Elektrodynamik 003

Theorie Klassischer Teilchen und Felder 2 Elektrodynamik Starre und elastische K¨orper Barbara Drossel WS 05/06

Inhaltsverzeichnis 1 Elektro- und Magnetostatik im materiegefu ¨llten Raum 1.1 Elektrostatik im materiegef¨ ullten Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Randbedingungen f¨ ur die Felder der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . 1.3 Freundliche Vereinfachungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Beispiel: Plattenkondensator mit Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Beispiel: Dielektrische Kugel im ¨außeren Feld . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Magnetostatik im materiegef¨ ullten Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Randbedingungen f¨ ur die Felder der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . 1.8 Beispiel: Das von einer homogen magnetisierten Kugel erzeugte Feld im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Beispiel: paramagnetische Kugel im a¨ußeren Feld . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.10 Ubersicht der verwendeten Gr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Exkurs: Magnetismus in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . 2 Die 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellen Maxwellgleichungen im materiegef¨ ullten Raum . . . . . . . . Potenziale und Eichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energie- und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . Ebene Wellen in nichtleitenden Medien . . . . . . . . . . . . Frequenzabh¨angigkeit von ε(ω) und σ(ω) . . . . . . . . . . . Ebene Wellen in leitenden und dissipativen Medien . . . . . Hohlleiter und Hohlraumresonatoren . . . . . . . . . . . . . Beispiel 1: TM Wellen im zylinderf¨ormigen Hohlleiter . . . . Beispiel 2: TEM Wellen im Koaxialkabel . . . . . . . . . . .

3 Das 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Feld vorgegebener Ladungs- und Stromverteilungen Zeitabh¨angige Greensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Warum gibt es zwei qualitativ verschiedene Arten von L¨osungen? Warum kommen in der Natur nur die retardieren L¨osungen vor? . Li´enard-Wiechert Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Felder und Strahlung einer lokalisierten, oszillierenden Quelle . . .

2

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4 4 7 8 9 11 14 16

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16 18 19 20

. . . . . . . . .

24 24 25 29 33 34 36 38 42 43

. . . . .

44 44 49 51 54 59

4 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 4.1 Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Viererstromdichte, Viererpotenzial und Feldst¨arketensor . . 4.3.1 Viererstromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Viererpotenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Feldst¨arketensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Transformation der elektromagnetischen Felder . . . . . . . 4.5 Lagrange- und Hamiltonfunktion f¨ ur ein geladenes Teilchen gnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes . . . . . . 4.7 Energie-Impulstensor (kanonischer) . . . . . . . . . . . . . 5 Mechanik des starren K¨ orpers 5.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Kinetische Energie und Tr¨agheitstensor . . . . . 5.3 Drehimpuls und Bewegungsgleichung des starren 5.4 Kr¨aftefreie Bewegung von starren K¨orpern . . . 5.5 Starre K¨orper mit nur einem Freiheitsgrad . . . 5.6 Die Eulerschen Gleichungen . . . . . . . . . . . 5.7 Der Schwere Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Elastizit¨ atstheorie 6.1 Der Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . 6.2 Der Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . 6.3 Deformationsenergie und Hookesches Gesetz 6.4 Homogene Deformationen . . . . . . . . . . 6.5 Elastische Wellen im isotropen Medium . . . 6.6 Oberfl¨achenwellen . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Longitudinalwellen in St¨aben und Platten . 6.8 Biegewellen in St¨aben . . . . . . . . . . . . .

3

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. . . . . . . . . . K¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . im elektroma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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63 63 64 67 67 67 68 70

. 72 . 75 . 76 78 78 80 86 88 90 94 95

. . . . . . .

. . . . . . .

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100 . 100 . 102 . 104 . 108 . 109 . 111 . 114 . 115

Kapitel 1 Elektro- und Magnetostatik im materiegefu ¨ llten Raum Bisher haben wir die Maxwellgleichungen im Vakuum betrachtet. Sie beschreiben den Zusammenhang zwischen sich im Vakuum befindenden Ladungen und Str¨omen und den elektrischen und magnetischen Feldern. In diesem Kapitel erweitern wir die Elektro- und Magnetostatik auf den materiegef¨ ullten Raum. Die Ergebnisse verwenden wir, um die Maxwellgleichungen im materiegef¨ ullten Raum zu formulieren.

1.1

Elektrostatik im materiegefu ¨ llten Raum

Die Elektrostatik befasst sich mit Systemen, in denen es keine bewegten Ladungen und keine elektrischen Str¨ome gibt. Alle Ladungen sind station¨ar im Raum, und ebenso die elektrischen Felder. Es gibt keine Magnetfelder. Es gelten in der Elektrostatik im Vakuum folgende Beziehungen: ~ · E(~ ~ r ) = 4π%(~r) ∇ ~ × E(~ ~ r) = 0 . ∇

(1.1) (1.2)

Aus der zweiten Beziehung folgt, dass das elektrische Feld sich als der Gradient eines Potenzials schreiben l¨asst, ~ r) = −∇Φ(~ ~ r) E(~ (1.3) mit Φ(~r) =

Z

d3 r 0

%(~r0 ) Q p~ · ~r = + 3 + ... . 0 |~r − ~r | r r

(1.4)

Im letzten Schritt haben wir die Multipolentwicklung verwendet, die immer dann sinnvoll ist, wenn der Ort ~r, an dem das Potenzial gemessen wird, weit entfernt ist von der Ladungsverteilung, die das Potenzial hervorruft. Wir haben den Schwerpunkt LaR 3der 0 dungsverteilung in den Koordinatenursprung Q ist die Gesamtladung d r %(~r0 ), R 3 0 gelegt. und ~p ist das elektrische Dipolmoment d r %(~r0 )~r0 der Ladungsverteilung. 4

All diese Beziehungen gelten auch im materiegef¨ ullten Raum, wenn wir eine mikroskopische Betrachtungsweise haben: Die Atome und Molek¨ ule des Materials machen mit ihren Ladungsverteilungen einen Beitrag zum elektrischen Feld im Raum. Da es unm¨oglich und unn¨otig ist, alle Atome und Molek¨ ule in die Rechnungen einzubeziehen, w¨ahlt man eine makroskopische Betrachtungsweise: Die Details auf ganz kleinen L¨angenskalen interessieren nicht. Wir mitteln daher u ¨ber kleine Volumina, die viel gr¨oßer als der Atombzw. Molek¨ uldurchmesser sind. Außerdem machen wir f¨ ur die Ladungsverteilung jedes Atoms oder Molek¨ uls eine Multipolentwicklung, so dass von jedem Molek¨ ul j nur seine Gesamtladung qj und sein Dipolmoment p~j wichtig ist. Ihre Dichten sind dann X Ladungsdichte der Molek¨ ule: %M ol (~r) = qj δ(~r − r~j ) (1.5) j

Polarisationsdichte der Molek¨ ule:

~πM ol (~r) =

X j

~pj δ(~r − ~rj ) .

(1.6)

Damit k¨onnen wir das elektrische Potenzial n¨ahern durch den Ausdruck   Z %M ol (~r00 ) ~πM ol (~r00 ) · (~r − ~r00 ) 3 00 + Φ(~r) ≈ d r |~r − ~r00 | |~r − ~r00 |3

(1.7)

Nun mitteln wir u ¨ber ein kleines Volumen v:

hΦ(~r)i

≡ ~ r+~ r 0 −~ r 00 =~ z

↓

= = ~ r −~ z =~ r0

↓

=

1 v Z

Z

d3 r 0 Φ(~r0 + ~r) v

Z



%M ol (~r0 + ~r − ~z ) ~πM ol (~r0 + ~r − ~z ) · ~z dr dz + z z3 v ! Z %(~r − ~z) P~ (~r − ~z ) · ~z + d3 z z z3   Z 0 %(~r0 ) ~ r − ~ r 3 0 0 ~ dr + P (r~ ) · |~r − ~r0 | |~r − ~r0 |3 3 0

3

Z 1 mit %(~r) = d3 r 0 %M ol (~r + ~r0 ) Ladungsdichte v v Z 1 P~ (~r) = d3 r 0~πM ol (~r + ~r0) Polarisationsdichte v v



1 v

(1.8)

(1.9) (1.10)

%(~r) und P~ (~r) sind die Ladung pro Einheitsvolumen und das Dipolmoment pro Einheitsvolumen. Sie sind ebenso wie das Potenzial u ¨ber kleine Volumina gemittelt und sind daher kontinuierliche Funktionen. Das zu dem gemittelten Potenzial geh¨orige elektrische Feld ist ~ = −∇hΦ(~ ~ E r )i . 5

Wir berechen die Divergenz dieses Ausdrucks, um den neuen Ausdruck f¨ ur die erste Maxwellgleichung zu erhalten. Unter Verwendung der Beziehung ~r − ~r0 ~0 1 =∇ 0 3 |~r − ~r | |~r − ~r0 | erhalten wir

~ ·E ~ ∇

=

part.Integration

↓

−

Z





    0 2 1  1 2 0 0 ~ (~r )∇ ~ ∇  d r %(~r )∇ + P 0| 0|  |~ r − ~ r |~ r − ~ r  {z } | 3 0

Z

−4πδ 3 (~r − ~r0 )

 0 ~ 0 ~ d r 4π ∇ · P (~r ) · δ 3 (~r − ~r0 ) 

3 0

=

4π%(~r) −

=

~ · P~ (~r) . 4π%(~r) − 4π ∇

(1.11)

Wir definieren die Verschiebungsdichte ~ r ) = E(~ ~ r ) + 4π P~ (~r) D(~

(1.12)

~ ·D ~ = 4π% . ∇

(1.13)

und erhalten Die zweite Gleichung der Elektrostatik lautet nach wie vor ~ ×E ~ = 0. ∇

(1.14)

Gleichung (1.13) l¨asst sich folgendermaßen interpretieren: ~ ·E ~ = 4π% − 4π ∇ ~ · P~ . Dabei ist % die Dichte der Raumladung, also derjenige Es ist ∇ Beitrag zur Ladungsdichte, der durch die Gesamtladung der Atome und Molek¨ ule des ~ ~ Materials hervorgerufen wird. Der Ausdruck −∇ · P muss dann derjenige Beitrag zur Ladungsdichte sein, der durch die Polarisation des Materials hervorgerufen wird, und wir nennen ihn die Polarisationsladungsdichte“ %P . Wir veranschaulichen ihn uns durch das ” folgende Bild, das den Rand des Dielektrikums zeigt:

6

innen außen -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+

~n

Sei V das am Rand des Dielektrikums eingezeichnete flache Volumen. Dann ist Z Z 3 0 ~ ~ − ∇ · Pd r = − P~ · dF~ V

∂V

= P~ · ~nF (← Innenfl¨ache) Z = %P d3 r 0 = σP F .

(1.15)

V

Hierbei ist σp = P~ ·~n die durch die Polarisation des Materials hervorgerufene Oberfl¨achenladungsdichte.

1.2

Randbedingungen fu ¨ r die Felder der Elektrostatik

Wir ermitteln im Folgenden, wie sich das elektrische Feld und die Verschiebungsdichte an Grenzfl¨achen ¨andern. ~ k , P~k , D ~ k die Komponenten parallel zur Grenzfl¨ache und Es seien E ~ ⊥ , P~⊥ , D ~ ⊥ die Komponenten senkrecht zur Grenzfl¨ache . E ~ ×E ~ = 0 folgt: Aus ∇

7

außen innen

I

~ · d~s = 0 E ~i = E ~a ⇒E k k

(1.16)

~ ist an einer Grenzfl¨ache stetig. Die Tangentialkomponente von E ~ ·D ~ = 4π% folgt: (wenn % = 0 an der Grenzfl¨ache) Aus ∇ außen innen

~n

Z

∂V

~ = 0 ~ · dF D

(1.17)

~i = D ~a ⇒D ⊥ ⊥

(1.18)

~ ist an der Grenzfl¨ache stetig. Die Normalkomponente von D

1.3

Freundliche Vereinfachungen

Die folgenden vereinfachenden Annahmen liefern – zumindest f¨ ur schwache Felder – brauchbare Ergebnisse f¨ ur das Rechnen mit Dielektrika.

8

1. Linearer Response des Materials: ~ = ε(~r)E ~ D ~ P~ = χ (~r)E

(1.19) (1.20)

e

~ abh¨angen. Wegen (5.44) gilt wobei die Tensoren ε und χ nicht von E e

ε=

+ 4πχ .

(1.21)

e

~ induziert Wir gehen also davon aus, dass das Dipolmoment durch das ¨außere Feld E ist. 2. Isotropie des Materials: ~ und P~ sind parallel zu E ~ ⇒D ⇒ ε und χ k¨onnen durch Skalare ersetzt werden. e

3. Homogenit¨at des Materials ε und χe sind ortsunabh¨angig. Diese Vereinfachungen f¨ uhren auf folgende Beziehungen ~ ·E ~ = 4π % ∇ ε

1.4

(1.22)

~ = εE ~ D ~ P~ = χe E

(1.23)

ε = 1 + 4πχe

(1.25)

(1.24)

Beispiel: Plattenkondensator mit Dielektrikum

Als erstes Anwendungsbeispiel betrachten wir einen Plattenkondensator, der teilweise mit einem Dielektrikum gef¨ ullt ist, so wie in der Abbildung dargestellt: Φ1  U

d1

~1 E ~2 E

d d1

~1 E Φ2

9

Es ist U = Φ1 − Φ2

(1.26)

Sei E0 das Feld, das ohne Dielektrikum im Kondensator w¨are. ⇒ U = (2d1 + d) E0 = 2d1 E1 + dE2

(1.27)

Da die Normalkomponente der Verschiebungsdichte stetig ist, haben wir die Beziehungen D2 = εE2

D1 = E1

D2 = D1

(1.28)

E1 = εE2 .  d 2d1 + = (2d1 + d) E0 ε

(1.29)

und damit

⇒ U = E1



(1.30)

2d1 + d εE0 (1.31) 2d1 ε + d Um die anschauliche Bedeutung dieser Beziehung zu erfassen betrachten wir folgenden zwei Grenzf¨alle: d1 → 0 ⇒ E1 = E0 ε, E2 = E0 d → 0 ⇒ E1 = E0 , E2 = Eε0 Wenn das Dielektrikum den Kondensator v¨ollig ausf¨ ullt, ist also das Feld dasselbe wie im ungef¨ ullten Kondensator. Wir berechnen als n¨achstes die Oberfl¨achenladungsdichte auf dem Dielektrikum (Oberseite): ⇒ E1 =

ε−1 −1 (E1 − E2 ) = − E2 = −χe E2 (1.32) 4π 4π Das negative Vorzeichen kommt daher, dass die Normale der Oberfl¨ache antiparallel zum elektrischen Feld ist. Im Grenzfall d1 → 0 erhalten wir σp = Pn =

σp = χe E0 .

(1.33)

Die Fl¨achenladungsdichte auf den Kondensatorplatten ist Q E1 1 U =σ= = F 4π 4π 2d1 +

d ε

=

Eε 4π (2d1 ε + d)

(1.34)

Im Grenzfall d1 = 0 ist

Uε E0 = ε 4πd 4π und die Kapazit¨at des Kondensators ist dann σ=

C=

Q εF = . U 4πd

Dies ist das ε-fache der Kapazit¨at im Vakuum. 10

(1.35)

(1.36)

In diesem Grenzfall betr¨agt die Gesamtladung von Kondensatorplatte und Dielektrikumoberfl¨ache 1 1 1−ε E0 + εE0 = E0 . (1.37) σ + σp = 4π 4π 4π Die Kondensatorplatte und die Dielektrikumoberfl¨ache haben also zusammen dieselbe Ladung wie im Vakuum. Die Platte selbst ist st¨arker geladen als im Vakuum.

1.5

Beispiel: Dielektrische Kugel im ¨ außeren Feld

Als n¨achstes betrachten wir eine dielektrische Kugel im ¨außeren Feld.

~0 E a

ϑ

z

ε ~ 0 und das Potenzial Ohne Kugel ist das Feld E Φ = −E0 z = −E0 r cos ϑ .

(1.38)

Im Inneren der Kugel ist ∆Φ = 0, ebenso außerhalb der Kugel. In der Vorlesung Theorie I haben wir die allgemeine L¨osung der Laplace-Gleichung ∆Φ = 0 in Kugelkoordinaten kennengelernt. Mit dem Ansatz Φ= erh¨alt man Φ(r, ϑ, ϕ) =

∞ X l X

u(r) P (ϑ)Q(ϕ) r

(αlm r l + βlm r −(l+1) )Ylm (ϑ, ϕ) .

