Quantenfeldtheorie 003

QM-II: Vielteilchen-Theorie, Quantenfeldtheorie K.Goeke, SS 2006 June 2, 2006 2 Contents 1 Nicht-relativistische Vie...

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QM-II: Vielteilchen-Theorie, Quantenfeldtheorie K.Goeke, SS 2006 June 2, 2006

2

Contents 1 Nicht-relativistische Vielteilchen-Theorie 1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

7

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Postulate, Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruktion symmetrischer und anti-symmetrischer VielteilchenZust¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Das Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Formalismus der ”zweiten Quantisierung” . . . . . . . . . 1.3.2 Teilchen-Loch Anregungen, Transformation der Basis, FeldOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Symmetrische Operatoren im Fock-Raum . . . . . . . . .

20 24

Theoreme der Vielteilchen-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Wick-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Thouless Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hartree-Fock Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Hartree-Fock im Orstraum, dichteabh¨angig . . . . . . . 1.5.4 Density dependent Hartree-Fock for nuclei: Applications

. . . . . . . .

28 28 29 29 29 31 34 39

Zeitabh¨angige Hartree-Fock-Theorie (TDHF) . . . . . . . . . . . 1.6.1 Variationsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Random Phase Approximation . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Stabilit¨ at der Hartree-Fock-L¨osung, spuriose L¨osungen . 1.6.4 Random–Phase-Approximation in der Kernphysik: Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hartree-Fock-Bogoliubov Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 BCS-Theory, pairing correlations . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Quasi-Particles and Hartree-Fock-Bogoliuibov-theory . . .

42 42 43 48

3

7 7 9 12 14 16 16

51 55 55 57

4

CONTENTS

2 Relativistische Einteilchen-Gleichungen 2.1 Relativistische Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Nat¨ urliche Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Kovariante und Kontravariante Vektoren . . . . . . . . . 2.2 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 4-Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . 2.3.3 Bilineare Kovarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Freie Dirac-Gleichung: Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Externes elektromagnetisches Feld: Minimale Substitution 2.3.6 Nichtrelativistischer Limes: Pauli-Gleichung . . . . . . . . 2.3.7 Parity, Time reversal (Dirac Equation) . . . . . . . . . . . 2.3.8 Charge conjugation (Dirac Equation) . . . . . . . . . . . 2.3.9 Massless particles (Dirac Equation) . . . . . . . . . . . . . 2.3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 63 64 65 68 68 75 79 81 85 88 90 92 93 94

3 Klassische Feldtheorie 95 3.1 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2

3.3

3.4 3.5

3.1.1 Das Feld mit unendlich vielen Freiheitsgraden . . . . . . . 95 3.1.2 Bewegungsgleichungen, Hamiltonsches Prinzip . . . . . . 96 3.1.3 Hamilton-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Lorentz-Transformations and Poincare-Group . . . . . . . . . . . 101 3.2.1 Lorentz Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2.2 The Poincar´e Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.2.3 Lorentz group: Scalar, Vector, and Spinor Fields . . . . . 105 3.2.4 Relativistic Quantum Fields (shift to later section) . . . . 108 Symmetrien und Erhaltungsgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 Invarianzen und Erhaltungsgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.2 Symmetrien, Kontinuit¨atsgleichung, Energie-Impuls-Tensor, Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.3.3 Globale Phasentransformation, Ladung . . . . . . . . . . 115 3.3.4 Poincar´e-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Das Maxwell-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Relativistic Mean Field Theory for Nuclei: . . . . . . . . . . . . . 125 3.5.1 Relativistic Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.5.2 Relativistic Mean Field in Nuclei: Application: . . . . . . 127 3.5.3 Relativistic RPA in nuclei: Applications . . . . . . . . . . 127

4 Das quantisierte Klein-Gordon-Feld 133 4.1 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.1 4.1.2

Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Hamilton-Op., Op. des 4-Impulses, Energie-Impuls-Op. . 134

CONTENTS

5

4.1.3 4.1.4 4.1.5

Feldquanten des KG-Feldes: Bosonen . . . . . . . . . . . 137 Das komplexe Klein-Gordon-Feld . . . . . . . . . . . . . . 152 Kovariante Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . 157

5 Das quantisierte Dirac-Feld 169 5.1 Quantisierung und Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.2 5.3 5.4 5.5

Propagatoren . . . Parity . . . . . . . Charge conjugation Time reversal . . .

. . . .

173 177 178 179

6 Das quantisierte Maxwell-Feld 6.1 Gauge Theory vs. covariant quantization . . . . . . . . . . . . . 6.2 Transversal, scalar and logitudinal Photons . . . . . . . . . . . . 6.3 Photon-Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181 181

7 S-matrix theorie 7.1 The interaction picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Schr¨ odinger-picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Heisenberg-picture: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Interaction picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 S-Matrix expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Wicks-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 ———————————————–Hamilton principle . 7.3.2 Free massive boson field with spin S=0 (Klein-Gordon): 7.3.3 Free massive fermion field with spin S=1/2 (Dirac): . . 7.3.4 Free massles bosonic field of Spin=1 (Maxwell) . . . . . 7.3.5 Fermion-Boson-coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.6 Bilinear covariants: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.7 Parity, time reversal, charge conjugation . . . . . . . . . 7.4 Canonical field quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 General remarks: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Quantized Klein-Gordon-Field: . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Quantized Dirac-field: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Quantized Maxwell-field: . . . . . . . . . . . . . . . . .

193 194 194 194 195 197 199 201 202 203 204 205 206 206 207 207 208 211 212

8 Global symmetries 8.1

. . . .

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184 189

215

Symmetries and currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.1.1 Elements of Lie-Group theory . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.1.2 Noether Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6

CONTENTS

9 Local symmetries 9.1 The gauge principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Abelian gauge theory: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Non-abelian gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225 225 225 230

Chapter 1

Nicht-relativistische Vielteilchen-Theorie 1.1

Grundlagen

1.1.1

Definitionen

Wir nennen zwei elementare Teilchen identisch, wenn alle ihre intrinsischen Eigenschaften identisch sind, d.h. ihre Masse, Ladung, Spin, Flavour, Colour, etc.....alle Quantenzahlen. Wir werden sehen, daß man in nat¨ urlicher Weise zwei Sorten von elementaren Teilchen unterscheidet: Fermionen, deren Zustand antisymmetrisch ist, und Bosonen, deren Zustand symmetrisch ist. Wir werden nach der Quantisierung relativistischer Felder feststellen, daß Fermionen Teilchen mit halbzahligem Spin und Bosonen Teilchen mit ganzzahligem spin sind. Dieses ist die Aussage des Sppin-Statistik-Theorems. Beispiele f¨ ur elementare Fermionen sind die Leptonen (Elektron, Myon, Tauon, Positron,..., Neutrino,...), die Quarks (up, down, strange,....Anti-up,....). Beispiele f¨ ur elementare Bosonen sind Feldquanten (Photonen, W-Bosonen, Z-Bosonen, Gluonen, Gravitonen, Higgs-Bosonen,....). Zwischen komplexen Systemen, die aus identischen Teilchen zusammengesetzt sind, haben wir Identit¨ at genau dann, wenn diese sich im exakt gleichen Vielteilchen-Zustand befinden, ist das nicht gegeben, dann sind sie nicht identisch. Identische Systeme sind nicht unterscheidbar. Das bedeutet: Es gibt keinen Meßprozeß, der zwei identische Systeme unterscheiden k¨onnte. Klassische Physik In der klassischen Physik gibt es im Prinzip nicht den Begriff identischer Teilchen. Klassische Teilchen bzw. klassische Systeme sind immer unterscheidbar. Zwei klassische Teilchen m¨ ogen die gleichen Eigenschaften haben, aber dennoch kann 7

8

CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

man sie unterschiedlich kennzeichnen (anmalen) und man kann immer Meßprozesse finden, die auf diese Kennzeichnung reagieren.1 Quantenphysik In der Quantenmechanik ist das Konzept identischer Teilchen vorhanden, aber keineswegs trivial. Die Tatsache der Nicht-Unterscheidbarkeit hat weitreichende Konsequenzen, die man am besten in der statistischen Mechanik sieht. Dort spielt die Entropie eine große Rolle, sie ist definiert durch S = kB log Ω

Ω=Anzahl der Zust¨ande

Dort haben wir klassisch und quantenmechanisch verschiedene Abz¨ahlweisen. Nimm z.B. 3 verschiedene Zust¨ande und verteile 2 identische Teilchen A und B auf sie. Dann unterscheiden wir drei F¨alle: Boltzmann-Statistik: Klassische unterscheidbare Teilchen, i.e. 9 verschiedene 2-Teilchen Zust¨ande. Zustand 1 Zustand 3 Zustand 3 AB − − − AB − − − AB A B − B A − A − B B − A − A B − B A Bose-Einstein-Statistik: Nicht-unterscheidbare Teilchen mit geradzahligem Spin, i.e. Bosonen wie Eichbosonen, Photonen, Pionen, Kaonen, Gluonen, WBosonen, Z-Bosonen, Atomkerne und Atome mit ganzzahligem Spin. Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3 AA − − − AA − − − AA A A − A − A − A A Fermi-Dirac Statistik: Nicht-unterscheidbare Teilchen mit halbzahligem Spin, i.e. Fermionen wie Leptonen, Quarks, Neutrinos, Nukleonen, DeltaIsobar, Atome und Atomkerne mit halbzahligem Spin: 3 verschiedene 2-Teilchen Zust¨ ande 1 In der klassischen statistischen Mechanik wird bei der Behandlung der Mischungsentropie (Gibbsches Paradoxon) ein Faktor 1/N! von Hand in die Zustandssumme eingef¨ ugt, der die Identit¨ at von Teilchen ber¨ ucksichtigt. Dies ist jedoch eine reine ph¨ anomenologische Behandlung ohne tieferen theoretischen Hintergrund.

1.1. GRUNDLAGEN

9

Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3 A A − A − A − A A Offenbar liegen in allen drei Statistiken v¨ollig verschiedene Abz¨ahlweisen vor.

1.1.2

Postulate, Definitionen

Das Ziel der quantenmechanischen Vielteilchentheorie ist einen Formalismus zu konstuieren, bei dem man Teilchen austauschen kann, ohne die meßbaren Eigenschaften des Systems zu ver¨ andern Postulate Postulat 1: Der Hamiltonoperator eines Systems von N identischen Teilchen und jeder andere Operator A(x1 , x2 , ..., xN ), der einer Observablen zugeordnet ist, ist invariant bzgl. einer Permutation der Teilchenkoordinaten2 . Postulat 2: Die Wellenfunktion ψ(x1 , x2 , ..., xN ) eines Systems von N identischen Teilchen ¨ andert sich bei einer beliebigen Permutation der Teilchenkoordinaten h¨ ochstens um eine Phase. Hilbert-R¨ aume f¨ ur Vielteilchensysteme Betrachte eine 1-Teilchen-Basis (e.g. harmonischer Oszillator) uα (x) α = 1, 2, .... P Allgemeiner 1-Teilchen-Zustand: ψ(x) = α Cα uα (x) Basis: uα (x) P Allgemeiner 2-Teilchen-Zustand: ψ(x1 , x2 ) = αβ Cαβ uα (x1 )uβ (x2 ) Basis: uα (x1 )uβ (x2 ) P Allgemeiner N -Teilchen Zustand: ψ(x1 , x2 , ..., xN ) = αβ....ν Cαβ....ν uα (x1 )uβ (x2 )....uν (xN ) Basis: uα (x1 )uβ (x2 )....uν (xN ) Im abstrakten Hilbert-Raum k¨ onnen wir die Basis f¨ ur den N -Teilchen HilbertRaum definieren : Basis for N -particle Hilbert space: |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i In dieser Basis k¨ onnen wir einen N -Teilchen-Operator schreiben. Wir wissen, wie wir in einem Einteilchen-Hilbert-Raum einen Operator schreiben, n¨amlich X |uα i huα | Aˆ |uα0 i huα0 | Aˆ = αα0

2 Streng

genommen bedeutet die Notation x nicht nur die Charakterisierung der Ortskoordinate sondern auch andere Freiheitsgrade, wie Spin, Flavour, etc.

10 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE mit huα | Aˆ |uα0 i = Aαα0 =

Z

dxdx0 u∗α (x)A(x, x0 )uα0 (x0 )

und analog im N -Teilchen Fall X |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i Aαβ...α0 β 0 .... huα0 (1)| huβ 0 (2)| ... huν 0 (N )| A(1, 2, ..., N ) = αβ...α0 β 0 ...

mit A

αβ...α0 β 0 ....

=

Z

dx1 ....dxN dx01 ....dx0N u∗α (x1 )...u∗ν (xN )A(x1 , ...xN ; x01 , ...x0N )uα0 (x01 )...uν 0 (x0N )

Permutationen und Transpositionen: Um die Theorie sauber zu formulieren f¨ uhren wir Permutationen und Transpositionen ein: Permutation:

pρ :

(1, 2, 3, ..., N ) → (ρ1 , ρ2 , ...ρN )

Permutation operator: Pρ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = |uα (ρ1 )i |uβ (ρ2 )i ... |uν (ρN )i This is obviously identical to E E E −1 (2) Pρ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = uρ−1 (1) ... uρ−1 (N ) u ρ α ν β

Der Permutationsoperator ordnet einem Basisvektor des N -Teilchen HilbertRaums in eineindeutiger Weise einen anderen Basisvektor des N -Teilchen HilbertRaums zu. Die Permutationsoperatoren bilden eine nicht-abelsche Grupope G: Pρ−1 existiert

Pρ = 1 existiert

Pρ ∈ G, Pσ ∈ G =⇒ Pρ Pσ ∈ G Pρ Pτ 6= Pτ Pρ Wir ben¨ otigen im Folgenden Transpositionsoperatoren. Der Transpositionsoperator T (i, k) tauscht Teilchen i mit Teilchen k aus und ist definiert durch T (i, k) |uα (1)i ... |uγ (i)i ... |uµ (k)i ... |uν (N )i = |uα (1)i ... |uγ (k)i ... |uµ (i)i ... |uν (N )i Der T (i, k) ist hermitesch, was leicht zu zeigen ist. Wir wissen weiter, daß jede Permutation als Produkt von Transpositionen dargestellt werden kann. Diese Zerlegung ist nicht eindeutig. Eindeutig jedoch ist die Signatur der Transposition, definiert durch: sign(pρ ) = (−1)

Anzahl der Transpositionen

= (−1)pρ

(1.1)

1.1. GRUNDLAGEN

11

Das T ist hermitesch und wir haben die Eigenschaften, T = T + = T −1 , trivial zu beweisen, und weil Pρ das Produkt hermitescher Operatoren ist, gilt: T (i, k)=hermitesch

=⇒

Pρ = unit¨ar

Der Beweis ist ebenalls trivial: Wenn z.B. P = T1 T2 , dann gilt P P + = T1 T2 T2+ T1+ = T1 T2 T2−1 T1−1 = 1. Das bedeutet: Die Anwendung von Pρ auf die Basis eines N -Teilchen Hilbert-Raums ist eine unit¨are Transformation. Damit ist die Anˆ gegeben durch: wendung von Pρ auf einen Operator O ˆ → Pρ OP ˆ −1 O ρ Hiermit k¨ onnen wir die Postulate in mathematischer Form formulieren: i h ˆ 2, ..., N ), Pρ = 0 Postulat 1: O(1, Postulat 2: Pρ |ψ(1, 2, ..., N )i = exp (iαρ ) |ψ(1, 2, ..., N )i

(1.2) (1.3)

Postulat 2 bedeutet, daß der quantenmechanische Vielteilchen-Zustand eines Systems identischer Teilchen ein Eigenzustand zu jedem beliebiten Permutationsoperator ist. Das bedeutet eine bedeutende Einschr¨ankung f¨ ur die Mannigfaltigkeit der Vielteilchenzust¨ande eines Systems . Beh: Der Eigenwert des Permutationsoperators ist eintweder exp (iα) = +1 or exp (iα) = −1. Beweis: Wir betrachten eine Transposition, die immer eine spezielle Permutatin ist. Deshalb gilt nach Postulat 2: T (k, l) |ψ(1...k..l...N )i = |ψ(1...l..k...N )i

= exp (iα) |ψ(1...k..l...N )i

(entweder) (oder)

daraus folgt T (k, l)2 |ψ(1...k..l...N )i = T (k, l) |ψ(1...l..k...N )i = |ψ(1...k..l...N )i

(entweder)

T (k, l)2 |ψ(1...k..l...N )i = exp (iα) T (k, l) |ψ(1...k..l...N )i = exp (2iα) |ψ(1...k..l...N )i (oder) Vergleich der beiden letzten Ausdr¨ ucke ergibt exp (2iα) = 1 =⇒ exp (iα) = ±1 qed. Wir betrachten nun bestimmte Vielteilchenzust¨ande mit einer speziellen Eigenschaft. Sie sollen unter einer beliebigen Transposition immer den gleichen Eigenwert haben. Wenn dieser Eigenwert positiv ist, i.e. exp (iα) = +1, dann heißen diese Zust¨ ande symmetrisch. Wenn dieser Eigenwert negativ ist, i.e. exp (iα) = −1, dann heißen sie antisymmetrisch.: T (k, l) |ψS i = + |ψS i T (k, l) |ψA i = − |ψA i

symmetrisch (beliebige k, l)

(1.4)

anti-symmetrisch (beliebige k, l)

(1.5)

12 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Diese symmetrischen bzw. anti-symmetrischen N -Teilchen-Zust¨ande haben einfache und wohldefinierte Eigenschaften wenn Permutationsoperatoren auf sie angewendet werden. Weil diese Produkte von Transpositionsoperatoren sind und jede Transposition entweder ein Plus-Zeichen oder ein Minus-Zeichen mit sich bringt je nach Symmetrie des Zustandes (siehe z.B.eq.(1.1), gilt f¨ ur eine beliebiges Pρ : Pρ |ψS i = + |ψS i Pρ

Pρ |ψA i = sign(Pρ ) |ψA i = (−)

symmetrischer Zustand |ψA i

(1.6)

anti-symmetrischer Zustand (1.7)

Vielteilchen-Zust¨ande eines Systems identischer Teilchen sind entweder symmetrisch oder anti-symmetrisch. Tertium non datur. Beh: Es gilt die wichtige Behauptlung: Die Symmetrie-Eigenschaft eines Vielteilchenzustandes ist eine erhaltene Gr¨oße Beweis ist trivial: Nach Postulat 1 haben wir f¨ ur eine beliebige Permutation: [H, Pρ ] = 0.Also: Wenn an einer bestimmten Zeit t0 der Zustand eines Systemes z.b. antisymmetrisch ist e.g. Pρ ψ(t0 ) = sign(Pρ )ψ(t0 ) dann ist er zu jeder beliebigen Zeit ebenfalls anti-symmetrisch Pρ ψ(t) = sign(Pρ )ψ(t). Denn Pρ ψ(t) = Pρ exp {−iHt/}} ψ(t0 ) wegen Vertauschbarkeit ist das exp {−iHt/}} Pρ ψ(t0 ) oder = sign(Pρ ) exp {−iHt/}} ψ(t0 ) = sign(Pρ )ψ(t).qed Wir fassen zusammen: Der Zustand eines Systems identischer Teilchen ist entweder oder vollst¨ andig symmetrisch =⇒ vollst¨ andig anti-symmetrisch =⇒

1.2

Bosonen (Spin=0,1,2,..) Fermionen (Spin=1/2,3/2,...)

Konstruktion symmetrischer und anti-symmetrischer Vielteilchen-Zust¨ ande

Betrachte die Basis des Vielteilchen -Hilbert-Raums: |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i

(1.8)

Diese Basis besteht aus einfachen Produkt-Hilbert-Vektoren, die noch keinerlei Symmetrieeigenschaften hinsichtlich der Permutationen haben. Wir werden jetzt Projektionsoperatoren Sˆ und Aˆ konstuieren, die einen solchen beliebigen Vielteilchen-Basis-Zustand auf seinen symmetrischen bzw. anti-symmetrischen Teil projizieren. Wir wissen, daß es f¨ ur N Teilchen insgesamt N ! Permutationen gibt. Deshalb definieren wir Antisymmetrisierungsoperator:

N! 1 X sign(Pρ )Pρ Aˆ = N ! ρ=1

(1.9)

¨ 1.2. KONSTRUKTION SYMMETRISCHER UND ANTI-SYMMETRISCHER VIELTEILCHEN-ZUSTANDE13

Symmetrisierungsoperator: Diese Operatoren sind hermitsch und normiert: Aˆ = Aˆ†

Sˆ = Sˆ†

Aˆ2 = Aˆ

N! 1 X Pρ Sˆ = N ! ρ=1

Sˆ2 = Sˆ

AˆSˆ = SˆAˆ = 0

(1.10)

(1.11)

Die Beweise dieser Eigenschaften (1.11) sind trivial. Die wichtigen Eigenschaften von Aˆ und Sˆ sind: Beh.: Aˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = cA |uα....ν (1, ...N )iA

RHS anti-symmetric (1.12) Sˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = cS |uα....ν (1, ...N )iS RHS-symmetric (1.13) Hier sind die Zust¨ ande |uα....ν (1, ...N )iA/S als normiert vorausgesetzt. Bew: 1 X Pσ Pρ sign(Pρ ) Pσ Aˆ = N! ρ 1 X = Pσ Pρ sign(Pρ )sign(Pσ )sign (Pσ ) N! ρ 1 X = sign (Pσ ) Pσ Pρ sign(Pρ Pσ ) N! ρ 1 X Pτ sign(Pτ ) = sign(Pσ )Aˆ = sign (Pσ ) N! τ wobei wir umbenannt haben Pσ Pρ = Pτ . Somit k¨onnen wir schreiben Pσ Aˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i = sign(Pσ ) Aˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i

Dieses ist genau die definierende Eigenschaft eines anti-symmetrischen Zustandes, siehe eq. (1.7). Der Beweis f¨ ur Sˆ ist ¨ahnlich. qed. ˆ ˆ Offenbar sind S and A Projektionsoperatoren auf orthogonale Untgerr¨aume des N -Teilchen Hilbert-Raums, der als solcher aufgespannt wird durch das Produkt |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i . Wir m¨ ussen noch die Normierungskonstanten cA und cS berechnen eqs.(1.12,1.13). Beh: Die normierten Basiszust¨ ande des Hilbert-Unterraums der anti-symmetrischen und symmetrischen N -Teilchen Zust¨ande sind gegeben durch √ |uα....ν (1, ...N )iA = N !Aˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i (1.14) r N! |uα....ν (1, ...N )iS = Sˆ |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i (1.15) nα !...nν !

Hier ist nα die Anzahl wie oft der Zustand |uα i im Produkt |uα (1)i |uβ (2)i ... |uν (N )i auftaucht.

14 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Beweis: Wir verwenden die Behauptung und benutzen Aˆ† Aˆ = Aˆ2 = Aˆ Dann k¨ onnen wir schreiben A

huα....ν (1, ...N )| |uα....ν (1, ...N )iA = (N !) huα (1)| ... huν (N )| Aˆ† Aˆ |uα (1)i ... |uν (N )i

womit sich ergibt, weil sich der (N !)-Faktor wegk¨ urzt gegen den gleichen Faktor ˆ in der Definition von A: X sign(Pρ ) huα (1)| ... huν (N )| Pρ |uα (1)i ... |uν (N )i = ρ

=

X ρ

E E (N ) (1) ... uρ−1 sign(Pρ ) huα (1)| ... huν (N )| uρ−1 ν α =

X

=1 ...δν,ρ−1 sign(Pρ )δα,ρ−1 ν α

ρ

Der letzte Schritt folgt weil nur die Einheits-Permutation, d.h. die Identit¨at, zur Summe beitr¨agt, deren Signum gleich Eins ist. Der Beweis f¨ ur symmetrische Zust¨ ande ist ¨ ahnlich. qed Mit den Zust¨ anden in Gl.(1.14,1.15) haben wir jetzt Basiszust¨ande f¨ ur die anti-symmetrischsen und symmetrischen Vielteilchenzust¨ande. Jeder Vielteilchenzustand kann nach ihnen entwickelt werden. Oft schreibt man den anti-symmetrischen Zustand als Slater-Determinante |uα (1)i |uα (2)i ... |uα (N )i r 1 |uβ (1)i |uβ (2)i ... |uβ (N )i |uα....ν (1, ...N )iA = (1.16) ... ... ... ... N ! |uν (1)i |uν (2)i ... |uν (N )i Die Vielteilchenzust¨ande sind noch sehr kompliziert. Wir werden durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren noch einfachere Darstellungen der (anti)symmetrischen N -Teilchen-Zust¨ande kennen und sch¨atzen lernen.

1.2.1

Das Pauli-Prinzip

Bisher hatten wir eine gegebene 1-Teilchen-Basis benutzt |uα i ....α = 1, 2, ... von der wir symmetrische bzw. anti-symmetrische N −Teilchen Wellenfunktionen oder Hilbert-Vektoren konstruiert haben. Man versteht das besser, wenn man diese 1-Teilchen-Zust¨ande als Eigenzust¨ande eines externen 1-TeilchenPotentials annimmt. Wir nehmen an, sie seien nach anwachsender 1-Teilchen Energie geordnet, i.e. ε1 < ε2 < ...εN < ..... Wenn N identische Fermionen sich in dem Potential befinden, dann kann man den Hamilton-Operator des Gesamtsystems schreiben als Summe der Einteilchen-Hamilton-Operatoren h: H=

N X

k=1

h(k)

¨ 1.2. KONSTRUKTION SYMMETRISCHER UND ANTI-SYMMETRISCHER VIELTEILCHEN-ZUSTANDE15 und dann gilt nat¨ urlich f¨ ur das k-te Teilchen h(k) |uεn (k)i = εn |uεn (k)i Dann setzt sich der Vielteilchen-Grundszustand des Systems aus den 1-Teilchen Wellenfunktionen der niedrigsten 1-Teilchen Zust¨ande zusammen, also aus |uε1 i |uε2 i ... |uεN i, siehe Fig.[1.1]

|uε1 ....εN (1, ...N )iA =

r

|uε1 (1)i 1 |uε2 (1)i ... N ! |uεN (1)i

|uε1 (2)i |uε2 (2)i ... |uεN (2)i

... |uε1 (N )i ... |uε2 (N )i ... ... ... |uεN (N )i

(1.17)

Offenbar ist der gesamte Vielteilchenzustand vollst¨andig charakterisiert durch die Angabe, welche Einteilchenzust¨ande besetzt sind und welche nicht. F¨ ur solch ein einfaches System reduziert sich die Forderung der Anti-Symmetrie allein darauf, daß der Vielteilchenzustand eine Slaterdeterminante darstellt. In einer Determinante darf jedoch keine Zeile zweimal vorkommen, denn dann w¨are die Determinante Null. Hier reduziert sich die Antisymmetrie auf die schwache Form des Pauli-Prinzips, die besagt, daß kein Einteilchenzustand mit mehr als einem Teilchen besetzt werden darf. Ist der Hamilton Operator des Systems komplizierter und nicht mehr eine Summe von 1-Teilchen-Termen, also z.B. der Hamiliton Operator eines Atoms mit N Elektronen, die um einen Atomkern mit Z Protonen kreisen:

Hatom

N X



2 ~2+ − } ∇ = j 2m j=1

 N e2 −Ze2  X + |~rj − ~rk | ~ ~rj − R j
dann sind die Eigenzust¨ ande von Hatom viel komplizierter als eine Slater-Determinante. Dieser Zustand zeigt dann sogenannte Korrelationen, die die Abweichungen von einer (optimal gew¨ahlten, siehe sp¨ater Hartree-Fock-Theorie) Slater-Determinante beschreiben. In einer gegebenen Basis schreibt sich dann der exakte Eigenzustand : Hatom Ψ(~r1 , ..., ~rN ) = EΨ(~r1 , ..., ~rN ) mit Ψ(~r1 , ..., ~rN ) = h~r1 | h~r2 | ... h~rN |

X

α,...,ν

Cα,...,ν |uα....ν (1, ...N )iA

Die Summe α, ..., ν geht u ¨ber alle Zust¨ande der Einteilchenbasis. Man muß nur darauf achten daß jeweils genau N Zust¨ande der Basis jeweils besetzt sind. Das Pauli-Prinzip besteht hier in der Forderung nach Antisymmetrie des Vielteilchen-Zustandes.

16 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

1.3 1.3.1

Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren Formalismus der ”zweiten Quantisierung”

Wir beziehen uns auf den symmetrischen (1.15) bzw. anti-symmetrischen (1.14,1.16) N -Teilchen-Basis-Zustand. Diese Schreibweise ist kompliziert. Auf der anderen Seite ist es v¨ ollig ausreichend, den Zustand allein durch Angabe seiner Vielteilchen-Symmetrie (symmetrisch oder anti-symmetrisch) und durch Angabe der Besetzungszahlen der einzelnen Einteilchen-Basiszust¨ande zu charaktaerisieren. Wenn man das ausnutzt, f¨ uhrt das zu einer gewaltigen formalen Vereinfachung: Wir f¨ uhren deshalb die Besetzungszahl-Darstellung ein, die dann anschließend noch durchsichtiger formuliert werden kann durch Einf¨ uhrung von Operatoren a†r und ar mit jeweils unterschiedlichen Eigenschaften f¨ ur Bosonen und Fermionen. Hierbei ist a†r ein Erzeugungsoperator f¨ ur ein Teilchen im Zustand |uα i und ar ein Vernichtungsoperator f¨ ur ein Teilchen im Zustand |uα i. Die Komplikation der Symmetrie bzw. Anti-Symmetrie der Vielteilchen-Zust¨ande wird dabei aufgefangen durch Kommutator-Relationen dieser Operatoren. Im Folgenden betrachten wir Fermionen im Detail und geben die Resultate f¨ ur Bosonen an. Um all dieses zu formulieren f¨ uhren wir den Hilbert-Raum F ein, genannt Fock-Raum, als direkte Summe von n-Teilchen Hilbert-R¨aumen F = H0 ⊕ H1 ⊕ H2 ⊕ ..... Hier besteht H0 nur aus d´em Vakuum-Zustand |0i, H1 wird aufgespannt von der 1-Teilchen Basis, H2 von der 2-Teilchen Basis (noch nicht symmetrisiert oder anti-symmetrisiert), etc. Die Erzeugungsoperatoren, a†r , und Vernichtungsoperatoren, ar , sind in F definiert dadurch, daß vollst¨andig antisymmetrische und normierte Zust¨ ande auf die in den unten stehenden Gl.(1.18,1.19) dargestellten Weise beschrieben werden. [ Wir stellen zun¨achst das Endresultat qualitativ dar, damit der Leser merkt, was die Zielsetzung ist. Anschließend wird dann gezeigt, welche Eigenschaften die Operatoren a†r und ar haben m¨ ussen, damit die Gleichungen (1.18,1.19) erf¨ ullt werden] : Fermionen: |0i

mit a†α

aα |0i = 0 |0i = 0 |0i = |uα (1)i

a†α a†β |0i = |uαβ (1, 2)iA

a†α a†α

f¨ ur α 6= β

|0i = 0 |0i = 0 for α = β

a†α a†β ...a†ν |0i = |uαβ...ν (1, ..., N )iA und ¨ ahnlich h0|

mit

h0| a†α = h0| 0 = 0

h0| aα = huα (1)|

(1.18)

1.3. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGS-OPERATOREN

17

h0| aβ aα =A huαβ (1, 2)| for α 6= β h0| aα aβ = h0| 0 = 0 for α = β h0| aν ...aβ aα =A huαβ...ν (1, ..., N )| Bosonen: a†α a†β |0i = |uαβ (1, 2)iS

1 √ a†α a†α |0i = |uαα (1, 2)iS 2 p

for α 6= β for α = β

nα † nβ nν 1 aβ a†α ... a†ν |0i = |uα (1)...uν (N )iS nα !nβ !...nν !

(1.19)

und analoge Zust¨ ande als bra-Vektoren. Hierbei ist angenommen, daß z.B. der Einteilchen-Vektor |uα i auf RHS nα -mal vorkommt. Um zu erreichen, daß diese Operatoren nach Anwendung auf das Vakuum |0i in der Tat Zust¨ ande mit der gew¨ unschten Vielteilchen-Symmetrie erzeugen, bei Bosonen |uαβ...ν (1, ..., N )iS und bei Fermionen |uαβ...ν (1, ..., N )iA , m¨ ussen sie die folgenden KommutatorRegeln f¨ ur Bosonen bzw. Anti-Kommutator-Regeln f¨ ur Fermionen erf¨ ullen. F¨ ur Fermionen gelten die Antikommutatoren:: o n (1.20) {aα , aβ } = a†α , a†β = 0 n o aα , a†β = δαβ Fermionen F¨ ur Bosonen gelten die Kommutatoren: h i [aα , aβ ] = a†α , a†β = 0 h i aα , a†β = δαβ Bosonen

(1.21)

Soweit liegt die Zielsetzung dieser sog. zweiten Quantisierung klar vor uns. Um diese Zusammenh¨ ange zu beweisen f¨ uhren wir die Besetzungszahl-Darstellung ein. Dazu ordnen wir die Zust¨ ande der 1-Teilchen-Basis a†α |0i = |uα (1)i mit Hilfe einer geordneten Index-Menge α ∈ I an und wir betrachten als Beispiel antisymmetrische Vielteilchen-Basis-Zust¨ande, wobei der Index 1β anzeigt, daß der Einteilchen-Zustand an der Position β besetzt ist.: |uαβ...ν.... (1, ..., N )iA = |N ; 0...01α 0...01β 0...1ν ...iA oder |uαβ...ν.... (1, ..., N )iA = |N ; n1 n2 ...nα ...nν ...iA

(1.22)

18 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE mit nα = 1 f¨ ur besetzten Zustand |uα i nα = 0 f¨ ur unbeseten Zustand |uα i X ni = N

und

i

und analog f¨ ur Bosonen. Die Zust¨ande sollen orthonormiert sein: ¯; n hN ; n1 n2 ...| N ¯1n ¯ 2 ... = δN N¯ Πk δnk n¯ k

Mit Hilfe dieser Zust¨ ande definieren wir im Folgenden die a†r und ar . Wenn wir mit Nr die Anzahl der besetzten Zust¨ande ”links” von der Position r bezeichnen, dann k¨ onnen wir die Erzeugungsoperatoren definieren: Def: + N Fermionen: a†r N ; = (−) r δnr ,0 |N + 1; ...., nr + 1, ...iA |links{zvon r} , nr , .... N besetzte Zust¨ande A

r

(1.23) Das bedeutet, die Anwendung von a†r auf den Vielteilchen-Zustand in LHS der Gleichung ergibt nur dann etwas von Null Verschiedenes, wenn dessen r−ter Einteilchen-Zustand leer ist, was dem Pauli-Prinzip entspricht. F¨ ur Bosonen haben wir + √ † = nr + 1 |N + 1; ...., nr + 1, ...iS Bosonen: ar N ; |links{zvon r} , nr , .... N besetzte Zust¨ande S

r

(1.24) Achtung: Der Unterschied zwischen Fermion- und Boson-Operatoren liegt nur N in der Phase (−) r und dem Faktor δnr ,0 . Auf ¨ ahnlich Weise definieren wir die Vernichtungsoperatoren: + N Fermionen: ar N ; = (−) r δnr ,1 |N − 1; ...., nr − 1, ...iA |links{zvon r} , nr , .... N besetzte Zust¨ande r

A

(1.25) Das bedeutet, die Anwendung von ar auf den Vielteilchen-Zustand in LHS der Gleichung ergibt nur dann etwas von Null Verschiedenes, wenn dessen r−ter Einteilchen-Zustand beswetzt ist, was dem Pauli-Prinzip entspricht. F¨ ur Bosonen haben wir + √ Bosonen: ar N ; = nr |N − 1; ...., nr − 1, ...iS |links{zvon r} , nr , .... N besetzte Zust¨ande r

S

(1.26) Die Behauptung ist: Mit den so definierten a†r und ar k¨onnen die VielteilchenZust¨ ande in der Besetzungszahl Darstellung (1.22) geschrieben werden als: Fermionen

|N ; 0...01α 0...01β 0...1ν ...iA = a†α a†β ...a†ν |0i

1.3. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGS-OPERATOREN

19

(a† )n1 (a†2 )n2 (a†k )nk √ |N ; n1 n2 ...nk ...iS = √1 ... √ ... |0i n1 ! n2 ! nk !

Bosonen

wobei in der letzte Zeile angenommen wird (a†j )n=0 = 1. Zum Beweis gehen wir davon aus, daß die Relationen richtig seien. Hierbei sind zun¨ achst noch † (engl: dagger) und das hermitesch konjugierte + (Kreuz) noch verschieden. Deshalb zeigen wir zuerst, daß (a†r )+ = ar . Beweis f¨ ur Fermionen: A

¯ ; ...¯ ¯ ; ...¯ nr ... A nr ... A =A hN ; ...nr ...| (a†r )+ N hN ; ...nr ...| ar N

In der RHS ber¨ ucksichtigen wir daß A

+ hN ; ...nr ...| (a†r )+ = a†r |N ; ...nr ...iA

wof¨ ur nach der Definition (1.23) die Rechenregeln bekann sind. Damit ergibt sich † + ¯ ¯ ; ...¯ nr ... A N ; ...¯ nr ... A = (−)Nr δnr ,0 A hN + 1; ...nr + 1...| N A hN ; ...nr ...| (ar ) = (−)Nr δnr ,0 δN +1,N¯ δn1 ,¯n1 ...δnr +1,¯nr ...

Wir schreiben jetzt von nr auf n ¯ r um, als Ersetzen von nr durch n ¯ r − 1. Dabei ¯ ¯r definim¨ ussen wir ber¨ ucksichtigen, daß (−)Nr = (−)Nr weil hierbei Nr = N tionsgem¨ aß die Anzahl der besetzten Zust¨ande ”links” von r angibt, die sich durch die Umnummerierung nat¨ urlich nicht ge¨andert hat. Dies f¨ uhrt zu ¯

= (−)Nr δn¯ r ,1 δN,N¯ −1 δn1 ,¯n1 ...δnr ,¯nr −1...

¯ ¯ − 1; n ¯ 1 ...¯ nr − 1... A = (−)Nr δn¯ r ,1 A hN ; n1 ...nr ...| N

Der bra-Zustand ist beliebig, deshalb gelten die Gleichungen auch f¨ ur die ketZust¨ande und nicht nur f¨ ur die Matrixelemente. Wir haben also ¯ √ ¯ ; ...¯ ¯ − 1; n nr ... A = (−)Nr n (a†r )+ N ¯ r δn¯ r ,1 N ¯ 1 ...¯ nr − 1... A

Das ist identisch mit Gl.(1.25). Offenbar wirkt (a†r )+ auf einen beliebigen Basiszustand auf gleiche Weise wie ar und deshalb gilt (a†r )+ = ar (qed). Im n¨ achsten Schritt beweisen wir die Anti-Kommutator-Regeln (1.20). Wir zeigen, daß wir durch Verwendung der Definitionen der Erzeugungsoperatoren der Fermionen die rechte Seite von eq.(1.20) erhalten. Bew: a†r a†p |N ; ...nr ...np ...iA = (−)Nr (−)Np δnr ,0 δnp ,0 |N + 2; ...nr + 1...np + 1...iA

Jetzt ¨ andern wir die Reihenfolge der Operatoren von a†r a†p nach a†p a†r und ber¨ ucksichtigen, daß ”links von p” sich nun ein weiterer besetzter Zustand befindet, n¨amlich der von a†r erzeugte. Also gilt a†p a†r |N ; ...nr ...np ...iA = (−)Nr (−)Np +1 δnr ,0 δnp ,0 |N + 2; ...nr + 1...np + 1...iA

20 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Die rechten Seiten beider Gleichungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Da der ausgew¨ahlte Zustand beliebig war haben wir a†r a†p = −a†p a†r , was wir beweisen wollten. Der Beweis f¨ ur ar ap = −ap ar ist ¨ahnlich. F¨ ur verschiedene Indizes haben wir die Behauptung bewiesen. Der Beweis f¨ ur a†r ar + ar a†r = 1 geht auf folgende Weise, wobei man ber¨ ucksichtigen soll, daß sich ”links von r” die ANzahl der besetzten Zust¨ande nicht ¨andert: a†r ar |...nr ...iA = (−)2Nr δnr ,1 |...nr ...iA ar a†r |...nr ...iA = (−)2Nr δnr ,0 |...nr ...iA Wenn man beide Zeilen aufaddiert und ber¨ ucksichtigt daß δnr ,0 + δnr ,0 = 1 ist der Teil-Beweis fertig. Es bleibt noch zu zeigen: a†r ap |...nr ...np ...iA = (−)Nr (−)Np δnr ,0 δnp ,1 |...nr + 1...np − 1...iA ap a†r |...nr ...np ...iA = (−)Nr (−)Np +1 δnr ,0 δnp ,1 |...nr + 1...np − 1...iA Offenbar unterscheiden sich die rechten Seiten durch ein Minus-Zeichen. Dadurch ist der gesamte Beweis der Fermion-Antikommutator Regeln (1.20) vollst¨andig. qed. Der Beweis der Boson-Kommutator-Regeln (1.21) funktioniert ¨ahnlich. Insgesamt haben wir jetzt eine einfache Darstellung der fermionischen (1.18) und bosonischen (1.19) Vielteilchenzust¨ande, wobei alle Komplikationen der Vielteilchen-Symmetrie von den Kommutator-Regeln aufgefangen werden. Die physikalische Interpretation des Operators a†r ist klar: Er erzeugt ein Teilchen im 1-Teilchen-Zustand |ur i und symmetrisiert bzw. anti-symmetrisiert dieses mit allen anderen, und der Operator ar vernichtet ein Teilchen, das den 1-Teilchen-Zustand |ur i besetzt und u ¨brig bleiben die restlichen Teilchen symmetrisiert bzw. anti-symmetrisiert. Es ist hilfreich einen Besetzungszahlen-Operator zu definieren, dessen Eigenwert die Anzahl der Teilchen in einem gegebenen 1-Teilchen Zustand |ur i ist, gleichg¨ ultig in welchen Vielteilchen-Zustand dieses |ur i eingebettet ist. Wir definieren ˆr = a† ar N r mit den offensichtlichen Eigenschaften, daß ˆr |...nr ...i = nr |...nr ...i N A A ˆ Nr |...nr ...iS = nr |...nr ...iS

1.3.2

Teilchen-Loch Anregungen, Transformation der Basis, Feld-Operatoren

Transformation der Basis Von einer gegeben Basis |uα i mit Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren a†α , aα kann man leicht zu einer neuen Basis |vα i mit Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren b†α , bα transformieren. Diese b†α , bα erf¨ ullen die gleichen

1.3. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGS-OPERATOREN

21

Kommutator bzw. Anti-Kommutator Regeln wie die a†α , aα . Wir haben X |vα i = |uβ i < uβ |vα > β

und b†α =

X β

bα =

X β

a†β < uβ |vα > aβ < uβ |vα >∗

mit bα |0i = 0 Es gilt: F¨ ur Fermionen:

F¨ ur Bosonen:

Die Beweise sind einfach.

n o {bα , bβ } = b†α , b†β = 0 o n fermions bα , b†β = δαβ i h [bα , bβ ] = b†α , b†β = 0 h i bα , b†β = δαβ bosons

Teilchen-Loch Anregungen Es ist hilfreich, ein System identischer Teilchen in einem externen Potential zu betrachten, ¨ ahnlich wie es in Sect[1.2.1] geschah. ’Wenn man die EinteilchenZust¨ande nach wachsender Einteilchen-Energie ordnet ε1 < ε2 < ...εN < ..... und wenn N identisch Fermionen sich in dem Potential bewegen, dann ist der Grundzustand gegeben durch die Slaterdeterminante zusammengestzt aus den am str¨ arksten gebundenen (Jargon: niedrigsten) N Einteilchen Zust¨ anden |uε1 i |uε2 i ... |uεN i . Wenn man die Einteilchen-Energie des am schw¨achsten gebundenen Zustands mit εF bezeichnet und dieses ”Fermi-Energie” nennt, dann kann man den N -Teilchen Grundzustand schreiben als Y † Y † ak |0i (1.27) ak |0i = |ΨN i = k≤F

k=occ

see Fig.[1.1]. Angeregte Zust¨ ande de gleichen Systems werden durch 1-Teilchen1-Loch Anregungen erzeugt, bzw. 2-Teilchen-2-Loch Anregungen etc.,

22 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

Figure 1.1: Ground state of a 5-body system moving in a 1-body potential.

Ein Teilchen oberhalb der Fermi-Kante wird erzeugt durch |ΨN +1 i = a†m |ΨN i

with m > F

und ein Loch wird erzeugt durch |ΨN −1 i = ai |ΨN i

with i ≤ F

Eine 1=Teilchen-1=Loch-Anregung (1p-1h) ist gegeben durch E 1p1h = a†m ai |ΨN i with m > F and i ≤ F ΨN

Eine 2=Teilchen-2=Loch-Anregung (2p-2h) wird beschieben durch E 2p−2h = a†m a†n ai aj |ΨN i with m, n > F and i, j ≤ F ΨN see Fig.[1.2˙]

Feld-Operatoren Bisher haben wir ausgegangen von einer diskreten 1-Teilchen-Basis und haben die entsprechenden Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren konstruiert. Man kann auch Operatoren konstruieren, die ein Teilchen an einem bestimmten Punkt r im Koordinaten-Raum oder mit einem bestimmten Impuls p im ImpulsRaum erzeugen bzw. vernichten. Um diese zu konstruieren nehmen wir als ˆ oder des ImpulsEinteilchen-Basis die Eigenzust¨andeh des Orts-Operators R i ˆ i, P ˆ j = iδij gen¨ ˆ |ri = r |ri ˆ die dem Kommutator R ugen. Mit R Operators P ˆ |pi = p |pi kann man schreiben und P Z Z 3 |uα i = d r |ri hr|uα i = d3 r |ri uα (r)

1.3. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGS-OPERATOREN

23

Figure 1.2: Excited state of a 5-body system moving in a 1-body potential

und analog |uα i = a†α |0i

|ri = ψˆ† (r) |0i

⇐⇒

Dieses |ri setzen wir in die obige Formel f¨ ur |uα i ein, damit erhalten wir Z Z † 3 ˆ† aα = d rψ (r) hr|uα i = d3 rψˆ† (r)uα (r) Z Z ∗ ˆ hr|uα i∗ = d3 rψ(r)u ˆ aα = d3 rψ(r) α (r) Umgekehrt erhalten wir |ri =

X α

|uα i huα |ri =

X α

|uα i u∗α (r)

und ψˆ† (r)=

X α

ˆ ψ(r)=

X α

a†α huα | |ri = aα hr|uα i =

X

a†α u∗α (r)

α

X

aα uα (r)

α

Mit Hilfe der Vollst¨ andigkeitsrelation der |uα i kann man sofort zeigen daß f¨ ur die Feld-Operatoren Vertauschungsregeln im Kontinuum gelten: Fermionen: o o n n ˆ ˆ 0 ) = ψˆ† (r), ψˆ† (r0 ) = 0 ψ(r), ψ(r n o ˆ ψ(r), ψˆ† (r0 ) = δ(r − r0 ) fermions

24 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Bosonen: h

i h i ˆ ˆ 0 ) = ψˆ† (r), ψˆ† (r0 ) = 0 ψ(r), ψ(r i h ˆ ψ(r), ψˆ† (r0 ) = δ(r − r0 ) bosons

Man kann den gleichen Formalismus f¨ ur Felder im Impuls-Raum hinschreiben. Wir haben dabei z.B. die Beziehung ˆ ψ(r) =

1 2π}

3/2 Z

ip · r ˆ d3 p exp − φ(p) }

ˆ und haben dann analoge Vertauschungsregeln, die wir durch Ersetzen von ψ(r) ˆ durch φ(p).

