Physique des plasmas collisionnels : Application aux decharges haute frequence

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS APPLICATION AUX DÉCHARGES HAUTE FRÉQUENCE

Grenoble Sciences Grenoble Sciences poursuit un triple objectif : i réaliser des ouvrages correspondant à u n projet clairement défini, sans contrainte de mode ou de programme, i garantir les qualités scientifique et pédagogique des ouvrages retenus, i proposer des ouvrages à un prix accessible au public le plus large possible. Chaque projet est sélectionné au niveau de Grenoble Sciences avec le concours d e referees anonymes. Puis les auteurs travaillent pendant une année (en moyenne) avec les membres d'un comité d e lecture interactif, dont les noms apparaissent au début de l'ouvrage. Celui-ci est ensuite publié chez l'éditeur le plus adapté. (Contact : Tél. : (33)4 76 51 46 95 - E-mail : [email protected]) Deux collections existent chez EDP Sciences : i la Collection Grenobile Sciences, connue pour son originalité de projets et sa qualité i Grenoble Sciences -,Rencontres Scientifiques, collection présentant des thèmes d e recherche d'actualité, traités par des scientifiques d e premier plan issus d e disciplines différentes.

Directeur scientifique de Grenoble Sciences Jean BORNAREL,Professeur à l'université Joseph Fourier, Grenoble 1 Comité de lecture pour Physique des plasmas collisionnels i Michel AUBÈS,professeur à l'université Paul Sabatier (Toulouse)

JacquesDEROUARD, professeur à l'université Joseph Fourier (Grenoble) Ana LACOSTE, professeur à l'université Joseph Fourier (Grenoble) i Bachir SAOUDI, phy:sicien à l'Université de Montréal (Canada) avec le concours de i Cédric DE VAULX et Didier RIEU i

i

Grenoble Sciences bénéficie d u soutien d u Ministère de l'Éducation nationale, de l'Enseignementsupérieur et de la Recherche et de la Région Rhône-Alpes. Grenoble Sciences est rattaché à l'université JosephFourier de Grenoble.

Illustration de couverture :Alice GIRAUD d'après les irnlagesfournies par Jeffvey A. HOPWOOD et Keith WARNER, Johnny AUTERY,le Prof. MOIÇANde l'Université de Montréal et le Centre de Recherche Plasmas-Matériaux-Nanostructures du LPÇC ( C N R S - UJF-INPG)

ISBN 2-86883-822-7

O EDP Sciences, 2006

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS APPLICATION AUX DÉCHARGES HAUTE FRÉQUENCE

Michel MOISANet Jacques PELLETIER

l"i SCIENCES

17, avenue d u Hoggar Parc d'Activité de Courtabœuf - BP 112 91944 Les Ulis Cedex A - France

Ouvrages Grenoble Sciences édités par EDP Sciences Collection Grenoble Sciences Chimie. Le minimum à savoir (1. Le Cower) Electrochimie des solides (C. Déportes et al.) Thermodynamique chimique (M. Oturan b M . Robert) CD de Thermodynamique chimique (J.P. Damon b M.Vincens) Chimie organométallique (D. Astruc) De l'atome à la réaction chimique (sous la direction de R. Barlet) Introduction à la mécanique statistique (E. Belorizky b W. Gorecki) Mécanique statistique. Exercices et problèmes corrigés (E. Belorizky 6 W. Gorecki) La cavitation. Mécanismes physiques et aspects industriels (J.P. Franc et al.) La turbulence ( M . Lesieur) Magnétisme : I Fondements, II Matériaux et applications (sous la direction d'E. du Trémolet de Lacheisçerie) Du Soleil à la Terre. Aéronomie et météorologie de l'espace (1.Lilensten b P.L. Blelly) Sous les feux du Soleil. Vers une météorologie de l'espace (J. Lilensten b J. Bornarel) Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien (C. Gignoux b B. Silvestre-Brac) Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours. De Lagrange à Hamilton (C. Gignoux & B. Silvestre-Brac) La mécanique quantique. Problèmes résolus, T. 1 et 2 (V.M. Galitsky, B.M. Karnakov & V.Z. Kogan) Description de la symétrie. Des groupes de symétrie aux structures fractales (J. Sivardière) Symétrie et propriétés physiques. Du principe de Curie aux brisures de symétrie (J. Sivardière) Exercices corrigés d'analyse, T. 1 et 2 (D. Alibert) Introduction aux variétés différentielles (J. Lafontaine) Mathématiques pour les sciences de la vie, de la nature et de la santé ( F . b J.P. Bertrandias) Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes, fractales ( M . Attéia b J. Gaches) Mathématiques pour l'étudiant scientifique, T. 1 et 2 (Ph.]. Haug) Analyse statistique des données expérimentales ( K . Protassov) Nombres et algèbre (J.Y.Mérindol) Analyse numérique et é'quations différentielles (J.P. Demailly) Bactéries et environnement. Adaptations physiologiques (I Pelmont) . Enzymes. Catalyseurs d u monde vivant (1.Pelmont) Endocrinologie et communications cellulaires (S.Zdelman b 1.Verdetti) Eléments de biologie à l'usage d'autres disciplines (P. Tracqui & J. Dernongeot) Bioénergétique (B. Guérin) Cinétique enzymatique ( A . Cornish-Bowdcn, M . Jamin O V . Saks) Biodégradations et métabolismes. Les bactéries pour les technologies de l'environnement (J. Pelmont) Enzymologie moléculaire et cellulaire, T. 1 et 2 (J. Yon-Kahn b G. Hervé) La plongée sous-marine à l'air. L'adaptation de l'organisme et ses limites (Pk.Foster) L'Asie, La biologie, des origines à nos jours source de sciences et Ide techniques ( M . Soutif) (P.Vignais) Naissance de la physique. De la Sicile à la Chine ( M . Soutif) Le régime oméga 3. Le programme alimentaire pour sauver notre santé (A. Simopoulos, J. Robinson, M . de Lorgeril & P. M e n ) Gestes et mouvements justes. Guide de l'ergomotricité pour tous (M.Gendrier) Science expérimentale et connaissance du vivant. La méthode et les concepts (P.Vignaiç, avec la collahoration de P. Vignais) Histoire de la science des protéines (I. Yon-

Kahn) Listening Comprehension for Scientific English (J. Upjohn) Speaking Skills in Scientific English (1. Upjohn, M.H.Fries O D . Amadis) Minimum Competence in Scientific English

(S.Blattes, V. Jans &J. Upjohn)

Grenoble Sciences - Rencontres Scientifiques Radiopharmaceutiques. Chimie des radiotraceurs et applications biologiques ( S O U S la direction de M.Comet O M.L'idal) Turbulence et déterminisme (SOUS la direction de M.Lesieur) Méthodes et techniques de la chimie organique (sous la direction de D. Astruc) L'énergie de demain. Techniques, ei-~vironnement, économie (sous la direction de J.L.Bobin, E. Hufler b H . Nifenecker) Physique et biologie. Une interdisciplinarité complexe (SOUS lu direction de

B.Jacrot)

AVANT-PROPOS

Dans les années soixante, la physique des plasmas tirait sa visibilité presque exclusivement de l’engouement pour la réalisation d’un réacteur produisant de l’électricité par fusion thermonucléaire contrôlée. Depuis, les applications des plasmas se sont heureusement multipliées et diversifiées, l’une des plus connues, en dehors de l’éclairage, étant l’indispensable opération de gravure dans la fabrication des puces en micro-électronique. En ce début du XXIe siècle, l’utilisation des plasmas est en pleine expansion et nous pouvons croire, d’après les publications des travaux de recherche actuels, qu’un nombre sans cesse plus grand d’applications industrielles verra le jour. Dans ce développement, les plasmas créés par des champs électromagnétiques de fréquences radio et de micro-ondes jouent un rôle particulièrement important. Le présent manuel, qui concerne essentiellement la physique des plasmas utilisés en laboratoire et dans l’industrie, est davantage centré sur la compréhension des rnécariismes physiques que sur leur description détaillée et finement mathématisée. A ce premier niveau de contact avec cette discipline, il est, en effet, bien important d’assimiler les phénomènes physiques caractéristiques avant d’aborder le formalisme très développé de la théorie cinétique avec son approche microscopique statistique. Pour traduire ces phénomènes physiques eri équations, nous ferons appel au modèle liydrodynamique, modèle de type fluide, où les grarideiirs physiques sont des valeurs niacroscopiqiies résultant de nioyennes statistiques prises sur les grandeurs microscopiques. Ce manuel, destiné aux étudianh des premiers cycles universitaires et aux ingénieurs tournés vers les applications, se situe à un niveau de difficulté moindre qiie celui de DELCROIX et BERS (respectivement, Université Paris XI et Siipélec, et MIT, EtatsUnis), leur traité constitiiant, en revanche, une suite intéressantje sur le plan théoriqiie. L’ouvrage est divisé en quatre chapitres. Dans le chapitre 1;sont introduites de façon progressive et de plus en plus précise les notions fondamentales de la physique des plasmas. Le chapitre 2 examine de manière détaillée la trajectoire d’une particule chargée soumise à des champs électrique E et magnétique B de différentes ronfigiirations, mettant l’accent sur le transfert d’énergie du chanip E à la particule et sur sa giration cyclotronique en présence d‘un champ B . Le chapit,re 3 montre conimerit obtenir les équations hydrodynamiques (aussi appelées équations de transport) à partir de l’équation cinétique de BOLTZMANN et fait usage de celles-ci, notaninient dans l’étude de la diffusion. On y décrit également la formation des gaines ionique et électronique et leurs caractéristiques. Le quatrième et le dernier chapitre aborde les mécanismes propres au fonctionnement des décharges de hautes fréquences, 2 faible pression (< i o torr) et à forte pression (> 100 torr). On y présente, en particulier,

6

AVANT-PROP OS

une analyse du bilan de puissance création-perte d’un électron de la décharge (puissance O), l’effet de 1 s fréquence du champ HF sur les propriétés du plasma et sur certaines applications. Enfin, une des propriétés propres aux décharges à forte pression est la présence d’ions moléculaires dans des gaz monoatomiques ; leur cinétique de création et de perte peut être prépondérante, notamment da,ns le phénomène de contraction, aussi une caractéristique de certaines décharges à forte pression. Notons que des d’éléments essentiels à la compréhension de ce chapitre, tout à fait original, ont été progressivement introduits dans ce but au cours des chapitres précédents. En dehors des développements traditionnels, le contenu de cet ouvrage est accompagné d’un grand nombre de remarques et de notes de bas de page qui donnent un éclairage particulier ou qui précisent certains points. Quarante-cinq exercices dont les solutions, largement détaillées, sont données en fin d’ouvrage, apportent des éclaircissements souvent indispensables. Le lecteur trouvera, sous forme d’annexes, des compléments aux sujets traités dans le texte principal et des développements mathématiques ainsi qu’un formulaire de relations mathématiques utiles. A la toute fin, un index alphabétique renvoie à des termes nécessitant d’être définis, dont la première apparition dans le texte est portée en caractères italiques et repérée dans l’index par un numéro de page en caractère gras.

M.M., J.P.

REMERCIEMENTS

Les auteurs tiennent d’abord à saluer la contribution inestimable et indéfectible de Danielle KÉROACK(Ph.D. en physique du solide) aussi bien à la dactylographie du manuscrit, notamment la transcription de centaines d’équations que comporte l’ouvrage, qu’à leur utilisation pour le tracé de courbes, cela en faisant la chasse au double emploi de symboles et en relevant des incorrections dans les solutions numériques des exercices et plein d’autres choses encore. En plus d’avoir à décrypter nos corrections manuscrites hiéroglyphiques comportant des renvois en tous sens, elle a dû composer avec les modalités complexes du logiciel d’édition Latex, en s’acquittant par ailleurs de ses activités en laboratoire. Le présent ouvrage a grandement bénéficié au cours de sa préparation des cornrrieritaires et suggestions d’un certain nombre de lecteurs, de formations diverses et d’intérêts différents selon qu’il s’agissait d’enseignants, de chercheurs ou d’étudiants, et, que nous souhaitons remercier. Plus particulièrement, il convient de souligner le travail considérable de relecture critique tant sur le fond que sur la forme effectué par Bachir SAOUDI(Ph.D. en physico-chimie) qui, par ses nombreuses questions de norispécialiste en physique des plasmas, nous a obligés tantôt à clarifier ou préciser la rédaction d’un passage, tantôt à développer davantage un sujet. Sa très graride maîtrise du français a contribué à alléger l’écriture et A éviter des t,ournurcs incorrectes. La professeure Ana LACOSTE,chargée de la formation en plasma (Masters) à l’Unidc Grenoble, a été une interlocutrice de premier ordre auprès versité Joseph FOURIER de laquelle nous avons pu évaluer l’int,érêt d’incorporer certains développements, plus particulièrement au chapitre 4 ; elle a également participé à la rédaction d’une annexe et proposé des exercices avec leur solution. Le cont,enu du chapitre 4 doit beaucoup à deux jeunes Chercheurs en physique des plasmas, Kreniena MAKASHEVA et Yassine KAROUZI, qui ont été à l’origine d’une grande partie des résultats présentés sur les plasmas HF à la pression atmosphériqiic. En dernière lecture, nous avons pu compter sur Antoine ROUER,chercheur reconnu et de grande expérience (spécialiste des interactions entre particules neutres) dont les critiques nous ont poussés à prendre des positions plus nuancées, parfois de comprornis, ai1 niveau de la présentation de certains éléments du premier chapitre, sachant bien que nous ne pouvions ni tout développer complètement ni non plus traiter trop superficiellement certains aspects.

M.M.. J.P.

LISTE DES

SYMBOLES

Les vecteurs sont représentés par des lettres en caractère gras, A . Les tenseurs sont aussi imprimés en gras : un tenseur d’ordre 2 est souligné une fois, 4; un tenseur d’ordre 3. deux fois, A. moyenne prise sur la fonction de distribution des vitesses (ou en énergie) des particules rayon de la première orbite électronique de l’atome d’hydrogène de

BOHR induction magnétique vitesse de la lumière dans le vide flux de particules réfléchies par un miroir magnétique angle solide élémentaire volume élémentaire dans l’espace des vitesses, aussi noté d3w; en coordonnées cartésiennes, dw,dwydw, déplacement (induction) électrique densité de probabilité de présence coefficient de diffusion libre des électrons, des ions coefficient de diffusion ambipolaire coefficient effectif de diffusion valeur absolue de la charge élémentaire vecteur de base de l’axe i du repère choisi champ électrique champ électrique de charge d’espace champ électrique de charge d’espace en diffusion ambipolaire parfaite champ électrique de dérive magnétique énergie cinétique énergie cinétique moyenne énergie du niveau j d’un atome fréquence d’un champ, d’une onde fréquence des électrons, des ions du plasma fonction de distribution des vitesses des particules force force centrifuge de dérive de courbure magnétique force de LORENTZ poids statistique (dégénérescence quantique) de l’état j d’un atome

PHYSIQUE DES

10

h H I

3 J Jc

S

SO

PLASMAS COLLISIONNELS

constante de PLANCK champ magnétique tenseur unité d’ordre 2 Jacobien (d’une matrice de transformation de repère) densité de courant courant de conduction courant de polarisation constante de BOLTZMANN coefficient de réaction épaisseur de gaine libre parcours entre deux collisions libre parcours moyen entre deux collisions masse de l’électron masse de l’ion masse de l’atome tenseur lié à la force magnétique densité de plasma densité des ions, des électrons densité de plasma à la lisière de gaine densité de molécules (atomes) densité des atomes à la pression de 1 torr et à 0 “C nombre de particules déviées élastiquement par un centre diffuseur nombre de particules dans la sphère de DEBYE nombre total de particules dans un système densité d’atomes dans l’état fondamental densité d’atomes dans l’état excité j vecteur quantité de mouvement pression du gaz pression réduite pas d’une hélice section efficace macroscopique pour une interaction de type x puissance moyenne (sur une période du champ HF) absorbée, par unité de volume, par les électrons puissance totale absorbée impulsion totale gagnée ou perdue par les particules de type (IV charge de la particule tenseur de flux d’énergie thermique vecteur position rayon de LARMOR rayon de LARMORdes électrons, des ions position instantanée du centre de guidage rayon interne du tube à décharge rapport de miroir résistance énergie cinétique totale gagnée ou perdue par les particules de type cy paramè1,re d’impact paramèixe d’impact critique moyen

LISTE DES

SYMBOLES

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opérateur de collision temps température d’un système en équilibre thermodynamique température des électrons, des ions température en électron-volt température du gaz neutre période du champ HF période cyclotronique vitesse d’une particule relativement à la vitesse moyenne des particules énergie charactéristique des électrons énergie d’une particule différence de potentiel ; aussi énergie énergie des électrons en électron-volt vitesse moyenne au sens hydrodynamique (9 3.3) vitesse de BOHM vitesse de groupe, de phase d’une onde vitesse la plus probable d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN vitesse de la particule Q dans le modèle des trajectoires individuelles ( 5 2.1) ; vitesse microscopique (individuelle) d’une particule dans une distribution des vitesses ( 5 3.1) vitesse relative microscopique des particules Q et ?!, vitesse de dérive électrique vitesse moyenne (sur une période) de dérive de courbure magnétique vitesse moyenne (sur une période) de dérive magnétique travail charge(s) positive(s) de l’ion degré d’ionisation nombre d’onde rapport d’adiabaticité flux de particules (nombre de particules incidentes par unité de surface, par seconde) coefficient de transfert d’énergie lors d’une collision élastique profondeur caractéristique de pénétration du champ HF permittivité du vide permittivité électrique du plasma relative à celle du vide coefficient de saturation des états relais dans un processus d’ionisation coefficient de viscosité du fluide puissance absorbée par électron ; aussi, angle polaire puissance HF moyenne absorbée par électron puissance moyenne perdue par électron conductivité thermique du gaz longueur d’onde longueur de DEBYE longueur de DEBYEdes électrons, des ions longueur caractéristique de diffusion moment magnétique orbital mobilité électronique, ionique

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS

perméabilité du vide masse réduite des particules de type cr et p fréquence moyenne de collisions pour le transfert de quantité de mouvement fréquence moyenne d’ionisation fréquence d’ionisation directe fréquence d’ionisation par étapes fréquence des photons fréquence moyenne de recombinaison en volume fréquence de recombinaison à trois corps fréquence de recombinaison dissociative densit6 de charges rayon de courbure magnétique coefficient d’ionisation par étapes section efficace microscopique différentielle section efficace microscopique totale (intégrée) section efficace microscopique totale de simple collision section efficace microscopique totale pour le transfert de quantité de mouvement conduc-tivité électrique temps caractéristique variable microscopique quelconque potentiel électrique potentiel appliqué potentiel du plasma à la lisière de gaine potentiel du plasma angle u i m u t a l énergie. potentielle électrique tenseur de pression cinétique pulsation d’un champ électrique alternatif pulsation cyclotronique pulsation cyclotronique des électrons, des ions pulsation des électrons, des ions du plasma

LISTE DES cc CM EM ETL

HF MO

RCE RF UV

ABRÉVIATIONS Courant continu (décharges en) Centre de masse Electromagnétique Equilibre thermodynamique local Haute fréquence Micro-ondes Résonance cyclotron électronique Radio fréquence Ultraviolet

CONSTANTES

CONSTANTES PHYSIQUES Masse de l’électron Valeur absolue de la charge de l’électron Rapport elm, Masse de l’atome d’hydrogène Masse de l’atome d’hélium Permittivité du vide Perméabilité du vide Nombre A AVOGADRO Nombre de LOSCHMIDT Constante de STEFAN-BOL‘ïZMANN Constante de BOLTZMANN Constante de PLANCK

me = 9,10938 x kg e = 1,60219 x loë1’ C elm, = 1,75882 x lo1’ C kg-’ M H = 1,67372 x kg M H =~ 6,64648 x kg €0 = 8,85419 x F m-’ po = 47r x loë7 H m-’ N A = 6,02214 x kg-’ moleë1 NL = 2,68678 x mP3 OSB = 0,56704 x l o p 7 W më2 K-4 k~ = 1,38066 x J K-’ fi = 6,62607 x Js FI. = h/27r = 1,05457 x Js

(Source : NIST, Etats-Unis)

AUTRESCONSTANTES Mobilité ionique réduite (760 torr, 273 K) de He+ dans He Fréquence moyenne approximative de collisions électron-neutre pour le transfert de la quantité de mouvement dans l’hélium à la “pression réduite” pa Densité moléculaire à 1 torr et O OC

pi = 10,4 x loë4 m2 V-’ sël

= 2,4 x 109 3-1 3,53 x molécules mp3

CHAPITRE 1

LE MILIEU

PLASMA : DÉFINITION ET

PRINCIPALES GRANDEURS

CARACTERISTIQUES

1 . 1 . DEFINITION ET NATURE ESSENTIELLE DU PLASMA Un plasma est un milieu composé d’électrons et d’ions, libres de se mouvoir dans toutes les directions de l’espace ; ce milieu gazeux se distingue d’un gaz classique, composé exclusivement de particules électriquement neutres, par la nature de l’interaction qui existe entre particules chargées. Dans un gaz classique, l’interaction entre particules électriquement neutres est à courte portée et, lorsque la pression du gaz n’est pas très supérieure à la pression atmosphérique, elle ne met généralement en cause que deux particules à la fois (interaction binaire). Dans ce cas, pour deux particules se dirigeant l’une vers l’autre et séparée d’une distance r , l’interaction est d’abord attractive (force en l / r 7 dite de VAN DER WAALS) puis, immédiatement avant le “contact” et de façon abrupte, elle devient répulsive (parfois modélisée par une dépendance de la force en l/r13, 5 1.7.9)l. Au contraire, l’interaction entre particules chargées (attractive ou répulsive suivant les charges en jeu) est à longue portée, puisque la force coulombienne entre particules est en l / r 2 et, de ce fait, chaque particule chargée peut interagir simultanément avec un très grand nombre d’autres particules chargées. En conséquence :

1.1.1. U N PLASMA EST U N MILIEU À COMPORTEMENT COLLECTIF Considérons, à titre d’illustration, un plasma dont les particules seraient, en première approximation, quasiment au repos (agitation thermique extrêmement faible) et supposons que les ions et les électrons ne se recombinent pas pour former des atomes 1

Cette interaction est souvent décrite de façon simplifiée comme une collision entre “boules de billard”, négligeant alors la phase attractive initiale de l’interaction.

1 - LE MILIEU PLASMA :

16

DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

neutres : on aboutirait à un état stationnaire où, spatialement, les charges positives et négatives alterneraient et seraient réparties de façon presque uniforme ; à deux dimensions, on aurait, très schématiquement, la distribution de la figure 1.1. +

-

+

-

t

- + - + + - + - + -

+

-

+

-

Figure 1.1 - Distribution spatiale (très) idéalisée des charges positives et négatives dans le cas où les particules du plasma sont (presque) au repos.

Une répartition uniforme des charges signifie, en particulier, qu’il n’y a pas de variation locale importante de l’intensité du champ électrique. Cependant, si par hypothèse une perturbation survient qui déplacerait ne serait-ce qu’une charge, toutes les charges du voisinage vont se mouvoir pour compenser l’écart local à l’équilibre ainsi créé. Ceci montre que le plasma est constitué de particules capables d’un comportement collectif.

1.1.2. U N PLASMA E S T U N MILIEU MACROSCOPIQUEMENT NEUTRE

Considérons un volunie donné de plasma. Les particules chargées y sont en mouvement de façon aléatoire (agitation thermique) mais, du fait des forces coulombiennes qu’elles exercent, elles ne peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres de manière à créer des différences locales de densité de charges trop importantes : l’écart (moyen) entre les charges croît, bien entendu, avec l’énergie thermique mais décroît avec la densité nette des particules chargées. En effet, comme l’enseigne l’équation de

POISSON^

:

V . E = p/co (1.1) où E est l’intensité du champ électrique (local), p, la densité nette (locale) des charges positives et négatives, et €0, la permittivité du vide, plus p est grand, plus l’intensité de E est élevée et, en conséquence, plus les forces de rappel induites par une séparation de charges sont irnportantes. Pour cette raison, dans la mesure où les dimensions du volume de plasma considéré sont très supérieures à la distance maximum de séparation ainsi permise entre particules, ce volume contiendra, statistiquement, autant de charges positives clue de charges négatives. La distance maximale (moyenne) de non-neutralité électrique est appelée longueur de DEBYEet notée AD ; nous préciserons à la section 1.6 isa dépendance en densité de particules chargées et en énergie (thermique) moyenne. Nous pouvons alors affirmer que le plasma contenu dans un volume V beaucoup plus grand que la sphère de DEBYE,$TA&, est macroscopiquement neutre. De façon générale, nous dirons qu’un plasma est un milieu quasi-neutre (sous-entendu, neutre sur un volume plus grand que la sphère de DEBYE)et, de ce fait, nous poserons ne = n, = n où n est le densité du plasma, ne et n, désignant respectivement la densité des électrons et celle des ions, dans la mesure où ces derniers n’ont qu’une seule charge positive. 2

C’est une variante de l’équation de MAXWELL V (induction électrique).

.D

= p où D est le vecteur déplacement

1.1 -

DÉFINITION ET NATURE ESSENTIELLE D U PLASMA

17

1.1.3. P R E M I E R S EXEMPLES DE PLASMA Avant d’aller plus loin, examinons, en guise de premiers exemples, deux types très différents de plasma : le soleil : c’est un plasma complètement ionisé où il n’y a pas d’atomes électriquement neutres ; en son centre, les atomes ont même perdu tous leurs électrons. Comme l’ont montré les astrophysiciens, plus de 99’9% de la matière (visible) de l’Univers est sous forme plasma, ce qui en fait donc l’état de la matière le plus répandu.

~

la partie lumineuse d’un tube d’éclairage de type fluorescent : l’ampoule est remplie d’un gaz rare (en général, de l’argon) à environ 3 torr (N 400 Pa)3 avec une gouttelette de mercure dont la pression de vapeur partielle est de l’ordre du mtorr à température ambiante. Un champ électrique (alternatif de 50 ou 60 Hz), d’intensité suffisantje,appliqué au gaz à l’aide de deux électrodes comme le montre la figure 1.2, rend ce gaz électriquement conducteur, produisant ce que l’on appelle une décharge électrique dans le gaz ; une partie de cette décharge émet de la lumière. Dans le cas d’un tube fluorescent classique, c’est le rayonnement UV émis par les atomes de mercure (raie Hg I 254 nm) qui est transformé en lumière visible, grâce à un composé de phosphore déposé sur la paroi du tube. Le gaz, dans ce cas, n’est que partiellement ionisé et “froid” ( N 300 K) alors qu’il est “chaud’ dans le cas d’une étoile.

~

W Figure 1.2 - Schéma de principe d’une décharge électrique en courant alternatif comme, par exemple, dans le cas d’un tube d’éclairage de type fluorescent. La résistance R permet d’assurer la stabilité de la décharge.

Remarques générales : 1. Terminologie : différence entre gaz ionisé et plasma. La plupart des décharges de laboratoire ne sont pas vraiment des plasmas car elles ne contiennent pas que des particules chargées, mais aussi des atomes et des molécules électriquement neutres, constituant plutôt un gaz ionisé. Strictement parlant, il conviendrait, en effet, de réserver l’appellation plasma à un gaz ne comportant que des particules chargées, mais dans la pratique les deux termes, plasma et gaz ionisé, sont souvent confondus. La différence entre plasma et gaz ionisé peut se caractériser par le degré d’ionisation cy4 du milieu :

3

Le torr est une unité pratique de pression utilisée dans de très nombrenses données expérimentales alors que l’unité du système international est le pascal (1 torr 2 133 Pa). L’avènement de jauge à pression affichant la valeur en pascal devrait, à terme, faire disparaître le torr.

18

1 - L,E

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

où N est la densité des molécules (atomes) électriquement neutres. Pour a, 5 lop4, on devrait plutôt parler de gaz ionisé que de plasma, car les interactions majoritaires sont dans ce cas dei3 collisions électron-neutre, donc des collisions à courte portée. Cependant, même clans ce cas, la propagation d’une onde électromagnétique (EM) s’y effectue bien grace aux particules chargées, mais son atténuation est alors liée aux collisions électron-neutre plutôt qu’aux interactions coulombiennes. Les plasmas, quatrrème état de la matière. Dans la séquence “solide-liquide-gazplasma”, qui correzpond à une énergie moyenne croissante des constituants, le plasma apparaît comme l’état de plus haute énergie. Ainsi, quand l’énergie moyenne des électrons atteint au moins 5 à 10% du seuil de l’énergie d’ionisation du gaz ( 5 1.7.9),on obtient un gaz ionisé, mais que partiellement ; quand l’énergie moyenne avoisine ou dépasse l’énergie du seuil d’ionisation, le gaz est entièrement ionisé. En laboratoire, ce “chauffage” se réalise de l’extérieur au moyen d’un champ électrique ou de photons. Les plasmas, milieux radiatifs. Un plasma est un système thermodynamzque (51.4.2) qui comprend, en effet, outre des particules chargées (et des atomes électriquement neutres, dans le cas d’un gaz ionisé), des photons, émis et absorbés par ces particules. I1 faut noter, cependant, qu’un milieu peut émettre des photons sans qu’il s’agisse d’un plasma ou d’un gaz ionisé, puisqu’il suffit que les atomes soient excités dans un état non ionisé. Présence d’zons néyatzfs. Outre les ions positifs, de charge Ze où e est la valeur absolue de la charge élémentaire d’un électron, on trouvera dans la plupart des décharges électriques, et en particulier dans les décharges de gaz dits électronégatifs (par exemple SFG),des ions négatifs (avec une seule charge négative, par exemple H-, O-, O;, CI-, SF;) qui résultent d’un processus de capture d’un électron. On aura, néanmoins, toujours quasi-neutralité, de sorte que :

où n, est la densité des ions positifs de charge Ze (ions dits multi-chargés) et nz-, celle des ions négatifs de charge -e.

I1 faut cependant noter, à titre d’exemples, que les plasmas d’azote, de mercure ou de gaz rares ne contiennent pas d’ions négatifs. Origine du terme “plasma”. Ce terme a été introduit par TONKS et LANGMUIR en 1929 pour désigner la partie “colonne positive” (chapitre 4) de certaines décharges électriques dans un gaz. Tiré du grec ~ A a c r p ace , mot signifie “figure modelée” (par exemple de cire ou d’argile), mais veut, également dire fiction, fausse apparence! Le lien entre le sens étymologique de ce terme et le phénomène physique qu’il décrit n’est pas évident.

1.2

-

DOMAINES D’ÉTUDE

ET D’APPLICATIONS

19

1.2. DOMAINES D’ÉTUDE ET D’APPLICATIONS (EXEMPLES) Bien que la plus grande partie des travaux de recherche en physique des plasmas soit motivée par des applications, cette discipline, en raison de la très grande variété des phénomènes observables dans un plasma, a contribué de façon importante à certains domaines de la physique fondamentale dont celui, par exemple, des effets non linéaires. La physique des plasmas est une discipline qui fait appel à l’électromagnétisme, à l’hydrodynamique, à la mécanique statistique et à la physique atomique et moléculaire. Pour avoir une vue d’ensemble du vaste domaine de la physique des plasmas, examinons quelques sujets d’étude en mettant l’accent sur l’aspect applications.

1.2.1. FUSION T H E R M O N U C L É A I R E CONTRÔLÉE Dans l’espoir de produire de l’énergie et de remplacer, dans l’avenir, le pétrole aussi bien que la filière actuelle des centrales à fission nucléaire, on envisage des réactions de fusion du type

+T + D +D + D

+ neutron + 17,6 MeV4, T + proton + 4,0 MeV , 4He

où le deutérium (D) et le tritium (T) sont des isotopes de l’hydrogène. Théoriquement, 1 kg de D-T pourrait donner autant d’énergie que l o 7 litres de mazout. Ces réactions sont possibles si les noyaux de deutérium et de tritium peuvent entrer suffisamment en “contact”, ce qui nécessite des énergies incidentes minimum de 10 keV pour vaincre les forces électriques répulsives entre noyaux (chargés positivement). Deux méthodes de chauffage et de confinement sont présentement à l’étude : le confinement magnétique, davantage proche de l’hypothétique réacteur susceptible d’être couplé au réseau électrique, et le confinement inertiel, qui permet d’effectuer des études fondamentales avec une approche toute différente. Jusqu’à présent, et dans les deux cas, on n’a pas encore obtenu une réact,ion positive de fusion (énergie rendue plus grande que l’énergie fournie pour amorcer la rkaction), les phénomènes de pertes n’étant pas tous maîtrisés. Examinons brièvement ces deux approches : O

La machine à confinernent magnétique. Le confinement des particules chargées par un champ magnétique ( 5 2.2) est essentiel pour éviter les pertes d’énergie du plasma de fusion sur les parois et la destruction de celles-ci. Le type de réacteur le plus fréquent est de configuration toroïdale (formant un système fermé sur lui-même), inventé à l’Institut KURCHATOV de Moscou et appelé tokamak5. I1 comprend un champ magnétique principal, dit toroïdal, et différents autres champs magnétiques de moindre intensité (plus de détails à la toute fin du chapitre 2 ) . On chauffe initialement, le plasma par induction selon le principe

4 5

1 MeV = l o 6 x 1,6 x J (voir 9 1.7.6 pour plus de détails). Acronyme russe pour chambre toroïdale et bobine magnétique :

W P O M l I A J I L H A S KAMEPA et U r H M T H A S T EATYILIKA

20

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

du transformateur, le secondaire étant le plasma, et on y ajoute du courant et de l’énergie, par exemple, par des champs de hautes fréquences (HF) dont la fréquence correspond à des modes propres du système (par exemple la résonance cyclotron) ou à des ondes de plasma. Cependant, les impuretés émanant des parois par suite de leur bombardement par les particules du plasma accaparent une très grande partie de l’énergie destinée à vaincre la répulsion nucléaire entre les éléments devant entrer en fusion, empêchant la réaction de fusion de se poursuivre ; ce problème n’est pas encore totalement resolu. De plus, divers types d’instabilité peuvent se manifest,er et conduire, par exemple, le plasma à “s’étouffer’’ ou à toucher les parois.

Figure 1.3 - Vue schématique, en coupe, du réacteur ITER. Les petits rayons horizontal et vertical sont respectivement de 2,0 et 3,7 m alors que sur le JET, ils ne font respectivement que 1,25 et 2’10 m. Le grand rayon d’ITER est de 6,2 m comparativement à 2,96 m pour le JET. La puissance électrique requise, en régime continu, est de 110 MW. (ITER EDA Documentation Series No. 24, publiée par AIEA, Vienne, 2002).

Commencée au début des années 50 par les Militaires, une partie de la recherche sur la fusion fut rendue publique en 1958 et dotée de budgets civils importants dans plusieurs pays. Toutefois, vers le milieu des années 90, certains gouvernements se montrèrent plus critiques à l’égard de ces travaux et en réduisirent les budgets (cas de la fermeture du Tokamak de Varennes par le gouvernement canadien), arguant de ce que l’on était encore trop loin d’un réacteur commercial ; en effet, on n’a toujours pas atteint, (2006) les conditions d’auto-entretien de la fusion. Les recherches se poursuivent néanmoins sur plusieurs installations en Europe, dont le Joint European Torus (JET) à Culham, Angleterre et Tore Supra à Cadarache, France. Le J E T sert principalement à étudier les instabilités de transport, alors que Tore Supra met en oeuvre des blobines supraconductrices permettant d’accroître l’intensité du

1.2

-

DOMAINES D’ÉTUDE

21

ET D’APPLICATIONS

champ magnétique toroïdal tout en minimisant les pertes ohmiques. Ces diverses études ont mené au projet ITER, tokamak de plus grande taille, doté de bobines supraconductrices et financé par la communauté internationale (figure 1.3). Cette installation devrait entrer en service à Cadarache en 2016. 0

Le système à confinement inertiel. On tire, par exemple, avec un faisceau laser UV intense sur une pastille de deutérium, “pelant” celle-ci et provoquant la compression de la matière ainsi extraite vers le centre de la pastille : pour arriver à la fusion, le transfert de l’énergie laser à la matière doit être plus rapide que son expansion subséquente dans la chambre du réacteur, d’où le recours à un laser à très courte impulsion.

1.2.2. ASTROPHYSIQUE ET PHYSIQUE DE L’EN VI RO N N E M EN T SPATI AL

Les étoiles et le flux de plasma émis par le soleil, appelé went solawe, constituent deux formes distinctes de plasma (au sens strict), le premier étant très dense, le second, au contraire, très dilu6 et, pour ainsi dire, sans collision. Plus pr$s de la surface de la terre, il y a les couches ionosphériques ionisées par le vent solaire (mises en évidence à partir de 1954). Les particules chargées de ces couches (couche F, par exemple : ne N 5 x lo6 ~ m - T,v ~ , = 50 eV, où T,v est la température des électrons en électron-volt) sont confinées par le champ magnétique terrestre qui les force à osciller entre les deux pôles. Ces couches ionosphériques jouent un rôle essentiel dans la transmission des ondes de basse frequence ( f 5 20 30 MHz). En effet, elles servent de miroir à ces ondes, permettant ainsi leur propagation d’un point à un autre autour de la terre ; au contraire, aux fréquences plus élevées, il n’y a plus cet effet de réflexion et les ondes “voyagent” en ligne droite, et il est alors nkessaire que les antennes émettrice et rkeptrice soient en regard l’une de l’autre pour que la communication s’établisse (par exemple communication Terre-satellite). I1 y a en effct réflexion de l’onde sur une couche ionosphérique si la fréquence f de l’onde est telle que f < f p e où f p e est la fréquence des électrons du plasma (3 1.5), une fréquence caractéristique du gaz d’électrons. Ainsi pour la couche ionosphhique F où ne N IO5 - I O 6 ~ m - f~p e, = 2’8 - 9 MHz. ~

Toujours dans le registre des communications, on s’intéresse aussi aux effets d’une explosion thermonucléaire dans la haute atmosphère qui produirait un plasma de très forte densité, emprchant les communications par voie hertzienne jusqu’à des fréquences très élevées, notamment les communications avec les satellites (N4 12 GHz) ; un tel plasma, par l’énergie électromagnétique (EM) qu’il engendre, pourrait également détruire ces systèmes de communication. Ce phénomène de réflexion ou d’opacité aux ondes a également été à l’origine de la perte de contact radio avec l’équipage de la première capsule spatiale au moment où celle-ci revenait dans l’atmosphère terrestre : l’échauffement du véhicule, par frottement avec l’air ambiant (même si sa densité est extrêmement faible à cette altitude), était alors tel qu’il y avait eu formation d’un plasma dense autour de celui-ci. ~

22

1 - L E MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

1.2.3. P O M P A G E

DES LASERS

Une des conditions nécessaires à l’obtention de l’effet laser est que la densité d’atomes dans l’état d’énergie supérieur de la transition radiative soit plus grande que celle du niveau inférieur, situation opposée à celle qui prévaut à l’équilibre thermodynamique (fj 1.4.2). Pour provoquer cette inversion de population, on peut soit éclairer les atomes avec une source lumineuse intense (pompage optique ; par exemple, par lampe éclair UV), soit utiliser les propriétés du plasma gazeux dans lequel se trouvent les atomes ou molécules émetteurs (pompage par plasma). Le laser He-Ne est un exemple de pompage d’un laser par plasma : les atomes d’hélium et de néon sont excités par collisions électroniques dans la décharge du mélange He-Ne ; il s’ensuit un transfert d’énergie d’un niveau excité de l’hélium vers un niveau du néon situé presque à la même énergie (transfert dit résonnant), ce niveau du néon constituant le niveau supérieur d’une transition donnant lieu à une émission laser, par exemple, à 632’8 nm. Ce transfert est particulièrement efficace parce que l’état excité d’hélium alimentant le niveau correspondant du néon est un état métastable, c’est-à-dire à plus longue durée de vie qu’un état radiatif, et ‘donc plus fortement peuplé.

1.2.4. CHIMIE

DANS LES PLASMAS

On se rappellera que t e sont les électrons qui interviennent de façon prépondérante dans la formation ou la rupture d’une liaison chimique. Dans une décharge électrique à pression de gaz réduite (entendre inférieure à la pression atmosphérique), on trouve généralement6 que Te > T, 2 Tg où T e , T, et Tg sont respectivement les températures7 des électrons, des ions et du gaz neutre. On en arrive ainsi à donner suffisamment d’énergie aux électrons, ce qui favorise les réactions chimiques, sans avoir à chauffer autant les ions et les atomes d’où, en principe, une économie énergétique et un rendement réactionnel qui peut être supérieur à celui de la chimie conventionnelle qui se produit, elle, à l’équilibre thermodynamique (fj 1.4.2). Un exemple particulièrement probant de cette chimie par plasma hors équilibre est la formation d’ozone $1 partir de 0 2 par des décharges dites à effet couronne ou à barrière diélectrique à haute pression, ces décharges ayant la propriété d’être froides, c’est-à-dire que les atomes et molécules y sont à la température ambiante alors que Te est de quelques eV. Il s’agit d’un procédé efficace énergétiquement, utilisé à travers le monde dans les usinles de traitement des eaux usées, l’ozone ayant un fort pouvoir oxydant et des proprié tés bactéricides. On peut aussi se servir d’une décharge électrique pour détruire des effluents émanant de procédés industriels, atomes ou molécules qui sont toxiques pour l’homme, ou Le champ électrique de la décharge accélère principalement les électrons en raison de leur très faible inertie par rapport à celle des ions : l’énergie “entre” donc dans la décharge par les électrons (exercice 2.1). Comme, en outre, le transfert d’énergie électron-neutre et électron-ion lors d’une collision est très faible (§ 1.7.2), toujours en raison du rapport des masses (à la différence des collisions ion-neutre et ion-ion), et dans la mesure où le nombre de ces collisions électroniques est peu élevé, on obtient Te >> Ti. Le recours à la notion de température pour caractériser l’énergie d’un groupe de particules suppose que leur fonction de distribution en énergie est maxwellienne ( 5 1.4.2 et annexe I).

1.2

-

DOMAINES D’ÉTUDE

ET D’APPLICATIONS

23

dangereux pour la couche d’ozone, ou encore contribuant à l’effet de serre. Après passage de ces molécules dans une décharge réalisée principalement dans un gaz autre (gaz dit plasmagène) ou encore en formant directement la décharge au moyen des molécules à détruire, on arrive dans certains cas à une efficacité de destruction ou de détoxication voisine de 100 % ; ces procédés sont rapides et souvent moins coûteux que les techniques conventionnelles, comme les brûleurs à très haute température qui, de surcroît, participent à la pollution de l’environnement. Ces développements ont donné lieu à la réalisation de systèmes à plasma micro-ondes’ permettant d’éliminer les effluents gazeux, notamment les produits (per)fluorés (SFs, CF4, C2F6 ...) à effet de serre des usines de micro-électronique. On utilise le même type de procédé par plasma hors équilibre afin de débarrasser des gaz rares comme le krypton et le xénon, obtenus par distillation cryogénique de l’air, des impuretés fluorées (par exemple CF4) et des hydrocarbures (par exemple CH4) provenant de l’environnement et ayant des températures de condensation voisines de celles du krypton et du xénon.

1 . 2 . 5 . TRAITEMENT DE SURFACE Le traitement de surface par plasma consiste à modifier l’état d’une surface par l’une des trois méthodes génériques suivantes : ~

~

~

dépôt en surface d’une couche mince d’un matériau donné (métal, semiconducteur, diélectrique, polymère) ; réaction chimique avec la surface même (oxydation, nitruration) ou transformation physico-chimique de celle-ci (modification de l’adhérence, de l’énergie de surface) ; érosion de la surface soit par une action chimique, qui entraîne la formation d’une moléciile, de nature volatile, entre un ou plusieurs atomes de la surface et des atomes ou radicaux provenant du plasma, soit par pulvérisation ionique, du fait du bombardement par des ions qui kjectent, par effet mécanique, des atomes de la surface, soit par pulvérisation assistke chimiquement, qui combine le bombardement ionique et l’érosion chimique.

Ainsi, un plasma produit à partir du gaz CF4 fournit, en volume, les atomes (par exemple F), les radicaux (par exemple CF,) ainsi que les ions (par exemple CFY) et les espèces plus complexes nécessaires aux mécanismes d’interaction avec la surface qui peuvent, en fonction des conditions opératoires, conduire aussi bien à la gravure de matériaux (Si, W, SiOa) comme le montre la figure 1.4, qu’à un dépôt, par polymérisation induite par plasma, de couches minces de type téflonM”. Dans la fabrication des puces en microélectronique, par suite d’une miniaturisation de plus en plus poussée, la part dévolue aux plasmas ne cesse de progresser dans l’ensemble des opérations élémentaires à réaliser : nettoyage des surfaces, gravure (réalisation de “motifs” dans le substrat par érosion de celui-ci), dépôt, implantation ionique (dopage par inclusion d’ions en profondeur dans le matériau), lithographie (impression et développement “photographique” des résines permettant de transférer les motifs définissant les circuits élémentaires), oxydation, traitements thermiques. 8

Ces décharges sont cependant plus chaudes que celles à effet couronne, donc moins hors équilibre thermodynamique.

1 - LE

24

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

Figure 1.4 - Exemple de gravure anisotrope sur du silicium : la profondeur de la tranchée est de 200 p m et sa largeur de 10 pni (courtoisie de Adixen/Alcatel Vacuum Technology, France).

Sur la centaine d’étapes élémentaires requises, les opérations rbalisées uniquement par plasma représentaient, au début des années 2000, près de 50% de l’ensemble de ces étapes. La mise au point de machines à plasma pour la microélectronique et plus généralement pour les micro/nanotechnologies constitue de toute évidence un débouché important et en plein essor pour les physiciens et ingénieurs des plasmas. Un exemple de dépôt par plasma est la fabrication de couches minces de diamant polycristallin.

Figure 1.5 - Cristallites de diamant en début de dépôt sur un substrat de silicium. Une fois cette première couche fermée, la croissance se poursuit en hauteur.

Les intéressantes propriétés de dureté, de transport de chaleur et diélectriques du diamant en font un matériau de choix en électronique de puissance, aussi bien que pour les travaux de découpe de différents matériaux. I1 est possible de réaliser, à partir d’un plasma, une couche mince de diamant polycristallin, c’est-à-dire un assemblage de petits cristaux de diamant dont la taille peut varier entre 20 nm et quelques microns (figure 1.5), euivant les conditions opératoires ; ces cristaux s’unissent, au cours de leur croissance, en formant des joints de grain, constitués le plus souvent de carbone amorphe. TJne telle couche fait, habituellement, de 1 à 5 pm d’épaisseur. En général, le plasma utilisé contient environ 1%d’un composé carboné (par exemple CH4), tout le reste étant de l’hydrogène ; la pression de fonctionnement est située entre 10 et 100 torr (E 1,3 - 13 kPa) et le dépôt doit s’effectuer sur un substrat chauffé (N 500 1000 O C ) . La dissociation dans le plasma de l’hydrogène moléculaire fournit ~

1.2

-

DOMAINES D’ÉTUDE

25

E T D’APPLICATIONS

l’hydrogène atomique qui empêche la croissance du graphite, une phase allotrope du carbone qui autrement serait thermodynamiquement avantagée par rapport à la croissance du diamant dans les présentes conditions opératoires.

1.2.6. STÉRILISATION D’OBJETS MÉDICAUX L’inactivation de micro-organismes peut se réaliser par exposition directe à la décharge d’un composé gazeux ou à partir d’une post-décharge en flu$ d’un tel mélange gazeux, comme le montre la figure 1.6. Chambre de post-décharge (enceinte de stérilisation) Source de Grille supportant des objets à stériliser

Arrivée des gaz

Arrivée des micro-ondes sur l’applicateur de champ

n des gaz par pompage

Figure 1.6 - Schéma de principe d’un stérilisateur à plasma froid de type post-décharge en flux (Université de Montréal).

Les espèces inactivantes, dans le cas d’un mélange N 2 - 0 2 sont, d’une part, les photons UV provenant de la molécule NO excitée et, d’autre part, l’oxygène atomique. La molécule NO excitée est formée par collisions entre atomes d’azote et atomes d’oxygène provenant tous les deux de la dissociation par la décharge des molécules N2 et 0 2 du mélange gazeux initial. Dans les conditions où le pourcentage de 0 2 dans le mélange N 2 - 0 2 conduit à un maximum de l’intensité UV émise, les micro-organismes exposés (des spores bactériennes en l’occurrence) sont totalement inactivés par suite des lésions multiples causées à leur matériel génétique par les photons UV. Par ailleurs, l’oxygène atomique, très réactif, s’adsorbe à la surface des micro-organismes pour y former, chimiquement, des composés volatils, résultant en l’enlèvement de matière (érosion) du micro-organisme, ce qui en réduit la taille et facilite d’autant son inactivation par les photons UV’’.

9

Une post-décharge en flux s’obtient en faisant en sorte que le gaz excité et ionisé par la décharge soit très rapidement entraîné dans une autre enceinte, dite de post-décharge, où il n’y a plus de champ électrique. Pour cela, il faut que l’alimentation en gaz se fasse à un débit suffisamment élevé car les espèces créées dans la décharge ont une durée de vie limitée ( 5 1 100 ms). ~

10 Vraisemblablement, l’oxygène atomique pourrait aussi diffuser à l’intérieur des micro-organismes et y induire des lésions létales.

26

1 - L E MILIEU PLASMA : DÉFINITION

1.2.7. ANALYSE ÉLÉMENTAIRE

ET PRINCIPALES GRANDEURS

( C H I M I E ANALYTIQUE)

Pour connaître la composition atomique d’un échantillon, il faut d’abord l’atomiser : par bombardement ionique dans le cas d’un solide, par dissociation (fragmentation) des molécules dans le cas des liquides (préalablement transformés en aérosol) et des gaz ; dans ces trois cas, à l’aide d’un plasma dont le gaz plasmagène est le plus souvent de l’argon ou de l’hélium. On détecte ensuite les atomes présents, par spectroscopie optique, grâce au rayorinement caractéristique de ceux d’entre eux qui ont été portés dans un état excité, ou encore par spectrométrie de masse. On obtient leur concentration par référence à des échantillons-étalon contenant les mêmes atomes, de préférence dans une matrice (ensemble) moléculaire pas trop différente de celle de l’échantillon à analyser. Cette méthode, très sensible, permet le dosage de ce qu’on appelle les ultratraces (teneur de Il’ordre du nanogramme et même du picogramme, par gramme d’échantillon). On utilise à cette fin des plasmas entretenus, par exemple, par des champs électriques de haute fréquence (micro-ondes et fréquences radio).

1 . 2 . 8 . ECLAIRAGE Comme applications des gaz ionisés dans le domaine de l’éclairage, signalons, pour un fonctionnement à faible pression, les lampes à vapeur de mercure (tubes fluorescents domestiques, figure 1.2) et à vapeur de sodium (lampadaires) ; à haute pression, les lampes à mercure qui sont des plasmas de très forte densité, le plus souvent, en régime d’arc électrique (lampadaires). L’éclairage est un marché important où cependant les avancées n’ont pas été spectaculaires au cours de ces dernières années. Ainsi, on a timidement comniencé à activer certaines lampes au moyen d’une décharge de haute fréquence (HF) ayant en vue leur plus grande durée de vie et un éclairage plus efficace énergétiqiiement. L’année 1994 a vu l’apparition de la première lampe domestique (General Electric) utilisant un champ électrique H F (- 1,5 MHz) : un transistor fournissant la puissance HF est logé dans la base de cette lampe dont le culot de vissage permel sa substitution directe à une lampe à incandescence classique (rendement énergétique 4 fois plus élevé, durée de vie 10 fois plus grande ; prix de vente cependant encore assez +lev@).

1.2.9. ECRANS PLASMA Dans les écrans plasma, l’image est obtenue à partir de décharges électriques créées dans des cellules de quelques centaines de microns dont l’ensemble compose des panneaux de grande surface (plus d’un million de cellules pour un panneau de 42” (1,07 m) de diagonale). Les cellules sont remplies d’iin mélange de gaz à base de xénon, à une pression inférieure à la pression atmosphérique. Les photons UV émis par chaque micro-décharge excitent des lumiphores qui &émettent, selon la cellule, des photons visibles dans l’une des trois couleurs fondamentales, rouge, vert et bleu. Cette technologie permet de réaliser des écrans plats de très grandes dimensions, d’une qualité d’image exceptionnelle. très contrastée et extrêmement lumineuse. Les écrans plasma sont en train de prendre une part croissante (quelques %) du marché global des téléviseurs dans le monde.

1 . 3 - DIFFÉRENTS TYPES DE DÉCHARGE

27

1.2.10. SOURCE D’IONS Les sources d’ions positifs sont utilisées dans de nombreux domaines incluant les traitements de surface à forte assistance ionique (gravure par usinage ionique par exemple), la microélectronique (dopage par implantation ionique), la physique nucléaire et subatomique (sources d’ions mono- et multi-chargés pour accélérateurs) , et le spatial (sources à effet HALLpour la propulsion ionique, expériences embarquées). Les sources d’ions négatifs permettent d’obtenir de façon efficace des faisceaux de neutres de haute énergie. C’est le cas, par exemple, des ions deutérium D- qui sont neutralisés en faisceau de neutres Do : l’intérêt des ions négatifs D- réside dans le fait que, après leur accélération dans la gamnie du MeV, leur rendement de conversion ion-neutre par échange de charge est bien plus élevC?que celui des ions D+. U n faisceau de neutres Do de très forte énergie permet d’accroître la température du plasma de tokamak dans l’enceinte duquel ils peuvent être introduits sans être affectés par le champ magnétique de confinement. Ce bref aperçu du champ des études et applications des plasmas montre que ce domaine de la physique a déjà obtenu des succès remarquables et ce, jusque dans la sphère domestique, et qu’il est également riche de possibilités d’applications (par exemple, fusion, stérilisation). Pour avoir une vue encore plus large des applications des plasmas, le lecteur pourra consulter avec profit l’ouvrage de P. BHADU.

1 . 3 . DIFFÉRENTS TYPES DE DECHARGE EN LABORATOIRE En laboratoire, on peut dist,inguer trois techniques principales, génériques, permettant de créer un plasma :

1.3.1. LA DECHARGE EN COURANT CONTINU OU ALTERNATIF DE BASSE FRÉQUENCE

Dans ce cas, les électrodes entre lesquelles s’établit le champ électrique sorit forcérnerit en contact avec le plasma (figure 1.2). Ce dernier se forme, dans line étape t,ransitoire, par un processus de multiplication d’électrons dit d’avalanche (ou de disruption) lorsqu’on applique la différence de potentiel : les quelques électrons initialement présents, accélérés par le champ électrique, ionisent par collisions les atomes (molécules) du gaz, augmentlant ainsi le nombre d’électroris. Cette croissance du nombre d’électrons cesse au bout de quelques centaines de micro-secondes, lorsque l’état stationnaire est atteint. Dans ces décharges périodiques à basse fréquence, la fréquence du courant d’alimentation est supposée suffisamment basse pour que tous les paramètres électriques du plasma soient eri équilibre avec le champ appliqué. Aiitrernerit dit, à chaque iristant de la période d’oscillation du champ, le plasma peut être considéré comme ayant, atteint, son état st a t ionnaire.

28

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

1.3.2. LA DECHARGE DE HAUTE FRÉQUENCE (HF) On distingue les plasmas entretenus à des fréquences radio (plasmas RF, 1 MHz 5 f < 300 MHz) des plasmas micro-ondes (plasmas MO, 300 MHz 5 f 5 300 GHz), collectivement appelés plasmas HF. Les électrodes portant le champ RF peuvent se trouver à l’intérieur de l’enceinte (par exemple, les deux plaques parallèles conductrices de la décharge dite capacitive) ou être situées à l’extérieur de celle-ci (par exemple, les spires de la décharge inductive (figure 4.4)) pourvu que, dans ce dernier cas, l’enceinte soit faite d’un matériau diélectrique transparent au rayonnement RF. Quant aux plasmas micro-ondes, ils sont très généralement alimentés par un applicateur de champ”. La fréquence de fonctionnement du plasma peut être choisie de façon à en optimiser les propriété#jdans certaines applications. De la sorte, on peut, par exemple, augmenter la vitesse de gravure : détails au chapitre 4.

1 . 3 . 3 . LA DÉCHARGE PAR RAYONNEMENT LASER

~

~

On peut distinguer deux régimes suivant la densité de puissance incidente du laser : à faible flux de photons, la longueur d’onde du laser doit être telle qu’elle corresponde à la différence d’énergie entre deux niveaux de l’atome ou de la molécule (transition dite d’absorption) que l’on souhaite porter dans un état excité donné. Ensuite, grâce, par exemple, à une collision entre deux atomes ainsi excités, se produit l’ionisation de l’un d’entre eux. à fort flux de photons, l’effet multiphotonique (où plusieurs photons “s’additionne“’’ en énergie) devient important et permet d’ioniser un gaz directement, sans avoir recours aux collisionLs.

1.4. DENSITE ÉLECTRONIQUE ET TEMPÉRATURE D’UN PLASMA Ce sont les deux principales caractéristiques d’un plasma, considéré du point de vue de ses particules.

1.4.1. DOMAINE DES VALEURS D E DENSITÉ ÉLECTRONIQUE DES PLASMAS

Ces valeurs couvrent iun domaine si grand qu’il est préférable d’utiliser une échelle logarithmique pour le:; répertorier. Dans le tableau 1.1 qui suit, en plus du plasma gazeux, nous avons aussi inclus les plasmas dits de mati@redense parce qu‘ils ont des propriétés physiques analogues.

11 On désigne par applicateur de champ les électrodes ou plus généralement tout dispositif servant à imposer, de l’extérieur, le champ EM créant la décharge.

1.4 - DENSITÉ ÉLECTRONIQUE

29

ET TEMPÉRATURE D’UN PLASMA

Tableau 1.1 - Différents types de plasma avec leur densité électronique correspondante

Plasma gazeux Gaz fortement ionisé Gaz interstellaires’ Vent soiairel’ Ionosphère, couche F (altitude 250 km) Couronne solaire Machine à fusion de type tokamak Plasma produit par un laser sur une cible solide Explosion nucléaire

O

0,5 5,7 7 14 19-23 20

Gaz faiblement ionisé Ionosphère, couche D (altitude 70 km) Décharge en laboratoire, à pression réduite Décharge en laboratoire, à pression atmosphérique

3 10-12 14-15

Plasma de matière dense Electrons dans les métaux Intérieur des étoiles Intérieur des naines blanches

23 27 32

1.4.2. C O N C E P T D’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE (ET) ET DÉFINITION DE LA “TEMPÉRATURE” D’UN PLASMA

La température, T , est une grandeur qui permet de caractériser globalement l’énergie d’agitation thermique des particules d’un système puisqu’elle est reliée à la valeur moyenne de cette énergie (annexe I, (1.11)).Parler de la température d’un système n’est possible que si la distribution (en vitesse ou en énergie) des particules est maxwellienne ; sinon, en plus de la valeur moyenne de l’énergie, il faut préciser la distribut,ion en énergie de ces particules. Nous allons voir que, dans un système en équilibre thermodynamique, une seule et même valeur de T suffit à caractériser à la fois la distribution en énergie des photoris et celle des particules. Un système en ET est complètement et sirnplernerit caractérisé par sa température T et la densité N des atomes (molécules) le constituant. Cet,te densité N comprend les atomes neutrcs et ionisés, aussi bien dans l’état fondamental que dans des états excités : on parlera alors plus volontiers de la densité N des noyaux, pour éviter toute ambiguïté (voir exercices 1.3 et 1.4). Considérons un système comprenant des atomes (neutres et ionisés) ainsi que du rayonnement EM (photons), ce rayonnement étant lié aux états excités des atomes et des ions tout autant, qu’aux interactions coulorribiennes entre particules chargées (brenisstrahlung, 5 1.7.1). Cet ensemble est en équilibre therniodynamiyue coinplet s’il y a un nombre suffisant d’interactions entre les diverses composantes du système 12 Peu d’interactions entre les particules (plasmas dits non collisionnels), mais grande influence des champs extérieurs.

1 - LE

30

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

de sorte que chaque type de processus d’échange d’énergie voit son action dans une direction énergétique donnée (par exemple, accroissement d’énergie de la “particule” lors de l’interaction) rigoureusement compensée de façon statistique par le même type de processus en direction énergétique inverse (diminution d’énergie du même type de particule dans notre exemple) : cette exigence de compensation s’appelle le principe de réversibilitt microscopique 011, plus simplement, la mzcroréversrbzlzté.

EXEMPLES DE

P R O C E S S U S RÉVERSIBLES

Les processus de collisions élastiques constituent, à l’évidence, un mécanisme natiirellenient réversible : l’atome ou l’électron qui subit une collision peut statistiquement aussi bien gagner que perdre de l’énergie. Les processus de co1:iisious inélastiques, au contraire, ne sont pas toujours facilement, réversibles : il faut que le milieu soit très dense, notamment pour qu’il y ait suffisamment d’interactions à plus de deux corps quand cela est nécessaire pour assurer la réversibilité. Pour le voir, considérons successivement deux exemples : ~

la collision superélastique ou de seconde espèce

e- + A(0) t A ( j ) + e

¢j

A(j)

+ e t A(0) + g

Le symbole e désigne un électron de grande énergie au contraire de e qui est de faible énergië; A(i3) indique l’état fondamental de l’atome A et A ( j ) désigne un atome dans l’état j , ici un état excité de l’atome ; la double flèche ($ sépare les deux directions énergétiques du processus considéré. Si l’atome dans l’état j émet un photon avant dle subir une collision, la réversibilité n’est pas satisfaite. Celle-ci exige donc un milieu où le nombre de collisions est très élevé. ~

la recombinaison collisionnelle

e -

+ A(0) t e + A + ( j ) + e * A + ( j ) + e + e + A(0) + e

-

Dans ce dernier exemple, on voit que la réversibilité requiert une interaction à trois corps, d’où la difficulté d’obtenir l’équilibre thermodynamique (ET) complet si le milieu n’est pas suffisamment dense. ~

les processus d’émission et d’absorption de photons

A ( i )+ h o

tA(j)

absorption

++

A(j)

A(j)

+ hwo

t t

A(i) + hvo émission spontanée A ( i ) 2hvo émission stimulée

+

où h est la constante de PLANCK et vo, la fréquence du photon ; j dtsigne le niveau d’énergie supérieur ( j > i ) . C O N S É Q U E N C E S DE:

L’ET COMPLET

L’équilibre thermodynamique complet est réalisé quand les quatre grandes lois d’équilibre qiie nolis allons prksenter sont, vkrifikes simiiltantrncnt. Pour caractériser complètement le système, il suffit alors de connaître la température T et la densité d’atomes N .

1.4

-

DENSITÉ ÉLECTRONIQUE E T TEMPÉRATURE D’UN PLASMA

31

1. Distribution de MAXWELL-BOLTZMANN des vitesses microscopiques, w ,des particules. Pour les électrons, dans le cas d’un distribution isotrope, nous avons (voir annexe I) :

où k~ est la constante de BOLTZMANN, me la masse des électrons, la température T étant exprimée en kelvin..En notant que 21th’ la vitesse la plus probable des particules d’une distribution maxwellienne, est donnée par :

on peut écrire (1.4) sous une forme plus simple et plus facile à retenir :

Remarque : Une condition suffisante pour que la distribution des vitesses des particules soit maxwellienne est que le plasma soit en équilibre thermodynamique. 2. Loi de BOLTZMANN fixant la répartition de la densité de population des états excités par rapport à celle de l’état fondamental :

où 71.0 est la densité d’atomes dans l’état fondamental d’énergie l o , et nj la densité d’atomes dans l’état excité d’énergie &, avec go et gj les poids statistiques (ou dégénérescence) correspondant^'^. 3. Loi de PLANCK, dite du corps noir, fixant la distribution spectrale de l’intensité du rayonnement EM. Cette intensité, à la fréquence vo considérée, est donnée par

(1.8

où c est la vitesse de la lumière dans le vide. 4. Loz de SAHArégissant l’équilibre entre les processus d’ionisation (création des particules chargées) et de recombinaison en volume (disparition de particules chargées par neutralisation d’un ion par un électron). Cette loi permet de connaître la densité nt des ions (positifs) ionisés une fois, relativement à la densité 720 des atomes neutres, connaissant la température du plasma. Dans l’hypothèse où ces ions et ces atomes neutres 5e trouvent tous dans leur état f ~ n d a m e n t a l ’ ~cette , relation s’exprime sous la forme simple :

+

13 La dégénérescence en énergie d’un niveau atomique est donnée par ZJ 1 où J est le nombre quantique du moment angulaire total du niveau considéré. 14 Pour obtenir, d’une part, la densité totale des ions (à une seule charge) qui comprend ceux dans l’état fondamental et ceux de tous les états excités et, d’autre part, la densité totale des atomes neutres, état fondamental et états excités inclus, voir l’annexe II.

32

1 - LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

n,n, - 29, ( 2 n m , k B ~ ) 3 / 2 exp (1.9) no go h3 kBT où ga et go représentent respectivement la dégénérescence quantique13 du niveau d’énergie i et celle du fondamental, n, la densité électronique et E, l’énergie (au seuil) de première ionisation.

(-A)

-- -

Pour connaître le rapport de densité entre les ions de charge Z (c’est-à-dire ayant perdu 2 électrons) et ceux de charge (2- 1),nous disposons de la relation : nena[z] n,[Z - 11

-~ -

(-L)

2ga[z] ( 2 ~ m e - k ~ exp ~)~’~

g,[Z - 11

h3

kBT

(1.10)

où €, est, cette foi:;, l’énergie d’ionisation du Zèmeélectron par rapport au niveau de l’atome ionisé ( Z - 1) fois ; le symbole [ ] indique la dépendance en 2 et en 2 - 1 de n, et ga ; les valeurs de n,[Z] et n,[Z - 11 sont celles des états fondamentaux des deux types d’ions.

1.4.3. DIVERSNIVEAUX D’ÉCART PAR R A P P O R T

À L’ÉQUILIBRE

THERMODYNAMIQUE C O M P L E T Dans la plupart des plasmas de laboratoire, la microréversibilité des processus n’est pas parfaite, et les informations à fournir pour caractériser le système sont d’autant plus nombreuses que les types de processus non réversibles sont nombreux15. Examinons la situation en allant dans le sens d’une microréversibilité de plus en plus faible.

EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE

LOCAL

(ETL)

Dans un plasma inhomogène où existe un gradient de densité de particules (induisant la diffusion de celles-ci) ou un gradient de température (provoqué, par exemple, par un flux thermique vers une paroi), ou dans un plasma homogène mais laissant des photons s’échapper (au moins pour certaines raies ou régions spectrales), il y a un flux net d’énergie à travers le système : la diminution (ou l’augmentation) locale de l’énergie du système implique que la microréversibilité n’est pas complète. Cependant, si cette perte locale d’énergie est faible par rapport à l’énergie totale en ce point ou, de façon équivalente, si la différence d’énergie entre deux points voisins du système est faible, alors on pourra dire qu’il y a ETL. Le cas d’ETL le plus fréquent est celui d’un plasma dont la densité des particules n’est pas suffisamment grande et son volume trop petit pour réabsorber la plus grande partie des photons émis : des photons, dans un domaine spectral donné, s’échappent alors du système. Si la situation n’est souvent pas désastreuse du point de vue de l’équilibre du système, c’est que des processus vont se manifester pour compenser des réactions qui normalement, en E T complet, nécessitent l’absorption d’un photon. 15 Rappelons qu’un système en ET est complètement et simplement caractérisé par sa température T et la densité N de ses noyaux atomiques (moléculaires).

1.4 - DENSITÉÉLECTRONIQUE ET TEMPÉRATURE D’UN PLASMA

+

33

Ainsi, pour la réaction A(j) + A(0) hvo, il n’y a pas réversibilité, la réaction inverse étant remplacée par A(0) + A ( j ) e ; on appelle ceci une compensation impropre pour l’opposer à la compensation propre de la microréversibilité parfaite. Le rayonnement d’un tel système ne suit donc pas la loi de PLANCK, mais si le flux qui s’échappe est faible, les trois autres lois d’équilibre de l’ET s’appliqueront localement : MAXWELL-BOLTZMANN pour les distributions des vitesses des particules, BOLTZMANN pour la densité des niveaux excités des atomes (molécules), et SAHA pour l’ionisation-recombinaison ; une seule température, T ( r ), définie localement en T , en plus de la densité, N ( r ) , des noyaux d’atomes (molécules), suffit alors pour caractériser le système.

+

+

Dans le cas où il y a un flux net de particules à travers le système (diffusion, convection), la notion d’ETL s’applique à condition que le temps, dit de relaxation, nécessaire pour que la particule provenant d’un sous-système (thermodynamique) à la température Ti à la position T I se mette en équilibre avec le sous-système en r2 à la température T2, soit très court. Dans ce cas, l’ET se maintient localement. P L A S M A HORS

ETL :

LE CAS PARTICULIER DU PLASMA À DEUX TEMPÉRATURES

Lorsque le milieu est moins dense que celui considéré au paragraphe précédent, il arrive que le transfert collisionnel d’énergie entre les électrons et les particules lourdes, du fait de leur différence de masse (un électron transférant, par collision, au plus 4 m J M de son énergie à un ion ou à un atome de masse M : démonstration en 3 1.7.2)’ ne soit plus suffisant pour que les particules des différents types aient toutes la même énergie moyenne. Cependant, si les interactions entre particules d’un même type sont suffisamment nombreuses16, il y a éqiiipartition de l’énergie au sein de cette population, et celles-ci continueront à obéir à une distribution de MAXWELLBOLTZMANN caractérisée par une température propre à leur espèce : température électronique T e ,température ionique Ti, et température des neutres (ou température du gaz) T g . Un cas particulièrement intéressant est celui où la température des électrons dépasse largement celle des autres particules du plasma lorsque ce sont précisément les électrons qui amènent l’énergie dans le système17. Une situation fréquemment observée est alors celle où Te > Ti N Tg (plasma dit à deux températures).Dans ce cas, ce sont les électrons qui contrôlent la cinétique d’ionisation (équilibre de SAHA)et celle des états excités voisins du seuil d’ionisation (équilibre de BOLTZMANN partiel) : la loi de BOLTZMANN obéit pour ces niveaux à une température caractéristique Te,, telle que Te,, = Te ; l’équilibre de SAHAest, pour sa part, peu perturbé par les particules lourdes et la température T, de SAHAest ici aussi égale à Te.Nous avons donc : T, = Te,, = Te > Ti 2 T,, ce qui justifie l’appellation de plasma à deux températures. 16 I1 s’agit de la condition nécessaire qui fait pendant à la condition suffisante indiquée plus haut (équilibre thermodynamique) pour que la distribution en vitesse soit de MAXWELL-BOLTZMANN.

17 Dès l’instant où il y a un chemin privilégié d’arrivée d’énergie se pose le problème de la répartition de cette énergie dans le plasma. S’il n’y a pas assez d’interactions entre les divers types de particules, leur énergie moyenne ne sera pas la même.

34

1 - I J E MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

Dans un plasma à deux températures, les populations des niveaux d’énergie de l’atome neutre (de même pour l’ion) ne sont pas régies par l’équilibre de BOLTZMANN (équation (1.7)). En effet, le temps entre deux collisions électron-neutre pour l’excitation ou la désexcitation des niveaux voisins du fondamental est plus long que leur temps de vie radiatif, de sorte qu’ils se peuplent ou se dépeuplent de façon radiative plutôt que par collision électronique, échappant ainsi à la cinétique des électrons. Par contre, les niveaux supérieurs, ceux situés sous le premier niveau de l’ion (figure 111.1 de l’annexe III), sont en équilibre collisionnel avec les électrons, et la loi de BOLTZMANN donne leur densité de population selon Te,, = Te. Nous dirons que le système est en équilibre thermodynamique local partiel (annexe III) puisque seuls les niveaux supérieurs sont en équilibre de BOLTZMANN. Pour dbcrire ce système, il faut donc préciser plusieurs “températures” (le terme “paramètres caractéristiques” serait plus juste), à la différence Ide 1’ETL.

AUCUNECARACTÉIRISTIQUE

D’ÉQUILIBRE

THERMODYNAMIQUE,

MAIS U N ÉTAT STATIONNAIRE

Les fonctions de distribution en énergie des particules ne sont plus maxwelliennes : par exemple, les collisions inélastiques peuvent dépeupler fortement certains intervalles d’énergie de ce qui aurait été une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN. Dans ce cas, on ne peut plus parler de température mais seulement d’énergie moyenne, et encore faut-il préciser la forme de la fonction de distribution pour connaître les caractéristiques du système. En conclusion, plus on s’éloigne de l’ET, plus il faut fournir de données pour caractériser le plasma.

1.5. FREQUENCE PROPRE D’OSCILLATION DES ÉLECTRONS D’UN PLASMA 1.5.1. O R I G I N E E T D E S C R I P T I O N DU P H É N O M È N E Si dans un plasma de dimensions largement supérieures à la longueur de DEBYEAD (distance moyenne en dessous de laquelle il n’y a pas neutralité électrique, 5 1.6) se produit un défaut local de neutralité (résultant, par exemple, d’un mouvement aléatoire des particules), celle-ci sera rétablie du fait du comportement collectif des particules chargées (8 1.1).S’il y a peu ou pas de collisions, ce mouvement de retour vers l’équilibre des charges prendra la forme d’une oscillation pendulaire autour de la position où il y a eu initialement rupture de neutralité. Pour préciser le sens physique de ce phénomène, considérons la figure 1.7, qui est une représentation idéalisée de la distribution des ions et des électrons dans un plasma. Initialement, les charges y sont distribuées de façon alternée et équidistante de sorte que le champ électrique est nul là où elles se trouvent : les particules chargées (supposées sans énergie thermique pouvant les mettre en mouvement !) devraient donc demeurer, sans bouger, dans cet état d’équilibre. Déplaçons un groupe d’électrons

1.5 - FRÉQUENCE PROPRE

35

D’OSCILLATION DES ÉLECTRONS D’UN PLASMA

sur une distance x par rapport à leur position initiale d’équilibre : il en résulte un champ électrique (champ donné par l’équation de POISSON (1.1) et appel6 chump de charge d’espace) qui rappelle les électrons vers leur position d’origine, mouvement qui réduit d’autant l’intensité de ce champ. Cependant, les électrons ainsi accélérés ne pourront s’arrêter à leur position d’équilibre, continuant leur mouvement au-delà de ce point, engendrant ainsi un nouvel écart à l’équilibre électrique des charges et, donc, un champ électrique de sens opposé au champ initial. Les électrons continueront ainsi leur mouvement pendulaire autour de la position d’équilibre si des collisions ne viennent l’interrompre.

- + - +

+ - + Figure 1.7 - Représentation (très) idéalisée de la distribution des ions et des électrons dans un plasma montrant qu’une légère non uniformité de cette distribution, obtenue par déplacement d’un groupe d’électrons sur une distance X , crée dans cette région un champ électrique (dit champ de charge d’espace). Le rappel par ce champ des electrons ainsi déplacés va entraîner leur mouvement oscillatoire autour de la position initiale d’équilibre.

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+ + ... - + + +

-

+ + + + +

+I

X

Ce comportement collectif des électrons fait apparaître localement un mouvement oscillatoire dont la pulsation (voir démonstration ci-après) est donnée par : (1.11)

où a, est la densité électronique non perturbée; € 0 est la permittivité du vide; f p e = wpe/2i7 est appelée fréquence (propre) des électrons du plasma ou, moins communément, fréquence du plasma d’électrons. Au cours de ces oscillations, les ions, beaucoup plus lourds que les électrons, demeurent pratiquenierit immobiles : ils connnencent à peine à se mettre en mouvement dans une direction qu’il leur faudrait déjà aller dans 1’aut)re.

1 . 5 . 2 . CALCUL DE LA FRÉQUENCE PROPRE DES ÉLECTRONS DU PLASMA

Un modèle hydrodynamique simple dkcrivant les électrons dans leur mouvernent collectif d’oscillation comme iin fluide permet d’obtenir la valeur de la pulsation wpe. Les hypothèses sont les suivantes : 1. Les ions sont immobiles et leur densité fiil non perturbée, uniforme, 2. L’agitation thermique des électrons est négligeable : leur vitesse w, due au champ électrique de la charge d’espace est telle que we > V t h (plasma froid),

3. La fréquence v de collision électron-neutre pour le transfert de quantité de moiivement l’emporte sur les autres types de fréquences de collision, mais reste néanmoins telle que v < wpe afin de préserver le comportement collectif du plasma,

36

1- LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

4. Les oscillations produites sont de faible amplitude, 5. I1 n’y a pas de champ magnétique imposé de l’extérieur. Dans le cadre du modèle hydrodynamique (8 3.5), nous pouvons décrire le fluide d’électrons en question par les deux relations suivantes : Equation de conservaiion des particules

an, -+v at

.

. (new,)= O

Equation de transport de la quantité de mouvement’’

(1.12) :

(1.13)

où E est le champ de charge d’espace. Nous linéarisons ces équations (hypothèse 4) en posant :

n,(r,t)= f i , + f i , ( r , t )

(1.14)

où Q T , t ) est une perturbation à la densité f i , uniforme et constante en l’absence de fluctuations (6, < f i c , ) . Nous supposerons, par ailleurs, que les grandeurs variables dans le temps, toutes d’ordre un, oscillent à la fréquence w/2x que nous cherchons à déterminer : nous poserons donc E = Eo exp(iwt), O , = W,O exp(iwt) et G , ( T , t ) = f i e 0 ( r ) exp(iwt). Nous avons alors de (1.12) : iw6,o

+ fieV W,O ’

=O

(1.15)

où nous avons néglige V . f i e w e 0 , terme d’ordre 2 dans une équation d’ordre un. De (1.13),nous obtenons : fi,m,iwweo = -n,eEo (1.16) où w,o . V W N , ~O parce que d’ordre 2 . Ajoutons à ces deux relations, l’équation de POISSON (1.1)qui, dans le cas présent, s’écrit :

V.E=

n,~ nee N

6,e

-~

€0

(1.17)

€0

puisque la neutralité macroscopique impose f i , = f i e . Nous voulons éliminer w il vient :

puis f i e o en jouant des équations (1.15) à (1.17). De (1.16)’ we0

=-

(P)

twm,

EO

(1.18)

et en portant (1.18) dans (1.15), nous obtenons

nee . Eo. w2me

6,o = --V

(1.19)

18 Où l’on a négligé le terme d’interaction collisionnelle (hypothèse 3) et pris en compte le fait que le plasma est froid (hypothèse 2) ; le champ E est celui dû à la charge d’espace.

1.5

-

FRÉQUENCE PROPRE D’OSCILLATION DES ÉLECTRONS D’UN PLASMA

37

En utilisant la valeur de f i e o définie simultanément par (1.19) et (1.17)’ nous arrivons à : nee €0 (1.20) fieo=--V.Eo=--V.Eo, w2me e

(1.21)

c’est-à-dire : ce qui, pour V . Eo

# O , impose

:

w = Wpe

(1.22)

=

où wpe (fie2/meco)1/2(relation (1.11)) est la fréquence propre du plasma d’électrons, aussi appelée oscillation de LANGMUIR. Remarques :

1. Dans le modèle du plasma froid (Te = O), l’oscillation collective des électrons demeure circonscrite au voisinage de la perturbation qui l’a engendrée : elle ne se propage pas, ce n’est pas une onde. Pour qu’une onde électromagnétique existelg, il faut pouvoir en définir la vitesse de groupe vg20 qui s’obtient à partir de son équation de dispersion. Dans le cas présent, de (1.22) où wpe est une constante, vg a w / a p = o.

=

Cependant, si l’on tenait compte de la pression scalaire exercée par l’agitation thermique des électrons sur leur propre mouvement (5 3.5)’ pression qui s’exprime en moyenne par leur température T e ,on obtiendrait, pour ce même mouvement oscillatoire ( Q U É M A D A , 5 6.4.1) : (1.23)

où vg = y/?lcsT,/m,w est non nulle si Te # O. Dans cette relation, y est le rapport c p / c , des chaleurs spécifiques du gaz, avec y (transformation adiabatique) = (2 + 6)/6 où 6 est le nombre de degrés de liberté; pour un gaz monoatomique 6 = 1, d’où y = 3 ( 5 3.6). 2. En milieu limité (c’est-à-dire lorsque des conditions aux frontières interviennent dans les calculs), la fréquence d’oscillation est : w = wPr/&

pour une géométrie cylindrique,

(1.24)

w =w P e / d

pour une géométrie sphérique.

(1.25)

3. Expression numérique approximative de la fréquence propre des électrons :

f p e (Hz)

2

9OOOdn,([cm”).

(1.26)

19 Pour qu’il y ait propagation d’une onde électromagnétique, il faut qu’il y ait transport d’énergie d’un point à un autre de l’espace, c’est-à-dire que le vecteur de POYNTING S = E A H soit non nul. 20 Pour un vecteur de propagation de module de groupe est donnée par vg E aw/ûp.

p

E 27r/X (aussi appelé n o m b r e d’onde), la vitesse

38

1 - -LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

4. Comme pour les électrons, on peut calculer la fréquence propre d’oscillation des ions du plasma, soit : (1.27)

où l’on peut noter que la fréquence du plasma d’ions, puisque fonction inverse de leur masse mi, est très inférieure à la fréquence du plasma d’électrons.

1 . 6 . LONGUETJR DE DEBYE: EFFET D’ÉCRAN DANS LES PLASMAS 1.6.1. D E S C R I P T I O N D U P H É N O M È N E Si, dans un plasma, clri introduit deux électrodes conductrices reliées à une source de potentiel les électrons vont être attirés par la borne positive et les ions (positifs) par la borne négative. L’exciOs de charges d’un signe donné ainsi créé est cependant concentré autour de l’électrode correspondante, dans iin petit domaine spatial appelé guine, le reste du plasma demeurant macroscopiqiiement neiit,re. La gaine agit comme un écran, limitant spatialement l’influence sur le plasma du champ électrique régnant21. Un mécanisme semblable d‘écrantage agit dans le corps même du plasma, faisant en sortje que le potentiel d‘une charge quelconque du plasma n’est plus ressenti au-delà d’une distance de l’ordre de AD, la longueur de DEBYE.Nous montrerons que le potentiel électrostatique d’un ion (posit,if, à une seule charge) dans un plasma à une distance T de cet ion est donné par : (1.28) où le terme exponentiel manifeste cet eSfet d’écran qui réduit fortement la portée qu’aurait eu le potentiel de l’ion dans le vide; en effet, pour T = AD, le potentiel de l’ion aura décru à l / c de sa valeur dans le vide (e est ici la base du logarithme népérien). La portée de l’écrantage dépend de l’énergie d’agitation thermique des particules et de leur densité, comnie noils allons le voir.

1.6.2. C A L C U L DU P O T E N T I E L D’UN ION DANS U N PLASMA A DEUX TEMPERATURES : DÉFINITION D E LA L O N G U E U R D E DEBYE

Considérons l’ion en question coniine une particule-test (positive) : une telle particule, par hypothèse, agit :,Ur les autres particules sans être influencée par elles. Déposée 21 En fait, dès que l’on introduit un objet dans un plasma, que ce soit un matériau diélectrique ou conducteur (n’agissant alors pas comme une électrode), il y a formation d’une gaine ( 5 3.14) autour de cet objet parce que sa surface se charge négativement : cet effet, nous le verrons, est dû à la plus grande mobilité des électrons relativement à celle des ions.

1.6 - LONGUEUR DE DEBYE:

EFFET D’ÉCRAN DANS LES PLASMAS

39

dans le plasma à l’origine d’un système de coordonnées sphériques, elle crée une perturbation par son champ électrostatique. Nous voulons connaître l’expression du potentiel 4 ( ~de ) cet ion à une distance T , compte tenu du nuage d’électrons et d’ions qui l’entourent. Les densités électronique et ionique, n,(r) et n i ( r ) , diffèrent à l’origine du repère mais non à l’infini où elles sont égales, new = nioo (la perturbation ne se fait plus sentir). Nous allons supposer qu’à une distance T suffisante’ précisée plus bas, les populations électronique et ionique obéissent à des distributions de MAXWELL-BOLTZMANN, caractérisées respectivement, pour plus de généralité, par des températures électronique Te et ionique Ti différentes (plasma à 2 températures, 5 1.4.3). Ces distributions, en présence d’un potentiel q5(r), s’obtiennent à partir de la relation (1.15) (annexe I), en l’occurrence :

22,)

(

n,(r) = n,,exp

(1.29)

-~

où l’énergie potentielle @ ( T ) = +e4(r) dans le cas d’un ion positif. Pour les deux types de particules, nous avons donc :

ni(^) = niooexp n e ( r )= ne, exp

“i)’ (k“)

(

-~

~

.

(1.30) (1.31)

Toutefois, comme l’ont signalé certains auteurs [il,compte tenu de la perturbation cri.& par la charge-test, l’hypothèse d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN n’est pas valide dans le voisinage immédiat de celle-ci. Cela n’est pas gênant dans le cadre de la présente démonstration car nous avons recours à une telle distribution seulement à partir d’une distance T suffisamment loin de la charge-test pour que le potentiel de celle-ci soit fortement écrante par les charges qui l’entourent, plus prbcisément lorsque e $ ( r ) / k B T < 1. Cette condition nous permet de développer (1.30) et (1.31) à l’ordre un poix obtenir : (1.32)

( + “)

n,(r) = n 1

___

’

(1.33)

puisqu’à l’infini, new = nioo= n.

RECHERCHE D E L’ÉQUATION

DIFFÉRENTIELLE D E F I N I S S A N T $ ( T )

La densité des charges est donc localement en r :

[

p ( ~ =) e n 1 -e-

c’est-à-dire :

24

-en

[ :$,] ’ Ife-

(1.34)

40

1-

];E

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

L’équation de POISSON nous permet d’obtenir l’équation différentielle de q5(r)puisque :

V ’ E = /)/EO

(1.35)

conduit à :

(1.36)

d’où de (1.34) :

(1.37)

où nous noterons :

(1.38)

de sorte que le terme entre crochets de (1.37) peut s’écrire :

1 As,

1

-- -

ALe

1

(1.39)

+xD,

(1.40) où AD, et Aoi sont respectivement les longueurs de DEBYEélectronique et ionique, et AD la longueur de DEBYEglobale ou, simplement, longueur de DEBYE.

Comme la relation (11.40) ne dépend que de T , elle est de symétrie sphérique et se développe donc bien dans un système de coordonnées sphériques, et nous devrons résoudre : (1.41)

S O L U T I O N D E L’ÉQUATION D I F F É R E N T I E L L E (1.41)

Nous allons exprimer le potentiel q 5 ( ~ )en un produit de deux contributions : l’une prépondérante au voisinage de la particule-test, et l’autre décrivant le comportement pour T très grand.

Solution pour

T N

O

Dans cette région, le potentiel de l’ion-test est le plus important, et il est de symétrie sphérique. Pour cet ion (+) seul, nous obtenons après intégration de l’équation de

POISSON :

J v . E dV = V

s

(p/EO)

V

dV

= e/co ,

(1.42)

où le volume V est suiffisamment petit pour ne contenir que l’ion-test.

Par ailleurs, le théorème de GAUSS(application du théorème de GREEN)enseigne aue :

J

V

V.EdV=

J s=av

E.dS.

(1.43)

1.6

-

LONGUEUR DE DEBYE:

EFFET D’ÉCRAN DANS LES PLASMAS

41

où S est la surface délimitant le volume V . La symétrie sphérique nous permet de développer facilement l’intégrale de surface :

J

E . d S = 47rr2ET(r)

(1.44)

S

et de (1.42)’ (1.43) et (1.44), il vient :

E(?-)=

e 47rq,r2

~

E ( r )= -

et comme :

(1.45)

(1.46)

nous obtenons un résultat attendu pour le potentiel $ ( r ) dans le voisinage immédiat de l’ion, noté de(.) : (1.47) potentiel d’un ion positif dans le vide.

Solution pour Ecrivons

T

grand

4 ( r ) dans

(1.41) sous la forme : 4(T)

= 4c(r)f(r),

où, a priori, nous exigeons que f ( r ) + 1 pour T + O et f ( r ) + O pour r ce cas, en portant (1.48) dans (l.41), nous obtenons l’expression :

(1.48)

+ m. Dans (1.49)

qui possède deux solutions : (1.50)

où f 2 ( r ) est à rejeter puisqu’il faut que f ( r ) + O pour r + 00. En explicitant (1.48) d’après (1.47) et (1.50), nous arrivons finalement à l’expression du potentiel de la particule-test, à une distance T , lorsque celle-ci est plongée dans un plasma : (1.28) Remarques : 1. L’effet d’écran, exprimé par le facteur exponentiel de la relation (1.28)’ est indépendant du signe de la charge de la particule-test. 2. La longueur de DEBYEest d’autant plus courte que la densité du plasma est élevée (équation (1.38)) : autrement dit, le potentiel de la particule-test est d’autant plus rapidement écranté que la densité de particules chargées qui l’entourent est importante.

42

1-

]LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

Dans les plasmas hors ETL, la température des ions T, étant généralement beaucoup plus faible que la température Te des électrons (T, << T e ) ,la longueur de DEBYEAD au sein du plasma s’apparente alors à la longueur de DEBYEionique, beaucoup plus courte que la longueur de DEBYEélectronique, soit AD !Y AD, << AD, : l’effet d’écran est, dans ce cas, assuré principalement par les ions. Dans les plasmas à l’équilibre thermodynamique, les ions et les électrons ayant la même température (Te = T,), les longueurs de DEBYEélectronique et ionique sont égales (AD, = AD,). La longueur de DEBYEdu plasma est alors donnée par AD = A D e / f i . Relations numériques donnant AD,

:

AD,(cni) = 6,9 (T,/n)1/2 pour n en cmp3, et Ta en K , AD,(cm) = 740 (T,/n)’I2 pour n en ~ m - et ~ ,T, en eV.

(1.51) (1.52)

La longueur de DEBYEélectronique peut aussi s’écrire sous la forme

ce qui montre que le temps mis par un électron, doté de la vitesse la plus probable, pour parcourir la longueur de DEBYEélectronique AD, est de l’ordre de la période d’oscillation des électrons du plasma. La présente dérivaiLion de la longueur de DEBYEpeut être qualifiée d’idéalisée en raison des nombreuses hypothèses utilisées, notamment de l’emploi de la notion de particule-test qui veut que cette particule ne soit pas influencée par les autres particules. Elle suppose, en outre, que les électrons et les ions, situés à une distance suffisante de la particule-test, sont répartis suivant une distribution de MAXWELLB O LTZM A N N . 8. Dans les plasmas où les ions sont considérés uniquement comme un fond continu assurant la neutralité (avec cette hypothèse, utilisée dans de nombreux calculs, les ions ne sont plus répartis suivant une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN), l’équation (1.32) se réduit à n,(r) = n , de telle sorte que l’écrantage du potentiel des électrons (ou des ions) est dû, dans ce cas, uniquement aux électrons, soit AD = AD,. C’est l’hypothèse adoptée dans l’annexe V ainsi que dans l’exercice 1.5 qui propose une interprétation alternative de la longueur de DEBYE.

9. Une condition pour qu’à la suite d’une perturbation (par exemple, une collision), la neutralité du plasma soit restaurée et que les différentes particules chargées se répartissent à nouveau suivant une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN, est que le temps entre deux collisions soit plus grand que leur période propre d’oscillation, soit v < wp,. Cette condition est plus facilement réalisée avec les électrons qu’avec les ions, ce qui justifie, dans de nombreux cas, l’hypothèse d’un fond continu d’ions assurant la neutralité du plasma.

1.7

-

43

P H É N O M È N E S DE COLLISION DANS LES PLASMAS

10. Conditions d’existence d’un plasma pour que la neutralité macroscopique soit réalisée au sein d’un plasma, il faut que L , la plus petite dimension définissant le volume occupé par le plasma, soit beaucoup plus grande que la longueur de DEBYE,soit L > AD. le nombre de charges N D dans une sphère de DEBYEdoit être beaucoup plus grand que 1, sinon il s’agit d’un plasma “non idéal” dans lequel il ne peut y avoir d’effet d’écran ; cette condition s’écrit : (1.54)

1.7. PHÉNOMÈNES DE COLLISION DANS LES PLASMAS Comme nous l’avons souligné en 3 1.4.2, c’est par un ensemble de processus d’interactions particule-particule et particule-photon que s’établit la répartition d’énergie entre les divers éléments constitutifs du plasma. Nous allons utiliser le terme “collision” audelà de l’acception qui désigne un choc entre deux sphères, plus ou moins rigides, menant à un échange d’énergie cinétique. En effet, les interactions à longue portée (force coulombienne) aussi bien que celles conduisant à l’excitation d’un atome par collision électronique (non-conservation de l’énergie cinétique) nous amènent à considérer, de manière plus générale, qu’il y a collision si le parcours ou l’état interne d’une particule se trouve modifié par la présence d’une autre ou de plusieurs autres particules dans son voisinage.

1.7.1. TYPESDE COLLISION Nous distinguerons deux grandes catégories de collision, suivant que la force coulombienne agit directement ou non.

COLLISIONS où

N’INTERVIENT PAS LA FORCE DE

COULOMB

I1 s’agit de collisions entre deux particules neutres, et de la plupart des collisions entre une particule neutre et une particule chargée. On différencie, à cet effet, les collisions élastiques des collisions inélastiques. Collisions élastiques On peut les représenter par le choc de deux sphères dures, avec conservation de l’énergie cinétique totale. C’est le cas notamment des collisions électron-neutre à faible énergie (à forte énergie, l’électron s’approche trop près de l’atome et le champ électrique engendré par l’électron incident agit sur les électrons liés de l’atome).

Collisions inélastiques

I1 n’y a pas conservation de l’énergie cinétique totale : on obtient, par exemple, l’excitation ou l’ionisation d’atomes, la dissociation de molécules, ou encore les réactions

44

1 - LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

ions-moléculesZ2.Les processus d’échange et de capture de charges sont également de nature inélastique puisque l’énergie interne des atomes (molécules) en jeu se trouve modifiée (voir aussi 9 1.7.9)). Exemples de collisiions inélastiques 1. Collisions superélastiques (ou de 2e espèce) Un atome dans un état excité peut transférer de façon collisionnelle son énergie interne, en totalité ou en partie, sous forme d’énergie cinétique à un atome ou à un électron. Ce inécanisme de collision est davantage probable lorsque l’atome initialement excité est dans un état dit métastable, état dont la durée de vie23 est très supérieure à celle des états radiatifs donnant lieu à une transition de nature dipolaire électrique. A titre d’exemple, le choc entre un électron et un atome de mercure dans un &at métastable (il y en a deux) peut amener celui-ci dans l’état fondamental et ainsi fournir une énergie de 4’7 ou de 5’6 eV à l’électron incident.

2. Transfert de charge (échange de charge) Lors d’une collision d’un atome neutre B avec un ion A+, il y a une forte probabilité que le neutre cède un électron à l’ion qui alors se neutralise : A++B+A+B+.

(1.55)

Ainsi, un ion A+ préalablement accéléré dans un champ électrique intense pourra être converti en un neutre de forte énergie, insensible aux effets d’un champ magnétique ou électrique.

3. Capture d’un électron (processus d’attachement) C’est en capturant un électron qu’un atome se transforme en ion négatif : A+e+A-,

(1.56)

celui-ci pouvant, par la suite, être accéléré par un champ électrique ou magnétique. COLLISIONS D E NATURE COULOMBIENNE

L’interaction entre paxticules chargées est régie par la force coulombienne dont l’expression, dans le cas d’lune“collision” d’un ion (de Z charges positives) et d’un électron, vaut :

(1.57) Comme pour les collisions non coulombiennes, on peut différencier les collisions élastiques des collisions inélastiques. 22 Les réactions ions-molécules (et molécules-molécules) produisent les nombreuses espèces chimiques présentes dans certains plasmas de gaz réactifs, par exemple les plasmas d’hydrocarbures. 23 Plus la pression du gaz plasmagène est faible, plus grande est la durée de vie des états métastables (E ps à quelques heures). Quant aux états radiatifs de nature dipolaire électrique, leur durée de vie en tant que telle est indépendante de la pression ( 2 l o p 7 - lops seconde).

1.7

-

P H É N O M È N E ÇD E COLLISION DANS LES PLASMAS

45

Collisions élastiques C’est le cas des collisions électron-électron, électron-ion et ion-ion lorsque les énergies en jeu sont trop faibles (T,v < 100 eV) pour donner lieu à l’émission ou à l’absorption de rayonnement EM. Les collisions élastiques coulombiennes sont décrites de façon détaillées dans l’annexe V. Collisions inélastiques Les collisions coulombiennes peuvent aussi être inélastiques et conduire soit à des processus de recombinaison, soit à l’émission ou l’absorption de rayonnement EM comme indiqué précédemment. 0

Exemples de processus de recombinaison 1. Recombinaison électron-ion Un électron et un ion positif peuvent se neutraliser. C’est le cas de la recombinaison radiative : e+A++A+hv (1.58) et de la recombinaison dissociative dans le cas d’un ion moléculaire e+AB++A+B.

(1.59)

Comme pour l’échange de charge, ce processus de recombinaison dissociative est extrêmement efficace. 2. Neutralisation mutuelle

Dans les plasmas riches en ions négatifs, il y a une très forte probabilité que l’ion négatif cède un électron à l’ion positif. I1 y a alors neutralisation mutuelle : (1.60) Ainsi, des ions positifs ou négatifs, préalablement accélérés dans un champ électrique intense, pourront être convertis en neutres de forte énergie, insensibles aux effets d’un champ magnétique. 0

Exemples d’émission ou d’absorption de rayonnement 1. Bremsstrahlung

L’émission ou l’absorption de rayonnement peut résulter de collisions électronélectron, électron-ion et ion-ion lorsque les énergies des particules chargées sont élevées (Te” > 100 eV). On rencontre ce type d’interaction, par exemple, dans les plasmas de laser à haut flux. On distingue le bremsstrahlung (rayonnement de freinage) direct (émission d’énergie sous forme de photons) du bremsstrahlung inverse (absorption de photons).

2 . Collisions électron-neutre à très grande énergie L’électron incident s’approche suffisamment près des électrons liés des couches internes de l’atome pour interagir avec eux : ainsi un électron de grande énergie atteignant la couche électronique la plus interne (couche K) d’un atome lourd y

46

1 - L,E MILIEU PLASMA : DÉFINITIONET PRINCIPALES GRANDEURS

déloge un électron de celle-ci, ce qui provoque une éniission X. On rencontre ce phénomène dans les plasmas confinés magnétiquement et entretenus à très faible pression (< lop6 torr) en régime de résonance cyclotronique électronique (RCE, 5 4.2.3). Remarque : La probabilité de réalisation de ces différentes collisions peut se caractériser par un coefficzent de réactzon. Nous verrons ( 5 1.7.9, remarque 2) que ce coefficient, noté k,J24,est égal à (âz3(wap)w,fi)où â z 3 ( w a ~ est) la section efficace de la réaction considérée, wafi le module de la vitesse relative des particules CI: et /? en interaction ; le symbole ( ) indique une moyenne prise sur la fonction de distribution en vitesse (ou en énergie) des particules. Dès 1015, il convient maintenant de définir et d’expliciter la notion de section efficace de collision (51.7.3 et suivantes).

1.7.2. ECHANGE~ DE QUANTITÉ D E M O U V E M E N T ET TRANSFERT D’ÉNERGIE LORS D’UNE COLLISION

E N T R E DEUX PARTICULES Les considérations et résultats de cette section nous permettront ultérieurement de donner une signification physique au terme collisionnel de l’équation de BOLTZMANN (9 3.1). Ils nous serviront également à comprendre la dépendance de la section efficace totale pour le transfert de quantité de mouvement par rapport à l’angle de diffusion des particules après collision. Nous supposerons que les interactions sont de type binaire, y compris entre particules chargées, étant entendu qu’il s’agit dans ce dernier cas d’une première approximation. De plus, comme il est habituel de le faire en théorie cinétique des gaz, on considère que la trajectoire d’une particule se divise en deux parties : la partie de la trajectoire effectuée entre deux collisions, pendant laquelle la particule ressent les forces extérieures, et la partie de la trajectoire, qui est principalement affectée par 1’interact)ion collisionnelle, durant laquelle les forces extérieures sont ignorées.

EQUATIONS D E CONSERVATION E T I D E N T I F I C A T I O N D E S VARIABLES INDÉPENDANTES ( N O N D E T E R M I N É E S P A R LES EQUATIONS DE CONSERVATION)

Soit deux particules CY et /? dont nous connaissons, a priori, les vitesses w, et wp avant collision25.Suivant l’hypothèse déjà indiquée qu’aucune force extérieure n’agit pendant le temps que dure la collision, il y a conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie totale26 : 24 Les indices i et j indiquent qu’il s’agit soit d’une interaction entre des particules de type i et des particules de type j , soit que la particule (atome, molécule, ion) qui subit la collision passe de l’état i à l’état 3 . 25 Ainsi faisant, nous supposons que les particules du plasma sont discernables et peuvent donc être décrites de façon non (quantique, ce qui s’avère correct de façon générale. 26 Le contenu de cette section est un développement de cinématique classique que l’on retrouve, par exemple, dans V.E;. GOLANT et al.