(1.39)

l=0 m=−l

Die Ylm sind die Kugelfl¨achenfunktionen, die in der Quantenmechanik als Eigenfunktionen des Drehimpulses auftraten. In unserem Beispiel liegt azimutale Symmetrie vor, d.h. das System ist invariant unter Rotation um die z-Achse. Also kann die L¨osung nicht vom Winkel ϕ abh¨angen, und wir haben nur die Summanden m = 0. Der L¨osungsansatz f¨ ur

11

unser Beispiel ist also i

Φ

=

Φa =

∞ X l=0 ∞ X l=0

Al r l Pl (cos ϑ)

(1.40)


Bl r l + Cl r −l−1 Pl (cos ϑ)

(1.41)

Die Pl (x) sind Legendre-Polynome und auf dem Intervall [−1, 1] definiert. Sie sind gegeben durch die Beziehung   l
l 1 d 2 x −1 . (1.42) Pl (x) = l 2 l! dxl Ihr Zusammenhang mit den Kugelfl¨achenfunktionen ist r 2l + 1 Yl0 (ϑ, ϕ) = Pl (cos ϑ) . 4π

(1.43)

Die Randbedingungen an der Kugeloberfl¨ache und bei r = 0 und r = ∞ bestimmen die Koeffizienten Al , Bl , Cl : Φi (r = 0) = endlich: diese Randbedingung ist schon ber¨ ucksichtigt, da wir die Terme r −l−1 im Kugelinneren weggelassen haben. Φa (r  a) = −E0 r cos ϑ ⇒ B1 = −E0 , ~ k stetig E

⇒

∞ X l=0

Bl6=1 = 0

1 ∂Φa 1 ∂Φi =− ⇒− a ∂ϑ r=a a ∂ϑ r=a l dPl

Al a

dϑ

= E0 a sin ϑ +

Cl a−l−1

l=0

⇒ A1 = −E0 + Al =

∞ X

Cl 2l+1 a

dPl dϑ

(1.45)

C1 a3

(1.46)

fu ¨r l 6= 1

(1.47)

Die Kugel sei insgesamt ungeladen: ⇒ C0 = 0 ⇒ A0 = 0

12

(1.44)

~ ⊥ stetig ⇒ εE ~ ⊥ stetig D

∂Φa ∂Φi = − ⇒ −ε ∂r r=a ∂r r=a 2C1 ⇒ εA1 = −E0 − 3 a l + 1 Cl εAl = − l a2l+1

(1.48) (1.49) l 6= 1

Wenn wir alle diese Bedingungen zusammennehmen, erhalten wir:
3 E0 Al = 0 l 6= 1 A1 = − ε+2 ε−1 3 C1 = ε+2 a E0 Cl = 0 l 6= 1 ⇒ Φi = −

3 E0 r cos ϑ ε + 2 | {z }

(1.50)

(1.51)

(1.52)

z

Φa = −E0 r cos ϑ +

ε − 1 a3 E0 cos ϑ ε + 2 r2

(1.53)

Der zweite Beitrag zum ¨außeren Potenzial ist das Potenzial eines Dipols mit dem Dipolmoment ε−1 E0 a3~ez . (1.54) ~p = ε+2 Die polarisierte Kugel wirkt also wie ein reiner Dipol, dessen Feld sich dem vom außen angelegten Feld u ¨ berlagert. Die Polarisation im Inneren der Kugel ist homogen: ε−1~ 3 ε−1~ P~ = E= E0 4π 4π ε + 2

(1.55)

Die Oberfl¨achenladungsdichte der Kugel betr¨agt 3 ε−1 σp (ϑ) = P~ · ~n = E0 cos ϑ . 4π ε + 2

13

(1.56)

1.6

Magnetostatik im materiegefu ¨ llten Raum

Die Magnetostatik im materiegef¨ ullten Raum ist konzeptionell a¨hnlich wie die Elektrostatik im materiegef¨ ullten Raum. W¨ahrend in der Elektrostatik das elektrische Feld ein elektrisches Dipolmoment P~ pro Einheitsvolumen induziert, induziert in der Magnetosta~ pro Einheitsvolumen. Man tik das magnetische Feld ein magnetisches Dipolmoment M ~ nennt M die Magnetisierung“, die f¨ ur die makroskopische Formulierung der Magneto” statik wichtig ist. Wir wiederholen zun¨achst die Grundgleichungen der Magnetostatik im Vakuum. Sie lauten ~ ·B ~ = 0 ∇ ~ ×B ~ = 4π ~j . ∇ c

(1.57)

Aus der ersten Beziehung folgt, dass das Magnetfeld sich als Rotation eines Vektorpoten~ schreiben l¨asst: zials A ~ =∇ ~ ×A ~ B (1.58) mit ~ r) = 1 A(~ c

Z

d3 r 0

~j(~r0 ) m ~ × ~r = + ... . 0 |~r − ~r | r3

(1.59)

Im letzten Schritt haben wir die Multipolentwicklung verwendet, die dann sinnvoll ist, wenn der Ort ~r, an dem das Potenzial gemessen wird, weit entfernt ist von der Stromverteilung, die das Potenzial hervorruft. Das magnetische Dipolmoment m ~ ist gegeben durch Z h i 1 d3 r 0 ~r0 × ~j(~r0 ) . (1.60) m ~ = 2c Das magnetische Dipolmoment von Atomen und Molek¨ ulen berechnet man allerdings nicht mit dieser Formel aus der klassischen Physik, sondern mit Hilfe der Quantenmechanik. Wenn wir nun zu einer makroskopischen Betrachtungsweise u ¨bergehen, mitteln wir wieder u ber kleine Volumina, die viel gr¨ o ßer sind als der Atomoder Molek¨ ulabstand. ¨ ~ Dann wird M , das magnetische Dipolmoment pro Volumeneinheit, die relevante Gr¨oße. Mit ~j bezeichnen wir ab jetzt die makroskopische Stromdichte, die bei dieser Mittelung u ¨brigbleibt. Sie ist das Analogon zur Raumladungsdichte in der makroskopischen Elektrostatik. Neben dieser makroskopischen Stromdichte tr¨agt die Magnetisierung zum Vektorpotenzial bei, so dass wir erhalten: ~ r) A(~

=

1 c

Z

~ r 0 ) × (~r − ~r0 ) ~j(~r0 ) 3 0 Z M(~ d3 r 0 d r + |~r − ~r0 | |~r − ~r0 |3 |“ {z” }

(1.61)

~ (~ ~ 0 1 0 ×M r0 ) − ∇ |~ r−~ r |

part.Integration

↓

=

1 c

Z ~ 0 ~0×M ~ (~r0 ) j(~r ) + c∇ d3 r 0 . 0 |~r − ~r | 14

(1.62)

~ ×M ~ ist eine effektive Stromdichte“ ~j (i) . Um die makroskopische Der Ausdruck c∇ ” Version von Gleichung (1.57) zu erhalten, berechnen wir ~ ×∇ ~ × A(~ ~ r) = −∆A ~ + ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ ∇ Z   4π ~ 1~ 1 ~ ~ ~ ~j(~r0 ) + ~j (i) (~r0 ) · ∇ = d3 r 0 j + 4π ∇ × M + ∇ 0| c c |~ r − ~ r | {z } | {z } ~jges ~0 1 −∇ |~r − ~r0 | {z } | Z   1~ ~ 0 · ~jges (~r0 ) · 1 d3 r 0 ∇ ∇ 0 c {z } |~r − ~r | | = 0 in der Magnetostatik, denn ~ · ~j (i) = ∇( ~ ∇ ~ ×M ~ ) = 0 und ∇ ∂% ~ · ~j = − = 0 ∇ ∂t da sich keine freien Ladungen bewegen. Wir erhalten also

  ~ × B ~ − 4π M ~ = 4π ~j ∇ c {z } | ~ =: H

(1.63)

und damit die makroskopische Version von Gleichung (1.57): ~ ×H ~ = 4π ~j . ∇ c

(1.64)

~ und B ~ haben sich folgende Bezeichnungen eingeb¨ F¨ ur H urgert: ~ H: magnetische Feldst¨arke“ ~ ”Induktion“, Flussdichte“ B: ” ” ~ ·B ~ = 0. Außerdem gilt weiterhin ∇ Wenn wir ebenso wie in der Elektrostatik die vereinfachenden Annahmen von linearem Respons und Homogenit¨at und Isotropie des Materials machen, erhalten wir ~ = µH ~ B ~ = χm H ~ M ~ = B ~ − 4π M ~ H µ = 1 + 4πχm

(1.65) (1.66) (1.67) (1.68)

µ ist die Permeabilit¨at“. Wir unterscheiden die folgenden F¨alle: ” µ > 1 : Paramagnetismus (⇔ χm > 0) Material bindet“ die magnetische Feldlinien ” µ < 1 : Diamagnetismus (⇔ χm < 0) Material schließt magnetische Feldlinien aus sich teilweise aus. Ferromagnetische Materialien haben eine permanente Magnetisierung und lassen sich damit nat¨ urlich nicht durch die obigen linearen Beziehungen beschreiben. 15

1.7

Randbedingungen fu ¨ r die Felder der Magnetostatik

Wir gehen analog zur Elektrostatik vor: ~ ·B ~ = 0 folgt B ~ (i) = B ~ (a) . Aus ∇ ⊥ ⊥ ~ ist an der Grenzfl¨ache stetig. Die Normalkomponente von B ~ ×H ~ = 0 (falls ~j = 0) folgt H ~ (i) = H ~ (i) . Aus ∇ k k ~ ist stetig. Die Tangentialkomponente von H

1.8

Beispiel: Das von einer homogen magnetisierten Kugel erzeugte Feld im Vakuum

Wir betrachten die in der Abbildung dargestellte Situation:

µ=1 ~0 M

~ = M

ϑ



M0~ez 0

fu ¨r r < a sonst

z

(1.69)

Die Magnetisierung der Kugel ist vorgegeben, und wir wollen das durch diese Magnetisie~ ·M ~ = 0 im Inneren der Kugel (und rung hervorgerufene Magnetfeld berechnen. Es ist ∇ außen sowieso), und folglich ~ ·H ~ =∇ ~ · (B ~ − 4π M ~ ) = 0. ∇

(1.70)

~ ×H ~ = 0 und folglich Wegen ~j = 0 ist auch ∇ ~ × (∇ ~ × H) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · H) ~ − ∆H ~ = −∆H ~ =0 ∇

(1.71)

~ Wegen ∇ ~ ×H ~ = 0 l¨asst sich H ~ schreiben als Dies ist eine Laplace Gleichung f¨ ur H. ~ = −∇Φ ~ M H 16

(1.72)

mit einem

”

~ ·H ~ = 0 erhalten wir magnetischen Skalarpotential“ ΦM . Wegen ∇ ∆ΦM = 0 .

(1.73)

ΦM erf¨ ullt ebenfalls die Laplacegleichung. Genau wie im zweiten Beispiel zur Elektrostatik haben wir azimutale Symmetrie und k¨onnen f¨ ur das Skalarpotenzial den folgenden Ansatz machen: ΦiM

=

∞ X

Al r l Pl (cos ϑ)

l=0

ΦaM =

∞ X l=0

Die eine Stetigkeitsbedingung ist


Bl r l + Cl r −l−1 Pl (cos ϑ) ~ (i) = H ~ (a) H k k

und f¨ uhrt auf Al = Bl +

(1.74)

Cl 2l+1 a

.

(1.75)

Die zweite Stetigkeitsbedingung ist ~ (i) + 4π M ~⊥ = H ~ (a) H ⊥ ⊥ und f¨ uhrt f¨ ur l = 1 auf −A1 + M0 4π = −B1 + und f¨ ur l 6= 1 auf

Al = Bl −

2C1 a3

l + 1 Cl . l a2l+1

(1.76)

(1.77)

(1.78)

~ = 0 sein, also ΦM = 0. F¨ ur ~r → ∞ muss H ⇒ Bl = 0 ⇒ Al = Cl = 0 f u ¨r l 6= 1 . F¨ ur l = 1 folgt daraus −A1 + 4πM0 =

(1.79)

2C1 . a3

Aus (1.77) erhalten wir A1 =

C1 a3

und folglich 4π 3 a M0 3 4π = M0 . 3

C1 = A1

17

(1.80)

Unser Endergebnis f¨ ur die Felder ist dann    4π M0 r cos ϑ, r < a 3 ΦM (~r) = cos ϑ 4π   M0 a3 2 , r > a 3 r 4π ~ ~ (i) = − M ⇒H 3 ~ (i) = H ~ (i) + 4π M ~ = 8π M ~ B 3

(1.81)

Dies ist ein homogenes Feld. Außerhalb der Kugel erhalten wir   ~ (a) = B ~ (a) = − 4π M0 a3 ∇ ~ z H r3 |3 {z } m: magnetisches Dipolmoment der Kugel   m ~ · ~ r ~ = −∇ r3 3~r(m ~ · ~r) m ~ = − . r5 r3

(1.82)

Dies ist das Feld eines magnetischen Dipols.

1.9

Beispiel: paramagnetische Kugel im ¨ außeren Feld

Dieses Beispiel ist ¨ahnlich wie das vorige Beispiel, aber mit den Bedingungen ~ = χm H ~ M

in Kugel

(1.83)

~ =B ~ =H ~ 0 im Unendlichen. Dieses Problem ist analog zu der dielektrischen Kugel, und H und die L¨osung l¨asst sich sofort abschreiben, wenn wir dort die folgenden Ersetzungen machen: ~ →B ~ D ~ →H ~ E

~ P~ → M χe → χm ε→µ

18

1.10

Al

¨ Ubersicht der verwendeten Gr¨ oßen

%M ol ~πM ol p~j Φ ~r v ~ P % σp ~ D ε ε U ~ E Q F Pn σ Pl l Bl Cl ΦM ~ M ~ A ~ H ~ B µ ~j

Ladungsdichte der Molek¨ ule Polarisationsdichte Polarisation eines Molek¨ uls elektrisches Potenzial Ort kleines Volumen Polarisationsdichte (¨ uber kleines v gemittelt) Ladungsdichte (¨ uber kleines v gemittelt) Oberfl¨achenladungsdichte durch Polarisation Verschiebungsdichte Dielektrizit¨atstensor Dielektrizit¨atskonstante Spannung elektrisches Feld Ladung Fl¨ache Polarisation senkrecht zur Oberfl¨ache Fl¨achenladungsdichte Legendre-Polynom Summationsindex Koeffizienten magnetisches Potenzial Magnetisierung Vektorpotenzial magnetische Feldst¨arke Induktion / Flußdichte Permeabilit¨at Stromdichte

19

1.11

Exkurs: Magnetismus in der Quantenmechanik

~ w¨ahlen Wir betrachten die Schr¨odingergleichung im Magnetfeld. F¨ ur das Vektorpotenzial A ~ ·A ~ = 0, da dies die Rechnungen vereinfacht. Die Schr¨odingerwir die Coulomb-Eichung ∇ gleichung lautet in Ortsdarstellung " #  2 1 ∂ ~~ e~ i~ ψ = ∇ − A + eΦ ψ ∂t 2m i c   e2 ie~ ~ ~ ~2 2 2 A · ∇ + eΦ ψ , (1.84) ∇ + A + = − 2m 2mc2 mc wobei wir im letzten Schritt die Coulomb-Eichung verwendet haben. Wir erinnern daran, ~ f¨ dass der Impulsoperator ~pˆ = −i~∇ ur den kanonischen Impuls (also die zur Ortsvariable ˆ = p~ˆ − eA/c ~ ist der kinetische Impuls m~v . Im kanonisch konjugierte Variable) steht, und ~π ~ Außerdem Folgenden betrachten wir den einfachen Fall eines konstanten Magnetfeldes B. verschwinde das elektrische Potenzial Φ. Das Vektorpotenzial ist dann ~ = − 1 (~x × B) ~ , A 2

(1.85)

~ ·A ~ = 0 und ∇ ~ × A = B, ~ wie wir nun zeigen. denn es erf¨ ullt die beiden Bedingungen ∇ ~ sind Die Komponenten von A 1 Ai = − ijk xj Bk . 2 Damit ist ~ ·A ~ = − 1 ∂i ijk xj Bk = 0 ∇ (1.86) 2 und ~ × A) ~ i = − 1 ijk ∂j klm xl Bm = 1 Bi · 2 = Bi . (∇ (1.87) 2 2 Wir summieren hier immer u ¨ber doppelt auftretende Indizes, ohne explizit das Summen~ zeichen zu schreiben. Die beiden A-abh¨ angigen Terme in (1.84) werden zu 1 1 ~2 1 ~ 2 A2 = ijk xj Bk ilm xl Bm = ~x2 B − (~x · B) 4 4 4

(1.88)

und

~·∇ ~ = − i~ ijk xj Bk ∂i = i~ Bk kji xj ∂i = − 1 B ~ ·L ~ˆ . i~A (1.89) 2 2 2 Wenn wir die z-Achse parallel zum Magnetfeld legen, vereinfacht sich der Ausdruck f¨ ur 2 A zu 1 (1.90) A2 = B 2 (x2 + y 2 ) . 4 Der Hamiltonoperator ist dann 2 2 2 ˆ = − ~ ∇2 + e B (x2 + y 2) − e B ~ ·L ~ˆ . H 2 2m 8mc 2mc

20

(1.91)