1.3.3

Symmetrische Operatoren im Fock-Raum

Das Ziel dieses Kapitels ist, 1-Teilchen- und 2-Teilchen-Operatoren mit Hilfe von Erzeugungs-und Vernichtungs-Operatoren zu schreiben. Einteilchen-Operatoren Ein Operator Fˆ , der auf die 1-Teilchen Basis des Hilbert-Raums H1 wirkt hat die Darstellung X |uα i Fαβ huβ | with Fαβ = huα | Fˆ |uβ i Fˆ = αβ

Die Generalisierung auf einen 1-Teilchen-Operator, der auf die einzelnen Teilchen im N -Teilchen Hilbert-Raum wirkt, ist gegeben durch FˆN = Fˆ (1) + Fˆ (2) + ... + Fˆ (N ) wobei Fˆ (k) auf das k-te Teilchen wirkt. Die Darstellung von Fˆ (k) im the N -Teilchen Hilbert-Raum ist gegeben durch X Fˆ (k) |α1 i |α2 i ... |αk i ... |αN i = hβk | Fˆ |αk i |α1 i |α2 i ... |βk i ... |αN i βk

und somit FˆN |α1 i |α2 i ... |αk i ... |αN i =

N X X

k=1 βk

hβk | Fˆ |αk i |α1 i |α2 i ... |βk i ... |αN i (1.28)

1.3. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGS-OPERATOREN

25

Damit FˆN ein geeigneter Operator wirkend auf identische Teilchen ist muß er das Postulat 1.2 von Kap.(1.1.2) erf¨ ullen. Also muß gelten: i h h i h i =⇒ FˆN , Sˆ = FˆN , Aˆ = 0 FˆN , Pρ = 0 Wendet man also auf eq.(1.28) den Projektionsoperator Sˆ oder Aˆ an, so erhalten wir z.B. f¨ ur LHS √ √ N !AˆFˆN |α1 i |α2 i ... |αk i ... |αN i = FˆN N !Aˆ |α1 i |α2 i ... |αk i ... |αN i = FˆN |uα α 1

2 ...αk ...αν

und f¨ ur RHS N X N X X X √ hβk | Fˆ |αk i |uα1 α2 ...βk ...αν iA hβk | Fˆ |αk i |α1 i |α2 i ... |βk i ... |αN i = N !Aˆ k=1 βk

k=1 βk

Also gilt allgemein:

FˆN |uα1 α2 ...αk ...αν iS/A =

N X X

k=1 βk

hβk | Fˆ |αk i |uα1 α2 ...βk ...αν iS/A

(1.29)

Beh: Der Einteilchen-Operator FˆN hat die folgende Darstellung mit Hilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Dabei ist der Ausdruck unabh¨angig von der Teilchenzahl N und es ist der gleiche Ausdruck f¨ ur Bosonen und Fermionen: X (1.30) Fαβ a†α aβ Fˆ = αβ

Beweis: Wir nehmen an, dieser Ausdruck (1.30) sei richtig und wenden ihn auf einen fermionischen Vielteilchen-Zustand an, z.B. auf |uα1 α2 ...αk ...αν iA = a†α1 ...a†αN |0i . Wir zeigen dann, daß wir Gl.(1.29) herausbekommen. Also: Im allgemeinen gilt i h Fˆ a†α1 ...a†αN |0i = Fˆ , a†α1 a†α2 ...a†αN |0i + a†α1 Fˆ a†α2 ...a†αN |0i h i h i = Fˆ , a†α1 a†α2 ...a†αN |0i + a†α1 Fˆ , a†α2 a†α3 ...a†αN |0i + a†α1 a†α2 Fˆ a†α3 ...a†αN |0i i h i h = ... = Fˆ , a†α1 a†α2 ...a†αN |0i + ... + a†α1 a†α2 a†α3 ... Fˆ , a†αN |0i P † weil Fˆ |0i = αβ Fαβ aα aβ |0i = 0. Wir wissen weiterhin, daß wegen der Antikommutator-Regeln gilt i X h X Fˆ , a†γ = Fαβ a†α aβ , a†γ = Fβγ a†β αβ

β

Wenn wir jetzt die obigen Kommutatoren durch diese Summe ersetzen, erhalten wir X X Fβα a† |0i Fβα a† a† ...a† |0i + ... + a† a† a† ... Fˆ a† ...a† |0i = α1

αN

1

β

β α2

αN

α1 α2 α3

N

β

β

Das ist aber exakt der Audruck in Gl.(1.29). Der Beweis ist ¨ahnlich f¨ ur Bosonen. qed.

iA

26 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Zweiteilchen-Operatoren Ein symmetrischer Zweiteilchen-Operator ist z.B. das Potential zwischen allen Teilchen und definiert durch das Potential zwischen Teilchen i und j: X VˆN = Vˆ (i, j) i<j

Angewendet auf einen N -Teilchen-Produkt-Zustand (also noch nicht symmetrisiert) X V (i, j) = Vβi βj αi αj |α1 i ... |βi i ... |βj i ... |αN i βi βj

Wiederum muß wegen des Postulats (1.2) gelten i h h i h i =⇒ VˆN , Sˆ = VˆN , Aˆ = 0 VˆN , Pρ = 0 und damit

VˆN |uα1 α2 ...αk ...αν iS/A =

N X X

i<j βj βj

Vβj βj αj αj uα1 α2 ...βi ...βj ...αν S/A

(1.31)

Die Behauptung ist, daß die Darstellung von VˆN mit Hilfe von Erzeugungsund Vernichtungs-Operatoren gegeben ist in der Form unten, wobei wieder ein Ausdruck steht, der unabh¨angig ist von der Anzahl N der Teilchen, und wieder gleich ist f¨ ur Bosonen und Fermionen. Das letzte ist sinnvoll, weil as Potential nicht weiß ob es auf Fermionen oder Bosonen wirkt. Also Beh: 1 X (1.32) Vαβγδ a†α a†β aδ aγ Vˆ = 2 αβγδ

Man beobachte hier, daß die Reihenfolge der Indizes nicht αβγδ sondern αβδγ ist. Hierbei ist Vαβγδ = huα (1)| huβ (2)| Vˆ |uγ (1)i |uδ (2)i Z = dx1 dx2 dx01 dx02 u∗α (x1 )u∗β (x2 )v(x1 x2 x01 x02 )uγ (x01 )uδ (x02 ) und z.B. f¨ ur ein Coulomb-Potential v(x1 x2 x01 x02 ) = δ(x1 − x01 )δ(x2 − x02 )

1 |x1 − x2 |

Der Beweis ist ¨ ahnlich wie f¨ ur einen Einteilchen-Operator. Wir betrachten wieder i h i h Vˆ a†α1 ...a†αN |0i = Vˆ , a†α1 a†α2 ...a†αN |0i + ... + a†α1 a†α2 a†α3 ... Vˆ , a†αN |0i

1.3. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGS-OPERATOREN und verwenden

h

27

i X Vˆ , a†α = Vββ 0 αα0 a†β a†β 0 aα0 α0 β 0 β

Dies ergibt Vˆ a†α1 ...a†αN |0i =

N X X

k=1 α0k βk0 βk

Vβk βk0 αk α0k a†α1 ...a†βk a†β 0 aα0k ...a†αN |0i k

Betrachte nun das aα0k und schiebe es nach rechts. Das geht, bis man eventuell ein a†α0 aus demOperatorprodukt des Zustands-Vektors trifft. Dann wende man k

aα0k a†α0 = −a†α0 aα0k + 1 an. Hier u ¨berlebt die 1 und a†α0 aα0k wird am Ende k

k

k

verschwinden, wenn es auf |0i trifft. Wenn aα0k kein a†α0 vom Zustand trifft, k dann wird es am Ende ebenfalls auf |0i treffen und verschwinden. An der Stelle des obigen a†α0 ist nun eine 1 . Jetzt schiebe a†β 0 nach rechts, wenn es dabei k

k

auf ein a†β 0 aus dem Zustand trifft, dann verschwindet dieses a†β 0 , wenn nicht, k

k

muß man es an der Stelle stehen lassen. Das Gleiche geschieht mit a†βk und man erh¨alt am Ende den Ausdruck XX Vβi βj αi αj a†α1 ...a†βi ...a†βj ...a†αN |0i Vˆ a†α1 ...a†αN |0i = j>i βi βj

was genau die Struktur von Gl.(1.31) hat. qed. Meistens ist es bequem, den 2-Teilchen-Operator mit Hilfe von symmetrisierten bzw. anti-symmetrisierten Mtrixelemnten auszudr¨ ucken. Dazu definieren wir

und

S V¯αβγδ =p A =p V¯αβγδ

1 [Vαβγδ + Vαβδγ ] (1 + δαβ ) (1 + δγδ )

(1.33)

1 [Vαβγδ − Vαβδγ ] (1 + δαβ ) (1 + δγδ )

(1.34)

Damit ergibt sich f¨ ur Fermionen 1 X ¯A Vαβγδ a†α a†β aδ aγ Vˆ = 4

(1.35)

q 1 X S (1 + δαβ ) (1 + δγδ )V¯αβγδ Vˆ = a†α a†β aδ aγ 4

(1.36)

αβγδ

und f¨ ur Bosonen

αβγδ

Damit w¨ aren 1-Teilchen und 2-Teilchen-Operatoren mit Hilfe der Erzeugungsund Vernichtungs-Operatoren dargestellt.

28 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

1.4 1.4.1

Theoreme der Vielteilchen-Theorie Wick-Theorem

Es gibt etliche Wick-Theoreme und wir betrachten hier eines, was f¨ ur nichtrelativistische Vielk¨ orper-Probleme von Fermionen relevant ist, bei denen die Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren zeitunabh¨angig sind. Betrachte einen beliebigen Vielfermion-Zustand |ψi, der keinesfalls eine Slater-Determinante sein muss, und einen Satz von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a†α , a†β , . . . , aα , aβ , . . . . Bezeichne ohne Unterschiede diese als U, V, W, . . .

Wick-Theorem f¨ ur Fermionen (Ohne Beweis)

hψ|U V W . . . X Y Z|ψi = U V W ...XY Z + U V W ...XY Z + U V W ...XY Z + . . . =

Summe aller m¨oglichen Zweierkontraktionen

Hierbei gilt: U V = hψ|U V |ψi und U V W XXZ = − U W V XY Z Rezept: Man vertausche einen Operator so lange mit seinen Nachbar-Operatoren, bis die zwei zu kontrahierenden Operatoren nebeneinander stehen. Bei jeder Vertauschung erh¨alt man ein Minuszeichen. Es gibt eine direkte Folge: hψ| U . . Y Z} |ψi = 0 | V .{z ungerade

weil Zweierkontraktionen bei einer ungeraden Anzahl von Operatoren immer einen Erzeugungs- oder Vernichtungs-Operator u ¨brig lassen, und es gilt immer hψ|U |ψi oder

= hψ|a†α |ψi = hψ|aα |ψi = 0

denn z.B. a†α angewendet auf einen Ket-Zustand erh¨oht dessen Teilchenzahl um Eins, w¨ ahrend die des Bra-Zustandes unver¨andert bleibt.

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

1.4.2

29

Thouless Theorem

Consider an antisymmetric many-fermion state of the form: ! N Y † |Φi = ai |0i i=1

Consider now another many body Slaterdeterminant |Ψi with the same particle number N and which has a non-vanishing overlap < Φ|Ψ >6= 0 then the Thouless-Theorem holds: ! X † Cnk an ak |Φi |Ψi =< Φ|Ψ > exp

with

nk

n=empty and k=occupied w.r. to |Φi

with some complex coefficients Cnk . This means that the state |Ψi is constructed by a systematic coherent superposition of 1p-1h and 2p-2h etc. excitations of the Slater determinant |Φi . Furthermore: One can always find a basis for |Ψi with operators b†k , bk . ! N Y † |Ψi = bk |0i k=1

If |Ψi is only little deviating from |Φi, e.g. produced by a little perturbation in the forces acting on |Φi, we can expand the exponential and obtain ! X † Cnk an ak |Φi |Φ + δΦi = 1 + nk

Thus for small perturbations the |Φ + δΦi is based solely on 1p-1h excitations on |Φi.

1.5 1.5.1

Hartree-Fock Theory Problemstellung

Betrachte ein Vielteilchen-System mit identischen Fermionen. Der Hamiltonoperator in einer gegebenen Basis a†α , aα ist definiert durch seinen Einteilchenund Zweiteilchen-Term und kann geschrieben werden als

mit

b = H

X

Tαβ a†α aβ +

αβ

Tαβ =

Z

1 X ¯ Vαβγδ a†α a†β aδ aγ 4 αβγδ

~2 2 ∇ ϕβ (r) d3 r ϕ∗α (r) − 2m

.

30 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Wenn notwendig kann die kinetische Energie Tαβ durch den Beitrag Uαβ eines vorgegebenen Eineilchen-Potentials u ersetzt werden. Z Uαβ = ϕ∗α (r) u(r, r0 ) ϕβ (r0 ) d3 rd3 r0 Das Zweiteilchenpotential ist gegeben durch Gl.(1.35). Das exakte Vielteilchenproblem b k i = Ek |ψk i H|ψ

ist selbst bei kleinen Teilchenzahlen sehr kompliziert und nur unter sehr großem numerischen Aufwand l¨osbar. Die L¨osungen f¨ ur N Teilchen mit Eigenwerten Ek , k¨ onnen jedoch mit Sicherheit geschrieben werden als X Cα(k) a† . . . a†αN |0i |ψk i = 1 ...αN α1 α1 ...αN

Eine gebr¨auchliche N¨aherung f¨ ur den Grundzustand ist die Hartree-Fock-N¨ aherung. Hierbei approximiert man |ψi durch eine Slaterdeterminante |φi: ! N X † |φi = bi |0i i=1

mit noch unbekannten b†i , bi . Es wird also der exakte und i.a. korrelierte Vielteilchenzustand |ψi durch eine unkorrelierte Slaterdeterminante |φi approximiert. Dabei soll |φi durch ein Variationsverfahren bestimmt werden, d.h. es soll die best m¨ ogliche Slater-Deteminante gesucht werden durch Minimisierung der Energie: b hφ|H|φi = minimum hφ|φi Variationsprinzip: b 0 i = E|ψ0 i Die exakte Grundzustands-L¨osung der Schr¨odinger-Gleichung H|ψ kann man auch erhalten durch b − E|ψi = 0 δ hψ|H oder

b − E|ψi = 0 hδψ|H

mit |ψi ∈ HN und beliebigem hδψ| ∈ HN . Hierbei hat E zun¨achst die Funktion eines Lagrange-Parameters, der im Variationsverfahren garantiert, daß die Norm hφ|φi = 1 eingehalten wird. Das E wird im Variationsverfahren bestimmt. Offenbar ist E anschließend auch der Erwartungswert der Variationsl¨osung, und - bei uneingeschr¨ankter Variation - der Eigenwert des am st¨arksten gebundenen Eigenzustands. Die Hartree-Fock-N¨ aherung besteht darin, dass die Variation in einer echten Untermenge von HN durchgef¨ uhrt wird, eben in der Untermenge der N -Teilchen

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

31

Slater-Determinanten. Das hat zur Folge, daß mit dieser Slater-Determinante auch nicht jede Eigenschaft des Systems beschrieben werden kann. Die praktische Erfahrung zeigt, daß letztlich nur Einteilchen-Eigenschaften beschrieben werden, also Matrixˆ ˆ=P O elemnte oder Erwartungswerte von 1-Teilchen-Operatoren O i i. Beh: Die exakte L¨ osung ist st¨ arker gebunden als die Hartree-Fock L¨osung. Also b 0 i ≤ hφ|H|φi b E0 = hψ0 |H|ψ

b k i = Ek |ψk i die exakten L¨osungen, die nat¨ Bew: Es seien H|ψ urlich ein ˆ als hermitesch annehmen). Es sei |φi vollst¨ andiges System bilden (wenn wir H b − E|φi = 0 Variationsl¨ osungen von hδφ|H X X ck |ψk i ψk ihψk |φi = =⇒ |φi = k

k

=⇒

P P 2 ∗ b 0 ck ck 0 hψk |H|ψk 0 i k |ck | Ek k k b = P Eφ = hφ|H|φi = P 2 0 0 k k0 ck ck hψk |ψk i k |ck |

Offenbar gilt wegen Ek ≥ E0 P P 2 2 k |ck | Ek k |ck | E0 P P E(φ) = ≥ = E0 2 2 k |ck | k |ck | Also

E(φ) ≥ E0

qed.

1.5.2

Variationsverfahren

Wir suchen jetzt die L¨ osung des Variationsverfahrens b − E|φi = 0 hδφ|H

mit

|φi =

Y i

b†i

!

|0i

Bisher sind die b†i , bi noch unbekannt. Zur Durchf¨ uhrung der Variation wenden wir das Thouless-Theorem an:   X  |φ + δφi = exp Cnj b†n bj |φi   nj

und damit

|δφi =

Also b − E|φi = 0 hδφ|H

⇐⇒

X nj

Cnj b†n bj |φi

X nj

∗ b − E |φi = 0 Cnj hφ|b†j bn H

32 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE ∗ Weil Cnj beliebige Variationsgr¨ossen sind gilt allgemein

=⇒

b hφ|b†j bn H|φi = 0

Also: Die L¨ osung des Variationsverfahrens ist |φi = b†i , bi

(1.37) Q

N † i=1 bi

|0i, wobei die

der obigen Teilchen-Loch Gleichung (1.37) gen¨ ugen m¨ ussen. Wir wissen, wie sich der Hamilton-Operator prinzipiell in der noch unbekannten Basis darstellt: X 1X¯ b = H Vabcd b†a b†b bd bc Tab b†a bb + 4 abcd

ab

Wir ben¨ otigen zun¨ achst das Matrixelement der kinetische Energie: X hφ|b†j bn Tˆ|φi = Tab hφ|b†j bn b†a bb |φi ab

Wir wenden das Wick-Theorem an: hφ|b†j bn b†α bβ |φi = b†j bn b†α bβ + b†j bn b†α bβ + b†j bn b†α bβ hierbei ist i ≤ F , n > F und α, β beliebig. Es gilt f¨ ur die vorkommenden Kontraktionen: b†j bn

= hφ|b†j bn |φi = 0

b†j b†α

= hφ|b†j b†α |φi = 0

b†j bβ

= hφ|b†j bβ |φi = δjβ

bn b†α

= hφ|bn b†α |φi = δnα

Das einzige nicht-verschwindende Matrixelement der kinetischen Energie ist demnach: hφ|b†j bn Tˆ|φi = Tnj F¨ ur das Matrixelement der potentiellen Energie ergibt eine analoge Rechnung 1X¯ Vabcd hφ|b†j bn b†a b†b bd bc |φi hφ|b†j bn Vb |φi = 4 abcd

mit

hφ| b†j bn b†a b†b bd bc |φi =

< +δjd δnb δac

< hφ| b†j bn b†a b†b bd bc |φi = −δjd δna δbc

hφ| b†j bn b†a b†b bd bc |φi =

< +δjc δna δbd

< hφ| b†j bn b†a b†b bd bc |φi = −δjc δnb δad

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

33

Wenn man ausnutzt, daß z.B. V¯ikmn = −V¯iknm ergibt sich das einzige nichtverschwindende Matrixelement der potentiellen Energie als: X V¯niji hφ|b†j bn Vb |φi = i
b Das bedeutet: Aus der Forderunghφ|b†j bn H|φi = 0, die aus dem Variationsverfahren folgte, ergibt sich als Variationsgleichung: X V¯niji = 0 n=unbesetzt und i, j=besetzt bzgl. |φi (1.38) Tnj + i
Im Prinzip ist jetz das Hartree-Fock-Verfahren hergeleitet, weil wir f¨ ur sein Variationsprinzip die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung hergeleitet haben, die jetzt gel¨ ost werden muß. In der Praxis geht man einen Schritt weiter und definiert den Hartree-Fock Einteilchen-Hamiltonian (im gesamten Index-Raum): X hab b†a bb (1.39) h = ab

mit hab = Tab +

X

V¯aibi

i

i>F

0

i
0

Die Variationsgleichung fordert, dass die nicht-diagonalen K¨astchen nur Nullen enthalten, u ¨ber die Werte in den schraffierten und diagonalen Fl¨achen ist nichts ausgesagt und es gibt auch keinerlei Einschr¨ankung. Um eine numerisch bequeme L¨ osung zu bekommen, d¨ urfen wir Forderungen

34 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE an die schraffierten Fl¨achen stellen, n¨amlich dass der Hartree-Fock Einteilchen Hamiltonian diagonal sein soll. Also: X V¯ajbj = εa δab (1.40) Tab + j< F

Dies ist die Hartree-Fock-Gleichung in der Hartree-Fock Basis, also der bislang noch unbekannten selbstkonsistenten Basis. Konkret, wir m¨ ussen das h diagonalisieren, kennen es aber noch nicht. Man geht dann iterativ vor: Man nimmt irgendeine geeignete Basis an, also z.B. die Zust¨ ande des harmonischen Oszillators. In der Basis berechnen wir hab und diagonalisieren es, erhalten damit eine neue Basis, in der wir wiederum hab berechnen. Wir wiederholen dieses interative Verfahren, bis die Basis, in der wir nach etlichen Schritten diagonalisieren, gleich der Basis ist, die aus dem Diagonlisationsverfahren herauskommt. Dann haben wir die selbstkonsistente L¨ osung erhalten.

1.5.3

Hartree-Fock im Orstraum, dichteabh¨ angig

Ortsraum-Formulierung

Tab = X

j< F

V¯ajbj =

Z

d

3

r1 ϕ∗a (r1 )

X ZZ

j

~2 2 − ∇ ϕb (r1 ) 2m

n d3 r1 d3 r2 ϕ∗a (r1 )ϕ∗j (r2 )v(r1 , r2 ) ϕb (r1 )ϕj (r2 )

o − ϕj (r1 )ϕb (r2 )

Der Hartree-Fock-Hamiltonian h ist hermitesch, daher bilden R seine L¨osungen ein vollst¨andiges System. Durch Weglassen der Integration ϕ∗a (r1 )d3 r1 erh¨alt man n o XZ ~2 2 d3 r2 ϕ∗j (r2 )v(r1 , r2 ) ϕb (r1 )ϕj (r2 )−ϕj (r1 )ϕb (r2 ) = εb ϕb (r1 ) − ∇1 ϕb (r1 )+ 2m j
Definiere: %(r1 , r2 ) =

X

ϕ∗j (r1 )ϕj (r2 )

Einteilchen-Dichtematrix

j
%(r) = %(r, r) =

X

j
|ϕj (r)|2

Einteilchen-Dichteverteilung

somit ergibt sich die Hartree-Fock-Gleichung Z ~2 2 ∇ + UH (r) ϕa (r) + Γex (r, r0 )ϕa (r0 ) d3 r0 = εa ϕa (r) − 2m

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

35

mit

UH (r) =

Z

v(r, r0 )%(r0 ) d3 r0

Γex (r, r0 ) = −v(r, r0 )%(r, r0 )

Hartree-Potential Austausch-Potential

Iterationsverfahren: Das Hartree-Potential UH (r) ist ein mittleres Feld, entstanden durch Mittelung der 2-Teilchen Wechselwirkung u ¨ber die Dichteverteilung der Teilchen. Der Austausch-Term Γex r¨ uhrt vom Fermionen-Charakter der Teilchen her. L¨osungsverfahren: 1. Rate vern¨ unftiges UH 6= 0, Γex = 0 2. Berechne Satz von ϕj (r) mit j < F 3. Berechne %(r, r0 ) 4. Berechne UH (r) und Γex (r, r0 ) 5. L¨ ose Differentialgleichung f¨ ur die am st¨arksten gebundenen Einteilchenzust¨ ande. Erhalte ϕa (r) und εa . 6. Berechne Selbstkonsistenzkriterium P (n) (n+1)| |εa − εa ∆ε = Pa (n) (n+1)| a |εa + εa

Wenn ∆ε > 10−4 gehe zu 3. Wenn ∆ε < 10−4 , beende die Iteration. Das ist ein typisches Beispiel f¨ ur eine Selbstkonsistenzabfrage. Geeignet ¨ ist auch eine Abfrage nach der Anderung der Einteilchenwellenfunktionen.

The Skyrme Energy Functional By now we did not discuss the properties of the nucleon-nucleon interaction. Naively one would assume it to be identical to the nucleon-nucleon-interaction one meets in nucleoon-nucleon scattering, which is accessiblte directly to experiment. However in such a collision the nucleons can scatter in any direction with any momentum as long as conservation laws are fulfilled. The interaction of two colliding nucleons in a nucleus is different, since due to the Pauli-Principle certain parts of the phase-space are not accessible after the collision process. This leads to so called effective NN-forces in the medium of the other nucleons. These forces have some reasonable functional form and are parametrized. That is one uses them in Hartree-Fock, calculates nuclear properties, and adjustes free paramters in the forces to fit experimental data. Those are masses, electric radii and single particle energies, which are all well known by experiment.

36 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE A sort of forces which are particular successfull are the Skyrme-forces. The genuine structure is X (2) X (3) Vˆ = vˆ + vˆ ij

i<j

ijk

i<j
with (2) vij = t0 1 + x0 Pˆσ δ(ri − rj ) 1 ˆ2 + k ˆ02 δ(ri − rj ) + t2 k ˆ0 δ(ri − rj )k ˆ + t1 δ(ri − rj )k 2 ˆ0 × δ(ri − rj )k ˆ + iW0 (ˆ σi + σ ˆj ) k where ˆ 1 (∇i − ∇j ) k= 2i ˆ0 =− 1 (∇i − ∇j ) k 2i

acting to right acting to left

Thspin-exchange operator is denoted as 1 Pˆσ = (1 + σ ˆ·σ ˆ0) 2 The 3-body interaction is given by (3)

vˆijk = t3 δ(ri − rj )δ(rj − rk ) This force has been modified and generalized several times over the last 30 years and hence one formulates it nowadays in a slightly different way. In fact, one writes down the total energy of the nucleus as a functional of various densities of the nucleus. The dependence on the matter-density arises from the δ-functions in the force, and the dependence on the kinetic energy density comes from the ˆ k ˆ0 -terms. This yields then the so called Skyrme energy functional (i.e. energy k, density) to be used for nuclear mean-field calculations.For even-even nuclei, the Skyrme energy functional used in this section E = Ekin [τ ] + ESk [ρ, τ, J] + EC [ρp ] − Ecm + Epair

,

(1.41)

is composed of the functional of the kinetic energy Ekin , the effective functional for the strong interaction ESk and the Coulomb interaction EC including the exchange term in Slater approximation, and the correction for spurious centerof-mass motion Ecm . The energy functionals are the spatial integrals of the corresponding Hamiltonian densities H Z E[ρ, τ, J] = d3 r H[ρ(r), τ (r), J(r)] . (1.42)

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

37

Table 1.1: Parameters of the RMF forces used in this investigation. The mass of the isovector vector-field mρ = 763 MeV is not fitted and is the same for all forces. Force mN mσ mω gσ gω gρ b2 (MeV) (MeV) (MeV) (fm−1 ) NL3 939.0 508.194 782.501 10.2170 12.8680 4.47400 −10.4310 NL-Z 938.9 488.67 780.0 10.0553 12.9086 4.84944 −13.5072 NL-Z2 938.9 493.150 780.0 10.1369 12.9084 4.55627 −13.7561 NL-VT1 938.9 484.307 780.0 9.81307 12.6504 4.63432 −13.2808 The actual functionals are given by ~2 τ 2m 1/3 Z ρp (r)ρp (r0 ) 3e2 3 e2 − ρ4/3 d3 r0 HC = p 2 |r − r0 | 4 π b0 b2 b3 HSk = ρ2 + b1 ρτ − ρ∆ρ + ρα+2 2 2 3 X b0 b02 b0 0 2 0 ρq + b1 ρq τq − ρq ∆ρq + 3 ρα ρ2q − 2 2 3 q

(1.43)

Hkin =

(1.44)

+ HLS

with various possibilities for the spin-orbit interaction X (std) HLS = −b4 ρ∇ · J + ρq ∇ · Jq q

(J)

(std)

HLS = HLS (ext)

HLS

+ c1 J2 − c01

= −b4 ρ∇ · J − b04

(std)

X

X q

J2q

(1.45)

,

(1.46)

,

(1.47)

q

ρq ∇ · Jq

.

(1.48)

(ext)

HLS is reproduced from HLS setting b04 = b4 . The local density ρq , kinetic density τq and spin-orbit current Jq entering the functional are given by ρq (r) =

X

k∈Ωq

τq (r) =

X

k∈Ωq

Jq (r) = − 2i

vk2 |ψk |2 vk2 |∇ψk |2

X

k∈Ωq

, ,

i h ˆ ψk − (∇ × σ ˆ ψk )† ψk vk2 ψk† ∇ × σ

(1.49) ,

b3 −28.8850 −40.2243 −41.4013 −38.0773

38 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE with q ∈ {p, n}. Densities without index denote total densities, e.g. ρ = ρp + ρn . The ψk (r) are the single-particle wavefunctions and vk2 the occupation probabilities. For pure Hartree-Fock these are one or zero depending on the occupancy. For Hartree-Fock-Bogoliubov type approximations they are calculated taking the residual pairing interaction into account, see Appendix ??. The parameters bi and b0i used in the above definition are chosen to give a most compact formulation of the energy functional, the corresponding mean-field Hamiltonian and residual interaction [?]. They are related to the more commonly used Skyrme force parameters ti and xi by , b0 = t0 1 + 21 x0 0 1 , b0 = t0 2 + x0 1 1 b1 = 4 t1 1 + 2 x1 + t2 1 + 21 x2 , 1 0 1 1 b1 = 4 t1 2 + x1 − t2 2 + x2 , 1 1 1 , b2 = 8 3t1 1 + 2 x1 − t2 1 + 2 x2 0 1 1 1 b2 = 8 3t1 2 + x1 + t2 2 + x2 , 1 1 , b3 = 4 t3 1 + 2 x3 0 1 1 b3 = 4 t3 2 + x3 , c1 = − 18 (t1 x1 + t2 x2 ) , c01 = − 81 (t1 − t2 ) ,

(1.50)

The single-particle Hamiltonian is derived variationally from the energy functional. One obtains ˆ q = −∇ · Bq ∇ + Uq − iWq · ∇ × σ h ˆ

(1.51)

with the mean fields obtained by functional derivatives Bq (r) =

δE δτq (r)

,

Uq (r) =

δE δρq (r)

,

Wq (r) =

δE δJq (r)

.

(1.52)

For all forces, a center-of-mass correction is employed. For the SkIx and SLyx forces it is calculated perturbatively by subtracting the zero-point energy of the center-of-mass motion 1 ˆ2 (1.53) Ecm = hP i 2mA cm from the Skyrme functional after the convergence of the Hartree-Fock equations. For heavy and deformed nuclei with open shells the effective nucleon-nucleon force must include a pairing term, which is similar to the one in BCS approximation of condensed matter physics. This pairing force leads to the pairing energy functional Z 1 X Epair = Vq d3 rχ2q 4 q={p,n}

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

39

Table 1.2: Parameters of the Skyrme energy interactions. The ti , xi , b4 , b04 and α are the parameters of the Skyrme functional (1.43), ~2 /2m is the constant in the calculation of the kinetic energy (1.43). Parameter SkM* SkP SkI1 SkI3 SkI4 SLy6 t0 [MeV fm3 ] −2645.0 −2931.70 −1913.619 −1762.88 −1855.827 −2479.50 t1 [MeV fm5 ] 410.0 320.662 439.809 561.608 473.829 462.180 t2 [MeV fm5 ] −135.0 −337.41 2697.594 −227.090 1006.855 −448.610 t3 [MeV fm3+α ] 15595.0 18708.97 10592.267 8106.2 9703.607 13673.0 x0 0.09 0.29215 −0.954536 0.3083 0.405082 0.825 x1 0.0 0.65318 −5.782388 −1.1722 −2.889148 −0.465 x2 0.0 −0.53732 1.287379 −1.0907 1.325150 −1.0 x3 0.0 0.18103 −1.561421 1.2926 1.145203 1.355 b4 [MeV fm4 ] 65.0 50.0 62.130 94.254 183.097 61.0 b04 [MeV fm4 ] 65.0 50.0 62.130 0.0 −180.351 61.0 α 1/6 1/6 0.25 0.25 0.25 1/6 ~2 /2m [MeV fm2 ] 20.733983 20.733983 20.7525 20.7525 20.7525 20.73552985 P where χq = −2 k fk uk vk |ψk |2 is the pairing density including single-particlestate dependent cut-off factors fk to restrict the pairing interaction to the vicinity of the Fermi surface.. The vk2 is the occupation probablity of the given single-particle state and u2k = 1 − vk2 . The strengths Vp for protons and Vn for neutrons are optimized by fitting for each parametrization separately the pairing gaps in isotopic and isotonich chains of semimagic nucleei throughout the chart of nuclei. The funcional derivative is given by the following formulae using a functional F [f (x)]: F [f (x) + εδ(x − y)] − F [f (x)] δF [f (x)] = lim ε→0 δf (y) ε with examples F [f (x)] = F [f (x)] =

1.5.4

Z

Z

f (x)dx =⇒

G(x, y)f (y)dy =⇒

δF [f (x)] =1 δf (y) δF [f (x)] = G(x, z) δf (z)

Density dependent Hartree-Fock for nuclei: Applications

Mean-Field-Kr¨ aften findet sich in Fig.(1.3) von ref.(M.Bender,K. Rutz, P.-G. Reinhard, J.A. Maruhn, W.Greinder, nucll-th/9906030). Es ist interessant, den Unterschied in diesen Spektren zu sehen. Es ist interessant, solche SkyrmeHF-Rechnungen auf superschwere Kerne anzuwenden, weil man dort ebenfalls

SLy7 −2480.80 461.290 −433.930 13669.0 0.848 −0.492 −1.0 1.393 62.5 62.5 1/6 20.73552985

40 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

2 208

3p3/2

Pb

0

2f5/2

-

-

1i13/2

-2

+

2f7/2

13/2

+

-

p

[MeV]

-

7/2

-4

92

-

9/2

1h9/2

-6

-

82 +

-8

1/2

3s1/2

-

2d3/2

+

1h11/2

+

11/2

-10

+

+

3/2

5/2

-

+

NL-Z2

NL-VT1

NL3

NL-Z

SkI3

SkI1

SkI4

SLy7

SLy6

*

SkM

FY

Expt.

-12

SkP

2d5/2

0

+

4s1/2 + 2g7/2 + 3d5/2

+

-2

5/2

15/2

-

+

1i11/2 + 2g9/2

-4 -6

11/2

+

9/2

126

-

1/2

-

n

[MeV]

+

5/2

-8

-

3p1/2 3p3/2

-

3/2

1i13/2 2f5/2

+

13/2

-10

-

7/2

+

2f7/2

NL-Z2

-

NL-VT1

NL-Z

NL3

SkI3

SkI4

SkI1

SLy7

SLy6

*

SkM

SkP

FY

Expt.

5/2

-12

+

Figure 1.3: Einteilchen-Spektrum dere Protonen (obere Figur) und der Neutronen (untere Figur) in 208-Pb berechnet mit den verschiedenen Skyrme- und Mean-Field-Kr¨ aften (Bender et al.)

1.5. HARTREE-FOCK THEORY

4

1k17/2

41

+ +

2g7/2

+

3d5/2 + 2g7/2

+

2g9/2 1j15/2

2 138

p

[MeV]

+

0

2g9/2 1j15/2

-2

1i11/2 3p1/2

-4

3p3/2

126

+

1i11/2 3p1/2

+

2f7/2

-8

1i13/2 1h9/2

2f5/2

114

-

2f5/2

-6

3p3/2

120

-

2f7/2

-

-

-

1i13/2

+

+

1h9/2

-

NL-Z2

NL-VT1

NL3

NL-Z

SkI3

SkI1

SkI4

SLy7

*

SkM

SLy6

114 FY

298

SkP

-10

0

-

2h9/2

-

3f7/2

1k17/2

-2

-

2h11/2

1k17/2 1j13/2

1j13/2

-6

-

-

2h11/2

184 +

+

4s1/2

+

3d3/2

3d3/2

n

[MeV]

+

-4

+

4s1/2 + 2g7/2

3d5/2

+ +

+

-8

3d5/2

+

2g7/2

1j15/2

-

1j15/2

-

+

2g9/2

NL-Z2

NL-VT1

NL-Z

NL3

SkI3

SkI1

SkI4

SLy7

*

SLy6

SkM

FY

SkP

-10

Figure 1.4: Einteilchen-Spektrum des superschweren Kerns 298-114-184 f¨ ur die Protonen (obere Figur) und die Neutronen (untere Figur) f¨ ur die verschiedenen Skyrme- und Mean-Field-Kr¨ afte. (Bender et al.)

42 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE Schalenstrukturen erwartet, die dann die Stabilit¨at dieser Kerne mit sich bringen. Der Kern 298-114-184 ist ein Kern, der von vielen Methoden als ein sp¨arischer doppelt-magischer Kern berechnet wird. Man sieht in dem EinteilchenSpektrum den entsprechenden Gap zwischen den besetzten und unbesetzten Einteilchen-Zust¨anden, siehe Fig.(1.4). Das gesamte Einteilchen-Spektrum f¨ ur 208-Pb mit verschiedenen Skyrmeund

1.6 1.6.1

Zeitabh¨ angige Hartree-Fock-Theorie (TDHF) Variationsprinzipien

Vibrationen sind angeregte Zust¨ande des Vielteilchensystems. Eine Sorte angeregter Zust¨ ande haben wir bereits kennen gelernt, n¨amlich solche wie in der Figur

Dieses sind Teilchen-Loch-Anregungen (1p-1h) oder auch 2p-2h-Anregungen. ¨ Es gibt aber auch Anregungen, die in einer koh¨arenten Uberlagerung von 1p1h und 2p-2h- und 3p-3h-Anregungen etc. bestehen, wo sich also alle Teilchen kollektiv dran beteiligen. Wenn die Amplituden dieser kollektiven Bewegung eines Quantensystems klein sind, dann ist diese Bewegung analog zu den kleinen Schwingungen eines klassischen Vielteilchensystems um seine Gleichgewichtslage, wie wir es in der Mechanik kennen gelernt haben. Dort mußten wir ein Eigenwertproblem l¨osen um die Normal-Koordinaten des Systems festzustellen. Wir werden in diesem Kapitel das Analoge f¨ ur ein Fermionensystem durchf¨ uhren, n¨ amlich kleine Schwingungen um die durch eine Hartree-Fock-L¨osung angen¨aherte Gleichgewichtslage, und das wird ebenfalls harmonische Schwingungen ergeben. Wir haben es bei Schwingungen mit einer zeitabh¨angigen Bewegung zu tun, und wir werden deshalb die zeitabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung in gewisser N¨aherung l¨osen. Wir tun dies analog zur Hartree-Fock-Methode durch ein Variationsprinzip im Raum der zeitabh¨angigen Slaterdeterminanten. Wir nehmen also an, daß zu allen Zeiten die Vielteilchenwellenfunktion eine Slater-Determinante ist. Das ist keinesfalls trivial, denn wenn wir eine Slaterdeterminante durch einen kleinen ”Hammerschlag” st¨oren um sie schwingen zu lassen, dann schwint sie i.a. nicht im Unterraum der Slaterdeterminanten, sondern nimmt zeitweise

¨ 1.6. ZEITABHANGIGE HARTREE-FOCK-THEORIE (TDHF)

43

kompliziertere Formen an. Wir machn also den Ansatz: HF:

b − E|φi = 0 hδφ|H

∂ |φ(t)i = 0 (1.54) ∂t Wir nehmen an, daß das HF-Verfahren bereits gel¨ost ist und der HF-Zustand |φHF i bekannt sei. Weil sowohl |φ(t)i als auch |φHF i Slater-Determinanten sind d¨ urfen wir das Thouless-Theorem verwenden :    X i (1.55) Cnj (t)a†n aj |φHF i |φ(t)i = exp − EHF t exp   ~ TDHF:

b − i} hδφ(t)|H

nj

b HF i. Die Operatoran a†n , a beziehen sich auf die Basis mit EHF = hφHF |H|φ j der selbstkonsistenten Hartree-Fock Einteilchenzust¨ande nach Diagonalisierung des HF-Einteilchenoperators. Nur in dieser Basis gelten die folgenden Rechnungen. b − i~ ∂ |φ(t)i Wir gehen jetzt auf folgende Weise vor: Wir berechnen hφ(t)|H ∂t bis zur 2. Ordnung in den als klein angenommenen Gr¨oßen C, C˙ und C ∗ und erhalten ein Funktional F, das nur von C, C ∗ und C˙ abh¨angt. Wir nehmen dabei an, daß wir harmonische Schwingungen erhalten, bei denen dann C und C˙ von gleicher Gr¨ oßenordnung sind: b − i~ hφ(t)|H

∂ ˙ |φ(t)i = F(C ∗ , C, C) ∂t

und dann l¨ osen wir das Variationsprinzip durch ∂ ˙ = 0 F(C ∗ , C, C) ∂C ∗

=⇒

Euler-Lagrange-Gleichungen

Es wird wichtig sein, daß wir die Schwingungen nicht um irgendeine SlaterDeterminante betrachten, sondern um den (selbstkonsistenten) HF-Grundzustand, weshalb etliche Terme wegfallen.

1.6.2

Random Phase Approximation

b Berechne hφ(t)|H|φ(t)i mit Ansatz (1.55): X X ∗ † b b+ b † a |φHF i hφ(t)|H|φ(t)i = EHF + hφHF | aj an H Cnj Cnj Ha n j nj

nj

o 1 XXn ∗ ∗ b HF i + h.c. Cnj Cmi hφHF |a†j an a†i am H|φ + 2 nj mi o 1 XXn ∗ b † a |φHF i + h.c. Cnj Cmi hφHF |a†j an Ha + m i 2 nj mi

44 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE b HF i = 0 und hφHF |Ha b †n a |φHF i = 0. Wir verwenden nun, dass hφHF |a†j an H|φ j Wir wenden nun strikt Wick’s Theorem an und erhalten o n X b |Cmi |2 hφ(t)|H|φ(t)i = EHF 1 + mi

+

1 XX

2

∗ Cmi Cnj

mi nj

− δmn

tij +

X

δij

v¯ikjk

k
tmn +

!

X

v¯mknk

k
!

+ v¯jmni +

o 1 Xn ∗ ∗ + Cnj Cmi v¯mnij + h.c. 2 minj

Wir verwenden wieder, P daß wir um die Hartree-Fock-L¨osung schwingen lassen. Deshalb gilt tmn + k < F v¯mknk = εm δmn und wir k¨onnen in dem obigen Ausdruck die runden Klammern durch die HF-Einteilchen-Energien ersetzen. ∂ Auf gleiche Weise berechne hφ(t)|i~ ∂t |φ(t)i. Zun¨achst haben wir ∂ i 1 ∂ 1 + C + CC |φHF i i~ |φ(t)i = i~ exp − EHF t ∂t ∂t ~ 2 i 1 1 ˙ = EHF |φ(t)i + exp − EHF t i~ C˙ + CC + C C˙ |φHF i ~ 2 2 ∂ ˙ wobei Wir berechnen nun hφ(t)|i~ ∂t |φ(t)i bis zur 2. Ordnung in C, C ∗ und C, wir lineare Terme weglassen d¨ urfen, z.B. wegen. X Cnj hφHF |a†n aj |φHF i = 0 hφHF |C|φHF i = nj

Wir erhalten:

    X ∂ ∗ hφ(t)|i~ |φ(t)i = EHF 1 + Cmi Cnj hφHF |a†i am a†n aj |φHF i   ∂t minj XX ∗ ˙ + i~ Cmi Cnj hφHF |a†i am a†n aj |φHF i mi nj

= EHF

(

1+

X mi

2

|Cmi |

)

+ i~

X

∗ ˙ Cmi Cmi

mi

Insgesamt erhalten wir jetzt: b − i~ hφ(t)|H

X X ∂ ∗ |φ(t)i = |Cmi |2 (εm − εi ) + Cmi Cnj v¯jmni ∂t mi minj +

X 1 X ∗ ∗ ∗ ˙ Cmi Cnj v¯ijmn + Cmi Cnj v¯mnij − i~ Cmi Cmi 2 minj mi

¨ 1.6. ZEITABHANGIGE HARTREE-FOCK-THEORIE (TDHF)

45

∗ Durch Ableitung nach Cmi erhalten wir die Euler-Lagrange-Gleichung des TDHF-Variationsprinzips:

(εm − εi ) Cmi +

X nj

∗ Cnj v¯jmni + Cnj v¯mnij − i~C˙ mi = 0

Bevor wir weitergehen noch kurz die Wiederholung der Vorausetzungen: 1. Schwingungen im Raum der Slater-Determinanten 2. Abweichungen bis 2. Ordnung um HF-Minimum herum Man kann diese Gleichungen auf bequeme Weise umschreiben wenn man harmonische Schwingungen annimmt: Cmi (t) = Xmi e−iωt + Ymi eiωt Damit erhalten wir ~ωXmi = (εm − εi ) Xmi + ∗ + −~ω Ymi = (εm − εi ) Ymi

X

(¯ vjmni Xnj + v¯mnij Ynj )

nj

X

∗ ∗ + v¯mnij Xnj v¯jmni Ynj

nj

(1.56)

Dies sind die sog. RPA-Gleichungen, wobei RPA bedeutet ”Random Phase Approximation”. Der Grund f¨ ur diese Bezeichnung ist, daß in einer anderen nicht auf Slater-Determinanten beschr¨ankten Ableitung gewisse Phasenbeziehungen wegfallen, um auf diese Gleichungen zu kommen. Es gibt f¨ ur die RPA-Glelichungen die gebr¨auchliche Kurzform, X 1 0 X A B = ~ω (1.57) α Y 0 −1 Y B ∗ A∗ α α mit α = Index f¨ ur die verschiedenen L¨osungen und den Abk¨ urzungen Aminj = (εm − εi )δmn δij + v¯mjin Bminj = vmnij Man kann zeigen (ohne Beweis), daß folgende Gleichungen gelten: h h ii b a†n aj |φHF i Aminj = hφHF | a†i am , H, ii h h b a† an |φHF i Bminj = hφHF | a†i am , H, j

Eigenschaften der RPA-L¨osung:

46 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE 1. Eigenwerte Die Matrix

A B ist nicht hermitesch, deshalb k¨onnen die Eigen−B ∗ −A∗ werte ~ω komplex sein. Komplexe Eigenwerte entsprechen nicht-periodischen Zust¨ anden, die eine divergierende Komponente haben und damit der Voraussetzung einer kleinen Schwingung (C << 1) widersprechen. Denn:. Wenn ein Eigenwert ω = ωo + iΓ ist haben wir C(t) = Xe−iω0 t eΓt + Y eiωo t e−Γt −→ ∞ f¨ ur große Zeiten.

2. Theorem, Beweis im n¨achsten Unterkapitel Wenn eine selbstkonsistente Hartree-Fock-L¨osung ( basierend auf der gleichen 2-Teilchen-Wechselwirkung) f¨ ur |φHF i genommen wird und diese ein energetisches Minimum ist (nicht nur Extremum), dann haben alle RPAL¨ osungen reelle Eigenwerte ωα . 3. Analyse der Eigenzust”ande Wenn wir eine exakte zeitabh¨anige L¨osung eines quantenmechanischen Problems haben, dann kann man durch Fourieranalyse der Zeitabh¨angigkeit die station”aren Eigenenergien berechnen, Man sieht das sofort: Es sei

ψ(x, t) =

Z

∂ b Hψ(x, t) = i~ ψ(x, t) ∂t

dω e−iωt ψ(ω, t)

damit k¨ onnen wir die station¨aren nen: Z b Hψ(x, ω) = Z = Z =−

ψ(x, ω) =

Z

dt eiωt ψ(x, t)

Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechb dt eiωt Hψ(x, t)

∂ dt eiωt i~ ψ(x, t) ∂t ∂ iωt e ψ(x, t) dt i~ ∂t

= ~ω ψ(x, ω)

Im RPA-Fall haben wir keine exakte Eigenfunktion, dennoch kann man aus der Fourieranalyse etwas lernen. Wir f¨ uhren deshalb eine explizite Fourieranalyse durch. Wir haben X i |φ(t)i = exp − EHF t exp Xnj e−iωt a†n aj ~ nj X iωt † + Ynj e an aj |φHF i nj

¨ 1.6. ZEITABHANGIGE HARTREE-FOCK-THEORIE (TDHF)

47

schematisch geschrieben f¨ ur eine L¨osung der RPA-Gleichungen mit der Frequenz ω i |φ(t)i = exp − EHF t 1 + Xe−iωt + Y eiωt ~ 1 XXe−2iωt + XY + Y X + Y Y e2iωt + 2 1 3 −3iωt + X e + X 2 Y e−2iωt + XY 2 e2iωt + Y 3 e3iωt + . . . 3!

oder noch schematischer i |φ(t)i = exp − EHF t 1 + XY + (XY )2 + . . . |φHF i ~ i + exp − (EHF − ω)t Y + Y (XY ) + Y (XY )2 + . . . ~ i + exp − (EHF + ω)t X + X(XY ) + X(XY )2 + . . . ~ i + exp − (EHF − 2ω)t Y 2 + Y 2 (XY ) + Y 2 (XY )2 + . . . ~ i + exp − (EHF + 2ω)t X 2 + X 2 (XY ) + X 2 (XY )2 + . . . ~

Offenbar hat das System station¨ are Zust¨ande der Energien ≈ EHF

≈ EHF + ~ωα

≈ EHF + 2~ωα

also f¨ ur jede L¨ osung ωα der RPA-Gleichungen ein ¨aquidistantes Spektrum wie beim harmonischen Oszillator. Im Prinzip kommen jedoch auch Zust¨ande mit Energien EHF − ~ωα und EHF − 2~ωα . Diese negativen Frequenz-Zust¨ande sind unphysikalisch und werden ignoriert. Sie kommen nur deshalb vor, weil wir die kleinen Abweichungen vom HF-Zustand auf Slaterdeterminanten beschr¨ankt haben. Das ist eine Zusatzannahme, f¨ ur die wir einen Preis zahlen m¨ ussen. Wenn |φ(t)i eine exakte L¨ osung des vollen zeitabh¨angigen Vielteilchenproblems w¨are, also die Vibration nicht auf Slaterdeterminanten beschr¨ankt w¨are, dann k¨onnte man ’=’ statt ’≈’ schreiben. So gilt diese Analyse nur n¨ aherungsweise. Man sieht auch, daß der Grundzustand des Systems nicht der HartreeFock Zustand ist sondern ein Zustand ist, der durch 1p-1h- und 2p-2h- etc. -Anregungen korreliert wurde. Er ist gegeben durch |0RP A i = 1 + XY + (XY )2 + . . . |φHF i

Dieser Grundzustand ist mit Bedacht als ”Vakuum” geschrieben, weil er in der Tat einige Eigenschaften des Vakuums hat. Wenn wir n¨amlich einen BosonErzeugungsoperator definieren durch X (α) (α) Xmi a†m ai − Ymi a†i am Ω†α = mi

48 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE dann gilt (ohne Beweis) f¨ ur die Anregungszust¨ande |αRP A i = Ω†α |0RP A i und Ωα |0RP A i = 0

Ω†α

und die erf¨ ullen n¨aherungsweise die Boson-Vertauschungsrelationen. Um dies zu zeigen, m¨ ussen gewisse Phasen vernachl¨assigt werden, deshalb der Begriff ”random phase approximation”. Dieser Zustand |0RP A i ist eine bessere Approximation zu dem exakten VielteilchenGrundzustand als die Hartree-Fock-L¨osung |φHF i. Man kann ihn n¨aherungsweise konstruieren, wenn er sich nicht zu stark von |φHF i untersheidet. Wir haben   X (α) |0RP A i ' 1 + dnjmi a†n aj a†m ai  |φHF i njmi

mit

(α)

Ynj = 4

X

(α)

(α)

dnjmi Xmi

mi

Im Prinzip muß man das f¨ ur jeden Mode α machen, in der Praxis nur f¨ ur die Korrelationen, die f¨ ur eine gerade interessierende Fragestellung ben¨ot¨ oigt werden.