1.7

-

47

PHÉNOMÈNES DE COLLISION DANS LES PLASMAS

p

=; p ,

+ pp = mowa + mpwp = maw: + mpwh E p’

maw; 2

2 +-mow;

-

maw: mgw; 2 2 -

+-

+ A&,

(1.61) (1.62)

où l’accent “prime’’ désigne les grandeurs cinématiques après collision. Le terme d’énergie A& permet de considérer également des collisions inélastiques ; cette quantité représente la variation d’énergie interne des particules à la suite de la collision :

A& = O pour les collisions élastiques A& > O pour les collisions de lèreespèce : excitation et ionisation A& < O pour les collisions de 2ème espèce : désexcitation superélastique I1 faut bien noter que les phénomènes radiatifs (absorption et émission de photons) n’interviennent pas dans le présent contexte. Pour une valeur de A& donnée (on prend les seuils d’énergie d’excitation et d’ionisation publiés), nous avons quatre équations (l’équation (1.61) est vectorielle et l’équation (1.62) scalaire). Comme il faut six composantes pour caractériser complètement les vecteurs vitesse après collision, w: et wh, il reste deux composantes qui ne sont pas déterminées par les lois de conservation (1.61) et (1.62) : ces deux quantités seront fixées par la loi d’interaction régissant le type de collision considéré, compte tenu de la position relative initiale des particules. Nous allons maintenant effectuer un changement de repère afin d’exprimer les grandeurs cinématiques dans le repère du centre de masse en lieu et place de celui du laboratoire. Ceci nous mènera à des expressions faisant davantage ressortir la physique des interactions collisionnelles. VITESSE RELATIVE

DES DEUX PARTICULES ET VITESSE

DE LEUR CENTRE DE MASSE

Par définition, la position ro du centre de masse de deux particules a et p, de positions r , et ro, dans le laboratoire, est donnée par :

(1.63)

d’où :

(1.64)

où wo est la vitesse du centre de masse (CM). Celui-ci est en mouvement unzforme pendant l’interaction puisque l’impulsion totale est conservée (voir équation (1.61)) lors de la collision, et donc : wo = wt, . (1.65)

48

1 - LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

Le fait que le CM soit en mouvement uniforme nous permet d’y décrire le mouvement des particules pendant l’interaction : les vitesses de celles-ci dans ce repère, notées w , ~et W O O , s’obtiennent en faisant wo = O dans (1.64). Ceci conduit à la relation simple suivante : m, (1.66) w p o = --wao, mp qui montre que les vitesses des deux particules sont, avant et après collision, (anti)parallèles dans le repèire du centre de masse. Cette propriété suggère d’introduire leur vitesse relative dans les calculs : w,p

= w, - wp = W,O

- wpo

(1.67)

d’où l’expression des vitesses des particules dans le repère du centre de masse : (1.68) Ces diverses transformations nous permettent d’exprimer complètement le mouvement des particules dans le repère du laboratoire comme la superposition du mouvement rectiligne du CM et du mouvement relatif des particules par rapport à celui-ci. En effet, (1.69) (1.70) Remarque : Comme nous le verrons par la suite, le centre de masse est le repère dans lequel on peut décrire “naturellement” les collisions binaires (sections efficaces, fréquences de collision, libres parcours moyens), le recours à la vitesse relative des particules entrant en collision étant un élément essentiel de cette description.

EXPRESSION DE

LA CONSERVATION DE L’ÉNERGIE TOTALE

EN FONCTION DES SEULES VITESSES RELATIVES

Compte tenu de (1.69:) et (1.70)’ nous pouvons écrire :

où pop est la masse réduite :

pap E

m,mp ma +mg’

et pap wQs /2 l’énergie cinétique liée au mouvement relatif. L’équation de conservation (1.62) s’écrit alors :

(1.72)

1.7 -

P H É N O M È N E S DE COLLISION DANS LES PLASMAS

49

et puisque wo = wb (1.65)’ on aboutit finalement à : PaBW&

-

PnBW’Up

2

2

+ ar.

(1.74)

Seule l’énergie cinétique liée au mouvement relatif peut se transformer en énergie interne : les vitesses individuelles n’interviennent pas en tant que telles dans ce transfert. Cas particulier d’une collision électron-atome L’atome (particule

p ) est

supposé au repos comparativement à l’électron (particule w,. En tenant compte de ce que mp > m,, il vient pap m,, et l’équation (1.74) se réduit finalement à :

a ) : wap = w,- W B

Y

mcu (w: - w:) 2

= arc, = a&,

(1.75)

ce qui signifie que la variation d’énergie interne de l’atome lors d’une collision inélastique est égale à la variation d’énergie cinétique de l’électron, l’énergie cinétique de l’atome restant quasiment inchangée.

VARIATION DE

LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT DES PARTICULES À LA SUITE D’UNE COLLISION ELASTIQUE = O)

Pour la particule

(ar

Q,

par définition :

Ap,

= maw; - m a w ,

=

- m,wao,

(1.76)

ce qui peut (d’après (1.68)) s’exprimer uniquement en fonction de la différence de leurs vitesses relatives avant et après collision27 : (1.77) et en posant : nous obtenons :

w;s

-

w,B

= swap ,

A P , = PaBAWaB,

(1.78) (1.79)

résultat remarquable que nous allons exploiter en développant le vecteur A W , ~dans un repère approprié. Comme nous l’avions souligné au moment de la présentation des équations (1.61) et (1.62)’ deux composantes sur six des vecteurs vitesse après collision dépendent de la loi d’interaction. Ces deux inconnues peuvent s’exprimer, tenant compte de l’orientation relative des vitesses w,p et wLB, au moyen des angles 19 et p tels que définis par la figure 1.8. Dans un système de coordonnées sphériques ( 0 , ~ )p’ est l’angle que fait le plan d’interaction (c’est-à-dire le plan contenant w , ~et w&) avec un plan fixe (quelconque dans l’espace) comprenant W,B. ~

27 Evidemment Ap, = -Apa.

50

1 - L,E

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

Figure 1.8 - Repérage des vitesses relatives avant et après collision, wao et wap, dans un système de coordonnées sphériques lié au centre de masse, avec w , ~dirigé selon l’axe z .

Quant à 8, l’angle entire wap et wko, c’est l’angle de diffusion des particules dans le repère du centre de masse (dans le repère du laboratoire, l’angle de diffusion 8~ est défini par la direction de la vitesse de la particule “incidente” avant et après collision, w, et w0, : voir l’annexe IV). L’angle 8 ne dépend que de la loi de force et du paramètre d’impact (distance de la plus courte approche des deux particules s’il n’y avait pas interaction, figure IV.] de l’annexe IV). Nous allons maintenant projeter A w , ~ sur les trois axes du repère de la figure 1.8 : -

suivant w , ~(axe z du repère choisi) : ( ~ w c y p ) z=

IwaBl cos0

-

IwcYpI

(1.80)

mais lw,pl = I w & du fait de la conservation de l’énergie cinétique (équation (1.74) avec A& = O), d’où : (1.81) ( A w m p ) z = IWapI(COS0 - 1)’ -

suivant les directions perpendiculaires à w,p (axes II: et c/) :

(Aw,,),= Iw,~(sinOcoscp

(1.82)

car la projection de Awap suivant II:, Pr,(Awap), est égale par définition à Pr,(wk,) - PrZ(w,p) où, ici, Pr,(w,p) = O de sorte que : Pr,(Aw,p) de même :

= I ~ ~ ~ l s i n 8 c o= s cIw,pIsinOcoscp, p

( A W , ~ )=~ I w ~ B I sin8sincp.

(1.83) (1.84)

Dans le cas de forces centrales, toutes les valeurs de cp sont statistiquement équiprobables : on dira alors que la diffusion des particules est isotrope (isotropie en 9). De ce fait, pour un nombre suffisant de particules, les valeurs moyennes de cos cp (1.82) et de sincp (1.84) sont nulles, alors : Aw,p = -(1

-

cos0)w,p

,

(1.85)

1.7

-

P H É N O M È N E S DE COLLISION DANS LES PLASMAS

51

d’où, finalement, le développement explicite de la relation (1.79) : (1.86) Cett,e expression de la variation de la quantité de mouvement de la particule Q lors d’une collision élastique avec la particule p fait apparaître une dépendance en (1 - cosO) de l’angle de diffusion O. On notera qu’une faible déviation des trajectoires des particules, û N O, correspond bien à Ap, Y O alors que O = T (toujours dans le repère du centre de masse) représente une collision frontale, entraînant le maximum de variation de la quantité de nioiivement . Cas particulier d’une collision électron-atome L’atome (particule p ) est supposé au repos relativement à l’électron (particule cy) de sorte que wo << UI,, d’où de (1.86) : _ APL2_- -

P,

La particule incidente

cy

mB (1 -cosO) . mB

ma

+

(1.87)

étant beaucoup plus légère que la particule /3, nous avons :

3% = -(1

-

COSO),

(1.88)

P, de sorte que pour û = T , nous obtenons : (1.89)

ou encore :

.

PL = - P ,

(1.90)

Ce résultat correspond, en effet, tout simplement au changement de signe de l’impulsion de la particule incidente lorsque la particule cible demeure immobile (hypothèse rnp N CO) ; c’est la plus grande valeur possible de (Ap,I. VARIATION DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE D ’ U N E PARTICULE

À LA SUITE D’UNE COLLISION ÉLASTIQUE

Dans le cas de la particule

( A € = O)

cy :

(1.91) puisque wo = w0 (1.65). De plus, comme

=

1 - L E MILIEU PLASMA :

52

DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

(voir (1.68))’nous pouvons écrire :

En effet, comme woo = -wag

et puisque wOa = wl& d’après (1.74) avec A € = O, il vient finalement : 12

2

wao = WaO

(1.92)

.

l’expression (1.91) se réduit à

A&ca= mewo . (wLy,, - wa0) = wo . Ap,,

(1.93)

de sorte que, d’après (1.64) et (1.86) :

A&

(1 - COSO) . (w, - wp)

--

(1.94)

et encore :

où la moyenne du produit scalaire wg ‘20, est nulle si toutes les orientations relatives initiales des particules sont possibles avec une même densité de probabilité28. Nous pourrons finalement écrire (toujours dans le repère du centre de masse) :

(1.95)

Remarques : 1. Dans (1.95)’ le terme :

2

mamg

(ma

(1.96)

+mp)2 =

est appelé coeficient de transfert d’énergie. Noter que la valeur moyenne de la différence (1 - cosû:) sur l’ensemble des valeurs de l’angle de diffusion 8 (O à T ) est égale à l’unité. Le coefficient 6 prend la valeur maximale i / 2 pour ma = mg. Pour un électron en collision avec un atome, 6 x 2 m , / M , d’où un très faible transfert d’énergie lors de la collision. Dans ce cas, le maximum de transfert d’énergie de l’électron à l’atome a lieu quand l’atome (particule /3) est supposé au repos comparativement à l’électron et pour un angle de diffusion O = T . La fraction maximum de l’énergie cinétique de l’électron transférée à l’atome est alors :

arc, 4% - -&ce

(1.97)

M ’

le signe moins indiquant un transfert d’énergie de l’électron vers l’atome. 28 Ne pas confondre cette propriété avec celle de l’isotropie en forces centrales.

‘p

des interactions en présence de

1.7 -

P H É N O M È N E S DE COLLISION DANS LES PLASMAS

53

2. Le transfert d’énergie cinétique d’une particule à l’autre est, selon (1.95), proportionnel à la différence d’énergie cinétique entre les deux particules entrant en collision.

3. Exprimées dans le repère du centre de masse, les variations d’énergie cinétique et de quantité de mouvement à la suite d’une collision présentent la même dépendance avec l’angle de diffusion, soit (1- cos O ) : nous utiliserons ce résultat dans la définition de certaines sections efficaces (3 1.7.4).

4.Dans le repère du laboratoire, les relations correspondant à celles que nous venons de dériver sont beaucoup plus complexes. Ainsi, la fraction d’énergie perdue par la particule incidente à la suite d’une collision est donnée par :

=

où r,/p m,/mo (HEALDet WHARTON). On vérifie que, pour m, << mp (soit ralp N O), l’expression (1.98) tend bien vers 2r,/p (1- cos û,~), le repère du laboratoire se confondant alors avec celui du CM (voir aussi annexe IV).

1.7.3. SECTION EFFICACE MICROSCOPIQUE DIFFÉRENTIELLE Dans la pratique, il est impossible de déterminer tous les paramètres cinématiques d’une collision survenant dans le plasma : il y a trop de particules en jeu et leur mouvement, avant collision, est aléatoire. Pour contourner cette difficulté, on utilise une description statistique. Une telle description conduit de façon naturelle à la notion de section efficace. CARACTÉRISATION DE LA DISPERSION ANGULAIRE D ’ U N FAISCEAU MONOCINÉTIQUE DE PARTICULES PAR U N CENTRE DIFFUSEUR

Repère du laboratoire

Soit un faisceau monocinétique de particules incidentes sur un centre diffuseur unique au repos (figure 1.9)29.Le flux de ces particules de vitesse w est donné par I’ = nw où n est leur nombre par unité de volume : c’est un nombre de particules par unité de surface et par seconde. Comme le suggère la figure 1.9, le nombre de particules dNd/dt déviées par le centre diffuseur, par unité de temps et dans l’angle solide élémentaire dR(OL,cp), est : ~

~

proportionnel à l’angle solide dR où dR = sinOLdûLdp dans le cas d’un repère de coordonnées sphériques, proportionnel au flux I’ de particules incidentes,

29 C’est une description idéalisée que d’isoler une particule comme cible unique et, de plus, de la prétendre au repos.

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

54 I

o

7

w

I

Flux j de particules I I

I I

Figure 1.9 - Flux incident de particules de vitesse w déviées par un centre diffuseur initialement au repos au point O (repère du laboratoire).

de sorte que nous poserons : (1.99) où le facteur de proportionnalité, â, appelé section eficace microscopique différentielle de diffusion dépend de BL et, sauf exeption3’, du module w de la vitesse des particules.

Notons que 6 possède les unités d’une surface (cm2 dans le cas présent), comme le montre l’analyse dimensionnelle du membre de gauche et du membre de droite de (1.99) : dNd dt

G

âlI’ldb2

5

~.

nombre de particules (diffusées)/s

6

[

1

,

nombre de particules [sans unité] cm2s

.

Du point de vue du sens physique, 6 ne représente pas la surface réelle du centre diffuseur, mais plutôt celle que “voient”, suivant leur vitesse par exemple, les particules incidentes, d’où le terme de surface effective ou efficace : plus sa valeur est grande, plus l’interaction est probable. Repère du centre de masse La situation décrite prkcédemment convient parfaitement au cas d’un faisceau d’électrons dirigé sur un atome (centre diffuseur) supposé au repos comparativement aux électrons. 30 Dans le modèle dit de “boule de billard” où les particules sont supposées être des sphères indéformables, les sections efficaces ne dépendent pas de la vitesse de particules (voir exercice 1.10).

1.7 -

PHÉNOMÈNES DE COLLISION DANS LES PLASMAS

I I

55

Flux de particules

Figure 1.10 - Description dans le centre de masse du flux incident de particules cy de vitesse wadéviées par un centre diffuseur p initialement au repos au point O (wa = O) dans le repère du laboratoire. La vitesse relative wap avant collision, identique dans les deux repères, vaut donc, dans le cas présent, web = wa.

Compte tenu de la faible masse de l’électron, la description dans le centre de masse se confond d’ailleurs avec celle dans le repère du laboratoire (annexe IV). Dans le cas général, cependant, l’étude des collisions binaires (3 1.7.2) gagne à être effectuée directement dans le centre de masse. En effet, la description des collisions y est plus simple (par exemple, un seul angle, 8, suffit pour caractériser la diffusion des particules alors qu’il faut faire intervenir les angles 8 , ~ et $ 0 dans ~ le repère du laboratoire, voir annexe IV) et plus générale (par exemple, la dépendance des vitesses individuelles est remplacée, dans le centre de masse, par la vitesse relative (en module) des particules avant et après collisions). Reprenons, cette fois dans le centre de masse (figure l . l O ) , le cas précédent d’un faisceau monocinétique de particules a de vitesse w, et un centre diffuseur de vitesse initiale W B = O (repère du l a b ~ r a t o i r e )La ~ ~vitesse . w, étant égale à la vitesse relative w , ~ ,le flux de ces particules dans le centre de masse est I? = n w , ~ . Le nombre de particules déviées par le centre diffuseur dans le centre de masse s’exprime de façon analogue à (1.99) : dNd (1.100) - = 6(w,p,û)lIJdR dt où 6 dépend à l’évidence de w , ~ , le module de la vitesse relative des particules a et p. La relation ainsi obtenue est d’iine portée tout à fait générale, précisément parce que le repère est celui du centre de masse. Remarque : La section efficace différentielle peut s’exprimer non seulement en fonction de la vitesse was, mais aussi de l’énergie cinétique :maw: de la particule inci31 Bien noter que dans le centre de masse, le centre diffuseur, de façon générale, n’est jamais au repos ( t u p 0 # O, voir (1.68)).

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

56

dente (si la particule p est initialement au repos) ou en fonction de l’énergie cinétique papw&/2 liée au mouvement relatif (1.71). Dans le cas des électrons, on a pap cz me, de telle sorte que l’énergie liée au mouvement relatif : (1.101) est égale à l’énergie cinétique des électrons.

EXEMPLE DE

MESURE D’UNE SECTION EFFICACE DIFFËRENTIELLE

La figure 1.11 présente le schéma d’un dispositif servant à déterminer la dépendance angulaire de la diffusion d’un faisceau d’électrons par un gaz. La figure 1.12 donne le résultat d’une telle mesure dans le cas de la diffusion élastique, par des atomes de néon, d’un faisceau d’dectrons de différentes valeurs d’énergie. Le courant obtenu en fonction de l’angle de (diffusion8 est proportionnel à la section efficace différentielle. Courant électronique collecté suivant l’angle

-

Filament émissif d’électrons -

Figure 1.11 - Dispositif de mesure de la section efficace différentielle de collisions élastiques d’électrons avec un gaz (d’après 121).

Remarques : 1. Dans la mesure où le flux incident est suffisamment uniforme et monocinétique, la distribution angulaire des particules diffusées reflète simplement la loi de force entre les particules incidentes et la particule diffusante à cette énergie.

Dans le cas d’une interaction coulombienne, par exemple, nous avons (diffusion de RUTHERFORD, voir annexe V) : (1.102) 2. En se rappelant que ï est un flux, la relation (1.100) permet de voir âdR comme l’élément de surface qui, traversé par ce flux, conduit à dNd/dt. Cette surface

1.7 - PHÉNOMÈNES DE

57

COLLISION DANS LES PLASMAS

“efficace” de capture des particules diffusées varie avec w , ~et 8, comme le montre la figure 1.12. Elle correspond à une valeur plus ou moins grande, selon w , ~et 8, de la surface géométrique du centre diffuseur (figure 1.10).

3. Un faisceau incident monocinétique d’électrons peut se représenter de façon quantique par une onde plane monochromatique, partiellement dispersée par la particulecible lors de l’interaction. 4. Certains auteurs choisissent de définir la section efficace différentielle comme ô-dR plutôt que ô-. Par ailleurs, on pourrait également noter notre ô- comme étant dô-’/dR afin d’insister sur le caractère différentiel de cette section efficace. 1,0

O, 8

. +a

4

0,6

O

42

d

5

6

0,4

O, 2

O, 0 O0

45O

goo Angle de diffusion

135’

180’

Figure 1.12 - Courant collecté (section efficace différentielle non normalisée) dans le cas de la diffusion élastique par des atomes de néon d’un faisceau d’électrons de différentes énergies (d’après 121).

1.7.4. SECTION EFFICACE MICROSCOPIQUE INTÉGRÉE (TOTALE) La section efficace microscopique (diffusion par une seule cible) totale (intégrée suivant toutes les valeurs de l’angle de diffusion) de collision s’obtient par l’intégration de 6 suivant dR ; d’où, en supposant la diffusion isotrope en p :

ô - t c ( ~ , ~= ) 27r

1

ô - ( w a ~0), sin6 dû .

O

(1.103)

1 - LE

58

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

La section efficace totale (1.103) est souvent divergente (c’est le cas notamment de la diffusion de RUTHERFORD3’). Notons, de plus, que la valeur de etc comptabilise le nombre de particules diffusées mais ne rend pas correctement compte de la quantité de mouvement échangée : en effet, une collision en O = 7r aura une contribution nulle alors qu’elle sera importante en O = n / 2 , par exemple, bien que le changement de quantité de mouvement soit en vérité maximum en O = 7r. Pour caractériser le transfert de quantité de mouvement, on utilisera plutôt la relation suivante33 :

ôtm(wcYp) = 27r

1

â(wcYo,O)(i-cosH)sinOdO .

(1.104)

O

La pondération introduite par le facteur (1 - cos0) tient, en effet, davantage compte de l’influence de l’angle de diffusion dans l’échange de quantité de mouvement entre particules (0 1.7.2) lors des collisions ; ainsi, elle fait presque disparaître la contribution à l’intégrale (1.104) des diffusions survenant à O N O. L’intégrale (1.104) converge pour les collisions électron-neutre, ion-neutre mais diverge toujours pour l’interaction coulombienne (annexe V) ; cette divergence vient d’une grande contribution des collisions lointaines, interactions très faibles en termes de transfert d’énergie ( O 25 O). Ces interactions n’ont cependant pas de sens physique audelà de la longueur de DEBYE(à cause de l’effet d’écran électrostatique), et il suffit donc d’arrêter l’intégration lorsque le paramètre d’impact devient plus grand que la longueur de DEBYE(annexe V). Remarques :

On désignera par ât.ctoute section efficace microscopique totale en général, 2 pouvant notamment être c ou m. Les sections efficace:, microscopiques s’expriment le plus souvent en unités de 7rai = 0,88 x 10W16cm2où a0 est le rayon de la première orbite de l’atome d’hydrogène de BOHR. Bien que pour définir la notion de section efficace, nous ayons considéré une interaction en apparence élastique, comme nous l’avons dit plus haut en remarque (0 1.7.1)’ nous pouvons avoir recours à la notion de section efficace pour caractériser tout type d’interaction binaire : transfert de charge, excitation, désexcitation collisionnelle.. .

1.7.5. S E C T I O N

E;FFICACE MACROSCOPIQUE TOTALE

Nous venons de définir la section efficace microscopique où nous avons supposé l’existence d’un centre diffuseur unique, ce qui n’est pas vraiment réaliste, mais nécessaire 32 Dans le cas de collisions coulombiennes, & ( O ) est proportionnelle à sinp4(û/2) (voir remarque 1 de la section précédente) et l’intégrale (1.103) va diverger en O = O. Ceci signifie que pour O -t O , il y a une très grande probabilité d’observer de petites déflexions. 33 Se rappeler que, pour deux particules de masse réduite bLapet de vitesse relative donnée, le terme (1 - cos 0) caractérise l’importance de la quantité de mouvement échangée lors d’une collision (équation (1.86)).

1.7

-

59

PHÉNOMÈNES DE COLLISION DANS LES PLASMAS

pour introduire la notion de section efficace qui n’a de sens physique qu’au niveau microscopique. Mesurer une section efficace implique, en effet, de considérer un flux incident sur un très grand nombre de centres diffuseurs par unité de volume. Ceci nous conduit à définir la section efficace dite macroscopique, expérimentalement mesurablc, de laquelle se déduit la section efficace microscopique correspondante. Dans ce qui suit, nous allons établir l’expression reliant les sections efficaces microscopiques et macroscopiques totales, à partir du formalisme développé pour la section efficace microscopique totale ( 5 1.7.4). Considérons un faisceau de particules de flux I’ = nw,incident sur un milieu semiinfini (en y et 2 ) contenant cette fois non pas un, mais N centres diffuseurs par unité de volume que nous allons supposer au repos. Nous voulons calculer ce qui reste du flux incident après la traversée d’une longueur z de ce milieii en supposant qiie la section efficace microscopique totale nous est donnée. II est possible de schématiser le problème de la façon suivante (voir figure 1.13) :

N : densité des centres diffuseurs

A : surface de la tranche considérée dont l’épaisseur est d z , ce qui fait qiie NAdz est le nombre de centres diffuseurs dans la tranche et (NAdz) ât, leur siirface efficace totale.

Figure 1.13 - Flux î de particules incident sur un élément de volume, d’épaisseur d z et de surface A, contenant N particules-cibles par unité de voliirne.

* dx

La fraction du flux intercepté par les centres diffuseurs de la tranche d’épaisseur dx est +gale au rapport de la surface efficace totale à la surface A de la tranche, soit : (1.105)

d’oii, après i n t é g r a h n entre z = O et z avec r ( z = 0)

avec :

=î

o :

r(z) = roexp ( - ~ e ~ , z=)roe x p ( - ~ , z ) .

(1.106)

N e t , = P,

(1.107)

où P, est la section e&cace macroscopique totale correspondante. Ainsi, lorsque l’indice z z e, P, représcnte la section efficace totale de simple collision :

P, = Net,

(1.108)

m réfère à la section efficace totale pour le transfert, de quantité de alors que z mouvement : (I.109) P, Net, . 1

60

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

D’après (1.107), P, s’exprime34en cm-l. Par ailleurs, P, représente la probabilité de collision par unité de longueur. Pour le montrer, considérons l’expression (1.105) :

( N âtZA) - dx

-

A

surface efficace totale des centres diffuseurs s u i une tranche d’épaisseur d z surface de la tranche probabilité de collision s u i une distance ds

RELATION ENTRE Pz ET

(1.110)

SA VALEUR STANDARD

Par convention, les valeurs de P, publiées sont données à la pression de 1 torr et à 0”C, valeurs que l’on note P,o :

p,, = No

(1.111)

âtz

où No est la densité dles cibles à 1 torr, 0 “C ( 3 , 5 3 7 7 ~ 1 0atomes ~ ~ ou molécules par cm3). Connaissant P,[,, nous voudrions calculer P, à une température Tc ( O C ) et à une pression p (torr) quelconques. Soit N , la densité des cibles à ces valeurs de TC et de p . Par définition : P,

VALEUR DE

P,

N N = N st, = -(No etz)= -P,o. NO

NO

(1.112)

À U N E PRESSION ET À U N E TEMPERATURE QUELCONQUES

I1 serait utile de remplacer le rapport N I N O de (1.112) par une expression faisant intervenir directement p (exprimée en torr) et T c , paramètres plus facilement mesurables. En recourant à la loi des gaz parfaits, nous avons N = ~ / ( I C B T K et )No = l/(kg x 273), d’où : N - p x 273 - p x 273 (1.113) No TK 273 + Tc ’ les indices K et c désignant respectivement des températures exprimées en kelvin et en degrés CELSIUS. Par convention :

N -= P o ,

(1.114) NO où p o l la pression réduite (noter qu’il s’agit d’une quantité sans unité, donc pas vraiment une pression), a pour expression d’après (1.113) : Po =

p x 273 273+Tc’

(1.115)

et nous vérifions que pour p = 1 torr et Tc = 0 O C , nous avons bien po = 1 (sans unité), de sorte que nous pouvons écrire de façon pratique ((1.112) et (1.114)) :

34 D’après le Système Inl,ernational, il serait plus correct d’exprimer la densité des particules en m-3, mais le cmP3 est bien établi comme unité pratique. C’est ce qui entraîne que la section efficace microscopique s’exprime en cm2 et la section efficace macroscopique en crn-’.

1.7 -

61

P H É N O M È N E SD E COLLISION DANS LES PLASMAS

Le flux de particules n’ayant subi aucune collision sur une distance x dans le plasma (relation (1.106))’ s’exprime maintenant à l’aide de la section efficace macroscopique aux conditions standard et de la pression réduite sous la forme :

r(x)= I’oexp(-mPzOz). EXEMPLES DE

(1.117)

SECTIONS EFFICACES

La figure 1.14 compare, dans le cas de collisions élastiques électron-neutre, la section efficace macroscopique pour le transfert de quantité de mouvement P, et la section efficace de simple collision P, (qui ne tient pas compte de l’échange énergétique) dans des décharges de trois gaz rares. De façon générale, nous constatons que P, > P, (l’allure de ces sections efficaces étant plus amplement discutée en 5 1.7.8). Noter que les sections efficaces sont, dans ces exemples, exprimées en fonction de l’énergie des particules incidentes plutôt qu’en fonction de leur vitesse. Remarque : La section efficace macroscopique de simple collision P, s’obtient directement par la mesure de l’atténuation du faisceau d’électrons (relation (1.106)) : la valeur de P, ne tient aucunement compte de la quantité de mouvement transférée, ne faisant que rendre compte du nombre total de collisions ayant eu lieu. Par contre, la section efficace macroscopique de transfert de quantité de mouvement P, se détermine à partir de l’intégration sur 8 suivant la relation (1.104) de la section efficace (macroscopique) différentielle mesurée expérimentalement, par exemple celle de la figure 1.12. On peut en déduire la section efficace différentielle microscopique en normalisant, cette dernière de façon adéquate. Ne

He

Ar

100

25 20

20

7 I

I

I

I

I h

6 80

24

7

a

u

a (O

i

‘E 15

18

60

3 v

0

v

.cc

E

10

1 2 .b

340

u

G 5

6

20 I

I

I

I

I

n

Figure 1.14 - Sections efficaces de collisions élastiques électron-atome neutre de trois gaz rares. Les valeurs des sections efficaces macroscopiques, P, (simple collision : pointillé) et P, (transfert de quantité de mouvement : trait plein) sont exprimées en cm-’ alors que les valeurs correspondantes de sections efficaces microscopiques 1952). le sont en cm2 (d’après MASSEYet BURHOP,

62

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

1.7.6. EXPRESSION DE LA TEMPERATURE D’UN PLASMA EN ÉLECTRON-VOLT

La température T caractérisant la distribution de MAXWELL-BOLTZMANN des particules s’exprime normalement en kelvin (K). Cependant, en physique des plasmas, on indique volontiers la température en électron-volt, T,v, c’est-à-dire en unités d’énergie! On passe d’ailleurs, directement, de T à T,v par la relation kBT/e = T,v où ICB = 1,38 x J K p l e t e = 1,6 x lop1’ C. I1 faut cependant noter que, ce faisant, Te” ne represente que les 2/3 de l’énergie moyenne des particules du plasma puisque . pour Te” = 1 eV, la température en kelvin est celle-ci est donnée par i k ~ TAinsi, d’environ 11600 pour une énergie moyenne, en réalité, de 1,5 eV. Cette convention permet, entre autres, une estimation rapide35 des valeurs prises par les différentes seciions efficaces intervenant dans les processus collisionnels. Nous allons le montrer en nous appuyant sur le cas de collisions electroniques.

VITESSE D’UN ELECTRON

DOTÉ D’UNE ÉNERGIE DE

1 eV

La vitesse d’un élect,ion accéléré suivant la direction 2, à partir de sa position au repos, par une différence de potentiel U , s’obtient de l’expression : (1.118)

(Z)

1 p

où :

w, =

(1.119)

Pour U = 1 V, l’électron a acquis une énergie de 1 electron-volt (1,6~10-” J) correspondant à une vitesse : W, = 5,93 x 10~114s. (1.120) La relation (1.119) demeure vraie pour un faisceau d’électrons pourvu qu’il soit monocinétiqiie.

ESTIMATION DE

LA. VALEUR D ’ U N E SECTION EFFICACE DANS U N PLASMA

Dans un plasma, le mouvement des électrons a lieu suivant les 3 directions de l’espace et non selon une seule direction, comme c’est le cas lors de la mesure d’une section efficace. Si l’on veut néanmoins estimer la valeur prise par une section efficace dans un plasma donné, on peut imaginer qu’on a affaire à un faisceau “élargi” d’électrons de vitesse centrale utla,vitesse la plils probable des électrons du plasma (annexe I). La relation im,u$ = ~ B T ,qui , exprime l’énergie cinétique la plus probable de l’électron, confirme l’intérét d’utiliser la relation T,v = kBT,/e pour obtenir une bonne approximation de la valeur de la section efficace exprimée en fonction de l’énergie plutôt que de la vitesse. 35 La section efficace évaluée à l’énergie T,v ne donne qu’une valeur approximative, par exemple, de la fréquence de collision moyenne ( 3 1.7.8) : la valeur exacte s’obtiendrait en pratiquant l’intégration de cett,e :section efficace sur la fonction de distribution en énergie des particules.

1.7

-

PHÉNOMÈNES DE COLLISION DANS LES PLASMAS

63

1.7.7. FRÉQUENCE D E COLLISION ET LIBRE PARCOURS PROBABLE ENTRE DEUX COLLISIONS FRÉQUENCE DE COLLISION

Pour un faisceau monocinétique de particules de vitesse w , la distance parcourue par celles-ci en un temps t est II: = w t , ce qui permet d’écrire la relation (1.117) où I? = n w sous la forme : (1.121) n ( t ) = n(O)exp [-(PoPxow)tl.

n ( t )étant la densité des particules du faisceau au temps t et n(O),sa valeur à t = O. Le temps caractéristique de l’exponentielle (1.121) : (1.122) représente le temps mis par le faisceau pour décroître, du fait des collisions subies, à l / e (e étant ici la base du logarithme népérien) de sa valeur initiale de densité. Pour définir la fréquence de collision, remarquons de (1.121) que : (1.123) et posons

7

= vil, alors :

dn at

--

-uxn

(1.124)

où dn/dt représente le nombre de particules incidentes qui quittent le faisceau, par unité de volume et par seconde; d n l d t est aussi le nombre total de collisions par seconde et par unité de volume subies par les particules incidentes. En divisant d n l d t par n, il ressort de (1.124) que ux est le nombre de collisions par seconde et par particule incidente (indice II: = c : simple collision ; IC = m : collision pour le transfert de quantité de mouvement), c’est-à-dire la fréquence de collision d’une particule. Par identification, de (1.122), (1.123) et (1.124) nous oht,enons, pour iin faisccau dc particules de vitesse w incident sur des cibles au repos :

Pour des électrons incidents dont l’énergie est exprimée en eV, eU E UeV,nous avons l’expression numérique : (1.126) Remarque : Notons que u, désigne la fréquence de collision pour une vitesse donnée des particules incidentes ; seule la fréquence moyenne (définie à la section suivante) représente correctement le nombre de collisions par seconde dans un milieu où existc une distribution de vitesses.

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

64

LIBRE PARCOURS

ENTRE DEUX COLLISIONS

Compte tenu de la signification de v,, T apparaît comme le temps entre deux collisions, de sorte que le libre parcours probable entre deux collisions, est manifestement :

e,,

e,

W

= wr = -

.

(1.127)

VX

Des équations (1.125:l et (1.127), nous tirons :

e,=-

1 POPZ0

-

-.

1

Net,

(1.128)

Nous aurions pu arriver directement à ce résultat en nous rappelant (1.110) que P, p o P , ~est la probabilité de collision d’une particule incidente par unité de longueur (ici 1 cm).

=

Sachant que T est aussi le temps nécessaire pour que le nombre de particules du faisceau tombe à i / e ‘de sa valeur initiale, e, est alors la distance que doit traverser le faisceau pour que son flux diminue à l / e de sa valeur initiale par suite de collisions !

1.7.8. F R É Q U E N C E MOYENNE DE COLLISION ET LIBRE PARCOURS MOYEN FRÉQUENCE MOYENNE DE COLLISION

En général, quelles que soient les interactions qu’elles représentent, les sections efficaces varient, parfois beaucoup, en fonction de l’énergie des particules incidentes.

A titre d’exemple, considérons la section efficace de collisions élastiques électronneutre dans les gaz rares de masse élevée comme l’argon (figure 1.14). Pour ce gaz (comme pour le krypton et le xénon), la valeur de l’énergie de l’électron influe beaucoup sur la probabilité de collision; ainsi, on note l’existence d’un minimum très prononcé de P, pour une énergie d’un peu moins de 1 eV : c’est le minimum dit de RAMSAUER, un effet purement quantique résultant de la diffraction de la fonction d’onde de l’électron incident sur les électrons périphériques de l’atome cible, avec interférence destructive (minimum) ou constructive (maximum) après interaction. Pour un électron incident ayant une énergie U e v de 1 eV, la longueur d’onde de DE BROGLIE est voisine du diamètre de l’atome, d’où sa diffraction. Par ailleurs, pour U e v + CO, on constate que Û t , + 0 parce que le temps de mise en présence des particules tend alors vers zéro (pour donner une image de cette faible probabilité d’interaction, considérer le cas d’une voiture brûlant un feu rouge à un carrefour avec une vitesse extrêmement grande : la probabilité qu’un accident ait lieu est relativement faible). Les particules dans un plasma ne sont pas monocinétiques, leur vitesse w obéissant à une distribution f ( w ) . Sachant que la section efficace Û t , varie avec w , comment, dans ces conditions, définir une fréquence de collision représentative de ce qui se passe dans le plasma? I1 faut dans ce cas considérer la fréquence moyenne ( v z ) définie par :

1.7

-

65

PHÉNOMÈNESDE COLLISION DANS LES PLASMAS

(1.129) W

En effet, alors que pour une particule incidente de vitesse w ,nous avons u, = Nât,w (1.125), pour l’ensemble des particules incidentes dont la vitesse est dans l’intervalle (w, w +dut), le nombre total de collisions par seconde est u, f (w) dw . Le dénominateur de (1.129) correspond à la densité des particules incidentes, toutes vitesses confondues (condition de normalisation (1.4)). L’expression (1.129) peut également s’écrire de façon simplifiée : ( 4 )= N(ô-tz(w)w), (1.130)

où les crochets représentent symboliquement une intégration sur la fonction de distribution (en vitesse ou en énergie) des particules. Exemple : Dans un plasma d’argon de température électronique T,v = 4 eV (hypothèse d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN), 21th = 1,19 x l o 6 ms-’ ((w) = 1,34 x lo6 ms-l), l’intégration de la distribution de MAXWELL-BOLTZMANN sur la section efficace de transfert de quantité de mouvement électron-neutre (figure 1.14) donne (O,) = 4 x lo9 s-l à 1 torr, 0 O C . A 0,I torr et O O C , nous aurons, évidemment, ( V m ) = 4 x 10’ s-l ! Dans ce qui suit et pour alléger l’écriture, u désignera la valeur moyenne de la fréquence des collisions électroniques pour le transfert de quantité de mouvement et u, celle des simples collisions (liée à et,). Nous venons de définir la fréquence moyenne de collisions des particules d’un plasma obéissant à une distribution f (w) avec d’autres particules supposées initialement au repos (1.130). Dans le cas le plus général qui soit de collisions entre particules a et particules /3 (en mouvement toutes deux) et corrélées entre elles (3 3.2), l’expression de la fréquence moyenne de collision, ( u , ~ ) ,s’écrit dans le centre de masse :

J’ J’

âaB(1Wcy - WpI)IWcy -

w/?lf,/?(Wn,wp) dwcydwL3

WO

(un/?)=

J’

1

(1.131)

f a ( w a ) dw,

W O

où la fonction f,p(w,, wp)est une fonction de distribution double sur les vitesses w, et wp exprimant une interaction binaire avec corrélation (9 3.2). Noter la présence explicite du module de la vitesse relative des deux particules, une caractéristique de la description dans le centre de masse. Le dénominateur de (1.131) correspond à la densité des particules incidentes a , toutes vitesses confondues. L’expression (1.131) est bien une généralisation de la relation (1.129). En l’absence de corrélation entre particules (9 3.2), on peut remplacer la fonction double par deux fonctions simples en posant f,p(wn, W B ) = fa(wa)fp(wp), de telle sorte que :

66

1- LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

La valeur moyenne ( v a B ) peut s’écrire

où les crochet,s représentent symboliquement une intégration sur les fonctions de distribution (en vitesse ou en énergie) des particules Q et /3. On constate, ici aussi, que l’expression (1.133) e,st une généralisation de la fréquence ( v z )donnée par (1.130).

LIBRE PARCOURS

MOYEN

En suivant une démarche analogue à celle ayant permis de définir ( v a s ) ,le libre parcours moyen des particules a pour les collisions avec les particules ,B peut s’exprimer, dans le cas le plus général, comme la valeur moyenne du quotient de la vitesse de la particule Q sur la fréquence de collision v,p, soit : (1.134)

En reprenant l’exemple numérique précédent (T,v = 4 eV à 0 , l torr, O°C dans l’argon), on obtient un libre parcours moyen des électrons E 3 mm. Dorénavant, le libre parcours moyen des électrons pour le transfert de quantité de mouvement sera noté e.

(e,)

1.7.9. EXEMPLES D E SECTIONS EFFICACES COLLISIONNELLES Dans la section précédente, pour fixer les idées, nous avions raisonné à partir de collisions électron-neutre de type élastique. Comme nous l’avons déjà fait remarquer, la notion de section efficace est plus générale. Dans ce qui suit, nous allons considérer le cas de collisions électron-neutre inélastiques (ionisation, excitation, dissociation) et celui de collisions ion-neutre élastiques et inélastiques (transfert de charge).

COLLISIONS ÉLECTRON-NEUTRE CONDUISANT (MOLÉCULE)

À L’IONISATION D’UN ATOME

Dans les plasmas de laboratoire, l’ionisation d’un gaz est généralement obtenue par impacts électroniques. L’ionisation par collisions atome-atome est, en effet, peu probable dans des plasmas entretenus à des pressions ne dépassant pas quelques atmosphères. Si l’on considère un atome d’argon, son ionisation par étapes, passant par le relais d’un état metastable, cas le plus favorable, nécessite au minimum 11.5 eV

1.7

-

PHÉNOMÈNES DE COLLISION DANS LES PLASMAS

67

(annexe VI). Ainsi, en supposant une distribution en énergie des particules de type MAXWELL-BOLTZMANN, il faudrait que les atomes incidents les plus chauds atteignent une température de plus de 100 O00 K , ce qui n’est pas réaliste pour des plasmas de laboratoire.

La section efficace d’ionisation par collisions électron-neutre possède généralement les caractéristiques suivantes (figure 1.15) : m un seuil très précis d’énergie, E,, au-dessous duquel la section efficace est nulle. Pour les atomes, ce seuil d’ionisation correspond au potentiel d’ionisation. Pour les molécules, plusieurs seuils d’ionisation coexistent (ionisation dissociative et non dissociative). ~

-

à partir du seuil d’énergie ri, croissance (presque) linéaire de la section efficace en fonction de l’énergie Uev de l ’ é l e ~ t , r o n ~ ~ ,

puis passage de la section efficace par un maximurri pour une énergie €m suivi d’une lente diminution.

Figure 1.15 Forme générale d’une section efficace d’ionisation par collisions électronneutre . ~

La droite tiretée sur la figure 1.15, de pente a,, tracée à partir du seuil d’energie E, de la section efficace, montre que l’expression :

p, = a,(Uev

-

E * ) , pour uev

est une bonne approximation de la portion initiale efficace d’ionisation.

COLLISIONS ÉLECTRON-NEUTRE ( MOLÉCULE)

CONDUISANT

2 EL , (€, < Uer; < E m )

A

(1.135)

de la section

L’EXCITATION D’UN ATOME

Comme pour l’ionisation, il existe un seuil d’énergie €, en dessous duquel la section efficace d’excitation est nulle. Sa croissance à partir de €, est plutôt linéaire avant de passer par un maximum, comme cela est representé bur la figure 1.16. 36 Les particules-cible n’ktant pas forcément au repos, il est plus correct de parler de leur énergie (vitesse) relative au moment de la collision. Dans le cas d’interactions électron-neutre, cette distinction est ghéralcment négligeable au-delà d’une fraction d’électron-volt dans la niesure où le gaz n’est pas très chaud (voir aussi la remarque 2 à la fin de cette section).

1 - LE

68

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

-.

pJkle Figure 1.16 - Forme générale de la section efficace d’excitation de l’état j par collisions électron-neutre.

ue v

E,

COLLISIONS ELECTRON-NEUTRE MOLECULE

CONDUISANT À LA DISSOCIATION D’UNE

Là encore, il existe un seuil d’énergie &d en dessous duquel la section efficace est nulle. Pour une molécule complexe, plusieurs seuils de dissociation peuvent coexister, chaque seuil de dissociation étant, de manière générale, plus élevé que l’énergie de dissociation correspondante.

COLLISIONS ÉLASTIQUES ION-ATOME Les sections efficaces de diffusion d’ions par leurs propres atomes (molécules) ont toutes la même allure : l’interaction est plus probable à faible vitesse. La figure 1.17 montre, à titre d’exemple, le cas de différents ions hydrogène incidents sur des molécules H2 après avoir été accélérés par une différence de potentiel U . 180 140 120

,--.100

i

I

E

O

80

v

60 40 20

O

2

O

4

6

8

10

12

m Figure 1.17 Section efficace de collisions élastiques de différents ions hydrogène d’énergie eU avec Hz (d’après [3] et [4]) ~

1.7

-

69

P H É N O M È N E SDE COLLISION DANS LES PLASMAS

COLLISIONS MENANT

À UN TRANSFERT DE CHARGE

Soit un ion atomique ou moléculaire A+ et un atome ou une molécule B. Lors de leur interaction, il y a échange d’un électron, ce qui donne lieu à la réaction37 :

A++B+A+B+.

(1.136)

Un cas intéressant est celui dit du transfert résonnant (A = B) où un ion atomique entre en collision avec son propre atome. La figure 1.18 montre qu’alors la section efficace (notée t ) atteint sa plus grande valeur à très faible énergie (règle générale). 150

I

I

I

I

I

I

I

1

100 h i

I

E

O

v

50

O O

5

10

15

20

m

Figure 1.18 - Section efficace de transfert de charge (indice z = t ) et de collision élastique (indice z = e ) entre un atome d’hélium et son ion d’énergie eu, et section efficace totale résultante (z = 7‘) (d’après [5], avec la permission de 1’American Institute of Physics).

Pour fins de comparaison, l’interaction élastique de l’ion A+ avec l’atome A est également représentée : la valeur de sa section efficace de diffusion (notée e) est toujours d’une valeur inférieure à celle du transfert résonnant ; la différence est grande, par exemple, pour l’hélium et le néon, mais faible pour l’argon [SI.

COLLISIONS ATOME-ATOME Difficiles à déterminer expérimentalement car il s’agit d’une interaction entre particules neutres, ces sections efficaces peuvent se calculer à partir d’expressions analytiques du potentiel d’interaction entre les deux atomes. Elles permettent de déterminer la conductivité thermique du gaz. Ce type d’interaction peut être décrit, à titre d’exemple, par le potentiel modèle de LENNARD-JONES représenté sur la figure 1.19 : 37 I1 s’agit d’une interaction inélastique : l’énergie interne de l’atome (molécule) se trouve modifiée en perdant ou récupérant un électron.

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

70

le premier terme représente le potentiel répulsif lorsque les deux particules entrent suffisamment en contact et le second, le potentiel attractif à grande distance, TO étant la valeur de T (distance internucléaire) pour laquelle q 5 ( ~ )= O et C J ’ la profondeur du puit,s de potentiel at tractif.

4

L partie répulsive

7

Figure 1.19 Potentiel de LENNARDJ O N E S modélisant l’interaction atomeatlome. ~

partie attractive (VANDER WALLS)

Remarques :

1. Dans le cas de l’excitation et de l’ionisation par collision électronique, la quantité d’énergie prise à l’électron et transformée en énergie interne de l’atome est quantifiée, quelle que soit l’énergie de l’électron au moment de l’interaction : l’énergie de l’électron après collision est son énergie initiale d t laquelle il faut soustraire l’énergie-seuil du niveau excité (expérience de FRANCK et HERTZ,1914). 2 . Coefficient de réaction : définition et expression générale

Soit une réaction quelconque, représentée symboliquement par

AfB

_j

AB

:

C +D.

où A et B sont, les particules avant collision, et C et D après collision. Sa probabilité de réalisation se caractérise par un coeficient de réaction (exprimé à O O C , 1 torr) donné par l’expre,;‘sion : 1’

où WAB = IWA - WBI est le modiile de la différence des vitesses avant collision (voir exercice 1.9 et note 36 de bas de page). Cette relation nous permet de généraliser la fréquence de collision définie plus haut (1.133).De la relation (1.137), nous pouvons obtenir le nombre de fois par seconde qu’une particule de type A interagit avec les particules de type B en multipliant AB par la densité NB des atonies (molécules) B, ce qui revient 2t considérer les particules B comme des “cibles”. 3 . Equation hydrodynamique du mouvement et nature du terme collisionnel Considérons un plasma faiblement ionisé (collisions électron-neutre majoritaires) soumis à un champ électrique oscillant EOexp(iwt) dont la frequence est suffisamment élevee pour irn négliger l’effet sur le mouvement des ions. Supposons de plus

1.8

-

P E R T E E T CRÉATION DES PARTICULES CHARGÉES

71

que la vitesse d’agitation thermique de l’électron est négligeable devant sa vitesse due au champ H F (hypothèse du plasma froid). Ces considérations mènent à l’équation du mouvement de l’électron dans le champ H F (à une dimension)38 :

me

dz5 dx = -eEo exp(iwt) - um, dt2 at

~

(1.138)

Le terme um,dx/dt étant de la nature d’une force, vm,vdt représente alors une variation de quantité de mouvement pendant dt et u m e v , sa variation par seconde ; par ailleurs, l’analyse dimensionnelle montre que u est un nombre par seconde. Dans ce contexte, le terme -vm,(dz/dt) E -up, représente le nombre de fois par seconde que l’électron perd sa quantité de mouvement propre. La fréquence u apparaît alors comme la fréquence (moyenne) de collision pour le transfert de quantité de mouvement de l’électron vers l’atome (ion). La solution de l’équation différentielle (1.138) donne comme amplitude (complexe) du mouvement de l’électron dans le champ H F : eE0 (1.139) 20 = m,w(w - i u ) ’ où l’on note que u possède les mêmes unités que la pulsation w du champ électrique.

Dans l’équation (1.138)’v m , apparaît conirne le coefficient hydrodynamique classique de viscosité généralement supposé indépendant de la vitesse des particules. L’influence des ions et des atomes sur le mouvement des électrons soumis à un champ H F peut donc être vue comme un terme de viscosité entravant, le niouvement des électrons.

1 . 8 . MÉCANISMES DE PERTE ET DE CRÉATION DES PARTICULES CHARGÉES D’UN PLASMA ET LEUR ÉQUATION DE CONSERVATION 1 . 8 . 1 . MÉCANISMES DE PERTE On distingue principalement deux mécanismes de neutralisation des espèces chargées.

DIFFUSION VERS

LES PAROIS O ù SE PRODUIT LA NEUTRALISATION

DES ESPÈCES CHARGÉES

La diffusion est un processus de nature collisionnelle qui apparaît si le milieu est inhomogène en densité ou en énergie des particules (qui peuvent être chargées ou neutres). Le rôle des collisions dans ce processus est de rendre toutes les directions des particules après collision équiprobables. Cependant, parce que dans un milieu inhomogène en densité, il y a plus de particules en jeu du côté des fortes densités que des faibles densités, il se créera un flux net vers la région de plus faible densité. 38 Nous obtiendrons la relation (1.138) dans le cadre du modèle hydrodynamiqur di1 plasma d’électrons de LORENTZ( 5 3.7).

72

1 - LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

La diffusion des espt!ces chargées du plasma vers les parois de l’enceinte à décharge peut constituer un mode d’élimination extrêmement efficace de ces particules dans la mesure où celles-ci se recombinent sur ces parois. Un tel “puits d’évacuation’’ sur les parois, caractérisé par une densité beaucoup plus faible que sur l’axe, donne en effet lieu à un flux de particules chargées I’ = nv où v , la vitesse de diffusion, est dirigée de l’axe vers les parois. La valeur de ce flux est donnée par la relation39 :

I’= - D V n ,

(1.140)

qui indique que le flux de particules vers la paroi augmentmeavec le gradient de densité des particules V n ; le facteur D est appelé coeficient de diffusion libre ou ambipolaire suivant que la densité du plasma est faible ou forte, comme nous le verrons en 5 3.8.

RECOMBINAISON E N VOLUME Les particules chargees se neutralisent alors dans le volume même du plasma et non sur les parois. Dans le cas de la recombinaison d’un ion atomique, comme sa recombinaison radiative (1.58) est très souvent négligeable, la réaction nécessite la présence d’une troisième particule (recombinaison à trois corps), en l’occurrence un électron, pour assurer la conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement au moment de l’interaction. Cette réaction s’écrit, : A++e+e+A+e. (1.141) Noter qu’il s’agit de la réaction inverse, au sens de la micro-réversibilité (0 1.4.2)’ du processus d’ionisation de l’atome A. C’est ce processus de disparition des charges qui intervient dans l’équilibre d’ionisation-recombinaison régi par la loi de SAHA.Le nombre d’ions atomiques qui se recombinent par unité de volume et par seconde dans le plasma, est donc proportionnel à n,1nz où n,1 est la densité des ions atomiques et n e celle des électrons. Dans la mesure où il n’y a qu’un seul type d’ion atomique, ne = n,1, le nombre d’ions disparaissant par unité de volume et par seconde peut s’écrire arane où a,,, est le coefficient de recombinaison à trois corps (unités : cm6 s p l ) , ou encore sous la forme v,,n, où v,, est la fréquence de recombinaison atomique correspondante. I1 en ressort la relation existant entre CU,, et v,, :

a,,n:

u,,ne .

(1.142)

Dans le cas de la recombinaison d’un ion moléculaire, la réaction s’effectue suivant : At +e

+A +A .

(1.143)

Cette recombinaison est dite dissociative. Si l’énergie libérée lors de cette recombinaison est supérieure à celle du premier niveau excité des atomes A, alors l’un d’eux se retrouvera dans un état excité, sinon l’excédent d’énergie est transformé en énergie cinétique des atomes,40.Le nombre d’ions moléculaires se recombinant par unité de 39 Rigoureusement, il faudrait écrire r = -V(Dn) : 5 3.8. 40 Lorsqu’il s’agit de gaz rares, un des deux atomes est nécessairement porté dans un état métastable.

1.8 - P E R T E

73

ET CRÉATION DES PARTICULES CHARGÉES

volume et par seconde est alors proportionnel à nizn,, où ni2 est la densité des ions moléculaires. S’il n’y a que des ions moléculaires (nia = n e ) ,nous pouvons représenter ce nombre sous deux formes équivalentes, de façon analogue à (1.142) : cy,,n~

u,,n,

,

(1.144)

où a,, est le coefficient de recombinaison moléculaire dissociative et u,, la fréquence correspondante.

Dans le cas des plasmas riches en ions négatifs, la recombinaison des ions positifs s’effectue avec les ions négatifs suivant la réaction :

A+ + B -

A+B

(1.145)

dite de recombinaison mutuelle. Ce type de recombinaison s’effectue indifféremment avec des ions atomiques ou moléculaires. Le nombre d’ions positifs (et négatifs) se recombinant par unité de volume et par seconde est proportionnel à nin- où ni est la densité des ions positifs (atomiques et moléculaires) et n- celle des ions négatifs. De façon analogue à (1.142) et (1.144), nous écrirons :

a,&nin- E u,&n-

,

(1.146)

où a,& est le coefficient de recombinaison mutuelle d’un ion positif et d’un ion négatif, et v,* la fréquence correspondante. L’ordre de grandeur de a,& est de 10W7 cm3sP1, valeur qui varie peu avec la nature des ions et leur énergie relative. I1 est à noter que la valeur de a,& est inférieure d’un facteur 2 à 3 au coefficient a,, de recombinaison dissociative des ions moléculaires. P R É D O M I N A N C E DES MÉCANISMES DE DISPARITION DES PARTICULES CHARGEES SELON LE DOMAINE DE PRESSION

(DANS LES PLASMAS EXEMPTS D’IONS NÉGATIFS)

En règle générale, dans l’intervalle de pression allant de 10 mtorr ( w 1Pa) à environ 10 torr (2l o 3 Pa) et dans la décharge d’un gaz atomique, c’est la diffusion qui l’emporte, sauf si la dimension la plus faible (le rayon pour une longue colonne de plasma) est suffisamment grande pour que les pertes en volume prennent le dessus ; dans le même intervalle de pression mais pour un gaz moléculaire, c’est la recombinaison en volume qui prédomine. A pression plus élevée, la recombinaison en volume finit par dominer les processus de perte de charges, y compris dans un gaz atomique.

1.8.2. MÉCANISMES DE

CRÉATION

Lorsqu’il y a ionisation à la suite d’une seule collision électronique sur l’atome dans son état fondamental (ionisation directe), la fréquence d’ionisation correspondante (nombre d’ions créés par seconde et par électron), uid,s’écrit ( 5 1.7.8) : Vid

=

(PZ(~,)We)

= No(&(we)w,)

,

(1.147)

où Pi est la section efficace macroscopique et Sti la section efficace microscopique totale, toutes deux correspondant à l’ionisation directe, et No la densité de l’état fondamental de l’atome.

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

74

Lorsque la densité électronique est suffisamment élevée, l’ionisation directe n’est plus la seule voie d’ionisation possible. L’ionisation peut alors avoir lieu, par étapes, en utilisant comme relais des états excités de l’atome ; l’intérêt de ce processus d’ionisation est qu’il peut se faire avec des électrons de moindre énergie que pour l’ionisation directe. Un cas fréquent d’ionisation en deux étapes est celui où successivement :

+ +

e+A(O) e+A(j)

A(j) + e ,

(1.148)

A++e+e,

(1.149)

où l’état excité A(j>l est un état métastable (état peu susceptible de se désexciter radiativement entre deux collisions). Dans ce cas, le nombre d’atomes ionisés par unité de volume et par seconde, en tenant compte de la désexcitation du niveau relais par pertes collisionnelles (proportionnelles à n e ) et non collisionnelles (pertes par diffusion, indépendantes de n e ) ,s’écrit sous la forme (annexe VI) : (1.150)

où les coefficients pie et caractérisent respectivement l’ionisation en deux étapes et l’effet de saturation cles états-relais. Lorsque ne est très grand (saturation), (1.150) se réduit à : Vie 2 P i e / V . (1.151)

1.8.3. EQUATION D E CONSERVATION DES PARTICULES CHARGÉES Si nous tenons compte des deux mécanismes de perte que nous venons de présenter mais aussi de l’ionisation, l’équation de conservation des particules s’écrira plus généralement (3 3.5) :

dn at

-

+

+v

’

nv = ( V L - u,)n

(1.152)

+

où V , = V,d u,, et ur = u,, urm. Le membre de droite de l’équation comptabilise respectivement le nornbre de particules créées par ionisation et le nombre de particules perdues par recombinaison en volume, par unité de volume et par seconde, les pertes par diffusion étant prises en compte dans le membre de gauche par V . nv.

A l’état stationnaire et en l’absence de recombinaison en volume41, l’équation (1.152)’ tenant compte de (1.140), se réduit à : d’où

v . ( - D o n ) = vin

(1.153)

V 2 n= ( - u ~ / Dn) ,

(1.154)

qui est une équation aux valeurs propres ( 5 3.9) fixées par les conditions aux limites (imposées par la géométrie du tube à décharge) : pour un tube de forme cylindrique, par symétrie (dn/dr),=, = O et, souvent, on prendra n(r = R ) = O où R est le rayon interne du tube. Dans le cas d’une colonne cylindrique très longue ( L > R ) et pour n(r = R ) = O , on aura n ( r ) = n(O)Jo(2,405 r / R ) où JO est la fonction de BESSELde première espèce et d’ordre zéro (figure 3.4). 41 A l’état stationnaire, en l’absence de pertes par diffusion, l’équation (1.152) se ramène évidemment à ut = u p .

CHAPITRE 2

MOUVEMENT INDIVIDUEL

CHARGEE

D’UNE PARTICULE

DANS DES CHAMPS

ÉLECTRIQUE ET MAGNÉTIQUE

Nous pouvons distinguer trois niveaux de modélisation de l’action des champs E et B sur les particules chargées d’un plasma. En partant du plus simple et en allant vers le plus complexe, nous avons : Le modèle des trajectoires individuelles

Dans cette description, les champs E et B sont donnés, imposés de l’extérieur : on ne tient pas compte des champs engendrés par le mouvement des particules. De plus, on néglige totalement les collisions, y compris les interactions coulombiennes ; on ne considère finalement que le mouvement d’une particule isolée. Le modèle hydrodynamique

Le plasma est dans ce cas constitué soit de deux fluides (celui des électrons et celui des ions), soit d’un seul (celui des électrons, les ions étant immobiles et formant un fond continu offrant une certaine viscosité au mouvement des électrons). Le mouvement de chaque fluide est caractérisé localement par une vitesse moyenne 2) dont la valeur resulte d’une integration sur la distribution des vitesses des particules contenues dans l’élément de volume considéré (3 3.3). Le mouvement de ces particules rhargées engendre des champs E et B (dont on retient la valeur moyenne locale (champs macroscopiques)) qui interviennent de façon auto-cohérente dans les équations du m o u v e ~ i e n t De ~ ~ plus, . ce modèle prend en compte les collisions, celles-ci modifiant le mouvement défini immediatement avant la collision par la superposition des champs extérieurs et induits. 42 Le couplage des champs induits E et B avec les particules chargées est dit auto-cohérent, parce que le mouvement des particules qui crée les champs E et B est lui-même affecté par les champs qu’il produit.

76

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Pour établir l’auto-cohérence entre le mouvement des particules chargées et les champs qu’il engendre, nous recherchons d’abord la vitesse des éléments du fluide. Celle-ci s’obtient de l’équation du mouvement où intervient la force de LORENTZ(3 2.1) dont nous supposons les champs E et B connus en première itération. Une fois 2) déterminé, nous sommes en mesure de calculer la densité de courant total J du ou des fluides ( J = E, naq,ve). De là, pour fermer la boucle avec les valeurs initiales de E et B , nous avons deux voies : ~

à partir de J , remonter à E par la relation de l’électromagnétisme :

J=uE

(2.1)

où u est la conductivité électrique du ou des fluides, et connaissant E , arriver à B par l’une ou l’autre équation du rotationnel des champs de MAXWELL, à savoir : VA\=--

at

8E V A B = ~ ~ E ~ - + ~ ~ J ,

ou

~

aB

at

à partir de la densité J , déterminer la densité de charges p par l’équation de continuité (par exemple., a p l a t V .J = O) et obtenir ensuite le champ E par l’équation

+

de POISSON :

V .E = P/EO ,

(2.4)

puis, utilisant ( 2 . 2 ) ou (2.3)’ arriver à B. Remarque : Notons que la conductivité u qui relie J à E joue un rôle clé dans l’obtention de l’auto-cohérence champ-particule : nous calculerons l’expression de dans le cadre de différents modèles. Le modèle cinétique ou microscopique C’est la description la plus fine. Elle fait appel aux fonctions de distribution des vitesses des particules : ceci permet notamment de faire apparaître certains phénomènes (effet qui échappent au modèle hydrodynamique comme, par exemple, l’effet LANDAU de résonance entre une onde se propageant dans le plasma et les particules d’un certain intervalle de vitesses:i. On y tient compte de façon auto-cohérente des micro-champs (et non plus des champs macroscopiques) et des collisions.

Le présent chapitre est consacré à l’étude du mouvement individuel d’une particule chargée dans des cha,mps E et B donnés. Ce modèle donne un premier aperçu des phénomènes complexes se déroulant au sein d’un plasma. Celui-ci est, par hypothèse, sans collision en volume et sur les parois. Nous examinerons en premier lieu la solution de l’équation du mouvement d’une série de cas particuliers pour en déterminer, à la fin, la solution générale43. 43 La référence principale de cette section est Electrodynamique des plasmas de J A N C E L et K A H A N , chapitre 4. Voir également DELCROIX, Tome I, 5 12.3, et DELCROIX et BERS,Tome I, 5 2.3 ainsi que ALLIS[7].

2.1

-

EQUATION GÉNÉRALE D U

77

MOUVEMENT

2 . 1 . EQUATION GENERALE DU MOUVEMENT

CHARGEE DANS DES CHAMPS PROPRIETES DE CETTE EQUATION

D’UNE PARTICULE

E

ET

B

ET

Soit qa la charge d’une particule de masse m,, animée de la vitesse w = d r / d t et soit E ( r ,t ) et B ( r ,t ) , les champs extérieurs : la particule est soumise à l’action de la force de LORENTZ qui, dans le cas non relativiste, prend la forme44 :

F = q , [ E ( r ,t )

+ w A B ( r ,t ) ].

(2.5)

Cette équation résulte de l’observation. Elle est valable si la particule est suffisamment petite pour considérer sa charge comme ponctuelle (on écarte ainsi le problème de la répartition des charges dans le volume de la particule).

2.1.1. EQUATION DU MOUVEMENT A partir de (2.5), nous pouvons écrire

:

Cette expression donne lieu à une équat,ion différentielle du second degré suivant chaque axe du système de coordonnées. Dans un repère cartésien, nous avons : d25 me-

=

qa

d2y ma-

=

q,

=

qa

at2

dt2

d2z

ma^ dt

2.1.2. EQUATION DES FORCES VIVES En multipliant scalairement l’équation (2.6) par w = d r / d t , nous obtenons l’équation des forces wives (énergie cinétique). La relation qui en découle :

est un scalaire vrai et constitue donc un invariant lors d’un changement de repère ; le deuxième terme du membre de droite est nul à cause de sa structure : ( AA B ) . A = O. ~

44 L’expression relativiste est :

où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

78

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Après intégration de l’expression restante sur le temps t de t o à t (en position, de r o à r ) , nous avons : (2.11) le membre de droite représentant le travail effectué sur la particule par le champ électrique. Nous en tirons les conclusions importantes suivantes : 1. Le champ magnétique ne “travaille pas” puisque la force qu’il exerce sur la particule est perpendiculaire à sa vitesse45. I1 s’ensuit que la norme de la vitesse d’une particule chargée n’est pas affectée par la présence d’un champ magnétique. Cependant les composantes perpendiculaires à B de cette norme peuvent varier entre elles, comme nous le montrerons ( 5 2.2.2). En supposant B dirigé suivant Ox,cela donne : wt = w& = wi(t) W Z ( t ) , (2.12)

+

+

où l’indice O désigne les composantes de la vitesse à t = O : autrement dit, la présence du champ magnétique ne peut que changer la direction de la vitesse, non sa norme. Cependant, appliquer un champ magnétique à un plasma permet, entre autres, de conserver l’énergie du système en diminuant les pertes par diffusion des particules chargées vers les parois, comme nous le verrons ( 5 3.8).

2. Seul le champ E peut “chauffer” les particules chargées, c’est-à-dire leur apporter de l’énergie.

2 . 2 . ANALYSE; DE CAS PARTICULIERS DE E ET

B

Nous allons aborder successivement les cas suivants : le champ électrique agit seul sur la particule ( 5 2.2.1), la particule est soumise à un champ magnétique constant et uniforme, avec ou sans champ E ( 5 2.2.2) et, enfin, cas plus complexe, la particule se trouve dans un champ B (légèrement) non uniforme ou variable dans le temps ( 5 2.2.3). Nous verroins que les solutions de ces divers cas particuliers peuvent être incluses dans une équation générale décrivant le mouvement de la particule dans de tels champs E et B.

2.2.1. C H A M P

É~LECTRIQUE

SEUL

(B = O )

De (2.7), (2.8) et (2.9), nous obtenons :

Nous pouvons maintenant traiter les cas suivants. 45 Le chauffage par pompage magnétique où B varie périodiquement peut être considéré, par l’interVAE = -ûB/at, comme résultant de l’action du champ E . médiaire de l’équation de MAXWELL

2.2

-

ANALYSE DE

CHAMPE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

79

CONSTANT ET UNIFORME

Par intégration directe de (2.13) sous forme vectorielle, nous tirons :

w

(2.14)

=

(2.15) expressions qui décrivent un mouvement uniformément accéléré. Remarques :

1. De (2.14)’ il apparaît que la composante du mouvement suivant une direction perpendiculaire à E ne sera pas affectée par la présence de ce champ : décomposer w suivant les directions parallèle et perpendiculaire à E pour le voir. La situation est tout à fait différente avec B puisque la force correspondante agit perpendiculairement à B (et à w) (2.5). 2. Comme le champ E accroît sélectivement la composante de vitesse qui lui est parallèle, nous pouvons dire qu’il tend, sinon à confiner, du moins à orienter la particule dans cette direction.

3. De (2.14) et (2.15)’ nous constatons que la vitesse ainsi que la distance parcourue par un ion de masse mi sous l’effet d’un champ E pendant un temps donné sont rn,/rni fois plus faibles que celles d’un électron de masse me dans ce même champ, ce qui justifie l’hypothèse, que nous utiliserons largement, que l’ion est immobile par rapport à l’électron.

CHAMPE ( r ,t )

CONSERVATIF

Puisque le champ électrique est conservatif, nous pouvons écrire

E = -V4(r,t) où

4 est le potentiel

(2.16)

agissant sur la particule. L’équation vectorielle du mouvement ci2 r = -4 dt2

mD7

0

V4 1

’

:

(2.17)

multipliée scalairement à droite par d r / d t montre, après intégration sur le temps t , que la variation de l’énergie cinétique est égale à (moins) la variation de l’énergie potentielle, de sorte que l’énergie totale est évidemment conservée : (2.18) L’équation (2.18) est une variante de la relation (2.11)

80

2

-

MOUVE:MENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Application au cas où $ ne dépend pas du temps Le mouvement d’un électron dans un potentiel électrostatique est assimilable à la propagation d’un rayon lumineux dans un milieu d’indice n,. Montrons-le.

Interface

-

-

Y ($2

> $1) Figure 2.1 - Réfraction en optique électronique.

io2

Considérons le cas de deux milieux où 4, de surcroît, ne dépend pas de T , donc E y est nul. A la traversée d’une discontinuité de potentiel ($1 # $ 2 , figure 2.1)’ la particule subit une accélération (décélération) instantanée, la vitesse passant alors de w1 à w2. Cependant, la composante des vitesses 201 et w2 parallèle à l’interface formée par les deux milieux demeure la même de part et d’autre de celle-ci puisque le champ E est perpendiculaire à cette interface (Remarque 1 précédente) d’où, en notant p = mew: ( p ,1 sin 81 = ( p , (sin 8 2

,

(2.19)

relation qui, écrite soia la forme : (2.20)

apparaît comme la loi bien connue de DESCARTES de l’optique géométrique à condition de considérer que 81 et 8 2 constituent respectivement les angles d’incidence et de réfraction, et en admettant que l’impulsion pi de la particule est proportionnelle à l’indice du milieu46.

CHAMPE

UNIFORME MAIS OSCILLANT PÉRIODIQUEMENT

EN FONCTION DU TEMPS

Ce cas correspond à celui de particules chargées se trouvant soit dans un plasma créé par un champ de haute fréquence (HF), soit dans un plasma produit par d’autres moyens (par exemple, une décharge en courant continu) mais sur lequel on a imposé un champ HF important. L’équation du mouveinent est dans ce cas : (2.21)

46 Ce faisant, on trouverait que n7.= AJ-

où A est une constante.

2.2

-

ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

81

et, après intégrations successives de t = O à t , en supposant que la particule est animée d’une vitesse initiale w o (on prend wo # O pour demeurer tout à fait général), il vient : (2.22) soit :

(2.23)

et

(2.24)

où r, est une constante d’intégration, la position initiale de la particule étant

Examen des phases relatives de E, w et r

Introduisons une particule chargée (prenons un ion positif), de vitesse nulle, dans le champ électrique Eo cos wt de période 7 et examinons de façon détaillée, à l’aide de la figure 2.2, le comportement de sa vitesse et de sa trajectoire en fonction du temps47. Pour simplifier cette étude, négligeons le terme non périodique de la vitesse dans (2.23). 1. Vitesse : la vitesse de la particule chargée est en quadrature de phase avec le champ E . De t = O à t = 7 / 4 , l’ion positif subit une accélération dans la direction positive du champ : sa vitesse va augmenter pendant tout ce quart de période et atteindre sa valeur maximum en t = 7 / 4 quand la valeur du champ passe par zéro. Entre t = 7 / 4 et 7 / 2 , le champ E étant de direction opposée à la vitesse de l’ion positif, celle-ci ne peut que décroître. Elle passe par zéro au moment où le champ atteint sa valeur négative maximum, situation symétrique à celle en t = O : il faut, en effet, un champ d’amplitude égale mais de direction opposée pour obtenir à nouveau une vitesse nulle. Entre t = 7 / 2 et 3 7 /4 , de façon symétrique, la vitesse de la particule atteindra sa valeur maximum dans la direction opposée à la direction initiale, au moment où le champ passera par la valeur nulle, tout juste avant de changer de signe, et ainsi de suite. La vitesse de l’ion est donc bien déphasée et en retard de 7r/2 sur le champ E . Ce déphasage par rapport au champ E , comme nous le verrons, fait en sorte que l’énergie transférée du champ à la particule chargée sur une période complète est nulle. 2. Trajectoire dans le cas de l’ion positif, celle-ci est en retard de 7r sur le champ électrique alors que pour l’électron elle est en phase avec lui. L’amplitude spatiale du mouvement d’une particule chargée dans un champ HF E est appelée excursion et notée X E . 47 Par convention, le champ électrique existant entre une charge positive et une charge négative est dirigé vers la charge négative. Dans ces conditions, l’ion positif que nous considérons est accéléré dans la direction du champ (voir figure 2.2).

82

2

-

MOU

ET

B

+ +

-

E M E N T INDIVIDUEL D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

Convention : direction du champ E mouvement de l’ion

E

@

+

électron

+ t

ion

+

...-.. .. ... + t

7-14 ’TI2

7-

Figure 2.2 Vitesse et excursion d’un ion positif (trait plein) et d’un électron (pointillé) dans un champ électrique alternatif de période 7~

Pour un ion positif (point de départ z ~ ( 0 sur ) la figure 2.2)’ la vitesse initiale étant par hypothèse nulle: le mouvement a lieu, selon notre convention, dans la direction du champ et ne change de direction que lorsque la vitesse W E passe par zéro (à t = 7 / 2 ) ; à ce moment-là, le champ est à son maximum dans l’autre direction : il y a bien un retard cie phase de T du déplacement de l’ion sur le champ. Pour un électron, on constate que son excursion est, au contraire, en phase avec le champ (par suite de la convention de direction du champ que nous avons adoptée). Transfert d’énergie d’un champ électrique oscillant E à une particule chargée

L’énergie cinétique r é d t a n t du travail du champ E sur la charge, dans l’intervalle de temps allant de to i~t , s’écrit (voir (2.11)) :

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

83

Dans le produit scalaire sous l’intégrale, w se réduit à W E , la composante de la vitesse dans la direction parallèle à E (dans la direction perpendiculaire à E , il n’y a pas de travail). Nous obtenons alors :

-

-~

2m,w2

cos(2wt)

(2.26)

où %(A) désigne la partie réelle d’une quantité complexe A. L’évaluation de l’intégrale (2.26) sur une période 7 = 27r/w, c’est-à-dire entre les instants t o et t = t o + 27r/w, conduit à une valeur nulle. L’énergie cinétique acquise au total sur une période est, en effet, nulle car pendant une demi-période, le travail se fait dans une direction et, durant l’autre moitié, dans la direction opposée. Cependant, si le mouvement oscillatoire de la particule est interrompu par une collision avant la répétition d’une période complète à partir de l’instant t o où le champ a été appliqué, l’intégrale (2.26) est non nulle et l’énergie correspondante prise au champ lui sera acquise48. Pour le montrer, il nous faut quitter momentanément le niodèle très simplifié des trajectoires individuelles (modèle de plasma sans collisions) pour considérer le modèle hydrodynamique qui prend en compte les collisions. Transfert d’énergie d’un champ oscillant E aux électrons en présence de collisions : puissance absorbée par électron et permittivité du plasma (digression aux trajectoires individuelles) Considérons un fluide d’électrons, couplé à celui des ions et des neutres par le terme de collisions. En supposant que l’agitation thermique est négligeable devant le mouvernent créé par le champ E (uth << u~ : hypothèse d’un plasma froid), l’équation hydrodynamique de transfert de la quantité de niouvenierit (3 3.7) s’écrit alors : du me- = -eEoeiWt - mevv , (2.27) at où me est la masse de l’électron et v la fréquence moyenne de collisions électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement. Le sens physique de cette équation a déjà été abordée en discutant (1.138). En fait, nous ne sommes pas trop loin du contexte des trajectoires individuelles dans la mesure où nous considérons que l’équation (2.27) décrit le mouvement d’une seule particule dans un milieu où cette dernière est soumise à une force de friction. Dans l’hypothèse d’un plasma froid, la vitesse de l’électron est purement périodique, d’où : 2, = Woeiwt (2.28) 48 Cette énergie “acquise” par la particule est mise en jeu au moment même de la collision pour être totalement ou partiellement transmise à la particule avec laquelle elle interagit ; la particule qui a pris de l’énergie au champ peut aussi conserver toute cette énergie et mrme en recevoir de l’autre particule. Rappelons que dans le cas d’une collision électron-neutre, l’électron ne transfère que partiellement son énergie, plus exactement une fraction de l’ordre de ( m e / M )de celle-ci ( 5 1.7.2).

84

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL D’UNE

PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

et, en mettant v en évidence dans (2.27), nous obtenons :

v=ce qui détermine Comme d r l d t

eE(t) m,(v i w )

+

(2.29)

’

00.

= v ,nous avons, toujours en l’absence de mouvement thermique : T = -

v

(2.30)

iW

et alors : ~

(2.31)

Puissance HF moyenne absorbée par électron Le travail par unité de temps et par électron dans le champ E s’écrit :

- e E .v ,

(2.32)

ce qui représente aussi la puissance instantanée prise au champ. Sachant que la valeur moyenne sur une période du produit de deux variables complexes A et B variant de façon sinusoïdale à la même fréquence est donnée par Y?(AB*)/2 (B* est la valeur conjuguée de B ) ,la puissance prise au champ sur une période ou puissance moyenne, par électron, est donc : a -

où

(

= Eo/&‘

Pour u / w

- e . E . v*

--

e2Ei )=Y?[;-]=-----

1

2m ( v - z w )

e2 v E2 , meu2+d

(2.33)

e:;t la valeur quadratique moyenne du champ électrique.

<< 1 (approximation des décharges

HF), nous avons de (2.33) :

n

ûa x

ed u -

--E2

me w 2

(2.34)

et nous vérifions qui:, pour v = O, le transfert d’énergie du champ E au plasma est nul, 8, = O, conformément à ce que nous avons vu plus haut dans le cas des trajectoires individuelles, Pour u / w

> 1 (approximation des décharges de basses fréquences), nous obtenons : O,

N

e2

E2

--

me

v

Nous retrouverons les relations (2.34) et (2.35) dans l’étude des plasmas HF ~

(2.35)

(0

4.2).

Conductivité et permittivité électriques en présence de collisions Le mouvement des particules chargées dans le champ E crée un courant dit de conduction. La densité de ce courant dans le cas d’électrons de densité ne s’écrit :

J = -neeu

(2.36)

2.2 - ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

85

et en notation complexe d’après (2.29) : (2.37) Sachant, par ailleurs, de l’électromagnétisme que :

J=oE,

(2.38)

où D est la conductivité (scalaire) électrique des électrons, de (2.37) et (2.38), nous obtenons par identification : D=

nee2 m, (v i w )

+

(2.39)

Noter que dans le cadre des trajectoires individuelles (sans collisions, v = O), est purement imaginaire et le plasma se comporte dans ce cas comme un diélectrique parfait. La permittivité e p du plasma relativement à celle du vide dans un champ &eiWt est liée à la conductivité D (démonstration en Remarque 2 qui suit) : D

E p = l + 7 ZWEO

où

€0

(2.40)

est la permittivité du vide. En recourant à (2.39), nous arrivons à :

wpe w ( w - iv) ’

€p=l-

(2.41)

qui, en l’absence de collisions, se réduit à : (2.42) expression qui montre que w = wpe représente une valeur singulière pour la propagation d’une onde puisqu’alors ep = O. Remarques : 1. Noter que 8, (équation (2.33)) dépend de façon inversement proportionnelle de la masse des particules, d’où le fait habituel de négliger, dans le bilan de puissance champ HF-particule, la puissance transférée aux ions. On vérifiera également que pour w constant, 8, passe par un maximum pour v = w4’ : c’est dans ce cas que le transfert de puissance est le plus efficace.

2. Le recours à la conductivité B dans les pages qui précèdent correspond à la représentation charges dans le vide, par opposition à la description diélectrique exprimée par c p où, au départ, on considère plutôt le courant de déplacement que le courant de conduction pour décrire le mouvement des particules chargées dans le champ HF. 49 Se rappeler que la fréquence de collision v dépend de l’énergie moyenne des électrons (et de leur fonction de distribution en énergie) et de la pression du gaz ( 5 1.7.8).

86

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

En effet, dans le cas d’une description purement diélectrique du plasma, l’équation (2.3) s’exprime plutijt sous la forme :

V

dD

A B =p o p

at

dE at .

pototp-

(2.43)

En supposant une variation périodique en eaWt du champ électromagnétique de pulsation w , on obtient des membres de droite respectivement des équations (2.3) et (2.43) :

dE

+ p0J

=

pOtOiwEOeiWf poaEOeiWt ,

(2.44)

dE pococp-

=

potOtpiwEOeiW* ,

(2.45)

pocoat

at

+

ce qui, par identificakion, conduit à : iWEOEp

= iwto

+a ,

(2.46)

d’où la permittivité relative complexe (lu plasma donnée par la relation (2.40).

2.2.2. CHAMPMAGNETIQUE CONSTANT ET UNIFORME CHAMPM A G N É T I Q U E

SEUL

(E = O)

L’étude de ce cas simple nous permettra d’introduire les notions de giration cyclotron et de mouvement hélicoïdal. Le mouvement cyclotronique des particules engendre un champ magnétique B’ de sens opposé au champ B appliqué de l’extérieur, conférant au plasma un caractère diamagnétique. Orientons le système d’axes cartésiens de façon telle que O z soit suivant B. Des équations générales du mouvement ((2.7) à (2.9)) où l’on pose E = (O, O, O) et B = ( B ,O, O), il vient : (2.47) (2.48)

(2.49) équations que l’on récrit en introduisant la pulsation (fréquence angulaire) cyclotro(2.50) la convention de signe étant posée pour que dans le cas des électrons, w,, soit positif5’. 50 D’autres auteurs écriront plutôt w,, = lq,lB/rn, , mais il faut alors préciser dans quel sens les particules chargées positivement et négativement tournent respectivement autour d’une ligne de force du champ B.

2.2

-

ANALYSEDE

E

CAS PARTICULIERS DE

ET

B

87

En laissant tomber l’indice a pour alléger, les équations (2.47) à (2.49) prennent la forme :

x

=

O,

(2.51)

y

=

-Wei,

(2.52)

z

= w,y

,

(2.53)

équations que nous allons résoudre avec les conditions initiales (t = O) : 12: = y = z = O (particule à l’origine du système de coordonnées), j: = W,O = ~ 1 1 0y , = wgo et Z = w,o : en toute généralité, les composantes parallèle et perpendiculaires à B de la vitesse initiale sont non nulles. Par intégration de ( 2 . 5 3 ) ,nous tirons :

z = w,y + ci = wcy + w,o

(2.54)

où la constante d’intégration Cl, compte tenu des conditions initiales, est égale à w,O. Portons cette valeur de i dans l’équation (2.52) exprimant ji :

y = -wcy2

- w,w,o

’

(2.55)

ce qui, après réarrangement sous forme homogène en y dans le membre de gauche, conduit à : y

+ wcy = 2

’

-W,W,o

(2.56)

qui apparaît comme un oscillateur harmonique “forcé”. La solution de cette équation est donnée par la somme de la solution générale sans second membre et d’une solution particulière de l’équation avec second membre, soit : y = Al cosw,t

+ A2 sinw,t

WZO

-

.

~

(2.57)

WC

Déterminons les constantes

et

Ai

A2

de (2.57) :

y ( t = O ) E wyo = A2wc

d’où

A2

=

?@ .

(2.59)

WC

I1 faut maintenant obtenir ~ ( t: )de (2.54) avec (2.57) cosw,t

+

WYO

~

wc

sinw,t

~

(2.59),

(2.60)

-

et, en intégrant sur t , z = wzo sinw,t ~

WC

-

WYO ~

wc

cosw,t

+ CZ

et, comme z ( t = O) = O , nous avons CZ= wy0/wc

(2.61)

88

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Les trois équations représentant l’orbite de la particule chargée s’écrivent finalement : =q

ot

1 ’ =

WZOt

y

%O cos wet

=

2:

(2.62)

+ WY 0 sin wet

%O

-sinw,t

=

w,

- WY 0 W C ~

w,

-

~

WC

WZO -

(2.63)

W C

coswct

+. w,

(2.64)

WY 0

Dans le plan yOz, le mouvement de la particule s’inscrit sur un cercle51 dont le centre est fixé par les constantes d’intégration, en l’occurrence Y ,2 = -wz0/wc, wYo/w,. Pour le montrer, écrivons l’équation de ce que serait la trajectoire circulaire correspondante : (2.65) = wzo cos2 wet ~

c

+

-sin 4 0

c

w

+ G o sin2 wet + 2wZoWYo cos wet sin wet (2.66) wc

w,

w

2

wet

+4 ~

c cos w,t 0

2

-

w

2WzoWyo

c

cosw,t sinwct (2.67)

w

(2.68) et nous constatons que nous définissons bien un rayon dont la valeur est : T B = - =W-I û

w,

m e eBWlo

.

(2.69)

En somme, dans le plan perpendiculaire à B,nous assistons à un mouvement circulaire périodique de pulsation wc,la pulsation ~ y c l o t r o n i q u e ~dont ~ , le rayon T B est appelé rayon de LARMOR5’, W _ L Oétant la vitesse initiale de la particule dans le plan yOz. Pour déterminer le sens de rotation des particules de masse ma et de charge q a , négligeons les vitesses initiales qui sont des constantes : pour l’électron, comme par convention w,, > O, nous remarquons ((2.63)-(2.64)) que pour w,t = O , y = w,o/w, et z = -wYo/wc, alors que pour wet = 7r/2 (t = 7;,/4 où 7;, est la période cyclotronique), y = wYo/w, et z = W , O / W , . I1 s’ensuit que, le champ B s’enfonçant dans la feuille, la giration de l’électron a lieu dans le sens horaire (vers la droite), comme le montre la figure 2.3 a), alors (que l’ion positif tourne, lui, dans le sens anti-horaire (vers la gauche). Dans la direction parallèle 6 B,la vitesse est constante, égale à w1l0,et le mouvement est uniforme, la présence de B ne modifiant pas cette vitesse. La combinaison du mouvernent cyclotronique et du mouvement uniforme dans la direction parallèle donne lieu à une trajectoire en forme d’hélice (figure 2.3 b)) qui s’enroule autour de la ligne de force du champ magnétique (appelée, en l’occurrence, axe ou centre de guidage). 51 Les relations (2.63) et 112.64) qui décrivent un mouvement périodique sont de même amplitude et de même fréquence, avec une différence de phase de 7r/2. Dans le cadre des courbes de LISSAJOUS, ceci donne lieu à un cercle. 52 Encore, gyrofréquence des particules a ( a = e, 2 ) . 53 Encore, rayon cyclotronique ou rayon de giration.

2.2

-

ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

89

Figure 2.3 - a) Mouvement cyclotronique d’un électron dans le plan perpendiculaire à B, champ dirigé suivant Oz et entrant dans la feuille. Sont repérées par des points, les positions de l’électron à l’instant t = O et à l’instant ultérieur t = x.4 ; b) Mouvement hélicoïdal de l’électron suivant B.

Cas particuliers intéressants ~

~

:

pour wllo = O, la trajectoire hélicoïdale dégénère en orbite circulaire. Le rayon de l’orbite fait alors intervenir la totalité de la vitesse wo de la particule, et rg = wom,/eB. pour w ~ = o O, la trajectoire est rectiligne et parallèle à B .

Remarques :

1. La diminution du diamètre de l’hélice avec B croissant crée un effet de confinement des particules chargées dans la direction perpendiculaire à B . En effet, pour B tendant vers l’infini, rg + O, ce qui indique bien qu’il n’y a phis de mouvement transversal possible : nous verrons en fj 3.8 qu’ainsi on diminue la diffusion des particules, perpendiculairement à B , vers les parois. 2. Un champ B uniforme ne peut affecter wll de sorte que W J I( t ) = 2 ~ 1 où 1 ~ l’indice zéro correspond au temps t = O : propriété de la force de LORENTZdans le cas E = O. Lorsque E = O, il y a aussi conservation de l’énergie cinétique : w:(t) + w z ( t ) E II w 2 ( t )= wi.Comme nous venons de voir que W I I= ~ 1 1 0 alors , wt = wo: et, donc, w l ( t ) w i ( t ) w:(t) = w l 0 . Ainsi, dans un champ B , les composantes wu et w, peuvent varier, comme nous l’avions affirmé en 5 2.1 (Remarque 1).

=

+

3. Le pas de l’hélice s’obtient en considérant la distance axiale parcourue pendant une révolution. Soit p h , ce pas, et 7,, la période cyclotronique, alors ph = ~11~7, = wiiO/fc = 27rwlj0/w, et, comme rg = w1o/w,, il vient : (2.70)

4. Forme utile pour représenter le mouvement hélicoïdal : w=wllO+WcATB

’

(2.71)

où wllo décrit le mouvement du centre de guidage et le second terme, le mouvement circulaire cyclotronique, où le vecteur w , est dirigé selon B et définit l’axe de

90

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

rotation et son sens; le vecteur r g , rayon de l’orbite, a pour origine le centre de guidage. 5. Le rayon de LARMORétant proportionnel à la masse des particules, voir (2.69), il s’ensuit que pour les ions de masse mi, ?‘Bi = rBemi/me,autrement dit ?‘Bi > ?‘Be. 6. La fréquence cycloti-onique (2.50) ou fréquence de giration ne dépend pas de la vitesse des particules, mais de leur masse et de leur charge. Cette propriété permet de communiquer de l’énergie au moyen d’un champ électrique oscillant à w = wCa, uniquement à des p.articules de masse et de charge données, quelle que soit leur distribution en vitesse : nous réalisons ainsi un processus de chauffage sélectif. Ceci s’obtient grâce à la résonance cyclotronique sur laquelle nous reviendrons ultérieurement (2.123).

7. Relation numérique pratique pour calculer la fréquence cyclotronique des électrons : fce(Hz) = 2,799 x 106B (gauss)

.

(2.72)

Ainsi pour B = 1 kC: (0,l tesla), f c e = 2,8 GHz. La fréquence correspondante pour les ions de masse mi est m,/me fois pliis faible. 8. Le champ diamagnéiique créé par la circulation du courant cyclotronique est donné par la loi de BIOT-SAVART (LORRAIN et al.) : (2.73) Dans cette expression r pointe de la source (charge) vers l’axe de guidage (voir figure 2.4), là où B‘ (:st calculé (pour y être comparé à B). Le champ diamagnétique B’ est de même sens pour les électrons et les ions : ces particules, de charges contraires, tournent en sens contraire dans B ,de sorte que leur courant respectif J circule dans le même sens, comme le montre la figure 2.4. Le produit vectoriel J A r de (2.73) indique que B‘ est de sens opposé au champ B responsable du mouvement cyclotronique (il ne pourrait en être autrement!). Le champ magnétique dans le plasma est donné par la somme vectorielle de B et B’ (voir exercice 2.2).

CHAMPMAGNÉTIQUE

ET CHAMP

ELECTRIQUE UNIFORMES

ET CONSTANTS

Nous allons montrer que l’action conjointe de champs E et B uniformes et constants engendre un mouvement dit de dérive électrique des ions et des électrons du plasma dans la direction perpendiculaire à la fois à E et à B.Par la suite, nous établissons une équation du mouvement qui englobe tous les mouvements élémentaires étudiés jusqu’ici. Dans ces mêmes conditions de champs E et B ,à titre d’application, nous calculons la conductivité électrique, qui se révèle être de nature tensorielle. Relativement au premier cas, la superposition d’un champ électrique au champ magnétique modifie la norme de la vitesse, de sorte que la partie de la force de LORENTZ liée au champ magnétique, qaw A B ,ne cesse de varier. D’autre part, comme les deux champs sont uniformes et constants, les orbites se calculent analytiquement et sont aisément représentables.

2.2

-

ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

Mouvement cyclotron de l’électron

Mouvement cyclotron de l’ion

91

JAr

JAr

Détermination de l’orientation du champ diamagnétique B‘ créé par le mouvement cyclotronique dans un champ B imposé entrant dans la feuille : B’ sort dc la feuille en direction du lecteur.

Figure 2.4

~

Cas d’une orientation quelconque de E et B Le repère cartésien est construit de telle sorte que B soit encore dirigé suivant l’axe O r . L’orientation de E dans ce repère étant quelconque, ce champ possède une romposante suivant chacun des axes. Nous supposerons que la particule chargée est, en t = O, située à l’origine di1 repère .c = y = z = O, et, coritraircment au cas précédcnt ( B seul), au rcpos, k = = i = O . I. Equations

tlii

rnouvenient .

De (2.7)-(2.9), nous obtenons : (2.74) (2.75) (2.76) 2. Détermination des trajectoires. On intPgre les equations du moiivcment d’une manière arialogue au cas précedent.

92

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Calcul de y. L’intégration de (2.76) donne :

+ wel/

4a d = -E,t ma

(2.77)

En portant d dans l’équation (2.75)’ celle-ci devient (2.78) relation qui se met sous la forme d’une équation différentielle avec membre de gauche homogène : .. wel/ 2 wcqa 4a (2.79) L/ = --E,t -E, ,

+

+

ma

mff

dont la solution est : (2.80) Les constantaes AI et A2 sont fixées par les conditions initiales. Pour y(t = O) = 13, la relation (2.80) nous donne A i (q,/m,w:)E, = O , d’où : (2.81)

+

et pour y(t == O) = O , Azw,

-

A2

( q a / m a w c ) E z= O de sorte que =

~

E, .

4a

mawC

:

(2.82)

Calcul d e z. On porte la valeur de y tirée de (2.80) et complétée par (2.81) et (2.232), dans (2.77) : 4a Z = -E-t

ma

sinwet - qaEzt +

mawz

mawc

e] (2.83) maWC

et, en intégr,ant : 2

z

--40 EY sinwet - qa Ez cos wet

wCm,

wznia

comme z ( t =: O) = O = -(qa/wCma)E,

+ wcma + c3 , ~

(2.84)

+ C3 :

q=&,

(2.85)

maWC

Calcul d e x. Deux intégrations successives de (2.74) conduisent à t2 x = -qa Ez-. ma 2

:

(2.86)

2 . 2 - ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

93

B

Finalement, les équations de la trajectoire en fonction du temps (pour B s’écrivent :

II

ez)

(2.87) Y

=

z =

-- qcu

wCma

--

401

wCm,

E , COSW,t

+ -E, sin w,t

E, sinw,t

- -Ez C O S W , ~

wCm,

wzma

- -E,t

wcm,

+ -E, wCm,

+E,t + 4û E, WCm, w,ma

.

,(2.88) (2.89)

3. Etude du mouvement décrit par les équations (2.87) à (2.89) La présence de champs E et B uniformes et constants engendre un mouvement de dérive (dite électrique) de la particule chargée dans la direction perpendiculaire à B et à E l , la composante de E perpendiculaire à B . En effet, lorsque wo = O, comme c’est le cas ici, la partie non périodique du mouvement dans le plan yOz se fait ainsi : la particule est initialement entraînée dans la direction de E l (pour un ion positif, figure 2.5) ou dans la direction opposée (électron). Du fait de la vitesse w l ainsi acquise, la partie magnétique de la force de LORENTZproduit alors un mouvement perpendiculaire à E l et B , précisément dans la direction dite de dérive puisque FLB= q,wi A B . Pour bien comprendre ce mouvement, il faut considérer trois cas (DELCROIX et BERS,T.l, 3 2.3.1) : a) un champ électrique faible, où la vitesse de dérive est telle que wd << W,TB (la valeur de wd est déterminée plus loin) ; b) un champ électrique tel que wd N w,rB ; c) un champ électrique fort conduisant à wd > (i)crB. Nous allons dans ce qui suit examiner en détail la situation (b) où wd N W,TB. Les deux autres cas sont traités en Remarques, à la fin de la section. Y E, = 2 = O en t = O O

Figure 2.5 - Mouvement de dérive cycloïdal d’un ion positif (le champ B sort de la feuille). L’ion se trouve à l’origine du repère en t = O, puis se déplace, en moyenne, selon l’axe de dérive représenté en pointillé.

+ z

2

94

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

La projection du mouvement dans le plan yOz (plan perpendiculaire à B ) est alors une trajectoire cycloïdale, comme le montre la figure 2.5 : les termes non périodiques (qa/mQwC)Eit [i = y, z ] poussent la particule dans une direction perpendiculaire a B,si bien que celle-ci, compte tenu de notre hypothèse wd N W c r B , effectue une partie seulement de la rotation c y ~ l o t r o n i q u e ~La ~ . particule décrit, ainsi, un m0uvemen.t cycloïdal dont la trajectoire s’appuie sur une droite virtuelle perpendiculaire à E l et à B.Celle-ci, étant donné les termes non périodiques de y et z , a pour expression : y d = -~401 Ezt , (2.90) maWC

et

(2.91)

relations que l’on peut combiner pour obtenir : (2.92) La vitesse moyenne de ce glissement, dite vitesse de dérive, (tirée de (2.90) et (2.91)) est : (2.93) Cette vitesse ne dépend ni de la masse de la particule ni de sa charge. De plus, parce que le mouvement est dirigé p e r p e n d i c ~ l a i r e m e n tà~E ~ (à la fois composante E l et composante Ell, voir figure 2.5), le champ E n’effectue aucun travail sur la particule dans son mouvement de dérive de sorte que la vitesse de cette dérive demeure constante.

A ce mouvement dans le plan y Oz,s’ajoute un mouvement uniformément accéléré dans la direction qui lui est perpendiculaire, du fait de la composante E, du champ électrique. 4. Etude comparative di1 mouvement cycloïdal des ions et des électrons. Nous allons ignorer le mouvement dû à Ell (posons aussi wall = O). Rappelons la convention : le mouvement des ions positifs se fait dans la direction du champ électrique. En t = O, l’électron et l’ion SP trouvent à l’origine du reperr, avec une vitesse nulle. Immediatement après, l’ion démarre dans la direction de E l mais sa trajectoire est aussitôt courbée, par la composante magnétique de la force de LORENIZ, suivant wd (figure 2.5). Quant à l’électron, il est initialement accéléré en sens inverse, mais la force de LORENTZle ramène suivant la même direction de glissement que pour l’ion à cause du signe opposé de sa charge ( F L B= -ewe A B ) ; 54 Le centre de guidage (autour duquel s’effectue le mouvement cyclotronique) se déplace (“dérive”) dans le plan perpendiculaire à B.La trajectoire cyclotronique ne peut donc se refermer que si Wl

>> W d .

55 Pour voir que ‘u)d est, perpendiculaire à E , remarquer que la pente de la trajectoire d’appui du mouvemcnt de la particule z = !(y) est, donnée par A z/ A y = - E , / E , (équation (2.92)) alors que l’orient,at,ion de E l , dans le meme repère (y, z ) , s’exprime par E z / E , : les 2 pentes sont donc orthogonales.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

les deux trajectoires (si l’on néglige l’influence de (wd, E l ) , comme le montre la figure 2.6. Dans la relation

y =

4a ELI

-~

WCa%

cos W,,t

95

,511)

+ .. + ’

sont confinées dans le plan 4,

~

wC,ma

(voir (2.88))’ l’amplitude du mouvement des particules est proportionnelle à m, (w:@ma K m;’) : les électrons décrivent des arceaux d’amplitude beaucoup plus faible que celle des ions mais en plus grand nombre par seconde (figure 2.6) puisque le rapport des masses milm, entraîne que w,,/w,i > 1.

E

Figure 2.6 - Comparaison schématique du mouvement de dérive électrique des ions et des électrons montrant que les arceaux décrits par les électrons sont de plus faible amplitude que ceux des ions niais plus fréquents.

i

Remarques :

1. E l / B a bien les unités d’une vitesse (vérification laissée au lecteur). 2 . Pour 7ud N w c r B , (cas traité), l’amplitude maximum p a de la cycloïde d’une particule de type Q par rapport à l’axe de glissement est proportionnelle à E l / B Z (figiires 2.5 et 2.7 (b)). Le calcul de cette expression est également laissé au lecteur.