Der dritte Term liefert einen Beitrag zum Paramagnetismus, der zweite Term den Diamagnetismus. Wir betrachten zun¨achst den dritten Term. Er hat die Form ~ −m ~ˆ · B mit

e ~ˆ L. (1.92) 2mc Dieser Ausdruck f¨ ur das magnetische Dipolmoment des geladenen Teilchens entspricht dem klassischen Ausdruck (1.60) Z h i 1 m ~ = d3 r 0 ~r0 × ~j(~r0 ) , 2c m ~ˆ =

der mit der Ersetzung zu

~j(~r0) = e~v δ 3 (~r − ~r0 )

e ~ L 2mc wird. Der paramagnetische Beitrag zur Energie ist am niedrigsten, wenn das magnetische Dipolmoment parallel zum Magnetfeld orientiert ist. Wenn das Teilchen zus¨atzlich zum Bahndrehimpuls auch einen Spin hat, gibt es einen Zusatzterm m ~ =

−

ge ~ ~ˆ B·S 2mc

zu (1.91), der in der nichtrelativistischen Quantenmechanik ph¨anomenologisch eingef¨ uhrt werden muss, und der sich aus der Dirac-Gleichung herleiten l¨asst. Aus der Diracgleichung erh¨alt man g = 2, und die Quantenelektrodynamik erzeugt kleine Korrekturen zu diesem Wert. (Bemerkung: die Spin-Bahn-Kopplung, die dann ebenfalls auftritt, haben wir ignoriert.) ~ zu bestimmen, sind noch einige SchritUm das Dipolmoment pro Volumeneinheit M te n¨otig, die man erst mit Kenntnis der statistischen Physik vollziehen kann. Die Idee ist folgende: Je nach Orientierung des Dipolmoments eines Atoms ist sein Beitrag zur Energie des Systems verschieden. Wenn das Dipolmoment parallel zum Magnetfeld ist, ist die Energie am niedrigsten. Die Energie h¨angt von der Quantenzahl lz bzw Sz ab. Mit welcher Wahrscheinlichkeit welche Quantenzahl und damit welche Energie angenommen wird, h¨angt von der Temperatur des Systems und von der St¨arke des Magnetfelds ab. Diese Rechnung kann mit Methoden der statistischen Physik durchgef¨ uhrt werden. Wir k¨onnen aber auch ohne Rechnung sofort schließen, dass f¨ ur schwaches Magnetfeld die ~ Magnetisierung M proportional zum Feld sein sollte, da f¨ ur schwaches Feld der Energieunterschied zwischen den verschiedenen Orientierungen kaum zu sp¨ uren ist und folglich die Differenz zwischen der Zahl von Dipolen, die parallel bzw antiparallel zum Feld orientiert sind, klein ist. Der lineare Term ist der f¨ uhrende Term in einer Taylorentwicklung im Magnetfeld. Der Proportionalit¨atsfaktor ist die Suszeptibilit¨at. Der zweite Term in (1.91) hat das umgekehrte Vorzeichen. Er erh¨oht die Energie des Teilchens. Bevor wir diesen Term diskutieren, sch¨atzen wir seine Gr¨oßenordnung relativ 21

zum paramagnetischen Term ab. Die typische Gr¨oßenordnung von x2 + y 2 ist der BohrRadius a zum Quadrat, und die Gr¨oßenordnung des Drehimpulses ist ~. Damit ist das Verh¨altnis des zweiten und dritten Terms aus (1.91) gen¨ahert durch e2 B 2 a2 2mc a2 e = B = 1.1 × 10−10 B in Gauß . 8mc2 e~B 4~c Diamagnetische Effekte sind also f¨ ur im Atom gebundene Elektronen unter Laborbedingungen kleiner als paramagnetische. Nur in Atomen, deren Gesamtbahndrehimpuls und Gesamtspin verschwinden, wird der Diamagnetismus wichtig. Wir betrachten daher im Folgenden Atome oder Ionen mit abgeschlossenen Schalen, wie z.B. Helium und die anderen Edelgase oder die Alkalihalide, im Grundzustand |0i. In erster Ordnung St¨orungstheorie verschiebt der diamagnetische Term die Grundzustandsenergie um den Wert X X e2 B 2 e2 B 2 2 2 h0| (x + y )|0i = h0| ri2 |0i , (1.93) E1 = i i 2 8mc2 12mc i i

wobei der Index i die Elektronen des Atoms durchz¨ WegenP der Kugelsymmetrie P 2 der P ahlt. 2 2 Wellenfunktion ur abgeschlossene Schalen ist h0| i xi |0i = h0| i yi |0i = h0| i zi |0i = P 2 f¨ (1/3)h0| i ri |0i. Das durch das Feld induzierte magnetische Dipolmoment erhalten wir ¨ durch folgende Uberlegung, die einen Zusammenhang zwischen der Energie und dem induzierten Dipolmoment herstellt: Wir argumentieren klassisch und betrachten einen kleinen Leiterring mit Radius a. Wenn in ihm der Strom I fließt, betr¨agt sein magnetisches Dipolmoment nach Gleichung (1.60) m = Iπa2 /c. Das Induktionsgesetz besagt, dass das in dem Ring erzeugte elektrische Feld gegeben ist durch 1 dB E · 2πa = − πa2 . c dt Wenn wir dies in den Ausdruck dW = qEdl

f¨ ur die vom elektrischen Feld an den Ladungen des Leiters verrichtete Arbeit einsetzen, erhalten wir dW 1 dB dB = qEv = EI2πa = − πa2 I = −m . dt c dt dt ~ Wenn wir nun das Symbol E wieder f¨ ur die Energie verwenden, erhalten wir dE = −m·d ~ B und X ∂E1 e2 mz = − =− h0| ri2 |0iB . (1.94) ∂B 6mc2 i

Das induzierte Dipolmoment ist proportional zum angelegten Feld, und der Proportionalit¨atsfaktor ist die magnetische Suszeptibilit¨at. Schließlich diskutieren wir noch die quantenmechanischen Grundlagen des Ferromagnetismus. Der Ferromagnetismus entsteht durch die Wechselwirkung zwischen den Spins der Teilchen. Die naheliegende Annahme, dass hier die Dipol-Dipol-Wechselwirkung den Hauptbeitrag liefert ist falsch. Die durch das Pauli-Prinzip und die Coulomb-Wechselwirkung entstehende Austauschwechselwirkung ist dominant und liefert (f¨ ur zwei Spins) einen 22

~ˆ1 · S ~ˆ2 zur Energie, wobei J eine Kopplungskonstante ist. Da dieser Term eine Beitrag −J S parallele Ausrichtung der Spins bevorzugt, kann man sich vorstellen, dass bei gen¨ ugend tiefen Temperaturen die Spins des Materials vorzugsweise parallel zueinander sind, auch ohne ein a¨ußeres Magnetfeld. Das einfachste Modell, dass diesen Phasen¨ ubergang beschreibt, ist das Ising-Modell, das in der statistischen Physik oder einer sp¨ateren Vorlesung behandelt wird. Im folgenden wiederholen wir die Entstehung der Austauschwechselwirkung. Wir betrachten zwei Elektronen, z.B. in einem Atom oder Molek¨ ul. Solange wir die Coulomb-Wechselwirkung zwischen ihnen vernachl¨assigen, k¨onnen ihre Eigenzust¨ande und Energieeigenwerte unabh¨angig berechnet werden. Da die Teilchen ununterscheidbar sind, ist der Ortsanteil ihrer gemeinsamen Wellenfunktion gegeben durch 1 ψ(~r1 , ~r2 ) = √ (ψ1 (~r1 )ψ2 (~r2 ) ± ψ2 (~r1 )ψ1 (~r2 )) , 2 wobei das Vorzeichen von der Symmetrie des Spinanteils abh¨angt, der hier nicht hingeschrieben wurde. Die Energieverschiebung durch die Coulombwechselwirkung ist in erster Ordnung St¨orungstheorie e2 ∆E = hψ| |ψi |~r1 − ~r2 | Z Z 1 1 e2 3 3 2 √ d r1 d r2 | = (ψ1 (~r1 )ψ2 (~r2 ) ± ψ2 (~r1 )ψ1 (~r2 )) | 2 |~r1 − ~r2 | 2 Z Z = e2 d3 r1 d3 r2 |ψ1 (~r1 )|2 |ψ2 (~r2 )|2 /|~r1 − ~r2 | Z Z 2 3 ±e d r1 d3 r2 ψ1∗ (~r1 )ψ2 (~r2 )∗ ψ1 (~r2 )ψ2 (~r1 )/|~r1 − ~r2 | ≡ A±B.

(1.95)

Die niedrigere Energie liegt vor, wenn die beiden Spins parallel sind und der Ortsanteil folglich antisymmetrisch ist.

23

Kapitel 2 Die Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellen 2.1

Maxwellgleichungen im materiegefu ¨ llten Raum

Die Maxwellgleichungen im materiegef¨ ullten Raum lauten ~ ·D ~ = 4π% ∇

(2.1)

~ ~ ×E ~ = − 1 ∂B ∇ c ∂t ~ ~ ∇·B = 0

(2.2) (2.3)

~ ~ ×H ~ = 4π ~j + 1 ∂ D ∇ c c ∂t

(2.4)

F¨ ur Medien mit linearer Antwort gilt: ~ = εE, ~ D

~ = µH, ~ B

~ ~j = σ · E

(2.5)

Gegen¨ uber den Maxwell-Gleichungen im Vakuum haben wir in der ersten und vierten ~ und B ~ durch D ~ und H ~ ersetzt, so wie wir uns das im vorigen Kapitel erarbeiGleichung E tet haben. Der letzte Term der vierten Maxwell-Gleichung (2.4) kam in der Magnetostatik im materiegef¨ ullten Raum nicht vor, und wir m¨ ussen im Folgenden noch begr¨ unden, ~ ~ warum wir auch hier E durch D ersetzt haben. Wir beginnen mit der Kontinuit¨atsgleichung und formen sie mit Hilfe der ersten Maxwellgleichung identisch um: ~ · ~j = − ∂% ∇ ∂t   4π ~ ~ ~ · ∇ ~ ×H ~ −∇ ~ · ∇·j = ∇ c | {z } =0

(2.6) ~ 1 ∂D c ∂t

!

(2.7)

Diese Gleichung erhalten wir auch, wenn wir die Divergenz der vierten Maxwell-Gleichung ~ statt D ~ st¨ bilden. Wenn dort im letzten Term ein E unde, h¨atten wir einen Widerspruch. 24

Anschaulich ist der letzte Term der vierten Gleichung der Verschiebungsstrom“: dort, ” wo der Stromfluss endet (z.B. auf Kondensatorplatten), baut sich Ladung auf und damit ein elektrisches Feld. Ein zeitlich ver¨anderliches elektrisches Feld verursacht ebenso wie fließender Strom ein Magnetfeld.

2.2

Potenziale und Eichungen

~ sind nicht eindeutig, sondern wir haben die Freiheit, die Eichung Die Potenziale φ und A zu w¨ahlen. In diesem Abschnitt machen wir die Rechnungen im Vakuum, also f¨ ur ε = ~ ~ ~ ~ µ = 1 und H = B und D = E. Wir haben ~ ·B ~ = 0 ⇒ ∃A ~:∇ ~ ×A ~=B ~ ∇

(2.8)

~ = rotA ~ ist, dann ist ∇ ~ ·B ~ = 0. Der Beweis von rechts nach links ist einfach: wenn B Den Beweis von links nach rechts haben wir in der Magnetostatik dadurch gef¨ uhrt, dass ~ wir einen expliziten Ausdruck (1.59) f¨ ur A geliefert haben. Im allgemeinen Fall geht der Beweis so: Wir definieren einen antisymmetrischen Tensor   0 B3 −B2 0 B1  B =  −B3 (2.9) B2 −B1 0

und verbinden Punkte im betrachteten Gebiet durch gerade Wege mit dem Ursprung ~r0 = ~0. Der Weg zum Punkt ~r wird also beschrieben durch ~re(t) = t~r mit t ∈ [0, 1]. Dann ist Z 1 ~ r) = − dtB(~re(t)) · ~re(t) , denn A(~ (2.10) 0

  ~ ×A ~ (~r) = ∂2 A3 (~r) − ∂3 A2 (~r) ∇ 1 Z 1 = dt [∂3 (B2j x ej ) − ∂2 (B3j x ej )] 0 Z 1 = dt t [−∂3 B3 x1 + ∂3 B1 x3 + ∂2 B1 x2 − ∂2 B2 x1 ] 0 Z 1 i h = dt t − x1 (∂3 B3 + ∂2 B2 ) +2B1 + (x3 ∂3 + x2 ∂2 ) B1 {z } | 0 =

=

Z

1

Z0 1 0

−∂1 B1

h i ~ dt t 2B1 + (~r · ∇)B1 dt

i d h2 ~ t B1 (re(t)) = B1 (~r) dt

(2.11)

In der zweiten Zeile dieser Rechnung ist die Summation u ¨ber den doppelt auftretenden Index j impliziert. 25

~ Wir addieren zu A ~ den GradiNun besteht eine gewisse Freiheit in der Wahl von A: enten einer skalaren Funktion χ: ~e ~ + ∇χ ~ A = A ~e ~ = ∇ ~ ×A ⇒B

(2.12) (2.13)

~e ~ Das Vektorpotenzial A kann ebenso gut verwendet werden wie das Vektorpotenzial A. Als n¨achstes bestimmen wir das elektrische Potenzial Φ, das in der Elektrodynamik eine kompliziertere Beziehung erf¨ ullt als in der Elektrostatik. Wir setzen die Beziehung ~ =∇ ~ ×A ~ B

(2.14)

in die zweite Maxwell-Gleichung (Gl. 2.2) ein:     1 1 ∂ ∂ ~ ×E ~+ ~ ×A ~ =∇ ~ × E ~+ ~ =0 0=∇ ∇ A c ∂t c ∂t

(2.15)

~+1∂A ~ = −∇Φ ~ . E c ∂t

(2.16)

Dies bedeutet, dass es ein Φ gibt mit:

~ × F~ = 0, dass F~ sich ausdr¨ Denn ganz allgemein gilt f¨ ur ein Vektorfeld F~ mit ∇ ucken ~ ~ l¨asst durch F = ∇Φ mit Z ~r d~r0 F~ (~r0 ) (2.17) Φ(~r) = 0

~ × F~ = 0 folgt Die Begr¨ undung hierf¨ ur ist folgende: Aus ∇ geschlossenen Weges. ⇒

Z

~ r

0~

Z

F~ · d~s = 0 l¨angs eines

~ r

d~r F − d~r0 F~ = 0 | 0 {z } | 0 {z } Weg 1

H

⇒ Φ ist unabh¨angig vom Weg.

(2.18)

Weg 2

~ aus: Wir dr¨ ucken nun die Maxwell-Gleichungen durch Φ und A   1∂ ~ ~ ~ ~ ~ ∇ · E = 4π% ⇒ ∇ · ∇Φ + A = −4π% c ∂t ∆Φ +

1 ∂  ~ ~ ∇ · A = −4π% c ∂t

(2.19) (2.20)

~ ×B ~−1∂E ~ = 4π ~j ∇ c ∂t c

(2.21)

  2~ ~ ~ ~ ~ + 1∇ ~ ∂Φ + 1 ∂ A = 4π ~j ⇒ ∇ ∇ · A − ∆A c ∂t c2 ∂t2 c

(2.22)

26

  ~ 1 ∂2A 4π 1 ∂Φ ~ ~ ~ ~ ∆A − 2 2 − ∇ ∇ · A + = − ~j c ∂t c ∂t c

(2.23)

Statt vier gekoppelten parziellen Differenzialgleichungen erster Ordnung hat man jetzt zwei gekoppelte inhomogene parzielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung. Da die Potenziale nicht eindeutig sind, hat man die Freiheit, eine Eichung zu w¨ahlen: die Maxwell-Gleichungen bleiben invariant unter der Transformation ~→A ~0 = A ~ + ∇Λ(~ ~ r, t) A 1∂ Λ(~r, t) Φ → Φ0 = Φ − c ∂t

(2.24) (2.25)

Wir diskutieren im Folgenden zwei h¨aufig verwendete Eichungen: Lorentz-Eichung: Mit der Wahl 0 ~ ·A ~ 0 + 1 ∂Φ = 0 ∇ c ∂t

(2.26)

~ Φ statt A ~ 0 , Φ0 ): wird Gleichung (2.20) zu (schreibe jetzt A, ∆Φ −

1 ∂2 Φ = −4π% c2 ∂t2

(2.27)

~− ∆A

4π 1 ∂2 ~ A = − ~j 2 2 c ∂t c

(2.28)

und Gleichung (2.23) zu

~ nun entkoppelt sind. Diese Wahl hat den Vorteil, dass die Gleichungen f¨ ur Φ und A Die Eichtransformation stellt folgende Bedingung an Λ:   1 ∂2 1∂ ~ ~ ∆Λ − 2 2 Λ = − ∇ · A + Φ (2.29) c ∂t c ∂t Dies ist ebenso wie die beiden Gleichungen davor eine inhomogene Wellengleichung. Derartige Gleichungen l¨ost man mit der Methode der Greenschen Funktionenen (siehe sp¨ater). ~ ·A ~ 0 = 0, die f¨ ~ · A+ ~ ∆Λ = 0 Coulomb-Eichung: Mit der Wahl ∇ ur Λ die Bedingung ∇ impliziert, wird Gleichung (2.20) zu ∆Φ = −4π%

und Gleichung (2.23) zu

(2.30)

~ 1 ∂2A 1 ~ ∂Φ 4π (2.31) = − ~j + ∇ 2 2 c ∂t c c ∂t Dies l¨asst sich vereinfachen durch Einf¨ uhren der transversalen und longitudinalen Komponente von ~j: ~− ∆A

27

~j = ~jt + ~jl mit ~ × ~jl = 0 ∇ und ~ · ~jt = 0 . ∇

(2.32) (2.33) (2.34)

Diese Komponenten bestimmen wir durch folgende Rechnung: Z ~ 0 j(~r , t) 3 0 dr |~r − ~r0 | 1 denn ∆ = −4πδ 3 (~r − ~r0 ) |~r − ~r0 | ( Z ~ 0 j(~r , t) 3 0 1 ~ ~ ∇×∇× dr = 4π |~r − ~r0 |

~j = − 1 ∆ 4π

1 = 4π

(

~ × ∇

= ~jt + ~jl

(2.35)

) ! Z ~ 0 j(~ r , t) ~ · ∇ ~ · −∇ d3 r 0 |~r − ~r0 | {z } | Z ~ 0 1 d3 r 0 ~ ∇ ~j(~r0 , t) · ∇ |~r − ~r0 | Z ~0 ~ 0 ∇ · j(~r , t) 3 0 ~ = −∇ d r (part. Int.) |~r − ~r0 | Z ∂%(~r0 , t) 1 ~ d3 r 0 (Kont.gl.) = ∇ ∂t |~r − ~r0 | ~ ∂Φ = ∇ ∂t ) !

