[\ LQM /M[KP_QVLQOSMQ\ ]VL UIV JM[\QUU\ [QM UQ\ 0QTNM LM[ Steigungsdreiecks MQVM[ ZMKP\_QVSTQOMV ,ZMQMKS[ LM[[MV 0aXW\MV][MMQV;\ÛKSLMZ/MZILMVQ[\]VLLM[[MV 3I\PM\MVXIZITTMTb]LMV)KP[MVLM[,QIOZIUU[ TQMOMV,IJMQ[XQMT\LQM/ZÕ¾MLM[,ZMQMKS[SMQVM ,ZMPNZMY]MVbN%Δ6Δ\ :WTTMLMVVLMZ9]W\QMV\LMZ3I\PM\MVMJMVLQM )VbIPTLMZ=ULZMP]VOMVΔ6 UI\PMUI\Q[KPLMâVQMZ\MSteigungQ[\LI^WV]V JMVÕ\QO\MBMQ\[XIVVMΔ\ IJPÃVOQO)TTMb]LMZOTMQKPMV/MZILMVOMbMQKP w-QVPMQ\[WLMZUQVLMVVLQMi=ULZMP]VOt VM\MV ,ZMQMKSM [QVL MQVIVLMZ iÃPVTQKPt QU ;QVV Q[\ SMQVM -QVPMQ\ [QM _QZL V]Z OMbÃPT\ *MQ RMLMZ LMZ 5I\PMUI\QS . Abb. 2.1 ,QM[M ;\MQO]VO Q[\ =ULZMP]VOSWUU\LI[.IPZbM]OMQVMV:IL]U QUUMZLQM/M[KP_QVLQOSMQ\" NIVO[Z_MQ\MZ-[NÃPZ\LM[PITJUQ\LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\^%N[Z

w -QVPMQ\U[ WLMZ QU ;\ZI¾MV^MZSMPZ ÛJTQKPMZ SUP ,QM =UZMKPV]VO Q[\ MQVNIKP" -QV 3QTWUM \MZ PI\ U MQVM ;\]VLM [?MZ JZI^ UQ\!SUPLQM4IVL[\ZI¾MMV\TIVONÃPZ\PI\b] ZMKPVMV"

Merke Konstante Geschwindigkeit

Fahrstrecke: Δ[%^ · Δ\

,QM[M[;KPMUIN]VS\QWVQMZ\I]KPJMQIVLMZMV ,I[OQT\IJMZV]ZJMQSWV[\IV\MZ/M[KP_QVLQOSMQ\ QVLMZ/TMQKP]VOL]ZKPLMV1VLM`OMSMVVbMQKP =UZMKPV]VOMV

2.1 · Bewegung

29

2

. Abb. 2.2. Momentane Geschwindigkeit: Die Steigung einer Kurve ist die Steigung ihrer Tangente (Einzelheiten im Text)

VM\ 1U >MZSMPZ SWUU\ LI[ VQKP\ ^WZ ,WZ\ ÃV LMZ\[QKPLQM/M[KP_QVLQOSMQ\[\ÃVLQO[QM_QZLMQ VM.]VS\QWVLMZBMQ\"^%^\,I[?MOBMQ\,QI OZIUU MZOQJ\ QV LQM[MU .ITT MQVM OMSZÛUU\M 3]Z^M. Abb. 2.2 *MQ MQVMZ OMSZÛUU\MV 3]Z^M U][[ UIV LQM ;\MQO]VO[LZMQMKSM [W STMQV bMQKPVMV LI[[ LQM 3ZÛUU]VO QPZMZ i0aXW\MV][MVt VQKP\ UMPZ I]NNÃTT\ [\ZMVO OMVWUUMV IT[W ]VMVLTQKP STMQV 4Ã[[\UIVΔ\b]U,QNNMZMV\QITL\[KPZ]UXNMV[W [KPZ]UXN\I]KPΔ[b]L[,I[>MZPÃT\VQ[LMZJMQ LMVJTMQJ\LIJMQIT[MVLTQKPMZ?MZ\MZPIT\MV",MZ DifferenzenquotientΔ[Δ\MQVMZbMQ\TQKPSWV[\IV \MV /M[KP_QVLQOSMQ\ ^ OMP\ QV LMV DifferentialquotientenL[L\ÛJMZ,QMUWUMV\IVM]VLbMQ\ IJPÃVOQOM

Q[\IT[,QNNMZMV\QITY]W\QMV\LMâVQMZ\1VLMZ5I\PM UI\QS _MZLMV ,QNNMZMV\QI\QWVMV WN\ L]ZKP MQVMV VIKPOM[M\b\MV;\ZQKPas%LaL`OMSMVVbMQKPVM\ 1V LQM[MU *]KP _QZL LQM[M 3]ZbNWZU IJMZ VQKP\ ^MZ_MVLM\ Merke Ungleichförmige Bewegung momentane Geschwindigkeit:

,QNNMZMV\QMTT STMQVM ,ZMQMKSM SIVV UIV _MLMZ bMQKPVMVVWKPI][UM[[MV,QM:QKP\]VOLMZLQNNM ZMV\QMTTSTMQVMV0aXW\MV][M[\QUU\IJMZUQ\LMZ :QKP\]VOMQVMZ
. Abb. 2.3. Vorortzug. Weg-Zeit-Diagramm (oberes Teilbild) und Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (unteres Teilbild) eines Vorortzuges; Einzelheiten im Text

,ZMQMKS[ IV LMZ 3]Z^M IVTQMO\ ,QM WZWZ\b]O[\IZ\M\]U =PZ]VLJM[KPTM] VQO\ I]N MQVM /M[KP_QVLQOSMQ\ ^WV SUP =U =PZJZMU[\MZ_MOMVMQVMZ*I][\MTTMIJI]N SUP ]VL JTMQJ\ ]U =PZ IU VÃKP[\MV *IPVPWN[\MPMV,I[WJMZM<MQTJQTLbMQO\LQM8W[Q \QWVLM[B]OM[IT[.]VS\QWVLMZBMQ\LI[]V\MZM <MQTJQTL OMWUM\ZQ[KP JM\ZIKP\M\ LQM ;\MQO]VO LM[ /ZIXPMVLM[WJMZMV<MQTJQTL[b]RMLMUBMQ\X]VS\ ,MV >MZTI]N LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ SIVV UIV QU 8ZQVbQX]VOMNÃPZUQ\4QVMIT]VL*TMQ[\QN\I][LMU WJMZMV <MQTJQTL MZUQ\\MTV 5IV VMVV\ [W M\_I[ OZIXPQ[KPM[)JTMQ\MV]VLUIVKPUITQ[\LI[OIVb VÛ\bTQKP ?QTT UIV M[ OMVI] _Q[[MV U][[ UIV VI\ÛZTQKPb]Z5I\PMUI\QS]VLNWZUITMV,QNNMZMV \QI\QWVOZMQNMV -[ U][[ VI\ÛZTQKP I]KP ]UOMSMPZ\ UÕOTQKP [MQV I][ LMU /M[KP_QVLQOSMQ\[BMQ\,QIOZIUU

30

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

,QNNMZMV\QI\QWV Q[\ 5IV SIVV IT[W ^WV ,QNNMZMV \QI\QWV[ZMOMTV I]N 1V\MOZI\QWV[ZMOMTV [KPTQM¾MV +WUX]\MZQV\MOZQMZMVIJMZV]UMZQ[KP,I[N]VS \QWVQMZ\ M\_I [W _QM _MVV UIV LMV .]VS\QWV[ OZIXPMVI]N5QTTQUM\MZXIXQMZUIT\]VLLIVVLQM 3Ã[\KPMV]V\MZLMU/ZIXPMVI][bÃPT\2MOMVI] MZUIVLQM.TÃKPM_Q[[MV_QTT]U[WSTMQVMZU][[ UIVLQM3Ã[\KPMVUIKPMV]U[WUMPZPI\UIV I]KP b] bÃPTMV +WUX]\MZ SÕVVMV [MPZ [KPVMTT bÃPTMV

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

. Abb. 2.4. Graphische Integration. Bestimmung der Fahrstrecke durch graphische Integration im GeschwindigkeitsZeit-Diagramm (Einzelheiten im Text)

2.1.2 Überlagerung von

Geschwindigkeiten I]N LQM b]ZÛKSOMTMO\M ;\ZMKSM b] [KPTQM¾MV ?QM LI[OMP\[WTT. Abb. 2.4^MZLM]\TQKPMV*M[WVLMZ[ MQVNIKPTQMO\LMZ.ITTQUBMQ\QV\MZ^ITTΔ\QVLMU LQM /M[KP_QVLQOSMQ\ SWV[\IV\ SUP JM\ZÃO\ ,QMQVLQM[MUBMQ\QV\MZ^ITTb]ZÛKSOMTMO\M;\ZMKSM JM\ZÃO\" /ZIXPQ[KPMV\[XZQKP\LQM[LMZJTI][KPZINâMZ \MV .TÃKPM ]V\MZ LMU /M[KP_QVLQOSMQ\[OZIXPMV ,MZ OM[IU\M )J[\IVL b_Q[KPMV LMV *IPVPÕNMV MZOQJ\[QKPMV\[XZMKPMVLI][LMZOM[IU\MV.TÃKPM ]V\MZ LMU /M[KP_QVLQOSMQ\[OZIXPMV b_Q[KPMV =PZ ]VL =PZ 1V LMU M\_I[ QLMITQ[QMZ \MV,QIOZIUULMZ. Abb. 2.4Q[\[QMVQKP\[KP_MZ b]JM[\QUUMV 1U )TTOMUMQVMV JMbMQKPVM\ UIV MQVM [WTKPM .TÃKPMVJM[\QUU]VO IT[ Integration [MQV -ZOMJ VQ[ IT[ Integral 1U ,QIOZIUU _QZL M[ ZMXZÃ[MV \QMZ\L]ZKPLQM.TÃKPMi]V\MZLMZ3]Z^MtLQM.TÃ KPMb_Q[KPMV3]Z^M]VL)J[bQ[[M-QVSWVSZM\MZ BIPTMV_MZ\TÃ[[\[QKPNZMQTQKPV]ZIVOMJMV_MVV LQM.TÃKPMVQKP\V]ZWJMV]VL]V\MVJMOZMVb\Q[\ [WVLMZVI]KPTQVS[]VLZMKP\[,I[bestimmte In-

?MZQU*WW\MQVMVJZMQ\MV.T][[ÛJMZY]MZMV_QTT U][[LM[[MV;\ZÕU]VOJMZÛKS[QKP\QOMV";QM\ZMQJ\ QPV ã][[IJ_ÃZ\[ *MQ LMV ^QMTMV 5ÕOTQKPSMQ\MV LQM LMZ ;\M]MZUIVV _ÃPTMV SIVV OQJ\ M[ b_MQ /ZMVbNÃTTM" 5 LMZ ;\M]MZUIVV PÃT\ [MQV *WW\ [\ÃVLQO Y]MZ b]U;\ZWU]VLTÃ[[\M[IJ\ZMQJMV. Abb. 2.5 TQVSM[<MQTJQTL# 5 LMZ;\M]MZUIVViPÃT\OMOMVLMV;\ZWUt]VL b_IZ[WLI[[[MQV*WW\LI[IVLMZM=NMZiI]N OTMQKPMZ 0ÕPMt MZZMQKP\ . Abb. 2.5 ZMKP\M[ <MQTJQTL ?MTKPMZ?MOQ[\LMZ[KPVMTTMZM'5Q\_MTKPMZ/M [KP_QVLQOSMQ\ NÃPZ\ LI[ *WW\ QV JMQLMV .ÃTTMV iÛJMZ/Z]VLt'=U_MTKPMV?QVSMTU][[LI[*WW\ QUb_MQ\MV.ITTi^WZPIT\MVt]U_MTKPMV_QZLM[

tegral

18 19 20

TQMNMZ\LQM4ÃVOMΔ[LM[?MOM[LMZb_Q[KPMVLMV BMQ\X]VS\MV \ ]VL \ w b_Q[KPMV LMV [WO Integrationsgrenzen w UQ\ LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ ^\ L]ZKPNIPZMV_]ZLM -QV_QKP\QOMZ;I\bQVLMZ5I\PMUI\QSJM[IO\ LI[[ LQM 1V\MOZI\QWV LQM =USMPZWXMZI\QWV b]Z

. Abb. 2.5. Vektorielle Addition von Geschwindigkeiten: Ein Boot mit der Eigengeschwindigkeit vJ überquert einen Fluss (Strömungsgeschwindigkeit vN, Breite b). links Der Bootsführer lässt sich abtreiben; rechts Der Bootsführer „hält vor“. Die Geschwindigkeit vO lässt sich mit Hilfe der Winkelfunktionen und mit dem Satz des Pythagoras berechnen

QUMZ[\MV.ITTIJOM\ZQMJMV',QM)V\_WZ\MVMZPÃT\ UIVL]ZKP Vektoraddition)][MQOMVMZ3ZIN\JM [KPINN\[QKPLI[*WW\MQVM:MTI\Q^OM[KP_QVLQOSMQ\ vJOMOMVÛJMZLMU?I[[MZLM[.T][[M[,QM[M[TÃ]N\ UQ\WLMZWPVM*WW\UQ\LMZ;\ZÕU]VO[OM[KP_QV LQOSMQ\vNLM[.T][[M[#[QM[WTTLMZ-QVNIKPPMQ\PIT JMZ I]N LMZ OIVbMV .T][[JZMQ\M IT[ OTMQKP IVOM VWUUMV_MZLMV.ÛZLMV*MWJIKP\MZIUZ]PMV LMV=NMZ]VLLIUQ\I]KPÛJMZ/Z]VLILLQMZMV [QKPLQMJMQLMV/M[KP_QVLQOSMQ\MV^MS\WZQMTT ?QM UIV IU TQVSMV <MQTJQTL LMZ . Abb. 2.5 [QMP\[\MP\LQM-QOMVOM[KP_QVLQOSMQ\vJLM[*WW \M[ QU MZ[\MV .ITT [MVSZMKP\ I]N LMZ ;\ZÕU]VO[ OM[KP_QVLQOSMQ\vNLM[.T][[M[1PZM>MS\WZXNMQTM [QVL 3I\PM\MV QV MQVMU ZMKP\_QVSTQOMV ,ZMQMKS UQ\ LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ vO ÛJMZ /Z]VL IT[ 0a XW\MV][M6IKPLMU;I\bLM[8a\PIOWZI[PÃVOMV LM[PITJLQMLZMQ*M\ZÃOMNWTOMVLMZUI¾MVUQ\MQV IVLMZb][IUUMV" ^O%^N^J

2

31

2.1 · Bewegung

Rechenbeispiel 2.1: Wie weit muss der Bootsführer vorhalten? 7 Aufgabe. Der Fluss ﬂieße mit ^N %U[. Das Boot fährt mit ^J %U[ relativ zum Wasser. Es will genau senkrecht übersetzen. Wie weit muss der Bootsführer vorhalten und wie schnell fährt das Boot über den Fluss? 7 Lösung. Wir schauen auf das rechte Teilbild der . Abb. 2.5. Der Winkel, um den relativ zur senkrechten Fahrtrichtung vorgehalten werden muss, berechnet sich zu:

Die Geschwindigkeit gegen Grund ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

2.1.3 Beschleunigung

!

,MV ,ZQN\_QVSMT α b_Q[KPMV vN ]VL vJ TQMNMZ\ 1U;XZIKPOMJZI]KPLM[)TT\IO[_QZLLI[?WZ\iJM LQM?QVSMTN]VS\QWV
1U.ITTMMQVMZSWV[\IV\MV*M[KPTM]VQO]VOJM 1U ZMKP\MV <MQTJQTL PÃT\ LMZ *WW\[NÛPZMZ ]U LM]\M\LI[LIVV" MQVMV ?QVSMT β b_Q[KPMV vJ ]VL LMZ /M[IU\OM [KP_QVLQOSMQ\ vO ^WZ ]U [MVSZMKP\ ÛJMZ LMV .T][[b]SWUUMV.ÛZLQM[MV?QVSMTOQT\" ,IUQ\TQMO\I]KPQPZM-QVPMQ\NM[\" 2MLM*M[KPTM]VQO]VOPI\MQVM:QKP\]VO aQ[\ ?QMUIVQU*QTL[KPWV[QMP\Q[\RM\b\LQM»JMZ Y]MZ]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\[MVSZMKP\b]U.T][[^O IT[WMQV>MS\WZLMZ[QKPWJMVLZMQVVWKPUQ\LMZ BMQ\b]ÃVLMZVXãMO\"a\,MZITTOMUMQVM.ITTQ[\ STMQVMZ QUUMZ LMVSJIZ SWUXTQbQMZ\ -[ OQJ\ IJMZ MQVNI KPM /ZMVbNÃTTM 0I\ LQM *M[KPTM]VQO]VO LQM OTMQ

32

1 2 3 4

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

KPM:QKP\]VO_QMLQM/M[KP_QVLQOSMQ\[WÃVLMZ\ [QMV]ZLMZMV*M\ZIOVQKP\LMZMV:QKP\]VO#UIV VMVV\[QMLIVV Bahnbeschleunigung1UIVLMZMV -`\ZMU[\MP\a [MVSZMKP\I]Nv]VLÃVLMZ\IT[ RadialbeschleunigungV]ZLMZMV:QKP\]VOVQKP\LMV *M\ZIO2MLMIVLMZM*M[KPTM]VQO]VOTÃ[[\[QKPIT[ >MS\WZQVMQVMZILQITM]VLMQVM\IVOMV\QITM3WU XWVMV\MbMZTMOMV Merke

5

Beschleunigung: Änderungsgeschwindigkeit der Geschwindigkeit

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

m/s2

SI-Einheit: 1 ; Bahnbeschleunigung: a parallel zu v, Radialbeschleunigung: a senkrecht zu v.

3MQVM*IPVJM[KPTM]VQO]VOSIVVTÃVOMZMBMQ\ ]V^MZÃVLMZ\IVPIT\MV#LQM.WTOM_ÃZMVÛJMZOZW¾M /M[KP_QVLQOSMQ\MV .ÛZ MQV XIIZ ;MS]VLMV OMP\ M[IJMZ[KPWVJMQUfreien Fallb]U*MQ[XQMT?MVV UIVLQM4]N\ZMQJ]VO^MZVIKPTÃ[[QOMVLIZNNITTMV ITTM3ÕZXMZI]N-ZLMVUQ\LMZOTMQKPMV ErdWLMZ I]KP FallbeschleunigungO≈! U[ b] *WLMV# [QMNÛPZMVMQVMOTMQKPNÕZUQOJM[KPTM]VQO\M*M_M O]VOI][ ?MQTOSWV[\IV\Q[\_ÃKP[\LQM.ITTOM[KP_QV LQOSMQ\ ^\ TQVMIZ UQ\ LMZ BMQ\ [QM _ÃKP[\ [WOIZ XZWXWZ\QWVIT b]Z BMQ\[XIVVM \ VIKP LMU 4W[TI[ [MV_MVVLMZ;\MQV_QZSTQKPV]ZTW[OMTI[[MV]VL VQKP\ OM_WZNMV _QZL *MQ ^% b]U BMQ\X]VS\ \%OQT\" ^\%O\

. Abb. 2.7 WJMZM[ ]VL UQ\\TMZM[ <MQTJQTL )T TM QU 6]TTX]VS\ LM[ 3WWZLQVI\MVSZM]bM[ JMOQV ,I[ ?MOBMQ\,QIOZIUU LM[ >WZWZ\b]OM[ ^WV VMVLMV .TÃKPMV ]V\MZ LMZ /MZILMV QU ^\,QI . Abb. 2.3[IO\ÛJMZ3]Z^MVQU*IPVLIUUVQKP\[ OZIUU[QVLZMKP\_QVSTQOM,ZMQMKSMUQ\LMV3I I][IT[WI]KPVQKP\[ÛJMZM\_IQOM:ILQITJM[KPTM] VQO]VOMV#QPZSIVVV]ZLQM*IPVJM[KPTM]VQO]VO MV\VWUUMV_MZLMV/Z]VL[Ã\bTQKPU][[UIVLI b][\b_MQUITVIKPLMZBMQ\LQNNMZMVbQMZMVWLMZ LI[/M[KP_QVLQOSMQ\[BMQ\,QIOZIUUQU]V\MZMV <MQTJQTLLMZ. Abb. 2.3MQVUIT,I[-ZOMJVQ[bMQO\ . Abb. 2.6" QV LMV *IPVPÕNMV I]N NZMQMZ ;\ZMKSM ]VLQVLMZ*I][\MTTMQ[\I%ÛJMZITTLWZ\VÃU TQKP_W[QKPLQM/M[KP_QVLQOSMQ\VQKP\ÃVLMZ\WJ LMZB]OV]V[\MP\WLMZVQKP\^%SWV[\IV\8W[Q \Q^_QZLLQM*M[KPTM]VQO]VOV]ZQVLMZMQVMV5Q V]\M LM[ )VNIPZMV[ VMOI\Q^ V]Z QV LMV JMQLMV *ZMU[XMZQWLMV ^WZ LMZ *I][\MTTM ]VL ^WZ LMU BQMTJIPVPWNLMVVPQMZVQUU\^IJ

16 17 18 19 20

. Abb. 2.6. Beschleunigungs-Zeit-Diagramm des Vorortzuges von . Abb. 2.1 (nur Bahnbeschleunigung)

. Abb. 2.7. Freier Fall (Einzelheiten im Text)

33

2.1 · Bewegung

2

\PM\MV\]VLO\;QMTQMNMZVNÛZLQM.ITT[\ZMKSM[ LQM*MbQMP]VO [\%3O\ /ZIXPQ[KPQ[\LI[MQVM8IZIJMTUQ\LMU;KPMQ \MT JMQ [% ]VL \% . Abb. 2.7 ]V\MZM[ <MQT JQTL",QM5M[[TI\\MNÛZLQM.ITT[\ZMKSM_QZLJMQU ;\IZ\X]VS\IVOMTMO\ ;MTJ[\^MZ[\ÃVLTQKPUÛ[[MVLQMPQMZI]NOM[\MTT \MV *MPI]X\]VOMV M`XMZQUMV\MTT ÛJMZXZÛN\ _MZ LMV,QMPM]\QOMV\MKPVQ[KPMV5Q\\MTMZTI]JMVLI[ UQ\O]\MZ/MVI]QOSMQ\[KPWVNÛZLMV;KP]T]V\MZ ZQKP\/ITQTMQPI\\MM[LI[KP_MZMZ#MZJM[I¾SMQVM ;\WXX]PZ[KPWVOIZVQKP\MQVMMTMS\ZQ[KP[\M]MZ JIZM-QV;\MQVL]ZKPNÃTT\LQMMZ[\MVUQV[ ,I[_IZQU5Q\\MTIT\MZVQKP\TMQKP\b]UM[[MV ,QM JQ[PMZ I]NOM[\MTT\MV /TMQKP]VOMV OMT\MV VQKP\ITTOMUMQVLMVVLMZ;\MQVSÕVV\MRIb]ZBMQ\ \%[KPWVUQ\MQVMZOM_Q[[MV/M[KP_QVLQOSMQ\^ OM[\IZ\M\[MQV,IVV_ÃZMLQM[MVI\ÛZTQKPVWKPLI b]b]bÃPTMV"

-[SÕVV\MI]KPVWKP[MQVLI[[LMZ;\MQVb]U . Abb. 2.8. Senkrechter Wurf (Einzelheiten im Text) BMQ\X]VS\\%VQKP\JMQ[%[\IZ\M\[WVLMZVIV MQVMZ;\MTTM[)TTM[b][IUUMVMZOQJ\NÛZLQM8W [Q\QWV" 1VLMVJQ[PMZQOMV.WZUMTVMZ[KPQMVMVQUUMZV]Z LQM *M\ZÃOM ^WV ?MO /M[KP_QVLQOSMQ\ ]VL *M [KPTM]VQO]VO ,I[[ M[ [QKP \I\[ÃKPTQKP ]U >MS ,QM LZMQ /ZIXPMV LMZ . Abb. 2.8 [\MTTMV MQ \WZMV PIVLMT\ _]ZLM ^MZ[KP_QMOMV *MQU NZMQMV VMV?]ZN[MVSZMKP\VIKPWJMVLIZ]VLb_IZUQ\ .ITTI][LMZ:]PM]VLJMQU[MVSZMKP\MV?]ZNQ[\ ^%U[ 5IV LIZN [QKP VQKP\ LIZÛJMZ _]V LI[ MZTI]J\ LMVV PQMZ TQMOMV ITTM LZMQ >MS\WZMV LMZV LI[[ ^\ ]V\MZ LMZ 6]TTTQVQM JMOQVV\ ]VL XIZITTMT )JMZ _MZ _QZN\ [KPWV QUUMZ V]Z ^MZ\Q [\ÛJMZMQVMVMOI\Q^M/QXNMTPÕPMTÃ]N\?MZLMZ SIT' ;XWZ\TMZ _QM )Z\QTTMZQ[\MV OMJMV MQV v ^WZ .ITTJM[KPTM]VQO]VO O MQV XW[Q\Q^M[ >WZbMQKPMV LI[UQ\MQVMU?QVSMT αOMOMVÛJMZLMZ0WZQbWV OQJ\U][[LQM:QKP\]VO[MVSZMKP\VIKPWJMVVM \ITMV[KPZÃOVIKPWJMVbMQO\schiefer Wurf,IVV OI\Q^bÃPTMV ILLQMZMV [QKP b_MQ /M[KP_QVLQOSMQ\MV ^MS\WZQMTT ]VL]VIJPÃVOQO^WVMQVIVLMZ"MQVMSWV[\IV\MPW Merke ZQbWV\ITM *M\ZIO ^`%^KW[ α# SMQVM *M[KPTM] VQO]VO LI SMQVM ;KPMZSZIN\ QV LQM[MZ :QKP\]VO Gleichförmig beschleunigte Bewegung: ]VLMQVM^MZ\QSITMLQMUQ\^ b%^[QV αJMOQV a ist in Betrag und Richtung konstant. V\]VLLMV.ITTOM[M\bMV]V\MZTQMO\)T[*IPVS]Z In dieser Richtung gilt dann: ^M SWUU\ MQVM Wurfparabel PMZI][ . Abb. 2.9 )]KP LMZ [KPQMNM ?]ZN OMPÕZ\ b] LMV OTMQKPNÕZ UQO JM[KPTM]VQO\MV *M_MO]VOMV# [WTIVOM UIV LQM 4]N\ZMQJ]VO ^MZVIKPTÃ[[QOMV LIZN OQT\ a%g % SWV[\IV\ ]VIJPÃVOQO ^WV LMV _QTTSÛZTQKPMV Anfangsbedingungenv]VLs

34

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

MZNZMQ?MQT^IJMZ[KPTQM¾TQKPSWV[\IV\_QZLJQMO\ [MQV/ZIXPQVMQVM0WZQbWV\ITMMQV.WTOTQKPOMP\ LQM*M[KPTM]VQO]VOI\OMOMVV]TT_ÃPZMVL[\ VIKPIVNÃVOTQKPMZ3ZÛUU]VOQVMQVMIV[\MQOMV LM/MZILMÛJMZOMP\. Abb. 2.10)]KPSWUXTQ bQMZ\MZM;Q\]I\QWVMVTI[[MV[QKPOZIXPQ[KPZMTI\Q^ TMQKP\ ]VL ÛJMZ[QKP\TQKP LIZ[\MTTMV [WTIVOM MQVM Y]ITQ\I\Q^M*M[KPZMQJ]VOOMVÛO\

1 2 3 4 5

. Abb. 2.9. Wurfparabel. Geschwindigkeit v und Beschleunigung a haben verschiedene Richtung

Rechenbeispiel 2.2: Fall vom Turm 7 Aufgabe. Mit welcher Geschwindigkeit trifft ein Stein, der von einem 10 m hohen Turm fallen gelassen wird, am Boden auf? Die Luftreibung kann hier vernachlässigt werden. 7 Lösung. Bei konstanter Beschleunigung und Startgeschwindigkeit Null ist ^%O\. Zunächst muss also die Fallzeit berechnet werden. Dazu benutzen wir:

6 7 8

, also

9

Die Geschwindigkeit ist dann: ^ %! U[ [%U[.

10 11

Rechenbeispiel 2.3: Wurf vom Turm

12 13 14 15 16 17 18 19 20

.

. Abb. 2.10. Fall unter Reibung (Einzelheiten im Text)

:MOMV\ZWXNMV NITTMV VQKP\ NZMQ ;QM _MZLMV L]ZKP LQM :MQJ]VO LMZ 4]N\ [W [\IZS OMJZMU[\ LI[[[QM[KPTQM¾TQKPUQ\SWV[\IV\MZ/M[KP_QVLQO SMQ\IU*WLMVIVSWUUMV;KP_MZM
7 Aufgabe. Nun werde der Stein mit ^%U[ horizontal vom Turm weggeworfen. Wie weit vom Turm trifft er auf und mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf den Boden? Die Luftreibung sei vernachlässigbar, die horizontale Geschwindigkeit also konstant. 7 Lösung. Die senkrechte Fallbewegung läuft völlig unabhängig von der horizontalen Bewegung ab. Die Ergebnisse des vorherigen Rechenbeispiels können also übernommen werden. Der Stein ist wieder 1,43 s in der Luft. Wenn die Luftreibung vernachlässigt werden kann, ist die horizontale Geschwindigkeit konstant, die Wurfweite also einfach: Auch die senkrechte Geschwindigkeitskomponente ist immer die gleiche wie im vorherigen Rechenbeispiel. Die gesamte Auftreffgeschwindigkeit ergibt sich aus dem Pythagoras:

35

2.1 · Bewegung

2.1.4 Drehbewegungen

2

!

,QM ZMQVM *IPVJM[KPTM]VQO]VO ÃVLMZ\ V]Z LMV *M\ZIOLMZ/M[KP_QVLQOSMQ\VQKP\QPZM:QKP\]VO ,MZNZMQM.ITTTQMNMZ\MMQV*MQ[XQMT,QMZMQVM:ILQ ITJM[KPTM]VQO]VO ÃVLMZ\ V]Z LQM :QKP\]VO MQVMZ /M[KP_QVLQOSMQ\VQKP\LMV*M\ZIO#[QMU][[[QKP _MVV [QM :ILQITJM[KPTM]VQO]VO JTMQJMV _QTT M` IS\UQ\LMU>MS\WZLMZ/M[KP_QVLQOSMQ\UQ\LZM PMV ]U [\M\[ [MVSZMKP\ I]N QPU b] [\MPMV .ÛZ . Abb. 2.11. Kreisbewegung. Der Körper läuft gegen den LMV ;WVLMZNITT MQVMZ :ILQITJM[KPTM]VQO]VO UQ\ Uhrzeiger und beﬁndet sich auf seiner Bahn rechts („3 Uhr“). SWV[\IV\MU*M\ZIOTÃ[[\[QKPLI[TMQKP\MZZMQKPMV Der Vektor v der Bahngeschwindigkeit zeigt nach oben und ;QM NÛPZ\ VÃUTQKP b] MQVMZ *IPV UQ\ SWV[\IV\MZ läuft dem Radiusvektor r um 90° = π/2 voraus. Beide dre3ZÛUU]VOb]MQVMZ3ZMQ[JIPVIT[W*MQ[XQMT3M\ hen sich in der (kleinen) Zeitspanne Δt um den (kleinen) \MVSIZ][[MTT . Abb. 2.48 ?QM LM[[MV .IPZOÃ[ Winkel Δα. Dazu müssen zu r das (kleine) Wegstück Δs mit Δ[%Z · Δα und zu v die (kleine) Zusatzgeschwindigkeit Δv \Mb]LMZVW\_MVLQOMV*M[KPTM]VQO]VOSWUUMV mit Δ^%^ · Δα vektoriell addiert werden SIVVMZ[\QV7 Kap. 2.3.5JM[XZWKPMV_MZLMV 4Ã]N\MQV3ÕZXMZUQ\SWV[\IV\MU*M\ZIO^[MQ VMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ v I]N MQVMZ 3ZMQ[JIPV UQ\ NMZMV\QMTT STMQVMV 3ZMQ[JWOMV b][IUUMV [WLI[[ LMU:ILQ][Z]U[WTMO\MZQVLMZ=UTI]NbMQ\< UIVNÛZLMV*M\ZIO LMV3ZMQ[]UNIVOπZb]ZÛKS]VLL]ZKPTÃ]N\LMV L[%ZLα ,ZMP_QVSMTπQV*WOMVUI¾^OT7 Kap. 1.5.1" [KPZMQJMV LIZN /IVb IVITWO JZI]KP\ LMZ /M [KP_QVLQOSMQ\[^MS\WZvMQVMb]QPU[MVSZMKP\b] ILLQMZMVLM B][I\bOM[KP_QVLQOSMQ\ Lv UQ\ LMU *M\ZIOLMZ*IPVOM[KP_QVLQOSMQ\ *M\ZIO

ω_QZLI]KP KreisfrequenzOMVIVV\LMZ3MPZ_MZ\ LMZ=UTI]NbMQ\I]KP DrehfrequenzN#LI[b]_MQTMV JMV]\b\M?WZ\i,ZMPbIPTtQ[\QV[WNMZVVQKP\SWZ ZMS\IT[M[[QKPVQKP\]UMQVMLQUMV[QWV[TW[MBIPT PIVLMT\[WVLMZVMQVMZMbQXZWSMBMQ\LQMUQ\LMZ;1 -QVPMQ\[OMUM[[MV_MZLMVSIVVQVLMZ<MKPVQS IJMZI]KPOMZVQVUQV?MVVLMZBIPVIZb\JMQ [MQVMU <]ZJQVMVJWPZMZ I]N LMV 3VWXN it LZÛKS\LZMP\[QKPLMZ*WPZSWXNVQKP\UIT QVLMZ;MS]VLM[WVLMZVV]ZUIT :ILQ][^MS\WZ r ]VL *IPVOM[KP_QVLQOSMQ\ v MQVM[SZMQ[MVLMV5I[[MX]VS\M[[\MPMV[\M\[[MVS ZMKP\ I]NMQVIVLMZ ]VL ZW\QMZMV LIZ]U UQ\ LMZ OTMQKPMV?QVSMTOM[KP_QVLQOSMQ\ ω*MQLMLZMPMV [QKPQVLMZSTMQVMVBMQ\[XIVVMΔ\]ULMVOTMQ KPMVSTMQVMV?QVSMTΔα. Abb. 2.11=UrQV [MQVMVM]M4IOMb]JZQVOMVU][[QPULI[STMQ VM ?MO[\ÛKS Δs ^MS\WZQMTT ILLQMZ\ _MZLMV Δs [\MP\QU?M[MV\TQKPMV[MVSZMKP\I]Nr#M[\]\LQM[ [WOIZ[\ZMVO_MVVUIVM[LQNNMZMV\QMTTSTMQV_MZ LMVTÃ[[\,IVVNÃTT\M[I]KPUQ\LMUMJMVNITT[LQN

L^%^Lα ,I[ MV\[XZQKP\ MQVMZ ZILQITMV [\M\[ I]N LMV 5Q\\MTX]VS\LMZ3ZMQ[JIPVOMZQKP\M\MV*M[KPTM] VQO]VO

UQ\LMU*M\ZIO ?MOMV^%ZωLIZNUIVLINÛZI]KP

[KPZMQJMV ?QM [QKP LQM SZMQ[MVLM 5I[[M LQM[M [\ÃVLQOI]NLI[BMV\Z]ULMZ*IPVbMQOMVLM ZentralbeschleunigungJM[WZO\JTMQJ\b]VÃKP[\WNNMV 2MLMVNITT[ Q[\ MQVM 3ZMQ[JM_MO]VO I]KP LIVV MQ VM ]VOTMQKPNÕZUQO JM[KPTM]VQO\M *M_MO]VO LQM :QKP\]VO LMZ *M[KPTM]VQO]VO ÃVLMZ\ [QKP [\ÃV LQO_MVV[QMUQ\iSWV[\IV\MZ/M[KP_QVLQOSMQ\t MZNWTO\" 6]Z LMZ *M\ZIO LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ Q[\ SWV[\IV\VQKP\LMZ>MS\WZ

36

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

Merke 5 Kreisbewegung: reine Radialbeschleunigung 5 Bahnradius r 5 Umlaufzeit T 1 5 Drehfrequenz f = 3 T 5 Bahngeschwindigkeit Z ^%π3%πZN%ωZ < 5 Winkelgeschwindigkeit = Kreisfrequenz Lα ω%5%πN L\ 5 Radialbeschleunigung

Rechenbeispiel 2.4: Kann es sein, dass sich die Erde dreht? 7 Aufgabe. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde? Welche Radialbeschleunigung erfährt ein Mensch am Äquator? (Radius der Erde: 6,38 · 106 m) 7 Lösung. Die Erde dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit einmal am Tag um ihre Achse. Die Winkelgeschwindigkeit entspricht also der Kreisfrequenz:

13 14

Daraus ergibt sich eine Bahngeschwindigkeit am (also Äquator von ganz schön schnell). Die Radialbeschleunigung ist

15

16 17 18 19 20

Sie ist zum Glück viel kleiner als die Fallbeschleunigung g. Wäre sie größer als g, so würde man davonﬂiegen (7 Kap. 2.3.5). Bevor Newton seine Mechanik entwickelt hatte, galt es als schwerwiegendes Argument gegen eine Drehung der Erde, dass man bei so hohen Geschwindigkeiten doch wegﬂiegen müsste.

2.1.5 Bewegung von Gelenken

2MLM,ZMP]VOMZNWTO\]UMQVM,ZMPIKP[M1V\MKP VQ[KP MQVNIKPMV .ÃTTMV _QM M\_I JMQ BIPVZÃLMZV

Q[\LQM[MIT[i5MKPIVQSMZIKP[MtSWV[\Z]S\Q^^WZ OMOMJMV ]VL TMQKP\ b] MZSMVVMV /Z]VL[Ã\bTQKP SIVV[QKPMQVBIPVZIL[WWN\]U[MQVM)KP[MLZM PMV_QMM[_QTT )]KP JMQ LMV ;KPIZVQMZMV ^WV <ÛZMV ]VL .MV[\MZV MZSMVV\ UIV LQM ,ZMPIKP[M TMQKP\" MQV NM[\UQ\LMZ<ÛZ^MZJ]VLMVMZbaTQVLZQ[KPMZZapfen [\MKS\QVMQVMZNM[\UQ\LMU:IPUMV^MZJ]VLMVMV HülseMQVMU0WPTbaTQVLMZUQ\XZIS\Q[KPOTMQKPMU 1VVMVL]ZKPUM[[MZ,ZMPIKP[MQ[\LQMBIXNMV]VL 0ÛT[M OMUMQV[IUM BaTQVLMZIKP[M 1U /MOMV[I\b b]UBIPVZIL_QZLPQMZIJMZLMZUÕOTQKPM,ZMP _QVSMTUMKPIVQ[KPJMOZMVb\ -[TQMO\VIPM/MTMVSMLM[UMV[KPTQKPMV;SM TM\\[_QM-TTJWOMVWLMZ3VQMIT[;KPIZVQMZMIVb] [MPMV -ZTI]J\ Q[\ LI[ IJMZ V]Z QV OZWJMZ 6ÃPM Z]VO,QM)VI\WUQMbMQO\VÃUTQKPLI[[QV[WTKPMV äGelenken LQM 7JMZãÃKPM LM[ iBIXNMVt [\ÃZSMZ OMSZÛUU\Q[\MQVMVSTMQVMZMV3ZÛUU]VO[ZILQ][ JM[Q\b\IT[LQMUMQ[\V]Z]V^WTT[\ÃVLQOIT[;KPITM I][OMJQTLM\Mi0ÛT[Mt",QMJMQLMVBaTQVLMZãÃKPMV PIJMV _MLMZ OTMQKPMV 3ZÛUU]VO[ZILQ][ VWKP OTMQKPMV 3ZÛUU]VO[UQ\\MTX]VS\ -QV [WTKPM[ /MTMVS SIVV _MQ\I][ ãM`QJTMZ ZMIOQMZMV IT[ MQV ;KPIZVQMZM[U][[IJMZL]ZKP;MPVMV]VL*ÃV LMZ L]ZKP 5][SMT ]VL /M_QKP\[SZÃN\M b][IU UMVOMPIT\MV_MZLMV7PVMLQM[MVKraftschlussâM TMM[I][MQVIVLMZ,INÛZ_QZLM[IJMZJMQ»JMZJM IV[XZ]KP]VOM\_IL]ZKPMQVMV=VNITTVQKP\OTMQKP bMZ[\ÕZ\[WVLMZVUMQ[\V]ZT]`QMZ\ :MQV SQVMUI\Q[KP ]VL WPVM :ÛKS[QKP\ I]N 5ÕOTQKPSMQ\MVLMZ:MITQ[QMZ]VOSIVVUIVNÛZLQM *M_MO]VOMQVM[[WTKPMV/MTMVSM[b_MQ/ZMVbNÃTTM I][LMVSMV. Abb. 2.12" 5 LMZBIXNMVOTMQ\M\I]NLMZ;KPITMLPLMZ*M ZÛPZ]VO[X]VS\_IVLMZ\VQKP\I]NLMUBIXNMV [WVLMZVV]ZI]NLMZ;KPITM#LMZMV)KP[M_QZL b]Z ,ZMPIKP[M LM[ /MTMVSM[ . Abb. 2.12a# [QMJQTLM\LMVZ]PMVLMV8WTLMZ*M_MO]VO

. Abb. 2.12a,b. Gelenkbewegung. Grenzfälle: a Ein fester Punkt des Zapfens gleitet auf der Fläche der Schale – Drehachse = Schalenachse. b Die Fläche des Zapfens gleitet auf einem festen Punkt der Schale – Drehachse = Zapfenachse

37

2.2 · Kraft, Drehmoment, Energie

5 LMZBIXNMVOTMQ\M\QVLMZ;KPITMLPLMZ*M

ZÛPZ]VO[X]VS\_IVLMZ\VQKP\I]NLMZ;KPITM [WVLMZVV]ZI]NLMUBIXNMV#RM\b\JQTLM\LM[ [MV )KP[M LQM ,ZMPIKP[M LM[ /MTMVSM[ LMV Z]PMVLMV8WT. Abb. 2.12b ,QM 6I\]Z MV\[KPMQLM\ [QKP NÛZ B_Q[KPMVNWZUMV UQ\ ÛJMZZI[KPMVLMV 3WV[MY]MVbMV" ,QM ,ZMP IKP[MJTMQJ\_ÃPZMVLLMZ*M_MO]VOVQKP\IT[iZ] PMVLMZ8WTtIU7Z\[QM^MZ[KPQMJ\[QKP]VLL]ZKP TÃ]N\ IT[ momentane Drehachse MQVM Polkurve LQM UÕOTQKPMZ_MQ[M_MQ\I]¾MZPITJLM[/MTMVSM[TQMO\ ,IZÛJMZ PQVI][ [\MTT\ LQM 6I\]Z QPZM BIX NMV]VL;KPITMVVQKP\I]NLMZ,ZMPJIVSPMZ]VL JZI]KP\LIZ]UQU/MOMV[I\bb]Z<MKPVQS<MQT ãÃKPMV ZW\I\QWV[[aUUM\ZQ[KPMZ BaTQVLMZ VQKP\ b]JM^WZb]OMV,IL]ZKP[KPINN\[QM[QKPMQVMb] [Ã\bTQKPM 5ÕOTQKPSMQ\ QPZMV 8WTS]Z^MV ZINâVQMZ\ b_MKSUÃ¾QOM TMQLMZ IJMZ WN\ V]Z [KP_MZ L]ZKP [KPI]JIZM .WZUMV b] OMJMV 6]\bMV TI[[MV [QKP LQM[M5ÕOTQKPSMQ\MVNZMQTQKPV]ZUQ\MQVMUI][OM NMQT\MV:MOMT[a[\MULI[LQM)V[XIVV]VOLMZJM \MQTQO\MV5][SMTVVIKPLMV5MTL]VOMV^WV;MV [WZMV QV 5][SMTV ;MPVMV ]VL /MTMVSMV [QVV ^WTT[\M]MZ\WPVMLI[*M_][[\[MQVUQ\LMV-QVbMT PMQ\MVb]JMTÃ[\QOMV,QM/MTMVSMLMZ?QZJMT\QMZM [QVL_MQ\UMPZIT[MQVNIKPM;KPIZVQMZM

2.2

Kraft, Drehmoment, Energie

2.2.1 Kräfte

!

,MZ 5MV[KP _MQ¾ I][ -ZNIPZ]VO WJ MZ [QKP MQ VMV3IZ\WNNMT[IKSI]ãILMVSIVVWLMZWJMZLQM[ JM[[MZTÃ[[\#MZPI\MQVZMKP\b]^MZTÃ[[QOM[/MNÛPT NÛZLQM Kraft[MQVMZ5][SMTV0QMZ^MZ_MVLM\LMZ ;XZIKPOMJZI]KPLM[)TT\IO[LI[?WZ\3ZIN\OMVI] QU;QVVLMZ8Pa[QS )VMQVMITTOMOMV_ÃZ\QOM3ZIN\PI\[QKPRMLM[QZ LQ[KPM4MJMVIVXI[[MVUÛ[[MV"IVLQM;KP_MZSZIN\ LQM3ZIN\LM[/M_QKP\M[LQMRMLMVUI\MZQMTTMV/M OMV[\IVLVIKP]V\MVbQMP\?MZMQV*]KP^WZ[QKP QV LMZ ;KP_MJM PÃT\ ]U LIZQV b] TM[MV [M\b\ LQM 5][SMTSZIN\ [MQVMZ )ZUM OMOMV LQM /M_QKP\[SZIN\ LM[ *]KPM[ MQV *MQLM 3ZÃN\M UÛ[[MV [QKP OMVI] SWUXMV[QMZMV_MVVLI[*]KPQVLMZ;KP_MJMJTMQ JMV_MVVM[b]SMQVMV*M_MO]VOMVSWUUMV[WTT

2

Merke Statisches Gleichgewicht: Kraft + Gegenkraft = 0.

2MLM /M_QKP\[SZIN\ bQMP\ VIKP ]V\MV# MQVM [QM SWUXMV[QMZMVLM /MOMVSZIN\ U][[ UQ\ OTMQKPMU *M\ZIOVIKPWJMVOMZQKP\M\[MQV3ZÃN\M[QVLLMU VIKP>MS\WZMV?QMUQ[[\UIVQPZM*M\ZÃOM' ?MZ[QKPQV[*M\\TMO\JZI]KP\[MQVM/M_QKP\[ SZIN\VQKP\UMPZ[MTJ[\b]\ZIOMV#MZÛJMZTÃ[[\M[ LMV;\IPTNMLMZVLMZ5I\ZI\bMLQMVÕ\QOM/MOMV SZIN\I]Nb]JZQVOMVQZOMVL_QM2MVIKP3WV[\Z]S \QWV \]V [QM LQM[ L]ZKP ;\I]KP]VO WLMZ L]ZKP ,MPV]VO I]N RMLMV .ITT IT[W L]ZKP Verformung ;WTKPM>MZNWZU]VOMVJTMQJMVWN\]VMZSIVV\?MZ [QKP I]N MQVM *IVS [M\b\ JQMO\ [QM VQKP\ UMZS TQKPL]ZKPIJMZMZJQMO\[QML]ZKP]VLUQ\MQVQ OMUUM[[\MKPVQ[KPMV)]N_IVLTÃ[[\[QKPLI[I]KP VIKP_MQ[MV?MVVUIVI]N[\MP\NMLMZ\LQM*IVS _QMLMZQVQPZM)][OIVO[TIOMb]ZÛKS",QM>MZNWZ U]VO_IZelastischQU/MOMV[I\bb]LMZJTMQJMV LMVLMZ plastischen>MZNWZU]VO^WV*]\\MZWLMZ 3I]O]UUQ >I\MZ .ZIVb JQMO\ LQM *IVS [\ÃZSMZ L]ZKP IT[ <ÕKP\MZKPMV +TI]LQI# MTI[\Q[KPM >MZ NWZU]VOMVTQMNMZVMQV^MZ_MVLJIZM[5I¾NÛZIV OZMQNMVLM 3ZÃN\M *M[WVLMZ[ JM_ÃPZ\ PIJMV [QKP ;KPZI]JMVNMLMZV. Abb. 2.13 ?MZ MQVMV 3ZIN\UM[[MZ SITQJZQMZMV _QTT JZI]KP\ MQV >MZNIPZMV b]Z -ZbM]O]VO LMâVQMZ \MZ 3ZÃN\M# _MZ QPV WJMVLZMQV VWKP MQKPMV _QTT JZI]KP\b][Ã\bTQKPMQVM3ZIN\MQVPMQ\-[TQMO\VIPM NÛZJMQLM[LQMITTOMOMV_ÃZ\QOM;KP_MZSZIN\b]JM

. Abb. 2.13. Schraubenfeder. Eine Kraft . dehnt eine Feder der Ausgangslänge T0 um ΔT. Lineares Kraftgesetz herrscht, wenn ΔT und . zueinander proportional sind: .%, · ΔT (, = Federkonstante)

38

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

V]\bMV>QMZ4Q\MZ?I[[MZ_QMOMVOM_Q[[LWXXMT\ [W^QMT_QMb_MQ4Q\MZ?I[[MZ]VLLQM/M_QKP\[ SZIN\MQVM[4Q\MZ[?I[[MZTQM¾M[QKPOZ]VL[Ã\bTQKP IT[-QVPMQ\^MZ_MVLMV,I[PI\UIVNZÛPMZI]KP OM\IV]VLQPZLMV6IUMVKilopondSXOMOMJMV ,MV )VNWZLMZ]VOMV UWLMZVMZ 5M[[\MKPVQS OM VÛO\ LQM[M -QVPMQ\ IJMZ VQKP\ UMPZ LMVV TMQLMZ MZ_MQ[MV[QKP/M_QKP\[SZÃN\MIT[WZ\[IJPÃVOQO"1V £Y]I\WZVÃPM_QMO\MQV4Q\MZ?I[[MZM\_I[_MVQ OMZIT[QV8WTVÃPM,QM;1-QVPMQ\LMZ3ZIN\PMQ¾\ NewtonIJOMSÛZb\61PZM,MâVQ\QWVSIVVMZ[\ QV7 Kap. 2.3.1JM[XZWKPMV_MZLMV -QVM ;KPZI]JMVNMLMZ LMZ 4ÃVOM T LMPV\ [QKP ]V\MZMQVMZB]OSZIN\ FUQ\LMU*M\ZIO.]UΔT I]N T.%TΔT. /MMQKP\M .MLMZ_IIOMV NWT OMVLIJMQLMUlinearen Kraftgesetz

. Abb. 2.15. Lineares Kraftgesetz. Linearer Zusammenhang zwischen Federlänge T und Kraft .

.%,ΔT WLMZI]KP . T.%T3 , 0QMZ JMbMQKPVM\ , LQM Federkonstante MQVM 3MVVOZÕ¾MLMZRM_MQTQOMV;KPZI]JMVNMLMZ .MLMZSWV[\IV\M,#-QVPMQ\"6U 4ÃVOMVÃVLMZ]VO ΔT ]VL QPZM Dehnung ΔTT LMZ.MLMZ[QVLIT[WÛJMZLQM.MLMZSWV[\IV\M,LMZ IVOZMQNMVLMV3ZIN\.XZWXWZ\QWVIT#QU,QIOZIUU . Abb. 2.16. Umlenken der Gewichtskraft ./: durch Seil und Rolle in eine beliebige Richtung. Der Betrag der Kraft bleibt OQJ\ RMLM Proportionalität MQVM /MZILM L]ZKP LMV unverändert 6]TTX]VS\LM[)KP[MVSZM]bM[. Abb. 2.14B_Q [KPMV.]VLLMZOM[IU\MV4ÃVOMTLMZ.MLMZJM [\MP\ PQVOMOMV SMQVM 8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\ [WVLMZV L]ZKPLMV6]TTX]VS\JM[Q\b\^QMTUMPZMQVMVAchV]Z MQV linearer Zusammenhang -Z OQJ\ QU ,QI senabschnitt. Abb. 2.15 OZIUUMJMVNITT[MQVM/MZILM#[QMTÃ]N\IJMZVQKP\ ,QM;KP_MZSZIN\/M_QKP\[SZIN\bQMP\QUUMZ VIKP ]V\MV# [W Q[\ i]V\MVt LMâVQMZ\ ,]ZKP ;MQT ]VL :WTTM SIVV QPZM ?QZS]VO IJMZ TMQKP\ QV RM LM OM_ÛV[KP\M :QKP\]VO ]UOMTMVS\ _MZLMV _QM . Abb. 2.16bMQO\3ZÃN\M[QVLMJMV>MS\WZMVB_MQ MV\OMOMVOM[M\b\ OTMQKPM PWZQbWV\ITM 3ZÃN\M VIKP . Abb. 2.17MZbM]O\L]ZKPb_MQOTMQKPM/M_QKP\M IVLMV-VLMVMQVM[;MQTM[PMJMV[QKPI]N#LI[;a[ \MUJTMQJ\QV:]PMM[PMZZ[KP\Gleichgewicht,I[ ;a[\MUJTMQJ\I]KPLIVVQV:]PM_MVVUIVLI[ MQVM/M_QKP\L]ZKPMQVMV0ISMVQVLMZ?IVLMZ [M\b\. Abb. 2.182M\b\UÛ[[MV0ISMV]VL?IVL LQM b]U /TMQKPOM_QKP\ VÕ\QOM /MOMVSZIN\ I]N . Abb. 2.14. Lineares Kraftgesetz. Schraubenfeder: ProporJZQVOMVL]ZKPMTI[\Q[KPM>MZNWZU]VO tionalität zwischen Längenänderung ΔT und damit auch zwi;MQTMTI[[MV[QKPV]ZI]N,MPV]VOJMIV[XZ] schen Dehnung ΔT/T0 und Kraft .. Grundsätzlich kann eine Schraubenfeder auch gestaucht werden (gestrichelter Teil) KPMVVQKP\I]N;\I]KP]VO1VNWTOMLM[[MVSÕVVMV

12 13 14 15 16 17 18 19 20

2.2 · Kraft, Drehmoment, Energie

39

2

. Abb. 2.17. Kraft = Gegenkraft . Abb. 2.20. Wäscheleine. Eine straffe Wäscheleine steht unter hoher Spannung, damit die Gewichtskraft F/ von der Vektorsumme (blau) der Kräfte in der Leine kompensiert werden kann

. Abb. 2.18. Gleichgewicht. Erzeugung der zum Gleichgewicht notwendigen Gegenkraft .P durch Verformung von Haken und Wand

. Abb. 2.19. Vektoraddition von Kräften. Beispiel der . Abb. 2.16. Die Kräfte F/ und –F werden durch die Gegenkraft der Halterung der Rolle FP kompensiert

[QM3ZÃN\MV]ZQVQPZMZ4ÃVO[ZQKP\]VOÛJMZ\ZIOMV ?MZLMV[QM_QMQV. Abb. 2.16ÛJMZMQVM:WTTMOM NÛPZ\ [W U][[ LQM 0IT\MZ]VO LMZ :WTTM LQM >MS \WZ[]UUM LMZ JMQLMV LMU *M\ZIO VIKP OTMQKPMV 3ZÃN\MF/]VLwFI]NVMPUMV]VLL]ZKPMQVM/M OMVSZIN\FPSWUXMV[QMZMV. Abb. 2.19,QMLZMQ 3ZÃN\MF/wF ]VLFPJQTLMVIVMQVIVLMZOM[M\b\MQV OM[KPTW[[MVM[,ZMQMKS[QM[]UUQMZMV[QKPIT[Wb] 6]TT_QMM[QU/TMQKPOM_QKP\MJMV[MQVU][[

. Abb. 2.21. Schiefe Ebene. Nur die Komponente F der Gewichtskraft F/ parallel zur Latte muss beim Schieben überwunden werden; die Komponente F wird von der Latte übernommen

)]KP UMPZ IT[ LZMQ 3ZÃN\M SÕVVMV [QKP LQM ?IIOMPIT\MVLIVVVÃUTQKP_MVV[QKPQPZ Kräftepolygon [KPTQM¾\" BMQKPVM\ UIV LQM 3ZIN\XNMQTM PQV\MZMQVIVLMZ[WU][[LQM;XQ\bMLM[TM\b\MVUQ\ LMU)VNIVOLM[MZ[\MVb][IUUMVNITTMV,QMMZ[ \M*MLQVO]VOLINÛZLI[[[QKPVQKP\[JM_MO\TÃ[[\ [QKPLMUVIKPS]Zb]VLITTOMUMQV[KPZMQJMVIT[ *MQ]VOTÛKSTQKPMZ/MWUM\ZQMUÛ[[MVI]KPOM ZQVOM 3ZÃN\M L]ZKP ZMTI\Q^ OZW¾M /MOMVSZÃN\M O MPIT\MV_MZLMV5][\MZJMQ[XQMTQ[\LQM?Ã[KPM TMQVM . Abb. 2.20" 2M [\ZINNMZ UIV [QM [XIVV\ ]U[WOZÕ¾MZUÛ[[MVLQM3ZÃN\MQVLMZ4MQVM[MQV LIUQ\QPZM>MS\WZ[]UUMJTI]LQM/M_QKP\[SZIN\ LM[0IVL\]KP[VWKPSWUXMV[QMZMVSIVV)]NLMZ IVLMZMV;MQ\M[XIZ\MQVMschiefe Ebene3ZIN\"»JMZ MQVM[KPZÃOM4I\\M. Abb. 2.21SIVVLMZ)ZJMQ \MZMQVM;KP]JSIZZMI]NLI[*I]OMZÛ[\J]O[QMZMV WJ_WPT MZ [QM VQKP\ PWKPPMJMV SÕVV\M -Z U][[ V]ZOMOMVLQM3WUXWVMV\MFLMZ/M_QKP\[SZIN\ F/XIZITTMTb]Z4I\\MIV[KPQMJMV,QM3WUXWVMV\M

40

1

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

F[MVSZMKP\b]Z4I\\M_QZL^WVLMV>MZNWZU]VO[ SZÃN\MVLMZ4I\\MSWUXMV[QMZ\

2 2.2.2 Gewichtskraft und Gravitation

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

!

,QM*MPI]X\]VOMQVM.MLMZ_IIOMSWUXMV[QMZMUQ\ LMZMTI[\Q[KPMV3ZIN\QPZMZ;KPZI]JMVNMLMZLQMGewichtskraftLMZIVOMPÃVO\MV4I[\[IO\V]ZLQMPIT JM?IPZPMQ\=UMQVM.MLMZb]LMPVMVU][[UIV IV JMQLMV -VLMV bQMPMV ,QM .MLMZ_IIOM N]VS\Q WVQMZ\V]Z_MVV[QMIUWJMZMV-VLMNM[\OMPIT\MV _QZL,WZ\ÛJMZ\ZÃO\[QMQPZM.MLMZSZIN\XT][MQOM VM/M_QKP\[SZIN\I]NLQM0IT\MZ]VO,QM[M[\Û\b\ [QKPQPZMZ[MQ\[ÛJMZ/M[\MTTMZJQVL]VO[TQVQMb_Q [KPMVLMV5I[[MVIVLQMb]JMQLMV5I[[MVXZW XWZ\QWVITQ[\]VL]UOMSMPZ\XZWXWZ\QWVITb]Z"

0QMZMZ[KPMQV\LQM /ZI^Q\I\QWV[SWV[\IV\M/% w6USO Merke Gravitation: Massen ziehen sich an (Naturgesetz). Gravitationskraft:

,QM/ZI^Q\I\QWVLMZ-ZLM_QZS\_MQ\PQVI][QVLMV ?MT\ZI]U [QM _QZS\ IJMZ I]KP I]N ITTM /MOMV [\ÃVLM QU 4MJMV[ZI]U LM[ 5MV[KPMV ,IL]ZKP _QZL RMLMZ ;\MQV RMLMZ 5MV[KP RMLMZ 3IZ\WNNMT [IKS^WVLMZ-ZLMUQ\[MQVMZRM_MQTQOMV/M_QKP\[ SZIN\./IVOMbWOMV]VLbQMP\[MQVMZ[MQ\[LQM-ZLM UQ\LMZOTMQKPMV[\IZSMVIJMZMV\OMOMVOM[M\b\MV 3ZIN\IV ,I[[KPMQV\I]NLMVMZ[\MV*TQKS]VXTI] [QJMT)JMZLQM-ZLMPI\RIMQVM^QMTOZÕ¾MZM5I[ [MIT[LMZ;IKS]VLZMIOQMZ\LM[PITJI]NLQM)VbQM P]VO[SZIN\XZIS\Q[KPVQKP\ ,QM /M_QKP\[SZÃN\M IV LQM LMZ 5MV[KP [QKP OM_ÕPV\ PI\ _MZLMV L]ZKP 5I[[M ]VL :ILQ][ LMZ-ZLS]OMTJM[\QUU\]VL[QVLLMU/ZI^Q\I\Q WV[OM[M\bb]NWTOMLMZ5I[[MULM[8ZWJMSÕZXMZ[ [\ZMVOXZWXWZ\QWVIT-QV[M\bMVLMZ/ZÕ¾MVTQMNMZ\ QU5Q\\MT" 6 ./%U! 4 SO ,QM 3WV[\IV\M Q[\ OMVI] LQM .ITTJM[KPTM]VQ O]VOO I][ 7 Kap. 2.1.3 ,I[ MZOQJ\ [QKP I][ LMU 6M_\WVs[KPMV/M[M\bLI[IJMZMZ[\QV7 Kap. 2.3 JMPIVLMT\_QZL Merke Schwerkraft = Masse · Fallbeschleunigung

3Wäre die Erde eine mathematische Kugel mit homogen verteilter Massendichte, so wäre die letzte Gleichung überall auf der Erdoberﬂäche mit dem gleichen Zahlenwert gültig. Tatsächlich gilt aber in Djakarta ./ U%! 6SO und am Nordpol ./U%! 6SO.

2.2.3 Arbeit und Energie

!

-[UIKP\5ÛPMMQVM4I[\b]PMJMV#PMZ]V\MZNÃTT\ [QM ^WV ITTMQV )JMZ I]KP _MVV LQM 4I[\ _QMLMZ PMZ]V\MZNÃTT\ _IZ LWKP LQM 5ÛPM LM[ )VPMJMV[ VQKP\OIVb^MZOMJMV[LMVVJMQU0MZ]V\MZNITTMV SIVV M\_I[ JM_QZS\ _MZLMV ]VL [MQ M[ V]Z LI[[ LQM 4I[\ SIX]\\OMP\ ,QM 8Pa[QS JM[KPZMQJ\ LQM [M>WZOÃVOMUQ\LMV/ZÕ¾MV Arbeit]VL Energie 5MV[KP WLMZ 3ZIV TMQ[\MV JMQU 0MJMV LMZ 4I[\ )ZJMQ\WLMZHubarbeitLQM^WVLMZ4I[\IT[ potentielle EnergieOM[XMQKPMZ\_QZL*MQU0MZIJNITTMV

41

2.2 · Kraft, Drehmoment, Energie

2

ZWTTMVWLMZOTMQ\MV_QZLLIVVLQM[M-VMZOQM_QM LMZNZMQOM[M\b\,MZ*MOZQNN)ZJMQ\Q[\QVLMZ8Pa[QS MQVMZMKP\STIZ]VLMQVNIKPLMâVQMZ\M/ZÕ¾M]VL _QZL ^QMT MVOMZ ^MZ[\IVLMV IT[ QV LMZ =UOIVO[ [XZIKPM,QMb]TMQ[\MVLM0]JIZJMQ\Q[\]U[WOZÕ ¾MZRMPÕPMZLQM0]JPÕPMΔPQ[\]ULQMLQM4I[\ OMPWJMV_QZL,I[0MJMVMQVMZ[KP_MZMZMV4I[\ UQ\OZÕ¾MZMZ/M_QKP\[SZIN\./JMLIZNI]KPMQVMZ OZÕ¾MZMV)ZJMQ\-[TQMO\IT[WVIPMLQM0]JIZJMQ\ ?IT[LI[8ZWL]S\I][JMQLMUNM[\b]TMOMV"

0MJ\UIVLQM4I[\UQ\MQVMU.TI[KPMVb]OIV . Abb. 2.22 [W [XIZ\ UIV 3ZIN\ )ZJMQ\ [XIZ\ UIVVQKP\B_IZQ[\LQM3ZIN\.UQ\LMZOMbWOMV _MZLMV U][[ I]NOZ]VL LMZ \ZQKSZMQKPMV :WTTMV SWV[\Z]S\QWV OMZQVOMZ IT[ LQM /M_QKP\[SZIN\ ./ IJMZLI[;MQTU][[I]KPLQMTÃVOMZM;\ZMKSM[OM bWOMV _MZLMV ,I[ 8ZWL]S\ I][ JMQLMU JTMQJ\ OTMQKP"

. Abb. 2.22. Flaschenzug (Einzelheiten im Text)

3Im Flaschenzug verteilt sich die Gewichtskraft ./ der Last gleichmäßig auf die V Teilstücke des Seiles. Die Gegenkraft F braucht deshalb nur die Teilkraft ./V zu kompensieren. Zum Heben der Last um ΔP muss freilich jedes Teilstück des Seiles entsprechend verkürzt werden, das gesamte Seil also um [ = V · ΔP.

,QM L]ZKP LI[ 0MJMV LMZ 4I[\ PQVb]OM_WVVMVM potentielle EnergieΔ?XW\MV\[XZQKP\OMZILMLQM[MZ OMTMQ[\M\MV0]JIZJMQ\5IVSIVVIT[WI]KP[KPZMQ JMV"

)ZJMQ\]VL-VMZOQMPIJMVLQMOTMQKPM-QVPMQ\ ]VL[QVLMVO^MZ_IVL\ Merke

LMZVMV )TT\IO Q[\ [QM b] STMQV# LWZ\ JMV]\b\ UIV TQMJMZ LQM Kilowattstunde S?P%2 ;QMPI\MQVMV3TMQVPIVLMT[_MZ\^WVM\_I+MV\ 1U 4MJMV[UQ\\MTJMZMQKP \I]KP\ UIVKPUIT VWKP LQM3ITWZQMKITI]NQVLMZ)\WUXPa[QSLI[-TMS \ZWVMV^WT\M> Merke SI-Einheit der Energie: Newtonmeter (Nm) = Joule (J) = Wattsekunde (Ws) Weitere Einheiten: Kilowattstunde: 1 kWh = 3.600.000 J Elektronenvolt: 1 eV = 1,602 · 10–19 J Kalorie 1 cal = 4,184 J

)VLMZ[IT[)ZJMQ\Q[\-VMZOQMMQVZMKP\SWUXTQbQMZ \MZ]VL[MPZ^QMT[KPQKP\QOMZ*MOZQNNQVLMZ8Pa[QS Potentielle Energie beim Heben: -VMZOQM PI\ LQM JMUMZSMV[_MZ\M -QOMV[KPIN\ QV UIVKPMZTMQ ]V\MZ[KPQMLTQKPMV .WZUMV I]N\ZM\MV b]SÕVVMV]VL[QKP^WVLMZMQVMVQVLQMIVLMZM )][LQM[MUB][IUUMVPIVONWTO\LI[[LQM-VMZ ÛJMZNÛPZMVb]TI[[MV#QV[WNMZVQ[\[QM_IVLMTJIZ OQM QV LMZ -QVPMQ\ Newtonmeter 6U OMUM[[MV ;QM SIVV IJMZ _MLMZ OM[KPINNMV VWKP ^MZVQKP\M\ _MZLMVSIVV;QM_QZLI]KPJoule2OMVIVV\]VL _MZLMV# QV[WNMZV Q[\ [QM ]V_IVLMTJIZ QPZ *M\ZIO Q[\XMZLMâVQ\QWVMUOTMQKPLMZWattsekunde?[ JTMQJ\SWV[\IV\ LMZ-QVPMQ\LMZMTMS\ZQ[KPMV-VMZOQM.ÛZLMVUW

42

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

7PVMelektrische EnergieTMQKP\b]OÃVOTQKPJM ZMQ\OM[\MTT\ ^WV RMLMZ ;\MKSLW[M SIVV [QKP UIV KPMZMQV4MJMVOIZVQKP\UMPZ^WZ[\MTTMV/M_WV VMV_QZL[QMÛJMZ_QMOMVLI][chemischer Energie L]ZKP>MZJZMVV]VO^WV3WPTM]VL-ZLÕTVÃUTQKP )]KP5MV[KP]VL
. Abb. 2.23. Potentielle Energie einer Feder. Zum linearen Kraftgesetz einer Schraubenfeder (. Abb. 2.13) gehört eine parabolische Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Dehnung (Stauchung gestrichelt)

. Abb. 2.24. Ziehen: Nur die horizontale Komponente der Zugkraft leistet Arbeit

OQMLMZIVOMPWJMVMV4I[\I]NLQM7JMZSIV\MLM[ 4IJWZ\Q[KPM[ I]N 5MMZM[PÕPM I]N LI[ BMV\Z]U LMZ-ZLMWLMZI]N[WV[\MQV6Q^MI]JMbQMP\£VLM Z]VOMVLMZXW\MV\QMTTMV-VMZOQM_MZLMV^WVLMZ ?IPTLM[6]TTX]VS\[VQKP\JMMQVã][[\ 3ZÃN\M[QVL>MS\WZMVLQM-VMZOQMQ[\MQV;SI TIZ?MZ[QKPVIKP)Z\LMZ . Abb. 2.24^WZMQVMV ?IOMV [XIVV\ bQMP\ ]U LMV ?QVSMT α [KPZÃO VIKPWJMV5Q\LMZ^MZ\QSITMV3WUXWVMV\M[MQVMZ B]OSZIN\.MV\TI[\M\MZTMLQOTQKPLQM>WZLMZIKP[M *MQ LMZ ;KPZI]JMVNMLMZ UQ\ QPZMU TQVMIZMV [MQVM[?IOMV[#V]ZLQMPWZQbWV\ITM3WUXWVMV\M 3ZIN\OM[M\b .[%,[ 7 Kap. 2.2.1 MZOQJ\ [QKP UQ\LMU*M\ZIO LQMXW\MV\QMTTM-VMZOQMLMZb][IUUMVOMLZÛKS\MV .P%.KW[α .MLMZIVITWOb]UNZMQMV.ITT7 Kap. 2.1.3" LQMV\LM[[MV*M_MO]VO;QMITTMQVbÃPT\JMQLMZ*M ZMKPV]VOLMZOMTMQ[\M\MV)ZJMQ\" )T[ /ZIXP SWUU\ IT[W MQVM 8IZIJMT PMZI][ ?%.Δ[KW[α . Abb. 2.23 0QMZbMQO\[QKPMQVMUMZS_ÛZLQOM-QOMV[KPIN\ ,QM[M.WZUMTTÃ[[\WNNMVWJUIVLQM3WUXW LMZ XW\MV\QMTTMV -VMZOQM" ?XW\ TÃ[[\ [QKP ÛJMZ VMV\MLMZ3ZIN\QV:QKP\]VOLM[?MOM[QV[QMMQV PI]X\ V]Z LMâVQMZMV JQ[ I]N MQVM willkürliche ad- OM[M\b\ PI\ WLMZ LQM 3WUXWVMV\M LM[ ?MOM[ QV ditive Konstante?#M[Q[\OZ]VL[Ã\bTQKPOTMQKPOÛT :QKP\]VOLMZ3ZIN\5I\PMUI\Q[KPPIVLMT\M[[QKP \QOWJUIVLMV6]TTX]VS\LMZXW\MV\QMTTMV-VMZ ]ULI[skalare ProduktLMZJMQLMV>MS\WZMVF]VL

43

2.2 · Kraft, Drehmoment, Energie

2

s7 Kap. 1.4;QVL.]VL αVQKP\SWV[\IV\U][[ QV\MOZQMZ\ _MZLMV ]VL b_IZ ÛJMZ LQM[M[ [SITIZM 8ZWL]S\b_MQMZ>MS\WZMV-[MZOQJ\[QKPMQV[WO 4QVQMVQV\MOZITLI[UIV[QKPVQKP\UMPZ[WWPVM _MQ\MZM[ IT[ MQVM .TÃKPM ]V\MZ MQVMU .]VS\QWV[ OZIXPMV ^WZ[\MTTMV SIVV -[ JMLM]\M\ LI[[ UIV LMV/M[IU\_MOQV^QMTMS]ZbMNI[\OMZILM?MO[\Û KSMbMZTMO\]VLLIVVLQMI]NLQM[MV?MO[\ÛKSMV OMTMQ[\M\M)ZJMQ\[]UUQMZ\ . Abb. 2.25. Keine Arbeit: Wer einen Mehlsack horizontal 7PVM?MOSMQVM)ZJMQ\ )T[i?MOtbÃPT\IJMZ über den Hof trägt, leistet keine mechanische Arbeit gegen V]Z LM[[MV 3WUXWVMV\M QV :QKP\]VO LMZ 3ZIN\ die Schwerkraft ?MZ [QKP MQVMV 5MPT[IKS I]N LQM ;KP]T\MZV TÃL\ TMQ[\M\ )ZJMQ\ 0]JIZJMQ\ VÃUTQKP ?MZ LMV ;IKS ;W _IVLMTJIZ LQM -Z[KPMQV]VO[NWZUMV LMZ LIVV IJMZ [\ZMVO PWZQbWV\IT ÛJMZ LMV 0WN \ZÃO\ -VMZOQM[QVL[W]V_IVLMTJIZQ[\QPZ*M\ZIO,MZ . Abb. 2.25TMQ[\M\QU;QVVLMZ5MKPIVQSSMQVM i;I\b^WVLMZ-ZPIT\]VOLMZ-VMZOQMtLMZEnergie)ZJMQ\UMPZ,I[[MZ\ZW\bLMUMZUÛLM\Q[\[MQVM satzIT[WOQT\b]^MZTÃ[[QO =VOM[KPQKSTQKPSMQ\"0Ã\\MMZMQVMV?IOMVOMJI]\ Merke ]VL [WZONÃT\QO ITTM :MQJ]VO ^MZUQMLMV [W PÃ\ \MMZLMV;IKSMQVUITI]NOMTILMVUQ\LMUSTMQ Energiesatz: Energie kann weder ins Nichts VMV.QVOMZÛJMZLMV0WN[KPQMJMVSÕVVMVWPVM verschwinden noch aus dem Nichts entstehen, )ZJMQ\_MQTXZIS\Q[KPWPVM3ZIN\?MO]VL/M sie kann lediglich von einer Energieform in ei_QKP\[SZIN\[\MPMV[MVSZMKP\I]NMQVIVLMZQPZ[SI ne andere umgewandelt werden. TIZM[8ZWL]S\Q[\V]TT Merke „Arbeit = Kraft · Weg“:

Klinik Halten macht auch Mühe. Reine Haltebetätigung leistet keine mechanische Arbeit; der Weg fehlt. Für sie Energie einzusetzen, ist Verschwendung, kann aber manchmal nicht verhindert werden. Das gilt zum Beispiel für äMuskeln. Sie können sich unter Kraftentwicklung zusammenziehen und dabei mechanische Arbeit leisten, beim Klimmzug etwa oder beim Aufrichten aus der Kniebeuge. Ein Muskel muss aber auch dann Energie umsetzen, wenn er sich lediglich von einer äußeren Kraft nicht dehnen lassen will. Die Natur hat Mensch und Tier so konstruiert, dass im Allgemeinen nur wenig Muskelarbeit für reine Haltebetätigung eingesetzt werden muss. Wer aufrecht steht, den trägt im Wesentlichen sein Skelett. Wer aber in halber Kniebeuge verharrt, dem zittern bald die Knie.

3MQVMU 6I\]ZOM[M\b Q[\ [W ^QMT )]NUMZS[IUSMQ\ OM_QLUM\SMQVM[Q[\[WWN\]VL[W[WZONÃT\QOÛJMZ XZÛN\_WZLMV_QMLMZ-VMZOQM[I\b;KPWVJM^WZMZ MV\LMKS\ _]ZLM PIJMV bIPTZMQKPM -ZâVLMZ ^MZ OMJTQKP^MZ[]KP\QPVL]ZKPLQM3WV[\Z]S\QWVMQ VM[ Perpetuum mobile M`XMZQUMV\MTT b] _QLMZTM OMV ,IZ]U LIZN UIV [QKP ^WV PÃ]âO JMV]\bMV >WSIJMTV_QMi-VMZOQMMZbM]O]VOtWLMZi-VMZOQM ^MZJZI]KPtVQKP\QZZMTMQ\MVTI[[MV ?MZIZJMQ\M\TMQ[\M\M\_I[#_MZ[KPVMTTMZIZJMQ \M\TMQ[\M\UMPZ6IKPLQM[MU;I\bTM]KP\M\LQMNWT OMVLM ,MâVQ\QWV LMZ XPa[QSITQ[KPMV /ZÕ¾M Leistung]VUQ\\MTJIZMQV" Leistung

;1-QVPMQ\Q[\2W]TM;MS]VLM%?I\\%? Merke Leistung SI-Einheit 1 J/s = 1 Watt = 1 W

44

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

=U LQM :MIS\QWVMV LM[ UMV[KPTQKPMV 7ZOIVQ[ U][ I]N SÕZXMZTQKPM *MTI[\]VO b] ]V\MZ[]KPMV JMV]\b\LMZ;XWZ\IZb\OMZVLI[[WO Fahrradergometer5IV[M\b\[QKPI]NLMV;I\\MTMQVM[[\I\QWVÃ ZMVi.IPZZILM[t]VLPÃT\LQM
2.2.4 Kinetische Energie

!

4Ã[[\ UIV MQVMV ;\MQV LMZ 5I[[MU NITTMV [W ^MZTQMZ\ MZ XW\MV\QMTTM -VMZOQM ?W JTMQJ\ [QM LI -VMZOQM LWKP VQKP\ ^MZ[KP_QVLMV SIVV' 4Ã[[\ UIVMQVMV;\MQVNITTMV[WOM_QVV\MZ/M[KP_QV LQOSMQ\v#b]QPZOMPÕZ\ kinetische Energie?SQV%3 U^ 3Dass diese Deﬁnition zumindest insofern vernünftig ist, als sie sich mit Energiesatz und Fallgesetz verträgt, sieht man leicht: Nach der Fallzeit Δ\ hat der Stein die Geschwindigkeit ^%O · Δ\ erreicht, die Strecke Δ[ = O · Δ\ durchfallen und die potentielle Energie U · O · Δ[ = U · O · O · Δ\ % U · O · Δ\ = U · ^ in kinetische Energie umgesetzt.

Merke Kinetische Energie ?SQV%U^

Rechenbeispiel 2.5: Kleinwagen 7 Aufgabe. Ein ﬂotter Kleinwagen wiege 1000 kg und habe eine maximale Motorleistung von 66 kW (entspricht 90 PS). Wie schnell kann er günstigstenfalls einen 500 m hohen Berg hinauffahren? 7 Lösung. Die zu leistende Hubarbeit ist Leistet das Auto konstant 66 kW, so braucht es für diese Arbeit die Zeit

-QV5][\MZJMQ[XQMTNÛZ[\ÃVLQOM=U_IVLT]VOSQ VM\Q[KPMZ -VMZOQM QV XW\MV\QMTTM ]VL ]UOMSMPZ\ TQMNMZ\ LI[ .ILMVXMVLMT . Abb. 2.27 ,QM MZ[\M )][TMVS]VO^WV0IVLPMJ\LMV;KP_MZX]VS\LMZ 3]OMT]ULQM0]JPÕPMΔPIVMZPÕP\IT[WLQMXW \MV\QMTTM-VMZOQM]U Δ?XW\%UOΔP ,QM[MZ*M\ZIOQ[\LIVV^WTTQVSQVM\Q[KPM-VMZ OQM]UOM_IVLMT\_WZLMV_MVVLI[8MVLMTL]ZKP

14 15 16 17 18 19 20 . Abb. 2.26. Leistung beim Treppesteigen

. Abb. 2.27. Energieerhaltung beim Fadenpendel. Beide Umkehrpunkte liegen um die gleiche Höhe ΔP über dem Tiefstpunkt der Ruhelage

45

2.2 · Kraft, Drehmoment, Energie

[MQVM:]PMTIOM[KP_QVO\#M[\]\LQM[UQ\LMZ/M [KP_QVLQOSMQ\^" ?SQV%3 U^ %Δ?XW\ ,IZI][NWTO\ 0QV\MZ LMZ :]PMTIOM _IVLMT\ [QKP SQVM\Q[KPM -VMZOQM _QMLMZ QV XW\MV\QMTTM ]U ]VL b_IZ [W TIVOM JQ[ LQM 8MVLMTS]OMT QV QPZMU =USMPZ X]VS\b]Z:]PMSWUU\;QM\]\LQM[I]NLMZ0Õ PMΔPÛJMZLMUWVV]VIV_QMLMZ PWT\ [QKP LI[ ;XQMT XMZQWLQ[KP )]N LQM 0ÕPMΔP [\MQO\LQM3]OMTI]KPLIVV_MVVUIVQPZMU.I LMVMQV0QVLMZVQ[QVLMV?MO[\MTT\Fangpendel w. Abb. 2.28 ,QM /M[KP_QVLQOSMQ\ ^ UQ\ LMZ LI[ 8MVLMT L]ZKP [MQVM :]PMTIOM [KP_QVO\ PÃVO\ V]Z ^WV LMZ0]JPÕPMΔPIJVQKP\^WVLMZ5I[[MVQKP\ ^WVLMZ.ILMVTÃVOMVQKP\^WVLMZ.WZULMZ*IPV ^ [\QUU\ UQ\ LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ MQVM[ 3ÕZ XMZ[ÛJMZMQVLMZLQM;\ZMKSMΔPI][LMZ:]PMNZMQ L]ZKPNITTMVPI\0QMZbMQO\[QKPLMZ>WZ\MQTMQVMZ[W ITTOMUMQV OÛT\QOMV *MbQMP]VO _QM LMZ LM[ -VMZ OQM[I\bM["LI[3QVLI]NLMZ;KPI]SMTLMZ;SQ[XZQV OMZIU;KPIVbMV\Q[KPLMZ?IOMVLMZ)KP\MZJIPV LMZ)XNMTLMZ^WU*I]UNÃTT\"NÛZITTM/M[KP_QV LQOSMQ\MVOQT\LI[OTMQKPM/M[M\bj j [WNMZV UIV LQM :MQJ]VO ^MZVIKPTÃ[[QOMV LIZN:MQJ]VONÛPZ\b]MQVMZ3ZIN\LQMLQM*M_M O]VO IJJZMU[\ 7 Kap. 2.3.2 )]KP OMOMV LQM[M :MQJ]VO[SZIN\U][[)ZJMQ\OMTMQ[\M\_MZLMV#NZÛ PMZWLMZ[XÃ\MZbMPZ\[QMLQMSQVM\Q[KPM-VMZOQMRM

. Abb. 2.28. Energieerhaltung beim Fangpendel. Auch jetzt liegen beide Umkehrpunkte auf gleicher Höhe und um ΔP über dem Tiefstpunkt

2

LMZ [QKP [MTJ[\ ÛJMZTI[[MVMV *M_MO]VO I]N ]VL _IVLMT\[QMQV?ÃZUM]U)]KPb]Z?ÃZUMOM PÕZ\SQVM\Q[KPM-VMZOQMLQMLMZ]VOMWZLVM\MV*M _MO]VOMQVbMTVMZ)\WUM]VL5WTMSÛTMVÃUTQKP ,QM[M=VWZLV]VOPI\IJMZMQVM[WOZ]VL[Ã\bTQKPM *MLM]\]VOLI[[LQM?ÃZUMUQ\^WTTMU:MKP\IT[ MQOMVM-VMZOQMNWZUIVOM[MPMV_QZL

Rechenbeispiel 2.6: Beschleunigung des ﬂotten Kleinwagens 7 Aufgabe. Unser Kleinwagen (m = 1000 kg, Motorleistung 66 kW) beschleunige aus dem Stand 10 Sekunden lang mit maximaler Leistung. Welche Geschwindigkeit hat er dann erreicht? Reibung wollen wir in dieser Abschätzung vernachlässigen. 7 Lösung. Die vom Motor geleistete Arbeit erhöht die kinetische Energie des Autos:

Rechenbeispiel 2.7: Ein letzter Wurf vom Turm 7 Aufgabe. Nun haben wir noch eine andere Art kennengelernt, wie wir im Rechenbeispiel 2.3 (horizontaler Wurf vom Turm mit ^ = 15 m/s) die Auftreffgeschwindigkeit auf den Boden berechnen können. Es geht auch mit dem Energiesatz. Wie? 7 Lösung. Der Stein startet mit der kinetischen Energie . Beim Fallen vom Turm wird zusätzlich noch die potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Die gesamte kinetische Energie beim Auftreffen . ist also: Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit v beim Auftreffen:

Das hatten wir schon einmal herausbekommen. Der Abwurfwinkel geht in diese Rechnung gar nicht ein. Die Auftreffgeschwindigkeit ist tatsächlich immer gleich, unabhängig davon, in welche Richtung wir werfen. Nicht unabhängig vom Winkel ist natürlich die Wurfweite. Bei ihrer Berechnung hilft der Energiesatz nicht.

46

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Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

3QVM\Q[KPM -VMZOQM _IVLMT\ [QKP NZMQ_QTTQO QV ?ÃZUM]UQUUMZ]VL]V^MZUMQLTQKP">WTTSWU UMVTÃ[[\[QKP:MQJ]VOVQKP\I][[KPIT\MVB]_MQ TMV_QZL[QM[WOIZLZQVOMVLOMJZI]KP\b*LIVV _MVV MQV [KPVMTTM[ )]\W XTÕ\bTQKP IJOMJZMU[\ _MZLMV U][[ ]U MQVM 3IZIUJWTIOM b] ^MZUMQ LMV,IVV[WTT[QKP^QMTSQVM\Q[KPM-VMZOQMZI[KP QV?ÃZUM]U_IVLMTV",QM*ZMU[MV_MZLMVPMQ¾ /MTQVO\ LQM[ VQKP\ [KPVMTT OMV]O [W MV\[\MP\ LQM ZM[\TQKPM?ÃZUMJMQXTI[\Q[KPMZ>MZNWZU]VO^WV *TMKP

2.2.5 Hebel und Drehmoment

!

,QM ;SMTM\\M LMZ ?QZJMT\QMZM JM[\MPMV I][ MQVMZ >QMTbIPT^WV0MJMTV,Ib]OMPÕZ\I]KPLMZTQVSM =V\MZIZULM[5MV[KPMV. Abb. 2.290ÃT\UIV QPVPWZQbWV\ITQVLMZ0IVLMQVM0IV\MT[W^MZ []KP\ LMZMV /M_QKP\[SZIN\ LI[ -TTJWOMVOMTMVS b]ÕNNVMV,MZ*QbMX[SIVVLI[IJMZ^MZPQVLMZV ?MQTMZLQKP\VMJMVLMU-TTJWOMVIU=V\MZIZU IVOZMQN\U][[[MQVM5][SMTSZIN\ITTMZLQVO[LM]\ TQKPOZÕ¾MZ[MQVIT[LQM/M_QKP\[SZIN\LMZ0IV\MT# LMZ*QbMX[i[Q\b\IUSÛZbMZMV0MJMTIZUt1V[MQ VMZMQVNIKP[\MV.WZUTI]\M\LI[Hebelgesetz" 3ZIN\UIT3ZIN\IZU%4I[\UIT4I[\IZU -[TQMO\VIPMLQM/M_QKP\[SZIN\LMZ0IV\MTIT[ i4I[\tb]JMbMQKPVMV]VLLQM5][SMTSZIN\LM[*Q bMX[M[IT[i3ZIN\t=UOMSMPZ\OMP\M[IJMZI]KP 4ÃVOM LM[ Hebelarms Q[\ LMZ )J[\IVL b_Q[KPMV LMU )VOZQNN[X]VS\ LMZ RM_MQTQOMV 3ZIN\ ]VL LMZ ,ZMPIKP[M .ÛZ LMV *QbMX[ [QVL LI[ ]VOMNÃPZ UUTQV. Abb. 2.29_ÃPZMVLLMZ=V\MZIZU M\_IKUTIVOQ[\T Merke Einfachste Form des Hebelgesetzes: Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm.

. Abb. 2.29. Arm und Bizeps. Als einarmiger Hebel: Kraft und Last greifen, auf die Drehachse (Ellbogengelenk) bezogen, auf der gleichen Seite an; der Hebelarm des Muskels (T ~ 30 mm) ist wesentlich kleiner als der Hebelarm (T ~ 30 cm) der Hantel

0MJMTb_MQ*MLQVO]VOMVMZNÛTTMVLQM[QKPQUZM ITMV -`XMZQUMV\ V]Z VÃPMZ]VO[_MQ[M ^MZ_QZSTQ KPMV TI[[MV" ,MZ 0MJMT [WTT MQVMZ[MQ\[ [\IZZ [MQV [QKPIT[W_MLMZLMPVMVVWKP[\I]KPMVVWKP^MZ JQMOMV TI[[MV ]VL IVLMZMZ[MQ\[ UI[[MTW[ IT[W SMQVM/M_QKP\[SZIN\PIJMV ,IVV[XQMT\LMZ0MJMTQVMQVMZ;Q\]I\QWV_QM [QM . Abb. 2.30 LIZ[\MTT\ SMQVM :WTTM" ,QM .MLMZ _IIOM U][[ [W WLMZ [W LQM /M_QKP\[SZIN\ ÛJMZ VMPUMV 5IV SIVV IJMZ I]KP [IOMV 3ZIN\IZU ]VL4I[\IZU[MQMVOTMQKP]VLLIZ]UUÛ[[\MVM[ 3ZIN\ ]VL 4I[\ MJMVNITT[ [MQV 0ITJQMZ\ UIV LMV 4I[\IZU. Abb. 2.31[WSWUU\LQM.MLMZ_IIOM UQ\LMZPITJMV3ZIN\I][=UOMSMPZ\U][[[QMLQM LWXXMT\M 3ZIN\ I]NJZQVOMV _MVV UIV QPZMV 0M JMTIZUPITJQMZ\. Abb. 2.32,I[;XQMTTÃ[[\[QKP I]N^QMTMZTMQ?MQ[M^IZQQMZMV?I[QUUMZUIV\]\ QU /TMQKPOM_QKP\ OQT\ LI[ 0MJMTOM[M\b LI[ [QKP RM\b\I]KPUI\PMUI\Q[KPNWZU]TQMZMVTÃ[[\6MVV\ UIVLQM*M\ZÃOMLMZ3ZÃN\M^WVi3ZIN\t]VLi4I[\t .]VL.]VLLQMb]OMPÕZQOMV0MJMTIZUMT]VL T[WQ[\ T.%T.

LQM*MLQVO]VOLM[/TMQKPOM_QKP\[LQM*MLQVO]VO LINÛZLI[[LMZ0MJMTZ]PQOJTMQJ\]VL[QKPVQKP\ -UXQZQ[KPTÃ[[\[QKPLI[0MJMTOM[M\bb*UQ\MQ JM_MO\ ,QMTM\b\M/TMQKP]VOQOVWZQMZ\LI[[3ZÃN\M]VL VMZ;\IVOM]V\MZ[]KPMVLQMIUTQVSMV-VLMLZMP JIZ OMTIOMZ\ Q[\ ]VL QV 4ÃVO[ZQKP\]VO ^MZ[KPQMJ 0MJMTIZUM>MS\WZMV[QVL#[QMSIVV[QKPLI[TMQ[ JIZM 0ISMV JM[Q\b\ VIKP ]V\MV b]U )VPÃVOMV \MV_MQT[QMV]ZMQVMV;WVLMZNITTb]JM[KPZMQJMV ^WV/M_QKP\[STÕ\bMVVIKPWJMVb]U-QVPÃVOMV JZI]KP\" PWZQbWV\ITM 0MJMTIZUMl ]VL ^MZ\QSI ^WV .MLMZ_IIOMV 1U /MLIVSMV^MZ[]KP [WTT LMZ TM/M_QKP\[SZÃN\MFIT[WZMKP\M?QVSMTb_Q[KPMV

47

2.2 · Kraft, Drehmoment, Energie

2

. Abb. 2.33. Bizeps. Im Allgemeinen greift der Bizeps schräg am Unterarm an . Abb. 2.30. Hebel 1. Die Federwaage kompensiert die Gewichtskraft, ob der Hebel nun da ist oder nicht. Die blauen Pfeile zeigen die Kraftvektoren

. Abb. 2.34. Hebel 4. Auch die Federwaage kann schräg am Hebel angreifen . Abb. 2.31. Hebel 2. Hängt man die Last auf halben Hebelarm, so braucht die Federwaage nur die halbe Kraft aufzubringen. Die andere Hälfte liefert das Lager

. Abb. 2.35. Komponentenzerlegung. Nur die Vertikalkomponente F> der Federkraft F. hat Bedeutung für das Hebelgesetz . Abb. 2.32. Hebel 3. Wird der Kraftarm halbiert, so muss die Kraft verdoppelt werden

l]VLF*MQU=V\MZIZUOQT\LI[VQKP\#[MTJ[\_MVV MZ_IIOMZMKP\OMPIT\MV_QZLbQMP\LMZ*QbMX[IJ PÃVOQO^WVLMZ8W[Q\QWVLM[7JMZIZU[QU)TTOM UMQVMV[KPZÃOVIKPWJMV. Abb. 2.331U5W LMTT^MZ[]KPSIVVUIVLQM[MV.ITTLIL]ZKPVIKP JQTLMVLI[[UIVLQM.MLMZ_IIOMMJMVNITT[[KPZÃO VIKPWJMVbQMPMVTÃ[[\UQ\MQVMU?QVSMT βb_Q [KPMVQPZ]VLLMU0MJMTIZU. Abb. 2.34,IVV PI\ V]Z LQM ^MZ\QSITM 3WUXWVMV\M F^ LMZ .MLMZ SZIN\F*MLM]\]VONÛZLI[0MJMTOM[M\b_ÃPZMVL LQMPWZQbWV\ITM3WUXWVMV\MFPTMLQOTQKPLMV0M JMTb]LMPVMV^MZ[]KP\]VLTM\b\TQKP^WU)KP[TI OMZI]NOMNIVOMV_MZLMVU][[. Abb. 2.35,I[ 3ZÃN\MLZMQMKSQ[\ZMKP\_QVSTQO]VLMZTI]J\LIZ]U LQM *M\ZÃOM LMZ 3WUXWVMV\MV UQ\ LMV ?QVSMT

N]VS\QWVMV ;QV][ ]VL 3W[QV][ ]VUQ\\MTJIZ I][ b]ZMKPVMV" .^%..[QVβ#.P%..KW[β ,IL]ZKP JMSWUU\ LI[ 0MJMTOM[M\b LQM /M [\IT\ T.^%T.^ ]VLI][U]T\QXTQbQMZ\LQM.WZU T.[QVβ%T.[QVβ 5IV SIVV LMV ;QV][ LM[ ?QVSMT[ b_Q[KPMV 3ZIN\ ]VL 0MJMTIZU I]KP IVLMZ[ LM]\MV VÃU TQKP L]ZKP LQM ,MâVQ\QWV MQVM[ [WO effektiven Hebelarms TMNN -Z Q[\ LMZ SÛZbM[\M )J[\IVL b_Q [KPMV LMZ ,ZMPIKP[M ]VL LMZ Kraftwirkungslinie . Abb. 2.36[\MP\IT[W[MVSZMKP\I]NJMQLMV"

48

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

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. Abb. 2.36. Effektiver Hebelarm. Zur Deﬁnition des effektiven Hebelarms TMNN und der Kraftwirkungslinie

TMNN%T[QVβ 1VLQM[MZ1V\MZXZM\I\QWV[KPZMQJ\[QKPLI[0M JMTOM[M\b TMNN.%TMNN. _I[ I][U]T\QXTQbQMZ\ b] LMU OTMQKPMV -ZOMJVQ[ NÛPZ\5I\PMUI\Q[KP[XQMT\M[SMQVM:WTTMWJUIV LMV;QV][LMZ3ZIN\b]WZLVM\3WUXWVMV\MVbMZ TMO]VO WLMZ LMU 0MJMTIZU MNNMS\Q^MZ 0MJMT IZU#V]ZLIZNUIVVQKP\JMQLM[b]OTMQKP\]V

5MKPIVQ[KPM-VMZOQM]VL,ZMPUWUMV\_MZ LMV JMQLM QV 6M_\WVUM\MZ OMUM[[MV LMVV [QM [QVLJMQLM8ZWL]S\M^WVRM_MQT[MQVMZ3ZIN\]VL MQVMZ4ÃVOMLMU;KP]J_MOJb_LMU0MJMTIZU ,MZ-QVPMQ\[QMP\UIVVQKP\IVLI[[M[[QKPJMQU ,ZMPUWUMV\ ]U MQV ^MS\WZQMTTM[ JMQ LMZ -VMZ OQMIJMZ]UMQV[SITIZM[8ZWL]S\b_MQMZ>MS\WZMV PIVLMT\,QM6IUMV2W]TM]VL?I\\[MS]VLMJTMQ JMVIJMZLMZ-VMZOQM^WZJMPIT\MV Rechenbeispiel 2.8: Oktoberfest 7 Aufgabe. Welche Kraft muss der Bizeps einer Kellnerin auf dem Oktoberfest ungefähr entwickeln, wenn sie in jeder Hand sechs volle Maßkrüge trägt? Ein voller Krug hat eine Masse von etwa 2 kg. Die Maße der Arme entnehme man . Abb. 2.26. 7 Lösung. Der Bizeps sitzt am kürzeren Hebel und muss die zehnfache Gewichtskraft aufbringen:

Merke In der einfachsten Form des Hebelgesetzes stehen entweder „Kraft“ und „Last“ für deren Komponenten senkrecht zum Hebelarm oder „Kraftarm“ und „Lastarm“ für die effektiven Hebelarme.

2.2.6 Die Grundgleichungen

des Gleichgewichts

!

,QM »JMZTMO]VOMV LM[ ^WZQOMV 3IXQ\MT[ ]V\MZ [\MTTMV IT[ [MTJ[\^MZ[\ÃVLTQKP LI[[ LQM 8W[Q\QWV LMZ)KP[M]ULQM[QKPMQV0MJMTLZMPMVSIVVQU =VIJPÃVOQO ^WV LQM[MV JMQLMV ,M]\]VOMV JQM :I]U]V^MZZÛKSJIZNM[\TQMO\?QMUIVLI[\MKP \M\LQM5I\PMUI\QSQPZ^MS\WZQMTTM[8ZWL]S\b_MQ VQ[KPMZZMQKP\_]ZLMVQKP\OM[IO\QVLMVBMQKP MZ>MS\WZMVIV,QM8Pa[QSNWTO\LMU)VOMJW\]VL V]VOMVV]ZIVOMLM]\M\5Q\M\_I[8PIV\I[QMSIVV UIV M\_I . Abb. 2.32 .WTOMVLM[ MV\VMPUMV" LMâVQMZ\MQVMVM]MXPa[QSITQ[KPM/ZÕ¾MLI[ B_MQ Y]MZ IU TQVSMV -VLM LM[ 0MJMT[ JMNM[\QO\M Drehmoment )KP[[\]UUMT [\MKSMV LZMPJIZ QV XI[[MVLMV 4Õ -[[\MP\[MVSZMKP\I]Nl]VLF]VLTQMO\LMU KPMZVLM[4IOMZSTW\bM[LMZ[MTJ[\ÛJMZMQVMVQKP\ OMbMQKPVM\M 0IT\MZ]VO b]VÃKP[\ ^MZU]\TQKP UQ\ b]NWTOMXIZITTMTb]Z,ZMPIKP[M MQVMU MZ[]KP\ V]V MQVM ^WV I] ¾MVIVOZMQNMVLM3ZIN\LMV0MJMT_MOb]bQMPMV[W Drehmoment: Vektorprodukt aus Hebelarm PÃT\LMZ4IOMZSTW\bLMV0MJMTLIL]ZKPNM[\LI[[ und Kraft MZL]ZKP_QVbQOMMTI[\Q[KPM>MZNWZU]VOMVI]NLQM )KP[[\]UUMT LQM LWZ\ MZNWZLMZTQKPM Lagerkraft I][ÛJ\ 1V . Abb. 2.32 Q[\ LQM[M 4IOMZSZIN\ I]KP ;WTT LMZ 0MJMT VQKP\ JM[KPTM]VQO\ [MQV UÛ[[MV MQVOMbMQKPVM\]VLVIKP]V\MVOMZQKP\M\?IZ]U [QKP,ZMPUWUMV\]VL/MOMVLZMPUWUMV\OMOMV IJMZ_IZM[QU^WZQOMV3IXQ\MTMZTI]J\LQM[M4I OMZSZIN\UQ\SMQVMU?WZ\b]MZ_ÃPVMV' [MQ\QOSWUXMV[QMZMV"

49

2.2 · Kraft, Drehmoment, Energie

?QKP\QO[\MXPa[QSITQ[KPM/ZÕ¾MJMQU0MJMTQ[\ LI[,ZMPUWUMV\TQU^WZQOMV3IXQ\MTIT[3ZM]b XZWL]S\I][0MJMTIZUl]VL3ZIN\FJM[KPZQMJMV" ,MZ0MJMTIZUZMQKP\^WVLMZ,ZMPIKP [MJQ[b]Z3ZIN\_QZS]VO[TQVQM6]VOZMQN\MQVM4I OMZSZIN\ITTMUITIVLMZ)KP[MIV.WTOTQKPTQMNMZ\ [QMUIVOMT[0MJMTIZUSMQV,ZMPUWUMV\#NWTOTQKP SIVV LI[ 0MJMTOM[M\b WPVM 4IOMZSZÃN\M NWZU] TQMZ\_MZLMV,IUQ\LMZ0MJMTIJMZI]KP_QZSTQKP QU[\I\Q[KPMV/TMQKPOM_QKP\Q[\U][[I]KPVWKP LI[ OMT\MV _I[ QV 7 Kap. 2.2.1 NWZU]TQMZ\ _]ZLM" ,QM;]UUMITTMZIVLMV0MJMTIVOZMQNMVLMV3ZÃN \MU][[V]TT[MQV,QM;]UUMLMZ3ZIN\LQMLI[ /M_QKP\I][ÛJ\]VLLMZ3ZIN\LQMLQM.MLMZ_IIOM I][ÛJ\Q[\IJMZQV . Abb. 2.32SMQVM[_MO[OTMQKP V]TTLILQM3ZIN\LMZ.MLMZ_IIOMLWXXMT\[WOZW¾ Q[\)T[WU][[LI[4IOMZUQ\MQVMZVIKP]V\MVOM ZQKP\M\MV3ZIN\LQMPQMZOMVI][WOZW¾Q[\_QMLQM 3ZIN\LM[/M_QKP\[NÛZLMV)][OTMQKP[WZOMV<Ã \MLI[4IOMZLQM[VQKP\[W_ÛZLMLMZ0MJMTVIKP WJMV_MO[KPTIOMV -V\[XZMKPMVL[QVLQVLMV. Abb. 2.31JQ[2.34 LQM 4IOMZSZÃN\M MQVOMbMQKPVM\ 6]Z QV LMZ ;Q\]I \QWV^WV . Abb. 2.30PI\LI[4IOMZVQKP\[b]\]V I]¾MZ VI\ÛZTQKP LMV 0MJMT b]U <MQT b] \ZIOMV IJMZ LM[[MV /M_QKP\ [WTT\M RI ^MZVIKPTÃ[[QOJIZ [MQV *MQ 3ZÃN\MV ]VL ,ZMPUWUMV\MV LMVS\ UIV QV[\QVS\Q^QUUMZI]KPIV*M_MO]VOMVLQM[QMRI OZ]VL[Ã\bTQKPI][TÕ[MVSÕVVMVLQMQVLMZ;\I\QS IJMZ I][LZÛKSTQKP I][OM[KPTW[[MV _MZLMV 0Ã] [MZ]VL*ZÛKSMV[WTTMV[KPTQM¾TQKP[\MPMVJTMQJMV ]VLVQKP\MQV[\ÛZbMV,Ib]UÛ[[MV[QKPITTM3ZÃN \MF]VL,ZMPUWUMV\MTOMOMV[MQ\QOI]NPMJMV"

2

2.2.7 Gleichgewichte

:MOMV/MJZI]KP^WU0MJMTOM[M\bUIKP\b]VÃKP[\ MQVUITLQM6I\]ZM\_IJMQLMV;SMTM\\MVLMZ?QZ JMT\QMZM ]VL LMV b]OMPÕZQOMV 5][SMTV# ZMOMV /MJZI]KPUIKP\IJMZI]KPLQM<MKPVQSb*JMQ LMV Balkenwaagen LQM b_MQ ^WV UI[[MVXZWXWZ \QWVITMV/M_QKP\[SZÃN\MVMZbM]O\M,ZMPUWUMV \MUQ\MQVIVLMZ^MZOTMQKPMV,QM?IIOMLMZ2][\Q \QII]KP)XW\PMSMZ_IIOMOMVIVV\. Abb. 2.37 JM[Q\b\MQVMVOMVI]QVLMZ5Q\\MOMTIOMZ\MVb_MQ IZUQOMV 0MJMT LMV Waagebalken ,QM /TMQKP PMQ\LMZ0MJMTIZUMQ[\PQMZ]VMZTÃ[[TQKP#RMLM)J _MQKP]VO _ÛZLM b] MQVMU [a[\MUI\Q[KPMV .MP TMZNÛPZMV,I[?IIOMO]\_QZLLIVVUQ\XI[[MV LMV;\ÛKSMVI][MQVMU/M_QKP\[[I\b^MZOTQKPMV 5WLMZVM?IIOMVNZMQTQKPbMQOMVQPZMV5M[[_MZ\ MTMS\ZWVQ[KP IV ]VL ^MZZI\MV VQKP\ _QM [QM LI[ UIKPMV 1U/TMQKPOM_QKP\OMP\LQM)XW\PMSMZ_IIOMQV :]PM[\MTT]VO?IIOMJITSMVPWZQbWV\IT=VJMTI[\M\ \]\[QMLQM[I]KP?QM[WMQOMV\TQKP' 0ÃVO\ UIV QZOMVLMQVMV 3ÕZXMZ VIKPMQVIV LMZIV^MZ[KPQMLMVMV8]VS\MVI]N]VLbQMP\UIV ^WVRMLMU)]NPÃVOMX]VS\MQVM/MZILM[MVSZMKP\ VIKP]V\MV[W\ZMNNMV[QKPITTM/MZILMVQVMQVMU 8]VS\ LMU Schwerpunkt . Abb. 2.38 *MQ LMZ /M_QKP\[SZIN\LIZNUIV[W\]VIT[[MQLQMOM[IU\M 5I[[MMQVM[3ÕZXMZ[QV[MQVMU;KP_MZX]VS\SWV bMV\ZQMZ\# UIV JMbMQKPVM\ QPV LM[PITJ I]KP IT[ Massenmittelpunkt -Z SIVV I]¾MZPITJ LM[ 3ÕZ XMZ[TQMOMVb*JMQU0]NMQ[MV,MZ5MV[KPSIVV

]VL Merke Die Bedingungen der Ruhe: Nicht nur die Summe der Drehmomente, auch die der Kräfte muss Null sein: #

. Abb. 2.37. Einfache Balkenwaage

50

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

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. Abb. 2.38. Schwerpunkt. Der Schwerpunkt S eines frei hängenden Körpers begibt sich unter den Aufhängepunkt

[MQVMV;KP_MZX]VS\[WOIZL]ZKP3ÕZXMZJM_MO]V OMV^MZTIOMZVI]KPVIKPI]¾MV-QVMU^WZbÛOTQ KPMV0WKP[XZQVOMZOMTQVO\M[UÕOTQKPMZ_MQ[MQPV ]V\MZLMZ4I\\MPQVL]ZKPb]UWOMTV. Abb. 2.39# LI[[XIZ\0]JIZJMQ\ ?MVVM[LQM0IT\MZ]VOMZTI]J\^MZ[]KP\RMLMZ ;KP_MZX]VS\ ^WV [QKP I][ ]V\MZ LMV 8]VS\ b] SWUUMVIVLMULI[7JRMS\OMPIT\MV_QZL,IVV PI\LQM/M_QKP\[SZIN\SMQVMVMNNMS\Q^MV0MJMTIZU UMPZ ]VL MZbM]O\ SMQV ,ZMPUWUMV\ ,MZ ?II OMJITSMVLMZ*ITSMV_IIOM_QZLLM[PITJ[WSWV[ \Z]QMZ\]VLI]NOMPÃVO\LI[[MZLQM[M[BQMTb]MZ ZMQKPMVMZTI]J\]VL[QKPLIJMQ_IIOMZMKP\[\MTT\ ,Ib] U][[ LMZ =V\MZ[\Û\b]VO[X]VS\ ÛJMZ LMV ;KP_MZX]VS\OMTMO\_MZLMV -QV ?IIOMJITSMV VQUU\ [MQVM :]PM[\MTT]VO I]KPLIVVMQV_MVVJMQLM?IIO[KPITMVOTMQKPM 4I[\MV\ZIOMV]VLUQ\QPVMVMV\OMOMVOM[M\b\OTMQ KPM,ZMPUWUMV\MMZbM]OMV0I\IJMZb*LQMTQV SM?IIO[KPITMMQV»JMZOM_QKP\. Abb. 2.40[W VMQO\ [QKP LMZ ?IIOMJITSMV I]N QPZMZ ;MQ\M ]VL [KPQMJ\ [MQVMV ;KP_MZX]VS\ VIKP ZMKP\[ PMZI][ ,I[ JMLM]\M\ MNNMS\Q^MV 0MJMTIZU /MOMVLZMP UWUMV\ ]VL VM]M[ /TMQKPOM_QKP\ ,]ZKP [MQVM ;KPZÃOTIOMbMQO\LMZ?IIOMJITSMVIJMZi=VOTMQKP OM_QKP\tQU;QVVM^WVi=VOTMQKPPMQ\LMZ/M_QKP \MtQVLMVJMQLMV?IIO[KPITMVIV4MVS\UIVLMV

. Abb. 2.40. Apothekerwaage. Außerhalb des Gleichgewichtes liegt der Schwerpunkt S des Waagebalkens nicht unter dem Unterstützungspunkt U und erzeugt deshalb ein rücktreibendes Drehmoment. Der Ausschlag der Waage und damit ihre Empﬁndlichkeit sind umso größer, je leichter der Balken, je länger die Hebelarme und je kleiner der Abstand des Schwerpunktes vom Unterstützungspunkt sind

?IIOMJITSMVL]ZKPS]ZbM[)V\QXXMVI][[WNÛPZ\ QPVLI[ZÛKS\ZMQJMVLM/MOMVLZMPUWUMV\_QMLMZ QV LQM )][OIVO[TIOM b]ZÛKS WJ PWZQbWV\IT WLMZ [KPZÃO5IV[XZQKP\QUUMZLIVV^WVMQVMU stabilen Gleichgewicht_MVV;\ÕZ]VOMVi^WV[MTJ[\t ZÛKSOÃVOQOOMUIKP\_MZLMV /IVbIVLMZ[^MZPÃT\[QKPMQV;XIbQMZ[\WKSLMV UIVI]N[MQVM;XQ\bMb][\MTTMV^MZ[]KP\/Z]VL [Ã\bTQKP UÛ[[\M M[ UÕOTQKP [MQV [MQVMV ;KP_MZ X]VS\[WM`IS\ÛJMZLMV=V\MZ[\Û\b]VO[X]VS\b] JZQVOMV LI[[ I]KP RM\b\ UIVOMT[ MNNMS\Q^MV 0M JMTIZU[SMQV,ZMPUWUMV\I]N\ZQ\\. Abb. 2.41 0QMZOMVÛO\IJMZLQMSTMQV[\M3QXX]VOLMZSTMQV[ \M4]N\PI]KP]UMQV,ZMPUWUMV\b]MZbM]OMV LI[ LQM )][TMVS]VO ^MZOZÕ¾MZ\: labiles Gleichgewicht#LMZ;\WKSNÃTT\]U=UNITTMVJZI]KP\ITTMZ LQVO[BMQ\5Q\LMZVÕ\QOMV/M[KPQKSTQKPSMQ\TÃ[[\ [QKPLMZ=V\MZ[\Û\b]VO[X]VS\LM[PITJZMKP\bMQ\QO VIKPNÛPZMV#MQV2WVOTM]ZSIVVMQV^WTTM[
18 19 20

. Abb. 2.39. Fosbury-Flop. Bei einem optimal ausgeführten Fosbury-Flop rutscht der Schwerpunkt des Springers knapp unter der Latte hindurch

2

51

2.3 · Kraft und Bewegung

. Abb. 2.43. Stabiles Gleichgewicht. Der Schwerpunkt S liegt zwar über den Unterstützungspunkten, muss aber beim Kippen angehoben werden (Bahnen gestrichelt): Erhöhung der potentiellen Energie . Abb. 2.41. Labiles Gleichgewicht. Der Schwerpunkt S fällt, wenn er nicht exakt über dem Unterstützungspunkt liegt: Abgabe potentieller Energie

LMVTQMO\?QKP\QO";QMJMZÛPZMVQPVQVUMPZMZMV *MZÛPZ]VO[X]VS\MVUQVLM[\MV[LZMQ0QMZMUX âMPT\ M[ [QKP UQ\ 0QTNM LMZ 0]JIZJMQ\ b] IZO] UMV\QMZMV?MZMQVM3WUUWLMSQXXMV_QTTU][[ QPZMV ;KP_MZX]VS\ IVPMJMV . Abb. 2.43 IT[W 0]JIZJMQ\TMQ[\MV]VLUQ\QPZLQMXW\MV\QMTTM-V MZOQM LMZ 3WUUWLM MZPÕPMV ,I[ OQT\ I]KP NÛZ LMV ?IIOMJITSMV -[ Q[\ LI[ 3MVVbMQKPMV LM[ [\IJQTMV /TMQKPOM_QKP\[ *MQU ;XIbQMZ[\WKS TQMO\ LMUOMOMVÛJMZ LMZ ;KP_MZX]VS\ QU /TMQKPOM _QKP\[WPWKP_QMUÕOTQKP,QMXW\MV\QMTTM-VMZ . Abb. 2.42. Indifferentes Gleichgewicht. Beim Rollen bewegt sich der Schwerpunkt S exakt horizontal: kein Umsatz OQM JM[Q\b\ QPZ 5I`QU]U ]VL _QZL JMQU 3QXXMV potentieller Energie \MQT_MQ[M NZMQOM[M\b\" 3MVVbMQKPMV LM[ TIJQTMV /TMQKPOM_QKP\[ ,QM 3]OMT SIVV I]N QPZMZ PWZQ )]N LMZ /ZMVbM b_Q[KPMV TIJQTMU ]VL [\IJQ bWV\ITMV-JMVMPMZ]UZWTTMVWPVMLQM0ÕPMQPZM[ TMU/TMQKPOM_QKP\TQMO\LI[ indifferente Gleichge- ;KP_MZX]VS\M[ b] ÃVLMZV" SMQV -VMZOQM]U[I\b wichtLI[UIVL]ZKPMQVMi)][TMVS]VOtOIZVQKP\ QVLQNNMZMV\M[ /TMQKPOM_QKP\ ,IPQV\MZ [\MP\ MQV ^MZTÃ[[\1VQPUJMâVLM\[QKPb*MQVM3ZMQ[[KPMQ OIVbITTOMUMQVM[6I\]ZOM[M\b"2MLMZ3ÕZXMZRMLM[ JMWLMZMQVM3]OMTI]NM`IS\PWZQbWV\ITMZ-JMVM i;a[\MUtUÕKP\MXW\MV\QMTTM-VMZOQM_MVVUÕO ;aUUM\ZQ[KPM 5I[[MV^MZ\MQT]VO ^WZI][OM[M\b\ TQKPTW[_MZLMV TQMO\LMZ;KP_MZX]VS\QUBMV\Z]U]VLLIUQ\OM Merke VI]ÛJMZLMU=V\MZ[\Û\b]VO[X]VS\LMU*MZÛP Z]VO[X]VS\UQ\LMZ-JMVM. Abb. 2.42"SMQVMN Jedes „System“ versucht, potentielle Energie NMS\Q^MZ 0MJMTIZU SMQV ,ZMPUWUMV\ /TMQKPOM abzugeben. _QKP\,IZIVÃVLMZ\[QKPI]KPVQKP\[_MVVUIV LQM 3]OMT b]Z ;MQ\M ZWTT\ ;QM SMPZ\ _MLMZ QV LQM )][OIVO[TIOMb]ZÛKSVWKPTÃ]N\[QM_MO 2.3

Kraft und Bewegung

Merke Gleichgewichte: 5 stabil: Verrückung erfordert Energiezufuhr 5 labil: Verrückung liefert Energie 5 indifferent: Verrückung lässt Energie unverändert

2.3.1 Die Newton’schen Gesetze

!

i=V\MVtQ[\LQM:QKP\]VOLMZ.ITTJM[KPTM]VQO]VO MJMV[W_QMLQMLMZ/M_QKP\[SZIN\;WTT\Mb_Q[KPMV JMQLMV MQV ]Z[ÃKPTQKPMZ B][IUUMVPIVO JM[\M PMV',IVVLÛZN\MM[SMQV8ZQ^QTMOLMZ;KP_MZSZIN\ [MQV*M[KPTM]VQO]VOMVI][b]TÕ[MV#IVLMZM3ZÃN\M 5ÕJMT[\MPMVNM[\#WNNMV[QKP\TQKPJMâVLMV[QM[QKP UÛ[[\MVLQM[XIZITTMTb]QPZMVMQOMVMV:QKP\]V QV [\IJQTMU /TMQKPOM_QKP\ WJ_WPT QPZ ;KP_MZ OMVMJMVNITT[SÕVVMV,IVVJZI]KP\MIJMZI]KP X]VS\ _QM JMQU ;XIbQMZ[\WKS ÛJMZ LMU .]¾JW MQV3ÕZXMZI]NLMVSMQVM3ZÃN\M_QZSMVWLMZJMQ

52

1 2 3 4 5

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

LMULQM;]UUMLMZ_QZSMVLMV3ZÃN\M6]TTQ[\V]Z I]N *M[KPTM]VQO]VOMV b] ^MZbQKP\MV ]VL VQKP\ _QM QV LMZ ;\I\QS I]N RMLM *M_MO]VO ÛJMZPI]X\ -QVMOTMQKPNÕZUQOMUQ\SWV[\IV\MZ/M[KP_QVLQO SMQ\JTQMJMQPUOM[\I\\M\ Merke 1. Newton’sches Gesetz: Ein Körper, auf den keine Kräfte wirken oder bei dem die Vektorsumme der wirkenden Kräfte Null ist, behält seine Geschwindigkeit unverändert bei.

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

=ULQM[M>MZU]\]VOM`XMZQUMV\MTTb]^MZQâbQM ZMV U][[ UIV b]VÃKP[\ LQM /M_QKP\[SZIN\ LM[ 8ZWJMSÕZXMZ[ M`IS\ SWUXMV[QMZMV WPVM [MQ VM*M_MO]VO[NZMQPMQ\ITTb][MPZMQVb][KPZÃVSMV ,I[OMTQVO\UQ\MQVMZOMZILMV.IPZJIPVLQM[QKP OMVI] PWZQbWV\IT R][\QMZMV TÃ[[\ [WLI[[ ^WV LMZ /M_QKP\[SZIN\ SMQVM 3WUXWVMV\M QV .IPZ\ZQKP \]VOÛJZQOJTMQJ\.MZVMZU][[UIVLQMJZMU[MV LMV 3ZÃN\M LMZ :MQJ]VO ^MZVIKPTÃ[[QOJIZ STMQV UIKPMV QVLMU UIV O]\ [KPUQMZ\ *M_ÃPZ\ PI\ [QKP MQV PWPTMZ >QMZSIV\ IT[ .IPZJIPV# MZ _QZL I]N MQVM 3IV\M OM[\MTT\ ]VL JMSWUU\ QV NM[\MV )J[\ÃVLMV NMQVM 4ÕKPMZ QV JMQLMV WJMZMV .TÃ KPMV . Abb. 2.44 4]N\ QV LMV IU IVLMZV -V LM^MZ[KPTW[[MVMV>QMZSIV\MQVOMXZM[[\SIVVV]Z L]ZKP LQM[M 4ÕKPMZ MV\_MQKPMV ]VL PMJ\ MQVMV TW[MI]NOMTMO\MV5M\ITT_QVSMT[W_MQ\IVLI[[MZ LMV>QMZSIV\VQZOMVL_WJMZÛPZ\"-ZOTMQ\M\XZIS \Q[KPZMQJ]VO[NZMQI]NMQVMU4]N\XWT[\MZ=U[MQ VM*M_MO]VOMVI][b]UM[[MVXW[\QMZ\UIVTÃVO[

16 17

IT[WMQVMZOTMQKPNÕZUQOJM[KPTM]VQO\MV*M_MO]VO 3. Beobachtung: ?MKP[MT\ UIV LQM /M_QKP\M NÛZLQM)V\ZQMJ[SZIN\.[a[\MUI\Q[KPI][[WâVLM\ UIVMQVM8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\b_Q[KPMVI]VL. 4. Beobachtung:-ZPÕP\UIVLQM5I[[MULM[ /TMQ\MZ[QVLMUUIVQPUb][Ã\bTQKPM4I[\MVb]\ZI OMVOQJ\[WJMUMZS\UIVMQVM TrägheitLMZ5I[ [M",MZ/TMQ\MZSWUU\]U[Wi[KP_MZMZtQV*M_M O]VORMi[KP_MZMZtMZQ[\LI[?WZ\i[KP_MZtQV ]V\MZ[KPQMLTQKPMZ*MLM]\]VO^MZ_MVLM\9]IV\Q \I\Q^âVLM\UIVJMQSWV[\IV\MZ3ZIN\.MQVM]U OMSMPZ\M 8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\ b_Q[KPMV *M[KPTM]VQ O]VO]VL5I[[MIT[WI∼U )TTM *MWJIKP\]VOMV TI[[MV [QKP b][IUUMV NI[[MVb]LMU6M_\WVs[KPMV/M[M\b 3ZIN\F%5I[[MU*M[KPTM]VQO]VOa ,I[/M[M\bOQT\^MS\WZQMTT"F]VLaPIJMVOTMQ KPM:QKP\]VO-[Q[\^WV[WOZ]VLTMOMVLMZ*MLM] \]VOLI[[UIVM[I]KPGrundgleichung der MechanikVMVV\

18 19 20

LMZ /TMQ\JIPV IV LMV 8W[Q\QWVMV[ 4QKP\[KPZIV SMV LQM UQ\ MTMS\ZQ[KPMV ;\WXX]PZMV LQM BMQ\ X]VS\M\ NM[\[\MTTMV b] LMVMV LMZ /TMQ\MZ JMQ QP VMV^WZJMQSWUU\ 1. Beobachtung: ?QM QUUMZ UIV LMV /TMQ\MZ QU-QVbMTNITTIVOM[\W¾MVPI\UIVâVLM\Δ[∼Δ\ IT[WSWV[\IV\M/M[KP_QVLQOSMQ\QV»JMZMQV[\QU U]VOUQ\LMU6M_\WVs[KPMV/M[M\b =UMQVMSWV[\IV\M)V\ZQMJ[SZIN\I]NLMV/TMQ \MZ I][b]ÛJMV TMVS\ UIV MQVM STMQVM /M_QKP\[ SZIN\ ÛJMZ .ILMV ]VL :WTTM QV /TMQ\ZQKP\]VO ]U . Abb. 2.44 ,IJMQ U][[ UIV LQM :MQJ]VO QV LMU:WTTMVTIOMZVQMLZQOPIT\MV 2. Beobachtung:?QMQUUMZUIVLMV>MZ[]KP QU-QVbMTVMVL]ZKPNÛPZ\_MVVUIVLMV/TMQ\MZ I][LMZ:]PM[\IZ\M\âVLM\UIVNÛZLQM)J[\ÃV LMΔ[]VLLQMBMQ\[XIVVMVΔ\IJ;\IZ\LQM*MbQM P]VOΔ[∼Δ\6IKPLMV»JMZTMO]VOMVb]UNZMQ MV.ITTMV\[XZQKP\LI[MQVMZSWV[\IV\MV*M[KPTM] VQO]VO

. Abb. 2.44. Luftkissenfahrbahn. Aus den Löchern der hohlen Schiene wird Pressluft geblasen; sie hebt den Gleiter ein wenig an

2.3 · Kraft und Bewegung

53

2

*MQ LMZ 5I[[MVIVbQMP]VO TM]KP\M\ LI[ 6M_\WVs[KPM/M[M\b]VUQ\\MTJIZMQV",I[/ZI 2. Newton’sches Gesetz, Grundgleichung der ^Q\I\QWV[OM[M\b 7 Kap. 2.2.2 OQT\ NÛZ JMQLM 5I[ Mechanik: [MVNÛZU_QMNÛZU,QM-ZLMbQMP\LMV5WVL Kraft = Masse · Beschleunigung: UQ\ MQVMZ 3ZIN\F5 ]VL b_QVO\ QPV LIUQ\ I]N MQ VM*IPV]ULMVOMUMQV[IUMV;KP_MZX]VS\5Q\ LMZ MV\OMOMVOM[M\b\MV 3ZIN\F-%wF5 bQMP\ IJMZ I]KPLMZ5WVLLQM-ZLMIV]VLb_QVO\[QMMJMV ,IUQ\MZOQJ\[QKPI]KPMQV_QKP\QOMZB][IUUMV NITT[I]NMQVM*IPV]ULMVOMUMQV[IUMV;KP_MZ X]VS\,I[NÃTT\NZMQTQKPSI]UI]N"?MQTLQM5I[ PIVOLMZ-QVPMQ\MV" [MLMZ-ZLM[MPZ^QMTOZÕ¾MZQ[\IT[LQMLM[5WVLM[ Merke TQMO\ LMZ OMUMQV[IUM ;KP_MZX]VS\ VWKP QVVMZ PITJ LMZ -ZLS]OMT *MQ LMU 5IVV UQ\ LMU *WT Krafteinheit Newton: TMZ_IOMV ^WU 7 Kap. 2.2.3 U][[ UIV [KPWV M\ _I[OMVI]MZVIKPLMVSMV1V . Abb. 2.24Q[\b] [IUUMVUQ\QPZMV3WUXWVMV\MVV]ZLQM3ZIN\F )]KP LMZ NZMQM .ITT PÃT\ [QKP IV LQM /Z]VLOTMQ MQVOM\ZIOMVLQMLMZ5IVVI]NLMV?IOMVI][ÛJ\ ,I[[ LMZ ?IOMV LQM MV\OMOMVOM[M\b\M 3ZIN\wF KP]VO" I]NLMV5IVVI][ÛJ\MZSMVV\UIVITTMVNITT[IV ./%UO LM[[MV;KPZÃOTIOM#VÃPUMUIVwFXTÕ\bTQKP_MO ?IZ]U IJMZ PI\ LQM 5I[[M MQVM[ NITTMVLMV QVLMUUIVLI[B]O[MQTSIXX\[WâMTMLMZ5IVV 3ÕZXMZ[ SMQVMV -QVã][[ I]N LQM .ITTJM[KPTM]VQ ^WZVÛJMZ O]VO' 2M [KP_MZMZ MQV 3ÕZXMZ ]U[W OZÕ¾MZ LQM Rechenbeispiel 2.9: Die Kraft auf den Kleinwa/M_QKP\[SZIN\#MQVM]U[WPÕPMZM3ZIN\_QZLIJMZ gen I]KPOMJZI]KP\QPVb]JM[KPTM]VQOMV,I[SWU 7 Aufgabe. Unser Kleinwagen aus Rechenbeispiel XMV[QMZ\ [QKP OMZILM 5IV [IO\ I]KP i[KP_MZM 2.6 (m = 1000 kg) beschleunigt in 10 Sekunden von 5I[[MOTMQKP\ZÃOM5I[[Mt]VLUMQV\LIUQ\LI[[ Null auf 130,8 km/h. Welche Kraft wirkt dabei auf QU /ZI^Q\I\QWV[OM[M\b ]VL QU 6M_\WVs[KPMV ihn? /M[M\bLQMOTMQKPM5I[[M[\MP\ -[ OQJ\ VWKP MQVMV _MQ\MZMV SMQVM[_MO[ 7 Lösung. Nach der Grundgleichung der Mechanik ist: [MTJ[\^MZ[\ÃVLTQKPMV WZZMKP\M"VW\_MVLQOMZ_MQ 7 Aufgabe. Was übt eigentlich die Kraft aus, die [MÛJ\VÃUTQKPLMZIVLMZM3ÕZXMZI]NLMVMQVMV unseren Kleinwagen von eben beschleunigt? 7 Lösung. Dumme Frage! Der Motor natürlich. LQM OTMQKPM 3ZIN\ I][ V]Z QV MV\OMOMVOM[M\b\MZ :QKP\]VO5IVJMbMQKPVM\LQM[MV
Merke 3. Newton’sches Gesetz: actio = reactio. Wenn zwei Körper Kräfte aufeinander ausüben, sind diese entgegengesetzt gleich.

hausen, der sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf zieht. Die Kraft muss schon von außen kommen, also von der Straße. Der Motor übt über die Räder eine Kraft auf die Straße aus. Die Gegenkraft beschleunigt das Auto. Sie beruht auf der Reibung zwischen Rädern und der Straße. Auf eisglatter Fahrbahn nützt der stärkste Motor nichts.

54

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

2.3.2 Reibung

;W [WZONÃT\QO LQM :MQJ]VO JMQ 5M[[]VOMV b]Z /Z]VLOTMQKP]VO LMZ 5MKPIVQS I]KP IT[ [\ÕZMVL ]V\MZLZÛKS\_MZLMVU][[QU)TT\IOQ[\[QMTMJMV[ _QKP\QO /MPMV SIVV LMZ 5MV[KP V]Z _MVV [MQ VM.Û¾MNM[\OMV]OIU*WLMVPIN\MV]ULQMb]Z *M_MO]VO VW\_MVLQOMV 3ZÃN\M b] ÛJMZ\ZIOMV »JMZ[\MQOMV[QMLQM3ZÃN\MLMZHaftreibung[WOTMQ \M\ LMZ 5MV[KP I][ /MJQM\M ^MZUQVLMZ\MZ 0IN\ ZMQJ]VO OMT\MV OMZILMb] [XZQKP_ÕZ\TQKP IT[ /M NIPZMVbWVMV"5IVSIVVRMUIVLMViI]N[/TI\\MQ[ NÛPZMVt 1[\ LQM 0IN\ZMQJ]VO MQVUIT ÛJMZ_]VLMV [W UMTLM\ [QKP JMQU I][OTMQ\MVLMV 5MV[KPMV LQM OMZQVOMZM Gleitreibung 1V LMZ >MZSMPZ[\MKP VQSMZ[M\b\UIV[QM]U)V\ZQMJ[SZIN\b][XIZMV L]ZKP LQM VWKP OMZQVOMZM rollende Reibung LMZ :ÃLMZ I]N ;\ZI¾M WLMZ ;KPQMVM ;KPUQMZUQ\\MT [KPTQM¾TQKPTMOMVMQVMV.TÛ[[QOSMQ\[âTUb_Q[KPMV )KP[M]VL)KP[TIOMZ]VL\I][KPMVLWZ\LQM/TMQ\ ZMQJ]VO MQV OMOMV LQM innere Reibung QV .T]QLMV _QM µT ]VL .M\\ *M[WVLMZ[ OMZQVO Q[\ LQM QVVMZM :MQJ]VOQV/I[MV#LQM/TMQ\JIPVLMZ . Abb. 2.44 V]\b\LQM[I][IJMZI]KPLQM5IOVM\[KP_MJMJIPV LMZB]S]VN\:MQJ]VOPQVLMZ\*M_MO]VOMV;QMMZ bM]O\MQVM ReibungskraftLQMJMQLMZ0IN\ZMQJ]VO LMZIVOZMQNMVLMV3ZIN\MV\OMOMV[\MP\]VLUQ\QPZ _ÃKP[\JMQLMVIVLMZMV:MQJ]VOMVLMZ/M[KP_QV LQOSMQ\MV\OMOMV[\MP\]VLUQ\LQM[MZ_ÃKP[\ Merke Reibung behindert Bewegungen; Arten der Reibung: Haftreibung, Gleitreibung, rollende Reibung, innere Reibung.

16 17 18 19 20

>MZ[KPQMLMVM:MQJ]VO[IZ\MVSÕVVMVOTMQKPbMQ\QO I]N\ZM\MV-QV)]\WTÃ[[\[QKPV]ZLM[PITJTMVSMV _MQT [MQVM :ÃLMZ QV .IPZ\ZQKP\]VO UQ\ OMZQVOMZ :WTTZMQJ]VO ZWTTMV Y]MZ LIb] IJMZ ^WV LMZ [MPZ ^QMT OZÕ¾MZMV 0IN\ZMQJ]VO QV LMZ ;X]Z OMPIT\MV _MZLMVWZb]O[ZQKP\]VO ]VL LI[.IPZbM]OJZQKP\I][ .ÛZOZWJM)J[KPÃ\b]VOMVLIZNUIV[W\]VIT[ [MQLQM3ZIN\LMZ.TÛ[[QOSMQ\[ZMQJ]VO[W]VOMNÃPZ

XZWXWZ\QWVIT b]Z /M[KP_QVLQOSMQ\ ]VL LQM LMZ /TMQ\ZMQJ]VO[W]VOMNÃPZSWV[\IV\ ?MVV MQV )]\W IVNÃPZ\ LIVV _QZL LQM ^WU 5W\WZMV\_QKSMT\M)V\ZQMJ[SZIN\F)b]Z*M[KPTM] VQO]VO LM[ ?IOMV[ ^MZ_MVLM\ 5Q\ _IKP[MV LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ _ÃKP[\ IJMZ LQM :MQJ]VO[ SZIN\F: ]VL TÃ[[\ QUUMZ _MVQOMZ *M[KPTM]VQ O]VO[SZIN\F*ÛJZQO"

)]N NZMQMZ ;\ZMKSM JMQ SWV[\IV\MZ /M[KP_QV LQOSMQ\SWUXMV[QMZ\LMZ5W\WZV]ZVWKPLQM:MQ J]VO *MQU :MOMV\ZWXNMV MZ[M\b\ LQM /M_QKP\[ SZIN\LMV5W\WZ?MQTF/ZI[KPMZUQ\LMU,]ZKP UM[[MZ_ÃKP[\IT[F:NITTMVLQKSM
μ/T ist der sog. Gleitreibungskoefﬁzient. Wenn der Schuh schon rutscht, ist es oft schon zu spät. Er soll nicht rutschen, die Reibungskräfte sollen alle z. B. beim Gehen auftretenden horizontalen Kräfte auffangen. Dazu muss die maximale Haftreibungskraft .0 immer größer sein als diese horizontalen Kräfte. Auch sie hängt von der Gewichtskraft ab: Der Haftreibungskoefﬁzient μ0 ist in der Regel etwas höher als der Gleitreibungskoefﬁzient: Wenn man erst einmal rutscht, gibt es kein Halten mehr. Diese Reibungskoefﬁzienten hängen natürlich von den Oberﬂächeneigenschaften der aneinander reibenden Flächen ab, aber kaum von der Geschwindigkeit (im Falle von μ/T) und erstaunlicherweise auch kaum von der Auﬂageﬂäche.

55

2.3 · Kraft und Bewegung

Eine Kugel fällt durch Sirup. Der Sirup umströmt hierbei die Kugel laminar (7 Kap. 3.5.1 und 3.5.2). Aufgrund der inneren Reibung im Sirup gibt es eine Reibungskraft auf die Kugel, die in diesem Fall proportional zur Geschwindigkeit ^ ist:

Auch dieser Proportionalitätsfaktor μ wird zuweilen Reibungskoefﬁzient genannt. Er hängt vom der Viskosität η und dem Kugelradius Z ab. Fällt die Kugel in Wasser, wird die Strömung turbulent und die Formel komplizierter.

2.3.3 Impuls

!

?MZ ^WZ .ZM]LM QV LQM 4]N\ [XZQVO\ OQJ\ LMZ -Z LM MQVMV MZJZMV V]VO[OI[MQPZM[MZ[]KPB_MQ?ÃOMTKPMV UQ\LMV5I[[MVU]VLU[\MPMVZMQJ]VO[NZMQ I]NMJMVMZ*IPVMQVMOM[XIVV\M;XZ]VONMLMZb_Q [KPMV[QKP,QM[MLZÛKS\I]NLQMJMQLMV?IOMVUQ\ JM\ZIO[OTMQKPMVIJMZMV\OMOMVOM[M\b\OMZQKP\M\MV 3ZÃN\MV"

2

-QV B_QZV[NILMV PÃT\ LQM ?IOMV b][IUUMV# MZTQMNMZ\LQM/MOMVSZÃN\MLQMLI[OIVbM;a[\MUQV :]PMPIT\MV*ZMVV\UIVLMV.ILMVUQ\LMZ.TIU UMMQVM[;\ZMQKPPWTbM[L]ZKP[WNIPZMVLQM?I OMVI][MQVIVLMZNÛZS]ZbMBMQ\JM[KPTM]VQO\JQ[ LQM.MLMZMV\[XIVV\PMZ]V\MZNÃTT\"

,QM 3ZÃN\M NITTMV ZI[KP I]N V]TT# /TMQKPM[ OQT\ NÛZ LQM JMQLMV *M[KPTM]VQO]VOMV ,WKP _QM LM ZMV bMQ\TQKPM >MZTÃ]NM I]KP QUUMZ I][[MPMV [QM NÛPZMV b] MQVMZ OM_Q[[MV -VLOM[KP_QVLQOSMQ\ v )]NMQVMV3ÕZXMZLMZ5I[[MUÛJMZ\ZÃO\LQM3ZIN\ LMV UMKPIVQ[KPMV1UX]T[ p%Uv UQ\LMZ-QVPMQ\SOU[#MZQ[\MQV>MS\WZ ;WTIVOM MQVM 3ZIN\ IVLI]MZ\ ÃVLMZ\ [QM LMV 1UX]T[LM[3ÕZXMZ[UQ\LMZi£VLMZ]VO[OM[KP_QV LQOSMQ\t

,IQU>MZ[]KPLMZ. Abb. 2.45LQMI]NLQMJMQ LMV?ÃOMTKPMV_QZSMVLMV.MLMZSZÃN\Mb]RMLMU BMQ\X]VS\ JQ[ I]N LI[ >WZbMQKPMV OTMQKP _IZMV OQT\LQM[NÛZLQM1UX]T[MMJMVNITT["

,QM;]UUMLMZJMQLMV1UX]T[MQ[\IT[WV]TT"

>WZ *MOQVV LM[ >MZ[]KP[ _IZ [QM LI[ I]KP LMVVLIJMNIVLMV[QKPJMQLM?ÃOMTKPMVQV:]PM 0QV\MZ LQM[MZ .M[\[\MTT]VO [\MP\ MQV 6I\]ZOM[M\b LMZ;I\b^WVLMZ-ZPIT\]VOLM[1UX]T[M[Impuls. Abb. 2.45. Zum Impulssatz (Einzelheiten im Text)

56

1 2 3

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

satz# MZ JM[IO\" 1V MQVMU IJOM[KPTW[[MVMV ;a[

\MUSIVV[QKPLQM;]UUMITTMZ1UX]T[MLMZ/M [IU\QUX]T[IT[WVQKP\ÃVLMZV Merke Für den mechanischen Impuls gilt ein Erhaltungssatz; er wird Impulssatz genannt.

4 5 6

)T[iIJOM[KPTW[[MVtJMbMQKPVM\UIVMQV;a[\MU I]NLI[SMQVMÃ]¾MZMV3ZÃN\M_QZSMV")][

. Abb. 2.46. Stoßpendel. Haben beide Kugeln gleiche Masse, so übernimmt die gestoßene von der stoßenden Impuls und kinetische Energie vollständig

NWTO\

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

,QM5Q\OTQMLMZMQVM[IJOM[KPTW[[MVMV;a[\MU[ SÕVVMVb_IZ1UX]T[]V\MZMQVIVLMZI][\I][KPMV [QMSÕVVMVIJMZ1UX]T[_MLMZ[KPINNMVVWKP^MZ VQKP\MV 1UX]T[_QZLJMQRMLMUStoßI][OM\I][KP\]VL ;\Õ¾MOQJ\M[^QMTMQVLMZ?MT\VQKP\V]ZJMQU*W `MV ]VL JMQU .]¾JITT :ÕV\OMVY]IV\MV [\W¾MV UQ\ -TMS\ZWVMV +WUX\WV-NNMS\ 7 Kap. 7.5.5 -TMS\ZWVMV[\W¾MVUQ\5WTMSÛTMV/I[MV\TIL]VO 7 Kap. 6.6.6 5WTMSÛTM \ZWUUMTV I]N LQM ?ÃV LM QPZM[ /MNÃ¾M[ /I[LZ]KS 7 Kap. 5.2.2 *MQU +WUX\WV-NNMS\SIVVUIVQU-QVbMTNITTLMV1U X]T[[I\bJM[\Ã\QOMV#M[Q[\ÃPVTQKPUÛP[IU_QMJMQ b_MQ*QTTIZLS]OMTV1UX]T[M[QVLRI>MS\WZMVLQM QVQPZM3WUXWVMV\MVbMZTMO\_MZLMV_WTTMV5IV [XIZ\ LM[PITJ :MKPMVIZJMQ\ _MVV UIV [QKP I]N LMV bMV\ZITMV ;\W¾ JM[KPZÃVS\ JMQ LMU V]Z MQ VMMQVbQOM*M_MO]VO[ZQKP\]VO^WZSWUU\-`XM ZQUMV\MTTTÃ[[\[QKPLQM[MZ.ITTPQVZMQKPMVLOMVI] L]ZKPb_MQ;\IPTS]OMTVZMXZÃ[MV\QMZMVLQMIT[TIV OM.ILMVXMVLMTVMJMVMQVIVLMZPÃVOMV]VLb_IZ IV ,WXXMTNÃLMV LQM [QKP VIKP WJMV >NÕZUQO [XZMQbMV )][ LMZ *TQKSZQKP\]VO LMZ . Abb. 2.46 Q[\LQM[VQKP\b]MZSMVVMV2MLMVNITT[MZTI]J\LQM ;XZMQb]VOLMV3]OMTVV]ZMQVM*M_MO]VOQVLMZ BMQKPMVMJMVM 1UMQVNIKP[\MV.ITTJM[\MPMVLQM3]OMTVI][OM PÃZ\M\MU;\IPT]VLPIJMVLQMOTMQKPM5I[[M4Ã[[\ UIVRM\b\LQMMQVM3]OMTI]NLQMIVLMZM^WZMZ[\QV :]PM JMTI[[MVM I]N[KPTIOMV [W ^MZ\I][KPMV [QM QPZM:WTTMV",QM[\W¾MVLMJTMQJ\[\MPMVLQMOM[\W ¾MVMãQMO\_MO;QMPI\LMV1UX]T[LMZMZ[\MV3]

. Abb. 2.47. Pendelkette. Auf der einen Seite ﬂiegen stets ebenso viele Kugeln ab, wie auf der anderen Seite auftreffen (gleiche Kugelmassen vorausgesetzt)

OMT^WTTÛJMZVWUUMV-QVMNZM]VLTQKPM;XQMTMZMQ TQMNMZ\LQM8MVLMTSM\\MLMZ. Abb. 2.47;QMMZTI]J\ UMPZMZM3]OMTVb]Z;MQ\Mb]bQMPMV]VLI]N[KPTI OMVb]TI[[MV,QM3]OMTVIUIVLMZMV-VLM_Q[ [MVOMVI]_QM^QMTMM[_IZMV";QM[XZQVOMVVIKP LMU;\W¾QVOTMQKPMZ)VbIPTIJ,I[Q[\SMQV?]V LMZ5IVPI\RIV]ZLI[MZ[\M-`XMZQUMV\UQ\MQ VMZ MQVbQOMV [\W¾MVLMV 3]OMT UMPZUIT[ ZI[KP PQV\MZMQVIVLMZI][OMNÛPZ\,QMBMQ\[XIVVMQVMZ [QKPb_MQ;\IPTS]OMTVJMQU;\W¾JMZÛPZMVTQMO\QV LMZ /ZÕ¾MVWZLV]VO 5QTTQ[MS]VLMV# [QM Q[\ [W S]Zb LI[[ UMPZMZM ;\Õ¾M ITTMUIT VIKPMQVIVLMZ MZNWTOMV /Z]VL[Ã\bTQKP_ÃZMJMQU;\W¾b_MQMZ3]OMTV OTMQKPMZ5I[[MLMZ1UX]T[[I\bI]KPMZNÛTT\_MVV LQM [\W¾MVLM 3]OMT VQKP\ [\MPMV JTQMJM [WVLMZV _QM^WVMQVMZ?IVLIJXZITT\M#LIVVUÛ[[\MITTMZ LQVO[LQMOM[\W¾MVM3]OMTLMVLWXXMT\MV1UX]T[ ÛJMZVMPUMV ]VLLQM^QMZNIKPM SQVM\Q[KPM -VMZOQM LMVV LQM _ÃKP[\ RI XZW

57

2.3 · Kraft und Bewegung

2

XWZ\QWVITb]^]VLVQKP\JTW¾XZWXWZ\QWVITb]v _QMLMZ1UX]T[?WPMZIJMZ[WTTLQM-VMZOQMSWU UMV' ,MZ IVOMVWUUMVM .ITT Q[\ OIZ VQKP\ UÕO TQKP ;\W¾XIZ\VMZ UÛ[[MV I]N JMQLM -ZPIT\]VO[ [Ã\bMIKP\MV,I[TÃ[[\QPVMVSMQVM?IPTNZMQPMQ\ =VOTMQKPM;\W¾XIZ\VMZUIKPMVLQM:MKPV]VO SWUXTQbQMZ\#MZ[\JMQM`\ZMU]VOTMQKPMV;\W¾XIZ\ VMZV_QZL[QM_QMLMZMQVNIKPLMVVLIVVJZI]KP\ LMZ [KP_MZM 8IZ\VMZ SMQVM -VMZOQM b] ÛJMZVMP UMV",MZ*ITTLMZJMQU;Y]I[POMOMVLQM?IVL OMLWVVMZ\_QZLSWUU\UQ\XZIS\Q[KPLMUOTMQ KPMV /M[KP_QVLQOSMQ\[JM\ZIO ]VL LMZ OTMQKPMV SQVM\Q[KPMV-VMZOQMb]ZÛKS

LMVJM[\MV;\IPTS]OMTVOMP\QUUMZVWKPMQV_M VQO SQVM\Q[KPM -VMZOQM QV ?ÃZUM ÛJMZ ,MV -` \ZMUNITTI]NLMZIVLMZMV;MQ\MJMbMQKPVM\UIVIT[ unelastischen StoßM`XMZQUMV\MTTZMITQ[QMZJIZJMQ [XQMT[_MQ[ML]ZKPMQV;\ÛKSKPMV3I]O]UUQLWZ\ _W [QKP LQM JMQLMV 3]OMTV JMZÛPZMV 6IKP LMU ;\W¾SÕVVMV[QM[QKPVQKP\UMPZ\ZMVVMV[QMPIN \MV I]NMQVIVLMZ ,QM OMUMQV[IUM /M[KP_QVLQO SMQ\_QZL^WU1UX]T[[I\bJM[\QUU\#LMZ-VMZOQM [I\b TMO\ LIVV NM[\ _QM ^QMT ?ÃZUM L]ZKP XTI[ \Q[KPM >MZNWZU]VO LM[ 3I]O]UUQ[ MV\_QKSMT\ _MZLMVU][[

3Zur Begründung: Als der fröhliche Mensch zu Beginn des Kapitels der Erde einen Tritt gab, verlangte der Impulssatz, wenn man die Beträge betrachtet,

2.3.4 Trägheitskräfte

5>%U^ (große Buchstaben für die Erde und kleine für den Menschen) mit der Konsequenz

Daraus folgt für die kinetische Energie

*Q[PMZ_IZ[\QTT[KP_MQOMVLIVOMVWUUMV_WZLMV LI[[ ITTM QV LMV ;\W¾ PQVMQVOM[\MKS\M SQVM\Q[KPM -VMZOQMPQV\MZPMZQUUMZVWKPSQVM\Q[KPM-VMZOQM Q[\UIV[XZQKP\PQMZ^WU elastischen Stoß;\ZMVO OMVWUUMV OQJ\ M[ QPV OIZ VQKP\ LMVV I]KP JMQ

Rechenbeispiel 2.10: Zorniges Kind 7 Aufgabe. Ein Kleinkind, das in einem leichtgängigen Kinderwagen sitzt (Gesamtmasse Kind plus Kinderwagen: 10 kg) werfe seine volle Nuckelﬂasche (250 g) mit ^6 = 2 m/s in Fahrtrichtung aus dem Wagen. Wenn der Kinderwagen zunächst in Ruhe war, welche Geschwindigkeit hat er nun? 7 Lösung. Der Gesamtimpuls war vor dem Wurf Null, also muss er es danach auch noch sein. Der Wagen wird sich also entgegengesetzt zur Wurfrichtung mit einer Geschwindigkeit ^? bewegen, für die gilt:

!

-QV5MV[KPLMZQU*M\\TQMO\]VL[KPTÃN\UMQV\ MZ[MQQV:]PMWZZMKP\M ^WZMQVIVLMZ#^WVRMLMULIZNRMUIVLJMPI]X\MV M[[MQQV:]PMIJMZVI\ÛZTQKPVQKP\^WVb_MQMVb] OTMQKP,I[OQT\ITTMZLQVO[VQKP\UMPZ_MVV[QKP LQM/M[KP_QVLQOSMQ\MQVM[;a[\MU[ÃVLMZ\_MVV M[b*ZW\QMZ\LMVVLIVV\ZM\MV
58

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

PIN\^MZ[QKPMZVb]VÃKP[\[MQLI[)]\WUQ\PWPMZ /M[KP_QVLQOSMQ\I]NLMV*I]Ub]OMNIPZMVLIVV [MQM[XTÕ\bTQKP[\MPMVOMJTQMJMVLQM1V[I[[MVRM LWKP VQKP\ 6IKP LQM[MZ ,IZ[\MTT]VO [QVL [QM OM ZILMLM[PITJI][LMU?IOMVOMãWOMV_MQTSMQVM 3ZIN\ I]N [QM _QZS\M ]U [QM b][IUUMV UQ\ LMU )]\WIVb]PIT\MV?I[Q[\V]Vi_QZSTQKPtOM[KPM PMV'-`Q[\QMZ\MMQVM3ZIN\I]NLQM1V[I[[MVRIWLMZ VMQV' ,QM .ZIOM Q[\ NIT[KP OM[\MTT\ *MQLM .WZU]TQM Z]VOMV JM[KPZMQJMV LMV =VNITT L]ZKPI][ b]\ZMN NMVL V]Z ^WV ^MZ[KPQMLMVMV ;\IVLX]VS\MV I][ XPa[QSITQ[KP OM[XZWKPMV" I][ ^MZ[KPQMLMVMV *M b]O[[a[\MUMV ,MZ )]OMVbM]OM JMâVLM\ [QKP QV LMU OTMQKPMV *Mb]O[[a[\MU _QM LMZ *I]U# QP VMV OMOMVÛJMZ JM_MOMV [QKP )]\W ]VL .IPZMZ b]VÃKP[\ OMUMQV[IU ,MZ ?IOMV _QZL LIVV I]N SÛZbM[\M ,Q[\IVb JQ[ b]U ;\QTT[\IVL PMZ]V\MZ OMJZMU[\# LQM LIb] VW\_MVLQOMV PWPMV >MZbÕ OMZ]VO[SZÃN\M PQV\MZTI[[MV LM]\TQKPM ;X]ZMV IV *I]U]VL3IZW[[MZQM)]NLQMVQKP\IVOM[KPVITT \MV1V[I[[MVSÕVVMVMV\[XZMKPMVLM3ZÃN\MVQKP\ ÛJMZ\ZIOMV_MZLMV#NWTOTQKPJM_MOMV[QM[QKPb] VÃKP[\MQVUITUQ\]V^MZUQVLMZ\MZ/M[KP_QVLQO SMQ\QVLMZIT\MV:QKP\]VO_MQ\MZ_MVVI]KPVQKP\ TIVOM ,QM1V[I[[MV[MPMVM[IVLMZ[1PZ*Mb]O[[a[ \MUQ[\LMZ?IOMVQVQPUJMâVLMV[QM[QKPQV:] PM# LINÛZ OTMQ\M\ LQM 4IVL[KPIN\ ZI[KP IV QPVMV ^WZJMQ8TÕ\bTQKPZI[\MQV*I]UI]N[QMb]]VLJM [KPTM]VQO\QPZ*Mb]O[[a[\MUQVSÛZbM[\MZBMQ\I]N LQM /M[KP_QVLQOSMQ\ LMZ 4IVL[KPIN\ 1V LQM[MU 5WUMV\\ZM\MV[\IZSM3ZÃN\MI]NLQM[QMI][LMU ?IOMV [KPTM]LMZV ;QM MUXâVLMV LQM[M 3ZÃN\M PÕKP[\ZMIT]VLVMVVMV[QMTrägheitskräfte

[KP_QVLQOSMQ\ JM[KPTM]VQO\ _MZLMV ,Ib] JM LIZNM[MQVMZVIKPWJMVOMZQKP\M\MV3ZIN\LQMV]Z ÛJMZLQM?IIOMI]NQPVÛJMZ\ZIOMV_MZLMVSIVV 8ZWUX\bMQO\[QMLQM[M3ZIN\IVb][Ã\bTQKPb]LMZ LM[/M_QKP\M[LQM^WVLMZ?IIOMRII]KPL]ZKP MQVMVIKPWJMVOMZQKP\M\M.MLMZSZIN\SWUXMV[QMZ\ _MZLMV U][[ 0I\ LMZ .IPZ[\]PT [MQVM ^WTTM /M [KP_QVLQOSMQ\ MZZMQKP\ [W ^MZ[KP_QVLM\ UQ\ LMZ *M[KPTM]VQO]VO I]KP LQM B][I\bSZIN\ ]VL LQM ?IIOMUMTLM\LMU8I[[IOQMZ_QMLMZ[MQVVWZUI TM[/M_QKP\*MQU*ZMU[MVQU7JMZOM[KPW[[_QZL LMZ.IPZ[\]PTSWZJ^MZbÕOMZ\LPVIKP]V\MVJM [KPTM]VQO\]VLLMZ8I[[IOQMZI]KP,QMLIb]VW\ _MVLQOM3ZIN\TÃ[[\[QKPUÛPMTW[^WV[MQVMZ/M _QKP\[SZIN\ IJb_MQOMV# LQM ?IIOM bMQO\ MV\[XZM KPMVL_MVQOMZIV;WJITLLMZ.IPZ[\]PT[\MP\Q[\ ITTM[_QMLMZJMQU)T\MV Merke Auch Verzögerungen (Bremsungen) sind Beschleunigungen.

,MZ 8I[[IOQMZ [QMP\ ^WV LMV *M_MO]VOMV [MQ VM[.IPZ[\]PT[VQKP\[LMZ3WZJPI\SMQVM.MV[\MZ ?WPTIJMZJMUMZS\LMZ5IVVI]NLMZ?IIOMLM ZMV_MKP[MTVLM)][[KPTÃOM-ZLM]\M\[QMIT[^W ZÛJMZOMPMVLM
16

Merke

17

Trägheitskräfte werden nicht von anderen Körpern ausgeübt. Sie treten nur scheinbar in beschleunigten Bezugssystemen auf.

3ÕVV\MUIVLMV.IPZ[\]PTNZMQNITTMVTI[[MV [W_ÃZMI%O]VLLQM
£PVTQKPM[ _MVV I]KP _MQ\ PIZUTW[MZ OQT\ QU .IPZ[\]PT,MZ/MLIVSMUIOI][OMNITTMVMZ[KPMQ VMVIJMZUIVSIVVI]KPLWZ\LQM/M_QKP\[SZIN\ MQVM[5MV[KPMVUQ\MQVMZ.MLMZ_IIOMNM[\[\MTTMV .ÃPZ\ LMZ .IPZ[\]PT V]V IV ]VL b_IZ I]N_ÃZ\[ [W U][[ LMZ 8I[[IOQMZ UQ\ I]N LQM .IPZ[\]PTOM

3Astronauten erleben diese Schwerelosigkeit tage- und monatelang, von dem Moment an nämlich, in dem das Triebwerk der Trägerrakete abgeschaltet wird, bis zum Wiedereintritt in die Erdatmosphäre, wenn die Bremsung durch Luftreibung beginnt. In der Zwischenzeit „fallen“ sie mitsamt ihrer Raumkapsel um die Erde herum, mit einer so hohen Geschwindigkeit in der „Ho-

18 19 20

59

2.3 · Kraft und Bewegung

rizontalen“, dass ihre Bahn die Erde nicht erreicht und zur Ellipse um deren Zentrum wird. Alles in der Kapsel, ob lebendig oder nicht, bewegt sich mit (praktisch) gleicher Geschwindigkeit und (praktisch) gleicher Beschleunigung auf (praktisch) parallelen, gekrümmten Bahnen. Im Bezugssystem der Kapsel fällt nichts zu Boden, es gibt gar kein „unten“: Kennzeichen der Schwerelosigkeit. Das heißt keineswegs, dass Raumschiff und Inhalt der irdischen Schwerkraft entzogen wären; alles bewegt sich lediglich so, dass sich Gewichts- und Trägheitskräfte genau kompensieren. Beim Start war das ganz anders. Dort zeigte die Beschleunigung nach oben, die Trägheitskräfte addierten sich zu den Gewichtskräften und übertrafen sie um etwa das Dreifache, entsprechend einer Startbeschleunigung von 3 g.

-QV5MV[KPLMZI][OTMQ\M\]VLUQ\LMU0QV\MZ SWXN I]N[KPTÃO\ PWT\ [QKP UÕOTQKPMZ_MQ[M MQVM 0QZV^MZTM\b]VOIVLMZ;\QZV"*MQU)]NXZITT_QZL LQM .ITTOM[KP_QVLQOSMQ\ LM[ ;KPÃLMT[ I]N MQVMZ ;\ZMKSM ^WV ^QMTTMQKP\ V]Z _MVQOMV 5QTTQUM\MZV IJOMJZMU[\#LI[SMQVM[_MO[[\IZZM/MPQZVLZÛKS\ [QKPIU0QV\MZSWXNb][IUUMV]VLSIVV_MVVM[ LI[=VOTÛKS_QTTIVLMZ;\QZV^WVLMZ0QZV[KPITM IJZMQ¾MV5Q\IVLMZMV?WZ\MV",QMQU*MZMQKPLMZ ;\QZVI]NB]OJMIV[XZ]KP\MUMKPIVQ[KPM>MZJQV L]VOb_Q[KPMV0QZV]VL;KPÃLMT_IZLMVPWPMV
2

Rechenbeispiel 2.11: Wiegen im Aufzug 7 Aufgabe. Wir steigen tatsächlich mit der Personenwaage unterm Arm in einen Aufzug und wiegen uns. Die Waage zeigt eine Masse an (70 kg), obwohl sie die Gewichtskraft misst. Der Hersteller hofft, dass der Umrechnungsfaktor von 9,81 kg · m/s2 schon stimmen wird. Nun fährt der Aufzug nach oben und beschleunigt dazu für kurze Zeit mit I = 1 m/s2. Auf welchen Wert erhöht sich für diese Zeit die Masse scheinbar? tritt noch 7 Lösung. Zu der Gewichtskraft hinzu. Die eine Trägheitskraft mit Betrag Waage rechnet aber natürlich unverändert mit ihrem Umrechnungsfaktor, sodass sie eine scheinbare Masse von

anzeigt.

2.3.5 Drehbewegungen

!

1U?MT\ZI]UOQJ\M[NI[\[KPWVi/MLZÃVOMTtITTMZ LQVO[V]ZQVMQVMU[KPUITMV:QVOZ]VLSU ÛJMZ LMU £Y]I\WZ" ,WZ\ ^MZ[IUUMTV [QKP ITTM 6IKPZQKP\MV]VL?M\\MZ[I\MTTQ\MVLMZ-ZLM5IV VMVV\ [QM OMW[\I\QWVÃZ _MQT MQV RMLMZ [MVSZMKP\ ÛJMZ [MQVMU 8]VS\ I]N LMZ -ZLM [\MPMV JTMQJ\ LPUQ\LMZOTMQKPMV?QVSMTOM[KP_QVLQOSMQ\]U LQM -ZLM TÃ]N\ UQ\ LMZ [QKP LQM[M [MTJ[\ LZMP\ ?IZ]U£Y]I\WZ_IZ]UU' ?MZI]NMQVMZ3ZMQ[JIPVTI]NMV_QTTJZI]KP\ MQVM ZetripetalbeschleunigungabLQM[\ÃVLQOb]U 5Q\\MTX]VS\LM[3ZMQ[M[bMQO\[QKPIT[WUQ\LZMP\ .Kapitel 2.1.5PI\\MNÛZQPZMV*M\ZIO

60

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

1

Merke

2

Kreisbahn: zur Zentripetalbeschleunigung ab gehört eine zum Zentrum hin gerichtete Zentripetalkraft mit Betrag:

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

,QM OMW[\I\QWVÃZMV ;I\MTTQ\MV SÕVVMV [QKP QPZM BMV\ZQXM\ITSZIN\ V]Z ^WV LMZ /ZI^Q\I\QWV PWTMV ,QMIJMZbMQO\b]UBMV\Z]ULMZ-ZLM#LMZMV5Q\ \MTX]VS\Q[\5Q\\MTX]VS\LMZ3ZMQ[JIPVWJLMZ;I \MTTQ\V]VÛJMZLQM8WTMTÃ]N\WLMZIVLMZ[_W/MW [\I\QWVÃZSIVVMZ[QKPNZMQTQKPV]ZQVMQVMZ£Y]I \WZJIPVI]NPIT\MV#JMQITTMVIVLMZMV*IPVMV_ÛZ LMMZVQKP\SWV[\IV\ÛJMZMQVMU8]VS\LMZ-ZL WJMZãÃKPMJTMQJMV 1V ;I\MTTQ\MVPÕPM LIZN UIV NÛZ LQM .ITTJM [KPTM]VQO]VO VQKP\ UMPZ LMV MZLVIPMV ?MZ\O IV[M\bMV UIV U][[ LI[ /ZI^Q\I\QWV[OM[M\b .%/U5Z JMUÛPMV 7 Kap. 2.2.2 /%/ZI ^Q\I\QWV[SWV[\IV\M 5%5I[[M LMZ -ZLM >WU OMW[\I\QWVÃZMV ;I\MTTQ\MV _QZL LQM 3ZMQ[NZMY]MVb ω-%πP ^MZTIVO\ UQ\ LMZ LQM -ZLM ZW\QMZ\ ,IZI][NWTO\NÛZLMV*M\ZIOLMZBMV\ZQXM\ITSZIN\"

,QM[ Q[\ MQVM *M[\QUU]VO[OTMQKP]VO NÛZ Z LMVV[QMTÃ[[\[QKPVIKPZI]ãÕ[MV"

/Q[\MQVM6I\]ZSWV[\IV\M5]VLω-[QVLNM[\ ^WZOMOMJMVIT[WSIVVLQM*MLQVO]VOiOMW[\I\QW VÃZt V]Z ^WV MQVMU MQVbQOMV *IPVZILQ][ MZNÛTT\ _MZLMV,QM;I\MTTQ\MVUÛ[[MV[QKPLZÃVOMTV 5Q\ _MVQOMZ )]N_IVL IT[ MQVM :I]UNÃP ZM LZMP\ MQV 3M\\MVSIZ][[MTT [MQVM 8I[[IOQMZM QU 3ZMQ[PMZ]U,IJMQ[KP_MVSMVLQM/WVLMTVVIKP I]¾MV#LQM3M\\MVIVLMVMV[QMPÃVOMVSÕVVMV _QM ;MQTM V]Z B]OSZÃN\M QV QPZMZ MQOMVMV :QKP \]VOÛJMZ\ZIOMV. Abb. 2.48,MZZ]PMVLMI] ¾MV[\MPMVLM*MWJIKP\MZ[IO\LIb]",QM8I[[IOQM ZM JZI]KPMV NÛZ QPZM 3ZMQ[JIPV MQVM PWZQbWV\I TM BMV\ZQXM\ITSZIN\ Fb# LQM 3M\\MV UÛ[[MV [QM TQM NMZV UQ\ LMZ _IIOMZMKP\MV 3WUXWVMV\M QPZMZ B]OSZIN\,QM[M3WUXWVMV\MM`Q[\QMZ\V]Z_MVV LQM/WVLMTVVIKPI]¾MV[KP_MVSMV]VLLQM3M\ \MV[KPZÃOVIKPWJMVbQMPMV. Abb. 2.48ZMKP\M[ 3ZÃN\MLZMQMKS ,MZ 8I[[IOQMZ PQVOMOMV [IO\" 1KP [Q\bM QV MQVMU ZW\QMZMVLMV IT[W JM[KPTM]VQO\MV *Mb]O[[a[\MUI]NUQKP_QZS\I]¾MZUMQVMZ^MZ \QSITMV /M_QKP\[SZIN\F/ MQVM PWZQbWV\ITM
2.3 · Kraft und Bewegung

ZQKP\M\MV/M[IU\SZIN\LMZLQM3M\\MVNWTOMVUÛ[ [MV. Abb. 2.48TQVSM[3ZÃN\MLZMQMKS)]¾MZLMU _QZS\I]NUQKPVWKPLQM3ZIN\LMZ3M\\MVZMKP\M[ 3ZÃN\MLZMQMKS *MQLM[ SWUXMV[QMZ\ [QKP OMZILM [WLI[[QKPQVUMQVMUJM[KPTM]VQO\MV*Mb]O[[a[ \MUQV:]PMJQVFb]VLFNPIJMVLQMOTMQKPMV*M \ZÃOMVIKPLMZOTMQKPMV.WZUMTb]JMZMKPVMV Merke Zentripetalkraft: nach innen gerichtete Zentralkraft; Zentrifugalkraft: nach außen gerichtete Fliehkraft im rotierenden Bezugssystem.

?MVVUIVLQMJMQLMV*Mb]O[[a[\MUMVQKP\I][ MQVIVLMZ PÃT\ SIVV UIV .MPT[KPTÛ[[MV I]N[Q\ bMV 1V _MTKPMZ :QKP\]VO ãQMO\ LMZ i0IUUMZt _MOLMVLMZ0IUUMZ_MZNMZMZ[\QU3ZMQ[PMZ]U [KPTM]LMZ\]VLLIVVTW[TÃ[[\':ILQITVIKPI]¾MV QV:QKP\]VOLMZBMV\ZQN]OITSZIN\,MZ?MZNMZLIZN LI[QVLMZWVLMV.TQMPSZÃN\MVZW\QMZMVLMZ*Mb]O[[a[ \MUM UIKP\ LQM <MKPVQS MQNZQO /MJZI]KP I]KP QU ÃZb\TQKPMV 4IJWZ ,QM *M[\IVL\MQTM MQVMZ ;][

61

2

XMV[QWVTI[[MV[QKPQU;KP_MZMNMTLLMZ-ZLM^WV MQVIVLMZ\ZMVVMV_QMb*LQM*T]\[MVS]VObMQO\ 7 Kap. 3.3.3 ,I[ JZI]KP\ IJMZ BMQ\ ]VL TÃ[[\ [QKP_M[MV\TQKPJM[KPTM]VQOMV_MVVUIVNÛZ[MQ VM 8ZWJM LQM /M_QKP\[SZIN\ L]ZKP LQM .TQMPSZIN\ MQVMZ Zentrifuge MZ[M\b\ )]KP [QM Q[\ UI[[MVXZW XWZ\QWVIT5Q\PWPMV,ZMPbIPTMVSÕVVMVL]ZKP I][ PIVLTQKPM /MZÃ\M :ILQITJM[KPTM]VQO]VOMV ^WVUMPZIT[OMZbQMTMV,QMMQVOM[M\b\MV:M IOMVbOTÃ[MZ [\MPMV LIVV JMQ TI]NMVLMZ BMV\ZQN] OM PWZQbWV\IT ]VL [QVL VQKP\ OIVb ]VOMNÃPZTQKP O JMLM]\MV \I][MVLNIKPM /M_QKP\[SZIN\# LI LIZN M[ SMQVM UMKPIVQ[KPMV ;KP_IKP[\MTTMV OM JMV[WV[\ãQMO\LQMBMV\ZQN]OMI][MQVIVLMZ Rechenbeispiel 2.20: Kettenkarussell 7 Aufgabe. Mit ungefähr welcher Winkelgeschwindigkeit rotiert das Kettenkarussell in . Abb. 2.48? 7 Lösung. Im Druck ist der zuschauende Familienvater etwa 23 mm hoch. Wenn er tatsächlich 1,80 m groß war, beträgt der Abbildungsmaßstab ungefähr 1:80. Im Bild ist eine Gondel etwa 36 mm von der vertikalen Drehachse entfernt, das entspräche in der Natur einem Bahnradius von ca. 3 m. Da aber der Vater näher an der Kamera stand als das Karussell, dürfte die Annahme Z ≈ U korrekter sein. Aus der Schräglage der Gondel ergibt sich für das Verhältnis von Zentripetalkraft zu Gewichtskraft

Das ist auch das Verhältnis der dazugehörigen Beschleunigungen. Die Radialbeschleunigung ist alIn 7 Kap. 2.1.4 haben wir geso ca. lernt, dass

Damit ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit:

Das entspricht etwa 16 Umdrehungen pro Minute.

. Abb. 2.49. Keine Kreisbewegung ohne Zentripetalkraft. Von einer Schleifscheibe tangential abﬂiegende Funken

62

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

2.3.6 Trägheitsmoment und Drehimpuls

)]KPQVLMZ,ZMPJM_MO]VO[\MKS\SQVM\Q[KPM-V MZOQM B_IZ ZW\QMZMV ITTM 5I[[M\MQTKPMVLU MQVM[ :ILM[UQ\LMZOTMQKPMV?QVSMTOM[KP_QVLQOSMQ\ω QPZM[ ]V\MZ[KPQMLTQKPMV )J[\IVL[ ZU ^WV LMZ ,ZMPIKP[M _MOMV IJMZ UQ\ ^MZ[KPQMLMVMV *IPV OM[KP_QVLQOSMQ\MV ^U%ωZU -[ PQTN\ IT[W VQKP\[?SQVTÃ[[\[QKPV]ZL]ZKP;]UUQMZMVLMZ *MQ\ZÃOM ITTMZ 5I[[M\MQTKPMVLU MZUQ\\MTV 5I \PMUI\Q[KPTÃ]N\LQM[I]NMQVM1V\MOZI\QWVPMZI]["

,I[1V\MOZITJMSWUU\MQVMVMQOMVMV6IUMV# M[PMQ¾\

]VL _QZL QV SOU OMUM[[MV 4MQLMZ PÃVO\ M[ VQKP\ V]Z ^WV LMZ 5I[[M^MZ\MQT]VO LM[ ZW\QMZMV LMV 3ÕZXMZ[ IJ [WVLMZV I]KP ^WV LMZ 4IOM LMZ ,ZMPIKP[M1UUMZPQVNÛPZ\[MQVM,MâVQ\QWVIJMZ b]LMZMQVNIKPMV*MbQMP]VO

,MUVIKP JMLM]\MV
14 15 16 17 18 19 20

OM[KPZQMJMV_MZLMV#,ZMPUWUMV\T]VL3ZIN\F MV\[XZMKPMVMQVIVLMZ)]KP_MVVM[JQ[PMZVQKP\ MZ_ÃPV\ _]ZLM" ?QVSMTOM[KP_QVLQOSMQ\ ]VL ?QVSMTJM[KPTM]VQO]VO [QVL>MS\WZMVLQM QV :QKP\]VO LMZ ,ZMPIKP[M bMQOMV /IVb ITTOM UMQVSWUU\UIV^WVLMV.WZUMTVLMZ
?QMVIKPLQM[MZ)]N[\MTT]VOb]MZ_IZ\MVOQJ\M[ IT[/MOMV[\ÛKSb]U1UX]T[p]VLLMU1UX]T[MZ PIT\]VO[[I\bI]KPLMV

UQ\ LMU Drehimpulserhaltungssatz -Z [WZO\ b* LINÛZ LI[[ MQV 3QVLMZSZMQ[MT VQKP\ ]UNÃTT\ ]VL MQV.ZQ[JMM[\IJQTQVLMZ4]N\TQMO\#UQ\LMU>MS\WZ LU][[I]KPLQMQPUXIZITTMTM:QKP\]VOLMZ,ZMP IKP[MMZPIT\MVJTMQJMV 7J[QMQPVV]VSMVVMVWLMZVQKP\-Q[\ÃVbMZQV VMV]VL3]V[\[XZQVOMZV]\bMVLMV,ZMPQUX]T[ MZPIT\]VO[[I\bI]NZMKP\ZINâVQMZ\M?MQ[M)KP[MV NMZVM5I[[MV\ZIOMVRIQV_MQ\PÕPMZMU5I¾b]U
. Abb. 2.50. Eistänzerin. Trägheitsmomente des Menschen in verschiedenen Körperhaltungen bei Drehung um die vertikale freie Achse (Anhaltswerte)

63

2.3 · Kraft und Bewegung

OMZV ]VL b] MZPÕPMV# IU -VLM LM[ ;XZ]VOM[ [\ZMKS\ MZ [QKP _QMLMZ ]U JMQ STMQVMZMU UQ\ LMV0ÃVLMVb]MZ[\[QKPMZQVLI[?I[[MZMQVb]\I] KPMV,WZ\OQJ\MZLIVV[MQVMV,ZMPQUX]T[IVLQM -ZLMb]ZÛKS^WVLMZMZQPVJMQU)J[XZ]VO^WU <]ZUI][OMJWZO\PI\\M ?MQTIKP[MVNMZVM3ÕZXMZ\MQTMUMPZb]U
. Abb. 2.51. Auswuchten. Zusatzgewicht zum Auswuchten eines Autorades

[I\bUI[[MiI][OM_]KP\M\t_MZLMV. Abb. 2.51 JQ[[MQV;KP_MZX]VS\I]NLMZSWV[\Z]S\Q^^WZOM [KPZQMJMVMVi5MKPIVQSMZIKP[MtTQMO\)VLMZVNITT[ i[KPTÃO\tLI[:IL]VLZMQ¾\IV[MQVMU4IOMZ,MZ ;XZQVOMZQU;IT\WPI\SMQV4IOMZQPUJTMQJ\V]Z MQVMNZMQM)KP[M*MQU:ILLM[)]\W[[WTT[QMUQ\ LMZ5MKPIVQSMZIKP[Mb][IUUMVNITTMV Merke Für die Rotation bedeuten Drehmoment, Trägheitsmoment und Drehimpuls das, was für die Translation Kraft, Masse und Impuls ist.

In Kürze Lineare Bewegung Im einfachsten Fall kann die Bewegung eines Körpers in einem Weg-Zeit-Diagramm dargestellt werden (. Abb. 2.3). Die Geschwindigkeit des Körpers entspricht dann der Steigung des Graphen in diesem Diagramm (. Abb. 2.2). Man berechnet sie durch Differenzieren des Weges s(t) nach der Zeit t. Umgekehrt kann man aus der Geschwindigkeit v(t) durch Integrieren den zurückgelegten Weg ermitteln. Die Geschwindigkeit ist genau genommen ein Vektor v\, da sie nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung hat. Bei der Berechnung von Relativgeschwindigkeiten muss man daher oft zur Vektoraddition greifen (. Abb. 2.5). Wenn die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt, ist der Körper beschleunigt. Die Beschleunigung a berechnet sich durch Differenzieren der Geschwindigkeit nach der Zeit und ist auch ein Vektor. Die Beschleunigung ist immer in Richtung der sie verursachenden Kraft gerichtet. Diese Richtung stimmt in vielen Fällen (z. B. schiefer Wurf, Kreisbewegung) nicht mit der Richtung der Geschwindigkeit überein. Konstante Geschwindigkeit Weg

[\%^\[

Geschwindigkeit Weg

[: Weg CUE \: ZeitC[E ^: Geschwindigkeit CU[E [: AnfangsortCUE I: Beschleunigung CU[E ^: Anfangsgeschwindigkeit CU[E

Konstante Beschleunigung ^\%I\^

2

64

1 2 3 4

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit

ω: Winkelgeschwindigkeit C[E

Winkelgeschwindigkeit Bahngeschwindigkeit

^%ωZ

Radialbeschleunigung Zentripetalkraft Zentrifugalkraft

5

< : Umlaufzeit C[E Z : Radius CUE ^: Bahngeschwindigkeit CU[E IZ: Radialbeschleunigung CU[E .b: Zentripetalkraft C6E, nach innen gerichtet

Im beschleunigten Bezugssystem ist die Zentrifugalkraft entgegengesetzt gleich der Zentripetalkraft.

Kräfte

6 7 8

Jegliche Beschleunigung wird durch Kräfte verursacht und ist proportional zur resultierenden Kraft. Die wichtigsten Kräfte in der Mechanik sind: Kontaktkräfte zwischen berührenden Körpern (das sind letztlich elektromagnetische Kräfte), insbesondere: Reibungskräfte, die Bewegung zu bremsen suchen und Auftriebskräfte in Flüssigkeiten (Kap. 3.3.3); die Gravitationskraft zwischen Massen; und Verformungskräfte wie zum Beispiel die Federkraft. Es gilt immer: Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus, so beruht dies auf Gegenseitigkeit: B übt eine gleich große, aber entgegen gesetzte Kraft auf A aus (3. Newton'sches-Gesetz). Schwerkraft

./%UO

./: Schwerkraft CN, NewtonE U: Masse CSOE O %! U[ : Fallbeschleunigung

Federkraft

.%,ΔT

,: Federkonstante

9 10 11 12

ΔT: Auslenkung der entspannten Feder Reibungskraft (zwischen Festkörpern)

.:%μ.6

.:: Reibungskraft .6: Normalkraft μ: Reibungskoefﬁzient

Drehmoment

13

Eng mit dem Begriff der Kraft verwandt und bei Drehbewegungen wichtig ist das Drehmoment T „gleich Kraft mal Hebelarm“. Soll ein starrer Körper um eine Achse in Rotation versetzt werden, so kommt es nicht nur darauf an, welche Kraft F man ausübt, sondern auch in welchem Abstand von der Drehachse (mit welchem Hebelarm l) die Kraft angreift.

14

Drehmoment

<%. TMNN

<: Drehmoment C6UE TMNN: effektiver Abstand des Angriffspunktes der Kraft von der Drehachse CUE

Hebelgesetz „Last mal Lastarm gleich Kraft mal Kraftarm“

.TMNN%.TMNN

.: Last-Kraft C6E TMNN: Lastarm CUE .TMNN: Kraft, Kraftarm

Gleichgewicht

Die Vektorsumme aller Kräfte und Drehmomente muss Null sein.

15 16 17

Grundgleichung der Mechanik

18

Zentral in der Mechanik ist das 2. Newton’sche Gesetz: Ist die Vektorsumme aller Kräfte ungleich null, so wird er beschleunigt. Die Beschleunigung hat also immer genau die Richtung der resultierenden Kraft und hängt auch noch von der Masse m ab.

19

Jede Beschleunigung erfordert eine resultierende Kraft

20

: Kraftvektor C6E U: Masse CSOE : Beschleunigungsvektor CU[E

65

Verständnisfragen

2

Arbeit Der Begriff der Arbeit ist wesentlich für das Berechnen von Energiewerten. Arbeit gleich Kraft mal Weg

?: Arbeit CJ, JouleE .: Kraft C6E Δ[: WegCUE

?%.Δ[

Energie Eine wichtige Größe in der Physik, deren Bedeutung weit über die Mechanik hinausreicht, ist die Energie. Energie wird nicht erzeugt und nicht verbraucht, sie bleibt erhalten (Energieerhaltungssatz). Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie in der Mechanik bleibt aber nur dann konstant, wenn keine Reibungskräfte wirken. Reibung wandelt kinetische Energie in Wärmeenergie um, weshalb alle mechanischen Geräte eines Antriebes bedürfen, um nicht stillzustehen. Der Antrieb führt dem Gerät laufend eine gewisse Energiemenge pro Zeit zu. Dies wird angegeben als Leistung. ?: Arbeit, Energie CJ, JouleE ?SQV : kinetische Energie

Kinetische Energie (Bewegungsenergie) Potentielle Energie (Lageenergie)

?XW\%UOΔP (im Schwerefeld der Erde)

?XW\: potentielle Energie ,: Federkonstante ΔT: Dehnung der Feder

(Schraubenfeder) 8: Leistung

Leistung Impuls

Bei der Betrachtung von Stößen ist der Impuls von Interesse. Wirken keine äußeren Kräfte, so bleibt er in einem System von Kugeln zum Beispiel erhalten (Impulserhaltungssatz). So kann man verstehen, was bei Stößen passiert. Impuls

Impulserhaltung

X%U^

X: Impuls

; Impulserhaltung: ohne äußere Kraft F bleibt der Impuls erhalten.

Rotation starrer Körper Für Drehbewegungen kann das 2. Newton’sche Gesetz auch mit Drehmoment, Winkelbeschleunigung und Trägheitsmoment formuliert werden (Kap. 2.3.6). Das Trägheitsmoment hängt von der Form und Massenverteilung in Körper ab und von der Lage der Drehachse.

Verständnisfragen 1. Die mittlere und die momentane Geschwindigkeit sind meist verschieden. Für welche Bewegung sind sie gleich? 2. Kann ein Auto um die Kurve fahren, ohne beschleunigt zu sein? 3. Sie werfen einen Ball geradewegs nach oben in die Luft. Welche Werte haben die Geschwindigkeit und die Beschleunigung im höchsten Punkt der Bahn? 4. Ein Stein wird von der gleichen Höhe fallengelassen, von der ein Ball horizontal geworfen wird. Wer hat die höhere Geschwindigkeit beim Auftreffen auf den Boden? 5. Weil es in Ruhe ist, wirken keine Kräfte auf das Auto. Was ist falsch an dieser Aussage?

6. Sie sägen einen Besen im Schwerpunkt durch. Sind die beiden Teile gleich schwer? 7. Wenn Sie von einem Stuhl aufstehen, müssen Sie sich erst etwas nach vorn beugen. Warum geht es nicht anders? 8. Warum muss man vorsichtig bremsen, wenn man auf einer rutschigen Fahrbahn fährt? 9. Warum muss man beim Anfahren mit dem Fahrrad stärker in die Pedale treten, wie wenn man mit konstanter Geschwindigkeit fährt? 10. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Sekundenzeigers einer Uhr? 11. Muss ein resultierendes Drehmoment wirken, wenn ein Körper rotiert?

66

1

Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper

Übungsaufgaben (• leicht; •• mittel; ••• schwer)

2

Beschleunigung

8

• 1. Ein Körper bewegt sich mit einer negativen Beschleunigung von –1 m/s². Seine Anfangsgeschwindigkeit ist 1 m/s. Nach welcher Zeit ist seine Geschwindigkeit Null? • 2. Ein rasanter Sportwagen kommt in 6 Sekunden „auf Hundert“ (100 km/h). Wie groß ist die mittlere Beschleunigung im Vergleich zum freien Fall? • 3. Sie lassen einen Stein in einen Brunnen fallen und hören es nach 2 Sekunden „platschen“. Wie tief ist der Brunnen? • 4. Aus welcher Höhe muss man einen Dummy zu Boden fallen lassen, wenn man den Aufprall eines Motorradfahrers simulieren will, der mit 50 km/h auf eine Mauer fährt? •• 5. Ein Mensch gleitet aus und schlägt mit dem Hinterkopf auf den Boden. Dem Wievielfachen der Erdbeschleunigung ist der Schädel ausgesetzt? Zur Abschätzung sei angenommen: freier Fall aus 1,5 m Höhe; konstante Verzögerung beim Aufschlag auf einer Strecke von 5 mm.

9

Zusammengesetzte Bewegung

3 4 5 6 7

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

• 6. Wie muss der Bootsführer in . Abb. 2.5 steuern, wenn er möglichst schnell ans andere Ufer kommen will? •• 7. Regentropfen, die auf die Seitenfenster eines fahrenden Zugs treffen, hinterlassen eine schräg laufende Spur auf dem Fenster. Ein durchschnittlicher Regentropfen fällt senkrecht mit etwa 8 m/s und die Spur auf dem Fenster habe einen Winkel von 60° zur Senkrechten. Wie schnell fährt der Zug, Windstille vorausgesetzt? •• 8. Ein Känguru auf der Flucht macht 6 m weite und 1,5 m hohe Sprünge. Wie groß ist die horizontale Fluchtgeschwindigkeit?

Energie und Leistung • 14. Wie viel Zeit hat man, um seine 70 kg die 16 Stufen je 17 cm eines Stockwerkes hoch zu schleppen, wenn man dabei 500 W umsetzen will? Wer leichter ist, muss schneller sein. • 15. Welche mechanische Arbeit leisten Sie ungefähr, wenn sie ein Stockwerk hinaufsteigen? • 16. Ein Klotz mit einer Masse von 1 kg und einer Startgeschwindigkeit von 1 m/s kommt durch Reibung zur Ruhe. Welche Wärmemenge entsteht dabei? •• 17. Jane, nach Tarzan Ausschau haltend, rennt so schnell sie kann (5,6 m/s), greift sich eine senkrecht herunterhängende Liane und schwingt nach oben. Wie hoch schwingt sie? Spielt die Länge der Liane eine Rolle?

Zum Impulssatz • 18. Was ist „schlimmer“: gegen eine Betonwand fahren oder mit einem massegleichen Auto frontal zusammenstoßen, dass mit der gleichen Geschwindigkeit fährt? •• 19. Bei einem Verkehrsunfall fahren zwei massegleiche Wagen aufeinander. Wie viel Energie wird bei unelastischem Stoß durch verbogenes Blech in Wärme umgesetzt, wenn a. der eine Wagen auf den stehenden anderen auffährt? b. beide Wagen mit gleichen Geschwindigkeiten frontal zusammenstoßen?

Trägheitskräfte • 20. Wie reagiert der Abgleich einer Balkenwaage auf die Trägheitskräfte eines beschleunigten Bezugssystems? •• 21. Ein Passagier in einem Flugzeug, das gerade auf Starterlaubnis wartet, nimmt seine Armbanduhr an einem Ende und lässt sie senkrecht herunterbaumeln. Das Flugzeug bekommt die Starterlaubnis und beschleunigt. Dabei schwenkt die Uhr aus der senkrechten um ca. 25° nach hinten. Nach 18 Sekunden mit etwa konstanter Beschleunigung hebt das Flugzeug ab. Wie groß ist seine Startgeschwindigkeit?

Kraft, Drehmoment

Drehbewegung

• 9. Der statistische Einheitsmensch wiegt „70 Kilo“. Wie groß ist seine Gewichtskraft? • 10. Wie viel Kraft spart die schiefe Ebene der . Abb. 2.21 quantitativ? •• 11. Angenommen, die Gewichtskraft des Flaschenzuges von . Abb. 2.22 könnte gegenüber den 10 kN der Gewichtskraft F1 der Last vernachlässigt werden. a. Welche Kraft F belastet die Decke, wenn das freie Ende des Seiles senkrecht nach unten gezogen wird? b. Wird die Decke stärker belastet, wenn man, wie gezeichnet, schräg zieht, oder weniger stark? •• 12. Sie machen auf einer Personenwaage schwungvolle Kniebeugen. Wie ändert das Anzeige am Ende der Abwärtsbewegung? • 13. Ein Kind ist doppelt so schwer wie ein anderes. In welchem Abstand von der Drehachse einer Wippe setzen sie sich am besten, um gut wippen zu können?

• 22. Welche Drehfrequenz und welche Kreisfrequenz, welche Bahngeschwindigkeit und welche Winkelgeschwindigkeit hat die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne? (Erdbahnradius im Anhang). • 23. Um welchen Faktor erhöht sich die Zentrifugalbeschleunigung einer Zentrifuge, wenn man deren Drehzahl verdoppelt?

67

Mechanik deformierbarer Körper 3.1

Die Aggregatzustände

– 68

3.2

Festkörper

3.2.1

Struktur der Festkörper

3.2.2

Verformung von Festkörpern ! – 70

3.2.3

Viskoelastizität

3.3

Druck

3.3.1

Stempeldruck ! – 73

3.3.2

Schweredruck ! – 75

3.3.3

Auftrieb ! – 77

3.3.4

Manometer

3.3.5

Pumpen

3.3.6

Kompressibilität

3.3.7

Blutdruckmessung

3.4

Grenzﬂächen

3.4.1

Kohäsion

– 83

3.4.2

Adhäsion

– 86

3.5

Strömung

3.5.1

Ideale Strömung

3.5.2

Zähigkeit (Viskosität)

3.5.3

Reale Strömung durch Rohre !! – 92

3.5.4

Umströmung von Hindernissen

– 69 – 69

– 73

– 73

– 79

– 80 – 81 – 82

– 83

– 88 – 88

! – 91 – 95

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6_3, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

3

68

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

> > Einleitung Der „starre Körper“ ist eine Fiktion: Auch der härteste „feste Körper“ lässt sich noch verbiegen und mit der nötigen Gewalt auch zerbrechen. Demgegenüber passt eine Flüssigkeit ihre Form dem Gefäß an, in dem sie sich beﬁndet; sie behält aber ihr Volumen bei und bestimmt danach ihre Oberﬂäche. Ein Gas schließlich füllt (unter Laborbedingungen, nicht in astronomischem Maßstab) sein Gefäß vollständig und gleichmäßig aus. Eben weil Flüssigkeiten und Gase keine eigene Form besitzen, lassen sie sich etwa durch Strömung in Röhren relativ leicht transportieren. Blutkreislauf und Atmung nutzen dies aus.

3.1

Die Aggregatzustände

*MQMQVNIKPMV;]J[\IVbMV_QM07Q[\LQMB]WZL V]VO b] LMV LZMQ )OOZMOI\b][\ÃVLMV NM[\ ãÛ[ [QO]VLOI[NÕZUQOVIPMTQMOMVL]VL]VXZWJTMUI \Q[KP*MQU.MV[\MZOTI[UIO^MZ_]VLMZVLI[[M[ b]LMV.TÛ[[QOSMQ\MVOMPÕZ\?I[IJMZUIKP\UIV UQ\3I]O]UUQ0I]\]VL0IIZMV' ,QM5I\MZQMLQM[MZ-ZLMJM[\MP\I][)\WUMV 2MLM[ )\WU JM[Q\b\ MQVM TWKSMZM -TMS\ZWVMVPÛT TMLQM[MQVMV,]ZKPUM[[MZJM[\QUU\]VLMQVMV ^MZOTMQKP[_MQ[MSTMQVMV)\WUSMZVLMZ[MQVM5I[ [MJM[\QUU\,MZ3MZVMV\PÃT\8ZW\WVMV]VL6M] \ZWVMV8ZW\WVMV[QVLXW[Q\Q^MTMS\ZQ[KPOMTILMV -TMS\ZWVMV VMOI\Q^ ]VL 6M]\ZWVMV [QVL ]VOMTI LMVVM]\ZIT#LMZ3MZVSIVVLMUVIKP[MQVM0ÛT TML]ZKPMTMS\ZQ[KPM3ZÃN\MIV[QKPJQVLMV,QM[M 3ZÃN\M _ÛZLMV IJMZ LQM XW[Q\Q^MV 8ZW\WVMV I][ MQVIVLMZ \ZMQJMV _ÃZMV LI VQKP\ LQM IVbQMPMV LMV3MZVSZÃN\Mb_Q[KPMVQPVMV]VLLMV6M]\ZW VMV*ITIVKMSIVVV]ZQVJM[\QUU\MV3WUJQVI\Q WVMVMZZMQKP\_MZLMV#)\WUM)\WUSMZVMM`Q[\QM ZMV V]Z ^WV LMV Z]VL P]VLMZ\ KPMUQ[KPMV -TM UMV\MV *Q[b]U-TMUMV\6Z LMU?Q[U]\OQJ\M[ [\IJQTM )\WUSMZVM IJ 6Z 8WTWVQ]U bMZNIT TMV ITTM 3MZVM VIKP MQVMZ OM_Q[[MV BMQ\ QV STMQ VMZM[QVL IT[W ZILQWIS\Q^ -TMUMV\M JQ[ 6Z! LMU=ZIVSWUUMVQVLMZ6I\]Z^WZLQM
>QMTNIT\LMZ;]J[\IVbMVQ[\V]ZUÕOTQKP_MQT[QKP LQM_MVQOMV)\WU[WZ\MVQVLMV]V\MZ[KPQMLTQKP[ \MV 3WUJQVI\QWVMV b] 5WTMSÛTMV b][IUUMV [KPTQM¾MV SÕVVMV ?QM [QM LQM[ \]V _IZ]U [QM L QM[ \]V Q[\ QMTNIT\LMZ;]J[\IV bMV JMQ 7J 6MJMT WLMZ :MOMV WJ 0IOMTSWZV WT]UMV ]VL JMPÃT\M[JMQ_MVVUIV[QM]UOQM¾\,QM5WTMSÛT IJ[\ÃVLM TQMOMV QV LMZ OTMQKPMV /ZÕ¾MVWZLV]VO _QM JMQ .M[\SÕZXMZV LQM ,QKP\MV IT[W I]KP -QV /I[NÛTT\LIOMOMVRMLM[>WT]UMVOTMQKPUÃ¾QOI][ LI[UIVQPUIT[/MNÃ¾IVJQM\M\OMVI]JM\ZIKP\M\ NÛPZ\ LQM ;KP_MZSZIN\ b] MQVMZ ,QKP\MIJVIPUM VIKPWJMV1UGas\ZMNNMV[QKPLQM5WTMSÛTMV]Z VWKP [MT\MV 3ZÃN\M b_Q[KPMV QPVMV SÕVVMV [QKP

3.2 · Festkörper

69

3

SI]U I][_QZSMV ,QM )J[\ÃVLM [QVL OZW¾ LQM ,QKP\MV VWZUITMZ_MQ[M ]U BMPVMZXW\MVbMV OM ZQVOMZ Merke Aggregatzustände: 5 fest: formstabil bis zur Festigkeitsgrenze 5 ﬂüssig: nicht form-, wohl aber volumenstabil 5 gasförmig: weder form- noch volumenstabil

;WOIVbJMNZQMLQOMVSIVVLQM-QV\MQT]VOQVOMVI] LZMQ)OOZMOI\b][\ÃVLMVQKP\?I[UIKP\UIVUQ\ 0I]\ ]VL 0IIZMV' ;QM [QVL _MLMZ ZQKP\QOM .M[\ SÕZXMZ VWKP ZQKP\QOM .TÛ[[QOSMQ\MV )T[ UIV LQM )OOZMOI\b][\ÃVLMMZNIVLUMQV\MUIVVWKP8Pa [QS]VL+PMUQMJZI]KP\MV]VLLÛZN\MV[QKPV]Z UQ\\W\MZ5I\MZQMJMNI[[MVLMVViLI[4MJMVtPI JMMQVM^ÕTTQOIVLMZM9]ITQ\Ã\1V[WNMZV_IZM[MQ VM;MV[I\QWVIT[.ZQMLZQKP?ÕPTMZ UQ\LMU 0IZV[\WNNb]UMZ[\MV5ITMQVMLMVTMJMVLMV7Z OIVQ[UMV b]OMWZLVM\M ;]J[\IVb QV LMZ :M\WZ \MPMZ[\MTT\M)JMZLIOIJM[LQM)OOZMOI\b][\ÃV LM[KPWV

3.2

. Abb. 3.1. Kristallgitter des NaCl (Kochsalz). Die dicken Cl–Ionen und die kleineren Na+-Ionen liegen dicht an dicht

. Abb. 3.2. Kubisch-ﬂächenzentriertes Gitter (NaCl); Modelle dieser Art markieren nur die Lagen der Zentren der Gitterbausteine ohne Rücksicht auf deren Größe

Festkörper

3.2.1 Struktur der Festkörper

3MVVbMQKPMVLM[.M[\SÕZXMZ[Q[\[MQVMSZQ[\ITTQVM ;\Z]S\]Z ;QM ^MZTMQP\ QPU .WZU[\IJQTQ\Ã\ UIKP\ QPV IJMZ VQKP\ [\IZZ ,MZ NM[\M 3ÕZXMZ TÃ[[\ [QKP MTI[\Q[KP^WZÛJMZOMPMVLWLMZXTI[\Q[KPLI]MZ PIN\^MZNWZUMV 1U Kristallgitter PMZZ[KP\ 7ZLV]VO# RMLMU /Q\\MZJI][\MQV _QZL MQV NM[\MZ 8TI\b b]OM_QM[MV 3WKP[ITbJMQ[XQMT[_MQ[MJM[\MP\I][MTMS\ZQ[KPXW [Q\Q^OMTILMVMV1WVMVLM[6I\ZQ]U[]VLI][LMV VMOI\Q^MV1WVMVLM[+PTWZ[1U6I+T/Q\\MZ[QVL [QM[WIVOMWZLVM\LI[[RMLM[6I1WV[MKP[+Tw 1WVMVIT[VÃKP[\M6IKPJIZVPI\]VL]UOMSMPZ\ ,I[ NÛPZ\ b] MQVMZ _ÛZNMTNÕZUQOMV ElementarzelleLM[/Q\\MZ[_QM[QM. Abb. 3.1[KPMUI\Q[KPLIZ [\MTT\;MPMVSIVVUIVMQVMV[WTKPMV?ÛZNMTVQKP\# LIb]Q[\MZb]STMQV;MQVM3IV\MVTÃVOMJM\ZÃO\OM ZILMMQVPITJM[6IVWUM\MZ

BMQKPV]VOMVLQM[MZ)Z\[\MTTMV/Q\\MZJI][\MQ VMIT[3]OMTVLIZLQM[QKPOMOMV[MQ\QOJMZÛPZMV ,I[Q[\PITJ_MO[ZMITQ[\Q[KPIJMZVQKP\[MPZÛJMZ [QKP\TQKP _MQT UIV VQKP\ QV LI[ /Q\\MZ PQVMQV [KPI]MVSIVV1V[WNMZVPIJMVBMQKPV]VOMVVIKP )Z\ LMZ . Abb. 3.2 QPZM >WZbÛOM ;QM [QVL 3ZQ[ \ITTUWLMTTMVVIKPMUXN]VLMVLQMUIVI][0WTb S]OMTV ]VL 5M\ITT[\ÃJKPMV b][IUUMVJI[\MT\ ]U ;aUUM\ZQMV IV[KPI]TQKP LIZ[\MTTMV b] SÕV VMV6]ZLIZNUIV[QKPVQKP\\Ã][KPMVTI[[MV",QM *I][\MQVMMQVM[3ZQ[\ITTOQ\\MZ[[QVL_QZSTQKPSMQ VMSTMQVMV3]OMTVLQM^WV;\ÃJMVI]N,Q[\IVbOM PIT\MV_MZLMV 1U 6I+T3ZQ[\ITT TQMOMV LQM ?ÛZNMT LMZ -TM UMV\IZbMTTM LQKP\ IV LQKP\# LI[ /Q\\MZ _QMLMZ PWT\[QKP QLMV\Q[KP QV ITTMV LZMQ 3IV\MVZQKP\]V OMV)JMZI]KPJMQMQVMZ,ZMP]VO]UMQVM?ÛZ NMTSIV\MTIVLMVVIKP!ITTM/Q\\MZXTÃ\bM_QMLMZ I]N/Q\\MZXTÃ\bMV#^QMZUITJQ[b]Z^WTTMV,ZMP]VO ,QM 3ZQ[\ITTWOZIXPMV JMbMQKPVMV [QM IT[ ibÃP

70

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

1 2 3 4 5

. Abb. 3.3. Diamant und Graphit. Zwei unterschiedliche Kristallmodiﬁkationen des Kohlenstoffs

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

TQOM;aUUM\ZQMIKP[MVt]VLZMLMV^WVMQVMUiS] JQ[KPMV/Q\\MZt ,QM)\WUMLM[3WPTMV[\WNN[JQTLMVOMZVMZ :QVOM 5Q\ KPMUQ[KP OMJ]VLMVMU ?I[[MZ[\WNN OQJ\LI[LQMZQVONÕZUQOMV5WTMSÛTMLM[*MVbWT[ WPVMRMLMV*QVL]VO[XIZ\VMZLQMbÃPTQOMPM`I OWVITM 3ZQ[\ITT[\Z]S\]Z LM[ /ZIXPQ\[ . Abb. 3.3 ZMKP\[ /ZIXPQ\ Q[\ [KP_IZb ]VL [W _MQKP LI[[ UIV UQ\ QPU [KPZMQJMV SIVV 3WPTMV[\WNN SIVV IJMZI]KPS]JQ[KPSZQ[\ITTQ[QMZMV,IVVQ[\MZOTI[ STIZL]ZKP[QKP\QO]VLPÃZ\MZIT[RMLM[IVLMZM5Q VMZIT# UIV SIVV /TI[ UQ\ QPU ZQ\bMV )][ MQV TM]KP\MVLMU/Z]VLJMbMQKPVM\UIVLQMb]OMPÕ ZQOM;\Z]S\]ZIT[Diamantgitter. Abb. 3.3TQVS[ ,QM -QOMV[KPIN\MV MQVM[ .M[\SÕZXMZ[ PÃVOMV VQKP\V]Z^WVLMZ6I\]Z[MQVMZ*I][\MQVMIJ[WV LMZV I]KP ^WV LMZ ;\Z]S\]Z LM[ 3ZQ[\ITTOQ\\MZ[ ,M[[MV *I][\MQVM UÛ[[MV SMQVM )\WUM [MQV _QM JMQU,QIUIV\MVWLMZ1WVMV_QMJMQU3WKP[ITb OIVbM 5WTMSÛTM [QVL MJMVNITT[ MZTI]J\ _QM JMQ [XQMT[_MQ[MJMQ-Q[]VL;KPVMM)]KPLQMOZW¾MV 5WTMSÛTMLM[1V[]TQV[SIVVUIVUQ\MQVQOMZ5Û PMb]3ZQ[\ITTMVb][IUUMVTMOMV]VL[WOIZ>QZMV LQMQU/ZMVbJMZMQKPb]ZTMJMVLMV5I\MZQMIVOM [QMLMT\[QVL

LQVO[TI[[MVLQM*QVL]VOMVb]VÃKP[\V]ZOMZQVOM >MZ[KPQMJ]VOMV b] ]VL PWTMV LQM /Q\\MZJI][\MQ VM [WNWZ\ QV QPZM 6WZUITTIOM b]ZÛKS [WJITL LQM Ã]¾MZM3ZIN\VIKPTÃ[[\",QM>MZNWZU]VOQ[\MTI[ \Q[KP ]VL ^MZ[KP_QVLM\ [X]ZTW[ 4MQKP\ ]V\MZ[] KPMVTÃ[[\[QKPMQV;WVLMZNITTLQM,MPV]VOMQVM[ ,ZIP\M[ ]V\MZ B]O 5IV LIZN MQV TQVMIZM[ 3ZIN\ OM[M\b MZ_IZ\MV 7 Kap. 2.2.1" 8ZWXWZ\QWVITQ \Ã\b_Q[KPMV4ÃVOMVÃVLMZ]VOΔT]VLIVOZMQNMV LMZ3ZIN\.?MQ\MZPQV_QZLΔTUQ\LMZ)][OIVO[ TÃVOMTb]]VLUQ\LMZ9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM)LM[ ,ZIP\M[IJVMPUMV,MZ9]W\QMV\ΔTTJMSWUU\ LMV6IUMV DehnungLMZ9]W\QMV\.)%σPMQ¾\ UMKPIVQ[KPMSpannung ;QVL ;XIVV]VO ]VL ,MPV]VO MQVIVLMZ XZW XWZ\QWVIT[WMZNÛTTMV[QMLI[Hooke’sche Gesetz ΔT σ%-5 T LQM8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\[SWV[\IV\M-PMQ¾\Elastizitätsmodulσσ]VL-PIJMVLQMOTMQKPM-QVPMQ\6U LMVVLQM,MPV]VOQ[\MQVMLQUMV[QWV[TW[MBIPT ,QM-TI[\QbQ\Ã\[UWL]TMOÃVOQOMZ5M\ITTMTQMOMVQV LMZ/ZÕ¾MVWZLV]VO6U Merke

3.2.2 Verformung von Festkörpern

!