3. Pour wd < W c r g (charnp E l faible), les trajectoires sont quasi cyclotroniques, avec une faible vitesse de glissement de leur centre de guidage dans la direction perpendiculaire à B et à E l , comme le montre la figure 2.7(a). Pour bien fixer les idées, prenons le cas d’un ion positif : le centre de guidage de sa trajectoire se meut tout doucement dans la direction de dérive parce que la courbure cyclotroniqiie est plus faible quand l’ion se déplace dans la direction de E l (wlaugmente, donc rg aussi) alors que la courbure est plus forte quand il se dirige en sens opposé de E l (demi-orbite inférieure de la figure 2.7(a) ; il en résulte une déformation du mouvement cyclotronique entraînant le déplacement du centre de guidage et, de façon concomitante, la dérive de la particule.

96

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

4. Dans le cas d’un champ E l fort, par hypothèse wd > w$“B de sorte que la vitesse de la particule évolue entre wd w,rB et wd - W , r B , sans jamais changer de signe. La trajectoire prend alors une forme ondulée, comme le montre la figure 2.7(c).

+

t=O

t=O

Figure 2.7 et uniformes

Trajectoires d’un ion positif dans des champs E et B constants = O) suivant la valeur du rapport w d / w ~(wd croît avec E l ) : a ) wd < W c r B ; b) W d W c r B et C) W d > W c T B . Noter que le champ B est ici dirigé vers le lecteur.

-

(wg

N

Orientation particidière de E et B : champs perpendiculaires (croisés)

Comme dans le cas précédent, la vitesse initiale est supposée nulle et l’orientation de B est toujours suivant O x , et E selon O z . Des équations (2.87) à (2.89), il vient : 2

= O ,

(2.94)

(2.96) Tout le mouvement est maintenant dans le plan y O z et il s’agit d’une cycloïde ordinaire.

2.2 - ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

97

Comme le montre la figure 2.8, z oscille bien entre O et p, = (2q,/w:m,)E,, alors que y augmente régulièrement dans la même direction pour l’électron et l’ion : la particule glisse suivant une trajectoire s’appuyant sur l’axe y, donc bien perpendiculairement à B et à E . La vitesse wd est constante, rappelons-le, puisque la particule ne peut emprunter aucune énergie à un champ E perpendiculaire à la direction de son mouvement.

Remarque : La cycloïde est un cas particulier ( b = 1) de la trochoïde où II: = cp - bsin cp et y = 1- bsincp, comme le montre la figure 2.9, avec en pointillé ( b = 0,6) et en tirets ( b = 1’5).

“t T I I l 1

Figure 2.9 - Traje-+n;-oo trochoïdales pour wo 7 u (tiret et pointillé) et trajectoire cycloïdale pour wo = O (trait plein).

E

.’ , :

t

/

/

Orientation particulière de E et B : champs parallèles

On prend l’axe Ox comme direction de ces champs. I1 est intéressant de distinguer deux cas : -

La vitesse initiale est nulle. De (2.87) à (2.89)’ il vient : (2.97) (2.98) (2.99)

98

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Le mouvement est selon Oz uniquement et uniformément accéléré : comme le champ B est dans la direc-tion du mouvement, il ne joue aucun rôle sur la trajectoire de la particule (FLB qgrwA B = O puisque w II B ) .I1 n’y a pas non plus de vitesse de dérive puisque E l = O. -

La vitesse initiale est non nulle, normale à B (wyo # O, w,, # O) Dans ces conditions, il faut récrire les équations (2.87)-(2.89). On obtient alors une hélice comme dans le cas du champ magnétique seul traité précédemment, mais une hélice dont le pas v,a croissant (car le champ E, donne naissance à une composante w, de la vitesse) :

Puisque E

II B, il n’y a évidemment

pas de vitesse de dérive car E l = O.

Recherche d’une solution générale Résumons les résultalis des cas précédents pour tenter de dégager les caractéristiques générales du mouvement des particules chargées dans des champs E et B constants et uniformes. La particule chargée décrit une trajectoire qui se compose le plus généralement : 1. D’un mouvement hélicoïdal dans la direction parallèle à B, uniformément accéléré du fait de l’énergie prise au champ E . Dans le cas où E = O avec wo # O, la trajectoire hélicoïdde est à pas constant (pour 200 = O, le mouvement se réduit à une trajectoire circulaire stationnaire). 2. D’un mouvement net dans la direction perpendiculaire à la fois à E et à B , mouvement dit de dérive électrique, qui a la caractéristique d’être indépendant de ma et de qû, de vitesse constante w d = E l / B . Dans le cas w d Y W C r B , la trajectoire donne lieu à un glissement cycloïdal (200 = O) ou trochoïdal ( w o # O). L’examen de l’équation générale du mouvement (2.6) permet de retrouver ces résultats. En regroupant clans le membre de gauche ses termes homogènes en w : (2.101) nous constatons qu’il s’agit d’une équation différentielle dont la solution se compose de la solution générale w1 de l’équation homogène sans second membre (mouvement hélicoïdal) et d’une :solution particulière w2 avec second membre. Nous cherchons donc à déterminer w tel que : w=w1+w2. (2.102) -

Solution générale sans second membre (champ E = O).

La valeur de w1 a déjà été obtenue (équation (2.71)) sous la forme wi = ~ 1 1 0+ w e A T B

décrivant un mouvement hélicoïdal, où déterminer l’expression de w2.

W J Jest ~

,

:

(2.103)

la vitesse initiale. I1 reste donc à

2.2

~

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

99

Solution particulière avec second membre : expression de w2. Nous pouvons construire celle-ci de façon totalement arbitraire pourvu que le résultat obtenu soit effectivement line solution. Pour nous guider dans notre démarche, nous savons que cette solution particulière doit représenter le mouvement de dérive. Aussi, nous allons exprimer w2 dans un trièdre dont les axes cartésiens sont définis (figure 2.10) par : êz II B , ê2, II El, 6, II (ElA BI. C'est la méthode proposée par J.L. DELCROIX. B

I'

Figure 2.10 - Trièdre utilisé pour le calcul de la solution particulière (d'après DELCROIX).

Nous recherchons donc une solution sous la forme ~2

=

+ c ( E A~B ) ,

(2.104)

+ b E l + C(El A B ) ,

(2.105)

bEl

=

&Eli

:

que nous portons dans l'équation du mouvement (2.101) avec second membre :

uEil+ b E l + ? ( E l A B )

-

Q"< [aEii

me

+ b E l + c ( E 1 A B ) ]A B (2.106)

En notant que56 ( E l A B ) A B = - E I B L , et en regroupant les termes suivant les différents axes :

(2.108) dont une solution particulière évident<: est u = qn/ma et b = i. = 0, de sorte que : 4N

a = -,

t

ma

1 b = 0, c = -. B2

(2.109)

Ceci montre que nous avons choisi comme solution particulière celle pour laqiiellc la vitesse initiale de la particule dans IC plan ( B ,E l ) est nulle. Nous avons alors : (2.110)

56 Règle du double produit vectoriel : A A ( B A C ) = B ( C . A)

-

C(A . B).

100

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

où le premier membre de droite est un mouvement uniformément accéléré suivant B,et le second membre représente la dérive suivant la direction perpendiculaire à E l et à B,dont la, vitesse est de module E l / B . ~

Solution de l’équation générale du mouvement. En additionnant w1 (2.103) (en notant que w , A r g = -(q,/m,)B (2.110)’ nous obtenons la solution générale complète :

-- - -

W = Wllo

+ 40, --Tg V L

A

B+

G maE , , t

Mouvement hélicoïdal

A r g ) et w 2

+ -E lB2A B

(2.111)

Dérive électrique

Mouvement uniformément accéléré suivant E 11

Conductivité électrique en présence d’un champ magnétique : nécessité d’une description tensorielle (digression aux trajectoires individuelles) Dans la section 2.2.l’ nous avions calculé la conductivité électrique de particules chargées dans un champ électrique alternatif (B = O). Nous voulons maintenant obtenir l’expression de la conductivité quand les particules sont soumises à un champ magnétique et à un champ électrique constants et uniformes. En recherchant le courant créé par les particules dans des champs E et B,nous passons implicitement de la trajectoire d’une particule à un ensemble de trajectoires individuelles de particules dans un volume unitaire. Pour cet ensemble de particules, nous ferons une fois tie plus l’hypothèse d’isotropie de leurs vitesses initiales de sorte qu’en moyenne, en t = O, il n’y a pas de mouvement dirigé : ( w i n ) = O, (w11o) = O. Dans (2.111)’ il s’ensuit que Wllg = O et T B A B = O ( ~ Kg W l o ) . La densité de courant J , des particules chargées de type Q se réduit alors à : (2.112)

Dans ce qui suit jusqu’à l’équation (2.118)’ nous omettrons l’indice a sur J et o. La conductivité est maintenant une quantité tensorielle : montrons-le en la considérant a priori comme un scalaire, ce qui ne permettra pas de satisfaire (2.112). En effet, dans le cas où J = o.E,nous devrions avoir les composantes suivantes :

J = oE,ê,

+ oE,ê, + oEzê,

(2.113)

mais en développant (2.112) et puisque E l = E,ê, + E u e , (B est pris suivant nous arrivons à :

2)57,

(2.114)

57 On n’a pas décomposé suivant le trièdre de la figure 2.10 puisque, l’expression (2.112) étant vectorielle, peut être développée dans n’importe quel système de coordonnées.

2.2 - ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

101

A

car :

A

ey

e,

E L A B = E, E, O O

O B

ex

(2.115)

Nous notons que dans (2.114) il n’y a pas de composante E, suivant ê, et pas de composante E, selon ê, comme l’exigerait (2.113). En effet, J , de (2.114), par exemple, est de la forme : (2.116) ce qui nous fait conclure que a ne peut être un scalaire en présence de B . Cherchons maintenant plutôt à expliciter les termes d’un tenseur 0 que nous supposerons d’ordre 2 (voir annexe VI1 pour une brève introduction aux tenseurs et annexe VI11 pour les opérations tensorielles), défini par la relation :

J=c.E

(2.117 )

ce qui, de façon explicite, s’écrit :

où aiJ est un élément tensoriel à deux indices (ordre 2) supérieurs (contrawriants). Nous notons que le vecteur J est également contravariant mais que E est (par nature) covariant : par convention, il y a sommation sur un même indice apparaissant en position covariante et en position contravariante et cet indice est dit muet. Dans ce qui suit, cependant, nous ne distinguerons pas la variance des quantités. En développant (2.118), nous trouvons : J

=

+

+

(azaEz+ azyEy a z z E z ) ê z (a,,E, +(aZ,E, oZYEy a,,E,)ê, .

+

+

+ ayZIE,+ a u z E z ) ê , (2.119)

Par identification de (2.119) avec (2.114), (2.120) de sorte que ce tenseur se représente par la matrice

:

Dans le cas présent et en supposant un plasma macroscopiquement neutre (ne= n ? ) , le courant électrique total dû aux charges positives et négatives est tel que seule sa composante suivant la direction du champ B est non nulle, puisque suivant x et y, ai, O& = ( e n a / B-) (en,/B) = O, etc. En effet, le mouvement de dérive électrique ne peut donner de courant net car le glissement des ions et des électrons a lieu dans la même direction, à la même vitesse, d’où un transport de charges net qui est nul5*.

+

58 C’est un faisceau de particules chargées neutralisé !

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

102

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Remarque :

1. Dans (2.118), l’él6,rrient crij du tenseur 0 exprime le fait que la composante Ej du champ électrique (la force) dans une direction donnée induit un courant J i (une action) dans une autre direction. 2 . Le lecteur pourra déterminer le tenseur g p de permittivité relative correspondant à u et y faire apparaître la fréquence des électrons du plasma, en généralisant (2.40) : E

= I + +U= ,

-P

où

I

(2.122)

%WE0

est le tenseuir unité (représenté par la matrice unité).

CHAMPMAGNÉTIQUE CONSTANT

ET UNIFORME

ET CHAMP ÉLECTIHQUE ALTERNATIF ET UNIFORME

Le problème à résoudre n’est pas très différent de celui de l’équation (2.101) qui a conduit à la solution générale du cas précédent ( E constant) puisque maintenant : (2.123)

I1 nous faut chercher une solution particulière avec second membre5’, toujours avec le triedre de la figure 2.10, mais en posant cette fois : ula

+

+

= a E o ~ ~ e z WbEOleLWt t c

( A

~~

) ~,

e~

~ (2.124) ~ ~

expression que nous reportons dans (2.123), d’où :

[&Eo11 + bEoi

+ b ( E o i A B)]eLwt+

;W

[aEol1+ b E o l

+ c ( E o l A B)]ezwt

Notant que Eoii A B = O, et par identification suivant les différents vecteurs de base du trièdre, il vient : (2.126)

(2.128) Pour déterminer la solution, il nous faut distinguer deux cas : 1. Hors résonance

(LI

# w,)

59 Rappelons que cette solution

w2

est liée au mouvement de dérive dans E l et B.

2.2

-

ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

103

Solution de (2.126)-(2.128). Une solution particulière simple est alors cients est dans ce cas :

ci =

b

= i: =

O ; la valeur des coeffi-

(2.129) de sorte que

:

-)

b = % (1 - B2q,b awm, awm,

, c’est-à-dire b

(2.130)

ou. encore :

(2.131)

Noter que le coefficient b est fini à condition d’exclure la valeur w = w,. Finalement :

a=

a40

-~

wmcy

, b = - iq,

m, (w:

q,2

w -

w2)

etc=m;

1

(2.132)

(02- w 2 ) ’

de sorte que le mouvement général, hors résonance cyclotron, s’&rit :

t

Mouvement hélicoïdal + toutes conditions initiales

t (-il

t (+I) (2.133) Parce qu’il s’agit d’un mouvement périodique à la même fréquence suivant les 3 axes et en raison des relations de phase particulières entre les 3 composantes de w2, à savoir -7r/2 pour Eoii et 7r/2 pour Eol par rapport à l’axe (Eo1 A B ) dans le cas où w, > w , nous obtenons de (2.133) une trajectoire, fermée sur elle-même, correspondant à un mouvement elliptique à trois dimensions qui se superpose au mouvement hélicoïdal dépendant des conditions initiales (difficile à se représenter !). Dans le cas où w = O (champ E constant), nous avons vu que la vitesse w2 décrivait le mouvement (axial et latéral) du centre de guidage6’. En présence d’un champ E variant harmoniquement, le mouvement de dérive n’a pas lieu : 60 En effet, pour E constant, w2 (2.111) prend en compte le mouvement de dérive (perpendiculaire à E l et à B) et le mouvement uniformément accéléré suivant B ,en somme le mouvement du centre autour duquel s’effectue la giration cyclotronique.

104

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

le terme selon E : o l A B dans (2.133) ne comprend pas une dépendance linkaire en t comme dans (2.88) et (2.89) lorsque E est constant. Cette dérive se trouve en fait “annihilée” parce que la composante Eol et, par conséquent, la vitesse de dérive oscillent périodiquement. Par ailleurs, pour w tendant vers zéro, le terme en Eo1 dans (2.133) disparaît et le terme en Eoii, parce que sinwt + w t , se ramène à (qa/m.a)EOl\t, tout ceci en conformité avec l’expression (2.110) de 2 0 2 obtenue pour E constant. Représentation de la composante

2021

de la solution particulière de (2.133).

En recourant au repère de la figure 2.10, nous trouvons, dans le plan perpendiculaire à B,une ellipse dont le grand axe est selon Eo1 ou selon Eol A B , suivant que w > w, ou w < w, (figure 2.11). Pour le montrer, nous récrivons les deux composantes correspondantes de w2 dans (2.133) sous la forme : (2.134) remarquant que le terme E o l A B / B est de même module que EOL. On peut alors constater que pour w > w,, la vitesse w21 est principalement61 en quadrature de phase (en avanc’e pour l’électron puisque qa = -e) avec le champ E 1 alors que pour w < w,, el1.e est principalement en phase; ceci conduit à la représentation de la figure 2.11. LJ

> Wce

W

< Wce

\

Figure 2.11 - Orientation de t u g 1 par rapport au repère de référence (Eo,- A B,Eo1, B ) (cas d’un électron hors résonance). Voir annexe IX pour les détails.

2. A la résonance ( w = w,). Solution de (2.1:26)-( 2.128) La solution particulière ne peut plus admettre b = i: = O car, d’après (2.132), les coefficients b et c tendraient alors vers l’infini. On peut cependant conserver la solution qui correspond à u = O : (2.135)

61 L’adverbe principalement est utilisé pour souligner que le terme de plus faible amplitude dans (2.134) n’est pas forcément négligeable selon la valeur du rapport w / w c e .

2.2 - ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

105

B

Pour connaître le coefficient e , portons la valeur de b donnée par (2.127) dans (2.128) et nous obtenons :

(2.136) et, pour y éliminer b, dérivons par ailleurs (2.128), en mettant b en évidence : ma (2.137) b = ( C iwC)-, qa ce qui, reporté dans (2.136), donne :

+

En regroupant les termes de (2.138)’ il vient :

C+2iwE= -4:- w : e + w 2 e , mL,

(2.139)

de sorte qu’à la résonance (w = w,) :

C

42 + 2iwE = -

ma

(2.140)

Une solution particulière valable de (2.140) est C = O, ce qui entraîne que i: = qa/2iwma, d’où :

(2.141) L’expression de c de (2.141) reportée dans (2.128) donne pour b :

(2.142) Finalement, la solution particulière s’écrit :

-

Représentation de la solution 0

0

Le mouvement parallèlement à B est le même qu’en dehors de la résonance (et il est, évidemment, indépendant de B ) ; le mouvement dans le plan perpendiculaire à B est tout à fait différent. Les termes liés à Eo1 et (Eo1 A B ) croissent indéfiniment avec le temps, et ce mouvement tend vers une amplitude infinie : c’est le phénomène de résonance gyromagnétique ou résonance cyclotron.

Le mouvement dans le plan perpendiculaire à B peut, en fait, se décomposer en 2 parties : O

un mouvement suivant Eo1 purement oscillant, d’amplitude limitée ;

106

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

un mouvement suivant Eo1 et un mouvement suivant Eo1 A B , déphasés de 7r/2 l’un par rapport à l’autre et d’amplitude croissante : leur résultante décrit une spirale de rayon T B croissant, ce que l’on pourra aisément vérifier, mais de fréquence de rotation constante (puisque w, = -yaB/ma est indépendant de la vitesse des particules). Remarques : 1. Si la composante E l du champ électrique tourne en sens inverse du mouvement cyclotronique des particules et à la même fréquence, c’est-à-dire w = -wc,il ne peut y avoir de résonance (voir l’exercice 2.7).

2 . I1 est clair que l’amplitude de ce mouvement cyclotronique ne peut augmenter indéfiniment car : des collisions peuvent interrompre le mouvement de l’électron (ion) et, de ce fait, limiter son gain d’énergie, de toute manière, la croissance du rayon de giration de l’électron (ion) sera limitée par les dimensions de l’enceinte.

2.2.3. C H A M P IUAGNÉTIQUE NON UNIFORME OU VARIABLE DANS LE TEMPS

Le traitement des équations du mouvement effectué jusqu’ici a été purement analytique, sans approximation aucune. Pour continuer à traiter analytiquement les cas où les particules chargées sont soumises à des champs magnétiques qui ne sont plus uniformes ou constants, il faudra nous limiter à des champs B qui ne sont que 1égèrement non uniformes spatialement ou lentement variables dans le temps. Cette restriction nous permet de considérer que la trajectoire hélicoïdale autour d’une ligne de force initiale se modifie de façon à peine perceptible pendant une rotation cyclotronique : autrement dit, il faut un certain nombre de ces girations complètes pour que la vitesse axiale du centre de guidage ou sa position initiale dans la direction perpendiculaire à B soit significativement modifiée6” Cette lente variation du mouvement du centre de guidage nous permet d’introduire l’approximation du centre de guidage, encore appelée approximation adiabatique (au sens où l’énergie de la particule varie très lentement). CARACTERISTIQUES DE L’APPROXIMATION DU CENTRE DE GUIDAGE ~

A l’ordre zéro de cette approximation, la trajectoire dans le plan perpendiculaire à B est circulaire : en un point donné de la ligne de champ B définissant l’axe

de guidage, le champ B est supposé uniforme aussi bien dans le plan contenant la trajectoire cyclotronique qu’axialement (c’est l’approzimation d’uniformité locale). En un autre point de cette ligne de champ, le champ B peut être différent, mais 62 Rappelons que l’axe de guidage est défini instantanément par la ligne de force du champ B autour de laquelle s’effectue le mouvement cyclotronique.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

107

est, à nouveau, supposé uniforme transversalement et axialement. En l’absence de champ électrique appliqué, le mouvement dans la direction de B est uniforme. Au total, la trajectoire est hélicoïdale. ~

A l’ordre un, les “inhomogénéités” (spatiales ou temporelles) introduisent des variations dans le mouvement du centre de guidage aussi bien dans la direction de B (on cherchera plutôt à en déterminer la vitesse axiale) que perpendiculairement à celiiici (on cherchera plutôt à en déterminer la position latérale). Ces inhomogénéités interviennent localement, aussi bien transversalement qu’axialement, comme des perturbations au champ supposé uniforme à l’ordre zéro.

LE

MOMENT

MAGNETIQUE

ORBITAL

ASSOCIE

AU MOUVEMENT

CYCLOTRONIQUE COMME CONSTANTE D U MOUVEMENT CONCRÉTISANT L’APPROXIMATION DU CENTRE DE GUIDAGE

La méthode d’approximation que nous venons d’introduire s’explique bien physiquement et se développe de façon simple mathématiquement en ayant recours au moment magnétique orbital, un invariant associé à la composante cyclotronique du mouvement hélicoïdal de la particule chargée. Définition : Le moment magnétique p d’une boucle de courant d’intensité I délimitant une surface S est égal à S I . Dans le cadre de notre approximation, à l’ordre zéro, nous avons S = 7rri et I = qaNZ où N x est le nombre de tours par seconde qu’effectue la particule chargée sur l’orbite circulaire cyclotronique. Comme N Z fc = wC/27r, la valeur de p est donnée (en module) par :

=

(2.144)

et

(2.145)

où Ecinl est l’énergie cinétique de la particule dans le plan perpendiculaire à B . Le champ magnétique créé par le mouvement cyclotronique de la particule tendant à s’opposer au champ B appliqué (voir page 90, la remarque sur le diamagnétisme), p comme vecteur est antiparallèle à B .

Le moment magnétique orbital est une constante du mouvement (à l’ordre zéro) Considérons le cas où la variation de B a lieu en fonction du temps63 : ceci entraîne l’apparition d’un champ E puisque :

dB VAE=--,

at

(2.146)

63 On pourrait équivalemment définir l’adiabaticité de p. sur une inhomogénéité spatiale : c’est une question de repère. Si B est inhomogène dans le repère du laboratoire, dans le repère de la particule, B varie avec le temps.

108

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

champ qui peut accélérer (décélérer) les particules. Ainsi, dans la direction perpendiculaire à B , nous pouvons écrire (2.11) que : (2.147) où E est le champ induit par B . Dans ce cas, la variation d’énergie cinétique sur une période 2.ir/wC est donnée par :

(2.148) où dl/dt est le vecteur vitesse curviligne instantané, tangent à la trajectoire en chaque point. Si l’on suppose maintenant que la vitesse parallèle à B n’est pas très grande et que le centre de guidage se déplace peu perpendiculairement à B , notamment parce que le champ B ne varie pas trop (hypothèse de la méthode de calcul), on peut remplacer cette intégrale sur la trajectoire hélicoïdale par une intégrale de circulation sur l’orbite circulaire (non perturbée par l’inhomogénéité). En effet, en faisant appel au théorème de STOKESqui énonce que “la circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers une surface quelconque s’appuyant sur le contour”, nous obtenons :

(i

6 -maw:

)

J’J

=$q,E.dl=q,,

(V/\E).dS

(2.149)

S

et,

(2.150)

où B est un flux à travers la surface élémentaire d S ; la valeur du cosinus de l’angle entre la direction de la normale à la surface élémentaire et le vecteur B fixe le signe de l’intégration.

La variation d’énergie cinétique par unité de temps prend la forme (7, étant la période de giration) : (2.151) et de (2.144)’ par définition, nous arrivons tout simplement à : (2.152) Par ailleurs, d’après (2.145), il est également possible d’écrire : ap

-B

at

+ p-,aB at

(2.153)

de sorte qu’en comparant (2.152) et (2.153), il est clair que d p / a t = 0, ce qui montre que le moment p est une constante quant au temps.

2.2

-

ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

109

On l’appelle premier invariant adiabatique. Se rappeler que le moment magnétique n’est strictement constant que si B est parfaitement uniforme et wall = O : il est constant, en première approximation, pourvu que le changement de B soit lent, c’està-dire adiabatique. Remarque : Dans la mesure où l’on peut considérer que le moment p est constant, le rapport & c i n ~ /qui B lui correspond demeure constant de sorte que si B varie, in^ devra aussi varier dans le même sens et proportionnellement. Comme l’énergie cinétique totale est conservée (absence de champ E appliqué), les valeurs W I I et W L vont se modifier de façon à ce que w l diminue si W I I augmente et inversement. Champ magnétique constant mais non uniforme dans la direction parallèle à B ( E = O) Nous continuerons à supposer qu’il n’y a pas de champ E appliqué64. A priori, nous sommes portés à représenter ce champ comme étant purement axial :

B = B(z)ê,,

(2.154)

ce qui s’avère incorrect : le gradient de B suivant z entraîne nécessairement l’existence d’une composante B,. Pour le voir, adoptons un champ B de symétrie axiale, comme le montre, en guise d’exemple, la figure 2.12.

Représentation approximative des lignes de force d’un champ B de symétrie axiale et axialement non uniforme. Le resserrement des lignes de forces indique un accroissement de l’intensité de B . Figure 2.12

-

I1 suffit de considérer l’équation de MAXWELL :

V.B=O

(2.155)

(qui signifie que les lignes de champ magnétique doivent se refermer) et de l’exprimer, compte tenu de la symétrie du problème, en coordonnées cylindriques (où les unités locales de longueur sont respectivement el = 1, e2 = 1 et e3 = r pour les coordonnées z , r , ‘p)65 ; nous obtenons :

d V . B = -B, dz

I d i a + --(rBT) + --Bp

r 89

r dr

=O.

(2.156)

64 Comme B est constant dans le repère du laboratoire, il n’y a pas non plus de champ E associé à B par la relation de MAXWELL V A E = - a B / d t , ce qui n’est pas le cas dans le repère de la particule ! 65 De façon générale, la divergence d’un vecteur a pour expression (annexe XIX) 1

+

+

V . B e i=e mL [ai(eze3Bi) û z ( e i e 3 ~ z ) & ( e i e z ~ s ) ]. où V . B est en fait un pseudo-scalaire (voir annexe VII).

110

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Par construction, la figure 2.12 présente une symétrie axiale, c’est-à-dire dB,/ôcp = O, de sorte que

I d a (2.157) - - ( r B T ) = --BZ, r dr az ce qui implique que l’inhomogénéité du champ B suivant sa propre direction ne peut exister sans que celui-ci ne possède une composante transversale, qui est B, dans le cas présent. 1. Expression de B au voisinage de l’axe pour un champ faiblement non uniforme.

Considérons a priori qu’on connaît en T = O l’expression de B , ( z ) et de son gradient axial, ( d B , / d ~ ) ~ =Par , , . ailleurs, nous pouvons nous aider de la figure 2.12 pour voir que B, passe radialement par un maximum sur l’axe de symétrie, et donc en r = O, dB,/dr = O. Nous allons maintenant considérer qu’au voisinage de cet axe, ( d B / d ~ ) , ?2~ constante, ce qui fait que la composante B, est indépendante de r au second ordre près. Dans ces conditions, par intégration de (2.157) sur r au voisinage de l’axe :

L’expression complète et correcte du champ B lorsque celui-ci est non uniforme suivant sa propre direction et dans l’hypothèse d’une symétrie axiale n’est donc pas (2.154) mais bien :

B = ê,B,(z)

-

ê;,

(2)

(2.159)

r=O

Nous constatons que la correction liée à la composante B, est d’autant plus importante que le gradient axial est fort et que nous nous éloignons de l’axe. Selon nos hypothèses de calcul, cette correction est d’ordre un, en fait linéaire en r au voisinage de l’axe.

+

Puisque la composante B, est nulle, et donc que B = êTBT ê,B,, nous pouvons exprimer B en coordonnées cartésiennes de la façon suivante :

I

B = --3;

2

dB, (K)

1

x=y=o ex

-

aB,

iy

êY+ B,ê, .

(2.160)

2. Trajectoire de la particule chargée da,ns le champ B obtenu. Nous devons résoudre

:

maw = q,(w A B ) .

(2.161)

Compte tenu de nos hypothèses, la composante de la vitesse perpendiculaire à B s’obtient, en première approximation, en supposant que le mouvement cyclotronique a lieu dans un champ localement uniforme. I1 ne reste donc qu’à calculer wll .

3. Equation du mouvement dans la direction de B, Le champ B n’étant pas tout à fait uniforme selon z , la vitesse du centre de guidage dans cette même direction ne demeurera pas constante.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

+

111

Pour la calculer, nous poserons w = w,ê, w y e y ma.wl1 = ê,qa[Byw,

-

+ w,e,,

et, d’après (2.161) : (2.162)

B,wy].

La variation de la vitesse du centre de guidage décrite par (2.162) correspond à l’ordre un de notre méthode de calcul. I1 est donc correct d’utiliser les vitesses à l’ordre zéro dans le plan perpendiculaire à l’axe z pour développer (2.162) : (2.163) où le terme (dB,/dz)o,o est, par hypothèse, d’ordre un alors que x, y , w, et w y sont d’ordre zéro : le membre de droite de (2.163) est donc bien d’ordre un.

4. Solution de l’équation du mouvement. Les expressions de la position et de la vitesse dans le plan perpendiculaire à B sont, par hypothèse de la méthode d’approximation utilisée, celles déjà obtenues dans un champ B uniforme (3 2.2.2, E = O). Sous une forme plus succincte, nous pouvons les écrire :

wy

A

p)

,

z=

-WC

Acos(uct - p)

,

y=

-

wX = Asin(w,t

-

A

cos(wCt- p)

sin(w,t

-

p)

,

.

(2.164) (2.165)

we

Posons w,(O)= O et wu(O) = wuo, ce qui entraîne respectivement p = O et A = wYo, de sorte que :

w, = wYo sin wet ,

x

= -W Y0 cosw,t

,

(2.166)

we

wy

=

wYoC O S W , ~ ,

y =WY 0 sinw,t

.

(2.167)

WC

Ce repère est tel que, pour w, > O et B entrant dans la feuille, les électrons tournent dans le sens anti-horaire : pour le voir, considérer les valeurs de z et y en t = O et en t = 7r/2wC.I1 y a donc eu changement de convention, et pour rétablir le mouvement dans le bon sens, il nous faut poser w,, = -eB/m au lieu de we, = e B / m . Pour respecter nos conventions ( 5 2.2.2, E = O), il aurait en effet fallu prendre w x = A cos(w,t - p) et wy = A sin(w,t - p) avec en t = O, cette fois wy(0) = O et w,(O) = wx0. Dans ce cas, nous aurions eu : wz

=

wZocoswct

,

wy

=

wzosinwct

,

wxo

x = -sinw,t , WC

wxo = --cosw,t wc

112

2

-

MOUVE:MENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

On vérifie facilement que (2.166) et (2.167) conduisent bien à ce que z2 ( W ~ O / W , ) ~ = r i . Alors, en reportant (2.166) et (2.167) dans (2.163) :

[-,,,Y, sin2 w,t

malitil = i 5 z ~

W,

-

w;o cos2 w,t WC

1

,

ET

B

+ y2 = (2.168)

où, pour ce qui es,t du signe de w C rnous avons fait exceptionnellement66 w, = (qa/ma)BII.En simplifiant : (2.170)

(2.171) C’est la vitesse, exclusivement parallèle à B , du centre de guidage dans le cas où le gradient de B est principalement dans la direction du champ. De (2.169)’ nous pouvons aussi tirer une expression qui nous sera utile par la suite :

F, = rn,wiI = --mawI02

(2.172)

L’annexe X propose une autre démonstration de l’expression (2.172). Par ailleurs, l’annexe XI utilise (2.172) pour montrer, d’une autre façon que par la méthode développée de (2.1.46) à (2.153)’ que /I est une constante du mouvement dans l’approximation du centre de guidage. 5 . Analyse du mouvement un gradient axial de B .

WII :

freinage ou accélération des particules chargées sur

D’après (2.171)’ le gradient dB,/dz exerce sur les particules chargées : -

Soit une action de freinage si d B , / d z > O puisque dans ce cas wii(t) diminue en fonction du temps et finit par changer de signe si le deuxième terme de (2.171) l’emporte sur le premier. Si B,,, est la valeur maximum de B et Bo celle de la région de B uniforme (figure 2.13)’ la région Bo < B < B,,, où les particules sont susceptibles d’être réfléchies constitue ce qu’on appelle la zone miroir, Soit une action d’accélération si d B , / d z sur un miroir, pax exemple.

< O,

comme c’est le cas après réflexion

Le type d’action exercée par aB,/dz sur la vitesse ne dépend ni du signe de la charge de la particule ni de sa masse, puisque de (2.171)

66 B I ,représente la valeur B , ( z ) en z = O (région de

B uniforme).

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

113

il y a donc possibilité de confiner axialement toutes les particules chargées. L’efficacité de ce confinement dépend, finalement, du rapport q ( O ) / w l ( O ) : s’il est trop grand, le miroir ne pourra pas jouer son rôle. comme nous allons maintenant le montrer.

Figure 2.13 - a) Champ magnétique de confinement de particules chargées montrant la zone miroir où elles sont réfléchies ; b) la valeur de B est d’autant plus grande que les lignes de champ (figure a) sont resserrées.

* z

Remarque : On peut aussi comprendre le fonctionnement d’un miroir magnétique (figure 2.13) en nous appuyant sur le fait que, dans le cadre de notre approximation, l’énergie cinétique totale de la particule est conservée. En effet, dans ce cas, il n’y a pas de champ E appliqué et le champ E induit par cette inhomogénéité de B est négligé. Nous avons donc :

W_L+ WII= constante d’où :

(2.173)

dWll = -dWl .

(2.174)

D’autre part, à partir de (2.172)’ nous pouvons écrire le travail élémentaire effectué par la particule dans le champ B en termes de l’énergie cinétique parallèle à B67 :

F d z = dWii = -pdBII

.

(2.175)

En tenant compte de (2.174) dans (2.175) et puisque p = W i / B (2.145), nous avons : WL (2.176) d W l = PdBII = -dB11 BI1 (2.177)

ou encore :

67 En (2.172), nous avions obtenu F = - p d B , / d z ,

d’où F d z

E

-,udBII.

2

114

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Ce résultat signifie que si Bi1 augmente, il faut que W , augmente, de façon à ce que le rapport W _ L / Bdlvmeure I~ constant. Lorsque la particule entre dans la zone miroir, son énergie Wil va décroître, puis s’annuler pour augmenter de nouveau quand elle aura été “réfléchie”. Comme W i augmente dans le col et que r g = W i / B , la question se pose de savoir si r g ne va pas croître au point où la particule toucherait la paroi. En fait, la valeur de rg dans la zone miroir diminue car la valeur de B y augmente plus .

6. Cône de pertes du miroir magnétique d’une machine linéaire. Considérons la configuration typique d’une machine linéaire à confinement magnétique, avec un miroir en chaque extrémité telle que décrite en figure 2.14. Nous allons chercher à déterminer les conditions qui font que les particules incidentes vont sortir de la machine, c’est-à-dire “passer à travers le miroir”.

j-

”.t B,,,

Bo

..................

.....

...........................

~

+ d -

miroir: région de B uniforme +

z

Figure 2.14 - Configuration typique du champ magnétique de confinement d’une décharge linéaire où chaque extrémité est close par un miroir (configuration dite “à minimum B”).

La particule traverse la zone uniforme avec une vitesse w g (faisant un angle NO avec l’axe du champ B)pour atteindre la zone miroir avec une vitesse w (angle N avec B ) , comme le montre la figure 2.15 a). Décrivons maintenant la vitesse d’une particule suivant seLi composantes parallèle et perpendiculaire au champ B . Ainsi, dans la région à champ uniforme (figure 2.15 b), wg = wgll +wO1 (l’indice inférieur O indique ici qu’il s’agit de la région de champ homogène) où : (2.178) (2.179) avec wg =

JGK.

Dans l’hypothèse où le champ B varie lentement suivant z et en l’absence de champ E appliqué, nous savons que m,w0/2 = constante (seul le rapport wl/wlI peut varier) et que le moment magnétique p est, en première approximation, constant.

68 Pour vérifier cette affirmation, il suffit de différencier r i = w % / w r. Tenant compte de (2.176), on obtient

Par conséquent, si le :;radient de Ell est positif (zone miroir), le rayon de LARMOR diminue effectivement quand Ell augmente.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

115

(b) Figure 2.15 - a) Orientation du vecteur vitesse par rapport à l’axe dans la zone à champ B uniforme (NO)et dans la zone miroir ( a ); b) décomposition de la vitesse w o suivant l’axe z ( w o ~ /et) perpendiculairement à celui-ci ( ~ 0 1 ) .

woL

On peut ainsi établir une relation entre la vitesse dans la région à champ uniforme et celle dans le miroir en notant, que (2.145) : /I

=

1 Zm,wi sin2 cy0 BO

-

. 2 ~1 m , w2osin B

cy

’

(2.180)

où w l = wo sin Q dans la région du miroir, de sorte que :

sin Ly = sin cy0

E.

(2.181)

I1 y a réflexion de la particule dans la mesure où a: > 7r/2. La relation (2.181) montre que si a0 est, suffisamment petit (ce qui correspond au cas d’une particule ayant une trop forte composante de vitesse “parallèle” dans la région de champ homogène), la valeur de B/Bo pourra ne pas être assez grande pour réaliser s i n a = 1 ; c’est certainement toujours vrai pour a0 = O ! Lorsque c’est le cas, la particule passe à travers le miroir et va se neutraliser sur les parois, et elle se trouve “perdue” pour le plasma. Appelons aOm,la valeur minimum de l’angle a0 pour laquelle il y a encore réflexion des particules au maximum de champ B,,,. Si l’on désigne le rapport du miroir par : E Brriax/Bû ’ (2.182) la valeur aOln s’obtient pour sincy = 1 dans (2.181) : (2.183)

et finalement :

(2.184)

116

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

L’angle aOrndéfinit un cône à l’intérieur duquel les particules quitteront le plasma en bout de machine. On remarque que l’efficacité d’un miroir magnétique à réfléchir les particules chargées est indépendante du module de la vitesse de la particule (wo), aussi bien que de sa charge et de sa masse. 7. Pourcentage des particules incidentes réfléchies par un miroir magnétique. Considérons la configuration de champ magnétique précédente (figure 2.15(a)) et supposons que la distribution angulaire des vitesses des particules est isotrope dans la zone uniforme : autrement dit, la densité des particules, ~ ( Q o ) est , la même quelle que soit la valeur de ( Y O . Nous voulons calculer C, = F,/I?inc, la fraction du flux incident rincqui est réfléchie par le miroir, sachant qu’il y a réflexion si QO > aOm. Pour cela, il faut évaluer le nombre de particules par seconde se dirigeant vers le miroir, rinc, et lui soustraire le nonibre de celles-ci dont l’angle QO < aom (et qui ne sont pas réfléchies), ce qui mènera à I?,. I1 suffit d’établir ce bilan pour chaque valeur de cy0 à partir d’un angle solide d’orientation azimutale p quelconque puisqu’il y a symétrie axiale. Considérons l’angle solide dR(a0, p) dans lequel ces particules s’engagent (figure 2.16) : celui-ci détermine une surface élémentaire da(cuo), orientée suivant ao, dont la projection perpendiculairement à l’axe du miroir, da(a0) cos^^^^, constitue la surface effective que le flux incident en direction du miroir traverse. Nous aurons donc : I?iIir(ao) = nwo da(cr0) COSQO

où, comme nous l’avons vu, n ne dépend pas de

(2.185)

QO.

orientée suivant ao.

Par définition, da = r2dR où dR, l’angle solide élémentaire, a pour expression dans un repère de coordonnées sphériques ( T , 0 0 , p) : dR = sinao dao d p

.

(2.186)

La symétrie axiale implique que l’intégration sur p donne 27r. Nous pouvons donc écrire : (2.187) Ce résultat est indépendant du module de la vitesse, donc valable pour toute la distribution en énergie des particules. 69 Bien se rappeler qu’un flux est par définition toujours évalué normalement à la surface qu’il traverse.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

117

En simplifiant et après transformation trigonométrique

(2.188)

ce qui donne

d’où finalement :

c,=1--.

1

(2.189)

R

Remarques :

1. La fraction des particules réfléchies est d’autant plus grande que c’est-à-dire que B,,, est important devant Bo.

R

est grand,

2. Les campagnes de mesure par satellite ont permis de mettre en évidence l’existence de ceintures (couches) de particules chargées de grande énergie entourant la terre. Ces particules, d’origine cosmique, sont piégées dans le champ magnétique terrestre et réfléchies aux pôles : à cet endroit, en effet, les lignes de force du champ B terrestre se resserrent, faisant office de miroir.

3. Les particules confinées dans un système ayant un miroir à chaque extrémité vont effectuer un mouvement périodique entre ces deux miroirs (voir exercices 2.15 et 2.16). Champ magnétique constant mais non uniforme dans une direction perpendiculaire à B 1. Lignes de champ supposées rectilignes.

Considérons à nouveau que B est entièrement dirigé suivant z et uniforme selon cet axe. Le gradient qui l’affecte, par hypothèse, lui est perpendicuhire et uniquement dirigé suivant l’axe y : V B = (dB/dy)êy et, donc, d B / d x = O. Nous allons, en outre, poser que B croît lentement avec y de sorte qu’au total B a pour expression :

B ( y ) = ê,Bo(l +Dy), O

< /3 < 1 .

(2.190)

Si le champ était uniforme (/3 = O), nous aurions une giration cyclotronique de rayon constant dans le plan xOy (trajectoire en pointillé sur la figure 2.17). A cause de l’inhomogénéité du champ dans ce plan (/3 # O), la trajectoire n’est plus tout à fait circulaire et elle ne se referme pas sur elle-même, comme le montre la figure 2.1770 : cela vient de ce que le rayon de LARMOR diminue, de même que le rayon de courbure 70 Selon notre hypothèse d’adiabaticité, il faut plusieurs girations complètes pour que ce phénomène se manifeste.

118

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

de la trajectoire, alors que la particule se dirige vers les valeurs de y croissantes (sur l’exemple considéré) avec le résultat que le centre de guidage se déplace. Ce dernier se dirige, en moyenne, selon II: croissant si la particule tourne dans le sens horaire comme représenté sur la figure 2.17 : ce mouvement moyen (sur plusieurs périodes), dit de dérive magnétique, s’effectue dans la direction perpendiculaire à B et à VIBI. Calculons cette vitesse w ~ Mde dérive magnétique.

tion Oy (relation (2.190)). I1 y a dérive magnétique suivant x.

Vitesse instantanée du centre de guidage Pour connaître dR,/dt où R, est la position instantanée du centre de guidage (figure 2.18), nous allons recourir à notre approximation adiabatique : le mouvement de la particule est déterminé à l’ordre zéro par la giration cyclotronique dans le champ B en faisant abstraction des effets engendrés par sa non-uniformité ; ce mouvement est perturbé à l’ordre un par la dérive magnétique. Mouvement à l’ordre zéro : calcul de R . Le vecteur rayon de giration R donne la position du centre de guidage par rapport à la particule, comme le montre la figure 2.18, et nous allons établir que : ma (2.191) R = -(wAB) 40 B2

Pour démontrer cette expression, il suffit de nous rappeler, de façon géntkale, que pour une particule repérée par le vecteur T’ à partir de l’axe autour duquel elle est en rotation à une fréquence w , sa vitesse tangentielle obéit à la relation w = w A T ’ . Dans le cas présent, ceci se traduit par :

W = + ~ A R , ma

(2.192)

2.2 - ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

119 Y

Figure 2.18 - Le vecteur R décrit la position du centre de guidage dans le repère de la particule (cas de l’électron), ellemême repérée par le vecteur r dans le laboratoire. Noter que R est perpendiculaire à la trajectoire cyclotronique au point considéré et que R, = r R .

+

-

X

O

puis, en multipliant cette expression vectoriellement à droite par B WAB=-(BAR)AB.

(2.193)

ml2

En nous rappelant que le double produit vectoriel obéit à la règle suivante :

PA(QAT= ) Q(T.P)-T(P.Q), donc :

(2.194)

(QAT)AP=T(P.Q)-Q(T.P),

(2.195)

w A B = 4u [ R ( B. B ) - B ( R .B ) ]

(2.196)

nous trouvons que :

ma

où le terme R . B est nul puisqu’à l’ordre zéro le vecteur rayon de giration R est nécessairement perpendiculaire à l’axe de guidage, de sorte que (2.196) conduit bien à (2.191)71 : (2.191) Mouvement à l’ordre un

:

calcul de R,.

Bien que nous soyons dans l’hypothèse où les lignes de champ sont rectilignes, afin de ne pas avoir à reprendre la démonstration qui suit en 2), nous posons B = BeB plutôt que B = Be,, e B étant le vecteur unitaire tangent à la ligne de champ, pour tenir compte de la courbure de celle-ci. D’après la figure 2.18,

R,=r+R

(2.197)

où R décrit le mouvement du centre de guidage dans le repère de la particule, elle-même repérée par le vecteur r dans le laboratoire. Nous pouvons alors récrire R (2.191) sous la forme :

(2.198)

71 E n fait, il suffit de noter que )Ri = m a w l / q a B (\RI = r g ) et que R est perpendiculaire à w et

A B.

120

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Alors, la dérivée de (2.197), tenant compte de (2.198), donne72 :

où deB/dt = 0 dans l’hypothèse où B demeure parallèle à l’axe z (cas 1)).Par ailleurs, dans la mesure où au point 2) qui suit nous faisons l’hypothèse d’une faible courbure des champs, nous allons négliger le terme faisant intervenir d e ~ / d t Nous ~ ~ . prenons donc B = ê,B et (2.199) se réduit à :

(2.200) Pour modifier le troisième terme du membre de droite, nous multiplions l’équation du mouvement m,dw/dt = qa(wA B)vectoriellement à droite par B :

dw ma- A B = q , ( ~A B ) A B . at

(2.201)

Compte tenu des propriétés du double produit vectoriel (voir (2.195)) : (W

A

B)A B = B(B . W )

nous aurons

-

W ( B .B)

= B ( B w ~-~ W)

B ,~

dw ma- A B = qa(wii- W ) B ,~ at

:

(2.202)

(2.203)

expression que nous substituons dans le troisième terme de droite de (2.200). Après réorganisation, (2.200) donne :

5=w+ at

1 4aB

[qa(-w

+ wll)B2]

ma dB (wA B ) , qaB3 dt

- ~-

(2.204)

de sorte qu’en simplifiant, nous obtenons l’expression de la vitesse du centre de guidage dans le repère du laboratoire : (2.205)

où le premier terme représente la vitesse du centre de guidage le long des lignes de force du champ B (ordre zéro) et le deuxième est la vitesse du centre de guidage dans la direction perpendiculaire à w 1 et à B (ordre un), mouvement variant périodiquement dans le temps du fait de la trajectoire cyclotronique de la particule. 72 Si B est non uniforme spatialement dans le repère du laboratoire, il varie avec le temps dans le repère de la particule.

7 3 Si on tenait compte de dêB/dt, sa contribution serait d’ordre 2 dans une expression qui est d’ordre un. En effet, dêB/dt = (dêB/dy)dy/dt est un terme d’ordre 2.

2.2 - ANALYSE DE

0

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

121

Vitesse moyenne du centre de guidage : vitesse de dérive magnétique I1 s’agit de calculer la moyenne temporelle du deuxième terme de (2.205) que l’on récrit :

où le terme de droite est maintenant exprimé dans le repère du laboratoire. Comme la moyenne temporelle de w,wy est nulle74 et que : -

1

w; = 2w:

2 - 2 (WL = w,

+ w;) ’ -

(2.207)

il vient finalement que le mouvement moyen de dérive magnétique a pour vitesse : (2.208) que l’on peut transformer, sachant que dans un trièdre droit (par opposition à un trièdre gauche) -ez = ê, A ê y , en : WDM

w: 1 ( BA V B ) 2 4aB3

= ma--

ou, encore :

(2.209) (2.2 10)

qui est la vitesse de dérive magnétique de la particule en présence d’un gradient de champ perpendiculaire à B supposé sans courbure. Nous aurions pu obtenir la relation (2.210) directement à partir de l’expression générale donnant la vitesse de dérive de particules chargées soumises à un champ magnétique en présence d’une force quelconque, comme l’enseigne l’annexe XII. L’annexe XII1 nous permet, de plus, d’écrire la relation (2.210) sous la forme : (2.211)

où p est le rayon de courbure (voir figure XIII.l). Cette expression nous sera utile pour fins de comparaison avec la vitesse de dérive de courbure magnétique dont nous allons maintenant chercher l’expression. 2. Prise en compte de la courbure des lignes de champ. La dérive magnétique dont nous venons d’établir les équations du mouvement ne peut exister seule, car les lignes de force de B que nous avons supposées rectilignes en posant : B ê,Bo(l +By) (2.2 12) 74 Mouvement de LARMOR : si wz est proportionnelle à sinw,t et wy à c o s w c t , les deux fonctions étant orthogonales, l’intégrale sur le temps t de wzwy durant une période est nulle.

122

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

où /3 << 1, ne le sont pas vraiment ! En effet, bien que l’équation de la divergence de B : (2.2 13)

soit vérifiée de façon triviale, le rotatiorinel V A B = O ne l’est pas75. I1 faut plutôt que le champ B soit de la forme :

B

= êy(PBo4

+ êz[Bo(l+BY)]

,

(2.2 14)

comme le montre la relation (XIII.7) déduite de V A B = O. Noter que la composante suivant y est d’ordre un ( p << 1). Les lignes de champ, que l’on retrouve dans une configuration toroïdale, sont représentées sommairement sur la figure 2.19 : plus on s’éloigne de l’origine du repère, plus la contribution de B, devient importante.

”f

2

Figure 2.19 - Lignes de champ y(z) en présence d’un gradient de B dans la direction perpendiculaire à B .

L’expression (2.214) représente un champ B avec des lignes de force caractérisées par un rayon de courbure local p . Rappelons que le rayon de courbure en un point donné A d’une courbe est la distance entre ce point et le point d’intersection de deux normales à la courbe situées immédiatement de part et d’autre du point A (figure XIII.1 de l’annexe XIII). On peut montrer que p vaut approximativement 1//3 (comparer (2.214) avec (X111.14)). Vitesse de dérive de courbure magnétique.

A cette courbure du champ est associé un mouvement de dérive particulier, perpendiculaire à la tangente à la ligne de force (donc une vitesse perpendiculaire à B , comme pour les autres vitesses de dérive déjà définies). Nous allons déterminer la vitesse moyenne temporelle de cette dérive dite de courbure magnétique en recourant à l’expression générale de la dérive d’une particule chargée soumise à une force F D quelconque dans un champ magnétique B (annexe XII). 75

V A H = J + t o d E / d t en général ; cependant, dans le cadre du modèle des trajectoires individuelles, on néglige le courant associé au mouvement de la particule chargée, J = O , ainsi que le courant de déplacement correspondant, eOûE/ôt. Ce dernier terme n’est pas nul dans le cas d’un champ E variable appliqué de l’extérieur.

2.2 - ANALYSE DE

C A S PARTICULIERS DE

E

B

ET

123

Pour cela, il nous faut connaître l’expression de la force exercée par la courbure des lignes : la particule dans son mouvement le long de ces lignes de champ incurvées ressent une force centrifuge dont le terme d’inertie correspondant est de forme classique : ?ï-L,W2

FDC =

-~

‘I êY

(2.215)

P

où wll est la vitesse parallèle à la ligne de B en un point donné et êY est le vecteur de base lié au système de coordonnées de la part,icule et dirigé vers le “centre instantané de rotation” : nous aurons donc p = -pêy. D’après (X11.2), la vitesse de dérive de courbure de champ magnétique est alors :

(2.216) ou encore :

(2.217)

Vitesse totale de dérive due à la présence d’un gradient de B dans la direction perpendiculaire à B .

A partir de (2.211) et (2.217), nous obtenons finalenient (2.218)

f Signe de la charge

t Dérive magnétique

t Dérive de courbure magnétique

Remarque : Ces deux contributions au mouvement de dérive sont dans la niénic direction, portée par le vecteur - p A B , mais dorit, le sens déperid du signe de la charge de la particule : cette dérive peut donc créer une séparation de charges

dans le plasma, engendrant un champ é l e c t r i q ~ eCet ~ ~ .effet est une cause de perte de particules chargées dans les tokamaks piiisqiie celles-ci sont dirigées alors vers les parois, comme nous allons le voir. Evolution des mouvements de dérive liés au chanip magnétique dans un tokamak. La figure 2.20 a) représente schéniatiquemcnt la configuration des bobines produisant le champ toroïdal dans un tokamak : le champ magnétique imposé à la machine est dirigé sclori l’axe z . Parcc que les bobines sont de plus en plus rapprochées en allant vers l’axe central du tore, le champ B est inhomogène, suivant, z croissant77, et, de ce fait, doté d’une courbure. Examinons les différents effets subis par les particules en présence de ce charrip toroïdal cn nous référant à la figure 2.20 b).

76 Sauf dans les structures où la configuration magnétique est refermée sur elle-même (structure magnétique à symétrie de révolution, par exemple). 77 Attention : suivant y dans ce qui précède.

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

124

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Figure 2.20 - a) représentation schématique montrant le positionnement de quelques bobi-nes de champ magnétique autour d’une chambre toroïdale : parce qu’elles sont de plus en plus rapprochées vers l’axe central du tore, le champ B croît suivant IC ; b) section de la chambre toroïdale montrant la séparation de charges engendrée par la dérive des particules dans le champ magnétique toroïdal.

Les deux dérives magnétiques (2.218) créent une séparation de charges suivant y (électrons vers, le bas, ions vers le haut : utiliser (2.210) où apparaît qcu pour fixer le sens de la dérive). -

Cette séparation de charges engendre un champ E (perpendiculaire à z et x), dirigé vers le bas, qui s’oppose au courant des dérives magnétiques, donnant lieu à un courant net plus faible. Les champs E et B vont provoquer une dérive électrique qui est orientée selon E A B (cas de champs croisés, page 96). Dans la dérive électrique, ions positifs et électrons se déplacent dans la même direction : dans le cas présent, ils se dirigent vers la paroi extérieure du tore (règle du produit vectoriel appliqué à un trièdre droit : -êY A êz = -ê2). Ces particules sont alors “perdues” pour le plasma de fusion : il y a recombinaison et perte d’énergie de ces particules, sans compter le:; dommages infligés à la paroi.

Remarque : Les particules d’un plasma soumis à un simple champ magnétique toroïdal ne demeurant pas confinées, comme nous venons de le voir, on utilise un champ magnéi,ique supplémentaire dit “poloïdal” pour tenter de combattre les effets de dérive : ce second champ magnétique donne aux lignes de champ de la configuration toroïdale une légère variation azimutale en forme d’hélice pour empêcher les particules d’aller sur les parois autour du petit axe du tore.

CHAPITRE 3

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN PLASMA

Au chapitre 2, nous avons analysé le mouvement d’une particule chargée isolée, c’està-dire sans interaction aucune avec d’autres particules, et soumise à des champs électrique E et magnétique B appliqués de l’extérieur. Dans le présent chapitre, nous abordons un modèle qui considère un ensemble de Particules : le mouvement de ces particules chargées engendre de façon auto-cohérente des champs électriques et magnétiques dits induits auxquels s’ajoutent, le cas échéant, les champs imposés au plasma de l’extérieur. De plus, à la différence du chapitre 2, nous prenons maintenant en compte les collisions. Ce modèle est de type hydrodynamique, c’est-à-dire que les paramètres descriptifs correspondants du plasma (densité, diffusion des particules, vitesse 2) du fluide, température, pression cinétique . . . ) sont des valeurs moyennes prises sur une distribution des vitesses dans un volume élémentaire, valeurs dites macroscopiques. Concept de modèle hydrodynamique : hypothèse du milieu continu Dans ce type de description, on suit le mouvement de petits éléments de volume de plasma, sans tenir compte des phhomènes microscopiques qui s’y déroulent. Cela suppose : 1. Qu’il y ait suffisamment de particules dans ce volume pour que les fluctuations par rapport aux valeurs moyennes y soient négligeables, conduisant à des valeurs moyennes bien centrées. De même, on fait l’hypothèse que l’effet des micro-champs électriques et magnétiques produits par les particules chargées de l’élément de volume considéré est bien rendu à l’échelle macroscopique par des clamps moyens supposés agir globalement sur ce même élément de volume ;

2. Que ce volumc soit suffisamment petit pour que la description spatiale soit precise. Ces différentes conditions sont généralement réalisées dans les plasmas de laboratoire : à titre indicatif, un cube de gaz de 10 pm de côté contient, à la pression atmosphérique,

2,7x lo1’ molécules.

126

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN PLASMA

Cette description maci~oscopiquedu plasma est analogue à celle des fluides ordinaires où, en effet, les particiiles d’un même élément de volume se meuvent formant un milieu contin.u bien que discont,inu à l’échelle moléculaire. Relation du modèle hydrodynamique avec la description cinétique d’un plasma La description hydrodynamique d’un plasma fait intervenir des grandeurs macroscopiques telles la température, la pression, la mobilité des particules chargees, le coefficient de diffusion des différents types de particules, etc. : ces grandeurs sont des moyennes calculées à partir d’une fonction de distribution f ( r ,w , t ) des vitesses microscopiques w des particules (9 3 . 3 ) . Cette fonction de distribution s’obtient dans le cadre de la théorie irinétique des gaz. Le modèle hydrodynamique permet de décrire de manière relativement complète la quasi totalité des phénomènes physiques ayant lieu dans le plasma tout en inipliquant des calculs beaucoup plus simples que ceux de la théorie cinétique, beaucoup plus lourde à manier et complexe à interpréter. Le plasma, un fluid.e pas ordinaire Les particules chargée;j.d’un plasma constituent un ou plusieurs fluides dont le mouvement fait apparaître une densité de courant J : ce mouvement entraîne le couplage des champs E et B extérieurs avec les particules par les termes J A B de l’équation du mouvement et J .. E de l’équation du bilan d’énergie79. L’étude de ces fluides conducteurs soumis à des champs E et B a donné naissance ii une branche de la physique des plasnias appelée rriagnétohvdrodyrianiique (MHD) . Le terme MHD est aussi utilisé pour désigner une technologie particulière, liée à ce domaine de la physique des plasmas : aussi, 011 dira, par exemple, un propulseur ionique ou un convertisseur d’électricité MHD. Plasma froid et platsma tiède : deux niveaux d’approximation du modèle hydrodynamique Dans le cadre du modèle hydrodynamique, si l’on néglige toute agitation thermique des particules (T = O), on obtient ce qu’il est convenu d’appeler la description plasma froid; si, par contre, on tient compte du mouvement aléatoire des particules mais en se limitant à la description de celui-ci par la pression scalaire isotrope p , = n,lcBT,, on se trouve dans le cas de l’approximation di1 plasma tièdes0.

78 En fait, des particules passent d’un élément de volume à un autre, mais le nombre moyen de particules dans chaque élément de volume reste à peu près constant ou varie lentement.

+

79 Le terme J A B, la partie magnétique de la force de LORENTZF = q ( E w A B), est aussi appelé force de LAPLACE. Le terme J . E décrit le transfert d’hergie du champ E aux particules chargées, et s’apparente à la loi d’OHM ( P = V I ) . Du fait que J = D E ,on obtient J . E = DE’, terme dit de chaufjage par effet JOULE. 80 Dans le cas gknéral, il convient d’utiliser le tenseur (hydrodynamique) de pression cinétique, 3, tenseur d’ordre 2 (0 3.3 et E: 3 . 5 ) .

3.1

-

EQUATION DE BOLTZMANN

127

Représentation d’un plasma par un, deux, ou plusieurs fluides ~

Dans le cas d’une interaction faible entre les différents espèces de particules (électrons, ions, neutres), chaque type de particules est généralement caractérisé par une température Ta différente. On peut alors décrire séparément le mouvement des électrons, celui des ions et celui des neutres, sachant cependant que ces fluides sont partiellement couplés par leur terme d’interaction collisionnelle. Par ailleurs, comme les neutres ne réagissent pas aux champs E et B , on ne cherche généralement pas à écrire leur équation de mouvement (par exemple, dans le cas de la propagation d’une onde), mais on tiendra compte de leur influence par le terme d’interaction collisionnelle dans les équations des fluides de particules chargées ; on aboutit ainsi à un modèle à deux fluides (électrons, ions). Un cas particulier intéressant de couplage faible est celui où l’on ne considère plus qu’un seul fluide, celui des électrons, en négligeant le mouvement des ions, beaucoup plus lourds. Dans ce cas, les ions sont supposés former un fond stationnaire et continu permettant d’assurer la neutralité macroscopique et de peser sur le terme d’interaction collisionnelle du fluide d’électrons. C’est le modèle du plasma de LORENTZ, utilisé notamment pour décrire les plasmas produits par des champs HF.

~

Dans le cas d’une interaction f o r t e entre les différents types de particules, comme c’est le cas dans un plasma en ETL, les différents fluides sont tellement fortement couplés entre eux qu’un seul fluide, doté d’une seule et même température, suffit à décrire un tel plasma.

3.1. CONSIDERATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR L’ÉQUATION DE

BOLTZMANN

Avant de décrire davantage l’approche hydrodynamique, nous allons donner quelques rudiments de théorie cinétique.

3.1.1. PRÉSENTATION SOMMAIRE DE L’ÉQUATION DE

BOLTZMANN

L’équation de BOLTZMANN se dérive rigoureusement, à partir du théorème de LIOIJ(voir, par exemple, DELCROIX et BERS, 3 10.2). On peut cependant obtenir cette équation rapidement,, mais de façon purement formelle, en faisant en premier lieu l’hypothèse de l’absence de collisions ent,re particules puis, dans un second temps, en tenant compte de l’effet des collisions. VILLE

Considérons les particules d’un type donné qui occupent, à l’instant t , l’élément de volume d r dw centré autour d’une valeur r , w de l’espace des phases. Par définition, leur nombre est donné par : f ( r , w , t ) d r dw (3.1) où f ( r ,w , t ) est la f o n c t i o n de distribution des vitesses de ces particules. En l’absence de collisions, l’écoulement dans l’espace des phases est celui d’un fluide incompres-

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN PLASMA

128

+

sible (théorème de LIOUVILLE) de sorte que, à un temps t dt ultérieur, ces mêmes particules de l’élément de volume d r d w vont, sous l’effet des forces en présence, se retrouver au point r w dt, w (dw/dt)dt de l’espace des phases où d w l d t = F / m représente l’accélération produite par les forces imposées de l’extérieur et par celles induites par les micro-champs. En développant en série de TAYLOR, limitée au premier ordre, la fonction de distribution en ce nouveau point par rapport au point initial, nous obtenons” :

+

+-

af

F f ( r+ w dt, w + -dt, t + dt) N f (r,w , t )+ m

-wi dt i=l

dXi

+

3

af

Fi -dt dwi m

~

i=l

af + -dt dt

(3.2)

et nous pouvons donc exprimer la variation totale, d f l d t , de f entre les deux points, par tranche élémentaire de temps dt, sous la forme :

wi-af

df N dt

dXi

i=l

+

3

Fi 8.f mawi

+af = w . V,f

-~

i=l

at

+F

-

m

. V,f

+af at

(3.3)

où V, et V, sont respectivement les opérateurs différentiels dans l’espace des coordonnées spatiales et dans l’espace des vitesses. En l’absence de collisions selon notre hypothèse, le nombre de particules contenues dans un élément de volume de l’espace des phases est conservé et la fonction de distribution n’est donc pas modifiée, de sorte que d f l d t = O, d’où : - + w . V , . f + - . v , :Ff at m

=O (3.4)

C’est l’équation de VLASOV(ou équation de BOLTZMANN sans collisions). Cette équation est particulièrement utile pour traiter la propagation d’ondes dans un plasma : le champ de l’onde ag;it sur les particules chargées du plasma et celles-ci, à leur tour, modifient le champ de l’onde. Cet effet est pris en compte de façon auto-cohérente par le terme de force Flnz. On fera d f / a t = O si l’on recherche une solution stationnaire, ce qui ne peut être le cas en présence d’un champ électrique alternatif comme dans les décharges HF. Pour la deuxième étape de notre dérivation formelle, nous considérons la présence de collisions binaires. Nous poserons alors, sans plus de justification, que pour l’espèce cy :

où

(af/at)c,,,,est le t,erme dit de collision (ou d’interaction) de l’équation de BOLTZ-

il traduit la variation, du fait des collisions élastiques et inélastiques, du nombre de particules dans l’élément de volume de l’espace des phases centré sur r , w . Pour éviter toute confusion de notation, nous remplacerons (af/at),,,,. par S(f) où S désigne, de façon globale, l’opérateur de collisions : MANN :

- + W . V , f + - . V , .F f at m

+

+

=S(f).

81 Rappelons que f(z A z ) Y f(z) (af/az)Az où Ax est très petit (développement limité au premier ordre).

3.1

-

EQUATION DE BOLTZMANN

129

L’équation ( 3 . 6 ) est l’équation de BOLTZMANN. Elle décrit l’évolution de la fonction de distribution des particules dans l’espace des phases sous l’influence, d’une part, des gradients affectant cette distribution et, d’autre part, des forces en présence et des collisions. Dans le cas des collisions élastiques, l’opérateur de collisions peut s’exprimer sous la forme d’une intégrale (avec les hypothèses de collisions binaires ainsi que de corrélations faibles) :

où f ; , f b sont les fonctions de distribution après collisions, f0, f o , avant collision ; wo est la vitesse de la molécule cible avant le choc, w,,celle de la molécule incidente; â(0)est la section efficace différentielle microscopique (3 1.7.3) de collisions élastiques et d 0 = sin 8 d8dp l’angle solide élémentaire. Nous remarquons que nous sommes en présence de collisions caractérisées par les paramètres habituels, notamment l’angle 8 de diffusion. L’intégrale (3.7) est l’intégrale de collisions élastiques pour l’espèce aa2. Compte tenu de la forme du terme de collisions exprimé par (3.7)’ l’équation (3.6) prend également le nom d’équation intégro-différentielle de BOLTZMANN. Remarques :

1. Dans l’expression (3.7), l’hypothèse de corrélations faibles entre particules a permis de remplacer les fonctions de distribution double f , et ~ f a , par le produit de fonctions simples, f , f o etfkf; (détails en 9 3 . 2 ) . 2 . L’équation de BOLTZMANN s’applique aux gaz neutres pas trop denses et aux plasmas faiblement ionisés qui sont régis essentiellement par des interactions binaires à courte portée entre particules chargées (ions et électrons) et neutres. Si l’hypothèse de corrélation faible n’est plus valable, l’équation de LENARD-BALESCU, dans laquelle la fonction de distribution f , est ~ décomposée en une partie corrélée et une partie non corrélée, permet de tenir compte à la fois des phénomènes collectifs et des phénomènes individuels. Enfin, l’équation de FOKKER-PLANCK peut être considérée comme une extension de l’équation de BOLTZMANN au cas des plasmas dans lesquels les interactions coulombiennes à longue portée (mais écrantées à la longueur de DEBYE)sont prépondérantes.

3 . 1 . 2 . APPROXIMATION DU TERME DE COLLISIONS ÉLASTIQUES DE

BOLTZMANN : RELAXATION

DE LA FONCTION

DE DISTRIBUTION VERS UN ÉTAT ISOTROPE

Dans un plasma soumis à une force F résultant d’un champ E , il y a accroissement de la vitesse dirigée suivant F . Les collisions élastiques auront cependant tendance à réduire l’importance de cette vitesse dirigée : autrement dit, elles vont diminuer l’anisotropie en vitesse de la fonction de distribution f ( r ,w ,t ) . 82 Pour une démonstration, voir GOLANT et al.

(5

6.2)

3

130

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

Pour exprimer le sens physique de ce mécanisme, introduisons l’opérateur de collision :

SU)= -v(‘Ul)[f(r,w,t) - f o ( r , w ) l ’

(3.8)

qui, sous cette forme, est dit opérateur d e relaxation uers la fonction isotrope fo(r,w) où w indique une vitesse scalaire : fo représente la distribution des vitesses en absence de force F , et f(r,w ; t ) décrit la fonction de distribution au temps t , en présence de F ou peu de temps après qu’on aura supprimé F , v(w)étant la fréquence de collision microscopique. -

Evolution en fonction du temps de f(w, t ) vers la fonction isotrope fo(w) Pour faciliter la dénionstration, nous supposerons le plasma uniforme spatialement, d’où 0,f = O et J’(r,w,t) = f(w,t). Examinons ce qui se passe pour t 2 O si à partir de t = O, F est maintenant nulle. L’équation de BOLTZMANN se réduit alors à :

af = -v[f(w,t)at

Puisque

at

fO(W)l

.

(3.9)

= O, l’équation (3.9) est équivalente à :

(3.10)

d’où la solution : J’(w, t ) - f o ( w ) = [f(w,O) - fo(w)] exp(-vt) .

(3.11)

La différence f ( w , t ) - f o ( w ) , qui apparaît, dans le terme collisionnel (3.8), décroît de façon exponentielle vers la fonction isotrope fo(w), avec une constante de temps égale à i / u . -

L’opérateur collisioiinel de relaxation appliqué au cas d’une équation de BOLTZM A N N stationnaire’“ Nous avons de (3.6) et de (3.8) : TU.

V,f

F +m .V w f -

= -v[f(m,

t ) - fo(w)I

;

(3.12)

ce qui conduit à l’expression suivante :

(3.13) qui montre qu’il y a relaxation vers l’isotropie si le membre de droite tend vers zéro, c’est-à-dire que la valeur de F n’est pas trop élevée et que les collisions sont suffisamment nombreuses.

83 L’évolution en fonction du temps dépend alors uniquement des collisions et non pas des propriétés du milieu qui varieraient en fonction du temps selon le terme f /at.

a

3.1

-

131

EQUATION D E BOLTZMANN

Solution de (3.13) par une méthode itérative Dans le cas d’une faible anisotropie, on pourra résoudre l’équation (3.13) par une méthode itérative, où l’approximation d’ordre zéro de la fonction de distribution est donné par f(O)(w,t ) = fO(w). L’approximation d’ordre 1 de la fonction de distribution s’obtient alors en substituant fo(w)A f(w,t) dans (3.13) :

f ( l ) ( w , t )= fo(w) -

w .V,fO

” I

+ -m.

V,fO

.

(3.14)

A l’ordre 2 d’itération.

f ( ” ( w , t ) = fo(w) -

“

I

w V,f(l) + - . V , ‘ p ’

rn

(3.15)

m

et ainsi de suite jusqu’à l’ordre IC de l’approximation. Remarque : On peut montrer que, dans le cas présent, la fréquence de collisions u(w)est la frbqiience du transfert de la quantité de mouvement.

3.1.3. DEUXMETHODES CLASSIQUES DE RECHERCHE DE SOLUTION DE L’ÉQUATION DE

BOLTZMANN

CHAPMAN-ENSKOG On suppose que la fonction recherchée s’écarte peu de la distribution de MAXWELLBOLTZMANN f n f ( r , w , t )cet ; écart se caractérise alors par un paramètre q << 1 cri posant : f ( r , w , t )= f i z l ( T , W , t ) + V f l ( T , W , t ) + v 2 f 2 ( r , w , t+ ) ”. (3.17)

où

:

(3.18)

Ce type de solution permet aussi de traiter des déviations à l’isotropie par rapport à f b r . I1 faut cependant, dans tous les cas, que f ( r ,w , t ) ne soit pas trop éloignée de l’équilibre de MAXWELL-BOLTZMANN.

132

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

D É V E L O P P E M E N T ;EN H A R M O N I Q U E S S P H É R I Q U E S D A N S L’ESPACE DES VITESSESs4

La présence d’un champ électrique rend la distribution f anisotrope. Son degré d’anisotropie demeure faible dans la mesure où la vitesse dirigée engendrée par le champ électrique est plus petite que la vitesse moyenne d’agitation thermique. La méthode proposée par W.P. ALLISconsiste à développer f ( ~w , t ) en ayant recours aux harmoniques sphériques (polynômes de LEGENDRE) (voir anriexe XIV) selon :

où fo est isotrope mais pas nécessairement maxwellienne (GOLANTet al., 5 5.2). L’angle I9 est celui du système de coordonnées sphériques où z est selon la direction d’anisotropie : ainsi, on écrira w, = wcosI9 (voir exemple plus loin en 0 3.4). Le développpement (3.191) suppose la symétrie suivant ‘p (sinon voir DELCROIX et BERS, 4 12.3).

3 . 2 . FONCTIONS DE DISTRIBUTION DES VITESSES ET NOTIONS DE CORRÉLATION Nous voulons définir une fonction de distribution f ( r , w , t ) valable en tout point de l’espace des phases et qui caractérise individuellement chaque point de cet espace, c’est-à-dire sans qu’il y ait une relation entre ce point et les autres points de cet espace. Une telle f o n c t i o n est dite simple par opposition aux fonctions doubles, triples, ... qui font intervenir une dépendance entre des couples de points, des triplets de points, ... de cet espace. Nous allons d’abord considérer cette question à partir de la probabilité de présence dans l’espace des phases d’un ensemble de particules complètement corrélées, puis nous examinerons ensuite comment et suivant quelles hypothèses, il est possible de s’affranchir partiel iement ou complètement de ces corrélations. De façon concrète, les corrélations sont causées par les interactions entre particules ; dans le cas général, toutes les particules ont une certaine influence les unes sur les autres, la corrélation étant alors totale.

3.2.1. D E N S I T É DE PROBABILITÉ DE PRÉSENCE -

La probabilité que, en même temps, la particule 1 (discernable) soit en 7-1, w1 ,85 la particule 2 en 7 - 2 , w2, la particule 3 en ~ 3 , 2 0 .3 . . , s’exprime symboliquement par :

’ D ( T I , w ~ , . ., .~ N , w Nd)r l d w l . . . d r ~ d w ~

(3.20)

où 2, désigne la densité de probabilité de présence dans l’espace des phases à 6 N dimensions où N est le nombre total de particules. La densité de probabilité D 84 On retrouve les harmoniques sphériques Y(@, 9)dans la description de l’atome à un électron 9)= O ( @ ) @ ( qlorsqu’on ) effectue la séparation des variables de l’équation de sous la forme Y(@, SCHRODINGER. 85 Plus précisément, dans un volume élémentaire d r i d w l de l’espace des phases centré en T I , w1 . . .

3.2

-

FONCTIONS DE DISTRIBUTION

E T NOTIONS DE CORRÉLATION

133

obéit à l’équation de LIOUVILLE ; elle contient toute l’information nécessaire pour caractériser complètement le système de N particules. -

La probabilité de trouver les N particules dans un état quelconque dans l’espace des phases s’obtient en intégrant la densité de probabilité V sur l’ensemble des éléments de volume de l’espace des phases :

J

D(r1,wl;’. , r N , w ~d)r l dwl dr2 d w 2 . . . d r N d w ~ = 1.

(3.21)

Cette intégrale est égale à l’unité parce qu’une telle probabilité additionne tous les cas possibles et est donc, du point de vue statistique, une certitude. ~

La probabilité de trouver la particule 1 (discernable) en rl, w1, quelles que soient les positions et les vitesses des autres particules’ est donnée par l’intégration de (3.20) sur tous les éléments de volume à l’exception de drldwl :

Comme on peut le voir, le résultat de cette intégration ne dépendra plus que de r1 et w1. En fait les particules étant indiscernables’ l’expression (3.22) représente la probabilité de trouver l’une quelconque des N particules en r 1 , w l dans d r l dwl à l’instant t. ~

Le nombre probable [ d ~de ] particules se trouvant en r1, w1, vu l’indiscernabilité de celles-ci, est donc donné par la probabilité d’y trouver une particule (équation (3.22)) multipliée par le nombre total N de particules dans le système, ce qui s’écrit :

Remarque : Le nombre réel dN de particules se trouvant dans un volume élémentaire dr1, dwl centré en r l ,w1 peut être substitué au nombre probable [dN] si le nombre de particules y est suffisamment grand pour que les fluctuations statistiques soient négligeables.

3.2.2. FONCTION D E DISTRIBUTION S I M P L E (CAS DE PARTICULES CORRÉLÉES)

Le nombre réel de particules dans l’élément de volume d r dw centré en r , w est, par définition, donné par : dN= f l ( r , w , t ) d r d w (3.24) où f i est dite fonction simple des vitesses. Si, comme nous l’avons dit, le nombre de particules est très grand, [dw] = dN, d’où de (3.23) et (3.24) :

f l ( r l , w l , t )d r l dwl = 1

3

134

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

qui est l’expression de la fonction simple obtenue à partir d’une situation de corrélation totale des particules. Puisque les particules sont indiscernables (propriété quantique), nous enlèverons les “étiquettes” sur celles-ci. La fonction f i permet de connaître le nombre de particules présentes en un point donné de l’espace des phases, indépendamment des particules situées en un autre ou en d’autres points de cet espace. L’intégration de l’expression (3.24) sur d r l d w i , conduit; par définition, à :

I‘

fi(r,w,t)drdw= N

(3.26)

.

3.2.3. FONCTION DE DISTRIBUTION SIMPLE (CAS DE PARTICULES N O N CORRÉLÉES)

A l’inverse du cas précédent, en l’absence complète de corrélations (état de chaos moléculaire), la densité de probabilité totale 2) étant alors le produit des densités de probabilités individuelles D L( i = 1 ’ 2 ’ 3 .. . N ) , nous pouvons écrire : ’D = ’Dl’Dz’D3.. . ’DN

(3.27)

Considérant, une foi:; de plus, que les particules sont indiscernables, les densités de probabilité individuelles sont donc égales, alors : 2, = ( 2 ) o ) N .

(3.28)

Tenant compte de la relation (3.21)’ la décomposition de 23 selon l’expression (3.28) entraîne

de sorte que :

s

Do d r dw = 1

(3.29)

Dans ce cas, d’après (3.25) puis (3.29) :

f i ( r , w , t )= N D O

[I I”’ Dodrdw

= NDO.

(3.30)

Pour calculer f ~ ( r , w , ton ) , utilisera soit l’expression (3.25) dans le cas de particules totalement corrélées, soit l’expression (3.30) pour des particules sans corrélation aucune.

3.2.4. FONCTION D E D I S T R I B U T I O N DOUBLE (CAS DE PARTICULES CORRÉLÉES)

La fonction double fI2(r1, w1, r 2 ,w2, t ) ,par définition, considère les couples de particules que l’on peut trouver simultanément à l’instant t en deux points donnés et

3.2

-

FONCTIONS DE DISTRIBUTION

135

ET NOTIONS DE CORRÉLATION

distincts r1, w1 et 7-2, w2 de l’espace des phases. La probabilité que la particule 1 soit en r1, 201, alors que la particule 2 est en 7-2, t u 2 (au même instant t ) est, selon le formalisme développé, donnée par :

1

D ( r l ,tu1,. . . , r N , W N ) dr3dws . . . drNdwN d r l dwl dr2 dw2 .

(3.31)

Comme les particules sont indiscernables, le nombre total de couples de particules pouvant occuper deux points donnés de l’espace s’obtient, par analogie avec (3.23), en multipliant (3.31) par le nombre total de couples ordonnés qu’il est possible de former avec N particules, soit N ( N - 1) : f 1 2 ( r l , w l , ~ 2 , ~ 2d, r t )l d w d7-2 d

w=

où, par définition et compte tenu de (3.21) :

J’

f12

drl

dwl

dr2 dw2 = N ( N - 1)

(3.33)

conduit au nombre total de couples (ordonnés) de particules que l’on peut formers6. La fonction double est particulièrement adéquate quand il s’agit de décrire des collisions binaires : dans ce cas, les couples de particules animées des vitesses w, et wwp avant collision interviennent dans le terme collisionnel notamment par la fonction double f a a (voir la remarque 1 qui suit la relation (3.7)). Le recours à un couple de particules ordonné est arbitraire mais raisonnable dans de nombreux problèmes où les deux points jouent un rôle différent, du fait, par exemple, d’un environnement physique différent (forces en présence, inhomogénéité spatiale).

3.2.5. FONCTION D E D I S T R I B U T I O N DOUBLE (CAS DE PARTICULES N O N CORRÉLÉES)

Si on néglige totalement les corrélations entre particules, on peut, d’après (3.28), exprimer la fonction double sous la forme : (3.34) ce qui, d’après la relation (3.30) pour f i , donne sorte que pour N très grand : f12

fi2

= f l ( r , w , t ) f 2 ( r , w , t ) y ,de

fl(r,w,t)f2(r’w,t)

.

(3.35)

Ainsi, dans le cas de non-corrélation des particules, la fonction “double” f 1 2 , qui conduit au nombre de couples de particules dont l’une est située en r 1 , w l alors que l’autre est en 7-2, w2, s’exprime simplement comme le produit de deux fonctions simples : ce résultat était attendu. 86 Par exemple, sur N = 3, il y a bien 6 couples ordonnés possibles : 12, 21, 13, 31, 23 et 32.

136

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

3.2.6. FONCTION DE DISTRIBUTION À N-TUPLES Dans ce cas, par généralisation de (3.32), nous savons qu’il faut écrire, alors dans le cas de particules corrélées :

et, en l’absence totale de corrélation : f12 ...N

=flf2

. ‘ .f N .

(3.37)

Dans la suite, nous aurons principalement recours aux fonctions de distributions simples. Nous rencontrerons cependant les fonctions doubles dans l’intégrale de collisions binaires de l’équation hydrodynamique de transfert de la quantité de mouvement. Plus généralement, les fonctions de distribution multiples apparaissent dans la hiérarchie cinétique BBGKY (3 3.6).

3 . 3 . FONCTIONS DE DISTRIBUTION ET GRANDEURS HYDRODYNAMIQUES La fonction de distribution simple des vitesses nous permet de calculer, pour chaque position r et au temps t , la valeur m o y e n n e de certaines propriétés moléculaires (aussi appelées corpusculaires ou microscopiques). I1 en résulte ce qu’on appelle les grandeurs hydrodynamiques ou macroscopiques. Soit T(r,w , t ) , une propriété moléculaire quelconque (T est la lettre grecque majuscule upsilon). La définition la plus générale de sa valeur moyenne, notée (T(r,t ) ) ,est donnée par l’expression :

(3.38)

dans laquelle le dénominateur représente la densité de particules par unité de volume :

n ( r ,t ) =

J’

f(T,

w , t ) dul

.

(3.39)

W

La relation (3.39) est la condition de normalisation de f ( r ,w , t ) , la fonction de distribution non séparée en r et w .

3.3 - FONCTIONS DE DISTRIBUTION

ET GRANDEURS HYDRODYNAMIQUES

137

DÉFINITION D E Q U E L Q U E S G R A N D E U R S H Y D R O D Y N A M I Q U E S C O U R A N T E S

La vitesse moyenne :

v ( r , t )= -

(3.41)

W

l'énergie cinétique moyenne : (3.42) W

et le tenseur de pression cinétique

g ( r ,v ,t ) = ma

87

s

:

(3.43)

( w - w ) 8 ( w - w )f ( r ,w , t ) dw

W

où l'opérateur @ signifie le produit tensoriel des deux vecteurs (annexe VII).

GRANDEURS H Y D R O D Y N A M I Q U E S DANS f ( r ,w , t ) EST SEPARABLE

LE CAS P A R T I C U L I E R

06

LA FONCTION

La fonction de distribution f est séparable si l'on peut écrire : f ( r ,w , t ) = n ( r ,t ) h ( w ,t ) ou, le cas échéant, f ( r ,w) = n ( r ) h ( w ).

(3.44)

Dans ce cas, la condition de normalisation de la fonction de distribution des vitesses (comparer avec (3.39)) est nécessairement :

J

h(w)dw = 1

(3.45)

W

Les valeurs moyennes (3.41), (3.42) et (3.43) prennent alors la forme :

v=

J w h ( w )dw

(3.46)

W

Ecin= 'rn L

/rii2h(w)dw

(3.47)

J W

J'

ik = m c u n ( r , t ) (w -

-

v) 8 ( w - v ) h ( w )dw .

(3.48)

W

87 La signification de cette grandeur est discutée plus loin en 5 3.5. Remarquons que (w-w)@(w-w) représente un produit tensoriel engendrant un tenseur d'ordre 2 (voir l'annexe VI1 pour des notions sur les tenseurs). A noter que la densité n ( r ,t ) n'intervient pas explicitement dans la définition (3.43) de g ( ~ , t ) .

3

138

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

Remarques : 1. Dans ce qui suit, nous utiliserons la notation f pour la fonction de distribution des vitesses, qu’elle soit séparée ou non : si l’argument de f ne contient pas le vecteur position T , la fonction doit être considérée comme ayant été séparée, c’est-à-dire f ( w ) h(w). 2. Une condition suffisante pour que f soit séparable est que le plasma soit uniforme en densité.

CALCUL D’UNE GRANDEUR HYDRODYNAMIQUE Â PARTIR D’UNE FONCTION DE DISTRIBUTION DEVELOPPEE EN HARMONIQUES SPHÉRIQUES (CAS D’UNE FONCTION DE DISTRIBUTION SÉPARÉE)

La condition de normalisation (3.45), compte tenu du développement en harmoniques sphériques (3.19), conduit à :

J’

f(w,t) dw = 4~

W

(3.49)

fO(w)w2 dw = 1 . W

Le membre de droite ne retient donc du développement (3.19) que la contribution de la fonction isotrope, comme nous allons le montrer. Le deuxième terme du développement (3.19) étant en cos O et comme l’élément de volume, dw 3 d3w = w2 sin Ox dû d’p dw, fait apparaître sin O, il nous faut intégrer cos O sin 0 sur 8 allant de O à T : cet,te intégrale de parité paire est nulle! En effet, posons cosO = 7 et notons que sin8 dû = -d(cos8), de sorte que l’intégration de cosûsinû dû sur 6’ allant de O à 7r 1 conduit à r2 La contribution du troisième terme du développement (3.19) étant en 3 cos2 8- 1, ces deux termes sont de même parité en r et s’annulent après évaluation sur (1,-1)’ et ainsi de suite pour les contributions d’ordre supérieur.

I-1.

Exemple d’application : calcul de la vitesse moyenne suivant la direction z d’anisotropie dans l’espace des vitesses. Le système de coordonnées dans cet espace est tel que w, = w sin8 cos p , wy = w sin8 sin cp et 20, = 20 cos O. Sachant qu’il y a symétrie selon ‘p, nous aurons (nous rappeler que f est ici une fonction de distribution séparée !) : 7 r M

u, I=

-

J’

2 ~ ( w c o s û ) f ( w , t ) wd(cos8) ~ dw

.

(3.50)

8x0 w=O

En remplaçant f ( w , t ) par son développement (3.19)’ et en prenant variable d’intégration, il vient : 00

V, =

J’

27rw3fo(w,t)dw -I

+ J’]:[ 03

1

1

27rw3f1(w,t) dm -1

0-

0-

O

213

7

= cos 8 comme

+ ... .

(3.51)

3.4

-

139

CONDUCTIVITÉ DES ÉLECTRONS D’UN PLASMA

Le terme isotrope et les termes d’ordre supérieur à 1 ne contribuant pas à obtient :

II,,

on

M

(3.52)

3.4. CONDUCTIVITI~S CINÉTIQUE ET HYDRODYNAMIQUE DES

ELECTRONS D’UN

PLASMA EN PRÉSENCE

D’UN CHAMP ÉLECTROMAGNI~TIQUE HF La conductivité électrique est une grandeur essentielle dans la description d’un plasma puisqu’elle permet d’établir un lien entre les particules chargées en mouvement et le ou les champs électriques avec lequel ou lesquels elles interagissent, champs aussi bien appliqués de l’extérieur qu’engendrés par le mouvement des particules chargées ellesmêmes. La Conductivité électrique se retrouve aussi bien dans la description cinétique que dans le modèle hydrodynamique. Nous commencerons par dériver l’expression de la conductivité des électrons sous sa forme cinétique, qui fait intervenir la fonction de distribution des vitesses des électrons. Nous en déduirons la conductivité hydrodynamique dont la relation avec la conductivité cinétique fait apparaître la notion de fréquence effective de collision. Nous btablirons enfin les diverses expressions de la conductivité en présence d’un champ de haute fréquence (HF) en prévision du traitement des décharges HF au chapitre 4.

3.4.1. FORME CINETIQUE DE LA CONDUCTIVITÉ ÉLECTRIQUE DUE AUX ÉLECTRONÇ EN CHAMP

HF

SOLUTION DE L’ÉQUATION DE BOLTZMANN POUR U N E FAIBLE ANISOTROPIE EN VITESSE Soit un plasma uniforme” soumis à un champ électromagnétique HF d’amplitude faible (pour que ce champ n’induise pas d’effets non linéaires ni ne contribue à l’ionisation dii plasma), dirigé suivant z . Alors l’équation de BOLTZMANN pour les électrons s’écrit avec poiir fonction de distribution f ( w ,t ) :

(3.53) Dans (3.53)’nous avons négligé l’effet sur les électrons du champ H de l’onde électromagnétique et nous avons supposé que la longueur d’onde est beaucoup plus grande que les dimensions du plasma : c’est l’approximation électrostatique permettant de négliger le terme eëiBz dans le terme de phase eëi(pzëwt)du champ HF. De plus, nous ferons l’hypothèse qu’en l’absence du champ E , la fonction de distribution des 88 On pourrait traiter le cas d’un plasma inhomogène de la même façon pourvu que la fonction f soit séparable.

140

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

particules, créées par un mécanisme autre que celui du champ HF, est f o ( w ) , une fonction isotrope mais pas forcément maxwellienne. Pour résoudre (3.53), compte tenu de l’anisotropie due à E , supposée faible, nous utilisons le développement en harmoniques sphériques de la fonction de distribution des vitesses. En nous limitant au premier ordre, il vient : (3.54) puisque cos0 = wZ/ui.Noter que la dépendance en t de la fonction f ( w ,t ) ,explicitée dans le deuxième terme du développement, reflète la variation périodique du champ HF. Quant à 1’opérai;eur de collisions, en accord avec notre hypothèse de faible aniplitude du champ, donc de faible anisotropie, nous l’exprimons sous la forme d’une relaxation collisionnelle (3.8) associée à la fréquence de collision microscopique v(w) . Au premier ordre du développement de f ( w , t ) en harmoniques sphériques, de (3.8) nous obtenons : (3.55) S ( f ) = -v(w)[ll;=fl(w)eiWt] . W

Nous cherchons à obtenir l’expression de la fonction f l ( w ) qui caractérise l’écart à l’isotropie induit par le champ E (3.53). I1 nous faut d’abord montrer que : (3.56) Ceci vient de ce que

En reportant (3.54) et (3.55) dans (3.53) et en tenant compte de (3.56) tout en simplifiant de part et d’autre le facteur eiwt, il vient :

où le terme dldw [ f ~ ( w ) w , / w ]d’ordre , deux, sera négligé devant les autres qui sont tous d’ordre un. En regroupant, nous arrivons à :

f1(w)[v(w) +iu]= ~eEo afo me dw ’

d’où :

(3.58)

(3.59)

3.4

-

141

CONDUCTIVITÉ DES ÉLECTRONS D’UN PLASMA

C O N D U C T I V I T É DES ELECTRONS EN PRÉSENCE D ’ U N CHAMP

HF

Densité du courant d’électrons dû au champ E

~

La fonction f ( w , t ) étant une fonction de distribution séparée, nous avons :

J’

-nev, = -ne

J

w , f ( w , t ) dw .

(3.60)

W

En utilisant (3.52) qui donne v, précisément pour une fonction f séparée, il s’ensuit que :

J = -ne-

47r 3

.i;

w3f1(w,t) dw

(3.61)

O

où, dans le cas présent, f i ( w ,t ) = f i (w)eiwt.

Finalement, avec (3.59), nous arrivons à :

1 00

47r ne2

---E

J

3

~

Oeiwt

me

O

1 dfo -w v(w)+ iw dw

3

dw

(3.62)

Expression de la conductivité Posant J = a E ,nous obtenons de (3.62) par identification (3.63)

appelée conductivité de BOLTZMANN ou conductivité cinétique. Après intégration par parties, nous arrivons à la forme équivalente suivante : 00

o r -‘7r ne2 3 me

J’ dw

[

1

w3 fo(w)dw v(w) f i w

(3.64)

O

puisque -

fO(c0)

= O et que la contribution pour la borne w = O est nulle.

Permittivité diélectrique relative (à celle du vide) D’après la relation (2.40), nous savons que pour E = EOeiWt: Ep=l--,

io

(3.65)

WE0

+

(Attention : e p = 1 i o / w ~ osi E = Eoeëiwt)alors de (3.63)

EP

=1

s

47r + WEe -w 3

O

afO(w) w 3

w-iv(w)

dw

dW

(3.66)

3

142

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

3.4.2 FORMEHYDRODYNAMIQUE D E LA CONDUCTIVITÉ

HF

ÉLECTRIQUE DUE AUX ÉLECTRONS EN CHAMP

EXPRESSIONS REMARQUABLES

DE LA CONDUCTIVITÉ ÉLECTRIQUE

Fréquence de collision indépendante de la vitesse wS9 Dans ce cas, v ( w ) = Y , et de (3.64) :

+

a = -3 m,(v me2 i w )- T f o ( w ) 3w” dw = me(v

+iw)

[I~!fo(ii;)w~

dii;]

(3.67)

O \

Y

/

=1 d’après (3.49)

d’où

O =

ne2 me(v i w ) ’

+

(3.68)

qui est la conductivité (hydrodynamique) de LORENTZ. Remarque : Nous avions déjà rencontjré cette expression de la conductivité O au chapitre 2 (équation (2.39)), en considérant l’électron comme se mouvant dans un milieu hydrodynamique visqueux (terme de force de viscosité -vu dans l’équation du mouvement (2.27)). On voit ici que la véritable condition permettant d’obtenir (3.68) est bien v(w)== constante, v(w)étant la fréquence microscopique de collision électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement. Rappelons que, dans ces mêmes conditions, la permittivité du plasma est donnée par (2.41) : E p = l -

w;e

w(w - i v ) .

(3.69)

Distribution maxwellienne des vitesses Nous avons (annexe I) :

(3.70)

et donc où ue

= w / ( 2 7 r k B ~ , / r n , ) l / NOUS ~. pouvons alors calculer a si v ( u e )est connue.

EXPRESSION DE

LA FRÉQUENCE EFFECTIVE DE COLLISION

Moyennant certaines approximations, nous pouvons préserver la forme de la conductivité de LORENTZ(3.68), dans le cas d’une dépendance quelconque de v en w ,en 89 I1 s’agit de v ( w ) , la fréquence microscopique de collisions. Comme v(w) = ir(ui)wN, il faut des conditions particulières sur ?(w)pour que u(w)ne dépende pas de w ,par exemple, que 6 ( w ) N w-1.

3.4

-

CONDUCTIVITÉ DES

143

ÉLECTRONS D’UN PLASMA

substituant à la fréquence v présente dans (3.63) une fréquence effective v , ~ ,que nous allons maintenant définir. Nous obtiendrons des expressions relativement simples dans deux cas limites. 1. Le champ E est constant (w = O) ou sa pulsation w est telle que w < v. Dans cette limite dite du courant continu (CC), la conductivité de LORENTZ(3.68) prend la forme (purement réelle) : g=-

ne2 me v

(3.71)

alors que celle de BOLTZMANN (3.63)’ dans la même limite, s’écrit : (3.72)

Nous pouvons exprimer (3.72) sous la forme (3.71) à condition d’introduire dans (3.72) une fréquence effective veff(cc) telle que : (3.73) 2. Le champ E varie de façon périodique, et suffisamment rapidement pour que w > u , approximation dite du champ HF. Dans ce cas, la conductivité de LORENTZ (3.68) peut s’écrire :

et nous sommes alors conduits, dans le cas limite présent, à

:

ne2

(3.75)

me

Par ailleurs, la conductivité de BOLTZMANN (3.63) exprimée à l’aide de la fonction f o dorine, dans cette même limite : cr =

47rne2 3 me

.J’ [v(w) i]a f o -

%W

3

dw

(3.76)

de sorte qu’en comparant (3.76) et (3.75)’ nous sommes amenés à poser : (3.77) afin de pouvoir exprimer la conductivité, dans cette limite, sous sa forme lorentzienne : (3.78)

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D ’ U N

144

PLASMA

Pour montrer que le terme en

dans (3.76) se ramcine bien à celui de - i / w dans (3.75), il suffit de savoir que le terme J ‘ 3 l J 3 dw

;

vaut l’unité, ce qui :s’obtient en l’intégrant par parties, puis en appliquant la condition de normalisation (3.49) : 3

J’

Z w 3

dw = -3 4* 3

3.5. EQUATIONS DE

s

f o w 2 dw

= 47r

s

fow2 dw = 1 .

TRANSPORT

Dans le modèle hydrodynamique, à chaque variable microscopique (T(r,w , t ) = 1, m w , mw2/2,m(w- v ) @I ( w - ‘u),...) correspond, du fait de gradients dans l’espace des phases, un flux macroscopique décrit par des équations dites de transport (équations hydrodynamiques). Pour obtenir celles-ci, multiplions par la variable T l’équation de BOLTZMANN (3.6) pour une fonction de distribution simple f c y ( rw, , t ) , puis intégrons sur toutes les vitesses :

T

g dw

W

+

Y’W

. v, fa dw +

W

s

T-

. Owfadw

=

fa

W

s

TS(f,)dw .

(3.79)

W

Examinons successivement les différents termes de (3.79), en ignorant, pour alléger l’écriture, l’indice û: de l’espèce de particules en jeu, l’indice T de l’opérateur différentiel dans l’espace des coordonnées spatiales, et le symbole @ du produit tensoriel ( w g w 3 ww).

TERME DE

VARIATION TEMPORELLE

( lER TERME)

I1 peut s’écrire sous la forme : (3.80) W

soit :

W

/-T g

W

d

dY

dw = d t [n(Y)] - n(-) at

,

(3.81)

W

où les crochets ( ) désignent une moyenne prise sur la fonction de distribution f .

3.5

-

EQUATIONS DE TRANSPORT

TERME FAISANT

145

INTERVENIR LE GRADIENT SPATIAL DE

f (ZE TERME)

Nous pouvons le transformer pour l’écrire sous la formeg0 : /Tw.Vfdw=V. W

(3.82) W

W

soit :

TERME FAISANT

I N T E R V E N I R LE G R A D I E N T D E (3ETERME)

f

DANS L’ESPACE DES VITESSES

J’ J’

/

Y

5 af dw, m dw,

dw, dw,

(3.84)

En intégrant par parties, par exemple, le premier terme de droite suivant w, :

où le premier terme de droite de (3.85) est nul puisque f(*cm) = O. Le second terme se calcule facilement si on suppose que :

(3.86) Cette condition est satisfaite pour les deux types de force que nous allons rencontrer : ~

force due à un champ électrique E . Cette force, qui agit sur les particules chargées, est effectivement indépendante de leur vitesse ;

90 Une façon simple de ‘Ijustifier” cette transformation : considérer d’abord l’action de l’opérateur V sur w T f , puis effectuer la contraction (produit scalaire) sur les tenseurs ainsi formés (annexes VI1 et VIII).

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

146

D’UN PLASMA

B . La composante de cette force dans une direction donnée ne dépend que des composantes de la vitesse suivant les deux autres directions.

- force due à un champ magnétique

Selon (3.86)’ F, étant, une constante par rapport à w,,on peut donc l’exclure de la dérivée dans (3.85) et le terme comportant la force F (3.84) peut s’écrire :

J’ Tf

. V,f dw = - n ( -F. V I T ) .

(3.87)

m W

En reportant les expressions (3.81)’ (3.83) et (3.87) dans (3.79)’ on obtient l’évolution de la grandeur macroscopique de la variable microscopique T :

Nous allons maintenant utiliser cette relation pour obtenir les différents moments hydrodynamiques.

3.5.1. EQUATION DE CONTINUITÉ (IERMOMENT HYDRODYNAMIQUE : MOMENT D’ORDRE

ZERO

EN W )

Cette équation décrit le transport des particules (leur flux), compte tenu des diverses actions qu’elles subissent (champ de force F et collisions). Elle correspond à la variable microscopique : T=1, (3.89)

dT -=O, at

de sorte que :

vr=o,

v,r=o.