1.6.3

Stabilit¨ at der Hartree-Fock-L¨ osung, spuriose L¨ osungen

Stabilit¨ at der HF-L¨ osung Wir haben zu zeigen, dass eine RPA-L¨osung, die auf einem Hartree-Fock-Feld aufgebaut ist, das einem energetischen Minimum entspricht, in der Tat nur reelle Frequenzen ωα als Eigenwerte hat. Ob die Hartree-Fock L¨osung einem Minimum entspricht kann man an der Stabilit¨atsmatrix S ablesen. Wir bekommen die Stabislit¨ atsmatrix durch Berechnung von E[φHF + δφ] = mit



|φHF + δφi = 1 +

X mi

b HF + δφi hφHF + δφ|H|φ hφHF + δφ|φHF + δφi

Cmi a†m ai

 1 X † † Cmi Cnj am ai an aj + . . . |φHF i + 2 minj

Bei der Berechnung der Norm im Nenner k¨onnen wir Terme 1.Ordnung weglassen wegen Cmi hφHF |a†m ai |φHF i = 0 bzw. dem hermitesch konjugierten. Terme 2. Ordnung von der Art Cmi Cnj und ihr hermitesch Konjugiertes k¨onnen wir ebenfalls weglassen wegen an am |φHF i = 0.Damit erhalten wir X |Cmi |2 hφHF + δφ|φHF + δφi = 1 + mi

¨ 1.6. ZEITABHANGIGE HARTREE-FOCK-THEORIE (TDHF)

49

Beim Hamiltonian erhalten wir : hφHF

X X X X ∗ b b (εm − εi )|Cmi |2 |Cmi |2 + Cmi h∗mi + hmi + Cmi + δφ|H|φHF + δφi = hφHF |H|φHF i 1 + mi

+

X

∗ Cmi Cnj vjmni +

mnij

mit

X

mi

mi

vijmn Cmi Cnj +

mnij

X

∗ ∗ vmnij Cmi Cnj

mnij

b HF i hmi = hφHF |a†k am H|φ

Nun k¨ onnen wir bis zur 2.Ordnung in den Koeffizienten schreiben 1 h C ∗ ∗ C C C S E[φHF + δφ] = E[φHF ] + C + h∗ C∗ 2

wobei die Stabilit¨ atsmatrix S gegeben ist durch A B S= B ∗ A∗

Wir kennen die Matrix S bereits von der RPA. Der obige ausdruck ist in der Tat einfacher, weil wir HF gel¨ost haben und damit hmi = 0 erreicht haben, und damit fallen die linearen Terme weg. Ein Minimum hat zur Folge, daß dieses S positiv definit ist, d.h. die entsprechende quadratische Form muß positiv definit sein. Um dies zu u ¨berpr¨ ufen muß man die Gleichung betrachten, die die Hauptachsen der quadratischen Form bestimmt: A B C C = λα B ∗ A∗ C∗ α C∗ α oder explizit (εm − εi )Cmi + (εm −

∗ εi )Cmi

+

X

Cnj vjmni +

∗ Cnj vmnij = λ Cmi

nj

nj

X

X

∗ vnijm Cnj

+

X

∗ vijmn Cnj = λ Cmi

nj

nj

Wenn die HF-L¨ osung einem energetischen Minimum entspricht, ist λ > 0 erf¨ ullt und S ist positiv definit. In diesem Falle (und nur in diesem) existieren S 1/2 und S −1/2 und man kann sofort zeigen, daß die RPA-L¨osungen reelle Frequenzen haben. Denn: Betrachte die Gleichung ˜ 1/2 Z˜ = }ω Z˜ S 1/2 IS mit I˜ =

1 0 0 −1

Dies ist ein hermitesches Eigenwert-Problem, weil mit S auch S 1/2 hermitesch ˜ 1/2 hermitesch ist. Also ist ω ist und wegen der Struktur von I˜ auch S 1/2 IS

mi

50 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE rell. Man kann aber diese Gleichung umformen, so daß man direkt die RPAGleichung bekommt: Dazu setze ˜ Z˜ = IZ mit Z=

X Y

Nun rechne ˜ 1/2 Z˜ = }ω Z˜ S 1/2 IS ˜ 1/2 S 1/2 Z = }ωZ IS

˜ 1/2 S 1/2 Z = }ωS 1/2 Z S 1/2 IS ˜ ⇒ SZ = }ω IZ

⇒

˜ Die letzte Gleichung ist aber genau gleich den RPA-Gleichungen. weil I˜2 = I. Also ist der RPA-Eigenwert reell, wenn man von einer selbstkonsistenten HFL¨ osung ausgeht. Spuriose Zust¨ ande Es treten auch F¨ alle auf, bei denen λ = 0 ist. Das hat direkte Konsequenzen bei den RPA-Gleichungen. Man kann folgende Zusammenh¨ange feststellen (ohne Beweise): Wir haben bei den meisten Systemen im Ortsraum Symmetrieoperatoren wie zum Beispiel Translation, Rotation, Parit¨at b Pb] = 0 [H, b R] b =0 [H, b Π] b =0 [H,

Zum Beispiel im konkreten Fall in der Ortsraumdarstellung f¨ ur N Teilchen ist der Impulsoperator N X } (i) ˆ ∇ Pz = i z i=1 dann haben wir z.B.

(z)

cz = P

X

(z)

Pαβ a†α aβ

b P cz ] = 0 [H,

und

αβ

mit Pαβ = hϕα |∇z |ϕβ i in der Basis der HF-Einteilchenzust¨ande. Der Zustand

exp id

X ni

(z) Pni

a†n ai

< x , ..., xN |φHF i 1

beschreibt einen HF-Zustand, dessen Schwerpunkt im Ortsraum in z-Richtung verschoben ist um den Abstand d. Es ist offensichtlich, daß aufgrund der Symb Pb] = 0 der verschobene Hartree-Fock Zustand die gleiche Energie metrie [H,

¨ 1.6. ZEITABHANGIGE HARTREE-FOCK-THEORIE (TDHF)

51

hat wie der unverschobene. hφHF | exp

− id

X ni

X b HF i b exp id Pni a†n ai |φHF i = hφHF |H|φ Pni a†i an H ni

und diese Entartung ¨ außert sich in einem verschwindenden RPA-Eigenwert. denn man kann zeigen, daß dann folgende RPA-Gleichung gilt mit Eigenwert Null: A B P =0 −B ∗ −A∗ P∗

Setze Cnj = Pnj , also zeitunabh¨ angig, dann sieht man, daß man eine kollektive Bewegung hat, die weder zerf¨ allt ( komplex ~ω) noch oszilliert ( reelles ~ω). (0) Das bedeutet: Wenn das System mit einem solchen Cmi (t) in Bewegung gesetzt wird, wird es einfach weiter sich bewegen ohne zerfallen oder zur¨ uckzukehren. Die Null-L¨ osungen der RPA entsprechen also Symmetrien des Hamilton-Operators. Das ist eine allgemeine Eigenschaft, die f¨ ur alle Symmetrien gilt, auch wenn die Zusammenh¨ ange komplexer sind, als hier dargestellt. In der Quanten Chromodynamik gibt es z.B. eine chirale Symmetrie. Deshalb gibt es einen RPAZustand des Vakuums mit Aregungsenergie Null. Nach der Konstruktion der QCD muß das ein masseloses pseudoskalares Boson sein. Weil die Symmetrie jedoch nicht ganz rein erf¨ ullt ist, sollte dieses Boson eine geringe Masse haben. In der Natur gibt es das Pi-Meson mit einer Masse von 139 MeV, die viel kleiner ist als die Masse der anderen Mesonen, die etwa 750 MeV und mehr haben. Die Mesonen erscheinen insgesamt als Schwingungen des Vakuums, und so ist der Zusammenhang mit der RPA sehr durchsichtig.

1.6.4

Random–Phase-Approximation in der Kernphysik: Anwendungen

¨ Man berechnet u ¨blicherweise Gr¨ oßen, die durch Auswahl des Ubergngsoperators ˆ F dem Reaktionsprozeß bei der experimentellen Anregung angepaßt sind. Das sind z.B. die St¨ arke-Verteilungen, (strengh distribution). R(ω) =

2 X < ν|Fˆ |0RP A > δ(}ω − }ων )

ν>0

Bei den diskreten RPA-Energien ersetzt man einen scharfen Zustand durch eine Gauss-Kurve mit geeignet gew¨ahlter Breite. Das tr¨agt der Tatsache Rechnung, daß die RPA-Rechnung nicht exakt ist. In the following excitation energies or the lowest 2+ -state and B(E2)-transition probabilities (Fˆ = r2 Y2M ) are calculated using several Skyrme forces (P.Fleischer, P. Kluepfel, P.-G. Reinhard, J.A. Maruhn, Nucl-th/0409059,Phys.Rev. C70 (2004) 054321).

52 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

3

E(2+) (MeV)

2.5 2

SkI3 SLy6 SkM* SkO exp.

DI pairing

1.5 1 0.5

B(E2)↑ (e2 b2)

0

Cd

0.8 0.6 0.4 0.2 0 62

66

70 74 Neutrons

78

82

Figure 1.5: Energies E(2+) and B(E2)(up)-values (=| < 0 + |Q2M |2+ > |2 along the chain of Cd isotoopes calculated with different Skyrme forces. Fig taken from Fleischer, Kluepfel, Reinhard, Maruhn hep-th-0409059

¨ 1.6. ZEITABHANGIGE HARTREE-FOCK-THEORIE (TDHF)

3

E(2+) (MeV)

2.5 2

SkI3 SLy6 SkM* SkO exp.

53

DI pairing

1.5 1 0.5

B(E2)↑ (e2 b2)

0

Te

0.8 0.6 0.4 0.2 0 62

66

70 74 Neutrons

78

82

Figure 1.6: Energies E(2+) and B(E2)(up)-values (=| < 0 + |Q2M |2+ > |2 along the chain of Te isotoopes calculated with different Skyrme forces. Fig taken from Fleischer, Kluepfel, Reinhard, Maruhn hep-th-0409059

54 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

δ

2 116,A

2

(fm )

2

1

0

2 116,A

2

(fm )

2

δ

SkI3 SLy6 SkM* SkO4 exp.

SkI3 SkI3 MF exp.

1

0 66

70

74

78 82 Neutrons

86

90

Figure 1.7: Isotope shiftws of the charge r.m.s. radii relative to 116-Sn. Upper panel: Comparison of results from four Skyrme forces including collective ground state correlations. Lower panel: Comparison of pure mean field results with those including correlations for the force SkI3. The figure is taken from Fleischer-Kluepfel, Reinhard-Maruhn-0409059

1.7. HARTREE-FOCK-BOGOLIUBOV THEORY

1.7

55

Hartree-Fock-Bogoliubov Theory

1.7.1

BCS-Theory, pairing correlations

We know from solid state physics the BCS-theory of Bardeen, Cooper and Schrieffer in order to explain the superfluidity. Actually in nuclei we also have some sort of superconductivity, which however shows differences, since the system is finite. In fact, in both cases some resudual interaction is taken into account, which has not been considered yet for the description of single particle degrees of freedom (e.g. Hartree-Fock). We discuss things shortly in a condensed matter state and then turn to the nucleus. In the BCS-theory the idea is the following: Conduction electrons are moving for instance in a plane wave state |~k, s = 1/2 > mit Einteilchenenergien ε(~k) = (}k)2 /2m∗ und einer effektiven Masse m∗ . Without further considerations they form a continuum of occupied states up to some Fermi-energy. Then, without any gap, there should follow with increasing ~k the continuum of unoccupied states. However, in superconductors there is a strong interaction of an electron in |k >= |~k, s = 1/2 > with an other electron moving with the same energy and momentum in the opposite direction with opposite spin | − k >= | − ~k, s = −1/2 > .This interaction is mediated by phonons in the lattice. This interaction is even stronger than the Coulomb-repulsion between the electrons, it does not exist between two electrons in vacuum. It originates from the fact that a moving electron locally changes the structure of the ions in the lattice and creates a little sound wave (phonon), which propagates through the lattice. This phonon interacts strongy with another electron, having the opposite momentum and opposite spin direction compared to the first one. It interacts only negligible with electrons of different ~k or the same spin direction. Thus the motion of the elektrons is (in addition to the interaction with the lattice, which gives them an effective mass) governed by the Hamiltonian E XD X ~k, s; −~k, −s vˆ ~k 0 , s; , −~k 0 , −s0 a† a† ˆ = a−~k0 ,−s0 a~k0 ,s0 ε~k,s a~† a~k,s + H ~ ~ k,s

k,s

k,k0

k,s −k,−s

We will show in this section that the effect of this interaction consists in creating a gap between the occupied and unoccupied electron-levels. Thus one needs a minimum energy added to the system, in order to create particle-hole pairs. This means also that the interaction of the electrons (except the phonons used to create the gap) with the lattice is suppressed by the existence of the gap. And hence they move inhibited and free without any friction. This is superfluidity and superconductivity. In nuclear systems, which we concentrate on now, we have a similar situation, since in the Hartree-Fock approximation due to the restriction to Slater determinants not all aspects of the effective nucleon-nucleon force have been exploited. Thus again some residual interaction exists with strong matrix elements of the form hk, −k| vˆ |k 0 , −k 0 i . This is simply the property of the nuclear forces and it is important for the description in particular of open-shell heavy nuclei to take this into account. In the nucleus the states |ki and |−ki are not

56 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE plane-wave states with spin but states of a nucleon moving in some selfconsistent Hartree-potential with some exchange term. If this potential is spherical the single particle states are degenerate and of the form |j, mi and |j, −mi, ˆ |j, mi, with K ˆ the where we should know for the following that |j, −mi = K operator for time reversal.For deformed potentials and time-reversal invariant Hamiltonians this pair of states are more general but again degenerate and of ˆ |ki .Thus the the form |ki (with k > 0) and its time reversed partner |−ki = K HF-particles are still interacting with a Hamiltonian X X ˆ = εk a†k ak + H hk, −k| vˆ |k 0 , −k 0 i a†k a†−k a−k0 ak0 k

k,k0

In the simplest case one may assume a constant attractive force described by one matrix element hk, −k| vˆ |k 0 , −k 0 i = −G with G > 0.(We will come back to a realistic case soon). The approximation consists in assuming an additional variational state composed of pairing configurations Y |φBCS i = uk + vk a†k a†−k |0i k>0

The sum goes over all single particle states (in fact over half the set). Far above the Fermi-level we have basically unoccupied single-particle states and hence uk = 1 and vk = 0 and far below the Fermi-level we have basically occupied ones and hence uk = 0 and vk = 1. Without any pairing the |φQ BCS i = |φHF i. In fact normalization of |φBCS i requires < φBCS |φBCS >= 1 = k>0 u2k + vk2 and therefore u2k + vk2 = 1 So the vk2 play the role of occupation probabilities of the Hartree-Fock single particle states, and the u2k = 1 − vk2 indicate how empty these are. The uk and vk will be determined by another variational principle. Actually one should note that |φBCS i has not a sharp particle number, which means, that it is not an ˆ : eigenstate of the particle number operator N X † ˆ = ak ak + a†−k a−k N k>0

with

ˆ |φBCS i = 2 hφBCS | N

X

vk2

k>0

Thus we have made an approximation to the many body problem which violates the particle number symmetry. For the many electrons in a conductor this uncertainty is irrelevant, since N ∼ 1023 , for a finite nucleus with N ∼ 200 one ˆ must do something. The simplest demand is that the expectation value of N is equal the particle number. This can be achieved by a variational principle involving a lagrange multiplier λ : ˆ − λN ˆ |φBCS i = 0 δ hφBCS | H

1.7. HARTREE-FOCK-BOGOLIUBOV THEORY

57

This variational principle can be solved (see e.g. Greiner,Maruhn,p.284) yielding ! ! 1 ε˜k ε˜k 1 2 2 vk = 1− p 2 1+ p 2 uk = 2 2 ε˜k + ∆2 ε˜k + ∆2 with

ε˜k = εk − λ − Gvk2 and with the yet unknown parameter ∆=G

X

u k vk

k>0

which can be reformulated as GX ∆= 2

k>0

s

which yields the famous Gap equation: Gap equation:

1− p ∆=

ε˜2k ε˜2k + ∆2

GX ∆ p 2 ε˜2k + ∆2 k>0

To solve the gap equation one ignores the term Gvk2 in the definition of ε˜k , then one assumes a reasonable value for λ and starts from the known G and εk and assumes some reasonable value for the ∆ on the RHS, which evaluates the ∆ on the LHS, which is inserted into ε˜k , which is inserted into uk , vk which yields a new ∆, etc. If the proper value for the particle number is obtained, one ends the procedure, if not, once changes λ and starts again. Apparently the levels at the Fermi surface contribute most to the gap equation, since ther the product uk vk is largest. This means, that one has to treat protons and neutrons separately, since they fill different single particle states for nuclei beyond 40Ca. Thus one has to solve the gap equation separately forprotons and neutrons with separate strengths Gp and Gn and separate gaps ∆p and ∆n and separate Lagrange paramteres λp and λn . Some typical values are Gp = 17M eV /A and Gn = 25M eV /A.

1.7.2

Quasi-Particles and Hartree-Fock-Bogoliuibov-theory

The BCS model may be reformulated in a more elegant way by transforming from particle creation- and annihilation-operators to quasi-particle creationand annihilation-operators. These quasi-particles are associated to particles as generalized coordinates to coordinates. The basic idea starts from Hartree-Fock quasiparticle, which have the property that the HF-state is a vacuum fot these quasi-particles: Y † † ak a−k |0i αk |φHF i = 0 |φHF i = 0 with |φHF i = k>0

58 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE These HF-quasiparticles can be trivially constructed: αk† = a†k αk†

αk = ak

= −a−k

αk =

for k > F −a†−k

for k < F

Below the Fermi-level a quasiparticle annihilation operator creates a particle, which is already contained in |φHF i, and hence its application to |φHF i gives zero. Note that for holes (k < F ) the creation of a hole k (e.g. with positive m-projection) implies the destruction of a particle with angular momentum projection −k (e.g. with negative m-projection), therefore its index should be −k. The signs of the operators are for convenience. As one can see immediately: These Hartree-Fock quasiparticles fulfil the anti-commutation rules of Fermions. The basic idea for BCS is to look for operators αk , αk† for which the BCS ground state is the vacuum state, i.e. αk |φBCS i = 0 |φBCS i = 0 One can show (no proof given), that indeed those quasi-particle operators are given by: αk = uk ak − vk a†−k

α−k = uk a−k + vk a†k

αk† = uk a†k − vk a−k

† α−k = uk a†−k + vk ak

with the inverse transformation ak = uk αk + vk a†k a†k = uk αk† + vk ak and

a−k = uk a−k − vk a†k

a†−k = uk a†−k − vk ak

o n {αk , αj } = αk† , αj† = 0 o n Fermionen αk , αj† = δkj

(1.58)

In this representation the BCS-state as vacuum for all quasi-particle annihilation operators can be written as Y Y |φBCS i = αk α−k |0i = αk |0i k>0

all k

By now we have first solved Hartree-Fock and then on top of these singleparticle field the BCS gap equation. One can improve this by simutaneously varying the particle and pairing degrees of freedom in a so-called Hartree-FockBogoliubov procedure (or simpler: Hartree-Bogoliubov). There one proceeds in the following way. On starts from a given basis ck , c†k with (k = 1, ..., M ) and constructs quasi-particles by X X Vki ck (1.59) Uki c†k + βi† = k

k

1.7. HARTREE-FOCK-BOGOLIUBOV THEORY

59

where i, k again go (i, k = 1, ..., M ). If one writes in a condensed form + β c c U V+ + = = W V T UT β† c† c† which is represented by the matrix W=

U V

V∗ U∗

(1.60)

The coefficients Ukl and Vkl are not completely arbitrary. One requires the βk , βk† to obbey the fermion anti-commutation relations. This restricts the matrix W to being unitary W +W = 1 WW + = 1 This allows to invert the above equation 1.59 X X ∗ † Vik βk Uik βk + c†i =

(1.61)

k

k

The definition of the HFB-quasiparticles is rather general. The connection to BCS and its formalism is given by a famous theorem of Bloch and Messiah which states, that a unitary matrix W of the above form 1.60 can always be decomposed into three matrices of very special form. ¯ V¯ D 0 U C 0 W= ¯ V¯ U 0 D∗ 0 C∗ or V = D∗ V¯ C

¯C U = DU

The theorem means, that the te transformation 1.59 can be decmoposed into three parts: 1) a unitary transformation D of the particle operators c, c† amongst themselves. This defines the canonical basis. X Dlk c†l D: a†k = l

2) a special Bogoliubov transformation, which distinguishes between paired levels and corresponds to a BCS transformation and defines quasi-particles αp† = up a†p − vp a−p

† α−p = up a†−p + vp ap

3) a unitary transformation of the quasi-particle operators αk† among themselves βk† =

X k0

Ck0 k αk† 0

60 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE The Hartree-Bogoiliubuv-theory consists now in the same theoretical formalism as Hartree-Fock, however on the level of quasi-particles. We have to minimize b − E|φHF B i = 0 δ hφHF B |H

where |φHF B i is the quasi-particle vacuum of some yet unknown quasi-particles βk obbeying the Fermion-anticommutation rules. In order to do this one first has to rewrite the Hamiltonian from partiles to quasi-particles X X ˆ = H0 + (1.62) Hk201 k2 βk†1 βk†2 + h.c. + Hint Hk111 k2 βk†1 βk2 + H k1
k1 k2

On can again apply a generalized Thouless theorem |Ψi =< Φ|Ψ > exp

X

n<m

† Znm βn† βm

!

|Φi

One can expand for small Znm and gets after a lengthy but straightforward calculation (see e.g. Ring-Schuck)

with

b HF B i hφHF B |H|φ Z 0 20∗ 20 H =H + H Z∗ hφHF B ||φHF B i 1 Z A B Z Z∗ + Z∗ B ∗ A∗ 2 b HF B i H 0 = hφHF B |H|φ

(1.63)

h i 20 ˆ Hkk 0 = hφHF B | βk 0 βk , H |φHF B i

h ii h ˆ β † β †0 |φHF B i Akk0 ll0 = hφHF B | βk0 βk , H, l l h h ii ˆ βl0 βl |φHF B i Bkk0 ll0 = −hφHF B | βk0 βk , H,

∗ The variation with respect to Zkk 0 yields

i h b HF B i ∂ hφHF B |H|φ 20 ˆ 0 βk , H |φHF B i = 0 = hφ | β = H 0 HF B k kk ∗ ∂Zkk hφHF B ||φHF B i 0 which means that the linear terms in eq.(1.63) vanish. This reminds of the Hartree-Fock condition b HF i = 0 hφHF |a†j an H|φ

which is formulated in particles instead of quasi-particles. The corresponding equations are called Hartree-Fock-Bogoliubov-Equations. They yield in the end the quasi-particle operators and quasi-particle energies. One can write now the hamiltonian eq.(1.62) in terms of these HFB-quasiparticles. In fact one can

1.7. HARTREE-FOCK-BOGOLIUBOV THEORY

61

demand that the Hk111 k2 gets diagonal by an additional unitary transformation amongst the HB-quasiparticles (we do no tchange the notation now). Then one gets X ˆ = H0 + Ek βk† βk + Hint H k

The interesting feature is that these single-quasi-particle energies Ek have the structure of q Ek ∼ ε2k + ∆2 which has a tremendous consequence on the excitations of the system. The simplest excitations are one-quasiparticle excitations (k)

|φ1QP i = βk† |φHF B i

(k)

E1QP = Ek

These, however change usually the particle number by one and describe the neighboured nucleus. The next excitations are given by 2QP excitations and some of them describe the same nucleus. Their structure is given by (k k )

1 2 |φ2QP i = βk†1 βk†2 |φHF B i

(k k )

1 2 E2QP = Ek1 + Ek1 > 2∆

This means, that the minimal excitation of the same nucleus has the energy larger than twice the energy gap. This is a interesting result, which influences the whole excitation spectrum. Transferred to the solid state with paired electrons this means that there is an energy gap, which prevents the electrons from changing their free motion at their scattering at imurities. This means superconductivity and superfluidity. The quadratic terms yield the stability matrix similar tho the HF-stability matrix A B S= B ∗ A∗ and again one can formulate a quasi-particle RPA (i.e. QRPA) with a timedependent Z periodic in time and Zk1 k2 = Xk1 k2 e−iωt + Yk1 k2 eiωt yielding in the end a creation operator for quasi-particle-RPA excitations X (α) † † (α) Xkj βk βj − Ykj βk βj Ωα† = kj

and a QRPA-equation A B X 1 0 X = ~ω α B ∗ A∗ Y α 0 −1 Y α The properties of the QRPA concerning stability of the FHB-solution, sum-rules and symmetry properties are identical to those of RPA and HF.

62 CHAPTER 1. NICHT-RELATIVISTISCHE VIELTEILCHEN-THEORIE

Chapter 2

Relativistische Einteilchen-Gleichungen 2.1

Relativistische Notation

2.1.1

Nat¨ urliche Einheiten

Es ist u ¨blich, in der Teilchen-Physik und isgesamt bei relativistischen Ph¨anomenen sog. nat¨ urliche Einheiten zu verwenden, die einem am Anfang nat¨ urlich außerordentlich unnat¨ urlich vorkommen, n¨amlich: nat¨ urliche Einheiten:

~=c=1

. Man kann das sukzessive aufschl¨ usseln: 1. In MKS-Einheiten hat c den Wert c = 3 × 108 m sec−1 ; [c] = [L]/[T ]. Wenn wir c = 1 w¨ahlen, dann bedeutet dies c = 1 = [L]/[T ], d.h. Zeit und L¨ ange haben die gleichen Dimensionen: nat¨ urliche Einheiten =⇒

[L] = [T ]

Die Aussage, daß ein Zeitintervall z.B. 0.7f m betrage bedeutet, daß in diesem Zeitintervall ein sich mit Lichtgeschwindigkeit sich bewegendes Objekt die Entfernung von 0.7f m zur¨ ucklegt. Weil in der Praxis relativistis¨ che Uberlegungen sich meistens auf Prozesse mit Teilchengeschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit beziehen, ist eine solche Z¨ahlweise sinnvoll. Aus der Energie-Impuls-Beziehung p E = m2 c4 + p~2 c2 folgt

E 2 = m2 c4 + p~2 c2

⇒

E 2 = m2 + p~2

Energie, Masse, Impuls haben gleiche Dimension: MeV, GeV. [E] = [p] = [M ] 63

64

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN 2. In MKS-Einheiten hat ~ den Wert ~ = 6, 6 × 10−22 MeV sec [~] = [Energie] [Zeit] = [M ]

[L2 ] [T ] = [M ] [L2 ] [T −1 ] [T 2 ]

F¨ ur ~ = 1 k¨ onnen iwr wir [M ], [L] und [T ] in eine Beziehung setzen. Weil schon [L] = [T ] (wegen c = 1), folgt 1 = [M ]

[L2 ] [L]

⇒

1 = [M ] [L]

oder

oder nat¨ urliche Einheiten

=⇒

[L] = [T ] =

1 [M ]

und [M ] = GeV ist die einzige u ¨brig bleibende Einheit. =⇒

[M ] = GeV

ist die einzige u ¨brig bleibende Einheit

Die folgende Umrechnung wird immer gemacht: Wir haben c = 3 × 108 m sec−1 = 3 × 108 1015 fm sec−1

~ = 6, 6 × 10−22 MeV sec und =⇒

~c = 1 = 200 MeV fm

(genauer 197, 328 MeV fm) oder 1 fm =

2.1.2

1 = 5 GeV−1 , 200 MeV

mit 1 fm = 10−15 m

Kovariante und Kontravariante Vektoren

Wir f¨ uhren kovariante und kontravariante Indizierung der 4-Koordinaten ein kontravariant: kovariant:

xµ = (t, x, y, z) = (t, ~r) xµ = (t, −x, −y, −z) = (t, −~r)

Ihre Umrechnung geschieht mit dem metrischen Tensor g µν : gµν = g µν = diag(1, −1, −1, −1) mit xµ = g µν xν ,

xµ = gµν xν

4-Vektoren xµ werdenals gr¨oßen definiert, die sich unter Lorentz-Tansformationen wie die Koordinaten xµ transformieren. F¨ ur sie gilt X ai bi = a0 b0 − ~a · ~b aµ bµ = a0 b0 − i

2.2. KLEIN-GORDON-GLEICHUNG

65

n 1 µ=ν g µν = g µρ gρν = δ µν = 0 sonst Man muß immer daran denken, daß die r¨aumlichen Komponenten des 4-Vektors des Gradienten ein Minus-Zeichen enthalten: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ~ ∂ = , , , , ∇ = ∂µ = ∂xµ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ~ ∂µ = = ,− ,− ,− , −∇ = ∂xµ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t und ∂ 2 = ∂µ ∂ µ =

∂ − ∇2 = ∂t2

F¨ ur ein physikalisches Teilchen (reelles Teilchen, im Gegensatz zu einem virtuellen Teilchen, was wir sp¨ater bekommen) gilt pµ = (E, p~)

p2 = E 2 − p~2 = m2 + p~2 − p~2 = m2 p 2 = m2

pµ = (E, −~ p)

f¨ ur physikalisch massives Teilchen

Ebenfalls Erinnerung: E=

2.2

p

m2 + p~2 ,

p~ = γm~v ,

γ=q

1 1−

v2 c2

Klein-Gordon-Gleichung

Wir kennen die nichtrelativistischen Einteilchen-Gleichungen: Schr¨ odinger-Gleichung Pauli-Gleichung

nicht-relativistisches Teilchen ohne Spin nicht-relativistisches Teilchen mit Spin=1/2

Wir werden jetzt relativistische Einteilchen-Gleichungen untersuchen. Dort haben wir: Klein-Gordon-Gleichung relativistisches Teilchen ohne Spin Dirac-Gleichung relativistisches Teilchen mit Spin=1/2 Wir kennen bereits die Maxwell-Gleichungen. Das sind keine EinteilchenGleichungen sondern Feldgleichungen, die ein elektromagnetisches Feld beschreiben. Wir werden sehen, daß auch die KleinGordon-Gl. und die Dirac-Gl. bei genauer Betrachtung keine g¨ ultigen Einteilchen-Bewegungsgleichungen sind, sondern im Grunde Feldgleichungen. In der Tat: Eine saubere Quantentheorie, die relativistisch ist, kann nicht formuliert werden. Man muss direkt eine Quantenfeldtheorie formulieren, die dann automatisch Vielteilcheneigenschaften hat. Deshalb m¨ ussen wir bedenken: Diskussion der relativistischen Einteilchengleichungen ist wichtig, aber vorl¨aufig. Schr¨odingergleichung:

66

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

F¨ ur ein freies nicht-relativistisches Teilchen gilt: E = p~2 /2m Dies wird auf folgende Weise quantisiert und f¨ uhrt zur freien Schr¨odinger-Gleichung: E = p2 /2m ~~ ∂ ⇒ E → i~ , p~ → ∇ i ∂t 2 ~ ∂ Schr¨odinger-Gleichung: − ψ(~r, t) = 0 ∇2 − i~ 2m ∂t Die gleichen Schritte wiederholen wir mit der relativistischen Energie-ImpulsBeziehung. Klein-Gordon-Gleichung: Wenn pµ = (E, p~) der Energie-Impuls-4-Vektor f¨ ur ein freies physikalisches Teilchen ist, gilt E 2 −~ p2 −m2 = 0 Auch hier wollen wir jetzt trivial quantisieren. Das f¨ uhrt zur freien Klein-Gordon-Gleichung: E 2 − p~2 − m2 = 0

Klein-Gordon-Gleichung: oder

}~ ∂ ⇒ E → i , p~ → ∇ i 2∂t ∂ − ∇2 + m2 φ(~r, t) = 0 ∂t2

∂µ ∂ µ + m2 φ = 0,

+ m2 φ = 0

Dies ist eine Differentialgleichung f¨ ur ein freies Teilchen. Die L¨osung erhalten wir mit dem u ¨blichen Ansatz φ(x, t) = N exp(−ipx)

mit

px = pµ xµ = Et − p~ · ~r

F¨ ur die Rechnung ben¨otigen wir z.B: −∂2 e−ipx =

∂ −i(Et−xpx −ypy −zpz ) ∂ −ipx e = e = ipy e−ipx ∂y ∂y

Ein setzten ergibt: Das φ(x, t) erf¨ ullt die Klein-Gordon-Gleichung, wenn gilt: p E 2 = p~2 + m2 oder E = ± p~2 + m2

Die L¨ osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung bilden also ein Kontinuum mit positiven und negativen Energien. Im Rahmen einer gewohnten Einteilchentheorie sind negative Energien nicht zu verstehen. Wir sehen hier bereits, daß das reine Einteilchenbild Schwierigkeiten bereitet. Bei der Dirac-Gleichung im n¨ achsten Kapitel werden wir auf den Trick von Dirac zur¨ uckgreifen, um negative Einteilchenenergien interpretieren zu k¨onnen. Aber hier im Klein-Gordon-Fall geht das nicht.

2.2. KLEIN-GORDON-GLEICHUNG

67

Ebenfalls wichtig f¨ ur die Interpretation der Klein-Gordon-Gleichung als Einteilchengleichung ist die M¨ oglichkeit einer Wahrscheinlichkeitsinterpretation f¨ ur φ(~r, t). Wir gehen analog vor wie bei der Schr¨odinger-Gleichung. Dort hatten wir den Strom betrachtet und eine Kontinuit¨atsgleichung hergeleitet. Wir hatten die Schr¨ odinger-Gleichung von links multipliziert mit ψ ∗ und ihr komplex konjugiertes von rechts multipliziert mit ψ: 1 2 ∂ ∂ 1 2 ∗ ψ = 0, ψ ψ∗ = 0 ∇ +i ∇ −i ψ 2m ∂t 2m ∂t Wir bildeten die Differenz: 1 ∗ 2 ψ (∇ ψ) − ψ(∇2 ψ ∗ ) = i ψ ∗ ψ˙ + ψ ψ˙ ∗ 2m

Dies machte die Definition einer Dichte und eines Stroms sinnvoll: i 1h ∗ ~ ~ ρ = ψ∗ ψ ~ = ψ (∇ψ) − ψ(∇ψ∗) i Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsstrom (positiv definit) Und wir erhielten die Kontinuit¨atsgleichung, die man auch kovariant schreiben kann: ρ˙ + div ~ = 0 oder ∂µ j µ = 0 mit j µ = (ρ, ~) Wir normierten den Strom so, daß die Norm der Dichte gleich Eins ist. Z Z d3 r ψ ∗ ψ = d3 r ρ = 1 Weil die Kontinuit¨atsgleichung galt, konnte man sofort zeigen, daß die Norm der Dichte zeitunabh¨ angig ist und damit erhalten bleibt. Der Grund ist einfach: Man nehme die Dichte und integriere u ¨ber den ganzen Raum und verwende den Gauss-Satz Z Z Z d ~ · ~ = 0 ~ · ~ = − d3 r ρ = − d3 r ∇ df dt Ω Der Ausdruck verschwindet weil die Oberfl¨ache Ω, u ¨ber die integriert wird, im Unendlichen liegt und man davon ausgeht, daß alle Str¨ome nur in einem endlichen Raumintervall vorhanden sind, im Unendlichen also verschwinden. Soweit die Wiederholung von der Schr¨odinger-Gleichung. Die gleichen Schritte vollziehen wir jetzt bei der Klein-Gordon-Gleichung: 2 ∂ ∂ 2 2 2 2 φ∗ − ∇ + m φ = 0, φ − ∇ + m φ∗ = 0 ∂t2 ∂t2 Die Differenz ergibt φ∗ φ¨ − φφ¨∗ − φ∗ ∇2 φ − φ∇2 φ∗ = 0

68

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

Dies kann man als Kontinuit¨atsgleichung schreiben ρ˙ + div ~ = 0 mit ρ = i(φ∗ φ˙ − φ˙ ∗ φ)

~ = −i(φ∗ ∇φ − (∇φ∗ )φ) (gleicher Strom wie bei Schr¨odingergleichung)

und

Kovariant geschrieben lautet dies j µ = (ρ, ~)

und

∂µ j µ = 0

Auch hier bekommen wir einen erhaltenen Strom und damit eine zeitunabh¨angiges Raum-Integral u ¨ber die Dichte. Aber: Am Ausdruck von ρ deutet nichts darauf hin, dass ρ positiv definit sein k¨ onnte. In der Tat: Wir haben eine Differentialgleichung 2. Ordnung in Raum und Zeit und Anfangsbedingungen sind gegeben durch φ(~r, t0 ) und ˙ r, t0 ) und wir k¨ φ(~ onnen sie frei w¨ahlen, also auch so daß ρ < 0. Auch hier wieder ein Versagen der simplen Teilchen-Interpretation. Die relativistische Kinematik macht es unm¨ogliche, eine konsistente Einteilchen-Theorie zu formulieren. Ausweg: 1. Die Dichte ρ wird als Ladungsdichte interpretiert und dann gibt es in nat¨ urlicher Weise positive, neutrale und negativ geladene Teilchen. 2. Die Klein-Gordon-Gleichung ist eine Feldgleichung wie z.B. die MaxwellGleichungen und dort wird auch keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation mit einer positiv definiten Dichte erwartet 3. wir m¨ ussen Quanten-Feld-Theorie betreiben. Dann stimmen beide Bilder, dann k¨ onnen wir auch negative Energie interpretieren (→ Antiteilchen).

2.3 2.3.1

Dirac-Gleichung 4-Spinoren

Wir waren bei der Klein-Gordon-Gleichung ausgegangen von E 2 = p~2 + m2 und erhielten durch Quantisierung eine Differentialgleichung 2. Ordnung in der Zeit und im Ort. Das ergab Probleme, weil die Dichte nicht positiv definit war und die Energie negativ sein koknnte. Dirac (1928) schlug einen anderen Weg ein, der Ort und Zeit auf gleicher Stufe behandelt und auf eine Differentialgleichung 1. Ordnung in Ort und Zeit f¨ uhrt, und von der man weniger Schwierigkeiten erwartet: ∂ψ ∂ ∂ 1 ∂ i = α1 1 + α2 2 + α3 3 + βm ψ(~x, t) = 0 ∂t i ∂x ∂x ∂x

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

69

oder

~ + βm ψ(~x, t) = i ∂ψ −i~ α·∇ ∂t wobei α ~ , β zun¨ achst unbekannt sind. Um wieder die Energie-Impuls-Beziehung zu verwenden fordert Dirac, dass seine Wellenfunktion ψ auch die Klein-GordonGleichung ∂t∂2 φ = (∇2 − m2 )φ erf¨ ullen sollte: 2 3 X ∂ ∂2ψ + m2 ψ i ψ=− i )2 ∂t (∂x i=1 Um diese zweiten Ableitungen zu erreichen, wende die Operatoren der DiracGleichung jeweils zweimal hintereinander auf ψ an: 2 ∂ ~ + βm −i~ ψ = −i~ α·∇ α · ∇ + βm ψ i ∂t =−

3 X

α12

i=1

− im

3 X ∂2ψ ∂2ψ (αi αj + αj αi ) i j − i 2 (∂x ) ∂x ∂x i,j=1 i>j

3 X

(αi β + βαi )

i=1

∂ψ + β 2 m2 ψ ∂xi

Vergleiche mit Klein-Gordon-Gleichung ergibt Relationen zwischen den Gr¨oßen αi und β: αi β + βαi = 0,

i = 1, 2, 3

αi αj + αj αi = 0,

i, j = 1, 2, 3 und i 6= j

2

(αi ) = I4×4

i = 1, 2, 3

2

β = I4×4 Es ist offensichtlich, daß diese Bedingungen nicht durch gew¨ohnliche Zahlen erf¨ ullt werden k¨ onnen. Behauptung: Ein m¨oglicher Satz von αi , β sind die 4 × 4-Matrizen 0 σi I 0 αi = , β= (2.1) σi 0 0 −I wobei die σi die Pauli-Matrizen sind und I die Identit¨at (2x2) ist 1 0 1 0 0 −i 0 1 . , I= , σz = , σy = σx = 0 1 0 −1 i 0 1 0 mit [σx , σy ] = iσz Es gilt explizit  0  0 α1 =   0 1

z.B. 0 0 1 0

0 1 0 0

 1 0   0  0

und

zyklisch 

 ψ1 (~r, t)  ψ2 (~r, t)   ψ(~r, t) =   ψ3 (~r, t)  = 4-Spinor ψ4 (~r, t)

70

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

⇒ Dirac-Gleichung

i

∂ ~ + βm ψ ψ = −i~ α·∇ ∂t

Beweis: Die αi und β m¨ ussen hermitesch sein, damit der Hamiltonoperator hermitesch ist. Da (αi )2 = 1 und β 2 = 1 sind die Eigenwerte von αi und β gleich ±1. Weiterhin folgt aus den Anti-Kommutator-Eigenschaften z.B. αi β + βαi = 0, daß die Spur von jedem αi und β gleich Null ist, denn z.B. αi = −βαi β und damit T r(αi ) = −T r(βαi β) = −T r(αi ββ) = −T r(αi ). Da die Spur gleich der Summe der Eigenwerte ist, muß die Anzahl der negativen Eigenwerte (−1) gleich der der positiven (+1) sein, was nur bei einer geraden Dimension m¨ oglich ist. F¨ ur Dimension=2 gibt es aber nur drei miteinander antikommutierende Matrizen, n¨amlich die Pauli-Matritzen, und somit ist Dimension=4 die niedrigst m¨ogliche Dimension, die alle Forderungen erf¨ ullt. Daß die Gl.(2.1) alle Bedingungen erf¨ ullt muß man durch explizite Rechnung zeigen qed Bemerkungen: • Dies ist nicht der einzige Satz von 4 × 4-Matrizen, die die Bedingungen erf¨ ullen. Andere S¨atze erh¨alt man einfach durch αi0 = U αi U −1 β 0 = U βU −1 mit einer unit¨ aren 4 × 4-Matrix U . • Man kann auch Matrizen konstruieren mit der Dimension 4n, n = 1, 2, 3, . . . :, die die obigen Bedingungen erf¨ ullen. • Die Dirac-Theorie beschreibt 4-Spinoren bzw. 4n-Spinoren und damit keine spinlosen Teilchen. Die Dirac-Theorie ist viel komplizierter als die Klein-Gordon-Theorie oder die Schr¨ odingertheorie. Sie ist vergleichbar mit der Pauli-Theorie, die ein Teilchen mit Spin 1/2 beschreibt. In der Tat: Die Pauli-Gleichung ist eine nichtrelativistische N¨aherung an die Dirac-Gleichung. Die Dirac-Gleichung beschreibt Teilchen mit Spin 1/2. Wir werden das beweisen. Wahrscheinlichkeitsinterpretation, Strom: Wir gehen exakt genauso vor wie bei der Schr¨odingergleichung und der KleinGordon-Gleichung. Behauptung: Wir haben bei der Dirac-Gleichung die Kontinuit¨atsgleichung ∂µ j µ = 0

oder

mit +

ρ(~r, t) = ψ ψ =

4 X

σ=1

∂ ~ · ~ = 0 ρ+∇ ∂t ψσ∗ ψσ

pos.definit

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

71

und j k (~r, t) = ψ + αk ψ Beweis:Zun¨ achst Achtung: ab = a0 b0 − ~a · ~b µ

0

∂µ j = ∂0 j + ∂i j

weil

i

weil

aµ = (a0 , −a1 , −a2 , −a3 )

∂µ = (∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 )

und jetzt Rechnung ∂ψ ~ + βm ψ = −i~ α·∇ ∂t ← ∂ψ + −i = ψ + + i~ α · ∇ +βm ∂t

ψ+ →

i

←ψ

weil die Pauli-Matritzen hermitesch sind gilt auch αi = αi† , β = β † . Bilde Differenz: X1 ∂ ∂ (ψ + αk ψ) i (ψ + ψ) = ∂t i ∂xk k

ψ+ ψ =

4 X

ψi∗ ψi > 0

i=1

q.e.d.

Zum Beweis, dass die positiv definite Dichte erhalten bleibt, nimm wieder die Kontinuit¨atsgleichung und integriere u ¨ber den ganzen Raum: Z Z Z d ~ · ~ = 0 ~ · ~ = − d3 r ρ = − d3 r ∇ df dt Ω wobei angenommen wird, dass ψσ (~r, t) → 0 f¨ ur x → ∞. qed. Eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation des Dirac-4-Spinors ist also im Prinzip m¨oglich. Aber: Negative Energien Suche L¨ osung f¨ ur freie Teilchen. Mache dazu den u ¨blichen Ansatz: ϕ ψ= exp(−ipx) ϕ, χ = 2-Spinoren ohne Orts-und Zeitabh. χ Einsetzen in die Dirac-Gleichung ergibt: ∂ −ipx ϕ ϕ ∂ 0 σx 0 = −i −i e i e−ipx σx 0 σy ∂t χ ∂x χ ∂ −ipx ϕ 0 σz I −i e +m σz 0 0 ∂z χ

∂ −ipx ϕ e ∂y χ ϕ 0 e−ipx −I χ σy 0

72

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

Einsetzen ergibt: E aquivalent zu ¨

ϕ ϕ mI ~σ · p~ = ~σ · p~ −mI χ χ (E − m)ϕ = ~σ · p~ χ

(E + m)χ = ~σ · p~ ϕ

Bestimme hieraus χ= und es folgt ψ=

(~σ · p~) ϕ (E + m)

ϕ 1 σ · p~ ϕ E+m ~

Die Energie erh¨alt man mit (E − m)ϕ =

(~σ · p~)2 ϕ (E + m)

zu (E − m)(E + m)ϕ = (~σ · p~)2 ϕ Nun gilt f¨ ur jeden Vektor ~a wegen der Vertauschungsregeln der Pauli-Matritzen (~σ · a)2 = a2 I ⇒ oder

(E − m)(E + m) = p~2

p E = ± p~2 + m2

⇒

E 2 − m2 = p~2

positive undnegative Energien!

(2.2)

Die Dirac-Gleichung hat als L¨osungen f¨ ur ein freies Teilchen somit ein Kontinuum mit positiven und negativen Energien, ganz wie bei der Klein-GordonGleichung. Also bei der Dirac-Gleichung ist die Wahrscheinlichkeitsinterpretation vorhanden, die Teilchenenergien k¨onnen aber negativ sein. z.B. Elektron, siehe Fig.(2.1): Vergleich zum Spektrum eines nichtrelativistischen freien Elektrons. Wenn man vom Vorzeichen absieht, dann gilt f¨ ur p~2 m2 und Entwicklung der Wurzel: r p p~2 1 E = p~2 + m2 = m 1 + 2 p~2 = + m2 m 2m

Dirac rettete seine Gleichung durch die geniale Idee des Dirac-Sees. Dieser Dirac-See kommt einem unbefangenen Leser zun¨achst ¨außerst seltsam vor. Man muß jedoch feststellen, daß das Bild außerordentlich hilfreich und in gewissem weitem Sinne auch g¨ ultig ist. Man muß seine Grenzen kennen, was wir auch noch tun werden. Auch hier zeigt sich, daß eine relativistische EinteilchenGleichung im Grunde keinen Sinn ergibt, weil Dirac seine Gleichung in eine Vielteilchentheorie einbetten muß.

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

73

E pos. Energie-Kontinuum

E≥m

m

0

−m neg. Energie-Kontinuum

E≤m

Figure 2.1: Das Einteilchen-Spektrum der freien Dirac-Gleichung mit positivem und negativem Kontinuum.

Dirac-See: Wenn wir ein Elektron in einen Zustand des positiven Energiekontinuums plazieren, dann gibt es zun¨achst keinen Mechanismus, der verhindert, ¨ dass das Elektron Uberg¨ ange zu den negativen Energie-Zust¨anden macht unter Aussendung eines γ-Quants aufgrund seiner Ladung. Nichts hindert es daran, ¨ hintereinanderfolgende Uberg¨ ange zu machen und dann bis zu E = −∞ unter Aussendung von Photonen hinabzufallen, Siehe Fig.(2.2). Dirac postulierte, dass das Vakuum in einem Viel-Fermionen-Zustand besteht, d.h. einer riesigen Slater-Determinante bei der alle negativen Kontinuumszust¨ande besetzt sind, sieht Fig.(2.3). Jeder Zustand ist dabei besetzt mit zwei Elektronen, Spin ↑ und Spin ↓. Das ¨ Pauli-Prinzip zwischen Fermionen verhindert Uberg¨ ange ins negative Kontinuum. Achtung: Es gibt einen eigenen Dirac-See f¨ ur jede Fermion-Sorte, d.h. jeweils f¨ ur Elektronen, Myonen, Tauonen, Up-Quarks (jeweils f¨ ur eine Farbe), . . ., TopQuarks, etc. Alle diese Dirac-Seen haben, naiv betrachtet, unendliche Ladung und unednliche Masse. An solche Unendlichkeiten werden wir uns innerhalb der Quantenfeldtheorie noch gew¨ohnen. Sie werden durch sog. Normalordnungen und Renormierungstechniken beseitigt, wobei man sich dabei beschr¨ankt, observable Gr¨ oßen der interessierenden physikalischen Prozesse zu beschreiben, ¨ bei denen dann immer nur die Anderung des Dirac-Sees relevant sind. Ein unbesetzer Eintelchen-Zustand (Loch) im Dirac-See wird interpretiert als ein Positron. Man kann auf diese Weise die Paarerzeugung eines Elektron1 Dirac-See wird auf die Positron-Paares erkl¨ aren, siehe Fig.(2.4). Der gesamte Energie Null gesetzt. Dann hat

74

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

γ

wie beim Atom ⇒

γ

Figure 2.2: Zerfall eines Einteilchen-Zustandes positiver Energie durch Emission eines Gamma-Quants.Instabilit¨at der Einteilchen-Zust¨ande und Zerfall in Zust¨ ande beliebig negativer Einteilchen-Energie.

Jeder Zustand besetzt mit zwei Elektronen: Spin ↑ und Spin ↓.

Figure 2.3: Der Dirac-See mit den besetzten Einteilchen-Zust¨anden negativer Energie.

 me  E = 2me S=0  me Q=0

γ-Quant wird vom Vakuum absorbiert

1 Figure 2.4: Erzeugung eines Elektron-Positron-Paares (Paar-Erzeugung) durch Absorption eines Gamma-Quants.

1

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

75

Energie des Lochs = −Eelektron mit Eelektron < 0 ⇒ Epositron > 0 Ladung des Lochs = −qelektron

mit

Spin des Lochs = −Selektron

mit

⇒

qelektron < 0

qpositron > 0

⇒

Selektron = ±

Spositron = ∓

1 2

1 2

Die Interpretation Diracs kann nicht auf Bosonen (d.h. z.B. L¨osungen der KleinGordon-Gleichung) wie Pionen, Rho-Mesonen, Photonen, W- und Z-Bosonen oder Gluonen u ¨bertragen werden, weil diese keine Fermionen sind und deshalb nicht dem Pauli-Prinzip unterliegen. Zusammenfassend: Im Rahmen einer korrekt formulierten Quantenfeldtheorie bereitet der Dirac-See keine Schwierigkeiten. Offenbar hat der Dirac-See nicht in einer Einteilchentheorie Platz, es ist ein genuines Vielteilchenkonzept.