)]KPLQM[\IZSMV*QVL]VO[SZÃN\MQU3ZQ[\ITTPIT \MV LQM /Q\\MZJI][\MQVM VQKP\ ]V^MZZÛKSJIZ I]N QPZMV 8TÃ\bMV NM[\ MQV NM[\MZ 3ÕZXMZ Q[\ VWKP SMQV [\IZZMZ 3ÕZXMZ -Z SIVV I]KP L]ZKP ZMTI\Q^ [KP_IKPMÃ]¾MZM3ZÃN\M^MZJWOMV_MZLMV)TTMZ

5 Mechanische Spannung (Kraft durch Querschnittsﬂäche) 5 Dehnung = relative Längenänderung 5 Hooke’sches Gesetz: Dehnung ist zur Spannung proportional:

3.2 · Festkörper

. Abb. 3.4. Spannungs-Dehnungs-Diagramm vom Kupfer

-ZPÕP\ UIV LQM ;XIVV]VO ÛJMZ LQM [WO Elastizitätsgrenze PQVI][ [W VQUU\ LQM ,MPV]VO ÛJMZ XZWXWZ\QWVIT b] . Abb. 3.4" ,MZ ,ZIP\ JMOQVV\ b]ãQM¾MV]VLSMPZ\VIKP-V\TI[\]VOVQKP\b]ZIT \MV )][OIVO[TÃVOM b]ZÛKS MZ PI\ [QKP XTI[\Q[KP OMLMPV\,MU[QVLIJMZ/ZMVbMVOM[M\b\#QZOMVL _IVVZMQ¾\LMZ,ZIP\5IVKPM;]J[\IVbMVTI[[MV [QKP NI[\ OIZ VQKP\ XTI[\Q[KP ^MZNWZUMV# _QZL QP ZM-TI[\QbQ\Ã\[OZMVbMÛJMZ[KPZQ\\MV[WJZMKPMV[QM _QM/TI[5IVVMVV\[QM[XZÕLM Merke Elastische Verformungen sind reversibel, plastische irreversibel.

*MQXTI[\Q[KPMZ>MZNWZU]VOUÛ[[MVOIVbM*MZMQ KPMMQVM[3ZQ[\ITT[OMOMVMQVIVLMZ^MZ[KPWJMV_MZ LMV,I[OMP\V]Z_MVV/Q\\MZVIKPJIZV[QKP^WV MQVIVLMZ \ZMVVMV ]VL UQ\ VM]MV 6IKPJIZV _QM LMZb][IUUMVTMOMVMQV[KPQMZ]VUÕOTQKPMZ>WZ OIVO_ÃZMLMZ3ZQ[\ITTXMZNMS\OMJI]\MZ[M\b]VO]UMQVMV )\WUIJ[\IVL VIKP TQVS[ ^MZ[KPQMJMV 1[\ VIKP LQM[MU5MKPIVQ[U][MQVM;\]NMV^MZ[M\b]VOY]MZ

71

3

. Abb. 3.5. Stufenversetzung. In den oberen Teil des Kristalls hat sich, vier Gitterabstände weit, eine zusätzliche Netzebene vertikal eingeschoben; unter ihrem Ende ist das Gitter dadurch ein wenig aufgeweitet worden. Oberhalb und unterhalb der Zeichenebene setzt sich die Versetzung in gleicher Weise im Kristall fort: sie zieht sich wie ein Schlauch durch den Kristall hindurch. Springen die beiden markierten Gitterbausteine nach rechts, so verschiebt sich die Versetzung um einen Netzebenenabstand nach links

L]ZKPLMV3ZQ[\ITTPQVL]ZKPOM_IVLMZ\[WQ[\LM[ [MV]V\MZMZ*MZMQKPOMOMVÛJMZLMUWJMZMV]UMQ VMV)\WUIJ[\IVLIJOMOTQ\\MVB]ZXTI[\Q[KPMV>MZ NWZUJIZSMQ\OMPÕZMVLMUVIKPJM_MOTQKPM>MZ[M\ b]VOMV,QM[MSÕVVMV[QKPIJMZIVIVLMZMV/Q\ \MZNMPTMZV _QM .ZMULI\WUMV WLMZ -QV[KPTÛ[[MV NM[\PISMV" /][[MQ[MV Q[\ [XZÕLM M[ MV\PÃT\ UMP ZMZM8ZWbMV\3WPTMV[\WNNIVLMVMVLQM>MZ[M\b]V OMVPÃVOMVJTMQJMV#[KPUQMLJIZMZ;\IPTLIOMOMV UMQ[\_MVQOMZIT[ ,QM *Z]KPNM[\QOSMQ\ PÃVO\ VQKP\ V]Z ^WV LMV -QOMV[KPIN\MVLM[5I\MZQIT[[MTJ[\IJ;KPWV_QV bQOM 3MZJMV QV LMZ 7JMZãÃKPM SÕVVMV [QKP ^MZ PÃVOVQ[^WTTI][_QZSMV_MQTVÃUTQKPLQMWJMZãÃ KPMVVIPMV )V\MQTM MQVMZ B]OSZIN\ MQV ,ZMPUW UMV\I]NLQM3MZJMV[XQ\bMI][ÛJMV. Abb. 3.6a -[_ÃKP[\I]KPVWKPRM_MQ\MZM[LQM3MZJMMQV ZMQ¾\ ,ÛVVM ;\ÃJM I]N ;\I]KP]VO JMIV[XZ]KP\ SVQKSMV MQV ?QMLMZ _QZS\ MQV ,ZMPUWUMV\ I]N LQM 3VQKS[\MTTM# _QMLMZ _ÃKP[\ M[ RM _MQ\MZ LI[ 5I\MZQITVIKPOQJ\_MQTLIVVLMZMNNMS\Q^M0MJMT IZUOZÕ¾MZ_QZL. Abb. 3.6b 3VQKS]VO JMLM]\M\ Biegung -QV OMJWOMVMZ ;\IJ_QZLI]NLMZ)]¾MV[MQ\MOMLMPV\I]NLMZ1V VMV[MQ\M OM[\I]KP\ ,Ib_Q[KPMV TQMO\ LQM neutrale FaserLQMQPZM4ÃVOMVQKP\ÃVLMZ\. Abb. 3.7 B]Z *QMOM[\MQâOSMQ\ MQVM[ ;\IJM[ \ZIOMV LQM ^WV LMZVM]\ZITMV.I[MZIU_MQ\M[\MVMV\NMZV\MV<MQTM

72

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

1 2 3

. Abb. 3.8. Doppel-T-Träger. Das von der neutralen Faser am weitesten entfernte Material trägt am meisten zur Biegefestigkeit bei

4 5

. Abb. 3.6 a,b. Instabilität durch Hebelwirkung beim Bruch. Das Drehmoment (effektiver Hebelarm l mal Kraft F), das auf die Spitze der Kerbe (a) oder die Knickstelle (b) wirkt, nimmt zu, je weiter die Kerbe einreißt bzw. der Stab einknickt

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

IUUMQ[\MVJMQ#UIV[XIZ\5I\MZQIT_MVVUIV[QM I]N3W[\MVLM[5Q\\MT\MQT[^MZ[\ÃZS\<MKPVQ[KPM[ *MQ[XQMT"LMZ,WXXMT<ÕOMT ,MPV]VO]VL;\I]KP]VO[QVLVQKP\LQMMQVbQ OMVUMKPIVQ[KPMV*MTI[\]VOMVLMVMVNM[\M[5I \MZQIT I][OM[M\b\ [MQV SIVV -QVM )KP[M LQM MQV ,ZMPUWUMV\ ÛJMZ\ZIOMV [WTT _QZL I]N Drillung JMIV[XZ]KP\I]NTorsion*MQ
. Abb. 3.9. Faseriges Material. Gegenüber gerichteter Belastung hängt die Festigkeit faserigen Materials von der Richtung der Fasern ab

?QVSMT^WVJQTLMVLMVVRM\b\SÕVVMVLQMMQV bMTVMV 4IOMV LM[ 0WTbM[ ZMTI\Q^ TMQKP\ OMOMVMQ VIVLMZIJOM[KPMZ\_MZLMV_QM[KPTMKP\^MZTMQU\M *ZM\\KPMV=V\MZMZbM]O\LQM[\I]KPMVLM3ZIN\ MQVMJM[WVLMZ[PWPM;KP]J[XIVV]VOPQMZIT[WQV :QKP\]VOLMZ.I[MZV,QMLIb][MVSZMKP\M3WU XWVMV\MLMZ3ZIN\NÛPZ\b]Z6WZUIT[XIVV]VOLQM ^WU 0WTb TMQKP\MZ I]NOMVWUUMV _MZLMV SIVV 5IV [IO\" LQM UMKPIVQ[KPMV -QOMV[KPIN\MV ^WV 0WTb[QVL anisotrop,I[/MOMV\MQT^WVIVQ[W\ZWX Q[\ isotrop" -QV Q[W\ZWXM[ 5I\MZQIT ^MZPÃT\ [QKP QV ITTMV:QKP\]VOMVOTMQKP5M\ITTM[QVLQVLMZ:MOMT MQV*MQ[XQMTPQMZNÛZ

17 18 19 20 . Abb. 3.7. Neutrale Faser. Bei der Biegung ändert die neutrale Faser ihre Länge nicht

73

3.3 · Druck

3

Rechenbeispiel 3.1: Mensch am Draht 7 Aufgabe. Welchen Durchmesser muss ein Kupferdraht mindestens haben, wenn er ohne plastische Verformung einen Menschen tragen soll? Beachte . Abb. 3.4. 7 Lösung. Das Ende der Hooke’schen Geraden beﬁndet sich etwa bei der Grenzspannung σO%76U2. Wenn der Mensch ein Gewicht von 690 N hat (entspricht 70 kg), so ergibt sich für die minimal erforderliche Querschnittsﬂäche:

Also ist der minimale Durchmesser

3.2.3 Viskoelastizität

4MJMVQ[\IV?I[[MZOMJ]VLMV#M[Q[\QVLMV?MT\ UMMZMV MV\[\IVLMV ]VL PI\ [QKP QV [MQVMZ -V\ _QKST]VO IV LM[[MV B][IUUMV[M\b]VO IVOM XI[[\)]KPUMV[KPTQKPM[4MJMVJZI]KP\?I[[MZ# LMZ;ITbOMPIT\LM[*T]\M[Q[\LMULMZ5MMZMVQKP\ ]VÃPVTQKP1VOM_Q[[MU;QVVPIJMVLQM
. Abb. 3.10. Viskoelastizität. Längenänderung eines viskoelastischen Stabes unter wechselnder Last, idealisiert

\MV5IVVMVV\[QMviskoelastischLMVV[QMSÕVVMV JMQ[XQMT[_MQ[M MQVMZ UMKPIVQ[KPMV *MIV[XZ] KP]VO UWUMV\IV ]VL MTI[\Q[KP NWTOMV LIVIKP IJMZ ^Q[SW[ _MQ\MZSZQMKPMV 5IVKPM ÃVLMZV QPZM .WZU]V\MZSWV[\IV\MZ*MTI[\]VOVWKPVIKP5Q V]\MV]VL;\]VLMV0ÕZ\LQM*MTI[\]VOXTÕ\bTQKP I]N[WSMPZMV[QMI]NÃPVTQKPMU?MOUMPZWLMZ _MVQOMZOMVI]QVQPZM)][OIVO[NWZUb]ZÛKS_QM LQM[. Abb. 3.10ZMKP\OZWJ[KPMUI\Q[KPIVLM]\M\

3.3

Druck

3.3.1 Stempeldruck

!

*MQ.TÛ[[QOSMQ\MV]VL/I[MVPIJMV,ZÛKSMÃPVTQ KPM.]VS\QWVMV_QM3ZÃN\MJMQLMV.M[\SÕZXMZV 2MLM XTI[\Q[KPM >MZNWZU]VO MQVM[ .M[\SÕZ XMZ[ JMZ]P\ I]N )JOTMQ\]VOMV VIKP )Z\ ^MZTMQU \MZ *ZM\\KPMV ,]ZKP LQM ;\Z]S\]Z LM[ 3ZQ[\ITT[ [QVL Gleitebenen^WZOMJQTLM\LQM;KP]J[XIVV]V OMV MQVMV ^MZOTMQKP[_MQ[M OMZQVOMV IJMZ QUUMZ VWKPJM\ZÃKP\TQKPMV?QLMZ[\IVLMV\OMOMV[M\bMV .TÛ[[QOSMQ\MV]VLMZ[\ZMKP\/I[MPIJMVb]UQV LM[\ QU 1LMITNITT OIZ SMQVM ;KP]JNM[\QOSMQ\ _MQT [QKPQPZM5WTMSÛTMOZ]VL[Ã\bTQKPNZMQOMOMVMQVIV LMZ^MZ[KPQMJMVSÕVVMV".TÛ[[QOSMQ\MV[QVLVQKP\

74

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

NWZU[\IJQT ,M[PITJ SIVV LMZ )Zb\ MQV ãÛ[[QOM[ 5MLQSIUMV\I][LMZ)UX]TTMQVLQM;XZQ\bM[I] OMV]VLLIVVL]ZKPLQMMVOM3IVÛTM[MQVMU8I\Q MV\MVQVRQbQMZMV ,QM 1VRMS\QWV MZNWZLMZ\ MQVM 3ZIN\ IT[ 5][ SMTSZIN\^WU,I]UMVI]NLMV3WTJMVLMZ;XZQ\ bMI][OMÛJ\,MZ3WTJMVU][[iLQKP\t[KPTQM¾MV LP LQM 9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM LMZ ;XZQ\bM ^WTT I][ NÛTTMV]VL\ZW\bLMUMQVQOMZUI¾MVZMQJ]VO[IZU OTMQ\MV ,IL]ZKP OMZÃ\ LI[ ãÛ[[QOM 5MLQSIUMV\ . Abb. 3.11. Hydraulische Presse. (Einzelheiten im Text) ]V\MZLMV

0QMZ[\MP\LQM3ZIN\QUUMZ[MVSZMKP\I]NLMZ .TÃKPMIT[>MS\WZMVPIJMVLMUVIKPF]VLALQM OTMQKPM:QKP\]VO]VLJZI]KPMVLIZ]UVQKP\^MS \WZQMTTOM[KPZQMJMVb]_MZLMV",MZ,Z]KSXQ[\MQV ;SITIZLM[PITJ[\ÕZ\V]Z_MVQOLI[[MZLMVOTMQ KPMV*]KP[\IJMV\ZÃO\_QMLMZ1UX]T[p ,MZ,Z]KSQ[\MQVMIJOMTMQ\M\M/ZÕ¾MUQ\LMZ TMQLMZZMKP\STMQVMV;1-QVPMQ\ 6 8I[KIT%8I%41 U

MZbM]OMV# . Abb.3.11 bMQO\ LI[ ;KPMUI ;KPQMJ\ UIVLMVSTMQVMV3WTJMV.TÃKPM)UQ\LMZ3ZIN\ . ]U LQM ;\ZMKSM [ QV [MQVMU BaTQVLMZ ^WZ [W X]UX\ UIV MQV .TÛ[[QOSMQ\[^WT]UMV >%)[ UQ\ LMU ,Z]KS X%.) QV LMV OZW¾MV BaTQV LMZ PQVÛJMZ ,M[[MV ;\MUXMT ZÛKS\ ]U LQM ;\ZM KSM[%>)^WZ)]NQPV_QZS\LQM3ZIN\ ) .%X)%.41 ) ;QMQ[\]ULI[>MZPÃT\VQ[LMZJMQLMV3WTJMV ãÃKPMVOZÕ¾MZIT[.-VMZOQMTÃ[[\[QKP[W[MTJ[\ ^MZ[\ÃVLTQKPVQKP\OM_QVVMVLMVV_I[LMZOZW¾M 3WTJMVIV3ZIN\OM_QVV\^MZTQMZ\MZIV;KP]J_MO" > ?%.[%X)41%X> ) > %X)41%.[%? )

;KPWV LMZ VWZUITM 4]N\LZ]KS IU -ZLJWLMV TQMO\ QV LMZ 6ÃPM ^WV 8I MQVMU ?MZ\ LMZ I]KP*IZOMVIVV\_QZL5M\MWZWTWOMVUM[[MVI]N MQV 8ZWUQTTM OMVI] ]VL LIZ]U QV 0MS\WXI[KIT P8I%8I%UJIZ1VLMZ5MLQbQVQ[\M[ ÛJTQKPIZ\MZQMTTMV*T]\LZ]KSQVUU0O%P8I ≈<WZZ IVb]OMJMV ]VL ^MVÕ[MV QV UU07 % ! 8I ,QM[M JMQLMV -QVPMQ\MV [\IUUMV ^WV ,MZ *MbQMP]VO i)ZJMQ\ % 3ZIN\ ?MOt MV\ .TÛ[[QOSMQ\[UIVWUM\MZV IJ . Kap. 3.3.4 [QVL [XZQKP\JMQ.TÛ[[QOSMQ\MVLQM*MbQMP]VOi)ZJMQ\% IJMZSMQVMOM[M\bTQKPMV-QVPMQ\MV ,Z]KS >WT]UMVÃVLMZ]VOt# [QM _QZL Volumenarbeit OMVIVV\ *MQ ^IZQIJTMU ,Z]KS U][[ UIV Merke QV\MOZQMZMV" Druck 6 SI-Einheit: 8I[KIT%8I%6 U

,I[0MZbLM[5MV[KPMVTMQ[\M\>WT]UMVIZJMQ\

Merke ,MZ,Z]KSQVMQVMZZ]PMVLMV.TÛ[[QOSMQ\LMZ hydrostatische DruckQ[\ITT[MQ\QOOTMQKP[WTIVOMUIV Volumenarbeit: Druck mal Volumenänderung /M_QKP\[SZÃN\M^MZVIKPTÃ[[QOMVSIVV1VLMZ1V RMS\QWV[[XZQ\bM_QZLMZL]ZKPÃ]¾MZM3ZIN\I]NLMV 3WTJMV LMV i;\MUXMTt MZbM]O\ ,M[PITJ VMVV\ UIV QPV I]KP ;\MUXMTLZ]KS ;MQVM )TT[MQ\QOSMQ\ >WT]UMVIZJMQ\_QZLI]KP^WVLMV<]ZJQVMVMQVM[ MZTI]J\LMZhydraulischen PresseOZW¾M,ZÛKSMb] 8]UX[XMQKPMZ_MZSM[OMTMQ[\M\. Abb. 3.12

75

3.3 · Druck

3

. Abb. 3.12. Pumpspeicherwerk. Nachts wird überschüssige elektrische Energie als Hubarbeit gespeichert, indem Wasser in den oberen See gepumpt wird; sie kann in der Leistungsspitze am Tag durch Volumenarbeit des Wassers wieder in elektrische Energie zurückverwandelt werden, freilich nur mit begrenztem Wirkungsgrad

3.3.2 Schweredruck

!

8]UX[XMQKPMZ_MZSM V]\bMV LMV ,Z]KS I][ LMV ?I[[MZ L]ZKP [MQVM /M_QKP\[SZIN\ MZbM]O\# MZ PMQ¾\ Schweredruck ]VL VQUU\ UQ\ LMZ ?I[[MZ \QMNMb]1V[WNMZVJMLIZNLMZ;I\b^WVLMZ)TT[MQ \QOSMQ\ ]VL /TMQKPPMQ\ LM[ PaLZW[\I\Q[KPMV ,Z] KSM[MQVMZ8ZÃbQ[QMZ]VO"LMZ;I\bOQT\V]ZNÛZLMV ;\MUXMTLZ]KS QU B][\IVL LMZ ;KP_MZMTW[QOSMQ\ ;WJITL /ZI^Q\I\QWV[ WLMZ WT]UMVΔ>%)ΔP 5 LQM5I[[MΔU%ρΔ>%ρ)ΔPρ%,QKP \MLMZ.TÛ[[QOSMQ\]VLLQM 5 /M_QKP\[SZIN\Δ./%OΔU%Oρ )ΔPO% .ITTJM[KPTM]VQO]VO,QM3ZIN\MZbM]O\LMV 5 ,Z]KSΔX%Δ./)%OρΔP 5Q\ [\MQOMVLMZ ?I[[MZ\QMNM []UUQMZMV [QKP ITTM *MQ\ZÃOMb]U,Z]KSLMZMQVbMTVMV;KPQKP\MV ,I ?I[[MZ XZIS\Q[KP QVSWUXZM[[QJMT Q[\ ÃV LMZ\ [QKP LQM ,QKP\M ρ UQ\ LMZ
. Abb. 3.13. Schweredruck. Zur Herleitung der Formel: Bei einer inkompressiblen Flüssigkeit (ρ = konstant) steigt er proportional zur Wassertiefe h an

. Abb.3.13ZMKP\M[<MQTJQTL1VMQVMZOM[KPTW[ [MVMV ,W[M ÛJMZTIOMZ\ [QKP QPU MQV M\_I VWKP ^WZPIVLMVMZ;\MUXMTLZ]KSX[,MZ/M[IU\LZ]KS XOQ[\LIVV XOP%ρ OPX[ . Abb. 3.14 1V WNNMVMV /M_Ã[[MZV MZbM]O\ [KPWVLQM4]N\PÛTTMLMZ-ZLMMQVMV[WTKPMV;\MU XMTLZ]KS 3Etwas anders verhält es sich mit dem Schweredruck in Gasen, zum Beispiel mit dem Luftdruck in der Erdatmosphäre, der ja auf dem Gewicht der Atmosphäre beruht. Da anders als bei Flüssigkeiten die Dichte eines Gases stark druckabhängig ist, variiert mit der Höhe beides: Druck und Dichte. Das führt dazu, dass der Druck nicht linear mit der Höhe abnimmt, sondern exponentiell (barometrische Höhenformel).

76

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

Klinik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

. Abb. 3.14. Stempeldruck. Dem Schweredruck überlagert sich ein etwa vorhandener Stempeldruck ps additiv

?MZ\I]KP\ZMOQ[\ZQMZ\LMV;KP_MZMLZ]KSLM[?I[ [MZ[IT[»JMZLZ]KSOMOMVÛJMZLMU)\UW[XPÃZMV LZ]KS^WVZ]VL8ILMVMZIV4IVLOM_WPV\Q[\ ,QM )\MUU][S]TI\]Z U][[ UQ\ LMU »JMZLZ]KS NMZ\QO_MZLMV[WTIVOMLMZ;XWZ\TMZUQ\i;KPVWZ KPMTt\I]KP\LQM)\MUT]N\IT[W]V\MZ6WZUITLZ]KS LQKP\ÛJMZLMZ?I[[MZWJMZãÃKPMIV[I]O\,I[OMP\ V]Z QV OMZQVOMZ
16 17 18 19 20

1LMITM .TÛ[[QOSMQ\MV JM[Q\bMV SMQVM ;KPMZNM[\QO SMQ\LI[PMQ¾\[QMTI[[MV[QKPTMQKP\^MZNWZUMV1V NWTOMLM[[MV UÛ[[MV QPZM NZMQMV 7JMZãÃKPMV QU UMZPWZQbWV\IT[\MPMV<Ã\MV[QMM[VQKP\JMSÃUM LQM /M_QKP\[SZIN\ MQVM 3WUXWVMV\M XIZITTMT b]Z 7JMZãÃKPMLMZLQM.TÛ[[QOSMQ\VIKPOMJMVUÛ[[ \M,QM[OQT\I]KP_MVVQVkommunizierenden Röhren LQM 7JMZãÃKPM L]ZKP /MNÃ¾_ÃVLM ]V\MZJZW KPMVQ[\"-QVMZ]PMVLM?I[[MZWJMZãÃKPMTQMO\QU UMZ [MVSZMKP\ b] LMZ IVOZMQNMVLMV ;KP_MZSZIN\ 1V[WNMZVJQTLMVLQM5MMZMSMQVMMJMVMV7JMZãÃ

Druck im Körper. Auch die Blutgefäße des Menschen bilden eine „geschlossene Dose“ im Sinn der Überlagerung von Schwere- und Stempeldruck. Steht der Mensch aufrecht, so ist der äBlutdruck in den Füßen notwendigerweise höher als im Kopf; liegt er horizontal, so sind beide Drücke ungefähr gleich. Das Gehirn braucht für seine Funktion aber unbedingt eine gleichmäßige Durchblutung; folglich muss ein Regelsystem dafür sorgen, dass Druckschwankungen im Kopf, wie sie Lageänderungen zunächst hervorrufen, in wenigen Sekunden aufgefangen werden. Krankhafte Störungen können die Einstellung des Solldrucks merklich verzögern oder gar Regelschwingungen auslösen (. Abb. 3.15).

KPMV I][ [WVLMZV )][[KPVQ\\M I][ MQVMZ 3]OMT WJMZãÃKPM;MMTM]\M_Q[[MVLI[">WVMQVMUMV\OM OMVSWUUMVLMV ;KPQNN \I]KPMV b]MZ[\ LQM 5I[\ [XQ\bMV ÛJMZ LMZ 3QUU I]N ]VL LMZ 5IVV QU 5I[\SWZJMV\LMKS\[QMNZÛPMZ Rechenbeispiel 3.2: Wasserturm 7 Aufgabe. In ﬂachen Gegenden sieht man zuweilen einen Wasserturm in der Landschaft stehen. Er enthält im oberen Teil einen großen Wassertank. Zweck der Konstruktion ist es, am Fuße des Turms in den umgebenden Häusern einen Überdruck des Wassers am Wasserhahn zu erzeugen. Wie hoch muss der Turm in etwa sein, damit der Überdruck das Dreifache des Luftdrucks beträgt? 7 Lösung. Es gilt die Faustformel: Alle 10 m Wassertiefe steigt der Druck um ein Bar bzw. 1000 hPa. Genaues Nachrechnen liefert:

Der Wasserturm muss also etwa 30 m hoch sein. Man kann den Druck am Wasserhahn aber auch mit einer Pumpe aufrechterhalten.

77

3.3 · Druck

3

Merke Auftrieb .)%OUN%>SρNO

. Abb. 3.15 a–c. Regelstörungen beim Blutdruck. Die Versuchsperson wird auf einer horizontalen Liege festgeschnallt und ohne eigene Muskelarbeit in die Vertikale gekippt. Dadurch nimmt der Blutdruck im Oberkörper zunächst ab („das Blut sackt in die Füße“). Beim Gesunden wird der Druck im Gehirn in weniger als einer halben Minute wieder auf den Normalwert eingeregelt (a). Ein krankhaft gestörter Regelkreis kann aber durch diese Belastung in eine gedämpfte (b) und sogar in eine nahezu ungedämpfte (c) Regelschwingung geraten

3.3.3 Auftrieb

-QV3ÕZXMZLMZUMPZ_QMO\IT[LQM^WVQPU^MZ LZÃVO\M .TÛ[[QOSMQ\ [QVS\ ]V\MZ" ,MZ )]N\ZQMJ SIVVLI[/M_QKP\VQKP\\ZIOMV_MVVLQMUQ\\TM ZM,QKP\MLM[3ÕZXMZ[OZÕ¾MZQ[\IT[LQMLMZ.TÛ[ [QOSMQ\1[\[QMLIOMOMVSTMQVMZ[W[KP_QUU\LMZ 3ÕZXMZ#MZ\I]KP\OMZILM[W\QMNMQVLI[[LQM^MZ LZÃVO\M .TÛ[[QOSMQ\ MJMV[W ^QMT _QMO\ _QM MZ [MT JMZ"-QVTMMZM[;KPQNNTQMO\PÕPMZQU?I[[MZIT[MQV JMTILMVM[)]¾MZLMUPI\M[I]NPWPMZ;MMMQVMV M\_I[OMZQVOMZMV
!

2MLMZ 3ÕZXMZ _QZL _MVV UIV QPV ]V\MZ ?I[ [MZ \I]KP\ ^WV ITTMV ;MQ\MV b][IUUMVOMLZÛKS\ ?MQT IJMZ LMZ ;KP_MZMLZ]KS UQ\ LMZ ?I[[MZ\QM NMb]VQUU\ÛJ\MZ^WV]V\MVMQVMOZÕ¾MZM3ZIN\ I]NLMV3ÕZXMZI][IT[^WVWJMV"LQM,QNNMZMVbTQM NMZ\LMVAuftriebMQVMLMZ/M_QKP\[SZIN\MV\OMOMV IT[WI]N_ÃZ\[OMZQKP\M\M3ZIN\.)1PZ*M\ZIOMV\ [XZQKP\ LMZ /M_QKP\[SZIN\ OUN LMZ ^WU WT]UMV >S ]VL QPZMZ ,QKP\M ρN XZWXWZ\QWVIT ,QM[ [WTT PQMZ WPVM *M OZÛVL]VOMQVNIKPV]ZNM[\OM[\MTT\_MZLMV.ÛZOM WUM\ZQ[KPMQVNIKPM;WVLMZNÃTTMTÃ[[\M[[QKPTMQKP\ VIKPZMKPVMV#M[ITTOMUMQVPMZb]TMQ\MVJMLIZNIT . Abb. 3.16. Aräometer. Es taucht umso tiefer ein, je geringer die Dichte der Flüssigkeit ist TMZLQVO[MQVMZ1V\MOZI\QWV

78

1

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

Praktikum Dichtebestimmung

2 3 4 5 6 7 8

(Dichte: 7 Kap. 1.2.2; Hebelgesetz und Balkenwaage: 7 Kap. 2.2.4 bis 2.2.6) 1) Flüssigkeiten Eine beliebte Methode ist die Mohr’sche Waage. Das ist eine Balkenwaage, an deren einer Seite ein Glaskörper (Volumen >3, Masse U3) hängt, dessen Dichte ρ3 bekannt sein muss. Taucht man diesen Körper in die zu messende Flüssigkeit, so wirkt eine Auftriebskraft auf ihn, die proportional zur Dichte der Flüssigkeit ist. Diese wird mit der Waage ausgemessen. Das funktioniert genauso wie das in . Abb. 3.16 dargestellte Aräometer, lässt sich nur genauer ablesen. Ist das Gewicht des Glaskörpers in Luft und sein Gewicht eingetaucht in der Flüssigkeit, so ist die Differenz die Auftriebskraft:

Dann ist:

9

und so erhält man die gesuchte Dichte der Flüssigkeit:

Diese Formel hat noch den Reiz, dass die Gewichtskräfte gar nicht absolut bestimmt werden müssen, da es nur auf ein Verhältnis ankommt. Es reichen abgelesene Skalenteile. Eine andere Methode ist der einfache Gewichtsvergleich zweier Flüssigkeiten gleichen Volumens mit der Balkenwaage. Ist die Dichte der einen Flüssigkeit bekannt, so kann die Dichte der anderen berechnet werden. 2) Festkörper Nimmt man eine Flüssigkeit bekannter Dichte (in der Regel Wasser mit ), so kann man die obige Formel auch herumdrehen und die Dichte des eingetauchten Körpers bestimmen.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

?MZ[KP_QUUMV_QTTi_QMMQV.Q[KPQU?I[ [MZt U][[ [MQVM UQ\\TMZM ,QKP\M LMZ =UOMJ]VO OMVI]IVXI[[MV[WV[\\ZMQJ\MZI]NWLMZOMP\]V \MZ.Q[KPMJM[Q\bMVLINÛZMQVM;KP_QUUJTI[MLQM [QM UMPZ WLMZ _MVQOMZ _MQ\ UQ\ /I[ I]NJTÃPMV SÕVVMV,IUQ\ÃVLMZV[QM>WT]UMV]VL)]N\ZQMJ VQKP\IJMZ5I[[M]VL/M_QKP\ ,MZ5MV[KPJM[\MP\QU?M[MV\TQKPMVI][?I[ [MZ#[MQVMUQ\\TMZM,QKP\MTQMO\V]Z_MVQOÛJMZO KU,I[MZTI]J\QPUUQ\OMZQVOMV;KP_QUUJM_M O]VOMVLMV3WXNÛJMZ?I[[MZb]PIT\MV,MZ)]N \ZQMJ\ZÃO\LMV3ÕZXMZ]VLMV\TI[\M\LI[:ÛKSOZI\ Klinik Blut ist eine so genannte Suspension. In der Grundﬂüssigkeit Wasser beﬁnden sich viele nicht gelöste Bestandteile wie zum Beispiel die Blutkörperchen. Blut bleibt deshalb gut durchmischt, weil sich die Dichten dieser Bestandteile und des Wassers nicht allzu sehr unterscheiden. Auftriebskraft und Schwerkraft halten sich in etwa die Waage. Aber nicht ganz. Blutkörperchen haben eine etwas höhere Dichte und sinken deshalb ganz langsam nach unten ( äBlutsenkung).

3Einen solchen Vorgang nennt man Sedimentation. Die Sinkgeschwindigkeit v ist proportional zur Fallbeschleunigung g oder der Beschleunigung a, der man das Reagenzglas eben aussetzt, zum Beispiel in einer Zentrifuge: Den Proportionalitätsfaktor sk nennt man Sedimentationskonstante. Sie hängt vor allem vom Dichteunterschied zwischen Teilchen und Flüssigkeit ab. Ihre Einheit ist grundsätzlich die Sekunde, sie wird aber in 10–13 Sekunden = 1 Svedberg (S) angegeben.

?QTTUIVLQM*M[\IVL\MQTMLM[*T]\M[[KPVMTT\ZMV VMV]VLVQKP\TIVOM_IZ\MV[WJMLQMV\UIV[QKP MQVMZ Zentrifuge ,QM ;QVSOM[KP_QVLQOSMQ\ ^[ Q[\ XZWXWZ\QWVIT b]Z ,QKP\MLQNNMZMVb Δρ ]VL b]Z .ITTJM[KPTM]VQO]VO" ^[∼ΔρO 1VLMZBMV\ZQN]OM_QZLV]VLQM.ITTJM[KPTM]VQ O]VOL]ZKPLQM:ILQITJM[KPTM]VQO]VOLMZ,ZMP JM_MO]VOJb_LQM;KP_MZSZIN\L]ZKPLQMBMV\ZQ N]OITSZIN\MZ[M\b\7 Kap. 2.3.5,QM[MSIVVUMPZ IT[ UIT PÕPMZ [MQV ,IVV OMP\ M[ UIT [KPVMTTMZ

79

3.3 · Druck

3

Rechenbeispiel 3.3: Mondgestein 7 Aufgabe. Ein Geologe ﬁndet heraus, dass ein Mondstein mit einer Masse von 8,2 kg eingetaucht in Wasser nur noch eine scheinbare Masse von 6,18 kg hat. Wie groß ist die Dichte des Steins? 7 Lösung. Die Auftriebskraft ergibt sich aus der Differenz zwischen realer und scheinbarer Masse Damit ergibt sich und ist sein Volumen: und die Dichte zu

Die Krone des Hiëron 7 Frage. Der Sage nach hat Archimedes mit Hilfe seines Prinzips den Goldschmied des Betruges überführt, bei dem König Hiëron von Syrakus eine Krone in Auftrag gegeben hatte. Hiëron ließ dafür einen abgewogenen Klumpen reinen Goldes aus seiner Schatzkammer holen und überzeugte sich später durch Nachwiegen, dass die fertige Krone das richtige Gewicht besaß. Trotzdem hatte der Schmied einen guten Teil des Goldes für sich behalten und durch zulegiertes Silber ersetzt; der Krone sah man das nicht an. Archimedes wusste, dass Silber „leichter“ ist als Gold, d. h. eine geringere Dichte besitzt. Er wies den Betrug nach mit einer Waage, einem hinreichend großen, wassergefüllten Bottich und einem zweiten Klumpen Gold, der so schwer war wie die Krone. Wie machte er das? 7 Antwort. Klumpen und Krone haben gleiche Masse und bringen eine Waage ins Gleichgewicht. Die Krone hat wegen des Silbers eine kleinere Dichte und ein größeres Volumen; folglich ist ihr Auftrieb im Wasser größer. Taucht man Klumpen und Krone, während sie an der Waage hängen, ins Wasser, so kommt die Waage aus dem Gleichgewicht: Die Krone erscheint leichter.

. Abb. 3.17. Flüssigkeitsmanometer. Auf dem linken Schenkel lastet ein Überdruck

= OMJWOMVMV /TI[ZWPZ [W _QM . Abb. 3.17 bMQO\ U][[LMZ/I[LZ]KSÛJMZLMUTQVSMV5MVQ[S][PÕ PMZ[MQVIT[ÛJMZLMUZMKP\MV]VLb_IZ]UMQVMV *M\ZIOΔXLMZOMVI][WOZW¾Q[\_QMLMZ;KP_MZM LZ]KSMQVMZ?I[[MZ[Ã]TMLMZ0ÕPMΔP" ΔX%ρ OΔP -QV.TÛ[[QOSMQ\[UIVWUM\MZTÃ[[\[QKPUQ\LMU 4QVMITWLMZI]KPUQ\PQV\MZTMO\MU5QTTQUM\MZXI XQMZIJTM[MV#QVLQM-QKP]VOOMPMVLIVVVWKPLQM ,QKP\M ρLMZ5IVWUM\MZãÛ[[QOSMQ\]VLLQM.ITT JM[KPTM]VQO]VOOMQV ;KPTQM¾\ UIV LMV MQVMV ;KPMVSMT LM[ .TÛ[[QO SMQ\[UIVWUM\MZ[]VLPÃT\UIVQPVT]N\TMMZ[WUQ[[\ UIV LMV ^WTTMV /I[LZ]KS I]N LMZ IVLMZMV ;MQ\M ?ÃZM LQM[ VWZUITMZ 4]N\LZ]KS [W [\QMOM ?I[[MZ Z]VLUPWKP#PÕPMZSIVVI]KPLQMJM[\M;I]O X]UXMI]NLQM[MZ-ZLM?I[[MZVQKP\PMJMV5Q\[MQ VMZOZW¾MV,QKP\M^MZSÛZb\9]MKS[QTJMZLQM;\MQO

3.3.4 Manometer

,MZ;KP_MZMLZ]KSMZTI]J\LQM3WV[\Z]S\QWV\MKP VQ[KPJM[WVLMZ[MQVNIKPMZ,Z]KSUM[[MZLMZFlüssigkeitsmanometer ;\MP\ ?I[[MZ QV MQVMU b]U . Abb. 3.18. Quecksilber-Barometer

80

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

1 2 3 . Abb. 3.20. Kolbenpumpe

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 3.19. Dosenbarometer. Der äußere Luftdruck biegt den gewellten Deckel durch und staucht die Schraubenfeder; nach ähnlichen Prinzipien lassen sich auch Manometer für hohe Drücke herstellen

PÕPM I]N UU . Abb. 3.18 -ZN]VLMV _]Z LMLI[ Quecksilberbarometer^WV-^IVOMTQ[\I . Abb. 3.21. Membranpumpe <WZZQKMTTQ>WVQPUPI\LQM,Z]KSMQVPMQ\i<WZZtQP ZMV6IUMVLQMXZIS\Q[KPUQ\LMZ-QVPMQ\iUU0Ot ÛJMZMQV[\QUU\*MQLM[QVLSMQVMiO]\MVt-QVPMQ\MV _MQTLQM.ITTJM[KPTM]VQO]VO^WU7Z\IJPÃVO\]VL LQM,QKP\MLM[9]MKS[QTJMZ[^WVLMZ<MUXMZI\]Z .TÛ[[QOSMQ\[UIVWUM\MZTI[[MV[QKPb_IZTMQKP\ PMZ[\MTTMV [QVL IJMZ ]VPIVLTQKP# [QM UÛ[[MV [MVSZMKP\ [\MPMV ]VL SÕVVMV I][TI]NMV ,IZ]U ^MZ_MVLM\UIVTQMJMZLÛVV_IVLQOM0WPTSÕZXMZ LQM[QKP^MZJQMOMV_MVVMQVM,Z]KSLQNNMZMVbb_Q [KPMVQVVMV]VLI]¾MVJM[\MP\,QM>MZJQMO]VO _QZLLIVVUMKPIVQ[KPWLMZI]KPMTMS\ZQ[KPÛJMZ \ZIOMV]VLOTMQKPIT[,Z]KSLQNNMZMVbIVOMbMQO\ Abbildung 3.19bMQO\MQV*MQ[XQMT

3.3.5 Pumpen

5Q\ MQVMZ 3IUUMZ LQM XMZQWLQ[KP QPZ >WT]UMV ÃVLMZ\SIVVUIVX]UXMV#b_MQ>MV\QTMJZI]KP\ UIV I]KP VWKP LIb] <MKPVQ[KP MQVNIKP Q[\ LQM Kolbenpumpe . Abb. 3.20 LQM IJOM[MPMV ^WV VW\_MVLQOMV ,QKP\]VOMV OIVb I][ 5M\ITT OMNMZ \QO\_MZLMVSIVV,QM>MV\QTMPIJMVLMVb]VÃKP[\ V]Z XMVLMTVLMV ;\ZWU LMZ .TÛ[[QOSMQ\ WLMZ LM[ /I[M[ QV MQVM >WZb]O[ZQKP\]VO b] [\M]MZV ,I b]U][[QPZM*M_MO]VOUQ\LMZLM[3WTJMV[SW WZLQVQMZ\ _MZLMV b_IVO[_MQ[M L]ZKP MQVM MV\ [XZMKPMVLM 5MKPIVQS WLMZ MTMOIV\MZ LIL]ZKP LI[[LQMMV\[XZMKPMVLSWV[\Z]QMZ\MV>MV\QTM^WU ;\ZWU LM[ .ÕZLMZO]\M[ QU ZQKP\QOMV
. Abb. 3.22. Funktionsmodell der Lungenatmung (nach Hinzpeter, Einzelheiten im Text)

2MLMZ 3WTJMV JZI]KP\ MQVM ,QKP\]VO OMOMV ÛJMZ [MQVMU BaTQVLMZ MQV \MKPVQ[KP SMQVM[_MO[ MQVNIKPb]TÕ[MVLM[8ZWJTMU,IZ]UMZ[M\b\UIV b]_MQTMVLMV3WTJMVL]ZKPMQVMJQMO[IUM5MUJ ZIVLQMPQV]VLPMZOMJWOMV_QZLMembranpumpe . Abb. 3.21 6IKP ÃPVTQKPMU 8ZQVbQX IZJMQ \MV0MZbMVV]Z^MZ_MVLM\LQM6I\]Z_MQ\I][ZIN âVQMZ\MZM[ *I]UI\MZQIT" 5][SMTV LQM [QKP I]N 3WUUIVLWb][IUUMVbQMPMV

3.3 · Druck

81

3

Klinik Auch die Lunge pumpt. Die Lunge muss beim Einatmen Unterdruck erzeugen, um den Strömungswiderstand der Luftröhre zu überwinden. Für die nötige Kraft sorgt die Atemmuskulatur. Sie darf aber nicht an den Lungenbläschen unmittelbar angreifen, denn dazu sind diese viel zu zart und empﬁndlich. Folglich werden sie außen in die interpleurale Flüssigkeit eingebettet, die sich selbst wieder in einem festen Hautsack beﬁnden. Er ist gasdicht an der Luftröhre angewachsen, unten mit dem Zwerchfell abgeschlossen und stabil genug für eine Verbindung mit den Muskeln. . Abbildung 3.22 zeigt ein Funktionsmodell der äAtmung. Eine schlaffe Gummiblase vertritt hier die Lunge. Sie schwimmt, über eine Röhre mit der Außenluft verbunden, in einem wassergefüllten Kasten. Seinen Boden bildet eine kräftige Gummischeibe, Ersatz für das Zwerchfell. In der Mitte hat sie einen kräftigen Haken, an dem die „Atemmuskulatur“ ziehen kann. Nun würde das Wasser allein durch seinen Schweredruck die „Lunge“ zusammenpressen, wäre der Kasten nicht dicht und sorgte nicht das „Zwerchfell“ von vornherein für einen gewissen Unterdruck. Zieht man am „Zwerchfell“, so vergrößert man das Volumen des „Thorax“. Wasser dehnt sich nicht; nur die „Lunge“ kann das Zusatzvolumen liefern: Sie atmet ein und sie atmet wieder

3.3.6 Kompressibilität

aus, wenn der Zug am „Zwerchfell“ nachlässt. Freilich funktioniert das Verfahren nur, wenn der Kasten absolut gasdicht ist und nirgendwo „Nebenluft“ ansaugen kann. Beim kleinsten Leck klappt die „Lunge“ zusammen. Besäße der Mensch nicht zwei mechanisch getrennte Lungenﬂügel, so wäre ein Lungendurchschuss momentan tödlich. Wie operiert man im Thorax? Öffnet man ihn ohne Vorsichtsmaßnahmen, so fällt mindestens eine halbe Lunge aus. Deshalb hat der Geheimrat Sauerbruch seinerzeit zunächst versucht, den interpleuralen Unterdruck bei offenem Thorax dadurch aufrechtzuerhalten, dass er kurzerhand den ganzen Operationssaal unter Unterdruck setzte, den Kopf des Patienten aber, sorgfältig am Hals abgedichtet, draußen ließ. Es ging, aber es war riskant. Ein plötzliches Leck irgendwo, ein Öffnen der Tür: Der Unterdruck entwich, das Versuchstier war tot. Physikalisch wird aber gar kein Unterdruck außerhalb der Lunge verlangt, sondern nur eine Druckdifferenz zwischen innen und außen. Man kann sie auch durch leichten Überdruck auf die Atemöffnungen des Patienten erzeugen und dabei den Operationssaal so belassen wie bei anderen Eingriffen auch. Das macht das technische Problem der Dichtung einfacher und verringert die Gefahr für den Patienten.

L]VOMVLQMQPZMV*M_MO]VO[LZIVOMQV[KPZÃVSMV ÛJMV[QMMQVMV,Z]KSLIL]ZKPI][LI[[[QMJMQRM ,QM 5WTMSÛTM LMZ .M[\SÕZXMZ ]VL .TÛ[[QOSMQ\MV LMU;\W¾I]NLQM?IVLS]ZbMQVM3ZIN\I][ÛJMV SWUUMV[QKPJQ[b]Z*MZÛPZ]VOVIPM#NZMQMV8TI\b ,I[OM[KPQMP\]U[WÕN\MZRMUMPZ[QM[QVLRMOZÕ b_Q[KPMVQPVMVOQJ\M[SI]U,QMKompressibilität ¾MZQPZM)VbIPT6OMVI]MZ"QPZM Q[\OMZQVOLMVVLQM5I[[MVLQKP\MTÃ[[\[QKPL]ZKP Anzahldichte Ã]¾MZMV,Z]KSV]ZOMZQVONÛOQOMZPÕPMV#[QMTQMO\ QV LMZ /ZÕ¾MVWZLV]VO ^WV MQVQOMV <WVVMV3] JQSUM\MZ Q[\,IUQ\PÃVO\LMZ,Z]KSTQVMIZ^WU3MPZ_MZ\ /IVbIVLMZ[JMQMQVMU/I[;MQVM,QKP\MTQMO\ >LM[>WT]UMV[IJJMbQMP]VO[_MQ[M" TMQKP\]ULZMQBMPVMZXW\MVbMVVQMLZQOMZVWZUI X>%SWV[\IV\ TMBQUUMZT]N\"KISOU,QM5WTMSÛTMPIT\MV OZW¾MV)J[\IVL^WVMQVIVLMZb_Q[KPMVQPVMVQ[\ ,QM[M[[WOGesetz von Boyle-MariotteOQT\ITTMZ ^QMT8TI\b,IZI][NWTO\MQVMPWPM3WUXZM[[QJQTQ LQVO[V]ZJMQSWV[\IV\MZ<MUXMZI\]Z)VLMZ[OM \Ã\ [IO\" LQM 3WV[\IV\M Q[\ \MUXMZI\]ZIJPÃVOQO )] /I[UWTMSÛTM JM_MOMV [QKP \PMZUQ[KP WP ¾MZLMU OQT\ LI[ /M[M\b V]Z NÛZ [WO QLMITM /I[M VMMQVM:QKP\]VOb]JM^WZb]OMV)]N/MNÃ¾_IV 7 Kap. 5.2.1b]LMVMVBQUUMZT]N\IJMZOMPÕZ\

82

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

5IV U][[ M[ JMZÛKS[QKP\QOMV _MVV UIV LI[ )\MUb]O^WT]UMVMQVM[8I\QMV\MVJM[\QUUMV_QTT ]VL LMZ ,Z]KS QU ;XQZWUM\MZ VQKP\ UQ\ LMU QV LMZ4]VOMÛJMZMQV[\QUU\?QMPI\UIVb]ZMKP VMV' 5IV LIZN LMU /M[M\b ^WV *WaTM5IZQW\\M I]KPLQM.WZUX>%X>WLMZ>%>XX OMJMV ,QMQVSWUXZM[[QJTM.TÛ[[QOSMQ\]VLLI[PWKP SWUXZM[[QJTM QLMITM /I[ UIZSQMZMV b_MQ UI\PM UI\Q[KPMQVNIKPM/ZMVbNÃTTMb_Q[KPMVLMVMV[QKP LQM ZMITMV ;]J[\IVbMV PMZ]U\ZMQJMV *MQ QPVMV U][[UIVMUXQZQ[KPJM[\QUUMV]U_MTKPMV*M \ZIOΔ>LI[)][OIVO[^WT]UMV>IJVQUU\_MVV UIVLMVÃ]¾MZMV,Z]KS]UΔXMZPÕP\-QVM8ZW XWZ\QWVITQ\Ã\b]>LIZNUIVMZ_IZ\MVMQVMb]ΔX VQKP\]VJMLQVO\-[Q[\LM[PITJ^MZVÛVN\QOLQM Kompressibilität

LQNNMZMV\QMTTb]LMâVQMZMVVMOI\Q^M[>WZbMQKPMV _MQT>UQ\XIJVQUU\,MZ3MPZ_MZ\_QZL Kompressionsmodul9OMVIVV\.ÛZLMV/ZMVbNITTLM[ QVSWUXZM[[QJTMV.T]QLM[OQT\S% -QVM [WTKPM ,MâVQ\QWV Q[\ ZMQV LM[SZQX\Q^# [QM JM[KPZMQJ\ MQVMV B][IUUMVPIVO WPVM VIKP LM[[MV =Z[IKPMV b] NZIOMV ,M[PITJ SIVV UIV [QM I]KP QV MQVMZ OIVb IVLMZMV ;Q\]I\QWV JMV]\ bMV VÃUTQKP JMQU -QVNÛTTMV MQVMZ .TÛ[[QOSMQ\ QV MQVLMPVJIZM[/MNÃ¾JMQU-QVX]UXMV^WV*T]\ QVLQM)WZ\IJMQ[XQMT[_MQ[M0QMZ_ÃKP[\LI[MQV NÛTTJIZM>WT]UMVUQ\[\MQOMVLMU,Z]KS_MQTLQM ?ÃVLMVIKPOMJMV,M[PITJ_QZL9UQ\XW[Q\Q^MU >WZbMQKPMVLMâVQMZ\]VLJMSWUU\MQVMVIVLMZMV 6IUMV" Volumenelastizitätsmodul

-Z PÃVO\ ^WV LMZ .WZU LM[ /MNÃ¾M[ IJ ^WV LMZ,QKSMLMZ?IVL]VLLMZMVMTI[\Q[KPMV-QOMV [KPIN\MV

3.3.7 Blutdruckmessung

1U )TTOMUMQVMV ^MZTIVO\ MQVM ,Z]KSUM[[]VO UMKPIVQ[KPMV )V[KPT][[ LM[ 5IVWUM\MZ[ IV LI[ ,Z]KSOMNÃ¾ SMQV 8ZWJTMU JMQ ,IUXNSM[ [MTV]VL )]\WZMQNMV" LQM VW\_MVLQOMV .TIV[KPM ]VL>MV\QTM_MZLMV^WV^WZVPMZMQV^WZOM[MPMV

,MZ)Zb\UÛ[[\MIJMZb]Z*T]\LZ]KSUM[[]VOMQV PQVZMQKPMVLOZW¾M[/MNÃ¾ÕNNVMV]UMQVMV3I \PM\MZMQVNÛPZMVb]SÕVVMVIVLM[[MVÃ]¾MZMU -VLMLIVVLI[5IVWUM\MZ[Q\b\1V;WVLMZNÃTTMV OM[KPQMP\ LI[ \I\[ÃKPTQKP ^WZ ITTMU QU MZ TI]NLM[,Z]KSM[QUTQVSMV>MV\ZQSMTMQVM[0]V LMPMZbMV[_Q[[MV_WTT\MPI\\MSMQVMIVLMZM?IPT ,I[[[QKPLQM[M[>MZNIPZMVIJMZNÛZLQM:W]\QVM UM[[]VO LMZ ÃZb\TQKPMV 8ZI`Q[ ^MZJQM\M\ JMLIZN SMQVMZ*MOZÛVL]VO0QMZPI\[QKPMQVM5M\PWLM L]ZKPOM[M\b\LQMIT[5][\MZJMQ[XQMTMQVMZ[KPWV ZMKP\ZINâVQMZ\MVQVLQZMS\MV5M[[]VOIVOM[MPMV _MZLMVSIVV;QMQ[\WPVMMQVQOM,M\IQTSMVV\VQ[ [MLM[B][IUUMV[XQMT[^WV0MZb]VL)WZ\IVQKP\ b]^MZ[\MPMV -QV0MZbIZJMQ\M\VIKPLMU8ZQVbQXLMZ3WT JMVX]UXM" ,]ZKP XMZQWLQ[KPM £VLMZ]VO LM[ _QZS[IUMV>WT]UMV[_QZL/I[WLMZ.TÛ[[QOSMQ\ ^MZ[KPWJMV#>MV\QTM[WZOMVLINÛZLI[[LQM[V]ZQV MQVMZ :QKP\]VO OM[KPQMP\ JMQU 0MZbMV IT[W LQM 0MZbSTIXXMV =V^MZUMQLTQKP MZNWTO\ LMZ WT]UMV,I[ UQVLMZ\ LQM ,Z]KS[\Õ¾M JM\ZÃKP\TQKP ]VL TÃ[[\ LI[ /I[ MQVQOMZUI¾MV OTMQKPUÃ¾QO IJ[\ZÕUMV ,I[OTMQKPMBQMT^MZNWTO\LQM)WZ\IV]ZSIVV[QM M[ VQKP\ IT[ [\IZZM[ /MNÃ¾ \]V _MQT *T]\ QVSWU XZM[[QJMT Q[\ _QM ?I[[MZ ,M[PITJ U][[ [QKP LQM )WZ\I JMQ RMLMZ ;a[\WTM ]U LI[ 0MZb[KPTIO^WT] UMV I]NJTÃPMV ,IJMQ _QZL LQM )WZ\MV_IVL OM LMPV\]VLOQJ\_ÃPZMVLLMZ,QI[\WTM^WV:QVO U][SMTV]V\MZ[\Û\b\LI[*T]\JMQV]Z_MVQOIJ NITTMVLMU ,Z]KS QV LMV 3ZMQ[TI]N ,QM /MNÃ¾ _IVL MV\[XIVV\ [QKP ]VL UIKP\ [QKP NÛZ LQM VÃKP[\M;a[\WTMJMZMQ\,MVbMQ\TQKPMV>MZTI]NLM[ ,Z]KSM[ UQ\ 3I\PM\MZV QU 0MZbMV ]VL IV ^MZ [KPQMLMVMV ;\MTTMV QU ;a[\MU LMZ )Z\MZQMV OM UM[[MV bMQO\ . Abb. 3.23,QM LZ]KS[\W¾UQV LMZVLM äWindkesselfunktion LMZ )WZ\I Q[\ VQKP\ b]ÛJMZ[MPMV 1VITTMV;KPTIOILMZV[KP_IVS\LMZ*T]\LZ]KS XMZQWLQ[KP b_Q[KPMV MQVMU [a[\WTQ[KPMV 5I`Q

83

3.4 · Grenzﬂächen

3

. Abb. 3.23. Windkesseleffekt. Die starken Druckschwankungen in der Herzkammer werden zum großen Teil durch die Windkesselfunktion der Aorta aufgefangen

U]UX[]VLMQVMULQI[\WTQ[KPMV5QVQU]UXLPQV ]VLPMZ6]ZLQM[MJMQLMV/ZMVb_MZ\M_MZLMVJMQ LMZÛJTQKPMV äBlutdruckmessungJM[\QUU\]VL b_IZIU7JMZIZULM[UMQ[\[Q\bMVLMV8I\QMV\MV ,Ib]_QZLQPUMQVM5IV[KPM\\M]ULMV)ZUOM TMO\LQM]V\MZMQVMUVQKP\LMPVJIZMV/M_MJMMQ VMVJZMQ\MV]VL_MQKPMV/]UUQ[KPTI]KPJM[Q\b\ ,QM[MZ ;KPTI]KP _]ZLM NZÛPMZ UQ\ MQVMU /]U UQJÃTTKPMV^WVLMZ0IVLLM[)Zb\M[I]NOMX]UX\ . Abb. 3.24PM]\MJM^WZb]O\UIVMQVM5W\WZ X]UXM,MZ;KPTI]KPLZÛKS\LIVV)ZU]VL£Z UMTLM[8I\QMV\MVb][IUUMV]VLUQ\QPVMVLQM ;KPTIOILMZ »JMZ[\MQO\ LMZ 5IV[KPM\\MVLZ]KS X LMV[a[\WTQ[KPMV,Z]KSX[[W_QZLLQM;KPTIOILMZ ^ÕTTQO IJOMY]M\[KP\ ]VL LQM *T]\^MZ[WZO]VO LM[ =V\MZIZU[ ]V\MZJZWKPMV" 1V LMZ *M]OM LM[ -TT JWOMVOMTMVS[ LWZ\ _W LQM ;KPTIOILMZ LQKP\ ]V \MZLMZ0I]\^MZTÃ]N\Q[\UQ\;\M\PW[SWXWLMZ5Q SZWNWVSMQV8]T[OMZÃ][KPUMPZ_IPZb]VMPUMV 4Ã[[\UIVRM\b\ÛJMZMQVSTMQVM[>MV\QT4]N\I][LMZ 5IV[KPM\\MPMZI][[WSIVV^WVLMU5WUMV\IV QV LMU LMZ ,Z]KS X LMV [a[\WTQ[KPMV *T]\LZ]KS X[ ]V\MZ[KPZMQ\M\ LQM[MZ NÛZ S]ZbM BMQ\ LQM )LMZ

ÕNNVMV ,MZMV IV[KPTQM¾MVLM[ B][IUUMV[KPTI OMV]V\MZLMU,Z]KSLMZ5IV[KPM\\MTQMNMZ\MQV ]V^MZSMVVJIZM[ /MZÃ][KP QU -TTJWOMVOMTMVS -[^MZ[\]UU\_QMLMZ_MVV XLMVLQI[\WTQ[KPMV ,Z]KSXL]V\MZ[KPZMQ\M\_MQTLQM;KPTIOILMZRM\b\ [\ÃVLQO WNNMV JTMQJ\ »JMZ LI[ IS][\Q[KPM ;QOVIT SÕVVMV)Zb\]VL8I\QMV\I]NLMU5IVWUM\MZLMZ 5IV[KPM\\MLQMJMQLMV/ZMVb_MZ\MX[]VLXLIJ TM[MV*T]\LZ]KSUM[[]VOVIKPäRiva-Rocci ,IJMQ TÃ[[\ [QKP ITTMZLQVO[ MQV [a[\MUI\Q [KPMZ .MPTMZ VQKP\ ^MZUMQLMV ,I[ 0MZb [KPTÃO\ RIVQKP\OMZILMQVLMU5WUMV\QVLMULMZ5IV [KPM\\MVLZ]KS LMV [a[\WTQ[KPMV ]V\MZ[KPZMQ\M\ *MQU MZ[\MV PÕZJIZMV 8]T[OMZÃ][KP TQMO\ LM[ PITJ X JMZMQ\[ M\_I[ ]V\MZ X[ ]VL MV\[XZMKPMVL JMQUTM\b\MV/MZÃ][KPVWKPM\_I[ÛJMZXL*MQ LM 5M[[_MZ\M ZÛKSMV ]U[W LQKP\MZ b][IUUMV RM[KPVMTTMZLQM4]N\I][LMZ5IV[KPM\\MPMZI][ OMTI[[MV_QZL

3.4

Grenzﬂächen

3.4.1 Kohäsion

. Abb. 3.24. Blutdruckmessung nach Riva-Rocci (Einzelheiten im Text)

5WTMSÛTMPIT\MVb][IUUMV#b_Q[KPMVQPVMVPMZZ [KPMVib_Q[KPMVUWTMS]TIZM3ZÃN\MtS]ZbMZ:MQKP _MQ\M UQ\ LMVMV [QM [QKP OMOMV[MQ\QO IVbQMPMV ,QM[VMVVUIVKohäsion,QM[M3ZÃN\MJMSWUUMV JM[WVLMZM*MLM]\]VOIVLMV/ZMVb]VL7JMZãÃ KPMVLMZ.TÛ[[QOSMQ\MV ?MVVMQV3ZQ[\ITT[KPUQTb\VQUU\VWZUITMZ _MQ[MLQM,QKP\MIJIJMZVQKP\[MPZ)]KPQVLMZ ;KPUMTbM TQMOMV LQM 5WTMSÛTM VWKP iLQKP\ IV LQKP\t# LQM b_Q[KPMVUWTMS]TIZMV 3ZÃN\M M`Q[\QM ZMVVIKP_QM^WZV]ZQ[\LQM?ÃZUMJM_MO]VO[W

84

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 3.25. Zerreißfestigkeit eines Ölﬁlms zwischen zwei Metallplatten. Die obere trägt einen Randwulst, um ein Abgleiten der unteren zur Seite zu verhindern

. Abb. 3.26. Kohäsion. Die zwischenmolekularen Kräfte wirken im Innern der Flüssigkeit allseitig, behindern aber bereits das Eintreten eines Moleküls in die letzte Lage unter der Oberﬂäche und vor allem den Übertritt in den Gasraum

PMN\QOOM_WZLMVLI[[[QKPLQM*QVL]VOMVI]NNM[ \M /Q\\MZXTÃ\bM VQKP\ TÃVOMZ I]NZMKP\MZPIT\MV TI[ [MV,QM5WTMSÛTM[QVLRM\b\NZMQ^MZ[KPQMJJIZ#LQM .TÛ[[QOSMQ\PI\SMQVM;KP]JNM[\QOSMQ\NÛZMQVMBMZ ZMQ¾NM[\QOSMQ\ ZMQKPMV LQM 3ZÃN\M LMZ 3WPÃ[QWV IJMZVWKP-QVµTâTUb_Q[KPMVb_MQ)T]UQVQ]U XTI\\MV^WVM\_IKU,]ZKPUM[[MZ^MZUIOMQV 3QTWOZIUUb]\ZIOMV. Abb. 3.25#PMZbTQKP_M VQO_MVVUIVIVLMV3]XNMZLZIP\LM[:MKPMV JMQ[XQMT[LMVS\ )U LM]\TQKP[\MV ^MZ[XÛZMV LQM WJMZãÃKPMV VIPMV <MQTKPMV LQM b_Q[KPMVUWTMS]TIZMV 3ZÃN\M LMZ3WPÃ[QWVLMVVLQM[M^MZ[]KPMVVQKP\V]Z5W TMSÛTMb]ZÛKSb]PIT\MVLQMQVLMV/I[ZI]UI][JZM KPMVUÕKP\MV[QMJMPQVLMZV[KPWVLMZMV-QVLZQV OMVQVLQMTM\b\M5WTMSÛTTIOM. Abb. 3.265WTM SÛTM UMQLMV LIZ]U LQM 7JMZãÃKPM ]VL PIT\MV [QM[WSTMQV_QMUÕOTQKP",QMVI\ÛZTQKPM.WZULM[ WZOIVO QV MQVQOMV 5WUMV\I]NVIPUMV ,QM3ZÃN\MLMZ3WPÃ[QWV_QZSMVI]NLQM5WTMSÛ TM_QMMQVM[QMMQV[KPTQM¾MVLMOM[XIVV\M0I]\.ÛZ STMQVM1V[MS\MVSIVV[QMTMJMV[OMNÃPZTQKP_MZLMV# VQKP\ITTM[QVL[\IZSOMV]O[QKPI][MQVMU?I[[MZ . Abb. 3.27. Oberﬂächenspannung. Hg-Tropfen verringern \ZWXNMVb]JMNZMQMVLMZ[QMJMVM\b\PI\=UOMSMPZ\ ihre gemeinsame Oberﬂäche, indem sie sich zu einem einziSÕVVMV?I[[MZTÃ]NMZ[QKPI]NLMZ7JMZãÃKPMPIT gen Tropfen zusammenschließen. Momentaufnahmen in 10 Sekunden Abstand; der Vorgang wird durch ein Gemisch von \MVQVLMU[QMLQMi0I]\tMQV_MVQOMQVLMTTMV Wasser und Glyzerin verlangsamt. Große Tropfen können un>MZOZÕ¾MZ\UIVLQM7JMZãÃKPMMQVMZ.TÛ[[QO rund erscheinen, wenn sie im Moment der Belichtung noch SMQ\[WUÛ[[MV5WTMSÛTMLQM[QKPIVNIVO[VWKP schwingen, weil sie kurz zuvor einen kleinen Tropfen aufgeQU 1VVMZV I]NPIT\MV L]ZN\MV IV LQM 7JMZãÃKPM nommen haben

85

3.4 · Grenzﬂächen

OMJZIKP\ _MZLMV ,I[ JMLM]\M\ )ZJMQ\ OMOMV LQM 3ZÃN\M LMZ 3WPÃ[QWV# NÛZ RMLM[ VM]M .TÃKPMVMTM UMV\ ) MQVM JM[\QUU\M -VMZOQM ?) 5IV LMâ VQMZ\" Oberﬂächenspannung

;QMPI\LQM;1-QVPMQ\2U%6U%SO[

3

Rechenbeispiel 3.4: Binnendruck 7 Aufgabe. Wie groß ist der Binnendruck in einem kugelförmigen Wassertropfen mit einem Zentimeter Radius? Die Oberﬂächenspannung sauberen Wassers ist ca. 72 mN/m. Ist der Binnendruck in einer gleich großen Seifenblase kleiner oder größer? 7 Lösung. Die Oberﬂächenspannung trägt einen Anteil:

Merke Oberﬂächenspannung:

Klinik Der Patient am „Tropf“. Bei Patienten, die „ihre Tropfen nehmen“, dient die Oberﬂächenspannung zur äDosierung von Medikamenten. Dabei verlässt man sich darauf, dass alle vom Schnabel der Flasche fallenden Tropfen zumindest so ungefähr die gleiche Größe haben. In manchem Mediziner-Praktikum wird so die Oberﬂächenspannung bestimmt (siehe Kasten). Die Tropfengröße hängt auch entscheidend vom Durchmesser des Rohres ab, aus dem die Flüssigkeit tropft. Eine Tropfﬂasche mit beschädigtem Schnabel dosiert falsch.

bei. Dazu kommt aber natürlich noch der äußere Luftdruck von ca. 1000 hPa. Bei der Seifenblase trägt die Oberﬂächenspannung zwar doppelt bei, da sie eine innere und eine äußere Oberﬂäche hat. Durch die Seife im Wasser ist aber die Oberﬂächenspannung auf etwa 30 mN/m herabgesetzt, so dass in der Summe der Binnenüberdruck in der Seifenblase niedriger ist. Deshalb geht das Seifenblasenblasen mit reinem Wasser sehr schlecht: der Binnenüberdruck ist viel höher und die Blase platzt zu leicht.

1V MQVMU
σ X%3 Z 1VMQVMZ;MQNMVJTI[MQ[\MZLWXXMT\[WPWKP)TT OMUMQVOQT\"2MSTMQVMZ
. Abb. 3.28. Messung der Oberﬂächenspannung mit Hilfe eines eingetauchtes Ringes und einer Federwaage; Einzelheiten im Text

86

1

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

Praktikum Messen der Oberﬂächenspannung

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Es gibt im Wesentlichen drei Möglichkeiten, die Oberﬂächenspannung zu messen: Ringtensiometer: Ein leichter Ring wird an einer Federwaage aufgehängt (. Abb. 3.28) und in die zu untersuchende Flüssigkeit eintauchen. Zieht man ihn nun mitsamt der Waage vorsichtig nach oben, so zieht er einen Flüssigkeitsﬁlm hinter sich her. Dieser hat die Form eines Zylindermantels und hält dank seiner Oberﬂächenspannung den Ring fest, mit einer Kraft F, die zusätzlich zur Gewichtskraft von der Waage angezeigt wird. Man liest ihren Grenzwert Fσ in dem Moment ab, in der die Kraft der Waagenfeder den Ring aus der Flüssigkeit herausreißt. Der Ring hat z. B. den Durchmesser d, also den Umfang d · π. Zieht er die zylindermantelförmige Flüssigkeitshaut um das Stückchen Δx weiter nach oben heraus, so vergrößert er deren Oberﬂäche um

Δ)%πLΔ` Der Faktor 2 rührt daher, dass die Haut eine Haut ist: sie hat nicht nur eine Oberﬂäche „nach außen“, sondern auch eine zweite (praktisch ebenso große) „nach innen“, d. h. mit Blickrichtung zur Zylinderachse. Die zur Schaffung der neuen Oberﬂäche ΔA nötige Energie ΔW beträgt Δ?%σΔ)%πσLΔ` Für die Waage bedeutet dies eine Zusatzkraft Δ? .σ%πσL%62 Δ` Die Messung von Fσ erlaubt also, die Oberﬂächenspannung σ zu bestimmen. Die Rechnung zeigt zugleich, dass sich eine gespannte Flüssigkeitslamelle nicht so verhält wie eine Gummihaut oder eine Feder: Fσ ist unabhängig von x, die Kraft wächst nicht mit der Dehnung. Stalagmometer: Tropfen aus einem Rohr wie bei dem „Tropf“. An einem Röhrchen mit dem Außendurchmesser d kann sich ein Tropfen festhalten, weil er beim Abfallen erst einmal zusätzliche Oberﬂä-

che schaffen muss, und zwar für einen Zylinder mit dem Umfang d · π (. Abb. 3.29). Dazu gehört die Kraft

.σ%πLσ Der Tropfen reißt ab, sobald sein Volumen VT so groß geworden ist, dass seine Gewichtskraft

./%ρO>< (ρ = Dichte der Flüssigkeit) die haltende Kraft Fσ erreicht hat. Ein vorgegebenes Volumen V der Flüssigkeit bildet also n = V/V< Tropfen:

Kennt man ρ und d, so kann man auf diese Weise auch die Oberﬂächenspannung bestimmen:

Steighöhe in einer Kapillare (s. auch Kapitel 3.4.2): Die Kräfte zwischen Flüssigkeit und Rohrwand (Adhäsionskräfte) heben die Flüssigkeit um eine Steighöhe h an. Für eine kreisrunde Kapillare mit dem Innendurchmesser 2 r lässt sich h leicht angeben. Angenommen, das Wasser benetze vollkommen, dann bildet seine Oberﬂäche in der Kapillare im Wesentlichen eine Halbkugel mit dem Radius r (. Abb. 3.32). Die Folge ist ein Druck mit Kräften in Richtung Kugelmittelpunkt, erzeugt von der Oberﬂächenspannung σ:

σ Xσ%3 Z An ihm kann sich der Flüssigkeitsfaden so lange aufhängen, wie sein Schweredruck

X[%ρOP unter pσ bleibt. Die Steighöhe vermag also einen Grenzwert nicht zu überschreiten:

Leider muss man bei dieser Rechnung voraussetzen, dass die Flüssigkeit die Rohrwand vollkommen benetzt, was eher ausnahmsweise der Fall ist.

18 19 20

3.4.2 Adhäsion

iJMVM\bMVt-QVM.TÛ[[QOSMQ\JMVM\b\_MVVLQM3W PÃ[QWV[SZÃN\MLQMQPZM5WTMSÛTMI]NMQVIVLMZI][ 2MLM[ /MZÃ\ b]Z *M[\QUU]VO LMZ 7JMZãÃKPMV ÛJMV OMZQVOMZ [QVL IT[ LQM )LPÃ[QWV[SZÃN\M OM [XIVV]VOMV\PÃT\MQVMV*I]\MQTI][MQVMUNM[\MV OMVÛJMZLMV5WTMSÛTMVQVLMZNM[\MV7JMZãÃKPM" 3ÕZXMZIVLMULQM.TÛ[[QOSMQ\PIN\M\"[QMU][[QPV LQMAdhäsionU][[LQMKohäsionÛJMZ\ZMNNMV

87

3.4 · Grenzﬂächen

. Abb. 3.29. Der „Tropf“. Die Oberﬂächenspannung hält einen Tropfen am Röhrchen fest, weil dieser beim Abfallen zunächst zusätzlich Oberﬂäche für einen Zylinder vom Röhrchendurchmesser schaffen müsste

3

. Abb. 3.31. Unvollkommener Benetzung. Die Flüssigkeit bildet einen Winkel ϕ mit der Gefäßwand

. Abb. 3.30 a,b. Benetzung. Benetzende (a) und nichtbenetzende (b) Flüssigkeit an einer Gefäßwand . Abb. 3.32. Kapillaranhebung und -depression (Einzelheiten im Text)

,I[\]\[QMWN\IJMZSMQVM[_MO[QUUMZ5IV JZI]KP\MQVM/TI[XTI\\MV]ZPI]KPLÛVVMQVb]NM\ \MV]VL[KPWVXMZT\LI[?I[[MZLI[^WZPMZVWKP JMVM\b\MQVLQKSMV
_QZSTQKPQVLMZ7JMZãÃKPMPMZ]U\ZMQJMV5IVKPM 5WTMSÛT[WZ\MV PIJMV [QKP LIZI]N [XMbQITQ[QMZ\ ?MVQOMMZL]V[\MVI]KPSMQ VM
88

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

Rechenbeispiel 3.5: Loch im Blatt

1

7 Aufgabe. Bäume saugen Wasser aus den Wurzeln in die Blätter, wo es tagsüber in die Luft verdampft. Ein großer Baum verdampft leicht 200 l pro Stunde. Der Saugdruck wird durch Kapillareffekt erzeugt: In Zellzwischenräumen (den Stomata) bildet sich ein Wasserﬁlm, dessen Oberﬂäche einen hinreichend kleinen konkaven Krümmungsradius (wie in . Abb. 3.32, linkes Bild) aufweisen muss. Wie klein muss er sein bei einem 10 m hohen Baum? 7 Lösung. Die Oberﬂächenspannung muss ein pσ von etwa 1000 hPa aufbringen. Bei reinem Wasser hieße das für den Krümmungsradius:

2 3 4 5 6 7

8

Da im Pﬂanzensaft Stoffe gelöst sind, die die Oberﬂächenspannung herabsetzen, muss der Radius eher noch kleiner sein. Diese Abmessung entspricht in etwa der Größe der Zellen im Blatt.

9 10 11

3.5

12

3.5.1 Ideale Strömung

13 14 15 16 17 18 19 20

Strömung

,QM ;\ZÕU]VO ^WV .TÛ[[QOSMQ\MV ]VL /I[MV Q[\ UMQ[\MV[ [MPZ SWUXTM` VÃUTQKP turbulent ;QM MV\PÃT\LIVV^QMTM?QZJMT]VL[KPVMTT_MKP[MTVLM *M_MO]VOMV[W_QMM[LI[8PW\WLM[I][MQVMU ?I[[MZPIPV ãQM¾MVLMV ?I[[MZ[ QV . Abbildung 3.33ZMKP\[bMQO\4]N\_QZJMTPQV\MZ5I[\MVTI[[MV .IPVMV QU ?QVLM ãI\\MZV# ;\Z]LMT QV .TÛ[[MV JZQVOMV/MNIPZVQKP\V]ZNÛZ;KP_QUUMZ#BaSTW VM SÕVVMV OIVbM 4IVL[\ZQKPM ^MZ_Û[\MV ;WTKP MQVM;\ZÕU]VOQU+WUX]\MZVIKPb]ZMKPVMVNÃTT\ [MTJ[\I][OMSTÛOMT\MZ;XMbQIT[WN\_IZM[KP_MZ*M[ [MZ Q[\ M[ UQ\ OTI\\MZ laminarer ;\ZÕU]VO QV LMZ LQM.TÛ[[QOSMQ\Z]PQOMV\TIVOOTI\\MZ4QVQMV[\ZÕU\ *MQU?I[[MZPIPVOQJ\M[LQM[M)Z\^WV;\ZÕU]VO _MVVUIVQPVNI[\b]LZMP\. Abb. 3.33 links . Abbildung 3.34 bMQO\ [WTKPM TIUQVIZM ;\ZÕ U]VO MV\TIVO Stromfäden JMQ LMZ =U[\ZÕU]VO MQVMZ8TI\\M,QM[M*QTLMZMV\[\IVLMVQVLMUMQV OMNÃZJ\M[?I[[MZXMZ3IXQTTIZMNNMS\[MPZTIVO[IU L]ZKP4Õ[KPXIXQMZ[\ZÕU\M7JMQVM;\ZÕU]VOTI

. Abb. 3.33. Wasser aus dem Wasserhahn. Bei fast zugedrehtem Hahn ist die Strömung laminar (links); dreht man stärker auf, so wird sie turbulent (rechts)

UQVIZWLMZ\]ZJ]TMV\I][NÃTT\SIVVUQ\LMZ:Ma VWTL[BIPT IJOM[KPÃ\b\ _MZLMV _QM QV 7 Kap. 3.5.3JM[KPZQMJMV_QZL ?QZL MQVM ;\ZÕU]VO VQKP\ L]ZKP 8]UXMV WLMZ /MNÃTTM IVOM\ZQMJMV [W SWUU\ [QM NZÛPMZ WLMZ[XÃ\MZb]U-ZTQMOMV,I[TQMO\IVLMZinneren ReibungQV.TÛ[[QOSMQ\MV?QMRMLM:MQJ]VOJZMU[\ [QMLQM*M_MO]VOIJ)]KPLI[UIKP\LQM*MZMKP V]VOMQVMZ;\ZÕU]VOSWUXTQbQMZ\MZ -QVQOM /Z]VL\I\[IKPMV [WTTMV LM[PITJ PQMZ MZ[\ MQVUIT IV QLMITMZ ;\ZÕU]VO STIZ OMUIKP\ _MZLMV;\ZÕU]VOLQMTIUQVIZQ[\]VLQVLMZLQM QVVMZM:MQJ]VO^MZVIKPTÃ[[QO\_MZLMVSIVV )]¾MZLMU [WTT LQM .TÛ[[QOSMQ\ inkompressibel [MQVIT[WQPZ>WT]UMVUQ\LMU,Z]KSVQKP\ÃV LMZV .ÛZ .TÛ[[QOSMQ\MV Q[\ LI[ QUUMZ MQVM O]\M )VVIPUMIJMZ[WOIZJMQ/I[MVSIVVUIVLI[IV VMPUMV _MVV LQM ;\ZÕU]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\MV PWKP[QVL -QVM[WTKPM.TÛ[[QOSMQ\[\ZÕUMV]VL]ZKPMQV :WPZ UQ\ ^IZQIJTMU ,]ZKPUM[[MZ . Abb. 3.35 ,QM ;\ZÕU]VO SIVV b]VÃKP[\ UQ\ LMU Volumenstrom I JM[KPZQMJMV _MZLMV LMZ IVOQJ\ _QM ^QMT .TÛ[[QOSMQ\XZWBMQ\L]ZKPLI[:WPZãQM¾\" L> >WT]UMV[\ZWU 1%5%)^U L\

89

3.5 · Strömung

3

. Abb. 3.34. Stromfäden laminarer Strömung um ein Hindernis

,IJMQQ[\A LQM9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPMLM[:WPZM[]VL vU LQM UQ\\TMZM ;\ZÕU]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\ ,QM -QVPMQ\ LM[ >WT]UMV[\ZWUM[ Q[\ U[ ,QM[M ;1 -QVPMQ\ LMZ >WT]UMV[\ZWU[\ÃZSM XI[[\ b] .TÛ[ [MV,MZ:PMQVJMQ-UUMZQKPJZQVO\M[QU;KPVQ\\ [WOIZI]NM\_IU[LMZ*T]\SZMQ[TI]NLM[ 5MV[KPMVIJMZV]ZI]NZ]VLU[,INÛPZ\ MQVM STMQVMZM -QVPMQ\ b] PIVLTQKPMZMV 5I¾bIP TMV"*T]\[\ZWU[\ÃZSMIJ≈TUQV?MZ[\I\\LM[[MV [IO\ LI[ i0MZbUQV]\MV^WT]UMVt LM[ 5MV[KPMV JM\ZIOM ]VOMNÃPZ 4Q\MZ U][[ LIZIV LMVSMV LI[[MZ^WVMQVMZ>WT]UMV[\ZWU[\ÃZSMZMLM\]VL VQKP\^WVMQVMU>WT]UMV ,I LQM[MZ >WT]UMV[\ZWU ÛJMZITT QU :WPZ OTMQKP[MQVU][[[\ZÕU\LQM.TÛ[[QOSMQ\LWZ\_W LQM 9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM STMQVMZ Q[\ [KPVMTTMZ ,QM ;\ZMKSMΔx. Abb. 3.35LQMLQM.TÛ[[QOSMQ\QVMQ VMZBMQ\tb]ZÛKSTMO\Q[\MV\[XZMKPMVLOZÕ¾MZ-[ OQT\LQM[WOKontinuitätsgleichung" ^U)%^U) LQM MJMV JM[IO\ LI[[ LMZ >WT]UMV[\ZWU SWV[ \IV\Q[\ 1V\MZM[[IV\M[ XI[[QMZ\ JMQ LMZ 9]MZ[KPVQ\\[ ÃVLMZ]VOUQ\LMU,Z]KSQVLMZ.TÛ[[QOSMQ\;\ZÕ

. Abb. 3.35. Kontinuitätsgleichung. Ein Volumenelement ΔV strömt durch ein Rohr. Ist das Rohr enger, so strömt es schneller

U]VO \ZIV[XWZ\QMZ\ UMKPIVQ[KPM )ZJMQ\ ,I[ SIVV UIV OIVb O]\ IV[KPI]TQKP UIKPMV _MVV UIV [QKP ^WZ[\MTT\ LI[[ QV JMQLMV -VLMV LM[ :WPZM[ 3WTJMV [\MKSMV ,MZ MQVM NÃPZ\ QV LI[ :WPZ PQVMQV ]VL LZÛKS\ UQ\ MQVMZ 3ZIN\ . % X) QVLI[:WPZ-ZTMQ[\M\LIJMQLQM>WT]UMV IZJMQ\ ?%X)Δ`%XΔ> )U IVLMZMV -VLM _QZL LMZ 3WTJMV OMOMV LQM 3ZIN\.%X)PMZI][OMLZÛKS\]VLLQM.TÛ[[QO SMQ\TMQ[\M\IVQPULQM)ZJMQ\ ?%X)Δ`%XΔ> . Abb. 3.361[\PQVMQVOM[\MKS\M]VLPMZI][SWU UMVLM)ZJMQ\OTMQKP' 6MQV ,MVV LI [QKP LI[ :WPZ ^MZMVO\ U][[ LQM .TÛ[[QOSMQ\ [KPVMTTMZ _MZLMV QPZM SQVM\Q[KPM -VMZOQM _QZL OZÕ¾MZ ,QM[M SQVM\Q[KPM -VMZOQM U][[ ^WV LMZ >WT]UMVIZJMQ\ OMTQMNMZ\ _MZLMV [WLI[[_MVQOMZ)ZJMQ\IJMZVQKP\_MVQOMZ-VMZ OQMPMZI][SWUU\IT[PQVMQVOM[\MKS\_]ZLM" ?w?%Δ-SQV%3ρΔ>^Uw^U

. Abb. 3.36. Überraschend: Wo die Strömung schneller ist, ist der Druck kleiner

90

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

14

<MQTMVL]ZKPΔ>TQMNMZ\MQVM,Z]KSLQNNMZMVb" ΔX%XwX%3ρ^Uw3ρ^U =U[\MTTMVTQMNMZ\MQVM;]UUMLQMIVJMQLMV:WP ZMVLMVOTMQKPQ[\" X3ρ^U%X3ρ^U ,QM[M.WZUMT[IO\M\_I[*MUMZSMV[_MZ\M[",WZ\ _W LQM /M[KP_QVLQOSMQ\ PWKP Q[\ IT[W LI[ :WPZ MVO Q[\ LMZ ,Z]KS STMQV ]VL LWZ\ _W LQM /M [KP_QVLQOSMQ\STMQVQ[\LMZ,Z]KSPWKP,IUIV M[ QV\]Q\Q^ ^QMTTMQKP\ ]UOMSMPZ\ ^MZU]\M\ PÃ\\M _QZL LQM[ LI[ hydrodynamisches Paradoxon OM VIVV\. Abb. 3.37?QZLLMZ9]MZ[KPVQ\\_QMLMZ OZÕ¾MZ ]VL LQM .TÛ[[QOSMQ\ TIVO[IUMZ [W [\MQO\ LMZ,Z]KSI]KP_QMLMZIV5IVSIVVI]KPITTOM UMQVMZ[IOMVMV\TIVOMQVM[;\ZWUNILMV[OQT\" X3ρ^%SWV[\IV\

15

,QM[OQT\VQKP\V]ZNÛZ;\ZÕU]VOQVMQVMU:WPZ [WVLMZV NÛZ RMLM JMTQMJQOM ;\ZÕU]VO ]VL VMVV\

[QKP Bernoulli-Effekt ,MZ B][IUUMVPIVO _QZL b]_MQTMV I]KP [W NWZU]TQMZ\" ,MZ ,Z]KS X _QZL statischer Druck OMVIVV\ ]VL LMZ <MZU ρ^ Staudruck,MZ/M[IU\LZ]KSX%[\I\Q[KPMZ,Z]KS X;\I]LZ]KSρ^ JTMQJ\ QV ZMQJ]VO[NZMQMV .TÛ[[QOSMQ\MVSWV[\IV\ ,MV 6IUMV ;\I]LZ]KS UIKP\ LI[ Staurohr ^MZ[\ÃVLTQKP" . Abbildung 3.3 bMQO\ M[ [KPMUI \Q[KPQU;KPVQ\\LMZ4]N\[\ZWUSWUUM^WVTQVS[ ,IVV PMZZ[KP\ IV LMV [MQ\TQKPMV µNNV]VOMV V]Z LMZ [\I\Q[KPM ,Z]KS X >WZV IU ;\I]ZWPZ _QZL IJMZ LQM ;\ZÕU]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\ I]N V]TT IJ OMJZMU[\ LWZ\ [\MP\ IT[W LMZ /M[IU\LZ]KS X ,I[ .TÛ[[QOSMQ\[UIVWUM\MZ bMQO\ IT[ ,QNNMZMVb LMV;\I]LZ]KSIV.T]ObM]OMSÕVVMV[WQPZM/M [KP_QVLQOSMQ\UM[[MV ,MZ*MZVW]TTQ-NNMS\SIVVQVMQVMU0IVLM` XMZQUMV\TMQKP\LMUWV[\ZQMZ\_MZLMV"5IVVMPUM b_MQ *TI\\ 8IXQMZ ]VL PÃVOM [QM [QKP IV [XQ\bMV .QVOMZVUQ\M\_IKU)J[\IVL^WVMQVIVLMZ^WZ LMV5]VL"8][\MV\ZMQJ\[QMVQKP\M\_II][MQVIV LMZ [WVLMZV [QM _MZLMV L]ZKP LMV =V\MZLZ]KS QU4]N\[\ZWUb][IUUMVOMLZÛKS\ ,I[[Xρ^MV\TIVOLMZ;\ZÕU]VOSWV[ \IV\ JTMQJ\ [\QUU\ V]Z [WTIVOM LQM QVVMZM :MQ J]VO QV LMZ .TÛ[[QOSMQ\ ^MZVIKPTÃ[[QO\ _MZLMV SIVV :MQJ]VO MV\VQUU\ LMZ ;\ZÕU]VO UMKPI VQ[KPM -VMZOQM ]VL _IVLMT\ [QM QV ?ÃZUM ]U )]KPLQM[NÛPZ\LIb]LI[[LQMIUMQVMV:WPZMV LMPQVMQVOM[\MKS\M)ZJMQ\VQKP\OIVbIUIVLMZMV -VLMIVSWUU\]VLLM[PITJLMZ,Z]KSI]KPJMQ MQVMU :WPZ UQ\ SWV[\IV\MU 9]MZ[KPVQ\\ [QVS\ ,QMQVVMZM:MQJ]VO_QZLL]ZKPLQM5I\MZQITOZÕ¾M BÃPQOSMQ\ WLMZ >Q[SW[Q\Ã\ JM[KPZQMJMV ,IZ]U OMP\M[QV7 Kap. 3.5.2

. Abb. 3.38. Staurohr. Das Manometer misst den Staudruck als Differenz von statischem und Gesamtdruck; das umgebende Medium strömt von links an. Der Staudruck ist ein Maß für seine Strömungsgeschwindigkeit

7 Aufgabe. Welchen Staudruck wird ein Staurohr an einem Passagierﬂugzeug, das mit 900 km/h ﬂiegt, in etwa anzeigen? 7 Lösung. Wir müssen die Dichte der Luft kennen. Diese ist in verschieden Höhen sehr unterschiedlich, denn sie ist proportional zum Luftdruck (Gasgesetz, 7 Kap. 5.2.1). Der Luftdruck ist ein Schweredruck, der mit zunehmender Höhe exponentiell abnimmt. In 5 Kilometer Höhe ist die Luftdichte etwa 0,5 kg/m3 und der Staudruck p = ½ ρ · v2 = 156 hPa.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

. Abb. 3.37. Hydrodynamisches Paradoxon. In der Querschnittsverengung nimmt der statische Druck ab (die Zeichnung unterstellt, dass die innere Reibung der Flüssigkeit vernachlässigt werden kann)

16

Rechenbeispiel 3.5: Staudruck am Flugzeug

17 18 19 20

91

3.5 · Strömung

3.5.2 Zähigkeit (Viskosität)

!

7PVM?I[[MZPÃ\\M[QKPQZLQ[KPM[4MJMVVQKP\MV\ _QKSMTVSÕVVMVRMLMVNITT[VQKP\b]ZPM]\QOMV.WZU ?I[[MZ \ZIV[XWZ\QMZ\ JMZMQ\_QTTQO ITTM[ _I[ LIZI]N ]VLLIZQV[KP_QUU\I]KPOMTÕ[\M5WTMSÛTM8ãIV bMVVMPUMV[WQPZM6ÃPZ[\WNNMI][LMU*WLMVI]N 5Q\LMV*TÃ\\MZV^MZL]V[\MV[QMZMQVM[?I[[MZ#_I[ b]^WZLIZQVOMTÕ[\_IZLÛZNMV[QMNÛZ[QKPJMPIT\MV ,MZ 5MV[KP ]VL IVLMZM ?QZJMT\QMZM PIJMV LI[ > MZNIPZMV \MKPVQ[KP PÕPMZ MV\_QKSMT\ ;QM JM\ZMQ JMVMQVMVOM[KPTW[[MVMV*T]\SZMQ[TI]NUQ\MQOMVMU 8]UX_MZS ]VL MQVMU ]VOMUMQV SWUXTQbQMZ\MV :ÕPZMV[a[\MU,I[8]UXMVQ[\[MPZ_QKP\QOLMVV LQMb_Q[KPMVUWTMS]TIZMV3ZÃN\MNÛPZMVb]MQVMZinneren Reibung QV .TÛ[[QOSMQ\MV 7PVM [\ÃVLQO \ZMQ JMVLM[,Z]KSOMNÃTTMSWUU\MQVM[\ZÕUMVLM.TÛ[ [QOSMQ\JITLb]Z:]PM">WVLMZ;\ZÕU]VO_QZL>W T]UMVIZJMQ\ QV :MQJ]VO[_ÃZUM ÛJMZOMNÛPZ\ ,QM >WZOÃVOMLMZ:MQJ]VOIJMZ[QVLSWUXTM`]VÛJMZ [QKP\TQKP QU ,M\IQT ]VL 5WLMTT^WZ[\MTT]VOMV V]Z [KP_MZb]OÃVOTQKP,IZ]UNI[[\UIV[QMNÛZ.TÛ[ [QOSMQ\MV b] MQVMZ ZMKP\ []UUIZQ[KPMV /ZÕ¾M b] [IUUMVZähigkeitWLMZI]KPViskositätOMVIVV\;QM Q[\ MQVM 5I\MZQITSMVVOZÕ¾M LQM b]UMQ[\ LM]\TQKP UQ\[\MQOMVLMZ<MUXMZI\]ZIJVQUU\1PZM,MâVQ\Q WVUMZS\UIV[QKPIUTMQKP\M[\MVIVPIVLMQVM[/M LIVSMVM`XMZQUMV\[LI[[QKPI]NLMU8IXQMZOIVb MQVTM]KP\MVLLIZ[\MTT\XZIS\Q[KPIJMZV]ZQVIJOM _IVLMT\MZ.WZUL]ZKPb]NÛPZMVQ[\" /MOMJMV[MQMVb_MQMJMVM8TI\\MVQU)J[\IVL Lb_Q[KPMVQPVMVLQM.TÛ[[QOSMQ\QVMQVMZ[WTKPMV 5MVOMLI[[[QMI]NJMQLMV8TI\\MVLQM.TÃKPM)JM VM\b\0ÃT\UIVV]VLQM]V\MZM8TI\\MNM[\]VLbQMP\ LQMWJMZMUQ\MQVMZ3ZIN\.b]Z;MQ\M[WOTMQ\M\LQM [MIJOIVbIU)VNIVOJM[KPTM]VQO\JITLIJMZ_M OMVLMZQVVMZMV:MQJ]VOQU.TÛ[[QOSMQ\[âTUV]Z VWKPUQ\MQVMZSWV[\IV\MV/M[KP_QVLQOSMQ\^)T[ .WTOMLMZ)LPÃ[QWVPIN\M\LMZ.QTUIVJMQLMV8TI\ \MV" =V\MV JTMQJ\ MZ LMUVIKP QV :]PM WJMV JM _MO\MZ[QKPUQ\^,Ib_Q[KPMVOTMQ\MVMJMVM.TÛ[ [QOSMQ\[[KPQKP\MVI]NMQVIVLMZ]VLJQTLMVMQVTQVM IZM[/M[KP_QVLQOSMQ\[XZWâTI]["^[\MQO\XZWXWZ\Q WVITUQ\LMU)J[\IVL`^WVLMZ]V\MZMV8TI\\MIV JQ[M[JMQ`%LLMV?MZ\^MZZMQKP\-[[\MTT\[QKP MQVSWV[\IV\M[/M[KP_QVLQOSMQ\[OMNÃTTM L^^ 5%5 L`L

3

. Abb. 3.39. Viskosität. Gedankenversuch zur Deﬁnition der Zähigkeit η für einen (übertrieben dick gezeichneten) Flüssigkeitsﬁlm, der zwischen zwei parallelen Platten eine Fläche A ausfüllt. Eine Scherspannung F/A führt zu einem linearen Geschwindigkeitsgefälle L^L`%^L%.η · )

MQV. Abb. 3.39£VLMZ\UIVQVMQVMZ5M[[ZMQPM TMLQOTQKPLMV8TI\\MVIJ[\IVLL[W_QZLUIVMQVM 8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\ b_Q[KPMV ^ ]VL L âVLMV ,QM JMVÕ\QO\M3ZIN\.QPZMZ[MQ\[_ÃKP[\XZWXWZ\QWVIT b]ZJMVM\b\MV.TÃKPM)]VL^WZITTMUb]ZBÃPQO SMQ\ η LMZ .TÛ[[QOSMQ\" .%η) ^L )]ãÕ[MV VIKP ηOQJ\LQM,MâVQ\QWV[OTMQKP]VONÛZLQMBÃ PQOSMQ\" .L η%9 ^) 1PZM;1-QVPMQ\Q[\6[U#LMZMVbMPV\MZ<MQT_QZL IT[ 8WQ[M8 JMbMQKPVM\ VIKP 248WQ[[M]QTTM !! ! /MUM[[MV_QZLLQMBÃPQOSMQ\QVViskosimetern \MKPVQ[KPMV/MZÃ\MVb]LMVMVLMZ0MZ[\MTTMZ/M JZI]KP[IV_MQ[]VO ]VL -QKP]VO UQ\TQMNMZ\ ,MU /MLIVSMV^MZ[]KP[MPZVIPMSWUU\MQV3ZMQ[ba TQVLMZ LMZ QV MQVMZ :ÕPZM UQ\ M\_I[ OZÕ¾MZMU ,]ZKPUM[[MZSWI`QITZW\QMZ\,QMb]]V\MZ[]KPMV LM.TÛ[[QOSMQ\SWUU\QVLMV0WPTZI]Ub_Q[KPMV JMQLMV8ZQUÃZ_MZLMVLI[,ZMPUWUMV\]VLLQM UQ\ QPU MZbQMT\M ,ZMPNZMY]MVb OMUM[[MV =VOM VI]MZM5M[[UM\PWLMV[QVLJMTQMJ\M>MZ[]KPMQU 8Pa[QSXZIS\QS]U]VL_MZLMVQU8ZIS\QS]U>Q[ SW[Q\Ã\ ]VL ;\ZÕU]VO QU VÃKP[\MV )J[KPVQ\\ 7 Kap. 3.5.3JM[XZWKPMV Merke Zähigkeit = Viskosität; Maß für die innere Reibung eines Fluids; Messung in geeichten Viskosimetern; Einheit: Ns/m2.

92

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

5IVSIVVM[VQMUIVLMU^MZIZOMV_MVVMZ/TI[IT[ .M[\SÕZXMZ JMbMQKPVM\ ,MZ )]OMV[KPMQV [XZQKP\ LINÛZ ]VL LMZ ITTOMUMQVM ;XZIKPOMJZI]KP MJMV NITT[ WT]UMV[\ZWU[\ÃZSM1OMOMVLMV 3.5.3 Reale Strömung durch Rohre !! ,I[/MLIVSMVM`XMZQUMV\LM[^WZQOMV)J[KPVQ\\[ Q[\ [W ÛJMZ[QKP\TQKP _MQT LQM MQVNIKPM /MWUM\ZQM NÛZ MQV TQVMIZM[ /M[KP_QVLQOSMQ\[XZWâT [WZO\ ;KPWV JMQ LMZ ;\ZÕU]VO L]ZKP :WPZM _QZL M[ SWUXTQbQMZ\MZ" )]KP PQMZ PIN\M\ LQM .TÛ[[QOSMQ\ IV LMZ ?IVL ]VL ãQM¾\ LIVV SWV[MY]MV\MZ_MQ [MIU[KPVMTT[\MVQVLMZ:WPZUQ\\M1USZMQ[Z]V LMV :WPZ VQUU\ LI[ /M[KP_QVLQOSMQ\[XZWâT LQM .WZU MQVM[ :W\I\QWV[XIZIJWTWQL[ IV _MVV LQM ;\ZÕU]VO laminar Q[\# LI[ 8ZWâT Q[\ IJOMãIKP\MZ JMQturbulenter;\ZÕU]VO. Abb. 3.40 ?QZJMT]VL.T]S\]I\QWVMV[KPINNMVOMOMVÛJMZ TIUQVIZMZ ;\ZÕU]VO b][Ã\bTQKPM Reibungsﬂächen b_Q[KPMV.TÛ[[QOSMQ\[[KPQKP\MV]VL[M\bMV[W^MZ UMPZ\SQVM\Q[KPM-VMZOQMQV?ÃZUM]U<]ZJ]TMV \M;\ZÕU]VO_QZLL]ZKPLQM>Q[SW[Q\Ã\IT[W[\ÃZ SMZOMJZMU[\]VLQ[\LM[PITJQV:WPZMV]VOÛV[\Q OMZ,MZ6I\]ZQ[\M[OMT]VOMVLQM;\ZÕU]VOQU *T]\SZMQ[TI]N NI[\ ÛJMZITT TIUQVIZ b] PIT\MV ,QM 4]N\[\ZÕU]VOQVLMVOZW¾MV*ZWVKPMVLMZ4]VOM Q[\IJMZ\]ZJ]TMV\?IZ]ULI[[MPMV_QZIU-V LMLM[3IXQ\MT[ )T[ .WTOM QPZMZ >Q[SW[Q\Ã\ MV\_QKSMT\ RMLM [\ZÕUMVLM .TÛ[[QOSMQ\ :MQJ]VO[SZÃN\M OMOMV LQM

ΔX ;\ZÕU]VO[_QLMZ[\IVL:%5 1 I]NZMKP\b]MZPIT\MV -QVPMQ\ 6[U ,MV 3MPZ _MZ\:JMbMQKPVM\UIVIT[4MQ\_MZ\ Merke ,Z]KSLQNNMZMVbΔX ;\ZÕU]VO[_QLMZ[\IVL :%566662 >WT]UMV[\ÃZSM1

1U.ITT laminarer;\ZÕU]VOQ[\:WN\^WU,Z]KS ]VIJPÃVOQO,IVVQ[\1XZWXWZ\QWVITb]ΔX]VLM[ JM[\MP\ MQVM NWZUITM )VITWOQM b]U 7PUs[KPMV /M[M\bLMZ-TMS\ZQbQ\Ã\[TMPZM7 Kap. 6.2.2-QVMV MTMS\ZQ[KPMV ?QLMZ[\IVL LMâVQMZ\ IT[ 9]W\QMV\ I][MTMS\ZQ[KPMZ;XIVV]VO]VLMTMS\ZQ[KPMZ;\ZWU [\ÃZSM VMVV\ UIV ohmsch _MVV MZ ^WV ;\ZWU ]VL;XIVV]VO]VIJPÃVOQOQ[\.TÛ[[QOSMQ\MVLQM LI[7PUs[KPM/M[M\bLMZ0aLZWLaVIUQSMZNÛTTMV PMQ¾MV newtonsch *T]\ OMPÕZ\ VQKP\ b] QPVMV# [KPTQM¾TQKP MV\PÃT\ M[ ZW\M *T]\SÕZXMZKPMV UQ\ MQVMUJM\ZÃKP\TQKPMV>WT]UMVOMPIT\Hämatokrit OMVIVV\.WTOM"ΔX_ÃKP[\ÛJMZXZWXWZ\QWVITb]1 . Abb. 3.41

93

3.5 · Strömung

3

LMU:ILQ][ZOQT\JMQTIUQVIZMZ;\ZÕU]VOLI[Gesetz^WVHagen-Poiseuille"

πZΔX)ΔX 1%55%735 η ΔT πη ΔT

. Abb. 3.41. Strömungsverhalten von Blut. StromstärkeDruckdifferenz-Diagramm des menschlichen Blutes, halbschematisch; Parameter ist der Hämatokrit (Volumengehalt der Blutzellen)

1Vb_MQ8]VS\MV]V\MZ[KPMQLMV[QKPLQM_IV LMZVLMV<MQTKPMVQVLMZ.TÛ[[QOSMQ\[[\ZÕU]VOMV ITTMZLQVO[UIZSIV\^WVLMV-TMS\ZWVMVQUMTMS \ZQ[KPMV;\ZWU"-TMS\ZWVMV[QVL[MPZ^QMTSTMQVMZ IT[5WTMSÛTM]VLM[OQJ\V]ZMQVM;WZ\M^WVQPVMV )]N QPZMU 5IZ[KP L]ZKP LMV ,ZIP\ [\W¾MV LQM -TMS\ZWVMV _MVQO UQ\ QPZM[OTMQKPMV b][IUUMV [WVLMZV_MQ\ÛJMZ_QMOMVLUQ\LMV/Q\\MZJI][\MQ VMVLM[5M\ITT[.TÛ[[QOSMQ\[UWTMSÛTM[\MPMV[QKP QUUMZV]ZOMOMV[MQ\QOQU?MO,I[PI\b_MQ3WV [MY]MVbMV" 5 -QVMTMS\ZQ[KPMZ?QLMZ[\IVLPÃVO\^WVMQVMZ 5I\MZQITSMVVOZÕ¾M LM[ ,ZIP\M[ IJ QV LMU LQM -TMS\ZWVMV TI]NMV ^WV LMZ [WO :M[Q[\Q ^Q\Ã\ MQV ;\ZÕU]VO[_QLMZ[\IVL IJMZ VQKP\ ^WV MQVMZ 5I\MZQITMQOMV[KPIN\ LMZ :ÕPZM [ WVLMZVLMZ.TÛ[[QOSMQ\VÃUTQKPLMZ>Q[SW [Q\Ã\ 5 1U,ZIP\LZQN\MVITTM-TMS\ZWVMVUQ\LMZOTMQ KPMV /M[KP_QVLQOSMQ\ MJMVM[ /M[KP_QVLQO SMQ\[XZWâT# LQM MTMS\ZQ[KPM ;\ZWU[\ÃZSM Q[\ LIZ]ULMZ-TMS\ZWVMVIVbIPTLQZMS\XZWXWZ\Q WVIT ]VL LIUQ\ I]KP LMZ 9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM LM[ ,ZIP\M[ ]VIJPÃVOQO ^WV LM[[MV .WZU# .TÛ[[QOSMQ\[UWTMSÛTMPIN\MVIVLMZ?IVL]VL LZQN\MV ]U[W [KPVMTTMZ RM _MQ\MZ [QM ^WV QPZ MV\NMZV\[QVL",QM;\ZÕU]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\ _ÃKP[\UQ\LMU?IVLIJ[\IVLLPUQ\LMU :WPZL]ZKPUM[[MZ

,QM/TMQKP]VOTM]KP\M\MQV-[SIVVVQKP\ÛJMZZI [KPMV_MVVLQM>WT]UMV[\ZWU[\ÃZSMLQZMS\XZW XWZ\QWVIT b]U ,Z]KSOMNÃTTM Q[\ ]VL ]UOMSMPZ\ XZWXWZ\QWVITb]ZBÃPQOSMQ\?MQ\MZPQV_ÃKP[\LQM QU:WPZ^WZPIVLMVM.TÛ[[QOSMQ\[UMVOMXZWXWZ\Q WVITb]LM[[MV9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM]VL[WUQ\b]U 9]ILZI\LM[:ILQ][/MVI][W_ÃKP[\_MOMVLM[ XIZIJWTQ[KPMV/M[KP_QVLQOSMQ\[XZWâT[IJMZI]KP LQM UI`QUITM ;\ZÕU]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\ QV LMZ :WPZUQ\\M]VLUQ\QPZLQMUQ\\TMZM/M[KP_QVLQO SMQ\ *MQLM -NNMS\M b][IUUMV TQMNMZV MQVMV )V [\QMOLMZ;\ZWU[\ÃZSMUQ\LMU9]ILZI\LMZ.TÃKPM ]VLUQ\LMZ8W\MVbLM[:ILQ][,MVBIPTMVNIS \WZ MZPÃT\ UIV ITTMZLQVO[ V]Z L]ZKP UI\PMUI \Q[KPNWZUITM1V\MOZI\QWV ,QM 8W\MVb QU BÃPTMZ [QOVITQ[QMZ\ MQVM ]V OMUMQV[\IZSM)JPÃVOQOSMQ\LMZ;\ZWU[\ÃZSM]VL LM[?QLMZ[\IVL[^WU:ILQ][LMZ:ÕPZM"6]Z )]N_MQ\]VO ^MZLWXXMTV [KPWV ;\ZWU ]VL 4MQ\ _MZ\ Merke Für kreisrunde Röhren (Radius r, Länge l) gilt bei laminarer Strömung das Gesetz von Hagen-Poiseuille: π ZΔX 1%75 ηT

,I[/M[M\b^WV0IOMV8WQ[M]QTTMOQT\NZMQTQKPV]Z NÛZ TIUQVIZM ;\ZÕU]VO 1V LMV OZW¾MV *ZWVKPQ MVLMZ4]VOMOMP\M[\]ZJ]TMV\b]7JMQVM;\ZÕ U]VOTIUQVIZWLMZ\]ZJ]TMV\[MQV_QZLSIVVUQ\ LMZReynolds-Zahl:MIJOM[KPÃ\b\_MZLMV"

ρ^UZ :M%042 η

0QMZQVQ[\ρLQM,QKP\MLMZ.TÛ[[QOSMQ\4QMO\LQM[M LQUMV[QWV[TW[MBIPT:MNÛZLQMJM\ZIKP\M\M;\ZÕ U]VO ÛJMZ KI [W Q[\ UQ\ \]ZJ]TMV\MZ ;\ZÕ 1U MQVNIKPMV .ITT MQVM[ :WPZM[ UQ\ LMZ 4ÃVOM T U]VO b] ZMKPVMV ,QM ;\ZÕU]VO ^WV *T]\ QU ]VL MQVMZ SZMQ[NÕZUQOMV 9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM UQ\ * T]\SZMQ[TI]N WLMZ ^WV µT QV MQVMZ 0aLZI]TQS Q[\

94

1

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

Praktikum Viskosität und Strömung

2 3

Üblicherweise wird die Viskosität von Wasser und einer höher viskosen Flüssigkeit auf zwei Arten bestimmt: 1. Strömung durch ein Rohr und Anwenden des Gesetzes von Hagen-Poiseuille:

4 5 6 7

Der Radius r des durchströmten Rohrs muss sehr genau gemessen werden, den treibenden Druck Δp besorgt man sich als Schweredruck und den Volumenstrom I misst man mit Messbecher und Stoppuhr. 2.

Fall einer Kugel: Kleine Kugeln (Radius r), sinken, wenn sie sich gegenseitig nicht stören, mit der Geschwindigkeit

(Stokes-Gesetz) – hier ist F der Anteil der Gewichtskraft, den das archimedische Prinzip (7 Kap. 3.3.3) den Kugeln wegen ihres Dichteüberschusses gegenüber der Flüssigkeit noch lässt. Zusammen mit der Formel für die Auftriebskraft ergibt sich dann:

Z η%81Oρ3wρ.T !^ wobei ρK die Dichte der Kugel und ρFl die Dichte der Flüssigkeit ist. Rote Blutkörperchen haben Scheibchenform und sinken darum nach einem komplizierteren Gesetz zu Boden. Man braucht es zum Glück nicht zu kennen, um aus erhöhter Blutsenkungsgeschwindigkeit eine Infektion zu diagnostizieren.

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Klinik Das „Rohrsystem“ im Körper. Das Gesetz von Hagen-Poiseuille erlaubt der Natur, den Kapillardurchmesser und die Durchblutung des betroffenen Organs mit kleinen Änderungen wirksam zu steuern. Bei der Haut ist das für die Regelung der Körpertemperatur wichtig. Die vom Organismus entwickelte Wärme muss ja unbedingt an die Umgebung abgegeben werden, und zwar exakt und nicht nur einigermaßen, denn auf längere Zeit kann der Körper keine Wärme speichern. Darum ziehen sich die Blutgefäße der Haut bei Kälte ein wenig zusammen, vermindern kräftig die Durchblutung und senken so mit der Oberﬂächentemperatur die Wärmeabgabe. Täten sie es nicht, könnte der Mensch erfrieren. Diese Gefahr besteht ganz ernsthaft für einen Betrunkenen in kalter Winternacht, denn Alkohol erweitert die Blutgefäße, wirkt

also dem physiologischen Regelprozess entgegen. Obendrein verschafft er den Thermorezeptoren in der Haut ein ungerechtfertigtes Wärmegefühl. Das Gefäßsystem des Menschen ist ungemein verzweigt. Je feiner es sich verästelt, desto größer wird seine gesamte Querschnittsﬂäche. Die Aorta ist noch ein einzelner dicker Schlauch mit etwa 4,5 cm2 Querschnittsﬂäche; die Arterien bringen es schon zusammen auf ≈ 20 cm2, die Arteriolen auf rund 400 cm2 und die Kapillaren schließlich auf etwa 4500 cm2. Entsprechend sinkt die mittlere Strömungsgeschwindigkeit, denn die gesamte Stromstärke muss ja konstant bleiben. Für Druckabfall und Strömungswiderstand gilt das keineswegs: Vom verfügbaren Blutdruck beanspruchen Aorta und Arterien nur wenig, die Arteriolen das meiste.

95

3.5 · Strömung

TIUQVIZLMVVLQM.TÛ[[QOSMQ\MV[QVLbÃP]VLLQM :WPZL]ZKPUM[[MZ ]VL ;\ZÕU]VO[OM[KP_QVLQO SMQ\MV MPMZ STMQV ,QM ;\ZÕU]VO ^WV 4]N\ QV LMZ 4]VOMQ[\QU*MZMQKPLMZOZW¾MV*ZWVKPQMV\]ZJ] TMV\LMVVLQM>Q[SW[Q\Ã\Q[\STMQV]VL:WPZL]ZKP UM[[MZ [W_QM ;\ZÕU]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\ [QVL MPMZOZW¾
Rechenbeispiel 3.6: Wie schnell strömt das Blut? 7 Aufgabe. Die Hauptarterie im Körper hat einen Durchmesser von ca. 2 cm und transportiert etwa 6 Liter Blut pro Minute. Wie schnell strömt durch das Blut sie (mittlere Strömungsgeschwindigkeit)? 7 Lösung. Die Querschnittsﬂäche der Aorta beträgt: A = π KU%wU. A mal der Strecke s, die das Blut in einer Sekunde zurücklegt, ist das Volumen, das in einer Sekunde durch die Aorta ﬂießt. Für den Volumenstrom gilt also:

und für die Geschwindigkeit:

Rechenbeispiel 3.7: Reynold-Zahl in der Aorta 7 Aufgabe. Blut sollte besser laminar strömen. Spricht die sich aus der Situation in der Aorta ergebende Reynolds-Zahl dafür? Die Viskosität des Blutes beträgt etwa η = 4 · 10−3Pa · s, die Dichte entspricht etwa der des Wassers. Die Geschwindigkeit haben wir gerade ausgerechnet. 7 Lösung.

Der Wert liegt tatsächlich noch unter 2200. Da die Strömungsgeschwindigkeit mit dem Herzschlag aber um den Mittelwert schwankt, kann es unter Umständen zu kurzen Phasen turbulenter Strömung kommen.

3

Rechenbeispiel 3.8: Viele kleine Rohre 7 Aufgabe. Wenn ein kreisrundes Rohr vorgegebener Länge und Querschnittsﬂäche aufgeteilt wird in 100 parallel geschaltete, ebenfalls kreisrunde Röhrchen gleicher Länge, gleicher Gesamtquerschnittsﬂäche und mit untereinander gleichen Einzelquerschnitten, um welchen Faktor steigt der Strömungswiderstand gegenüber einer Newton’schen Flüssigkeit bei laminarer Strömung? 7 Lösung. Nach Hagen-Poiseuille ist der Strömungswiderstand umgekehrt proportional zum Quadrat der Querschnittsﬂäche: R /A. Die Querschnittsﬂäche des Einzelröhrchens ist 100-mal kleiner als die des Rohres, sein Strömungswiderstand also 10.000-mal größer. 100 Röhrchen parallel haben dann einen 100-mal höheren Strömungswiderstand als das Rohr.

3.5.4 Umströmung von Hindernissen

=U[\ZÕU]VO ^WV 0QVLMZVQ[[MV \ZQ\\ XZIS\Q[KP ^WZITTMULIVVI]N_MVV[QKPMQVÕOMT .Q[KPM >MZSMPZ[ã]O bM]OM ]VL UIVKPM )]\W[ L]ZKP Stromlinienform MVMZOQMNZM[[MVLM ?QZJMTJQTL]VO IU 0MKS ^MZ UQVLMZV. Abb. 3.42 .T]ObM]OM]VL>ÕOMT_WTTMVb_IZI]KPL]ZKP :ML]S\QWVLMZ?QZJMTJQTL]VOLMV4]N\_QLMZ[\IVL ^MZUQVLMZVNÛZLI[.TQMOMVJZI]KPMV[QMIJMZ]V JMLQVO\MQVM?QZJMTJQTL]VOIU)VNIVO?QZLMQ VM
96

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

1 2 3

a

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

b

. Abb. 3.42 a,b. Stromlinienform. Der Bereich turbulenter Strömung ist hinter einem Ball (a) größer als hinter einem stromlinienförmigen Körper (b)

IJMZ [KPIZN VIKP WJMV IJSVQKSMV ;KPIZNM[ )J SVQKSMV LMZ ;\ZWUTQVQMV JMLM]\M\ MQVMV PWPMV ,Z]KSOZILQMV\MV [MVSZMKP\ b] LMV ;\ZWUTQVQMV ,QM[MZ ,Z]KSOZILQMV\ TQMNMZ\ LQM NÛZ LI[ =UTMV SMVLMZ4]N\VW\_MVLQOM3ZIN\?MQ\_MO^WVLMZ
?QZJMT LMZ LQM OIVbM
16 17 18 19 20

. Abb. 3.43. Fliegen. Das Ablösen eines Anfahrwirbels verändert drastisch die Strömung um die Tragﬂäche und bedingt den Auftrieb

97

3.5 · Strömung

3

In Kürze Elastische Verformung eines Festkörpers Um einen Festkörper zu verformen, muss man eine mechanische Spannung (Einheit: Kraft durch Fläche) ausüben. Das führt zu einer Dehnung des Festkörpers. Ist der Festkörper elastisch, so gilt das Hooke-Gesetz: Spannung und Dehnung sind proportional zueinander. Dehnt man einen Körper zu stark, so wird er plastisch, d. h. dauerhaft verformt oder er reißt. Mechanische Dehnung

ΔT: LängenänderungCUE T: Anfangslänge CUE

Mechanische Spannung

σ: mechanische Spannung .: Kraft auf ) C6E ): Querschnittsﬂäche CUE

Hooke’sches Gesetz

-: Elastizitätsmodul

Druck Druck kann durch einen Stempel (Kolben) in einer Pumpe erzeugt werden, entsteht aber auch durch das Eigengewicht der Flüssigkeit (Schweredruck). Je tiefer man im Wasser taucht, umso höher wird der Schweredruck. Für Wasser gilt: je 10 m Wassertiefe bewirken etwa 1 bar Schweredruck. Bemerkenswerterweise hängt der Schweredruck nicht von der Gefäßform ab. Druck

X: Druck

.: Kraft C6E ): Stempelﬂäche CUE Schweredruck

ρ: Dichte der Flüssigkeit O: Fallbeschleunigung P: Tiefe unter Oberﬂäche CUE

Auftrieb Schweredruck ist auch die Ursache für die Auftriebskraft, die auf alle Körper in einer Flüssigkeit oder einem Gas wirkt. Hat der Körper eine ähnliche Dichte wie die umgebende Flüssigkeit, so kompensiert diese Kraft fast die Gewichtskraft. Auftriebskraft (gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit)

.: AuftriebskraftC6E >3: verdrängtes VolumenCUE

ρã: Dichte der Flüssigkeit O: Fallbeschleunigung

98

1

Kapitel 3 · Mechanik deformierbarer Körper

Strömung

3

Soll eine Flüssigkeit durch ein Rohr strömen, so muss sie mit einer Druckdifferenz Δp zwischen den Rohrenden durch das Rohr gedrückt werden. Dies liegt an der inneren Reibung in der Flüssigkeit, die ihr eine Zähigkeit η verleiht. Es gelten ähnliche Beziehungen wie im elektrischen Stromkreis. Wird ein Rohr dünner, so erhöht sich dort die Strömungsgeschwindigkeit (Flüssigkeiten sind praktisch inkompressibel) und zugleich sinkt dort der Druck (Hydrodynamisches Paradoxon). Überschreitet die Strömungsgeschwindigkeit eine bestimmte Grenze, wird die Strömung turbulent und der Strömungswiderstand steigt stark an.

4

Volumenstromstärke

2

5 6

Gesetz von Hagen-Poiseuille (laminare Strömung durch ein Rohr)

Strömungswiderstand

8

12 13 14 15 16 17 18 19 20

oder

η: Viskosität

:: Strömungswiderstand Für Strömungswiderstände gelten die gleichen Regeln wie für elektrische: Addition bei Reihenschaltung, Addition der Kehrwerte bei Reihenschaltung

Gesetz von Bernoulli

10 11

T" Rohrlänge CUE Z: Rohrradius CUE

ΔX: Druckdifferenz C8IE ^U: mittlere Strömungsgeschwindigkeit

7

9

1: Volumenstromstärke

Gesamtdruck gleich statischer Druck plus Staudruck XOM[: Gesamtdruck C8IE X: statischer Druck C8IE

ρ: Dichte ^: Strömungsgeschwindigkeit CU[E Oberﬂächen und Grenzﬂächen An der Oberﬂäche einer Flüssigkeit werden die Moleküle nach innen gezogen. Deshalb bedarf es mechanischer Arbeit und damit Energie, die Oberﬂäche einer Flüssigkeit zu vergrößern. Ein Maß hierfür ist die Oberﬂächenspannung σ (Energie pro Fläche). Auch im Inneren der Flüssigkeit halten die Moleküle zusammen. Man spricht von Kohäsion. Es bestehen auch anziehende Kräfte zwischen einer Flüssigkeit und der Gefäßwand (Adhäsion). Ist die Adhäsion stärker als die Kohäsion, so wird die Gefäßwand benetzt und es kann zum Beispiel zur Kapillarwirkung kommen. Ist die Kohäsion stärker, so benetzt die Flüssigkeit nicht. Kohäsion Adhäsion Oberﬂächenspannung

Kräfte zwischen den Molekülen der Flüssigkeit Kräfte zwischen Flüssigkeit und Wand

σ: Oberﬂächenspannung ?): Oberﬂächenenergie C2E ): Fläche CUE

99

Übungsaufgaben

Verständnisfragen 1. Warum sind die größeren Knochen röhrenförmig? 2. Die horizontale Querschnittsﬂäche Ihres Kopfes sei 100 cm². Wie groß ist das Gewicht der Luft über Ihrem Kopf? 3. Stellen Sie sich vor, Sie halten zwei identische Ziegelsteine unter Wasser. Ziegelstein A beﬁndet sich genau unter der Wasseroberﬂäche, während sich Ziegelstein B in größerer Tiefe beﬁndet. Ist die Auftriebskraft bei beiden Ziegelsteine gleich? 4. Zwei identische Gläser sind bis zur gleichen Höhe mit Wasser gefüllt. Eines der beiden Gläser enthält Eiswürfel, die im Wasser schwimmen. Welches Glas wiegt mehr? Wenn die Eiswürfel nun schmelzen, in welchem Glas steht dann der Wasserspiegel höher? 5. Stellen Sie sich einen Gegenstand vor, der in einem Wasserbehälter schwimmt. Ändert sich seine Position, wenn der Behälter in einem Fahrstuhl platziert wird, der nach oben beschleunigt? 6. Kleine Seifenblasen sind immer genau rund. Große Seifenblasen können durch Wind oder anpusten verformt werden. Warum? 7. Wenn man in die Seite eines mit Wasser gefüllten Behälters ein Loch macht, dann ﬂießt Wasser heraus und folgt einer parabolischen Bahn. Was geschied mit dem Wasserstrom, wenn der Behälter im freien Fall fallengelassen wird? 8. Der Wasserstrahl aus einem Wasserhahn wird nach unten hin dünner (. Abb. 3.33). Warum? 9. Rauch steigt in einem Schornstein schneller auf, wenn ein Wind über den Schornstein weht. Warum?

Übungsaufgaben • leicht; •• mittel; ••• schwer

Zur Elastizität • 1. Ein Stahldraht mit einer Querschnittsﬂäche von 1 cm² wird mit einer Kraft von 1 kN gedehnt. Welche Zugspannung in der Einheit N/m² herrscht im Draht? • 2. Wie groß ist der Elastizitätsmodul des Kupfers? Siehe . Abb. 3.4 • 3. Eine 1,6 m lange Klaviersaite aus Stahl habe einen Durchmesser von 0,2 cm. Wie groß ist die Zugkraft, wenn sich die Saite um 3 mm beim Spannen dehnt? Der Elastizitätsmodul von Stahl sei 2 · 1011 N/m2.

•• 7. Ein Eimer Wasser wird mit 3,5-mal der Fallbeschleunigung nach oben beschleunigt. Wie groß ist die Auftriebskraft auf einen 3-kg-Granitstein? Wird er schwimmen? Die Dichte von Granit ist 2,7 g/cm3.

Zu Oberﬂächenspannung •• 8. Ein Aluminiumring (50 mm Durchmesser, Masse 3,1 g) wird entsprechend der . Abb. 3.28 in Wasser getaucht und herausgezogen. Im Moment, in dem der Wasserﬁlm reißt, zeigt die Waage 53 mN an. Wie groß ist die Oberﬂächenspannung des Wassers? •• 9. Wenn die „Füße“ eines Insekts einen Radius von 0,03 mm haben und das Insekt 0,016 g wiegt, würden Sie erwarten, dass es mit seinen sechs Beinen auf der Wasseroberﬂäche stehen kann (wie ein Wasserläufer)?

Zur Strömung • 10. Wie ist der Strömungswiderstand eines Rohres deﬁniert? • 11. Wie erhöht sich die Volumenstromstärke einer laminar strömenden Flüssigkeit in einem Rohr, wenn man den Radius verdoppelt? ••• 12. Die mechanische Leistung P, die benötigt wird, um einen Volumenstrom I durch ein Rohr zu drücken, ist P = I · Δp, wobei Δp die Druckdifferenz zwischen Rohranfang und Rohrende ist. Begründen Sie das. •• 13. Welche mittlere mechanische Leistung muss das Herz eines Menschen liefern, wenn es bei einem Druck am Auslauf (Aorta) von 174 hPa eine mittlere Blutstromstärke von 6 l/min aufrechterhalten soll? Das Blut kommt aus der Vene ohne nennenswerten Druck zurück. •• 14. Wie hoch stehen die Flüssigkeitssäulen in den Röhrchen der Abbildung, wenn eine zähe Flüssigkeit von links nach rechts durch das untere Rohr strömt? ••• 15. Wasser ﬂieße mit 0,65 m/s durch einen Schlauch mit dem Innendurchmesser 3 cm. Der Durchmesser einer Düse am Ende des Schlauches betrage 0,3 cm. Mit Welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus der Düse aus? Die Pumpe auf der einen Seite und die Düse auf der anderen Seite des Schlauches beﬁnden sich auf gleicher Höhe, der Strom wird also nicht durch einen Schweredruck unterstützt. An der Ausgangsseite der Düse herrsche Atmosphärendruck. Welchen Druck muss die Pumpe erzeugen (reibungsfreie Strömung angenommen)?

Zu Druck und Auftrieb •• 4. In einer Injektionsspritze muss der Kolben 15 mm vorgeschoben werden, um 1 ml zu injizieren. Der Arzt drückt mit 15 N auf den Kolben. Mit welchem Druck wird injiziert? • 5. Wie groß ist der Gesamtdruck in 1m Wassertiefe? • 6. Die Dichte von Eis ist 917 kg/m3 und die von Seewasser 1,025 kg/m3. Wie viel Prozent des Volumens eines Eisberges schaut aus dem Wasser heraus?

3

. Abb. 3.44. Zu Frage 3.14

101

Mechanische Schwingungen und Wellen 4.1

Mechanische Schwingungen

– 102

4.1.1

Alles, was schwingt

4.1.2

Harmonische Schwingungen ! – 102

4.1.3

Gedämpfte Schwingungen

4.1.4

Erzwungene Schwingungen

4.1.5

Überlagerung von Schwingungen

4.2

Wellen

4.2.1

Wellenarten

4.2.2

Harmonische Seilwellen ! – 111

4.2.3

Intensität und Energietransport ! – 113

4.2.4

Stehende Wellen

4.2.5

Schallwellen

4.2.6

Schallwahrnehmung !

4.2.7

Doppler-Effekt ! – 121

– 102 – 105 – 107 – 107

– 110 – 110

– 115

– 116 – 118

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6_4, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

4

102

1 2 3 4

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

> > Einleitung Der Mensch informiert sich über den momentanen Zustand seiner Umwelt mit Hilfe seiner fünf Sinne. Die beiden am besten entwickelten Sinne benutzen zur Informationsübertragung Wellen: der Gesichtssinn die elektromagnetischen des Lichtes, das Gehör die mechanischen des Schalls. Wellen transportieren Energie, aber keine Materie. Ein Empfänger nimmt diese Energie auf und beginnt dann zu schwingen.

4.1.2 Harmonische Schwingungen

5 4.1

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

[MZBMQ\IJ[\ÃVLMPQVOMbÛKP\M\UQ\JMIKP\TQKPMU -ZNWTO -QVM )ZUJIVL]PZ LQM IU
Mechanische Schwingungen

4.1.1 Alles, was schwingt

,I[8MVLMTMQVMZIT\MV;\IVL]PZSIVV[KP_QVOMV MQVM 3TI^QMZ[IQ\M I]KP# JMQLM [QVL LINÛZ OMJI]\ -QV ,IKPbQMOMT Q[\ LI[ VQKP\ QMTNIT\ ITT LM[[MV_I[LI[KP_QVOMVSIVVWJM[LI[V]V[WTT WLMZVQKP\Q[\[WOZW¾LI[[UIVJMQITTOMUMQVMV *M\ZIKP\]VOMVOMZVI]NLQMNIZJTW[M*MbMQKPV]VO [KP_QVO]VO[NÃPQOM[ /MJQTLM WLMZ Oszillator I][ _MQKP\ ,I[8MVLMTLMZ;\IVL]PZSIVVUIV[KP_QVOMV [MPMV 9]IZb]PZMV ]VL I]KP +WUX]\MZ JMSWU UMVQPZMV
!

-QV JM[WVLMZ[ MQVNIKP b] ^MZ[\MPMVLM[ [KP_QV O]VO[NÃPQOM[/MJQTLMQVLMZ5MKPIVQSQ[\LI[ Federpendel LMZ . Abb. 4.1a-[JM[Q\b\MQVMV3TW\b UQ\ LMZ 5I[[MU LMZ TÃVO[ MQVMZ ;KPQMVM b* VIKP)Z\LM[4]N\SQ[[MVNIPZbM]O[LMZ. Abb. 2.41 QV 7 Kap. 2.3.1 iZMQJ]VO[NZMQt [\ZMVO PWZQbWV\IT OTMQ\MVSIVVLQM[IJMZb]VÃKP[\VQKP\\]\_MQTMZ ^WVMQVMZ;KPZI]JMVNMLMZQV[MQVMZ:]PM[\MTT]VO `%OMPIT\MV_QZL,WZ\SIVVMZJTMQJMVSZÃN\M NZMQ LMVV LQM .MLMZ Q[\ MV\[XIVV\ ]VL LQM /M _QKP\[SZIN\_QZL^WVLMZ;KPQMVMI]NOMNIVOMV =ULI[8MVLMTQV/IVOb][M\bMVSIVVUIV LMV3TW\bXMZ0IVLb]Z;MQ\MbQMPMV. Abb. 4.1b QPUIT[WMQVMAuslenkung`PQMZ%)^MZXI[[MV ,IJMQ[XIVV\UIVLQM.MLMZ;QM[WTTLMUTQVMIZMV 3ZIN\OM[M\b7 Kap. 2.2.1OMPWZKPMVIT[WMV\[XZM KPMVLQPZMZ.MLMZSWV[\IV\MV,LMV8MVLMTSÕZXMZ UQ\LMZ3ZIN\ .`%,` QV:QKP\]VO:]PMTIOMb]ZÛKSbQMPMV,QM3ZIN\JM SWUU\ MQV VMOI\Q^M[ >WZbMQKPMV LI [QM QUUMZ MV\OMOMVLMZ)][TMVS]VO`_QZS\";QMQ[\MQVMrücktreibende Kraft4Ã[[\UIVLMV3TW\bJMQLMZ)][ TMVS]VO ) TW[ [W ^MZTIVO\ LQM /Z]VLOTMQKP]VO LMZ 5MKPIVQS IT[W LI[ 6M_\WVs[KPM /M[M\b 7 Kap. 2.3.1 LI[[ [QKP LMZ 3TW\b VIKP TQVS[ QV *M_MO]VO [M\b\ ]VL b_IZ UQ\ LMZ *M[KPTM]VQ O]VO .) , I%9%w)4 UU .WTOM",QM)][TMVS]VO`_QZLSTMQVMZLMZ*M \ZIO LMZ ZÛKS\ZMQJMVLMV 3ZIN\ .` I]KP )JMZ LQM VIKP TQVS[ OMZQKP\M\MV /M[KP_QVLQOSMQ\^\ _QZLOZÕ¾MZJQ[LMZ3TW\b[MQVM:]PMTIOM`%MZ ZMQKP\ ,WZ\ JTMQJ\ LMZ 3TW\b IJMZ VQKP\ [\MPMV

103

4.1 · Mechanische Schwingungen

4

. Abb. 4.2. Harmonische Schwingung mit der Amplitude ) der Auslenkung `\ und der Schwingungsdauer <

SchwingungsdauerT Q[\ IJOMTI]NMV >WV V]V IJ _QMLMZPWT\ [QKP LMZ OIVbM >WZOIVO periodisch LPQVQUUMZLMZOTMQKPMV?MQ[MQVQUUMZOTMQ KPMVBMQ\[XIVVMV ,QM[M*M_MO]VOLMZ5I[[MSIVVUQ\MQVMZ;Q V][N]VS\QWVJM[KPZQMJMV_MZLMV"

. Abb. 4.25IVSÕVV\MI]KPLQM3W[QV][N]VS \QWV VMPUMV -QVM [WTKPM *M_MO]VO LQM L]ZKP 3W[QV][WLMZ;QV][JM[KPZQMJMV_QZLVMVV\UIV harmonische Schwingung Merke Die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus beschreiben harmonische Schwingungen. . Abb. 4.1 a–f. Federpendel: Ablauf einer Schwingungsdauer

.ÛZLQM;KP_QVO]VO[LI]MZ<MQVM[8MVLMT[Q[\M[ OTMQKPOÛT\QO WJ UIV [QM ^WV =USMPZX]VS\ b] =USMPZX]VS\I]NLMZOTMQKPMV;MQ\M^WV6]TT L]ZKPOIVO b] 6]TTL]ZKPOIVO QV OTMQKPMZ :QKP \]VO WLMZ ^WV QZOMVLMQVMZ )][TMVS]VO LIb_Q [KPMV b]Z VÃKP[\MV OTMQKPMV LIVIKP bÃPT\ ,MV 3MPZ_MZ\ LMZ ;KP_QVO]VO[LI]MZ N%< VMVV\ UIVLQMFrequenzLMZ;KP_QVO]VO;QMOQJ\IV_QM ^QMT8MZQWLMVQVMQVMZ;MS]VLMIJTI]NMV]VLPI\ LQM;1-QVPMQ\[%[-[Q[\ÛJTQKPLQM[M-QVPMQ\ Hertzb]VMVVMV]VLUQ\0bIJb]SÛZbMV

[WVLMZVTÃ]N\NÛZLMV5WUMV\SZÃN\MNZMQUQ\UW UMV\IVSWV[\IV\MZ/M[KP_QVLQOSMQ\_MQ\MZVIKP TQVS[IT[.WTOM[MQVMZWV LIIJ_QZLLQM;KPZI]JMVNMLMZOM[\I]KP\`]VL. _MKP[MTV QPZM >WZbMQKPMV ]VL LQM 3ZIN\ JTMQJ\ RM\b\ VIKP ZMKP\[ OMZQKP\M\ ZÛKS\ZMQJMVLM 3ZIN\ ;QMJZMU[\LMV8MVLMTSÕZXMZIJJQ[MZQUTQVSMV UmkehrpunktLMZ;KP_QVO]VOIT[WJMQ)UW UMV\IVb]Z:]PMSWUU\. Abb. 4.1d,WZ\PI\ LQM 3ZIN\ QPZMV UWUMV\IVMV 0ÕKP[\_MZ\ ]VL Merke JM[KPTM]VQO\LMV8MVLMTSÕZXMZRM\b\VIKPZMKP\[ ?QMLMZ TÃ]N\ MZ SZÃN\MNZMQ L]ZKP LQM :]PMTIOM Einheit der Frequenz: Hertz = Hz = 1/s . Abb. 4.1ePQVL]ZKPRM\b\_MQ\MZVIKPZMKP\[ ]VL LMPV\ LQM .MLMZ JQ[ LMZMV ZÛKS\ZMQJMVLM 3ZIN\ QPV QU ZMKP\MV =USMPZX]VS\ JMQ ) ,ILQM5I\PMUI\QSMZLMZ;QV][N]VS\QWVMQVM8M UWUMV\IV b]Z :]PM JZQVO\ . Abb. 4.1f -QVM ZQWLM ^WV π OMOMJMV PIJMV [\MP\ QV LMZ 3TIU

104

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

UMZQU)ZO]UMV\LMZ;QV][N]VS\QWVVQKP\MQV NIKPLQM.ZMY]MVb^WZLMZBMQ\^IZQIJTM\[WVLMZV .ZMY]MVbUITπ" ω%πN#[QM_QZL Kreisfrequenz OMVIVV\,MZ6IUMSWUU\LIPMZLI[[MQVM3ZMQ[ JM_MO]VOUQ\?QVSMTOM[KP_QVLQOSMQ\ωI]NMQVM *M_MO]VO[ZQKP\]VO XZWRQbQMZ\ MQVM ;KP_QVO]VO UQ\3ZMQ[NZMY]MVbωMZOQJ\. Abb. 1.17>WZLMZ ;QV][N]VS\QWV [\MP\ LQM Amplitude) ;QM MV\ [XZQKP\ OMZILM LMZ UI`QUITMV )][TMVS]VO I][ LMZ:]PMTIOM`%LMVVLQM;QV][N]VS\QWV_QZL UI`QUIT MQV[ 1V LMZ 3TIUUMZ [\MP\ VWKP LMZ Phasenwinkelϕ LMZ JM[\QUU\ _W LQM ;KP_QV O]VO JMQ LMZ BMQ\ \% [\IZ\M\ 5MQ[\MV[ QV\MZM[ [QMZ\LQM[MZ8PI[MV_QVSMTVQKP\ Merke Kenngrößen der harmonischen Schwingung: 5 Amplitude = Maximalausschlag 5 Schwingungsdauer < 5 Frequenz N = 1/< 5 Kreisfrequenz ω = 2π N

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

,QM)UXTQ\]LMUQ\LMZLI[.MLMZXMVLMT[KP_QVO\ SIVV UIV WNNMVJIZ NZMQ _ÃPTMV 5IV [\IZ\M\ LQM *M_MO]VO MJMV UQ\ MQVMZ UMPZ WLMZ _MVQOMZ [\IZSMV )][TMVS]VO )]KP LMZ ;\IZ\X]VS\ LMZ ;KP_QVO]VOIT[WLMZ8PI[MV_QVSMTSIVVNZMQOM _ÃPT\ _MZLMV ,QM ;KP_QVO]VO[LI]MZ []KP\ [QKP LI[8MVLMTIJMZ[MTJ[\?QMTIVOMLI]MZ\V]VMQVM ;KP_QVO]VO[LI]MZ<';W^QMTSIVVUIV[QKPLMV SMV"2MOZÕ¾MZLQM5I[[MULM[8MVLMTSÕZXMZ[Q[\ LM[\WTIVO[IUMZSWUU\[QMQV*M_MO]VO]VL_QM LMZ PMZI][ 1V MQVMZ .WZUMT NÛZ < _QZL UIV U ÛJMZ LMU *Z]KP[\ZQKP MZ_IZ\MV =UOMSMPZ\ RM [\ÃZSMZLQM.MLMZLM[\W[KPVMTTMZLQM;KP_QVO]VO" 1VLMZ.WZUMTNÛZ<_QZLUIVLQM.MLMZSWV[\IV \M,]V\MZLMU*Z]KP[\ZQKP^MZU]\MV,QMM`IS\M .WZUMT

gleichung der Dynamik (2. Newton’sches Gesetz) auf die Gleichung:

Eine Gleichung, die neben der Variablen (hier `) auch einen ihrer Differentialquotienten enthält, heißt Differentialgleichung. Die Lösung einer solchen Gleichung ist nicht einfach eine Zahl, sondern eine Funktion `(\). Diese Lösungsfunktion beschreibt eben gerade die Bewegung des Pendels. Der Mathematiker löst eine Differentialgleichung mit Scharfsinn, Phantasie und festen Regeln; der mathematische Laie, auch der Physiker, schlägt die Lösung in entsprechenden Büchern nach. Im vorliegenden Fall geht es um die Schwingungsdifferentialgleichung in ihrer einfachsten Form. Sie wird durch eine Sinusfunktion `(\) = )0 [QVω · \) gelöst (es darf auch der Kosinus sein und es darf auch noch ein Phasenwinkel ϕ0 in der Klammer stehen). Davon überzeugt man sich durch Ableiten und Einsetzen. Es gilt: wenn `\ = )0 [QVω · \, dann L`\ 9%^\%)ωKW[ω\ L\ und L`\ %I\%w)ω[QVω\%wω`\ 0 L\ Den Faktor ω bei jeder Ableitung schleppt die Kettenregel der Differentiation herein. In der letzten Gleichung muss nun nur noch ω2 = ,/U gesetzt werden und die Schwingungsdifferentialgleichung steht da. Also löst die Sinusfunktion die Differentialgleichung, wenn

gesetzt wird. ω0 nennt man die Eigenkreisfrequenz oder charakteristische Kreisfrequenz des Pendels.

,I[ .MLMZXMVLMT [KP_QVO\ OMUÃ¾ MQVMZ ;QV][ N]VS\QWVIT[WPIZUWVQ[KP_MQTLQMZÛKS\ZMQJMVLM SIVV UIV [QKP I]N [WTKPM ?MQ[M NZMQTQKP VQKP\ 3ZIN\XZWXWZ\QWVITb]Z)][TMVS]VOQ[\7PVMLQM [M 8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\ N]VS\QWVQMZ\ LQM OIVbM :MKP ÛJMZTMOMV#LIU][[UIVZMKPVMV V]VO VQKP\ -QVM ;KP_QVO]VO SIVV QUUMZ VWKP 3Deﬁnitionsgemäß ist beim Federpendel die Be- PMZI][SWUUMVIJMZSMQVMPIZUWVQ[KPM -JMV LM[_MOMV Q[\ LI[ \MKPVQ[KP [W MQVNIKPM schleunigung I gleich der 2. Ableitung L`L\ der .ILMVXMVLMTIT[WMQVUQ\TIVOMU.ILMVQZOMVL Auslenkung nach der Zeit. Die Formel für die rücktreibende Kraft . = −, · ` führt zusammen mit der Grund- _WI]NOMPÃVO\MZ;\MQVOMVI]JM\ZIKP\M\SMQVPIZ

4.1 · Mechanische Schwingungen

105

4

KPMV NÛZ MQVM VQKP\PIZUWVQ[KPM ;KP_QVO]VO LMVVJMQLMZ;QV][N]VS\QWV[QVL)UXTQ\]LM]VL .ZMY]MVb^ÕTTQO]VIJPÃVOQO^WVMQVIVLMZ

Rechenbeispiel 4.1: Fahrwerksfeder 7 Aufgabe. Eine vierköpﬁge Familie mit einer Gesamtmasse von 200 kg steigt in ihr Auto mit einer Masse von 1200 kg. Das Auto senkt sich um 3 cm. Wie groß ist die Federkonstante der vier Fahrwerksfedern zusammengenommen? Mit welcher Frequenz beginnt das Auto zu schwingen, wenn es durch ein Schlagloch fährt? 7 Lösung. Die zusätzlich Gewichtskraft beträgt SO! U[%!6. Die Federkonstante ist also: . Abb. 4.3. Fadenpendel. Die Gewichtskraft F/ kann in zwei zueinander senkrechte Komponenten zerlegt werden, von denen die eine (F) rücktreibend wirkt und die andere vom Faden aufgefangen wird. Bei kleinen Ausschlägen kann sinα = α gesetzt werden. Dann schwingt das Pendel harmonisch mit der Schwingungsdauer

UWVQ[KP[KP_QVOMVLM[/MJQTLM,I[.ILMVXMVLMT b_MQO\ [MQVM ZÛKS\ZMQJMVLM 3ZIN\ . ^WV LMZ /M _QKP\[SZIN\./LMZ8MVLMTUI[[MIJ]VLLIJM[\MP\ SMQVM8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\b]U)][TMVS_QVSMTα[WV LMZVb]LM[[MV?QVSMTN]VS\QWV[QVα. Abb. 4.3 *MQ[MPZSTMQVMV?QVSMTVUIKP\LI[NZMQTQKPVQKP\[ I][#[QV%!Q[\OMOMVÛJMZQU*W OMVUI¾ %! MZ[\ ]U MQV 8ZWUQTTM b] ZÛKSOMJTQMJMVLILIZNUIVVWKP[QVα%α[M\ bMV ^WZI][OM[M\b\ UIV LZÛKS\ LMV ?QVSMTα QV Bogenmaß I][ . Abb. 1.15 .ÛZ STMQVM ?QVSMT [KP_QVO\LI[.ILMVXMVLMTLWKPNI[\PIZUWVQ[KP ]VLMQVM:MKPV]VOMV\[XZMKPMVLLMZWJQOMVTQM NMZ\"

Bei einer Gesamtmasse von 1400 kg ist dann die Eigenfrequenz des Autos:

4.1.3 Gedämpfte Schwingungen

?QM[QMP\M[UQ\LMZUMKPIVQ[KPMV-VMZOQMJMQMQ VMZ;KP_QVO]VOI]['?MVVMQVM5I[[MUUQ\LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\^TÃ]N\JM[Q\b\[QMLQMSQVM\Q[KPM -VMZOQM?SQV%U^?MVVMQVM.MLMZUQ\LMZ .MLMZSWV[\IV\MV,]ULI[;\ÛKS`OMLMPV\WLMZ OM[\I]KP\_QZLÃVLMZ\[QKPLQMXW\MV\QMTTM-VMZOQM ]U?XW\%,`.WTOTQKPJM[Q\b\MQV.MLMZXMV LMTMQVM;KP_QVO]VO[MVMZOQM?[LQM[QKPQZOMVL _QMI][?SQV]VL?XW\b][IUUMV[M\b\?QM' *MQU 6]TTL]ZKPOIVO Q[\ LQM .MLMZ UWUMV\IV MV\[XIVV\"?XW\%.WTOTQKPU][[LMZ8MVLMTSÕZ XMZLQM;KP_QVO]VO[MVMZOQMOIVbITTMQV\ZIOMV,I[ SIVV MZ I]KP LMVV MZ JM_MO\ [QKP RI UQ\ [MQVMZ *MUMZSMV[_MZ\MZ_MQ[M PÃVO\ LQM 3ZMQ[NZM 0ÕKP[\OM[KP_QVLQOSMQ\ ^ ,QM OMP\ Y]ILZI\Q[KP Y]MVb IT[W V]Z ^WV LMZ 8MVLMTTÃVOMT ]VL LMZ QV ?SQV MQV NWTOTQKP [XQMT\ LQM :QKP\]VO LMZ /M .ITTJM[KPTM]VQO]VOOIJIJMZVQKP\^WVLMZ5I[ [KP_QVLQOSMQ\SMQVM:WTTM1VLMV=USMPZX]VS\MV [MU Q[\LMZ8MVLMTSÕZXMZUWUMV\IVQV:]PM"?SQV% 1V MQVMU -`XMZQUMV\ SIVV UIV [QKP TMQKP\ .WTOTQKP U][[ LQM .MLMZ LQM ;KP_QVO]VO[MVMZOQM ÛJMZbM]OMVLI[[LQM;KP_QVO]VO[LI]MZJMQOZW OIVbITTMQV\ZIOMV,I[SIVV[QMI]KPLMVV[QMQ[\RI ¾MV)][TMVS]VO[_QVSMTVIJMZI]KPVWKP^WVLMZ UQ\LMZ)UXTQ\]LM)UI`QUITOMLMPV\WLMZOM )UXTQ\]LMIJPÃVO\,QM[Q[\MQV]V\ZÛOTQKPM[BMQ [\I]KP\ ) OMP\ Y]ILZI\Q[KP QV ?XW\ MQV NWTOTQKP

106

1 2 3 4 5 6 7

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

[XQMT\LI[>WZbMQKPMVSMQVM:WTTM.ÛZLQM^QMZOM VIVV\MV8W[Q\QWVMVLIZNUIVIT[W[KPZMQJMV" ;KP_QVO]VO[MVMZOQM?[%3U^%3,) -QVM PIZUWVQ[KPM ;KP_QVO]VO MZZMQKP\ QU UMZ _QMLMZ LQM OTMQKPM )UXTQ\]LM )# LMUVIKP PI\ LQM ;KP_QVO]VO[MVMZOQM ?[ b]UQVLM[\ ITTM PITJM ;KP_QVO]VO[LI]MZ LMV OMVIVV\MV ?MZ\ ,I LIZN UIV MZ_IZ\MV LI[[ M[ b_Q[KPMVL]ZKP VQKP\IVLMZ[Q[\]VL[QKP?XW\]VL?SQVJMQRMLMZ UWUMV\IVMV )][TMVS]VO `\ [\ÃVLQO b]U OTMQ KPMV?[ILLQMZMV" ?[%?SQV\?XW\\ %3U^\3,`\%SWV[\IV\ 5Q\IVLMZMV?WZ\MV"

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 4.4. Gedämpfte Schwingung. Die blau gezeichnete Kurve läuft durch die Maximalausschläge der Schwingung und ist eine Exponentialfunktion

. Abb. 4.4bMQO\MQVMQVLQM[MZ?MQ[Mgedämpfte SchwingungOZIXPQ[KP1PZM.WZUMT

Merke Beim harmonisch schwingenden Oszillator wechselt die volle Schwingungsenergie ständig zwischen der potentiellen Energie der Feder und der kinetischen Energie des Pendelkörpers hin und her.

,QMPIZUWVQ[KPM;KP_QVO]VOPÃT\QPZM)UXTQ\]LM )%) LMZ PIZUWVQ[KPM 7[bQTTI\WZ [MQVM ;KP_QV O]VO[MVMZOQM ?[ MQ[MZV SWV[\IV\ I]N QUUMZ ]VL M_QO ,I[ Q[\ OZI]M
`\%)M`Xwδ\KW[ω\ JMV]\b\b_IZ_MQ\MZLQM?QVSMTN]VS\QWV3W[QV][ ]UMQVMPIZUWVQ[KPM;KP_QVO]VOPIVLMT\M[[QKP IJMZ VQKP\ UMPZ VQKP\ MQVUIT ]U MQVMV XMZQW LQ[KPMV>WZOIVO 5Q\ _IKP[MVLMU δ SWUU\ LI[ OMLÃUXN\M 8MVLMT QUUMZ [KPVMTTMZ b]U ;\QTT[\IVL JQ[ M[ [KPTQM¾TQKP WPVM I]KP V]Z MQVUIT L]ZKP b] [KP_QVOMVI]N[KPVMTT[\MU?MOQVLQM:]PMTIOM b]ZÛKSSMPZ\,I[Q[\LMZ[WO aperiodische Grenzfall]ULMV[QKP^WZITTMULQM1V[\Z]UMV\MVJI]MZ JMUÛPMV -QVM ?IIOM [WTT QPZMV 5M[[_MZ\ RI UÕOTQKP[\ZI[KPIVbMQOMV]VLVQKP\TIVOM]UQPV PMZ]UXMVLMTV ,QM 1V[\Z]UMV\M QU )ZUI\]ZMV JZM\\ LM[ )]\W[ UÛ[[MV OZWJM -Z[KPÛ\\MZ]VOMV MZ\ZIOMV,IZ]ULÃUXN\UIV[QMJQ[QVLMV[WO KriechfallQVLMU[QMV]ZJM\WV\TIVO[IUI]NLMV 5M[[_MZ\b]UIZ[KPQMZMV -QV 3QVL b]U MZ[\MV 5IT I]N MQVM ;KPI]SMT OM[M\b\U][[IVOM[\W¾MV_MZLMV]VLVIKP_MVQ OMV ;KP_QVO]VOMV _QMLMZ -[ TMZV\ IJMZ JITL L]ZKPOM[KPQKS\M*M_MO]VOLM[7JMZSÕZXMZ[]VL LMZ *MQVM LQM ;KPI]SMT QV /IVO b] PIT\MV IT[W ^MZTWZMVM ;KP_QVO]VO[MVMZOQM L]ZKP 5][SMTIZ JMQ\ b] MZ[M\bMV WPVM QU /MZQVO[\MV b] ^MZ[\M PMV_QMLI[MQOMV\TQKPN]VS\QWVQMZ\ ,QM ZPa\PUQ[KPM -VMZOQMb]N]PZ U][[ VQKP\ OMNÛPT[UÃ¾QO WLMZ OIZ L]ZKP 6IKPLMVSMV JM [WZO\ _MZLMV MQVM ZMQV UMKPIVQ[KP WLMZ I]KP

4.1 · Mechanische Schwingungen

107

4

MTMS\ZWUMKPIVQ[KP^WU8MVLMT[MTJ[\I][OMTÕ[\M Selbststeuerung \]\ M[ I]KP _QM ITTM =PZMV JM _MQ[MV

4.1.4 Erzwungene Schwingungen

,QM ZMOMTUÃ¾QOM -VMZOQMb]N]PZ NÛZ MQVM ]VOM LÃUXN\M ;KP_QVO]VO U][[ VQKP\ ^WU 8MVLMT [MTJ[\I][OMTÕ[\_MZLMV[QMSIVVI]KP^WVMQVMU ]VIJPÃVOQOMV -ZZMOMZ I][OMPMV ?QZL b* LI[ TQVSM-VLMLMZ8MVLMTNMLMZQV . Abb. 4.5^WVQZ OMVLMQVMZ 5MKPIVQS XMZQWLQ[KP PQV ]VL PMZ OM bWOMV [W [KP_QVO\ LMZ 8MVLMTSÕZXMZ I]KP RM\b\ ]VOMLÃUXN\ITTMZLQVO[VQKP\UQ\[MQVMZ-QOMVNZM Y]MVbN[WVLMZVUQ\LMZ.ZMY]MVbNLM[-ZZMOMZ[" ,I[ 8MVLMT NÛPZ\ MQVM erzwungene Schwingung I][ ,IJMQ PI\ M[ [MQVM -QOMVNZMY]MVb NZMQTQKP VQKP\^MZOM[[MV#b]UMQ[\[KP_QVO\M[VÃUTQKPUQ\ ]U[WOZÕ¾MZMZ)UXTQ\]LMRMVÃPMZN]VLNJMQ MQVIVLMZ TQMOMV 6QKP\ [MT\MV STIXXMZ\ MQV IT\M[ )]\WJMQMQVMZOIVbJM[\QUU\MV/M[KP_QVLQOSMQ\ JM[WVLMZ[TI]\"QZOMVLMQV;\ÛKS*TMKPPI\[QKPOM TWKSMZ\Q[\LIL]ZKP[KP_QVO]VO[NÃPQOOM_WZLMV ]VLOMZÃ\QVResonanz_MVV[MQVM-QOMVNZMY]MVb ^WU5W\WZOM\ZWNNMV_QZL -QVM OMVI]MZM =V\MZ[]KP]VO MZb_]VOMVMZ ;KP_QVO]VOMV NÛPZ\ b] LMV :M[WVIVbS]Z^MV . Abb. 4.6*MQSTMQVMV.ZMY]MVbMVNWTO\LMZ7[ bQTTI\WZLMU-ZZMOMZ]VUQ\\MTJIZJMQLMMZZMQKPMV QPZM5I`QUITI][[KPTÃOMb]UOTMQKPMVBMQ\X]VS\" ;QM[KP_QVOMVin PhaseWPVM8PI[MV^MZ[KPQMJ]VO IT[W LP UQ\ LMU 8PI[MV_QVSMT ϕ%-ZPÕP\ UIVLQM.ZMY]MVbLM[-ZZMOMZ[[W_ÃKP[\QU)TT OMUMQVMV LQM )UXTQ\]LM LM[ 7[bQTTI\WZ[ ;QM MZ ZMQKP\ QPZMV 0ÕKP[\_MZ\ [W ]VOMNÃPZ JMQ LM[[MV -QOMVNZMY]MVb]VLOMP\^WVLIIJI[aUX\W\Q[KP I]N V]TT b]ZÛKS -ZZMOMZ ]VL 8MVLMT [KP_QVOMV [KPTQM¾TQKP in Gegenphase ϕ%π 1V ]VOTÛKSTQ KPMV.ÃTTMVSIVVLQM:M[WVIVbIUXTQ\]LM[WOZW¾ _MZLMVLI[[LMZ7[bQTTI\WZLIJMQb]*Z]KPOMP\ ,]ZKP [MQVMV *TMKP\ZWUUTMZ 7[SIZ 5I\bMZI\P LMZ OTÃ[MZVM /MOMV[\ÃVLM ITTMZ )Z\ ibMZ[QVOMVt SIVV PI\ /ÛV\MZ /ZI[[ LMZ Resonanzkatastrophe b] TQ\MZIZQ[KPMU :]PU ^MZPWTNMV 8Pa[QSITQ[KP [M\b\[QM7[bQTTI\WZMVUQ\M`\ZMUOMZQVOMZ,ÃUX N]VO ^WZI][ *Q[ QV LMV 3ZQMKPNITT PQVMQV OM LÃUXN\M :M[WVI\WZMV [QVL b] MQVMZ :M[WVIVb

. Abb. 4.5. Erzwungene Schwingung. Das linke Ende des Federpendels wird mit vorgebbarer Frequenz und Auslenkung sinusförmig hin und her bewegt

. Abb. 4.6. Resonanzkurven. Der Oszillator hat die Eigenfrequenz N (sie ist zugleich Einheit der Abszisse). Einheit der Ordinate ist die Amplitude ) der Auslenkung bei kleinen Frequenzen. Mit stärkerer Dämpfung nimmt die Resonanzüberhöhung ab und die Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resonator nimmt zu. Das Maximum der Resonanzkurve verschiebt sich zu kleinen Frequenzen

ÛJMZPÕP]VOÛJMZLQM)UXTQ\]LMLM[-ZZMOMZ[PQ VI][OIZVQKP\NÃPQO

4.1.5 Überlagerung von Schwingungen

?MVVUIVLQMUWUMV\IVMV)][TMVS]VOMVUMP ZMZMZOTMQKPbMQ\QOIJTI]NMVLMZ;KP_QVO]VOMVIL LQMZ\[W[XZQKP\UIV^WVMQVMZ Überlagerung von Schwingungen :MQV UI\PMUI\Q[KP OMP\ M[ IT[W ]ULQM;]UUM"

108

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

,MZ 8PI[MV_QVSMT ϕ [KPQMJ\ LQM b]OMPÕZQOM <MQT[KP_QVO]VO QV LQM ZQKP\QOM 8W[Q\QWV I]N LMZ BMQ\IKP[M)UJM[\MVTÃ[[\UIV[QKPLQM;]UUM ^WV MQVMU +WUX]\MZ VQKP\ V]Z I][ZMKPVMV [WVLMZV OTMQKP IT[ 3]Z^M I]N 8IXQMZ WLMZ *QTL [KPQZU I]NbMQKPVMV ,IJMQ PIVLMT\ M[ [QKP SMQ VM[_MO[ ]U MQVM UI\PMUI\Q[KPM ;XQMTMZMQ# LQM »JMZTIOMZ]VO ^WV ;KP_QVO]VOMV PI\ L]ZKPI][ XZIS\Q[KPM*MLM]\]VO_QM[QKPVWKPPMZI][[\MT TMV_QZL 1VJM[WVLMZ[MQVNIKPMV.ÃTTMVSIVVUIVI]KP WPVM:MKPV]VOPMZI][âVLMV_I[JMQMQVMZ»JMZ TIOMZ]VO ^WV ;KP_QVO]VOMV PMZI][SWUUMV U][[M\_IJMQLMZ)LLQ\QWVb_MQMZ;QV][[KP_QV O]VOMV OTMQKPMZ )UXTQ\]LM ]VL .ZMY]MVb LP JMQ

1 2 3 4 5 6 7

`\%)c[QVω\[QVω\ϕe

8 9 10

. Abb. 4.7 a–c. Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz und Amplitude der Auslenkung. a Auslöschung bei Gegenphase, destruktive Interferenz; b Amplitudenverdopplung bei Überlagerung in Phase, konstruktive Interferenz; c mittlere Amplitude und Phasenlage bei Fällen zwischen den beiden Extremen

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 4.8. Schwebung. Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Auslenkungsamplitude und nahezu gleichen Frequenzen

0QMZLIZNLMZ8PI[MV_QVSMT ϕI]NSMQVMV.ITT ^MZOM[[MV _MZLMV# MZ [XQMT\ MQVM MV\[KPMQLMVLM :WTTM" 5 *MQ ϕ% [QVL JMQLM ;KP_QVO]VOMV QV8PI[M QPZM )][TMVS]VOMV [\QUUMV b] RMLMU BMQ\ X]VS\ VIKP *M\ZIO ]VL >WZbMQKPMV ÛJMZMQV ,MUVIKP Q[\ I]KP LQM ;]UUM UQ\ JMQLMV ;KP_QVO]VOMV QV 8PI[M PI\ IJMZ LWXXMT\M )UXTQ\]LM . Abb. 4.7b# UIV [XZQKP\ PQMZ ^WVkonstruktiver Interferenz 5 *MQ ϕ%π% JMâVLMV [QKP LQM JMQLMV ;KP_QVO]VOMV QV /MOMVXPI[M# QPZM )][TMV S]VOMV[\QUUMVV]ZVWKPQU*M\ZIOÛJMZMQV PIJMVIJMZMV\OMOMVOM[M\b\M>WZbMQKPMV.WTO TQKP Q[\ LQM ;]UUM b] RMLMU BMQ\X]VS\ V]TT# LQM ;KP_QVO]VOMV TÕ[KPMV [QKP OMOMV[MQ\QO I]["destruktive Interferenz. Abb. 4.7a 5 2MLMZIVLMZM8PI[MV_QVSMTNÛPZ\b]MQVMU-Z OMJVQ[ b_Q[KPMV LQM[MV JMQLMV /ZMVbNÃTTMV# . Abb. 4.7cbMQO\MQV*MQ[XQMT *MUMZSMV[_MZ\ Q[\ LQM »JMZTIOMZ]VO b_MQMZ ;KP_QVO]VOMV ^WV VQKP\ OMVI] IJMZ NI[\ OTMQ KPMZ .ZMY]MVb" ;QM NÛPZ\ b]Z [WO Schwebung . Abb. 4.8>MZ[\ÃZSMV[QKPLQMJMQLMV;KP_QV O]VOMVb]QZOMVLMQVMUBMQ\X]VS\_MQT[QMOMZILM OTMQKPM8PI[MPIJMV[W_QZLMQV?MQTKPMV[XÃ\MZ LQMMQVM;KP_QVO]VOLMZIVLMZMV]UOMVI]MQVM PITJM;KP_QVO]VO[LI]MZLI^WVOMTI]NMV[MQV"*MQ LM OMZI\MV QV /MOMVXPI[M ]VL TÕ[KPMV [QKP I][

109

4.1 · Mechanische Schwingungen

. Abb. 4.9. Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Auslenkungsamplitude im Frequenzverhältnis 1:2. Die Phasenbeziehung ist wesentlich

,QM[M[;XQMT_QMLMZPWT\[QKPZMOMTUÃ¾QO]VLb_IZ UQ\LMZPITJMV,QNNMZMVbNZMY]MVbLMZPITJMV,QN NMZMVbLMZJMQLMV-QVbMTNZMY]MVbMV -\_I[[KP_QMZQOMZb]ÛJMZ[MPMVQ[\LQM»JMZ TIOMZ]VO b_MQMZ ;KP_QVO]VOMV QU .ZMY]MVb^MZ PÃT\VQ[")]KPPQMZPÃVO\LI[:M[]T\I\_M[MV\ TQKP^WVLMZ8PI[MVTIOMIJ. Abb. 4.96I\ÛZTQKP SIVVUIVI]KPUMPZIT[b_MQ;KP_QVO]VOMVMQ VIVLMZÛJMZTIOMZVWZOIVO RMLM VWKP [W SWUXTQbQMZ\M ;KP_QVO]VO[NWZU I][ MQVbMTVMV ;QV][[KP_QV O]VOMVb][IUUMV[M\bMVFourier-SyntheseWLMZ I]KP QV [QM bMZTMOMV Fourier-Analyse 1V UI\PM UI\Q[KPMZ ;\ZMVOM TÃ[[\ [QKP JM_MQ[MV" ,QM .ZM Y]MVbNUQ\LMZ[QKPMQVJMTQMJQOMZ>WZOIVOXM ZQWLQ[KP_QMLMZPWT\MZ[KPMQV\QVLMZ)VITa[MIT[ .ZMY]MVb LMZ Grundschwingung 1PZ ÛJMZTIOMZV [QKP7JMZ[KP_QVO]VOMVLMZMV.ZMY]MVbMVOIVb bIPTQOM>QMTNIKPMLMZ/Z]VLNZMY]MVbN[QVL»JMZ LQM 8PI[MV_QVSMT LQM[MZ [WO Harmonischen TÃ[[\ [QKP)TTOMUMQVM[VQKP\I][[IOMV[QMPÃVOMV^WU -QVbMTNITT IJ ,QM[ OQT\ I]KP NÛZ LQM )UXTQ\]LMV LQMITTMZLQVO[VWZUITMZ_MQ[MUQ\[\MQOMVLMZ.ZM Y]MVb[KPTQM¾TQKPMQVUITUWVW\WVOMOMVV]TTOM

4

. Abb. 4.10. Fourier-Analyse. Auch die Grenzkurve eines (geeigneten) Scherenschnittes kann in Sinusschwingungen zerlegt werden (sofern man sich diesen periodisch wiederholt vorstellen darf). Die Fourier-Analyse des gezeichneten Proﬁls lautet: y = 0,9432 + 1,0402 sin(x−1,02) + 0,1531 sin(2x−1,89) + 0,2800 sin(3x−3,09) + 0,1198 sin(4x+1,24) + 0,1088 sin(5x+1,39) + 0,0951 sin(6x−1,06) + 0,0043 sin(7x−2,96) + 0,0455 sin(8x−1,93) + 0,0324 sin(9x+2,21) + 0,0105 sin(10x−3,04) + 0,0302 sin(11x+0,76) + 0,0112 sin(12x−1,20) + 0,0086 sin(13x−2,63) + 0,0092 sin(14x−1,36) + 0,0129 sin(15x+2,79) + 0,0045 sin(16x+1,65) + 0,0008 sin(17x+2,87) + 0,0052 sin(18x+0,46) + 0,0043 sin(19x−0,52) + 0,0068 sin(20x−2,60) + 0,0007 sin(21x−0,59) + 0,0053 sin(22x+3,11) + 0,0044 sin(23x+1,36) + 0,0029 sin(24x−0,71) + 0,0003 sin(25x+2,67)

PMV ;W TÃ[[\ [QKP b]U *MQ[XQMT LI[ 8ZWâT MQVMZ .ZI] LI[ UIV [QKP ITTMZLQVO[ XMZQWLQ[KP NWZ\OM [M\b\ LMVSMV U][[ L]ZKP »JMZTIOMZ]VO ^WV ;Q V][N]VS\QWVMV [aV\PM\Q[QMZMV . Abb. 4.10 ]VL . Abb. 4.11 Merke Nichtharmonische Schwingungen können als Überlagerung harmonischer Schwingungen aufgefasst werden.

110

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

1 2 3 4 5 6 7 8

. Abb. 4.11. Analyse und Synthese. Oben: Fourier-Analyse: Zeichnungen der ersten 26 Fourier-Glieder des vorgegebenen Proﬁls; unten: Fourier-Synthese: die Fourier-Glieder werden

nacheinander von rechts nach links aufaddiert (Computerrechnung und -zeichnung: W. Steinhoff)

9 10

4.2

Wellen

4.2.1 Wellenarten

11 12 13 14

;\MKS\UIVMQVMV.QVOMZQV[?I[[MZ. Abb. 4.12 ]VLJM_MO\QPVXMZQWLQ[KPI]N]VLIJ[W[KP_QVO\ LMZ .QVOMZ UQ\ MQVMZ JM[\QUU\MV .ZMY]MVb ]VL MQVMZJM[\QUU\MV)UXTQ\]LM,I[?I[[MZ]ULMV .QVOMZ PMZ]U UIKP\ M\_I[ 3WUXTQbQMZ\MZM[ ,QM ?I[[MZWJMZãÃKPMPMJ\]VL[MVS\[QKPQU
15 16 17 18 19 20

. Abb. 4.12. Wasserwelle. Der Finger wird auf- und abbewegt und erzeugt eine kreisförmige Wasserwelle

[QKP I][ ?]ZLM LQM ?I[[MZWJMZãÃKPM L]ZKP LQM *M_MO]VOLM[.QVOMZ[OMZILMM\_I[IVOMPWJMV[W JZMQ\M\[QKPV]VLQM[M)VPMJ]VOUMPZWLMZ_MVQ OMZOTMQKPUÃ¾QOUQ\MQVMZJM[\QUU\MV/M[KP_QV LQOSMQ\QVITTM:QKP\]VOMVI][,ILQM[MZ>WZOIVO XMZQWLQ[KP_QMLMZPWT\_QZLMV\[\MP\[WMQVMSZMQ[ NÕZUQOMXMZQWLQ[KPM?MTTMMQVMWasserwelle ,QM[M?MTTMPI\LQMOTMQKPM.ZMY]MVb_QMLQM *M_MO]VO LM[ .QVOMZ[ ,QM )UXTQ\]LM IT[W LI[ )][UI¾_QM[\IZS[QKPLQM?I[[MZWJMZãÃKPMPMJ\ ]VL[MVS\PÃVO\^WVLMZ)UXTQ\]LMLM[.QVOMZ[ IJ ,QM /M[KP_QVLQOSMQ\ UQ\ LMZ [QKP LQM ?MTTM I][JZMQ\M\PI\IJMZVQKP\[UQ\LMU.QVOMZb]\]V [WVLMZV Q[\ MQVM -QOMV[KPIN\ LMZ ?I[[MZWJMZãÃ KPM)]NLMU8PW\W. Abb. 4.12[QMP\UIVMQVM ZÃ]UTQKPXMZQWLQ[KPM;\Z]S\]ZUQ\MQVMZKPIZIS \MZQ[\Q[KPMV4ÃVOMLMV)J[\IVL^WV?MTTMVJMZO b]?MTTMVJMZO,QM[Q[\LQMWellenlängeλLMZ?MT TM?I[JZMQ\M\[QKPLIMQOMV\TQKPI][',QM?I[[MZ UWTMSÛTMJTMQJMVQU?M[MV\TQKPMVIU7Z\4Ã]N\ LQM?MTTMIVQPVMV^WZJMQ[WJM_MOMV[QM[QKPI]N 3ZMQ[JIPVPMZ]U5I\MZQM_QZLIT[WVQKP\\ZIV[ XWZ\QMZ\IJMZ-VMZOQM-ZMQOVMV[QKP[KP_MZM-ZL JMJMV QU 5MMZM[JWLMV [W SÕVVMV LQM[M ZQM[QOM ?MTTMV <[]VIUQ[ MZbM]OMV LQM [W ^QMT SQVM \Q[KPM-VMZOQMUQ\[QKP\ZIOMVLI[[OIVbM3Û[\MV ZMOQWVMVbMZ[\ÕZ\_MZLMV

4.2 · Wellen

4

111

. Abb. 4.13. Schallwelle: periodische Dichteschwankung in der Luft. Die Luftmoleküle schwingen beim Durchlaufen der Welle in Ausbreitungsrichtung hin und her

Merke Wellen transportieren Energie, aber keine Materie.

?I[[MZ_MTTMVSIVVUIV[MPZO]\[MPMV]VLQPZM )][JZMQ\]VOIV[KPI]TQKP[\]LQMZMV7 Kap. 7.1.3 ,I[OQT\NÛZLQMUMQ[\MV?MTTMVVQKP\?MVV_QZ UQ\MQVIVLMZ [XZMKPMV [MVLMV ]VL MUXNIVOMV _QZSchallwellen,I[[QVLXMZQWLQ[KPM,Z]KS]VL ,QKP\M[KP_IVS]VOMV QV LMZ 4]N\ . Abb. 4.13 )]KP[QM\ZIV[XWZ\QMZMV-VMZOQMLQMQU7PZLI[ QMTTMQKP\ VWKP IJ[\ZIS\MZ Q[\ LQM ?MTTM LQM QV. Abb. 4.14b][MPMVQ[\-[PIVLMT\[QKP]UMQ VM )]NVIPUM MQVMZ 5M\ITTSZQ[\ITTWJMZãÃKPM UQ\ MQVMU:I[\MZ\]VVMTUQSZW[SWX)]NLMZ7JMZãÃ KPM Q[\ MQV 3ZMQ[ ^WV )\WUMV IVOMWZLVM\ 1U 1 VVMZMV LQM[M[ 3ZMQ[M[ [QMP\ UIV ZQVONÕZUQOM ?MTTMV ,QM[M ?MTTMV MV\[XZMKPMV LMZ )]NMV\ PIT\[_IPZ[KPMQVTQKPSMQ\ ^WV 4MQ\]VO[MTMS\ZWVMV IVLMZ3ZQ[\ITTWJMZãÃKPM1VLMZ9]IV\MVUMKPI VQS PIJMV I]KP <MQTKPMV _QM -TMS\ZWVMV ?MT TMVKPIZIS\MZ ,QM[M quantenmechanischen Wellen JM[KPZMQJMV LQM )]NMV\PIT\[_IPZ[KPMQVTQKP SMQ\IV^MZ[KPQMLMVMV7Z\MV1V7 Kapitel 7.6]VL

. Abb. 4.14. Materiewelle. Auf einer Kristalloberﬂäche sind Atome im Kreis angeordnet. Im Inneren des Kreises sieht man die stehende Materiewelle von Oberﬂächenelektronen. Das verwendete Rastertunnelmikroskop macht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Elektronen und damit auch einzelne Atome sichtbar (D. Eigler, IBM)

7 Kapitel 8.1.2 _MZLMV _QZ LIZI]N b]ZÛKSSWU UMV ?MTTMV ITTMZ ?MTTMVIZ\MV _MZLMV L]ZKP QPZM )UXTQ\]LM.ZMY]MVb)][JZMQ\]VO[OM[KP_QVLQO SMQ\ ]VL ?MTTMVTÃVOM JM[KPZQMJMV ]VL NWTOMV LMVOTMQKPMVUI\PMUI\Q[KPMV:MOMTV=ULQM[M SMVVMVb]TMZVMV JM\ZIKP\MV _QZ V]V MQVM MJMV NITT[ O]\ [QKP\JIZM UMKPIVQ[KPM ?MTTM LQM ;MQT _MTTM

4.2.2 Harmonische Seilwellen

!

6MPUMV_QZMQV;MQTWLMZMQVMV/]UUQ[KPTI]KP JQVLMV MQV -VLM NM[\ [XIVVMV M[ MQV _MVQO ]VL TMVSMVLI[IVLMZM-VLMS]Zb[MQ\TQKPI][[WTÃ]N\ LQM[M )][TMVS]VO MV\TIVO LMU ;MQT b]U IVOM J]VLMVMV-VLM_QZLLWZ\ZMãMS\QMZ\]VLSWUU\ _QMLMZb]ZÛKS,I[Q[\MQVMZ]LQUMV\ÃZMSeilwelle ?QM [QM MV\[\MP\ ^MZ[\MP\ UIV IU JM[\MV _MVV UIV [QKP LI[ ;MQT IT[ )JNWTOM ^WV .MLMZV ]VL 5I[[MV ^WZ[\MTT\ _QM QV . Abb. 4.15 LIZOM[\MTT\ ,QM 5I[[MV SÕVVMV QPZM :]PMTIOM QV :QKP\]VO LM[;MQT[^MZTI[[MV. Abb. 4.16 obenWLMZ[MVS ZMKP\LIb]. Abb. 4.16 unten1VJMQLMV.ÃTTMV OQJ\M[MQVMQVLQM:]PMTIOMZÛKS\ZMQJMVLM3ZIN\" 5 1[\LQM5I[[M[MVSZMKP\b]U;MQT\ZIV[^MZ[IT I][OMTMVS\[W_QZL[QM^WVLMZB]O[XIVV]VO

112

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

1 . Abb. 4.15. Modellbild eines Seils

2 3 4 5 6 7

. Abb. 4.16. Longitudinale (oben) und transversale Welle (unten). „Momentaufnahmen“

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 4.17. Kreise. In einer Wasserwelle bewegen sich die Wassermoleküle auf Kreisbahnen

QU;MQTb]ZÛKSOMbWOMV,ILQM5I[[MIJMZ\ZÃ Merke OMQ[\_QZL[QMVQKP\V]ZJQ[b]Z:]PMTIOMb] 5 Longitudinale Welle: Oszillatoren schwinZÛKSTI]NMV[WVLMZV_QMJMQMQVMZ;KP_QVO]VO gen in Ausbreitungsrichtung. LIZÛJMZPQVI][;WMV\[\MP\LQM?MTTM?MOMV 5 Transversale Welle: Oszillatoren schwinQPZMZ \ZIV[^MZ[ITMV )][TMVS]VO [MVSZMKP\ gen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. b]Z)][JZMQ\]VO[ZQKP\]VOLMZ?MTTMPMQ¾\[QM transversale Welle Man spricht auch von longitudinaler oder trans5 1[\LQM5I[[MQV:QKP\]VOLM[;MQT[TWVOQ\]LQ versaler Polarisation der Wellen. VIT I][OMTMVS\ [W \ZMQJ\ LQM .MLMZSZIN\ LMZ JMVIKPJIZ\MV.MLMZV[QM_QMLMZQVLQM:]PM TIOM)]KP[WMV\[\MP\MQVM?MTTMQU;MQTMQVM *TMQJMV _QZ IJMZ b]VÃKP[\ JMQ LMZ \ZIV[^MZ[ITMV [WO longitudinale Welle )][TMVS]VO QV )][ ;MQT_MTTM4MVSMV_QZLI[MQVM;MQTMVLMXMZQWLQ[KP [MQ\TQKPI][[WMV\[\MP\MQVM[QV][NÕZUQOMV?MTTM JZMQ\]VO[ZQKP\]VOLQM?MTTMV UQ\ *MZOMV ]VL <ÃTMZV ,I[ STIXX\ ITTMZLQVO[ -[OQJ\I]KPMischformen",QM?I[[MZUWTMSÛTMQV VQKP\[MPZTIVOMLMVV_MVVLQM?MTTMLI[NM[\OM LMV?I[[MZ_MTTMVLMZ. Abb. 4.12_MZLMVI]NQP J]VLMV-VLMMZZMQKP\_QZL[QMZMãMS\QMZ\]VLLQM ZMZ3ZMQ[JIPVOTMQKPbMQ\QO\ZIV[^MZ[IT]VLTWVOQ ZÛKSTI]NMVLM ?MTTM ÛJMZTIOMZ\ [QKP UQ\ LMZ MQV TI]NMVLMV ?MTTM b] MQVMZ [WO stehenden Welle \]LQVITI][OMTMVS\. Abb. 4.17 »JMZ [\MPMVLM ?MTTMV _WTTMV _QZ IJMZ MZ[\ QV 7 Kap. 4.2.4 ZMLMV ]VL LMVSMV ]V[ LI[ ;MQT MZ[\ MQVUIT [MPZ TIVO ,QM LI[ ;MQT MV\TIVO TI]NMVLM ?MTTM_QZLUI\PMUI\Q[KPL]ZKPNWTOMVLM.WZUMT JM[KPZQMJMV"

113

4.2 · Wellen

4

π ]`\%][QV ω\w5` λ 5Q\]JMbMQKPVMV_QZLQM)][TMVS]VOI][LMZ :]PMTIOM]VLUQ\]LQM)UXTQ\]LMV,QM)][TMV S]VOQ[\PQMZMQVM.]VS\QWVb_MQMZ>IZQIJTMV"LMZ BMQ\ \ ]VL LM[ 7Z\M[ ` I]N LMU ;MQT -QVM [WTKPM .]VS\QWV UQ\ b_MQ >IZQIJTMV SÕVVMV _QZ b]U *MQ[XQMT_QMQV . Abb. 4.18LIZ[\MTTMVQVLMU_QZ LQM )][TMVS]VO IT[ .]VS\QWV LM[ 7Z\M[ ]V\MZMQ VIVLMZNÛZ^MZ[KPQMLMVMBMQ\MVbMQKPVMVωQ[\LQM ]V[JMSIVV\M3ZMQ[NZMY]MVb]VL<LQMb]OMPÕZQOM 8MZQWLMVLI]MZ" π ω%8 <

)]KPQV:QKP\]VOLMZ7Z\[^IZQIJTMV`Q[\LQM ?MTTM XMZQWLQ[KP ]VL b_IZ UQ\ LMZ 8MZQWLMV TÃVOMλ ?QM _QZ QV . Abb. 4.18 [MPMV [KPZMQ\M\ LQM ?MTTM QV MQVMZ 8MZQWLMVLI]MZ < OMZILM ]U M QVM 8MZQWLMVTÃVOM λ QV XW[Q\Q^MZ `:QKP\]VO NWZ\ ,IZI][ MZOQJ\ [QKP LQM /M[KP_QVLQOSMQ\ LMZ ?MTTM" λ K%4%λN%?MTTMVTÃVOMUIT.ZMY]MVb < ,I[Q[\LQM_QKP\QO[\M/Z]VLNWZUMTNÛZ?MTTMV Merke Ausbreitungsgeschwindigkeit = Wellenlänge · Frequenz: K= λ · N

,QM)][JZMQ\]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\KLMZ?MTTMI]N LMU ;MQT _QZL L]ZKP LQM -QOMV[KPIN\MV LM[ ;MQT[ JM[\QUU\]VLL]ZKPQPZM8WTIZQ[I\QWV -[OQJ\I]KP5MLQMVJMQLMVMVLQMWJMVJM [KPZQMJMVM)][JZMQ\]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\b][Ã\b TQKP^WVLMZ.ZMY]MVbJMbQMP]VO[_MQ[MLMZ?MT TMVTÃVOMIJPÃVO\,I[Q[\b]U*MQ[XQMTJMQMQVMZ ?I[[MZ_MTTM LMZ .ITT 5IV [XZQKP\ LIVV ^WV ispersion ,QM[M Q[\ QV LMZ 7X\QS [MPZ _QKP\QO D LMVV I]KP JMQ 4QKP\_MTTMV QV /TI[ \ZQ\\ LQM[M ? MTTMVTÃVOMVIJPÃVOQOSMQ\ LMZ )][JZMQ\]VO[OM [KP_QVLQOSMQ\ I]N" *MQ ?I[[MZ _QM JMQ 4QKP\ VQUU\LQM)][JZMQ\]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\^WV?MT TMVUQ\[\MQOMVLMZ.ZMY]MVb[QVSMVLMZ?MTTMV TÃVOMIJ

. Abb. 4.18. Welle. Sie läuft in der Schwingungsdauer < um eine Wellenlänge λ weiter: Fortpﬂanzungsgeschwindigkeit K=λ·N

Rechenbeispiel 4.2: Was für eine Welle? 7 Aufgabe. Welche Ausbreitungsgeschwindigkeit hat eine Welle mit der Frequenz 1010 Hz und 3 cm Wellenlänge? 7 Lösung. . Das ist eine ziemlich hohe Geschwindigkeit, tatsächlich die höchste, die es überhaupt gibt: die von Licht im Vakuum. Es handelt sich um eine elektromagnetische Mikrowelle (7 Kap. 7.1).

4.2.3 Intensität und Energietransport

!

-QVOIVb_QKP\QOMZ)[XMS\^WV?MTTMVQ[\LI[[[QM -VMZOQM \ZIV[XWZ\QMZMV *MQ MQVMZ ;MQT_MTTM SIVV LQM[MQVNIKPL]ZKPMQVM4MQ[\]VOIT[W-VMZOQMXZW BMQ\ JM[KPZQMJMV _MZLMV" )V MQVMZ JM[\QUU\MV ;\MTTMI]NLMU;MQTTÃ]N\QVMQVMZOM_Q[[MVBMQ\MQVM OM_Q[[M -VMZOQMUMVOM ^WZJMQ ;KP_QMZQOMZ _QZL LI[_MVV_QZM[UQ\MQVMZ?MTTMI]NMQVMZ7JMZ ãÃKPM?I[[MZ_MTTMWLMZQU:I]U;KPITT_MTTM b]\]VPIJMV,MZMV.WZUUÛ[[MV_QZMZ[\MQVUIT STIZJM[KPZMQJMV,I[\]\UIVUQ\[WOPhasenﬂächen ,I[ [QVL .TÃKPMV QU :I]U I]N LMVMV LQM

114

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Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

;WTKPM 8PI[MVãÃKPMV [QVL NÛZ [XMbQMTTM LQ UMV[QWVITM?MTTMVQV. Abb. 4.19LIZOM[\MTT\ )UJM[\MV[\MTT\UIV[QKPLQM.TÃKPMVIT[8W [Q\QWVLMZ?MTTMVJMZOM^WZ,QMMQVNIKP[\M;\Z]S \]Z PI\ MQVM MJMVM ?MTTM JMQ LMZ LQM 8PI[MVãÃ KPMV-JMVMV[QVL,QM)][JZMQ\]VO[ZQKP\]VOLMZ ?MTTMQ[\ÛJMZITTQU:I]UOTMQKP]VL[\MP\ÛJMZITT [MVSZMKP\ I]N LMV 8PI[MVãÃKPMV ,I[[ LQM )][ JZMQ\]VO[ZQKP\]VOIVRMLMU7Z\[MVSZMKP\I]NLMZ 8PI[MVãÃKPM[\MP\Q[\I]KPJMQLMVIVLMZMVIJOM JQTLM\MV ?MTTMVNWZUMV [W ]VL OQT\ NÛZ ITTM ?MT TMVNWZUMVNI[\QUUMZ ,MV-VMZOQM\ZIV[XWZ\QVMQVMZ[WTKPMV?MTTM JM[KPZMQJ\UIVUQ\MQVMZ)Z\,QKP\M?QZ[\MTTMV ]V[^WZLI[[_QZMQVSTMQVM[.TÃKPMV[\ÛKS[MVS ZMKP\b]Z)][JZMQ\]VO[ZQKP\]VOQVLQM?MTTMPQ VMQV[\MTTMV ?QZ NZIOMV V]V _QM ^QMT -VMZOQM QV M QVMZ ;MS]VLM L]ZKP LQM[M[ .TÃKPMV[\ÛKS \ZQ\\ ,I[ PÃVO\ VI\ÛZTQKP ^WU .TÃKPMVQVPIT\ LM[ .TÃ KPMV[\ÛKS[ IJ ,M[PITJ JMSWUUMV _QZ MQVM / ZÕ¾MLQM]V[LQM;\ÃZSMLM[-VMZOQM\ZIV[XWZ\[ LMZ?MTTMJM[KPZMQJ\QVLMU_QZLQM-VMZOQMUMV OM - L]ZKP LMV .TÃKPMVQVPIT\ ) ]VL LQM BMQ\ \ \ MQTMV" -2? 1%7#-QVPMQ\"72 %5 )\U[U ,QM/ZÕ¾M1_QZLXZÃbQ[MUQ\ EnergieﬂussdichteJMbMQKPVM\^QMTPÃ]âOMZIJMZUQ\Intensität Merke -VMZOQM? 1V\MV[Q\Ã\MQVMZ?MTTM% 922521 #-QVPMQ\T5 .TÃKPMBMQ\U

*MQ LMZ MJMVMV ?MTTM Q[\ LQM 1V\MV[Q\Ã\ ÛJMZITT OTMQKP ]VL ^MZÃVLMZ\ [QKP I]KP VQKP\ UQ\ .WZ\ [KPZMQ\MVLMZ?MTTMM[[MQLMVVLI[5MLQ]UQV . Abb. 4.19. Phasenﬂächen für eine ebene Welle, eine KuLMU [QKP LQM ?MTTM I][JZMQ\M\ IJ[WZJQMZ\ MQVMV gelwelle und eine Zylinderwelle <MQT LMZ -VMZOQM )VLMZ[ Q[\ LQM[ JMQ LMZ 3]OMT _MTTM LQM ^WV MQVMU 8]VS\ OTMQKPUÃ¾QO QV ITTM 8PI[MLMZ?MTTMSWV[\IV\Q[\)T[PhaseJMbMQKPVM\ :QKP\]VOMVI][OMP\,QM8]VS\Y]MTTM[MVLM\UQ\ UIV LI[ _I[ QU )ZO]UMV\ LMZ ;QV][N]VS\QWV MQVMZOM_Q[[MV4MQ[\]VOLQM[QKPUQ\b]VMPUMV LMU)J[\IVLI]Nb]VMPUMVLOZÕ¾MZM8PI[MVãÃ [\MP\" KPMV ^MZ\MQT\ ,QM 1V\MV[Q\Ã\ VQUU\ IT[W QV LMU 5I¾MIJQVLMULMZ.TÃKPMVQVPIT\LMZ8PI[MV ãÃKPMV b]VQUU\ ,QM 7JMZãÃKPM MQVMZ 3]OMT _ÃKP[\UQ\LMU:ILQ][ZQV[9]ILZI\LQM1V\MV

115

4.2 · Wellen

4

[Q\Ã\ [QVS\ IT[W UQ\ MQV[ L]ZKP LMV :ILQ][ QV[ 9]ILZI\" 1f4 Z 5IVVMVV\LQM[LI[ quadratische AbstandsgesetzNÛZLQM1V\MV[Q\Ã\^WV?MTTMVLQM^WV8]VS\ Y]MTTMVI][OMPMV5IVSMVV\LQM[I][LMU)TT\IO ^WU 4QKP\ MQVMZ 4IUXM LI[ UQ\ b]VMPUMVLMU )J[\IVL [KP_ÃKPMZ _QZL WLMZ ^WV LMZ ;\QUUM MQVM[ ;XZMKPMZ[ LQM UQ\ b]VMPUMVLMU )J[\IVL TMQ[MZ _QZL )]KP JMQ LMZ ^WV MQVMZ 4QVQMVY]MTTM I][OMPMVLMVbaTQVLMZNÕZUQOMV?MTTM. Abb. 4.19 ]V\MZM[ *QTL VQUU\ LQM 1V\MV[Q\Ã\ UQ\ LMU )J [\IVLZ^WVLMZ9]MTTMIJPQMZIJMZV]ZXZWXWZ\Q WVITb]Z 1V[JM[WVLMZMQVLMZ4QKP\UM[[\MKPVQSOQJ\M[ VWKP IVLMZM /ZÕ¾MV LQM LMV -VMZOQM\ZIV[XWZ\ ]VL LQM 0MTTQOSMQ\ MQVMZ ?MTTM JM[KPZMQJMV ,I[ _QZLQV7 Kapitel 7.3.1JM[XZWKPMV Rechenbeispiel 4.3: Erdbebenstärke 7 Aufgabe. Die Intensität einer Erdbebenwelle 100 km von der punktförmigen Quelle entfernt sei 1%?U. Wie hoch ist sie 400 km von der Quelle entfernt? 7 Lösung. Die Intensität sinkt mit eins durch Abstand ins Quadrat, also: SU?? 1% 02 5%5 SUUU

. Abb. 4.20. Stehende Welle. Zwei gegenläuﬁge Wellen mit gleicher Auslenkungsamplitude und gleicher Frequenz geben eine stehende Welle mit ortsfesten Schwingungsknoten (Ruhe) und ortsfesten Schwingungsbäuchen (maximale Amplitude der Auslenkung)

3VW\MV]VL*I]KPMQVM>QMZ\MT_MTTMVTÃVOM,QM[M ;KP_QVO]VO[[\Z]S\]Z JTMQJ\ WZ\[[\IJQT LM[PITJ LMZ*MOZQNNi[\MPMVLMt?MTTM

4.2.4 Stehende Wellen Merke

*MQ LMZ *M[XZMKP]VO LMZ ;MQT_MTTMV _]ZLM M[ [KPWVMZ_ÃPV\"4Ã]N\LQM?MTTMOMOMVLI[NM[\OM J]VLMVM -VLM LM[ ;MQT[ [W _QZL [QM ZMãMS\QMZ\ -QVTI]NMVLM ]VL ZMãMS\QMZ\M ?MTTM ÛJMZTIOMZV [QKP LIVV b] MQVMZ [WO stehenden Welle . Abb. 4.20^MZLM]\TQKP\LI[ ,QM;]UUMVLMZJMQLMVOMOMVTÃ]âOMV?MTTMV [QVL JTI] OMbMQKPVM\ )V UIVKPMV ;\MTTMV JTMQJ\ LI[;MQT[\ÃVLQOQV:]PM[QMTQMOMVQVSchwingungsknoten# IVLMZM ;\MTTMV [QVL QV UI`QUITMZ *M_M O]VO[QMTQMOMVQV Schwingungsbäuchen,MZ)J [\IVL b_Q[KPMV JMVIKPJIZ\MV 3VW\MV WLMZ *Ã] KPMVJM\ZÃO\MQVMPITJM?MTTMVTÃVOMLMZb_Q[KPMV

Zwei gegenläuﬁge Wellen gleicher Amplitude und Frequenz liefern eine stehende Welle mit ortsfesten Schwingungsbäuchen und -knoten.