(3.90)

+ V . nv = J ’ S ( f ) dw .

(3.91)

L’équation (3.88) se réduit alors à :

dn -

at

W

Cette équation est appelée équation de conservation du nombre de particules ou équation de continuité 91. Elle est de nature scalaire (tenseur d’ordre zéro). 91 En multipliant (3.91) par m a , masse de l’espèce a , ou par q a , charge de l’esp6ce a , on obtient respectivement la loi d e conservation de la niasse ou celle de la charge électrique, cette dernière s’écrivant ûp/’ût V . J = qcr ,J S(f)dut.

+

3.5 - EQUATIONS DE TRANSPORT

147

TERME C O L L I S I O N N E L : HYPOTHESES

RETENUES

Le facteur S ( f ) d w représente le nombre net de particules qui ont rejoint (quitté si le facteur est négatif) l’intervalle w , w d w de l’espace des vitesses par suite de collisionsg2. Dans le cas de collisions dastiques, il n’y a ni création ni disparition de particules dans le volume du plasma. En effet, ces collisions ne font que modifier la distribution des vitesses des particules, ce qui ne change pas, localement, leur nombre total, et l’intégrale est donc forcément nulle. Alors :

+

a71

-

at

+ v . (nu)= o .

(3.92)

Un autre cas possible, plus habituel, est celui où, à l’état stationnaire (&/at = O), le nombre de particules, créées en volume, est exactement compensé par le nombre de celles qui se recombinent aussi en volume (les pertes sur les parois sont alors négligeables : voir la remarque qui suit). Nous examinerons plus loin d’autres hypothèses pour cette intégrale de collision (voir aussi DELCROIX et BERS,appendice A9-1, pour une étude plus détaillée). Remarque : D’une façon générale, dans un plasma, il y a création de particules chargées en volume (par exemple, ionisation par collisions électron-neutre) et destruction de celles-ci soit par recombinaison en volume, soit par recombinaison sur les parois à la suite de la diffusion des particules vers celles-ci ( 5 1.8). Dès l’instant où il y a pertes par recombinaison en volume, l’intégrale du terme collisionnel prend la forme complète suivante :

J’

S ( f ) d w = (Vi

-

Dr)n ,

(3.93)

W

où iji est la fréquence moyenne d’ionisation et P T , celle de la recombinaison en volume. Dans le cas où les pertes n’ont lieu que par recombinaison en volume, à l’état stationnaire, on a fi, = O,, le terme V . nv de (3.91) devenant nul. Au contraire’ lorsque la diffusion est responsable de façon prépondérante de la perte des particules chargées, le terme d’ionisation l’emporte sur celui de recombinaison en volume et l’intégrale (3.93) est non nulle.

L’interprétation de (3.91) peut maintenant être précisée : la variation en fonction du temps du nombre de particules de l’espèce cy dans un volume V est égale au nombre net de ces particules résultant des processus de création et de perte en volume, moins le flux de cette espèce sortant, par diffusion, du volume V . En effet, l’équation (3.91) s’écrit sous forme intégrale :

J’ v

dV =

1

J ’ S ( f ) d w dV - J’V ,nu dV

v w

,

(3.94)

V

et en appliquant le théorème d’OSTROGRADSKI : (3.95)

92 Ecrire l’opérateur de collision S(f) sous la forme (ajlat),,, a l’avantage de faire ressortir qu’il s’agit d’une variation de f en fonction du tenips qui résulte des collisions (voir equation (3.5)).

3

148

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN

PLASMA

où S est la surface limitant le volume V et d S un élément de surface normal à la surface S et dirigé vers l’extérieur du volume.

3.5.2. EQUATION DE TRANSPORT DE QUANTITÉ DE M O U V E M E N T (ZE MOMENT : MOMENT D’ORDRE U N E N w) Ce moment correspond à la variable microscopique : (3.96)

Y=mw, ce vecteur ainsi défini entraînant :

amW

___ = 0 , at

dY at

- -- 0 ,

soit encore :

V,mw = mJ ,

(3.97)

VY=Q, VwY=ml,

(3.98)

V,mw = O ,

où I est le tenseur idlentité d’ordre deux, tenseur qui a pour composantes 6ij où S i j est le symbole de KRONECKER ( S i j = 1 si i = j,6 i j = 0 si i # j ) . L’équation (3.88) s’écrira donc :

a

-

at

J’

[ n m ( ~+) V ] . [ n m ( ~-~n ) ( F].I )

m~S(f dw),

(3.99)

W

relation de nature vectorielle (tenseur d’ordre 1). Pour évaluer la dyade (tenseur d’ordre 2 ) (ww), posons

:

(3.100)

w=w+u

où u est la vitesse d’lune particule relativement à la vitesse moyenne (w)= w de l’ensemble des particules. La vitesse u est donc une vitesse de moyenne nulle (u) = O. Dans le langage statistique, u est une vitesse centrée par rapport à sa valeur moyenne. Nous obtenons alors, compte tenu de (3.100) :

+

nm(ww)= nm(uu 2uw

+ ww) .

(3.101)

Comme (UV) = (u)w:= 0, et (ww)= ww,la relation (3.101) peut s’écrire :

nm(ww)= où, de (3.40) et (3.43) :

+ nmww

*

- = nm,(uu)

(3.102) (3.103)

est le tenseur (d’ordre 2) de pression cinétiqueg3. 93 Le terme (nrn)(ww) est une densité (à cause de n ) totale d’“agitation” alors que (nrn)vw est une densité d’“agitation” cle convection et (nrn)(uu), une densité d’“agitation” purement thermique (aléatoire en direction). Certains auteurs utilisent le terme a g i t a t i o n pour désigner une grandeur qui a les dimensions d’une énergie et dont le caractère tensoriel prend en compte les anisotropies du milieu.

3.5 - EQUATIONS DE TRANSPORT

149

L’équation (3.99) peut alors prendre la forme

a

- ( n m ~ )+ V at

:

.4 + V . ( T L ~ W W -) n ( F )

=

J’

m ~ S ( f dw )

.

(3.104)

W

Sachant cependant que nous pouvons écrire :

v

’

(nww)= (nw. V)w + w(V . nw) ,

(3.105)

nous obtenons de (3.104) :

a

-(TL~w)

at

+ V . g + n m ( .~V)W+ ~

w ( .V TLW) - n ( F ) =

J’

m ~ S ( f dw )

. (3.106)

W

En tenant compte de la relation de continuité (3.92) (cas particulier d’un terme collisionnel nul) et en notant que a(nmw)/at= m w d n / d t n m d w l d t , la relation (3.106) prend la forme usuelle suivante :

+

nm

(g +

w - V )w + V . g -n ( F ) =

J’

m w S ( f ) dw .

(3.107)

W

Examinons successivement les différents termes de cette équation pour en préciser la signification physique et expliciter certains d’entre eux. 1. Le terme convectif w . Vw,qui est non linéaire en w , ne facilite pas la résolution de (3.107). Heureusement, sa contribution est souvent négligeable devant les autres termes ; celle-ci demeure évidemment importante quand ‘u est grand en valeur absolue ou lorsque son gradient est fort. 2. Le tenseur de pression cinétique apparaît naturellement daris la forme plus générale ((uu) non isotrope) de l’équation de transport de la quantité de mouvement (3.107) où V .& se présente comme une force par unité de volume (mêmes dimensions que le terme n ( F ) ) ,dite force de pression cinétique.

Pour préciser la signification de 9, considérons la force de pression cinétique totale agissant sur un volume donné. La relation d’OSTROGRADSKI (cas particulier du théorème de STOKES-CARTAN) nous permet d’écrire :

v

.I’

V.gdV=

V

(3.108)

s=av

faisant apparaître une force 9 . d S s’exerçant sur la paroi de ce volume. Alors, en notant que g .d S = ‘4.. ês d S où ês est un vecteur unitaire normal à la surface dS, nous en concluons que 9 . ês est une forceg4 par unité de surface, c’est-à-dire une pression ! 94

9 étant

un tenseur d’ordre 2, le produit contracté une force.

9. ês est

bien un vecteur comme doit l’être

150

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

Toujours dans le but de préciser le sens de g (3.103), penchons-nous maintenant sur la dyade (uu). Comme c’est un tenseur d’ordre 2 , nous pouvons la représenter par la matrice : ( 4 ) ( u z 4 (%%) (3.109) (ULyUlL,) );.( ( u z u z ) (uzuZ/) (4 Les termes hors diagonale sont nuls : en effet, comme ceci donne bien, par exemple,

//

(u,uy) = I n

u,

wz wz

[J’ ] uyf dw y

s,

uif dwi = O ( i = 2 ,y , z ) ~ ~ ,

dw, dw, = O.

7UY

I1 s’ensuit que le tenseur se réduit à une matrice diagonalisée : (3.110)

Cas particulier : la distribution des vitesses u est isotrope. En posant l’hypothèse supplémentaire d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN, il vient : (3.111)

Avec ces deux hypothèses et tenant compte de (3.103) : v . g ~ v . [ ( n k ; B T ) I, ]

(3.112)

où I est le tenseur imité d’ordre 2, de sorte qu’en introduisant la pression partielle p , = n,kBT, associée aux particules d’espèce a , nous obtenons finalement :

v.g=vp,.

(3.113)

Toujours avec ces hypothèses, l’équation de transport de quantité de mouvement (3.107) des particules d’espèce cy prend la forme :

J

n a , ( ~ + W , . ~ J ) ~ ~ + V I > ~ ~ - ~ ~ ~ m,w,S(f,)pdw,, ~ V ~ ~ I E + ~ ~ A B W m

(3.114) où les champs E et B , dans le cas général, désignent aussi bien les champs appliqués de l’extérieur que les champs (macroscopiques) induits ; l’opérateur de collision S ( f a ) p est celui défini par l’expression (3.7). 95 En effet, comme u est par définition une vitesse centrée de moyenne nulle, on a

JJ LJ

wywz

soit plus généralement

u,f(w) dw,

s

swiu i f ( w ) dwi = O.

1

dw, dw, = n(u,) = O ,

3.5

-

151

E Q U A T I O N S D E TRANSPORT

3. Le terme collisionnel qui apparaît dans le second membre du moment d’ordre un de l’équation (3.107) représente l’impulsion totale “gagnée” ou “perdue” par les particules de type cy à la suite d’interactions élastiques et inélastiques avec nécessairement les autres types de particules ; en effet, de telles collisions entre particules de même espèce ne peuvent conduire au total ni à un gain ni à une perte n e t d’impulsion ! Ce terme collisionnel doit donc s’écrire :

Pa =

CP,,.

(3.115)

W e

Pour obtenir une expression décrivant ce transfert net d’impulsion d’un groupe de particules à un autre (par exemple des électrons aux neutres), nous allons, dans un premier temps, procéder de façon phénoménologique (expression approchée de Pa,) puis, dans un second temps, faire appel au calcul exact de ?,p. Expression approchée de

P,, pour

les collisions élastiques

Nous avons déjà montré ( 5 1.7.2) que la quantité d’impulsion Ap,, transférée d’une particule à l’autre lors d’une collision dépend de la vitesse relative entre deux particules avant collision : (1.86) Pour caractériser’ sur toute leur distribution de vitesses, le transfert net d’impulsion par unité de volume, AP,p, des particules de type cy, de densité n a , à l’ensemble des particules de type ,6 (,6 # a ) ,de densité no, nous ferons intervenir les vitesses moyennes v, et v, plutôt que l’intégrale sur les vitesse w, et wp (ceci revient à poser que les fréquences de collisions microscopiques va, sont indépendantes de la vitesse : voir (3.119)). Alors, l’impulsion ’Pa perdue par les particules n au profit des particules pl par unité de temps et par unité de volume, est de l’ordre de : nombre de transferts d’impulsion par seconde, par unité de volume

4. m,mp

diminution de l’impulsion moyenne dirigée (au profit des particules fi)

En supposant que les particules de type

cy

&

v,Bn,(v,

-

up) .

(3.117)

1‘

nombre de transferts d’impulsion par seconde, par particule a

sont des électrons : (3.118)

puisque la masse réduite p a E ~ m,mo/m,

+ m,

se ramène à m,

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

152

D’UN PLASMA

Cette relation, relativement simple, obtenue pour le cas des collisions élastiques, s’applique aussi aux collisions inélastiques dans la mesure où v , est ~ la somme des fréquences de collisions élastiques et inélastiques exprimées de façon appropriée et que la fonction de distribution des vitesses est isotrope (GOLANT et al., 3 6.3). Expression exacte de Pap pour les collisions élastiques Un calcul rigoureux de

P,,

WWa

donne (GOLANTet al.,

3 6.3) :

wu

où les fonctions f(y(w,) et fp(wp) sont des fonctions de distribution simples de vitesses des particules a et p, non séparées (la dépendance en r a été omise par commodité d’écriture). La fréquence (microscopique) de collision des particules Q sur les particules p, v,p, s’écrit : 7r

vap = npw,p J’27râ(û)(i

-

cosû) sine dû

(3.120)

O

où w , est ~ le mod.ule de la vitesse relative Iw, - WSI des particules Q et p et où l’intégrale correspond à la section efficace microscopique totale de transfert de quantité de mouvement (1.103). Rappelons que v , est ~ différent de vp, puisque : upol = natuafi

J

27r&(û)(1- cosû) sinû dû ,

(3.121)

O

mais en combinant (3.120) et (3.121)’ il vient : (3.122) I1 en résulte que : et, en particulier :

Pa, = -Pp, P,, = -Pa,= 0 .

(3.123) (3.124)

I1 y a donc bien conservation de la quantité de mouvement globale lors des collisions élastiques entre particules (P, = O). Dans le cas général, vag dépend du module wap de la vitesse relative et le calcul de l’intégrale (3.119) n’est pas évident. Par contre, si l’on peut faire l’approximation que vap n’en dépend pasg6, la relation (3.119) s’intègre facilement et on obtient :

Pa, = -PLapnavaB(’Ua

-

‘Up)

,

(3.125)

expression identique à l’équation (3.117). 96 La fréquence effective de collision vafi est indépendante de la vitesse relative si la section efficace de collision âafi pour la quantité de mouvement est inversement proportionnelle à la vitesse relative. On peut montrer que ce cas correspond à un potentiel d’interaction en l/r4, ce qui est assez bien vérifié pour les collisions entre espèces chargées et neutres.

3.5 - EQUATIONS DE TRANSPORT

153

Remarque : Dans le cas de collisions inélastiques, le calcul est beaucoup plus complexe puisque la variation d’énergie cinétique de la particule û: est égale à la somme de la variation d’énergie interne et de la variation d’énergie cinétique de la particule p. Toutefois, le problème se simplifie considérablement si l’énergie cinétique relative pafiwO/,/2 est transformée intégralement en énergie potentielle au cours de la collisiong7, soit, d’après (1.74) : PaBW&

=0 .

(3.126)

La variation de quantité de mouvement ApaB de la particule a (1.76) s’écrit alors, compte tenu de (1.77) : AP,B = -PLat?(Wafi

-

WLB) = - p a p a p

.

(3.127)

Dans ces conditions, le terme de collision inélastique, après intégration, s’écrit :

p a , = -PaB%Y%YB(~a

-

VB)

’

(3.128)

expression identique à celle des collisions élastiques (3.125). 4. On peut désormais réunir les différents termes de l’équation du moment d’ordre 1 (3.129) où l’opérateur dériwée totaleg8, d/dt, est dit particulaire lorsque l’observateur, attaché à une particule, suit celle-ci dans son mouvement (description dite de LAGRANGE). Par contre, le membre de droite de (3.129) peut être considéré comme décrivant le mouvement d’un élément de volume dans le repère du laboratoire : le mouvement dépend, d’une part, de la variation dans le temps de la vitesse locale et, d’autre part, du mouvement d’ensemble (convection) du gaz. Finalement, compte tenu de (3.125) et (3.129)’ (3.114) prend la forme usuelle suivantegg :

C’est l’équation du 2e moment (moment d’ordre i en w) ou équation de transport de la quantité de mouvement des particules d’espèce cy ayant une distribution de vitesses isotrope et en interaction collisionnelle de nature élastique avec les particules d’espèce /3 différente de a . On l’appelle aussi équation de LANGEVIN. L’équation (3.130) détermine l’accélération du fluide sous l’influence de différentes forces, incluant les forces électriques et magnétiques, le gradient de pression et les forces de viscosité collisionnelle. 97 Dans cette hypothèse, la collision est nécessairement frontale puisque waP = O (3.126) et que wap, w,o et 2040 sont colinéaires (1.68). 98 Bien noter que, en régime stationnaire, la dérivée totale n’est pas nulle car le terme convectif w . V subsiste. Seul le terme s’annule. 99 Rappelons que l’équation (3.114), tirée de (3.107), est obtenue à partir de (3.92), l’équation de continuité sans second membre.

a/&

154

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN

PLASMA

Remarque : I1 est intéressant de comparer l’équation (3.130) avec l’équation hydro-

dynamique du transfert de quantité de mouvement de NAVIER-STOKES dans I’hypothèse d’un fluide incompressible (dans ce cas P M , la masse de l’unité de volume, étant constante, l’équation de continuité entraîne V . u = O) et visqueux. Dans ces conditions, cette équation a pour expression (LANDAU et LIFCHITZ): L’M

[dt du

f

=-vp

(U. v)U]

“ 1‘

\

/

(3.131)

1‘

Terme d’interaction (viscosité)

Force par unité de volume

où

+* q,AU + nF

est le coefficient de viscosité du fluide.

3.5.3. EQUATIOKS DU M O M E N T D’ORDRE 2 EN

W

On distingue deux cas classiques suivant que le moment d’ordre 2 est en w2 ou en ww.

EQUATION DE

T R A N S P O R T D’ÉNERGIE CINÉTIQUE

Cette équation est aussi appelée équation du bilan d’énergie. Ce moment correspond à la variable microscopique :

r = -21m a w 2 qui conduit àioo:

dT

-=O,

at

(3.132)

VT=O,

V,T=moiw.

(3.133)

L’équation (3.88) s’éc.rit alors :

=

1

$ ~ , w ” S ( f ) dw

,

(3.134)

relation de nature scalaire (tenseur d’ordre zéro).

+

En notant que (tu2) = ( u 2 ) v2 et en supposant l’isotropie des vitesses avec ( u 2 )= 3 k ~ T / m , , nous obtenons pour l’espèce a :

_J

Energie cinétique dirigée

où

I J

Energie cinétique aléatoire

:

100Noter que (3.132) peul, aussi se mettre sous la forme ‘Y = + m a w .w , d’où gradient d’un scalaire engendre nécessairement un vecteur).

(3.136)

V,T = maw (le

3.5

-

EQUATIONS DE TRANSPORT

155

est le vecteur-flux”’ de l’énergie cinétique totale des particules de type a , aussi appelé vecteur de flux thermique, et le terme :

Ra =

(3.137)

Ra0 Of,

représente l’énergie cinétique totale “gagnée” ou “perdue” par les particules ai à la suite d’interactions collisionnelles élastiques et inélastiques avec nécessairement les autres types de particules ; en effet, les collisions entre particules de même espèce ne peuvent conduire ni à une perte ni à un gain net d’énergie cinétique. La variation de la densité de l’énergie cinétique totale du fluide de particules a (membre de gauche de (3.135)) a lieu en raison des trois mécanismes qu’expriment à tour de rôle les termes du membre de droite : le‘ terme : transport de l’énergie cinétique d’un point à un autre du plasma du fait d’un gradient spatiallo2; 2e terme : apport d’énergie au plasma (chauffage) par le courant de particules se mouvant dans un champ E (loi d‘OHM) ; 3e terme : variation de l’énergie cinétique des particules a du fait de leurs collisions avec d’autres types de particules. Le terme de collision Rap résultant des collisions @lastiquesdes particules ai avec les particules p peut s’écrire, de la même façon que pour le moment d’ordre 1 si la frequence de collision V,P est indépendante de la vitesse (GOLAKT et al. 5 6.4) :

Sachant que

:

rn,(w;) = ma [ ( u t )+ v i ] = 3 k ~ T + , mou;

,

(3.139)

l’cxpression (3.138) s’écrit maintenant, compte tenu de (1.96) définissant S, le coefficient de transfert d’énergie :

m,u;

Ra&? = -6n,UaB

-

~

[

2

3 + ,kB(Ta

rnpug -

2

-

Tp)

+ (ms 2 m,) (v, . U P ) -

1

’

(3.140) On peut remarquer qu’effectivement R,, = 0. Bien que cela se vérifie facilement sur (3.140)’ il n’est pas nécessaire de supposer que vus est indépendant de la vitesse pour obtenir ce résultat puisque l’hergie cinétique est un invariant des collisions.

I1 arrive couramment que le gaz soit sans vitesse dirigée (w, = W B = O) ou que toutes les particules aient la meme vitesse (w, = va). Dans ce cas, les termes contenant w, et wp se retranchent et il reste : (3.141) ce qui illustre bien l’échange d’énergie cinétique lors de collisions élastiques. 101 De façon générale, le vecteur nwT(m) est le vecteur-flus de la propriété moléculaire T(2u). 102 Par exemple, dans le cas d’un gradient spatial de température, le flux de chaleur peut s’exprimer par q, = -X,VT, où A, est la conductibilité thermique de l’espèce cy.

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

156

D’UN PLASMA

Remarque : Dans le cas des collisions inélastiques, le calcul est beaucoup plus complexe puisque la variation d’énergie cinétique de la particule a est égale à la somme de la variation d’énergie interne et de la variation d’énergie cinétique de la particule p. Toutefois, le problème se simplifie considérablement si l’on suppose que la variation d’énergie cinétique de la particule p est négligeable par rapport à la variation de son énergie interne, ce qui est précisément le cas des collisions avec les électrons (1.75). Avec cette hypothèse, pour une fréquence de collision v,p, le terme de collision Rap résultant des collisions inélastiques des particules a! (électrons) avec les particules p s’écrit alors : R a b = -n,VaB&k (3.142)

où

l k

représente l’énergie seuil de la collision inélastique considérée.

EQUATION DE

TRANSPORT D U TENSEUR DE PRESSION CINETIQUE

9

Ce tenseur est le véritable moment d’ordre 2 en w . Ce tenseur de pression cinétique

(3.43) correspond à la variable microscopique :

1= m,(w

-

v ) ( w- v)

dans laquelle v = V ( T , t ) . En utilisant la relation w = v

(3.143)

+ u,on obtient

:

(3.144)

01

v a

=

-m,Vvu

=

m,(uI+Iu)

-

m,Vuv = -m,Vvu

-

( m , V ~ u ,) ~ (3.145) (3.146)

où 1 est le tenseur unité d’ordre 2 et l’indice supérieur T indique le transposé de la matrice représentative du tenseurlo3. Tous ces termes, de nature tensorielle, sont d’ordre 2. L’équation (13.88) s’écrit alors : d

at [n,m,((w

-

-

av

+

v ) ( w- v))] n,ma(u-at

+V . [n,m,(w(w

-

+

v ) ( w- VI)] n,m,(w.

- n , % ( F (uJ .

+ lu))=

J

au

+ -u) at vvu

+w . (vvu)~)

VL,(W - V ) ( W -

v ) S ( f )dw .

(3.147)

W

On note que cette équation est aussi de nature tensorielle d’ordre 2. Récrivons l’expression (3.147) en posant de nouveau w = v termes dont la moyenne est nulle :

d -n,m,

at

+ u et en supprimant les

+

(uu) + V . n,m, (vuu uuu) +nom, [u. vvu

+ (u. V V U ) ~ ]

-

+

n,(F. ( u ~ lu))= E, ,

(3.148)

103 Le tenseur, d’ordre 2, ‘AT d’éléments a: est le transposé du tenseur de même ordre A d’éléments cyz3 si cy; = C V ] ~ .Ainsi, V T = -m,(Vwu Vuw) = -m,Vwu (rn,Vw~)~.

+

~

3.5 - EQUATIONS DE TRANSPORT

157

72, =

où :

Ca,,

(3.149)

Of,

est le terme de collision (annexe XV). En développant l’équation (3.148), on obtient :

a

+ (V. w)(n,rn,uu) + (v V)(n,m,uu) + v . n,m,(uuu) + R , ~ , ( u u.)V W + ( n , m , ( ~ ~ . V) V ) ~n , ( F . ( ~+ 1 I u ) )= a, . (3.150)

-(n,m,uu)

at

’

-

I1 faut noter que le dernier terme du premier membre de (3.150) est nul si la force F est indépendante de la vitesse (cas de F = q,E) : en effet, on peut alors sortir F de l’expression entre crochets qui ainsi s’avère nulle. Nous pouvons transformer (3.150) pour l’écrire sous la forme

:

[$+ v .V + (V. v)1 s+V . Q + g .Vv + (9. VW)~ M a, -

=

-

-

(3.151)

où 9 est le tenseur de pression cinétique (3.103) et Ad, également un tenseur d’ordre deux, résultant de l’action d’un champ magnétique extérieur (annexe XV) ; par contre, Q est un tenseur d’ordre trois, défini par : -

Q = ma

-

s

(W

-

W ) ( W - V ) ( W - v ) f ( r ,W , t ) dw

,

(3.152)

W

appelé tenseur de flux d’énergie thermique : c’est un moment centré d’ordre 3 des vitesses par rapport à la vitesse moyenne de la fonction de distribution f ( r ,w , t ) . Nous souhaitons modifier le premier terme de (3.151). Pour cela, nous remarquons que l’équation de continuité (3.92) avec second membre nul peut se développer en :

ûn -

at

+ ( v .V ) n + n V .

2,

=O,

(3.153)

d’où, en faisant apparaître la dérivée totale (3.129) :

v . v = - - - 1 dn n dt

(3.154)

Nous pouvons alors transformer les trois premiers termes de (3.151) pour obtenir :

L’équation (3.151) se réduit alors à : (3.156) Remarque : Le tenseur de pression cinétique

2 = m,

I

W

(w

-

v)(w

-

v ) f ( rw , , t ) dw

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

158

D’UN PLASMA

apparaît comme un moment centré (par rapport à u)d’ordre 2 et s’apparente à une variance104 calculée par rapport à une valeur moyenne qui, dans le cas présent, est la vitesse o. Pour le voir, notons que l’on peut écrire :

2 = ma

s

wtof dw

-

W

m,

s

vuf dw = nm,(ww)

-

nm,uu ,

(3.157)

W

donc de la forme E [ X 2 ]- E [ X I 2 où E [ X ] signifie l’espérance mathématzque de la variable X . Si nous résumons, nous avons fait connaissance avec quatre aspects du tenseur de pression cinétique : ~

-

V .2 représente une force par unité de volume. 9.ês (2projetée iiormalement à une surface unitaire) est une force par unité de surface : c’est la prejsion cinétique. Celle-ci est la généralisation à un gaz anisotrope de la pression scalaire.

2 est le moment centri. d’ordre 2 de la fonction de distribution des vitesses quant

~

à leur valeur moyenne u : il s’apparente à la variance des vitesses microscopiques.

9 a les dimensions d’un flux de quantité de mouvement : en effet, alors que nu est un

~

flux de particules, nu(mu)de (3.157) représente un flux de quantité de mouvement.

3.5.4

EQUATION DES

MOMENTS D’ORDRE S U P É R I E U R

On peut écrire l’équation de transport du flux d’énergie thermique Q (3.152)’ rnonient d’ordre 3 quant à w , et ainsi de suite pour les moments supérieurs, ce qui conduit à engendrer un nombre infini d’équations hydrotiynamiques. Remarque : I1 faut, ten général, une série d’équations hydrodynamiques pour chaque

type de particules. Cependant, dans certains cas, le seul fluide d’dectrons rend bien compte des observations (0 3.7).

3.6. FERMETURE DES ÉQUATIONS DE TRANSPORT Les équations de transport des grandeurs n, u,2,Q, . . . , décrivent bien l’évolution d’un plasma à l’échelle macroscopique, mais présentent l’inconvénient de former un système indéterminé. En effet : ~

~

l’équation de conservation du nombre n de particules contient u, l’équation décrivant l’évolution de u fait appel au tenseur 9 d’ordre 2 ,

104 La variance D d’une variable aléatoire X s’exprime en fonction de l’espérance mathématique E selon D [ X ]E E [ ( X - m y ] = E [ X 2 ]- E [ X ] 2 où E [ X ]= m. Elle caractérise l’écart, plus ou moins important, de l’ensemble des valeurs de la distribution par rapport à la valeur m.

3.6 - FERMETURE DES

~

159

ÉQUATIONSDE TRANSPORT

l’kquation décrivant l’évolution du tenseur de pression cinétique 2 fait apparaître le tenseur Q d’ordre 3 , -

~

et ainsi de suite ...

En somnie, l’évolution d’une variable donnée est toujours dépendante d’une autre variable dont l’ordre tensoriel lui est supérieur d’une unité. On dit qu’un tel système constitue une hiérarchie. Dans la pratique, on n’utilise généralement que les 2 ou 3 premiers moments des équations de transport. Pour briser la dépendance hiérarchique, il faut poser une hypothèse simplificatrice sur le tenseur d’ordre le plus élevé apparaissant dans l’équation de transport du moment le plus élevé que l’on désire conserver, procédure communément appelée fermeture des équations de transport. Remarque : un problème analogue, mais différent dans sa signification physique, se pose en théorie cinétique. Ainsi, l’intégration de l’équation de LIOUVILLE dD/dt = O (2)est la densité de probabilité définie en Q 3.2) sur toutes les positions r i , wi de l’espace des phases sauf sur r 1 , w 1 conduit & :

af + at

F

1

~

W . VTfl

+ m .V w f l -

= S I (f12)

(3.158)

’

Cette équation (dite de BOLTZMANN), qui décrit l’évolution de la fonction simple f i (3.25)’ fait apparaître un terme d’interaction binaire entre particules sous la forme de la fonction double f12 (3.31). En intégrant de manière semblable l’équation de LIOUVILLE, cette fois, sauf sur r l ,wl et sur r2, w2, on obtient : afl2 ~

at

+

. Vrf12

F

+ m . VwJf12= S 1 2 ( f 1 2 3 ) -

’

(3.159)

où le terme S(f123) représente des interactions ternaires entre particules, et ainsi de suite pour f 1 2 3 , f1234. . . Nous sommes à nouveau en présence d’un système indéterminé d’équations, une hiérarchie appelée BBGKYlo5. Pour pouvoir utiliser l’équation (3.158) indépendamment de (3.159)’ nous avons posé, comme condition de fermeture, l’hypothèse de faibles corrélations binaires entre particules ( 3 . 3 5 ) ,soit S(f12) 2

S( fl f 2 1. Notons que la hiérarchie BBGKY se constitue du fait de l’opérateur de collision alors que la hiérarchie des équations hydrodynamiques a une toute autre origine. Elle résulte de l’existence de gradients dans l’espace des positions, et elle apparaît sous la forme d’une divergence d’un tenseur d’un ordre supérieur d’une unité à l’ordre tensoriel de l’équation hydrodynamique considérée. Remarquons, par ailleurs, que l’ensemble des Squations hydrodynamiques que nous venons de développer provient du calcul de valeurs moyennes prises uniquement sur l’équation de BOLTZMANN, la toute première relation de la hiérarchie BBGKY.

METHODEDE FERMETURE Dans la description hydrodynamique, on peut s’arrêter à IC équations en “simplifiant” le tenseur p d’ordre IC 1 qui apparaît, généralement, comme nous venons de l’indiquer,

+

105 Du nom des physiciens BORN,BOGOLIOUBOV, GREEN, KIRKWOOD, YVON,dans l’ordre alphab& tique, qui, semble-t-il, est exactement inverse de l’ordre historique.

160

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

sous la forme V .,u : (cette hypothèse revient le plus souvent à remplacer ce terme par une quantité tensorielle d’ordre inférieur. I1 existe différentes façons de le faire (voir JANCEL et KAHAN,chapitre 8). Parmi les hypothèses simplificatrices de f e r m e t u r e des équations hydrodynamiques, considérons-en quatre des plus courantes : 1. Plasma froid. On néglige complètement l’agitation thermique : dans l’équation de transport de la quantité de mouvement, on pose 2 = 0. Les équations hydrodynamiques décrivant n et ‘u forment alors un système déterminé auquel on pourra adjoindre les équations de MAXWELL. Le domaine d’application de cette approximation touche particulièrement : la description des propriétés d’un faisceau d’électrons, -les phénomènes ondulatoires dans les plasmas (pour une vitesse de phase très supérieure à la vitesse moyenne des particules due à l’agitation thermique). 2. Plasma tiède. Cetiie approximation, moins radicale que la précédente] permet de décrire un plus grand nombre de phénomènes observés. Le tenseur de pression cinétique n’est plus nul, mais réduit à la seule pression cinétique isotrope et scalaire p . Ainsi, à V .*’on substitue Vp,termes tous deux d’ordre tensoriel 1. Cette approximation s’applique plus particulièrement aux cas suivants : gaz neutres : le champ E ne pouvant dans ce cas acheminer de l’énergie dans le système et mettre ses particules en mouvement, il est indispensable de prendre en compte l’agitation thermique, plasmas pour lesquels l’approximation “plasma froid” s’avère trop grossière, par exemple, pour dlécrire la propagation d’ondes de faible vitesse de phase.

3. Hypothèse isotherme. Cette hypothèse a l’avantage de prendre complètement en compte l’agitation thermique] dont on suppose cependant qu’elle obéit à la loi de MAXWELL-BOLTZMANN. On pose 9 = n k ~ z et , on considère que les valeurs des températures Tij pour chaque espèce Q du plasma sont indépendantes de la variable spatiale, soit : VT=Q -. (3.160) Comme pour les deux précécentes approximations, la fermeture du système s’effectue au moment, d’ordre 1 en w ,c’est-à-dire que l’on ne retient que les deux premières équations hydrodynamiques.

4. Ecoulement adiabutiyue106. Cette fois nous allons considérer les trois premières équations hydrodynamiques. La condition de fermeture est appliquée à l’équation de transport de (moment en ww), en posant V .Q = 0 et on fait de plus =0: il n’y a donc pas de transport d’énergie thermiquepar les particules et l’effet de

a

106 Un changement d’étai du système est adiabatique s’il n’y a ni apport, ni perte d’énergie thermique du système. Deux situations sont possibles : 1) le système est isolé; 2) le processus considéré (par exemple, la compression du plasma exercée par une onde) est si rapide qu’il ne peut y avoir transfert de chaleur par conduction. De ce fait, dans cette approximation, on néglige le terme d’interaction collisionnelle S . La propagation d’une onde sonore est un bon exemple de compression adiabatique vérifiant la relation (3.163).

3.7 - MODÈLED U

PLASMA D’ÉLECTRONS DE

LORENTZ

161

la compression est adiabatique. Si à ces conditions, on ajoute que se réduit à la pression cinétique scalaire p , nous pouvons montrer (annexe XVI) que l’équation de transport du tenseur de pression cinétique conduit à la relation purement scalaire suivante : n -d- -3+Pp V . v = O (3.161) dt 2 n 1 dn Compte tenu de la relation V . v = --- (3.154)’celle-ci s’écrit finalement : n dt (3.162)

dont la solution est :

pn-Y = constante .

(3.163)

C’est la relation d’adiabaticité. Dans le cas où le fluide considéré est isotrope (par exemple, des électrons en l’absence de champ B) et assimilable à un gaz parfait de densité n , y, le rapport d’adiabaticité (rapport des chaleurs spécifiques cp/c,), vaut 513. D’autres valeurs de y sont possibles. Ainsi, pour un écoulement unidimensionnel (linéaire) en présence d’un champ Bo (milieu anisotrope), on utilise y = 3 pour la compression parallèle à Bo et y = 1 pour la compression perpendiculaire à Bo. Plus généralement, si les molécules ont 8 degrés de liberté (vibration, rotation, translation), alors y = 1 218 : ainsi, 8 = 2 dans le cas d’une symétrie azimutale et 8 = 3 pour une compression de symétrie sphérique à 3 dimensions d’où, effectivement, y = 5/3.

+

Remarques :

1. Le cas où y = 513 dans (3.163) est aussi appelé approximation E EULER ou approximation scalaire (parce que la compression est de symétrie sphérique). 2. L’expression p/nY = constante s’emploie lorsque, par exemple, les particules sont perturbées par la propagation d’une onde sonore, alors qu’en l’absence de compression et à l’équilibre, p = n1CgT. L’expression pn-7 peut aussi s’écrire pVY = constante puisque, pour des gaz parfaits, pV = nRT (notation usuelle).

3.7. MODÈLEDU

PLASMA D’ÉLECTRONS DE

LORENTZ

Soit un plasma composé d’électrons, d’ions et d’atomes neutres. Considérons le cas où le degré d’ionisation est faible (ne< no) : les interactions électron-électron, ion-ion, électron-ion peuvent être négligées devant les collisions électron-neutre, beaucoup plus nombreuses et donc prépondérantes en ce qui concerne les échanges de quantité de mouvement par collisions. De ce fait, les échanges énergétiques entre le fluide d’électrons et celui des ions (mais non l’interaction de charge d’espace) sont négligeables, entraînant Ti < Te : nous pourrons donc considérer que nous avons affaire à un gaz d’électrons et à un gaz d’ions quasi indépendants l’un de l’autre. Par ailleurs, comme l’énergie des électrons n’est jamais inférieure à celle des ions (en fait, le plus souvent, Te > Ti) et que la masse des électrons est beaucoup plus

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

162

D’UN PLASMA

faible que celle des ions et des neutres, nous pouvons considérer les ions et les neutres comme étant au repos; relativement au mouvement des électrons. La situation se réduit finalement à ne considérer qu’un fluide d’électrons, qui se déplace au contact d’un fluide continu d’ions et d’atomes neutres au repos offrant une certaine viscosité au mouvement des électrons. Quant à l’interaction électrons-ions, en plus de la “viscosité” que nous venons d’évoquer, elle intervient dans l’équation décrivant le mouvement des électrons par le champ électrique de charge d’espace donné par l’équation de POISSON.

EQUATION DU

PLASMA D’ÉLECTRONS DE

LORENTZ

En négligeant le termle convectif dans l’équation de LANGEVIN (3.130)lo7et en notant de plus que v, >> vi,v, pour ce qui est du terme collisionnel, cette équation se simplifie pour donner : (3.164)

+

où nous poserons u,, u,i 2 u (v,i < u,,). En supposant que p , = n,lcBT, avec T, indépendant de la position (hypothèse isotherme), (3.164) se ramène à : (3.165) Remarque : le gradient Vp, exprime l’évolution spatiale de la pression due aux électrons et il n’est pas lié à une compression du fluide (voir la remarque 2 de 5 3.6).

ETUDED ’ U N

CAS PARTICULIER

Plasma froid d’électrons (Te = O) soumis à un champ périodique E = &eiWt. Considérons un tel plasnia, à une dimension et sans champ magnétique. D’après (3.165) et en supprimant l’indice e, désormais superflu, il vient : (3.166) équation que nous avions avancée antérieurement sans preuve (voir 0 1.7.9, équation (1.138)) et dont nous pouvons maintenant saisir davantage le contenu physique. Rappelons qu’en plasma froid le mouvement est uniquement créé par le champ &eiWt, donc v(t) = voeiWt; alors de (3.166) : miwvOeiWt= -eEoeiwt

et finalement :

VIJ

=

-

myv0eiwt

-eEo m(v iw) ’

+

de sorte que la densité de courant électronique a pour expression : 107 Nous considérons que

21

< 2ith

(3.167) (3.168)

3.8

-

MOBILITÉ ET DIFFUSION DE PARTICULES CHARGÉES

J

= nqvo = m(vne2 + i w ) Eo

?

163

(3.169)

d’où l’expression de la conductivité scalaire : U =

ne2 m(v iw) .

+

(3.170)

Ce résultat a été obtenu antérieurement par intégration de la fonction de distribution des vitesses en supposant v(w)= constante. Cette expression de O fut alors appelée conductivité de LORENTZ(3.68) : nous comprenons maintenant l’origine de cette appellation.

3.8. MOBILITÉ E T DIFFUSION DE PARTICULES

CHARGEES

3.8.1. LES C O N C E P T S D E DIFFUSION E T D E MOBILITÉ La mobilité et la diffusion de particules chargées sont deux quantités de natiirc hydrodynamiqiic, liées de f a p n essentielle à la présence de collisions daris le plasma. DIFFUSION

Elle résulte du gradient de pression cinétique, Vp, dans l’équation de LANGEVIN (3.130). Comme Vp V(nikBT),la diffusion est due à la présence soit d’un gradient de densité des particules, soit d’un gradient de leur énergie moyenne (température), soit des deux à la fois. Considérons successivement ccs deux cas : Cas d’un gradient de densité de particules

Les collisions en un point donné entre part>iculesse font de façon alkatoire et, en l’absence de champs forts, isotrope : il y a donc équiprobabilité des directions de déviation des particules après un nombre suffisant de collisions. Considhoris, à une dimension, deux points A et B de l‘espace tels que la densité n du gaz en A est supérieure à celle en B. Di1 fait de l’éqiiipartit,ion des collisions cri chaque point de l’espace; le flux daris les deux directions possibles au point A est, plus grand que celui dans les deux direct,ions au point B. I1 en ressort que le flux de gaz de A vers B est phis grand que celui allant de B vers A. Au total, il y a un flux net nw de A vers B, où la vitesse moyennc w est celle du fluide circulant de A vers B. Cas d’un gradient de température

Ici égalerrient, il y a un flux net d’énergie de la région à haute température vers celle de basse tenipérat,ure, l’hergie transportée par les particules à grande énergic &ant la pliis grande ! Ce flux net d’énergie est associé aux flux de particules,

3

164

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

MOBILITÉ Ce paramètre caract,érise la progression moyenne, ou dérive, de particules chargées d’un type donné souimises à un champ électrique E dont l’action est entravée par les collisions. Dans le cas d’un plasma à la fois inhomogène et soumis à un champ E (induit ou extérieur), on observera un mouvement combiné de diffusion et de dérive, caractérisé par une vitesse dirigée (moyenne) totale u.Nous allons étudier ces deux phénomènes à l’aide de l’équation de LANGEVIN (3.130)’ à l’état stationnaire, et en négligeant le terme convectif u .Vu. Dans le cas où il n’y a pas de gradient de température, celle-ci se ramène à : 1 (3.171) w, = qe(E V, A B)- ICBT,~

ma V a f i

{

+

3.8.2. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE LANGEVIN AVEC DÉRIVÉE PARTICULAIRE NULLE (dw/dt

=O)

On peut récrire (3.1‘71) sous la forme d’une équation dont le membre de gauche est homogène en u : ~

J

,

~ U

Vna qcu(V, ~ ~ AW B) ~ = q,E - kBTana

.

Dans ce qui suit, pour alléger l’écriture, nous supprimons les indices

(3.172)

Q

et

p.

La solution générale de cette équation sans second membre est w = O puisque w et w A B sont orthogonaux. La solution particulière de l’équation avec second membre sera la somme de deux solutions obtenues séparément :

# O (vitesse de dérive seule), = O pour Vn # O (vitesse de diffusion seule).

1. l’une avec Vn = O pour qE 2. l’autre avec qE

La niéthode de solution proposée implique que les deux conditions suivantes soient remplies : 1. Le terme convectif (w .V)w apparaissant dans l’équation de LANGEVIN (3.130) doit être effectivement négligeable, ce qui est le cas si la vitesse dirigée totale w est faible en valeur absolue. Cette condition fait que la somme de la vitesse de dérive et de la vitesse de diffusion donne bien la vitesse totale due à ces deux phénomènes combinés. 2. Les vitesses de dérive et de diffusion doivent être petites devant U t h pour que l’hypothèse d’isotropie des vitesses exigée par la pression scalaire apparaissant dans l’équation de LANGEVIN soit valide.

3.8

-

MOBILITÉET

EXPRESSION DE

DIFFUSION DE PARTICULES CHARGÉES

LA VITESSE DE

165

DERIVE

Nous faisons donc Vn = O dans (3.171), ce qui élimine la contribution due à la diffusion. On choisit ê z selon B , d’où : VI

=

vuy =

4 -[E, mv

+vyBz] ,

(3.173)

’

(3.174)

4

-[E, mv 4 z. vz = - E

-

v,B,]

(3.175)

mu

Définissons d’abord la mobilité en l’absence de B : rl

ps-’

(3.176)

mu

qui est la mobilité d’une particule chargée dans un champ E constant (noter que p est tout à fait déterminé si l’on connaît u ) . Cette mobilité nous permet de récrire (3.175) sous la forme : vz = PEZ ’ (3.177) qui met en évidence la vitesse moyenne ou vitesse de dérive d’un type de particules soumises à un champ E dans un plasma collisionnel (nous rappeler que, par convention, et contrairement aux ions, les électrons vont dériver dans la direction opposée à celle du champ E ) . La mobilité ainsi définie est dite mobilité linéaire pour souligner que p ne dépend pas de E,. En présence d’un champ magnétique B , la mobilité dans la direction de B se définit également par : (3.178) En portant cette valeur de pll dans les équations (3.173) et (3.174) qui donnent les composantes de la vitesse de dérive dans le plan perpendiculaire à B , nous trouvons respectivement pour u, et vy :

v,

=

E,

,

(3.179) (3.180)

où wc = -qB/m est la pulsation cyclotronique (§ 2.2.2). Nous constatons que la vitesse de dérive suivant ê, et êy est d’autant plus faible que le champ magnétique est fort (v << w c ) . Le tenseur de mobilité Les résultats précédents peuvent être exprimés en notation tensorielle. Posons à cet effet : (3.181)

3

166

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

où p l et p~ sont respectivement la mobilité perpendiculaire au champ magnétique et la mobilité de HALL.Ces deux coefficients permettent de définir le tenseur, d’ordre 2, de mobilité p par la relation générale :

v =p . E , c’est-à-dire v, =

pZ3E3

(3.182)

2

avec :

(3.183)

Nous pouvons également lui rattacher le tenseur de conductivité électrique. Sachant que J = nqv où v est la vitesse de dérive des particules dans le champ E , nous pouvons écrire d’après (3.182) : J = nqp - E (3.184) ’

et puisque J = o . E est donné par :

( 5 2.2.2), le lieri ent,re les tenseurs de conductivité u = nqp - .

-

et de mobilité (3.185)

Remarques : 1. La mobilité et la conductivité des électrons parallèlement au champ B (ou en l’absence de champ magnétique) ont pour expression :

e

p, =----

me v

(3.186)

(3.187) où v est la fréquence moyenne de collision électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement. Si les hypothèses du modèle de LORENTZsont remplies, la conductivité électronique à elle seule rend bien compte de la conductivité électrique d’ensemble du plasma.

2. Mobilité ionique. On définit la mobilité ionique de façon analogue à celle des électrons : (3.188) 0

oil v,, est la fréqueiice de collision ion-neutre. !Voter que la mobilité d’un ion positif est positive alors que la mobilité des électrons est négative ; pour certains auteurs,

les mobilités sont #iucontraire, t0u.join-s définies positives.

3. Noter que si w, de mobilité.

+ O, le tenseur de mobilité

se réduit bien à un coefficient scalaire

4. Mobilité réduite. Pour un type de particules donné, pll ne varie qu’avec v (3.178). A son tour, pour une température (ou bnergie moyenne) donn6e des électrons (ions), la valeur de v ne dépend que du nombre N d’atomes-cibles par unité de volume, les atomes neutres dans le cas prbsent, de sorte que l’on a intérêt à rapporter les valeurs de p à une pression et à une température de réfbrence des atomes neutres ;

3.8

-

MOBILITÉE T

DIFFUSION DE PARTICULES CHARGÉES

167

celle-ci a été fixée à 760 torr, O O C . La mobilité correspondante s’appelle la mobilité réduite, pe0 ; la densité de neutres, appelée dans ces conditions de référence nombre de LOCHSMIDT, est donnée par NL = 2’69 x lo1’ atomes/cm3. La mobilité à une pression quelconque p (exprimée dans les mêmes unités que la pression de référence p.4 correspondant à 760 torr, 0°C) et à une température T, en O C également quelconque, s’écrit, puisque p K p-’ : Pe = Peû-NL

Np

(273

___ “O

273p

+Tc) + T,) = p e û (273 273 p’

(3.189)

où Np est la densité de neutres à la “pression” p’ (exprimée en fraction de p ~ et) à la température T, ( O C ) .

5. Mobilité dans un champ électrique périodique. En nous rappelant que la conductivité de LORENTZdans un champ électrique périodique est donnée par De

=

nee2 m,(u i w )

+

(voir (3.170)),nous pouvons définir la mobilité électronique correspondante sachant que = n q p (3.185), d’où : e (3.190) pe = -m,(v iw) ’

+

expression qui donne bien la mobilité en champ E continu (3.176) si l’on fait w = O.

EXPRESSION DE

LA VITESSE D E D I F F U S I O N

En annulant le champ E dans (3.172), on obtient suivant la direction du champ magnétique, l’expression, dans cette direction, de la vitesse de diffusion : (3.191)

ce qui permet de définir le coefficient de diffusion parallèlement à la direction de B (ou en l’absence de champ magnétique) des particules de type cy :

Dl1 =

~ B T ~ . m,ucuB

~

(3.192)

Pour les composantes de v dans le plan perpendiculaire à B , nous obtenons d’après (3.172) (en ne maintenant l’indice û: que pour la température) :

u,

=

4 mu 4

-(?JuBz) -

vu = --(w&)

mu

~ B 1Tan ~ mu ndx ’ ~ B T 1, d n mu n d y ’

(3.193) (3.194)

et, comme nous l’avons fait dans le cas de la mobilité, introduisons les deux coefficients de diffusion se rapportant au plan perpendiculaire à B , à savoir : (3.195)

3

168

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D ' U N PLASMA

ce qui nous permet cie récrire les trois composantes de la vitesse de diffusion : 1d n 1d n -D~---DH--, n dx n dY 1d n 1d n tiy = DH-- Di-n dx n dY 1d n 21, = -DI+n dz pour finalement faire apparaître le tenseur de diffusion : V,

=

1

(3.196) (3.197) (3.198)

(3.199)

et le vecteur vitesse de diffusion : (3.200) résultant d'un gradient de densité dans le plasma. Remarques :

1. Nous venons de définir (3.200) le tenseur 0 de diffusion libre ainsi appelé parce que la diffusion des électrons (ions) se fait indépendamment de toute interaction (collective) avec les ions (électrons) : le champ de charge d'espace entre les différentes espèces de particules chargées n'est, dans ce cas, pas assez fort (densité faible) pour entraîner un couplage important entre ces deux différentes espèces. 2. Noter que si we -+ O, nous retrouvons bien un coefficient scalaire de diffusion. 3. On peut associer un flux de particules au gradient de densité en remarquant que : r z n v = -D.Vn. (3.201)

ï est aussi appelé courant particulaire, qui multiplié par la charge e devient une densité de courant. 4. Dans le cas général où D dépend de la position et que la fonction de distribution des vitesses microscopiques w est quelconque, on pourrait montrer que (DELCROIX, 3 1.3.2) : 1 r = --v [n(~2/~(w))] , (3.202) 3 où les crochets désignent une moyenne prise sur la fonction de distribution. De cette expression, on obtient la forme la plus générale du coefficient de diffusion en l'absence de champ magnétique B : 1 D = -(w2/v(w)) . 3

(3.203)

3.8

-

169

MOBILITÉ ET DIFFUSION DE PARTICULES CHARGÉES

Cependant, si u est une constante quant à la vitesse w et que la fonction de distribution f ( r ,w) est maxwellienne, alors : (3.204)

en conformité avec (3.192).

COURANT PARTICULAIRE

TOTAL ET DENSITÉ DE COURANT TOTALE

(SOLUTION GÉNÉRALE)

Dans la mesure où les hypothèses sur le vecteur v mentionnées plus haut sont vérifiées (vitesse 2) suffisamment faible pour négliger le terme convectif, absence de gradient de température, état stationnaire) et pourvu que la densité d’électrons soit suffisamment faible pour ne pas entraîner de couplage avec les ions par l’entremise du champ de charge d’espace, il suffit d’additionner les solutions provenant de (3.182) et de (3.200) pour obtenir le flux total de particules chargées d’une espèce donnée et la densité de courant correspondante : (3.205) (3.206)

Remarque : Le rapport des coefficients D , et p, conduit à : (3.207)

relation dite d’EINSTEIN. 11 est d’usage de poser D e / p e caractéristique de l’électron (exprimée en eV).

3 U > E où , Uk. est

l’énergie

Effet du champ magnétique sur le coefficient de diffusion : confinement des particules chargées ~

Orientation du confinement par rapport à la direction de B . Le champ B = êtBo n’a d’effet sur la mobilité et la diffusion que dans le plan qui lui est perpendiculaire ( B n’apparaît pas dans les expressions de pl1 et Di,). Cet effet dépend du rapport u/w,. Examinons le cas simple où E = O avec dn/dy = O dans l’expression de II, (3.196) ; l’expression de I‘z prend la forme suivante :

5

ce qui montre bien que, lorsque u w,, le flux de particules dans une direction perpendiculaire à B est plus faible que le flux rz (direction de 9) ; dans le cas où u < w,, les composantes D L x ( U / W ~ )et~ DI{ D~N ~ (u/wc)Dll sont encore plus fortement réduites. Remarque : Cet effet de réduction des pertes dans la direction perpendiculaire à B peut s’expliquer, en retournant aux trajectoires individuelles ( u = O, E l = O, B =

170

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

êzBo ; page 89, remarque i),par le fait que le rayon de giration cyclotronique de la particule est de plus en plus petit lorsyu’on augmente Bo. Lorsqu’il y a diffusion des particules, la giration cyclotronique peut être vue comme une entrave a u mouvement de diffusion perpendiculairement à B . -

Pertes par diffusion dans une longue colonne de plasma soumise à un champ magnétique statique B dirigé axialement. Dans une colonne de plasma dont le rayon est faible par rapport à sa longueur, les pertes par diffusion des particules chargées (par recombinaison sur la paroi) ont principalement lieu dans la direction radiale. Un champ magnétique dirigé axialement pourra, cependant, réduire substantiellement cette diffusion. Soit le vecteur en configuration cylindrique. I1 y a symétrie cylindrique du plasma de sorte que d n / d y = O ; par ailleurs, a n / & x O si la colonne est très longue par rapport à son rayonlos. Le flux ra,dial se réduit alors àio9 :

et, pour u

< wc,

r

l c ~ T , u2 an m2-=-( mu q2B2 dr

lcBT,mu

._______

q2B2

) andr

-cc-,

1

B2

ce qui montre que le champ magnétique réduit alors fortement la diffusion. Remarque : La diffusion de particules chargées perpendiculairement a u champ B donne souvent lieu à un transport de particules plus important que celui prédit par le modèle hydrodynamique ; ce type de diffusion est alors qualifié de diflusion anormale (vis-à-vis du modèle hydrodynamique).

3.9. MODESF’ROPRES DE DIFFUSION ET DISTRIBUTION SPATIALE DE LA DENSITÉ

DES PARTICULES CHARGÉES Le but ultime de la pnisente section est de montrer comment le mécanisme de diffusion des particules chargées vers les parois (où il y a recombinaison des ions avec les électrons) détermine I L ( T ) , la distribution spatiale des particules chargées. 108 Le profil axial de densité n(z)/n(O)d’une décharge en courant continu dépend peu de la longueur de la colonne de sorte que plus celle-ci est longue, plus d n / d z est faible. 109Comme une seule des trois composantes de Vn est non nulle, en l’occurrence an/&, nous pouvons en déduire que seul le coefficient D L intervient dans le flux radial à l’origine des pertes par diffusion, le flux azimutal an sein du plasma, rp = D H û n / d r , ne contribuant pas aux pertes.

3.9 - hfODES

171

PROPRES DE DIFFUSION

S’agissant manifestement d’un problème de transport de particules, notre équation de départ est l’équation de continuité, écrite cette fois avec un terme collisionnel S non nulllo : an (3.210) -+V.(nv) = S ,

at

où an/& tient compte de la variation de la densité des particules en fonction du temps et V . ( n u ) représente la variation du flux de particules avec la position. Ce flux résulte de la diffusion et de la dérive des particules chargées. Le terme S rend compte des variations de densité des particules à la suite de collisions en volume, principalement de type ionisation et recombinaison. En l’absence de champ électrique appliqué, le flux particulaire, dû à la diffusion, s’écrit”’ î nv = - D V n . L’équation (3.210) à l’état stationnaire se ramène alors simplement à : (3.211) V .(-Don) =S .

=

Si, maintenant, les pertes par diffusion sont plus importantes que celles dues à la recombinaison en volume, le terme d’interaction collisionnelle (voir 3 1.8 et dans 5 3.5, équation (3.93)) se réduit à l’ionisation en volume. Si, de plus, le coefficient D ne dépend pas de la position, nous aurons finalement la relation : (3.212)

où vi est la fréquence moyenne d’ionisation du gaz considéré (0 1.8.3). Cette relation traduit le fait que les particules, créées en volume, sont évacuées vers les parois sous l’effet du gradient de leur densité. Nous pouvons récrire (3.212) sous la forme d’une équation aux valeurs propres :

);(

V 2 n= -

n.

(3.2 13)

Les résultats que nous allons maintenant obtenir sont d’une importance capitale dans l’établissement des conditions d’entretien d’une décharge, particulièrement en ce qui a trait à l’intensité du champ E présent dans la décharge. Nous établirons au chapitre 4 ( Q 4.2) le fait, que cette intensité, dans le cas d’un plasma soumis à la diEusion, est indépendante de celle du champ électrique appliqué de l’extérieur. Pour bien comprendre la solution de (3.212)’ il nous faut introduire la notion de modes propres de diffusion, ce qui se fait avantageusement en post-décharge temporelle.

3.9.1. NOTIONSD E MODES P R O P R E S DE DIFFUSION :

ETUDE

D’UNE POST-DÉCHARGE

TEMPORELLE

Nous allons examiner l’évolution en fonction du temps de la distribution spatiale de la densité électronique d’un plasma de post-décharge (un plasma dans lequel à t = O, on 110Le terme S résulte de l’intégration sur tua de l’opérateur de collision S ( f ) 111En l’absence de couplage entre électrons et ions par le champ électrique de charge d’espace, D est le coefficient de diffusion libre. En présence de couplage, le flux particulaire prend une forme identique, mais la valeur du coefficient de diffusion est modifiée en conséquence ( 5 3.10).

172

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

a coupé le terme source, par exemple le champ HF) en régime de diffusion. L’équation (3.210) se réduit alor,s à : dn (3.214) - V.(nv) = o .

at

+

En supposant que l’énergie moyenne des particules est spatialement uniforme (hypothèse isotherme) et issotrope (sinon voir l’expression générale (3.202)), nous posons I? nv = - D V n , de sorte que (3.214) devient :

=

dn at

-- DV2n =

(3.215)

O.

I1 nous faut connaître la loi de décroissance de la densité du plasma en régime de diffusion : on pourrait montrer que, sauf exception, cette densité en un point donné décroît de façon exponentielle, soit : n ( ~t ),= n ( r ,t = O) exp(-uDt) pour t 2 O

(3.216)

où ug est la fréquence caractéristique des pertes par difusion (TD = v o l est un temps caractéristique de décroissance de la densité du plasma par diffusion). L’équation (3.215) devient alors : V2n =

-

(3) n

(3.217)

où n = n ( ~ t),,et où D est le coefficient de diffusion des particules considérées’12. L’expression (3.217) est une équation différentielle du second degré aux valeurs propres de la forme V2n = -X,n (équation caractéristique). Dans le cas d’une colonne cylindrique de rayon interne R , les conditions aux limites sont (dn/dr)p,o = O et n ( r = R ) = O, cette dernière condition devant être considérée comme appro~imativel’~.

Pour déterminer la solution de l’équation caractéristique, posons

:

(3.218) Nous montrerons ultérieurement que A est la longueur caractéristique de diffusion qui ne dépend que de la configuration géométrique et des dimensions du plasma. En conséquence, une augmentation de D se traduit par une augmentation proportionnelle de U D . 112 I1 est à noter que l’équation (3.217) ne se limite pas seulement aux particules chargées, mais peut s’appliquer à toutes les espèces du plasma créées en volume et perdues sur les parois, comme les espèces neutres excitées, aussi bien atomiques (O, N , H . . . ) ou moléculaires que radicalaires. 113La valeur n ( r = R ) est toujours plus faible que n(r = O) puisqu’en régime de diffusion, la paroi constitue un endroit où aussi bien les particules chargées que les espèces neutres excitées, atomiques et radicalaires sont perdues par neutralisation, désexcitation, recombinaison ou adsorption. De manière générale, s’il y a “réflexion” d’une partie du flux de particules sur les parois, la condition n(r = R ) = O n’est pas valide. C’est le cas en particulier pour les gaz rares et les gaz moléculaires ( 0 2 , Na,H a . . . ) dans leur état fondamental, pour lesquels le Coefficient de réflexion est de 100% (pas de ,pertes sur les parois, n ( R ) = n ( 0 ) ) .Pour les espèces neutres excitées ou dissociées, la désexcitation ou la recombinaison n’est pas totale sur les parois, et une partie du flux d’espèces est aloris réfléchie. I1 faut donc raisonner, dans ce cas, en termes de flux d’espèces perdues aux parois et non en termes de densité.

3.9

-

MODESPROPRES

CASD’UNE

173

DE DIFFUSION

CONFIGURATION PLANE

Cette situation correspond au cas où le plasma est situé entre deux plaques parallèles (conductrices ou diélectriques), séparées d’une distance L (axe des x) mais s’étendant à l’infini dans les autres dimensions (axes y et z ) , comme le suggère la figure 3.1.

...........................

Figure 3.1 - Repère unidimensionnel d’un plasma situé entre deux plaques parallèles s’étendant à l’infini et séparées d’une distance L.

*

...........................

........._____

io

+

L

X

k

La solution de (3.217) est alors : (3.219)

où

(3.220)

avec la condition générale de densité nulle sur la paroi :

L 7r = (2k - 1)2Ak

2

(3.22 1)

où k est un entier positif. Remarques : 1. La solution sin(z/Ak) n’est pas acceptable car elle n’est pas symétrique par rapport à l’axe (x = O), comme l’exige le processus de diffusion.

2. Considérés un à un, seul le mode fondamental ( k = 1) de l’équation (3.219) a une signification physique car les modes supérieurs présentent des valeurs négatives de densité selon x ; cependant, leur somme selon l’équation (3.219) constitue une solution physique (sans valeurs négatives). Fréquence caractéristique V D k des différents modes : valeurs relatives

Nous voulons évaluer la contribution relative des modes apparaissant dans la somme (3.219) ; pour cela, nous tirons de (3.220) et (3.221), pour k = 1, vol = D7r2/L2; pour k = 2, VD2 = 9 D T 2 / L 2; pour k = 3, V D ~= 25 D r 2 / L 2 de sorte que uD2/uD1 = 9, uDs/uD1 = 25 ; etc, et il est alors clair que c’est le mode fondamental qui décroît le moins rapidement dans (3.219) : une distribution spatiale de densité tout à fait quelconque initialement (obtenue par exemple, à la suite d’un tir laser focalisé en un point de l’enceinte à décharge) prendra, au bout d’un certain temps, la forme du mode fondamental, les autres termes de (3.219) ne contribuant plus de façon importante, comme le suggère la figure 3.2.

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

174

-

-LI2

+L12

O

3:

t o < t i < tl>< t 3 < t 4

D’UN PLASMA

Figure 3.2 - Evolution temporelle (approximative) en régime de diffusion de la densité électronique d’un plasma créé de façon localisée ( g ) à l’instant to.

Longueur de diffusion Pour le mode fondamental,

L 7 r = -, d’où : 211 2

-

A =LIT,

(3.222)

où A apparaît comme une longueur caractérisant la diffusion en configuration plane.

CAS D’UNE

CONFIGURATION CYLINDRIQUE

Considérons une enceinte de forme cylindrique fermée perpendiculairement en ses deux extrémités par ties surfaces planes (figure 3.3).

Figure 3.3 - Repère bidimensionnel d’un plasma dans une enceinte cylindrique d’axe z , de rayon R et de hauteur h.

Pour le mode fondamental, la solution de l’équation aux valeurs propres (3.217) donne la densité des particulles au point T , z : n ( r ,2 ) = ni)cos(az)Jo(br)

(3.223)

où JO est la fonction de BESSEL de première espèce et d’ordre zéro (figure 3.4) ; les coefficients a et b obéissent à la relation : a 2 + b 2 = - uD1 . D

(3.224)

3.9

-

MODESPROPRES

175

DE DIFFUSION

0.0

-0,s

Figure 3.4 Fonction de BESSELde première espèce et d’ordre zéro. ~

’

O

‘

’

‘

’

’5

’

’

‘

‘

I

10

’

‘

’

‘

’

15

br

Longueur de diffusion En exigeant que la densité des particules soit nulle sur les parois (en r = R et z = +h/2), on trouve a = 7r/h et b = 2,405/R d’où :

- 1= ~ ~ ~ + b ’ = ( i ) ’ 2,405 + ( ~ 2) . A2

(3.225)

Dans une colonne cylindrique longue, par définition, nous avons h > R , d’où :

A=-

R 2,405

(3.226)

La diffusion est alors principalement dans la direction radiale, de sorte que :

n(r, z ) Y n ( r ) = noJo(2,405 r / R ) .

(3.227)

3.9.2. DISTRIBUTION SPATIALE DE LA DENSITÉ DES PARTICULES CHARGÉES EN

LE

REGIME

STATIONNAIRE DE DIFFUSION

TERME SOURCE (IONISATION)

Dans le cas d’un plasma faiblement ionisé (ne<< N où N est la densité des neutres), les collisions électron-neutre sont prépondérantes mais ne sont pas suffisantes pour que l’énergie moyenne des divers types de particules soit la même ; l’énergie moyenne des électrons des décharges électriques est en fait supérieure à celle des ions et des neutres (9 1.4.3). Par ailleurs, l’énergie de ces derniers demeure, dans ce cas, inférieure au seuil d’ionisation : seuls les électrons assurent donc l’ionisation par leurs impacts sur l’atome. Nous supposerons, dans ce qui suit, que l’atome est initialement dans l’état

3

176

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN

PLASMA

fondamental avant d’étre ionisé par une seule collision électronique : nous négligerons, en effet, l’ionisation par étapes où les états excités de l’atome servent de relais vers l’ionisation. Ceci suppose que ces niveaux intermédiaires n e sont pas très peuplés. Le terme “source’’ S de l’équation de continuité (3.210) représente un nombre de particules par unité de volume et par seconde. Comme, par hypothèse, nous sommes en régime de diffusion, le terme source se limite à l’ionisation. Celle-ci ayant lieu par un seul impact électronique sur des atomes neutres dans l’état fondamental, nous pouvons écrire que S = vin où vi = & ( e t i ( w e ) w e ) (1.147) (l’ionisation par étapes ajouterait une contribution supplémentaire).

EQUATION DU

BILAN DES PARTICULES

CHARGEES

Dans les conditions que nous venons de décrire, à l’état stationnaire, l’équation de conservation des particules dans un plasma en diffusion s’écrit, comme nous l’avons vu plus haut : -DV2n = van

(3.212)

où les pertes par diffusion des particules chargées apparaissent exactement compensées par l’ionisation en volume. Très souvent, nous pourrons supposer que la fréquence va n’est pas dépendante de la position. Cependant, dans les plasmas produits par des champs HF, u, est fonction de la variation spatiale du champ E , mais dans la plupart des cas où la diffusion l’emporte nettement sur la recoxnbinaison en volume cet effet est minime sur la distribution des particules chargées, précisément du fait du caractère global, par opposition à local, du mécanisme de diffiision. Notons que (3.212) possède la même forme que la relation (3.217) décrivant la distribution spatiale de la densité des électrons soumis à la diffusion dans une post-décharge temporelle : c’est donc une équation aux valeurs propres (les conditions aux limites sont les mêmes qu’en $ 3.9.1). Par analogie avec 3 3.9.1, nous connaissons la forme des solutions ; en configuration cylindrique, pour une colonne longue (3.226)’ nous avons :

n ,(r) N ne(?-) = n(O)Jo(2,405r/R)

(3.228)

qui décrit la distribution radiale de densité correspondant au mode fondamental de diffusion114. Comme pour la solution de (3.217)’ nous poserons cette fois : (3.229) Récrit sous la forme : ou d’après (3.218) :

u. -

“A

D

2

= VD

(3.230)

,

(3.231)

nous obtenons ainsi l’tquation d’équilibre en particules chargées d’une décharge à l’état stationnaire : le nombre de particules créées égale le nombre de celles qui disparaissent par diffusion. Cette relation porte aussi le nom d’équation du bilan des particules. 114 Cette solution revient à supposer que les contributions des modes supérieurs ne sont pas importantes : elles disparaissent une fois le régime transitoire d’amorçage de la décharge terminé, de façon analogue à ce qui se passe en post-décharge.

3.10

-

DIFFUSION EN

177

RÉGIME AMBIPOLAIRE

Remarques : 1. Dans le cas où les particules chargées disparaissent (en partie ou en totalité) par recombinaison en volume, il faut ajouter au terme Si d’ionisation celui de recombinaison en volume, par exemple dans le cas d’ions atomiques (1.142) :

S, = -a,,n3 .

(3.232)

L’équation d’équilibre en particules s’écrit donc de façon plus générale :

- D U 2 n = vin

-

a,,n

3

(3.233)

où a,, et vi peuvent dépendre de la position. Dans une post-décharge temporelle où la recombinaison en volume l’emporterait sur la diffusion pour ce qui est des pertes de particules chargées, nous serions conduits à une décroissance de n donnée par : (3.234) I1 est donc facile, en principe, de distinguer un régime de recombinaison en volume d’un régime de diffusion en examinant l’évolution de la post-décharge, à moins que les pertes de particules chargées des deux types soient d’importance comparable. 2. Conditions de densité aux parois. Comme nous l’avons déjà indiqué113, la condition simplificatrice n ( r = R ) = O aux parois n’est pas toujours valide. En effet, aux basses pressions (typiquement au-dessous de 100 mtorr dans l’argon), il se forme, à l’interface plasma-paroi, une gaine ionique de faible épaisseur, correspondant à quelques AD, (§ 3.14). Dans ce cas, les pertes sur les parois s’expriment en termes de flux à travers cette gaine ionique. Aux pressions plus élevées, on peut, en revanche, considérer que le plasma remplit l’ensemble du volume jusqu’aux parois, et l’hypothèse n(r = E ) = O est alors valide.

3.10. DIFFUSION E N REGIME AMBIPOLAIRE L’hypothèse, implicite dans 3.8, d’une diffusion libre des électrons, indépendante de celle des ions, ne vaut que dans la mesure où la densité des charges est faible. En effet, les électrons possédant un coefficient de diffusion beaucoup plus important que celui des ions (comparer De O; T,/m, avec Di O: T i / m i ) , leur fuite vers la paroi est plus rapide115, engendrant un écart à la neutralité (séparation de charges) qui crée 115Pour le voir, écrivons le flux de diffusion des deux types de particule (sans tenir compte de la charge d’espace) suivant la direction x :

rexE nevex = -D,ûn,/axet rase n,vax= -D,ûn,/ax. Comme m, < M et Te _j T, et bien que ven 2 van,il en résulte que De > D,. Sachant que ne 2 n,,nous obtenons anelax x an,/ôxet, finalement, vex >> va,, donc un plus grand flux électronique.

3

178

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN

PLASMA

un champ électrique ED (champ de charge d’espace). Ce champ électrique va ralentir le mouvement de diffusion des électrons et accélérer celui des ions. Au-delà d’une certaine densité du plasnia (de l’ordre cle 108 ~ r n - ~ où ) , les forces de rappel électriques deviennent importantes, la séparation de charges et, donc, le champ électrique résultant vont s’ajuster de manière à ce que les ions et les électrons diffusent à une vitesse commune : c’est la diffusion ambipolaire (dite parfaite). Celle-ci se caractérise par un même coefficient de diffusion Da pour les deux espèces de particules, coefficient dont nous allons maintenant dériver l’expression.

3.10.1. HYPOTHESES NÉCESSAIRES À U N E DESCRIPTION ANALYTIQUE COMPLETE DU RÉGIME DE DIFFUSION A M B I P O LAIRE

1. On pose que les flux des deux espèces sont égaux :

re= r i= r .

(3.235)

I1 s’agit là d’une première approximation car, rigoureusement, nous devrions plutôt écrire : v . r e= v . r i . (3.236) En effet, l’équation de continuité à l’état stationnaire donne, pour tout régime :

v.r, v.ri

=

se

(3.237)

=

si

(3.238)

où Se = Si puisque les particules chargées apparaissent ou disparaissent par paires électron-ion116.

La relation (3.235) n’est donc qu’approximative (sauf à une diniension) : c’est l’hypothèse de congruence. 2. On pose l’hypothèse d’indépendance des coeficients de diffusion de la position :

D k ( r ) = constante

(3.239)

où IC = e , %ou a.

3. On pose, de façon générale, que : (3.240)

où C est un param’ètre, indépendant de la position, dont la valeur dépend de la charge d’espace. En présence d’un flux de particules à l’état stationnaire, l’intensité du champ Eo croît, à partir de zéro en diffusion libre, au fur et, à mesure qu’augmente le lien ambipolaire pour redécroître ensuite, sans être jamais tout à fait nulle à la limite de la diffusion ambipolaire parfaite (voir plus loin (3.263)). 116 Dans l’hypothèse où il n’y a que des ions positifs dans la décharge et que ceux-ci ne sont porteurs que d’une seule charge positive.

3.10

-

DIFFUSION EN

179

RÉGIME AMBIPOLAIRE

La condition (3.240), dite hypothèse de proportionnalité, nous permet de traiter le régime de transition entre la diffusion libre et la diffusion ambipolaire parfaite. On peut vérifier la validité de cette relation sur les deux cas extrêmes du régime de transition. Densité faible : régime de diffusion libre ( E D= O). Les deux espèces de particules diffusant librement, a priori C # 1. Pour déterminer la valeur de C, nous utilisons la relation exacte (3.236) où dans ra = - D a V n a , D , est independant de la position. I1 vient alors (Se= Si):

- D , V . V n , = - D i V . Vni, Di ou encore : V 2 n ,= +-V2ni , De ce qui, de (3.240), entraîne C = D,/Di ,

(3.241) (3.242)

concrétisant la relation (3.240) en donnant une valeur précise au paramètre C . En régime de diffusion libre, l’égalité des flux de diffusion des électrons et des ions est obtenue pour des densités telles que ni/n, = D e / D i . Densité forte (régime de diffusion ambipolaire parfaite : pas de séparation de charges). Dans ce cas, C = 1 (n,(r) = n,(r) = n ( r ) )et, compte-tenu de l’hypothèse de congruence (3.235) : (3.243) ?le(?-) = Vi(.) = V(.) , ce qui impose que la diffusion soit alors régie par un seul coefficient de diffusion, commun aux deux espèces, D a , comme nous allons le voir au paragraphe suivant.

3.10.2. EQUATIONS RÉGISSANT LA DIFFUSION AMBIPOLAIRE ET LE RÉGIME DE TRANSITION DE LA DIFFUSION LIBRE VERS LA DIFFUSION AMBIPOLAIRE

En l’absence de champs extérieurs, les flux résultant de la diffusion aussi bien que de la dérive dans le champ électrique de charge d’espace E D sont donnés par : (3.244) (3.245)

où le champ E D est lié à l’écart à la neutralité par l’équation de POISSON :

V . E D = -(ne - ni)./^ . R É G I M E AMBIPOLAIRE PARFAIT

(3.246)

(ne= ni)

Multiplions (3.245) par p,n, et (3.244) par p e n e et effectuons la différence (3.245)(3.244) : compte tenu de l’hypothèse de congruence (3.235) (I?, = r2. = I?), il vient : (/h%--Pe%)r= - D e p L , n L v n fpepU,71.,n,ED e +Dzpen,Vn, -pepL,nen,ED

. (3.247)

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

180

D’UN PLASMA

Puisque dans le cas présent ne = ni = n, nous avons :

r = -(Depi

-Di~e)Vn 7

Pi - Pe

(3.248)

ce qui conduit à définir le coeficient de diffusion ambipolaire Dall7 :

(3.249) nous permettant de représenter les flux électronique et ionique ((3.244) et (3.245)) par une seule et même expression : =-DaVn

.

(3.250)

Noter, dans (3.249)’ que D a est positif puisque la valeur de pe est négative. Par analogie avec l’expression obtenue en diffusion libre (3.229)’ nous pouvons dire qu’à l’état stationnaire la condition d’équilibre de création-perte de particules de la décharge en régime de diffusion ambipolaire s’écrit :

(3.251) Pour une longue coloiine cylindrique et en refaisant le cheminement des équations (3.223) à (3.226), nouij obtenons l’expression de la distribution radiale de la densité électronique et ionique : n ( r ) = n ( O ) J 0 ( 2 , 4 0 5 r / R ). (3.252)

REGIME D E T R A N S I T I O N (71, = ni) E T D I F F U S I O N

ENTRE DIFFUSION AMBIPOLAIRE L I B R E (ni = C71,)

Partons de l’expression (3.247) en admettant l’hypothèse de congruence (ï, = I?%), mais en considérant cette fois que ne # ni et v, # vi. L’hypothèse de proportionnalité (3.240) peut se mettre sous la forme :

niVn, = n,Vni ,

(3.253)

et, alors, de (3.247) nous tirons

(3.254)

où D , est le coeficient effectif de diffusion. Bien que l’expression de D , fasse apparaître ne et ni qui sont des fonctions de la position, D , n’en dépend pas si, comme le veut notre hypothèse, la constante de proportionnalité C est indépendante de la position. 117 L’expression de Da derneure la même en présence d’un champ électrique extérieur Eext s’ajoutant à E D (même si leur orientation est différente) : Eext tout comme E D serait éliminé dans la relation (3.247).

3.10 - DIFFUSION EN

181

RÉGIME AMBIPOLAIRE

Nous cherchons une expression de D , en fonction de Da dans laquelle l’écart ni - ne (déterminant l’intensité du champ E D couplant les particules entre elles) apparaît de façon explicite. Rappelons tout d’abord les expressions de la conductivité électrique totale : (3.255) 0 = (pini - Pene)e (puisque pe est négatif, a

> O comme il se doit) et

de la densité totale des charges : (3.256)

p = (ni - n e ) e .

Nous pouvons ensuite écrire que :

D , . (3.258)

L’expression :

(

Ds=Da I--

(3.259)

fait ressortir que D , dépend explicitement de la conductivité électrique et de l’écart à la neutralité. En nous rappelant que le coefficient pe est négatif, D a apparaît bien comme la valeur minimum de D,(p Y O).

3.10.3. VALEUR DE L’INTENSITÉ D U CHAMP ÉLECTRIQUE DE CHARGE D’ESPACE

De (3.205)’ nous savons que le flux particulaire des électrons a pour expression :

re= - D , V n e + ,uen,Eo

.

(3.260)

Par ailleurs, le coefficient effectif de diffusion D , nous autorise à écrire le flux d’ions et celui des électrons (3.244) et (3.245) sous une même forme I’ = - D , V n e (3.254). I1 vient alors de (3.260) et (3.254) : (3.261)

Nous pouvons étudier cette relation dans deux cas limites intéressants : ~

E D = O (strictement égal à zéro). Ce cas correspond à la diffusion libre, comme le montre (3.261)’puisqu’alors D, = De (nous obtenons le même résultat en comparant (3.260) où E D = 0 et (3.254)).

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

182

~

D’UN P L A S M A

Champ E D de diffusion ambipolaire parfaite. Nous posons D s = 13, dans (3.261)’ ce qui donne

et, finalement :

(3.263)

Ce champ peut devenir très faible mais jamais strictement nul en diffusion ambipolaire. Plus concrèternent, ceci signifie que l’on peut poser la stricte égalité ne = ni quand il s’agit, par exemple, de calculer le coefficient de diffusion ambipolaire, mais jamais dans l’équation de POISSON. Dans ce dernier cas, il faut que p soit différent de zéro, même légèrement, pour que le champ de charge d’espace existe. Noter aussi que le champ électrique de charge d’espace sur l’axe doit être nul en raison de la symétrie du système118 et donc que la densité de charge sur l’axe, po, doit également être nulle. Comme en général 13, > Di et /pel >> p i , une approximation courante de l’expression (3.263) pour E D , est donc :

De Vne Vne E D , N -= uk-, Pe

ne

(3.264)

ne

où uk est l’énergie caractéristique des électrons (3.207).

3.10.4. EXPRESSION DE LA DENSITÉ DES CHARGES Po S U R L’AXE : LIMITE DE VALIDITÉ DU CALCUL ANALYTIQUE

De l’équation de POISSON V . E D= p / ~ où o l’on substitue E D de l’expression générale (3.261), il vient, en mettant p en évidence :

La valeur sur l’axe, p o , s’obtient en notant qu’il y a symétrie en ce point, ce qui entraîne V n , = O ‘19 et comme, par ailleurs, V 2 n e / n e= - 1 / R 2 , (3.265) s’écrit : (3.266) 118 En effet, le champ E D sur l’axe ne saurait pointer dans une direction radiale plutôt qu’une autre. D’ailleurs, nous utilisons la condition Vn, = O sur l’axe comme condition aux limites. 119 Noter que l’on pose Vn, = O dans (3.265) une fois la divergence effectuée : le fait que la dérivée première de TL, soit nulle en un point n’entraîne pas nécessairement que sa dérivée seconde le soit aussi en ce point (penser à I/ = x 2 en x = O). Dans le cas présent, V 2 n e< O sur l’axe car ne y passe par un maximum.

3.10

-

DIFFUSION EN

RÉGIME AMBIPOLAIRE

183

Pour la diffusion libre (0, = D e ) , nous avons bien po = O (charge d’espace négligeable). Sachant que De 2 D , 2 Da (et pe < O selon nos conventions), po croît de O à pornax pour D , décroissant de De à Da alors que l’on devrait avoir po = 0 sur l’axe, quel que soit le régime de diffusion : le champ E sur l’axe est touours nul du fait de la symétrie de la configuration. Ce calcul analytique n’est donc qu’approximatif, ce qui n’est pas étonnant outre mesure, compte tenu des hypothèses assez restrictives (notamment ni = Cn,) que nous avons retenues. La description plus exacte de ce régime passe donc par des calculs numériques. Pour nous permettre de comparer calculs analytiques et calculs numériques, exprimons le coefficient effectif de diffusion en fonction de la conductivité sur l’axe, 00. Pour cela, portons (3.266) dans (3.259) et nous arrivons à : (3.267) En supposant que la conduction 00 est essentiellement électronique et en introduisant la longueur de DEBYEélectronique (1.39), nous obtenons : (3.268)

La figure 3.5 montre que la solution analytique (3.268) sous-estime la valeur de D, obtenue par calcul numérique à partir des équations de diffusion, celles-ci ne faisant pas appel aux trois hypothèses précitées. En particulier, la valeur de D , obtenue analytiquement ne tend vers sa valeur calculée numériquement que pour de grandes valeurs de (A/XO,)~.

Figure 3.5 - Comparaison de la solution analytique (- - -) et de celle obtenue par calcul numérique (--) des équations de diffusion pour le cas Te = T, (d’après [SI, tous droits réservés American Physical Society).

La figure 3.6 montre, pour une configuration de décharge plane, que le plasma situé au voisinage de l’axe peut être en régime ambipolaire alors que, près des parois, il obéit à un régime de transition, lequel tend vers le régime de diffusion libre au voisinage de la paroi.

3

184

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

axe de la décharge

D’UN PLASMA

paroi

Figure 3.6 - Influence sur re et ne de la variation spatiale du coefficient de diffusion en configuration plane, en régime ambipolaire et de transition (d’après BROWN).

3.10.5. CONDITIONS

À REMPLIR POUR QU’UNE DÉCHARGE EN MODE DE DIFFUSION SOIT EN RÉGIME AMBIPOLAIRE

Dans la mesure où la décharge est effectivement gouvernée par la diffusion, nous pouvons utiliser l’un des deux critères suivants :

CRITÈRE

DENSITE

--

LONGUEUR DE DIFFUSION

On admet généralement que l’intensité de E o nécessaire pour qu’il y ait diffusion ambipolaire est atteinte lorsque h 2 0 0 est suffisamment grand (voir (3.267)), plus spécifiquement lorsque : n,0A2 > lo7 cm-’ , (3.269)

où n , ~ la , densité des électrons sur l’axe, est exprimée en cmP3 et A en cm. Pour des valeurs du produit n,0A2 inférieures à lo5, le plasma se trouve en régime de diffusion libre, à supposer dans un cas comme dans l’autre que l’on soit en régime de diffusion tout court (libre parcours moyen de collisions < R ) et non en chute libre (définition : plus loin, en fj 3.12).

3.10

-

DIFFUSION EN

185

RÉGIME AMBIPOLAIRE

Remarques :

1. La densité électronique moyenne (suivant la section) d’un tube d’éclairage fluorescent classique alimenté en courant alternatif varie entre io1’ et cmp3 au cours d’une période du 60 Hz ; son rayon est de 1,2 cm. Cette décharge est manifestement en régime de diffusion ambipolaire sauf, le cas échéant, au voisinage des parois où elle peut se trouver en diffusion libre, comme nous l’avons déjà souligné (figure 3.6).

2. Pour des valeurs de neoA2 >> l o 7 cm-l, la densité du plasma pourrait être suffisamment grande pour qu’il y ait une contribution non négligeable, voire dominante, de la recombinaison en volume. I1 y a alors nécessité de comparer les pertes de particules chargées par recombinaison en volume et par diffusion pour savoir lequel des deux mécanismes l’emporte finalement.

CRITERELONGUEUR

DE

DEBYE-

LONGUEUR DE DIFFUSION

En nous rappelant que Age = QkBTe/n,e2 et en utilisant la relation d’EINSTEIN (3.207) D e / p e = -kBTe/e, il est possible d’écrire : (3.270) Nous voulons exprimer l’écart à la neutralité des charges sur l’axe en fonction de Ag, ; de (3.266)’ en prenant pe de (3.270)’ il vient :

et, finalement :

(3.271)

Deux cas sont à distinguer suivant la valeur du rapport X o e / A :

AD,

>A

: diffusion libre.

Une longueur de DEBYEplus grande que A implique l’absence de neutralité macroscopique sur la distance A. L’intensité du champ de charge d’espace est manifestement insuffisante pour coupler les ions et les électrons : autrement dit, il y a diffusion libre, ions et électrons se mouvant indépendamment les uns des autres. D’ailleurs, la condition AD, >> A, d’après (3.271), entraîne que la densité neO doit être faible’”. ~

AD,

<< A

: diffusion ambipolaire.

Dans ce cas, cette condition correspond à des densités de particules élevées (ni N ne dans (3.271)) et le champ de charge d’espace aura une intensité telle qu’il y aura couplage des mouvements des électrons et des ions. Ces conditions correspondent bien au régime de diffusion ambipolaire.

120Cette condition est à rapprocher de celle de la première condition de la remarque 10 de dans la mesure où L E A.

5

1.6

3

186

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

-

D ’ U N PLASMA

Remarques : 1. Valeur approchée communément utilisée du coefficient D a . I1 est facile de voir que :

.Dipe .Depi

. -

-

kBTi rn,ve, _-e_ m+in Ti - --

mi& kBTe m e u e n

(3.272)

Te .

e

Comme, en général, [pel > p t , l’expression générale (3.249) de Da peut s’écrire

D a 2:Di - D e ( -Pi ) et encore D a N Pe

En tenant alors compte de (3.272), il vient :

21

[

D , N D ~I t -

.

(3.273)

Finalement, comme en général Te > Ti (décharges électriques hors ETL) (3.274)

D a peut donc s’exprimer comme le produit de la température électronique (en eV) et de la mobilité ionique. 2. Le régime initial (ou l’amorçage) d’une décharge, du fait des densités de départ faibles (neOh2+ O)., est nécessairement contrôlé par la diffusion libre (à condition de ne pas être en chute libre, fj 3.12) alors que le régime stationnaire pourra être de diffusion ambipolaire. De ce fait, il faut un champ E nettement plus fort pour amorcer la décharge que pour la maintenir, comme le montre la figure 3.7. I

100 3 h

I

c

8

I

I

I

I

l

,

,

,

I

I

I

I

I

;\

+z

i

I

E

>

v

a

1

Y

état stationnaire en réElme ambipolaire

10

0.1

1

10

p h (torr cm) Intensité du champ E (normalisée à la pression p ) en fonction du paramètre . p h dans une décharge micro-ondes dans H1 (d’après [9]). Les valeurs du produit n,oh2 sont exprimées en cm-’.

Figure 3.7

~

3.11

-

DIFFUSION AMRIPOLAIRE

EN CHAMP MAGNÉTIQ~JE STATIQUE

187

3.11. DIFFUSION AMBIPOLAIRE EN CHAMP

MAGNETIQUE

STATIQUE

Nous nous intéressons à l’effet d’un champ magnétique dirigé axialement, en l’absence de champ électrique extérieur, sur la diffusion ambipolaire dans une longue colonne de phsmu’21. Comme c’était le cas pour la diffiision libre, un champ B ne peut produire d’effet dans sa propre direction. Par contre; dans la direction perpendiculaire, l’influence peut être grande.

Coefficient D a l Dans une colonne cylindrique longue, la diffusion est principalement radiale. Le flux d‘ions et d’électrons correspondant s’obtient, en présence d’lin champ magnétique, par analogie avec les flux ï i et ï erespectivement donnés, en l’absence de champ magnétique, par les équations (3.244) et (3.245) :

riT=

(3.275)

-

et

(3.276)

où Eu, est la composante du champ de charge d’espace (dit chump umbzpolazre) dans la direction radiale ; les valeurs de D e l et D L l suivent la définition de D L dans (3.195) et celles de p e l et p L l la dbfinition dc p l dans (3.181). En supposant que la diffusion est anibipolaire (re7= rlr= r7),nous pouvons écrire, par analogie avec (3.250)’une expression, commiine pour les ions et les électrons, de la fornie :

rr = -

D

~

~

v

~

~

(3.277) (3.278)

(3.279)

Dans le cas particulier d’un champ Bo suffisamment fort poiir que w,, >> v,,, cornme a fortiori il en résulte w,, > v,, (puisque w,, > w,, et v,,, v t n ) ,alors :

2

(3.280)

Bien qiir Seven soit en général plus grand que Stv,,122,le rapport des masses l’emporte de sorte que D e l 5 D t l . Contrairement à la situation qui prévaut sans champ magné121 Si Rlh n’est pas très petit, voir C H E T §, 5.5.1.

1 2 2 E n effet, upn

2 u,,

et T e / T ,2 1.

188

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

tique, ce sont les ions qui diffusent donc le plus vite et ce sont les électrons qui retardent les ions dans le processus ambipolaire ! Remarques : 1. Si l’on suppose v,, N vin, dans le cas où le champ B est suffisamment fort pour que vi, << w c i , on obtient une formule approchée utile pour D , l :

DaL x De_L[1+TiITel

’

(3.28 1 )

résultat qu’il convient de comparer au coefficient de diffusion sans champ magnétique (3.273)’ où Da = D i [ l ??,/Ti] : le rôle des électrons et des ions dans le processus de diffusion ambipolaire s’en trouve inversé.

+

2. Le recours à l’hypothèse de congruence pour la dérivation, en présence d’un champ magnétique B , du coefficient de diffusion ambipolaire D,I est généralement incorrect dans le cas où les parois de l’enceinte de décharge sont conductrices [lo]. Dans la direction perpendiculaire à B , les électrons diffusent moins vite que les ions lorsque B est d’intensité suffisamment élevée ( D e l 5 Di1 (3.280))’ tandis que les électrons diffusent beaucoup plus rapidement que les ions le long des lignes de B ( D e >> D i ) . Ainsi, les parois (aux extrémités) qui coupent les lignes de champ vont recevoir majoritairement des électrons alors que les parois parallèles à B vont majoritairement collecter des ions. I1 n’y a donc pas diffusion ambipolaire puisque I’, # ri. En revanche, si les parois de l’enceinte sont isolantes, celles-ci imposent bien un régime de diffusion ambipolaire (1’, = ri).

3.12. REGIME: DE DIFFUSION O U DE CHUTE LIBRE? Chute libre : définition Lorsque la fréquence de collision dominante entre particules est suffisamment faible pour que le libre parcours moyen correspondant soit plus grand que la longueur de diffusion, soit > A , le plasma se trouve en régime de chute libre. Ces conditions sont à l’opposé de celles de la diffusion, car les collisions ont lieu davantage sur les parois de l’enceinte qu’en volume : le phénomène de vitesse dirigée résultant d’un gradient de densité ne peut donc se manifester puisqu’il nécessite un très grand nombre de collisions des particules chargées sur leur longueur de diffusion. Critère de diffusion

I1 y a donc diffusion si le temps

TD

que met une particule chargée pour se rendre

à la paroi est beaucoup plus grand que le temps entre deux collisions en volume

(majoritairement électron-neutre dans un gaz faiblement ionisé), soit 70 >> l / v e n . Nous cherchons à exprimer cette condition en fonction du libre parcours moyen t des électrons et du rayon R dans le cas d’une enceinte cylindrique longue.

3.12 - RÉGIMEDE

189

DIFFUSION OU DE CHUTE L I B R E ?

1 / u o = A 2 / D N R 2 / D . Par ailleurs, Rappelons que U D = D I A 2 , de sorte que 7 D nous savons ( 5 1.7.7) que !N uth/u,,. Nous pouvons alors écrire :

(3.282) Comme D = kBTe/meue,x vth/u,, 2 = V t h !, nous obtenons, de (3.282) : (3.283) La condition TDU,, serait douté !

> 1 entraîne comme

critère de diffusion que R/e

>> 1. On s’en

En conclusion, avant d’utiliser les équations de diffusion de quelque type que ce soit, il est impérieux de vérifier que la dimension caractéristique de diffusion est beaucoup plus grande que le libre-parcours moyen prépondérant. Si c’est le cas, il reste ensuite à déterminer s’il s’agit d’un régime de diffusion libre ou ambipolaire ou de transition entre les deux, ce qui dépend de la valeur du rapport de la longueur de DEBYEà la longueur de diffusion (3.10.5). Remarques :

1. En régime de chute libre, la distribution radiale de la densité électronique dans une colonne cylindrique prend la forme d’une parabole : n ( r ) = n(0)(1 - fYr2/R2): le paramètre fY dépend de AD,, comme le montre la figure 3.8. 2. Résumé des conditions d’une diffusion ambipolaire ( B = O)

t < R : il doit y avoir diffusion et non chute libre, AD, < A : la diffusion est de nature ambipolaire, si la recombinaison en volume est faible devant la recombinaison sur les parois (9 1.8).

Figure 3.8 - Profil radial de la densité électronique en régime de chute libre ; R est le rayon interne du tube à décharge et n,o la valeur de la densité électronique sur l’axe du tube ; A& représente la valeur moyenne de A%e sur la section radiale du plasma (adapté avec permisson d’après [ 111, tous droits réservés American Physical Society). ~

190

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

3.13. TEMPÉR~ATUREÉLECTRONIQUE D’UNE LONGUE COLONNE DE PLASMA RÉGI PAR LA DIFFUSION AMBIPOILAIRE : LOI D’ÉCHELLE T,(pR) Nous nous proposons de définir dans cette section la relation donnant la température électronique Te en fonction du produit p R (pression du gaz - rayon du plasma) qui soit valable pour plusieurs gaz, à une constante spécifique près. Cette dépendance en fonction de p R , parce qu’elle regroupe le produit (ou le quotient) de deux (ou plusieurs) variables, est une loz d’échelle. Formulée en 1932 par VON ENGELet STEENBECK pour la colonne positive (0 4.2.1), la présente loi d’échelle a été largenierit confirmée expérimentalement, particulièrement dans les décharges de gaz rares aussi bien en colonne positive qu’en décharge HF. Elle est très utilisée pour l’estimation de certains paramètres du plasma dans la mesure où ces derniers dépendent de Te. L’expression recherchée est fondée sur l’équation du bilan de particules chargées (3.230) en diffusion anibipolaire :

(vi)= D J A ~ ,

(3.284)

où la fréquence rnoyeiine d’ionisation”’, ( u t ) ,dépend, comme l’indique le symbole ( ), de la fonction de distribution des vitesses des électrons. Nous allons supposer que cette fonction est maxwellienne ; dans ce cas, les coefficients de diffusion De et Da peuvent s’écrire explicitement en fonction de Te (voir respectivement (3.204) et (3.274)) ; cependant, 7;apparaît de façon implicite dans l’expression définissant la fr6quence moyenne (vL)de sorte que, finalement, (3.284) ne peut +tre résolue de manière totalement explicite en Te. Nous allons dériver de (3.284) une forme analytique decrivant, en première approximation, la variation de Te en fonction de N , la densité des atomes neutres, et de A , la longueur caractéristique de diffusion. D’une façon plus pratique, nous obtiendrons une fonction Te(p&) où po est la pression réduite du gaz et R , le rayon interne de l‘enceinte à décharge supposée longue et de forme cylindriqiic.

3.13.1. HYPOTHÈSES DU MODÈLE Pour un traitement an dytique, il nous faut admettre les hypothèses suivantes : Le plasma est en régime stationnaire (l’amorçage de la décharge a eu lieu depuis suffisamment longteioips) . ~

~

Le tube à décharge est un long cylindre : les particules chargées disparaissent par diffusion ambipolairo radialement vers les parois où elles se recombinent totalement ( n ( R )= O). L’intensit6 du champ electrique entretenant la décharge est faible (fonction de distribution des vitesses isotrope) et cette intensité ne varie pas radialement.

123 Nous reprenons ici notre notation initiale l’occurrence ( u t )plutôt que u,.

(5

1.7.8) pour les fréquences moyennes de collisions, en

3.13

LOI D’ÉCHELLET,(pR)

191

La fonction de distribution des vitesses des électrons est maxwellienne.

~

Le plasma est hors ETL

~

~

~

-

:

Te > Ti.

L’ionisation résulte de collisions électron-neutre (degré d’ionisation

5 low4).

L’ionisation d’un atome se fait à la suite d’une seule collision électronique, l’atome se trouvant initialement dans l’état fondamental, de sorte que (vi) = No(âtiw).

Remarque : L’hypothèse voulant que les pertes de particules chargées soient dues exclusivement à la diffusion ambipolaire ainsi que l’hypothèse d’une ionisation directe à partir d’un impact électronique sur l’atome dans l’état fondamental, constituent ce qu’on appelle les conditions de SCHOTTKY (voir aussi 9 4.2.4).

3.13.2. DÉRIVATION DE

LA RELATION

T&R)

Nous calculons successivement le membre de gauche puis le membre de droite de l’équation (3.284) du bilan de particules ; finalement, nous faisons apparaître la loi d’échelle Te( p o R ) .

EXPRESSION DE

LA FRÉQUENCE D’IONISATION

EN FONCTION DE L’ÉNERGIE MOYENNE DES ÉLECTRONS

D’une manière générale, le nombre de collisions ionisantes est faible par rapport à celui des collisions élastiques, en raison d’une section efficace d’ionisation présentant une énergie-seuil &i grande devant l’énergie moyenne ~ B des T électrons. ~ Les collisions électron-neutre impliquant des électrons dont l’énergie est inférieure à cette énergieseuil apportent donc une contribution nulle à l’ionisation du plasma. Le calcul de la fréquence d’ionisation (vi) s’effectue par étapes.

I. Nombre de collisions électron-neutre ionisantes, par seconde, pour le groupe d’électrons ayant une énergie comprise entre U, u + du. Le nombre de collisions ionisantes, par seconde et par unité de volume, effectuées par un électron ayant une vitesse aléatoire comprise en module entre w ,w dw (on peut utiliser le module de la vitesse parce qu’on a fait l’hypothèse d’une anisotropie faible en dépit de la présence du champ E ) est124 :

+

dNi(w) = f ( w ) ~ T W ’ dw v ~ ( w )

(3.285)

où v ~ ( w E ) Noâti(w)w (1.147). Pour nous convaincre de l’expression (3.285)’rappelons que f ( w ) 47rw2 dw représente le nombre d’électrons ayant une vitesse scalaire comprise entre w , w dw, et que v i ( w ) est le nombre de collisions par seconde effectuées par un électron ayant une vitesse appartenant à l’intervalle (w,w dw).