Z ~ 0 j(~r , t) 3 0 ~ × ∇ dr |~r − ~r0 |

~ +∇

∂Φ ∂t

(2.36)

(2.37)

Damit wird Gleichung (2.23) zu ~− ∆A

1 ∂2 ~ 4π A = − ~jt . 2 2 c ∂t c

(2.38)

Im Fall verschwindender Strom- und Ladungsdichte % = 0 und ~j = 0 ist ∆Φ = 0 2 ~ = 0 ~− 1 ∂ A ∆A c2 ∂t2

und

(2.39) (2.40)

Die zweite Gleichung ist eine homogene Wellengleichung. Die erste Gleichung ist eine Laplace-Gleichung. F¨ ur Lorentzeichung erf¨ ullt auch Φ eine homogene Wellengleichung.

28

2.3

Energie- und Impulserhaltung

Auch in der Elektrodynamik gilt Energie- und Impulserhaltung. Wir leiten zun¨achst aus den Maxwell-Gleichungen den Poyntingschen Satz her: ~ + (Gl. 2.4) · E ~ ⇒ (Gl. 2.2) · (−H)     4π ~ ~ 1 ~· ∇ ~ ×H ~ −H ~ · ∇ ~ ×E ~ j·E+ E = c c   ~ · E ~ ×H ~ −∇ =

~ ~ ~ · ∂B ~ · ∂D + H E ∂t ∂t ~ ~ ~ · ∂D + H ~ · ∂B E ∂t ∂t

4π ~ ~ 1 j·E+ c c

! !

(2.41)

¨ F¨ ur den Ubergang zur letzten Zeile braucht man folgende Nebenrechnung:   ~ ~ ~ ∇ · E × H = ∂i εijk Ej Hk = εijk (∂i Ej ) Hk + εijk Ej (∂i Hk )     ~ ~ ~ ~ ~ ~ = −Ej εijk ∂i Hk + Hk εkij ∂i Ej = −E · ∇ × H + H · ∇ × E

Eine kleine Umformung von (2.41) gibt den Poyntingschen Satz:  c ~ ~ ~ + ~j · E ~ ∇· E×H 4π

= ~ ~ B=µ ~ ~ D=ε E, H

↓

=

~ ~ ~ · ∂D + H ~ · ∂B E ∂t ∂t

1 − 4π

 1 ∂ ~ ~ ~ ~ − E·D+H ·B 8π ∂t

! (2.42)

Um die Bedeutung dieser Gleichung zu erkennen, interpretieren wir die einzelnen Terme von (2.42) nacheinander. ~ Die vom Feld an der elektrischen Stromdichte pro Zeiteinheit geleistete Arbeit. ~j · E: Wir machen uns dies anhand von zwei Beispielen klar. – Fall eines Ohmschen Drahtes: ~ ⇒ ~j = σ E

Z

~ 3r = ~j · Ed

= σE 2 ·

Z

F |{z}

σE 2 d3 r ·

l |{z}

Drahtquerschnitt Drahtst¨ uckl¨ ange

 2 U2 U = = I 2R = σF l l R Dies ist die Ohmsche Leistung. 29

(2.43)

– Arbeit an geladenem Teilchen im elektromagnetischen Feld:   1 ~ ~ ~ Kraft: F = q E + ~v × B c

1 8π



verrichtete Arbeit ~ = ~j · E ~ = F~ · ~v = q~v · E Zeit

(2.44) (2.45)

 ~ ·D ~ +H ~ ·B ~ : Energiedichte des elektomagnetischen Feldes. E

Dies begr¨ unden wir f¨ ur das elektrische und magnetische Feld getrennt: – Elektrisches Feld: Hier k¨onnte man die Rechnung aus der Theorie I Vorlesung wiederholen, aber ~ ·D ~ = 4π%. Wir w¨ahlen an dieser Stelle eine alternative Begr¨ mit ∇ undung und betrachten hierzu einen Kondensator: F

d

Die zum Laden des Kondensators n¨otige Arbeit ist Z

U0 0

F UdQ = 4π

Z

0

U0

Fd UdD = 4π

Z

0

U0

EdD =

F dDE DE = V 8π 8π

(2.46)

– Magnetisches Feld: Im Skript zur Theorie I Vorlesung befindet sich eine allgemeine Herleitung f?r ~ durch H ~ ersetzen muss. die Magnetostatik, in der man an der richtigen Stelle B Wir stellen hier eine alternative Begr¨ undung vor und berechnen die magnetische Feldenergie einer Spule mit n Windungen pro L¨angeneinheit:

F

l

30

Die zum Aufbau des Magnetfeldes n¨otige Spannung ist nach dem Induktionsgesetz U=

1 dB 1 dΦ = nlF c dt c dt

(2.47)

Das Magnetfeld in der Spule ist H=

4π nI c

~ ×H ~ = 4π ~j) (aus ∇ c

(2.48)

Damit ist die beim Aufbau des Magnetfeldes geleistete Arbeit: Z

c ~ ∇ 4π

H0 0

1 U · Idt = nlF c

Z

dB c V · Hdt = dt 4πn 4π

  ~ ×H ~ ≡∇ ~ · S: ~ Den Vektor · E

Z

H0

HdB =

0

1 H0 B0 V 8π

~ ×H ~ ~= c E S 4π

(2.49)

(2.50)

nennt man den Poynting-Vektor und interpretiert ihn als Energiestromdichte. Dies wird klar, wenn wir die Gleichung (2.42) insgesamt betrachten. Insgesamt ist Gleichung (2.42) eine Kontinuit¨atsgleichung mit Dissipation:  1 ~ ~ ~ ·S ~ ~ ~ ·B ~ ~j · E E·D+H = ∇ + | {z } |{z} 8π {z } Wegtransport von Dissipation von Energie Abnahme der Energie durch das (Umwandlung in eine Energiedichte Feld andere Energieform) des Feldes (2.51) Diese Gleichung beschreibt also die Energieerhaltung in der Elektrodynamik. Auch die Impulserhaltung k¨onnen wir aus den Maxwellgleichungen ablesen. Es gibt zwei Beitr¨age zum Impuls, n¨amlich den Impuls sich bewegender Ladungen und den Impuls des elektromagnetischen Feldes. Wir beginnen mit der Lorentzkraftdichte f~ und der daraus resultierenden Kraft F~ : ∂ − ∂t |



~ ~ ~ + j ×B f~ = %E c Z Z d ~ 3 ~ ~ F = Pmech = f(~r)d r = dt V V

31

~ ~ ~ + j ×B %E c

!

d3 r

(2.52)

Wir dr¨ ucken nun die Ladungs- und Stromdichte durch die Felder aus: 1 ~ ~ (Gl. 2.1) ⇒ % = ∇·D 4π ! ~ ∂ D 1 c ~ ×H ~ − ∇ (Gl. 2.4) ⇒ ~j = 4π c ∂t d 1 ⇒ P~mech = dt 4π 1 4π

=

Z









~ ~ ∇ ~ ·D ~ + ∇ ~ ×H ~ ×B ~ − 1 ∂D × B ~ E c ∂t

V

Z



V

(2.53) !

d3 r

     ~ ·D ~ E ~+ ∇ ~ ·B ~ H ~ + ∇ ~ ×H ~ ×B ~ ∇

 ~ 1 ∂ ~ ~ + 1D ~ × ∂B − D×B c ∂t c ∂t |{z}

!

d3 r

(2.54)

~ E ~ −c∇×

Im Vakuum ist ε = µ = 1, und wir k¨onnen dies weiter umformen zu Z Z h     d ~ 1 1 3 ~ ~ ~ ·E ~ E ~+ ∇ ~ ·B ~ B ~ Pmech + E × Bd r ∇ = dt 4πc V 4π V | R {z } 1 c2

Dies bedeutet

V

~ 3 r≡P ~f eld Sd

    i ~ ~ ~ ~ ~ ~ + ∇ × B × B + ∇ × E × E d3 r (2.55)

 d ~ ~ Pmech + Pf eld = dt i

mit dem Maxwellschen Spannungstensor 1 Tij = 4π



Z

V

∂ Tij d3 r ∂xj

1  ~ 2 ~ 2 Ei Ej + Bi Bj − δij E + B 2

(2.56)



(2.57)

Dies ist eine Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die Komponenten des Impulses. Die zu den Umformungen n¨otige Nebenrechnung ist h    i ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∇·E E+ ∇×E ×E i

= (∂j Ej ) Ei + εijk (εjlm ∂l Em ) Ek = Ei ∂j Ej + Ek εijk εjlm ∂l Em | {z } δkl δim − δkm δil mit klim 6= j = Ei ∂j Ej + Ek (∂k Ei − ∂i Ek ) 1 = ∂j (Ei Ej ) − ∂i (Ek Ek ) 2   1 ~2 = ∂j Ei Ej − δij E 2 32

(2.58)

2.4

Ebene Wellen in nichtleitenden Medien

Wir befassen uns im Folgenden mit elektromagnetischen Wellen. In diesem Unterkapitel betrachten wir ein Medium mit konstantem ε und µ. Das Medium sei nichtleitend und ungeladen, also % = 0 und ~j = 0. Die Maxwell-Gleichungen reduzieren sich dann auf ~ ·E ~ =0 ∇ und

~ ~ ×E ~ = − 1 ∂B ∇ c ∂t

~ ·B ~ =0 ∇

(2.59)

~ ~ ×B ~ = µε ∂ E . ∇ c ∂t

(2.60)

~ allein und f¨ ~ Aus den letzten beiden Gleichungen gewinnen wir Gleichungen f¨ ur E ur B allein:   ~ ~ 1~ ∂B µε ∂ 2 E ~ ~ ~ ∇× ∇×E = − ∇× =− 2 2 c ∂t c ∂t ~ ~ ~ ~ ~ = ∇ · (∇ · E) −∆E = −∆E | {z } =0

√ Mit den Definitionen v = nc (Phasengeschwindigkeit) und n = εµ (Brechungsindex) erhalten wir daraus die folgende Wellengleichung f¨ ur das elektrische Feld ~− ∆E

~ 1 ∂2E = 0. v 2 ∂t2

(2.61)

~− ∆B

~ 1 ∂2B = 0. v 2 ∂t2

(2.62)

Ganz analog erhalten wir

Wir betrachten das Medium als unendlich ausgedehnt. Dann sind ebene Wellen L¨osungen ¨ der Wellengleichung. Andere L¨osungen lassen sich durch die Uberlagerung ebener Wellen konstruieren. Um die Eigenschaften der ebenen Wellen zu bestimmen, beginnen wir mit dem Ansatz ~ r, t) = E ~ 0 ei(~k·~r−ωt) . E(~ (2.63) Genaugenommen ist das elektrische Feld der Realteil dieses Ausdrucks. Aber da es sich mit komplexen Gr¨oßen leichter rechnet, bleiben wir bei diesem Ausdruck, behalten aber im Hinterkopf, dass wir zur Ermittlung des tats¨achlichen Felds am Ende den Realteil nehmen m¨ ussen. Eingesetzt in die Wellengleichung erhalten wir 2 ~0 = 0 ~0 + ω E −~k 2 E v2

und daraus den Zusammenhang zwischen k und ω: k=

ω . v

33

(2.64)

~ ·E ~ = 0 folgt ~k · E ~ 0 = 0, und analog f¨ Aus ∇ ur das magnetische Feld. Dies bedeutet, dass ~k auf beide Felder senkrecht steht, d.h. ebene elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen. Der Zusammenhang zwischen dem elektischen und magnetischen Feld ergibt sich u ¨ber die Rechnung ~ ~ ~ 0 = iω B ~0 . ~0 ⇒ B ~ 0 = nk × E ~ ×E ~ = − 1 ∂ B ⇒ i~k × E ∇ c ∂t c k

(2.65)

Die beiden Felder stehen senkrecht aufeinander. Der Poynting-Vektor einer ebenen Welle ist 2 ~k c ~ c ~ cn 2  ~ ~ ~ ~ E cos k · ~r − ωt . S= E×H = E×B = 4π 4πµ 4πµ 0 | {z } k gibt 12 bei Mittelung u ¨ber die Zeit

2.5

(2.66)

Frequenzabh¨ angigkeit von ε(ω) und σ(ω)

Die einfache Annahme des letzten Unterkapitels, dass ε konstant ist, l¨asst sich im Allgemeinen nicht aufrecht erhalten. Um dies zu sehen, betrachten wir ein einfaches Modell aus voneinander unabh¨angigen polarisierbaren Atomen oder Molek¨ ulen. Außerdem erlauben wir, dass es freie Ladungstr¨ager gibt, d.h. dass das Material leitf¨ahig ist. Wir setzen µ = 1. Das einfachste Modell einer polarisierbaren Ladungsverteilung ist eine Masse m der Ladung q in einem harmonischem Potenzial:   2 ¨ ˙ ~ x, t) m ~x + γ ~x +ω0 ~x = q E(~ (2.67) |{z} D¨ampfung Der dritte Term auf der linken Seite beschreibt das harmonische Potenzial, das eine R¨ uckstellkraft proportional zur Auslenkung verursacht. Das elektrische Feld kommt von einer auf das Material fallenden elektromagnetischen Welle und hat daher die zeitliche ~ =E ~ 0 e−iωt . Also machen wir f¨ Form E ur ~x den Ansatz ~x = ~x0 e−iωt . Einsetzen in (2.67) und Aufl¨osen nach ~x0 ergibt ~x0 =

~0 qE . m (ω02 − ω 2 − iωγ)

(2.68)

Das molekulare Dipolmoment ist dann p~ = q~x0 =

~0 E q2 , m ω02 − ω 2 − iωγ

(2.69)

und die molekulare Polarisierbarkeit ist α=

p q2 = . E0 m (ω02 − ω 2 − iωγ) 34

(2.70)

Der Real- und Imagin¨arteil von α sind Re α(ω) = Im α(ω) =

ω02 − ω 2 q2 m (ω02 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2

q2 γω . 2 m (ω0 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2

(2.71)

Je gr¨oßer der Imagin¨arteil ist, desto gr¨oßer ist die Phasenverschiebung zwischen dem elektrischen Feld und dem durch das Feld induzierten Dipolmoment. Diese Phasenverschiebung wird durch den D¨ampfungsterm in (2.67) verursacht. Dieser Term kommt daher, dass das Molek¨ ul die absorbierte Strahlungsenergie in anderer Form wieder abgibt (isotrope Strahlung,...). Mit der Beziehung (1.25) erhalten wir daraus die Dielektrizit¨atskonstante ε(ω) = 1 +

4πq 2 m

N |{z} Molek¨ ulDichte

X |

j

ωj2

fj (2.72) − ω 2 − iωγj {z } Summe u ¨ber schwingungsf¨ahige Systeme

Hierbei haben wir angenommen, dass ein Molek¨ ul je fj schwingungsf¨ahige Systeme der Sorte j hat, n¨amlich die verschiedenen Arten von Elektronen, die jeweils ihre eigene D¨ampfungskonstante und Eigenfrequenz haben. Die Gesamtzahl der schwingungsf¨ahigen Systeme ist Z, also X fj = Z . (2.73) j

fj heißt auch Oszillatorst¨arke“. ” Im Folgenden betrachten wir getrennt den Grenzfall kleiner und großer Frequenzen. Kleine Frequenzen ω → 0

Wir unterscheiden zwischen Isolatoren und Leitern: 1. Isolator: Es sind alle ωj 6= 0, und es gibt keine freien Ladungen. ⇒ lim ε(ω) ≡ ε0 ist endlich ω→0

2. Leiter: Es gibt ein ωj = 0, dazu geh¨oren die Konstanten γ0 , f0 . Nun erhalten wir q 2 f0 ε(ω) = ε0 +i4πN (2.74) |{z} mω (γ0 − iω) Beitrag aller ωj 6= 0 Der zweite Term divergiert im Grenzfall ω → 0. Dies ist f¨ ur einen Leiter anschaulich klar: das Feld bewegt die Ladungen u ¨ber makroskopische Entfernungen. Das Bild eines schwingungsf¨ahigen Systems bricht damit f¨ ur die frei 35

beweglichen Ladungen (also den Beitrag j = 0) f¨ ur kleine Frequenzen zusammen, und wir sollten stattdessen die Leitf¨ahigkeit des Materials bestimmen. Zu diesem Zweck gehen wir zur¨ uck zur Gleichung (2.67) und setzen dort ω0 = 0 ¨ ˙ und ~x = −iω~x: ~ qE ~ ~j = Nf0 q~x˙ = f0 Nq ≡ σE (2.75) m (γ0 − iω) Daraus erhalten wir eine frequenzabh¨angige Leitf¨ahigkeit σ(ω) =

f0 Nq 2 . m (γ0 − iω)

(2.76)

Dies ist das sogenannte Drude-Modell. Die Leitf¨ahigkeit wird bei kleinen Frequenzen fast reell. Strom und Feld sind dann in Phase. Hohe Frequenzen ω  ωj , γj : Der Term ω 2 im Nenner von (2.72) dominiert, und alle Ladungen verhalten sich wie freie Ladungen. Wir erhalten den vereinfachten Ausdruck   ωp2 1 4πNq 2 X (2.77) fj = 1 − 2 ε(ω) ≈ 1 − 2 ω m ω | {z } ωp2

mit der Plasmafrequenz

ωp = 2

r

πNZq 2 . m

(2.78)

F¨ ur ω < ωp wird ε negativ und n bzw. v imagin¨ar. Dies bedeutet, dass die Wellenamplitude exponenziell abklingt, wenn eine ebene Welle auf das Medium trifft. Die Welle wird dann reflektiert.