-LMT[\M.WZULMZ5][QSMZbM]O]VOQ[\LQMUQ\LMZ /MQOM1PZM;IQ\MV[KP_QVOMVQVLMZ.WZU[\MPMV LMZ;MQT_MTTMV,IMQVM;IQ\MIVJMQLMV-VLMVNM[\ MQVOM[XIVV\Q[\UÛ[[MVLWZ\;KP_QVO]VO[SVW\MV TQMOMV;QMPIJMVLMV)J[\IVLMQVMZPITJMV?MT TMVTÃVOM ]VL TQMNMZV LIUQ\ LMV MQVMV JM[\QU UMVLMV.IS\WZ;IQ\MVTÃVOMTb]ZGrundfrequenz NLMZ;IQ\MV[KP_QVO]VO"

116

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Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

KKK N%3%31%4 λ T T 3 ,QM[M.ZMY]MVbTÃ[[\[QKPMZPÕPMV_MVVUIV LQM_QZS[IUM4ÃVOMLMZ;IQ\M^MZSÛZb\";W_MZLMV /MQOMV OM[XQMT\ ,QM /Z]VLNZMY]MVb [\MQO\ IJMZ I]KP _MVV UIV LQM ;IQ\M [\ZINNMZ [XIVV\ LMVV LIUQ\MZPÕP\UIVLQM)][JZMQ\]VO[OM[KP_QVLQO SMQ\KLMZ;MQT_MTTM";W_MZLMV/MQOMVOM[\QUU\ ,QM .WZLMZ]VO VIKP 3VW\MV IV LMV -VLMV LMZ ;IQ\M^MZJQM\M\VQKP\LI[[_MQ\MZM3VW\MVI]N\ZM \MVb*MQVMZOMVI]QVLMZ5Q\\MWLMZb_MQI]NRM MQVMU,ZQ\\MTLMZ_QZS[IUMV4ÃVOM. Abb. 4.21 =V\MZ\MQTMV SÕVVMV LQM 3VW\MV QPZM ;IQ\M IJMZ V]ZQVOIVbbIPTQOMV*Z]KP\MQTMV#LQMb]OMPÕZQOMV .ZMY]MVbMV[QVLLMUVIKPOIVbbIPTQOM>QMTNIKPM LMZ /Z]VLNZMY]MVb ,MZIZ\QOM Obertöne MZbM]O\ RMLM[ 5][QSQV[\Z]UMV\ [QM UIKPMV [MQVM KlangfarbeI][ )]KPQVMQVMZ*TWKSãÕ\MOQJ\M[[\MPMVLM?MT TMV# PQMZ [QVL M[ ,Z]KS_MTTMV . Abb. 4.22 ,QM *TWKSãÕ\MQ[\IVJMQLMV-VLMVWNNMV",WZ\Q[\LMZ ,Z]KS QUUMZ OTMQKP LMU =UOMJ]VO[LZ]KS 1V LMZ5Q\\MLMZ.TÕ\M[KP_QVO\LMZ,Z]KSPQVOMOMV PQMZ TQMO\ LMZ ;KP_QVO]VO[JI]KP LMZ [\MPMVLMV ;KPITT_MTTM?QMLMZQ[\LQM?MTTMVTÃVOMOTMQKPLMZ LWXXMT\MV.TÕ\MVTÃVOM?MTKPM.ZMY]MVbb]Z?MT TMVTÃVOMOMPÕZ\JM[\QUU\LQM;KPITTOM[KP_QVLQO SMQ\QVLMZ4]N\#JTÃ[\UIVMQVM*TWKSãÕ\MUQ\0M TQ]UOI[IV[\MQO\QPZM<WVPÕPM]UUMPZIT[MQVM 7S\I^M_MQTLQM;KPITTOM[KP_QVLQOSMQ\QVLQM[MU TMQKP\MV/I[^QMTPÕPMZQ[\-QVJMTQMJ\MZ>MZ[]KP QV LMZ >WZTM[]VO Q[\ LQM 0MTQ]U[\QUUM" )\UM\ UIV0MTQ]UOI[MQV]VL[XZQKP\LIVVSTQVO\UIV _QM5QKSaUI][,QM;\QUUPÕPM]VL3TIVONIZJM LMZ ;\QUUM _QZL L]ZKP [\MPMVLM ?MTTMV QU :I KPMVZI]U JM[\QUU\ ]VL LIUQ\ I]KP L]ZKP LQM ;KPITTOM[KP_QVLQOSMQ\

17 18 19 20

4.2.5 Schallwellen

,Z]KS_MTTMV QV 4]N\ _QM JMQ LMZ *TWKSãÕ\M IJMZ I]KPQV.TÛ[[QOSMQ\MV]VL.M[\SÕZXMZVJMbMQKPVM\ UIV IT[ ;KPITT 1V /I[MV ]VL .TÛ[[QOSMQ\MV [QVL LI[QUUMZTWVOQ\]LQVITM?MTTMV[W_QMM[. Abb. 4.13 bMQO\ 1U .M[\SÕZXMZ SÕVVMV ;KPITT_MTTMV I]KP\ZIV[^MZ[IT[MQV

. Abb. 4.21. Geigensaite in ihrer Grundschwingung und den beiden ersten Oberschwingungen

. Abb. 4.22. Offene Pfeife (Blockﬂöte). Der Luftdruck X hat an beiden Enden einen Knoten und schwankt im Schwingungsbauch ein ganz klein wenig um den Barometerdruck X

;KPITT_MTTMV QU .ZMY]MVbJMZMQKP ^WV M\_I 0b JQ[ M\_I S0b SIVV LMZ 5MV[KP PÕZMV# UIVVMVV\[QM Hörschall;KP_QVO]VOMVSTMQVMZMZ .ZMY]MVb _MZLMV IT[ *M_MO]VOMV MUXN]VLMV ]V\MZPITJ^WV0bTI[[MV[QM[QKP]VUQ\\MTJIZIJ bÃPTMV#QVLMZ)S][\QSVMVV\UIV[QM1VNZI[KPITT ,QM WJMZM 0ÕZOZMVbM PÃVO\ ^WU 4MJMV[IT\MZ IJ ]VL OMP\ UQ\ LMV 2IPZMV b]ZÛKS ;KPITT LM[[MV .ZMY]MVb ÛJMZ LMZ 0ÕZOZMVbM TQMO\ PMQ¾\ Ultraschall Merke Hörschall: Frequenzen zwischen ca. 16 Hz und ca. 16 kHz Ultraschall: Frequenzen über dem Hörbereich

117

4.2 · Wellen

,QM;KPITTOM[KP_QVLQOSMQ\_QZLL]ZKPLQM-TI[\Q bQ\Ã\]VLLQM,QKP\MρLM[5MLQ]U[JM[\QUU\.ÛZ /I[MOQT\" 32 9 K% 3 ρ

UQ\ LMU 3WUXZM[[QWV[UWL]T9 7 Kap. 3.3.6 *MQ.M[\SÕZXMZVWLMZ.TÛ[[QOSMQ\MV_ÃZMPQMZLI[ -TI[\QbQ\Ã\[UWL]TMQVb][M\bMV,QM;KPITTOM[KP_QV LQOSMQ\QV4]N\JM\ZÃO\]VOMNÃPZU[0MTQ]U OI[PI\MQVM^QMTOMZQVOMZM,QKP\MQVQPUJM\ZÃO\ LQM/M[KP_QVLQOSMQ\! U[,QM;KPITTOM[KP_QV LQOSMQ\MV QV ?I[[MZ U[ ]VL QV )T]UQVQ ]U SU[ [QVL ^QMT PÕPMZ LI LQM 5I\MZQITQMV ^QMT[\MQNMZ[QVLIT[/I[M1U8ZQVbQXJZMQ\MV[QKP ;KPITT_MTTMVVIKPLMVOTMQKPMV/M[M\bMVI][_QM [QKP\JIZM[4QKP\"?MTTMQ[\?MTTM;KPITT_MTTMVbMQ OMV ITTM -Z[KPMQV]VOMV LMZ *M]O]VO *ZMKP]VO ]VL1V\MZNMZMVbLQMQV7 Kapitel 7.4NÛZ4QKP\I][ NÛPZTQKP JM[XZWKPMV _MZLMV# V]Z ^MZTIVOMV LQM ^MZOTMQKP[_MQ[M OZW¾MV ?MTTMVTÃVOMV OZÕ¾MZM )XXIZI\]ZMV .ÛZ LQM ;KPITTZMãM`QWV LM[ -KPW[ VQUU\ UIV IU JM[\MV OTMQKP MQVM OIVbM *MZO _IVL#NÛZMKP\MV;KPI\\MV_]ZN[QVLVWZUITM0Ã] [MZ[KPWVb]STMQV1UUMZPQVLZQVO\LMZ\QMNMLP TIVO_MTTQOM<WVLMZOZW¾MVQMT[MQ\QO[\M.WZULMZ;KPITTMZbM]O]VOQ[\LQM UQ\ LMZ 5MUJZIV MQVM[ 4I]\[XZMKPMZ[" ;QM ^MZ UIO;\QUUMV^WV5MV[KP]VLMZ[\ÃZSMZTQMNMZ\*M_MO\[QKP LQM5MUJZIVUWUMV\IVVIKPZMKP\[[W[KPQMJ\

4

[QMLWZ\4]N\UWTMSÛTMb][IUUMVMZbM]O\IT[WMQ VMVOMZQVOMV»JMZLZ]KS#MV\[XZMKPMVLNÛPZ\MQ VM*M_MO]VOQV/MOMVZQKP\]VOb]MQVMU=V\MZ LZ]KS »JMZ _QM =V\MZLZ]KS JZMQ\MV [QKP UQ\ ;KPITTOM[KP_QVLQOSMQ\I][" Merke Schallwellen in Gasen und Flüssigkeiten sind Druckwellen.

,QMNÛZLMV5MV[KPMV_QKP\QO[\M.WZULMZ;KPITT MZbM]O]VOQ[\LQMUQ\LMUKehlkopf,QM[MZJM[Q\b\ b_MQ ;\QUUJÃVLMZ LQM MZ ÛJMZ LQM ;\MTTSVWZXMT _QTTSÛZTQKP IV[XIVVMV SIVV ,]ZKP LQM ;\QUU ZQ\bM b_Q[KPMV QPVMV _QZL JMQU ;XZMKPMV ]VL ;QVOMV4]N\OMXZM[[\,QMQV/ZMVbMVMQV[\MTTJIZMV -QOMVNZMY]MVbMV LMZ ;\QUUJÃVLMZ JM[\QUUMV LQM<WVTIOMVQKP\IJMZLMV4I]\LMZLMV5]VL ^MZTÃ[[\ 0QMZ [XQMTMV =V\MZSQMNMZ ]VL ^WZ ITTMU LQMJM_MOTQKPMB]VOMLQMMV\[KPMQLMVLMV:WTTMV" ;QMTMOMVLQMUWUMV\IVM.WZULM[:IKPMVZI]UM[ NM[\]VLLIUQ\LQM-QOMVNZMY]MVbMVLQM[M[0WPT ZI]UM[LQM^WVLMV;\QUUJÃVLMZVb]:M[WVIVb IVOMZMO\_MZLMVSÕVVMV 1U/MOMV[I\bb]U5MV[KPMVSÕVVMV.TMLMZ UÃ][M]VL,MTâVM;KPITT_MTTMV_QM:ILIZMQV[M\ bMV;QM[MVLMVS]ZbM4I]\MI][]VLPÕZMVLIVV _IVV ]VL I][ _MTKPMZ :QKP\]VO -KPW[ b]ZÛKS SWUUMV;WVMPUMV[QM0QVLMZVQ[[MWLMZ*M]\M _IPZ]VLJM[\QUUMVLMZMV-V\NMZV]VO=*WW\M UQ\ QPZMU ;WVIZOMZÃ\ SÕVVMV LI[ I]KP 5MLQbQ VMZ MZbM]OMV UQ\ =T\ZI[KPITTZMãM`MV IJMZ [WOIZ )JJQTL]VOMVQVVMZMZ7ZOIVMWLMZVWKPVQKP\OM JWZMVMZ3QVLMZ. Abb. 4.23 Rechenbeispiel 4.4: Echolot 7 Aufgabe. Delﬁne benutzen Schallwellen, um ihre Beute zu lokalisieren. Ein 10 cm großes Objekt kann er so auf 100 m Entfernung wahrnehmen und diese Entfernung aus der Laufzeit des Reﬂexes bestimmen. Wie lange war eine Schallwelle zum Objekt und zurück dann unterwegs? 7 Lösung. Die Schallgeschwindigkeit im Wasser beträgt etwa 1500 m/s. Für 200 m braucht ein Schallpuls also etwa 0,13 s.

118

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Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

Klinik Ultraschalldiagnose. An einer Grenzﬂäche zwischen Materialien mit unterschiedlicher Schallgeschwindigkeit wird der Schall immer reﬂektiert. Das geschieht bereits, wenn der Unterschied so gering ist wie zwischen Muskel- und Fettgewebe. Die Reﬂexion ist aber stärker bei größeren Unterschieden in der Schallgeschwindigkeit wie zwischen Wasser und Knochen. Generell gilt: Die Schallgeschwindigkeit ist umso größer, je geringer die Dichte und je härter das Material ist. Die Sonographie nutzt die Schallreﬂexionen an den verschiedensten Grenzﬂächen, um ein Schnittbild durch den Körper zu gewinnen. Dazu verwendet man einen Schallkopf (die Sonde), in dem längs einer Linie viele piezoelektrische Wandler angeordnet sind. (Das sind Kristalle, die sich bei Anlegen einer elektrischen Spannung verformen und – im umgekehrten Fall – bei Verformung eine elektrische Spannung erzeugen; 7 Kap. 6.6.3.) Diese senden über die Breite des Schallkopfes Ultraschall in den Körper und empfangen auch die Echos, also den reﬂektierten Schall. Dies geschieht in sehr kurzen Pulsen, sodass aus der Laufzeit des Echos die Tiefe der reﬂektierenden

Grenzschicht bestimmt werden kann. So entsteht ein 2-dimensionales Schnittbild, wie es . Abb. 4.23 zeigt. Der Kopf des Kindes ist von Fruchtwasser umgeben, das strukturlos ist und damit im Ultraschallbild dunkel, da es nicht reﬂektiert. Insbesondere die Oberﬂäche des Kopfes reﬂektiert dann aber stark und erscheint somit hell. Damit der Schall nicht schon gleich an der Oberﬂäche des Schallkopfes reﬂektiert wird, muss jeder Luftspalt zwischen Schallkopf und Haut vermieden werden. Jede Ultraschalldiagnose beginnt deshalb mit dem Aufbringen eines Gels, um einen möglichst reﬂexionsfreien Durchgang des Schalls zu gewährleisten. Das Auﬂösungsvermögen eines Ultraschallbildes ist in der Tiefe etwas höher als in der Breite und variiert zwischen 0,2 und 3 mm. Es ist umso besser, je höher die Frequenz ist, je kleiner also die Wellenlänge. Deswegen und nicht nur der Lärmbelästigung wegen verwendet man Ultraschall zwischen 1 und 40 MHz. Das Auﬂösungsvermögen eines Röntgenbildes ist in aller Regel höher, die Röntgenstrahlung aber auch viel gefährlicher.

11 12 4.2.6 Schallwahrnehmung

13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 4.23. Sonogramm des Kopfes eines ungeborenen Kindes (Aufnahme: Prof. M. Hansmann, Bonn)

!

,MZ»JMZ[KPITTSVITTLMZ,Û[MVRÃOMZQ[\b]UQVLM[\ ]VIVOMVMPU )T[ MQV ?IZV[a[\MU LI[ I]KP QU ;KPTINVQKP\IJOM[KPIT\M\_QZLPI\LI[/MPÕZ[MQ VM -UXâVLTQKPSMQ\ JQ[ IV LQM /ZMVbM LM[ ;QVV ^WTTMV OM[\MQOMZ\# VWKP MQV _MVQO UMPZ ]VL M[ UÛ[[\M LQM \PMZUQ[KPM *M_MO]VO LMZ 4]N\UWTM SÛTM IT[ XMZUIVMV\M[ :I][KPMV _IPZVMPUMV B]U 0ÕZ[KPITT VWZUITMZ ;XZMKPTI]\[\ÃZSM OM PÕZMV ,Z]KS[KP_IVS]VOMV w ;KPITTLZ]KS WLMZ Schallwechseldruck OMVIVV\w LMZMV )UXTQ\]LMV QVLMZ/ZÕ¾MVWZLV]VOBMV\QXI[KIT8ITQM OMV ;QM JMLM]\MV ;KP_QVO]VOMV LMZ 5WTMSÛTM UQ\ )UXTQ\]LMV QU *MZMQKP ^WV VU ]VL /M [KP_QVLQOSMQ\[IUXTQ\]LMV ^WV UU[ 5IV JMbMQKPVM\ [QM IT[ Schallschnelle ,QM[M PI\ UQ\ LMZ )][JZMQ\]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\ LMZ ;KPITT_MT TMV VQKP\[ b] \]V _WPT IJMZ UQ\ LMZ ^WV LMZ ;KPITT_MTTM \ZIV[XWZ\QMZ\MV -VMZOQM OMVI]MZ UQ\

4.2 · Wellen

119

4

Klinik Das Ohr des Menschen. Das Organ, mit dem der Mensch Schallschwingungen empfangen und in Nervensignale überführt, ist das Corti-Organ, mechanisch gekoppelt an die Basilarmembran in der Schnecke des Innenohres. Als überaus empﬁndliches Häutchen kann die Basilarmembran nur in einer Flüssigkeit aufbewahrt werden. Deshalb ist die gesamte Schnecke mit wässriger Lösung gefüllt. Damit steht die Natur vor einem Problem: Wie wir bei der Ultraschalldiagnostik besprochen haben, wird der Schall an der Grenzﬂäche zwischen Medien mit unterschiedlicher Schallgeschwindigkeit immer reﬂektiert. Im Ohr soll aber der Schall aus der Luft möglichst ohne Reﬂexion und vollständig in die Flüssigkeit der Schnecke geleitet werden. Die Schallgeschwindigkeit in der Luft ist relativ klein, man spricht von einem schallweichen Medium. Im Wasser ist der Schall viel schneller, es ist ein schallhartes Medium. Um den Schall reﬂexionsfrei von der schallweichen Luft in das schallharte Wasser zu übertragen, hat sich die Natur das zierliche Hebelsystem des Mittelohres, also die drei Gehörknöchelchen Hammer, Amboss und Steigbügel (. Abb. 4.24) „ausgedacht“. Sie werden bewegt vom eigentlichen Schallaufnehmer, dem

. Abb. 4.24. Mittelohr. Der Schall versetzt zunächst das Trommelfell in Schwingungen. Diese werden von Hammer, Amboss und Steigbügel auf die Haut des ovalen Fensters übertragen

Trommelfell, einer dünnen, schallweichen Haut, die quer im Gehörgang steht; die Gehörknöchelchen geben ihre Bewegungen weiter an die Haut des W^ITMV.MV[\MZ[, hinter dem sich die Flüssigkeit der Schnecke beﬁndet. Dabei verwandeln sie eine Schwingung mit großer Amplitude und kleiner Kraft in eine Schwingung mit kleiner Amplitude und großer Kraft. Das Trommelfell selbst ist nur dann schallweich, wenn es auf beiden Seiten an Luft grenzt. Der Luftraum des Mittelohres hinter dem Trommelfell muss Verbindung zur Außenwelt haben, denn sonst würde das Trommelfell auf jede langsame Änderung des Luftdruckes reagieren wie die Membran eines Dosenbarometers (. Abb. 3.19). Diese Verbindung besorgt die Eustachi-Röhre. Sie ist nicht selten durch Flüssigkeiten aus irgendeinem Katarrh verstopft. Dann spürt man zuweilen bereits einen „Druck“ auf den Ohren, wenn man in einem Hochhaus mit dem Fahrstuhl fährt oder mit einem Auto den Berg hinunter. Der Luftdruck fällt ja mit der Höhe über dem Meeresspiegel. Schluckbewegungen helfen, die Eustachi-Röhre kurz zu öffnen und den „Druck“ zu mindern.

QPZMZ 1V\MV[Q\Ã\ LQM JMQ ;KPITT I]KP Schallstärke OMVIVV\_QZL /MZÃ\M b]Z 5M[[]VO ^WV ;KPITTQV\MV[Q\Ã\MV JMVÕ\QOMV OZ]VL[Ã\bTQKP MQV 5QSZWXPWV MQVMV >MZ[\ÃZSMZ ]VL MQVMV )VbMQOMUMKPIVQ[U][ ,QM -QKP]VO QV ?U LMZ -QVPMQ\ LMZ 1V\MV[Q\Ã\ UIKP\QU8ZQVbQXSMQVM;KP_QMZQOSMQ\MV,MU)Z JMQ\[XPa[QWTWOMV IJMZ LMZ [QKP NÛZ LMV 4ÃZU QV MQVMZ 3M[[MT[KPUQMLM QV\MZM[[QMZ\ WLMZ LQM ;\Õ Z]VO LMZ 6IKP\Z]PM L]ZKP LMV VIPM OMTMOMVMV .T]OXTI\b Q[\ LIUQ\ _MVQO OMLQMV\ ;KPITT [\ÕZ\ V]Z_MVVUIVQPVPÕZ\"=T\ZI[KPITTUIKP\SMQVMV 4ÃZU_I[VQKP\PMQ¾\LI[[MZPIZUTW[Q[\)]KP QU 0ÕZJMZMQKP _MZ\M\ LI[ 7PZ ;KPITT ^MZ[KPQM LMVMZ .ZMY]MVbMV PÕKP[\ ]V\MZ[KPQMLTQKP ;MQVM PÕKP[\M-UXâVLTQKPSMQ\TQMO\JMQS0b#VQKP\WP VM /Z]VL [KPZMQMV *IJa[ JM^WZb]O\ I]N LQM[MZ .ZMY]MVb"0QMZPÕZ\LQM5]\\MZJMZMQ\[MQVM;KPITT QV\MV[Q\Ã\^WV?U;KPWVJMQS0bMZNWZ LMZ\ LQM 0ÕZ[KP_MTTM NIKPM ;KPITTQV\MV[Q\Ã\

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

,MV .ZMY]MVbOIVO LM[ VWZUITMV UMV[KPTQKPMV /MPÕZ[ ^MZ[]KP\ UIV L]ZKP MQVM _MQ\MZM 5M[[ OZÕ¾M b] JMZÛKS[QKP\QOMV L]ZKP LQM Lautstärke UQ\LMZ-QVPMQ\Phon 1U MUXâVLTQKP[\MV *MZMQKP LM[ /MPÕZ[ TQMOMV b_Q[KPMV 0ÕZ ]VL ;KPUMZb[KP_MTTM ]VOMNÃPZ BMPVMZXW\MVbMV LMZ ;KPITTQV\MV[Q\Ã\ 3MQV /MZÃ\ UQ\TQVMIZMZ;SITISIVVMQVMVLMZIZ\OZW¾MV*MZMQKP ÛJMZLMKSMV,I[OQT\I]KPNÛZ;QVVM[WZOIVM.WTO TQKPZMIOQMZMV[QMQVM\_ITWOIZQ\PUQ[KP"Weber-Fechner-Gesetz,QM[M[PI\JMQLMZ.M[\TMO]VOLMZ;KPITT XMOMT]VLLMZ8PWV;SITI 8I\MOM[\IVLMVLMZLI[ QV LMZ <MKPVQS ÛJTQKPM Pegelmaß b]OZ]VLM TQMO\ ,I[8MOMTUI¾_QZLQVDezibelL*IVOMOMJMV ?MULI[,MbQJMTVQKP\OMTÃ]âOQ[\LMUSIVV M[3]UUMZJMZMQ\MV,MZ6IUMTÃ[[\MQVM-QVPMQ\ ^MZU]\MV\I\[ÃKPTQKPPIVLMT\M[[QKPIJMZMPMZ]U MQVM:MKPMV^WZ[KPZQN\1[\MQVM-VMZOQM?QU4I] NMLMZBMQ\I]NQZOMVLMQVM?MQ[MI]N?%? PMZ]V\MZOMOIVOMV[WJM\ZÃO\LMZ=V\MZ[KPQMLLMZ JMQLMV8MOMTL*=ULI[PMZI][b]âVLMVJQTLM\ UIVb]VÃKP[\LMV*Z]KP??TWOIZQ\PUQMZ\QPV LMSILQ[KP ]VL U]T\QXTQbQMZ\ IV[KPTQM¾MVL UQ\ ,I[-ZOMJVQ[Q[\LMZ8MOMT]V\MZ[KPQMLQV,MbQJMT"

,IZI][NWTO\" ?) ) TO 5 %TO 5 %TO 5 ?))

5IV SIVV LI[ 8MOMTUI¾ IT[W I]KP I][ LMU )UXTQ\]LMV^MZPÃT\VQ[JM[\QUUMVIJMZLIVV^MZ TIVO\ LQM :MKPMV^WZ[KPZQN\ MQVMV .IS\WZ b]U 4WOIZQ\PU][ ;W^MZNÃPZ\LQM/ZÕ¾MSchallpegelI]KP;KPITT LZ]KSXMOMTOMVIVV\" TOX; ;KPITTXMOMT 4X%9 TOX;

0QMZ Q[\ X; LMZ IS\]MTTM ;KPITTLZ]KS ]VL X;%8I MQV *Mb]O[[KPITTLZ]KS LMZ M\_I LMZ0ÕZ[KP_MTTMMV\[XZQKP\,QM*MbMQKPV]VOLMZ ;KPITTXMOMTMQVPMQ\Q[\L*;84i[W]VLXZM[[] ZMTM^MTt,IMQV.IS\WZ^WZLMU4WOIZQ\PU][ [\MP\Q[\LMZ;KPITTXMOMTMQVTWOIZQ\PUQ[KPM[5I¾ LMZ ;KPITTQV\MV[Q\Ã\ ,QM *MbMQKPV]VO ;KPITT LZ]KSXMOMT Q[\ LM[PITJ QZZMNÛPZMVL ,I LI[ 7PZ NÛZ ^MZ[KPQMLMVM .ZMY]MVbMV ^MZ[KPQMLMV MUX âVLTQKP Q[\ _MQKP\ LQM 4I]\[\ÃZSM[SITI LQM LI[ 4I]\[\ÃZSMMUXâVLMV VIKP[\MTTMV [WTT ]VL QV 8PWVCWLMZL*)EOMUM[[MV_QZL^WVLMZ;KPITT ? %#TO%#%# QV\MV[Q\Ã\[[SITIQVLMZ?MQ[MIJ_QMM[. Abb. 4.25 5 ? LIZ[\MTT\*MQ0bQ[\LQM8PWV;SITIQLMV\Q[KP IT[WL*8MOMT]V\MZ[KPQML UQ\ LMZ ;KPITTXMOMT[SITI ]VL XZWXWZ\QWVIT b]U -QVi=V\MZ[KPQMLtLMZ8MOMT^WVL*JMLM] 4WOIZQ\PU][ LMZ ;KPITTQV\MV[Q\Ã\ *MQ IVLMZMV .ZMY]MVbMV PQVOMOMV NWTO\ LQM 8PWV;SITI LMV \M\?%?_MQTOQT\" JTI]MV4QVQMVQU,QIOZIUULQMRM_MQT[b]MQVMU TO%%TO JM[\QUU\MV8PWV?MZ\OMPÕZMV,I[,QIOZIUU *MQ TQVMIZMU 3ZIN\OM[M\b LMZ ;KPZI]JMVNMLMZ [\MTT\ IT[W LQM -UXâVLTQKPSMQ\ MQVM[ WNâbQMTTMV Q[\ LQM ;KP_QVO]VO[MVMZOQM ? LM[ .MLMZXMVLMT[ i6WZUITWPZ[t LIZ . Tab. 4.1 NI[[\ LQM ;KPITT LMU9]ILZI\LMZ)UXTQ\]LM)XZWXWZ\QWVIT" UM[[OZÕ¾MVb][IUUMV ? ) 5%6 ? ) . Tabelle 4.1 Schallmessgrößen Name

Weiterer Name

Einheit

Hörschwelle

Schalldruck

Schallwechseldruck

1 Pa (Pascal)

~ 2 · 10−5 Pa

Schallintensität

Schallstärke

1 W/m2

~ 10−12 W/m2

Schallpegel

Schalldruckpegel

1 dB SPL

~ 0 dB SPL

1 Phon oder 1 dB(A)

4 Phon [dB(A)]

Lautstärke

121

4.2 · Wellen

. Abb. 4.25. Spektrale Empﬁndlichkeit des menschlichen Gehörs. Töne gleicher Lautstärke (in Phon) werden als gleich laut empfunden. Bei 1000 Hz ist die Lautstärke streng logarith-

4

misch zur Schallstärke (-intensität); dort bringt ein Faktor 100 in der Schallstärke einen Zuwachs von 20 Phon in der Lautstärke

-QVQOM)VPIT\[_MZ\Mb]Z8PWV;SITITQMNMZ\LQM 8PWV [W [KPINNMV ^QMZ ^WU OTMQKPMV
8PWV

8ZM[[T]N\PIUUMZQVLMZ6ÃPM

!8PWV

5W\WZZILQVVÃKP[\MZ6ÃPM

8PWV

.T]ObM]OUW\WZUMV\NMZV\

8PWV

4I]\[\ÃZSMVÛJMZ8PWV[KPUMZbMV-QVM4I]\ [\ÃZSMQ[\ÛJZQOMV[V]ZNÛZLMV7Z\LM[-UXNÃV OMZ[LMâVQMZ\VQKP\M\_INÛZMQVM;KPITTY]MTTM

Rechenbeispiel 4.5: Schalldämmung 7 Aufgabe. Eine Schalldämm-Mauer reduziert den Schallpegel von 70 auf 50 dB. Um welchen Faktor wird die Schallintensität reduziert? 7 Lösung. Maßgeblich ist der Pegelunterschied von –20 dB. Es gilt:

Am besten lernt man das auswendig: 20 dB sind ein Faktor 100.

Merke Die Lautstärke mit der Einheit Phon ist ein an die spektrale Empﬁndlichkeit des menschlichen Gehörs angepasstes und im Wesentlichen logarithmisches Maß der Schallintensität.

4.2.7 Doppler-Effekt

!

6WZUITMZ_MQ[MPÕZ\LI[7PZMQVMV<WVUQ\LMZRM VQOMV.ZMY]MVbUQ\LMZQPVLQM;KPITTY]MTTMI][ OM[IVL\PI\,I[U][[IJMZVQKP\[W[MQV1VLMU ,QM8PWV;SITIJQZO\»JMZZI[KP]VOMVNÛZRMLMV 5WUMV\QVLMULQM.M]MZ_MPZIVMQVMU^WZJMQ LMULMZ=UOIVOUQ\4WOIZQ\PUMVVQKP\OMTÃ]âO NÃPZ\ [QVS\ LQM <WVPÕPM LM[ 5IZ\QV[PWZV[ NÛZ Q[\3VI\\MZ\MQV5WXMLQVMQVQOMZ-V\NMZV]VOUQ\ LMV 8I[[IV\MV I]N LMZ ;\ZI¾M VQKP\ NÛZ LQM UQ\

122

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

NIPZMVLMV .M]MZ_MPZTM]\M ,QM =Z[IKPM LQM[M[ Doppler-Effekts TQMO\ QV LMZ :MTI\Q^JM_MO]VO LMZ ;KPITTY]MTTMOMOMVÛJMZ4]N\]VL0ÕZMZ.ÃPZ\LQM 9]MTTMI]NMQVMVb][W\ZMNNMVLQM,Z]KSUI`QUI LI[7PZQVZI[KPMZMZ.WTOMIT[[QM^WU0WZVI][ OM[IVL\_MZLMVLMVVLMZ;KPITT_MO_QZLQUUMZ SÛZbMZ . Abb. 4.26 .WTOM" 5IV PÕZ\ MQVMV b] PWPMV<WV,I[=UOMSMPZ\M\ZQ\\MQV_MVV[QKP LQM;KPITTY]MTTM_MOJM_MO\ Merke Als Doppler-Effekt bezeichnet man die Frequenzverschiebung, die eine Relativgeschwindigkeit zwischen Wellenquelle und Wellenempfänger erzeugt. 3So kann man nachrechnen, wie groß der Effekt ist: Die Schallquelle sendet ein Wellenmaximum in der Zeit <0 = 1/N0. Dieses breitet sich mit der Geschwindigkeit K aus. Daher haben die Wellenmaxima den Abstand λ0 = K · <0, wenn die Quelle ruht. Bewegt sich die Quelle, so wird der Abstand vor der Quelle um ^ · <0 kürzer und hinter der Quelle um ^ · <0 länger. Also haben wir vor der Quelle:

λ%K<w^<%λw^< und hinter der Quelle:

λ%K<^<%λ^<

13 14 15 16 17 18 19

Also ist die Frequenz vor der Quelle KK N%3%3062%4 52 %N52 λ K<w^<< ^ ^ w2 wK2 K

und hinter der Quelle KK N%3%3062%4 52 %N52 λ K<^<< ^^ 2 K2 K

Ist ^/K sehr viel kleiner als eins, so kann man diese Terme in eine Taylor-Reihe entwickeln und erhält näherungsweise: ^ N%N71≈N 3 ^K w2 K

und

20

^ N%N71≈N w3 ^K 2 K

. Abb. 4.26. Doppler-Effekt. Bewegt sich die Schallquelle auf den Beobachter B zu, registriert dieser eine erhöhte Schallfrequenz

,IUQ\SÕVVMV_QZLI[-ZOMJVQ[ZMKP\MQVNIKP[W [KPZMQJMV" Δ^ ΔN%N5 K _WJMQΔ^XW[Q\Q^b]VMPUMVQ[\_MVVLQM9]MTTM I]N UQKP b]SWUU\ ]VL VMOI\Q^ _MVV [QM [QKP _MOJM_MO\,QMOTMQKPM.WZUMTMZOQJ\[QKP_MVV LQM;KPITTY]MTTMZ]P\LMZ0ÕZMZ[QKPIJMZI]N[QM b]WLMZ^WVQPZ_MOJM_MO\ 3Das kann man so verstehen: Ist der Hörer in Ruhe, kommen in der Zeit Δ\bei ihm N0 · Δ\ Wellenmaxima vorbei und er hört die Frequenz N0. Wenn der Hörer sich mit der Geschwindigkeit ^ auf die Δ\ Quelle zubewegt, kommen zusätzlich 5 Wellenmaxiλ ma vorbei und er hört die Frequenz: ^^ N%N4%N 3 λK denn die gehörte Frequenz ist:

BIPTLMZ?MTTMVUI`QUI N%405002# Δ\ K λ%31ist die Wellenlänge. N Entfernt sich der Hörer, so bekommen wir entsprechend ein Minuszeichen: ^^ N%Nw4%N w3 λK

,MTâVMSÕVVMVUQ\LMZi;KPITT:ILIZ5M\PWLMt VQKP\ V]Z LQM 8W[Q\QWV MQVM[ 7JRMS\[ NM[\[\MTTMV [QM SÕVVMV I]KP LQM ,WXXTMZ>MZ[KPQMJ]VO LM[ ZMãMS\QMZ\MV ;KPITT[QOVIT[ _IPZVMPUMV ]VL LI

4.2 · Wellen

123

4

Klinik Doppler-Ultraschalldiagnostik. Auch der Doppler-Effekt wird zur medizinischen Diagnose benutzt, zur Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit des Blutes in Gefäßen nämlich. Blut emittiert von sich aus zwar keinen Ultraschall und die zahllosen Zellen in ihm sind viel zu klein für eine sonographische Ortung, aber sie streuen den Schall ähnlich diffus wie die Schwebeteilchen in diesiger Luft das Sonnenlicht. Weil sie so viele sind,

alle von der gleichen Welle angeregt werden und mit gleicher Geschwindigkeit in gleicher Richtung nebeneinander her schwimmen, reﬂektieren sie gemeinsam eine beobachtbare Doppler-verschobene Schallwelle. Es kann aber mit dem Doppler-Effekt auch die Geschwindigkeit von Gewebebewegung ermittelt werden. . Abb. 4.27 zeigt als Beispiel den Geschwindigkeitsverlauf der Bewegung einer Herzklappe.

UQ\ OZWJ LQM /M[KP_QVLQOSMQ\ JM[\QUUMV 3IZ LQWTWOMV SÕVVMV LI[ /TMQKPM UQ\ QPZMU =T\ZI [KPITTOMZÃ\" -[ SIVV IV ^MZ[KPQMLMVMV ;\MTTMV LM[ 0MZbMV[ LQM /M[KP_QVLQOSMQ\ LM[ *T]\[\ZW UM[ WLMZ [QKP JM_MOMVLMZ /M_MJM UM[[MV . Abb. 4.27

?MZUQ\»JMZ[KPITTOM[KP_QVLQOSMQ\L]ZKPLQM 4]N\ãQMO\SIVVVIKP^WZVSMQVMV;KPITTUMPZIJ [\ZIPTMV ,INÛZ MZbM]O\ MZ MQVMV ,Z]KS[\W¾ LMV MZ IT[ SMOMTNÕZUQO [QKP I][JZMQ\MVLM Kopfwelle PQV\MZ[QKPPMZbQMP\. Abb. 4.28-QVMXTÕ\bTQKPM ,Z]KSÃVLMZ]VO MUXâVLM\ LI[ 7PZ IT[ 3VITT »JMZ[KPITTã]ObM]OMTÕ[MVUQ\QPZMZ3WXN_MTTMMQ VMVb]UQVLM[\TÃ[\QOMV»JMZ[KPITTSVITTI][]VL b_IZVQKP\QVLMU5WUMV\_MVV[QMLQM;KPITTOM [KP_QVLQOSMQ\ ÛJMZ[KPZMQ\MV iLQM ;KPITTUI]MZ L]ZKPJZMKPMVt[WVLMZV^WVLIIJ";QMbQMPMVMQ VM 3VITT[KPTMXXM PQV\MZ [QKP PMZ [WTIVOM [QM [KPVMTTMZ[QVLIT[LMZ;KPITT 1U*MZMQKPLM[,Z]KS[\W¾M[Q[\LQM,QKP\MLMZ 4]N\MZPÕP\]VLLIUQ\I]KPQPZ*ZMKP]VO[QVLM` NÛZ4QKP\5Q\MQVMU[XMbQMTTMV)JJQTL]VO[^MZNIP ZMVSIVVUIVLI[[QKP\JIZUIKPMV . Abb. 4.29 bMQO\ LQM 3WXN_MTTMV b_MQMZ /M_MPZXZWRMS\QTM QV NI[\[KPWVSÛV[\TMZQ[KPMZ9]ITQ\Ã\

. Abb. 4.27. Doppler-Sonogramm des Herzens. Oben sieht man deutlich die beiden Herzklappen. Im unteren Teil ist der Verlauf der gemessenen Geschwindigkeit einer Herzklappe dargestellt (ganz unten: EKG) (Aufnahme: M. Lutz, Heidelberg)

. Abb. 4.28. Kopfwelle eines mit der Geschwindigkeit v nach links ﬂiegenden Überschallﬂugzeugs (c = Schallgeschwindigkeit). Die Kopfwelle ist die Einhüllende der vom Flugzeug ständig ausgesandten Kugelwellen

124

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

Rechenbeispiel 4.6: Doppler-Verschiebung

1

7 Aufgabe. Die Beute bewege sich mit 3 m/s auf unseren Delﬁn zu. Welche Frequenzverschiebung ergibt das im reﬂektierten Signal, wenn die Schallwelle eine Frequenz von 5000 Hz hat? 7 Lösung. Tatsächlich gibt es hier zwei DopplerVerschiebungen: An der Beute hat die Welle eine höhere Frequenz, da die Beute sich auf die Quelle zu bewegt. Die Beute reﬂektiert die Welle auch mit dieser höheren Frequenz. Sie ist dann selbser wieder eine bewegte Quelle, deren Signal am Ort des Delﬁns frequenzerhöht wahrgenommen wird. Also bekommen wir:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

. Abb. 4.29. Überschallknall. Aufnahme zweier ﬂiegender Gewehrprojektile. Die spezielle Aufnahmetechnik macht Dichteschwankungen in der Luft sichtbar (Aufnahme: G. S. Settles, PSU)

In Kürze Harmonische Schwingungen Harmonische Schwingungen werden durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben. Nichtharmonische Schwingungen können mathematisch immer als eine Überlagerung solcher sinusförmiger Schwingungen aufgefasst werden. Mechanische Schwingungen sind praktisch immer durch Reibungskräfte gedämpft (. Abb. 4.4). In einfachen Fällen klingt die Amplitude exponentiell ab. Durch periodisches Anstoßen des schwingenden Systems kann diese Dämpfung kompensiert werden. Der Oszillator führt dann eine erzwungene Schwingung mit der Frequenz aus, mit der er angestoßen wird. Entspricht diese Frequenz seiner Eigenfrequenz, so liegt Resonanz vor und der Oszillator schwingt besonders stark (. Abb. 4.6).

): AmplitudeCUE N: Frequenz CHz (Hertz)E <%N: Schwingungsdauer,

Harmonische Schwingung

Periodendauer C[E

15 16

ω %π N: Kreisfrequenz C[E Gedämpfte Schwingung

`\%)Mwδ\[QVω\

δ: Dämpfungskonstante C[E

Tritt bei der Schwingung ein Energieverlust ein, so liegt eine gedämpfte Schwingung vor (. Abb. 4.4)

17 Pendel

18

Welche Schwingungsdauer sich einstellt, hängt beim harmonisch schwingenden Oszillator nur von seiner Bauart ab. Beim Federpendel wird die Schwingungsdauer von der Masse und der Federkonstante bestimmt.

19

Federpendel

20

Fadenpendel

ωK: charakteristische Frequenz ,: Federkonstante C6UE U: Masse O: Fallbeschleunigung T: Fadenlänge

125

4.2 · Wellen

4

Harmonische Wellen (Schall, Licht) Mechanische Wellen breiten sich in einem Medium (Luft, Wasser, Festkörper) aus. Dabei transportieren sie Energie, aber keine Materie. An jedem Ort in der Welle schwingen die Teilchen des Mediums. Schwingen sie senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle, so spricht man von einer transversalen Welle, schwingen sie in Ausbreitungsrichtung, so spricht man von einer longitudinalen Welle. Die Frequenz f der Welle wird von der erzeugenden Quelle bestimmt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c hingegen, mit der Wellenberge und -täler fortschreiten, ist für das Medium charakteristisch. Der Energietransport der Welle wird durch die Intensität beschrieben, die proportional zum Quadrat der Amplitude ist. Präzise gesprochen ist sie eine Energiestromdichte und gibt an, wie viel Energie in einer bestimmten Zeit durch eine bestimmte Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung hindurchtritt. Ist die Quelle der Welle punktförmig, so sinkt die Intensität umgekehrt proportional zum Abstand r von der Quelle ins Quadrat: I ~ 1/r2. Phasengeschwindigkeit

K%λ N

Polarisation

transversal – Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle longitudinal – Auslenkung parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle

Intensität

Intensität 1 einer Welle: Energiestromdichte

Quadratisches Abstandsgesetz

K: Phasengeschwindigkeit λ: Wellenlänge CUE N: FrequenzC0bE

, Z: Abstand von einer punktförmigen Quelle

Schall Schall ist eine longitudinale Druckwelle (Ausbreitungsgeschwindigkeit: in Luft ca. 330 m/s; in Wasser ca. 1500 m/s). Das menschliche Ohr ist empﬁndlich für Frequenzen etwa zwischen 16 Hz und 16 kHz und kann Schallintensitäten über ca. 12 Größenordnungen hinweg wahrnehmen. Dieser gewaltige Intensitätsbereich ist möglich, da das Ohr in etwa logarithmisch reagiert. Entsprechend wird die Lautstärke im logarithmischen Pegelmaß angegeben. Eine Erhöhung der Intensität um den Faktor 100 (das bedeutet eine Erhöhung der Amplitude um den Faktor 10) entspricht einer Pegelerhöhung um 20 dB. Schallwellen haben in Medien unterschiedlicher Dichte und Härte unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten. Tritt eine Schallwelle von einem in ein anderes Medium über, so wird deshalb ein Teil von ihr an der Grenzﬂäche zwischen den Medien reﬂektiert. Dieser Effekt ist die Basis der Sonographie, die mit Hilfe reﬂektierter Ultraschallwellen (nichthörbarer Schall hoher Frequenz) ein Bild vom Inneren des Körpers erzeugt. Bewegen sich Schallquelle, Empfänger oder auch eine reﬂektierende Grenzﬂäche, so treten Frequenzverschiebungen auf (Doppler-Effekt). Auch dies kann diagnostisch genutzt werden, um zum Beispiel die Strömungsgeschwindigkeit von Blut im Körper zu messen. Für die Schallausbreitung gilt weitgehend das Gleiche wie in der Optik für Licht (Brechungs-, Reﬂexionsgesetz). Aber: Schall ist eine longitudinale Welle.

4: Schallpegel CdB (SPL)E

Lautstärke

Mit der Ohrempﬁndlichkeit gewichteter Schallpegel

CPhonE

Pegelmaß (Dezibel)

Eine Intensitätserhöhung um den Faktor 100 entspricht einer Erhöhung des Pegels um 20 Dezibel (dB)

Doppler-Effekt

Bewegen sich Quelle und Empfänger aufeinander zu, so erhöht sich die Frequenz beim Empfänger, entfernen sich beide voneinander, so erniedrigt sich die Frequenz.

1: Intensität

Schallpegel

126

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Kapitel 4 · Mechanische Schwingungen und Wellen

Verständnisfragen

Wellen

1. Eine an einer Feder aufgehängte Masse schwingt auf und ab. Gibt es einen Zeitpunkt, an dem die Masse ruht, aber beschleunigt ist? Gibt es einen Zeitpunkt, an dem die Masse ruht und auch nicht beschleunigt ist? 2. Können bei einer Schwingung die folgenden Größen gleichzeitig in dieselbe Richtung gehen: Geschwindigkeit und Beschleunigung; Auslenkung und Geschwindigkeit; Auslenkung und Beschleunigung? 3. Ein Objekt hängt bewegungslos an einer Feder. Wenn das Objekt nach unten gezogen wird, wie ändert sich dann die Summe der elastischen potentiellen Energie der Feder und der potentiellen Energie der Masse des Objekts? 4. Bei der Formel für die Eigenfrequenz des Federpendels wird angenommen, dass die Feder selbst näherungsweise masselos ist. Wie ändert sich die Frequenz, wenn die Masse der Feder doch zu berücksichtigen ist? 5. Die Schallgeschwindigkeit hängt nicht von der Frequenz des Tones ab. Können Sie das aus Ihrer Erfahrung belegen? 6. Warum gibt es in einem Gas nur longitudinale Wellen? 7. Warum nimmt die Amplitude einer kreisförmigen Wasserwelle mit zunehmendem Radius ab? 8. Selbst bei ruhiger Hand kann es einem leicht passieren, dass beim Gehen der Kaffee im Becher, den man trägt, herausschwappt. Was hat das mit Resonanz zu tun und was könnte man dagegen unternehmen?

• 5. Die Schallquellen der Ultraschallgeräte beim Arzt arbeiten meist bei Frequenzen in der Größenordnung 1 MHz. Wie groß ist die zugehörige Wellenlänge im Gewebe? (Zur Abschätzung darf die Schallgeschwindigkeit im Gewebe der des Wassers gleichgesetzt werden). Nur Objekte, die größer sind als die Wellenlänge, können von einer Welle gut wahrgenommen werden. • 6. Warum muss bei einer Ultraschalluntersuchung Gel zwischen Ultraschallkopf und Körper gebracht werden? • 7. Für ein Taschenlampenbirnchen wird in 10 cm Abstand eine Lichtintensität von 1 W/m2 gemessen. Wie groß ist die Intensität in 20 cm Abstand? •• 8. Wenn jeder der 65 Sänger eines Chores den Chorleiter mit 65 Phon „beschallt“, mit welcher Lautstärke hört der Chorleiter den ganzen Chor? •• 9. Was ergibt 0 dB + 0 dB? •• 10. Sie gehen mit einer Tasse Kaffee (Durchmesser der Tasse: 8 cm) die Treppe hinauf und machen dabei in jeder Sekunde einen Schritt. Der Kaffee schaukelt sich in der Tasse auf und nach ein paar Schritten kleckert er Ihnen auf die Schuhe. Welche Geschwindigkeit haben die Oberﬂächenwellen auf Ihrem Kaffee? •• 11. Sie stehen zwischen zwei Musikern, die beide den Kammerton A spielen. Einer spielt ihn richtig mit 440 Hz, einer falsch mit 444 Hz. Mit welcher Geschwindigkeit müssen Sie sich auf welchen Musiker zubewegen, um beide Töne mit gleicher Tonhöhe zu hören?

Übungsaufgaben

12

(• leicht; •• mittel; ••• schwer)

13

Schwingungen

14 15 16 17 18 19 20

•• 1. Die Amplitude einer ungedämpften harmonischen Schwingung betrage 5 cm, die Schwingungsdauer 4 s und der Phasenwinkel π/4. Welchen Wert besitzt die Auslenkung und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \ = 0. Welche maximale Beschleunigung tritt auf? • 2. Als Sekundenpendel bezeichnet man ein Fadenpendel, das genau eine Sekunde braucht, um von einem Umkehrpunkt zum anderen zu kommen. Wie groß ist seine Pendellänge? •• 3. Eine kleine Fliege (0,15 g) wird in einem Spinnennetz gefangen. Dort schwingt sie mit etwa 4 Hz. Wie groß ist die effektive Federkonstante des Netzes? Mit welcher Frequenz würde ein Insekt mit 0,5 g Masse schwingen? •• 4. Zwei Federpendel haben die gleiche Masse und schwingen mit gleicher Frequenz. Wenn eines die 10-fache Schwingungsenergie des anderen hat, wie verhalten sich dann ihre Amplituden?

127

Wärmelehre 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3

5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5

5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6 5.4.7 5.4.8

Die grundlegenden Größen Wärme ! – 128 Temperatur ! – 129 Temperaturmessung ! – 130

– 128

Wahrscheinlichkeit und Ordnung Die Entropie – 133 Wärmekapazität ! – 133

– 132

Das ideale Gas

– 137 Die Zustandsgleichung !! – 137 Partialdruck – 138 Die Energie im Gas – 139

Transportphänomene Wärmeleitung ! – 140

– 140

Konvektion – 141 Wärmestrahlung – 143 Diffusion – 145 Osmose ! – 147

Phasenumwandlungen – 149 Umwandlungswärmen ! – 149 Schmelzen oder Aufweichen? – 150 Schmelzen und Gefrieren ! – 151 Lösungs- und Solvatationswärme – 153 Verdampfen und Kondensieren ! – 153 Luftfeuchtigkeit – 155 Zustandsdiagramme ! – 156 Absorption und Adsorption – 158

5.5

Wärmenutzung

5.5.1 5.5.2

Wärmehaushalt des Menschen – 159 Warum kostet Energie? – 161

– 159

5.5.3

Wärme- und Entropiehaushalt der Erde

– 162

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6_5, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

5

128

1 2 3 4 5

Kapitel 5 · Wärmelehre

> > Einleitung Materie besteht aus Atomen und Molekülen und die sind ständig in Bewegung. Die Wärmelehre handelt von dieser thermischen Bewegung und der Energie, die in ihr steckt. Die Temperatur ist ein Maß für die Stärke der Bewegung. Die Wärmelehre ist im Prinzip Mechanik, aber doch anders: Da es um die Mechanik sehr vieler Moleküle auf einmal geht, kommen die Statistik und Wahrscheinlichkeiten ins Spiel. Daher laufen hier viele Prozesse immer nur in einer Richtung hin zum wahrscheinlicheren Zustand ab. Wärme strömt freiwillig von warm nach kalt, nicht umgekehrt.

6 7

5.1

Die grundlegenden Größen

5.1.1 Wärme

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

!

B] ]V[MZMV ;QVVMV OMPÕZ\ LMZ ;QVV NÛZ _IZU ]VLSIT\1VLMZ0I]\PIJMV_QZ[WOIZb_MQ^MZ [KPQMLMVM6MZ^MV[MV[WZMVMQVMVNÛZ_IZU]VL MQVMV NÛZ SIT\ )JMZ _I[ ZMOQ[\ZQMZMV LQM[M ;MV [WZMV' ;QMZMOQ[\ZQMZMVLQM*M_MO]VOLMZ)\WUM]VL 5WTMSÛTMQVLMZ0I]\)TTM)\WUM]VL5WTMSÛTM QVRML_MLMU/MOMV[\IVLNÛPZMVMQVM thermische BewegungI][5IVSIVVLQM[M[KPWVUQ\MQVMU MQVNIKPMV 3QVLMZUQSZW[SWX [MPMV L]ZKP LI[ UIV MQVMV MZOZÕ¾MZ]VO [QVL OMZILM [KPWV LQM .M\\\ZÕXNKPMV QV LMZ 5QTKP b] [MPMV ,QM[M bQ\ \MZVQU /M[QKP\[NMTL PMZ]U LI [QM [\ÃVLQO ^WV LMV?I[[MZUWTMSÛTMVLQMQU5QSZW[SWXVI\ÛZ TQKPVQKP\[QKP\JIZ[QVLPMZ]UOM[KP]J[\_MZLMV *ZW_Vs[KPM 5WTMS]TIZJM_MO]VO )TJMZ\ -QV [\MQVPI\IT[-Z[\MZ^WZ2IPZMVLQM[M*M_MO]VO \PMWZM\Q[KPIVITa[QMZ\]VLLIUQ\I]KPLQMTM\bMV ;SMX\QSMZ^WVLMZ-`Q[\MVbLMZ)\WUMÛJMZbM]O\ . Abbildung 5.1 OQJ\ MQVM 1LMM ^WV LQM[MZ \PMZ UQ[KPMV *M_MO]VO LMZ )\WUM NÛZ LQM ^MZ[KPQM LMVMV)OOZMOI\b][\ÃVLM ,QM *QTLMZ bMQOMV LQM ;X]Z LMZ *M_MO]VO QV MQVMZ+WUX]\MZ[QU]TI\QWV1U.M[\SÕZXMZJM_M OMV [QKP LQM )\WUM ]U QPZM /TMQKPOM_QKP\[TIOM PMZ]U LQM QPVMV LQM 3ZQ[\ITT[\Z]S\]Z b]_MQ[\ ?QZL LQM *M_MO]VO b] PMN\QO [W TWKSMZV [QKP LQM KPMUQ[KPMV *QVL]VOMV ]VL LMZ .M[\SÕZXMZ [KPUQTb\ 1V LMZ .TÛ[[QOSMQ\ JTMQJMV LQM )\WUM

. Abb. 5.1. Thermische Bewegung. Spurbilder der thermischen Bewegung von Atomen in Festkörper (oben), Flüssigkeit (Mitte) und Gas (unten). Simulation für einen Argonkristall mittels MOLDYN-Software

VWKPJMQMQVIVLMZPIJMVIJMZSMQVMVNM[\MV8TI\b UMPZ ]VL _IVLMZV PMZ]U ?QZL LQM *M_MO]VO VWKPPMN\QOMZ[WZMQ¾MVLQM*QVL]VO[SZÃN\M^WTT [\ÃVLQOI]N]VLLQM.TÛ[[QOSMQ\^MZLIUXN\1U/I[ ãQMOMVLQM)\WUMWLMZ5WTMSÛTMNZMQPMZ]U[\W ¾MVIJMZVI\ÛZTQKPVWKPIVMQVIVLMZ

129

5.1 · Die grundlegenden Größen

5Q\LQM[MZ\PMZUQ[KPMV*M_MO]VOQ[\-VMZOQM ^MZJ]VLMV"SQVM\Q[KPM-VMZOQMLMZ*M_MO]VOQU .M[\SÕZXMZ]VLQVLMZ.TÛ[[QOSMQ\I]KPVWKPXW \MV\QMTTM -VMZOQM QV LMZ )J_MQKP]VO I][ LMZ /TMQKPOM_QKP\[TIOM ,QM[M -VMZOQM _WTTMV _QZ QV LQM[MU *]KP thermische Energie WLMZ OMVI]MZ thermische innere EnergieU LQM[M[ /MOMV[\IVL[ VMVVMV,QMOM[IU\MQVVMZM-VMZOQMMQVM[/MOMV [\IVL[ ]UNI[[\ I]KP VWKP LQM *QVL]VO[MVMZOQM WLMZKPMUQ[KPM-VMZOQM B]_MQTMV _QZL LQM \PMZUQ[KPM -VMZOQM I]KP ?ÃZUM ?ÃZUMMVMZOQM WLMZ ?ÃZUMQVPIT\ OM VIVV\ ,I[ NÛPZ\ TMQKP\ b] >MZ_QZZ]VO ,MVV [\ZMVOOMVWUUMV]VL[W[WTTM[I]KPQVLQM[MU *]KP [MQV Q[\ LQM WärmeQ RMOTQKPM -VMZOQM LQM ^WV MQVMU /MOMV[\IVL I]N MQVMV IVLMZMV ÛJMZ \ZIOMV_QZLI]¾MZM[PIVLMT\[QKPLIJMQ]UUM KPIVQ[KPM )ZJMQ\ ,I[ Q[\ MQVM L]ZKPI][ M\_I[ ^MZ_WZZMVM*MOZQNN[JQTL]VOIVLQMUIV[QKPOM _ÕPVMVU][[3TIZQ[\IJMZ")TTM*MOZQNNMJMbMQKP VMV-VMZOQMV]VL_MZLMVQV2W]TMOMUM[[MV,QM \PMZUQ[KPMQVVMZM-VMZOQMLM[5MV[KPMVJM\ZÃO\ JMQMQVMZ5I[[M^WVSOM\_IS2^WZI][ OM[M\b\ MZ PI\ LQM VWZUITM 3ÕZXMZ\MUXMZI\]Z 5IVSÕVV\MQPVI]KP[W_MQ\IJSÛPTMVQPU?ÃZ UM MV\bQMPMV JQ[ [QKP LQM 5WTMSÛTM VQKP\ UMPZ JM_MOMV,IVVJMNÃVLMMZ[QKPIUabsoluten Temperaturnullpunkt]VLLQM\PMZUQ[KPM-VMZOQM_ÃZM V]TT )]KP _MVV LMZ 5MV[KP V]Z Z]PQO QU *M\\ TQMO\ TQMNMZ\ [MQV ;\WNN_MKP[MT _MQ\MZM ?ÃZUM IV LMV3ÕZXMZLQMLMZ5MV[KPL]ZKP?ÃZUMTMQ\]VO ;KP_Q\bMV ]VL ?ÃZUM[\ZIPT]VO TI]NMVL _QMLMZ IJOMJMV U][[ ]U [MQVM <MUXMZI\]Z ]VL [MQVM QVVMZM-VMZOQMSWV[\IV\b]PIT\MV,QM[MZ/Z]VL ]U[I\b ]V[MZM[ 6WZUUMV[KPMV JM\ZÃO\ M\_I ?IT[W 2W]TMQVRMLMZ;MS]VLM[W^QMT_QM MQVMPMTTMSTI[[Q[KPM/TÛPJQZVM

5.1.2 Temperatur

5

!

?QM_IZUWLMZ_QMSIT\MQV/MOMV[\IVLQ[\SIVV IV[MQVMZ\PMZUQ[KPMVQVVMZMV-VMZOQMJMUM[[MV _MZLMV ,I LQM[M IJMZ I]KP ^WV LMZ /ZÕ¾M LM[ 3ÕZXMZ[ ]VL [MQVMZ QVVMZMV *M[KPINNMVPMQ\ IJ PÃVO\ U][[ PQMZ MQV JM[[MZM[ 5I¾ OMN]VLMV _MZLMV4M\b\TQKPOMP\M[LIZ]ULQMi;\ÃZSMtLMZ \PMZUQ[KPMV*M_MO]VOIVb]OMJMV-[PI\[QKPPM ZI][OM[\MTT\LI[[LINÛZLQM-VMZOQM[KPWVLI[ZQKP \QOM 5I¾ Q[\ IJMZ VQKP\ LQM LM[ OIVbMV /MOMV [\IVL[[WVLMZVLQMUQ\\TMZM-VMZOQMLMZMQVbMTVMV )\WUMWLMZ5WTMSÛTM/MVI]MZOM[IO\",QMabsolute TemperaturTQ[\XZWXWZ\QWVITb]ZUQ\\TMZMVSQ VM\Q[KPMV-VMZOQMLMZ;KP_MZX]VS\JM_MO]VOLMZ MQVbMTVMV 5WTMSÛTM 1V LMZ \PMZUQ[KPMV *M_M O]VO\I][KP\RMLM[5WTMSÛTTI]NMVLSQVM\Q[KPM-V MZOQMUQ\LMV6IKPJIZVI][LM[PITJU][[bMQ\TQKP OMUQ\\MT\_MZLMV)T[.WZUMTOM[KPZQMJMV" U 3SJ<% 3^

0QMZJMbMQKPVM\LQM[XQ\bM3TIUUMZMQVMbMQ\ TQKPM5Q\\MT]VO]VLULQM5I[[MLM[5WTMSÛT[,QM IJ[WT]\M <MUXMZI\]Z _QZL QV Kelvin -QVPMQ\[bMQ KPMV"3 OMUM[[MV ]VL VQKP\ QV 2W]TM LM[PITJ \I]KP\QVLMZ.WZUMTMQV=UZMKPV]VO[NIS\WZLQM Boltzmann-Konstante kBI]N,QM\aXQ[KPMBQUUMZ \MUXMZI\]ZJM\ZÃO\SVIXX3MT^QVLQMUQ\\TMZM SQVM\Q[KPM-VMZOQMMQVM[5WTMSÛT[Q[\_MOMV[MQVMZ OMZQVOMV 5I[[M [MPZ STMQV ,M[PITJ PI\ I]KP LQM *WT\bUIVV3WV[\IV\MMQVMV[MPZSTMQVMV?MZ\" 2 S*% w3 3 ,I[[ ^WZ LMZ *WT\bUIVV3WV[\IV\M VWKP MQV .IS\WZ [\MP\ PI\ XZIS\Q[KPM /ZÛVLM LQM _QZ [XÃ\MZ^MZ[\MPMV_MZLMV

Merke

Merke

Der Begriff thermische Energie oder thermische innere Energie (=) bezeichnet die Energie, die in der thermischen Wimmelbewegung der Atome und Moleküle steckt. Mit Wärme (9) bezeichnet man Energie, die von einem Gegenstand auf einen anderen übertragen wird.

Die absolute Temperatur < ist ein Maß für die Stärke der thermischen Bewegung. Sie ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der einzelnen Moleküle. Die Einheit heißt Kelvin (3). Am absoluten Temperaturnullpunkt < %3 gibt es keine thermische Bewegung mehr. Kälter geht es nicht.

130

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 5 · Wärmelehre

;QM _MZLMV V]V ^QMTTMQKP\ MQV_MVLMV LI[[ M[ QV QPZMU BQUUMZ V]Z /ZIL _IZU Q[\ ]VL VQKP\ /ZIL PMQ¾ Q[\ 1U \ÃOTQKPMV 4MJMV _QZL LQM <MUXMZI\]ZQV/ZIL+MT[Q][+OMUM[[MVQVMQ VMZ;SITILQM[KPWVÃT\MZQ[\]VL[QKPIVLMV-Q OMV[KPIN\MVLM[?I[[MZ[WZQMV\QMZ\+"[KPUMT bMV# +" SWKPMV ,QM IJ[WT]\M <MUXMZI\]Z UQ\ LMZ 3MT^QV;SITI WZQMV\QMZ\ [QKP LQZMS\MZ IV LMZ8Pa[QSLIPQV\MZ)UIJ[WT]\MV<MUXMZI\]Z V]TTX]VS\JMQ3OQJ\M[OIZSMQVM\PMZUQ[KPM*M _MO]VO UMPZ SÃT\MZ OMP\ M[ VQKP\ VMOI\Q^M IJ [WT]\M <MUXMZI\]ZMV OQJ\ M[ IT[W VQKP\ 1V /ZIL +MT[Q][OMUM[[MVTQMO\LMZIJ[WT]\M<MUXMZI\]Z V]TTX]VS\JMQ+8ZIS\Q[KPMZ_MQ[MPIJMV IJMZ JMQLM <MUXMZI\]Z[SITMV LQM OTMQKPM /ZIL MQV\MQT]VOMQVM<MUXMZI\]ZLQNNMZMVb^WV+Q[\ IT[WI]KPMQVM<MUXMZI\]ZLQNNMZMVb^WV35IV SIVVLM[PITJJMQLM;SITMVTMQKP\QVMQVIVLMZ]U ZMKPVMV"?MVV<LQMIJ[WT]\M<MUXMZI\]Z]VL\ LQM[MTJM<MUXMZI\]ZQV/ZIL+MT[Q][Q[\[WOQT\" 3 + <%\43]VL\%<4w+ + 3 Merke Die Kelvin-Skala zählt vom absoluten Nullpunkt der Temperatur aus. Man erhält ihre Maßzahl, indem man die der Celsius-Skala um 273,15 erhöht.

4Ã[[\UIVMQVM[KPÕVMPMQ¾M
Merke Gegenstände, die miteinander in thermischem Kontakt sind, gleichen ihre Temperatur an.

5.1.3 Temperaturmessung

!

,QMSQVM\Q[KPM-VMZOQMMQVM[5WTMSÛT[SIVVUIV VQKP\QU5QSZW[SWXVIKPO]KSMV?QMUQ[[\UIV IT[W<MUXMZI\]Z'5IVV]\b\I][LI[[JM[\QUU\M 5I\MZQITMQOMV[KPIN\MV ^WV LMZ <MUXMZI\]Z IJ PÃVOMV,MZ3TI[[QSMZQ[\LQM\PMZUQ[KPM)][LMP V]VO -QV 5M\ITT[\IJ LMZ 4ÃVOM T b]U *MQ[XQMT ÃVLMZ\ [MQVM 4ÃVOM OMZQVONÛOQO ]U ΔT _MVV [QKP[MQVM<MUXMZI\]ZÃVLMZ\" ΔT%αTΔ< 0QMZJMQ Q[\ α LMZ lineare Ausdehnungskoefﬁzient LM[ 5I\MZQIT[ ,MZ -NNMS\ Q[\ STMQV LMZ )][ LMPV]VO[SWMNâbQMV\TQMO\QVLMZ/ZÕ¾MVWZLV]VO ^WV3-QV5M\MZTIVOMZ;\IJ_ÛZLM[QKP IT[W JMQ /ZIL <MUXMZI\]ZMZPÕP]VO V]Z ]U 0]VLMZ\[\MTUQTTQUM\MZ I][LMPVMV ?QTT UIV LIZI][MQVWT]UMVÃVLMZ]VOMVO]\ [QKP\JIZ 3Bei einer Volumenänderung dehnt sich die Flüssigkeit in alle drei Raumrichtungen aus, der Volumenausdehnungskoefﬁzient ist deshalb dreimal so groß wie der lineare: Δ>%α>Δ<

-QV IVLMZMZ MV\QTMb]JM\Ã\QOMV
5.1 · Die grundlegenden Größen

131

5

. Abb. 5.2. Bimetall. Ein Bimetallstreifen biegt sich bei Änderung der Temperatur wie gezeichnet, wenn sich das linke Metall stärker ausdehnt als das rechte

^MV\QT IU 0MQbSÕZXMZ WLMZ MTMS\ZQ[KPM ;KPIT\MZ b] [KPTQM¾MV
. Abb. 5.3. Fieberthermometer. Klassisches Flüssigkeitsthermometer (links), elektrisches Widerstandsthermometer (Mitte) und Strahlungsthermometer (rechts)

5M[[]VOOMP\JMZÛPZ]VO[TW[]VL[MPZ[KPVMTTLI UIVOIZVQKP\UMPZ_IZ\MVU][[JQ[LI[
132

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 5 · Wärmelehre

Rechenbeispiel 5.1: Stahlbrücke 7 Aufgabe. Der freitragende Teil einer Stahlbrücke sei bei 20 °C 200 m lang. Wie viel Längenspiel müssen die Konstrukteure einplanen, wenn die Brücke Temperaturen von −20 bis +40 °C ausgesetzt ist? Der Ausdehnungskoefﬁzient von Eisen beträgt 12 · 10−6 K−1. 7 Lösung. Da die Kelvin-Skala die gleiche Gradeinteilung hat wie die Celsius-Skala, könnte man die Einheit des Ausdehnungskoefﬁzienten auch in °C−1 schreiben. Die Schrumpfung der Brücke im kältesten Fall wäre: ΔT% αUw+% w KU, die Ausdehnung ΔT% αU+% !KU. Es muss also insgesamt ein Spielraum von 14,4 cm eingeplant werden.

5.1.4 Wahrscheinlichkeit und Ordnung

)VMQVMZPMQ¾MV3INNMM\I[[MSIVVUIV[QKPO]\LQM 0ÃVLM _ÃZUMV LMVV ?ÃZUM ãQM¾\ JMZMQ\_QTTQO ^WV PMQ¾ VIKP _IZU ,I[[ UIV IJMZ UQ\ [MQVMV 0ÃVLMV LMV 3INNMM _QMLMZ b]U 3WKPMV JZQVO\ _QZLVQMUIT[XI[[QMZMV,Ib]UÛ[[\M\PMZUQ[KPM -VMZOQMI][LMZ0IVLQVLMV3INNMMãQM¾MVIJMZ ?ÃZUMãQM¾\VQM^WV_IZUVIKPPMQ¾?IZ]U' -[TQMO\IVLMZ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\)TTM[[\ZMJ\ QVLMVB][\IVLUQ\LMZPÕKP[\MV?IPZ[KPMQVTQKP SMQ\;WQ[\LQM?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\LMâVQMZ\2MLMZ SMVV\M[^WV[MQVMU;KPZMQJ\Q[KP"=VWZLV]VOQ[\ _IPZ[KPMQVTQKPMZ IT[ 7ZLV]VO ,I[ OQT\ I]KP QV LMZ6I\]Z"-QV;a[\MUI][^QMTMV<MQTMV_QZL[QKP [WTIVOM_IVLMTVJQ[M[LMV_IPZ[KPMQVTQKP[\MV B][\IVL ]VL LI[ Q[\ LMZ B][\IVL PÕKP[\MZ =V WZLV]VO MZZMQKP\ PI\ ,IVV JMâVLM\ M[ [QKP QU thermodynamischen Gleichgewicht ]VL ^MZÃVLMZ\ [QKPVQKP\UMPZ)]NLMU?MOQV[\PMZUWLaVI UQ[KPM/TMQKPOM_QKP\OQJ\M[SMQVMV=U_MOb] ZÛKSQVMQVMV]V_IPZ[KPMQVTQKPMZMVB][\IVL,I[ Q[\ LI[ /M[M\b LMZ OZW¾MV BIPT -QV ;a[\MU UQ\ _MVQOMV<MQTMV[IOMV_QZb_MQ?ÛZNMTUQ\LMVMV OM_ÛZNMT\_QZLSIVVI]KPUITQVMQVMV]V_IPZ [KPMQVTQKPMVB][\IVLSWUUMV#LI[[b]U*MQ[XQMT JMQLM?ÛZNMTLQMOTMQKPMBIPTbMQOMV?ÛZNMT\UIV UQ\ ?ÛZNMTV [W UÛ[[\M UIV [KPWV IV LQM 5QTTQWVMV5IT_ÛZNMTV]UMQVMZMMTTM+PIVKM b]PIJMVLI[[ITTM?ÛZNMTMQVUITLQMOTMQKPMBIPT

bMQOMV?ÛZNMT\UIVUQ\5QTTQWV?ÛZNMTVSIVV UIV [QKPMZ [MQV LI[[ LI[ _IPZ[KPMQVTQKP[\M -Z OMJVQ[ LI[[ VÃUTQKP ITTM BIPTMV QV M\_I OTMQKP WN\^WZSWUUMVQUUMZMQV\ZQ\\,QM/MOMV[\ÃVLM ]V[MZMZ=UOMJ]VOJM[\MPMVI][UQVLM[\MV[ )\WUMV ,I SIVV UIV ^ÕTTQO [QKPMZ [MQV LI[[ [QMbQMT[\ZMJQOQPZMU_IPZ[KPMQVTQKP[\MVB][\IVL MV\OMOMVOMPMV -QV _QKP\QOMZ 8]VS\ Q[\ LI[[ im thermodynamischen Gleichgewicht die Temperatur überall gleich Q[\ ,M[PITJ _QZL LMZ 3INNMM I]N LQM ,I]MZ LQM <MUXMZI\]Z LMZ 0ÃVLM PIJMV ]VL VQKP\ _QMLMZ IVNIVOMVb]SWKPMV?QMTIVOMM[IJMZLI]MZ\JQ[ 3INNMM]VL0ÃVLMQU\PMZUWLaVIUQ[KPMV/TMQKP OM_QKP\ [QVL LI[ PÃVO\ ^WV LMV ,M\IQT[ IJ# _QM O]\b]U*MQ[XQMTLQM3INNMM\I[[MQ[WTQMZ\-[SIVV [MPZ TIVOM LI]MZV ;MQ\ LMU =ZSVITT [QVL [KPWV 5QTTQIZLMV 2IPZM ^MZOIVOMV ]VL \ZW\bLMU Q[\ LI[?MT\ITTVWKPTIVOMVQKP\QU_IPZ[KPMQVTQKP[ \MVB][\IVL )JMZ _QM Q[\ M[ UQ\ LMU 5MV[KPMV' ,MZ Q[\ LWKPMQVPWKPSWUXTM`WZOIVQ[QMZ\M[;a[\MU^WV 5WTMSÛTMV IT[W [MPZ ]V_IPZ[KPMQVTQKP' ,MZ 5MV[KPPI\MQVMVMZNÛO]VO[\MTT\)]KPLMZ5W \WZU][[LIb]-VMZOQM\ZÃOMZQVMQVMZOMWZLVM\MZMV .WZU_QMb]U*MQ[XQMT*MVbQV^MZ_MVLMV-QV NIKPV]ZLMZ=UOMJ]VO?ÃZUMb]MV\bQMPMV]VL LIZI][ UMKPIVQ[KPM )ZJMQ\ b] OM_QVVMV OMP\ VQKP\-QV[WTKPMZ5W\WZSÕVV\MLIVVRIb]U*MQ [XQMT MQVM 3TQUIIVTIOM JM\ZMQJMV LQM ?ÃZUMMV MZOQM MVLTW[ ^WV SIT\ VIKP _IZU \ZIV[XWZ\QMZ\

5

133

5.1 · Die grundlegenden Größen

]VLLIUQ\ITTM[^WU_IPZ[KPMQVTQKPMZMVB][\IVL ,MV=U[\IVLLI[[QUQ[WTQMZ\MV;a[\MULQM-V _MO\ZMQJ\ \ZWXQMIT[WLQM?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\LM[B][\IVL[ VQKP\ [QVSMV SIVV JMbMQKPVM\ UIV IT[ 2. Hauptsatz der ThermodynamikIT[W" 5.1.5 Die Entropie

,QMWahrscheinlichkeit des ZustandsMQVM[;a[\MU[ Q[\IT[WMQVM[MPZ_QKP\QOM/ZÕ¾M_MVVUIVLMV )JTI]N\PMZUQ[KPMZ8ZWbM[[M^MZ[\MPMV_QTT,M[ PITJ_QZLQPZMQVMMQOMVMXPa[QSITQ[KPM/ZÕ¾MOM _QLUM\" LQM Entropie ;QM Q[\ MQV 5I¾ NÛZ LQM[M ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\ -[ OQVOM ÛJMZ LMV :IPUMV LQM[M[ *]KPM[ PQVI][ _MVV PQMZ OMVI] MZSTÃZ\ _ÛZLM_QMUIV?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\MVMQOMV\TQKP UQ[[\WLMZJMZMKPVM\]ULIVVMQVMVM]MXPa[Q SITQ[KPM/ZÕ¾MLMâVQMZMVb]SÕVVMV0QMZ[MQMV V]Z LQM _QKP\QO[\MV -QOMV[KPIN\MV LMZ -V\ZWXQM I]NOMNÛPZ\" 5 ,QM -V\ZWXQM MQVM[ 3ÕZXMZ[ [\MQO\ UQ\ LMZ ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\[MQVM[B][\IVL[-QV^WV LMZ =U_MT\ ^ÕTTQO Q[WTQMZ\MZ 3ÕZXMZ [\ZMJ\ QV LMV B][\IVL UQ\ PÕKP[\MZ ?IPZ[KPMQVTQKP SMQ\ [MQVM -V\ZWXQM [\MQO\ IT[W IV ;QM [QVS\ VQMUIT[0I\[MQVB][\IVLLQMPÕKP[\M?IPZ [KPMQVTQKPSMQ\MZZMQKP\[WQ[\MZQU\PMZUWLa VIUQ[KPMV/TMQKPOM_QKP\]VL[MQVM-V\ZWXQM JTMQJ\SWV[\IV\ 5 ,QM-V\ZWXQMQ[\IT[UMVOMVUÃ¾QOM/ZÕ¾MLM âVQMZ\ 5IKP\ UIV LMV 3ÕZXMZ LWXXMT\ [W OZW¾ WPVM QPV [WV[\ _QM b] ^MZÃVLMZV ^MZ LWXXMT\ [QKP [MQVM -V\ZWXQM ,M[PITJ SIVV UIV [IOMV" ,MZ 3ÕZXMZ MV\PÃT\ MQVM OM_Q[[M IJ[WT]\M5MVOM-V\ZWXQM 5 =VWZLV]VOQ[\_IPZ[KPMQVTQKPMZIT[7ZLV]VO ,QM -V\ZWXQM ãÛ[[QOMV ?I[[MZ[ Q[\ PÕPMZ IT[ LQM-V\ZWXQM^WVb]-Q[SZQ[\ITTMVOMNZWZMVMU ?I[[MZ LMVV QV LMZ .TÛ[[QOSMQ\ [QVL LQM )\WUM]VOMWZLVM\ 5 »JMZ\ZÃO\UIV?ÃZUM^WVMQVMU3ÕZXMZI]N MQVMVIVLMZMV[W_QZLI]KP-V\ZWXQMÛJMZ\ZI OMVB]OMNÛPZ\M?ÃZUM^MZ[\ÃZS\LQMI\WUIZM ?QUUMTJM_MO]VO]VLMZPÕP\LIUQ\LQM=V WZLV]VO ]VL LQM -V\ZWXQM /MVI] OQT\" -QVM ?ÃZUMUMVOM 9 LQM MQVMU 3ÕZXMZ UQ\ LMZ <MUXMZI\]Z < b]OMNÛPZ\ _QZL MZPÕP\ LM[[MV -V\ZWXQM]U 9 Δ;%3 <

Δ;≥QUQ[WTQMZ\MV;a[\MU 5Q\LMZ/ZÕ¾M-V\ZWXQMSIVVUIV[MPZPIVL NM[\ IZJMQ\MV ]VL ZMKPVMV ,I[ \]V ^WZ ITTMU LQM +PMUQSMZLQM_Q[[MV_WTTMV_QM;\WNNMUQ\MQVIV LMZ KPMUQ[KP ZMIOQMZMV )]KP LQM[ JM[\QUU\ LQM -V\ZWXQM1VLQM[MU*]KP_QZLLQM-V\ZWXQMJMQLMV 8PI[MVÛJMZOÃVOMV7 Kap. 5.4_QMLMZI]N\I]KPMV LMVVLQM[QVLI]KPKPMUQ[KPM:MIS\QWVMV

5.1.6 Wärmekapazität

!

-QV
#

JMbQMP\UIV+I]NLQM;\WNNUMVOMVMZPÃT\UIVLQM UWTIZM?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ -QVPMQ\"

134

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Kapitel 5 · Wärmelehre

,QM JMQLMV /ZÕ¾MV _MZLMV b]_MQTMV VQKP\ OIVbSWZZMS\b]i[XMbQâ[KPMZ?ÃZUMt]VLi5WT _ÃZUMt^MZSÛZb\,QM[M[QVLJMQ-TMNIV\]VL3I VQVKPMV QV M\_I OTMQKP LI JMQLM I][ ÃPVTQKPMU 3ÕZXMZOM_MJMJM[\MPMV Merke 5 Wärmekapazität 9 +%5 Einheit: Δ< 5 speziﬁsche Wärmekapazität + K%4 Einheit: U 5 molare Wärmekapazität + KV%4 Einheit: V

?ÃZUMUMVOMVJM[\QUU\UIVQUKalorimeterQV LMU UIV LQM <MUXMZI\]ZÃVLMZ]VO MQVMZ ;]J[ \IVb UQ\ JMSIVV\MZ ?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ UQ[[\ .I ^WZQ[QMZ\M 3ITWZQUM\MZ[]J[\IVb Q[\ LI[ ?I[[MZ QV IJOMUM[[MVMZ 5MVOM MQVOMNÛTT\ QV MQV /MNÃ¾ UQ\ O]\MZ ?ÃZUMQ[WTQMZ]VO *M_ÃPZ\ PIJMV [QKP LQM Dewar-Gefäße[XZQKP",R]IZLWXXMT_IVLQOM /TI[ãI[KPMV UQ\ M^IS]QMZ\MZ ?IVL]VO . Abb.

. Abb. 5.4. Dewar-Gefäß (Thermosﬂasche), doppelwandiges Gefäß mit guter Wärmeisolation. Der Zwischenraum zwischen den beiden Wänden ist evakuiert, um Wärmeverluste durch Wärmeleitung zu reduzieren; die Wände sind verspiegelt, um Wärmeverluste durch Strahlung zu reduzieren. Dewar-Gefäße können „implodieren“ und gehören deshalb in einen stabilen Behälter

5.4")T[\PMZUQ[KPM*M_MO]VO^WV5WTMSÛTMVQ[\ ?ÃZUMIV5I\MZQMOMJ]VLMV>IS]]U]V\MZJQV LM\ RMLM ?ÃZUMTMQ\]VO 1U 0I][PIT\ JMbMQKPVM\ UIV,M_IZ/MNÃ¾MIT[Thermosﬂaschen 1V SMQVMU 8Pa[QSXZIS\QS]U NÛZ 5MLQbQVMZ NMPT\ MQV 3ITWZQUM\MZ^MZ[]KP 1V LMZ :MOMT _QZL LQM ?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ MQVMZ ;]J[\IVb JM[\QUU\ -V\_MLMZ_QZLMTMS\ZQ[KPUQ\MQVMU
12 Praktikum

13 14 15 16 17 18 19 20

Kalorimeter Es geht darum, die Energiemenge zu ermitteln, die benötigt wird, um eine feste oder ﬂüssige Probe um eine gewisse Temperaturdifferenz zu erwärmen, also um die Bestimmung einer Wärmekapazität. Für alle Messungen braucht man ein gut gegen Wärmeaustausch isoliertes Gefäß, ein Kalorimeter. Auch bei guter Isolation hat das Kalorimeter (+ Thermometer + Rührer) selbst eine bestimmte Wärmekapazität +?, die bei der Rechnung berücksichtigt werden muss. [Man nennt +? auch Wasserwert: Wenn man in Kalorien (statt Joule) pro Kelvin rechnet (was man aber nicht mehr tut), gibt der Wasserwert an, wie vielen Gramm Wasser das Kalorimeter entspricht.] Es gibt dann zwei Messmethoden: 1) Man führt einer Flüssigkeit (Masse UFl) mittels eines Tauchsieders (elektrischen Widerstands) eine bestimmte elektrische Energie zu wie in . Abbildung 5.5 dargestellt.

Legt man für die Zeitspanne Δ\ eine elektrische Spannung =0 an den Tauchsieder, so ﬂießt der Strom 10 und setzt (wie in 7 Kap. 6.2.3 erläutert werden wird) die elektrische Energie

?%=1Δ\ in die Wärmemenge 9 um. Diese heizt die Flüssigkeit entsprechend ihrer speziﬁschen Wärmekapazität KFl bis zur Endtemperatur <1 auf:

Δ9%U.TK.T<< Allerdings hat das Kalorimeter selbst (Gefäß + Thermometer + Heizwendel) auch eine gewisse Wärmekapazität +W, die bei genauer Rechnung berücksichtigt werden muss:

9%U.TK.T+?<< Im Rechenbeispiel 5.2 wird das am Beispiel des Wassers durchgerechnet.

135

5.1 · Die grundlegenden Größen

5

â[KPM?ÃZUM^WV?I[[MZIVOMXI[[\M-QVPMQ\3I TWZQMKITLMâVQMZ\IT[" KIT% 2 ;QMOMPÕZ\VQKP\b]LMV;1-QVPMQ\MV]VL^MZ [KP_QVLM\LM[PITJITTUÃPTQKP^WVLMZ*QTLãÃKPM

. Abb. 5.5. Versuchsanordnung zur Bestimmung der speziﬁschen Wärmekapazität des Wassers

<MUXMZI\]ZMZPÕP]VO OMUM[[MV 7LMZ M[ _QZL M QVM 5Q[KP]VO[\MUXMZI\]Z JM[\QUU\ 6ÃPMZM[ JM[KPZMQJ\LQM8ZIS\QS]U[JW` 1UB][IUUMVPIVOUQ\?ÃZUM]VLLMZQV4M JMV[UQ\\MTVMV\PIT\MVMV-VMZOQM\I]KP\b]_MQTMV VWKPMQVMIT\M-VMZOQMMQVPMQ\I]NLQMIVLQM[XMbQ

3Energie zum Leben. Leben braucht Energie; es setzt Energie um und das nicht nur, wenn man sich bewegt, also mechanische Arbeit produziert. Auch im Schlaf hat der Mensch einen Grundumsatz von etwa 80 W, also ungefähr 7 MJ/Tag oder 1650 kcal/Tag. Er ist erforderlich, um lebenswichtige Funktionen wie Atmung und Herzschlag, aber auch um die Körpertemperatur aufrechtzuerhalten. Der Mensch besitzt ferner eine Wärmekapazität; da er im Wesentlichen aus Wasser besteht, darf man bei 70 kg Körpermasse getrost schreiben: SKIT52 +5MV[KPf61f5 33 Das heißt nun wieder: Könnte man einen Menschen völlig wärmeisolieren, so würde ihn sein Grundumsatz mit einer Geschwindigkeit von etwa 1 K/h aufheizen. Viel schneller kann Fieber aus rein wärmetechnischen Gründen nicht steigen.

Praktikum Ermittlung einer Mischtemperatur Ist die speziﬁsche Wärmekapazität des Wassers, nämlich

Das lässt sich dann nach der speziﬁschen Wärmekapazität von Kupfer KK auﬂösen:

K07% 2O3 bekannt, so können die Wärmekapazitäten anderer Substanzen nach folgendem Schema ausgemessen werden: Man hängt zum Beispiel einen Kupferring (Masse UK) zunächst in siedendes Wasser (Temperatur <3) und bringt ihn dann in das Kalorimeterwasser; dessen Temperatur steigt dadurch von <1 auf <2. Die dafür notwendige Wärme muss der Ring durch Abkühlung geliefert haben. Der Kupferring liefert also die Wärmemenge:

Wasser und Kalorimeter erhalten die Wärmemenge:

Im thermischen Gleichgewicht sind diese beiden Wärmemengen gleich: .

Die Mischtemperatur <2 berechnet sich gemäß:

Das Angleichen der Temperatur kann etwas dauern. Verliert das Kalorimeter in dieser Zeit doch etwas Wärme, so muss man den Temperaturverlauf auftragen und extrapolieren. Rechenbeispiel 5.3 gibt ein Beispiel zum Einsatz dieser Formeln. Wenn man schon mal ein Kalorimeter und einen Tauchsieder bei der Hand hat, kann man natürlich auch noch die Schmelzwärme (7 Kap. 5.4.3) zum Beispiel von Wasser messen, in dem man einem Wasser-Eis-Gemisch bei 0 °C so lange Wärmeenergie zuführt, bis das ganze Eis geschmolzen ist.

136

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Kapitel 5 · Wärmelehre

Mensch und Tier beziehen die zum Leben notwendige Energie aus der Nahrung, also aus komplizierten organischen Molekülen. Diese bestehen aber im Wesentlichen aus Atomen des Kohlenstoffs (C) und des Wasserstoffs (H). Letzten Endes werden sie in Kohlendioxid (CO2) und Wasser (H2O) überführt, d.h. mit Sauerstoff (O) aus der Atmung oxidiert. Der Weg der chemischen Umsetzung ist kompliziert und läuft in vielen Einzelschritten ab; zu jedem gehört eine Energieumwandlung. Schließlich und endlich wird aber immer Wärme daraus, und zwar insgesamt genau so viel wie bei schlichter Verbrennung in der Retorte; auf den Energiesatz ist Verlass. Deshalb kann man ganz unabhängig von einem lebenden Organismus den Brennwert von Nahrungsmitteln im Laboratorium messen, den Betrag der chemischen Energie also, die bei der Oxidation z.B. eines Pfeffersteaks frei wird; Beispiele: 2300 kJ bei 100 g Schokolade, 188 kJ bei 100 g Bier.

Rechenbeispiel 5.2: Nachgemessen 7 Aufgabe. Wasser wird mit einem Tauchsieder im Dewar-Gefäß aufgewärmt. Im Experiment wurden die folgenden Werte ermittelt: U = 200 g, =0 = 10 Volt, 10 = 4,7 Ampere, Δ\ = 50 s, <1 = 18,3 °C, <2 = 21,1 °C. Kommt der Wert für die Wärmekapazität des Wassers K(H2O) tatsächlich wie oben angegeben heraus? Der Wasserwert des Kalorimeters sei vernachlässigbar. Anmerkung: Ein Volt mal Ampere entspricht einem Watt.

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Nach K8 auﬂösen ergibt:

Das könnte Aluminium sein.

Rechenbeispiel 5.4: Schlankwerden auf die harte Tour 7 Aufgabe. Ein Student isst ein Mittagessen, dessen Brennwert mit 2000 kcal angegeben worden ist. Er will das wieder abarbeiten, indem er eine 50kg-Hantel stemmt. Sagen wir, er kann sie 2 m hoch heben. Wie oft muss er sie heben, um die 2000 kcal wieder loszuwerden? Dabei ist zu beachten, dass der Mensch keine sehr efﬁziente mechanische Maschine ist. Er muss etwa 5-mal mehr Energie verbrennen als die mechanische Arbeit, die er leistet. Sein Wirkungsgrad beträgt nur etwa 20%. 7 Lösung: 2000 kcal = 8,37 · 106 J. Der Student leistet bei N-mal Stemmen die Arbeit und verbrennt 5-mal so viel Energie. Also ist:

7 Lösung.

14 15

7 Lösung. Die von der Probe abgegebene Wärmemenge muss gleich der von Wasser und Behälter aufgenommenen Wärmemenge sein, also:

Rechenbeispiel 5.5: Im Saloon Rechenbeispiel 5.3: Kalorimeter 7 Aufgabe. Eine Probe mit einer Masse von UP = 46 g und einer Temperatur von

7 Aufgabe. Ein Cowboy schießt mit seiner Pistole eine 2-g-Bleikugel mit 200 m/s in die Holzwand, wo sie stecken bleibt. Angenommen, die freiwerdende Energie bleibt vollständig in der Kugel. Wie heiß wird sie dann? (Wärmekapazität von Blei: K8J%2O3) 7 Lösung. Die freiwerdende Energie ist

Wir bekommen also die Temperaturänderung:

Lag die Zimmertemperatur vorher bei 20 °C, so betrüge die Temperatur der Bleikugel nachher 174 °C.

5.2 · Das ideale Gas

137

5

3ZIN\I]NLQM?ÃVLMIT[WLMZ,Z]KS,I[/TMQKPM XI[[QMZ\I]KP_MVVUIVLI[>WT]UMVPITJQMZ\ LMVV LIVV PIJMV LQM 5WTMSÛTM SÛZbMZM ?MOM 5.2.1 Die Zustandsgleichung !! ^WV?IVLb]?IVL,MZ,Z]KSXQ[\IT[WXZWXWZ ,MV B][IUUMVPIVO b_Q[KPMV UISZW[SWXQ[KP \QWVIT b]Z )VbIPTLQKP\M 6> LMZ 5WTMSÛTM QU UM[[JIZMV/ZÕ¾MV_QM<MUXMZI\]Z,Z]KS>WT] /I[" UMV ]VL LMZ UQSZW[SWXQ[KPMV \PMZUQ[KPMV *M 6 Xf3 _MO]VOLMZ5WTMSÛTMTÃ[[\[QKPJM[WVLMZ[MQVNIKP > IU*MQ[XQMTLMZ/I[MVIKP^WTTbQMPMV >MZLWXXMT\UIVLQMUQ\\TMZM/M[KP_QVLQOSMQ\ WV LQM[MZ <MUXMZI\]Z [QVL _QZ IJMZ > VWZUITMZ_MQ[M [W _MQ\ MV\NMZV\ LI[[ LQM IVbQM PMVLMV3ZÃN\M^MZVIKPTÃ[[QOJIZ[QVL -QVM OMVI]MZM :MKPV]VO [QMPM b*" /MZ\P *MQ MQVMU QLMITMV /I[ _QZL I]¾MZLMU IVOM [MV"8Pa[QS;XZQVOMZ>MZTIObMQO\LI[[LQM8ZW VWUUMV LI[[ LI[ >WT]UMV LMZ 8QVOXWVOJÃTTM XWZ\QWVITQ\Ã\[SWV[\IV\M OMZILM LQM *WT\bUIVV ^QMT STMQVMZ Q[\ IT[ LQM B_Q[KPMVZÃ]UM b_Q[KPMV 3WV[\IV\MS*Q[\,IUQ\LI[[WPQVSWUU\[\IVL QPVMV)]KPLI[Q[\JMQ/I[MVUMQ[\MV[MZNÛTT\.ÛZ QVLMZ,MâVQ\QWVLMZ<MUXMZI\]ZQV7 Kapitel 5.1.2 LQM[M[ QLMITM /I[ SIVV V]V MQVM _QKP\QOM B] LMZ.IS\WZ [\IVL[OTMQKP]VOOMN]VLMV_MZLMV,I[OMP\[W" 5IV[KPZMQJ\LQM[WOM_WVVMVM/TMQKP]VOÛJ >MZLWXXMT\ UIV LQM BIPT 6 LMZ 5WTMSÛTM TQKPMZ_MQ[MM\_I[IVLMZ[PQV.ÛZLQM;\WNNUMVOM LM[ /I[M[ QV MQVMU *MPÃT\MZ UQ\ >WT]UMV > OQJ\UIVLQMBIPTLMZ5WTMVIV[\I\\LMZBIPTLMZ ^MZLWXXMT\UIVIT[WLQM/I[UMVOMQU*MPÃT\MZ <MQTKPMV6 ,I[ >WT]UMV [KPZMQJ\ UIV I]N LQM [W ^MZLWXXMT\ [QKP I]KP LQM 0Ã]âOSMQ\ UQ\ LMZ IVLMZM;MQ\M;WMZPIT\MV_QZ" LQM5WTMSÛTMIVLQM?ÃVLMLM[*MPÃT\MZ[\ZWU UMTV ,IUQ\ ^MZLWXXMT\ [QKP I]KP LQM UQ\\TMZM X>%S*6)V<%:V< 5.2

Das ideale Gas

138

1 2 3 4 5 6

Kapitel 5 · Wärmelehre

*WT\bUIVV3WV[\IV\M UIT )^WOILZW3WV[ nungslosen Punkte im Sinn der Mathematik, sondern \IV\MBIPTLMZ<MQTKPMVQVMQVMU5WTVMVV\UIV kleine Kügelchen mit einem Eigenvolumen. Mit der zweiten Materialkenngröße J wird es von > abgezoLQMuniverselle Gaskonstante R" 2 :%S*6)% 841 UWT3 Merke Gasgesetz (Zustandsgleichung der idealen Gase): X>%6S*<%V:< S* = Boltzmann-Konstante = 1,38 · 10–23 J · K–1 : = allgemeine Gaskonstante = 8,31 J mol–1 · K–1

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

gen. Mit sinkender Dichte der Gasteilchen verlieren beide Korrekturglieder an Bedeutung: Das van-derWaals-Gas nähert sein Verhalten immer mehr dem des idealen Gases an.

,MZ 9]W\QMV\ >V Q[\ LI[ 5WT^WT]UMV >V =V \MZ Normalbedingungen LP MQVMU ,Z]KS X% S8I ]VL LMZ <MUXMZI\]Z <%+ JM\ZÃO\ LI[5WT^WT]UMVMQVM[QLMITMV/I[M[TUWT 0I\UIVMQV/I[VQKP\I]N6WZUITJMLQVO]V OMV[WSIVVUIVUQ\LMU/I[OM[M\bTMQKP\I]NLQM [M ]UZMKPVMV LMVV M[ ^MZTIVO\ JMQ MQVMZ IJOM [KPTW[[MVMV/I[UMVOMLI[[X>XZWXWZ\QWVITb] <LI[[IT[WX><%SWV[\IV\,IZI][NWTO\b]U *MQ[XQMT NÛZ LQM =UZMKPV]VO LM[ >WT]UMV[ QV b_MQB][\ÃVLMV]VL"

Rechenbeispiel 5.6: Wie viel Moleküle in einem Atemzug? 7 Aufgabe. Ungefähr wie viele Moleküle atmet man bei einem 1-Liter-Atemzug ein? 7 Lösung. Luft unter Normalbedingungen ist in guter Näherung ein ideales Gas. Das Molvolumen (6,02 · 1023 Moleküle) ist als 22,4 l. Man atmet also etwa Moleküle ein.

Rechenbeispiel 5.7: Reifendruck 7 Aufgabe. Ein Reifen ist bei 10 °C auf einen Überdruck von 200 kPa aufgepumpt. Nachdem das Auto 100 km gefahren ist, ist die Reifentemperatur auf 40 °C gestiegen. Welcher Überdruck herrscht nun im Reifen? 7 Lösung. Das Volumen des Reifens bleibt in etwa konstant. Wir haben also:

?QKP\QO NÛZ ITTM *MZMKPV]VOMV UQ\ LMZ B] [\IVLOTMQKP]VOQ[\"1VLMZ/TMQKP]VO[\MP\LQMIJ [WT]\M<MUXMZI\]ZQV3MT^QV1[\LQM<MUXMZI\]Z b]VÃKP[\QV/ZIL+MT[Q][OMOMJMV[WU][[[QMMZ[\ VWKP]UOMZMKPVM\_MZLMV 3Nicht ganz so ideale Gase folgen der Zustandsgleichung von van der Waals (Johannes Diderik van der Waals, 1837–1923): XI>>J%V:< Sie berücksichtigt mit der Materialkenngröße I die anziehenden Kräfte, die auch zwischen Gasmolekülen auftreten und auf diese ähnlich wirken wie eine Erhöhung des äußeren Druckes. Der Einﬂuss wächst, wenn die Moleküle dichter zusammenrücken, wenn also das Molvolumen abnimmt. Andererseits steht dieses Molvolumen der thermischen Bewegung der Moleküle nicht voll zur Verfügung; sie sind ja keine ausdeh-

Um diese Formel nutzen zu können, müssen wir zwei Dinge tun: die Temperaturen in absolute Temperaturen umrechnen (273 K addieren) und zum Überdruck den Luftdruck (101 kPa) addieren, um auf den Gesamtdruck zu kommen. Dann bekommen wir:

Das entspricht dann wieder einem Überdruck von 233 kPa. Das ist ein Anstieg um immerhin 15%. Deshalb soll man Reifendrücke immer im kalten Zustand messen.

5.2.2 Partialdruck

,I[[[QKP4]N\QU?M[MV\TQKPMVI][;\QKS[\WNN]VL I][ ;I]MZ[\WNN b][IUUMV[M\b\ LI[[ LQM[M -TM

5.2 · Das ideale Gas

139

5

UMV\M b_MQI\WUQOM 5WTMSÛTM JQTLMV LQM )\WUM LMZ -LMTOI[M IJMZ NÛZ [QKP ITTMQV JTMQJMV SÛU UMZ\LI[/I[OM[M\bVQKP\"1PU[QVLITTM5WTMSÛTM OTMQKP]VL)\WUMPÃT\M[I]KPNÛZ5WTMSÛTM1PU OMP\M[V]Z]ULMZMV)VbIPT6*MQMQVMU/I[OM UQ[KPI][V3WUXWVMV\MVLIZNUIVLMZMV5WTM SÛTbIPTMV6JQ[6VLIZ]UMQVNIKPI]NILLQMZMV" )]KPLI[8ZWL]S\I][,Z]KSX]VL>WT]UMV >I]NLMZTQVSMV;MQ\MLMZ/TMQKP]VOLIZNUIVLMV 3WUXWVMV\MVb]WZLVMV,QM[\]\UIV^WZITTMU NÛZLMV,Z]KS" 2MLMZ 5WTMSÛT[WZ\M [\MP\ LI[ OM[IU\M >WT] UMV>b]Z>MZNÛO]VO#IT[W\ZÃO\RMLM3WUXWVMV \M UQ\ LMU Partialdruck XQ QPZMV )V\MQT b]U /M [IU\LZ]KSXJMQ"

. Abb. 5.6. Verteilung der thermischen Geschwindigkeiten von Stickstoffmolekülen für zwei Temperaturen (MaxwellGeschwindigkeitsverteilung). Als Ordinate ist die Häuﬁgkeit 0 aufgetragen, mit der Moleküle in einem Geschwindigkeitsintervall der Breite Δ^ zu erwarten sind. Stecken in dem Intervall Δ6 Moleküle, so haben die an der Gesamtanzahl 6 den Anteil Δ66 und die Häuﬁgkeit H = Δ 66 Δ^. Wegen des Geschwindigkeitsintervalls unter dem Bruchstrich kommt der Häuﬁgkeit hier die Einheit s/m zu

,MâVQ\QWV[OMUÃ¾ [\MPMV LQM 8IZ\QITLZÛKSM ]V\MZMQVIVLMZQVLMVOTMQKPMV>MZPÃT\VQ[[MV_QM LQM5WTMSÛTbIPTMV" X"X"X%6"6"6

5.2.3 Die Energie im Gas

,QM \PMZUQ[KPM -VMZOQM QV MQVMU QLMITMV /I[ [\MKS\ XZIS\Q[KP ^WTT[\ÃVLQO QV LMZ SQVM\Q[KPMV -VMZOQMLMZ5WTMSÛTM,I[Q[\b]VÃKP[\MQVUITLQM SQVM\Q[KPM-VMZOQMLQMQVLMZ;KP_MZX]VS\JM_M O]VO [\MKS\ ,I[ Q[\ LQM OMZILTQVQOM *M_MO]VO LMZ 5WTMSÛTM L]ZKP LMV *MPÃT\MZ 6I\ÛZTQKP JM _MOMV [QKP VQKP\ ITTM 5WTMSÛTM UQ\ LMZ OTMQKPMV /M[KP_QVLQOSMQ\ . Abbildung 5.6 bMQO\ LQM /M [KP_QVLQOSMQ\[^MZ\MQT]VOQU\PMZUWLaVIUQ[KPMV /TMQKPOM_QKP\ NÛZ b_MQ ^MZ[KPQMLMVM <MUXMZI \]ZMV ,QM OZ]VLTMOMVLM .WZU 5I`_MTTs[KPM /M [KP_QVLQOSMQ\[^MZ\MQT]VO Q[\ NÛZ ITTM /I[M ]VL ITTM<MUXMZI\]ZMVOTMQKP 5WTMSÛTMSÕVVMVRMLWKPUMPZIT[V]ZPMZ]U ãQMOMV;QMSÕVVMV[QKPI]KPVWKPLZMPMV]VL[QM SÕVVMV[KP_QVOMV-[Q[\_QKP\QOLQM[M_MQ\MZMV *M_MO]VO[UÕOTQKPSMQ\MVI]Nb]bÃPTMV,Ib]OQJ\

. Abb. 5.7. Zweiatomiges, hantelförmiges Molekül. Es besitzt zwei Achsen, zwei Freiheitsgrade, in denen es Rotationsenergie unterbringen kann

M[QVLMZ8Pa[QSLMV*MOZQNNLMZFreiheitsgrade,QM )]NbÃPT]VOOMP\[W" )\WUM SÕVVMV [QKP OMZILTQVQO QV LQM LZMQ :I]UZQKP\]VOMV JM_MOMV 5IV [IO\" ;QM PIJMV LZMQ .ZMQPMQ\[OZILM ,QM b_MQI\WUQOMV 5WTMSÛTM LM[ ;\QKS[\WNN[ 6 JQTLMV LIOMOMV 0IV\MTV LQM I]KP VWKP ]U b_MQ b]MQVIVLMZ [MVSZMKP\M )KP [MV ZW\QMZMV SÕVVMV . Abb. 5.7# ,ZMP]VO ]U LQM 0IV\MTIKP[M Q[\ I][ Y]IV\MVUMKPIVQ[KPMV /ZÛVLMVVQKP\UÕOTQKP,QM:W\I\QWVTQMNMZ\b_MQ b][Ã\bTQKPM.ZMQPMQ\[OZILMb][IUUMVNÛVN

140

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Kapitel 5 · Wärmelehre

,ZMQI\WUQOM 5WTMSÛTM SÕVVMV [QKP ]U )KP [MVQVITTMVLZMQ:I]UZQKP\]VOMVLZMPMVPIJMV IT[WLZMQ.ZMQPMQ\[OZILMLMZ:W\I\QWV"b][IUUMV [MKP[ 3WUXTQbQMZ\MZ _QZL M[ _MVV MQV 5WTMSÛT I]KP VWKP QV [QKP [KP_QVO\# RMLM 5ÕOTQKPSMQ\ JZQVO\OTMQKPb_MQ.ZMQPMQ\[OZILMMQVMVNÛZLQMSQ VM\Q[KPM MQVMV NÛZ LQM XW\MV\QMTTM -VMZOQM LMZ ;KP_QVO]VO,I[OQT\LIVVI]KPNÛZLQM;KP_QV O]VOMVLMZ/Q\\MZJI][\MQVMMQVM[3ZQ[\ITT[")\WUM QU 3ZQ[\ITT PIJMV [MKP[ .ZMQPMQ\[OZILM NÛZ LQM ;KP_QVO]VOQVLZMQ:I]UZQKP\]VOMV,QM9]IV \MVUMKPIVQS TMO\ NM[\ LI[[ NÛZ :W\I\QWV ]VL ;KP_QVO]VOMV JM[\QUU\M 5QVLM[\MVMZOQMV OMT \MV1[\LQM<MUXMZI\]Zb]VQMLZQO_MZLMVLQM[M 5QVLM[\MVMZOQMVVQKP\MZZMQKP\]VLLI[5WTMSÛT ZW\QMZ\WLMZ[KP_QVO\VQKP\5IVVMVV\LQM[M[LI[ i)][NZQMZMVt ^WV .ZMQPMQ\[OZILMV 1[\ IJMZ MQV .ZMQPMQ\[OZIL IS\Q^ [W \ZÃO\ MZ QU \PMZUWLaVI UQ[KPMV/TMQKPOM_QKP\QUUMZLQMUQ\\TMZMSQVM \Q[KPM-VMZOQM

3In Metallen zum Beispiel schwingen die Atome im Kristallgitter in drei Raumrichtungen: macht zwei Freiheitsgrade pro Richtung, also insgesamt sechs. Die molare Wärmekapazität ist dann: KV % 3 : (Regel von Doulong-Petit).

5.3

Transportphänomene

5.3.1 Wärmeleitung

!

4IVOM JM^WZ [QKP MQV /I[UWTMSÛT QV LMZ \PMZ UQ[KPMV *M_MO]VO MZV[\PIN\ ^WV [MQVMU )][ OIVO[X]VS\MV\NMZV\PI\Q[\M[[KPWVUQ\]VbÃP TQOMV )Z\OMVW[[MV ]V\MZ )][\I][KP ^WV -VMZOQM ]VL 1UX]T[ b][IUUMVOM[\W¾MV ,QM /Q\\MZJI] [\MQVM LM[ 3ZQ[\ITT[ SÕVVMV \PMZUQ[KPM -VMZOQM [WOIZ_MQ\MZOMJMVWPVMQPZMV8TI\bb]^MZTI[[MV 0ÃVO\UIVMQVMV5M\ITT[\IJUQ\[MQVMU]V\MZMV -VLMQVãÛ[[QOMV;\QKS[\WNNJZQVO\UIVQPVIT[W -SQV%3SJ< LWZ\ I]N Z]VL 3 [W SIVV UIV ^MZNWTOMV _QM :I]ZMQNIU;\IJMUXWZSTM\\MZ\LP_QM[QKPLMZ ,I[ [IO\ LMZ _QKP\QOM Gleichverteilungssatz" -Q[X]VS\IVLMULQM4]N\NM]KP\QOSMQ\[QKPI]NLMZ ,]ZKP LQM ;\Õ¾M LMZ 5WTMSÛTM UQ\MQVIVLMZ ^MZ 7JMZãÃKPM VQMLMZ[KPTÃO\ TIVO[IU VIKP WJMV \MQT\[QKPLQM\PMZUQ[KPM-VMZOQMQU5Q\\MTOTMQKP [KPQMJ\QV3]XNMZLM]\TQKP[KPVMTTMZIT[QV-Q[MV LMVV 3]XNMZ PI\ MQVM PÕPMZM Wärmeleitfähigkeit UÃ¾QOI]NITTM.ZMQPMQ\[OZILM ,QM \PMZUQ[KPM -VMZOQM MQVM[ /I[M[ LI[ I][ . Abb. 5.8 MQVMU 5WT MQVbMTVMZ )\WUM JM[\MP\ Q[\ LMU VIKP" =\P%6)3S*<%3:< LI[MQVM)\WUMRILZMQ.ZMQPMQ\[OZILMPIJMV.ÛZ LQM UWTIZM ?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ MQVM[ MQVI\WUQOMV /I[M[PMQ¾\LI[" KV%3: .ÛZ4]N\[QVLM[b_MQ.ZMQPMQ\[OZILMLMZ:W\I \QWVUMPZ" KV4]N\%3: ,QM ?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ ^WV 4]N\ Q[\ IT[W PÕPMZ IT[LQM^WVb]U*MQ[XQMT)ZOWVLIM[NÛZLQM4]N\ UWTMSÛTMUMPZ*M_MO]VO[UÕOTQKPSMQ\MVOQJ\IT[ NÛZLQM)ZOWVI\WUM

. Abb. 5.8. Demonstrationsversuch zur Wärmeleitung. Ein Kupfer- und ein Eisenstab mit gleichen Abmessungen tauchen gleich tief in ﬂüssigen Stickstoff. Reifbildung markiert den langsam nach oben kriechenden Eispunkt, er kriecht im Kupfer schneller als im Eisen

Merke Wärmeleitung: Wärmetransport ohne Materietransport

,]ZKPLQM\PMZUQ[KPM*M_MO]VO_QZLMQVM ?ÃZUMUMVOM9 OMUM[[MVQV2W]TM^WVMQVMU7Z\b]MQVMUIVLM ZMVOMJZIKP\,I[MV\[XZQKP\MQVMU L92 ?ÃZUM[\ZWU 19%5 -QVPMQ\"3%?I\\ L\[ MZZMXZÃ[MV\QMZ\MQVM4MQ[\]VO,MZ?ÃZUM[\ZWU MV\[\MP\ _MVV LQM <MUXMZI\]Z ^WV 7Z\ b] 7Z\ ^MZ[KPQMLMVQ[\-Z_QZLIT[WIVOM\ZQMJMVL]ZKPMQ VM<MUXMZI\]ZLQNNMZMVb Δ<;KPWV6M_\WVPI\\M MZSIVV\LI[[LMZ?ÃZUM[\ZWUXZWXWZ\QWVITb]Z <MUXMZI\]ZLQNNMZMVb Q[\ ,MV OMVI]MV B][IU UMVPIVO_WTTMV_QZ]V[IVMQVMZ.MV[\MZ[KPMQJM STIZUIKPMV,IJMQLMVSMV_QZVQKP\IVMQVMUW LMZVM LWXXMTOTI[QOM
5

141

5.3 · Transportphänomene

)]KP LQM -TMS\ZWVMV LQM QU 5M\ITT LMV MTMS \ZQ[KPMV ;\ZWU \ZIV[XWZ\QMZMV VMPUMV IV LMZ ?ÃZUMJM_MO]VO\MQT/]\MMTMS\ZQ[KPM4MQ\MZ_QM ;QTJMZ]VL3]XNMZ[QVLLM[PITJI]KPO]\M?ÃZUM TMQ\MZ# 3WKPTÕNNMT NMZ\QO\ UIV [MQ\ IT\MZ[ PMZ I][ LMU MTMS\ZQ[KPMV 6QKP\TMQ\MZ 0WTb LIUQ\ UIV [QKPVQKP\LQM0IVL^MZJZMVV\/I[MPIJMV[KPWV _MOMV QPZMZ OMZQVOMV ,QKP\M I]KP V]Z OMZQVOM ?ÃZUMTMQ\NÃPQOSMQ\,M[PITJ[QVL.MV[\MZNI[\QU UMZI][LWXXMTOTI[QOMV;KPMQJMVUQ\MQVMU/I[ ZI]U b_Q[KPMV LMU ;KPMQJMV 2M [KP_MZMZ LQM /I[I\WUM[QVL]U[WTIVO[IUMZJM_MOMV[QM[QKP ]VL\ZIV[XWZ\QMZMV?ÃZUMMV\[XZMKPMVL[KPTMKP \MZ*M[WVLMZ[O]\MIS]]U,I[N]VS \QWVQMZ\ IJMZ V]Z JMQ
Merke Wärmeleitungsgleichung: Wärmestrom: Δ< 19%λ)6 L mit der Wärmeleitfähigkeit λ.

5.3.2 Konvektion

5Q[[\ UIV b]U *MQ[XQMT UQ\ MQVMU ;\ZIPT]VO[ \PMZUWUM\MZLQM<MUXMZI\]ZMQVMZ.MV[\MZ[KPMQ JMI]NLMZ1VVMV]VLI]NLMZ)]¾MV[MQ\M[W[\MTT\ UIVNM[\LI[[LQM.MV[\MZ[KPMQJMQU?QV\MZI]N

142

Kapitel 5 · Wärmelehre

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. Abb. 5.9. Konvektion. Aufsteigende warme Luft bei einer Frau. Man kann auch erkennen, dass sie gerade durch die Nase ausatmet. Durch eine spezielle Schattenwurftechnik werden kleine Unterschiede im Brechungsindex der Luft sichtbar gemacht (Aufnahme: G. S. Settles, PSU)

LMZ1VVMV[MQ\MSÃT\MZ]VLI]NLMZ)]¾MV[MQ\M_ÃZ UMZIT[LQM]UOMJMVLM4]N\Q[\
,MZ 3ÛPTMZ MQVM[ )]\W[ \]\ LQM[ OTMQKP b_MQUIT" -QV >MV\QTI\WZ JTÃ[\ LQM SÛPTMZM =UOMJ]VO[T]N\ L]ZKP MQVMV ?ÃZUM\I][KPMZ i3ÛPTMZt L]ZKP LMV _QMLMZ]U LI[ 3ÛPT_I[[MZ b]U 5W\WZ OM X]UX\ _QZL 1U ?ÃZUM\I][KPMZ ]VL QU 5W\WZ U][[ LQM ?ÃZUM IJMZ _QMLMZ L]ZKP ?ÃZUMTMQ \]VO^WU3ÛPT_I[[MZb]Z4]N\OMTIVOMV ,QM ?QZS]VO LMZ NZMQMV L]ZKP )]N\ZQMJ MZ bM]O\MV\PMZUQ[KPMV3WV^MS\QWVSWZZMS\I][b] ZMKPVMV Q[\ VIPMb] ]VUÕOTQKP LIb] [QVL LQM ;\ZÕU]VO[^MZPÃT\VQ[[M^QMTb]SWUXTQbQMZ\=VIJ PÃVOQO ^WV LMV ,M\IQT[ _QZL IJMZ LMZ ?ÃZUM [\ZWU QU /ZW¾MV ]VL /IVbMV XZWXWZ\QWVIT b]Z ,QNNMZMVb LMZ <MUXMZI\]ZMV ^WV 4]N\ ]VL NM[\MZ 7JMZãÃKPM[MQV-[OQT\]VOMNÃPZ" 19%)PK^Δ< 0QMZJMQQ[\)LMZ.TÃKPMVQVPIT\LMZ]U[\ZÕU \MV.TÃKPM]VLPK^MQVWärmeübergangskoefﬁzient .ÛZ BQUUMZT]N\ OQJ\ M[ JZI]KPJIZM -ZNIPZ]VO[ _MZ\M -QVM PWZQbWV\ITM _IZUM .TÃKPM JZQVO\ M[ I]N PK^f!?U3 MQVM ^MZ\QSITM I]N PK^ f?U3 Merke Wärmeübergang mit Konvektion: Wärmestrom 19%)PK^Δ< mit Wärmeübergangszahl Pcv.

,MZ-Q[JÃZU][[LQM3WV^MS\QWVIV[MQVMZ0I]\ WJMZãÃKPM ]V\MZJQVLMV -JMV LIb] LQMV\ [MQV .MTT ]VL LMZ 5MV[KP bQMP\ [QKP _IZU IV 1U >IS]]UOQJ\M[_MLMZ3WV^MS\QWVVWKP?ÃZUM TMQ\]VO,QM
143

5.3 · Transportphänomene

5.3.3 Wärmestrahlung

Merke

;QMPMb]LQM[MUIS]]U ]V\MZJQVLM\ RMLMV <MUXMZI\]ZI][ OTMQKPL]ZKP?ÃZUMTMQ\]VOWLMZ3WV^MS\QWV#LI[ OQT\NÛZLQM,WXXMT_IVLLM[,M_IZ/MNÃ¾M[]VL NÛZLMV?MT\ZI]UIS]]U[M\b\LM[PITJb_MQUITQOM-VMZ OQM]U_IVLT]VO^WZI][",QM;\ZIPT]VO[Y]MTTM^MZ TQMZ\ \PMZUQ[KPM -VMZOQM LMZ ;\ZIPT]VO[MUXNÃV OMZ OM_QVV\ \PMZUQ[KPM -VMZOQM ]V\MZ_MO[ Q[\ IJMZ MQVM MTMS\ZWUIOVM\Q[KPM ?MTTM ]VL LMZMV -VMZOQM )]KP [QKP\JIZM[ 4QKP\ OMPÕZ\ b] LQM[MV ?MTTMV )][NÛPZTQKP JMPIVLMT\ _MZLMV [QM QV 7 Kapitel 7 MV\[XZMKPMVL âVLM\ [QKP I]KP LWZ\ MQV)J[KPVQ\\ÛJMZ?ÃZUM[\ZIPT]VO7 Kap. 7.3.3 0QMZ[MQV]Z[W^QMT^WZ_MOOMVWUUMV"2MLMZ3ÕZ XMZ UQ\ MQVMZ <MUXMZI\]Z ÛJMZ 3 w ]VL LI[ PMQ¾\ _QZSTQKP RMLMZ 3ÕZXMZ w [\ZIPT\ 4QKP\ IJ _MVV I]KP VQKP\ VW\_MVLQOMZ_MQ[M [QKP\JIZM[ -Z[\^WVM\_I+I]N_ÃZ\[JMOQVV\MQVMPMQ¾M .TÃKPM NÛZ LI[ UMV[KPTQKPM )]OM MZSMVVJIZ b] OTÛPMV 5Q\ [\MQOMVLMZ <MUXMZI\]Z ^MZ[KPQMJ\ [QKP LI[ ;XMS\Z]U LMZ ;\ZIPT]VO b] SÛZbMZMV ?MTTMV Wien-Verschiebungsgesetz I][ :W\OT]\ _QZL ?MQ¾OT]\ ,QM OM[IU\M ;\ZIPT]VO[TMQ[\]VO QV\MOZQMZ\ ÛJMZ ITTM ?MTTMVTÃVOMV _ÃKP[\ ZIXQLM UQ\LMZ<MUXMZI\]ZIVXZWXWZ\QWVITb]<VÃU TQKP"

Wärmestrahlung: Jeder Körper verliert Energie durch Abstrahlung von Licht (im weitesten Sinn des Wortes). Der Energiestrom wächst mit der 4. Potenz der Temperatur und verschiebt dabei seinen Schwerpunkt zu kürzeren Wellenlängen.

Stefan-Boltzmann-Gesetz"

8%)σ<

0QMZJMQQ[\)LQM[\ZIPTMVLM[KP_IZbM.TÃKPM ]VL σ% ?U3 MQVM ;\ZIPT]VO[ SWV[\IV\M ?MZ [QKP LQKP\ ^WZ MQVMV MQ[MZVMV 3IVWVMV WNMV[M\b\LMUTM]KP\M\LQM[M*MbMQKPV]VO?ÃZ UM[\ZIPT]VOPÕKP[\[QVVNÃTTQOMQV-[PIVLMT\[QKP IJMZ ]U MTMS\ZWUIOVM\Q[KPM ?MTTMV QU QVNZIZW \MV ;XMS\ZITJMZMQKP IT[W ]U 4QKP\ QU _MQ\MZMV ;QVVM

5

)V_WTSMVTW[MV;WUUMZ\IOMVLIZNLQM4]N\\MU XMZI\]ZV]ZiQU;KPI\\MVtOMUM[[MV_MZLMVIV LMZVNITT[_QZLLI[
αρ%

144

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Kapitel 5 · Wärmelehre

-QVM^ÕTTQO_MQ¾M.TÃKPMα% ρ%ZMãMS \QMZ\ ^WTT[\ÃVLQO _MVV I]KP VQKP\ ZMO]TÃZ _QM MQV ;XQMOMT [WVLMZV UMPZ WLMZ _MVQOMZ LQNN][ i;\ZM]ZMãM`QWVt )]KPLQM?ÃZUM[\ZIPT]VOZMIOQMZ\I]N α]VL ρ#[QMU][[M[MQVMUITTOMUMQVMV8ZQVbQXb]TQMJM ,QM[M[JM[IO\",MZ?MZ\I]NLMV[QKPMQV\PMZUW LaVIUQ[KPM[ /TMQKPOM_QKP\ _MVV ÛJMZPI]X\ MQV[\MTT\Q[\]VIJPÃVOQO^WU?MOI]NLMULQM[ OM[KPQMP\6]VMQVQOMV[QKPb_MQ3ÕZXMZLQM?ÃZ UM L]ZKP 4MQ\]VO ]V\MZMQVIVLMZ I][\I][KPMV SÕVVMVUQ\;QKPMZPMQ\IU-VLMI]NMQVMOMUMQV [IUM <MUXMZI\]Z ;QVL [QM PQVOMOMV \PMZUQ[KP ^WVMQVIVLMZQ[WTQMZ\\I][KPMV[QMIT[WV]ZL]ZKP ?ÃZUM[\ZIPT]VO-VMZOQMI][[WU][[LI[;\ZIP T]VO[OTMQKPOM_QKP\ \ZW\bLMU b]U OTMQKPMV -Z OMJVQ[NÛPZMVI]KP_MVVLMZMQVM3ÕZXMZ[KP_IZb ]VL LMZ IVLMZM _MQ¾ Q[\ ,MZ _MQ¾M IJ[WZJQMZ\ NZMQTQKP [W O]\ _QM VQKP\[ ^WV LMU _I[ QPU LMZ [KP_IZbM b][\ZIPT\# NWTOTQKP LIZN MZ I]KP [W O]\ _QM VQKP\[ IJ[\ZIPTMV LMVV QU /TMQKPOM_QKP\ U][[MZM`IS\LQMOTMQKPM;\ZIPT]VO[TMQ[\]VOIJ OMJMV_QMI]NVMPUMV5I`QUITM[-UQ[[QWV[^MZ UÕOMVNÛZ<MUXMZI\]Z[\ZIPT]VOJM[Q\b\LM[PITJ V]Z LMZ [KP_IZbM 3ÕZXMZ =UOMSMPZ\ [QVL ,M _IZ/MNÃ¾M ÛJTQKPMZ_MQ[M ^MZ[XQMOMT\ ]U VÃU TQKPMQVMV?ÃZUMI][\I][KPL]ZKP;\ZIPT]VOWX \QUITb]]V\MZJQVLMV"?MZO]\ZMãMS\QMZ\[\ZIPT\ [KPTMKP\ )]KP LQM ]V[QKP\JIZM ?ÃZUM[\ZIPT]VO I][ OM[IVL\^WV3ÕZXMZVLQMb]U/TÛPMVVWKPVQKP\ PMQ¾ OMV]O [QVL Q[\ 4QKP\ 1VNZIZW\TQKP\ 5IV SIVVM[UQ\?ÃZUMJQTLSIUMZI[XPW\WOZIXPQMZMV . Abb. 5.10 1V VWZUITMV ,QOQ\ITSIUMZI[ [QVL I]NMQVMUM\_I¶UUOZW¾MV;QTQbQ]UKPQXMQ VQOM5QTTQWVMVTQKP\MUXâVLTQKPM,QWLMV7 Kap. 6.8.3 IVOMWZLVM\ 1V Wärmebildkameras UIV [XZQKP\ I]KP ^WV Thermographie LQM UMQ[\ NÛZ 1VNZIZW\TQKP\ UQ\ ?MTTMVTÃVOMV b_Q[KPMV ]VL UMUXâVLTQKP[QVLOMP\M[^QMTSWUXTQbQMZ\MZ b] )]N LMU ;QTQbQ]UKPQX _MZLMV L]ZKP SWU XTQbQMZ\M £\b\MKPVQS M\TQKPM 9]ILZI\UQSZWUM\MZ OZW¾MNZMQ[\MPMVLM*ZÛKSMVI][MQVMUTMQ\NÃPQOMV 5I\MZQITOMJI]\LQM^WVLMZ1VNZIZW\[\ZIPT]VOMZ _ÃZU\QPZM4MQ\NÃPQOSMQ\ÃVLMZVMikrobolometer )]NMQVMU+PQX[QVLIJMZJM[\MVNITT[[WT KPMZ *ZÛKSMV LQM )]ãÕ[]VO MQVMZ ?ÃZUMJQTL SIUMZI Q[\ IT[W ^QMT [KPTMKP\MZ ,]ZKP /TI[ OMP\

. Abb. 5.10. Wärmebild des Autors. Die Brille ist relativ kalt, die Infrarotstrahlung dringt nicht durch das Glas. Der Mund ist auch relativ kalt, weil ich gerade eingeatmet habe. Die Skala zeigt an, welcher Grauton zu welcher Temperatur gehört

LQM[M1VNZIZW\[\ZIPT]VOOIZVQKP\L]ZKPLM[PITJ Q[\LQM7JRMS\Q^TQV[MI][LMU0ITJTMQ\MZ/MZUI VQ]UOMNMZ\QO\,I[ITTM[UIKP\?ÃZUMJQTLSIUM ZI[JQ[UIT\M]ZMZIT[3IUMZI[NÛZ[QKP\ JIZM[4QKP\1VLMZ<MKPVQSMQVOM[M\b\_MZLMV[QM ^WZITTMUI]N*I][\MTTMVb]Z3WV\ZWTTMLMZ?ÃZ UMQ[WTI\QWV ^WV /MJÃ]LMV ]VL QV .IJZQSMV b]Z 3WV\ZWTTM MTMS\ZQ[KPMZ ;\ZWUSZMQ[M I]N »JMZPQ\ b]VO -QV?M\\MZ[\]ZbSIVVLMVXI[[QWVQMZ\MV*MZO [\MQOMZLIb]b_QVOMVI]NLMU/TM\[KPMZb]ÛJMZ VIKP\MV ,Ib] U][[ MZ [QKP _IZU MQV_QKSMTV ?WTTLMKSMV[QVL[KP_MZ]VLJMTI[\MVLMV:]KS [IKS-QVMTMQKP\MZMãMS\QMZMVLUM\ITTQ[QMZ\M3]V[\ [\WNNXTIVM \]\ M[ I]KP LMVV [QM ]V\MZLZÛKS\ LQM ?ÃZUM[\ZIPT]VO .ÛZ LMV ?ÃZUMPI][PIT\ LM[ 5MV[KPMV[XQMT\[MQVM-QOMV[\ZIPT]VOMQVM_QKP \QOM:WTTM.ÛZLMV?ÃZUMPI][PIT\LMZ-ZLMOQT\ LQM[MZ[\ZMKP\#MZTÃ[[\[QKPÛJMZPI]X\V]ZL]ZKP ;\ZIPT]VO QV [MQV .TQM¾OTMQKPOM_QKP\ JZQVOMV 7 Kap. 5.5.3

145

5.3 · Transportphänomene

5

Rechenbeispiel 5.14: Der Mensch friert noch mehr 7 Aufgabe. Außer durch Konvektion verliert der nackte Mensch Wärme auch durch Strahlung. Wie viel? 7 Lösung. Die meisten Menschen sind zwar nicht schwarz, aber doch in guter Näherung ein schwarzer Strahler. Die Stefan-Bolzmann-Gleichung kann also direkt angewendet werden: Diese gewaltige Strahlungsleistung lässt den Menschen aber nur erkalten, wenn er einsam durch die Weiten des Weltalls schwebt. Das 15 °C kalte Zimmer strahlt ja auch auf ihn zurück, und zwar mit: Nur die Differenz von 161 W lässt den Menschen frieren. Diese Verlustleistung entspricht recht genau den 149 W, die durch Konvektion verloren gehen (Rechenbeispiel 5.9).

5.3.4 Diffusion

,QM \PMZUQ[KPM *M_MO]VO _QZJMT\ LQM 5WTMSÛTM MQVM[/I[M[[\ÃVLQOL]ZKPMQVIVLMZ]VL^MZ\MQT\[QM OTMQKPUÃ¾QOQU/MTÃVLMI]KP]VL^WZITTMULIVV _MVVUMPZMZM5WTMSÛT[WZ\MVOTMQKPbMQ\QOPMZ]U [KP_QZZMV" ;QM _MZLMV I]N LQM ,I]MZ PWUWOMV L]ZKPUQ[KP\1U/MLIVSMV^MZ[]KPSIVVUIVMQV /MNÃ¾L]ZKPMQVMPMZI][VMPUJIZM
. Abb. 5.11a–c. Diffusion im molekularen Bild. Im ersten Moment nach Entfernen der Trennwand können die beiden Molekülsorten (blaue und schwarze Kugel) nur jeweils von einer Seite aus die alte Grenzﬂäche überschreiten. Erst wenn sich die Konzentrationen ausgeglichen haben, verschwinden auch die Nettoströme der Teilchen

4M\b\TQKP OQJ\ M[ QUUMZ LIVV ,QNN][QWV _MVV MQV 3WVbMV\ZI\QWV[OMNÃTTM ^WZTQMO\ 5WTMSÛTM IV MQVMU7Z\PÃ]âOMZ[QVLIT[IU6IKPJIZWZ\5IV JM[KPZMQJ\ LI[ _QM JMQ MQVMZ <MUXMZI\]Z UQ\ 3WVbMV\ZI\QWV[ÃVLMZ]VOXZW4ÃVOMMQVMU Konzentrationsgradienten ΔKΔ` =VL _QM JMQ LMZ ?ÃZUMTMQ\]VO Q[\ LMZ <MQTKPMV[\ZWU LMZ ,QN N][QWV XZWXWZ\QWVIT b] LQM[MU 3WVbMV\ZI\QWV[ OZILQMV\MV ]VL I]KP b]Z L]ZKP[\ZÕU\MV .TÃKPM ) ,I[ Diffusionsgesetz NÛZ LMV <MQTKPMV[\ZWU 1< [QMP\ LMZ ?ÃZUMTMQ\]VO[OTMQKP]VO [MPZ ÃPV TQKP" ΔK 1<%,)5 Δ`

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1 2 3 4

Kapitel 5 · Wärmelehre

UQ\LMU,QNN][QWV[SWMNâbQMV\MV,,QM;1-QVPMQ\ LM[ <MQTKPMV[\ZWU[ Q[\ U[ WN\ _QZL MZ IJMZ QV KU[IVOMOMJMV Merke Diffusionsgesetz: Teilchenstrom proportional zum Konzentrationsgradienten ΔK 1<%,)5 Δ`

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5Q\ [\MQOMVLMZ <MUXMZI\]Z _QZL LQM \PMZUQ[KPM *M_MO]VO QUUMZ PMN\QOMZ# SMQV ?]VLMZ LI[[ UQ\ QPZ I]KP LMZ ,QNN][QWV[SWMNâbQMV\ b]VQUU\ 4MQKP\M5WTMSÛTM[QVLJMQOMOMJMVMZ<MUXMZI\]Z [KPVMTTMZ" 3MQV ?]VLMZ LI[[ LMZ ,QNN][QWV[SW MNâbQMV\ ^WV ?I[[MZ[\WNN OZÕ¾MZ Q[\ IT[ LMZ ^WV ;I]MZ[\WNN WLMZ ;\QKS[\WNN ,QM[M[ .IS\]U TÃ[[\ [QKP[QVVNÃTTQOLMUWV[\ZQMZMV#UIVJZI]KP\LIb] MQVMV PWPTMV ]VL XWZÕ[MV <WVbaTQVLMZ IV LMV ]V\MVMQVOTÃ[MZVMZ;\]\bMVUQ\MQVMU?I[[MZUI VWUM\MZIVOM[KPUWTbMVQ[\. Abb. 5.12;\ÛTX\ UIV RM\b\ MQV UQ\ OI[NÕZUQOMU ?I[[MZ[\WNN OM NÛTT\M[*MKPMZOTI[^WVWJMVÛJMZLMVBaTQVLMZ[W [QOVITQ[QMZ\LI[5IVWUM\MZ»JMZLZ]KS"0LQNN]V LQMZ\[KPVMTTMZQVLMVBaTQVLMZPQVMQVIT[4]N\PM ZI][ ?I[LMV/I[MVZMKP\Q[\Q[\LMV.TÛ[[QOSMQ\MV JQTTQO ]VL ^WZ ITTMU I]KP LMV QV QPVMV OMTÕ[\MV ;\WNNMV,MZMV5WTMSÛTMPIJMVIJMZQVQPZMZ\PMZ UQ[KPMV *M_MO]VO [MPZ ^QMT STMQVMZM NZMQM ?MO TÃVOMV]VLLIZ]UI]KP[MPZ^QMTSTMQVMZM,QNN] [QWV[SWMNâbQMV\MVIT[LQM5WTMSÛTMLMZ/I[M.ÛTT\ UIV MQVMV UM\MZPWPMV BaTQVLMZ b]Z 0ÃTN\M UQ\ ?I[[MZ[KPQKP\M\UIV^WZ[QKP\QO]V\MZ[WZO[IUMZ >MZUMQL]VO ^WV ?QZJMTV
. Abb. 5.12. Versuch zur Diffusion von Gasen. Das Becherglas wird von unten mit Wasserstoff gefüllt. Da er schneller in den porösen Tonzylinder diffundiert als die Luft hinauskommt, entsteht im Zylinder vorübergehend ein Überdruck

3WV[\Z]S\QWV^WV5MV[KP]VL
Klinik Diffusion durch die Zellmembran. Besondere Bedeutung für lebende Organismen hat die Diffusion durch eine Zellmembran. Es kann nicht verwundern, dass hier die Diffusionskoefﬁzienten noch wesentlich kleiner sind als in der reinen Zellﬂüssigkeit. Liegt über der Zellmembran eine KonzentrationsLQNNMZMVb ΔK irgendeiner Substanz vor, so erhalten wir einen Teilchenstrom dieser Substanz durch die Membran gemäß: ΔK 1<%),4%)8ΔK , Dabei ist ) die Membranﬂäche und L die Membrandicke. 8%,Lnennt man den Permeabilitätskoefﬁzienten. Man kann ihn messen, ohne L zu kennen. Eine anständige Membran ist 5 nm dick (Einheitsmembran) und hat bei Körpertemperatur für Glukose ein 8 von ungefähr 6 mm/s, der Diffusionskoefﬁzient beträgt UU[.

147

5.3 · Transportphänomene

5

OMV,QM[M[;\ÛKSKPMV[WTTVIKP5ÕOTQKPSMQ\STMQV [MQV ]VL LQM 9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM LM[ ,QNN][QWV[ [\ZWUM[ VIKP 5ÕOTQKPSMQ\ OZW¾ ,IZ]U Q[\ LI[ ;a[\MULMZ*T]\OMNÃ¾M[W]VOTI]JTQKPNMQV^MZÃ[ \MT\ LIZ]U [QVL LQM 4]VOMVJTÃ[KPMV [W _QVbQO ]VL[WbIPTZMQKP Rechenbeispiel 5.11: Hechelndes Insekt? 7 Aufgabe. Ein Insekt atmet nicht, der Sauerstoff diffundiert hinein. Sauerstoff diffundiert von der Oberﬂäche eines Insekts durch kleine Röhren, die man Tracheen nennt. Diese seien 2 mm lang und hätten eine innere Oberﬂäche von 2 · 10−9 m2. Angenommen, die Sauerstoffkonzentration im Insekt ist halb so groß wie in der Luft, welcher Sauerstoffﬂuss geht durch die Trachea? Die Sauerstoffkonzentration in der Luft ist etwa UWTU und die Diffusionskonstante , %U[. 7 Lösung: Der Sauerstoffﬂuss ist UWT 62 ΔKU 1%),5%w!U,35323 Δ`U UWT %w61 [

5.3.5 Osmose

!

,MZ<MQTKPMV[\ZWUI]NOZ]VL^WV,QNN][QWVSIVV b]MQVMU»JMZLZ]KSLWZ\NÛPZMV_WMZPQVãQM¾\ ,QM[ OM[KPQMP\ LIVV _MVV MQV MV\[XZMKPMVLMZ /MOMV[\ZWU L]ZKP MQVM [MTMS\Q^ XMZUMIJTM 5MUJZIV LQM V]Z <MQTKPMV MQVMZ ;WZ\M L]ZKP TÃ[[\^MZPQVLMZ\_QZL1V/I[MVOQJ\M[[WM\_I[ NI[\ VQKP\ )VLMZM[ OQT\ QV .TÛ[[QOSMQ\MV" /MZILM TMJMVLM 7ZOIVQ[UMV [M\bMV QV ]VOTI]JTQKPMZ >QMTNIT\selektiv permeable5MUJZIVMVMQV5MU JZIVMV IT[W LQM b* ?I[[MZUWTMSÛTM L]ZKPTI[ [MV OMTÕ[\M B]KSMZUWTMSÛTM IJMZ VQKP\ UIV [XZQKP\ I]KP ^WV i[MUQXMZUMIJTMVt 5MUJZI VMV# LQM[MZ 6IUM Q[\ VQKP\ ]VJMLQVO\ OTÛKSTQKP OM_ÃPT\_WZLMVLMVVi[MUQXMZUMIJMTtJMLM]\M\ _ÕZ\TQKPiPITJL]ZKPTÃ[[QOt1UMQVNIKP[\MV.ITT LIZN UIV [QKP MQVM [WTKPM 5MUJZIV IT[ MQV ;QMJUQ\UWTMSÛTNMQVMV8WZMV^WZ[\MTTMV. Abb.

. Abb. 5.13. Osmose. Einfache Modellvorstellung zur Entstehung des osmotischen Druckes. Die feinen Poren der Membran lassen nur die kleinen Moleküle des Lösungsmittels hindurch, nicht aber die dicken der gelösten Substanz. Demnach kann nur das Lösungsmittel seinem Konzentrationsgefälle folgen und in die Lösung diffundieren und zwar grundsätzlich so lange, bis der dort entstehende Überdruck (f Δh) einen Rückstrom durch die Membran auslöst, der den Diffusionsstrom kompensiert

5.13",QMOMTÕ[\MV5WTMSÛTM[QVLMQVNIKPb]LQKS ]UPQVL]ZKPb]OMTIVOMV;XMbQITQ[QMZ\M5MUJZI VMV MV\_QKSMTV ITTMZLQVO[ MQVM .ÛTTM ^WV .ÃPQO SMQ\MVLMZ;MTMS\QWVLQM[QKP[WMQVNIKPVQKP\MZ STÃZMVTI[[MV#UIVKPMJQWTWOQ[KPMV5MUJZIVMV SÕVVMV[WOIZVQKP\V]Z[WZ\QMZMV[WVLMZVI]KP IS\Q^X]UXMVIT[W^WV[QKPI][MQVMV3WVbMV\ ZI\QWV[]V\MZ[KPQML I]N QPZMV JMQLMV ;MQ\MV I]N JI]MV Merke Osmose: Diffusion durch eine selektiv permeable, für verschiedene Moleküle unterschiedlich durchlässige Membran.

6W\_MVLQOMZ_MQ[MQ[\LQM)VbIPTLQKP\MLMZ07 5WTMSÛTM QV MQVMZ B]KSMZTÕ[]VO OMZQVOMZ IT[ QV LM[\QTTQMZ\MU ?I[[MZ ;QVL JMQLM .TÛ[[QOSMQ\MV L]ZKP MQVM V]Z NÛZ ?I[[MZ L]ZKPTÃ[[QOM [MTMS\Q^ XMZUMIJTM 5MUJZIV OM\ZMVV\ [W LQNN]VLQMZ\

148

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Kapitel 5 · Wärmelehre

?I[[MZL]ZKPLQM5MUJZIVPQVL]ZKPQVLQM4Õ [WTT NWTO\ IT[ O]\M 6ÃPMZ]VO LQM van’t-Hoff-Glei[]VO^MZ[]KP\IT[WLQM[Mb]^MZLÛVVMV,IL]ZKP chung" MZPÕP\[QKPLWZ\LMZ,Z]KS]VLb_IZOZ]VL[Ã\b V XW[U%3:< TQKPJQ[b]MQVMU/ZMVb_MZ\LMZosmotischer Druck > OMVIVV\_QZL ;QMTQMNMZ\LMVXW\MV\QMTTMVW[UW\Q[KPMV,Z]KS Merke MQVMZ 4Õ[]VO OMOMVÛJMZ ZMQVMU 4Õ[]VO[UQ\\MT ;\MPMV [QKP IV LMZ 5MUJZIV b_MQ 4Õ[]VOMV OM Osmotischer Druck: durch Osmose über einer OMVÛJMZ[WSIVV[QKPPÕKP[\MV[LQM,QNNMZMVbLMZ selektiv permeablen Membran mögliche (poJMQLMVW[UW\Q[KPMV,ZÛKSMI][JQTLMV tentielle) Druckdifferenz. Merke

-[SIVVTIVOMLI]MZVJQ[[QKPLQM[MZ/ZMVb_MZ\ XW[U_QZSTQKPMQV[\MTT\#b]LMUXTI\b\LQM5MUJZIV VQKP\ [MT\MV ^WZPMZ 1V[WNMZV SIVV UIV XW[U IT[ iXW\MV\QMTTMVt,Z]KSJMbMQKPVMVLMZWN\OIZVQKP\ MZZMQKP\_QZLWLMZLQM)VbIPTLQKP\M6>LMZOM TÕ[\MV5WTMSÛTMIVSWUU\VQKP\I]NLMZMV6I\]Z ]VLI]NLQMLMZ5WTMSÛTMLM[4Õ[]VO[UQ\\MT[I]KP VQKP\V]ZU][[LQM5MUJZIVJMQLM;WZ\MV^WV MQVIVLMZ ]V\MZ[KPMQLMV SÕVVMV )][ Y]IV\Q\I \Q^MZ:MKPV]VOLQMPQMZVQKP\^WZOMNÛPZ\_MZLMV

van’t-Hoff-Gleichung für den osmotischen Druck:

3Formal stimmt die van’t-Hoff-Gleichung mit dem Gasgesetz überein (7 Kap. 5.2.1). Dies kann zu der falschen Deutung verleiten, nur die gelösten Moleküle trommelten auf die für sie undurchdringliche Membran wie Gasmoleküle auf die Gefäßwand, während die Moleküle des Lösungsmittels quasi frei durch die Membran schlüpften. Warum sollte dann aber das Lösungsmittel in die Lösung einzudringen und sie zu verdünnen versuchen? Das Bild ist falsch.

12 13 14 15 16 17 18 19 20

Klinik Leitungswasser ist tödlich. Lösungsmittel können Fremdmoleküle beträchtlich dichter packen als Gase unter Normalbedingungen; osmotische Drücke sind entsprechend hoch. Lebende Organismen müssen ihrer selektiv permeablen Membranen wegen auf die Dichten der osmotisch wirksamen Teilchen in ihren verschiedenen Gefäßen achten und der Arzt zuweilen auch. Wollte man einem Unfallpatienten, weil gerade nichts Besseres zur Hand ist, seinen Blutverlust durch Leitungswasser ersetzen, so brächte man ihn auf der Stelle um: Die roten Blutkörperchen sind die Zusammensetzung des Blutplasmas gewohnt, ihr eigener Inhalt hat die entsprechende Konzentration. Kommen sie in reines Wasser, so dringt dies durch ihre Zellmembran ein und bringt sie zum Platzen. Umgekehrt werden sie von einer zu konzentrierten Lösung ausgetrocknet. Bei mikroskopisch kleinen Zellen geht das

schnell. Blutersatzmittel müssen deshalb isotonisch zum Blut sein, d.h. die gleiche Stoffmengendichte osmotisch wirksamer Teilchen haben. Für den osmotischen Druck ist es allerdings gleichgültig, welche Moleküle ihn erzeugen, sofern sie die Membran nur nicht durchdringen können. Die Zellmembran der roten Blutkörperchen vermag z.B. die Ionen des Kochsalzes von Wassermolekülen zu unterscheiden. Deshalb kann physiologische Kochsalzlösung im Notfall als Blutersatz dienen. Wesentlich Neues geschieht, wenn die Membran positive und negative Ionen unterscheiden kann, wenn sie QWVMV[MV[Q\Q^ ist, denn dann baut sie statt des osmotischen Druckes eine elektrische Membranspannung auf. Auch diesen Effekt setzen lebende Organismen virtuos ein, etwa bei der Nervenleitung. Er gehört aber in die Elektrizitätslehre und wird deshalb erst in 7 Kapitel 6.8.1 behandelt.

149

5.4 · Phasenumwandlungen

Rechenbeispiel 5.10: Kochsalzlösung 7 Aufgabe. Wie groß ist der osmotische Druck physiologischer Kochsalzlösung (0,9 Gewichtsprozent NaCl) bei Körpertemperatur? Holen Sie sich die notwendigen Daten für die molare Masse von NaCl aus dem 7 Anhang. 7 Lösung. Wir wenden die van’t-Hofft-Gleichung an:

R % 2UWT3# T %+%3. Wir brauchen die molare Masse: 56I%O UWT# 5+T%OUWT# also 56I+T% O UWT. Die physiologische Kochsalzlösung enthält 0,9 Gewichtsprozent NaCl in H2O. Da 1 Liter Wasser recht genau 1 Kilogramm Masse hat, bedeutet das 9 g/ Liter Kochsalz. Dann ist die Molarität:

Es sind aber beide Ionensorten osmotisch wirksam, was den Wert für die Osmose verdoppelt:

Damit folgt: XW[U%!24Q\MZ%!2U%! 58I. Das ist 8-mal höher als der Luftdruck. Spült man sich die Nase mit Leitungswasser, bekommt man diesen hohen Druck sehr unangenehm zu spüren. Man nimmt also besser eine Salzlösung. Im Körper kompensieren sich die osmotischen Drücke weitgehend.

5.4

Phasenumwandlungen

5.4.1 Umwandlungswärmen

!

.I[\ ITTM ;\WNNM SÕVVMV ]V\MZ OMMQOVM\MV *MLQV O]VOMV NM[\ ãÛ[[QO WLMZ OI[NÕZUQO [MQV ,MZ ?MKP[MTLM[)OOZMOI\b][\IVL[Q[\QU8ZQVbQXMQVM KPMUQ[KPM:MIS\QWVJMQLMZ*QVL]VOMVb_Q[KPMV 5WTMSÛTMV OMJQTLM\ WLMZ I]NOMJZWKPMV _MZLMV ,IJMQ _QZL QUUMZ -VMZOQM =U_IVLT]VO[_ÃZ UM TI\MV\M ?ÃZUM ^WU ;\WNN I]NOMVWUUMV WLMZIJOMOMJMV 07SWUU\QVLMZ6I\]ZQVITTMVLZMQ)OOZM OI\b][\ÃVLMV^WZIT[-Q[WLMZ;KPVMMIT[?I[[MZ

5

]VLIT[?I[[MZLIUXN,QM[_MQ¾RMLMZ)TTMVNITT[ U][[UIVMZ_ÃPVMVLI[[?I[[MZLIUXNMQV]V [QKP\JIZM[ /I[ Q[\ ?WTSMV ]VL 6MJMT MV\PIT\MV JMZMQ\[ ãÛ[[QOM[ ?I[[MZ b] STMQVMV MZ[]KP^QMTMSTMQVM,QI UIV\MV b] MQVMU OZW¾MV b][IUUMVb][KPUMT bMV_MZ\TW[M3ZÛUMT^WV/ZIXPQ\MZPQMT\MV3WP TMV[\WNN SWUU\ RI QV LQM[MV JMQLMV 3ZQ[\ITTQ[I\Q WV[NWZUMV ^WZ 7 Kap. 3.2.1 ]VL SIVV OZ]VL [Ã\bTQKP ^WV LMZ MQVMV QV LQM IVLMZM ÛJMZOMPMV QV LQM LM[ ,QIUIV\MV ITTMZLQVO[ V]Z ]V\MZ M` \ZMUPWPMU,Z]KS)VITWOM[OQT\NÛZ^QMTMIVLM ZM ;]J[\IVbMV I]KP )TTM LQM[M MQVMZ ;]J[\IVb UÕOTQKPMV -Z[KPMQV]VO[NWZUMV JMbMQKPVM\ UIV QVLMZ
150

Kapitel 5 · Wärmelehre

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 5.14. Die Aggregatzustände und ihre Umwandlungswärmen

Merke Zu Phasenumwandlungen gehören Umwandlungsenergien (. Abb. 5.14).

UQ\ WZIVOM OTÛPMVLMU bÃPãÛ[[QOMU /TI[ 5Q\ MQVMU :WPZMVLM VQUU\ LMZ /TI[JTÃ[MZ MQVMV LQ KSMVMZPIT\MVLM[ /TI[M[UMPZMQV"5Q\[QVSMVLMZ<MUXMZI\]ZVQUU\ LQM\PMZUQ[KPM*M_MO]VOSWV\QV]QMZTQKPIJ]VLLQM IVbQMPMVLMV3ZÃN\Mb_Q[KPMVLMV5WTMSÛTMVSÕV VMVLQM[MQUUMZNM[\MZIVMQVIVLMZJQVLMV?IZ]U MZ[\IZZ\?I[[MZ[WXTÕ\bTQKP' ,I[ PI\ M\_I[ UQ\ LMZ -V\ZWXQM b] \]V ?QM _QZQV7 Kapitel 5.1.5OMTMZV\PIJMVQ[\LQM-V\ZW XQM MQV 5I¾ NÛZ LQM ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\ LM[ B] [\IVL[MQVM[5I\MZQIT[2MOZÕ¾MZLQM=VWZLV]VO ]U[W PÕPMZ LQM ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\ ]VL LIUQ\ LQM-V\ZWXQM1UãÛ[[QOMV?I[[MZ[QVLLQM5WTM SÛTM]VOMWZLVM\MZIT[QU-Q[,M[_MOMVPI\?I[ [MZ QV .WZU ^WV -Q[ MQVM STMQVMZM -V\ZWXQM IT[ ãÛ[[QOM[ ?I[[MZ ,MZ 0I]X\[I\b LMZ
-QVMOIVb_QKP\QOM)V_MVL]VOâVLMVLQM[M=U _IVLT]VO[_ÃZUMVQV3ÛPT[KPZÃVSMV]VL3TQUI IVTIOMV-QV)ZJMQ\[[\WNNQVLMZ:MOMTMQVM.T]WZ ^MZJQVL]VO _QZL L]ZKP £VLMZ]VO [MQVM[ ,Z] KSM[TI]NMVLSWVLMV[QMZ\]VL_QMLMZ^MZLIUXN\ ,I[ >MZLIUXNMV âVLM\ QU 3ÛPT[KPZIVS [\I\\ [WLI[[ LMZ ;\WNN LWZ\ =U_IVLT]VO[_ÃZUM I]N VQUU\ ]VL LQM[M -VMZOQM QU OI[NÕZUQOMV B] [\IVLVIKPI]¾MV\ZIV[XWZ\QMZ\5Q\MQVMU3WU XZM[[WZ _QZL LI[ /I[ LIVV I]N PWPMU ,Z]KS OMJZIKP\ _WJMQ M[ _QMLMZ SWVLMV[QMZ\ ]VL LQM =U_IVLT]VO[_ÃZUMV QV MQVMU ?ÃZUM\I][KPMZ IV LQM =UOMJ]VO IJOQJ\ 1V ãÛ[[QOMU B][\IVL [\ZÕU\LIVVLMZ;\WNNb]ZÛKSQVLMV3ÛPT[KPZIVS 9 Δ;%3 ,]ZKPMQV,ZW[[MT^MV\QT_QZLLMZ,Z]KSLMZ.TÛ[ < [QOSMQ\ LWZ\ _QMLMZ IJOM[MVS\ ]VL LMZ ;\WNN ^MZ LIUXN\MZVM]\;W_QZL[\ÃVLQO?ÃZUMI][LMU 2M\QMNMZIT[WLQM<MUXMZI\]Z]U[WOZÕ¾MZLQM 3ÛPT[KPZIVS PMZI][ OMX]UX\ ]VL QVVMV SIVV -V\ZWXQMÃVLMZ]VO QV LMZ =UOMJ]VO L]ZKP LQM [QKPMQVMVQMLZQOM<MUXMZI\]ZPIT\MV B]N]PZ LMZ =U_IVLT]VO[_ÃZUM *MQ MQVMZ OIVb JM[\QUU\MV<MUXMZI\]ZMJMV+Q[\JMQU-Z [\IZZMV LQM -V\ZWXQMMZPÕP]VO QV LMZ =UOMJ]VO OMZILMOMVI][WOZW¾_QMLQM-V\ZWXQMIJ[MVS]VO 5.4.2 Schmelzen oder Aufweichen? QU?I[[MZ=V\MZ+MZ[\IZZ\?I[[MZLMVVLIVV -QV /TI[JTÃ[MZ [Q\b\ VMJMV MQVMU M\_I + _QZL LIL]ZKP QV[OM[IU\ LQM -V\ZWXQM MZPÕP\ PMQ¾MV 7NMV 1U 7NMV JMâVLM\ [QKP MQV *MPÃT\MZ »JMZ+JTMQJ\?I[[MZãÛ[[QOLMVVMQV-Z[\IZ

151

5.4 · Phasenumwandlungen

ZMV_ÛZLMLQM-V\ZWXQMQV[OM[IU\IJ[MVSMV]VL LI[MZTI]J\LQM0I]X\[I\bLMZ
5.4.3 Schmelzen und Gefrieren

5

. Abb. 5.15. Erwärmungs- und Abkühlungskurve für H2O. Während des Haltepunktes bleibt die Temperatur konstant, weil Schmelz- bzw. Erstarrungswärme den Wärmeaustausch mit der Umgebung decken

OMTQMNMZ\ . Abb. 5.15, rechts 6]Z IU SchmelzpunktSÕVVMV3ZQ[\ITT]VL;KPUMTbMVMJMVMQVIV LMZM`Q[\QMZMV"-QVBMPV\MTOZILUMPZ]VLITTM[Q[\ OM[KPUWTbMV#MQVBMPV\MTOZIL_MVQOMZ]VLITTM[Q[\ MZ[\IZZ\ QU \PMZUWLaVIUQ[KPMV /TMQKPOM_QKP\ _MVQO[\MV[*MQU;KPUMTbMVWLMZ-Z[\IZZMVU][[ LQM =U_IVLT]VO[_ÃZUM ITTMZLQVO[ ^WV LMZ =U OMJ]VO JM[KPINN\ WLMZ IV [QM IJOMOMJMV _MZLMV ]VLLI[SW[\M\BMQ\;WTIVOM-Q[[\ÛKSKPMVQU?I[ [MZ[KP_QUUMV[\MP\LQM<MUXMZI\]Zb]^MZTÃ[[QO I]N+VIPMLMZ7JMZãÃKPM_MVQO[\MV[#IU*W LMV LM[ <MQKPM[ SÕVVMV LMZ ,QKP\MIVWUITQM LM[ ?I[[MZ[_MOMV+PMZZ[KPMV

! Merke

?MVVUIVMQVSTMQVM[*MKPMZOTI[UQ\?I[[MZNÛTT\ MQV
Haltepunkt: Bei gleichmäßiger Zu- oder Abfuhr von Wärme bleibt die Temperatur einer Probe während einer Phasenumwandlung konstant.

,QM [XMbQâ[KPM ;KPUMTb_ÃZUM K[ LM[ -Q[M[ TÃ[[\ [QKP TMQKP\ QU ?I[[MZSITWZQUM\MZ UM[[MV 5IV _QZN\MQVMVUQ\.QT\MZXIXQMZOM\ZWKSVM\MV-Q[_ÛZ NMT5I[[MU-QV?I[[MZ5I[[MU?[XMbQâ[KPM ?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ K_ <MUXMZI\]Z < ]VL JM [\QUU\LQMVM]M<MUXMZI\]Z<_MVVLMZ?ÛZNMT OMZILMOM[KPUWTbMVQ[\,IVV_]ZLMLMU3ITWZQ UM\MZ_I[[MZLQM?ÃZUMUMVOM Δ9%U?K?<< MV\bWOMV ]VL LIb] ^MZ_MVLM\ b]VÃKP[\ LI[ -Q[ b] [KPUMTbMV ]VL LIVV LI[ ;KPUMTb_I[[MZ I]N<I]Nb]_ÃZUMV" Δ9%U-cK[K?<+e

152

Kapitel 5 · Wärmelehre

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

. Abb. 5.16. Unterkühlung. Der Erstarrungspunkt <[ wird zunächst unterschritten, bis die nach Einsetzen der Erstarrung plötzlich frei werdende Erstarrungswärme < wieder auf <[ anhebt

0MZI][ SWUU\ K[%S2SO ?I[[MZ PI\ VQKP\ V]Z MQVM ]VOM_ÕPVTQKP PWPM [XMbQâ[KPM ?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ [WVLMZV I]KP MQVM ]VOM_ÕPV TQKPPWPM[XMbQâ[KPM;KPUMTb_ÃZUM ;KPUMTb ]VL -Z[\IZZ]VO[X]VS\ TQMOMV JMQ LMZOTMQKPMV<MUXMZI\]Z<[)JMZVQKP\QUUMZMZ [\IZZ\MQVM;KPUMTbM[WJITLLQM[M<MUXMZI\]Z^WV WJMV PMZ MZZMQKP\ _QZL" >QMTM ;]J[\IVbMV SIVV UIV UQ\ M\_I[ >WZ[QKP\ unterkühlen LP MQVM ?MQTMLM]\TQKP]V\MZLMU-Z[\IZZ]VO[X]VS\ãÛ[ [QO PIT\MV 1ZOMVL_IVV [M\b\ LQM 3ZQ[\ITTQ[I\QWV IJMZ LWKP MQV# LIVV _QZL XTÕ\bTQKP ^QMT -Z[\IZ Z]VO[_ÃZUM NZMQ LQM <MUXMZI\]Z [XZQVO\ I]N <[ ]VL _IZ\M\ LWZ\ LQM ZMO]TÃZM ,I]MZ LM[ 0IT\M X]VS\M[ IJ . Abb. 5.16 [WNMZV LQM =V\MZSÛP T]VOVQKP\[KPWVb]_MQ\PMZ]V\MZOMNÛPZ\PI\=U _IVLT]VOMVLMZ)OOZMOI\b][\ÃVLM[QVL[WOKeimbildungsprozesse#[QMUÛ[[MVVQKP\V]Z\PMZUWLa VIUQ[KPUÕOTQKP[MQV[QMUÛ[[MVMQOMV[I][OMTÕ[\ _MZLMV]VLb_IZL]ZKPMQVMV3MQULMZ[QKPQU [\I\Q[\Q[KPMVB]NITTJQTLM\-QV*MQ[XQMT[QVLLQMQU 0IVLMTMZPÃT\TQKPMViMZNM[\QO]VOLMZ4Õ[]VO0aLZI\Q[QMZ]VOLM[6I \ZQ]UIKM\I\[ ,IVV _QZL LMZ *M]\MT L]ZKP LQM =U_IVLT]VO[_ÃZUM[KPÕV_IZU

19

Merke

20

Erstarren ist ein Keimbildungsprozess; das macht die Unterkühlung einer Schmelze möglich.

3Die allermeisten Substanzen dehnen sich beim Schmelzen aus; ihr Kristall hat eine größere Dichte als ihre Flüssigkeit. Ein hoher äußerer Druck bringt darum den festen Aggregatzustand in Vorteil und hebt den Schmelzpunkt ein wenig an. Das ist aber kein Naturgesetz, sondern nur eine Regel. Regeln haben Ausnahmen und wieder ist die pathologische Substanz H2O dabei: Eisberge schwimmen, folglich sinkt der Eispunkt unter Druck, zur Freude der Schlittschuhläufer. Sie stehen mit voller Gewichtskraft auf schmaler Kufe. Das bedeutet hohen lokalen Druck und örtlich schmelzendes Eis: Der Schlittschuh gleitet auf einer dünnen Schicht ﬂüssigen Wassers, die gleich hinter ihm wieder erstarrt.

,MZ /MNZQMZX]VS\ MQVMZ .TÛ[[QOSMQ\ _QZL QUUMZ MZVQMLZQO\_MVVUIVMQVMIVLMZM;]J[\IVbQVQPZ TÕ[\,QM[V]\b\I][_MZ;ITb[\ZM]\[\I\\;KPVMMb] [KPQXXMV-Z_QTTMQVM_Ã[[ZQOM;ITbTÕ[]VOMZbM] OMVLMZMV/MNZQMZX]VS\]V\MZLMZIS\]MTTMV4]N\ \MUXMZI\]ZTQMO\]VLLQMLIZ]UãÛ[[QOJTMQJ\-[ UIOÛJMZZI[KPMV[WTTPQMZIJMZWPVM_MQ\MZM*M OZÛVL]VO TMLQOTQKP NM[\OM[\MTT\ _MZLMV" ,QM Gefrierpunkterniedrigung Δ<[ PÃVO\ V]Z ^WU 4Õ []VO[UQ\\MT ]VL LMZ 3WVbMV\ZI\QWV LMZ OMTÕ[\MV <MQTKPMVIJVQKP\IJMZ^WVLMZMV)Z\^WVLMZOM TÕ[\MV;]J[\IVb" Δ<[%3SKU 0QMZJMQQ[\3SLQMkryoskopische KonstanteLM[ 4Õ[]VO[UQ\\MT[ ]VL KU LQM 5WTITQ\Ã\ BIPT LMZ 5WTM LM[ OMTÕ[\MV ;\WNNM[ XZW 3QTWOZIUU 4Õ []VO[UQ\\MTLM[OMTÕ[\MV;\WNNM[ Merke Die Gefrierpunkterniedrigung ist nahezu proportional zur Konzentration der gelösten Substanz.

Rechenbeispiel 5.13: Eistee 7 Aufgabe. Für eine Feier soll Eistee produziert werden. Dazu werden 3 Liter auf 20 °C abgekühlter Tee genommen und 0,5 kg −10 °C kaltes Eis dazugetan. Führt das zu einer erwünschten Temperatur oder gibt es gar Tee-Eis? Neben der Schmelzwärme (K[%S2SO) brauchen wir noch die speziﬁschen Wärmekapazitäten von Wasser (K?% 2 O3) und Eis (K-%2O3). 6

153

5.4 · Phasenumwandlungen

7 Lösung. Zunächst wollen wir feststellen, ob der Tee ﬂüssig bleibt. Um den Tee auf 0 °C abzukühlen, müssen wir die Energie ?%U_K_+w+ %S2 entziehen. Um das Eis auf 0 °C zu erwärmen und dann zu schmelzen, brauchen wir ?%U-K-+U- K[%S2S2%S2. Der Tee bleibt also ﬂüssig, denn das Schmelzen des Eises entzieht dem Tee nicht genügend Energie. Die resultierende Temperatur T stellt sich so ein, dass das Aufwärmen des Eises genauso viel Energie benötigt, wie das Abkühlen des Tees bringt: S2SOK_ <%SOK_+w<. Daraus ergibt sich <% +. Das ist gut getroffen.

5.4.4 Lösungs- und Solvatationswärme

;KPUMTbMV Q[\ VQKP\ LQM MQVbQOM 5ÕOTQKPSMQ\ MQV 3ZQ[\ITTOQ\\MZ STMQVb]JMSWUUMV" 1V MQVMZ XI[ [MVLMV.TÛ[[QOSMQ\SIVVUIVMQVMV3ZQ[\ITTI]KP I]ãÕ[MV?MQTLIJMQ)ZJMQ\OMOMVLQM3ZÃN\MLMZ /Q\\MZJQVL]VOOMTMQ[\M\_MZLMVU][[TQMO\LQM-Z _IZ\]VO VIPM LI[[ [QKP MQVM 4Õ[]VO VIKPLMU UIV [QM IVOM[M\b\ PI\ b]VÃKP[\ MQVUIT IJSÛPT\ *MQ367;ITXM\MZQV?I[[MZQ[\LI[I]KP[W-[ SIVVIJMZI]KPIVLMZ[SWUUMVLMVVUÕOTQKPMZ _MQ[MTIOMZV[QKPLQM5WTMSÛTMLM[4Õ[]VO[UQ\\MT[ IVOMTÕ[\M<MQTKPMVIV]VLJQTLMV[WMQVM Solvathülle JMQ ?I[[MZ 0aLZI\PÛTTM OMVIVV\ 1V OM _Q[[MU;QVVMV\[XZQKP\LQM[MZ>WZOIVOMQVMZTW SITMV-Z[\IZZ]VOLM[4Õ[]VO[UQ\\MT[JMQLMZLIVV SolvatationsenergieNZMQ_QZL,QM[SIVV[KPWVJMQ LMZ 5Q[KP]VO b_MQMZ .TÛ[[QOSMQ\MV OM[KPMPMV# 4Õ[MVQ[\QU/Z]VLMRIV]ZMQVM;WVLMZNWZULM[ 5Q[KPMV[/QM¾\UIV)TSWPWTWLMZ;KP_MNMT[Ã]ZM QV?I[[MZ[WMZ_ÃZU\[QKPLQM5Q[KP]VO,QMLösungswärme LQM [QKP ]VUQ\\MTJIZ JMWJIKP\MV TÃ[[\Q[\LQM,QNNMZMVb^WVNZMQOM[M\b\MZ;WT^I\I\Q WV[MVMZOQM ]VL OMOMJMVMVNITT[ I]Nb]JZQVOMVLMZ -VMZOQM b]U )]NJZMKPMV MQVM[ 3ZQ[\ITTOQ\\MZ[ SIVVIT[WXW[Q\Q^WLMZVMOI\Q^[MQV Merke Beim Ansetzen einer Lösung kann es zur Abkühlung oder Erwärmung kommen.

5.4.5 Verdampfen und Kondensieren

5 !

)]KPLQM5WTMSÛTMMQVMZ.TÛ[[QOSMQ\^MZ\MQTMVQPZM \PMZUQ[KPMV/M[KP_QVLQOSMQ\MV]UMQVMV\MUXM ZI\]ZJMLQVO\MV 5Q\\MT_MZ\# M[ OQJ\ [KPVMTTM ]VL TIVO[IUM<MQTKPMVB]LMU_MZLMVQUUMZMQVQOM WJMZãÃKPMVVIPM5WTMSÛTM^MZ[]KPMVQVLMV/I[ ZI]U I][b]JZMKPMV# IJMZ V]Z LMV [KPVMTT[\MV _QZLM[OMTQVOMVLMVVIVLMZ7JMZãÃKPM_QZSMV LQM b_Q[KPMVUWTMS]TIZMV 3ZÃN\M RI MQV[MQ\QO ]VL PIT\MVLQMTIVO[IUMZMV5WTMSÛTMNM[\=UOMSMPZ\ SIVV IJMZ RMLM[ 5WTMSÛT I][ LMU ,IUXN QV LQM .TÛ[[QOSMQ\b]ZÛKSSMPZMV_MVVM[V]ZLQM7JMZ ãÃKPMMZZMQKP\ -QVM.TÛ[[QOSMQ\SIVVIT[WJMQITTMV<MUXMZI \]ZMV verdampfenVQKP\V]ZJMQU;QMLMX]VS\1V LMZMZLIUX N]VO[_ÃZUM _QMLMZ MQVUIT ]VOM_ÕPVTQKP PWKP ,I[PQTN\LMU5MV[KPMV_MVVMZ[MQVMV?ÃZUM PI][PIT\L]ZKP
154

Kapitel 5 · Wärmelehre

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

. Abb. 5.17. Gleichgewichtsdampfdruckkurven einiger Flüssigkeiten

U][[-[[WZO\I]KPNÛZLQM^MZOTQKPMVUQ\LMU 3WV\QVMV\ITSTQUIOMUÃ¾QO\MV<MUXMZI\]Z_MKP [MTLM[;MMSTQUI["2MLM£VLMZ]VOLMZ?I[[MZ\MU XMZI\]Z ^MZTIVO\ ^QMT >MZLIUXN]VO[_ÃZUM WLMZ TQMNMZ\^QMT3WVLMV[I\QWV[_ÃZUM 1U\PMZUWLaVIUQ[KPMV/TMQKPOM_QKP\\ZM\MV I][ MQVMZ .TÛ[[QOSMQ\[WJMZãÃKPM OMVI][W ^QMTM .TÛ[[QOSMQ\[UWTMSÛTM I][ _QM MQV ,I[ [M\b\ ^W ZI][LI[[LQM3WVbMV\ZI\QWVLMZ.TÛ[[QOSMQ\[UW TMSÛTMQVLMZ4]N\LMZDampfdruckMQVMVOIVbJM [\QUU\MV?MZ\PI\,QM[M3WVbMV\ZI\QWVQ[\VQKP\[ IVLMZM[ IT[ LMZ 8IZ\QITLZ]KS LM[ ,IUXNM[ QU /TMQKPOM_QKP\,QM[MZNÛZLI[/TMQKPOM_QKP\KPI ZIS\MZQ[\Q[KPM 8IZ\QITLZ]KS _QZL GleichgewichtsdampfdruckWLMZ SättigungsdampfdruckLMZ.TÛ[ [QOSMQ\ OMVIVV\ -Z Q[\ NÛZ RMLM .TÛ[[QOSMQ\ ^MZ [KPQMLMV]VLPÃVO\[\IZS^WVLMZ<MUXMZI\]ZIJ . Abb. 5.17 Merke Beim Gleichgewichtsdampfdruck (Sättigungsdampfdruck) XD stehen Flüssigkeit und Dampf im thermodynamischen Gleichgewicht.

17 18 19 20

B]U /TMQKPOM_QKP\[LIUXNLZ]KS X, OMPÕZ\ MQVM Gleichgewichtsdampfdichte ρ, b] UM[[MV JMQ [XQMT[_MQ[M QV OKU;QM U][[ OM[WVLMZ\ JM [\QUU\_MZLMVLMVVI]NLI[/I[OM[M\bSIVVUIV [QKP PQMZ VQKP\ ^MZTI[[MV" ,ÃUXNM QU /TMQKPOM _QKP\ UQ\ QPZMZ .TÛ[[QOSMQ\ [QVL SMQVM QLMITMV /I[M.ÛZLQM_QKP\QOM;]J[\IVb?I[[MZ[\MP\MQVM
. Abb. 5.18. Arrhenius-Diagramm des Gleichgewichtsdampfdruckes von Wassers; die Steigung der Geraden entspricht einer molaren Verdampfungsenthalpie von 43 kJ/mol. Genaue Messungen über einen größeren Bereich liefern eine leicht gekrümmte Kurve: Mit steigender Temperatur nimmt die Verdampfungsenthalpie ein wenig ab (vgl. die Tabelle im 7 Anhang)

3Die Verdampfung gehört zu den thermisch aktivierten Prozessen: Ein Molekül braucht, um die Flüssigkeit verlassen zu können, im Mittel eine Aktivierungsenergie _, die ihm die Temperaturbewegung liefern muss. Dem entspricht eine molare Verdampfungswärme ? = _ · 6A. Allen thermisch aktivierten Prozessen ist nun eine charakteristische Temperaturabhängigkeit gemeinsam. Sie wird durch den sog. BoltzmannFaktor e−_/(S* · < = e−?/(: · <) beschrieben. Demnach gilt für den Gleichgewichtsdampfdruck: ?

8 :< X ,<%XM

Hier ist X0 ein hypothetischer Gleichgewichtsdampfdruck bei unendlich hoher Temperatur (sie würde den Exponenten zu null, die e-Funktion zu eins machen). Die Verdampfungswärme muss deshalb nicht selbst gemessen werden; sie lässt sich der Gleichgewichtsdampfdruckkurve entnehmen. Dazu empﬁehlt sich eine Auftragung im Arrhenius-Diagramm (Swante Arrhenius, 1859–1927): logarithmisch geteilte Ordinate über dem Kehrwert der Temperatur längs der Abszisse. Wie . Abbildung 5.18 zeigt, bekommt man eine fallende Gerade. Deren Steigung ist zur Verdampfungswärme proportional.

155

5.4 · Phasenumwandlungen

»JMZ[\MQO\ LMZ /TMQKPOM_QKP\[LIUXNLZ]KS MQVMZ .TÛ[[QOSMQ\ LMV Ã]¾MZMV 4]N\LZ]KS ]VL LMV RM _MQTQOMV ;KP_MZMLZ]KS LIb] [W SÕVVMV [QKP ,IUXNJTI[MVI]KPQVVMZPITJLMZ.TÛ[[QOSMQ\JQT LMV" ;QM kocht. ,MZ ;QMLMX]VS\ PÃVO\ LM]\TQKP ^WU )]¾MVLZ]KS IJ ,IZ]U ZMXZÃ[MV\QMZ\ ?I[ [MZ UQ\ [MQVMU Siedepunkt V]Z JMQU WNâbQMTTMV 6WZUITLZ]KS^WVP8ILMVWJMZMV.Q`X]VS\ LMZ +MT[Q][;SITI )]N LMZ B]O[XQ\bM IT[W QV !U 0ÕPM [QMLM\ ?I[[MZ [KPWV JMQ !+ b] NZÛP]UQVUQVMQV0ÛPVMZMQNZÛP[\ÛKS[_MQKP b]SWKPMV /Z]VL[Ã\bTQKP Q[\ LMZ /TMQKPOM_QKP\[LIUXN LZ]KSIT[[WTKPMZMQVM3MVVOZÕ¾MLMZ.TÛ[[QOSMQ\# MQV_MVQOPÃVO\MZIJMZI]KP^WV*MQUMVO]VOMV IJ4Õ[\UIVb*B]KSMZQV?I[[MZ[W[QVS\LMZ /TMQKPOM_QKP\[LIUXNLZ]KS ]VL LMZ ;QMLMX]VS\ [\MQO\ ?QM JMQU /MNZQMZX]VS\ OMP\ M[ I]KP PQMZ V]Z]ULQM)VbIPTLQKP\MVLMZOMTÕ[\MV5WTMSÛTM VQKP\]ULMZMV)Z\,MUVIKPOQT\QVO]\MZ6ÃPM Z]VO" GleichgewichtsdampfdruckerniedrigungΔX,fV

,QM8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\[SWV[\IV\MQ[\QU-QVbMT NITTIJPÃVOQO^WU4Õ[]VO[UQ\\MT]VL^WUIS\] MTTMV,IUXNLZ]KS *ZQVO\ UIV MQVM 4Õ[]VO b]U ;QMLMV [W LIUXN\ QU ?M[MV\TQKPMV V]Z LI[ 4Õ[]VO[UQ\\MT IJ#LQM4Õ[]VO_QZLQUUMZSWVbMV\ZQMZ\MZJQ[[QM [KPTQM¾TQKP ÛJMZ[Ã\\QO\ Q[\ ]VL LMZ OMTÕ[\M ;\WNN I][b]SZQ[\ITTQ[QMZMVJMOQVV\;WOM_QVV\UIV[MQ\ 2IPZP]VLMZ\MV;ITb)]KPLQM3WUXWVMV\MVMQVM[ .TÛ[[QOSMQ\[OMUQ[KPM[ ^MZLIUXNMV ]V\MZ[KPQML TQKP TMQKP\ 5IV SIVV [QM L]ZKP Destillation ^WV MQVIVLMZ \ZMVVMV ?MQVJZIVL TÃ[[\ [QKP V]Z [W L]ZKP*ZMVVMVVÃUTQKPPMZ[\MTTMV#MZJM[Q\b\)T SWPWTQVPÕPMZMZ3WVbMV\ZI\QWVIT[LQM0MNM^MZ \ZÃO\ LQM QPV XZWL]bQMZ\ PI\ ,QM WTT[\ÃVLQOSMQ\PITJMZU][[PQMZMZ_ÃPV\ _MZLMVLI[[I]KP.M[\SÕZXMZMQVMV,IUXNLZ]KS ]VL MQVMV /TMQKPOM_QKP\[LIUXNLZ]KS PIJMV LMVV[WV[\SÕVV\MV[QMVQKP\[]JTQUQMZMV

5

5.4.6 Luftfeuchtigkeit

?ÃTLMZ]VL?QM[MV.TÛ[[M]VL;MMVOMJMV[\ÃV LQO OZW¾M 5MVOMV ?I[[MZLIUXN IV LQM 4]N\ IJ ,M[[MV ,IUXNLZ]KS JTMQJ\ UMQ[\ ]V\MZ LMU b]Z TWSITMV<MUXMZI\]ZOMPÕZMVLMV;Ã\\QO]VO[LIUXN LZ]KSX,#MZZMQKP\MZQPV[WQ[\LQM4]N\UQ\?I[ [MZLIUXN gesättigt 1V LMV NZÛPMV 5WZOMV[\]V LMV_QZLM[LZI]¾MVSÛPT[WLI[[LMZb]OMPÕZQOM /ZMVb_MZ\X,[KPWVUIT]V\MZLMV\I\[ÃKPTQKPMV ,IUXNLZ]KSOMZI\MVSIVV,IVVQ[\LQM4]N\übersättigt LMZ ?I[[MZLIUXN UÕKP\M SWVLMV[QMZMV ,Ib] JZI]KP\ MZ IJMZ 3WVLMV[I\QWV[SMQUM B] _MQTMVâVLM\MZ[QMQU;\I]JLMZ4]N\LIVVOQJ\M[ 5WZOMVVMJMT#QUUMZâVLM\MZ[QMIVLMV*TÃ\\MZV LMZ8ãIVbMVLIVVNÃTT\MZLIUXN]VO[_ÃZUM LM[ ?I[[MZ[ LI[^WVLMV;KP_MQ¾LZÛ[MVLMZ0I]\RMVIKP*M LIZNIJOMOMJMV_QZL,QM>MZLIUXN]VON]VS\QW VQMZ\ IJMZ VQKP\ UMPZ _MVV LQM 4]N\ [KPWV UQ\ ?I[[MZLIUXNOM[Ã\\QO\Q[\.M]KP\M?ÃZUMMUX âVLM\LMZ5MV[KPLIPMZIT[]VIVOMVMPUM;KP_Û TM *MQLM -NNMS\M PÃVOMV _MVQOMZ ^WU \I\[ÃKP TQKPMV,IUXNLZ]KSXLM[?I[[MZLIUXNM[QVLMZ 4]N\ IT[ ^WV [MQVMU >MZPÃT\VQ[ b]U ;Ã\\QO]VO[ LIUXNLZ]KSX,IJIT[W^WVLMZ[WOrelativen Luftfeuchtigkeit XX, WLMZ iZMTI\Q^MV .M]KP\Mt w [QVL LMU 5MV[KPMV IU b]\ZÃOTQKP[\MV *MQ JMOQVV\LI[6MJMTVÃ[[MV5IVKPM.ZQ[]ZMV ZMIOQMZMV I]N 4]N\NM]KP\QOSMQ\# 0IIZPaOZWUM\MZ V]\bMV LQM[MV -NNMS\ b]Z 5M[[]VO ;MPZ OMVI] [QVL[QMVQKP\ Merke aktueller Wasserdampfdruck Relative Feuchte = 0000531 Sättigungsdampfdruck

156

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Kapitel 5 · Wärmelehre

,QM \MKPVQ[KP OÃVOQO[\M 5M\PWLM b]Z 5M[[]VO LMZZMTI\Q^MV4]N\NM]KP\QOSMQ\V]\b\I][LI[[OM _Q[[M XWZÕ[M 3]V[\[\WNNM ?I[[MZLIUXN I][ LMZ 4]N\ RM VIKP .M]KP\QOSMQ\ ^MZ[KPQMLMV [\IZS I]N VMPUMV ]VL LIVV QPZM MTMS\ZQ[KPM 8MZUQ\\Q^Q\Ã\ 7 Kap. 6.6.3ÃVLMZV*I]\UIVUQ\LQM[MU5I\M ZQITMQVMV3WVLMV[I\WZ7 Kapitel 6.2.4[WSIVV UIV[MQVM3IXIbQ\Ã\[ÃVLMZ]VOUM[[MV]VLLIUQ\ LQM4]N\NM]KP\QOSMQ\JM[\QUUMV Rechenbeispiel 5.14: Wasser in der Luft 7 Aufgabe. Wie viel Wasser enthält die Luft eines Wohnraumes (30 m2 Grundﬂäche, 2,7 m hoch) bei 20 °C und 75% relativer Luftfeuchtigkeit? (Tabelle im 7 Anhang benutzen.) 7 Lösung. Die Sättigungsdichte von Wasserdampf bei 20 °C beträgt ρ,%OU. Das Volumen des Raumes ist >% U. Also ist die Masse , entspricht des Wassers: also einem Liter.

. Abb. 5.19. Drei Parameterdarstellungen des Zustandsdiagramms idealer Gase. Isothermen im p-V-Diagramm (links), Isobaren im V-T-Diagramm (Mitte), Isochoren im p-T-Diagramm (rechts). Solange die Achsen keine Zahlenwerte bekommen, ist es gleichgültig, ob man unter „Volumen“ das Volumen V einer abgeteilten Gasmenge versteht oder das speziﬁsche Volumen >[%>U oder das stoffmengenbezogene (molare) Volumen >V = >V

_MQT[NM[\M?MZ\MLMZLZQ\\MV/ZÕ¾MIT[8IZIUM\MZ OMPÕZMV )T[ *MQ[XQMT LQMVM LI[ X>,QIOZIUU MQVM[QLMITMV/I[M[. Abb. 5.19 links"6IKP)][ [IOM LMZ B][\IVL[OTMQKP]VO [QVL LQM Isothermen LQM3]Z^MVOTMQKPMZ<MUXMZI\]ZIT[W0aXMZJMTV LMZ .WZU X∼> -JMV[W O]\ SÕVV\M UIV QU ><,QIOZIUU Isobaren MQV\ZIOMV IT[W 3]Z^MV SWV[\IV\MV,Z]KSM[[QM[QVL/MZILMVWLMZQUX <,QIOZIUU 3]Z^MV SWV[\IV\MV >WT]UMV[ Iso5.4.7 Zustandsdiagramme ! chorenOMVIVV\[QM[QVLMJMVNITT[/MZILMV")TTM WT]UMV>]VL)VbIPTLMZ5WTM)VbIPTLMZ Merke <MQTKPMV ^WTT[\ÃVLQO JM[KPZQMJMV B][\IVL[OZÕ ¾MV[QVLVQKP\]VIJPÃVOQO^WVMQVIVLMZ#OQJ\UIV 5 Isobare: Kurve konstanten Druckes LZMQ^WZ[\MTT\[QKPLQM^QMZ\MMQV,MVB][IUUMV 5 Isotherme: Kurve konstanter Temperatur PIVO JM[KPZMQJ\ QU -QVbMTNITT MQVM Zustandsglei5 Isochore: Kurve konstanten Molvolumens chung,I[/I[OM[M\b X>%V:< Q[\LQMB][\IVL[OTMQKP]VOLMZQLMITMV/I[M /TMQKP]VOMVQLMITQ[QMZMV?MVVUIVUQ\QPVMV LQM :MITQ\Ã\ VQKP\ UMPZ O]\ OMV]O JM[KPZMQJMV SIVVbMQKPVM\UIVMQVMV/ZIXPMVMQV,QIOZIUU -QV Zustandsdiagramm U][[ LMV B][IUUMV PIVOb_Q[KPMVLZMQB][\IVL[OZÕ¾MVLIZ[\MTTMV#M[ JZI]KP\ MQV LQUMV[QWVITM[ 3WWZLQVI\MVSZM]b ]VL TQMNMZ\ LIZQV MQV ZÃ]UTQKPM[ 5WLMTT ,I[ Q[\ UÛP[IU PMZb][\MTTMV ]VL TÃ[[\ [QKP I]N LMU 8 IXQMZV]ZQVXMZ[XMS\Q^Q[KPMZBMQKPV]VO_QMLMZ OMJMV,IZ]U_MQKP\UIVOMZVQVLQM[WO ParameterdarstellungI]["5IV\ZÃO\QUMJMVMVIKP [QOMV3WWZLQVI\MVSZM]b3]Z^MVMQVb]LMVMVRM

»JMZ[KPZMQ\M\LMZ,Z]KSMQVM[/I[M[LMV/TMQKP OM_QKP\[LIUXNLZ]KS LMZ LIb]OMPÕZQOMV .TÛ[ [QOSMQ\[WJMOQVV\LQM3WVLMV[I\QWV">QMT/I[^W T]UMV ^MZ[KP_QVLM\ _MVQO .TÛ[[QOSMQ\[^WT]UMV MV\[\MP\ ,Z]KS ]VL <MUXMZI\]Z JTMQJMV SWV[ \IV\#TMLQOTQKPLQM3WVLMV[I\QWV[_ÃZUMU][[IJ OMNÛPZ\ _MZLMV 1U Koexistenzbereich ^WV /I[ ]VL.TÛ[[QOSMQ\SIVVMQVM^WZOMOMJMVM;]J[\IVb UMVOM RMLM[ IVOMJW\MVM >WT]UMV LIL]ZKP I][ NÛTTMVLI[[[QM[QKPXI[[MVLI]NLQMJMQLMV)OOZM OI\b][\ÃVLM^MZ\MQT\,MZMV[XMbQâ[KPMWLMZI]KP 5WT^WT]UQVI JM[\QUUMV LQM /ZMVbMV LM[ 3W M`Q[\MVbJMZMQKP[. Abb. 5.203WVLMV[I\QWV]VL >MZLIUXN]VOMZNWTOMVOMVI]JMQU\MUXMZI\]Z

157

5.4 · Phasenumwandlungen

. Abb. 5.20. Koexistenzbereich. Entspricht der Stempeldruck p genau dem Dampfdruck pD, so bleibt der Stempel bei jedem gewünschten Volumen innerhalb des Koexistenzbereichs stehen. Ein kleines Zusatzgewicht lässt den Dampf vollständig kondensieren, ein kleines Entlastungsgewicht die Flüssigkeit vollständig verdampfen

. Abb. 5.21. p-V-Diagramm der Phasenumwandlung. Mit steigender Temperatur und steigendem Dampfdruck engt sich der Koexistenzbereich (links: gestrichelte Grenze) immer mehr ein, bis er am kritischen Punkt verschwindet. Bei der kritischen Temperatur Tk und dem kritischen Druck pk endet die Dampfdruckkurve (rechts)

IJPÃVOQOMV/TMQKPOM_QKP\[LIUXNLZ]KSX,"0QMZ Q[\LQM1[W\PMZUMb]OTMQKP1[WJIZMPWZQbWV\ITQU X>,QIOZIUU . Abb. 5.21 6IKP )J[KPT][[ LMZ3WVLMV[I\QWVM`Q[\QMZ\V]ZVWKPLQMãÛ[[QOM 8PI[M ;QM Q[\ VIPMb] QVSWUXZM[[QJMT ]VL LMPV\ [QKPJMQ-Z_ÃZU]VOV]ZOMZQVONÛOQOI][ 6]ZJMQU/TMQKPOM_QKP\[LIUXNLZ]KSX,SÕV VMV /I[ ]VL .TÛ[[QOSMQ\ VMJMVMQVIVLMZ QU \PMZ UWLaVIUQ[KPMV /TMQKPOM_QKP\ M`Q[\QMZMV »JMZ _QMO\ LMZ ;\MUXMTLZ]KS X I]KP V]Z UQVQUIT [W SWVLMV[QMZ\ LMZ OIVbM ,IUXN# Q[\ X I]KP V]Z MQV _MVQOb]STMQV[W^MZLIUXN\LQMOIVbM.TÛ[[QOSMQ\ -[OQJ\V]VMQVMV[MPZUMZS_ÛZLQOMV-NNMS\" -ZPÕP\UIVLQM<MUXMZI\]Z[W[\MQO\LMZ/TMQKP

5

OM_QKP\[LIUXNLZ]KS ]VL b_IZ SZÃN\QO 5Q\ QPU [\MQO\ IJMZ I]KP LQM ,IUXNLQKP\M [XMbQâ[KPM[ ]VL 5WT^WT]UMV VMPUMV IT[W IJ *MQ LMZ .TÛ[ [QOSMQ\ VMPUMV [QM IJMZ b] LMVV LQM LMPV\ [QKP JMQ -Z_ÃZU]VO I][ _MOMV LMZ OMZQVOMV 3WU XZM[[QJQTQ\Ã\SWUU\LQM,Z]KSMZPÕP]VOVQKP\LI OMOMVIV.WTOTQKP_MZLMVLQM,QKP\MLMZ.TÛ[[QO SMQ\]VLLQM,QKP\MLM[/I[M[QUUMZÃPVTQKPMZ ,QM ,QKP\M Q[\ M[ IJMZ OMZILM LQM .TÛ[[QOSMQ\ ]VL /I[ ^WVMQVIVLMZ ]V\MZ[KPMQLM\ *MQ MQVMU JM[\QUU\MV <MUXMZI\]Z_MZ\ ^MZ[KP_QVLM\ LMZ =V\MZ[KPQMLLIVVOIVb.TÛ[[QOSMQ\]VL/I[]V \MZ[KPMQLMV[QKPOIZVQKP\UMPZ,QM[Q[\LQM[WO SZQ\Q[KPM <MUXMZI\]Z 1U X>,QIOZIUU _IV LMZV LQM >WT]UQVI ^WV JMQLMV ;MQ\MV PMZ I]NMQ VIVLMZb]]VLMVOMVLMV3WM`Q[\MVbJMZMQKPQU UMZ UMPZ MQV JQ[ MZ IU kritischen Punkt OIVb ^MZ[KP_QVLM\",QM/TMQKPOM_QKP\[LIUXNLZ]KSS]Z ^MPI\MQVWJMZM[-VLM#b]ZSZQ\Q[KPMV<MUXMZI\]Z OMPÕZ\ I]KP MQV SZQ\Q[KPMZ ,Z]KS ]VL MQV SZQ \Q[KPM[5WT^WT]UMV,IZÛJMZ]V\MZ[KPMQLMV[QKP ,IUXN]VL.TÛ[[QOSMQ\VQKP\UMPZQPZM,QKP\MV [QVL OTMQKP OM_WZLMV" ,QM SZQ\Q[KPM 1[W\PMZUM <%<S PI\ JMQU SZQ\Q[KPMV ,Z]KS XS V]Z VWKP MQVMV PWZQbWV\ITMV ?MVLMX]VS\ LMV SZQ\Q[KPMV 8]VS\,IZÛJMZJM[Q\b\[QMSMQVPWZQbWV\ITM[;\ÛKS UMPZ,WZ\TÃ[[\[QKPMQV/I[VQKP\^MZãÛ[[QOMVM[ Q[\b]UXMZUIVMV\MV/I[OM_WZLMV]VL_QZLUQ\ [\MQOMVLMZ<MUXMZI\]ZMQVMUQLMITMV/I[QUUMZ ÃPVTQKPMZ. Abb. 5.21 Merke Im Koexistenzbereich existieren Flüssigkeit und Dampf nebeneinander. Er wird oben durch den kritischen Punkt begrenzt: Flüssigkeit und Dampf unterscheiden sich nicht mehr.

)VITWOb]Z/TMQKPOM_QKP\[LIUXNLZ]KSS]Z^MTI[ [MV [QKP QU X<,QIOZIUU /ZMVbS]Z^MV b_Q [KPMVLMVIVLMZMV)OOZMOI\b][\ÃVLMVbMQKPVMV# [QMUIZSQMZMVLQM,Z]KSIJPÃVOQOSMQ\LM[;KPUMTb X]VS\M[]VLLMV;]JTQUI\QWV[LZ]KSLM[.M[\SÕZ XMZ[)TTM[_QZLQU Phasendiagrammb][IUUMV OMNI[[\LI[[KPVMTT)][S]VN\LIZÛJMZOQJ\]V\MZ _MTKPMV *MLQVO]VOMV _MTKPM )OOZMOI\b][\ÃVLM OMOMJMV[QVL. Abb. 5.22)TTMLZMQ3]Z^MV\ZMN NMV [QKP QU Tripelpunkt LMU MQVbQOMV 8]VS\ QV

158

Kapitel 5 · Wärmelehre

1 2 3 4 5

. Abb. 5.22. Phasendiagramm. Die Grenzkurven der drei Phasenbereiche treffen sich im Tripelpunkt, nur dort können die drei Aggregatzustände nebeneinander (im thermodynamischen Gleichgewicht) existieren

6 7 8 9 10 11 12

LMULQMLZMQ)OOZMOI\b][\ÃVLMOTMQKPbMQ\QOM`Q[ \QMZMVQU\PMZUWLaVIUQ[KPMV/TMQKPOM_QKP\RM LMVNITT[ ?MVV IV MQVMU SIT\MV ?QV\MZ\IO MQV *IKP I]N LMU -Q[[KPWTTMV [KP_QUUMV [QKP\JIZ LIUXN\ JMâVLM\ MZ [QKP VQKP\ IU
13 14 15 16 17 18 19 20

5.4.8 Absorption und Adsorption

6QKP\V]Z.M[\SÕZXMZI]KP/I[MSÕVVMV[QKPQV .TÛ[[QOSMQ\MVTÕ[MV5IV[XZQKP\PQMZ^WVAbsorption,I[^QMTTMQKP\JMSIVV\M[\M*MQ[XQMTTQMNMZ\LI[ 3WPTMVLQW`QL QV *QMZ ;XZ]LMT_I[[MZ ]VL ;MS\ ,QM 4Õ[TQKPSMQ\ Q[\ JMOZMVb\ [QM VQUU\ UQ\ [\MQ OMVLMZ<MUXMZI\]ZIJ]VLUQ\[\MQOMVLMU8IZ\Q ITLZ]KSLM[/I[M[b];KPWV^WZLMU;QMLMVXMZT\ LQM^WU?I[[MZIJ[WZJQMZ\M4]N\I]N;MS\ãI[KPMV PIJMVNMQMZTQKP^MZ\Ã]\M3WZSMVLMVVQPZ1VPIT\ [\MP\ ]V\MZ ,Z]KS ,MZ ^WV 4QUWVILMVãI[KPMV UQ\ XZW[IQ[KPMU 3ZWVMVSWZSMV \]\ LI[ NZMQTQKP I]KP4Ã[[\UIVLMV,Z]KSMV\_MQKPMV[WQ[\LQM 4Õ[]VOÛJMZ[Ã\\QO\]VL[KPÃ]U\I]NVQKP\OMZILM M`XTW[QWV[IZ\QO LMVV I]KP PQMZ PIVLMT\ M[ [QKP

]U MQVMV 3MQUJQTL]VO[XZWbM[[ LMZ [MQVM BMQ\ JZI]KP\ 1UUMZPQV Q[\ LMZ -NNMS\ QV\MZM[[IV\ OM V]O]UI]KPVWKPI][MQVMUUQ\\TMZMV?MQVMQV NM[\TQKPM[/M\ZÃVSb]UIKPMV ,QM 3WVbMV\ZI\QWV LM[ QV LMZ .TÛ[[QOSMQ\ OM TÕ[\MV/I[M[Q[\QVM\_IXZWXWZ\QWVITb]U8IZ\QIT LZ]KSLM[/I[M[QVLMZ4]N\,IJMQVQUU\IJMZLQM 4Õ[TQKPSMQ\ IT[W LQM 8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\[SWV[\IV\M _QM[KPWVOM[IO\UQ\[\MQOMVLMZ<MUXMZI\]ZLM]\ TQKP IJ ,MZ B][IUUMVPIVO _QZL Henry-DaltonGesetz OMVIVV\ ]VL OMZV UQ\ MQVMZ LQUMV[QWV[ TW[MV8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\[SWV[\IV\MαI][OMLZÛKS\"

α KOI[%6XOI[ ,IJMQ Q[\ KOI[ LQM 3WVbMV\ZI\QWV QV 5QTTQTQ\MZ /I[XZW5QTTQTQ\MZ.TÛ[[QOSMQ\]VLXOI[LMZ8IZ\QIT LZ]KS QV LMZ ,Z]KSMQVPMQ\ UU0O ,MU I]N ZMKP\MV8Pa[QSMZOZI]\MQV_MVQO^WZ[WTKPMQVMZ .WZUMT_MQT[QM[QKPVQKP\IVLQM;1-QVPMQ\MVPÃT\ ]VLUIVMJMV[MPZOMVI]PQVb]NÛOMVU][[_I[ OMUMQV\Q[\;W[QVLLQM5QTTQTQ\MZ/I[JMQ6WZUIT JMLQVO]VOMV 4]N\LZ]KS + OMUMQV\ ?MVV UIVLI[ITTM[_MQ¾Q[\LQM.WZUMTIJMZOIVbXZIS \Q[KP ]VL LM[PITJ JMQ 8Pa[QWTWOMV JMTQMJ\ .ÛZ ;I]MZ[\WNNQV?I[[MZb]U*MQ[XQMTJM\ZÃO\α JMQ+]VLJMQ+ Merke Henry-Dalton-Gesetz: Konzentration des gelösten Gases ist proportional zum Partialdruck in der Luft.

,QM[M[ /M[M\b SIVV NÛZ ;XWZ\\I]KPMZ L]ZKPI][ O MNÃPZTQKPM .WTOMV PIJMV _MVV [QM VÃUTQKP UQ\ MQVMU )\MUOMZÃ\ QV OZÕ¾MZM
159

5.5 · Wärmenutzung

ÛJMZ[Ã\\QO\]VL[KPMQLM\4]N\JTÃ[KPMVI][LQMb] MQVMZ-UJWTQMNÛPZMVSÕVVMV,IZ]V\MZ^MZ[\MP\ UIV LQM >MZ[\WXN]VO MQVM[ *T]\OMNÃ¾M[ UQ\ LMZ .WTOM MQVMZ ;I]MZ[\WNN]V\MZ^MZ[WZO]VO LM[ ^WV LQM[MU ^MZ[WZO\MV /M_MJM[ £PVTQKPM[ LZWP\ )[\ZWVI]\MV _MVV MQV XTÕ\bTQKPM[ 4MKS QV QPZMZ 3IX[MT LMV OM_WPV\MV 4]N\LZ]KS b] [KPVMTT PM ZIJ[M\b\ /I[ ]VL .TÛ[[QOSMQ\[UWTMSÛTM SÕVVMV I]KP IV LMZ 7JMZãÃKPM ^WV .M[\SÕZXMZV NM[\OMPIT\MV WLMZ_QMUIV[IO\ adsorbiert_MZLMVJM[WVLMZ[ _QZS[IUVI\ÛZTQKP_MVVLQM7JMZãÃKPMOZW¾LMZ 3ÕZXMZIT[WNMQVSÕZVQOXWZÕ[Q[\)T[MQVM)Z\)T TMZ_MT\[[]J[\IVb MZNZM]\ [QKP PQMZ LQM )S\Q^SWPTM JM[WVLMZMZ*MTQMJ\PMQ\MQVMVIKPJMPIVLMT\M0WTb WLMZ3VWKPMVSWPTMLQMM[JQ[I]NUO[XMbQ â[KPM 7JMZãÃKPM JZQVO\ ,MZ )Zb\ ^MZWZLVM\ [QM JMQ UIVKPMV ,IZUJM[KP_MZLMV ]U _MVQO[\MV[ LQM;aUX\WUMb]TQVLMZV Merke Absorption (chemische): Lösung von Gasmolekülen in einer Flüssigkeit Adsorption: Bindung von Gasmolekülen an Festkörperoberﬂächen

5.5

Wärmenutzung

5.5.1 Wärmehaushalt des Menschen

?QMRMLMZ?IZUJTÛ\MZU][[I]KPLMZ5MV[KP[MQ VM3ÕZXMZ\MUXMZI\]ZOMOMVLQMUMQ[\SÃT\MZM=U _MT\^MZ\MQLQOMV?ITMPIJMVM[JM[WVLMZ[[KP_MZ" ;QMTMJMVQVMQVMU5MLQ]UUQ\ZMTI\Q^PWPMZ?ÃZ UMTMQ\NÃPQOSMQ\]VL?ÃZUMSIXIbQ\Ã\]VLSÕVVMV [QKPV]ZL]ZKPMQVMUÃKP\QOM;XMKS[KPQKP\^WZTM JMV[OMNÃPZTQKPMZ)][SÛPT]VO[KPÛ\bMV4IVL[Ã] OMZ SWUUMV UQ\ _MVQOMZ ;XMKS I][ ;QM [\MPMV V]Z UQ\ 4]N\ QV ]VUQ\\MTJIZMU ?ÃZUMSWV\IS\# LQMIJMZJQM\M\_QMITTM/I[MV]Z^MZOTMQKP[_MQ[M _MVQOM 5WTMSÛTM b] ?ÃZUM\ZIV[XWZ\ ]VL [XMQ KPMZ]VOIV;KP_QUU^ÕOMT_QMLQM-V\MVV]\bMV LQM[M -QOMV[KPIN\ LMZ /I[M I][" ;QM OMPMV VQKP\ ]VUQ\\MTJIZUQ\_IZUMU*I]KPQV[SIT\M?I[[MZ [WVLMZVXIKSMVMQV_ÃZUMQ[WTQMZMVLM[4]N\XWT[

5

. Abb. 5.23. Grundumsatz und Körpermasse folgen bei Warmblütern recht genau einem Potenzgesetz mit dem Exponenten ¾

\MZ LIb_Q[KPMV MQVOM[KPTW[[MV QV [WZO[IU OM NM\\M\M]VLLM[PITJVQKP\JMVM\bJIZM.MLMZV?IZ ]U\ZÃO\IJMZLMZ-Q[JÃZMQVLQKSM[.MTT'-ZSIVV LIZQV LWKP V]Z LQM OTMQKPM 4]N\ MQV[XMZZMV LQM QPV[W_QM[W]UOQJ\ Klinik Je größer, umso verfressener. Ein Bernhardiner hat – wen wundert’s – einen höheren Grundumsatz 80 als ein Zwergpinscher. Ganz naiv könnte man erwarten, dass 80 proportional zur Körpermasse U eines Warmblüters ansteigt und damit im Wesentlichen auch proportional zum Körpervolumen >, denn die mittlere Dichte aller Tiere entspricht so ungefähr der des Wassers. Nun muss aber die vom Körper entwickelte Wärme durch die Körperoberﬂäche ) abgeführt werden. Man könnte also auch 80 ∼ ) erwarten. ) steigt aber nur proportional zu >2/3, jedenfalls bei einander (im Sinne der Mathematik) „ähnlichen“ Körpern. Tatsächlich schlägt die Natur einen Mittelweg ein und entscheidet sich für: 8∼U Wie . Abbildung 5.23 zeigt, gilt diese Beziehung erstaunlich genau, von der Maus bis zum Elefanten.