+

+

124 Calcul effectué pour une densité ne unitaire puisque la fonction de distribution ayant été séparée nous avons f ( w ) d w = 1 : le résultat recherché, (vi),est en effet une fréquence de collision par électron.

s,

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

192

-

D'UN PLASMA

Fonction de distribution de MAXWELL-BOLTZMANN exprimée en termes d'énergie. La fonction de distribution des vitesses de MAXWELL-BOLTZMANN peut s'écrire (annexe I) : (3.286) Pour passer à l'énergie U e v exprimée en eV, nous posons :

mew2 UeV = 2e '

(3.287)

d'où :

(3.288)

Comme :

(3.289)

où nous avons noté Ü e V E ( U e v )pour alléger l'écriture et comme Smeu,, = ~ B T , , alors : (3.290) et après quelques calculs (annexe XVII) : (3.291)

Passage de dNi(w) à dNi(U,v) En notant que Pi(w)= N a t i ( w ) où Pi(w)est la section efficace macroscopique totale ( 5 1.7.5) d'ionisation (9 1.7.9) et, compte tenu de (3.287) et (3.291)' la relation (3.285) peut s'exprimer en fonction de l'énergie U e v sous la forme :

2. Expression de la fréquence d'ionisation. Compte tenu de l'existence de l'énergie-seuil E, pour l'ionisation, nous pouvons écrire : (Vi)

=

Sù,(c,i-) '

(3.293)

Et

où (u,) est le nombre de collisions ionisantes par seconde qu'effectue en moyenne un électron. Expression analytique approchée de Pi(,). Sachant expérimentalement que Pi(Uev)est linéaire dans le domaine U e v 5 2&i où Ei est l'énergie-seuil d'ionisation (0 1.7.9) et que Pi(U,v) = O pour Uev < E,, c'est une très bonne approximation que d'écrire :

3.13 - LOI D’ÉCHELLE Te(pR)

193

(1.135) Pi(Uev)= ai(Uev - ri) pour U e v 2 Ei où a i , appelé coeficient d’ionisation, est une constante qui dépend du gaz considéré. Expression de (vi),la fréquence moyenne d’ionisation. En portant (1.135) dans (3.292)’ la relation (3.293) s’écrit :

En nous rappelant que nous avons introduit 1a“pression” réduite (# 1.7.5) de façon à pouvoir écrire que Pi = pOPi0 où Pio est la section efficace macroscopique totale d’ionisation à O “C et à 1 torr, nous pouvons poser ai = poaio, paramètre qui est alors exprimé par rapport aux conditions de référence des sections efficaces ; ses unités sont des cm-l voltp1. Nous obtenons alors :

Normalisation de l’énergie par rapport à l’énergie moyenne Ü e v pour faciliter l’intégration de (3.295). Posons : (3.296) alors (3.295) devient (annexe XVII) :

(Vi)

(U - Ui)U exp(-U) dU .

=

(3.297)

u,

L’intégration par parties de (3.297) se réalise facilement et on aboutit, en revenant aux variables initiales, à :

Nous constatons alors que (vi) est très sensible à la valeur de l’énergie moyenne Ü e v puisque celle-ci apparaît dans l’argument de la fonction exponentielle.

BILANDES ESPECES

CHARGÉES DE LA DÉCHARGE

Evaluons maintenant le membre de droite de la relation (3.284) du bilan des particules chargées. Dans un tube à décharge cylindrique long, nous savons, par (3.226), que A N R/2,405. Par ailleurs, puisque pi << IpeI et dans l’hypothèse où Te >> Ti (valable

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

194

D’UN PLASMA

pour les plasmas à pression réduite, et qui sont visés par le présent modèle), d’après (3.274) nous pouvons écrire : (3.299) de sorte que :

(3.300)

et de (3.284) :

(3.301)

En écrivant l’égalité des équations (3.298) et (3.301), nous obtenons une relation permettant de déterminer complètement, et de façon analytique, l’équation du bilan perte - création des particules chargées du plasma.

EXPRESSION DE T e ” / & EN Expression approchée de

FONCTION DE

VON

poR

ENGEL et STEENBECK

La nécessité d’obtenir une relation plus facile à évaluer (à l’époque il n’y avait pas d’ordinateur) amena VON ENGEL et STEENBECK à considérer, dans (3.298), l’approximation : 3 &i -~ (3.302) »1 4 uev (c’est un fait avéré que Üev < &,, sauf lorsque la pression devient si faible que l’on se trouve dans le domaine de la chute libre où le présent modèle ne s’applique plus). Dans le cadre de cette approximation, de (3.298) et (3.301), nous obtenons : 2

(2,405)2

-

3UeV Pi

=Li

-3/2

~

(25) 4 uev

R2

et, en retournant à la variable

exp

3 &, 2 uev

, (3.303)

( - - y )

Ui de (3.296), il vient (annexe XVII) (3.304)

où le coefficient

CO

se trouve défini par : (3.305)

Noter que pipo se présente comme la valeur de la mobilité réduite 0 “ C et à 1torr ;ne pas oublier, toutefois, que les valeurs de référence de la mobilité sont habituellement données à O°C et 760 torr (3.189). On peut finalement tjirer de (3.304) sous forme numérique la valeur de Tev/&en fonction de copoR où po, sans unité, est la “pression” réduite par rapport à 1 torr et 0”C, et &, l’énergie-seuil d’ionisation. Les unités de cg sont des (kg/coulomb)1/2 m-2 ou encore des s mP3, donc copoR est, en principe, en s m-’)’l2.

3.13

-

LOI D’ÉCHELLE T,(pR)

195

Expression exacte L’explicitation de (3.301) et le recours aux énergies réduites nous conduisent à une expression exacte de forme remarquable :

Le calcul numérique de (3.306) avec la relation (3.296) définissant Z4, = eIi/lcBT, permet de représenter Te,/€, en fonction de copOR (figure 3.9).

lop2

10-

loo

lo1

COYOR Figure 3.9 Evolution de la température électronique (normalisée à l’énergie-seuil d’ionisation du gaz considéré) en fonction des conditions opératoires (nature et pression du gaz et rayon de la (longue) colonne cylindrique de plasma supposé en régime ambipolaire). Les tirets indiquent que l’on sort du doniaine de validité du calcul effectué à partir de la relation (3.306). R est en mètre et la valeur de CO est celle du tableau 3.1 avec les unités adéquates. ~

Conséquences La figure 3.9 met en évidence que la température électronique Te d’une dbcharge, en régime de diffusion, ne depend que des dimensions de l’enceinte (le rayon R pour une longue colonne de plasma), de la nature du gaz (énergie-seuil d’ionisation I , et coefficient CO) et de sa pression (pression réduite P O ) . VALEUR DE LA CONSTANTE Co

La valeur de a,o dans CO s’obtient à partir des sections efficaces d’ionisation P,o(U,V) publiées, en se limitant à la partie linéaire principale au voisinage du seuil. La valeur de la mobilitC ionique pz dans (3.301) correspond à la pression et à la température du gaz considéré; parce que celle-ci est multipliée par po dans (3.305)’elle prend l’aspect d’une mobilité réduite à 0 O C , 1 torr alors que les valeurs de rbférence sont données à

196

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

1 atmosphère et à O “C ; il faut donc effectuer la conversion nécessaire. Par ailleurs, les valeurs de pi0 dépendent du rapport E l p (une autre loi d’échelle) : il est d’usage d’utiliser dans le calciil de CO la valeur de pi0 extrapolée pour E / p -+ O.

Tableau 3.1 - Valeur de cg (chronologiquement de gauche à droite) obtenue pour différents gaz rares (à utiliser avec la figure 3.9 où R est exprimé en m). 1 1 Les unités de cg sont en VzCzm-3s.

VON

ENGEL BROWN125

MOISAN ZAKRZEWSKI

Hélium

4

3,93

5,3

4,68

Néon

6

5,9

9,0

7,94

Argon

40

53

48

50,l

Krypton

68

68,2

Xénon

111

113

Le tableau 3.1 donne les valeurs de CO obtenues pour les gaz rares par différents auteurs, le jeu le plus récent (1980) étant celui de ZAKRZEWSKIque nous recommandons d’utiliser. Les unités cie CO permettent d’exploiter directement le graphe de Tev/&% en fonction de copoR de la figure 3.9 où le rayon interne R du tube à décharge est en mètre ; &,, l’énergie au seuil d’ionisation est donnée a u tableau 3.2. Exemple de détermination de T,v : pour R = 2 cm et po = 1, on a pour l’argon copoR = 1. La figure 3.9 nous donne Tev/&,= 7,54 x lop2. Comme &z = 15,76 eV, nous obtenons donc ï e v = 1,2 eV. Tableau 3.2

-

Energie-seuil E, (eV) de première ionisation des atomes de gaz rares.

125 BROWN, chap. 14,9 2 . 2 .

Hélium

24,58

Néon

21,56

Argon

15,756

Krypton

13,996

Xénon

12,127

3.14 - NOTIONDE

197

GAINE

Remarque : Les paramètres de la décharge, fixés par l’opérateur, sont la nature du gaz et sa pression, les dimensions de l’enceinte à décharge et, le cas échéant, la fréquence du champ HF entretenant la décharge. Ils constituent les conditions opératoires du plasma.

3.14. FORMATION ET NATURE DES GAINES

A

L’INTERFACE PLASMA-PAROI :

FLUX AUX PAROIS ET

CRITERE

DE

BOHM

Dans un gaz non ionisé, le flux de particules incident sur une paroi, par unité de surface, est égal au flux aléatoire (annexe I) :

1 r = -nu 4

(3.307)

où u E ( w ) est la vitesse moyenne de la distribution de MAXWELL-BOLTZMANN. Dans un gaz ionisé, la situation est différente au voisinage d’une paroi (ou d’une sonde) car la surface peut être portée par l’opérateur à un potentiel défini, mais elle peut a.ussi se charger électriquement par elle-même ; de plus, les particules peuvent s’y recombiner ( 5 1.8). I1 se forme alors, entre le plasma et la paroi, une zone de transition, appelée gaine, que nous allons étudier. Dans ce qui suit, nous considérons le cas d’un plasma hors ETL tel que Te >> Ti 2 O (fond d’ions immobiles) et nous allons supposer que dans la gaine qui se développe à l’interface plasma-paroi, il n’y a pas de collisions.

3.14.1. C A S D’UN POTENTIEL DE PAROI POSITIF PAR RAPPORT AU POTENTIEL DU PLASMA : G A I N E ÉLECTRONIQUE

Ce cas est simple comparé à celui d’une paroi portée à un potentiel négatif. L’évolution du potentiel est représentée sur la figure 3.10. On distingue deux régions : à droite, le plasma, caractérisé par sa neutralité macroscopique (ne = ni),un champ électrique de charge d’espace nul et un potentiel plasma &,, et à gauche, une gaine purement électronique, où les ions, d’énergie supposée faible (ICBT,Y O), sont totalement repoussés vers le plasma par le potentiel répulsif qui se développe à l’interface plasma-paroi. La frontière qui sépare le plasma, rnacroscopiquenient neutre, et la gairie électronique, t,otalement exempte d’ions positifs, s’appelle 1isièr.e de gaine. Cette frontière où se produit la rupture de neutralité est bien définie. Dans le cas d’une surface plane, le flux électronique à la paroi est, égal au flux électronique atteignant la lisière de gaine (conservation du flux dans la gaine non collisionnelle), soit de (3.307) :

1 res= -n,ve 4 ou, encore :

res= n e

(%)’ 2mne

(3.308) 1

.

(3.309)

3

198

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

44

Lisière

I

électronique Paroi

D’UN PLASMA

+

I

t

I

Figure 3.10

- Evolution du potentiel $(z) et des densités ionique nz et électronique ne à l’interface plasma-paroi dans le cas d’une gaine électronique (x est la disiance à la paroi et I,,, l’épaisseur de la gaine électronique).

q5p est le potentiel du plasma et

$0,

le potentiel appliqué sur la paroi.

Une valeur approchée de l’épaisseur de yaine l,, peut être déduite de la loi de CHILDLANGMUIR qui ~ ~stipule ~ que la densité de courant que peut débiter une diode plane est, limitée par la charge d’espace due aux électrons, ce qui se traduit par une dépendance de la différence de potentiel entre les deux plaques en Dans le cas d’un plasma, c’est l’épaiss’eur de la gaine qui s’ajuste à la densité de courant j , débité par le plasma et à la diffimrence de potentiel 4 0 - $ p . Dans le cas d’une gaine électronique, l’application de ia loi de CHILD-LANGMUIR conduit à :

q5i’2.

(3.310)

soit une épaisseur de gaine électronique

:

(3.311) ~

~

126Pour une diode plane, la densité j e de courant électronique que l’on peut tirer de la surface émettrice (par exemple ruban de tungstène) est donnée par : 3

$2

j , = 2,34 x 10- 6 -(A/m2) d2

où d est la distance entre les deux plaques et

40, la différence de potentiel correspondante.

3.14 - NOTIONDE GAINE

199

Remarque : Dans l’expression (3.309)’le flux électronique à la paroi est fixé par le plasma (Teet n e ) : il est indépendant de la tension appliquée à la paroi (paroi plane).

3.14.2. C A S D ’ U N POTENTIEL DE PAROI NÉGATIF PAR RAPPORT AU POTENTIEL DE PLASMA : GAINE IONIQUE

Ce second cas est plus complexe car, contrairement aux ions, les électrons ont une énergie moyenne beaucoup plus élevée ( ~ B T>, k ~ T Y i O). I1 s’ensuit donc que, si la paroi présente un potentiel attractif pour les ions du plasma, ce potentiel n’est que partiellement répulsif pour les électrons. Cependant, plus la barrière de potentiel à franchir est élevée pour les électrons, moins le flux électronique collecté par la paroi est important. Dans le cas d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN, le courant électronique effectivement collecté par la paroi ( 4 0 < &) s’écrit : (3.312)

I1 apparaît donc clairement que, dans le cas d’une gaine ionique, les électrons, en fonction de leur énergie, pénètrent plus ou moins profondément dans la gaine ionique qui se forme à l’interface plasma-paroi. Cette fois, la frontière où se produit la rupture de neutralité entre le plasma et la gaine ionique est mal définie et s’étend sur une zone relativement large, comme le montre la figure 3.11. Pour pallier cette difficulté, on divise la zone de transition en deux parties, la gaine ionique proprement dite oii la rupture de neutralité est effective, et la prégaine qui, comme son nom l’indique, précède la gaine, et débute là où les ions commencent à être accélérés par le champ de charge d’espace. En fait, cette division, purement artificielle, permet de définir la Zisière de gaine, entre une région quasi-neutre (la prégaine) dans laquelle seule unc faible partie des électrons est repoussée, et une région non neutre (la gaine ionique) où les ions sont devenus majoritaires. L’évolution du potentiel O(x) est, régie par l’équation de POISSON : (3.313)

Soient n g ,ui et Og respectivement la densité du plasma, la vitesse des ions et le potentiel à la lisière de gaine. La densité électronique dans la gaine est donnée par (1.14) : l’équation de BOLTZMANN

n,(x)= ngexp

4 q

[“‘O“,

(3.314)

La vitesse des ions w,(x), en fonction de leur vitesse 2ig d’entrée dans la gaine, se déduit à partir de la conservation de l’énergie totale sur la distance parcourue dans la gaine : m, (3.315) = 44.Y - 4(.)) . 2

(4(4 $1

La conservation du flux dans la gaine s’écrit

ni(.).i(x)

= ngug

.

(3.316)

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN

200

Gaine ionique ......................

Prégaine (ne= ni)

PLASMA

’lasma ne = nz = n)

I

X

Lisière de gaine

f*

40

n

1

..................................................

.......

X

Figure 3.11

-

Evolution du potentiel

4 et

des densités ionique n, et électronique ne

à l’interface plasma-paroi dans le cas d’une gaine ionique (x est la distance à la paroi et l,, est l’épaisseur de la gaine ionique, c,hg et ng le potentiel et la densité du plasma à la lisière de gaine).

Compte tenu de (3.315), nous obtenons la densité ionique dans la gaine

:

(3.317) Sachant qu’en tout point de la gaine ionique, nous devons avoir : %(X)

> %(X) ,

(3.318)

cette condition devant, en particulier, être remplie près de la lisière de gaine, c’est-àdire pour les faibles valeurs de 4(x)- dg.En développant (3.317) et (3.314), au second ordre, en série de TAYLOR, nous obtenons :

Comme ~ ( I c )- q5g est négatif, la condition (3.318) impose, au premier ordre du développement : (3.321)

3.14 - NOTIONDE

201

GAINE

Ce résultat est connu sous le nom de critère de BOHM.I1 signifie que la frontière entre la zone macroscopiquement neutre (prégaine) et la zone où il y a rupture de neutralité (gaine) est située au point où la vitesse des ions, accélérés dans la prégaine, est égale127 à la vitesse acoustique ionique, V B , appelée aussi vitesse de BOHM.En supposant une prégaine non collisionnelle128 et en appliquant la relation (3.315) entre le plasma = O) et la lisière de gaine, le potentiel 4g vaut alors1” :

(3.322)

4g

d’où

= 4P -

(3.323)

Nous en tirons ((3.314) et (3.322)) la valeur de la densité des ions en lisière de gaine

ng = nexp

(-2)

:

(3.324)

et la valeur du flux d’ions, ngvg= ris,collecté à la paroi : (3.325) En appliquant la loi de CHILD-LANGMUIR (3.310) au courant d’ions, nous obtenons l’épaisseur de la gaine ionique (la charge d’espace due aux électrons étant supposée négligeable), soit : 1

. -

9

2:

- 3exp(-+) ’Oe

[4 4 P

- 40)

kBTe

]

(3.326)

Remarque : Dans la plupart des ouvrages, le critère de BOHMest déduit d’une condition mathématique résultant de l’intégration de l’équation de POISSON (3.313), opération qui requiert des conditions aux limites simplificatrices (&,h,/& = O). Dans le développement présenté ici, le critère de BOHMest défini uniquement à partir des conditions pour lesquelles on obtient la rupture de neutralité.

3.14.3. P O T E N T I E L F L O T T A N T Le potentiel flottant correspond à l’égalité des courants ionique et électronique collectés sur une surface. C’est le potentiel pris par une surface isolée (diélectrique ou conductrice) en contact avec le plasma. En effet, si de telles surfaces devaient recevoir plus de charges d’un signe que d’un autre, leur potentiel augmenterait indéfiniment. En régime permanent, celui-ci va donc s’ajuster de manière à collecter autant de 127Pour wug = V B , on vérifie bien, à partir du développement à l’ordre 2 de (3.319) et (3.320), que la condition (3.318) est remplie. 128 En réalité, la prégaine est collisionnelle, car son épaisseur correspond à une fraction du libre parcours moyen des ions en présence des neutres. 129 On note que ce potentiel en lisière de gaine est suffisant pour repousser tous les électrons ayant une énergie ~ r n , winférieure ~ àI ~ ~ T ~ / z .

202

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN PLASMA

charges positives que négatives. Ce potentiel en égalant (3.312) et (3.325), soit :

4f, appelé potentiel flottant, est obtenu (3.32 7)

Le potentiel flottant s’ajuste à une valeur suffisamment négative par rapport au potentiel plasma de manière à repousser le nombre adéquat d’électrons pour équilibrer les courants ionique et électronique. Remarques : 1. L’énergie dirigée acquise par les ions dans la gaine est mise à profit dans un bon nombre de procédés de traitement de surface (gravure, dépôt, transformation chimique). On peut accroître l’énergie de ce bombardement ionique en appliquant une tension 40, dite de polarisation, à la surface en contact avec le plasma. Si 4 0 = 4f (gaine ionique sans polarisation appliquée), l,, = AD,. Par contre si & - 4 0 > ~ B T , , alors l,, > AD,.

2. Du point de vue d’une onde, la gaine peut apparaître comme une région de vide si la densité électronique est faible au point que wpe << w , puisqu’alors tp 1 (3.69).

=

CHAPITRE 4 INTRODUCTION À LA PHYSIQUE

DES DÉCHARGES

HF

4.1. PREAMBULE Le présent chapitre traite de plasmas produits par un champ électrique périodique de haute fréquence (HF), le vocable HF désignant à la fois le domaine des fréquences radio (E 1-300 MHz) et celui des micro-ondes (0,3-300 GHz). Ces plasmas, utilisés à l’origine principalement dans les laboratoires de recherche, ont assez récemment acquis une grande importance en milieu industriel (micro-électronique, destruction des gaz à effet de serre 9 1.2). Aussi, la compréhension des mécanismes de leur entretien et des phénomènes physico-chirniques qui leur sont spécifiques (par exemple, effet de la fréquence HF) ne peut que conduire à une meilleure conception des dispositifs HF et à des procédés plus efficaces. Les plasmas HF les plus utilisés sont ceux fonctionnant à basse pression (< 1020 torr) et ceci pour plusieurs raisons, notamment : -

-

la realisation d’une source de plasma est, dans ce cas, plus simple qu’à la pression atmosphrrique, ne serait-ce qu’en raison d’une température de gaz beaucoup moins élevée ; la modélisation des plasmas HF à basse pression est arrivée à maturité, ce qui n’est pas encore le cas des plasmas à la pression atmosphrrique [12, 131.

Notre présentation distinguera entre plasmas à basse pression et plasmas à haute pression (essentiellement la pression atmosphérique), ces derniers étant caractérisés, comme nous le verrons, par des phénomènes particuliers tels que la contraction et la filament at ion.

204

4

-

INTRODUCTION À LA

PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

Pour mieux faire ressortir la physique des décharges HF où le champ électrique appliqué varie de façon périodique en fonction du temps, nous considérerons également les décharges e n cou?-ant continu (CC) dans lesquelles l’intensité du champ électrique est constante dans le temps. L’ensemble de ces décharges porte le nom de décharges électriques. Par rapport aux décharges CC, les décharges HF présentent de nombreux avantages. Ainsi, pour un certain nombre d’entre elles, on profite de la transparence, aux ondes électromagnétiques (EM), des matériaux diélectriques formant l’enceinte de la décharge pour y faire pénétrer, de l’extérieur, le champ électrique assurant l’ionisation du gaz. Dans un tel cas, à la différence des décharges CC, il n’y a pas d’électrodes en contact avec le gaz : les électrodes constituent une source de pollution du gaz, de dépôts sur les parois du tube à décharge et, plus généralement, elles limitent la durée de vie du tube à décharge. Le dispositif servant à imposer le champ EM pour créer une décharge HF s’appelle un applicateur de champ HF. Un autre avantage des décharges HF, par rapport aux décharges CC, est lié à la possibilité d’agir sur les paramètres du plasma à partir de la fréquence du champ EM : varier la fréquence permet, dans certains cas, de modifier la fonction de distribution en énergie des électrons (FDEE), ce qui peut être utile pour optimiser la cinétique d’un procédé. Pour ce qui est du coût des équipements, les décharges CC sont, en général, les moins chères, quoique maintenant les générateurs micro-ondes de type magnétron à 2450 MHz13’ supportent bien la concurrence. De plus, l’avènement de générateurs HF à base de transistors de puissance permet d’envisager, dans un avenir proche, des montages plus compacts, plus sécuritaires (pas de haute tension dans le circuit) et d’une plus grande fiabilité. Nous avons développé, dans les chapitres précédents, les notions de base de la physique des plasmas en ayant notamment en vue leur application aux décharges HF. Dans ce qui suit, nous allons faire largement appel à ces notions pour décrire et modéliser les plasmas HF. Ce chapitre comprend trois parties décrivant successivement : 1.le transfert de puissance du champ électrique E à la décharge. A cette fin, nous utilisons comme grandeur caractéristique la puissance absorbée par électron, 8, aussi bien pour le transfert collisionnel que non collisionnel (résonance cyclotronique électronique 9 4.2) ;

2 . l’influence de la fréquence du champ E sur les propriétés du plasma avec quelques exemples d’application de cet effet de fréquence (0 4.3). Cette étude s’applique principalement aux plasmas à basse pression ;

3. les phénomènes de contraction et de filamentation propres aux plasmas à haute pression (0 4.4). Pour rendre compte de la contraction, il nous faut considérer la cinétique ionisatio:n-recombinaison des ions moléculaires.

130 Un certain nombre de fréquences du spectre EM est réservé aux applications industrielles, médicales et scientifiques (fréquences ISM). A titre d’exemple, il y a 6,78, 13,56, 27,12 et 40,68 MHz de même que 915 et ‘2450 MHz [la].

4.2 - TRANSFERT DE PUISSANCE

205

4.2. TRANSFERT DE PUISSANCE DU CHAMP ÉLECTRIQUE

A

LA DÉCHARGE

En règle générale, ce transfert de puissance dans une décharge CC se caractérise au moyen du rapport E / p . Dans ce qui suit, nous utiliserons plutôt le paramètre 8, (ou 8,/p)131, la puissance moyenne absorbée par électron (2.35)’ ce qui, d’une part, permet d’unifier les descriptions des décharges CC et HF et, d’autre part, de mettre en évidence un aspect fondamental, mais généralement ignoré, qui est que l’intensité du champ d’entretien des décharges électriques dépend des mécanismes de perte des particules chargées (paramètre O, défini par l’équation (4.1)).

4.2.1. DECHARGE EN COURANT CONTINU La figure 4.1 montre le schéma d’une décharge dite à cathode froade (sans filament d’émission thermo-électronique) . La tension continue U , appliquée aux bornes des deux électrodes, crée un champ électrique d’intensité E qui agit sur les électrons initialement présents dans le gaz, soit du fait du rayonnement cosmique ou de la radioactivité naturelle, soit du fait d’une excitation extérieure comme, par exemple, celle produite par l’étincelle d’une bobine Tesla ou d’un dispositif piézo-électrique dirigée contre la paroi diélectrique de l’enceinte. Ces électrons initiaux sont accélérés par une force F = -eE où e est la valeur absolue de la charge de l’électron, et ils gagnent ainsi continûment de l’énergie jusqu’à ce qu’ils entrent en collision avec un autre électron ou avec un atome (molécule). Au moment de l’impact, l’électron “incident” perd ou gagne de l’énergie ( 5 1.7.2) : la collision peut toujours être élastique (énergie cinétique conservée), mais ne peut conduire à l’excitation et à l’ionisation que si l’énergie de l’électron @galeou dépasse l’énergie-seuil V, pour l’excitation de l’atome dans l’état j ou l’énergie-seuil V , pour l’ionisation de l’atome (9 1.7.9) ; à la suite de cette collision inélastiqiie, l’énergie interne de l’atome est augmentée, suivant le cas, d’une énergic V, ou V , céd6e par l’électron. L’énergie prise au champ électrique par l’ion est négligeable devant celle acquise par l’électron à cause du rapport des masses de ces deux types de particules (9 2.2).

Figure 4.1 - Schéma d’une décharge électrique tubulaire en courant continu La résistance R permet d’assurer la stabilité de la décharge.

Après une étape transitoire de croissance de la densité des particules chargées, l’état stationnaire est atteint. On observe alors, comme le montre la figure 4.2, différentes 131Dans les décharges, le rapport E / p est une grandeur fondamentale intervenant dans les lois d’échelle régissant le plasma. Sa relation avec O,/p sera abordée en 5 4.3.3.

4

206

-

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE

DES DÉCHARGES H F

zones lumineuses et sombres le long du tube à décharge ; l’intensité E varie maintenant axialement, à la différence de la situation avant allumage (en tirets sur la figure). Seule cependant la zone appelée colonne positive présente une neutralité macroscopique électron-ion, et constitue de ce fait un plasma. Régions sombres :

d’ASTON

de FARADAY anodique

cathodique

7

Régions lumineuses :

gaine cathodique

lueur négative

I

colonne positive

lueur positive

Figure 4.2 - (a) Représentation des différentes zones sombres et lumineuses d’une décharge en courant continu avec, en regard, (b) l’évolution qualitative de l’intensité du champ électrique E , à l’état stationnaire, le long de cette décharge. En pointill& horizontaux : l’intensité du champ E avant allumage.

Pour caractériser le transfert de puissance du champ E au plasma de colonne positive par l’intermédiaire der; électrons, nous allons établir le bilan de la puissance prise (en moyenne) au champ par un électron, dite puissance absorbée 8, ( 5 2.2.1)’ et de la puissance que celui-ci communique (en moyenne) aux particules lourdes à la suite de collisions, dite puissance perdue O p . La puissance 8, perdue par électron, en moyenne, au profit du plasma à la suite des divers types de collisia’n des électrons avec les particules lourdes peut s’écrire [12]132:

où m e / M est le rapport de la masse de l’électron à celle de l’atome (molécule), v(Uev) représente la fréquence de collision microscopique pour un électron d’énergie U e v qui 132La relation (4.1) s’obtient à partir de l’équation de BOLTZMANN homogène en considérant la partie isotrope Fo(U) de la FDEE, équation que l’on multiplie par U et que l’on intègre sur toutes les valeurs de U . Complément sur F ( U ) dans l’annexe XVII (note en bas de page).

4.2

-

TRANSFERT DE PUISSANCE

207

donne lieu à un transfert de quantité de mouvement (0 1.7.7)’ vj et vi sont les fréquences de collision (également microscopiques ici) menant respectivement à l’excitation vers le niveau j (énergie-seuil V,) ou à l’ionisation (énergie-seuil K ) ; enfin, le symbole ( ) indique une moyenne prise sur la FDEE. Dans le cas où la FDEE est maxwellienne, les valeurs moyennes apparaissant dans (4.1) sont entièrement fixées par la température électronique Te et la pression du gaz. De façon générale, 8,((Uev)) est une fonction croissante de ( U e v ) comme , le montre la figure 4.3 dans le cas de l’argon pour une FDEE maxwellienne ( i ( U e v )= Te”).Nous constatons que lorsque Tev 2 1 eV, la valeur de 8, est essentiellement déterminée par les collisions inélastiques d’excitation et d’ionisation alors qu’au contraire, pour Te” < 1 eV, la valeur de 8, est due aux collisions élastiques. Nous savons, par ailleurs, que la valeur de T,v est inférieure à 1 eV dans une décharge d’argon à la pression atmosphérique alors qu’elle est égale ou plus grande que 1 eV à basse pression133. Précisons, toutefois, que les collisions étant plus nombreuses à la pression atmosphérique qu’à basse pression, l’ionisation par étapes doit nécessairement être prise en compte dans le calcul de 8, (ce qui n’est pas fait dans le cas de la figure 4.3)’ comme nous le verrons en 9 4.2.4.

,--.

W

2

\

mFL

O

1

3

2

4

5

Tev (eV) Figure 4.3 - Valeur de la puissance O p en fonction de Tev calculée pour une distribution maxwellienne dans le cas de l’argon. On a supposé une excitation directe à partir du fondamental (pas d’excitation et d’ionisation par étapes).

133La valeur de Te à partir de laquelle les collisions inslastiques dominent dépend du gaz de la décharge et croît avec l’énergie-seuil d’excitation du premier niveau excité, Vi.

208

4

-

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

Les particules chargées ainsi créées en volume vont tendre à disparaître de la décharge par deux mécanismes principaux (3 1.8) : -

-

par diffusion vers les parois de l’enceinte sur lesquelles ions et électrons se recombinent aisément pour former un atome neutre ; par recombinaison ion-électron dans le volume même du plasma.

Dans ce qui suit, pour simplifier, nous allons supposer que seule la diffusion est responsable des pertes des particules chargées ( 5 3.10-3.12), ce qui est généralement le cas dans les décharges de gaz rares aux basses pressions (0’05-10 torr). La puissance 8, absorbée par électron en moyenne, prise au champ E , est liée au travail effectué par l’électron dans ce champ. En l’absence de collisions, l’énergie de l’électron augmenterait durant tout son parcours de la cathode à l’anode, sa vitesse évoluant avec le temps selon ( 5 2.2.1) :

eE

w = -t.

me

Cette situation n’est toutefois pas réaliste car, sans collisions, il n’y a pas de transfert d’énergie au plasma, donc pas de décharge. En présence de collisions, le mouvement de l’électron vers l’anode est entravé par les collisions électron-neutre ; il en résulte une vitesse moyenne de progression, dite de dérive, dans le champ E ( 5 3.8) : ud

=

(4.3)

où, rappelons-lel pe = -e/m,u est la mobilité des électrons et u , la fréquence moyenne de collisions électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement. La puissance Pa prise au champ E par les électrons, par unité de volume, est donnée, dans le cas d’un plasma uniforme de densité n, par ( 5 2.2.1) :

P,

G

n8, = J ‘ E ,

(4.4)

ce qui constitue une généralisation de la loi d’OHM. Quant à J , le vecteur densité de courant du fluide d’électrons, nous savons qu’il a pour expression :

J = -neud .

(4.5)

Alors, en combinant (4.3)’ (4.4) et (4.5)’ nous obtenons :

e2 8,(E) = -E2 mev

A l’état stationnaire, La puissance absorbée 8, s’ajuste pour compenser exactement la puissance perdue 8, et :

8a(E) 1O p ( ( U e v ) ) . (4.7) En effet, si la puissance 19, était inférieure à O,, la décharge s’arrêterait. Si au contraire 8, était supérieure à O p , la densité du plasma augmenterait contredisant notre hypothèse d’un état stationnaire. La relation (4.7) constitue donc l’équation d’équilibre de puissance par électron dans le plasma. On désignera par 8 leur valeur commune.

4.2 - TRANSFERT DE PUISSANCE

209

L’équation (4.7) signifie aussi, et c’est important de le noter, que l’intensité E du champ électrique dans le plasma134 (liée à ea par (4.6)) s’adapte pour compenser exactement la perte de puissance eP. Dans le cas particulier où les particules chargées disparaissent par diffusion vers les parois, comme nous l’avons supposé plus haut, ces pertes augmentent avec l’énergie moyenne des électrons, donc avec la température électronique dans le cas d’une FDEE niaxwellienne (voir le coefficient de diffusion donné par les équations (3.274) ou (3.299)). La valeur de û,((U,v)), qui augmente avec l’énergie moyenne des électrons (figure 4.3), va donc augmenter lorsque les pertes en particules chargées augmentent. En régime de diffusion ambipolaire, la température électronique de la décharge n’est fonction que des dimensions de l’enceinte, de la nature du gaz et de sa pression ( 5 3.13)’ c’est-à-dire uniquement des conditions opératoires. L’intensité du champ électrique d’entretien de la décharge ne dépend donc, elle aussi, que des conditions opératoires (4.7). I1 en résulte que 8,, comparativement à B a , est la quantité dominante dans l’équilibre de puissance par électron, 8, s’ajustant à la valeur de eP. Ainsi, l’intensité du champ E présent dans la colonne positive n’est pas liée à la différence de potentiel appliquée entre les deux électrodes, ce que confirme l’expérience. Le “surplus” de cette différence de potentiel se retrouve dans les gaines cathodique et anodique et autres zones encadrant la colonne positive (figure 4.2).

4.2.2. DECHARGES HF Pour fixer les idées, considérons une décharge HF simple à réaliser. Un générateur de puissance HF alimente un applicateur de champ EM constitué de spires conductrices s’enroulant autour d’un tube à décharge135,comme le montre la figure 4.4.

I I L Générateur

Figure 4.4 - Schéma d’une décharge H F dite anductzve. Les fréquences d’excitation sont généralement très inférieures à 100 MHz, les plus utilisées étant les fréquences ISM de 13,56 MHz et 27,12 MHz13’.

HF

II

Il

134Ce champ est appelé c h u m p E d’entretien (sous-entendu, de la décharge) par opposition au c h u m p appliqué par l’opérateur. 135Le matériau du tube à décharge est choisi de façon à absorber le moins possible la puissance HF. De ce point de vue, la silice fondue (incorrectement appelée quartz) est particulièrement avantageuse si la température du gaz n’est pas trop élevée (5 900 OC) et en l’absence de réaction avec les sous-produits de la décharge, comme le fluor. Les céramiques, comme A1203 et AlN, sont plus résistantes à la température mais absorbent davantage de puissance H F que la silice.

210

4

-

INTRODUCTION À LA

PHYSIQUE DES DÉCHARGES HF

Dans le cas d’une décharge HF, la question du transfert d’énergie se pose autrement qu’en CC parce que le champ électrique est cette fois alternatif. En effet, en début de cycle, l’électron se dirige dans une certaine direction sous l’influence du champ puis à la moitié du cycle, il est ramené dans la direction opposée136 : en moyenne sur une période, le travail effectué par l’électron dans le champ électrique est nul ( 5 2.2.1). Seules les collisions peuvent interrompre ce mouvement périodique et faire en sorte que l’électron prenne ‘effectivement de l’énergie au champ électrique HF, comme nous l’avons montré en co:nsidérant un plasma froid (0 2.2.1). Nous avions alors obtenu (équation (2.33)) :

0a -

-

u e“ E2 mpu2 + w 2

où E2,la valeur quadratique moyenne du champ, est égale à E i / 2 , Eo étant l’amplitude maximale du champ au cours d’une période d’oscillation et w la pulsation du champ. L’équation (4.8) se ramène à l’équation (4.6) pour w = 0. Les pertes de particules chargées s’effectuent par les mêmes mécanismes que dans une colonne positive. Par contre, à la différence d’une décharge en courant continu, l’intensité du champ E dans une colonne de plasma HF n’est pas constante radialement, mais décroît en allant de la paroi du tube vers l’axe : ce phénomène est analogue à l’atténuation d’une onde EM s’enfonçant dans un matériau conducteur ( e t e t de peau). Dans ces conditions, l’intégration de O, (4.8) suivant une section transversale de la décharge doit conduire à une valeur moyenne O, telle que On = O,. Comme il est plus facile de mesurer O que E dans une décharge HF137, le paramètre O apparaît naturellement comme la grandeur de référence pour comparer les décharges électriques entre elles. A cette considération, se rajoute la prépondérance déjà soulignée de 6 sur E (3 4.2.1) : l’intensité de E s’ajuste pour satisfaire la valeur de 6,. Cette primauté de 0, sur 6, et, donc, sur E , sera confirmée dans ce qui suit sur les magnétoplasmas HF. Remarque : La projondeur caractéristique S, de pénétration du champ HF dans un milieu conducteur se définit comme la distance sur laquelle l’intensité du champ d’une onde plane EM se rélduit à l / e (e est la base du logarithme népérien) de sa valeur initiale. Cette valeur est donnée par : 1

&=

(4.9)

est la conductivité électrique du milieu. Pour un plasma non collisionnel, 6, = c/wpe. Dans le cas d’un plasma collisionriel ( u >> w ) , cr prend la valeur ne2/m,u (voir (3.170)). où

O

136 Nous faisons l’hypothèse implicite que l’amplitude d’oscillation (ou excursion) de l’électron dans le champ H F (l’équation (2.31)) est plus petite que la plus petite dimension de l’enceinte à décharge (par exemple le rayon R dans une longue colonne cylindrique). C’est le cas en général pour des champs de fréquence dépassant le MHz. 137La mesure du champ électrique dans une décharge H F est généralement très imprécise en raison de la perturbation apportée par l’antenne de mesure. En revanche, la valeur de O peut se déduire simplement de la puissance absorbée par unité de volume, connaissant la valeur moyenne de la densité du plasma (équation (4.4)).

4.2 - TRANSFERT DE PUISSANCE

211

4.2.3. D É C H A R G E S HF EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE STATIQUE

Pour certains procédés de traitement par plasma, il peut être avantageux de fonctionner à la pression de gaz la plus faible possible de façon à réduire d’autant la fréquence de collision dans la décharge. I1 en va ainsi de la gravure anisotrope où l’on souhaite “creuser”, par bombardement ionique, dans un matériau donné, des tranchées à parois parfaitement verticales (figure 1.4). L’accélération des ions, obtenue par polarisation du porte-substrat ou du matériau lui-même, engendre un flux ionique dirigé perpendiculairement à la surface à traiter : moins il y a de collisions modifiant cette trajectoire, plus parfaitement anisotrope (verticale) est la gravure. Comment, cependant, pouvons-nous créer un plasma H F avec une aussi faible fréquence de collision alors que nous avons rappelé, à la section précédente, que l’existence de collisions est essentielle au maintien de la décharge H F ? Pour y arriver, il faut soumettre la colonne de plasma à un champ magnétique statique Bo,dirigé axialement à celle-ci, comme nous allons le montrer. On peut ramener à deux phénomènes principaux l’action d’un champ Bo statique sur une décharge H F : réduction des pertes par diffusion vers les parois des particules chargées et, le cas échéant, transfert résonnant à w,, = w de l’énergie du champ H F aux électrons. Réduction des pertes par diffusion des particules chargées vers les parois

Dans le cas d’un champ Bo dirigé axialement dans une enceinte cylindrique, les particules chargées sont entraînées dans un mouvement soit purement cyclotronique, soit hélicoïdal autour des lignes de champ de Bo suivant que leur vitesse axiale est nulle ou non nulle (0 2.2.2). La diffusion radiale des particules chargées, donc leur perte, se trouve d’autant plus réduite que le rayon de giration cyclotronique qui leur est imposé est petit (très inférieur au rayon de l’enceinte), c’est-à-dire que l’intensité du champ magnétique est élevée. Pour que le confinement magnétique se fasse sentir sur les électrons, il faut qu’il y ait plusieurs girations cyclotroniques entre deux collisions, ce qui impose v << w,, ( 5 3.11)13’. Notons que la diminution des pertes de particules chargées entraîne que T, et, donc, Opi3’ décroissent de sorte qu’avec la même densité de puissance Pa absorbée, selon (4.4), on obtient une plus grande valeur de densité électronique. Par ailleurs, à Bo constant, û, augmente lorsqu’on diminue la pression puisque, les pertes par diffusion augmentant, l’énergie moyenne des électrons croît (figure 3.9) et, donc, la valeur de 8, croît aussi. I1 existe une valeur maximum de 8, au-dessus de laquelle la puissance demeure inférieure à 0, (voir plus loin la figure 4.5). A cette valeur maximum de 8, correspond une pression minimum de travail au-dessous de laquelle il est impossible d’entretenir la décharge.

ea

138Pour fixer les idées, dans l’argon à 1 torr, pour T,v = 2 eV, v Y 2 x 10’ s-’. Par ailleurs, rappelons que w,,/271 ( H a ) = 2,799 x l o 6 & (gauss). 139 Rappelons que la figure 4.3 montre que 0, croît de façon monotone avec T e .

212

4

-

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

Comparaison du rirgime d’absorption de puissance par collisions avec celui par résonance cyc1,otronique électronique (RCE) : évolution de la valeur de 0, en fonction de la pression, à champ Eo constant La méthode de calcul de 8, dans un plasma HF en régime de RCE est analogue à celle utilisée en régime simplement collisionnel. I1 suffit, en effet, de rajouter le terme dû à Bo dans l’équation hydrodynamique de transfert de la quantité de mouvement (3 3.7) qui s’écrit, dans l’hypothèse d’un plasma froid (Te= O) : dU

me-

at

= q[E

+ u A BO] mevu ,

(4.10)

-

la vitesse de l’électron, dans ce contexte, étant purement périodique, soit :

v,

vo,exp(iwt) , = vOyexp(iwt) .

(4.11) (4.12)

=

vy

Le champ magnétique statique Bo est dirigé suivant z et le champ électrique HF, E = EOeiWt,selon y. Suivant les coordonnées 2 et y du repère cartésien, nous avons alors : (4.13) (4.14) En éliminant

00,

entre les équations (4.13) et (4.14), il vient :

soit encore, par identification, en factorisant :

+ + wee) i w (v2 + w2 wee) [(w + v2] [(w+ wce)2 + v2]

eEo v (v2 w2

voy = -~ me

-

-

’

(4.16)

- WJ

La puissance moyenne (sur une période) par unité de volume, Pa, absorbée par les électrons est donnée, de manière générale (équations (2.33) et (2.36))’ par :

1 P - - X ( J . E’) . ,-2

(4.17)

que l’on peut aussi écrire en faisant intervenir le tenseur de conductivité 0 (équations (2.117) à (2.119)), soit : 1 P - -[(u E ) E * ] . (4.18) ,-2

-

’

’

Sachant que E, est k t seule composante non nulle du champ électrique et que la composante atY de 0 est nulle (voir équations (3.183) et (3.185)), l’expression développée de la densité de courant (équation (2.119)) se réduit à :

+

J = aZyEyê, ayyEYêy.

(4.19)

4.2

-

TRANSFERT DE PUISSANCE

213

Cependant, comme seule la composante de J suivant y apporte, dans l’équation (4.19)’ une contribution au produit contracté (scalaire) avec E , nous obtenons finalement de (4.17) : 1 P - -%(&E;). (4.20) a-2 Comme JU = -neuy et Ey = Eoeëiwt, la puissance moyenne absorbée par électron prend la forme définitive :

Nous pouvons aussi écrire, de (4.19) et de (4.20) que :

(4.22) soit encore :

(4.23)

Le résultat exprimé par l’équation (4.21) peut s’interpréter de façon relativement simple si l’on admet, d’une part, que le champ électrique oscillant E se décompose en le champ Ed d’une onde circulaire droite et en le champ E , d’une onde circulaire gauche, toutes deux d’amplitude constante, tournant autour des lignes de champ magnétique, et, d’autre part, que les électrons, sous l’effet du champ magnétique, s’enroulent autour des mêmes lignes de champ magnétique selon un mouvement de rotation vers la droite (en regardant dans la direction du champ magnétique). La composante circulaire droite du champ électrique tourne alors dans le même sens que les électrons dans leur mouvernent cyclotronique. I1 en résulte que, dans son référentiel, l’électron “voit” le champ électrique Ed osciller a une fréquence réduite wd = w - w,,, tandis qu’il “voit” le champ E , osciller à une fréquence accrue wg = w wee. L’équation (4.21) fait apparaître ces deux contributions : le premier terme du membre de droite correspond à la contribution de l’onde circulaire droite et le deuxième à la contribution de l’onde circulaire gauche. I1 est à noter que la présence de collisions empêche l’apparition d’une singularité en w = wce.

+

Dans le cas où w,, = O, on retrouve l’expression donnée par l’équation (4.8). Par contre, si l’on ajuste l’intensité du champ magnétique de telle sorte que w = wce, on obtient alors la condition de résonance cyclotronique électronique (RCE), et les électrons, dans leur référentiel propre, “voient” un champ électrique d’intensité constante qui les accélère de façon continue. L’énergie ainsi acquise par les électrons est communiquée par collisions aux particules lourdes de la décharge (4.1). Le mécanisme de chauffage des électrons par RCE se distingue fondamentalement du mécanisme par transfert collisionnel (équation (4.8)). Ainsi, dans le cas du transfert collisionnel, l’énergie impartie au moment de la collision est celle acquise pendant seulement une fraction de la période HF puisque le travail de l’électron dans le champ électrique sur une ou plusieurs périodes complètes est nul. Autrement dit, dans le mécanisme du transfert collisionnel, plus le temps entre deux collisions est grand (c’est-à-dire plus la fréquence de collisions v est petite), moins efficace est le transfert

4

214

-

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

+

d'énergie à la décharge : pour u << w , le terme u / ( u 2 w 2 ) , intervenant dans la définition de 19, (équation (4.8)) et se réduisant à u / w 2 , diminue rapidement lorsque u diminue. Au contraire, dans le transfert résonnant par RCE, l'énergie prise au champ électrique croît continûment entre deux collisions, de sorte que ce mécanisme est d'autant plus efficace que le temps entre deux collisions est long, ce qui nécessite u << w . Le transfert réssonnants'apparente en fait au transfert collisionnel dans le cas d'un champ électrique statique (w = O). Pour preuve, à la RCE (w = w,,), l'expression de 8, (équation (4.21)) pour v << w aboutit, à un facteur près, à la forme obtenue dans le cas du champ électrique statique (équation (4.6)).

10-2

\

I

.......... ...'.....

..I..

0

0

*..e

..o.. -

0

0

10-2

' ' '

""'1

10-1

' ' '

" 1 " 1

loo

' ' ' '""

1o1

YI@ Figure 4.5 - Evolution selon (4.21) de 8, en fonction de v / w , à champ Eo constant, calculée pour trois valeurs de la pulsation cyclotronique : wce = O, wce = 1,5w et wce = w . Rappelons qu'il faut que Oa = QP (à u/w donné), ce qui suppose que O, puisse atteindre des valeurs telles que 8, 2 Op ; dans le cas contraire, la décharge ne peut exister.

L'intérêt de la RCE et la disparition de cet effet lorsque le plasma devient de plus en plus collisionnel sont illustrés sur la figure 4.5 qui montre l'évolution, à champ EO constant, de la puissance 8, absorbée par électron successivement à w,, = O, à la condition de résonance w,, = w et à w,, = 1,5w, en fonction du paramètre u / w (on peut supposer, pour fixer les idées, que u , et donc le rapport u / w , est proportionnel à la pression). Nous constatons aussi que, par rapport au cas wee = O, confiner le plasma avec un champ Bo, même fort (we, = I , 5w), ne permet pas d'augmenter de façon importante la puissance qui pourrait être prise par un électron au champ HV. On observe aussi que, à la RCE, à basse pression, la puissance 8, absorbée par électron est de plusieurs ordres de grandeur plus élevée que celle qui s'obtient par simple transfert collisionnel, d'où l'intérêt de la RCE pour les applications plasma à basse et très basse pression puisque seule la RCE conduit à une valeur suffisamment élevée de 8, pour réaliser l'équilibre Oa = ûp. Ceci se produit, par exemple, dans les sources d'ions multichargés où les pressions sont inférieures à torr, permettant de chauffer les électrons jusqu'à des énergies moyennes de plusieurs keV. La figure 4.6 montre

4.2

-

TRANSFERT D E PUISSANCE

215

l’évolution de O, en fonction de w,,/w, toujours à champ Eo constant, pour différentes valeurs du paramètre u / w (pour fixer les idées, dans l’argon à 1 torr et pour une distribution maxwellienne des électrons de température T,v = 2 eV, nous avons u = 2 x io9 spl). Là encore, nous pouvons vérifier que la résonance est fortement amortie lorsque la fréquence de collisions augmente ou lorsqu’on s’écarte de la résonance.

I

3

n

t

I l m“

O, 0

0,s

1,0

1,5

2,o

Wce / w

Figure 4.6 - Evolution selon l’équation (4.21) de 8, en fonction de w c e / w à champ Eo constant, pour quatre valeurs du rapport u / w .

Variations de l’intensité du champ électrique Eo autour de w,, = w

Tous les calculs et raisonnements précédents ont été effectués en supposant le champ électrique d’intensité constante. En fait, comme nous l’avons indiqué au début de ce chapitre (3 4.2.1)’ l’intensité EO du champ électrique constitue un paramètre d’ajiistement permettant de satisfaire l’équilibre de puissance par électron dans le plasma, O, = O,. Aussi, est-il important de comprendre comment ce paramètre d’ajustement varie lorsque l’on passe de la RCE à des conditions hors RCE. En étendant le raisonnement développé plus haut au cas d’une décharge à l’état stationnaire soumise à la diffusion ( 5 4.2.2) au cas où se trouve ajouté un champ Bo, il nous faut admettre, pour les mêmes motifs, que le paramètre O, ne doit pas dépendre du champ E , ni a fortiori des caractéristiques de l’onde engendrant ce champ, mais uniquement du mécanisme de perte des particules chargées. Autrement dit, la valeur de 8, ne passe pas par un extremum en w,,lw = 1, ce que confirme l’expérience (voir, plus loin, figure 4.14). En fait, eP décroît progressivement et lentement avec l’augmentation du champ magnétique, comme le montre la figure 4.14. Par contre, nous allons mont,rer que l’intensité du champ E dans la décharge, aussi bien à l’amorçage qu’à l’état stationnaire, présente en fonction de w,,/w un minimum à w,, = w , précisément parce que l’efficacité du transfert d’énergie résonnant , par opposition au transfert collisionnel , est maximum dans ces conditions.

4

216

-

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE

DES DÉCHARGES

HF

On constate donc, par identification de l’équation (4.23) avec l’équation (4.21)’ que la conductivité électrique rYy passe par un maximum à la RCE. Par conséquent, comme la valeur de O p , et donc celle de ûa (puisque 8, = O p ) , est pratiquement constante sur un faible intervalle de w,,/w au voisinage de la RCE et comprenant celle-ci, comme mentionné plus haut, l’intensité du champ électrique doit passer par un minimum à la RCE, contrairement, à l’idée reçue que l’intensité de E passerait par un maximum puisqu’il s’agit d’une “ r é ~ o n a n c e ” ’ ~ ~ . Par ailleurs, la figure 4.5 suggère que, à basse pression, la valeur de u / w étant plus faible à 2,45 GHz qu’à 100 MHz, il pourrait ne pas être possible d’allumer le plasma hors résonance à 2,45 GHz alors que ce serait possible à 100 MHz grâce à l’absorption collisionnelle, ce que confirme d’ailleurs l’expérience. Ce qui précède montre bien que, lorsque la puissance perdue par électron est très grande et que u / w est faible, seule la RCE permet d’atteindre une valeur suffisamment élevée de Oa pour réaliser l’équilibre

ea = 8,.

A la différence du développement précédent qui supposait le cas d’une onde se propageant dans un plasma infini et uniforme, le même genre de calcul peut être effectué en milieu limité pour une onde de type guidée, en l’occurrence une onde de surface dite généralisée [14]. La figure 4.7 montre que la conductivité effective141 passe par un maximum à la RCE, dte sorte que l’intensité du champ E passe alors par un minimum.

O, 5

LO

L5

W c e JW

- Conductivité électrique effective (tenant compte de la polarisation de l’onde) due aux électrons calculée pour le mode fondamental HEo, à diffkrentes valeurs de la fréquence du champ HF [14].

Figure 4.7

140 Certains auteurs, dont W.P. ALLIÇ[7],soutenait que, à la RCE, la valeur de l’intensité du champ électrique dans le plasma était amplifiée alors qu’en fait, celle-ci passe par un minimum.

141 Du fait de la présence de Bo,le plasma est un milieu anisotrope et la conductivité est alors un tenseur d’ordre 2 et non plus un scalaire ((2.117) à (2.119)). La notion de conductivité électrique effective [7] permet de surmonter cette difficulté pour arriver, pour un mode donné de l’onde, à une représentation scalaire.

4.2 - TRANSFERT DE PUISSANCE

4.2.4. EVOLUTION DE LA VALEUR DE

217

e

EN FONCTION DE f i e DANS DIVERSES CONDITIONS DE PLASMA

Dans la présentation faite jusqu’à maintenant de la puissance 8, pour des raisons de simplicité, nous avons adopté l’hypothèse de l’ionisation de l’atome par un seul impact électronique sur celui-ci dans son état fondamental (ionisation directe) bien que l’ionisation par étapes (utilisant] par exemple, les états niétastables comme relais fj 1.8), dans les plasmas suffisamment denses, puisse être non négligeable. De plus, nous avons supposé que la perte des particules chargées s’effectuait uniquement par diffusion (ambipolaire), hypothèse qui n’est pas nécessairement valide lorsque la densité des espèces chargées est suffisamment grande (en effet, aux fortes densités de plasma, la recombinaison des espèces chargées a lieu dans le volume du plasma (5 1.8) plutôt que par diffusion vers les parois). Les deux hypothèses retenues constituent la condition dite de SCHOTTKY. L’équation (4.24) représente le bilan création-perte des particules chargées de façon plus générale que la condition de SCHOTTKYqui ne retient que les deux premiers termes (la notation est celle de 5 1.8) : (4.24) Le premier terme est, en effet, celui de la perte des particules chargées par diffusion ambipolaire et le second, celui de l’ionisation directe d’un atome à partir de son état fondamental. Par contre, le troisième terme tient compte de l’ionisation par étapes (numérateur)] mais aussi de la possibilité de la saturation des états-relais correspondants (dénominateur) alors que le quatrième terme, en l’absence d’ions moléculaires et d’ions négatifs, représente la recombinaison en volume des ions atomiques (recombinaison à trois corps, fj 1.8). Au sujet du troisième terme, précisons que lorsque la valeur de ne augmente suffisamment, le nombre d’états-relais libres par seconde diminue (caractérisé par le terme en 7 dans le dénominateur) de sorte que, finalement, la fréquence d’ionisation par étapes atteint une valeur maximale constante, indépendante de ne (1 << qne)puisque dans ce cas : (4.25) Dans l’expression (4.24), nous avons représenté la recombinaison en volume par la recombinaison à trois corps. Or, il faut savoir que la recombinaison à trois corps requiert, pour se manifester, des densités électroniques très élevées (dépendance en ):. et, de ce fait, est moins probable que la recombinaison dissociative des ions moléculaires formés dans la décharge (dépendance en Ainsi, bien que la densité des ions moléculaire^'^^, par exemple dans les décharges de gaz rares, soit plus faible que celle des ions atomiques, leur fréquence de recombinaison est de plusieurs ordres de 142 De façon générale, une recombinaison à trois corps est toujours moins probable qu’une recombinaison à deux corps d’où l’importance de la recombinaison dissociative des ions moléculaires selon la réaction (1.143). 143 La cinétique des ions moléculaires n’est prise en compte que dans la partie haute pression de ce chapitre ( 5 4.4).

218

4

-

INTRODUCTION À LA

PHYSIQUE DES DÉCHARGEÇ

HF

grandeur plus grande que celle des ions atomiques, de sorte qu'il est plus correct, pour ne 5 1014 cmp3, de poser comme équation du bilan des particules chargées :

aTmne 2 =O .

(4.26)

En tenant compte des pertes à la fois par diffusion ambipolaire et par recombinaison dissociative, le calcul de la variation de la puissance 0 en fonction de f i e , la densité moyenne suivant la section du tube, conduit à la figure 4.8 [15]. A faible densité électronique (région I), la condition de SCHOTTKY s'applique, déterminant la valeur de 0 correspondant à la droite horizontale apparaissant en pointillé sur la figure 4.8 : la perte des particules chargées et leur création sont, en effet, toutes deux linéaires en f i e , de sorte que leurs fréquences correspondantes sont indépendantes de f i e . Pour des valeurs de f i , (3.212) un peu plus grandes (région II), les pertes de particules chargées continuent à se faire par diffusion ambipolaire mais l'ionisation par étapes s'ajoute à l'ionisation directe, réduisant ainsi la puissance prise au champ pour créer une paire électron-ion, d'où la décroissance de 0. Pour des valeurs de ne encore plus grandes (région III), le régime de pertes est encore celui de la diffusion ambipolaire, mais l'ionisation par itapes ne permet plus à la densité électronique de croître plus vite que f i e puisque l'on a atteint un régime de saturation (4.25), de sorte que la valeur de û demeure constante en fonction de ne. I

'

'"""I

' ' """I

'

'"!"'I

i

II OSCHOTTKY

I

I I1111111

I

LuIllIl

I I

' ' "''11

III

~

llillll

I I111111

Figure 4.8 - Evolution selon l'équation (4.26) de O en fonction de fi,, la densité électronique moyenne suivant une section du tube, calculée pour p = O, 5 torr et R = 1 , 4 cm dans le cas de l'argon.

Enfin, pour des densités électroniques encore plus fortes (région IV), les pertes se font à la fois par diffusion ambipolaire et par recombinaison en volume, cette dernière prenant progressivement le pas sur la première au fur et à mesure que f i , croît. Quant

4.3

-

219

INFLUENCE DE LA FRÉQUENCE

à la création des particules, elle se fait en régime saturé d’ionisation par étapes, donc

sa fréquence u,, est indépendante de ne (4.25). Au total, la fréquence des pertes augmente alors avec fie et 8 croît (on pourrait le montrer) comme la racine carrée de ne [15].

4.3. INFLUENCE DE L A FRÉQUENCE DU CHAMP HF SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DU PLASMA

ET SUR CERTAINS PROCÉDÉS Uri des avantages particuliers des plasnias HF relativement aux décharges CC est de permettre de varier considérablement les propriétés du plasma (notamment la FDEE) en agissant sur la fréquence du champ EM appliqué. Nous allons développer une approche théorique de cet effet de la fréquence confirmée par quelques exemples expériment aux.

4.3.1. P O S I T I O N

DU PROBLÈME

De faLon générale, les plasmas à pression réduite sont hors équilibre thermodynamique. Concrètement’ l’énergie moyenne des électrons est beaucoup plus grande que celle des ions et des neutres ( 5 1.4.3). Dès lors, nous le savons, ce sont essentiellement les collisions électroniques, et non celles dues aux particules lourdes, qui assurent l’excitation et l’ionisation des atomes et des molécules, de sorte que la forme de la fonction de distribution e n h e r g i e Fo ( U ) des électrons (FDEE)144 c ~ r i d i t i o i i n e ’ la ~ ~répartition relative de la densité A$ des différents &its excités des atomes et moléciiles de la &charge. Pour le voir, nous allons considérer le cas simple mais fréquent où les espèces excitées ou ionisées sont produites A la suite d’un seul impact électronique sur l’atonie (molécule) dans l’état fondamental. L a densité des atomes (moléculcs) ainsi formés, par seconde, dans l‘état (excit,6 ou ioriisi.) j est alors donnée par : (4.27)

144Voir l’annexe XVII pour la distinction entre F , ( U ) et f o ( U ) . La condition de normalisation de F ~ ( l iest )

p ( l J ) f l d u = 1. O

L’indice zéro signifie qu’il s’agit d’une fonction de distribution isotrope (ou, le cas échéant, du premier terme du développement de la fonction de distribution en harmoniques sphériques (S 3.1)). 145 Les collisions électroniques dét,erminent entièrement la population d’un état excité seulement si le peuplement et le dépeuplement de ce niveau par des transitions radiatives sont négligeables.

220

4

-

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE DES DÉCHARGES

où No est la densité des neutres146. Le coeficient d’excitation koj expression :

(5

HF

1.7.9) a pour

(4.28)

où â3 est la section eifficace microscopique totale d’excitation (8 1.7.4)’ fonction de l’énergie U de l’électron à partir d’un seuil d’énergie V,. L’expression (4.28) montre bien que, suivant la forme de Fo(U),la valeur du coefficient ko3 change, ce qui entraîne que ces coefficients varient relativement les uns par rapport aux autres. Pour certaines applications (exemples en 5 4.3.7), ceci permet d’accroître la population d’un niveau excité ou ionisé particulier, donc d’optimiser un procédé. On aura remarqué que nous nous intéressions à des décharges HF où la pulsation w = 2i7f est suffisamment grande pour que les ions ne puissent pas répondre à la variation périodique du champ HF, seuls les électrons prenant alors de l’énergie à

ce champ (voir 0 4.2.1). Cette condition d’immobilité des ions est atteinte lorsque > wpz où wpz est la pulsation propre des ions dans un plasma ( 5 1.5) ; en pratique, elle s’applique aux décharges dont la fréquence d’entretien dépasse quelques MHz. w

Dans ce qui suit, l’effet de la fréquence du champ sur la FDEE nous amène à distinguer deux cas typiques, celui où la FDEE est stationnaire et celui où, au contraire, elle oscille, totalement ou partiellement, en fonction de la période du champ HF. Pour que la FDEE varie en fonction de la période du champ, il faut que la fréquence ù laquelle s’effectue le transfert d’énergie d’un électron (d’énergie U ) a u x particules lourdes’47 : (4.29) soit telle que vu(U);$ w . En effet, dans ce cas, le nombre total de collisions élastique~~ et ~inélastiques * est tellement grand pendant une période HF que le transfert d’énergie du champ électrique aux particules lourdes via les électrons a lieu, pour ainsi dire, à chaque instant de la période du champ HF : la FDEE est alors tributaire de la valeur instantanée de l’amplitude du champ HF et varie donc en fonction du temps (cet effet se manifeste pour des fréquences typiquement inférieures à 100 MHz). Au contraire, pour vu(U)5 w , la FDEE est stationnaire car les collisions, une ou aucune pendant une période, surviennent à des moments différents de la période, d’une période à l’autre. Dans le cas des décharges dans les gaz atomiques, la valeur de vu(U) augmente abruptement à partir de l’énergie du premier niveau d’excitation alors que, pour les gaz moléculaires, vu(U)atteint une valeur élevée dès les faibles valeurs d’énergie par suite du transfert d’énergie sur les états ro-vibrationnels, comme l’illustre la figure 4.9. 146 La densité des atomes ou des molécules neutres

n/o est

évidemment telle que

Mo

=

E,H3.

147 Noter qu’en multipliant vu(U)par l’énergie i / ou V, (suivant le cas), la valeur moyenne résultante (vu(U)U) est égale selon (4.1) à O p . 148 Dans l’expression de v î L ( U )le , nombre de collisions élastiques est pondéré par le rapport 2 m , / M , la fraction maximale ,d’énergie cinétique qu’un électron peut transférer lors d’une collision élastique avec une particule lourde (équation (1.96)).

4.3

-

INFLUENCE DE LA

221

FRÉQUENCE

109

i A

z

O *

h

107

I I I I v

R

h

lo6

:

105

:

io4 :

O

5

10

15

20

25

uev Figure 4.9 - Fréquence Y, ( U ) à laquelle s'effectue le transfert d'énergie des électrons aux particules lourdes dans le cas du néon et de l'hydrogène moléculaire (d'après [is]). La pression du gaz est exprimée à O OC.

4.3.2. FDEE EN R É G I M E NON STATIONNAIRE La transition du régime non stationnaire vers le régime stationnaire s'obtient, à pression constante, en augmentant w . La FDEE devient progressivement stationnaire en cornmencarit par les électrons de plus basse énergie, car la condition de stationnarité vu(U)< w est d'abord satisfaite pour les faibles valeurs de U , comme on peut le voir sur la figure 4.9. Lorsque la pulsation w est suffisamment grande pour que vu(U)< w pour toute valeur de U , la FDEE devient Stationnaire. Pour fixer les idées quant à la valeur de w à laquelle la FDEE devient stationnaire, nous prendrons max[v,(U)] = w comme critère pratique de début de stationnarité pour w croissant, ce qui d'après la figure 4.9 donne, pour le néon149>150, w / p = IOs s-' torr-'. Selon ce critère, à p = 0,2 torr, la FDEE serait stationnaire dans le néon pour f > 3 MHz alors que pour H2 ( w / p = 1 , 5 x lo9 s-' torr-'), il faudrait que f > 48 MHz [18] : la stationnarité est, semble-t-il, atteinte pour une plus faible valeur de w dans le cas des gaz atomiques. La figure 4.10 correspond à un cas intermédiaire du rapport v u ( U ) / wtel que le corps de la FDEE, constitué des électrons de faible (inergie, est stationnaire alors que la 149 Les calculs détaillés montrent que la FDEE est déjà stationnaire pour w / p = 7r105 s-' (voir [17]). 150 La pression p est exprimée relativement à O OC.

torr-'

4

222

-

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

queue de la FDEE, comprenant les électrons d’énergie supérieure au premier seuil d’excitation (VI = 16,6 eV pour le néon), ne l’est pas : la queue de la FDEE varie de façon importante en fonction de la période ‘7- du champ HF. On pourrait, cependant, démontrer [19] que la densité des électrons est en pratique stationnaire car, comme le suggère la figure 4.10, il y a relativement peu d’électrons (rapides) affectés par le mouvement périodique de la queue lorsque la pulsation w n’est pas trop basse : pour l’argon, c’est déjà le cas lorsque f > 100 kHz !

O

5

10

15

20

25

30

35

U(V)

Figure 4.10 - Partie isotrope de la fonction de distribution en énergie calculée dans le néon pour w / p = 27r105 s-’ torr-’ à différentes valeurs de la période HF 7 ; t = p t est le temps normalisé où p est la pression exprimée à O “C [17].

4.3.3. FDEE

EN

REGIME

STATIONNAIRE

Pour aller à l’essentiel, nous ferons l’hypothèse d’une FDEE stationnaire et, de surcroît, homogène. Celle-ci s’obtient de l’équation de BOLTZMANN stationnaire et homogène, qui peut se mettre sous la forme [7] : (4.30)

où le terme So(Fo)représente les collisions entre électrons et entre les électrons et les autres particules du plasma; quant à la quantit,é : (4.31) dont on note qu’elle a les unités d’une énergie par seconde (voir (4.8)), elle représente la puissance transférée (en moyenne sur une période) du champ électrique HF à un

4.3

-

223

INFLUENCE DE LA FRÉQUENCE

électron d’énergie U151. Ce transfert est fonction de U et de w : il est maximum pour l’énergie U de l’électron telle que v ( U ) = w (dériver l’expression (4.31) par rapport à U ) . Ainsi, lorsqu’on fait varier la fréquence d’entretien de la décharge, le maximum du transfert de puissance s’effectue à une énergie U qui varie également, ce qui affecte le membre de gauche de l’équation (4.30) et modifie la forme de la FDEE, sauf si celle-ci est maxwellienne et le demeure pour toute valeur de v ( U ) / w . Pour une valeur de w fixée, la FDEE dépend de u ( U ) qui, à son tour, dépend de la section efficace de collisions pour le transfert de la quantité de mouvement, une propriété particulière à chaque gaz. Certaines de ces sections efficaces varient fortement en fonction de l’énergie de l’électron : c’est le cas, par exemple, pour l’argon, beaucoup moins pour le néon (figure 1.14). Le cas de l’hélium est particulièrement intéressant car le produit wP,,(w) = v(w)est presque à tel point que l’on peut prédire un effet de fréquence presque nul sur la FDEE. Afin de bien mettre en évidence l’effet de w sur la FDEE stationnaire, nous examinerons le cas d’une décharge d’argon. Nous verrons que nous pouvons alors faire apparaître trois comportements limites donnant lieu à trois FDEE très différentes les unes des autres. Remarque : Les équations (4.30) et (4.31) montrent que, lorsque v est très grand devant w ,le rapport E2/lv2 définit une loi d’échelle microscopique puisque, dans ces conditions, des variations de E et de v conservant un rapport E / . constant n’affectent en rien l’équation de BOLTZMANN (4.30). Comme v est directement proportionnel à N et p (1.125)’ E/N ou E / p constitue ainsi une variante de cette loi d’échelle. On retrouve une loi d’échelle similaire dans le domaine macroscopique en effectuant l’intégration de (4.30) sur la FDEE, ce qui conduit à l’expression de 0 (4.8). On en déduit alors que O / p , qui est proportionnel à (E/v)’ constitue aussi une loi d’échelle (voir plus loin, par exemple, la figure 4.13).

4.3.4. TROISC A S LIMITES D E L’INFLUENCE D E S U R LA

W

FDEE STATIONNAIRE

Comme le montrent les relations (4.30) et (4.31)’ l’effet de w sur la FDEE passe Pour que cette influence se manifeste, il plus précisément par le rapport v(U)/w. faut toutefois que les collisions électron-électron soient suffisamment peu nombreuses pour que la FDEE ne soit pas maxwellienne. Si l’on excepte donc Ir cas d’une FDEE maxwellienne, deux situations limites s’imposent alors : v / w = 0 dit cas micro-ondes (MO) et Y / W + 00 dit cas courant continu (CC) qui correspond effectivement à une décharge en courant continu (w = O) mais aussi à une décharge H F à très basse fréquence (si la pulsation w est suffisamment basse, la FDEE pourrait ne pas être ~tationnaire)’~~.

151 A la différence de la relation (4.8) où la valeur de v est une valeur moyenne sur la FDEE, v ( U ) est ici une fréquence microscopique, comme l’indique sa dépendance explicite en ü. 152 Ceci nous permet. d’ailleurs d’écrire, dans le cas de l’hélium, que v/po

2

2 , 4 x l o 9 s-’.

153 Dans ce qui suit, comrne il s’agit de cas limites (v(U)/w i O ou v(U)/w t m), nous pouvons considérer plus simplement la valeur moyenne u plutôt que sa valeur microscopique u( U).

4

224

-

INTRODUCTION À LA

PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

10° 1n-I inP h

N

10K6 lop7

n

io

5

15

20

25

30

ue v Figure 4.11 - Fonctions de distribution en énergie des électrons pour un plasma d’argon dans un long tube cylindrique de rayon R, calculées d’après un modèle auto-cohérent, en régime de diffusion ambipolaire et avec excitation directe à partir de l’état fondamental ( p R = 0,15 torr-crn) [20]. La courbe M est pour une FDEE maxwellienne (collisions électron-électron suffisamment nombreuses) alors que les courbes CC et MO correspondent respectivement aux cas limites v / w > 1 (“courant continu”) et v / w < 1 (“micro-ondes”) décrits dans le texte.

La figure 4.11 permet de comparer, pour une même valeur du produit p R , les FDEE calculées dans ces deux cas limites (CC et MO) avec la FDEE maxwellienne (M). Nous constatons que les trois FDEE sont très différentes les unes des autres. Distinguons plus particulièrement les électrons du corps de la distribution de ceux de la queue. La figure 4.11 montre que la partie de la queue comprise entre Vi, le seuil d’énergie du premier niveau excité, et V,, le seuil d’énergie d’ionisation de l’atome (domaine encadré par les deux traits verticaux sur la figure 4.11), est plus peuplée dans une décharge en courant, continu (CC) que dans les cas de la maxwellienne (M) et de la FDEE micro-ondes (MO). Ceci signifie que le coefficient d’excitation lcoj (relation (4.28)) et, donc, Nj, la densité d’atomes excités dans l’état j par unité de volume sont, à densité électronique constante154,les plus élevés dans une décharge en 154Les FDEE de la figure 4.11 sont normalisées (même aire sous la courbe), la condition de normalisation (voir la note 174 en bas de page de l’annexe XVII) étant

7

F ( U ) U 4 dU = 1.

O

4.3

-

225

INFLUENCE DE LA FRÉQUENCE

CC ; en revanche, il y a comparativement moins d’électrons de faible énergie en CC. Ceci se traduit par une énergie électronique moyenne plus élevée en CC puisque, dans le cas présent, ( U e v ) = 6,8, 2,35 et 3,15 eV respectivement pour les cas CC et MO, et pour la maxwellienne [2O]. La figure 4.12 montre ce qui arrive à la FDEE des cas CC et MO de la figure 4.11 lorsqu’on tient compte des collisions électron-électron : comme on pouvait s’y attendre, la différence entre les distributions CC et MO s’amenuise quand la densité électronique croît (car les collisions électron-électron augmentent). Cette différence disparaît pour ne suffisamment grand. Encore une fois, pour qu’il y ait un effet marqué de la fréquence dans les décharges HF, il faut que la densité électronique ne soit pas trop grande. D’un point de vue pratique, les calculs montrent que c’est le cas dans la plupart des gaz n , / ~< loo

,--.10-1

, m N

\y,

h

Mo

t

1

t

10-~ 10-6

1 O

J-L 1 \\ \\

I

I

I

I

I

5

I

I

I

I

I

I

I

I

I

15

10 u e

I

I

I

I

20

v

Figure 4.12 - Fonctions de distribution e n énergie des électrons calculées dans l’argon dans les cas limites CC ( V / W = 00) e t MO ( V / W O, i), p o u r n,/N = O (courbe en t r a i t plein) et n,/N = l o p 4 (courbe en tirets) avec excitation directe à partir du fondamental [21].

Remarque : Dans le cas d’une FDEE maxwellienne, l’énergie moyenne (en l’occurrence liée à T e )dépend de la configuration et des dimensions de l’enceinte, de la nature et de la pression du gaz ( 5 3.13). Cependant, dans le cas plus général de la figure 4.11, il faut ajouter à la liste de ces conditions opératoires la pulsation w du champ156. Plus généralement, nous pouvons dire que la forme et l’énergie moyenne des FDEE sont fixées par ces conditions opératoires mais aussi par la densité de puissance absorbée 155 Ainsi, à n e / N = l o p 3 , les collisions électron-électron font que la FDEE d’une décharge d’argon est presque maxwellienne, bien que le nombre de ces collisions soit souvent inférieur à celui des collisions électron-neutre. C’est que les collisions électron-neutre sont peu efficaces, pour ce qui est du transfert d’énergie, qui est au plus de l’ordre de m e / M , alors que les collisions électronélectron peuvent conduire à un transfert total d’énergie d’un électron à l’autre (§ 1.7.2). 156 Ceci explique pourquoi les valeurs de ( U ) , pour un produit p R donné, peuvent être différentes.

4

226

-

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE

DES DÉCHARGES H F

dans la décharge : bien que la densité de puissance ne fasse pas partie des conditions opératoires, elle agit sur la densité du plasma (voir la relation (4.4))’ donc sur la fréquence de collision électron-électron [La].

4 . 3 . 5 . INFLUENCE

DE w SUR LA VALEUR DE LA PUISSANCE

8

Nous venons de voir que les valeurs de ( U ) et de 8 dans une décharge & basse pression ne dépendent que des conditions opératoires et de la densité de puissance H F absorbée, sans avoir encore pricisé complètement le rôle de la densité de puissance. En effet, augmenter celle-ci, donc la densité R, des électrons, ne fait pas qu’augmenter le nombre de collisions électron-électron. On accroît aussi l’importance de l’ionisation par étapes relativement à l’ionisation par impact direct sur l’atome dans l’état fondamental : à cette augmentation de n, correspond alors une diminution de l’énergie moyenne des électrons, donc de I9 ( § 4.2.4). Nous n’allons pas considérer cet effet dans ce qui suit.

O, O 1

O, 1

1

10

p R (torr cm) Figure 4.13 -- Valeur calculée de û / p en fonction de p R pour des valeurs décroissantes de v/Iu allant de Y / W = cc (cas “CC” (A)) à u / w E O (cas “MO’ (H)) et pour une FDEE maxwellienne (M) en régime de diffusion ambipolaire et avec excitation directe à partir de l’état fondamental [2O].

La figure 4.13 montre la dépendance théorique de 8 (en fait 19,) en fonction de p R pour des valeurs décroissantles de Y / W allant de Y / W = cc (cas CC : courbe A) à Y / W = O (cas MO : courbe H) en l’absence de collisions électron-électron, dans l’argon : nous constatons, à pression donnée, que la valeur de 8 diminue quand w augmente [20]. La courbe M corresp’ond au cas où les collisions électron-électron sont suffisamment nombreuses pour que la FDEE soit maxwellienne.

4.3

-

227

INFLUENCE DE LA FRÉQUENCE

4 . 3 . 6 . DENSITE D’ESPÈCES PRODUITES PAR SECONDE À DENSITÉ DE PUISSANCE ABSORBÉE CONSTANTE : EF FICACITÉ É N ERGÉTIQUE

A la section 4.3.4, nous avons vu que le coefficient d’excitation lcoj est le plus élevé dans le cas CC et donc que la densit,é des atomes (molécules) dans l’état j produits par seconde, fij , est aussi la plus grande, ceci dans la mesure où nous considérons des décharges de densité électronique donnée. Des trois cas limites examinés, quel est maintenant celui qui, pour une densité de puissance Pa donnée, conduit à la plus grande valeur de ? Pour répondre à cette question sur l’efficacité énergétique de la décharge, rappelons que fij = (IcOjNo)ne où ne est donné par Pa = n,B (respectivement équations (4.27) et (4.4)) et considérons l’ensemble des courbes de la figure 4.13. Nous notons que la valeur de û la plus faible est atteinte avec la maxwellienne pourvu que p R 2 0 , l torr-cm. Alors, pour une densité donnée de puissance Pa absorbée dans le plasma, on obtiendra un plus grand nombre de paires électron-ion (nous supposons les atomes ou rrioléciiles ionisés une fois seiilernerit) dans le cas micro-ondes que dans le cas CC, et même encore iin peu plus avec une FDEE maxwellienne lorsque le produit p R est suffisamment grand. Ceci signifie, entre autres, que l’on ne devrait pas recourir à une décharge CC pour réaliser une source d’ions dont on attend le meilleur rendement possible en énergie électrique (densité d’ions la plus élevée à Pa donnée), à moiris que la densité électronique de cette décharge ne soit suffisamment élevée pour que la FDEE soit maxwellienne.

,%

Le calcul de B / p de la figure 4.13 a été mené avec de l’argon comme gaz principal de la décharge. Si nous ajoutons un autre gaz, par hypothèse, à l’état de trace de sorte que les propriét>ésde la décharge soient fixées par le gaz principal (dit porteur 011 plasrnagèrie) [20], on peut, calculer kojt le coefficient d‘excitation directe pour la formation de l’état j’ de seuil d’énergie Vjf du gaz à l’état de trace, I/, étant le seuil d’énergie d’ionisation du gaz principal. Les conclusions sont alors les suivantes [2O] : ~

~

la décharge CC ( v / w = m) donne la plus faible valeur de ,4‘>! pour une puissance Pa donnée ;

l’excitation vers l’état j’ est généralement plus efficace quand la FDEE est maxwellienne, avec quelques exceptions en faveur du cas micro-orides pour certairics valeurs d’énergie V,) < 15 (pour plus de détails, voir [LO]).

L’influence dc w sur la FDEE dépend, nous l’avons dit, du gaL considéré. I1 y a donc lieu de considérer l’exemple développé plus haut dans l’argon conime un cas particulier, mais fixant neanmoins les caractéristiques générales pour que se manifeste cet effet de fréquence (§ 4.3.3).

4.3.7. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX

ET

MODELISATION

En premier lieu, nous présentons, tel qu’observé cxpérimrntalement, l’effet sur la valeur de û d’un champ Bo, effet dont nous nous sommes largement servis pour la modélisation du mécanisme de la RCE (3 4.2.3). Dans une seconde partie, nous examinerons l’influence de la fréquence du champ HF, d’une part, sur l’intensité de la

228

4

-

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE DES DÉCHARGES HF

lumière émise par une décharge d’hydrogène et, d’autre part, sur les vitesses de dépôt et de gravure de pobymères. Nous tenterons d’expliquer ces résultats expérimentaux dans le cadre théorique que nous venons de développer.

INFLUENCED’UN

CHAMP

MAGNETIQUE

STATIQUE SUR LA VALEUR DE

6

Considérons une décharge H F dans une enceinte cylindrique soumise à un champ Bo dirigé a ~ i a l e m e n t l ~La~ .figure 4.14 montre qu’à pression de gaz fixe, la valeur de 8 décroît quand w,, / w augmente ; cet effet s’amenuise cependant avec l’accroissement de la pression du fait de l’augmentation correspondante de v (voir équation (4.8)) pour disparaître, dans le cas présent, pour p R 2 1 torr-cm. On remarquera, de plus, que la courbe û / p en fonction de p R pour w,,/w = 1 (condition de RCE) ne se distingue pas de façon particulière des courbes pour w,,/w # 1 : l’évolution en fonction de w,, est monotone. Ce résultat est conforme à la modélisation que nous avons développée plus haut ( 5 4.2.3) : la valeur de 8 est essentiellement fixée par la perte des particules chargées et ne dépend pas de la façon dont la puissance H F est amenée dans la décharge, que ce soit par absorption résonnante ou collisionnelle [ 2 5 ] . I