2.6

Ebene Wellen in leitenden und dissipativen Medien

Nachdem wir einen Ausdruck f¨ ur eine frequenzabh¨angige Dielektrizt¨atskonstante bestimmt haben, betrachten wir nun ebene Wellen in solchen Medien. Außerdem erlauben wir, dass das Medium auch leitf¨ahig ist. Wir beginnen also mit den Beziehungen ~ = ε0 E ~ D

~ = µH ~ B

~. ~j = σ E

(2.79)

F¨ ur eine ebene Welle haben wir außerdem die Beziehungen ~ =E ~ 0 ei(~k·~r−ωt) E

~ =B ~ 0 ei(~k·~r−ωt) . B

(2.80)

Die Ladungsdichte schwingt mit dem elektrischen Feld, ~

% = %eei(k·~r−ωt) 36

(2.81)

Mit diesem Ansatz werden die Maxwell-Gleichungen zu ~ 0 = 4πe ~ 0 = iω B ~0 iε0~k · E % i~k × E c 1 ~ ~ 1 ~k · B ~0 = 0 ~0 ik × B0 = (4πσ − iωε0 ) E µ c

(2.82)

Wir betrachten nun haupts¨achlich den Fall ρ = 0 und untersuchen den Fall ρ 6= 0 nur f¨ ur eine spezielle Situation. 1. Fall % = 0: ~ 0 = 0, und die drei Vektoren ~k, E ~ 0, B ~ 0 bilden ein kartesisches Dreibein. Es ist ~k · E Wir berechnen den Zusammenhang zwischen ω und k wie vorher: ~k × ~k × E ~ 0 = −k 2 E ~ 0 = ω ~k × B ~ 0 = −i ω µ (4πσ − iωε0 ) E ~0 . (2.83) c c c Also ist   i4πσ ωµ 2 µε0 2 . (2.84) ⇒ k = 2 (ωε0 + i4πσ) = ω 2 1 + c c ωε0 Wir unterscheiden nun zwischen Isolatoren und Leitern: √ (a) Isolator, σ = 0: ⇒ k = ωc µε0 = ωv Ob ε0 und damit v reell ist, h¨angt davon ab, ob die Frequenz ω in der N¨ahe einer der Resonanzen ω0 ist. Wenn ω weit weg von den ωj ist, ist ε0 praktisch reell. In der N¨ahe von Resonanzen“ ω = ωj ” ist der Realteil von ε0 nicht mehr so dominant, und wir schreiben √ ⇒ µε0 = n + iκ mit dem Extinktionskoeffizienten κ. Die ebene Welle hat dan die Form nx −κxω (2.85) ei(kx−ωt) = eiω( c −t) e c . Dies ist eine ged¨ampfte Welle. (b) Leiter, σ 6= 0: Wir haben den vollen Ausdruck s   ω σ k= µε0 1 + i4π c ωε0

(2.86)

Dies bedeutet, dass es auch weit weg von den Resonanzen ged¨ampfte Wellen gibt, bei guten Leitern sogar bis zu sehr hohen Frequenzen. Bei hoher Leitf¨ahigkeit n¨ahern wir ωp (1 + i) p k≈ µi4πσ/ω = 2πσωµ . (2.87) c c Die Eindringtiefe der Welle in den Leiter ist dann die Skintiefe“ ” c 1 =√ d≈ . (2.88) Im k 2πσµω Die Stromverdr¨angung aus Leitern bei hohen Frequenzen nennt man den Skineffekt. 37

2. Fall % 6= 0: Interessant ist der Spezialfall ~0 = 0 ⇒ ~k × B

4πσ − iωε0 = 0

(2.89)

~ ~ =0 k·B 0

↓ ~0 = 0 ⇒ B

~0 = 0 ⇒ ~k × E

~ 0 k ~k ⇒E

(2.90)

⇒ es gibt rein elektrische Schwingungen, und zwar Longitudinalwellen. Wir bestimmen die Frequenz, bei der dies passiert. Wir hatten oben f¨ ur einen Leiter die Ausdr¨ ucke (2.74) und (2.76), aus denen ε = ε0 +

i4πσ ω

(2.91)

resultiert. Dies bedeutet, dass in unserem Spezialfall ε = 0 gilt. Außerdem hatten wir ωp2 ε=1− 2 ω

f¨ ur

ω  ω0 , ωp , γ .

(2.92)

⇒ dieser Effekt passiert bei der Plasmafrequenz.

2.7

Hohlleiter und Hohlraumresonatoren

Wir betrachten nun elektromagnetische Wellen in einem durch einen Leiter begrenzten Raum. Wir w¨ahlen einen zylinderf¨ormigen Metallk¨orper, der also u ¨berall den gleichen Querschnitt hat. Wenn er an den Enden geschlossen ist, ist er ein Hohlraumresonator, wenn er an den Enden offen ist, ist er ein Hohlleiter oder Wellenleiter. Der Zylinder sei mit einem Material gef¨ ullt, dass durch die Konstanten ε und µ charakterisiert ist. Die Oberfl¨ache des Zylinders sei ein idealer Leiter. Wir setzen wieder zeitlich periodische Felder an, ~ r, t) = e−iωt E(~ ~ r) , E(~ ~ r, t) = e−iωt B(~ ~ r) . B(~

(2.93)

~ den zeitunabh¨angigen Faktor E(~ ~ r ) und mit B ~ entsprechend Ab hier meinen wir mit E ~ r), wenn es nicht anders spezifiziert wird. B(~ Die Maxwell-Gleichungen und die Wellengleichungen im Inneren des Zylinders sind ~ ·E ~ =∇ ~ ·B ~ =0 ∇  ~ ×E ~ = iω B ~ ~ + µε ω22 E ~ =0 ∇ ∆E c c 2 ~ ×B ~ = −iµε ω E ~ ~ + µε ω2 B ~ =0 ∇ ∆B c c 38

(2.94)

Wegen der Translationsinvarianz in z-Richtung machen wir den Ansatz ~ r ) = E(x, ~ E(~ y)e±ikz ~ r ) = B(x, ~ B(~ y)e±ikz

(2.95)

Im Hohlraumleiter haben wir laufende Wellen eikz oder e−ikz , und im Hohlraumresonator stehende Wellen eikz ± e−ikz . Entsprechend zerlegen wir den Laplace-Operator in einen transversalen Anteil und einen z-abh¨angigen Anteil: ∇2 = ∇2t + ∇2z mit ∇2t =

∂2 ∂2 + . ∂x2 ∂y 2

Dies f¨ uhrt auf die Gleichungen   ω2 2 2 ~ y)e±ikz−iωt = 0 ∇t + µε 2 − k E(x, c   ω2 2 2 ~ ∇t + µε 2 − k B(x, y)e±ikz−iωt = 0 c

(2.96)

Diese Gleichungen gelten nat¨ urlich genauso ohne den Faktor e±ikz−iωt . Nun zerlegen wir auch die Felder in die Komponenten senkrecht und parallel zur z~ =E ~t + E ~ z und B ~ =B ~t + B ~ z . Die folgenden Umformungen dienen dem Ziel, Richtung: E ~ ~ ~ ~ Et und Bt durch Ez und Bz auszudr¨ ucken. Damit wird gezeigt, dass die transversalen Feldkomponenten durch die longitudinalen vollst¨andig bestimmt sind. ~ ×E ~ = iω B ~ in ihren transversalen und longitudiWenn wir die Maxwell-Gleichung ∇ c nalen Anteil zerlegen, erhalten wir ~ z und ~t×E ~ t = iω B ∇ c ~z×E ~t + ∇ ~t×E ~ z = iω B ~t . ∇ (2.97) c Wir ben¨otigen nachher den folgenden Ausdruck, den wir aus der letzten Gleichung bekommen:       ~ z × iω B ~t = ∇ ~z ∇ ~z ·E ~t + ∇ ~t ∇ ~z ·E ~ z −∇ ~ 2E ~t − ∇ ~t·∇ ~z E ~z ∇ | {zz } c ~t = ∇



∂Ez ∂z



~t k2 E

~t . + k2E

(2.98)

~ ×B ~ = − iω µεE ~ in ihren transversalen und longiWenn wir die Maxwell-Gleichung ∇ c tudinalen Anteil zerlegen, erhalten wir ~t×B ~ t = − iω µεE ~z ∇ c 39

(2.99)

und ~t×B ~ z +∇ ~ ×B ~ = − iω µεE ~t ∇ | z{z }t c ic − ω

   ∂Ez 2~ ~ k Et + ∇t ∂z

~ t durch die longitudinalen Felder ausdr¨ Also k¨onnen wir E ucken:     2 iω ~ ∂E ω z 2 ~ ~t ~ t µε − k = ∇ + ∇ E t × Bz , 2 c ∂z c

(2.100) siehe oben

(2.101)

2

und wenn µε ωc2 6= k 2 ist, k¨onnen wir aufl¨osen nach     iω ∂E 1 z ~t ~t = ~ t Bz . − ∇ E ~ez × ∇ 2 ∂z c µε ωc2 − k 2

(2.102)

~ durch B ~ und B ~ durch −µεE ~ ersetzt Die Ausgangsgleichungen sind invariant, wenn E wird. Also gelten auch alle weiteren Gleichungen mit dieser Ersetzung. Die Beziehung f¨ ur ~ t ist also B    1 ∂Bz iωεµ  ~ ~ ~ Bt = ~ez × ∇t Ez . (2.103) + ∇t 2 ∂z c µε ωc2 − k 2 Die Transversalkomponenten werden aus den longitudinalen vollst¨andig bestimmt. Man bestimmt also die L¨osung der Maxwellgleichungen am einfachsten, indem man die Wellengleichung f¨ ur die longitudnalen Komponenten l¨ost und daraus die transversalen bestimmt. Um diese L¨osungen zu finden, ben¨otigen wir noch die richtigen Randbedingungen. Das elektrische Feld steht senkrecht auf die Leiteroberfl¨ache, weil in einem idealen Leiter die Ladungen unendlich schnell fließen und daher immer im Gleichgewicht mit dem mo~ k stetig ist. Ebenso mentanen Feld sind. Also gilt die Beziehung der Elektrostatik, dass E ~ ⊥ stetig an der Leiteroberfl¨ache. Da die elektromagnetische Welle nicht in den Leiter ist B eindringt, verschwinden aber im Inneren des Leiters beide Felder. Die Randbedingungen sind also (~n ist der Einheitsvektor senkrecht zur Leiteroberfl¨ache) ~ =0 ~t = 0 ~n · B ⇒ ~n · B ~ = 0 ⇒ Ez = 0 . ~n × E

(2.104)

~ t = 0 um in eine Randbedingung f¨ Wir formen die Randbedingung ~n · B ur Bz , indem wir Gleichung (2.103) mit ~n multiplizieren. Dies gibt ~ t ∂Bz = 0 ~n · ∇ ∂z ~ ⇒ ik~n · ∇t Bz = 0 . 40

(2.105)

F¨ ur die erste Zeile ben¨otigen wir folgende Nebenrechnung:     ~ t Ez = ~n · ∇ ~t×E ~z −~n · ~ez × ∇     ∂y Ez −ny ~ z = 0. = ~n ·  −∂x Ez  =  nx  · ∇E 0 0

(2.106)

¨ Der letzte Ausdruck ist die Anderung von Ez l¨angs der Oberfl¨ache be festem z, und sie verschwindet wegen der Randbedingung. Also ist an der Oberfl¨ache ∂Bz (2.107) = 0. ∂n Man klassifiziert die Wellen im Hohlleiter je nachdem, welche Komponenten auftreten. Transversal magnetische (TM) Wellen: Bz = 0 u ¨ berall im Inneren, Ez = 0 an der Oberfl¨ache. Transversal elektrische (TE) Wellen: Ez = 0 u ¨ berall im Inneren,

∂Bz ∂n

= 0 an der Oberfl¨ache.

TEM: Ez = Bz = 0. Dies geht aufgrund der Gleichungen (2.102) und (2.103) nur, wenn ω2 µε 2 = k 2 c ist. Die Wellengleichungen (2.96) werden dann zu ~ TEM = 0 ∇2t E ~ TEM = 0 . ∇2t B

und

(2.108) (2.109)

Diese drei Beziehungen sind dieselben wie f¨ ur eine elektromagnetische Welle im unbegrenzten Medium, die sich in z-Richtung ausbreitet. Derartige Wellen lassen sich aber nicht mit einfachen Hohlleitern realisieren. Wir haben in der x − y-Ebene ~ Diese k¨onnen wir l¨osen mit dem Ansatz E ~ = −∇t Φ, eine Laplacegleichung f¨ ur E. wobei Φ an der Oberfl¨ache konstant sein muss. Dieses Randwertproblem hat ein ~ Damit eine u ¨ berall konstantes Potenzial als L¨osung, und damit verschwindet E. ~ andere L¨osung als die triviale L¨osung E = 0 m¨oglich ist, ist eine zweite Oberfl¨ache n¨otig, auf der die Feldlinien enden, die auf der ersten Oberfl¨ache starten (oder umgekehrt). Zu diesem Zweck baut man Koaxialkabel.

41

2.8

Beispiel 1: TM Wellen im zylinderf¨ ormigen Hohlleiter

Wir betrachten einen Hohlleiter in der Form eines Kreiszylinders mit Radius R. Die Wellengleichung f¨ ur die Komponente Ez ist dann
ω2 ∇2t + γ 2 Ez = 0 mit der Abk¨ urzung γ 2 = µε 2 − k 2 (2.110) c Die Randbedingung an der Oberfl¨ache ist Ez = 0. Wegen Bz = 0 sind die transversalen Felder allein aus Ez berechenbar. Es ist    ~ t = 1 iµε ω ~ez × ∇ ~ t Ez und B γ2 c ~ t Ez . ~ t = 1 ik ∇ (2.111) E γ2 ~ t = µεω ~ez × E ~ t , d.h. die transversalen Felder stehen sekrecht aufeinander. Damit ist B kc 2 F¨ ur negatives γ gibt es keine nichttriviale L¨osung, da Ez dann im Wesentlichen eine Exponenzialfunktion ist, und diese verschwindet nicht bei R. Wir rechnen also f¨ ur positives γ 2 und gehen u ¨ber zu Zylinderkoordinaten:  2  ∂ 1 ∂ 1 ∂2 + + Ez (%, ϕ) = −γ 2 Ez (2.112) ∂%2 % ∂% %2 ∂ϕ2 Mit dem Ansatz Ez = eimϕ fm (%) mit ganzzahligem m reduziert sich dies auf   2 m2 1 ∂ ∂ 2 + γ − 2 fm (%) = 0 . + ∂%2 % ∂% %

(2.113)

Dies ist die Besselsche Differenzialgleichung, und folglich ist ⇒ fm (%) = Jm (γm %)

(2.114)

mit der Besselfunktion Jm . Die Randbedingung l¨asst nur bestimmte γm zu: γm R muss eine Nullstelle der Besselfunktion Jm sein. Wir schreiben also statt γm xmn γmn = , R wobei xmn die n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm ist. Die zugeh¨origen Frequenzen sind c p 2 ωmn = √ γmn + k 2 wenn k vorgegeben ist, (2.115) µε und die Wellenzahlen sind

r

ω2 wenn ω vorgegeben ist. c2 k¨onnen sich nicht ausbreiten, da k imagin¨ar wird.