160

Kapitel 5 · Wärmelehre

1 2 3 4

. Abb. 5.24. Raucher. Hand eines Menschen im infraroten Licht ihrer eigenen Temperaturstrahlung. Die Wärmebild wurden im Abstand von 2 min während des Rauchens einer Filter-

zigarette aufgenommen: Nikotin verengt die Blutgefäße und senkt mit der Durchblutung auch die Temperatur der Haut (Aufnahmen: Prof. W. Stürmer, Erlangen)

5 6 7 8 9 10 11

Klinik Raucher strahlen weniger. Auch die unsichtbare Temperaturstrahlung, ausgesandt von Körpern, die zum Glühen noch nicht heiß genug sind, ist Licht. Man kann mit ihr photographieren, sofern man entsprechend sensibilisierte Filme verwendet (die man dann möglicherweise im Kühlschrank aufbewahren muss, um sie nicht schon mit der Strahlung der Zimmertemperatur zu belichten). . Abbildung 5.24 zeigt die Hand eines Menschen, photographiert im Eigenlicht, und zwar vor und bald nach dem Genuss einer Zigarette: Nikotin verengt die Blutgefäße und senkt damit die Oberﬂächentemperatur der Haut. Umgekehrt macht sich ei-

ne Mandelentzündung durch erhöhte Temperaturstrahlung der entsprechenden Halspartie bemerkbar. Ein Wettersturz kann den passionierten Bergsteiger dazu zwingen, auf dem Gletscher zu übernachten. Dazu muss er sich warm einwickeln. Wolldecken sind schwer und belasten den Rucksack. Eine leichte, reﬂektierend metallisierte Kunststoffplane tut es auch. Für den Wärmehaushalt des Menschen spielt seine Eigenstrahlung eine wichtige Rolle. Für den Wärmehaushalt der Erde gilt dies erst recht; er lässt sich überhaupt nur durch Strahlung in sein Fließgleichgewicht bringen (7 Kap. 5.5.3).

12 13 14 15 16 17 18 19 20

-VMZOQM\ZIV[XWZ\ L]ZKP ?ÃZUMTMQ\]VO 3WV ^MS\QWV ]VL <MUXMZI\]Z[\ZIPT]VO TÃ]N\ QUUMZ V]Z^WV_IZUVIKPSIT\?QMPÃT\LMZ5MV[KP[MQ VM3ÕZXMZ\MUXMZI\]Z^WV+JMQiNÛVN]VL^QMZ bQO/ZILQU;KPI\\MVt' -Z [KP_Q\b\ WLMZ transpiriert. 8Pa[QSITQ[KPMZ I][OMLZÛKS\"-ZPÃT\[MQVM0I]\[WNM]KP\LI[[MZ ?ÃZUM IT[ >MZLIUXN]VO[MV\PITXQM TW[_MZLMV SIVV ?I[[MZ ^MZLIUXN\ I]KP QV PMQ¾M 4]N\ PQ VMQV^WZI][OM[M\b\[QMQ[\VQKP\[KPWVUQ\?I[[MZ LIUXNOM[Ã\\QO\,IZ]UQ[\LQM\ZWKSMVM0Q\bMLMZ ?Û[\MTMQKP\MZb]MZ\ZIOMVIT[LQM;KP_ÛTM\ZWXQ [KPMZ :MOMV_ÃTLMZ ,QM ZMTI\Q^M 4]N\NM]KP\QOSMQ\ 7 Kap. 5.4.6 PI\ OZW¾MV -QVã][[ I]N LQM >MZ LIUXN]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\ ]VL LIUQ\ I]N LMV ?ÃZUM[\ZWU LMZ L]ZKP LI[ ;KP_Q\bMV IJOMOM JMV_MZLMVSIVV?MZ[QKPNZMQTQKPLMV;KP_MQ¾ I][LMZ;\QZV_Q[KP\^MZOM]LM\>MZLIUXN]VO[MV \PITXQM";QMSÛPT\I]KPRM\b\IJMZVQKP\LQM;\QZV [WVLMZVLI[
6WZLTÃVLMZXZW^WbQMZMVLMV;KP_MQ¾I][JZ]KP QVLMZ;I]VI]VLb_IZb]VÃKP[\QV\ZWKSMVMZ0Q\ bM )]KP _MVV LQM SIT\M )]¾MVT]N\ UQ\ ?I[[MZ LIUXNOM[Ã\\QO\[MQV[WTT\MUQ\[\MQOMVLMZ<MUXM ZI\]Z[\MQO\I]KPLMZ;Ã\\QO]VO[LIUXNLZ]KS?MQT IJMZ LMZ 8IZ\QITLZ]KS SWV[\IV\ JTMQJ\ [QVS\ LQM ZMTI\Q^M4]N\NM]KP\QOSMQ\,MZ5MV[KPQVLMZ;I] VI [KP_Q\b\ QV \PMZUWLaVIUQ[KP _QM XPa[QWTW OQ[KP[QVV^WTTMZ?MQ[MB]UMKP\MV;I]VIOMV][[ OMPÕZ\ RM\b\ IJMZ MQV SZÃN\QOMZ /][[ SIT\MV ?I[ [MZ[I]NLQMPMQ¾MV;\MQVM=ZXTÕ\bTQKPQ[\LQM4]N\ UQ\ ?I[[MZLIUXN OM[Ã\\QO\ ]VL LMZ ;KP_MQ¾ ãQM¾\QV;\ZÕUMV6]ZPQTN\LI[\PMZUWLaVIUQ[KP VQKP\[">MZLIUXN]VOQ[\VQKP\UMPZUÕOTQKP>MZ LIUXN]VO[MV\PITXQMSIVVVQKP\I]NOMJZIKP\_MZ LMV-[SWUU\b]U?ÃZUM[\I]QU7ZOIVQ[U][ ;MQVM ?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ U][[ QPV I]NNIVOMV" ,QM 3ÕZXMZ\MUXMZI\]Z [\MQO\ ,I[ MZTI]J\ LIVV LMV TM\b\MV ;I]VIOMV][[" ?ÃTbMV QU ;KPVMM LQM ;SIVLQVI^QMZ PIJMV QPV -QVMU [\IJQTMV 3ZMQ[

5.5 · Wärmenutzung

161

5

-QOMV\TQKP OMP\ M[ OIZ VQKP\ ]U LQM -VMZOQM TI]NSIVVUIVLI[ITTM[b]U]\MVM[\ZIQVQMZ\]VL [\ÃZS\ QPV UÕOTQKPMZ_MQ[M [WOIZ ?MZ NZMQTQKP QV ?QZ _WTTMV <MUXMZI\]ZLQNNMZMVbMV 1U ?QV\MZ LMZ;I]VIJM_][[\TW[_QZLÛJMZTMJ\V]ZVWKPUQ\ [WTTM[QU0I][_ÃZUMZ[MQVIT[LZI]¾MV]VLQU ;WUUMZ WN\ ]UOMSMPZ\ >QMTM QVL][\ZQMTTM 8ZW NZMULMZ0QTNM bM[[M JZI]KPMV PWPM <MUXMZI\]ZMV LI[ PMQ¾\ Rechenaufgabe 5.15: Schwitzender Mensch <MUXMZI\]ZMVLQM^QMTPÕPMZ[QVLIT[LQM<MUXM ZI\]Z LMZ =UOMJ]VO ?MVV MQV 5W\WZ UMKPI bei 37 °C 7 Aufgabe. Bei einer Umgebungstemperatur von VQ[KPM )ZJMQ\ ^MZZQKP\MV [WTT [W U][[ I]KP [MQV 37 °C kann sich der Mensch der Wärmeproduktion )ZJMQ\[OI[QVLMZ:MOMTMQVMPWPM<MUXMZI\]ZPI seines Grundumsatzes (mit einer Leistung von ca. JMV?QM_QZIJMZQV7 Kapitel 5.1.4OMTMZV\PIJMV 100 W, . Abb. 5.23) nur noch durch Transpiration [\ZMJ\ ITTM[ LMU \PMZUWLaVIUQ[KPMV /TMQKPOM entledigen. Wie viel Wasser müsste er dazu am Tag _QKP\MV\OMOMV]VLLIOQJ\M[SMQVM<MUXMZI\]Z ausschwitzen? ]V\MZ[KPQMLM ,QM[MU ,ZIVO QV[ \PMZUWLaVIUQ 7 Lösung. Ein Tag hat 86400 Sekunden; ein [KPM/TMQKPOM_QKP\UÛ[[MV_QZIT[W_QLMZ[\MPMV Grundumsatz von 100 W entspricht also WLMZQPVOIZ]USMPZMV,I[OMP\_MVVM[QZOMVL Joule pro Tag. Die Verdampfungsenthalpie von _W MQV [\IZSM[ \PMZUWLaVIUQ[KPM[ =VOTMQKPOM Wasser beträgt 2SO. Unser schwitzen- _QKP\OQJ\LI[_QZ[Wb][IOMViIVbIXNMVtSÕVVMV -[ Q[\ LQM ;WVVM 1PZM 7JMZãÃKPM Q[\ M\_I der Mensch muss also etwa 3,6 Liter Wasser verdampfen. Im Extremfall kann ein Mensch diese 3PMQ¾]VL[\ZIPT\LM[PITJQU?M[MV\TQKPMV Menge sogar in 2–3 Stunden ausschwitzen. Die [QKP\JIZM[4QKP\IJ*ÛVLMT\UIVLQM[M[4QKP\UQ\ „normale“ Wasserabgabe durch Atmung und ;XQMOMTVI]NMQVMSTMQVM.TÃKPM[WSIVVUIVLWZ\ Wasserdiffusion aus der Haut beträgt 0,5–0,8 Liter TMQKP\<MUXMZI\]ZMV^WV+]VLUMPZMZZMQ KPMV1V;WTIZSZIN\_MZSMVV]\b\UIVLI[b]Z;\ZWU pro Tag. MZbM]O]VOI][?QMUIVLQM;\ZIPT]VOLMZ;WV VMV]\b\Q[\MQVM.ZIOMLMZ<MKPVQS1U5WUMV\ V]\b\ LQM 5MV[KPPMQ\ QU ?M[MV\TQKPMV MQVMV IV [QKP SWUXTQbQMZ\MV ?MO 8ãIVbMV _IKP[MV UQ\ 5.5.2 Warum kostet Energie? PQTNM LMZ 8PW\W[aV\PM[M ]VL ^MZZW\\MV ]V\MZ JM WZZI\JMOZMVb\ _I2W]TM -VMZOQM ,QM 5MV[KPPMQ\ i^MZ ]VL_QZL_WPTJM[\MVNITT[VWKPw2IPZMZMQ JZI]KP\t OMOMV_ÃZ\QO M\_I 2W]TM -VMZOQM KPMV )]¾MZLMU MZPÕP\ LI[ >MZJZMVVMV TMQLMZ XZW2IPZLI[Q[\ÛJZQOMV[]VOMNÃPZOMVI][W^QMT LMV+7)V\MQTQVLMZ)\UW[XPÃZM]VL[\ÕZ\LI _QMLQM8ãIVbMVLMZ-ZLMNÛZQPZM8PW\W[aV\PM[M UQ\LI[;\ZIPT]VO[OTMQKPOM_QKP\
162

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 5 · Wärmelehre

âbQMV\SIVVUIVLQM\PMZUQ[KPM-VMZOQMQU)Z JMQ\[OI[QVUMKPIVQ[KPM)ZJMQ\]U_IVLMTV' 6I\ÛZTQKPU][[LMZ-VMZOQMMZPIT\]VO[[I\bMZ NÛTT\ JTMQJMV LMZ QV LQM[MU B][IUUMVPIVO [W NWZU]TQMZ\_QZL" Δ=%9? -QVM >MZUQVLMZ]VO LMZ QVVMZMV -VMZOQM LM[ )ZJMQ\[OI[M[ Δ= NÛPZ\ b]Z )ZJMQ\[TMQ[\]VO ? SIVVIJMZI]KPL]ZKPMQVM)JN]PZ^WV?ÃZUM9 OM[KPMPMV5IVVMVV\LI[I][PQ[\WZQ[KPMV/ZÛV LMVI]KPLMV1. Hauptsatz der Thermodynamik ,MZ ? ?QZS]VO[OZILη%6 Δ= MQVMZ 5I[KPQVM OQJ\ IV _QM MNâbQMV\ LQM QVVMZM -VMZOQM QU )ZJMQ\[OI[ QV )ZJMQ\ ]UOM_IVLMT\ _QZL5IVPÃ\\MVI\ÛZTQKPOMZVM η%IT[WMQVMV ?QZS]VO[OZIL^WV IJMZLI[_QZLI][\MKP VQ[KPMV /ZÛVLMV ]VL b]U <MQT I]KP _MOMV LM[ 0I]X\[I\bM[VQMMZZMQKP\,MZUMV[KPTQKPM5][ SMT [KPINN\ MQVMV ?QZS]VO[OZIL ^WV M\_I _WJMQ PQMZ LQM )ZJMQ\[TMQ[\]VO VI\ÛZTQKP I]N LQM MQVOM[M\b\MKPMUQ[KPM-VMZOQMJMbWOMV_QZL,I UQ\Q[\MZQUUMZPQVOMVI][WO]\_QMMQV)]\WUW \WZ 5WLMZVM 3WPTMSZIN\_MZSM [KPINNMV SVIXX ]VL /I[SZIN\_MZSM ,IVV Q[\ IJMZ ;KPT][[ 0ÕPMZM ?QZS]VO[OZILM _MZLMV XZIS \Q[KPVQKP\MZbQMT\

5.5.3 Wärme- und Entropiehaushalt

der Erde ,I[[ [QKP LI[ 4MJMV I]N LMZ -ZLM [W MV\_QKSMTV SWVV\M_QMM[[QKPMV\_QKSMT\PI\^MZLIVS\M[LMZ ;WVVM ;QM TQMNMZ\ -VMZOQM QV .WZU ^WV MTMS\ZW UIOVM\Q[KPMZ;\ZIPT]VO]VLw_I[[MPZ_QKP\QOQ[\ w[QMTQMNMZ\MQVM;\ZIPT]VOLQMMQVMZMTI\Q^VQML ZQOM-V\ZWXQMUQ\JZQVO\)]KPMQVMMTMS\ZWUIOVM \Q[KPM ?MTTM \ZIV[XWZ\QMZ\ VMJMV -VMZOQM -V\ZW XQM ,MV -VMZOQMã][[ OQJ\ LQM extraterrestrischen Solarkonstante ϕ;%S?U IV OMVI]MZ" ;QM OQJ\ LQM .T][[LQKP\M IT[ 4MQ[\]VO XZW .TÃKPM IV ,QM?WTSMVZMãMS\QMZMVMQVMV<MQT]VUQ\\MTJIZQV LMV?MT\ZI]Ub]ZÛKS]VOMNÃPZS?USWUU\ IJMZ IU -ZLJWLMV IV )JOM[\ZIPT\ _]ZLM LQM[M

-VMZOQM^WVLMZKI 3PMQ¾MV;WVVMVWJMZãÃ KPM -QV [W PMQ¾MZ ;\ZIPTMZ [\ZIPT\ ZMTI\Q^ _MVQO -V\ZWXQMXZWIJOM[\ZIPT\MZ-VMZOQMUMVOMIJ]VL LI[MZUÕOTQKP\M[UQ\LMZ;WVVMV[\ZIPT]VOVÛ\b TQKPM-VMZOQM\ZÃOMZb][KPINNMV,MZUQ\)J[\IVL _QKP\QO[\M8ZWbM[[Q[\LIJMQLQMPhotosyntheseLQM QV LMV +PTWZWXTI[\MV LMZ 8ãIVbMV IJTÃ]N\ ]VL TM\b\TQKPLQMOM[IU\M6IPZ]VONÛZITTMMZJZI]KP ^WV 7b_Q[KPMV>MZJZI]KP]VL-ZbM]O]VO^WV+7 Q[\LM[PITJ[MQ\MQVQOMV2IPZbMPV\MVMZSMVVJIZOM [\ÕZ\",MZ+7/MPIT\LMZ-ZLI\UW[XPÃZMVQUU\ ZI[IV\MZ b] IT[ RM b]^WZ 5Q\ SI]U IJ[MPJIZMV .WTOMVLMVV+7Q[\MQV_QKP\QOMZ>MZ\ZM\MZLMZ [WO3TQUIOI[M,QM^WVLMZ;WVVMMQVOM[\ZIPT\M -VMZOQM U][[ I]KP _QMLMZ _MO [WV[\ PMQb\ [QKP LQM -ZLM QUUMZ _MQ\MZ I]N 4W[_MZLMV SIVV LMZ -ZLJITTLQM[M-VMZOQMV]ZLIL]ZKPLI[[MZ[QMQV LMV?MT\ZI]Ub]ZÛKS[\ZIPT\I][LMU[QMSWUU\ ,QM[M)J[\ZIPT]VO_QZLL]ZKPLQM3TQUIOI[MJM PQVLMZ\ OTÛKSTQKPMZ_MQ[M LMVV WPVM LMV LI L]ZKP JMLQVO\MV Treibhauseffekt _ÃZM M[ I]N LMZ -ZLM IZO SIT\ 6]Z LIZN UIV VQKP\ ÛJMZ\ZMQJMV ,I[NÛZLI[4MJMVI]NLMZ-ZLM[W_QKP\QOM Fließgleichgewichtb_Q[KPMVB]]VL)J[\ZIPT]VOZMI OQMZ\MUXâVLTQKP"B]VIPUMLM[+7/MPIT\M[MZ PÕP\ LQM 7JMZãÃKPMV\MUXMZI\]Z LMVV IVLMZ[ SIVV MQVM *MPQVLMZ]VO LMZ )J[\ZIPT]VO VQKP\ I][OMOTQKPMV_MZLMV,I[[LQM[MZ8ZWbM[[JMZMQ\[ TÃ]N\ _QZL VQKP\ UMPZ JMb_MQNMT\# V]Z ÛJMZ LI[ )][UI¾LIZNUIVVWKP[\ZMQ\MV ?QTT LQM 5MV[KPPMQ\ I]KP QV B]S]VN\ QPZMV -VMZOQMJMLIZNLMKSMVSIVV[QMIT[WVQKP\ITTMQVI]N 8ZWL]S\M LMZ 8PW\W[aV\PM[M b]ZÛKSOZMQNMV [KPWV ITTMQV _MQT µT ]VL 3WPTM QZOMVL_IVV UIT I]NOM JZI]KP\[MQV_MZLMV;QM_QZLQUUMZ[\ÃZSMZI]NIV LMZM5ÕOTQKPSMQ\MVb]ZÛKSOZMQNMVUÛ[[MVLQMiPMQ ¾Mt;\ZIPT]VOLMZ;WVVMb]V]\bMV,I[SÕVVMVIT \M5M\PWLMV_QM?QVL]VL?I[[MZZÃLMZ[MQVWLMZ VM]MZM_QM;WTIZSZIN\_MZSM]VL;WTIZbMTTMV )TTM -VMZOQM LQM L]ZKP LQM PMQ¾M ;WVVMV [\ZIPT]VO I]N LQM -ZLM OMTIVO\ _QZL ^WV LMZ

163

5.5 · Wärmenutzung

-ZLMIT[_M[MV\TQKPSÃT\MZM;\ZIPT]VO_QMLMZIJ OM[\ZIPT\,QM[MSÃT\MZM;\ZIPT]VO\ZÃO\_M[MV\TQKP UMPZ-V\ZWXQM^WVLMZ-ZLM_MOIT[LQM;WVVMV [\ZIPT]VOUQ\OMJZIKP\PI\,QM[MVMOI\Q^M-V\ZW XQMJQTIVb MZUÕOTQKP\ LQM OIVbM SWUXTM`M ;\Z]S \]ZJQTL]VOLM[4MJMV[I]NLMZ-ZLWJMZãÃKPM?QZ

5

_Q[[MVPM]\MLI[[M[I]NLMU5IZ[I]KPMQVUIT ãQM¾MVLM[ ?I[[MZ ]VL LIUQ\ ^QMTTMQKP\ I]KP 4M JMVOIJ)JMZLI[Q[\_WPT[KPWV5QTTQIZLM2IPZM PMZ ?IZ]U LQM 5IZ[WJMZãÃKPM LIVV _QMLMZ [W SIT\]VL\W\_]ZLMLI[[M[PM]\MV]ZVWKP_MVQOM -Q[ZM[\MOQJ\_Q[[MV_QZVQKP\

In Kürze Absolute Temperatur Soll die Temperatur direkt proportional zur mittleren kinetischen Energie der Atome sein, so nimmt man die absolute Temperatur in Kelvin (Symbol: K). Zu dieser gehört der absolute Temperaturnullpunkt, der dann erreicht ist, wenn sich nichts mehr bewegt. Gebräuchlicher ist die Celsius-Skala, bei der der Schmelzpunkt von Eis als Nullpunkt festgelegt ist. Der absolute Temperaturnullpunkt liegt dann bei –273,15 °C. Absolute Temperatur

< = Temperatur in °C

<: absolute Temperatur CK, KelvinE

+ 273,15 K Wärme (Q) Die mit der thermischen Wimmelbewegung von Atomen und Molekülen verbundene kinetische und potentielle Energie bezeichnet man als Wärme. Will man die Temperatur eines Stoffes erhöhen oder erniedrigen, so muss man Energie zubzw. abführen. Wie viel, das sagt die Wärmekapazität C oder die speziﬁsche Wärmekapazität c = C/Masse, die eine Materialkonstante ist.

+: Wärmekapazität C23E 9: Wärmemenge CJ, JouleE Δ<: Temperaturänderung durch Zuführen von 9

Wärmekapazität

K: spez. Wärmekapazität

Speziﬁsche Wärmekapazität Wärmekapazität bezogen auf die Masse Wasser:

U: Masse CSOE

Gasgesetz Das Gasgesetz gilt für ein ideales Gas, bei dem anziehende Kräfte zwischen den Atomen vernachlässigt werden können. Luft bei Raumtemperatur ist ein ideales Gas. Wenn man ein Gas so weit abkühlt, dass es schon fast verﬂüssigt, spielen die anziehenden Kräfte ein große Rolle und das Gas kann nicht mehr als ideal betrachtet werden. Gasgesetz

X>%V:<

X: Druck C8IE >: Volumen CUE V: Anzahl der Mole CUWTE Gaskonstante:

Phasenumwandlung Bei einer Temperaturänderung kann es zu einer Änderung des Aggregatzustands kommen, der Stoff kann zum Beispiel schmelzen. Dies nennt man eine Phasenumwandlung. Beim Schmelzen muss eine Umwandlungswärme aufgebracht werden, die bei der umgekehrten Phasenumwandlung (zum Beispiel Erstarren) wieder frei wird (. Abb. 5.14). Bei welchem Druck und welcher Temperatur sich ein Stoff in welchem Aggregatzustand beﬁndet, zeigt das Phasendiagramm (. Abb. 5.22). Längs der Grenzlinien können zwei Aggregatzustände koexistieren. Praktisch wichtig ist oft die Dampfdruckkurve, die die Grenze zwischen gasförmig und ﬂüssig markiert. Die Dampfdruckkurve des Wassers bestimmt die Sättigungsdampfdichte (thermodynamisches Gleichgewicht) in der Luft und damit die Luftfeuchtigkeit. Relative Feuchte

ρ: Dichte des Wassers in der Luft ρ[: Sättigungsdichte

164

1 2

Kapitel 5 · Wärmelehre

Wärmetransport Erwärmen oder Abkühlen geschieht über Wärmeleitung, Konvektion oder Wärmestrahlung. Bei Wärmeleitung und Konvektion ist der Wärmetransport zwischen zwei Orten proportional zur Temperaturdifferenz.

1: Wärmestrom C2[E ): Fläche, durch die der Wärmestrom geht

Wärmeleitung

3 4

λ : Wärmeleitfähigkeit Δ<: Temperaturdifferenz über die Länge T Konvektion

19%)P+>Δ<

P+>: Wärmeübergangskoefﬁzient ): Fläche, an der die Temperaturdifferenz Δ< auftritt

Strahlung (schwarzer Strahler)

8%)σ<

8: Strahlungsleistung C?E ): strahlende Fläche

5 6

<: Temperatur der strahlenden Fläche C3E

7 8 9 10

Diffusion und Osmose Sind die Komponenten eines Gases oder einer Flüssigkeit zunächst in verschiedenen Behältern und werden diese dann verbunden, so kommt es aufgrund der Wimmelbewegung zu einer Durchmischung aufgrund von Diffusion. Die Diffusionsgeschwindigkeit (genauer: Teilchenstromdichte) ist proportional zum Konzentrationsgefälle. Die Proportionalitätskonstante heißt Diffusionskoefﬁzient. Dieser steigt mit der Temperatur und ist für kleine Moleküle größer. Beim Durchmischen kann noch eine Lösungswärme auftreten. Beﬁndet sich zwischen Flüssigkeiten oder Gasen unterschiedlicher Zusammensetzung eine selektiv permeable Membran, so baut sich ein osmotischer Druck auf. van’t-Hoff-Gleichung: Druckdifferenz einer Lösung mit V Mol aktiven Teilchen gegenüber dem reinen Lösungsmittel

11 12

1. Hauptsatz der Thermodynamik (Energieerhaltungssatz) Energieerhaltungssatz

9%Δ=?

13 14 15 16 17 18 19 20

Verständnisfragen 1. Ein Gas in einem senkrecht stehenden Zylinder wird durch das Gewicht eines Kolbens zusammengedrückt. Wird ein Gewicht auf den Kolben gelegt, wird das Volumen von 500 auf 400 ml reduziert. Wird noch ein weiteres gleiches Gewicht dazugelegt, reduziert sich das Volumen des Gases dann um weitere 100 ml? 2. Wenn sich die Moleküle in einem Gas anziehen, ist der Druck höher, gleich oder niedriger als es die ideale Gasgleichung vorhersagt? 3. Was passiert mit einem heliumgefüllten Kinderballon, wenn das Kind ihn loslässt und er aufsteigt. Dehnt er sich aus oder schrumpft er? Steigt er immer weiter oder nur bis zu einer bestimmten Höhe? 4. Was hat eine höhere Dichte: trockene Luft oder Luft hoher Feuchtigkeit? 5. Warum sind die Temperaturschwankungen übers Jahr am Meer geringer als im Landesinneren?

9: Wärmemenge C2E =: innere Energie C2E ?: mechanische Arbeit C2E

6. Zunächst beﬁnden sich Wasser und trockene Luft in einem geschlossenen Behälter. Was passiert nun? 7. Kann man Wasser zum Kochen bringen, ohne es zu erwärmen? 8. Werden die Kartoffeln schneller gar, wenn man das Wasser stärker kochen lässt? 9. Warum ist ein heißer, schwüler Tag viel unangenehmer als ein heißer, trockener Tag? 10. Sie wollen eine bestimmte Menge Gas mit einer möglichst geringen Wärmemenge um 10 Grad erwärmen. Erreichen Sie das am besten bei konstantem Druck oder bei konstantem Volumen? 11. Zwei gleiche Behälter mit Wasser bei Raumtemperatur stehen auf einem Tisch. In einem ist doppelt so viel Wasser wie im anderen. Wir führen beiden die gleiche Wärmemenge zu und lassen sie dann wieder auf Raumtemperatur abkühlen. Wenn die Wärmeleitung zur Tischplatte der wesentliche Verlustmechanismus für die Wärme ist, welcher Behälter ist schneller wieder auf Raumtemperatur?

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Übungsaufgaben

12. Wenn der Kaffee lange warm bleiben soll: Gibt man Milch und Zucker lieber gleich hinein oder erst direkt bevor man ihn trinken will? 13. Warum hält das Bärenfell den Bären warm? 14. Warum müssen Thermometer, mit denen man die Lufttemperatur messen will, im Schatten sein?

5

der Schrank ist luftdicht, welche Kraft braucht man, um die Tür wieder aufzureißen? Tatsächlich haben die Hersteller an das Problem gedacht und irgendwo ein kleines Loch zum Druckausgleich eingebaut. Wie viel Luft strömt durch dieses in den Kühlschrank?

Wärmekapazität Übungsaufgaben (• leicht; •• mittel; ••• schwer) • 1. Wenn ein Stahlband (Ausdehnungskoefﬁzient im Anhang) um die Erde gelegt würde, sodass es bei 20 °C gerade passt, um wie viel würde es über der Erde schweben (überall gleicher Abstand), wenn man es auf 30 °C erwärmt? •• 2. Ein Gas hat eine Temperatur von 0 °C. Auf welchen Wert muss man seine Temperatur erhöhen, um die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle zu verdoppeln? • 3. Um welchen Faktor steigt der Druck eines in einem bestimmten Volumen eingeschlossenen Edelgases, wenn die mittlere kinetische Energie der Atome verdoppelt wird? •• 4. Unter Normalbedingungen wiegt ein Liter Luft 1,293 g. Wie groß ist die mittlere Molekülmasse? • 5. Das beste im Labor erreichbare Vakuum ist etwa 10−10 Pa. Wie viele Moleküle beﬁnden sich dann etwa in einem Kubikzentimeter bei 20 °C?

Dampfdruck • 6. Wie groß ist der Luftdruck, wenn Wasser schon bei 90 °C kocht? •• 7. Es ist Winter und Sie sind in einem Raum bei 20 °C und 52% Luftfeuchtigkeit. Sie beobachten, dass das Fenster beschlägt. Welche Temperatur hat dann die Glasoberﬂäche höchstens? (Benutzen Sie die Wasser-Tabelle im 7 Anhang.)

Gasgesetz • 8. Eine halbleere Sprudelﬂasche habe bei 20 °C einen Innendruck von 1,5 bar. Sie wird in die Sonne gestellt und die Temperatur steigt auf 50 °C. Auf etwa welchen Wert steigt der Druck in der Flasche? • 9. Eine Gasmenge wird so weit abgekühlt, dass sich sowohl ihr Volumen als auch ihr Druck halbiert. Um welchen Faktor hat sich die absolute Temperatur vermindert? •• 10. Aus einer 50-Liter-Druckﬂasche mit Helium werden Kinderluftballons aufgeblasen. Ursprünglich waren 28 bar in der Flasche, nach vielen Ballons sind nur noch 5 bar Druck auf der Flasche. Wie viel Prozent der ursprünglichen Gasmenge sind noch in der Flasche? Etwa wie viele Ballons (Durchmesser 30 cm) wurden aufgeblasen? •• 11. Ein Kühlschrank mit einem Volumen von 155 l hat eine Tür mit 0,32 m2 Innenﬂäche, die offen steht. Der Kühlschrank ist abgeschaltet und deshalb ist es in ihm 20 °C warm bei 1 bar. Nun wird der Kühlschrank geschlossen und angeschaltet. Die Innentemperatur sinkt auf 7 °C. Angenommen,

• 12. Ein Tauchsieder habe eine elektrische Leistungsaufnahme von 350 W. Wie lange braucht er, um eine Tasse Suppe (250 ml) von 20 auf 50 °C zu heizen? • 13. 1 Liter Wasser wird bei 0 °C mit 2 Liter Wasser bei 100 °C vermischt. Welche Mischtemperatur stellt sich ein? • 14. Um einen Kupferklotz von 20 auf 40°C zu erwärmen, werden 2 kJ gebraucht. Wie groß ist seine Wärmekapazität? •• 15. Ein gepﬂegtes Bier soll mit 8 °C serviert werden. Ehe der Organismus die in ihm gespeicherte chemische Energie von 1,88 kJ/g verwerten kann, muss er es auf Körpertemperatur aufwärmen. Welcher Bruchteil des Brennwertes wird dafür gebraucht? Bier besteht im Wesentlichen aus Wasser. ••• 16. Für die Reibungswärme des Blutstromes bringt das Herz des Menschen eine Pumpleistung 80 von ungefähr 1,6 W auf (s. Aufgabe 3.14). Angenommen, es arbeite mit einem Nutzeffekt von 25%, welche Leistung 8 muss es dann von seiner Energiequelle anfordern? Weiter angenommen, es beziehe diese Leistung vollständig aus der Verbrennung von Glukose LU (Heizwert 17 kJ/g), welcher Massenstrom 6 von Glukose L\ muss dann ständig angeliefert werden? Weiterhin angenommen, Glukose sei im Blut mit einer Massendichte K = 100 mg/ dl gelöst, mit welcher Blutstromstärke 1 muss sich das Herz mindestens selbst versorgen? Im letzten Schritt wird der Glukosestrom dU/d\ per Diffusion durch eine Gefäßwand transportiert. Setzt man den Diffusionsweg Δ` kurzerhand mit 0,1 mm an und die Glukosekonzentration im Gewebe des Herzmuskels der Einfachheit gleich null, welcher Konzentrationsgradient dK/d` steht der Diffusion dann zur Verfügung? Messungen legen nahe, den Diffusionskoefﬁzienten , der Glukose im Muskelgewebe auf den runden Wert 1 · 10−6 cm2/s zu schätzen. Welche Diffusionsﬂäche ) ist dann für die Versorgung des Herzens mindestens notwendig? Zweifellos kann man mit derart groben Annahmen nur Größenordnungen herausﬁnden; es lohnt nicht, zu den Zehnerpotenzen auch noch Faktoren mit dem Taschenrechner zu bestimmen. Trotz aller Ungenauigkeit darf man aber den Nutzen solcher Überschlagsrechnungen nicht unterschätzen.

Osmose • 17. Eine wässrige Salzlösung und reines Wasser sind durch eine selektiv permeable Membran getrennt, die die Salzionen nicht durchlässt. Auf welcher Seite steigt der Wasserspiegel? • 18. Eine selektiv permeable Membran trennt einen Behälter mit reinem Lösungsmittel von einem zweiten mit einer 4Õ []VO. Die Temperatur beträgt 20 °C. Um wie viel erhöht sich der osmotische Druck, wenn die Konzentration der osmotisch wirksamen Teilchen um 0,2 mol/Liter erhöht wird?

166

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 5 · Wärmelehre

• 19. Um welchen Faktor erhöht sich der osmotische Druck über einer semipermeablen Membran, wenn man die Temperatur von 0 auf 273 °C erhöht?

Wärmeaustausch •• 20. Die Erde erhält eine Leistung von ca. 1000 W pro Quadratmeter senkrecht angestrahlter Fläche von der Sonne und strahlt diese auch wieder in den Weltraum ab (die Erde ist im Gleichgewicht). Angenommen, die Erde ist ein schwarzer Strahler, was ergibt sich für eine mittlere Oberﬂächentemperatur der Erde? Bedenken Sie, dass immer nur die halbe Erde angestrahlt wird, aber die ganze Erde abstrahlt.

167

Elektrizitätslehre 6.1 6.1.1 6.1.2

6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5

Die wichtigsten Messgrößen – 169 Strom, Spannung, Ladung ! – 169 Leistung und Energie ! ! – 172 Die wichtigsten Zusammenhänge Elektrischer Widerstand ! – 173 Das Ohm’sche Gesetz ! – 174 Stromwärme ! – 175 Kapazität ! ! – 176 Energie des geladenen Kondensators

– 173

– 177

6.3

Wechselspannung

– 178

6.3.1 6.3.2

Effektivwerte – 178 Kapazitiver Widerstand

6.4

Elektrische Netzwerke

6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.5 6.4.6

Widerstände in Reihe und parallel ! – 181 Speziﬁscher Widerstand (Resistivität) – 183 Spannungsteiler ! – 184 Innenwiderstände – 186 Hoch- und Tiefpass – 187 Kondensatorentladung und e-Funktion ! – 188

– 180

– 181

6.5

Elektrisches Feld

6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.5.6

Der Feldbegriff ! – 190 Elektrisches Potential ! – 191 Das Potentialfeld ! – 193 Kräfte zwischen Ladungen ! – 196 Feld im Kondensator – 198 Energie des elektrischen Feldes – 199

– 190

6.6

Materie im elektrischen Feld

6.6.1 6.6.2

Inﬂuenz und elektrische Abschirmung Der elektrische Strom ! – 201

– 200 – 200

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6_6, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

6

6.6.3 6.6.4 6.6.5 6.6.6

Dielektrizitätskonstante (Permittivität) ! – 202 Das freie Elektron – 204 Ruhemasse und relativistische Masse – 207 Gasentladung – 208

6.7

Elektrochemie

6.7.1 6.7.2

Dissoziation – 209 Elektrolyte ! – 211

– 209

6.8

Grenzﬂächen

6.8.1 6.8.2 6.8.3

Membranspannung – 213 Galvani-Spannung – 215 Thermospannung – 216

6.9

Elektrophysiologie

6.9.1 6.9.2 6.9.3

Die Auswertung des EKG nach Einthoven Elektrische Unfälle – 219 Schutzmaßnahmen – 220

6.10

Magnetische Felder Einführung ! – 222

– 213

– 217

– 222

6.10.1 6.10.2 6.10.3

Kräfte im Magnetfeld ! – 225 Erzeugung von Magnetfeldern !

6.11

Induktion

6.11.1 6.11.2 6.11.3 6.11.4

Einführung ! – 229 Transformatoren ! – 232 Selbstinduktion – 233 Induktiver Widerstand – 235

6.12

Elektrische Schwingungen Der Schwingkreis ! – 236

6.12.1 6.12.2 6.12.3

– 227

– 229

– 236

Geschlossene elektrische Feldlinien – 239 Der schwingende elektrische Dipol – 239

– 217

6.1 · Die wichtigsten Messgrößen

169

6

> > Einleitung Elektrische Energie ist heutzutage die handlichste aller Energieformen. Sie lässt sich vielseitig nutzen und nahezu überall bereithalten, sofern ein dichtes Netz von Kraftwerken, Überlandleitungen, Umspannstationen, Kabeln und Steckdosen erst einmal installiert worden ist. Allerdings kann der Mensch auch diesen technischen Komfort nur unter Gefahr für Leib und Leben nutzen: Die Verhütung elektrischer Unfälle verlangt permanente Aufmerksamkeit. Die Natur hat organisches Leben untrennbar mit elektrischen Erscheinungen verknüpft. Das ermöglicht Unfälle, aber auch segensreiche Geräte für Diagnose (Elektrokardiograph) und Therapie (Herzschrittmacher). Zwischen elektrischen und magnetischen Feldern besteht eine so enge Verbindung, dass der Magnetismus mit unter der Überschrift „Elektrizitätslehre“ besprochen werden kann.

. Abb. 6.1. Elektrokardiogramm eines gesunden Menschen; unten Zeitmarken im Sekundenabstand, Pulsfrequenz demnach ca. 72/min = 1,2 Hz

;KPZI]J\UIVMQV
170

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1 2 3 4 5 6

. Abb. 6.2. Stromkreis. Batterie und Glühbirne als geschlossener Stromkreis

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 6.3. Schaltskizze zur Schaltung von . Abb. 6.2

JMQ\[[\]VLMV OMSW[\M\ ]U QU -QVbMTVMV PMZI][ b]âVLMV_I[LIQU-QVbMTNITT[\ZÕU\]VLM[_QZL M\TQKPMZ ;MQ\MV LQM[M[ *]KPM[ JMLÛZNMV ]U _M VQO[\MV[ LQM _QKP\QO[\MV -ZSMVV\VQ[[M ^WTT[\ÃV LQOLIZb][\MTTMV)VLQM[MZ;\MTTMSIVV[W^QMTOM [IO\_MZLMV" -QV MTMS\ZQ[KPMZ 4MQ\]VO[[\ZWU \ZIV[XWZ\QMZ\ elektrische Ladung]VLb_IZLIL]ZKPLI[[MTMS \ZQ[KP OMTILMVM []JUQSZW[SWXQ[KPM <MQTKPMV QU 4MQ\MZMV\TIVO[\ZÕUMV[WOLadungsträger;XMbQ MTTQU5M\ITT[QVLLI[ ElektronenIT[WLQMSTMQV[ \MV ]VL TMQKP\M[\MV ]V\MZ LMV [WO ElementarteilchenI][LMVMV[QKPITTM5I\MZQMLMZ?MT\b][IU UMV[M\b\1U5M\ITT[QVL-TMS\ZWVMVIT[JM_MOTQ KPM4IL]VO[\ZÃOMZITTMUIT^WZPIVLMVWJV]VMQV ;\ZWUãQM¾\WLMZVQKP\,QM;XIVV]VOLMZ*I\\M ZQMMZbM]O\[QMVQKP\[QM[M\b\[QMTMLQOTQKPQV*M _MO]VO,IJMQ\ZM\MVI][LMUMQVMV8WTLMZ*I\ \MZQM MJMV[W ^QMTM -TMS\ZWVMV PMZI][ ]VL QV LI[ MQVM-VLMLM[MQVMV,ZIP\M[PQVMQV_QMI][LMU IVLMZMV-VLMLM[IVLMZMV,ZIP\M[PMZI][QVLMV IVLMZMV8WTLMZ*I\\MZQMPQVMQV ?QM UQ[[\ UIV MQVMV MTMS\ZQ[KPMV ;\ZWU' 1U -QVbMTVMV SIVV LQM[ PQMZ VWKP VQKP\ LIZOM TMO\ _MZLMV )T[ -`XMZQUMV\I\WZ LIZN UIV [QKP IJMZLIZI]N^MZTI[[MVLI[[LQM0MZ[\MTTMZQU0IV

LMT MZPÃT\TQKPMZ ;\ZWUUM[[MZ [KPWV _Q[[MV _QM UIVJZI]KPJIZM1V[\Z]UMV\MPMZ[\MTT\]VLMQKP\ 1U1V\MZVI\QWVITMV-QVPMQ\MV[a[\MUQ[\LMZMTMS \ZQ[KPM;\ZWU*I[Q[OZÕ¾MJMSWUU\LQM*I[Q[MQV PMQ\Ampère%)b]-PZMV^WV)VLZÈ5IZQM)U XÇZM w ]VL ÛJTQKPMZ_MQ[M LI[ *]KP [\IJMV[aUJWT1B]_MQTMV_QZLLMZ;\ZWU1I]KP Stromstärke OMVIVV\ *MQ ;XIVV]VO[UM[[MZV ^MZ TÃ[[\ UIV [QKP MJMVNITT[ I]N LMV .IKPPIVLMT ,QM MTMS\ZQ[KPM ;XIVV]VO JMSWUU\ LQM ;1-QVPMQ\ Volt%>b]-PZMV^WV)TM[[IVLZW/Q][MXXM)V \WVQW)VI[\I[QW>WT\Iw ]VLÛJTQKPMZ _MQ[MLMV3MVVJ]KP[\IJMV= ?MZ[QKPVWKPVQKP\I][SMVV\LMVUIOÛJMZZI [KPMVLI[[MZQV4IJWZI\WZQMVPÃ]âO[WOVielfachinstrumente^WZâVLM\LQMVQKP\V]ZÛJMZUMPZMZM 5M[[JMZMQKPM ^MZNÛOMV [WVLMZV [W_WPT ;\ZÕUM IT[I]KP;XIVV]VOMVb]UM[[MV^MZUÕOMV?QM [W [QM JMQLM[ SÕVVMV _QZL MZ[\ [XÃ\MZ STIZ .WT OMVLM[ÛJMZTMO\UIV[QKPIJMZTMQKP\"-QV Strommesser UQ[[\ V]Z LMVRMVQOMV ;\ZWU LMZ L]ZKP LI[5M[[_MZSb_Q[KPMV[MQVMVJMQLMV)V[KPT][[ STMUUMVPQVL]ZKPTÃ]N\LI[1V[\Z]UMV\U][[QU ;\ZWUSZMQ[TQMOMVUQ\*I\\MZQM]VL/TÛPJQZVMQV :MQPMWLMZI]KPQV;MZQM_QMQV. Abb. 6.4,I JMQQ[\M[OTMQKPOÛT\QOI]N_MTKPMZ;MQ\MM[[QKPQU ;\ZWUSZMQ[JMâVLM\ZMKP\[WLMZTQVS[-QV SpannungsmesserPQVOMOMV[WTTLQM;XIVV]VOLMZ*I\ \MZQM ]VJMMQVLZ]KS\ ^WU ZM[\TQKPMV ;\ZWUSZMQ[ UM[[MV-ZU][[XIZITTMTb]LMZ*I\\MZQM]VLLMU 4ÃUXKPMV OM[KPIT\M\ _MZLMV . Abb. 6.5 ,QM *I\\MZQMPI\MQVM;XIVV]VOb]TQMNMZVLIUQ\LMZ ;\ZWUãQM¾MVSIVV;QMU][[MQVMSpannungsquelle[MQVIJMZMJMV[WI]KPMQVMStromquelle ?MVV MQV ;\ZWU ãQM¾\ _QZL MTMS\ZQ[KPM 4I L]VOb_IZ\ZIV[XWZ\QMZ\ITTM[QVITTMUIJMZV]ZQU ;\ZWUSZMQ[PMZ]UOM[KPWJMV1V/MLIVSMVSIVV UIV[QKPIVMQVMJM[\QUU\M;\MTTMLM[3ZMQ[M[[M\ bMV]VLLQMLWZ\QVLMZBMQ\[XIVVMΔ\^WZJMQOM TI]NMVM4IL]VO9JM[\QUUMV;QM_ÃKP[\UQ\LMZ

. Abb. 6.4. Ein Strommesser wird in Reihe mit dem „Verbraucher“ geschaltet

6.1 · Die wichtigsten Messgrößen

171

6

1V _MTKPMZ :QKP\]VO ãQM¾\ LMVV V]V LMZ ;\ZWUQU;\ZWUSZMQ[PMZ]UQV_MTKPMZ:QKP\]VO LQM -TMS\ZWVMV UQ\ LMU =PZbMQOMZ WLMZ OMOMV QPV';KPI]\UIVMQVMWZbMQKPMV]VLwb] TWUJw ]VL+OM[KPZQMJMV JMbMQKPVMVbMQO\[QKP_MVVUIVUMPZMZM*I\\M Merke ZQMVMTMS\ZQ[KPPQV\MZMQVIVLMZ[KPIT\M\_MVVUIV [QMIT[WQV:MQPM[KPIT\M\"*MQZQKP\QOMZ8WT]VOQU Elektrischer Strom I, Basisgröße des InterUMZ8T][IV5QV][ILLQMZMV[QMQPZM;XIVV]VOMV nationalen Einheitensystems, Einheit 1 Am. Abb. 6.6# TQMO\ IJMZ MQVM *I\\MZQM NIT[KP PMZ père = 1 A. ]U . Abb. 6.7[W[]J\ZIPQMZ\[QMQPZM;XIVV]VO Elektrische Spannung U, abgeleitete Größe, ^WVLMZ;]UUMLMZIVLMZMV5I\PMUI\Q[KPQ[\MQ Einheit 1 Volt = 1 V. Elektrische Ladung 9%1 · Δt, Einheit 1 Coulomb = 1 C = 1 A · s.

-TMS\ZQ[KPM 4IL]VO _QZL QUUMZ ^WV JM[\QUU \MV -TMUMV\IZ\MQTKPMV QV LMZ 5I\MZQM OM\ZIOMV ^WV-TMS\ZWVMV]VL8ZW\WVMV,QM[M[QVLI]KPLQM _QKP\QO[\MV*I][\MQVMLMZ)\WUM,MZ*M\ZIOLQM [MZ4IL]VOQ[\NÛZJMQLM-TMUMV\IZ\MQTKPMVOTMQKP ]VL _QZL Elementarladung M OMVIVV\ 1PZ ?MZ\ Q[\"

. Abb. 6.6. Batterien in Reihe. Drei Taschenlampenbatterien in Reihe geschaltet: Ihre Einzelspannungen = addieren sich zu =%=

-TMUMV\IZTIL]VO M%w!)[ ,QM[ Q[\ b]OTMQKP LQM STMQV[\M UÕOTQKPM 4I L]VO[UMVOM-[_]ZLMVVWKPVQM*Z]KP\MQTMLI ^WVJMWJIKP\M\

. Abb. 6.7. Batterien in Reihe. Eine der drei Batterien liegt „verkehrt herum“; sie subtrahiert ihre Spannung von der Summenspannung der beiden anderen: =%=w=%=

172

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

VM;]J\ZIS\QWVIJMZV]ZMQVM)LLQ\QWVUQ\VMOI \Q^MV >WZbMQKPMV ,IZ]U LIZN UIV LQM /M[IU\ [XIVV]VO=MQVMZ:MQPMPQV\MZMQVIVLMZOM[KPIT \M\MZ ;XIVV]VO[Y]MTTMV IT[ ;]UUM LMZ -QVbMT [XIVV]VOMV==][_[KPZMQJMV"

\Q^MJM\ZMQJMV ,QM[M NÛVN *MQ[XQMTM [QVL PQMZ VIKPi[\MQOMVLMU>MZJZI]KPtI]NOMTQ[\M\b]_MQ TMVi;\ZWU^MZJZI]KPtOMVIVV\?I[Q[\LIUQ\OM UMQV\' )][LZÛKSTQKP [MQ JM\WV\" ,MZ MTMS\ZQ[KPM ;\ZWUãQM¾\QVMQVMUOM[KPTW[[MVMV;\ZWUSZMQ[ -Z _QZL LIJMQ VQKP\ i^MZJZI]KP\t 0Ã]âO LQMV\ LI[ ?WZ\ i;\ZWUt IT[ -Z[I\b NÛZ LQM [XZIKPTQKP ]VJMY]MUMZM iMTMS\ZQ[KPM -VMZOQMt )]KP -VMZ OQM TÃ[[\ [QKP VQKP\ i^MZJZI]KPMVt QV LMU ;QVV LI[[[QM^MZ[KP_ÃVLM#[QMTÃ[[\[QKPIJMZ]U_IV LMTV^WVMQVMZ.WZUQVMQVMIVLMZM,IJMQQ[\MTMS \ZQ[KPM-VMZOQMPÕPMZ_MZ\QO_MQTJM[[MZ^MZ_MVL JIZIT[b*LQM?ÃZUMLMZBQUUMZT]N\LQMUIV b_IZI][MTMS\ZQ[KPMZ-VMZOQMOM_QVVMVIJMZV]Z [KP_MZ^WTT[\ÃVLQOQV[QMb]ZÛKS^MZ_IVLMTVSIVV 4M\b\MV -VLM[ Q[\ MQVM LMZIZ\QOM i-V\_MZ\]VOt MTMS\ZQ[KPMZ-VMZOQMOMUMQV\_MVVUIV^WV-V MZOQMWLMZOIZ;\ZWU^MZJZI]KPZMLM\ -QVM IVNIPZMVLM 4WSWUW\Q^M ^MZTIVO\ UMPZ -VMZOQMQVSÛZbMZMZBMQ\IT[MQVMTM]KP\MVLM/TÛP JQZVM",QMWJMVI]NOMTQ[\M\MVNÛVN5ÕOTQKPSMQ\MV [QVL VIKP [\MQOMVLMZ 4MQ[\]VO OMWZLVM\ -TMS \ZQ[KPM 4MQ[\]VO 8 _QZL QUUMZ LIVV ]UOM[M\b\ _MVV JMQ MQVMZ ;XIVV]VO = MQV ;\ZWU1 ãQM¾\# 8 Q[\ b] JMQLMV XZWXWZ\QWVIT" elektrische Leistung 8%1= -QVPMQ\ Watt = ?% >) ?MVV UIVLQM;XIVV]VO[Y]MTTM]UXWT\_MKP[MT\I]KP LMZ;\ZWU[MQV>WZbMQKPMV.ÛZLQM4MQ[\]VOPI\ LI[IVLQM[MZ;\MTTMSMQVM*MLM]\]VO")T[8ZWL]S\ ^WV=]VL1JTMQJ\[QMXW[Q\Q^5QV][UIT5QV][ OQJ\8T][[IO\LQM5I\PMUI\QS

)VLQM[MZ;\MTTM[MQLQMUQ[[\ZI]Q[KPM.ZIOMMZ TI]J\" 0IJMV LMVV V]V ?QZJMT\QMZPMZb ]VL QMTNIKPQV[\Z]UMV\JMWJIKP\MV'3IVVUIV ]UOMSMPZ\ LQM ;XIVV]VO MQVMZ *I\\MZQM UQ\ MQ VMU3IZLQWOZIXPMVÛJMZXZÛNMV',MZ*M[Q\bMZLM[ >QMTNIKPQV[\Z]UMV\[ LIZN JMLMVSMVTW[ LI[ QPU b]SWUUMVLM -`XMZQUMV\ I][NÛPZMV ]VL [QKP ÛJMZbM]OMV"-[OMP\VQKP\,MZ*M[Q\bMZLM[3IZLQW OZIXPMV IJMZ [MQ OM_IZV\" 5ÕOTQKPMZ_MQ[M U][[ [MQVSW[\JIZM[/MZÃ\IV[KPTQM¾MVLb]Z:MXIZI\]Z 0MZb ]VL *I\\MZQM PIJMV [KPWV M\_I[ UQ\MQVIV LMZb]\]VV]ZTQMOMVLQM;XIVV]VOMVLQM[QMIJ OMJMV]UZ]VLMQVMV.IS\WZQMTNIKPUM[[MZQ[\VQKP\MUXâVLTQKPOM V]O NÛZ LI[ -3/ ]VL LMZ 3IZLQWOZIXP b] MUX âVLTQKPNÛZLQM*I\\MZQM 1U*MZMQKP Mikrovolt>TQMOMVLQM;QOVITM LQM .MZV[MPIV\MVVMV I][ LMZ 4]N\ â[KPMV# 5][ SMTSWV\ZIS\QWVMV MZbM]OMV Millivolt U> JQ[ BMPV\MT^WT\ -QVQOM >WT\ [QVL NÛZ LMV 5MV[KPMV ]VOMNÃPZTQKP[WTIVOM[QMÛJMZLQM0I]\IVOMTMO\ _MZLMV ]VL VQKP\ M\_I ÛJMZ MQVMV 0MZbSI\PM Merke \MZ ,QM > LMZ ;\MKSLW[M [QVL IJMZ SMQVM[ _MO[ UMPZ PIZUTW[ 0WKP[XIVV]VO[TMQ\]VOMV Elektrische Leistung QU *MZMQKP Kilovolt S> JMSWUUMV JMZMQ\[ 8%=1 ?IZV[KPQTLMZ »JMZTIVLTMQ\]VOMV JM^WZb]OMV Einheit: 1 Watt = 1 W = 1 V · A. S>%5>Megavolt#*MZÛPZ]VOQ[\\ÕL TQKP:ÕV\OMVZÕPZMV_MZLMVVQKP\[MT\MVUQ\ÃPV TQKPPWPMV;XIVV]VOMVJM\ZQMJMV*TQ\bMSÕVVMV ,QM
;QOVITTMQ[\]VOMV^WV8QKW_I\\%X?%w? IV ,MZ ;\ZWUS]VLM U][[ LMU >MZ[WZO]VO[]V \MZVMPUMVLQMelektrischeEnergieΔ?MTJMbIPTMV VIKPLMV»JMZTMO]VOMVLM[ 7 Kap. 2.2.3IT[WLI[ BMQ\QV\MOZITLMZMTMS\ZQ[KPMV4MQ[\]VO8\

Rechenbeispiel 6.1: Wie viel ist ein Blitz wert? 7 Aufgabe. Ein anständiger Blitz hat eine Spannung von vielleicht 1 GV, führt einen Strom der Größenordnung 105 A und dauert ungefähr 100 μs an. Welche Energie setzt er ungefähr um und was wäre sie im Kleinhandel wert? 7 Lösung. Wir nehmen einmal an, der Strom wäre über die ganze Zeit konstant. Das ist dann eine Energie: . Das entspricht etwa 700 Euro, wenn man die Energie denn nutzen könnte.

Merke Elektrische Energie (Leistung mal Zeit)

6.2

,QM-QVPMQ\MV>WT\]VL)UXMZM_]ZLMV[WLMâ VQMZ\LI[[LQMMTMS\ZQ[KPM-VMZOQMMQVPMQ\ WattsekundeUQ\LMUJouleÛJMZMQV[\QUU\ Merke 1 Wattsekunde = 1 Joule = 1 Newtonmeter, 1 Ws = 1 J = 1 Nm.

6

173

6.2 · Die wichtigsten Zusammenhänge

Die wichtigsten Zusammenhänge

6.2.1 Elektrischer Widerstand

!

?MTKPM4MQ[\]VOMQV3]VLM[MQVMU-TMS\ZQbQ\Ã\[ _MZSIJVQUU\PÃVO\ITTMUIT^WVLMZ;XIVV]VO IVLMZ;\MKSLW[MIJ"WPVM;XIVV]VO_MLMZ;\ZWU VWKP4MQ[\]VO1[\LQM;XIVV]VOIJMZ^WZPIVLMV LIVVMV\[KPMQLM\LMZ3]VLM[MTJ[\QV[WNMZVVÃU TQKP IT[ LI[ /MZÃ\ LI[ MZ IV[KPTQM¾\ MQVMV JM [\QUU\MV Leitwert JM[Q\b\ LMZ MQVMV ;\ZWUã][[ MZTI]J\WLMZ]UOMSMPZ\NWZU]TQMZ\LMU;\ZWU ã][[MQVMVJM[\QUU\MVWiderstandMV\OMOMV[M\b\ ,QM JMQLMV ?WZ\M LQMVMV IT[ 6IUMV XPa[QSITQ [KPMZ/ZÕ¾MV"

,QM[M*MbQMP]VOU][[UIV[QKPUMZSMV)]NRM LMV.ITTJZI]KP\UIV[QM_MVVUIVQVQZOMVLMQ VMZ .WZUMT b_Q[KPMV MTMS\ZQ[KPMV ]VL UMKPIVQ [KPMV/ZÕ¾MV]VLQPZMV-QVPMQ\MVPQV]VLPMZ ZMKPVMVU][[,I[SWUU\OIZVQKP\[W[MT\MV^WZ .ÛZ XZIS\Q[KPM B_MKSM Q[\ LQM ?I\\[MS]VLM elektrischer Widerstand :%=1 Q[\LI[2W]TM]VIVOMVMPUSTMQV-TMS\ZQbQ\Ã\[_MZ UQ\LMZ-QVPMQ\7PU%Ω %>) SMZMKPVMVQV KilowattstundenS?P%52 elektrischer Leitwert /%1= ]VL ^MZTIVOMV LMZbMQ\ LINÛZ MQVMV )ZJMQ\[XZMQ[ UQ\LMZ-QVPMQ\;QMUMV[%Ω ^WV]VOMNÃPZ+MV\ ,MZWJQOM>MZOTMQKPLMZ-QVPMQ\MVNÛZLQM-V MZOQM_QZN\V]VITTMZLQVO[LQM.ZIOMI]N_I[;XIV Merke V]VOUIT;\ZWUUITBMQ\IT[W;XIVV]VOUIT4I Elektrischer Widerstand L]VOLMVVUQ\3ZIN\UIT?MOb]\]VPI\WZOÃVOMVI]NI\WUIZMZ-JMVMNWTO\QV 6IKP\\Q[KPTIUXM>?UQ\
174

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1 2 3 4 5

. Abb. 6.8. Kennlinie. Schaltung zur Messung der StromSpannungs-Kennlinie einer Glühbirne (welches der beiden hier mit 1 und 2 bezeichneten Instrumente ist der Spannungsmesser?)

6 7 8 9 10 11 12

. Abb. 6.9. Strom-Spannungs-Kennlinie einer Glühbirne (220–230 V, 15 W)

OM[KPIT\M\TQMNMZV!>,I[PITJM>WT\=V\MZ [XIVV]VO[\ÕZ\VQKP\.ÛZ?4MQ[\]VOJMVÕ\QO\ LQM/TÛPJQZVM_QMUIVTMQKP\VIKPZMKPVM\U) ;\ZWU ,I[ MV\[XZQKP\ MQVMU ?QLMZ[\IVL ^WV SΩ6QUU\UIVRM\b\MQVMQMTM^WZITTMU\MKPVQ[KPM?QLMZ[\ÃVLM _QM [QM QV LMZ -TMS\ZWVQS ^MZ_MVLM\ _MZLMV MZ NÛTTMV LQM[M *MLQVO]VO# UIV JMbMQKPVM\ [QM LM[ PITJIT[ohmsche Widerstände0QMZU][[I]NMQVM *M[WVLMZPMQ\LMZLM]\[KPMV;XZIKPMI]NUMZS[IU OMUIKP\_MZLMV";QM^MZ_MVLM\LQM>WSIJMTi?Q LMZ[\IVLt[W_WPTNÛZLI[7JRMS\LI[UIVIVNI[ [MV]VLQVMQVM;KPIT\]VOMQVTÕ\MVSIVVIT[I]KP NÛZ LM[[MV XPa[QSITQ[KPM 3MVVOZÕ¾M : ,I[ MZ

175

6.2 · Die wichtigsten Zusammenhänge

6.2.3 Stromwärme

. Abb. 6.11. Ohmscher Widerstand. Strom-SpannungsKennlinie eines ohmschen Widerstands; sie ist immer eine Gerade durch den Nullpunkt

TI]J\LQM*MPI]X\]VOMQV?QLMZ[\IVLPIJMMQVMV ?QLMZ[\IVL,QM)VOMT[IKP[MVSÕVVMVb_Q[KPMV LMU /MOMV[\IVL iZM[Q[\WZt ]VL LMZ /ZÕ¾M iZM [Q[\IVKMt[XZIKPTQKP]V\MZ[KPMQLMV Merke Das Ohm’sche Gesetz verlangt eine Proportionalität zwischen Strom und Spannung, also einen spannungsunabhängigen Widerstand.

6

!

-TMS\ZQ[KPM -Z[KPMQV]VOMV [QVL [KPVMTT ?MVV UIVLI[4QKP\QU?WPVbQUUMZUQ\LMU;KPIT\MZ VMJMVLMZ<ÛZIVSVQX[\TM]KP\MVLQM/TÛPJQZVMV [WNWZ\I]N,I[PMQ¾\IJMZVQKP\LI[[JMQU;KPIT \MZ-TMS\ZWVMVQVLMV;\IZ\TÕKPMZVOM[\IVLMVPÃ\ \MV]VL_QMLMZ*TQ\bb]LMZ*QZVMOMZIVV\_ÃZMV ?Wb] I]KP' 5IZ[KPJMZMQ\M -TMS\ZWVMV âVLMV [QKPÛJMZITTQU5M\ITTI]KPQVLMV/TÛPLZÃP\MV ;KPVMTT_IZV]ZLQM»JMZUQ\\T]VOLM[5IZ[KPJM NMPT[#MZTÃ]N\XZIS\Q[KPUQ\4QKP\OM[KP_QVLQOSMQ\ LMV,ZIP\MV\TIVO^WU;KPIT\MZb]Z*QZVM -TMS\ZWVMV QU ,ZIP\ UÛ[[MV [QKP UÛP[IU b_Q[KPMV LM[[MV I\WUIZMV *I][\MQVMV LMV 1W VMVLM[ RM_MQTQOMV 5M\ITT[ PQVL]ZKPY]ÃTMV ,I SWUU\ M[ [\ÃVLQO b] ;\Õ¾MV LQM MQVMZ[MQ\[ LMV *M_MO]VO[LZIVO LMZ -TMS\ZWVMV LÃUXNMV" ;QM SWUUMV V]Z MQVQOM BMPV\MTUQTTQUM\MZ XZW ;M S]VLM^WZIV]VLSMQVM[_MO[UQ\4QKP\OM[KP_QV LQOSMQ\ )VLMZMZ[MQ\[ NIKPMV LQM ;\Õ¾M LQM ]VOM WZLVM\M\PMZUQ[KPM*M_MO]VOLMZ]UQPZM/Q\\MZ XTÃ\bM[KP_QVOMVLMV1WVMVIV"-TMS\ZQ[KPM-VMZ OQM _QZL TI]NMVL QV \PMZUQ[KPM -VMZOQM QV ?ÃZ UM]UOM[M\b\5IVJMbMQKPVM\[QMIT[ Joule’sche Wärme WLMZ I]KP SÛZbMZ IT[ Stromwärme >WV UIVKPMV i>MZJZI]KPMZVt _QM /TÛPJQZVM 0MQb SQ[[MV<WI[\ZÕ[\MZ_QZLVQKP\[IVLMZM[MZ_IZ\M\ ;QM[WTTMVLQMOIVbMLMZ;\MKSLW[MMV\VWUUMVM MTMS\ZQ[KPM4MQ[\]VO8%=1QV?ÃZUM]U_IV LMTV5IVLIZN[QMI]KPI]NLMV?QLMZ[\IVL:JM bQMPMV#VIKPLM[[MV,MâVQ\QWV:%=1OQT\"

7PU[KPM?QLMZ[\ÃVLMSWUUMVQV<MKPVQS]VL 4IJWZI\WZQ]U[WPÃ]âO^WZLI[[UIVKPM;KP]T JÛKPMZ[W\]VIT[OÃJMM[VQKP\[IVLMZM[5M\ITT LZÃP\MM\_IWJV]VOMZILMOM[XIVV\WLMZI]NMQ VMV3MZIUQSbaTQVLMZI]NOM_QKSMT\[QVLWPU[KP ITTMZLQVO[ LIJMQ IJPÃVOQO ^WV LMZ <MUXMZI\]Z )]KP LQM /TÛPJQZVM PÃ\\M MQVM WPU[KPM 3MVV TQVQM_MVV[QKPLMZ/TÛPNILMVVQKP\MZPQ\b\M1V ;KPIT\[SQbbMV JMSWUU\ LMZ ?QLMZ[\IVL MQV ãI = KPM[:MKP\MKSIT[;aUJWTM[MZ[KPMQV\b]UMZ[ 8%1:%4 : \MV5ITQV. Abb. 6.19#_MVVVQKP\I][LZÛKSTQKP *MQLM[ Q[\ OZ]VL[Ã\bTQKP VQKP\ I]N WPU[KPM M\_I[IVLMZM[OM[IO\_QZLQ[\LIUQ\MQVWPU[KPMZ ?QLMZ[\ÃVLMJM[KPZÃVS\ ?QLMZ[\IVLOMUMQV\ )]KPb_Q[KPMVLMV3TMUUMVMQVM[>QMTNIKP Merke QV[\Z]UMV\[TQMO\MQVwUMQ[\WPU[KPMZw1VVMV ?QLMZ[\IVL -JMV LM[PITJ SIVV M[ ;\ZÕUM _QM Stromwärme: durch elektrischen Strom entwi;XIVV]VOMVUM[[MVLMVVb]RMLMU;\ZWUOMPÕZ\ ckelte Wärme, MQVMJM[\QUU\M;XIVV]VO]VL]UOMSMPZ\,]ZKP Leistung MQVMOMMQOVM\M)VXI[[]VOLMZQV\MZVMV;KPIT\]VO QU 1V[\Z]UMV\ U][[ UIV V]Z NÛZ LMV ZQKP\QOMV 1VVMV_QLMZ[\IVL[WZOMV7 Kap. 6.4.4

176

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

Klinik

Rechenbeispiel 6.2: Überlandleitung

Warm durch äKurzwellenbestrahlung. Wärme hilft bei Entzündungen und rheumatischen Schmerzen. Ein altes Hausmittel ist das Katzenfell (lokale Behinderung der Abgabe von Körperwärme), nützlich sind aber auch Wärmﬂaschen und Heizkissen (lokale Wärmezufuhr von außen) oder Bestrahlungen mit infrarotem Licht (lokale Erzeugung von Wärme aus Strahlungsenergie). In allen diesen Fällen muss der Patient aber die Wärme von der Oberﬂäche zum tiefer liegenden Ort des Geschehens transportieren, durch Wärmeleitung. Das bedeutet nicht nur Verluste, sondern auch eine besondere thermische Belastung der Haut. Man kann sie vermeiden, indem man den Patienten unmittelbar elektrisch heizt, an der richtigen Stelle Stromwärme entwickelt, allerdings nicht durch unmittelbaren Anschluss an die Steckdose. Nur mit beträchtlichem technischem Aufwand lässt sich erreichen, dass der Patient wirklich nur geheizt wird und ihm darüber hinaus nichts Böses geschieht. Das Verfahren heißt Diathermie oder auch Kurzwellenbestrahlung (7 Kap. 6.9.2).

7 Aufgabe. Eine kleine Großstadt verlange zu ihrer Energieversorgung eine elektrische Leistung von 100 MW. Welchem Gesamtstrom entspricht das in einer Überlandleitung von 380 kV? Wie groß darf der ohmsche Widerstand dieser Überlandleitung sein, wenn die Verlustleistung 1% der übertragenen Leistung nicht überschreiten soll? 7 Lösung. Strom: Bei 1% Verlustleistung (also 106 W) ist der Widerstand:

6.2.4 Kapazität

!!

B_MQ5M\ITTXTI\\MVI]NS]ZbMU)J[\IVLMTMS\ZQ[KP Q[WTQMZ\MQVIVLMZOMOMVÛJMZOM[\MTT\. Abb. 6.12 JQTLMV MQVMV Kondensator ?I[ OM[KPQMP\ _MVV UIV QPV IV MQVM *I\\MZQM TMO\' -QV ;\ZWU SIVV L]ZKPLI[Q[WTQMZMVLM Dielektrikum4]N\b_Q[KPMV LMVJMQLMV8TI\\MVRI_WPTVQKP\ãQM¾MV-QV,I] MZ[\ZWUãQM¾\I]KP_QZSTQKPVQKP\#UIVSIVVIJMZ JMQMQVMUPQVZMQKPMVLMUXâVLTQKPMV;\ZWUUM[ =V^MZUMQLTQKP MV\_QKSMTV I]KP 3IJMT ]VL B] [MZ JMWJIKP\MV _QM LM[[MV BMQOMZ S]Zb b]Z ;MQ TMQ\]VOMV ;\ZWU_ÃZUM .ÛZ LQM -VMZOQM_QZ\ \Mb]KS\_MVVUIVb]UMZ[\MV5IT;XIVV]VOIV [KPIN\JMLM]\M\LI[>MZT][\_ÃZUMLQMI][ÕSWVW LMV3WVLMV[I\WZTMO\;KPTQM¾\UIVLQM8TI\\MVIV UQ[KPMV/ZÛVLMV[WO]\_QMUÕOTQKP^MZUQMLMV [KPTQM¾MVL_QMLMZS]Zb[Wb]KS\LI[1V[\Z]UMV\ _MZLMV U][[ -JMV LM[_MOMV [\MPMV »JMZTIVL QVLMZMV\OMOMVOM[M\b\MV:QKP\]VO-QVMMUXNMP TMQ\]VOMV]V\MZTMJMV[OMNÃPZTQKPPWPMV;XIVV]V OMV MZT][\TMQ[ \]VO8^%1:4)VLMZ[PMZ]U"MQVMV]U[WOZÕ ¾MZMV4MQ\]VO[_QLMZ[\IVL:4SIVV[QKPLQM-TMS \ZQbQ\Ã\[OM[MTT[KPIN\VWKPTMQ[\MV]VL]U[W_MVQ OMZ3]XNMZU][[[QMQVQPZM»JMZTIVLTMQ\]VOMVQV ^M[\QMZMV

20 . Abb. 6.12. Plattenkondensator für den Hörsaal

177

6.2 · Die wichtigsten Zusammenhänge

6

LMV[I\WZ OM[XMQKPMZ\M MTMS\ZQ[KPM 4IL]VO 9 Q[\ XZWXWZ\QWVIT b]Z ;XIVV]VO = I]N LQM LMZ 3WV LMV[I\WZI]NOMTILMV_]ZLM)T[LM[[MV3MVVOZÕ ¾MLMâVQMZ\UIVLMUMV\[XZMKPMVLLQM Kapazität . Abb. 6.13. Kondensator im Stromkreis. Schaltung zur Beobachtung des elektrischen Verhaltens eines Kondensators – rechts sein Schaltzeichen

TMV[_MZ\M ;KPIT\]VO bMQO\ . Abbildung 6.13# [QM JMV]\b\MQVMVWechselschalterLMZMZTI]J\LQMTQV SM8TI\\MLM[3WVLMV[I\WZ[_IPT_MQ[MIVLMVXW [Q\Q^MV8WTLMZ*I\\MZQMb]TMOMVWLMZUQ\LMZZMKP \MV8TI\\MS]Zbb][KPTQM¾MV ?MVV LMZ BMQOMZ MQVM[ )UXMZMUM\MZ[ I][ [KPTÃO\ ãQM¾\ MQV ;\ZWU ?MVV MZ V]Z S]Zb OM b]KS\ PI\ Q[\ LMZ ;\ZWU I]KP V]Z NÛZ S]ZbM BMQ\ OMãW[[MVM[PI\[QKP]UMQVMV

UQ\LMZ-QVPMQ\ +[ .IZIL%.%3%)3 >> 0QMZU][[UIVI]NXI[[MV",I[S]Z[Q^M+[\MP\ NÛZLQMXPa[QSITQ[KPM/ZÕ¾M3IXIbQ\Ã\LI[OMZILM +NÛZLQM-QVPMQ\+W]TWUJ,I[.IZILQ[\MQVMZMKP\ OZW¾M-QVPMQ\;KPWVMQV.JMLM]\M\MQVMVbQMU TQKPiLQKSMVt3WVLMV[I\WZI]KPV.[QVLQU0IV LMT _ÃPZMVL ]V^MZUMQLTQKPM ]VL LIZ]U ]VOM TQMJ\M i;KPIT\SIXIbQ\Ã\MVt b_Q[KPMV LMV ,ZÃP\MV MQVMZ;KPIT\]VOb]_MQTMVIVX.PMZIVSWUUMV Merke

OMPIVLMT\IT[W]UMQVMMTMS\ZQ[KPM4IL]VO9_QM QV7 Kapitel 6.1.1JM[XZWKPMV;QM_]ZLMJMQUAufladen IV LMV 3WVLMV[I\WZ IJOMOMJMV ]VL ãW[[ JMQU Entladen _QMLMZ b]ZÛKS ,QM[M )][LZ]KS[ _MQ[MQ[\^MZSÛZb\3WZZMS\U][[UIV[IOMV"*MQU )]ãILMV?MKP[MT[KPIT\MZWJMVMV\bQMP\LQM*I\ \MZQM LMZ ZMKP\MV 3WVLMV[I\WZXTI\\M MTMS\ZQ[KPM 4IL]VO9]VLLZÛKS\[QMI]NLQMTQVSM8TI\\M#JMQU -V\TILMV?MKP[MT[KPIT\MZ]V\MVãQM¾\9_QMLMZ I]NLQMZMKP\M8TI\\Mb]ZÛKS1V[OM[IU\MV\PÃT\MQV OMTILMVMZ3WVLMV[I\WZIT[WOMVI][W^QMT4IL]VO _QMMQV]VOMTILMVMZV]Z^MZ\MQT\[QM[QKPIVLMZ[" ,QM8TI\\MIU8T][XWTLMZ*I\\MZQMPI\XW[Q\Q^M4I L]VOJMSWUUMVLMZIVLMZMV8TI\\M_]ZLMXW[Q \Q^M4IL]VOMV\bWOMV[QM\ZÃO\RM\b\VMOI\Q^M4I L]VO^WUOTMQKPMV*M\ZIO 3WVLMV[I\WZMV [QVL _QKP\QOM *I]MTMUMV\M LMZ-TMS\ZWVQS1PZ£]¾MZM[^MZZÃ\VQKP\^QMT^WV QPZMUQVVMZMV)]NJI][QMPIJMVIJMZXZQVbQXQMTT LQM OTMQKPMV -QOMV[KPIN\MV _QM LMZ 4]N\SWVLMV [I\WZ ^WV . Abbildung 6.126]Z [QVL [QM [\ÃZSMZ I][OMXZÃO\ ]VL LIZ]U TMQKP\MZ b] ]V\MZ[]KPMV ?MQ\MZPQV PÃT\ LQM UWLMZVM 5M[[MTMS\ZWVQS /M ZÃ\M JMZMQ\ LQM MQVMV ;\ZWU[\W¾ OTMQKP ÛJMZ LQM BMQ\ QV\MOZQMZMV IT[W LQM 4IL]VO 9 ]VUQ\\MTJIZ IVbMQOMV,IUQ\TÃ[[\[QKPLIVVWPVMOZW¾M5ÛPM PMZI][âVLMV" ,QM ^WV MQVMU \MKPVQ[KPMV 3WV

Kapazität

Einheit: 1 Farad =

?MQ\MZM .WZUMTV b]Z 3IXIbQ\Ã\ âVLMV [QKP QV 7 Kapitel 6.5.5

6.2.5 Energie des geladenen

Kondensators 5Q\LMZ4IL]VO[^MZ[KPQMJ]VOb_Q[KPMV[MQVMVJMQ LMV8TI\\MVJMSWUU\LMZ3WVLMV[I\WZ^WU4ILM [\ZWU -VMZOQM ÛJMZ\ZIOMV -Z [XMQKPMZ\ [QM ]VL TQMNMZ\ [QM JMQ LMZ -V\TIL]VO _QMLMZ IJ 1V[WNMZV ^MZPÃT\MZ[QKPÃPVTQKP_QMMQVM_QMLMZI]ãILJIZM *I\\MZQM IZJMQ\M\ IJMZ WPVM LM[[MV SWUXTQbQMZ\M -TMS\ZWKPMUQM?IZ]ULIVVLMZ)]N_IVLJMQLMV )]\WJI\\MZQMV' 3ÕVV\M UIV [QM L]ZKP LQM \MKP VQ[KP MQVNIKPMZMV 3WVLMV[I\WZMV MZ[M\bMV' 5IV SIVV M[ VQKP\ _MQT LMZMV 3IXIbQ\Ã\MV VQKP\ I][ ZMQKPMV )P%S+ JMQ > [QVL NÛZ MQVMV )SS]VQKP\[*M[WVLMZM[#MQV3WVLMV[I\WZUÛ[[\M LINÛZS+>%S.I]NJZQVOMV;KPWV3WV LMV[I\WZMV UQ\ MQVMZ 3IXIbQ\Ã\ ^WV iV]Zt MQVMU .IZIL[QVL\MKPVQ[KPVQKP\TMQKP\b]ZMITQ[QMZMV

178

1 2 3 4 5 6

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

B]LMU OMP\ M[ _MVQOMZ ]U LQM OM[XMQKPMZ \M4IL]VO9IT[]ULQMOM[XMQKPMZ\M-VMZOQM? *MQU)SS]TQM¾[QM[QKPTMQKP\I][ZMKPVMV_MQTMZ [MQVM3TMUUMV[XIVV]VO=3SWV[\IV\PÃT\" ?%=39 *MQU 3WVLMV[I\WZ OMP\ IJMZ LQM ;XIVV]VO . Abb. 6.14. Vergleich Batterie – Kondensator. Die AbhänUQ\ LMZ MV\VWUUMVMV 4IL]VO b]ZÛKS =UOM gigkeit der Spannung von der entnommenen Ladung bei eiSMPZ\_ÃKP[\=9LMZ3IXIbQ\Ã\+MV\[XZMKPMVL ner Batterie (links) und beim Kondensator (rechts; schemaJMQU)]ãILMVXZWXWZ\QWVITb]9IVJQ[UQ\LMU tisch); die blaue Fläche entspricht der gespeicherten Energie -VL_MZ\9I]KPLMZ-VL_MZ\=%9+MZZMQKP\ _QZL,QMOM[XMQKPMZ\M-VMZOQM?SIVVUIVRM\b\ V]ZVWKPL]ZKP1V\MOZI\QWVJMSWUUMV" 6.3 Wechselspannung 6.3.1 Effektivwerte

7 8 9 10 11 12

,QM1V\MOZI\QWVJZQVO\PQMZLMV.IS\WZOM VI] [W PMZMQV _QM [QM M[ QV 7 Kapitel 2.1.3 JMQU NZMQMV .ITT [%O\ ]VL JMQ LMZ -VMZOQM LMZ OM[XIVV\MV ;KPZI]JMVNMLMZ \I\ ?%,` ,QMOZIXPQ[KPM,IZ[\MTT]VOLMZ . Abbildung 6.14 UIKP\LMV.IS\WZ]VUQ\\MTJIZIV[KPI]TQKP Merke Im Kondensator gespeicherte Energie:

13 14 15 16 17 18 19 20

Rechenbeispiel 6.3: Kurz aber heftig 7 Aufgabe. Ein elektronisches Blitzgerät speichert die Energie für den Blitz in einem 150-μF-Kondensator mit einer Ladespannung von 200 V. Ein Blitz dauert etwa eine tausendstel Sekunde. Welche Leistung wird in dieser Zeit erreicht? 7 Lösung. Die gespeicherte Energie beträgt mo. Wegen der kurzen derate Blitzzeit entspricht das aber einer Leistung von 3000 W. Das ist der Vorteil des Kondensators als Energiespeicher: Er kann die Energie sehr schnell abgeben.

JMZMQ\ -QV >QMTNIKPQV[\Z]UMV\ I]N LMV ZQKP\QOMV ;XIV V]VO[UM[[JMZMQKPOM[KPIT\M\bMQO\LQM;XIVV]VO LMZ*I\\MZQMSM\\MJMZMQ\_QTTQOIV4MO\UIVM[IJMZ QUOTMQKPMV5M[[JMZMQKPIVLQM;\MKSLW[M[W^Q JZQMZ\LMZBMQOMZ]VOMPIT\MV]UV]TTPMZ]U,MZ /Z]VL",QM;\MKSLW[MTQMNMZ\VQKP\_QMMQVM*I\\M ZQMbMQ\TQKPSWV[\IV\M/TMQKP[XIVV]VO[WVLMZVMQ VMWechselspannung,MZMV.ZMY]MVbQ[\b]PWKP IT[LI[[LMZ;XIVV]VO[UM[[MZUQ\[MQVMU\ZÃOMV 5M[[_MZS b] NWTOMV ^MZUÕKP\M -QV 3I\PWLMV [\ZIPTW[bQTTWOZIXP 7 Kap. 6.6.4 SIVV LMV bMQ\TQ KPMV>MZTI]NLMZ;XIVV]VOIJMZTMQKP\I]N[MQVMV *QTL[KPQZU bMQKPVMV# . Abbildung 6.15 bMQO\ LI[ :M[]T\I\",QM;\MKSLW[MXZÃ[MV\QMZ\MQVM[QV][NÕZ UQOM?MKP[MT[XIVV]VO;KP_QVO]VO[LI]MZU[

. Abb. 6.15. Wechselspannung der Steckdose auf dem Bildschirm eines Oszillographen; Ordinatenmaßstab: 130 V/cm; Abszissenmaßstab: 11,9 ms/cm

179

6.3 · Wechselspannung

.ZMY]MVbLMUVIKP0b;XIVV]VO[IUXTQ\]LM > ?QM[W LIZN LI[ -TMS\ZQbQ\Ã\[_MZS JM PI]X\MVM[PIT\MLQM6M\b[XIVV]VOI]N>' ,QM[M)VOIJMUMQV\LMV[WO Effektivwert=MNN LMZ ?MKP[MT[XIVV]VO LMâVQMZ\ L]ZKP NWTOMVLM .M[\TMO]VO" 1V MQVMU WPU[KPMV ?QLMZ[\IVL [WTT MQVM[QV][NÕZUQOM?MKP[MT[XIVV]VO=MNNQU5Q\ \MT LQM OTMQKPM ;\ZWU_ÃZUM MZbM]OMV _QM MQVM /TMQKP[XIVV]VO=UQ\OTMQKPMZ5I¾bIPT" 3Beim ohmschen Widerstand R sind Strom und Spannung zueinander proportional: =\ 1\%61 : Zu einer sinusförmigen Wechselspannung =\%=[[QVω\ mit der Amplitude =[ gehört also der sinusförmige Wechselstrom 1\%1[[QVω\ mit der Amplitude 1[%=[:. Strom und Spannung haben ihre Nulldurchgänge zu gleichen Zeitpunkten, zu denen dann auch keine Leistung umgesetzt wird. Dazwischen wechseln U und I ihre Vorzeichen gemeinsam; die Leistung bleibt positiv; Stromwärme wird immer nur entwickelt und niemandem entzogen. 8\ pendelt mit doppelter Frequenz zwischen 0 und ihrem Maximalwert =[ 8[%=[1[%6 : (. Abb. 6.16). Ihr Mittelwert liegt in der Mitte:

6

,MZ ,MâVQ\QWV MV\[XZMKPMVL SIVV UIV ^MZ VÛVN\QOMZ_MQ[M V]Z JMQ [QV][NÕZUQOMV ?MKP[MT [XIVV]VOMV]VL[\ZÕUMV^WV-NNMS\Q^_MZ\MVZM LMV3WUXTQbQMZ\MZMbMQ\TQKPM)JTÃ]NMTI[[MV[QKP b_IZ QU 8ZQVbQX IT[ »JMZTIOMZ]VO UMPZMZMZ ;Q V][[KP_QVO]VOMV I]NNI[[MV 7 Kap. 4.1.5 IJMZ QV [WTKPMV .ÃTTMV U][[ UIV [KPWV LMV OIVbMV >MZTI]NZMOQ[\ZQMZMV*MQU-3/QV\MZM[[QMZ\WPVM PQV V]Z LMZ bMQ\TQKPM >MZTI]N LMZ ;XIVV]VO ]VL VQKP\ QPZ *M\ZIO# -TMS\ZWSIZLQWOZIXPMV _MZLMV OIZVQKP\MZ[\OMMQKP\ Merke Sinusförmige Wechselspannung: Effektivwert

sinusförmiger Wechselstrom: Effektivwert

,QM ;\ZWU_ÃZUM MQVMZ IV LQM ;\MKSLW[M IV OM[KPTW[[MVMV /TÛPJQZVM _QZL X]T[QMZMVL MZ bM]O\X]T[QMZMVLUQ\MQVMZ.ZMY]MVb^WV0b . Abb. 6.16-V\[XZMKPMVLX]T[QMZ\QPZM0MTTQO SMQ\,I[UMV[KPTQKPM)]OMQ[\b]\ZÃOM]ULQM [MU.TQUUMZVb]NWTOMV?MVVUIVIJMZMQVMZM ãMS\QMZMVLM;\ZQKSVILMTQU;KPMQVLMZ4IUXMPQV ]VL PMZ _MLMT\ [QMP\ UIV PMTTMZM ]VL L]VSTMZM ;\ZMQNMV,M]\TQKPMZIT[/TÛPJQZVMVbMQOMV4M]KP\

=[ $8&%38[%36 : Deﬁnitionsgemäß soll aber die Gleichspannung = in R die gleiche Leistung umsetzen: = $8&%8=%6 : Daraus folgt =%=[ und damit ergibt sich die Effektivspannung zu:

,I[ -TMS\ZQbQ\Ã\[_MZS PI\ :MKP\" B]U -NNMS\Q^ _MZ\ =MNN%> LMZ ?MKP[MT[XIVV]VO OMPÕZ\ LQM ;XIVV]VO[IUXTQ\]LM =[%=MNN %> ,QMOTMQKPMV»JMZTMO]VOMVOMT\MVÛJZQOMV[I]KP NÛZLMV;\ZWU]VL[MQVMV-NNMS\Q^_MZ\IT[W"

. Abb. 6.16. Leistung des Wechselstromes. Zeitlicher Verlauf von Spannung U, Strom I und Leistung P bei einem ohmschen Widerstand

180

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

[\WNNZÕPZMV LQM[MV -NNMS\ MQVMZ stroboskopischen Beleuchtung LMVV JMQ QPVMV _QZL LQM 4QKP\MV\

[QVL[QM]U!%πOMOMVMQVIVLMZXPI[MV^MZ [KPWJMVLMZSIXIbQ\Q^M;\ZWUMQT\LMZ;XIVV]VO _QKST]VOVQKP\L]ZKPLQM\PMZUQ[KPMMZOTMQKPJIZM[";QMTÃL\]VLMV\TÃL\LMV 3WVLMV[I\WZ MV\[XZMKPMVL QPZMZ .ZMY]MVb ]VL TÕ[\LIUQ\MQVMVNZMY]MVbOTMQKPMV?MKP[MT[\ZWU Daraus folgt rein mathematisch, dass der Strom der I][MQVMVkapazitiven StromB]UQVLM[\JMQ\MKP Differentialquotient der Ladung nach der Zeit ist: VQ[KPMV3WVLMV[I\WZMVQ[\MZ[QV][NÕZUQO_QMLQM ;XIVV]VO-[JM[\MP\IJMZMQVUIZSIV\MZ=V\MZ [KPQMLb]U?MKP[MT[\ZWUL]ZKPMQVMVWPU[KPMV Die Ladung wiederum folgt der Wechselspannung ?QLMZ[\IVL",MZSIXIbQ\Q^M;\ZWU_QZLV]TT_MVV =\%=[[QVω\ mit der Kapazität C als Faktor: LMZ3WVLMV[I\WZUQ\LMUMQVMVWLMZIVLMZMV>WZ 9\%+=\%+=[[QVω\ bMQKPMV ^WTT OMTILMV Q[\ IT[W JMQ RMLMU -`\ZMU Ob man den Sinus oder den Kosinus schreibt, hat nur _MZ\LMZ;XIVV]VO=UOMSMPZ\PI\LMZ;\ZWU[MQ für die hier uninteressante Anfangsbedingung eine VM-`\ZMU_MZ\MQUUMZLIVV_MVVLMZ3WVLMV Bedeutung; . Abbildung 6.17 ist für den Sinus ge[I\WZTMMZ]VLLQM;XIVV]VOV]TTQ[\1UWPU[KPMV zeichnet. Differenziert ergibt er den Kosinus; die Ket.ITT _IZMV = ]VL 1 QV 8PI[M JMQU 3WVLMV[I\WZ tenregel der Differentiation (7 Kap. 4.1.2) liefert zusätzlich ein ω als Faktor:

16

Sinus und Kosinus sind um 90° gegeneinander phasenverschoben. Wer will, darf deshalb auch

17

1\%1[[QVω\! schreiben. Der Quotient =[1[ der beiden Spitzenwerte ist dem Quotienten =MNN1MNN der beiden Effektivwerte und damit dem Betrag des Wechselstromwiderstands :+ gleich:

18 19 20

. Abb. 6.17. Kondensator im Wechselstromkreis. Beim Kondensator eilt der Wechselstrom der Wechselspannung um 90° oder π/2 voraus

wie vermutet.

181

6.4 · Elektrische Netzwerke

Merke Betrag des kapazitiven Widerstands

Strom eilt Spannung um π/2 voraus.

,QM8PI[MV^MZ[KPQMJ]VOb_Q[KPMV?MKP[MT[XIV V]VO ]VL SIXIbQ\Q^MU ?MKP[MT[\ZWU PI\ MQVM _QKP\QOM 3WV[MY]MVb NÛZ LQM 4MQ[\]VO 1V RMLMZ >QMZ\MT[KP_QVO]VO[LI]MZ QV LMZ LMZ 3WVLMV[I \WZI]NOMTILMV_QZLPIJMV;\ZWU]VL;XIVV]VO OTMQKPM[ >WZbMQKPMV XW[Q\Q^ WLMZ VMOI\Q^ .WTO TQKP Q[\ LQM 4MQ[\]VO XW[Q\Q^# LQM ;XIVV]VO[Y]MT TM OQJ\ -VMZOQM IV LMV 3WVLMV[I\WZ IJ 1V LMV >QMZ\MT[KP_QVO]VO[LI]MZV LIb_Q[KPMV _QZL LMZ 3WVLMV[I\WZMV\TILMV;\ZWU]VL;XIVV]VOPI JMV MV\OMOMVOM[M\b\M[ >WZbMQKPMV LQM 4MQ[\]VO Q[\VMOI\Q^LMZ3WVLMV[I\WZOQJ\LQMOM[XMQKPMZ \M-VMZOQM_QMLMZIVLQM;XIVV]VO[Y]MTTMb]ZÛKS . Abb. 6.18 ,QM[M JZI]KP\ IT[W QU bMQ\TQKPMV 5Q\\MT OIZ SMQVM -VMZOQM b] TQMNMZV [QM U][[ [QM V]ZS]ZbNZQ[\QOI][TMQPMV1V[OM[IU\Q[\LMZSIXI bQ\Q^M ;\ZWU ^MZT][\TMQ[\]VO[TW[# UIV JMbMQKP VM\QPVIT[Blindstrom?QM[QKPQV7 Kapitel 6.11.4 PMZI][[\MTTMV_QZLSÕVVMV*TQVL[\ZÕUMVQKP\V]Z UQ\3WVLMV[I\WZMVMZbM]O\_MZLMV 7PU[KPM]VLSIXIbQ\Q^M?MKP[MT[\ZÕUM[\MT TMV b_MQ /ZMVbNÃTTM LIZ UQ\ LMV 8PI[MV_QVSMTV ϕ:% ]VL ϕ+%! OMOMVÛJMZ LMZ ;XIVV]VO VÃUTQKP 1V LMZ <MKPVQS SÕVVMV 8PI[MV_QVSMT LIb_Q[KPMVMJMVNITT[^WZSWUUMV1V[WTKPMV.ÃT TMV_QZL^WV;\ZWU]VL;XIVV]VOV]ZLQM

6

]VL XZWL]bQMZMV LWZ\ _QM RMLMZ IVLMZM ;\ZWU I]KP >MZT][\_ÃZUM -VMZOQM LQM LMU 3]VLMV JMZMKPVM\ _MZLMV SÕVV\M TQMNMZV [QM IJMZ VQKP\ /ZW¾IJVMPUMZV _QZL LIZ]U LMZ i3W[QV][ 8PQt VIKPOMUM[[MV]VLOMOMJMVMVNITT[UQ\MQVMUB] [KPTIOb]U)ZJMQ\[XZMQ[QV:MKPV]VOOM[\MTT\ Rechenbeispiel 6.4: Kapazitiver Widerstand 7 Aufgabe. Welchen Wechselstromwiderstand hat ein Kondensator von 1 μF gegenüber technischem Wechselstrom (50 Hz)? 7 Lösung.

6.4

Elektrische Netzwerke

6.4.1 Widerstände in Reihe und parallel

!

,MZ;KPIT\XTIVMQVM[.MZV[MPMUXNÃVOMZ[bMQO\MQVM ^MZ_QZZMVLM>QMTNIT\^WV4MQ\]VOMV?QLMZ[\ÃVLMV 3WVLMV[I\WZMV]VLITTMZTMQIVLMZMV;KPIT\MTMUMV \MV.ZMQTQKPLMZi;\ZWU^MZ\MQT]VO[XTIVt^WU*Z][\ SWZJMQVM[5MV[KPMVUQ\LMU0MZbMVIT[*I\\MZQM ]VLMQVMU/M_QZZZMTI\Q^O]\TMQ\MVLMZ*T]\OMNÃ¾M ]VL[KPTMKP\TMQ\MVLMZ:QXXMV[ÃPMVQKP\MQVNIKPMZ I][B]U/TÛKSTÃ[[\[QKPLI[-3/I]KPWPVMLQM [MV;\ZWU^MZ\MQT]VO[XTIVI][_MZ\MV?QMSWUXTQ bQMZ\ MQVM ;KPIT\]VO IJMZ I]KP QUUMZ I]NOMJI]\ [MQV UIO [\M\[ UÛ[[MV [QKP ;\ZÕUM ]VL ;XIV V]VOMVIVb_MQQU/Z]VLM\ZQ^QITM/M[M\bMPIT\MV" ;\ZWU _QZL VQKP\ i^MZJZI]KP\t MZ ãQM¾\ V]Z QU;\ZWUSZMQ[PMZ]U
[QM_QZLI]KP1. Kirchhoff-GesetzOMVIVV\ ;XIVV]VOMVTQMOMVV]Zb_Q[KPMVb_MQ8]VS \MV MQVMZ ;KPIT\]VO# SMQV 8]VS\ SIVV MQVM ;XIVV]VOOMOMV[QKP[MTJ[\PIJMV . Abb. 6.18. Blindleistung Beim Kondensator wechselt die Leistung bei Wechselstrom das Vorzeichen (Zeitmaßstab und Phasenlage entsprechen . Abb. 6.19)

3Läuft man in einer Masche einer Schaltung (. Abb. 6.19) einmal herum zum Ausgangspunkt zu-

182

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

rück, so müssen sich alle Spannungen, über die man hinweggelaufen ist, zu null addiert haben: Maschenregel" sie wird auch 2. Kirchhoff-Gesetz genannt. Bei der Anwendung der Maschenregel muss man aufpassen, dass man vorzeichenrichtig addiert. Alle Spannungen zählen, ob sie von Batterien herrühren, über geladenen Kondensatoren liegen oder als Spannungsabfälle über stromdurchﬂossenen Widerständen, bei denen es auf die Stromrichtung ankommt. Bezogen werden die Vorzeichen auf die Marschrichtung, mit der man seine Masche in Gedanken durchläuft; ob mit oder gegen den Uhrzeigersinn, ist letztlich egal, nur muss man bei der einmal gewählten Richtung bleiben. Dies klingt alles ein wenig abstrakt und kann auch auf sehr komplizierte Gleichungssysteme führen, wenn die Schaltung entsprechend kompliziert ist.

)VLQM[MZ;\MTTM[WTTMVV]Zb_MQ_QKP\QOMMQVNIKPM ;Q\]I\QWVMVJM\ZIKP\M\_MZLMV" Parallelschaltung von Widerständen. 1V . Abbildung 6.20TQMOMVLZMQ?QLMZ[\ÃVLMXIZITTMTOM [KPIT\M\ IV MQVMZ *I\\MZQM VIKP LMZMV BMQKPMV [KPMUIRM_MQT[8T][WJMV]VL5QV][]V\MV[QVL -[ Q[\ STIZ" LMZ /M[IU\[\ZWU 1 LMV LQM *I\\MZQM IJOQJ\^MZ\MQT\[QKPI]NLQM?QLMZ[\ÃVLM" 1%111 )VLMZMZ[MQ\[ TQMO\ IV ITTMV ?QLMZ[\ÃVLMV LQM OTMQKPM*I\\MZQM[XIVV]VO=)T[WMZOQJ\[QKP"

. Abb. 6.19. Masche im Schaltbild. Zur Maschenregel; ﬂache Rechtecke sind die Schaltsymbole von Widerständen (meist als ohmsch angenommen)

. Abb. 6.20. Parallelschaltung von drei Widerständen

. Abb. 6.21. Serienschaltung (Reihenschaltung) von drei Widerständen

,MZ /M[IU\_QLMZ[\IVL LQM[MZ :MQPMV WLMZ ;MZQMV;KPIT\]VOQ[\IT[WLQM;]UUMLMZ-QVbMT ,MZ /M[IU\_QLMZ[\IVL LMZ 8IZITTMT[KPIT\]VO _QLMZ[\ÃVLM MZOQJ\[QKPIT[Wb]" Merke

16 17 18 19 20

5IVSIVVI]KP[IOMV"LQM4MQ\_MZ\MILLQMZMV [QKP Reihenschaltung von Widerständen.1V. Abbildung 6.21 TQMOMV LQM LZMQ ?QLMZ[\ÃVLM QV :MQPM UQ\ LMZ *I\\MZQM ,MZ ;\ZWU TÃ]N\ L]ZKP ITTM ?Q LMZ[\ÃVLMUQ\OTMQKPMZ;\ÃZSM1,QM*I\\MZQM[XIV V]VOPQVOMOMV\MQT\[QKPI]NLQM?QLMZ[\ÃVLMI]N OMUÃ¾"

Parallelschaltung: Leitwerte addieren sich:

Reihenschaltung: Widerstände addieren sich:

183

6.4 · Elektrische Netzwerke

6

Rechenbeispiel 6.5: Ein Stromkreis 7 Aufgabe. Die Widerstände im Stromkreis in . Abbildung 6.35 mögen alle den gleichen Widerstand von 2 Ω haben. Wie groß ist der Gesamtwiderstand? Welcher Strom ﬂießt im Kreis? Welcher Strom ﬂießt durch einen der parallelgeschalteten Widerstände? Welche Spannungen misst der eingezeichnete Spannungsmesser an den Punkten 1 bis 4? 7 Lösung. Die beiden parallelgeschalteten Widerstände haben einen Gesamtwiderstand von einem Ohm. Zusammen mit den beiden in Reihe geschalteten Widerständen ergibt sich der gesamte Widerstand zu 5 Ω. Der Strom durch den Kreis ist also

Zwischen den beiden parallel geschalteten Widerständen teilt sich dieser Strom in gleiche Teile, also jeweils 0,6 A auf. Die Spannungen können nun gemäss berechnet werden. Zwischen 1 und 2 beziehungsweise 3 und 4 liegen 2,4 V, zwischen 2 und 3 1,2 V. Das Spannungsmessgerät misst also an den Punkten 1 bis 4: 0 V, 2,4 V, 3,6 V und 6 V.

6.4.2 Speziﬁscher Widerstand (Resistivität)

4MO\ UIV ^QMZ OTMQKPM ,ZIP\[\ÛKSM PQV\MZMQVIV LMZ[WILLQMZMV[QKPQPZM4ÃVOMV]VLQPZMMTMS \ZQ[KPMV ?QLMZ[\ÃVLM ,MUVIKP TM]KP\M\ MQV" ,MZ ?QLMZ[\IVL : MQVM[ PWUWOMVMV ,ZIP\M[ Q[\ b] [MQVMZ 4ÃVOMT XZWXWZ\QWVIT ;KPIT\M\ UIV LQM ,ZÃP\MIJMZb]MQVIVLMZXIZITTMT[WILLQMZMV[QKP QPZM9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPMV]VLQPZM4MQ\_MZ\M
. Abb. 6.22. Speziﬁsche Widerstände. Der Bereich vorkommender speziﬁscher Widerstände; der Restwiderstand ist der Tieftemperaturwiderstand vor Einsetzen der Supraleitung

[M\b LMVV _MVV [MQV [XMbQâ[KPMZ ?QLMZ[\IVL VQKP\^WVLMZ;XIVV]VOIJPÃVO\[WSIVVM[[MQV ?QLMZ[\IVLI]KPVQKP\ 3I]UMQVMIVLMZMXPa[QSITQ[KPM/ZÕ¾MÛJMZ LMKS\ MQVMV [W _MQ\MV UM[[JIZMV *MZMQKP" OTI\\ BMPVMZXW\MVbMV^WVLMVO]\TMQ\MVLMV5M\IT TMVJQ[b]LMVO]\MV1[WTI\WZMV. Abb. 6.22,I JMQ[QVLLQM;]XZITMQ\MZVWKPVQKP\MQVUITUQ\OM bÃPT\",MZMV[XMbQâ[KPMZ?QLMZ[\IVLNÃTT\JMQ\QM NMV<MUXMZI\]ZMVI]NMQVMV?MZ\LMZ[QKPM`XM ZQUMV\MTT^WVV]TTVQKP\]V\MZ[KPMQLMVTÃ[[\)] ¾MZPITJ LQM[M[ *MZMQKPM[ VQUU\ ρ JMQ XZIS\Q[KP ITTMV5M\ITTMVUQ\LMZ<MUXMZI\]Z<b],QM[_IZ LMZ /Z]VL NÛZ LI[ VQKP\WPU[KPM >MZPIT\MV LMZ /TÛPJQZVMQV7 Kapitel 6.2.1"5Q\[\MQOMVLMZ;XIV V]VO[\MQO\LMZ;\ZWU[\MQO\LQM-V\_QKST]VO^WV ;\ZWU_ÃZUM [\MQO\ LQM <MUXMZI\]Z ]VL UQ\ QPZ LMZ?QLMZ[\IVL Merke Speziﬁscher Widerstand ρ und elektrische Leitfähigkeit σ = 1/ρ sind temperaturabhängige Kenngrößen elektrischer Leiter.

184

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

,MV[XMbQâ[KPMV?QLMZ[\IVLSIVVUIVb]Z<MU XMZI\]ZUM[[]VOJMV]\bMVwQU?QLMZ[\IVL[\PMZ UWUM\MZ LI[ UMQ[\ I][ MQVMU LÛVVMV QV /TI[ MQVOM[KPUWTbMVMV 8TI\QVLZIP\ JM[\MP\ 7N\ _MZ LMVI]KP0ITJTMQ\MZb]Z<MUXMZI\]ZUM[[]VO^MZ _MVLM\*MQQPVMV[QVS\IJMZLMZMTMS\ZQ[KPM?Q LMZ[\IVLUQ\[\MQOMVLMZ<MUXMZI\]Z ,QMOZW¾M\MKPVQ[KPM*MLM]\]VO^WV0ITJTMQ \MZVb*;QTQbQ]UJMZ]P\LIZI]NLI[[[QKPb]U MQVMVL]ZKP^MZ[KPQMLMVMKPMUQ[KPMB][Ã\bMLMZ [XMbQâ[KPM?QLMZ[\IVLÛJMZMQVMV_MQ\MV*MZMQKP MQV[\MTTMVTÃ[[\]VL b]UIVLMZMVQV*I]MTMUMV \MV_QM,QWLMV]VL
. Abb. 6.23. Variabler Widerstand. und Schaltzeichen

Konstruktionsschema

Rechenbeispiel 6.6: Anschlussleitung 7 Aufgabe. Die Anschlussleitung einer Stehlampe sei 4 m lang und habe einen „Kupferquerschnitt“ von 0,75 mm2 je Ader. Wie groß ist ihr Widerstand? (An den Anhang denken!) 7 Lösung. Speziﬁscher Widerstand des Kupfers: ρ %w ΩU. Also ist der Widerstand (zwei Adern):

. Abb. 6.24. Drehpotentiometer

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

6.4.3 Spannungsteiler

!

,MZ MTMS\ZQ[KPM ?QLMZ[\IVL : MQVM[ PWUWOMVMV ,ZIP\M[Q[\b][MQVMZ4ÃVOMTXZWXWZ\QWVIT,IJMQ bÃPT\ [MTJ[\^MZ[\ÃVLTQKP V]Z LQM ^WU ;\ZWUSZMQ[ OMV]\b\M4ÃVOM#LMZ,ZIP\U][[RIVQKP\IV[MQVMV -VLMVIVOM[KPTW[[MV_MZLMV5IVSIVVQPV[W OIZI]NMQVMVQ[WTQMZMVLMVMZPÃT\VQ[

. Abb. 6.25. Spannungsteiler (Potentiometer), Konstruktionsschema und Schaltskizze

";QVL LQM ?QLMZ[\ÃVLM VQKP\ OTMQKP [W \MQTMV [QMLQM;XIVV]VOQVQPZMU?QLMZ[\IVL[^MZPÃT\VQ[ -QVM LMZIZ\QOM ;KPIT\]VO PMQ¾\ Spannungsteiler WLMZ I]KP Potentiometer ,MZ ;KPTMQNSWV\IS\ LMZ . Abbildung 6.23 ]V\MZ\MQT\ LMV I]NOM_QKSMT\MV ,ZIP\QVb_MQ*MZMQKPMLMZMVMTMS\ZQ[KPM?QLMZ [\ÃVLM:]VL:[QKPb]U/M[IU\_QLMZ[\IVL: ILLQMZMV. Abb. 6.25)TTM?QLMZ[\ÃVLM_MZLMV ^WU OTMQKPMV ;\ZWU 1%=: L]ZKPãW[[MV# RMLMZ ^MZTIVO\NÛZ[QKPLMV;XIVV]VO[IJNITT :V =V%1:V%=5 : ,MUVIKP TÃ[[\ [QKP L]ZKP >MZ[KPQMJMV LM[ ;KPTMQNSWV\IS\M[LQM;XIVV]VO=I]NRMLMVJMTQM JQOMV?MZ\b_Q[KPMV]VL=MQV[\MTTMV;\ZMVO OQT\LI[ITTMZLQVO[V]ZNÛZLMV unbelasteten Spannungsteiler LMVV _MVV JMQ[XQMT[_MQ[M VMJMV : VWKP MQV 4I[\_QLMZ[\IVL :` TQMO\ . Abb. 6.26

185

6.4 · Elektrische Netzwerke

6

Praktikum Elektrischer Widerstand, Gleichstromkreis In der Regel geht es darum, elektrischen Widerstand zu ermitteln. Und zwar in zwei Varianten 1) Kennlinie Im Versuch wird der Strom als Funktion der Spannung entweder mit einem x-y-Schreiber oder manuell aufgetragen. Beim ohmschen Widerstand ergibt das eine Gerade (. Abb. 6.11), deren Steigung den Kehrwert des Widerstands liefert. Bei nichtohmschen Widerständen ergibt sich eine gebogene Kurve (. Abb. 6.9 und 6.10). Als nichtohmsche Widerstände können z. B. die Haut, Ionenleiter oder Elektrolyte (7 Kap. 6.7.2) dienen. Trägt man die Klemmenspannung =3 einer Batterie gegen den Strom im Stromkreis auf, so kann man aus der Steigung den Innenwiderstand der Batterie ermitteln (. Abb. 6.30). Misst man bei dem Strom I die Klemmenspannung =3, so ergibt sich der Innenwiderstand zu:

Die Leerlaufspannung liefert der Achsenabschnitt bei 1%. 2) Wheatstone’sche Brücke Dies ist eine antiquierte Methode, den Widerstandswert eines Widerstands zu ermitteln, wenn drei andere Widertandswerte bekannt sind. Die Methode stammt aus einer Zeit, als empﬁndliche Spannungsmessgeräte noch relativ niedrige Innenwiderstände hatten (Drehspulinstrumente), die die Messung verfälschten. Mit modernen elektronischen Spannungsmessern ist das kein Problem mehr. Die Kompensationsmethode nach

Wheatstone ﬁndet nur noch in Hochpräzisionsmessgeräten und dann durch Mikroprozessoren gesteuert Anwendung. Zunächst soll betrachtet werden, wie eine unbekannte Spannung =` in Kompensation gemessen wird. Die Schaltung bringt . Abbildung 6.27: Die Spannung am Spannungsteiler und =` stehen gegeneinander. Sind sie gleich, zeigt das Instrument (ein Strommesser) null an. Es braucht nicht geeicht zu sein, als Nullinstrument muss es ja nur die Null erkennen. Es darf aber auf hohe Empﬁndlichkeit geschaltet werden, wenn die Kompensation erst einmal ungefähr erreicht worden ist. Ein Vorteil des Messverfahrens liegt in seiner hohen Präzision, der andere darin, dass =` stromlos gemessen wird. Es ist nicht verboten, die Spannung =` der Kompensationsschaltung aus einem zweiten Spannungsteiler zu beziehen und diesen an die gleiche Spannungsquelle zu legen wie den ersten auch. Man erhält dann die Wheatstone’sche Brücke, deren Schaltskizze traditionell als auf die Spitze gestelltes Quadrat gezeichnet wird, wie in . Abbildung 6.28 (man muss das nicht tun). Das Brückeninstrument zeigt null, die Brücke ist abgeglichen, wenn beide Spannungsteiler die Batteriespannung = im gleichen Verhältnis unterteilen, wenn also die Brückenbedingung

: : 4%4 : : erfüllt ist. Kennt man drei Widerstände, so kann man den vierten ausrechnen. = wird dazu nicht einmal gebraucht.

LIVVbÃPT\NÛZLQM;XIVV]VO[\MQT]VOLMZ/M[IU\ _QLMZ[\IVLLMZ8IZITTMT[KPIT\]VO]VLLMZQ[\STMQ VMZIT[: Merke Ein Spannungsteiler (Potentiometer) teilt die angelegte Spannung im Verhältnis der Widerstände:

. Abb. 6.26. Belasteter Spannungsteiler. In sein Teilungsverhältnis geht die Parallelschaltung von R1 und Rx ein

186

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1 2 3 4 5

. Abb. 6.27. Spannungsmessung in Kompensation. Ein geeichter Spannungsteiler erzeugt mit Hilfe der bekannten Spannung = eine ebenfalls bekannte Teilspannung =s, und zwar so, dass sie die unbekannte Spannung =` kompensiert: Das Instrument zeigt dann nichts an (Nullinstrument)

6

ÛJZQOJTMQJ\5M[[MVTÃ[[\[QKPV]Z=S#LQM[M;XIV V]VO [\QUU\ IJMZ QU 4MMZTI]N LP JMQ PQVZMQ KPMVL STMQVMU ;\ZWU XZIS\Q[KP UQ\= ÛJMZMQV ,QM=Z[XIVV]VO_QZLLM[PITJI]KP LeerlaufspannungOMVIVV\

7 8

Merke

9 10

. Abb. 6.28. Die Wheatstone-Brücke zur Präzisionsmessung von Widerständen; sie ist abgeglichen, wenn die Brückenbedingung R1/R2 = R3/R4 erfüllt ist

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 6.29. Innenwiderstand. Der Innenwiderstand :Q einer Spannungsquelle mit der Leerlaufspannung = setzt die Klemmenspannung =S um den Spannungsabfall 1:Q gegenüber = herab. = und :Qsind räumlich nicht voneinander getrennt; Zuleitungen erreichen nur die Klemmen (Ersatzschaltbild)

Der Innenwiderstand :Q einer Spannungsquelle senkt bei Belastung mit dem Strom I die Klemmenspannung auf =S%=w1:Q = = Leerlaufspannung.

6.4.4 Innenwiderstände

;KPTQM¾\UIVLQM3TMUUMVMQVMZ;XIVV]VO[Y]MT TMS]Zb[Wb_QVO\UIVLQM3TMUUMV[XIVV]VOI]N .ÛZ LQM )]\WJI\\MZQM JMLM]\M\ LI[ )VTI[[MV LM[ V]TT#LI[OM[IU\M=NÃTT\ÛJMZLMU1VVMV_QLMZ 5W\WZ[ ;KP_MZIZJMQ\ ;QM UMTLM\ LQM[ L]ZKP MQ [\IVLIJ#LQM*I\\MZQMTQMNMZ\LMVPÕKP[\MV;\ZWU VMV:ÛKSOIVOQPZMZ3TMUUMV[XIVV]VO")TTMMQV LMV[QMÛJMZPI]X\TQMNMZVSIVVLMV OM[KPIT\M\MV 4ÃUXKPMV _MZLMV L]VSTMZ [WTIV = Kurzschlussstrom 13%4 OMLMZ)VTI[[MZTÃ]N\=Z[IKPMQ[\LMZ Innenwider:Q stand :Q LMZ *I\\MZQM JMLQVO\ L]ZKP LMZMV -TMS \ZWKPMUQM:Ã]UTQKPTÃ[[\MZ[QKP^WVLMZ;XIV 1U4MMZTI]N_QMQU3]Zb[KPT][[OQJ\LQM*I\ V]VO[Y]MTTM VQKP\ \ZMVVMV I]KP _MVV UIV QPV \MZQM SMQVM 4MQ[\]VO VIKP I]¾MV IJ" QU 4MMZTI]N QU Ersatzschaltbild IJOM[M\b\ ^WV LMZ IT[ _QLMZ VQKP\_MQTSMQV;\ZWUãQM¾\QU3]Zb[KPT][[VQKP\ [\IVL[TW[ IVOM[MPMVMV ;XIVV]VO[Y]MTTM bMQKP _MQT [QM QPZM ^WTTM 4MQ[\]VO QU 1VVMV_QLMZ[\IVL VM\ )V LMV i,ZIP\t LMZ LQM JMQLMV QV . Abbil- ^MZPMQb\3MQVM;XIVV]VO[Y]MTTMPI\3]Zb[KPT][[ dung 6.29 MTMS\ZQ[KP ^MZJQVLM\ SIVV UIV VQKP\ OMZV -TMS\ZQbQ\Ã\[_MZSM [KPÛ\bMV [QKP L]ZKP SiPMZIVSWUUMV ,MZ OM[\ZQKPMT\M 3I[\MV [WTT LQM[ cherungen OMOMV QPV" ;QM [KPIT\MV LMV S]ZbOM IVLM]\MV>MZTIVO\UIVRM\b\^WVLMZ*I\\MZQMMQ [KPTW[[MVMV;\ZWUSZMQ[S]ZbMZPIVLIJ
187

6.4 · Elektrische Netzwerke

6

*MQ LMV ÛJTQKPMV LQOQ\ITMV 5]T\QUM\MZV JZI]KP\ UIV [QKP UMQ[\ SMQVM /MLIVSMV ÛJMZ LMZMV 1V VMV_QLMZ[\ÃVLMb]UIKPMV1U;XIVV]VO[UM[[ JMZMQKP TQMO\ MZ JMQ MQVQOMV 5MOIWPU ]VL QU ;\ZWUUM[[JMZMQKP JMQ MQVQOMV 5QSZWWPU 6]Z _MVV VWKP LQM IT\MV IVITWOMV 1V[\Z]UMV\M UQ\ BMQOMZ ^MZ_MVLM\ _MZLMV U][[ UIV I]NXI[[MV LMVV LWZ\ PI\ UIV M[ UQ\ 3QTWWPU JMbQMP]VO[ _MQ[M5QTTQWPUb]\]V Rechenbeispiel 6.7: Schwächelnde Batterie . Abb. 6.30. Innenwiderstand einer Batterie. Gemessenes Absinken der Klemmenspannung einer Taschenlampenbatterie bei Belastung

;XIVV]VOSWV[\IV\PIT\MV^WVLMZ4I[\[W]VIJ PÃVOQO_QMUÕOTQKP,MZ.MZV[MPMUXNÃVOMZLIZN VQKP\ _MOMV =V\MZ[XIVV]VO I][NITTMV _MQT LQM 6IKPJIZQVQVQPZMZ3ÛKPMLZMQ3WKPXTI\\MVMQVOM [KPIT\M\PI\,MUOMOMVÛJMZQ[\LI[0MZbLM[5MV [KPMVXZQUÃZIT[*T]\X]UXMSWV[\Z]QMZ\]VLV]Z VMJMVJMQIT[;XIVV]VO[Y]MTTMNÛZLI[-3/;MQV 1VVMV_QLMZ[\IVLQ[\[WPWKPLI[[LQM3WV[\Z]S \M]ZM ^WV -TMS\ZWSIZLQWOZIXPMV IV QPV LMVSMV UÛ[[MV >QMTNIKPUM[[QV[\Z]UMV\M 7 Kap. 6.2.2 SÕVVMV;\ZWU_QM;XIVV]VOUM[[MV_MQTLMZ?Q LMZ[\IVL b_Q[KPMV QPZMV )V[KPT][[J]KP[MV LMV ;\ZWU VQKP\ WPVM ;XIVV]VO b]TÃ[[\ 5Q\ [MQVMU 1VVMV_QLMZ[\IVL LIZN MQV 5M[[OMZÃ\ LQM BelastbarkeitMQVMZ;XIVV]VO[Y]MTTMVQKP\ÛJMZNWZLMZV# MZ U][[ OZW¾ OMOMVÛJMZ LMZMV 1VVMV_QLMZ[\IVL [MQV?QTTUIVUQ\LMU>QMTNIKPUM[[QV[\Z]UMV\ PQVOMOMVMQVMV;\ZWUUM[[MV[W[WTT[MQV1VVMV _QLMZ[\IVL^MZOTQKPMVUQ\ITTMV?QLMZ[\ÃVLMVQU ;\ZWUSZMQ[[MPZSTMQV[MQVLMVVM[_QZLRI[MTJ[\ QV LMV ;\ZWUSZMQ[ PQVMQVOM[KPIT\M\ ]VL [WTT LMV ;\ZWUVQKP\ZML]bQMZMV Merke Der Innenwiderstand eines Spannungsmessers muss groß gegenüber dem Innenwiderstand der Spannungsquelle sein. Der Innenwiderstand eines Strommessers muss klein gegenüber allen Widerständen im Stromkreis sein.

7 Aufgabe. Wie groß ist der Innenwiderstand der Batterie von . Abbildung 6.28? 7 Lösung. Der Innenwiderstand ist der Betrag der Steigung der Geraden im Diagramm. Dieser berechnet sich zu: Das ist für eine Taschenlampenbatterie ein recht großer Innenwiderstand. Die Batterie ist schon ziemlich leer. Eine frische Batterie bringt es auf ca. Ω.

6.4.5 Hoch- und Tiefpass

)]KP LQM ;MZQMV[KPIT\]VO ^WV ?QLMZ[\IVL ]VL 3WVLMV[I\WZRC-GliedOMVIVV\. Abb. 6.31JQT LM\ MQVMV ;XIVV]VO[\MQTMZ -Z Q[\ IJMZ NZMY]MVb IJPÃVOQOLMVVLMZ?MKP[MT[\ZWU_QLMZ[\IVLLMZ 3IXIbQ\Ã\+VQUU\]UOMSMPZ\XZWXWZ\QWVITb]N ]VLωIJ" w : +%83%πN+ ω+ 7 Kap. 6.3.20WPM.ZMY]MVbMVMZ[KPMQVMVLM[ PITJ ^WZ_QMOMVL ÛJMZ LMU WPU[KPMV ?QLMZ [\IVL::" =:&=+_MOMV::&:+ ]VL\QMNM^WZ_QMOMVLÛJMZLMU3WVLMV[I\WZ.ÛZ LMVLMZV]Z=:MTMS\ZWVQ[KP_MQ\MZ^MZIZJMQ\M\Q[\ LI[ :+/TQML MQV Hochpass, ]VL MQV Tiefpass NÛZ LMVLMVV]Z=+QV\MZM[[QMZ\,QM/ZMVbMb_Q[KPMV iPWKPt ]VL i\QMNt TQMO\ JMQ LMZ .ZMY]MVbN NÛZ LQM=:]VL=+OTMQKP_MZLMVNZMQTQKPVQKP\OTMQKP LMZPITJMVIVOMTMO\MV?MKP[MT[XIVV]VO=,QM

188

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

. Abb. 6.31. RC-Glied als frequenzabhängiger Spannungsteiler: Wirkung als Tiefpass bei Abgriff von =+ über dem Kondensator; Wirkung als Hochpass bei Abgriff von =: über dem Widerstand

8PI[MV^MZ[KPQMJ]VO b_Q[KPMV ;\ZWU ]VL ;XIV V]VOJMQU3WVLMV[I\WZPI\ =:N%=+N%=

Tiefpass im Bauch. Passverhalten ist nicht auf elektrische Schaltungen begrenzt. Die Aorta wirkt wegen ihrer Windkesselfunktion gegenüber dem periodisch wechselnden Blutdruck als Tiefpass: Wie . Abbildung 3.23 in 7 Kapitel 3.3.7 gezeigt hat, sinkt der Blutdruck während der Diastole zwar in der Herzkammer auf nahezu null ab, nicht aber in der Aorta. Erst recht in der Bauchaorta erscheint der äDruckverlauf als deutlich „geglättet“.

6.4.6 Kondensatorentladung

18 19 20

einen

7 Kap. 6.4.1#NWTOTQKP^MZTIVO\LQM5I[KPMVZMOMT b]RMLMUBMQ\X]VS\\"

=+\=:\% b]Z.WTOM4MO\UIVMQV.ZMY]MVbOMUQ[KP=\IV LI[ :+/TQML [W MZ[KPMQV\ =+\ IT[ iOMOTÃ\\M\t WLMZ _MQTM[^WVLMVBIXXMTMQMVLMZPWPMV.ZMY]MVbMV =+\%w=:\ JMNZMQ\ Q[\ -JMV LQM[ Q[\ LQM ?QZS]VO MQVM[
16 17

. Abb. 6.32. Entladung eines Kondensators über ohmschen Widerstand; sie führt zur e-Funktion

und e-Funktion

!

1V LMZ ;KPIT\]VO LMZ . Abbildung 6.32 _QZL LMZ 3WVLMV[I\WZ UWUMV\IV I]NOMTILMV _MVV UIV LMV ?MKP[MT[KPIT\MZ VIKP TQVS[ TMO\ 4MO\ UIV QPVIV[KPTQM¾MVLVIKPZMKP\[[WMV\TÃL\[QKPLQM 3IXIbQ\Ã\ + LM[ 3WVLMV[I\WZ[ ÛJMZ LMV WPU [KPMV ?QLMZ[\IVL : ,QM b]OMPÕZQOM 5I\PMUI \QS TÃ[[\ [QKP b]VÃKP[\ TMQKP\ PQV[KPZMQJMV 3WV LMV[I\WZ ]VL ?QLMZ[\IVL JQTLMV MQVM 5I[KPM

]VLNMZVMZ

IT[WI]KP

2M\b\ _QZL LQM 5I\PMUI\QS [KP_QMZQOMZ LMVV LQM[Q[\MQVM,QNNMZMV\QITOTMQKP]VO>WVLMZ;KP_QV O]VO[LQNNMZMV\QITOTMQKP]VOLM[7 Kapitel 4.1.2]V \MZ[KPMQLM\[QM[QKPV]Z]UMQVMV_QVbQOSTMQVMV 8]VS\LMVV*]KP[\IJMVLÛZNMVQVLMZ5I\PMUI \QSI][OM\I][KP\_MZLMV"*MQLMV;KP_QVO]VOMV OQVO M[ ]U LMV b_MQ\MV ,QNNMZMV\QITY]W\QMV\MV LMZ )][TMVS]VO `\ VIKP LMZ BMQ\ PQMZ OMP\M[]ULMVMZ[\MVbMQ\TQKPMV,QNNMZMV\QITY]W \QMV\MV =+\ ,MZ =V\MZ[KPQML Q[\ NWTOMV[KP_MZ ,QM/TMQKP]VO^MZTIVO\LQM;XIVV]VO=+\[WTTM UQ\ MQVMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ =+\ IJNITTMV LQM b] QPZ[MTJ[\XZWXWZ\QWVITQ[\,I[[LQM[M.WZLMZ]VO VQKP\ ^WV ;KP_QVO]VOMV MZNÛTT\ _MZLMV SIVV [QMP\UIVI]NLMVMZ[\MV*TQKS,QM.]VS\QWVLQM LI[ [KPWV VIKP LMZ MZ[\MV ,QNNMZMV\QI\QWV \]\

6.4 · Elektrische Netzwerke

189

6

U][[MQOMV[MZN]VLMV_MZLMV"-[Q[\LQMExponen- MQV3WVLMV[I\WZ^WV.+_QZLI]N>= tialfunktion ^WV LMZ [KPWV QV 7 Kapitel 1.5.2 LQM I]NOMTILMV#MZMV\PÃT\LIVVU+4IL]VO9 :MLM_IZ8MZLMâVQ\QWVMUOQT\ »JMZJZÛKS\ UIV [MQVM 3WVLMV[I\WZXTI\\MV UQ\ SΩ:[WJMOQVV\LQM-V\TIL]VOUQ\MQVMU ;\ZWU^WVU)1.TÕ[[MLQM[MZ;\ZWUSWV[\IV\ _MQ\MZ[W_ÃZMLMZ3WVLMV[I\WZVIKPU[TMMZ LMVV MQVM .]VS\QWV LQM JMQ LMZ ,QNNMZMV\QI\QWV ,QM[M BMQ\[XIVVM MV\[XZQKP\ OMVI] LMZ BMQ\SWV [QKP[MTJ[\MZOQJ\\]\LQM[JMQLMZ1V\MOZI\QWVI]KP [\IV\MV τ LM[ :+/TQMLM[ ,IL]ZKP ^MZZQVOMZ\ [QKP IJMZ I]KP ]VLVMOI\Q^[MQVLIZN,IZI][NWTO\IJMZ_MOMVLMZ LMZ-V\TILM[\ZWU]U I]N!!U)-ZJZI]KP\ RM\b\ U[ ]U LI[ b_MQ\M 5QSZWKW]TWUJ I][ 3M\\MVZMOMTLMZ,QNNMZMV\QI\QWV7 Kap. 4.1.2 LMU 3WVLMV[I\WZ PMZI][b]PWTMV 6IKP LQM[MZ BMQ\[QVL4IL]VO;XIVV]VO]VL;\ZWUI]N! QPZMZ )][OIVO[_MZ\M IJOMNITTMV [WLI[[ NÛZ LI[ ,QM ,QNNMZMV\QITOTMQKP]VO LMZ 3WVLMV[I\WZ LZQ\\M+[KPWVU[OMJZI]KP\_MZLMVNÛZLI[ bMPV\MU[]VLNÛZLI[b_IVbQO[\MU[# MV\TIL]VOTÃ[[\[QKPIT[WUQ\LMU)V[I\b LQM-V\TIL]VO_QZLQUUMZTIVO[IUMZ6IKPLQM \ =+\%=M`X w3 [MZ>WZ[\MTT]VOSÕVV\MUIVQPZMV>MZTI]NIT[8W τ TaOWVb]OI][TI]\MZSTMQVMV/MZILMVb][IUUMV TÕ[MV" [M\bMV _QM . Abbildung 6.33 M[ IVLM]\M\

Merke

Kondensatorentladung: Zeitkonstante τ = R · C

,QM-`XWVMV\QITN]VS\QWVQ[\QVOM_Q[[MU;QVVLQM _QKP\QO[\MUI\PMUI\Q[KPM.]VS\QWVQVLMZ8Pa[QS ^QMTTMQKP\[WOIZQVLMZOIVbMV6I\]Z?MU[QMVIKP LMZ [WMJMV ^WZOMNÛPZ\MV M\_I[ NWZUITMV 0MZTMQ \]VO QUUMZ VWKP MQV JQ[[KPMV ]VPMQUTQKP ^WZ SWUU\ LMU [WTT [QM IU *MQ[XQMT LMZ 3WVLMV[I \WZMV\TIL]VOM\_I[IV[KPI]TQKPMZLINÛZIJMZV]Z PITJY]IV\Q\I\Q^ MZTÃ]\MZ\ _MZLMV )VOMVWUUMV

. Abb. 6.33. Polygonzug als Annäherung an die e-Funktion (Einzelheiten im Text)

190

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

6.5

1

6.5.1 Der Feldbegriff

2 3 4 5 6 7 8

. Abb. 6.34. e-Funktion der Kondensatorentladung: Jede zu einem beliebigen Zeitpunkt \ angelegte Tangente trifft die Abszisse um die Zeitkonstante τ nach \

\ =\%=M`X w3 τ

\ 9\%9 M`Xw3 τ \ 1\%1 M`Xw3 τ

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Elektrisches Feld

][_ .ÛZRMLMLQM[MZ/ZÕ¾MVbQMT\LQMVMOI\Q^M)V NIVO[[\MQO]VOQPZM[/ZIXPMVIVLMZ)J[bQ[[MI]N LQMBMQ\SWV[\IV\M τQVLMZLQM/ZÕ¾M[MTJ[\ITTMZ LQVO[MZ[\I]NLMVM\MV<MQTQPZM[)][OIVO[_MZ\M[ IJNÃTT\. Abb. 6.34,QMBMQ\[XIVVM τLIZNI]KP UQ\\MV QV LQM TI]NMVLM -V\TIL]VO PQVMQVOMTMO\ _MZLMV" 1V LMZ ;XIVVM b_Q[KPMV LMV BMQ\X]VS \MV\]VL\τNÃTT\RMLMLMZOMVIVV\MV/ZÕ¾MV I]NLMVM\MV<MQTLM[RMVQOMV?MZ\M[IJLMV[QM b]UBMQ\X]VS\\JM[I¾.WZUITSIVVLQM[MZ
!

,IUQ\L]ZKPMQVMV5M\ITTLZIP\MQV;\ZWUãQM¾\ U][[UIVQPVIVMQVM;XIVV]VO[Y]MTTMIV[KPTQM ¾MVB_Q[KPMVLMV,ZIP\MVLMVU][[MQVM;XIV V]VOPMZZ[KPMVLQMLMV;\ZWU^WZIV\ZMQJ\>WV ITTMQVM ãQM¾\ MZ VQKP\ _MQT LQM 4IL]VO[\ZÃOMZ -TMS\ZWVMVI]NQPZMU?MOL]ZKPLMV,ZIP\QU UMZ _QMLMZ UQ\ LMV )\WUMV b][IUUMV[\W¾MV LIL]ZKPI]KP-VMZOQMÛJMZ\ZIOMV]VLLMV,ZIP\ I]N_ÃZUMV ;\ZWU_ÃZUM 7 Kap. 6.2.3 .I[\ RM LM UMKPIVQ[KPM *M_MO]VO _QZL ^WV MQVMU :MQ J]VO[_QLMZ[\IVL JMPQVLMZ\ [W I]KP LQM[M 1Z OMVL_QM U][[ IT[W LQM ;XIVV]VO[Y]MTTM 3ZÃN\M I]NRMLM[4MQ\]VO[MTMS\ZWVI][ÛJMVLQMLQM[M[^W ZIV\ZMQJMV -[PI\b_MQ2IPZP]VLMZ\MOMLI]MZ\]ULQM[M 3ZÃN\Mb]^MZ[\MPMV]VLb]JM[KPZMQJMV,QM3ZÃN \M LQM LMV ;\ZWU ^WZIV\ZMQJMV [QVL elektrische Kräfte b_Q[KPMV 4IL]VOMV ]VL UIVKPUIT I]KP magnetische Kräfteb_Q[KPMVJM_MO\MV4IL]VOMV ?MZ^WZ[QKP\QOQ[\[XZQKP\^WViMTMS\ZW[\I\Q[KPMVt ]VL^WViUIOVM\Q[KPMVt3ZÃN\MV]VLNI[[\JMQLM ]V\MZLMU;\QKP_WZ\elektromagnetische Kräfteb] [IUUMV=V\MZLMV*MLQVO]VOMVLM[)TT\IO[[QVL LQM[M3ZÃN\M[MPZ^QMTSTMQVMZIT[LQM/ZI^Q\I\QWV# LIZ]UPI\UIV[QMMZ[\[W[XÃ\MV\LMKS\)TTMOM VIVV\MV3ZÃN\M_QZSMVI]N,Q[\IVbLQMJM\ZWNNM VMV3ÕZXMZJZI]KPMV[QKPVQKP\b]JMZÛPZMV,QM 3ZIN\ LMZ /ZI^Q\I\QWV LQM ;KP_MZSZIN\ PÃT\ LQM 8TIVM\MV I]N QPZMV *IPVMV ]U LQM ;WVVM# UIO VM\Q[KPM3ZÃN\MLZMPMVI]NLMZOIVbMV-ZLM3WU XI[[VILMTV QV 6WZL;ÛL:QKP\]VO# MTMS\ZW[\I\Q [KPM3ZÃN\MbQMPMVSQTWUM\MZTIVOM*TQ\bMI][?WT SMV5IVJMbMQKPVM\[QMITTMIT[Fernkräfte .MZVSZÃN\MV PIN\M\ M\_I[ =VPMQUTQKPM[ IV ?QMUIKP\M[LQM;WVVML]ZKPLMVTMMZMV:I]U ]VLÛJMZOZW¾M,Q[\IVbMVLQM-ZLMIVb]bQMPMV' ,ITM]KP\M\M[LWKPMPMZMQVLI[[LQM3ZIN\I]NLQM -ZLM^WVM\_I[IJPQVOM_I[[QMIVQPZMU)]NMV\ PIT\[WZ\^WZâVLM\=UMJMVLQM[b]MZZMQKPMVPI\ LQM8Pa[QSQPZMV*MOZQNN FeldMQVOMNÛPZ\LI[/ZI ^Q\I\QWV[NMTL NÛZ LQM )VbQMP]VO b_Q[KPMV 5I[ [MVLI[MTMS\ZQ[KPM.MTLNÛZLQMMTMS\ZW[\I\Q[KPMV 3ZÃN\M b_Q[KPMV 4IL]VOMV ]VL LI[ UIOVM\Q[KPM .MTL NÛZ LQM UIOVM\Q[KPMV 3ZÃN\M b_Q[KPMV JM

_MO\MV4IL]VOMV)TTMZLQVO[U][[UIVV]VLMV TMMZMV:I]U^MZXãQKP\MVXPa[QSITQ[KPM.MTLMZb] \ZIOMV]VLJMQ[XQMT[_MQ[M.WTOMVLM[JMPI]X\MV" 2MLM MTMS\ZQ[KPM 4IL]VO ]UOQJ\ [QKP UQ\ MQVMU MTMS\ZQ[KPMV .MTL# MQV MTMS\ZQ[KPM[ .MTL Q[\ MQV :I]Ub][\IVL ^WV LMU I]N MQVM MTMS\ZQ[KPM 4I L]VO9MQVM3ZIN\I][OMÛJ\_QZL,QM;\ÃZSMLQM [MZ3ZIN\F+PÃVO\^WVLMZ;\ÃZSMLM[.MTLM[LMZ elektrischen Feldstärke EIJ"

,QM MTMS\ZQ[KPM 3ZIN\ F+ _QZL I]KP CoulombKraft OMVIVV\ ,QM .MTL[\ÃZSM E Q[\ QU )TTOMUMQ VMVWZ\[IJPÃVOQO Merke Eine elektrische Ladung ist von einem elektrischen Feld umgeben. Ein elektrisches Feld (E) ist ein Raumzustand, in dem auf eine zweite elektrische Ladung (Q) eine Coulomb-Kraft (F+) ausgeübt wird: elektrische Feldstärke E, Einheit: V/m.

3Die Gleichung bietet eine Möglichkeit, E zu messen: Man besorgt sich eine bekannte Probeladung Q, bringt sie dorthin, wo man E kennen möchte, und misst F+. Ein wenig muss man dabei aufpassen. Q ist ja selbst von einem elektrischen Feld umgeben, das sich dem ursprünglichen Feld überlagert. Darum braucht man sich aber nicht zu kümmern: Die Kraftgleichung meint dasjenige Feld E, das am Ort der Handlung herrschte, bevor die Probeladung kam.

1V LMU 5M\ITTLZIP\ L]ZKP LMV MQV ;\ZWU ãQM¾\ PMZZ[KP\IT[WMQVMTMS\ZQ[KPM[.MTLLI[I]NLQM4MQ \]VO[MTMS\ZWVMVMQVM+W]TWUJ3ZIN\I][ÛJ\]VL [QM LIUQ\ ^WZIV\ZMQJ\ 2M PÕPMZ LQM MTMS\ZQ[KPM .MTL[\ÃZSM ]U[W PÕPMZ LMZ MTMS\ZQ[KPM ;\ZWU ?I[ PI\ IJMZ V]V LQM MTMS\ZQ[KPM .MTL[\ÃZSM UQ\ LMZMTMS\ZQ[KPMV;XIVV]VO=b_Q[KPMVLMV,ZIP\ MVLMVb]\]V' 1U MQVNIKPMV .ITT MQVM[ 5M\ITTLZIP\M[ SIVV LI^WVI][OMOIVOMV_MZLMVLI[[QU,ZIP\MQVPW UWOMVM[.MTLPMZZ[KP\UQ\SWV[\IV\MU*M\ZIO- LMZ.MTL[\ÃZSM]VLLMZ:QKP\]VO^WVEQUUMZQV

6

191

6.5 · Elektrisches Feld

:QKP\]VOLM[,ZIP\M[,IVVOQT\NÛZMQVMV,ZIP\ LMZ4ÃVOMT" =%T- ,]ZKPLQM-QVPMQ\LMZ.MTL[\ÃZSM>U_QZLMQ VM[WTKPM*MbQMP]VOb_IZVIPMOMTMO\IJMZVI\ÛZ TQKPVQKP\JM_QM[MV1UÛJMZVÃKP[\MV3IXQ\MT_QZL LQM[MZB][IUUMVPIVOLM]\TQKPMZ ,QMQV[XMbQMTTMV;Q\]I\QWVMVI]KPVWKP_QZSMV LMV UIOVM\Q[KPMV .MTLMZ ]VL 3ZÃN\M JMSWUUMV QPZMVMQOMVMV)J[KPVQ\\QU*]KP7 Kap. 6.10 3In der Mechanik ist der Feldbegriff nicht so nützlich wie in der Elektrizitätslehre. Deshalb wurde dort nicht von einem Gravitationsfeld gesprochen. Die Fallbeschleunigung g ist aber nichts anderes als der Betrag der Gravitationsfeldstärke an der Erdoberﬂäche: ./%UO.

Rechenbeispiel 6.9: Photokopierer 7 Aufgabe. In einem Photokopierer oder Laserdrucker wird das Schriftbild zunächst als Muster positiver Ladungen auf einer Trommel aus Halbleitermaterial eingeprägt. Leicht negativ geladene Toner(Farb-)Partikel werden dann von diesen Ladungen auf die Trommel gezogen und anschließend durch Abrollen mechanisch auf das Papier übertragen. Nehmen wir an, dass die Partikel eine Masse von 9 · 10–16 kg haben und im Mittel 20 Überschusselektronen als negative Ladung tragen (das bedeutet q = 20 · 1,6 · 10–19 A · s). Welches Feld muss die Trommel am Ort des Toners erzeugen, um eine zuverlässige Kraft von mindestens zweimal dem Eigengewicht der Tonerpartikel aufzubringen? 7 Lösung. Für das minimale Feld gilt , wobei die Ladung der Tonerpartikel ist. Das ergibt:

6.5.2 Elektrisches Potential

!

-QVMU:ILQWJI[\TMZ_QZLM[V]Z[MT\MVOMTQVOMV LQM ;KPIT\]VO MQVM[ SWUXTQbQMZ\MV >MZ[\ÃZSMZ[ LQMMZ[QKPOMSI]N\PI\[W[WZONÃT\QOVIKPb]JI]

192

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

OMP\I]N>)TTM8W\MV\QITLQNNMZMVbMVJTMQJMV LIOMOMV]V^MZÃVLMZ\MZPIT\MV

1 2

Merke Ein Potential ist die Spannung zwischen Messpunkt und Bezugspunkt.

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 6.35. Zur Herleitung des Begriffes „Potential“ (Einzelheiten im Text)

MVLI[[[MQV/MZÃ\I]N)VPQMJN]VS\QWVQMZ\1U )TTOMUMQVMV U][[ MZ [QKP b]VÃKP[\ MQVUIT I]N .MPTMZ[]KPM JMOMJMV 0QMZNÛZ OQJ\ M[ JM_ÃPZ\M >MZNIPZMV -QVM[ JM[\MP\ LIZQV LI[ MQVM i*MQVt MQVM[ ;XIVV]VO[UM[[MZ[ b* IV LMV 5QV][XWT LMZ*I\\MZQMb]TMOMV]VLUQ\LMUIVLMZMV^MZ [KPQMLMVM3VW\MVX]VS\MLMZ;KPIT\]VOVIKPMQV IVLMZIJb]\I[\MV1VO]\MV;KPIT\[SQbbMVQ[\MQV OM\ZIOMV _MTKPM ;XIVV]VO UIV RM_MQT[ b] MZ _IZ\MVPI\)J_MQKP]VOMVOMJMVLIVV0QV_MQ[M I]N ;KPIT\]VO[NMPTMZ 0QMZNÛZ MQV ^MZMQVNIKP\M[ *MQ[XQMT" >QMZ OTMQKPM ?QLMZ[\ÃVLM PÃVOMV IV MQVMZ*I\\MZQM^WV>_QMM[. Abbildung 6.35 bMQO\ *MZÛPZ\ UIV UQ\ LMU NZMQMV -VLM LM[ ;XIVV]VO[UM[[MZ[ VIKPMQVIVLMZ LQM 8]VS\M JQ[[WPI\UIVLQM)VbMQOMV>>> ]VL>b]MZ_IZ\MV 6IKPLQM[MU>MZNIPZMVTÃ[[\[QKPRMLMU8]VS\ MQVMZ IV QPZM ;XIVV]VO[Y]MTTM IVOM[KPTW[[MVMV ;KPIT\]VOMQV elektrisches Potentialb]WZLVMVOM UM[[MVQVLMZ-QVPMQ\>WT\,QM,QNNMZMVbLMZ8W \MV\QITMb]JMQLMV;MQ\MVMQVM[?QLMZ[\IVL[MV\ [XZQKP\ OMVI] LMZ ;XIVV]VO LQM ÛJMZ QPU TQMO\ )]NLMVMZ[\MV*TQKSSÕVV\MUIVUMQVMVLMZ=V \MZ[KPQML b_Q[KPMV ;XIVV]VO ]VL 8W\MV\QIT JM [\MPMLIZQVLI[[MQVM;XIVV]VOQUUMZV]Zb_Q [KPMVb_MQ8]VS\MVI]N\ZQ\\_ÃPZMVLLI[8W\MV \QITRMLMU8]VS\NÛZ[QKPITTMQVb]SWUU\0QMZQV TQMO\QV[WNMZVMQV_MZLMVIT[WVMOI\Q^#V]Z8]VS\

,MU QZLQ[KPMV -`XMZQUMV\I\WZ JQM\M\ [QKP MQV [KPQMZ [MTJ[\^MZ[\ÃVLTQKPM[ *Mb]O[XW\MV\QIT IV" LI[LM[-ZLJWLMV[B]UQVLM[\LWZ\_W[QMNM]KP\ Q[\ TMQ\M\ LQM -ZLM [W O]\ LI[[ LIVS LMZ OZW¾MV ;\ZWUY]MZ[KPVQ\\M VMVVMV[_MZ\M ;XIVV]VOMV VQKP\ I]N\ZM\MV SÕVVMV# NWTOTQKP TQMOMV ITTM -ZL X]VS\MQVLMZ?MT\XZIS\Q[KPI]NOTMQKPMU8W\MV \QITLMZ-TMS\ZQSMZZMLM\^WVLMZi-ZLMt1V[WZO NÃT\QO MQVOMZQKP\M\MV 5M[[TIJWZI\WZQMV ]VL ^QM TMV 7XMZI\QWV[[ÃTMV 7 Kap. 6.9.3 PWT\ UIV LQM [M[ -ZLXW\MV\QIT LIL]ZKP PMZMQV LI[[ UIV MQVM OZW¾M 5M\ITTXTI\\M QU /Z]VL_I[[MZ LM[ -ZLJW LMV[^MZOZÃJ\]VL^WVQPZMQV[\IJQTM[3]XNMZSI JMTb]Z;KPIT\\INMTNÛPZ\>WVLWZ\I][SIVVUIV LQM5M[[OMZÃ\MLIVViMZLMVt -TMS\ZWVQ[KPM ;KPIT\]VOMV [QVL [W O]\ _QM QUUMZ IV QZOMVLMQVMZ ;\MTTM OMMZLM\ M[ U][[ VQKP\LMZ5QV][XWTLMZ;XIVV]VO[Y]MTTM[MQV1V LMZ;KPIT\[SQbbM_QZLMQV-ZL]VO[X]VS\L]ZKPMQV JM[WVLMZM[;KPIT\bMQKPMVUIZSQMZ\. Abb. 6.36 5MPZMZM 8]VS\M UQ\ LMU -ZLbMQKPMV TQMOMV I]N LMUOTMQKPMV8W\MV\QIT]VL[\MPMVLIZ]U]V\MZ MQVIVLMZQVO]\TMQ\MVLMZ>MZJQVL]VO>WVQPVMV I][_MZLMVÛJTQKPMZ_MQ[MITTMIVLMZMV8W\MV\QITM OMUM[[MV

. Abb. 6.36. Elektrolytischer Trog. Zwischen den Metallelektroden baut die Spannungsquelle im Elektrolyten (Wasser mit gelöstem Leitsalz) ein elektrisches Feld auf, dessen Potentialverteilung mit Spannungsmesser und Potentialsonde punktweise ausgemessen werden kann. Links unten: Schaltsymbol der Erdung

193

6.5 · Elektrisches Feld

6.5.3 Das Potentialfeld

6

!

-TMS\ZQ[KPM .MTLMZ SÕVVMV QU TMMZMV :I]U QV 6QKP\TMQ\MZV ]VL QV 4MQ\MZV M`Q[\QMZMV 6QUU\ UIVIT[4MQ\MZMQVMVãÛ[[QOMV-TMS\ZWTa\MV[W^MZ [KPINN\UIV[QKPLQMMTMOIV\M5ÕOTQKPSMQ\MTMS\ZQ [KPM.MTLMZIT[ PotentialfelderI][b]UM[[MVM\_I LI[ .MTL MQVMZ *I\\MZQM LQM ^MZ[MPMV\TQKP QV MQV )Y]IZQ]UOMNITTMVQ[\,QM[M;Q\]I\QWV_ÃZMVQKP\ MQVUITOMSÛV[\MT\;QMÃPVMT\LMZLM[0MZbMV[IT[ ;XIVV]VO[Y]MTTMQUMTMS\ZQ[KPTMQ\MVLMV*Z][\ SWZJMQVM[5MV[KPMV .ÛZ LMV )VNIVO MUXâMPT\ M[ [QKP [\I\\ MQ VM[)Y]IZQ]U[ MQVM ãIKPM ?IVVM b] JMV]\bMV ]VL -TMS\ZWLMV UQ\ [MVSZMKP\MV /ZMVbãÃKPMV QV [QM MQVb][M\bMV . Abb. 6.36 LMVV LIUQ\ ZM L]bQMZ\ [QKP LI[ OZ]VL[Ã\bTQKP ZÃ]UTQKPM 8ZW JTMUb]MQVMUMJMVMV1VLQM?IVVM_QZL?I[ [MZOMNÛTT\LMUUIVL]ZKPB][I\b^WV3WKP[ITb WLMZ3]XNMZ[]TNI\MQVMPQVZMQKPMVLPWPMMTMS\ZW Ta\Q[KPM4MQ\NÃPQOSMQ\OQJ\£PVTQKP_QMJMQMQVMU 6M\b_MZS SIVV UIV RM\b\ UQ\ MQVMU PWKPWPUQ OMV;XIVV]VO[UM[[MZ ]VL MQVMZ QV LMV -TMS\ZW Ta\MVMQVOM\I]KP\MV PotentialsondeLQM;XIVV]V OMVb_Q[KPMVLMZOMMZLM\MV-TMS\ZWLM]VLRMLMU 8]VS\QU elektrolytischen TrogUM[[MV]VL[WLQM 8W\MV\QIT^MZ\MQT]VOSIZ\WOZIXPQMZMV4IVLUM[[MZ ^MZJQVLMVQVQPZMV3IZ\MV8]VS\MOTMQKPMZ0ÕPM ÛJMZLMU5MMZM[[XQMOMTL]ZKPHöhenschichtlinien . Abb. 6.37/IVbIVITWO^MZJQVLM\UIV8]VS\M OTMQKPMV MTMS\ZQ[KPMV 8W\MV\QIT[ UQ\ Äquipotentiallinien . Abbildung 6.38bMQO\MQVI][OMUM[[M VM[*MQ[XQMT -[ Q[\ VQKP\ [KP_MZ £Y]QXW\MV\QITTQVQMV ZMQV Y]ITQ\I\Q^ b] bMQKPVMV 5M\ITTMTMS\ZWLMV PIJMV QU >MZOTMQKP b]U -TMS\ZWTa\MV PWPM 4MQ\NÃPQO SMQ\]VLMZTI]JMVLIZ]USMQVMMZV[\PIN\MV;XIV V]VO[IJNÃTTM" ,QM /ZMVbMV LMZ -TMS\ZWLMV [QVL £Y]QXW\MV\QITTQVQMV?MQ\MZPQVJMUÛPMV[QKPJM VIKPJIZ\M8W\MV\QITTQVQMV[WO]\M[OMP\b]MQVIV LMZXIZITTMTb]TI]NMV5IVJZI]KP\IT[WV]ZMQVMV OTI]JPIN\MV»JMZOIVO^WVLMZ*MOZMVb]VOLMZMQ VMV-TMS\ZWLMb]LMZ*MOZMVb]VOLMZIVLMZMVb] [SQbbQMZMV 1UZÃ]UTQKPMV)Y]IZQ]U\ZM\MVIVLQM;\MTTM LMZ4QVQMVÄquipotentialﬂächenI][b]UM[[MVUQ\ MQVMZX]VS\NÕZUQOMVIT[WOTMQKPPQV\MZLMZNZMQMV ;XQ\bMQ[WTQMZ\MV8W\MV\QIT[WVLM)]KPQVLMZãI

. Abb. 6.37. Landkarte mit Höhenschichtlinien. Geschlossene bezeichnen Hügel wie den Kram-Berg. Das Gelände ist umso steiler, je dichter die Linien beieinander liegen. (Grundlage: topographische Karte 1:25.000, Blatt 4425 Göttingen; Druck mit Genehmigung des Niedersächsischen Landesverwaltungsamtes – Landesvermessung – vom 26.2.1974)

. Abb. 6.38. Äquipotentiallinien, in einem ﬂachen elektrolytischen Trog mit einer Potentialsonde ausgemessen

KPMV?IVVMOQJ\M[OMVI]OMVWUUMVV]Z£Y]Q XW\MV\QITãÃKPMV# _MQT [QM IJMZ [MVSZMKP\ [\MPMV MZ[KPMQVMV[QMLMU*TQKS^WVWJMVXMZ[XMS\Q^Q[KP ^MZSÛZb\IT[4QVQMV 0ÛOMT QU /MTÃVLM _MZLMV I]N LMZ 4IVLSIZ \ML]ZKPZQVONÕZUQOOM[KPTW[[MVMSWVbMV\ZQ[KPM 0ÕPMV[KPQKP\TQVQMVLIZOM[\MTT\)]NLMZ;MQ\MLMZ [\MQTMZMV.TIVSMTQMOMVLQM4QVQMVLQKP\MZ>WZSZQ \Q[KPMV/MNÃTT[\ZMKSMVI]NLMZ;\ZI¾M_IZVMV>MZ SMPZ[[KPQTLMZ. Abb. 6.39]VLb_IZ]V\MZ)V

194

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1 2 3 4 5 6 7

. Abb. 6.39. Gefälle. Verkehrsschild vor einer Gefällstrecke; Angabe des Gefälles in Prozent, d. h. in m/m

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 6.40. Potentialgebirge. Perspektivische Zeichnung des Potentialgebirges von . Abbildung 6.38

OIJMLM[/MNÃTTM[QV8ZWbMV\LPQVUUVÃU TQKP 5M\MZ 0ÕPMV]V\MZ[KPQML L]ZKP 5M\MZ PW ZQbWV\ITMZ -V\NMZV]VO 5IV SIVV LQM[M[ /MNÃT TMLMV 0ÕPMVTQVQMV LMZ 3IZ\M MV\VMPUMV /IVb IVITWO LIZN UIV I]KP LQM MTMS\ZQ[KPMV 8W\MV\Q ITTQVQMVIT[i0ÕPMV[KPQKP\TQVQMVtMQVM[i8W\MV\Q ITOMJQZOM[t IV[MPMV ]VL LQM[M[ /MJQZOM QV /QX[ UWLMTTQMZMV# . Abbildung 6.40 bMQO\ LI[ /MJQZ OM LM[ MTMS\ZWTa\Q[KPMV Ub]UM[[MV4ÃVO[ LMZ4QVQMVQ[\LI[8W\MV\QITSWV[\IV\[MQV/MNÃTTM OTMQKPV]TT3WV[MY]MV\MZ_MQ[MPMZZ[KP\Y]MZb] LMV4QVQMV[\MQT[\M[/MNÃTTM.ÛZRMLMV8]VS\QU
OZÕ¾\MV /MNÃTTM[ IVOMJMV" -[ Q[\ LQM MTMS\ZQ[KPM .MTL[\ÃZSME 1V:QKP\]VOLM[MTMS\ZQ[KPMV.MTLM[ãQM¾\LMZ SWV^MV\QWVMTTM ;\ZWU QU -TMS\ZWTa\MV 5IV SIVV[MQVM;\ZWUNÃLMVVIKPbMQKPVMV";QMUÛ[[MV QUUMZ [MVSZMKP\ I]N LMV £Y]QXW\MV\QITãÃKPMV [\MPMV IT[W I]KP [MVSZMKP\ I]N LMV -TMS\ZWLMV ;QMSÕVVMV[QKPVQKP\ÛJMZ[KPVMQLMVLMVV[WV[\ UÛ[[\MMQV8]VS\IU0IVOVIKPb_MQ:QKP\]VOMV b]OTMQKPi[\ÃZS[\M[8W\MV\QITOMNÃTTMtJM[Q\bMV,QM ;\ZWUNÃLMV MV\[XZMKPMV LMV [WO Feldlinien UQ\ LMVMV[QKPI]KPSWUXTQbQMZ\M.MTLMZIV[KPI]TQKP LIZ[\MTTMVTI[[MV1V . Abbildung 6.41[QVL[QMQV JTI]MZ.IZJMb]LMV8W\MV\QITTQVQMVLMZ . Abbildung 6.38 PQVb]OMbMQKPVM\ ;QM UIZSQMZMV IJMZ V]Z LQM :QKP\]VO LM[ .MTLM[# [QM Q[\ b]OTMQKP LQM :QKP\]VOLMZMTMS\ZQ[KPMV3ZIN\I]NMQVMXW[Q\Q^M 8ZWJMTIL]VO1V[WNMZVLIZNUIVI]KP^WVMQVMU Kraftfeld[XZMKPMV»JMZLMV*M\ZIOLMZ.MTL[\ÃZ SM[IO\MQV.MTLTQVQMVJQTLV]ZY]ITQ\I\Q^M\_I[I][" ,WZ\ _W [QKP LQM .MTLTQVQMV LZÃVOMV LZÃVOMV [QKP I]KP LQM 8W\MV\QITãÃKPMV LWZ\ PMZZ[KP\ MQV ^MZOTMQKP[_MQ[M [\IZSM[ .MTL B]_MQTMV [XZQKP\ UIVQVLQM[MUB][IUUMVPIVO^WVLMZi.MTLTQVQ MVLQKP\Mt IT[ SÕVVM UIV [QM QV i.MTLTQVQMV XZW 9]ILZI\bMV\QUM\MZt UM[[MV ]VL LIUQ\ MQV 5I¾ NÛZ LMV *M\ZIO LMZ .MTL[\ÃZSM JMSWUUMV ,I[ [\QUU\ IJMZ VQKP\ LMVV M[ JTMQJ\ MQVMU RMLMV ÛJMZTI[[MV_QMLQKP\MZ[MQVM.MTLTQVQMVbMQKPVMV _QTT )]N RMLMV .ITT M`Q[\QMZ\ LI[ .MTL I]KP b_Q [KPMVQPVMV

. Abb. 6.41. Potentiallinien und Feldlinien. Elektrodenanordnung der . Abbildung 6.38 mit Potentiallinien (schwarz) und Feldlinien (blau)

195

6.5 · Elektrisches Feld

6

Klinik Potentiallinien auf dem Rücken. Die letztlich das äEKG auslösenden, vom Herzen stammenden, pulsierenden Äquipotentialﬂächen im Brustkorb lassen sich nicht ausmessen. Man müsste ja mit einer Potentialsonde im Patienten herumfahren. Die Flächen treffen aber auf die Körperoberﬂäche und schneiden die Haut in Linien, die man für eine ganz bestimmte Zacke im EKG abtasten und aufzeichnen kann, weil sich die Potentialverteilung periodisch wiederholt. . Abbildung 6.42 zeigt ein Beispiel: Der „Herzdipol“ liegt schräg im Brustkorb, seine Achse zielt in die Zentren der geschlossenen Potentiallinien.

Merke Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialﬂächen.

,MZ>MZTI]N^WV.MTL]VL8W\MV\QITTQVQMVPÃVO\ V]Z ^WV LMZ .WZU LMZ -TMS\ZWLMV IJ VQKP\ ^WV LMV ;XIVV]VOMV b_Q[KPMV QPVMV ]VL VQKP\ ^WV LMZ4MQ\NÃPQOSMQ\δLM[-TMS\ZWTa\MV.MTLMZOQJ\M[ I]KPQU>IS]]U-QVã][[PIJMVITTMZLQVO[-QV [KPTÛ[[MQU-TMS\ZWTa\MV".MTLTQVQMV_MQKPMVQ[W TQMZMVLMV -QV[KPTÛ[[MV I][ 8W\MV\QITãÃKPMV O]\ TMQ\MVLMV-QV[KPTÛ[[MV. Abb. 6.43

. Abb. 6.42. Potential auf der Haut. Äquipotentiallinien zu einem bestimmten Zeitpunkt im Herzzyklus, gezeichnet auf die Körperoberﬂäche des Patienten

3Der Vektor E zeigt in die Richtung des größten Potentialgefälles. Mathematisch nennt man so etwas einen Gradienten und schreibt E%wOZIL= Hier handelt es sich um eine besondere Form der Differentiation, die zu einem Vektor führt. Die Umkehrung ist das sog. Linienintegral. Es wird längs eines Weges s ausgeführt, der im Grundsatz beliebig krumm sein darf. Im elektrischen Feld liefert er die Potentialdifferenz ΔU zwischen zwei Punkten s und s:

Dabei spielt es keine Rolle, auf welchem Wege man von s nach s kommt. Das ist aber eine Spezialität des Potentialfeldes; es gilt nicht generell für alle Linienintegrale.

. Abb. 6.43. Isolierender Einschluss. Feldlinien (blau) und Potentiallinien (schwarz) um einen gut leitenden (rechts) und einen isolierenden Einschluss (links)

7N\ LIZN UIV [QKP LQM 5I\PMUI\QS LIL]ZKP MZ TMQKP\MZVLI[[UIVS]ZbMZPIVL]VL[SITIZ wL= -%53 L` ]VLIT[=USMPZ]VO

196

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

[KPZMQJ\ 5IV JMPÃT\ LIVV OM_Q[[MZUI¾MV QU 6.5.4 Kräfte zwischen Ladungen ! 0QV\MZSWXN"`PI\LQM:QKP\]VOMQVMZ.MTLTQVQM ;M\b\ UIV b_MQ X]VS\NÕZUQOM 4IL]VOMV VMJMV Merke MQVIVLMZ[W[\W¾MV[QM[QKPMV\_MLMZIJWLMZ[QM bQMPMV[QKPIV-[OQJ\VÃUTQKPb_MQ^MZ[KPQMLMVM Elektrische Feldstärke ;WZ\MV^WV4IL]VOMVXW[Q\Q^M]VLVMOI\Q^MMV\ E%wOZIL=; Betrag -%wL=L`. [XZMKPMVLSIVVI]KPLQM4IL]VO[UMVOM9XW[Q \Q^ WLMZ VMOI\Q^ [MQV i/TMQKP ]VL /TMQKP OM[MTT\ -QVMXW[Q\Q^M8ZWJMTIL]VO9UÕKP\MLMZ.MTL[\ÃZ [QKPOMZVtOQT\PQMZOMZILMVQKP\#OTMQKPVIUQOM4I SMENWTOMVB_QVO\UIV[QMEMV\OMOMVb]OMPMV L]VOMV [\W¾MV [QKP IJ 4IL]VOMV UQ\ ^MZ[KPQM LMVMV>WZbMQKPMVbQMPMV[QKPIV,QM3ZÃN\Mb_Q [WSW[\M\LI[LQMUMKPIVQ[KPM)ZJMQ\ [KPMVQPVMV[QVL]U[W[\ÃZSMZRMSÛZbMZLMZ)J [\IVLZb_Q[KPMVQPVMVQ[\/IVbÃPVTQKP_QMJMQU /ZI^Q\I\QWV[OM[M\bOQT\NÛZLQM Coulomb-Kraftb_Q ,QM 8ZWJMTIL]VO OM_QVV\ [QM IT[ XW\MV\QMTTM [KPMVb_MQ4IL]VOMV9]VL9" -VMZOQMLQMJMQ:ÛKSSMPZ_QMLMZIJOMTQMNMZ\_MZ LMVSIVV,IPMZLMZ6IUMi8W\MV\QITt,MZ6]TT X]VS\LIZNJMQRMLMZXW\MV\QMTTMV-VMZOQM_QTTSÛZ TQKPLMâVQMZ\_MZLMV*MQU8W\MV\QITOQT\LI[[MTJM 0QMZMZ[KPMQV\LQM .ÛZ 8W\MV\QIT ]VL -VMZOQMLQNNMZMVbMV [XQMT\ LMZ Elektrische Feldkonstante 6]TTX]VS\SMQVM:WTTM

10

Merke

11

Beﬁndet sich eine Ladung Q auf dem elektrischen Potential U, so besitzt sie die potentielle Energie

12

?XW\%9=

13

;QMQ[\MQVM6I\]ZSWV[\IV\M,I[[QVLMZWJQOMV /TMQKP]VOVWKPMQV.IS\WZπMQVOMNÛO\Q[\MZ _MQ[\[QKPQV[XÃ\MZMV.WZUMTVIT[XZIS\Q[KP ,QM3ZÃN\MTQMOMVXIZITTMTb]Z>MZJQVL]VO[TQVQM b_Q[KPMVLMV4IL]VOMV]VL_MQ[MVJMQ]VOTMQKP VIUQOMV4IL]VOMVI]NMQVIVLMZb]JMQOTMQKPVI UQOMV^WVMQVIVLMZ_MO

Rechenbeispiel 6.10: Elektrolytischer Trog

14 15 16 17 18 19 20

7 Aufgabe. Nehmen wir an, zwei benachbarte Äquipotentiallinien in . Abbildung 6.38 repräsentieren einen Potentialunterschied von 2 V. Wie groß ist dann die Spannung zwischen den Elektroden? Angenommen, die Abbildung zeigt den Trog in Originalgröße, welchen Wert hat in etwa die Feldstärke an der unteren Elektrode? 7 Lösung. Zwischen den Elektroden sind 9 Äquipotentiallinien und 10 Zwischenräume, also eine Spannung von 20 V. Der Abstand zwischen der unteren Elektrode und der ersten Äquipotentiallinie beträgt etwa 3,5 mm. Das entspricht einer Feldstärke von

Merke Coulomb-Gesetz: Zwischen zwei Punktladungen 9 und 9 im Abstand Zherrscht die Coulomb-Kraft

Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.

1U*QTLLMZMTMS\ZQ[KPMV.MTLMZ[IO\UIVLQMMQVM 4IL]VOb]U*MQ[XQMT9MZbM]O\MQVMTMS\ZQ[KPM[ .MTL]VLI]NLQMIVLMZM4IL]VO_QZS\QVLQM[MU .MTLMQVM3ZIN\,QMNMTLMZbM]OMVLM4IL]VOQ[\QU UMZLQMLQMLQM3ZIN\I][ÛJ\LQMUIVJM\ZIKP\MV _QTT 1[\ LQM NMTLMZbM]OMVLM 4IL]VO9 ITTMQV I]N LMZ?MT\[WTI]NMVLQM.MTLTQVQMVradialI][MQVIV

6.5 · Elektrisches Feld

197

6

. Abb. 6.46. Die Feldlinien des Dipols suggerieren die Anziehung ungleichnamiger Ladungen . Abb. 6.44. Punktladung. Die Feldlinien einer Punktladung, notwendig zur Berechnung der Coulomb-Kraft zwischen zwei Ladungen

. Abb. 6.45. Dipol. Schematische Darstellung eines Dipols mit dem Dipolmoment p = Y · l . Abb. 6.47. Wassermolekül, schematisch

LMZ. Abb. 6.44]VLLQM8W\MV\QITãÃKPMVJQTLMV . Abb. 6.471VMQVMUÃ]¾MZMVMTMS\ZQ[KPMV.MTL SWVbMV\ZQ[KPM 3]OMTV ]U 9,QM .MTL[\ÃZSM QU ^MZ[]KP\MQV,QXWT[QKPXIZITTMTb]LM[[MV.MTLTQ VQMVb][\MTTMVLMVVI]N[MQVMJMQLMV4IL]VOMV )J[\IVLZPI\LMV*M\ZIO" _QZS\MQV

B_MQ]VOTMQKPVIUQOM4IL]VOMVUQ\OTMQKPMU 0QMZ_QZL[\QTT[KP_MQOMVL^WZI][OM[M\b\LI[[l *M\ZIOYLQMI]NQZOMVLMQVM?MQ[MQU)J[\IVL l STMQVOMV]OQ[\]UJMQLM4IL]VOMVLI[OTMQKPME ^WVMQVIVLMZ OMPIT\MV _MZLMV VMVV\ UIV MQVMV [XÛZMVb]TI[[MV)JMZI]KPQUQVPWUWOMVMV.MTL ZQKP\M\[QKPMQV,QXWTI][,IVV_QZS\I]NQPVb] Dipol]VLWZLVM\QPVMVLI[ [Ã\bTQKPMQVMZM[]T\QMZMVLM3ZIN\LQMQPVQVLMV*M Dipolmoment ZMQKPUQ\PÕPMZMZ.MTL[\ÃZSMbQMP\. Abb. 6.48 b] . Abb. 6.45 ,MZ >MZJQVL]VO[[\IJ _QZL I]N .WTOM";KP_QUUMVQVMQVMZ_Ã[[ZQOMV4Õ[]VO1W ,Z]KS JMIV[XZ]KP\ LMVV LQM JMQLMV 4IL]VOMV VMVPMZ]Ub*LQMLM[6I+T[WJQTLMVLQM?I[ bQMPMV [QKP IV 1PZ .MTLTQVQMVJQTL []OOMZQMZ\ [MZUWTMSÛTM Hydrathüllen 7 Kap. 5.4.4# ]U LQM LQM[OMZILMb]. Abb. 6.46>QMTMMTMS\ZQ[KPVM]\ 6I1WVMV LZÃVOMTV [QM [QKP UQ\ LMU 7)\WU ZIT IT[W ]VOMTILMV _QZSMVLM 5WTMSÛTM _QM ^WZIV]ULQM+Tw1WVMV]UOMSMPZ\ b* LI[ LM[ ?I[[MZ[ MZ_MQ[MV [QKP IT[ ,QXWTM

198

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

Rechenbeispiel 6.12: Gewaltige Energie

1

7 Aufgabe. Unsere beiden Stück Tafelkreide ziehen sich an. Wie viel Arbeit können sie leisten, wenn wir sie vom Abstand 1 auf 0,5 m zusammenrücken lassen? 7 Lösung. Für die Arbeit gilt gemäß letztem Kapitel: . Wir denken uns also die eine Kreide bewegt im durch die andere Kreide erzeugten Potential. Die Potentialdifferenz zwischen 1 und 0,5 m Abstand beträgt:

2 3 4 5 6 7 8 9 10

. Abb. 6.48. Dipol im inhomogenen Feld

Merke Zwei entgegengesetzt gleiche Ladungen +q und –q im Abstand l bilden einen elektrischen Dipol mit dem Dipolmoment

Dipol im elektrischen Feld: , Drehmoment resultierende Kraft in Richtung steigender Feldstärke.

11 12 13 14 15 16

Rechenbeispiel 6.11: Die Pyramiden hochheben 7 Aufgabe. Ein Stück Tafelkreide enthält etwa 1021 Moleküle. Angenommen, wir könnten jedem hundertstem Molekül ein Elektron entziehen und diese Elektronen einem zweiten Stück Tafelkreide zuführen. Mit welcher Kraft würden sich die beiden Stücke anziehen, wenn sie ein Meter voneinander entfernt wären? (Ein Elektron trägt die Elementarladung M%w!)[). 7 Lösung. Die Ladung auf einem Stück Kreide wäre 1,6 A · s. Dann ist die Kraft:

19 20

6.5.5 Feld im Kondensator

;W TMQKP\ [QKP .MTL ]VL 8W\MV\QITTQVQMV Y]ITQ\I \Q^bMQKPVMVTI[[MVLQMY]IV\Q\I\Q^M:MKPV]VOMZ NWZLMZ\MQVMVUI\PMUI\Q[KPMV)]N_IVLLMZV]Z QVJM[WVLMZ[MQVNIKPMV.ÃTTMVMQVNIKPJTMQJ\-QV [WTKPMQVNIKPMZ.ITTQ[\LMZãIKPM8TI\\MVSWVLMV [I\WZ. Abb. 6.121UNI[\ homogenen FeldTI] NMVLQM.MTLTQVQMVXIZITTMTb]MQVIVLMZOMZILM_MO[ ^WVMQVMZ-TMS\ZWLMb]ZIVLMZMV#LQM8W\MV\QITTQ VQMV[\MPMV[MVSZMKP\I]NQPVMVIT[WXIZITTMTb] LMV -TMS\ZWLMV . Abb. 6.49 5IZ[KPQMZ\ UIV TÃVO[ MQVMZ .MTLTQVQM ^WV TQVS[ VIKP ZMKP\[ [W _ÃKP[\LI[8W\MV\QIT=TQVMIZIVUQ\SWV[\IV\MZ ;\MQO]VOIT[W]VLb_IZ^WVV]TTJQ[b]Z*I\\MZQM [XIVV]VO=,QM4ÃVOMLMZ.MTLTQVQMVMV\[XZQKP\ LMU8TI\\MVIJ[\IVLL,MUVIKPJM\ZIOMV8W\MV \QITOMNÃTTM]VL.MTL[\ÃZSM = -PWU%5 L _QM[KPWVQU5M\ITTLZIP\

17 18

Damit ergibt sich die Arbeit zu . Das ist in etwa der halbe Jahresbedarf einer Familie an elektrischer Energie.

Das reicht locker, um die Pyramiden in Ägypten hochzuheben. Die Größe dieser Kraft verhindert zugleich, dass sie praktisch auftritt: Es gelingt nicht, ein Kreidestück tatsächlich derart aufzuladen.

Merke Homogenes elektrisches Feld im ﬂachen Plattenkondensator: E0%SWV[\IV\; Betrag - % Ud.

-ZbM]O\ _QZL LQM[M[ .MTL ^WV LMV XW[Q\Q^MV ]VL VMOI\Q^MV 4IL]VOMV I]N LMV 5M\ITTXTI\\MV 2M

6.5 · Elektrisches Feld

199

6

?QM . Abbildung 6.49 bMQO\ Q[\ LI[ .MTL QU 8TI\\MVSWVLMV[I\WZ IU :IVL VQKP\ OIVb PWUW OMV 1V[WNMZV OMT\MV ITTM *MbQMP]VOMV I]KP V]Z VÃPMZ]VO[_MQ[M)U:IVLLZQVO\LI[.MTLM\_I[ QVLMV)]¾MVZI]UI]¾MZPITJLMZ8TI\\MV1U)] ¾MVZI]UQ[\LI[.MTLIJMZ[MPZSTMQVLI[QKPLQM .MTLMZLMZVMOI\Q^MV4IL]VOMVI]NLMZMQVMV8TI\ \M]VLLQMLMZXW[Q\Q^MV4IL]VOMVI]NLMZIVLM ZMV8TI\\MI]¾MVI]NPMJMV>WVI]¾MVJM\ZIKP\M\ Q[\LMZ3WVLMV[I\WZMTMS\ZQ[KPVM]\ZIT Rechenbeispiel 6.13: Große Platten

. Abb. 6.49. Kondensator. Feldlinien (blau) und Schnitte von Potentialﬂächen (schwarz) im weitgehend homogenen Feld eines Plattenkondensators und der dazugehörige Verlauf des Potentials auf einer geraden Feldlinie

UMPZ 4IL]VO I]N LMV 8TI\\MV RM LQKP\MZ LQM 4I L]VOMV I]N LMV 8TI\\MV OMLZÃVO\ ]U[W OZÕ¾MZ LQM.MTL[\ÃZSM-[TM]KP\M\MQVLI[[LQM.MTL[\ÃZ SM _WPT XZWXWZ\QWVIT b] LMZ .TÃKPMVLQKP\M 9) LMZ4IL]VOMVI]NLMV8TI\\MVUQ\LMZ.TÃKPM)Q[\
5Q\LQM[MZ*MbQMP]VOSIVVV]VI]KPLQM3I XIbQ\Ã\ LM[ 3WVLMV[I\WZ[ I][ [MQVMZ /MWUM\ZQM JMZMKPVM\_MZLMV"

,QM3IXIbQ\Ã\Q[\IT[W]U[WOZÕ¾MZRMOZÕ¾MZ LQM 8TI\\MVãÃKPM ]VL RM STMQVMZ LMZ 8TI\\MVIJ [\IVL,QM[^MZ_]VLMZ\VQKP\ B]U/TÛKSLMZ0MZ[\MTTMZ^WV3WVLMV[I\WZMV OQJ\M[1[WTI\WZMVLQMNÛZ\MKPVQ[KPMB_MKSM_MQ\ JM[[MZ OMMQOVM\ [QVL IT[ 4]N\ ;QM PIJMV LQM IV LQM[MZ ;\MTTM VWKP VQKP\ MZSTÃZJIZM -QOMV[KPIN\ LQM3IXIbQ\Ã\MQVM[8TI\\MVSWVLMV[I\WZ[]UMQVMV .IS\WZ εOMOMVÛJMZMQVMU4]N\SWVLMV[I\WZOTMQ KPMZ )JUM[[]VO b] ^MZOZÕ¾MZV" +%εZε)L ,QMBIPTεZQ[\MQVM5I\MZQITSMVVOZÕ¾MLM[,QMTMS \ZQS]U[[QM_QZLDielektrizitätszahlOMVIVV\?MZ \M]U[QVLSMQVM;MT\MVPMQ\

7 Aufgabe. Welche Plattenﬂäche müsste ein Luftkondensator haben, wenn er bei 1 mm Plattenabstand 1 μF Kapazität haben soll? 7 Lösung. Fläche

6.5.6 Energie des elektrischen Feldes

1V 7 Kapitel 6.2.5 _]ZLM LQM QU 3WVLMV[I\WZ OM [XMQKPMZ\M-VMZOQMJMZMKPVM\-[PI\[QKPIT[[MPZ VÛ\bTQKPM]VL_QKP\QOM>WZ[\MTT]VOMZ_QM[MVLI[[ LQM[M -VMZOQM QU MTMS\ZQ[KPMV .MTL QU 3WVLMV [I\WZOM[XMQKPMZ\Q[\5IV[IO\IT[W",WZ\_WMQV MTMS\ZQ[KPM[ .MTL Q[\ Q[\ I]KP -VMZOQM )]KP LMZ IV[WV[\MV iTMMZMt :I]U LMZ SMQVM 5I\MZQM MV\ PÃT\ SIVV LWKP -VMZOQM MV\PIT\MV [WNMZV LWZ\ MQVMTMS\ZQ[KPM[.MTLPMZZ[KP\,QM[Mb]VÃKP[\M\ _I[ UMZS_ÛZLQOM >WZ[\MTT]VO _QZL MZ[\ XTI][Q JMT_MVVUIV[KPWVMQVUITQU>WZOZQNNI]NLQM 7X\QSIVMTMS\ZWUIOVM\Q[KPM?MTTMVIT[W4QKP\ LMVS\ ,QM[M JM[\MPMV I][ MTMS\ZQ[KPMV ]VL UI OVM\Q[KPMV.MTLMZV]VLXãIVbMV[QKPL]ZKPLMV TMMZMV:I]UNWZ\2MLMZLMZ[KPWVMQVUITLQM-Z _ÃZU]VO [MQVMZ 0IVL OM[XÛZ\ PI\ _MVV MZ [QM VIPIVMQVM/TÛPJQZVMPÃT\_MQ¾LI[[4QKP\-VMZ OQM \ZIV[XWZ\QMZ\ MJMV L]ZKP LMV TMMZMV :I]U =VLLQM[SIVVRIV]Z[MQV_MVVQVLQM[MVMTMS\ZQ [KPMV]VLUIOVM\Q[KPMV.MTLMZV-VMZOQM[\MKS\ *M[KPZMQJMVSIVVUIVLI[UQ\MQVMZEnergiedichte-VMZOQMXZW>WT]UMVLM[.MTLM[.ÛZLI[MTMS \ZW[\I\Q[KPM.MTLSÕVVMV_QZLQM-VMZOQMLQKP\M_ UQ\0QTNMLMZ.WZUMTVNÛZLMV3WVLMV[I\WZI][ ZMKPVMV"

200

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1

,QM-VMZOQMQUOMTILMVMV3WVLMV[I\WZQ[\"

2

,QM[M[\MKS\QU.MTLUQ\LMZ.MTL[\ÃZSM"

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6.6

Materie im elektrischen Feld

6.6.1 Inﬂuenz und elektrische

Abschirmung

?MVV MQV 3ÕZXMZ VIKP I]¾MV MTMS\ZQ[KP VM]\ZIT MZ[KPMQV\[WPMQ¾\LQM[VQKP\LI[[MZSMQVMMTMS \ZQ[KPMV 4IL]VOMV MV\PQMT\M [WVLMZV V]Z LI[[ [QKPJMQQPUXW[Q\Q^M]VLVMOI\Q^M4IL]VOMVOM ZILMSWUXMV[QMZMV-TMS\ZQ[KPM;\ZÕUM\ZIV[XWZ \QMZMV4IL]VOMV1VMTMS\ZQ[KPMV4MQ\MZVUÛ[[MV LM[PITJQV\MZVM4IL]VO[^MZ[KPQMJ]VOMVUÕOTQKP )T[WMZOQJ\[QKPNÛZLQM-VMZOQMLQKP\MLM[.MT [MQV#JM[WVLMZ[TMQKP\[QVL[QMM[QVLMVO]\TMQ\MV LMV5M\ITTMV,I[UIKP\M[UÕOTQKPb_MQ5M\ITT LM[QU3WVLMV[I\WZ" XTI\\MVMV\OMOMVOM[M\b\I]Nb]TILMVWPVM[QMUQ\ MQVMZ;XIVV]VO[Y]MTTMQV*MZÛPZ]VOb]JZQVOMV /IVbWPVM;XIVV]VO[Y]MTTMOMP\M[VI\ÛZTQKP VQKP\;QM_QZLIJMZV]ZOMJZI]KP\]Ub_Q[KPMV b_MQOZW¾MV3WVLMV[I\WZXTI\\MVMQVMTMS\ZQ[KPM[ LMVVM[Q[\-%=L1[\VWKPMQV1[WTI\WZUQ\ .MTL - b] MZbM]OMV . Abb. 6.51a *ZQVO\ UIV MQVMZ 8MZUQ\\Q^Q\Ã\ εZ b_Q[KPMV LMV 8TI\\MV [W RM\b\ b_MQ STMQVMZM 8TI\\MV QV LQM[M[ .MTL [W OM [KPQMP\[WTIVOMVQKP\[_QM[QMVQKP\TMQ\MVLUQ\ _QZLLQM[M-VMZOQMLQKP\MVWKPM\_I[UWLQâbQMZ\" MQVIVLMZ ^MZJ]VLMV _MZLMV ,IVV IJMZ NWTOMV LQM ^MZ[KPQMJJIZMV 4IL]VOMV LMV +W]TWUJ ZÃN\MV;QMMZbM]OMVQU,ZIP\JÛOMTMQVMV;\ZWU ,QM -VMZOQM QU .MTL [\MQO\ IT[W Y]ILZI\Q[KP 3 UQ\LMZ.MTL[\ÃZSM. Abb. 6.50 . Abb. 6.51bLMZOMZILM[WTIVOMIVPÃT\JQ[JMQ LM 8TI\\MV I]N OTMQKPMU 8W\MV\QIT IVOMSWUUMV [QVLJQ[IT[WSMQV.MTLUMPZb_Q[KPMVQPVMVTQMO\ . Abb. 6.51c )VLMZ[ I][OMLZÛKS\" ,QM 4IL]V OMVI]NLMVSTMQVMV8TI\\MVMZbM]OMVMQV/MOMV NMTLM`IS\QVLMZ/ZÕ¾MLI[[M[LI[0I]X\NMTL- SWUXMV[QMZ\,I[/MOMVNMTLJM[\MP\b_Q[KPMVLMV 8TI\\MV_MQ\MZ_MVVUIV[QMI][LMU0I]X\NMTL PMZI][bQMP\ . Abb. 6.51d ,QM[M 4IL]VO[\ZMV V]VO L]ZKP MQV Ã]¾MZM[ MTMS\ZQ[KPM[ .MTL VMVV\ UIVInﬂuenz

,QM[M[.MTLPMZZ[KP\V]ZQU1VVMZMVLM[3WV LMV[I\WZ[b_Q[KPMVLMV8TI\\MV,I[Q[\JMQMQVMZ 8TI\\MVãÃKPM ) ]VL MQVMU 8TI\\MVIJ[\IVL L MQV >WT]UMV^WV"

Merke

17

Inﬂuenz: Ladungstrennung durch ein äußeres elektrisches Feld.

18 19 20

. Abb. 6.50. Energie des Feldes. Zusammenhang zwischen Energiedichte und Feldstärke bei einem elektrischen Feld in Luft (εr = 1,00); zur Sicherheit sei daran erinnert, dass Wattsekunde und Joule gleich sind; das Diagramm endet bei der Durchbruchsfeldstärke trockener Luft

,QM8TI\\MVLM[4]N\SWVLMV[I\WZ[UÛ[[MVJMQU1V ã]MVb^MZ[]KPV]ZLI[Ã]¾MZM.MTLTQMNMZV1U»J ZQOMV[QVL[QM]VJM\MQTQO\[QM^MZTQMZMVQV[JM[WV LMZMI]KPSMQVM4IL]VO6]VSIVVM[VQKP\^MZJW \MV[MQVLQMJMQLMVSTMQVMV8TI\\MVVIKPLMUUIV [QMI][LMU4]N\SWVLMV[I\WZMV\NMZV\PI\_QMLMZ

6.6 · Materie im elektrischen Feld

6

201

. Abb. 6.51a–c. Der Inﬂuenzversuch, schematisch. In das (nicht notwendigerweise homogene) Feld - (a) werden zwei elektrisch leitend verbundene kleine Platten gebracht (b). Folge: Ladungstrennung im Feld -, bis beide Platten auf gleichem Potential liegen und zwischen ihnen kein Feld mehr besteht (c). Trennt man die Platten im Feld und zieht man sie heraus in den feldfreien Außenraum, so steht jetzt zwischen ihnen ein Feld mit dem Betrag -, aber in entgegengesetzter Richtung

MTMS\ZQ[KP b] ^MZJQVLMV ,IVV ãQM¾\ MQV ;\ZWU [\W¾LMZ;\ZWU_ÃZUMMZbM]O\-ZTI]J\LQM1Vã] MVbM\_IMQV8MZXM\]]UUWJQTMb]SWV[\Z]QMZMV' 3MQVM[_MO[ ?MVVUIVLQM8TI\\MVI][LMU.MTL PMZI][PWT\U][[UIVUQ\[MQVMV5][SMTVOMOMV MTMS\ZW[\I\Q[KPM3ZÃN\MIVIZJMQ\MV ;WTIVOMJMQU1Vã]MVb^MZ[]KPLQMJMQLMVSTMQ VMV 8TI\\MV MTMS\ZQ[KP UQ\MQVIVLMZ ^MZJ]VLMV [QVL PMZZ[KP\ b_Q[KPMV QPVMV SMQV .MTL OTMQKP

OÛT\QO_I[I]¾MVOM[KPQMP\,I[OQT\MZ[\ZMKP\NÛZ LMV 1VVMVZI]U MQVMZ *TMKPLW[M" 5Q\ QPZMZ 0QTNM SIVVUIVMUXâVLTQKPM5M[[QV[\Z]UMV\M^WV[\Õ ZMVLMVMTMS\ZQ[KPMV.MTLMZVabschirmen,QM,W[M LIZN4ÕKPMZPIJMV[QMLIZN[WOIZb]MQVMU3ÃâO I][ 5I[KPMVLZIP\ LMOMVMZQMZMV Faraday-Käﬁg -QVÃ]¾MZM[.MTLZMQKP\LIVVb_IZMQV_MVQOL]ZKP LQM5I[KPMVPQVL]ZKPIJMZMJMVLWKPVQKP\[MPZ _MQ\ ,I[ ,M]\[KPM 5][M]U QV 5ÛVKPMV JM[Q\b\ MQVMVLMZIZ\QOMV3ÃâOOZW¾OMV]OMQVMV[Q\bMV LMV5MV[KPMVI]Nb]VMPUMV-Z_QZLb_Q[KPMVLQM -TMS\ZWLMV MQVMZ 0WKP[XIVV]VO[IVTIOM OMPÃVO\" 5M\MZTIVOM-V\TIL]VOMV[KPTIOMVWJMV]VL]V\MV QVLMV3ÃâOPQVMQV. Abb. 6.52,MZ5MV[KPLI ZQVZMOQ[\ZQMZ\LQM[V]ZWX\Q[KP]VLIS][\Q[KP#MTMS \ZQ[KP[XÛZ\MZVQKP\[LMVVMZ[Q\b\RIQUNMTLNZMQ MV:I]U?MPMV]ZLMULMZMQVMVM]OQMZQOM6I[M L]ZKPLQM5I[KPMVVIKPI]¾MV[\MKS\

6.6.2 Der elektrische Strom

. Abb. 6.52. Faraday-Käﬁg zum Abschirmen eines Menschen vom Feld einer Hochspannungsanlage

!

1VMQVMU3]XNMZLZIP\[XIT\M\RMLM[)\WUMQV-TMS \ZWV I][ [MQVMZ 0ÛTTM IJ ,I[ 3ZQ[\ITTOQ\\MZ _QZL IT[W^WVXW[Q\Q^MV3]XNMZQWVMVOMJQTLM\,QMIJ OMOMJMVMV -TMS\ZWVMV SÕVVMV b_Q[KPMV QPVMV iY]I[Q NZMQt PMZ]UTI]NMV# ZQKP\QO NZMQ [QVL [QM RI VQKP\ _MQT [QM LMV ,ZIP\ VQKP\ ^MZTI[[MV LÛZNMV b]UQVLM[\VQKP\[WWPVM_MQ\MZM[,QM[MY]I[Q NZMQMV-TMS\ZWVMV[WZOMVNÛZLQMPWPMMTMS\ZQ[KPM 4MQ\NÃPQOSMQ\LMZ5M\ITTM

202

1 2 3 4 5 6

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

B]VÃKP[\ MQVUIT NÛPZMV LQM -TMS\ZWVMV MQ VM )Z\ ?QUUMTJM_MO]VO I][# [QM Q[\ [\I\Q[\Q[KP OTMQKPUÃ¾QOI]NITTM:I]UZQKP\]VOMV^MZ\MQT\]VL SWUXMV[QMZ\ [QKP LM[PITJ QU 5Q\\MT b] V]TT ;W JITLIJMZTÃVO[LM[,ZIP\M[MQVMTMS\ZQ[KPM[.MTL MZ[KPMQV\ TI]NMV [QM QPU VIKP OMVI]MZ" ;QM TI] NMVQPUMV\OMOMVQPZMZVMOI\Q^MV4IL]VO_MOMV ,IJMQ\ZIV[XWZ\QMZMV[QMIJMZQPZMMQOMVMVMOI\Q ^M4IL]VO]VL\ZIOMV[WMQVMV;\ZWUQV:QKP\]VO LM[MTMS\ZQ[KPMV.MTLM[ Merke Metalle transportieren einen Strom durch bewegliche Elektronen.

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1U ,ZIP\ JM_MOMV [QKP LQM -TMS\ZWVMV _QM LMZ 4ÕNNMT QU ;QZ]X" ]V\MZ [\IZSMZ :MQJ]VO ,M[PITJ NWTOMV[QMLMZIVOMTMO\MV;XIVV]VOLPLMZ+W] TWUJ3ZIN\ LM[ IVOMTMO\MV .MTLM[- VQKP\ JM [KPTM]VQO\[WVLMZVUQ\MQVMZSWV[\IV\MV Driftgeschwindigkeit ^L%-

6]V OQT\ JMQ MQVMU ,ZIP\ UQ\ LMZ 4ÃVOMT ]VL LMZ 9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM ) OIVb ITTOMUMQV 1%/=7 Kap. 6.2.1NÛZLMV4MQ\_MZ\/%σ)T 7 Kap. 6.4.2[WUQ\NÛZLQM4MQ\NÃPQOSMQ\ 1T1T σ%33%33" =))=

;\ZWU1%4MQ\NÃPQOSMQ\σ9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM .MTL[\ÃZSM-

,IJMQPIT\MV[QKPLQM5M\ITTMIT[-TMS\ZWVMV TMQ\MZIVLQMMQVNIKPM*MbQMP]VO

σ%MV .ÛZ-TMS\ZWTa\MU][[[QMMQV_MVQOUWLQâbQMZ\ _MZLMV7 Kap. 6.7.2 Rechenbeispiel 6.15: Elektronen im Fernseher 7 Aufgabe. Im Elektronenstrahl in einem Fernseher ﬂießt typisch ein Strom von 100 mA. Wie viel Elektronen pro Sekunde sind das? 7 Lösung.