2.3.2

Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung

Dirac-Gleichung in kovarianter Form Um diese Forderung im Einzelnen diskutieren zu k¨onnen, bringen wir die DiracGleichung auf eine andere (und auch heute u ¨bliche) Gestalt: Kovariante Schreibweise: Def: γ0 = β γ i = βαi i = 1, 2, 3 Damit schreibt sich die Dirac-Gleichung 1 ∂ 2 ∂ 3 ∂ 0 ∂ +γ +γ +γ i γ ψ − mψ = 0 ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 Oder in der endg¨ ultigen Form: (iγ µ ∂µ − m) ψ = 0

Dirac-Gleichung:

Das ist die Dirac-Gleichung f¨ ur ein freies Fermion der Ruhemasse m in kovarianter Form mit 4-Vektoren und 4-Skalar. Man kann die Beziehungen zwischen αi und β umrechnen auf γ i : γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν I4×4

oder

{γ µ , γ ν } = 2g µν I4×4

und (γ i )+ = −γ i

(γ 0 )+ = γ0

oder

(γ µ )+ = γ 0 γ µ γ 0

76

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

und (γ i )2 = −I4×4

(γ 0 )2 = I4×4

und explizit mit der obigen Darstellung: I2×2 0 0 γ = 0 −I2×2

i

γ =

0 −σi

σi 0

Man braucht auch noch f¨ ur sp¨ater: γ 5 = γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = −iγ0 γ1 γ2 γ3 =

0 I2×2 I2×2 0

mit (γ 5 )+ = γ 5

(γ 5 )2 = I2×2

{γ µ , γ 5 } = 0

Es gibt auch generalisierte Pauli Matritzen mit sechs unabh¨angigen Elementen σµν =

i [γµ , γν ] = −σ νµ 2

(2.3)

σ 0k = iαk σ ij = εijk σ k Man kann durch Bildung von Produkten von γ-Matrizen 16 linear unabh¨angige 4 × 4 Matrizen Γnαβ , n = 1, · · · , 16 einen vollst¨andigen Satz f¨ ur alle 4 × 4Matritzen darstellen: ΓS = I4×4

ΓVµ = γµ

ΓTµν = σµν =

i [γµ , γν ] ΓP = γ5 2

ΓA µ = γ5 γµ

Bis auf ΓS = I4×4 sind alle anderen spurlos. Jede 4 × 4 Matrix kann durch Linearkombinationen der Γn ausgedr¨ uckt werden, die damit eine Art Basis darstellen. Man ben¨otigt oft noch die folgenden Kommutatoren der DiracAlgebra Dirac-Commutator-Algebra (2.4) λ µ γ , γ = 2γ λ γ µ − 2g λµ

[γ5 , γ µ ] = 2γ 5 γ µ γ5 γ λ , γ µ = 0 γ5 γ λ , γ5 = 2γ λ λρ µ σ , γ = 2i(γ λ g ρµ − γ ρ g λµ ) λρ σ , γ5 = 0 λρ σ , γ5 γ µ = 0 λρ µ σ , γ = 2i(γ λ g ρµ − γ ρ g λµ ) λρ µν σ ,σ = 2i(σ λµ g ρν − σ λν g ρµ + σ ρν g λµ − σ ρµ g λν )

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

77

Kovarianz Nach der heuristischen Einf¨ uhrung der Dirac-Gleichung wollen wir in diesem Kapitel begrifflich sauber vorgehen. Wenn wir eine korrekte relativistische Gleichung haben wollen, muß folgendes gelten: Betrachte zwei Beobachter in ihren Inertialsystemen, Beobachter A ∈ IS und Beobachter B ∈ IS’ sehen das gleiche physikalische Ereignis E . Die Koordinaten des Ereigneisses in IS und IS’ h¨angen u ¨ber die Lorentz-Transformation miteinander zusammen x0µ = Λµν xν

oder

x0 = Λx und x = Λ−1 x0

Λµν = Lorentz-Transformation angt nur von der relativen Orientierung und der Relativgeschwindigkeit Λµν h¨ zwischen IS und IS’ ab. Es gelten die Beziehungen Λµν Λµρ = Λνµ Λρµ = δ νρ

oder in Matrix-Form mit Λµν

Λµν gµρ Λρσ = gνσ ν = ΛT µ k¨ urzer: ΛT gΛ = g

Bei der Lorentz-Transformation bleibt der 4-Abstand zwischen zwei Ereignissen invariant: ds2 = gµν dxµ dxν = dxµ dxµ Wenn im System IS zwei Ereignisse durch die Trajektorie der Dirac-Gleichung verbunden sind, dann muß das auch f¨ ur IS’ zutreffen und die Dirac-Gleichung muß in IS’ die gleiche Gestalt wie in IS haben. Die Forderung der Kovarianz bedeutet: • Es muß eine explizite Vorschrift geben, die es dem Beobachter erlaubt, bei gegebenem ψ(x) ∈ IS das ψ 0 (x0 ) ∈ IS’ zu berechnen, was dann den gleichen physikalischen Zustand beschreibt. • Das ψ 0 (x0 ) muß die L¨ osung der Dirac-Gleichung in IS’ sein, also (iγ µ ∂µ0 − m)ψ 0 (x0 ) = 0 (Achtung: Die Ruhemasse m ist eine Lorentzinvariante!) Die Transformation ψ(x) → ψ 0 (x0 ) muß linear sein, da Lorentz-Tansformation und auch Dirac-Gleichung jeweils linear sind. Es muß daher gelten ψ 0 (x0 ) = S(Λ)ψ(x) Hier ist S eine 4×4 Matrix wirkend auf die Komponenten (ψ1 (x), ψ2 (x), ψ3 (x), ψ4 (x)) des 4-Spinors ψ(x). Das S h¨ angt, wie Λ, nur von der relativen Orientierung IS vs IS’ ab, es muß also ein Inverses haben.

78

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN Es ist zu zeigen, daß S(Λ) existiert: Zun¨achst: Aus x0µ = Λµν xν folgt ∂ ∂x0ν ∂ ∂ = = Λν µ 0ν µ ∂x ∂xµ ∂x0ν ∂x ⇒ ∂µ = Λν µ ∂ν0

Also (iγ µ ∂µ − m) ψ(x) = 0

⇒ (iγ µ ∂µ − m) S −1 (Λ)ψ 0 (x0 ) = 0 ⇒ iS(Λ)γ µ S −1 (Λ)Λν µ ∂ν0 − m ψ 0 (x0 ) = 0

Im letzten Schritt wurde von links mit S(Λ) multipliziert, wodurch der Faktor S −1 (Λ) vor dem m kompensiert wird. Die obige Gleichung hat die Gestalt einer Dirac-Gleichung, wenn der Faktor vor ∂ν0 gleich γ ν ist, also S(Λ)γ µ S −1 (Λ)Λν µ = γ ν Nach Multiplikation von links mit S −1 (Λ) und von rechts mit S(Λ) l¨aßt sich diese Zeile schreiben als (Achtung: γ µ = 4x4−Matrix, Λν µ =Zahl) Λν µ γ µ = S −1 (Λ)γ ν S(Λ) Dies ist die fundamentale Bestimmungsgleichung f¨ ur S(Λ). Frage: Existiert ein solches S(Λ)? Wenn ja, ist die Kovarianz der DiracGleichung gezeigt. Behauptung: (Beweis: z.B. Bjorken-Drell Vol. I): Die Matrix S(Λ) existiert und hat die Eigenschaft S −1 = γ0 S † γ0 . F¨ ur eine infinitesimale Lorentztransformation lautet S (ohne Beweis): Λµν = δ µν + µν i S(Λ) = I − µν σ µν 4 with

i µ ν [γ , γ ] 2 Beispiel: Spezielle Lorentztransformation, die einer einfachen Drehung z-Achse um den Winkel ω entspricht:    1 0 0 0 1 0 0 0  0 cos ω   0 sin ω 0 1 δω 0 µ  ω → δω → 0  Λ ν =  0 − sin ω cos ω 0  − −−−−−−−→  0 −δω 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 σ µν =

um die    

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

79

Oder f¨ ur diese spezielle Matrix

Λµν

Also



0  0 =I +  0 0

0 0 −δω 0

0 δω 0 0

 0 0   0  0

21 = −δω

δω = 12 = δω

12 = g1ρ ρ2 = g11 12 = (−1)12 = −δω 21 = +δω µν = 0 sonst. Durch explizite Rechnung, zeigen wir daß mit mit σ1 σ2 = iσ3 folgt 3 σ 0 12 1 2 σ = iγ γ = Σ3 = 0 σ3 und damit

i S(δω) = I + δωΣ3 2

oder ψ 0 (x0 ) =

1+i

δω 3 Σ ψ(x) 2

¨ Man sieht sofort die Ahnlichkeit mit der Transformation eines 2-komponentigen Pauli-Spinors: δω 3 0 0 χ (x ) = 1 + i σ χ(x) 2 Also: Dirac-Spinor beschreibt ein Teilchen mit Spin 21 .

2.3.3

Bilineare Kovarianten

Wir hatten gezeigt, daß die Dirac-Gleichung kovariant ist, weil ψ 0 (x0 ) = S(Λ)ψ(x) und S(Λ)γ µ S −1 (Λ)Γν µ = γ ν Λν µ γ µ = S −1 (Λ)γ ν S(Λ) existiert. Frage: Wir hatten den 4-Strom und die Dichte ρ berechnet mit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation und Kontinuit¨atsgleichung. Ist der 4-Strom wirklich ein 4-Vektor? Muß sein aus Konsistengr¨ unden.

80

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN Wir hatten ρ = ψ † ψ und j i = ψ † αi ψ ⇒ j µ = ψ † γ 0 γ µ ψ.

Definiere den adjungierten Spinor ψ¯ = ψ † γ 0 Beh: ψ 0 (x0 ) = Sψ(x) −1 ¯ ψ¯0 (x0 ) = ψ(x)S Bew: Wir wissen, daß S −1 = γ0 S + γ0 und daraus ergibt sich ψ 0 (x0 ) = S(Λ)ψ(x)

⇒

S −1 = γ0 S † γ0 ⇒ γ0 S −1

ψ 0† (x0 ) = ψ † (x)S † ⇒ ψ¯0 (x0 ) = ψ † (x)S † γ0 −1 ¯ = S † γ0 ⇒ ψ¯0 (x0 ) = ψ † (x)γ0 S −1 = ψ(x)S

qed

qed.Beweis, daß j µ ein 4-Vektor ist. Wir wissen, daß Λν µ γ µ = S −1 γ ν S: Daraus folgt sofort j 0µ (x0 ) = ψ¯0 (x0 )γ µ ψ 0 (x0 ) −1 µ ¯ = ψ(x)S γ Sψ(x) = Λµν ψ † (x)γ0 γ ν ψ(x) ν ¯ ψ(x) = Λµ ψ(x)γ ν

= Λµν j ν (x) Offenbar ist j µ (x) Lorentz-4-Vektor und die Kontinuit¨atsgleichung ist invariant, weil sie ein Skalar ist: ∂µ j µ = ∂µ0 j 0µ = 0. ¯ µ ψ und gezeigt, daß er ein 4-Vektor Wir hatten den 4-Strom konstruiert j µ = ψγ war, wodurch er definierte Transformationeigenschaften hat. Offenbar ist j 0 (x) = ψ † ψ = ψ1∗ ψ1 + ψ2∗ ψ2 + ψ3∗ ψ3 + ψ4∗ ψ4

positiv definit

im Gegensatz zu ¯ = ψ ∗ ψ1 + ψ ∗ ψ2 − ψ ∗ ψ3 − ψ ∗ ψ4 ψψ 1 2 3 4

nicht positiv definit

Wir haten gesehen: Man kann durch Bildung von Produkten von γ-Matrizen 16 linear unabh¨angige 4 × 4 Matrizen Γnαβ , n = 1, · · · , 16 konstruieren, die oft in den Anwendungen der Dirac-Theorie vorkommen und ebenfalls definierte Transformationseigenschaften haben: ΓS = 1

ΓVµ = γµ

ΓTµν = σµν =

i [γµ , γν ] 2

ΓP = γ5

ΓA µ = γ5 γµ

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

81

Jede 4 × 4 Matrix kann durch Linearkombinationen der Γn ausgedr¨ uckt werden, die damit eine Art Basis darstellen. Es ergeben sich die folgenden Gr¨oßen, die bilinear sind (weil ψ und ψ¯ vorkommen) und kovariant sind, also ein wohldefiniertes Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen zeigen: ¯ S ψ = ψψ ¯ = Skalar, invariant unter LT ψΓ ¯ V ψ = ψγ ¯ µ ψ = jµ = 4-Vektor ψΓ µ ¯ µν ψ = 4-Tensor 2. Stufe ¯ T ψ = ψσ ψΓ µν

¯ P ψ = ψγ ¯ 5 ψ = Pseudo-Skalar ψΓ A ¯ 5 γµ ψ = Pseudo-4-Vektor ¯ ψ = ψγ ψΓ µ Beweis der Transformationseigenschaften durch direkte Rechnung analog zum Beweis von j µ . Wichtig: Jede Observable ist aus diesen Gr¨oßen zusammengesetzt.

2.3.4

Freie Dirac-Gleichung: Ebene Wellen

L¨osung der Dirac-Gleichung in Form ebener Wellen. Vorgehen: Wir berechnen L¨ osung im Ruhesystem und dann Lorentz-Transformation zu einem System, das sich mit der Geschwindigkeit −~v bewegt, daß das Teilchen den 3-Impluls p~ hat. ∂ψ ~ + βm ψ = −i~ α·∇ i ∂t Ansatz f¨ ur freies Teilchen ψ = ω exp(−ip · x) mit

pµ = (p0 , p~) und

p p0 = E = ± p~2 + m2

Ansatz:

ω= Damit

ϕ χ

ϕ m ~σ · p~ ϕ p = χ ~σ · p~ −m χ p Positive Energien: p0 = + p~2 + m2 = E > 0. Zu¨achst: Ruhesystem: p~ = 0 ⇒ p0 = +m. ϕ m 0 ϕ m = χ 0 −m χ 0

oder explizit

mϕ = mϕ mχ = −mχ

82

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

und damit χ=0 Also 0

ω(p = m) =

ϕ 0

(1)

1 0

(Spin F¨ ur Elektronen in Ruhe gibt es nur zwei 2-Spinoren ϕ = ϕ = 0 up) und ϕ = ϕ(2) = (Spin down). 1 0 pJetzt Transformation auf ein bewegtes System mit p~ 6= 0. E = p = + p~2 + m2 > 0. Das ist trivial, und wir hatten es bereits p0 ϕ = mψ + ~σ · p~χ p0 χ = ~σ · p~ϕ − mχ

daraus folgt (m + p0 )χ = ~σ · p~ϕ ⇒ χ = Mit p0 = E Eϕ = mϕ +

1 ~σ · p~ϕ p0 + m

p~2 ϕ E+m

weil (~σ · p~)2 = p~2 . Durch Multiplikation mit E + m erhalten wir (wie bereits gehabt) die relativistische Energie-Impuls-Beziehung: (E + m)(E − m)ϕ = p~2 ϕ

E 2 ϕ = (~ p2 + m2 )ϕ

Damit erhalten wir die L¨osung der freien Dirac-Gleichung f¨ ur positive Energie E > 0:   1   0  ω 1 (p0 = E, p~) =    ~σ·~p 1 E+m 0   0   1  ω 2 (p0 = E, p~) =    ~σ·~p 0 E+m 1

p p negative Energien: p0 = − p~2 + m2 = −E mit E = + p~2 + m2 > 0 Ruhesystem: p0 = −m ϕ m 0 ϕ −m = χ 0 −m χ

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

83

woraus folgt −mϕ = mϕ

− mχ = −mχ

und daraus ϕ=0 Damit ergibt sich 0

⇒ ω(p = −m) =

0 χ

F¨ ur endlichen Teilchen- Impuls erhaltn wir: p~ 6= 0: pµ = (p0 , p~) = (−E, p~) p0 ϕ = mϕ + ~σ · p~χ

p0 χ = ~σ · p~ϕ − mχ

Also −Eϕ = mϕ + ~σ · p~χ −Eχ = ~σ · p~ϕ − mχ

⇒ϕ=−

~σ · p~ χ E+m

⇒ (m2 − E 2 )χ = p~2 χ (Energiesatz, trivial erf¨ ullt) Konvention: 

 ω 1 (p0 = −E, p~) =   

 ω 2 (p0 = −E, p~) =  

 0 ~ σ ·p − E+m   1  0 1  1 ~ σ ·p − E+m   0  1 0

84

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

Man faßt zusammen und ¨andert das Vorzeichen von p~:    1       0  1 1 0    ω = ω (p = E, p~) =     1  ~ σ ·p   E+m  0  µ   p = (E, p~)  0       1  2 2 0    ω = ω (p = E, p~) =     0  ~ σ ·p   E+m 1    0  ~ σ ·p   E+m    1  3 1 0    ω = ω (p = −E, −~ p) =     0     1  µ p)  p = (−E, −~   1  ~ σ ·p      E+m 0  4 2 0    ω = ω (p = −E, −~ p) =     1    0

Man definiert nun endg¨ ultig geeignet normierte L¨osungen: pµ = (E, p~) pµ = (−E, −~ p)

ψ(x) = ur (p) exp(−ip · x) ψ(x) = vr (p) exp(−ip · x)

r = 1, 2 positive Energien r = 1, 2 negative Energien

mit 

 u1 (p) =  



q

E+m 2m

~ σ ·~ p 2m(E+m)

√

1 0

1 0



  

0 ~ σ ·~ p √  2m(E+m) 1 v1 (p) =   q E+m 0 2m 1

   



 u2 (p) =   

q

E+m 2m

~ σ ·~ p 2m(E+m)

√

0 1

0 1



  

1 ~ σ ·~ p √  2m(E+m) 0 v2 (p) =   q E+m 1 2m 0

   

Man kann bei dieser Normierung durch explizite Rechnung zeigen, daß folgende Normalisations-Relationen gelten u ¯r (p)us (p) = −¯ vr (p)vs (p) = δrs v¯r (p)us (p) = u ¯r (p)vs (p) = 0

Es gelten auch folgende Relationen bzgl. der Dichte u ¯r (p)γ 0 us (p) = u†r (p)us (p) = u†r (˜ p)us (p) =

E δrs m

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

85

p)vs (p) = v¯r (p)γ 0 vs (p) = vr† (p)vs (p) = −vr† (˜

E δrs m

mit p˜ = (p0 , −~ p). Diese Normierung ist sinnvoll, denn sie entspricht LorentzKinematik: 1 ~ ur ) = (p0 , p~) j µ = (ρ, ~j) = (u†r ur , u†r α m [Oft in der Literatur auch normiert zu u†r (p)ur (p) = vr† (p)vr (p) = 2E]. Weiterhin gilt: Beh: (γ µ pµ − m) ur (p) = 0 (γ µ pµ + m) vr (p) = 0

u ¯r (p) (γ µ pµ − m) = 0 v¯r (p) (γ µ pµ + m) = 0

Beweis: (iγ µ ∂µ ψ − mψ) = 0

mit

ψ = u exp(−ipx)

µ

(iγ (−ipµ ) − m)u = 0 (γ µ pµ − m)u = 0

qed.Wir haben auch die n¨ ultzliche Beziehung u† u =

p0 u ¯u m

Weitere Beziehungen: Anhang Itzykson-Zuber

2.3.5

Externes elektromagnetisches Feld: Minimale Substitution

Non-relativistic We know the Lorentz-force ~ = qE ~ + q~v × B ~ K The classical Lagrangean for nonrelativistic particles which are subjected to the Lorentz-force si given by L=

1 ~ − qφ m~v 2 + q~v · A 2

The canonically conjugate Momentum is given by ~π =

∂L ~ = m~v + q A ∂~v

From here the Hamiltonian function follows directly H = ~π · ~v − L =

2 1 ~ + qφ = E ~π − q A 2m

86

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

The quantisation of the system leads to the Schr¨odinger-eq. describing the motion of a non-relativistic quantized charged particle interacting with external electic potentials. In fact we quantize by 1~ ~π =⇒ ∇ i yielding: 1 2m

1~ ~ ∇ − qA i

and 2

ψ=

E =⇒ i

∂ ∂t

∂ i − qφ ψ ∂t

(2.5)

Apparently this equation correspponds to the ”minimal substitution” of gauge fields into the free Schr¨odinger-equation: 1~ 1~ ~ ∇ =⇒ ∇ − qA i i

and

i

∂ ∂ =⇒ i − qφ ∂t ∂t

(2.6)

However, we run into a problem. In contrast to the Lorentz-force, which is built ~ B ~ and would enter Newtons equation, in the Schr¨odinger eq. are no from E, ~ which accordobservable field quantities but only the field potentials φ and A, ing to the laws of Electrodynamics can be subjected to gauge transformations ~ B. ~ With χ = χ(r, t) we have the gauge transformations without changing E, ~→A ~0 = A ~ − ∇χ ~ A

and

φ → φ0 = φ +

∂ χ ∂t

(2.7)

After such an allowed gauge transformation the Schr¨odinger eq. is given by 2 1 1~ ~ 0 ψ 0 = i ∂ − qφ0 ψ 0 ∇ − qA (2.8) 2m i ∂t The question arises whether both eqs.(2.5,2.8) describe the same physical situation in an equivalent way. The answer is of course ”yes”. Assertion: If ψ(r, t) is solution of the Schr¨odinger eq.(2.5) describing a particle with charge q then the gauge transformed Schr¨odinger eq.(2.8) is soved by ψ 0 (r, t) = e−iqχ(r,t) ψ(r, t) ~ at the space-time point (r, t) This means: The gauge transformation of φ and A is compensated by a phase of the wave function at the same space-time point (r, t), and this phase is exactly given by the charge of the particle q and by that function χ, which defines the gauge transformations of the gauge fields. Actually the same physics is described since a wave function is only defined up to a phase with the consequence that the probability interpretation is not destroyed 2 2 |ψ(r, t)| = |ψ 0 (r, t)| The proof that the same physics is described goes like this: 1~ ~ 0 ψ0 = 1 ∇ ~ − qA ~ + q(∇χ) ~ ∇ − qA e−iqχ(r,t) ψ i i

2.3. DIRAC-GLEICHUNG =

87

1 ~ −iqχ −iqχ ~ ~ −iqχ ψ + q(∇χ)e ~ −q(∇χ)e ψ + e−iqχ (∇ψ) − q Ae ψ i 1~ ~ ψ ∇ − qA = e−iqχ i

and similarly for the time derivative. Thus altogether we have 1~ ~ 0 ψ 0 = e−iqχ 1 ∇ ~ − qA ~ ψ ∇ − qA i i ∂ ∂ i − φ0 (e−iqχ ψ) = e−iqχ i − φ ψ ∂t ∂t Furthermore we have 2 1~ 1~ ~0 ~ 0 e−iqχ 1 ∇ ~ − qA ~ ψ ∇ − qA e−iqχ ψ = ∇ − qA i i i {z } | ˜ ψ

= e−iqχ

2 1~ ~ ψ˜ = e−iqχ 1 ∇ ~ − qA ~ ψ ∇ − qA i i

qed

Hence: The Schr¨ odinger-eq. of a particle in interaction with an elctromagnetic field is invariant under the (combined) gauge transformation ψ(r, t) → ψ 0 (r, t) = e−iqχ(r,t) ψ(r, t) ~→A ~0 = A ~ − ∇χ ~ A

and

φ → φ0 = φ +

∂ χ ∂t

Relativistic: One can apply the same arguing to the Dirac-eq. For that it is convenient to write it in the covariant way Free Dirac eq.

(iγ µ ∂µ − m) ψ = 0

Equivalently to eq.(2.6) minimal subtraction writes now very simple ∂µ =⇒ ∂µ + iqAµ

(2.9)

Thus the Dirac-eq. for a relatvistic particle interacting with an external field Aµ is given by Interacting Dirac eq.

(iγ µ Dµ − m) ψ = 0

(2.10)

with Dµ = ∂µ + iqAµ

(2.11)

88

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

The Dµ is called ”’covariant derivative”. The above minimal substitution is identical to the one used above, as one can see immediately and observing carefully the signs: ∂0 =⇒ ∂0 + iqφ

equals to i

∂ ∂ =⇒ i − qφ ∂t ∂t

1 1 1~ 1~ ~ ∂k =⇒ ∂k +qAk equals to ∇ =⇒ ∇−q A i i i i One can copy the above formalism identically and one can show that the interacting Dirac-equation is invariant under the simultaneous transformations

∂k =⇒ ∂k +iqAk

equals to

ψ(r, t) → ψ 0 (r, t) = e−iqχ(r,t) ψ(r, t)

(2.12)

Aµ → A0µ = Aµ + ∂µ χ This means that the interacting Dirac eq.(2.10) and its gauge transform iγ µ Dµ0 − m ψ 0 = 0 describe the same physical process and we have

Dµ0 ψ 0 = e−iqχ Dµ ψ

2.3.6

Nichtrelativistischer Limes: Pauli-Gleichung

Wir wissen, daß das Elektron duch reine Orbitalbewegung ein magnetisches Moment hat. Ladung des Elektrons (q = −e) µ ~=

q~ ~ q ~ l ⇐⇒ l 2mc 2m

und durch seinen intrinsischen Spin µ ~ =g

q ~ q S= ~σ 2m 2m

mit g = 2. In der nichtrelativistischen Quanten Mechanik haben wir g = 2 eingef¨ uhrt, damit die Ph¨anomenologie stimmte. Wir werden zeigen, daß aus der DiracTheorie der g-Faktor (g = 2) automatisch herauskommt. Wir hatten im vergngenen Kapitel diskutieren, wie ein Fermion oder Boson an ein elektromagnetisches Feld koppelt, n¨amlich durch minimale Kopplung. ∂µ =⇒ ∂µ + iqAµ oder und damit (lasse Operator-Hut weg f¨ ur p~) E → E − qφ

~ p~ → p~ − q A

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

89

Damit wird die station¨ are Dirac-Gleichung eines wechselwirkenden Fermions γ 0 (E − qφ)ψ − γ k (pk − qAk )ψ = mψ Mit der Standard-Darstellung der γ-Matritzen erhalten wir ϕ ϕ 0 ~σ ϕ ~ =m − (~ p − q A) (E − qφ) χ χ −~σ 0 −χ Das ergibt zwei Gleichungen: ~ = mϕ (E − qφ)ϕ − ~σ · (~ p − q A)χ ~ = mχ −(E − qφ)χ + ~σ · (~ p − q A)ϕ woraus folgt χ=

~ ~σ · (~ p − q A) ϕ E + m − qφ

Im nichtrelativistischen Limes ist |~ p| m (Achtung: p2 = m2 ) und damit p E = p~2 + m2 ∼ m 1 p~ = q mv 2 1 − vc2 qφ m nicht zu starkes elektrisches Potential

daraus k¨ onnen wir absch¨ atzen χ≈

mv ~ ~σ · (~ p − q A) ϕ= ϕ 2m m

entspricht

χ≈

v c

ϕϕ

Also: Die untere Komponente χ des 4-Spinors ist im nichtrelativistischen Grenzfall viel kleiner als die obere Komponente ϕ des 4-Spinors. Einsetzen in die obere Dirac-Gleichung: Eϕ =

(~σ · ~π )2 ϕ + mϕ + qφϕ 2m

~ mit ~π = p~ − q A. Wir separieren jetzt die Ruheenergie ab, weil in der Schr¨odinger-Gleichung, auf die wir zusteuern, diese nicht vorkommt. Setze also E = m + W und erhalte Wϕ = Benutze nun

1 (~σ · ~π )2 + qφ ϕ 2m

σi σj = δij + iijk σk und rechne einfach, oder schreibe in der folgenden Form ~ σ · B) ~ = A · B + i~σ · (A ~ × B) ~ (~σ · A)(~

90

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN (~σ · ~π )2 ϕ = (~π · ~π )ϕ + i~σ · (~π × ~π )ϕ

(Achtung: ~π ist Operator, so daß das Kreuzprodukt nicht verschwindet) Berechne das Kreuzprodukt: ~ × [(~ ~ ~ − q A) ~ × [(−i∇ ~ − q A)ϕ] ~ (~π × ~π )ϕ = (~ p − q A) p − q A)ϕ] = (−i∇ ~ − q A) ~ × (−i∇ϕ ~ − q Aϕ) ~ = iq ∇ ~ × (Aϕ) ~ + iq A ~ × (∇ϕ) ~ = (−i∇

~ × ∇) ~ ϕ = iq B ~ ~ ~ + iq A ~ × (∇ϕ) ~ − (∇ ~ × A) ~ ϕ + iq(∇ϕ) ×A = iq (∇ {z } | {z } | | {z } =0

~ B

=0

Identifiziere Energie W mit Hamiltonian H ⇒ W ϕ = Hϕ mit 2 1 ~ ~ + qφ − q ~σ · B H= p~ − q A 2m 2m

Das ist die Pauli-Gleichung, die die Bewegung eines Spin- 12 Teilchens in einem ~ beschreibt. außeren Magnetfeld B ¨ Also: Die Pauli-Gleichung und damit der gyromagnetische Faktor des Spins gSpin = 2 folgen in nat¨ urlicher Weise aus dem nichtrelativistischen Grenzfall der Dirac-Gleichung. Dies ist eine wichtige Tatsache, die die Bedeutung der Dirac-Gleichung beleuchtet und historisch von großer Wichtigkeit war. In Wirklichkeit ist dieser Zusammenhang nur n¨aherungsweise korrekt. In der QuantenElektrodynamik haben wir kleine Abweichungen u.a. aufgrund der Polarisation des Dirac-Sees, die experimentell und theoretisch gut verstanden sind: g − 2 ≈ 11659652 × 10−10

2.3.7

Parity, Time reversal (Dirac Equation)

Consider the total reflection of the spatial coordinate system ~r0 = −~r

t0 = t

(2.13)

We will show that the Dirac-wave function in both systems are related as (Assertion:) Parity: ψ 0 (x0 ) = Sψ(x) with S = γ0 Proof: In the transformed frame, the Dirac equation reads ∂ ∂ iγ 0 0 + iγ k 0k − m ψ 0 (x0 ) = 0 ∂t ∂x

(2.14)

Putting ψ 0 (x0 ) = Sψ(x) and multiplying the equation from the left by S −1 , we have ∂ ∂ −1 0 −1 k (2.15) i(S γ S) − i(S γ S) k − m ψ(x) = 0 ∂t ∂x

which exhibits covariance if there exist an S that commutes with γ 0 , and anticommutes with γ k , with S 2 = 1. An obvious choice is S = γ 0 (spatial reflection)

(2.16)

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

91

which proofs the statement. qed For total space-time reflection ~r0 = −~r

t0 = −t

x0 = −x

or

we have the assertion: ψ 0 (x0 ) = Sψ(x)

Space-Time-reflection:

with

S = γ5

The proof goes like this: (−iγ µ ∂µ − m)ψ 0 (−x) = 0

(2.17)

(iγ ∗µ ∂µ − m)ψ 0∗ (−x) = 0

(2.18)

with complex conjugate

Accordingly, we put ψ 0 (−x) = Sψ ∗ (x)

(2.19) µ

To restore the original equation, we seek S that anticommutes with γ , and with S 2 = 1, and an obvious solution is S = γ5 (space-time reflection)

(2.20)

q.e.d. For time reversal ~r0 = ~r

t0 = −t

which is a product of space-time reflection with spatial reflection, we have S = γ 0 γ5 (time reversal) (2.21) This is an algebraic transformation that preserves the form of the Dirac equation when t is replaced by −t, but this is not the operation that governs physical states, which must be taken as states in quantum field theory. In the chapter on Dirac fields, we shall see that physical time reversal must involve complex conjugation of the state. For a plane-wave state we have in case of space-time-reflection Time-reflection:

ψ 0 (x0 ) = Sψ(x)

with

ψ(x) = e−ipx u(~ p, s) 0

0

p0 , s0 ) ψ 0 (x0 ) = e−ip x u0 (~

(2.22) (2.23)

where p0 is the 4-momentum with respect to the new frame and s0 labels the new solutions. Since p · x is invariant, we have u0 (~ p0 , s0 ) = Su(~ p, s) 0

0

0

u ¯ (~ p ,s ) = u ¯(~ p, s)S

(2.24) −1

(2.25)

In general, we can reshuffle the four solutions in the new frame; but since a Lorentz transformation preserves the sign of the energy, the mixing of solutions

92

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

can occur only among s = 1, 2 and separately among s = 3, 4. With this freedom understood, we set s0 = s by convention. It is straightforward to show (ohne Beweis) that u(−~ p, s), (s = 1, 2) 0 γ u(−~ p, s) = (2.26) −u(~ p, s), (s = 3, 4) γ 0 v( − p~, s) = −v(~ p, s)

error??

which indicates the positive-energy and negative-energy states have opposite parity. We see from (2.25) that u ¯u is invariant under a Lorentz transformation, and u ¯γ µ u transforms like a 4-vector. More generally, the transformation properties of u ¯Γµ u are listed in Subsect2.3.3.

2.3.8

Charge conjugation (Dirac Equation)

An antiparticle should have opposite charge to particle, since it represents the absence of a particle in the negative-energy sea. This is intuitively obvious; but let us make certain that the formalism gives this result. In the presence of an external electromagnetic field Aµ (x), the Dirac equation is as given by (2.10). We denote the wave function as ψ(x) for positive-energy plane wave states, and ψ C (x) for negative-energy plane-wave states: ψ(x) ≡ e−iEt+i~p~x u(~ p, s) C

where E =

p

iEt−i~ p~ x

ψ (x) ≡ e

v(~ p, s)

(2.27) (2.28)

p~2 + m2 . Then (2.10) can be rewritten [iγ µ (∂µ + ieAµ ) − m]ψ(x) = 0 µ

C

[iγ (∂µ − ieAµ ) − m] ψ (x) = 0

(2.29) (2.30)

which show that the charge indeed has opposite signs for particle and antiparticle. The two equations above can be transformed into each other through ”charge conjugation”, or ”particle-antiparticle conjugation”. To change the sign of the coupling term in the first equation, we take the complex conjugate: [−iγ ∗µ (∂µ − ieAµ ) − m]ψ ∗ (x) = 0

(2.31)

We then make a unitary transformation to bring it to the form of the second equation. Thus ψ C (x) = ηψ ∗ (x) (2.32) where η is 4×4 matrix with the properties η2 = 1 η

−1

µ ∗

(γ ) η = −γ

(2.33) µ

(2.34)

2.3. DIRAC-GLEICHUNG

93

The solution is, in our standard representation of the Dirac matrices, η = iγ 2

(γ 2 is the second Dirac matrix)

(2.35)

(where γ 2 is the second Dirac matrix). In terms of the spinors, charge conjugation corresponds to the transformation v(~ p, s) = ηu∗ (~ p, s)

(2.36)

Since {γ 2 , γ 0 } = 0, this shows that particles and antiparticles have opposite parity. Like the time reversal discussed earlier, the charge conjugation here is an operation on Dirac wave functions, and not on physical states, which are defined in quantum field theory. The operation is relevant because we will expand the quantum field operators in terms of Dirac wave functions.

2.3.9

Massless particles (Dirac Equation)

For a massless Dirac particle, with m = 0, the equation for the Dirac spinor reduces to 6 pu(p) = 0, or α ~ · p~u(~ p) = p0 u(~ p) (2.37) where p0 = ±E,

with

E ≡ |~ p|

(2.38)

Since [αk , γ5 ] = 0, we can diagonalize γ5 , whose eigenvalue ±1 is called ”chirality”. The solution with chirality +1 is called ”right-handed”, denoted uR ; one with chirality −1 is called ”left-handed”, denoted uL : γ5 uR (~ p) = uR (~ p) γ5 uL (~ p) = −uL (~ p)

(2.39) (2.40)

γ5 α ~ = ~σ

(2.41)

p0 p) ~σ · p~ˆu(~ p) = γ5 u(~ E

(2.42)

Using the relation we have

which states that the helicity ~σ · p~ˆ is the chirality times the sign of the energy. Thus for a right-handed particle, the helicity is correlated with the sign of the energy, and for a left-handed particle it is anti -correlated. For a given momentum p~, the four independent solutions are uχ (~ p, s), where χ = R, L denotes the chirality and s = ±1 denotes helicity. Explicit solutions can be obtained from the plane wave Dirac solutions (...) by putting m = 0; but obviously we cannot normalize them according to (...). Instead, we put p, s0 ) = δχχ0 δss0 2E u†χ (~ p, s)uχ0 (~

(2.43)

94

CHAPTER 2. RELATIVISTISCHE EINTEILCHEN-GLEICHUNGEN

It is easy to show that u ¯χ (~ p, s)uχ (~ p, s) = 0, it follows for, since {γ5 , γ 0 } = 0, it follows that u ¯ and u have opposite chirality. The one-particle state |~ pi have the properties Z

3

h~ p0 |~ pi = 2E(2π)3 δ 3 (~ p − p~0 )

d p |~ pih~ p| = 1 (2π)3 2E

(2.44) (2.45)

We must, of course, define the vacuum using hole theory. In analogy with the massive case, we define antiparticle spinors: vχ (~ p, s) = uχ (−~ p, −s)

(2.46)

For a given p~, the independent solutions can be taken to be uR (~ p, 1), vR (~ p, −1), uL (~ p, −1), vL (~ p, 1). Thus, a right-handed particle is a right-handed screw, and a left-handed particle is a left-handed screw. The correlation between handedness and helicity is reversed for antiparticles.

2.3.10

Chapter 3

Klassische Feldtheorie 3.1 3.1.1

Feldgleichungen Das Feld mit unendlich vielen Freiheitsgraden

In der Klassischen Mechanik wurden Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden behandelt, also z.B. N gekoppelte Pendel. Ziel der klassischen Feldtheorie ist, Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden zu beschreiben. Z.B. klassische Felder E(r, t) oder A(r, t), wo an jedem Raumzeitpunkt (r, t) der Wert des Feldes sich ¨ andern kann. Ein System mit endlich vielen Freiheitsgraden wird in der klassischen Mechanik vollst¨ andig beschrieben durch die Angabe seiner generalisierten Koordinaten f¨ ur alle Zeiten: {qi (t); i = 1, . . . , N } Dabei ist N die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems und der Index i nummeriert die Freiheitsgrade durch. Wollen wir nun ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden beschreiben, so l¨aßt sich dies erreichen, indem man den diskreten Index i durch eine kontinuierliche Variable ~x ersetzt. Es wird somit der ”Ubergang gemacht t −→ t und i −→ ~x und somit: qi (t) −→ φ(~x, t)

(3.1)

An jedem Punkt ~x stellt das Feld φ(~x, t) einen eigenen Freiheitsgrad dar, der durch den Wert des Felds angegeben wird. In einem vorgegebenen bestimmten r¨aumlichen Gebiet V und zu einer Zeit t beschreibt damit φ(~x, t); ~x ∈ V ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden. Im folgenden werden wir oft die Orts- und Zeitabh”angigkeit zu einem Vierervektor zusammenfassen: φ(~x, t) ≡ φ(x). 95

96

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

Beispiel: Als Beispiel f¨ ur den ”Ubergang eines Systems mit endlich vielen Freiheitsgraden zu einem solchen mit unendlich vielen Freiheitsgraden betrachten wir ein System von endlich vielen gekoppelten, eindimensionalen Oszillatoren. Dieses ist vollst¨andig beschrieben, wenn man die Auslenkungen aus der Ruhelage {qi (t); i = 1, . . . , N } der einzelnen N Oszillatoren f¨ ur alle Zeiten kennt. Das System hat also N Freiheitsgrade. Man erh¨alt ein kontinuierliches System (d.h. eine schwingende Saite), wenn man den Abstand zwischen den einzelnen Oszillatoren verringert und dabei ihre Anzahl soweit erh¨oht, daß die r¨ aumliche Ausdehnung des Systems erhalten bleibt. Beim Grenz¨ ubergang N → ∞ erh¨alt man an jedem Punkt x zur Zeit t eine Auslenkung φ(x, t). Die Variable x ist kontinuierlich und das System hat somit unendlich viele Freiheitsgrade.

3.1.2

Bewegungsgleichungen, Hamiltonsches Prinzip

Bei der Behandlung von Systemen mit endlich vielen Freiheitsgraden kann man die Bewegungsgleichungen des Systems aus einem Variationsprinzip, dem Hamiltonschen Prinzip ableiten. F¨ ur die Felder soll nun ebenso vorgegangen werden. Dazu betrachten wir Systeme die sich durch einen Satz von N unabh¨angigen Feldern φr (x); r = 1, . . . N beschreiben lassen. Man denke etwa an die Komponenten eines Vektorfeldes A(r, t). Sind die Felder komplex so behandeln wir φ und φ∗ als unabh”angig. In der klassischen Mechanik definierten wir die Wirkung S durch: Z t2 S := dt L (3.2) t1

wobei L die Lagrangefunktion des betrachtetenSystems ist und [t1 , t2 ] ist ein vorgegebens Zeitintervall. Man kann L schreiben als r¨aumliches Integral u ¨ber die Lagrange-Dichte L Z d3 xL (3.3) L= V

Das Integral erstreckt sich u ¨ber ein vorgegebenes, aber ansonsten beliebiges r¨ aumliches Gebiet V und Z d4 xL (3.4) S= Ω

4

Dabei ist d x das vierdimensionale Volumenelement und Ω = V × [t1 , t2 ] ist ein Gebiet im Minkowskiraum. In der klassischen Mechanik war L = L(qi (t), q˙i (t)). Wir wollen hier ansetzen L = L(φr (x), ∂α φr (x))

(3.5)

mit α = 0, 1, 2, 3. Dieser Ansatz enh¨alt nicht nur die Zeitableitung, sondern ist auch durch das Ziel gepr¨agt, ein relativistisches System zu beschreiben, bei dem Ort und Zeit gleich behandelt werden.

3.1. FELDGLEICHUNGEN

97

Wir fordern nun, daß die Bewegungsgleichungen f¨ ur die Felder φr aus einem Hamiltonschen Variationsprinzip folgen. Dazu variieren wir die Felder in einem Gebiet Ω: φr (x) −→ φr (x) + δφr (x)

wobei

δφr (x) = 0M f¨ ur x ∈ ∂Ω

(3.6)

wobei die Variation auf dem Rand von Ω [gegeben durch Ort und Zeit] verschwinden soll, d.h. δφr (x) = 0, wenn x ∈ ∂Ω. Die Forderung ist nun, daß die Wirkung (3.4) unter der Variation (3.6) nicht ge¨andert wird: Z d4 xL = 0 (3.7) δS = δ Ω

Wir berechnen nun die Variation der Wirkung (3.7). Dabei unterdr¨ ucken wir beim Schreiben die Abh¨angigkeit der Felder von den Koordinaten φr (x) ≡ φr . Z δS = δ d4 xL(φr , ∂α φr ) Ω Z d4 xδL(φr , ∂α φr ) = Ω Z ∂L ∂L δφr + δ(∂α φr ) = d4 x ∂φr ∂(∂α φr ) Ω Z ∂L ∂L d4 x δφr + ∂α (δφr ) = ∂φr ∂(∂α φr ) ZΩ Z ∂L ∂L d4 x = d4 x δφr + ∂α (δφr ) ∂φr ∂(∂α φr ) Ω Ω

(3.8)

Das zweite Integral in (3.8) kann man partiell integrieren: Z

∂L d x ∂α (δφr ) = ∂(δ α φr ) Ω 4

Z

∂L dnα δφr − ∂(∂ α φr ) ∂Ω

Z

Ω

4

d x∂α

∂L ∂(∂α φr )

δφr

(3.9) wobei (nα ) den Einheitsnormalenvektor auf ∂Ω darstellt. Wir hatten gefordert, daß die Variation δφr auf ∂Ω verschwindet. Daraus folgt, daß das Oberfl¨achenintegral in (3.9) gleich Null ist und mit (3.8) und (3.9) ergibt sich dann: Z ∂L ∂L δφr − ∂α δS = d4 x ∂φr ∂(∂α φr ) Ω Da dies f¨ ur eine beliebige Variation der Felder gelten soll muss der Ausdruck in den Klammern verschwinden:

Bewegungsgl:

∂L − ∂α ∂φr

∂L ∂(∂α φr )

=0

f¨ ur alle r

(3.10)

98

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

Die Gleichungen (3.10) sind die gesuchten Bewegungsgleichungen f¨ ur die Felder φr (x). Man nennt sie die Euler- Lagrange- Gleichungen oder kurz Feldgleichungen oder Bewegungsgleichungen. Die Maxwell-Gleichungen z.B. sind solche Bewegungsgleichungen. Sie beschreiben die Zeitevolution der Felder and allen Raumpunkten. Es gilt die wichtige Behauptung: Ver¨andert man die Lagrange-Dichte L(φr , ∂α φr ) durch Hinzuf¨ ugen einer totalen Divergenz der Felder L0 (φr , ∂α φr ) = L(φr , ∂α φr ) + ∂β Λβ (φr ) wobei Λβ (φr ) nur eine Funktion der Felder sein soll, also nicht explizit von x oder von ∂α φr abh¨ angen soll, so haben L und L0 die gleichen Bewegungsgleichungen. Der Beweis: Es sei ∂L0 ∂L0 =0 − ∂α ∂φr ∂(∂α φr ) Es gilt zu zeigen, daß daraus auch die Bewegungsgleichung f¨ ur L folgt. Dies ist erf¨ ullt, wenn der folgende Ausdruck verschwindet: ∂(∂β Λβ ) ∂(∂β Λβ ) − ∂α IΛ = ∂φr ∂(∂α φr ) Nun gilt wegen Λβ = Λβ (φr ) ∂β Λ β =

∂Λβ ∂β φr ∂φr

und somit f¨ ur den zweiten Term von IΛ : ∂α

∂(∂β Λβ ) ∂(∂α φr )

β

= ∂α

∂( ∂Λ ∂φr ∂β φr )

!

= ∂(∂α φr ) β β ∂ ∂β Λ β ∂Λ ∂Λ ∂(∂β φr ) ∂Λβ = ∂α ∂α δαβ = ∂β = ∂φr ∂(∂α φr ) ∂φr ∂φr ∂φr Da dies gleich dem Negativen des ersten Terms von IΛ ist bedeutet dies in der Tat IΛ = 0. qed. Beispiel: Das Klein-Gordon-Feld Behauptung: Die Lagrange-Dichte des Klein-Gordon-Feldes lautet L=

1 µ ∂ φ∂µ φ − m2 φ2 2

und die zugeh¨ orige Bewegungsgleichung ist die Klein-Gordon-Gleichung. Der Beweis: ∂L = −m2 φ ∂φ

3.1. FELDGLEICHUNGEN

99

und wegen ∂ µ φ = g µν ∂ν φ gilt ∂L 1 ∂ = g µν ∂ν φ∂µ φ ∂(∂α φ) 2 ∂(∂α φ) =

1 1 1 1 µα g ∂µ φ + g αν ∂ν φ = g αµ ∂µ φ + g αν ∂ν φ 2 2 2 2 = g αµ ∂µ φ = ∂ α φ

Daraus folgt ∂α

∂L = ∂α ∂ α φ ∂(∂α φ)

und somit lautet die Bewegungsgleichung des Klein-Gordon-Feldes ∂α ∂ α + m2 φ = 0 oder ∂ 2 + m2 φ = 0 qed

Beispiel: Das Dirac-Feld

Behauptung: Die Lagrange-Dichte des Dirac-Feldes lautet L = ψ¯ (iγ µ ∂µ − m) ψ Die Bewegungsgleichung ist gegeben durch ∂L = (iγ µ ∂µ − m) ψ ∂ ψ¯

∂L ∂L ¯ = 0 =⇒ ∂µ ∂(∂µ ψ) ¯ =0 ∂(∂µ ψ)

und somit ist das die Dirac-Gleichung. Wir h¨atten auch anders rechnen k¨onnen. ∂L = −mψ¯ ∂ψ

und

∂L ¯ µ ¯ µ =⇒ ∂µ ∂L = ∂µ ψiγ = ψiγ ∂(∂µ ψ) ∂(∂µ ψ)

also lautet die Bewegungsgleichung ¯ µ + mψ¯ = 0 ∂µ ψiγ Das ist aber ¨ aquivalent zur Dirac-Gleichung, denn durch Multiplikation von rechts mit γ 0 erhalten wir i ∂µ ψ¯ γ µ γ 0 + mψ + γ 0 γ 0 = 0 i ∂µ ψ + γ 0 γ µ γ 0 + mψ + = 0 i ∂µ ψ + (γ µ )+ + mψ + = 0 +

wegen γ 0 γ µ γ 0 = (γ µ ) und damit nach hermitescher Konjugation iγ µ ∂µ ψ − mψ = 0 was gleich der Dirac-Gleichung ist.