2 + µε kmn = ± −γmn

Wellen mit ω <

cγmn √ µε

(2.116)

Bemerkung: EM Wellen berechnet man ganz analog zu diesem Beispiel, aber ~ → B, ~ B ~ → −µεE ~ und der Randbedingung ∂Bz |R = 0. mit den Ersetzungen E ∂% 42

2.9

Beispiel 2: TEM Wellen im Koaxialkabel R1

R2

Der Radius des ¨außeren Zylinders ist R2 , der des inneren Zylinders R1 . Fur TEM Wellen hatten wir die Beziehung √ ω (2.117) k = µε . c Wegen Bz = Ez = 0 reduziert sich die zweite Maxwellgleichung dann auf ~ = √µε~ez × E ~. B (2.118) ~ aus den beiden Beziehungen Wir bestimmen im Folgenden die L¨osung f¨ ur E ~ = 0, ∆t E

~z = 0 . E

(2.119)

Diese L¨osung finden wir mit dem Ansatz ~ = −∇ ~ t Φe−i(ωt−kz) , E

(2.120)

wobei ∆t Φ = 0 ist und Φ = Φ1,2 bei R1,2 . Wir setzen x2 + y 2 = ρ2 und machen den Ansatz Φ = Φ(%), weil die Randbedingung von ϕ unabh¨angig ist. Die L¨osung der Laplace-Gleichung f¨ ur Φ reduziert sich in Zyinderkoordinaten auf die folgende Rechnung:   ∂Φ 1 ∂ % = 0 (2.121) ⇒ % ∂% ∂% ⇒ Φ(%) = A ln % + B (2.122) Φ1 − Φ2 A= (2.123) 1 ln R R2 Φ2 ln R1 − Φ1 ln R2 B= (2.124) 1 ln R R2 ~ TEM = A ~e% e−i(ωt−kz) ⇒E (2.125) % ~ TEM = √µε A ~eϕ e−i(ωt−kz) (2.126) B % Das Kabel u ¨bertr¨agt TEM Wellen beliebiger Frequenz mit der Geschwindigkeit des Lichts im Dielektrikum. 43

Kapitel 3 Das Feld vorgegebener Ladungs- und Stromverteilungen In diesem Kapitel berechnen wir das elektromagnetische Feld bei vorgegebenen Ladungen und Str¨omen. Wir werden sehen, dass beschleunigte Ladungen Energie abstrahlen, und wir werden als Anwendung den Hertzschen Dipol betrachten.

3.1

Zeitabh¨ angige Greensfunktion

In der Elektrostatik hatten wir aus einer vorgegebenen Ladungsverteilung und einer vorgegebenen Randbedingung das elektrische Potential mit Hilfe der Greenschen Funktion berechnet. In der Elektrodynamik gehen wir analog vor, aber nun mit einer Greenschen Funktion, die auch von der Zeit abh¨angt. Zun¨achst wiederholen wir die wichtigen Schritte der Rechnung in der Elektrostatik: Dort haben wir die L¨osung von ∇2 Φ = −4π%(~r) (3.1) mit Hilfe der Greenschen Funktion gesucht. Sie war definiert als L¨osung von ∇2 G(~r, ~r0 ) = −4πδ 3 (~r − ~r0 ) , und damit war

(3.2)

Z

d3 r 0 G(~r, ~r0 )%(~r0 ) .

(3.3)

G(~r, ~r0 ) =

1 + F (~r, ~r0 ) |~r − ~r0 |

(3.4)

Φ(~r) =

Die L¨osung f¨ ur die Greensfunktion war

wobei F im betrachteten Volumen die Bedingung ∆F = 0 erf¨ ullt und ansonsten noch daf¨ ur sorgt, dass die Randbedingungen erf¨ ullt werden. In der Elektrodynamik haben wir in Lorentz-Eichung nun statt (3.1) die folgenden ~ und Φ (siehe (2.27) und (2.28)): Gleichungen f¨ ur die Potenziale A 44

1 ∂2 Φ = −4π% c2 ∂t2 2 ~ = − 4π ~j ~− 1 ∂ A ∇2 A 2 2 c ∂t c ∇2 Φ −

(3.5) (3.6)

Dies sind vier Gleichungen der Form 1 ∂2Ψ = −4πf (~r, t) (3.7) c2 ∂t2 Analog zur Definition (3.2) aus der Elektrostatik definieren wir die zeitabh¨angige Greensfunktion u ¨ ber   1 ∂2 2 ∇ − 2 2 G(~r, t; ~r0 , t0 ) = −4πδ 3 (~r − ~r0 )δ(t − t0 ) . (3.8) c ∂t ∇2 Ψ −

Dann ist n¨amlich

Ψ(~r, t) =

Z

d3 r 0 dt0 G(~r, t; ~r0 , t0 )f (~r0 , t0 ) .

(3.9)

Um die zeitabh¨angige Greensfunktion zu bestimmen, gehen wir in den Fourierraum, Z ∞ Z ∞ 0 0 ~ 0 0 3 G(~r, t; ~r , t ) = dk dωg(~k, ω)eik·(~r−~r )−iω(t−t ) . (3.10) −∞

−∞

Hier haben wir ber¨ ucksichtigt, dass G nur von den Differenzen ~r −~r0 und t−t0 abh¨angt. Die linke Seite von (3.8) wird dann zu   2   Z ∞ Z ∞ ω 1 ∂2 3 2 i~k·(~ r −~ r 0 )−iω(t−t0 ) 2 dk dωg(~k, ω) − k e . (3.11) ∇ − 2 2 G= c ∂t c2 −∞ −∞ Die rechte Seite l¨asst sich ebenfalls als Fourierintegral ausdr¨ ucken, Z ∞ Z ∞ 1 0 0 ~ 3 3 0 0 dωeik·(~r−~r )−iω(t−t ) . dk δ (~r − ~r )δ(t − t ) = 4 (2π) −∞ −∞

(3.12)

Also erhalten wir

1 1 g(~k, ω) = 3 2 4π k −

und 1 G(~r, t; ~r , t ) = 3 4π 0

0

Z

∞ −∞

3

dk

Z

∞

−∞

dω

ω2 c2

c2 i~k·(~ r −~ r 0 )−iω(t−t0 ) e . c2 k 2 − ω 2

(3.13)

(3.14)

Bei der Ausf¨ uhrung dieses Integrals gibt es ein Problem. Der Integrand hat Pole bei ω = ±ck. Wir l¨osen dieses Problem durch einen Trick, dessen Bedeutung und Konsequenzen im Anschluss an die Rechnung ausf¨ uhrlich diskutiert werden. Wir ersetzen ω durch 45

ω + iε und schicken am Ende ε → 0. Die Pole liegen nun bei ω = ±ck − iε. Mit der ~ = ~r − ~r0 und τ = t − t0 ergibt sich Notation R ~ τ) = 1 G(R, 4π 3

Z

∞

3

dk

Z

∞

~ ~

dω

−∞

−∞

eik·R−iωτ k2 −

(ω+iε)2 c2

.

(3.15)

Dieses Integral wird mit Hilfe der Funktionentheorie durchgef¨ uhrt. Bevor wir dies tun, wiederholen wir kurz die wichtigsten Bausteine der Funktionentheorie: Eine Funktion f (z) heißt holomorph“, wenn sie im betrachteten Teilgebiet G der ” komplexen Ebene differenzierbar ist. Cauchyscher Integralsatz: Ist f (z) holomorph auf G und ist C eine einfache geschlossene Kurve, so gilt I

f (z)dz = 0 .

(3.16)

C

Hat f (z) in einem Punkt z0 einen Pol ersten Grades, dann heißt Resz0 f (z) = lim (z − z0 )f (z)

(3.17)

z→z0

das Residuum“ von f (z) in z0 . ” Residuensatz: F¨ ur einen geschlossenen Weg C in einem einfach zusammenh¨angenden Gebiet G mit singul¨aren Punkten a1 . . . an innerhalb C gilt I n X f (z)dz = 2πi Resak f (z) . (3.18) C

k=1

Zur Ausf¨ uhrung des Integrals (3.15) w¨ahlen wir f¨ ur τ < 0 folgende geschlossene Kurve: Im ω

C

Re ω −ck − iε

ck − iε

Der Halbkreis befindet sich im Unendlichen, und das Integral u ¨ ber ihn verschwindet wegen τ < 0. Also ist Z ∞ I e−iωτ e−iωτ dω = (3.19) 2 2 dω = 0 , 2 − (ω+iε) k 2 − (ω+iε) k −∞ C 2 2 c c 46

da es keine Pole in der oberen Halbebene gibt. F¨ ur τ > 0 w¨ahlen wir den Weg in der unteren Halbebene, damit das Integral u ¨ ber den Halbkreis verschwindet: Im ω Re ω −ck − iε

ck − iε C0

Damit ist

Z =

∞ −∞

=

k2 −

−2πi Resck−iε

ε→0

↓

dω

e−iωτ

−2πi



(ω+iε)2

=

I

C0

c2

e−iωτ k2 −

(ω+iε)2 c2

c2 eickτ −c2 e−ickτ + ck + ck ck + ck

2πc sin (ckτ ) k und schließlich zusammengefasst  ~ τ ) = 0, R ∞ G(R, c

e−iωτ k2 −

(ω+iε)2 c2

+ Res−ck−iε 

dω e−iωτ

k2 −

(ω+iε)2 c2

!

=

2π 2

Wir formen um f¨ ur t > t0 :

τ < 0 d.h. f¨ ur t < t0 ~ ~ ) d3 k eik·R sin (ckτ , τ > 0 d.h. f¨ ur t > t0 −∞ k

~ τ) = G(R, = = = =

Z Z 1 c ∞ dk k sin (ckτ ) dy eikRy π 0 −1 Z 2c ∞ dk sin (ckτ ) sin (kR) πR 0 Z ∞
c dk eik(cτ −R) − eik(cτ +R) 2πR −∞ c (δ(cτ − R) − δ(cτ + R)) R   1 R δ τ− R c 47

(3.20)

Wenn wir τ und R wieder durch die urspr¨ unglichen Variablen ersetzen, erhalten wir

G(~r, t; ~r0 , t0 ) =

 δ t − t0 −

|~ r−~ r0 | c



|~r − ~r0 |   r0 | Z % ~r0, t − |~r−~ c ⇒ Φ(~r, t) = d3 r 0 |~r − ~r0 |   Z ~j ~r0 , t − |~r−~r0 | c ~ r, t) = 1 d3 r 0 A(~ 0 c |~r − ~r |

(3.21) (3.22) (3.23)

~ retardierte Potenziale “. Sie haben folgende Interpretation: Die Man nennt Φ und A ” Ladungs- und Stromverteilung zur Zeit t0 am Ort ~r0 verursacht zur sp¨ateren Zeit t = 0 r| t0 + |~r−~ am Ort ~r ein Feld. Das Signal breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. c Im statischen Grenzfall, wo % nur von ~r abh¨angt, ergibt sich das Ergebnis der Elektrostatik. Es gibt eine zweite Klasse von L¨osungen, die man dadurch erh¨alt, dass man die Pole statt in die untere in die obere Halbebene verschiebt. Dann ersetzt man ω durch ω − iε statt durch ω + iε, und man bekommt   |~ r−~ r0 | 0 δ t−t + c (3.24) G(~r, t; ~r0 , t0 ) = |~r − ~r0 |   r0 | Z % ~r0 , t + |~r−~ c Φ(~r, t) = d3 r 0 (3.25) 0 |~r − ~r |   Z ~j ~r0 , t + |~r−~r0 | c ~ r, t) = (3.26) A(~ d3 r 0 |~r − ~r0 | Dies sind die avancierten Potenziale “. Diese Situation ergibt sich aus der retardierten Si” tuation durch Umkehr der Zeitrichtung. Beide L¨osungen sind formal korrekt. Wenn man nun die avancierten L¨osungen als unphysikalisch, weil die Kausalit¨at verletzend“ aus” schließt, steckt man außer den Maxwellgleichungen ein zweites Element in die E-Dynamik, n¨amlich es treten nur die retardierten L¨osungen auf“. ” Hier ergeben sich zwei Fragen: 1. Wie kommt es, dass es zwei wesensm¨aßig verschiedene Klassen von L¨osungen gibt (wobei eine Klasse die zeitumgekehrte andere Klasse ist)? Die in der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik betrachteten L¨osungen geh¨oren n¨amlich alle zu einer Klasse: die zeitumgekehrte Version einer L¨osung ist entweder identisch (Bsp: schwingendes Pendel) oder durch eine Symmetrietransformation im Raum erh¨altlich (Bsp: nach rechts h¨ upfender Ball → nach links h¨ upfender Ball (Raumspiegelung) ) oder durch eine andere Transformation auf eine Situation derselben Klasse (Bsp: ψ → ψ∗ bei Zeitumkehr der Schr¨odingergleichung - |ψ|2 bleibt dabei gleich). 48

2. Wie kommt es, dass nur die eine Klasse von L¨osungen in der Natur vorkommt? Wir diskutieren diese beiden Fragen in den n¨achsten beiden Unterkapiteln.

3.2

Warum gibt es zwei qualitativ verschiedene Arten von Lo ¨sungen?

Um dies zu verstehen, beginnen wir mit einer Situation, in der es nur eine Klasse von L¨osungen gibt und untersuchen, wann diese L¨osungen nicht mehr m¨oglich sind: Wir betrachten einen quaderf¨ormigen Hohlraum mit leitender Oberfl¨ache, der zun¨achst leer ist: Im Inneren gilt dann   1 ∂2 2 ∇ − 2 2 Φ = 0, (3.27) c ∂t und an der Oberfl¨ache ist Φ = 0. Die L¨osung ist Φ = sin (kx x) sin (ky y) sin (kz z) sin (ωt − ϕ)

(3.28)

mit

2π nx nx ∈ Z (3.29) Lx und ebenso f¨ ur die anderen Komponenten. Zwischen den Komponenten gilt die Beziehung kx =

kx2 + ky2 + kz2 −

ω2 =0 c2

(3.30)

Bei vorgegebener Anfangsbedingung im Raum ist die L¨osung eindeutig. Die zeitumgekehrte L¨osung geh¨ort offensichtlich zur selben Klasse. Man erh¨alt sie n¨amlich einfach durch die Transformation ω → −ω oder (ϕ, ~k) → (−ϕ, −~k). Jetzt setzen wir in den Hohlraum eine periodisch oszillierende Ladungsverteilung. Die Gleichung f¨ ur das Potenzial lautet dann   1 ∂2 2 (3.31) ∇ − 2 2 Φω (~r, t) = −4π%(~r) sin (ωt) c ∂t Mit dem Ansatz Φω = sin (ωt)Φ(~r) erhalten wir   ω2 2 ∇ + 2 Φ(~r) = −4π%(~r) (3.32) c P r) = ~k sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)Φ~k und %(~ P Mit der Fouriertransformation Φ(~r) = sin(k x) sin(k y) sin(k z)% erhalten wir die Gleichung ~k ~k x y z   ω2 2 −k + 2 Φ~k = −4π%~k c 49

mit der L¨osung Φ~k = die im Ortsraum die Form Φ(~r) = 4π

X

4π%~k 2 , − ωc2

k2

sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)