I

1 1 1 1 1 1 1

I

I

I I I I I I I

I

I

10-lO

1 1 1 1 1 1 1

I

I

~~~~~Y

O

wcelw = O

O

wcelw = 1

A

Wce/W=2,3

:

O

wce/w= 5 , 6

! -

h

E

s 42

v

3 cr2

-

10-12g

-

10-l~

lor1*

I

I

I 1 1 1 1 1 1

I

I

I 1 1 1 1 1 1

I

I

I 1 1 1 1 1 1

I

I

I l l l l L

157 Dans le cas présent, cette décharge est réalisée au moyen d’une onde électromagnétique de surface (voir [23] ou annexe XVIII), mais les résultats obtenus, pour des conditions données de décharge, sont indépendants de la façon dont le plasma est créé [24].

4.3

-

INFLUENCE DE

DIFFICULTÉS

229

LA FRÉQUENCE

LIEES A

LA MISE EN ÉVIDENCE DE L’INFLUENCE E SUR LES PROPRIÉTÉS DU PLASMA

DE LA FRÉQUENCE DU CHAMP

HF

Si l’existence d’un optimum en fréquence pour le rendement d’un procédé donné est souvent observée expérimentalement, son explication au moyen des mécanismes de base que nous venons de décrire nécessite de connaître certains paramètres du plasma qui sont souvent difficiles à mesurer (accessibilité restreinte des moyens de diagnostic, perturbations du champ E occasionnées par les sondes de mesure). De plus, réaliser une expérience où seule la fréquence varie alors que tous les autres paramètres opératoires demeurent constants est difficile [20]. Par exemple, il est généralement impossible d’entretenir le plasma HF avec la même configuration de champ E aux fréquences radio et micro-ondes. Seuls les plasmas produits par les ondes électromagnétiques de surface permettent une telle étude paramétrique (annexe XVIII). Une difficulté supplémentaire d’interprétation des résultats survient lorsque le phénomène d’oscillation de la FDEE (FDEE non stationnaire) se conjugue avec une variation de sa forme (effet V / W ) ( 5 4.3.2 et 4.3.3). Les résultats expérimentaux qui suivent montrent qu’il est possible d’optimiser un procédé en jouant sur w . Effet du passage d’une FDEE non stationnaire à une FDEE stationnaire sur l’intensité d’émission UV du plasma

t

50

I

I

I

I

100

I

I

I

I

I

I

150

I

I

I

I

I

I I I 1

200

Fréquence, f (MHz)

Figure 4.15 - Dépendance en fréquence de l’intensité des raies d’émission mesurée dans une décharge de Ha pur (Pt = 50 W, p = 0,5 torr, R = 13 mm). O Ly, (121,5 nui), 0 Hg (410,2 nm), 0 H, (434’1 nm), A Hg (486,l nm) [18].

La figure 4.15 montre la dépendance en fréquence de l’intensité d’émission de la raie LYMANa (Ly,) et des raies H p , H, et Hs de la série de BALMER dans une décharge de H2 pur [HI.Le but de cette étude était de rendre maximale, à puissance HF absorbée

4

230

-

I N T R O D U C T I O N À LA PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

constante, l’intensité du rayonnement UV lié à la transition Ly, ( N = 2 + N = 1, N étant le nombre quantique principal de l’atome d’hydrogene) pour fins d’irradiation de polymères. L’examen de 4 transitions de la série de BALMER indique que l’intensité de ces raies suit le même comportement que celle de la raie Ly,. Les calculs développés en (181 montrent que le passage du regime de faible intensité à celui de forte intensité d’émission a lieu pour f 2 80 MHz, autrement dit lorsque la FDEE atteint un régime stationnaire. L’augmentation de l’intensité d’émission serait Me à l’augmentation du nombre d’électrons, dans la queue de la distribution, seuls capables de dissocier et d’exciter l’hydrogène. Effet du passage d’une FDEE non stationnaire à une FDEE stationnaire dans le cas d’un dépôt de polymères I

10

I

I

I

50

1

1

1

1

1

100

4

I

I

500

Fréquence, f (MHz) Figure 4.16 Vitesse de croissance de couches de polyrrières, normalisée à la puissance ,absorbée totale Pt, en fonction de la fréquence du champ HF, R = 30,:) mm ( 0 C4F8, 0 et x C4H8 à deux valeurs de Pt) [26]. ~

La figure 4.16 présente l’évolution de la vitesse de dépôt de couches minces de polymères, normalisée à I t , la puissance HF totale absorbée15*, en fonction de la fréquence du champ HF. Ces dépôts ont été réalisés à partir de C4Hs (isobutylène) ou de C4Fs (perfluorocyclobutane) en utilisant l’argon comme ga7 porteur, le débit du monomère étant (aux condition:j standard) de 3 ml/min et celui de l’argon de 10 nil/min à une pression totale de 0,2 torr [26]. Le passage vers le plateau supérieur pour f 2 100 MHz correspondrait à la ti ansition, pour line FDEE stationnaire, du cas CC à celui du cas maxwellien [20]. Cependant, compte tenu de la présence de molécules dans la décharge (qui fait que la stationnarité de la FDEE est atteinte à une fréquence plus élevée que pour les gaz atomiques), on pourrait aussi penser qu’il s’agit de la transition d’une 158 A défaut de pouvoir maintenir la densité de puissance constante dans le cas présent, on normalise la vitesse de dépôt à la valeur de Pt, la puissance totale absorbée dans la décharge.

4.3

-

INFLUENCE DE LA

23 1

FRÉQUENCE

FDEE non stationnaire à une FDEE stationnaire (cas CC) ( 5 4.3.2). Ces calculs portant sur la FDEE n’étant actuellement pas disponibles, il est difficile de trancher la question. L’obtention d’une vitesse de dépôt élevée est évidemment un objectif industriel. Dans le cas présent, l’optimisation ainsi réalisée permet également de réduire la densité de puissance en jeu, donc de diminuer la température du gaz de la décharge, ce qui en l’occurrence conduit à une meilleure qualité du dépôt [26]. Effet de la fréquence sur la vitesse de gravure

La figure 4.17 décrit la vitesse de gravure d’un polymère (polyimide) normalisée à la puissance totale absorbée Pt en fonction de la fréquence f du champ HF. La gravure a lieu, sans polarisation intentionnelle du substrat (donc au potentiel flottant 3 3.14), dans un plasma de 02-CF4 à 0,2 torr [27]. Contrairement aux cas précédents (figures 4.15 et 4.16, la vitesse de gravure ne passe pas d’un palier à un autre, mais par un maximum. Ceci suggère que des phénomènes concurrents interviennent simultanément, rendant l’interprétation plus complexe. Ces effets sont liés aux caractéristiques de la FDEE. Ainsi, lorsque f augmente :

O

‘ lo1

I

I

I

I

1

I

I

I

I

I

I

I

I 1 1 1 1 1

I

I

I

I

1

1

1

1

lo2

1

1

1

1

1

, , I I I

io3

I

I

I

I

I

,

I

,

l

I

I

I

I

I

io4

Fréquence, f (MHz)

Figure 4.17 Vitesse de gravure d’un polyimide, normalisée à la puissance totale absorbée Pt, en fonction de la fréquence du champ HF, pour deux séries de valeur de Pt [27]. Décharge dans 0 2 avec ajout de 6 % CF4 (pression totale 200 mtorr, débit de 100 cm3/min, R = 26 mm). ~

1.La FDEE devenant stationnaire, on obtient alors un maximum d’électrons dans la queue de la dite FDEE, entraînant par là-même une augmentation de la dissociation des molécules Oa-CF4.

232

4

-

INTRODUCTION À

LA PHYSIQUE DES DÉCHARGES H F

2. La FDEE ( v / w ) tend vers le cas MO ou celui d’une FDEE maxwellienne, donnant lieu à une diminution de 0 (figure 4.3) et à une augmentation corrélative de la densité du plasmal. 3. Si 0 diminue, ( U ) (Te dans le cas d’une FDEE maxwellienne) diminue aussi (voir figure 4.1), donc la différence de potentiel V, - V f de la gaine diminue (3 3.14).

En conséquence, lorsque f augmente, l’énergie des ions bombardant la surface à graver va diminuer (3)’ alors que les flux d’ions ( 2 ) et d’espèces réactives (1 et 2 ) vont augmenter, d’où la possibilité d’observer un maximum de vitesse de gravure.

4.3.8. CONCLUSION SOMMAIRE DES PLASMAS

HF

A

L’ÉTUDE DES PROPRIÉTÉS À BASSE PRESSION

La puissance moyenne perdue par un électron par collisions avec les particules lourdes se révèle être un paramètre essentiel à la description des décharges électriques à basse pression (nous pourrions montrer que c’est également vrai pour les décharges à forte pression, incluant la pression atmosphérique). Les conditions opératoires de ces décharges peuvent être choisies de façon à ce que la fréquence du champ HF agisse sur la FDEE, aussi bien sur sa forme que sur son caractère stationnaire ou non, permettant ainsi d’optimiser la cinétique d’un processus donné. Comme cas particulier intéressant, nous avons vu dans les conditions de SCHOTTKY que, pour une densité donnée de puissance absorbée par le plasma, c’est la décharge micro-ondes qui offre le plus grand nombre de paires électron-ion comparativement à une décharge CC (si la densité de celle-ci n’est pas trop élevée pour que la FDEE soit maxwellienne). Enfin, le fonctionnement à la résonance cyclotronique électronique favorise l’entretien des décharges HF à des pressions nettement plus faibles qu’en absence de champ magnétique.

4.4. LES PLASMAS HF À HAUTE PRESSION Les plasmas à haute pression se distinguent des plasmas à basse pression non pas par leurs mécanismes de production, mais par leurs mécanismes de perte de particules chargées, par l’accroissement important de la température du gaz Tg (sans nécessairement atteindre 1’E:TL des plasmas thermiques) dû à l’augmentation de N et de ne (collisions élastiques électron-neutre), par l’apparition de cinétiques réactionnelles particulières (rôle des ions moléculaires), et par l’apparition de phénomènes supplémentaires (contraction et filamentation). Les plasmas à haute pression sont produits le plus souvent par des décharges en courant continu, par décharges inductives (ICP) dans le domaine radio-fréquences et par des décharges micro-ondes (notamment par ondes de surface). La description des plasmas à haute pression est plus complexe, compte tenu des phénomènes thermiques et des cinétiques plus variées qui se déroulent dans ces décharges, et, pour ces raisons, moins établie que celle des plasmas à basse pression. Dans ce qui suit, nous nous bornerons à illustrer quelques unes des caractéristiques des plasmas HF à haute pression : nous décrirons en particulier les phénomènes de contraction et de filamentation obte-

4.4 - LES PLASMAS HF

233

À HAUTE PRESSION

nus dans certaines conditions. Finalement, nous présenterons les hypothèses portant sur les mécanismes de la contraction et préciserons le rôle respectif sur ce phénomène du chauffage inhomogène du gaz et de la cinétique des ions moléculaires.

4.4.1. OBSERVATION EXPERIMENTALE DES PHÉNOMÈNES DE CONTRACTION ET DE FILAMENTATION À LA PRESSION ATMOSPHÉRIQUE

Dès que la pression du gaz dépasse quelques dizaines de torr, on observe l’apparition de stries périodiques ou la diminution, à mesure que la pression augmente, de la section radiale du plasma d’une décharge tubulaire. Ce dernier phénomène, connu sous le nom de contraction, affecte les décharges électriques entretenues dans des gaz rares et dans certains gaz moléculaires, notamment de type électronégatif. Dans le cas des gaz rares, comme l’argon ou le néon, la contraction se manifeste lorsque la pression dépasse quelques torr seulement : la colonne de plasma se réduit radialement, produisant un filament dense et brillant, orienté suivant la direction du champ électrique dans la décharge. Si celle-ci est entretenue par une onde électromagnétique de surface (annexe XVIII) et que le tube à décharge est disposé verticalement, alors le filament est centré sur l’axe, comme nous pouvons le voir sur la figure 4.1815’. Kr

Ar

Ne

He

Nz

Insterstice de lancement

Figure 4.18 - Photographie de la partie supérieure (par rapport au plan de l’applicateur de champ micro-ondes) d’une décharge d’onde de surface orientée verticalement, dans différents gaz, pour un tube de 6 mm de diamètre interne (paroi représentée par des traits verticaux blancs) et à la fréquence de 2450 MHz. La bande noire, qui coupe chacune des trois plus longues colonnes, est. due à l’armature de la cage entourant le tube à décharge [28]. de FARADAY

159 Lorsque le tube à décharge est orienté horizontalement, la convection naturelle pousse le filament hors de l’axe, vers le haut.

4 - INTRODUCTION À LA

234

PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

La figure 4.18 montre la lumière émise par des décharges produites par un champ micro-ondes dans différents gaz à la pression atmosphérique dans un tube de 6 mm de diamètre interne. Dans le cas présent, la décharge est entretenue par une onde de surface EM de sorte que la densité électronique décroît (presque linéairement) à partir de l’interstice du lanceur d’onde de surface (applicateur de champ EM) vers la fin de la colonne (annexe XVIII). Nous constatons que le diamètre lumineux des décharges d’hélium et de Nz ne varie pas, en première approximation, en fonction de la distance à l’interstice de lancement. Par contre, la contraction de la colonne de plasma est manifeste dans la décharge d’argon et de krypton, le néon étant comparativement beaucoup moins contracté. En comparant le niveau de contraction observé avec la conductivité thermique IC des gaz correspondants à la température du gaz de la décharge (tableau 4.1)’ nous pouvons affirmer que, si contraction il y a, elle est d’autant plus marquée que IC est faible. Tableau 4.1 - Conductivité thermique n (en lo-’ W/InK) du gaz calculée à la température ambiante et à la température du gaz mesurée sur l’axe de la décharge.

Température (K)

He

N216’

Ne

Ar

Kr

Xe

300

20,67

2,62

3,4

1,72

1

0,55

Tg (K)

(2700) 82

(5200) 88,7

(2000) 11’5

(2100) 6,45

(1900) 2,5

(1700) 2,27

Lorsqu’il y a contraction, les décharges entretenues par des champs HF p e u v e n i t r e en outre affectées par la filamentation, qui est la séparation d’un filament unique, résultant de la contraction, en plusieurs filaments de plus petit diamètre. La filamentation est reliée à la faible profondeur de pénétration du champ HF dans le plasma (effet de peau). Nous pouvons remarquer sur la figure 4.18 que les colonnes de plasma de krypton et d’argon sont filamentaires sur une partie de leur longueur : cette filamentation disparaît quand l’intensité du champ électrique devient plus homogène, ce qui se produit lorsque ne diminue et v / w augmente (vers la fin de colonne). Définissons le rayon du filament lumineux, que nous allons assimiler au rayon du plasma, comme étant la position radiale r p à laquelle l’intensité maximum du filament a décru de moitié : le degré de contraction peut alors s’entendre comme le rapport R / r , où R est le rayon interne du tube à décharge. La figure 4.19 montre comment r p croît lorsque R augmente. Lorsqu’il y a contraction, au-delà d’une certaine valeur de R , 3 mm dans le cas présent, le rayon du filament n’augmente plus. Au contraire, dans une décharge de N2, non seulement R / r , demeure constant lorsque R augmente, mais la distribution radiale de la lumière émise demeure la même, comme nous pouvons le voir sur la figure 4.20 : manifestement cette décharge n’est pas contractée. La 160 La conductivité thermique de la décharge dans Nz augmente considérablement lorsque la température du gaz est suffisamment élevée pour dissocier Na en azote atomique, N étant plus léger (donc plus mobile) que la molécule Nz.

4.4 - LES PLASMAS H F

235

À HAUTE PRESSION

contraction de la décharge s’accompagne également de changements importants dans la distribution radiale des paramètres du plasma (densité des électrons et température du gaz) [28]. h

E E

v

b

O

1

2

3

4

5

6

R (mm) Figure 4.19 - Variation du rayon du filament lumineux dans une décharge d’onde de surface d’argon en fonction du rayon interne R du tube à décharge, à une même distance z de la fin de la colonne (d’après [ 2 8 ] ) .

Remarques :

< 10 torr) sont relativement homogènes et remplissent entièrement le volume de l’enceinte qui les contient. On les désigne habituellement sous le nom de décharges luminescentes ou de décharges difuses (pour les opposer aux décharges contractées). Dans le cas d’une décharge tubulaire, le volume du plasma, déterminé par sa partie luminescente, occupe la totalité de la section radiale du tube. Ceci est lié au fait que les pertes de particules chargées (les électrons et les ions) se font par diffusion vers la paroi du tube où a lieu leur recombinaison. Dans ces conditions, la distribution radiale des électrons est déterminée par la pression et le rayon du tube à décharge (0 3.13). Par opposition au cas diffus, les électrons dans une décharge contractée sont confinés dans la région du filament de plasma et les pertes de particules chargées ont lieu principalement par recombinaison en volume, comme nous le verrons (0 4.4.2).

1. Les décharges électriques entreknues à pression réduite ( p

2. Le passage du régime diffus au régime contracté, particulièrement facile à observer dans une décharge en courant continu [29], entraîne une forte augmentation de la densité électronique et de la température du gaz alors que la température des électrons diminue. Cependant, le passage de l’état diffus à l’état contracté, plus dense, n’implique pas nécessairement une transition de la décharge vers l’état d’équilibre thermodynamique (3 1.4.3) : Te demeure largement supérieiire à T g .Ces

4

236

-

INTRODUCTION À LA

PHYSIQUE DES DÉCHARGES H F

décharges contractées sont, en fait, dans un état intermédiaire, situé entre l’état très loin de l’équilibre thermodynamique d’une décharge diffuse et l’état d’équilibre thermodynamique d’un arc thermique ou d’une décharge inductive à forte densité de puissance. Ainsi, les propriétés des décharges contractées ne s’apparentent ni à celles des plasmas froids luminescents, ni à celles des arcs thermiques.

+ -c-C-

-O-

R=3mm R=4mm R=5mm R=6mm

z = 25 mm

O, O

O, 2

O, 6

O, 4

O, 8

110

TIR

Figure 4.20 - Profil radial de l’intensité lumineuse émise en fonction de la position radiale normalisbe dans une décharge de Nz pour des tubes de différents rayons (d’après [28]), montrant que cette décharge n’est pas contractée (profil indépendant de R ) .

4.4.2. H Y P O T H ~ SD’ÉTUDE ES DU PHÉNOMÈNE DE CONTRACTION

A

LA PRESSION ATMOSPHÉRIQUE

Le chauffage inhomogène de la décharge dans la direction radiale (résultant d’une conductivité thermique finie du gaz) et l’effet de peau (croissant avec la densité électronique et la fr6quence d’excitation : 5 4.2.2, remarque) sont à la base respectivement de la contr,action et de la filamentation des décharges et, de ce fait, de la limitation de l’épaisseur (rayon) du plasma. La contraction est d’autant plus marquée, comme nous l’avons indiqué, que la conductivité thermique du gaz de la décharge est faible. Parce que le transport de chaleur se trouve réduit dan:; ces conditions, notamment radialement, un gradient radial de température du gaz, T,, apparaît : le chaufluge de la décharge est dit radialement inhomogène. Pour que la contraction se manifeste, il faut, d’une part, qu’il existe un gradient de T,, et, d’autre part, que les cinétiques de perte et de création des particules chargées soient entièrement contrôlées par les ions moléculaires. Nous développons maintenant ces deux points.

4.4

-

LES PLASMAS H F

237

À HAUTE PRESSION

CHAUFFAGE INHOMOGËNE

DU G A Z

La figure 4.21 montre la variation radiale de T, telle qu’obtenue expérimentalement par spectroscopie optique d’émission161 dans une décharge de néon, d’hélium et d’azote. Nous observons que le gradient de la température du gaz est relativement fort dans le néon (décharge contractée), alors que celui-ci est plutôt faible dans la décharge d’azote (non contractée). Toutefois, bien que la décharge d’hélium ne soit pas contractée (voir figure 4.18)’ Tg présente un fort gradient dans ce gaz. Pour comprendre l’influence du gradient de T, sur la contraction, il nous faut examiner l’influence de la cinétique des ions moléculaires sur le bilan des particules chargées. Ainsi, les résultats de la figure 4.21 montrent que le chauffage inhomogène du gaz constitue une condition nécessaire mais non suffisante pour observer la contraction. 5600 5200 4800 2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 0, 0

O, 2

0,6

0, 4

0, 8

L O

TIR

Figure 4.21 - Distribution radiale de la température Tg du gaz observée dans une décharge de néon, d’hélium et d’azote à 2450 MHz dans un tube de rayon R = 3 mm (d’après [28]).

161 A partir d’une bande ro-vibrationnelle de la molécule OH (de la vapeur d’eau ayant été introduite, à l’état de traces, dans la décharge), on peut, à l’aide d’un diagramme de BOLTZMANN (annexe III) des intensités des raies, déterminer une température dite de rotation (Trot).Dans une décharge à la pression atmosphérique de densité électronique suffisamment élevée, l’énergie rovibrationilelle de la molécule thermométrique (OH) est en équilibrc avcc l’énergie de translation du gaz plasmagéne d’où Trot = T,.

238

4

-

INTRODUCTION À LA

R Ô L E DES IONS MOLECULAIRES DANS LA

ET DE PERTE DE PARTICULES

PHYSIQUE DES DÉCHARGES H F

CINETIQUE

DE

CREATION

CHARGEES

Dans ce qui suit, nous présentons, en premier lieu, le cycle de production et de disparition des ions mol’éculaires, déjà abordé en § 1.8. Nous verrons le rôle joué par les ions atomiques dans ce cycle. Par la suite, nous examinerons, dans des décharges de gaz rares à la pression atmosphérique, dans quel intervalle de ne et de Tg les ions moléculaires dominent la cinétique création-perte des particules chargées. Cycle de création let de perte des ions moléculaires à fortes pressions de gaz

1. Création des ions moléculaires Le processus le plus efficace de formation des ions moléculaires à la pression atmosphérique résulte de la conversion des ions atomiques A+ selon la réaction :

A++A+A+A;+A

(4.32)

où le troisième corps sert à absorber, sous forme d’énergie cinétique, l’excédent d’énergie produit lors de la formation de l’ion moléculaire A;. L’ion atomique intervenant dans ce processus peut avoir été créé soit par ionisation directe de l’atome dans son état fondamental, noté A :

Ai-e

+A++e+e,

(4.33)

processus généralement faible dans un plasma à haute pression, soit plutôt par ionisation par étapes à partir d’un etat excité A* de l’atome qui subit ultérieurement une collision électronique menant à l’ionisation suivant :

A* + e

+ A’

+e +e.

(4.34)

Cet état-relais A* peut, quant à lui, résulter soit d’une excitation par collision électronique de l’atome à partir du fondamental : (4.35)

soit de la recombinaison dissociative de l’ion moléculaire suivant la réaction :

Al+e+A+A*,

(4.36)

A* étant généralement un état métastable. Dans ce dernier cas, la densité des atomes dans l’état métastable ainsi obtenue peut être, selon la nature du gaz, beaucoup plus grande que celle des atomes excités à partir de l’état fondamental de l’atome. En résumé, les éléments dominants du cycle de création des ions moléculaires que nous venons de décrire sont les suivants : des atomes dans un état métastable (provenant notamment de la recombinaison dissociative des ions moléculaires (4.36)) servent d’états-relais dans la formation subséquente par collision électronique d’un ion atomique (4.34) qui, aussitôt, par interaction à trois corps avec deux atomes, conduit à la création d’un ion moléculaire (4.32).

4.4

-

LES PLASMAS HF

239

À H A U T E PRESSION

2. Perte des ions moléculaires

A la pression atmosphérique, le processus de conversion décrit par (4.32) des ions atomiques est si efficace que ceux-ci sont presque tous transformés en ions moléculaires. Cependant, lorsque la température du gaz est suffisamment élevée, la densité des ions moléculaires décroît du fait de leur dissociation par impact atomique (dissociation thermique) suivant la réaction :

A,’ + A

+ A+ + A

+A.

(4.37)

Cette réaction est l’inverse de celle conduisant à la conversion des ions atomiques en ions moléculaires (4.32). Rappelons (4.36) que les ions moléculaires disparaissent aussi par recombinaison dissociative. Enfin, les ions moléculaires peuvent aussi être détruits par impact électronique suivant la réaction :

Ai +e

+ A+ + A

+e.

(4.38)

La prédominance d’un processus de perte des ions moléculaires dépend notamment de la température du gaz Tg (voir plus loin figure 4.22). Nécessité d’une variation importante de ne en Tg dans l’apparition du phénomène de contraction. Rôle clé des ions moléculaires

A la pression atmosphérique, la densité électronique dépend à la fois des processus déterminés par la température électronique Te et de ceux déterminés par la température du gaz Tg : la figure 4.22 montre bien que, même pour une température électronique constante (10500 K), la densité électronique B , peut varier fortement en fonction de la température du gaz Tg. Cette variation non linéaire de R , en fonction de Tg est due à l’influence de Tg sur la cinétique des ions moléculaires du fait de leur dissociation thermique. Elle se manifeste dans le cas de l’argon dans l’intervalle 1500 5 Tg 5 2500 K (figure 4.22), lorsque la dissociation par impact atomique (4.37) des ions moléculaires devient aussi iniportante que celle de leur disparition par recombinaison dissociative (4.36). La dissociation par impact électronique (4.38) devient également importante à cause de l’augmentation de la densité électronique. Ainsi, toujours pour 1500 5 Tg 5 2500 K , la dissociation des ions moléculaires par impacts atomique et électronique domine le processus de recombinaison dissociative. Toutefois, seule la recombinaison dissociative mène à une perte nette de particules chargées, d’où la forte augmentation de la densité électronique observée dans cet intervalle de température. Pour une température Tg inférieure à 1500 K , la dissociation thermique des ions moléciilaires étant négligeable, les ions atomiques créés à partir des réactions (4.33) et (4.34) sont très rapidement convertis en ions moléculaires (4.32). Ainsi, la densité des ions atomiques devient négligeable et les pertes de particules chargées se réalisent exclusivement par reconibinaison dissociative. Pour des températures élevées, supérieures à 2500 K , la dissociation thermique des ions moléculaires étant très forte, il s’ensuit que la densité de ces ions, relativement

240

4

-

INTRODUCTION À LA

PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

à celles des électrons et des ions atomiques, est de ce fait négligeable. Les pertes de particules chargées restent toutefois dominées par la recombinaison dissociative, mais la recombinaison à trois corps n’est plus négligeable (forte densité électronique). Notons que la densité électronique dans cet intervalle de Tg n’augmente que très faiblement avec Tg.

5’00

1000

1500

2000

2500

3000

Ts7 (KI

Figure 4.22 -- Densité des électrons, n e , densité des ions atomiques Ar+ et moléculaires Ara calculées en fonction de la température Tg du gaz dans l’argon à la pression atmosphérique [30].

4.4.3.VALIDATION PAR

U N MODÈLE AUTO-COHÉRENT DES HYPOTHÈSES ÉMISES S U R LA CONTRACTION À L A PRE~SSION ATMOSPHÉRIQUE

A partir d’un modèle auto-cohérent, présenté dans [30], appliqué à des gaz différents (He, Ne, Ar), nous avons obtenu les variations radiales des paramètres ( n e ,T,, T e ) du plasma. Les résultats de modélisation montrent (voir figure 4.23) l’existence d’un chauffage inhomogène du gaz dans les trois gaz étudiés. Cependant, seules les décharges dans l’argon et le néon manifestent une contraction radiale, ceci en accord avec les observations expérimentales. Ces résultats de modélisation nous ont également permis de comparer les fréquences des réactions de création (ionisation directe vid (4.33)’ ionisation par étapes viel,si l’état-relais est peuplé à partir du niveau fondamental (4.35) et ionisation par étapes viea, si l’état-relais est peuplé par la recombinaison dissociative (4.36)) avec celles des pertes de particules chargées (diffusion ambipolaire ug (§ 3.1.2)’ recombinaison dissociative uTm (4.36) et recombinaison à trois corps v,, (1.142) des particules chargées (voir figure 4.24)). L’analyse de ces processus dans le plasma montre que la contraction se manifeste à la pression atmosphérique pour des gaz dans lesquels les cinétiques de création et de perte des particules chargées sont complètement contrôlées par les ions moléculaires. La figure 4.24

4.4

-

LES PLASMAS HF

241

À HAUTE PRESSION

montre bien que dans l’argon et le néon la fréquence d’ionisation par étapes uie2 (ce processus implique les ions moléculaires) et la fréquence de la recombinaison dissociative u,, sont prépondérantes. Dans l’hélium, la cinétique des ions moléculaires n’est pas aussi importante que dans l’Ar et le Ne. Ainsi, ni la création ni les pertes de particules chargées ne sont contrôlées par la cinétique des ions moléculaires dans l’hélium. Par conséquent, il n’y a pas de dépendance non linéaire de ne en Tg, et l’existence d’un gradient de Tgn’induit pas de contraction de la décharge dans He (figure 4.23 b). En réalité, ce gradient de la température du gaz indique qu’une forte densité de puissance se trouve absorbée par la décharge He à la pression atmosphérique.

t R=Smm f = 915 MHz - z ==110 0 ccm m I

I

0,O

I

0,5

I

I

I

1,0

Ar

”‘...... .I..

I

I

I

1 ’ 5 2,O

I

I

2,5

I

1

\

I

3,0

0,O

0,5

r (mm)

1’0

1,5

2,0 2,5

3,O

r (mm)

Figure 4.23

- Profils radiaux a) de la température du gaz et b) de la densité électronique dans des décharges HF d’hélium, de néon et d’argon à la pression atmosphérique.

lo6 n

io5

I

E

io4

6

103

6

lo2

s A

lo1 in

He

20’18

39’9

Ne

Ar

lu

O

4,O

20,18

39,9

He

Ne

Ar

Figure 4.24 - Fréquences calculées a) des réactions de création (ionisation directe vid (4.33), ionisation par étapes viel,si l’état-relais est peuplé à partir du niveau fondamental (4.35)’ et ionisation par étapes v;,~,si l’état-relais est peuplé par recombinaison dissociative (4.36)) ; b) des pertes de particules chargées (diffusion ambipolaire v~ ( 5 3.12), recombinaison dissociative v,, (4.36) et recombinaison à trois corps vTa (1.142)).

4

242

-

INTRODUCTION À LA

PHYSIQUE DES DÉCHARGES

HF

Accord expérience--théorie

La figure 4.25 compare expérience et théorie dans le cas d’une décharge de néon à la pression atmosphérique. Nous remarquons, en premier lieu, le très bon lissage du profil expérimental de ne suivant exp(-(r/rP)’). Le profil théorique obtenu par un modèle numérique, également pour le néon, fait appel à un modèle auto-cohérent du plasma, semblable à celui développé pour la décharge d’argon [30]. La courbe théorique présentée etit celle obtenue pour T,(r = R ) = 1200 K, à la même position axiale z par rapport à, la fin de colonne que dans le cas expérimental. 10 R=3mm f = 915 MHz z = 5 , 3 cm Néon

8

,--. 6 E

m I

m i

O 4

v

4

r“ 2

O 0,o

0,5

l,o

1,5

2,o

2,5

3,o

(mm)

Figure 4.25 -- Distribution radiale de la densité électronique obtenue ( O ) expérimentalement à partir de l’élargissement STARKde la raie Ho, par lissage par exp(-(r/rp)2) (-), et par calcul ( . . . ) .

En résumé, nous avons vu que la contraction se manifeste par un profil radial de ne qui décroît exponentiellement en allant vers la paroi. Cette décroissance rapide de ne résulte d’une forte décroissance de Tg ; elle a lieu lorsque la cinétique création-perte des particules chargées est dominée par les ions moléculaires. Par contre, lorsque T, est suffisamment élevee pour que les ions atomiques gouvernent cette cinétique, alors ne ne varie presque plus en fonction de Tg (figure 4.22), et il ne peut donc y avoir contraction. C’est effectivement ce que l’on observe dans les décharges à très fortes densités électroniques (ne> 1015 cmp3) comme, par exemple, les décharges inductives (figure 4.4) à la pression atmosphérique. Les calculs montrent. en outre, que la pente à variation rapide de ne en fonction de T, (figure 4.22, cas de l’argon) est moins prononcée dans la décharge de néon, mais très abrupte daris celle du xénon : expPrimentalement, la décharge d’argon est effectivement plus contractée que celle du néon mais moins que celle du xénon. Le bon accord expérience-théorie confirme les hypothèses présentées sur l’origine de la contraction des décharges à la pression atmosphérique.

EXERCICES DU

CHAPITRE 1

EXERCICE 1.1 a) Etablir la distribution verticale, à l’équilibre, de la densité et des vitesses des particules neutres de masse M dans l’atmosphère terrestre sous l’effet de la force gravitationnelle. On prendra l’origine de la coordonnée verticale z à la surface de la terre où la densité de particules est Ro. On supposera que la distribution en vitesse des particules est de type MAXWELL-BOLTZMANN et, en première approximation, que la température T des particules et la constante gravit,ationnelle g ne varient pas verticalement. b) Calculer les vitesses moyennes (w), (w) et l’énergie cinétique moyenne en fonction de la position z . On consultera avec profit l’annexe I et la table des formules et intégrales utiles (voir annexe XIX).

SOLUTION a) Le système est soumis à une force conservative (8’= -Va)puisque la force gravitationnelle F = -Mg dérive d’un potentiel, en l’occurrence @ ( z ) = M g z . La

fonction de distribution en vitesse des particules étant, par hypothèse, de type MAXWELL-BOLTZMANN, d’où dans le cas d’un tel système (1.14) :

représente une distribution isotrope en vitesse (remarque 2 ci-après). Nous pouvons manifestement écrire : f k ’w)= .(.)f(.l) (3) et la distribution verticale de densité de particules est alors donnée par :

n ( z ) = Roexp

(

2;).

--

(4)

EXERCICES

244

Remarques :

1. Comme nous pouvons écrire f ( z , w) = n(z)f(w), la fonction f ( z , w) est dite séparable ( 5 3 . 3 ) . 2 O, nous permet en effet de supposer qu'il n'y 2. Le fait que, par hypothèse a pas de fuite si,e;nificativede particules ou d'énergie dans une direction donnée et donc que la distribution des vitesses est isotrope.

b) De façon générale (3 3.3 pour plus de détails), la valeur moyenne d'une variable A ( r , w ) prise sur la fonction de distribution f ( r ,w ) s'écrit :

7

A ( r , w ) f ( r , w ) d3W

( 4 r ,w ) ) =

-00

7

(5)

f ( r , w ) d3w

-03

Comme la fonctioin f ( r , w ) est ici séparable et isotrope, et compte tenu de (1), l'expression ( 5 ) devient suivant z : 00

J ~ ( zw,) f ( w ) d3W ( A ( z ,w)) = n(z)-"

00

n(z)

J' f ( w ) d3w

= r A ( z , w)f(w)d3w

(6)

-Oo

-03

puisque, on peut le vérifier, la fonction f ( w ) est normalisée à l'unité. En effet :

Finalement de (6), (w), la vitesse scalaire moyenne a pour expression et valeur :

et ne dépend donc pas de z . Pour ce qui est de la moyenne du vecteur vitesse, ( w ) , calculons sa composante, par exemple, suivant 2 :

intégrant impair

EXERCICES DU

CHAPITRE

1

245

L’intégrant sur w, étant impair, la valeur de son intégrale de et (w,)= O .

-00

à

+00

est nulle

I1 en est de même pour les composantes des vitesses suivant g et z , ce qui fait que

(w) = O. Enfin, la valeur moyenne de ( w 2 )ayant pour expression et valeur :

l’énergie cinétique moyenne est donnée par :

Remarque : Comme il n’y a pas de puits ni de source de particules, il ne peut y avoir un mouvement net de particules dans une direction donnée, d’où (w,)= O, entre autres. Avant l’état stationnaire, quand on “applique” la force gravitationnelle, il y a évidemment un flux de particules pour établir le gradient de densité suivant z .

EXERCICE 1.2 a) Le flux aléatoire de particules se définit comme la valeur moyenne du flux traversant une surface dans un seul sens (vers les z positifs, par exemple), soit :

rz = (nw,).

(1)

Calculer ce flux pour des particules de masse rn et de densité n, supposées à l’équilibre thermodynamique à la température T . Effectuer le calcul en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées sphériques. b) Calculer le flux aléatoire d’énergie correspondant. Effectuer le calcul en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées sphériques.

SOLUTION a) Dans le cas où la fonction de distribution des vitesses est maxwellienne et isotrope (conditions nécessaires pour qu’il y ait équilibre thermodynamique) , le flux aléatoire de particules s’écrit , en coordonnées cartésiennes (se rappeler, dans ce contexte, que n est indépendant de la position) :

x

sexp -00

(-g) dw,

,

EXERCICES

246

soit :

r,

-

-

(3)

4

En exprimant les vitesses en coordonnées sphériques où w, = wcos0 et d3w = w2dw sin8 d6’ dp, !le flux aléatoire de particules s’écrit : 3

5

2K

r, = n ( -2-1~r)k‘~J T’ d p J ’ ü i n û c o s û d û 0

0

cc

J’w’exp

(--)2 k ~ T mw2

dw

,

(4)

O

soit

(5)

La valeur de î z est évidemment indépendante du système de coordonnées dans lequel les vitesses sont exprimées. Remarque : Si n est la densité des particules, seule la moitié de cette densité va contribuer au flux aléatoire dans une direction donnée ! On devrait donc écrire le flux aléatoire sous la forme :

d’où il ressort, conipte tenu de ( 3 ) ou ( 5 ) ,

Cet exemple illustre la difficulté à séparer les différentes contributions d’une grandeur moyenne lorsque les propriétés moléculaires considérées sont elles-mêmes le produit ou le quotient de plusieurs grandeurs.

b) Le flux aléatoire d’énergie s’écrit en coordonnées cartésiennes :

R = ( nmw,w2

),

EXERCICES DU

CHAPITRE

soit, en décomposant

00

+ J’

247

1

:

00

exp

Co

(-d) 2 k ~ T dw, J’ wiexp (-f-ri) 2 k ~ T dwgJ’w,exp (-d) 2 k s T dw,

-00

-00

O

En coordorinées sphériques, le flux aléatoire d’énergie s’écrit :

soit

Encore une fois, nous vérifions que la valeur de r, est bien indépendante du système de coordonnées utilisé pour exprimer les vitesses. Remarques :

1. P, a les dimensions d’un flux d’énergie, ou encore, d’une densité de puissancc (Wm-2).

2. Nous savons que l’énergie cinétique moyenne des particules est donnée par ? k g S . Or, le flux aléatoire d’énergie fait intervenir le facteur 2 k ~ Tet non # k B T . Cette différence est due au plus grand poids des vitesses apparaissant dans le calcul du flux aléatoire d’énergie (en w 3d3w) que dans celui de l’énergie cinétique moyenne (en w2 d3w).

EXERCICES

248

EXERCICE 1.3 Considérer un plasma d’hélium dont la densité des noyaux est de lo2’ mP3. Calculer la densité des atomes neutres, des électrons, des atomes ionisés une fois et des atomes doublement ionisés lorsque la température du plasma est de : a) Tev = 1 eV, b) Tev = 10 eV, en posant l’hypothèse de l’équilibre thermodynamique. Par rapport à l’état fondamental de l’atome neutre, l’énergie-seuil d’ionisation de l’hélium est de 24,59 eV pour la première ionisation et de 54’4 eV pour la seconde. Effectuer le calcul de façon analytique et non sur ordinateur.

SOLUTION Les équations de conservation des noyaux162et de la charge s’écrivent successivement :

où N , no, nli, n2i et ne désignent respectivement la densité des noyaux, des neutres, des atomes d’hélium ionisés une fois et des atomes d’hélium ionisés deux fois et des électrons.

L’hypothèse de l’équilibre thermodynamique nous permet d’appliquer la loi de SAHA (voir 0 1.4.2) :

La relation (3) nous mène, en fait, à deux équations, à savoir l’équilibre de première et celui de deuxième ionisation de l’hélium. Nous disposons donc de quatre équations pour résoudre ce problème à quatre inconnues. La dégénérescence quantique gi[Z] (poids statistique) des trois états électroniques de l’hélium, donnée par 2 5 1, est indiquée dans le tableau ci-dessous ( L est le moment orbital total et S le spin total; J , le moment angulaire total, est le module de la somme vectorielle (au sens quantique) de L S).

+

+

He

L

S

J

O

0

0

gi=2J+I 1

162 La conservation des noyaux indique comment les atomes d’hélium à O K se répartissent en atomes neutres et ionisés lorscque soumis à une température T # O.

EXERCICES DU

1

CHAPITRE

249

a) Cas Tev = 1 eV Bien qu’un calcul analytique exact soit possible (voir b)), nous allons procéder par approximation successive (méthode itérative) pour résoudre ce premier cas de l’exercice. Dans une première itération, nous allons négliger le nombre d’atomes ionisés deux fois par rapport à celui des atomes ionisés une fois. Ceci peut se justifier par l’écart important entre l’énergie d’agitation thermique des particules (1 eV) et l’énergie de deuxième ionisation de l’hélium (54’4 eV). En conséquence, les équations de conservation de la charge (2) et des noyaux (1) se réduisent à :

Ecrivons l’équation de SAHArelative à l’équilibre de première ionisation par rapport à l’état neutre et celle de l’équilibre de deuxième ionisation par rapport à l’état de première ionisation pour l’hélium avec Tev = 1 eV : nenii n0

2x2 1

-x 3’02 x loz7 x e-24,5 = 2’76 x 1017 m-3 = Al

,

En utilisant les équations (4)’ (5) et (6)’ nous aboutissons à une équation du second degré en n1i : n;i Alnii - NA1 = O (8)

+

n i i = - - *Al d($) 2

où :

Seul le cas

n1i

> O a un

2

+NAI.

(9)

sens physique, en l’occurrence nli = 5’12 x 10” mP3.

Connaissant nli, nous pouvons en déduire ne et no à l’aide des relations (4) et (5) : ne = 5’12 x lo1’ mp3 et no = 9’49 x 1019 mP3. Calculant, en deuxième itération, 3’12 x 1014 mP3.

n2i

avec l’équation (7)’ nous obtenons

n2i 2

b) Cas T,v = 10 eV Ecrivons l’équation de SAHArelative à l’équilibre de première ionisation par rapport à l’état neutre et celle de l’équilibre de deuxième ionisation par rapport à l’état de première ionisation pour l’hélium dans le cas où T,v = 10 elJ : nenii n0

~

2x2 x 9’55 x lo2’ x eë2,45= 3’29 x lo2* m-3 = B1 , 1

EXERCICES

250

Les équations (2) et (1) peuvent être mises sous la forme :

En introduisant leLi expressions de

nli

et n2i dans (10) et (il),nous trouvons :

d'où :

et

d'où Nous pouvons éliminer no en égalant les relations (15) et (17), ce qui fournit une équation du troisième degré en ne :

n,t + (BI)n:

+ [B1(B2- N ) ] n ,

-

2BiB2N = O .

(18)

En ne gardant que la racine positive et réelle de cette équation, nous obtenons ne 2 2,OO x lo2' La densité des neutres se déduit alors de la relation (15) ou (17) : no Y 2,53 x l o 4 m-3. En utilisant les équations (12) et (13), nous trouvons finalement : nli 2 4,17 x 10l2 mP3 et n2i ? 1,OO x lo2' mP3, où lzli << n2i.

EXERCICE 1.4 Déterminer la densité électronique dans un four rempli de vapeur de sodium à 2000 K. La densité des noyaux de sodium est de 10l8 mp3. Données : énergie-seuil de première ionisation du sodium : &il = 5,14 eV, énergie-seuil de deuxieme ionisation du sodium : &Q =47,29 eV, énergie-seuil de troisikme ionisation du sodium : &is =71,65 eV, poids statistiques : g(Na) = 2, g(Na+) 1, g(Naf+) = 4. =y

SOLUTION Nous allons supposer que le système est en équilibre thermodynamique afin de pouvoir utiliser la loi de SAHA.(9 1.4.2), en l'occurrence :

EXERCICES DU

CHAPITRE

251

1

où no est la densité des atomes neutres (dans l’état fondamental), n, est la densité des ions ionisés une fois (dans l’état fondamental) et n e ,la densité des électrons; B ( S ) est la fonction de partition (annexe 11) définie par :

où la somme porte sur les différents états excités de l’atome neutre (IC = O est l’état fondamental). et : (3) oii la somme porte sur les différents états excités de l’ion (une fois ionisé ; j = O est l’état fondamental de l’ion) ; g k , gj représentent les dégénérescences des niveaux ; E k , &j sont les énergies-seuil des niveaux excités, mesurées respectivement , par rapport à l’état fondamental de l’atome et par rapport à l’état fondamental de l’ion ; E i daris (1) est l’énergie-seuil d’ionisation mesurée à partir du fondamental de l’atome neutre. I1 cçt facile de voir que lorsque l c ~ Test faible devant € j et E h , les fonctions de partition se réduisent, respectivement, à (annexe II) B ( T )E go et B ’ ( T )2 g i . Dans le cas d’un atome à plus d’un électron, le degré de seconde ionisation sera lié à celui de la premiere ionisation par une seconde équation de SANA:

où

rt,Zi

est la densité des ions ionisés deux fois.

I1 est clair que, dans le cas présent, la température des particules étant de 2000 K (soit en eV 2000/11600 2 0’17 eV) et l’énergie-seuil de première ionisation se situant à 5,14 eV, le gaz wra fort peu ionisé et on pourra poser que n2i O (en effet, la valeur de cxp(-5,14/0,17) de (1) relat>ivement,à exp[-(47,29 - 5,14)/0,17] de (4) revient à comparer 1’13 x et un nombre < 10W1O0 !). Finalement, puisque ne Y ni, la loi de SAHA(1) se réduit à :

ni - (27rrn,SBT)i 1 5’14 2 - cxp -TLO h3 2 0’17

-

(5)

avec l’équation supplénientaire de conservation des noyaux qui, daris le cadre de l’approximation ns, 2 O, s’écrit :

no + n,

no + ne = N

(6)

où N est la densité des noyaux de sodium. Alors de (5) et (6)’ en revenant aux energies exprimées en joule :

x exp

[

-

5 , ~i , x~10-19 x 2000 1’38 x

1

’

(7)

EXERCICES

252

n: = ( N - n,)A

soit encore :

(8)

où nous avons posé : 6,28 x 10-74 A=(1’13 x 2’90 x 10-lo2

= 2,4 x 1013 (mP3) .

Nous devons donc résoudre une équation quadratique de la forme :

ne + A n , - N A = O d’où :

12,

=

- A & d A 2 + 4NA = 4’9 2

Le degré d’ionisation (équation (1.2)),

&,

(9) 1015~-3

.

est sans contredit faible : 0’5 %

EXERCICE 1.5 a) Soit un plasma présentant à un instant donné (configuration à une dimension, voir figure) une densité électronique ne qui soit de 1 9% plus élevée que la densité 72% des ions du plasma dans la tranche de plasma de x = -e/2 à x = + l / 2 . Etablir les expressions E(.c) du champ électrique et V(x) du potentiel dans la région de non-neutralité. On supposera ~

que le champ E est nul dans le plasma (parce qu’uniforme et macroscopiquement neutre) ;

-que le potentiel en x = - l / 2 et x = + l / 2 est égal au potentiel plasma pris comme origine des potentiels (V(-e/2) = V(+e/2) = O). Préciser la direction du champ de charge d’espace. Evaluer l’intensité du champ électrique aux frontières de la région de non-neutralité en x = -e/2 et x = + l / 2 pour ni = 1016 mP3 et pour une séparation de charges de e = 2 cm. Effectuer l’analyse dimensionnelle de cette relation. Calculer ensuite le potentiel en 5 =I O.

Représentation à une dimension d’une lisière de non-neutralité de largeur e dans un plasma

EXERCICES DU

CHAPITRE

253

1

Quelle est l’énergie (en eV) nécessaire à un électron, incident en x = - e / 2 (depuis II: < - e / 2 ) , pour vaincre la barrière de potentiel (imposée par le champ de nonneutralité) et traverser cette zone de non-neutralité pour arriver en x = +el2 ? En utilisant les relations qui précèdent, déterminer une expression donnant la distance maximale sur laquelle un électron doté de l’énergie thermique moyenne ( k B T / 2 a une dimension) peut s’écarter, du fait de son mouvement thermique, de sa position de neutralité dans un milieu demeurant macroscopiquement neutre. Supposer les ions immobiles. Evaluer cette distance pour k B T / e = 1 eV et n,, = i O 1 6 mp3. Sachant que l’énergie potentielle électrostatique d’un ensemble de charges dans un volume V vaut : 1 W E= - E O E2 dV , (1) 2

J’

V

établir l’expression donnant l’énergie électrostatique (ou énergie potentielle) associée à la présence des charges dans la zone s’étendant de x = -el2 à x = +e/2. Evaluer cette énergie pour les conditions indiquées en a).

SOLUTION a) Ce type de problème se traite avec l’équation (auto-cohérente) de POISSON V . E= étant la permittivité P / E O où la densité de charges p est la source du champ E , du vide. Dans le cas où la non-neutralité des charges est suivant une seule dimension x, comme le suggère la figure de l’énoncé, nous avons, de l’équation de POISSON :

Le potentiel, défini par E

- V d , s’écrit à une dimension “ = -E(x)

ax

et : soit, compte tenu de (4)

I d 4=

1

-E dx

:

EXERCICES

254 Pour raison de symétrie, ~ ( I I : = ) ~ ( - I I : ) , et donc Cl = O, soit :

P E ( z ) = -a:

(9)

€0

pour - ! / 2 5 expression :

II:

5 !/2. D’autre part, comme 4(-!/2)

= 4(!/2)

= O, Cz a pour

soit : Les évolutions du champ électrique et du potentiel ~ ( I I : )sont tracées en fonction de a: pour p < O. On observe une discontinuité de l’intensité du champ électrique E ( z ) et de la dérivée d 4 ( z ) / d z du potentiel en II: = & t / 2 due à la discontinuité de la charge d’espace.

+f

...............

;

&

+

X

eo 2E0

Pour p < O, selon (9), le champ électrique de charge d’espace est positif (orienté vers la droite, § 2.2.1) pour les valeurs négatives de II: telles que -!/a < II: < O

EXERCICES DU

CHAPITRE

1

255

et il est négatif (orienté vers la gauche) pour les valeurs positives de x telles que O < x < +l/2. Noter que la direction du chanip électrique tend à attirer les ions dans la zone de charge d’espace et à en expulser les électrons. En conséquence, la non-neutralité ne va pas durer longtemps, au plus un temps de l’ordre de w;:.

=

Dans le cas présent, p (ni - n,)e = (&)e. Ainsi de (9)’ l’intensité du champ électrique qui apparaît localement est :

où ]An1est, par hypothèse, 0’01 ni.

Effectuons l’analyse dimensionnelle en même temps que nous poursuivons l’appli= 8’85 x cation numérique, x = !/2 = 10V2 m, An = l O I 4 mP3, F/m, e = 1,6 x 1O-l’ C où le coulomb C est lié, comme unité, au farad F par la relation C = FV. De l’équation ( l a ) , en x = l / 2 :

E=

1014 i , 6 x 10-19 10-2 Cm FV = v = 18 kV/m -8,85 x 10-l2 m3(F/m) mF m

,

(13)

les unités V/m étant bien celles d’un champ électrique. De la même manière, le potentiel en x = O vaut, d’après (11) :

soit 4 ( 0 ) = -90 V. Pour qu’un électron venant de x < -t/2 traverse la zone de charge d’espace, il faut que son énergie cinétique initiale U dans la direction x soit supérieure à l’énergie nécessaire pour franchir la barrière de potentiel due à la charge d’espace, soit :

U = e#(O) = -90 eV .

(15)

La distance maximale z sur laquelle un électron doté de l’énergie thermique moyenne peut, du fait de cette énergie thermique, s’écarter de sa position de neutralité dans un milieu macroscopiquement neutre est, nous allons le montrer, la longueur de DEBYE( 5 1.6). Cette distance maximale est fixée par l’égalité entre l’énergie thermique de cet électron “moyen”, et l’énergie potentielle liée au champ de charge d’espace produite par l’écart de l’électron par rapport à sa position de neutralité, soit : 1 5k~T = IU( . (16) Or, le t,ravail élémentaire effectué par le champ E sur un électron est donné par l’expression (§ 2.1) : dU = F dx = -1Ele dx , (17)

EXERCICES

256

En supposant les ions immobiles163,seuls les électrons se déplaçant dans le champ de charge d’espacle, on obtient d’après (18) :

soit avec (16) : et finalement : qui est en effet l’expression de AD, (1.38). Application : pour T,v = 1 eV et ne = 10l6 m-3, on trouverait AD, = 74 pm.

d) Si nous exprimons le volume élémentaire comme étant dV = S dz où S est une surface, de l’expression générale de l’énergie potentielle électrostatique : 1 2

W E= -EO

JE^

dV

,

V

nous obtenons : -e/2

Nous pouvons en tirer la densité d’énergie électrostatique par unité de surface

Pour les conditions indiquées en a ) , nous trouvons numériquement : WE

- = 9,6 x lop6 JmP2 .

S

EXERCICE 1.6

...-..--.--.--.---.-. *

‘O

X

Considérer deux plaques parallèles et conductrices s’étendant à l’infini en y et z , et placées en zfd ; leur potentiel 4 est nul par hypothèse. L’espace entre les plaques est occupé par un gaz de particules chargées

163 DELCROIX et BERS(15 1.4.1), pour leur part, supposent l’absence complète d’ions.

EXERCICES DU CHAPITRE 1

257

a) Montrer que la distribution de potentiel entre les plaques est décrite par :

qqx) = -nq (d

2

2CO

- x 2) .

b) Dans l’hypothèse où la distance d est supérieure à la longueur de DEBYEAD, montrer que l’énergie E qu’il faut fournir à une particule pour l’amener d’une plaque jusqu’à la mi-distance entre les plaques est supérieure à l’énergie moyenne des particules (on supposera que les particules obéissent à une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN des vitesses). L’hypothèse d’une particule dotée d’une telle énergie est-elle acceptable ? c) Calculer la longueur de DEBYEdans le cas d’une décharge électrique quelconque dont la densité de plasma est de 10l6 mP3 et la température de 2 eV.

SOLUTION a) L’équation de POISSON V . E = $ et la relation E = -VI#Jpermettent de faire apparaître le potentiel sous la forme :

et, dans le cas présent, comme il n’y a qu’un seul type de particules chargées, p = nq ; nous devons donc résoudre : n9

.-

EO

Dans la configuration présente (à une seule dimension), une première intégration donne :

La position x = O constitue l’axe de symétrie du système de sorte que : V 4 ( x = O) = O

’

d’où Ci = O. Une seconde intégration conduit à :

$(2) =

nq -(d

2

- x 2) .

2CO

où, rappelons-le, par hypothèse n ne dépend pas de la position.

(29)

EXERCICES

258

b) La différence de potentiel entre l’axe et l’une des plaques est, d’après (31)

et l’énergie E communiquée à la particule se rendant de x = d à x = 0 s’obtient en multipliant cette différence de potentiel par q :

&=-

nq”d2 260

(33)

Dans l’hypothèse où d > AD (puisqu’il n’y a qu’un seul type de charges pour la distance d ) , nous constatons bien que :

c’est-à-dire que l’hergie électrostatique est plus grande que l’énergie moyenne des particules (dans une géométrie à une dimension). Quelle est la probabilité de trouver une particule d’une énergie E aussi grande (sens physique de la situation proposée) ? Qu’une particule ait assez d’énergie pour se déplacer de x = &d à x = 0 est d’autant moins probable que d est grand devant AD. En effet, ceci signifie que l’on trouverait dans le présent milieu des particules ayant une énergie potentielle très supérieure à S k s T . Or, le nombre de particules ayant une énergie supérieure à l’énergie moyenne diminue de façon exponentielle dans le cas d’une distribution des vitesses de MAXWELL-BOLTZMANN. L’hypothèse proposée apparaît donc irréaliste. c) Nous avons la relabtion numérique

(3

1.6) :

(F)’ 1

AD = 740

où AD est en cm et n en cmP3. Dans le cas présent, n = 10” d’où :

(1.52)

et T,v = 2 eV,

1

AD = 740 ) $j(

= 740J2

cm

2

1’05. lop2 cm = 105 pm .

EXERCICE 1.7 a) Dans un plasma, les particules chargées se déplacent de façon aléatoire du fait de leur énergie thermique. Une des conditions d’existence d’un plasma est que l’énergie d’agitation thermique des particules chargées (caractérisée ici par une température Te = Ti = T ) soit plus grande que l’énergie d’attraction coulombienne moyenne (caractérisée par la distance moyenne entre ions (2= 1) et électrons) s’exerçant entre ions et électrons.

EXERCICES DU

CHAPITRE

1

259

Montrer que cette hypothèse conduit à la relation :

n,A& >> I

,

(1)

inégalité qui exprime la condition de neutralité du plasma ( n e ,densité des électrons, AD, longueur de DEBYE).

N.B. La distance moyenne d entre un électron et un ion peut se déduire de la relation triviale ($7rd3)ne = 1. b) Transformer l’équation d’équilibre d’ionisation (loi de SAHA)pour l’amener sous la. fornie :

où :

a0 =

47r€oh2 m,e2

~

est le rayon de la première orbite de l’atome d’hydrogène de BOHR,no, la densité des neutres et g i , go les poids statistiques de l’ion (état fondamental) et de l’atome neutre (état fondamental). c) Montrer que la relation (1) n’est, ni suffisante, ni nécessaire pour que (fort degré d’ionisation). Constante : a0 = 0’05 nm. Application : ionisation de l’atome d’hélium).

l i

2 soit grand

= 24,59 eV (énergie-seuil de première

SOLUTION a) L’énergie d’interaction entre un électron et un ion s’écrit :

où d est ici la distance moyenne entre ces deux types de particules chargées. L’hypothèse énoncée plus haut implique donc que :

Pour estimer la distance moyenne d , nous disposons de la relation évidente :

c’est-à-dire que le volume construit, disons autour de l’ion, de rayon d, ne contient, qu’une seule particule (en moyenne). De (4) et ( 3 ) ’ nous obtenons :

EXERCICES

260

Sachant que par définition (1.38) :

il vient de l’inégalité (5) élevée au cube :

47r 1 1 3(47r)3 ne Ag

d’où

En faisant abstraction du facteur

&,

<< 1 .

nous avons bien :

b) La relation de SAHA,pour des ions ionisés une fois, selon 71,’ïLi

-

no

2gi ( 2 7 r m , k ~ T ) i exp go h3

-

5

1.4.2, s’écrit :

(-A) ~ B T

En posant ne = 71i (l’ion hélium est ionisé une fois seulement, par hypothèse) et en introduisant A D à l’intérieur d’un terme de valeur unité :

(-)’

nt - 2gi ( 2 i r 7 n e ~ B ~ ) sA&nee2 nc1 go h3 COkBT

-.

exp

(-LI (10) kBT

et finalement :

c) Dans le cas où T est faible, pour que soit grand, la relation (13) exige que no soit faible, c’est-à-dire que la pression du gaz soit faible. Pour y arriver, n,AL >> 1 ne suffit pas a pri’ori. Dans le cas où T est élevée, % est a priori grand : la décroissance exponentielle est faible et n,ai .«1 (ce qui est le cas puisque ne N 1015 cmp3, ao = 5 x lo-’ cm d’où n,ai : 1015[(5)310p27,expression toujours < 1).I1 n’est donc pas nécessaire que neAg >> 1 pour arriver alors à un fort degré d’ionisation.

EXERCICES DU

CHAPITRE

1

261

EXERCICE 1.8 a) Soit un ion de lithium d’énergie cinétique E, = 60 eV entrant en collision avec un atome d’hélium au repos. Y aura-t-il ionisation de l’hélium? Le cas échéant, indiquer s’il s’agit d’une simple ionisation ou d’une double ionisation. b) Qu’adviendrait-il si au lieu d’un ion de lithium comme particule incidente, il s’agissait d’un électron de même énergie ? Masse du lithium : E 6’9 mp Masse de l’hélium : 4’0 mp Masse du proton : mp = 1’67 x kg Energie-seuil de première ionisation de l’hélium : 24’59 eV Energie-seuil de deuxième ionisation de l’hélium : 54,4 eV

SOLUTION a) I1 s’agit d’une collision entre un ion et un atome. Les lois de conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie indiquent (9 1.7.2) que seule l’énergie cinétique liée au mouvement relatif peut se transformer en énergie interne. L’expression de la conservation de l’énergie totale s’écrit en effet (1.74) :

avec w et w’, les vitesses relatives avant et après collision, et pc la masse réduite :

où ml et

mh

sont respectivement la masse de l’ion lithium et de l’atome d’hélium.

Pour une vitesse relative initiale w donnée, l’énergie maximale A&,, qui peut être transformée en énergie interne est, d’après (1)’obtenue pour w’ = O, soit :

Sachant que l’atome d’hélium est au repos, la vitesse relative initiale whl est donc égale à la vitesse W I avant collision de l’ion de lithium, d’énergie cinétique : rnl.11

Ec = 2

En explicitant (3)’ on peut écrire

(4)

EXERCICES

262

Remarques : 1.Si l’énergie cinétique liée au mouvement relatif se transforme totalement en énergie interne (autrement dit, il y a égalité parfaite entre l’énergie-seuil de la réaction inélastique et l’énergie cinétique transférable), alors w’ = O (wh = wi).D’après (1.69) et (1.70) et compte tenu de (1.65) :

Comme w h = O, on a d’après (1.70) :

Après collisions, les noyaux d’hélium et de lithium poursuivent ensemble une trajectoire uniforme et rectiligne avec une vitesse égale à la vitesse du centre de masse W O . Si l’énergie-seuil de la réaction inélastique est inférieure à l’énergie maximum transférable, l’énergie résiduelle se répartit sous forme élastique entre les noyaux d’hélium et de lithium. Si la vitesse relative après collision est whl, les vitesses wh et wi sont données par ( 1.69) et (1.70). 2. Dans l’hypothèse où l’énergie cinétique liée au mouvement relatif est transformée intégralement en énergie interne, on a w;&[ = O. Dans ce cas, d’après (6) et ( 7 ) ,la vitesse wl du noyau de lithium avant collision et les vitesses wi et wh des noyaux de lithium et d’hélium après collision sont toutes trois colinéaires : la collision est donc nécessairement frontale. Applications numtiriques : a) La masse de l’ion de lithium étant ml 2 6,9 mp et celle de l’atome d’héliuni mh 2 4’0 mp,la valeur nuniérique de (5) est alors :

em,, = E,

4,0 I l l p 4,û = 22,02 eV . = 60 6,9 mp 4,0 rnp 6,9 4,û

+

+

Cette énergie n’eiit pas suffisante, pour induire même une simple ionisation de l’atome d’hélium ! b) Pour un électron comme particule incidente au lieu de l’ion de lithium, nous tirons de (5) :

Nous pouvons, dans ce cas, atteindre la double ionisation de l’atome d’hélium. Variante 1 de la solution On pourrait aussi démarrer la solution directement à partir des équations de conservation :

EXERCICES DU

CHAPITRE

1

263

1. Conservation de l’énergie cinétique (1.62) :

où ml est la masse de l’ion de lithium, wl sa vitesse avant collision, w ;sa vitesse après collision ; mh,est la masse de l’atome d’hélium, wh sa vitesse avant collision, w; sa vitesse après collision, et A& est l’énergie interne de l’atome d’hélium après collision.

2. Conservation de la quantité de mouvement (1.61) :

mlwl+ mhwh = mlw;+ mhw; .

(2’)

Dans le cas présent, avant collision, l’atome d’hélium est au repos : wh = O. A partir de la loi de conservation de la quantité de mouvement (2‘), la vitesse de l’atome d’hélium après collision se réduit à :

et la loi de conservation de l’énergie totale peut alors se mettre sous la forme

Dans ces conditions, puisque la vitesse de l’ion de lithium avant collision, wl,est connue (son énergie cinétique f C étant donnée), la variation de l’énergie interne A& sera simplement une fonction de la vitesse de l’ion de lithium après collision, w;.

3. Calcul du maximum possible de A& (à comparer avec les énergies-seuil d’ionisat ion). L’augmentation de l’énergie interne sera maximale quand :

ce qui nous permet de déterminer la valeur maximale de A& De (4’) :

I1 vient alors :

4 4

-=

dw;

w; et, finalement :

ml -mlw; + -Wz mh

+

2)

-

ml I -w1= mh

= ‘wz-m;

mh

1

O

’ (9’)

EXERCICES

264

ce qui indique qu'il s'agit d'une collision frontale. Dans ce cas, la valeur de A&,,,,

d'après (4') :

et :

(13')

pour finalement conduire à :

et retrouver les applications numériques déjà traitées plus haut. Variante 2 de la solution Au lieu de rechercher la valeur maximum possible pour A&, nous pouvons établir les vitesses après collisions des deux particules en fonction de A&. Si la valeur de A& ne permet pas que soient vérifiées les lois de conservation, alors les valeurs des vitesses après collisions ainsi obtenues seront négatives ou imaginaires. Dans (7') de la variante 1 de la solution, A& est maximum lorsque le produit scalaire wl . w i est maximum, c'est-à-dire lorsque wl et 201 sont colinéaires (collision frontale) et de même sens. On a alors :

et, finalement :

où

(rCet

A& étant maintenant en eV et B2 en kg J) :

EXERCICES DU CHAPITRE 1

265

La vitesse de l’ion de lithium après collision, wi (4*), doit être une quantité réelle. De plus, la loi de conservation de la quantité de mouvement doit déterminer une seule valeur de la vitesse de l’ion de lithium après collision. Dans ces conditions, la valeur de A& qui conduit à une seule racine réelle de l’équation (4*) sera la portion de l’énergie transférée par l’ion de lithium à l’atome d’hélium lors de la collision. Pour n’admettre qu’une seule racine, le discriminant de l’équation quadratique doit être nécessairement nul : V = B2-4AC = O . (8*)

A partir de (8*), nous obtenons

:

A&=&,(

et, finalement :

+ rnl )

mh m h

.

dont les applications numériques ont déjà été traitées plus haut. La valeur de A€ ainsi calculée est la même que celle obtenue (5) en recherchant dAE = 0 (5’) pour la variation de l’énergie interne A€. Si nous choisissons de donner à A& dans (1’)une valeur égale à la première ionisation (A& = 24’59 eV), à partir de (8*) nous obtenons : A

C

=

2

=

6 4,

=

(1

+

E)

= 1,57 x

9 6’9 2 m 1’67px /

[ï,6 x lop1’ (24,59

23 = B2 - 4AC = 6,58 x

-

(kg)

m = -8,ll x

60 (1

-

-

(B2 en kg J)

E))]

6,84 x

= 1,089 x

= -2’6 x

(J)


solution inacceptable puisqu’elle donnera des valeurs imaginaires de la vitesse de l’ion de lithium après collision, wi (4*).

EXERCICES

266

Pour A& = 22,02 eV,

(kg) ,

A = 1’57 x

(O2 en kg J) ,

t?=

-8,ll x

c =

[1,6 x 1O-l’

D =

B2 - 4AC = 6,58 x

(22,02 - 60 (I -

w;= -1 8,1 x

et :

2 1,57 x

-

E))]

= 1,048 x

6,58 x

=O

(J) ,

,

= 2,58 x lo4 m/s

.

La solution est valide (lois de conservation vérifiées), mais l’énergie interne est inférieure à l’énergie-seuil de première ionisation, comme nous l’avons montré dans la solution initiale.

EXERCICE 1.9 Considérer deux populations de particules a et /3, de masse m, et mp, dont les fonctions de distribution des vitesses sont représentées par des distributions maxwelliennes f,(w,) et f p ( w ~ ) isotropes , et de température, respectivement, T, et Tp.

a) Calculer la valeur moyenne (Iw,- wpl) du module des vitesses relatives entre les particules cy et /?’ en utilisant la marche à suivre suivante : 1. Ecrire la relation exprimant la moyenne du module des vitesses relatives par intégration sur les fonctions de distribution f, et f p .

2. Procéder au changement de variables suivant : wûp = w, - wp

et

+

bwp a+b

UW, WO=

et calculer les coefficients a et b tels que le produit des fonctions de distribution f,fp puisse s’écrire sous la forme :

Pour cela, on exprimera w, et w p en fonction de wo et w , ~ ,en procédant par identification.

3. Vérifier que le .Jacobien de la transformation des coordonnées est égal à l’unité et donc que d3w, d3wp = d3w,0 d3wo. Intbgrer ensuite sur w o et W,S pour obtenir la valeur moyenne (lw,- ~ 0 1 ) . b) Calculer ensuite w , ~ , la vitesse relative la plus proba,ble.

EXERCICES DU CHAPITRE 1

267

SOLUTION a l ) Pour obtenir la valeur moyenne de Jw, - wpl, il faut intégrer ce terme sur l’ensemble des vitesses des populations des particules Q et p, soit :

avec :

Remarque : L’expression (4) se justifie en considérant la définition générale d’une grandeur hydrodynamique (3.40) où la fonction fcup(w,,wp) est une fonction de distribution double non corrélée (0 3.2) soit $p(w,, W B ) = f,(w,)f~(wp).

a2) Le calcul de wcuet (1.69) et (1.70) :

WB

en fonction des nouvelles coordonnées w , ~et wo donne bwcuB w, = wo + -

a+b

wp=wo--.

En substituant w, et wp par w,p et obtient :

200

’

cup

a+b dans le terme exponentiel de (4), on

Pour éliminer, par addition, les deux termes croisés dans ( 7 ) ,il faut choisir u et b tels que :

a=m,To

et on prendra :

et

b=mgT,.

L’argument de l’exponentielle donnée par l’équation ( 7 ) s’écrit alors : mew: mow$ 2 k ~ T , 2k~Tp

+-

-

+

à condition de poser :

W;

wOiB

(ma

+ mp)(m,To + mpT,)

2kBTaTB(mcu f mp) m,mp

rn,

+ mp

P~BwOI~ m, + mp - mow; 2k~(m,Tp mpT,) 2 k ~ T o 2k~T,p

+

+-

EXERCICES

268

Par ailleurs, on constate que le produit relation (4) peut se mettre sous la forme : m m p

-

T,Tp

des termes pré-exponentiels de la

' m m p (ma+ m~)T,p PLOlPmO +mp Ta0T,Tp TaDTO

On vérifie donc bien que : f a (Wa)fP

(wp) = f a 0 (WCYB)fO (wo)

où f , ~caractérisant la distribution des vitesses relatives et fo la distribution des vitesses wo sont définies par :

a3) Considérons le changement de repère des vitesses défini par (5) et (6). Le Jacobien ,7 de cette transformation a pour valeur : U

J E

1 -u t b 1

Comme dw,dwp = Jdw,p

= l .

a f b

dwo, nous avons finalement :

La valeur m0yenn.e du module des vitesses relatives s'écrit alors : (IwCy - WPI)

=(

Iw~B~)

=

/J waa wo

IwapIf,fcyBfo dw,Bdwo

EXERCICES DU

CHAPI TR E

1

269

La fonction de distribution f a p étant isotrope, on peut développer (13) sous la forme suivante :

Remarques :

1. Si l’une des températures est nulle (To = O), on retrouve bien la valeur de la vitesse moyenne pour les particules de température T, (Ta # O ) puisque

(Iw,- 01) = (IwaI)= J-“.

Tm,

2. Si a = p, (\we - wal) = fi(w,). Ce deuxième cas correspond à une collision entre deux particules d’une même population.

3. Si la section efficace â,p(Iw, - wpl) est une fonction analytique simple de Iw, - w p ) , il est alors possible de calculer le coefficient de réaction k,p = (ô-ap(Iw, - wpI)Iwa - w ~ l (1.137) ) en utilisant la même démarche. b) En supposant l’isotropie des fonctions de distribution, la fonction de distribution f,p(w,p) est décrite, en coordonnées sphériques, par (1.7) : g(wap)

= 4.irw$3f,p(wap)

soit : La vitesse la plus probable u,p s’obtient lorsque

,

EXERCICES

270

La dérivation de (19) montre que la relation (20) est vérifiée lorsque :

La vitesse la plus probable a donc pour expression :

vafi = soit, en explicitant T,fi et pu ,g

comme précédemment :

EXERCICE 1.10 Considérer des collisilons binaires élastiques de type “boules-de-billard” où les espèces cr et p sont des sphères indéformables de rayon r, et r p . a) Dessiner la représentation géométrique d’une collision dans le repère du centre de masse au moment de l’impact : indiquer les vitesses des particules avant et après le choc, le paramètre d’impact s , ainsi que l’angle de diffusion 8. b) Calculer la section efficace microscopique différentielle de diffusion â(w,fi, 8). c) En déduire les sections efficaces microscopiques totales â t c ( w a ~et) âtm ( w , ~ ) d) Considérer les collisions ion-neutre et électron-neutre dans un modèle “boules-debillard” en supposant que le rayon des électrons est nul ( r , = O) et que le rayon des ions est égal au rayon rfi des neutres. En déduire le rapport des sections effiaces. Comparer ce rapport à celui obtenu pour les collisions des électrons et des ions hélium sur les atojmes d’hélium :

( û e , ( w ) ) ( T e ” 2 eV, T, = 300 K ) = 5 x 10-16cm2 (ôin(w))(Ti = T, = 300 K) = 3’5 x 10-15crn2 .

,

SOLUTION a) La géométrie d’une collision élastique de type “boules-de-billard”, dont l’interaction est par nature répulsive, est représentée sur la figure ci-dessous. Les vitesses wag et W O O , et wLo et, who sont respectivement les vitesses avant collision et après collision des particules (Y et p. La distace s entre les deux paires d’asymptotes est le paramètre d’impact (distance de plus courte approche en l’absence d’interaction). L’angle de diffusio’n 8 est relié à l’angle xmax, angle maximum entre r (position relative des centres des particules) et la vitesse relative w , ~= wag - wpo avant collision, par : 2 x m a x 8 = i7 (1)

+

EXERCICES DU

CHAPITRE

1

271

I

J

Représentation géométrique d’une interaction de type “boules-de-billard” dans le centre de masse

b) La relation différentielle entre la section microscopique totale de collision at, et la section efficace microscopique différentielle de diffusion â(w,g, 0) se déduit de (1.103) : dât, = 27râ(w,,3, 0) sin 0 d0 . (2) La section efficace microscopique élémentaire dât, peut s’exprimer de façon simple en fonction du paramètre d’impact (V.34)’ soit : dât, = 2r.3 d s .

(3)

I1 suffit donc de rechercher la relation entre s et 0, d’en déduire la section différentielle correspondante et d’identifier (3) avec (2).

D’après la figure, on a :

s = (ra

+ r g ) sinXmax 0

+

soit, compte tenu de (1) :

s = (roi r p ) cos 2

et

ds =

r , +rg

-~

(4)

2

(5)

0

sin - à0 2

.

EXERCICES

272

Le signe (-) signifie qu’une augmentation du paramètre d’impact entraîne une diminution de l’angle de diffusion 8. Compte tenu de (5) et (6)’ (3) s’écrit : 27rs as = - ( y ,

+

sin 8

4

(7)

et, par identification avec (2) on obtient :

On vérifie ainsi que, dans un modèle de type “boules-de-billard” à sphères indéformables, la section efficace microscopique différentielle ne dépend ni du module de la vitesse relative, ni de l’angle de diffusion. Remarque : La rlelation (4) peut aussi s’obtenir par intégration de (V.18) suivant T de l’infini à rmin = r, T B en considérant que le potentiel d’interaction q 5 ( ~ )est nul suivant r de l’infini à rmin et devient infini pour T inférieur à r,in. L’intégrale (V.18) s’écrit alors :

+

rn,in

S dT

(9)

En effectuant le changement de variable : S

u=-

T

on obtient :

Xmax

du

= O

soit :

xmax= arcsin

S ~

T,

et finalement :

s = (T,

+ rl3

+ rp)sinXmax.

c) La section efficace microscopique totale de collision (1.103) s’écrit :

soit, après intégration :

âtc = 7r(r,

+~p)’

(14)

+

valeur correspondant à une collision tangentielle (s = r, T P ) et qui peut être obtenue directement en multipliant (8) par 47r stéradian, angle solide sur tout l’espace.

EXERCICES DU

CHAPITRE

1

273

La section efficace microscopique totale pour la quantité de mouvement (1.104) s’écrit :

-

(15) 7r

7r

âtm = - ( r , 2

+

/(l

-

cosû) d(-cosû)

O

soit, après intégration :

etm = ~

( r +, rfi)

2

,

(17)

valeur identique à celle de la section efficace microscopique totale (14). d) Dans le cas des collisions ion-neutre, r , = r p , de telle sorte que :

âin = 47rr;

(18)

alors que pour les collisions électrons-neutre ( r a = O) 2 oen = 7rro .

(19)

La section efficace pour les collisions électron-neutre est plus faible d’un facteur 4 que la section efficace des collisions ion-neutre. Pour l’hélium, les données fournies conduisent à un rapport 7, mais il est important de noter que ces sections efficaces ne correspondent pas à des vitesses relatives ou des énergies relatives égales. Comme pour les sections efficaces ion-neutre et électron-neutre, le produit â(w)w = constante est une bonne approximation (voir note 94 de bas de page), une augmentation de la vitesse (ou de l’énergie relative) entraîne une diminution de la section efficace (et réciproquement).

EXERCICES DU

CHAPITRE 2

EXERCICE 2.3 Soit un champ électrique constant auquel sont soumis électrons et ions, respectivement de masse me et mi. En faisant l’hypothèse que le temps moyen 7 entre deux collisions est le même pour l’électron et l’ion, montrer que l’énergie cinétique acquise (en moyenne) par l’électron durant le temps 7 est fois supérieure à celle acquise par l’ion pendant le même temps.

2

SOLUTION Nous savons que : car, à un signe près, c’est la même force qui agit sur un électron et un ion. D’où, pour un temps T entre deux collisions :

1

F dt

=

m e [ w e ( 7) we(0)]

(2)

=

m i [ W a ( T )- W i ( O ) ]

,

(3)

O

et, en posant pour simplifier w e ( 0 )= wi(0) = O , nous obtenons : mi

we = -wa

(4)

m e

En effectuant le rapport de l’énergie cinétique de l’électron sur celle de l’ion, nous trouvons : 2

?mewe2 - 1 ?maw:

&ce - 1 -~

&,a

- me

(2)

w:

maw:

-

-mi 1

me

(5)

EXERCICE 2.2 Considérer le mouvement d’un électron ( a = e) et celui d’un ion ( a = i ) dans le plan perpendiculaire à une induction magnétique B = Bê, présente dans le plasma, telle que représentée sur la figure 2.4.

EXERCICES

276

a) Déterminer le sens et l’amplitude du moment magnétique p, d’un électron et d’un ion en rotation cyclotronique dans le champ B .

b) Calculer l’aimantation macroscopique M a (moment magnétique par unité de volume, exprimé en A/m) induite par les populations électronique ( a = e) et ionique ( a = i) en rotation dans le champ B :

Supposer que la diktribution des vitesses, f,(w),des électrons et des ions est une maxwellienne respectivement de température Te et Ti. c) Calculer l’aimantation macroscopique totale M et discuter des apports respectifs des populations électronique et ionique au diamagnétisme du plasma. d) En supposant que ne = ni = n et Te = Ti = T , déduire l’induction magnétique B résultant de l’induction magnétique appliquée Bo = Boêz et de la composante p o M due au diamagnétisme du plasma. Ecrire la condition pour laquelle le champ B dans le plasma devient égal à la moitié du champ Bo appliqué. Application numérique : Bo = 200 gauss (2 x

tesla), Te = Ti = 35000 K.

SOLUTION a) Le mouvement cyclotronique d’un électron et d’un ion dans le plan perpendiculaire à l’induction magnétique B peut se décrire par la relation (2.71) :

où

W, = W c a A r B a

(2)

4a B w,, = --

(3)

ma

Pour les électrons, weeet B sont colinéaires et de même signe, donc de même sens, alors que pour les ions, w,i et B sont de signe opposé. En revanche, les courants

EXERCICES D U CHAPITRE 2

277

i, et ii associés au mouvement cyclotronique des électrons et des ions, du fait de leur charge de signe opposé, sont de même sens, tels que représentés sur la figure. Ils induisent un champ magnétique B’ (figure 2.3) de sens opposé à B (loi de BIOT-SAVART (2.73)); pour les mêmes raisons, ,u+ et ,up sont antiparallèles à B . Le module du moment magnétique p de la particule est défini comme le produit d’un courant d’intensité i circulant sur une boucle fermée de surface S . Dans le cas d’une giration cyclotronique : pza = nrsj,ia .

(4)

Le courant induit par le mouvement de rotation vaut :

b) Pour un ensemble de particules de type a , la valeur moyenne M , de l’aimantation macroscopique (au sens hydrodynamique) est donnée par (3.40) :

M,,

= Jp,.f,w

dw

,

W

c’est-à-dire (en négligeant l’indice a ) :

soit, en développant :

On obtient alors :

M,, =

n,kBT, B

~

(9)

Sous forme vectorielle, en tenant compte du sens par rapport à B de l’aimantation induite M :

2 78

EXERCICES

c) L’aimantation totale est la somme des aimantations induites par les ions et les électrons, soit :

M Si Ti

<< Te,M

=

B --

B2

+

(neksTe nikBTi)

est induit par les seuls électrons.

Si Ti = T e ,la contribution ionique est égale à la contribution électronique. d) Pour ne = ni = n et Te = Ti = T , de ( i l ) ,nous avons :

où p est la pression exercée par les particules chargées, dite pression cinétique (scalaire) (page 1216).

B est l’induction magnétique régnant dans le plasma et résultant de l’addition vectorielle du champ appliqué Bo (qui existe en l’absence de plasma) et du champ (l’aimantation M doncréé par le mouvement des particules chargées, soit nant un champ magnétique, l’induction magnétique correspondante s’obtient en multipliant le champ M par PO,la perméabilité dans le vide). On a donc :

-

Le diamagnétisme du plasma provoque une diminution du champ magnétique appliqué due au mouvement des particules chargées dans ce même champ. Le diamagnétisme peut &re négligé ( B Bo) si :

c’est-à-dire si la pression cinétique p reste très inférieure à la pression magnétique B21 2 ~ 0 . L’induction magnétique dans le plasma est moitié du champ magnétique appliqué ( B = & / 2 ) si : p=-

B2

2Po

’

soit encore : Application numérique :

Bo = 2 x lop2 tesla et Te = Ti = 35000 K , et nous voulons que B total soit de l o p 2 tesla. Nous avons, numériquement :

n=

10-4 2 x 47r x loP7 x 1,38 x

x 35000

= 8,24 x lo1’ mP3 = 8,24 x l O I 3 cmP3

EXERCICES D U CHAPITRE 2

279

Remarque : La loi de MAXWELLdu rotationnel de H appliquée au champ M , J M = V A M , montre que si M est constant dans le plasma :

VAM=O, et J M = O : il n’y a pas de courant macroscopique induit. Par contre, dans des zones avec gradients de M (bords d’un plasma limité), le diamagnétisme du plasma induit des courants d’aimantation ( J M # O). EXERCICE 2.3 Considérer une particule de charge q soumise à un champ magnétique et à un champ électrique constants, uniformes et perpendiculaires l’un à l’autre. On décompose la vitesse 20 de la particule suivant w = W D w ’ , où W D est la vitesse dite de dérive électrique. Montrer analytiquement, à partir de l’équation du mouvement, que 20’ représente le mouvement qu’aurait la particule dans le champ magnétique seul.

+

SOLUTION L’équation du mouvement s’écrit (2.6) : dw m= q [ E l +w A B] dt et (IX-2) : mais

= O puisque E et B sont constants

Substituant

WD

+ w’à w dans (1)’il vient :

double produit vectoriel

-E1

dw‘ m= q(w’ A B ) dt I1 s’agit bien du mouvement d’une particule dans le seul champ magnétique. d’où, finalement :

EXERCICE 2.4 Considérer le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique statique B uniforme et constant, et dans un champ électrique E uniforme, dirigé perpendiculairement à B et variant lentement dans le temps. Soit w ,la vitesse de la particule.

a) Montrer qu’en exprimant la vitesse w selon les trois vecteurs vitesse suivant,s :

w =W

D

+ w‘+ u ) p

(1)

EXERCICES

280

où wg est la vitesse de dérive électrique et :

m dE W P

= -qB2 d t

’

que w’ et wP obéissent alors à l’équation du mouvement :

mw‘+ mw, = q(w’ A B ) ,

(3)

où m est la masse de la particule et q sa charge.

b) Considérer que E(2) varie de façon périodique avec une pulsation w . Montrer que si la pulsation du champ est petite devant la pulsation w, de giration cyclotronique, alors la composante w’ décrit le mouvement cyclotronique de la particule dans le champ B seul. c) Montrer qu’il n’y a pas de courant net (ions et électrons) associé à W D alors qu’au contraire, wP conduit à un courant dit de polarisation.

+

où pm = (me mi)n est la densité de masse des électrons et des ions (respectivement de masse me et mi) et n , la densité des particules chargées. La vitesse w P est appelée vitesse de dérive de polarisation. d) En considérant le courant total des charges (courant de conduction J , et courant de déplacement %;), montrer que la permittivité relative du milieu par rapport au vide est donnée Dar :

Pour ce faire, se ra,ppeler (2.44) que :

dD J T = -+

at

J, =

dD‘ ~

at

(5)

où D’ = cOE~E est le courant de déplacement dans la description diélectrique (voir (2.43)).

SOLUTION a) La relation (3) signifie que la présence du champ E ne modifie pas qualitativement le mouvement hélicoïdal (décrit par w‘ : à montrer en b) de la particule. De façon générale, nous savons que l’équation du mouvement est liée à la force de LORENTZpar : mw=q[E+wAB], (6) quelle que soit la forme de E et de B . Dans le cas présent, nous faisons l’hypothèse que la vitesse totale s’exprime suivant les trois vecteurs donnés par (1). En développant l’équation (6) suivant ces différentes vitesses, nous obtenons : m w D

+ mW‘ + mw, = q[E+ ( W D A B ) + (w’A B)+ (wPA B)]

(7)

EXERCICES D U CHAPITRE 2

281

et, en remplaçant dans le membre de droite w Dpar son expression (2) et sa forme vectorielle : EAB W D =B2 ' nous arrivons à : mwD

+ mw'+ mw,

=

= q { E + [(?)AB]

par

1

'3" it (

+(w'AB)+--

WD

~

Du double produit vectoriel : ( Q A T ) A P = T ( P .Q ) - Q(T . P )

B(B . E ) - E B ~= - E -B2

il vient :

B2

B2

car par hypothèse E i B. d'où :

mwD

+ mw'+mw,

et, finalement :

=q{E-E

+ (w' A B)}+ m w o

mw'+ mw, = q(w' A B).

b) Pour ce faire, à partir de (3), il faut montrer que Iw,/w'I

<< 1. Posons E = Eoeiwt.

Nous avons alors :

ce qui indique qu'il faut que acceptable.

E < 1mais aussi, de préférence,

WD

< w ' , hypothèse

c ) La vitesse W D ne dépend pas de la charge des particules de sorte que la densité de courant de conduction correspondante est nulle puisque :

Pour le courant de conduction dit de polarisation :

d) Le courant de conduction J , se réduit à J , , comme nous venons de le montrer. Par ailleurs, puisque de façon générale :

EXERCICES

282

JsE dans le cas présent :

dD ~

at

+J ,

dD’ at

-

’

+

c ~ EJ , = C,QE

JT

et de (15) : de sorte que nous obtenons bien

:

t , = 1 + - . Pm B2€o

(4)

EXERCICE 2.5 Considérer un plasma soumis à un champ électrique de haute fréquence Eoeiwt, d’orientation quelconque par rapport à un champ magnétique statique d’intensité B , les deux champs étant uniformes spatialement. Dans le cadre de la description “trajectoire individuelle”, déterminer le tenseur de conductivité et le tenseur de permittivité relative pour des électrons dont le mouvement est associé à la solution particulière de l’équation du mouvement hors résonance (on ne s’intéresse pas au mouvement hélicoïdal des particules).. On prendra B suivant l’axe O z et on exprimera E l suivant les axes cartésiens z et y. Le terme en facteur de la matrice représentative de 0 sera tel que pour B = O, celle-ci sera unitaire.

SOLUTION Pour obtenir wq, la solution particulière à ce problème (voir 5 2.2.2, page loa), nous avons utilisé le repère de la figure 2.10, ce qui nous a conduit à l’expression : w2

+

+

= [ a ~ ~ i bi ~ o l c ( ~ oAl B)] eiWt .

(2.124)

Pour transposer ce résultat suivant les axes cartésiens (z,y, z ) tel que demandé dans la question, nous écrivons : ~2

= êz(aEoil)

+ ê,(bEoz) + êy(bEoY)+ c(êzEo, + êyEoy)A ê,B

(1)

+

où nous avons posé Eo1 = e,&, êyEOyet nous avons laissé tomber la dépendance en eiwt. Après regroupement des termes suivant les trois vecteurs de base, il vient alors : 202 = &[bEoz cEoYB] êY[bEoY- cEoZB] ê,[aE,] (2)

+

+

+

Connaissant, d’après 5 2.2.2 (équation (2.132)), les coefficients a , b et c hors résonance, nous obtenons :

+

êY

W

q2 B Eo,] + e , [--E;] iq Eo?)- 2 2 ma w, - w 2 wm(Y

.

(3)

EXERCICES DU

CHAPITRE 2

283

Pour faire apparaître le tenseur de conductivité électrique, rappelons que di= & Ej (2.118). Par définition de densité de courant, J i = nqwz et nous aurons, en met,tant en facteur le terme :

-$

Suivant vient :

e x , il

existe deux composantes de 0 et, en nous rappelant que

g1111

=

-wc,il

iw,w

W2

puis, suivant êY :

ma

= w2 -

=

-~

w2 - w,"

utz = 1 .

et, enfin, suivant ê z :

(7)

Le tenseur 0,représenté par une matrice 3 x 3, a pour valeur :

où l'on voit bien que si l'on posc B = O (wc= O), la matrice devient unitaire plasma n'est plus anisotrope.

Pour ce qui est du tenseur de permittivité relative

cP,nous avons pour

:

le

EOeZW* : (2.122)

de sorte que :

€

-P

,

=

O

(9)

EXERCICES

284

d’où, finalement :

€

-P

=

O

O

I--

wpe W2

EXERCICE 2.6 Considérer un champ électrique uniforme et alternatif de la forme Eoeëiwt ainsi qu’un champ B , uniforme, constant et dirigé suivant l’axe z (entrant dans la feuille). Nous voulons étudier le phénomène de la résonance cyclotron en utilisant un repère de coordonnées tournantes dans le plan perpendiculaire à B . En exprimant le champ E dans le repère cartésien du laboratoire sous la forme :

E = ê,E,

+ êyEy+ ê,E,

,

(1)

le même champ dans le repère de coordonnées tournantes s’écrit

E = ê+E+ +&E-

+ i êY) E + +(ê, + ê Z E z= (êxJz

-

iê )

Jz

y

E- + & E , .

(2)

a) Exprimer les composantes E+ et E- en fonction des composantes E, et E,. Déterminer lequel des deux repères, ê+ ou ê-, tourne dans le même sens que les électrons dans leur mouvement cyclotronique autour de B ? b) Le tenseur de conductivité 0 exprimé dans le repère du laboratoire, pour w et Eoeëiwt, a pour éléments (exercice 2.5) : -iww, w2 - w c

W2 ~~

w2 - w c

# w,

O (3)

Montrer, en calculant les termes a+ et a- correspondants, qu’il se diagonalise dans le repère tournant. c) Montrer que la ré:;onance cyclotron des électrons conduit à augmenter la vitesse de ces particules en fonction du temps suivant la relation : ~2

=

4 -E+t .

m

(4)

En d’autres termes, les électrons “voient” dans leur repère un champ électrique continu (w = O) qui les accélère sans interruption entre deux collisions. Pour cela, développer la relation (2.143) suivant le repère du laboratoire.

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

285

SOLUTION a) Développons (2) en regroupant les termes selon les bases du repère du laboratoire : (5) qui doit être égal au même vecteur E exprimé dans le repère du laboratoire :

E = ê,E,

+ ê y E y+ ê Z E , ,

d’où :

(6)

(7)

i E~ = - [ E + - E - ] ,

Jz

de sorte que, en combinant (7) et (8), nous obtenons les composantes du champ E dans le r e d r e tournant :

E- =

et, de même :

E,

+ iEy Jz

Les expressions de E+ et E- en termes de E, et Ey correspondent bien à la notion de champ tournant : la superposition de deux champs oscillant à la même fréquence, perpendiculaires l’un à l’autre et en quadrature de phase. Le champ tournant E+ s’écrit :

de sorte que, en prenant sa partie réelle, nous obtenons :

E+ (êZcos w t + êy sin ut) E+ = -

Jz

que le repère ê+ (et donc le champ E + ) tourne dans le sens horaire, donc selon notre convention (champ B entrant dans la feuille et w, > O),

Attention à bien orienter les axes x et y pour que le champ suivant z entre dans la feuille (repère droit).

EXERCICES

286

b) La relation (3) nous donne les composantes du tenseur dans le repère du laboratoire. Nous remarquons que O,, = oYyet O,, = -gyz.Nous pouvons donc écrire, en développant la densité de courant J = 0 .E dans le repère du laboratoire :

En remplaçant les composantes du chanip dans le repère du laboratoire par celles du repère tournant ((7) et (8)), nous avons :

--O

1 6 -[E+

i

+E-] + O

xy

6 -[E+

-E-]

,Jz

xx

+ azzêzEz.

(14)

Regroupons les termes en E+ et ceux en E-

E+

.,

- [ e , ,O,

Jz

+ iê,

,O ,

+ iê,

- êY O ,,

,

O ],,

et, en faisant apparaître les bases ê+ et ê-, il vient :

êZ + iê,

cx.c

+i

ê,

+ iê,

Jz

O,,]

+ E-

[*

e,

.^

-

.e,

tey

Jz

O,,

-

t L

-

.^ te,

Jz

Finalement, nous obtenons :

E = E+ê+g,,

U .

+ E+iê+O,, + E-ê-g,,

- iE-ê-czy

+o

~ .

~(18) ~

Nous pouvons alors faire apparaître les éléments de tenseur dans le repère tournant :

expression qui montre que, dans le repère tournant, le tenseur a été diagonalisé (il n’y a pas de composantes mixtes E+& ou E-ê+). Sa matrice représentative est maintenant : W O 0 g =

u o ( w ~ w c

w

+ w,

;)

(20)

où les vecteurs de base sont successivement ê+, ê- et ê,.

Nous constatons ‘que c’est bien selon ê+ qu’il y a résonance pour les électrons (w = w c ) .

~

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

287

c) Soit la relation (2.143) :

où nous avons une dépendance du champ E en eiWtau lieu de eëiwt comme indiqué dans l’énoncé. Nous allons remplacer i par -i dans (21). Comme nous ne nous intéressons qu’au phénomène de résonance, nous allons ignorer le terme suivant êz et le second terme de Eo1 qui ne dépend pas du temps (donc rapidement négligeable). Nous écrirons qu’en coordonnées cartésiennes :

I1 vient alors

Sachant que

-E = w, et w,

w201

=

= w à la résonance, de (23) :

m

de sorte que de ( 2 ) et (9), en multipliant par eëiWt :

EXERCICE 2.7 Soit un champ magnétique homogène et constant B = ê,Bo et un champ électrique homogène et alternatif E = êzEo cos wt (êz, ê, et ê, sont les vecteurs unitaires suivant les axes cartésiens 5 , y, et 2). a) Montrer qu’à la résonance cyclotron, la contribution de cet effet à la vitesse des particules de masse m est donnée par :

b) Expliciter la forme de ce mouvement à la résonance. Que représente-t-il ?

EXERCICES

288

c) Dans un champ électrique alternatif E orienté suivant ê, :

E = Eo sin(wt)ê, ,

(2)

montrer que la contribution à la vitesse des particules à la résonance cyclotron peut se mettre sous la forme :

d) On applique un champ électrique tournant dans le plan xOy d’amplitude telle que E, = E, = EO.Suivant le sens de rotation choisi, on a :

E l = E+ [cos(wt)ê,

E l = E- [cos(wt)ê,

ou

+ sin(wt)ê,] -

(4)

(5)

sin(wt)ê,] .

A partir des exp:ressions de w et de w’, calculer la vitesse résultante pour une particule de fréquence cyclotronique w, > O dans un champ tournant à droite (E+),puis dans un champ tournant à gauche ( E - ) . Que devez-vous en conclure? SOLUTION a) En présence d’un champ magnétique :

B = Boêz et d’un champ électrique périodique qui lui est perpendiculaire :

E = Eoeiwtêg,

(7)

la solution particulière (2.143) de l’équation du mouvement à w = w, représente l’effet de la résonance cyclotronique sur la vitesse des particules. Ignorons la contribution à la vitesse dans la direction parallèle au champ B , qui n’est pas affectée par le champ E lorsque celui-ci est perpendiculaire à B . Dans le plan xOy (2.143), nous avons :

w 2:=

[

~

2mw

1

iq2t (wt - i)EOêy- -(Eoê, A Boêz) eiWt , 2wm2

expression dans laquelle, pour avoir un champ ê,Eocoswt tel que stipulé dans l’énoncé, on remplace maintenant EOê, par Eoê,. On prend ensuite la partie réelle de cette expression (sachant que eiWt= cos w t i sin wt), d’où :

+

w2 = 4wtEo 2mw

cos w t êz

+ L2mwE

Osinwt êx + q2t EO sinwt (kxA êz)Bo. (9) 2wm2

Comme êz A êz == -êY et que w = w, z

-e,

il vient :

qm sinwt BOê, (- 1)@om

]+

y Eosinwtê,

2mw

et, en posant w2 = w, nous obtenons la relation de l’énoncé a) :

Y w = -Eot[coswt 2m

êz

+ sinwt ê,] + L2mwE O

sinwt êx .

,

(10)

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

289

b) Le troisième terme de droite de (1) décrit un mouvement périodique dans la direction du champ E (c’est normal : il existerait aussi en l’absence de B ) alors que le premier et le deuxième terme conjugués représentent un mouvement de rotation périodique, de pulsation w,, dont l’amplitude ne cesse de croître avec le temps ; autrement dit, la particule décrit une spirale. La vitesse correspondant à ce mouvement a pour module wo= &Eot car la contribution du mouvement périodique selon êz devient rapidement négligeable. Cette croissance de l’amplitude vient précisément de la résonance entre w et w,, dite résonance cyclotronique. c) On utilise la relation (9) dans laquelle on oriente le champ E suivant ê, plutôt que suivant êz . Comme ê2/A êz = êz, il vient : 4t w‘ = -Eocoswtê, 2m -

+ L2mw Eosinwtê, +qZt EoBosin wt êz 2wm2

- 4~ o t [coswt êY - sin wt êz]+ L 2m

E

2wm

O

sin wt êY .

On effectue un changement de l’origine du temps en remplaçant t par t puisque cos (wt - ): = sinwt et sin (wt - 5) = - cosut, on obtient de (11) :

5;

[sinwt êY + coswt êz]- 4~~ coswt êY . (3) 2mw d) Pour obtenir la vitesse résultante de la particule dans le champ E+ (définie par (4))’ il suffit d’additionner les vitesses des expressions (1) et ( 3 ) : WTOT+

=

-~ 4 ot[2coswtê, 2m

+ 2 s i n w t ê y 1 - -(sinwtê, 4mw

+coswtê,)

4Eo sin wt êz - cos wt ê,] 2mw

Pour obtenir E - , nous notons qu’à E = -EO sin wtê, correspond la solution w“ = -w‘, de sorte que : = O

WTOT-

4 w - w‘ = -Eot 2m

c

[ ioswt êz + sinwt êY - sinwt êY - cos wt êz ] \

On constate que si le champ ne tourne pas dans le sens positif de w, (c’est-à-dire si la vitesse de la particule n’est pas dans le sens du champ tournant), la vitesse de la particule ne croît plus linéairement avec le temps et, donc, il n’y a pas résonance cyclotronique.

EXERCICES

290

EXERCICE 2.8 Considérer un chanip magnétique de la forme

B

= Bo (1 - E cos kz)ê,

(1)

où t est un paramètre plus petit que l’unité et k une constante. Ce champ est utilisé pour confiner axialement les particules chargées en chaque extrémité d’une machine linéaire dont le centre est en z = O. a) Déterminer l’expression de wl1 en fonction de w11(0), w_L(O), k et

E.

b) Montrer que seront effectivement piégées les particules pour lesquelles

c) En posant l’hypothèse d’une distribution isotrope des vitesses en z = O, calculer la fraction des particules piégées par rapport au nombre total de particules.

SOLUTION a) Nous avons affaire à un champ magnétique présentant une non uniformité (faible) dans sa propre (direction, ce qui correspond à la situation traitée en 3 2.2.3; (page 109) ; remarquons que nous utilisons ici l’axe z comme direction de B plutôt que z . Nous savons qu’alors l’expression :

B

= Bo(1 - tcoskz)ê,

(3)

n’est pas complète puisque il manque une composante à B (d’ordre 1) pour que l’équation de MAXWELLV . B = O soit vérifiée. Néanmoins, cette correction n’intervient pas dans le calcul de la composante wll. Enfin, notons que la valeur minimum de IB~, IBI = Bo(1 - t ) , s’obtient en z = O et correspond donc à la région située entre les miroirs : à proprement parler, il n’y a pas de région de champ uniforme dans cette machine, mais seulement deux miroirs de part et d’autre d’un minimum de champ magnétique. En transposant 1;s relation (2.171)’ nous aurons : (4)

5

2 w c2 -où w, correspond à la valeur de B ( x = O). Comme = Botksinkx et r B wt(O), ii vient : ~k sin kx t (5)

(on pourrait négliger le paramètre

t

devant 1).

b) Nous avons montré en 5 2.2.3 (page 109) que les particules venant de la région centrale de la machine (z = O) sont réfléchies par le miroir magnétique si l’angle

EXERCICES DU

CHAPI TR E

2

291

de leur vecteur vitesse par rapport à l’axe ( w q = wg cos cy0 et w01 = wg sin 010) dans la partie du champ uniforme (ici la région de plus faible champ entre les deux miroirs) possède une valeur supérieure à aOm définie par (2.183) : a0

B ( z = O)

sinaom =

B,, est atteint pour coskx = -1, d’où B,,,, = 1 sorte que (6) donne : . 2 1-t sin aoTn= - . 1+€

En notant

w L(z=o )

+ E et B ( x = O)

= 1 - E, de

(7)

le rapport des vitesses correspondant à sinao,,, nous avons : wt(0) 1- E ~-

1+t

w”0)

de sorte que :

W$(O)(1

+E)

wl(0)[(1+ E )

et, finalement :

= (wl(0)

+ (t

-

+ wi(O))(l

-E)

i)]= W i ( O ) ( 1 - E )

2E

w@) = W ’ ( 0 ) ~

,

, ,

(9)

la condition de réflexion imposant l’inégalité : 2E 1-t

w i ( 0 ) 5 wI(0)-

.

c) Le coefficient de réflexion Cr des particules sur un miroir magnétique (2.189) nous conduit à :

EXERCICE 2.9 Considérer un champ magnétique dirigé principalement suivant z mais affecté d’une légère courbure représentée par le terme 8B (on supposera que la courbure est en deux dimensions seulement , dans le plan xz). L’origine du repère cartésien est choisie de sorte qu’en ce point le champ magnétique B soit dirigé suivant z alors que, de part et d’autre de l’origine, il y a une contribution des composantes IC et z du champ. La figure représente le rayon de courbure p qui est, par hypothèse, beaucoup plus grand que le rayon de LARMORde la particule (de charge q et masse m ) .

EXERCICES

292

t“

a) Montrer qu’au voisinage immédiat de l’origine, on a :

B

où Bo est l’intensité du champ en z = O et êZ,êz sont les vecteurs de base unitaires du repère cartésien ( 2 , y et z ) et p-1 = dans la mesure où n’est pas trop grand.

O

2

9

b) Soit w , la vitesse de la particule. En utilisant le champ donné par (1)’exprimer, dans un repère cartésien, les composantes de W jusqu’à l’ordre un. c) Déterminer, à l’ordre zéro, les trois composantes de la vitesse et de la position en employant les conditions initiales suivantes : 50

= yo = 20 = 0

wo= W I O ê z

’

+ W,Oêz

(2)

’

(3) (l’indice supérieur zéro dans A’ signifie que la quantité A est exprimée à l’ordre zéro). d) Montrer que le c,alcul jusqu’à l’ordre un conduit à : W X

-

(+)

t + WLO cos w,t

(4)

où les constantes d’intégration sont fixées de sorte que si l’on fait = O, on retrouve les solutions à l’ordre zéro. Dans ce calcul à l’ordre un, on a remplacé, dans les expressions obtenues pour w, et wy (question b), les variables w, et z qui y apparaissent p a - leur valeur approchée en z = O, c’est-à-dire à l’ordre zéro, en l’occurrence respectivement w , ~et w,Ot. e) Enfin, montrer que la position du centre de guidage a pour expression : 2 =

(k)

z2