100

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

3.1.3

Hamilton-Formalismus

In der klassischen Mechanik erarbeitet man nach dem Lagrangeformalismus den Hamiltonformalismus. Das soll nun auch f¨ ur die Felder geschehen. Dies wird vor allem im Hinblick auf die sp¨atere Quantisierung der Theorie wichtig werden. Die Lagrangefunktion ist f¨ ur klassische Systeme mit diskreten Freiheitsgraden, eine Funktion der generalisierten Koordinaten qi (t) und der jeweiligen Geschwindigkeiten q˙i (t) (sowie evtl. auch noch explizit von der Zeit). Der Hamiltonformalismus wird ausgedr¨ uckt in den generalisierten Koordinaten und den zugeh¨ origen kanonisch konjugierten Impulsen pi , wobei gilt: pi =

∂L ∂ q˙i

i = 1, ..., N

(3.11)

Wir haben bereits erl¨autert, daß die Felder die Rolle der generalisierten Koordinaten u ¨bernehmen. Analog zu (3.11) definieren wir die zu den Feldern konjugierten Impulse durch: πr (x) :=

∂L ∂L = ∂(∂0 φr ) ∂ φ˙ r

(3.12)

Im Falle endlicher Freiheitsgrade geht die Hamiltonfunktion H(qi , pi ) aus der Lagrangefunktion durch eine Legendretransformation hervor: H(qi , pi ) =

X i

pi q˙i − L

(3.13)

Die Hamiltonfunktion kann sich durch die Hamilton-Dichte ausdr¨ ucken lassen Z H = d3 xH (3.14)

und im Grenz¨ ubergang zu kontinuierlichen Freiheitsgraden erhalten wir aus (3.13): H =πr (x)φ˙ r (x) − L(φr (x), ∂α φr (x))

(3.15)

Die Hamilton-Dichte ist gleich der Energiedichte des Systems, also eine mit physikalischen Methoden nachpr¨ ufbare Gr¨oße. Es gibt auch das Analogon zu den Hamilton-Gleichungen (ohne Beweis): φ˙ r (x) =

δH δπr (x)

π˙ r (x) = −

δH δφr (x)

Klein-Gordon-Feld: Als Beispiel diene die Lagrangedichte des reellen KleinGordon-Feldes: L=

1 α ∂ φ∂α φ − m2 φ2 2

Das konjugierte Feld zu φ(x) ist nach (3.12):

(3.16)

3.2. LORENTZ-TRANSFORMATIONS AND POINCARE-GROUP

˙ π(x) = φ(x)

101

(3.17)

und die Hamiltondichte (3.15) ist gegeben durch: 1 2 π (x) + (∇φ(x))2 + m2 φ2 (x) (3.18) 2 Dirac-Feld: F¨ ur das Dirac-Feld k¨onnen wir ebenfalls die Hamilton-Dichte herleiten. Wir erhalten 1 ~ + βm ψ(x) α ~ ·∇ HD (x) = ψ ∗ (x) i HKG (x) =

3.2 3.2.1

Lorentz-Transformations and Poincare-Group Lorentz Transformations

Relativistic classical and quantum fields can be classified according to the way they transform under Lorentz transformations. More specifically, they transform according to irreducible representations of the Lorentz group. After quantization one can define quanta of the fields and their creation and annihilation operators. If one applies the creation operator to the vacuum one generates a particle. In fact, the different representations of the Lorentz-group give rise to particles with different values of the spin angular momentum. According to the principle of special relativity, the laws of physics should be covariant with respect to Lorentz transformations; that is, they should have the same forms in all reference frames connected by Lorentz transformations. The simplest Lorentz transformation is a ’boost’ of the reference frame with the velocity v along some axis, say, the x axis: t − vx t0 = √ 1 − v2 x − vt x0 = √ 1 − v2

This may be supplemented by a rotation of the coordinate system, say, about the z axis through an angle θ: x0 =

x cos θ + y sin θ

y 0 = −x sin θ + y cos θ Defining a boost ’angle’ φ by: 1 cosh φ = √ 1 − v2 sinh φ = √

v 1 − v2

102

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

we can write the matrices of these transformations as follows:   cosh φ − sinh φ 0 0  − sinh φ cosh φ 0 0    Lorentz-Boost:  0 0 1 0  0 0 0 1   1 0 0 0  0 cos θ sin θ 0    Lorentz-Rotation:  0 − sin θ cos θ 0  0 0 0 1

(3.19)

(3.20)

The inverses of these matrices can be obtained by reversing the signs of φ and θ. The rotation matrices are orthogonal matrices, since the length of a vector ~r2 is positive definit and it keeps is length under a rotation. The matrices associated to the Lorentz boosts are not orthogonal, because the invariant form t2 − x2 for the Lorentz boost is not positive-definite. The angles of rotation are not additive, unless the rotations are all made about the same axis. Similarly, the velocities of the successive Lorentz boosts are not additive, unless the boost are all made along the same direction. We use a relativistic notation in which the coordinate 4-vector is denoted by xµ = (t, x) and the metric tensor is diagonal:   1 0 0 0  0 −1 0 0   g µν = gµν =   0 0 −1 0  0 0 0 −1

with

g µν = 1 for µ = ν

and

g µν = 0 for µ 6= ν

A general Lorentz transformation is a linear transformation Λ on x that leaves x2 = t2 − x2 invariant: xµ = Λµν xν with the requirement gµν Λµα Λν β = gαβ which ensures the invariance of x2 . In shorthand, we write the transformation in the form x0 = Λx The transformation above from the continuous Lorentz group, which is characterized by six parameters: three velocity components and three angles of rotation. As we can see e.g. from (3.20), they are represented by matrices with determinant +1. In contrast, the discrete transformations Spatial reflection:

t0 =

Time regersal:

t0 = −t

t

x0 = −x0 x0 =

x0

3.2. LORENTZ-TRANSFORMATIONS AND POINCARE-GROUP

103

have determinant −1. These discrete elements together with the continuous Lorentz transformations form the general Lorentz group. We shall reserve the name ’Lorentz transformation’ for the continuous Lorentz transformations (with determinant equal +1). Any element of the Lorentz group can be built up from infinitesimal ones, with the general form Λµν = g µν + ω µν We write in shorthand Λ = I +ω Lorentz transformations generally do not commute with one other; but the infinitesimal transformations do, because their commutators are of second-order smallness : (1 + ω1 ) (1 + ω2 ) = 1 + ω1 + ω2 + O(ω 2 ) Thus, group multiplication is equivalent to addition of the ω’s. An infinitesimal transformation of the coordinate system, characterized by boosts with small velocities v j along the xj axes, and rotations of small angles θk about the xk axes, is described by the tensor   0 −v 1 −v 2 −v 3  −v 1 0 θ3 −θ2   infinitesimal: ω µν =   −v 2 −θ3 0 θ1  −v 3 θ2 −θ1 0 By arising the lower index, we obtain an antisymmetric tensor  0 v1 v2 v3 1 3  −v 0 −θ θ2 infinitesimal: ω µν = g νλ ω µλ =  3  −v 2 θ 0 −θ1 3 2 −v −θ θ1 0 whose elements can be summarized as follows:

   

ω 0k = −ω k0 = v k ω ij = −ω ji = −εijk θk

3.2.2

The Poincar´ e Group

The laws of physics of a system (i.e. the equations of motion, the Lagrangean, or the Hamiltonian, etc.) should be covariant with respect to space-time translations as well as Lorentz transformations. These transformations combined constitute the inhomogeneous Lorentz group, or the Poincar´e group. These transformation law is as follows: x0µ = aµ + Λµν xν

104

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

where aµ is a 4-vector. The infinitesimal version has the form x0µ = xµ + aµ + ω µν xν

infinitesimal:

which contains 10 independent parameters aµ and ω µν = −ω νµ . We can realize the Poincar´e group on the space of functions f (x), through the infinitesimal transformation f (x0 ) = f (x + a + ωx)

(infinitesimal)

µ

= f (x) + aµ ∂ f (x) + ω µν xν ∂µ f (x) 1 µ ν ν µ µ = 1 + aµ ∂ − ωµν (x ∂ − x ∂ ) f (x) 2 where we have used the fact that ωµν is antisymmetric. We can rewrite i 0 µ µν f (x) f (x ) = 1 − iaµ P + ωµν M 2 which defines the generators Pµ

= i∂ µ

M µν = xµ P ν − xν P µ

(3.21) (3.22)

Of these, 10 are independent operators, constituting the Lie algebra of the Poincar´e group. An arbitrary element of the Poincar´e group can be written in the form (no proof) exp (iaµ P µ − iωµν M µν ) where aµ and ω µν represent 10 real independent parameters. From eqs(3.21,3.22) we obtain the commutator [xµ , P ν ] = −ig µν Although derived from an explicit representation, we consider the preceding equations as abstract algebraic relations. Such a procedure is analogous to obtaining the Lie algebra [J j , J k ] = iεjkl J l for the angular momentum from the special representation in coordinate space J = −ir × ∇. As abstract relations, the Lie algebra admits half-integer representations, whereas its formulation in coordinate space has only integer representations. The Lie algebra of the Poincar´e group consists of the following commutators of the generators with themselves and with each other. They can be obtained through a straightforward but lengthy calculation: Poincare-commutators: [M µν , M αβ ] = −i(g µα M νβ − g να M µβ + g νβ M µα − g µβ M να )

[M λµ , P ν ] =

i(g µν P λ −g λν P µ )

(3.23)

3.2. LORENTZ-TRANSFORMATIONS AND POINCARE-GROUP

105

[P µ , P ν ] = 0 In physical terms, the four generators P µ = (H, P 1 , P 2 , P 3 ) make up the total 4-momentum operator, and P 0 = H is the Hamiltonian. The six independent components of M µν are generalized angular momentum operators made up of the angular momentum J and the Lorentz boost K: M jk = εjkl J l M 0j = K j We can recast the Poincar´e algebra as follows. The last two eqs. of (3.23) are equivalent to Poincare-algebra: (3.24) [P j , P k ] = [P j , H] = [J j , H] = 0 [J j , P k ] = −iεjkl P l

[K j , H ] = −iP j

[K j , P k ] = −iδjk H These relations all involve the inhomogeneous part of the Lorentz group. The first equation above expresses the independence of the spatial translations among themselves, of spatial and time translations, and of rotations and time translations. The second equation is what one can deduce from J = −ir × ∇ and P = −i∇. The other equations above describe how energy and momentum change under a Lorentz boost. In addition to these, we obtain from (3.23) a closed set of commutation relations among angular momentum and boost operators: Lie-algebra of the Poincar-group: (3.25) [J j , J k ] =

iεjkl J l

[K j , K k ] = −iεjkl J l [J j , K k ] =

iεjkl K l

These form the Lie algebra of the Poincare group.

3.2.3

Lorentz group: Scalar, Vector, and Spinor Fields

In quantum mechanics, the wave functions in a central potential can be classified according to orbital angular momenta, which correspond to irreducible representations of the rotation group, with possible dimensions 2l+1, (l = 0, 1, 2, . . .). In a similar way, relativistic fields transform according to irreducible representations of the Lorentz group, which have definite dimensions. Accordingly, a relativistic field has a definite number of components, related to the spin angular momentum of the field.

106

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

The simplest relativistic field is a scalar field, which may have more than one component, but each component φ(x) must be invariant under Lorentz transformations: φ0 (x0 ) = φ(x) (3.26) This says that the transformed field called φ0 , at the transformed coordinate x0 , is the same as the original field called φ, at the old coordinate x. It expresses the fact that x0 and x are different labels that we use for the same physical point. One can imagine a passive transformation of the coordinate system, where the physical point is unaffected, but its coordinates are diffeent in the new compared to the old system. The scalar field is unaffected by this, but for us the functional form of the field must change: φ0 (x0 ) = φ(Λ−1 x)

(3.27)

because we have x0 = Λx and hence x = Λ−1 x0 and therefore with eq.(3.26) φ0 (x0 ) = φ(Λ−1 x0 ) if you rename the variable x0 into x you obtain eq.(3.27). As we shall see, the spin of a scalar field is zero. This will be demonstrated simplest when we calculate thespin operator for the quantized scalar field. A vector field, such as as the electromagnetic field Aµ (x), is affected by a change in the coordinate system, since by definition its four components form a 4-vector and transform among themselves like xµ . The transformation law is A0µ (x0 ) = Λµν Aν (x)

(µ = 0, 1, 2, 3)

or A0µ (x) = Λµν Aν (Λ−1 x)

(µ = 0, 1, 2, 3)

The spin of a vector fields is 1. In general, a tensor field of rank n transforms like a product of n terms each of the form xµ , and corresponds to spin n. For example, the gravitational field is a symmetric tensor of rank 2. There are ’half-integer’ representations, analogous to those for the rotation group. The latter are representations of SU(2), which generalizes to SL(2) in the present case. To accommodate space-time reflections, we have to include two copies if SL(2C), so that they transform into each other under a reflection. Accordingly, the minimal representation space is spanned by a four-component complex field, called the Dirac spinor field ψ(x), which transforms according to ψr0 (x0 ) = Srs (Λ)ψs (x)

(r = 1, 2, 3, 4)

where S(Λ) is the 4 × 4 complex matrix, which we have discussed in sect.(). The 1 spin of a spinor field is . 2 In general, a field forming a K-dimensional irreducible representation of the Lorentz group has K components: φa (x)

(a = 1, 2, . . . , K)

3.2. LORENTZ-TRANSFORMATIONS AND POINCARE-GROUP

107

which transform under Lorentz transformation Λ according to φ0a (x0 ) = Sab (Λ)φb (x)

(3.28)

For an infinitesimal transformation Λ = 1 + ω, we can put S(Λ) in the form 1 Sab = δab + ωµν Σµν ab 2 this defines the coefficients Σµν ab , which, as we will show, constitute the spin matrix. Under an infinitesimal Lorentz transformation, then, a general field transforms according to 1 φ0a (x0 ) = φa (x) + ωµν Σµν ab φb (x) 2 The change in the functional form of the field can be found by writing φ0a (x0 ) = φ0a (x + ωx) = φ0a (x) + ωµν xν ∂ µ φ0a (x) 1 = φ0a (x) − ωµν (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )φ0a (x) 2 Thus

1 φ0a (x) = φ0a (x0 ) + ωµν (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )φ0a (x) 2 and since ωµν (φ0a (x) − φa (x) () is a small quantity of second order, we get 1 φ0a (x) = φ0a (x0 ) + ωµν (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )φa (x) 2 Substituting φ0a (x0 ) from (3.28), we obtain 1 φ0a (x) = φa (x) + ωµν xµ ∂ ν − xν ∂ µ δab + Σµν ab φb (x) 2

In the square bracket the first term constitutes the generalized orbital angular momentum. The second term consists of the K × K matrices Σµν = −Σνµ and they are identified as spin matrices. The spin matrix for a scalar field is obviously zero. For the vector field, we can find it from its transformation law under an infinitesimal Lorentz transformation A0α (x0 ) = Aα (x) + ωαβ Aβ (x) Putting artificially ωαβ = 21 ωµν Σµν αβ we obtain for the vector field immediately µ ν µ ν Σµν αβ = gα gβ − gβ gα

As one can show (no proof) this gives spin 1. The case of the spinor field has already been discussed in the proof of the covariance of the Dirac equation and it is included in the following summary for reference: Spin properties of relativistic fields:

(3.29)

108

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE Scalar field:

Σµν = 0

Vector field:

µ ν µ ν Σµν αβ = gα gβ − gβ gα

4-Spinor field:

µν Σµν rs = (σ )rs =

i µ ν (γ γ − γ ν γ µ )rs 2

where γ µ are the 4×4 Dirac matrices. We will use these equations for quantized fields as well.

3.2.4

Relativistic Quantum Fields (shift to later section)

Transfer this section to the chapter on quantum fields. Since quantum fields are operators that act on a Hilbert space, we can represent Lorentz transformations by transformations on the Hilbert space. Recall that a Lorentz transformation changes the functional form of a classical field: φa (x) −→ φ0a (x) In the quantized version, this means that the operator φa attached to a point x is replaced by φ0a . Since φa and φ0a act on the same Hilbert space, the transformation is a mapping of the Hilbert space into itself. Since φa and φ0a are physically equivalent, the transformation must be unitary. Thus, there should exist a unitary operator U (Λ) on the Hilbert space, corresponding to the Lorentz transformation Λ, such that φ0a (x) = U (Λ)φa (x)U −1 (Λ) The fact that the transformation is unitary means U † (Λ) = U −1 (Λ) From the definition of the primed fields φ0a (x) = Sab φb (x), we obtain the condition U φa (x)U −1 = Sab φb (Λ−1 x) The set of operators U (Λ)forms an infinite-dimensional unitary representation of the Lorentz group. In contrast to this, the finite-dimensional representations of the Lorentz group are nonunitary. As examples, we have Scalar field: Vector field: 4-Spinor field:

U φ(x)U −1 = φ(Λ−1 x) U Aµ (x)U −1 = Λµν Aν (Λ−1 x) U ψr (x)U −1 = Srs ψs (Λ−1 x)

We can immediately extend this consideration to Poincar´e transformations U φ0a (x)U −1 = Sab φb (Λ−1 x − a)

¨ 3.3. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGROSSEN

109

For infinitesimal Poincar´e transformations, U must be in the neighborhood of the identity operator, and linear in the parameters of the Poincar´e group: i U = 1 − iaµ P µ + ωµν M µν 2 This defines the Hermitian operators P µ and M µν , which represent the generators of the Poincar´e group on the Hilbert space. In contrast, the generators denoted by the same symbols in (REFERENCE) are finite matrices, generally non-Hermitian. Substituting this relation into (REFERENCE), we obtain i i 1 1 − ia · P + ω · M φa (x) 1 + ia · P + ω · M = δab + ω · Σab φb (x−ωx−a) 2 2 2 which is written in an obvious abbreviated notation. Expanding both sides to first order in aµ and ω µν , and equating their coefficients, we obtain i[P µ , φa (x)] = ∂ µ φa (x) i[M µν , φa (x)] = (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )φa (x) + Σµν ab φb (x)

This shows that P µ is the 4-momentum operator, since it generates space-time translations, and M µν is a generalized angular momentum operator, since it generates space-time rotations. The spin matrix Σab induces a mixing of the field components undergoing a space-time rotation. The generators P µ and M µν can be constructed explicitly from the field operators φa .

3.3 3.3.1

Symmetrien und Erhaltungsgr¨ oßen Invarianzen und Erhaltungsgr¨ oßen

Im Heisenbergbild wird die Zeitabh¨angigkeit eines Zustandes |ψi auf die Operatoren u ¨bertragen. Man erh¨alt so Bewegungsgleichungen f¨ ur die Operatoren: dO(t) = [O(t), H] (3.30) dt wobei H der (hier der als zeitunabh¨angig angenommene) Hamiltonoperator des betrachteten Systems ist. Aus (3.30) sieht man sofort, daß O(t) eine zeitlich konstante Gr¨ oße ist, wenn der Kommutator [O(t), H] = 0 ist. Dieses Konzept wollen wir in diesem Kaptiel auf die klassische Feldtheorie u ¨bertragen. . Es ist bekannt, daß Erhaltungsgr¨ossen eng mit den Symmetrieeigenschaften eines Systems, d.h. Invarianz unter bestimmten Transformationen, verbunden sind. Eine Symmetrietransformation von Zust¨anden im Hilbertraum muß unit¨ar sein, da nur so die Kovarianz (d.h. identische Form) von Operatorgleichungen gew¨ahrleistet ist und damit eine Observable unter solchen Transformationen invariant ist. Ist U der Operator der Transformation, so gilt: i~

110

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

|ψi → |ψ 0 i = U |ψi und O → O0 = U OU †

(3.31)

d.h. die Transformation wirkt auf Zust¨ande und Operatoren. Wir wollen hier nur kontinuierliche Transformationen behandeln, wobei diese geschrieben werden k¨ onnen als T = T †, α ∈ R

U = exp(iαT )

(3.32)

Aus der Gruppentheorie ist bekannt, daß man jede endliche kontinuierliche unit¨ are Transformation durch Hintereinanderausf¨ uhrung von infinitesimalen Transformationen aufbauen kann, was wir im Folgenden ganz wesentlich ausnutzen werden. Hierbei wird T als Generator der Gruppe bezeichnet. Es gen¨ ugt uns also, wenn wir infinitesimale Transformationen betrachten. Aus (3.32) wird dann: U ≈ 1 + iαT

(3.33)

wobei jetzt α eine infinitesimale Gr¨ooße ist. Wendet man (3.33) nach (3.31) auf einen Operator O an, so folgt: O0 = U OU † = (1 + iαT )O(1 − iαT )

= O + iαT O − iαOT + α2 T OT

(3.34)

L¨ aßt man die Terme, die quadratisch in infinitesimalen Gr¨ossen sind, weg, erhalten wir: O0 = O + iα(T O − OT ) = O + iα[T, O] = O + δO

(3.35)

δO = iα[T, O]

(3.36)

Ist ein Operator invariant unter der Transformation U , so vertauscht dieser Operator mit dem Generator der Transformation. Ist das ganze System invariant, so ist auch die Hamiltonfunktion H des Systems invariant, d.h. H = H 0 ⇒ δH = 0 und man erh¨alt System invariant:

=⇒

[T, H] = 0

(3.37)

. Das bedeutet, daß T eine erhaltene Gr¨oße ist. Damit ist gezeigt, daß eine kontinuierliche Symmetrie (Invarianz unter einer kontinuierlichen Transformation) eines physikalischen Systems eine erhaltene Gr¨oße zur Folge hat. Im folgenden Kapitel werden wir sehen wie wir dies f¨ ur die Feldtheorie ausnutzen. Die Kontinuierlichkeit der Symmetrie haben wir ausgenutzt, weil wir eine infinitesimale Transformation definierten und diese zur Herleitung des Stroms verwendet wurde. Eine Invarianz des Lagrangean z.B. unter der Parit¨atsoperation ~r −→ −~r ist keine kontinuierliche Transformation und deshalb gibt es dazu auch

¨ 3.3. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGROSSEN

111

keinen erhaltenen Strom. Mit dem erhaltenen Strom gibt es auch ei´ne erhaltene Ladung und damit erhaltene Quantenzahlen. Diese sind die erhaltenen Gr¨oßen abei allen m¨ oglichen Prozessen und deshalb sind diese extrem wichtig.

3.3.2

Symmetrien, Kontinuit¨ atsgleichung, Energie-ImpulsTensor, Noether-Theorem

Im vorherigen Kapitel hatten wir klassische Lagrangeans betrachtet, die invariant unter inhomogenen Lorentz-Transformationen (Poincare-Transformationen) ¨ sind. Das erlaubte uns (beim Ubergang zu homogenen Lorentz-Transformationen, die Felder durch ihren intrinsischen Drehimpuls zu charakterisieren. Im Folgenden betrachten wir ganz allgemein Transformationen des Lagrangeans der Art x → x0 und φr (x) → φ0r (x0 ) und wir nehmen an, daß der betrachtete Lagrangean invariant unter diesen Transformationen ist. φr (x) → φ0r (x0 ) Das heisst die Lagrangedichte des System hat nach der Transformation die gleiche funktionale Form wie vorher: L(φ0r (x0 ), ∂α φ0r (x0 )) = L(φr (x), ∂α φr (x))

(3.38)

Dabei nehmen wir an, daß wir eine aktuelle Bewegung betrachten, also ein Satz Felder, die den Bewegungsgleichungen gen¨ ugen. Im folgenden verwenden wir infinitesimale Transformationen. Wir Betrachten zunchst die Transformation der Felder bei festem Argument, bei der wir also nur den Wert der Feldst¨arke ¨andern: φr (x) → φ0r (x) = φr (x) + δφr (x) ⇒ δφr (x) = φ0r (x) − φr (x)

(3.39)

Dabei bezeichnen wir δφr (x) als Variation der Felder bei festem Argument. ¨ Weiterhin definieren wir analog die sog. totale Variation die aus Anderung gleichzeitig im Feld und im Argument besteht: δT φr (x) := φ0r (x0 ) − φr (x) = (φ0r (x0 ) − φr (x0 )) + (φr (x0 ) − φr (x)) {z } | {z } | =δφr (x0 )

= δφr (x0 ) +

(3.40)

=dφr (x)

∂φr (x) δxβ ∂xβ

= δφr (x0 ) + ∂ β φr (x)δxβ

(3.41)

Wir k¨ onnen dies vereinfachen, indem wir streng nur Gr¨oßen erster Ordnung identifizieren und dann behalten. Dazu entwickelt man δφr (x0 ) um die Stelle x:

112

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

δφr (x0 ) = (δφr )(x + δx) = (δφr )(x) + ∂µ δφr (x)δxµ | {z }

von 2.Ordg. klein

= δφr (x)

(3.42)

hier wurd der Term 2.Ordnung weggelassen Damit schreibt sich die totale Variation (3.41) als: δT φr (x) = δφr (x) + ∂ β φr (x)δxβ

(3.43)

Die Differenz der Lagrangeans (3.38) l¨aßt sich umschreiben: L(φ0r (x0 ), ∂α φ0r (x0 )) − L(φr (x), ∂α φr (x)) = 0 oder [L(φ0r (x0 ), ∂α φ0r (x0 )) − L(φr (x0 ), ∂α φr (x0 ))]+[L(φr (x0 ), ∂α φr (x0 )) − L(φr (x), ∂α φr (x))] = 0 F¨ ur den ersten Term k¨onnen wir wieder eine Vereinfachung machen wie in Gl.(3.42), was einfach δL ergibt, und den zweiten Term k¨ onnen wir schreiben als ∂α L(x)δxα , womit wir erhalten δL(x) + ∂α L(x)δxα = 0

(3.44)

Wir verwenden jetzt einen Trick. Er besteht darin, daß wir zun¨achst δL(x), was bei festem x definiert ist, so umformen, daß wir sp¨ater dann die Bewegungsgleichung verwenden k¨onnen. Also ∂L ∂L δφr + δ(∂α φr ) ∂φr ∂(∂α φr ) ∂L ∂L = δφr + ∂α (δφr ) ∂φr ∂(∂α φr )

δL(x) =

Jetzt verwenden wir die Bewegungsgleichung und formen den ersten Term um. Das ergibt ∂L ∂L ∂α (δφr ) δφr + δL = ∂α ∂(∂α φr ) ∂(∂α φr ) oder δL =∂α

∂L δφr ∂(∂α φr )

(3.45)

wobei der letzte Schritt aus der Produktregel folgt. Mittels (3.43) ersetzen wir δφr in (3.45) durch die totale Variation:

¨ 3.3. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGROSSEN

δL =∂α

∂L δT φr (x) − ∂ β φr (x)δxβ ∂(∂α φr )

113

(3.46)

Dieses Ergebnis setzt man nun in (3.44) ein: ∂L δT φr (x) − ∂ β φr (x)δxβ ∂α + ∂α L(x)δxα = 0 ∂(∂α φr )

Daraus folgt wieder mit der Produktregel ∂L δT φr (x) − ∂ β φr (x)δxβ + L(x)δxα = 0 ∂α ∂(∂α φr ) g

αβ

(3.47)

Die letzte Gleichung wird noch ein wenig umgeschrieben, wobei wir δxα = δxβ benutzen: ∂L ∂L β αβ δT φr (x) − ∂ φr (x)δxβ + Lg δxβ = 0 ∂α ∂(∂α φr ) ∂(∂α φr )

Es ist nun hilfreich und wird viele Schl¨ usse erlauben, die Terme ∝ δxβ zusammenzufassen zu dem ber¨ uhmten Energie-Impuls-Tensor, einer zweifach indizierte Gr¨oße T αβ : ∂L ∂ β φr (x) − Lg αβ (3.48) T αβ = ∂(∂α φr ) Wenn wir jetzt noch einen Vierer-Strom-Vektor f α definieren mit fα =

∂L δT φr (x) − T αβ δxβ ∂(∂α φr )

(3.49)

erhalten wir eine Kontinuit¨atsgleichung. ∂α f α = 0 Noether-Theorem Eine Gleichung der Form (3.49) nennt man Kontinuit¨atsgleichung und die Gr¨ oße f α heißt Strom, der aufgrund der G¨ ultigkeit der Kontinuit¨atsgleichung ein ”erhaltener Strom” ist, wie wir sofort sehen werden. Was bis hier gezeigt wurde ist, daß die Kontinuit¨atsgleichung gilt, wenn die Lagrangedichte eines Systems invariant unter der kontinuierlichen Transformation (3.66), (??) ist. Wir wissen, daß aus der G¨ ultigkeit der Kontinuit¨atsgleichung eine erhaltene Gr¨osse folgt, wiederholen hier den Beweis aber noch einmal. Wir definieren: Z α F (t) := d3 xf α (~x, t) (3.50) Die Nullkomponente dieses Vierervektors ist Z 0 F (t) = d3 xf 0 (~x, t)

(3.51)

114

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE Und damit weiter 0

∂0 F (t) = ∂0

Z

3

0

d xf (~x, t) =

Z

d3 x∂0 f 0 (~x, t)

(3.52)

Aus der G¨ ultigkeit von (??) folgert man nun: ∂α f α = 0 ⇒ ∂0 f 0 +

3 X

∂i f i = 0

i=1

⇒ ∂0 f 0 = −

3 X

∂i f i

i=1

⇒ ∂0 f = −∇ · f~ 0

(3.53)

wobei f~ der r¨ aumliche Anteil des Vierervektors f α ist. Wir setzen nun (3.53) in (3.52) ein: Z 1 d 0 F (t) = − d3 x∇ · f~(~x, t) (3.54) c dt

und mit Hilfe des Gauss-schen Satzes

1 d 0 F (t) = − c dt

Z

d~σ · f~(~x, t)

(3.55)

Der letzte Schritt folgt aus der Anwendung des Gaußschen Satzes. Das Integral in (3.54) erstreckt sich u ¨ber den ganzen Raum und damit das Oberfl¨achentegral in (3.55) u ¨ber die Oberf¨ache des ganzen Raumes, d.h. in der Unendlichkeit. Der Vierervektor f α ist in irgendeiner Weise eine Funktion der Felder und damit auch sein r¨ aumlicher Anteil f~. Mit der u ¨blichen Annahme, daß physikalisch sinnvolle Felder im unendlichen verschwinden, wie z.B. die Felder einer strahlenden Antenne, muß auch das Oberfl¨achenintegral in (3.55) verschwinden. Es zeigt sich also: dF 0 (t) = 0 ⇒ F 0 (t) = const. (3.56) dt Und damit hat man die Erhaltungsgr¨oße gefunden. Unsere Herleitung dieser Erhaltungs-Gr¨ oße F 0 setzt nur voraus, daß die Lagrangedichte des betrachteten Systems invariant unter der Transformation (3.66), (??) ist. Die Tatsache, daß aus der Invarianz der Lagrangedichte unter kontinuierlichen Transformationen eine Erhaltungsgr¨oße folgt, ist Inhalt des Noethertheorems. Die Kontinuierlichkeit der Transformation ist notwendig, um eine infinitesimale Trsnsformation formulieren zu k¨ onnen, was wir in Gl.(3.37) ben¨otigt haben. Im folgenden werden wir als Beispiele einige spezielle Transformationen und die daraus resultierenden Erhaltungsgr¨oßen untersuchen.

¨ 3.3. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGROSSEN

3.3.3

115

Globale Phasentransformation, Ladung

In diesem Abschnitt betrachten wir komplexe Felder. Dabei werden wieder φr (x) und φ∗r (x) als unabh¨angige Felder betrachtet. Wir betrachten hermitesche Lagrangean, bei denen also immer das Produkt φ∗ φ oder ∂ α φ∗ ∂α φ oder (φ∗ φ)2 etc. vorkommt Ein solcher Lagrangean ist invariant unter der Transformation, die nur in einer globalen Phase besteht: φr (x) φ∗r (x)

→ →

φ0r (x) = eiε φr (x) ≈ (1 + iε)φr (x) φ∗r 0 (x) = e−iε φ∗r (x) ≈ (1 − iε)φ∗r (x)

(3.57)

Dabei werden im letzten Schritt jeweils infinitesimale Transformationen betrachtet, d.h. ε als kleine Gr¨ oße behandelt. Die Transformation (3.57) nennt man globale Phasentransformation. Bei dieser Transformation werden die Felder bei festem Argument transformiert, d.h. δxα = 0. Angenommen die Lagrangedichte eines Systems ist invariant unter dieser ¨ Transformation. Dann k¨ onnen wir die Uberlegungen des letzten Abschnitts auf diese Transformation anwenden um eine Erhaltungsgr¨osse zu finden. Der Vergleich von (3.57) mit (3.39) f¨ uhrt auf: δφr und δφ∗r

= iεφr = −iεφ∗r

(3.58)

Aus (3.43) entnimmt man δT φr (x) = δφr (x) + ∂ β φr (x)δxβ und damit hier: δT φr = δφr . α

∂L ∂(∂α φr ) δT φr (x)

Die Kontinuit¨atsgleichung (3.49) f = f¨ ur diesen Fall mit δxα = 0: ∂L δφr = 0 ∂α ∂(∂α φr )

(3.59) −T

αβ

δxβ ist dann

(3.60)

Der erhaltene Strom ist damit:

fα =

∂L δφr ∂(∂α φr )

(3.61)

und dessen Nullkomponente: ∂L δφr ∂(∂0 φr ) ∂L = δφr ∂ φ˙ r

f0 =

Nach der Definition der konjugierten Impulse (3.12) ist dies dann: f 0 = πr δφr Und mit (3.51) erhalten wir die Erhaltungsgr¨oße:

(3.62)

116

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

F 0 (t) =

Z

d3 xπr δφr

(3.63)

¨ Uber den Index r wird hier nat¨ urlich summiert. Wir spalten die Summe auf in zwei Summen f¨ ur φ und φ∗ die Felder und die adjungierten Felder, wobei wir den Index danach wieder r nennen: 0

F =

Z

d3 x [πr δφr + πr∗ δφ∗r ]

und wenn wir die Variationen der Felder aus (3.58) einsetzen ergibt sich: F 0 = iεc

Z

d3 x [πr (x)φr (x) − πr∗ (x)φ∗r (x)]

(3.64)

Die letzte Gleichung k¨onnen wir mit einer Konstanten multiplizieren, ohne die zeitliche Konstanz der Gr¨osse zu gef¨ahrden. Nach Umbenennung f¨ uhrt dies auf: Q = −iq

Z

d3 x [πr (x)φr (x) − πr∗ (x)φ∗r (x)]

(3.65)

Damit haben wir in Q die Erhaltungsgr¨osse des Feldes gefunden, die sich aus der Invarianz der Lagrangedichte unter der globalen Phasentransformation ergibt. Diese Gr¨ oße Q werden wir nach der Quantisierung ein wenig genauer ˆ herausstellen und das q als sei untersucht, dann wird sich das Q als Operator Q Eigenwert. Das q wird dabei die Ladung der beteiligten Teilchen sein. Offenbar vershwindet die Ladung, wenn φr reel sind. Ein Beispiel in der Natur ist das Feld der positiv und negativ geladenen Pionen. Dort gibt es r = 1, 2 mit reellen Feldern und wir erhalten die geladenen Felder π (+) = √12 (φ1 + iφ2 ) und π (−) = √1 (φ1 − iφ2 ) . 2 Wenn wir als Lagrangen f¨ ur obiges Beispiel betrachten L = ∂ µ φ∗ ∂µ φ − m2 (φ∗ φ) − λ(φ∗ φ)2 so ergeben die obigen Formeln Fα = (∂α φ∗ )φ − (∂α φ)φ∗ und damit bei geeigneter Normierung Q = Fα = −iq F¨ ur reelle Felder ist Q = 0.

Z

d3 x [(∂t φ∗ )φ − (∂t φ)φ∗ ]

¨ 3.3. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGROSSEN

3.3.4

117

Poincar´ e-Transformationen

Betrachten eine beliebige infinitesimale Poincar´etransformation der Argumente: xα → x0α = xα + δxα

= xα + εαβ xβ + δα

(3.66)

Dabei ist εαβ ein infinitesimaler antisymmetrischer Tensor und δα eine infinitesimale Viererverr¨ uckung. Unter der Poincar´etransformation ¨andern sich auch die Felder. Wir kennen die Transformationseigenschaften 1 φ0a (x) = φa (x − δ) + ωµν xµ ∂ ν − xν ∂ µ δab + Σµν ab φb (x − δ) 2

Translationen, Energie und Impuls Als erstes Beispiel f¨ ur eine Poincar´etransformation wollen wir Translationen betrachten. Eine Translation im Minkowskiraum ist gegeben, wenn man in der allgemeinen Transformation (3.66) die εαβ gleich Null setzt: xα → x0α = xα + δα ⇒ δxα = δα

(3.67)

wobei δα wieder eine infinitesimale Viererverr¨ uckung ist. Damit haben wir ¨ die Anderung in den Feldern mittels (??), sowie (3.40) und δT φr (x) = δφr (x) + ∂ β φr (x)δxβ : φr (x) → φ0r (x0 ) δT φr (x)

= φr (x) = φ0r (x0 ) − φr (x) = 0

(3.68)

Nimmt man an, daß die Lagrangedichte eines Systems invariant ist unter der obigen Transformation, so werden wir jetzt die zugeh¨orige Erhaltungsgr¨oße finden. Es gilt also die Kontinuit¨atsgleichung ∂α f α = 0 wobei f¨ ur den vorliegenden Fall (3.67), (3.68) der erhaltene Strom nach (3.49) gegeben ist durch: f α = −T αβ δβ

(3.69)

Da die Viererverr¨ uckungen δβ beliebig sind kann man die Kontinuit¨atsgleichung schreiben als: ∂α T αβ = 0

(3.70)

Damit k¨ onnen wir nun mit (3.51) die Erhaltungsgr¨oße berechnen. Da in der Kontinuit¨atsgleichung ein freier Index auftaucht, ist die erhaltene Gr¨oße eine einfach indizierte Gr¨ oße, d.h. ein Vierervektor: Z β P = d3 xT 0β =

Z

d3 x

∂L ∂ β φr (x) − Lg 0β ∂(∂0 φr )

118

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE =

Z

d3 x πr ∂ β φr − Lg 0β

(3.71)

Zuerst betrachten wir die 0-Komponente dieser Erhaltungsgr¨oßse: P0 = =

Z

Z

d 3 x πr ∂ 0 φ r − L

d3 xH(x) = H

Die 0-Komponente ist offenbar die Gesamtenergie des Systems. Die r¨ aumlichen Komponenten, (j = 1, 2, 3) lauten: Z ∂φr j P = d3 xπr ∂xj

(3.72)

(3.73)

Dies sind die r¨ aumlichen Komponenten des 4-Impulses. An dieser Stelle erkl¨ art sich auch, warum der Tensor T αβ Energie- Impulstensor heißt. Daß ein Feld einen Impuls haben kann, braucht einen nicht zu erstaunen. Wir kennen das vom elektromagnetischen Feld: Siehe Lichtm¨ uhle. Wir denken auch daran, daß der Strahlungsdruck der Strahlung bei der Fusion im Zentrum der Sonne ben¨ otigt wird, um den Gravitationsdruck zu kompensieren. Weil laut Noether-Theorem P α eine erhaltene 4-Gr¨oße ist, haben wir die Energie und Impulserhaltung eines Systems von Feldern bewiesen, wenn das System invariant ist unter reinen 4-Verschiebungen. Das ist analog den Erhaltungss¨atzen in der nicht-relativistischen Punktmechanik. Dort galt, daß die Energie erhalten ist, wenn das System invariant unter Zeitverschiebung war, und daß der Impulsvektor erhalten ist, wenn das System invariant unter Translationen war. Rotationen Zum Schluß betrachten wir noch infinitesimale Rotationen im MinkowskiRaum, d.h. eine infinitesimale Lorentztransformation. Diese l¨aßt sich nach (3.66) mit δα = 0 schreiben als: xβ → x0β = xβ + δxβ

= xβ + εβγ xγ

(3.74)

Und mit (??) transformieren sich die Felder: 1 βγ φs (x) φr (x) → φ0r (x0 ) = φr (x) + εβγ Srs 2 Aus (3.43) lesen wir ab, daß

(3.75)

1 βγ φs (x) (3.76) εβγ Srs 2 Hat man ein System dessen Lagrangedichte invariant ist unter der Transformation (3.74), (3.75), so hat dies wieder erhaltene Gr¨ossen zur Folge. δT φr (x) =

¨ 3.3. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGROSSEN Es gilt also die Kontinuit¨atsgleichung ∂α f α = 0, wobei mit f α = T αβ δxβ nun gilt: 1 ∂L αβ γ α βγ f = εβγ Srs φs − 2T εβγ x 2 ∂(∂α φr )

119 ∂L ∂(∂α φr ) δT φr (x)−

(3.77)

Den zweiten Summanden schreiben wir etwas um: 2T αβ εβγ xγ = T αβ εβγ xγ + T αβ εβγ xγ = T αβ εβγ xγ − T αβ εγβ xγ

= T αβ εβγ xγ − T αγ εβγ xβ = εβγ T αβ xγ − T αγ xβ

Dies setzt man wieder in (3.77) ein und erh¨alt: ∂L 1 βγ φs − T αβ xγ − T αγ xβ Srs f α = εβγ 2 ∂(∂α φr )

(3.78)

(3.79)

Dies kann man umschreiben mit Hilfe einer dreifach indizierten Gr¨oße Mαβγ ∂L βγ Mαβγ = φs + xβ T αγ − xγ T αβ Srs ∂(∂α φr )

1 εβγ Mαβγ (3.80) 2 α als erhaltener Strom. Wir wissen es gilt ∂α f = 0, und da die εβγ beliebig sind, reduziert sich die Kontinuit¨atsgleichung auf: fα =

∂α Mαβγ = 0

(3.81)

Und wieder ergeben sich daraus mit (3.51) erhaltene Gr¨oßen. Da (3.81) zwei freie Indizes enth¨ alt sind auch die Erhaltungsgr¨ossen zweifach indiziert: Z M βγ = d3 xM0βγ M βγ =

Z

d3 xM0βγ Z ∂L βγ β 0γ γ 0β 3 S φs + x T − x T = d x ∂(∂0 φr ) rs Z γβ φs + xβ T 0γ − xγ T 0β = d3 x πr Srs

(3.82)

F¨ ur raumartige Indizes ist M ij , (i, j = 1, 2, 3) der Drehimpuls des Feldes. Man interpretiert den Term in den eckigen Klammern als Bahndrehimpuls (r × P) und den u ¨brigen identifiziert man mit dem Spin. Z.B. hat das elektromagnetische Feld den Spin = 1 und der Bahndrehimpuls ist durch die Bewegung des Feldes gegeben.

120

3.4

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

Das Maxwell-Feld

Das homogene Maxwell-Feld wird durch die klassischen Gleichungen beschrieben 1 e2 (in Heaviside-Lorentz-Einheiten mit 4π(}c) = 137 1 L0 = − Fµν F µν 4

(3.83)

F µν (x) = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ

(3.84)

und Der Lagrangean (3.83) zeigt Eichfreiheit. Man kann eine Eichtransformation durchf¨ uhren Aµ → A0µ = Aµ + ∂ µ χ ohne daß sich der Feldst¨arketensor ¨andert. Man sieht diese Eichfreiheit sofort, denn F 0µν = ∂ µ A0ν − ∂ ν A0µ = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ + (∂ µ ∂ ν − ∂ ν ∂ µ ) χ = F µν Eine Wechselwirkung mit einem ¨außeren Strom j ν wird beschrieben durch den Lagrangean 1 L = − Fµν F µν − j ν Aν 4 Nach den Gesetzen der Feldtheorie kann man jetzt die Bewegungsgleichungen herleiten. Wir l¨osen dazu GL.(3.10) ∂L ∂L − ∂α =0 ∂φr ∂(∂α φr ) Dies wird die Maxwell-Gleichungen ergeben. Dazu definieren wir die Feldst¨arken ~ und B ~ : E   0 −Ex −Ey −Ez  Ex 0 −Bz By   F µν =  (3.85)  Ey Bz 0 −Bx  Ez −By Bx 0 Es ist n¨ utzlich, auch den konjugierten Feldst¨arketensor zu definieren als 1 1 F˜ µν = F µν = εµναβ Fαβ 2 2 oder F˜ µν



0  Bx =  By Bz

−Bx 0 −Ez Ey

und das 4-Potential zu definieren mit

−By Ez 0 −Ex

 −Bz −Ey   Ex  0

3.4. DAS MAXWELL-FELD

121

~ Aµ (x) = φ, A und den 4-Strom als j µ (x) = ρ, ~j Beh: Die inhomogenen Maxwellgleichungen lauten

∂µ F µν = j ν

(3.86)

∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0

(3.87)

und die homogenen

oder ∂µ F˜ µν == 0 Bew. Schreibe explizit 1 L = − (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) − j ν Aν . 4

(3.88)

Mit Aµ = (φ, A) und j ν = (%, j). Wir betrachten den Term der Bewegungsgleichung ∂L ∂ = (−j ν Aν ) ∂Aβ ∂Aβ ∂ (g µν (−jµ )Aν ) = ∂Aβ ∂Aν = −g µν jµ ∂Aβ

(3.89)

= −g µν jµ δνβ = −g µβ jµ = −j β ,

(3.90)

122

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE Wir betrachten jetzt den weiteren Term der Bewegungsgleichung ∂L ∂ 1 =− (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) ∂(∂α Aβ ) 4 ∂(∂α Aβ ) ∂ 1 g µσ g ν% (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(∂σ A% − ∂% Aσ ) =− 4 ∂(∂α Aβ ) ∂(∂µ Aν ) 1 µσ ν% ∂(∂ν Aµ ) =− g g − (∂σ A% − ∂% Aσ )+ 4 ∂(∂α Aβ ) ∂(∂α Aβ ) ! ∂(∂σ A% ) ∂(∂% Aσ ) (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) − ∂(∂α Aβ ) ∂(∂α Aβ ) 1 = − g µσ g ν% ((δµα δνβ − δνα δµβ )(∂σ A% − ∂% Aσ )+ 4 (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(δσα δ%β − δ%α δσβ )) 1 = − ((g ασ g β% − g βσ g α% )(∂σ A% − ∂% Aσ )+ 4 µα νβ (g g − g µβ g να )(∂µ Aν − ∂ν Aµ )) 1 = − (4∂ α Aβ − 4∂ β Aα ) 4 = −(∂ α Aβ − ∂ β Aα ),

(3.91)

dann ergibt die Euler-Lagrange-Gleichung: −∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = −j ν .

(3.92)

Das ist die kovariante Form der Maxwell-Gleichungen. qed Beh: Man kann sofort zeigen, daß die u ¨bliche Form der Maxwell-Gleichungen, wie wir sie aus der Elektrodynamik her kennen, aus dieser Form folgt. Bew: F¨ ur ν = 0 erh¨alt man j 0 = ∂µ (∂ µ A0 − ∂ 0 Aµ )

= ∂µ ∂ µ A0 − ∂µ ∂ 0 Aµ

= ∂0 ∂ 0 A0 − ∇2 A0 − ∂0 ∂ 0 A0 − ∂1 ∂ 0 A1 − ∂2 ∂ 0 A2 − ∂3 ∂ 0 A3 = −∇2 A0 − ∂0 ∇ · A

= ∇(−∇A0 − ∂0 A) %=∇·E

(3.93)

mit

∂A − ∇A0 ∂t Mit ν = 1, 2, 3 erh¨alt man die Gleichung E=−

∇×B=

und j 0 = %.

∂E +j ∂t

(3.94)

(3.95)

3.4. DAS MAXWELL-FELD

123

mit B = ∇ × A.