~k

k2

%~k 2 − ωc2

(3.33)

annimmt. Summiert wird jeweils u n. ¨ ber die ~k-Vektoren mit ki = 2π Li i Dieser speziellen L¨osung u ¨ berlagert sind die vorher ermittelten homogenen L¨osungen. Die L¨osung wird eindeutig, wenn die Anfangsbedingung f¨ ur das Potenzial zur Zeit t0 vorgegeben ist. Diese L¨osung ist eine Summe von stehenden Wellen, wobei diejenigen Wellen, deren Wellenzahl am n¨achsten bei ω/c liegt, die gr¨oßte Amplitude haben. Diese L¨osung ist invariant unter Zeitumkehr. Ein Problem mit dieser zeitumkehrinvarianten Sorte von L¨osungen entsteht dann, wenn ω 2 mit einem der k 2 c2 u ¨bereinstimmt. Dann liegt eine Resonanz vor. Die Amplitude der entsprechenden Mode schaukelt sich immer weiter auf, bis das Modell zusammenbricht und z.B. Energie im begrenzenden Leiter dissipiert wird. Da die ~k diskrete Werte sind, treten diese Resonanzen bei willk¨ urlicher Wahl von ω eigentlich nicht auf. Aber je großer das Volumen wird (große Lx , Ly , Lz ), desto n¨aher liegt ω bei einer Resonanz. Im unendlich großen System bzw im freien Raum gibt es dann auf jeden Fall eine Schwingungsmode, die mit der Schwingungsfrequenz der Ladungsverteilung in Resonanz ist, und an die die oszillierende Ladungsverteilung folglich unbegrenzt Energie abgibt. Dies ist der Grund daf¨ ur, dass von der oszillierenden Ladungsverteilung eine elektromagnetische Strahlung ausgesandt wird. Da der Raum unbegrenzt ist, kann diese Strahlung sich nicht zu einer stehenden Welle aufbauen, sondern sie l¨auft immer weiter von der Quelle weg. ~ → ∞ ¨ Wir lernen aus dieser Uberlegung, dass der Limes ε → 0 und der Limes L nicht vertauschen. Schickt man zuerst ε nach Null, bekommt man stehende Wellen, deren ~ → ∞ divergiert. Schickt man zuerst L ~ nach Unendlich, weiß das Feld Amplitude f¨ ur L nichts von einem Rand, aber es sieht die Resonanz“, die in diesem Fall eine sich mit ” ω = ck ausbreitende Welle erm¨oglicht. Dies ist die retardierte L¨osung. Die avancierte L¨osung entspricht einer anderen Randbedingung im Unendlichen: statt dass anfangs kein Feld außerhalb der Ladungsverteilung ist, entspricht die avancierte L¨osung einer aus dem Unendlichen einlaufenden Welle, die an der Ladungsverteilung vollst¨andig absorbiert wird. Zusammengefasst: im Kontinuumslimes auftretende Resonanzen zwischen der Frequenz der schwingenden Ladungsverteilung und einer Schwingungs-Mode des leeren Raumes sind die Ursache f¨ ur die Instabilit¨at der zeitumkehrinvarianten L¨osungen und das Auftreten der qualitativ neuen Arten von L¨osungen. Statt die Pole von Anfang an in die untere Halbebene zu verschieben, k¨onnen wir die retardierten L¨osungen auch auf die folgende plausible Art bekommen: Wir stellen uns vor, dass die Ladungsverteilung langsam “eingeschaltet” wird von der Zeit t = −∞ bis t = 0. Wir haben dann in diesem Zeitintervall f¨ ur die Fourierkomponente ~k die Gleichung

50



1 ∂2 ∇ − 2 2 c ∂t 2



~

Φ~k = −4π%~k,ω ei(k·~r−(ω+iε)t)

(3.34)

Entsprechend machen wir f¨ ur das Feld den Ansatz ~

Φ~k = Φ~k,ω ei(k·~r−(ω+iε)t) ⇒ Φ~k,ω = −

(3.35)

4π%~k,ω k2 +

1 (ω c2

(3.36)

+ iε)2

Dies entspricht formal genau dem Ausdruck mit den verschobenen Polen. Dies gibt also im Kontinuumslimes die retardierten L¨osungen. Die avancierten L¨osungen erh¨alt man durch ein Ausschalten“ der Ladungsverteilung ” von t = 0 bis t = ∞ mit der Bedingung, dass bei t = ∞ auch alle Felder verschwunden sein sollen. Nun haben wir erkl¨art, dass Resonanzen im Kontinuumslimes die station¨are Klasse von L¨osungen zerst¨oren und zwei neue Arten von L¨osungen auftreten. Als n¨achstes m¨ ussen wir u ¨berlegen, warum in der Natur nur die retardierten L¨osungen auftreten (sofern sich dies aus etwas Fundamentalerem“ u ¨berhaupt ableiten l¨asst). ”

3.3

Warum kommen in der Natur nur die retardieren L¨ osungen vor?

Hierzu m¨ ussen wir etwas weiter ausholen. Wir betrachten einen r¨aumlich und zeitlich begrenzten Ausschnitt des Universums und ermitteln die Felder als Funktion der Ladungen und der Randbedingungen. Die Randbedingungen umfassen die r¨aumlichen und zeitlichen R¨ander: sie beinhalten die Anfangsbedingung zur Zeit t1 und die Endbedingung zur Zeit t2 im gesamten betrachteten Raum, und die Potenziale an der Oberfl¨ache (also am Rand des betrachteten Raums) zu allen Zeiten ∈ (t1 , t2 ) ). Dies ist die Verallgemeinerung von Randwertproblemen der Elektrostatik auf die Elektrodynamik. Zur Erinnerung wiederholen wir zun¨achst kurz den Formalismus aus der Elektrostatik. Aus dem Greenschen Theorem Z d3 r 0 (Φ(~r0 )∆0 G(~r − ~r0 ) − G(~r − ~r0 )∆0 Φ(~r0 )) V

=

I

∂V



∂G(~r − ~r0 ) 0 ∂Φ(~r0 ) Φ(~r ) dF − G(~r − ~r0)dF 0 ∂~n0 ∂~n0 0

haben wir erhalten (mit G(~r − ~r0 ) = Φ(~r) =

Z

V

1 %(~r )G(~r − ~r )d r + 4π 0

0

3 0

1 ) |~ r −~ r0 |

Z

∂V



(3.37)

  r0 ) 0 ∂Φ(~ 0 ∂ 0 G(~r − ~r ) − Φ(~r ) 0 G(~r − ~r ) dF 0 . ∂~n0 ∂~n (3.38) 51

So erhielten wir aus dem Potenzial an der Oberfl¨ache und der Ladungsverteilung im Inneren das Potenzial Φ(~r) im Inneren. Die Greensfunktion ist nun nicht eindeutig. Das Ergebnis f¨ ur Φ ist dasselbe, wenn statt der Greensfunktion 1 |~r − ~r0 |

G(~r − ~r0 ) = eine andere Greensfunktion G(~r − ~r0 ) =

1 + F (~r − ~r0 ) 0 |~r − ~r |

mit ∆F = 0 in V

(3.39)

(3.40)

genommen wird. Nun machen wir eine analoge Rechnung in der Elektrodynamik. Wir starten wieder mit Z d3 r 0 (Aµ (~r0 , t0 )∆0 G(~r, t; ~r0 , t0 ) − G(~r, t; ~r0 , t0 )∆0 Aµ (~r0 , t0 )) ZV   ~ 0 G(~r, t; ~r0, t0 ) − G(~r, t; ~r0, t0 )∇ ~ 0 Aµ (~r0 , t0 ) dS ~0 , = Aµ (~r0 , t0 )∇ (3.41) ∂V

~ 0 ein gerichtetes Oberfl¨achenelement ist und wir die Notation wobei dS A0 ≡ Φ

j 0 ≡ %c

verwendet haben. Die Greensfunktion muss die Gleichung   1 ∂2 0 ∆ − 2 02 G(~r, t; ~r0, t0 ) = −4πδ 3 (~r − ~r0 )δ(t − t0 ) c ∂t

(3.42)

(3.43)

erf¨ ullen. Multiplikation mit Aµ und Integration u ¨ber unseren raumzeitlichen Ausschnitt gibt   Z t2 Z 1 ∂2 0 3 0 µ 0 0 0 (3.44) dt d r A (~r , t ) ∆ − 2 2 G(~r, t; ~r0, t0 ) = −4πAµ (~r, t) . c ∂t V t1

F¨ ur die weitere Umformung ben¨otigen wir folgende Nebenrechnung: t2 Z t2 Z t2 2 ∂Aµ ∂G 0 0 µ ∂ µ ∂ dt A 02 G = A 0 G − dt ∂t ∂t t1 ∂t0 ∂t0 t1 t1  t Z t2 ∂ 2 Aµ 0 ∂Aµ 2 µ ∂G = A + G − G dt ∂t0 ∂t0 t1 ∂t02 t1 R Wenn wir mit Hilfe von (3.41) den Ausdruck V Aµ ∆0 Gd3 r 0 in (3.44) ersetzen, erhalten wir Z Z 1 t2 0 µ dt d3 r 0 G(~r, t; ~r0 , t0 )j µ (~r0 , t0 ) A (~r, t) = c t1 Z V 1 t (3.45) − d3 r 0 [G(~r, t; ~r0, t0 )∂t Aµ (~r0 , t0 ) − Aµ (~r0 , t0 )∂t G(~r, t; ~r0, t0 )]t21 2 4πc V Z h Z t2 i 1 0 0 0 ~0 µ 0 0 µ 0 0 ~0 0 0 ~0 dt G(~r, t; ~r , t )∇ A (~r , t ) − A (~r , t )∇ G(~r, t; ~r , t ) · dS + 4π t1 ∂V 52

Diese Formel gilt mit jeder Funktion G, die die Bedingung (3.43) erf¨ ullt, also gilt sie sowohl mit der retardierten als auch mit der avancierten Greensfunktion. Mit der retardierten Greensfunktion haben wir Z Z 1 t 0 µ A (~r, t) = d3 r 0 Gret (~r, t; ~r0, t0 )j µ (~r0 , t0 ) (3.46) dt c t1 V Z 1 d3 r 0 [Gret (~r, t; ~r0 , t1 )∂t1 Aµ (~r0 , t1 ) − Aµ (~r0, t1 )∂t1 Gret (~r, t; ~r0 , t1 )] + 2 4πc V Z h Z t i 1 0 0 ~0 µ 0 0 µ 0 0 ~0 0 0 0 ~0 Gret (~r, t; ~r , t )∇ A (~r , t ) − A (~r , t )∇ Gret (~r, t; ~r , t ) · dS dt + 4π t1 ∂V = Quellterm + Randterme = Aµret (~r, t) + Aµin (3.47) Aµret (~r, t) ist das von j µ (~r0 , t0 ) (mit t0 < t) erzeugte Feld, und Aµin resultiert aus der Anfangsbedingung (Feld bei t1 in V ) und der Randbedingung f¨ ur Zeiten t0 < t. Das Potenzial hat also folgende Beitr¨age: was von j µ erzeugt wird; was sich aus dem Anfangsfeld entwickelt; was von draußen reinkommt. Mit der avancierten Greensfunktion haben wir 1 A (~r, t) = c µ

Z

t

t2

0

dt Z

Z

d3 r 0 Gadv (~r, t; ~r0, t0 )j µ (~r0 , t0 )

V

1 − d3 r 0 [Gadv (~r, t; ~r0, t2 )∂t2 Aµ (~r0 , t2 ) − Aµ (~r0, t2 )∂t1 Gadv (~r, t; ~r0 , t2 )] 2 4πc V Z t2 Z h i 1 0 0 0 ~0 µ 0 0 µ 0 0 ~0 0 0 ~0 dt Gadv (~r, t; ~r , t )∇ A (~r , t ) − A (~r , t )∇ Gadv (~r, t; ~r , t ) · dS + 4π t ∂V = Quellterm + Randterme = Aµadv (~r, t) + Aµout . (3.48) Aµadv (~r, t) ist das von j µ (~r0 , t0 ) (mit t > t0 ) erzeugte Feld, und Aµout resultiert aus der Endbedingung (Feld bei t2 in V ) und der Randbedingung f¨ ur Zeiten t0 > t. Anschaulich sind dies folgende Beitr¨age: was vom (zuk¨ unftigen!) j µ erzeugt wird (also Senken“ von Aµ statt Quellen“); ” ” was am Ende da sein wird; was f¨ ur Zeiten t0 > t nach draußen abwandert. Die Existenz nur von retardierten Feldern bedeutet in der Darstellung mit der retardieren bzw in der Darstellung mit der avancierten Greensfunktion Aµin = 0

bzw. 53

Aµadv = 0 .

(3.49)

Wir w¨ahlen die erste Darstellung. Die Zeitrichtung resultiert also aus der Bedingung = 0 bald nach der Zeit t1 . Dies k¨onnen wir uns so vorstellen dass die anfangs vorhandenen oder von außen einlaufenden Felder am Rand absorbiert werden. Im Labor ist diese Bedingung oft ganz gut realisiert. Der Rand hat also die Eigenschaft, dass einfallende Strahlung thermisch ins Gleichgewicht kommt, und dass er umgekehrt Strahlung von der avancierten Form nicht abgeben kann. Dies ist eine thermodynamische Erkl¨arung, die auf den Entropiesatz zur¨ uckzuf¨ uhren ist! Wenn der betrachtete Raum nicht nach außen durch Absorber isoliert ist, m¨ ussen wir ein gr¨oßeres Gebiet oder gar das ganze Universum betrachten. Die Bedingung Aµin = 0 bedeutet dann, dass nur solche Strahlung vorhanden ist, die in der Vergangenheit mal von einer lokalisierten Quelle abgesandt wurde. Auch hier k¨onnen wir wieder den Entropiesatz bem¨ uhen: Verschiedene Raumgebiete k¨onnen sich nicht “verschw¨oren”, so dass sie gemeinsam avancierte Strahlung abgeben, die dann an einen Punkt zusammenl¨auft und dort Ladungen bewegt und dabei absorbiert wird. Denn dazu m¨ usste aus der thermisch ungeordneten Bewegung der Molek¨ ule in diesen Raumgebieten eine Bewegung werden, die so korreliert ist, dass die avancierte Strahlung ausgesandt werden kann. Alle Materie, die der Strahlung im Weg steht, m¨ usste sich ebenfalls an dieser Verschw¨orung beteiligen und dazu beitragen, dass die Strahlung auf das Ziel einlaufen kann. Mit der Zur¨ uckf¨ uhrung auf den Entropiesatz haben wir freilich das Problem der Irreversibilit¨at von Abstrahlungsph¨anomenen nicht gel¨ost. Wir haben es nur auf die Thermodynamik abgew¨alzt....

Aµin

3.4

Li´ enard-Wiechert Potenziale

In diesem Abschnitt berechnen wir die Felder von sich bewegenden Punktladungen. Wir beginnnen mit den Potenzialen. Das Skalarpotenzial von Gleichung (3.22) wird f¨ ur ein sich auf einer Trajektorie ~r0 (t0 ) bewegendes Punktteilchen zu   Z %(~r0 , t0 ) |~r − ~r0 | 3 0 0 0 Φ(~r, t) = d r dt δ t−t − |~r − ~r0 | c   Z 0 0 eδ(~r − ~r0 (t )) |~r − ~r0 | 3 0 0 0 = d r dt δ t−t − |~r − ~r0| c   Z 0 |~r − ~r0 (t )| 1 δ t − t0 − = e dt0 0 |~r − ~r0 (t )| c e 1 Φ(~r, t) = 0 )·~ 0) ~ n (t v (t 0 0 |~r − ~r0 (t )| 1 − c

Hier haben wir die Formel δ(f (x)) = stellen von f ) und die Definitionen

P

x0

~n =

t

.

(3.50)

|~ r−~ r0 (t0 )| =t− c

δ(x − x0 )/|f 0 (x0 )| verwendet (x0 sind die Null-

~r − ~r0 (t0 ) |~r − ~r0 (t0 )| 54

(3.51)

(Einheitsvektor von der Ladung zum Beobachtungsort ~r) und ~v (t0 ) =

d~r0 (t0 ) . dt0

(3.52)

Analog erhalten wir f¨ ur das Vektorpotenzial ~ v (t0 ) e 1 c ~ r, t) = A(~ 0) ~ v (t 0 0 |~r − ~r0 (t )| 1 − ~n(t0 ) · c

t

(3.53) |~ r −~ r0 (t0 )| =t− c

~ und B ~ verwenden wir die Abk¨ ~ = ~r − ~r0 (t0 ) und Zur Berechnung von E urzungen R R 0 q = t − t + c . Außerdem ben¨otigen wir die Umformungen ~ dδ(q) dq ~ dδ(q) 1 R ~ ∇δ(q) = ∇R = dq dR dq c R

(3.54)

und Z

Z

dδ(q) dt0 0 0 f (t )dt dt0 dq ∞ Z d f (t0 ) dt0 0 dt0 = δ(q) f (t ) − δ(q) 0 0) ~ R·~ v (t dq dt 1 − −∞ Rc | {z } =0 " # d f (t0 ) 1 = − 0 . 0) 0) ~ n ·~ v (t ~ n ·~ v (t 0 0 dt 1 − 1 − R R c c t =t− t =t−

dδ(q) 0 0 f (t )dt = dq

c

(3.55)

c

Das Magnetfeld berechnet sich dann zu

Z e ~v(t0 ) ~ ~ ~ ~ B = ∇×A= ∇× δ(q)dt0 c R   Z  e 1 ~v(t0 ) ~ ~ = ∇ × ~vδ(q) + ∇δ(q) × dt0 c R R # Z " ~ ~ × ~v(t0 ) dδ(q) e R × ~v (t0 ) R = − dt0 δ(q) + c R3 cR2 dq  # "  ~ ~ × ~v 1 e d R R × ~v
= − + 0 ~ n ·~ v ~ n ·~ v 2 3 c R 1− c 0 R dt cR 1 − c 0 t =t−

Mit

~ dR dt0

= −~v und

dR dt0

=

~ v −R·~ R

t =t− R c

c

= −~n · ~v und

1 1 − ~nc·~v 0

2 ~ · ~v )2 ~ · ~v˙ d v 2 R 2 − (R R ˙ − v − (~n · ~v ) ~ v (~ n · ~ v ) = − = ~ n · dt0 R R3 R

55

t =t−

  (3.56)  R c

(3.57)

folgt (wir verstehen alle folgenden Formeln wieder mit dem Zusatz t0 = t − R/c) (

~ × ~v ~ × ~v˙ ~ × ~v (~n · ~v ) R 2R R
+ +

2 2 R3 1 − ~nc·~v cR2 1 − ~nc·~v cR3 1 − ~nc·~v !) ~ × ~v v 2 − (~n · ~v )2 R ~n · ~v˙ − +
3 c cR cR2 1 − ~nc·~v !  2   ~ × ~v 2 e ~n · ~v v 2 − (~n · ~v )2 2~n · ~v R ~n · ~v + + = − 1− (~n · ~v) −
1− c R3 1 − ~n·~v 3 c c c c c2 c | {z }

~ = −e B c

2

1− v2

−

e

c2 R 2

1−


~ n·~ v 3 c



~ × ~v˙ 1 − ~n · ~v R c



c

~ × ~v +R

~n · ~v˙ c

!!