Dann ist die Zahl der Elektronen pro Sekunde LQM /ZÕ¾M _QZL Beweglichkeit OMVIVV\ ,QM [M ,ZQN\OM[KP_QVLQOSMQ\ Q[\ ÛJZQOMV[ MZ[\I]VTQKP STMQV"MQVQOMbMPV\MT5QTTQUM\MZXZW;MS]VLMVI \ÛZTQKPIJPÃVOQO^WU;\ZWU ,MZ;\ZWU1Q[\b]^LXZWXWZ\QWVITIJMZI]KP 6.6.3 Dielektrizitätskonstante b]Z )VbIPT 6 LMZ JM_MOTQKPMV -TMS\ZWVMV Jb_ (Permittivität) ! b]LMZMV)VbIPTLQKP\MV%6>.ÛZLMV;\ZWU1 SWUU\IU-VLMPMZI][ -QVTMQ\MVLMZ/MOMV[\IVL[KPQZU\MQVÃ]¾MZM[.MTL IJ_MQTLQMJM_MOTQKPMV4MQ\]VO[MTMS\ZWVMV[QKP 1%MV)- [W^MZ\MQTMVLI[[QU1VVMZMVLM[4MQ\MZ[SMQV.MTL 0QMZQVQ[\MLQM-TMUMV\IZTIL]VOIT[WLQM^WV UMPZ PMZZ[KP\ M[ [MQ LMVV MZ Q[\ IV MQVM ;XIV LMV -TMS\ZWVMV OM\ZIOMVM 4IL]VO[UMVOM ]VL ) V]VO[Y]MTTMIVOM[KPTW[[MV]VLM[ãQM¾\MQVLI] MZVLMZ;\ZWU)JMZI]KPQU1[WTI\WZJMâVLMV[QKP LQM9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPMLM[,ZIP\M[ ^QMTM4IL]VOMV"LQMXW[Q\Q^OMTILMVMV)\WUSMZVM 3Herleitung: In der Zeitspanne Δt laufen alle Elek- ]VLLQMVMOI\Q^OMTILMVMV-TMS\ZWVMVQVLMZ0ÛT tronen den Weg Δs = ^L · Δt = μ · E · Δt weit. An ei- TM?QMZMIOQMZMV[QMI]NMQVÃ]¾MZM[.MTL';QM_WT ner bestimmten Stelle des Drahtes kommen dabei al- TMV MQOMV\TQKP LI[ /TMQKPM \]V _QM LQM 4MQ\]VO[ le ΔN = n · A · Δs Elektronen vorbei, die dazu weniger MTMS\ZWVMV QU 5M\ITT IJMZ [QM SÕVVMV QPZ )\WU als Δs marschieren mussten. Sie haben mit der Ladung VQKP\^MZTI[[MV)JMZ[QMSÕVVMV[QKPLWKPMQVJQ[ ΔQ = ΔN · Mden Strom I = ΔQ/Δt transportiert: [KPMV^MZ[KPQMJMV,QM.WTOMQ[\MQVM=V[aUUM\ 1Δ\%MΔ6%MV)Δ[%MV)^LΔ\ ZQMQVLMV)\WUMV";QMJMSWUUMVMQVMTMS\ZQ[KPM[ %MV)-Δ\ ,QXWTUWUMV\ 7 Kap. 6.5.4 1U 1[WTI\WZ TQMOMV Nun muss nur noch Δt herausgekürzt werden LIVVTI]\MZQVOTMQKPMZ?MQ[MI][OMZQKP\M\M,QXW TM VMJMVMQVIVLMZ . Abb. 6.53 ?MQT LI[ Ã]¾M ZM.MTL4IL]VOMVQVVMZPITJLMZ)\WUM5WTMSÛ

6.6 · Materie im elektrischen Feld

TM5WTMSÛTSWUXTM`M^MZ[KPWJMVPI\VMVV\UIV LI[ Verschiebungspolarisation]VL[IO\LMZ1[WTI \WZ[MQXWTIZQ[QMZ\5I¾LINÛZQ[\LQM[WOMVIVV\M 8WTIZQ[I\QWV P LQM IT[ ,QXWTUWUMV\LQKP\M IT[W ,QXWTUWUMV\XZW>WT]UMVLMâVQMZ\Q[\[QM_QZL QV7 Kap. 6.10.5OMJZI]KP\ 0I\ LQM 8WTIZQ[I\QWV )][_QZS]VOMV I]N LI[ .MTL QU 1VVMZMV LM[ 1[WTI\WZ[' 2I LI[ .MTL _QZL b_IZVQKP\^ÕTTQOIJOM[KPQZU\_QMQU5M\ITTIJMZ M[_QZLIJOM[KP_ÃKP\ 0QMZ U][[ V]V MQVUIT OMVI] OM[IO\ _MZLMV _I[UQ\i.MTLQU1[WTI\WZtWLMZi.MTLQU5M\ITTt MQOMV\TQKPOMUMQV\Q[\5IKP\UIV[QKPOIVbSTMQV ]VL [M\b\ [QKP b]U *MQ[XQMT b_Q[KPMV )\WUSMZV ]VL0ÛTTM[WJMWJIKP\M\UIVLWZ\VI\ÛZTQKPQU UMZ MQV [MPZ [\IZSM[ .MTL LI UIV b_Q[KPMV LMZ XW[Q\Q^MV 4IL]VO LM[ 3MZV[ ]VL LMZ VMOI\Q^MV 4IL]VOLMZ0ÛTTMY]I[Q_QMQVMQVMU3WVLMV[I\WZ [Q\b\)T[/IVbM[Q[\LI[)\WUIJMZVM]\ZITI]¾MZ PITJLM[]VXWTIZQ[QMZ\MV)\WU[Q[\SMQV.MTL5Q\ \MT\UIVIT[WLI[.MTLÛJMZOZÕ¾MZM4ÃVOMVM\_I MQVMV 5QSZWUM\MZ [W Q[\ M[ QU ]VXWTIZQ[QMZ\MV 5I\MZQITV]TT?MVVÛJMZLI[.MTLQVMQVMU5I\M ZQITOM[XZWKPMV_QZLQ[\QUUMZLQM[M[ÛJMZ^QMTM )\WUMOMUQ\\MT\M.MTLOMUMQV\ *MâVLM\ [QKP LMZ 1[WTI\WZ QV MQVMU Ã]¾MZMV .MTLE[WPMZZ[KP\QU1VVMZMVb]VÃKP[\I]KPLQM [M[.MTL,QMb],QXWTMVXWTIZQ[QMZ\MV)\WUM]U OMJMV [QKP IJMZ b][Ã\bTQKP ITTM UQ\ MQVMU ,QXWT NMTL ,MVS\ UIV [QKP LMV 1[WTI\WZ b_Q[KPMV b_MQ 3WVLMV[I\WZXTI\\MV . Abb. 6.53 [W ^MZ]Z[IKP\ LQM8WTIZQ[I\QWVQVLMZ;]UUMIVLMV7JMZãÃKPMV LM[1[WTI\WZ[MNNMS\Q^M7JMZãÃKPMVTIL]VOMVVMOI \Q^M OMOMVÛJMZ LMZ XW[Q\Q^ OMTILMVMV 3WVLMV[I \WZXTI\\M XW[Q\Q^M OMOMVÛJMZ LMZ VMOI\Q^MV 3WV LMV[I\WZXTI\\M,QM[M7JMZãÃKPMVTIL]VOMVMZbM] OMV MQV LMU Ã]¾MZMV .MTL E MV\OMOMVOM[M\b\M[ .MTL[WLI[[LQM.MTL[\ÃZSMEQU1VVMZMVLM[1[WTI \WZ[STMQVMZQ[\IT[LI[Ã]¾MZM.MTL1VLMVUMQ[\MV 5I\MZQITQMVQ[\LQM8WTIZQ[I\QWV]VLLIUQ\I]KPLI[ .MTLQU1VVMZMVXZWXWZ\QWVITb]UÃ]¾MZMV.MTL"

203

6

. Abb. 6.53. Zur Polarisation: In dem durch die geladenen Platten erzeugten Feld werden aus den Atomen Dipole (oben). Dies führt zu Oberﬂächenladungen am Isolator, die das Feld im Inneren abschwächen (unten)

ZQITSMVVOZÕ¾MLM[1[WTI\WZ[*MQOÃVOQOMV3]V[\ [\WNNMV TQMO\ [QM UMQ[\ b_Q[KPMV ]VL ,QM[MZ .IS\WZPQTN\LMV0MZ[\MTTMZV^WV3WVLMV[I\WZMV LQM UM\ITTQ[KP JM[KPQKP\M\MV .WTQMV b] 8ISM\MV I]Nb]_QKSMTV ,MVV JMâVLM\ [QKP b_Q[KPMV LMV 3WVLMV[I\WZXTI\\MVMQV1[WTI\WZUQ\LMZ,QMTMSZQ bQ\Ã\[SWV[\IV\MVεZ[WQ[\LI[.MTLQU3WVLMV[I\WZ ]ULQM[MV.IS\WZIJOM[KP_ÃKP\]VLLIUQ\I]KP LQM;XIVV]VOb_Q[KPMVLMV8TI\\MVMV\[XZMKPMVL STMQVMZ,I[JMLM]\M\IJMZMQVM]ULMV.IS\WZ εZ OZÕ¾MZM3IXIbQ\Ã\+%9=7 Kap. 6.5.5 /Z]VL[Ã\bTQKPU][[LI[Ã]¾MZM.MTLLQMI\W ,QM 8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\[SWV[\IV\M Q[\ LQM [KPWV MZ_ÃPV\M relative Dielektrizitätskonstante εZ,16 UIZMV WLMZ UWTMS]TIZMV ,QXWTM VQKP\ ]VJM OMZMKP\PMQ¾\LQM[M3WV[\IV\MPermittivitätLQMIT LQVO\ [MTJ[\ MZbM]OMV ;QM SÕVVMV _QM QU ?I[ \M *MbMQKPV]VO _QZL IJMZ VWKP PÃ]âO ^MZ_MV [MZ 7 Kap. .5.4 ^WV ^WZVPMZMQV ^WZPIVLMV LM\ ,QM ,QMTMS\ZQbQ\Ã\[SWV[\IV\M Q[\ MQVM 5I\M [MQV]VL[QKPV]ZLM[_MOMVVIKPI]¾MVVQKP\[W

204

1 2 3 4

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

NWZ\JMUMZSJIZUIKPMV_MQTQPZM,QXWTUWUMV\M [\ÃVLQO QV ]VOMWZLVM\MZ \PMZUQ[KPMZ *M_MO]VO [QVL-QVÃ]¾MZM[.MTLSIVVLQM[MU,]ZKPMQVIV LMZIJMZMQVMOM_Q[[M>WZb]O[ZQKP\]VOOMJMVUQ\ [\MQOMVLMZ .MTL[\ÃZSM QUUMZ I][OMXZÃO\MZ 5IV VMVV\LQM[MV5MKPIVQ[U][Orientierungspolarisation,QM[MNÛPZ\b]LM]\TQKPPÕPMZMV?MZ\MVLMZ ,QMTMS\ZQbQ\Ã\[bIPT?I[[MZJZQVO\M[I]NεZ% Merke

5 6 7

Durch Polarisation wird das elektrische Feld in Isolatoren abgeschwächt. Verschiebungspolarisation: Feld erzeugt durch Inﬂuenz molekulare Dipole, Orientierungspolarisation: Feld richtet polare Moleküle aus.

8 9 10 11 12 13 14 15

3Es gibt noch weitere mit der Polarisation zusammenhängende Effekte. Technisch wichtig sind Isolatoren, die polarisiert werden, wenn man sie mechanisch belastet, sie also z. B. zusammendrückt. Man nennt diesen Effekt Piezoelektrizität („Piëzo…“ ausgesprochen). Geläuﬁg ist er vielleicht aus Feuerzeugen, die das Brenngas dadurch entzünden, dass mit einem Schnappmechanismus auf einen piezoelektrischen Würfel geschlagen wird. Aufgrund der plötzlichen Polarisation entsteht eine so hohe Spannung, dass ein Funke überschlägt. Ein Effekt wie die Piezoelektrizität funktioniert immer in beiden Richtungen: Wird an ein piezoelektrisches Material ein äußeres Feld angelegt, so zieht es sich zusammen, als wäre es gedrückt worden. Dies benutzt man gern, um extrem kleine Verrückungen extrem präzise auszuführen. Beim sog. Tunnelmikroskop tastet eine feine Spitze die zu untersuchende Oberﬂäche kontrolliert in Schritten ab, die kleiner sein können als Atomabstände.

6.6.4 Das freie Elektron

/Z]VL[Ã\bTQKPSIVVMQV4MQ\]VO[MTMS\ZWV[MQV5M \ITT ^MZTI[[MV 5IV U][[ QPU LIJMQ IJMZ PMTNMV LMVV _MVV M[ QV [MQVMZ \PMZUQ[KPMV *M_MO]VO QV[.ZMQM[\Õ¾\QVã]MVbQMZ\M[]V\MZLMZ7JMZãÃ KPML]ZKP>MZ[KPQMJMV^WV)Z\OMVW[[MVMQVM/M OMVTIL]VO LMZMV +W]TWUJ3ZIN\ LMV )][ZMQ¾MZ NM[\PÃT\. Abb. 6.54,MU-TMS\ZWVOMP\M[ÃPV TQKP_QMLMU^MZLIUXN]VO[_QTTQOMV5WTMSÛT^WV 7 Kapitel 5.3.4V]Z_QZLM[^WVMTMS\ZQ[KPMV3ZÃN \MVb]ZÛKSOMbWOMV]VLVQKP\^WVb_Q[KPMVUWTM S]TIZMV=U_MOb]SWUUMVUÛ[[MVJMQLM-VMZ OQM UQ\JZQVOMV LI[ 5WTMSÛT UMPZ IT[ LQM >MZ LIUXN]VO[_ÃZUM LI[ -TMS\ZWV UMPZ IT[ [MQVM AustrittsarbeitIS] ]U#XWT\UIV]UãQM¾\ITTMVNITT[MQV4MKS[\ZWU _MOMV]V^WTT[\ÃVLQOMZ1[WTI\QWVwM`XMZQUMV\MT

16 Rechenbeispiel 6.16: Oberﬂächenladung

17 18 19 20

7 Aufgabe. Ein Plattenkondensator sei mit einer Ladung von 10–5 C aufgeladen. Zwischen den Platten beﬁnde sich ein Isolator mit εZ%. Wie groß ist die effektive Oberﬂächenladung auf dem Isolator? 7 Lösung. Der Isolator schwächt das Feld zwischen den Platten auf die Hälfte ab. Dazu muss die Hälfte der Ladungen auf den Platten durch entsprechende Gegenladung auf der Isolatoroberﬂäche kompensiert werden. Also beträgt diese Oberﬂächenladung 5 · 10–6 C.

. Abb. 6.54. Zur Entstehung der Bildkraft: Ein Elektron vor einer Metallplatte inﬂuenziert Gegenladungen auf deren Oberﬂäche, von denen es angezogen wird, als säße eine positive Bildladung spiegelbildlich im Metall

6.6 · Materie im elektrischen Feld

. Abb. 6.55. Schema einer Vakuumdiode. Eine Heizspannung bringt den Draht der Kathode zum Glühen, sodass Elektronen aus ihm austreten können. Strom ﬂießt nur, wenn die kalte Elektrode als Anode positiv gepolt ist

. Abb. 6.56. Strom-Spannungs-Kennlinie eines Gleichrichters; es muss keine Vakuumdiode sein

TMZ6IKP_MQ[NÛZLQMVMOI\Q^M4IL]VOLMZ-TMS\ZW VMVLQMV]ZLQMPMQ¾M-TMS\ZWLMQVPQVZMQKPMVLMZ )VbIPT ^MZTI[[MV SÕVVMV ]VL VQKP\ LQM SIT\M . Abb. 6.56 ,QM >IS]]ULQWLM Q[\ MQV Gleichrichter]VL_]ZLMIT[[WTKPMZI]KPMQNZQOOMV]\b\ JQ[LQM0ITJTMQ\MZLQWLMVI]NSIUMV/MVMZMTTJM bMQKPVM\ UIV MQVM -TMS\ZWLM LQM IU VMOI\Q^MV 8WT LMZ ;XIVV]VO[Y]MTTM TQMO\ IT[ Kathode LQM IVLMZMIT[Anode"

205

6

6WZUITMZ_MQ[M MUQ\\QMZ\ LQM 3I\PWLM QPZM -TMS \ZWVMVOMLIVSMVTW[VIKPITTMV;MQ\MV,]ZKPOM [KPQKS\M 3WV[\Z]S\QWV UQ\ 4MQ\JTMKPMV I]N XI[ [MVLMV 8W\MV\QITMV SIVV UIV IJMZ MZZMQKPMV LI[[MQV[KPIZNOMJÛVLMT\MZ;\ZIPTL]ZKPMQVNMQ VM[ 4WKP QU )VWLMVJTMKP LQM Elektronenkanone ^MZTÃ[[\ b* QV LMV NMTLNZMQMV :I]U MQVMZ SW VQ[KP [QKP MZ_MQ\MZVLMV >IS]]UZÕPZM PQVMQV . Abb. 6.57 ,QM /M[KP_QVLQOSMQ\ LMZ -TMS\ZW VMV QV LQM[MU ;\ZIPT _QZL L]ZKP LQM ;XIVV]VO =) b_Q[KPMV 3I\PWLM ]VL )VWLM JM[\QUU\ -QV -TMS\ZWV^MZTQMZ\I]N[MQVMU?MO^WVLMZ3I\PWLM b]Z )VWLM LQM XW\MV\QMTTM -VMZOQM ?XW\%M =) ]VL[M\b\LQM[MQVSQVM\Q[KPM-VMZOQM]U *MTMO\ UIV RM\b\ LMV *WLMV LM[ /TI[SWTJMV[ UQ\ MQVMU OMMQOVM\MV 4M]KP\[\WNN [W _QZL LQM )]N\ZMNN[\MTTM LMZ -TMS\ZWVMV L]ZKP ElektrolumineszenzNÛZLI[)]OM[QKP\JIZ,IJMQLIZN[QKPLMZ 4M]KP\[\WNN VQKP\ VMOI\Q^ I]ãILMV# [MQVM 4MQ\NÃ PQOSMQ\U][[I][ZMQKPMVLQMIVSWUUMVLMV-TMS \ZWVMVWPVM[\ÕZMVLMV;XIVV]VO[IJNITTIJb]TMQ \MV )]KPNZMQQU;\ZIPTãQMOMVLM-TMS\ZWVMVZMI OQMZMV I]N MQV MTMS\ZQ[KPM[ .MTL" ;KPQM¾\ UIV [QM Y]MZL]ZKPMQVMVOMTILMVMV3WVLMV[I\WZ[W_MZ LMV [QM b]Z ;MQ\M IJOMTMVS\ QV :QKP\]VO I]N LQM XW[Q\Q^M -TMS\ZWLM . Abb. 6.57 4MO\ UIV MQ VM?MKP[MT[XIVV]VO IV LMV 3WVLMV[I\WZ NWTO\ QPZ LMZ ;\ZIPT UWUMV\IV ]VL UIT\ QV XMZQWLQ [KPMZ?QMLMZPWT]VOMQVMV;\ZQKPI]NLMV4M]KP\ [KPQZU,I[SIVV[W[KPVMTTMZNWTOMVLI[[LMZ)J TI]N ^WU UMV[KPTQKPMV /M[QKP\[[QVV VQKP\ UMPZ I]NOMTÕ[\ _QZL ,IZ]U [QMP\ UIV I]KP LMV OTMQ KPMV[\I\Q[KPMV;\ZQKP_MVVLMZ-TMS\ZWVMV[\ZIPT VQKP\UQ\MQVMZ[QV][NÕZUQOMV?MKP[MT[XIVV]VO [WVLMZVUQ\MQVMU[WO SägezahnIJOMTMVS\_QZL . Abb. 6.58",MZ4QKP\X]VS\TÃ]N\RM\b\UQ\SWV [\IV\MZ/M[KP_QVLQOSMQ\b*^WVTQVS[VIKPZMKP\[

Merke Ein freies Elektron musste, um sein Metall verlassen zu können, zuvor die Austrittsarbeit aufgebracht haben, z. B. mit thermischer Energie („Glühemission“). Anode: positive Elektrode Kathode: negative Elektrode . Abb. 6.57. Röhre eines Kathodenstrahloszillographen, schematisch (Einzelheiten im Text)

206

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

[M\b\ ,I[ [QVL QU 8ZQVbQX +WUX]\MZ LQM LMV ;XIVV]VO[^MZTI]NUQ\MQVMUAnalog-Digital-WandlerI]NVMPUMV]VLI]NMQVMU*QTL[KPQZULIZ[\MT TMV;WTKPM/MZÃ\M[QVL^QMTPIVLTQKPMZ]VLMZTI] JMVLQM*QTLMZI]KPb][XMQKPMZV]VLLQOQ\ITb] JMIZJMQ\MV

1 2 3

Merke

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 6.58. Zeitablenkung eines Oszillographen: zahn“

„Säge-

ÛJMZLMV4M]KP\[KPQZU]VL[XZQVO\LIVVZI[KPQV LQM)][OIVO[TIOMb]ZÛKS 4Ã[[\ UIV LMV -TMS\ZWVMV[\ZIPT VWKP L]ZKP MQVMV b_MQ\MV 3WVLMV[I\WZ UQ\ ^MZ\QSITMU MTMS \ZQ[KPMU.MTLPQVL]ZKPTI]NMVSIVVUIVQPVb] [Ã\bTQKP VIKP WJMV ]VL ]V\MV I][TMVSMV ,MZ 4QKP\X]VS\ bMQKPVM\ RM\b\ OM\ZM]TQKP MQVMV /ZI XPMV^WUbMQ\TQKPMV)JTI]NLMZ;XIVV]VOIVLMV ^MZ\QSITMV)JTMVSXTI\\MV-ZTQMNMZ\LMU)]OMMQV [\MPMVLM[ *QTL _MVV [QKP LQM[MZ ;XIVV]VO[^MZ TI]NXMZQWLQ[KP_QMLMZPWT\_MVVLMZ;ÃOMbIPVOM \ZQOOMZ\Q[\LPQUUMZIVLMZOTMQKPMV;\MTTMLMZ 8MZQWLM[\IZ\M\]VL_MVVITTM[b][IUUMV[KPVMTT OMV]O IJTÃ]N\" ,QM -TMS\ZWVMVZÕPZM PI\ [QKP b]Z *ZI]V:ÕPZM MQVM[ Kathodenstrahloszillographen OMUI][MZ\ ,QM[MZ LQMV\ LMZ :MOQ[\ZQMZ]VO ZI[KP IJTI]NMVLMZ >WZOÃVOM LQM ÛJMZ XI[[MVLM 5M[[ _IVLTMZ QV [aVKPZWVM MTMS\ZQ[KPM ;XIVV]VOMV ]UOM[M\b\ _WZLMV [QVL ?MQT LQM )JTMVSXTI\ \MV_MQ\PÕPMZM;XIVV]VOMV^MZTIVOMVIT[5M[[ _IVLTMZ ÛJTQKPMZ_MQ[M IVJQM\MV _QZL MQVMU 7[ bQTTWOZIXPMV b]UQVLM[\ NÛZ LQM ^MZ\QSITM A)J TMVS]VO MQV MQV[\MTTJIZMZ >MZ[\ÃZSMZ MQVOMJI]\ LMZ UMQ[\ OTMQKP QV LMZ ZM[]T\QMZMVLMV -UXâVL TQKPSMQ\NÛZLQM)][TMVS]VOLM[4QKP\X]VS\M[I]N LMU;KPQZUOMMQKP\Q[\IT[Wb*QVLMZ)VOIJM" iU>KUt)]KPLQMPWZQbWV\ITM@)JTMVS]VO SIVVMQVMV[WTKPMV>MZ[\ÃZSMZJMSWUUMV_MVV VÃUTQKPLMZB][IUUMVPIVOb_Q[KPMVb_MQJMTQM JQOMV IJMZ MTMS\ZQ[KP UM[[JIZMV /ZÕ¾MV LIZOM [\MTT\_MZLMV[WTT7N\TQMO\PQMZIJMZMQVNM[\MQVOM JI]\MZ;ÃOMbIPVOMVMZI\WZNÛZOMMQKP\MQV[\MTTJIZM BMQ\IJTMVS]VOMVb*iU[KUt ,MZ O]\M IT\M 3I\PWLMV[\ZIPTW[bQTTWOZIXP _QZL b]VMPUMVL L]ZKP LQOQ\ITM 1V[\Z]UMV\M MZ

Oszillograph: Gerät zur Registrierung (auch rasch) veränderlicher elektrischer Spannungen.

3Legt man an beide Plattenpaare Sägezähne, horizontal einen schnellen (20 kHz) und vertikal einen langsamen (25 Hz), so schreibt der Leuchtpunkt 25mal in der Sekunde ein rechteckiges Feld mit 800 waagerechten Zeilen voll. Das Auge sieht eine gleichmäßig leuchtende Fläche, ﬂimmerfrei, wenn sie nicht zu hell ist. Nun kann man in der Kathodenstrahlröhre die Stärke des Elektronenstrahls willkürlich und schnell verringern und so dunkle Punkte in das helle Feld setzen. Richtig gesteuert ergeben sie ein Bild, das dem Auge auch bewegt erscheinen kann: Prinzip der Bildröhre vom Fernsehgerät und Computermonitor. Dort geschieht die Ablenkung des Elektronenstrahls allerdings magnetisch (7 Kap. 6.10.2). Die „großen Kisten“ im Wohnzimmer und Büro sind allerdings inzwischen fast ausgestorben und durch ﬂache LCD-Displays ersetzt. Diese funktionieren völlig anders: Eine sehr dünne Schicht aus Flüssigkristallen beﬁndet sich zwischen zwei Glasplatten, die mit einem sehr feinen, durchsichtigen Elektrodenraster beschichtet sind. Flüssigkristalle drehen die Polarisationsebene von Licht (7 Kap. 7.4.1) in Abhängigkeit vom elektrischen Feld, in dem sie sich beﬁnden, verschieden stark. Damit kann die Lichtdurchlässigkeit der Flüssigkristallschicht Bildpunkt für Bildpunkt elektrisch gesteuert werden. Beleuchtet man das Ganze von hinten, so kann ein Bild entstehen. Solche Bildschirme sind ﬂach, energiesparend und eher billiger als die alten Bildröhren. Es gibt also keine freien Elektronen mehr im Wohnzimmer. Der Freiheitsdrang der Elektronen ist aber ungebrochen. Die freien Elektronen haben sich jetzt in der Küche eingenistet im Sender der Mikrowellenherde, dem Magnetron. Und sie wohnen natürlich in den Röntgenröhren der Kliniken und Arztpraxen (7 Kap. 7.5.4).

6.6 · Materie im elektrischen Feld

Praktikum Oszillograph Der Oszillograph dient zum Darstellen von schnellen Zeitverläufen. Mit dem Oszillographen, dessen Bedienung Sie im Praktikum erlernen sollen, will man irgendetwas Sinnvolles messen, in der Regel eine Zeit. Es gibt drei beliebte Varianten: Kondensatorentladung (7 Kap. 6.4.5 und 6.4.6): Wenn man alles richtig gemacht hat, bekommt man eine e-Funktion (7 Kap. 1.5.2) auf den Bildschirm, die es auszuwerten gilt. Sie vermessen den Wechselstromwiderstand (Impedanz, 7 Kap. 6.3.2, 6.11.3, 6.11.4, 6.12.1) einer Schaltung mit Kondensator und/oder Spule und ohmschem Widerstand. Sie vermessen einen Schalllaufzeitunterschied zur Demonstration der Funktionsweise eines bildgebenden Ultraschallgerätes (7 Kap. 4.2.5).

6.6.5 Ruhemasse und relativistische Masse

)]KP MQVNIKPM 7[bQTTWOZIXPMV SÕVVMV XMZQWLQ [KPM >WZOÃVOM QU .ZMY]MVbJMZMQKP 5MOIPMZ\b VWKP IV[\IVL[TW[ ZMOQ[\ZQMZMV ,Ib] U][[ QPZ 4QKP\X]VS\IVLQMP]VLMZ\\I][MVLUITQVLMZ;M S]VLM ÛJMZ LMV ^QMTTMQKP\ KU JZMQ\MV 4M]KP\ [KPQZUTI]NMVUQ\MQVMZ/M[KP_QVLQOSMQ\^WVKI SU[ ]VL JMQU :ÛKS[XZ]VO b_Q[KPMV b_MQ ,]ZKPTÃ]NMVVWKPMZPMJTQKP[KPVMTTMZ-TMS\ZWVMV UIKP\LI[VQKP\[I][#[QM[QVLSTMQV]VLâ` ,QM/M[KP_QVLQOSMQ\UQ\LMZMQVNZMQM[-TMS \ZWV JMQ LMZ )VWLM IVSWUU\ PÃVO\ ^WV [MQ VMZ 5I[[M UM ]VL LMZ )VWLMV[XIVV]VO =) IJ 1UPWUWOMVMV.MTL-]V\MZTQMO\M[LMZSWV[\IV \MV3ZIN\.%M-]VLiNÃTT\t_QMMQV)XNMT^WU *I]UVÃUTQKPUQ\SWV[\IV\MZ*M[KPTM]VQO]VOI b]Z)VWLMPQVÛJMZ"

/Z]VL[Ã\bTQKPSÕVV\MUIVUML]ZKP4I]NbMQ\ UM[[]VOMVJM[\QUUMV-[OQJ\MTMOIV\MZM>MZNIP ZMVLQMITTMZLQVO[V]ZLQMspeziﬁsche LadungMUM LM[-TMS\ZWV[UM[[MV)JMZLQM-TMUMV\IZTIL]VO

207

6

MQ[\RIOMVI]JMSIVV\1VMV\[XZMKPMVLMV
>QMT Q[\ LI[ VQKP\ QV LMZ PIVLNM[\MV 5I\MZQM LM[ UMV[KPTQKPMV )TT\IO[ âVLM\ UIV IJMZ I]KP SMQV TMQKP\MZM[ -TMUMV\IZ\MQTKPMV IT[ LI[ -TMS \ZWV ?MVVMQV-TMS\ZWVI][LMZ/TÛPSI\PWLMI][ OM\ZM\MV Q[\ JM[Q\b\ M[ OMOMVÛJMZ LMZ )VWLM LQM XW\MV\QMTTM-VMZOQM?XW\%M=)?I[M[VWKPIV :M[\MVMZOQM I][ [MQVMZ \PMZUQ[KPMV *M_MO]VO UQ\JZQVO\[XQMT\UMQ[\SMQVM:WTTM)]NLMU?MO b]Z)VWLM[M\b\M[?XW\QVSQVM\Q[KPM-VMZOQM]U ,WZ\ IVOMSWUUMV _QZL M[ IJOMJZMU[\ ]VL TQM NMZ\ LQM -VMZOQM IT[ ?ÃZUM ]VL _MVV LQM )VW LMV[XIVV]VOPWKPOMV]O_IZI]KPQV.WZU^WV :ÕV\OMV[\ZIPTMV IJ ;W N]VS\QWVQMZ\ MQVM :ÕV\ OMVZÕPZM )]N LMV -VMZOQM[I\b Q[\ >MZTI[[" ?MVV MQVM :ÕV\OMVZÕPZM UQ\ S> )VWLMV[XIVV]VO JM \ZQMJMV _QZL LIVV SWUUMV LQM -TMS\ZWVMV UQ\ SM>I]NLMZ)VWLMIV:MKPVM\UIVRM\b\IJMZ UQ\ LMZ /TMQKP]VO ?SQV%UM^M LQM )]N\ZMNN OM[KP_QVLQOSMQ\ ^M I][ [W ZMKPVM\ UIV NIT[KP 0MZI][ SÃUMV VÃUTQKP U[ ,QM 6I\]Z MZTI]J\IJMZSMQVMUUI\MZQMTTMV<MQTKPMVLQM U LichtgeschwindigkeitKf 4 [ b]MZZMQKPMVWLMZOIZb]ÛJMZ[KPZMQ\MV,QM3WV [MY]MVbMVI][LQM[MU6I\]ZOM[M\bPI\)TJMZ\-QV [\MQV QV [MQVMZ Relativitätstheorie OMbWOMV -TMS \ZWVMVISbMX\QMZMV[QMIT[[MTJ[\^MZ[\ÃVLTQKPIJMZ LMU5MV[KPMVMZ[KPMQVMV[QMOZW\M[S[WTIVOMMZ [QKPVWKPVQKP\IV[QMOM_ÕPV\PI\1V[MQVMZ?MT\ SWUUMVRIV]ZQU>MZOTMQKPb]KI][OM[XZWKPMV SÛUUMZTQKPM /M[KP_QVLQOSMQ\MV ^WZ ,I[ OQT\ I]KPVWKPNÛZLQMI[\ZWVWUQ[KPMV/M[KP_QVLQO SMQ\MVQU;WVVMV[a[\MU ?I[SIVVMQV-TMS\ZWVUIKPMV_MVVM[LQM 4QKP\OM[KP_QVLQOSMQ\NI[\[KPWVMZZMQKP\PI\LQM :MTI\Q^Q\Ã\[\PMWZQM IT[W SMQVM VMVVMV[_MZ\M *M [KPTM]VQO]VO UMPZ MZTI]J\ _MVV IVLMZMZ[MQ\[ IJMZLQM3ZIN\MQVM[MTMS\ZQ[KPMV.MTLM[_MQ\MZPQV IVQPUbQMP\'-[PI\SMQVMIVLMZM5ÕOTQKPSMQ\IT[ VIKPLMZ/TMQKP]VO 3ZIN\%5I[[M*M[KPTM]VQO]VO

208

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

16

6.6.6 Gasentladung

VMZOQMLM[[\W¾MVLMV-TMS\ZWV[OZÕ¾MZ[MQVIT[ LQM IonisierungsarbeitLM[5WTMSÛT[[QMTQMO\IJ PÃVOQO^WVLMZ)Z\LM[/I[M[JMQMQVQOMVM>,QM .WTOMVLQM[MZStoßionisation[QVLLZIUI\Q[KP",I[ MZ[\M -TMS\ZWV [M\b\ [QKP VIKP LMU ;\W¾ MZVM]\ _MQT^WU.MTLOMbWOMVQV*M_MO]VOLI[PMZI][ OM[KPTIOMVM IJMZ I]KP *MQLM SÕVVMV _QMLMZ QW VQ[QMZMV#LIVV[QVL[QM[KPWVb]^QMZ\VIKPLMU VÃKP[\MV;\W¾b]IKP\[QM^MZUMPZMV[QKPM`XTW [QWV[IZ\QO"-QVM-TMS\ZWVMVTI_QVMJZQKP\TW[,MZ ;\ZWU_ÃKP[\MV\[XZMKPMVLMQVMZM.]VS\QWVUQ\ XW[Q\Q^MU -`XWVMV\MV LQM ?ÃZUMMV\_QKST]VO \]\ LQM[ I]KP ?QZL LQM 4I_QVM VQKP\ ZMKP\bMQ\QO OMJZMU[\[WbMZ[\ÕZ\[QMLQM-TMS\ZWVMVZÕPZM ,QM 4I_QVM LMZ Gasentladung Q[\ TMQKP\ b] JZMU[MVb*LIL]ZKPLI[[UIVIT[;XIVV]VO[ Y]MTTMSMQVM*I\\MZQMJMV]\b\[WVLMZVMQVMVI]N OMTILMVMV3WVLMV[I\WZ,IVV[\MP\V]ZMQVMJM OZMVb\M MTMS\ZQ[KPM 4IL]VO MQVM JMOZMVb\M MTMS \ZQ[KPM-VMZOQMb]Z>MZNÛO]VO4Ã]N\LMZ3WVLMV [I\WZTMMZ[WJZMKPMV;XIVV]VO.MTL]VL;\W¾QW VQ[I\QWVb][IUUMV8PW\WOZIXPMVV]\bMVLQM[MV -NNMS\IT[ Elektronenblitz"-QVM/I[MV\TIL]VO[MV LM\ 4QKP\ I][# [QM MZbM]O\ IVOMZMO\M 1WVMV ]VL 5WTMSÛTMLQMQVQPZMV/Z]VLb][\IVLb]ZÛKSSMP ZMV]VLLIJMQ4QKP\MUQ\\QMZMV7 Kap. 7.5.2 5IVSIVVLQM-TMS\ZWVMVTI_QVMI]KPUQ\MQ VMU >WZ_QLMZ[\IVL JÃVLQOMV . Abb. 6.60 ;W JITLLQM-V\TIL]VObÛVLM\]VL;\ZWUãQM¾\^MZ TIVO\ LMZ ?QLMZ[\IVL MQVM ;XIVV]VO LQM MZ V]Z LMZ-V\TIL]VO[ZÕPZMMV\bQMPMVSIVV,IUQ\ZML] bQMZ\ MZ UQ\ LMU LWZ\ PMZZ[KPMVLMV MTMS\ZQ[KPMV .MTLI]KPLQMSQVM\Q[KPM-VMZOQMLQM-TMS\ZWVMV b_Q[KPMV b_MQ ;\Õ¾MV I]N[IUUMTV SÕVVMV ,QM ;\W¾QWVQ[I\QWVOMP\OMVI][W_MQ\b]ZÛKSLI[[RM LM[^WVMQVMU1WVMQVOMNIVOMVM-TMS\ZWVMZ[M\b\ _QZL ]VL VQKP\ UMPZ" ,QM /I[MV\TIL]VO JZMVV\

17

1[\LI[>IS]]UQVLMZ3I\PWLMV[\ZIPTZÕPZMVQKP\ [MPZO]\LIVVSWUU\SMQV-TMS\ZWVJQ[b]Z)VW LML]ZKPWPVM]V\MZ_MO[MQVXIIZ5ITUQ\MQVMU /I[UWTMSÛT b][IUUMVb][\W¾MV ,IJMQ SIVV M[ MQVOMNIVOMV_MZLMV_WZI]N[QKPMQVVMOI\Q^M[1WV JQTLM\ LI[ Z]VL ^QMZ BMPVMZXW\MVbMV [KP_MZMZ IT[LI[-TMS\ZWVTIVO[IUI]NLQM)VWLMb][\M]MZ\ 1[\ LI[ -TMS\ZWV JMQU ;\W¾ IJMZ [KPVMTT OMV]O LIVVSIVVM[MQVVM]M[-TMS\ZWVI][LMU5WTM SÛT PMZI][[KPTIOMV ,Ib] U][[ LQM SQVM\Q[KPM

. Abb. 6.60. Glimmlampe (Gasentladungslampe) im Dauerbetrieb; ein Schutzwiderstand verhindert Lawine und Kurzschluss (der Punkt im Schaltzeichen deutet das verdünnte Gas an)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

18 19 20

. Abb. 6.59. Relativistische Masse. Nach der Relativitätstheorie wächst die relativistische Masse m eines Körpers mit der Ruhmasse U bei steigender Geschwindigkeit v zunächst nur geringfügig, dann aber so steil an, dass keine noch so hohe und noch so lang andauernde beschleunigende Kraft den Körper über die Lichtgeschwindigkeit c bringen kann

[MQVM 5I[[M b] MZPÕPMV ]U [W LQM *M[KPTM]VQ O]VOSTMQVb]PIT\MV,I[PMQ¾\VQKP\LI[[M[I]KP LQKSMZ _QZL ]VL [KPTQM¾TQKP _ITV][[OZW¾ L]ZKP LQM /MOMVL NMO\# M[ OMP\ V]Z LIZ]U LI[[ 3ZIN\ ]VL*M[KPTM]VQO]VOVQKP\TÃVOMZb]MQVIVLMZXZW XWZ\QWVIT JTMQJMV SÕVVMV 1UUMZPQV LQM XPa[Q SITQ[KPM /ZÕ¾M i5I[[Mt Q[\ VQKP\ OIVb [W [\IJQT _QM [QM JQ[PMZ MZ[KPQMV 5IV ]V\MZ[KPMQLM\ LM[ PITJb_Q[KPMVLMZ RuhemasseUJMQSTMQVMV/M [KP_QVLQOSMQ\MV^$$K]VLLMZ relativistischen MasseU JMQ PWPMV^≤K,MVB][IUUMVPIVO bMQO\Abbildung 6.59

209

6.7 · Elektrochemie

]VLTM]KP\M\[\IJQT6IKPLQM[MU8ZQVbQXIZJMQ\MV LQM JM[KPMQLMVMV Glimmlampen 1PZ i;\ZWU^MZ JZI]KPtQ[\[WOMZQVOLI[[LQMUMQ[\MV-TMS\ZQbQ \Ã\[bÃPTMZQPVOIZVQKP\JMUMZSMV)V[XZ]KP[^WT TMZ[QVLLQMJ]V\MV:ÕPZMVLMZ4M]KP\ZMSTIUMV 1PZM.IZJMVKPIZIS\MZQ[QMZMVLI[^MZ_MVLM\M/I[" 6MWVTM]KP\M\ZW\6I\ZQ]ULIUXNOMTJ9]MKS[QT JMZLIUXNQVPMTTMU*TI]-ZMUQ\\QMZ\b][Ã\bTQKP ]V[QKP\JIZM[]T\ZI^QWTM\\M[4QKP\LI[LQM0I]\LM[ 5MV[KPMVJZÃ]VMV]VLQV[MQVMU)]OM-V\bÛV L]VOMV I][TÕ[MV SIVV Leuchtstoffröhren ÛJMZ NÛPZMVLI[]T\ZI^QWTM\\M4QKP\L]ZKP.T]WZM[bMVb QVLMV[QKP\JIZMV;XMS\ZITJMZMQKP 5Q\OÃVOQOMV.MTL[\ÃZSMVSIVVLQMJQ[PMZJM [XZWKPMVM selbständige Gasentladung V]Z JMQ MQ VMU[KP_IKPMV>IS]]U^WVMQVQOMV0MS\WXI[ KIT JZMVVMV 1[\ M[ b] O]\ ]V\MZJTMQJ\ LQM -V\TI L]VO_MQTLQM-TMS\ZWVMVb]_MVQOM;\W¾XIZ\VMZ \ZMNNMV# Q[\ M[ b] [KPTMKP\[W[\W¾MVLQM-TMS\ZW VMVJMZMQ\[MPM[QMLQMb]Z1WVQ[I\QWVVW\_MVLQOM SQVM\Q[KPM-VMZOQMIV[IUUMTVSWVV\MV5Q\/M _IT\OMP\M[VI\ÛZTQKPQUUMZ"1VBQUUMZT]N\KI P8I ]VL + SWUU\ M[ JMQ LMZ Durchbruchsfeldstärke^WVM\_I5>Ub]Z-V\TIL]VO ;\MQOMZ\UIVLQM<MUXMZI\]Z[W_QZLMQVQUUMZ OZÕ¾MZMZ <MQT LMZ 1WVQ[I\QWV[MVMZOQM \PMZUQ[KP OMTQMNMZ\# LI[ MZTMQKP\MZ\ LQM ;\W¾QWVQ[I\QWV )]N LQM[MU?MOMSIVVUIVQV4]N\MQVMV Lichtbogen JZMVVMVTI[[MVM\_Ib_Q[KPMVb_MQ3WPTM[\ÃJMV [QM [KPUMTbMV VQKP\" ,QM *WOMVMV\TIL]VO ^MZ PMQb\OMVÛOMVL4MQ[\]VOI]NPQVZMQKPMVLSTMQVMU :I]U*WOMVTIUXMVTM]KP\MVJTMVLMVLPMTT;QM JZI]KPMV IJMZ MQVMV >WZ_QLMZ[\IVL WLMZ M\_I[ IVLMZM[LI[LMV;\ZWUJMOZMVb\ Merke Selbständige Gasentladung: Freie Elektronen lösen durch Stoßionisation eine Elektronenlawine aus. Strombegrenzung ist erforderlich.

?MVV/I[LQKP\M]VL.MTL[\ÃZSMMQVM;\W¾QWVQ[I\Q WVVQKP\UMPZMZTI]JMVJTMQJMVNZMQM-TMS\ZWVMV VQKP\TIVOMNZMQ#[QM_MZLMVMQVOMNIVOMVb]UMQ[\ ^WVVM]\ZITMV5WTMSÛTMV?]ZLMVLQM-TMS\ZWVMV b]^WZ ^WV VM]\ZITMV 5WTMSÛTMV IJOM[XIT\MV [W JQTLMV[QKPRM\b\1WVMVXIIZM)]KP[QM^MZ[KP_QV LMVQVLMU[QMLQMI][OM\I][KP\MV-TMS\ZWVMV_QM

6

LMZb]ZÛKS\I][KPMV,Ib]UÛ[[MV[QM[QKPRMLWKP MZ[\ MQVUIT \ZMNNMV# QPZM Rekombination JZI]KP\ BMQ\,I[UIKP\IJMZMQVMunselbständige GasentladungUÕOTQKP]V[MTJ[\ÃVLQO_MQT[QMMQVMVÃ]¾M ZMV8ZWbM[[JZI]KP\LMZ[\ÃVLQO1WVMVXIIZMJQTLM\ ]VLOMOMVLQM:MSWUJQVI\QWVI]N[\I\QWVÃZMZ)V bIPTPÃT\,Ib]OMVÛO\[KPWVLQMKPMUQ[KPM7`Q LI\QWVQVMQVMZ.TIUUM";\MTT\UIVMQVMJZMVVMV LM3MZbMb_Q[KPMVLQM8TI\\MVMQVM[PQVZMQKPMVL OZW¾MV4]N\SWVLMV[I\WZ[[WJZQKP\LM[[MV;XIV V]VO [WNWZ\ b][IUUMV [WNMZV LQM ;XIVV]VO[ Y]MTTMIJOMSTMUU\_WZLMV_IZ Merke Unselbständige Gasentladung: Ionen werden durch hohe Temperatur, chemische Reaktion, ionisierende Strahlung usw. erzeugt.

6.7

Elektrochemie

6.7.1 Dissoziation

4]N\ Q[\ MQV 1[WTI\WZ ,QM QWVQ[QMZMVLM ;\ZIPT]VO I][LMZ=U_MT\JZQVO\QPZSMQVM_M[MV\TQKPM4MQ\ NÃPQOSMQ\ :MQVM[ ?I[[MZ Q[WTQMZ\ MJMVNITT[ _MVV I]KP JMQ _MQ\MU VQKP\ [W O]\ 5Q\ [MQVMU [XMbQ â[KPMV ?QLMZ[\IVL QV LMZ /ZÕ¾MVWZLV]VO 5M OIWPU [\MP\ M[ IV LMZ /ZMVbM b_Q[KPMV 4MQ\MZV ]VL1[WTI\WZMV7 Kap. 6.4.2-[Q[\IJMZOIZVQKP\ MQVNIKP?I[[MZZMQVLIZb][\MTTMV]VLZMQVb]MZ PIT\MV1V3WV\IS\UQ\4]N\VQUU\M[MQVQOM/I[ UWTMSÛTM I]N 0MVZa,IT\WV/M[M\b 4]N\ JM [\MP\QU?M[MV\TQKPMVI][;\QKS[\WNNLZMQ>QMZ\MT ]VL ;I]MZ[\WNN MQV .ÛVN\MT *MQLM _QZSMV [QKP I]NLQM4MQ\NÃPQOSMQ\LM[?I[[MZ[VQKP\VMVVMV[ _MZ\I][_WPTIJMZMQVM[LMZ;X]ZMVOI[MWJ_WPT M[V]ZUQ\ ^MZ\ZM\MVQ[\"3WPTMVLQW`QL-QVQ OMLMZOMTÕ[\MV+75WTMSÛTMTIOMZVMQV07IV ]VLJQTLMVLIUQ\3WPTMV[Ã]ZM0+7,MZMV5W TMSÛTMbMZNITTMVIJMZ[WNWZ\QVb_MQXW[Q\Q^OMTILM VM?I[[MZ[\WNâWVMV0]VLMQVLWXXMT\VMOI\Q^ w OMTILMVM[+IZJWVI\1WV 2MLM[01WVTIOMZ\ [WNWZ\MQV075WTMSÛTIV]VLJQTLM\MQV07 1WV,I[PI\IJMZV]ZQV;WVLMZNÃTTMV*MLM]\]VO _M[PITJUIVZ]PQO_MQ\MZ^WVXW[Q\Q^OMTILMVMV ?I[[MZ[\WNâWVMV[XZQKP\

210

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

-QVMVLMZIZ\QOMVBMZNITTMQVM[5WTMSÛT[QVMQ VQOM*M[\IVL\MQTMw[QMUÛ[[MVVQKP\MTMS\ZQ[KPOM TILMV[MQVwJMbMQKPVM\UIVIT[ Dissoziation,MZ >WZOIVO TÃ]N\ I]KP ]UOMSMPZ\# LQM *M[\IVL\MQTM SÕVVMV_QMLMZb]U5WTMSÛTZMSWUJQVQMZMVB_Q [KPMV,Q[[WbQI\QWV]VL:MSWUJQVI\QWV[\MTT\[QKP MQV /TMQKPOM_QKP\ MQV ]VL JM[\QUU\ LMV 9]W\Q MV\MV I][ )VbIPTMV )VbIPTLQKP\MV WLMZ ;\WNN UMVOMVLQKP\MV IT[W S]Zb LMV 3WVbMV\ZI\QWVMV K,LMZLQ[[WbQQMZ\MV]VLKLMZ]Z[XZÛVOTQKP^WZ PIVLMVMV5WTMSÛTM-ZPMQ¾\ K, Dissoziationsgrad`,%4 K ]VLQ[\MQVMLQUMV[QWV[TW[MBIPTb_Q[KPMV]VL SMQVM Jb_ ^WTT[\ÃVLQOM ,Q[[WbQI\QWV 5WTM SÛTM_MZLMVL]ZKP*QVL]VO[MVMZOQMb][IUUMV OMPIT\MV# NÛZ LQM ,Q[[WbQI\QWV U][[ LM[PITJ MQ VM ,Q[[WbQI\QWV[MVMZOQM I]NOMJZIKP\ _MZLMV ;QM MV\[\IUU\VWZUITMZ_MQ[MLMZ\PMZUQ[KPMV-VMZ OQM",MZ,Q[[WbQI\QWV[OZIL[\MQO\UQ\_IKP[MVLMZ <MUXMZI\]Z WN\UIT[ NZMQTQKP SI]U MZSMVVJIZ _MVVVÃUTQKP`,LQM-QV[NI[\[KPWVMZZMQKP\PI\ Merke Den Zerfall eines Moleküls in Bestandteile bezeichnet man als Dissoziation, den entgegengesetzten Vorgang als Rekombination. Die Bestandteile können Ionen sein, müssen es aber nicht. K, Dissoziationsgrad `,%4. K

,IPQV\MZ [\MKS\ LI[ Massenwirkungsgesetz. 2MLM[ 4MPZJ]KPLMZ+PMUQMJMPIVLMT\M[I][NÛPZTQKP.ÛZ MQV5WTMSÛT)*LI[[QKPI][LMV*M[\IVL\MQTMV) ]VL*b][IUUMV[M\b\]VLQV[QMbMZNÃTT\JM[IO\M[

17 18 19 20

PQMZ JMLM]\M\ K)* LQM 3WVbMV\ZI\QWV LMZ ]VLQ[[WbQQMZ\ OMJTQMJMVMV 5WTMSÛTM IT[W VQKP\ LQM 3WVbMV\ZI\QWV K LMZ ]Z[XZÛVOTQKP ^WZPIV LMVMV LQM QU 6MVVMZ LM[ ,Q[[WbQI\QWV[OZILM[ [\MP\,QM\MUXMZI\]ZIJPÃVOQOMMassenwirkungskonstante3<Q[\MQVM3MVVOZÕ¾MLMZBMZNITT[ ]VL:MSWUJQVI\QWV[:MIS\QWV

-QV5WTMSÛT3WPTMV[Ã]ZM[XIT\M\b_MQXW[Q\Q^M ?I[[MZ[\WNâWVMV IJ# LINÛZ \ZÃO\ LI[ +IZJWVI\ 1WVb_MQVMOI\Q^M-TMUMV\IZTIL]VOMV,QM;\WNN UMVOMVLQKP\MV 5WTIZQ\Ã\MVKV ]V\MZ[KPMQLMV [QKPIT[W]UMQVMV.IS\WZ" KV0%KV+7w .ÛZ LQM ,QKP\MV LMZ -TMUMV\IZTIL]VOMV OQT\ LI[ VQKP\ LMVV LQM -TMS\ZWVM]\ZITQ\Ã\ JTMQJ\ JMQ LMZ,Q[[WbQI\QWV[MTJ[\^MZ[\ÃVLTQKPOM_IPZ\,M[ PITJ [XZQKP\ UIV b]_MQTMV VMJMV LMZ 5WTIZQ\Ã\ MQVMZ 4Õ[]VO I]KP ^WV QPZMZ Normalität JMQ LMZ LWXXMT\OMTILMVMIT[Wb_MQ_MZ\QOM1WVMVLWXXMT\ bÃPTMVLZMQ_MZ\QOMLZMQNIKP][_ *MQ?I[[MZ\ZQ\\LQM[M3WUXTQSI\QWVVQKP\I]N# M[ LQ[[WbQQMZ\ QV 01WVMV ]VL 70w1WVMV JMQLM MQV_MZ\QOJMQLMMQVNIKPOMTILMV,QMPWPM:M[Q[\Q ^Q\Ã\Q[\.WTOMMQVM[OMZQVOMV,Q[[WbQI\QWV[OZILM[" `,07≈!w!JMQ+1VMQVMU[WTKPMV.ITT TÃ[[\[QKPLI[5I[[MV_QZS]VO[OM[M\b^MZMQVNIKPMV _MQTLM[[MV6MVVMZLQM3WVbMV\ZI\QWVLMZ]VLQ[ [WbQQMZ\MV5WTMSÛTMXZIS\Q[KPSWV[\IV\JTMQJ\]VL LIZ]U QV LQM 5I[[MV_QZS]VO[SWV[\IV\M PQVMQV U]T\QXTQbQMZ\ _MZLMV SIVV" 3<%K3< .ÛZ ?I[[MZJMQBQUUMZ\MUXMZI\]ZSWUU\ UWT KV0KV70w≈w 61 T PMZI][IT[W UWT KV0%KV70w≈w61 T

1V iVM]\ZITMUt ?I[[MZ TQMOMV LQM ;\WNNUMV OMVLQKP\MV JMQLMZ 1WVMV[WZ\MV JMQ bQMUTQKP OM VI] w UWTT" iX0t )T[ pH-Wert JMbMQKPVM\ UIVLMVVMOI\Q^MVLMSILQ[KPMV-`XWVMV\MVLMZ 5I¾bIPTLMZ?I[[MZ[\WNâWVMVSWVbMV\ZI\QWVb]Z -QVPMQ\5WT4Q\MZ 1VMQVMZ.TÛ[[QOSMQ\SÕVVMVUMPZMZM5I[[MV _QZS]VO[OM[M\bM OTMQKPbMQ\QO OMT\MV 4Õ[\ UIV £\bVI\ZWV6I70QV?I[[MZ[WLQ[[WbQQMZ\M[VIKP [MQVMU MQOMVMV 5I[[MV_QZS]VO[OM[M\b ^WTT[\ÃV LQOQV6I]VL70w1WVMV,IUQ\OZMQN\M[IJMZQV LI[5I[[MV_QZS]VO[OM[M\bLMZ?I[[MZLQ[[WbQI\Q WVMQV?MVVKV70w[\MQO\b*I]NwUWTT OMP\KV0b]ZÛKSQU*MQ[XQMTI]Nw!UWTT"X0 !LQM4Õ[]VOQ[\MQVM4I]OM=UOMSMPZ\LQ[[WbQ QMZ\0+TQV0]VL+TwMZPÕP\IT[WKV0I]NJMQ [XQMT[_MQ[M w UWTT ]VL LZÃVO\ LMUMV\[XZM

211

6.7 · Elektrochemie

KPMVL KV70w I]N w UWTT b]ZÛKS" X0 LQM 4Õ[]VOZMIOQMZ\[I]MZ Merke pH-Wert: negativer dekadischer Logarithmus der Wasserstofﬁonenkonzentration KV0 in mol/l; pH < 7: sauer, KV0 groß, pH = 7: neutral, KV0 = 10–7 mol/l, pH > 7: alkalisch, KV0 klein.

6.7.2 Elektrolyte

!

6

,QM[M.WZUMTJMZÛKS[QKP\QO\LI[[^MZ[KPQMLM VM1WVMV[WZ\MVL]ZKPLQM4I]NbIPTQOMSMVVbMQKP VM\ ]V\MZ[KPQMLTQKPM *M_MOTQKPSMQ\MV ] ]V\MZ [KPQMLTQKPM)VbIPTLQKP\MVV]VL]V\MZ[KPQMLTQKPM 4IL]VOMVYPIJMVSÕVVMVwLQMWertigkeitbMV\ [XZQKP\LMZ)VbIPTLMZ-TMUMV\IZTIL]VOMVMQVM[ 1WV[]VIJPÃVOQO^WU>WZbMQKPMV"Y%bM,I[ ]TQMO\_MQ\]V\MZLMULMZ-TMS\ZWVMVQU5M\ITT ]VL[\MQO\UQ\LMZ<MUXMZI\]Z>WU5WLMTTPMZ Q[\ LI[ ^MZ[\ÃVLTQKP" 1WVMV [QVL _MQ\ LQKSMZ IT[ -TMS\ZWVMV [QM [KP_QUUMV _QM .ZMULSÕZXMZ QV MQVMU5MLQ]ULM[[MVBÃPQOSMQ\UQ\_IKP[MVLMZ <MUXMZI\]ZIJVQUU\

1WVMVQU?I[[MZNWTOMVMQVMU^WVI]¾MVIVOM TMO\MV .MTL ÃPVTQKP _QM -TMS\ZWVMV QU ,ZIP\ Merke *MQLM UÛ[[MV [QKP b_Q[KPMV VM]\ZITMV 5WTMSÛ TMVPQVL]ZKPLZÃVOMTVJM_MOMV[QKPIT[W_QM]V Anionen laufen zur Anode, sind also negativ \MZ[\IZSMZ:MQJ]VO.WTOTQKPLZQN\MVI]KPLQM1W geladen; VMVUQ\SWV[\IV\MZb]Z.MTL[\ÃZSMXZWXWZ\QWVI Kationen laufen zur Kathode, sind also positiv TMZ/M[KP_QVLQOSMQ\[WLI[[[QKPNÛZ[QMMJMVNITT[ geladen. MQVM Beweglichkeit LMâVQMZMV TÃ[[\ ;QM JMSWUU\ UMQ[\LMV*]KP[\IJMV][\I\\LM[JMQ-TMS\ZWVMV ÛJTQKPMV ,QM 1WVMV UIKPMV QPZM ?QZ\[ãÛ[[QO ,QMMTMS\ZWTa\Q[KPM4MQ\]VOL]ZKP1WVMVQ[\QUUMZ SMQ\ b]U Elektrolyten [QM OMJMV QPU MQVM MTMS UQ\MQVMU5I\MZQM\ZIV[XWZ\^MZJ]VLMV5IVSIVV ]VUQ\\MTJIZb][MPMV_QMLQMVMOI\Q^MV5V71W \ZQ[KPMMQVMelektrolytische Leitfähigkeit VMV LM[ 3ITQ]UXMZUIVOIVI\[ QU .MTL TI]NMV Merke 0QMZb][M\b\UIVMQVMM\_IUULQKSM?I[[MZ TIUMTTMb_Q[KPMVb_MQ/TI[XTI\\MVLQMIVLMV-V Elektrolytische Leitung: Stromtransport durch LMVL]ZKPb_MQ[KPUITM;\ZMQNMV.TQM¾XIXQMZI]N Ionen. )J[\IVL OMPIT\MV _MZLMV ,WZ\ [Q\bMV I]KP LQM -TMS\ZWLMV LQM IV MQVM *I\\MZQM IVOM[KPTW[[MV 1WVMVOQJ\M[QV^QMTMZTMQ)Z\MV]VLUQ\JMQLMZTMQ [QVLWZbMQKPMV,QMXW[Q\Q^MV1WVMVTI]NMVb]Z3I\PW UQ\ 8MZUIVOIVI\TÕ[]VO [W _IVLMZ\ I][ QPU MQ LM]VLPMQ¾MVLIZ]UKationenLQMVMOI\Q^MVTI] VM^QWTM\\M?WTSMUQ\OMZILMZ.ZWV\QVLI[STIZM NMV b]Z )VWLM ]VL PMQ¾MV LIZ]U Anionen ,QM[ ?I[[MZ [WNMZV MZ 3I\PWLM Q[\ . Abb. 6.61 ,QM Q[\MPZ_ÛZLQOMZKPMUQ[KPMZ;XZIKPOMJZI]KP#LMZ ?WTSMUIKP\SMPZ\_MVVUIVLQM;XIVV]VO]U 8Pa[QSMZU][[[QKPUMZSMVLI[[MZPQMZUQ\LMZ XWT\,I[5IZ[KPSWUUIVLWLM[MTMS\ZQ[KPMV.MT >WZ[QTJM SI\ VQKP\ [W WPVM _MQ\MZM[ LI[ VMOI\Q LM[JZMQ\M\[QKPUQ\4QKP\OM[KP_QVLQOSMQ\I][LQM ^M >WZbMQKPMV LMZ 3I\PWLM ^MZJQVLMV LIZN ,MZ 5IZ[KPSWTWVVM LMZ 1WVMV OMPWZKP\ UWUMV\IV ;\ZWU\ZIV[XWZ\SIVV^WV3I\QWVMV]VL)VQWVMV IJMZLQM5IZ[KPOM[KP_QVLQOSMQ\JTMQJ\[WOMZQVO QVOTMQKPMZ?MQ[MÛJMZVWUUMV_MZLMV",QMSWV LI[[UIV[QMTMQKP\UQ\4QVMIT]VL;\WXX]PZJM ^MV\QWVMTTM;\ZWUZQKP\]VONZIO\VQKP\WJVMOI\Q^M [\QUUMVSIVV;WTÃ[[\[QKP_MVQO[\MV[JMQiJ]V 4IL]VO[\ZÃOMZ QPZ MV\OMOMV WLMZ XW[Q\Q^M b] QPZ \MVt 1WVMV LQM *M_MOTQKPSMQ\ TMQKP\ MZUQ\\MTV XIZITTMTTI]NMV)TTM1WVMV[WZ\MVILLQMZMVOZ]VL 3MVV\UIV[QM[WSIVVUIV[QMI]KPb]ZY]ITQ\I [Ã\bTQKPQPZM*MQ\ZÃOMb]ZMTMS\ZWTa\Q[KPMV4MQ\NÃ \Q^MV KPMUQ[KPMV )VITa[M PMZIVbQMPMV w JMTQMJ PQOSMQ\" \M[>MZNIPZMVQVUIVKPMV*MZMQKPMVLMZWZOIVQ

212

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1 2 3 4 5 6

. Abb. 6.62. Elektrolyse. Elektrolytische Abscheidung von Silber aus wässriger Lösung von Silbernitrat. Ag+-Ionen gehen bei der Anode in Lösung und werden an der Kathode abgeschieden, während die entsprechende Ladung als Elektronenstrom durch den Metalldraht ﬂießt

7 8 9 10 11 12 13 14 15

. Abb. 6.61. Ionenwanderung, schematisch (Einzelheiten im Text)

[KPMV+PMUQMElektrophorese5IV\ZÃVS\MQVMV TIVOMV ;\ZMQNMV .TQM¾XIXQMZ UQ\ MQVMU VM]\ZITMV -TMS\ZWTa\MV UIT\ QPU Y]MZ MQVMV ;\ZQKP LMZ b] ]V\MZ[]KPMVLMV.TÛ[[QOSMQ\I]N]VLTMO\MQVMTMS \ZQ[KPM[ .MTL IV ,QM J]V\MV 1WVMV UIZ[KPQMZMV IJ ]VL [QVL VIKP MQVQOMZ BMQ\ QPZMV *M_MOTQKP SMQ\MVMV\[XZMKPMVLUMPZWLMZ_MVQOMZ_MQ\OM SWUUMV1VIVITWOMU>MZNIPZMVSÕVVMVLQ[[WbQ QMZMVLM 5MLQSIUMV\M UQ\ MTMS\ZQ[KPMV .MTLMZV L]ZKPLQM0I]\MQVM[8I\QMV\MV\ZIV[XWZ\QMZ\_MZ LMVIonophorese Merke Elektrolytische Leitung ist mit dem Transport chemischer Stoffe verbunden.

16 17 18 19 20

6]Z[MT\MVJM[\MP\MQV;\ZWUSZMQ[ITTMQVI][-TMS \ZWTa\MV# NI[\ QUUMZ [QVL 5M[[QV[\Z]UMV\M ?Q LMZ[\ÃVLM ]VL 3IJMT [QVL UM\ITTQ[KPM 4MQ\MZ UQ\QU;XQMT,I[MZNWZLMZ\-TMS\ZWLMVIVLMZMV 7JMZãÃKPM LMZ 4MQ\]VO[UMKPIVQ[U][ _MKP[MT\" ,QM Y]I[QNZMQMV -TMS\ZWVMV LM[ 5M\ITT[ UÛ[[MV I]N1WVMV]U[\MQOMV]VL]UOMSMPZ\,IUQ\[QVL ITTMUITMTMS\ZWKPMUQ[KPM8ZWbM[[M^MZJ]VLMVQV [KPQMZ]VÛJMZ[KPI]JIZMZ>QMTNIT\ -QV JM[WVLMZ[ MQVNIKPM[ *MQ[XQMT TQMNMZV b_MQ ;QTJMZMTMS\ZWLMV QV MQVMZ _Ã[[ZQOMV 4Õ[]VO ^WV

)O67;QTJMZVQ\ZI\#M[LQ[[WbQQMZ\XZIS\Q[KP^WTT [\ÃVLQO QV )O ]VL 67w 1U -VLMNNMS\ TÃ]N\ LMZ ;\ZWU\ZIV[XWZ\ [W IJ IT[ _MZLM MZ V]Z ^WV LMV )O1WVMV OM\ZIOMV . Abb. 6.62 >WZPIVLMV [QVL [QM I]KP QU 5M\ITT LMZ -TMS\ZWLMV# JMQ LMZ )VWLMSÕVVMV[QMLMV3ZQ[\ITT^MZJIVL^MZTI[[MV ]VL QV LMV -TMS\ZWTa\MV PQVMQV[KP_QUUMV ;QM _MZLMVLIb]^WVLMZ;XIVV]VO[Y]MTTMMZU]\QO\ LQMRILMZ)VWLM-TMS\ZWVMVMV\bQMP\[WLI[[LQM[M ^MZ[]KPMV U][[ I]KP XW[Q\Q^M 4IL]VOMV TW[b] _MZLMV=UOMSMPZ\[KPTQM¾MV[QKP)O1WVMVLMZ 4Õ[]VOLMU3ZQ[\ITTOQ\\MZLMZ3I\PWLMIV_MQT[QM PQMZ^WV-TMS\ZWVMVMZ_IZ\M\_MZLMVLQMLMZ4MQ \]VO[[\ZWUQU,ZIP\QVb_Q[KPMVIVOMTQMNMZ\PI\ -TMS\ZWVM]\ZITQ\Ã\ QU -TMS\ZWTa\MV U][[ OM _IPZ\ JTMQJMV" ,QM )VbIPTMV OMTÕ[\MZ )VQWVMV 67w ]VL OMTÕ[\MZ 3I\QWVMV )O ÃVLMZV [QKP QV[WNMZVVQKP\IT[NÛZRMLM[;QTJMZQWVLI[IVLMZ )VWLMQV4Õ[]VOOMP\MQVIVLMZM[IVLMZ3I\PW LMIJOM[KPQMLMV_QZL,Ib]TÃ]N\MQVM-TMUMV\IZ TIL]VOL]ZKPLMV,ZIP\,I[-`XMZQUMV\JM[\Ã \QO\ LQM -Z_IZ\]VO LM[ 5WLMTT[" -[ JM[\MP\ MQVM [\ZMVOM8ZWXWZ\QWVITQ\Ã\b_Q[KPMVLMZ5I[[MΔU LM[MTMS\ZWTa\Q[KPIJOM[KPQMLMVMV;QTJMZ[]VLLMZ ^WU -TMS\ZWVMV[\ZWU \ZIV[XWZ\QMZ\MV 4IL]VO Δ9)U
213

6.8 · Grenzﬂächen

-[ Q[\ IT[W VQKP\ [KP_MZ LQM )\WUUI[[M U5 MTMS\ZWTa\Q[KP b] JM[\QUUMV ]VL LIVIKP L]ZKP ,Q^Q[QWVUQ\LMZ)^WOILZW3WV[\IV\MV6)LQMUW TIZM 5I[[M 5 I][b]ZMKPVMV ?MZ [QKP V]Z NÛZ 5 QV\MZM[[QMZ\SIVV^WV^WZVPMZMQV[\WNNUMVOMVJM bWOMVZMKPVMV]VL[\I\\LMZ-TMUMV\IZTIL]VOLQM + UWT

Faraday-Konstante .%6)M%! 61

^MZ_MVLMV" ΔU 5%b.61 Δ9 0QV\MZLQM[MV»JMZTMO]VOMV[\MPMVLQMJMQLMV Faraday-Gesetze ,I[ MZ[\M JM[IO\" ,QM IJOM[KPQM

LMVM5I[[MQ[\b]Z\ZIV[XWZ\QMZ\MV4IL]VOXZWXWZ \QWVIT#LI[b_MQ\M",QMIJOM[KPQMLMVM5I[[MQ[\b]Z UWTIZMV5I[[MLMZ4IL]VO[\ZÃOMZXZWXWZ\QWVIT 3Wenn man es genau nimmt, kommen für mM und M Mittelwerte heraus, weil die beteiligten Ionen ein und derselben Art nicht unbedingt gleiche Massen haben müssen; an ihnen können verschiedene Isotope eines chemischen Elements beteiligt sein (s. hierzu 7 Kap. 8.2.2).

Merke 1. Faraday-Gesetz: Δm proportional ΔQ, 2. Faraday-Gesetz: Δm proportional M, Δm = elektrolytisch transportierte Masse, ΔQ = elektrisch transportierte Ladung, M = molare Masse der Ionen.

6]Z[MT\MVTQMOMVLQM>MZPÃT\VQ[[M[WMQVNIKP_QM JMQU;QTJMZVQ\ZI\_WMQV_MZ\QOM5M\ITTQWVMVWP VM MZV[\PIN\M ;KP_QMZQOSMQ\MV JMQ LMZ )VWLM QV 4Õ[]VOOMPMV]VLJMQLMZ3I\PWLMIJOM[KPQMLMV _MZLMV1U)TTOMUMQVMVSWUU\M[IVLMV-TMS \ZWLMVb]UMPZWLMZ_MVQOMZSWUXTQbQMZ\MVKPM UQ[KPMV :MIS\QWVMV ,QM elektrolytische Zersetzung ZMQVMV ?I[[MZ[ N]VS\QWVQMZ\ _MOMV LM[[MV OMZQVOMZ 4MQ\NÃPQOSMQ\ σ V]Z [MPZ TIVO[IU ;M\b\ UIV 6I+T IT[ Leitsalz b] [W [\MQO\ σ# LMZ ;\ZWU _QZLIJMZVQKP\^WVLMV0]VL70w1WVMVLM[ ?I[[MZ[OM\ZIOMV[WVLMZV^WVLMVMVLM[4MQ\[IT bM[
6

b_IZLMZ.WZUMT07MV\[XZMKPMVLQU;\WNNUMV OMV]VL>WT]UMV^MZPÃT\VQ[",QM[b]MZSTÃZMV Q[\;IKPMLMZ+PMUQM

6.8

Grenzﬂächen

6.8.1 Membranspannung

,QM5MUJZIVLMZZW\MV*T]\SÕZXMZKPMVQ[\[MTMS \Q^XMZUMIJMT";QMTÃ[[\LQM5WTMSÛTMLM[?I[[MZ[ PQVL]ZKP PÃT\ IJMZ JMQLM 1WVMV[WZ\MV LM[ 6I+T b]ZÛKS ;QVL LQM .TÛ[[QOSMQ\MV I]N QPZMV JMQLMV ;MQ\MVVQKP\Q[W\WVQ[KP[WLQNN]VLQMZ\LI[?I[[MZ [MQVMUMQOMVMV3WVbMV\ZI\QWV[OMNÃTTMVIKPQVLQM SWVbMV\ZQMZ\MZM 4Õ[]VO PQVMQV JI]\ LWZ\ MQVMV W[UW\Q[KPMV »JMZLZ]KS ΔXW[U I]N ]VL JZMU[\ LIUQ\[MQVMV,QNN][QWV[[\ZWU7 Kap. 5.3.5 ,MUOMOMVÛJMZQ[\LQM5MUJZIVLQMMQVM6MZ ^MVNI[MZ]UPÛTT\iQWVMV[MV[Q\Q^t";QMTÃ[[\LQMMQ VM1WVMV[WZ\MPQVL]ZKP]VLLQMUQ\LMUIVLMZMV >WZbMQKPMV VQKP\ ?QMLMZ LQNN]VLQMZMV LQM <MQT KPMVLQMM[SÕVVMVQPZMU3WVbMV\ZI\QWV[OMNÃTTM VIKP#LQM[UIT\ZIOMV[QMIJMZMTMS\ZQ[KPM4IL]VO ]VL JI]MV UQ\ QPZ MQVM Membranspannung =5 I]NLQMRM\b\LQM,QNN][QWVJZMU[\.ZMQTQKPSIVV LQM 5MUJZIV LMZ 6MZ^MVNI[MZ VWKP ^QMT UMPZ" ;QM ]V\MZ[KPMQLM\ b* 31WVMV ]VL 6I1WVMV \ZW\bOTMQKPMZ4IL]VO#[QMSIVV[WOIZIS\Q^iX]U XMVtLP]V\MZ-VMZOQMI]N_IVL1WVMVOMOMVLM ZMV 3WVbMV\ZI\QWV[OMNÃTTM I]N QPZM IVLMZM ;MQ\M JZQVOMV]VL[W]V\MZ[KPQMLTQKPM3WVbMV\ZI\QWVMV I]NJI]MVw]VL[QMSIVVITTMLQM[M.ÃPQOSMQ\MVI]N 3WUUIVLWS]ZbNZQ[\QO]VL^WZÛJMZOMPMVL[WÃV LMZV _QM LI[ NÛZ LMV QMTNIT\ LQM .WZ[KP]VO VWKP NÛZ TÃVOMZM BMQ\ JM[KPÃN\QOMV _MZLMV?MZV]ZLQM5MUJZIV[XIVV]VO[\]LQM ZMV_QTTPÃT\[QKPLIZ]UJM[[MZIVMQVMLMZ\MKP VQ[KPPMZOM[\MTT\MVTMJTW[MV5MUJZIVMVLQMLMZ .IKPPIVLMTQVITTMZTMQ>IZQIV\MVJMZMQ\PÃT\ -QVM [WTKPM ionenselektiv permeable 5MUJ ZIVTÃ[[\^WVMQVMZ3WKP[ITbTÕ[]VOLQMXW[Q\Q^MV 6I\ZQ]UQWVMVPQVL]ZKPVQKP\IJMZLQMVMOI\Q^MV +PTWZQWVMV ,QM QU 3WVbMV\ZI\QWV[OMNÃTTM ^WZ

214

1 2 3 4 5 6 7

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

OMXZM[KP\MV 6I1WVMV [IUUMTV [QKP QV LÛVVMZ ;KPQKP\ PQV\MZ LMZ 5MUJZIV NM[\OMPIT\MV ^WV LMV+W]TWUJ3ZÃN\MVLMZ+Tw1WVMVLQM[QKPVW\ OMLZ]VOMV ^WZ LMZ 5MUJZIV [IUUMTV UÛ[[MV ,QM;Q\]I\QWVÃPVMT\LMZMQVM[OMTILMVMV8TI\\MV SWVLMV[I\WZ[ ?QMLI[ΔXLMZ7[UW[MQ[\I]KPLQM5MUJZIV [XIVV]VO =5 MQVM .WTOM LMZ [MTMS\Q^MV 8MZUMI JQTQ\Ã\ LMZ 5MUJZIV ]VL LMZ ]V\MZ[KPQMLTQKPMV 3WVbMV\ZI\QWVMVQVLMV4Õ[]VOMVI]NQPZMVJMQ LMV ;MQ\MV 5IV [XZQKP\ LM[PITJ I]KP ^WU Konzentrationspotential=5)TTMZLQVO[PÃVO\M[VQKP\ _QMΔX^WVLMZ3WVbMV\ZI\QWV[LQNNMZMVbIJ[WV LMZV^WU3WVbMV\ZI\QWV[^MZPÃT\VQ[OMVI]MZ"^WV LM[[MV 4WOIZQ\PU][ ,QM[ JM[IO\ LQM Nernst-Formel:

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

,QM[M;KPZMQJ_MQ[MTQMNMZ\V]ZLMV*M\ZIOLMZ 5MUJZIV[XIVV]VO#LI[>WZbMQKPMVÛJMZTMO\UIV [QKPTMQKP\")]N_MTKPMZ;MQ\MLMZ5MUJZIV[IU UMTV[QKP_MTKPM1WVMV',ILQM.WZUMTV]ZVIKP LMU>MZPÃT\VQ[LMZ3WVbMV\ZI\QWVMVNZIO\[XQMT\ M[ SMQVM :WTTM WJ UIV )VbIPT ;\WNNUMVOMV WLMZ5I[[MVLQKP\MVMQV[M\b\ >MZ_]VLMZVUIOI]KPLI[[LQM1WVMVTIL]VO WPVMLQMM[SMQVM5MUJZIV[XIVV]VOOÃJM]V\MZ LMU *Z]KP[\ZQKP MZ[KPMQV\# LWXXMT\ OMTILMVM 1W VMVTQMNMZV_MVV[QM^WVLMZ5MUJZIVL]ZKPOM TI[[MV_MZLMVV]ZLQMPITJM5MUJZIV[XIVV]VO ?MZ[QKPIVLQMVÕ\QOM5I\PMUI\QSPMZIV\ZI]\MZ SMVV\LI[[M[IVLMZ[OIZVQKP\[MQVSIVV 3Quer zur Membran (Ortskoordinate x, Dicke d) existiert für die Ionen, die durchgelassen werden, ein Konzentrationsgefälle LKL` – weil es nur um den Betrag von ΔU gehen soll, braucht sich die Rechnung um Vorzeichen nicht zu kümmern. Zum Gefälle gehört die Diffusionsstromdichte LK R,%,5 L` (7 Kap. 5.3.4). Sie ist eine Teilchenstromdichte mit der Einheit m–2 · s–1 und soll im Gleichgewicht kompensiert werden von der elektrisch erzeugten Teilchenstromdichte L= R-%]K`-%]K`5 L`

(zu der die elektrische Stromdichte R- b M) gehört, weil jedes Teilchen die Ladung b M trägt (s. auch 7 Kap. 6.7.2). Gleichsetzen und Auﬂösen nach dU führt zu

Man erhält U durch Integration über die Dicke der Membran, auf deren beiden Seiten die Teilchendichten K und K herrschen:

Hinter dem letzten Gleichheitszeichen steht reine Mathematik; ganz allgemein führt die Integration über ` zu TV`. Diffusionskonstante D und Beweglichkeit u sind eng miteinander verwandt; generell gilt ,]%S<bM, was hier nicht ausführlich nachgewiesen werden soll. Setzt man dies ein, so bekommt man die Nernst-Formel.

-[ UIKP\ M\_I[ 5ÛPM LMV .IS\WZ :<b. I][
2M BMPVMZXW\MVb RM ,MSILM QU 3WVbMV\ZI\Q WV[^MZPÃT\VQ[ TQMNMZV MQV_MZ\QOM 1WVMV JMQ BQU UMZ\MUXMZI\]Z ]VOMNÃPZ !U> 5MUJZIV[XIV V]VO:MITM`Q[\QMZMVLM5MUJZIVMVTQMNMZVUMQ[\ MQV XIIZ 5QTTQ^WT\ _MVQOMZ )V LMV 4WOIZQ\PU][ U][[UIV[QKPOM_ÕPVMV"-QVM>MZbMPVNIKP]VO LM[ 3WVbMV\ZI\QWV[^MZPÃT\VQ[[M[ JZQVO\ SMQVM[ _MO[MQVMV.IS\WZQVLMZ5MUJZIV[XIVV]VO [WVLMZVV]ZMQV8T][^WV!U> Merke Membranspannung (Nernst-Formel):

und speziell bei Körpertemperatur und einwertigen Ionen K =5≈!U>TO 4 K

6.8 · Grenzﬂächen

215

6

6.8.2 Galvani-Spannung

,I[ -V\[\MPMV MQVMZ 3WVbMV\ZI\QWV[[XIVV]VO TÃ[[\[QKP_QMLI[^WZQOM3IXQ\MTOMbMQO\PI\ZMKP\ O]\^MZ[\MPMVb]UQVLM[\Y]ITQ\I\Q^-QVMb]^MZTÃ[ [QOM5M[[]VOUIKP\[KPWVUMPZ5ÛPM,I[5M[[ QV[\Z]UMV\ ^MZTIVO\ ITTMUIT UM\ITTQ[KPM B]TMQ \]VOMV]VLLIUQ\UM\ITTQ[KPM-TMS\ZWLMVQVLMV JMQLMV 3IUUMZV LM[ -TMS\ZWTa\MV )]KP IV LM ZMV7JMZãÃKPMV JQTLMV [QKP 8W\MV\QIT]V\MZ[KPQM LMI][ QU /Z]VLM VIKP LMU OTMQKPMV ;KPMUI" Grenzﬂächenspannungen \ZM\MV QUUMZ LWZ\ I]N _W^WVLMVb_MQ;WZ\MV^WV4IL]VO[\ZÃOMZVLQM _MOMV LMZ -TMS\ZWVM]\ZITQ\Ã\ RI UQVLM[\MV[ ^WZ PIVLMV [MQV UÛ[[MV LQM MQVM TMQKP\MZ L]ZKP LQM PhasengrenzePQVL]ZKPSWUU\IT[LQMIVLMZM -QV*MQ[XQMTOQJ\LI[;QTJMZJTMKPQVLMZ;QTJMZ VQ\ZI\lösung. ,I[ 5M\ITT JM[Q\b\ )O1WVMV ]VL -TMS\ZWVMV LMZ -TMS\ZWTa\ MJMVNITT[ )O1WVMV ]VL LIb] 67w1WVMV )][ KPMUQ[KPMV /ZÛVLMV SÕVVMVV]ZLQM;QTJMZQWVMVI][LMZMQVMV8PI[M QVLQMIVLMZMÛJMZ_MKP[MTV#LQM-TMS\ZWVMVLÛZ NMVLI[5M\ITTVQKP\^MZTI[[MV]VLLQMVMOI\Q^MV 1WVMVVQKP\LQMLösung..WTOTQKPJI]\[QKPMQVMGalvani-Spannungb_Q[KPMV-TMS\ZWLM]VL-TMS\ZWTa\ I]N ;QM PI\ MQVMV JM\ZÃKP\TQKPMV ;KPÕVPMQ\[NMP TMZ"5IV SIVV [QM VQKP\ UM[[MV ]VL b_IZ XZQV bQXQMTTVQKP\ ,Ib]_ÃZMRIMQVMb_MQ\M-TMS\ZWLM QVLMZ6Q\ZI\TÕ[]VOVÕ\QO*M[\MP\[QMMJMVNITT[I][ ;QTJMZ[WMV\_QKSMT\[QMLQMOTMQKPM/IT^IVQ;XIV V]VO IJMZ QV MV\OMOMVOM[M\b\MZ :QKP\]VO ]VL TÃ[[\ NÛZ LI[ 5M[[QV[\Z]UMV\ VQKP\[ ÛJZQO w JM [\MP\[QMI][MQVMUIVLMZMV5M\ITT[WJQTLM\LQM[ [MQVMMQOMVM/IT^IVQ;XIVV]VOI][]VLLI[1V[ \Z]UMV\JMSWUU\V]ZLQM,QNNMZMVb,I[Q[\QV\M ZM[[IV\OMV]OUQ[[\IJMZSMQVMLMZJMQLMV/IT^I VQ;XIVV]VOMVNÛZ[QKPITTMQV Merke Kontaktspannung (Kontaktpotential, GalvaniSpannung): elektrische Grenzﬂächenspannung zwischen zwei Leitern; nur Differenzen sind messbar.

,QM ,QNNMZMVb b_MQMZ WLMZ I]KP UMPZMZMZ /IT ^IVQ;XIVV]VOMV MZ[KPMQV\ IT[ 3TMUUMV[XIV V]VO MQVM[ galvanischen Elements b* MQVMZ
. Abb. 6.63. Beispiel eines galvanischen Elements (Einzelheiten im Text)

[KPMVTIUXMVJI\\MZQM-QVQU5WLMTTÛJMZ[QKP\TQ KPM[ XZIS\Q[KP NZMQTQKP JMLM]\]VO[TW[M[ *MQ[XQMT OMJMV MQV ;QTJMZ ]VL MQV 3]XNMZJTMKP TMQ\MVL L]ZKP MQVMV ,ZIP\ UQ\MQVIVLMZ ^MZJ]VLMV ]VL OMUMQV[IU MQVOM\I]KP\ QV MQVM _Ã[[ZQOM 4Õ[]VO ^WV;QTJMZVQ\ZI\. Abb. 6.631VLQM[MU.ITTTQM OMV LQM /IT^IVQ;XIVV]VOMV [W LI[[ 3]XNMZQW VMV[\IZSQVLQM4Õ[]VOPQVMQVLZÛKSMV]VLQPZMZ b_MQNIKPXW[Q\Q^MV4IL]VO_MOMVLWXXMT\[W^QMTM ;QTJMZQWVMV ^MZLZÃVOMV OÛV[\QOMVNITT[ QV LMZMV -TMS\ZWLMPQVMQV1V[OM[IU\U][[LQM-TMS\ZWVM] \ZITQ\Ã\RIOM_IPZ\JTMQJMV,IJMQTI]NMV-TMS\ZW VMV QU ,ZIP\ ^WU 3]XNMZ b]U ;QTJMZ ]VL SÕV VMVLWZ\ )ZJMQ\ TMQ[\MV .ÛZ LMV )]¾MVSZMQ[ Q[\ LI[ 3]XNMZJTMKP VMOI\Q^MZ 8WT NÛZ LMV -TMS\ZW Ta\MVXW[Q\Q^MZ1VLMZ8ZI`Q[TÃ]N\LQM[MZ>MZ[]KP NZMQTQKPUMQ[\[WIJLI[[[QKPLI[^MZLZÃVO\M;QT JMZ]VUQ\\MTJIZI]NLMU3]XNMZJTMKPIJ[KPMQLM\ 1[\LQM[M[[KPTQM¾TQKP^WTT^MZ[QTJMZ\[W\ZQ\\SMQVM ;XIVV]VOUMPZb_Q[KPMVLMV-TMS\ZWLMVI]N",QM 3TMUUMV[XIVV]VOOMP\IT[WZI[KPOMOMVV]TT,QM <MKPVQSU][[;a[\MUMâVLMVJMQLMVMV[QKPLMZ IZ\QOM ]VMZ_ÛV[KP\M :MIS\QWVMV ]V\MZLZÛKSMV TI[[MV1UUMZQ[\LQM\MKPVQ[KPM>MZ_QZSTQKP]VO LQMI]N^QMTMZTMQ6MJMVJMLQVO]VOMV:ÛKS[QKP\b] VMPUMVPI\_MQ\SWUXTQbQMZ\MZIT[QPZXPa[QSITQ [KPM[8ZQVbQX ?MZ^MZLZÃVO\MQOMV\TQKP_MVI][LMZ4Õ[]VO' ,QM[ Q[\ MQVM .ZIOM IV LQM +PMUQM 8ZQUÃZ OMP\ M[ ]U LQM XW[Q\Q^MV 3I\QWVMV LQM ZMTI\Q^ TMQKP\ L]ZKPLQM8PI[MVOZMVbMb_Q[KPMV-TMS\ZWLM]VL -TMS\ZWTa\PQVL]ZKP\ZM\MVSÕVVMV#_MZ^MZLZÃVO\

216

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

_QZLTÃL\[MQVM-TMS\ZWLMVW\_MVLQOMZ_MQ[MXW [Q\Q^ I]N JZQVO\ [QM IT[W I]N MQVM XW[Q\Q^M ;XIV V]VOOMOMVÛJMZLMZIVLMZMV-TMS\ZWLM1U4MMZ TI]N]VL]V\MZVWZUITQ[QMZ\MV*MLQVO]VOMVOQJ\ LQM[M;XIVV]VO)V\_WZ\I]NLQMMQVOIVO[OM[\MTT \M .ZIOM ,IVIKP SIVV UIV ITTM 1WVMV[WZ\MV QV MQVM Spannungsreihe WZLVMV NÛZ LMZMV BIPTMV _MZ\M NZMQTQKP MQVM OMUMQV[IUM *Mb]O[MTMS\ZW LM^MZMQVJIZ\_MZLMVU][[)][PQMZVQKP\b]MZ ÕZ\MZVLMV/ZÛVLMVPI\UIV[QKPI]NLQM Wasserstoffelektrode OMMQVQO\ ZMXZÃ[MV\QMZ\ L]ZKP MQV ^WV OI[NÕZUQOMU ?I[[MZ[\WNN ]U[XÛT\M[ WJMZ ãÃKPMVXZÃXIZQMZ\M[8TI\QVJTMKPwI]KPLMZ?I[ [MZ[\WNN JQTLM\ RI 3I\QWVMV ,QM 8W[Q\QWV QV LMZ ;XIVV]VO[ZMQPMTMO\NM[\_QM edelMQV5M\ITTQ[\# /WTL]VL;QTJMZTQMOMVWJMVIV1VLMZ-TMS\ZWKPM UQMOQT\LI[[LMZ=VMLTMLMV-LTMZMV^MZLZÃVO\ 5IV [WTT LIZIV SMQVM XPQTW[WXPQ[KPMV *M\ZIKP \]VOMVSVÛXNMVLMU/Z]VL[I\bOM\ZM]QVSMQV ?WZ\ UMPZ iPQVMQVb]OMPMQUVQ[[MVt IT[ PQVMQV LMâVQMZ\_]ZLM /IT^IVQ;XIVV]VOMVTI[[MV[QKPVQKP\^MZUMQ LMV I]KP VQKP\ JMQ LMV ;WVLMV UQ\ LMVMV b* )S\QWV[XW\MV\QITM ^WV 6MZ^MVNI[MZV OMUM[[MV _MZLMV 1V UIVKPMV .ÃTTMV OMVÛO\ M[ _MVV LQM /ZMVbãÃKPMV[XIVV]VOMV LMZ ;WVLMV TMLQOTQKP NÛZLQM,I]MZLM[-`XMZQUMV\[SWV[\IV\JTMQJMV# LIVVSWUU\UIVUQ\MQVNIKPMV8TI\QVLZÃP\KPMV I][?MVVIJMZUMPZ^MZTIVO\_QZLU][[UIVb] MQOMV[ NÛZ JM[\QUU\M B_MKSM MV\_QKSMT\MV Normalelektroden OZMQNMV ,QM i3ITWUMT-TMS\ZWLMt JMQ[XQMT[_MQ[M Q[\ LIZI]N OMbÛKP\M\ LQM ?I[[MZ [\WNâWVMVSWVbMV\ZI\QWV VQKP\ b] JMUMZSMV QU M`IS\MV/MOMV[I\bb]Zi/TI[MTMS\ZWLMt,QM;XIV V]VO b_Q[KPMV JMQLMV MZTI]J\ X0?MZ\M MTMS \ZQ[KPb]UM[[MV?QMUIVLI[MZZMQKP\Q[\;IKPM LMZ -`XMZ\MV# LMU )V_MVLMZ JTMQJ\ VQKP\ UMPZ IT[ [QKP [\ZQS\ IV LQM UQ\OMTQMNMZ\M /MJZI]KP[IV _MQ[]VOb]PIT\MV )TTM 8W\MV\QITUM[[]VOMV UQ\ 6WZUITMTMS\ZW LMV [M\bMV [\QTT[KP_MQOMVL ^WZI][ LI[[ [QKP LQM -TMS\ZWLM _ÃPZMVL LMZ 5M[[]VO VQKP\ ^MZÃV LMZ\,I[Q[\VQKP\[W[MTJ[\^MZ[\ÃVLTQKP_QMLQM[ I]NLMVMZ[\MV*TQKSMZ[KPMQVMVUIO,QM-TMS\ZW LMU][[RIMQV5M[[QV[\Z]UMV\^MZ[WZOMVLM[[MV 1VVMV_QLMZ[\IVLVQKP\]VMVLTQKPOZW¾[MQVSIVV LI[IT[WMQVMV;\ZWU^MZTIVO\B]LQM[MUOMPÕZ\ VW\_MVLQOMZ_MQ[MMQVMMTMS\ZWKPMUQ[KPM:MIS\Q

WVIVLMZ-TMS\ZWLMLQMOZ]VL[Ã\bTQKPLQM/IT^I VQ;XIVV]VOJMMQVã][[MVSIVV

6.8.3 Thermospannung

)]KP JMQ 5M\ITTSWV\IS\MV SIVV V]Z MQVM ;WZ\M ^WV 4IL]VO[\ZÃOMZV TMQKP\NÛ¾QO LQM /ZMVbãÃKPM ÛJMZY]MZMV"LQM-TMS\ZWVMV,QM1WVMV[Q\bMVI]N QPZMV 8TÃ\bMV QU 3ZQ[\ITTOQ\\MZ NM[\ .WTOTQKP MV\ [\MP\ I]KP PQMZ MQVM /IT^IVQ;XIVV]VO ?MQT [QM VQKP\OMUM[[MV_MZLMVSIVVSÛUUMZ\UIV[QKP UMQ[\VQKP\_MQ\MZ]U[QM;\ZMVOOMVWUUMVTQMO\ IJMZ MQV OMMZLM\MZ 3]XNMZLZIP\ I]N MQVMU IVLM ZMV8W\MV\QITIT[MQVOMMZLM\MZ;QTJMZLZIP\;\ZMVO OMVWUUMV TQMOMV I]KP LQM S]XNMZVMV 3TMUUMV MQVM[ 5M[[QV[\Z]UMV\[ I]N MQVMU IVLMZMV 8W \MV\QITIT[LMZ5M[[QVOJÛOMTUQ\LMU[QMMQVUIT S]ZbOM[KPTW[[MV[MQVUÕOMV
. Abb. 6.64. Schema des Thermoelements. Beﬁnden sich die beiden Lötstellen auf unterschiedlichen Temperaturen, so heben sich die beiden Galvani-Spannungen nicht auf. Die Differenz wird vom Instrument als Thermospannung angezeigt

217

6.9 · Elektrophysiologie

6.9

6

Elektrophysiologie

6.9.1 Die Auswertung des EKG

nach Einthoven

. Abb. 6.65. Temperaturmessung. Messung der Temperatur mit einem in °C eichbaren Thermoelement: Die Vergleichslötstelle wird durch Eiswasser auf 0 °C gehalten. Das Instrument darf über eine lange Leitung angeschlossen werden (Fernthermometer)

UQ\ b]NZQMLMV ]VL LMZ 0I]X\[I\b LMZ ?ÃZUM TMPZM I]KP" ,QM PMQ¾M 4Õ\[\MTTM VQUU\ [W_QM[W ?ÃZUM ^WU 5M[[WJRMS\ I]N ]VL TMQ\M\ [QM TÃVO[ LM[ ,ZIP\M[ b]Z SIT\MV _MQ\MZ# LI NÃTT\ I]KP MQV JQ[[KPMV -VMZOQM NÛZ LQM ;\ZWU_ÃZUM QU ;XIV V]VO[UM[[MZUQ\IJ;\MKS\UIVRM\b\LQMMQVM4Õ\ [\MTTMQVMQVUQ\-Q[_I[[MZOMNÛTT\M[,M_IZ/MNÃ¾ [WJMSWUU\UIVMQVOMVI]M[]VL[KPVMTTM[
,I[ [KPTIOMVLM 0MZb Q[\ MQVM X]T[QMZMVLM 9]MTTM MTMS\ZQ[KPMZ ;XIVV]VOMV 5IV LIZN M[ IT[ MQVM STMQVM *I\\MZQM QU *Z][\SWZJ IV[MPMV LQM ITTMZ LQVO[ 8W[Q\QWV ]VL ;XIVV]VO QU 4I]NM MQVM[ 0MZbbaST][ [\ÃVLQO _MKP[MT\ ]VL LMV ?MKP[MT X MZQWLQ[KP _QMLMZPWT\ 5IV SIVV [QM NWZUIT IT[ X]T[QMZMVLMV MTMS\ZQ[KPMV ,QXWT IV[MPMV ?ÃZM MZ WJMVLZMQV VWKP STMQV ]VL TÃOM MZ QV MQVMU _MQ\ I][OMLMPV\MV -TMS\ZWTa\MV UQ\ PWUWOMVMZ 4MQ\NÃPQOSMQ\[W]UOÃJMMZ[QKPQVRMLMU)]OMV JTQKSUQ\MQVMUIVLMZMVMTMS\ZQ[KPMV.MTLLM[[MV /Z]VL\aX IJMZ [\M\[ LMU LMZ . Abbildung 6.46 UQ\^MZ[KP_QVLMVLSTMQVMZ,QXWTTÃVOMMV\[XZQKP\ ,I[[\QUU\[WOM_Q[[VQKP\IJMZLMZ-QVNIKPPMQ\ PITJMZ [MQ M[ MQVUIT IVOMVWUUMV *MQ LMZ )]N VIPUMMQVM[äEKGTQMO\LMZ8I\QMV\[\QTTI]NMQVMU :]PMJM\\"*MNÃVLM[QKPLQM)KP[MLM[0MZbLQXWT[ QV LMZ 3ÕZXMZMJMVM [W TÃOM [QM RM\b\ PWZQbWV\IT ,I[[\QUU\VQKP\_QM. Abbildung 6.42RIOMbMQO\ PI\IJMZLMZ-QVNIKPPMQ\PITJMZ[MQM[MQVUIT[W IVOMVWUUMV,QM-TMS\ZWLMVb]U3IZLQWOZIXPMV _MZLMVLMU8I\QMV\MVIV0IVL]VL.]¾OMTMVSM OM[KPVITT\?ÃZMV[MQVM-`\ZMUQ\Ã\MVLÛVVMO]\ TMQ\MVLM ,ZÃP\M [W ÛJMZVÃPUMV [QM RM_MQT[ ^WV MQVMU 8]VS\ QV LMV ;KP]T\MZOMTMVSMV ]VL QU BMV\Z]ULM[*MKSMV[LI[8W\MV\QITLI[^WU0MZ bMVIVLQM[MV8]VS\MVIVOMTQMNMZ\_QZL]VLNÛPZ \MVM[b]U3IZLQWOZIXPMV,MUQ[\VQKP\[WIJMZ LMZ-QVNIKPPMQ\PITJMZ[MQM[MQVUITIVOMVWUUMV *MQ MQVMU VWZUIT OMJI]\MV 5MV[KPMV JQTLMV ;KP]T\MZOMTMVSM ]VL *MKSMV MQV OTMQKP[KPMVSTQ OM[,ZMQMKS#M[Q[\SMQVOTMQKP[MQ\QOM[,ZMQMKSIJMZ LI[ _ÃZM MQVNIKPMZ ]VL LIZ]U [MQ M[ IVOMVWU UMV ;KPTQM¾TQKP [Q\b\ LI[ 0MZb M\_I[ VIKP TQVS[ ^MZ[KPWJMV QU *Z][\SWZJ IT[W VQKP\ OMVI] QU BMV\Z]U LM[ OTMQKP[MQ\QOMV ,ZMQMKS[ ,I[ _ÃZM IJMZMQVNIKPMZ]VLLIZ]U[MQI]KPLQM[IVOMVWU UMV >WU 8I\QMV\MV ^MZJTMQJ\ VIKP ITTLMU MQV ãIKPM[;\ZQKPUÃVVKPMV. Abb. 6.66 ;QVV ITTMZ )VVIPUMV Q[\ LI[[ UIV RM\b\ [W \]V LIZN IT[ XZWL]bQMZM LI[ 0MZb MQV ]VOM[\ÕZ \M[,QXWTNMTLVIKP)Z\LMZ . Abbildung 6.46^WV LMULZMQ8W\MV\QITMb]U3IZLQWOZIXPMVIJOMTMQ

218

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1 2 3 4 5 6 7

. Abb. 6.66. Der Patient als Dreieck. Reduktion des Patienten zum gleichseitigen Dreieck mit fadenförmigen Extremitäten zur Auswertung des EKG nach Einthoven

. Abb. 6.68. Einthoven-Dreieck. Bei schräg liegendem Dipol kommt es zu einer Spannung zwischen den Schultergelenken

8 9 10 11 . Abb. 6.69. Zur Auswertung des EKG (Einzelheiten im Text)

12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 6.67. Einthoven-Dreieck. Potentialverteilung eines vertikalen Dipols: Zwischen den Schultergelenken tritt keine Spannung (Potentialdifferenz) auf

\M\_MZLMVI][8]VS\MVLQM[aUUM\ZQ[KP]ULMV ,QXWT TQMOMV UQ\ LQM[MU QV MQVMZ -JMVM BMQO\M V]V LQM )KP[M LQM[M[ ,QXWT[ M`IS\ ^WU 3WXN b] LMVOM[KPTW[[MVMV.Û¾MV[WLÛZN\Mb_Q[KPMVLMV -TMS\ZWLMVIVLMV0IVLOMTMVSMVSMQVM;XIVV]VO I]N\ZM\MV")][;aUUM\ZQMOZÛVLMVTÃOMVQPZM)J TMQ\]VO[X]VS\M RI QUUMZ I]N OTMQKPMV 8W\MV\QIT TQVQMV. Abb. 6.67,IQV?QZSTQKPSMQ\IJMZMQVM ;XIVV]VO I]N\ZQ\\ U][[ LMZ ,QXWT OMLZMP\ [MQV . Abb. 6.68;MQVM4IOMJM[\QUU\UIVLIL]ZKP LI[[UIVTÃVO[LMZ;MQ\MVLM[ Einthoven-Dreiecks . Abb. 6.69bMV\ZQMZ\M8NMQTMI]N\ZÃO\LMZMV4ÃV

OMV XZWXWZ\QWVIT b] LMV b_Q[KPMV LMV MV\[XZM KPMVLMV -TMS\ZWLMV OMUM[[MVMV ;XIVV]VOMV [QVL ]VL LQM 8NMQTM IT[ [MVSZMKP\M 8ZWRMS\QWVMV LM[OM[]KP\MV,QXWTUWUMV\^MS\WZ[I]NLQM,ZMQ MKS[[MQ\MV I]NNI[[\ ,I[ _ÃZM QV ITTMZ UI\PMUI \Q[KPMV;\ZMVOMSWZZMS\_MVVITTLQMMQVOIVO[OM UIKP\MV)VVIPUMV_QZSTQKPb]\ZÃNMV -[UIO^MZ_]VLMZVLI[[LQM)][_MZ\]VOMQ VM[ -3/ VIKP ?QTTMU -QV\PW^MV w! \ZW\bLMZSÛPVMV)VVIPUMV^MZ_MVLJIZM-ZOMJ VQ[[MTQMNMZ\M\_IÛJMZLQM>MZTIOMZ]VOLM[0MZ bMV[L]ZKP)\MUJM_MO]VOMV)JMZLQM6I\]ZNWTO\ Y]IV\Q\I\Q^MV/M[M\bMV#MQVMI]KPV]ZOZWJQV\MZ XZM\QMZMVLM 5M[[]VO Q[\ ITTMUIT JM[[MZ IT[ OIZ SMQVM 5M[[]VO 3ZQ\Q[KP _ÛZLM M[ NZMQTQKP _WTT \MRMUIVLJMPI]X\MV[MQV0MZbNÛPZMJMQRMLMU ;KPTIOMQVMVLWXXMT\MV4WWXQVOI][JTW¾_MQTLMZ ;]UUMV^MS\WZ[MQVM[VIKP-QV\PW^MVI][OM_MZ \M\MV-3/LQM[\]\?MZ5WLMTTMJMV]\b\U][[QP ZM/ZMVbMVSMVVMV

6.9 · Elektrophysiologie

219

6

OMUQTLMZ\ PIJMV ,QM NM]KP\MV 3IKPMTV LM[ *I LMbQUUMZ[[QVLLI_MVQOMZO]\?MZIJMZOZW¾ 1U -TMS\ZWTa\MV IT[W I]KP QU 5MV[KPMV \ZIV[ ãÃKPQO OMMZLM\ QV LMZ *ILM_IVVM [Q\b\ U][[ IT XWZ\QMZMV MTMS\ZQ[KPM ;\ZÕUM VQKP\ V]Z 4IL]VO TMMTMS\ZQ[KPMV/MZÃ\MUMQLMV#[KPWVLMZSTMQV[ [WVLMZVI]KP5I\MZQM,I[NÛPZ\b]3WVbMV\ZI\Q \M 1[WTI\QWV[NMPTMZ QU /ZQNN MQVM[ 0IIZ\ZWKSVMZ[ WV[^MZ[KPQMJ]VOMVQVLMV3ÕZXMZbMTTMVLQMIJMZ SIVVOMNÃPZTQKP_MZLMV*Q[U)JZI]KP\UIV PIZUTW[[QVL[WTIVOM[QM[QKPQVLMV^WVLMZ6I VQKP\[b]JMNÛZKP\MV#IJU)U][[UIVIJMZ \]Z ^WZOM[MPMVMV /ZMVbMV PIT\MV ;KPTQM¾TQKP UQ\LMU;KPTQUU[\MVZMKPVMV LIZNLMZ5MV[KP[MQVMQOMVM[-3/VQKP\[XÛZMV Merke /MZQVONÛOQOM ;\ÕZ]VOMV _MZLMV I]KP LIVV [\QTT [KP_MQOMVL ÛJMZ[XQMT\ _MVV MQVM Ã]¾MZM ;XIV Wechselstrom von 50 Hz: V]VOLMZ)][TÕ[MZ_IZ;\IZSM;\ÕZ]VOMVSÕVVMV < 0,4 mA: keine spürbare Wirkung IJMZ TMQKP\ b] ,I]MZ[KPÃLMV NÛPZMV ]VL [WOIZ 0,4–4 mA: geringe, aber merkliche Wirkung b]U<WL)]NRMLMV.ITT\]V[QM_MP 5–25 mA: erhebliche Störungen *M[WVLMZM /MNIPZ LZWP\ LMU 0MZbMV ;MQVM 25–80 mA: Bewusstlosigkeit, reversibler Herz.]VS\QWV ^MZTIVO\ MQVM SWWZLQVQMZ\M 3WV\ZIS\Q stillstand WVITTMZ[MQVMZ5][SMTNI[MZVQVLMZ;a[\WTM]VLMQ > 100 mA: Verbrennungen, Herzstillstand VMMJMV[WSWWZLQVQMZ\M-Z[KPTINN]VOLIVIKP*MQ LM[PI\VIKPLMU3WUUIVLWLM[;\M]MZbMV\Z]U[ b]MZNWTOMVLI[LMV8]T[ZMOMT\.ÃTT\LQM3WWZLQ ?MTKPM;XIVV]VOMVOMPÕZMVb]LQM[MV;\ZÕUMV' VQMZ]VOI][[WSIVVM[b]UMQ[\\ÕLTQKPMU Herz- ,I[ PÃVO\ [MPZ ^WU -QVbMTNITT IJ -QVM OM_Q[[M ﬂimmern SWUUMV# M[ TÃ[[\ [QKP MTMS\ZQ[KP I][ )J[KPÃ\b]VOMZTI]J\IJMZLQM?QLMZ[\IVL[SMVV TÕ[MV/MNÃPZTQKP[QVLLMUVIKP^WZITTMU;\ZÕUM TQVQM LM[ UMV[KPTQKPMV 3ÕZXMZ[ LQM QV . AbbilLMZMV *IPVMV ^WV 0IVL b] 0IVL Y]MZ L]ZKP dung 6.10OMbMQO\_WZLMVQ[\;\MKSLW[MV[QVLSMQ LMV*Z][\SWZJTI]NMV?MZQU4IJWZI\WZQ]UUQ\ VM[_MO[PIZUTW[ ]VOM[KPÛ\b\MV PWPMV ;XIVV]VOMV b] \]V PI\ PÃT\LIZ]UVIKPIT\MZ-`XMZ\MVZMOMTQUUMZMQVM Klinik 0IVLNM[\QVLMZ0W[MV\I[KPMLMVVLIVVOMP\MQV Hochfrequenz ist ungefährlicher. Wer mit tech;KPTIOITTMVNITT[^WVLMZIVLMZMV0IVLQVLMV.]¾ nischer Wechselspannung Silber elektrolytisch ]VLVQKP\OIVb[WLQKP\IU0MZbMV^WZJMQ:WJ][ abzuscheiden versucht, wird enttäuscht: Was \M-TMS\ZQSMZXZÛNMVb]_MQTMVUQ\BMQOM]VL5Q\ sich an einer Elektrode während einer Halbwel\MTâVOMZWJi;\ZWUQVLMZ4MQ\]VOQ[\tB]UITUQ\ le abscheidet, geht in der nächsten wieder in ÕTQOMV0ÃVLMVSIVVLI[O]\OMPMV_MQTSMQVTM Lösung. In dieser Beziehung sind lebende OrJMV[_QKP\QOM[7ZOIVQU;\ZWUSZMQ[TQMO\?MZMQ ganismen empﬁndlicher, aber bei hinreichend VMV MTMS\ZQ[KPMV ;KPTIO JMSWUU\ ]V\MZJZQKP\ hohen Frequenzen werden selbst stärkere StröUMQ[\ L]ZKP [MQVM ;KPZMKSZMIS\QWV LMV ;\ZWU me auch für sie ungefährlich. Übrig bleibt dann SZMQ[ ?MZ IJMZ MQVMV LMNMS\MV
220

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

6.9.3 Schutzmaßnahmen

;KPIT\[SQbbMVQLMITQ[QMZMV;QM\]V[WIT[JM[\ÛV LMVLQMOMbMQKPVM\MVMTMS\ZQ[KPMV>MZJQVL]VOMV I][_QLMZ[\IVL[TW[MV4MQ\MZV#[QM\]V^WZITTMU[W IT[[MQMVLQM[M4MQ\MZOMOMVMQVIVLMZ^WTTSWUUMV Q[WTQMZ\WZ MQVMZ SIVVUIV[QKPLI[TMQ[\MV;XIV V]VOMVJQ[>UQ\LMV0ÃVLMVIVb]NI[[MVJM LM]\M\ NÛZ LMV 5MV[KPMV QU )TTOMUMQVMV SMQVM MZV[\TQKPM /MNIPZ# [QM [QVL [WOIZ NÛZ 8]XXMV[\] JMV]VL5WLMTTMQ[MVJIPVMVb]OMTI[[MV,I[OQT\ IJMZV]ZNÛZB]TMQ\]VOMVIVLMVi3ÕZXMZ[\IUUt VQKP\NÛZ3ÕZXMZPÕPTMVWLMZOIZLI[3ÕZXMZQVVM ZM]VLNÛZLQM[MPZVQMLMZWPUQOM-ZL]VOQVLMZ *ILM_IVVMMJMVNITT[VQKP\-QVMV0I][PIT\SIVV UIVUQ\>TMQLMZVQKP\^MZ[WZOMV;KPWVLMU <WI[\ZÕ[\MZ UÛ[[\MV )UXMZM IVOMTQMNMZ\ _MZ LMV ÛJMZ MQV LQKSM[ ]VL ]VPIVLTQKP [\MQNM[ 3I JMT ,QM>LMZ;\MKSLW[M[QVLITTM[IVLMZMIT[ PIZUTW[)]NRMLMV.ITTLIZNUIVLMV;XIVV]VO NÛPZMVLMVPhasenleiterVQKP\^MZ[MPMV\TQKPJMZÛP ZMVSÕVVMV-ZU][[[WZONÃT\QOOMOMVLI[/MPÃ][M MQVM[MTMS\ZQ[KPMV/MZÃ\M[Q[WTQMZ\[MQVwSMQV8ZW JTMU_MVVLI[/MPÃ][M[MTJ[\b]^MZTÃ[[QOQ[WTQMZ\ 1V SWVLMV[QMZMVLMU ?I[[MZLIUXN 0IIZ\ZWKS VMZQU*ILMbQUUMZ\]\M[LI[VQKP\]VJMLQVO\ ,IUIVVQKP\_Q[[MVSIVV_MTKPMLMZJMQLMV4Q\ bMV NullleiterQ[\_MTKPM;XIVV]VONÛPZ\WJLMZ 6M\b[\MKSMZVÃUTQKP[WWLMZIVLMZ[PMZ]UQVLMZ ;\MKSLW[M [\MKS\ UÛ[[MV JMQLM 4MQ\]VOMV ^WU /MPÃ][MMTMS\ZQ[KPOM\ZMVV\[MQV.ÛZLMV0I][

OMJZI]KPOMVÛO\LQM[WOi*M\ZQMJ[Q[WTQMZ]VOtQV ;WVLMZNÃTTMV_QZLMQVMb][Ã\bTQKPMi;KP]\bQ[WTQM Z]VOt^MZTIVO\)]NRMLMV.ITTQ[\LIUQ\MQVTMQ\MV LM[ /MPÃ][M QU 8W\MV\QIT b]VÃKP[\ MQVUIT NZMQ ?MZM[JMZÛPZ\U][[M\_IQOM4MKS[\ZÕUMUÕOTQ KPMZ_MQ[MÛJMZ[MQVMV3ÕZXMZIVLQM-ZLMIJNÛP ZMV QV[JM[WVLMZM LQM JMQ ?MKP[MT[XIVV]VO[JM \ZQMJ ]V^MZUMQLTQKPMV SIXIbQ\Q^MV 4MKS[\ZÕUM# ;\ZM]SIXIbQ\Ã\MVb_Q[KPMV;KPIT\]VO]VL/MPÃ] [MTI[[MV[QKPVQKP\^ÕTTQO]V\MZJQVLMV1VLMV)V NÃVOMV LMZ -TMS\ZQâbQMZ]VO PI\ UIV [QKP LIUQ\ b]NZQMLMVOMOMJMV;KPTQM¾TQKP[WZO\LMZi>MZJIVL ,M]\[KPMZ -TMS\ZW\MKPVQSMZt UQ\ [MQVMU >,- 8ZÛNbMQKPMVLINÛZLI[[V]ZMQV_IVLNZMQM/MZÃ\M QVLMV0IVLMTSWUUMV,I[[[QMI]KPVIKPRIP ZMTIVOMU /MJZI]KP MQV_IVLNZMQ JTMQJMV LINÛZ U][[NZMQTQKPLMZ3]VLM[MTJ[\[WZOMV3WUU\M[ b]MQVMU3IJMTJZ]KPNÃTT\LI[/MZÃ\I][#SWUU\ M[ b] MQVMU 1[WTI\QWV[NMPTMZ JMQU 8PI[MVTMQ\MZ SIVVLI[/MZÃ\TMJMV[OMNÃPZTQKP_MZLMV ,QM[M[:Q[QSWOMP\UIVPM]\MVQKP\UMPZMQV ;MQ\ M\TQKPMV 2IPZMV PIJMV ITTM ;\MKSLW[MV ]VL ;\MKSMZMQVMVLZQ\\MV3WV\IS\LMV Schutzkontakt . Abb. 6.70 -Z _QZL ^WZ LMZ ;\MKSLW[M ^WU 3ZIN\_MZSI][OM[MPMVUQ\LMU6]TTTMQ\MZMTMS \ZQ[KP^MZJ]VLMV. Abb. 6.71aPQV\MZLMU;\M KSMZ UQ\ LMU /MPÃ][M LM[ /MZÃ\M[ ,IUQ\ TQMO\ LQM[M[ JMZÛPZ]VO[[QKPMZ I]N -ZLXW\MV\QIT 3IXI bQ\Q^M ]VL IVLMZM 4MKS[\ZÕUM NÛPZ\ LMZ ;KP]\b TMQ\MZb]^MZTÃ[[QOIJ?QZLIJMZLQM1[WTI\QWVLM[ 8PI[MVTMQ\MZ[ MZV[\PIN\ JM[KPÃLQO\ [W OQJ\ M[ 3]Zb[KPT][[ÛJMZLMV;KP]\bTMQ\MZ]VLLQM;QKPM Z]VO^WZLMZ;\MKSLW[MiãQMO\PMZI][t-QV3IJMT JZ]KPQU;KP]\bTMQ\MZNÛPZ\b]LMZ;Q\]I\QWVLQM IVNIVO[ VWKP ITTOMUMQV ISbMX\QMZ\ _]ZLM -Z[\

. Abb. 6.70. Schukodose mit Anschlüssen für Phase, Nullleiter und Schutzkontakt; Phase und Nullleiter können vertauscht sein

6.9 · Elektrophysiologie

. Abb. 6.71a–c. Die Funktionen des Schutzkontakts (SK): Im Haushalt ist der Schutzkontakt mit dem Nullleiter (0) verbunden (a); ein Isolationsfehler des Phasenleiters (R) führt zum Kurzschluss. Der Fehlerstrom-Schutzschalter (FI) unterbricht die Stromversorgung, wenn die Differenz zwischen den Strömen in Phasen- und Nullleiter einen Grenzwert überschreitet (b). Das Erdschlussüberwachungsgerät (ISO) gibt ein Warnsignal, wenn der Isolationswiderstand zwischen Phasen- und Erdleiter einen Grenzwert unterschreitet (c)

3IJMTJZ]KP XT][ 1[WTI\QWV[NMPTMZ _MZLMV OMNÃPZ TQKP#UIVVMVV\LI[doppelte Sicherheit MZJQV L]VO ^WV ;KP]\b ]VL 6]TTTMQ\MZ . Abb. 6.71b ,MZ.1;KP]\b[KPIT\MZ^MZOTMQKP\LQMJMQLMV;\ZÕ UMQV8PI[MV]VL6]TTTMQ\MZUQ\MQVIVLMZ#QU1LM ITNITT UÛ[[MV [QM OTMQKP [MQV *M[\MP\ MQVM ,QNNM ZMVb [W SIVV [QM PIZUTW[ ÛJMZ LMV ;KP]\bTMQ\MZ IJOMãW[[MV[MQVUÕOTQKPMZ_MQ[MIJMZI]KPVQKP\ OIVb [W PIZUTW[ ÛJMZ LMV 8I\QMV\MV ?QZL MQV

221

6

/ZMVb_MZ\ ÛJMZ[KPZQ\\MV UMQ[\ U) [W ]V \MZJZQKP\LMZ;KP]\b[KPIT\MZLQM;\ZWU^MZ[WZO]VO LMZ;\MKSLW[MV]VL[KPIT\M\[WLQMIVOM[KPTW[ [MVMVMTMS\ZQ[KPMV/MZÃ\MIJ ,MZ .1;KP]\b[KPIT\MZ JMUMZS\ NZMQTQKP SMQVM .MPTMZ[\ZÕUM LQM LMZ )Zb\ UÕOTQKPMZ_MQ[M MQV [KPTMXX\ _MVV MZ [MQVMV 8I\QMV\MV JMZÛPZ\ =U LI[ b] ^MZPQVLMZV UÛ[[MV JMQLM QV ^MZOTMQKP JIZMZ?MQ[MOMMZLM\[MQV,MZ8I\QMV\Q[\LQM[LI L]ZKPLI[[MQVMLMZQPUIVOM[KPVITT\MV-TMS\ZW LMV QV TMQ\MVLMZ >MZJQVL]VO UQ\ LMU /MPÃ][M [\MP\LI[[MQVMZ[MQ\[ÛJMZ;\MKSMZ]VL;\MKSLW[M IU6]TTTMQ\MZPÃVO\,MZ)Zb\JZI]KP\UQ\SMQVMZ [XMbQMTTMV -ZLTMQ\]VO ^MZJ]VLMV b] [MQV# M[ OM VÛO\ITTM/MZÃ\MQV[MQVMZ:MQKP_MQ\MIT[W0MQb SÕZXMZ ?I[[MZPÃPVM ;KPZÃVSM ][_ I][LZÛKS TQKPUQ\LMU6]TTTMQ\MZQVWLMZ^WZLMZ;\MKSLW [M b] ^MZJQVLMV w ]VL LI[ /MPÃ][M LM[ 3IZLQW OZIXPMVI]KPNÛZLMV.ITTMQVM[3IJMTJZ]KP[QV [MQVMU6]TTTMQ\MZVÃUTQKP5IVVMVV\LI[Potentialausgleich *M[WVLMZ[SZQ\Q[KP_QZLM[JMQWXMZI\Q^MV-QV OZQNNMVQVLMZ6ÃPMLM[0MZbMV[w]VLPQMZb]OM PÕZ\JMZMQ\[LI[-QV[KPQMJMVMQVM[0MZbSI\PM\MZ[ L]ZKPLQM>MVM;WM\_I[[WTT\MV]ZQV[XMbQMTTOM [KPÛ\b\MV :Ã]UMV OM[KPMPMV QV LMVMV LQM OM [IU\M;\ZWU^MZ[WZO]VOÛJMZMQVMVi
222

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

6.10

1

6.10.1 Einführung

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Magnetische Felder

. Abb. 6.72. Trenntrafo. Der „Anwendungsteil“ eines elektrischen medizinischen Geräts ist durch einen Netztransformator von der Steckdose elektrisch getrennt, normalerweise aber über das Gehäuse mit dem Schutzkontakt (SK) verbunden (oben). Für das Verfahren des „Floating Input“ muss er aber elektrisch frei sein (unten)

[WVLMZV ÛJMZ LQM MQVM WLMZ IVLMZM 3]V[\[KPIT \]VOWLMZI]KPOIZVQKP\1UTM\b\MV.ITTSIVVMZ LMU 8W\MV\QIT LM[ QPV JMZÛPZMVLMV )Zb\M[ NWT OMV WPVM MQVMV )JTMQ\[\ZWU NÛPZMV b] UÛ[[MV _MVV LQM[M[ ^WU -ZLXW\MV\QIT IJ_MQKP\ ,INÛZ U][[ LIVV LMZ MTMS\ZQ[KPM )][OIVO LM[ /MZÃ\M[ MZLNZMQJTMQJMV,I[Q[\\MKPVQ[KPTMQKP\b]MZZMQ KPMV . Abb. 6.72 ,QM[M[ Floating-Input-Verfahren Q[\ NZMQTQKP SMQV )TTPMQTUQ\\MT LMVV ITTb] O]\ Q[\LMZ8I\QMV\OMOMVÛJMZ[MQVMU*M\\RIVQKP\Q[W TQMZ\[KPWVOIZVQKP\SIXIbQ\Q^ *TMQJ\ b][IUUMVb]NI[[MV" )TTM 5I¾VIPUMV b]Z MTMS\ZQ[KPMV ;QKPMZPMQ\ PIJMV LINÛZ b] [WZ OMV LI[[ ]VOM_WTT\M )JTMQ\[\ZÕUM ]VL *MZÛP Z]VO[[XIVV]VOMVOM_Q[[M/ZMVb_MZ\MVQKP\ÛJMZ [KPZMQ\MV

!

;KPWV QU 5Q\\MTIT\MZ VI^QOQMZ\MV 3IXQ\ÃVM ]VL ;MMZÃ]JMZVQKP\V]ZVIKPLMZ;WVVM]VLLMV/M [\QZVMV[WVLMZVI]KPVIKPLMU3WUXI[[IT[WMQ VMU STMQVMV ;\IJUIOVM\MV LMZ [QKP MQVQOMZUI ¾MV b]^MZTÃ[[QO QV 6WZL;ÛL:QKP\]VO MQV[\MTT\ _MVVUIVQPUMZTI]J\[QKPZMQJ]VO[IZU]UMQVM ^MZ\QSITM)KP[Mb]LZMPMV-Z\]\LQM[IT[STMQVMZ UIOVM\Q[KPMZ ,QXWT QU OZW¾MV 5IOVM\NMTL LMZ -ZLM . Abb. 6.73 /IVb IVITWO _ÛZLM [QKP MQV MTMS\ZQ[KPMZ,QXWTMQV[\MTTMV7 Kap. 6.5.4_MVV LQM-ZLMMQVMV\[XZMKPMVLM[MTMS\ZQ[KPM[.MTLJM [Ã¾M?QMLQM[M[SIVVI]KPMQVmagnetisches Feld UQ\0QTNM^WV.MTLTQVQMVLIZOM[\MTT\_MZLMV#MQVM 3WUXI[[VILMT[\MTT\[QKPVIKP5ÕOTQKPSMQ\b]QP VMV XIZITTMT 6]Z TI]NMV [QM VQKP\ ^WV XT][ VIKP UQV][[WVLMZV^WV6WZLVIKP;ÛLw*MbMQKPV]V OMV LÛZNMV NZMQ ^MZMQVJIZ\ _MZLMV ,QM VWKP OM VI]MZ b] LMâVQMZMVLM magnetische Feldstärke Q[\ I]NRMLMV.ITTMQV>MS\WZ)]KPQVUIOVM\Q[KPMV .MTLMZVbQMPMV[QKP]VOTMQKPVIUQOM8WTMIV[\W ¾MV[QKPOTMQKPVIUQOMIJ Merke Magnetische Felder können wie elektrische Felder qualitativ durch Feldlinien dargestellt werden.

Merke

16 17 18 19

Obere Grenzwerte für Ableitströme Gehäuse: 500 μA Patient: 5 extrakardial (EKG): 100 μA 5 intrakardial (Katheter): 10 μA Obere Grenzwerte für Spannungen: 5 am Körperstamm: 24 V 5 in Körperhöhlen: 6 V 5 am Herzen: 10 mV

20 . Abb. 6.73. Magnetfeld der Erde

6.10 · Magnetische Felder

223

6

VMMTMS\ZQ[KPM4IL]VOMQVM3ZIN\I][OMÛJ\_QZLt LIZNUIVNZMQTQKPVQKP\I]NLI[5IOVM\NMTLÛJMZ \ZIOMV ]VL b_IZ I][ NWTOMVLMU /Z]VL" -QV U ISZW[SWXQ[KPMZ MTMS\ZQ[KPMZ ,QXWT JM[\MP\ I][ b_MQ MV\OMOMV[M\b\ OMTILMVMV 3]OMTV LQM ^WV M QVMU Q[WTQMZMVLMV ;\IJ I]N ,Q[\IVb OMPIT\MV _MZLMV BMZJZQKP\ UIV LMV ;\IJ SIVV UIV LQM JMQLMV 4IL]VOMV QU 8ZQVbQX JMTQMJQO _MQ\ I][ MQVIVLMZ bQMPMV# UIV U][[ V]Z LQM LIb] VÕ\QOM )ZJMQ\OMOMVLQM+W]TWUJ3ZIN\I]NJZQVOMVBMZ JZQKP\UIVPQVOMOMVMQVMVUISZW[SWXQ[KPMVUI OVM\Q[KPMV ,QXWT IT[W MQVMV ;\IJUIOVM\MV [W JMSWUU\UIVb_MQSTMQVMZMUIOVM\Q[KPM,QXWTM JMQLM ^WTT[\ÃVLQO UQ\ 6WZL ]VL ;ÛLXWT I][OM [\I\\M\. Abb. 6.75-[OQJ\SMQVMUIOVM\Q[KPMV -QVbMTTIL]VOMV QU ;QVVM LMZ MTMS\ZQ[KPMV LQM b*L]ZKP1WVMVZMXZÃ[MV\QMZ\_MZLMVSÕVVMV 3WUXI[[VILMTV ZMIOQMZMV VQKP\ V]Z I]N 5I OVM\M[QMZMIOQMZMVI]KPI]NMTMS\ZQ[KPM;\ZÕUM" ;QM [\MTTMV [QKP [W O]\ _QM M[ QPZM 4IOMZ]VO MZ TI]J\Y]MZb]U,ZIP\. Abb. 6.76
-QVQOMZUI¾MV SZÃN\QOM 5IOVM\NMTLMZ SIVV UIV [QKP\JIZ UIKPMV 5IV TMO\ MQVMV OTI\\MV 3IZ\WV JMQ[XQMT[_MQ[M I]N MQVMV 0]NMQ[MVUIOVM\MV ]VL [\ZM]\ -Q[MVNMQT[XÃVM LIZÛJMZ ?MVV UIV L]ZKP ^WZ[QKP\QOM[ 3TWXNMV MQV _MVQO VIKPPQTN\ WZL VMV [QKP LQM ;XÃVM b] MQVMZ )Z\ .MTLTQVQMVJQTL# TMO\UIVVWKPMQVM3WUXI[[VILMTLIb][WUMQV\ UIVb]i[MPMVt_QMLQM.MTLTQVQMV^MZ[]KPMVLQM 6ILMTIT[UIOVM\Q[KPMV,QXWTQV.MTLZQKP\]VOb] LZMPMV. Abb. 6.74 -QV5IOVM\NMTLQ[\MQV:I]Ub][\IVLQVLMU I]N MQVMV UIOVM\Q[KPMV ,QXWT MQV ,ZMPUWUMV\ I][OMÛJ\_QZL)VITWOM[SIVVUIV^WUMTMS\ZQ [KPMV.MTLMJMVNITT[JMPI]X\MV,QMLWZ\ÛJTQKPM .WZU]TQMZ]VO^WUi:I]Ub][\IVLQVLMUI]NMQ

. Abb. 6.75. Dipole. Bricht man einen elektrischen Dipol auseinander, so bekommt man zwei Monopole; bricht man einen magnetischen Dipol (Stabmagneten) auseinander, so bekommt man zwei kleine Dipole

224

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1 2 3 4

. Abb. 6.76. Magnetische Kraft. Eine Kompassnadel stellt sich quer zu einem elektrischen Strom I

5 6 7 8 9

;\MTT\ UIV XIZITTMT b]U MZ[\MV ,ZIP\ MQVMV b_MQ\MV LMZ IJMZ QV /MOMVZQKP\]VO ^WU ;\ZWU L]ZKPãW[[MV_QZL[WÛJMZTIOMZV[QKPLQMJMQLMV :QVO[a[\MUM# [QM ^MZ[\ÃZSMV [QKP QU /MJQM\ b_Q [KPMVLMV,ZÃP\MV]VLSWUXMV[QMZMV[QKPUMPZ WLMZ _MVQOMZ QU )]¾MVZI]U 5IV SIVV I]KP OTMQKP MQVMV MQVbQOMV ,ZIP\ b]Z ;KPTMQNM JQMOMV# [MQV.MTLÃPVMT\LMUMQVM[S]ZbMV;\IJUIOVM\MV w V]Z SIVV UIV RM\b\ OM_Q[[MZUI¾MV QV LM[[MV 1VVMZM[JTQKSMV;M\b\UIVMQVQOM[WTKPMZ;KPTMQ NMVXIZITTMTOM[KPIT\M\]VL^WVOTMQKPMV;\ZÕUMV L]ZKPãW[[MVPQV\MZMQVIVLMZ[W_QZLLMZi;\IJ UIOVM\t TÃVOMZ . Abb. 6.78" >QMTM STMQVM XIZ ITTMTWZQMV\QMZ\M,QXWTMOMJMVMQVMVOZW¾MV;M\b\ UIVLQM;KPTMQNMVLQKP\OMV]O]VLUIKP\UIVLQM :MQPMTIVOOMOMVÛJMZLMU,]ZKPUM[[MZ[WTI] NMV LQM .MTLTQVQMV QU 1VVMZMV XZIS\Q[KP XIZITTMT" ;QM TQMNMZV MQV PWUWOMVM[ UIOVM\Q[KPM[ .MTL QV 4ÃVO[ZQKP\]VO LMZ ;KPTMQNMVZMQPM . Abb. 6.79 1U )]¾MVZI]U MZOQJ\ [QKP LI[ OTMQKPM .MTL _QM

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 6.77. Gerader Draht. Ein stromdurchﬂossener Leiter umgibt sich mit ringförmig geschlossenen magnetischen Feldlinien, hier durch Eisenfeilspäne sichtbar gemacht (nach Orear). Für den Umlaufsinn der Feldlinien gibt es eine Rechte-Hand-Regel: Strom in Richtung des Daumens, Feldlinien in Richtung der gekrümmten Finger.

. Abb. 6.78. Stromschleife. Magnetfeld einer Stromschleife und von drei in gleicher Richtung von Strom durchﬂossenen Schleifen

6

225

6.10 · Magnetische Felder

6.10.2 Kräfte im Magnetfeld

!

?MVV LMZ ;\IJUIOVM\ i3WUXI[[VILMTt I]N LI[ 5IOVM\NMTLLMZ-ZLMZMIOQMZ\LIVVZMIOQMZ\I]KP MQVM [\ZWUL]ZKPãW[[MVM ;X]TM I]N MQVM IVLMZM [\ZWUL]ZKPãW[[MVM ;X]TM ]VL [WOIZ MQV MQVbMT VMZ [\ZWUL]ZKPãW[[MVMZ ,ZIP\ I]N MQVMV IVLM ZMV )]N _MTKPMU \MKPVQ[KPMV ?MO LQM 5IOVM\ NMTLMZMV\[\MPMVSIVV[KPTQM¾TQKPSMQVMVOZ]VL [Ã\bTQKPMV=V\MZ[KPQMLI][UIKPMV,QMMQVNIKP[\M /MWUM\ZQMJMSWUU\UIV_MVVUIVMQVMVPWZQ bWV\ITMV,ZIP\Y]MZb]MQVMUMJMVNITT[PWZQbWV\I TMVPWUWOMVMV5IOVM\NMTL[XIVV\;KPQKS\UIV . Abb. 6.79. Spule. Im Innern einer gestreckten Spule herrscht ein homogenes Magnetfeld RM\b\MQVMV/TMQKP[\ZWUL]ZKPLMV,ZIP\[W^MZ []KP\MZVIKPWJMVWLMZ]V\MVI][LMU.MTLPMZ I][b]SWUUMV)]NQPV_QZS\MQVM^MZ\QSITM3ZIN\ JMQ MQVMU MV\[XZMKPMVL OMNWZU\MV 8MZUIVMV\ LQM Lorentz-Kraft OMVIVV\ _QZL . Abb. 6.80 LQM UIOVM\MV1U1VVMVZI]UOQT\LI[I]KPIJMZ_QM VQKP\V]Zb]Z;\ÃZSMLM[5IOVM\NMTLM[*]VLb]U LQM .MTLTQVQMV QU 1VVMZMV MQVM[ 8MZUIVMV\UIO ;\ZWU1XZWXWZ\QWVITQ[\[WVLMZVI]KPb]Z4ÃV VM\MV ^MZTI]NMV TÃ[[\ [QKP V]Z UQ\ [MPZ \ZQKSZMQ OMTUQ\LMZ[QKPLMZ,ZIP\QU.MTLJMâVLM\[MQ KPMV5M[[^MZNIPZMVPMZI][âVLMV M[ _MQT MZ VQKP\ TÃVOMZ Q[\ [MQ M[ _MQT LI[ .MTL )TTM *MQ[XQMTM bMQOMV" 5IOVM\Q[KPM .MTLTQVQMV VQKP\ _MQ\MZ ZMQKP\ ,MZ B][IUUMVPIVO NÛZ LQM JQTLMVQUUMZQV[QKPOM[KPTW[[MVM;KPTMQNMVOIVb *M\ZÃOMQ[\QVLQM[MU.ITTLMVSJIZMQVNIKP" IVLMZ[ IT[ MTMS\ZQ[KPM .MTLTQVQMV LQM QUUMZ I]N MTMS\ZQ[KPMV 4IL]VOMV [\IZ\MV WLMZ MVLMV ,QM[ TQMO\MJMVLIZIVLI[[M[SMQVMUIOVM\Q[KPMV4I >MZTÃ]N\ LMZ ,ZIP\ ITTMZLQVO[ ]V\MZ MQVMU L]VOMVOQJ\ ?QVSMTα[KPZÃOb]U.MTL[WSWUU\VWKPMQV;Q V][PMZMQV" Merke

Magnetische Feldlinien bilden immer geschlossene Schleifen.

/IVbITTOMUMQV_QZLLQM4WZMV\b3ZIN\L]ZKP LI[ 3ZM]bXZWL]S\ JM[KPZQMJMV LI[ ÛJMZ LQM

Wo ist Norden? 7 Frage. Der Nordpol einer Kompassnadel zeigt nach Norden. Wo also liegt der Nordpol des Erdmagnetfeldes? 7 Antwort. In der Antarktis, also am Südpol; denn der Nordpol eines Magneten wird vom Südpol des anderen angezogen und umgekehrt. Dass Atlanten ihn in die Arktis verlegen, ist zwar physikalisch falsch, aber trotzdem sinnvoll: man müsste sonst zu viel erklären. . Abb. 6.80. Lorentz-Kraft. Auf einen vom Strom I durchﬂossenen Draht, der quer im Magnetfeld B liegt, wirkt eine zu beiden senkrechte Kraft F

226

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

:MKP\M0IVL:MOMT 7 Kap. 1.4 I]KP OTMQKP LQM :QKP\]VOMQVLM]\QONM[\TMO\" Lorentz-Kraft

,ILQM[M/TMQKP]VOLMV;\ZWUIb]U>MS\WZ MZVMVV\ SIVV [QM LQM ,ZIP\TÃVOMT V]Z IT[ [SI TIZMV.IS\WZ_MZ\MV,QM/ZÕ¾MBQ[\MQV5I¾NÛZ LQM;\ÃZSMLM[UIOVM\Q[KPMV.MTLM[#[QMJMSWUU\ LMV6IUMV magnetische Flussdichte]VLLQM-QV PMQ\>[U%<Tesla ?IZ]UVMVV\UIVBVQKP\iUIOVM\Q[KPM.MTL [\ÃZSMt'5IV\]\M[b]_MQTMV]VL^QMTTMQKP\[M\b\ . Abb. 6.81. Kraft auf Leiterschleife. Eine um eine horizon[QKPLQM[M*MbMQKPV]VOUQ\LMZBMQ\WNâbQMTTL]ZKP tale Achse drehbare Leiterschleife dreht sich bei Stromﬂuss bis in die gezeichnete Stellung 0Q[\WZQ[KP_]ZLMLMZ6IUMIJMZIVMQVMb]BXZW XWZ\QWVITM]VLQU>IS]]UIT[>MS\WZXIZITTMTOM ZQKP\M\M /ZÕ¾M H UQ\ LMZ -QVPMQ\ )U ^MZOMJMV IT\MV,ZMP[QVV_MQ\MZ6IKPLQM[MU8ZQVbQXIZJMQ ,QM[M/ZÕ¾MQ[\NÛZLI[QVOMVQM]ZUÃ¾QOM:MKPVMV \MV^QMTM-TMS\ZWUW\WZMV"-QVUQ\LMZ)KP[MNM[\ ^WV*MLM]\]VO ^MZJ]VLMVMZ8WT_MVLMZ[KPIT\M\LMV;\ZWUQVLMZ ;KPTMQNMQUUMZQUZQKP\QOMV5WUMV\I]N/MOMV 3Unter bestimmten technisch wichtigen Bedingun- ZQKP\]VO]UB]Z>MZ[\ÃZS]VOLMZ3ZIN\_QZLLMZ gen sind B und H immer proportional gemäß ,ZIP\ QV ^QMTMV ?QVL]VOMV b] MQVMZ ,ZMP[X]TM OM_QKSMT\]VLJMSWUU\I]KPVWKPMQVMV?MQKP dabei ist μ0 eine magnetische Feldkonstante und μr ei- MQ[MVSMZV ne Materialkonstante für magnetische Materialien, die relative Permeabilität. Liegt diese Proportionalität vor, so ist es gleichgültig, ob man die Gesetzmäßigkeiten des Magnetismus mit B oder mit H formuliert. Im allgemeinen Fall aber ist B die eigentliche magnetische Feldgröße. Deshalb wird die Stärke magnetischer Felder allgemein in Tesla angegeben.

Merke

14

Kraft auf Strom im Magnetfeld: Lorentz-Kraft

15 16 17 18 19 20

*QMO\ UIV LMV ,ZIP\ b] MQVMZ ZMKP\MKSQOMV ;KPTMQNM LZMPJIZ ]U MQVM PWZQbWV\ITM )KP[M OM TIOMZ\ [W LZMP\ MZ [QKP JQ[ QV LQM ;\MTT]VO LMZ . Abbildung 6.81,IVV PÕZ\ LQM *M_MO]VO I]N" )TTM 4MQ\MZ\MQTM [\MPMV RM\b\ [MVSZMKP\ b]U .MTL LQM3ZÃN\MUÕKP\MVLQM4MQ\MZ[KPTMQNMI][MQVIVLMZ bQMPMV#LI[^MZPQVLMZ\IJMZQPZMUMKPIVQ[KPM.M[ \QOSMQ\ ;KPIT\M\ UIV LMV ;\ZWU S]Zb ^WZ -ZZMQ KPMV LQM[MZ ;\MTT]VO IJ ]VL S]Zb LIVIKP QV /M OMVZQKP\]VO_QMLMZMQV[WLZMP\[QKPLQM;KPTMQNM LIVSQPZMZUMKPIVQ[KPMV
3Die Drehspule bildet einen stromabhängigen magnetischen Dipol. Analog zum elektrischen Dipol ordnet man ihm ein sog. magnetisches Moment m zu, ein magnetisches Dipolmoment also, und schreibt für das wirkende Drehmoment

Gibt man einer Drehspule mit Spiralfedern eine Ruhestellung vor und setzt sie quer in ein Magnetfeld, so wird sie zum Strommesser: Mit wachsendem I wächst ihr Dipolmoment, mit diesem das Drehmoment, mit diesem der Auslenkwinkel. So arbeiten alle analog anzeigenden Drehspulinstrumente (. Abb. 6.82). Primär reagiert ein solches Instrument auf die Kraft, die ein stromdurchﬂossener Leiter im Magnetfeld erfährt, also auf Strom; es kann aber zum Spannungsmesser umgeeicht werden, weil der Widerstand der Drehspule bekannt und ohmsch ist. Fließt ein Strom im Metalldraht, so wandern Elektronen. Auch ein Strahl freier Elektronen, z. B. in einer Fernsehbildröhre, bedeutet einen Strom, auf den die Lorentz-Kraft wirkt. In der Tat wird der Elektronenstrahl in einer Fernsehbildröhre mit Magnetfeldern gesteuert. Die Formel für die Lorentz-Kraft auf ein einzelnes Elektron lautet:

6

227

6.10 · Magnetische Felder

6.10.3 Erzeugung von Magnetfeldern

!

,QMMQVNIKP[\M)VWZLV]VOUQ\LMZUIVMQV5I OVM\NMTLMZbM]OMVSIVVQ[\MQVMQVNIKPMZ[\ZWU L]ZKPãW[[MVMZ ,ZIP\ ,QM 5IOVM\NMTLTQVQMV TI] NMV QV SWVbMV\ZQ[KPMV 3ZMQ[MV ]U QPV PMZ]U . Abb. 6.776IKPUM[[MVbMQO\LI[[NÛZLQM;\ÃZ SMLM[5IOVM\NMTLM[QU)J[\IVLZ^WU,ZIP\OQT\"

,I[.MTL_QZLIT[WUQ\_IKP[MVLMU)J[\IVL [KP_ÃKPMZQ[\LQM magnetische Feldkonstante:

. Abb. 6.82. Drehspulinstrument. Ein starker Hufeisenmagnet erzeugt mit Polschuhen und zylinderförmigem Weicheisenkern ein konstantes Magnetfeld, das im Wesentlichen radialsymmetrisch auf die Achse der Drehspule zuläuft. Diese ist reibungsarm in Spitzen gelagert und wird von zwei Spiralfedern gehalten, die zugleich als Stromzuführungen dienen

Hierbei ist M die Elementarladung des Elektrons und v seine Geschwindigkeit. Weil hiernach die Lorentz-Kraft immer senkrecht auf der Geschwindigkeit steht, wird ein Elektronenstrahl in einem homogenen Magnetfeld auf eine Kreisbahn abgelenkt und irgendwelche anderen frei ﬂiegenden geladenen Teilchen (Ionen) auch. Aus dem Durchmesser der Kreisbahn lässt sich die Masse des Teilchens bestimmen. Zu diesem Zweck hat die Technik komfortable Massenspektrometer entwickelt, die auf geschickte Weise die Ablenkung geladener Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern kombinieren.

>[ %w6 )U

,MZ=UTI]N[QVVLM[.MTLM[NWTO\LMZ;KPZI] JMVZMOMT",ZMP\UIVMQVM;KPZI]JMUQ\:MKP\[OM _QVLMQU=UTI]N[QVV[W_QVLM\[QKPLQM;KPZI] JMQV;\ZWUZQKP\]VO ?QKSMT\UIVLMV,ZIP\b]MQVMZ;X]TMI]N[W ILLQMZMV[QKPLQM.MTLMZLMZMQVbMTVMV;KPTMQNMV _QM M[ .Abbildung 6.78 ]VL .Abbildung 6.79 IV[KPI]TQKP UIKPMV ,I[ .MTL QU 1VVMZMV MQVMZ TIVOMVbaTQVLZQ[KPMV;X]TMQ[\PWUWOMV]VLPI\ LQM;\ÃZSM"

,IJMQQ[\6LQM?QVL]VO[bIPT]VLTLQM4ÃV OMLMZ;X]TMZQ[\LQMZMTI\Q^M8MZUMIJQTQ\Ã\MQVM[ M^MV\]MTT^WZPIVLMVMV-Q[MVSMZVM[QVLMZ;X]TM ^WVLMUOTMQKPVWKPLQM:MLM[MQV_QZL ?QMIJMZSWUU\MQV8MZUIVMV\UIOVM\b][MQ VMU.MTL',I[UÛ[[MVLQM)\WUMÛJTQKPMZ_MQ[M-Q [MVI\WUMI][LMVMVMZJM[\MP\TQMNMZV=UOMVI] b]^MZ[\MPMV_QM[QMLI[\]VUÛ[[\MUIV9]IV ?I[IJMZQ[\UQ\LMZ3WUXI[[VILMTLQMLQM[M[3I \MVXPa[QSJM\ZMQJMV1VMQVMUOIVbMQVNIKPMVSTI[ XQ\MT MQVOMTMQ\M\ PI\' 7NNMV[QKP\TQKP ÛJ\ LI[ 5I [Q[KPMV *QTL Q[\ LQM >WZ[\MTT]VO MZTI]J\ LQM -TMS OVM\NMTL LMZ -ZLM MQV ,ZMPUWUMV\ I]N [QM I][ \ZWVMVLMZ)\WUPÛTTMSZMQ[\MV]ULMV)\WUSMZV .WTOTQKP U][[ [QM MQV UIOVM\Q[KPM[ 5WUMV\ JM JQTLM\MV IT[W MQVMV I\WUIZMV :QVO[\ZWU ,QM[MZ [Q\bMV,I[SÕVVMVQPZV]ZLQM)\WUMOMOMJMVPI MZbM]O\LIVVMQV5IOVM\NMTL_QMMQVM;X]TM JMVI][LMVMV[QMJM[\MP\6WZUITMZ_MQ[M[QVLM[ ,QM[M I\WUIZMV :QVO[\ZÕUM SÕVVMV I]¾MZWZ )\WUMLM[-TMUMV\[-Q[MV LMV\TQKPOZW¾_MZLMV]VLLI[.MTLMQVMZ;X]TMMZ PMJTQKP ^MZ[\ÃZSMV ;KPZI]J\ UIV MQVMV -TMS\ZW UW\WZI][MQVIVLMZ[W[\MTT\UIVNM[\LI[[ITTM;X] TMVQVQPU]U-Q[MVSMZVMOM_QKSMT\[QVL-Q[MVQ[\ MQVferromagnetisches MaterialLI[LI[UIOVM\Q[KPM .MTLQVLMZ;X]TM]UMQVMV.IS\WZZ^MZ[\ÃZS\LMZ

228

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1

. Tabelle 6.1. Vergleich der Felder

2

Elektrisches Feld

Magnetisches Feld

Wird durch Ladungen erzeugt

Wird durch Ströme erzeugt

Feldlinien beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen

Feldlinien bilden geschlossene Ringe um Ströme

Kraft auf Ladungen

Kraft auf bewegte Ladungen (Ströme)

Die Coulomb-Kraft steht parallel zu den Feldlinien und hängt an E

Die Lorentz-Kraft steht senkrecht zu den Feldlinien und hängt an B

3 4 5 6 7

relative Permeabilität PMQ¾\ ]VL JMQ O]\MV 5I\MZQ

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ITQMV MQVMV ?MZ\ ^WV JQ[ IVVMPUMV SIVV -Z[\ LQM[M MVWZUM >MZ[\ÃZS]VO LM[ UIOVM \Q[KPMV.MTLM[]VLLIUQ\LMZ4WZMV\b3ZÃN\MUIKP\ STMQVM ]VL XZMQ[_MZ\M -TMS\ZWUW\WZMV UÕOTQKP ,MZ 3MZV[XQV\WUWOZIXP 7Kap. 8.2.1 JMQ LMU LMZ8I\QMV\QVMQVPWPM[5IOVM\NMTLOMJZIKP\_MZ LMV U][[ SIVV LQM[MV >MZ[\ÃZS]VO[MNNMS\ TMQLMZ VQKP\V]\bMVLIRILMZ8I\QMV\QVLQM;X]TMU][[ =V\MZIVLMZMUI]KPLM[PITJQ[\LI[/MZÃ\[W\M]MZ 7N\_QZLLI[UIOVM\Q[KPM.MTLUQ\LMUMTMS \ZQ[KPMV ^MZOTQKPMV ]VL LIJMQ LQM £PVTQKPSMQ\MV PMZI][OM[\MTT\ )JMZ MQOMV\TQKP [QVL LQM .MTLMZ ZMKP\^MZ[KPQMLMV. Tabelle 6.1^MZOTMQKP\LQM.MT LMZUQ\MQVIVLMZ 3Es wurde schon über Substanzen mit höchst unterschiedlichen magnetischen Eigenschaften gesprochen. Eine Kompassnadel stellt einen permanenten magnetischen Dipol dar; einmal aufmagnetisiert behält sie ihre Magnetisierung (weitgehend) bei – Substanzen dieser Art bezeichnet man als harte Ferromagnetika (auch wenn sie gar kein Eisen enthalten). Die Eisenfeilspäne, die auf glattem Karton Feldlinienbilder produzierten, liefern ebenfalls kleine, aber durchaus makroskopische magnetische Dipole, dies aber nur, solange sie sich in einem äußeren Magnetfeld beﬁnden; im feldfreien Raum verlieren sie (weitgehend) ihre Magnetisierung – Substanzen dieser Art nennt man weiche Ferromagnetika. Der glatte Karton hingegen diente nur als mechanische Unterlage; im Vergleich zu den Ferromagneten darf man ihn als unmagnetisch ansehen. So ganz ist er das freilich nicht.

Atome bestehen aus einem kleinen Kern, der von einer vergleichsweise großen Elektronenhülle umgeben ist. Auch wenn das Bild nicht genau stimmt, darf man zuweilen so tun, als kreisten die Elektronen in dieser Hülle um den Kern herum wie Planeten um eine Sonne. Ein kreisendes Elektron repräsentiert aber einen elektrischen Kreisstrom und damit einen elementaren magnetischen Dipol. Dabei gibt es nun zwei grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten. Die verschiedenen Elektronen einer Hülle können ihre Kreisbahnen so legen, dass sich ihre magnetischen Dipolmomente kompensieren und sich nur in einem äußeren Feld mehr oder weniger ausrichten; dann ist das Atom als Ganzes unmagnetisch, kann aber magnetisiert werden – solche Substanzen nennt man diamagnetisch. Die Kompensation kann aber auch von vornherein nicht gelingen; dann besitzt das einzelne Atom ein magnetisches Moment, das nur deswegen makroskopisch nicht in Erscheinung tritt, weil die thermische Bewegung die Richtungen aller Dipole ständig durcheinander wirbelt; ein äußeres Feld kann sie aber ausrichten – solche Substanzen nennt man paramagnetisch (elektrische Analogie wäre die Orientierungspolarisation – 7Kap. 6.6.3). Paramagnetische Atome geben beispielsweise die Signale, die bei der Kernspinresonanztomographie (7Kap. 8.2.1) beobachtet werden. Ob diamagnetisch, ob paramagnetisch – die Magnetisierung durch ein äußeres Feld bleibt gering. Manche paramagnetischen Atome richten sich aber spontan im Feld ihrer Nachbarn aus und bilden dann im Kristall Domänen gleichgerichteter Magnetisierung. Solange viele Domänen durcheinander liegen, macht sich auch das zunächst nach außen kaum bemerkbar. In einem äußeren Feld wachsen aber die Domänen mit „richtig gerichteter“ Magnetisierung auf Kosten der anderen. Das geht relativ leicht, denn kein Atom braucht dafür seinen Gitterplatz zu verlassen. Die Magnetisierung ist kräftig und kann bis zur vollständigen Ausrichtung, bis zur Sättigung, steigen. Je mehr Magnetisierung nach Abschalten des äußeren Feldes übrig bleibt, desto „härter“ ist das Ferromagnetikum. Freilich steht die thermische Bewegung der Domänenbildung entgegen; oberhalb seiner Curie-Temperatur wird jeder Ferromagnet zum Paramagneten. Das magnetische Feld im Innern einer gestreckten Spule ist homogen, variabel und berechenbar, aber es ist schwer zugänglich: Die Spule steht im Wege. Vollends unzugänglich wird es, wenn man zur Erhöhung der Flussdichte einen ferromagnetischen „Weicheisenkern“ mit hoher Permeabilität einschiebt (aus magnetisch, nicht mechanisch weichem Eisen): Jetzt kann man nur noch im äußeren Streufeld experimentieren.

229

6.11 · Induktion

Aber auch dieses Feld lässt sich homogen machen, wenn man nämlich den Eisenkern zu einem U biegt und seinen Schenkeln Polschuhe aufsetzt, die sich auf kurzem Abstand mit planparallelen Oberﬂächen gegenüberstehen. Das Magnetfeld läuft, soweit ihm das irgend möglich ist, im Bereich hoher Permeabilität, also im Eisen. An den Polschuhen hilft es ihm aber nichts, es muss in die Luft übertreten und nun bei μr = 1 eine vergleichsweise hohe magnetische Feldstärke erzeugen. Schneidet man die Polschuhe schräg an, so lassen sich auch Felder mit deﬁnierter Inhomogenität erzeugen.

Rechenbeispiel 6.16: Luftspule 7 Aufgabe. Eine Spule habe 1000 Windungen, sei 10 cm lang und werde von einem Strom von 10 A durchﬂossen. Welche magnetische Flussdichte ergibt sich im Inneren? 7 Lösung.

Rechenbeispiel 6.17: Motor aus Draht und Luft 7 Aufgabe. Wir wollen einmal abschätzen, was ein Elektromotor ohne Eisen schaffen kann. Wir nehmen die Anordnung der . Abbildung 6.88 und setzen sie in das eben berechnete Magnetfeld. Statt einer Leiterschleife nehmen wir eine rechteckige Spule mit 1000 Windungen und den Abmessungen 10 cm in Drehachsenrichtung und 5 cm senkrecht zur Drehachse. Welche Kräfte und welches Drehmoment wirken maximal auf diese Drehspule, wenn 1 A hindurchﬂießt? 7 Lösung. Die Lorentz-Kraft auf einen achsparallelen Teil der Spule beträgt 1000-mal die Kraft auf einen einzelnen Leiter: . Das maximale Drehmoment ist dann . Das schafft ein Mechaniker mit seinem Schraubenschlüssel mit Leichtigkeit. Eine Straßenbahn bekommt man damit nicht in Bewegung. Deshalb ﬁndet sich in einem Elektromotor immer ferromagnetisches Eisen, das das Feld verstärkt.

6.11

6

Induktion

6.11.1 Einführung

!

.ÛZLQM4WZMV\b3ZIN\PI\V]ZLQM*M_MO]VOLMZ 4IL]VO[\ZÃOMZ *MLM]\]VO VQKP\ LMZMV =Z[IKPM 4QMO\ [QM _QM QU ^WZQOMV 3IXQ\MT JM[XZWKPMV QV MQVMUMTMS\ZQ[KPMV.MTLLI[LQM-TMS\ZWVMVMQVMV ,ZIP\MV\TIVObQMP\[W_MQKPMV[QMQU5IOVM\NMTL Y]MZb]U,ZIP\I][]VLVMPUMVQPVUQ\#:M[]T \I\Q[\MQVMUMKPIVQ[KPVIKP_MQ[JIZM3ZIN\,MVS JIZ_ÃZMIJMZI]KPLQM["5IVJM_MO\LMV,ZIP\ i^WV0IVLtY]MZb][QKP[MTJ[\L]ZKPLI[5IOVM\ NMTLVQUU\IT[WLQM-TMS\ZWVMVUMKPIVQ[KPUQ\ ?QMLMZ _MQKPMV [QM Y]MZ b] .MTL ]VL *M_MO]VO I][ LQM[UIT IT[W QV 4ÃVO[ZQKP\]VO LM[ ,ZIP\M[ ]VL[IUUMTV[QKPIV[MQVMU-VLM:M[]T\I\Q[\MQ VM;XIVV]VO]VL_MVVLMZ4MQ\MZSZMQ[I]¾MZPITJ LM[.MTLM[OM[KPTW[[MVQ[\MQVMTMS\ZQ[KPMZ;\ZWU . Abb. 6.83 ,QM >WZPMZ[IOM LM[ 5WLMTT[ TÃ[[\ [QKP TMQKP\ M `XMZQUMV\MTT JM[\Ã\QOMV 5Q\ LMZ LZMPJIZMV 4MQ \MZ[KPTMQNM LQM QV . Abbildung 6.81 ^MZ_MVLM\ _]ZLM SIVV UIV LMV >MZ[]KP [WOIZ XMZQWLQ[KP _QMLMZPWTMV# UIV MZ[M\b\ LQM ;XIVV]VO[Y]MTTM L]ZKP MQVMV ;XIVV]VO[UM[[MZ ]VL LZMP\ LQM ;KPTMQNM UQ\ MQVMZ 0IVLS]ZJMT . Abb. 6.84 -Z OMJVQ[ Q[\ MQVM ?MKP[MT[XIVV]VO 6IKP LQM[MU 8ZQVbQXIZJMQ\MVLQM/MVMZI\WZMVLMZ-TMS\ZQbQ\Ã\[ _MZSMQVITTMZ?MT\?MZNZMQTQKPLQM;KPTMQNMVQKP\

. Abb. 6.83. Induktion. Bewegt man einen Draht mit der Geschwindigkeit v quer zu einem Magnetfeld (das hier nach hinten weist), so wird an seinen Enden eine Spannung induziert. Ist der Leiterkreis außerhalb des Magnetfeldes geschlossen, so ﬂießt ein Strom I

230

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

1 2 3 4 5 6

. Abb. 6.84. Generator. Dreht man eine Leiterschleife im Magnetfeld wie gezeichnet, so wird eine Wechselspannung induziert

7 8 9 10 11 12 13

. Abb. 6.85. Zur Induktion. Keine Spannung wird induziert, wenn man die Schleife parallel zum Magnetfeld bewegt

14

LZMP\ [WVLMZV V]Z QV :QKP\]VO LMZ .MTLTQVQMV XIZITTMT ^MZ[KPQMJ\ . Abb. 6.85 LMZ LIZN SMQVM ;XIVV]VOMZ_IZ\MV".ÛZLQM4WZMV\b3ZIN\bÃPT\RI V]ZMQVM*M_MO]VO[SWUXWVMV\MY]MZb]U.MTL -[UIOI]NLMVMZ[\MV*TQKSÛJMZZI[KPMVIJMZ I]KPLIVV_MVVUIVLQMSWUXTM\\M,ZIP\[KPTMQ NM Y]MZ b]U .MTL ^MZ[KPQMJ\ . Abb. 6.86 JM SWUU\UIVSMQVM;XIVV]VORMLMVNITT[[WTIVOM VQKP\_QMUIVQUPWUWOMVMV<MQTLM[5IOVM\ NMTLM[ ^MZJTMQJ\ -QVM OMVI]MZM »JMZTMO]VO JM [IO\" ?WPT bQMP\ LQM 4WZMV\b3ZIN\ LQM -TMS\ZW VMV QU WJMZMV ]VL QU ]V\MZMV 0WZQbWV\ITLZIP\ LMZ;KPTMQNMb]Z;MQ\MIJMZJMQLM5ITMQVLMZOTMQ KPMV OMWOZIXPQ[KPMV :QKP\]VO# QU =UTI]N[QVV LMZ 5I[KPMVZMOMT [\MPMV LQM ;XIVV]VOMV LIZ ]UOMOMVMQVIVLMZ]VLPMJMV[QKPLIQPZM*M\ZÃ OMOTMQKP[QVLI]N1UQVPWUWOMVMV.MTL\]V[QM LQM[VQKP\#[QM[QVLRIVQKP\OTMQKP ,MVSJIZ_ÃZM[KPTQM¾TQKPVWKPLI[[UIVLQM JMQLMVQV.ZIOM[\MPMVLMV,ZIP\[\ÛKSMQVMV\OM OMVOM[M\b\MV:QKP\]VOMV^MZ[KPQMJ\. Abb. 6.87# LI[OMP\V]ZUQ\/M_IT\_MQTUIVLQM;KPTMQNM^MZ JQMOMVU][[1UUMZPQVTQMOMVLQM4WZMV\b3ZÃN\M QVLQM[MU.ITTOMWOZIXPQ[KPMV\OMOMVOM[M\b\]VL ILLQMZMVLQM^WVQPVMVMZbM]O\MV;XIVV]VOMVQV LMZ5I[KPM ,QM -ZOMJVQ[[M LMZ NÛVN /MLIVSMV^MZ[]KPM LQMUIVITTMXZIS\Q[KPI][NÛPZMVSIVVTI[[MV[QKP NWTOMVLMZUI¾MVb][IUUMVNI[[MV" 5 ;KPTMQNMZW\QMZ\.MTLPWUWOMVWLMZQVPWUW OMVw:M[]T\I\"?MKP[MT[XIVV]VO 5 ;KPTMQNM OTMQ\M\ XIZITTMT b]U .MTL PWUWOMV WLMZQVPWUWOMVw:M[]T\I\"SMQVM;XIVV]VO

15 16 17 18 19 20

. Abb. 6.86. Zur Induktion. Keine Spannung wird induziert, wenn man die Schleife parallel zu sich selbst in einem homogenen Magnetfeld verschiebt

. Abb. 6.87. Zur Induktion. Spannung wird induziert, wenn man die Leiterschleife im Magnetfeld verbiegt

231

6.11 · Induktion

6

5 ;KPTMQNM OTMQ\M\ Y]MZ b]U PWUWOMVMV .MTL w

WN\[\MP\PQMZQV4MPZJÛKPMZVMQVVMOI\Q^M[>WZ :M[]T\I\"SMQVM;XIVV]VO bMQKPMV,QM[Q[\V]ZMQVM.ZIOMLMZ>WZbMQKPMV 5 ;KPTMQNMOTMQ\M\Y]MZb]UQVPWUWOMVMV.MTLw SWV^MV\QWV :M[]T\I\";XIVV]VO Merke 5 ;KPTMQNM_QZL^MZNWZU\.MTLPWUWOMVWLMZQV PWUWOMVw:M[]T\I\";XIVV]VO Induktionsgesetz: In eine Leiterschleife indu.ZIOM" /QJ\ M[ MQVMV ÛJMZOMWZLVM\MV /M[QKP\[ X]VS\LMZLQMJMQLMV[XIVV]VO[TQMNMZVLMV.ÃTTM ^WVLMVIVLMZMV]V\MZ[KPMQLM\' -[OQJ\QPV-QVM;XIVV]VO\ZQ\\QUUMZLIVV I]N_MVVLMZmagnetische FlussΦLMZLQM;KPTMQ NML]ZKP[M\b\[QKPÃVLMZ\,MZUIOVM\Q[KPM.T][[ Q[\OZWJOM[XZWKPMVLQMBIPTLMZ.MTLTQVQMVLQM L]ZKPLQM;KPTMQNMPQVL]ZKP\ZM\MV5I\PMUI\Q[KP XZÃbQ[MZQ[\MZLI[;SITIZXZWL]S\I][LMZUIOVM \Q[KPMV .T][[LQKP\M B ]VL LMZ .TÃKPM A LQM ^WV LMZ;KPTMQNM]UZIVLM\_QZL"

zierte Spannung LΦ =QVL%51 L\ Magnetischer Fluss Φ: „Zahl der Feldlinien durch die Leiterschleife“

,I[ Q[\ LQM QV MQVM MQVbMTVM 4MQ\MZ[KPTMQNM QVL] bQMZ\M;XIVV]VO-QVM;X]TMUQ\6?QVL]VOMVJM [\MP\I][6[WTKPMZ4MQ\MZ[KPTMQNMVPQV\MZMQVIVLMZ QV[QM_QZLIT[WLQM6NIKPM;XIVV]VOQVL]bQMZ\" ;X]TM"

;QVLLQM-VLMVLMZ1VL]S\QWV[[X]TMÛJMZMQ 0QMZ Q[\ LQM[M .TÃKPM IT[ >MS\WZ IVOMOMJMV VMV?QLMZ[\IVLTMQ\MVLUQ\MQVIVLMZ^MZJ]VLMV ,QM[MZ >MS\WZ [WTT [MVSZMKP\ I]N LMZ .TÃKPM [\M [WOMPÕZ\b]LMZQVL]bQMZ\MV;XIVV]VOI]KPMQV PMV ]VL [MQV *M\ZIO Q[\ LMZ .TÃKPMVQVPIT\ Α Q[\ LMZ?QVSMTb_Q[KPMVLMU.TÃKPMV^MS\WZ]VLLMV Rechenbeispiel 6.18: Generator aus Luft und 5IOVM\NMTLTQVQMV ;\MP\ B [MVSZMKP\ I]N LMZ .TÃ Draht KPM[QVLB]VLAIT[WXIZITTMT[WQ[\LQM[M[;SI 7 Aufgabe. Die in Rechenbeispiel 6.17 als Motor TIZXZWL]S\MQVNIKPOTMQKPLMU8ZWL]S\LMZ*M\ZÃ betrachtete Anordnung kann auch als Generator OM*]VL)"Φ%*) gedacht werden, der eine Wechselspannung liefert. Wie groß ist ihr Maximalwert, wenn die Recht,ZMP\LQM;KPTMQNMIJMZQU5IOVM\NMTL]ULMV ?QVSMT α [W _QZL Φ STMQVMZ w ^WV LMZ \I\[ÃKP eckspule mit einer Winkelgeschwindigkeit von TQKPMV .TÃKPM bÃPT\ RI V]Z LQM 3WUXWVMV\M LQM ω = 100 s–1 rotiert? Y]MZQU.MTL[\MP\]VL_QZSTQKP^WVQPUL]ZKP 7 Lösung. Die Querschnittsﬂäche der Spule be[M\b\_QZL:W\QMZ\LQM;KPTMQNM_QMQUMZ[\MV.ITT trägt A = 0,1 m · 0,05 m = 5 · 10–3 m2. Der magne[WÃVLMZ\[QKPLMZUIOVM\Q[KPM.T][[IT[WXMZQW tische Fluss durch diesen Querschnitt variiert mit LQ[KP 1U ^QMZ\MV .ITT JTMQJ\ ) SWV[\IV\ IJMZ * . dem Drehen der Spule gemäß VQKP\]VLQUNÛVN\MV.ITT_QZL)OM_IT\[IU^MZ Die Zeitableitung ist nach Kettenregel ÃVLMZ\ ,QM[M,M]\]VO^MZTMQ\M\b]MQVMZSÛPVMV0a XW\PM[M" ?MVV M[ V]Z I]N MQVM £VLMZ]VO LM[ Die maximale Flussänderung ist also _QZS[IUMV.T][[M[ ΦIVSWUU\LIVVU][[UIV MQVM;XIVV]VOI]KPWPVMRMLMUMKPIVQ[KPM*M _MO]VO QVL]bQMZMV SÕVVMV QVLMU UIV MQVM Induktionsschleife b_Q[KPMV LQM ?QVL]VOMV MQVMZ 5IOVM\[X]TM [KPQMJ\ ]VL LMV ;X]TMV[\ZWU MQV WLMZI][[KPIT\M\1VLMZ
send Volt liefern.

232

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

;\ZWU]VLIT[8ZWL]S\JMQLMZMQVMQV;\ZWU_ÃZUM ]UOM[M\b\M MTMS\ZQ[KPM 4MQ[\]VO ;QM U][[ LMU -VMZOQM[I\bMV\[XZMKPMVL^WVLMURMVQOMVI]NOM JZIKP\ _MZLMV LMZ JMQ[XQMT[_MQ[M LQM ;X]TM QU 5IOVM\NMTLLZMP\,QM[NÃTT\QPU]U[W[KP_MZMZ RMPÕPMZLMZ4MQ\_MZ\LM[?QLMZ[\IVL[Q[\",]ZKP 1VL]S\QWV SIVV UMKPIVQ[KPM -VMZOQM QV MTMS\ZQ [KPM ]UOM_IVLMT\ _MZLMV ]VUQ\\MTJIZ ]VL WP VMBMQ\^MZbÕOMZ]VO ,IZQV TQMO\ LQM )]NOIJM LMZ -TMS\ZQbQ\Ã\[_MZSM ]VL QPZ 8ZWJTMU b]OTMQKP" ;QM SÕVVMVMTMS\ZQ[KPM-VMZOQMVQKP\I]N>WZZI\PIT \MV# LQM <]ZJQVM LQM LMV /MVMZI\WZ LZMP\ U][[ RMLMZbMQ\R][\LQMRMVQOM4MQ[\]VOIVQPVIJTQMNMZV LQMITTM>MZJZI]KPMZb][IUUMVIUIVLMZMV-VLM LMZ 4MQ\]VO MTMS\ZQ[KP ^MZTIVOMV XT][ 4MQ\]VO[ ]VL:MQJ]VO[^MZT][\M

OMVI]ITTMZLQVO[V]Z_MVVLQMWPU[KPMV?QLMZ [\ÃVLMLMZ;X]TMV^MZVIKPTÃ[[QO\_MZLMV ,I LQM MTMS\ZQ[KPM 4MQ[\]VO 8%=1 LQM QV ?MZLQM;X]TMMQVM[-TMS\ZWUIOVM\MVUQ\?MKP LMV
!

Steckdose

16 17 18 19 20

bQMZ\MV?MKP[MT[XIVV]VOXZWXWZ\QWVITb]LMZMV ?QVL]VO[bIPT 6[ Q[\ 3MQVM[_MO[ I]N LMV MZ[\MV *TQKSTM]KP\M\NZMQTQKPMQVLI[[=[b]Z?QVL]VO[ bIPT 6X LMZ 8ZQUÃZ[X]TM ]UOMSMPZ\ XZWXWZ\QW VITQ[\-QVMSWZZMS\M*MOZÛVL]VOMZNWZLMZ\UMPZ )]N_IVL IT[ LQM LIUQ\ OM_QVVJIZM -ZSMVV\VQ[ ZMKP\NMZ\QO\ w 0QV_MQ[M OQJ\ LI[ VÃKP[\M 3IXQ \MT2MLMVNITT[MZTI]J\MQVTransformator?MKP[MT [XIVV]VOMVVQKP\V]ZPMZIJb][M\bMVLI[SÕVV\M MQV ;XIVV]VO[\MQTMZ RI MJMVNITT[ [WVLMZV I]KP PMZI]N,I[»JMZ[M\b]VO[^MZPÃT\VQ[b_Q[KPMV8ZQ UÃZ[XIVV]VO=X]VL;MS]VLÃZ[XIVV]VO=[MV\ [XZQKP\ LMU >MZPÃT\VQ[ LMZ ?QVL]VO[bIPTMV 6X ]VL6["

. Abb. 6.88. Experimentiertransformator, mit windungsreicher Primärspule (links) und windungsarmer Sekundärspule (rechts) zur Erzeugung hoher Ströme bei kleiner Spannung

7 Aufgabe. Der Transformator in . Abbildung 6.95 habe primärseitig 500 Windungen und sekundärseitig 5 und werde an die Steckdose (230 V) angeschlossen. Welche Spannung ergibt sich etwa auf der Sekundärseite und welcher Strom kann sekundärseitig gezogen werden, bevor die 16-ASicherung hinter der Steckdose herausﬂiegt? 7 Lösung. Das Windungsverhältnis ist 100:1. An der Sekundärseite ist die Spannung etwa 2,3 V und der Strom kann bis ca. 1500 A steigen. Es ist ein schöner Vorlesungsversuch mit diesem Trafo einen dicken Eisennagel durchzuschmelzen.

233

6.11 · Induktion

;\MKSLW[MVTQMNMZV?MKP[MT[\ZWU_MQTUQ\/TMQKP [XIVV]VOSMQVMMZ[WZO]VOUQ\MTMS\ZQ[KPMZ-VMZOQM6]Z[QMMZ TI]JMVLMV=U[XIVV_MZSMVLQM4MQ[\]VOLQMMQ VM;\IL\UQ\>]U[M\bMV_QTTI][LMZ.MZVTMQ \]VOUQ\S>b]JMbQMPMVIT[WUQ\Z]VLMQVMU
6

?QZL V]V LQM ;XIVV]VO = b]U *MQ[XQMT MQ VMZ*I\\MZQMIVLQM;X]TMOMTMO\[WSIVV=QVLLQM [M*I\\MZQM[XIVV]VO=VQKP\ÛJMZ[KPZMQ\MV[WV[\ PÃ\\MV _QZ OMZILM MQV 8MZXM\]]U UWJQTM MZN]V LMVLI[LQM*I\\MZQMI][LMU6QKP\[I]ãÃL\?MVV IJMZ =QVL MQVMV 0ÕKP[\_MZ\ VQKP\ ÛJMZ[KPZMQ\MV SIVV LIVV SÕVVMV M[ LQM )V[\QMO[OM[KP_QVLQO SMQ\MV LM[ .T][[M[ ]VL LM[ ;\ZWUM[ L1L\ I]KP VQKP\.WTOTQKP[\MQO\LMZ;\ZWUJMQU-QV[KPIT\MV UQ\JMOZMVb\MZ/M[KP_QVLQOSMQ\IV?MVVMZIJMZ [\MQO\LIVV^MZTIVO\LMZ;X]TMV_QLMZ[\IVL:MQ 6.11.3 Selbstinduktion VMV UQ\ LMZ BMQ\ _IKP[MVLMV )V\MQT IV LMZ *I\ .TQM¾\L]ZKPMQVM;X]TMMQV;\ZWU[WMZbM]O\LQM \MZQM[XIVV]VO = IT[ ;XIVV]VO[IJNITT =: .ÛZ [MZ MQV 5IOVM\NMTL QV LMZ ;X]TM ]VL LIUQ\ I]KP =QVLJTMQJ\QUUMZ_MVQOMZÛJZQOL1L\U][[QU MQVMVUIOVM\Q[KPMV.T][[L]ZKPLQM;X]TM£VLMZ\ UMZSTMQVMZ_MZLMV?MV_]VLMZ\M[LI[[I]KP [QKPLQM[MZ;\ZWU[WÃVLMZV[QKPI]KPLI[5IO PQMZLQM-`XWVMV\QITN]VS\QWVQPZM0IVLQU;XQMT VM\NMTL]VLLMZ.T][[-QV[QKPÃVLMZVLMZUIOVM PI\_QM. Abbildung 6.89bMQO\,]ZKPLQM Selbst\Q[KPMZ.T][[QVL]bQMZ\IJMZMQVM;XIVV]VOQVLQM ;X]TMI]KPLIVV_MVVLQM;X]TM[MTJ[\LMV.T][[ ^MZ]Z[IKP\0QMZJMQ¾\[QKPLQM;X]TM[Wb][IOMVQV LMVMQOMVMV;KP_IVb,I[VMVV\UIVLIVVSelbstinduktion 5I\PMUI\Q[KP [QMP\ LI[ [W I][" ,I[ .MTLQVLMZ;X]TMQ[\"

,MZ.T][[L]ZKPLQM;X]TMQ[\LQM[M[.MTLUIT LMZ9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM)LMZ;X]TM,QMQVL]bQMZ \M;XIVV]VOQ[\LIVV"

,QM )JSÛZb]VO 4 VMVV\ UIV LQM Induktivität LMZ;X]TMUQ\LMZ-QVPMQ\">[)%00MVZa Merke Selbstinduktion: Induktion einer Spule auf sich selbst

L = Induktivität der Spule

6]V PI\ MQVM ;X]TM I]KP QUUMZ MQVMV WPU [KPMV ?QLMZ[\IVL : ,QM OM[IU\M ;XIVV]VO IV LMZ;X]TMQ[\QUUMZLQM;]UUMI][LMZQVL]bQMZ \MV ;XIVV]VO ]VL LMU ;XIVV]VO[IJNITT =: IU WPU[KPMV?QLMZ[\IVL"

. Abb. 6.89. Selbstinduktion. Die Batteriespannung = teilt sich so in induzierte Spannung =Q\ und Ohm-Spannungsabfall =:\ auf, dass der Strom 1\ träge auf seinen Endwert 1 zuläuft (schematische Skizze, nicht maßstabsgerecht)

234

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Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

induktion_QZLLMZMTMS\ZQ[KPM;\ZWU\ZÃOMLMZ1V

L]S\QWV[^WZOIVO _QZS\ [MQVMZ =Z[IKPM MV\OMOMV Lenz’sche Regel 3Die Energie, die I und UR zusammen im Widerstand der Spule umsetzen, wird Joule’sche Wärme, nicht aber die Energie, die zu I und Uind gehört: Sie ﬁndet sich im magnetischen Feld wieder. Ganz analog zum elektrischen besitzt auch ein magnetisches Feld der Stärke B eine Energiedichte

Die dazu gehörende Energie wird beim Abschalten eines Magnetfeldes frei; für große Elektromagneten ist das durchaus ein Problem. Schaltet man nämlich den Spulenstrom plötzlich ab, so versucht die Selbstinduktion auch jetzt, ihre eigene Ursache zu behindern, den Abbau des Feldes also – das heißt aber, dass sie jetzt die Batteriespannung unterstützt. Dem sind aber keine Grenzen nach oben gesetzt: Möglicherweise reicht die induzierte Spannung aus, einen Lichtbogen über dem Schalter zu zünden, der diesen zerstört – aber das Magnetfeld (zunächst) erhält. Große Elektromagnete können nur langsam abgeschaltet werden.

?MZLQM
KPMV [QM SIVV [QKP ÛJMZ LMV ;KP]\b_QLMZ[\IVL iMV\TILMVt>WU1V[\Z]UMV\IVOMbMQO\ãQM¾\LMZ ;\ZWU VWKP MQVM ?MQTM i\ZÃOMt VÃUTQKP QV LMZ I T\MV:QKP\]VO_MQ\MZ. Abb. 6.91 ?MVV UIV QV . Abbildung 6.90 LMV ;KPIT\MZ ÕNNVM\[WU][[^WVLQM[MU5WUMV\IVLQM[MTJ[\ QVL]bQMZ\M ;XIVV]VO =Q OIVb ITTMQV LMV ;\ZWU VQKP\ V]Z L]ZKP LQM ;X]TM [WVLMZV I]KP L]ZKP LMV;KP]\b_QLMZ[\IVL\ZMQJMV;QVLJMQLM?QLMZ [\ÃVLM WPU[KP ]VL ILLQMZMV [QM [QKP b]U /M [IU\_QLMZ[\IVL:[WOQT\b]RMLMUBMQ\X]VS\\" =QVL\:1\% =QVL\ PÃVO\ IJMZ ÛJMZ 4 IV NWTO\

5Q\IVLMZMV*]KP[\IJMVQ[\LQM[M,QNNMZMV\QIT OTMQKP]VO[KPWVPÃ]âOMZI]NOM\I]KP\b]TM\b\JMQ LMZ3WVLMV[I\WZMV\TIL]VOQV7 Kapitel 6.4.6,M[ PITJ SIVV LQM b]OMPÕZQOM M.]VS\QWV TMQKP\ PQV OM[KPZQMJMV_MZLMV"

UQ\LMZZeitkonstantenτ%4:

17

Merke

18

RL-Glied aus Spule und Widerstand: w\ 1\%1M`X 4 τ τ = L/R = Zeitkonstante; „Trägheit des elektrischen Stromes“

19 . Abb. 6.90. Schaltung zur Beobachtung der Selbstinduktion. Der Schutzwiderstand :[ gestattet die allmähliche „Entladung“ der Induktionsspule nach Öffnen des Schalters. Rechts: Schaltzeichen eines Elements mit (merklicher) Induktivität

,IZI][

w\ 1\%1M`X 4 τ

16

20

. Abb. 6.91. Trägheit des Stromes. In der Schaltung der . Abbildung 6.90 steigt der Strom nach Schließen des Schalters träge auf seinen Endwert und fällt nach Öffnen mit kürzerer Zeitkonstanten wieder ab

235

6.11 · Induktion

6

Schneller runter 7 Frage. Warum fällt in . Abbildung 6.91 der Strom mit kürzerer Zeitkonstanten ab als er zuvor angestiegen ist? 7 Antwort. In der Anstiegszeitkonstanten steht nur der ohmsche Widerstand der Spule (wenn wir die Innenwiderstände von Batterie und Strommesser vernachlässigen können). In der Zeitkonstanten für den Stromabfall steht auch noch Rs.

6.11.4 Induktiver Widerstand

>MZTIVO\UIV^WVMQVMZ;X]TMWPVMWPU[KPMV?Q LMZ[\IVLIJMZUQ\LMZ1VL]S\Q^Q\Ã\4LI[[[QMMQ VMV?MKP[MT[\ZWU 1\%1[QVω\

. Abb. 6.92. Blindleistung. Bei rein induktiver Last läuft die Spannung dem Strom um 90° voraus; im zeitlichen Mittel ﬂießt ein leistungsloser Blindstrom (vgl. . Abb. 6.17 und 6.18)

NÛPZ\LIVV^MZTIVO\[QMQPZMZ[MQ\[MQVM^WVMQVMU /MVMZI\WZIVb]TQMNMZVLM?MKP[MT[XIVV]VO =O\%=[QVω\ϕ LQMLMZI]N[QKP[MTJ[\QVL]bQMZ\MV;XIVV]VO=QVL MV\[XZQKP\ 6IKP LMV »JMZTMO]VOMV LM[ ^WZQOMV 3IXQ\MT[OQT\" 1U/MOMV[I\bb]U3WVLMV[I\WZNÛPZ\LQM;X] TM MQVMV ]U ! nachhinkenden ?MKP[MT[\ZWU VÃUTQKPMQVMLMU;\ZWU vorauseilende?MKP[MT [XIVV]VO )VITWO b]U SIXIbQ\Q^MV ?QLMZ[\IVL :+ MQVM[ 3WVLMV[I\WZ[ 7 Kap. 6.3.2 TÃ[[\ [QKP LMUVIKP NÛZ LQM ;X]TM MQV induktiver Widerstand :4LMâVQMZMV" -Z[\MQO\UQ\LMZ3ZMQ[NZMY]MVb ωLMZ?MKP [MT[XIVV]VOIVPI\IT[WOMZILMLMVMV\OMOMVOM [M\b\MV.ZMY]MVbOIVO_QM:+ Merke Induktiver Widerstand :4%ω4 Der Strom hinkt der Spannung um 90° nach.

?MQ\MZPQV NÛPZ\ MQV ZMQV QVL]S\Q^MZ ?QLMZ[\IVL _QM MQV SIXIbQ\Q^MZ MQVMV QU bMQ\TQKPMV 5Q\\MT TMQ[\]VO[TW[MV*TQVL[\ZWU"-ZMV\bQMP\LMZ;XIV V]VO[Y]MTTM NÛZ MQVM >QMZ\MT[KP_QVO]VO[LI]MZ -VMZOQM]ULI[5IOVM\NMTLI]Nb]JI]MV]VLTQM NMZ\ [QM QV LMZ VÃKP[\MV >QMZ\MT[KP_QVO]VO[LI] MZ I][ LMU bMZNITTMVLMV 5IOVM\NMTL _QMLMZ b] ZÛKS. Abb. 6.92)TTMZLQVO[TI[[MV[QKPV]ZNÛZ ZMTI\Q^ PWPM .ZMY]MVbMV ;X]TMV _QKSMTV LMZMV WPU[KPMZ ?QLMZ[\IVL STMQV OMOMVÛJMZ LMU QV L]S\Q^MV Q[\ ?QZL IJMZ QV UMZSTQKPMU =UNIVO ;\ZWU_ÃZUM MV\_QKSMT\ [W JMSWUU\ LQM ;XIV V]VO[Y]MTTMV]ZMQVMV<MQTLMZQVLMZTM\b\MV>QMZ \MT[KP_QVO]VOIJOMOMJMVMV-VMZOQMQVLMZVÃKP[ \MV_QMLMZb]ZÛKS,QM.WTOMQ[\MQV8PI[MV_QVSMT ϕ$!]VLMQVM Wirkleistung8%=MNN1MNNKW[ϕ

*MQU
236

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Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

;KPIT\M\UIVJMQLMQZOMVL_QMUQ\WPU[KPMV?Q LMZ[\ÃVLMVb][IUUMV[WMZPÃT\UIVMQVM;KPIT \]VO UQ\ MQVMU ?MKP[MT[\ZWU_QLMZ[\IVL ImpedanzLMZMQVMVSWUXTQbQMZ\MV.ZMY]MVbOIVOPI\ ]VL JMQ LMU I]KP LQM 8PI[MV^MZ[KPQMJ]VO NZM Y]MVbIJPÃVOQO_QZL

_MZLMV ]VL b_IZ b]VÃKP[\ V]Z UQ\ LMV TQVSMV <MQTJQTLMZV,QMZMKP\MVLQMVMVLIVV[XÃ\MZLMU >MZOTMQKP UQ\ LMU UMKPIVQ[KPMV .MLMZXMVLMT ^WV7 Kapitel 4.1.2 B]VÃKP[\ [WTT LMZ 3ZMQ[ VWKP ]V\MZJZWKPMV ]VL LMZ 3WVLMV[I\WZ ^WV I]¾MV I]N MQVM JM [\QUU\M ;XIVV]VO = I]NOMTILMV [MQV ;KPTQM¾\ UIVRM\b\LMV;\ZWUSZMQ[<MQTJQTL[WMV\TÃL\ [QKPLMZ3WVLMV[I\WZ?ÃZMLQM;X]TMV]ZMQV^MZ 6.12 Elektrische Schwingungen [KP_QVLMVLSTMQVMZWPU[KPMZ?QLMZ[\IVL[WOÃ JMM[MQVMVS]ZbMV]VLSZÃN\QOMV;\ZWU[\W¾w]VL 6.12.1 Der Schwingkreis ! ITTM[ _ÃZM ^WZJMQ 0QMZb] OMPÕZ\M IJMZ MQV [MPZ -QVMJM[WVLMZ[QV\MZM[[IV\M;Q\]I\QWVMZOQJ\[QKP [\MQTMZ)V[\QMOLM[;\ZWUM[I]NPWPM?MZ\M]VUQ\ _MVV MQVM ;X]TM ]VL MQV 3WVLMV[I\WZ b][IU \MTJIZOMNWTO\^WVMQVMUSI]U_MVQOMZ[\MQTMV)J UMVOM[KPIT\M\_MZLMV,IVVMV\[\MP\MQV[KP_QV NITT#LIOMOMV_MPZ\[QKPLQM;X]TMUQ\QPZMZ;MTJ[\ O]VO[NÃPQOM[ /MJQTLM MQV elektrisches Pendel [W QVL]S\QWV IJMZ OIVb MV\[KPQMLMV 1U LMU 5W b][IOMV ?QM LQM[M[ ;KP_QVO]VOMV I][NÛPZMV UMV\QVLMULQM;X]TMIVOM[KPTW[[MV_QZLÛJMZ SIVV[WTTIVPIVLLMZ . Abbildung 6.93MZTÃ]\MZ\ VQUU\[QMLQM^WTTM;XIVV]VO=LQMLMZ3WVLMV

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 6.93. Elektrischer Schwingkreis in Analogie zum Federpendel, Einzelheiten im Text. Beim Schwingkreis pendelt die Energie zwischen dem E-Feld im Kondensator und B-Feld in der Spule hin und her

6.12 · Elektrische Schwingungen

[I\WZRIb]VÃKP[\VWKPPI\,IUQ\MZTI]J\[QMLMU ;\ZWU MQVM OIVb JM[\QUU\M L]ZKP QPZMV ;MTJ[\ QVL]S\QWV[SWMNâbQMV\MV 4 JMOZMVb\M )V[\QMO[OM [KP_QVLQOSMQ\ ,MUMV\[XZMKPMVL MV\ TÃL\[QKPLMZ3WVLMV[I\WZ]VLQ[\VIKPMQVMZ?MQ TMTMMZ>WVQPUI][SÕVV\MITTM[^WZJMQ[MQVIJMZ _QMLMZMZPMJ\LQM;X]TM-QV[XZ]KP";QMPI\QVb_Q [KPMVMQV5IOVM\NMTLI]NOMJI]\<MQTJQTLLI[ VQKP\MQVNIKP]VLNWTOMVTW[_QMLMZbMZNITTMVSIVV -[^MZTIVO\LI[[LMZ;\ZWUVWKPMQVM?MQTMQVLMZ IT\MV:QKP\]VO_MQ\MZãQM¾\[KP_ÃKPMZ_MZLMVL IJMZQUUMZPQV,IUQ\_QZLLMZ3WVLMV[I\WZIJMZ _QMLMZI]NOMTILMV1[\LI[5IOVM\NMTL^MZ[KP_]V LMVPI\LMZ3WVLMV[I\WZ[MQVMIT\M;XIVV]VOV]Z UQ\ MV\OMOMVOM[M\b\MU >WZbMQKPMV <MQTJQTL 2M\b\ U][[ LQM ;X]TM MQVMV ;\ZWU QV /MOMVZQKP \]VO MZTI]JMV# PI\ [QKP LMZ 3WVLMV[I\WZ MZVM]\ MV\TILMVQ[\I]KPLI[5IOVM\NMTL_QMLMZ^WZPIV LMV IJMZ QV ]UOMSMPZ\MZ :QKP\]VO <MQTJQTL =UbMZNITTMVb]SÕVVMVMZb_QVO\M[QVLMZ;X]TM _QMLMZMQVMV;\ZWULMZLMV3WVLMV[I\WZI]ãÃL\ w R][\ JQ[ QV LQM ;Q\]I\QWV LQM b] *MOQVV ^WZTIO" ,MZ Schwingkreis PI\ MQVM ^WTTM ;KP_QVO]VO IJ [WT^QMZ\ ,QM )VITWOQM b]U UMKPIVQ[KPMV .MLMZXMV LMT. Abb. 4.1bMQOMVLQMZMKP\MV<MQTJQTLMZLMZ . Abbildung 6.93# M[ ÃVLMZ\ VQKP\[ IU 8ZQVbQX LI[[PQMZLQM8MVLMTUI[[Mb_Q[KPMVb_MQ;KPZI] JMVNMLMZVMQVOM[XIVV\Q[\";QMILLQMZMVTMLQOTQKP QPZM .MLMZSWV[\IV\MV ?QM LMZ >MZOTMQKP bMQO\ MV\[XZQKP\LQM;XIVV]VO=+IU3WVLMV[I\WZLMZ )][TMVS]VO ` LM[ .MLMZXMVLMT[ LQM -VMZOQM ?- LM[ MTMS\ZQ[KPMV .MTLM[ LMZ XW\MV\QMTTMV -VMZOQM ?XW\QVLMV.MLMZV]VLLQM-VMZOQM?*LM[UI OVM\Q[KPMV .MTLM[ QV LMZ ;X]TM LMZ SQVM\Q[KPMV -VMZOQM ?SQV LMZ 8MVLMTUI[[M -[ SIVV SI]U ÛJMZZI[KPMVLI[[LIVVI]KP3IXIbQ\Ã\+]VL.M LMZSWV[\IV\M , MQVMZ[MQ\[ [W_QM 1VL]S\Q^Q\Ã\ 4 ]VL5I[[MULM[8MVLMTSÕZXMZ[IVLMZMZ[MQ\[MQV IVLMZ MV\[XZMKPMV ?MZ LQM[ VQKP\ OTI]JMV _QTT SIVV LMV UI\PMUI\Q[KPMV *M_MQ[ QU VÃKP[\MV 3IXQ\MTVIKPTM[MV Merke Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus Kondensator und Spule (Kapazität und Induktivität).

237

6

. Abb. 6.94. Dämpfung. Spannung am Kondensator eines elektrischen Schwingkreises; die Figuren sind vom Bildschirm eines Speicheroszillographen abphotographiert. Von oben nach unten: ungedämpfte Schwingung, gedämpfte Schwingung, aperiodischer Grenzfall, Kriechfall

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Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

/Z]VL[Ã\bTQKP[WTT\MLMZ;KP_QVOSZMQ[ZMQV[QV][ NÕZUQOM ;KP_QVO]VOMV SWV[\IV\MZ )UXTQ\]LM I][NÛPZMV . Abb. 6.94 WJMZ[\M[ <MQTJQTL ,I[ SIVVMZNZMQTQKPV]Z_MVVMZVQZOMVL_W?ÃZUM MV\_QKSMT\]VL_QM[QKP[XÃ\MZVWKPPMZI][[\MTTMV _QZL SMQVM MTMS\ZWUIOVM\Q[KPM ?MTTM IJ[\ZIPT\
. Abb. 6.95. Schwingkreis. Prinzipschaltung eines Schwingkreises mit variablem „Drehkondensator“ zur Einstellung der Frequenz und variablem Widerstand zur Einstellung der Dämpfung

Merke Elektrischer Schwingkreis: Eigenfrequenz

3Die Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Schwingungen lässt sich mathematisch begründen: Beide halten sich an dieselbe Differentialgleichung, wenn auch mit unterschiedlichen Buchstaben und entsprechend unterschiedlichen physikalischen Bedeutungen. Beim reibungslosen mechanischen Federpendel löst die Auslenkung `\ eine rücktreibende und darum negative Kraft .`%w,`\ aus (D = Federkonstante). Diese Kraft beschleunigt die Pendelmasse m nach dem Grundgesetz der Mechanik

Das ist die einfachste Form der Schwingungsdifferentialgleichung. Lädt man einen Kondensator auf die Spannung =\, so enthält er die elektrische Ladung 9\%+=\ (C = Kapazität). Weil sich die Ladung mit der Zeit t ändert, ﬂießt der Strom

Da der einfache Schwingkreis keine Batterie enthält, ist die Summe der Spannung am Kondensator und der Spannung an der Spule (Induktivität L) gleich null:

19 20

Auch dies ist die Schwingungsdifferentialgleichung,

,QM[ Q[\ LQM -QOMVNZMY]MVb LM[ MTMS\ZQ[KPMV jetzt in der Form ;KP_QVOSZMQ[M[

6.12 · Elektrische Schwingungen

239

6

So wie im Fall des Federpendels die Eigenfrequenz

war, ist sie also für den Schwingkreis

Rechenbeispiel 6.20: Radiobastler 7 Aufgabe. Ein Radiobastler möchte einen Schwingkreis für den UKW-Bereich herstellen, also für ca. 100 MHz. Er besitzt einen Kondensator von 25 pF. Die Spule will er mit dünnem Draht auf einen Bleistiftstummel wickeln (3 cm lang, 7,5 mm Durchmesser). Wie viele Windungen braucht er? 7 Lösung. Der Schwingkreis soll mit

schwingen. Also brauchen wir ein

Der Bleistift ist nicht ferromagnetisch, also μZ%. Die Querschnittsﬂäche ist . Dann gilt für die Zahl der Windungen: , also V%.

6.12.2 Geschlossene elektrische Feldlinien

. Abb. 6.96. Elektrische Induktion. Der Draht, der die Platten eines geladenen Kondensators verbindet, umgibt sich, solange der Strom ﬂießt, mit einem Schlauch geschlossener magnetischer Feldlinien; das sich ändernde elektrische Feld im Dielektrikum des Kondensators tut dies auch

LI[[[QKPQU3WVLMV[I\WZLI[MTMS\ZQ[KPM.MTLUQ\ MQVMZ £VLMZ]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\ LMZ MTMS \ZQ[KPMV .MTL[\ÃZSM b_Q[KPMV LMV 8TI\\MV ÃVLMZ\ ,MUVIKPPIJMV1]VL LQMOTMQKPM?QZS]VO" -QV;\ZWU]UOQJ\[QKPUQ\OM[KPTW[[MVMVUIOVM \Q[KPMV.MTLTQVQMVMQV[QKPÃVLMZVLM[MTMS\ZQ[KPM[ .MTL\]\LI[I]KP )]KP_MVVUIVLQM[VQKP\I]NLMVMZ[\MV*TQKS [QMP\",QM[M-Z[KPMQV]VOQ[\IVITWOb]ZUIOVM\Q [KPMV1VL]S\QWV7 Kap. 6.11.15IOVM\Q[KPM1V L]S\QWVJMLM]\M\VÃUTQKPLI[[MQV[QKPÃVLMZV LM[ UIOVM\Q[KPM[ .MTL [QKP UQ\ MQVMU MTMS\ZQ [KPMV.MTL]UOQJ\,QM[M[MTMS\ZQ[KPM.MTLQ[\LQM =Z[IKPMNÛZLQMQVL]bQMZ\M;XIVV]VOQVMQVM4MQ \MZ[KPTMQNM LQM UIV ]U LI[ 5IOVM\NMTL PMZ]U TMO\5IOVM\Q[KPM1VL]S\QWVâVLM\IJMZI]KPWP VM4MQ\MZ[KPTMQNM[\I\\MJMVQV/M[\IT\LQM[M[ZQVO NÕZUQOMVMTMS\ZQ[KPMV.MTLM[=VLPQMZbMQO\[QKP VWKPM\_I[6M]M["-TMS\ZQ[KPM.MTLTQVQMVUÛ[[MV VQKP\QUUMZ_QMJQ[PMZJMPI]X\M\I]NMQVMZXW [Q\Q^MV4IL]VOJMOQVVMV]VLI]NMQVMZVMOI\Q^MV 4IL]VOMVLMV#[QMSÕVVMVI]KPOMVI]_QMUIO VM\Q[KPM .MTLTQVQMV OM[KPTW[[MVM 3ZMQ[M JQTLMV ,I[\]V[QMIJMZMJMVV]ZLIVV_MVV[QM^WVMQ VMU[QKPÃVLMZVLMV5IOVM\NMTLMZbM]O\_MZLMV

;KP_QVOSZMQ[MNÛZPWPM.ZMY]MVbMVSWUUMVUQ\ STMQVMV3IXIbQ\Ã\MV]VL1VL]S\Q^Q\Ã\MVI][#UÕO TQKPMZ_MQ[MOMVÛOMVLMZ;X]TM[KPWV_MVQOM?QV L]VOMV 6WKP PÕPMZM .ZMY]MVbMV MZZMQKP\ UIV OIVb WPVM ;X]TM )]KP MQV b]U 3ZMQ[ OMJWOMVMZ ,ZIP\LMZb_MQ3WVLMV[I\WZXTI\\MV^MZJQVLM\PI\ MQVM1VL]S\Q^Q\Ã\LMVV[\ZWUL]ZKPãW[[MV]UOQJ\ MZ[QKPUQ\MQVMU;KPTI]KPUIOVM\Q[KPMZ.MTLTQVQ MV. Abb. 6.96LQMI]NQPVMQVM;XIVV]VOQVL] bQMZMV[WJITL[QKP.MTL[\ÃZSM]VL.T][[LQKP\MbMQ\ TQKPÃVLMZV;QM\]VLQM[VW\_MVLQOMZ_MQ[M_MVV [QKPLMZ3WVLMV[I\WZMV\TÃL\LMVVLIVVJTMQJ\LMZ ;\ZWU RI VQKP\ SWV[\IV\ ?I[ OM[KPQMP\ UQ\ LMU [KPTI]KPNÕZUQOMV 5IOVM\NMTL JMQ LMV 3WVLMV[I \WZXTI\\MV'-[MVLM\LWZ\VQKP\M[_MQ\M\[QKPTMLQO 6.12.3 Der schwingende elektrische Dipol TQKPI]N"7J_WPTb_Q[KPMVLMV3WVLMV[I\WZXTI\\MV SMQV ;\ZWU ãQM¾\ PMZZ[KP\ LWZ\ MQV [KPTI]KPNÕZ ?QTTUIVLQM-QOMVNZMY]MVbMQVM[;KP_QVOSZMQ[M[ UQOM[5IOVM\NMTL -[_QZLLIL]ZKPPMZ^WZOMZ]NMV MZPÕPMV[WU][[UIV3IXIbQ\Ã\]VL1VL]S\Q^Q

240

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Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

:QKP\]VO_MQ\MZb]TI]NMV]VLLMV,QXWTUQ\MV\ OMOMVOM[M\b\MU >WZbMQKPMV _QMLMZ I]Nb]TILMV 1[\ LI[ *.MTL ^MZ[KP_]VLMV [W SMPZ\ LI[ VM]M -.MTLLQM;\ZWUZQKP\]VO]U. Abb. 6.98c^MZ [KP_QVLM\ . Abb. 6.98d ]VL _QZL ^WU _MQ\MZ ãQM¾MVLMV;\ZWUQVLMZ]Z[XZÛVOTQKPMV:QKP\]VO . Abb. 6.97. Haarnadel. Auch eine Haarnadel bildet noch ei_QMLMZI]NOMJI]\"1[\LQM)][OIVO[[Q\]I\QWV^WV nen Schwingkreis; die Eigenfrequenz lässt sich weiter erhö,ÃUXN]VO[^MZT][\MV MQVUIT IJOM[MPMV _QMLMZ hen, wenn man die Haarnadel aufbiegt MZZMQKP\[WQ[\MQVM^WTTM;KP_QVO]VOIJOMTI]NMV \Ã\^MZZQVOMZV/MOMJMVMVNITT[SIVVUIVI]NLQM ,QM b]OMPÕZQOM BMQ\ < _QZL ^WV LMZ ,QXWTTÃVOMT 1VL]S\QWV[[X]TM OIVb ^MZbQKP\MV _QM LI[ ^WZQ ]VLLMZ4QKP\OM[KP_QVLQOSMQ\KJM[\QUU\#M[OQT\ OM3IXQ\MTRIOMbMQO\PI\\M")]KPLMZ,ZIP\JÛOMT T <%3 LMZ b_MQ 3WVLMV[I\WZXTI\\MV ^MZJQVLM\ JM[Q\b\ K MQVM 1VL]S\Q^Q\Ã\ ?MVV UIV UQ\ LMZ .ZMY]MVb -Z[\ LQM »JMZTMO]VOMV LM[ VÃKP[\MV 3IXQ\MT[ VWKP_MQ\MZPQVI]N_QTTU][[UIVLMV3WVLMV [I\WZ ^MZSÛUUMZV TI[[MV" B_MQ XIZITTMTM ,ZÃP SÕVVMV LQM[M M\_I[ ÛJMZZI[KPMVLM *MbQMP]VO \MPIJMVQUUMZVWKPMQVM3IXIbQ\Ã\OMOMVMQVIV ^MZ[\ÃVLTQKPUIKPMV /Z]VL[Ã\bTQKP LÛZN\M LQM[M[ VÃKP[\M 3IXQ\MT LMZ )]KP MQVM 0IIZVILMT JQTLM\ MQVMV ;KP_QVO SZMQ[WJ_WPTUIV3WVLMV[I\WZ]VL;X]TMVQKP\ PQMZ ]VUQ\\MTJIZ ]VL WPVM VM]M »JMZ[KPZQN\ IV UMPZ [W ZMKP\ ^WVMQVIVLMZ \ZMVVMV SIVV ?MU OM[KPTW[[MV _MZLMV LMVV _MVV MQV MTMS\ZQ[KPMZ LQM .ZMY]MVb QUUMZ VWKP VQKP\ PWKP OMV]O Q[\ ,QXWT [KP_QVO\ LIVV [\ZIPT\ MZ I]KP MQVM elekLMUJTMQJ\IT[TM\b\M[5Q\\MTLQM0IIZVILMTI]Nb] tromagnetische Welle IJ -QV [KPUITMZ ;XMS\ZIT JQMOMV. Abb. 6.975MPZIT[[\ZMKSMVSIVVUIV JMZMQKPLQM[MZ?MTTMVPI\IJMZNÛZLMV5MV[KPMV [QM ITTMZLQVO[ VQKP\ ,QM PÕKP[\UÕOTQKPM -QOMV MQVMOIVbJM[WVLMZM*MLM]\]VO";MQV_QKP\QO[\M[ NZMY]MVb JM[Q\b\ MQV 4MQ\MZ ^WZOMOMJMVMZ 4ÃVOM ;QVVM[WZOIVZMIOQMZ\I]NMTMS\ZWUIOVM\Q[KPM?MT QVLMZ.WZULM[OMZILMV,ZIP\M[-Z^MZUIOIT[ TMVUQ\?MTTMVTÃVOMV^WVM\_IMQVMUPITJMV5Q SZWUM\MZ>WZITTMU/M[QKP\[[QVV]VL sichtbares MTMS\ZQ[KPMZ,QXWTMTMS\ZQ[KPb][KP_QVOMV Abbildung 6.98 bMQO\ OZWJ[KPMUI\Q[KP LQM ;Q Licht^MZUQ\\MTVQPULI[*QTLLI[MZ[QKP^WV[MQ \]I\QWVMV VIKP RM_MQT[ MQVMZ >QMZ\MT[KP_QVO]VO VMZ=U_MT\UIKP\#/Z]VLOMV]OLMU4QKP\MQV LM[ ,QXWT[ 1V . Abb. 6.98a Q[\ LMZ ,QXWT OMZILM MQOMVM[OZW¾M[3IXQ\MTi7X\QStb]_QLUMV L]ZKP MQVM Ã]¾MZM ;XIVV]VO[Y]MTTM I]NOMTILMV _WZLMV#M[M`Q[\QMZ\MQVQVPWUWOMVM[MTMS\ZQ[KPM[ Rechenbeispiel 6.22: Handy-Antenne .MTL b_Q[KPMV [MQVMV 0ÃTN\MV ,QM[M[ .MTL TÕ[\ 7 Aufgabe. Der Handy-Funkverkehr spielt sich IJMZMQVMV;\ZWUI][LMZ_MOMVLMZ;MTJ[\QVL]S bei einer Frequenz von etwa 1 GHz ab. Was ist \QWV V]Z MQV _MVQO \ZÃOM IV[\MQOMV SIVV ,IJMQ dann die optimale Sendeantennenlänge? JI]\MZMQVSWVbMV\ZQ[KPM[5IOVM\NMTLI]N6IKP 7 Lösung. 1 GHz entspricht einer Periodendauer MQVMZ>QMZ\MT[KP_QVO]VO[LI]MZQ[\LI[-.MTL^MZ von 10–9 s. In dieser Zeit legt das Licht 0,3 m zurück. [KP_]VLMV]VLLI[*.MTLI]N[MQVMU5I`QU]U Die optimale Länge des strahlenden Dipols beträgt . Abb. 6.98b >WV V]V IV JZQKP\ M[ [MQVMZ[MQ\[ also etwa 15 cm. b][IUUMV ]VL b_QVO\ LMV ;\ZWU QV LMZ IT\MV . Abb. 6.98a–d. Schwingender Dipol, Einzelheiten im Text

241

6.12 · Elektrische Schwingungen

6

In Kürze Ladung Es gibt zwei Sorten von Ladungen, positive und negative. In der Natur sind die Träger positiver Ladung fast immer die Protonen im Atomkern und die Träger negativer Ladung die Elektronen in der Atomhülle. Sie tragen die kleinstmögliche Ladungsmenge, die Elementarladung e0 = 1,6 · 10–19 As. Die Ladungsmenge wird in Ampère mal Sekunde (Coulomb) angegeben. Ladungen können nicht erzeugt oder vernichtet werden. Will man einen Körper negativ auﬂaden, so muss man ihm Elektronen zuführen, für positives Auﬂaden Elektronen entziehen. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an. In beiden Fällen wird die Kraft zwischen zwei Ladungen q1 und q2 durch das CoulombGesetz bestimmt.