SOLUTION a) I1 s’agit d’un champ magnétique dirigé, à l’origine du repère, selon l’axe z et présentant une courburlv (symétrique) de ses lignes de force dans le plan ZOZ. La relation (1) de l’énoncé suggère que la composante B, du champ est un terme correctif à B, au voisinage tie z = O. Une question semblable est traitée en 5 2.2.3, pages 117 et 121 (2.214)’ avec l’inhomogénéité suivant êY au lieu de êz, ce qui, dans le cas présent, donne : B = ê,(PBoz) ê,[Bo(l PZ)] . (7)

+

+

EXERCICES D U CHAPITRE 2

293

La composante principale, B, , est pourvue d’une correction au premier ordre que nous pouvons négliger devant Bo, d’ordre zéro ; la correction suivant l’axe x fait apparaître /3 où /3 E (XIII.14) : la relation (1) de la question se trouve ainsi justifiée. Nous pouvons aussi traiter le problème à partir du début, sans reprendre les résultats de 3 2.2.3, comme nous venons de le faire. B, étant une correction au premier ordre, il est justifié d’en effectuer un développement en série, limité au premier

=O

la composante B, ne dépendant que de z (voir la figure). Conilne B = ê, B, +ê, B, et que B, = BO,nous obtenons :

3BX B=ê,--z+ê,B(j.

(9)

az

Pour déterminer

F,nous partons de l’identité : dx - B, - -

B,

dz

les lignes de force de B .

où

~ ( 2 paramétrise )

De

(lo), nous avons :

d2x dB, 1 d B , B, - _ _ _- --

dz2

d z B,

d z Bt

où le deuxième terme du membre de droite, d’ordre 2, est négligeable devant le premier terme car, selon (9) et (2.214), est non nul seulement à l’ordre 1 et B, est d’ordre 1.

3

Par hypothèse,

2 n’étant pas trop grand au voisinage de l’origine alors (XIII.2) d2x 1 dz2 - p

-

Finalement, de (11) et (12)

N

:

_

’

:

d’où, d’après (9), il s’ensuit (1) que nous devions démontrer.

b) I1 suffit de nous reporter aux relations générales exposées en 3 2.1, que nous pouvons écrire en prenant = wc et en posant E = O (équations (2.7)-(2.9)), sous la forme : 4 4 W, 1 -[B,w, - B,w,] = BOW^] = - W , W ~ (14) m m

-%

WI/ =

W,

=

4 -[B,w, m

-

4 -[B,w, m

-

B,w,] =

m

q B,w,] = --

-

BOW,]= -we [Zw,- w,] __

Bo% [_i”..] =we

[3] ,

(15)

EXERCICES

294

où les termes soulignés sont d’ordre un puisqu’ils tendent vers zéro si le rayon de courbure tend vers l’infini (lignes de champ rectilignes). c) Pour obtenir l’expression des composantes de w à l’ordre zéro, il suffit donc de poser p -+ CO dains (14)-(16). 11 vient alors :

w, =

-W,Wz/

wy

WCW,

=

w, =

o.

Commençons par déterminer les expressions de w, et x.Pour ce faire, nous dérivons (17) : w, = -w,wz/ (20) pour y substitueir wz/ de (18)’ ce qui donne :

d’où :

wx+ w:w,

dont la solution est évidemment

:

w, = Al

’

(22)

+ A2 sinw,t

(23)

=O

COSW,~

où Al et A2 sont, des constantes dépendant des conditions initiales. Compte tenu de ces dernières ((2) et ( 3 ) ) ,il vient :

w, = W I O cos wet et

x=

:

WIO ~

(24)

sinw,t

WC

Pour déterminer maintenant les expressions de wy et y, nous considérons (18)’ en y portant la valeiir de w, de (24). Après intégration et application des conditions initiales, nous obtenons : wy = w l 0 sin w e t (26) WLO

et

y = -(l-

cosw,t)

We

Pour ce qui est de

20,

et z , de (19)’ nous tirons :

d) Pour résoudre facilement le système (14)-( 16), il suffit d’utiliser dans les termes d’ordre un (termes en la vitesse et la position à l’ordre zéro suivant êt, ces termes demeurant d’ordre un à cause de la présence de l / p . Ainsi de (15), nous arrivons à :

E),

EXERCICES DU

C HAPI TR E

2

295

Pour obtenir w,,nous commençons par dériver la relation (14)

w, = -w,wy ,

:

(30)

qui peut être rendue homogène en w, en y portant l’expression pour w, tirée de (29) :

[p

fi, = w; wzot

d’où :

2

w, +w,w,

=

-

,

w,]

w;w,Sot ~

P

,

dont la solution est la solution générale sans second membre (24) à laquelle s’ajoute une solution particulière (d’ordre un) avec second membre : w% = w t o t / p (d’après (32)) d’où, au total : 4 0 t +.

w, = w10 cos w,t

Pour ws/, dérivons (29) et nous avons

w, = -w,

(33)

P

:

[$

-

,

w,]

(34)

relation dans laquelle nous remplaçons w, par son expression en (14), de sorte que :

w, = -w,

d’où :

[+ 1 fwcwy

w, + w,luy = --luio 2

WC

P

,

(35)

,

dont la solution, en agissant comme avec (33), est :

w, = WLO sinw,t

-

1 -wzo

Pwe

2

.

(37)

e) Pour déterminer la vitesse du centre de guidage, il suffit de ne pas tenir compte des termes sinusoïdaux dans (33) et (37), de sorte que : 211,

=

w;,t ~

P

et, évidemment :

,

EXERCICES

296

Quant à la position du centre de guidage, elle est alors décrite par

x =

wZot2

2P

Y =

w;ot -PWC

z

=

’ ,

(42)

W,Ot.

En combinant le:; expressions (41) et (43) pour

(43) 2

et z , nous obtenons :

z2

X E -

(44)

2P

Ce mouvement du centre de guidage est dû à la dérive de courbure magnétique ( 5 2.2.3, page 1211). Pour obtenir la contribution de la dérive magnétique, comme il est montré en 3 2.2.3 (page 117), il faudrait tenir compte du terme correctif (ordre un) sur B,, que ]nous avons négligé dans notre calcul (voir équation (29)). Remarque : Nasus pouvons aussi obtenir l’expression (44) en nous rappelant que le mouvement du centre de guidage dû à la dérive de courbure s’effectue selon la ligne de force de B. I1 suffit alors d’utiliser la paramétrisation des lignes de champ calculée dans l’annexe XIII. A l’équation (XllI.13), nous avons = qui, = d’où adaptée à la direction de la courbure du présent exercice, devient

2 5

x=

6,la constante d’intégration étant nulle puisque en z

5

= O, B, = O.

EXERCICE 2.10

Considérer une machine linéaire à confinement magnétique axial dont la valeur du champ dans la région homogène est Bo. Cette machine est dotée d’un miroir magnétique situé en z O dont la valeur du champ est donnée par :

>

€3 = ê,Bo [I +

(32],

a étant une constante. Déterminer une expression donnant la position z , dans la zone miroir, à laquelle est réfléchie une particule dont le vecteur vitesse fait un angle cyo avec la direction du champ magnétique dans la région homogène.

SOLUTION La position à laquelle une particule chargée est réfléchie dans la zone miroir ne dépend pas, en effet, du module de sa vitesse mais bien de l’angle a0 (région de champ homogène) de son vecteur vitesse par rapport à l’axe de la machine. Plus précisément, nous avons vu que :

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

297

s i n a = sinao

JBU’

(2.181)

~

où l’angle a est l’angle du vecteur vitesse par rapport à l’axe de la machine dans la région du miroir à la position z où la valeur du champ magnétique est B ( z ) (voir figure 2.15). La valeur de z à laquelle la particule est réfléchie s’obtient simplement en posant s i n a = 1 dans l’équation précédente. Comme :

B ( z ) =Bo [1+

d’où :

(32] ’

(L)2 sin a0 = 1+

’

(3)

c’est-à-dire :

Remarque : Bien que le champ B possède des composantes B, et B, que l’on fait apparaître en imposant V . B = O, ce qui compte pour l’effet miroir, c’est la composante B, (se rappeler que dans l’hypothèse d’adiabaticité, c’est F,, seule, qui intervient par la conservation de p , ) . EXERCICE 2.11 Considérer le mouvement d’un électron dans un champ magnétique uniforme B orienté suivant l’axe z . Ce champ magnétique varie lentement en fonction du temps et a pour expression B, = Bo(i- at) où l’intensité Bo est constante, et Q: un paramètre très petit. a) Vérifier la conformité du champ B aux équations de MAXWELL. b) Montrer que, dans un repère cartésien, l’équation du mouvement de l’électron peut se mettre sous la forme :

wy

= w,, [w,(l-at)--]

ax

1

2

w,

=

O,

(3)

où w = (wz, wy, w,) est la vitesse de l’électron, et w,, sa fréquence cyclotronique dans le champ Bo.

EXERCICES

298

Dans ce calcul, quel rôle joue le fait que le paramètre a soit petit ?

SOLUTION a) Conformité du champ B aux équations de MAXWELL. Du fait que le champ magnétique varie dans le temps, il se crée un champ électrique associé E décrit par l’équation de MAXWELL :

ôB at

VAE=--,

(4)

et ce champ E est perpendiculaire à B . Comme B = e,Bo(l - at), l’expression (4) développée donne :

2 %

BE I1 en ressort que = = O et que 2 = a&, c’est-à-dire que Ex et 8X Y E, ne dépendent pas de z . Dans ces conditions, par suite de la symétrie axiale par rapport à z , on peut inférer que le terme du rotationnel suivant l’axe z s’écrit :

Le vecteur E décrit en fait un cercle dans le plan zOy. Quant à l’équatiosn V . D = p, où p = O dans le cadre des trajectoires individuelles, d’après (6) et ( 7 ) ,on a bien que = O, et cette équation est vérifiée.

%+ 2

Pour

V . B = O, la vérification est triviale, B ne dépendant pas de la position.

+%

Enfin, pour V A .H = J où J = O (trajectoire individuelle), V A H = O car H est uniforme mais le terme = 60% = 5) n’est nul que si a + O, d’où la nécessité que a soit petit.

F(-W,

b) Equation du mouvement. D’après (2.7)-(2.9), noils avons :

EXERCICES DU

CHAPITRE

299

2

-$ et

Le mouvement étant uniforme suivant z , en posant w,, = wu E nous avons bien :

3,

w, = -wee [(1- at)w, - - ,

wll = w,, [ ( l - cirt)w, -

O2Y 1

’

Comme nous l’avons indiqué plus haut, il faut que a de MAXWELL soient vérifiées.

-1

2

-+ O pour

’

fu,

E dt

7

w, = O

que les équations

EXERCICE 2.12 Considérer le mouvement d’un électron dans le voisinage de l’origine d’un repère donné. L’électron est soumis à un champ magnétique constant dans le temps mais légèrement inhomogène suivant ses lignes de champ. Son expression est donnée par :

où a z < 1. On supposera que ce champ est de symétrie axiale autour de l’axe z. Les conditions initiales sont les suivantes : ~ ( 0 = ) - 5 0 , y(0) = O, z ( 0 ) = O, wz(0)= O, wy(0) = w10, %(O) = w,o.

a) Montrer que les composantes 5 , y et z de l’équation du mouvement dîi à la force de LORENTZsont décrites par les relations suivantes :

[

(

3 1

,

y + a z.y+ -yz

2

=

-w,e

y

=

w,,

z

=

-wee

[s + a

)(;

(zs

+ +)]

-Yi] .

y[.

,

(3) (4)

b) En supposant que la vitesse initiale est donnée par :

wo = w l o ê g montrer que :

2

+ WtOêz ,

1 2 w, = --aw,,t

2

+ w,o .

SOLUTION a) Le champ que nous devons considérer comporte une légère inhomogénéité dans sa propre direction. Dans ces conditions et par suite de la symétrie axiale de B,nous savons ( 5 2.2.3, page 109) qu’il existe, en fait, une composante B, (d’ordre 1 par rapport à la composante B,, d’ordre zéro) que nous avons initialement ignorée.

EXERCICES

300

En tenant compte de celle-ci exprimée en coordonnées cartésiennes (2.160), l’expression complète du champ B est maintenant :

et, en calculant

iz

d’après (1), finalement : 1 2

= --XBo

1

aê, - -YB0 aê, + Bo(l+ a z ) ê , . 2

(8)

En nous servant du développement suivant les trois axes du repère cartésien de l’équation du mouvement (2.7)-(2.9) où nous posons E = O, nous avons

2

selon y :

et selon z :

-Wce

[y

3 1 [x+a(zx+3]

+ a (zi +

y=w,,

’

a

i = -Wc,-(XY 2

- y&)

(9)

,

.

(11)

b) Pour ce qui est de la vitesse selon l’axe de guidage, nous constatons d’après (11) qu’elle est d’ordre 1 du fait de la présence du paramètre Q (hypothèse az < l ) ,ce qui est conforme A l’hypothèse de l’approximation du centre de guidage (0 2.2.3). I1 nous suffit donc de remplacer les positions et vitesses du mouvement cyclotronique par leur développement à l’ordre zéro.

Les relations décrivant le mouvement à l’ordre zéro dans le plan perpendiculaire s’obtiennent en posant a = O dans (9) et (10) :

x

=

Y =

,

-WceY

w,,x .

I1 nous faut résoudre ce système de 2 équations à 2 inconnues. Pour calculer le mouvement suivant y , nous effectuons une première intégration de (12) sur le temps : x = -wc,y Cl (14)

+

où la constante CI = O puisque k ( 0 ) = O et y(0) = O, de sorte que :

x = -w,,y

.

(15)

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

301

En portant cette expression dans (13), nous obtenons :

y dont la solution est :

y = Al

+ WCey = O

COSW,,~

Pour déterminer les constantes AI et

+

A2,

A2

sinueet .

nous notons que :

~ ( 0 E) O = Al , de sorte que :

(18)

wu = A ~ w ,C, O S W , , ~ ,

avec la condition initiale wy(0)= w l o . WIO

Finalement

y = -sinw,,t Wee

et

wy = W 1 O cos W,,t .

(21)

Pour calculer le mouvement suivant l’axe x,nous procédons de façon analogue. En intégrant (13), nous obtenons :

j, = Weex

+ C2

(22)

où, par suite des conditions initiales, la constante d’intégration Cz = w I 0 - w,,xo. En substituant (22) dans (12) : 2 x + w,,x = -W,,wIo

+ w;,xo

.

(23)

dont la solution complète est de la forme : x = Ai cosw,,t

+ A2 sinw,,t

WIO

- -- 2 0 .

w,,

(24)

En faisant usage des conditions initiales z(0) = -50 et wz(0)= O, il vient successivement Al = W I ~ / W ~d’où ~ , : WIO x=COSW,,t Wee

et A2 = O, d’où :

w, = -WLO sin w,,t .

(26)

Pour déterminer le mouvement suivant z , nous portons les valeurs du mouvement suivant x et y dans (il):

EXERCICES

302

équation dont l’intégration donne :

où i ( 0 ) E w,o = C3, ce qui nous conduit bien à :

Remarque : Le choix de z(0) = -20 plutôt que z(0) = O comme condition initiale nous permet d’obtenir des expressions plus simples pour les composantes de vitesse et de position !

EXERCICE 2.13 Dans le cadre du modèle des trajectoires individuelles, considérer un champ magnétique appliqué : B = Boh(t)ê, (1)

où Bo est une constante et h(t) est une fonction lentement variable du temps. a) Vérifier que les équations de MAXWELL sont satisfaites si le champ E induit par - a pour expression : 1 . E = -Boh(yê, - zêy) (2) 2

::

où h = &h(t).Préciser les restrictions, le cas échéant.

b) En utilisant les valeurs des champs E et B , montrer que : 1 . = -Smw,h(yw,

où

201

= wxê,

- xwy)

(3)

+ wyêy et w, est la pulsation cyclotronique de la particule chargée.

c) Déterminer les solutions pour z, y, w, et wy à l’ordre zéro (conditions initiales I(: = y = z = O ; W z ( O ) = w x o , W y ( O ) = wyo, W z ( O ) = w,o).

d) Montrer que la quantité m w l / 2 B demeure constante à l’ordre zéro en h.

SOLUTION a) I1 nous faut voir si le champ E induit par la variation temporelle de B et le champ B lu-même obéissent effectivement aux quatre équations de MAXWELL. 1. Commençons d’abord par en vérifier l’équation :

dB VAE=-at

(4)

EXERCICES DU

303

CHAPITRE 2

Le calcul de son membre de gauche donne

[:

V A -Boh(yê,,-xê,)] = -Boh 1 .

VAE

2

.

ce qui correspond au membre de droite de (4) : cette équation est donc satisfaite.

V.EOE=O

2.

(7)

=

I1 s'agit en fait de l'équation de POISSON V . D V . FOE= p où p = O dans le modèle des trajectoires individuelles : en effet, dans cette description, par hypothèse, la charge n'induit pas de champ E . La relation (7) est effectivement vérifiée puisque :

v

'

EoE

= v . [toBoi>(yêz- "ê!,)]

d d + dz [ax + -(-x) dy

= €OB& -(g)

.

i3E

3.

V AB = € 0 ~ 0 -

at

+J

où J , le courant de conduction, est nul dans le cadre des trajectoires individuelles. Calculons le membre de gauche de cette équation :

VAB=

a

d

d

-

O

O

Boh(t)

-

ax ay

az

-= -(Boh(t))ê, a 3Y

-

d -(Boh(t))ê, OX

2

O

puisque Boh(t) ne dépend pas de la position. I1 reste à montrer que le membre de droite, que :

expression qui est nulle, à l'ordre zéro

g!est aussi nul. De (2)' nous avons

( h E k Y O)

mais pas à l'ordre un.

Remarque : On ne peut poser a priori que = O car ceci reviendrait, dans le cas présent, à négliger le champ E induit par Par contre, le champ E induit par le mouvement des particules ( J = C E )est effectivement nul dans le cadre des trajectoires individuelles puisque J = O.

g.

EXERCICES

304

Cette relation est vérifiée trivialement car Bo et h(t) ne dépendent pas de la position. En ef€et :

d -(O)

d d + -(O) + -(Boh(t)) dY dz

dX

=O .

Les équations de MAXWELL sont satisfaites, mais à l’ordre zéro seulement . quatre .. ( h = h = O ) pour VA B =

g.

b) Nous savons que seul le champ électrique effectue du travail (3 2.1) : dans le cas présent, le champ électrique présent est celui induit par la variation de B . La composante perpendiculaire au champ B de l’énergie cinétique est donnée par : dt

(Amtu:) = qE . w l 2

,

mais c’est aussi le travail total effectué car E est entièrement dans le plan perpendiculaire à B . Nous avons donc :

:(&:)

1 = Y?BOk(Yê,, =

et, en notant w, ==

-

(%)

-

. (wzêx + Wyêy) ,

zê,)

$(vwx

- xwy)

G ,nous trouvons bien que : 1 . = -Smw,h(yw,

a t (;rnw:) 2

- XW,)

(3)

c) L’équation du mouvement s’écrit en coordonnées cartésiennes w,

=

Wy

=

4 [-BohY 1 r n 2

+ Boh(t)wy]

(3

2.1) :

,

1

,

w, = 2. m Pl Pour intégrer ces équations, nous allons utiliser l’approximation du centre de guidage et considérer qu’il y a deux échelles de temps, celle du mouvement cyclotronique et celle du mouvement, beaucoup plus lent, dû à h(t) : donc h(t) sera une constante à l’ordre zéro et on fera alors h = O dans (11) et (12). En posant -qBoh m = O , 0 n peut, par identification, utiliser les solutions, pour un champ B constant, tirés de 3 2.2.2, page 86. On notera que, dans le cas ainsi traite, B était suivant ê, : on échangera donc z tt z en se rappelant que pour maintenir un repère de type trièdre droit (êxAê, = e = ) , il faut remplacer

par

-II:

dans une telle permutation.

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

305

Finalement :

x =

+ WY

-wxo sin R t

~

0

cos R t - WY 0

R

R wxo

+

Y =

-cos R t

z

=

W,Ot

wx

=

-wXo cos R t

R

R wxo

W Y0 ~

-

sin R t - -

R

R

wYosin R t

wu = -wxo sin R t + wYocos R t

w, =

%O

.

Nous vérifions que les conditions aux limites sont respectées : on obtient bien que = y = z = 0 en t = O et que wz(0) = wxo, wY(0) = wyo, w,(O) = w,o.

x

Variante Conditions initiales 2 = y = z = O ; wx(0)= O, wY(0) = expressions sont alors bien plus simples :

x =

WY 0 cos R t

y

=

WY 0 --sinat

2

=

W,Ot

R

-

wY0, w,(O)

= w , ~ . Les

WYO ~

R

R

wx = -wyo sin Ri! WY = WY0 cos R t w, =

.

%O

d) I1 s’agit de vérifier qu’à l’ordre zéro le premier invariant adiabatique est, en effet,

constant dans la configuration actuelle. Considérons sa variation temporelle : ddt p -

dt d

(+)

imw2

=I d

B dt

(smwL ’) & (g) 1

(kmwt)

-

(26)

et, dans la configuration présente (3) d

-

]

xwy)

1 -

~

Bih2

.

[

1 sm(w20 +

-:.>]

(27)

où, dans le second membre de droite, nous avons évalué f m w ? en utilisant les vitesses à l’ordre zéro (équations (17) et (18)),en conformité avec la notion d’invariant adiabatique. I1 apparaît clairement que le membre de droite, du fait de la présence de h, est du premier ordre, donc nul à l’ordre zéro, ce qui entraîne que p est bien une constante.

EXERCICES

306

EXERCICE 2.14 Considérer un champ magnétique statique (champ toroïdal) :

où a est une constante très inférieure à l’unité.

a) Exprimer l’équation du mouvement d’une particule individuelle selon les axes du repère cartésien. Souligner les termes qui sont liés à la courbure des lignes de force di1 champ magnétilque B. b) Déterminer les solutions à l’ordre zéro du initiales sont : w ~ ( 0= ) 0 wy(0) = w y o w,(O)= w,o

mouvement sachant que les conditions

z(0) = T B Y(0) = 0 z(0)= O

(2)

avec T B = wc où wc est la pulsation cyclotronique et cyclotronique.

~ g le, rayon

de giration

c) Montrer ensuite qu’à l’ordre un, on obtient pour w, l’équation suivante :

d) Déterminer la solution de w, de l’équation (3).

SOLUTION a) Ce problème correspond au cas étudié au 5 2.2.3, page 121. C’est la composante de B suivant ê, q.ui est responsable de la courbure des lignes de champ de B . Ce champ satisfait bien aux équations de MAXWELL puisque V . B = O ( 5 2.2.3, page 109) et, aussi, V A B = O. L’équation du mouvement dans un repère cartésien avec E = O, By = O et w, = _ -q B s’obtient des équations (2.7)-(2.9) : m7

w,

=

4 4 - [ B z W y ] = - [Bo(l

w,

=

[B,w, m

=

wc

=

- [-Bzwy] = --[BOCYZWy] = wcazwy

‘Lu,

m

m

4

4

m

[w,

- B,w,]

=

+ cyyz)wy] = -w,w,(l + ax)

4 [Bocyzw, m

-

-

(4)

& ( l +az)w,]

+ a(zw, 4 1 -

(5)

4 m

où les quantités d’ordre un soulignées sont liés à la courbure des lignes de champ (contribution de la composante B,).

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

307

b) Pour réduire les équations (4)-(6) à l’ordre zéro, il suffit d’y poser

Q

=O :

w, = -wcwy , wy = wcwx ,

w,

o.

=

Pour déterminer la composante w,, nous commençons par dériver la relation (7) pour y faire apparaître wy : w, = -wcwy

(10)

pour ensuite utiliser (8) et obtenir : w,

+ wzw,

=O

(11)

dont la solution (oscillateur harmonique) est : w, = AI sin wet

+ A2 cos wet ,

(12)

les constantes AI et A2 devant être déterminées au moyen des conditions initiales. Comme w,(O) = O, A2 = O. Quant à Al, nous avons, par intégration de (12) : Al

x = -- COSW,t WC

et comme x ( 0 ) = T B , AI = -TBw,,

d’où :

Pour ce qui est de w u , il vient également wy = Al sin wet

+ A2 cos w,t

,

(16)

wy = wyo COSW,t

ce qui conduit à

y = T B sinw,t

et :

.

Enfin, pour la composante w,, comme w, = O (6), nous obtenons :

et : c) En portant les valeurs des composantes d’ordre zéro de w et r dans les termes affectés de la valeur de QI (équations (4) - (6)), nous trouvons :

w,

(21)

cos2 wet]

=

[wy f

Q?h’yOTB

wy

=

we [w,

+

2

w,

=

QWcWyOw,OtcOSWet .

QI(-TBW, sin w e t cos wet -

w:,t)]

,

(22) (23)

EXERCICES

308

Pour obtenir l’équation de w,, nous procédons comme nous l’avons fait en b), en dérivant, par rapport au temps t , la relation (21) pour ensuite y remplacer wypar sa valeur tirée de (22) :

w, = -wc[wy- 2awyOrBwc cos w,t sin w c t ] ,

w,

+ w:awyOrB sin 2wct ,

TBWyO

c’est-à-dire : 2 w, -t w, w, = aw,2

(24)

d) La solution de l’équation différentielle (24) est la somme de la solution générale sans second membre : w, = A1 cos w,t A2 sin wct (25)

+

et d’une solution particulière avec second membre (pas évidente à proposer !) :

Vérifions que (26) est bien une solution particulière de (24). De ( 2 5 ) et (24)’ en effet :

w,

+ wcw, 2

G

2aw,2rBwyosin2w,t

= -

-awCrBwyo sin 2w,t

5

2

-

W2 cQTBWyO

2

+

sin2wCt w,2awiOt

+ w,”awZot ,

ce qui correspond bien au membre de droite de (24). Fixons les constant,es Al et A2 de l’expression (25) par les valeurs qu’elles prennent en t = O. Comme w,(O) = 0, alors Al = O. Pour Aar nous intégrons la solution complète pour obtsenir 2 : 2

A2 WC

d’où : et. donc :

c’est-à-dire

1Q r B W y 0 aweot2 + -~ COS2WCt+ 2 2wc 2

= -- COSWCt

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

309

EXERCICE 2.15 Soit une machine à confinement magnétique linéaire, limitée en ses deux extrémités par des miroirs magnétiques. On peut faire en sorte qu’électroniquement, ces deux miroirs se déplacent l’un vers l’autre, chacun étant animé d’une vitesse 2 i dans ~ le repère du laboratoire. Considérons une particule de charge q et de masse m qui, dans la partie de champ magnétique homogène de la machine, est caractérisée initialement par une vitesse wo telle que W O =~ ~ 0 1 1et, par & i , son énergie cinétique. On ne tiendra pas compte des collisions.

k L

a) Montrer qu’à chaque réflexion sur un des miroirs, la grandeur de la vitesse parallèle de la particule augmente de 2 v ~ . b) Dire pourquoi cette particule finira par quitter le miroir. c) Calculer l’énergie cinétique &, que possède la particule lorsqu’elle quitte le miroir : exprimer &, en fonction de l’énergie cinétique initiale &i et du rapport R = du miroir . d) Déterminer l’expression donnant le nombre de réflexions nque la particule effectuera avant de sortir du système en fonction de V M , &i, R et m.

SOLUTION Dans le repère du laboratoire, la particule de vitesse w o se dirige vers le miroir M, lui-même en mouvement, avec une vitesse U M , en direction de la particule incidente, tel qu’illustré.

M

La vitesse axiale de la particule, dans ce repère, est : (1)

wz = WOll en prenant le signe positif en direction du miroir. Un observateur lié au miroir voit la particule venir vers lui avec une vitesse WzM

= WOll $- V M

:

(2)

EXERCICES

310

et, dans ce même repère, après réflexion (par définition de celle-ci) :

.ItM = -(W01/

+VM)

.

(3)

Pour passer à nouveau dans le repère du laboratoire, on doit soustraire V M à la vitesse de la particule car celle-ci s'éloigne alors plus rapidement, d'où :

-wall

wz

- 2vM

(4)

et la vitesse de la particule, après réflexion, a donc augmenté de 2 v (comparer ~ (1) et (4)).

b) Nous venons de montrer en a) que W I I ,la composante parallèle au champ B de la vitesse de la particule, augmente à chaque réflexion alors que sa composante perpendiculaire w__demeure inchangée avec tu?) = après un nombre n de réflexions. Dans la région uniforme, avant la première réflexion :

<,O)

wzp! = wo sin a0

,

(5)

alors qu'après la première réflexion : (1) WOI -

(1) sina($

=

wo

-

(0)

WOI

Comme 200, le module de w, a augmenté, il faut que l'angle a:) diminue pour que wol demeure const,ant : après n réflexions, l'angle sera plus petit que aom et, d'après (2.183), la particule se retrouvera dans le cône de pertes.

"0")

c) Par hypothèse, au départ :

et, comme présent(: en b), la particule quittera la machine quand :

Posons l'égalité dans (8) où wo, qui augmente à chaque réflexion, pour n réflexions a pour module :

wp)- [ w ; l + ( w q + 2nvM)2] -

.

(9)

De (8) du fait de notre hypothèse de départ wall = 1001:

wO")

-

wold% = WOlld%,

(10)

de sorte que, en multipliant le carré de la relation (9) par $m, et avec avons : 2 d'où :

I'

+ 2mnwoII?/M+ 2mn2vM r,

R

=ri-

2

.

= 5mw;lR

=

(io), nous

fi -R

2

(ii)

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

311

d) Nous allons déterminer n à partir de son expression quadratique dans ( i l ) .En récrivant celle-ci sous la forme :

nous obtenons :

car le signe moins devant la racine carrée donnerait un nombre n négatif. En continuant à développer, nous avons :

dont nous prendrons l’entier le plus proche ! Variante de la solution d) proposée Soit : Wfii = lu011 + 2nVM (17) où wfii est la vitesse parallèle de sortie de la particule de la machine, définie par :

En considérant l’égalité de cette relation, soit

il vient : wol(R 2 - 1) = .Ifii . De (17), nous pouvons alors écrire (wall = tu01 ici) :

EXERCICE 2.16 Un miroir magnétique est situé en chaque extrémité de la machine et son axe se confond avec l’axe z . La configuration magnétique de ces miroirs est symétrique par rapport au plan z = O. Le plan des miroirs est situé en ZM et - z ~ .

EXERCICES

312 Le champ magnétique a été conçu pour que, suivant l’axe z , on ait :

où a est une constante. a) Montrer que la période d’oscillation d’une particule de masse m entre les deux miroirs est donnée par :

(2) où p est le moment magnétique orbital. On supposera que la condition d’adiabaticité est vérifiée. b) Déterminer la vite,sse de la particule suivant z (il s’agit d’une particule qui doit demeurer à l’intérieur du miroir) et montrer que :

(3) et, finalement :

(4)

SOLUTION a) Dans la mesure où le champ magnétique est légèrement non uniforme (condition d’adiabaticité) dam sa propre direction, nous pouvons écrire (2.172) :

mw=p.VB

(5)

parce que p = -pè, (page 107). Suivant z , dans le cas présent ( 1 ) :

ou encore : qui admet comme solution, pour z = O en t = O :

z = sin d’où la période :

b) En z = ~ Z M W,I I ( Z M )= O par hypothèse pour que la particule ne quitte pas le miroir de sorte que : 1 -2m w i ( z M ) = o . (10)

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

La conservation de l’énergie cinétique nous donne : 1 1 1 - m w i ( z ) -mw?(z) = -mw;(zM) . 2 2 2 Sachant que p est une constante du mouvement, nous avons :

+

p=

1mull ( z )

-___

2

B(z)

= constante

de sorte que de (11) et (12) :

d’où : Si maintenant nous remplaçons B ( ~ M et )B ( z ) par leur valeur respective :

et de (8) avec (9) :

EXERCICE 2.17 Le formalisme d’HAMILTON-JACOB1 de la mécanique classique permet d’introduire la notion d’invariant adiabatique I au moyen de l’intégrale d’action (membre de gauche de (1)). Dans le cas où la particule est soumise à un mouvement périodique, cette intégrale prend en effet une valeur constante : 27r

pdq = I

où q est une coordonnée canonique généralisé164 (par exemple une variable de position) et p est le moment canonique conjugué (par exemple, l’impulsion correspondant à la position 4 ) . Etant donnée l’énergie cinétique I , du système, la valeur de p s’obtient par la relation :

p=-.

aa

Considérer une décharge linéaire confinée par un champ magnétique statique B , dirigé axialement, et terminée en ses deux extrémités par des miroirs magnétiques. 164 Ne pas confondre les variables p et q du formalisme d ’ H A M I L T O N - J A C O B 1 avec la pression et la

charge.

EXERCICES

314

a) Montrer que l’intégrale d’action sur le mouvement cyclotronique d’une particule chargée conduit, à une constante près, à la constance du mouvement orbital magnétique p de la particule. Préciser les hypothèses liées à votre calcul. b) Montrer que la particule chargée oscille entre les deux miroirs avec une période 7 donnée par : dz T=4’ 1 ’ (3)

[ (i)

(Ec -

4

Préciser vos hypothèses. c) Calculer le deuxième invariant,

12,

lié au mouvement axial pour montrer que :

.=-j 1 [2m(E, 257

-

V ) ] ;dz

où nous avons introduit le pseudo-potentiel V général à cette inttigrale.

(4)

p B pour donner un aspect plus

d) Considérer le cas où la décharge est confinée par un champ magnétique :

B

= Bo [I

+

(E)’]

êt

varie très lentement selon z : déterminer la où a est une constante telle que période d’oscillation d’une particule entre les deux miroirs d’une telle machine linéaire.

SOLUTION a) Comme il s’agit dii mouvement cyclotronique, nous décrivons le système en coordonnées cylindriques ( T , ‘p, z ) . Nous avons alors que x = T B cos cp, y = T B sin ‘p où rg est le rayon de LARMOR que nous allons supposer constant puisque B varie lentement axialement. 1 Comme : E - -m(P y 2 2 ) ’ (5) c-2 en coordonnées cylindriques, il vient :

+ +

1 c-2

E

+

puisque i 2 y’ = ( - T B sin ‘p (;7)2

où

+E

-

-rn(r;G2

+ i2)

+ ( r g cos ‘p + ) 2 ,

= wc, e t alors :

période cyclotron

de sorte que pour q = ‘p :

(6)

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

315

puisque w, = u. Sachant que p TB

= i* Il =

et w, =

e,

nous obtenons :

(E)

LL

(9)

b) La période 7 de l’oscillation suivant l’axe de la décharge est donnée par I’intégration d’un mouvement fermé (cyclique) suivant z :

Par ailleurs, nous avons de (6) :

ce qui nous permet de connaître la vitesse axiale

B

:

dz dt donc, sur un cycle d’aller-retour, la période d’oscillation de la particule :

c) Soit donc par définition (1) pour l’invariant lié au mouvement axial :

où nous avons posé q = z et p = p , où p , z mi,de sorte que : I2 =

-

27r

rnB dz

que l’on peut évaluer à partir de (12), d’où :

I2

=

-1{ m 27r

-

27r

/

[?(&,-pB)]’ m

dz

[2m(&,- p B ) ] ; dz .

d) Nous savons que (2.172) :

F, = -p-

az

EXERCICES

316

de sorte que, dans le cas présent,

et comme F, = m;l,nous sommes conduits à :

équation du mouvement périodique dont la pulsation w est donnée par

27r et comme w = - :

T

Voir aussi l’exercice 2.16.

EXERCICE 2.18 Déterminer la densiti: de courant due A la dérive gravitationnelle des ions et des électrons de l’ionosphère dans le champ magnétique terrestre à une altitude de 300 km. On supposera qiie le vecteur induction magnétique B est perpendiculaire au champ gravitationnel terrestre. La relation générale pour la force gravitationnelle s’exerçant sur la masse m du fait de la masse M , masses séparées l’une de l’autre par la distance r , est :

F

GMm g

-

r2

où G est la constante de gravitation universelle. Par définition, à la surface de la Terre, de masse M , une masse m est soumise à la force

Fg t -

GMm R2 = - S o m

où R est le rayon de la Terre (la masse M est localisée au centre de la Terre !). Numériquement, considérer des ions O+ de densité 1,8x1012 mP3, densité égale à celle des électrons; IBJ = 1 gauss (loP4 tesla). La masse me des électrons est de 9,11x 10P28g et celle de O+, mi, est égale à me x 1836 x 16. Le rayon terrestre est de mètres et go, le champ de gravitation à la surface de la Terre, vaut 9,8 m sP2.

%

SOLUTION 1. Expression de la vitesse de dérive dans le champ gravitationnel.

EXERCICES DU CHAPITRE 2

317

On a montré (annexe XII) que la vitesse de dérive d’une particule chargée dans un champ magnétique B due à une force quelconque F o est donnée par :

où F D est, dans le cas présent, la force gravitationnelle.

Gy2me

-9.

Pour les électrons F D , = -et pour les ions F D = ~ Comme le montre la relation (3), ces deux particules, à cause du signe de leur charge, dérivent en sens opposé : il y aura donc un courant net. 2 . Calcul de la force gravitationnelle à 300 km d’altitude par rapport à la surface de la terre.

Pour une altitude z donnée par rapport à la surface de la terre telle que z << R (c’est le cas : (300/40000)27r = z / R !x 0,05), nous pouvons développer (1) au premier ordre par rapport à la surface de la terre ( 2 = O) :

Comme à la surface de la terre :

il vient de ( 2 ) et (4) :

F, = -mgo (I

-

g)

et, finalement, puisque B IF,, la vitesse de dérive ( ( 2 ) et (3)) est

3. La densité du courant de dérive gravitationnelle est due à la contribution des ions et des électrons qui, se mouvant dans des directions opposées (contrairement à la dérive électrique dans des champs électrique et magnétique), créent un courant net : J = netiDi - n e t i D e ( 7)

où V D et ~ ti^^ sont respectivement les vitesses de dérive des ions et des électrons. I1 vient donc :

J

=

ne

migo (i -

g) - megO(I

-

-eB

Cette dérive est perpendiculaire à la direction du rayon terrestre et à B

318

EXERCICES

4. Application numérique

J

E

4 x 107 10-4

)

1837 x 16 x 9,11 x

EXERCICES DU

CHAPITRE 3

EXERCICE 3.1 Les deux principales méthodes de description d’un plasma sont le modèle cinétique et le modèle hydrodynamique. Indiquer leur origine, leurs relations et leur intérêt respectif. Poser le problème de la fermeture du système d’équations hydrodynamiques et indiquer comment on peut le résoudre ; donner un exemple concret de fermeture.

SOLUTION Modèle cinétique Ce modèle tient compte, dans un cadre statistique, du mouvement individuel des particules, des micro-champs induits par le mouvement des particules chargées et des collisions. Modèle fondé sur l’équation de BOLTZMANN (elle-même résultant de l’intégration de l’équation de LIOUVILLE) qui décrit l’évolution de la fonction de distribution simple f i des vitesses des particules d’un type donné. Cette équation différentielle fait apparaître des interactions binaires collisionnelles exprimées par la fonction double f 1 2 à laquelle, pour permettre la solution de cette équation, on substitue (dans l’hypothèse de corrélations faibles entre particules) le produit des fonctions simples f i et f2 des particules de même type. L’équation différentielle de BOLTZMANN est l’élément central de la physique des plasmas à faible densité (interactions binaires). Modèle hydrodynamique Modèle de fluide continu faisant appel aux valeurs moyennes des propriétés particulaires, des champs induits et des interaction collisionnelles. Ces moyennes s’obtiennent à partir de la fonction de distribution en vitesse dont l’évolution est décrite par l’équation de BOLTZMANN du modèle cinétique. Ce modèle constitue une bonne approximation de la description de la plupart des propriétés du plasma, notamment en tout ce qui concerne le mouvement des particules chargées et les caractéristiques de la grande majorité des ondes qui s’y propagent. La description cinétique est plus précise et plus complète (certains phénomènes, peu nombreux cependant, ne pouvant pas être pris en comptes dans le cadre hydrodynamique), mais plus lourde mathématiquement à manier et plus complexe à interpréter que le modèle hydrodynamique.

EXERCICES

320

Structure des équattions hydrodynamiques et nécessité de leur fermeture Les équations hydroldynamiques sont, en principe, infinies en nombre, comme le montre la section 3.5. La succession de ces équations, par moment croissant de w, s’ordonne de ce fait, par ordre tensoriel croissant : ainsi, l’équation de continuité (moment w o )est d’ordre tensoriel zéro car elle est de nature scalaire, l’équation de transport de la quantité de mouvement (moment w’)est d’ordre tensoriel 1 alors que l’équation de transport du tenseur de pression cinétique (moment w 2 )est d’ordre 2 (voir annexe VI1 pour des notions de tenseur). Dans chacune de ces équations se trouve un terme où aqparaît une variable dont l’évolution est décrite par l’équation hydrodynamique de moment immédiatement supérieur et, donc, d’un ordre tensoriel supérieur d’une unité à celui de l’équation considérée. Cependant, comme cette quantité est affectée par un opérateur divergence, l’ordre tensoriel de l’équation considérée est préservé. Ainsi en est-il de la vitesse v (un vecteur c’est-à-dire un tenseur d’ordre 1) dans l’équation de continuité, équation d’ordre tensoriel zéro, puisque la grandeur v fait partie du terme V . n u , terme globalement d’ordre O : en effet, il y a contraction, du fait du produit scalaire, sur l’opérateur gradient, un vecteur, et sur la vitesse : plus de détails, annexe VII. Compte tenu des éléments du problème physique que l’on souhaite traiter, on ne retient généralement que les deux ou trois premières équations hydrodynamiques. I1 faut alors que la dernière de ces équations ne contienne plus la variable dont l’évolution est donnée par le moment d’ordre immédiatement supérieur. Ce processus, appelé fermeture du système, erst particulièrement bien illustré dans le cadre de l’approximation du plasma tiède et dails celle du plasma froid. Considérons l’équation hydrodynamique du deuxième moment (ordre tensoriel i),qui fait apparaître le terme V où 9 est le tenseur (ordre 2) de pression cinétique. Ce terme est, après contraction par le produit scalaire, d’ordre 1. L’approximation du plasma tiède revient à le remplacer par Vp, où p , est la pression cinétique (scalaire) des particules de type a : Vp, est bien d’ordre tensoriel 1 et le lien avec le moment w 2décrivant l’évolution de 2 est coupé. On peut aussi négliger toute agitation thermique (Ta = O) en posant directement P ! = 0 ou encore pa = O : c’est l’approximation du plasma froid. Dans ces deux approximations, on ne conserve que les deux premières équations hydrodynamiques, l’équation de continuité et l’équation du transport de la quantité de mouvement.

.*

EXERCICE 3.2 Considérer les deux équations hydrodynamiques suivantes :

metje = -eE-m,v(v, - v i ) , mitji = eE - rn,v(vi - v,) , où me et mi sont, respectivement, la masse des électrons et celle des ions, u, et vi, la

vitesse des électrons et celle des ions et v , la fréquence de collisions pour le transfert de quantité de mouvement, considérée constante.

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

32 1

a) En supposant qu’il s’agit d’un plasma froid, montrer que sous l’action d’un champ électrique alternatif E = Eoeëiwt,la densité totale de courant peut se mettre sous la forme : ne2E 1 m,/mi J = (3) m,u (1 m,/mi) - i ( w / u )

+

+

où n = n, = ni7 la densité des charges. b) Déterminer ensuite la permittivité relative de ce milieu et obtenir les approximations correspondant au cas où < 1, puis à celui où < 1 et < 1 : conclure.

2

,<

2

c) Pouvez-vous justifier l’origine et la forme du terme collisionnel dans les équations (1) et ( 2 ) ?

SOLUTION a) Dans un plasma froid soumis à un champ électrique alternatif, par hypothèse la vitesse des fluides de particules est purement périodique, d’où (2.28) v, = vg,e-iwt et vi = voi eëiwt. En tenant compte de cette propriété et en additionnant (1) et ( 2 ) , nous obtenons :

-iw(mev, + mivi) = O de sorte que, pour w

#O

:

,

(4)

mi

v, = -- vi .

(5)

me

En portlant ( 5 ) dans (1)’nous pouvons éliminer une des deux vitesses, ce qui conduit, dans ce cas, à :

+

miiwvi = - e E vi(miu + m,u) , eE e E ‘u. - z m i i w - miu - m,u

d’où :

En utilisant ( 5 ) cette fois dans ( 2 ) ’ nous arriverions à :

v, = -

eE

La densité totale de courant s’écrit alors

J et :

5

ne2E [1+---I me iw p l -neve + nevi = U mi u ne2E 1 m, /mi J = m,u i + m,/mi - i w / u

(&+&) ,

+

’

(6)

(7)

EXERCICES

322

b) De

(lo), par

identification ( J = o E ) nous tirons la conductivité totale :

ne2 m,u i

oz=-

+

I+m,/mi m,/mi - i w l u

‘

Sachant que la permittivité relative au vide d’un fluide de particules chargées soumises à un champ Eo eëzwta pour expression : c7

(2.40)

F p = l - 7 , ZW€O

nous obtenons de (il):

w& wu 2(i

€p=l--,

où nous avons posé

1 +m,/mi

+ m,/mi - i w / u ) = wp,. Par ailleurs, comme $ = 2,il vient : meto wPl

Ep=l--

+

wp, 1 wpi/wp, wu w / u + i(1 wpi/wp,)

+

’

permittivité pouvant s’exprimer sous la forme d’une partie réelle et d’une partie imaginaire e p = c r i c i .

+

Approximations intéressantes : 1. Pour m,/mi

«:1 (w$/w&

O), de (13) :

expression équ.ivalant à (2.41) pour le cas d’une dépendance du champ E en e-iwt

2. pour m,/m,i

< 1 et u / w << 1, de (14) :

soit l’expression (2.42)’ qui est purement réelle à la différence de (14). c) Dans les équations (1)et (2)’ seule la vitesse relative v, -vi des fluides d’électrons et d’ions appa,raît. Ceci signifie que seules les collisions électron-ion sont prises en compte : il n’y a pas de collisions avec les neutres, indiquant l’absence de particules neutres dans ce pl.asma. Considérons le terme collisionnel (3.117) de l’équation de transport de quantité de mouvement : 7’a

=-

VapnmPap(va - va) =

Bfa

Pa, .

-

(16)

,#a

Dans le cas où les particules Q sont des électrons et les particules /3 des ions, la masse réduite pat; se ramène à ma (m,/mi < 1). En posant ni = n, = n, alors

EXERCICES DU

C HAPI TR E

3

323

v,, = v,, = v et nous pouvons donc écrire de (16), pour les collisions des électrons avec des ions : P,,= -vnm,(v, - v,) . (17) Comme P,,= -P,,(3.123)’ :

P,,= -vnm,(v,

-

v,) ’

(18)

d’où les termes collisionnels respectivement des équations (1)et ( 2 ) . Les équations (1) et (2) sont, en fait, les équations de transport de quantité de mouvement, respectivement des électrons et des ions, dans lesquelles le terme convectif et le terme Vp, sont négligés. La densité n, qui apparaît explicitement dans ces équations (par exemple (3,114))’se met partout en facteur et disparaît.

EXERCICE 3.3 Soit un fluide d’électrons soumis à un champ magnétique B statique et dans lequel existe un gradient de pression, Vp.

a) Montrer qu’il en résulte une densité de courant J , perpendiculaire au champ B , donnée par : B AVp J x (1) B2 ’ b) Considérer le cas où le plasma est de forme cylindrique et soumis à un champ magnétique dirigé suivant l’axe de ce cylindre (axe z ) , champ supposé unifornie dans cette direction et de symétrie axiale. Pour un gradient de pression dirigé radialement vers l’axe du cylindre, montrer que : a

où a est le rayon du plasma. A cette fin, se rappeler l’équation de MAXWELL 8E V A B = poJ p 0 t 0 at où, dans le cas présent, = O (pourquoi ?).

+

c) Démontrer que la relation ( 2 ) est équivalente à l’expression : B2(T)

+ p ( r ) = Cl

(3)

2PO

où Cl est une constante quant à T .

SOLUTION a) Le modèle du plasma d’électrons de LORENTZ(8 3.7) conduit, à l’équation de transport de quantité de mouvement du fluide d’électrons, de vitesse v, et de densité n e ,sous la fornie : au, me= F E qe[E+ v e A BI

at

-

~

Vpe ne

-

~ , V U ,

.

(3.164)

EXERCICES

324

Cette équation montre que le terme - V p e / n , est une composante de la force totale F agissant sur le fluide, donc de la nature d’une force. Par ailleurs, nOU:j avons vu dans le cadre de l’étude des trajectoires individuelles que la vitesse de dérive w D due à l’action d’une force F D agissant sur une particule chargée soumise ;iun champ B a pour expression (annexe XII) :

(XII.2) En utilisant cette relation pour décrire la vitesse V D de dérive du fluide d’électrons nous obtenons : soumis à la force F D = -

2,

La densité de courant de dérive, J

n q v D , est donc bien donnée par la relation :

où la vitesse de dérive engendrant J est perpendiculaire à B et à Vp,.

b) La non uniformiti! du champ B dans la direction qui lui est perpendiculaire, comme cela a été montré en 9 2.2.3, fait en sorte que la composante B, va dépendre des différentes composantes perpendiculaires à l’axe. Ceci implique de considérer l’équation de MAXWELLsuivante :

VAH=J+e

ôE

Odt’

qui, écrite pour L? plutôt que H , donne

( ~ 0 6 0=

(5)

l/?) :

Comme nous ne sommes pas dans le cadre des trajectoires individuelles, le second membre de cette équation n’est pas nul de façon générale. Dans le cas présent, comme nous avons affaire à un champ B constant, la relation (1) indique que J est constant, ce qui par J = CJEentraîne = O. I1 ne demeure donc que J dans le second membre de (6).

%

Exprimons les différents termes de V A Ben coordonnées cylindriques (annexe XIX)

dB,

dB,

B étant dirigé suivant ê Z , les composantes B, et B, sont nulles ($ 2.2.3). Par ailleurs, du fait de la symétrie axiale, a‘p = O, il reste finalement :

Par ailleurs, en multipliant (1) par po, nous obtenons : POJ =Po-

BAVP

B‘2

‘

(9)

,

EXERCICES DU

CHAPITRE

En égalant (6) où

3

325

= O et (9), il vient :

et, en tenant compte de la relation (8) multipliée scalairement par le vecteur unitaire êip,il vient :

puisque V p = -êr% dans cette partie b). En intégrant (il)sur r’ de a à T nous avons bien la relation (2) :

[B,(T)- B,(a)] =

/

k*drI B, dr‘

a

c) Pour valider la relation ( 3 ) , nous la dérivons, ce qui conduit à :

c’est-à-dire à l’expression (il),puis à (2) par intégration de a à T .

EXERCICE 3.4 Considérer la distribution de vitesses des électrons donnée par la distribution de MAXWELL-BOLTZMANN modifiée suivante :

où w = (wç, wu, w,) est le vecteur des vitesses individuelles des électrons de densité ne et de masse me et A B , la constante de BOLTZMANN. a) Vérifier que, dans cette expression, ne représente bien la densité des électrons, celle-ci étant, par hypothèse, indépendante du temps et de la position dans le cas présent. b) Déterminer les éléments du tenseur de pression cinétique dans le cas d’une fonction de distribution séparée : ik G n,m,(uu) (2) où u = w - w avec w ( r ) ,la vitesse moyenne des électrons ; uu représente le produit tensoriel des vitesses individuelles, de nature strictement thermique (aléatoire), des électrons.

c) Donner une signification physique à la distribution (1) en indiquant comment on pourrait reproduire une telle situation en laboratoire.

EXERCICES

326

SOLUTION a) Rappelons d’abord les relations définissant les grandeurs hydrodynamiques, également appelées grandeurs macroscopiques, (Y ( r ,t ) ) :

(T(r,t))

t)

~

%(Y,

/

(3.40)

Y(r, w, t ) f ( r ,w , t ) d3w

W

où les crochets ( ) indiquent la valeur moyenne de la propriété microscopique T ( r ,w, t ) prise :#Ur la distribution en vitesse de f ( w ,r , t ) , de sorte que la densité moyenne, en posant ï = 1, a comme expression (3.39) :

n,(r,t)=

J’

f(r,w,t)d3w.

(3.39)

W

Rappelons que la fonction f ( r ,w, t ) est séparable si nous pouvons l’exprimer sous la forme suivante ( 5 3.3) :

La forme de l’expression (1)indique que la fonction f a été séparée et nous savons, de plus, que n e ,par hypothèse dans le cas présent, ne dépend pas de r . Nous devons donc vérifier que la fonction g(w) définie par intégrée sur toutes les vitesses, en l’occurrence :

F,

W

est bien égale à l’unité (condition de normalisation

7

Evaluons le terme

exp

{

-

[--I) 2 k s TL

:

dw,

(3.45)).

,

-00

en posant : d’où

et :

:

2m,wxdw, = 2zdx 2kBT1 zdx II: 1 dx dw, = (me/2k~T1)4 ( m e / 2 k ~ T _W~X) i ( m J 2 k ~ T 1 ) i ’z

de sorte que le terme ( 5 ) se récrit : exp(-x2) dz = 2 O

-00

Sachant que (annlexe XIX) :

exp(-z2) d z

s O

1 exp(-z2) d z = -fi, 2

.

EXERCICES DU

CHAPITRE

de (9), il vient

3

327

:

De façon similaire, nous trouverions que

en sorte que l'expression (4) vaut bien l'unité :

b) En présence d'une vitesse d'entrainemant w des électrons, il faut considérer une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN centrée autour de cette vitesse w (annexe I). Dans ce cas, la fonction de distribution (1) peut s'écrire :

En effectuant le changement de variable u = w - w , on peut écrire selon les composantes i = z, y, z : ui = wi - vi (16) et puisque la vitesse du fluide est constante : dui = dwi

(17)

d'où :

Intéressons-nous tout d'abord aux composantes hors-diagonale de 9, par exemple, q z v .Selon (2), ce terme s'écrit : Qzv

= me

I

~

z

~

~W ,ft)d3w ( ~

,

,

(19)

EXERCICES

328

soit, en tenant compte du fait que la fonction f ( r ,w , t ) est séparée (1) : Qzy = n,me

J’

uzuyf(w)d3w .

Après changement de variable :

C o c u C o

{ -$[

J’ J’ J’ exp

x --Co

-00

-cc

+

TL

“’I 1

-

uxug duzduydu, , ( 2 2 )

Til

intégrale qui est nulle puisqu’elle est impaire en u, et uy et qu’elle s’étend de à +m. Ainsi en est-il de toutes les composantes hors-diagonale.

-0û

Quant aux éléments de la diagonale de la matrice représentative de 9’ considérons, par exemple :

Qxx

(*)

= rime

0 0 w C o

x

J

/ J’ { -% [3+ exp

-00 -Co

u: duxduydu, . ( 2 3 )

T_i

-00

Til

rn, 112 2kB$L

se fait de façon analogue à celui de ( 5 ) en posant s’écrivant alors :

= x 2 , ce même terme

1 0 0

2(%.)’

2kBTL

exp(-x2)z2 dx

O

(F) ’J’ 3 0 0

=2

Selon l’annexe XIX,

s

exp(-x2)z2 dx

n v

J;; exp(-x2)x2 dx = 4

O

de sorte que le terme initial ( 2 4 ) devient :

.

(25)

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

329

d’où, finalement de ( 2 3 ) et en tenant compte de ( 1 2 ) et ( 1 3 ) :

- -

après intégration sur u y

après intégration sur uz

et : Nous trouverions pour les deux autres termes de la diagonale : = nekBTi

(29)

et : (@*,) = nekBTII de sorte que nous pouvons écrire (annexe VII) :

(30)

+ R k B q , ( ê L ê Z ).

= n k B T L ( ê , ê , 4- eyey)

c) Nous savons que la pression scalaire suivant chaque axe du système de coordonnées, pour des électrons obéissant à une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN caractérisée par une température Te,est donnée par :

Dans le cas présent, il y a anisotropie de la distribution des vitesses puisque l’on décrit l’énergie moyenne suivant l’axe z par une température Tii différente de TJ_, celle suivant IC et y. Une telle situation d’anisotropie s’obtient à l’aide d’un champ magnétique axial. Dans une longue enceinte de forme cylindrique ( L >> R ) , la diffusion radiale est moins importante si l’on ajoute un champ magnétique axial homogène (suivant z ) ( 5 3.8). La diffusion radiale dépend alors de la température T_i plutôt que de Til, la température qui existerait en l’absence de champ magnétique. Montrons que

TI

< Til.

Les coefficients de diffusion, en présence de champ magnétique, étant respectivement (3.192) et (3.195) : k B TI I (32) Dll = ’

m,v

il suffit de poser, de façon analogue à (32)’ que D l =

5

de sorte que T_L Til dans la mesure où w,,

2 v.

% et alors :

EXERCICES

330

EXERCICE 3.5 Soit un plasma plongé dans un champ magnétique uniforme dirigé suivant l’axe z (coordonnées cartésiennes), B = êZB,et soumis à un champ électrique HF, &eiwt, uniforme et d’orientation quelconque. Le plasma est froid et sans collisions, et le champ B est hors riwonance. a) Calculer le tenseur de permittivité diélectrique gP (relatif au vide) du fluide d’électrons en y faisant apparaître les pulsations électronique et cyclotronique, wPe et Wce.

b) Déterminer le tenseur gP décrivant à la fois le fluide d’électrons et celui des ions (ionisés une fois) en faisant ressortir les pulsations wPi et wc, des ions.

SOLUTION a) Nous savons que le tenseur de permittivité gP est lié au tenseur de conductivité 0 par la relation tensorielle d’ordre 2 (2.122) :

où 1 est le tenseur unitaire (matrice unité). La conductivité 0 peut s’obtenir de la densité de courant J = nqv puisque J = 0 . E. Compte tenu des hypothèses indiquées, nous pouvons décrire le mouvement du fluide d’électrons à partir des équations du mouvement d’un électron individuel (voir (2.7)-(2.9)) en y utilisant comme composantes de la vitesse celles du fluide d’électrons. Ainsi :

En éliminant wy apparaissant dans (2) à partir de la relation (3)’ il vient sucessivement :

v,

I=

e Ex- are e -Ey m,iw w L me

--

+ 4-v,e W2

, WE, - w,,E-,

v,

-

-1

WCe

1--

W2

W2

- WCe W2

(7)

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

331

1 1

d’où, finalement : me

De même, nous obtiendrions :

’:.=-[

e

me et :

iwE,+wc,Ex w2 -wCe

V, =

i

e

w

m e

.

--Ez

Exprimons la composante J , du courant électronique (2.119) :

J,

G

1

-neeu, = -__

+

+

= a L Z E x ozyEy mXtEz.

(11)

La composante mzz di1 tenseur 0 est celle, dans le développement de J , E - n e e u , qui affecte la composante E, du champ, d’où, de (8) et de ( I l ) : o x x = - - [ne2

],

iw

me w 2 - w & dont la composante correspondante de la permittivité (1) est donnée par Epxx =

1

o, nee2 1 += 1- mecow2 w& 2

ZWfO

=I-

wpe w2 - WCe

-

.

Pour la composante ox, (terme de J , affectant Ey),de (8) et (il),il vient :

nee2

2

Wce

Wpe Wce

et de (1),en nous rappelant que les éléments de la matrice gonale :

On trouverait de même que tpyy= cpZz et que c p y x = de (10) :

alors :

La matrice représentative de

Epzt

cp est

= 1-

wp. w2

de la forme

.

sont nuls hors dia-

- E ~ , ~ .Quant

à cptz, comme

EXERCICES

332

cette symétrie apparaissant de façon générale (relations ~ ’ O N S A G E R dans ) un plasma soumis à un champ B uniforme, dirigé axialement (axe 2 ) . En portant dans (18) les valeurs des composantes de g p , nous obtenons :

c =

(19)

-P

O

O

où nous avons fait apparaître les pulsations w,, et wee.

b) Pour calculer la conductivité électrique à la fois des fluides d’électrons et d’ions, , il suffit de rappeler que les courants électroniques et ioniques s’ajoutent l’un à l’autre. En effet, dans l’expression des composantes de la densité de courant, la charge apparayt sous la forme de e2 (voir (il),par exemple) de sorte que ces deux courants s’a.dditionnent bien. Alors, avec ne = ni = n :

~,,,,,

eB où w,i = -- de sorte que, à la fin mi

EXERCICE 3.6 De l’équation de conservation des particules, pour un plasma ne comportant qu’un seul type d’ions, on obtient, à l’état stationnaire, que V . ï e= V . ri, où ï eet ri représentent respectivement le flux particulaire des électrons et des ions. Considérer le cas d’une décharge en régime de diffusion ambipolaire sans champ magnétique appliqué.

a) Montrer que : et :

où pe et pi désignent la mobilité des électrons et des ions, n, et ni la densité des électrons et des ions (ne= ni = n ) et 4 le potentiel lié à la charge d’espace. b) En posant l’hypothèse que :

V$ A Vn = O ,

montrer que la différence de flux ï e-

est indépendante de la position.

(3)

EXERCICES DU CHAPITRE 3

333

c) Considérer le cas particulier où la densité des particules obéit à une distribution de BOLTZMANN :

où la température est supposée indépendante de r . Montrer qu’alors l’hypothèse de la relation (3) est vérifiée.

SOLUTION a) En diffusion ambipolaire, nous savons que le flux particulaire des électrons a pour expression (3.260) : re= peneED- DeVne. (5)

En prenant le rotationnel de cette relation, nous obtenons :

V

A

re= peV A ( n e E o )- D,V A V n , ,

(6)

où nous avons tenu compte de l’hypothèse, implicite en (5), que De est une constante en fonction de la position. Le terme D,VAVn est, en fait, nul car le rotationnel d’un gradient est toujours nul (annexe XIX). Quant au terme V A(n,Eo), avec E D = -V$(r), il se développe pour conduire à :

VA re= p,(n,V A E D + V n , A E D )= -p,(neV A V 4

+ Vn, A V 4 ) .

Finalement, comme le terme V A Vd est nul lui aussi, il vient :

V A re= -p,Vn, A V 4 , et puisque n, = ni = n, nous avons bien :

V A re= p e V i A V n . De même pour les ions, nous avons

:

VAri=piV4AVn. b) En recourant à l’hypothèse (3), les équations (1) et (2) donnent :

d’où : et, effectivement, re- ri = constante (spatialement). c) De (4) :

de sorte que :

V# A V n =

[ (&), (,)I

par définition du produit vectoriel.

v$A v$= O ,

(7)

EXERCICES

334

EXERCICE 3.7 Considérer un plasma soumis à un cha.mp électrique E = EOeiwf,plasma que l’on décrit par son fluide d’électrons, qui est ici supposé froid. L’équation du mouvement de ce fluide est donnée par :

-eE - mevu où nz, est la niasse de l’électron, e sa charge en valeur absolue et w sa vitesse moyenne, et u est la fréquence moyenne de collisions pour le transfert de quantité de mouvement ; les quantités w et E’ sont exprimées en algèbre complexe mais E o , l’amplitude du champ, est réelle. a) Montrer que la vitesse moyenne de ce fluide et son déplacement dans le champ alternatif sont do.nnés respectivement, à une constante près, par :

b) Déterminer l’expression de la conductivité électrique complexe de ce fluide. c) Montrer que la pastie réelle de (2) peut se mettre sous la forme : eEo

v(t) = -m

p = arctan

Où

d) Déterminer

1

cos(wt

(UZ + w 2 ) S

Ecin, l’énergie cinétique

+ p)

(-:)

(4)

(5)

moyenne sur une période du champ E.

e) Montrer, enfin, que O,, la puissance moyenne absorbée du champ E par électron,

SOLUTION a) L’hypothèse du plasma froid (0 3.6) fait que les électrons ne se déplacent que sous l’influence du charnp E = EOeiwt, de sorte que :

v = woeiwt . La solution de (1) est immédiate puisque (7) dans (1) donne : (mevgiw)eiwt= -eEoeiwt - m,vv c’est-à-dire :

v

eEo $Wt me u t i w

(7)

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

335

En intégrant (2)’ à une constante près, on a bien :

eEo 1 eiWt - eEo eiWt (3) i w m , v iw m e w w - iv b) Par définition, la densité de courant s’écrit J = nqv = o E où q = -e pour des électrons. De (2), nous arrivons directement à : T =

+

J = - ne2Eo -

1 me v + i w

ezWt

(9)

où la conductivité, complexe, a pour expression :

ne2 1 me u + iw

O=--.

c) En multipliant (2) au numérateur et au dénominateur par ( v - i w ) , nous obtenons :

v=

eEo v - i w eiWt me u2 + w2

Sachant qu’un nombre complexe z peut s’écrire sous la forme :

z = Izlei‘D = lzl(coscp+isincp) ,

(12)

a,

nous remarquons que le terme devons démontrer, peut s’écrire :

comme le suggère la relation (4) que nous

v (v2

+lw 2 ) i [ (v2 + w2)h

où, par identification avec (12), c o s p =

-

(v2

” (V2+WZ)2

+iww 2 ) i

1

et s i n 9 =

(13) de sorte

(VZ+W

12

que v (il)se récrit : ‘u

où

:

eEo m

= -~

( ~

1 +2 w2)3 ei(v+wt)

p = arctan

(- ):

.

(14) (15)

La partie réelle de v a alors pour expression :

R(v) = -

eEo ‘ cos(p + W t ) . m,(d + W”+

Remarque : Les expressions (15) et (16) montrent qu’en l’absence de collisions (v = O), v et E sont déphasés de .; Ce déphasage tend vers zéro quand v est très grand devant w , c’est-à-dire + O.

d) L’énergie cinétique moyenne &in, dans le cas où la vitesse est une quantité variant périodiquement en fonction du temps (7), peut se calculer, en algèbre complexe, sous la forme : me 1 1 -met? = -X(vv*) = -mevu* . Ecin (17) 2 4 4

EXERCICES

336 De ( 2 ) , il vient donc

e) La puissance instantanée étant F E à un électron est (2.33) :

. O , la puissance moyenne transférée du champ

et en comparant (19) avec (18), nous avons bien : -

e, = 2 u ~ c i ., Remarque : L’expression ( 6 ) n’est valable que pour

(6) Y =

constante quant à 2i.

EXERCICE 3.8 Considérer la conductivité tensorielle 0 des électrons du plasma. Montrer, dans le cas où E est un champ électrique alternatif, que celui-ci transfère aux électrons, en moyenne sur une période de sa pulsation, une énergie par unité de volume égale à :

w = [+(O>.

E O ]. Eo

où !I?(& désigne la partie réelle de 0 et Eo est l’amplitude du champ.

SOLUTION Le travail par unité de temps et par électron dans le champ E est F . v où F = -eE. La valeur moyenne de ce travail sur une période du champ alternatif E = &eiWt est (2.33) :

8

8, = - - [ e E . v*] . 2

(2)

Pa,r unité de volume, l’énergie moyenne transférée aux électrons est donc : 8 W = - - [ e E . v*]ne

2

où ne est la densité des électrons. Nous rappelant que, jpar définition :

J = -n,ev nous pouvons exprimer ( 3 ) sous la forme :

L

4

,

(3)

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

337

puisque la somme de deux quantités complexes conjuguées est réelle. Alors :

w

1

1

- [ E . o * . E * + E * . o . E ] = - [ E . o * . E * +E.a.E*] 4 4 1 1 ; [ E . (O* + 0) . E * ]= - [ E .2R(o) . E*] 4 =

Puisque E = &eiWt, E* = Eoeëiwt, alors

Noter la présence des deux produits scalaires pour que le tenseur de conductivité d’ordre 2 conduise au scalaire W (double contraction, voir annexe VII).

EXERCICE 3.9 Considérer une longue colonne de plasma en régime de diffusion ambipolaire parfaite, à l’état stationnaire, contenant des ions positifs (ionisés une fois) et négatifs, respectivement de densité locale ni(.) et n - ( r ) ,et des électrons de densité n e ( r ) . a) Montrer que les flux de diffusion des trois espèces chargées sont liés par la relation :

neve+ n-v- = niwi

(1)

b) Illustrer la signification physique de l’hypothèse de proportionnalité qui, dans le cas présent, est :

Existe-t-il un lien entre cette relation et celle exprimant la neutralité macroscopique de ces particules ? Tracer les profils dans le cas d’une longue colonne cylindrique avec densités des espèces nulles sur la paroi. On fera l’hypothèse qu’il n’y a pas de gaine ionique à la paroi. c) Montrer que le coefficient de diffusion ambipolaire des ions positifs est donné par :

où Dk est le coefficient de diffusion libre et pi, la mobilité des divers types de particules (k = e , i, -).

SOLUTION a) A l’état stationnaire, l’équation de continuité pour chaque type de particules s’écrit (3.237)-(3.238)) :

EXERCICES

338

où les S k sont les termes sources représentant le nombre net créé par seconde et par unité de volume des particules chargées considérées (IC = e , i , -). Les électrons et les ions positifs sont généralement créés par collisions électron-neutre sur l’atome (molécule) et l’ion négatif s’obtient par attachement d’un électron à une particule neutre ( 5 1.7.1). De toute façon, quels que soient les mécanismes de création (et de pertes en volume s’il y a lieu), les termes sources sont liés par l’égalité des charges négatives et positives créées, soit Se S- = Si,d’où de (4) à (6) :

+

+

neve

n-2)-

= nizli

.

(1)

b) L’hypothèse de proportionnalité (§ 3.10)’ dans le cas présent, implique :

en chaque point r , les constantes Cj étant indépendantes de r ; il en découle bien que :

Le profil de densité est le même pour les trois espèces chargées : en effet, chacun des termes de (2) étant égal à la même constante C, nous sommes en présence de trois équations de la forme Vnk = C n k avec la même valeur propre C (3 3.9).

2

Dans une longue colonne cylindrique avec les densités nulles sur la paroi, nous obtenons approxiniativement les profils présentés sur la figure suivante.

Profil de densité des espèces chargées en présence d’ions positifs et négatifs en supposant n k ( R ) = O

R

O

Par ailleurs, la neutralité macroscopique imposant :

+ n- , n . + ni 2 ci c,

ni = ne de ( 7 ) , (8) et (9) nous avons :

n. -

d’où :

-

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

339

ce qui montre que l’hypothèse de proportionnalité ne permet pas de connaître la répartition des charges négatives entre électrons et ions négatifs. En chaque position T , les valeurs absolues de ces trois densités, indéterminées dans le présent problème, doivent vérifier la neutralité macroscopique. Remarque : Rappelons que les résultats précédents ont été obtenus dans le cas d’une diffusion ambipolaire parfaite avec l’hypothèse d’une densité nulle des espèces à la paroi (pas de gaine ionique). Dans le cas où une gaine ionique s’établit, seuls les électrons les plus énergétiques peuvent s’échapper du plasma vers les parois. En revanche, dans ces conditions, les ions négatifs (LBT- = LBT~< LBT,) demeurent confinés dans le plasma.

c) De ( l ) ,on sait que le flux des ions positifs doit être égal au flux total des électrons et des ions négatifs d’où, en appelant I’ cette valeur commune (3.245) : E njvi = - D i V n i

= -DeVne

+ p,n,ED

-

+PiniED ,

D,Vn-

+ p,n-ED

(11)

,

(12)

où ED est le champ ambipolaire de charge d’espace. Multiplions (11) par p e n e et (12)’ il vient :

+ pnn-

et (12) par -pini ; en additionnant alors (11)

r ( p u , n e+ pnn- - p i n i ) = -DipL,n,Vni - Dip,n-Vni

+ D e p i n i V n , + D,piniVn-

.

(13)

En utilisant ( 2 ) , de (13) nous obtenons : r ( p e n e + pnn-

-

p i n i ) = - {ne[Dipe - Depi]

[Dipu,- D n p i ] }Vni (14)

I? = - D a p V n i

d’où, en posant : suit l’expression de Da,

+ n-

:

EXERCICE 3.10 Considérer un plasma composé d’électrons, d’atomes neutres et d’ions (à une seule charge positive). Les électrons et les ions sont soumis à une diffusion ambipolaire parfaite et se meuvent, de ce fait, sous l’influence du champ de charge d’espace comme deux fluides décrits chacun par l’équation de LANGEVIN correspondante. a) Dans le cadre de cette description, qui suppose que les fréquences de collisions sont indépendantes de la vitesse des particules, le terme collisionnel de l’équation des particules de type Q, de densité n,, est donné par (3.130) :

EXERCICES

340

où p , ~est la masse réduite des particules de type a et /3,

u , ~est la fréquence de collisions des particules de type O! avec les particules de type /3 ( a ,/? = e, i, n pour électrons, ions et atomes neutres). Montrer qu’en première approximation ce terme peut se réduire, pour le fluide d’électrons et le fluide d’ions, respectivement à :

b) Dans le cas d’un régime stationnaire, en l’absence de champ magnétique mais en présence d’un champ électrique (macroscopique) E , montrer que l’existence d’un gradient spatial de la densité na des charges et d’un gradient spatial de la température Ta de ces espèces fait apparaître une vitesse dirigée des particules qui peut s’écrire sous la forme :

où l’on reconnaît :la mobilité de ces particules pa = q,/panu,,, leur coefficient de diffusion D , = kBT,/p,,u,, et leur coefficient de diffusion thermique DU = k.BT,/pcunuan (l’égalité D, = Da est liée à l’hypothèse que vola ne dépend pas de la vitesse des particules), k~ étant la constante de BOLTZMANN. c) Dans le cas d’une diffusion ambipolaire parfaite, établir la valeur du champ ED de charge d’espace en fonction des coefficients de la relation (4).

SOLUTION a) Dans le cas du fluide d’électrons, le terme collisionnel (1) se développe pour donner :

Fe

- = -penuen(ve ne

-

un) - p e i u e i ( v e

-

vi) .

(5)

En régime ambipolaire parfait, les ions et les électrons diffusent solidairement à la même vitesse, de sorte que le second terme de l’équation (5) est nul. Par ailleurs, le fluide d’atomes neutres n’étant pas soumis au champ de charge d’espace, il n’a pas de vitesse dirigée (v, = O). I1 s’ensuit que (5) se réduit bien à :

Dans le cas d’un fluide d’ions, le terme collisionnel (1) a pour expression :

5 - - p .zn v.zn ( V i - un) -

ni

-

pieuze(vi- v,) .

(6)

Pour les raisons déjà évoquées, Y, - vi = 0 et un = O, de sorte que le terme collisionnel du fluide d’ions se ramène bien à :

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

341

Nous pouvons donc écrire le terme collisionnel des fluides d’électrons et d’ions sous une forme commune aux deux fluides :

où

(Y

= e ou i .

b) A l’état stationnaire, l’équation de LANGEVIN des particules de type s’écrit, compte tenu de ( 7 ) et en négligeant le terme convectif ( !) :

(Y

(3.130)

où p a = n,kBT,. En explicitant p , où n, et T, dépendent de la position, nous avons après réarrangement des termes :

En 5 3.8, nous avons traité le cas de la mobilité et de la diffusion des particules chargées quand V T , = O. Nous avons alors eu à déterminer deux solutions particulières. I1 nous suffit maintenant de rechercher la contribution particulière ajoutée à cette solution (3.205) par le terme en V T , qui de ( 8 ) s’écrit pour E = O et Vn,=O:

LBTa VTa = -~ Panvan

Ta

D’VT, Ta

--

.

(10)

c) Au total, nous avons donc :

Da 00: -Vn, - -VT, . (4) na Ta Pour déterminer la valeur du champ de charge d’espace ( E = E D ) ,procédons comme en 5 3.8. De (4), nous avons respectivement pour le flux des électrons et celui des ions : v, = p,E

re

=

-

-D,Vn,

-

DT e n e . V T e peneED , Te.

+

(11)

L’hypothèse de congruence nous permet de poser re= = I’ et celle de proportionnalité, dans le cas ambipolaire, conduit à ne = ni = n. Nous pouvons donc écrire en soustrayant (12) de (11) et en divisant par n :

de sorte que :

EXERCICES

342

EXERCICE 3.11 Pour décrire une longue colonne cylindrique de plasma en régime de diffusion ambipolaire, on a utilisé lerj équations hydrodynamiques suivantes :

V . (nw,) = vin = -peEn

1

-

,

-V(D,n) n

(1)

,

où les indices e , i et n se rapportent respectivement aux électrons, aux ions et aux atomes neutres; n = ne = ni, w, est une vitesse dirigée radialement, vi est la fréquence d’ionisation, ,ue est la valeur absolue de la mobilité électronique et De est le coefficient de diffusion libre des électrons ; vin est la fréquence de collisions ion-neutre pour le transfert de la quantité de mouvement, mi est la masse des ions et Ti, leur température, k~ est la constante de BOLTZMANN et E D ,le champ électrique de charge d’espace lié à la diffusion ambipolaire.

a) Indiquer ce que relprésente chacune de ces équations et à quel type de particules elles se rapportent. b) Obtenir l’équation (3) en utilisant judicieusement les équations hydrodynamiques de transport.

SOLUTION a) Du fait que le plasma est de forme cylindrique et que l’on suppose cette colonne infiniment longue, le système d’équations est décrit en coordonnées cylindriques (réduites à ê,) et les phénomènes de dérive et de diffusion dans la direction axiale sont négligés.

L’équation (1) est l’équation de continuité à l’état stationnaire ((3.92) et (3.93)), valable à la fois pour les électrons et les ions : en effet, en diffusion ambipolaire, il y a neutralité macroscopique ( n = ne = 12%)’ de sorte que la vitesse de diffusion radiale w, est la même pour les fluides d’ions et d’électrons, ce qui est conforme à la notion de diffusion ambipolaire parfaite. Le terme vin représente, par unité de volume, la fréquence d’ionisation par collisions électron-neutre sur l’atome dans son état fondamental ( 5 1.8). L’équation (2) décrit : 1) la dérive radiale du fluide d’électrons dans le champ ambipolaire E D ; 2:) la diffusion radiale des électrons du fait du gradient de n ( r ); 3) le transport radial d’énergie, car la température électronique, Te( T ) , intervient dans l’expression du coefficient De affecté par l’opérateur gradient. La relation (2) nous permet de calculer w,. Noter qu’ici pe est positif à la différence de notre convention (comparer avec (3.205) pour le signe devant pe dans (2)). L’équation (3) est l’équation de transport de la quantité de mouvement des ions (à une seule charge positive) à l’état stationnaire où l’on a conservé le terme convectif ( O , . V)u, (3.130). Nous expliquerons en b) la raison de la présence du

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

343

terme d’ionisation en volume. I1 n’y a pas de champs extérieurs ( E ou B ) pour agir sur les particules, mais seulement un champ ambipolaire E D .

b) Pour retrouver l’équation (3)’ revenons à fj 3.5 où l’équation de transport de la quantité de mouvement, pour des particules d’espèce a (équation (3.130)) s’écrit :

En l’absence de champ E et B extérieurs mais en tenant compte du champ électrique ambipolaire E D ,nous obtenons pour des ions de masse mi égale à celle des neutres :

où, du fait de l’état stationnaire (l’équation (1) le montre), nous poserons :

-du, =o. at Dans l’hypothèse où Ti ne dépend pas de la position et en considérant que w, = O (le fluide de neutres n’est pas entraîné par le champ E D ,donc il est immobile), il vient de ( 5 ) ’ en divisant par mi :

où il manque le terme uiv, présent dans (3). L’absence de ce terme vient de ce que, dans la dérivation de (4) en § 3.5, on a eu recours à l’équation de continuité sous la forme :

dn dt

-

+v

. (nu)= O ,

c’est-à-dire sans second membre alors que l’équation (1), qui est l’équation de continuité à l’état stationnaire, fait apparaître effectivement un terme d’ionisation en volume, et seulement ce terme car il n’y a pas de recombinaison en volume. Pour obtenir l’expression (3), il faut donc revenir à l’équation du moment d’ordre un en w (3.106) qui, dans l’hypothèse où V .gse réduit à V p , s’écrit :

d ma-(now,)

at

+ m,w,(V.

+

n o u a ) n,m,(v,. -

-

+

V)V, V p , V,B~*PL,P(V,

-

nF,

- VB)

’

(9)

O#, En appliquant cette relation aux ions, en supposant mi = m,, nous avons pi, = mi/2 et en posant les mêmes hypothèses que pour la relation (7)’ nous obtenons en divisant par mi :

EXERCICES

344

v T ( V nu,) .

Vn + n ( v , . V ) v , + kBTi mi ~

-

e n-Eo mi

Vin

= --vTn 2

.

(10)

Puis, tenant compt#ecette fois de l’équation de continuité (l),il vient de (10) après division par n :

e k ~ T Vi n uin uiv, + V, . V UT -- - E D - mi n -2 mi qui est bien (3) sauf pour le facteur associé à vi,.

1

(3’)

Remarque : La différence de facteur associé à uin provient du fait que la valeur de uin utilisée dans l’équation (3) est la fréquence effective de collision définie de manière générale par : u& ==

mg J’27ri?(H)(l ngwaBma mg

+

-cosû)sinûdû

O

qui permet d’écrire le terme de collision Pa, sous la forme :

soit encore (en utilisant les mêmes hypothèses que pour (3.120))

Fag = -m,n,u:B(v,

- vg)

Avec ce formalisme, le terme de collision dans (3) s’écrit bien :

et ne nécessite pas, à ce stade, la connaissance de la masse des neutres.

EXERCICE 3.12 En recourant à un développement en harmoniques sphériques dans l’espace des vitesses pour la fonction de distribution complète f ( r ,u t ) , démontrer que le coefficient De de diffusion des électrons et leur mobilité p e , dans une décharge en courant continu, sont donnés respectivement par :

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

345

où n e ( r )est la densité électronique, w , la vitesse individuelle des électrons, v(w), la fréquence microscopique de collisions électron-neutre pour le transfert de la quantité de mouvement, fo(r,w), la fonction de distribution à l’ordre zéro dans le développement en harmoniques sphériques (donc isotrope), e et me,la charge et la masse de l’électron. Indiquer les hypothèses utilisées au cours du calcul. Vous limiter à l’ordre 2 du développement. SOLUTION 1. L’expression générale pour le coefficient De de diffusion des électrons est (3.203) :

D e

-A(?!) 3

-

(3)

v(w)

où les crochets ( ) représentent la moyenne sur la fonction de distribution dans l’espace des vitesses. Rappelons que la moyenne sur une variable particulaire de la fonction T(r,w , t ) se définit, au sens hydrodynamique, par : (3.40) W

lorsqu’on utilise la fonction complète f ( r ,w , t ) (par opposition à la fonction séparée f ( w , t ) ) .Dans le cas présent, De qui est une grandeur moyenne, s’écrit donc :

W

où w2 E w

‘20

est un scalaire

Nous allons utiliser un développement en harmoniques sphériques, lié à un système de coordonnées sphériques dans l’espace des vitesses avec l’axe z suivant la direction d’anisotropie résultant soit du gradient de diffusion des particules ou du champ E provoquant la dérive des particules. Nous poserons que dw = 2rw2 sin û dûdw, ce qui signifie que nous avons intégré directement sur l’angle cp (hypothèse d’isotropie autour de l’axe z contenu dans la forme du développement ( 5 ) ) . En nous limitant à l’ordre 2, f ( r ,w ) a pour expression :

Portons maintenant (5) dans (4)’ ce qui donne :

+ f2(r,w)

1

3cos2û - 1

27rw2 sin0 dûdw

.

(6)

Des différents termes du développement de f ( r ,w ) , seul celui de la fonction f o contribuera à l’intégrale pour De car la dépendance en B du terme d’ordre 1 est telle que :

EXERCICES

346

-s O

cosûd(cos8) = -

2

et, de même, pour le terme d’ordre 2 puisque : -

] 3c0s2 8

-

2

1 d(cos8) = 1 [cos38 2

COS^]^ = O ,

O

2. La mobilité est liée à la conductivité électrique o par la relation (3.185) :

(7)

o = nqp

où q = -e pour un électron. Par ailleurs, nous avons déjà calculé CJ pour des électrons dans un champ électrique HF, mais dans le cas d’une fonction de distribution f ( r ,w) séparable en un produit d’une fonction de r par une fonction de w (3.44) :

f ( r ,w)= .(r)f(w) Nous avions alors obtenu

(0

’

(8)

3.4)165 : (3.63)

Pour arriver à l’expression de oe faisant intervenir la fonction complète f ( r ,w), nous utiliserons la relation (8) à l’inverse. En y posant ensuite w = O pour le cas d’une décharge en courant continu, il vient :

Pour obtenir pe de o e ,selon la relation (7) il suffit de diviser (9) par -n,(r)e, soit :

c’est-à-dire, après rèarrangement : M

165 ~ I J ( W )est le terme à l’ordre zéro (isotrope) du développement en harmoniques sphériques de la fonction séparée f ( w ) .

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

347

Remarque : La conductivité électrique, qu’elle soit électronique ou ionique, est toujours positive. Le fait que la relation (9) soit précédée d’un signe moins vient de ce que la mobilité pe définie par (10) est négative, comme il se doit selon notre convention habituelle.

EXERCICE 3.13 Considérer une longue colonne de plasma d’hélium de rayon R = 1 cm à une pression p = 0,4 torr. La température électronique est de 1 eV et la température du gaz Tg et celle des ions Ti sont voisines, à environ 300 K. Le plasma est faiblement ionisé et, à ces valeurs de Te et p , la fréquence moyenne de collisions électron-neutre veri est lo9 s-’ et la mobilité des ions pi0 à 760 torr et à Tg = 273 K vaut 10,4 cm’V-ls- . La densité du plasma sur l’axe est de 10l6 particules ni-3. En t = 0, on coupe la source d’entretien de la décharge.

a) Décrire le comportement du plasma en t > O en supposant Te constant et estimer le temps caractéristique de décroissance de la densité du plasma. b) Etendre vos considérations dans le cas où est appliqué un champ magnétique statique de 0 , l T dirigé axialement. r) Continuer avec les mêmes hypothèses qu’en b) sauf pour la pression qui est maintenant de 0 , l mtorr et v qui se trouve abaissée de façon correspondante.

SOLUTION a) Nous avons examiné en 3 3.9 le mécanisme de décroissance d’une post-décharge. Si celle-ci se trouve en régime de diffusion, la décroissance de densité est exponentielle et cette décroissance est finalement régie par le mode fondamental de diffusion qui pour une longue colonne de plasma correspond à la longueur caractéristique de diffusion A = &. Le temps caractéristique de decroissance exponentielle, T O , est lié à A et au coefficient, de diffusion D (3.218). I1 nous faut donc déterminer si le coefficient D est celui de la diffusion libre ou ambipolaire. Notons que dans le cas où le libre parcours moyen est petit devant i l , le régime de recombinaison en volume est a priori également possible mais, compte tenu de la densité relativement faible du plasma, nous éliminerons dans le cas présent cette possibilité. Par contre, si le libre parcours moyen des électrons, e, est plus grand que A, la décroissance serait celle d’un plasma en chute libre, cas non abordé dans cet ouvrage.

Vérifions d’abord qu’il ne s’agit pas du régime de chute libre. Rappelons que = (1.127) et, numériquement dans le cas présent, q h / v = 5,9x105 m/s (pour 1 eV)/109 s-’, soit l = 6 x 10W4m qui est beaucoup plus petit que R qui vaut lop2 m, excluant ainsi la chute libre.

e

y

Montrons ensuite qu’il s’agit d’une diffusion ambipolaire, en contrôlant que le critère n,oA2 2 lo7 cmpi (3.269) est vérifié : en effet, d’après les données du problème’ n,o = lolo ~ m - A ~ = , de sorte que n e 0 A 2 = 1,7 x l o 9 cm-l. La diffusion demeure encore ambipolaire même lorsque la densité a décrû de l / e (37% de la densité initiale).

A,

EXERCICES

348

Calculons le temps, caractéristique ?‘-O de décroissance du plasma. Ce temps apparaît dans l’expression de décroissance (3.2 16)

n ( r ,t ) = n ( r ,O) exp - ( V o l t ) avec

?‘-LI

= u,:

où

1/01 est

la fréquence de diffusion du mode fondamental :

I1 faut donc calcuber Da ; comme T, chée, plus simple :

> Ti, nous utiliserons son expression appro(3.274)

et, numériquement, :

1,38 x 10-23(m2kg sP2KK-’)x 11600 (K) x 2,2 (C kg-ls) i , 6 x 10-19 (c)

Da = =

2,2 m2sp1

de sorte que l’expression (1) vaut : A2 70

=Da =

2

10-2

(m)

(m2)

1 2,2 (m”-1)

= 7,9 ps

b) Nous sommes toujours en régime de diffusion, et de diffusion ambipolaire. Cette fois, il faut calculer D,L :

Da1 =

Delpal - D z ~ p e l Pai - P e l

(3.278)

Nous avons wee = 2i7fce où f e e (Hz) = 2,8 x (gauss) = 2,8 GHz, f c Z = 2,8 GHz 3,8 x 10” Hz = 0,38 MHz, d’où w,, = 1,76 x lo1’ sP1 et we, = 2,4 x lo6 = rn,/m, s-l, soit, compte tenu de (3.181) et (3.195) :

Del

X !

Di1

CY

[ ]

x 11600 x lo9 = 0,58m 2 C 1 9 , i i x 10-31 x (i,76 x i o y

~ B T P- = 1,38 x

~-

meL’

wee

1,38 x x 300 x 2,2 kBTi = 5,7 x i o p 2 m2sP1 pi = e i , 6 x 10-19

~-

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

349

Nous constatons que le champ magnétique conduit à une valeur de D,l inférieure d’un facteur 4 à celle de D a . Ce résultat est conforme au fait que wce > v.

c) I1 nous faut recalculer le libre parcours moyen Comme :

e des électrons pour v à 0’1 mtorr.

v = N(â(w)w),

(1.125)

où N est proportionnel à la pression, la fréquence de collision sera réduite du même facteur que la pression, soit un facteur 4000. On obtient donc v (0’1 mtorr) = 2’5 x lo5 s-l et = 6 x l o p 4 m x 4000 = 2’4 m : les particules sont en régime de chute libre !

e

EXERCICE 3.14 Considérer un plasma d’argon de densité électronique lo1* m-3 dont la température des électrons est de 10 eV, celle des ions et des neutres de 300 K et la pression gazeuse totale de l o p 4 torr. La colonne cylindrique (axe z ) de plasma se trouve située dans une machine linéaire limitée à ses deux extrémités par des miroirs magnétiques. On veut chauffer ce plasma (déjà créé par d’autres moyens) en utilisant la résonance cyclotronique électronique (RCE) dans la zone de champ magnétique uniforme. A cette fin, on utilisera une fréquence $ du champ électromagnétique telle que = lofpe où f p e est la fréquence des électrons du plasma e t on supposera que la description des trajectoires individuelles peut être appliquée au fluide d’électrons.

e

a) Déterminer l’intensité du champ magnétique requise pour qu’il y ait chauffage du plasma par RCE dans la région où celui-ci est uniforme. b) Calculer le rayon initial de Larmor des électrons dans cette même région avant l’application du champ HF. c) Déterminer le rapport R de miroir de façon à ce que la perte de particules, dans le cas d’une distribution des vitesses initialement isotrope, soit inférieure à 20%. d) Tracer un graphique approximatif de B ( z ) ,compte tenu de la question c).

e) Sachant qu’un effet non linéaire (instabilité dite paramétrique) dû à l’action du champ électrique HF risque d’apparaître si X E , l’amplitude d’oscillation des électrons dans le champ HF (encore appelé paramètre d’excursion), dépasse le dixième de la longueur de Debye des électrons, déterminer le seuil de l’intensité du champ électrique pour l’apparition de la non-linéarité (négliger les collisions dans ce calcul).

f ) Calculer approximativement la fréquence de collisions électron-neutre du plasma initial. Ce type de collision nuira-t-il au chauffage cyclotronique ?‘

EXERCICES

350

SOLUTION a) De la relation (1.26), f p e (Hz) 2 9 O O O d m , de sorte que, dans le cas présent, f p e = 9000 x lo6 H z = 9 GHz, d’où f e e = 90 GHz. De (2.72), fce(Hz) = 2,8 x 106B (gauss), de sorte que B = = 32,l kG (3,2 tesla).

;,:::y6

= 10 b) Rappelons que T B = V ~ ~ / W (voir , (2.69)). Dans le cas présent, Te” = eV et la vitesse Z’_L du fluide d’électrons étant la même suivant les deux axes perpendiculaires à B,soit :

1 2

-me71To

uuI =

On obtient : Finalement :

TB

=

VIO ~

w,,

= ~ B T. ,

di>,

2 x l O x e = 1,87 x lo6 m/s

=

1,87 x lo6 = 3,3 x 9 x 1010 x 2i7

.

l o r 3 mm.

(3)

c) Le coefficient de rilflexion d’un miroir magnétique est donné par (2.189)

C,=l-Rrl.

(4)

Comme nous souh.aitons C, 2 0,8 :

Sachant que :

(2.182)

il faut donc que B,,,, = 5 x 32 (kG) = 160 kG (16 T) : il y aura nécessité d’utiliser des bobines supraseonductrices ! d)

B(tesla) .f

Distributlion approximative de l’intensité du champ magnétique de confinement d’iine machine linéaire ( 5 2.2.3)

e) Le paramètre d’excursion, en l’absence de collisions ( w >> v), est donné par (2.31) :

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

351

et la longueur de DEBYEpar (1.52) b e ( c m ) = 740

:

1)

[

[

T(eV) = 740 1012 n,(cmp3) 10 ] $ = 2,3 x cm = 2,3 x l o p 5 m. ~

(7)

Le seuil d’apparition de l’instabilité étant, par hypothèse, fixé par : XE

2

(8)

AD,

nous obtenons pour l’intensité-seuil du champ électrique H F (en V/m) :

f ) La fréquence de collisions électron-neutre (microscopique) pour le transfert de la quantité de mouvement est donnée par (1.125) : V, 2

No6t,(10 eV)w = poP,ow .

(10)

Nous utiliserons cette relation, en première approximation, à défaut de calculer la valeur moyenne (v). D’après la figure 1.14, à 10 eV, P,o = 53 cm-’. La pression réduite po (1.115) a pour valeur : Po =

p(torr)273 273 Tc

+

-

lop4 273 = 9,i x 300

(sans unité)

Comme valeur de u , nous prendrons celle liée à vth qui définit l’énergie du plasma comme étant ICBT, (3 1.4.2). Dans le cas présent, uth = 711 (2) et :

v = 9,l x

lop5 x

53 x 1,87 x

lo8 = 0,64 x

Etant donné que w = 90 x 10’ x 27r (Hz), nous obtenons V W

= 1,l x l o r 6

.

106 sP1

.

(12)

:

(13)

I1 faut un très grand nombre de périodes du champ HF avant qu’il n’y ait une collision, de sorte que celles-ci ne devraient pas affecter significativement le chauffage de type RCE.

EXERCICE 3.15 Considérer une décharge électrique en courant continu dans l’hélium à une pression de 1 torr. Les paramètres du plasma de la colonne positive, supposée longue, dans laquelle circule un courant de 200 mA/cm2 de densité sont les suivants : températures : Tev = 2 eV, Ti = T, = 300 K. densités (uniformes) : n, = 3,2 x 10l6 cmp3, ne = ni = 10lo cmp3

~

~

EXERCICES

352

où les indices n , e et i désignent respectivement les atomes neutres, les électrons et les ions. Le rayon interne R du tube à décharge est de 12 cm. Les sections efficaces microscopiques totales de collisions des électrons avec les neutres et des ions avec les neutres pour le transfert de la quantité de mouvement ont, dans les présentes conditio’ns,respectivement pour valeur moyenne :

( 6 e n . ( w ) ) ( T=e ~2 eV, T, = 300 K) = 5 x 10-16cm2 , (6ilz(w))(Ti = Tn = 300 K) = 1 x 10-14cm2 . a) Déterminer l’intensité du champ électrique le long de la colonne positive ;

b) Déterminer la valeur du coefficient de diffusion. Bien expliciter votre raisonnement en indiquant clairement les hypothèses sous-jacentes. I1 n’est pas nécesaire de démontrer les équations développées dans le livre, mais vous devez en justifier l’utilisation. Remarque : Deux chiffres significatifs suffisent pour les présents calculs.

SOLUTION a) Le champ électrique E dans une décharge est lié à la densité totale de courant J par l’intermédiaire de la conductivité électrique 0 qui, en l’absence de champ magnétique imposé à la décharge, est un scalaire ; nous avons alors la relation bien connue (2.38) : J=uE. (1) Comme Te >> Ti = T, et que le degré d’ionisation est très faible puisque -= 2 x l o r 7 , nous pouvons adopter le modèle du “plasma de LORENTZ’’ ( 5 3.7), c’està-dire considérer que le seul fluide des électrons permet de bien rendre compte des propriétés du plasma. Dans ces conditions, il nous suffit de calculer la conductivité électronique (partie réelle) (2.39) : g=-

nee2 meu

pour déterminer [El. Pour calculer (2), il faut évaluer u. Nous le ferons en posant :

où (w)est la vitesse moyenne des électrons, l’expression (3) étant une approximation pour la relation exacte (1.133) : v = nn(â-en(w)w)

(4)

où les crochets ( ) marquent la moyenne sur la fonction de distribution en vitesse. Puisque nous utilisons des températures pour caractériser l’énergie des particules, celles-ci obéissent donc à une distribution des vitesses de MAXWELL-BOLTZMANN.

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

353

La valeur de (w)est alors : (lu) =

J-” me

où k s est la constante de BOLTZMANN et me,la masse de l’électron ; (w)= 1’13V t h où V t h est la valeur la plus probable de la vitesse dans le cas d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN (annexe I).

Nous savons d’après (1.120) que numériquement : vth(2ev) = d’où :

(w)

Jz x 5’93 x io5 m/s

1’13 vth = 9,5 x lo5 m/s

(5)

.

(6)

Alors de (3)’ en exprimant tout en cm : u Y

3’2 x 1016(cmp3)x 5 x 10-l6(cm2) x 9,5 x 107(cm/s) = 1’5 x lo9 spl . ( 7 )

Finalement, de (1) et (2)’ il vient (cette fois en unités MKS) :

E

=

J1 = 200 x l o p 3 x l o 4 (A/m2) x 0

=

1016

(kg) x 1,5 x l o 9 (s-l) (m-3) x (1,sx 10-19)2 (c2) 9’1 x

11 kV/m

(8)

Remarques : 1. Unités : le volt = m‘kg s-’AA-l et le coulomb C = As, d’où de (8) :

A kg m3 mW2s

-

(m‘kg sp3Ap1)A2s2 - V m A2 s2 m

’

unité habituelle d’un champ électrique. 2. On vérifie qu’effectivement la conductivité ionique est très inférieure à la conductivité électronique (cri < ere) car même si vin est très inférieure à v (comparer ( 7 ) et (14))’ me < m H e . b). Régime de diffusion

Vérifions que les pertes de particules chargées ont bien lieu par diffusion, c’està-dire que le plasma est suffisamment collisionnel pour ne pas être en chute libre. I1 nous faut calculer le libre parcours moyen,

e, qui est donné par : (1.134)

puisque ce sont les collisions électron-neutre qui dominent (comparer ( 7 ) et (14))

d’où il ressort que

e << R : il s’agit donc bien d’un régime de diffusion.

EXERCICES

354

0

Diffusion de nature ambipolaire Pour déterminer s’il s’agit de diffusion libre ou ambipolaire, nous devons examiner le produit n,(0)A2 (3.269) : si celui-ci est plus grand que lo7 crn-l, la diffusion est am.bipolaire. Nous trouvons :

et la diffusion e,st donc ambipolaire. Remarque : On pourrait, comme critère équivalent du régime ambipolaire, vérifier que AD, << A. Numériquement de (1.52), on obtient :

AD, = 740 de sorte que AD,


[

]’ 1

Te(ev) n,(~m-~)

2

0,Ol cm

,

: la diffusion est bien ambipolaire.

Calcul du coefficient Da Parce que T,

> Ti, nous pouvons utiliser l’expression approchée (3.274) :

Pour évaluer vils,nous posons comme pour v (3) :

De (1.9) modifiiie pour décrire les ions, nous avons :

(Wi)

=

8 x 1,38 x lopz3 x 300 = 1,2 x io3 m/s 4n x i , 7 x 10-27

et, tout étant exprimé en cm : vin =:

3,2

ioi6 x 1 x

l o r i 4 x 1,2 x

io5 = 3,8 x i o 7 s-l ,

de sorte que de (11) :

D(l

y

x 2 x 11600 1,38 x 4 x i , 7 x 10-27 x 3,8 x 107

et sachant que ,7 s’exprime en m2 kg s - ~ ,il vient :

Da 2 1 ’ 2 m2 s-l , unité habituelle des coefficients de diffusion.

(14)

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

355

EXERCICE 3.16 Considérer une longue colonne cylindrique d’un plasma d’hélium dont le diamètre est de 20 mm et la pression du gaz de 0,9 torr. La température des ions et des atomes neutres, déterminée par élargissement Doppler de raies d’émission, est de 500 K. La densité électronique mesurée sur l’axe est de 1017 électrons m p 3 .

a) En supposant que la distribution des vitesses des électrons est maxwellienne et la diffusion ambipolaire, estimer leur température Te. b) Dans quelle mesure l’hypothèse de diffusion ambipolaire implicitement posée en a) est-elle justifiée? c) Calculer de façon approximative les valeurs du coefficient de diffusion libre des électrons ( D e )et celui de diffusion ambipolaire ( D a ) (ne pas oublier leurs unités), puis les comparer et discuter. d) A l’instant t = 0, on supprime le champ électrique entretenant la décharge. Décrire l’évolution du plasma pour t > 0. Déterminer le temps caractéristique de décroissance de la densité électronique sur l’axe (on supposera que Te ne décroît pas de façon significative durant ce laps de temps). Données :

1. Fréquence moyenne, approximative, de collisions électron-neutre pour le transfert de quantité de mouvement dans l’hélium à la “pression réduite” p o :

2. Mobilité ionique réduite (conditions standard : 760 torr et 273 K , soit pour 2,69 x atomes/ni3) de He’ dans He : 10,4 x l o W 4m’ Vpl spl .

SOLUTION a) Pour calculer T e ,nous allons utiliser les résultats du modèle développé A cet effet en 3 3.13 pour une longue colonne cylindrique de plasma supposé en régime de diffusion ambipolaire : nous vérifierons en b) que cette condition est sat,isfaite.

Déterminons d’abord po, la “pression reduite” liée à la pression et à la température du gaz Tg par la relation (1.115) :

d’où, dans le cas présent 273 500

PO = -0,9 = 0,49 .

Pour l’hélium, la constante produit copoR donne :

CO

(3)

du modèle (tableau 3.1) est de 4,68 de sorte que le

copoR = 4,68 x 0,49 x l o W 2= 2,3 x l o W 2.

(4)

EXERCICES

356

A cette valeur de copoR correspond d’après la figure 3.9 T,v/Ei

E

:

0,2 (sans unité)

(5)

et, comme Ei = 24,59 eV pour l’hélium (tableau 3.2), T,v = 4,9 eV, soit encore Te(K)= T,ve/kEl = 56500 K. b). Régime de diffusion

Vérifions tout d’abord que le plasma est bien en régime de diffusion plutôt qu’en chute libre, c’est-à-dire que le libre parcours moyen, est plus petit que le rayon du tube à décharge, R. Nous savons que e 2 V t h / V (9 1.7.8) où V t h = ( 2 k ~ T , / m , (L.6). ) ~ Quant à la fréquence de collisions v , elle est donnée par (1). Nous pouvons donc calculer e :

e,

- J

= =

de sorte que 0

2 x 1,38 x x 4,9 x 11600 1 9 , i x 10-31 2,4 x l o 9 x 0,49 (6)

i,i x

lor3m ,

e
Diffusion ambipolaire Pour déterminer si la diffusion est ambipolaire plutôt que libre, nous utilisons l’un des deux critères donnés en 9 3.10. Nous prendrons celui qui stipule que (3.269) n(0)A2 doit être plus grand que lo7 (cm-’) pour que la diffusion soit ambipolaire. Comme la densité électronique sur l’axe est n , ~ = ) 10l1 cmP3 et 2 0,42 cm : A= n,0A2 = 1,7 x lo1’ cm-I

> lo7 cm-’ ,

(7)

le critère est vérifié (sauf peut être très près de la paroi où n est beaucoup plus faible que sur l’axe). Remarque : On pourrait montrer que la recombinaison en volume dans l’hélium n’est plus négligeable si la pression est supérieure à 5 torr et n , ~ > 10l2

cmp3.

c).

Calcul du coeficient De Son expression est donnée par (3.192) :

Calcul du coeficient Da

Nous savons de a) que T, >> Ti, la température des ions, puisque T, = 56500 K et Ti = 500 K. -Dans ces conditions, une expression approchée simple de Da est : (3.274)

EXERCICES DU

CHAPITRE

3

357

La mobilité ionique p i , pour une densité N d’atomes, s’obtient à partir de la mobilité réduite pia, c’est-à-dire aux conditions de référence (760 torr, O OC) selon la relation (3.189) : NL (3.189) N où N L , le nombre de LOCHSMIDT, est égal à 2 , 6 9 ~ 1 at/m3 0 ~ ~ aux conditions de référence. Par ailleurs, la loi des gaz parfaits : P i = Pio-

permettant de déterminer N à partir des conditions opératoires ( p ,T g ) conduit , & N L k B=2 7 3x ( p =~ 760 torr, T = 273 K). Finalement de (3.189) et (9)’ nous obtenons : P A kBT pi = ho-. kB273 p dont la valeur numérique est : Pi =

d’où :

Da =

10,4 x lop4 x 760 x 500 = 1,6 m2ss1Vs1 0,9 x 273

kB Te 1,38 x x 56500 x 1,6 = 7,8 m2s-l pi = e i , 6 x 10-19

~

,

(12)

et donc Da < D e , ce à quoi nous nous attendions : la diffusion libre des électrons est plus rapide que celle des ions et des électrons diffusant de concert. d) Cette situation correspond à une post-décharge temporelle en régime de diffusion (3 3.9). Dans ce cas, la densité des particules chargées en un point donné décroît de façon exponentielle en fonction du temps suivant la relation : 7L(T,

t ) = n ( T ,t = O) exp(-uot)

(3.2 16)

où ru = u i 1 est le temps caractéristique de décroissance par diffusion, dans IC cas présent de nature ambipolaire. Ce régime persiste au moins jusqu’à ce que la densité décroisse à l / e de sa valeur initiale (temps nécessaire à notre analyse ici), du fait d’une densité initiale suffisamment devée. I1 faut donc calculer UD,. De

alors :

uDa =

Da

1 =

AL

7,8 = 451 x lo3 ssl (10-2/2,405)2

,

= Y 2,2 ,us. Nous en concluons qu’au-delà de 10 à 20 fois le temps d’où r ~soit , 20 à 40 ps, la densité des particules chargées est devenue négligeable.

EXERCICES

358

EXERCICE 3.17 On souhaite déterminer la longueur caractéristique de diffusion de plasmas dans différentes configurations géométriques (plane et cylindrique) dans le cas où l’hypothèse n(r = E ) = O n’est plus valide, c’est-à-dire lorsque les pertes aux parois s’expriment en termes de flux à t-ravers une gaine ionique. On suppose que le plasma est en régime de diffusion ambipolaire et que la condition de neutralité (ni = n e )s’applique jusqu’à la lisière de la gaine ionique dont l’épaisseur est négligeable devant les dimensions du plasma. La gaine est non collisionnelle. Calculer la longueur de diffusion caractéristique A = L / a d’un plasma de configuration plane infinie suivant y et z et d’épaisseur suivant x égale à L = 2 cm dans les deux cas suivants : 1. Plasma d’argon, p = 0,5 torr, T,v = 1’7 eV, Tg = 300 K, mobilité des ions Ar+ dans Ar : pi0 == 1,52 cm Vpl s-l à 760 torr et 273 K. 2. Plasma d’hélium, p = 0,5 torr, T,v = 5’8 eV, Tg = 700 K , mobilité des ions He’ dans He : pi0 = 10,4 cm V-l s-l à 760 torr et 273 K.

Pour calculer

a, on utilisera l’abaque atIana = f(a).

nI2

10

(0

c

6 i2

rg

1

Calculer la longueur de diffusion caractéristique A = R / b d’une colonne de plasma cylindrique infinie et de rayon R = 1 cm dans les deux conditions de plasma définies précédemment.

EXERCICES DU

CHAPITRE

359

3