Denn aus ν = 1 ergibt sich

(3.96)

j 1 = ∂µ (∂ µ A1 − ∂ 1 Aµ )

= ∂0 (∂ 0 A1 − ∂ 1 A0 ) + ∂1 (∂ 1 A1 − ∂ 1 A1 )+

∂2 (∂ 2 A1 − ∂ 1 A2 ) + ∂3 (∂ 3 A1 − ∂ 1 A3 ) (3.97) ∂ ∂ ∂ ∂ A0 ) + ∂2 (− Ax + Ay )+ jx = ∂0 ( Ax + ∂t ∂x ∂y ∂x ∂ ∂ ∂3 (− Ax + Az ) ∂z ∂x ∂ ∂ ∂ = − Ex + Bz + (−By ) ∂t ∂y ∂z ∂ = − Ex + (∇ × B)x ∂t ∂ (∇ × B)x = jx + Ex . (3.98) ∂t Die y- und z-Komponente ergeben sich aus ν = 2 und ν = 3. Die zwei weiteren Maxwellgleichungen folgen aus Gleichungen 3.94 und 3.96.

und

∇ · B = ∇ · (∇ × A) = 0

(3.99)

∇ × E = ∇ × (−∂0 A − ∇A0 ) = −∂0 (∇ × A) − ∇ × (∇A0 ) | {z } =0

= −∂0 B ∂B ∇×E=− . (3.100) ∂t qed. Damit erhalten wir die Maxwelll-Gleichungen in der nicht-kovarianten Form ~ = 0 rotE ~+ ∂B ~ =0 div B ∂t (3.101) ∂ ~ =j ~ = ~j rotB ~− E div E ∂t

Durch geeignete Einf¨ uhrung des Vektor- und skalaren Potentials hatten wir die nicht-kovarianten homogenen Maxwell-Gleichungen automatisch erf¨ ullt. Wir hatten dabei definiert ~ = rotA ~ B

~ − ∇φ ~ ~ =−∂A E ∂t

(3.102)

Die Bewegungsgleichung f¨ ur das 4-Potential erhalten wir sofort, wenn man von den inhomogenen Maxwell-Gl. (3.86) ausgeht und einfach nur den Feldst¨arketensor (3.84) einsetzt. ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = (∂µ ∂ µ )Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j ν

124

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

oder Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j ν

(3.103)

L¨ ost man diese Bewegungsgleichungen, dann werden die homogoenen MaxwellGl. (3.87) automatisch erf¨ ullt. In the non-covariant representation we have 2 ∂ 2 ~ = ~j − ∇ ~ · ∇ ~ ·A ~+ ∂φ A − ∇ ∂t2 ∂t ∂ ~ ~ ∇ · A = −ρ ∂t Wenn wir die Lorentz-Eichung fordern, vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen f¨ ur das 4-Potential: ∇2 φ +

Lorenz-Eichung oder

∂µ Aµ = 0

=⇒

Aν = j ν

(3.104)

∂2 2 ~ = ~j −∇ A ∂t2 2 ∂ 2 φ=ρ − ∇ ∂t2

The symmetric appearance of these equations is sometimes convenient, but it is also misleading and it obscures the physics. These equations seem to indidate that there are four independent propagating modes, but actually there are only ~ This is best seein in the Coulomb two, i.e. the transverse components of A. ~ is purely transverse: gauge (or radiation gauge), where the A Coulomb gauge:

~ ·A ~=0 ∇

and the equations of motion become 2 ∂ 2 ~ = ~jT − ∇ A ∂t2 ∇2 φ = −ρ

where ~jT is the transverse current density

~ ~jT = ~j − ∂ ∇φ ∂t

(3.105)

~ · ~j = 0 In this gauge A ~ describes tranverse ectromagnetic which satisfies ∇ radition, whose source is the transverse current density, while φ describe the instantaneous Coulomb interaction between charges. The potential created by the charge distribution ρ(~r, t) ist given at the time t simultaneously in the whole space by Z 1 ρ(~r0 , t) φ(~r, t) = d3 r 0 4π |~r − ~r0 |

3.5. RELATIVISTIC MEAN FIELD THEORY FOR NUCLEI:

125

and there is no retardation time involved. After calculating φ(~r, t) one can always obtain ~jT of eq.(3.105). To show that we can always impose the Coulomb gauge, start from a given ~ and define a function f by ∇· ~ A ~ = f . To go into the Coulomg gauge make the A ~→A ~ + ∇χ ~ with χ satisfying ∇2 χ = −f . THis solution gauge transformationA correspondes to the statement5 thet χ is t5he elctrostatic potential due to the ~ · A. ~ charge sdistribution ∇ Dirac-Feld als Quelle f¨ ur elektromagnetisches Feld Man kann jetzt auch sofort den Lagrangean f¨ ur ein Dirac-Feld in Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Feld hinschreiben, wobei das elektromagnetische kein vorgegebenes ¨ außeres Feld ist, sondern von der Ladungsverteilung und dem Strom des Dirac-Teilchens erzeugt worden ist. Wir haben ¯ µ ∂µ ψ − m)ψ − 1 Fµν F µν − j ν Aν L = ψ(iγ 4 mit ¯ νψ j ν = q ψγ Wir erhalten gekoppelte Bewegungsgleichungen: Dirac-Gleichung gekoppelt mit Gleichung f¨ ur das 4-Potential (iγ µ ∂µ ψ − m − qγ µ Aµ )ψ = 0

¯ νψ Aν − (∂µ Aµ ) = q ψγ

oder Dirac-Gleichung gekoppelt mit Maxwell-Gleichungen (iγ µ ∂µ ψ − m − qγ µ Aµ )ψ = 0 ∂µ F µν = j ν F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ

3.5 3.5.1

Relativistic Mean Field Theory for Nuclei: Relativistic Hartree-Fock

Besides the density-dependent Skyrme- and Skyrme-like forces there are relativistic mean field calculations popular and successful, which are reviewed in this section. For the sake of a covariant notation, it is better to provide the basic functional in the relativistic mean-field model (RMF) as an effective Lagrangian L. For the present version of the RMF used in this study, we can summarize it as LRMF = LN + LM + LNM + Lnonl + Lem

,

(3.106)

126

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

where LN is the free Dirac Lagrangian for the nucleons with nucleon mass mN , equally for protons and neutrons X vk2 ψ¯k (iγµ ∂ µ − mN ) ψk . (3.107) LN = k∈Ω

The Lagrangians of the fields and their couplings to the nucleons are given by (with µ, ν as Dirac-indices and σ, ω and ρ indicating the mesonic fields, where ρ ~ indicates an iso-triplet of Rho-mesic fields): LM = 21 (∂µ Φσ ∂ µ Φσ − m2σ Φ2σ ) i h − 12 12 (∂µ Φω,ν − ∂ν Φω,µ ) (∂ µ Φνω − ∂ ν Φµω ) − m2ω Φω,µ Φµω h i ~ ρ,µ · Φ ~ µρ ~ µρ ) − m2ρ Φ ~ ρ,ν − ∂ν Φ ~ ρ,µ ) · (∂ µ Φ ~ νρ − ∂ ν Φ − 21 12 (∂µ Φ

~ ρ,µ · ρ LNM = −gσ Φσ ρs − gω Φω,µ ρµ − gρ Φ ~ µ,

Lnonl = Uσσ [Φσ ],

Lem = − 41 Fµν F µν − eAµ ρµp ,

(3.108)

The model includes couplings of the scalar-isoscalar (Φσ ), vector-isoscalar (Φω,µ ), ~ ρ,µ ), and electro-magnetic (Aµ ) field to the corresponding vector-isovector (Φ scalar-isoscalar (ρs ), vector-isoscalar (ρµ ) and vector-isovector (~ ρµ ) densities of µ the nucleons as well as the proton density ρp , which are defined as X vk2 ψ¯k ψk , ρs = k∈Ω

µ

ρ =

X

vk2 ψ¯k γµ ψk ,

k∈Ω µ

ρ ~ =

X

vk2 ψ¯k ~τ γµ ψk ,

k∈Ω

ρµp

=

X

vk2 ψ¯k γµ ψk .

(3.109)

k∈Ωp

Uσσ is the nonlinear selfinteraction of the scalar-isoscalar field. All forces used in this paper employ the standard ansatz [?] Uσσ = − 31 b3 Φ3σ − 14 b4 Φ4σ .

(3.110)

In case of the parameterset NL-VT1 also a tensor coupling between the nucleons and the vector fields is considered, which can be written as LtNM =

fω fρ ~ Φω,µ ρµt + Φρ,µ · ρ ~tµ 2mN 2mN

with the densities ρµt = ∂ν

X

(3.111)

vk2 ψ¯k σ µν ψk ,

k∈Ω

ρ ~tµ

= ∂ν

X

k∈Ω

vk2 ψ¯k σ µν ~τ ψk ,

(3.112)

3.5. RELATIVISTIC MEAN FIELD THEORY FOR NUCLEI:

127

where σ µν = (i/2)[γ µ , γ ν ] . The masses mi and coupling constants of the fields are the free parameters of the RMF which have to be adjusted to experimental data. The actual parameters of the parameterizations used here are given in Table 1.1. The equation of motion of the single-particle states is derived from a variational principle h i k γ0 ψk = − iγ · ∇ + mN + S + γµ V µ ψk (3.113)

~ ρ,µ · ~τ + 1 eAµ (1 + τ0 ) are the scalar where S = gσ Φσ and Vµ = gω Φω,µ + 21 gρ Φ 2 and vector field respectively. A more detailed description of the model can be found in [?]. For the residual pairing interaction and the center-of-mass correction the same non-relativistic approximation is used as in the Skyrme-Hartree-Fock model.

3.5.2

Relativistic Mean Field in Nuclei: Application:

The actual parameters for the parameterizations used in this paper are summarized in Table 1.2. TABLE II. The total binding energies BE, charge radii rc, and the differences between the radii of neutron and proton density distributions rnp = (rn - rp), used to adjust the interaction DD-ME2. The calculated values are compared with experimental data (values in parentheses). In the last three columns the corresponding deviations dE, drc, and drnp (all in %) are included. Nucleus BE (MeV) rc (fm) rn - rp (fm) 16O 40Ca 48Ca 72Ni 90Zr 116Sn 124Sn 132Sn 204Pb 208Pb 214Pb 210Po

3.5.3

127.801 (127.619) 342.741 (342.052) 414.770 (415.991) 612.655 (613.173) 783.155 (783.893) 986.928 (988.681) 1048.859 (1049.962) 1103.469 (1102.860) 1608.506 (1607.520) 1638.426 (1636.446) 1661.182 (1663.298) 1649.695 (1645.228)

2.727 (2.730) 3.464 (3.485) 3.481 (3.484) 3.914 0.28 4.275 (4.272) 4.615 (4.626) 4.671 (4.674) 4.718 5.500 (5.486) 5.518 (5.505) 5.568 (5.562) 5.552

-0.03 -0.05 0.18 -0.1 0.07 0.12 (0.12) 0.21 (0.19) 0.26 0.17 0.19 (0.20) 0.24 0.17

Relativistic RPA in nuclei: Applications

mm Interessant sind die sog. Gamow-Teller-Anregungen eines Atomkerns. Der Zerfall dieser Resonantzen spielt eine großoe Rolle beim Beta-Zerfall des Kerns 96 Soweit die rechnerischen Resultate Fi Beweis:was man durch direktes Einsetzen beweisen kann.

128

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

Figure 3.1: Differences between the calculated and experimental binding enrgies for the O and Pb isotopic chain. The theoretical values are calculated in the relativistic Hartree-Bogoliubov model. Taken from Ring et al.

3.5. RELATIVISTIC MEAN FIELD THEORY FOR NUCLEI:

129

Figure 3.2: The RHB+RQRPS isovector dipole strength distribution. The experimental IVGDR excitationenergies for the Sn isotopes are compared with the theoretical results. Taken from Ring et al.

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

108

Sn

112

116

120 A

124

128

DD-ME1 EXP

132

130

EGTR-EIAR (MeV)

Figure 3.3: Relativistic Hartree-Bogoliubov calculations and results from the relativistic quasi particle RPA for the energy spacings between the Gamow-Teller resonances and the respective isobaric analog resonances for the sequance of even-even 112Sn-124Sn nuclei. Taken from Paar-Vretenar-Ring-nucl-th-0402094

3.5. RELATIVISTIC MEAN FIELD THEORY FOR NUCLEI:

131

EGTR-EIAR (MeV)

4 DD-ME1 EXP

3

2

1

Sn

0.05

0.10

0.15 rn-rp (fm)

0.20

0.25

DD-ME1 EXP

0.25

rn-rp (fm)

0.20 0.15 0.10 0.05 110

112

114

116

118 A

120

122

124

126

Figure 3.4: The Relativistic quasiparticle RPA and experimental differences between the excitation energies of the Gamow-Teller-Resonance and the corresponding Isobaric analogue resonances as a function of the calculated differences between the rms radii of the neutron and proton density distributions of eveneven Sn isotopes (upper panel). In the lower paneel the calculated differences rn-rp area compared with experimental data. Taken from Paar-vretenar-ringnucl-th-0402094-fig-11paar-vretenar-ring-nucl-th-0402094-fig-11

132

CHAPTER 3. KLASSISCHE FELDTHEORIE dann u ¨bersetzt sich (3.102) direkt in ∂µ F µν = 0 Wir haben oben den total antisymmetrischen Tensor ben¨otigt +1 εijk = εijk = −1

wenn i,j,k gerade Permutation von 1,2,3 wenn i,j,k ungerade Permutation von 1,2,3 0 sonst

genauso ist εαβγδ als gerade bzw. ungerade Permutation von 0,1,2,3 definiert.

Chapter 4

Das quantisierte Klein-Gordon-Feld 4.1 4.1.1

Quantisierung Postulate

Wir hatten das klassische Klein-Gordon-Feld betrachtet mit der Lagrange-Dichte 1 ∂α φ∂ α φ − µ2 φ2 2 und der Klein-Gordon-Gleichung als Bewegungsgleichung ∂α ∂ α + µ2 φ = 0 L=

(4.1)

Das φ ist offenbar hermitesch. Wir erinnern uns: Will man dieses φ auch wieder als Wellenfunktion eines Einteilchenzustandes interpretieren, bekommt man Schwierigkeiten, da man keine positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte definieren kann und negative Energien erh¨alt. Das konjugierte Feld zu φ, was wir bald ben¨ otigen werden, war berechnet worden zu ˙ π(x) = φ(x).

(4.2)

Wir erinnern uns an die Quantisierung der klassischen Mechanik mit endlich vielen Freiheitsgraden. Dort haben wir die generalisierten Koordinaten und Impulse der Hamiltonfunktion als Operatoren interpretiert und diese dann Vertauschungsregeln unterworfen. In der nicht quantisierten Theorie kommt es auf ¨ die Reihenfolge der pi (t) und qi (t) nicht an, dies ¨andert sich beim Ubergang zu ¨ Operatoren. Meistens quantisiert man im Schr¨odinge-Bild, f¨ ur den Ubergang zur Quantisierung von Feldern ist jedoch das Heisenberg-Bild geeigneter. Im Heisenberg-Bild lautet die Quantisierungsforderung 133

134

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

pi (t) → pˆi (t)

qj (t) → qˆj (t)

(4.3)

Die neuen Gr¨ oßen pˆi (t), qˆj (t) vertauschen nicht mehr miteinander. Zu gleichem Zeitpunkt t lautet die Quantisierungsforderung: [ˆ qi (t), pˆj (t)] [ˆ pi (t), pˆj (t)] = [ˆ qi (t), qˆj (t)]

= iδij = 0

(4.4)

Mit der Einf¨ uhrung dieser Relation ist die Theorie quantisiert. Um nun auch die Feldtheorie zu quantisieren interpretieren wir die φ(~x, t) und die zugeh¨origen konjugierten Impulse π(~x, t) als Operatoren und unterwerfen sie einer Vertauschungsrelation analog zu (4.4): i h ˆ x, t), π φ(~ ˆ (~x0 , t) = iδ (3) (~x − ~x0 ) h i (4.5) ˆ x, t), φ(~ ˆ x0 , t) = [ˆ φ(~ π (~x, t), π ˆ (~x0 , t)] = 0.

Bei mehreren Feldern φr (x), r = 1, . . . , N und damit ebenso vielen konjugierten Impulsen πs (x), s = 1, . . . , N lautet (4.5) h

i φˆr (~x, t), π ˆs (~x0 , t) h i φˆr (~x, t), φˆs (~x0 , t) = [ˆ πr (~x, t), π ˆs (~x0 , t)]

= iδrs δ (3) (~x − ~x0 ) =

0.

(4.6)

weil die Felder f¨ ur r 6= s unabh¨angig sind. Damit ist die Feldtheorie quantisiert. Die Felder vertauschen nun nicht mehr mit ihren konjugierten Impulsen. Es sei noch angemerkt, daß die Feldoperatoren im Heisenberg-Bild gelten und die Kommutator-Relationen (4.6) jeweils zur gleichen Zeit t gelten. Dies kann man noch verallgemeinern.

4.1.2

Hamilton-Op., Op. des 4-Impulses, Energie-ImpulsOp.

Alle Gr¨ oßen der klassischen Feldtheorie werden nun zu Operatoren bef¨ordert. Da ist zun¨ achst der Hamiltonoperator. Er beschreibt in der klassischen Physik durch die Hamilton-Gleichungen den Zeitablauf des Systems. In der Quantenmechanik beschreibt er den Zeitablauf der Operatoren im Heisenberg-Bild. Das letztere erwarten wir auch in der Quantenfeldtheorie. Analog zur klassischen Feldtheorie erhalten wir den Hamiltonoperator als Raum-Integral u ¨ber den Operator der Hamilton-Dichte Z ˆ H = d3 xH(~x, t) (4.7) mit der Hamilton-Dichte u ¨bernommen von Gl.(): i 1h 2 ˆ 2 + µ2 φˆ2 π ˆ + (∇φ) H(~x, t) = 2

4.1. QUANTISIERUNG

135

Beh: Es gilt die Behauptung: h i ˆ x, t) = ∂t φ(~ ˆ x, t) ˆ φ(~ i H,

(4.8)

h i ˆ π i H, ˆ (~x, t) = ∂t π ˆ (~x, t)

Bew: Der Beweis benutzt die bekannte Relation

[AB, C] = A [B, C] + [A, C] B und damit erhalten wir z.B. Z h i 1 ˆ x, t) = d3 y π ˆ (~y , t)ˆ π (~y , t), φ(~ 2 Z n o 1 ˆ x, t)] + [ˆ ˆ x, t)]ˆ d3 y π ˆ (~y , t)[ˆ π (~y , t), φ(~ π (~y , t), φ(~ π (~y , t) = 2

Ersetze nun die Kommutatoren durch die Ausdr¨ ucke (4.5), so sehen wir, daß beide Terme gleich sind. Die Delta-Distributionen werden aufintegriert und wir haben Z ˆ x, t) = d3 y(−i)ˆ π (~y , t)δ(~x − ~y ) = −iˆ π (~x, t) = −i∂t φ(~

Der Kommutator des Massenterms von H mit φˆ verschwindet, weil die Felder mit sich selbst kommutieren. Interessant ist noch den Term mit (∇φ)2 , der am Ende ebenfalls verschwindet: Z h i 1 ˆ y , t)(∇φ)(~ ˆ y , t), φ(~ ˆ x, t) = d3 y (∇φ)(~ 2 Z n o 1 ˆ y , t)[(∇φ)(~ ˆ y , t), φ(~ ˆ x, t)] + [(∇φ)(~ ˆ y , t), φ(~ ˆ x, t)](∇φ)(~ ˆ y , t) = d3 y (∇φ)(~ 2

wir integrieren jetzt partiell denjenigen ∇-Operator, der innerhalt der KommutatorKlammern sich befindet. Da wir immer annehmen, daß die Felder f¨ ur ~y → ∞ verschwinden, bekommen wir keine Oberfl¨achenterme. Damit erhalten wir Z n o 1 ˆ y , t)[φ(~ ˆ y , t), φ(~ ˆ x, t)] + [φ(~ ˆ y , t), φ(~ ˆ x, t)](∇2 φ)(~ ˆ y , t) = 0 d3 y (∇2 φ)(~ =− 2 q.e.d. Damit ist die Behauptung bewiesen, daß der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung der Feldoperatoren steuert. Betrachte jetzt einen beliebigen polynomartig aus φˆ und π ˆ zusammengeˆ x, t), π setzen Operator Fˆ (~x, t) = Fˆ (φ(~ ˆ (~x, t)).Das bedeutet, daß die Orts. und zeitabh¨ angigkeit des Operators Fˆ (~x, t) nur u ¨ber die Felder zustande kommt. F¨ ur einen solchen Operator folgt aus Gl.(4.8) sofort der Satz: h i ˆ Fˆ = ∂t Fˆ i H, (4.9)

136

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

insbesondere gilt

i h ˆ H ˆ = ∂t H ˆ =0 i H,

Das bedeutet, daß der Hamiltonoperator des Klein-Gordon-Feldes zeitunabh¨angig ist, obwohl die Felder, aus denen er zusammengesetzt ist, zeitabh¨angig sind. Man kann den Hamilton-Operator auch aus dem Energie-Impuls-Operator berechnen.Dieser geht nahtlos aus dem klassischen Energie-Impuls-Tensor T αβ hervor, indem man dort die klassischen Felder durch Quantenfelder ersetzt. Dort berechnen wir aus dem allgemeinen Ausdruck T αβ = ∂(∂∂L ∂ β φr (x) − Lg αβ α φr ) von Gl.() im Klein-Gordon-Fall T αβ = ∂ α φ∂ β φ − Dies ergibt

1 ∂ν φ∂ ν φ − µ2 φ2 g αβ 2

(4.10)

1 1 1 T 00 = ∂ 0 φ∂ 0 φ − ∂0 φ∂ 0 φ − ∂k φ∂ k φ + µ2 φ2 2 2 2 1 k k 1 2 2 1 = ∂t φ∂t φ + ∂ φ∂ φ + µ φ 2 2 2 1 1 2 2 1 = ππ + (∇φ)(∇φ) + µ φ 2 2 2 was der bekannte Ausdruck f¨ ur die Hamilton-Dichte ist, die wir sofort als Operator schreiben k¨ onnen. Auf gleiche Weise erhalten wir die Raum-kompoenten des 4-Impulses weil g 0k = 0 T 0k = ∂ 0 φ∂ k φ = π∂ k φ

Also haben wir Pˆ k = und es zeigt sich sofort, daß

Z

ˆ x, t) d3 xˆ π (~x, t)∂ k φ(~

(4.11)

h i ˆ x, t) = ∂ k φ(~ ˆ x, t) i Pˆ k , φ(~ i h ˆ (~x, t) = ∂ k π ˆ (~x, t) i Pˆ k , π

und daraus sofort allgemein h i i Pˆ k , Fˆ (~x, t) = ∂ k Fˆ (~x, t)

ˆ und Pˆ k zu Pˆ µ mit In kovarianter Form k¨onnen wir zusammenfassen H h i i Pˆ µ , Fˆ (~x, t) = ∂ µ Fˆ (~x, t) (4.12)

Daraus erh¨alt man sofort [mit x = (~x, t)] f¨ ur ein infinitesimals a h i Fˆ (x + a) = Fˆ (x) + i aµ Pˆ µ , Fˆ (x)

4.1. QUANTISIERUNG

137

Beh: Mit Hilfe der Baker-Hausdorff-Formel bekommt man hieraus sofort die wichtige und viel benutzte Formel f¨ ur das ”Shiften” von Operatoren ˆ ˆ Fˆ (x) = eiP x Fˆ (0)e−iP x

(4.13)

Bew: Der Beweis: ii h i h 2 h ˆ ˆ ˆ Fˆ + ... ˆ G, ˆ Fˆ + i G, eiG Fˆ e−iG = Fˆ + i G, 2! Die wiederholten Kommutatoren erzeugen die h¨oheren Ableitungen und damit die Taylor-Reihe 1 Fˆ (x + a) = Fˆ (x) + aµ ∂ µ Fˆ (x) + aµ aν ∂ µ ∂ ν Fˆ (x).... 2! qed.

4.1.3

Feldquanten des KG-Feldes: Bosonen

In diesem Kapitel wollen wir die Teilchen-Interpretation des quantisierten KleinGordon-Feldes einf¨ uhren. Wir werden dabei den Feldoperator im gewissen Sinne entwickeln in die Erzeugung- und Vernichtungs-Operatoren der Basis, die von den L¨ osungen der (freien, also nicht wechselwirkenden) Klein-Gordon-Gleichung gebildet wird. Somit wird der Feldoperator als Linearkombination von BosonErzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren dargestellt. Das Programm ist an sich sehr durchsichtig und wird in gleicher Weise beim Dirac-Feld und beim Maxwell-Feld wiederholt werden, es ist nur technisch etwas schreib-aufwendig. Da wir ausschließlich mit quantisierten Feldern arbeiten, lassen wir das ”Dach” weg. Freie L¨ osungen der Klein-Gordon-Gleichung Beh: Der quantisierte Operator des Klein-Gordon-Feldes l¨aßt sich schreiben als 1/2 Z 1 ~k)ei~k~x−iω~k t + a† (~k)e−i~k~x+iω~k t a( φ(~x, t) = d3 k 2(2π)3 ω~k oder

φ(x) =

Z

3

d k

1 2(2π)3 ω~k

1/2

a(~k)e−ikx + a† (~k)eikx

und entsprechend f¨ ur den Operator des kanonisch konjugierten Feldes: 1/2 Z ω~k † ~ ikx 3 ~k)e−ikx ˙ a ( k)e − a( π(x) = φ(x) = i d k 2(2π)3

Hierbei sind die a† (~k) die Erzeugungsoperatoren f¨ urq die L¨osung der freien Klein~ Gordon-Gleichung mit dem 3-Impuls k und ω~k = + µ2 + ~k 2 ist die Dispersionsrelation. Der 4-Vektor ist definirt als k µ = (k 0 = ω~k , ~k)

138

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

mit −ikx = i~k~x − iω~k t .Die a† (~k) erf¨ ullen die Boson-Vertauschungsrelationen der Vielteilchentheorie: [a(~k), a† (~k 0 )] = δ (3) (~k − ~k 0 ) [a(~k), a(~k 0 )] = [a† (~k), a† (~k 0 )] = 0

.

(4.14)

Durch diese Vertauschungsrelationen ist eine Verbindung von Quantenfeldtheorie und Vielteilchentheorie hergestellt. Bew: Die allgemeine L¨osung der Klein-Gordon-Gleichung l¨asst sich als Fourier-Integral darstellen: Z 1 d4 kA(k)e−ikx . (4.15) φ(x) = (2π)2 Dieses setzt man in die Klein-Gordon-Gleichung (??) ein: 2 ∂ 2 φ(x) = 0 − ∆ + µ ∂t2 Mit

∂2 1 φ(x) = 2 2 ∂t (2π)

und −∆φ(x) =

Z

2 d4 kA(k)(− k 0 )e−ikx

1 (2π)

2

Z

d4 kA(k)~k 2 e−ikx

erh¨alt man 2 Z ∂ 1 2 4 0 2 ~k 2 + µ2 e−ikx . (4.16) − 4 + µ d kA(k) − k + φ(x) = 2 ∂t2 (2π)

Da diese f¨ ur alle Raum-Zeit-Punkte x verschwinden soll, muss f¨ ur eine nichttriviale L¨ osung gelten i h 2 (4.17) A(k) − k 0 + ~k 2 + µ2 = 0

Definiert man nun

ω~k kann man im Fourier-Integral

2

:= µ2 + ~k 2

˜ A(k) = A(k)δ( k0

2

2 − ω~k )

einsetzen und die Integration u ¨ber k 0 ausf¨ uhren. Mit 2 δ k 0 − ω~k + δ k 0 + ω~k 0 2 δ( k − ω~k ) = 2|ω~k |

(4.18)

(4.19)

(4.20)

4.1. QUANTISIERUNG erh¨alt man 1 φ(x) = (2π)2

Z

=

1 1 2 (2π)2

=

1 2(2π)2

139

δ k 0 − ω~k + δ k 0 + ω~k −ikx ˜ d k A(k) e 2 ω~k ! Z −ik0 t i~ k~ x −ik0 t i~ k~ x ˜ ˜ A(k)e e A(k)e e δ k 0 − ω~k + δ k 0 + ω~k d4 k ω~k ω~k ! Z ~ iω~k t ei~k~x ˜ ˜ /c, ~k)e−iω~k t ei~k~x Z 3 A(−ω~ 3 A(ω~ k /c, k)e k + d k . d k ω~k ω~k 4

Nun substituiert man im zweiten Integral ~k durch −~k und vertauscht anschliessend die Integrationsgrenzen: Z ∞ Z −∞ ~ iω~k t ei~k~x ~ iω~k t e−i~k~x ˜ ˜ A(−ω A(−ω ~ ~ k , k)e k , −k)e d3 k =− d3 k ω~k ω~k −∞ ∞ Z ∞ ~ ˜ A(−ω~k , −k)eikx = d3 k ω~k −∞ Man erh¨alt dann 1 φ(x) = 2(2π)2 und 1 φ (x) = 2(2π)2 †

Z

Z

d3 k

d3 k

1 ˜ ~ ikx ) ˜ (A(ω~k , ~k)e−ikx + A(−ω ~ k , −k)e ω~k

1 ˜† (A (ω~k , ~k)eikx + A˜† (−ω~k , −~k)e−ikx ) ω~k

.

Da als L¨ osung der Klein-Gordon-Gleichung das φ hermitesch ist und also φ = φ† so sieht man, dass ~ ~ ˜ ˜† A(−ω . ~ k , −k) = A (ω~ k , k) Nun setzt man

˜ ~ , ~k) = A(ω k

q

2(2π)ω~k a(~k)

(4.21)

Dabei ist der Vorfaktor hier so gew¨ahlt, dass man sp¨ater im anderen Zusammenhang (i.e. Vertauschungsrelationen der a(~k)) geeignete Vorfaktoren herausbekommt. Somit erh¨alt man 1/2 Z 1 a(~k)e−ikx + a† (~k)eikx φ(x) = d3 k 3 2(2π) ω~k

qed. Nun sind die Felder φ, φ˙ = π Operatoren in einem abstrakten HilbertRaum, deshalb sind auch a(~k) und a† (~k) Operatoren im gleichen Hilbert-Raum. Da φ, π Vertauschungsregeln unterliegen, m¨ ussen auch a(~k) und a† (~k) Vertaushungsregeln unterliegen. Wir werden sehen, daß das gerade die BosonVertauschungsregeln sind, die wir im Kapitel u ¨ber nicht-relativistische VielteilchenTheorie kennen gelernt haben. Damit diese Vertauschungsrelationen in der Tat auf der Rechten Seite eine Eins oder Null haben, muß der Vorfaktor so gew¨ahlt werden wie in Gl.(4.21).

140

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

Boson-Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren

Wir haben oben φ und π = φ˙ als Linearkombinationen von a(~k) und a† (~k) dargestellt. Wir kennen die Vertauschungsrelationen φ von π = φ˙ . Um die von a(~k) und a† (~k) bekommen m¨ ussen wir a(~k) und a† (~k) als Linearkombinationen von φ und φ˙ darstellen und dann deren Vertauschungsregeln ausnutzen. Zur Durchf¨ uhrung dieses Konzepts ben¨otigen man die Orthogonalit¨atsrelation Z

~ ~0 d3 xei(k−k )x = (2π)3 δ(~k − ~k)

Damit gilt die Behauptung: Beh:

Bew: Betrachte: Z

a(~k) = p

−i~ k0 ~ x

3

d xφ(x)e

1 2(2π)3 ω~k

Z

(4.22)

˙ d3 x ω~k φ(x) + iφ(x) eikx

1/2 1 ~k)e−ikx + a† (~k)eikx e−i~k0 ~x a( = d xd k 2(2π)3 ω~k 1/2 Z Z 1 1 ~ 3 d k√ d3 x(a(~k)e−iω~k t eik~x = 3 2(2π) ω~k Z

3

3

~

~0

+ a† (~k)eiω~k t e−ik~x )e−ik ~x 1/2 Z Z 1 1 ~ ~0 3 = d3 x(a(~k)e−iω~k t ei(k−k )~x d k√ 2(2π)3 ω~k

(4.23)

~ ~0

= =

(2π)3 2 (2π)3 2

1/2 Z 1/2

+ a† (~k)eiω~k t e−i(k+k )~x ) a(~k)e−iω~k t δ(~k − ~k 0 ) + a† (~k)eiω~k t δ(~k + ~k 0 )

1 d3 k √ ω~k 1 ~ 0 −iω~ 0 t a(k )e k + a† (−~k 0 )eiω~k0 t √ ω~k0

(4.24)

Auf die gleiche Weise errechnet man f¨ ur die Zeitableitung (˜Impuls) Z

−i~ k0 ~ x ˙ d xφ(x)e = 3

(2π)3 2

1/2

√ i ω~k0 −a(~k 0 )e−iω~k0 t + a† (−~k 0 )eiω~k0 t

. (4.25)

4.1. QUANTISIERUNG

141

Und nun multipliziert man (4.24) mit iω~k0 subtrahiert (4.25) iω~k0

Z

−i~ k0 ~ x

3

d xφ(x)e

−

Z

−i~ k0 ~ x ˙ d xφ(x)e = 3

− =

(2π)3 2 (2π)3 2 (2π)3 2

1/2

1/2

1/2

√ i ω~k0 a(~k 0 )e−iω~k0 t + a† (−~k 0 )eiω~k0 t

√ i ω~k0 −a(~k 0 )e−iω~k0 t + a† (−~k 0 )eiω~k0 t √ i ω~k0 2a(~k 0 )e−iω~k0 t

,

man l¨ ost nach a(~k 0 ) auf und setzt ~k 0 = ~k : a(~k) =

ω~k 2(2π)3

1/2 Z

i ˙ ~ d x φ(x) + φ(x) e−ik~x eiω~k t ω~k 3

(4.26)

und damit unser Endergebnis. a(~k) = p

1 2(2π)3 ω~k

Z

˙ d3 x ω~k φ(x) + iφ(x) eikx

.

Die Zeitabh¨angigkeit in den einzelnen Termen dieses Ausdrucks auf der RHS hebt sich gerade auf, sodaß auf der LHS keine Zeit mehr vorkommt. Auf ¨ahnliche Weise bekommt man auch Z 1 3 ˙ a† (~k) = p d x ω φ(x) − i φ(x) e−ikx . ~ k 2(2π)3 ω~k

qed. Damit kann man nun die Kommutatorrelationen f¨ ur a(~k) und a† (~k) ausrechnnen. Beh: [a(~k), a† (~k 0 )] = δ(~k − ~k 0 ) [a(~k), a(~k 0 )] = [a† (~k), a† (~k 0 )] = 0

Bew: h i Zuerst berechnet man a(~k), a† (~k 0 ) .Der erste Summand ist explizit geschrieben a(~k)a† (~k 0 ) =

"

1 p 2(2π)3 ω~k

1 √ ω~k ω~k0

Z

#" ikx ˙ · p e d x ω~k φ(x) + iφ(x)

1 2(2π)3

3

Z

1 2(2π)3 ω~k0

Z

# 0 −ik x ˙ = e d x ω~k0 φ(x) − iφ(x) 3

˙ ˙ 0 ) eikx e−ik0 x0 ω~k0 φ(x0 ) − iφ(x d3 xd3 x0 ω~k φ(x) + iφ(x)

(4.27)

142

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

und der zweite a† (~k 0 )a(~k) = "

1 p 2(2π)3 ω~k0

1 √ ω~k0 ω~k

Z

#" −ik0 x ˙ d x ω~k0 φ(x) − iφ(x) e · p

3

1 2(2π)3

Z

1 2(2π)3 ω~k

Z

# ikx ˙ d x ω~k φ(x) + iφ(x) e = 3

0 0 ˙ 0 ) ω~ φ(x) + iφ(x) ˙ eikx e−ik x d3 x0 d3 x ω~k0 φ(x0 ) − iφ(x k

(4.28) F¨ ur Gl.(4.27) minus Gl.(4.28) erh¨alt man dann durch Ausmultiplizieren als Integranden: 0 ˙ 0 ) + iω~ 0 φ(x)φ(x ˙ ˙ φ(x ˙ 0 )− (ω~k ω~k0 φ(x)φ(x0 ) − iω~k φ(x)φ(x ) + φ(x) k

0

0

ikx −ik x ˙ 0 )φ(x) − φ(x ˙ 0 )φ(x))e ˙ ˙ ω~k ω~k0 φ(x0 )φ(x) − iω~k0 φ(x0 )φ(x) + iω~k φ(x e

.

˙ ˙ 0 )] = 0 , bleibt Die Terme mit ω~k ω~k0 heben sich weg. Da [φ(x), φ(x0 )] = [φ(x), φ(x 0

0

0 ˙ 0 )φ(x) − φ(x)φ(x ˙ 0 )) + iω~ 0 (φ(x)φ(x ˙ ˙ ))eikx e−ik x (iω~k (φ(x ) − φ(x0 )φ(x) k | | {z } {z } −iδ(~ x−~ x0 )

−iδ(~ x0 −~ x)

0 0 = ω~k + ω~k0 δ(~x − ~x0 )eikx e−ik x

.

Damit ist Z h i 0 0 1 1 d3 xd3 x0 ω~k + ω~k0 δ(~x − ~x0 )eikx e−ik x a(~k), a† (~k 0 ) = √ 3 ω~k ω~k0 2(2π) Z 1 1 ~0 0 ~ d3 xd3 x0 ω~k + ω~k0 δ(~x − ~x0 )ei(ω~k −ω~k0 )t ei(k ~x −k~x) =√ 3 ω~k ω~k0 2(2π) Z 1 1 ~0 ~ =√ d3 x ω~k + ω~k0 ei(ω~k −ω~k0 )t ei(k −k)~x 3 ω~k ω~k0 2(2π) Z i(ω −ω )t 1 1 ~0 ~ ~ ~ k k0 e d3 xei(k −k)~x ω + ω =√ ~ ~ k k0 ω~k ω~k0 2(2π)3 ω~k + ω~k0 i(ω~ −ω~ 0 )t ~ ~ 0 = √ e k k δ(k − k ) 2 ω~k ω~k0 = δ(~k − ~k 0 ) Genauso berechnet man

. h i a(~k), a(~k 0 ) =

4.1. QUANTISIERUNG

1 √ ω~k ω~k0

1 2(2π)3

143

Z

˙ 0 )+ d3 xd3 x0 (ω~k ω~k0 φ(x)φ(x0 ) + iω~k φ(x)φ(x

0

1 √ ω~k0 ω~k

1 2(2π)3

Z

0

0 ˙ ˙ φ(x ˙ 0 ))eikx eik x − iω~k0 φ(x)φ(x ) − φ(x)

˙ d3 x0 d3 x(ω~k0 ω~k φ(x0 )φ(x) + iω~k0 φ(x0 )φ(x)+ ik0 x0 ikx ˙ 0 )φ(x) − φ(x ˙ 0 )φ(x))e ˙ e = iω~k0 φ(x

1 √ ω~k ω~k0

1 2(2π)3

Z

˙ 0 ) − φ(x ˙ 0 )φ(x))+ d3 xd3 x0 (iω~k (φ(x)φ(x | {z } iδ(~ x−~ x0 )

0 ˙ ˙ ))eikx eik0 x0 = iω~k0 (φ(x)φ(x ) − φ(x0 )φ(x) | {z } −iδ(~ x0 −~ x)

(ω~k0 − ω~k ) 1 ei(ω~k +ω~k0 )t √ ω~k0 ω~k 2(2π)3

Z

~ ~0

d3 xe−i(k+k )~x =

ω~k0 − ω~k i(ω~ +ω~ 0 )t ~ ~ 0 e k k δ(k + k ) = 0 √ 2 ω~k0 ω~k Die Kombination der obigen Gleichungen ergibt die Behauptung. qed. Wir haben jetzt die Kommutatorrelationen der nichtrelativistischen Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren f¨ ur Bosonen. Unser Quantenfeld besteht also aus eiem kontinuierlichen Satz von harmonischen Oszillatoren charakterisiert jeweils durch den Wellenveketor ~k. Die zugeh¨orige Einteilchen-Basis besteht aus den L¨osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung. Hamilton-Operator und 4-Impuls in Vielteilchen-Darstellung, Normalordnung Hamilton-Operator

In diesem Kapitel wollen wir den Hamilton-Operator

und allgemeiner den Operator des 4-Impuls des quantisirten Klein-GordonFeldes mit Hilfe von den Erzeuguns- und Vernichtungsoperatoren a(~k) und a† (~k) ausdr¨ ucken. Der eng¨ ultige Ausdruck ist Beh: Z µ : P := d3 kk µ a† (~k)a(~k) wobei die Doppelpunkte : .... : andeuten, daß wir zu einem Normalprodukt u ¨bergegangen sind, um unn¨ otige Unendlichkeiten zu vermeiden.

144

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

Bew: Der Beweis ist geradlinig.In den Ausdruck des Hamiltonoperators R H = d3 x 12 (φ˙ 2 + (∇φ)2 + µ2 φ2 ) setzt man die Operatoren φ und φ˙ ein. Man berechnet f¨ ur die einzelnen Summanden: Z d3 xφ˙ 2 (x) = =

1 2(2π)3

Z

1 ((−iω~k )a(~k)e−ikx + (iω~k )a† (~k)eikx )· d3 xd3 kd3 k 0 √ ω~k ω~k0 0 0 ((−iω~k0 )a(~k 0 )e−ik x + (iω~k0 )a† (~k 0 )eik x )

1 =− 2(2π)3

Z

0 0 √ d3 xd3 kd3 k 0 ω~k ω~k0 (a(~k)e−ikx −a† (~k)eikx )(a(~k 0 )e−ik x −a† (~k 0 )eik x ) =

1 2(2π)3

Z

0 0 √ d3 xd3 kd3 k 0 ω~k ω~k0 (a(~k)a(~k 0 )e−ikx e−ik x − a(~k)a† (~k 0 )e−ikx eik x

−

=−

1 2(2π)3

0 0 −a† (~k)a(~k 0 )eikx e−ik x + a† (~k)a† (~k 0 )eikx eik x ) Z Z ~ ~0 ~ ~0 √ d3 kd3 k 0 ω~k ω~k0 d3 x(a(~k)a(~k 0 )e−i(ω~k +ω~k0 )t ei(k+k )~x −a(~k)a† (~k 0 )e−i(ω~k −ω~k0 )t ei(k−k )~x

~ ~0 ~0 ~ −a† (~k)a(~k 0 )ei(ω~k −ω~k0 )t ei(k −k)~x + a† (~k)a† (~k 0 )ei(ω~k +ω~k0 )t e−i(k+k )~x )

=−

1 2(2π)3

Z

√ d3 kd3 k 0 ω~k ω~k0 (a(~k)a(~k 0 )e−i(ω~k +ω~k0 )t δ(~k+~k 0 )−a(~k)a† (~k 0 )e−i(ω~k −ω~k0 )t δ(~k−~k 0 )

−a† (~k)a(~k 0 )ei(ω~k −ω~k0 )t δ(~k 0 − ~k) + a† (~k)a† (~k 0 )ei(ω~k +ω~k0 )t δ(~k + ~k 0 )) 1 =− 2

Z

d3 kω~k (a(~k)a(−~k)e−i(ω~k +ω~k )t − a(~k)a† (~k)e−i(ω~k −ω~k )t

−a† (~k)a(~k)ei(ω~k −ω~k )t + a† (~k)a† (−~k)ei(ω~k +ω~k )t ) 1 =− 2

Z

d3 kω~k (a(~k)a(−~k)e−2iω~k t −a(~k)a† (~k)−a† (~k)a(~k)+a† (~k)a† (−~k)e2iω~k t )

Mit der gleichen Rechnung erh¨alt man f¨ ur den zweiten Term Z d3 x(∇φ)2 =

.

4.1. QUANTISIERUNG

Z

Z

1 2

Z

3

d x

d x

Z

d k

Z

3

3

d k

3

145

1 2(2π)3 ω~k

1 2(2π)3 ω~k

1/2

1/2

!2 −ikx † ~ ikx ~ = ∇(a(k)e + a (k)e )

!2 −ikx † ~ ikx ~ ~ ~ ((ik)a(k)e + (−ik)a (k)e ) =

~k 2 (a(~k)a(−~k)e−2iω~k t +a(~k)a† (~k)+a† (~k)a(~k)+a† (~k)a† (−~k)e2iω~k t ) ω~k

d3 k

.

Und genauso f¨ ur den letzten Z

2

µ

21

µ

2

Z

Z

d3 k

3

d x

Z

3

d k

1 2(2π)3

d3 xµ2 φ2 =

1/2

!2 1 −ikx † ~ ikx ~ + a (k)e ) = √ (a(k)e ω~k

1 (a(~k)a(−~k)e−2iω~k t + a(~k)a† (~k) + a† (~k)a(~k) + a† (~k)a† (−~k)e2iω~k t ) ω~k

Zusammen hat man dann f¨ ur

146

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

Z

1 d3 x (φ˙ 2 + (∇φ)2 + µ2 φ2 ) 2 Z ω~ 1 = d3 k 2k −a(~k)a(−~k)e−2iω~k t + a(~k)a† (~k) + a† (~k)a(~k) − a† (~k)a† (−~k)e2iω~k t 4 c ~k 2 a(~k)a(−~k)e−2iω~k t + a(~k)a† (~k) + a† (~k)a(~k) + a† (~k)a† (−~k)e2iω~k t + ω~k µ2 ~ + a(k)a(−~k)e−2iω~k t + a(~k)a† (~k) + a† (~k)a(~k) + a† (~k)a† (−~k)e2iω~k t ω~k Z ω~2 1 = d3 k (a(~k)a(−~k)e−2iω~k t (− 2k + ~k 2 + µ2 ) 4ω~k | c {z }

H=

=0

+

ω~2 a(~k)a† (~k)( 2k c

+ ~k 2 + µ2 ) | {z } =ω~2 /c2 k

+ a† (~k)a(~k)(

ω~k2 c2

+ ~k 2 + µ2 ) | {z } =ω~2 /c2 k

=

Z

=

Z

ω~2 + a† (~k)a† (−~k)e2iω~k t (− 2k + ~k 2 + µ2 )) } | c {z =0

2 1 2ω~k d3 k ( 4ω~k c2

a(~k)a† (~k) | {z }

+a† (~k)a(~k))

=[a(~ k),a† (~ k)]+a† (~ k)a(~ k)

1 d3 k ω~k 2a† (~k)a(~k) + δ(~k − ~k) 2

.

Damit erhalten wir den vertrauten Ausdruck Z 1 3 † ~ ~ H = d kω~k a (k)a(k) + δ(0) 2

(4.29)

und wir haben den Hamiltonoperator dargestellt mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Impulsoperatoren

F¨ ur die Impulsoperatoren hatten wir im den Ausdruck

(j = 1, 2, 3) j

P = mit (4.2) also

Z

P~ = −

Z

d3 xπ(x)

∂φ(x) ∂xj

˙ d3 xφ∇φ

.

(4.30)

(4.31)

4.1. QUANTISIERUNG

147

Mit φ˙ = ∇φ =

Z

Z

d3 k 3

d k

1 2(2π)3 ω~k 1 2(2π)3 ω~k

1/2 1/2

iω~k −a(~k)e−ikx + a† (~k)eikx i~k a(~k)e−ikx − a† (~k)eikx

,

(4.32) (4.33)

und zusammen Z r ω~k ~ 0 1 3 3 0 ˙ ~k)e−ikx + a† (~k)eikx a(~k 0 )e−ik0 x − a† (~k 0 )eik0 x d kd k φ∇φ = − −a( k 2(2π)3 ω~k0 Z r ω~k ~ 0 0 0 1 = − k (−a(~k)a(~k 0 )e−i(k+k )x + a(~k)a† (~k 0 )e−i(k−k )x d3 kd3 k 0 2(2π)3 ω~k0 0 0 + a† (~k)a(~k 0 )ei(k−k )x − a† (~k)a† (~k 0 )ei(k+k )x ) bekommt man Z r ω~k ~ 0 1 3 3 3 0 ~ k d xd kd k P = − 3 2(2π) ω~k0

~ ~0 ~ ~0 (−a(~k)a(~k 0 )e−i(ω~k +ω~k0 )t ei(k+k )~x + a(~k)a† (~k 0 )e−i(ω~k −ω~k0 )t ei(k−k )~x

~ ~0 ~ ~0 + a† (~k)a(~k 0 )ei(ω~k −ω~k0 )t e−i(k−k )~x − a† (~k)a† (~k 0 )ei(ω~k +ω~k0 )t e−i(k+k )~x ) Z r ω~k ~ 0 1 k (−a(~k)a(~k 0 )e−i(ω~k +ω~k0 )t δ(~k + ~k 0 )a(~k)a† (~k 0 )e−i(ω~k −ω~k0 )t δ(~k − ~k 0 ) = d3 kd3 k 0 2 ω~k0 + a† (~k)a(~k 0 )ei(ω~k −ω~k0 )t δ(~k − ~k 0 ) − a† (~k)a† (~k 0 )ei(ω~k +ω~k0 )t δ(~k + ~k 0 )) Z 1 = d3 k(−(−~k)a(~k)a(−~k)e−2iω~k t + ~ka(~k)a† (~k) + ~ka† (~k)a(~k) − (−~k)a† (~k)a† (−~k)e2iω~k t ) 2 Z 1 = d3 k~k a(~k)a† (~k) + a† (~k)a(~k) 2 Z 1Z 1 3 −2iω~k t ~ ~ ~ + d k ka(k)a(−k)e + d3 k ~ka† (~k)a† (−~k)e2iω~k t . 2 2

Da die Integranden der letzten beiden Summanden nullpunktsymmetrisch sind, ¨ verschwinden die Integrale. Ubrig bleibt: Z 1 +a† (~k)a(~k)) P~ = d3 k~k( a(~k)a† (~k) | {z } 2 Z

=[a(~ k),a† (~ k)]+a† (~ k)a(~ k)

δ(~k − ~k) + 2a† (~k)a(~k) 2 Z 1 = d3 k~k a† (~k)a(~k) + δ(0) 2 =

d3 k~k

1

(4.34)

Da k 0 = ω~k k¨ onnen wir den 4-Impuls-Operator des Klein-Gordon-Feldes schreiben als Z 1 P µ = d3 kk µ a† (~k)a(~k) + δ(0) 2

148

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

womit wir eine Darstellung der wichtigen Operatoren in den a† (~k) und a(~k) haben.

Normalordnung

Nun hat man im Hamiltonoperator einen Summand 21 δ(0)

im Integranden, der sp¨ater bei der Berechnung z.B. von Energien eine unendliche, additive Konstante liefert. Da aber nur Energiedifferenzen von Bedeutung sind, spielt eine unendliche Konstante keine Rolle, wenn man alle Energien relativ zum Energienullpunkt misst. Vermeiden kann man das Auftreten einer solchen Konstante durch eine Normalordnung der Operatoren. Dazu f¨ uhrt man ein Normalprodukt N (...) ein, das definitionsgem¨aß Operatoren so ordnet, dass alle Vernichtungsoperatoren rechts von allen Erzeugungsoperatoren stehen. Also ABC −→ N (ABC) oder auch Schreibweise ABC −→: ABC : u ¨blich. Vorschrift f¨ ur Normalordnung: Ein Ausdruck muß so umgeordnet werden, daß alle a(~k) rechts von allen a† (~k) stehen Diese Vorschrift kommt zur normalen Quantisierungsvorschrift hinzu. Sie hat ihren Grund darin, daß in klassischen Ausdr¨ ucken die Reihenfolge der generalisierten Koordinaten irrelevant ist, also q(t)p(t) und p(t)q(t) gleichbedeutend sind. Quantenmechanisch ist nat¨ urlich qˆ(t)ˆ p(t) und pˆ(t)ˆ q (t) verschieden. Deshalb muß man sich bei der Quantisierung auf die Reihenfolge festlegen. Man tut das in der Weise, daß unerw¨ unschte Unendlichkeiten nicht vorkommen. Die Normalordnung ist ein solches Rezept. Hier hat man dann zum Beispiel: N a(~k1 )a† (~k2 )a(~k3 )a† (~k4 )a† (~k5 ) = a† (~k2 )a† (~k4 )a† (~k5 )a(~k1 )a(~k3 )

. (4.35) Dile Reihenfolge der a† (~k) untereinander und der a(~k) untereinander ist irrelevant, da sie jeweils miteinander vertauschen. Nun definiert man alle Observablen als normalgeordnete Produkte. Man ordnet also nach dieser Vorschrift um, ohne daß dabei Vorzeichen aufgrund von Vertauschungsregeln vork¨amen. Man geht dabei in der obigen Ableitung zur¨ uck auf die Stufe direkt bevor man die st¨ orende δ-Funktion bekommt: Dort waren wir vorgegangen nach H=

Z

1 d3 k ω~k2 ( 2

a(~k)a† (~k) | {z }

+a† (~k)a(~k))

=[a(~ k),a† (~ k)]+a† (~ k)a(~ k)

Jetzt gehen wir vor und wenden auf diesen Ausdruck, bevor wir die Vertaushcungsregeln anwenden, die Normalordnung an. Man erh¨alt auf diese Weise f¨ ur

4.1. QUANTISIERUNG

149

den Hamiltonoperator: Z 1 d3 kω~k N a(~k)a† (~k) + a† (~k)a(~k) H −→: H := 2 Z 1 : H := d3 kω~k a† (~k)a(~k) + a† (~k)a(~k) 2 Z H = d3 kω~k a† (~k)a(~k) . Und allgemein f¨ ur den 4-Impulsoperator Z µ µ P −→: P := d3 kk µ a† (~k)a(~k)

.