.+: Coulomb-Kraft C6E YY: Punktladungen C)[E Z: Abstand der Ladungen CUE ε: elektrische Feldkonstante

Coulomb-Kraft

)[ ε% w52 >U Elektrisches Feld Man kann diese Kraft auch so beschreiben: eine Ladung Q erzeugt ein elektrisches Feld um sich herum mit einer Feldstärke E und die andere Ladung q erfährt in diesem Feld eine Kraft: : elektrische Feldstärke C>UE

Elektrisches Feld

Y: „Probeladung“ C)[E Das elektrische Feld wird veranschaulicht durch Feldlinien, die bei den positiven Ladungen beginnen und auf den negativen Ladungen enden. Vor allem im Zusammenhang mit elektromagnetischen Wellen zeigt sich die volle Bedeutung des Feldbegriffs. Elektrische und magnetische Felder enthalten Energie und können diese transportieren. Strom und Spannung Wenn ein elektrischer Strom durch einen Metalldraht ﬂießt, so bedeutet dies, dass geladene Teilchen, hier Elektronen, durch den Draht strömen. Da Stöße mit den Atomen diesen Fluss behindern, muss eine Kraft auf die Elektronen ausgeübt werden, um den Strom aufrechtzuerhalten. Diese wird von einem elektrischen Feld ausgeübt, das in diesem Draht herrscht. Strömen Elektronen unter der Wirkung des elektrischen Feldes durch den Draht, so verlieren sie genau wie ein Stein, der unter der Wirkung der Schwerkraft herunterfällt, potentielle Energie. Diese wird durch die Stöße mit den Atomen in Wärme umgewandelt. Der Verlust an potentieller Energie, den ein Elektron erleidet, wenn es von einem Ende eines Drahtes zum anderen bewegt, wird durch die elektrische Spannung oder Potentialdifferenz U zwischen den Drahtenden beschrieben. Spannung

?XW\%M=

?XW\: Verlust an potentieller Energie eines Elektrons

M: Elementarladung = : Spannung [>, Volt] Strom

Δ9: pro Zeit strömende Ladungsmenge C)[% +, CoulombE

\: Zeit C[E Widerstand Je höher die Spannung zwischen den Drahtenden, umso höher das Feld und die Kraft auf die Elektronen. Die Elektronen werden dann schneller und der elektrische Strom größer. Für einen Metalldraht und generell für ohmsche Widerstände ist der Strom I proportional zur Spannung U, der elektrische Widerstand R. Widerstand

Ohm’sches Gesetz

:: Widerstand CΩ, OhmE =: Spannung C>, VoltE 1: Strom C), AmpèreE in vielen Fällen ist : unabhängig von = bzw. 1

242

1

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

Stromkreis

2

Im Stromkreis ﬂießen die Ladungsträger im Kreis herum. Sie können dabei nicht verloren gehen (Knotenregel) und wenn sie einmal herum geﬂossen sind, beﬁnden sie sich wieder auf demselben elektrischen Potential, haben dieselbe potentielle Energie (Maschenregel). Das bedeutet zum Beispiel für in Serie geschaltete Widerstände R1 , R2 , … an einer Batterie, dass die Summe der an ihnen abfallenden Spannungen gleich der Batteriespannung sein muss.

3

Spannungsteiler

==j%=

=: Spannung am Widerstand :C>E =: Spannung der Batterie

Reihenschaltung

:OM[%:::j

:OM[: Gesamtwiderstand CΩE

4 5 6

Strom 1 durch alle Widerstände gleich. Parallelschaltung Spannung = an allen Widerständen gleich. Strom 1 z.B. durch ::

7

:OM[: Gesamtwiderstand CΩE 1: Strom durch : C)E 1: Strom durch :OM[

8 9 10

Die Spannungsquelle (zum Beispiel die Batterie) hält die Spannung im Stromkreis aufrecht und „pumpt“ die Elektronen im Kreis herum. Der Strom ﬂießt also auch durch die Spannungsquelle selbst, die einen gewissen Innenwiderstand hat, der möglichst klein sein sollte. Sie muss ständig Energie liefern, also eine Leistung erbringen, die in den Widerständen im Stromkreis wieder verheizt wird.

8: LeistungC?,WattE =: Spannung C>E 1: Strom C)E :: Widerstand CΩE

Leistung

11 12

Kondensator Zwei parallel im Abstand d liegende Metallplatten mit Fläche A bilden einen Kondensator.

13

+: Kapazität

Kapazität

9: Ladung auf dem Kondensator C)[E =: Spannung am Kondensator C>E

14 15 16 17

Energie im Kondensator

?: Energie im KondensatorC2E

Kapazität eines Plattenkondensators

εZ: relative Permittivität des Isolators ε: elektrische Feldkonstante ): Plattenﬂäche CUE L: Plattenabstand CUE -: elektrisches Feld im Kondensator C>UE

Elektrisches Feld im Kondensator

18

Wird ein Kondensator über einen Widerstand entladen, so sinken die Ladung, die Spannung und der Entladestrom exponentiell ab. Auch beim Auﬂaden ergeben sich exponentielle Verläufe.

19

Kondensatorentladung über Widerstand :

20

τ%:+

τ: Zeitkonstante C[E

Die weiteren Formeln zum Kondensator werden beim IMPP üblicherweise nicht abgefragt.

243

6.12 · Elektrische Schwingungen

6

Bringt man ein Metallstück in ein elektrisches Feld, so strömen die Leitungselektronen so lange im Metall, bis das Innere feldfrei ist. Man nennt diese Erscheinung Inﬂuenz und kann sie zur Abschirmung elektrischer Felder nutzen. In Isolatoren gibt es keine freien Ladungsträger. Aber Elektronen und Atomkerne werden durch ein elektrisches Feld etwas verschoben und schwächen es dadurch ab. Dies nennt man Polarisation und kann es zum Beispiel dazu nutzen, die Kapazität eines Kondensators zu erhöhen. Beschrieben wird die Feldabschwächung durch die relative Permittivität (Dielektrizitätszahl) εr . Elektrochemie Viele Moleküle, insbesondere Salze, Säuren und Laugen, zerfallen beim Lösen in Wasser in Ionen, sie dissoziieren. Entstehen dabei H+-Ionen oder OH–-Ionen, so verändert dies den pH-Wert des Wassers, der der negative dekadische Logarithmus der H+-Ionenkonzentration, gemessen in mol/l, ist. Ionen im Wasser führen zu einer hohen Leitfähigkeit. Fließt ein Strom durch eine Lösung (Elektrolyt), so wird dieser durch die Ionen getragen und an den eingetauchten Elektroden scheiden sich die entsprechenden Substanzen ab (Elektrolyse). Dies nutzt man zum Beispiel großtechnisch, um aus Kochsalz Chlor und Natrium zu gewinnen. Fertigt man die beiden Elektroden, die man in die Lösung taucht, aus zwei verschiedenen Metallen, so tritt auch ohne äußere Spannungsquelle eine Galvani-Spannung zwischen ihnen auf. Dies beruht darauf, dass an beiden Elektroden unterschiedlich stark Metallionen in Lösung gehen und Elektronen hinterlassen. Verbindet man die Elektroden elektrisch, so ﬂießt ein Strom, um die unterschiedliche Elektronenkonzentration auszugleichen. Dies ist die Basis für alle Batterien. Magnetisches Feld Ein elektrischer Strom, sei es ein Strom durch eine Spule oder atomare Kreisströme in einem Permanentmagneten, umgibt sich mit einem magnetischen Feld. Seine Stärke wird durch die (historisch so genannte) magnetische Flussdichte B beschrieben. Die magnetischen Feldlinien sind immer geschlossen, da es keine magnetischen Ladungen gibt, auf denen sie enden könnten. Ein stromdurchﬂossener Draht ist deshalb mit kreisförmigen Magnetfeldlinien umgeben. Die Flussdichte nimmt umgekehrt proportional zum Abstand ab. Ein Magnetfeld übt wiederum auf einen elektrischen Strom 1 durch einen Draht eine Kraft, die Lorentzkraft F4, aus, die senkrecht auf Strom und Magnetfeld steht. : magnetische Kraft auf einen Leiter C6E

Magnetische Kraft auf einen Leiter

T: Länge des Leiters CUE : Strom (mit Richtung) C)E : magnetische Flussdichte

Induktion Ändert man das durch eine Leiterschleife hindurch tretende Magnetfeld, so wird zwischen den Drahtenden eine Spannung induziert. In einer geschlossenen Leiterschleife ﬂießt dann ein induzierter Strom. Die induzierte Spannung hängt von der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses Φ durch die Leiterschleife ab. Der magnetische Fluss ergibt sich aus der von der Leiterschleife eingeschlossenen Fläche A, der magnetischen Flussdichte B und dem Winkel α, unter dem das Magnetfeld durch die Leiterschleife tritt Magnetischer Fluss

Φ%BA%*)KW[α

Φ: magnetischer Fluss [< U] A: Fläche der Leiterschleife CUE B: Magnetfeld durch die Leiterschleife C<E

Induktionsspannung

=QVL ist die in eine einzelne Leiterschleife, die vom Fluss Φ durchsetzt wird, induzierte Spannung. C>E

244

1 2 3 4

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

Wechselspannung Technisch werden sehr häuﬁg Wechselspannungen und Wechselströme verwendet, die einen sinusförmigen Zeitverlauf haben. Die Frequenz der Netzspannung beträgt 50 Hz und ihr Effektivwert 230 V. In einen ohmschen Widerstand verlaufen Wechselstrom und Wechselspannung synchron. Auch durch einen Kondensator kann ein Wechselstrom „ﬂießen“, indem die Platten immer wieder umgeladen werden. Strom und Spannung sind am Kondensator phasenverschoben: Der Strom läuft der Spannung voraus. Bei einer Spule ist es wegen der Selbstinduktion gerade umgekehrt: Der Strom hinkt der Spannung hinterher. Frequenzabhängige Widerstände werden genutzt, um elektrische Frequenzﬁlter (Hochpass, Tiefpass) zu bauen. Wechselspannung

=\%=;[QVω\

=;: SpannungsamplitudeC>E ω: Kreisfrequenz C[E \: Zeit C[E

5

=MNN: Effektivspannung C>E

Effektivspannung

6 7 8

Kapazitiver Widerstand (Kondensator) Induktiver Widerstand (Spule)

. Der Strom eilt der Spannung um 90° voraus.

:4%ω4 Der Strom hinkt der Spannung um 90° nach.

:+: kapazitiver Widerstand +: Kapazität des Kondensator C.E :4: induktiver Widerstand C[0E 4: Induktivität der Spule C0E

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Verständnisfragen 1. Üblicherweise bemerkt man weder etwas von der Gravitationskraft zwischen Körpern, noch von einer elektrostatischen Kraft. Warum? 2. Mit einem durch Reibung elektrisch aufgeladenen Plastiklineal kann man kleine Papierschnitzel anziehen. Warum? Manche angezogenen Papierschnitzel hüpfen gleich wieder weg. Warum? 3. Warum können sich elektrische Feldlinien nie kreuzen? 4. Was kann man über das elektrische Feld in einem Bereich sagen, in dem das elektrische Potential konstant ist? 5. Wenn eine Batterie mit einem Plattenkondensator verbunden wird, laden sich beide Platten mit der gleichen Ladungsmenge auf (nur das Vorzeichen ist verschieden). Warum? Sind die Ladungsmengen auch noch gleich, wenn die Platten verschieden groß sind? 6. Wenn man die Platten eines aufgeladenen Plattenkondensators auseinander zieht, ändert sich dann die gespeicherte elektrostatische Energie? 7. Sie fallen aus einem Hubschrauber und können ihren Fall durch beherztes Festhalten an einer Hochspannungsleitung stoppen. Bringt Sie die Hochspannung um? 8. Warum könnte ein guter elektrischer Leiter auch ein guter Wärmeleiter sein? 9. Warum hat ein längerer Draht einen höheren elektrischen Widerstand? 10. Wann wird es bei gleicher Spannungsquelle heller: wenn man zwei gleiche Glühbirnen in Reihe schaltet oder wenn man sie parallel schaltet? 11. Was passiert, wenn eine Glühbirne durchbrennt?

12. Ist ein elektrischer Widerstand ein „Stromverbraucher“? Was verbraucht er? 13. Kann man ein ruhendes Elektron mit einem Magnetfeld in Bewegung setzen? 14. Ein Magnet zieht im Wesentlichen nur Gegenstände aus Eisen an und nicht beliebige Metalle. Warum?

Übungsaufgaben (• leicht; •• mittel; ••• schwer)

Strom, Spannung, Leistung • 1. Vier Taschenlampenbatterien mit je 4,5 V lassen sich auf mehrerlei Weise hintereinander schalten. Welche Gesamtspannungen kann man dadurch mit ihnen erzeugen? • 2. Welchen Strom zieht ein Fernsehempfänger mit 125 W Leistung aus der Steckdose? Welche Leistung setzt eine Röntgenröhre um, die mit 80 kV Hochspannung und 5 mA Röhrenstrom betrieben wird? • 3. Eine Kilowattstunde elektrische Energie kostet 12 Cent. Was kostet es, eine 40-W-Glühbirne das ganze Jahr brennen zu lassen? •4. Wie viele 100-W-Glühbirnen kann man gleichzeitig an einer Steckdose betreiben, wenn sie mit einer 16-A-Sicherung abgesichert ist? • 5. Mathematisch wird Wechselspannung der Steckdose durch die Gleichung =\%=[KW[ω\ beschrieben. Welche Werte sind für =[ und ω einzusetzen?

245

Übungsaufgaben

6

. Abb. 6.99. Zu Übungsfrage 9

Widerstand

Feld und Potential

• 6. Welchen Strömen entsprechen die beiden Grenzkurven in . Abb. 6.10 bei 400 V? • 7. Ein 1-Ω-Widerstand und ein 2-Ω-Widerstand sind in Reihe geschaltet. Wie verhalten sich die in den Widerständen umgesetzten Leistungen zueinander? Wie verhalten sich die Leistungen, wenn die Widerstände parallel geschaltet sind? •• 8. Acht gleiche Glühbirnen sind in Reihe an einer Steckdose angeschlossen. Welche Spannung liegt an jeder Birne? Wenn ein Strom von 0,4 A ﬂießt, welchen Widerstand hat jede Birne und welche Leistung setzt sie um? •• 9. Es gibt mehrere Möglichkeiten, vier gleiche Widerstände zusammenzuschalten. . Abbildung 6.99 zeigt acht von ihnen. Sie lassen sich ohne genaue Rechnung nach steigendem Gesamtwiderstand ordnen. Wie? Und was liefert die genaue Rechnung? •• 10. Wie teilt ein 6-kΩ-Potentiometer, dessen Schleifkontakt 3 kΩ abgreift, eine Spannung von 60 V auf, wenn es a) nicht belastet und b) mit 3 kΩ belastet wird? •• 11. Wenn in der Wheatstone-Brücke der . Abbildung 6.28 der Widerstand R1 7352 Ω beträgt, R2 6248 Ω und R3 5000 Ω, wie groß ist bei abgeglichener Brücke dann R4? •• 12. Die Spannung an einer 12-V-Autobatterie sinkt auf 10 V, wenn der Anlasser betätigt wird. Der Anlasser zieht einen Strom von 60 A. Wie groß ist der Innenwiderstand der Batterie? Welchen Widerstand hat der Anlassermotor? ••• 13. In den 1930er Jahren kam in Deutschland noch 110 V Gleichspannung aus den Steckdosen. Wollte man da eine 12V-, 50-W-Glühbirne eines Filmprojektors betreiben, so konnte man nicht wie heute einen Transformator einbauen, der die Spannung heruntertransformiert, sondern man schaltete einen Vorwiderstand in Reihe mit der Glühbirne. Welchen Widerstand musste dieser haben und welche Leistung wurde in ihm verheizt?

•• 14. Wie verlaufen die Feld- und Potentiallinien zu der Elektrodenanordnung in . Abbildung 6.100 ungefähr? • 15. Das sog. „Ruhepotential“ einer nicht „feuernden“ Nervenfaser liegt etwas über 70 mV; die Dicke normaler Membranen, die z. B. auch Nervenfasern umgeben, beträgt ungefähr 5 nm. Welche Feldstärke erzeugt das Ruhepotential in der Membran? • 16. Wie groß ist die Kraft zwischen dem Kern eines Eisenatoms (9%M) und dem Kernnächsten Elektron, wenn wir einen Abstand von 1,5 · 10–12 m annehmen? •• 17. Mit welcher Geschwindigkeit treffen die freien Elektronen in der Bildröhre eines Fernsehempfängers auf dem Bildschirm auf, wenn die Röhre mit 2 kV Anodenspannung betrieben wird? Kondensator • 18. Die Ladung auf einem Kondensator steigt um 15 μC, wenn die Spannung von 97 V auf 121 V erhöht wird. Wie groß ist die Kapazität des Kondensators? • 19. Trockene Luft hat eine Durchbruchfeldstärke von 3 · 106 V/m. Wie viel Ladung kann auf einen Plattenkondensator gebracht werden, wenn der eine Plattenﬂäche von 50 cm² hat?

. Abb. 6.100. Zu Übungsfrage 14

246

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Kapitel 6 · Elektrizitätslehre

• 20. Ein Kondensator mit 1 μF Kapazität entlädt sich über einen 1-kΩ-Widerstand. Wie groß ist die Zeitkonstante? • 21. Wie verändert sich die Kapazität eines Luftkondensators, wenn man den Abstand der Platten verdoppelt und ihn gleichzeitig mit einem Isolator mit einer Permittivität von εr = 4 füllt? •• 22. In einen geladenen Plattenkondensator wird ein Isolator mit einer Permittivität von εr = 2 geschoben. Wie ändern sich Kapazität, Spannung und Ladung auf den Platten, wenn a) der Kondensator isoliert ist? b) der Kondensator noch an der Spannungsquelle angeschlossen ist? •• 23. Wie ändert sich die in einem Kondensator gespeicherte Energie, wenn: a) die Spannung verdoppelt wird? b) die Ladungen auf den Platten verdoppelt wird? c) der Plattenabstand verdoppelt wird während der Kondensator mit einer Spannungsquelle verbunden bleibt? •• 24. Ein großer 4-F-Kondensator hat genug Energie gespeichert, um 2,5 kg Wasser von 20 °C auf 95 °C zu erhitzen. Welche Spannung liegt am Kondensator?

Stromleitung, Elektrochemie ••• 25. In welcher Größenordnung liegt die Geschwindigkeit, mit der die Elektronen in der Zuleitung zu einer Schreibtischlampe hin und her pendeln? (Leistung 60 W, Kupferquerschnitt 0,75 mm2, molare Masse M(Cu) = 63,54 g/mol). •• 26. Wieso führt der Dissoziationsgrad `,%!w! beim Wasser zu pH 7? •• 27. Welche Wasserstofﬁonenkonzentration gehört zu pH 2,5? •• 28. Bei der elektrolytischen Abscheidung von Silber aus Silbernitrat (AgNO3) wurde gemessen: Δm/Δ9%!UO+. Welche molare Masse M(Ag) und welche Atommasse mM(Ag) folgen daraus? Silber ist hier einwertig. ••• 29. Lässt sich anschaulich einsehen, dass in der NernstFormel die Ladung der durchtretenden Ionen unter dem Bruchstrich steht, also die Membranspannung verringert? •• 30. Welche Spannung entsteht bei Zimmertemperatur über einer Membran, die Na+-Ionen hindurchlässt und Cl–-Ionen völlig zurückhält, wenn sich auf ihren beiden Seiten NaClLösungen in folgenden Konzentrationen beﬁndet: a) links 0,1 molar und rechts 1,0 molar, b) links 0,01 molar und rechts 1,0 molar, c) links 0,1 molar und rechts 0,001 molar, d) links 0,1 molar und rechts 0,2 molar Vorzeichen? ••• 31. Welche Spannung läge nach der Nernst-Formel über einer ionenselektiv-permeablen Membran, wenn man sie auf der einen Seite in physiologische Kochsalzlösung und auf der anderen in absolut reines Wasser taucht?

Magnetfeld •• 32. Ein längerer Draht beﬁndet sich in einem Magnetfeld von 10–4 T und verläuft senkrecht zu den Feldlinien. Nun wird ein Strom von 5 A durch den Draht geschickt. Wo und in welchem Abstand vom Draht ist dann die Feldstärke null? •• 33. Ein langer Draht, durch den 12 A ﬂießen, übt auf einen 7 cm entfernten parallelen Draht eine anziehende Kraft von 8,8 · 10–4 N pro Meter aus. Wie groß ist der Strom im zweiten Draht und welche Richtung hat er? • 34. Wie groß ist die Kraft auf ein Flugzeug, dass mit 120 m/s senkrecht zum Erdmagnetfeld von 5 · 10–5 T ﬂiegt und eine Ladung von 155 As trägt?

Induktion •• 35. In einer geschlossen Spule mit 100 Windungen, einer Querschnittsﬂäche von 25 cm² und einem Widerstand von 25 Ω wird ein Magnetfeld parallel zur Spulenachse in 2 Sekunden von 0 T auf 1 T erhöht. Welcher induzierte Strom ﬂießt dabei im Mittel durch die Spule? •• 36. Zwischen den Polschuhen eines großen Elektromagneten (. Abb. 6.101) wird eine Probespule mit konstanter Geschwindigkeit parallel zu sich selbst genau auf der Symmetrieebene des Feldes entlang gezogen, aus dem feldfreien Raum in den feldfreien Raum. Wie sieht der Verlauf der induzierten Spannung, bezogen auf die momentane Position der Probespule, qualitativ aus? •• 37. Jede Schule besitzt in ihrer physikalischen Sammlung einen „Experimentiertrafo“, bestehend aus einem U-Kern mit aufsetzbarem Joch und einem Satz auswechselbarer Spulen. Vorhanden seien die Spulen mit 24, 250, 500, 1000 und 25.000 Windungen. Welche Kombination wird der Lehrer wählen, wenn er für einen Versuch ca. 12 kV Hochspannung haben möchte und für einen anderen 6 V Niederspannung. Primäre Spannungsquelle ist die Steckdose (230 V).

Schwingkreis •• 38. Welche Größen im elektrischen Schwingkreis entsprechen der Auslenkung x des Federpendels, der Geschwindigkeit v seines Pendelkörpers, der potentiellen und der kinetischen Energie?

20 . Abb. 6.101. Zu Übungsfrage 36

247

Optik 7.1

Elektromagnetische Wellen

– 248

7.1.1 7.1.2 7.1.3

Der strahlende Dipol – 248 Spektralbereiche ! – 250 Wellenausbreitung ! – 251

7.2

Geometrische Optik

7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 7.2.9 7.2.10 7.2.11

Lichtbündel – 253 Spiegelung ! – 255 Brechung ! ! – 257 Dispersion – 260 Linsen ! – 261 Abbildung durch Linsen ! – 264 Abbildungsgleichungen ! – 265 Abbildung durch einfache Brechung Das Auge – 268 Fehlsichtigkeit und Brillen – 270 Optische Instrumente ! – 272

– 253

7.3

Intensität und Farbe

7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4

Strahlungs- und Lichtmessgrößen Optische Absorption ! ! – 277 Temperaturstrahlung – 280 Farbsehen – 281

– 268

– 275 – 275

7.4

Wellenoptik

7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5

Polarisiertes Licht – 285 Interferenz ! – 286 Kohärenz – 288 Dünne Schichten und Beugungsgitter ! Beugungsﬁguren ! – 291

– 285

7.5

Quantenoptik

7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6

Das Lichtquant – 293 Energiezustände und Spektren ! – 295 Laser – 297 Röntgenstrahlen ! ! – 299 Der Compton-Effekt – 302 Röntgendiagnose – 303

– 293

7.6

Elektronenoptik

7.6.1 7.6.2 7.6.3

Elektronenbeugung – 305 Elektronenmikroskope – 305 Die Unschärferelation – 307

– 305

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6_7, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

– 289

7

248

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kapitel 7 · Optik

> > Einleitung Optik ist die Lehre vom Licht, vor allem von seiner Ausbreitung. Als Licht bezeichnet man zunächst einmal diejenigen elektromagnetischen Wellen, die das Auge des Menschen wahrnimmt, also in einem sehr schmalen Spektralbereich. In erweitertem Sinn werden auch die benachbarten Gebiete als Licht bezeichnet. Kennzeichen der Wellenausbreitung sind Interferenz und Beugung. Allerdings machen sie sich im makroskopischen Alltag meist gar nicht bemerkbar, weil die Wellenlänge sichtbaren Lichtes zu klein ist. Dann gelten die Regeln der geometrischen Optik. Licht überträgt Energie. Der selektiven Empﬁndlichkeit des menschlichen Auges wegen müssen für den Strahlungsﬂuss einer elektromagnetischen Welle und den Lichtstrom verschiedene Messverfahren und Einheiten deﬁniert werden. Sichtbares Licht wird von Atomen und Molekülen emittiert und absorbiert. Weil sie so klein sind und weil die kurzen Wellenlängen hohe Frequenzen zur Folge haben, spielt hier eine Eigenschaft der Natur eine bedeutsame Rolle, die sich im Alltag sonst nicht bemerkbar macht: die Quantelung der Energie.

11

7.1

12

7.1.1 Der strahlende Dipol

13 14 15 16 17 18 19 20

Elektromagnetische Wellen

,QM *QTLMZZMQPM LMZ TM\b\MV )JJQTL]VO LM[ ^WZQ OMV3IXQ\MT[. Abb. 6.99UIKP\b_IZXTI][QJMT _QM[W MQV OMZILMZ ,ZIP\ IT[ MTMS\ZQ[KPMZ ,QXWT [KP_QVOMVSIVV]VLMQVM-QOMVNZMY]MVbJM[Q\b\ IJMZ[QM[KPMUI\Q[QMZ\LQM.MTL^MZ\MQT]VOLWKPb] [MPZ)]KP.MTLTQVQMVJZMQ\MV[QKPV]ZUQ\MVLTQ KPMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ LMZ 4QKP\OM[KP_QVLQOSMQ\ I][)]¾MZLMUTÕ[MVVQKP\V]ZLQM4IL]VOMVLM[ ,QXWT[MQVMTMS\ZQ[KPM[.MTLI][LI[[MTJM\]\I]KP LI[[QKPÃVLMZVLM5IOVM\NMTL]ULMV,QXWTPM Z]U :M[]T\I\" ,QM MTMS\ZQ[KPMV .MTLTQVQMV TÕ[MV [QKPQVMQVMZ?MQ[M^WU,QXWTIJ_QMLQM[. Abbildung 7.1 M\_I[ ZMITQ[\Q[KPMZ LIZ[\MTT\ ]VL b_IZ L]ZKP <MQTJQTLMZ QV bMQ\TQKPMV )J[\ÃVLMV ^WV RM _MQT[<LMU;MKP[\MTMQVMZ;KP_QVO]VO[LI]MZ *MQU MZ[\MV 6]TTL]ZKPOIVO <MQTJQTL Q[\ LMZ ,QXWT[MTJ[\NMTLNZMQ#LI[.MTLPI\[QKP^WVQPUOM TÕ[\ ]VL JQTLM\ QV LMZ BMQKPMVMJMVM MQV ;a[\MU OM[KPTW[[MVMZ.MTLTQVQMVZÃ]UTQKPIJMZMQVMV\W Z][ÃPVTQKPMV;KPTI]KPUQ\LMU,QXWTIT[)KP[M

. Abb. 7.1. Schwingender Dipol. Verlauf der elektrischen Feldlinien; realistischer als in . Abb. 6.98 gezeichnet. Von oben nach unten fortschreitende Zeit

,IVIKPMV\[\MPMVVM]M.MTLTQVQMVOTMQKPMZ/M[\IT\ IJMZUQ\MV\OMOMVOM[M\b\MU>WZbMQKPMV]VLLZÃV OMV LQM IT\MV VIKP I]¾MV IJ ,QM[M VMPUMV b] VÃKP[\VQMZMVNÕZUQOM/M[\IT\IVXI[[MV[QKPIJMZ UQ\_IKP[MVLMU)J[\IVLQUUMZUMPZ3ZMQ[I][ [KPVQ\\MVIV,I[b]OMPÕZQOM5IOVM\NMTLTÃ]N\UQ\ QV.WZUSWVbMV\ZQ[KPMZ3ZMQ[MLQMUQ\XMZQWLQ[KP _MKP[MTVLMU=UTI]N[QVVOM_Q[[MZUI¾MVI][LMU ,QXWT PMZI][Y]MTTMV . Abbildung 7.2 bMQO\ MQVM i5WUMV\I]NVIPUMtNÛZLQM;aUUM\ZQMMJMVMLM[ ,QXWT[1VQPZ[QVLLQMJMQLMV.MTLMZIU[\ÃZS[\MV VIKPWJMV]VL]V\MV_MZLMV[QM[KP_ÃKPMZ]VLQV LMZ4ÃVO[ZQKP\]VOLM[,QXWT[OM[KPQMP\OIZVQKP\[ UMPZ 8ZIS\Q[KP [\ZIPT\ LMZ ,QXWT QV ITTM :QKP \]VOMVIJMZMZ[\ZIPT\VQKP\PWUWOMV

249

7.1 · Elektromagnetische Wellen

7

Merke Elektromagnetische Welle: ein elektrisches und ein magnetisches Wechselfeld schwingen synchron zueinander; sie stehen (im Wesentlichen) senkrecht aufeinander und senkrecht auf der Fortpﬂanzungsrichtung. . Abb. 7.2. Schwingender Dipol. Verlauf der magnetischen Feldlinien in der Symmetrieebene eines schwingenden Dipols, Momentaufnahme

1V RMLMZ PITJMV ;KP_QVO]VO[LI]MZ SWUU\ LQM ?MTTM]UMQVMOIVbM,QXWTTÃVOM_MQ\MZ,MUMV\ [XZQKP\LQM[KPWVIU-VLMLM[TM\b\MV3IXQ\MT[OM VIVV\M *MbQMP]VO <%TK b_Q[KPMV LMZ )][ JZMQ\]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\KLMZ,QXWTTÃVOMT]VL LMZ;KP_QVO]VO[LI]MZ<LMVVLQMITTOMUMQVM*M bQMP]VO

λ K%λN%3 < OQT\ NÛZ MTMS\ZWUIOVM\Q[KPM ?MTTMV OMVI][W _QM NÛZITTMIVLMZMV . Abb. 7.3. Elektromagnetische Welle. Augenblicksdiagramm einer nach hinten laufenden elektromagnetischen Welle

-TMS\ZWUIOVM\Q[KPM?MTTMVMV\[\MPMV_MQTMQV [QKPÃVLMZVLM[MTMS\ZQ[KPM[.MTL[QKPUQ\UIOVM \Q[KPMV.MTLTQVQMV]UOQJ\]VL]UOMSMPZ\/ZMQN\ UIVOIVb_QTTSÛZTQKPMQVMMQVbQOM)][JZMQ\]VO[ ZQKP\]VO PMZI][ [W SIVV UIV QV ZÃ]UTQKPMZ ,IZ[\MTT]VOLQM;\ÃZSMVLMZJMQLMV.MTLMZ_QMLMZ IT[ 5WUMV\I]NVIPUM OZIXPQ[KP I]NbMQKPVMV . Abbildung 7.3 bMQO\ LI[ -ZOMJVQ[ VÃUTQKP MQV MTMS\ZQ[KPM[ ?MKP[MTNMTL XIZITTMT b]Z ,QXWTIKP[M ]VLMQVUIOVM\Q[KPM[?MKP[MTNMTL[MVSZMKP\LI b]*MQLM[KP_QVOMV[aVKPZWV[QMPIJMVQPZM5I `QUI]VLQPZM6]TTL]ZKPOÃVOMb]ZOTMQKPMVBMQ\ IU OTMQKPMV 7Z\ 5I`QUI _QM 6]TTL]ZKPOÃVOM TI]NMVUQ\4QKP\OM[KP_QVLQOSMQ\^WU,QXWT_MO LIJMQ VMPUMV JMQLM .MTLMZ QPZM -VMZOQMQVPIT\M UQ\" ,MZ ,QXWT [\ZIPT\ MQVM elektromagnetische Welle IJ ]VL U][[ LQM MV\[XZMKPMVLM 4MQ[\]VO TQMNMZV )]KP _MVV MZ [MTJ[\ SMQVM ;\ZWU_ÃZUM MV\_QKSMT\M SÃUMV [MQVM ;KP_QVO]VOMV L]ZKP ;\ZIPT]VO[LÃUXN]VOZI[KPb]Z:]PM_ÛZLMV[QM VQKP\L]ZKPMQVMVXI[[MVLMV?MKP[MT[XIVV]VO[ OMVMZI\WZQUUMZ_QMLMZI]NOMNZQ[KP\

Merke Für alle Wellen gilt: Ausbreitungsgeschwindigkeit = Wellenlänge · Frequenz

3Elektromagnetische Wellen entstehen, weil ein sich änderndes elektrisches Feld sich mit magnetischen Feldlinien umgibt und umgekehrt. In den entsprechenden Formeln tauchen die beiden Materialkenngrößen εZ und μZ des Mediums, in dem die Welle läuft, und die beiden Naturkonstanten ε und μ auf. Verwunderlich wäre es nicht, wenn diese vier Größen die Ausbreitungsgeschwindigkeit bestimmten. Multipliziert man ihre Einheiten miteinander, so bekommt man

also den Kehrwert des Quadrates der Einheit der Geschwindigkeit. Das legt die Vermutung nahe, für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum könne

gelten. In einem Medium wären dann noch dessen relative Permittivität εZ und relative Permeabilität μZ in die Wurzel hineinzumultiplizieren. Selbstverständlich kann eine solche Dimensionsanalyse einen physikalischen Zusammenhang nicht nachweisen; sie kann

250

1

Kapitel 7 · Optik

aber Hinweise geben, wo es sich lohnen könnte, mit genauen Rechnungen einem möglichen Zusammenhang nachzuspüren.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

7.1.2 Spektralbereiche

!

ZMVL LMZ ?I[[MZLIUXN _M[MV\TQKPM <MQTM ^WU TIVO_MTTQOMV Infrarot PMZI][VQUU\ )]OMV [MPMV QVLMUZMTI\Q^[KPUITMVi[XMS\ZITMV.MV[\MZtLI[ ^WV LMZ QZLQ[KPMV 4]N\PÛTTM L]ZKPOMTI[[MV _QZL . Abb. 7.4 -[Q[\ÛJTQKPVQKP\V]ZLQM;\ZIPT]VOQU[QKP\ JIZMV ;XMS\ZITJMZMQKP IT[ Licht b] JMbMQKPVMV [WVLMZV I]KP LQM IVOZMVbMVLMV /MJQM\M ?I[ LIVV _MQ\MZ I]¾MV TQMO\ PMQ¾\ I]N LMZ S]Zb_MT TQOMV;MQ\M Strahlung:ÕV\OMV]VLγ;\ZIPT]VO ]VL I]N LMZ IVLMZMV Welle 5QTTQUM\MZ 5M\MZ 3]Zb 5Q\\MT ]VL 4IVO_MTTM QU :ILQWJMZMQKP 8Pa[QSITQ[KPPIVLMT\M[[QKPLIJMQ]UQUUMZLQM OTMQKPM-Z[KPMQV]VO"]UMTMS\ZWUIOVM\Q[KPM?MT TMV V]Z L]ZKP .ZMY]MVb ]VL ?MTTMVTÃVOM ^WV MQVIVLMZ ]V\MZ[KPQMLMV . Abb. 7.5 ,IZ]U Q[\ I]KPLQM)][JZMQ\]VO[OM[KP_QVLQOSMQ\QUOIVbMV ;XMS\Z]UXZQVbQXQMTTLQM[MTJMLQM

3WV[\Z]QMZ\ Q[\ LI[ )]OM LM[ 5MV[KPMV NÛZ LMV 6IKP_MQ[MTMS\ZWUIOVM\Q[KPMZ?MTTMVLMZMV?MT TMVTÃVOMV ]U MQV PITJM[ 5QSZWUM\MZ PMZ]U TQM OMV,QMNÛZLMV6WZUIT[QKP\QOMVLIUQ\^MZJ]V LMVMV.IZJMQVLZÛKSM[QVLLQM:MOMVJWOMVNIZJMV LQMLQM. Abbildung 7.63_QMLMZb]OMJMV^MZ[]KP\ [W O]\ LI[ QU ,Z]KS UÕOTQKP Q[\ /ZWJ OMUM[ [MV ZMQKP\ LMZ sichtbare Spektralbereich ^WV M\_I VU ^QWTM\\ JQ[ M\_I VU ZW\ ,I[ Q[\ VQKP\^QMTR][\MQVM7S\I^MQU;QVVMLMZ)S][\QS
pretiert er virtuos räumliche Vorstellungen hinein, sofern die Perspektive auch nur einigermaßen stimmt – Maler und Photographen nutzen das aus. Der Gesichtssinn hat auch nur eine begrenzte Aufnahmegeschwindigkeit: Bei einer Folgefrequenz von 25 Hz und mehr verschmelzen diskrete Bilder zu einem kontinuierlichen Eindruck – Film und Fernsehen nutzen dies aus. Auf jeden Fall aber liefert der Gesichtssinn dem Menschen weit vollkommenere Informationen über seine Umwelt als die vier anderen Sinne zusammen. Voraussetzung ist natürlich, dass der Sinneseindruck „Licht“ durch das physikalische Phänomen „Licht“ ausgelöst wird und nicht durch mechanische Reize oder gar durch Rauschgifte. Die beiden Bedeutungen des Wortes Licht müssen deshalb sorglich auseinander gehalten werden; sie sind zwar eng miteinander verknüpft, können aber unabhängig voneinander existieren. Licht im physikalischen Sinn war in der Welt, lange bevor es Augen gab.

251

7.1 · Elektromagnetische Wellen

7

. Abb. 7.6. Skizze einer Wellenwanne im Schnitt; ein Stift tippt periodisch in ein ﬂaches Wasserbecken

. Abb. 7.4. Eindringen der Sonnenstrahlung in die Erdatmosphäre. Angegeben ist der Anteil der Atmosphäre, bis zu dem 10% der einfallenden Strahlungsleistung noch vordringen (linke Ordinate); diese Angabe ist in der rechten Ordinate auf Höhe über dem Erdboden umgerechnet worden

Merke Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) U K ≈ 4 [ (wichtige Naturkonstante).

. Abb. 7.7. Kreiswellen in einer Wellenwanne

MQV VÛ\bTQKPM[ 0QTN[UQ\\MT QU *MZMQKP LMZ 7X\QS ;QM ZML]bQMZ\ b]OTMQKP LQM QUUMZ MQV _MVQO ]V ÛJMZ[QKP\TQKPM?MTTMVI][JZMQ\]VOQU:I]UI]NLQM TMQKP\MZ ÛJMZ[KPI]JIZMV >MZPÃT\VQ[[M LMZ -JMVM ,QM?MTTMV\ÃTMZ]VL*MZOMMZ[KPMQVMVQVLMVUQ\ LMZ ?MTTMV_IVVM OM_WVVMVMV *QTLMZ . Abb. 7.7 JQ[ 7.12 PMTT JMbQMP]VO[_MQ[M L]VSMT 5IV [QMP\ LM[PITJ LQM Wellenfronten LQM b]U *MQ[XQMT LMV >MZTI]NLMZ?MTTMVJMZOMUIZSQMZMV[MPZLM]\TQKP Merke

7.1.3 Wellenausbreitung

!

Die Wellenfronten stehen immer senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung der Welle.

)TTM?MTTMVJZMQ\MV[QKPVIKPLMVOTMQKPMV/M[M\ bMVI][,IZ]UQ[\M[L]ZKPI][MZTI]J\I]KPLQM *MQ PQVZMQKPMVL OZW¾MU )J[\IVL ^WV LMZ ?MT )][JZMQ\]VOLM[4QKP\[IU5WLMTTLMZ?I[[MZ_MT TMVY]MTTM^WUWellenzentrum[QVL?MTTMVQUUMZ TMVb][\]LQMZMV#LQMWellenwanne. Abb. 7.6Q[\ S]OMTJb_SZMQ[NÕZUQO. Abb. 7.7#_MVVVQKP\[

. Abb. 7.5. Das Spektrum der elektromagnetischen Wellen

252

Kapitel 7 · Optik

1 2 3 4 5

. Abb. 7.8. Ebene Wellen in einer Wellenwanne

. Abb. 7.10. Großes Hindernis wirft einen Schatten

. Abb. 7.9. Kleines Hindernis (Pfeil) wird zum Wellenzentrum

. Abb. 7.11. Kleines Loch wird zum Wellenzentrum

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

QU?MOM[\MP\JZMQ\MV[QM[QKPOTMQKPUÃ¾QOVIKP ITTMV:QKP\]VOMVI][/MP\UIV[MPZ_MQ\_MO[W MZ[KPMQVMV [QM QV MQVMU PQVZMQKPMVL [KPUITMV *MZMQKPLMZ*MWJIKP\]VOIT[ebene WellenUQ\OM ZILMZ.ZWV\QVLMZ?IVVM. Abb. 7.84Ã[[\UIV LQM ?MTTM IV MQVMU 0QVLMZVQ[ ^WZJMQTI]NMV [W PÃVO\LI[:M[]T\I\[MPZ^WVLMZ/ZÕ¾MLQM[M[0QV LMZVQ[[M[IJ1[\M[STMQVOMOMVÛJMZLMZ?MTTMVTÃV OM[W_QZLM[b]MQVMU[MS]VLÃZMV?MTTMVbMV\ Z]U. Abb. 7.9Q[\M[[MPZOZW¾[WMV\[\MP\PQV \MZQPUMQVSchattenraumLMZ_MVVUIVVQKP\ITT b]OMVI]PQV[QMP\L]ZKP/MZILMVJMOZMVb\_QZL ^WU?MTTMVbMV\Z]UI][ÛJMZLQM3IV\MVLM[0QV LMZVQ[[M[ PQV_MO OMbMQKPVM\ . Abb. 7.10 ;QMP\ UIVIJMZOMVI]MZPQV[WLZQVO\LQM?MTTMLWKP M\_I[ QV LMV ;KPI\\MVZI]U PQVMQV ,I[ Q[\ I]KP JMQU ]UOMSMPZ\MV .ITT MQVM[ JZMQ\MV ;XIT\M[ [W . Abb. 7.12 5IKP\ UIV MQVMV [WTKPMV ;XIT\ [KPUITMZ[W_QZLLQM[MZ-NNMS\QUUMZ[\ÃZSMZ1U /ZMVbNITT_MVVLQM;XIT\JZMQ\MSTMQVQ[\^MZOTQKPMV UQ\LMZ?MTTMVTÃVOMOQJ\M[PQV\MZLMU;XIT\OIZ SMQVMV;KPI\\MVUMPZ]VLLQM?MTTMJZMQ\M\[QKP

. Abb. 7.12. Größeres Loch liefert ein begrenztes Wellenbündel

IT[3ZMQ[_MTTMÛJMZITTPQVI][. Abb. 7.11)]KP LI[ OIVb STMQVM 0QVLMZVQ[ ^WV . Abbildung 7.9 _IZNRISMQVMV;KPI\\MV?MTTMVSÕVVMVIT[Wi]U LQM -KSMt OMPMV ,QM[M -Z[KPMQV]VO VMVV\ UIV Beugung;QMQ[\]U[WI][OMXZÃO\MZRMSTMQVMZLQM )JUM[[]VOMV LMZ 0QVLMZVQ[[M OMOMVÛJMZ LMZ ?MTTMVTÃVOM [QVL .ÛZ ;KPITT_MTTMV Q[\ LI[ I][ LMU )TT\IO OMTÃ]âO 5IV SIVV RMUIVLMV LMZ PQV\MZMQVMU*I]U[\MP\L]ZKPI][M\_I[b]Z]NMV

253

7.2 · Geometrische Optik

]VL MZ PÕZ\ M[ _MQT LQM ;KPITT_MTTMVTÃVOM MPMZ OZÕ¾MZ IT[ LMZ *I]UL]ZKPUM[[MZ Q[\ ]VL LMZ ;KPITTi]ULMV*I]UPMZ]UtOMP\1[\LI[0QV LMZVQ[PQVOMOMVOZW¾MQV0I][LIVV_QZN\M[MQ VMV ;KPI\\MV ]VL PQV\MZ LMU 0QVLMZVQ[ Q[\ M[ _QZSTQKP L]VSMT JMbQMP]VO[_MQ[M [\QTT 1[\ LQM 4QKP\_MTTMVTÃVOM ^MZVIKPTÃ[[QOJIZ OMOMVÛJMZ IT TMV 4QVMIZLQUMV[QWVMV LM[ -`XMZQUMV\[ [W Q[\ LMZ )][LZ]KS Lichtstrahl UQ\ [KPIZNMZ *ÛVLMTJM OZMVb]VOOMZMKP\NMZ\QO\ .ÛZ:ÕV\OMV[\ZIPTMVOQT\LQM[QVPÕPMZMU5I¾ IT[NÛZ[QKP\JIZM[4QKP\IJMZI]KPLM[[MV?MTTMV TÃVOM Q[\ QV LMZ VWZUITMV =UOMJ]VO LM[ 5MV [KPMV ^MZ[KP_QVLMVL STMQV ,IZ]U PI\ M[ I]KP [WTIVOMOMLI]MZ\JQ[UIV[MQVM?MTTMVVI\]ZMZ SIVV\M,MZRMVQOM<MQTLMZ7X\QSLMZ[QKP]ULQM [MVQKP\SÛUUMZ\PMQ¾\geometrische Optik ?MTTMV SÕVVMV [QKP _QM ;KP_QVO]VOMV JMQ LMZ »JMZTIOMZ]VO ^MZ[\ÃZSMV [KP_ÃKPMV ]VL [WOIZ I][TÕ[KPMV ,QM[ VMVV\ UIV Interferenz 7 Kap. 7.4.2.B][IUUMVUQ\LMZ*M]O]VONÛPZ\ 1V\MZNMZMVb b] Beugungsﬁguren 7 Kap. 7.4.5 ,I[?WZ\i;\ZIPTtLI[OMZILM*ÛVLMTJMOZMVb]VO [KPIZNM;KPI\\MV]VLOTMQKPUÃ¾QOM)][TM]KP\]VO LM[[KPI\\MVNZMQMV:I]UM[MQV[KPTQM¾\_QZLLQM [MV -Z[KPMQV]VOMV VQKP\ UMPZ OMZMKP\ 1V\MZNM ZMVb]VL*M]O]VOUIKPMV[QKP]U[WLM]\TQKPMZ JMUMZSJIZRMVÃPMZLQM?MTTMVTÃVOMλIVLQM)J UM[[]VOMV LMZ i/MZÃ\Mt LM[ -`XMZQUMV\[ PMZ IVSWUU\" ,QM Langwelle LM[ ,M]\[KPTIVLN]VS[ λ≈SUTÃ]N\ÛJMZ*MZO]VLMZOTMQKPb]LMV)JUM[[]VOMVLMZ7JRMS\MQU ?MTTMVNMTL

7.2

7

Geometrische Optik

7.2.1 Lichtbündel

-QVOMWUM\ZQ[KPM[/MJQTLMLI[^WVMQVMU8]VS\ I][OMPMVLOMZILML]ZKPLMV:I]UTÃ]N\]VLV]Z QVLQM[MZMQVMV:QKP\]VOI][OMLMPV\Q[\PMQ¾\QV LMZ5I\PMUI\QSStrahl8Pa[QSITQ[KPTÃ[[\[QKPMQV [WTKPMZ ;\ZIPT VQKP\ ZMITQ[QMZMV LI[ Lichtbündel MQVM[4I[MZ[7 Kap. 7.5.3SWUU\QPUIJMZMQVQ OMZUI¾MVVIPM. Abb. 7.13-[PI\b_IZMQVMV L]ZKPI][ VIKP_MQ[JIZMV ,]ZKPUM[[MZ IJMZ LMZ Q[\ LWKP ^MZOTMQKP[_MQ[M STMQV 5Q\ _IKP[MVLMU 4I]N_MO _QZL MZ ITTMZLQVO[ QUUMZ OZÕ¾MZ LMVV LI[ 4QKP\JÛVLMT I]KP LM[ JM[\MV 4I[MZ[ Q[\ QU UMZVWKPdivergentM[PI\MQVMVVQKP\^MZ[KP_QV LMVLMVÖffnungswinkelωVÃPMZ]VO[_MQ[MLMâ VQMZ\IT[9]W\QMV\I][*ÛVLMTL]ZKPUM[[MZL]VL )J[\IVLT ^WV LMZ IT[ X]VS\NÕZUQO IVOM[MPM VMV4QKP\Y]MTTM . Abb. 7.14 ,IPQV\MZ [\MP\ MQ VMOM_Q[[M)J[\ZIS\QWVLMVV_QZSTQKPM`Q[\QMZMV LM4QKP\Y]MTTMV[QVLQUUMZI][OMLMPV\]VL_MZ NMV^WVMQVMU0QVLMZVQ[VMJMVLMUMQOMV\TQKPMV KernschattenMQVMVHalbschattenQVLMV[QMUQ\MQ VMU <MQT QPZMZ [\ZIPTMVLMV 7JMZãÃKPM PQVMQV TM]KP\MV. Abb. 7.15 Merke Öffnungswinkel eines Lichtbündels: ω %LT. Divergent: Lichtbündel läuft auseinander Konvergent: Lichtbündel wird schmaler und läuft in einem Punkt zusammen

,MZ5MV[KP[QMP\4QKP\V]ZLIVV_MVVM[QV[MQ VM)]OMVNÃTT\*ÛVLMTLQMY]MZb]Z*TQKSZQKP\]VO

. Abb. 7.13. Lichtbündel eines Helium-Neon-Lasers, durch Rauch deutlicher sichtbar gemacht

254

Kapitel 7 · Optik

1 2

. Abb. 7.14. Bündelbegrenzungen eines „schlanken“ divergenten Bündels. Hier gilt für in guter Näherung:

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 7.15. Mondschatten. Dort, wo der von der Sonne geworfene Kernschatten des Mondes die Erdoberﬂäche trifft, kann man eine totale Sonnenﬁnsternis beobachten. Im Bereich des Halbschattens deckt der Mond nur einen Teil der Sonnenscheibe ab (partielle Sonnenﬁnsternis)

TI]NMVJTMQJMV]VJMUMZS\5IVSIVV[QM[QKPLM[ PITJV]ZLIL]ZKP[QKP\JIZUIKPMVLI[[UIVQP VMV .ZMULSÕZXMZ _QM ;\I]J ?I[[MZLIUXN WLMZ
;MS]VLÃZ[\ZIPTMZ[QVLVI\]ZOMUÃ¾_MQ\I][TQKP\ [KP_ÃKPMZIT[LMZXZQUÃZMLMZ[QMJMTM]KP\M\,MZ /M[QKP\[[QVV Q[\ b]Z ?IPZVMPU]VO ^WV ;MS]V LÃZ[\ZIPTMZVMV\_QKSMT\_WZLMVUQ\MV\[XZMKPMV LMZ -UXâVLTQKPSMQ\ ,QZMS\M[ ;WVVMVTQKP\ JTMV LM\ VQKP\ V]Z M[ SIVV LQM 6M\bPI]\ [KPÃLQOMV )]KP SÛV[\TQKPM 8ZQUÃZ[\ZIPTMZ _QM /TÛPJQZVMV [WTT\MVL]ZKP5I\\OTI[IJOMLMKS\_MZLMVWLMZMQ VMV:I]UQVLQZMS\JMTM]KP\MV )][LMV]VbÃPTQOMVLQNN][QVITTM:QKP\]VOMV L]ZKPMQVIVLMZ TI]NMVLMV ;MS]VLÃZTQKP\JÛVLMTV JTMVLM\MQV)]OMV]ZMQVMV^MZ[KP_QVLMVLSTMQ VMV *Z]KP\MQT NÛZ [QKP [MTJ[\ PMZI][ -[ PIVLMT\ [QKP]U[KPTIVSMLQ^MZOMV\M*ÛVLMTUQ\^WVLMZ 8]XQTTM JM[\QUU\MV STMQVMV µNNV]VO[_QVSMTV ,QM )][OIVO[X]VS\M LQM[MZ *ÛVLMT ^MZUIO LI[ 0QZVb]MZSMVVMV#M[[M\b\I][QPVMVMQVZÃ]UTQ KPM[*QTLLMZ=U_MT\b][IUUMV ?WTT\M UIV JMQ MQVMU SWVSZM\MV WX\Q[KPMV 8ZWJTMU ITTM JMV]\b\MV 4QKP\JÛVLMT I]N 8IXQMZ bMQKPVMVLQM4QVQMVNÛTTM_ÛZLM]VÛJMZ[KPI]JIZ ,IZ]UJM[KPZÃVS\UIV[QKPI]NOIVb_MVQOMJM [WVLMZ[_QKP\QOM*ÛVLMT]VLbMQKPVM\^WVQPVMV V]ZLQM*ÛVLMTJMOZMVb]VOMV_QM[QML]ZKP*TMV LMV NM[\OMTMO\ _MZLMV w ]VL LI[ VQKP\ V]Z PQV \MZ[WVLMZVI]KP^WZLMZ*TMVLMIT[_Û[[\MLI[ *ÛVLMT [KPWV _I[ QPU VWKP _QLMZNIPZMV _QZL . Abb. 7.16 B]_MQTMV _QZL I]KP LQM[M 5M\PW LM VWKP b] ]VÛJMZ[QKP\TQKP# LIVV bMQKPVM\ UIV

255

7.2 · Geometrische Optik

7.2.2 Spiegelung

. Abb. 7.16. Divergentes Lichtbündel, aus dem Licht der allseitig strahlenden Punktlichtquelle L von der Blende B herausgeblendet. Die Bündelbegrenzungen werden schon vor der Blende gezeichnet

. Abb. 7.17. Divergentes und Parallellichtbündel. Lichtstrahlen repräsentieren als Bündelbegrenzungen wie als Zentralstrahlen Ausschnitte aus elektromagnetischen Kugelwellen (Wellenfronten hier blau gezeichnet, „Momentaufnahme“). Grenzfall: Parallellichtbündel, ebene Welle

7

!

6]ZQU;WVLMZNITTMQVMZUI\\OM\ÛVKP\MV7JMZãÃ KPM[\ZM]\MQV3ÕZXMZLI[4QKP\LI[QPV\ZQNN\^ÕT TQOLQNN][VIKPITTMV;MQ\MV1U)TTOMUMQVMVOQJ\ MZLMU4QKP\MQVMUMPZWLMZ_MVQOMZI][OMXZÃO \M>WZb]O[ZQKP\]VOUQ\LQM^WVLMZ-QVNITT[ZQKP \]VOIJPÃVO\2MI][OMXZÃO\MZLQM[OM[KPQMP\LM[ \W JTIVSMZ ]VL OTÃVbMVLMZ MZ[KPMQV\ LQM .TÃKPM 1LMITQ[QMZ\MZ/ZMVbNITTQ[\LQMZMO]TÃZMReﬂexionMQ VM[^WTTSWUUMVMV;XQMOMT[",I[MQVNITTMVLM4QKP\ _QZL^WTT[\ÃVLQOb]ZÛKSOM_WZNMV]VLJTMQJ\LIJMQ [W[KPIZNI][OMZQKP\M\_QMM[IVSIU-QVNITTMVLMZ ]VLZMãMS\QMZ\MZ;\ZIPTTQMOMVb][IUUMVUQ\LMU EinfallslotLMZ.TÃKPMVVWZUITMVIU)]N\ZMNNX]VS\ QVMQVMZ-JMVM#Einfallswinkelα]VLAusfallswinkel β b]U 4W\ OMUM[[MV [QVL OTMQKP . Abb. 7.19 ,QM[ Q[\ LQM )][[IOM LM[ Reﬂexionsgesetzes *MQ [MVSZMKP\MZ 1VbQLMVb α%β% TÃ]N\ MQV ;\ZIPT QV [QKP [MTJ[\ b]ZÛKS# QV LMU IVLMZMV /ZMVbNITT LMZ[\ZMQNMVLMV1VbQLMVbα%β%!_QZLMZOIZ VQKP\IJOMTMVS\ Merke Reﬂexionsgesetz: Einfallswinkel = Ausfallswinkel.

. Abb. 7.18. Öffnungswinkel. Zur Herleitung der korrekten Formel für den Öffnungswinkel

V]ZLMV ZentralstrahlTÃVO[LMZ*ÛVLMTIKP[MLMZ LQM 0I]X\ZQKP\]VO LM[ *ÛVLMT[ UIZSQMZ\ 1V RM LMU.ITT[\MPMV4QKP\[\ZIPTMVI]N8IXQMZOMbMQKP VM\NÛZ)][[KPVQ\\MI][MTMS\ZWUIOVM\Q[KPMV3] OMT_MTTMV JQ[ PQV b]U /ZMVbNITT LM[ Parallellichtbündels LI[ UQ\ LMU µNNV]VO[_QVSMT V]TT MQ VM [\ZMVO OMVWUUMV VQKP\ ZMITQ[QMZJIZM MJMVM ?MTTMLIZ[\MTT\. Abb. 7.17

3Setzt man zwei Spiegel im rechten Winkel zusammen, so erhält man einen 90°-Winkelspiegel, der schlanke Bündel parallel zu sich selbst zurückwirft, gleichgültig, aus welcher Richtung sie auftreffen, sofern dies nur in der Zeichenebene der . Abbildung 7.20 geschieht. Will man sich von dieser Einschränkung frei machen, muss man drei Spiegel zusammensetzen wie die Ecke einer Kiste. Nach diesem Prinzip arbeiten die Rückstrahler an Fahrzeugen und Fahrbahnmarkierungen („Katzenaugen“).

3Zumeist sind optisch genutzte Lichtbündel so schlank, dass man für ihre Öffnungswinkel ω %LT schreiben darf. Die korrekte Formel lautet freilich L ω \IV 3 %7 T

wie Abbildung 7.18 zeigt. Zuweilen wird auch ω/2 als Öffnungswinkel bezeichnet.

. Abb. 7.19. Reﬂexionsgesetz

256

Kapitel 7 · Optik

1 2 3 4 5 6

. Abb. 7.20. 90°-Winkelspiegel. Er wirft in der Zeichenebene anlaufendes Licht parallel zu sich selbst zurück

7 8

0IVLPMJ\PMJ\[MQVMVÕZLTQKPM0IVL#[MQV;XQM OMTJQTL PMJ\ MJMVNITT[ LQM VÕZLTQKPM 0IVL IJMZ _MQTM[^WV?M[\VIKP7[\[KPI]\Q[\M[LQMTQVSM B_MQ 5MV[KPMV LQM [QKP OMOMVÛJMZ[\MPMV [QVL OTMQKPMZ5MQV]VOJMbÛOTQKPWJMV]VL]V\MVIJMZ MV\OMOMVOM[M\b\MZJMbÛOTQKPZMKP\[]VLTQVS[ 1[\MQV;XQMOMT^WZOM_ÕTJ\[W[\MPMVLQM-QV NITT[TW\M VQKP\ UMPZ XIZITTMT VMJMVMQVIVLMZ# LMZ µNNV]VO[_QVSMTLM[ZMãMS\QMZ\MV*ÛVLMT[Q[\OZÕ ¾MZIT[LMZLM[MQVNITTMVLMV]VLLI[^QZ\]MTTM*QTL MZ[KPMQV\^MZSTMQVMZ\]VLIVLMV;XQMOMTPMZIVOM ZÛKS\ . Abb. 7.22 >MZSMPZ[[XQMOMT IV ]VÛJMZ [QKP\TQKPMV-QVNIPZ\MVV]\bMVLI[I][#[QMTQMNMZV MQV ^MZOTMQKP[_MQ[M OZW¾M[ *QTLNMTL MZ[KP_MZMV IJMZLQM)J[KPÃ\b]VO^WV-V\NMZV]VOMV )VLMZ[Q[\M[JMQU0WPT[XQMOMT"0QMZ_QZLLMZ µNNV]VO[_QVSMT^MZSTMQVMZ\,I[SIVVb]b_MQ^MZ [KPQMLMVMV3WV[MY]MVbMVNÛPZMV4QMO\LQM4QKP\ Y]MTTMPQVZMQKPMVLVIPMIU;XQMOMT[WJTMQJ\LI[

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 7.21. Reﬂexion am ebenen Spiegel. Ein im reﬂektierten Bündel platziertes Auge meldet das virtuelle Spiegelbild 8s der Lichtquelle 8 als Ausgangspunkt des Bündels an das Gehirn

*MQ MQVMU MJMVMV ;XQMOMT [\MPMV ITTM -QVNITT[TW \MXIZITTMT-QVLQ^MZOMV\MQVNITTMVLM[*ÛVLMTJM PÃT\LM[PITJVIKPLMZ:MãM`QWV[MQVMVµNNV]VO[ _QVSMTJMQ"BMV\ZIT[\ZIPT_QM:IVL[\ZIPTMVNWTOMV LMU :MãM`QWV[OM[M\b . Abb. 7.21 ,I[ ZMãMS \QMZ\M *ÛVLMT [KPMQV\ LM[PITJ ^WV MQVMU 8]VS\ PMZb]SWUUMV LMZ QU OTMQKPMV )J[\IVL PQV\MZ LMU ;XQMOMT TQMO\ _QM LQM _IPZM 4QKP\Y]MTTM ^WZ QPU/MVI]LQM[MV8]VS\UMTLM\LI[)]OM[MQVMU 0QZV IT[ )][OIVO[X]VS\ LM[ ZMãMS\QMZ\MV *ÛV LMT["-QV5MV[KP[QMP\MQV virtuelles BildIVMQVMZ ;\MTTMIVLMZ[QKP\I\[ÃKPTQKPM\_I[OIVbIVLMZM[ JMâVLM\ ;XQMOMTJQTLMZ [QVL [MQ\MV^MZSMPZ\ ,QM[ Q[\ VQKP\ MQVM -QOMV\ÛUTQKPSMQ\ LMZ 7X\QS [WVLMZV LMZ:QKP\]VO[JMOZQNNMLM[5MV[KPMV"?MZ^WV7[\ VIKP?M[\QVMQVMV;XQMOMT[KPI]\]VL[MQVMZMKP\M

. Abb. 7.22. Gewölbter Spiegel. Er vergrößert den Öffnungswinkel des reﬂektierten Bündels gegenüber dem des einfallenden. Ein Auge meldet ein verkleinertes, etwas an den Spiegel herangerücktes, virtuelles Spiegelbild 8s der Lichtquelle 8

. Abb. 7.23. Hohlspiegel bei kleinem Objektabstand. Der Öffnungswinkel wird verkleinert, bleibt aber positiv: virtuelles, vergrößertes und vom Spiegel weggerücktes Bild 8s von der Lichtquelle 8

257

7.2 · Geometrische Optik

7

OMVPÕPMZMZMZNIPZMVMV\[KPQM LMV?MZLQM)JJQTL]VOL]ZKP4QV[MVJMPMZZ[KP\ [QM_QZLIJ7 Kap. 7.2.6I][NÛPZTQKPJM[XZWKPMV SIVV [MQVM 3MVV\VQ[[M TMQKP\ I]N LQM )JJQTL]VO L]ZKP0WPT[XQMOMTÛJMZ\ZIOMV,QM[JZI]KP\PQMZ IT[WVQKP\VÃPMZJMPIVLMT\b]_MZLMV Umkehrbar? . Abb. 7.24. Hohlspiegel bei großem Objektabstand: Der Öffnungswinkel wird bis ins Negative verkleinert. Das reﬂektierte Bündel läuft konvergent auf den reellen Bildpunkt 8s der Lichtquelle 8 zu und erst hinter 8s wieder divergent auseinander

ZMãMS\QMZ\M *ÛVLMT LQ^MZOMV\ ]VL LMZ *M\ZIKP\MZ [QMP\_QMLMZMQV^QZ\]MTTM[*QTL. Abb. 7.23LQM[ UIT^MZOZÕ¾MZ\]VL^WU;XQMOMTIJOMZÛKS\"8ZQV bQXLM[:I[QMZ[XQMOMT[*MQPQVZMQKPMVLOZW¾MU)J [\IVL LMZ 4QKP\Y]MTTM Q[\ LMZ µNNV]VO[_QVSMT LM[ MQVNITTMVLMV *ÛVLMT[ IJMZ [W STMQV LI[[ LMZ LM[ ZMãMS\QMZ\MVVMOI\Q^_QZL,I[OM[XQMOMT\M*ÛVLMT JTMQJ\VQKP\LQ^MZOMV\M[TÃ]N\SWV^MZOMV\I]NMQ VMV8]VS\b]]VLMZ[\PQV\MZQPULQ^MZOMV\_MQ\MZ . Abb. 7.24>WVV]VIJ^MZPÃT\M[[QKPIT[[MQM[ QU3WV^MZOMVbX]VS\MV\[\IVLMV#MQV)]OMUMTLM\ LQM[MV8]VS\IT[)][OIVO[X]VS\LM[ZMãMS\QMZ\MV *ÛVLMT[LMZ5MV[KP[QMP\MQVreelles BildIVMQVMZ ;\MTTMIVLMU[QKPLQM4QKP\Y]MTTMb_IZVQKP\JM âVLM\ LI[ 4QKP\ IJMZ QUUMZPQV OM_M[MV Q[\ -[ [KPMQV\ VQKP\ _QM JMQU ^QZ\]MTTMV *QTL V]Z ^WV LWZ\b]SWUUMVM[SWUU\_QZSTQKP^WVLWZ\

7 Aufgabe. In . Abb. 7.24 ist in Punkt P eine Lichtquelle und in Punkt P’ ihr reelles Bild. Setzen wir nun die Lichtquelle in den Punkt P’. Gibt es dann auch ein reelles Bild? Und wenn ja, wo? 7 Lösung. Bei der Reﬂexion ist Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel. Der Vorgang ist vollkommen symmetrisch und läuft genau umgekehrt ab, wenn man die Richtung des Lichtstrahls umkehrt. Deshalb ergibt sich ein reelles Bild genau im Punkt P, wo die Lichtquelle vorher war.

7.2.3 Brechung

!!

1V/TI[TÃ]N\4QKP\TIVO[IUMZIT[QU>IS]]U#NÛZ RMLM[ IVLMZM TQKP\L]ZKPTÃ[[QOM 5MLQ]U OQT\ LI[ I]KP[WOIZNÛZLQM4]N\_MVVUIVOMVI]OMV]O UQ[[\ 1VNWTOMLM[[MV L]ZKP[M\b\ 4QKP\ MQVM /TI[ XTI\\M V]Z JMQ [MVSZMKP\MU -QVNITT WPVM :QKP \]VO[ÃVLMZ]VO#JMQ[KPZÃOMU-QVNITT_QZLM[ gebrochen.ÃTT\_QMQV. Abbildung 7.25OMbMQKPVM\ MQV8IZITTMTTQKP\JÛVLMT^WVWJMVZMKP\[I][LMU >IS]]U UQ\ LMZ 4QKP\OM[KP_QVLQOSMQ\ K SWU UMVL]V\MZLMU-QVNITT[_QVSMT αI]NLQMMJMVM

Merke Ein virtuelles Bild wird von divergenten Lichtbündeln erzeugt und lässt sich nur durch abbildende Systeme wahrnehmen (Auge, Kamera). Ein reelles Bild wird von konvergenten Lichtbündeln erzeugt und lässt sich auf einem Bildschirm auffangen.

,QM-ZbM]O]VOZMMTTMZ*QTLMZZMITMZ7JRMS\MPMQ¾\ QV LMZ 7X\QS Abbildung >WZVMPUTQKP LQM <MTM[ SWXM LMZ )[\ZWVWUMV JMV]\bMV PQMZNÛZ \I\[ÃKP TQKP0WPT[XQMOMT#IVLMZ[_WQV8Pa[QS]VL<MKPVQS JM^WZb]O\UIVLQM)JJQTL]VO L]ZKP4QV[MV)]KP LQM6I\]ZPI\[QKPJMQLMZ3WV[\Z]S\QWVLMZ)]

. Abb. 7.25. Brechung. Zur Herleitung des Brechungsgesetzes (Einzelheiten im Text)

258

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kapitel 7 · Optik

7JMZãÃKPMMQVM[ brechenden Mediums[WSWUU\ b]VÃKP[\MQVUITLMZ]V\MZM:IVL[\ZIPTMQVSTMQV _MVQONZÛPMZIVIT[LMZWJMZM]ULQMBMQ\[XIVVM [ Δ\%3 K VÃUTQKP1U5MLQ]UPMZZ[KP\LQM4QKP\OM[KP_QV LQOSMQ\ ^$ K# LI[ 4QKP\ SIVV QV Δ\ LM[PITJ V]Z LQM;\ZMKSM ^ [%^Δ\%[3 K L]ZKPTI]NMV1U/TI[OQT\IJMZ_QMQVLMZ4]N\",QM ?MTTMVNZWV\ QV . Abb. 7.25 JTI] [\MP\ QUUMZ [MVSZMKP\ I]N LMZ )][JZMQ\]VO[ZQKP\]VO ,M[PITJ ÃVLMZ\[QKPUQ\LMZ:QKP\]VOLMZ?MTTMVNZWV\I]KP LQM)][JZMQ\]VO[ZQKP\]VOLM[8IZITTMTJÛVLMT[,MV )][NITT[_QVSMT βTQMNMZVLQMJMQLMVI][*ÛVLMTJM OZMVb]VO]VL?MTTMVNZWV\OMJQTLM\MV,ZMQMKSMLMZ . Abbildung 7.25]VLb_IZL]ZKPLQM/TMQKP]VO

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 7.26. Planparallele Glasplatte. Beim Durchgang durch eine planparallele Glasplatte werden parallele wie divergente Lichtbündel lediglich parallelversetzt

LMZ9]W\QMV\K^_QZL BrechzahlVWLMZI]KP BrechungsindexLM[/TI[M[OMVIVV\/MJZWKPMV_QZL 4QKP\ VQKP\ V]Z JMQU »JMZ\ZQ\\ ^WU >IS]]U QV MQVJZMKPMVLM[5MLQ]U[WVLMZVI]KPJMQ?MKP [MT b_Q[KPMV b_MQ 5MLQMV UQ\ ]V\MZ[KPQMLTQKPMV *ZMKPbIPTMVV]VLV,IZ]UOQJ\UIVLMUBrechungsgesetzJM[[MZLQM^WTT[\ÃVLQOM.WZU

. Abb. 7.27. Blick ins Wasser. Das vom Auge ausgeblendete Bündel einer Lichtquelle, die sich in einem brechenden Medium beﬁndet (Goldﬁsch im Teich), scheint von einer Stelle zu kommen, an der sie sich nicht beﬁndet; „gesehen“ wird der Goldﬁsch senkrecht über seiner wahren Position, denn Entfernungen registriert der Gesichtssinn nicht über den Öffnungswinkel des Lichtbündels (d. h. über die „Akkommodation“ des Auges, 7 Kap. 7.2.9), sondern durch den Konvergenzwinkel der Augen (7 Kap. 7.2.11)

LQOTQKP XIZITTMT ^MZ[M\b\ . Abb. 7.26 ,MV *TQKS L]ZKP[.MV[\MZ[\ÕZ\LI[VQKP\ Merke )VLMZM[OQT\JMQMQVMU<MQKP0QMZQ[\LI[JZM Brechzahl KPMVLM5MLQ]U?I[[MZLQKS]VLLQM;MS]VLÃZ TQKP\Y]MTTM M\_I LQM :ÛKSMVãW[[M MQVM[ /WTL â[KP[ JMâVLM\ [QKP UQ\\MV LIZQV ,I[ LQ^MZOMV Brechungsgesetz: \M 4QKP\JÛVLMT SWUU\ VQKP\ [W OMZILMV ?MOM[ JMQU)]OMIV_QMLMZ/M[QKP\[[QVV^MZU]\M\#LI Z]U_QZLLQM.TW[[MIVMQVMZIVLMZMV;\MTTMiOM[M PMVtIT[[QM[QKPJMâVLM\]VLLMZ:M[\LM[.Q[KPM[ MZbMZZ]VOMV^WZ LMU UQ\ LMZ STMQVMZMV *ZMKPbIPT QV MQV iLQKP ITTMUJMQ[KPZÃOMZ*TQKSZQKP\]VO. Abb. 7.27 \MZM[tÛJMZ[W_QZLM[b]U4W\PQVOMJZWKPMVIV 6IKP QPZMZ ,MâVQ\QWV SÕVVMV -QVNITT[ ]VL LMZVNITT[^WU4W\_MO*MQU,]ZKPOIVOL]ZKPMQ )][NITT[_QVSMT ! SIVV MQV ;QV][ VQKP\ ÛJMZ VMXTIVXIZITTMTM/TI[XTI\\MPMJMV[QKPJMQLM*ZM [KPZMQ\MV ,MUb]NWTOM MZTI]J\ LI[ *ZMKP]VO[OM KP]VOMVOMOMV[MQ\QOI]N#MQV4QKP\JÛVLMT_QZLTM [M\bJMQU»JMZ\ZQ\\I][MQVMULÛVVMVQVMQVLQKP

259

7.2 · Geometrische Optik

7

Klinik

. Abb. 7.28. Grenzwinkel der Totalreﬂexion (Einzelheiten im Text)

\MZM[5MLQ]USMQVMV)][\ZQ\\[_QVSMT βLMZOZÕ ¾MZ_ÃZMIT[L]ZKPLQM=VOTMQKP]VO V [QVβ≤ 5$ V ^WZOMOMJMV 1U LQKP\MZMV 5MLQ]U OQJ\ M[ LMU VIKP MQVMV ?QVSMTJMZMQKP LMV 4QKP\ ^WV I]¾MV VQKP\ MZZMQKPMV SIVV -Z Q[\ QV . Abbildung 7.28 L]VSTMZOMZI[\MZ\ ?I[OM[KPQMP\UQ\4QKP\LI[I][LQM[MU*M ZMQKP[\IUUMVL^WVLMZ;MQ\MLM[LQKP\MZMV5M LQ]U[ I][ LQM /ZMVbãÃKPM IVTÃ]N\ ]VL PMZI][ UÕKP\M' /MbMQKPVM\M Strahlengänge [IOMV VQKP\[ ÛJMZLQM5IZ[KPZQKP\]VOLM[4QKP\M[I]["4QKP\_M OM[QVL]USMPZJIZ,IZI][NWTO\VW\_MVLQOMZ_MQ [M"3IVV4QKP\I][LMULÛVVMZMV5MLQ]UQVMQ VMVJM[\QUU\MV*MZMQKPLM[LQKP\MZMVVQKP\PQV MQV[WSIVV]UOMSMPZ\4QKP\I][LQM[MU*MZMQKP LI[ LQKP\MZM 5MLQ]U VQKP\ ^MZTI[[MV w M[ ^MZ JTMQJ\]V\MZ TotalreﬂexionI]NLMZLQKP\MZMV;MQ\M LMZ /ZMVbãÃKPM ,I[ :MãM`QWV[^MZUÕOMV TÃ[[\ [QKPPQMZ^WVSI]UVWKP]V\MZ[KPMQLMVITTMV NITT[_QZLM[MQV_MVQOL]ZKPUÕOTQKPMZ_MQ[M^WZ PIVLMVM;\ZM]\MQTKPMV]VL)J[WZX\QWV[[KPQKP\MV IVLMZ/ZMVbãÃKPMJMMQV\ZÃKP\QO\,MZ?QVSMT β LMZ . Abbildung 7.28PMQ¾\ Grenzwinkel der Totalreﬂexion 5IV SIVV QPV b]Z *M[\QUU]VO ^WV *ZMKPbIPTMV^MZ_MVLMV

äEndoskopie. In der Medizin wird die Totalreﬂexion beim sog. Lichtleiter angewendet, um Körperhöhlen, wie etwa den Magen, für photographische Zwecke auszuleuchten. Man nehme ein Bündel feiner Glasfäden, der einzelne vielleicht 30 μm im Durchmesser; er lässt sich dann leicht um den Finger wickeln, ohne zu brechen. Gibt man durch seine Stirnﬂäche Licht in ihn hinein, so kann es nur durch die Stirnﬂäche am anderen Ende wieder heraus: Auf Seitenﬂächen trifft es auch in der Biegung immer nur mit Winkeln jenseits des Grenzwinkels der Totalreﬂexion auf (. Abb. 7.29). Zwischen zwei Reﬂexionen kommt das Licht nicht weit; ehe es das andere Ende eines Dezimeter langen Glasfadens erreicht, hat es einige hundert Spiegelungen hinter sich gebracht. Läge das Reﬂexionsvermögen auch nur um ein Promille unter der 1, käme kaum noch Licht an. Legt man ein Bündel dünner Glasfäden sorgfältig parallel ausgerichtet nebeneinander, so kann man mit ihnen auch gewissermaßen „punktweise“ Bilder übertragen (Faseroptik). Auch in der Nachrichtentechnik setzen sich Lichtleiter zur Datenübertragung immer mehr durch.

Merke Totalreﬂexion: Licht kann optisch dichteres Medium nicht verlassen, wenn der Grenzwinkel der Totalreﬂexion βOZMVb überschritten wird: [QVβOZMVb% 3 V (bei Übertritt in Vakuum oder Luft).

. Abb. 7.29. Lichtleiter, schematisch. Das durch eine Stirnﬂäche eingedrungene Licht kann wegen der Totalreﬂexion erst an deren anderen Stirnﬂäche wieder hinaus

260

1 2

Kapitel 7 · Optik

Rechenbeispiel 7.1: Girls’ best friend 7 Aufgabe. Die Lichtgeschwindigkeit in Diamant beträgt 1,24 · 108 m/s. Was heißt das für die Brechzahl? 7 Lösung.

3 4 5 6 7

Im Vergleich zu Glas (n ≈ ) ist das eine sehr hohe Brechzahl. Es gibt kaum ein durchsichtiges Material mit einem höheren. Die Brechzahl bestimmt auch das Reﬂexionsvermögen durchsichtiger Stoffe. Bei senkrechtem Lichteinfall reﬂektiert Diamant 17% des Lichtes, Glas nur 4%. Das macht den ganzen Charme des Diamanten aus: er glitzert so schön.

8

Rechenbeispiel 7.2: Mit den Augen eines Fisches

9

7 Aufgabe. Wasser hat die Brechzahl n = 1,33. Wie groß ist der Grenzwinkel der Totalreﬂexion? Was sieht man, wenn man von unter Wasser nach oben auf eine völlig glatte Wasserﬂäche schaut? 7 Lösung. βOZMVb % IZK[QV % ! Die Welt oberhalb des Wasserspiegels ist auf ein kreisrundes Sichtfeld mit einem Blickwinkel von 49° zur Senkrechten komprimiert. Jenseits von 49° sieht man Reﬂexionen vom Boden des Sees.

10 11 12 13 14

7.2.4 Dispersion

15

*ZMKPbIPTMV[QVL^WV.ZMY]MVb]VL?MTTMVTÃVOM IJPÃVOQO#UMQ[\NITTMV[QMUQ\_IKP[MVLMU λIJ 5IVJMbMQKPVM\LQM[MV-NNMS\IT[Dispersion-ZQ[\ VQKP\OZW¾_QMLQM7ZLQVI\MLMZ. Abbildung 7.30 bMQO\
16 17 18 19 20

. Abb. 7.30. Dispersionskurve von Flintglas

. Abb. 7.31. Glasprisma. Ein Parallellichtbündel durchsetzt symmetrisch ein 60°-Glasprisma; Einfallswinkel α, Ablenkwinkel δ

Merke Dispersion: Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge, d. h. V%Vλ.

-[ TM]KP\M\ MQV LI[[ LMZ )JTMVS_QVSMT δ VQKP\ V]Z^WU-QVNITT[_QVSMT α]VLLMU8ZQ[UMV_QV SMT γ IJPÃVO\ [WVLMZV I]KP ^WV LMZ *ZMKPbIPT V ]VL LIUQ\ ^WV LMZMV ,Q[XMZ[QWV Vλ . Abbildung 7.31 SIVV LM[PITJ V]Z VIKP MQVMU 4I [MZM`XMZQUMV\ OMbMQKPVM\ _WZLMV [MQV" 4I[MZ TQKP\Q[\monochromatischM[MV\PÃT\XZIS\Q[KPV]Z 4QKP\ MQVMZ ?MTTMVTÃVOM [WLI[[ [QKP LQM ,Q[XMZ [QWV VQKP\ I][_QZS\ 4Ã[[\ UIV IJMZ MQV [KPUI TM[*ÛVLMT ;WVVMVTQKP\ I]N LI[ 8ZQ[UI NITTMV [W _QZL LI[ ]Z[XZÛVOTQKP i_MQ¾Mt 4QKP\ QV ITTM .IZ JMVLM[:MOMVJWOMV[I]NOM[XIT\M\>WU/M[QKP\[ [QVVIT[_MQ¾MUXN]VLMVM[4QKP\Q[\VWZUITMZ_MQ [M MQV PWUWOMVM[ /MUQ[KP I][ ITTMV ?MTTMVTÃV OMV LM[ [QKP\JIZMV ;XMS\ZITJMZMQKPM[ _QM M[ M\

7.2 · Geometrische Optik

_I^WV?WTSMVIT[;MS]VLÃZ[\ZIPTMZVIJOMOMJMV _QZL 1U JTI]MV 0QUUMT ÛJMZ_QMOMV LQM SÛZbM ZMVQU)JMVLZW\LQMOZÕ¾MZMV?MTTMVTÃVOMV,I[ 8ZQ[UI SIVV MQV ?MTTMVTÃVOMV WLMZ I]KP .ZM Y]MVbOMUQ[KP[XMS\ZITbMZTMOMVQV[MQVSpektrum bMZTMOMV Merke

261

7

. Abb. 7.33. Linse als Prismenstapel. Parallel anlaufende Bündel werden nach F’ gesammelt

Spektrale Zerlegung: Aufteilung eines Wellenlängengemisches in einzelne Wellenlängen.

7.2.5 Linsen

!

>WVLMZ;MQ\MOM[MPMVU][[MQVWX\Q[KPM[8ZQ[UI VQKP\ ]VJMLQVO\ LQM .WZU MQVM[ ,ZMQMKS[ PIJMV .ÛZ LI[ QV .Abbildung 7.31 OMbMQKPVM\M *ÛVLMT PI\ LQM ;XQ\bM LM[ 8ZQ[UI[ SMQVM *MLM]\]VO [QM SIVVOMSIXX\_MZLMV?QKP\QOQ[\V]ZLMZbrechende Winkelγ#UQ\QPU_ÃKP[\LMZ)JTMVS_QVSMTδ B]UQVLM[\ QU /MLIVSMV^MZ[]KP SIVV UIV [QKP MQVMV ;\IXMT I]NMQVIVLMZOM[M\b\MZ 8ZQ[UMV VIKP )Z\ LMZ .Abbildung 7.32 ^WZ[\MTTMV 1PZM JZMKPMVLMV ?QVSMT [WTTMV [W OM_ÃPT\ [MQV LI[[ [QMLQMOMbMQKPVM\MVBMV\ZIT[\ZIPTMV^WV8IZIT TMTTQKP\JÛVLMTVLQMITTM^WU8]VS\8I][OMPMVQV MQVMV8]VS\8sPQVMQV[IUUMTV)]KPXIZITTMTIV SWUUMVLM*ÛVLMT_ÛZLMV[QM[IUUMTVIJMZI]N SÛZbMZMV)J[\IVLIT[WQVLMV8]VS\.sLMZ.Abbildung7.33 5Q\ [KPUITMZMV 8ZQ[UMV TQM¾M [QKP MQVM OZÕ¾MZM )VbIPT ^WV *ÛVLMTV MZNI[[MV# QU /ZMVbNITT_QZLLIVVLQM7JMZãÃKPMLM[/TI[SÕZ XMZ[ VQKP\ UMPZ ^WV .IKM\\MV OMJQTLM\ [WVLMZV ^WVb_MQBaTQVLMZUÃV\MTVUQ\PWZQbWV\ITMZ)KP [M-[ÃVLMZ\[QKPVQKP\[?M[MV\TQKPM[_MVVUIV LMVMQVMVb]Z-JMVMMV\IZ\MVTÃ[[\"MQVMLMZIZ\QOM

. Abb. 7.32. Linse als Prismenstapel. Ein Prismenstapel zieht Parallellichtbündel, deren Zentralstrahlen von einem Punkt 8 stammen, in einem Punkt 8s zusammen – sofern die brechenden Winkel richtig gewählt werden

. Abb. 7.34. Zylinderlinse. Eine Zylinderlinse liefert einen Bildstrich

. Abb. 7.35. Zwei Zylinderlinsen mit gleichen Brennweiten und zueinander senkrechten Zylinderachsen bilden ab wie eine sphärische Linse

Zylinderlinse bQMP\ MQV IVTI]NMVLM[ 8IZITTMTTQKP\ JÛVLMT b] MQVMU PWZQbWV\ITMV ;\ZQKP b][IUUMV . Abb. 7.34;M\b\UIVLQKP\PQV\MZLQM4QV[MMQ VM b_MQ\M UQ\ ^MZ\QSITMZ BaTQVLMZIKP[M [W _QZL LI[ *ÛVLMT b] MQVMU 8]VS\ b][IUUMVOMbWOMV . Abb. 7.35,QM[M[:M[]T\I\SIVVUIVI]KPQV MQVMU ;KPZQ\\ PIJMV _MVV UIV LMV /TI[SÕZXMZ L]ZKPb_MQ3]OMTãÃKPMVJMOZMVb\#MZJQTLM\LIVV MQVM sphärische Linse ]VL b_IZ MQVM bikonvexe Sammellinse ?QMLMZ ÃVLMZ\ [QKP VQKP\[ ?M[MV\ TQKPM[ _MVV LQM MQVM .TÃKPM b]Z -JMVM MV\IZ\M\ Plankonvexlinse)JMZVQKP\LQMÃ]¾MZM.WZUQ[\ LI[ -V\[KPMQLMVLM IV MQVMZ 4QV[M [WVLMZV QPZM Brennweite )T[ *ZMVV_MQ\M N JMbMQKPVM\ UIV LMV )J [\IVLLMZ*ZMVVMJMVM^WVLMZ4QV[M1VLMZ*ZMVV MJMVM TQMOMV LQM 3WV^MZOMVbX]VS\M ITTMZ *ÛV LMT LQM IT[ 8IZITTMTJÛVLMT ]V\MZ ^MZ[KPQMLMVMV :QKP\]VOMV IV LMZ IVLMZMV ;MQ\M LMZ 4QV[M IV TI]NMV . Abb. 7.36 QV LMZ *ZMVVMJMVM TQMOMV IT[WI]KPLQMZMMTTMV*QTLMZ_MTKPMLQM4QV[M^WV _MQ\MV\NMZV\MV7JRMS\MVMV\_QZN\,QM4IOMLMZ

262

Kapitel 7 · Optik

DioptrieLX\[QMMV\[XZQKP\LMU3MPZ_MZ\MQVM[

1

5M\MZ[" TLX\%Uw

2 3 4 5

. Abb. 7.36. Sammellinse. Parallellichtbündel werden von der Linse auf Punkte zusammengezogen, deren Lage durch den zugehörigen Zentralstrahl vorgeben ist; dieser muss nicht vom Licht des Bündels realisiert werden (blau: Zentralstrahl des oberen Bündels)

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 7.37. Zerstreuungslinse. Eine Zerstreuungslinse weitet Parallellichtbündel zu divergenten Bündeln auf; sie scheinen von virtuellen Bildpunkten auf der bildseitigen Brennebene vor der Linse zu stammen: negative Brennweite. Der Zentralstrahl des oberen Bündels ist blau gezeichnet

*QTLX]VS\M SIVV UIV TMQKP\ MZUQ\\MTV" QU BMV \Z]U LMZ 4QV[M [\MPMV [QKP LMZMV 7JMZãÃKPMV XIZITTMT OMOMVÛJMZ LQM LWZ\ L]ZKPTI]NMVLMV BMV\ZIT[\ZIPTMV _MZLMV WPVM :QKP\]VO[ÃVLM Z]VOL]ZKPOMTI[[MVLQM8IZITTMT^MZ[M\b]VOLIZN UIVJMQLÛVVMV4QV[MVb]UQVLM[\^MZVIKPTÃ[ [QOMV /Z]VL[Ã\bTQKP SIVV MQVM [XPÃZQ[KPM 4QV[M QV QPZMZ5Q\\MLÛVVMZ[MQVIT[IU:IVL-QVNITTMVLM 8IZITTMTTQKP\JÛVLMT _MZLMV LIVV VQKP\ OM[IU UMT\[WVLMZVb]LQ^MZOMV\MV*ÛVLMTVI]NOM_MQ\M\ . Abb. 7.37#[QM[KPMQVMV^WV8]VS\MVb]SWU UMVLQMI]NMQVMZ-JMVM^WZLMZ4QV[MTQMOMV-[ Q[\LM[PITJ[QVV^WTTMQVMZ[WTKPMVSWVSI^MVWLMZ ZerstreuungslinseMQVMVMOI\Q^M*ZMVV_MQ\Mb]b] WZLVMV ;\IZSMt 4QV[MV UQ\ [\ÃZSMZ OMSZÛUU\MV 7JMZãÃKPMV PIJMV S]ZbM *ZMVV_MQ\MV _MZLMV IT[W L]ZKP MQVM 3MVVOZÕ¾M UQ\ STMQVMZ 5I¾bIPT KPIZIS\MZQ[QMZ\?MULI[UQ[[NÃTT\LMZJM^WZb]O\ b]Z3MVVbMQKPV]VOLMVBrechwertMZQ[\IT[3MPZ _MZ\LMZ*ZMVV_MQ\MLMâVQMZ\;MQVM-QVPMQ\PMQ¾\

2MLMZLMZMQVM*ZQTTM\ZÃO\_MQ¾LI[[)]OMV WX\QSMZ QUUMZ UQ\ ,QWX\ZQMV ZMKPVMV ,I[ TQMO\ ^WZ ITTMU LIZIV LI[[ [QKP LQM *ZMKP_MZ\M b_MQ LQKP\ PQV\MZMQVIVLMZOM[M\b\MZ 4QV[MV _QM )]OM ]VL*ZQTTMVÃPMZ]VO[_MQ[MILLQMZMV Merke Konvexe Linse = Sammellinse: positive Brennweite f Konkave Linse = Zerstreuungslinse: negative Brennweite Brechwert = Kehrwert der Brennweite (Einheit: Dioptrie, 1 dpt = 1 m–1) Bei dünnen Linsen, die dicht hintereinander stehen, addieren sich näherungsweise die Brechwerte.

-QVM ;IUUMTTQV[M JQTLM\ 8IZITTMTTQKP\JÛVLMT QV M QVM MQVbQOM -JMVM IJ [QM TQMO\ QU )J[\IVL LMZ *ZMVV_MQ\M;\ZMVOOMVWUUMVQ[\LQM[MZ;I\bSMQVM .M[\[\MTT]VO[WVLMZVMQV8W[\]TI\LI[SMQVMM`Q[ \QMZMVLM4QV[MM`IS\b]MZNÛTTMV^MZUIO5IV[IO\ LM[PITJ[QMPIJMLinsenfehler)UTMQKP\M[\MVMQV b][MPMVQ[\LMZ.IZJNMPTMZchromatische AberrationMQVM.WTOMLMZ,Q[XMZ[QWVLM[4QV[MVUI\MZQ IT[":W\M[4QKP\JMSWUU\MQVMOZÕ¾MZM*ZMVV_MQ\M IT[JTI]M[*M[WVLMZ[JMQOZW¾MV4QV[MVUQ\STMQ VMZ *ZMVV_MQ\M [\ÕZ\ LMZ µNNV]VO[NMPTMZ sphärische Aberration":IVLVIPM*ÛVLMTPIJMVMQVMM\ _I[STMQVMZM*ZMVV_MQ\MIT[bMV\Z]U[VIPM?MQ\M ZMV£ZOMZJMZMQ\M\LMZ Astigmatismus"?MZ[KPZÃO I]NMQVM4QV[M[KPI]\[QMP\[QMXMZ[XMS\Q^Q[KP^MZ SÛZb\ ]VL [KPÃ\b\ LIZ]U LQM 3ZÛUU]VO QPZMZ 7JMZãÃKPM QV LMZ MQVMV :QKP\]VO PÕPMZ MQV IT[ QVLMZIVLMZMV,QM.WTOM"-QV[KPZÃOMQVNITTMVLM[ 8IZITTMTTQKP\JÛVLMT_QZLOIZVQKP\QVMQVMU8]VS\ b][IUUMVOMbWOMV [WVLMZV QV b_MQ b]MQVIVLMZ [MVSZMKP\M;\ZQKPMUQ\^MZ[KPQMLMVMV-V\NMZV]V OMV^WVLMZ4QV[M,QM[OQT\MZ[\ZMKP\]VLLIVV I]KPNÛZMQVIKP[MVXIZITTMTMQVNITTMVLM[*ÛVLMT _MVV b]UQVLM[\ MQVM 7JMZãÃKPM LMZ 4QV[M \I\ [ÃKPTQKPQVLMZMQVMV:QKP\]VO[\ÃZSMZOMSZÛUU\ Q[\IT[QVLMZIVLMZMVLIb][MVSZMKP\MV,QM4QV[M

7.2 · Geometrische Optik

263

7

. Abb. 7.38a–c. Linsenfehler. a Öffnungsfehler (sphärische Abberation): Strahlen, die am Rand der Linse eintreten, haben einen anderen Brennpunkt; b Farbfehler (chromatische Abberation): Licht unterschiedlicher Wellenlänge hat verschiedene Brennpunkte; c eine astigmatische Linse (sphärisch mit Zylinderanteil) gibt zwei zueinander senkrecht stehende Bildstriche

Q[\LIVVSMQVM[XPÃZQ[KPM4QV[MUMPZ[WVLMZVPI\ MQVMVBaTQVLMZIV\MQT1VLQM[MZ?MQ[MMV\[\MP\LMZ )[\QOUI\Q[U][LM[)]OM[MQVM.MPT[QKP\QOSMQ\LQM L]ZKPMQV*ZQTTMVOTI[UQ\MV\[XZMKPMVLMUBaTQV LMZIV\MQTSWZZQOQMZ\_MZLMVSIVV;KPTQM¾TQKPTQM OMV LQM *QTLX]VS\M MQVM[ MJMVMV /MOMV[\IVL[ VQKP\ VW\_MVLQOMZ_MQ[M [MTJ[\ QV MQVMZ -JMVM w UIV [XZQKP\ LIVV ^WV *QTLNMTL_ÕTJ]VO i.Q[KP I]OMVMNNMS\t . Abbildung 7.38LM]\M\LQM_QKP \QO[\MV4QV[MVNMPTMZ[KPMUI\Q[KPIV

. Abb. 7.39. Grundtypen optischer Linsen im Schnitt. Von links: bikonvex, plankonvex, konkavkonvex (Sammellinsen); bikonkav, plankonkav, konvexkonkav (Zerstreuungslinsen)

4QV[MVNMPTMZ TI[[MV [QKP I]KP SWZZQOQMZMV L]ZKP 3WUXMV[I\QWV VÃUTQKP 5MPZMZM 4QV[MV Merke I][ ^MZ[KPQMLMVMV /TI[[WZ\MV OM[KPTQNNMV ]VL OM[KPQKS\ b][IUUMVOM[M\b\ SÕVVMV QPZM .MP Die wichtigsten Linsenfehler: TMZOMOMV[MQ\QO _MQ\OMPMVL I]NPMJMV ]VL QV[ Öffnungsfehler = sphärische Aberration OM[IU\ \ZW\bLMU VWKP _QM MQVM IJJQTLMVLM 4QV Farbfehler = chromatische Aberration [M_QZSMV;XMbQMTTOMOMVLQM[XPÃZQ[KPM)JMZZI\Q Astigmatismus (Zylinderlinse) WV]VL*QTLNMTL_ÕTJ]VOPMTNMVI]KPI[XPÃZQ[KPM 4QV[MVIT[W[WTKPMUQ\b]U*MQ[XQMTXIZIJWTQ[KP ,QM)JJQTL]VO[OTMQKP]VONZIO\VQKP\LIVIKPI]N OMSZÛUU\MV 7JMZãÃKPMV 1PZM 0MZ[\MTT]VO UQ\ _MTKPMU \MKPVQ[KPMV ?MO LQM *ZMVV_MQ\M MQ KWUX]\MZOM[\M]MZ\MV 5I[KPQVMV Q[\ ZMKP\ \M]MZ VMZ4QV[MiOMUIKP\t_QZL#JMQLMV4QV[MVNMPTMZV ,QM/Û\MLMZIZ\QOMZ ObjektiveJM[\QUUMV^WZIT SIVVIJMZLQM4QV[MVNWZUMQVMJM\ZÃKP\TQKPM:WT TMU9]ITQ\Ã\]VL8ZMQ[^WV3IUMZI[.MZVZWPZMV TM[XQMTMV. Abbildung 7.39bMQO\LQM/Z]VL\aXMV ]VL5QSZW[SWXMV LQM[MZ.WZUMV?QTTUIVMQV_MQ\MV\NMZV\M[7J RMS\IJJQTLMV[WQ[\MQVMXTIVSWV^M`M4QV[MJM[ [MZIT[MQVMJQSWV^M`M[WNMZVUIVLQMMJMVM;MQ \MLMU*QTLb]LZMP\]VLVQKP\]UOMSMPZ\ 5IV [WTTQUUMZ^MZ[]KPMVUQ\[MQVMU4QKP\[W[aU UM\ZQ[KP_QMUÕOTQKPL]ZKPMQVM4QV[MPQVL]ZKP b]SWUUMV

264

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Kapitel 7 · Optik

7.2.6 Abbildung durch Linsen

!

Merke Einer hinreichend dünnen Linse kann man zuverlässig die Ebene zuordnen, von der aus die Abstände zu Gegenstand und Bild gemessen werden müssen; sie heißt Hauptebene. Senkrecht zu ihr durch die Linsenmitte läuft die optische Achse. Ein achsenparallel einfallendes Parallellichtbündel wird von der Linse in den Brennpunkt .s zusammengezogen, er liegt auf der Achse im Abstand der Brennweite f von der Hauptebene (. Abb. 7.40).

,QM[MZ;I\bMV\PÃT\QU/Z]VLMITTM[_I[UIVÛJMZ LQM )JJQTL]VO L]ZKP NMPTMZNZMQM 4QV[MV _Q[[MV U][[#LMV:M[\SIVVUIV[QKPTMQKP\ÛJMZTMOMV -Z[\MV["4QV[MV_QZSMV[aUUM\ZQ[KPw]VUQ\ \MTJIZMQVTM]KP\MVLJMQMQVMZJQSWV^M`MV4QV[Mw LPLQM*ZMVV_MQ\MVI]NJMQLMV;MQ\MVLMZ0I]X\ MJMVM[QVLOTMQKP B_MQ\MV[" 4QKP\_MOM [QVL ]USMPZJIZ w LP LI[ LQ^MZOMV\M 4QKP\JÛVLMT MQVMZ 9]MTTM LQM QU *ZMVVX]VS\TQMO\^MZTÃ[[\LQM4QV[MIT[IKP[MVXI ZITTMTM[8IZITTMTJÛVLMT ,ZQ\\MV["BMV\ZIT[\ZIPTMVLP;\ZIPTMVL]ZKP LMV;KPVQ\\X]VS\^WV)KP[M]VL0I]X\MJMVM_MZ LMVI]KPLIVVVQKP\OMJZWKPMV_MVV[QM[KPZÃO MQVNITTMV ,IUQ\ TÃ[[\ [QKP LMZ NÛZ LQM *QTLSWV [\Z]S\QWV_QKP\QOM
. Abb. 7.40. Wesentliche Elemente einer dünnen Linse

. Abb. 7.41. Bildkonstruktion. Der schwarz gezeichnete, von links achsenparallel einlaufende Strahl wird rechts von der Hauptebene zum Brennstrahl; Analoges gilt für den blau gezeichneten, von rechts anlaufenden Strahl. Der strichpunktierte Zentralstrahl wird nicht abgeknickt. Man kann die Zeichnung auch als Konstruktion der Abbildung des Gegenstandspunktes 8 in den Bildpunkt 8s auffassen

SVQKS\LMZ;\ZIPTIVLMZ0I]X\MJMVMb]U*ZMVV X]VS\PQVIJB]ULQ^MZOMV\MV*ÛVLMTLM[8]VS \M[8OMPÕZ\V]VIJMZI]KPLMZJTI]OMbMQKPVM\M ;\ZIPT_MVVI]KPQV/MOMVZQKP\]VOL]ZKPTI]NMV -ZQ[\TQVS[LMZ0I]X\MJMVMMQV;\ZIPTL]ZKPLMV *ZMVVX]VS\ IT[W ZMKP\[ IKP[MVXIZITTMT -Z \ZQNN\ LMV [KP_IZbMV QU 8]VS\M 8s w ]VL LQM[ OQT\ NÛZ ITTM;\ZIPTMVLM[LQ^MZOMV\MV*ÛVLMT[I][8LMZ BMV\ZIT[\ZIPTbMQO\M[]VUQ\\MTJIZ",QM4QV[MJQT Merke LM\8VIKP8sIJ]VL_MQT4QKP\_MOM]USMPZJIZ [QVL I]KP 8s VIKP 8 6IKP LQM[MU ;KPMUI TÃ[[\ Jeder achsenparallele Strahl wird an der Haupt[QKP b] RMLMU 8]VS\ MQVM[ /MOMV[\IVL[ LMZ b] ebene zum Strahl durch den Brennpunkt und OMPÕZQOM *QTLX]VS\ SWV[\Z]QMZMV ,I OZ]VL[Ã\b umgekehrt; jeder Zentralstrahl läuft geradeTQKP LZMQ ;\ZIPTMV NÛZ LQM 3WV[\Z]S\QWV b]Z >MZ aus weiter. NÛO]VO[\MPMVSIVVUIV[WOIZ[MQVMBMQKPMVOM VI]QOSMQ\ÛJMZXZÛNMV . Abbildung 7.41QTT][\ZQMZ\LQM[ -[Q[\SMQVM[_MO[VW\_MVLQOLI[[LQMb]Z*QTL 6]V_MQ¾MQVM4QV[MVQKP\WJMQVIKP[MVXIZIT SWV[\Z]S\QWVI]NLMU8IXQMZ^MZ_MVLM\MV;\ZIP TMTJMQQPZIVSWUUMVLMZ;\ZIPTM\_ILMZ[KP_IZb TMV QU XZIS\Q[KPMV >MZ[]KP IT[ 4QKP\JÛVLMT \I\ OMbMQKPVM\M QV . Abb. 7.41 b] MQVMU 8IZITTMT [ÃKPTQKP ZMITQ[QMZ\ _MZLMV ;\ZIPTMV LÛZNMV I]KP TQKP\JÛVLMT OMPÕZ\ ]VL LIUQ\ MQVMZ [MPZ NMZVMV _MQ\I]¾MZPITJLMZ4QV[MVNI[[]VOI]NLQM0I]X\ 4QKP\Y]MTTM MV\[\IUU\ WLMZ WJ MZ <MQT MQVM[ LQ MJMVM \ZMNNMV 4QKP\JÛVLMT TI]NMV V]Z L]ZKP LQM ^MZOMV\MV*ÛVLMT[Q[\LI[M\_I^WVMQVMZ4QKP\ 4QV[MVÕNNV]VO#I]NRMLMV.ITT_QZLIJMZITTM[_I[ Y]MTTMQU8]VS\M8I][OMPMVSÕVV\M#QVRMLMU.ITT ^WU/MOMV[\IVL[X]VS\8I][OMP\QU*QTLX]VS\

7.2 · Geometrische Optik

7

265

. Abb. 7.42. Abbildung mit kleiner Linse. Strahlengang zu Bildkonstruktion (schwarz) und abbildendes Bündel (blau) vom Elefantenohr bei der Photographie; schematisch

8sOM[IUUMT\[WNMZVM[V]ZL]ZKPLQM4QV[MPQV L]ZKPSWUU\,MZMV,]ZKPUM[[MZJM[\QUU\LMV µNNV]VO[_QVSMT LM[ IJJQTLMVLMV *ÛVLMT[ VQKP\ IJMZ LQM 4IOM LM[ *QTLX]VS\M[ )]KP MQV -TMNIV\ TÃ[[\[QKPXPW\WOZIXPQMZMVWJ_WPTMZ^QMTOZÕ¾MZ Q[\IT[4QV[M]VL3IUMZI. Abb. 7.42 )TTM )JJQTL]VOMV LQM[M[ 3IXQ\MT[ [QVL JQ[PMZ [\QTT[KP_MQOMVLNÛZ;IUUMTTQV[MVOMbMQKPVM\_WZ LMV WJ_WPT QU <M`\ [KPTQKP\ ^WV 4QV[MVt LQM :MLM_IZ
KPMV>MZNIPZMVIJ. Abb. 7.43b[QMNÛPZ\b]MQ VMU^QZ\]MTTMV*QTL^MZSTMQVMZ\]VLIVLQM0I]X\ MJMVMPMZIVOMZÛKS\ )]KP ;IUUMTTQV[MV SÕVVMV ^QZ\]MTTM *QT LMZ OMJMV LIVV VÃUTQKP _MVV 8 QVVMZPITJ LMZ *ZMVV_MQ\MNTQMO\)]KPRM\b\_QZLLI[*QTLVIKP LMUOTMQKPMV;KPMUISWV[\Z]QMZ\. Abb. 7.43a# UIVTI[[M[QKPVQKP\LIL]ZKPJMQZZMVLI[[LMZOM OMV[\IVL[[MQ\QOM ;\ZIPT L]ZKP LMV *ZMVVX]VS\ RM\b\VQKP\UMPZ^WV8ÛJMZ.b]Z0I]X\MJMVMOM bMQKPVM\ _MZLMV SIVV [WVLMZV V]Z ]UOMSMPZ\ ^WV.ÛJMZ8,QMI]N8IXQMZOMbMQKPVM\MV;\ZIP TMV UÛ[[MV RI VQKP\ L]ZKP 4QKP\JÛVLMT ZMITQ[QMZ\ _MZLMV /MWUM\ZQ[KPM 7X\QS [\MP\ LIZ[\MTTMVLMZ /MWUM\ZQM[MPZVIPM,I[^QZ\]MTTM*QTLLI[[QKP LIVVMZOQJ\Q[\I]NZMKP\]VL^MZOZÕ¾MZ\";WN]VS \QWVQMZ\MQVMLupe

7.2.7 Abbildungsgleichungen

!

5IV SIVV VIKP LMU ;KPMUI LM[ ^WZQOMV 3IXQ \MT[ LMV B][IUUMVPIVO b_Q[KPMV GegenstandsweiteIBildweiteJ]VLBrennweiteNUÛP[IU]VL 8]VS\_MQ[ML]ZKP3WV[\Z]S\QWVUQ\*TMQ[\QN\]VL 4QVMIT OM_QVVMV UIV SIVV QPV IJMZ I]KP I][ ZMKPVMVUQ\0QTNMLMZAbbildungsgleichung

. Abb. 7.43a, b. Bildkonstruktion virtueller Bilder, Bezeichnungen wie . Abb. 7.42. a Zerstreuungslinse, d. h. negative Brennweite, bildseitiger Brennpunkt .s links von der Hauptebene. b Sammellinse, Gegenstandsweite kleiner als Brennweite

3Herleitung: In . Abbildung 7.44 sind zusätzlich zu den bisher schon genannten Elementen der optischen Abbildung der Linsenmittelpunkt 5 und die Abstände z und bs der Punkte 8 und 8s von der optischen Achse eingetragen. Auf der Gegenstandsseite enthält der Strahlengang drei ähnliche rechtwinklige Dreiecke mit dem Brennstrahl als Hypotenuse. Das kleinste mit dem rechten Winkel bei 5 hat Achse und Hauptebene als Katheten, ihre Längen betragen f und bs. Das mittlere hat seine spitzen Ecken bei 8 und ., seine Kathe-

266

Kapitel 7 · Optik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

. Abb. 7.44. Zur Herleitung der Abbildungsgleichung (Einzelheiten im Text)

ten sind `%IwN und z. Diese beiden Dreiecke sind einander ähnlich, darum stehen einander entsprechende Seiten untereinander im gleichen Verhältnis:

also

bs und z sind aber Messwerte für die Größen von Bild und Gegenstand. Deshalb liefert diese Gleichung den Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor der Abbildung. Eine weitere Gleichung liefert ein Vergleich der rechtwinkligen Dreiecke mit spitzen Winkeln bei 8 und 5 bzw. 8s und 5: Beide Gleichungen zusammen geben:

13 14

Auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen und durch a teilen liefert schon fast die Abbildungsgleichung.

15

Merke

16

Für die Berechnung der reellen Abbildung mit dünner Linse: Abbildungsgleichung:

19 20

Rechenbeispiel 7.3: Scharfstellen 7 Aufgabe. Das „Normalobjektiv“ einer Kleinbildkamera hat die Brennweite N%UU. Dem entspricht auch der Abstand zwischen bildseitiger Hauptebene und Film bei „Normaleinstellung auf Unendlich“. Um wie viel Millimeter muss das Objektiv zur Scharfeinstellung auf einen 45 cm entfernten Gegenstand vorgeschoben werden? 7 Lösung. Für „Normaleinstellung auf Unendlich“ lautet die Abbildungsgleichung und deshalb Is%N% UU. Für I% KU ergibt sich

17 18

\Q[KP8IZITTMTTQKP\JÛVLMTb]Z4QV[M,IZI][MZOQJ\ [QKPMQVMQVNIKPM[>MZNIPZMVLQM*ZMVV_MQ\MMQVMZ 4QV[Mb]JM[\QUUMV"5IVUQ[[\LMV)J[\IVLUQ\ LMU UIV LQM 4QV[M ^WZ LQM BQUUMZ_IVL PIT\MV U][[ ]U LI[ OMOMVÛJMZTQMOMVLM .MV[\MZSZM]b [KPIZN IJb]JQTLMV *M[WVLMZ[ OMVI] Q[\ LQM 5M \PWLMITTMZLQVO[VQKP\/MVI]MZM5M\PWLMV_MZ LMV QV ^QMTMV 5MLQbQVMZXZIS\QSI L]ZKPOMNÛPZ\ [NWTOMVLM8ZIS\QS]U[JW` 2MLMZMQVbMTVM*QTLX]VS\MQVM[_MQ\MV\NMZV\MV 7JRMS\[TQMO\LWZ\_WLMZBMV\ZIT[\ZIPTLQM*ZMVV MJMVM SZM]b\ 6W\_MVLQOM .WTOMV" RM OZÕ¾MZ LQM *ZMVV_MQ\MLM[\WOZÕ¾MZLI[*QTLRMSTMQVMZLQM *ZMVV_MQ\M LM[\W OZÕ¾MZ LI[ *QTLNMTL LI[ M\_I ^WV MQVMU ^WZOMOMJMVMV .QTUNWZUI\ MZNI[[\ _QZL8PW\WOZIXPMVJMV]\bMVLM[PITJNÛZ.MZV I]NVIPUMV <MTMWJRMS\Q^M UQ\ OZW¾MZ *ZMVV_MQ \M]VL NÛZ 1VVMVI]NVIPUMV ?MQ\_QVSMTWJRMS \ Q^MUQ\S]ZbMZ*ZMVV_MQ\M,QM1VL][\ZQM^MZSI]N\ I]KP[WOBWWU7JRMS\Q^Mi/]UUQTQV[MVtUQ\ SWV\QV]QMZTQKP MQV[\MTTJIZMZ *ZMVV_MQ\M 5Q\ QP VMV SIVV LMZ )UI\M]ZâTUMZ i.IPZI]NVIPUMVt ^WZ\Ã][KPMV WPVM [QKP ^WU .TMKS b] JM_MOMV" ,]ZKP >MZTÃVOMZ]VO LMZ *ZMVV_MQ\M _QZL LI[ 7 JRMS\[KPMQVJIZiPMZIVOMPWT\t

Vergrößerung:

1[\ I%N [W Q[\ LMZ )JJQTL]VO[UI¾[\IJ OMZILM "]VL*QTL_MQ\MOTMQKP/MOMV[\IVL[_MQ\M ,I[*QTL[MPZ_MQ\MV\NMZV\MZ7JRMS\MTQMO\PQV OMOMV QV LMZ *ZMVVMJMVM LMVV M[ [MVLM\ XZIS

Also muss das Objektiv um 6,23 mm verschoben werden. Ist die Brennweite kleiner, wird auch dieser Verschiebeweg kleiner. Das nützen AutofokusKameras gern aus: Die Verschiebemechanik kann bei kleiner Brennweite (z. B. 35 mm) einfacher und ungenauer werden.

7.2 · Geometrische Optik

267

7

Praktikum Linse (Augenmodell) In der Regel wird eine Brennweite bestimmt. Es gibt drei Verfahren, die Brennweite einer Sammellinse zu bestimmen: 1) Einfache Abbildung: Man bildet einen Gegenstand scharf auf einen Schirm ab, misst Gegenstandsweite und Bildweite und berechnet mit der Abbildungsgleichung die Brennweite. Problem: Man muss die genaue Lage der Hauptebene der Linse kennen. Bei symmetrischen Bikonvexlinsen (. Abb. 7.39) ist die Hauptebene einfach in der Mitte, bei anderen Formen ist die Position nicht offensichtlich. 2) Bessel-Verfahren: Bei festgelegtem Abstand zwischen Gegenstand und Schirm gibt es immer zwei verschiedene Positionen der Linse, die zu einer scharfen Abbildung führen, einmal ein verkleinertes und einmal ein vergrößertes Bild. Der Grund liegt in der Umkehrbarkeit von Strahlengängen. Aus dem Abstand s der beiden Linsenpositionen und dem Abstand a von Gegenstand zu Schirm kann die Brennweite f berechnet werden:

:ÛKS\ MQV /MOMV[\IVL \I\[ÃKPTQKP I][ LMU =VMVLTQKPMV QUUMZ VÃPMZ PMZIV [W _ÃKP[\ LQM *QTL_MQ\M -V\[XZMKPMVL [KPQMJ\ LMZ 8PW\WOZIXP NÛZ 6IPI]NVIPUMV LI[ 7JRMS\Q^ [MQVMZ 3IUMZI b]Z ;KPIZNMQV[\MTT]VO ^WZ LMVV LQM 8W[Q\QWV LMZ *QTLMJMVMQ[\QPURIL]ZKPLMV.QTUSWV[\Z]S\Q^ ^WZOMOMJMV )]N ZMITM 7JRMS\Q^M MQVMZ 3IUMZI LQMQUUMZI][UMPZMZMV4QV[MVJM[\MPMVQ[\LQM WJMVNWZU]TQMZ\M)JJQTL]VO[OTMQKP]VOITTMZLQVO[ VQKP\ LQZMS\ IV_MVLJIZ ;QM OQT\ V]Z NÛZ LÛVVM 4QV[MVJMQLMVMVb]U*MQ[XQMTb]:MKP\LMZ8I

. Abb. 7.45. Dicke Linse. Nur ein längs der optischen Achse laufender Strahl kommt geraden Weges durch die Linse; schräg anlaufende Zentralstrahlen werden parallel versetzt. Bei dünnen Linsen darf man diese Versetzung vernachlässigen

Über die Lage der Hauptebene verrät das Verfahren nichts. 3) Autokollimation ermöglicht das Aufﬁnden der Hauptebene. Hier bildet man einen punktförmigen Gegenstand in sich selbst ab, indem auf der anderen Seite der Linse ein Spiegel das Licht zurückwirft und der Gegenstand im Brennpunkt der Linse liegt. Er liegt dann genau im Brennpunkt, wenn auf der anderen Seite der Linse ein Parallellichtbündel austritt und deshalb ein Verschieben des Spiegels die Abbildung nicht ändert. Man misst dann den Abstand des Gegenstands zur vermuteten Position der Hauptebene, dreht anschließend die Linse herum, stellt wieder scharf und misst noch mal. Hat man die Lage der Hauptebene richtig vermutet, misst man denselben Abstand, sonst liegt die Hauptebene im Mittelwert der beiden Distanzen.

ZITTMT^MZ[I\bLM[BMV\ZIT[\ZIPTM[JMQ[KPZÃOMU-QV NITT. Abb. 7.45^MZVIKPTÃ[[QO\_MZLMVSIVV*MQ 4QV[MV[a[\MUMV]VLLQKSMV4QV[MVJMZÛKS[QKP\QO\ UIVLMV8IZITTMT^MZ[I\bLIL]ZKPLI[[UIVb_MQ 0I]X\MJMVMVMQVNÛPZ\?QMLI[N]VS\QWVQMZ\OM PÕZ\b]Z\MKPVQ[KPMV7X\QSLQMMQVM?Q[[MV[KPIN\ NÛZ[QKPQ[\]VLPQMZVQKP\^MZ\QMN\_MZLMV[WTT Rechenbeispiel 7.4: Teleobjektiv 7 Aufgabe. Ein Tierfreund möchte einen scheuen Hasen auf 3 m Distanz bildfüllend auf seinen Kleinbildﬁlm (Bildmaße 24 × 36 mm) bannen. Welche Brennweite muss sein Objektiv dazu haben? 7 Lösung. Sagen wir einmal, der Hase ist 30 cm hoch, also z = 30 cm. Die Bildhöhe soll z’ = 26 mm sein. Die Gegenstandsweite ist a = 3 m. Jetzt müssen wir nur noch die Gleichung

nach f auﬂösen. Das Ergebnis ist:

268

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 7 · Optik

7.2.8 Abbildung durch einfache Brechung

-QVM4QV[MPI\QUUMZb_MQ7JMZãÃKPMV",I[4QKP\ LI[[QML]ZKP[M\b\_QZLb_MQUITOMJZWKPMV=VMZ TÃ[[TQKPNÛZMQVMWX\Q[KPM)JJQTL]VOQ[\LI[VQKP\ B]Z )JJQTL]VO OMVÛO\ JMZMQ\[ MQVM MQVbQOM OM SZÛUU\MJZMKPMVLM.TÃKPM)TTMZLQVO[SIVVLI[ 4QKP\I]N[MQVMU?MOb]UZMMTTMV*QTLX]VS\LIVV LMV /TI[SÕZXMZ VQKP\ UMPZ ^MZTI[[MV# MQV *QTL [KPQZUMQVXPW\WOZIXPQ[KPMZ.QTUUÛ[[\M[QKPQV LM[[MV 1VVMZMU JMâVLMV ITTMVNITT[ ]VUQ\\MTJIZ I]NLMZ:ÛKS[MQ\MwSMQVMO]\M4Õ[]VONÛZLQM<MKP VQS _WPT IJMZ NÛZ LQM 6I\]Z" ;QM SIVV LQM TQKP\ MUXâVLTQKPM Netzhaut L]ZKPI][ I]N LMZ :ÛKS [MQ\MLM[)]OIXNMT[IV_IKP[MVTI[[MV5Q\LQM[MZ 3WV[\Z]S\QWV_QZLLQM)JJQTL]VO L]ZKPV]ZMQVM JZMKPMVLM.TÃKPMVIPMOMTMO\]VL[WUIKP\M[LQM 6I\]ZQU?M[MV\TQKPMVI]KP,QMHornhautÛJMZ VQUU\ LMV 0I]X\\MQT LMZ )JJQTL]VO LQM Augenlinse [WZO\ TMLQOTQKP NÛZ MQVMV OM_Q[[MV 3WUNWZ\ JMQLMZ;KPIZNMQV[\MTT]VO*MQMQVMZ;\IZWXMZI\QWV _QZLLQM[M4QV[MMV\NMZV\#MQVM*ZQTTMU][[[QMMZ [M\bMVMZTI]J\IJMZSMQVM;KPIZNMQV[\MTT]VOUMPZ 3Was sich bei einer Abbildung mit nur einer brechenden Fläche im Wesentlichen gegenüber einer Linse ändert zeigt . Abbildung 7.46: Vor und in dem Glaskörper ergeben sich unterschiedliche Brennweiten f und f ’. Dadurch modiﬁziert sich die Abbildungsgleichung. Liegen Bild und Bildweite J im Glaskörper, so ergibt sich:

. Abb. 7.46. Abbildende Kugel (Augenmodell). Parallelbündel aus verschiedenen Richtungen werden von einer brechenden Kugel in eine zu ihr konzentrische Kugelﬂäche (Brennﬂäche) abgebildet

che einer brechenden Kugel ist deshalb selbst eine Kugelﬂäche; beide Kugeln haben den gleichen Mittelpunkt, wie . Abbildung 7.46 zeigt. Diese Zeichnung hat freilich einen etwas akademischen Charakter. Man braucht nämlich eine für sichtbares Licht ungewöhnlich hohe Brechzahl > 2, um die Brennﬂäche in die brechende Kugel hineinzubekommen. Mit Diamant ginge es: n = 2,41. Eben das macht ihn für Schmuckstücke so beliebt: Zu großem n gehört ein kleiner Grenzwinkel der Totalreﬂexion. Er erlaubt, Diamanten zu Brillanten mit vielen glitzernden Flächen zu schleifen. Organisches Leben, das Augen bilden will, kann diese Brechzahlen aber nicht verwirklichen. Die Hornhaut ist deshalb vorne stärker gekrümmt als die Oberﬂäche des Augapfels sonst.

7.2.9 Das Auge

Abbildungsgleichung Sie herzuleiten, ist nicht sonderlich schwer, aber etwas mühsam und wenig ergiebig. Die beiden Brennweiten f und f ’ stehen im gleichen Verhältnis wie die Brechzahlen n und n’ der Medien, in denen sie liegen. Man kann deshalb der Brechwert so deﬁnieren, dass er auf beiden Seiten gleich wird: Brechwert Bei der Linse ist die Brechzahl des Mediums drumherum (Luft) gleich eins, sodass die Brechwert, wie in 7 Kapitel 7.2.5 gesagt, einfach der Kehrwert der Brennweite ist. Aus welcher Richtung man eine Kugel auch immer anschaut, sie zeigt sich stets in gleicher Gestalt. Von wo ein Lichtbündel auch anläuft, auf jeden Fall besitzt es eine optische Achse, auf der ein Lichtstrahl durch das Kugelzentrum zum Bildpunkt läuft. Die Brennﬂä-

,I[)]OMLM[5MV[KPMVJM[\MP\QU?M[MV\TQKPMV I][MQVMZTQKP\L]ZKPTÃ[[QOMV3]OMT^WVKIUU ,]ZKPUM[[MZ LMU Glaskörper *]TJ][ ;MQVM :ÛKS[MQ\MQ[\UQ\LMZTQKP\MUXâVLTQKPMVNetzhaut JMTMO\LMZ:M\QVI5IVSÕVV\MV]VPWNNMVMQVM [WTKPM 3]OMT MZTI]JM b]UQVLM[\ LQM PITJM ?MT\ UQ\MQVMUMQVbQOMVi8IVWZIUIJTQKStb]MZNI[[MV LMVVLQM7X\QSLMZJZMKPMVLMV3]OMTJM^WZb]O\ RI SMQVM *TQKSZQKP\]VO 1U ^WZQOMV 3IXQ\MT PI\\M [QKP IJMZ OMbMQO\" =U LQM *ZMVVãÃKPM MQVMZ 3] OMT I]N QPZM MQOMVM 7JMZãÃKPM b] TMOMV JZI]KP\ UIV MQV 5I\MZQIT UQ\ LMZ *ZMKPbIPT ,I[ [\MP\ LMZ6I\]ZQU*MZMQKPLMZWZOIVQ[KPMV;]J[\IVbMV VQKP\ b]Z >MZNÛO]VO# JMQU /TI[SÕZXMZ U][[ [QM [QKPUQ\V%b]NZQMLMVOMJMV.WTOTQKP_ÕTJ\ [QMLQMHornhautLQM3WZVMILM]\TQKP^WZ^MZZQV

7.2 · Geometrische Optik

OMZ\LIL]ZKPLMV:ILQ][LMZJZMKPMVLMV3]OMT ãÃKPM]VLUQ\QPULQM*ZMVV_MQ\M,MZ8IVWZI UIJTQKSOMP\^MZTWZMV#MZ_QZLL]ZKPPWPM:W\I\Q WV[JM_MOTQKPSMQ\LM[)]OM[MZ[M\b\ 5Q\LMZ^WZOM_ÕTJ\MV0WZVPI]\_ÃZMLI[)] OMNZMQTQKPNM[\I]NMQVMOIVbJM[\QUU\M;MP_MQ\M MQVOM[\MTT\XT][UQV][;KPÃZNMV\QMNM"3WZVMI]VL :M\QVISÕVVMVRIVQKP\OMOMVMQVIVLMZ^MZ[KPWJMV _MZLMV .ÛZ LQM Akkommodation NÛZ LQM ;KPIZN MQV[\MTT]VOI]NVIPM7JRMS\MJI]\LQM6I\]ZLMU 5MV[KPMVI]OMLM[PITJVWKPMQVM AugenlinseMQV JM[\MPMVLI][MQVMZOITTMZ\IZ\QOMV5I[[MUQ\LMZ *ZMKPbIPT;QKP[MTJ[\ÛJMZTI[[MVUÕKP\M[QM ]V\MZLMZ?QZS]VOLMZ7JMZãÃKPMV[XIVV]VO3] OMTNWZUIVVMPUMV,IZIV_QZL[QMIJMZ^WVZILQ ITIVOZMQNMVLMV;XIVVNI[MZVOMPQVLMZ\,QM[MbQM PMV[QMãIKP[WLI[[[QMMQVMMKP\M*QSWV^M`TQV[M JQTLM\)]¾MVPÃVOMVLQM;XIVVNI[MZVIVMQVMU :QVOU][SMT. Abb. 7.473WV\ZIPQMZ\MZ[WOM JMVLQM.I[MZVVIKP]VLLQM4QV[M_QZLS]OMTQOMZ QPZ*ZMKP_MZ\[\MQO\")SSWUUWLI\QWVI]NSTMQVMZM ;MP_MQ\M *MQ iMV\[XIVV\MU )]OMt LP MV\[XIVV\MU :QVOU][SMT ]VL OM[XIVV\ ãIKP OMbWOMVMZ 4QV [M ISSWUUWLQMZ\ LMZ 6WZUIT[QKP\QOM iI]N ]V MVLTQKPt>WVLMULINÛZVW\_MVLQOMV*ZMKP_MZ\ TQMNMZ\ LQM 0WZVPI]\ LMV 4Õ_MVIV\MQT VÃUTQKP ,QWX\ZQMVLX\_ÃPZMVLLQM4QV[MV]ZLX\ PQVb]\]\ ?QZL [QM JMQ MQVMZ ;\IZWXMZI\QWV MV\ NMZV\[WJZI]KP\LQMStarbrilleV]ZLQM[MLX\b] MZ[M\bMVLMVVLMZ*ZMKP_MZ\LMZ0WZVPI]\JTMQJ\ MZPIT\MV,QM.ÃPQOSMQ\b]Z)SSWUUWLI\QWVOMP\ NZMQTQKP^MZTWZMVIJMZLI[\]\[QMQVPÕPMZMU4M JMV[IT\MZ[W_QM[W

269

7

. Abb. 7.47. Menschliches Auge. Horizontaler Schnitt

MQVNIKP LQM JM[[MZMV 5I\MZQITQMV b]Z >MZNÛO]VO ,QM6I\]ZPI\IVLMZM5ÕOTQKPSMQ\MVLQM[MV6IKP \MQTI][b]OTMQKPMV>WZITTMUSIVV[QMLMU)]OM MQVMOZW¾M*M_MOTQKPSMQ\^MZTMQPMVUQ\LMULMZ /TI[SÕZXMZQVLMZ)]OMVPÕPTMPMZ]UZWTT\,I[MZ TI]J\I]NLMZIVLMZMV;MQ\M[MPZZI\QWVMTTb]IZ JMQ\MV"6]ZMQVSTMQVMZ<MQTLMZ6M\bPI]\LQM Fovea Q[\ LQKP\ UQ\ ;MPbMTTMV JMTMO\ LQM QPZM MQOM VMVi4MQ\]VOMVtQV[/MPQZVJM[Q\bMV,WZ\TQMOMV LQM 3WV^MZOMVbX]VS\M LMZRMVQOMV 4QKP\JÛVLMT LQM V]Z _MVQO OMOMV LQM WX\Q[KPM )KP[M OMVMQO\ [QVL[WLI[[[QKP4QV[MVNMPTMZI]KPV]ZZMTI\Q^_M VQOI][_QZSMV)]KP_MQ\MZI]¾MV^MZUIOLQM:M \QVI L]ZKPI][ VWKP -QVbMTPMQ\MV I][MQVIVLMZ b] PIT\MV0WPM[)]ãÕ[]VO[^MZUÕOMVLMZ;MPbMTTMV TWPV\ PQMZ IJMZ VQKP\ UMPZ _MQT M[ [QKP WX\Q[KP LWKPVQKP\MZZMQKPMVTÃ[[\,INÛZMZTI]J\LQMPWPM *M_MOTQKPSMQ\LI[)]OMZI[KPQVLQMRM_MQT[QV\M ZM[[IV\M[\M*TQKSZQKP\]VOb]LZMPMV?MZMQV*]KP Merke TQM[\ ^MZUIO SI]U UMPZ IT[ MQV MQVbMTVM[ ?WZ\ OTMQKPbMQ\QO [KPIZN b] [MPMV# [MQVM )]OMV NWTOMV Auge des Menschen: LMU<M`\I]KPQUBMQTMV[XZ]VOITTMUIT[W[KPVMTT 5 Brechwert der Hornhaut ca. 43 dpt _QMLI[/MPQZVLMV1VPIT\LM[/MTM[MVMVb]MZNI[ 5 Brechwert der Linse ca. 15 dpt [MV^MZUIO6]ZLMZ=VOMÛJ\MVQUU\PQMZJMQLMV 5 Akkommodation: Scharfeinstellung des .QVOMZb]0QTNM,QM3]OMTNWZULMZ)]OMVQ[\VQKP\ Auges durch Änderung der LinsenkrümI][WX\Q[KPMV/ZÛVLMVb_MKSUÃ¾QO[WVLMZVI][ mung UMKPIVQ[KPMV ,QM[M[ >MZNIPZMV LI[ _QZS[IUM /M[QKP\[NMTL 1U>MZOTMQKPUQ\LMU7JRMS\Q^I]KPMQVM[JQTTQOMV L]ZKPZI[KPM)]OMVJM_MO]VOb]MZ_MQ\MZV[\MTT\ 8PW\WIXXIZI\M[VMPUMV[QKPLQMWX\Q[KPMV-QOMV ÛJZQOMV[ JM\ZÃKP\TQKPM )VNWZLMZ]VOMV IV LMV [KPIN\MVLM[)]OM[ZMKP\SÛUUMZTQKPI][,MZ1V 5MKPIVQ[U][UQ\LMULQM;QOVITMLMZ;MPbMTTMV L][\ZQM [\MPMV QU *MZMQKP LMZ ]VJMTMJ\MV 6I\]Z VM]ZIT^MZIZJMQ\M\_MZLMVJQ[[QMQV[*M_][[\[MQV

270

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 7 · Optik

^WZLZQVOMV2MLM*M_MO]VOLMZ)]OÃXNMTTÃ[[\RI LI[WX\Q[KPMZbM]O\M*QTLÛJMZLQM6M\bPI]\OTMQ \MVUMQ[\_MQ\[KPVMTTMZIT[LQM[JMQ[\IZZMU*TQKS I][ LMU B]ONMV[\MZ OM[KPQMP\
. Abb. 7.48. Akkommodationsbreite. Abnahme der Akkommodationsbreite mit dem Lebensalter. Der graue Bereich deutet die Schwankungen in der Bevölkerung an

7.2.10 Fehlsichtigkeit und Brillen

-QV OM[]VLM[ )]OM [QMP\ LQM ;\MZVM [KPIZN [MQV .MZVX]VS\TQMO\QU=VMVLTQKPMV,QMSÛZbM[\MQV LQ^QL]MTTVWKP[KPIZNMQV[\MTTJIZM;QKP\_MQ\MMV\ [XZQKP\LMURM_MQTQOMV6IPX]VS\B_Q[KPMVJMQ LMV TQMO\ LQM i)SSWUUWLI\QWV[MV\NMZV]VOt -[ PI\M\_I[NÛZ[QKPVQKP\[QM[MTJ[\IVb]OMJMV[WV LMZV QPZMV 3MPZ_MZ\ LQM Akkommodationsbreite ]VLb_IZQV,QWX\ZQMV?MZI]NITTM[ISSWUUW LQMZMVSIVV_I[[QKPb_Q[KPMVKU]VL]V MVLTQKP ^WZ [MQVMU )]OM JMâVLM\ PI\ MQVM )S SWUUWLI\QWV[JZMQ\M^WV LX\;KPIZNMQV[\MTT]VO I]N[MPZS]ZbM-V\NMZV]VO[\ZMVO\LMV:QVOU][ SMT]ULQM)]OMVTQV[MI]NLQM,I]MZIV1UUMZ PQV^MZUIOLMZVWZUIT[QKP\QOM5MV[KPIJMZ[\]V LMVTIVOb]TM[MVLPI]NLQMÛJTQKPM4M[MMV\NMZ V]VO^WVKIKUb]ISSWUUWLQMZMV5Q\LMU 4MJMV[IT\MZTI[[MVIJMZLQM-TI[\QbQ\Ã\LMZ)]OMV TQV[M ]VL LQM ;XIVVSZIN\ LM[ :QVOU][SMT[ VIKP" ,QM )SSWUUWLI\QWV[JZMQ\M VQUU\ IJ ]VL LMZ 6IPX]VS\MV\NMZV\[QKP. Abb. 7.48?MVV[MQV 3MPZ_MZ\ LX\ ]V\MZ[KPZQ\\MV PI\ _QZL LI[ 4M [MVUÛP[IU#UIVU][[LQMBMQ\]VO_MQ\MZ_MO PIT\MV]VL[KPTQM¾TQKP_MZLMVLQM)ZUMb]S]Zb ]VLLQM;KPZQN\b]STMQV?MQTLI[JMQU5MV[KPMV UMQ[\ QU 4I]NM [MQVM[ NÛVN\MV 4MJMV[RIPZbMPV\[ MQV[M\b\[XZQKP\UIVPQMZ^WVAlterssichtigkeit;QM TÃ[[\[QKPUQ\MQVMZ;IUUMTTQV[MIT[ äBrilleSWU XMV[QMZMV. Abb. 7.49-[Q[\V]ZMQVMLesebrille

. Abb. 7.49a,b. Lesebrille. a Alterssichtigkeit schiebt den Nahpunkt über die Bezugssehweite hinaus; dort liegende Objekte werden hinter die Netzhaut abgebildet und unscharf gesehen. b Abhilfe durch eine Sammellinse als Brille; Abbildung auf die Netzhaut auch bei Akkommodation auf unendlich

LQMQPZ
*M[\ÛVLMV*ZQTTMVOTÃ[MZI][ãIKPMVPQMZIT[WJQ SWV^M`MV4QV[MV[WJMMQV\ZÃKP\QO\MLMZMV)[\QO UI\Q[U][7 Kap. LMV*TQKS[WJITLLQM)] OMV VQKP\ [\IZZ OMZILMI][ [MPMV [WVLMZV VIKP WJMV ]V\MV WLMZ b]Z ;MQ\M OMZWTT\ _MZLMV B]Z

7.2 · Geometrische Optik

271

7

. Abb. 7.50. Brillenglas. Brillengläser, die einer Kugelﬂäche um den Augendrehpunkt , angepasst sind, umgehen den Astigmatismus einer Linse gegenüber schräg einlaufenden Bündeln

)JPQTNM XI[[\ UIV LQM /TÃ[MZ MQVMZ 3]OMTãÃKPM IV QV LMZMV BMV\Z]U LMZ )]OMVLZMPX]VS\ TQMO\ . Abb. 7.50 ,MZ *TQKS OMP\ LIVV QUUMZ PITJ _MO[[MVSZMKP\L]ZKPLI[*ZQTTMVOTI[ *MQ UIVKPMV 5MV[KPMV Q[\ LMZ )]OIXNMT MQV _MVQOb]OZW¾NÛZLQM3ZÛUU]VOLMZ0WZVPI]\# I]KP JMQ ^ÕTTQO MV\[XIVV\MU )]OM TQMOMV *QTLMZ ^WU5WVL^WZLMZ6M\bPI]\]VLSÕVVMVL]ZKP SMQV)SSWUUWLI\QWV[JMUÛPMVI]N[QMOMJZIKP\ _MZLMV 6]Z PQVZMQKPMVL VIPM /MOMV[\ÃVLM MZ [KPMQVMV[KPIZN",MZ.MZVX]VS\Q[\PMZIVOMZÛKS\ w JMQ[XQMT[_MQ[M I]N KU MV\[XZMKPMVL LX\ 5IVVMVV\MQV[WTKPM[)]OM kurzsichtig,I[[JMQ ^WTTMZPIT\MVMZ)SSWUUWLI\QWV[JZMQ\MLMZ6IP X]VS\MJMVNITT[PMZIVZÛKS\VÛ\b\LMU
. Abb. 7.51. Kurzsichtigkeit. Bei einem kurzsichtigen Auge muss der zu hohe Brechwert der Hornhaut (erstes Teilbild) durch eine Zerstreuungslinse reduziert werden. Sie weitet ein achsenparallel einfallendes Parallellichtbündel gerade so stark auf, dass es von der Hornhaut auf das Zentrum der Retina fokussiert wird (zweites Teilbild). Das von der Linse aufgeweitete Bündel entspricht einem divergenten Bündel, das aus dem Fernpunkt des kurzsichtigen Auges stammt (drittes Teilbild)

)]KP JMQ MQVMU S]Zb[QKP\QOMV 5MV[KPMV VQUU\ LQM)SSWUUWLI\QWV[JZMQ\MUQ\LMU4MJMV[IT\MZ IJ?M[[MV.MZVX]VS\b]NÃTTQOJMQKUTQMO\LMZ SIVVVIKP_QM^WZJMY]MU]VLWPVM*ZQTTMTM[MV ?MZLQM[M[/TÛKSVQKP\PI\U][[LIVV_MVV[MQ VM b]^WZ VWZUIT[QKP\QOMV )T\MZ[OMVW[[MV ;IU UMTTQV[MVIT[4M[MJZQTTMVI]N[M\bMVLQMBMZ[\ZM] ]VO[TQV[MV [MQVMZ .MZVJZQTTM L]ZKP _MVQOMZ [\IZ SMMZ[M\bMV 6QKP\ VW\_MVLQOMZ_MQ[M JQTLM\ LQM 0WZVPI]\ MQVMS]OMTNÕZUQOM7JMZãÃKPMI][)V[QKP[WTT\M [QM ^WV MQVMU [KPQM¾[KPMQJMVÃPVTQKPMV 7JRMS\ MQV;XQMOMTJQTLMV\_MZNMVLI[MJMVNITT[I][SWV bMV\ZQ[KPMV3ZMQ[MVJM[\MP\;QMP\LMZ)Zb\QUkeratoskopischen Bild -TTQX[MV . Abb. 7.52 [W Q[\ LI[)]OM^MZU]\TQKP astigmatisch,IJMQPIVLMT\ M[ [QKP ]U MQVM .MPT[QKP\QOSMQ\ LQM [QKP UQ\ MQ VMU[MTJ[\I[\QOUI\Q[KPMV*ZQTTMVOTI[SWZZQOQMZMV TÃ[[\MQVMU/TI[IT[WQVLI[MQVBaTQVLMZIV\MQTJM _][[\ MQVOM[KPTQNNMV _WZLMV Q[\ )]N LQM ZQKP\QOM 8W[Q\QWVLMZBaTQVLMZIKP[MU][[LIVVJMQU-QV [M\bMVQVLQM*ZQTTMVNI[[]VOOMIKP\M\_MZLMV=V MJMVPMQ\MVLMZ0WZVPI]\_QM[QM^WVMQVMU*QTL MV\[XZMKPMVL . Abbildung 7.53c IVOMbMQO\ _MZ LMVTI[[MV[QKPNZMQTQKPV]ZVWKPL]ZKP Haftscha-

272

Kapitel 7 · Optik

. Abb. 7.52a–c. Hornhautverformung. Schießscheibenähnliches Objekt, gespiegelt an der Hornhaut eines leidlich normalsichtigen (a) und eines astigmatischen Auges (b). Unebenheiten der Hornhaut (c) lassen sich nicht durch eine Brille und nur begrenzt durch eine Haftschale korrigieren

1 2 3 4 5 len [W MQVQOMZUI¾MV I][OTMQKPMV LQM I]KP ^WV

6 7 8 9

iVWZUITt.MPT[QKP\QOMV]VUQ\\MTJIZI]NLQM0WZV PI]\OM[M\b\_MZLMV ,MZ)]OMVIZb\âVLM\[MQVMVLOÛT\QOM[*ZQTTMV ZMbMX\ QU ?M[MV\TQKPMV L]ZKP 8ZWJQMZMV ,Ib] JZI]KP\MZVQKP\ITTMLMVSJIZMV*ZQTTMVOTÃ[MZ^WZ ZÃ\QOb]PIT\MV#MZLIZNSWUJQVQMZMV4QV[MVLQM LQKP\ PQV\MZMQVIVLMZ [\MPMV ILLQMZMV QU ?M [MV\TQKPMVQPZM*ZMKP_MZ\MWJ[QMV]V;IUUMT BMZ[\ZM]]VO[WLMZBaTQVLMZTQV[MV[QVL

10 7.2.11 Optische Instrumente

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

!

?QM OZW¾ MQV ;XIbQMZOÃVOMZ MQVM 8IXXMT [QMP\ PÃVO\VQKP\V]Z^WVLMZ0ÕPMLM[*I]UM[IJ[WV LMZV I]KP ^WV [MQVMZ -V\NMZV]VO -V\[KPMQLMVL Q[\LQM/ZÕ¾MLM[*QTLM[I]NLMZ6M\bPI]\]VLLQM _QZL^WU;MP_QVSMTJM[\QUU\LMU?QVSMTb_Q [KPMVLMVBMV\ZIT[\ZIPTMVLMZIJJQTLMVLMV*ÛV LMT^WV.]¾]VL/QXNMTLMZ8IXXMT. Abb. 7.53

;WVVM ]VL 5WVL MZ[KPMQVMV LMU QZLQ[KPMV *M WJIKP\MZOTMQKPOZW¾w[QM[QVLM[VQKP\IJMZQP ZM Sehwinkel[QVLM[?MVVUIVMQV7JRMS\iUQ\ MQVMU*TQKStMZNI[[MVSIVVJM\ZÃO\LMZ;MP_QV SMTV]ZMQVQOM/ZIL,IVVLIZNUIVQVO]\MZ6Ã PMZ]VO[KPZMQJMV" Sehwinkel

,MZ5MV[KP[QMP\_I[I]N[MQVMZ6M\bPI]\MZ [KPMQV\"MQVãIKPM[*QTLLMZ=U_MT\,MZ/M[QKP\[ [QVVPI\IJMZOMTMZV\LQM[M[*QTLZÃ]UTQKPb]QV \MZXZM\QMZMV *MQ PQVZMQKPMVL VIPMV /MOMV[\ÃV LMVPQTN\LIJMQLI[ binokulareLI[JMQLÃ]OQOM;M PMV",IJMQLM)]OMVI][M\_I[]V\MZ[KPQMLTQKPMU /M[QKP\[_QVSMT[KPI]MVÛJMZUQ\\MTV[QMI]KPM\ _I[^MZ[KPQMLMVM*QTLMZ^WUOTMQKPMV7JRMS\#LI[ /MPQZV LM]\M\ LQM[M =V\MZ[KPQMLM ZÃ]UTQKP Stereoskopische Doppelaufnahmen V]\bMV LQM[M .Ã PQOSMQ\#[QMMZTI]JMV[WOIZLMV-QVLZ]KSLMZ
VÃUTQKP I][ 8W[Q\QWVMV I]NOMVWUUMV _]ZLMV LQM_MQ\UMPZIT[V]ZMQVMV)]OMVIJ[\IVLI][MQV IVLMZTIOMV,QMZÃ]UTQKPM1V\MZXZM\I\QWVOMTQVO\ IJMZI]KPJMQMQVMUãIKPMV*QTLUÛPMTW[[WNMZV M[V]ZLQM8MZ[XMS\Q^MMQVQOMZUI¾MVZQKP\QO_QM LMZOQJ\ -QV NMZVMZ /MOMV[\IVL U][[ STMQVMZ OM bMQKPVM\_MZLMVLMVVQVLMZ6I\]ZSÃUMQPUMQV STMQVMZ;MP_QVSMTb] ?MZ M\_I[ OMVI]MZ JM\ZIKP\MV _QTT U][[ LMV ;MP_QVSMT ^MZOZÕ¾MZV ,I[ OÃVOQOM >MZNIP ZMVPMQ¾\"VÃPMZPMZIVOMPMV1[\UIVIJMZ[KPWV [WVIPMLI[[LI[)]OMVQKP\UMPZ[KPIZN[\MTTMV SIVVPQTN\MQVM Lupe1UMQVNIKP[\MV.ITTJM[\MP\ [QMI][MQVMZ;IUUMTTQV[M^WV_MVQOMVBMV\QUM \MZV*ZMVV_MQ\M>WVITTMV/MOMV[\IVL[X]VS\MV QVQPZMZ*ZMVVMJMVMMZbM]O\[QM8IZITTMTTQKP\JÛV LMTLQMLI[MV\[XIVV\M)]OMI]N[MQVM6M\bPI]\ IJJQTLM\IT[SÃUMV[QM^WV]VMVLTQKPNMZVMV/M OMV[\ÃVLMV,QM;MP_QVSMT_MZLMVRM\b\IJMZ^WV LMZ 4]XM ^WZOMOMJMV# [QM [QVL [W OZW¾ IT[ SÕV VMLI[)]OMI]NLMZMV*ZMVVMJMVM[KPIZN[\MTTMV . Abb. 7.54 ,MZ )J[\IVL b_Q[KPMV 4]XM ]VL )]OM[XQMT\LMZ8IZITTMTJÛVLMT_MOMVSMQVMOZ]VL [Ã\bTQKPM:WTTM6]Z_MVVUIVQPVSTMQVPÃT\MZ TI]J\ LQM 4]XM MQV OZÕ¾MZM[ /M[QKP\[NMTL LMVV LQM[M[_QZL^WVLMZ4QV[MVNI[[]VOJMOZMVb\ ,MVVergrößerungsfaktorΓMQVM[WX\Q[KPMV1V [\Z]UMV\[JMbQMP\UIVI]NLQM^WVQPUJM_QZS\M >MZOZÕ¾MZ]VOLM[;MP_QVSMT["

7

273

7.2 · Geometrische Optik

Merke Optische Instrumente: Vergrößerungsfaktor

Sehwinkel

)]N_MVQOMZIT[6I[MVTÃVOMSIVVUIVMQV7JRMS\ V]Z[KP_MZIVLI[)]OMPMZIVNÛPZMV#LIL]ZKPQ[\ LMZ *MZMQKP [QVV^WTTMZ 4]XMVJZMVV_MQ\MV VIKP ]V\MV JMOZMVb\ 6QMUIVL U][[ IJMZ LI[ 7JRMS\ [MQVM[1V\MZM[[M[]VUQ\\MTJIZ]V\MZLQM4]XMVMP UMV" -[ OMVÛO\ MQV ZMMTTM[ *QTL MV\_WZNMV ^WV MQVMUObjektivQVPIVLTQKPMU)J[\IVL^WZLMZ6I [MV[XQ\bM,MKS\[QKPLQM[MZ)J[\IVL[W]VOMNÃPZ UQ\ LMZ *ZMVV_MQ\M LM[ 7JRMS\Q^[ [W Q[\ LMZ JM \ZIKP\M\M /MOMV[\IVL _MQ\ _MO MQV ^MZSTMQVMZ\M[ *QTLTQMO\QVLMZ*ZMVVMJMVM]VLLI[1V[\Z]UMV\ Q[\MQV.MZVZWPZ0I\LI[7JRMS\Q^LMUOMOMVÛJMZ MQVMS]ZbM*ZMVV_MQ\MLIVVTQMO\LI[7JRMS\VI PMb]QV[MQVMZ*ZMVVMJMVMMQV^MZOZÕ¾MZ\M[*QTL I]N)J[\IVLLIPQV\MZQV6I[MVVÃPM]VLLI[1V [\Z]UMV\ Q[\ MQV Mikroskop ,I[ /Z]VL[Ã\bTQKPM [MQVM[;\ZIPTMVOIVO[bMQO\. Abbildung 7.55 ,QM WX\Q[KPM 1VL][\ZQM PI\ [QKP LIZI]N OMMQ VQO\ LI[ B_Q[KPMVJQTL LM[ 5QSZW[SWX[ VWZUI TMZ_MQ[M UUPQV\MZLQM0I]X\MJMVMLM[7J RMS\Q^[b]TMOMV#LIL]ZKPSWUU\LMZ5QSZW[SWX \Q[KP UQ\ LMU 7JRMS\PIT\MZ QV PIVLTQKPM -V\NMZ V]VO ,MUVIKP Q[\ LI[ B_Q[KPMVJQTL OMOMVÛJMZ *MQ LMZ 4]XM MV\[XZQKP\ LMZ /M_QVV IV ;MP LMU7JRMS\bQMUTQKPOMVI]]ULMV)JJQTL]VO[ _QVSMTLMU/M_QVVIV6ÃPMb]U7JRMS\,IJMQ UI¾[\IJ ΓWJR% UUNWJR ^MZOZÕ¾MZ\ -[ _QZL JMbQMP\UIVLMV;MP_QVSMTWPVM1V[\Z]UMV\I]N UQ\ MQVMZ 4]XM JM\ZIKP\M\ LQM RM\b\ Okular PMQ¾\ LQMWNâbQMTTM Bezugssehweite^WVKU[QM_QZL ]VL LMV >MZOZÕ¾MZ]VO[NIS\WZ ΓWS%UUNWS b]_MQTMVVQKP\OIVbOTÛKSTQKPiLM]\TQKPM;MP_MQ UQ\JZQVO\,IZI][MZOQJ\[QKPNÛZLQM/M[IU\^MZ \MtOMVIVV\.WTOTQKPOQT\ OZÕ¾MZ]VOLM[5QSZW[SWX[

. Abb. 7.54. Strahlengang einer Lupe

ΓWJR]VL ΓWS[QVLI]NLMV5QSZW[SWXWJRMS\Q ^MV]VLWS]TIZMVMQVOZI^QMZ\,I[B_Q[KPMVJQTL M`Q[\QMZ\VQKP\UI\MZQMTTM[[KP_MJ\NZMQQU<]J][ LM[5QSZW[SWX[5IVSIVVIV[MQVM8W[Q\QWVMQ VM/TI[XTI\\MJZQVOMVQVLQMMQV5I¾[\IJMQVOM ZQ\b\Q[\MQV[WO Okularmikrometer",MZ*MWJIKP \MZ[QMP\M[b][IUUMVUQ\LMU7JRMS\[KPIZN^OT PQMZb] . Abb. 1.5 ,I[ B_Q[KPMVJQTL i[\MP\ I]N

274

Kapitel 7 · Optik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

. Abb. 7.55. Mikroskop, grundsätzlicher Strahlengang; das Objektiv entwirft mit seiner kurzen Brennweite NWJR ein vergrößertes reelles Zwischenbild im Abstand der „optischen Tubuslänge“ t (meist 180 mm) hinter seiner bildseitigen Hauptebene, das Okular macht daraus Parallelbündel für das Auge des Betrachters. In die Ebene des Zwischenbildes kann ein Okularmikrometer gesetzt werden (vgl. . Abb. 1.5). In der Nähe dieser Ebene beﬁndet sich meist eine konvexe Feldlinse, die der Vergrößerung des überschaubaren Bildfeldes dient. Das Objekt beﬁndet sich etwas unterhalb der dingseitigen Brennebene, weil das Zwischenbild nicht im Unendlichen liegt; der Effekt ist zu gering, um in der Zeichnung maßstabsgerecht dargestellt werden zu können

Seite beleuchten und sieht dann helle Strukturen auf dunklem Untergrund (Dunkelfeld). Man kann mit dem Licht auch von oben durch das Objektiv kommen (Auflicht). Mit der komplizierteren Phasenkontrast-Mikroskopie kann man nicht nur Hell-dunkel-Unterschiede in Objekten sehen, sondern auch Brechungsindexunterschiede im Objekt. Das ist gerade für dünne Zellschnitte interessant. In der Biologie ist es auch sehr beliebt, bestimmte Strukturen in Zellen zum Beispiel selektiv mit Fluoreszenzfarbstoffen zu markieren. Beleuchtet man dann mit unsichtbarer Ultraviolettstrahlung, so leuchten diese Farbstoffe im sichtbaren Bereich und verdeutlichen so die Strukturen (. Abb. 7.56). In Scanning-Laser-Mikroskope kann man gar nicht mehr hineinschauen. Ein elektronisch gesteuerter Lichtstrahl tastet das Objekt ab und liefert eine perspektivische Darstellung der dreidimensionalen Struktur einer Oberﬂäche auf einen Computerbildschirm. Auch beim astronomischen Fernrohr wird das Objekt kopfüber abgebildet. Alle Mondkarten haben den Südpol oben, also so, wie man den Mond von der Nordhalbkugel der Erde im umkehrenden astronomischen Fernrohr sieht. Darauf muss nicht achten, wer seinen Feldstecher benutzt. Der ist ja für terrestrische Beobachtung gebaut und darf sein Bild eben nicht auf den Kopf stellen. Man muss aber die Parallelbündel, die man seinem Auge mit vergrößertem Sehwinkel anbieten will, nicht unbedingt mit einer Sammellinse herstellen, die hinter dem Zwischenbild liegt; eine Zerstreuungslinse vor ihm tut es auch. Dann werden die Sehwinkel nicht umgekehrt und das Bild erscheint auf der Netzhaut in gewohnter Stellung. So arbeitet das Opernglas. Hohe Vergrößerungen verlangen beim

16 17 18

LMU3WXNtM[Q[\OMOMVÛJMZLMU7JRMS\]U OMLZMP\ IJMZ M[ Q[\ VQKP\ [MQ\MV^MZSMPZ\ _QM MQV ;XQMOMTJQTL ,MZ 3WXN[\IVL [\ÕZ\ VQKP\ ]VL UIV TMZV\ZI[KP_QMUIVMQV7JRMS\I]NLMU5QSZW[ SWX\Q[KP^MZ[KPQMJMVU][[]UM[ZQKP\QOQV[*QTL NMTLb]JMSWUUMV

19 20

3Mikroskope können sich erheblich darin unterscheiden, wie das Objekt beleuchtet wird. Durchsichtige Objekte kann man von unten beleuchten (Hellfeld). Man kann sie und Oberﬂächen auch von der

. Abb. 7.56. Fluoreszenzmikroskopie. Im Bild sind Gewebezellen von Mäusen zu sehen, an denen sich mit Fluoreszenzfarbstoff markierte Antikörper angelagert haben (hell). Der Wissenschaftler erfährt, dass und wo sich die Antikörper anlagern (Aufnahme: M. Hafner)

275

7.3 · Intensität und Farbe

7

Fernrohr langbrennweitige Objektive und entsprechend große Lichtwege. Trotzdem kann man mit kleiner Baulänge auskommen, wenn man den Strahlengang durch mehrfache Reﬂexionen zusammenfaltet. Der Prismenfeldstecher benutzt hierfür totalreﬂektierende Prismen, mit denen er das Bild auch gleich noch aufrichtet.

allerdings nicht, denn eine Glaslinse lässt Röntgenlicht völlig unbeeindruckt. Dennoch gibt es Röntgenmikroskope als hoffnungsvolle Neuentwicklung im Forschungsstadium. Wegen der notwendigen sehr intensiven Röntgenlichtquelle sind sie extrem teuer. Es gibt gegenwärtig auf der Welt etwa ein halbes Dutzend.

>WU ;\IVLX]VS\ LMZ OMWUM\ZQ[KPMV 7X\QS [QVL LMV >MZOZÕ¾MZ]VO[NIS\WZMV WX\Q[KPMZ 1V[\Z] UMV\M SMQVM /ZMVbMV OM[M\b\ MZOZÕ¾MZ]VOIJMZL]ZKP*M] O]VO[MZ[KPMQV]VOMVJM[\QUU\LQM^WVLMZ?MT TMVTÃVOMLM[4QKP\M[IJPÃVOMV7 Kap. 7.4.5",M \IQT[^WV7JRMS\MVLQM]V\MZUTQMOMVTI[[MV [QKPQU4QKP\UQSZW[SWXSI]UVWKPI]ãÕ[MV,I[ MV\[XZQKP\ MQVMZ /ZMVb^MZOZÕ¾MZ]VO ^WV M\_I OMV]ONÛZ-QVbMTTMZ]VL^QMTM*IS\MZQMVb] _MVQONÛZ,M\IQT[QVLMVBMTTMV]VL>QZMV

7 Aufgabe. Ein Mikroskopobjektiv habe den Vergrößerungsfaktor 100. Welchen Wert hat die Brennweite des Objektivs? Wie dicht muss die Frontlinse an das Objekt herangeführt werden? 7 Lösung. Wenn die Tubuslänge (und damit die Gegenstandsweite) 180 mm ist, gilt

Rechenbeispiel 7.5: Vorsicht mit dem Objektiv

UU N%941% UU Wie dicht die Frontlinse herangeführt werden muss, lässt sich genau erst sagen, wenn man die Lage der gegenstandsseitigen Hauptebene kennt. Auf jeden Fall muss das Objekt ziemlich genau in die gegenstandsseitige Brennebene gebracht werden, also 1,8 mm an die Hauptebene heran. Um eine möglichst hohe Auﬂösung zu erlangen (7 Kap. 7.4.5), muss ein möglichst großer Winkelbereich vom Objektiv erfasst werden. Deshalb ist der Glaskörper der Linse bei so stark vergrößernden Objektiven tatsächlich oft nur noch wenige Zehntelmillimeter vom Objekt entfernt. Die Gefahr, beim Scharfstellen das Objekt zu beschädigen, ist dann groß.

3Beim Betrachten von Gewebezellen zum Beispiel würde man sich eine bessere Auﬂösung wünschen. Also nehme man statt sichtbarem Licht Röntgenlicht mit einer Wellenlänge von zum Beispiel 3 nm. Einfach ist das

Praktikum Mikroskop Zwei Aufgaben stehen im Praktikum typischerweise an: Ausmessen eines sehr kleinen Objekts mit Hilfe des Objektmikrometer und der Okularskala. Dies ist in 7 Kap. 1.1.3 beschrieben. Bestimmung der Vergrößerung des Objektivs und der Gesamtvergrößerung. Die Vergrößerung des Objektivs kann im Prinzip sehr genau gemessen werden, da es ein reelles Zwischenbild in den Tubus wirft. Um das Zwischenbild zu sehen, muss eine Mattscheibe in den Tubus eingebracht werden. Man vergleicht dann eine Skala auf der Mattscheibe mit dem Bild des Objektivmikrometers. Schwieriger ist es mit der Gesamtvergrößerung, da das Okular nur ein virtuelles Bild liefert. Man muss jetzt mit einem Auge durch das Mikroskop auf das Objektmikrometer sehen und gleichzeitig mit dem anderen Auge auf eine 25 cm entfernte Vergleichsskala. Das erfordert etwas Übung und liefert kein sehr genaues Ergebnis.

7.3

Intensität und Farbe

7.3.1 Strahlungs- und Lichtmessgrößen

-QVMMTMS\ZWUIOVM\Q[KPM?MTTM\ZIV[XWZ\QMZ\-V MZOQM ;QM \]\ LQM[ UQ\ MQVMZ 4MQ[\]VO LQM Strahlungsleistung Strahlungsﬂuss OMVIVV\ _QZL ÛJ TQKPMZ_MQ[M LMV *]KP[\IJMV Φ JMSWUU\ ]VL QV?I\\OMUM[[MV_MZLMVSIVV1VMQVMU[KPUI TMV .ZMY]MVbJMZMQKP \ZIV[XWZ\QMZ\ LQM ?MTTM [ QKP\JIZM[4QKP\LQM[M[UQ\MQVMU LichtstromLMZ MJMVNITT[LMV*]KP[\IJMVΦJMSWUU\IJMZQVLumenTUOMUM[[MV_QZL*MQLMZ StrahlungsmessungbÃPT\V]ZLQM4MQ[\]VO]VIJPÃVOQO^WVQPZMZ [XMS\ZITMV>MZ\MQT]VO*MQLMZ Lichtmessung_QZL

276

1 2 3 4

Kapitel 7 · Optik

LQM [XMS\ZITM >MZ\MQT]VO MV\[XZMKPMVL LMZ [XMS \ZITMV -UXâVLTQKPSMQ\ LM[ VWZUITMV UMV[KP TQKPMV )]OM[ JM_MZ\M\ ;\ZIPT]VO[TMQ[\]VO QU /ZÛVMVJZQVO\^QMTQU*TI]MV]VL:W\MV_MVQOMZ QU=T\ZI^QWTM\\]VL1VNZIZW\OIZVQKP\[ ,QM[KPWVJMQU;KPITTJM[XZWKPMVM Intensität StrahlungsﬂussdichteEnergiestromdichteQ[\MQVM ;\ZIPT]VO[TMQ[\]VO XZW [MVSZMKP\ b]Z ;\ZIPTZQKP \]VO[\MPMVLMV9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM). Abb. 7.57"

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

;QM PI\ LQM -QVPMQ\ ?I\\ L]ZKP 9]ILZI\UM \MZ?U1[\LMZ;\ZIPTMZ[WSTMQVLI[[MZIT[ X]VS\NÕZUQO IVOM[MPMV _MZLMV LIZN [W VQUU\ LQM 9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM LM[ LQ^MZOMV\MV *ÛVLMT[ UQ\ LMU 9]ILZI\ LM[ )J[\IVL[ Z b]Z ;\ZIPTMV Y]MTTMb]]VLLQM1V\MV[Q\Ã\MV\[XZMKPMVLIJ" 1∼3 Z

,I[ Q[\ LI[ quadratische Abstandsgesetz NÛZ LQM 1V\MV[Q\Ã\ ^WV LMU [KPWV QV 7 Kapitel 4.3.4 JMQU;KPITTLQM:MLM_IZ -QVM OIVbM :MQPM ^WV _MQ\MZMV ;\ZIPT]VO[ . Abb. 7.58. Zur Deﬁnition des Raumwinkels ]VL 4QKP\UM[[OZÕ¾MV JM[KPZMQJMV LQM -QOMV [KPIN\MV MQVM[ ;\ZIPTMZ[ 4IUXM WLMZ LI[ 4QKP\ den Faktor KW[ α größer ist (. Abb. 7.57). DementIU7Z\LM[-UXNÃVOMZ[;QM[QVL_WPTV]ZNÛZLMV sprechend deﬁniert man die -`XMZ\MVQV\MZM[[IV\?MQTLMZ/MOMV[\IVL[SI\I Φ Bestrahlungsstärke-M%4%1KW[α TWOMQVQOMIJMZI]NNÛPZ\[MQMV[QMPQMZQU3TMQVOM ) LZ]KS\MVMZTÃ]\MZ\ ebenfalls mit der Einheit W/m2. Die gleiche Einheit Merke Strahlungsmessgrößen: wellenlängenunabhängig, Lichtmessgrößen: an die spektrale Empﬁndlichkeit des Auges angepasst.

17 18 19 20

. Abb. 7.57. Schräger Lichteinfall. Bei schrägem Lichteinfall verteilt sich die Strahlungsleistung aus dem Bündelquerschnitt ) auf die größere Empfängerﬂäche A

3Seit vielen Jahrmillionen liefert die Sonne auf die Distanz des Erdbahnradius Strahlung mit der extraterrestrischen Solarkonstanten (Intensität) 1,36 kW/m2 ab; auf der Erdoberﬂäche kommt davon noch ungefähr 1 kW/m2 an, aber nur auf einer Empfängerﬂäche, die quer in der prallen Mittagssonne steht. Steht sie schräg, wird sie also unter dem Einfallswinkel α vom Sonnenschein getroffen, so erfasst ein Bündel mit der Querschnittsﬂäche ) eine Empfängerﬂäche A, die um

besitzt schließlich noch die gesamte Strahlung eines Strahlers, wenn man sie auf seine Fläche A’ bezieht, also die Φ speziﬁsche Ausstrahlung5%41 )s Jedes von einer punktförmigen Strahlenquelle ausgehende divergente Bündel erfasst einen bestimmten Raumwinkel ω. In Analogie zum Bogenmaß des ebenen Winkels, also zum Quotienten aus erfasster Bogenlänge und Kreisradius mit der dimensionslosen „Einheit“ Radiant, deﬁniert man den Raumwinkel als Quotienten aus erfasster Kugelﬂäche und Quadrat des Kugelradius (. Abb. 7.58) und gibt ihm die ebenfalls dimensionslose „Einheit“ Steradiant (sr = m2/m2). Die Oberﬂäche einer Kugel beträgt π ·Z; größer als π kann ein Raumwinkel also nicht werden. Eine ebene Strahlerﬂäche hat über sich nur den Halbraum π. Im Allgemeinen leuchtet sie ihn nicht gleichmäßig aus.

7

277

7.3 · Intensität und Farbe

Man muss also damit rechnen, dass die (als Differentialquotient deﬁnierte) LΦ Strahlstärke1M%51 Lω mit der Einheit 1 W/sr von der Ausstrahlungsrichtung abhängt. Für einen ausgedehnten Strahler kann man für jeden Punkt der strahlenden Oberﬂäche die Strahlstärke pro Fläche, die bei schräger Blickrichtung (. Abb. 7.57) noch perspektivisch verkürzt erscheint, angeben und kommt so zur: Strahldichte mit der Einheit 1 W/m2 · sr. Alle Strahlungsmessgrößen hängen von der Wellenlänge des ausgesandten Lichtes ab. Bezieht man sie auf ein kleines Wellenlängenintervall, so kann man ein Spektrum der Strahlung auftragen. Abbildung 7.62 zeigt zum Beispiel die Wellenlängenabhängigkeit der speziﬁschen Ausstrahlung eines schwarzen Strahlers. Gegen die Wellenlänge aufgetragen ist hier die spektrale speziﬁsche Ausstrahlung:

Für den Bereich sichtbaren Lichts wird zu jeder Strahlungsmessgröße eine korrespondierende Lichtmessgröße deﬁniert. Sie bekommt einen eigenen Namen und eine eigene Einheit, üblicherweise aber das gleiche Buchstabensymbol. Das Candela (KL) ist Einheit der Lichtstärke, das Lumen (TU%KL[Z) die des Lichtstromes und das Lux (T`%TUU) die der Beleuchtungsstärke. . Tabelle 7.1 fasst das Wichtigste zusammen. Die Lichtstärke ist Grundgröße des SI; die Einheit Candela wird so deﬁniert, dass für schmelzendes Platin eine Leuchtdichte von 6 · 105 cd/m2 herauskommt. Für das menschliche Auge liegt dieser Wert hart an der Grenze der Blendung. Von Schwelle bis Blendung über-

deckt der Gesichtssinn 8 Zehnerpotenzen der Leuchtdichte. Als Anhaltswerte können gelten: 5 10–2 cd/m2 Schwelle (ohne Farberkennung), 5 10 cd/m2 ausreichend zum Lesen, 5 103 cd/m2 gute Schreibtischbeleuchtung, 5 106 cd/m2 Blendung.

7.3.2 Optische Absorption

!!

FarbenQU;QVVMLM[TI\MQVQ[KPMV?WZ\M[KWTWZ[QVL []JRMS\Q^M ;QVVM[MQVLZÛKSM ITTMVNITT[ UQ\ ?WZ \MVJM[KPZMQJJIZIJMZSMQVMZZMQVXPa[QSITQ[KPMV 5M[[]VOb]OÃVOTQKP6QMUIVLSIVV_Q[[MVWJMZ LI[:W\MQVMZ:W[MOMZILM[W[QMP\_QM[MQV6IKP JIZ.IZJMVQU;QVVMLM[TI\MQVQ[KPMV?WZ\M[pigmentum SIVV UIV SI]NMV -[ PIVLMT\ [QKP ]U .IZJ[\WNNMLQM4QKP\]V\MZ[KPQMLTQKPMZ?MTTMVTÃV OM]V\MZ[KPQMLTQKP absorbieren,QM[M-QOMV[KPIN\ Q[\ VQKP\ I]N LMV [QKP\JIZMV ;XMS\ZITJMZMQKP JM [KPZÃVS\ ]VL TÃ[[\ [QKP b]^MZTÃ[[QO I][UM[[MV w IUMQVNIKP[\MVJMQFarbﬁlternI][J]V\MU/TI[ /MMQOVM\M 5M[[OMZÃ\M [QVL ]V\MZ LMU 6I UMVSpektralphotometerQU0IVLMT1PZ_QKP\QO[ \MZ<MQTQ[\LMZ Monochromator. Abb. 7.59,I[ _MQ¾M 4QKP\ MQVMZ /TÛPJQZVM _QZL ^WU KondensorI]NLMV[KPUITMV Eingangsspalt;XSWVbMV \ZQMZ\ ^WU Kollimator IT[ 8IZITTMTJÛVLMT I]N MQV 8ZQ[UIOMOMJMVLWZ\[XMS\ZITbMZTMO\]VLQVLQM *ZMVVMJMVMMQVMZ_MQ\MZMV4QV[Mb][IUUMVOMbW OMV0QMZMV\[\MP\MQV;XMS\Z]UI][LQKP\IVLQKP\ TQMOMVLMV VIKP LMZ ?MTTMVTÃVOM [WZ\QMZ\MV *QT LMZVLM[-QVOIVO[[XIT\M[,MZAusgangsspalt;X â[KP\ MQVMV [KPUITMV ?MTTMVTÃVOMVJMZMQKP PMZ

. Tabelle 7.1 Strahlungsmessgrößen Strahlungsmessgröße

Einheit

Lichtmessgröße

Einheit

9

Strahlungsenergie

J

Lichtmenge

lm · h

Φ%L9L\

Strahlungsﬂuss

W

Lichtstrom

lm

1M%Φ/ω

Strahlstärke

W/sr

Lichtstärke

cd

4M%1)

Strahldichte

W/(m2sr)

Leuchtdichte

cd/m2

-M%Φ/)

Bestrahlungsstärke

W/m2

Beleuchtungsstärke

lx

278

Kapitel 7 · Optik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

. Abb. 7.59. Spektralphotometer, schematischer Strahlengang (Einzelheiten im Text)

I][]VLOQJ\QPVI]NLQMVÃKP[\M4QV[MLQMLI[LQ ^MZOMV\M*ÛVLMT_QMLMZXIZITTMTZQKP\M\]VLL]ZKP LI[I][b]UM[[MVLM.QT\MZWLMZI]KPMQVM3Û^M\ \M [KPQKS\ [QM SIVV MQVM .TÛ[[QOSMQ\ MV\PIT\MV LMZMV )J[WZX\QWV ]V\MZ[]KP\ _MZLMV [WTT -Q VMTM\b\M4QV[M[IUUMT\LIVVLI[L]ZKPOMTI[[MVM 4QKP\I]NLQMVIKP_MQ[MVLM8PW\WbMTTM,QM)JJQT L]VOSIVVI]KPL]ZKP;XQMOMTLQM[XMS\ZITMBMZ TMO]VOL]ZKPMQV*M]O]VO[OQ\\MZ7 Kap. 7.4.4MZ NWTOMV>WZ\MQT",QM)J[WZX\QWVQU/TI[_QZL^MZ UQMLMV,QM7X\QSPQV\MZLMU)][\ZQ\\[[XIT\]VL LQM8PW\WbMTTMUIKPMVLMV5WVWKPZWUI\WZb]U ;XMS\ZWUM\MZ 5IV^MZOTMQKP\RM\b\LQM^WVLMZ3Û^M\\ML]ZKP OMTI[[MVM1V\MV[Q\Ã\1λUQ\LMZMQVNITTMVLMV1V \MV[Q\Ã\ 1λ w _MOMV LMZ :MãM`QWV[^MZT][\M IU /TI[bQMP\UIVLQM3Û^M\\MVQKP\MQVNIKPI][LMU ;\ZIPTMVOIVO PMZI][ [WVLMZV ^MZ\I][KP\ [QM UQ\ MQVMZTMMZMV,Q^Q[QWVTQMNMZ\LQMDurchlässigkeit

16 17 18 19 20

;QM TQMO\ VW\_MVLQOMZ_MQ[M b_Q[KPMV ^WTT [\ÃVLQOM)J[WZX\QWV]VLSMQVM)J[WZX\QWV ;MVS\MQVJM[\QUU\M[.QT\MZLQM1V\MV[Q\Ã\1NÛZ MQVMJM[\QUU\M?MTTMVTÃVOMI]NLQM0ÃTN\MIJ[W ZML]bQMZ\MQVb_MQ\M[.QT\MZOTMQKPMZ-QOMV[KPIN\1 I]NMQV>QMZ\MTMQV,ZQ\\M[I]NMQV)KP\MT][_"7X \Q[KPM .QT\MZ PQV\MZMQVIVLMZOM[\MTT\U]T\QXTQbQM ZMVQPZM,]ZKPTÃ[[QOSMQ\,,I[[[QMI]¾MZLMUQP ZM,QKSMVLILLQMZMVPI\LIVV*MLM]\]VO_MVV [QMI][OTMQKPMU5I\MZQITOMNMZ\QO\[QVL]VLNWTO TQKP ,]ZKPTÃ[[QOSMQ\ ]VL )J[WZX\QWV QV OTMQKPMZ

?MQ[M[XMS\ZIT^MZ\MQTMV_QMM\_IPWUWOMVM.TÛ[ [QOSMQ\MV QV LMZ 3Û^M\\M LMZ . Abbildung 7.59 ,IVVOQT\VÃUTQKPLI[[WOLambert-Gesetz" ,λL%M`XwSλL UQ\ LMZ Extinktionskonstanten Sλ ;QM Q[\ MQVM 5I\MZQITSMVVOZÕ¾M UQ\ LMZ ;1-QVPMQ\ Uw 1PZ 3MPZ_MZ\ _QZL Eindringtiefe Iλ OMVIVV\ *MQ [WO Grauﬁltern[QVLI]VLS]VIJPÃVOQO^WVLMZ ? MTTMVTÃVOM b]UQVLM[\ QU [QKP\JIZMV ;XMS\ZIT JMZMQKP )J[WZJQMZ\ _QZL 4QKP\ ^WV MQVbMTVMV )\W UMV1WVMV 5WTMSÛTMV 5WTMSÛTSWUXTM`MV LQM JMQ[XQMT[_MQ[M QV MQVMZ _Ã[[ZQOMV 4Õ[]VO PMZ ]U[KP_QUUMV 2MLM <MQTKPMVIZ\ JM^WZb]O\ JM [\QUU\M?MTTMVTÃVOMVJMZMQKPM]VL\ZÃO\QPZ Absorptionsspektrum _QM MQVM >Q[Q\MVSIZ\M UQ\ [QKP PMZ]U"Hämoglobinb][\ÃVLQONÛZLMV;I]MZ[\WNN \ZIV[XWZ\QU*T]\PI\QV[MQVMZW`QLQMZ\MV.WZU Oxyhämoglobin MQV LM]\TQKP IVLMZM[ )J[WZX \QWV[[XMS\Z]U IT[ QV [MQVMZ ZML]bQMZ\MV .WZU . Abb. 7.60,M[PITJ[QMP\I]KPLI[[I]MZ[\WNN JMTILMVMIZ\MZQMTTM*T]\PMTTZW\I][]VLLI[^MVÕ [MJTÃ]TQKPMZ"B]NÃTTQOTQMOMVLQM_M[MV\TQKPMV)J [WZX\QWVMVQU[QKP\JIZMV;XMS\ZITJMZMQKP ,I[ )J[WZX\QWV[[XMS\Z]U [IO\ b]VÃKP[\ V]Z M\_I[ÛJMZLQM[XMS\ZITM>MZ\MQT]VOLMZWX\Q[KPMV )J[WZX\QWV ]VL MZUÕOTQKP\ LIUQ\ JM[\QUU\M ;]J[\IVbMVQVMQVMZ4Õ[]VOb]QLMV\QâbQMZMVIT [W MQVM Y]ITQ\I\Q^M KPMUQ[KPM )VITa[M ,QM 5M[ []VO LMZ -`\QVS\QWV[SWV[\IV\MV Sλ [MTJ[\ MZ TI]J\ IJMZ I]KP MQVM Y]IV\Q\I\Q^M )VITa[M LMVV b]UQVLM[\ JMQ VQKP\ b] PWPMV 3WVbMV\ZI\QWVMV

279

7.3 · Intensität und Farbe

7

Klinik

. Abb. 7.60. Absorptionsspektrum (schwarz) und Oxyhämoglobin (blau)

von

Hämoglobin

. Abb. 7.61. Beer’sches Gesetz

MZ_MQ[\[QKPLI[SMQVMZJM[\QUU\MV?MTTMVTÃVOM IT[b]Z3WVbMV\ZI\QWVKLMZIJ[WZJQMZMVLMV<MQT KPMVQVLMZ4Õ[]VOXZWXWZ\QWVIT,QM[JM[IO\LI[ Beer-Gesetz" Sλ%3λK . Abb. 7.61 B][IUUMV UQ\ LMU 4IUJMZ\/M [M\bMZOQJ\M[LI[Lambert-Beer-Gesetz 1λKL%1CM`Xw3λKLE

Labormedizin. Von Lambert-Beer-Gesetz „leben“ viele medizinische Laboratorien geradezu, denn es erlaubt, nach entsprechender chemischer Vorbehandlung aus der Blutprobe eines Patienten die Konzentration des Sauerstoffs, der Glukose, des Äthylalkohols, und diesem oder jenem Cholesterin, Blutfett oder sonst einer gerade interessanten Substanz im Blut zu bestimmen. Wieso? Dass viele, vor allem komplizierte Moleküle ein charakteristisches äAbsorptionsspektrum besitzen, lässt sich anschaulich begründen. Sie bestehen nun einmal aus Atomen, die unter Beteiligung von Coulomb-Kräften chemisch aneinander gebunden sind. Viele Moleküle stellen deshalb elektrische Dipole dar. Ein äußeres elektrisches Feld versucht nicht nur, die Moleküle zu drehen, es biegt auch an ihnen herum. Nun sind die Molekülteile nicht vollkommen starr miteinander verbunden: Sie können mit einer durch Masse und Bindungskräfte festgelegten Eigenfrequenz gedämpft um ihre Normallage schwingen. Passt die Frequenz des elektrischen Wechselfeldes, so kommt es zu Resonanz und Energieübertragung. Die Frequenzen der meisten Molekülschwingungen liegen im Bereich infraroten Lichts – die Folge ist Infrarotabsorption. In dicken Atlanten beziehungsweise Computerdatenbanken sind die Spektren zahlloser Substanzen mit ihren Werten für K(λ) gesammelt – unentbehrliches Hilfsmittel der chemischen Absorptionsspektralanalyse.

Praktikum Spektralphotometer, Interferenz, Beugung Die Versuche an den Universitäten zu diesem Themenbereich sind leider sehr unterschiedlich. Jeder muss sich das passende heraussuchen. Licht kann mit Hilfe von Farbﬁltern, einem Prisma (7 Kap. 7.2.4) oder einem Beugungsgitter (7 Kap. 7.4.2 und 7.4.5) in seine Farbanteile (Wellenlängen) zerlegt werden. All diese Effekte können zum Bau eines Spektralphotometers verwendet werden.

280

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Kapitel 7 · Optik

Merke Optische Absorption 5 Durchlässigkeit 1λ ,λ%71 1λ 5 Lambert-Gesetz: ,L%M`XwSL k(λ) = Extinktionskonstante d: Schichtdicke und 5 Beer-Gesetz: Sλ%3λK (für kleine Konzentrationen c) bilden zusammen 5 Lambert-Beer-Gesetz: 1λKL%1CM`Xw3λKLE

Rechenbeispiel 7.6: Grau in grau 7 Aufgabe. Zwei Grauﬁlter haben die Durchlässigkeiten ,% und ,%. Welche Durchlässigkeit haben sie hintereinander gesetzt? 7 Lösung. Hintereinandergesetzte optische Filter multiplizieren ihre Durchlässigkeiten:

12 13

7.3.3 Temperaturstrahlung

14

;QMPMI]KP7 Kapitel 5.3.3 -QVM ÕTTQOM[;KP_IZbTÃ[[\[QKPNZMQTQKPUQ\SMQ VMU .IZJIV[\ZQKP MZZMQKPMV MPMZ [KPWV UQ\ MQ VMU;\WNN_QM;IU\"B_Q[KPMVLMVNMQVMV0IIZMV SIVV[QKPLI[4QKP\QV5MPZNIKP[\ZM]]VO\W\TI] NMVB]^MZTÃ[[QO[KP_IZbQ[\LI[;X]VLTWKPMQVM[ TMMZMV .I[[M[" 4QKP\ LI[ JMQ QPU PMZMQVSWUU\ âVLM\LMV?MOVQKP\_QMLMZVIKPLZI]¾MV,Ib] UÛ[[MVLQM1VVMV_ÃVLMVQKP\MQVUITL]VSMTOM NÃZJ\[MQV#I]NMQVXIIZ;\ZM]]VOMVUMPZWLMZ_M VQOMZSWUU\M[VQKP\IV,QM8]XQTTMMQVM[)]OM[ MZ[KPMQV\[KP_IZbWJ_WPTLMZ)]OMVPQV\MZOZ]VL ZW\ I][[QMP\ ]VL [\Z]S\]ZQMZ\ Q[\ )T[ schwarzen KörperJMbMQKPVM\UIVQVLMZ8Pa[QSMQVSTMQVM[ 4WKPQVMQVMZOZW¾MV3Q[\M

15 16 17 18 19 20

;KPWV QV 7 Kapitel 5.3.3 _]ZLM NM[\OM[\MTT\" ?I[4QKP\IJ[WZJQMZ\[\ZIPT\I]KP4QKP\IJ6]Z LM[PITJ TÃ[[\ [QKP \PMZUWLaVIUQ[KPM[ /TMQKPOM _QKP\ I]KP ÛJMZ ;\ZIPT]VO MQV[\MTTMV ,QM ?MT\ JMâVLM\[QKPIJMZVQKP\QU/TMQKPOM_QKP\wb]U /TÛKSLMVV[WV[\OÃJMM[I]NQPZVQKP\[b][MP MV)TTM3ÕZXMZMZ[KPQMVMVOTMQKPPMTT]VLPÃ\\MV SMQVM3WV\]ZMVLMVV_I[LQML]VSTMV^WU=U OMJ]VO[TQKP\_MVQOMZb]ZÛKS[\ZM]MVUÛ[[\MV[QM IT[ -QOMV[\ZIPT]VO UMPZ I][[MVLMV ?MVV UIV L]ZKPMQVMSTMQVM3TIXXMQVLMV*ZMVVWNMVMQVMZ 8WZbMTTIVNIJZQS PQVMQV[KPI]\ [QMP\ UIV QV LMZ MZ \MQT]VOJMZMKPVM\VIKPLMZi8TIVKSs[KPMV;\ZIP T]VO[NWZUMTt5I`8TIVKS w!5IV[QMP\ I]NLMVMZ[\MV*TQKSLI[[LQMOM[IU\M;\ZIPT]VO[

. Abb. 7.62. Spektrum der schwarzen Strahlung für drei verschiedene Temperaturen

281

7.3 · Intensität und Farbe

7

TMQ[\]VOLQM.TÃKPM]V\MZLMZ3]Z^MIT[WZIXQLM 7.3.4 Farbsehen UQ\LMZ<MUXMZI\]ZIV_ÃKP[\;QMNWTO\LMU ,QM?MT\Q[\OIZVQKP\J]V\[QM[QMP\V]Z[WI][7P Stefan-Boltzmann-Gesetz"8<%)σ< VM)]OMVOÃJMM[SMQVM.IZJMV[WVLMZVV]ZMTMS UQ\ LMZ Strahlungskonstanten σ%w ? \ZWUIOVM\Q[KPM?MTTMV]V\MZ[KPQMLTQKPMZ?MTTMV Uw3w)Q[\LQM.TÃKPMLM[;\ZIPTMZ[,IJMQ^MZ TÃVOM,I[[JMQ6IKP\ITTM3I\bMVOZI][QVLTQMO\ [KPQMJ\[QKPLQM;\ZIPT]VOQV[OM[IU\b]SÛZbMZMV I]KPVQKP\IVLMV3I\bMV[WVLMZVIVLMZ6M\b ?MTTMV#MZ[\JMQM\_I+JMOQVV\MQV3ÕZXMZ PI]\>WVLMZMV;MV[WZMV[XZMKPMVJMQ[KP_IKPMU [QKP\JIZ b] OTÛPMV .ÛZ LI[ ?MTTMVTÃVOMVUI`Q 4QKP\V]ZLQM StäbchenIVLQMTMLQOTQKP/ZI]\ÕVM U]UλUI`LMZ[KP_IZbMV;\ZIPT]VOOQT\LI[ ^MZUMTLMV]VLVWKPVQKP\LQMNÛZLI[.IZJ[MPMV b][\ÃVLQOMVZapfen>WVQPVMVOQJ\M[LZMQ/Z]X ; Wien’sche VerschiebungsgesetzλUI`%3 XMVL]ZKPLZMQ^MZ[KPQMLMVM.IZJ[\WNNMSehpur< purNÛZLQMTIVOMVLQMUQ\\TMZMV]VLLQMS]ZbMV ?MTTMV LM[ [QKP\JIZMV ;XMS\Z]U[ . Abb. 7.63 UQ\;% ! U3 [MV[QJQTQ[QMZ\?MQTLMU[WQ[\TÃ[[\[QKPMQVMFarbMerke metrik MV\_QKSMTV WJ_WPT .IZJMV V]Z []JRMS\Q ^M-UXâVL]VOMV[QVL]VLSMQVMXPa[QSITQ[KPMV Schwarze Strahlung: /ZÕ¾MV,QMNWTOMVLM,IZ[\MTT]VOPÃT\[QKPIVLQM Stefan-Boltzmann-Gesetz: Young-Helmholtz-Farbentheorie 8<%)σ< 6WZUITMZ_MQ[M _MVV M[ LMVV PMTT OMV]O Q[\ mit σ = 5,67 · 10–8 W m–2 K–4. MUXNÃVO\ LMZ ^Q[]MTTM 3WZ\M` 6MZ^MV[QOVITM ^WV 8<: Abgestrahlte Leistung ITTMV LZMQ ;MV[WZMV OTMQKPbMQ\QO ,MZMV ;]UUM A: Fläche des Strahlers JM[\QUU\LQM HelligkeitLMZ?IPZVMPU]VO_ÃP ZMVLLQMLZMQZMTI\Q^MV)V\MQTMIVLQM[MZ;]UUM ZZNÛZ:W\ZONÛZ/ZÛV]VLZJNÛZ*TI]LMV_IPZ OMVWUUMVMV FarbtonMZOMJMVw]VIJPÃVOQO^WV Rechenbeispiel 7.7: Strahlender Mensch 7 Aufgabe. Bei welcher Wellenlänge liegt das LMZ/M[IU\PMTTQOSMQ\LMVVLMâVQ\QWV[OMUÃ¾IL Maximum der Eigenstrahlung des Menschen un- LQMZMV[QM[QKPIT[ZMTI\Q^M)V\MQTMb]" gefähr? 7 Lösung. Mit dem Wien’schen Verschiebungsgesetz bekommen wir: λUI`%;<% ! U3 3%! U. Das liegt im infraroten Spektralbereich. Zur Erinnerung: Wir hatten im Rechenbeispiel 5.8 abgeschätzt, dass der nackte Mensch mit etwa 160 W abstrahlt, also wie zwei kräftige Glühbirnen. Durch die Kleidung wird das auf praktisch null reduziert.