Pour calculer b, on utilisera l’abaque bJl(b)/Jo(b) = f ( b ) . La dérivée de la fonction de BESSEL de première espèce d’ordre zéro est :

JA(2) = -JI(.) où Ji est la fonction de BESSEL de première espèce d’ordre 1.

10

1

SOLUTION En régime de diffusion ambipolaire, le plasma est décrit par les équations de continuité (3.210) : dn V . nu = vin (1)

at

+

et du flux de diffusion (3.250) :

I’ = n u

= -D,Vn

de sorte que, en régime stationnaire : (3)

ou encore :

2 1 V n = --n

122

.

(4)

EXERCICES

360

a) Dans le cas d’une configuration plane infinie, la solution de (3) en coordonnées cartésiennes : ô2n - _ _1 (5) ax2 RZn ax est donnée par : . n(x)= n(0)cos = n ( û ) cos (6) ~

);(

(

La condition à lal paroi est donnée par la relation (2) en supposant que, en x = f L / 2 , les flux électronique et ionique sont égaux, et que la vitesse des ions en lisière de gaine e:it : (7)

2)=2)B,

où

VB

est la vitesse de BOHM(3.321) :

La relation (2) s’l6crit alors, compte tenu de (6), pour x = +L/2 :

d’où

où une valeur approchée de Da est donnée par (3.274) :

oii pt

dépend de la pression.

Remarque : On constate que, contrairement au cas de la condition aux limites

(n(x = +L/2) = O) où la longueur caractéristique ne dépend que de la configuration géométrique et des dimensions du plasma, la longueur de diffusion dépend aussi, dans le cas présent, des conditions opératoires du plasma, c’est-à-dire de la nature du gaz et de sa pression. Numériquement on obtient : 1. Pour l’argon :

a

a

-tan2 2

=

25,4 x

m2v-ls-1

=

-

. L -~ 2 ~x

10-2

20,

-

,

x 2,03 x 103

2 x 43,2 x

= 47

EXERCICES DU

CHAPITRE

On obtient

3

361

a à partir de l’abaque a tan a, soit a - 2

2

1,54 ,

A=-.

d’où :

:

L

3,08

La valeur trouvée est proche de la valeur A = L / r obtenue avec la condition aux limites n ( z = f L / 2 ) = O . 2. Pour l’hélium :

pi

= =

a

a

2

2

On obtient

=

cm2~-1s-l

= 5,8 (V) x 1,74 (m2V-ls-l) = 10,l m2s-l

LWB- 2 x 20,

--

103

,

1,74m2V-’sC1

kBT, Da = -pi e -tan-

760 300 = 17,4 0,5 x 273

-

760Tg

p i o p (torr) 273

io-2

x ii,8 x 2 x 10,l

io3 =

a à partir de l’abaque a tan a soit a - CY 1,45 ,

,

11,7.

:

2

L 2,9 valeur, dans ce cas, très différente de A = L / n

A=-

d’où :

b) Dans le cas d’une configuration cylindrique de longueur infinie, la solution de (3) en coordonnées cylindriques :

(13)

où JO est la fonction de BESSELde première espèce et d’ordre O. Comme :

aJo(br) - -bJ1(br) ,

--

dr

(14)

où J i est une fonction de BESSELde première espèce et d’ordre 1, la condition aux limites en r = R s’écrit, en tenant compte de (13) :

EXERCICES

362

d’où :

(16)

Numériquement, on obtient : 1. Pour l’argon On obtient b à, partir de l’abaque bJ1 (b)/Jo(b)

b = 2,36 d’où :

R A=-.

2,36

La valeur trouvée est proche de la valeur A = R/2,405 obtenue avec la condition aux limites n(R)= O. 2. Pour l’hélium : On obtient b à partir de l’abaque bJl(b)/Jo(b):

d’où :

A=-.

R

2,21

ANNEXES

ANNEXEI RAPPELS SUR

LA FONCTION DE DISTRIBUTION

DES VITESSES DE

MAXWELL-BOLTZMANN (M-B)

Cette distribution est liée à l’état stationnaire d’un système à température T où les interactions entre particules sont suffisamment nombreuses. Si le système thermodynamique n’est pas en équilibre complet, il faut au minimum que les collisions entre particules de même type soient très nombreuses pour que la distribution de M-B s’établisse.

DISTRIBUTION DE M-B

EN L’ABSENCE DE CHAMP EXTÉRIEUR

A une dimension, en considérant les électrons à titre d’exemple, la fonction de distribution est donnée par l’expression (figure 1.1) : f ( w ) = (=)1’2exp 2i7ksT

[-SI ,

où me est la masse des électrons, T leur température, kg la constante de BOLTZMANN et w,la vitesse microscopique d’agitation thermique des électrons.

A trois dimensions, dans le cas où les particules sont entraînées dans un mouvement d’ensemble de vitesse v,la distribution des vitesses microscopiques dépend de l’orientation de w par rapport à ‘u : me

ANNEXES

364

O

Figure 1.1 - Distribution de MAXWELLBOLTZMANN à une dimension.

20

La condition de norrnalisation retenue, sauf indication contraire, est :

/

00

f(w) d3w = 1

avec d3w = dw, dw, dw, en coordonnées cartésiennes. Nous aurions pu choisir la condition :

s

-00

f ( w ) d3w = n e ,

(1.4)

la densité des électrons ; dans ce cas, ne apparaîtrait en facteur dans l’expression (1.2) ; cette question est abordée en 5 3.3. Pour une vitesse d’entraînement u = O, la distribution est isotrope :

c’est-à-dire qu’elle ne dépend pas de l’orientation de la vitesse W . Dans ce cas, l’isotropie entraîne, en coordonnées sphériques, d3w = 47rw2 dw et la distribution des particules, animées d’unme vitesse scalaire (positive) comprise dans l’intervalle w ,w dw, est alors donnée par :

+

g(w)

= 47rw2f(w)

(1.6)

d’où représentée à la figure 1.2. La condition de normalisation s’écrit dans ces conditions :

J O

47rw2f(w) dw = 1 O

ANNEXEI

365

Figure 1.2 Distribution de MAXWELL-BOLTZMANN isotrope, représentée sous sa forme scalaire, avec ses vitesses caractéristiques. ~

Vitesses caractéristiques de la distribution de M-B sans vitesse d’entraînement ((w) E ‘U = O) 2ksT ‘I2 la vitesse la plus probable : 21th = ’

(y)

~

112 ~

-~

la vitesse m o y e n n e :

= 1,128 uth

,

la vitesse quadratique m o y e n n e (liée à l’énergie moyenne) : 112

JT.uIL)= ~~

~

l’énergie cinétique m o y e n n e

(y)

= 1,225 vth

.

1 3 - m ( w 2 ) = -ksT 2 2

(1.10)

(1.11)

le flux aléatoire, défini comme le flux de particules qui traversent une surface dans un seul sens (vers les z positifs, par exemple), voir l’exercice 1.2 :

(nw,)= 4

DISTRIBUTION D E M-B

.

(1.12)

DANS UN CHAMP DE FORCE CONSERVATIVE

Dans le cas d’un champ de force F agissant sur les particules, une condition sine qua non pour avoir une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN est que cette force obéisse à la relation :

F = -V(a(r)

(1.13)

où @ ( r )est l’énergie potentielle. La fonction de distribution f ( r , w) peut alors se mettre sous la forme :

f ( r ,u t ) = f i ( r )exp où fi(r)est la densité des particules en l’absence de champ extérieur.

(1.14)

ANNEXES

366

n(r) = lî(r)exp

En posant :

[ I“

--

,

(1.15)

(1.16) ce qui montre que la fonction f ( r ,w) est séparable de normalisation de f ( r ,w) puisque :

/ 7u

J

f ( r ,w) d3w = n ( r )

( 5 3.3), et conduit à la condition

f(w) d3w = n ( r ) ,

(1.17)

U’

compte tenu de la normalisation retenue (1.3) pour la fonction f ( w ) . Notons donc que nous utilisons la notation f pour la fonction de distribution des vitesses, qu’elle soit séparée ou non ; si l’argument de f ne contient pas le vecteur position, nous devons conclure qu’elle a été séparée. DISTRIBUTION DE DRUYVESTEYN DES

ÉLECTRONS

Cette distribution ecit fréquemment utilisée en physique des plasmas, notamment parce qu’elle s’exprime de façon analytique. Utilisée conjointement avec la fonction de distribution de M-B, elle permet de savoir jusqu’à quel point certaines grandeurs hydrodynamiques dépendent de la forme de la fonction de distribution en énergie des électrons (FDEE). La distribution de DIRUYVESTEYN peut être considérée comme la FDEE adéquate dans le cas précis où les électrons obéissent aux quatre hypothèses suivantes 1311 : 1. Les collisions élastiques électron-autre particule sont prépondérantes : les collisions inélastiques (excitation et ionisation) sont alors négligeables ;

2. Les collisions électi-on-électron sont négligeables ; 3. Les sections efficaces microscopiques totales de collisions électron-neutre sont constantes en fonction de l’énergie des électrons pour tous les types de collisions ;

4. L’énergie moyenne des électrons est supérieure à celle des particules lourdes, c’està-dire Te > T g . Pour une distribution isotrope, la FDEE de DRUYVESTEYN peut s’écrire sous la

La figure 1.3 compare la distribution de DRUYVEÇTEYN et celle de MAXWELL-BOLTZM A N N pour une même énergie moyenne des électrons et une même densité électronique : la distribution de DRUYVEÇTEYN possède beaucoup moins d’électrons de haute énergie que la distribution de M-B.

ANNEXEII

367

Figure 1.3 - Comparaison des FDEE isotropes de MAXWELLBOLTZMANN et de DRUYVESTEYN dotées de la même énergie moyenne.

ANNEXEII EXPRESSION COMPLÈTE

rn

O

W

DE L’ÉQUATION DE S A H A

Celle-ci peut s’écrire sous la forme

(11.1) où not et nit sont, respectivement, la densité totale des atomes neutres et la densité totale des ions, total au sens où l’on inclut l’état fondamental et tous les états excités correspondants, ne,la densité des électrons (ni = ne lorsque les ions ne sont qu’une fois ionisés) ; B ( T ) et B‘(T) sont des fonctions de partition données par :

(11.2) où la somme sur k porte sur les états excités de l’atome ( k = O représente l’état fondamental) et : Co

B’ ( T )= j = O gj exp

[-%I

(11.3)

où la somme sur j porte sur les états excités de l’ion une fois ionisé ( j = O : ion non excité), et gk et gj représentent, respectivement, les dégénérescences des niveaux de l’atome neutre et de l’ion, et $k et $ j sont les potentiels correspondants à l’excitation de ces niveaux (mesurés respectivement par rapport au fondamental de l’atome neutre et à celui de l’ion, d’où $h ( k = O) = O et $ j ( j = O) = O).

SIGNIFICATION DE

LA FONCTION DE PARTITION

La population nm du niveau excité m de l’atome par rapport à la population de son état fondamental (indice zéro) est donnée par (loi de BOLTZMANN) :

nm no

gm go

(Ern - Eo)

368

ANNEXES

On aimerait, exprimer nm en fonction de la population totale relative à l’atome neutre ou à l’ion. Soit not cette population cumulée ; d’après la loi de BOLTZMANN, il vient :

Tenant compte de la définition de la fonction de partition (11.3) :

il découle de (11.4) que le rapport recherché peut s’écrire :

(11.5) En comparant (II.l), la forme exacte de la loi de SAHA,avec sa forme simplifiée (1.9), nous constatons que l’approximation consiste à faire B ( T ) E go. Ceci revient donc à ne pas compter les atomes neutres excités dans le bilan de la population totale de l’atome neutre. Cela est possible dans la mesure où T est suffisamment faible; en effet, la densité de l’état fondamental est alors très grande devant la densité cumulée des états excités.

ANNEXEIII EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE

LOCAL PARTIEL

En présentant la notion de plasma à deux températures ( § 1.4.3), nous avons indiqué que la population des différents niveaux d’énergie de l’atome neutre n’était pas, dans ce cas, régie par l’équilibre de BOLTZMANN (équation (1.7)) : les niveaux d’énergie voisins du niveau fondamental ont des temps de vie radiatifs tellement courts comparés au temps entre deux collisions électron-neutre qu’ils se dépeuplent de façon radiative plutôt que par collision électronique, échappant ainsi à la cinétique des électrons (loi de SAHAet loi de BOLTZMANN) ; par contre, les niveaux supérieurs, ceux situés sous le premier niveau de l’ion, parce qu’ils subissent un plus grand nombre de collisions que les états inférieurs166,sont en équilibre collisionnel avec les électrons, et la loi de BOLTZMANN, dans laquelle on pose Te,, = T e ,permet de déterminer leur densité de population. Par ailleurs, la température du gaz (principalement celle des atomes dans l’état fondamental parce que plus nombreux), notée T,, est telle que T, < Te. Pour illustrer cette situation, nous avons reproduit le diagramme des niveaux d’énergie de l’atome d’argon en regroupant ceux-ci, pour faciliter la discussion, suivant la configuration orbitale électronique à laquelle ils appartiennent. Dans cette notation, 166La distribution en énergie des électrons ( 5 1.4.2 et annexe I) fournit davantage d’électrons à faible énergie qu’à haute énergie, alors que l’excitation collisionnelle des premiers niveaux de l’atome d’argon, par exemple, demande des électrons de forte énergie (supérieure à 11,55 eV).

ANNEXEIII

369

pour le niveau fondamental, nous avons ls2 2s2 3s2 3p6, dont la figure 111.1, par simplicité, n’a conservé que le dernier terme. Quant à la première configuration excitée, notée 4s, elle comprend 4 niveaux (voir l’insertion) que nous allons traiter en bloc.

JO

11,83

----

11,62 11,55

----

-

PZ

3P6

I////////////////////////////////, Etat fondamental

Figure 111.1 - Diagramme d’énergie de l’atome neutre d’argon jusqu’au premier niveau de l’atome ionisé. Les états d’énergie sont regroupés suivant la configuration orbitale électronique à laquelle ils appartiennent.

3

2 l

3

O

100

120

110

E

Ei,,

130

(io3 cm-l)

Figure 111.2 - Diagramme dit de BOLTZMANN observé dans une décharge micro-ondes d’argon (plasma d’onde de surface). La densité de population des niveaux est proportionnelle à l’intensité I des raies émises et l’énergie E des niveaux, exprimée en cm-I (1 eV = 8 065,544 cm-’), est référencée à l’énergie du niveau fondamental; le coefficient A,, représente la fréquence de transition radiative, de nature dipolaire électrique, de l’état q vers l’état p (321.

Pour vérifier l’application de la loi de BOLTZMANN, nous pouvons tracer le logarithme de la densité de population des niveaux de l’atome neutre en fonction de leur énergie, référencée à celle de l’état fondamental (équation (1.7))’ ce qui s’appelle établir une courbe de BOLTZMANN. Si la loi est satisfaite, on obtient une droite de pente

370

ANNEXES

proportionnelle à T&. La figure 111.2, obtenue par spectroscopie optique dans un plasma d’argon entretenu par une décharge micro-ondes à la pression atmosphérique, montre que les configurations orbitales électroniques 5p et suivantes sont en équilibre de BOLTZMANN entre elles alors que la population des niveaux de la configuration 4p tombe sous cette droite : l’équilibre de BOLTZMANN n’est donc que partiel avec Tg<< Te ( 5 1.4.3).

ANNEXEIV REPRÉSENTATION DES COLLISIONS BINAIRES DANS LES REPÈRES DU CENTRE DE MASSE ET DU LABORATOIRE DANSLE

R E P E R E DU C E N T R E D E M A S S E

Figure IV.l - Description d’une collision binaire dans le centre de masse donnant lieu à l’angle de diffusion 8. La distance s entre les deux paires d’asymptotes est le paramètre

d’impact.

DANSLE

R E P E R E DU L A B O R A T O I R E

/

Figure IV.2 - Description d’une collision binaire dans le repère du laboratoire, avec s comme paramètre d’impact, la particule B étant supposée initialement au repos.

ANNEXEV RELATION ENTRE

371

LES DEUX R E P Ë R E S

De la figure IV.3, il vieut

:

tanO,L =

who sin û

who cos0

(IV.1)

+ wo . wo = wo

Figure IV.3 - Description de la vitesse de la particule cy avant et après collision dans le repère du laboratoire et dans celui du centre de masse (cas général) : relation entre les deux repères.

Cas particulier où la particule ,8 est initialement au repos Si ma << mp, la vitesse du centre de masse dans le repère du laboratoire peut être assimilée à la vitesse de la particule /3 (1.64). Comme celle-ci est supposée au repos, alors wo E O. Dans ce cas (IV.l) :

~

OaL

--

=O

.

(IV.2)

Si ma = mg, la vitesse du centre de masse dans le repère du laboratoire où, dans le cas présent wp = O (donc d’après (1.67) w , ~= w,), est alors donnée d’après (1.64) par : 1 1 (IV.3) wo = -w,= z w “ p . 2 De même, selon (1.68), la vitesse w,o de la particule û: dans le centre de masse a pour valeur : 1 (IV.4) w,o = p k r p ‘

Comme who = w , ~dans le cas d’une collision élastique (1.92)’ de (IV.3) et (IV.4), on obtient who = wo et, finalement, de (IV.1)’ par relation trigonométrique : f?,L

=

f? -

2

(IV.5)

.

ANNEXEV INTERACTIONS COLLISIONNELLES DE NATURE COULOMBIENNE.

LIMITATIONDE

LEUR PORTÉE

(LOGARITHME COULOMBIEN) L’objectif ultime de cette annexe est le calcul des fréquences de collision d’interactions coulombiennes sachant que les faibles interactions (petites valeurs de l’angle de diffusion O) empêchent les intégrales correspondantes prises sur O de converger ( 5 1.7.4).

ANNEXES

372

Ces faibles interactions n’ont, en fait, pas d’existence physique lorsque leur rayon d’action est supérieur à la longueur de DEBYE,AD : il y a écrantage. Cette considération va nous permettre de réduire le domaine d’intégration en 8 et d’assurer ainsi la convergence des intégrales en introduisant le concept de logarithme coulombien. Pour atteindre ce but nous allons d’abord déterminer la valeur de B lors de collisions binaires élastiques dues à une force centrale F quelconque. ~

ETUDEGÉNÉRALE

DES TRAJECTOIRES DE DEUX PARTICULES (INTERACTION BINAIRE) SOUMISES A UN CHAMP DE FORCE CENTRALE

Nous ne considérons ici que les interactions élastiques binaires de type électromagnétique167. C’est le cas de l’interaction de VAN DER WAALS entre neutres168 (potentiel en entre neutres et particules chargées16’ (potentiel en r P 4 )et l’interaction de COULOMB entre particules chargéesl7O (potentiel en T - ’ ) . Ces interactions électromagnétiques induisent un champ de force centrale F conservatif (voir annexe I), colinéaire avec T , telle que F = - V @ ( r ) (1.13) où @ ( r )est l’énergie poténtielle d’interaction.

F‘),

La géométrie d’une interaction élastique entre deux particules Q et p est décrite sur la figure V . l a) pour une interaction répulsive et sur la figure V.l b) dans le cas d’une interaction attractive. Dans le référentiel du centre de masse (où le centre de gravité G de a: et /? se déplace à une vitesse constante dans le référentiel du laboratoire, 5 1.7.2)’ les trajectoires de a: et /? sont deux courbes homothétiques par rapport à G (hyperbole dans le cas d’une interaction de COULOMB) et possèdent chacune deux asymptotes (trajectoires longtemps avant et longtemps après la collision). La distance s entre les deux paires d’asymptotes est le paramètre d’impact (voir figure V.1). C’est aussi la distance de plus courte approche du centre de force s’il n’y avait pas d’interaction. L’étude du mouvement des particules est effectuée dans le repère du centre de masse avec, pour coordonnées polaires, la distance T entre les particules Q et /3 (l’une des particules étant prise comme origine) et l’angle x entre T- et la vitesse relative wufi = W,O - w p o des particules Q et p avant interaction. Les vitesses w,o et woo des particules a: et p avant collision sont colinéaires avec W,B (1.68). Dans ce système de coordonnées, les composantes de la vitesse relative w pendant l’interaction (avant interaction w = w,p, après interaction w = wQo)s’expriment respectivement par :

où l’axe z est perpendiculaire au plan

(T,

x ) contenant

les trajectoires.

167 L’appellation “interaction électromagnétique” est justifiée dans les deux notes en bas de page qui suivent. Les interactions sont, par ailleurs, de nature quantique si les particules se rapprochent au point que la distance entre elles passe par un minimum de l’ordre de grandeur de leur dimension. 168 Interaction entre le dipôle électrique instantané d’une des particules et le dipôle que celui-ci induit dans la seconde particule. 169Interaction entre la charge d’une particule et le dipôle électrique que celle-ci induit dans la particule neutre. 170 On suppose que les vitesses des particules chargées sont suffisamment faibles pour négliger le rayonnement de freinage (bremsstrahlung).

ANNEXEV

373

(a) 2Xmax

+B =

7r

Figure V. 1 - Représentation géométrique d’une interaction binaire dans le référentiel barycentrique (centre de masse) : a) interaction répulsive, b) interaction attractive.

Dans le centre de masse, l’énergie cinétique totale liée au seul mouvement relatif des particules a et /3 s’exprime simplement par : (1.74) soit encore, en fonction des différentes composantes de la vitesse relative :

I,

=

y[

($-)2

+ r 2 (+x)2]

On peut vérifier facilement que le moment cinétique du mouvement relatif défini par

L = r A pLCYbw est un invariant du mouvement. En effet :

:

P.3)

ANNEXES

3 74

dL

soit encore :

-=rAF=O, dt

puisque r et F sont colinéaires. Le moment cinétique .L dont la seule composante non nulle est L , :

est donc, d’après (V.5)’ constant au cours du mouvement (premier invariant du mouvement). La valeur de L, : Lz zz (y A ~ a p w ) ~ (V.7) s’obtient à partir des conditions initiales à l’infini dans (V.3)’ soit :

Lz = spapwap = SPL,p(WL,o

-

wpo)

(V.8)

où wL,p est le module de la vitesse relative w à l’infini et, suivant (V.7)’ s est la projection de r perpendiculairement à wa0 dans le plan contenant les trajectoires. Un second invariant di1 mouvement est l’énergie totale E (énergie cinétique plus énergie potentielle) qui est, conservée au cours de l’interaction, soit : & = E,

+ @ ( r )= constante.

(V.9)

La valeur de E est donnée par les conditions initiales avant interaction, lorsque l’énergie potentielle est nulle, soit : &-h 3 w 2 (V.10) 2 00 . L’équation de la trajectoire x = x(r) se déduit alors simplement des deux invariants. En tenant compte de (V.2) et (V.6)’ nous pouvons écrire : (V.11)

d’où :

dr dt

(V.12)

Comme :

(V.13)

l’équation différentielle de la trajectoire se déduit simplement de (V.6) et (V.12)’ soit :

L:

(V.14)

ANNEXEV

375

ou, encore, en remplaçant & et L, par leur valeur ((V.8) et (V.10)) :

&=zt dr

S

r2,/-

(V.15) ’

L’équation de la trajectoire s’obtient alors par simple intégration sur r , à condition de connaître la forme de l’énergie potentielle d’interaction @ ( r ) . Le domaine des valeurs possibles de r est défini par la quantité sous la racine qui doit rester positive. En particulier, la distance minimum rminentre particules au cours de leur interaction est obtenue lorsque dr/dX = O, c’est-à-dire lorsque la quantité sous la racine (V.15) s’annule, soit :

(V.16) La valeur minimum rmindonne lieu à l’angle x maximum, xmax.En effet, au cours de ce mouvement, pendant que r décroît de l’infini à la valeur minimale rmin,l’angle x croît de O à xmax.L’angle xnlaxest déterminé par la bissectrice entre l’asymptote avant collision et celle après collision. Dans le cas d’une interaction répulsive (figure V . l a)), l’angle xmaxest lié à û par la relation :

l’angle de diffusion O étant, avec le paramètre d’impact s , une des caractéristiques importantes d’une collisions binaire. L’angle xmaxs’obtient par intégration de (V.15) suivant r de l’infini à rniin: Tmin

r

s dr

(V.18)

Nous venons d’établir les relations générales décrivant les trajectoires (répulsives et attractives) d’interaction dans le cas de forces centrales. Pour appliquer ces résultats à un cas concret, il nous faut connaître l’expression de la force centrale ou de @ ( r ) , ce qui nous permettra alors de déterminer xmax(s,w , ~ ) , donc finalement l’angle de diffusion O . Remarque : Tous les calculs précédents ont été menés dans le repère du centre de masse. Toutefois, la trajectoire dans le repère du laboratoire est peu différente de celle calculée dans le repère du centre de masse si m, << mp. Dans ce cas, le centre de masse est pratiquement confondu avec la particule /3 supposée immobile. Dans ces conditions, l’angle de déflexion 0 reste inchangé d’un repère à l’autre. Par contre, si les masses m, et mp sont voisines, l’angle de diffusion devient égal à 8/2 dans le repère du laboratoire (voir annexe IV).

Nous allons maintenant effectuer le calcul explicite de l’angle 8 dans le cas d’une interaction coulombienne.

ANNEXES

376

ANGLEDE

DIFFUSI~DN8 DANS LE CAS PARTICULIER

DES COLLISIONS COULOMBIENNES

Le potentiel d’interact*ioncréé par la particule ,B de charge 20 est (V.19) et l’énergie potentielle d’interaction de la particule B vaut :

soit encore :

@ ( r )=

û:

de charge 2, avec la particule

Z,Zp e2 ~

(V.21)

47r~r

On peut alors définir le paramètre d’impact critique m o y e n so (dont nous verrons la signification ultérieurement) tel que : (V.22) Pour 2, = 20 = 1, nous avons : (V.23) Compte tenu de (V.22)’ (V.18) peut s’écrire

:

(V.24)

En effectuant le changement de variable s

so

-c-

(V.25)

l’expression (V.24) prend la forme :

(V.26) ta

où

Em

est la valeur de

5 lorsque r tend vers l’infini, soit

:

(V.27)

ANNEXEV

377

I1 est à noter que la borne d’intégration supérieure dans (V.24) correspond à une valeur nulle de la quantité sous la racine, soit = 1 dans (V.26). L’intégration de (V.26) conduit alors à :

xlnax= arc cos

s0/s

(V.28)

J1.<soisi7’

soit :

(V.29)

.

so/s =

Compte tenu de la relation (V.17), il vient : sin(ûl2) = cosxma, .

(V.30)

Finalement, sachant que : (V.31)

nous arrivons à la formule :

cot(6’/2) = s/so

’

(V.32)

qui donne l’expression de l’angle de diffusion û pour une collision coulombienne. Cette déflexion des particules est fonction du paramètre d’impact s et, par so (V.23), de la vitesse relative wcVodes particules O et /3 avant leur interaction. Notons bien que si s = s o , û = 7r/2 et par ailleurs que si s = O, û = 7 r , la collision est frontale. II s’ensuit, que si s < so, la déflexion, c’est-à-dire l’interaction, est importante (0 > 7r/2), et faible si s > so (0 < 7r/2). SECTION EFFICACE

MICROSCOPIQUE TOTALE

D’INTERACTION COULOMBIENNE

La relation différentielle entre une section efficace microscopique totale de collision âtc et sa section efficace microscopique différentielle de diffusion â(6’)se déduit, de (1.103), soit : dât, = 27râ(6’) sin0 dû , (V.33) où dât, est la section eficace microscopique élémentaire. Celle-ci, selon la figure V.2, peut s’exprimer simplement en fonction du paramètre d’impact pour donner : dût, = 2 ~ ds .

(V.34)

Pour faire apparaître ensuite â(û), nous exprimons la section efficace microscopique élémentaire 27rs d s en fonction de l’angle solide élémentaire 27r sin 6’ dû à partir de (V.32). En élevant (V.32) au carré, et en différentiant, nous trouvons : 2s d s so

~-

-

[cos(6’/2) sin3(û/2)

+ cos3(8/2) sin(û/2)]

sin4(8/2)

dû

,

(V.35)

ANNEXES

378

Schéma de la relation entre le paramètre d’impact s et l’angle de diffusion û dans une interaction binaire où la surface en grisé représente la section efficace microscopique élémentaire dâ-t, = 27rs ds.

Figure V.2

~

soit :

(V.36)

Par identification de (V.36) avec (V.33) et (V.34)’ on a :

(V.37) Le signe moins dans (V.37) signifie simplement que l’angle de diffusion 8 diminue lorsque le paramètre dl’impact s augmente, et nous prenons donc la valeur absolue du membre de droite comme expression de la section efficace microscopique différentielle. Compte tenu de (V.23)’ de (V.37) découle alors, pour les collisions coulombiennes, l’expression bien connue :

(V.38) ce qui permet, a priori, de calculer les sections efficaces microscopiques totales de collision : -

(V.39) et de transfert de quantité de mouvement (1.104) âtm

-

7r.i

1

(1 - cos 8) sin 8 d0 sin4(812)

2 O

(V.40)

ANNEXEV

379

Malheureusement, on vérifie aisément que l’intégrale dans (V.39) diverge en 6’ = O. Cela est dû au fait que les forces coulombiennes sont à très grande portée et, par conséquent, que les particiiles lointaines, dont les angles de diffusion sont proche de 6’ = O (particules non déviées) contribuent toutes à cette intégrale, d’où sa divergence. I1 en est de même pour l’intégrale dans (V.40) qui, comme le montre le calcul ci-après, diverge pour 8 = O. SECTION EFFICACE MICROSCOPIQUE TOTALE DE QUANTITI? DE MOUVEMENT DANS LES INTERACTIONS COULOMBIENNES : NOTION DE LOGARITHME COULOMBIEN

La section efficace microscopique totale de transfert de quantité de mouvement (V.40) s’écrit aussi, en fonction de l’angle 8/2, sous la forme : 2

etm = 47rS0

/

d[sin(û/2)] sin(ül2)

O

soit, après intégration :

âtm = 47rs; ln[sin(d/2)1

IT

’ .

(V.41) (V.42)

O

On vérifie ainsi que, comme etc,la section efficace etm diverge car les collisions lointaines, où 6’ 2 O, sont prises en compte spatialement jusqu’à l’infini. Or, dans les plasmas, la portée du champ électrique créé par une particule chargée est réduite par l’effet d’écran des particules chargees voisines, et, en fait, limitée à la sphère de DEBYE( 5 1.6). Par conséquent, deux particules chargées d’un plasma, séparées par une distance r > AD, ne “voient” pas le champ l’une de l’autre, et ne peuvent donc pas être prises en compte dans les interactions coulombiennes. I1 faut donc limiter l’intégration aux particules ayant un paramètre d’impact s inférieur à la longueur de DEBYE(s < AD), c’est-à-dire aux angles de diffusion 0 supérieurs à la valeur minimale û,,,i, (O < ûniiri) définie par : Qniin - AD cot - - - , 2 so

(V.43) (V.44)

soit : En appliquant cette nouvelle limite d’intégration à (V.42), et, en posant :

Ac = -A D -

(V.45)

SO

on obtient l’expression recherchée de la section efficace microscopique tot,ale de transfert de quantité de mouvement :

âtm = 4~s:In A,

(V.46)

où la grandeur In A, est appelé logarithme coulombien. Remarque : En utilisant les mêmes limites d’intégration que pour 6tm, la section efficace microscopique totale de collision s’établit à :

= X A 2D

.

(V.47)

ANNEXES

380

Ce résultat est conforme au fait de prendre en compte toutes les interactions coulombiennes pourvu qu’elles aient lieu à l’intérieur de la sphère de DEBYE( s AD).

<

L’expression de la section efficace microscopique totale pour le transfert de quantité de mouvement déterminée en (V.46) nous oblige à préciser les valeurs de AD et so à introduire dans l’expression de A,, ce que nous allons faire dans l’hypothèse où les populations des particules chargées a et /? obéissent à des distributions maxwelliennes de températures Te et To. La longueur de DEBYEAD est, en principe, la longueur de DEBYEglobale définie par (1.38). En fait, d’après DELCROIX (1959)’ lors d’une collision, l’effet d’écran des ions n’a pas le temps de se manifester, et il est donc préférable d’adopter dans l’expression de A,, AD = AD^, la longueur de DEBYEélectronique, soit : (1.38)

Cette hypothèse est, de plus, cohérente avec celle des ions constituant un fond neutralisant pour les élec-trons (voir remarque 8, § 1.6). Pour s o , il faut calculler la valeur moyenne de papw&, soit : (ILeBWQp) = P e p ( ( w e o - w p o )2 )

sachant que :

11 s’ensuit que

we0

:

-

w p o = WaB

(pU“pw&)= pep(w,,2

.

+ woo 2

(V.48) (1.64)

-

2 . ~ ~wpo) 0 .

(V.49)

où la moyenne wao . tugo est nulle : toutes les orientations relatives initiales des particules dans le repère (du laboratoire sont également probables. Pour des distributions maxwelliennes, on obi,ient alors, d’après (1.11) : (V.50) Si Ti = Te = T , so prend une valeur unique : quelle que soit la nature des collisions, électron-électron. ion-ion ou électron-ion : (V.51) Par contre, si Te # Ti, il faut distinguer trois paramètres d’impact critique moyens : -

pour les collisions éllectron-électron : so,, =

~

e2 12~~0ksT ’ ,

(V.52)

pour les collisions ion-ion : (V.53)

ANNEXEV

~

381

et, pour les collisions électron-ion

(V.54)

so,, = so,, =

I1 leur correspond trois logarithmes coulombiens, In Acee,In Act%et In Ace$.En fonction de Acee,on a, d’après les expressions de soap (me<< mi) :

+

lnAcZz= 1nAcee In Ti Te so,, so,, ,

et puisque :

In Ace%Y 1nAcee.

alors :

FREQUENCES DE

,

(V.55) (V.56) (V.57)

COLLISIONS COULOMBIENNES

ET LIBRES PARCOURS MOYENS

Fréquences de collisions

De manière rigoureuse, la fréquence moyenne de collision de l’espèce a avec l’espèce (cible) est définie par (1.133) :

p

où â a est ~ la section efficace microscopique totale de transfert de quantité de mouvement. Or, dans le cas présent des collisions coulombiennes, les sections efficaces calculées précédemment sont déjà le résultat d’une moyenne effectuée sur les vitesses relatives, et ne peuvent donc être utilisées pour aboutir à l’expression exacte de (V.58). Pour cela, il faudrait intégrer (V.58) sur l‘ensemble des vitesses des populations Q! et /3 (de la même manière que dans l’exercice 1.9), ce qui conduit à un calcul très complexe. Un ordre de grandeur de la fréquence de collision pourrait, toutefois, être obtenu en recourant à l’approximation :

En fait, on préfère généralement définir ce qu’on appelle la fréquence de collision individuelle m o y e n n e qui correspond à la vitesse relative la plus probable, uUap(il ne s’agit donc pas à proprement parler d’une valeur moyenne). L’expression de woo est donnée par (exercice 1.9) : (V.60) Cette fréquence de collision s’écrit donc : (V.61)

ANNEXES

382

où ea, se calcule à partir de (V.46), en prenant pour nouvelles valeurs des paramètres d’impact et critiques moyens : (V.62) En supposant Te > ï i , les fréquences de collision s’écrivent alors : (V.63) (V.64) (V.65) I1 est possible de tirer de nombreuses relations simples de (V.63), (V.64) et (V.65). Ainsi, une première relation immédiate : (V.66)

u,, Y h V , i

montre que les fréquences de collision électron-électron et électron-ion sont du même ordre de grandeur. La seconde relation, obtenue en explicitant (V.63) : (V.67) permet de relier la fréquence de collision électron-électron à la pulsation plasma électronique w p e .

Libres parcours moyens De manière générale, le libre parcours moyen d’une particule être défini par (1.134;i :

Q:

sur l’espèce /? peut

(V.68) Comme précédemment pour la fréquence de collision, on définit le libre parcours m o y e n des collisions coulombiennes pour les vitesses les plus probables : (V.69) Les différents parcours moyens s’écrivent alors (Te >> Ti) :

(V.70)

ANNEXEVI

383

eei

=

.eie

=

’

(V.71)

v ei

(V.72)

ue i

(V.73)

Le libre parcours moyen des électrons sur toutes les particules chargées (électrons et ions) s’écrit : (V.74) Remarque : il est important de noter que les fréquences de collisions coulombiennes et les libres parcours moyens correspondants sont indépendants de la pression du gaz.

ANNEXEVI IONISATION PAR

ÉTAPES

L’ionisation par étapes est un mécanisme de création de particules chargées qui se révèle important dès que les pressions de gaz dépassent quelques torr (quelques centaines de pascal), ce processus s’intensifiant avec l’augmentation de la pression et de la densité électronique à tel point que l’ionisation par étapes peut l’emporter sur l’ionisation directe.

Le premier stade de l’ionisation par étapes est l’excitation de l’atome à partir de son état fondamental par une collision électronique : e+A+A(j)+e.

(VI.1)

-

Une seconde collision électronique sur cet atome excité dans l’état j provoque alors son ionisation : e+A(j)+A++g+e. (VI.2) L’atome excité a donc servi de relais, d’intermédiaire, pour atteindre l’ionisation avec des électrons de moindre énergie que ceux requis pour une ionisation directe.

BILANDE

POPULATION DE L’ÉTAT-RELAIS

La fréquence d’ionisation à partir de l’état excité j est par définition vie = N,(âji(W)W)

:

(VI.3)

ANNEXES

384

où Nj est la densité des atomes dans l’état excité (les cibles),

est la section efficace microscopique totale pour l’ionisation à partir de l’état excité j et les crochets indiquent l’intégration sur la fonction de distribution en vitesse des particules. Pour obtenir la fréquence d’ionisation par étapes, il nous faut donc connaître la densité des atomes excités d,ans l’état j. Cette densité est déterminée à partir du bilan des processus de création et de perte des atomes de l’état-relais. Nous allons nous aider du diagramme à trois niveaux d’énergie de la figure VI.l pour l’établir. âji

‘Jf-

3s2 3p54s 3p6

O

Etat fondamental de l’atome neutre (Ar) - Diagramme d’énergie à trois niveaux de l’atome d’argon permettant de caractériser l’ionisation par étapes : l’état fondamental de l’atome neutre, l’état-relais j (les 4 états d’énergie tie la configuration orbitale 3p5 4s sont en effet considérés comme un ~ 3P2 sont des états seul niveau) et le premier niveau de l’atome ionisé. Les niveaux 3 P et métastables (faible probabilité de transition radiative) alors que les niveaux ‘Pl et 3P1 sont des états radiatifs résonnants (aussi qualifiés de quasi métastables).

Figure VI.l

En régime stationnaire, le bilan création-pertes de l’état-relais impose évidemment que :

dn/,-- 0 ,

dt où di\/j/dt, dans le c,as présent, peut se mettre sous la forme suivante

(VI.4)

dNj

-~

dt -

-Nj Dj Nj(âji(w)w)n, A2

(VI.5)

Le premier terme du membre de droite représente le peuplement de l’état-relais par collision électronique sur l’atome dans son état fondamental (réaction (VI.1)). Les autres termes correspondent au dépeuplement du niveau relais, successivement, par suite de sa désexcitation par collision électronique vers le niveau fondamental (le processus inverse de la réaction (VI.1))’ par l’ionisation décrite par (VI.2)’ et par diffusion de ces atornes vers les parois. Dans la relation (VI.5)’ No est la densité des atomes dans 1’ét.at fondamental ; I c O j E (âoj (w)w)est le coefficient d’excitation

ANNEXE VI

385

=

électronique à partir de l’état fondamental; kJ0 (â,o(w)w) est le coefficient de désexcitation électronique de l’état j et k;, 5 ( â J z ( w ) west ) le coefficient d’ionisation à partir de l’état excité j ; D, est le coefficient de diffusion des atomes excités dans le même gaz et A est la longueur caractéristique de diffusion (A = R/2,405 dans le cas de géométrie cylindrique, où R est le rayon du tube : plus de détails en 5 3.8). Les processus qui interviennent dans l’équation (VI.5) sont représentés sur la figure VI.1 où l’état-relais est noté j . La diffusion des atomes de l’etat-relais est représentée sur ce même diagramme par leur temps caractéristique de diffusion r, où ( 5 3.8) :

(VI.6) L’ionisation par étapes se fait généralement à partir d’atomes dans un état métastable comme état-relais parce que la désexcit,ation radiative de ceux-ci est très longue, de sorte que leur dépeuplement est contrôlé par collisions électroniques et par diffusion. De l’équation (VI.5) à l’état stationnaire, nous obtenons la densité de l’état-relais : (VI.7)

La vitesse de dépeuplement de l’état-relais par diffusion est principalement déterminée par la pression du gaz : lorsque cette dernière augmente, le temps de diffusion rJ de ces atomes augmente également, réduisant ce type de perte (les deux états rnétastables de la figure VI.1 sont considérés comme ne faisant qu’un seul état-relais). Quand le dépeuplement de ces états est beaucoup plus faible par diffusion que par collision (c’est-à-dire rJP1< ((â,O(w)w) (eJZ(w)w))n e ) , (VI.7) montre que la valeur de A; est indépendante de la densité électronique; cet effet se manifeste aussi quand la densité électronique est très élevée.

+

F R É Q U E N C E D’IONISATION

La relation (VI.3) définissant la fréquence d’ionisation par étapes dans laquelle on tient comptje de A‘j donné par (VI.7)’ nous conduit à : (VI.8) Posons :

pze= No(âoj(zv).w)(â-ji(w).w)rj unités : cm3sp1 ,

(VI.9)

que nous appellerons coeficient d’ionisation par étapes, et :

+

q = ( ( 6 j o ( w ) w ) ( 6 j i ( w ) w ) )rj

unités : cm3

(VI.10)

que nous nommerons coe,ficient de saturation des états relais. La fréquence d’ionisation par étapes peut alors s’écrire sous la forme (1.150) : (VI.11)

ANNEXES

386

Lorsque la valeur de .vie n’augmente plus lorsque n, croît, on dit qu’il y a saturation : l’ionisation par étapes l’emporte alors nettement sur l’ionisation directe. Ceci se produit lorsque le temps de diffusion ~j est très grand (grande valeur de 77) ou lorsque la valeur de ne est très grande. Dans ces conditions, l’expression (VI.ll) ne dépend plus de ne puisque :

vi,

E

pie

(1.151)

-.

77

ANNEXEVI1 NOTIONS DE ‘TENSEUR Un tenseur se caractérise par le mode de transformation requis pour l’exprimer dans un autre repère. ~

~

Un scalaire s est une quantité invariante lors d’un changement de repère. C’est un tenseur d’ordre zéro. Un vecteur w s’écrit

w = W,ê,

+ w,êy + W,ê,

’

(VII.1)

où les ê, êI,et ê, sont les vecteurs de base d’un repère donné que nous allons qualifier d’ancien. Lors d’un changement de repère, les composantes (w,,wy,w,) de w sont reliées $1 ses composantes dans le nouveau repère par une matrice de transformation A d’éléments a;. Soit W’, les composantes de w dans le nouveau repère ; nous obtenons alors171 :

w’= a f w 1 + QaWg I + a;,,

= aiwi

(VII.2)

où pour pouvoir appliquer la règle de so.rnmation implicite (sans utiliser le signe de sommation), nous avons mis, dans le dernier membre de la relation, l’indice des composantes de w en position supérieure. Cette règle veut que le même indice, répété en position inférieure et supérieure, soit l’objet d’une sommation sur toutes ses valeurs : on dit de cet indice qu’il est m u e t car on peut en changer la désignation à volonté. Suivant cette notation, le vecteur w peut donc se représenter de façon compacte par w = ,wiêi. I1 faut cependant souligner que la position de l’indice, supérieure (contravariante) ou inférieure (covariante), dépend, de façon stricte, de la nature de la grandeur physique. Ainsi, sont naturellement covariants les champs E et H alors que le vecteur position est contravariant. Dans ce qui suit, nous allons ignorer cet aspect physique dans l’utilisation de la règle de sommation implicite sur les indices muets. La transformation i-nverse (du nouveau repère vers l’ancien) se fait par la matrice B d’éléments 0 3 qui est l’inverse de la matrice ( a ; ) ,ce qui implique que ( A ) ( B )= ( I ) . Ainsi, les composantes de w dans l’ancien système de coordonnées s’écrivent-elles :

wi = pfw’ .

(VII.3)

Le vecteur w est un tenseur d’ordre 1. 171Si nous désignons par Ê,, Ê y , Ê, les vecteurs de base dans le nouveau repère, ceux-ci s’obtiennent à partir ties vecteurs de base de l’ancien repère par la relation Ê I = a!êk.

ANNEXEVI1

-

Un tenseur

387

T d’ordre 2

s’exprime dans un repère donné par :

+ tx,êzê, + t,,êxê, + . . .

(V11.4)

T = tzzêzêz

c’est-à-dire qu’il fait intervenir deux vecteurs de base pour chaque composante ; ces composantes sont au nombre de 9. En conséquence, lors d’un changement de repère, il faut faire agir deux fois la matrice de transformation. Ainsi les composantes de dans le nouveau repère sont-elles données par :

TI J

- c I~ J~ iaj ,, ~ t

(VII.5)

On peut généraliser la définition de T à des tenseurs d’ordre quelconque en notant que le nombre d’indices d’un tenseur, en réalité le nombre de matrices de transformation qui interviennent lors d’un changement de repère, définit l’ordre du tenseur.

PRODUITS ENTRE ~

TENSEURS

Le produit tensoriel de deux vecteurs A et B, noté A du tenseur résultant : Tij

@

B,se définit par l’élément

AiBj

(VII.6)

1

où les indices i et j peuvent prendre les valeurs 1, 2 ou 3. On engendre ainsi un tenseur d’ordre 2 (aussi appelé dyade). Le produit tensoriel peut s’appliquer de façon générale à un produit de deux tenseurs d’ordre quelconque : l’ordre du tenseur résultant est la somme des ordres des tenseurs composant le produit. -

Le produit scalaire ou produit intérieur est, dans le formalisme tensoriel, une contraction, ce qui diminue de 2 unités l’ordre du tenseur initial172. Ainsi, pour deux vecteurs A et B, cela donne (avec la règle de sommation implicite) : u A . B = (Ai&). ( B j ê j ) A i B j ê? . ..ê 3. = AiB.f6..

(VII.7) i

où 6 i j est le symbole de KRONECKER ( S i j = 1 si i = j , 6 i j = O si i # j). Pour continuer à utiliser la règle de sommation implicite, il nous faut écrire (V11.7) sous la forme : A . B = AiBi . (VII.8) Le résultat est un scalaire, c’est-à-dire un tenseur d’ordre O. ~

Le produit vectoriel de deux vecteurs A et B est considéré comme un vecteur, qui s’avère être un pseudo-vecteur. En effet, lorsqu’on passe d’un repère droit à un repère gauche, ce pseudo-vecteur change de sens dans l’espace, ce qui est contraire à la notion de vecteur vrai. A vrai dire, le produit vectoriel devrait être représenté par un tenseur d’ordre 2 , antisymétrique, c’est-à-dire que Tij = -Tji, ce qui implique une diagonale nulle pour la matrice représentative du tenseur T . Celle-ci ne comporte que trois éléments indépendants d’où la représentation du produit vectoriel par un vecteur.

172Le produit scalaire de deux vecteurs peut être vu comme leur produit tensoriel suivi d’une contraction.

ANNEXES

388

OPÉRATEURS -

Le gradient est un opérateur qui produit un tenseur d’une unité supérieure à celui sur lequel il opère. Ainsi, à partir d’un scalaire s : dS as 8s vs = -êL + -êY + -êz

dy

dX

dz

= Edt. êi

,

(VII.9)

i

nous obtenons un vecteur La convention de l’indice muet ne peut s’appliquer ici car, au sens strict, l’opérateur “dérivée de position” est covariant, d’où la nécessité du signe explicite de sommation. La divergence est le résultat de l’action de l’opérateur gradient suivie d’une contraction. Ainsi, la divergence d’un vecteur w ,V . w ,est un scalaire (voir note 65. p. 109) : le résultat est un tenseur d’une unité inférieure au tenseur sur lequel on opère.

~

-

Le rotationnel se prend sur un vecteur covariant de composantes a, et produit un tenseur covariant d’éléments b,, : (VII.10) I1 y a augmentation d’une unité de l’ordre du tenseur initial du fait de l’action de l’opérateur spatial i3/ûxi.

EXEMPLE DE DEMONSTRATION

D’UNE IDENTITÉ TENSORIELLE

Nous voulons montrer que :

V r . ( w w ~=) W ( W . V

r f ).

(VII.11)

Développons-en le membre de gauche :

v,

’

wwf = a, (ê,

. (wPWqê,êq) f )

(VIL 12)

où f est un scalaire et 8, un opérateur de dérivation dans l’espace des positions (qui n’agit pas sur les vitesses microscopiques). Notons qu’il n’y a pas sommation sur i car les deux éléments portant cet indice sont covariants. En effectuant dans (V11.12) le produit êt . êP,qui impose p = i (V11.7)’ nous avons :

a,(ê, . (WPWqêpêq) f ) = a,( W z W q ê , f= ) a, ( f d ) dê,

(VIL 13)

où il y a sommation (contraction) sur l’indice i, de sorte que :

a* ( f w t )w = ( V , f .w )w .

(VII.14)

Finalement, puisque V,f . w est un scalaire, nous pouvons écrire :

(V,f w)w = 4 ’

V T . f .

.u) ’

(VI1.15)

ce qui est, le membre de droite de la relation (VII.11) que nous voulions démontrer.

ANNEXEVI11

389

ANNEXE VI11 OPERATIONS SUR

LES TENSEURS

Les propriétés fondamentales des tenseurs ont été présentées à l’annexe VII. Nous allons maintenant en donner les règles opératoires, sans toutefois avoir recours à la sommation implicite (indices muets) définie à l’annexe VIL PRODUIT DE DEUX

VECTEURS

Soit deux vecteurs A et B de composantes Ai et Bi avec i = 2, y , z ou i = 1, 2 ou 3. Produit scalaire de deux vecteurs : A . B On obtient un scalaire C : 3

A . B=

C A ~= BB. A~= c

(VIII.1)

i=l

Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif. Produit vectoriel de deux vecteurs : A A B

On obtient un vecteur C (en réalité un pseudo-vecteur, annexe VII) de composantes : Ci = Ai+iBi-l

où, si i = z, z

-

Ai-iBi+i

(VIII.2)

+ 1 = y et z - 1 = z . I1 s’ensuit que : AA B = - B A A = C

(VIII.3)

Le produit vectoriel n’est pas commutatif. Noter l’importante règle du double produit vectoriel :

A A ( B A C ) = ( A .C )B

-

( A. B ) C .

(VIII.4)

Produit tensoriel de deux vecteurs : A 8 B On obtient un tenseur T , d’ordre 2, dont la composante Tij est le produit de la coniposante Ai et de la composante Bj :

Ta.j.-- A z. B3. . I1 s’ensuit que :

A@BB((B@A)~.

(vIII.5) (VIII.6)

Le produit n’est pas commutatif, sauf si les vecteurs sont parallèles. Le symbole T en exposant indique que le tenseur est transposé (Tij est devenu Tji). Remarque : Dans le texte principal, nous avons représenté le produit tensoriel de deux vecteurs A et B sour la forme A B plutôt que par A @ B .

ANNEXES

390

PRODUIT DE Soit 3 et

DEUX TENSEURS

T , des tenseurs

d’ordre 2.

Produit tensoriel : S @ T On obtient un tenseur d’ordre 4 : dont les composantes sont :

5@T =Uijkl

= SijTkl

(VIII.7)

.

(VIII.8)

Produit simplement contracté : 5 .T On obtient un tenseur d’ordre 2 :

3 .T = g Uij =

dont les composantes sont :

(VIII.9) (VIII. 10)

SikTkj k

et si les deux tenseurs sont symétriques :

S . T = (T.S)T= ( g ) T = g

(VIII.11)

Produit doublement contracté : 3 : On obtient un scalaire :

S :T =

SijTji =

-

i

U

S:T=T:S.

avec

(VIII. 12)

j

-

(VIII.13)

P R O D U I T ENTRE UN TENSEUR ET U N VECTEUR

Soit

T , un tenseur d’ordre 2 et A , un vecteur.

Produit tensoriel d.’unvecteur par un tenseur d’ordre 2 On obtient un tenseur d’ordre 3 dont les composantes sont :

:

A @T =Q Q i j h = AiTjk

(VIII.14)

.

(VIII.15)

Produit contracté d’un vecteur par un tenseur d’ordre 2 On obtient un tenseur d’ordre 3 qui après contraction donne un vecteur : T.

dont les composantes sont :

A=D

TijAj .

Di =

(VIII.16) (VIII.17)

j

De même, le produit .4 . T donne un vecteur

:

A.T=D‘ dont les composantes sont :

Di = C A j T j i . j

(VIII.18) (VIII.19)

ANNEXEVI11

391

Donc, si T est un tenseur symétrique

(Tij = T j i ) ,le

produit est commutatif :

T.A=A.T.

(VIII.20)

-

Si T est obtenu par le produit tensoriel de deux vecteurs : T=

B@C

(VIII.21)

A.(B@C)=D,

donc :

a pour composantes :

(VIII. 22)

,

(VIII.23)

D = A . ( B @ C ) = ( A .B ) C

(VIII.24)

Di

AjBjCi = ( A .B)Ci

r=

j

d’où :

De même, puisqu’il y a commutation, on obtient :

D=(A@B).C=A(B.C).

(VIII.25)

Produit contracté d’un vecteur par un tenseur d’ordre 3 Soit Q , un tenseur d’ordre 3. -

On obtient un tenseur

T d’ordre 2 :

A .Q =T Tij

dont les composantes sont :

CAkQkij

(VIII.26) (VIII.27)

.

k

Q.A=T‘

De même,

(VIII.28)

-

est un tenseur d’ordre 2 dont les composantes sont : (VIII.29)

Produit rotatif (vectoriel) d’un vecteur par un tenseur d’ordre 2 On obtient un tenseur d’ordre 2 :

AAT=Q

(VIII.30)

dont les composantes sont : Uij

= Ai+iTi-i,j

Le vecteur colonne j du tenseur colonne j du tenseur T .

-

Ai-iTi+i,j

.

(VIII.31)

est le produit vectoriel du vecteur A par le vecteur

OPÉRATIONS IMPLIQUANT L’OPÉRATEUR DIFFÉRENTIEL

L’opérateur différentiel cornDosantes sont :

V (ou a/&-)peut être considéré comme un vecteur dont les

a v.- axi . 2 -

(VIII.32)

ANNEXES

392

Divergence d’un vecteur 3

V . A = C -dAi =C.

011obtient un scalaire :

i=l

axi

(VIII.33)

Divergence d’un tenseur d’ordre 2 On obtient un vecteur :

V.T=A

dont les composantes sont :

(VIII.34) (VIII.35)

La divergence est le produit contracté de l’opérateur différentiel V avec un vecteur ou un tenseur. Gradient d’un scalaire On obtient un vecteur :

VC=A

(VIII.36)

dont les composantes sont :

Ai = d X i

(VIII.37)

Gradient d’un vect,eur ou d’un tenseur De façon générale, le gradient est le produit tensoriel de l’opérateur différentiel V avec un scalaire, un vecteur ou un tenseur. Ainsi, sur un vecteur A, on obtient un tenseur d’ordre 2 :

VAzV@A=z dAj Tl.2. . __ . dont les composantes sont : dXi A noter que OB est un vecteur alors que V B est un tenseur d’ordre 2.

(VIII.38) (VIII.39)

Rotationnel d’un vecteur Le rotationnel est le produit vectoriel de l’opérateur différentiel V avec un vecteur. On obtient un (pseudo) vecteur : dont les composantes sont :

V A A =C dAi-1 dAi+i C2. -- - -. dz2-1

dXi+1

(VIII.40) (VIII.41)

Laplacien d’un scalaire

d 2C

C’est un scalaire :

(VIII.42)

i

Or : d’où :

(VIII.43)

AC = v . (VC) = V2C

(VIII.44)

ANNEXEIX

393

Laplacien d’un vecteur

AA=C

C’est un vecteur :

(VIII.45)

dont les composantes sont :

(VIII.46)

Or :

(VIII.47)

AA = V . ( v ~ A = ) V ~ A .

soit :

(VIII.48)

Remarque : il ne faut pas oublier que V est un opérateur différentiel, et, que par conséquent, quand il s’applique à un produit, il porte sur chacun des termes. Ainsi, v . ( B 8 C ) = ( V .B ) C + ( B . V ) C .

ANNEXEIX ORIENTATION DE W ~ I

DANS LE

TRIEDRE

DE RÉFÉRENCE

(EolA B,Eol, B)

Nous faisons appel au trièdre de référence (figure 2.10) et à la représentation de la vitesse w21 de la figure 2.11. De (2.134), pour un électron ( q = -e et w, = wee), nous avons alors : (IX.l) 1. cas où w

> w,,

: grand axe suivant

Eo1

De (IX.l) :

Wce

+

-(cos ut i sin w t ) ( ~ 0 A1 B I } B = -Alw(sinwt)Eol - A 2 w , , ( c o s w t ) ( E ~A~ B ) -

où Al et

A2

sont des constantes.

(IX.2) Eo1 A B

En t = O, on obtient E l = Eel, w21 = -A~w,,(Eo_LA B ) et, en t = T / 2 , E l = -Eel, w 2 l = A 2 w c e ( E oA~ B), comme cela est représenté sur la figure 2.11.

Eo;

ANNEXES

394

2. cas où w

< w,,

: grand axe suivant

Eo1 A B

De (IX.1)’ on a :

!R(w:zl)= Alw(sinwt)Eol

+ A2w,,(coswt)(E01

A B).

En t = O, E 1 = E O L ,w2l = Azw,,(EoI A B ) et, en t = 7 / 2 , E l = -Eel, w21 = -A2wC,(Eol A B ) (figure 2.11). Notons que, dans le cas présent, la vitesse est déphasée de T par rapport à la condition w > wee.

ANNEXEX FORCE AGISSANT

SUR UNE PARTICULE CHARGÉE

DANS LA DIRECTION D’UN CHAMP

B

FAIBLEMENT NON UNIFORME AXIALEMENT : VARIANTE DE

(2.172)

-

w A B =

A

er

elp

ez

O Br

WL

WJJ

O

.

(X.1)

B,

écrire

(voir (2.158)). En supposant que la particule se déplace en ayant comme centre de guidage l’axe de symétrie du champ B et un rayon de LARMORT B , nous pouvons alors poser r = ?“Bdans l’expression de B,, d’où :

et :

puisque p = &cinl/BZ(2.145). La non uniformité axiale du champ B donne lieu à une force proportionnelle au gradient de ce champ.

ANNEXEX I

395

ANNEXEXI LE MOMENT

MAGNÉTIQUE, UN INVARIANT DANS

L’APPROXIMATION DU CENTRE D E GUIDAGE Considérons le cas où il n’y a pas de champ E appliqué. Nous allons négliger le champ E induit par l’inhomogénéité de B dans le repère de la particule : ceci est conforme à l’approximation à l’ordre zéro du centre de guidage. Dans ces conditions, l’énergie cinétique totale de la particule, WT = W_L Wii, est constante. I1 s’ensuit que :

+

d -(wII) dt

-maw: dt ( l2

E-

)

d = --(Wl) at

(XI.l)

et, par ailleurs : (XI.2)

d B, F, = -p-, dz

Sachant que :

(2.172)

et en multipliant (2.172) par w , de chaque côté et puisque p = w,m,-

dwz at

E-

dt

(’

-m,w2 2 11)

=

W L dB, dz B d z dt

Wi ~

B

:

WidB, B

dt

’

(XI.3)

puis, en utilisant (XI.l), le membre de gauche de (XI.3) s’écrit : (XI.4) Tenant compte de (XI.2) pour remplacer le membre de gauche dans la relation (XI.4), celle-ci nous conduit à : --

B

dt

ce qui, manifestement, impose que :

c’est-à-dire que le moment magnétique p est indépendant de t. Nous avions obtenu ce même résultat en introduction de la section 2.2.3.

ANNEXES

396

ANNEXEXII VITESSE DE DÉRIVE wD D’UNE

PARTICULE CHARGÉE

FD MAGNETIQUE

SOUMISE À UNE FORCE QUELCONQUE

DANS UN CHAMP

B

: LA DÉRIVE

Généralisation de l’expression de la vitesse du mouvement de dérive dans un champ B à partir de l’expression de la vitesse de dérive électrique Pour la dérive électrique, nous avons obtenu (2.111) : (XII.1)

expression que nous généralisons en posant que q E l = F D E ,où FDEpeut être, finalement, assimilée à une force quelconque F D , ce qui nous conduit à l’expression générale recherchée :

FDAB 4B2

WD=-.

(XII.2)

Application au cas de la dérive magnétique (lignes de champ magnétique rectilignes) dans un champ B faiblement inhomogène Le champ B étant faiblement inhomogène, p est alors une constante du mouvement à l’ordre zéro et, d’après (2.172) que nous généralisons à trois dimensions, nous pouvons écrire : FDM =p,.VB. (XII.3) Dans le cas de lignes magnétiques rectilignes, B étant dirigé suivant ê z avec inhomogénéité selon y :

p = -p,ê, nous aurons :

FDM E -Pte,. A

(

et B = Bt(y)êZ,

%êyêz)

= -pzdye, dB,

(XII.4) A

.

(XII.5)

En portant 1’express:ion de la force engendrant la dérive magnétique (XII.5) dans (X11.2), il vient : (XII.6)

ce qui est bien la relation déjà obtenue en (2.210) : ce résultat conforte notre hypothèse que l’expression (XII.2) est valable pour une force F D quelconque.

ANNEXEXIII

397

ANNEXEXIII VITESSE DE DERIVE MAGNETIQUE WDM DANS LE REPÈRE DE FRENET ASSOCIÉ AUX LIGNES DE FORCE D’UN CHAMP

MAGNETIQUE PRÉSENTANT

UNE COURBURE

La particule effectue, à l’ordre zéro, un mouvement cyclotronique autour d’une ligne de force. celle-ci constituant l’axe de son mouvement hélicoïdal.

REPËREDE FRENET En chaque point d’une ligne de force de champ magnétique (figure XIII.l), nous pouvons construire un repère cartésien tel que : 1. le vecteur unitaire ê z soit dirigé selon la tangente à la ligne du champ B en ce point,, 2 . êY soit normal à cette tangente et orienté le long du rayon de courbure p173,ce vecteur pointant vers la ligne de champ, c’est-à-dire en direction opposée à ê y ret

3 . êz, la binormale, soit dans la direction perpendiculaire aux deux autres vecteurs unitaires de façon à former un trièdre droit. O

Figure XIII.l Repère de FRENET construit sur une ligne de champ magnétique présentant une courbure p. Le vecteur unitaire êz est entrant dans la feuille. Le vecteur unitaire êz dêz au point Q est transporté, parallèlement, au point P afin de montrer l’orientation de dê,. ~

+

Le repère de FRENET est aussi, en première approximation, le repère naturel de la particule dans le cas présent.

173Le rayon de courbure en un point A d’une courbe est la distance entre ce point et le point d’intersection de deux normales à la courbe situées immédiatement de part et d’autre du point A .

ANNEXES

398

RELATIONS DE FR.ENET La mécanique classique enseigne que sur une trajectoire s liée à un repère de FRENET : (XIII.1)

où le rayon de courbure p s’obtient par la dérivée des tangentes locales, comme le suggère la figure XIII.1. Dans le cas où y(z) décrit la ligne de force, on pourrait montrer, pourvu que dy/dz ne soit pas trop grand, que : (XIII.2) Par ailleurs, les composantes du vecteur p s’écrivent (JANCEL et KAHAN,chap. 4) : Pz P2

-

!?Y= P2 PZ

-

=

P2

1 dB, B dz ’ 1 dB, B dz ’

(XIII.3) (XIII.4)

o.

(XIII.5)

COMPOSANTES DE; V B L’équation de MAXWELL VAB = O (sans second membre, dans le cadre du formalisme des trajectoires individuelles) conduit à :

dB Par hypothèse d’une inhomogénéité de B dépendant de y , -2

dY

# O,

et : (XIII.7)

Les autres termes de (XIII.6) sont nuls. Les équations (XIII.3) et (XIII.4) deviennent alors : Px

=

O7

(XIII.8) (XIII.9)

de sorte que pY = p .

ANNEXEXIII

399

PARAMI~TRISATION D’UNE LIGNE

DE CHAMP

+

Dans notre cas, B = B,ê, B,ê, où lByl < IBzI est une correction d’ordre un à B, si la courbure de champ n’est pas trop forte. Nous cherchons y(z) pour caractériser cette ligne de force. Nous pouvons effectuer un développement limité en série de Taylor de la composante By,avec By(0)= O puisque cette quantité est d’ordre un, et : (XIII.10)

dB, est non nulle, de sorte que : dz

où, selon (XIII.6) et (X111.7), seule la composante

ByN

3 dz dz

(XIII.ll)

Par ailleurs, localement, par définition (voir figure 2.19) :

(XIII.12) et, en intégrant (XIII.2), il vient :

dY

-

--

dz

z P

(XIII.13)

’

la constante d’intégration étant nulle puisqu’en z = O, y = O (figure 2.19). De (XIII.12) et (X111.13), nous obtenons finalement : 2

B, = B,- .

(XIII.14)

P

En comparant B, dans (XIII.14) et (2.214), nous constatons que

EXPRESSION DE

wDM

D A N S LE REPÈRE D E

pN

i/p.

FRENET

Nous avons déjà montré que : (2.209)

où nous posons maintenant w, = -qaB/ma, de sorte qu’il vient explicitement :

(XIII.15) Par ailleurs, de (X111.14), nous obtenons : (XIII.16)

ANNEXES

400

ce qui, avec (X111.7)’ donne :

(XIII.17)

d’où (XIII.15) :

(XIII. 18)

En faisant appel à p: dirigé de façon opposée à êY,nous arrivons finalement à :

(XIII.19)

ANNEXEXIV HARMONIQUES SPHÉRIQUES 2

),

Cl,,,

= w‘fi,,(cosû)cosmp,

(XIV.1)

~ 1 ,

= w’~~,,(cosû)sin7np,

(XIV.2)

où P~,(cosû) est une f o n c t i o n de LEGENDRE associée d’ordre m, définie pour 1 2 1 et O 5 m 5 1, par d” (XIV.3) % ( P ) = (1 - P L 2 ) 4 - 4 ( P u ) , dP” et Pl est le polynôme de LEGENDRE de degré 1. Notons que pour m = O,

9m(P)=9 ( ~ . )

(XIV.4)

ANNEXEXV

40 1

Les premiers polynômes de LEGENDRE f l , ( p ) sont : Po(p) = 1, P2(p)

P3(p) = $

Pl(P) = p

’

Pll(P)

= (1 - fi2)$

(3p2 - 1) , P21(p) = 3 p ( l - p 2 ) i , (5p3 - 3 4 . . .

3(1- pu”)

P22(p) =

(XIV.5)

Les premières fonctions sphériques sont donc pour p = cos0 :

Coo = 1, CIO= wcosû = wz,

Cl1

Sll = wsin6sincp = wg, C ~ = Ow2

= wsinûcoscp = w,

(

(XIV.6)

3 cos2 8 - 1

)

En supposant l’existence d’une symétrie suivant cp, la fonction de distribution f ( ~ w,,t ) peut se développer suivant les termes Ci0 : f ( r ,w rt)= fo(r,

w,t ) + f i ( T , w,t ) cos 0 + f 2 ( T , w , t ) (3c0s,,-1)

ANNEXEXV EXPRESSION DES

TERMES

ET

Ea DE

TENSEUR

M

(3.19)

L’ÉQUATION

DE TRANSPORT DE LA PRESSION CINÉTIQUE EXPRESSION DU

f...

(3.151)

LIÉ A LA FORCE MAGNÉTIQUE

Explicitons M de (3.151) lorsque les particules a sont soumises à un champ magnétique B (force de LAPLACE7’). 11 suffit d’écrire (VIII.31) :

Mzj = n,q,((wi+lBi-l

- wi-lBi+l)uj

En décomposant, on obtient

+

(XV.1)

(Wj+lBj-l - Wj-iBj+l)ui)

:

, soit :

Mij

=

+

4a

- [Bi-lfi+l,

(XV.2)

j - Bi+lfi&l, j ]

ma 401

~

mff

[Bj-lQj+l, i

- Bj+lQj-i, il

,

(XV.3)

qui s’écrit sous forme tensorielle (VIII.6) : (XV.4)

ANNEXES

402

EXPRESSION DU

TENSEUR DE COLLISION

E,

(3.149)

(XV.5)

(XV.6)

S’il y a conservation du nombre de particules lors des collisions, le dernier terme de (XV.7) est nul. En utilisant la relation (3.116) définissant P,,, (XV.7) prend alors la forme finale :

R

-4

=

J’

maw,waS(fa)p dwa

ANNEXEXVI FERMETURE DE

-

T

uaP,,

-

[~a7’ap]

.

(XV.8)

L’ÉQUATION HYDRODYNAMIQUE

DE TRANSPORT DE PRESSION CINÉTIQUE DANS LE CAS D’UNE COMPRESSION ADIABATIQUE Considérons l’équation de transport de pression cinétique 9 (3.156) et appliquons-lui les hypothèses de cornpression adiabatique (voir texte principal) : 0.Q - = 0 et = 0. L’équation se simplifie alors pour donner :

a

d.t

(”)n + (9.V)w + [(%TL.V)

La structure même du tenseur nuls.

VIT -

M

=0 .

(XVI. 1)

(XV.2) fait que les termes de sa diagonale sont tous

L’équation (XVI.1)’ tensorielle d’ordre 2, peut donner lieu à une relation scalaire si l’on pratique une contraction (annexe VII) sur les deux indices des différents tenseurs d’ordre 2 de l’équation. Sachant qu’un tenseur A s’exprime A = ê,êjAij, contracter les deux indices en présence ( i = j ) équivaut à calculer la trace de A. Compte tenu de (3.111)’ la trace Tr du premier terme de (XVI.1) a pour valeur : (XVI.2)

ANNEXEXVII

403

alors que celle des deuxième et troisième termes donne : Tr [ ( 2V. ) v ]

+ Tr [(2.V)vIT = 2 p V . v ,

(XVI.3 )

où nous avons posé = n l c ~ T ( I(comme ) dans l’approximation du plasma tiède). Finalement, la trace de (XVI.l), en entier, a pour expression : n -d- -3+Pp V . v = O . dt 2 n

(XVI.4)

Cette relation scalaire remplace, donc, une équation tensorielle d’ordre 2 dont la fermeture a été effectuée en posant V . Q = 0. -

ANNEXEXVII COMPLÉMENTS DE CALCUL POUR L’EXPRESSION DE

T,(pR) ( 5 3.13)

FONCTION DE DISTRIBUTION MAXWELLIENNE DES VITESSES EXPRIMÉE EN ÉNERGIE (eV)174 L’expression suivante de la fonction de distribution : (3.286) par sa forme scalaire, souligne que nous avons négligé I’anisotropie induite par le champ E extérieur. En introduisant U e v , l’énergie microscopique des électrons, exprimée en eV : (3.287) (3.288)

il vient :

174 La substitution de l’énergie U e v à w dans f (tu) (isotrope) conduit à la fonction f ( U e v ) que l’on qualifie de fonction de distribution des vitesses exprimée en énergie. Par ailleurs, il est d’usage de définir une fonction de distribution en énergie I<’(Uev),en posant

F ( ü e v ) U e $ dU,v = f(w)47rw2 dw. Ainsi, on a F ( U , v ) = 4fi7r(e/rne)3/2f(w), soit

la condition de normalisation de F ( U , v ) étant

F(Uev)Ue$ dUev = 1.

ANNEXES

404

1 =~3 ( ?2/ c a ~ , )= -meuth = l c ~ T 2

2

et comme :

(XVII.1)

,

-

où Uev = 3/c~T,/2e(3.287) est l’énergie moyenne, nous avons finalement :

(3.290) Après substitution dans (3.286), nous obtenons :

(3.291)

et

EXPRESSION DE

LA FRÉQUENCE D’IONISATION SELON LES ÉNERGIES REDUITES U ET Ui

Comme point de départ, nous avons la relation (3.295) :

En effectuant le changement de variable : (3.296) il s’ensuit que : (vi) = 3

d’où

mer

7;

’ 9 Üev (U iJ&

(vi) = 9

-

E;

2 2 U i ) - Uev Uexp (-U) - Uev dU 3 3

,

(XVII.3)

FPO~~O mer

Ü$ J(U

-

Ui)Uexp (4) dU

.

(3.297)

ui

EXPRESSION D E (3.303)

E N FONCTION DES ÉNERGIES RÉDUITES

U

ET

Ui

Soit : ;Üevpi ( R 2,405 )2=2(;)4Fui~p~Ü!v mer

(--)exp(---) 3 €i

4 uev

3 Ei 2 uev

. (3.303)

ANNEXEXVIII

405

Sachant que 3&i/2Üev E Ui, nous pouvons écrire : 2,405

et alors :

(XVII.4)

_ _1

Ui (expUi) =

~

(2,405)2

-

(g) pER2

,

(XVII.5)

où pip0 est la mobilité ionique réduite à O OC, 1 torr (attention à la pression de référence ici à 1 torr plutôt que 760 torr).

ANNEXEXVIII PLASMAS D’ONDE DE SURFACE (POS) Ce type de plasma HF a joué un rôle déterminant dans la compréhension et la modélisation des plasmas entretenus par des champs RF et micro-ondes et, même, du plasma de la colonne positive d’une décharge en courant continu. Cela tient, d’une part, à la grande souplesse des conditions opératoires des POS et, d’autre part, à leurs propriétés intrinsèques. Le bref aperçu des POS qui suit devrait aider le lecteur à mieux comprendre comment certains résultats présentés dans le chapitre 4 ont été acquis. La figure XVIII.1 montre de façon schématique comment se présente un POS entretenu dans un tube diélectrique creux de configuration cylindrique (des POS plans ou plats peuvent également être créés). On remarque que l’applicateur de champ HF, en l’occurrence un lanceur d’onde, ne couvre qu’une faible longueur de la colonne de plasma produite. C’est que la décharge est entretenue par la propagation d’une onde électromagnétique (EM), onde qui est excitée à partir de l’interstice de lancement (typiquement de quelques mm de largeur) de l’applicateur de champ qui utilise, comme milieu de propagation, le plasma, le tube diélectrique le contenant, l’air entourant l’extérieur du tube et, le cas échéant, un cylindre conducteur creux, de plus grand diamètre et coaxial à l’ensemble. L’onde EM est dite de surface parce que l’intensité de son champ E est maximale, radialement, à l’interface plasma-tube à décharge, ce qui fait que l’onde semble coller au tube diélectrique épousant, le cas échéant, les variations de diamètre ou de courbure de celui-ci si elles ne sont pas trop abruptes. Une onde de surface est excitée aussi bien vers l’avant que vers l’arrière de l’interstice de lancement, comme le montre la figure XVIII.l. Avec certains types de lanceur (par exemple surfaguide), la colonne avant est symétrique, par rapport à l’interstice, à la colonne arrière alors, qu’au contraire, avec d’autres lanceurs (par exemple surfatron) , le plasma est presque exclusivement celui de la colonne avant. Le flux de puissance P ( z ) émergeant de l’interstice de lancement diminue le long du tube à décharge au fur et à mesure que l’onde transfère son énergie au gaz de la décharge qu’elle entretient.

ANNEXES

406

Une propriété particulière des POS est que la puissance perdue d P ( z ) / d z par l’onde entre z et z dz est absorbée par la décharge également entre z et z dz (ce n’est pas vrai des plasmas H F en général), ce qui en facilite la modélisation.

+

+

I Colonne arrière

I

I

Interstice de lancement d’un excitateur d’onde / de surface

I

Coionne avant

’ Puissance

micro-ondes alimentant l’exitateur

Plasma

i i

Paroi du tube diélectrique

A

- Schéma de principe de la formation d’une colonne de plasma entretenue par une onde électromagnétique de surface dans un tube diélectrique à partir d’un applicateur de champ à interstice de lancement.

Figure XVIII.l

Le résultat de cette baisse progressive de P ( z ) est une décroissance, le plus souvent linéaire, de la densité électronique, comme le montre la figure XVIII.2. Sur cette figure, nous remarquons que la pente de la décroissance de ne est d’autant plus grande que la fréquence de l’onde est élevée. Dans le cas de pressions faibles ( V / W < 1), l’onde cesse de se propager, et donc n’entretient plus la décharge, lorsque ne est inférieure à une certaine valeur175 alors que dans le cas des hautes pressions, l’onde ne se propage plus quand le flux de puissance n’est plus suffisant pour entretenir la décharge, déterminant, dans les deux cas, ce qu’on appelle la fin de colonne. Une propriété remarquable des POS est qu’une augmentation de la puissance HF délivrée à l’applicateur de champ produit un accroissement de la longueur de la colonne de plasma sans, cependant, modifier le segment de plasma qui existait antérieurement, celui-ci se trouvant simplement décalé en bloc de l’interstice de lancement. La figure XVIII.2 à 100 MHz illustre bien ce comportement des POS. La flèche indiquant 36 W repère la position axiale qu’occupe alors l’applicateur par rapport à la fin de colonne ( z O) et nous observons, comme nous venons de le dire, que ce segment de colonne de plasma n’est pas modifié lorsque la puissance HF est portée à 58 W . La densité électronique moyenne ne suivant une section radiale de la colonne de plasma : R

J,,,(,, z ) 27rrdr

n e ( z )= TR2

(XVIII.1)

O

175 La valeur minimum de fie dans ce cas est fie ?c 1,2x 1 0 4 ( l + t v ) f 2 (cmp3) où t u est la permittivité relative du tube à décharge (par exemple 3,78 pour de la silice fondue) et f est la fréquence de l’onde exprimée en MHz.

ANNEXExvm

407

du segment supplémentaire est plus élevée mais son gradient dfi,/dz demeure le même. Noter qu’à une fréquence de 27 MHz et une pression de 30 mtorr, la colonne de plasma d’argon s’étend sur 4,5 ni avec moins de 40 W transmis au surfatron !

t

\

58W t

,--.

M

I

E

O

400

300

200

100

O

Position axiale z (cm) - Distribution axiale de la densité d’électrons telle qu’observée le long d’une colonne de plasma produit par une onde de surface à différentes fréquences d’excitation (tube de rayon R = 6,4 cm à l’air libre, surfatron, argon 30 mtorr).

Figure XVIII.2

La figure XVIII.3 montre que la valeur de f i e et de son gradient dn,/dz augmente qiiarid le diamètre du tube diminue. Ceci est vrai aussi bien à la pression atmosphérique (figure XVIII.3) qu’à quelques nitorr seulement. Cette propriété est liée A la variation axiale du coefficient d’atténuation a de l’onde de surface. Soulignons que le fait de disposer d’une colonne de plasma le long de laquelle nP et P ( z ) varient permet d’effectuer une étude auto-cohérente, en chaque position axiale z , des propriétés dt: l’onde et du plasma sans avoir à modifier les conditions opératoires. Le domaine de variation possible des conditions opératoires est le plus grand de tous les plasmas HF, ce qui en fait un outil de choix pour la modélisation en permettant une confrontation expérience-théorie au cours de laquelle un seul des paramètres opératoires est modifié à la fois. Ainsi, il est possible de créer un tel type de plasma à des fréquences aussi basses que 150 kHz pour atteindre, comme l’ont montré des chercheurs russes, au moins 40 GHz, en produisant une onde de surfa,ce de même symétrie azimutale, c’est-à-dire de mêmes propriétés EM : autrement dit, on peut effectuer une étude paramétrique de la fréquence du champ HF sans avoir à modifier la configuration du tube à décharge iii non plus celle du champ EM. Quant au domaine de pression, il s’étend de quelques mtorr (un peu moins, encore, en présence d’un champ magnétique de confinement à la RCE) à, comme nous avons pu le montrer, au moins 7 fois la pression atmosphérique, toujours avec la même configuration de champ EM. Quant au diamètre des tubes à décharges, il peut être de moins de

408

ANNEXES

rn R = 3 m m

R=Gmm

010

‘

I

I

1

20

I

I

I

60

40

I

I

80

I

,

100

120

z (mm) Figure XVIII.3 - Distribution axiale de la densité électronique moyenne suivant la section d’un tube à décharge, à deux valeurs du rayon interne de celui-ci (3 et 6 mm) dans un plasma de néon à 915 MHz à pression atmosphérique.

1 mm et aller, pour ‘des fréquences pas trop élevées, à plus de 300 mm (des restrictions s’appliquent, en effet, au diamètre maximum du tube à décharge pour éviter des modes EM supérieurs de l’onde de surface quand on augmentje la fréquence de l’onde). Du fait de cette extrême souplesse des conditions opératoires, nous pouvons dire que la principale application des POS est la modélisation des plasmas HF, bien qu’il existe maintenant de nombreuses utilisations industrielles des POS.

ANNEXEXIXC INTÉGRALES UTILES E T EXPRESSIONS

DES PRINCIPAUX OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS INTÉGRALES UTILES

Fonction I?

r(z)= / F 1 e ë f O

Pour z = n, où n est un entier :

Valeurs remarquables de la fonction

r:

dt

, 8 ( z )> O

(XIX.1)

ANNEXEX I X

409

Autres intégrales

7

e-y2 dy = fi

(XIX.2)

-00

E(n) =

7

a>O,

ë a X 2 x ndx

(XIX.3)

-00

E(n) = O

pour n impair,

E ( n ) = 2 7 e é u x 2xn a x =

r (9)

pour n pair.

~

O

Valeurs remarquables

1 1 E(1) = - l ? ( 1 ) ü 1 = -a-’, 2 2 E(3) =

1 1 -r (2) a-’ = - K 2 , 2 2

EXPRESSIONS DEFINISSANT LES OPERATEURS DIFFÉRENTIELS (COORDONNEES ORTHOGONALES, RECTILIGNES ou CURVILIGNES) Soit d , x2 et x3 les coordonnées d’un repère et e l , e2 et e3 les unités locales de longueur (voir plus loin), nous pouvons exprimer les opérateurs différentiels de la façon suivante : ~

Le gradient (XIX.4) où ai

-

= a/axi.

Le rotationnel d’un vecteur 1

- d3e2A2),-(&elAl

e3el

1

-(&e2A2 e1e2

-

La divergence d’un vecteur

- &elAl)

- &esAs),

(XIX.5)

ANNEXES

410

~

Le laplacien d’un scalaire (XIX.7)

~

Le laplacien d’un vecteur

En coordonnées cartésiennes :

AA = AA,ê,

+ AA,ê, + AA,ê,

(XIX.8)

+ 3yAyêy+ aZA,ê,

(XIX.9)

et de (XIX.7) (el == e2 = e3 = 1)

AA = d:AzêZ

où les e, sont les vecteurs de base du repère cartésien.

De façon générale :

AA=V(V,A)-VAVAA.

(XIX.10)

Ces opérateurs sont :;oumis aux propriétés suivantes -

Le rotationnel du gradient d’un scalaire est nul :

de même pour les deux autres composantes. ~

La divergence du rotationnel d’un vecteur est nulle

(XIX.12) ~

La divergence du gradient d’un scalaire est égale au laplacien

SYSTÈMES USUELS DE COORDONÉES CURVILIGNES ORTHOGONALES ET UNITES LOCALEE DE LONGUEUR

Coordonnées cartisiennes Les variables sont x1 = alors el = e2 = e3 = 1.

IC,

x2 = y et x3 = z et les unités de longueurs locales sont

a4 ‘74 = -êz ax

0 - + -êz 84 + -e, ay dz

(XIX.14)

(XIX.15)

ANNEXEXIX

411

eY

+

(2 ”) -

e, (XIX.16)

dY

(XIX.17)

d2Az AA=êx 8x2

d2A,, + 7d2Ay ê u + -e, dY

(XIX.18)

Coordonnées cylindriques Les variables sont x1 = r , x2 = O et z3 = z et les unités de longueurs locales sont alors e1 = 1, e2 = r , e3 = 1.

a4 + --eo v4 = -êr ôr

ld(rA,) V.A=-r dr

r dû

+ -adez4, A

IdAo +--+38 T

dA, dz

(XIX.20)

(XIX.2 1)

(XIX.22)

(XIX.23)

(XIX.24)

ANNEXES

412

+ A,-

dz

-T

+ (XIX.25) Coordonnées sphériques

Les variables sont x1 = T , x2 = û et z3 = p avec les unités de longueur locales e1 = 1, e2 = T et e3 = T sin 8 . (XIX.26)

1 d(T2A,)

V.A=---T2

dr

+-r s i1n û d(Aesin6') +--r s i1n û dA, dû dq

(XIX.27)

+ ; 1 ' ~ ( T A( Q) ,7-$(XIX. ) ' 28)

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416

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS

[24] M. MOISAN,Z. ZAKRZEWÇKI, dans Radiative Processes in Discharge Plasmas, édité par J.M. PROUD,L.H. LUESÇEN (Plenum, New York, 1986) p. 381. [25] J. MARGOT,M. MOIÇAN, chapitre 8 de [12]. Z. ZAKRZEWÇKI, Plasma Chem. [26] R. CLAUDE,M. MOISAN,M.R. WERTHEIMER, Plasma Proc. 7,451 (1987). [27] G. SAUVÉ,M. M[OIÇAN,J . PARAÇZCZAK, J. HEIDENREICH, Appl. Phys. Lett. 53, 470 (1988). [28] Y. KABOUZI,M.D. CALZADA, M. MOISAN,K.C. TRAN,C. TRAÇSY, J. Appl. Phys. 91, 1008 (2002). [29] Yu.B. GOLUBOVÇKII, R. SONNEBURG, Zh. Tekh. Fiz. 49, 295 (1979) [Sov. Phys.Tech. Phys. 24, 179 (1979)]. [30] E. CASTANOSMARTINEZ, Y. KABOUZI, K. MAKASHEVA, M. MOISAN,Phys. Rev. E 70, 066405 (2004).

1311 M.J. DRUYVESTEYN, F.M. PENNING, Rev. Mod. Phys. 12, 87 (1940). [32] M.D. CALZADA, M. MOISAN,A. GAMERO,A. SOLA,J. Appl. Phys. 8 0 , 4 6 (1996).

INDEX Adiabaticité relation d’, 161 Angle de diffusion, 50, 370, 371 Applicateur de champ, 28, 204 Applications des plasmas, 19 Approximation adiabatique, 106 d’uniformité locale, 106 du centre de guidage, 106 électrostatique, 139 Astrophysique, 21 Axe de guidage, 106

BOHM critère de, 201 vitesse de, 201 B OLTZM A N N conductivité de, 141 équation de, 127, 129, 130 équation intégro-différentielle de, 129 loi de, 31 Cathode froide, 205 Centre de guidage, 88 approximation du, i o 6 Centre de masse, 47 Centre diffuseur, 53 Champ ambipolaire, 187 Champ de charges d’espace, 35 Champ diamagnétique, 90 Champs croisés, 96 Champs parallèles, 97 Chauffage par effet JOULE, 126 Chimie analytique, 26 Chimie dans les plasmas, 22 Chute libre, 188 Coefficient d’excitation, 220

d’ionisation, 193 d’ionisation par étapes, 74, 217, 385 de diffusion, 72 de diffusion ambipolaire, 180 de diffusion libre, 168 de réaction, 46, 70 de saturation des états relais, 74, 217, 385 de transfert d’énergie, 52 effectif de diffusion, 180 Collision, 43 binaire, 370 de seconde espèce, 30 élastique, 43, 49, 51 fréquence de, 63, 142 fréquence moyenne de, 64 inélastique, 43 intégrale de, 129 libre parcours de, 63 opérateur de, 128 quantité de mouvement, 46 section efficace de, 66 superélastique, 30, 44 transfert d’énergie, 46 Colonne positive, 206 Compensation impropre, 33 Condition de normalisation de la FDEE, 136 Conditions de SCHOTTKY, 191 Conditions opératoires, 197, 225 Conductibilité thermique, 155 Conductivité cinétique, 139, 141 de BOLTZMANN, 141 de LORENTZ, 139, 142, 163 effective, 216 électrique, 84 Confinement inertiel, 19

418

Confinement magnétique, 19 Conservation équation de, 74 Contraction, 233 Corps noir, 31 Courant de conduction, 84 Courant de polarisation, 281 Critère de BOHMS,201

P H Y S I Q U E DES PLASMAS COLLISIONNELS

Eclairage, 26 Ecran plasma, 26 Effet d’écran, 38 Effet de peau, 210

EINSTEIN relation d’, 169 Energie cinétique conservation de l’, 48 moyenne, 137, 365 Epaisseur de gaine, 198 Equation de BOLTZMANN, 127 de conservation, 46, 74 de continuité, 146 de FOKKER-PLANCK, 129 de LANGEVIN, 153, 339 de LENARD-BALESCU, 129 de NAVIER-STOKES, 154 de POISSON, 16 de SAHA,367 de VLASOV,128 des forces vives, 77 du bilan d’énergie, 154 du bilan des particules, 176 du mouvement , 77 int égro-différentielle de BOLTZMANN, 129 Equation de transport, 144 du tenseur de pression cinétique, 156 de BOLTZMANN, 129 de l’énergie cinétique, 154 de la quantité de mouvement, 148 fermeture, 159 Equilibre d’ionisation, 258 Equilibre thermodynamique, 29, 32 local partiel, 34 Etats relais, 383 coefficient de saturation des, 74, 217, 385 Excursion d’une particule chargée, 81

DEBYE longueur de, 16, 38, 256 longueur de, électronique, 40 longueur de, ionique, 40 Décharge de haute fréquence, 28, 209, 211 électrique, 17 en courant continu, 27, 204, 205 Degré d’ionisation, 17 Densité électronique, 28 Densité de probabilité de présence, 132 Dérive vitesse de, 94, 165, 208 Dérive électrique mouvement de, 93 Dérive de courbure magnétique, 122 Dérive magnétique mouvement de, 118 vitesse de, 396, 397 Description de LAGRANGE, 153 Détoxication, 23 Diamant polycristallin, 24 Diffusion, 163, 188 coefficient de, 72 coefficient de, libre, 168 coefficient effectif de, 180 modes propres de, 170, 171 pertes par, 211 tenseur de, 168 vitesse de, 168 Diffusion ambipolaire. 178, 187, 337, 342 coefficient de, 180 Distribution de DRUYVESTEYN, 366 Fermeture des équations de transport, 159 Distribution de MAX^ ELL-BOLTZMANN, Filamentation du plasma, 234 31, 363 Distribution des vitesses, 31, 142, 363 Flux tenseur de, 157 DRUYVESTEYN distribution de, 366 vecteur de, 155

INDEX

419

Flux aléatoire d’énergie, 245 de particules, 245, 365 FOKKER-PLANCK, équation de, 129 Fonction de distribution, 132, 136 des vitesses, 127 séparable, 137 simple, 132 Fonction de partition, 367 Force de pression cinétique, 149

Ionisation coefficient d’, 193 degré d’, 17 directe, 73 par étapes, 74 par étapes, coefficient d’, 74, 217, 385 potentiel d’, 67 seuil d’, 18, 67

FRENET repère de, 397 Fréquence cyclotronique (cyclotron), 86, 88, 90 Fréquence de collision, 63, 142 moyenne, 64 Fréquence du transport d’énergie, 220 Fréquence d’oscillation des électrons, 34, 35 Fusion thermonucléaire contrôlée. 19

LAGRANGE description de, 153 LANGEVIN équation de, 153, 339 LANGMUIR oscillation de, 37 LARMOR rayon de, 88 LENARD-BALESCU équation de, 129 Libre parcours de collision, 63 Libre parcours moyen, 66, 382 Lisière de gaine, 197 Loi de BOLTZMANN, 31 de PLANCK, 31 de SAHA,31 Longueur de DEBYE,16, 38, 256 électronique, 40 ionique, 40 LORENTZ conductivité de, 139, 142, 163 modèle du plasma de, 127, 161

Gaine, 38, 197 épaisseur de, 198 lisière de, 197 Gaine électronique, 197 Gaine ionique, 199 Gaz ionisé, 17 Gaz plasmagène, 227 Gaz porteur, 227 Gravure anisotrope, 211 Guidage axe de, 106 centre de, 88 Harmoniques sphériques, 132 Hypothèse de congruence, 178 de proportionnalité, 179 du coefficient de diffusion, 178 du plasma froid, 71, 83 Intégrale de collisions, 129 Interaction faible, 127 forte, 127 longue portée, 15 Inversion de population, 22 Ion négatif, 18

Masse réduite, 48 MAXWELL-BOLTZMANN distribution de, 31, 363 Microréversibilité, 30 Milieu continu, 126 Minimum de RAMSAUER, 64 Mobilité, 164 linéaire, 165 réduite, 167 Modèle auto-cohérent, 75 Modèle cinétique, 76 Modèle des trajectoires individuelles, 75 Modèle du plasma de LORENTZ,161

420

Modèle hydrodynamique, 75, 125 Modèle microscopique, 76 Modes propres de difiusion, 170, 171 Moment magnétique orbital, 107 Mouvement de dérive électrique, 93 Mouvement de dérive magnétique, 118 NAVIER-STOKES équation de, 154 Neutralisation mutuelle, 45 Nombre d’onde, 37 ONSAGER relation de, 332 Opérateur de collision, 128 Oscillation de LANGMUIR, 37 Paramêtre d’excursion, 349 Paramètre d’impact, EiO Permittivité électrique, 84, 330 Perte mécanisme de, 71, 208 Pertes par diffusion, 211 Plan d’interaction, 49

PLANCK loi de, 31 Plasma à deux températures, 33 Plasma de LORENTZ,127 Plasma froid, 126, 160 hypothèse du, 71, 83 Plasma non idéal, 43 Plasma tiède, 126, 160

POISSON équation de, 16 Pompage des lasers, 22 Post-décharge temporelle, 171 Potentiel d’ionisation, 67 Potentiel flottant, 201 Prégaine, 199 Pression cinétique force de, 149 Pression magnétique, y278 “Pression” réduite, 60 Processus réversibles, 30 Puissance absorbée, 206 Puissance HF absorbée, 84 Pulsation cyclotronique, 86, 88

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS

RAMSAUER minimum de, 64 Rapport du miroir, 115 Rayon de courbure, 122, 291, 397 Rayon de LARMOR,88 Recombinaison à trois corps, 72 Recombinaison dissociative, 45, 72 Recombinaison mutuelle, 73 Relation d’adiabaticité, 161 Relation d’EINSTEIN, 169 Relation d’ONsAGER, 332 Repère de FRENET, 397 Résonance cyclotronique (cyclotron), 105, 212, 284, 287, 349 SAHA équation de, 367 loi de, 31 SCHOTTKY conditions de, 191 Section efficace de collision, 66 macroscopique totale, 59 microscopique élémentaire, 377 microscopique différentielle, 53,54 microscopique totale, 57 Seuil d’ionisation, 18, 67 Source d’ions, 27 Stérilisation, 25 Système thermodynamique, 18 Température, 28, 29, 62 Tenseur de diffusion, 168 Tenseur de flux d’énergie thermique, 157 Tenseur de pression cinétique, 137 Traitement de surface, 23 Trajectoires individuelles modèle, 75 Variables indépendantes, 46 Vecteur de flux thermique, 155 Vecteur flux, 155 Vitesse de BOHM,201 de dérive, 94, 165, 208 de dérive magnétique, 396, 397 de diffusion, 168

INDEX de groupe, 37 distribution, 31 la plus probable, 365 moyenne, 137, 365 quadratique moyenne, 365 Vitesses distribution des, 142, 363

42 1

VLASOV

équation de, 128 Zone miroir, 112

TABLE DES

MATIÈRES

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Liste des symboles ...........................................................

9

Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chapitre 1 . Le milieu plasma : définition et principales grandeurs caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1. Définition et nature essentielle du plasma . .

.......................

15

1.1.1.Un plasma est un milieu à comporternent collectif . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2. Un plasma est un milieu macroscopiquement neutre . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.3. Premiers exemples de plasma ..................... 1.2. Domaines d’étude et d’applications (exemples)

. . . . . . . 17

........................

19

....................

19

1.2.1. Fusion thermonucléaire contrôlée

1.2.2. Astrophysique et physique de l’environnement spatial

...

1.2.3. Pompage des lasers ...........................

......................................... 22 1.2.5. Traitement de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.4. Chimie dans les plasmas

1.2.6. Stérilisation d’objets médicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.8. Eclairage ........................................................ 26

1.2.7. Analyse élémentaire (chimie analytique)

1.2.9. Ecrans plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

......................

27

1.3. Différents types de décharge en laboratoire ............................

27

1.2.10. Source d’ions . . . . . . . . . . . . .

424

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS

1.3.1. La déchatrge en courant continu ou alternatif de basse fréquence

. . 27

............................

28

..............................

28

1.3.2. La déchatrge de haute fréquence (HF) 1.3.3. La déchatrge par rayonnement laser

1.4. Densité électronique et température d’un plasma

......................

28

1.4.1. Domaine des valeurs de densité électronique des plasmas . . . . . . . . . 28 1.4.2. Concept d’équilibre thermodynamique (ET) et défini tion de la “température” d’un plasma 1.4.3. Divers niveaux d’écart par rapport à l’équilibre thermodynamique complet

....................

29

..........................

32

1.5. Fréquence propre d’oscillation des électrons d’un plasma . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.1. Origine et description du phénomène .............................

34

1.5.2. Calcul de la fréquence propre des électrons du plasma . . . . . . . . . . . . 35 1.6. Longueur de

]DEBYE : effet

d’écran dans les plasmas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.1. Descript ion du phénomène .......................................

38

1.6.2. Calcul du potentiel d’un ion dans un plasma à deux températures : définition de la longueur de DEBYE . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.7. Phénomènes de collision dans les plasmas .............................

43

1.7.1. Types de collision ................................................

43

1.7.2. Echange de quantité de mouvement et transfert d’énergie lors d’une collision entre deux particules .........................

46

1.7.3. Section efficace microscopique différentielle .......................

53

................... 57 1.7.5. Section efficace macroscopique totale ............................. 58 1.7.4. Section efficace microscopique intégrée (totale)

1.7.6. Expressilon de la température d’un plasma en électron-volt . . . . . . . 62 1.7.7. Fréquence de collision et libre parcours probable entre deux collisions .............................................

63

. . . . . . . . . . 64 1.7.9. Exemples de sections efficaces collisionnelles ..................... 66 1.7.8. Fréquence moyenne de collision et libre parcours moyen

1.8. Mécanismes de perte et de création des particules chargées d’un plasma et leur équation de conservation .........................

71

1.8.1. Mécanismes de perte .............................................

71

1.8.2. Mécanismes de création ..........................................

73

1.8.3. Equation de conservation des particules chargées ................. 74

TABLE DES

425

MATIÈRES

Chapitre 2 . Mouvement individuel d’une particule chargée dans des champs électrique et magnétique .......................

75

2.1. Equation générale du mouvement d’une particule chargée dans des champs E et B et propriétés de cette équation . . . . . . . . . . . . . . 77 2.1.1. Equation du mouvement .........................................

77

2.1.2. Equation des forces vives ........................................

77

2.2. Analyse de cas particuliers de E et B .................................

78

(B= O) .................................. 2.2.2. Champ magnétique constant et uniforme .........................

78

2.2.1. Champ électrique seul

86

2.2.3. Champ magnétique non uniforme ou variable dans le temps . . . . . 106

.

Chapitre 3 Description hydrodynamique d’un plasma .......

. . . . . . . . . . . . 125

. . . . . . . . . . . 127 3.1. Considérations élémentaires sur l’équation de BOLTZMANN 3.1.1. Présentation sommaire de l’équation de BOLTZMANN. . . . . 3.1.2. Approximation du terme de collisions élastiques de BOLTZMANN : relaxation de la fonction de distribution vers un état isotrope . . . 129 3.1.3. Deux méthodes classiques de recherche de solution de l’équation de BOLTZMANN ...................................

131

3.2. Fonctions de distribution des vitesses et notions de corrélation . . . . . . . 132 3.2.1. Densité de probabilité de présence ..............................

132

3.2.2. Fonction de distribution simple (cas de particules corrélées) . . . . . 133 3.2.3. Fonction de distribution simple (cas de particules non corrélées) 3.2.4. Fonction de distribution double (cas de particules corrélées)

134

. . . . . 134

3.2.5. Fonction de distribution double (cas de particules non corrélées)

135

3.2.6. Fonction de distribution à N-tuples ..............................

136

3.3. Fonct.ions de distribution et grandeurs hydrodynamiques . . . . . . . . . . . . . 136 3.4. Conductivité cinétique et hydrodynamique des électrons d’un plasma en présence d’un champ électromagnétique HF .......................

139

3.4.1. Forme cinétique de la conductivité électrique due aux électrons en champ HF ................................

139

3.4.2. Forme hydrodynamique de la conductivité électrique due aux électrons en champ HF ................................

142

..............................................

144

3.5.1. Equation de continuité (lermoment hydrodynamique : moment d’ordre zéro en w) .....................................

146

3.5. Equations de transport

426

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS

3.5.2. Equation de transport de quantité de mouvement ( 2 e moment : moment d’ordre un en w) ............................

148

3.5.3. Equations du moment d’ordre 2 en w ........................ 3.5.4. Equation des moments d’ordre supérieur ........................

158

3.6. Fermeture de,i équations de transport ................................

158

3.7. Modèle du plasma d’électrons de LORENTZ . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 161

3.8. Mobilité et diffusion de particules chargées ...........................

163

3.8.1. Les concepts de diffusion et de mobilité .........................

163

3.8.2. Solution de l’équation de LANGEVIN avec dérivée particulaire nulle (dvldt = O)

......................

164

3.9. Modes propres de diffusion et distribution spatiale de la densité des particules chargées .................................

170

3.9.1. Notions de modes propres de diffusion : étude d’une post-décharge temporelle ...........................

171

3.9.2. Distribution spatiale de la densité des particules chargées en réginie stationnaire de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.10. Diffusion en régime ambipolaire

....................................

177

3.10.1. Hypothèses nécessaires à une description analytique complète du régime de diffusion ambipolaire ....................... .. 178 3.10.2. Equations régissant la diffusion ambipolaire et le régime

de transition de la diffusion libre vers la diffusion ambipolaire . . 179 3.10.3. Valeur de l’intensité du champ électrique de charge d’espace 3.10.4. Expres3ion de la densité des charges po sur l’axe : limite de validité du calcul analytique . . . . . . .

. . . 181

........

182

3.10.5. Conditions à remplir pour qu’une décharge en mode de diffusion soit en régime ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.11. Diffusion ambipolaire en champ magnétique statique . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.12. Régime de cliffusion ou de chute libre?

.....

3.13. Température électronique d’une longue colonne de plasma régi par la diffusion ambipolaire : loi d’échelle T,(pR) . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.13.1. Hypothèses du modèle ...........................

. . . . . . . 190

3.13.2. Dérivation de la relation T,(pR) ...............................

191

3.14. Formation e t nature des gaines à l’interface plasma-paroi : flux aux parois et critère de BOHM .................................

197

3.14.1. Cas d’un potentiel de paroi positif par rapport au potentiel du plasma : gaine électronique

. . . . . . . . . 197

TABLE DES

427

MATIÈRES

3.14.2. Cas d’un potentiel de paroi négatif par rapport au potentiel de plasma : gaine ionique . . . . . . . . . . . . . . 199 3.14.3. Potentiel flottant ..............................................

201

Chapitre 4. Introduction à la physique des décharges HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.1. Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

4.2. Transfert de puissance du champ électrique à la décharge . . . . . . . . . . . . 205 4.2.1. Décharge en courant continu .........................

205

4.2.2. Décharges HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

4.2.3. Décharges HF en présence d’un champ magnétique statique . . . . . 211 4.2.4. Evolution de la valeur de 0 en fonction de f i , dans diverses conditions de plasma . . . .

..

. . . . . 217

4.3. Influence de la fréquence du champ HF sur quelques propriétés du plasma et sur certains procédés . . . . . . . . . . . 219 4.3.1. Position du problrme . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. FDEE en régime non stationnaire

..

219

. . . . . . . . . . . . . 221

4.3.3. FDEE en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Trois cas limites de l’influence de w sur la FDEE stationnaire . . . 223 4.3.5. Influence de w sur la valeur de la puissance O . .

. . . . . . . . . . . . . 226

4.3.6. Densité d’espèces produites par seconde à densité de puissance absorbée constante : efficacité énergétique ......................

227

4.3.7. Résultats expérimentaux et modélisation . . . . . .

227

4.3.8. Conclusion sommaire à l’étude des propriétés des plasmas HF à basse pression . . . . . . . . . . ..................

232

4.4. Les plasmas HF à haute pression

..................

..... 232

4.4.1. Observation expérimentale des phhomènes de contraction et de filanientation à la pression atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.4.2. Hypothèses d’étude du phénomène de contraction à la pression atmosphérique ....................................

236

4.4.3. Validation par un modèle auto-cohérent des hypothèses émises sur la contraction à la pression atmosphérique . . . . . . . . . . . . . . 240 Exercices du chapitre 1 ...................................................

243

Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

275

Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

319

PHYSIQUE DES

428

PLASMAS COLLISIONNELS

Annexes .. .... ... . . . . .. .... .... .. . ... .... .. . .. .... .. . . .. .... ... . .. . ... ... .. . 363 Annexe I. Rappels sur la fonction de distribution des vitesses de MAXWELL-BOLTZMANN (M-B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Annexe II. Expression complète de l’équation de SAHA , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 Annexe III. Equilibre thermodynamique local partiel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Annexe IV. Représentation des collisions binaires dans les repères du centre de masse et du laboratoire Annexe V. Interactions collisionnelles de nature coulombienne. Limitation de leur portée (logarithme coulombien)

. . . . . . . . .. 370

. . . . . . . . . . . . .<. 371

Annexe VI. Ionisation par étape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. 383

. .. . . . .... ... . .. ... . .. .... ...... . .. ......

. . 386

Annexe VII. Notions de tenseur

Annexe VIII. Opérations sur les tenseurs

. . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Annexe IX. Orientation de w21 dans le trièdre de référence (Eo1 A B , Eel, B ) . . . . . . . . . . . . .

.. 393

Annexe X. Force agissant sur une particule chargée dans la direction d’un champ B faiblement non uniforme axialement : variante de (2.172) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 Annexe XI. Le moment magnétique, un invariant dans l’approximation du centre de guidage . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . 395 Annexe XII. Vitesse de dérive W D d’une particule chargée soumise à une force quelconque F D dans un champ B : la dérive magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Annexe XIII. Vitesse de dérive magnétique W D M dans le repère de FRENET associé aux lignes de force d’un champ magnétique présentant une courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Annexe XIV. Harmoniques sphériques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

Annexe XV. Expremion des termes & J et de la pression cinétique (3.151)

de l’équation de transport

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

TABLE DES

429

MATIÈRES

Annexe XVI. Fermeture de l’équation hydrodynamique de transport de pression cinétique dans le cas d’une compression adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 Annexe XVII. Compléments de calcul pour l’expression de T,(pR) Annexe XVIII. Plasmas d’onde de surface (POS)

( 5 3.13) .

403

. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 405

Annexe XIX. Intégrales utiles et expressions des principaux opérateurs différentiels

. . . . . . . . . 408

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 Index

... . . .. . . .. . . .. . . . . . .. . . .. .... .. . ... . . .. . . . . . .. . . .. . . .. . . .. .... ... .... . . 417

Table des matières

... .... .. . . .. .... ... .... .... .... .... .... ... ... . .. . . .. . . . 423