(4.36)

(4.37)

qed. Diese so definierten normalgeordneten Operatoren haben die generelle Eigenschaft, daß sie auf das Vakuum |0i der a(~k), a† (~k) angewendet verschwinden: : P µ : |0i = 0 |0i = 0 Damit hat man nun den Hamiltonoperator und die Vertauschungsregeln der Bosonen enthalten. das exakt die Vertauschungsregeln des harmonischen Oszillators sind. Das Vakuum |0i wird im Folgenden definiert. Man kann jetzt ganz analog wie beim harmonischen Oszillator vorgehen. Sei also |i ein normierter Eigenzustand zu H mit dem Eigenwert . Dann gilt f¨ ur den Zustand a(~k)|i die Beh: : H : a(~k)|i = ( − ω~k )| − ω~k i : H : a(~k)|i = =

Z

3 0

d3 k 0 ω~k0 a† (~k 0 ) a(~k 0 )a(~k) |i | {z } commute

~0

a (k )a(~k) | {z } †

d k ω~k0

= a(~k)

Z

a(~k 0 )|i

a(~ k)a† (~ k0 )−δ(~ k−~ k0 )

Z

d k ω~k0 a (~k 0 )a(~k 0 )|i − 3 0

†

= a(~k)H|i − ω~k a(~k)|i = ( − ω~ )a(~k)|i

Z

d3 k 0 ω~k0 δ(~k − ~k 0 )a(~k 0 )|i

k

= ( − ω~k )| − ω~k i

.

Es ist also − ω~k der Eigenwert des normalgeordneten Hamiltonoperators zum Eigenzustand | − ω~k i. qed Genauso zeigt man, dass + ω~k Eigenwert zu | + ω~k i = a† (~k)|i ist. Ausgehend von einem Eigenzustand |i kann man also weitere Eigenzust¨ande erzeugen: | ± ω~k i , | ± ~ω~k i usw. Da man keine negativen Eigenwerte zulassen darf

150

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

bei einem positiv definiten Operator, gibt es einen Zustand |0i mit kleinstem, nichtnegativem Eigenwert, der definiert wird durch a(~k)|0i = 0

(4.38)

f¨ ur alle ~k und h0|0i = 1

,

also auf 1 normiert ist. Da :H : |0i = 0 und :P~ : |0i = 0 nennt man diesen Zustand Vakuumzustand, in dem keine Teilchen vorhanden sind. Teilchenzust¨ande baut man dann aus diesem Vakuumzustand auf: Der Energieeigenwert eines Zustandes a† (~k)|0i ist gegeben durch Beh: : H : a† (~k)|0i = ω~k a† (~k)|0i Bew: Ha† (~k)|0i = =

Z

Z

d3 k 0 ω~k0 a† (~k 0 )a(~k 0 )a† (~k)|0i d k ω~k0 a (~k 0 )δ(~k − ~k 0 )|0i + 3 0

†

= ω~k a† (~k)|0i

Z

d3 k 0 a† (~k 0 )a† (~k) a(~k 0 )|0i | {z } =0

.

(4.39)

qed. Daher interpretiert man nun die a† (~k) und die a(~k) als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren von Teilchen mit Energie ω~k und Impuls ~k (P~ a† (~k)|0i = ~ka† (~k)|0i). Der Zustand |~ki = a† (~k)|0i (4.40) ist dann ein Einteilchenzustand mit Energie ω~k und Impuls ~k. Auch diese Zust¨ ande sind nat¨ urlich normiert und es gilt h~k|~k 0 i = δ(~k − ~k 0 ) Der Zustand

.

|~k1 , ~k2 i = a† (~k1 )a† (~k2 )|0i

(4.41)

ist dann ein Zweiteilchenzustand, dessen Energie man erh¨alt mit : H : a† (~k1 )a† (~k2 )|0i =

Z Z

Z

d3 k 0 ω~k0 a† (~k 0 )a(~k 0 )a† (~k1 )a† (~k2 )|0i =

d3 k 0 ω~k0 a† (~k 0 ) δ(~k 0 − ~k1 ) + a† (~k1 )a(~k 0 ) a† (~k2 )|0i =

d k ω~k0 a (~k 0 )δ(~k 0 − ~k1 )a† (~k2 )|0i + 3 0

†

Z

d3 k 0 ω~k0 a† (~k 0 )a† (~k1 )a(~k 0 )a† (~k2 )|0i =

4.1. QUANTISIERUNG

ω~k1 a (~k1 )a† (~k2 )|0i + †

Z

151

d3 k 0 ω~k0 a† (~k 0 )a† (~k1 ) δ(~k 0 − ~k2 ) + a† (~k2 )a(~k 0 ) |0i =

ω~k1 a† (~k1 )a† (~k2 )|0i +

Z

d3 k 0 ω~k0 a† (~k 0 )a† (~k1 )δ(~k 0 − ~k2 )|0i =

ω~k1 a† (~k1 )a† (~k2 )|0i + ω~k2 a† (~k2 )a† (~k1 )|0i =

(ω~k1 + ω~k2 )a† (~k1 )a† (~k2 )|0i

.

Der Energieeigenwert ist also gleich der Summe der Energien der zwei Teilchen. Eine weitere Analogie zum harmonischen Oszillator ist der Besetzungszahloperator. Dieser war N (~k) = a† (~k)a(~k)

(4.42)

und hatte als Eigenwerte n(~k) = 0, 1, 2, . . . also die Anzahl der Besetzungen eines Zustandes. Hier erh¨alt man mit den Vertauschungsrelationen (4.14) allerdings zun¨achst (z.B.: f¨ ur den Ein-TeilchenZustand a† (~k)|0i ): N (~k 0 )a† (~k)|0i = a† (~k 0 )a(~k 0 )a† (~k)|0i = a† (~k 0 ) δ(~k 0 − ~k) + a† (~k)a(~k 0 ) |0i = δ(~k 0 − ~k)a† (~k 0 )|0i

.

Ohne weiteres ergibt es offenbar keinen Sinn, nach der Besetzung eines Zustandes im Kontinuum zu fragen. Um die δ−Funktion wegzubekommen muß man in irgendeiner Weise noch u ¨ber eine geeignete Umgebung von ~k 0 integrieren. Man definiert daher neu und erh¨alt nun die Anzahl der Teilchen, deren Impulse ~k in einer beliebigen Umgebung U (~k) liegen, mit N (~k) =

Z

U (~ k)

d3 k 0 a† (~k 0 )a(~k 0 )

.

(4.43)

152

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

Damit erh¨alt man z. B. f¨ ur den Zwei-Teilchen-Zustand a† (~k1 )a† (~k1 )|0i : Z N (~k)a† (~k1 )a† (~k1 )|0i = d3 k 0 a† (~k 0 )a(~k 0 )a† (~k1 )a† (~k1 )|0i U (~ k) Z = d3 k 0 a† (~k 0 ) δ(~k 0 − ~k1 ) + a† (~k1 )a(~k 0 ) a† (~k1 )|0i U (~ k) Z d3 k 0 a† (~k 0 )δ(~k 0 − ~k1 )a† (~k1 )|0i = ~ U (k) Z d3 k 0 a† (~k 0 )a† (~k1 ) δ(~k 0 − ~k1 ) + a† (~k1 )a(~k 0 ) |0i + U (~ k) Z Z 3 0 † ~0 0 † ~ ~ ~ = d k a (k )δ(k − k1 )a (k1 )|0i + d3 k 0 a† (~k 0 )a† (~k1 )δ(~k 0 − ~k1 )|0i ~ ~ U (k) U (k) Z d3 k 0 δ(~k 0 − ~k1 )a† (~k 0 )a† (~k1 )|0i =2 =

4.1.4

(

U (~ k)

2a† (~k1 )a† (~k1 )|0i 0

,falls ~k1 ∈ U (~k) ,falls ~k1 ∈ / U (~k)

)

Das komplexe Klein-Gordon-Feld

Teilchen und Anti-Teilchen Das freie, reelle Klein-Gordon-Feld beschrieb Bosonen, die sich nur in ihrem Impuls unterscheiden konnten. Um nun Teilchen zu beschreiben, die sich durch ihre Ladung unterscheiden, ben¨otigt man ein komplexes Feld. Die Lagrangedichte definiert man nun durch L = ∂α φ† ∂ α φ − µ2 φ† φ

(4.44)

dabei ist N das Normalprodukt. Nun ist also φ 6= φ† und man behandelt φ und φ† wie zwei unabh¨angige Felder. Es gibt deshalb zwei Bewegungsgleichungen. Die mit Ableitungen bzgl. φ† lautet ∂L ∂L − ∂α =0 † ∂φ ∂(∂α φ† )

:

(4.45)

und ergibt mit ∂α

∂L ∂ = ∂α ∂α φ† ∂ α φ − µ2 φ† φ = ∂α ∂ α φ † † ∂(∂α φ ) ∂(∂α φ )

sofort die Klein-Gordon Gleichung

∂α ∂ α + µ2 φ = 0

.

genauso wie die Bewegungsgleichung mit Ableitungen bzgl. φ: ∂α ∂ α + µ2 φ† = 0 .

(4.46)

(4.47)

4.1. QUANTISIERUNG

153

Die zugeh¨ origen konjugierten Felder sind π=

∂L = φ˙ † ˙ ∂φ

π† =

;

∂L = φ˙ ∂ φ˙ †

.

(4.48)

Um die Eigenfunktionen der freien Klein-Gordon-Gleichungen zu finden setzt man wieder an: Z Z 1 1 4 −ikx † d kA(k)e und φ (x) = d4 kA† (k)eikx φ(x) = (2π)2 (2π)2 (4.49) und erh¨alt nach Einsetzen in die Klein-Gordon-Gleichungen auf ganz ¨ahnlichem Wege wie im reellen Fall: Z

φ(x) =

d3 k

1 2(2π)3 ω~k

1/2

(a(~k)e−ikx + b† (~k)eikx )

(4.50)

und †

φ (x) =

Z

3

d k

1 2(2π)3 ω~k

1/2

(b(~k)e−ikx + a† (~k)eikx )

.

(4.51)

Offenbar gibt es jetzt zwei Teilchen-Sorten, i.e. a(~k) und b(~k). Zur Quantisierung definiert man nun folgende Kommutatorrelationen: h i [φ(~x, t), π(~x0 , t)] = φ(~x, t), φ˙ † (~x0 , t) = iδ(~x − ~x0 ) (4.52) alle m¨ oglichen anderen Kommutatoren zu gleichen Zeiten verschwinden

Diese Quantisierungsforderung ist ¨ aquivalent der Forderung f¨ ur eine Kommutator Relation φ† (~x, t), π † (~x0 , t) = iδ(~x − ~x0 ) . Auf gleichem Wege wie im reellen Fall, erh¨alt man Ausdr¨ ucke f¨ ur a(~k) =

b(~k) =

1 2(2π)3 ω~k

1 2(2π)3 ω~k

1/2 Z

1/2 Z

˙ eikx d3 x ω~k φ(x) + iφ(x)

(4.53)

d3 x ω~k φ† (x) + iφ˙ † (x) eikx

(4.54)

und daraus die Vertauschungsrelationen f¨ ur a, a† , b, b† :

[a(~k), a† (~k 0 )] = [b(~k), b† (~k 0 )] = δ(~k − ~k 0 )

(4.55)

und alle m¨ oglichen anderen Kombinationen verschwinden Daher interpretiert man a† (~k) und b† (~k) wieder als Erzeugungs- und a(~k) und b(~k) als Vernichtungsoperatoren. Dabei erzeugen a† (~k) und b† (~k) nun 2 Sorten von Teilchen, a-Teilchen und b-Teilchen, wobei jede Sorte f¨ ur sich normalgeordnet werden muß. Daher erh¨alt man nun f¨ ur den Hamilton-Operator,

154

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

dessen Eigenwerte ja im Fall des freien Feldes der Summe der Teilchenenergien entsprechen: Z (4.56) : H := d3 kω~k a† (~k)a(~k) + b† (~k)b(~k)

Und f¨ ur den Impulsoperator Z ~ : P := d3 k~k a† (~k)a(~k) + b† (~k)b(~k)

.

(4.57)

oder 4-Impulsoperator Z µ : P := d3 kk µ a† (~k)a(~k) + b† (~k)b(~k)

Man ben¨ otigt auch zwei Besetzungszahloperatoren Z Z Na (~k) = d3 k 0 a† (~k 0 )a(~k 0 ) und Nb (~k) = U (~ k)

U (~ k)

d3 k 0 b† (~k 0 )b(~k 0 )

, (4.58)

so dass zum Beispiel Na (~k) b† (~k1 ) |0i = =

Z

U (~ k)

d3 k 0 a† (~k 0 )a(~k 0 ) b† (~k1 ) |0i

U (~ k)

d3 k 0 a† (~k 0 )b† (~k1 )a(~k 0 ) |0i = 0

Z

ist. Noether-Theorem, Stromdichte und Ladung In diesem Kapitel wollen wir den Ladungsoperator f¨ ur Teilchen und Anti-Teilchenuntersuchen. In Kapitel () sah man, dass bei Invarianz der Lagrangedichte (4.44) unter Phasentransformation φ −→ φ0 = φ + iφ

φ† −→ φ†0 = φ† − iφ† die Stromdichte fα =

(4.59)

∂L ∂L δφ + δφ† ∂α φ ∂α φ†

(4.60)

die Kontinuit¨atsgleichung ∂α f α = 0

(4.61)

erf¨ ullt. Die oben genannten Lagrangedichte (4.44) ist in der Tat invariant unter der Phasentransformation (4.59) was man sofort sieht, da (1 − i)(1 + i) = 1 + i − i − |{z} i2 2 = 1.Man erh¨alt sofort die erhaltene Stromdichte: =0

f α = i(

∂ α φ† ∂φ † φ− φ ) ∂xα ∂xα

.

(4.62)

4.1. QUANTISIERUNG

155

Da diese auch nach Multiplikation mit einer Konstante erhalten ist, betrachtet man statt f α : sα = −iq(∂ α φ† φ − ∂ α φφ† ) (4.63) und die dazugeh¨ orende erhaltene Gr¨osse, genannt Ladung: Z Q = d3 xs0 (x) Z † ˙ = −iq d3 x(φ˙ † (x)φ(x) − φ(x)φ (x))

(4.64)

Eine inzwischen gewohnte Rechnung zeigt: Beh: Z : Q := q d3 k(a† (~k)a(~k) − b† (~k)b(~k)) Bew:Man sieht das sofort: Mit (4.50) und (4.51) bekommt man Z iω~ 1 ˙ †= d3 kd3 k 0 √ k · φ˙ † φ − φφ 3 2(2π) ω~k ω~k0 0 0 [(−b(~k)e−ikx + a† (~k)eikx )(a(~k 0 )e−ik x + b† (~k 0 )eik x ) 0 0 −(−a(~k)e−ikx + b† (~k)eikx )(b(~k 0 )e−ik x + a† (~k 0 )eik x )]

Auch hier m¨ ochte man irrelevante unendliche Konstanten vermeiden und f¨ uhrt wieder das Normalprodukt N ein: Z ˙ †) Q →: Q := −iq d3 xN (φ˙ † φ − φφ und erh¨alt

: Q := −iq

1 2(2π)3

Z

d3 kd3 k 0 √

iω~k ω~k ω~k0

Z

d3 x{

0 0 (a(~k)b(~k 0 ) − b(~k)a(~k 0 ))e−i(k+k )x + (a† (~k 0 )a(~k) − b† (~k 0 )b(~k))e−i(k−k )x

0 0 +(a† (~k)a(~k 0 ) − b† (~k)b(~k 0 ))ei(k−k )x + (a† (~k)b† (~k 0 ) − b† (~k)a† (~k 0 ))ei(k+k )x }

=

q 2

Z

ω~ d3 k √ k ((a(~k)b(−~k)−b(~k)a(−~k))e−2iω~k t +(a† (~k)a(~k)−b† (~k)b(~k)) ω~k ω~k

+(a† (~k)a(~k) − b† (~k)b(~k)) + (a† (~k)b† (−~k) − b† (~k)a† (−~k))e2iω~k t )

(4.65)

156

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD : Q := q

Z

d3 k(a† (~k)a(~k) − b† (~k)b(~k))

(4.66)

da der erste und letzte Summand in (4.65) jeweils eine ungerade Funktion darstellt, und das Integral von −∞ bis +∞ u ¨ber solche verschwindet. qed. Wir zeigen jetzt im Folgenden, daß man diesen Operator Q als Ladungsoperator interpretieren kann. Man schreibt den beiden Sorten Teilchen Ladungen zu und zwar den a-Teilchen die Ladung +q und den b-Teilchen die Ladung −q . Abgesehen von dieser Ladung ist die Theorie von a- und b-Teilchen v¨ollig symmetrisch. Das heisst: vertauscht man a- und b-Teilchen, so ¨andert sich nur das Vorzeichen von Q. F¨ ur das reelle Feld verschwindet der Ladungsoperator (4.64), da φ = φ† . Damit hat man nun eine Beschreibung f¨ ur geladene und ungeladene Teilchen gefunden. Diese beschr¨ankt sich nicht nur auf elektrisch geladene Teilchen. So k¨onnen auch elektrisch neutrale Teilchen durchaus eine andere Art von Ladung tragen, die aus der Invarianz der Lagrangedichte unter einer anderen kontinuierlichen Transformation hervorgegangen ist. Zum Beispiel beschreibt man auch die Hyperladung auf solche Weise. Um diese Tatsachen formal abzuleiten gehen wir auf folgende Weise vor Beh: Ist nun Q0 ein Eigenwert von Q zum Zustand |Q0 i , also Q|Q0 i = Q0 |Q0 i

,

so sieht man, daß a† (~k) die Ladung des Zustandes |Q0 i um q erh¨oht, w¨ahrend b† (~k) die Ladung des Zustandes um q erniedrigt, also formal gilt Qa† (~k)|Q0 i = (Q0 + q)a† (~k)|Q0 i Qb† (~k)|Q0 i = (Q0 − q)b† (~k)|Q0 i Bew: Wir betrachten Z Qb† (~k)|Q0 i = q d3 k 0 (a† (~k 0 )a(~k 0 ) − b† (~k 0 )b(~k 0 ))b† (~k)|Q0 i Z = q d3 k 0 (a† (~k 0 )a(~k 0 )b† (~k) − b† (~k 0 )b(~k 0 )b† (~k))|Q0 i Z = q d3 k 0 [b† (~k)a† (~k 0 )a(~k 0 ) − b† (~k 0 )(δ(k − k 0 ) + b† (~k)b(~k 0 ))]|Q0 i Z = q d3 k 0 [−δ(k − k 0 )b† (~k 0 ) + b† (~k)(a† (~k 0 )a(~k 0 ) − b† (~k 0 )b(~k 0 ))]|Q0 i = −qb† (~k)|Q0 i + b† (~k) Q|Q0 i | {z }

= (Q0 − q)b† (~k)|Q0 i qed.

=Q0 |Q0 i

,

4.1. QUANTISIERUNG

157

Betrachtet man nun zwei Zust¨ ande a† (~k)|0i und b† (~k)|0i, so sieht man wegen Q|0i = 0|0i = 0 sofort Qa† (~k)|0i = qa† (~k)|0i und ebenso Qb† (~k)|0i = −qb† (~k)|0i

,

dass Q f¨ ur a- und b-Teilchen ein unterschiedliches Ladungs-Vorzeichen liefert. Der Impuls aber ist f¨ ur beide gleich: P~ a† (~k)|0i = ~~ka† (~k)|0i P~ b† (~k)|0i = ~~kb† (~k)|0i

.

Offenbar haben die Einteilchenzust¨ande von a und b unterschiedliche Ladung, sind aber sonst identisch. Genau das sind Teilchen- und Anti-teilchen.

4.1.5

Kovariante Vertauschungsrelationen

Schwingersche ∆-Funktion Nat¨ urlich muss die Theorie des Klein-Gordon-Feldes auch die Forderung des Relativit¨ atsprinzips erf¨ ullen. Sie muss also kovariant, d.h. forminvariant unter Lorentztransformation sein. Die Lagrangedichte L = 21 (∂α φ∂ α φ + µ2 φ2 ) und die daraus abgeleitete Bewegungsgleichung (∂α ∂ α + µ2 )φ = 0 sind offensichtlich kovariant, da sie nur Lorentzskalare enthalten. Nicht so deutlich erkennbar ist dieses f¨ ur die Kommutatorrelationen der Felder (??), da diese einen festen Zeitpunkt ausw¨ ahlen. Um nun deren Kovarianz zu u ¨berpr¨ ufen, ist die folgende Behauptung wichtig: Beh: [φ(x), φ(y)] = i~c∆(x − y) mit der Schwingerschen Delta-Funktion Z i d4 kδ(k 2 − µ2 )(k 0 )e−ikx ∆(x) = − (2π)3

,

(4.67)

und (k 0 ) = θ(k 0 ) − θ(−k 0 ) =

k0 = |k 0 |

+1 , k 0 > 0 −1 , k 0 < 0

.

(4.68)

Man sieht direkt, daß ∆(x) infariant unter Lorentz-Transformationen ist, weil die δ-Funktion nur skalare Gr¨ ossen enth¨alt. Bei (k 0 ) ist die Invarianz trivial: Die δ-Funktion sorgt daf¨ ur daß der k-Vektor zeitartig ist. Eine eigentliche

158

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

Lorentz-Transformation bildet in wieder auf einen zeitartigen Vektor ab, we0 Λk0 0 0 shalb |kk0 | = |Λk 0 | und (k ) = (Λk ). Also gilt auch daß ∆(x) Lorentz-invariant ist ∆(Λx) = ∆(x) und damit auch ∆(z) = 0

f¨ ur

z 2 < 0 (raumartig)

Bew: Wir berechnen den Kommutator [φ(x), φ(y)] an beliebigen Raum-Zeit-Punkten x und y . Dazu schreibt man φ(x =

Z |

d3 k

~c2 2(2π)3 ω~k {z

1/2

φ+

+

1/2 Z ~c2 a(~k)e−ikx + d3 k a† (~k)eikx 2(2π)3 ω~k } | {z } φ−

−

= φ (x) + φ (x)

.

(4.69)

Da φ+ nur Vernichtungs- und φ− nur Erzeugungsoperatoren enth¨alt, gilt [φ+ (x), φ+ (y)] = [φ− (x), φ− (y)] = 0

,

(4.70)

so dass [φ(x), φ(y)] = [φ+ (x) + φ− (x), φ+ (y) + φ− (y)] = [φ+ (x), φ− (y)] + [φ− (x), φ+ (y)]

(4.71)

ist. Nun rechnet man den ersten Kommutator aus: [φ+ (x), φ− (y)] = φ+ (x)φ− (y) − φ− (y)φ+ (x) =

−

Z

d k

Z

3 0

3

d k

1 2(2π)3 ω~k

1 2(2π)3 ω~k0

1 2(2π)3

1/2

Z

1 2(2π)3

a(~k)e−ikx ·

1/2

0 a (~k 0 )eik y ·

d3 kd3 k 0 √

Z

Z

†

3 0

d k Z

3

d k

1 2(2π)3 ω~k0

1/2

1 2(2π)3 ω~k

0 a† (~k 0 )eik y

1/2

a(~k)e−ikx =

0 1 (a(~k)a† (~k 0 ) − a† (~k 0 )a(~k))ei(k y−kx) = ω~k ω~k0

d3 kd3 k 0 √

1 ~ ~0 δ(k − k 0 )ei(ω~k0 ty −ω~k tx ) ei(k~x−k y~) = ω~k ω~k0

4.1. QUANTISIERUNG

159

Z 1 ~c2 ~ ~ d3 k ei(ω~k ty −ω~k tx ) ei(k~x−k~y) = 3 2(2π) ω~k Z ~c2 1 d3 k e−i(x−y)k 3 2(2π) ω~k

(4.72)

Da solche und ¨ ahnliche Ausdr¨ ucke immer wieder auftreten, definiert man Z i 1 ∆+ (x) := − d3 k e−ikx . (4.73) 3 2(2π) ω~k Damit kann man dann schreiben [φ+ (x), φ− (y)] = i∆+ (x − y)

.

(4.74)

Genauso wie eben rechnet man f¨ ur den zweiten Kommutator aus (4.71) : Z 1 1 d3 k ei(x−y)k (4.75) [φ− (x), φ+ (y)] = − 2(2π)3 ω~k und definiert

Z

1 d3 k eikx ω~k Z 1 −i d3 k e−ik(−x) =− 2(2π)3 ω~k

i ∆ (x) := 2(2π)3 −

= −∆+ (−x)

,

(4.76)

(4.77)

damit man auch schreiben kann [φ− (x), φ+ (y)] = i~c∆− (x − y)

.

(4.78)

So schreibt man dann die zu berechnende Kommutatorrelation [φ(x), φ(y)] = [φ+ (x), φ− (y)] + [φ− (x), φ+ (y)] = i∆+ (x − y) + i∆− (x − y) =:i∆(x − y) ,

(4.79)

wodurch definiert wird ∆(x) = ∆+ (x) + ∆− (y) Z Z i i 1 3 1 −ikx =− d k e + d3 k eikx 2(2π)3 ω~k 2(2π)3 ω~k Z 1 i d3 k (eikx − e−ikx ) = {z } | 2(2π)3 ω~k 1 =− (2π)3

Z

cos(kx)+i sin(kx)−cos(−kx)−i sin(−kx)=2i sin(kx)

1 sin(kx) d3 k ω~k

.

(4.80)

160

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

Diese ∆-Funktion kann auch geschrieben werden wie in Gl.(4.67) behauptet. Es ist ja k 2 − µ2 = (k 0 )2 − ~k 2 − µ2 = (k 0 )2 − (ω~k )2

(4.81)

und damit 2

2

0 2

2

δ(k − µ ) = δ((k ) − (ω~k ) ) =

δ(k 0 −

ω~k c )

ω~k c )

+ δ(k 0 + ω |2 c~k |

.

(4.82)

Wenn man also (4.67) auf diese Weise zerlegt und dann die k 0 -Integration ausf¨ uhrt, erh¨alt man wieder (4.80): Z i ∆(x) = − d4 kδ(k 2 − µ2 )(k 0 )e−ikx (2π)3 =−

i (2π)3 =− −

Z

d3 kdk 0

i (2π)3 i (2π)3 Z

=−

i 2(2π)3

−

i 2(2π)3

Z

Z

Z

δ(k 0 − ω~k ) + δ(k 0 + ω~k ) 0 −ikx (k )e |2ω~k |

d3 kdk 0

1 δ(k 0 − ω~k )(k 0 )e−ikx 2ω~k

d3 kdk 0

1 δ(k 0 + ω~k )(k 0 )e−ikx 2ω~k

Z

~

d3 keik~x ~

d3 keik~x

Z

dk 0

0 1 δ(k 0 − ω~k )(k 0 )e−ik ct 0 k

dk 0

0 1 δ(k 0 + ω~k )(k 0 )e−ik ct 0 k

Jetzt spalten wir den Integrationsbereich auf Z Z 0 0 1 −i 3 i~ k~ x dk 0 0 δ(k 0 − ω~k ) (k 0 ) e−ik ct d ke ( ∆(x) = | {z } 2(2π)3 k −∞ +

+

−i 2(2π)3

Z

Z

+∞

+

|

0

0 1 δ(k 0 − ω~k ) (k 0 ) e−ik ct ) 0 | {z } k

=+1

0

dk 0 −∞

+∞

dk 0 0

=−1

{z

=0

dk 0

Z ~ d3 keik~x ( Z

|

0 1 δ(k 0 + ω~k ) (k 0 ) e−ik ct 0 | {z } k

=−1

0 1 δ(k 0 + ω~k ) (k 0 ) e−ik ct ) | {z } k0

{z

=0

=+1

}

}

4.1. QUANTISIERUNG

161

, da ω~k = =

−i 2(2π)3

Z

~

d3 keik~x

i 1 −iω~ t e k + ω~k 2(2π)3

Z

q ~k 2 + µ2 > 0 ~

d3 keik~x

1 iω~ t e k ω~k

im zweiten Integral substituiert man dann noch k → −k und vertauscht anschliessend die Integrationsgrenzen: Z Z i i ~ 1 3 i~ k~ x 1 −iω~k t + ∆(x) = − d ke e d3 ke−ik~x eiω~k t 2(2π)3 ω~k 2(2π)3 ω~k i =− 2(2π)3

Z

d3 k

i =− 2(2π)3

=−

1 (2π)3

Z

1 ~ ~ (−eik~x e−iω~k t + e−ik~x eiω~k t ) ω~k Z

d3 k

d3 k

1 ikx (e − e−ikx ) {z } ω~k | =2i sin(kx)

1 sin(kx) = ∆(x) ω~k

.

(4.83)

Hiermit haben wir die Darstellung (4.67) bewiesen. Dort ist die Invarianz von ∆(x) und damit von [φ(x), φ(y)] unter eigentlichen Lorentz-Transformationen offensichtlich, da alle Faktoren Lorentz-invariant sind. (Da eigentliche Lorentz¨ Transformationen Anderungen der Zeitrichtung ausschliessen, ist auch (k 0 ) invariant.) qed Aus der Invarianz von ∆(x − y) kann man schliessen, dass die Felder an zwei Raum-Zeit-Punkten, die durch einen raumartigen Abstand getrennt sind, miteinander vertauschen. Denn: F¨ ur einen beliebigen raumartigen Abstand s2xy < 0 in einem Inertialsystem IS ist es ja immer m¨oglich, ein Inertialsystem IS 0 zu finden, in dem beide Ereignisse gleichzeitig sind: Dann besagt die gleichzeitige Kommutatorrelation (??), dass die Felder in IS 0 vertauschen und die Invarianz von ∆(x − y), dass sie auch in IS vertauschen. Also f¨ ur (x − y)2 < 0 : [φ(x), φ(y)] = [φ0 (x0 ), φ0 (y 0 )] = [φ0 (~x0 , t), φ0 (~y 0 , t)] = 0

.

(4.84)

oder ∆(z) = 0

f¨ ur

z 2 < 0 (raumartig)

Die Tatsache, daß die Feld-Operatoren bei raumartigen Abs¨anden vertauschen, die Felder also unabh¨angig voneinander sind und nicht kausal verkn¨ upft sind, nenn man Mikrokausalit¨ at. Wenn wir eine Transformation der Art haben xµ −→ −xµ , dann folgt ε(q 0 ) = −ε(q 0 ) und damit ∆(z) = −∆(−z)

162

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

Der Feynmann-Propagator der Mesonen

Eine weitere Darstellung der ∆ -Funktion ist Beh: Z 1 e−ikx 1 4 ∆(x) = − d k = [φ(x), φ(y)] (2π)4 C k 2 − µ2 i

.

(4.85)

Dabei ist die k 0 -Integration als Wegintegration in der komplexen k 0 -Ebene aufzufassen, wobei der geschlossene Weg C wie in Abb.1 genommen wird. Dann ist n¨ amlich Z Z 0 1 1 ~ 3 ∆(x) = − d k dk 0 0 2 e−ik ct eik~x 4 2 (2π) (k ) − (ω~k ) C Z Z 0 1 e−ik t 3 i~ k~ x 0 =− d ke dk (4.86) (2π)4 (k 0 )2 − (ω~k )2 C Das k 0 -Integral wertet man nun mit Hilfe des Residuensatzes aus, der besagt, dass der Wert des u ¨ber den geschlossenen Weg genommenen Integrals gleich dem Produkt aus 2πi und der Summe der Residuen in allen vom Weg eingeschlossenen Singularit¨ aten ist.

4.1. QUANTISIERUNG

163

In Worten: Z

f (z)dz = 2πi

C

n X

k=0

(Res f (z)) |z=zk

mit z0 , . . . , zn : Singularit¨aten.

(4.87) ϕ(z) und die Singularit¨at z0 ein Pol 1. Ordnung ist, Wenn, wie hier, f (z) = ψ(z) kann das Residuum leicht berechnet werden, als ϕ(z0 ) ϕ(z) = 0 . (4.88) Res ψ(z) z=z0 ψ (z0 ) Wendet man dieses nun bei dem k 0 -Integral an, erh¨alt man Z

C

0

dk 0

0

0

e−ik ct e−ik t e−ik t = 2πiRes( 0 2 )|k0 =−ω~k +2πiRes( 0 2 )|k0 =+ω~k 0 2 2 2 (k ) − (ω~k ) (k ) − (ω~k ) (k ) − (ω~k )2 = 2πi

eiω~k t −2ω~k

+ 2πi

e−iω~k t 2ω~k

=

πi −iω~ t (e k − eiω~k t ) ω~k

Damit ist dann ∆(x) = − =

1 (2π)4

Z

~

d3 keik~x

πi −iω~ t (e k − eiω~k t ) ω~k

Z Z −i 1 ~ 3 1 i~ k~ x −iω~k t ( d k e e − d3 k eik~x eiω~k t ) 2(2π)3 ω~k ω~k

(im zweiten Integral substituiert man dann noch ~k → −~k und vertauscht anschliessend die Integrationsgrenzen:) ∆(x) =

i 2(2π)3

Z

c =− (2π)3

Z

d3 k

1 ikx (e − e−ikx ) {z } ω~k | =2i sin(kx)

d3 k

1 sin(kx) ω~k

(4.89)

Dies ist aber der bekannte Ausdruck () f¨ ur die Schwingersch ∆-Funlktion. qed. Mit der eber definierten Schwingerschen ∆-Funktionen kann man ein spezielle ∆-Funktionen herleiten, der in der Quantenfeldtheorie grosse Bedeutung zukommt und die dann zum Feynman-Propagator f¨ uhren. Ausgehend vom reellen KleinGordon-Feld kann man die ∆+ -Funktion auch auf folgende Weise darstellen: Beh: i∆+ (x − x0 ) = [φ+ (x), φ− (x0 )] = h0|φ(x)φ(x0 )|0i

164

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

Bew: i∆+ (x − x0 ) = i∆+ (x − x0 )h0|0i

= h0|i∆+ (x − x0 )|0i

= h0|[φ+ (x), φ− (x0 )]|0i

= h0|φ+ (x)φ− (x0 ) − φ− (x0 )

φ+ (x)|0i | {z }

=0, da inφ+ nur Vernichtungsop.

= h0|φ+ (x)φ− (x0 )|0i

= h0|φ+ (x)φ− (x0 )|0i + h0|φ+ (x) φ+ (x0 )|0i +h0|φ− (x) φ+ (x0 )|0i + h0|φ− (x) φ− (x0 )|0i | {z } | {z } | {z } =0

=0

=0

= h0|φ+ (x)φ+ (x0 ) + φ+ (x)φ− (x0 ) + φ− (x)φ+ (x0 ) + φ− (x)φ− (x0 )|0i = h0|(φ+ (x) + φ− (x))(φ+ (x0 ) + φ− (x0 ))|0i = h0|φ(x)φ(x0 )|0i

(4.90)

Dabei sind x und x0 beliebige Raum-Zeit-Punkte, d.h. im Allgemeinen nicht gleichzeitig, so dass ein Punkt zeitlich vor dem anderen liegt: t > t0

oder

t0 > t

mit

0

t0 = x0 ; t = x0

.

Nun m¨ ochte man die Operatoren so ordnen, dass derjenige am fr¨ uheren Zeitpunkt zuerst wirkt, also rechts vom sp¨ateren steht. Dies wird n¨otig sein, um den Feynman-Propagator zu diefinieren. Zu diesem Zwecke f¨ uhrt man das zeitgeordnete oder T-Produkt ein: φ(x)φ(x0 ) , f¨ ur t > t0 T (φ(x)φ(x0 )) = . (4.91) φ(x0 )φ(x) , f¨ ur t < t0 Nimmt man die Stufenfunktion θ(t) =

1 0

, f¨ ur , f¨ ur

t>0 t<0

(4.92)

zu Hilfe, kann man das T-Produkt schreiben als, T (φ(x)φ(x0 )) = θ(t − t0 )φ(x)φ(x0 ) + θ(t0 − t)φ(x0 )φ(x)

.

(4.93)

Damit definiert man nun die Feynmansche ∆-Funktion ∆F als: i∆F (x − x0 ) = h0|T (φ(x)φ(x0 )) |0i

.

(4.94)

Dabei ist i∆F (x − x0 ) = h0|T (φ(x)φ(x0 )) |0i = h0|θ(t − t0 )φ(x)φ(x0 ) + θ(t0 − t)φ(x0 )φ(x)|0i

= θ(t − t0 )h0|φ(x)φ(x0 )|0i + θ(t0 − t)h0|φ(x0 )φ(x)|0i = θ(t − t0 )i∆+ (x − x0 ) + θ(t0 − t)i∆+ (x0 − x) = i θ(t − t0 )∆+ (x − x0 ) − θ(t0 − t)∆− (x − x0 )

.

(4.95)

4.1. QUANTISIERUNG

165

Oder anschaulicher: ∆F (x) =

∆+ (x) −∆− (x)

, f¨ ur t > 0 , f¨ ur t<0

(4.96)

Eine kompaktere Darstellung der Feynmanschen ∆F -Funktion kann gegeben werden durch: Beh: Z 1 e−ikx 4 ∆F (x) = d k . (2π)4 CF k 2 − µ2 Dabei wird die k 0 -Integration wieder als Wegintegration u ¨ber den Weg CF in der komplexen k 0 -Ebene aufgefasst. Der Weg CF sei dabei wie in Abb.2 dargestellt: man schliesst den Weg f¨ ur t > 0 in der unteren, f¨ ur t < 0 in der oberen Halbebene.

166

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD Bew: Man berechnet dann wie oben, z.B. f¨ ur t < 0 : Z e−ikx 1 4 d k ∆F (x) = (2π)4 CF k 2 − µ2 Z Z −ik0 t i~ e k~x 1 0e 3 dk d k = (2π)4 k 2 − µ2 CF Z Z −ik0 ct 1 3 i~ k~ x 0 e = d ke dk (2π)4 k 2 − µ2 C } | F {z iω~ t

e k =2πi −2ω /

Z 1 ~ i d3 k eik~x eiω~k t =− 2(2π)3 ω~k Z i 1 =− d3 k e−ikx 2(2π)3 ω~k

= −∆− (x)

~ k

.

Genauso erh¨alt man f¨ ut t > 0 mit dem Weg CF f¨ ur t > 0 aus Abb.2: ∆F (x) = ∆+ (x)

.

qed.

Eine anschauliche Interpretaion der Feynmanschen ∆ -Funktion erh¨alt man, wenn man f¨ ur t > t0 : i∆F (x − x0 ) = h0|φ(x)φ(x0 )|0i = h0|φ+ (x)φ− (x0 )|0i

(4.97)

4.1. QUANTISIERUNG

167

den Vakuumerwartungswert als Prozess zwischen einem Anfangszustand φ− (x0 )|0i und einem Endzustand h0|φ+ (x) deutet. Dann kann man i∆F (x − x0 ) als Beschreibung eines Teilchens auffassen, das am Ort x0 erzeugt und am Ort x wieder vernichtet wird. Mit anderen Worten: es l¨auft vom Raum-ZeitPunkt x0 zum Raum-Zeit-Punkt x . Daher wird ∆F bzw. der Vakuumserwartungswert als Feynman-Propagator des Mesons vom Klein-Gordon-Feld kurz Meson-Propagator bezeichnet. Eine schematische Darstellung des Vorgangs zeigt Abb.3 f¨ ur t > t0 bzw. t0 > t. Ein Beispiel f¨ ur das Auftreten diese Propagators ist die Beschreibung einer Streuung zweier Nukleonen, die auf dem Austausch virtueller Mesonen beruht. Der einfachste Fall, der Austausch nur eines Mesons, ist in Abb.4 schematisch dargestellt. Bei der Berechnung einer solchen Streuung wird dann u ¨ber x0 und x l¨angs der Bahnen der Nukleonen integriert.

168

CHAPTER 4. DAS QUANTISIERTE KLEIN-GORDON-FELD

Chapter 5

Das quantisierte Dirac-Feld 5.1

Quantisierung und Teilchen

Wir haben die Lagrangedichte des freien massiven klassischen Dirac-Feldes ¯ ∂µ ψ, ∂µ ψ) ¯ = ψ(iγ ¯ µ ∂µ − m)ψ L = L(ψ, ψ,

(5.1)

Die Bewegungsgleichungen sind ∂µ

∂L ∂L µ ¯ − ∂ ψ¯ ⇒ (iγ ∂µ − m)ψ = 0 ∂(∂ µ ψ)

Wir wissen, daß die Bewegungsgleichungen bzgl. Ableitung nach ψ ¨aquivalent der obigen ist, deshalb gibt es nur einen kanonisch konjugierten Impuls: π(x) =

∂L 0 ¯ = iψ(x)γ = iψ + ∂(∂ 0 ψ)

(5.2)

Damit schreiben wir die Hamiltondichte H(x) = Θ00 (x) = π(x)∂ 0 ψ(x) − L(x)

(5.3)

¯ γ∇ ~ + m)ψ) = ψ(−i~

(5.4)

= ψ + (~ α · p~ˆ + βm)

(5.5)

und Hamiltonfunktion und Impulskomponenten k

0k

P (x) = Θ (x) =

Z

169

Z

d3 x H(x)

(5.6)

d3 x π(x)∂ k ψ(x)

(5.7)

H=

170

CHAPTER 5. DAS QUANTISIERTE DIRAC-FELD =

Z

1 ∂ d3 x ψ + (x) ψ(x) i ∂xk

(5.8)

Beim Klein-Gordon-Feld hatten wir gefordert (Bosonen,S = 0) h i ˆ x, t), π φ(~ ˆ (~y , t) = iδ(~x − ~y )

(5.9)

i ˆ x, t), φ(~ ˆ y , t) = [ˆ φ(~ π (~x, t), π ˆ (~y , t)] = 0

(5.10)

o n ψˆα (~x, t), ψˆβ (~y , t) = {ˆ πα (~x, t), π ˆβ (~y , t)} = 0

(5.12)

h

Beim Dirac-Feld (Fermionen, S = 12 ) erheben wir eine andere Forderung, jedoch ahnlich: ¨ n o ψˆα (~x, t), π ˆβ (~y , t) = iδαβ δ (3) (~x − ~y ) (5.11) Oder:

o n ψˆα (~x, t), ψˆβ+ (~y , t) = δαβ δ (3) (~x − ~y )

(5.13)

Hier α, β = 1, .., 4 sind Dirac-Spinor-Indices. In Zukunft arbeiten wir immer mit ˆ Um zu zeigen, dass dies quantisierten Feldern und schreiben deshalb ψ statt ψ. die richtigen Quantisierungsforderungen sind, konstruieren wir nun die TeilchenErzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und zeigen, dass diese den bekannten Fermion-Vertauschungsregeln gen¨ ugen. Dazu entwickeln wir das Dirac-Feld nach den L¨osungen der freien Dirac-Gleichung. Wenn wir die freien Dirac-Spinoren mit ur (~ p) bzw. vr (~ p) bezeichnen, mit r = − 12 , + 12 , so haben wir: ψ(x) =

¯ ψ(x) =

Z

d3 p (2π)3/2

s

Z

d3 p (2π)3/2

s

1

+2 M X p)vr (~ p)e+ipx cr (~ p)ur (~ p)e−ipx + d+ r (~ Ep 1

(5.14)

r=− 2 1

+2 M X dr (~ p)¯ vr (~ p)e−ipx + c+ p)¯ ur (~ p)e+ipx r (~ Ep 1

(5.15)

r=− 2

wobei wir ur (~ p) und vr (~ p) normiert die haben wie in Kap. Dirac-Gleichung angegeben und dann explizit verwendet haben µ X γ pµ + m (α) (β) ur (p)¯ ur (p) = (5.16) 2m αβ r −

X r

vr(α) (p)v¯r (β) (p)

=

m − γ µ pµ 2m

(5.17) αβ

Das Dirac-Feld ist ein 4-Spinor-Feld und nicht hermitesch. Deshalb haben wir we beim nicht-hermiteschen (komplexen) Klein-Gordon Feld in nat¨ urlicher

5.1. QUANTISIERUNG UND TEILCHEN

171

Weise zwei Teilchensorten, i.e. Teilchen (c, c† ) und Anti-Teilchen (d, d† ). Wir werden deren Eigenschaften noch studieren. Es gilt: s Z 3 M −2 d3 x eipx u ¯r (p)γ 0 ψ(x) (5.18) cr (~ p) = (2π) Ep − 32

dr (~ p) = (2π)

s

M Ep

Z

0 ¯ d3 x eipx ψ(x)γ vr (p)

(5.19)

Es gilt: Aus den obigen Quantisierungsforderungen f¨ ur das freie Dirac-Feld folgt eindeutig (ohne Beweis), mit r, s = − 21 , + 12 : cr (~q), c+ q 0 ) = δrs δ (3) (~q − ~q0 ) s (~

q0 ) = 0 q ), c+ {cr (~q), cs (~q0 )} = c+ s (~ r (~ dr (~q), d+ q 0 ) = δrs δ (3) (~q − ~q0 ) s (~ q0 ) = 0 q ), d+ {dr (~q), ds (~q0 )} = d+ s (~ r (~

(5.20) (5.21) (5.22) (5.23)

Alle andere Antik-Kommutatoren zwischen den c’s und d’s verschwinden. Damit haben wir die Quanten des Dirac-Feldes definiert und festgestellt, daß sie den Fermion-Vertauschungsregeln unterliegen (Teilchen-Interpretation des Dirac-Feldes). Wir k¨ onnen jetzt auch den Hamiltonoperator aufschreiben: Z XZ 3 ˆ+ + ˆ ~ H = d x ψ (−i~ α · ∇ + βm)ψ = d3 p Ep c+ r (p)cr (p) − dr (p)dr (p) r

(5.24) ˆ >= ∞ Wir haben hier das gleiche Problem wie beim KG-Feld, dass < 0|H|0 ist, also fordern wir, daß die Operatoren einer Normalordnung unterworfen werden. Diese Normalordnung ist Teil der Quantisierungsvorschrift und lautet, daß alle Vernichtungsoperatoren rechts von den Erzeugungsoperatoren angeordnet werden, wobei bei einem Vertauschen (im Gegensatz zu bosonischer Normalordnung) jeweils ein Minus-Zeichen eingef¨ ugt werden muß: : d(~q1 )d+ (~q2 ) := −d+ (~q2 )d(~q)

Normalordnung:

ˆ Damit erhalten wir einen vern¨ unftigen Ausdruck f¨ ur H XZ + ˆ ˆ d3 p Ep c+ H →: H := r (p)cr (p) + dr (p)dr (p)

(5.25)

(5.26)

r

und Impuls ˆ P~ →: P~ :=

Z

~ d3 x ψ + (x)(−i∇)ψ(x)

(5.27)

172

CHAPTER 5. DAS QUANTISIERTE DIRAC-FELD X ˆ : P~ := r

Z

d3 p p~ c†r (p)cr (p) + d†r (p)dr (p)

Oder allgemein 4-Impuls: : Pˆ µ :=

XZ

d3 p pµ c†r (p)cr (p) + d†r (p)dr (p)

r

(5.28)

(5.29)

Wir formulieren den Stromoperator, der erhalten ist, wie wir wissen (Dirac-Gl. Kapitel) µ ¯ ˆµ →: ˆµ :=: ψ(x)γ ψ(x) : (5.30) und den Ladungsoperator mit Ladung q : Z XZ + ˆ := d3 x : ˆ0 (x) := q d3 p c+ :Q r (p)cr (p) − dr (p)dr (p)

(5.31)

r

Damit ergeben sich folgende Relationen, die den Charakter der Teilchen d+ , d als Antiteilchen klar machen: Beide Teilchen haben die gleichen kinematischen Eigenschaften i h Pˆµ , c+ p) = pµ c+ p) (5.32) r (~ r (~ h i p) (5.33) p) = pµ d + Pˆµ , d+ r (~ r (~ aber unterschiedlichen Ladungen i h ˆ c+ (~ p) p) = +c+ (~ Q, r

r

h

i ˆ d+ p) p) = −d+ Q, r (~ r (~

(5.34) (5.35)

Das bedeutet f¨ ur Einteichenzust¨ande von c-Teilchen mit Spin 1/2 und 3-Komponente des Spins bezeichnet mit r im Vielteilchen-Hilbertraum, mit r = − 21 , + 12 : |c; p~, ri = c† (~ p, r) |0i

|d; p~, ri = d† (~ p, r) |0i die Eigenschaften und

Pˆ µ |c; p~, ri = pµ |c; p~, ri

ˆ |c; p~, ri = q |c; p~, ri Q

bzw

ˆ |d; p~, ri = −q |d; p~, ri Q

Wir haben die einfachen und klaren Vorschriften, den Einteilchenspinor im Ortsraum zu erhalten aus r 1 M + < 0|ψ(x) |c; p~, ri =< 0|ψ(x)|cr (~ p)|0 >= ur (p)e−ipx (5.36) 3 (2π) 2 EP

5.2. PROPAGATOREN

173

+ ¯ |d; p~, ri =< 0|ψ(x)|d ¯ p)|0 >= < 0|ψ(x) r (~

1 (2π)

3 2

r

M v¯r (p)e−ipx EP

(5.37)

Man muss festestellen: Die Hilbertvektoren |c; p~, ri = c† (~ p, r) |0i sind keine 4Spinoren, sondern abstrakte Vektoren versehenb mit dem Index r, der die 3. Komoponente des Spins charakterisiert. Die 4-Spinor-Eigenschaft liegt nur im Ortsraum (oder Impulsraum) vor und kommt im Ausdruck < 0|ψ(x) |c; p~, ri ∼ ur (~ p) durch die Spinor-Eigenschaft des ψ-Feldes hinein.