ZZZOZJ% ,M[PITJ JZI]KP\ LQM .IZJUM\ZQS V]Z b_MQ ^WV QPVMV ]U MQVMV .IZJ\WV b] SMVVbMQKPVMV »JTQKPMZ_MQ[M \ZÃO\ UIV QV MQVMU ZMKP\_QVS TQOMV3WWZLQVI\MVSZM]b ZZ VIKP ZMKP\[ ]VL ZO VIKP WJMV I]N /Z]VL[Ã\bTQKP [QVL LIVV V]Z 8]VS\M MZZMQKPJIZ LQM QVVMZPITJ LM[ ,ZMQMKS[ LMZ . Abbildung 7.64 TQMOMV LMVV RMLMZ 8]VS\

. Abb. 7.63. Farbempﬁnden des normalsichtigen Menschen bei verschiedenen Wellenlängen sichtbaren Lichts

282

Kapitel 7 · Optik

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. Abb. 7.64. Farbdreieck, schematisch. Trägt man die relative Erregung ZZ des Rezeptors für rot längs der Abszisse und die des Rezeptors für grün (ZO) längs der Ordinate auf, so entspricht der Abstand eines Punktes von der Hypotenuse des Farbdreiecks der relativen Erregung ZJ des Rezeptors für blau. Punkte außerhalb des Dreiecks sind grundsätzlich nicht erreichbar, Punkte nahe den Dreiecksseiten tatsächlich nicht

I]¾MZPITJ _ÛZLM NÛZ UQVLM[\MV[ MQVMV :MbMX \WZ VMOI\Q^M -ZZMO]VO JMLM]\MV MZJQV L]VO[TQVQMb_Q[KPMVLMVJMQLMVOMUQ[KP\MV.IZ JMV ]VL b_IZ QV MQVMZ 8W[Q\QWV LQM LMV JMQLMV 0MTTQOSMQ\MV Y]I[Q VIKP LMU 0MJMTOM[M\b MV\ [XZQKP\ IT[W LQKP\MZ JMQ LMZ PMTTMZMV ,QM[M 5Q [KP]VO[ZMOMTOQT\I]KPLIVV_MVVLQMJMQLMVb] UQ[KPMVLMV.IZJMVJMZMQ\[]VOM[Ã\\QO\M5Q[KPNIZ JMV[QVL2MLMILLQ\Q^M.IZJUQ[KP]VONÛPZ\VÃPMZ IVLMV?MQ¾X]VS\PMZIVUQVLMZ\IT[WLQM.IZJ [Ã\\QO]VOwUQ\)][VIPUMLMZPurpurgeraden";QM ^MZJQVLM\LQMJMQLMV-VLMVLM[[QKP\JIZMV;XMS \Z]U[ ]VL JMOZMVb\ LQM b]OÃVOTQKPM .IZJãÃKPM

VIKP]V\MV8]ZX]Z\ÕVM[QVLQU;XMS\Z]U[MTJ[\ VQKP\MV\PIT\MV /Z]VL[Ã\bTQKPTÃ[[\[QKPRMLM]VOM[Ã\\QO\M.IZ JM L]ZKP UMPZ IT[ MQV :MbMX\ ILLQ\Q^MZ .IZJUQ [KP]VO MZZMQKPMV# MQV JM[\QUU\MZ []JRMS\Q^MZ .IZJMQVLZ]KS[IO\VWKPVQKP\[ÛJMZLQM[XMS\ZITM >MZ\MQT]VOLM[QPVI][TÕ[MVLMV4QKP\[I][1V[JM [WVLMZMU][[LMZ-QVLZ]KS?MQ¾VQKP\L]ZKPLI[ JZMQ\M ;XMS\Z]U LM[ ;WVVMVTQKP\[ MZbM]O\ _MZ LMV"B]RMLMZ;XMS\ZITNIZJMOQJ\M[MQVMJM[\QUU \M3WUXTMUMV\ÃZNIZJMLQMQUZQKP\QOMV>MZPÃT\ VQ[ILLQ\Q^b]OMUQ[KP\?MQ¾MZOQJ\.ÛZLQMLZMQ /Z]VLNIZJMV :W\ /ZÛV ]VL *TI] OQT\ LQM[ I]KP . Abb. 7.67 Additive Farbmischung Q[\ QU .IZJLZMQMKS TMQKP\b]JM[KPZMQJMV<MKPVQ[KPOMV]\b\_QZL[QM NI[\V]Z^WU*QTL[KPQZULM[.MZV[MPMUXNÃVOMZ[ ;MQVM:ÕPZMJM[Q\b\LZMQ-TMS\ZWVMVSIVWVMVLQM I]N.TMKSMVI][LZMQ^MZ[KPQMLMVMV4M]KP\[\WNNMV bQMTMV ,QM .IZJMV QU .MZV[MPJQTL TI[[MV [QKP QV /ZMVbMV MQVZMOMTV [QM [QVL [\M\[ OMOMVÛJMZ LMZ ?QZSTQKPSMQ\^MZNÃT[KP\,QM[[\ÕZ\V]ZQVSZI[[MV .ÃTTMV",MZ5MV[KPTQMJ\LQM1TT][QWV]VL[MQV/M [QKP\[[QVVQ[\IVXI[[]VO[NÃPQO ,QM subtraktive Farbmischung_QZL^WU5MV [KPMV PÃ]âOMZ ^MZ_MVLM\ IT[ LQM ILLQ\Q^M# LI[ OQT\ ^WV IT\MZ[ PMZ NÛZ 5ITMZ 8Pa[QSITQ[KP OM [KPQMP\LQM["=VJ]V\M[4QKP\L]ZKP[M\b\VIKPMQV IVLMZUMPZMZM.IZJ[\WNN[KPQKP\MVUMPZMZM.IZJ âT\MZIT[WLQMRM_MQT[JM[\QUU\M;XMS\ZITJMZMQKPM L]ZKP)J[WZX\QWV[\ÃZSMZ[KP_ÃKPMVIT[IVLMZM" ?I[L]ZKPOMP\Q[\J]V\B_MQ Monochromatﬁlter UQ\[KPUITMV,]ZKPTÃ[[QOSMQ\[JMZMQKPMV_ÛZLMV NÛZ[QKPVIPMb]OM[Ã\\QO\M.IZJMVMZOMJMVQV[]J \ZIS\Q^MZ 5Q[KP]VO IJMZ ;KP_IZb _MQT RMLM[ LI[ ^WUIVLMZMVL]ZKPOMTI[[MVM4QKP\NM[\PÃT\)]KP LQMLZMQ/Z]VLNIZJMV:W\/ZÛV]VL*TI]OMJMV []J\ZIS\Q^;KP_IZb. Abb. 7.66?MQ¾TÃ[[\[QKP []J\ZIS\Q^VQKP\MZZMQKPMV;KP_IZbILLQ\Q^VQKP\ -[TM]KP\M\MQVLI[[LQM[XMS\ZITMB][IUUMV [M\b]VO LM[ ^WV .QT\MZV L]ZKPOMTI[[MVMV 4QKP \M[]VLLIUQ\LMZI][OMTÕ[\M.IZJMQVLZ]KSMV\ [KPMQLMVL^WVLMZ[XMS\ZITMVB][IUUMV[M\b]VO LM[ I]NNITTMVLMV 4QKP\M[ JM[\QUU\ _QZL 5WVW KPZWUI\Q[KPM\_IUQ\MQVMZ6I\ZQ]ULIUXãIU XM JMTM]KP\M\ SIVV LI[ [KPÕV[\M µTOMUÃTLM V]ZOZI]QVOZI]MZ[KPMQVMV/TÛPJQZVMV[MVLMV [XMS\ZITIVLMZ[b][IUUMVOM[M\b\M[4QKP\I][IT[

7.3 · Intensität und Farbe

283

7

. Abb. 7.65. Das Farbdreieck. Erreichbar ist nur der Bereich, der von der Kurve der Spektralfarben und der Purpurgeraden eingegrenzt wird

4M]KP\[\WNNZÕPZMV]VLJMQLMIVLMZM[IT[LQM;WV VM ,IZIV U][[ LMVSMV _MZ 3TMQLMZ WLMZ 3ZI _I\\MV JMQ SÛV[\TQKPMZ *MTM]KP\]VO SI]N\ WLMZ \ZÃO\ 5Q\LMU.IZJLZMQMKSQ[\b_IZM\_I[b]Z.IZJ UM\ZQSI][OM[IO\NI[\VQKP\[IJMZb]Z8Pa[QWTWOQM LM[.IZJ[MPMV[,MZ[]JRMS\Q^M.IZJMQVLZ]KSLMV MQVM NIZJQOM .TÃKPM MZbM]O\ PÃVO\ VÃUTQKP VWKP _M[MV\TQKP^WV.IZJM]VL0MTTQOSMQ\LM[=UNMTLM[ IJB]LMUSÕVVMVLQM:MbMX\WZMVMZUÛLMV"0ÃT\

UIVMQVM[[MQVMZ)]OMVNÛZMQVQOMBMQ\OM[KPTW[ [MV]VLLI[IVLMZMVQKP\[WSIVVLI[OM[KPTW[ [MVM[QKPI][Z]PMV]VLUMTLM\_QMLMZOMÕNNVM\ b]VÃKP[\MQV_MVQOIVLMZM.IZJMVIT[LI[JMTI[ \M\M)]OM

284

Kapitel 7 · Optik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

. Abb. 7.66. Subtraktive Farbmischung: Die drei Farben Rot, Gelb und Blau ergeben zusammen Schwarz. Projektion auf eine Leinwand; im Vordergrund sind die Rahmen der drei Farbﬁlter zu erkennen

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. Abb. 7.67. Additive Farbmischung: Die drei Farben Rot, Grün und Blau ergeben zusammen Weiß. Projektion auf die Rückseite einer Mattscheibe; im Hintergrund sind die drei Projektoren mit ihren Farbﬁltern zu erkennen

285

7.4 · Wellenoptik

7.4

7

Wellenoptik

7.4.1 Polarisiertes Licht

4QKP\OMPÕZ\b]LMV\ZIV[^MZ[ITMV?MTTMV",QMJMQ LMV>MS\WZMVLM[MTMS\ZQ[KPMV]VLLM[UIOVM\Q [KPMV .MTLM[ [\MPMV [MVSZMKP\ I]N LMZ )][JZMQ \]VO[ZQKP\]VO_QM. Abbildung 7.3JMZMQ\[LIZOM [\MTT\PI\,IUQ\[QVLLQM:QKP\]VOMVLMZJMQLMV >MS\WZMVIJMZVWKPVQKP\NM[\OMTMO\[WVLMZVV]Z MQVOM[KPZÃVS\" ,MU MQVMV .MTL [\MP\ MQVM OIVbM -JMVMb]Z>MZNÛO]VOQVLMZM[OZ]VL[Ã\bTQKP[MQ VM ;KP_QVO]VO[ZQKP\]VO NZMQ _ÃPTMV SIVV# LI[ IVLMZMU][[LIVVLMVZMKP\MV?QVSMTMQVPIT\MV 1VLMZ;aUUM\ZQMMJMVMLM[[KP_QVOMVLMV,QXWT[ TQMO\ LMZ MTMS\ZQ[KPM >MS\WZ XIZITTMT b]Z ,QXWT IKP[M. Abb. 7.1",QMIJOM[\ZIPT\M?MTTMQ[\ polarisiertOMVI]MZ[QMQ[\TQVMIZXWTIZQ[QMZ\M[OQJ\ I]KPVWKPbQZS]TIZM]VLMTTQX\Q[KPM8WTIZQ[I\QWV# JMQLMJZI]KPMVPQMZVQKP\JM[XZWKPMVb]_MZLMV >WV MQVMZ VWZUITMV 4IUXM LIZN UIV [IOMV [QM[MQI][]VbÃPTQOMV,QXWTMVb][IUUMVOM[M\b\ LQM ]VIJPÃVOQO ^WVMQVIVLMZ QV ITTMV V]Z LMVS JIZMV:QKP\]VOMV[KP_QVOMV?I[[QMOMUMQV[IU IJ[\ZIPTMVQ[\]VXWTIZQ[QMZ\M[natürliches4QKP\QV LMU ITTM 8WTIZQ[I\QWV[ZQKP\]VOMV QV ]VI]ãÕ[JIZ ZI[KPMZBMQ\NWTOM^WZSWUUMV3MQVM_QZLQU5Q\ \MTJM^WZb]O\ -QVJMY]MUM[>MZNIPZMVVI\ÛZTQKPM[4QKP\b] XWTIZQ[QMZMVJQM\MVLQM Polarisationsfolien;QMJM [\MPMV I][ MQVMU 5I\MZQIT LM[[MV )J[WZX\QWV ^WV LMZ 8WTIZQ[I\QWV[ZQKP\]VO LM[ MQVNITTMVLMV 4QKP\M[IJPÃVO\;W_QZLM\_INÛZMQVMJM[\QUU \M :QKP\]VO LM[ MTMS\ZQ[KPMV >MS\WZ[ LMZ OIVbM [QKP\JIZM ;XMS\ZITJMZMQKP VIPMb] ]VOMPQVLMZ\ PQVL]ZKPOMTI[[MV NÛZ LQM LIb] [MVSZMKP\M :QKP \]VOIJMZ[KPWVI]N_MVQOMZIT[MQVMU5QTTQUM\MZ NI[\^WTT[\ÃVLQOIJOMNIVOMV-QVM[WTKPM.WTQMMZ [KPMQV\LMU)]OMOZI]"6]ZSVIXXLQM0ÃTN\M^WU 4QKP\[\ZWULM[VI\ÛZTQKPMV4QKP\[TÃ[[\[QMXI[[QM ZMV-Z[\MQVMb_MQ\M.WTQMIU;\ZIPTMVOIVOUIKP\ LM]\TQKP LI[[ M[ [QKP VQKP\ ]U MQVNIKPM /ZI] âT\MZPIVLMT\"5ÕOTQKPMZ_MQ[M[KP_ÃKP\LQMb_MQ\M .WTQM LMV 4QKP\[\ZWU ITTMVNITT[ L]ZKP LQM ]V^MZ UMQLTQKPMV :MãM`QWV[^MZT][\M ,IVV [\MPMV LQM JMQLMV8WTIZQ[I\WZMVparallel,ZMP\UIVIJMZLQM b_MQ\M.WTQMQVQPZMZMQOMVMV-JMVM]U!LIVV TÃ[[\[QMSMQV4QKP\UMPZL]ZKP",QM8WTIZQ[I\WZMV

. Abb. 7.68. Lineare Polarisation. Natürliches Licht nutzt mit seinem elektrischen Vektor die Ebene senkrecht zur Fortpﬂanzungsgeschwindigkeit voll und gleichmäßig aus (1. Teilbild, linke Seite). Ein Polarisator lässt nur eine, hier vertikale Schwingungsrichtung hindurch (1. Teilbild, rechte Seite). Ein Analysator mit gleicher Polarisationsrichtung hindert den Durchgang polarisierten Lichtes nicht (2. Teilbild); er lässt kein Licht mehr durch, wenn man ihn um 90° dreht („gekreuzte Polarisatoren“, 3. Teilbild). In Zwischenstellungen wird das Licht mehr oder weniger stark durchgelassen; die Richtung seines elektrischen Vektors hält sich an die Vorgabe des letzten Polarisators

[QVLgekreuzt)]KPQVLMV;\MTT]VOMVLIb_Q[KPMV IJ[WZJQMZ\ LQM b_MQ\M .WTQM 4QKP\ UQ\ _IKP[MV LMU,ZMP_QVSMTQUUMZUMPZ,QM;KP_QVO]VO[ ZQKP\]VO LM[ L]ZKPOMTI[[MVMV 4QKP\[ LZMP\ [QKP UQ\#[QMNWTO\QUUMZLMU*MNMPTLM[TM\b\MV8WTI ZQ[I\WZ[. Abbildung 7.68^MZ[]KP\LQM[MV
286

1

Kapitel 7 · Optik

Praktikum Polarisation des Lichtes (Saccharimetrie)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Einige der komplizierten organischen Moleküle, z. B. manche Zucker, sind optisch aktiv; sie drehen den elektrischen Vektor des sie durchsetzenden Lichtes selbst dann noch, wenn sie in Wasser gelöst sind – der magnetische Vektor dreht sich selbstverständlich mit. Bringt man eine mit Zuckerwasser gefüllte Küvette zwischen gekreuzte Polarisatoren, so hellt sich das Gesichtsfeld auf. Man bekommt wieder Dunkelheit, wenn man den Analysator um einen Winkel δ nachdreht – man hätte auch den Polarisator um den gleichen Winkel in Gegenrichtung drehen können. δ ist der Länge der Küvette proportional und der Konzentration der aktiven Moleküle: Messverfahren der Saccharimetrie zur raschen Bestimmung des Zuckergehaltes im auspressten Saft einer Rübe. Die Durchführung und die Berechnungen im Versuch sind einfach, die Theorie optisch aktiver Substanzen hingegen sehr kompliziert. Wer hier etwas mehr wissen will, sei auf das Lehrbuch „Gerthsen Physik“ im Springer-Verlag verwiesen. Optisch Aktivität hat heute vor allem Bedeutung in Flüssigkristallanzeigen in Uhren und sonstigem elektronischen Gerät.

-[ [MQ VWKP MZ_ÃPV\ LI[[ LQM ;\ÃZSM LMZ :M ãM`QWV ^WV 4QKP\ IV 7JMZãÃKPMV JMQ [KPZÃOMU 4QKP\MQVNITT XWTIZQ[I\QWV[IJPÃVOQO Q[\ 4QKP\ UQ\ MQVMZ MTMS\ZQ[KPMV .MTLZQKP\]VO [MVSZMKP\ b]Z 7JMZãÃKPM_QZL[KP_ÃKPMZZMãMS\QMZ\IT[[WTKPM[ UQ\XIZITTMTMU.MTL^MS\WZ;WVVMVJZQTTMVUQ\MQV OMJI]\MU8WTIZQ[I\WV[âT\MZ]V\MZLZÛKSMV:MãM`M LM[;WVVMVTQKP\[b]U*MQ[XQMT^WV?I[[MZãÃKPMV -[OQJ\[WOIZMQVMVJM[\QUU\MV^WVLMZ*ZMKPbIPT LM[ZMãMS\QMZMVLMV5I\MZQIT[IJPÃVOQOMV?QVSMT ]V\MZLMU[MVSZMKP\XWTIZQ[QMZ\M[4QKP\OIZVQKP\ ZMãMS\QMZ\_QZLBrewster-WinkelJMQ/TI[KI

7.4.2 Interferenz

OMVOTMQKPMZ?MTTMVTÃVOM]VL.ZMY]MVb-[UÛ[ [MVVQKP\4QKP\_MTTMV[MQV#?I[[MZ]VL;KPITT_MT TMVQV\MZNMZQMZMVOMVI][W5IVSIVV[WOIZIVMQ VMUZMQVOMWUM\ZQ[KPMV5WLMTTZMKP\IV[KPI]TQKP MZTÃ]\MZV_I[JMQLMZ»JMZTIOMZ]VOb_MQMZ3ZMQ[ _MTTMV IT[ MJMVMU ;KPVQ\\ b_MQMZ 3]OMT_MTTMV XI[[QMZMVU][[ ,QM5WUMV\I]NVIPUMMQVMZ3ZMQ[_MTTM[MQLIZ OM[\MTT\ L]ZKP MQV ;a[\MU SWVbMV\ZQ[KPMZ 3ZMQ[M OTMQKPMZ;\ZQKPJZMQ\MIJ_MKP[MTVLRM_MQT[[KP_IZb ]VLPMTTI]N\ZIV[XIZMV\M.WTQMOMbMQKPVM\#[QM[WT TMV?MTTMV\ÃTMZ]VL?MTTMVJMZOMZMXZÃ[MV\QMZMV 4MO\ UIV b_MQ LMZIZ\QOM ;a[\MUM ]U i?MT TMVTÃVOMVtOMOMVMQVIVLMZ^MZ[M\b\ÛJMZMQVIVLMZ [WMZPÃT\UIVLQM.QO]ZLMZ. Abbildung 7.69;QM

. Abb. 7.69. Modellversuch zur Interferenz. Zwei Wellenfelder werden durch zwei Systeme konzentrischer Kreise simuliert. Auslöschung dort, wo helle und dunkle Streifen alternierend aufeinander treffen, also Berg auf Tal und Tal auf Berg: destruktive Überlagerung der lokal ausgelösten Schwingungen

!

1VLQZMS\NWTO\LQM?MTTMVVI\]ZLM[4QKP\[JMZMQ\[ I][[MQVMZ8WTIZQ[QMZJIZSMQ\"6]Z\ZIV[^MZ[ITM?MT TMVTI[[MV[QKP[W_QMJM[KPZQMJMVXWTIZQ[QMZMV ,MVWNNMVS]VLQOMV*M_MQ[TQMNMZ\IJMZMZ[\LQMInterferenz LQM »JMZTIOMZ]VO ^WV b_MQ ?MTTMVbÛ

. Abb. 7.70. Interferenz zweier Wasserwellen in der Wellenwanne

287

7.4 · Wellenoptik

7

[]OOMZQMZ\_I[JMQMQVMZMV\[XZMKPMVLMV»JMZTI OMZ]VO b_MQMZ ?MTTMV \I\[ÃKPTQKP PMZI][SWUU\" MQV;a[\MUPMTTMZ]VLL]VSTMZ Interferenzstreifen . Abbildung 7.70JZQVO\LMVM`XMZQUMV\MTTMV*M _MQ[NÛZ?I[[MZ_MTTMV B]Z*MOZÛVL]VO[MQIVLQM»JMZTIOMZ]VO^WV ;KP_QVO]VOMVMZQVVMZ\7 Kap. 4.1.5]VL 6.12.2 -QVMRMLM?MTTMTÕ[\ÛJMZITTQVQPZMU?MTTMVNMTLTW SITM;KP_QVO]VOMVI][#ÛJMZTIOMZV[QKPb_MQ?MT TMVNMTLMZ[WÛJMZTIOMZV[QKPI]KPLMZMV;KP_QV O]VOMV 3WV[\Z]S\Q^M 1V\MZNMZMVb ^MZ[\ÃZS\ LM[ \Z]S\Q^M UQVLMZ\ LQM )UXTQ\]LM LMZ )][TMVS]VO . Abb. 7.71. Modellversuch zur Interferenz; gegenüber der ]VLTÕ[KP\LQM;KP_QVO]VOQU/ZMVbNITTI][ 1U5WLMTTLMZSWVbMV\ZQ[KPMV3ZMQ[MMZ[KPMQ . Abb. 7.69 ist der Abstand der Wellenzentren um eine halbe Wellenlänge erhöht worden VMVLQM5QVQUILWZ\_W[KP_IZbM]VLPMTTM;\ZMQ NMV [QKP OMOMV[MQ\QO IJLMKSMV# LQM .WTQMV TI[[MV SMQV4QKP\PQVL]ZKP*MQLMV5I`QUINÃTT\[KP_IZb LMV?MTTMVLQM,QNNMZMVbLMZJMQLMV4I]N_MOM-[ I]N[KP_IZb]VLPMTTI]NPMTT#4QKP\SIVVL]ZKP SWUU\b]>MZ[\ÃZS]VO]VL5I`QU]U_MVV \ZM\MV `%Vλ# Merke Interferenz: Überlagerung zweier Wellen gleicher Wellenlänge; Maximum: Beide Wellen am Ort in Phase, Wellenberg trifft auf Wellenberg und Tal auf Tal; Minimum: Beide Wellen am Ort in Gegenphase, Wellenberg trifft auf Wellental und umgekehrt.

M[SWUU\b])][TÕ[KP]VO_MVV λ `%V3

)U TMQKP\M[\MV b] MZSMVVMV Q[\ LQM[ QV :QKP \]VO LMZ ^MZTÃVOMZ\MV >MZJQVL]VO[TQVQM JMQLMZ ?MTTMVbMV\ZMV 1V . Abbildung 7.69 JM\ZÃO\ QPZ )J[\IVL OMVI] ?MTTMVTÃVOMV OMZILbIPTQOM[ >QMTNIKPM[^WVλ">MZ[\ÃZS]VOWJMV]VL]V\MV -[Q[\VQKP\b]TM]OVMV",QM>WZPMZ[IOMLM[5W 1V . Abbildung 7.71 Q[\ LQM[MZ )J[\IVL I]N LMTT[ _QLMZ[XZQKP\ LMZ ITT\ÃOTQKPMV WX\Q[KPMV -Z ?MTTMVTÃVOMVMZPÕP\]VOMZILbIPTQOM[>QMTNIKPM[ NIPZ]VOLMVV[QMJMPI]X\M\LI[[4QKP\XT][4QKP\ ^WVλ")][TÕ[KP]VO ]V\MZ =U[\ÃVLMV ,]VSMTPMQ\ MZOMJMV SÕVV\M Merke QMT . Abb. 7.72[QVLLIL]ZKPI][OMbMQKPVM\LI[[[QM NIKPM[ LMZ ?MTTMVTÃVOM λ [W [QVL BMV\Z]U ]VL b] JMQLMV BMV\ZMV OTMQKPMV )J[\IVL PIJMV# LMZ TWSITM;KP_QVO]VOQV8PI[M#JM\ZÃO\MZMQV]VOM /IVO]V\MZ[KPQMLQ[\V]TT")]NLMZ;aUUM\ZQMMJM ZILbIPTQOM[VNIKPM[^WVλ[W[QVL[QMQV VMTQMO\LI[5I`QU]U7ZLV]VO,MZ?QVSMTαV /MOMVXPI[M ,I[ OQT\ OMOMVÛJMZ JMQLMV ?MTTMV ]ULMVLI[5I`QU]UV\MZ7ZLV]VOOMOMVLQM[M bMV\ZMV?QMMQVM»JMZTIOMZ]VO[QKPI][_QZS\JM -JMVM^MZ[M\b\Q[\TÃ[[\[QKPNÛZPQVZMQKPMVLOZW¾M [\QUU\ LMUVIKP LMZ Gangunterschied ` LMZ JMQ )J[\ÃVLM TMQKP\ IVPIVL LMZ . Abbildung 7.72

288

Kapitel 7 · Optik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 7.72. Gangunterschied. Zur Herleitung der Beziehung für den Winkel α zwischen der Symmetrieebene zweier Wellenzentren und der Richtung eines Interferenzmaximums

I][ZMKPVMV,QMJMQLMVJMQUNMZVMV8]VS\QV\MZ NMZQMZMVLMV;\ZIPTMV^MZTI[[MVLQMBMV\ZMVXZIS \Q[KP XIZITTMT 1PZMV /IVO]V\MZ[KPQML ` JQ[ b]U MZJQVL]VO[TQVQM LMZ BMV\ZMV TQMO\ LMZ OTMQKPM ?QVSMT α _QM b_Q [KPMV LMZ :QKP\]VO LMZ ;\ZIPTMV ]VL LMZ ;aU UM\ZQMMJMVM)][LMZ,MâVQ\QWVLMZ?QVSMTN]VS \QWVMVQUZMKP\_QVSTQOMV,ZMQMKSNWTO\LIVV ` [QVα%3 L

. Abb. 7.73. Inkohärentes Licht. Normalerweise werden die Wellenzüge des Lichtes von einer Unzahl rasch und unregelmäßig aufeinander folgender Wellengruppen gebildet. Eine Überlagerung führt zu ebenso rasch wechselnden Interferenzﬁguren, die vom Auge nur als gleichmäßige und konstante mittlere Helligkeit wahrgenommen werden

L%)J[\IVLLMZBMV\ZMV5Q\`%VλMZOQJ\[QKP IVLMZNWTOMVLMZ?MTTMVOZ]XXMVOMJQTLM\. Abbildung 7.73^MZ[]KP\LQM[QUMZ[\MV<MQTJQTLOZWJ IT[*MLQVO]VONÛZLI[5I`QU]UV\MZ7ZLV]VO [KPMUI\Q[KPIVb]LM]\MV λ [QVαV%V3 »JMZTIOMZV [QKP b_MQ LMZIZ\QOM ?MTTMVbÛ L OMb_MQ\M[]VLLZQ\\M[<MQTJQTLLMZ . Abb. 7.73 )][LQM[MZ*MbQMP]VOSIVVUIVLQM?MTTMVTÃV [W^MZ[\ÃZSMV[QM[QKPNÛZS]ZbMBMQ\TÕ[KPMV[QKP OMλJM[\QUUMV_MVVUIVαV]VLLOMUM[[MVPI\ IJMZ UQ\ QPZMV VÃKP[\MV ?MTTMVOZ]XXMV [KPWV _QMLMZ I][ -[ JQTLMV [QKP b_IZ 1V\MZNMZMVbâO] ZMV IJMZ [QM _MKP[MTV QPZM 8TÃ\bM [W ZI[KP ]VL ]VZMOMTUÃ¾QO LI[[ [QKP V]Z MQVM SWV[\IV\M ]VL 7.4.3 Kohärenz OTMQKPUÃ¾QOMUQ\\TMZM0MTTQOSMQ\JMWJIKP\MVTÃ[[\ ?MVV4QKP\MQVMMTMS\ZWUIOVM\Q[KPM?MTTMQ[\_I 4QKP\OM\ZMVV\MZ9]MTTMVTQMNMZ\SMQVMJMWJIKP\JI Z]U OMPÕZMV LIVV WX\Q[KPM 1V\MZNMZMVbMV VQKP\ ZM1V\MZNMZMVbM[Q[\inkohärent b] LMV ITT\ÃOTQKPMV -ZNIPZ]VOMV LQM RMLMZUIVV ,IOMOMVPQTN\V]ZMQVM["5IVU][[MQV4QKP\ OMTÃ]âO[QVL':MITMUISZW[SWXQ[KPM4IUXMVJM JÛVLMTI]N[XIT\MV]VLLQMJMQLMV<MQTJÛVLMTMQV [\MPMVI][]VbÃPTQOMVUQSZW[SWXQ[KPMV7[bQTTI\W IVLMZÛJMZTIOMZV)]KPLIVVJM[\MP\RMLM[<MQT ZMVLQM]VIJPÃVOQO^WVMQVIVLMZ[KP_QVOMV-QV JÛVLMT I][ MQVMZ ]VZMOMTUÃ¾QOMV .WTOM S]ZbMZ RMLMZSIVVXTÕ\bTQKP[MQVM;KP_QVO]VO]V\MZJZM ?MTTMVOZ]XXMV IJMZ LQM[M .WTOM Q[\ QV JMQLMV KPMV ]VL MQV ?MQTKPMV [XÃ\MZ _QMLMZ IVNIVOMV *ÛVLMTVLQMOTMQKPM. Abb. 7.742MVIKP/IVO RM\b\ IJMZ QV IVLMZMZ 8PI[MVTIOM ]VL 8WTIZQ[I\Q ]V\MZ[KPQML ^MZ[\ÃZSMV WLMZ [KP_ÃKPMV [QM [QKP WV[ZQKP\]VO6WZUITMZ_MQ[M_QZLMQV4QKP\JÛVLMT I]N ,I]MZ" ,QM 1V\MZNMZMVbâO]Z [\MP\ [\QTT >WZ ^WVMQVMZ=VbIPTZI[KP]VL]VZMOMTUÃ¾QOI]NMQV I][[M\b]VOQ[\NZMQTQKPLI[[LMZ/IVO]V\MZ[KPQML

289

7.4 · Wellenoptik

7

. Abb. 7.74a,b. Interferenz durch Aufspaltung. Spaltet man ein Lichtbündel in zwei Teilbündel auf, so bestehen beide aus der gleichen Folge von Wellengruppen und werden damit interferenzfähig (a), solange der Gangunterschied die Kohärenzlänge nicht überschreitet (b)

]V\MZ LMZ UQ\\TMZMV 4ÃVOM LMZ MQVbMTVMV ?MT TMVOZ]XXMV JTMQJ\# MZ LIZNLQM Kohärenzlänge LM[ 4QKP\M[VQKP\ÛJMZ[KPZMQ\MV Merke Kohärenz: feste Phasenbeziehung zwischen zwei interferierenden Wellenzügen, Kohärenzlänge: Länge eines ungestörten Wellenzuges zwischen zwei Phasensprüngen.

7.4.4 Dünne Schichten und

Beugungsgitter

!

-`XMZQUMV\MTT OQJ\ M[ ^QMTM 5ÕOTQKPSMQ\MV MQV 4QKP\JÛVLMT I]Nb][XIT\MV b* L]ZKP :MãM`QWV IV >WZLMZ ]VL :ÛKS[MQ\M MQVM[ LÛVVMV /TQU UMZJTI\\M[ ,QKSM L -QVM 4QKP\Y]MTTM JMSWUU\ LIL]ZKP b_MQ ^QZ\]MTTM ;XQMOMTJQTLMZ LQM QU )J [\IVL L PQV\MZMQVIVLMZ [\MPMV ,QM 3WPÃZMVb TÃVOM LM[ 4QKP\[ MQVMZ 9]MKS[QTJMZLIUXãIUXM OMVÛO\ ]U MQV [\MPMVLM[ 1V\MZNMZMVbNMTL b] JQT LMVLI[I]NLMZ?IVLUM\MZOZW¾M:QVOMMZbM]O\ . Abb. 7.75 ,QM 1V\MZNMZMVbUI`QUI JQTLMV [XQ\bM 3MOMT I][LMVMVLQMBQUUMZ_IVL3ZMQ[MPMZI][[KPVMQ LM\,MZMVBMV\Z]UTQMO\QV:QKP\]VOLM[OZÕ¾\MV /IVO]V\MZ[KPQMLM[ LMZ QV\MZNMZQMZMVLMV ?MTTMV# LWZ\JMâVLM\[QKPLI[5I`QU]UWLMZ5QVQU]U LMZPÕKP[\MV7ZLV]VO;WTKPM1V\MZNMZMVbMNNMS\M

. Abb. 7.75. Interferenzversuch nach R. W. Pohl. Das Licht einer Quecksilberdampﬂampe wird an Vorder- und Rückseite eines Glimmerblattes der Dicke d reﬂektiert. Es entsteht ein Wellenfeld, das von den beiden virtuellen Spiegelbildern der Lampe herzurühren scheint. Sie stehen im Abstand 2d, strahlen kohärent und liefern an der Wand metergroße Interferenzringe, gestört durch den Schatten der Lampe und ihrer Halterung. Dass in vier schmalen Zonen die Ringe fehlen, hängt mit einer optischen Spezialität des Glimmers zusammen, der sog. Doppelbrechung

\ZM\MVQUUMZLIVVI]N_MVVb_MQZMãMS\QMZMVLM /ZMVbãÃKPMV V]Z _MVQOM 4QKP\_MTTMVTÃVOMV LI[ PMQ¾\IT[W_MVQOM
290

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kapitel 7 · Optik

1V\MZNMZMVb IV LÛVVMV ;KPQKP\MV _QZL I]KP \MKPVQ[KPOMV]\b\*MQreﬂexverminderndenSchichten I]N *ZQTTMVOTÃ[MZV ]VL XPW\WOZIXPQ[KPMV 7 JRMS\Q^MVQV\MZNMZQMZMV[QKP:MãM`QWVMVQU[QKP\ JIZMV;XMS\ZITJMZMQKP_MQ\OMPMVL_MO;\I\\:M ãM`QWV[^MZUQVLMZ]VOSIVVIJMZI]KP:MãM`QWV[ ^MZ[\ÃZS]VOMZMQKP\_MZLMV,QM:MãMS\WZMVUW LMZVMZ0ITWOMVTIUXMV[QVLVQKP\_QMUIVUMQVMV SÕVV\M UQ\ 5M\ITT JM[KPQKP\M\ [WVLMZV UQ\ MQ VMUOIVbMV;\IXMTLÛVVMZ1V\MZNMZMVb[KPQKP\MV ,QM[M JM_QZSMV LI[[ LI[ [QKP\JIZM 4QKP\ ZMãMS \QMZ\ _QZL LQM ?ÃZUM[\ZIPT]VO LM[ QVNZIZW\MV 4QKP\[ IJMZ PQVL]ZKPOMP\ ]VL LIL]ZKP LI[ JM TM]KP\M\M 7JRMS\ VQKP\ [W [\IZS MZ_ÃZU\ _QZL Kaltlichtquellen,QM[M[*MQ[XQMTTÃ[[\[KPWV^MZ U]\MVLI[[[WI]KP.QT\MZOMJI]\_MZLMVSÕVVMV LQM V]Z MQVMV OIVb JM[\QUU\MV [KPUITMV ?MT TMVTÃVOMVJMZMQKPL]ZKPTI[[MVInterferenzﬁlter -QVM_MQ\MZM5M\PWLMUQ\4QKP\STMQVMZ3WPÃ ZMVbTÃVOM1V\MZNMZMVbMZ[KPMQV]VOMVb]JMWJIKP \MVV]\b\LQMBeugungI][1V7 Kapitel 7.1.3_]Z

LM LQM[M -Z[KPMQV]VO [KPWV JM[KPZQMJMV 4Ã[[\ UIV QV[JM[WVLMZM 4QKP\ L]ZKP MQV [MPZ STMQVM[ 4WKPWLMZMQVMV;XIT\PQVL]ZKP\ZM\MV[WSWUU\ I]NLMZIVLMZMV;MQ\MMQVM?MTTMUQ\SZMQ[NÕZUQ OMV?MTTMVNZWV\MVPMZI][. Abb. 7.12;KPVMQ LM\UIVIT[WQVMQV*TMKPb_MQ[KPUITM;KPTQ\bM QV OMZQVOMU )J[\IVL XIZITTMT b]MQVIVLMZ Doppelspalt ]VL JMTM]KP\M\ LQM[M[ ^WV LMZ MQVMV ; MQ\M [W QV\MZNMZQMZMV LQM I]N LMZ IVLMZMV ;MQ\M I][\ZM\MVLMV SZMQ[NÕZUQOMV ?MTTMV UQ\MQVIVLMZ . Abb. 7.76,QM;KPTQ\bM[\ZIPTMVSWPÃZMV\_MQT [QM^WVXZIS\Q[KPLMZOTMQKPMV8ZQUÃZ_MTTMIVOM ZMO\_MZLMV.WTOTQKPTQMNMZV[QMMQV;a[\MUXIZIT TMTMZ 1V\MZNMZMVb[\ZMQNMV UQ\ LMZ 7ZLV]VO QV LMZ 5Q\\M ,MZ ;\ZMQNMVIJ[\IVL MZOQJ\ [QKP I][ LMV»JMZTMO]VOMVb]Z. Abbildung 7.72-V\[XZM KPMVLM5M[[]VOMVbMQOMVLI[[LQM?MTTMVTÃVOMV [QKP\JIZMV 4QKP\M[ \I\[ÃKPTQKP QV MQVMU ZMTI\Q^ [KPUITMV*MZMQKP]UUTQMOMV Merke Beugung und Interferenz am Doppelspalt und Beugungsgitter: Maximum n-ter Ordnung:

10 11

Minimum n-ter Ordnung:

12

13 14 15 16 17 18 19 20 . Abb. 7.76. Interferenzstreifen eines Doppelspaltes

?MVVUIVLMV,WXXMT[XIT\b]MQVMU Beugungsgitter I][ ^QMTMV ÃY]QLQ[\IV\MV ;XIT\MV MZ_MQ\MZ\ . Abb. 7.77 [W ÃVLMZ\ [QKP IV LMV :QKP\]VOMV LMZ 1V\MZNMZMVbUI`QUI VQKP\[ _WPT IJMZ IV LMZ ;\ZIPT]VO[TMQ[\]VOb_Q[KPMVQPVMV"*MQU,WXXMT [XIT\NÃTT\[QMITTUÃPTQKPI]NLMV?MZ\V]TT]VLMZ ZMQKP\QPVOMVI]QVLMZ5Q\\Mb_Q[KPMVb_MQ5I`Q UI*MQU/Q\\MZ[QVLLQM5I`QUILM]\TQKP[KPÃZ NMZ ]VL L]ZKP JZMQ\M L]VSTM ;\ZMQNMV ^WVMQVIV LMZOM\ZMVV\]U[WLM]\TQKPMZRMUMPZ/Q\\MZ[XIT \MVJMTM]KP\M\_MZLMV. Abb. 7.78?IZ]U',MZ ,WXXMT[XIT\TQMNMZ\TMLQOTQKPb_MQ?MTTMVbÛOM#V]Z JMQMQVMU/IVO]V\MZ[KPQML^WV λWLMZMQVMU ]VOMZILbIPTQOMV >QMTNIKPMV LI^WV TÕ[KPMV [QM [QKP^WTTSWUUMVI][*MQMQVMU/Q\\MZUQ\ ;XIT\MV OMVÛO\ IJMZ [KPWV MQV /IVO]V\MZ[KPQML ^WVMQVMU
291

7.4 · Wellenoptik

7

,Q[K[b]Z5][QS_QMLMZOIJM,QMLQOQ\ITM1VNWZUI \QWVQ[\I]NMQVMZ+,QV:QTTMVOM[XMQKPMZ\LQMMQ VMV)J[\IVL^WVUPIJMV,I[TQMNMZ\MQVO] \M[*M]O]VO[OQ\\MZ]VLTÃ[[\LQM+,[I]NLMZ)J [XQMT[MQ\MJ]V\[KPQTTMZV Rechenbeispiel 7.8: Kohärenzlänge

. Abb. 7.77. Beugungsgitter, schematisch. Die Richtungen der Interferenzmaxima sind die gleichen wie beim Doppelspalt; die Maxima selber sind aber wesentlich schärfer ausgeprägt, weil sich auch die Wellenzüge weit entfernter Spalte mit entsprechend höheren Gangunterschieden gegenseitig auslöschen können

7 Aufgabe. Angenommen, . Abbildung 7.75 sei mit dem grünen Licht der Quecksilberlampe (λ = 546 nm) und einem 0,11 mm dicken Glimmerblatt erzeugt worden. Von welcher Ordnung ungefähr wäre dann das zentrale Maximum? Wie groß müsste die Kohärenzlänge der Lampe mindestens gewesen sein? 7 Lösung. Der kleinste Gangunterschied entspricht dem Abstand der virtuellen Spiegelbilder, also zweimal die Glimmerdicke. Für die Ordnung gilt also: V%Lλ % UU VU ≈ . Die Köharenzlänge muss L% UU deutlich übersteigen.

Rechenbeispiel 7.9: Die Spektren überlappen

. Abb. 7.78. Beugungsﬁguren von Gittern mit 4, 10 und 250 Spalten

TMVTÃVOM/IVO]V\MZ[KPQMLb_Q[KPMVLMV;XIT\MV ]VLb_Q[KPMV]VL][_"B]RMLMU?MT TMVb]OI][MQVMU;XIT\âVLM\[QKP[KPWVRM\b\MQV b_MQ\MZLMZLQMb]Z1V\MZNMZMVbI][TÕ[KP]VOVW\ _MVLQOMPITJM?MTTMVTÃVOM/IVO]V\MZ[KPQMLUQ\ JZQVO\ 7X\Q[KPM/Q\\MZPIJMVXZIS\Q[KPM*MLM]\]VO" *MTM]KP\M\UIV[QMUQ\MQVMU8IZITTMTJÛVLMT_MQ ¾MV4QKP\M[[WNÃKPMZV[QMM[QV_MTTMVTÃVOMV[WZ \QMZ\M8IZITTMTJÛVLMTI]NMQVRMLM[I][OM[IVL\QV :QKP\]VO [MQVM[ 1V\MZNMZMVbUI`QU]U[ £PVTQKP LMV 8ZQ[UMV SÕVVMV I]KP *M]O]VO[OQ\\MZ 4QKP\ [XMS\ZIT bMZTMOMV Gitterspektrometer )][ LMU \ÃOTQKPMV4MJMVSMVV\UIVLI[^WVLMV+WUXIK\

7 Aufgabe. Weißes Licht mit Wellenlängen zwischen 400 nm und 750 nm fallen auf ein Beugungsgitter mit 4000 Spalten auf ein Zentimeter. Zeige, dass das Blau (λ = 450 nm) der dritten Ordnung mit dem Rot (λ =700 nm) der zweiten Ordnung überlappt. 7 Lösung. Der Abstand der Spalte im Gitter be. Für die Lage des trägt dritten Interferenzmaxima des blauen Lichts ergibt sich: das ist α3 = 33°. Für Rot ergibt sich: das ist α3 = 34°.

7.4.5 Beugungsﬁguren

!

/TMQKPUÃ¾QOM *M]O]VO I][ MQVMU 4WKP WLMZ ;XIT\ PMZI][ QV LMV OIVbMV 0ITJZI]U PQVMQV . Abb. 7.11 [M\b\ MQVMV 4WKPL]ZKPUM[[MZ MQVM ;XIT\JZMQ\M^WZI][LQMOMOMVÛJMZLMZ?MTTMVTÃVOM

292

Kapitel 7 · Optik

1 2

. Abb. 7.79. Beugungsﬁgur eines Spaltes; in dem die Bildmitte zur Vermeidung von Überstrahlungen ausgeblendet ist

3

\MZ[KPQML b_Q[KPMV LMV :IVL[\ZIPTMV MQV OIVb bIPTQOM[ >QMTNIKPM[ LMZ ?MTTMVTÃVOM _QZL ,I b_Q[KPMVJTMQJ\MQV<MQTMTMUMV\IZMZ?MTTMVbMV\ ZMV ÛJZQO LQM SMQVMV 8IZ\VMZ b]Z 1V\MZNMZMVbTÕ [KP]VO âVLMV -QV MQVbMTVMZ ;XIT\ LMZ *ZMQ\M , TQMNMZ\LMUVIKP*M]O]VO[UQVQUIQV:QKP\]VOMV LQMLMZ*MbQMP]VO

4 5 6

λ [QVαV%V3 ,

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 7.80. Zur Beugung am Spalt. In der Spaltebene werden elementare Wellenzentren als Ausgangspunkte von Huygens-Elementarwellen angenommen. Erstes Interferenzminimum bei einer vollen Wellenlänge Gangunterschied zwischen den Randstrahlen

STMQVQ[\*MQ?I[[MZ_MTTMVTÃ[[\[QKPLI[VWKPMQ VQOMZUI¾MVMZZMQKPMVJMQ[QKP\JIZMU4QKP\_ÛZ LMVLQM1V\MZNMZMVbâO]ZMVIJMZb]L]VSMTNÛZMQVM JMY]MUM *MWJIKP\]VO .WTOTQKP UIKP\ UIV LQM ;XIT\MJZMQ\MZ-QVJZMQ\MZ;XIT\TQMNMZ\IJMZ[KPWV NÛZ[QKPITTMQVMQVM*M]O]VO[âO]ZAbbildung 7.79 bMQO\[QM=ULQM[b]^MZ[\MPMVVQUU\UIVIVQV LMZ ;XIT\MJMVM TÃOMV MTMUMV\IZM ?MTTMVbMV\ZMV LQKP\IVLQKP\LQM^WU[MVSZMKP\MQVNITTMVLMV 8ZQUÃZTQKP\b]OTMQKPXPI[QOMV;KP_QVO]VOMVIV OMZMO\_MZLMV]VLMV\[XZMKPMVLIJ[\ZIPTMVHuygens-Elementarwellen0I\LMZ;XIT\LQM*ZMQ\M, [WJM\ZÃO\LMZ/IVO]V\MZ[KPQMLb_Q[KPMVLMVJMQ LMV]V\MZLMU?QVSMT αMUQ\\QMZ\MV:IVL[\ZIP TMV`%,[QVα,MKS\[QKP`UQ\LMZ?MTTMVTÃVOM λ[WJMSWUU\MQV:IVL[\ZIPTOMOMVÛJMZLMULM[ -TMUMV\IZbMV\Z]U[ QV LMZ ;XIT\UQ\\M LMV /IVO ]V\MZ[KPQMLλ]VLJMQLMTÕ[KPMV[QKPL]ZKP1V \MZNMZMVbI][. Abb. 7.80 ,MUVIKPTÃ[[\[QKPb]RMLMU-TMUMV\IZbMV\ Z]UQVLMZMQVMV;XIT\PÃTN\MMQVSWZZM[XWVLQMZMV LM[QVLMZIVLMZMVâVLMVLM[[MV?MTTM[QKPUQ\ LMZ[MQVMV_MOQV\MZNMZQMZ\" αJM[\QUU\LQM:QKP \]VOLM[MZ[\MV5QVQU]U[QVLMZ*M]O]VO[âO]Z LM[-QVbMT[XIT\M[>MZOTMQKPJIZM;Q\]I\QWVMV_QM LMZPWTMV [QKP QUUMZ LIVV _MVV LMZ /IVO]V

OMPWZKPMV;QMÃPVMT\LMZ.WZUMTNÛZLQM1V\MZNM ZMVbUI`QUI b_MQMZ X]VS\NÕZUQOMZ ?MTTMVbMV\ ZMV Merke Beugung am Spalt: Minimum bei: λ [QVαV%V3 ,

*MUMZSMV[_MZ\IVLQM[MZ.WZUMTQ[\"2M[KPUITMZ LMZ;XIT\RMSTMQVMZ,]U[WOZÕ¾MZ_QZL α]U [W JZMQ\MZ IT[W LI[ bMV\ZITM 5I`QU]U QU *M] O]VO[U][\MZ,QM[MXIZILW`IVU]\MVLMMZPÃT\ VQ[^WV4QV[MVL]ZKPUM[[MZb]*ZMVV_MQ\MUÕO

293

7.5 · Quantenoptik

7

Rechenbeispiel 7.10: Breit, aber dunkel 7 Aufgabe. Das Licht eines He-Ne-Lasers (λ = 633 nm) fällt auf einen 1 μm weiten Spalt. Wie breit ist das Beugungsmaximum gemessen in Winkelgrad bzw. in Zentimetern auf einem 20 cm entfernten Schirm? 7 Lösung. Das erste Minimum erscheint unter dem Winkel: Die halbe Breite x auf dem Schirm ergibt sich aus dem Tangens dieses Winkels:

. Abb. 7.81. Zum Auﬂösungsvermögen eines Mikroskops: überlappende Beugungsscheibchen zweier Bildpunkte

Die volle Breite hat den doppelten Wert. Das Maximum ist also sehr breit, aber auch sehr lichtschwach, denn durch 1 μm kommt nicht viel Licht durch. Um das im Hörsaal vorzuführen, muss man sehr gut abdunkeln. . Abb. 7.82. Beugung an der Halbebene

7.5

Quantenoptik

7.5.1 Das Lichtquant

TQKP[\ OZW¾ [MQV U][[ ,M[PITJ ZÛKS\ LI[ 7JRMS \Q^]U[WLQKP\MZIVLI[7JRMS\PMZIVRMPÕPMZLQM >MZOZÕ¾MZ]VOOM_ÃPT\_QZL*MQUI`QUITMZ>MZ OZÕ¾MZ]VOQ[\LMZ)J[\IVLb]_MQTMVV]ZVWKPMQV bMPV\MT 5QTTQUM\MZ WLMZ STMQVMZ ]U LQM VÕ\QOM )]ãÕ[]VOb]MZZMQKPMV5I¾NÛZLI[)]ãÕ[]VO[ ^MZUÕOMVQ[\LQMV]UMZQ[KPM)XMZ\]ZLM[7JRMS \Q^[;QMOQJ\IV4QKP\I][_MTKPMU?QVSMTJMZMQKP LI[7JRMS\Q^MZNI[[MVSIVV,QM[MZPÃVO\MVOUQ\ LMU >MZPÃT\VQ[ ,]ZKPUM[[MZ b] *ZMVV_MQ\M b] [IUUMV-[OQT\V]VQVM\_I"

4QKP\ \ZIV[XWZ\QMZ\ -VMZOQM# OZ]VL[Ã\bTQKP U][[ LM[PITJ MQV -TMS\ZWV LI[ [MQV 5M\ITT ^MZTI[[MV UÕKP\M[QKPLQMLINÛZVÕ\QOM)][\ZQ\\[IZJMQ\I]KP ^WV IJ[WZJQMZ\MU 4QKP\ OMJMV TI[[MV SÕVVMV 8ZIS\Q[KPOM[KPQMP\LQM[QVLMZ[WOi>IS]]UXPW \WbMTTMtMQVMUM^IS]QMZ\MV/TI[SWTJMVUQ\MQVMZ OZW¾ãÃKPQOMV Photokathode]VLMQVMZ]V[KPMQV JIZMV )VWLM OMOMVÛJMZ LQM MQVNITTMVLMU 4QKP\ UÕOTQKP[\ _MVQO QU ?MO [\MPMV [WTT 4MO\ UIV b_Q[KPMVJMQLMMQVM;XIVV]VOUQ\ZQKP\QOMU>WZ bMQKPMVUQ[[\UIVJMQXI[[MVLMZ*MTM]KP\]VOQV numerische Apertur LMZMZ_MVL]VO^WVS]Zb_MTTQOMUJTI]MU 4QKP\JZQVO\LQMJM[\M)]ãÕ[]VO *M]O]VO \ZQ\\ VQKP\ V]Z IV ;XIT\MV WLMZ 4Õ KPMZV I]N [WVLMZV IV JMTQMJQOMV 3IV\MV ,I[ 4QKP\ LZQVO\ LWZ\ M\_I[ QV LMV ;KPI\\MV MQV ]VL QU PMTTMV *MZMQKP JQTLM\ [QKP MQV ;\ZMQNMVU][\MZ . Abb. 7.82 . Abb. 7.83. Vakuumphotozelle, schematisch

294

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Kapitel 7 · Optik

,QM >IS]]UXPW\WbMTTM ^MZUIO [WOIZ MQVM ;XIVV]VOb]MZbM]OMV-QV-TMS\ZWVSIVVVÃU TQKP^WUIJ[WZJQMZ\MV4QKP\UMPZIT[V]ZLQMM` IS\M)][\ZQ\\[IZJMQ\ÛJMZVMPUMVLMV»JMZ[KP][[ IT[ SQVM\Q[KPM -VMZOQM QV[ >IS]]U UQ\VMPUMV ]VL [W JMQ XI[[MVLMZ ;\IZ\ZQKP\]VO LQM )VWLM VQKP\V]ZWPVM6IKPPQTNML]ZKPÃ]¾MZM;XIVV]VO MZZMQKPMV [WVLMZV [WOIZ MQVM /MOMV[XIVV]VO ÛJMZ_QVLMV,QM[M[\MTT\[QKPIT[Leerlaufspannung =4 LIVV ^WV [MTJ[\ MQV _MVV UIV *I\\MZQM ]VL ;\ZWUUM[[MZ I][ LMU )]¾MVSZMQ[ PMZI][VQUU\ ]VL QPV ÛJMZ MQVMV PWKPWPUQOMV ;XIVV]VO[ UM[[MZ[KPTQM¾\,I[-ZOMJVQ[[WZONÃT\QOMZ5M[[ ZMQPMV ÛJMZZI[KP\" =4 PÃVO\ VQKP\ ^WV LMZ *M [\ZIPT]VO[[\ÃZSM LMZ 8PW\WSI\PWLM IJ [WVLMZV ^WV LMZ ?MTTMVTÃVOM LM[ 4QKP\[ JM[[MZ ^WV LM[ [MV.ZMY]MVbN=V\MZPITJMQVMZ/ZMVbNZMY]MVbNO XI[[QMZ\OIZVQKP\[WJMZPITJ[\MQO\=4TQVMIZUQ\N IV . Abb. 7.84 5Q\ LMU iSTI[[Q[KPMVt *QTL MQ VMZMTMS\ZWUIOVM\Q[KPMV?MTTMQ[\LQM[M[M`XMZQ UMV\MTTM.IS\]UVQKP\b]^MZ[\MPMVLMVVLMZMV 4MQ[\]VO]VL-VMZOQMPÃVO\V]Z^WVLMV)UXTQ \]LMVLMZJMQLMV.MTLMZE]VLBIJ]VLVQKP\^WV LMZ.ZMY]MVbN?I[\]V' ,M]\MVTÃ[[\[QKPLMZÃ]¾MZM8PW\WMNNMS\UQ\ LMZ Quantenhypothese" -QV ZW\QMZMVLM[ :IL MQV [KP_QVOMVLM[8MVLMTS]ZbRMLM[;a[\MULI[MQ VMV XMZQWLQ[KPMV >WZOIVO UQ\ LMZ .ZMY]MVb N I][NÛPZ\SIVVLQM-VMZOQMLQM[M[>WZOIVO[VQKP\ SWV\QV]QMZTQKP ÃVLMZV _QM LQM STI[[Q[KPM 8Pa[QS IVVQUU\[WVLMZVV]ZQV;XZÛVOMVUQ\LMZ 9]IV\MVMVMZOQM ?9%PN

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,I[ Planck’sche WirkungsquantumPVIKP[MQ VMU-V\LMKSMZ5I`8TIVKSJMVIVV\ w! MZ_MQ[\[QKPIT[N]VLIUMV\ITM6I\]ZSWV[\IV\M" P%w2[%wM>[ ;QM_QZL?QZS]VO[Y]IV\]UOMVIVV\LMVVLQM 2W]TM[MS]VLMQ[\-QVPMQ\LMZXPa[QSITQ[KPMV/ZÕ ¾M?QZS]VO-VMZOQMUITBMQ\ Merke Quantenhypothese: Ändern kann ein periodischer Vorgang mit der Frequenz f seine Energie nur in Quantensprüngen Δ?9%PN# Planck’sches Wirkungsquantum h ≈ wM>[.

,I[[[QMVQKP\NZÛPMZMV\LMKS\_]ZLMTQMO\IVQP ZMZ3TMQVPMQ\,I[8MVLMT^WV/ZW¾^I\MZ[;\IVL ]PZ[KP_QVO\UQ\M\_IMQVMU0MZ\b,QMb]OMPÕ ZQOM 9]IV\MVMVMZOQM ^WV _MVQOMZ IT[ w2 MV\ bQMP\[QKPRMLMZ5M[[]VO?MVVLQM=PZIJOMTI] NMVQ[\[KP_QVO\LI[8MVLMTVIKPMQVMZM.]VS\Q WVI][#9]IV\MV[XZÛVOMSIVVVQMUIVLMZSMVVMV 5WTMSÛT[KP_QVO]VOMV IJ[WZJQMZMV WLMZ MUQ\ \QMZMVUMQ[\QVNZIZW\M[4QKP\#LIb]OMPÕZMVLIVV .ZMY]MVbMV QV LMZ /ZÕ¾MVWZLV]VO 0b ]VL 9]IV\MVMVMZOQMVQU*MZMQKPM>wNÛZUISZW [SWXQ[KPM ;a[\MUM QUUMZ VWKP JTQ\b_MVQO IJMZ NÛZ MQV MQVbMTVM[ 5WTMSÛT SMQVM[_MO[ *MQ BQU UMZ\MUXMZI\]ZTQMO\LQMQPUb][\MPMVLMUQ\\TMZM \PMZUQ[KPM -VMZOQM V]Z QV LMZ OTMQKPMV /ZÕ¾MV WZLV]VOVQKP\M\_I_MQ\LIZÛJMZ ,QM9]IV\MVPaXW\PM[MUIKP\*MWJIKP\]VOMV VIKP )Z\ LMZ . Abbildung 7.84 OMZILMb] [MTJ[\ ^MZ[\ÃVLTQKP"4QMO\LQM)][\ZQ\\[IZJMQ\?)LM[5M \ITT[ ÛJMZ LMZ 9]IV\MVMVMZOQM ?9 LM[ 4QKP\M[ SIVV LI[ -TMS\ZWV UQ\ QPZ VQKP\[ IVNIVOMV# TQMO\ [QM LIZ]V\MZ JTMQJ\ LMU -TMS\ZWV LQM ,QNNMZMVb ]ULQM4MMZTI]N[XIVV]VO=4I]Nb]JI]MV" PN%?9%M=4?)

. Abb. 7.84. Spannung an der Photozelle. Abhängigkeit der Leerlaufspannung =4 einer Vakuumphotozelle in Abhängigkeit von der Frequenz f des Lichtes. Die Grenzfrequenz NO, bei der der Photoeffekt einsetzt, hängt vom Material der Photokathode, nicht aber von der Bestrahlungsstärke des Lichtes ab

,I[ Q[\ LQM /TMQKP]VO MQVM[ TQVMIZMV B][IU UMVPIVOM[ 5Q\ LMZ /ZMVbNZMY]MVb NO TÃ[[\ [QKP LMUVIKPLQM)][\ZQ\\[IZJMQ\UM[[MV" ?)%PNO

1U *MZMQKP LMZ MTMS\ZWUIOVM\Q[KPMV ?MTTMV ^MZ[\MP\ UIV ]V\MZ energiereicher Strahlung MQVM S]Zb_MTTQOM ;\ZIPT]VO UQ\ PWPMZ 9]IV\MVMVMZ OQMVQKP\M\_IMQVMiQV\MV[Q^Mt;\ZIPT]VOUQ\PW PMZ ;\ZIPT]VO[[\ÃZSM *MQ LMZ 8PW\WSI\PWLM JM _QZS\ MQVM ;\MQOMZ]VO LMZ *M[\ZIPT]VO[[\ÃZSM TM LQOTQKP LI[[ UMPZ 9]IV\MVMVMZOQMV IJ[WZJQMZ\ _MZLMV ]VL UMPZ -TMS\ZWVMV I][\ZM\MV SÕVVMV" ,MZ8PW\W[\ZWU[\MQO\VQKP\[[WV[\;WOM[MPMV LIZNUIVMQVMV;\ZIPT]VO[ã][[?I\\IT[;\ZWU ^WV Quanten ^WV Photonen QV\MZXZM\QMZMV IT[ i9]IV\MV[\ZWUt WLMZ i8PW\WVMV[\ZWUt OMUM[ [MVIT[)VbIPTL]ZKP;MS]VLM6]ZLIZNUIV[QKP VQKP\^WZ[\MTTMVLIãÕOMV8PW\WVMV_QM;KPZW\ S]OMTVL]ZKPLQM/MOMVL4QKP\_QZLQV9]IV\MV MUQ\\QMZ\]VLIJ[WZJQMZ\IJMZ]V\MZ_MO[Q[\M[IT[ ?MTTM*M]O]VO]VL1V\MZNMZMVbTI[[MVSMQVMIV LMZM,M]\]VOb] ,IPQV\MZ [\MKS\ LMZ JMZÛPU\M Dualismus von Welle und Korpuskel LMZ QV LMV !MZ2IPZMV [KPQMZb]MQVMUi=U[\]ZbQU?MT\JQTLLMZ8Pa [QStNÛPZ\Mw[WLMZ
Rechenbeispiel 7.11: Photonen aus der Glühlampe 7 Aufgabe. Wie viele sichtbare Photonen kommen größenordnungsmäßig aus einer 100-WGlühbirne? 7 Lösung. Wir nehmen eine mittlere Wellenlänge von 500 nm für das sichtbare Licht. Das liefert eine Energie des einzelnen Photons von

Da unsere Glühbirne pro Sekunde 100 J abgibt, wären das etwa 1020 Photonen. Tatsächlich gehen aber nur etwa 5% der Leistung in sichtbares Licht (der Rest ins Infrarot). Deshalb ist 1019 eine bessere Schätzung.

7

295

7.5 · Quantenoptik

Merke Licht breitet sich als Welle aus, wird aber in Quanten (Photonen) emittiert und absorbiert.

7.5.2 Energiezustände und Spektren

!

5WTMSÛTM [QVL VQKP\ [\IZZ# QPZM <MQTM SÕVVMV OM OMVMQVIVLMZ [KP_QVOMV ]VL LI [QM UMQ[\ VQKP\ MTMS\ZQ[KP VM]\ZIT [QVL IT[ [KP_QVOMVLM ,QXWTM MTMS\ZWUIOVM\Q[KPM ?MTTMV IJ[\ZIPTMV WLMZ UQ\ IVSWUUMVLMVQV:M[WVIVbOMZI\MV,QM-QOMVNZM Y]MVbMVWZOIVQ[KPMZ5WTMSÛTMTQMOMVQU*MZMQKP JQ[M\_I0bPQVI]NMV\[XZMKPMVIT[WQVNZIZW \MU4QKP\2MLM5WTMSÛT[WZ\MJM[Q\b\MQV[QMKPI ZIS\MZQ[QMZMVLM[SpektrumLI[UMQ[\QV)J[WZX\Q WVJMWJIKP\M\OMZVb]ZKPMUQ[KPMV AbsorptionsspektralanalyseJMV]\b\_QZL7 Kap. 7.3.2;W_MQ\ LI[*QTLLMZSTI[[Q[KPMV8Pa[QS,QM9]IV\MVXPa [QSNÛO\V]ZVWKPMZOÃVbMVLPQVb]")]KPMQVUW TMS]TIZMZ7[bQTTI\WZSIVV[MQVM;KP_QVO]VO[MVMZ OQMV]ZQVQuantensprüngenÃVLMZV#QPU[QVLV]Z LQ[SZM\M EnergiezuständeMZTI]J\LQMUIVQV^MZ \QSITMZ-VMZOQM[SITI_QMLQM;XZW[[MVMQVMZ4MQ\MZ ÛJMZMQVIVLMZbMQKPVMVSIVV )]KP)\WUMMUQ\\QMZMV4QKP\,QMIV[QKPNIZJ TW[M.TIUUMLM[*]V[MVJZMVVMZ[_QZLTM]KP\MVL OMTJ_MVV;X]ZMV^WV3WKP[ITbQV[QMPQVMQVOMZI \MV-QV.QVOMZIJLZ]KSI]NMQVMU[I]JMZMV;\IJ I][9]IZbOTI[OMVÛO\JMZMQ\[-QVM[XMS\ZITMBMZ TMO]VOTQMNMZ\b_MQMVOJMVIKPJIZ\M[KPIZNM4QVQ MVJMQ !VU]VL !VULQM[WOi,4QVQMVt LM[6I\ZQ]U[)\WUMIVLMZMZ-TMUMV\MNÛPZMVb] IVLMZMZ FlammenfärbungLQMQVMQVNIKPMV.ÃTTMV MQVML]ZKPI][XZIS\QSIJTM5M\PWLMb]ZY]ITQ\I\Q ^MVKPMUQ[KPMV)VITa[MTQMNMZ\1VLMVZINâVQMZ \MV<MKPVQSMVLMZEmissionsspektralanalyseQ[\LQM [M[>MZNIPZMVb]PWPMZ\MKPVQ[KPMZ>WTTSWUUMV PMQ\MV\_QKSMT\_WZLMV *MQU )\WU NÃTT\ M[ LMZ STI[[Q[KPMV 8Pa[QS [KP_MZMQVMVUMKPIVQ[KPMV7[bQTTI\WZUQ\:ÛKS [\MTTSZIN\ ]VL OMTILMVMZ 8MVLMTUI[[M b] QLMV\Q âbQMZMV# LIZ]U ^MZbQKP\M\ UIV I]N [QM OIVb ]VL PÃT\[QKPOTMQKPIVLQM-VMZOQMb][\ÃVLMLMZ9]IV \MVUMKPIVQSIVLI[ NiveauschemaLI[UIVNÛZ RMLM[ KPMUQ[KPM -TMUMV\ QV UÛP[IUMZ 3TMQVIZ

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Kapitel 7 · Optik

JMQ\I][LMU;XMS\Z]U[MQVM[)\WU[PI\MZ[KPTQM ¾MVUÛ[[MV B]VÃKP[\ MQVUIT JMâVLM\ [QKP MQV )\WU QU B][\IVL VQMLZQO[\MZ -VMZOQM QU Grundzustand ,WZ\XI[[QMZ\[WTIVOMVQKP\[_QMLMU)\WUSMQ VM Anregungsenergie b]OM\MQT\ _QZL UQ\ LMZ M[ UQVLM[\MV[ QV MQVMV IVOMZMO\MV B][\IVL ÛJMZ OMPMVSIVV?WPMZLQM[M-VMZOQM[\IUU\[XQMT\ SMQVM:WTTM#[QMLIZNLMZ\PMZUQ[KPMV-VMZOQMMQ VMZ.TIUUMMV\[\IUUMVLMU-TMS\ZWVMV[\W¾QV MQVMZ/I[MV\TIL]VOWLMZI]KPMQVMUOMVI]XI[ [MVLMV 9]IV\ .ÛPZ\ LQM )VZMO]VO V]Z QV LMV MZ[\MVIVOMZMO\MVB][\IVL[WPI\LI[)\WUSMQ VM?IPT"-[SIVVV]ZUQ\LMUOTMQKPMV9]IV\MV [XZ]VO QV LMV /Z]VLb][\IVL b]ZÛKSSMPZMV UQ\ LMUM[QPV^MZTI[[MVPI\1[\LI[)\WUIJMZQVMQ VMVPÕPMZMVIVOMZMO\MVB][\IVLOMTIVO\LIZNM[ ]V\MZ *MIKP\]VO JM[\QUU\MZ Auswahlregeln MV\ [KPMQLMVWJM[QVMQVMUOZW¾MV;XZ]VOIT[W]V \MZ -UQ[[QWV MQVM[ ZMTI\Q^ MVMZOQMZMQKPMV iS]Zb _MTTQOMVt 9]IV\[ b]ZÛKSSMPZ\ WLMZ QV UMPZMZMV ;XZÛVOMVUQ\UMPZMZMV9]IV\MVB]_MQTMVOMP\ LI[JQ[b]U/ZMVbNITTLM[0WXXMTV[^WV;XZW[[M b];XZW[[M^WV6Q^MI]b]6Q^MI] ,QM )J[\ÃVLM LMZ ;XZW[[MV [QVL VQKP\ OTMQKP _QMJMQMQVMZ4MQ\MZ[QM_MZLMVVIKPWJMVQUUMZ STMQVMZ LQM b]OMPÕZQOMV 9]IV\MV QUUMZ iTIVO _MTTQOMZt,I[UIKP\LQM»JMZ[M\b]VOMQVM[JMW JIKP\M\MV ;XMS\Z]U[ QV LI[ b]OMPÕZQOM 6Q^MI] [KPMUI [W UÛP[IU :MTI\Q^ TMQKP\ OMTQVO\ LQM[ VWKPJMQUMQVNIKP[\MVITTMZ)\WUMLMULM[?I[ [MZ[\WNN[# . Abbildung 7.85 bMQO\ MQVMV bMQKPVM ZQ[KP M\_I[ ZML]bQMZ\MV )][[KPVQ\\ I][ [MQVMU ;XMS\Z]U5IVMZSMVV\b_MQ SerienUQ\S]Zb_MT TQOMVSeriengrenzen^WZLMVMV[QKPLQM;XMS\ZITTQ VQMV[WLZÃVOMTVLI[[[QM[QKPVQKP\UMPZOM\ZMVV\ bMQKPVMV TI[[MV B]Z -UQ[[QWV ^WV 4QVQMV LMZ

. Abb. 7.86. Niveauschema des Wasserstoffatoms

Lyman-Serie QU =T\ZI^QWTM\\MV OMPÕZMV 9]IV\MV [XZÛVOMQVLMV/Z]VLb][\IVLb]LMZQV[;QKP\JI ZMZMQKPMVLMV Balmer-Serie;XZÛVOMQVLMVMZ[\MV IVOMZMO\MV B][\IVL ,QM QVNZIZW\M Paschen-Serie UQ\;XZÛVOMVQVLMVb_MQ\MVIVOMZMO\MVB][\IVL Q[\QVLMZ)JJQTL]VO VQKP\UMPZMV\PIT\MV . Abbildung 7.86bMQO\LI[6Q^MI][KPMUILM[?I[[MZ [\WNN[*MQ)\WUMViPÕPMZMZt_MQ\MZWJMVQU8MZQ WLMV[a[\MU[\MPMVLMZ-TMUMV\M[MPMVLQM6Q^MI] [KPMUI\I SWUXTQbQMZ\MZ I][ .ÛPZ\ UIV MQVMU

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. Abb. 7.85. Spektrum des Wasserstoffs (Ausschnitt); die stärkeren Linien sind hier von Hand gezeichnet; zu kurzen Wellen folgen noch zahlreiche, dichter beieinander liegende schwächere Linien

7.5 · Quantenoptik

0)\WUQU/Z]VLb][\IVLUMPZIT[LQM9]IV\MV MVMZOQMb]Z4aUIV/ZMVbMIT[WUMPZIT[!M> b]^MZTQMZ\M[[MQV0ÛTTMVMTMS\ZWV]VL_QZLb]U 01WV" ,QM 4aUIV/ZMVbM MV\[XZQKP\ LMZ 1WVQ [QMZ]VO[MVMZOQM ,QM[ TMO\ LQM >MZU]\]VO VIPM LI[[ITTM6Q^MI][KPMUI\IM\_I[UQ\LMV-TMS\ZW VMVPÛTTMVLMZ)\WUMb]\]VPIJMV,I^WV_QZL [XÃ\MZVWKPLQM:MLM[MQV7 Kap. 8.1.1

297

7

MZLMZIVOMZMO\MVB][\ÃVLM]V\MZ6IVW[MS]V LMV[W[XZQKP\UIV^WV FluoreszenzIVLMZVNITT[ ^WVPhosphoreszenz7JMZJMOZQNNb]JMQLMVQ[\Lumineszenz5IVU][[MQVMV4M]KP\[\WNNVQKP\I]N WX\Q[KPM )VZMO]VO PQV bÛKP\MV# LMZ *QTL[KPQZU LM[ .MZV[MPMUXNÃVOMZ[ ^MZTIVO\ Elektrolumineszenz/TÛP_ÛZUKPMVJM\ZMQJMVBiolumineszenz ,QM )VZMO]VO L]ZKP -TMS\ZWVMV[\W¾ QV LMZ /I[MV\TIL]VO PI\ OZW¾M \MKPVQ[KPM *MLM]\]VO Merke LMVV[QMMZbM]O\_MVQO?ÃZUM]VL_MVQOQVNZI ZW\M[ 4QKP\ TQMNMZ\ IT[W MQVMV _M[MV\TQKP JM[[M Niveauschema: ZMV ?QZS]VO[OZIL IT[ LQM /TÛPJQZVM 6]Z Q[\ QPZ Graphische Darstellung der einem Atom von 4QKP\[WNIZJQOLI[[UIVM[ITTMVNITT[b]Z;\ZI¾MV der Quantenmechanik erlaubten EnergiezuJMTM]KP\]VO]VLJM[[MZb]Z4QKP\ZMSTIUMQV[WO stände mit Grundzustand und angeregten Zui6MWVZÕPZMVt ^MZ_MVLMV SIVV LQM V]Z [MT\MV ständen. _QZSTQKP6MWVMV\PIT\MV9]MKS[QTJMZLIUXãIU Quantensprünge zwischen diesen Zuständen XMV MUQ\\QMZMV JTI]OZÛVM[ 4QKP\ ]VL ^WZ ITTMU entsprechen Linien im Emissions- oder Ab]T\ZI^QWTM\\M[ 5IV SIVV M[ b]Z *ZÃ]V]VO LMZ sorptionsspektrum. 0I]\ ^MZ_MVLMV# QV Leuchtstoffröhren NÃVO\ UIV LI[=>QU/TI[SWTJMVIJ]VL[M\b\M[UQ\OMMQO 1U 4QKP\ MQVMZ 6I\ZQ]ULIUXãIUXM _QZN\ SIT\MZ VM\MV4M]KP\[\WNNMVQV[QKP\JIZM[4QKP\]U,]ZKP 6I\ZQ]ULIUXN\QMN[KP_IZbM;KPI\\MV,I[OTMQKPM LMZMVOM[KPQKS\M5Q[KP]VOMQVM[XMS\ZITM>MZ\MQ 4QKP\LI[MQV)\WUMUQ\\QMZ\_QZLI]KP^WVQPU T]VOb]MZZMQKPMVLQMLI[UMV[KPTQKPM)]OMIT[ IJ[WZJQMZ\.ÃTT\LI[[WIVOMZMO\M)\WUVIKPS]Z IVOMVMPUMUXâVLM\Q[\VQKP\OIVbMQVNIKP bMZ BMQ\ _QMLMZ QV LMV )][OIVO[b][\IVL b]ZÛKS MUQ\\QMZ\ M[ LI[ 9]IV\ LI[ M[ MJMV MZ[\ IJ[WZ JQMZ\PI\\M#LI[MQVOM[\ZIPT\M4QKP\_QZLWPVM.ZM 7.5.3 Laser Y]MVbÃVLMZ]VOOM[\ZM]\B_Q[KPMVLMV9]IV\MV [XZÛVOMV ^WV -UQ[[QWV ]VL )J[WZX\QWV ^MZOMP\ 3Normalerweise führen die Atome einer GasentlaIJMZMQVMOM_Q[[MBMQ\#[QMPÃVO\^WVLMZUQ\\TMZMV dung ihre Quantensprünge völlig unabhängig voneinander aus; entsprechend ist das ausgesandte Licht inLebensdauerLM[IVOMZMO\MVB][\IVL[IJ,QMJMQ kohärent. Von dieser Regel gibt es aber eine markante LMV9]IV\MV_Q[[MVIT[WVQKP\[^WVMQVIVLMZ]VL Ausnahme: der Laser. Sie sei am Beispiel des HeliumLQM8PI[MVLMZJMQLMVb]OMPÕZQOMV?MTTMVI]KP Neon-Lasers besprochen. VQKP\",QM;\ZM]]VOMZNWTO\QVSWPÃZMV\ Das Helium dient hier nur der leichteren Anregung. .ÛPZ\ LMZ 9]IV\MV[XZ]VO LMZ )VZMO]VO QV Aus nicht näher zu erörternden Gründen nehmen seiMQVMU;KPZQ\\ÛJMZUMPZMZM6Q^MI][PQV_MOLIZN ne Atome besonders gern eine ganz bestimmte EnerLI[ )\WU JMQ LMZ )JZMO]VO QV UMPZMZMV 9]IV gie durch Elektronenstoß auf und geben sie als ange\MV[XZÛVOMV^WV6Q^MI]b]6Q^MI]b]ZÛKSSMPZMV regte Atome beim nächsten Treff bevorzugt an Neon2MLM[LMZMUQ\\QMZ\MV9]IV\MVQ[\LIVViSTMQVMZt atome unmittelbar weiter. Dabei geht das He-Atom RMLMMUQ\\QMZ\M;\ZIPT]VOTIVO_MTTQOMZIT[JMQLMZ strahlungslos in seinen Grundzustand zurück. Es hat )J[WZX\QWV,MZ-VMZOQM[I\bU][[V]ZQV[]UUI seine Schuldigkeit getan. Das so angeregte Ne-Atom bevorzugt nun einen Abregungsschritt, der nicht zum JMNWTO\ _MZLMV 4M]KP\[\WNNM _MZLMV I]N LQM[MV Grundzustand zurückführt, sondern lediglich ein infra5MKPIVQ[U][ PQV OMZILMb] OMbÛKP\M\ ;QM MZTI] rotes Quant emittiert. Damit landet das Atom aber in JMVS]Zb_MTTQOM[]T\ZI^QWTM\\M[WLMZ:ÕV\OMVTQKP\ einer Sackgasse: Sein neuer Anregungszustand ist me[QKP\JIZb]UIKPMV"-QV[WTKPMZ4M]KP\[\WNN_QZL tastabil, er hat eine ungewöhnlich lange Lebensdauer. ^WVMVMZOQMZMQKPMV9]IV\MVIVOMZMO\]VL[\ZIPT\ Infolgedessen geraten ungewöhnlich viele Atome in LINÛZ MVMZOQMÃZUMZM 9]IV\MV QU [QKP\JIZMV diesen Zustand; sie möchten herunterspringen, trau;XMS\ZITJMZMQKP _QMLMZ IJ 4QMO\ LQM 4MJMV[LI] en sich aber nicht.

298

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Kapitel 7 · Optik

Irgendwann riskiert es ein Atom im metastabilen Zustand aber doch. Dann sendet es ein Quant der Laserlinie von 632,8 nm Wellenlänge aus (helles Rot). Dieses Quant verbreitet nun die Kunde von dem mutigen Springer. Folge: Andere Atome wagen es auch. Weil sie aber nicht aus eigenem Entschluss spontan heruntergesprungen sind, sondern auf Abruf gewartet haben, gibt das erste Quant die Phasenlage vor: Alle anderen Quanten schließen sich an. . Abbildung 7.87 versucht, diesen Vorgang der stimulierten Emission schematisch darzustellen. Von ihr hat der Laser seinen Namen: Light Ampliﬁcation by Stimulated Emission of Radiation. Weil sich die Strahlung der abgerufenen Quanten in der Phase an die des auslösenden Quants anschließt, bekommt das Laserlicht eine ungewöhnlich hohe Kohärenzlänge, bis in die Größenordnung Meter. Dies macht seine Besonderheit aus; es erlaubt ungewöhnliche Interferenzversuche. Die Abrufwahrscheinlichkeit im He-Ne-Laser ist nicht so sehr hoch; das abrufende Quant muss gewissermaßen dicht am wartenden Atom vorbeilaufen. Man baut den Laser deshalb als langes, dünnes Entladungsrohr und verlängert den Lichtweg noch durch zwei Spiegel, zwischen denen das Licht dann hin und her gejagt wird (. Abb. 7.88). Der eine Spiegel ist zu wenigen Prozent lichtdurchlässig. Bei ihm tritt der scharf gebündelte, hochkohärente Laserstrahl aus, den . Abbildung 7.14 gezeigt hatte. Nur ein Quant, das in dieser Richtung startet, hat die Chance, Laserlicht abzurufen; wer quer läuft, verlässt das Entladungsrohr zu früh, bleibt allein und emittiert inkohärentes Licht, wie jede andere Gasentladung auch. Die hohe Kohärenzlänge des Laserlichts macht ein bemerkenswertes Abbildungsverfahren möglich: die Holographie. Dazu muss das schmale Laserbündel zunächst einmal mit einer Linse so stark aufgeweitet werden, dass es den abzubildenden Gegenstand voll ausleuchtet. Danach überlagert man das von diesem zurückgestreute Licht einem Referenzbündel, das von dem gleichen Laser stammt, also zur Streustrahlung kohärent ist. Man kann es sich durch einen Spiegel besorgen, den man an eine Stelle im Laserbündel stellt, an der er nicht stört. Die Überlagerung liefert eine stationäre Interferenzﬁgur (sofern nichts wackelt). Stellt man eine photographische Platte irgendwo hinein, so hält sie das Interferenzmuster fest, das sich an ihrem Ort beﬁndet – sofern ihr Korn fein genug für Strukturen in den Abmessungen der Lichtwellenlänge ist. Die entwickelte Photoplatte enthält dann das Hologramm des fraglichen Gegenstands. Beleuchtet man es mit Laserlicht, das dem Referenzbündel entspricht, so entsteht ein virtuelles Beugungsbild, das dem Objekt ent-

. Abb. 7.87. Schema der stimulierten Emission beim Laser: Das vom linken Atom bei Übergang aus dem metastabilen Zustand heraus emittierte Quant ruft die anderen Quanten phasenrichtig ab

. Abb. 7.88. Aufbau eines He-Ne-Lasers, schematisch. Die lange Röhre des Entladungsgefäßes steht zwischen zwei Spiegeln, die den wirksamen Lichtweg für die stimulierte Emission verlängern. Der eine Spiegel ist zu wenigen Prozent lichtdurchlässig; bei ihm tritt das Laserbündel aus

spricht. Man sieht es, wenn man durch das Hologramm hindurchschaut wie durch ein Fenster. Dabei darf man seine Position wechseln und das Beugungsbild aus verschiedenen Richtungen betrachten: Es zeigt sich jeweils so, wie es das Original auch getan hätte. Hologramme minderer Qualität lassen sich auch in Reﬂexion und für weißes Licht herstellen. Dazu benutzt man Kunststoffe, die eine mikrometerfeine Riffelung ihrer Oberﬂäche erlauben: fälschungssicheres Merkmal beispielsweise von Scheck- und Kreditkarten.

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299

7.5 · Quantenoptik

7

[KPMV;]J[\IVbMVb]iVQKP\TQVMIZMV-NNMS\MVt_QM .ZMY]MVb^MZLWXXMT]VOMVSWUUMVSIVV Merke Laser: Light ampliﬁcation by stimulated emission of radiation, Licht hoher Kohärenzlänge, spektraler Schärfe und Intensität.

;W WLMZ [W" 4QKP\ _QZL QV 9]IV\MV MUQ\\QMZ\ ]VL IJ[WZJQMZ\ JZMQ\M\ [QKP IJMZ IT[ ?MTTM I][ ,I[ PQMZ b]Z -ZTÃ]\MZ]VO LMZ [\QU]TQMZ\MV -UQ[[QWV JMV]\b\M *QTL ^WU OMZILMI][ ãQMOMVLMV ZMãMS \QMZ\MV ]VL )Z\OMVW[[MV SWPÃZMV\ IJZ]NMVLMV 9]IV\ ^MZY]QKS\ LQM JMQLMV )[XMS\M QV ]Vb]TÃ[ [QOMZ?MQ[MWZ[\MTT]VO^WU5MKPIVQ[U][MQVM[4I[MZ[ PIJMV UÕKP\M WPVM LMV SWZZMS\MV /MLIVSMV ]VL:MKPV]VO[OIVOLMZ9]IV\MVUMKPIVQSVIKP b]^WTTbQMPMV»JMZLQM*ZÛKSMb]OMPMVQ[\IJMZ V]ZMZTI]J\_MQTLQMSWZZMS\MV9]IV\MVUMKPIVQ SMZNM[\OM[\MTT\PIJMVLI[[UIVI]KP[Wb]UZQKP \QOMVBQMTOMTIVO\;MTJ[\^MZ[\ÃVLTQKPQ[\LI[VQKP\ ?MZMQV5WLMTTÛJMZbQMP\U][[[QKPJMQU.IKP UIVVMZS]VLQOMVQV_QM_MQ\LI[MZTI]J\Q[\

7.5.4 Röntgenstrahlen

!!

1VLMZ>IS]]UXPW\WbMTTMOMJMV9]IV\MV-VMZOQM IV -TMS\ZWVMV IJ ,I[ =UOMSMPZ\M OM[KPQMP\ QV LMZ Röntgenröhre"-TMS\ZWVMVMZbM]OMV9]IV\MV ,QM-TMS\ZWVMV[\IUUMVI][MQVMZ/TÛPSI\PWLM _MZLMV L]ZKP MQVM PWPM ;XIVV]VO JM[KPTM]VQO\ ]VLI]NLQM)VWLMOM[KPW[[MV. Abb. 7.89,QM [MJZMU[\[QMQV_MVQOMV)\WUIJ[\ÃVLMV_QMLMZ IJ# LIJMQ OMP\ LMZ OZÕ¾\M <MQT LMZ -TMS\ZWVMV MVMZOQM QV ?ÃZUM ÛJMZ 6]Z MQV SÛUUMZTQKPMZ :M[\ QV LMZ /ZÕ¾MVWZLV]VO 8ZWbMV\ _QZL ^WV 9]IV\MVÛJMZVWUUMV 2MLM[-TMS\ZWVJMbQMP\LQMSQVM\Q[KPM-VMZOQM ?SQVLQMM[IVLMZ)VWLMIJOQJ\I][LMZ)VWLMV [XIVV]VO=" ?SQV%M=

. Abb. 7.89. Aufbau und Schaltung einer Röntgenröhre, schematisch. Aus der Glühkathode, geheizt mit der Heizspannung =0, treten Elektronen aus, die, von der Anodenspannung U beschleunigt, mit der kinetischen Energie M= auf die Anode treffen und dort bei der Abbremsung Röntgenquanten erzeugen

OMVI] OMVWUUMV SWUU\ LQM \PMZUQ[KPM -V MZOQM UQ\ LMZ M[ LQM /TÛPSI\PWLM ^MZTI[[MV PI\ VWKPPQVb]#[QMSIVVIT[STMQV^MZVIKPTÃ[[QO\_MZ LMV 1U OÛV[\QO[\MV .ITT ÛJMZOQJ\ MQV -TMS\ZWV JMQU)JJZMU[MV[MQVMOIVbM-VMZOQMMQVMUMQV bQOMV9]IV\PÃ]âOMZV]ZMQVMV<MQTUMQ[\MV[OIZ VQKP\[#LIVVMZbM]O\M[V]Z?ÃZUM.WTOM".ÛZLQM 9]IV\MVMVMZOQMLMZ:ÕV\OMV[\ZIPTMVM`Q[\QMZ\MQ VM WJMZM NÛZ LQM ?MTTMVTÃVOM MQVM ]V\MZM MQVM kurzwellige Grenze1V.WZUMTV" ?9%PN ≤?SQV%M= ]VL

,I[ ^WTT[\ÃVLQOM Bremsspektrum MQVMZ :ÕV\ OMVZÕPZMbMQO\Abbildung 7.90-[Q[\^WU5I\MZQIT LMZ )VWLM ]VIJPÃVOQO IJPÃVOQO IJMZ ^WV LMZ )VWLMV[XIVV]VO = ;\MQOMZ\ UIV [QM [W ^MZ [KPQMJ\ [QKP LMZ ;KP_MZX]VS\ LM[ ;XMS\Z]U b] SÛZbMZMV?MTTMV",QM;\ZIPT]VO_QZLPÃZ\MZB] OTMQKP_QZL[QMQV\MV[Q^MZ_MQTLQM^WVLMV-TMS \ZWVMV]UOM[M\b\M4MQ[\]VOb]VQUU\,QM1V\MV [Q\Ã\ TÃ[[\ [QKP IJMZ I]KP ]VIJPÃVOQO ^WV LMZ )VWLMV[XIVV]VOL]ZKPLMV0MQb[\ZWULMZ/TÛP SI\PWLM[\M]MZV"-ZJM[\QUU\LMZMV<MUXMZI\]Z ]VL LIUQ\ LMV -UQ[[QWV[[\ZWU ,QM )VWLMV [XIVV]VOMV UMLQbQVQ[KP OMV]\b\MZ :ÕV\OMVZÕP

300

Kapitel 7 · Optik

Merke

1

Röntgenröhre, Röntgenstrahlen: Freie Elektronen aus einer Glühkathode werden mit Spannungen =&S> auf eine Anode geschossen und erzeugen dort bei der Abbremsung energiereiche Quanten. Das Bremsspektrum hat eine kurzwellige Grenze bei ?9%M=.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

. Abb. 7.90. Bremsspektrum einer Röntgenröhre, schematisch. Der Abfall zu kleinen Quantenenergien ist eine Folge der Filterung durch das Strahlfenster; im Vakuum der Röhre setzt sich das Spektrum entsprechend den gestrichelten Geraden fort. Eine Erhöhung der Anodenspannung verschiebt die Gerade parallel zu sich selbst nach rechts (untere und mittlere Kurve); eine Erhöhung des Anodenstromes dreht die Gerade im Uhrzeigersinn um ihren Schnittpunkt mit der Abszisse (mittlere und rechte Kurve). Dieser Schnittpunkt markiert die kurzwellige Grenze des Bremsspektrums

)]KP :ÕV\OMV[\ZIPTMV NWTOMV JMQU ,]ZKP OIVO L]ZKP LQM 5I\MZQM LMU 4IUJMZ\*MMZ/M [M\b 7 Kap. 7.3.2 _MVV I]KP VQKP\ OIVb OMVI] _MQT [QM [\ÃZSMZ OM[\ZM]\ _MZLMV IT[ [QKP\JIZM[ 4QKP\ ;\I\\ LM[ )J[WZX\QWV[SWMNâbQMV\MV S LMâ VQMZ\UIVQU:ÕV\OMVOMJQM\MQVMV Schwächungskoefﬁzientenμ" 1%1MwL

1%L]ZKPOMTI[[MVM 1%I]NNITTMVLM ;\ZIPT]VO[ TMQ[\]VOL%;KPQKP\LQKSM :ÕV\OMV[\ZIPTMV _MZLMV ^WV )\WUMV IJ[WZ ZMV JMOQVVMV JMQ M\_I S> ]VL ZMQKPMV ÛJMZ JQMZ\]VLb_IZ]VIJPÃVOQO^WVKPMUQ[KPMV*QV S> PQVI][ ,MU MV\[XZMKPMV ?MTTMVTÃVOMV L]VOMV ]VIJPÃVOQO IT[W ^WV LMU 5WTMSÛT QV ^WVVUIJ_ÃZ\[LP^WV)\WUL]ZKPUM[[MZV LMU [QKP LI[ )\WU JMâVLM\ ,IL]ZKP TÃ[[\ [QKP LQM)J[WZX\QWV^WV:ÕV\OMVTQKP\QVUIVKPMZ*M IJ_ÃZ\[RMV[MQ\[^WU=T\ZI^QWTM\\

12 13 14 15 16 17 18 19 20

Klinik Genaueres zur Röntgenröhre. In einer Röntgenröhre wird die elektrische Energie überwiegend in Wärme umgesetzt; der Nutzeffekt ist schlecht. Kleinere Röhren, wie etwa die des Zahnarztes, dürfen deshalb immer nur sekundenweise eingeschaltet werden (das genügt für eine Aufnahme) und brauchen dazwischen längere Pausen zum Abkühlen. Der Dauerbetrieb einer Therapieröhre verlangt demgegenüber eine intensive Zwangskühlung durch Wasser oder Öl. Auf jeden Fall ist die thermische Belastung am Ort des Brennﬂecks, auf den die Elektronen konzentriert werden, beträchtlich. Medizinisch genutzte Röhren tragen dort meist ein kräftiges Stück Wolfram mit dem hohen Schmelzpunkt von 3650 K. Es wird eingesetzt in massives Kupfer, das eine hohe Wärmeleitfähigkeit besitzt. Warum man an einem kleinen Brennﬂeck interessiert sein muss, wird in 7 Kapitel 9.2.1 noch besprochen werden.

Das volle Röntgenbremsspektrum lässt sich nur in Spezialapparaturen ausmessen; normalerweise nimmt allein schon der Glaskolben der Röhre den langwelligen Teil heraus. . Abbildung 7.90 hat dies bereits berücksichtigt. In der Klinik werden zusätzliche Filter (etwa eine Aluminiumscheibe) in den Strahlengang gesetzt, die ebenfalls bevorzugt die langen Wellen absorbieren. Ziel ist, die Strahlung insgesamt kurzwelliger, also härter und durchdringungsfähiger zu machen, denn damit sinkt die Strahlenbelastung für den Patienten. Nur Energie, die auch absorbiert wird, hat biologische Wirkung, kann Strahlenschäden auslösen. Ein Teil der Energie muss freilich absorbiert werden, denn sonst gäbe es keine Kontraste im äRöntgenbild. Knochen erscheinen im photographischen Negativ hell; sie absorbieren stärker und sind deshalb auch stärker gefährdet.

7.5 · Quantenoptik

301

7

:ÕV\OMV[KP_M[\MZI][LMULQZMS\MVI]NLMV8I \QMV\MVOMZQKP\M\MV;\ZIPTMVJÛVLMTPMZI][PÃT\#[QM U][[[QKP[KPWVPQV\MZMQVM;KP]\bUI]MZQV[6M JMVbQUUMZ JMOMJMV" ,MZ *M[\ZIPT]VO[ZI]U Q[\ ^ÕTTQO^WV;\ZM]TQKP\L]ZKP[M\b\ ,QM TMQKP\MV )\WUM IU )VNIVO LM[ periodischen Systems der chemischen Elemente IJ[WZ JQMZMV:ÕV\OMV[\ZIPT]VOV]Z_MVQO#UQ\[\MQOMV LMZ Atomnummer VQUU\ LI[ ;KP_ÃKP]VO[^MZ UÕOMV OIVb MZPMJTQKP b] 4IVO_MTTQOM IT[W _MQ KPM:ÕV\OMV[\ZIPT]VO_QZLITTOMUMQV[\ÃZSMZIJ [WZJQMZ\IT[S]Zb_MTTQOMPIZ\M,I[OQT\QVPWPMU 5I¾MNÛZLMV PhotoeffektJMQLMUMQVMQVbMTVM[ -TMS\ZWV LQM OM[IU\M 9]IV\MVMVMZOQM I]N MQ VMV;KPTIOÛJMZVQUU\1VJQWTWOQ[KPMU/M_MJM _QZL LMZ 5I[[MV[KP_ÃKP]VO[SWMNâbQMV\ JQ[ M\ zienten _ISM>^WU8PW\WMNNMS\JM[\QUU\IJ SM> μR μU%4 PMZZ[KP\LMZ_MVQOMZ^WVLMZ9]IV\MVMVMZOQMIJ ρR PÃVOQOMCompton-EffektMZ_QZLQUVÃKP[\MV3I b]\IJMTTQMZMV5IVSIVVLIVVNÛZRMLM;]J[\IVb XQ\MTJMPIVLMT\LMVWJMZPITJ5M>LQMPaarbil]VL RMLM[ ;]J[\IVbOMUQ[KP ÛJMZ LQM ,QKP\MIV dungIJTÕ[\. Abb. 7.91 \MQTM LMZ 3WUXWVMV\MV LMV ;KP_ÃKP]VO[SWMNâ bQMV\MVμJMZMKPVMV :ÕV\OMV[\ZIPTMV_MZLMV_MQ\[\ÃZSMZOM[\ZM]\ IT[ [QKP\JIZM[ 4QKP\ .ÛZ :ÕV\OMVI]OMV _ÃZMV 5MV[KPMV b_IZ QV OM_Q[[MU /ZIL L]ZKP[QKP\QO LQM4]N\MZ[KPQMVMIJMZVMJTQO\ZÛJ#LQM?MT\TÃOMQV MQVMULQKP\MV,]V[\[KPTMQMZ,MZ;KP_ÃKP]VO[ SWMNâbQMV\μU[M\b\[QKPLM[PITJI][MQVMUMKP\MV AbsorptionskoefﬁzientenτU]VLMQVMUStreukoefﬁzientenσUILLQ\Q^b][IUUMV?MQT;\ZIPT]VOLQM L]ZKP;\ZM]]VOI][MQVMU4QKP\JÛVLMTPMZI][OM SWUUMVQ[\L]ZKP>QMTNIKP[\ZM]]VO_QMLMZPMZ MQVSWUUMVSIVVPÃT\[QKPLQM;KP_ÃKP]VOI]KP UWVWKPZWUI\Q[KPMZ :ÕV\OMV[\ZIPT]VO VQKP\ M` IS\IVMQVMM.]VS\QWV

bQMP]VOMQVNIKPMZJMPIVLMTVIT[LQM^WV[QKP\JI ZMU-[OMP\V]Z]ULQM)\WUM^WVZ]VLKPM UQ[KPMV -TMUMV\MV VQKP\ ]U LQM 5WTMSÛTM LMZ bQO\I][MVL ^WV KPMUQ[KPMV >MZJQVL]VOMV ,QM )VbIPTLQKP\M UQ\ LMZ MQVM UQ\ LMU 1VLM` R OM SMVVbMQKPVM\M)\WU[WZ\MQVQZOMVLMQVMU5I\M ZQIT^MZ\ZM\MVQ[\JMLM]\M\I]KPMQVM5I[[MVLQKP\M ρRUQ\LMZ[QM[QKPIVLMZOM[IU\MV5I[[MVLQKP\M ρLM[5I\MZQIT[JM\MQTQO\3MVV\UIVLM[[MVKPM UQ[KPMB][IUUMV[M\b]VO[WSIVVUIVÛJMZLQM )\WUOM_QKP\[\IJMTTMVTMQKP\LQMMQVbMTVMV ρRJM [\QUUMV?MQT[QKPV]VLQM:ÕV\OMVIJ[WZX\QWVMV LMZ^MZ[KPQMLMVMV)\WU[WZ\MVMQVNIKPILLQMZMV OMVÛO\M[NÛZITTMKPMUQ[KPMV-TMUMV\MLQM_MT TMVTÃVOMVIJPÃVOQOMV Massenschwächungskoefﬁ-

Merke Schwächungskoefﬁzient μ: 1%1MwL Massenschwächungskoefﬁzient μU: μR μU%4 ρR

4MQLMZMZ[KP_MZ\LQM;\ZM]]VOLMVUMLQbQVQ[KPMV ;\ZIPTMV[KP]\b" -[ OMVÛO\ VQKP\ LI[[ [QKP LQM

. Abb. 7.91. Massenschwächungskoefﬁzient μm des Wassers (er stimmt praktisch mit dem biologischen Gewebes überein). Bei kleinen Quantenenergien überwiegt der Photoeffekt, bei mittleren der Compton-Effekt und bei großen die Paarbildung. Bei schwereren Atomen rücken die Bereiche von Photoeffekt und Paarbildung aufeinander zu und engen den Bereich des Compton-Effektes ein

302

1 2 3 4 5

Kapitel 7 · Optik

Praktikum

7.5.5 Der Compton-Effekt

Röntgenstrahlen

-TMS\ZWUIOVM\Q[KPM?MTTMV\ZIV[XWZ\QMZMV-VMZ OQMIJMZSMQVM5I[[M,I[[[QM\ZW\bLMUUMKPIVQ [KPMV1UX]T[I]NMQVMV)J[WZJMZWLMZMQVMV;XQM OMTÛJMZ\ZIOMVSIVVI]NLMVMZ[\MV*TQKSÛJMZZI [KPMV w I]N LMV b_MQ\MV IJMZ [KPWV VQKP\ UMPZ LMVV VIKP LMZ :MTI\Q^Q\Ã\[\PMWZQM [QVL -VMZOQM ]VL 5I[[M RI MVO UQ\MQVIVLMZ ^MZ_IVL\" 4QKP\ \ZIV[XWZ\QMZ\ TMLQOTQKP SMQVM :]PMUI[[M ;MQVM 9]IV\MV ^MZTMQPMV QPU IJMZ -QOMV[KPIN\MV LQM L]ZKPI][IV3WZX][SMTVMZQVVMZV 7J_WPT UIV _MQ¾ LI[[ [QKP 4QKP\ IT[ ?MTTM UQ\*M]O]VO]VL1V\MZNMZMVbI][JZMQ\M\]VLLI[[ LISMQVM9]IV\MVL]ZKPLQM/MOMVLãQMOMVSIVV M[b]_MQTMVVÛ\bTQKP[MQV[Wb]\]VIT[\Ã\MV[QM LQM[LWKPIT[_ÃZMVLQM9]IV\MV<MQTKPMVUQ\LMZ SQVM\Q[KPMV-VMZOQM?9%PN]VLLMUUMKPIVQ [KPMV

Meistes wird die Absorption der Strahlung in Abhängigkeit der Dicke des absorbierenden Materials ausgemessen. Da die Intensität im Material exponentiell absinkt, kann die Absorption mit einer Halbwertsdicke charakterisiert werden. Vielleicht sind für Sie auch die Kapitel zum Röntgenspektrum, 7 Kapitel 8.1.4, und zur Dosimetrie, 7 Kapitel 9.1.1 und 9.1.2, interessant.

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Rechenbeispiel 7.12: Fast alles bleibt stecken 7 Aufgabe. Welcher Anteil der Strahlungsenergie steht bei einer Durchleuchtung des Magen-DarmTrakts für die Belichtung des Röntgenﬁlmes schätzungsweise noch zur Verfügung, welcher Teil wird im Gewebe absorbiert? Zur Vereinfachung der Abschätzung soll Folgendes angenommen werden: Die Röntgenstrahlung ist monochromatisch mit 50 keV Quantenenergie; das Gewebe verhält sich wie Wasser und besitzt eine gleichmäßige Schichtdicke von 20 cm. Der Massenschwächungskoefﬁzient wird der . Abbildung 7.91 entnommen. 7 Lösung. Für die Abschwächung der Strahlung gilt:

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98% der Röntgenenergie werden also vom Gewebe absorbiert! Nach dieser Abschätzung wundert man sich vielleicht etwas weniger darüber, dass die zivilisationsbedingte Strahlenbelastung in den Industrieländern im Wesentlichen von der medizinischen Röntgendiagnose herrührt. . Abb. 7.92. Compton-Effekt, schematisch. Ein Röntgenquant stößt mit einem Elektron zusammen und überträgt ihm nach den Regeln des elastischen Stoßes Impuls und Energie: Das gestreute Quant gehört zu einer weicheren Strahlung als das stoßende Quant

7.5 · Quantenoptik

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303

7

.ÛZ :ÕV\OMVTQKP\ TI[[MV [QKP SMQVM 4QV[MV [KPTMQNMV LMVV QV [MQVMU ;XMS\ZITJMZMQKP _MQ KPMVLQM*ZMKPbIPTMVITTMZ;]J[\IVbMVVQKP\VMV VMV[_MZ\ ^WV MQV[ IJ ,QM :ÕV\OMVLQIOVW[M Q[\ LM[PITJ b]VÃKP[\ MQVUIT I]N TMJMV[OZW¾M ;KPI\ \MVJQTLMZ IVOM_QM[MV ;KPIZNMZ ;KPI\\MV_]ZN MZ NWZLMZ\STMQVM4QKP\Y]MTTMVQVLMZ:ÕV\OMVZÕPZM IT[W MQVMV STMQVMV *ZMVVãMKS I]N LMV LQM -TMS \ZWVMVSWVbMV\ZQMZ\_MZLMVUÛ[[MV,WZ\[M\bMV [QMQPZMSQVM\Q[KPM-VMZOQMNI[\^WTT[\ÃVLQOQV?ÃZ UM]U,QM.WTOMQ[\MQVMPWPM\PMZUQ[KPM*MTI[ \]VO 5IV [M\b\ LM[PITJ IV LMV 7Z\ LM[ *ZMVV ãMKS[ MQV PWKP[KPUMTbMVLM[ 5I\MZQIT _QM ?WTN ZIU JM\\M\ M[ QV O]\ _ÃZUMTMQ\MVLM[ 3]XNMZ MQV ]VLSÛPT\LQM[UQ\?I[[MZ6]ZZMTI\Q^JM[KPMQLM VM:ÕPZMV_QMM\_ILQMLM[BIPVIZb\M[SWUUMV UQ\ LMZ ?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ QPZMZ )VWLM I][ JZI] KPMVIJMZVIKPMQVQOMV_MVQOMV)]NVIPUMVMQVM TÃVOMZM :]PMXI][M b]Z )JSÛPT]VO ,QM \PMZUQ [KPM *MTI[\]VO LM[ ?WTNZIU[ TÃ[[\ [QKP LIL]ZKP UQVLMZV LI[[ UIV LQM )VWLM QV :QKP\]VO LM[ 6]\b[\ZIPTJÛVLMT[ IJ[KPZÃO\ . Abb. 7.93" ,QM XMZ[XMS\Q^Q[KPM>MZSÛZb]VOMZTI]J\LMU*ZMVV ãMKSMQVMOZÕ¾MZM.TÃKPMb]OMJMV +PMUQ[KP JM[\MP\ LMZ 5MV[KP ÛJMZ_QMOMVL I][ ?I[[MZ ]VL SWUXTQbQMZ\MV 3WPTMV_I[[MZ [\WNNMV,QM5I[[MV[KP_ÃKP]VO[SWMNâbQMV\MVNÛZ :ÕV\OMV[\ZIPT]VOMVZMIOQMZMVVQKP\I]N5WTMSÛTM [WVLMZVV]ZI]NLMZMV)\WUM#[QM[\MQOMVQU?M [MV\TQKPMVUWVW\WVUQ\LMZ)\WUV]UUMZBIV .ÛZLQM:ÕV\OMVLQIOVW[MJM[\MP\LMZ5MV[KPIT[W ÛJMZ_QMOMVL I][ LMV ZMTI\Q^ TMQKP\MV -TMUMV\MV ?I[[MZ[\WNNB%3WPTMV[\WNNB%]VL;I]MZ [\WNNB% )T[TMQKP\M[\M[ITTMZ)\WUM[XQMT\0 SI]U MQVM :WTTM LQM 3MZVTIL]VO[bIPTMV ^WV +

7.5.6 Röntgendiagnose

5Q\:ÕV\OMVTQKP\SIVVUIVXPW\WOZIXPQMZMV#LQM KPMUQ[KPM1VL][\ZQMPI\LINÛZ[XMbQMTTM-U]T[QW VMV MV\_QKSMT\ /Z]VL[Ã\bTQKP _IZ LI[ VQKP\ VÕ \QO I]KP VWZUITM .QTUM _MZLMV L]ZKP MVMZOQM ZMQKPM9]IV\MVOM[KP_ÃZb\)JMZLQM;XMbQITâTUM SWUUMVUQ\SÛZbMZMV*MTQKP\]VO[bMQ\MVI][]VL ZML]bQMZMV [W LQM ;\ZIPTMVJMTI[\]VO LM[ 8I\QMV \MV:ÕV\OMVTQKP\SIVVUIVVQKP\[MPMVIJMZUQ\ 4M]KP\[KPQZUMV[QKP\JIZUIKPMV#_I[LQM9]IV \MV]T\ZI^QWTM\\MV4QKP\M[SÕVVMVSÕVVMV:ÕV\ OMVY]IV\MVITTMUIT

. Abb. 7.93. Röntgenröhre. Verkleinerung der für den Schattenwurf wirksamen Fläche des Brennﬂecks durch perspektivische Verkürzung

304

Kapitel 7 · Optik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 7.94. Röntgenaufnahme mit einer kleinen Röntgenröhre beim Zahnarzt. Röntgenbilder sind in der Regel Negativbilder wie dieses: Die das Röntgenlicht vollständig absorbierenden Amalgamfüllungen erscheinen weiß

. Abb. 7.95. Computertomographie eines Kopfes (kraniales CT, cCT)

]VL 7 ]V\MZ[KPMQLMV [QKP SI]U ,IZ]U _MZNMV V]Z LQM 3VWKPMV LM]\TQKP [QKP\JIZM ;KPI\\MV QU :ÕV\OMVJQTL";QMMV\PIT\MVLI[QUUMZVWKPTMQKP\M IJMZQV[MQVMZ=UOMJ]VOZMTI\Q^[KP_MZM3ITbQ]U B% 5M\ITT\MQTM _QM LQM )UITOIVNÛTT]VOMV LM[ )]\WZ[ QV . Abbildung 7.94 \ZM\MV VI\ÛZTQKP VWKPLM]\TQKPMZPMZ^WZLI[QMLQM:ÕV\OMV[\ZIP TMVXZIS\Q[KPOIZVQKP\UMPZPQVL]ZKPTI[[MVBÃP VMPIJMVMQVMPWPM,QKP\M]VLPMJMV[QKPI]KP LIVVOMOMVLMV3QMNMZSVWKPMVIJ_MVV[QMOIVb QV QPU ^MZJWZOMV [QVL _QM LMZ Y]MZ TQMOMVLM ?MQ[PMQ\[bIPV=UMZSMVVJIZM3WV\ZI[\MQV5][ SMT]VL.M\\OM_MJMb]JMSWUUMVU][[UIVZM TI\Q^ _MQKPM ;\ZIPT]VO UQ\ PWPMV ;KP_ÃKP]VO[ SWMNâbQMV\MVJMV]\bMVLQMLMVOZÕ¾\MV<MQTQPZMZ ,W[Q[TMQ[\]VO QU 8I\QMV\MV TI[[MV ]VL VQKP\ QU :ÕV\OMVâTU.ÛZLQNâbQTMZM=V\MZ[]KP]VOMVPQTN\ UIVUQ\MQVMU KontrastmittelVIKPLI[[KP_MZM )\WUM QV XPa[QWTWOQ[KP UÕOTQKP[\ ]VJMLMVSTQ KPMV>MZJQVL]VOMVMV\PÃT\ 1U;KPI\\MVJQTLÛJMZLMKSMV[QKP7ZOIVMLM[ 8I\QMV\MV LQM QV ;\ZIPTZQKP\]VO PQV\MZMQVIVLMZ TIOMV1U/MOMV[I\bb]U4QKP\UQSZW[SWXMZTI]J\ LMZ ;KPI\\MV_]ZN VQKP\ V]Z MQVM -JMVM LM[ 7J RMS\[ [KPIZN IJb]JQTLMV# [MQVM ;KPÃZNMV\QMNM TÃ[[\ [QKPVQKP\JMOZMVbMV0QMZPQTN\LQMRöntgentomographie+WUX]\MZ\WUWOZIXPQM+<;QML]ZKP TM]KP\M\LMV8I\QMV\MVUWUMV\IVQUUMZV]ZUQ\ MQVMU LÛVVMV i6ILMT[\ZIPTt ^MZ[KPQMJ\ QPV QV M QVMZ-JMVMZMOQ[\ZQMZ\LIJMQLQML]ZKPOMTI[[MVM

,W[Q[TMQ[\]VO ]VL _QMLMZPWT\ LI[ /IVbM QV LMZ OTMQKPMV -JMVM VWKP MQVUIT I][ MQVMZ IVLMZMV :QKP\]VO-QV+WUX]\MZUMZS\[QKPLQMb]ITTMV 8W[Q\QWVMV LM[ 6ILMT[\ZIPT[ OMPÕZMVLMV ,W[Q[ TMQ[\]VOMV ZMKPVM\ LIVIKP LQM :ÕV\OMV[KP_Ã KP]VONÛZRMLMV3ZM]b]VO[X]VS\I][]VL[M\b\[W MQV*QTLLMZIJOM\I[\M\MV-JMVMI][i8Q`MTVt^WV LMZ /ZÕ¾MV LM[ ;\ZIPTL]ZKPUM[[MZ[ b][IUUMV . Abb. 7.95 ,MZ LQIOVW[\Q[KPM /M_QVV Q[\ JM \ZÃKP\TQKPLMZ\MKPVQ[KPM)]N_IVLI]KP ?QM QUUMZ UIV QU -QVbMTVMV ^WZOMP\" ;KP_IZb?MQ¾*QTLMZ IT[W I]KP :ÕV\OMVJQTLMZ ^MZTIVOMV 3WV\ZI[\ ,QM MQVbMTVMV 7ZOIVM LQM UIV MZSMVVMV _QTT UÛ[[MV ]V\MZ[KPQMLTQKP IJ [WZJQMZMV-[PI\IT[WSMQVMV;QVVM`\ZMUPIZ\M L]ZKPLZQVOMVLM;\ZIPTMVb]^MZ_MVLMV;QM_MZ LMVNI[\OIZVQKP\OM[KP_ÃKP\IT[WI]KPVQKP\]V \MZ[KPQMLTQKP-[PI\IJMZI]KPSMQVMV;QVV[MPZ _MQKPM;\ZIPTMVb]^MZ_MVLMV#[QMJTMQJMVQU8I \QMV\MV [\MKSMV ]VL SWUUMV JMQU :ÕV\OMVâTU VQKP\IV.WTOTQKPJMTI[\MV[QMV]ZLMV8I\QMV\MV WPVM LMZ ,QIOVW[M b] PMTNMV ,MZ ITTb] _MQKPM )V\MQTLMZ:ÕV\OMVJZMU[[\ZIPT]VOU][[IT[WPM ZI][OMâT\MZ\_MZLMVb*L]ZKPMQVXIIZ5QTTQUM \MZ )T]UQVQ]U ;MPZ PIZ\M ;\ZIPT]VO ^MZUMQLM\ UIVTMQKP\QVLMUUIV[QMUQ\PQVZMQKPMVLVQML ZQOMZ)VWLMV[XIVV]VOOIZVQKP\MZ[\MZbM]O\ )U-VLMSWUU\QUUMZPMZI][LI[[V]ZMQV STMQVMZ<MQTLMZMQVOM[KPW[[MVMV,W[Q[LMV.QTU JMTQKP\M\]VLLMZOZW¾M:M[\LMV8I\QMV\MVJMTI[

7.6 · Elektronenoptik

305

7

\M\ ?MZ MQVM :ÕV\OMVI]NVIPUM IVWZLVM\ U][[ LMZE]VLB1PZM)UXTQ\]LMV[QVLMQV5I¾NÛZLQM JMLMVSMVWJLMZLQIOVW[\Q[KPM6]\bMVLMVb]OM ;\ZIPT]VO[TMQ[\]VONÛZLQM8PW\WVMV[\ZWULQKP\M PÕZQOMV;\ZIPTMV[KPILMVZMKP\NMZ\QO\ LQMMQVMV)J[WZJMZMZZMQKP\]VLLIUQ\MQV5I¾ NÛZ LQM ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\ QV MQVMZ BMQ\[XIVVM Δ\ I]N MQVMU .TÃKPMV[\ÛKS Δ) MQV 8PW\WV IV b]\ZMNNMV )VITWO Q[\ LQM )UXTQ\]LM LMZ Wellen7.6 Elektronenoptik funktionMQVMZ5I\MZQM_MTTMMQV5I¾NÛZLQM?IPZ [KPMQVTQKPSMQ\MQV-TMS\ZWVWLMZMQVIVLMZM[^WV 7.6.1 Elektronenbeugung LMZ?MTTMZMXZÃ[MV\QMZ\M[<MQTKPMVIVb]\ZMNNMV1V 4QKP\ Q[\ IT[ SWV\QV]QMZTQKPM MTMS\ZWUIOVM\Q[KPM LQM[MU;QVV[XZQKP\UIVI]KP^WVWahrscheinlich?MTTM]V\MZ_MO[#JMQ-UQ[[QWV]VL)J[WZX\QWVJM keitswellen2M[KP_MZMZMQV<MQTKPMVLM[\WOZÕ¾MZ VMPUMV[QKPLQM8PW\WVMVIJMZ_QMLQ[SZM\M<MQT [MQV1UX]T[LM[\WSÛZbMZLQM?MTTMVTÃVOM[MQVMZ KPMV,I_ÃZMM[VQKP\UMPZIT[ZMKP\]VLJQTTQO 5I\MZQM_MTTM2MSTMQVMZ λLM[\W]VI]NNÃTTQOMZLQM _MVV[QKPMKP\M<MQTKPMV-TMS\ZWVMVM\_I]V\MZ *M]O]VO[MZ[KPMQV]VOMVLM[\WZQKP\QOMZLI[*QTL _MO[_QM?MTTMVJMVÃPUMV;QM\]VLQM[QVLMZ ?MZ LIVIKP MZ_IZ ?I[i_MTT\tJMQMQVMZ5I\MZQM_MTTM'?MZPI\LI \M\UQ\-TMS\ZWVMV_MTTMVTÃVOMVQU*MZMQKP8QKW MQVM)UXTQ\]LM'*MQU4QKP\[QVLM[LQMJMQLMV.MT UM\MZ%XU%wUSÕVVMUIVLQM)]ãÕ[]VO ]UZ]VLBMPVMZXW\MVbMVOMOMVÛJMZLMU4QKP\ UQSZW[SWX λ≈VU ^MZJM[[MZV ]VL [W ,M \IQT[^WUQVVMZMV)]NJI]LMZ)\WUM[QKP\JIZUI KPMVLMZ_QZLMV\\Ã][KP\,QMWX\Q[KPM1VL][\ZQM PI\OMTMZV\LQM4QV[MVNMPTMZ^WV7JRMS\Q^MV^WZ bÛOTQKP b] SWZZQOQMZMV ]VL [W PWPM )XMZ\]ZMV b] MZZMQKPMV *MQ -TMS\ZWVMVTQV[MV OMTQVO\ LI[ VQKP\# [QM MZTI]JMV V]Z STMQVM µNNV]VO[_QVSMT . Abb. 7.96. Elektronenbeugung an der Halbebene, photo]VL MQV MV\[XZMKPMVL STMQVMZM[ )]ãÕ[]VO[^MZ graphisches Positiv; man vergleiche mit . Abbildung 7.82

306

Kapitel 7 · Optik

1 2 3 4 5 6 7 . Abb. 7.98. Elektronenmikroskopisches Bild vom Genom eines Bakteriophagen; es befand sich ursprünglich in dessen Kopf. Länge des Phagen: 0,2 μm; Länge des Genoms: 34 μm

8 9 10 . Abb. 7.97. Strahlengang eines Elektronenmikroskops

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

UÕOMVIS]]UUÕOTQKP# QV 4]N\ SWUUMV LQM -TMS\ZWVMV VQKP\ _MQ\ ,I[ ^MZPQVLMZ\ LQM *MWJIKP\]VO TMJMVLMZ WLMZ I]KP V]Z_I[[MZPIT\QOMZ7JRMS\M#[QMUÛ[[MVRIUQ\QV[ >IS]]U PQVMQV -TMS\ZWVMVUQSZW[SWXQ[KPM *QT LMZ_QMLI[LMZ . Abbildung 7.98[\IUUMVVQKP\ ]VUQ\\MTJIZ ^WV LMU IJOMJQTLM\MV 7JRMS\ [WV LMZV^WVMQVMZLÛVVMV5M\ITT[KPQKP\LQM[KPZÃO I]N MQVMV 4IKSâTU I]NOMLIUXN\ _WZLMV Q[\ ,MZ 4IKS _IZ b]^WZ I]N LI[ 7JRMS\ I]NOMJZIKP\ ]VL VIKPLMU
. Abb. 7.99. Mit einem Rasterelektronenmikroskop aufgenommenes Bild von Drüsen- und Flimmerzellen in der Mucosa olfactoria eines Goldﬁschs (Aufnahme von Breipohl, Bijvank und Zippel)

LIVV [W _QM [QM ^WU -TMS\ZWVMV[\ZIPT OM\ZWNNMV _MZLMV VIKPMQVIVLMZ ;MS]VLÃZMTMS\ZWVMV IT [WMQVMVMTMS\ZQ[KPMV;\ZWULMZ[QKP^MZ[\ÃZSMV ]VLb]MQVMZ)Z\i.MZV[MPJQTLtb][IUUMV[M\bMV TÃ[[\ ,I[ )]ãÕ[]VO[^MZUÕOMV _QZL L]ZKP LQM

307

7.6 · Elektronenoptik

*ÛVLMT]VOLM[IJ\I[\MVLMV-TMS\ZWVMV[\ZIPT[JM OZMVb\#M[Q[\OMZQVOMZIT[JMQUVWZUITMV-TMS\ZW VMVUQSZW[SWX -QVM OZW¾M ;KPÃZNMV\QMNM MZTI]J\ IJMZ)]NVIPUMVLQMÛJMZZI[KPMVLXTI[\Q[KP_QZ SMV. Abb. 7.99

7.6.3 Die Unschärferelation

,QMZMQVM;QV][[KP_QVO]VO

7

I]NLMV*MZMQKPΔ`TWSITQ[QMZ\[MQV[WTTB]ΔλOM PÕZ\IJMZMQV*MZMQKPΔXLM[UMKPIVQ[KPMV1U X]T[M[ ]VL Δ^ LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ 2M OMZQVOMZ LQM OrtsunschärfeΔ`LM[\WOZÕ¾MZLQM Impulsunschärfe ΔX ]VL ]UOMSMPZ\ ?MZVMZ 0MQ[MVJMZO PI\ PMZI][OMN]VLMV LI[[ LI[ 8ZWL]S\ LMZ JMQ LMV =V[KPÃZNMV VQKP\ STMQVMZ [MQV SIVV IT[ LQM 8TIVKS3WV[\IV\MP" ΔXΔ`≥P

]VLLI[XZQVbQXQMTTVQKP\M\_I_MOMVUIVOMTVLMZ 5M[[\MKPVQS LMZMV 5M[[]VOMVI]QOSMQ\MV UMQ[\ PI\_MLMZ)VNIVOVWKP-VLMLMVVLQM)UXTQ\] ^QMTOZÕ¾MZ[QVL,QM[M UnschärferelationOQT\NÛZ LMaLMZ)][TMVS]VOa\ÃVLMZ\[QKPUQ\LMZBMQ\ ITTM8IIZMXPa[QSITQ[KPMZ/ZÕ¾MVLMZMV8ZWL]S\ \I][LZÛKSTQKPVQKP\,QM;KP_QVO]VO_IZ[KPWV LQMXPa[QSITQ[KPM/ZÕ¾M WirkungMZOQJ\[QKPIT[W LI IT[ LQM ?MT\ OM[KPINNMV _]ZLM ]VL LI]MZ\ QVLMZ-QVPMQ\SOU[UM[[MVTÃ[[\wJMQ[XQMT[ ÛJMZLMVRÛVO[\MVWZ[\MTT]VO[_MT\ LM[ 5MV[KPMV# PÕZMVUQ\UI\PMUI\Q[KPMZ6W\_MVLQOSMQ\JM[WV -TMS\ZWVMV]VL9]IV\MVSMVVMVLQM6I\]ZOM[M\ bM]VLZQKP\MV[QKPVIKPQPVMV,QM6I\]ZQ[\VQKP\ LMZ[[KPUITM;XMS\ZITTQVQMV )]KPLQM5I\MZQM_MTTMLQMMQV-TMS\ZWVZMXZÃ ^MZXãQKP\M\QPZM/M[M\bMLMU0QZVLM[5MV[KPMV [MV\QMZ\JZI]KP\IT[WellenpaketLMZ4ÃVOMΔ`MQ IVb]XI[[MV VMV?MTTMVTÃVOMVJMZMQKPΔλ_MVVLI[-TMS\ZWV a\%a[QVω\

308

1

Kapitel 7 · Optik

In Kürze Licht

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Licht ist eine elektromagnetische Welle. Die Feldstärken stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung; die Welle ist damit transversal und kann mit einem Polarisationsﬁlter linear polarisiert werden. Reﬂexion und Streuung kann polarisationsabhängig sein. m s

Vakuumlichtgeschwindigkeit

K = 3 · 108 4

Wellenlänge

λ = 0,4–0,8 μm

Lichtintensität Die Intensität einer Welle ist die Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Fläche hindurch tritt, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht (Energiestromdichte). Die Intensität nimmt bei einer punktförmigen Lichtquelle mit dem Quadrat des Abstands von der Lichtquelle ab. Für die Strahlungsleistung einer Lampe gibt es physikalische Einheiten (Watt, Watt pro Raumwinkel, Watt pro Quadratmeter) und mit der spektralen Empﬁndlichkeit des Auges bewertete Einheiten (Lumen, Candela, Lux). Quadratisches Abstandsgesetz (punktförmige Quelle)

1~

1: Intensität C?UE Z: Abstand von der Quelle

Absorption Die meisten Substanzen absorbieren Licht, und zwar unterschiedlich stark bei unterschiedlichen Wellenlängen. Diese Wellenlängenabhängigkeit der Absorption ist charakteristisch für die Anregungszustände der in der Substanz enthaltenen Atome. Innerhalb einer absorbierenden Substanz nimmt die Intensität exponentiell mit der Eindringtiefe ab, abhängig von der Konzentration der absorbierenden Atome. Dies wird zur qualitativen und quantitativen chemischen Analyse genutzt (Absorptionsspektroskopie). Absorption

1L%1 Mwμ L

11 12

λ: Wellenlänge CUE

1: IntensitätC?UE 1: einfallende Intensität μ: Absorptionskoefﬁzient CUE L : Eindringtiefe CUE

Brechung

13

In Materie ist die Lichtgeschwindigkeit v reduziert. Darauf ist das Phänomen der Brechung zurückzuführen. Das Verhältnis c/v = n heißt Brechungsindex oder Brechzahl des Materials. Die Brechzahl hängt meistens von der Frequenz bzw. Wellenlänge des Lichtes ab. Dies wird ausgenützt, wenn man mit einem Prisma Licht in seine Farben zerlegt.

14

Brechzahl

V: Brechzahl (Brechungsindex) dimensionslos ^: Lichtgeschwindigkeit im Medium CU[E K: Vakuumlichtgeschwindigkeit

15 Reﬂexionsgesetz

16

Brechungsgesetz

17 18 19 20

Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel

α: Einfallswinkel Medium 1 V: Brechzahl Medium 1 α: Einfallswinkel Medium 2 V: Brechzahl Medium 2

Beim Übergang von einem optisch dünnen Medium (kleine Brechzahl) in ein optisch dichteres Medium (größere Brechzahl) wird ein Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen, im umgekehrten Fall vom Lot weg. Dies beruht darauf, dass die Lichtwelle im optisch dichteren Medium eine niedrigere Geschwindigkeit hat. Dadurch ändert sich nicht ihre Frequenz, wohl aber ihre Wellenlänge, was wiederum zu einer Änderung der Ausbreitungsrichtung führt. Würde beim Übergang von einem dichteren Medium in ein dünneres Medium der Ausfallswinkel größer als 90°, so wird alles einfallende Licht an der Grenzﬂäche reﬂektiert (Totalreﬂexion). Grenzwinkel αOZMVb

αOZMVb: Grenzwinkel der Totalreﬂexion

309

7.6 · Elektronenoptik

7

Linse Sammellinsen können ein reelles Bild eines Gegenstands auf einen Schirm werfen. Wenn bei einer Sammellinse die Gegenstandweite kleiner ist als die Brennweite (Lupe) – und immer bei Zerstreuungslinsen – ergibt sich kein reelles, sondern nur ein durch die Linse hindurch sichtbares virtuelles Bild. Brennweite: Abstand des Punktes hinter der Linse, in dem sich Strahlen, die vor der Linse parallel laufen, treffen (Sammellinse, . Abb. 7.34)

N: Brennweite CUE

Brechwert

, positiv: Sammellinse , negativ: Zerstreuungslinse

,: Brechwert

Setzt man mehrere Linsen dicht hintereinander, so addieren sich die Brechkräfte. Dabei ist die Brechkraft von Zerstreuungslinsen negativ zu nehmen Linsengleichung Gilt für das reelle Bild einer dünnen Sammellinse

N: Brennweite CUE I: Gegenstandsweite CUE J: Bildweite CUE

Vergrößerungsfaktor

N7JRMS\Q^ : Objektivbrennweite CUE N7S]TIZ : Okularbrennweite

Vergrößerungsfaktor eines Mikroskops Maximales Auﬂösungsvermögen entspricht der Wellenlänge des verwendeten Lichts. Wellenoptik

Tritt Licht durch einen sehr schmalen Spalt, so geht es dort „um die Ecke“ (Beugung). Beugung ist dafür verantwortlich, dass das Auﬂösungsvermögen eines Lichtmikroskops in der Größenordnung der Lichtwellenlänge liegt. Licht von gleichmäßig dicht nebeneinander liegenden Quellen (z. B. im Beugungsgitter) erzeugt ein Interferenzmuster, das, wenn weißes Licht eingestrahlt wird, immer farbig ist. Beispiele aus dem Alltag sind die Schillerfarben bei einer Compact Disc, bei Vogelfedern und Schmetterlingen. Beugung

Licht, das durch einen hinreichend schmalen Spalt fällt, geht „um die Ecke“.

Interferenz

Wenn sich Licht aus verschiedenen Richtungen überlagert, so entsteht ein Interferenzmuster aus hellen und dunklen Gebieten.

αV: Winkel des Intensitätsmaximums V: Nummer der Ordnung λ: Wellenlänge CUE O: Gitterkonstante CUE(Spaltabstand)

Beugungsgitter Viele Spalten nebeneinander bewirken ein Interferenzmuster mit ausgeprägten, scharfen Intensitätsmaxima unter den Winkeln: Röntgenstrahlen

Auch Röntgenstrahlen sind elektromagnetische Wellen wie Licht, nur mit wesentlich kürzerer Wellenlänge, höherer Frequenz und damit höherer Quantenenergie. Deswegen durchdringen sie biologisches Gewebe, schädigen es aber auch. In der Röntgenröhre werden die Röntgenstrahlen den Beschuss einer Anode mit hochenergetischen Elektronen erzeugt. Typische Beschleunigungsspannungen sind 30–300 kV. Das Spektrum wird geprägt durch die Bremsstrahlung und die charakteristische Strahlung (. Abb. 8.4, 7 Kap. 8.1.4). Maximale Quantenenergie

?9%M=

M: ElementarladungC)[E =: Beschleunigungsspannung (10–500 kV)

310

1 2

Kapitel 7 · Optik

Quanten In manchen Zusammenhängen kann Licht auch als ein Strom von Lichtquanten (Photonen) mit einer Energie WQ = h · f (h: Planck-Wirkungsquantum, f: Frequenz) aufgefasst werden. Atome strahlen Licht mit ganz charakteristischen Quantenenergien ab. Dies wird für Analysezwecke genutzt (Spektralanalyse, Absorptionsspektroskopie). Umgekehrt kann auch ein Teilchen in gewissen Zusammenhängen als Materiewelle betrachtet werden (Welle-Teilchen-Dualismus).

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Verständnisfragen

(• leicht; •• mittel; ••• schwer)

• 4. Wenn Sie Ihr Spiegelbild in einer Weihnachtsbaumkugel betrachten, sehen Sie dann ein reelles oder ein virtuelles Bild? • 5. Sie wollen sich selbst im Spiegel photographieren. Der Spiegel ist 1,5 m vor Ihnen. Auf welchen Abstand müssen Sie fokussieren? • 6. Ein Brillenglas hat eine Brennweite von 50 cm. Wie groß ist sein Brechwert? • 7. Für welche Bildweite ist das von einer dünnen Linse erzeugte reelle Bild genau so groß wie der Gegenstand? • 8. Ist das Zwischenbild in einem Lichtmikroskop reell oder virtuell? • 9. Wie verändert sich die Vergrößerung eines Mikroskops, wenn die Brennweite des Objektivs verkleinert wird? •• 10. Ein Photograph will einen 22 m hohen Baum aus einer Entfernung von 50 m photographieren. Welche Brennweite muss er für sein Objektiv wählen, damit das Bild vom Baum gerade den 24 mm hohen Film ausfüllt? •• 11. Wenn ein Teleobjektiv mit 135 mm Brennweite Objekte zwischen 1,5 m und ∞ scharf abbilden soll, über welche Stecke muss es dann relativ zur Filmebene verfahrbar sein? •• 12. Konstruiere (am besten auf Millimeterpapier) für eine Sammellinse mit N%UU den Bildpunkt 8s zu einem Gegenstandspunkt 8, der 6 cm vor der Hauptebene und 2,5 cm neben der optischen Achse liegt. Konstruiere für die gleiche Linse den Bildpunkt eines Parallelbündels, dessen Zentralstrahl durch einen Punkt 6 cm vor der Hauptebene und 2 cm unter der optischen Achse läuft. •• 13. Wie weit sind Objekt und reelles Bild auseinander, wenn die abbildende Linse eine Brennweise von 75 cm hat und das Bild um den Faktor 2,75 vergrößert ist? •• 14. Welche Brennweite hat eine Lupe mit der Aufschrift „8×“?

Geometrische Optik

Strahlungsmessgrößen

• 1. Der Glaskörper des menschlichen Augen hat die Brechzahl 1,34. Welcher Grenzwinkel der Totalreﬂexion gegenüber Luft (n ≈ ) gehört dazu? • 2. Ein Lichtstrahl tritt von einem optisch dünneren Medium in ein optisch dichteres. Ändert sich seine Wellenlänge und wenn ja, wie? •• 3. Ein Lichtstrahl trifft aus Luft auf eine Glasoberﬂäche (n = ) und wird teilweise reﬂektiert und teilweise gebrochen. Der Reﬂexionswinkel ist doppelt so groß wie der Winkel des gebrochen Strahls. Wie groß ist der Einfallswinkel?

• 15. In welchen Raumwinkel strahlt die Sonne? • 16. Zu welcher Strahlungsmessgröße gehört die Solarkonstante (7 Kap. 5.5.5)? •• 17. Welche Leistung strahlt die Sonne in Form elektromagnetischer Wellen ab? (Sie strahlt außerdem noch Teilchenströme ab.)

1. Was wäre die Farbe des Himmels, wenn die Erde keine Atmosphäre hätte? 2. Welche Werte einer Lichtwelle ändern sich, wenn sie von Luft in Glas eintritt, welche nicht? 3. Warum kann man einen Tropfen Wasser auf dem Tisch sehen, obwohl Wasser transparent und farblos ist? 4. Könnte man aus Eis eine Linse formen, die durch das Fokussieren von Sonnenlicht ein Feuer entfacht? 5. Warum sieht ein Schwimmer alles nur ganz verschwommen, wenn er unter Wasser die Augen aufmacht? 6. Die Linse in einem Overhead-Projektor bildet ein Bild auf einer Folie auf einer Projektionsleinwand ab. Wie muss die Linse verschoben werden, wenn die Leinwand näher zum Projektor gerückt wird? 7. Mit Laserlicht wird das Beugungsmuster eines Spaltes auf einen Schirm geworfen. Wenn das Beugungsmuster entlang einer senkrechten Linie verläuft, wie liegt dann der Spalt? 8. Warum kann man Interferenzexperimente viel besser mit einem Laser durchführen als mit Glühlampen? 9. Warum können Sie jemanden, der hinter einer Hausecke steht, zwar hören, aber nicht sehen? 10. Licht welcher Farbe liefert bei einem vorgegebenen Linsendurchmesser die beste Auﬂösung bei einem Mikroskop? 11. Warum verwenden moderne astronomische Teleskope nur noch Hohlspiegel und keine Linsen?

14 15 16 17 18 19 20

Abbildung mit Linsen

Übungsaufgaben

Wellenoptik • 18. Welche Auﬂösung hat ein normales Lichtmikroskop bestenfalls?

Übungsaufgaben

• 19. Eine elektromagnetische Mikrowelle habe eine Wellenlänge von 3 cm. Was ist ihre Frequenz? •• 20. Einfarbiges Licht fällt auf einen Doppelspalt, bei dem die Spalte 0,04 mm Abstand haben. Auf einem 5 m entfernten Schirm sind die Interferenzmaxima 5,5 cm auseinander. Welche Wellenlänge und welche Frequenz hat das Licht? •• 21. Ein Lehrer steht ein Stück hinter einer 80 cm breiten Tür nach draußen und bläst in seine Trillerpfeife, die einen Ton von etwa 750 Hz aussendet. Wenn wir annehmen, dass draußen auf dem Schulhof nichts reﬂektiert, unter welchem Winkel wird man die Trillerpfeife kaum hören? •• 22. Die Flügel eines tropischen Falters schillern in wunderschönem Blau, wenn man sie unter etwa 50° zur Senkrechten betrachtet. Dieser Farbeindruck entsteht, weil die Flügeloberﬂäche ein Reﬂexionsbeugungsgitter darstellt. Wenn wir annehmen, dass das gebeugte Licht senkrecht auf den Flügel eingefallen ist, welche Gitterkonstante hat das Beugungsgitter auf dem Flügel in etwa?

Absorption • 23. Wenn ein Grauﬁlter nur 50% des einfallenden Lichtes durchlässt, um welchen Faktor schwächen dann 4 solche Filter hintereinander das Licht ab? • 24. Der Schwächungskoefﬁzient von Blei für eine γ-Strahlung sei 1 cm–1. Wie groß ist die Halbwertsdicke von Blei?

Röntgenstrahlen • 25. Welche Anodenspannung einer Röntgenröhre ist in medizinischen Anwendungen typisch? • 26. Die Anodenspannung einer Röntgenröhre wird verdoppelt. Wie ändert sich die maximale Quantenenergie der Strahlung? • 27. Eine Röntgenröhre beim Arzt werde mit 150 kV Anodenspannung und 20 mA Elektronenstrom betrieben. a) Wie groß ist die höchste Quantenenergie im Bremsspektrum? b) Welche Leistung wird in der Röhre umgesetzt? c) In welcher Größenordnung liegt die Strahlungsleistung der erzeugten Röntgenstrahlen?

311

7

313

Atom- und Kernphysik 8.1

Aufbau des Atoms

8.1.1

– 314 Das Bohr’sche Atommodell ! – 314

8.1.2

Elektronenwolken

8.1.3

Das Pauli-Prinzip

8.1.4

Charakteristische Röntgenstrahlung

8.2

Aufbau des Atomkerns

8.2.1

Kernspinresonanztomographie

8.2.2

Nukleonen und Nuklide ! ! – 319

8.2.3

Der Massendefekt

8.2.4

Radioaktivität ! ! – 321

8.2.5

Nachweis radioaktiver Strahlung

8.2.6

Zerfallsgesetz ! ! – 326

8.2.7

Kernspaltung und künstliche Radioaktivität

8.2.8

Antimaterie !

– 315 – 316 – 317

– 317 – 317

– 320 – 323

– 329

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6_8, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

– 328

8

314

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

> > Einleitung Materie besteht aus Molekülen, ein Molekül aus Atomen, ein Atom aus Kern und Hülle, die Hülle aus Elektronen und der Kern aus Nukleonen, aus Protonen und Neutronen nämlich. An chemischen Reaktionen sind nur die Hüllenelektronen beteiligt. Die (positive) Kernladung bestimmt aber, wie viele Elektronen in die Hülle gehören, und damit auch, zu welchem chemischen Element das Atom gehört. Bei Kernreaktionen wird pro Atom sehr viel mehr Energie umgesetzt als bei chemischen Reaktionen. Kernumwandlungen erfolgen vor allem beim radioaktivem Zerfall und emittieren dann ionisierende Strahlung.

Merke Im Atom ist die Masse auf den kleinen Atomkern konzentriert, während der Durchmesser von der lockeren Elektronenhülle bestimmt wird.

-TMS\ZWVMV[QVLVMOI\Q^MTMS\ZQ[KPOMTILMV6IKP I]¾MVMZ[KPMQV\MQV)\WUMTMS\ZQ[KPVM]\ZIT,I[ Q[\V]ZUÕOTQKP_MVVLMZ3MZVMJMV[W^QMTMXW [Q\Q^M -TMUMV\IZTIL]VOMV JM[Q\b\ _QM LQM 0ÛT TM-TMS\ZWVMV1VLMZWZ[\MTT]VOMV LMZ STI[[Q[KPMV 8Pa[QS kern\ZQNN\_QZLM[IJOMTMVS\,I[OM[KPQMP\[MT\MV UÛ[[\M NZMQTQKP MQV I]N MQVMZ Bohr-Bahn ]UTI] LMVV LM[[MV ,]ZKPUM[[MZ TQMO\ QV LMZ /ZÕ¾MV NMVLM[-TMS\ZWVMQVM[MQVMZ=UTI]NNZMY]MVbMV\ WZLV]VOwU1PV]UOQJ\MQVMHülleI][-TMS [XZMKPMVLMMTMS\ZWUIOVM\Q[KPM?MTTMIJ[\ZIPTMV# \ZWVMVUQ\MQVMZ/ZÕ¾M^WVKIwU;\MTT\UIV M[_ÛZLM-VMZOQM^MZTQMZMV]VLI]NMQVMZ;XQZIT [QKPLMV3MZVIT[;\MKSVILMTSWXNKIUU^WZ JIPVLWKPQVLMV3MZVPQVMQV[\ÛZbMV?MQTM[LI[ [W PÃ\\M LQM 0ÛTTM MQVMV ,]ZKPUM[[MZ ^WV U WNNMV[QKP\TQKP VQKP\ \]\ PITN M[ *WPZ OIZ VQKP\[" JQ[U,QM5I[[MLMZ-TMS\ZWVMVQ[\STMQVOM -ZU][[\MWPVMVÃPMZM*MOZÛVL]VOXW[\]TQMZMV OMVÛJMZLMZLM[3MZV[#^WVL]ZKPãQMOMVLMV-TMS LI[[LMU-TMS\ZWVTMLQOTQKPMQVQOM[\IJQTM*IPVMV MZTI]J\[QVLI]NLMVMVM[VQKP\[\ZIPT\_ÃPZMVL \ZWVMV_QZLLQM0ÛTTMSI]UJMUMZS\ M[ LQM QPU ^MZJW\MVMV *MZMQKPM LIb_Q[KPMV V]Z QU9]IV\MV[XZ]VOÛJMZY]MZMVLIZN,QMb]MQVMZ *WPZ*IPV OMPÕZMVLM -VMZOQM TÃ[[\ [QKP JMZMKP VMV ;XMS\Z]U ]VL 6Q^MI][KPMUI MQVM[ )\WU[

8.1 · Aufbau des Atoms

. Abb. 8.1. Bohr’sches Atommodell. Maßstabsgerechte Zeichnung der Bohr-Bahnen für das H-Atom; der Kern ist in diesem Maßstab nicht zu erkennen

OM[\I\\MV[WUQ\)][[IOMVÛJMZLQMMZTI]J\MV*IP VMV.ÛZLI[MQVNIKP[\MITTMZ)\WUMLI[LM[?I[ [MZ[\WNN[ B% V]Z MQV -TMS\ZWV QV LMZ 0ÛTTM SWUUMV OIVb ^MZVÛVN\QOM *IPVZILQMV PMZI][ _QM . Abbildung 8.1bMQO\,QMQVVMZ[\M*IPVLM[ /Z]VLb][\IVL[MZPÃT\LMV3MVVJ]KP[\IJMV3LQM OZÕ¾MZMV*IPVMVLMZIVOMZMO\MVB][\ÃVLMNWTOMV ITXPIJM\Q[KP Merke Ein Atomkern besitzt positive Elementarladungen; die Kernladungszahl Z ist zugleich die Ordnungszahl im Periodensystem der chemischen Elemente.

;WZMKP\JMNZQMLQOMVSIVVLI[*WPZs[KPM)\WUUW LMTTNZMQTQKPVQKP\,I[Q[\I]KPSMQV?]VLMZLMVV TQMNMMQV-TMS\ZWV\I\[ÃKPTQKPI]NMQVMZ*WPZ*IPV [W_ÃZMVb]RMLMUBMQ\X]VS\7Z\]VL/M[KP_QV LQOSMQ\1UX]T[]VL-VMZOQMOMUMQV[IUOMVI]MZ JMSIVV\IT[LQM=V[KPÃZNMZMTI\QWVMZTI]J\6QMT[ *WPZSWVV\MLI[VQKP\_Q[[MV)T[MZ[MQV5WLMTT I]N[\MTT\M OQVO ?MZVMZ 0MQ[MVJMZO !w! VWKPb]Z;KP]TM

8.1.2 Elektronenwolken

)T[MTMS\ZQ[KPMi8]VS\TIL]VOt[Q\b\LMZ)\WUSMZV LM[?I[[MZ[\WNN[QUBMV\Z]UMQVM[S]OMT[aUUM \ZQ[KPMV.MTLM[#LQM.MTLTQVQMVTI]NMVZILQITVIKP

315

8

. Abb. 8.2. Materiewellen. Auf einer Kristalloberﬂäche sind Atome in einem Kreis angeordnet. Im Inneren des Kreises sieht man die stehende Materiewelle von Oberﬂächenelektronen. Das verwendete Rastertunnelmikroskop macht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Elektronen und damit auch einzelne Atome sichtbar (D. Eigler, IBM)

I]¾MV LQM 8W\MV\QITãÃKPMV [QVL SWVbMV\ZQ[KPM 3]OMTV ?QM _MQ\ [QKP LI[ 0ÛTTMVMTMS\ZWV MV\ NMZVMVSIVVPÃVO\^WV[MQVMZ-VMZOQMIJ1VLMZ 9]IV\MVXPa[QS_QZLLQM?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\LI[[ [QKPLI[-TMS\ZWVIVMQVMZJM[\QUU\MV;\MTTMJM âVLM\L]ZKPMQVM?MTTMJM[KPZQMJMV,QM[M5I \MZQM?MTTM _QZL L]ZKP LI[ MTMS\ZQ[KPM .MTL LM[ )\WUSMZV[MQVOM[XMZZ\-[MV\[\MP\LIL]ZKPMQVM [\MPMVLM?MTTMOMVI][W_QMLI[QU7 Kapitel 4.2.4 NÛZ MQVM /MQOMV[IQ\M WLMZ MQVM .TÕ\M JM[XZWKPMV _]ZLM-QV[KPÕVM[*MQ[XQMTNÛZMQVMb_MQLQUMV [QWVITM [\MPMVLM 5I\MZQM_MTTM bMQO\ LQM . Abbildung 8.2-[PIVLMT\[QKP]UMQVM\]VVMTUQSZW[ SWXQ[KPM )]NVIPUM LQM LQZMS\ LQM )]NMV\PIT\[ _IPZ[KPMQVTQKPSMQ\^WV-TMS\ZWVMVI]NLMZ7JMZ ãÃKPM MQVM[ 5M\ITTSZQ[\ITT[ bMQO\ -[ _]ZLM MQV :QVOI][MQVbMTVMV)\WUMVI]NLMZ3ZQ[\ITTWJMZ ãÃKPM IVOMWZLVM\ ]VL QU 1VVMZMV PI\ [QKP MQVM [\MPMVLM -TMS\ZWVMV_MTTM I][OMJQTLM\ ?MVV ;QM QPZMOMNÛTT\M3INNMM\I[[MIU:IVLIV[\W¾MV[MPMV ;QM NÛZ S]ZbM BMQ\ MQVM ÃPVTQKPM [\MPMVLM ?MTTM I]NLMZ3INNMMWJMZãÃKPM ,ZMQLQUMV[QWVITM [\MPMVLM ?MTTMV SÕVVMV VWKP^QMTSWUXTQbQMZ\MZM.WZUMVIVVMPUMV4MQ LMZSÕVVMVLQM[\MPMVLMV5I\MZQM_MTTMVLM[0ÛT TMVMTMS\ZWV[MQVM[)\WU[VQKP\UQ\MQVMU5QSZW [SWX[QKP\JIZOMUIKP\_MZLMVIJMZUIVSIVV[QM JMZMKPVMV]VLIT[_WTSQOM/MJQTLMLIZ[\MTTMV_QM

316

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

\MV" -[ MZTI]J\ QUUMZ V]Z b_MQ -TMS\ZWVMV OM UMQV[IU I]N MQVMZ *WPZ*IPV ]Ub]TI]NMV ]VL SMQVMU_MQ\MZMV

1 2

Merke

3

Pauli-Prinzip: Jede Bohr-Bahn darf von nicht mehr als zwei Hüllenelektronen besetzt werden.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

. Abb. 8.3. Elektronenwolken. Sie kennzeichnen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Hüllenelektrons in verschiedenen angeregten Zuständen

LI[QV . Abbildung 8.3^MZ[]KP\_]ZLM,WZ\_W M[ PMTT Q[\ Q[\ LQM )]NMV\PIT\[_IPZ[KPMQVTQKPSMQ\ NÛZLI[-TMS\ZWVPWKP5IV[XZQKP\^WVMQVMZElektronenwolke2MLM[*QTLbMQO\MQVMV;KPVQ\\L]ZKP LQM[M ?WTSM NÛZ ^MZ[KPQMLMVM -VMZOQMb][\ÃVLM LM[?I[[MZ[\WNNI\WU[ -ZPMTTMVL[QVL[WTKPM*QTLMZV]ZQV/ZMVbMV ,IZ]U[XZQKP\UIVOMZV_MQ\MZ^WV[WIV[KPI] TQKPMV *WPZ*IPVMV WJ_WPT UIV _MQ¾ LI[[ M[ [QMOMVI]OMVWUUMVOIZVQKP\OQJ\,IJMQU][[ UIV LIVV VMJMV LMV 3ZMQ[JIPVMV LMZ . Abbildung 8.1I]KPVWKPMTTQX\Q[KPM*IPVMVUQ\PITJ _MO[ OTMQKPMZ /ZÕ¾M ]VL -VMZOQM b]TI[[MV ,QM 3ZMQ[JIPVMV_MZLMVb]Elektronenschalenb][IU UMVOMNI[[\,QM*]KP[\IJMV456][_JMbMQKP VMVLMZIZ\QOM;KPITMV6]ZLQM3;KPITMU][[[QKP ITTMQVUQ\MQVMZ3ZMQ[JIPVb]NZQMLMVOMJMV

17 18 19 20

8.1.3 Das Pauli-Prinzip

,I[MQV[IUM0ÛTTMVMTMS\ZWVLM[?I[[MZ[\WNN[LIZN [QKPI]NRMLM*WPZ*IPV[MQVM[)\WU[[M\bMV[W NMZV M[ [QKP LQM LIb] VÕ\QOM -VMZOQM JM[KPINNMV SIVV ;WJITL [QKP IJMZ LMZ 3MZVTIL]VO[bIPT B MV\[XZMKPMVLUMPZMZM-TMS\ZWVMVQVMQVMZ0ÛTTM ^MZ[IUUMTV UÛ[[MV [QM LI[ Pauli-Prinzip JMIKP

-QVM 3;KPITM JM[Q\b\ V]Z MQVM MQVbQOM *IPV LQM 3ZMQ[JIPV ;QM PI\ IT[W V]Z NÛZ b_MQ -TMS\ZWVMV 8TI\b ,I[ OMVÛO\ LMU ?I[[MZ[\WNN B% ]VL LMU0MTQ]UB%,I[VÃKP[\M-TMUMV\QU8M ZQWLMV[a[\MULI[4Q\PQ]UU][[[MQVLZQ\\M[-TMS \ZWVJMZMQ\[QVLQM4;KPITM[M\bMV,QM[MNI[[\UQ\ 3ZMQ[]VL-TTQX[MVJIPVMVb][IUUMV -TMS\ZW VMVZMQKP\IT[WJQ[b]U6MWVUQ\B%6I\ZQ ]UB%JZI]KP\JMZMQ\[MQVMV8TI\bQVLMZ5 ;KPITM,IZÛJMZ_QZLM[SWUXTQbQMZ\MZB]_MQTMV [M\b\ [QKP MQV VM]M[ -TMS\ZWV i^WZbMQ\QOt QV MQVM PÕPMZM ;KPITM ]VL LQM QVVMZM _QZL MZ[\ JMQ -TM UMV\MV UQ\ OZÕ¾MZMZ )\WUV]UUMZ I]NOMNÛTT\ +PMUQ[KP bMQO\ [QKP MQVM ;a[\MUI\QS" )TTM -TM UMV\M LMZMV -TMS\ZWVMV MQVM ;KPITM ^WTT JM[M\ bMVMQVM;KPITMiIJ[KPTQM¾MVt[QVLZMIS\QWV[]V _QTTQOM Edelgase#QPZM6IKPJIZVb]JMQLMV;MQ\MV MV\_QKSMTV LMUOMOMVÛJMZ JM[WVLMZM KPMUQ[KPM )OOZM[[Q^Q\Ã\-TMUMV\MLMVMVV]ZVWKPMQV-TMS \ZWVb]ZIJOM[KPTW[[MVMV;KPITMNMPT\[QVL Halogene.,QMRMVQOMVLQMMQV-TMS\ZWVb]^QMTJM[Q\bMV [QVLAlkalimetalle,QMMZ[\MVJQTLMVOMZVVMOI\Q^M 1WVMVLQMb_MQ\MVOMZVXW[Q\Q^MLMVVLIVV[QVL QPZM-TMS\ZWVMV[KPITMVIJOM[KPTW[[MV,QMKPMUQ [KPM6I\]ZMQVM[-TMUMV\[PÃVO\_MQ\OMPMVL^WV [MQVMUÃ]¾MZ[\MV-TMS\ZWVIJ#M[_QZLLeuchtelektronOMVIVV\_MQTM[I]KPNÛZLI[WX\Q[KPM4QVQMV [XMS\Z]U LM[ )\WU[ b][\ÃVLQO Q[\ ,QM QVVMZMV -TMS\ZWVMVPIJMVRISMQVMNZMQMV*IPVMVQVQPZMZ 6ÃPM QV LQM [QM UQ\ LMV 9]IV\MVMVMZOQMV LM[ ;XMS\Z]U[PQVMQV[XZQVOMVSÕVV\MV Merke Bohr’sches Atommodell und Pauli-Prinzip machen nicht nur die Atomspektren, sondern auch das Periodensystem der chemischen Elemente verständlich.

317

8.2 · Aufbau des Atomkerns

8

8.1.4 Charakteristische Röntgenstrahlung

,I[ 6Q^MI][KPMUI MQVM[ )\WU[ _QZL ÛJTQKPMZ _MQ[MV]ZNÛZLI[4M]KP\MTMS\ZWVOMbMQKPVM\)TTM IVLMZMV-TMS\ZWVMVPIJMVÛJMZ[QKPV]ZJM[M\b\M *IPVMV]VLSÕVVMVLM[PITJQPZM8TÃ\bMV]ZUQ\ ZMTI\Q^PWPMU-VMZOQMI]N_IVL^MZTI[[MV1UUMZ PQVJZQVO\LI[NZMQM-TMS\ZWVLI[QVLMZ:ÕV\OMV ZÕPZMI]NLQM)VWLMb]RIO\OMV]O-VMZOQMUQ\]U I]KP MQVUIT MQVMV )Z\OMVW[[MV I][ LMZ 3;KPI TMMQVM[)VWLMVI\WU[PMZI][b][KPTIOMV,M[[MV 8TI\b JTMQJ\ IJMZ VQKP\ TIVOM NZMQ b* SIVV MQV -TMS\ZWVI][LMZ4;KPITMVIKPZÛKSMV,IJMQ_QZL LIVVMQVMVMZOQMZMQKPM[9]IV\I][LMU;XMS\ZIT OMJQM\ LMZ :ÕV\OMV[\ZIPTMV MUQ\\QMZ\ M[ OMPÕZ\ b]Z Kα-Linie LM[ )\WU[ . Abb. 8.4 ,MU SWV\Q V]QMZTQKPMV *ZMU[[XMS\Z]U LMZ :ÕV\OMVZÕPZM ÛJMZTIOMZ\[QKPLI[4QVQMV[XMS\Z]ULMZ charakteristischen StrahlungKPIZIS\MZQ[\Q[KPNÛZLI[5I\M ZQITIU7Z\LM[*ZMVVãMKS[,QM9]IV\MVMVMZOQMV LMZ4QVQMV_IKP[MVVIPMb]XZWXWZ\QWVITUQ\LMU 9]ILZI\LMZ3MZVTIL]VO[bIPT *M[WVLMZM*MLM]\]VOPI\LI[4QVQMV[XMS\Z]U NÛZ LQM Röntgenstrukturanalyse <MKPVQ[KP Q[\ M[ VQKP\OIVbMQVNIKP*M]O]VO[OQ\\MZNÛZLI[:ÕV\ OMVOMJQM\ PMZb][\MTTMV# LQM S]ZbMV ?MTTMV ^MZ TIVOMVIZO[KPUITM;\Z]S\]ZMV,QM6I\]ZTQMNMZ\ IJMZ ^WV [QKP I][ XI[[MVLM 7JRMS\M" ,QM /Q\\MZ SWV[\IV\MVLMZ3ZQ[\ITTMTQMOMVOMZILMQVLMZZQKP \QOMV/ZÕ¾MVWZLV]VO.ZMQTQKPQ[\M[VQKP\TMQKP\ LQM*M]O]VO[âO]ZMQVM[b]VÃKP[\RI]VJMSIVV\MV LZMQLQUMV[QWVITMV :I]UOQ\\MZ[ ZQKP\QO b] QV\MZ XZM\QMZMV,IJMQSIVVUIV[WOIZ)][[IOMVÛJMZ LQM;\Z]S\]ZLMZ/Q\\MZJI][\MQVMOM_QVVMV[MTJ[\

. Abb. 8.4. Emission der Kα-Linie im Bohr’schen Atommodell

. Abb. 8.5. Bremsspektrum mit überlagerter charakteristischer Strahlung. Der Abfall zu kleinen Quantenenergien wird durch Aluminiumﬁlter hervorgerufen; obere Kurve: Filterdicke 1 mm; untere Kurve: 2 mm

_MVVLQM[WSWUXTQbQMZ\OMJI]\[QVL_QMLI[5W TMSÛTLM[1V[]TQV[)]KPLQM,WXXMTPMTQ`LMZ,M[ W`aZQJWV]STMQV[Ã]ZM ,6) LMZ
8.2

Aufbau des Atomkerns

8.2.1 Kernspinresonanztomographie

5Q\LMZVÕ\QOMV>WZ[QKP\LIZNUIVVQKP\V]ZLI[ *WPZs[KPM )\WUUWLMTT JMV]\bMV [WVLMZV I]KP LMV )\WUSMZV NÛZ MQVM STMQVM ZW\QMZMVLM 3]OMT PIT\MV ,IVS [MQVMZ 5I[[M JM[Q\b\ MZ LIVV MQVMV ,ZMPQUX]T[]VLLIVS[MQVMZ4IL]VOMQVUIOVM \Q[KPM[5WUMV\wMQVMZW\QMZMVLMMTMS\ZQ[KPM4I L]VOMV\[XZQKP\MQVMU3ZMQ[[\ZWUJQTLM\IT[WMQ VMVSTMQVMV5IOVM\MV/MZÃ\MQV[WTKPMZ3MZVQV MQVÃ]¾MZM[UIOVM\Q[KPM[.MTL[WUÕKP\MMZ[MQV 5WUMV\ b]Z .MTLZQKP\]VO XIZITTMT [\MTTMV ,IZ IVPQVLMZ\QPVIJMZ[MQV,ZMPQUX]T[?ÃZMMZMQV UISZW[SWXQ[KPMZ3ZMQ[MT[WJMOÃVVMMZMQVM Präzession"-ZTQM¾M[MQVM,ZMPIKP[MI]NMQVMU3MOMT ZW\QMZMV LM[[MV )KP[M b]U 5IOVM\NMTL XIZITTMT TÃOM. Abb. 8.6,QM,ZMPNZMY]MVbPräzessionsfrequenz PQVOM ^WV LMZ .MTL[\ÃZSM IJ ^WU 3M OMT_QVSMT^WUUIOVM\Q[KPMV5WUMV\]VL^WU ,ZMPQUX]T[ 4MO\M UIV RM\b\ MQV UIOVM\Q[KPM[ ?MKP[MTNMTL Y]MZ b]U SWV[\IV\MV 0I]X\NMTL [W SÃUMM[QUUMZLIVVb]MQVMZResonanzabsorption

318

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 8.6. Präzession eines makroskopischen Kreisels

_MVV LQM ?MKP[MTNZMY]MVb UQ\ LMZ 8ZÃbM[[QWV[ NZMY]MVbÛJMZMQV[\QUU\M ,QM3WVR]VS\Q^MQUTM\b\MV)J[I\b[WTTMVLI ZIVMZQVVMZVLI[[LQM:MOMTVNÛZMQVMVUISZW[ SWXQ[KPMV3ZMQ[MTQVLMVV]V[KPWV[]JI\WUIZMV ,QUMV[QWVMVLM[)\WUSMZV[UWLQâbQMZ\_MZLMV UÛ[[MV )TTM _M[MV\TQKPMV /ZÕ¾MV [QVL PQMZ gequanteltSÕVVMVIT[WV]Z_MVQOMLQ[SZM\M?MZ\M IVVMPUMV,I[OQT\NÛZLMV,ZMPQUX]T[]VLLI[ UIOVM\Q[KPM 5WUMV\ _QM I]KP NÛZ LQM £Y]Q^I TMV\M ^WV 3MOMT_QVSMT ]VL 8ZÃbM[[QWV[NZMY]MVb B] MQVMZ :M[WVIVbIJ[WZX\QWV SWUU\ M[ IJMZ _QZSTQKP ,QM b]OMPÕZQOMV 9]IV\MVMVMZOQMV TQM OMV QU *MZMQKP LMZ 6IKPZQKP\MV\MKPVQSMZV OM TÃ]âOMV 5QSZW_MTTMV ;QM PÃVOMV ^WV LMZ ;\ÃZ SMLM[[\I\QWVÃZMV5IOVM\NMTLM[IJ]VL^WZITTMU ^WVLMV-QOMV[KPIN\MVLM[JM\ZWNNMVMV3MZV[,QM 3MZV[XQVZM[WVIVb MZTI]J\ IT[W OIVb JM[\QUU\M 3MZVMb]MZSMVVMV5MLQbQVQ[KPJM[WVLMZ[QV\MZ M[[IV\Q[\PQMZLMZ?I[[MZ[\WNN ,I[[ LMZ 5MV[KP ?I[[MZ[\WNNSMZVM QV OZW ¾MZ)VbIPTMV\PÃT\_MQ¾UIVITTMZLQVO[[W_QM[W -[OMP\]ULMZMVZÃ]UTQKPM>MZ\MQT]VOLQMJMQ [XQMT[_MQ[M QU <]UWZ MQVM IVLMZM Q[\ IT[ QU OM []VLMV /M_MJM LZ]U PMZ]U ,MU SIVV UIV ÛJMZ LQM 3MZV[XQVZM[WVIVb UQ\ MQVMZ NZMQTQKP bQMUTQKPSWUXTQbQMZ\MV;\M]MZ]VOLM[5IOVM\NMT LM[ JMQSWUUMV B]VÃKP[\ TMO\ UIV LMV 8I\QMV \MVLMZ4ÃVOMVIKPQVMQVPWPM[SWV[\IV\M[]VL PWUWOMVM[ 0I]X\NMTL ,QM[MU _QZL MQV XIZITTM TM[.MTLÛJMZTIOMZ\ LI[QV[MQVMZ:QKP\]VOMQVMV /ZILQMV\MVJM[Q\b\,IL]ZKPSIVVM[QU8I\QMV\MV V]ZVWKPQVMQVMZ-JMVMY]MZb]U.MTLb]:M[W

VIVbMVSWUUMV_MVVLQM.ZMY]MVbLMZ5QSZW _MTTMV NM[\ ]VL ]V^MZÃVLMZTQKP MQVOM[\MTT\ _QZL ,]ZKP;\M]MZ]VOLM[B][I\bNMTLM[SIVVUIVLQM -JMVM ^MZ[KPQMJMV WPVM 8I\QMV\ WLMZ 5I[KPQ VMJM_MOMV b] UÛ[[MV 5Q\ MQVMU LZQ\\MV Y]MZ OM[\MTT\MV .MTL XQKS\ UIV V]V I][ LMZ -JMVM MQ VMV[KPUITMV*ITSMVPMZI][LMZ[QKP[MQVMZ[MQ\[ L]ZKPZMQVM;\M]MZ]VOLM[.MTLM[^MZ[KPQMJMV]VL I]KPLZMPMVTÃ[[\-QV+WUX]\MZ[KPQMJ\RM\b\LMV *ITSMVQVb_MQ^MZ[KPQMLMVM7ZQMV\QMZ]VOMVÛJMZ LQM 8I\QMV\MVMJMVM [XMQKPMZ\ LQM ;\ÃZSM LMZ :M [WVIVb[QOVITM b][IUUMV UQ\ LMV ;\M]MZ[QOVI TMVLMZ.MTLMZ]VL[M\b\LIZI][MQV*QTLLMZ ProtonenverteilungQVLMZ]V\MZ[]KP\MV8I\QMV\MVMJM VMb][IUUMVw_QM[QKPQUVÃKP[\MV3IXQ\MTPM ZI][[\MTTMV_QZL[QVLLQM)\WUSMZVMLM[VWZUI TMV?I[[MZ[\WNN[8ZW\WVMV . Abbildung 8.7bMQO\ MQVM[WTKPM)]NVIPUMLMZ äKernspinresonanztomographie,I[?WZ\Q[\]VPIVLTQKPLIZ]UZMLM\ UIVTQMJMZ^WVNMR-Tomographie65:"6]KTMIZ 5IOVM\QK:M[WVIVKM,QM)JJQTL]VObMQO\MQVMV [MVSZMKP\MV;KPVQ\\L]ZKPLMV3WXNIVLMZ8W[Q \QWVMQVM[)]OM[,]ZKPMQV[XMbQMTTM[>MZNIPZMV Q[\PQMZLQM?I[[MZSWVbMV\ZI\QWVPMZ^WZOMPWJMV _WL]ZKP LQM ;\Z]S\]Z LM[ )]OM[ [KPÕV [QKP\JIZ _QZL" LQM ZMTI\Q^ _MVQO _I[[MZPIT\QOM )]OMVTQV[M PMJ\[QKPL]VSMTOMOMVLQM)]OMVãÛ[[QOSMQ\IJ

. Abb. 8.7. Kernspinresonanztomogramm. Schnitt durch Kopf und Auge des Autors. Die Augenﬂüssigkeit (Wasser) tritt hell hervor

319

8.2 · Aufbau des Atomkerns

8

,QM BMQKPMV[KPÃZNM LMZ 65:*QTLMZ _ÃKP[\ UQ\ LMZ ;\MQTPMQ\ LMZ /ZILQMV\MV QU 5IOVM\NMTL ,WZ\_MZLMVQVRMLMUJM_MO\MV4MQ\MZMTMS\ZQ[KPM ;XIVV]VOMV QVL]bQMZ\ b] LMVMV MV\[XZMKPMVL LMZ4MQ\NÃPQOSMQ\I]KP;\ZÕUMOMPÕZMV,MZ8I\Q MV\Q[\MQV-TMS\ZWTa\)]KP_MVVMZ[QKP_ÃPZMVL LMZ<WUWOZIXPQMVQKP\JM_MOMVLIZNw0MZb]VL *T]\[\ZWUTI[[MV[QKPVQKP\[\QTTTMOMV ,QM 3MZV[XQVZM[WVIVb Q[\ I]KP MQV _QKP\QOM[ 0QTN[UQ\\MTLMZKPMUQ[KPMV)VITa[MLILI[;QOVIT I]KP M\_I[ ^WU KPMUQ[KPMV *QVL]VO[b][\IVL IJPÃVO\ -QVM ^MZ_IVL\M ;XQMTIZ\ UIOVM\Q[KPMZ :M[WVIVbQ[\LQMElektronenspinresonanzESRLQM LI[ OTMQKPM ;XQMT UQ\ LMV 0ÛTTMVMTMS\ZWVMV LMZ )\WUM\ZMQJ\]VLLIPMZVI\ÛZTQKPI]KP[MPZMUX âVLTQKP I]N LQM +PMUQM Q[\ ;QM MQOVM\ [QKP b]U *MQ[XQMTb]Z=V\MZ[]KP]VO^WV5M\ITTSWUXTM`MV QVLMZ4MJMV[UQ\\MTKPMUQM

TWUJ3ZIN\ QPZMZ XW[Q\Q^MV -TMUMV\IZTIL]VOMV IJ[\W¾MV;QMSÕVVMVQVLMZWVQPVMVOQJ\M[IJMZV]Z \WVMVIJMZ]V\MZ[KPQMLTQKPMZ6M]\ZWVMVIVbIPT b_MQ ;WZ\MV" LQM XW[Q\Q^ OMTILMVMV Protonen ]VL ?QMSWUU\M[LIb]' LQM]VOMTILMVMVNeutronen1PZM5I[[MV[QVLVI Merke PMb]OTMQKP?MVVUIV[QKPUQ\,MbQUIT[\MTTMV JMOVÛO\LIZNUIV[KPZMQJMV" Kenngrößen des Nuklids: UX≈UV≈wSO )T[ UISZW[SWXQ[KPM -QVPMQ\ NÛPZ\ LI[ 3QTW OZIUU QV LMZ ?MT\ LMZ )\WUM b] ]VPIVLTQKPMV BMPVMZXW\MVbMV ,M[PITJ LMâVQMZ\ UIV NÛZ LQM [MV*MZMQKPMQVM

5 Z = Protonenanzahl, Kernladungszahl, Ordnungszahl 5 N = Neutronenanzahl 5 )%B6 = Massenzahl Schreibweise: ; @: Kürzel des Elements, z. B.:

atomare Masseneinheit]%wSO

,QM IVbQMPMVLM 3MZVSZIN\ b_Q[KPMV b_MQ 8ZW \WVMVZMQKP\VQKP\I][LQMIJ[\W¾MVLM+W]TWUJ UX%]]VLUV% ] 3ZIN\ b_Q[KPMV b_MQ XW[Q\Q^MV -TMUMV\IZTIL]V 1UUMZPQV Q[\ LI[ 6M]\ZWV ]U Z]VL 8ZW OMVb] ÛJMZ_QVLMV 5QVLM[\MV[ MQV 6M]\ZWV UQTTM ]VL LIUQ\ NI[\ b_MQ -TMS\ZWVMVUI[[MV U][[ UQ\ [MQVMZ 3MZVSZIN\ PQVb]SWUUMV b_MQ [KP_MZMZ IT[ LI[ 8ZW\WV ,I[ PI\ XPa[QSITQ[KPM [QVLJM[[MZ-[OQJ\IT[Wb_MQ[\IJQTM1[W\WXMLM[ b_MQ\MV -TMUMV\[ QU 8MZQWLMV[a[\MU LM[ -LMT *MLM]\]VO ,I[PÃ]âO[\MKPMUQ[KPM-TMUMV\Q[\LMZ?I[ OI[M[0MTQ]U" [MZ[\WNN"MQV8ZW\WVQU3MZVMQV-TMS\ZWVQVLMZ UQ\B%6%)% 0ÛTTMSMQV6M]\ZWVB%?QM[W[QVLIVLMZM-TM 0MTQ]U0M 0M ]VLJMSWUU\UQ\QPZ

UMV\M ÛJMZPI]X\ UÕOTQKP' B_MQ WLMZ OIZ UMPZ 8ZW\WVMVQU3MZVUÛ[[MV[QKPLWKPUQ\LMZ+W] 0MTQ]U0M0M

UQ\B%6%)%

320

1 2 3 4

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

0QMZ [QVL LQM OMJZÃ]KPTQKP[\MV ;KPZMQJ_MQ [MV b][IUUMVOM[\MTT\ ,I[ KPMUQ[KPM ;aUJWT [\MP\ NÛZ ITTM 1[W\WXM MQVM[ -TMUMV\[ B] QPZMZ =V\MZ[KPMQL]VO NÛO\ UIV LQM RM_MQTQOM 5I[[MV bIPT)WJMVTQVS[IV,QM3MZVTIL]VO[bIPT]V\MV TQVS[SIVVUIV[QKPOZ]VL[Ã\bTQKP[XIZMVLI[QM RI[KPWVQUKPMUQ[KPMV-TMUMV\b]U)][LZ]KS SWUU\

Rechenbeispiel 8.1: Kernreaktion Merke

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Isotope sind Nuklide mit gleicher Protonenanzahl Z, aber unterschiedlicher Neutronenanzahl und damit Massenzahl.

3Eine gewisse Sonderrolle unter den Isotopen spielen die des Wasserstoffs. Bei einem Kern, der nur aus einem Proton besteht, vergrößert ein hinzukommendes Neutron die Masse gleich um einen Faktor zwei. Dadurch ändern sich zwar nicht die chemischen, wohl aber die physikalischen Eigenschaften so sehr, dass es sich lohnt, dem schweren Wasserstoff einen eigenen Namen und ein eigenes chemisches Symbol zu geben: Deuterium . Der Atomkern heißt Deuteron. Sogar ein überschwerer Wasserstoff mit zwei Neutronen existiert, lebt aber nicht allzu lange. Er bekommt ebenfalls einen eigenen Namen und ein eigenes Symbol: Tritium, , Triton.

)TTMLMVSJIZMV6]STQLMWJ[QMV]VM`Q[\QMZMVWLMZ VQKP\TI[[MV[QKPÛJMZ[QKP\TQKPQVLMZ[WONuklidtafelb][IUUMVNI[[MV,INÛZ_MQ[\UIVRMLMU^WV QPVMVMQVY]ILZI\Q[KPM[3Ã[\KPMVb]]VL[\IXMT\ LQM[M_QM;KP]PSIZ\WV[QU:MOIT1[W\WXMUQ\OTMQ

16

7 Aufgabe. Welcher weitere Kern @ ist an folgender Reaktion beteiligt?

7 Lösung. Auf einen Lithiumkern wird also ein Neutron geschossen. Bei einer Kernreaktion müssen die Gesamtzahlen der Ladung und der Masse erhalten bleiben. Vorher ist die Gesamtmassenzahl 7 und die Ladungszahl 3. Also muss @ die Massenzahl 7 – 3 = 4 und die Ladungszahl 3 – 1 = 2 haben. Das ist ein Heliumkern oder α-Teilchen. Also: Neben Helium entsteht überschwerer Wasserstoff ( , Tritium), der radioaktiv ist.

8.2.3 Der Massendefekt

-[ÛJMZZI[KP\IJMZLQM5I[[MLM[PÃ]âOMZMV0M TQ]U1[W\WX[ TQMO\ UQ\ ] M\_I[ ]V\MZ LMZOMUMQV[IUMV5I[[MLMZ6]STMWVMVLQMM[ JQTLMV5Q\SVIXX [XZQVO\LQM[MZMassendefekt VQKP\ QV[ )]OM IJMZ JMLM]\[IU Q[\ MZ L]ZKPI][ 0QV\MZQPU[\MP\VÃUTQKPLQM.M[\[\MTT]VOLMZ:M TI\Q^Q\Ã\[\PMWZQM 5I[[MU ]VL -VMZOQM ? [MQMV ÃY]Q^ITMV\MV\[XZMKPMVLLMZ/TMQKP]VO ?%UK

17 18 19 20

KPMUBVMJMVMQVIVLMZOTMQKPM6M]\ZWVMVIVbIP TMV6ÛJMZMQVIVLMZ/TMQKPM6]STMWVMVIVbIPTMV )TQMOMVLIVVQV,QIOWVITMV^WVWJMVTQVS[VIKP ]V\MVZMKP\[,MV*MZMQKPLMZTMQKP\M[\MV-TMUMV \MJQ[B%*MZaTTQ]UbMQO\. Abbildung 8.8)J _MQKPMVL ^WV LMZ 6WZU Q[\ PQMZ LI[
. Abb. 8.8. Unteres Ende der Nuklidtafel; volle Kreise symbolisieren Protonen, offene Neutronen

,QM4QKP\OM[KP_QVLQOSMQ\KQ[\OZW¾QPZ9]I LZI\MZ[\ZMKP\,MUVIKP_QMO\-VMZOQMVQKP\^QMT =UOMSMPZ\ ZMXZÃ[MV\QMZ\ MQV /ZIUU QZOMVL_MT KPMZ5I\MZQMJMZMQ\[ !!/2WLMZ3QTW_I\\ [\]VLMV =U MQVMV 3MZV LM[ 0MTQ]U QV [MQ VM6]STMWVMV b] bMZTMOMV U][[ UIV QPU [MQ VMV5I[[MVLMNMS\ b]ZÛKSOMJMV LP 5M> -VMZOQMb]NÛPZMVQUUMZPQV 5M>XZW6]STM WV;QM_]ZLMVb]^WZIT[BindungsenergieIJOMOM JMV,QM[MNÛZLQM;\IJQTQ\Ã\MQVM[6]STQL[_QKP\Q

321

8.2 · Aufbau des Atomkerns

OM/ZÕ¾MSIVVUIVIT[WOM_Q[[MZUI¾MViUQ\LMZ ?IIOMt JM[\QUUMV *MQ KPMUQ[KPMV :MIS\QWVMV OQT\ OZ]VL[Ã\bTQKP LI[[MTJM 6]Z TQMOMV PQMZ LQM NZMQ_MZLMVLMV*QVL]VO[MVMZOQMVV]ZQU*MZMQKP MQVQOMZM>XZW5WTMSÛT,MZb]OMPÕZQOM5I[[MV LMNMS\ Q[\ I]KP NÛZ LQM JM[\M )VITa[MV_IIOM ^QMT b] STMQV 1V[WNMZV PIJMV LQM +PMUQSMZ ZMKP\ _MVV[QMJMPI]X\MVJMQQPZMV:MIS\QWVMVJTQMJMV LQM5I[[MVLMZJM\MQTQO\MV8IZ\VMZMZPIT\MV >WU 5I[[MVLMNMS\ LM[ 0M iTMJ\t LQM -Z LMQPZM.TWZI]VL.I]VI[WOIZQU]VUQ\\MTJIZMV ;QVV LM[ ?WZ\M[ LMZ 5MV[KP VQKP\ I][OMVWU UMV ;MQ\ Z]VL 5QTTQIZLMV 2IPZMV i^MZJZMVV\t LQM;WVVM?I[[MZ[\WNNb]0MTQ]U]VL[\ZIPT\LQM LIJMQL]ZKP5I[[MVLMNMS\NZMQ_MZLMVLM-VMZOQM QVLMV?MT\MVZI]UPQVI][,I[_QZL^MZU]\TQKP VWKPMQVUIT!2IPZM[W_MQ\MZOMPMVJQ[[QKP LQM;WVVM[\MZJMVLb]UiZW\MV:QM[MVtI]NJTÃP\ ÛJMZLQM-ZLJIPVPQVI][

8.2.4 Radioaktivität

8

. Abb. 8.9. Nuklidtafel. Die dicken Punkte markieren die stabilen Nuklide („stabile Rinne“), die feinen Punkte markieren das leichteste und das schwerste bekannte Isotop des jeweiligen Elements. Weiter außen liegende Nuklide sind so kurzlebig, dass sie sich nicht nachweisen lassen

!!

1V MQVMU [\IJQTMV )\WUSMZV UÛ[[MV 3MZV ]VL +W]TWUJ3ZÃN\MQVMQVMUI][OM_WOMVMV>MZPÃT\ VQ[ b]MQVIVLMZ [\MPMV >QMT ;XQMTZI]U TÃ[[\ LQM 6I\]ZQPVMVVQKP\"1VLMZ6]STQL\INMT. Abb. 8.9 JM[M\bMV[QMV]ZMQVMZMKP\[KPUITM stabile Rinne 4MQKP\MZM3MZVMJMVÕ\QOMV]VOMNÃPZMQV6M]\ZWV XZW8ZW\WV[KP_MZMZMIJMZUQ\_IKP[MVLMUBMQ VMV QUUMZ OZÕ¾MZMV 6M]\ZWVMVÛJMZ[KP][[ ,QM [\IJQTM :QVVM JMOQVV\ ]V\MV TQVS[ ]V\MZ ]VL _QZL VIKP WJMV QUUMZ ãIKPMZ ]VL MVLM\ JMQU TM\b\MV[\IJQTMV6]STQLLMU?Q[U]\!UQ\ 8ZW\WVMV]VL6M]\ZWVMV. Abb. 8.9*MâV LM\[QKPLMZ)\WUSMZVI]¾MZPITJLQM[MZ[\IJQTMV :QVVM [W ^MZ[]KP\ MZ NZÛPMZ WLMZ [XÃ\MZ L]ZKP )J[XIT\MV^WV<MQTKPMVLI[>MZPÃT\VQ[^WV8ZW\W VMVbIPTb]6M]\ZWVMVbIPTQVLMV[\IJQTMV*MZMQKP b]UIVÕ^ZQMZMV,IVVQ[\LI[)\WUradioaktiv . Abbildung 8.10bMQO\_MTKPM5ÕOTQKPSMQ\MV MQV)\WUSMZVQU8ZQVbQXPI\" 5 α-Zerfall. =U LQM [\IJQTM :QVVM b] MZZMQKPMV UÛ[[MV LQM [KP_MZMV -TMUMV\M RMV[MQ\[ LM[ ?Q[U]\ LQM ITTM ZILQWIS\Q^ [QVL ^WZ ITTMU 6]STMWVMVTW[_MZLMV",Ib][\W¾MV[QMMQVMV ^WTT[\ÃVLQOMV)\WUSMZVIJLMVLM[0MTQ]U ,IL]ZKPZML]bQMZMV[QKPLQM8ZW\WVMV]VL

. Abb. 8.10. Die wichtigsten Kernumwandlungen im Schema der Nuklidtafel

6M]\ZWVMVIVbIPTMV RM ]U LQM 6]STMWVMV IVbIPTIT[W]U1VLMZ6]STQL\INMTJMLM]\M\ LI[MQVMV;XZ]VOÛJMZBMQTMV]VL;XIT\MV ]V\MZVIKP]V\MVTQVS[. Abb. 8.10,QM[M )Z\ZILQWIS\Q^MZ;\ZIPTMV_]ZLMIT[MZ[\MMV\ LMKS\#UIVJZI]KP\MMQVMV6IUMV]VLVIVV\M [QM_MQTUIVVQKP\[JM[[MZM[_][[\M α-Strahlen ,MUMV\[XZMKPMVL PMQ¾MV QU αBMZNITT MUQ\\QMZ\MV 3MZVM JQ[ PM]\M α-Teilchen )]KP LI[ JMZÛPU\M :ILQ]U ^WV 5IZQM +]ZQM w!MZ[\UIT[KPMUQ[KPQ[WTQMZ\ Q[\MQVα;\ZIPTMZ5Q\[MQVMZ7ZLV]VO[bIPT SIVV M[ NZMQTQKP LQM [\IJQTM :QVVM VQKP\ QV MQVMU;XZ]VOMZZMQKPMV#LMUMZ[\MVαBMZNITT UÛ[[MV [QKP _MQ\MZM IV[KPTQM¾MV ,QM NÛPZMV IJMZQPZMZ_MOMVQVLMZ6]STQL\INMT]V\MZ LQM[\IJQTM:QVVM,IZ]U_QZLIJ]VLIVMQV βBMZNITT MQVOM[KPWJMV -Z ÃVLMZ\ LQM 5I[

322

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

1 2 3 4 5

. Abb. 8.11. Zerfallsreihe des Radium-226

6

[MVbIPTVQKP\MZPÕP\IJMZLQM7ZLV]VO[bIPT 1VLMZ6]STQL\INMTMV\[XZQKP\MZMQVMU;XZ]VO I]N LI[ 6IKPJIZNMTL WJMV TQVS[ )]N LQM[M ?MQ[MbQMP\MQV[KP_MZM[)\WUMQVMOIVbMZerfallsreihePQV\MZ[QKPPMZ Abbildung 8.11bMQO\ LQM LM[ :ILQ]U;QM ^MZNMPT\ LI[ [\IJQTM ?Q[U]\1[W\WX ]VLMVLM\JMQU*TMQ1[W \WX 5 β –-Zerfall. 6]STQLMLQMb]^QMTM6M]\ZWVMVJM [Q\bMV JM\ZMQJMV βBMZNITT OMVI]MZ" βwBMZ NITT[]V\MV
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

VMV VQKP\[ [QM UÛ[[MV 8ZW\WVMV TW[_MZLMV ;QM\]VLQM[L]ZKP=U_IVLT]VOMQVM[8ZW\WV[ QVMQV6M]\ZWV,Ib]PIJMV[QMOZ]VL[Ã\bTQKP b_MQ 5ÕOTQKPSMQ\MV 5IVKPMZ 3MZV NÃVO\ MQV -TMS\ZWVMQV]VLb_IZ^WVLWZ\_WM[QPUIU VÃKP[\MVQ[\I][LMZ3;KPITM[MQVMZMQOMVMV 0ÛTTM"K-Einfang,MZb_MQ\M?MOJZQVO\M\_I[ OZ]VL[Ã\bTQKP6M]M["0QMZ[\Õ¾\LMZ3MZVMQV 8W[Q\ZWV I][ MQV i-TMS\ZWV UQ\ XW[Q\Q^MZ 4I L]VOt-[OMPÕZ\VQKP\QVLI[;WVVMV[a[\MU LMVVM[Q[\MQV<MQTKPMVLMZPQMZb]TIVLMVQKP\ TMJMV[NÃPQOMV [WO Antimaterie ^WV LMZ QV 7 Kapitel 8.2.8 VWKP S]Zb LQM :MLM [MQV _QZL 8W[Q\ZWVMV OMPÕZMV _QM LQM -TMS\ZWVMV b] LMV β<MQTKPMV# b]Z =V\MZ[KPMQL]VO [XZQKP\ UIVRMVIKP4IL]VO[^WZbMQKPMV^WV βw]VL β;\ZIPTMZV1VLMZ6]STQL\INMTJM_QZSMV3 -QVNIVO _QM βBMZNITT MQVMV ;XZ]VO QV LI[ 6IKPJIZNMTL]V\MVZMKP\[ .ÛZLI[JM\ZWNNMVM)\WUQ[\[MQVZILQWIS\Q^MZBMZ NITT MQV PÕKP[\ I]NZMOMVLMZ >WZOIVO 5Q\ [MQVMZ 3MZVTIL]VO[bIPT ÃVLMZ\ M[ [MQVM KPMUQ[KPM 6I \]Z# M[ U][[ [MQVM 6]STMWVMV QU 3MZV ]VL [MQ VM-TMS\ZWVMVQVLMZ0ÛTTMVM]IZZIVOQMZMV,MZ VM]M3MZVMV\[\MP\QVMQVMUIVOMZMO\MVB][\IVL ]VL[]KP\V]V[MQVMV/Z]VLb][\IVL-ZMZZMQKP\ QPV VIKP LMZ OTMQKPMV 5M\PWLM _QM LQM 0ÛTTM I]KP"L]ZKP-UQ[[QWV^WV9]IV\MV6]ZOMP\M[ QU3MZV]U_M[MV\TQKPPÕPMZM-VMZOQMV-V\[XZM KPMVLS]Zb_MTTQOQ[\LQMMUQ\\QMZ\MMTMS\ZWUIOVM \Q[KPM?MTTM5IVVMVV\[QMγ -Strahlung5Q\OIVb _MVQOMV )][VIPUMV _QZL JMQ MQVMU α WLMZ βBMZNITT QUUMZ I]KP MQV γ -Quant I][OM[IVL\ . Tabelle 8.1

. Tabelle 8.1 Radioaktive Zerfallsarten Zerfallsart

emittiert wird

ΔZ

ΔN

ΔA

α

4 He 2

–2

–2

–4

β–

Elektron

+1

–1

0

β+

Positron

–1

+1

0

–1

+1

0

0

0

0

K-Einfang γ

Quant

323

8.2 · Aufbau des Atomkerns

8.2.5 Nachweis radioaktiver Strahlung

3MZV]U_IVLT]VOMV JM\ZMNNMV QUUMZ V]Z MQV bMTVM )\WUM MQVbMTVM 3MZVM ,QM[M [QVL L]ZKP LQM -TMS\ZWVMVPÛTTM _MQ\OMPMVL ^WV LMZ )]¾MV _MT\IJOM[KPQZU\1PZM=U_IVLT]VOMVTI[[MV[QKP VQKP\JMMQVã][[MV#[QMZMIOQMZMV_MLMZI]N,Z]KS VWKP I]N <MUXMZI\]Z WLMZ KPMUQ[KPM *QVL]VO ?QM _QTT UIV PMZI][JMSWUUMV _I[ MQV MQVbMT VMZ)\WUSMZV\]\'5IVSIVVM[V]Z_MQTLMZ-V MZOQM]U[I\b JMQ 3MZVXZWbM[[MV ^MZOTMQKP[_MQ [MPWKPQ[\,QM<MQTKPMV]VL9]IV\MVZILQWIS\Q ^MZ;\ZIPT]VO^MZNÛOMVUMQ[\ÛJMZ-VMZOQMVb_Q [KPMV5M>]VL5M>,IUQ\SIVVUIVbQO \I][MVL5WTMSÛTMQWVQ[QMZMV?MVVMQViZILQWIS \Q^MZ;\ZIPTtL]ZKPLQM4]N\NÃPZ\PQV\MZTÃ[[\MZI]N [MQVMZ*IPVMQVMVVIKP_MQ[JIZMV1WVMV[KPTI]KP -ZJMZQKP\M\^WVMQVMUMQVbMTVMV3MZVXZWbM[[ ,QM[ \]\ I]KP LMZ Halbleiterzähler" 0QMZ [M\b\ LMZ ;\ZIPT VWZUITMZ_MQ[M OMJ]VLMVM -TMS\ZWVMV NÛZS]ZbMBMQ\b]4MQ\]VO[MTMS\ZWVMVNZMQ1USzintillationszählerMZbM]OMVÃPVTQKPM-TMS\ZWVMVXMZ4] UQVM[bMVbMQVMV4QKP\JTQ\b ?QKP\QO[\M[ 5M[[QV[\Z]UMV\ LMZ 3MZVXPa [QSQ[\LI[ Geiger-Müller-ZählrohrLI[MQVMVB_Q\ \MZ b_Q[KPMV [MTJ[\ÃVLQOMZ ]VL ]V[MTJ[\ÃVLQOMZ /I[MV\TIL]VOV]\b\7 Kap. 6.6.9-[Q[\[WMUX âVLTQKPLI[[M[MQVMQVbMTVM[QWVQ[QMZMVLM[<MQT KPMVLI[JMQUZILQWIS\Q^MVBMZNITTMQVM[MQVbMT VMV )\WUSMZV[ I][OM[IVL\ _]ZLM VIKP_MQ[MV SIVV -QV /MQOMZbÃPTMZ [XMZZ\ MQV XI[[MVL I][ OM[]KP\M[/I[]V\MZ^MZUQVLMZ\MU,Z]KSQVMQV :WPZMQV]VL[\MTT\MQVMVLÛVVMV,ZIP\QVLM[[MV )KP[M. Abb. 8.12-QVM6ILMT\]\M[I]KPi;XQ\ bMVbÃPTMZt?QKP\QOQ[\LMZSTMQVM3ZÛUU]VO[ZI LQ][LMZ[KPWVJMQUÃ¾QOMV;XIVV]VOMVb]PW PMV.MTL[\ÃZSMVNÛPZ\,I[:WPZU][[LÛVV_IV LQO[MQVWLMZMQV[XMbQMTTM[;\ZIPTMVNMV[\MZPIJMV LIUQ\M[QWVQ[QMZMVLM<MQTKPMVÛJMZPI]X\PMZMQV

. Abb. 8.12. Geiger-Müller-Zähler

8

TÃ[[\ ,QM MTMS\ZQ[KPM ;XIVV]VO b_Q[KPMV BÃPT LZIP\]VL?IVL_QZLV]V[WMQVOM[\MTT\LI[[LQM [MTJ[\ÃVLQOM -V\TIL]VO OMZILM MJMV VWKP VQKP\ bÛVLM\;QM_QZLLIVVIJMZ^WVMQVMUMQVbMTVMV [KPVMTTMV <MQTKPMV I][OMTÕ[\ _MVV LQM[M[ L]ZKP LI[ MUXâVLTQKPM >WT]UMV LQKP\ ]U LMV ,ZIP\ NÃPZ\"-[bQMP\LMV1WVMV[KPTI]KPPQV\MZ[QKPPMZ LM[[MV -TMS\ZWVMV LQM 4I_QVM [\IZ\MV -QV PW PMZ ;KP]\b_QLMZ[\IVL [\WXX\ [QM [WNWZ\ _QMLMZ# UMPZ 4IL]VO IT[ LQM QV LMZ 3IXIbQ\Ã\ LM[ BÃPT LZIP\M[ OM[XMQKPMZ\M [\MP\ VQKP\ b]Z >MZNÛO]VO ?MVVIJMZLQM;XIVV]VOÛJMZLMUBÃPTZWPZNÛZ LQM,I]MZLMZ-V\TIL]VOb][IUUMVJZQKP\LIVV MZ[KPMQV\[QMOTMQKPbMQ\QOÛJMZLMU;KP]\b_QLMZ [\IVL ]VL SIVV MTMS\ZWVQ[KP ZMOQ[\ZQMZ\ OMbÃPT\ ]VLL]ZKPMQV3VIKSMVQU4I]\[XZMKPMZPÕZJIZ OMUIKP\_MZLMV"i,MZ/MQOMZbÃPTMZ\QKS\t Merke Geiger-Müller-Zählrohr: Ein einzelnes ionisierendes Teilchen löst eine Elektronenlawine aus, die nach weniger als einer Millisekunde gestoppt wird.

,I[ )]OM Q[\ LM[ 5MV[KPMV JM[\M[ ;QVVM[WZOIV# MZ UÕKP\M LQM ;X]ZMV ZILQWIS\Q^MV BMZNITT[ [M PMV)]KPLI[MZTI]JMVQPULQM1WVMV[KPTÃ]KPM ]VL b_IZ UQ\ 0QTNM LMZ Nebelkammer ;QM V]\b\ I][ LI[[ LQM 3WVLMV[I\QWV MQVMZ .TÛ[[QOSMQ\ b] LMV3MQUJQTL]VO[XZWbM[[MVOMPÕZ\7 Kap. 5.4.3 ]VL LI[[ 1WVMV I][OMbMQKPVM\M 3WVLMV[I\QWV[ SMQUMJQTLMVB]^WZU][[LMZ,IUXNNZMQTQKPSWV LMV[I\QWV[_QTTQO OMUIKP\ LP ÛJMZ[Ã\\QO\ _MZ LMV,QM[MZZMQKP\UIVL]ZKPMQVM=V\MZSÛPT]VO I][OMTÕ[\L]ZKPMQVMZI[KPM]VLLIUQ\XZIS\Q[KP ILQIJI\Q[KPM -`XIV[QWV ILQIJI\Q[KP" WPVM ?ÃZ UMI][\I][KP UQ\ LMZ =UOMJ]VO 7 Kap. 5.4.2 ,IZI][ MZOQJ\ [QKP LI[ 3WV[\Z]S\QWV[XZQVbQX MQ VMZ 6MJMTSIUUMZ [KPMUI\Q[KP LIZOM[\MTT\ QV . Abbildung 8.13.ÃPZ\JMQ[XQMT[_MQ[MMQVα<MQT KPMV ]VUQ\\MTJIZ VIKP LMZ -`XIV[QWV L]ZKP LQM 3IUUMZ[WSWVLMV[QMZMV6MJMT\ZÕXNKPMVIV[MQ VMU 1WVMV[KPTI]KP ]VL UIZSQMZMV LQM *IPV IT[ _MQ¾MV;\ZQKPLM]\TQKP[QKP\JIZQV[KPIZNMU[MQ\ TQKPMU4QKP\,QM6MJMT[X]Z[\MP\NÛZMQVMSVIXXM ;MS]VLMwTIVOMOMV]O[QMb]XPW\WOZIXPQMZMVw ]VLTÕ[\[QKPLIVV_QMLMZI]N

324

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

1 2 3 4 5 6 7 8

. Abb. 8.13. Wilson-Nebelkammer. Die eigentliche Beobachtungskammer enthält einen mit Alkohol oder Wasser getränkten Filz, der ständig für Sättigungsdampfdruck sorgt. Durch einen kurzen Zug am Kolben wird die Temperatur in der Kammer in adiabatischer Expansion abgesenkt und der Dampf übersättigt. Er kondensiert bevorzugt an den von der radioaktiven Strahlung ausgelösten Ionenschläuchen

. Abb. 8.14. Bahnen von α-Teilchen; das eine Teilchen mit überhöhter Reichweite stammt von einem angeregten Atomkern (Aufnahme: Philipp; nach Finkelnburg)

9 Merke

10 11 12

Nachweisgeräte für einzelne radioaktive Strahlen: Zählrohr und Halbleiterzähler registrieren jeden „Strahl“ als elektrischen Impuls, Szintillationszähler als Lichtblitz, die Nebelkammer bildet Teilchenbahnen ab.

13 14 15 16 17 18 19 20

1VLMZ6MJMTSIUUMZPQV\MZTI[[MVLQM^MZ[KPQMLM VMV <MQTKPMVIZ\MV KPIZIS\MZQ[\Q[KPM ;X]ZMV
. Abb. 8.15. Bahnen von β-Teilchen; die gerade, nicht geschlossene Nebelspur stammt von einem schnellen Teilchen, die verschlungenen von langsamen (Aufnahme: Rutherford; nach Westphal)

β;\ZIPTMV QWVQ[QMZMV _MQ\I][ [KP_ÃKPMZ JM [WVLMZ[ _MVV [QM VWKP [KPVMTT ]VL MVMZOQM ZMQKP [QVL LMVV LIVV PIJMV [QM OM_Q[[MZUI¾MV V]Z _MVQO BMQ\ QU >WZJMQãQMOMV MQV 4]N\UWTM SÛTb]QWVQ[QMZMV1VLMZ6MJMTSIUUMZPQV\MZTI[ [MV [QM TIVOM WN\UIT[ ]V\MZJZWKPMVM [MT\MV OM ZILM]VLb]UITOMOMV-VLM^MZ[KPT]VOMVM;X] ZMV. Abb. 8.15",I[TMQKP\M-TMS\ZWV_QZL^WV RMLMU 5WTMSÛT I]N LI[ M[ MQVQOMZUI¾MV bMV\ZIT \ZQNN\ I][ [MQVMZ *IPV OM_WZNMV -V\[XZMKPMVL

8.2 · Aufbau des Atomkerns

325

8

. Abb. 8.16. Nebelkammeraufnahme. Quanten hinterlassen keine eigenen Spuren in der Nebelkammer; die von ihnen ausgelösten Elektronen ziehen aber Spuren nach Art von β-Teilchen seitlich aus dem Quantenbündel heraus

. Abb. 8.18. Spuren radioaktiver Strahlen im Magnetfeld. Quanten werden nicht, Elektronen nach der einen und Heliumkerne nach der anderen Seite abgelenkt. Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht: Ein Feld, das Elektronen in der angegebenen Weise ablenkt, würde α-Teilchen nicht erkennbar beeinﬂussen . Abb. 8.17. Bahnen von Protonen in der Nebelkammer; sie sind gekrümmt, weil bei der Aufnahme ein Magnetfeld in Blickrichtung der Kamera bestand. Die Aufnahme diente dem Nachweis schneller Neutronen, die als neutrale Teilchen nicht ionisieren und darum keine Bahnspuren hinterlassen. Bei hinreichend zentralem Stoß übertragen sie ihre kinetische Energie auf die in der Kammer in Form von Wasserstoffgas vorhandenen Protonen. (Aufnahme: Radiation Laboratory, University of California; nach Finkelnburg)

4MQLMZ MUQ\\QMZMV NI[\ ITTM β;\ZIPTMZ I]KP L]ZKPLZQVOMVLM 9]IV\MV LMZ 8I\QMV\ _QZL IT [W b] MQVMZ TMJMVLMV γ9]MTTM /TÛKSTQKPMZ_MQ [M STQVO\ LQM )S\Q^Q\Ã\ LM[ /WTLXZÃXIZI\[ UQ\ MQ VMZ0ITJ_MZ\[bMQ\^WVZ]VLLZMQ
326

1 2 3 4 5 6

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

[QVL PI\ MQVMV Ã]¾MZTQKPMV /Z]VL" ,QM 6MJMT SIUUMZ JMâVLM\ [QKP QV MQVMU 5IOVM\NMTL UQ\ LMV.MTLTQVQMVQV*TQKSZQKP\]VOLMZ3IUMZI.WTO TQKP_QZLRMLM[PQVL]ZKPãQMOMVLM<MQTKPMV[WNMZV M[ MTMS\ZQ[KP OMTILMV Q[\ ^WV LMZ 4WZMV\b3ZIN\ I]N MQVM 3ZMQ[JIPV OMb_]VOMV 7 Kap. 6.10.2 ,MZ,ZMP[QVVPÃVO\^WU>WZbMQKPMVLMZ4IL]VO LMZ *IPVZILQ][ ^WV /M[KP_QVLQOSMQ\ ]VL [XM bQâ[KPMZ 4IL]VO YU IJ ,QM [KP_MZMV α<MQT KPMV _MZLMV LIZ]U _MVQOMZ [\IZS IJOMTMVS\ IT[ LQMTMQKP\MV-TMS\ZWVMV]VLQVMV\OMOMVOM[M\b\MZ :QKP\]VO b]LMU ,QM _MQ\ ^MZJZMQ\M\M . Abbildung 8.18 [M\b\ LMUVIKP LQM -`Q[\MVb MQVM[ 5I OVM\NMTLM[[\QTT[KP_MQOMVL^WZI][

7 8.2.6 Zerfallsgesetz

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

!!

-QVQV[\IJQTMZ3MZVbMZNÃTT\VQKP\[WNWZ\VIKP[MQ VMZ/MJ]Z\2MLM[ZILQWIS\Q^M6]STQLJM[Q\b\[MQ VMMQOMVMUQ\\TMZM Lebensdauer τ1[\[QMb]OZW¾ IT[LI[[[QM[QKPUM[[MVTQM¾MOQT\LI[6]STQLIT[ [\IJQT# Q[\ [QM NÛZ MQVM 5M[[]VO b] STMQV OQT\ LI[ 6]STQLIT[VQKP\M`Q[\MV\]VL[MQV3Ã[\KPMVQVLMZ 6]STQL\INMTJTMQJ\TMMZ ,QM :ILQWIS\Q^Q\Ã\ _QZL ^WU B]NITT ZMOQMZ\" 6QMUIVL SIVV ^WZPMZ[IOMV _MTKPMZ 3MZV QV MQVMU ZILQWIS\Q^MV 8ZÃXIZI\ IT[ VÃKP[\MZ bMZ NITTMV_QZL)]KPLMZB]NITT_QZL^WVUI\PMUI \Q[KPMV /M[M\bMV ZMOQMZ\" 5IV SIVV ZMKP\ OMVI] ^WZPMZ[IOMV_QM^QMTM3MZVMMQVM[JMSIVV\MVZI LQWIS\Q^MV 8ZÃXIZI\M[ QV LMZ VÃKP[\MV ;MS]VLM 5QV]\M ;\]VLM WLMZ ?WKPM bMZNITTMV _MZLMV ,MV9]W\QMV\MVI][)VbIPTΔ6]VLBMQ\[XIVVM Δ\LQMBMZNITT[ZI\MJMbMQKPVM\UIVIT[ Δ6 Aktivität)%6 Δ\

bekommen, in Bq gemessen, unangenehm hohe Maßzahlen. Sogar ein normaler erwachsener Mensch strahlt mit „erschreckenden“ 5000 Bq, ohne deswegen als radioaktiv zu gelten. Zu kleineren Maßzahlen führt die vor Einführung des Système International übliche Einheit Curie %+Q%*Y. Da bleiben dem Menschen nur noch harmlos klingende 0,14 μCi.

-[TM]KP\M\MQV",QM)S\Q^Q\Ã\)MQVM[8ZÃXIZI\[Q[\ XZWXWZ\QWVITb]Z)VbIPT6LMZQVQPU^MZ[IUUMT \MVZILQWIS\Q^MV)\WUM]VLXZWXWZ\QWVITb]LM ZMVZerfallskonstantenλVÃUTQKP]UOMSMPZ\XZW XWZ\QWVITb]ZLebensdauerτ%λ" 6 )S\Q^Q\Ã\)%λ6%3 τ ,I[OQT\[WNÛZMQVMQVPMQ\TQKPM[8ZÃXIZI\LM[ [MV6]STQLUQ\MQVMUMQVbQOMV;XZ]VOLQM[\IJQ TM:QVVMMZZMQKP\BQMP\M[MQVMBMZNITT[ZMQPMUQ\V ^MZOTMQKP[_MQ[MS]ZbTMJQOMV.WTOMV]STQLMVPQV\MZ [QKPPMZ[WMZPÕP\[QKP)I]NLI[VNIKPM ?MOMV LMZ )S\Q^Q\Ã\ VQUU\ 6 IT[ 6\ UQ\ LMZ BMQ\ IJ ]VL b_IZ UQ\ LMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ VMOI\Q^M[ >WZbMQKPMV _MOMV LMZ )JVIPUM,QM)VbIPT6\LMZb]UBMQ\X]VS\\ VWKP ^WZPIVLMVMZ VQKP\ bMZNITTMVMZ 3MZVM NWTO\ LMUVIKPLMZ,QNNMZMV\QITOTMQKP]VO

:MQV UI\PMUI\Q[KP Q[\ LI[ LQM ,QNNMZMV\QIT OTMQKP]VO LMZ 3WVLMV[I\WZMV\TIL]VO ^WV 7 Kapitel 6.4.6V]Z[\IVLLWZ\IV[\MTTMLMZ<MQTKPMVIV bIPT6\LQMMTMS\ZQ[KPM;XIVV]VO=\,MVUI \PMUI\Q[KPMV.WZUITQ[U][SÛUUMZV*]KP[\IJMV ]VLQPZMXPa[QSITQ[KPMV*MLM]\]VOMVVQKP\?I[ =ZMKP\Q[\Q[\6JQTTQO.WTOTQKPOQT\NÛZ6\LI[ Gesetz des radioaktiven Zerfalls

MQVM[ZILQWIS\Q^MV8ZÃXIZI\[;QMQ[\MQVMZMbQXZW ,QMIJNITTMVLMM.]VS\QWVJM[IO\"1VOTMQKPMV SMBMQ\#QPZM;Q-QVPMQ\[JMSWUU\LMV6IUMV BMQ\[XIVVMV Δ\ OMP\ 6\ ^WV RMLMU )][OIVO[ Becquerel*Y _MZ\ 6 I]N LM[[MV OTMQKPMV *Z]KP\MQT PQV]V\MZ QV[JM[WVLMZM QV LMZ Halbwertszeit < I]N 6 3Die reziproke Sekunde 1/s dient auch als Einheit )][ IT\MZ /M_WPVPMQ\ _QZL QV
327

8.2 · Aufbau des Atomkerns

8

,QM 4MJMV[LI]MZV ]VL 0ITJ_MZ\[bMQ\MV LMZ 6] STQLMZMQKPMV^WVVQKP\M`Q[\MV\JQ[∞[\IJQT -QVQOM*MQ[XQMTM[MQMVPQMZI]NOMNÛPZ\" <% !2IPZM 5 3ITQ]U 5 3WPTMV[\WNN <%2IPZM 5 :ILWV <%
. Abb. 8.19a,b. Radioaktiver Zerfall am Beispiel des Radon-222; Halbwertszeit 3,825 Tage, Lebensdauer 5,518 Tage; a Darstellung in linearem Maßstab; b einfach-logarithmische Darstellung

/ZIXPQ[KPTQMNMZ\LMZZILQWIS\Q^MBMZNITTQVTQ VMIZMU 5I¾[\IJ LQM [KPWV JMSIVV\M IJNITTMV LM3]Z^MLMZ-`XWVMV\QITN]VS\QWV7 Kap. 1.5.2 LQMIVLMZ7ZLQVI\M[\IZ\M\]VLI[aUX\W\Q[KPI]N LQM)J[bQ[[Mb]TÃ]N\WPVM[QMRMUIT[b]MZZMQKPMV . Abb. 8.19 -QVM
äNatürliche Strahlungsaktivität des Menschen. Seit Anbeginn der Welt, seit dem Urknall vor etwa 16 Milliarden Jahren, hat das Kalium40 noch keine 15 Halbwertszeiten erlebt. Zehn Halbwertszeiten bringen den Faktor 1024. Gewiss, das K-40 ist seither deutlich weniger geworden, es ist aber immer noch so viel vorhanden, dass es ganz natürlicherweise in Pﬂanze, Tier und Mensch vorkommt. 80% der natürlichen Aktivität des Menschen stammen vom K-40. Auch Kohlenstoff-14 kommt in der Natur vor, durch Kernprozesse in der hohen Atmosphäre ständig erzeugt. Er dient den Archäologen zur Altersbestimmung von Fundstücken, die biologisches Material enthalten. Das Edelgas Radon-222 gehört zur Zerfallsreihe des Radium-226, einer Allerweltssubstanz, die in Spuren überall vorkommt und z. B. auch zur Aktivität des Menschen messbar, wenn auch unwesentlich beiträgt. Radon-222 kriecht aus Mauersteinen und kann in Zimmern, zumal in schlecht gelüfteten, durchaus bedenkliche Konzentrationen erreichen: Wenn es eingeatmet zu dem nicht mehr gasförmigen Polonium-218 zerfällt, wird es nicht wieder ausgeatmet und liefert die Strahlung des Restes der Zerfallsreihe in der Lunge ab.

328

1

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

Praktikum

8.2.7 Kernspaltung und künstliche

Radioaktivität Radioaktiver Zerfall, Absorption

2 3 4 5 6 7

Die Versuch dienen dazu, den Gebrauch von Nachweisgeräten (Zählrohr oder Szintillationszähler) und den Umgang mit radioaktiven Stoffen zu erfahren. Die Hochschulen setzen die verschiedensten radioaktiven Proben ein. Man kann auch etwas über Statistik lernen, da der radioaktive Zerfall gezählt wird und zufällig verläuft. Da die Aufgaben an den einzelnen Universitäten verschieden sind, kann hier nur auf die relevanten Kapitel verwiesen werden: Strahlung radioaktiver Kerne, Zerfallsreihe 7 Kap. 8.2.4 Nachweis der Strahlung, Zählrohr 7 Kap. 8.2.5 Zerfallsgesetze dieses Kapitel Absorption von Strahlung 7 Kap. 7.5.4

8 9 10 11 12 13 14

Rechenbeispiel 8.2: Alter Knochen 7 Aufgabe. Ein Tierknochen in einer archäologischen Ausgrabungsstätte enthält 200 g Kohlenstoff. Er weist eine Aktivität von 15 Zerfällen pro Sekunde auf, die von dem Kohlenstoff-14-Isotop herkommt. Wie alt ist der Knochen? Dazu muss man zu zum Zeitwissen, dass das Verhältnis punkt, als das Tier noch atmete und fraß 1,3 · 10–12 war (natürliche Zusammensetzung in der Luft und den Pﬂanzen). 7 Lösung. Als das Tier noch lebte, entsprachen 200 g Kohlenstoff

15 16 17 18 19 20

Die Aktivität damals war

Nach der gesuchten Zeit sind nur noch 15 Zerfälle -Atopro Sekunde und entsprechend weniger me übriggeblieben. Es ist also:

3Einige besonders schwere Nuklide sind nicht nur radioaktiv, sondern auch noch spaltbar. Statt ein αoder β-Teilchen zu emittieren, teilt sich ein solcher schwerer Kern hin und wieder in zwei mittelschwere. Weil die stabile Rinne gekrümmt ist, bleiben dabei ein paar Neutronen übrig. Diese überzähligen Neutronen sind technisch interessant. Die Kernspaltung muss nämlich nicht spontan erfolgen, sie lässt sich auch provozieren, und zwar gerade durch Neutronen. Damit wird eine Kettenreaktion zumindest grundsätzlich möglich: Die bei einer Spaltung freigesetzten Neutronen lösen neue Spaltungen aus. Wenn das in unkontrollierter Lawine geschieht, explodiert eine Atombombe. So ganz leicht ist die Kettenreaktion allerdings nicht zu erreichen. Die Spaltung liefert energiereiche, „schnelle“ Neutronen, braucht aber zur Auslösung langsame, „thermische“ Neutronen. Zum Zweiten ist das spaltbare Isotop 235U in Natururan nur zu 0,7% vorhanden. Zum Dritten enthält Natururan aber 238U, das besonders gern Neutronen einfängt, ohne sich zu spalten. Um Uran bombenfähig zu machen, muss man deshalb das Isotop 235U hoch anreichern – das kostet Geld. Kernreaktoren liefern nicht nur Energie, sondern zuweilen auch spaltbares Material wie das PlutoniumIsotop 239Pu, das als Transuran zu instabil ist, um auf der Erde noch in natürlichem Vorkommen vorhanden zu sein. Alle heutigen Reaktoren nutzen die Spaltung schwerer Kerne zur Gewinnung nutzbarer Energie. Die Sonne macht es anders: Sie betreibt Kernverschmelzung am unteren Ende des Periodensystems; sie „verbrennt“ Wasserstoff nuklear zu Helium. Auch dabei wird Energie frei, im Vergleich zur eingesetzten Masse sogar sehr viel. Des Menschen Bemühen, es der Sonne gleichzutun, hat schon früh zur Wasserstoffbombe geführt, aber erst in Ansätzen zu nützlichem Gebrauch bei der Energieversorgung.

3MZVZMIS\WZMVJZI]KPMVV]ZMQVMV<MQTLMZNZMQ OM[M\b\MV6M]\ZWVMVNÛZQPZM3M\\MVZMIS\QWV,MZ :M[\ TÃ[[\ [QKP OZ]VL[Ã\bTQKP V]\bJZQVOMVL ^MZ _MVLMV" 6IPMb] RMLM ;]J[\IVb QV MQVMV ;\ZWU TIVO[IUMZ 6M]\ZWVMV OMPIT\MV _QZL ZILQWIS\Q^ ;QM JQTLM\ L]ZKP 6M]\ZWVMVMQVNIVO VM]M 3MZVM LQMQVLMZ6I\]ZVQKP\UMPZ^WZSWUUMV_MQT[QM _MVVM[[QMRMOIJTÃVO[\bMZNITTMV[QVLB]U*MQ [XQMTJQTLM\;QTJMZ]V\MZ6M]\ZWVMVMQVNIVOOTMQKP b_MQ βwIS\Q^M 1[W\WXM LQM _QMLMZ b]U -TMUMV\

329

8.2 · Aufbau des Atomkerns

;QTJMZ OMPÕZMV _MQT MQV 6M]\ZWV UMPZ QU 3MZV RILQM)\WUV]UUMZVQKP\ÃVLMZ\<MKPVQ[KPM)V VMPUTQKPSMQ\LMZ)S\Q^QMZ]VOL]ZKP*M[KP][[UQ\ \PMZUQ[KPMV 6M]\ZWVMV" 5IV JZI]KP\ LQM IS\Q ^QMZ\MV 3MZVM VQKP\ KPMUQ[KP I][ LMZ VQKP\IS\Q ^QMZ\MV5I\ZQ`PMZI][b]XZÃXIZQMZMV Merke Künstliche Radioaktivität: Durch Neutroneneinfang geht ein stabiles Nuklid in ein meist radioaktives Isotop über.

Klinik Diagnose mit äTracern. Künstlich radioaktive Chemikalien erlauben es, komplizierte Reaktionen wie etwa die des organischen Stoffwechsels zu verfolgen. Chemisch verhält sich ja ein aktiviertes Atom bis zu seinem Zerfall nicht anders als ein stabiles vom gleichen Element; durch seine Strahlung verrät es aber als radioaktiver Tracer, wohin es während seiner Lebensdauer durch den Stoffwechsel gebracht wurde. Spritzt man etwa einem Kaninchen radioaktives Jod in den Oberschenkel, kann man mit einem Zählrohr die Aktivität nahe der Einstichstelle leicht nachweisen. Wenig später hat sie aber der Blutkreislauf gleichmäßig über das ganze Tier verteilt, es strahlt von Kopf bis Schwanz. Wieder einige Zeit später ﬁndet sich die Aktivität bevorzugt in der Schilddrüse, denn dieses Organ hat eine Vorliebe für Jod.

8.2.8 Antimaterie

!

1U/MOMV[I\bb]4]N\]VL?I[[MZ3WPTM]VL-Q[MV OMPÕZMVLQMPositronenLQMXZW\WVMVZMQKPM3MZVM MUQ\\QMZMV VQKP\ b]Z 5I\MZQM [WVLMZV b]Z AntimaterieB]RMLMZ)Z\UI\MZQMTTMZ<MQTKPMVOQJ\M[ OZ]VL[Ã\bTQKP I]KP Antiteilchen b]U 8ZW\WV LI[ )V\QXZW\WV b]U 6M]\ZWV LI[ )V\QVM]\ZWV ]VL b]U-TMS\ZWVLI[i)V\QMTMS\ZWVtMJMVLI[8W[Q \ZWV ,QM JMQLMV 5I[[MV [QVL RM_MQT[ OTMQKP ;W JITLMQV<MQTKPMVI]N[MQV)V\Q\MQTKPMV\ZQNN\bMZ [\ZIPTMVJMQLM";QM[M\bMVQPZMOMUMQV[IUM5I[ [MQV9]IV\MVMVMZOQM]U,QMMTMS\ZQ[KPM4IL]VO

8

Klinik Dem Denken auf der Spur. Alle Kernprozesse müssen nicht nur auf den Energiesatz achten, sondern auch auf die Erhaltung von Impuls und Drehimpuls. Die Paarbildung braucht dafür einen schweren Kern, im Beispiel des Nebelkammerbildes Blei; bei der Positronenvernichtung entstehen zwei Quanten, die diametral, mit entgegengesetzten Impulsen also, auseinander ﬂiegen. Beide besitzen genügend Energie, um leicht aus dem Menschen herauszukommen. Gerade diese beiden diametral auseinander ﬂiegenden Quanten machen Positronenstrahler als radioaktive Tracer medizinisch interessant. Legt man einen Patienten, der diese Positronenstrahler im Körper hat, in eine Röhre mit vielen ringförmig angeordneten Quantendetektoren, so werden, wenn ein Tracer zerfällt und das entstehende Positron gleich wieder vernichtet wird, zwei einander gegenüberliegende Detektoren genau gleichzeitig ansprechen (Koinzidenzmessung). Der Tracer muss genau auf der Verbindungslinie zwischen den beiden Detektoren gewesen sein. Mit dieser Ortsinformation kann man Tomogramme mit einer leidlichen Ortsauflösung von etwa 5 mm berechnen. Die Schnittbilder zeigen dann die Konzentrationsverteilung des Tracers. Diese äPositronenemissionstomographie (PET) ist noch aufwendiger als die Kernspintomographie (7 Kap. 8.2.1) und die Röntgentomographie (7 Kap. 7.5.6), vor allem deshalb, weil die als Positronenstrahler verwendeten Isotope Halbwertszeiten von Minuten bis Stunden haben und vor Ort in einem Beschleuniger erzeugt werden müssen. Das ist so teuer, das die Methode fast nur zu Forschungszwecken in der Neurologie am Gehirn eingesetzt wird. Da die Positronenstrahler aber in alle möglichen Moleküle, Proteine und sogar Medikamente eingebaut werden können, ist die Sache auch sehr universell. Baut man zum Beispiel als Positronenstrahler Fluor-18-Isotope in Glukosemoleküle ein und injiziert diese Glukose dem Patienten, so kann man im Gehirn nachschauen, wo bei einer bestimmten Tätigkeit viel Zucker gebraucht wird und sich die Traceratome ansammeln. Diese Gehirnregion ist dann besonders aktiv.

330

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

]VL PI\ QV MQVMZ *TMQXTI\\M PWZQbWV\ITMZ PMTTMZ *ITSMV b_MQ QU 5IOVM\NMTL MV\OMOMVOM[M\b\ OM SZÛUU\M*IPVMVOTMQKPMZ1WVQ[I\QWV[LQKP\MI][ OMTÕ[\MJMVLQM*IPVMV^WVMQVMU-TMS\ZWV]VL MQVMU8W[Q\ZWV

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

. Abb. 8.20. Nebelkammeraufnahme einer Paarbildung. Elektron und Positron verlassen eine Bleiplatte auf im Magnetfeld entgegengesetzt gekrümmten Bahnen. Das γ-Quant, das sie erzeugt hat, hinterlässt keine Spur (Aufnahme: Fowler und Lauritsen; nach Finkelnburg)

UIKP\SMQVM8ZWJTMUM#<MQTKPMV]VL)V\Q\MQTKPMV \ZIOMV_MVV[QM[KPWVOMTILMV[QVLMV\OMOMVOM [M\b\M 4IL]VO ,MVSJIZ [QVL [WOIZ )\WUM I][ )V\QUI\MZQMLMVVXPa[QSITQ[KPQ[\M[OTMQKPOÛT\QO WJ[QKPMQVXW[Q\Q^MZ3MZVUQ\-TMS\ZWVMV]UOQJ\ WLMZ MQV VMOI\Q^MZ 3MZV UQ\ 8W[Q\ZWVMV 5IV SIVVLM[PITJMQVMZNMZVMV/ITI`QMVQKP\IV[MPMV WJ [QM UÕOTQKPMZ_MQ[M I][ )V\QUI\MZQM JM[\MP\ 6]ZLIZN[QMLIVVLMZ5QTKP[\ZI¾MVQKP\b]VIPM SWUUMV1VMQVMZ?MT\I][5I\MZQMSIVV[QKP)V \QUI\MZQMVQKP\TIVOMPIT\MV8W[Q\ZWVMVTMJMVQV ?I[[MZITTMVNITT[MQVM6IVW[MS]VLMQV5M\ITTMV VQKP\MQVUITLI[QVO]\MU>IS]]UIJMZ[W^QMT TÃVOMZ LI[[ UIV UQ\ QPVMV M`XMZQUMV\QMZMV SIVV/MVI]LI[/TMQKPMOQT\NÛZ5I\MZQMQVMQVMZ ?MT\I][)V\QUI\MZQM )]KP LMZ =USMPZXZWbM[[ b]Z BMZ[\ZIPT]VO LQM -ZbM]O]VO ^WV 5I\MZQM I][ 9]IV\MVMVMZ OQMSWUU\^WZ5IVVMVV\[QMPaarbildungLMVV _MOMV LMZ 4IL]VO[JQTIVb U][[ QUUMZ OTMQKP MQV -TMS\ZWV8W[Q\ZWV8IIZ MV\[\MPMV . Abbildung 8.20 bMQO\ MQV MV\[XZMKPMVLM[ 6MJMTSIU UMZJQTL" ,I[ 9]IV\ Q[\ ^WV ]V\MV OMSWUUMV

331

Übungsaufgaben

8

In Kürze Atom Ein Atom hat eine Hülle aus Elektronen und einen Kern aus Protonen und Neutronen. Die Hülle bestimmt die Größe des Atoms und seine chemischen Eigenschaften, der Kern die Masse und die Stabilität. Die Zahl der Elektronen und Protonen ist gleich und heißt Kernladungszahl. Sie bestimmt das chemische Element. Massenzahl )

): Anzahl der Nukleonen im Kern

Ordnungszahl B (Kernladungszahl)

B: Anzahl der Protonen im Kern oder der Elektronen in der Hülle

Neutronenanzahl 6

6%)wB: Anzahl der Neutronen im Kern

Isotope

Atome mit gleicher Ordnungszahl, aber verschiedener Massezahl

Schreibweise (Beispiel Helium)

; oben: Massezahl; unten: Ordnungszahl

Radioaktivität Wenn ein Atomkern zerfällt, sendet er Teilchen aus und ändert gegebenenfalls die Kernladungszahl Z, die Neutronenzahl N und die Massenzahl A. Es ist nicht möglich vorherzusagen, wann ein bestimmter instabiler Atomkern zerfallen wird. Man kann nur eine mittlere Lebensdauer τ für eine bestimmte Kernsorte angeben. Aktivität

Zerfälle pro Sekunde

Zerfallsgesetz

w\ 6\%6 M3τ

6: Anzahl radioaktiver Atome 6: Anfangszahl \: Zeit C[E τ : Zeitkonstante C[E

<%τTV

<: Zeit, in der die Hälfte der Atome zerfällt C[E

emittiert wird

ΔB

Δ6

Δ)

4He 2

–2 +1 –1 –1 0

–2 –1 +1 +1 0

–4 0 0 0 0

Halbwertszeit

2

C*Y, BequerelE

Radioaktive Strahlung Zerfallsart

α β− β+

Elektron Positron

K-Einfang

γ

Strahlungsquant

Antimaterie Wenn ein Positron und ein Elektron zusammentreffen, setzen sie ihre gemeinsame Masse in Energie in Form von zwei diametral auseinanderlaufenden γ-Quanten um (Paarvernichtung).

Verständnisfragen

Übungsaufgaben

1. Warum sind die in Periodentafeln angegebenen Massenzahlen vieler Elemente nicht ganzzahlig? 2. Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von einem Monat. Ist sie nach zwei Monaten verschwunden oder wie viel bleibt übrig? 3. Kann man mit der C-14-Methode zur Altersbestimmung das Alter von Steinen bestimmen?

(• leicht; •• mittel; ••• schwer) • 1. Der Kern des Sauerstoffatoms enthält acht Protonen und acht Neutronen. Wie lautet die symbolische Schreibweise? • 2. Wie viel Elektronen hat in seiner Schale? • 3. Woraus besteht α-Strahlung? •• 4. In welche Nuklide kann das Bi-214 in der Zerfallsreihe des Radium-226 übergehen und durch welchen Zerfall?

332

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 8 · Atom- und Kernphysik

•• 5. Natürliches Silber besteht aus den Isotopen Ag-107 und Ag-109. Welche radioaktiven Nuklide entstehen bei Neutronenaktivierung? • 6. Welche Teilchen entstehen bei der sog. Paarbildung? • 7. Die Aktivität einer Probe beträgt 100 Bq. Nach einer Stunde ist sie nur noch 50 Bq. Wie groß ist sie nach 2 Stunden? • 8. Wie lange (in Halbwertszeiten) muss man warten, bis die Aktivität einer radioaktiven Probe auf 1% ihres Ausgangswertes abgesunken ist? • 9. Warum kann die PET-Tomographie so gut den Ort eines Paarzerfalls feststellen?

333

Ionisierende Strahlung 9.1

Dosimetrie

– 334

9.1.1

Energie- und Äquivalentdosis !

9.1.2

Ionendosis

9.1.3

Aktivität und Dosis ! ! – 336

9.2

Strahlennutzen, Strahlenschaden

9.2.1

Radioaktive Tracer

9.2.2

Strahlentherapie

9.2.3

Natürliche Exposition

9.2.4

Zivilisationsbedingte Exposition

9.2.5

Strahlenschutz

– 334

– 335

– 336

– 336 – 337 – 338 – 339

– 340

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6_9, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

9

334

1 2 3 4

Kapitel 9 · Ionisierende Strahlung

>> Ionisierende Strahlung überträgt im Elementarprozess der Absorption relativ viel Energie auf ein einzelnes Molekül. Man spricht darum von „energiereicher Strahlung“, die deshalb aber noch keine „intensive Strahlung“ sein muss. Sie kann komplizierte Großmoleküle zerreißen und so in wichtige Funktionen des lebenden Organismus störend eingreifen. Im Laufe der Evolution konnten nur Organismen überleben, die der Exposition durch natürliche ionisierende Strahlung standhielten.

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

9.1

Dosimetrie

9.1.1 Energie- und Äquivalentdosis

!

3MQVMZLMZNÛVN;QVVM[XZQKP\I]N:ÕV\OMV]VLZI LQWIS\Q^M ;\ZIPTMV IV ,I[ UIKP\ LQM ionisierende Strahlung ^QMTMV 5MV[KPMV ]VPMQUTQKP ]VL ZÛKS\ [QM QV LQM 6ÃPM IVLMZMZ OMPMQUVQ[^WTTMZ i;\ZIP TMVtLQMUIVOMT[-`Q[\MVb^WVLMV;QVVM[WZOIVMV OIZVQKP\_IPZOMVWUUMV_MZLMVSÕVVMV,QMJQW TWOQ[KPMV ?QZS]VOMV LMZ QWVQ[QMZMVLMV ;\ZIPTMV PIJMVLIPQVOMOMVMQVMVPIVLNM[\MV/Z]VL";QMJM Z]PMVI]NLMZ^WVLMZ;\ZIPT]VOI]NLMV)J[WZJMZ ÛJMZ\ZIOMVMV -VMZOQM ,IZ]U UIKP\ UIV LQM[M -VMZOQMLMVVI]KPb]Z/Z]VLTIOMLMZDosimetrie -[TM]KP\M\MQVLI[[MQV-TMNIV\UMPZ^MZ\ZI OMV SIVV IT[ MQVM 5ÛKSM ,MUMV\[XZMKPMVL JM bQMP\UIVLQMIJ[WZJQMZ\M-VMZOQM?I]NLQM5I[ [MULM[)J[WZJMZ[]VLLMâVQMZ\[WLQM ? Energiedosis,%4 U UQ\LMZ-QVPMQ\ Gray%/a%2SO1PZP]VLMZ\[\MZ <MQT_QZLRadOMVIVV\]VLUQ\ZLIJOMSÛZb\" 2 /a%ZL%5 SO 5IV LIZN LI[ :IL%ZL VQKP\ UQ\ LMZ -QVPMQ\ LM[MJMVMV?QVSMT[:ILQIV\%ZIL^MZ_MKP[MTV α<MQTKPMV [QVL _MOMV QPZMZ PWPMV 1WVQ[I\Q WV[LQKP\M S]ZbM SZÃN\QOM ;X]ZMV QV LMZ 6MJMT SIUUMZJQWTWOQ[KP_QZS[IUMZIT[[KPVMTTM-TMS \ZWVMV# [QM PIJMV MQVM IVLMZM Strahlenqualität 5IVJMZÛKS[QKP\QO\LQM[L]ZKPMQVMVBewertungsfaktorY]VLLMâVQMZ\LQM Äquivalentdosis,Y%Y,

UQ\LMZ-QVPMQ\Sievert%;^?MQTYMQVMLQUMV[Q WV[TW[MBIPTQ[\MV\[XZQKP\I]KPLI[;QM^MZ\MQVMU 2SO,MZP]VLMZ\[\M<MQTPI\\MLQM-QVPMQ\iZMUt LQM VQKP\ UMPZ ^MZ_MVLM\ _QZL IJMZ I]N ÃT\MZMV /MZÃ\MVVWKPIVb]\ZMNNMVQ[\ Merke Dosisdeﬁnitionen: 5 Energiedosis ,%?U 5 Einheiten Gray = Gy = 100 Rad = 100 rd (= J/kg) 5 Äquivalentdosis ,Y%Y, 5 Einheiten Sievert = Sv 5 Strahlenqualität: Bewertungsfaktor q (dimensionslos) 5 schnelle Elektronen: Y% 5 schnelle Ionen: Yf

)]KPLQMBMQ\QVLMZMQVMJM[\QUU\M,W[Q[IXXTQ bQMZ\_QZL[XQMT\NÛZLQMJQWTWOQ[KPM?QZS]VOMQVM :WTTM/IVbOZWJLIZNUIV[IOMV"RMSÛZbMZLM[\W _QZS[IUMZ-[OMP\IT[WVQKP\V]Z]ULQM,W[MV, ]VL,Y[WVLMZVI]KP]ULQM

UQ\LMV-QVPMQ\MV/a[]VL;^[LQMJMQLM?SO JMLM]\MV Merke Dosisleistung: Energiedosisleistung, Einheit Gy/s, Äquivalentdosisleistung, Einheit Sv/s.

-VMZOQMLQMVQKP\IJ[WZJQMZ\_QZLPI\I]KPSMQVM ?QZS]VO ,QM M`\ZMU PIZ\M Höhenstrahlung I][ LMU ?MT\ZI]U JZI]KP\ LMZ 5MV[KP VQKP\ b] NÛZKP\MV"?I[LI^WVI]NLMZ-ZLWJMZãÃKPMVWKP IVSWUU\L]ZKPLZQVO\I]KPMQVXIIZBMV\QUM\MZ /M_MJM WPVM VMVVMV[_MZ\M )J[WZX\QWV )JMZ I]KP ;\ZIPTMV OMZQVOMZ :MQKP_MQ\M [QVL QV[WNMZV ZMTI\Q^ PIZUTW[ _MQT UIV [QKP TMQKP\ ^WZ QPVMV [KPÛ\bMVSIVV*MQα<MQTKPMVOMVÛO\[KPWVMQVM 8IXX[KPIKP\MT 6]Z [WTT\M UIV MQVMV α;\ZIPTMZ

9.1 · Dosimetrie

335

9

_MLMZ L]ZKP )\U]VO Inhalation VWKP UQ\ LMZ 6IPZ]VOIngestionQV[MQVMV3ÕZXMZJZQVOMV

9.1.2 Ionendosis

,QM-VMZOQMLW[Q[[W_QKP\QO]VLMQVTM]KP\MVL[QM Q[\PI\MQVMV[KP_MZ_QMOMVLMV6IKP\MQT";QMTÃ[[\ [QKP VQKP\ ]VUQ\\MTJIZ UM[[MV /ZIa MQVMU 5MV[KPMVIUOIVbMV3ÕZXMZZI[KP]VLOTMQKPUÃ ¾QOIXXTQbQMZ\[QVLITTMUIT\ÕLTQKP#I]NPMQbMV_ÛZ LMV[QMQPZ7XNMZIJMZV]Z]UOIVbMU3iMQV 0]VLMZ\[\MT/ZILt>WVLMZ?ÃZUMMV\_QKST]VO OMP\ LQM ?QZS]VO QWVQ[QMZMVLMZ ;\ZIPT]VO VQKP\ I][ )]KP NÛZ MQVM XZIS\Q[KPM ,W[QUM\ZQM Q[\ [QM b]OMZQVO,IZ]UPÃT\UIV[QKPTQMJMZIVLQMUIZ SIV\M -QOMV[KPIN\ LMZ ;\ZIPT]VO LQM 1WVQ[I\QWV ]VLUQ[[\[QMLWZ\_WLI[IUTMQKP\M[\MVOMP\"QV 4]N\ ,WZ\ \ZMVV\ UIV LQM OMJQTLM\MV 1WVMVXII ZML]ZKPMQVPQVZMQKPMVLPWPM[MTMS\ZQ[KPM[.MTL bQMP\ [QM I][ MQVMU LMâVQMZ\MV >WT]UMV UQ\ LMZ 4]N\UI[[MUPMZI][JM[\QUU\LQM4IL]VO9LMZ 1WVMVMQVM[>WZbMQKPMV[]VLUQ[[\[WLQM

. Abb. 9.1. Umrechnungsfaktor f zwischen Ionendosis in Luft und Energiedosis in menschlichem Knochen-, Muskelund Fettgewebe für Quantenenergien von 10 keV bis 10 MeV

9+ Ionendosis1%4# -QVPMQ\5%)[SO U SO -QVMIT\M-QVPMQ\Q[\LI[ + Röntgen%:% w5 SO 5MLQbQVQ[KP_QKP\QOQ[\LMZ=UZMKPV]VO[NIS

. Abb. 9.2. „Fasskammer“ zur Dosimetrie. Blaues Raster: Messvolumen

\WZ

-Z JM\ZÃO\ M\_I ZL: ]VL LI[ NÛZ 9]IV \MVMVMZOQMV ^WV SM> JQ[ 5M> 1U *MZMQKP LMZ :ÕV\OMVLQIOVW[M ]V\MZ SM> JMSWUUMV 3VWKPMVUMPZ-VMZOQMLW[Q[IJIT[IVLMZ[/M_M JM. Abb. 9.1wMJMVLIL]ZKPMV\[\MP\LMZ3WV \ZI[\QU:ÕV\OMVJQTL Merke Ionendosis 1%9U, Einheiten: 1 C/kg = 1 A · s/kg, gemessen in Luft.

3Mögliche Instrumente der Dosimetrie sind demnach Ionisationskammern; sie werden von der Industrie in vielfältigen Formen für vielfältige Zwecke ange-

boten. Soweit sie als Eichinstrumente der Reproduktion von Dosiseinheiten dienen, ist bei ihrer Konstruktion vor allem auf zwei Punkte zu achten: Das wirksame Messvolumen muss genau bekannt sein. Das erfordert eine dicke Bleiblende zur Festlegung des wirksamen Bündelquerschnitts sowie eine Messelektrode deﬁnierter Länge. Nahe ihren Enden sorgen zwei Hilfselektroden für ein unverzerrtes Feld, ohne die von ihnen aufgesammelten Ionen zur Messung abzuliefern (. Abb. 9.2). Es dürfen nur solche Ionen in das Messvolumen gelangen, die durch die unmittelbare Wirkung der Strahlung in der Kammerluft entstanden sind, nicht aber von Blenden usw. Alle bestrahlten Metallteile müssen deshalb so weit vom Messvolumen entfernt sein, dass sich die von ihnen ausgehenden Photoelektronen und Streustrahlen nicht störend bemerkbar machen.

336

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 9 · Ionisierende Strahlung

9.1.3 Aktivität und Dosis

!!

,QM )S\Q^Q\Ã\ MQVM[ ZILQWIS\Q^MV 8ZÃXIZI\[ TÃ[[\ [QKP UQ\ BÃPTZWPZMV ZMTI\Q^ TMQKP\ UM[[MV »JMZ XW\MV\QMTTM ;\ZIPTMV_QZS]VOMV [IO\ [QM NZMQTQKP VQKP\[ I][ LMVV [QM JMbQMP\ [QKP I]N LMV ;\ZIP TMZ#LQM?QZS]VOPÃVO\LIOMOMV^WVLMZ,W[Q[IJ ]VL LQM JMbQMP\ [QKP I]N LMV ;\ZIPT]VO[MUXNÃV OMZLMV)J[WZJMZLMV5MV[KPMV?MVV5MV[KP ]VL ;\ZIPTMVY]MTTM VQKP\ b][IUUMVSWUUMV NÛPZ\ I]KP LQM OZÕ¾\M )S\Q^Q\Ã\ b] SMQVMZ ,W[Q[ b*;WVVM WV,W[Q[[KPÃ\b]VOMVPI\UIV_MVQO_MVV UIVLQMJQWTWOQ[KPMV.WTOMVVQKP\SMVV\,I[Q[\ MQV^QMT[KPQKP\QOM[8ZWJTMUIJMZSMQVM[LMZ8Pa [QS ,IZ]U [WTTMV IV LQM[MZ ;\MTTM LZMQ )VOIJMV OMVÛOMV" 5 ,QMVI\ÛZTQKPM[XMbQâ[KPM)S\Q^Q\Ã\LM[5MV [KPMV TQMO\ JMQ M\_I *YSO MV\[XZMKPMVL *YXZW8MZ[WV3ITQ]U3WPTMV[\WNN :ILQ]U

5 *MQ ZI[KPMZ PWUWOMVMZ /IVbSÕZXMZJM[\ZIP

T]VOOMT\MV;^IT[LetaldosisIT[i4,twMQV OM[]VLMZ -Z_IKP[MVMZ ÛJMZTMJ\ [QM UQ\ MQVMZ ?IPZ[KPMQVTQKPSMQ\^WV 5 ,QMIT\MV*QTLZÕPZMVLMZ5WVQ\WZM]VL.MZV [MPMZ _IZMV STMQVM :ÕV\OMVZÕPZMV ]VL ^MZ [KPINN\MVLMU6]\bMZMQVQOM5QSZW[QM^MZ\XZW 2IPZ,I[PI\[QKPUQ\LMV.TIKPJQTL[KPQZUMV MZTMLQO\

9.2

Strahlennutzen, Strahlenschaden

;QMPMI]KP:ÕV\OMVLQIOVW[M7 Kap. 7.5.6

9.2.1 Radioaktive Tracer

+PMUQ[KP ]V\MZ[KPMQLMV [QKP LQM ^MZ[KPQMLMVMV 1[W\WXM MQVM[ -TMUMV\[ VQKP\ ^WVMQVIVLMZ JQW KPMUQ[KPIT[WI]KPVQKP\7J[QM[\IJQT[QVLWLMZ ZILQWIS\Q^ IU ;\WNN_MKP[MT LM[ 5MV[KPMV VMP UMV[QMQVLMZOTMQKPMV?MQ[M\MQTJQ[b]UBMZ NITT^MZ[\MP\[QKP#LIVIKP[QVL[QMRIQVVM]M-TM UMV\M ÛJMZOMOIVOMV 5IV SIVV LMUVIKP LQM ?MOMLM[;\WNN_MKP[MT[UQ\MQVMUBÃPTZWPZ^MZ NWTOMV_MVVUIVLMV[\IJQTMV6]STQLMVMQVMZQV \MZM[[IV\MV;]J[\IVbQV[\IJQTMb]UQ[KP\#[QM_MZ LMVZILQWIS\Q^MWU BÃPTZWPZ JMWJ IKP\MVTÃ[[\[QKPV]ZLQMI][JMQLMVZM[]T\QMZMVLM effektive Halbwertszeit<MUQ\LMZLQM)S\Q^Q\Ã\LM[ 8I\QMV\MV QV[OM[IU\ IJSTQVO\ ,QM 3MPZ_MZ\M LMZ JMQLMV ^WZOMOMJMVMV 0ITJ_MZ\[bMQ\MV ILLQMZMV [QKPb]U3MPZ_MZ\LMZMNNMS\Q^MV0ITJ_MZ\[bMQ\" 4%65 <M< <J 3Herleitung: Die drei Halbwertszeiten <, <J und <M sind proportional zu den Kehrwerten der zugehörigen Zerfallskonstanten λ, λJ und λM. Ohne den biologischen Abbau nähme die der Aktivität proportiona-

337

9.2 · Strahlennutzen, Strahlenschaden

le Anzahl N der aktiven Kerne im Blut von ihrem Ausgangswert N* ab nach der Gleichung: 6\%6M`Xwλ\ Ohne den radioaktiven Zerfall sorgte der biologische Abbau für eine Abnahme von N* nach: 6\%6M`XwλJ\ Beide Prozesse zusammen liefern: 6\%6M`XwλJ\wλ\%6M`XwλM\ Daraus folgt über

λM%λJλ das erwartete Ergebnis.

1U ZILQWIS\Q^MV )TT\IO SIVV LQM ;Q\]I\QWV VWKP SWUXTQbQMZ\MZ _MZLMV )VNIVO LMZ !MZ2IP ZM PI\ UIV UQ\ WJMZQZLQ[KPMV 3MZV_INNMV\M[\[ JM\ZÃKP\TQKPM 5MVOMV +Ã[Q]U QV LMZ -ZLI\ UW[XPÃZM^MZ[\ZM]\]VLÛJMZLQMOIVbM?MT\^MZ \MQT\ ,QM ;]J[\IVbUMVOMV ZMQKP\MV ]U b* QV ,M]\[KPTIVLLI[6]STQLI]KPQU5MV[KPMVVIKP b]_MQ[MV -[ PI\ MQVM XPa[QSITQ[KPM 0ITJ_MZ\[ bMQ\ ^WV 2IPZMV ]VL MQVM JQWTWOQ[KPM ^WV KI MZOTMQKP b] LMV 3MZV_INNMV\M[\[ ZMTI\Q^ _M VQO]VLZMOQWVITJMOZMVb\1VLMVIT\MV*]VLM[ TÃVLMZV _]ZLM LMZ .ITTW]\ OMVI] OMUM[[MV ]VL LWS]UMV\QMZ\-ZTIOUQ\ZMOQWVITMV=V\MZ[KPQM LMV QV LMZ OTMQKPMV /ZÕ¾MVWZLV]VO _QM QV LMV !MZ2IPZMV :ILQWRWL_QZLVQKP\V]Zb]Z,QIOVW[MMQVOM [M\b\[WVLMZVI]KPb]Z
9

TMV_QZS]VOOM[]KP\M-QOMV[KPIN\]VLVQKP\UMPZ ]VIVOMVMPUM *MQOIJM ,IL]ZKP ÃVLMZV [QKP LQM ?ÛV[KPMLQMUIVIVLI[1[W\WX[\MTT\*MQLMZ,QI OVW[M [WTTMV LQM ;\ZIPTMV I]¾MZPITJ LM[ 3ÕZXMZ[ VIKPOM_QM[MV _MZLMV [QM UÛ[[MV IT[W LMV 8I\Q MV\MV ^MZTI[[MV ,I[ \]V V]Z 9]IV\MV )U JM[ \MV_ÃZMV IT[W ZMQVM γ;\ZIPTMZ# M[ OQJ\ [QM LMVV 3-QVNIVO]VLiQ[WUMZM=U_IVLT]VOtI][MQVMU IVOMZMO\MV B][\IVL LM[ 3MZV[ [M\bMV SMQVM <MQT KPMVNZMQ?MQ\MZPQV_ÃZMM[NÛZLMV8I\QMV\MVIU JM[\MV _MVV LQM )S\Q^Q\Ã\ VIKP )J[KPT][[ LMZ *MWJIKP\]VO IJZ]X\ IJJZÃKPM ,I[ MZTI]J\ LQM M.]VS\QWV VQKP\# [QM SIVV ITTMVNITT[ MQVM S]ZbM 0ITJ_MZ\[bMQ\ QV LMZ /ZÕ¾MVWZLV]VO ;\]VLM TQM NMZV )TTMZLQVO[ MZ[KP_MZ\ LI[ LQM 0IVLPIJ]VO" .ÛZ LMV MZNÛO]VO,MUOMOMVÛJMZ_ÛV[KP\LQM
Zum Glück funktioniert hier die Verdauung besser als die Physik.

9.2.2 Strahlentherapie

)VLQM;\ZIPTMV\PMZIXQMUQ\MVMZOQMZMQKPMZ;\ZIP T]VO UÕKP\M UIV .WZLMZ]VOMV [\MTTMV LQM [QM VQKP\ MZNÛTTMV SIVV" *Õ[IZ\QOMU /M_MJM [WTT [QM MQVM\ÕLTQKPM,W[Q[IXXTQbQMZMV]VLLI[OM[]VLM /M_MJMLZ]UPMZ]U]VJMPMTTQO\TI[[MV
338

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 9 · Ionisierende Strahlung

[KPQMLMVMV:QKP\]VOMVb]JM[\ZIPTMV[WLI[[[QKP JMQQPUITTM,W[MVS]U]TQMZMV]VLLI[^WZ]VL PQV\MZQPUTQMOMVLM/M_MJMQUUMZV]ZMQVM<MQT LW[Q[IJJMSWUU\,I[TÃ[[\[QKPUQ\MQVMZMQVbQ OMV;\ZIPT]VO[Y]MTTMMZZMQKPMVLQMVIKP^WZOMOM JMVMU *M[\ZIPT]VO[XTIV ]U LMV 8I\QMV\MV PMZ ]UOM[KP_MVS\_QZL,QM[MV8TIVb]MZ[\MTTMVMZ NWZLMZ\VQKP\V]Z;IKPSMVV\VQ[[WVLMZVI]KP.QV OMZ[XQ\bMVOMNÛPT7PVM+WUX]\MZOMP\M[[W_QM[W VQKP\,MU:MKPVMZUÛ[[MVb]VÃKP[\MQVUITLQM 3ÕZXMZNWZUMVLM[8I\QMV\MV]VLLQMOMVI]M4I OMLM[<]UWZ[UQ\OM\MQT\_MZLMV#NMZVMZU][[MZ LQM;KP_ÃKP]VO[]VL;\ZM]SWMNâbQMV\MVLMZ^MZ _MVLM\MV ;\ZIPT]VO SMVVMV LMV µNNV]VO[_QV SMTLM[;\ZIPTMVJÛVLMT[]VLLQMOMVI]M4IOMLMZ 9]MTTM?MVVUIVQPULIVVMQVMV*M[\ZIPT]VO[ XTIV MQVOQJ\ ZMKPVM\ MZ LQM >MZ\MQT]VO LMZ ,W [Q[TMQ[\]VOQU3ÕZXMZLM[8I\QMV\MVI][)VPIVL LMZ:MKPMVMZOMJVQ[[MU][[UIVLIVV^MZ[]KPMV L]ZKP ST]OM £VLMZ]VOMV ]VL VM]M *MZMKPV]VO LMV*M[\ZIPT]VO[XTIV[KPZQ\\_MQ[Mb]WX\QUQMZMV ,I[SIVVM^MV\]MTTI]KPLMZ:MKPVMZ\]V *MQ *M[\ZIPT]VO ^WV I]¾MV _QZL γ;\ZIPT]VO I][ /MZÃ\MV ^MZ_MVLM\ LQM QU 8ZQVbQX _QM MQVM :ÕV\OMVZÕPZMN]VS\QWVQMZMV,IUIVWN\[MPZPWKP MVMZOM\Q[KPM ;\ZIPT]VO ^MZ_MVLMV UÕKP\M ZMQKP\ MQVM VWZUITM :ÕV\OMVZÕPZM IJMZ VQKP\ ,QM -TMS \ZWVMV_MZLMVMZ[\QVMQVMU*M[KPTM]VQOMZUQ\PW PMV ;XIVV]VOMV ÛJTQKP [QVL w 5QTTQWVMV >WT\JM[KPTM]VQO\JM^WZ[QMLQM)VWLM\ZMNNMV 1V UIVKPMV .ÃTTMV 4]VOM 5IOMV,IZU
,QM 5ÕOTQKPSMQ\MV [QVL IJMZ JMOZMVb\ 7N\ UIT[ U][[ UIV b]NZQMLMV [MQV _MVV _QKP\QOM IJMZ]VJM\MQTQO\M7ZOIVMV]Z ^WVLMZ,W[Q[ QU<]UWZIJJMSWUUMV,QMVW\_MVLQOMV,W[MV [QVLPWKP[QMJM\ZIOMVTMQKP\MQVQOM;QM^MZ\[MTJ[\ _MVVLMZ<]UWZVQKP\IJOM\Õ\M\[WVLMZVV]ZQV [MQVMU?IKP[\]UOMPMUU\_MZLMV[WTT

9.2.3 Natürliche Exposition

)]KP _MVV IU )VNIVO LMZ ?MT\ VQMUIVL LI JMQ _IZ" 6IKP ITTMU _I[ UIV PM]\M _MQ¾ U][[ UIVLI^WVI][OMPMVLI[[LQMQWVQ[QMZMVLM;\ZIP T]VO^WV)VNIVOIVLIJMQ_IZTIVOMJM^WZ;WV VM5WVL]VL-ZLMMV\[\IVLMV)T[[QKP[XÃ\MZI]N LMZ-ZLM4MJMVMV\_QKSMT\MNIVLM[LQM;\ZIPT]VO ^WZ ]VL U][[\M [MPMV _QM M[ LIUQ\ NMZ\QO _]Z LM3MQVB_MQNMTM[Q[\LIUQ\NMZ\QOOM_WZLMV-[ OMP\VQKP\]ULQM;\ZIPT]VOIV[QKPM[OMP\]U LQM;\ZIPTMVLW[Q[ *MQ LMZ VI\ÛZTQKPMV -`XW[Q\QWV TI[[MV [QKP )V\MQTM]V\MZ[KPMQLMV" 5 Höhenstrahlung" ;QM SWUU\ I][ LMU ?MT\ ZI]U]VLPI\LQM)\UW[XPÃZMLMZ-ZLML]ZKP LZ]VOMV 5 BodenstrahlungWLMZJM[[MZUmgebungsstrahlung" B] QPZ OMPÕZ\ I]KP LQM ;\ZIPT]VO I][ LMV?ÃVLMVLMZ0Ã][MZ 5 Eigenstrahlung" ;QM ZÛPZ\ ^WV ZILQWIS\Q^MV )\WUMVPMZLQMVI\]ZOMUÃ¾QU3ÕZXMZ^WZ PIVLMV[QVL -QVMV_M[MV\TQKPMV*MQ\ZIOb]Z-QOMV[\ZIPT]VOTQM NMZ\LI[JMZMQ\[MZ_ÃPV\M3ITQ]U-[Q[\UQ\M\_I QV ITTMU 3ITQ]U LMZ ?MT\ MV\PIT\MV IT[W I]KPQVLMVZ]VLOQU3ÕZXMZLM[MZ_IKP[MVMV 5MV[KPMV SO# 3ITQ]U Q[\ SMQV ;X]ZMVMTM UMV\?MOMV LMZ M`\ZMU OZW¾MV 0ITJ_MZ\[bMQ\ !2IPZM TQMNMZV LQM UO 3 MQVM SWV[ \IV\M ,W[Q[TMQ[\]VO ^WV ]VOMNÃPZ U;^2IPZ B][IUUMVUQ\IVLMZMV6]STQLMV_QM3WPTMV[\WNN ]VLLMZ)TTMZ_MT\[[]J[\IVb:ILQ]UJZQVO\ M[LQM-QOMV[\ZIPT]VOI]NM\_IU;^2IPZ ,QM ,W[Q[TMQ[\]VO LMZ 0ÕPMV[\ZIPT]VO PÃVO\ ^WZITTMULI^WVIJ_QM^QMT-ZLI\UW[XPÃZMUIV VWKPÛJMZ[QKPPI\wLIb]IJMZI]KP^WVLMZOMW OZIXPQ[KPMV *ZMQ\M LM[ )]NMV\PIT\[WZ\[ ]VL MQV

9.2 · Strahlennutzen, Strahlenschaden

_MVQO[WOIZ^WVLMZ.TMKSMVIS\Q^Q\Ã\LMZ;WVVM )]N 5MMZM[PÕPM QV 5Q\\MTM]ZWXI U][[ UIV UQ\ U;^2IPZZMKPVMV#SU_MQ\MZWJMVQU.T]O bM]O [QVL M[ JMZMQ\[ UMPZ IT[ U;^2IPZ O]\ ;^XZW)\TIV\QSÛJMZY]MZ]VO ,QM *WLMV[\ZIPT]VO PÃVO\ QV PWPMU 5I¾M ^WVLMVÕZ\TQKPMV/MOMJMVPMQ\MVIJ#[QMSIVV[QKP [KPWVI]N_MVQOM5M\MZ,Q[\IVbUMZSTQKPÃVLMZV QV?WPV]VOMVI]KP^WVBQUUMZb]BQUUMZ1V LMZ*]VLM[ZMX]JTQS[KP_IVSMVLQMÛJMZOZÕ¾MZM .TÃKPMVOMUQ\\MT\MV5M[[_MZ\Mb_Q[KPMV]VL U;^2IPZ UQ\ MQVMU ;KPVQ\\ ^WV KI U;^ 2IPZ)VLMZ[_WSWUUMVQVJM_WPV\MV/MOMVLMV I]KP UMPZ IT[ U;^2IPZ ^WZ b]_MQTMV [WOIZ UMPZ IT[ U;^2IPZ ,QM[ OQT\ QU .ZMQMV 1V ?WPV]VOMVQ[\LQM,W[Q[TMQ[\]VOPÕPMZ_MQTLI[ *I]UI\MZQIT ZILQWIS\Q^M *MQUMVO]VOMV MV\PÃT\ )TTOMUMQVU][[UIVUQ\MQVMUB][KPTIO^WVw b]Z ;\ZIPT]VO QU .ZMQMV ZMKPVMV -QVM ;WV LMZZWTTM [XQMT\ LI[ -LMTOI[ :ILWV LMZ MZ[\M .WTOMSMZV QV LMZ BMZNITT[ZMQPM LM[ :ILQ]U . Abb. 8.11;X]ZMV_MQ[MPÃT\[QKP:ILQ]UI]KP QVLMV0Ã][MZ_ÃVLMVI]N,WZ\JQTLM\[QKPIT[W:I LWV LI[ UQ\ [MQVMZ 0ITJ_MZ\[bMQ\ ^WV
339

9

Z]U^MZU]\TQKP_MVQOMZ_QZS[IUQ[\/MVI]TÃ[[\ [QKP LQM ?QZS]VO [WTKPMZ Kleindosisstrahlung I]N LMV5MV[KPMVVQKP\NM[\[\MTTMVLMVVLIb]UÛ[[ \M UIV >MZ[]KP[XMZ[WVMV RIPZbMPV\MTIVO [\ZIP TMV[QKPMZ PQV\MZ *M\WV ]VL *TMQ ^WV LMZ =UOM J]VO[[\ZIPT]VO IJ[KPQZUMV ,QM MQVNIKP[\M )V VIPUMXW[\]TQMZ\MQVMVTQVMIZMVB][IUUMVPIVO b_Q[KPMV,W[Q[]VL?QZS]VO]VIJPÃVOQO^WVLMZ BMQ\ IT[ [MQ LMZ 7ZOIVQ[U][ OZ]VL[Ã\bTQKP VQKP\ QVLMZ4IOMI]KPLMVOMZQVO[\MV;\ZIPTMV[KPILMV b] ZMXIZQMZMV ,IZI][ NWTO\ LQM )][[IOM" i2MLM VWKP[WSTMQVM,W[Q[[KPILM\ITTM;KPÃLMVISS] U]TQMZMV[QKPt,QM[Q[\MQVM[WOkonservative)V VIPUMSMQVMUXQZQ[KPMZ*MN]VL

9.2.4 Zivilisationsbedingte Exposition

,QM MQVbQOM ;XIZ\M UMV[KPTQKPMZ <Ã\QOSMQ\ LQM XZWNM[[QWVMTT£Y]Q^ITMV\LW[MVQV^MZOTMQKPJIZMU =UNIVO_QMLQM6I\]ZIVLQM*M^ÕTSMZ]VO^MZ\MQT\ Q[\LQM5MLQbQV]VLPQMZ[XMbQMTTLQM:ÕV\OMVLQIO VW[M,I[UIOÛJMZZI[KPMV_MQTLQM-`XW[Q\QWV[ bMQ\MVJMQ:ÕV\OMVI]NVIPUMVITTMVNITT[VIKP;M S]VLMVJMUM[[MV_MZLMVLQMVI\ÛZTQKPM*M[\ZIP T]VOPQVOMOMVMZT][\ MQVMZ 0IVL Q[\ VQKP\ \ÕLTQKP# LQM /WVI LMVLW[Q[JM\ZQNN\MZ[\LQMVÃKP[\M/MVMZI\QWVB]Z =UZMKPV]VO ^WV 7ZOIVLW[Q[ I]N GanzkörperäquivalentJMV]\b\UIVLQMWichtungsfaktorenLMZ .Tabelle 9.1 ?MVVUIVRM\b\ITTMQVMQVMU2IPZQVLMZ*]V LM[ZMX]JTQS LQIOVW[\Q[KP IXXTQbQMZ\MV 7ZOIVLW [MV IJ[KPÃ\b\ I]N /IVbSÕZXMZÃY]Q^ITMV\ ]U

340

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kapitel 9 · Ionisierende Strahlung

. Tabelle 9.1 Wichtungsfaktoren für das Ganzkörperäquivalent Organ

Wichtungsfaktor [%]

Brust

15

rotes Knochenmark

12

Lunge

12

Schilddrüse

3

Knochenoberﬂäche

3

Restkörper insgesamt

30

genetisches Risiko der Gonadendosis

25

ZMKPVM\b][IUUMVbÃPT\]VLL]ZKPLQM*M^ÕTSM Z]VO[bIPTLQ^QLQMZ\SWUU\UIVQVLQM6ÃPM^WV U;^ NZMQTQKP UQ\ MQVMZ =V[QKPMZPMQ\ LQM O]\ ]VLOMZVM JM\ZIOMVSIVV;W[MPZO]\_MZ LMV ,QIOVW[MLW[MV VQKP\ LWS]UMV\QMZ\ b]LMU ^MZ\MQTMV [QM [QKP M`\ZMU QVPWUWOMV I]N LQM *M ^ÕTSMZ]VO ;MQ\ LQM :ÕV\OMVZMQPMV]V\MZ[]KP]VO b]Z.ZÛPMZSMVV]VOLMZ4]VOMV\]JMZS]TW[MVQKP\ UMPZ 8ãQKP\ Q[\ JZI]KP\ [QKP [W UIVKPMZ RIPZM TIVOSMQVMZ,]ZKPTM]KP\]VOb]]V\MZbQMPMV)V LMZMJMSWUUMVLINÛZ]U[WUMPZIJ1UUMZPQV U][[UIVNM[\PIT\MV",QMUMLQbQVQ[KPM:ÕV\OMV LQIOVW[M JMTI[\M\ LMV 5Q\\MTM]ZWXÃMZ QU 5Q\\MT [MQVM[4MJMV[UQ\]VOMNÃPZU;^2IPZ ,QM ;\ZIPTMV\PMZIXQM [M\b\ QU -QVbMTNITT _MQ\ PÕPMZM ,W[MV MQV IT[ LQM ,QIOVW[M# [KPTQM¾TQKP _QTT [QM _]KPMZVLM[ /M_MJM IJ\Õ\MV WLMZ LWKP b]UQVLM[\IU?IKP[\]UPQVLMZV,I[[[QMLIb] UQ\ 5QTTQ[QM^MZ\ VQKP\ I][SWUU\ [WVLMZV OIVbM ;QM^MZ\JZI]KP\SIVVVQKP\^MZ_]VLMZV.ÛZLQM UQ\\TMZM ;\ZIPTMVJMTI[\]VO LMZ /M[IU\JM^ÕTSM Z]VO [XQMT\ [QM \ZW\bLMU SMQVM OZW¾M :WTTM _MQT V]ZZMTI\Q^_MVQOM-QVbMTXMZ[WVMVJM\ZWNNMV[QVL ,IZ]U\ZÃO\[QM[KPÃ\b]VO[_MQ[MUQ\_MVQOMZIT[ U;^2IPZ b]Z OM[IU\MV ;\ZIPTMVLW[Q[ JMQ ,MVOTMQKPMV;KPÃ\b_MZ\WZLVM\UIVLMZ6]STM IZUMLQbQVb] -JMVNITT[ UI`QUIT U;^2IPZ _MZLMV NÛZ LQM 3MZVSZIN\_MZSM IVOM[M\b\ [WTIVOM [QM WZL V]VO[OMUÃ¾ IZJMQ\MV UI`QUIT LI[ ,WXXMT\M NÛZ LMV .ITTW]\ TÃVO[\ ^MZOM[[MVMZ 3MZV_INNMV

\M[\[QVLMZWNNMVMV)\UW[XPÃZM]VLLI[/TMQKPM VWKP MQVUIT NÛZ IVLMZM )V_MVL]VOMV ZILQWIS \Q^MZ ;\WNNM ]VL QWVQ[QMZMVLMZ ;\ZIPTMV QV .WZ [KP]VO<MKPVQS]VL0I][PIT\,IUQ\JMSWUU\ UIVIT[;]UUMLMZbQ^QTQ[I\QWV[JMLQVO\MV;\ZIP TMVM`XW[Q\QWVQVLMZ*]VLM[ZMX]JTQS,M]\[KPTIVL KIU;^2IPZPMZI][

9.2.5 Strahlenschutz

-[ PI\ SMQVMV ;QVV QU BMT\ b] ÛJMZ_QV\MZV ]U LMZ ;\ZIPT]VO LMZ BQUUMZ_ÃVLM b] MV\OMPMV _MVV UIV [QKP LIJMQ MQVM 4]VOMVMV\bÛVL]VO PWT\ )]KP JMQU ;\ZIPTMV[KP]\b OMP\ M[ ]U LI[ )J[KPÃ\bMV^WV:Q[QSMV,QM[^MZUIOLMZ-QVbMT VMNZMQTQKPVQKP\QUUMZNÛZ[QKPITTMQV]VLQVNZMQ MZ-V\[KPMQL]VOb]\]V_MQTMZ[QKPRIZMOQWVITMV ]VL^WZITTMU_MT\_MQ\MV-`XW[Q\QWVMVVQKP\MV\ bQMPMV SIVV :MOQWVIT [QVL LQM :MOQMZ]VOMV OM NWZLMZ\QV\MZVI\QWVITUÛ[[MV)JSWUUMVOM\ZWN NMV_MZLMV-QVM:QKP\[KPV]ZSIVVLQMVI\ÛZTQKPM -`XW[Q\QWVTQMNMZVLMZ[QKPRII]KPVQMUIVLMV\ bQMPMVSIVV]VLLQMUQ\;QKPMZPMQ\VQKP\TMJMV[ OMNÃPZTQKPQ[\?MVVUIV[QMUQ\LMVZ]VLMV?MZ \MV ^WV U;^2IPZ ]VL U;^ NÛZ MQV ^WTTM[ 5MV[KPMVTMJMV IV[M\b\ PI\ UIV OM_Q[[ VQKP\ b] PWKPOMOZQNNMV,I[,WXXMT\M]VL,ZMQNIKPMSWUU\ QVLMZ6I\]ZMJMVNITT[^WZI]KPUITLI[0]VLMZ\ NIKPM]VLLI[ITTM[WPVMMZNI[[JIZM/M[]VLPMQ\[ [KPÃLMVJMQLMV5MV[KPMVLQMLWZ\_WPVMV ,QM LM]\[KPM Strahlenschutzverordnung ^MZ TIVO\)]NUMZS[IUSMQ\[WJITLLQM5ÕOTQKPSMQ\JM [\MP\LI[[RMUIVLQU4I]NMMQVM[2IPZM[UMPZIT[ U;^]VOM_WTT\I][SÛV[\TQKPMV;\ZIPTMVY]MT TMVI]NVQUU\*MZMQKPMQVLMVMVLQM[OM[KPMPMV SIVV UÛ[[MV IT[ i;\ZIPTMV[KP]\bJMZMQKPMt OM SMVVbMQKPVM\[MQV?MZLWZ\IZJMQ\M\OQT\IT[i)V OMPÕZQOMZ [\ZIPTMVM`XWVQMZ\MZ *MZ]NMt ]VL Q[\ ^MZXãQKP\M\[MQVM8MZ[WVMVLW[Q[TI]NMVLb]SWV\ ZWTTQMZMVQU)TTOMUMQVMVL]ZKPMQVM8TISM\\MIU :WKSI]N[KPTIO LQM MQVMV [\ZIPTMVMUXâVLTQKPMV .QTU MV\PÃT\ -Z _QZL ^WV MQVMZ [\II\TQKPMV ;\MT TM QV ZMOMTUÃ¾QOMV )J[\ÃVLMV I][OM\I][KP\ ]VL I][OM_MZ\M\?MZQU4I]NMMQVM[2IPZM[UMPZIT[ U;^ I]NOMVWUUMV PI\ U][[ [MQVMV )ZJMQ\[ XTI\b_MKP[MTV,QM[U][[I]KP_MZM[QVI]N MQVIVLMZNWTOMVLMV?WKPMVIT[.ZI]I]NU;^

341

9.2 · Strahlennutzen, Strahlenschaden

9

]VL IT[ 5IVV I]N U;^ OMJZIKP\ PI\ 1VVMZ 5 Sich entfernen w LI[ Y]ILZI\Q[KPM )J[\IVL[ PITJLQM[MZ/ZMVbMVNÛZLQM/IVbSÕZXMZLW[Q[LÛZ OM[M\bJQM\M\QUUMZVWKPLMVb]^MZTÃ[[QO[\MV NMVLMV-`\ZMUQ\Ã\MV.Û¾M3VÕKPMT0ÃVLM]VL ;\ZIPTMV[KP]\b =V\MZIZUMPÕPMZM<MQTLW[MVb]OMU]\M\_MZLMV" 5 Abschirmenwb*L]ZKPMQVM*TMQ[KPÛZbM,QM UI`QUIT;^QU4I]NMMQVM[2IPZM[]VLUI`Q *MLQMV]VO[X]T\M ^WV :ÕV\OMVIVTIOMV JMâV UIT;^QU4I]NMMQVM[>QMZ\MTRIPZM[?MZ]U LMV [QKP QV MQVMU [\ZIPTMVLQKP\MV 6MJMV 3WUXTQSI\QWVMVb]^MZUMQLMVLQM8TISM\\MVQKP\ ZI]U LM[[MV <ÛZ _ÃPZMVL LMZ *M[\ZIPT]VO ZMOMTUÃ¾QO\ZÃO\U][[LI[[MTJ[\^MZIV\_WZ\MV OM[KPTW[[MV[MQVU][[ /MOMV ]VVÕ\QOM ;\ZIPTMVM`XW[Q\QWVMV QV LMZ 5 Dosis reduzierenwLPVQKP\UMPZMQV[\ZIPTMV 5MLQbQV OQJ\ M[ LZMQ _QZS[IUM 5I¾VIPUMV b]Z IT[NÛZLMVUMLQbQVQ[KPMVB_MKSIJ[WT]\]V >WZJM]O]VO" MZTÃ[[TQKPQ[\

In Kürze Dosis Ionisierende Strahlung wirkt zerstörend auf lebende Organismen. Als Maß für die Dosis an Strahlung, die jemand abbekommen hat, dient zunächst die Energiedosis (absorbierte Energie pro Masse, Einheit Gray 1 Gy = 1 J/Kg). Da verschiedene Strahlen auch bei gleicher Energiedosis verschieden stark schädigen, gibt es Bewertungsfaktoren, mit denen man die Energiedosis multiplizieren kann, um zur Äquivalenzdosis (Einheit: Sievert, Rem: 1 Sv = 100 rem) zu kommen, die direkter ein Maß für die mögliche Schädigung gibt. Die Intensität einer Strahlungsquelle wird als Dosisleistung (Dosis pro Zeit) angegeben. Die natürliche Strahlenbelastung beträgt ca. 1 mSv pro Jahr, der Grenzwert für beruﬂiche Exposition 50 mSv pro Jahr. Medizinische Diagnostik belastet die Bevölkerung in Deutschland derzeit im Mittel mit 2 mSv pro Jahr. Die Dosis einer Röntgenaufnahme kann einige Millisievert betragen. Energiedosis ,

?: absorbierte Energie C2E U: Masse des Absorbers CSOE Äquivalenzdosis

bewertete Energiedosis:

,Y CSv, SievertE

,Y%Y, Y: Bewertungsfaktor (abhän-

Äquivalenzdosis: bewertete Energiedosis ,

gig von den Teilchen in der Strahlung) Abschwächung Will man die Strahlenexposition verringern, so kann man zum einen weggehen: Für Punktquellen gilt das quadratische Abstandsgesetz (ein Viertel der Intensität bei doppeltem Abstand). Außerdem kann man abschirmen, zum Beispiel mit einer Bleischürze. Im Blei nimmt die Strahlungsintensität exponentiell ab. Die Abschirmwirkung kann deshalb mit einer Halbwertsdicke (Dicke einer Bleischürze, die die Intensität halbiert) beschrieben werden. Im Vakuum bei Punktquellen gilt auch für radioaktive Strahlen das quadratische Abstandsgesetz

Z: Abstand von der Punktquelle CUE

In absorbierendem Material (Blei, Beton) gilt exponentielle Abschwächung, charakterisiert durch eine Halbwertsdicke

,: Anfangsdosis C/aE L: Eindringtiefe CUE L: Halbwertsdicke CUE

342

1

Kapitel 9 · Ionisierende Strahlung

Übungsaufgaben (• leicht; •• mittel; ••• schwer)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

• 1. Wie ist die Energiedosis deﬁniert? • 2. Welcher mittleren Äquivalentdosisleistung ist der durchschnittliche Mitteleuropäer durch die natürliche Umgebungsstrahlung ungefähr ausgesetzt? • 3. Welcher mittleren Äquivalentdosisleistung darf sich ein Mensch höchstens aussetzen, wenn er im Laufe seines Lebens nicht mehr als 1% der Letaldosis aufnehmen will?

343

Anhang Antworten

– 344

Physikalische Formelsammlung Sachverzeichnis

– 360

–368

U. Harten, Physikfür Mediziner, DOI 10.1007/978-3-642-16316-6, © Springer Medizin Verlag Heidelberg 2011

344

1

Anhang

Antworten

2 1

3 4

Grundbegriffe

5. ,QM5WTUI[[MV5[QVLTI]\)VPIVO"

Antworten auf Verständnisfragen

_MZ\M[ LMVV LMZ 5Q\\MT_MZ\ _QZL RI IT[ JM[\M ;KPÃ\b]VOLM[_IPZMV?MZ\M[OMVWUUMV

1. -[ Q[\ LQM ;\IVLIZLIJ_MQKP]VO LM[ 5Q\\MT

5

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2. ,QMZMTI\Q^M=V[QKPMZPMQ\ÃVLMZ\[QKPVQKP\LI

LQMIJ[WT]\M=V[QKPMZPMQ\I]KPL]ZKPLZMQb] \MQTMVQ[\

6 7

3. >MS\WZMV[QVLLI[PMQ¾\MQVM:QKP\]VOPIJMV"

8 9 10

6. ,QM5WTUI[[M^WV?I[[MZQ[\"

3ZIN\]VL/M[KP_QVLQOSMQ\)]KPLQM*M_MZ \]VO MQVMZ .MZV[MP[MVL]VO SIVV IT[ >MS\WZ OM[KPZQMJMV_MZLMV"[W]VL[W^QMTMOMJMVLQM 6W\M[W]VL[W^QMTMLQM6W\M]VL[W_MQ\MZ ,I[[QVLLQM3WWZLQVI\MV

507%OUWT% OUWT )VLMZMZ[MQ\[Q[\LQM,QKP\M^WV?I[[MZ ρ%OKU )T[WVMPUMVMQV5WT?I[[MZ KUMQV 7. ,QM IV LMV :ÛJMV PIN\MVLM -ZLM ^MZ]Z[IKP\

4. +PIZIS\MZQ[\Q[KPNÛZLQM-`XWVMV\QITN]VS\QWV

Q[\LI[[[QMQVOTMQKPMVBMQ\ZÃ]UMVQUUMZ]U LMVOTMQKPMV.IS\WZ[QVS\?MVVLMZ?MZ\IT[W QVΔ\I]NMQV,ZQ\\MT[QVS\[W[QVS\MZQULIZ I]NNWTOMVLMVBMQ\ZI]UΔ\VWKPUITI]NMQV ,ZQ\\MT IT[W QV[OM[IU\ I]N MQV 6M]V\MT WLMZ 8. ]UIKP\6M]V\MT

11 12 13

Lösungen der Übungsaufgaben

14 15

1. I%L%UQV%UQV#

5QSZWRIPZP]VLMZ\%μI%wI≈UQV

2. Z%L%KU#0ITJS]OMT"

3. 5I¾[\IJ"

^MV=V[QKPMZPMQ\MV[QVLb]U]T\QXTQbQMZMV )T[W" ;\ZWUXT][ ;XIVV]VOUIKP\

;S\%UU ;S\%UU ;S\%!UU

17 18

4. 7JMZãÃKPMMQVM[BaTQVLMZUIV\MT["

19 20

5Q\?QUXMZV" 3ÕZXMZ

# 7JMZãÃKPMMQVMZ-VL[KPMQJM" /M[IU\M7JMZãÃKPM"

1V LQM .TÃKPMVJMZMKPV]VO OMP\ LMZ :ILQ][ Y]ILZI\Q[KPMQVLM[_MOMVQ[\VIKP:MOMTLMZ .MPTMZNWZ\XãIVb]VOb_MQUITLQM=V[QKPMZPMQ\ LM[ :ILQ][ IVb][M\bMV" ZMTI\Q^M =V[QKPMZPMQ\ LMZ.TÃKPM"

9. 4MQ[\]VOQ[\;\ZWUUIT;XIVV]VO#,QMZMTI\Q

16

MQVMV .MPTMZ LMZ VÃPMZ]VO[_MQ[M XZWXWZ\QW VITb]U/M[IU\OM_QKP\[MQVLÛZN\M]VLLIZ ]UIUJM[\MVIT[ZMTI\Q^MZ.MPTMZIVOMOMJMV _QZL *MQ MQVMZ 5M[[_QMLMZPWT]VO ^MZZÃ\ MZ [QKPVQKP\"[a[\MUI\Q[KPMZ.MPTMZ

10.,QM,I]MZLM[>WZOIVO[Q[\\w\0QMZILLQM

ZMV[QKPLQMIJ[WT]\MV=V[QKPMZPMQ\MV ,QM,I]MZQ[\IT[WI]Nb_MQBMPV\MT;MS]VLMV OMVI]JMSIVV # 11.>MS\WZXZWL]S\">MS\WZMVXIZITTMT"[QV%

;SITIZXZWL]S\">MS\WZMV[MVSZMKP\" KW[!%

345

Antworten

12. -`XWVMV\QMTTM[ ?IKP[\]U JZQVO\ QV OTMQKPMV

8. ,QM)JJZMU[]VOSIVVVQKP\[\ÃZSMZ[MQVIT[

BMQ\[XIVVMVOTMQKPM.IS\WZMV,QM?MT\JM^ÕT SMZ]VO_]KP[QVLMVMZ[\MV2IPZMV]ULMV .IS\WZ% QVLMVb_MQ\MV2IP ZMV]U%IT[W[KPVMTTMZIT[V]Z M`XWVMV\QMTT

M[ LQM :MQJ]VO[SZIN\ b]TÃ[[\ >MZ[]KP\ UIV UMPZ JTWKSQMZMV LQM :ÃLMZ ]VL Z]\[KPMV ,IVVSIVVUIVVQKP\UMPZ[\M]MZVLMVVLI b]U][[LQM:MQJ]VOQV[MVSZMKP\b]Z.IPZ\ ZQKP\]VOOZÕ¾MZ[MQVIT[QV.IPZ\ZQKP\]VO

13.2I1VMQVNIKPTWOIZQ\PUQ[KPMZ,IZ[\MTT]VONÃTT\

9. *MQU )VNIPZMV JZI]KP\ UIV LQM 3ZIN\ b]U

LQMBIPTLMZ
*M[KPTM]VQOMV JMQ SWV[\IV\MZ /M[KP_QVLQO SMQ\U][[V]ZVWKPLQM:MQJ]VOSWUXMV[QMZ\ _MZLMV

10. B_MQ 5IT 8Q L]ZKP ;MS]VLMV UIKP\ M\_I

[w 2

Mechanik des starren Körpers

11.6MQV VQKP\ JMQ SWV[\IV\MZ ?QVSMTOM[KP_QV

LQOSMQ\ Antworten auf Verständnisfragen 1. 5WUMV\IV\M ]VL UQ\\TMZM /M[KP_QVLQOSMQ\

Lösungen der Übungsaufgaben

[QVLOTMQKPNÛZMQVM*M_MO]VOUQ\SWV[\IV\MZ /M[KP_QVLQOSMQ\QV?MOBMQ\,QIOZIUUMQVM 1. /MZILM 2. 6MQV?MVVMQV)]\W]ULQM3]Z^MNÃPZ\ÃV

2. B]VÃKP[\ [WTT\M UIV LQM /M[KP_QVLQOSMQ\ QV

LMZ\M[[\ÃVLQOLQM:QKP\]VO[MQVMZ/M[KP_QV LQOSMQ\ ]VL Q[\ LM[PITJ JM[KPTM]VQO\ 7PVM :MQJ]VO[SZIN\SWUU\M[VQKP\]ULQM3]Z^M

5M\MZXZW;MS]VLM]UZMKPVMV]ULIVVLQM *M[KPTM]VQO]VO QV 5M\MZ XZW ;MS]VLM b]U 9]ILZI\ I][ZMKPVMV b] SÕVVMV ,Ib] U][[ UIVLQM5I¾bIPTL]ZKP\MQTMV"

3. ,QM/M[KP_QVLQOSMQ\Q[\6]TTLQM*M[KPTM]VQ

O]VOOTMQKPLMZ.ITTJM[KPTM]VQO]VO

,QM*M[KPTM]VQO]VOQ[\LIVV"

4. ,QM[MVSZMKP\M/M[KP_QVLQOSMQ\[SWUXWVMV\M

Q[\JMQ;\MQV]VL*ITTOTMQKPIJMZLMZ*ITTPI\ VWKPMQVMPWZQbWV\ITM/M[KP_QVLQOSMQ\Q[\IT [WQVLMZ>MS\WZ[]UUM[KPVMTTMZ

IT[WSVIXXPITJ[WOZW¾_QMLQM.ITTJM[KPTM] VQO]VO

5. -QV3ÕZXMZQ[\LIVVQV:]PM_MVVLQM>MS\WZ

[]UUMITTMZ3ZÃN\M]VL,ZMPUWUMV\MI]NQPV 3. 6]TTQ[\-[UÛ[[MVVQKP\ITTM3ZÃN\M6]TT[MQV 4. SUU 6% !4%O\⇒.ITTbMQ\\%[# 6. 6MQVLMVLMZ;\QMTPI\LMVTÃVOMZMV0MJMTIZU P [ ,I[ *ÛZ[\MV\MQT PI\ LMV SÛZbMZMV ]VL U][[ 0ÕPM [KP_MZMZ[MQV ,I[MV\[XZQKP\M\_IMQVMU.ITTI][LMULZQ\ 7. =ULI[/TMQKPOM_QKP\PIT\MVb]SÕVVMVU][[ \MV;\WKS LMZ ;KP_MZX]VS\ QV M\_I ÛJMZ LMV .Û¾MV [MQV

346

1

Anhang

5. .ITTPÕPMΔP%U#*ZMU[_MOΔ[%U

12.,QM?IIOMbMQO\MQVMPÕPMZMIT[QPZM\I\[ÃKP

,QM .ITTbMQ\ [MQ Δ\ ,QM UI`QUITM /M[KP_QV LQOSMQ\JMQSWV[\IV\MZ*M[KPTM]VQO]VO"

TQKPM 5I[[M IV LI LQM VIKP ]V\MV OMZQKP\M\M *M_MO]VO QPZM[ 3ÕZXMZ[ IJOMJZMU[\ _MZLMV U][[]VLLQMLINÛZVW\_MVLQOM3ZIN\b][Ã\b TQKPb]Z/M_QKP\[SZIN\^WVLMZ8MZ[WVMV_II OMI]Nb]JZQVOMVQ[\

2

3 4 5 6 7

,QM*M[KPTM]VQO]VOLM[;KPÃLMT[Q[\OM_IT\QO" 13.,I[[KP_MZM3QVL[M\b\[QKPM\_II]NLMVPIT I%O JMV )J[\IVL _QM LI[ TMQKP\M LIUQ\ QV M\_I /TMQKPOM_QKP\PMZZ[KP\0MJMTOM[M\b 6. -Z U][[ [MVSZMKP\ PMZÛJMZ[\M]MZV ]VL [QKP IJ\ZMQJMV TI[[MV ,IVV Q[\ LQM /M[KP_QVLQO 14.)ZJMQ\" SMQ\[SWUXWVMV\MY]MZb]U.T][[UI`QUIT 4MQ[\]VO8%?%S2[# 7. .ÛZLQMB]OOM[KP_QVLQOSMQ\^OQT\" 15.,I[PÃVO\^WV1PZMZ5I[[M[IOMV_QZSO

8 9

8. ,QM.ITTbMQ\\I][U0ÕPMQ[\"

⇒\%[

10

11 12

15

LQOQVXW\MV\QMTTM-VMZOQM]UOM_IVLMT\" ,I[ N]VS\QWVQMZ\ QUUMZ [WTIVOM LQM 4QIVM VQKP\SÛZbMZIT[ UQ[\

)]\W[\MPMV]VLLQMOIVbMSQVM\Q[KPM-VMZOQM U][[]UOM[M\b\_MZLMV

19.=VUQ\\MTJIZVIKPLMU;\W¾JM_MOMV[QKPJMQ 10.1U*]KPLZ]KSJM\ZÃO\LQM0ÕPMPLMZ;\]NMM\

_I UU /MOMVSI\PM\M ]VL LMZ )J[\IVL [b_Q[KPMVLMV)]ãIOMX]VS\MVLMZ*WPTM UU0aXW\MV][M

,QM3ZIN\MQV[XIZ]VOJM\ZÃO\IT[W

11.I

20

17.,QMSQVM\Q[KPM-VMZOQM^WV2IVM_QZL^WTT[\ÃV

9. i3QTWtJMLM]\M\"U%SO#

17

19

18.-[ Q[\ MOIT LMVV QV JMQLMV .ÃTTMV JTMQJ\ LI[

16

18

16.

,I[Q[\OMZILMLQMPITJM;XZ]VObMQ\LMV)]N [\MQOMV ]VL .ITTMV QU ;XZ]VO [QVL [aUUM\ ZQ[KP\Q[\LQMOM[IU\M;XZ]VObMQ\QVLMZ LI[3ÃVO]Z]U_MQ\SWUU\,IUQ\Q[\LQM 0WZQbWV\ITOM[KP_QVLQOSMQ\"

13 14

]VLLMZ0ÕPMLM[;\WKS_MZS[[IOMV_QZU IJ"

IT[W^%!%SUP

J _MVQOMZ [\IZS LMVV _MVV b_MQ >MS\WZMV VQKP\ XIZITTMT TQMOMV Q[\ LMZ *M\ZIO LM[ ;]U UMV^MS\WZ[STMQVMZIT[LQM;]UUMLMZ*M\ZÃ OMLMZMQVbMTVMV>MS\WZMV

LM )]\W[ UQ\ PITJMZ /M[KP_QVLQOSMQ\ _MQ\MZ LWXXMT\M5I[[MIT[WUQ\LMZPITJMVSQVM\Q [KPMV-VMZOQM6]ZLQM0ÃTN\MLMZSQVM\Q[KPMV -VMZOQM LM[ I]NNIPZMVLMV )]\W[ _QZL ]UOM _IVLMT\ ,IJMQLM)]\W[[\MPMVJTMQJMVOMP\LQMOIVbM -VMZOQMQV[*TMKP

20.1[\ LQM *M[KPTM]VQO]VO TQVMIZ [W ZMIOQMZ\ LQM

*ITSMV_IIOMOIZVQKP\LILQM
347

Antworten

21.,QM )ZUJIVL]PZ [KP_MVS\ QUUMZ QV :QKP

7. ,IVV Q[\ LMZ *MPÃT\MZ [KP_MZMTW[ ]VL M[

\]VO LMZ :M[]T\QMZMVLMV I][ .ITTJM[KPTM]VQ O]VO]VL.T]ObM]OJM[KPTM]VQO]VOI.IT[W

8. ?MOMV LMZ 3WV\QV]Q\Ã\[OTMQKP]VO" ,I[ ?I[

SWUU\SMQV?I[[MZUMPZI][LMU4WKP

[MZNÃTT\UQ\b]VMPUMVLMZ
;\IZ\OM[KP_QVLQOSMQ\ ^%I. [% U[ %SUP

9. *MZVW]TTQ-NNMS\" QV JM_MO\MZ 4]N\ PMZZ[KP\ 22.=UTI]NbMQ\

=V\MZLZ]KSIT[WMV\[\MP\MQVM,Z]KSLQNNMZMVb TÃVO[LM[;KPWZV[\MQV[

#

*IPVZILQ][Z%!U =UTI]NNZMY]MVbN%<%w [w# 3ZMQ[NZMY]MVbω%πN%!!w[w# *IPVOM[KP_QVLQOSMQ\

Lösungen der Übungsaufgaben 1. ,QMB]O[XIVV]VOQ[\6U 2. -%;\MQO]VOLMZ0WWSMs[KPMV/MZILMV%

23.

LQM *M[KPTM]VQO]VO ^MZ^QMZNIKP\ [QKPIT[W

3

Mechanik deformierbarer Körper

LMVV LQM /MZILM OMP\ b* L]ZKP LMV 8]VS\ UQ\σ%6U]VLΔTT%w

Antworten auf Verständnisfragen 1. ,I[Q[\_QMJMQU<
3. B]OSZIN\."

SMVJQMOMVLQMVM]\ZITM.I[MZQ[\JZI]KP\SMQV 5I\MZQIT b] [MQV :ÕPZMV [QVL [MPZ [\IJQT JMQ OMZQVOMU5I\MZQITI]NSWUUMV 2. ,I[ /M_QKP\ LMZ 4]N\ Q[\ ,Z]KS UIT .TÃKPM"

6XZW9]ILZI\UM\MZMV\[XZQKP\6 4. ,Z]KS XZWKU .TÃKPM

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3. 2ILMVVLQM,QKP\MLM[?I[[MZ[[\MQO\NI[\VQKP\

UQ\LMZ
?I[[MZ,I[-Q[[KPI]\V]ZÛJMZLQM7JMZãÃ KPM_MQT[MQVM,QKP\MSTMQVMZIT[LQM^WU?I[ [MZQ[\

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5. B]U 4]N\LZ]KS SWUU\ VWKP UIT M\_I

4]N\LZ]KSLIb]"8I 6. )]N\ZQMJ[SZIN\%;KP_MZSZIN\"

5. 6MQV ;KPMQVJIZM /M_QKP\[SZIN\ ]VL )]N

\ZQMJ[SZIN\VMPUMVQVOTMQKPMZ?MQ[Mb]JMQLM [QVLXZWXWZ\QWVITb]Z.ITTJM[KPTM]VQO]VOO 6. 3TMQVM;MQNMVJTI[MVPIJMVMQVMVPÕPMZMV1V

VMVLZ]KS I]NOZ]VL LMZ 7JMZãÃKPMV[XIV V]VO,M[PITJZMIOQMZMV[QM_MVQOMZI]N^IZQ QMZMVLM,Z]KSSZÃN\M^WVI]¾MV

)T[W^MZPÃT\[QKPLMZ>WT]UMV\MQT]V\MZ?I[ [MZ b]U /M[IU\^WT]UMV _QM LQM ,QKP\M LM[ -Q[M[b]Z,QKP\MLM[?I[[MZ["

)T[WQ[\MQV)V\MQT^WVWLMZ ÛJMZ ?I[[MZ

348

Anhang

1

7. ,QM VWZUITM /M_QKP\[SZIN\ I]N LMV /ZIVQ\

2

3

4 5

6 7

12.?MVV LI[ :WPZ LQM 9]MZ[KPVQ\\ãÃKPM )

[\MQVQ[\"

PI\ PIJMV _QZ MQVM ZM[]T\QMZMVLM 3ZIN\ I]N LI[ .TÛ[[QOSMQ\[^WT]UMV QU :WPZ ^WV 5MKPIVQ[KPM 4MQ[\]VO MZPIT\MV _QZ _MVV _QZ LQM[M 3ZIN\ UQ\ LMZ /M[KP_QV LQOSMQ\ LMZ.TÛ[[QOSMQ\U]T\QXTQbQMZMV"

,QM)]N\ZQMJ[SZIN\NÛZLMV/ZIVQ\[\MQVQUJM [KPTM]VQO\MV-QUMZ"

13.,QM^WU0MZbMVb]MZJZQVOMVLM4MQ[\]VOQ[\"

;QM Q[\ IT[W PÕPMZ IT[ LQM VWZUITM /M_QKP\[ SZIN\ ;KP_QUUMV _QZL LMZ ;\MQV \ZW\bLMU VQKP\ LMVV MZ U][[ RI I]KP VIKP WJMV JM [KPTM]VQO\_MZLMV]VLPI\MQVMMV\[XZMKPMVL OZÕ¾MZM[KPMQVJIZM/M_QKP\[SZIN\

8. 7JMZãÃKPMV[XIVV]VO

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

,MZ>WT]UMV[\ZWUQ[\ -QV[M\bMV TQMNMZ\" 8 % 8I U[ % ?I\\,I[Q[\[W^QMT_QMMQV
14. ,I[[LQM[MZJMZMKPVM\M?MZ\LMUMZ]VZMQVQO]VOMVMQVMLM]\ TQKP ^MZUQVLMZ\M 7JMZãÃKPMV[XIVV]VO PI\ *MQLM-NNMS\MPIJMV[QKPQV.Abb. 3.28QVM\_I 15.,MZ >WT]UMV[\ZWU U][[ QV LMZ ,Û SWUXMV[QMZ\ [MLMZOTMQKPM[MQV_QMQU:WPZ,M[PITJ^MZ PIT\MV[QKPLQM/M[KP_QVLQOSMQ\MVb]MQVIVLMZ 9. ;MKP[5ITLMZ.]¾]UNIVOQ[\ ]UOMSMPZ\ _QM LQM 9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPMV PQMZ _QM " ,QM /M[KP_QVLQOSMQ\ QV LMZ ,Û[M ,QM[MBIPTU]T\QXTQbQMZ\UQ\LMZ7JMZãÃKPMV Q[\IT[WU[,I_QZ:MQJ]VO[NZMQPMQ\IVOM [XIVV]VOMZOQJ\LQMWT]UMV[\ZWU[\ÃZSML]ZKP,Z]KSLQNNMZMVb 11.=UMQVMV.IS\WZ%

20

,I[Q[\M\_ILMZNIKPM)\UW[XPÃZMVLZ]KS

349

Antworten

4

Mechanische Schwingungen und Wellen

Lösungen der Übungsaufgaben 1. ,QM)][TMVS]VOJMQ\%"

Antworten auf Verständnisfragen 1. *MQ UI`QUITMZ )][TMVS]VO Z]P\ LQM 5I[[M

]VL Q[\ UI`QUIT JM[KPTM]VQO\ /M[KP_QVLQO SMQ\]VL*M[KPTM]VQO]VO[QVLV]ZJMQ[\MPMV LMU8MVLMTOTMQKPbMQ\QO6]TT

UMZMV\OMOMVOM[M\b\M:QKP\]VOLMVVLI[OQT\ I]KPNÛZ)][TMVS]VO]VL.MLMZSZIN\)TTM[IV LMZMQ[\UÕOTQKP

,QM/M[KP_QVLQOSMQ\"

2. )][TMVS]VO ]VL *M[KPTM]VQO]VO PIJMV QU

5I`QUITM*M[KPTM]VQO]VO"

3. ,QM ;]UUM [\MQO\" LQM XW\MV\QMTTM -VMZOQM

2. <%[ # LMZ ;KP_MZSZIN\ [QVS\ TQVMIZ UQ\ LMZ )][TMV S]VOLQMXW\MV\QMTTM-VMZOQMLMZ.MLMZ[\MQO\ IJMZY]ILZI\Q[KPUQ\LMZ)][TMVS]VO,M[PITJ 3. U][[QKP)ZJMQ\TMQ[\MV]ULQM.MLMZVIKP]V \MVb]bQMPMV

4. ,QM .MLMZ [MTJ[\ ]VL QPZM 5I[[M [KP_QVOMV

UQ\IT[W[QVS\LQM.ZMY]MVb 5. 0QVOMLQM;KPITTOM[KP_QVLQOSMQ\^WVLMZ<WV

PÕPMIJ[W_ÛZLMLQM;\QUUMMQVM[MV\NMZV \MV:]NMZ[^MZbMZZ\STQVOMV,I[Q[\VQKP\LMZ .ITT)TTMZLQVO[_MZLMVPWPM.ZMY]MVbMV[\ÃZ SMZOMLÃUXN\[WLI[[NMZVM/MZÃ][KPMM\_I[ \QMNMZSTQVOMV 6. .ÛZ MQVM ;KP_QVO]VO JZI]KP\ M[ QUUMZ MQVM

:ÛKS[\MTTSZIN\ /I[ MV\_QKSMT\ JMQ ;KPMZ]VO IJMZSMQVM 7. ?MQTLQM1V\MV[Q\Ã\IJVQUU\,QM4MQ[\]VOLMZ

9]MTTM^MZ\MQT\[QKPI]NMQVMQUUMZOZÕ¾MZM4Q VQM1VLQM[MUb_MQLQUMV[QWVITMV.ITTVQUU\ LQM 1V\MV[Q\Ã\ UQ\ Z IJ ]VL LQM )UXTQ\]LM UQ\ 8. )]KPNÛZLQM;KP_QVO]VOLM[3INNMM[QU*M

KPMZOQJ\M[:M[WVIVbNZMY]MVbMV5IVUÛ[[ \MLQM;KP_QVO]VO[\ÃZSMZLÃUXNMV?QM_ÃZs[ UQ\MQVMU;KP_IUUQU*MKPMZ'

4. ,QMUI`QUITI]N\ZM\MVLM/M[KP_QVLQOSMQ\Q[\

,QM ;KP_QVO]VO[MVMZOQM Q[\ OTMQKP LMZ UI`QUIT I]N\ZM\MVLMV SQVM\Q[KPMV -VMZ OQMJMQU,]ZKPOIVOL]ZKPLQM:]PMTIOM]VL IT[W XZWXWZ\QWVIT b] BMPVNIKPM -VMZOQM JMLM]\M\IT[W NIKPM)UXTQ\]LM5IVSIVV OMVI][WI]KPUQ\LMZUI`QUITMVXW\MV\QMTTMV -VMZOQMJMQUI`QUITMZ,MPV]VOLMZ.MLMZIZ O]UMV\QMZMV 5. K≈SU[[QMPM)VPIVO

6. )]NOZ]VL LMZ [MPZ ]V\MZ[KPQMLTQKPMV ;KPITT

OM[KP_QVLQOSMQ\QV?I[[MZ]VLQV4]N\_ÛZLM [WV[\[KPWVMQVOMZQVOMZ4]N\b_Q[KPMVZI]Ub] [\IZSMV:MãM`QWVMVLM[=T\ZI[KPITT[NÛPZMV 7. )]KP4QKP\Q[\MQVM?MTTM]VLM[OQT\LI[Y]I

LZI\Q[KPM)J[\IVL[OM[M\b">MZLWXXMT\[QKPLMZ )J[\IVL OMP\ LQM 1V\MV[Q\Ã\ I]N MQV >QMZ\MT" ?U 8. -ZPÕZ\LQMNIKPM1V\MV[Q\Ã\#b]LMV8PWV

ILLQMZMV[QKPTO% L*#OQJ\b][IU UMV L*

350

1

9. L* JMLM]\M\ LI[[ LMZ 8MOMT OTMQKP QZ

5. OMVLMQVMU:MNMZMVbXMOMTQ[\)LLQMZMQKPLMV OTMQKPMV 8MOMT VWKP UIT LIb] JMSWUUM QKP LMV LWXXMT\MV 8MOMT ]VL LI[ MZOQJ\ TO %L*"L*L*%L* 6.

2 3

[KP_QVO]VO ,I[ PMQ¾\ LI[[ LMZ ,]ZKPUM[ [MZ LMZ
7. 2I 5IV U][[ UQ\ LMU 4]N\LZ]KS ]V\MZ LMV

10.-[JQTLM\[QKPMQVM[\MPMVLM?MTTMQV/Z]VL

5

I]NJb_PMZIJ[M\bMV"

7 8

5

Wärmelehre

1. 6IKPLMU/I[OM[M\bQ[\LI[>WT]UMV]UOM

12

SMPZ\ XZWXWZ\QWVIT b]U ,Z]KS -QV _MQ\MZM[ /M_QKP\_QZLLI[>WT]UMVIT[WVQKP\UMPZ[W [\IZSZML]bQMZMV

13

2. ,MZ,Z]KS[QVS\LI_MVQOMZ3ZIN\VIKPI]¾MV

15 16 17 18 19 20

[QOM?ÃZUMIJQVLMUMZ;KP_MQ¾^MZLIUXN\ *MQ 4]N\NM]KP\MOMP\LI[VQKP\UMPZ 10.*M[[MZJMQSWV[\IV\MU>WT]UMV,IVVUÛ[

[MV;QMV]ZLQMQVVMZM-VMZOQMTQMNMZVJMQSWV [\IV\MU,Z]KSI]KPVWKPLQM>WT]UMVIZJMQ\ LMZ)][TMVS]VO 11.,MZ*MPÃT\MZUQ\_MVQOMZ?I[[MZ_QZLPMQ¾MZ

_QZS\

14

LZ]KS+MOIT_QM[\IZSM[SWKP\ 9. )VPMQ¾MV
Antworten auf Verständnisfragen

11

,IUXNLZ]KS^WV?I[[MZJMQBQUUMZ\MUXMZI \]Z8I 8. 6MQV?MVV?I[[MZSWKP\PI\M[JMQ6WZUIT

;QMUÛ[[MVQV:QKP\]VOLM[\QMNMZMV<WV[OM PMV

9 10

,I[5MMZPI\MQVMPWPM?ÃZUMSIXIbQ\Ã\]VL ÃVLMZ\ LM[PITJ [MQVM <MUXMZI\]Z V]Z TIVO [IU *M[WVLMZ[ [KPVMTTM ?I[[MZUWTMSÛTM _MZLMV LQM ?I[[MZWJMZãÃKPM ^MZTI[[MV ]VL QV LQM 4]N\OMPMV>WVLWZ\SÕVVMV[QMI]KP_QMLMZ b]ZÛKSSMPZMV-[[\MTT\[QKPMQV.TQM¾OTMQKPOM _QKP\UQ\LMUNÛZLQM<MUXMZI\]ZOMT\MVLMV ,IUXNLZ]KSQVLMZ4]N\MQV 4]N\NM]KP \M

4

6

Anhang

,I LMZ ?ÃZUM^MZT][\ XZWXWZ\QWVIT UQ\ LMZ <MUXMZI\]ZLQNNMZMVbOMP\^MZTQMZ\MZLQM?ÃZ UMI]KP[KPVMTTMZ

3. ,ILMZ)]¾MVLZ]KS[QVS\LMPV\[QKPLMZ*IT

TWVI][5Q\LMU,Z]KS[QVS\LQM,QKP\MLMZ 12.*M[[MZOTMQKPLMVVLIVV[QVS\LQM<MUXMZI )\UW[XPÃZM?MVVLQM,QKP\MQVVMV]VLI] \]ZOTMQKPMQV;\ÛKS]VLLMZ3INNMM^MZTQMZ\LQM ¾MVQVM\_IOTMQKPQ[\[\MQO\LMZ*ITTWVVQKP\ ?ÃZUMLIVIKPTIVO[IUMZ UMPZ_MQ\MZ 13. ?MQTLI[.MTTLQM3WV^MS\QWVLQZMS\IU3ÕZ XMZ^MZPQVLMZ\]VLI]KPLQM)J[\ZIPT]VOZM 4. ,IVIKPLMU/I[OM[M\bLQMBIPTLMZ<MQTKPMV L]bQMZ\ LI LQM .MTTWJMZãÃKPM VIPM LMZ =U QV MQVMU >WT]UMV V]Z ^WU ,Z]KS ]VL LMZ OMJ]VO[\MUXMZI\]Z JTMQJ\ =V[MZM 3TMQL]VO <MUXMZI\]ZIJPÃVO\^MZLZÃVOMVLQM?I[[MZ _QZS\OMVI][W UWTMSÛTM5WTUI[[M" OQVNM]KP\MZ4]N\LQM [WV[\UMPZ^WZPIVLMVMV;\QKS[\WNN5WTUI[ [M" O ]VL ;I]MZ[\WNNUWTMSÛTM 5WTUI[[M 14.?MQT LQM ;\ZIPT]VO ^WV LMZ ;WVVM LI[
351

Antworten

Lösungen der Übungsaufgaben 1. =UNIVOLMZ-ZLM"π U%U

8. 6IKPQLMITMU/I[OM[M\bQ[\LMZ,Z]KSXZWXWZ

\QWVIT b]Z IJ[WT]\MV <MUXMZI\]Z [\MQO\ IT[W JMQ]V[]UKI I]NJIZ >MZTÃVOMZ]VOLM[;\IPTJIVLM[JMQΔ<%3" ΔT%α.M Δ<U% U,I[OQJ\ MQVM:ILQ][ÃVLMZ]VO^WV 9. IT[WOMP\LQMIJ[WT]\M<MUXMZI \]ZI]NMQV^QMZ\MTLM[]Z[XZÛVOTQKPMV?MZ\M[ ΔZ% ;WPWKP_ÛZLMLI[;\IPTJIVL[KP_MJMV

10.

2. ,QM <MUXMZI\]Z Q[\ XZWXWZ\QWVIT b]Z SQVM\Q

[KPMV-VMZOQMLMZ5WTMSÛTMIT[WXZWXWZ\QWVIT b]U /M[KP_QVLQOSMQ\[Y]ILZI\ ,WXXMT\M /M [KP_QVLQOSMQ\PMQ¾\^QMZUITPÕPMZM<MUXMZI \]ZIJ[WT]\ +MV\[XZQKP\33%!3MV\ 11.,MZ,Z]KS[QVS\I]N [XZQKP\ !+

3. ,MZ,Z]KS^MZLWXXMT\[QKP6IKP/I[OM[M\bQ[\

LMZ,Z]KSXZWXWZ\QWVITb]ZIJ[WT]\MV<MUXM ZI\]Z ]VL LQM[M _QMLMZ]U Q[\ LMâVQ\QWV[OM UÃ¾ XZWXWZ\QWVIT b]Z UQ\\TMZMV SQVM\Q[KPMV -VMZOQM LMZ ;KP_MZX]VS\JM_MO]VO LMZ )\W UM 4. ,I[5WT^WT]UMVQ[\T-QV5WT[QVL

Q[\JMQSWV[\IV\MZ<MUXMZI\]ZXZWXWZ\QW VITb]Z/I[UMVOMIT[W[QVLVWKP JIZ JIZ% QVLMZ.TI[KPM,I[MV\VWUUMVM /I[NÛTT\MQV>WT]UMV^WVT%T-QV *ITTWVPI\MQV>WT]UMV^WV 5IKP\M\_I *ITTWV[

,MZ ,QNNMZMVbLZ]KS b_Q[KPMV 1VVMV ]VL I] ¾MV Q[\ LIVV" ΔX% 8I 3ZIN\ I]N LQM <ÛZ ,I U][[ UIV [QKP [KPWV PMN\QO [\MUUMV *MQ SWV[\IV\MU ,Z]KSXI[[\JMQ+

5WTMSÛTM 5Q\\TMZM5WTMSÛTUI[[M"

UIT UMPZ 4]N\ QV LMV ;KPZIVS IT[ JMQ + ,QM >WT]UMVLQNNMZMVb Q[\ Δ>%T %T

12. 5. *MQ8IOMPMVQVTMQV5WT/I[1VMQVMV

13.-[[\MTT\[QKPMQVM<MUXMZI\]Z^WV+MQV

3]JQSbMV\QUM\MZOMPMVLIVV

14.,QM?ÃZUMSIXIbQ\Ã\Q[\"

5WTMSÛTM1[\LMZ,Z]KS/ZÕ¾MVWZLV]VOMV 15.,I[*QMZU][[I]N+MZ_ÃZU\_MZLMV8ZW /ZIUUJMVÕ\QO\M-VMZOQM !3 STMQVMZ[WQ[\M[I]KPLQMBIPTLMZ5WTMSÛTM" O%2,I[[QVLM\_I ^WV 2 6XZWKU%1UUMZVWKPOIVb[KPÕV ^QMTM 16.4MQ[\]VO 8% ?# 6]\bMNNMS\ η%# JM VÕ\QO\M-VMZOQMb]N]PZ" 6. )][.Abb. 5.18SIVVUIVIJTM[MVX≈ P8I,I[Q[\QVM\_ILMZ4]N\LZ]KSI]NMQVMU 0MQb_MZ\/T]SW[M0/%S2O#JMVÕ\QO\MZ UPWPMV*MZO 5I[[MV[\ZWULMZ/T]SW[M"

7. ;Ã\\QO]VO[LIUXNLZ]KS JMQ +" P8I#

LI^WV"P8I)VLMZ.MV[\MZWJMZãÃKPM Q[\LQM[LQM;Ã\\QO]VO[LIUXNLQKP\MIT[WQ[\QPZM <MUXMZI\]ZPÕKP[\MV[+

3WVbMV\ZI\QWVLMZ/T]SW[MQU*T]\"K%UO UT%UOKU# MZNWZLMZTQKPMZ *T]\[\ZWU" 1% KU[

352

1

Anhang

,QKSM LMZ 5MUJZIV" Δ`% KU# 3WVbMV \ZI\QWV[OZILQMV\LMZ/T]SW[M"

1. ,QM/ZI^Q\I\QWV[SZIN\Q[\b][KP_IKP]VLLQM

UMQ[\MV 7JRMS\M [QVL MTMS\ZQ[KP VM]\ZIT [W LI[[I]KPSMQVMMTMS\ZW[\I\Q[KPMV3ZÃN\M_QZ SMV

,QNN][QWV[SWV[\IV\MLMZ/T]SW[M" ,≈KU[#,QNN][QWV[[\ZWULQKP\M

4

2. 1U.MTLLMZ4IL]VO_MZLMVLQM8IXQMZ[KPVQ\

JMVÕ\QO\M.TÃKPM"

bMT XWTIZQ[QMZ\ ]VL LIVV _MQT M[ QVPWUWOMV Q[\ I]KP IVOMbWOMV ;XZQVO\ JMQU *MZÛPZMV UQ\LMU3IUU4IL]VOI]NLMV8IXQMZ[KPVQ\ bMTÛJMZ_QZLMZOTMQKP_QMLMZIJOM[\W¾MV

5 6 7 8 9 10 11 12

Elektrizitätslehre

Antworten auf Verständnisfragen

2 3

6

17.?I[[MZUWTMSÛTM\ZM\MVQVLQM;ITbTÕ[]VO]U

LQM3WVbMV\ZI\QWVLM[;ITbM[b]^MZUQVLMZV 3. -TMS\ZQ[KPM .MTLTQVQMV JM[KPZMQJMV LQM ZM[]T ,WZ\[\MQO\IT[WLMZ?I[[MZ[XQMOMT \QMZMVLM 3ZIN\_QZS]VO I]N MQVM 4IL]VO ,QM PI\V]ZMQVMMQVLM]\QOM:QKP\]VO 18.>IVs\0WNN/TMQKP]VO" 4. ,I[.MTLQ[\LWZ\6]TT[WV[\SIVVLI[8W\MV\Q ITVQKP\SWV[\IV\[MQV *MIKP\MLQMIJ[WT]\M<MUXMZI\]ZMQVb][M\bMV 5. ,QM4IL]VO[UMVOMV[QVLQUUMZOTMQKPLMVV LQM /M[IU\VM]\ZITQ\Ã\ U][[ OM_IPZ\ JTMQJMV 19.6IKPLMZ^IVs\0WNN/TMQKP]VOQ[\LMZW[UW\Q *I\\MZQMV SÕVVMV SMQVM »JMZ[KP][[TIL]VO [KPM,Z]KSXZWXWZ\QWVITb]ZIJ[WT]\MV<MU XMZI\]ZMZ^MZLWXXMT\[QKPIT[WOMZILM PMZJMQbI]JMZV 20.,QM ^WV LMZ ;WVVM b]OMNÛPZ\M 4MQ[\]VO JM

6. 2I[QM_QZLOZÕ¾MZLMVVM[U][[)ZJMQ\OMTMQ[

ZMKPVM\ [QKP UQ\ LMZ 9]MZ[KPVQ\\[ãÃKPM LMZ -ZLM"

\M\_MZLMV]VLLMZ.MTLOMNÛTT\M:I]UVQUU\ b]

13

7. 6MQVLMVVV]ZPWPMZ;\ZWUQ[\OMNÃPZTQKPB]Z

14 15 16

:M\\]VO UÛ[[MV ;QM I]KP _QMLMZ IJ[XZQVOMV ]VLLÛZNMVVQKP\OTMQKPbMQ\QO4MQ\]VO]VLM\ _I[/MMZLM\M[JMZÛPZMV

,QML]ZKP?ÃZUM[\ZIPT]VOIJOMOMJMVM4MQ[ \]VOJMZMKPVM\[QKPPQVOMOMVUQ\LMZOM[IU \MV-ZLWJMZãÃKPM" 1U/TMQKPOM_QKP\Q[\8MQV%8I][IT[W"

8. ?MQTLQM4MQ\]VO[MTMS\ZWVMVVQKP\V]Z;\ZWU

[WVLMZVI]KP?ÃZUM\ZIV[XWZ\QMZMV 9. ?MQTJMQOTMQKPMZ8W\MV\QITLQNNMZMVbb_Q[KPMV

17 18 19 20

LMV ,ZIP\MVLMV LI[ LMV ;\ZWU IV\ZMQJMVLM .MTLQUTÃVOMZMV,ZIP\STMQVMZQ[\ ?QZJMSWUUMV"<% 3MV\[XZQKP\w+ ,QM\I\[ÃKPTQKPML]ZKP[KPVQ\\TQKPM<MUXMZI\]Z LMZ-ZLWJMZãÃKPM_QZLUQ\+IVOMOMJMV 10.*MQ 8IZITTMT[KPIT\]VO _QZL M[ PMTTMZ LI LIVV IVJMQLMV/TÛPJQZVMVMQVMPÕPMZM;XIVV]VO .ÛZLQM)J[\ZIPT]VOQ[\IJMZb]JMZÛKS[QKP\Q IVTQMO\-[[MQLMVVLQM*QZVMVJZMVVMVLIVV OMVLI[[MQV<MQTLMZ-ZLMQUUMZUQ\?WTSMV [KPWVL]ZKP JMLMKS\Q[\LQMIT[WMQVMV<MQTLMZ)J[\ZIPT]VO ÛJMZVMPUMV,QM[M?WTSMV[QVL^QMTSÃT\MZIT[ LQM-ZLWJMZãÃKPM

353

Antworten

11.)V MQVMZ ;\MTTM LM[ /TÛPLZIP\M[ LQM b]NÃT

7. *MQ:MQPMV[KPIT\]VOãQM¾\L]ZKPJMQLM?QLMZ

TQOM\_I[LÛVVMZQ[\_QZLM[JM[WVLMZ[PMQ¾ LILWZ\LMZ?QLMZ[\IVLM\_I[PÕPMZQ[\UMPZ ;XIVV]VO IJNÃTT\ ]VL UMPZ 4MQ[\]VO ]U OM[M\b\ _QZL ,]ZKP LQM PÕPMZM <MUXMZI\]Z [\MQO\LMZ?QLMZ[\IVLIVLQM[MZ;\MTTM]VLMQV <M]NMT[SZMQ[JMOQVV\LMZLMV,ZIP\LWZ\b]U ;KPUMTbMVJZQVO\

[\ÃVLMLMZOTMQKPM;\ZWUIUΩ?QLMZ[\IVL NÃTT\ IJMZ LQM LWXXMT\M ;XIVV]VO IJ ,M[PITJ _QZLQVQPUI]KPLQMLWXXMT\M4MQ[\]VO]UOM [M\b\*MQ8IZITTMT[KPIT\]VOTQMO\IVJMQLMV?Q LMZ[\ÃVLMV LQM OTMQKPM ;XIVV]VO L]ZKP LMV Ω?QLMZ[\IVLãQM¾\IJMZLMZLWXXMT\M;\ZWU IT[W[M\b\MZI]KPLQMLWXXMT\M4MQ[\]VO]U

12.-[ OMP\ OMVI][W ^QMT ;\ZWU ZMQV _QM ZI]["

8. )VRMLMZ*QZVMTQMO\MQV)KP\MTLMZ;XIVV]VO"

;\ZWU^MZJZI]KP\MZVQKP\-Z[M\b\MTMS\ZQ[KPM -VMZOQMQV?ÃZUM]UMQVM-VMZOQMNWZUUQ\ VQMLZQOMZMZ-V\ZWXQMQVMQVM-VMZOQMNWZUUQ\ PÕPMZMZ -V\ZWXQM ]U LQM [KPTMKP\MZ OMV]\b\ _MZLMVSIVV 13.-QVM4WZMV\b3ZIN\_QZS\RIVQKP\)JMZ_MVV

>,MZ?QLMZ[\IVLQ[\ ]VLLQM4MQ[\]VO[I]NVIPUM8% >) %?

9. 1VLMZ:MQPMVNWTOMLMZ;KP_QMZQOSMQ\"

[QKP LI[ 5IOVM\NMTL ÃVLMZ\ MV\[\MP\ L]ZKP 1VL]S\QWVMQVMTMS\ZQ[KPM[.MTLLI[LI[-TMS \ZWVQV*M_MO]VO[M\b\

Schaltung

Leitwert

Widerstand

Rangplatz

14.-Q[MV_QZLQU5IOVM\NMTLLM[5IOVM\MVUIO

a)

4R

8

VM\Q[QMZ\IT[W[MTJ[\b]MQVMU5IOVM\MVI]\W UI\Q[KPUQ\LMZb]Z)VbQMP]VOXI[[MVLMV8W TIZQ\Ã\6]Z5IOVM\MbQMPMV[QKPIV;KP_ÃKPMZ OMP\M[I]KPUQ\3WJIT\

g)

1 3R 4

1

1 23R 2

7

R

4

0,4 R

2

0,75 R

3

b) c)

Lösungen der Übungsaufgaben 1. )TTMOTMQKPM:QKP\]VO" >#MQVMQV/MOMVZQKP

\]VO"!>#b_MQQV/MOMVZQKP\]VO">

h)

1 23G 2

e)

1+ 33 G

f)

2. .MZV[MPMUXNÃVOMZ"

d)

4G

1

1

1+ 33 R 2 1+ 33 R

5 6

:ÕV\OMVZÕPZM"8% >w)%? 10.,MZ;XIVV]VO[\MQTMZQ[\OMVI]QVLMZ5Q\\MOM

3. -QV2IPZJZMVVMVTI[[MV"?%P?

%S?PUIKP\-]ZW

4. -QVM?*QZVMbQMP\))T[WSIVVUIV

UQ\)[WTKPMZ/TÛPJQZVMVJM\ZMQJMV 5. 11. 6. 7JMZM/ZMVbS]Z^M":%!SΩIT[W1%=:%

) ]V\MZM/ZMVbS]Z^M":%ΩIT[W1%)

\MQT\TQMNMZ\IT[W> -QVM8IZITTMT[KPIT\]VO^WVb_MQSΩ?QLMZ [\ÃVLMVTQMNMZ\LMVPITJMV?QLMZ[\IVL[_MZ\" SΩ,QM[MZQ[\UQ\SΩQV:MQPMOM[KPIT \M\,I[TQMNMZ\MQVM;XIVV]VO^WV"

354

1

Anhang

12.

18.,I

V]VOMVOQT\OQT\I]KP

)VTI[[MZ"

2

NÛZ JMTQMJQOM 4IL]VOMV ]VL ;XIV

13.?QLMZ[\IVLLMZ/TÛPJQZVM"

3 4

5

6 7

>WZ_QLMZ[\IVL:>" ,IUQ\MZOQJ\[QKPMQV;\ZWU^WV

8 9

19..MTLQU3WVLMV[I\WZ"

20.

]VLMQVM4MQ[\]VOQU>WZ_QLMZ[\IVL^WV 1U>WZ_QLMZ[\IVL_]ZLMIKP\UIT[W^QMT4MQ[ \]VO^MZJZI\MV_QMQVLMZ/TÛPJQZVM#MQVMJM IKP\TQKPM-VMZOQM^MZ[KP_MVL]VO

21.,MZLWXXMT\M8TI\\MVIJ[\IVLPITJQMZ\LQM3I

XIbQ\Ã\ LMZ 1[WTI\WZ MZPÕP\ [QM ]U LMV .IS \WZ1V[OM[IU\^MZLWXXMT\[QKPLQM3IXIbQ\Ã\ 22.I ,QM 4IL]VO I]N LMV 8TI\\MV JTMQJ\ OTMQKP

14.

10

11 12

23.I ,WXXMT\M;XIVV]VOJMLM]\M\LWXXMT\M4I

13

14 15

15.

16 17

,M[PITJOMP\LI[.MTL]UMQVMV.IS\WZPMZ ]V\MZ]VLLIUQ\I]KPLQM;XIVV]VO,QM3I XIbQ\Ã\OMP\]UMQVMV.IS\WZPMZI]N J ,QM ;XIVV]VO JTMQJ\ SWV[\IV\ ]VL IT[W I]KPLI[.MTL,IUQ\LI[.MTLSWV[\IV\JTMQ JMVSIVVU][[LQM4IL]VOMQVMV.IS\WZPM ZI]NOMPMV.ÛZLQM3IXIbQ\Ã\OQT\VI\ÛZTQKPLI[ /TMQKPM_QM]V\MZI

L]VO]VL.MTL[\ÃZSM"^QMZNIKPM-VMZOQM J >QMZNIKPM-VMZOQM K ,WXXMT\MZ 8TI\\MVIJ[\IVL JMLM]\M\ PITJM 3IXIbQ\Ã\ ]VL JMQ OTMQKPMZ ;XIVV]VO PITJM 4IL]VO"-VMZOQMPITJQMZ\

,I[ Q[\ OZÕ¾MZ IT[ LQM ,]ZKP[KPTIONMTL[\ÃZSM 24.=ULI[?I[[MZb]MZPQ\bMVJZI]KPMV_QZ QV4]N\

16.

-VMZOQMQU3WVLMV[I\WZ"

18 19 20

17.

25.,QM;\ZWULQKP\MQ[\

,I[ Q[\ QUUMZPQV MQV BMPV\MT LMZ 4QKP\OM [KP_QVLQOSMQ\?QZSWVV\MVVWKPOMZILMWPVM ZMTI\Q^Q[\Q[KPM3WZZMS\]Z7 Kap. 6.6.8ZMKPVMV

=ULIZI][LQM,ZQN\OM[KP_QVLQOSMQ\^Lb]OM _QVVMV UÛ[[MV _QZ LQM 4MQ\]VO[MTMS\ZWVMV

355

Antworten

LQKP\MVM_Q[[MV2MLM[3]XNMZI\WU[XIT\M\M\ _IMQV4MQ\]VO[MTMS\ZWVIJ"

30.

IT[W" c1

4c

lg

UM

10 100 0,01 2

1 2 –2 0,3

59 mV 118 mV –118 mV 18 mV

2

a b c d

,MZ;\ZWUQ[\

]VLLQM;\ZWULQKP\M

31.=5%∞ wMV\_MLMZ_MQTK%∞WLMZ_M

)T[W

OMV TV %w∞" QU ;QVVM LMZ 6MZV[\s[KPMV .WZUMTOQJ\M[SMQViIJ[WT]\ZMQVM[t?I[[MZ

32.,I[ 5IOVM\NMTL ^MZ[KP_QVLM\ TÃVO[ MQVMZ 4Q

,I[Q[\OIVb[KPÕVTIVO[IU

26.507% OUWT#ρ07%OT;\WNN

UMVOMVLQKP\M"

,I LQM XW[Q\Q^MV 1WVMV L]ZKP LQM 5MUJZIV PQVL]ZKPSWUUMV TILMV [QM LQM 4Õ[]VO UQ\ LMZSTMQVMZMV3WVbMV\ZI\QWVXW[Q\Q^I]N

VQMXIZITTMTb]U,ZIP\_WLI[^WU,ZIP\MZ bM]O\M 5IOVM\NMTL UQ\ OMZILM LMZ OTMQKPMV 5IOVM\NMTL[\ÃZSM LMU Ã]¾MZMV .MTL MV\OM OMV[\MP\,QM4QVQMPI\LMV)J[\IVLZ"

_I[ X0MV\[XZQKP\

27.6]ZLQUMV[QWV[TW[MBIPTMVSÕVVMVTWOIZQ\P

UQMZ\_MZLMV#KV0b]VÃKP[\L]ZKPLQM-QV PMQ\\MQTMV,IVVJMLM]\M\ 33..MTLIU7Z\LM[b_MQ\MV,ZIP\M[" X0"TOKVTUWT%w#KVTUWT%w %wIT[WKV0%UUWTT 3ZIN\I]NLMVb_MQ\MV,ZIP\" 28.U5)O%.ΔUΔ9% OUWT 5)O%MΔUΔ9%!wSO ,MZ;\ZWUQUb_MQ\MV,ZIP\ãQM¾\QVOTMQKPMZ :QKP\]VO_QMQUMZ[\MV 29.,QM,QNN][QWV[[\ZWULQKP\MR,LMZL]ZKP\ZM\MV LMV1WVMVQ[\^WVLMZMV4IL]VO]VIJPÃVOQO 34. LMZ SWUXMV[QMZMVLM.MTL[\ZWUR-[\MQO\IJMZ UQ\ bM _MQT LQM MTMS\ZQ[KPM 3ZIN\ ]VL UQ\ 35. QPZLQM*M_MOTQKPSMQ\LQM[I]KP\]V5MPZ _MZ\QOM 1WVMV SÕVVMV IT[W R, UQ\ OMZQVOMZMZ .MTL[\ÃZSM ]VL STMQVMZMZ 5MUJZIV[XIVV]VO SWUXMV[QMZMV

356

1

Anhang

36.

4. 2I LI[ OQVOM ,I[ -Q[ _ÛZLM OIZ VQKP\ [W

[KPVMTT[KPUMTbMVLILI[;WVVMVTQKP\IVLMZ 4QV[MVQKP\[WMQVMPWPM1V\MV[Q\Ã\PI\_QMQU *ZMVVX]VS\]VL_MQTLI[-Q[V]Z_MVQO^WU 4QKP\ IJ[WZJQMZ\ =U MQV .M]MZ b] JMSWU UMV NWS][[QMZ\ UIV IU JM[\MV I]N LÛVVM[ [KP_IZbM[8IXQMZ

2 3 4

5. ,I[ZMMTTM*QTLI]NLMZ6M\bPI]\_QZL^WZIT

TMUL]ZKPLQM^WZLMZMOMSZÛUU\M0WZVPI]\ WJMZãÃKPMMZbM]O\1[\LWZ\?I[[MZ[\I\\4]N\ _QZLLQM*ZMVV_MQ\M^QMTTÃVOMZIT[LMZ)]OMV L]ZKPUM[[MZ]VLUIVSIVVVQKP\UMPZ[KPIZN [MPMV

5 6

37.

7

8

V8%#V;%#=;%S># V8%#V;%#=[%>

38.

.MLMZXMVLMT

11 12 13

`

9

XW\MV\QMTTM-VMZOQM LMZOM[XIVV\MV.MLMZ SQVM\Q[KPM-VMZOQM LMZ8MVLMTUI[[M

MTMS\ZQ[KPM-VMZOQMLM[ OMTILMVMV3WVLMV[I\WZ[

Optik

1. ;KP_IZb_QMI]NLMU5WVLLISMQV;WVVMV

TQKP\^WV5WTMSÛTMVOM[\ZM]\_QZL

17 18 19 20

^WVLMZ/TÛPTIUXMLIZNLMZ/IVO]V\MZ[KPQML LMZQV\MZNMZQMZMVLMV;\ZIPTMVV]Zb_MQJQ[LZMQ ?MTTMVTÃVOMV[MQV

JM]O\ ,I LQM ?MTTMVTÃVOM LM[ ;KPITT[ IJMZ /ZÕ¾MVWZLV]VOMVTÃVOMZQ[\_QZLLMZ;KPITT [\ÃZSMZOMJM]O\]VLSIVVLM[PITJO]\]ULQM -KSMOMPÕZ\_MZLMV 10.4QKP\UQ\LMZSÛZbM[\MV?MTTMVTÃVOMIT[WJTI]

7

Antworten auf Verständnisfragen

16

8. ?MOMV LMZ TIVOMV 3WPÃZMVbTÃVOM *MQ 4QKP\

9. ;KPITT]VL4QKP\_MZLMVIVLMZ0I][MKSMOM

UIOVM\Q[KPM-VMZOQMLMZ [\ZWUL]ZKPãW[[MVMV ;X]TM

14 15

OMV[\IVL[_MQ\MU][[TÃVOMZ_MZLMV,QM4QV[M U][[IT[W^WVLMZ.WTQM_MOJM_MO\_MZLMV 7. 0WZQbWV\IT

9 10

;KP_QVOSZMQ[

6. ,IVV _QZL LQM *QTL_MQ\M SÛZbMZ ]VL LQM /M

2. -[ ÃVLMZ\ [QKP LQM 4QKP\OM[KP_QVLQOSMQ\ ]VL

M[4QKP\ 11. .ÛZMQVMPWPM)]ãÕ[]VOU][[LQM4QV[MWLMZ

LMZ ;XQMOMT UÕOTQKP[\ OZW¾MV ,]ZKPUM[[MZ PIJMV5WLMZVM<MTM[SWXMPIJMV JQ[U ;XQMOMTL]ZKPUM[[MZ ;W OZW¾M 4QV[MV SIVV UIVVQKP\JI]MV

LIUQ\LQM?MTTMVTÃVOMLILQM.ZMY]MVbOTMQKP Lösungen der Übungsaufgaben JTMQJ\)]¾MZLMUÃVLMZV[QKPLQMMTMS\ZQ[KPM ]VLUIOVM\Q[KPM.MTL[\ÃZSMIT[WLQM)UXTQ\] 1. LMVLIMQV<MQTLM[4QKP\M[IVLMZ7JMZãÃKPM ZMãMS\QMZ\_QZL 2. ,QM?MTTMVTÃVOM_QZLSÛZbMZLILQM4QKP\OM [KP_QVLQOSMQ\STMQVMZ_QZL 3. ?MQTLI[?I[[MZIV[MQVMZ7JMZãÃKPM4QKP\ZM ãMS\QMZ\

357

Antworten

3. .ÛZ LQM :MãM`QWV OQT\" -QVNITT[_QVSMT OTMQKP

10.

)][NITT[_QVSMT)T[WJMLM]\M\LQM.WZLMZ]VO LI[[ LMZ -QVNITT[_QVSMT αMQV LWXXMT\ [W OZW¾ 11.*QTL_MQ\MNÛZI%∞"J%N%UU Q[\ _QM LMZ ?QVSMT LM[ OMJZWKPMVMV ;\ZIPT[ *QTL_MQ\MNÛZI%U" αJZMKP *ZMKP]VO[OM[M\b" ,QNNMZMVb"UU 12.;QMPM)JJQTL]VO]V\MV 13.

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]VL

.Abb. 7.22

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IJ% U

14.,MZ >MZOZÕ¾MZ]VO[NIS\WZ Γ% JMLM]\M\ LQM

4. ;QM [MPMV MQV ^MZSTMQVMZ\M[ ^QZ\]MTTM[ *QTL

5. ;QM UÛ[[MV I]N LZMQ 5M\MZ NWS][[QMZMV ,MZ

:ML]S\QWV LMZ ;MP_MQ\M %*ZMVV_MQ\M N LMZ 4]XM I]N MQV IKP\MT LMZ *Mb]O[[MP_MQ\M ^WV KU" .% UU%UU

15.,QM;WVVM[\ZIPTVIKPITTMV;MQ\MVIT[WQVLMV

OZÕ¾\UÕOTQKPMV:I]U_QVSMTωUI`%π

6. *ZMKP_MZ\% 16.,QM ;WTIZSWV[\IV\M Q[\ MQVM ;\ZIPT]VO[ã][[

LQKP\M]VLSMQVM*M[\ZIPT]VO[[\ÃZSMLQMLMV -QVNITT[_QVSMTI]NMQVM[KPZÃOOM[\MTT\M-UX NÃVOMZãÃKPMJMZÛKS[QKP\QOMVUÛ[[\M

7. -[ U][[ *QTL_MQ\M OTMQKP /MOMV[\IVL[_MQ\M

[MQV,I[Q[\LIVVLMZ.ITT_MVVLQM*QTL_MQ\M b_MQUITLQM*ZMVV_MQ\MQ[\ 8. -[Q[\ZMMTTIT[WI]NLMU3WXN,I[7S]TIZTQM

NMZ\LMU)]OMMQV^QZ\]MTTM[*QTL 9. ,QM>MZOZÕ¾MZ]VOVQUU\b]

17.;\ZIPT]VO[TMQ[\]VOLMZ;WVVM"

8;%ϕ;): ϕ;%M`\ZI\MZZM[\Q[KPM ;WTIZSWV[\IV\M QU )J [\IVL-ZLMw;WVVM

358

1 2 3 4

5 6

Anhang

):%7JMZãÃKPMMQVMZ3]OMTUQ\LMU:ILQ][ :LMZ-ZLJIPV )VPIVO" ϕ;%S?U :%!U ):%π:%!U 8;% ? BMPVMZXW\MVbMV _MZLMV ^WV LMV >WZ[QT JMV b] LMV ;1-QVPMQ\MV VQKP\ UMPZ MZNI[[\ ;QM ÛJMZ[\MQOMV UMV[KPTQKPM[ >WZ[\MTT]VO[ ^MZUÕOMV

26.;QM^MZLWXXMT\[QKPI]KP7Kap. 7.5.4 27.?UI`%SM>

8%1=%U)S>%S? ϕ≈8%?

8

Atom- und Kernphysik

Antworten auf Verständnisfragen 1. ?MQT^QMTM-TMUMV\MQVLMZ6I\]ZUQ\^MZ[KPQM

LMVMV1[W\WXMV^WZSWUUMV]VLLQM5I[[MV bIPTIT[5Q\\MT_MZ\IVOMOMJMV_QZL

18.,I[ )]ãÕ[]VO[^MZUÕOMV MV\[XZQKP\ QV M\_I

LMZ 4QKP\_MTTMVTÃVOM QU [QKP\JIZMV *MZMQKP" U 2. 6IKP 5WVI\MV JTMQJ\ LMZ MwTV % \M <MQTÛJZQOIT[WLQM0ÃTN\M^WVLMZ0ÃTN\M

7 19.

8

3. 6MQV LI LQM *M[\QUU]VO V]Z NÛZ
8ãIVbMV OMMQOVM\ Q[\ LQM MQVUIT 3WPTMV[\WNN I][ LMZ 4]N\ I]NOMVWUUMV PIJMV JM^WZ [QM [\IZJMV

20.,MZ?QVSMTIJ[\IVLLMZ5I`QUIJM\ZÃO\M\_I

Δα%KUU%ZILMV\[XZQKP\ ?MTTMVTÃVOM" ,I[Q[\\QMNM[*TI]

9 10

Lösungen der Übungsaufgaben 21.-Z[\M[5QVQU]UJMQ*M]O]VOIVMQVMU;XIT\"

1. ,QM7ZLV]VO[bIPTQ[\ ]VLLQM5I[[MVbIPT [QVα% λL,QM;XIT\JZMQ\MQ[\PQMZL% U " ,QM?MTTMVTÃVOMMZOQJ\[QKPUQ\LMZ;KPITTOM [KP_QVLQOSMQ\^WVK%U[b] 2. ,QM -TMS\ZWVMVbIPT Q[\ OTMQKP LMZ 7ZLV]VO[ bIPT"

11 12 13 14

17

3. )][0MTQ]UI\WUSMZVMV 4. 6IKP .Abb. 8.8 [QVL LMU *Q )%

22.,I[*M]O]VO[UI`QU]U7ZLV]VOTQMO\JMQ"

15 16

,IUQ\MZOQJ\[QKPNÛZLMV?QVSMTLM[5QVQ U]U[α%

*TI]M[ 4QKP\ PI\ MQVM ?MTTMVTÃVOM ^WV M\_I VU)T[W

,QM;\Z]S\]ZI]NLMU.TÛOMTQ[\IT[W[MTJ[\QV LMZ/ZÕ¾MVWZLV]VOLMZ4QKP\_MTTMVTÃVOM

B% 6%NWTOMVLMBMZNÃTTMUÕOTQKP" αBMZNITT QV
5. 6M]\ZWVMVMQVNIVOJMLM]\M\"Δ)%ΔB%

18

Δ6%NÛPZ\IT[W^WV)Ob])O ]VL ^WV)O!b])OJMQLM[QVL β;\ZIPTMZ UQ\UQV]VL[0ITJ_MZ\[bMQ\

23.=ULMV.IS\WZ

19 20

6. -QV-TMS\ZWV]VLMQV8W[Q\ZWV 24. 7. ,QM )S\Q^Q\Ã\ NÃTT\ M`XWVMV\QMTT IJ ,QM 0ITJ 25.-\_IS>wS>

_MZ\bMQ\Q[\MQVM;\]VLMIT[WJM\ZÃO\LQM)S\Q ^Q\Ã\VIKP;\]VLMV*Y

Antworten

8.

9. *MQ LMU 8IIZbMZNITT MV\[\MPMV b_MQ γ9]IV

\MV LQM QV OMVI] MV\OMOMVOM[M\b\M :QKP\]VO LI^WVãQMOMV -[ ZMIOQMZMV LIVV b_MQ ,M\MS \WZMVOTMQKPbMQ\QO]VLLMZBMZNITTU][[I]NMQ VMZ4QVQMb_Q[KPMVQPVMVMZNWTO\[MQV

9

Dosimetrie

1. -QVOM[\ZIPT\M ]VL IJ[WZJQMZ\M -VMZOQM OM\MQT\

L]ZKPLQM5I[[MLM[3ÕZXMZ[ 2. -QV2IPZ[QVLM\_I;MS]VLMV,QML]ZKP

[KPVQ\\TQKPM *MTI[\]VO [QVL M\_I U;^ XZW 2IPZIT[WM\_Iw;^[ 3. ?MVV;QMLI[OM[MOVM\M)T\MZ^WV2IPZMV

MZZMQKPMVLIVVTMJMV;QMKI![,QM4M \ITLW[Q[ Q[\ M\_I ;^ ,QM OM_ÛV[KP\M UI`Q UITM,W[Q[TMQ[\]VO_ÃZMIT[W"

?QMQVLMZ^WZPMZQOMV)]NOIJMJMZMKPVM\JM SWUUMV;QMTMQLMZUMPZIJ

359

1 2 3 4 5

Physikalische Formelsammlung Système International d’Unités (SI) – Die Grundgrößen und ihre Einheiten Größe

Einheit

Größe

Einheit

Länge

m = Meter

Temperatur

K = Kelvin

Masse

kg = Kilogramm

Stoffmenge

mol = Mol

Zeit

s = Sekunde

Lichtstärke

cd = Candela

el. Strom

A = Ampère

6 7 8 9

Abgeleitete Einheiten mit eigenem Namen Größe

Einheit

Volumen

l = Liter

= 10–3 m3

Zeit

min = Minute

= 60 s

h = Stunde

= 60 min = 3600 s

d = Tag

= 24 h = 86.400 s

a = Jahr

= 365,24 d = 3,156 · 107 s

Frequenz

Hz = Hertz

1 =3 s

Kraft

N = Newton

m = 1 kg · 31 s2

Leistung

W = Watt

m2 J = 1 kg · 311 = 1 3 s3 s

Energie

J = Joule

m2 = 1 kg · 311 = 1 N · m s2

Druck

Pa = Pascal

N = 1 32 m2

Winkel

rad = Radiant

=1

Raumwinkel

sr = Steradiant

=1

el. Spannung

V = Volt

W = 1 31 A

el. Widerstand

Ω = Ohm

V =13 A

el. Leitwert

S = Siemens

A 1 = 1 3 = 31 V Ω

el. Ladung

C = Coulomb

=1As

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

361

Physikalische Formelsammlung

Größe

Einheit

Kapazität

F = Farad

C =13 V

magn. Fluss

Wb = Weber

=1V·s

magn. Flussdichte

T = Tesla

Wb = 1 33 m2

Induktivität

H = Henry

Wb = 1 321 A

Aktivität

Bq = Becquerel

1 =3 s

Energiedosis

Gy = Gray

J = 1 31 kg

Äquivalentdosis

Sv = Sievert

J = 1 31 kg

Lichtstrom

lm = Lumen

= 1 cd·sr

Beleuchtungsstärke

lx = Lux

lm = 1 311 m2

Einige ältere Einheiten außerhalb des Système International Größe

Einheit

Energie

cal = Kalorie

= 4,18400 J

Druck

bar = Bar

= 1,000 · 105 Pa

Torr = Torr

= 133,3 Pa

mmHg = mm-Qecksilber

~ 1 Torr

mmH2O = mm-Wasser

= 9,81 mPa

magn. Flussdichte

G = Gauß

= 10–4 T

Aktivität

Ci = Curie

= 3,77 · 1010 Bq

Ionendosis

R = Röntgen

As = 2,58 · 10–4 41 kg

Energiedosis

rd = Rad

= 0,01 Gy

Äquivalentdosis

rem = Rem

= 0,01 Sv

362

1

Anhang

Energieeinheiten Joule = Newtonmeter = Wattsekunde = J = N · m = W · s

2 3 4 5

Kilowattstunde = kWh = 3,600 · 106 J Elektronenvolt = eV = 1,602 · 10–19 J

Einige Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum)

6

m c = 299792458 31 s km ~ 300.000 6 s

Elementarladung

e0 = 1,60219 · 10–19 C

elektrische Feldkonstante

As ε0 = 8,8541878 · 10–12 53 (Vm)

magnetische Feldkonstante

Vs μ0 = 1,2566371 · 10–6 53 (Am)

Elektronenmasse

me = 9,109382 · 10–31 kg

Protonenmasse

mp = 1,6726216 · 10–27 kg

Neutronenmasse

mn = 1,6749272 · 10–27 kg

11

Planck-Konstante

h = 6,6262 · 10–34 J · s = 4,1357 · 10–15 eV · s

12

Avogadro-Konstante

NA = 6,0220 · 1023 mol–1

Boltzmann-Konstante

J k = 1,3807 · 10–23 3 K

14

Gaskonstante

J R = 8,3144 5243 (mol · K)

15

Faraday-Konstante

C F = 96.484 52 mol

atomare Masseneinheit

u = 1,66057 · 10–27 kg

Elektronenmasse

me = 9,10956 · 10–31 kg

Gravitationskonstante

G = 6,673 · 10–11 Nm2 kg–2

7 8 9 10

13

16 17 18 19 20

363

Physikalische Formelsammlung

Sonnensystem Himmelskörper

Radius

Bahnradius

Fallbeschleunigung

Erde

6,38 · 106 m

1,49 · 1011 m

m 9,81 31 s2

Mond

1,74 · 106 m

3,84 · 108 m

m 1,67 31 s2

Sonne

6,95 · 108 m

kW extraterrestrische Solarkonstante = 1,36 6 m2

Kernladungszahlen Z und molare Massen M einiger natürlicher Isotopengemische Symbol

Element

Z

H

Wasserstoff

1

He

Helium

Li

M g 7 mol

Symbol

Element

Z

M g 7 mol

1,0079

Na

Natrium

11

22,997

2

4,0026

Al

Aluminium

13

26,8915

Lithium

3

6,939

Cl

Chlor

17

35,475

C

Kohlenstoff

6

12,0112

Ca

Kalzium

20

40,08

N

Stickstoff

7

14,0067

Ag

Silber

47

107,868

O

Sauerstoff

8

15,9994

Pb

Blei

82

207,19

364

1 2 3 4 5 6 7 8

Anhang

Einige Eigenschaften des Wassers ,QKP\Mρ,IUXNLQKP\Mρ,,IUXNLZ]KSX,[XMb>MZLIUXL]VO[MV\PITXQM?,[XMb?ÃZUMSIXIbQ\Ã\K ,QMTMS\ZQbQ\Ã\[bIPTεZ:M[Q[\Q^Q\Ã\ρMT7JMZãÃKPMV[XIVV]VOσOMOMV4]N\>Q[SW[Q\Ã\η T

ρ

ρD

pD

WD

c

°C

g 5 ml

μg 5 ml

hPa

kJ 4 g

J 0 (g · K)

10

σ

η

kΩ · m

mN 6 m

s mN · 52 m

0,9998

4,85

6,10

2,50

4,218

87,90

633

75,63

1,87

4

1,0000

6,40

8,13

2,49

4,205

85,90

472

75,01

1,57

10

0,9998

9,40

12,27

2,48

4,192

83,95

351

74,22

1,31

20

0,9983

17,3

23,4

2,46

4,182

80,18

202

72,75

1,002

37

0,9914

45,4

62,7

2,42

4,178

74,51

87

69,97

0,692

50

0,9881

83,0

123,2

2,38

4,181

69,88

53

67,91

0,547

100

0,9583

4,216

55,58

58,90

600

1013

2,26

1122

2699

2,17

Tripelpunkt:

0,0075 °C

610 Pa

kritischer Punkt:

374,2 °C

22,11 MPa

0,282

bei 0 °C

11

molare Schmelzwärme:

J 6,02 · 103 7 mol

12

Wärmeleitfähigkeit:

J 0,54 555 (m · s · K)

13

ρel

0

130

9

εr

bei 20 °C Ausdehnungskoefﬁzient:

1,8 · 10–4 K–1

14

Schallgeschwindigkeit:

km 1,48 51 s

15

bei 25 °C

16

Wellenlänge:

λ 6 nm

320,3

402,6

601,5

667,8

17

Brechzahl:

n(λ)

1,54

1,42

1,36

1,33

18 19 20

365

Physikalische Formelsammlung

Einige Materialkenngrößen Dichte g 5 ml

spez. Widerstand 10–8 Ω · m

spez. Wärmekapazität J 0 (g · K)

Aluminium

2,70

2,8

0,90

Eisen

7,86

9,8

0,42

Kupfer

8,93

1,7

0,39

Silber

10,50

1,6

0,23

Blei

11,34

22

0,13

Quecksilber

13,60

96

0,14

Gold

19,23

2,4

0,13

Platin

21,46

4,8

0,13

Konstantan

8,8

Linearer Ausdehnungskoefﬁzient (bei 100 °C) Quarzglas

0,5 · 10–6 K–1

Jenaer Glas

8,1 · 10–6 K–1

Eisen

12,0 · 10–6 K–1

Kupfer

16,7 · 10–6 K–1

Aluminium

23,8 · 10–6 K–1

50

Wärmeleitfähigkeit Quarzglas

J 1,38 05 (m · s · K)

Seide

J 0,04 05 (m · s · K)

Luft

J 0,025 05 (m · s · K)

Aluminium Schallgeschwindigkeit Luft

m 334 3 s

J 230 05 (m · s · K)

Physiologischer Brennwert

Wasserstoff

m 1306 3 s

Kohlenhydrate

kJ 17,2 4 g

Aluminium

m 6420 3 s

Fett

kJ 38,9 4 g

Eiweiß

kJ 17,2 4 g

Permittivität (Dielektrizitätszahl) Luft

1,000576

Quarzglas

3,7

Glas

5–10

Schokolade

Bier

kJ ~23 4 g kJ 1,9 4 g

366

1

Tabelle griechischer Buchstaben ,QMQVLQM[MU*]KPPÃ]âO^MZ_MVLM\MV*]KP[\IJMV[QVLPMZ^WZOMPWJMV

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Anhang

Α

α

Alpha

Ι

ι

Iota

Ρ

ρ

Rho

Β

β

Beta

Κ

κ

Kappa

Σ

σ

Sigma

Γ

γ

Gamma

Λ

λ

Lambda

Τ

τ

Tau

Δ

δ

Delta

Μ

μ

My

Υ

υ

Ypsilon

Ε

ε

Epsilon

Ν

ν

Ny

Φ

φ

Phi

Ζ

ζ

Zeta

Ξ

ξ

Xi

Χ

χ

Chi

Η

η

Eta

Ο

ο

Omikron

Ψ

ψ

Psi

Θ

θ

Theta

Π

π

Pi

Ω

ω

Omega

Liste der Formelzeichen I I I ) ) ) a, b, c a, I abIb B, * K K KU KV KX K> + + L L LX\ , L* M M

2IPZ /MOMV[\IVL[_MQ\M7X\QS *QTL_MQ\M7X\QS )UXÇZM;\ZWUMQVPMQ\ .TÃKPMVQVPIT\ )UXTQ\]LMMQVMZ;KP_QVO]VO >MS\WZMV *M[KPTM]VQO]VO*M\ZIO BMV\ZITJM[KPTM]VQO]VOJMQMQVMZ 3ZMQ[JM_MO]VO UIOVM\Q[KPM.T][[LQKP\M*M\ZIO 8PI[MVOM[KP_QVLQOSMQ\MQVMZ?MTTM ;\WNNUMVOMVLQKP\M[XMbQâ[KPM ?ÃZUMSIXIbQ\Ã\XZW5I[[M 5WTITQ\Ã\-QVPMQ\"UWTSO UWTIZM?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ UWTIZM?ÃZUMSIXIbQ\Ã\JMQSWV[\IV \MU,Z]KS UWTIZM?ÃZUMSIXIbQ\Ã\JMQSWV[\IV\MU >WT]UMV MTMS\ZQ[KPM3IXIbQ\Ã\?ÃZUMSIXIbQ\Ã\ +W]TWUJ4IL]VO[MQVPMQ\#MV\[XZQKP\ )[
- E, - N N . F, . F + F/ F4 F6 F: Fb O / v, ^ P P ΔP H, 0 1 1 1 R R9 2

-TI[\QbQ\Ã\[UWL]T MTMS\ZQ[KPM.MTL[\ÃZSM*M\ZIO *ZMVV_MQ\MMQVMZ4QV[M.ZMY]MVb /ZMVbNZMY]MVbMQVM[0WKPWLMZ WT]UMV[\ZWU[\ÃZSM ;KPITT[\ÃZSM1V\MV[Q\Ã\
367

Physikalische Formelsammlung

S SS* Sλ 3 SO TΔT TMNN L, 4 4 U m U UQV 5 V V 6 6 6) X X, p, X 8 8I 9Y 9 Z : :+ :Q : 4 : :M [ [ [ [ [ \ < < < < T, < ] ]@ = =MNN1MNN

3WUXZM[[QJQTQ\Ã\ *WT\bUIVV3WV[\IV\M -`\QVS\QWV[SWV[\IV\M7X\QS 3MT^QV<MUXMZI\]ZMQVPMQ\ 3QTWOZIUU5I[[MVMQVPMQ\ 4ÃVOM4ÃVOMVÃVLMZ]VO MNNMS\Q^MZ0MJMTIZU ,ZMPQUX]T[*M\ZIO 1VL]S\Q^Q\Ã\ 5I[[M UIOVM\Q[KPM[5WUMV\ 5M\MZ4ÃVOMVMQVPMQ\ 5QV]\M UWTIZM5I[[M *ZMKP]VO[QVLM`7X\QS )VbIPTLQKP\M )VbIPT 6M_\WV3ZIN\MQVPMQ\ )^WOILZW3WV[\IV\M4WO[KPUQL\BIPT ,Z]KS ,IUXNLZ]KS 1UX]T[,QXWTUWUMV\*M\ZIO 4MQ[\]VO 8I[KIT,Z]KSMQVPMQ\ 4IL]VO[UMVOM ?ÃZUMUMVOM3WUXZM[[QWV[UWL]T )J[\IVL:ILQ][ MTMS\ZQ[KPMZ?QLMZ[\IVL;\ZÕU]VO[ _QLMZ[\IVL SIXIbQ\Q^MZ?QLMZ[\IVL 1VVMV_QLMZ[\IVL QVL]S\Q^MZ?QLMZ[\IVL /I[SWV[\IV\M:MãM`QWV[^MZUÕOMV 7X\QS :MaVWTL[BIPT ;MS]VLMBMQ\MQVPMQ\ ;\IVLIZLIJ_MQKP]VO ;\ZMKSM <MQTKPMV[\ZWU )VNIVO[WZ\ BMQ\ 0ITJ_MZ\[bMQ\ ;KP_QVO]VO[LI]MZ8MZQWLM <MUXMZI\]Z <M[TI5IOVM\NMTLMQVPMQ\ ,ZMPUWUMV\*M\ZIO I\WUIZM5I[[MVMQVPMQ\ 5M[[]V[QKPMZPMQ\LMZ/ZÕ¾M@ MTMS\ZQ[KPM;XIVV]VOQVVMZM-VMZOQM -NNMS\Q^_MZ\M^WV;XIVV]VO]VL;\ZWU

^ > > >V >;

)VNIVO[OM[KP_QVLQOSMQ\ >WT\;XIVV]VO[MQVPMQ\ >WT]UMV 5WT^WT]UMV [XMbQâ[KPM[>WT]UMV3MPZ_MZ\ LMZ,QKP\M _ -VMZOQMLQKP\M ? ?I\\4MQ[\]VO[MQVPMQ\ ? )ZJMQ\ MTMS\ZQ[KPM-VMZOQM ?MT SQVM\Q[KPM-VMZOQM ?SQV XW\MV\QMTTM-VMZOQM ?XW\ B 3MZVTIL]VO[bIPT α TQVMIZMZ)][LMPV]VO[SWMNâbQMV\ α ?ÃZUMÛJMZOIVO[bIPT)J[WZX\QWV[ ^MZUÕOMV αβγ ?QVSMT β >WT]UMVI][LMPV]VO[SWMNâbQMV\ βOZMVb /ZMVb_QVSMTLMZ<W\ITZMãM`QWV Γ >MZOZÕ¾MZ]VO7X\QS δ ,ÃUXN]VO[SWV[\IV\M;KP_QVO]VOMV ε -VMZOQMLQKP\M ε MTMS\ZQ[KPM.MTLSWV[\IV\M εZ ZMTI\Q^M8MZUQ\\Q^Q\Ã\,QMTMS\ZQbQ\Ã\[ SWV[\IV\M η 6]\bMNNMS\?QZS]VO[OZIL>Q[SW[Q\Ã\ λ ?MTTMVTÃVOM?ÃZUMTMQ\NÃPQOSMQ\ MTMS\ZQ[KPM*M_MOTQKPSMQ\ UIOVM\Q[KPM.MTLSWV[\IV\M /TMQ\ZMQJ]VO[SWMNâbQMV\ /T 0IN\ZMQJ]VO[SWMNâbQMV\ 0 5I[[MV[KP_ÃKP]VO[SWMNâbQMV\ U :ÕV\OMV[\ZIPTMV ZMTI\Q^M8MZUMIJQTQ\Ã\ Z ρ 5I[[MVLQKP\M ρ :MãM`QWV[^MZUÕOMV7X\QS ρ [XMbQâ[KPMZMTMS\ZQ[KPMZ?QLMZ[\IVL ρ, ,IUXNLQKP\M σ MTMS\ZQ[KPM4MQ\NÃPQOSMQ\ σ UMKPIVQ[KPM;XIVV]VO7JMZãÃKPMV [XIVV]VO σ ;\ZIPT]VO[SWV[\IV\M7X\QS τ BMQ\BMQ\SWV[\IV\M Φ UIOVM\Q[KPMZ.T][[;\ZIPT]VO[ã][[ 7X\QS ϕ 8PI[MV_QVSMTOM[XZWKPMV"â ω%π N 3ZMQ[NZMY]MVb ω µNNV]VO[_QVSMT7X\QS Ω 7PU-QVPMQ\LM[MTMS\ZQ[KPMV ?QLMZ[\IVL[

368

Anhang

Sachverzeichnis Der Zusatz » ä« bei einer Seitenangabe verweist auf klinische Bezüge im Text, »(P)« auf Begriffe aus den Praktikumsboxen.

A Abbildung 257 – durch Linsen 264 Abbildungsfehler 262 Abbildungsgleichung 265 Abbildungsmaßstab 266 Aberration – chromatische 262 – sphärische 262 Ableitstrom 222 Ableitung 29 Abschirmung, elektrische 201 absolute Messunsicherheit 13 absolute Temperatur 129 Absorption – chemische 158 – optische 277 Absorptionskoefﬁzient 301 Absorptionsspektralanalyse 295 Absorptionsspektrum 278, 279 ä Absorptionsvermögen 143 Abstandsgesetz, quadratisches 115, 276 Achse – freie 63 – optische 264 Achsenabschnitt 38 achsenparalleler Strahl 264 actio = reactio 53 Addition (Vektoren) 16 Adhäsion 86 Adsorption 159 Aggregatzustand 68 – Wechsel 149 Akkommodation 269 Akkommodationsbreite 270 Akku 177 Aktivität 326 – optische 286 algebraische Gleichung 23

Alkalimetall 316 allgemeine Gaskonstante 138 Alpha-Teilchen 321 – Bahn 324 Alpha-Zerfall 321 Altersbestimmung (C-14) 327 Alterssichtigkeit 270 Ampère 170 Amplitude, Schwingung 104 Analog-Digital-Wandler 206 Analysator 285 Anfangsbedingung 33 Anfangsgeschwindigkeit 33 Anfangswinkel, schiefer Wurf 33 anharmonische Schwingung 7 Schwingung, nichtharmonische Anion 211 anisotrop 72 Anode 205 Anregungsenergie 296 Anregungszustand, metastabiler 297 Antimaterie 322, 329 Antiteilchen 329 Anzahldichte 10 Aorta, Tiefpass 188 aperiodischer Grenzfall 106 Apertur, numerische 293 Äquipotentialﬂäche 193 Äquipotentiallinie 193 – Herzzyklus 195 Äquivalentdosis 334 Aräometer 77 Arbeit – Hub- 40 – mechanische 43 – Volumen- 74 archimedisches Prinzip 77 Arkusfunktion 18 arithmetischer Mittelwert 12 Arrhenius-Diagramm 154

Astigmatismus 262, 271 Atmosphäre (Druck) 75 Atmung 81 ä atomare Masseneinheit 319 Atomkern 314 – Aufbau 317 Atommodell, Bohr’sches 314 Atomorbital (Elektronenwolke) 315 Atomprozent 11 Atomuhr 4 Ätznatron, Dissoziation 210 Auftragung – doppelt-logarithmische 21 – einfach-logarithmische 21 Auﬂösungsvermögen 292 Auftrieb 77 – Tragﬂäche 96 Auge 268 Augenlinse 268, 269 Ausbreitungsgeschwindigkeit 113 Ausdehnungskoefﬁzient, linearer 130 Ausfallswinkel 255 Ausgleichskurve 12 Ausstrahlung, speziﬁsche 276 Austrittsarbeit 204 Autokollimation 267 (P) Avogadro-Konstante 9 Axiom (Newton’sche Gesetze) 51 azeotropes Gemisch 155

B Bahnbeschleunigung 32 Bahngeschwindigkeit 35 Balkenwaage 49 Balmer-Serie 296 Bar 74

369

Sachverzeichnis

Barometer 79 barometrische Höhenformel 75 Basis (Logarithmus) 21 Basiseinheit (Grundeinheit) 8 Batterie 169 – Innenwiderstand 187 – Vergleich Kondensator 178 Becquerel 326 Beer’sches Gesetz 279 Belastbarkeit 187 Benetzung 87 Beobachtersystem (Bezugssystem) 57 Bernoulli-Effekt 90 Beschleunigung 31 – Erd- 32 – Bahn- 32 – Fall- 32 – Tangential- 32 – Winkel- 62 – Zentral- 35 – Zentripetal- 59 Bessel-Verfahren 267 (P) bestimmtes Integral 30 Bestrahlungsstärke 276 Beta-minus-Zerfall 322 Beta-plus-Zerfall 322 Beta-Teilchen 322 – Bahn 324 Betrag, Vektor 16 Beugung 252, 290 – am Spalt 292 Beugungsﬁgur 253, 291 Beugungsgitter 290 Beweglichkeit – Elektronen 202 – Ionen 211 Bewegung – Dreh- 35 – gleichförmig beschleunigte 33 – thermische 128 Bezugssehweite 273 Bezugssystem 57 Biegung 71 bikonvex 263 Bild – reelles 257 – virtuelles 256, 265

Bildkonstruktion, Linse 264 Bildkraft, -ladung 204 Bildpunkt 264 Bildröhre 206 Bildweite 265 Bimetallstreifen 130 Bindungsenergie 320 Binnendruck 85 Biolumineszenz 297 Blindstrom 181 Blut 95 Blutdruck 76 ä, 82 Blutdruckmessung 82, 83 ä Blutersatzmittel 148 Blutkreislauf 89, 91, 92, 93 Blutsenkung 78 ä Bodenstrahlung 338, 339 Bogenmaß 18, 19 Bohr’sches Atommodell 314 Boltzmann-Konstante 129 Boyle-Mariotte’sches Gesetz 81 Braun-Röhre 206 Brechung 257 Brechungsgesetz 258 Brechungsindex 258 Brechwert 262 Brechzahl 258 Bremsspektrum 299 Brennﬂeck 300 Brennstoff, fossiler 161 Brennweite 261 – Bestimmung 267 (P) Brennwert, Nahrungsmittel 136 Brewster-Winkel 286 Brille 270 ä Brown’sche Molekularbewegung 128 Brücke, Wheatstone’sche 185 (P) Brückenbedingung 185 (P) Bündelbegrenzung 254

C Candela 277 Cäsium 337

A–D

charakteristische Röntgenstrahlung 317 chemische Energie 42 Compton-Effekt 301, 302 Computertomographie 304 Corti-Organ 119 Coulomb 171 Coulomb-Gesetz 196 Coulomb-Kraft 191, 196 Curie-Temperatur 228

D Dampfdichte 155 Dampfdruck 154 – Sättigungs- 154 Dampfdruckerniedrigung 155 Dämpfung 237 deformierbar 69 Dehnung 38, 70 dekadischer Logarithmus 21 Destillation 155 Deuterium 320 Dezibel (dB) 120 diamagnetisch 228 Diamantgitter 70 Diathermie 219 ä Dichte 9 Dichteanomalie, Wasser 151 Dichtebestimmung 78 (P) Dielektrikum 176 Dielektrizitätskonstante, relative 203 Dielektrizitätszahl 199 Differentialgleichung 234 – elektrischer Schwingkreis 238 – Kondensatorentladung 188 – Schwingung 104 – Zerfallsgesetz 326 Differentialquotient 29 Differenzenquotient 29 Diffraktion (Beugung) 291 Diffusion 145 – Membran 147 Diffusionsgesetz 145 Dimension 5

370

Anhang

dimensionslos 3 Diode 205 Dioptrie (dpt) 262 Dipol 197 – magnetischer 223 – Herzdipol 217 – schwingender 240, 248 Dipolmoment 197 Dispersion 260 Dissoziation 210 Dissoziationsgrad 210 Doppelspalt 290 doppelt-logarithmische Auftragung 21 Doppler-Effekt 121 Doppler-Sonogramm 123 Doppler-Verschiebung 124 Dosierung 85 ä Dosimetrie 334 Dosisdeﬁnitionen 334 Dosisfaktor 336 Dosisleistung 334 Doulong-Petit-Regel 140 Drehachse, momentane 37 Drehbewegung 35, 59 Drehfrequenz 35 Drehimpuls 62 Drehimpulserhaltungssatz 62 Drehmoment 48 – Dipol 197 Drehspulinstrument 226 Driftgeschwindigkeit, Elektronen 202 Drillung 72 Druck 73 – Blut- 82 – hydrostatischer 74 – kritischer 157 – osmotischer 148 – Partial- 138 – Schall- 120 – statischer Staudruck 90 Dualismus, Welle-Korpuskel- 295, 307 Dunkelfeld 274 Durchbruchsfeldstärke 209 Durchlässigkeit 278

Dynamik (Newton’sche Gesetze) 51

E Ebene, schiefe 39 effektiver Hebelarm 47 e-Funktion 19 – Kondensatorentladung 189 – Selbstinduktion 234 Edelgas 316 Effektivwert, Wechselspannung 179 Eichfehler 11 Eigenfrequenz 104 Eigenstrahlung 338 einfach-logarithmische Auftragung 21 Einfallswinkel 255 Einheit 3 – abgeleitete 8 – Basis- (Grund-) 8 Einheitsvektor 16 Einthoven-Dreieck 218 Eisenfeilspäne 223 EKG 187 – Auswertung nach Einthoven 217 ä – Potentiallinie 195 ä elastische – Grenze 71 – Verformung 37, 70 elastischer Stoß 57 Elastizitätsgrenze 71 Elastizitätsmodul 70 elektrische – Energie 173 – Feldkonstante 196 – Feldstärke 191, 196 – Leistung 172, 175 – Spannung 169 elektrischer – Leitwert 173 – Unfall 219 – Widerstand 173 elektrisches Feld 190

– Vergleich magnetisches 228 Elektrochemie 209 Elektrode 216 Elektrokardiogramm (EKG) 169 Elektrokardiograph, Innenwiderstand 187 Elektrolumineszenz 205, 297 Elektrolyt 192, 211 elektrolytischer Trog 192, 196 elektrolytische Zersetzung 213 Elektromagnet 234 elektromagnetische – Kraft 190 – Welle 249 Elektromotor 226 Elektron 170 – freies 204 – speziﬁsche Ladung 207 Elektronenbeugung, Halbebene 305 Elektronenblitz 208 Elektronenhülle 314 Elektronenkanone 205 Elektronenlawine 208 Elektronenmasse 207 Elektronenmikroskop 305 Elektronenoptik 305 Elektronenschale 316 Elektronenspinresonanz (ESR) 319 Elektronenstrahl 205 Elektronenwolke 316 Elektrophorese 212 Elementarladung 171 Elementarteilchen 314 Elementarwelle 292 Elementarzelle 69 Embolie 159 ä Emission, stimulierte 298 Emissionsspektralanalyse 295 E-Modul (Elastizitätsmodul) 70 Endoskopie 259 ä Energie 40 – chemische 42 – elektrische 173 – innere 129 – kinetische 44, 62 – mechanische 46

371

Sachverzeichnis

– potentielle 40 – thermische 129, 139 Energiedichte – elektrostatisches Feld 199 – magnetisches Feld 234 Energiedosis 334 Energieerzeugung 43 Energieerhaltungssatz 43 Energieﬂussdichte 114 Energiestromdichte 276 Energieverbrauch 43, 161 Energiezustand, diskreter 295 Entropie 133 Entropiehaushalt, Erde 162 Entspiegelung (Reﬂexverminderung) 290 Erdbeschleunigung 32 Erdatmosphäre 75 – CO2-Gehalt 162 Erdmagnetfeld 222 Erdschlussüberwachungsgerät 221 Erdung 192, 220 Erdungspunkt, Schaltzeichen 192 Ergänzung, quadratische 23 Ersatzschaltbild 186 Erstarrung 149, 151, 152 Erstarrungswärme 151 erzwungene Schwingung 107 ESR (Elektronenspinresonanz) 319 Euler-Zahl 20 Eustachi-Röhre 119 Exponent 20 Exponentialfunktion 20 – Kondensatorentladung 189 – radioaktiver Zerfall 327 – Selbstinduktion 233 exponentieller Abfall 20 Exposition 338 Extinktionskonstante 278

F Fadenpendel 44, 105 Fahrradergometer 44

Fall, freier 32 Fallbeschleunigung 32 Fangpendel 45 Farad 177 Faraday-Gesetz 213 Faraday-Käﬁg 201 Faraday-Konstante 213 Farbdreieck 282 Farbfehler (chromatische Aberration) 262 Farbmischung 282 Farbsehen 281 Faser, neutrale 71 Faseroptik 259 Fasskammer 335 Federkonstante 38, 238 Federpendel 102 Fehler – absoluter 13 – Eich- 11 – Mess- 11 – persönlicher 4 – relativer 13 – systematischer 11 – zufälliger 11 Fehlerbalken (Streubalken) 13 Fehlerfortpﬂanzung 15 Fehlerstromschutzschalter 221 Fehlsichtigkeit 270 Feld – elektrisches 190 – homogenes 198 – magnetisches 222 – Potential- 193 – Vergleich elektr./magnet. 228 Feldbegriff 190 Feldkonstante – elektrische 196 – magnetische 227 Feldlinie 194 – Dipol 197 – geschlossene 239 – magnetische 223 Feldstärke – elektrische 191, 196 – magnetische 222 Fernkraft 190 Fernrohr 274

D–G

Ferromagnetika, harte und weiche 228 ferromagnetisches Material 227 Festkörper 68 Feuchte, relative 155 Fischaugeneffekt 263 FI-Schutzschalter 221 Fläche 4 Flächennormale 17 Flammenfärbung 295 Flaschenzug 41 Fliehkraft (Zentrifugalkraft) 61 ﬂießen (Festkörper) 71 Fluid 68, 88 Flüssigkeit 68 – interpleurale 81 – newtonsche 92 Flüssigkristall 206 Flüssigkeitsmanometer 79 Floating-Input-Verfahren 222 Fluor-18-Isotop 329 Fluoreszenz 297 Fluss, magnetischer 231 Flussdichte – magnetische 226 – Strahlungs- 114 Fokussierung 266 Fourier-Analyse 109 Fourier-Synthese 109 Fovea 269 freie Achse 63 freier Fall 32 freies Elektron 204 Freiheitsgrad 139 Frequenz – Kreis- 20, 35 – Schwingung 103 Fusion (Kernverschmelzung) 328

G Galvani-Spannung 215 galvanisches Element 215 Gamma-Strahlung 322 Gamma-Quant 322 Gangunterschied 287

372

Anhang

Ganzkörperäquivalent 339 Ganzkörperdosis 336, 339 Gas 68 – Diffusion 146 – ideales 137, 156 – van der Waals 138 Gasentladung 208 – selbständige 209 – unselbständige 209 Gasentladungslampe 208 Gasgesetz 138 Gaskonstante, universelle 138 Gauß-Verteilung (Normalverteilung) 13 gedämpfte Schwingung 105 Gefälle (Gradient) 194 – Geschwindigkeits- 91 – Konzentrations- 145 – Potential- 194 – Temperatur- 141 Gefäßsystem 94 Gefrieren 149, 151 Gefrierpunkterniedrigung 152 Gegenkraft 38 Gegenphase 107 Gegenstandspunkt 264 Gegenstandsweite 265 Gehalt 9 Gehör, spektrale Empﬁndlichkeit 121 Geiger-Müller-Zählrohr 13, 323 Gelenk 36 Genauigkeit (Messunsicherheit) 13 Generator 229 geometrische Optik 253 geostationär 59 Geschwindigkeit – Anfangs- 33 – Bahn- 35 – momentane 29 – Phasen- 113, 125 – thermische 139 – Winkel- 19 Geschwindigkeitsgefälle, lineares 91 Geschwindigkeitsverteilung, Maxwell’sche 139

Gesetz – Beer’sches 279 – Boyle-Mariotte 81 – Brechungs- 258 – Coulomb- 196 – Diffusions- 145 – Dulong-Petit- 140 – Faraday- 213 – Gravitations- 40 – Hagen-Poiseuille- 93 – Hebel- 46 – Henry-Dalton- 158 – Hooke’sches 70 – ideale Gase 81 – Induktions- 231 – 1. Kirchhoff- 181 – 2. Kirchhoff- 182 – Lambert- 278 – Lambert-Beer- 279 – Massenwirkungs- 210 – Newton’sche Gesetze 51−53 – Ohm’sches (Elektr.) 174 – Ohm’sches (Strömung) 92 – radioaktiver Zerfall 326 – Reﬂexions- 255 – Stefan-Boltzmann- 143, 281 – Stokes- 94 (P) – Weber-Fechner- 120 – Wien’sches Verschiebungs143, 281 – Zerfalls- 326 Gewichtskraft 40 Gitter (Kristall) 69 Gitterspektrometer 291 Glas, Aggregatzustand 150 Glasfaser (Lichtleiter) 259 Glaskörper 268 gleichförmig beschleunigte Bewegung 33 Gleichgewicht – Fließ- 162 – Grundgleichungen 48–49 – indifferentes 51 – labiles 50 – stabiles 50 – statisches 37–39 Gleichgewichtsdampfdichte 154 Gleichgewichtsdampfdruck 154

Gleichgewichtsdampfdruckerniedrigung 155 Gleichrichter 205 Gleichspannung 178 Gleichstromkreis 185 (P) Gleichung – Abbildungs- 265 – algebraische 22 – Bernoulli- 90 – Differential- 104 – Größen- 3 – Kontinuitäts- 89 – quadratische 22 – Schwingungsdifferential- 104 – van't-Hoff- 148 – Wärmeleitungs- 141 – Zahlenwert- 3 – Zustands- 138, 156 Gleichverteilungssatz 140 Gleitebene 73 Gleitreibung 54 Gleitreibungskoefﬁzient 54 Gleukometer 77 Glimmlampe 208 Glühbirne, Strom-SpannungsKennlinie 174 Glühemission 204 Grad – Temperatur 130 – Winkel 18 Gradient (Gefälle)194 – Geschwindigkeits- 91 – Konzentrations- 145 – Potential- 194 – Temperatur- 141 Graphit 70 Gravitationsgesetz 40 Gravitationskonstante 40 Gray 334 Grenzfall, aperiodischer 238 Grenzﬂächenspannung 215 Grenzﬂäche 83, 118, 119 Grenzwinkel, Totalreﬂexion 259 Größe – abgeleitete 8 – physikalische 2 Größengleichung 3 Grundeinheit 8

373

Sachverzeichnis

Grundfrequenz 115 Grundgleichung der Mechanik 52 Grundgröße 8 Grundschwingung 116 Grundumsatz 129, 135, 159 ( ä) Grundzustand 296

H Haarnadel 240 Haarhygrometer 155 Haftreibung 54 Hagen-Poiseuille-Gesetz 93 Halbleiterzähler 323 Halbschatten 253 Halbwertsdicke 302 (P) Halbwertszeit 21, 326 – biologische 336 – effektive 336 – physikalische 336 Halogen 316 Haltepunkt 151 Hämatokrit 92 Hämoglobin 278 Harmonische 109 harmonische Schwingung 106 harte Strahlung 299 hartes Ferromagnetikum 228 Hauptebene 264 Hauptsatz der Thermodynamik – Zweiter 133 – Erster 162 Hebel 46 Hebelarm, effektiver 47 Hebelgesetz 46 Helium 319 Helium-Neon-Laser 253, 297, 298 Hellfeld 274 Helligkeit 276 Henry (Spule) 233 Henry-Dalton-Gesetz 158 Hertz 103 Herzﬂimmern 219 Herzzyklus 2 Hochpass 187 Hoff, van’t, Gleichung 148

Höhenformel, barometrische 75 Höhenschichtlinie 193 Höhenstrahlung 334, 338 Hohlspiegel 256 Holographie 298 homogenes Feld 198 Hooke’sches Gesetz 70 Hornhaut 268 Hornhautverformung 272 Hörgrenze 116 Hörschall 116 Hörschwelle 120 Hubarbeit 40 Huygens-Elementarwelle 292 Hydrathülle 153, 197 hydraulische Presse 74 hydrodynamisches Paradoxon 90 hydrophile Oberﬂäche 87 hydrophobe Oberﬂäche 87 hydrostatischer Druck 74

I ideales Gas 137 Impedanz 236 Impuls 55 – Dreh- 62 – Quant 302 Impulssatz 55 Impulsunschärfe 307 indifferentes Gleichgewicht 51 Induktion 229 Induktionsgesetz 231 Induktionsschleife 231 induktiver Widerstand 235 Induktivität 233 Inﬂuenz 200 Inﬂuenzversuch 201 Infrarot 250 Infrarotstrahlung 143 Infraschall 116 Ingestion 335 Inhalation 335 inkohärentes Licht 288 Innenohr 119 Innenwiderstand 186

G–K

innere – Energie 129 – Reibung 54, 88, 91 Instrument, optische 272 Integral 30 – bestimmtes 30 – Linien- 191 Integration 30 Integrationsgrenze 30 Intensität 276 – Welle 114 Interferenz 108, 253, 286 Interferenzﬁlter 290 interpleurale Flüssigkeit 81 Ion 211 Ionendosis 335 ionenselektiv-permeable Membran 213 ionensensitive Membran 148 Ionisationskammer 335 ionisierende Strahlung 334 Ionisierungsarbeit 208 Ionophorese 212 Isobare 156 Isochore 156 Isolierung 220 Isotherm 156 Isotop 319 isotrop 72

J Joule 41, 173 Joule’sche Wärme 175

K Kalorie (cal) 135 Kalorimeter 134 (P) Kapazität 177 – -Kondensator 177 – Wärme- 133 kapazitiver Widerstand 180 Kapillare 86

374

Anhang

Kapillarwirkung 87 Karussell 60 Kathode 205 – Photo- 293 Kathodenstrahloszillograph 205 Kation 211 Katzenauge 255 Kehlkopf 117 Keimbildungsprozess 152 k-Einfang 322 Kelvin 129 Kennlinie – Glühbirne 174 – Widerstand 185 (P) keratoskopisches Bild 271 Kerbwirkung 71 Kernfusion 328 Kernkraft 319 Kernladungszahl 314, 319 Kernreaktion 321 Kernreaktor 328 Kernschatten 253 Kernspaltung 328 Kernspinresonanztomographie (MRT) 318 ä Kernspintomograph 228 Kernverschmelzung 328 Kernumwandlung 321 Kettenreaktion 328 Kilogramm 8 Kilopond 38 Kilowattstunde 41, 173 – Arbeitspreis 173 Kinematik (Bewegung) 28 kinetische Energie 44 – Rotation 62 kinetische Gastheorie 137 Kirchhoff-Gesetz, 1. und 2. 181, 182 Klangfarbe 116 Kleindosisstrahlung 339 Klemmenspannung 186 Knotenregel 181 Kochsalzlösung, physiologische 148 Koexistenzbereich 156 Kohärenz 288 Kohärenzlänge 289, 291

Kohäsion 83 Kohlensäure, Dissoziation 209 Kohlenstoff-14 327 Kohlenstoff-14-Isotop 328 Kolbenpumpe 80 Kollimator 277 kommunizierende Röhren 76 Kompassnadel 223 Kompensationsmethode 185 Komponente (Vektor) 16 Kompressibilität 81 Kompressionsmodul 82 Kondensation 149, 153 Kondensator 176 – Auﬂaden 177, 188 – Entladen 188 – Energie 178 – Feldlinie 199 – Kapazität 176 – kapazitiver Widerstand 180 – Phasenbeziehung 180 – Platten- 176 – Schaltzeichen 177 – Vergleich Batterie 178 kondensieren 153 Kondensor 277 konkav-konvex 263 Konstante – Avogadro- 9 – Boltzmann- 129 – Dämpfungs- 106 – Extinktions- 278 – Faraday 211 – Feder- 38 – Feld- (el.) 196 – Feld- (mag.) 227 – Gas- 138 – Gravitations- 40 – Massenwirkungs- 210 – Sedimentations- 78 – Solarkonstante 162 – Stefan-Boltzmann- (Strahlungs-) 281 – Planck 294 – Zeit- 21 Kontaktspannung 215 Kontamination 336 kontinuierliches Spektrum 280

Kontinuitätsgleichung 89 Kontrastmittel 304 Konvektion 141 konventionelle Stromrichtung 171 konvex 263 Konzentrationsgradient 145 Konzentrationspotential 214 Koordinatensystem 167 Kopfwelle 123 Kornea 268, 269 Körper, schwarzer 144 Korpuskel-Welle-Dualismus 295, 307 Kortex, visueller 248 Kosinus 18 Kotangens 18 Kraft 37 – Auftriebs- 77 – Coulomb- 191, 196 – elektrische/elektromagnetische 190 – Flieh- 61 – Lager- 48 – Lorentz- 225 – magnetische 190, 224 – resultierende- 39 – rücktreibende (Rückstell-) 102 – Trägheits- 57 – Zentrifugal- 60 – Zentripetal- 59 Kraftarm 46 Kräftepaar (Lagerkraft) 48 Kräfteparallelogramm 39 Kräftepolygon 39 Kraftfeld 194 Kraftgesetz, lineares 38 Kraftschluss 36 Kraftstoß (Stoß) 56 Kraftwirkungslinie 47 Kreisbewegung (Drehbewegung) 35, 59 Kreisel, Präzession 318 Kreisfrequenz 20, 35, 104 Kreisstrom (atomarer) 226 Kreiswelle 251 Kreuzprodukt 17 Kriechfall 106, 238

375

Sachverzeichnis

Kristallgitter 69 kritischer – Punkt 157 – Winkel 259 kryoskopische Konstante 152 K-Schale 317 Kugel 4 – brechende 268 – künstliche Radioaktivität 328 Kurzschlussstrom 186 Kurzsichtigkeit 271 Kurzwellenbestrahlung 176 ä, 219

L labiles Gleichgewicht 50 Ladung, elektrische 170 Ladungsträger 170 Ladungstrennung 200 Ladungszahl 319 Lagerkraft 48 Laktometer 77 Lambert-Beer-Gesetz 279 Lambert-Gesetz 278 laminare Strömung 88, 89, 92, 93 Länge 4 Laser 297, 298 Laserchirurgie 298 ä Lastarm 46 latente Wärme (Umwandlungswärme) 149 LCD-Display 206 Lebensdauer – angeregter Zustand 297 – mittlere 326 Leckströme 220 Leerlaufspannung 186, 294 Leerstelle 71 Leistung 175 – Deﬁnition 43 – Dosis 334 – elektrische 172 – Wirk- 181 Leitfähigkeit – elektrische 183 – elektrolytische 211

– Wärme- 141 Leitsalz 213 Leitungselektron 170 Leitwert, elektrischer 173 Lenz’sche Regel 234 Lesebrille 270 Letaldosis 336 Leuchtelektron 316 Leuchtstoffröhre 209, 297 Licht – Ausbreitung 252 – Emission 280, 295 – Farbe 281 – inkohärentes 288 – kohärentes 297, 298 – polarisiertes 285 – Teilchennatur 293 – Wellenlänge 251 Lichtbogen 209 Lichtbündel 253 – divergentes 255 Lichtdruck 305 Lichteinfall, schräger 276 lichtelektrischer Effekt 293 Lichtgeschwindigkeit 207 – Vakuum- 250 Lichtleiter 259 Lichtmessgrößen 275–277 Lichtquant 295 Lichtstrom 275 linearer Maßstab 21 linearer Zusammenhang 38 lineares Kraftgesetz 38 Linienintegral 195 Linienspektrum 296 Linse – Abbildung 264 – Bildkonstruktion 264 – Brennpunkt 261 – dicke 267 – Kombination 262 – optische Achse 264 – Praktikumsversuch 267 (P) – Sammel- 262 – sphärische 261 – Zerstreuungs- 263 – Zylinder- 261 Linsenfehler 262

K–M

logarithmische Skala 22 Logarithmus – dekadischer 21 – natürlicher 21 longitudinale Welle 112 Lorentz-Kraft 225 Loschmidt’sche Zahl (AvogadroZahl) 9 Lösungswärme 153 Luftdruck 75 Luftfeuchtigkeit 155 Lumen 275 Lumineszenz 297 Lupe, Strahlengang 273 Lux 277 Lyman-Serie 296

M Magnet 223, Magnetfeld 222 – Berechnung 227 – Dipol 223 – eines Leiters 224 – Einheit 226 – Energiedichte 234 magnetische – Feldkonstante 227 – Feldlinien 223 – Feldstärke 222 – Flussdichte 226 magnetischer Fluss 231 magnetisches Feld 222 – Vergleich elektrisches 228 magnetisches Moment 226 Magnetisierung 228 Magnetresonanz (Kernspinresonanz) 318 Manometer 79 Maschenregel 182 Maschine, Wirkungsgrad 162 Masse 8, 40 – Elektron 207 – molare 9 – relativistische 208 – Ruhe- 207

376

Anhang

Masse – schwere 53 – träge 53 Maßeinheit 3 Massendefekt 320 Massendichte 10 Masseneinheit, atomare 319 Massengehalt 10 Massenmittelpunkt 49 Massenschwächungskoefﬁzient 301 Massenspektrometer 227 Massenwirkungsgesetz 210 Massenwirkungskonstante 210 Massenzahl 319 Maßstab, linearer 21 Maßzahl 3 Materiewelle 111, 305 – stehende 315 mathematisches Pendel (Fadenpendel) 105 Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung 139 Mechanik 28, 68 – Grundgleichung 52 mechanische – Arbeit 43 – Energie 46 – Schwingung 102 – Spannung 70 – Welle 111 Membran, permeable – ionenselektive 213 – selektive 147 Membranpumpe 80 Membranspannung 213 Mensch, Widerstand 174 Messfehler 11 Messung – Brennweite 267 (P) – Dichte 78 (P) – Halbwertsdicke 302 (P) – Kennlinie, Widerstand 185 (P) – Oberﬂächenspannung 86 (P) – Polarisation, Licht 286 (P) – Schmelzwärme 135 (P) – Vergrößerung (Mikroskop) 275 (P)

– Viskosität und Strömung 94 (P) – Wärmekapazität 134 (P) – Zuckerkonzentration 286 (P) Messunsicherheit – absolute 13 – relative 14 metastabil 297 Meter 5 Mikrometer, Okular- 6 Mikroskop – Elektronen- 305 – Licht 273, 275 (P) – Röntgen- 275 Milliliter 7 Minuspol 171 Mischtemperatur 134 Mittelohr 119 Mittelwert, arithmetischer 12 mmHg 74 Modul – Elastizitäts- 70 – Kompressions- 82 – Volumenelastizitäts- 82 Mohr’sche Waage 78 (P) Mol 9 Molalität 10 molare Masse 9 Molarität 10 Molekül, Freiheitsgrad 139 Molekularbewegung, Brown’sche 128 Molenbruch 11 Molmasse 9 Molvolumen 10 – kritisches 150 Molwärme 134 Moment – Dipol- 197 – Dreh- 48 – magnetisches 226 – Trägheits- 62 momentane Drehachse 37 momentane Geschwindigkeit 29 Mondschatten 254 monochromatisch 260 Monochromator 277 Monopol 223

MRT [Kernspin(resonanz)tomographie] 317, 318 Muskeln 43 ä

N Nanometer (nm) 5 natürliche – Exposition 338 – Strahlungsaktivität des Menschen 327 ä natürlicher Logarithmus 21 Nebelkammer 323 Nebelkammeraufnahme 325 – Paarbildung 330 negative Linse (Zerstreuungs-) 262 Nernst-Formel 214 Nervenzellmembran 213 Netzhaut 268 Netztransformator 221 neutrale Faser 71 neutrales (indifferentes) Gleichgewicht 51 Neutron 319 Neutronenanzahl 319 Newton 38 Newtonmeter (Nm) 41 newtonsche Flüssigkeit 92 Newton’sche Gesetze 51–53 nichtohmsches Verhalten 174 Niveauschema 295 NMR (Kernspinresonanz) 318 Nordpol 225 Normalbedingung 138 Normalelektrode 216 Normalkraft 39, 54 Normalität 210 Normalverteilung 13 Nukleon 319 Nuklid 319 Nuklidtafel 320, 321 Nullinstrument 185 (P) Nullleiter 220 numerische Apertur 293 Nutzeffekt (Wirkungsgrad) 162

377

Sachverzeichnis

O Oberﬂäche – hydrophile 87 – hydrophobe 87 Oberﬂächenspannung (-energie) 84, 85, 86 (P) Oberschwingung 116 Oberton 116 Objektmikrometer 6 Objektiv 263, 273 Öffnungsfehler (sphärische Aberration) 262 Öffnungswinkel 253 Ohm’sches Gesetz – Elektrizität 174 – Hydrodynamik 92 ohmscher Widerstand 179 Ohr 119 Okularmikrometer 6, 273 Optik – Elektronen- 305 – geometrische 253 – Quanten- 293 – Wellen- 285 optische – Abbildung 264 – Absorption 277 – Achse 264 – Aktivität 286 (P) optisches Instrument 272 Orbital 315 Ordnungszahl 314, 319 Organdosis 336, 339 Orientierungspolarisation 204 Ortsunschärfe 307 Osmose 147 osmotischer Druck 148 Oszillator 102 – molekularer 295 Oszillograph 206, 207 (P) Oxyhämoglobin 278

P Paarbildung 301, 330 Paradoxon, hydrodynamisches 90 Parallellichtbündel 255 Parallelogramm der Kräfte 39 Parallelschaltung 171 – Widerstand 182 paramagnetisch 228 Parameterdarstellung 156 Partialdruck 139 Pascal 74 Paschen-Serie 296 Pauli-Prinzip 316 Pegelmaß 120 Pendel 102 – elektrisches 236 – Faden- 44, 105 – Fang- 45 – Feder- 102 – mathematisches 44 – Stoßpendel 56 Periode, Schwingung 102 Periodensystem 314 Permanentmagnet 223 Permeabilität, relative 228 Permeabilitätskoefﬁzient 146 Permittivität 203 perpetuum mobile 43 persönlicher Fehler 4 PET 329 ä pH-Wert 210 Phase – Schwingungs- 108 – Wärmelehre 149 Phasendiagramm 157 Phasenﬂäche 113 Phasengeschwindigkeit 111 Phasengrenze 215 Phasenkontrastmikroskop 274 Phasenleiter 220 Phasenübergang 149 Phasenumwandlung 149 Phasenwinkel 108 – p-V-Diagramm 157 Phon 120

M–P

Phosphoreszenz 297 Photoeffekt 293, 301 Photokathode 293 Photokopierer 191 Photometer 277 (P) Photon 295 Photosynthese 162 Photozelle 293 physikalische Größe 2 physiologische Kochsalzlösung 148 Piezoelektrizität 204 Pirouette 62 Pitot-Rohr (Staurohr) 90 Planck’sches Wirkungsquantum 294 Plankonvexlinse 261 plastische Verformung 37 Plattenkondensator, homogenes Feld 199 Pluspol 171 Poise (Einheit) 91 Poiseuille’sches Gesetz 91 Poisson-Verteilung 13 Polarisation 112 – Isolator 203 – Licht 286 (P) – lineare 285 Polarisationsfolie 285 polarisiertes Licht 285 Polkurve 37 Polwender 180 positive Linse (Sammel-) 261 Positron 329 Positronenemissionstomographie (PET) 329 ä Positronenvernichtung 329 Potential, elektrisches 192 Potentialausgleich 221 Potentialfeld 193 Potentialgebirge 194 Potentiallinie 194 Potentialsonde 193 potentielle Energie – elektrische 196 – mechanische 41 Potenzfunktion 23

378

Anhang

Praktikum – Brennweitenbestimmung 267 (P) – Dichtebestimmung 78 (P) – Gleichstromkreis 185 (P) – Halbwertsdicke 302 (P) – Kalorimeter 135 (P) – Kennlinie, Widerstand 185 (P) – Linse (Augenmodell) 267 (P) – Mikroskop 275 (P) – Mohr’sche Waage 78 (P) – Oberﬂächenspannung 86 (P) – Oszillograph 207 (P) – Polarisation des Lichtes 286 (P) – radioaktiver Zerfall 13, 328 (P) – Röntgenstrahlen 302 (P) – Saccharimetrie 286 (P) – Schmelzwärme 135 (P) – Spektralphotometer 279 (P) – Statistik (P) 13 – Vergrößerung (Mikroskop) 275 (P) – Viskosität und Strömung 94 (P) – Wärmekapazität 134 (P) – Zuckerkonzentration 286 (P) Präzession, Kreisel 318 Präzessionsfrequenz 317 Presse, hydraulische 74 Primärlichtquelle 254 Primärspule 232 Prinzip, archimedisches 77 Prisma 260 Prismenstapel 261 Produkt – skalares 42 – vektorielles 16 Proportionalität 38 Proton 319 – Bahnspuren 325 Protonenverteilung 318 Prozess – stochastischer 326 – thermisch aktivierter 154 Pumpe 80 Punkt – kritischer 157 – Tripel- 157 Punktladung 197

p-T-Diagramm 156 p-V-Diagramm 156 Pythagoras 17

Q quadratische – Ergänzung 23 – Gleichung 23 quadratisches Abstandsgesetz 115, 276 Quant 295 – Gamma- 322 Quantenhypothese 294 Quantenoptik 293 Quantum, Planck’sches Wirkungs294 quasifreies Elektron 201 Quantensprung 294 Quecksilber-Barometer 79

R Rad (rd; Dosiseinheit) 334 Radialbeschleunigung 32, 36 Radiant (rad) 19, 276 radioaktiver – Tracer 336 – Zerfall 328 (P) Radioaktivität – künstliche 328 – Nachweis 323 – Zerfallsgesetz 326 Rasterelektronenmikroskop (REM) 306 Raumwinkel 276 RC-Glied 187 Reaktionskraft (Gegenkraft) 37, 53 reale Gase 138 Rechte-Hand-Regel 17, 223, 224 reelles Bild 257 Reﬂexion 255 Reﬂexionsgesetz 255 Reﬂexionsvermögen 143

Reﬂexverminderung 290 Regel – Doulong-Petit- 140 – Kirchhoff- 182 – Lenz’sche 234 Reibung 54 – innere 54, 88, 91 Reibungskoefﬁzient 54 Reihenschaltung 171 – Widerstand 182 Rekombination 209 relative – Längenänderung (Dehnung) 38, 70 – Luftfeuchtigkeit 155 – Messunsicherheit 14 – Permeabilität 227 relativer Fehler 14 Relativitätstheorie 207 Rem 334 Resistivität 183 Resonanz 107 Resonanzabsorption 317 Resonanzkurve 107 resultierende Kraft 39 Retina 269 Reynolds-Zahl 93 Ringtensiometer 86 (P) Riva-Rocci 83 ä RL-Glied 234 Röhren, kommunizierende 76 rollende Reibung 54 Röntgen 335 Röntgenaufnahme 304 Röntgenbild 300 ä Röntgenröhre 299, 303 Röntgenstrahlung 299–301 – charakteristische 317 Röntgenstrukturanalyse 317 Röntgentomographie 304 Rotation 62 Ruhelage, Schwingung 102 Ruhemasse 208 Rückstoß (Rechenbeispiel) 57

379

Sachverzeichnis

S Saite (Schwingung) 116 Saccharimetrie 286 (P) Sägezahn 205 Sammellinse, bikonvexe 261 Sättigung (magnetische) 228 Sättigungsdampfdruck 154 Sauna 160 Schalldruck 120 Schallgeschwindigkeit 117 Schallintensität 120 Schallkopf 118 Schallmauer 123 Schallmessgrößen 120 Schallpegel 120 Schallschnelle 120 Schallstärke 120 Schallwahrnehmung 118 Schallwechseldruck 120 Schallwelle 111, 116 Schaltskizze 169 Schaltzeichen – Batterie 170 – Erdung 192 – Kondensator 177 – Spule 234 Widerstand 182 Schattenraum 252 Schätzwert 12 Scheinkraft (Trägheitskraft) 57 Schiebewiderstand 184 schiefe Ebene 39 schiefer Wurf 33 Schmelzen 149–151 Schmelzpunkt 151 Schmelzwärme 135, 151 Schraubenfeder 37 Schraubenregel (Rechte-HandRegel) 17 Schubspannung 72 Schutzkontakt 220 Schwächungskoefﬁzient 300 schwarzer Körper 144 schwarze Strahlung 280 Schwebung 108 Schweredruck 75

Schwerelosigkeit 59 schwere Masse 53 Schwerkraft 40 Schwerpunkt 49 Schwingkreis, elektrischer 236 Schwingung – erzwungene 107 – gedämpfte 105 – Grundschwingung 116 – harmonische 103, 106 – mechanische 102 – nichtharmonische 109 – Oberschwingung 116 – Überlagerung 107 Schwingungsdauer 103 Schwingungsdifferentialgleichung 104, 238 Schwingungsenergie 106 Schwingungsknoten 115 Sedimentation 78 Sedimentationskonstante 78 Schwingungsüberlagerung 107 Sedimentation 78 Sehpurpur 269 Sehwinkel 272 Seilwelle 111 Sekundärlichtquelle 254 Sekundärspule 232 Sekunde 4 selbstständige Gasentladung 209 Selbstinduktion 233 Selbststeuerung 238 selektiv permeable Membran 148 Seriengrenze 296 Serienschaltung (Reihenschaltung) 182 Sicherung 186 sichtbares Licht 281 Siedepunkt 155 Sievert (Sv) 334 SI-Einheit 8 signiﬁkante Stellen 14 Silbernitrat (AgNO3) 212, 215 Sinus 18 Skala, logarithmische 22 Skalar 16

P–S

skalares Produkt 16, 17, 42 Snellius-Gesetz (Brechungsgesetz) 258 Solarkonstante, extraterrestrische 162 Solvatationswärme 153 Solvathülle 153 Sonnenenergie 161 Sonographie 118 – Doppler- 123 sound pressure level (SPL) 120 Spannung – elektrische 169, 192 – Galvani- 215 – Grenzﬂächen- 215 – induzierte 229 – Klemmen- 186 – Kontakt- 215 – Leerlauf- 186, 294 – mechanische 70 – Oberﬂächen- 85 – Thermo- 216 – Wechsel- 178 Spannungsabfall 184 Spannungsmesser 170 – Innenwiderstand 187 Spannungsmessung in Kompensation 186 Spannungsreihe 216 Spannungsteiler 184 Spektralbereich, sichtbarer 250 spektrale Zerlegung 261 Spektrallinien 295 Spektralphotometer 277–279 Spektrum 237 – Absorptionsspektralanalyse 295 – Anregungsenergie 296 – Atom- 294 – Brems- 299 – Grundzustand 296 – Niveauschema 295 speziﬁsche – Aktivität 336 – Ausstrahlung 276 – Wärmekapazität 134 speziﬁscher Widerstand 183 speziﬁsches Volumen 9

380

Anhang

sphärische – Aberration 262 – Linse 261 Spiegelung 255 Spitzenzähler 321 Spule 225 – Induktivität 233 – Selbstinduktion 233 Stäbchen (Auge) 281 stabile Rinne 321 stabiles Gleichgewicht 50 Stabmagnet 222 Stalagmometer 86 (P) Standardabweichung 12 Standardbedingung (Normalbedingung) 138 – Mittelwert 14 Starbrille 269 Statik (Gleichgewicht) 49 Statistik (P) 13 Staudruck 90 Staurohr 90 Stefan-Boltzmann-Gesetz 143, 281 stehende Welle 112, 115 Steighöhe (Kapillare) 86 (P) Steigung (math.) 28 Steigungsdreieck 28 Stempeldruck 73 Steradiant (sr) 276 Stichprobe 12 Stimmband 117 stimulierte Emission 298 Stoffmenge 8 Stoffmengendichte 11 Stoffmengengehalt 11 Stokes-Gesetz 94 (P) Stoß 56 – elastischer 57 – unelastischer 57 Stoßionisation 208 Stoßpendel 56 Strahl, achsenparalleler 264 Strahlenexposition – natürliche 338 – zivilisationsbedingte 339 Strahlengang 265 – Elektronenmikroskop 306 – Lupe 273

– Mikroskop 274 – Spektralphotometer 278 – Umkehrbarkeit 259 Strahlenschutz 340 Strahlenschutzverordnung 340 Strahlentherapie 337, 340 Strahlstärke 277 Strahlung 250 – energiereiche 295 – ionisierende 334 – radioaktive 321 – schwarze 280 – Temperatur- (Wärme-) 143, 280 Strahlungsaktivität, natürliche 327 ä Strahlungsmessgrößen 275–277 Streubalken 12 Streukoefﬁzient 301 Streumaß 12 Streuung (Messwerte) 11 Strom 202 – Anoden- 205 – Blind- 181 – elektrischer 169 – Elektronen 202 – kapazitiver 180 – Metall 202 Stromfaden 88 Stromkreis 169 Stromlinienform 95 Strommesser 170 – Innenwiderstand 187 Stromrichtung (konventionelle) 171 Strom-Spannungs-Kennlinie – Glühbirne 174 Stromstärke – elektrische 170 – Volumen- 8, 98 Stromstoß 177 Strömung – ideale 88 – laminare 88, 89, 92, 93 – reale 92 – turbulente 88, 92, 95, 96 Strömungsverhalten, Blut 93 Strömungswiderstand 92 Stromwärme 175

Strukturanalyse, Röntgen- 317 Stufenversetzung 71 Sublimation 149 Suspension 78 Symmetrieachse 70 systematischer Fehler 11 Système International (SI) d’Unité 8 Szintillationszähler 323, 328

T Tangens 18 Tangente 29 Tangentialbeschleunigung (Bahnbeschleunigung) 32 Teilchenanzahldichte 10 Teilchenstrom 146 Teilchenstromdichte 214 Teilchen-Welle-Dualismus 295, 307 Teleobjektiv 267 Temperatur, absolute 129 Temperaturgradient 141 Temperaturmessung 130 Temperaturnullpunkt, absoluter 129 Temperaturstrahlung 280 Termschema (Niveauschema) 297 Tesla (T) 226 thermisch aktivierter Prozess 154 thermische – Ausdehnung 130 – Bewegung 128 Thermodynamik – 1. Hauptsatz 162 – 2. Hauptsatz 133 thermodynamisches Gleichgewicht 132 Thermoelement 216 Thermographie 144 Thermometer 131 Thermosﬂasche 134 Thermospannung (Thermokraft) 216 Thoraxoperation 81

381

Sachverzeichnis

Tiefpass 187 Tomographie – Computer- (CT) 304 – MRT 318 – PET 329 Torr 74 Torsion 72 Totalreﬂexion 259 – Grenzwinkel 259 Tracer 329 ä – radioaktiver 336 träge Masse 53 Tragﬂäche, Auftrieb 96 Trägheit 52 Trägheitskraft 57 Trägheitsmoment 62 Transformator 232 Transpiration 153, 155, 160 transversale Welle 112 Treibhauseffekt 162 Trenntrafo 222 trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 18 Tripelpunkt 157 Tritium 320 Trommelfell 119 Tropf 85, 87 Tubuslänge (Mikroskop) 274 Tunnelmikroskop 204 turbulente Strömung 88, 92, 95, 96

U Überlagerung, Schwingung 107 Überlandleitung 176 übersättigte Lösung 155 Überschallknall 123 überschwerer Wasserstoff 320 Uhr 4 Ultraschall 116 Ultraviolett 250 Umgebungsstrahlung 338 Umkehrfunktion 20 Umlaufzeit 36 Umwandlungswärme 149 unelastischer Stoß 57

Unfall, elektrischer 219 universelle Gaskonstante 138 Unschärferelation 307 Unterkühlung, Flüssigkeit 152 Urknall 132 Urometer 77 Urspannung (Leerlaufspannung) 186

S–W

Volumenausdehnungskoefﬁzient 130 Volumenelastizitätsmodul 82 Volumenprozent 10 Volumenstrom 88 Volumenstromstärke 8, 98

W V Vakuumdiode 205 Vakuumphotozelle 293 van’t-Hoff-Gleichung 148 van der Waals, Zustandsgleichung 138 Varianz 12 Vektor 16 Vektoraddition 16 Vektorprodukt 16 Vektorzerlegung 16, 17 Verdampfung 149, 153 Verdampfungsenthalpie 153 Verdampfungswärme 153 Verformung – elastische 37, 70 – plastische 37 Vergrößerung, optische 266 Vergrößerungsfaktor 266, 273, 275 (P) Verlustleistung 176 Verschiebungsgesetz, Wien’sches 143, 281 Verschiebungspolarisation 203 Versetzung (Kristallgitter) 71 Vielfachinstrument 170 virtuelles Bild 256, 265 Viskoelastizität 73 Viskosimeter 91 Viskosität 91 Viskosität und Strömung 94 (P) visueller Kortex (Sehrinde) 250 Volt 170 Volumen 4 – speziﬁsches 9 Volumenarbeit 74

Waage – Balken- 39 – Mohr’sche 78 (P) Waals (van der), Zustandsgleichung 138 Wachstumsfunktion 21 Wahrscheinlichkeit und Ordnung 132 Wahrscheinlichkeitswelle 305 Wärme 129 – Erstarrungs- 150 – Joule’sche 175 – latente 149 – Lösungs- (Solvatations-) 153 – Schmelz- 151 – Umwandlungs- 149 – Verdampfungs- 154 Wärmebildkamera 144 Wärmehaushalt – Erde 162 – Mensch 159 Wärmekapazität 134, 135 (P) – Metalle (Doulong-Petit) 140 – molare 134 – speziﬁsche 134 Wärmekraftmaschine 162 Wärmeleitung 140 Wärmestrahlung 143 Wärmestrom 141 Wärmeübergangskoefﬁzient 142 Wasser – Dichteanomalie 151 – elektrolytische Zersetzung 213 – Phasenübergang 151 – Siedepunkt 155 – speziﬁsche Wärmekapazität 135 – Tripelpunkt 158

382

Anhang

Wasserdampf 155 Wassermolekül, Dipol 197 Wasserstoff – schwerer 320 – Spektrum 296 – überschwerer 320 Wasserstoffelektrode 216 Wasserstofﬁon 209 Wasserwelle 110 Wasserwert 134 (P) Watt 172 Wattsekunde 41 Weber-Fechner-Gesetz 120 Wechselschalter 177 Wechselspannung 178 Wechselstrom 179 Wechselstromwiderstand 180, 233, 203 (P) Weg-Zeit-Diagramm 29 Weißpunkt 282 Weitsichtigkeit 271 Welle 112, 113 – ebene 252 – elektromagnetische 240, 249 – Energietransport 113 – Intensität 114 – longitudinale 112 – mechanische 111 – Polarisation 112 – stehende 112, 115 – transversale 112 Welle-Teilchen-Dualismus 295, 307 Wellenausbreitung 251 Wellenfront 251 Wellenfunktion 305 Wellenlänge 110 Wellenoptik 285 Wellenpaket 307 Wellenspektrum 251 Wellenwanne 251 Wellenzentrum 251 Wertigkeit 209 Wheatstone’sche Brücke 185 (P) Wichtungsfaktor 339 Widerstand – elektrischer 173 – Gleichstromkreis 185 (P)

– induktiver 235 – Innen- 186 – kapazitiver 180 – Mensch 174 – ohmscher 174 – Parallelschaltung 182 – Reihenschaltung 182 – speziﬁscher 183 – Strömungs- 92 – variabler 184 Widerstandsthermometer 131 Wien’sches Verschiebungsgesetz 143, 281 Wilson-Nebelkammer 324 Windkesselfunktion 82 ä Winkel, brechender 261 Winkelbeschleunigung 62 Winkelfunktion 18 Winkelgeschwindigkeit – Erde 36 – Frequenz 19 – Schwingungsdauer 19 Winkelgrad 18 Winkelspiegel 257 Wirkleistung 181, 235 Wirkungsgrad – Maschine 162 – Mensch 136 Wirkungsquantum, Planck’sches 294 Wurf, schiefer 33 Wurfparabel 33 Wurzel (math.) 22

Y Young-Helmholz’sche Farbentheorie 281

Z Zähigkeit 91 Zahlengerade 3 Zahlenwertgleichung 3

Zählrohr 328 Zapfen (Netzhautrezeptorzelle) 281 Zeit 3 Zeitkonstante 21, 234 – Kondensatorentladung 189 Zellmembran, Diffusion 146 Zentralbeschleunigung 36 Zentralstrahl 255, 264 Zentrifugalkraft 60 Zentrifuge 61, 78 Zentripetalbeschleunigung 59 Zentripetalkraft 59 Zerfall, radioaktiver 321 Zerfallsarten, radioaktive 322 Zerfallsgesetz 326 Zerfallskonstante 326 Zerfallsreihe 322 Zersetzung, elektrolytische 210 Zerstreuungslinse 262 zufälliger Fehler 11 Zusammenhang, linearer 38 Zustandsdiagramm 156 Zustandsgleichung 156 – ideale Gase 138 – van der Waals 138 Zustandsgröße 14, 156 Zwischenbild (Mikroskop) 274 Zylinderlinse 261