5.2

Propagatoren

Wir haben die Entwicklungen (r = +1/2, −1/2) mit Aufteilung nach positiven und negativen Frequenzanteilen   ψ (−) ψ (+) s + 21 Z z }| { }| { z  M X  d3 p cr (~ p)e+ipx  p)e−ipx + d+ p)vr(α) (~ p)u(α) ψα (x) = r (~ r (~   3/2 Ep (2π) 1 r=− 2

ψ¯β (x) =

Z

d3 p (2π)3/2

s

+ 12

(5.38) 



M X   p)e+ipx  p)¯ u(β) p)e−ipx + c+ p)¯ vs(β) (~ ds (~ s (~ s (~ | {z } {z } | Ep 1 s=− 2

¯(+) ψ

¯(−) ψ

(5.39) p mit Ep = + p~2 + M 2 und den Quantisierungsbedingungen zu gleichen Zeiten ψα (x), ψ¯β (y) y0 =x0 = γ 0 αβ δ 3 (~x − ~y ) ψα (x), ψβ (y) y0 =x0 = 0

Der Antikommutator f¨ ur ungleiche Zeiten muss sich aus dem f¨ ur gleiche Zeiten berechnen lassen durch Einsetzen der Entwicklung ergibt f¨ ur jede Kombination der Spinor-Indizes α, β: Behauptung: Die Schwingersche Delta-Funktion des Dirac-Feldes ist gegeben durch ψα (x), ψ¯β (y) = i(M + iγ µ ∂µ )αβ ∆(x − y)

wobei ∆(x − y) Schwingers Delta-Funktion des Klein-Gordon-Feldes ist. Bew.: s s Z M M X 3 3 −3 ¯ d pd q ψα (x), ψβ (y) = (2π) Ep Eq rs i h +i(px−qy) (β) (α) −i(px−qy) † (β) (~ q )e (~ p )¯ v (~ p ), d (~ q )}v (~ q )e + {d (~ p )¯ u {cr (~ p), c†s (~q)}u(α) s s r r s r +Terme mit verschwindenden Antikommutatoren wie {cr (~ p), d†s (~q)}

p0 =Ep q 0 =Eq

174

CHAPTER 5. DAS QUANTISIERTE DIRAC-FELD

dies ergibt wegen X

u(α) u(β) r (p)¯ r (p) =

r

und −

X

1 m + γ µ pµ )αβ 2m

vr(β) (p) = vr(α) (p)¯

r

1 m − γ µ pµ )αβ 2m

¨ schließlich (lasse der Ubersichtlichkeit halber die Spinor-Indizes fort) s s Z M M X −3 3 3 ¯ ψ(x), ψ(y) = (2π) d pd q Ep Eq rs X X [( ur (~ p)¯ ur (~ p))e−ip(x−y) − (− vr (~ p)¯ vr (~ p))eip(x−y) ]p0 =Ep r

q 0 =Eq

r

Daraus folgt

Z

d3 p h M + γ µ pµ e−ip(x−y) − M − γ µ pµ eip(x−y) 2Ep /M Z 0 0 0 d3 p h = (2π)−3 M + γ 0 p0 + γ k pk e−ip (x −y ) ei~p(~x−~y) 2Ep /M ip0 (x0 −y0 ) −i~p(~x−~y) 0 k − M − γ p0 − γ pk e e

¯ ψ(x), ψ(y) = (2π)−3

p0 =Ep

p0 =Ep

Die Substitution p~ → −~ p im 2. Term f¨ uhrt auf Z 0 0 0 d4 p ¯ M + γ 0 p0 + γ k pk e−ip (x −y ) ei~p(~x−~y) δ(p0 − Ep ) ψ(x), ψ(y) = (2π)−3 2Ep /M 0 0 0 − M + γ 0 p0 + γ k pk e−ip (x −y ) ei~p(~x−~x) δ(p0 − Ep ) Z d4 p = M + iγ µ ∂µ δ(p2 − M 2 ) ϑ(p0 ) − ϑ(−p0 ) e−ip(x−y) 3 (2π) p (mit p0 = p~2 + M 2 ). Es folgt ψα (x), ψ¯β (y) = M + γ µ ∂µ αβ i∆(x − y) q.e.d. Nach diesem Beweis ist es sinnvoll die Schwingersche Delta-Funktion des DiracFeldes zu definieren (4×4−Matrix): S(x) = + M + iγ µ ∂µ ∆(x)

5.2. PROPAGATOREN

175

mit der Schwingerschen ∆-Funktion Z ∆(x) = −i(2π)−3 d4 q ε(q)δ(q 2 − m2 )e−iqx . Und somit erhalten wir mit

ψα (x), ψ¯β (y) = +iSαβ (x − y)

Sαβ (x) = M + i γ µ αβ ∂µ ∆(x)

Mit ∆(x) ist auch S(x) invariant unter eigentlichen Lorentz-Transformationen: S(Λx) = S(x)

mit

Λ ∈ eig. LT

.Weil ∆(x) f¨ ur raumartige Abst¨ ande (x2 < 0) verschwindet, ist auch S(x) = 0

f¨ ur raumartiges x,

d.h. x2 < 0

und damit S(~x − ~y , x0 = y 0 ) = 0

(wie gehabt)

Auf gleiche Weise kann man durch explizites Ausrechnen zeigen, dass auch f¨ ur ungleiche Zeiten gilt: ψα (x), ψβ (y) = ψ¯α (x), ψ¯β (y) = 0

Analog zum Klein-Gordon-Feld formulieren wir den Feynmanschen Propagator (Zweipunktfunktion). F h0|T {ψα (x)ψ¯β (y)|0i = iSαβ (x − y)

mit F Sαβ (x)

und

µ

= iγ ∂µ + m

αβ

Z

d4 k e−ikx (2π)4 k 2 − m2 + iη

T {ψα (x)ψ¯β (y)} = ϑ(x0 − y 0 )ψα (x)ψ¯β (y) − ϑ(y 0 − x0 )ψ¯β (y)ψα (x) (Achtung: beim Klein-Gordon-Feld hatten wir bei der Zeitordnung ein (+)Zeichen) Man kann sofort eine andere Darstellung von SF finden: Wir haben mit 6 k = γ µ kµ durch Nachrechnen (6 k ± m)(6 k ∓ m) = k 2 − m2 und weiter iγ µ ∂µ e−ikx =6 ke−ikx

176

CHAPTER 5. DAS QUANTISIERTE DIRAC-FELD

Damit folgt SF (x) =

Z

d4 k 6k + m e−ikx = (2π)4 (6 k − m)(6 k + m)

Z

d4 k 1 e−ikx (2π)4 (6 k − m)

SF ist Green-Funktion f¨ ur die Differentialgleichung (iγ µ ∂µ − m)SF (x − y) = δ(x − y), denn (iγ µ ∂µ − m)

Z

Wir haben auch :

d4 p e−ip(x−y) (6 p + m) = (2π)4 p2 − m2 + iη (±)

SF

Z

d4 p −ip(x−y) e = δ(x − y) (2π)4

= (iγ µ ∂µ + m)∆(±) (x)

und analog zum Klein-Gordon-Fall (+)

(−)

SF (x − y) = θ(x0 − y 0 )SF (x − y) − θ(y 0 − x0 )SF (x − y) Mikrokausalit¨ at und Messung Das Verschwinden von S(x) bei raumartigen Abst¨anden x2 < 0 hat auch beim Dirac-Feld die Mikrokausalit¨at zur Folge: Messgr¨oßen setzen sich zusammen aus ¯ ψγ ¯ µ ψ, ψγ ¯ µ γ5 ψ etc. Sie sind also selbst Bilinearforbilinearen Kovarianten, ψψ, ¯ men von ψ und ψ. Eine Messgr¨oße Mi kann man also schreiben als X ¯ Mi (x) = ψ(x)Γ ψ¯α (x)(Γi )αβ ψβ (x) i ψ(x) = αβ

Der Kommutator zweier Messgr¨oßen an zwei verschiedenen Weltpunkten ist also: 4 4 X X (Γ1 )αβ (Γ2 )κλ ψ¯α (x)ψβ (x), ψ¯κ (y)ψλ (y) M1 (x), M2 (y) = α,β=1 κ.λ=1

Nun gilt allgemein: [AB, CD] = A{B, C}D−C{D, A}B−{A, C}BD+CA{B, D} und damit ψ¯α (x) ψβ (x), ψ¯κ (y) ψλ (y) − ψ¯κ (y) ψλ (y), ψ¯α (x) ψβ (x)− plus verschwindende Antikkommutatoren der Art {ψβ (x), ψα (x)}

Also: ¯ ¯ M1 (x), M2 (y) = +iψ(x)Γ 1 S(x − y)Γ2 ψ(y) + ψ(y)Γ2 S(y − x)Γ1 ψ(x)

F¨ ur (x − y)2 < 0 ist dieser Kommutator gleich Null und damit vertauschen bei raumartigen Abst¨ anden die Messoperatoren und es k¨onnen Messungen (gleichzeitig) vorgenommen werden.

5.3. PARITY

5.3

177

Parity

We discuss the discrete symmetries, using as an example the electromagnetic coupling as contained in 1 ¯ µ (∂µ + ieAµ ) − m)ψ L(x) = − F µν Fµν + ψ(iγ 4

(5.40)

Under a Lorentz transformation x → Λx, the field operators φa (x) undergo a unitary transformation given by U φa (x)U −1 = Sab φb (Λ−1 x)

(5.41)

where Sab . This can be extended to spatial reflections x → −x, t → t, for which the unitary operator U is denoted by P. For the Dirac field, we have S = γ 0 and thus Pψ(r, t)P −1 = γ 0 ψ(−r, t), (5.42) −1 0 ¯ ¯ P ψ(r, t)P = ψ(−r, t)γ (5.43) Since Aµ transforms like a vector,

PAk (r, t)P −1 = −Ak (r, t), Thus we have

PA0 (r, t)P −1 = A0 (r, t),

(5.44) (5.45)

PL(r, t)P −1 = L(−r, t) (5.46) R 3 which shows that the Lagrangian L = d xL(x) is invariant. From the expansion at t = 0 Xr m ψ(r) = [ap,s eip·r u(p, s) + b†p,s e−ip·r v(p, s)] (5.47) ΩE p p,s we have Pψ(r)P

−1

Xr m [Pap,s P −1 eip·r u(p, s)+Pb†p,s P −1 e−ip·r v(p, s)] (5.48) = ΩE p p,s

Xr m γ ψ(−r) = [ap,s e−ip·r γ 0 u(p, s) + b†p,s eip·r γ 0 v(p, s)]. ΩEp p,s 0

(5.49)

Using the relations

γ 0 u(−p, s) = u(p, s) 0

(5.50)

γ v(−p, s) = −v(p, s)

(5.51)

Pb†p,s P −1 = −b†−p,s .

(5.53)

we obtain the statement that particles and antiparticles in Dirac theory have opposite intrinsic parity: Pap,s P −1 = a−p,s (5.52) The transformation P may be accompanied by a rotation in spin space with respect to the index s, as is clear from (5.49) ; but we leave it out for simplicity.

178

5.4

CHAPTER 5. DAS QUANTISIERTE DIRAC-FELD

Charge conjugation

Charge conjugation, or particle-antiparticle conjugation, is defined as a unitary operation C on the Hilbert space that interchanges particle and antiparticle, and reverses the sign of the electromagnetic field: Cap,s C −1 = bp,s

(5.54)

Cbp,s C −1 = ap,s

(5.55)

CAk (x)C −1 = −Ak (x)

(5.56)

The transformation of A0 (x) is not specified independently, because in Coulomb gauge it is not an independent field. It is clear that L(x) is invariant under this transformation, because the free-field Lagrangian densities are invariant, and the Dirac field is coupled to the electromagnetic field through the current density, which changes sign. To find how the Dirac field operator transforms, let us compare the following expansions: ψ(r) =

ψ(r)† =

Xr m [ap,s eip·r u(p, s) + b†p,s e−ip·r v(p, s)] ΩE p p,s

Xr m [a†p,s e−ip·r u∗ (p, s) + bp,s eip·r v ∗ (p, s)]. ΩE p p,s

(5.57)

(5.58)

The expansion coefficients satisfy v(p, s) = ηu∗ (p, s)

(5.59)

where η = iγ 2 is a real 4 × 4 matrix. Therefore ηψ † (r) =

Xr m [bp,s eip·r u(p, s) + a†p,s e−ip·r v(p, s)]. ΩE p p,s

(5.60)

which shows Cψ(r)C −1 = ηψ † (r).

(5.61)

Note that the Dirac wave functions undergo complex conjugtion, which is a nonlinear operation, because (λu)∗ = λ∗ u∗ . The field operator, however, undergoes a linear transformation, because C(λψ)C −1 = λCψC −1 . The difference can be traced to the fact that in the Dirac equation we have to change the sign of the coupling to an external electromagnetic field, whereas in the field theory, the electromagnetic field is part of the system, and changes sign under charge conjugation.

5.5. TIME REVERSAL

5.5

179

Time reversal

Time reversal is the operation of interchanging past and future, represented by an operator T on Hilbert space. Suppose that Ψa is a member of a complete set of state in Hilbert space, where a stands for quantum numbers, such as momentum p and spin projection s on a fixed axis. The time-reversed state T Ψa must be a member of the same set: T Ψa = Ψa¯

(5.62)

where a ¯ are the time-reversed quantum numbers, defined by correspondence with classical mechanics: ¯ = −p, p

s¯ = −s

(5.63)

and the helicity is invariant. The basic property of T is (T Ψa , T Ψb ) = (Ψb , Ψa )

(5.64)

that is it interchanges initial and final states. This can be rewritten (T Ψa , T Ψb ) = (Ψa , Ψb )∗

(5.65)

Replacing Ψb by λΨb , where λ is a complex number, we have (T Ψa , T (λΨb )) = λ∗ (Ψa , Ψb )∗

(5.66)

T (λΨb ) = λ∗ T Ψb

(5.67)

Therefore Thus, when acting on a number, T takes its complex conjugate. This makes T nonlinear. More specifically, it is called an antilinear operator. A general representation of T is complex conjugation followed by a unitary transformation: T = U∗

(5.68)

T −1 = U −1 ∗

(5.69)

where it is assumed that U commutes with complex conjugation. For the Schr¨odinger equation ∂Ψ (5.70) HΨ = i ∂t time reversal becomes ∂(T Ψ) H(T Ψ) = −i (5.71) ∂t The system is invariant under time reversal if the time-reversed equation is equivalent to the original. Taking the complex conjugate, we have H ∗ (U Ψ) = i

∂(U Ψ) ∂t

(5.72)

180

CHAPTER 5. DAS QUANTISIERTE DIRAC-FELD

Thus, the system is invariant under time reversal if the Hamiltonian is real: H = H∗

(5.73)

which implies that the Lagrangian must be real. Without going through all the detail, we can conclude that T Ak (r)T −1 = −Ak (r) T ψ(r)T −1 = γ 0 γ5 ψ(r)

(5.74) (5.75) k

The first equation follows from the requirement that A transform like the current density, which must change sign, because classically it is a velocity. The second follows from the fact that γ 0 γ5 is the transformation that preserves the Dirac equation under time reversal. It is straightforward to verify that the Lagrangian is invariant, if the charge e is real. There is a theorem known as the P CT theorem, which states that a local field theory that is Lorentz invariant is automatically invariant under the product P CT , even though it may not be invariant under P, C, T seperately. We refer the reader elsewhere for proof.

Chapter 6

Das quantisierte Maxwell-Feld 6.1

Gauge Theory vs. covariant quantization

In diesem Kapitel versuchen wir, eine Quantisierung des Maxwell-Feldes durchzuf¨ uhren, und zwar in voller An´ alogie zur Quantisierung des Klein-Gordon- und des DiracFeldes. Wir werden bald sehen, daß das auf Schwierigkeiten f¨ uhrt. Diese h¨angen mit der einfachen Tatsache zusammen, daß Aµ vier Komponenten hat und damit vier Freiheitsgrade, eine physikalises Photon jedoch nur rechts- bzw. linkspolarisiert ist, also nur zwei Freiheitsgrade besitzt. Der Grund f¨ ur diese Probleme liegt in der Tatsache begr¨ undet, daß der Lagrangean des Maxwell-Feldes invariant unter der Eichtransformation ist. Um all dieses zu sehen, quantisieren wir zun¨ achst ganz naiv: Wir haben den Lagrangean des Maxwell-Feldes 1 L = − Fµν F µν − j µ Aµ 4 mit F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ Wir wissen, daß die Bewegungsgleichungen dieses Lagrangean die MaxwellGleichungen ergeben: ∂L ∂L Aν − ∂ ν (∂ρ Aρ ) = j ν =0 ⇒ − ∂µ Maxwell − Gl. ∂(∂µ Aν ) ∂Aν with = ∂ µ ∂µ . Zur Quantisierung ben¨otigen wir die zu den Aµ konjugierten kanonischen Impulse: Πµ =

∂L = −F µ0 ∂ A˙µ

µ = 0, 1, 2, 3 181

182

CHAPTER 6. DAS QUANTISIERTE MAXWELL-FELD

Offenbar gilt hier Π0 =

∂L = −F 00 = 0 ∂ A˙0

Dies bedeutet, daß A0 kein dynamischer Freiheitsgrad ist. Damit ist die 0Komponente ausgezeichnet und es ist keine kovariante Quantisierung m¨oglich. Es ist also nicht m¨ oglich, zu schreiben [Aµ (x), Πν (y)] = igµν δ (3) (x − y)

(6.1)

Also: Der Lagrangean hat die Maxwell-Gl. zur Folge, erlaubt aber keine kovariante Quantisierung. Fermi schlug einen anderen Lagrangean vor, um die Elektrodynamik zu beschreiben: 1 L = − (∂ν Aµ ) (∂ ν Aµ ) − j µ Aµ 2 Bei diesem Lagrangean ist eine kovariante Quantisierung m¨oglich, denn das kanonisch konjugierte Impuls-Feld ist gegeben durch Πµ (x) =

∂L = −A˙ µ ∂ A˙ µ

und wir k¨ onnen quantisieren durch die Forderung (6.1) oder h i Aµ (x, t), A˙ ν (y, t) = −ig µν δ (3) (x − y)

(6.2)

i h [Aµ (x, t), Aν (y, t)] = A˙µ (x, t), A˙ν (y, t) = 0

However, this Lagrangean does not yield directly Maxwells equations of motion: ∂ν

∂L ∂L − =0 ∂(∂µ Aν ) ∂Aν

⇒

Aν = j ν

Apparently this are Maxwells equations only if we work in the Lorentz-gauge given by ∂ρ Aρ (x) = 0 Thus: Fermi’s Lagrangean allows covariant quantization, however has problems with the equations of motion since it yields Maxwells equations only in the Lorentz-gauge. The way out, suggested years ago by Bleuler and Gupta, is to use the Fermi-Lagrangean for the quantization and to implement the Lorentzgauge as additional demand. This is the procedure we will follow in this chapter. The Lorentz-gauge has the advantage that it is a Lorentz-covariant condition and that the equations of motion for Aµ are rather simple.1 1 As a reminder: If a classical A- field does not fulfill the Lorentz-condition one can always find a Lorentz-transformation that after applying it the Lorentz-condition is fulfilled

6.1. GAUGE THEORY VS. COVARIANT QUANTIZATION

183

To get the field quanta we have first to get the fundamental solutions of the free field equations (∂µ ∂ µ ) Aν (x) = 0 They are given by four linearly independent 4-vectors µr (k) e−ikx

µr (k) e+ikx

and

with

r = 0, 1, 2, 3

(6.3)

We have here four polarization vectors, each of which being a Lorentz-4-vector (µ = 0, 1, 2, 3). They form a normalized and orthogonal basis of the Minkowskispace (t, x, y, z) and each of them is charakterized by the wave 3-vector k. The vectors are (6.4) µ0 (k) = nµ = (1, 0, 0, 0) µr (k) = (0, ˜ r (k))

with

r = 1, 2, 3

(6.5)

3

and ˜ 1 (k), ˜ 2 (k), ˜ 3 (k) = orthogonal Dreibein in R with ˜ r (k) · ˜ s (k) = δrs

r, s = 1, 2, 3

with the properties ~3 (k) =

1 k |k|

longitudinally polarized

(6.6)

and k·˜ 1 (k) = k · ~2 (k) = 0

transversally polarized

We can write these formulae in a covariant form as an orthogonality equation r (k) s (k) = εrµ (k) µs (k) = −ξr δrs

with

r, s = 1, 2, 3

with ξ0 = −1

ξ1 = ξ2 = ξ3 = +1

and the commpleteness relation 3 X r=0

ξr µr (k) νr (k) = −g µν

(6.7)

We note for later purposes that we can write the µ3 (k) in a covariant form µ3 (k) =

k µ − (k · n)nµ

[(k · n)2 − k 2 ]

1/2

(6.8)

To summarize we have the following polarizations µ1 , µ2 = transveral

µ3 = longitudinal

µ0 = scalar, timelike

184

CHAPTER 6. DAS QUANTISIERTE MAXWELL-FELD

6.2 Transversal, scalar and logitudinal Photons Thus, using the quantization condition (6.2) we have immediately the SchwingerDelta-function analogously to the Klein-Gordon field and the Dirac field: i h Aµ (x), A˙ ν (y) = iDµν (x − y)

with

Dµν (x) = lim [−g µν ∆(x)] m→0

The Feynman propagator we obtain immediately h0 |T {Aµ (x) Aν (x0 )}| 0i = iDFµν (x − x0 ) with the explicit representation DFµν (x)

= −g

µν

Z

d4 k e−ikx (2π)4 k 2 + iη

(6.9)

instead of having an infinitesimal η one also can chose the integration path as described in the Klein-Gordon-section. With these polarization vectors and the solutions (6.3) we can write the quantized A-field as Aµ (x) = Aµ(+) (x) + Aµ(−) (x) with the positive frequency part (annihilation operators) Aµ(+) (x) =

3 Z X r=0

p

d3 k µr (k) ar (k) e−ikx 2(2π)3 ω~k

and the negative frequency part (creation operators) Aµ(−) (x) =

3 Z X r=0

p

d3 k µr (k) a†r (k) e+ikx 2(2π)3 ω~k

If one uses the expression for Aµ = Aµ(+) +Aµ(−) in the quantization conditions (6.2) one gets after some calculation the commutation rules for the photon creation and annihilation operators a†r (k) and ar (k) : r, s = 0, 1, 2, 3 ar (k), a†s (k0 ) = ξr δrs δ (3) (k − k0 ) [ar (k), as (k0 )] = a†r (k), a†s (k0 ) = 0

r, s = 0, 1, 2, 3

6.2.

TRANSVERSAL, SCALAR AND LOGITUDINAL PHOTONS

185

For r = 1, 2, 3 we have ξr = 1 and hence we obtain for those operators ar (k) the usual boson commutation rules. This yields also the unsual number rpresentation for tranverse photons (r = 1, 2) and longitudinal photons (r = 3). For scalar photons with r = 0 we obtain differently h i a0 (k), a†0 (k0 ) = − δ (3) (k − k0 )

One has obviously to modify the standart formalism to take care of this feature. One way to do this has been suggested independently by Gupta and Bleuler. In this formalism we interpret directly the a†r (k) as creation operators for transversal photons (r = 1, 2), for longitudinal photons (r = 3) and scalar photons (r = 0) although we know, that in a real physical radiation only transversal photons occur. The vacuum |0i is defined as the state without any of these four sorts of photons. ar (k) |0i = 0

∀k

; r = 0, 1, 2, 3

(6.10)

or equivalently, since Aµ(+) (x) consists only of annihilation operators: Aµ(+) (x) |0i = 0

∀x ; r = 0, 1, 2, 3

and the one-photon states are given by |1γ; k ri = a†r (k) |0i This simple interpretation leads to problems, however, when we calculate the energy of a one-photon state. To see this we write down the Hamiltonian Z ˆ = d3 x(π µ (x)A˙ µ (x) − L(x)) H (6.11) or rewritten in terms of the photon operators (after normal ordering according to the boson rules) 3 Z X ˆ H= d3 k ω~k ξν a†ν (~k)aν (~k) (6.12) ν=0

ˆ †ν (~k)|0i = Ha XZ = d3 k 0 ω~k0 ξν 0 a†ν 0 (~k 0 )aν 0 (~k 0 )a†ν (~k)|0i

(6.13) (6.14)

ν0

=

XZ

d3 k 0 ω~k0 ξν 0 a†ν 0 (~k 0 )[aν 0 (~k 0 ), a†ν (~k)]|0i =

(6.15)

d3 k 0 ω~k0 ξν 0 ξν δνν 0 δ 3 (~k − ~k 0 )a†ν 0 (~k 0 )|0i = ωk a†ν (~k)|0i

(6.16)

ν0

=

XZ ν0

186

CHAPTER 6. DAS QUANTISIERTE MAXWELL-FELD

weil (ξν )2 = 1. At a first glance this looks correct. However, we have a problem with the norm of the 1-photon state of the scalar photon a†0 (~k)|0i. As we see this immediately, this norm is negative and hence we obtain a negative energy, when we multiply the above formula for a scalar photon with the bra-vector h0| a0 :   limk→k0 h0|aν (~k)a†ν (k 0 )|0i =  † 0 3 0 ~ ~ ~ bei ν = 0 (6.17) limk→k0 h0|[aν (k), aν (k )]|0i = limk→k0 ξν δ (k − k ) < 0   ˆ † (k 0 )|0i = ωk h0|aν (~k)a† (k 0 )|0i < 0 and h0|aν (k)Ha ν ν

One can show even more, namely that the norm of a multi-photon state with an odd number of clalar photons is also negative. The problem seems to be horrible, however, the scalar photon does not exist in nature. It exists only in our present formalism, and only because over all this quantization we have forgotten that we do not fulfill yet the Maxwell equations of motion! We need to incorporate the fact, that we fulfill them only if we restrict ourselves to the Lorentz gauge. Thus: lets incorporate the Lorentz condition to get rid of unphysical photons. Since we deal with quantized photon fields we are inclinded to consider all the above formulae to be correct and to be supplemented by the demand ∂µ Aµ (x) = 0

Lorentz-condition for field operator Aµ (x)

Since this is a condition for the field operator it is a rather strong condition, because it has to be fulfilled for any matrix element of the operator, e.g. the matrixelement of the form hnγ| ∂µ Aµ (x) |mγ 0 i = 0 where |nγi is any multi photon state with n photons e.g. given by |Ψi = a†r (k1 )a†s (k2 )....a†t (kn )|0i..This is not a realistic demand and we see even rather easily that in cannot be fulfilled. In fact this Lorentz-demand contradicts the quantization presription from which we started: We have the definition of the Schwinger-Delta-Function [Aµ (x), Aν (x0 )] = iDµν (x − x0 ) from this follows immediately by applying ∂µ : [∂µ Aµ (x), Aν (x0 )] = i∂µ Dµν (x − x0 ) 6= 0 If one looks to the explicit form of Dµν similar to eq.(6.9) just with another integration path, one sees explicitely that this expression is not zero. Thus we demand a weaker condition, namely that the Lorentz-condition should be fulfilled not for the A−operator but only for the expectation value of the operator between the state |Ψi of any physical photon field.2 This request is equivalent to demanding ∂µ Aµ(+) (x)|Ψi = 0 (6.18) 2 This means a field which can be masured in a detector or on a photographic plate, i.e. a laser field, or a field from a light bulp, where are no virtual photons ivolved.

6.2.

TRANSVERSAL, SCALAR AND LOGITUDINAL PHOTONS

187

because Aµ(+) contains only annihilation operators and hence ∂µ Aµ(+) (x)|Ψi = 0 ⇒ hΨ|∂µ Aµ(−) (x) = 0 µ

µ(+)

hΨ|∂µ A (x)|Ψi = hΨ|∂µ A

µ(−)

(x) + ∂µ A

(6.19) (x)|Ψi = 0

(6.20)

If we write explicitely down ∂µ Aµ(+) |Ψi = 0 one can show (see later) that this is equivalent to demanding the following condition for longitudinal and scalar photons in the state |Ψi a3 (~k) − a0 (~k) |Ψi = 0 for ∀k (6.21)

This is not a demand imposed on the field operator but a demand to the Fockstate of physical photons. This condition must not interfer with the physical degrees of freedom, i.e. the transversal ones, and in fact it does not. One sees this immediately calculating the energy of the state |Ψi as an example.This ends up with the following expression involving only transverse photons: ˆ hΨ|H|Ψi = hΨ| + hΨ|

2 Z X

d3 k ωk a†ν (~k)aν (~k)|Ψi

ν=1

Z

d3 k ωk ξ3 a†3 (~k)a3 (~k)|Ψi + hΨ|

(6.22) Z

d3 k ωk ξ0 a†0 (~k)a0 (~k)|Ψi (6.23)

Since we have ξ3 = −ξ0 = +1 and a3 (~k)|Ψi = a0 (~k)|Ψi only the transversal part contributes to te energy ˆ hΨ|H|Ψi = hΨ|

2 Z X

d3 k ωk a†ν (~k)aν (~k)|Ψi

(6.24)

ν=1

We still have to prove, that from the simple Gupta-Bleueler condition eq.(6.21) follows the condition for the A-field eq.(6.18) or the Lorentz-condition as expectation value. Thus we want to show that both these equations are equivalent. Proof: a3 (~k) − a0 (~k) |Ψi = 0, ∂µ Aµ(+) (x)|Ψi = 0 We write down

µ(+)

A

(x) =

Z

3

d k

3 X r=0

s

1 µ (~k)ar (k)e−ikx 2(2π)3 ωk r

and calculate the derivative ∂µ Aµ(+) (x) =

Z

d3 k

X r

s

1 (−ikµ )µr (~k)ar (k)e−ikx 2(2π)3 ωk

188

CHAPTER 6. DAS QUANTISIERTE MAXWELL-FELD

with the definitions µr=0 = nµ = (1, 0, 0, 0) r = 1, 2 µr = (0,~ν (~k)) ! ~k 3 (k) = 0, |~k| and hence with

q p k0 = k0 = ~k 2 + m2 = ~k 2 = k 0

finally

 µ 0 ~ µ   k0 r (k) = k0 for r = 0 since r=0 = n = (1, 0, 0, 0) ~k)) −~k · ~r (~k) = 0 for r = 1, 2 since µr = (0,~r ( kµ µr (k) =   − ~k2 = −|~k| = −k for r = 3 since (k) = 0, ~k ; 0 r |~ k|

|~ k|

From this follows µ(+)

∂µ A

(x) = −i

Z

3

d k

X ν

s

1 k0 (a0 (~k) − a3 (~k))e−ikx 2(2π)3 ωk

⇒ ∂µ Aµ(+) (x)|Ψi = 0 if (a0 (~k) − a3 (~k))|Ψi = 0 This is the end of the proof that both formulations of the Gupta-Bleuer condition are equivalent. So after all we have to demand that the Gupta-Bleuler condition is fulfilled for a physical field state |Ψi in order to guarantee that a canonical quantization and the existence of Maxwells equation of motion do not contradict each other. This corresponds to the fact that in a physical state there are no scalar or longitunal photons. We now this already from the non-covariant Coulomb gauge, which is based fully on a transversal current. We will see in the next section that in the present covariant treatment scalar and longitudinal phtons occur in intermediate steps of the calculation of an observable, however not as free physical particles. The question arises, how the vacuum state looks like. Obviously it might be of the form that it fulfills eq.(6.10) for all photons. However we need only that it fulfills this form for transversal photons, i.e. ar (~k)|˜0i = 0

for r = 1, 2

such that it contains no transversal photons. However it may contain any amount of scalar photons provided it contains the same amount of longitudinal photons. Thus it might have the complicated structure |˜ 0i =

X n

Cn

∞ Y

i=1

(αi† )n |0i with αi† = a†3 (~k) − a†0 (~k)

This new vacuum |˜ 0i in contrast to |0i corresponds to the use of another Lorentzgauge (no proof)..

6.3. PHOTON-PROPAGATOREN

6.3

189

Photon-Propagatoren

Betrachte den Feynmanschen Propagator h0|T {Aµ (x)Aν (x0 )}|0i = iDFµν (x − x0 ) und DFµν (x

0

− x ) = −g

µν

Z

(6.25)

d4 k e−ik·x (2π)4 k 2 + i

(6.26)

Wir k¨ onnen ihn umschreiben auf den Impulsraum Z 0 d4 k µν µν 0 DF (x − x ) = D (k)e−ik·(x−x ) (2π)4 F

(6.27)

und mit Gl.(6.7) 3

DFµν (k)

X 1 −g µν = 2 ξr µ (~k)νr (~k) = 2 k + i k + i r=0 r

(6.28)

Mit der expliziten Darstellung von 0 (~k) und 3 (~k) und mit ξ0 = −1 erhalten wir durch direktes Hinschreiben:

DFµν (k) =

2 X

1 k 2 + iη

µr (~k)νr (~k)

r=1

[k µ − (k · n)nµ ][k ν − (k · n)nν ] + + (−1)nµ nν (k · n)2 − k 2

(6.29) .

Der erste Term T DFµν erlaubt eine simple Interpretation: Transversaler Anteil des Feynman-Propagators, Austausch transversaler Photonen, Wechselwirkung zwischen Ladungen mit Hilfe des transversalen elektromagnetischen Feldes. Die anderen beiden Terme erlauben eine simple Interpretation erst nach einer trivialen Umordnung. Durch einfaches Hinschreiben kann man zeigen, daß DFµν (k) = T DFµν (k) + C DFµν (k) + R DFµν (k)

(6.30)

mit T DFµν (k) wie oben (transversaler Anteil) und zwei weitere Terme µν T DF (k) =

2 X 1 µ (~k)νr (~k) k 2 + iη r=1 r

µν C DF (k) µν R DF (k)

=

k2

=

nµ nν (k · n)2 − k 2

1 k µ k ν − (k · n)(k µ nν + k ν nµ ) + i (k · n)2 − k 2

(6.31)

(6.32) (6.33)

190

CHAPTER 6. DAS QUANTISIERTE MAXWELL-FELD

Nun zur Interpretation: Betrachte µν C DF (x) =

Z

µν C DF

im Ortsraum:

nµ nν d4 k e−ik·x 4 (2π) (k · n)2 − k 2

Dabei ist nµ = δ µ0 = g µ0 = (1, 0, 0, 0) und (k · n)2 − k 2 = k02 − (k02 − ~k 2 ) = ~k 2 . Damit erhalten wir Z Z d3 k 1 +i~k·~x dk 0 −ik0 x0 µ0 ν0 1 µν e e g g = g µ0 g ν0 δ(x0 ) C DF (x) = 3 2 (2π) |~k| 2π 4π|~x| (6.34) Dies ist wegen δ(x0 ) eine instantane Coulomb-Wechselwirkung und sie ergibt sich als Austausch von longitudinalen und skalaren Photonen. Wir erinnern uns, daß wir diese instantane Coulomb-Wechselwirkung bereits gesehen haben im Kapitel u ¨ber klassische Maxwell-Theorie bei der Verwendung der CoulombEichung. Dort wurden in nat¨ urlicher Weise die transversalen Str¨ome eingef¨ uhrt, ~ die das A-Feld erzeugten und dann das Coulombfeld erzeugt instantan von den Ladungen als L¨ osung der Poisson-Gleichung. Der Rest R DFµν (k) ist auch interessant. Im Grunde sollte er gar nicht auftreten, denn wie wir im klassischen Fall gesehen haben, beschreiben die Coulombwechselwirkung und die transversalen Felder ein elektromagnetisches System vollst¨ andig. Und in der Tat: R DFµν (k) ist zwar vorhanden, tr¨agt aber nicht zu Observablen bei. Beweis: Wir werden im Kaptel u ¨ber Feynman-Diagramme sehen, daß bei elektromagnetische Wechselwirkung in niedrigster Ordnung f¨ ur einen physikalischen Vorgang nur die Wechselwirkung zwischen zwei 4-Str¨omen interessant ist, also das Matrixelement der Art Z Z 4 O12 = d x d4 y sµ1 (x)DFµν (x − y)sν2 (y) (6.35) mit s = (ρ, ~j). Der transversale Anteil des Propagators ist gegeben durch: µν T DF ∝

2 X

µr (~k)νr (~k)

r=1

1 , k 2 + iη

µ, ν = 1, 2, 3

(6.36)

und mit der Struktur der Polarisationsvektoren (µr = (0,~r (~k)) erhalten wir eine Wechselwirkung zwischen den 3-Str¨omen Z ~j1 (x)T Dµν (x − y)~j2 (y)d3 xd3 y (6.37) F Der Coulomb-Anteil des Propagators ist gegeben durch µν C DF

∝ g µ0 g ν0 ⇒ µ = 0

ν=0

(6.38)

6.3. PHOTON-PROPAGATOREN und liefert eine Wechselwirkung zwischen den Ladungen Z Z ρ1 (x)ρ2 (y) 3 3 µν 3 3 d xd y. ρ1 (x)C DF (x − y)ρ2 (y)d xd y = 4π|~x − ~y |

191

(6.39)

Nun also der restliche Anteil: Hier schreiben wir die beiden 4-Str¨ome jeweils mit Hilfe einer Fourier-Transformation um: Z Z 4 d x d4 ys1µ (x)R DFµν (x − y)s2ν (y) R O12 = Z 4 Z Z Z Z 4 d k2 d4 k 1 d k1 4 4 = d x d y s (k1 )e−ik1 ·x (2π)4 (2π)4 (2π)4 µ =

Z

=

Z

× R DFµν (k)e−ik·(x−y) s2ν (k2 )e−ik2 ·y Z 4 Z d4 k1 k µ k ν − (k · n)(k µ nν + k ν nµ ) 2 d k2 d4 k 1 (k ) s sν (k2 ) 1 µ (2π)4 (2π)4 (2π)4 (k 2 + i)((k · n)2 − k 2 ) Z Z −iy(k2 −k) 1 +k) × d4 x d4 y e|−ix(k {z } |e {z } 4

(2π)4 δ(k1 +k) (2π)4 δ(k2 −k)

µ ν

d k 1 k k − (k · n)(k µ nν + k ν nµ ) 2 sµ (−k) sν (k) 4 (2π) (k 2 + i)((k · n)2 − k 2 )

(6.40)

Nun gilt aber ∂ µ sµ (x) = 0 weil sµ Noether-Strom. Daraus folgt dann auch k µ sµ (k) = 0. In diesem Ausdruck kommen aber die 4-Str¨ome nur in solchen verschwindenden Kombinationen vor. Also ist sind aber nur solche Terme sind aber aussschließlich dort vorhanden. k µ sµ (k) = 0 ⇒ R O12 = 0.

(6.41)

Der Beitrag von R DFµν zu Observablen ist Null!! Wir haben im gew¨ahlten speziellen System zwischen transversal, (longitudinal,skalar)=Coulomb unterscheiden k¨onnen. Im Allgemeinfall braucht man das nicht und kann mit manifest kovarianten Gr¨oßen arbeiten: DFµν (k). Die Beitr¨ age der nicht-transversalen Terme heben sich auf.

192

CHAPTER 6. DAS QUANTISIERTE MAXWELL-FELD

Chapter 7

S-matrix theorie By now we have been working with quantized free fields. In this section we expose in a rether general way, how to treat interacting fields. We will assume that the interaction is weak enough to treat the interaction in some low order of perturbation. We will study the interaction first in some non-relativistic Hamiltonian formalism, because there it is most easily to understand, and then we will proceed to interacting quantum fields. We consider a system, where the Hamiltonian splits into H0 with known stationary solutions (this part represents the free fields, who are precisely known at all space-time points) and an interaction term H 0 (which part represents the interaction e.g. of the charged current with the photon-field). Thus we have

H = H0 + H 0

The idea of the next section is: Our free-field operators are formulated in the Heisenberg-picture. The time evolution is known and simple and the quantization is known as well. However, when we include the interaction the time evolution is govened by the full Hamiltonian and no longer by the free-field hamiltonian, so all quantization rules have to be changed, which one does not want. Thus, in order to formulate the interaction in a simple way we have to go to a new picture, i.e. the interaction picture. In this picture the fields will propagate like fee fields and will be quantized like free fields, however the price is that the state of the system is now more complicated. The interaction picture will turn out to be conceptually different from the Heisenberg picture, however formally it is very easy to handle. In this picture we will then formulate a perturbation series. 193

194

CHAPTER 7. S-MATRIX THEORIE

7.1 7.1.1

The interaction picture Schr¨ odinger-picture

In this picture our initial condition is a state vector |ψ(t0 )i and the Schroedinger picture is given by the time evolution |ψ(t)iS = e−iH(t−t0 ) |ψ(t0 )i Here we assume for simplicity that H is time independent. The equation of motion is the Schr¨odinger equation i

d |ψ(t)iS = H |ψ(t)iS dt

The time dependence resides fully in the wave vectors, while the operators in the Schr¨ odinger picture are time-independent OS (t) = O(t0 )

7.1.2

Heisenberg-picture:

In this picture we have time-independent state vectors |ψ(t)iH = |ψ(t0 )i and the time-dependence resides fully in the operators OH (t) = e+iH(t−t0 ) O(t0 )e−iH(t−t0 ) We will need the trivial equation |ψ(t)iH = e+iH(t−t0 ) |ψ(t)iS A matrix element in the Sch¨odinger-picture and the Heisenberg-picture are identical as one sees immediately H hψ1 (t) |OH (t)| ψ2 (t)iH = D E +iH(t−t0 ) O(t0 )e−iH(t−t0 ) ψ2 (t) H ψ1 (t) e S

H

=

hψ1 (t) |O(t0 )| ψ2 (t)iS

The equation of motion for the operators is the Heisenberg-equation. For a time-independent hamiltonian it is given by i

d OH (t) = [OH (t), H] dt

7.1. THE INTERACTION PICTURE

195

in complete agreement to the relativistic equations we had already h i i∂ µ Fˆ = Fˆ , P µ For an operator F , which had a polynomial structure made of the fields φ(~x, t) and its momentum conjugate Π(~x, t), we derived from this the following shifting property: F (x) = eiP x F (0) e−iP x As example for the Heisenberg-picture we recall the Klein-Gordon theory. Our fields were time-dependent and we wrote them: Z d3 k ~k)e−ikx + a† (~k)e+ikx p a( φ(~x, t) = 2(2π)3 ω~k

The time-dependence is obtained from the field at t = 0 in a trivial way using the shifting properties with the Hamiltonian Z H0 = d3 kω~k a† (~k)a(~k)

and ϕ(x, t) = eiH0 t ϕ(x, 0) e−iH0 t

(7.1)

or explicitely iH0 t

φ(~x, t) = e or

"Z

# d3 k +i~ k~ x † ~ −i~ k~ x ~ p a(k)e + a (k)e e−iH0 t 2(2π)3 ω~k

a(~k, t) = eiH0 t a(~k) e−iH0 t = e−iω~k t a(~k) .

7.1.3

Interaction picture

In this picture one starts from the assumption that the interaction is small and hence the mayn dynamics is described in the Heisenberg picture. The basic idea is to use the interaction term H 0 in a time evolution of the state vectors, which corresponds to the Schr¨odinger picture, and H0 for the time evolution of the free fields (i.e. Heisenberg picture). In fact this is not so simple since H0 and H 0 do not commute and are time dependent. Symbolically we write |ψ(t)iI = e−iHI (t) |ψ(t0 )i however in reality we write |ψ(t)iI = e+iH0 (t−t0 ) |ψ(t)iS = e+iH0 (t−t0 ) e−iH(t−t0 ) |ψ(t0 )i

196

CHAPTER 7. S-MATRIX THEORIE

and the operators are propagated with H0 : OI (t) = e+iH0 (t−t0 ) O(t0 ) e−iH0 (t−t0 ) The equation of motion for the operators is i

d OI (t) = [ OI (t) , H0 ] dt

the equation of motion for the state vectors is obtained by inserting |ψS (t)i = d e−iH0 (t−t0 ) |ψ(t)iI into the Schr¨odinger equation i dt |ψS (t)i = (H0 + H 0 ) |ψS (t)i . This yields i

d |ψ(t)iI = HI0 (t) |ψ(t)iI dt

(7.2)

with the interaction Hamiltonian H 0 in the interaction picture given by HI0 = eiH0 (t−t0 ) H 0 e−iH0 (t−t0 )

(7.3)

Please note: In quantizing all our free fields we worked in the Heisenberg-picture of a non-interacting theory. From now on we will work in the Interaction picture of an interacting theory. However, the time evolution of the fields is still given by H0 , and still eq.(7.1) holds. Now: If the interaction term is not explicitely time ∂ ∂ 0 dependent, i.e. if ∂t H0 = − ∂t L then the momentum field in the interaction picture is identical to the one in the non-interacting Heisenberg picture , i.e. ΠI (~x, t) = Π(~x, t) and the quantization with its commutator rules functions in the same way in the interaction picture as it does in the non-interacting Heisenberg-picture, where we did all our quantizations. Thus we get in the interaction picture the same creation operators and annihilation operators as in the non-interacting Heisenberg picture: aI (~k) = a(~k)

and

a†I (~k) = a† (~k)

obbeying the same commutator rules. Question: What is now the difference between the Interaction picture and the non-interacting Heisenberg picture? Answer: The state vectors of the system are no longer time independent but obbey the kind of Schr¨odinger-equation (7.2) with the interacting Hamiltonian in the interaction picture (7.3). Now lets have a look at this HI0 operator. It originates from a Hamiltonian density and its time propagation is given by HI0 (x,t) = e+iH0 (t−t0 ) H(ϕ(x), π(x)) e−iH0 (t−t0 )

= H(e+iH0 (t−t0 ) ϕ(x)e−iH0 (t−t0 ) , e+iH0 (t−t0 ) π(x)e−iH0 (t−t0 ) )

which yields with ϕI (x,t) = e+iH0 (t−t0 ) ϕ(x) e−iH0 (t−t0 ) and after inserting e−iH0 (t−t0 ) e+iH0 (t−t0 ) between a pair of ϕ(x)ϕ(x) : HI0 (x, t) = H0 (ϕI (x, t), πI (x, t)) = H0 (ϕ(x, t), π(x, t))

7.2. S-MATRIX EXPANSION

197

In practice we will have ¯ Aµ (x))e−iH0 (t−t0 ) HI0 = e+iH0 (t−t0 ) H0 (ψ(x), ψ(x), ¯ µ ψAµ . Since, with H0 = HDirac + HM axwell and H 0 corresponding to H0 = ψγ however, [HDirac , HM axwell ] = 0 commute each field gets time evolved separately. Thus in the interaction picture the interaction hamiltonian density in the Dirac-Maxwell theory is given by µ ¯ HI0 (x) = −e : ψ(x)γ µ ψ(x)A (x) :

this expression will be used soon.

7.2

S-Matrix expansion

The S-Matrix is an object, which is constructed in order to describe scattering processes, reactions between free particles entering some interaction region, etc. Typical examples are Compton scattering of a photon off a proton or off an electron, the collision of two pions, the electron-proton collision, etc. It is not constructed to describe bound systems as e.g. an atom or a nucleou. We are working in the interaction picture. As we have learned the free field operators are the ones we have always known, the only difference to the noninteracting Heisenberg picture consists in the fact that the states of the system have to be evolved with the HI0 . We start from the state of the system the time t = −∞ |φ(−∞)i = | i i

(7.4)

This state is the initial state and consists e.g. of two electrons at a macroscopic distanc heading each other, or a state consisting of a photon and a nucleon, where the nucleon is in its rest frame and the photons moves towards it. The particles, separated by a macrscopic distance are considered non-interacting.1 The state (7.4) evolves in time, because we are in the interaction picture: |φ(−∞)i

−→

|φ(t)i

We assume the state to be normalized (for simplicity) and hence we have hφ(t) | φ(t)i = h i | i i = 1 at a certain time intervall the particles interact and then from this interacting state other particles or the same ones with perhaps other numbers move towards 1 This is not true for e.g. anti-proton scattering off protons. There each of the two systems is an interacting many -body problem governed by the strong interaction, i.e.the non-abelian Quantum Chromo Dynamics.

198

CHAPTER 7. S-MATRIX THEORIE

the detectors, which are at macroscopic distances as well. So from |φ(t)i the state evolves to |φ(t = +∞)i : |φ(t)i Definition:

−→

|φ(t = +∞)i

The S-Matrix is defined as |φ(t = +∞)i = S |φ(t = −∞)i = S |ii

A collision can yield several final channels | f i with different probability amplitudes X |φ(t = +∞)i = Cf | f i f

and

Cf = hf | φ(∞)i or Cf = hf | S | i i = Sf i

or

|φ(t = +∞)i =

X f

| f i Sf i

To conserve the norm Uunitarity) we have X 2 |Sf i | = 1 f

In order to calculate the S-matrix we have to solve the Schr¨odinger-like equation for the propagaton of the state |φ(t)i in the interaction picture: i

d |φ(t)i = HI0 (t) |φ(t)i dt

with the initial condition |φ(−∞)i = | i i and HI0 (t) = eiH0 t H 0 e−iH0 t = H 0 (ϕI , πI ) The solution is formally written as the Volterra-integral-equation Z 1 t dt1 HI0 (t1 )|φ1 (t1 )i |φ(t)i = | i i + i −∞ This can interatively be solved, if the interaction term is sufficiently small, what we already assumed in formulating the interaction picture: Z t Z t Z t1 |φ(t)i = | i i+(−i) dt1 HI0 (t1 )|ii+(−i) dt2 HI0 (t2 )HI0 (t1 )|φ2 (t2 )i dt1 −∞

−∞

−∞

7.3. WICKS-THEOREM

199

Then we obtain in the limes t → ∞: Z Z t1 Z t ∞ X n dt1 dt2 ... (−i) S= n=0

−∞

−∞

tn−1 −∞

dtn HI0 (t1 )HI0 (t2 ) . . . HI0 (tn )

with the time ordering −∞ ≤ tn−1 ≤ tn−2 ≤ . . . ≤ t1 ≤ +∞ . Dyson has shown (without proof) that this S-matrix expression can be simplified if one uses time-ordered products. This Dyson seris is defined as: S=

Z Z +∞ Z +∞ ∞ X (−i)n +∞ 4 d t1 d4 t2 ... d4 tn T {HI0 (t1 )HI0 (t2 )...HI0 (tn )} n! −∞ −∞ −∞ n=0

Here T {...} is given with n factors and a natural generalization of the time ordered product of zwo factors. This is in a covariant form written as S=

Z Z +∞ Z +∞ ∞ X (−i)n +∞ 4 d x1 d4 x2 ... d4 xn T {HI0 (x1 )HI0 (x2 )...HI0 (xn )} n! −∞ −∞ −∞ n=0

or shotly

Z 4 0 S = T exp −i d x HI (x)

To sum up the series and to calculate the many term we will use one of the Wick-theorems

7.3

Wicks-Theorem

To calculate the S-matrix elements we have to compute terms like Z Z 4 d x1 ... d4 xn hf |HI0 (x1 )...HI0 (xn )|ii with e.g. for Compton-scattering | i i = |1γ , 1e i = a† (ki ) c† (pi ) | 0 i

| f i = |1γ 0 , 1e0 i = a† (kf ) c† (pf ) | 0 i The HI0 (x) is given by the well known expression

¯ γ µ Aµ (x) ψ(x) HI0 (x) = −eN ψ(x)

(7.5)

where the quantum fields are free fields in the interaction picture, i.e. they