(3.58)

Den letzten Term k¨onnen wir umformen gem¨aß !! !!     ˙ ˙ ~ n · ~ v ~ n · ~ v ~ n · ~ v ~ n · ~ v ~ × ~v˙ 1 − ~ × ~v˙ 1 − ~ × ~v = R R +R + ~v c c c c ! ˙ ~ × ~v˙ + ~n × (~v × ~v ) = R c h i h i ~ ~ R R ˙ ˙ ~ ~ ~ = × −R × (R × ~v ) + 2 × R × (~vR × ~v ) R2 R c i 1 ~ h~  ~ ˙ (3.59) = − 2 R × R × (cR − ~v R) × ~v . R c

Also ist das Magnetfeld

~ =e B



  0 ~ − R × ~v (t ) c2 1 −

v2 c2

h   i 0 0 ˙ ~ ~ ~ + R × R × Rc − R~v(t ) × ~v (t ) /R  3 ~ · ~v (t0 ) Rc − R



t0 =t− R c

(3.60)

~ ergibt Berechnung von E     h  i v2 0 2 0 0 ˙ ~ ~ ~ ~ Rc − R~v (t ) c 1 − c2 + R × Rc − R~v(t ) × ~v (t ) ~ =e E  3 0 ~ Rc − R · ~v (t )

t0 =t− R c

56

(3.61)

Wenn die Ladung ruht, oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, ist ~v˙ = 0 und   v2 0 2 ~ (Rc − R~v (t ))c 1 − c2 ~ = e E (3.62)  3 ~ · ~v (t0 ) Rc − R 0 t =t− R c   2 ~ × ~v(t0 )c2 1 − v2 −R c ~v ~. ~ (3.63) B = e  = ×E 3 c 0 ~ Rc − R · ~v (t ) 0 R t =t− c

Beide Felder sind f¨ ur große R proportional zu R−2 . Der Poynting-Vektor verh¨alt sich f¨ ur große R wie ~ ∝ |E|| ~ B| ~ ∝ 1 . |S| (3.64) R4 ~ ∝ Eine gleichf¨ormig bewegte Ladung kann also nicht strahlen, denn dann m¨ usste |S| 1 sein, damit der Energiefluss durch Kugeloberfl¨achen mit großem Radius R f¨ ur R2 alle R gleich groß ist. ~ und F¨ ur eine gleichf¨ormig bewegte Ladung l¨asst sich t0 explizit eliminieren aus E ~ B: Es ist

0

~ − R(t ~ 0 ) = ~r0 (t0 ) − ~r0 (t) = ~v (t0 − t) = −~v R(t ) . R(t) c ~ und B ~ die Ersetzung Also kann man im Z¨ahler von E ~ ~ 0 ) − ~vR(t0 ) cR(t) = cR(t

(3.65)

(3.66)

machen. Um im Nenner t0 zu eliminieren, berechnen wir  2  2  2 ~ ~ × ~v ~ 0 )2 + v 2 R2 (t0 ) − 2cR(t0 )~v · R(t ~ 0 ) − R(t ~ 0 ) × ~v cR(t) − R(t) = c2 R(t  2 ~ 0 ) + ~v · R(t ~ 0) = c2 R2 (t0 ) − 2cR(t0 )~v · R(t (3.67) F¨ ur eine mit konstanter Geschwindigkeit ~v bewegte Ladung sind somit die Felder     2 2 ~ ~ eR(t) 1 − vc2 ec3 R(t) 1 − vc2 ~ r, t) = = (3.68) E(~  2  23 2   2  32 ~ v ~ × ~v ~ ~× − R(t) cR(t) R2 (t) − R c   2 ~ ~v × R(t) 1 − vc2 ~ e ~ v × E ~ r, t) = =  B(~ . (3.69)  2  32 c c ~ × ~v R2 (t) − R(t) c 57

F¨ ur kleine

v c

sind die f¨ uhrenden Terme ~ ~ = e R(t) E R3 (t)

und

~ ~ = e ~v × R(t) . B c R3

(3.70)

F¨ ur v . c haben wir ~ k ~v: – f¨ ur R

~ = e |E| R2

~ ⊥ ~v : – f¨ ur R ~ = e |E| R2



v2 1− 2 c

 − 12 v2 1− 2 c



~ =0 und |B|

~ = und |B|

v e c q R2 1 −

(3.71)

v2 c2

(3.72)

~ In Flugrichtung ist das E-Feld geschw¨acht, und senkrecht zur Flugrichtung ist es verst¨arkt. Dieses Ergebnis bekommt man sp¨ater mit der kovarianten Formulierung viel einfacher . . . ~ und B ~ die Terme Wenn die Ladung beschleunigt ist, addieren sich zu E h i 0 0 ˙ ~ ~ R × Rc − R~v (t ) × ~v (t ) ~2 = e E h i3 0 ~ Rc − R · ~v (t ) 0 R

(3.73)

t =t− c

und

h   i 0 0 ˙ ~ ~ ~ R × R × Rc − R~v(t ) × ~v (t ) /R ~2 = e B h i3 0 ~ Rc − R · ~v (t )

(3.74)

t0 =t− R c

Beide sind f¨ ur große R proportional zu R−1 und sind dort folglich die dominanten ~ ∝ 12 . Terme. Damit ist |S| R Beschleunigte Ladungen strahlen Energie ab. ~2 = R ~ ×E ~ 2 /R. Die abgestrahlten Felder stehen senkrecht aufeinander, denn es ist B F¨ ur v  c sind die f¨ uhrenden Terme

~ ~ ˙ ~ 2 = e R × (R × ~v ) E ch2 R3 i ˙ ~ ~ ~ R × R × (R × ~v ) ~ × ~v˙ R ~2 = e B = −e c2 R 4 c2 R 2 58

(3.75) (3.76)

Der Beitrag der beschleunigungsabh¨angigen Terme zum Poynting-Vektor ist   ~2 × B ~2 ~ = c E S 4π e2  ~  ~ ˙   ~ ˙  = − R × R × ~v × R × ~v 4πc3 R5  2 ~ R ~ × ~v˙ 2 R e . (3.77) = 4πc3 R5 ⇒ Die Abstrahlung erfolgt senkrecht zur Momentanbeschleunigung am st¨arksten.

Der durch eine Kugeloberfl¨ache im Abstand R austretende Energiestrom wird durch das Larmor-Gesetz“ beschrieben: ” Z 2 e2 ˙ 2 ~ R2 |S|dΩ = ~v . 3 c3

F¨ ur v . c findet man die st¨arkste Abstrahlung in Richtung ~v (Synchrotronstrahlung), da dort der Nenner von (3.75) und (3.76) am kleinsten ist.

3.5

Felder und Strahlung einer lokalisierten, oszillierenden Quelle

Wir betrachten eine periodisch oszillierende Ladungs- und Stromverteilung %(~r, t) = %(~r)e−iωt ;

~j(~r, t) = ~j(~r)e−iωt .

Das Vektorpotenzial hat dieselbe Zeitabh¨angigkeit: Z ~j(~r0 ) iω |~r−~r0| −iωt 1 ~ r )e−iωt . ~ c d3 r 0 e e = A(~ A(~r, t) = 0 c |~r − ~r | | {z }

(3.78)

(3.79)

~ r) =:A(~

Somit gilt f¨ ur das Magnetfeld

~ r , t) = B(~ ~ r)e−iωt , B(~

(3.80)

wobei der Ortsteil sich durch den Ortsteil des Vektorpotenzials ausdr¨ ucken l¨asst:

Außerhalb der Quelle ist

und folglich

~ r) = ∇ ~ × A(~ ~ r) B(~

(3.81)

~ ×B ~ =1∂E ~ = −i ω E ~ ∇ c ∂t c

(3.82)

~ r) = ic ∇ ~ × B(~ ~ r) . E(~ ω

(3.83)

59

F¨ ur die weitere Behandlung f¨ uhren wir einige L¨angenskalen ein: Sei d die Abmessung 2πc der Quelle, λ = ω die Wellenl¨ange der emittierten Strahlung, und r = |~r| der Abstand des Beobachters von der Quelle. Außerdem betrachten wir den Fall d  λ, d.h. die Quelle schwingt so langsam, dass die Wellenl¨ange der emittierten Strahlung viel gr¨oßer als die Ausdehnung der Quelle ist. Dann unterscheidet man 3 Bereiche 0

1. Nahbereich d  r  λ. Wegen r  λ ist kr  1 und damit eik|~r−~r | ≈ 1.

Z ~ 0 j(~r ) 3 0 1 ~ r) = ⇒ A(~ dr . (3.84) c |~r − ~r0 | Das Potenzial h¨angt mit dem Strom genauso wie in der Magnetostatik zusammen. In unmittelbarer N¨ahe der Quelle sieht man noch nicht, dass eine Abstrahlung erfolgt.

¨ 2. Ubergangsbereich r ≈ λ: In diesem Bereich lassen sich die Formeln nicht vereinfachen. 3. Fernbereich r  λ ⇒ kr  1. Hier k¨onnen wir folgende N¨aherungen machen:   0 √ ~ r · ~ r 0 = r − ~n · ~r0 (3.85) |~r − ~r | = r 2 + r 02 − 2~r · ~r0 ≈ r 1 − 2 r 1 1 ≈ |~r − ~r0 | r



~r · ~r0 1+ 2 r



≈

1 r

(3.86)

Z ikr 1 ~ ~j(~r0 )e−ik~n·~r0 d3 r 0 . (3.87) A(~r) ≈ e rc Wir haben also eine aus der Quelle auslaufenden Welle mit Winkelabh¨angigkeit.Wir entwickeln die Exponentialfunktion im Fernfeld: Z ∞ eikr X (−ik)m ~ 0 m ~ j(~r ) (~n · ~r0 ) d3 r 0 (3.88) A(~r) ≈ cr m=0 m! Im Folgenden diskutieren wir die f¨ uhrenden Terme dieser Entwicklung. Dipolstrahlung: Sie ist der Summand m = 0: Z eikr ~ 0 3 0 ~ j(~r )d r A(~r) ≈ cr Z   eikr ~ 0 · ~j(~r0 ) d3 r 0 = − ~r0 ∇ cr Z −iω eikr ~ · ~j = −%˙ = iω% ~r0 %(~r0 )d3 r 0 wegen ∇ = c r | {z } p~ : Dipolmoment der Ladungsverteilung 60

(3.89)

Das Magnetfeld ist dann ~ r) = ∇ ~ ×A ~ B(~  ikr  ~e × ~p = −ik ∇ r   eikr 1 2 = k (~n × p~) 1− r ikr ikr e f¨ ur kr  1 ≈ k 2 (~n × p~) r Das elektrische Feld berechnet sich zu ~ r) = i ∇ ~ ×B ~ E(~ k eikr f¨ ur kr  1 ≈ k 2 (~n × p~) × ~n r ~ × ~n = B

(3.90)

(3.91)

Wir berechnen daraus die ausgestrahlte Leistung pro Raumwinkel dΩ:   ~ dP = r 2 dΩ ~n · S  4 dP c 2 ~ × B) ~ = c r 2 |B| ~ 2 = ck sin2 ϑ|~p|2 = r ~n · (E dΩ 4π 4π 4π Gemittelt u ¨ber eine Periode erhalten wir unter Verwendung von ⇒

|~pt | = sin (ωt)p und

das Ergebnis

1 T

Z

T

sin2 (ωt)dt = 0

(3.92)

(3.93) 1 2

(3.94)

dP ck 4 2 2 = p sin ϑ . (3.95) dΩ 8π Integration u ¨ber den Raumwinkel ergibt die insgesamt abgestrahlte Leistung Z π ck 4 2 ck 4 p2 p2 ω 4 P = p 2π dϑ sin3 ϑ = = . (3.96) 8π 3 3c3 0

Die vom Dipol ausgestrahlte Leistung ist proportional zur vierten Potenz der Frequenz. Dies ist f¨ ur die blaue Farbe des Himmels verantwortlich: Die einfallende Sonnenstrahlung induziert in den Luftmolek¨ ulen ein periodisch oszillierendes Dipolmoment. Seine St¨arke ist frequenzunabh¨angig, solange ω  ω0 (Resonanzfrequenz) ist. Die von der Athmosph¨are abgestrahlte (also gestreute) Leistung ist daher proportional zu ω 4, und kurzwelliges (blaues) Licht wird deutlich st¨arker gestreut als langewelliges (rotes) Licht. 61

H¨ohere multipolare Anteile der Strahlung: Der Term m=1 ist dominant, wenn ~p = 0 ist. Dann haben wir Z ikr e ~ r) ' A(~ (−ik) ~j(~r0 )(~n · ~r0 )d3 r 0 cr Z        1 1 eikr 0 0 (−ik) ~r × ~j × ~n + (~n · ~r ) ~j + ~n · ~j ~r0 = r 2c 2c Z ik eikr eikr ~ 0 · ~jd3 r 0 (ik)~n × m ~ + = ~r0 (~n · ~r0 ) · ∇ r 2c r mit dem magnetischen Dipolmoment m ~ und iω% = ick%   Z 2 ikr k e (3.97) ik~n × m ~ − nj ~r0 rj0 %(~r0 )d3 r 0 = r 2 Der erste Term ist die magnetische Dipolstrahlung und der zweite Term die elektrische Quadrupolstrahlung.

62

Kapitel 4 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik In diesem Kapitel behandeln wir die kovariante Formulierung der Elektrodynamik. In dieser Formulierung sieht man deutlich, dass die Elektrodynamik in jedem Inertialsystem gleich ist, und es vereinfachen sich einige Formeln. Wir f¨ uhren auch die Langrage-Dichte des elektromagnetischen Feldes ein und die Lagrange- und Hamiltonfunktion f¨ ur ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld. Damit schlagen wir die Br¨ ucke zu den in der Mechanik-Vorlesung vermittelten Konzepten.

4.1

Vierervektoren

Die kovariante Formulierung beruht auf einer gemeinsamen Behandlung von Raum und Zeit. Dem wird durch die Einf¨ uhrung des Vierer-Ortsvektors Rechnung getragen. Er ist definiert als xµ ≡ (x0 , x1 , x2 , x3 ) ≡ (ct, x, y, z) . (4.1)

Jeder Vektor aµ , der sich bei einer Lorentztransformation in derselben Weise transformiert ur ihn gilt also wie der Ortsvektor, ist ein kontravarianter Vierervektor. F¨ a0µ =

∂x0µ ν a ≡ Λµν aν ν ∂x

(4.2)

Wir vereinbaren wieder die Summenkonvention: u ¨ber doppelt auftretende Indizes wird summiert. Weitere Vierervektoren sind (Begr¨ undung sp¨ater) die Viererstromdichte j µ = (c%, ~j)

(4.3)

und das Viererpotenzial (bei Lorentz-Eichung) ~ . Aµ = (Φ, A)

63

(4.4)

Wir definieren den kovarianten Vierervektor aµ ≡ (a0 , a1 , a2 , a3 ) = (a0 , −a1 , −a2 , −a3 ) = gµν aν mit der Matrix gµν



 1 0 0 0  0 −1 0 0  µν  =  0 0 −1 0  = g 0 0 0 −1

(4.5)

(4.6)

Wir verlangen, dass das Produkt eines kovarianten mit einem kontravarianten Vierervektor invariant unter einer Lorentztransformation ist. Kovariante Vierervektoren m¨ ussen sich daher gem¨aß ∂xν a0µ = 0µ aν = (Λ−1 )ν µ aν (4.7) ∂x transformieren. Dann ist n¨amlich das Produkt eines ko- und eines kontravarianten Vierervektors a0µ b0µ = (Λ−1 )ν µ aν Λµσ bσ = (Λ−1 Λ)ν σ aν bσ = aν bν . (4.8) Durch diese Bedingung ist die Lorentztransformation definiert. Bemerkung: ∂µ = ∂x∂µ ist ein kovarianter Vierervektor. Er transformiert sich n¨amlich gem¨aß ∂ ∂xν ∂ ∂xν ∂µ0 = 0µ = 0µ ν = 0µ ∂ν (4.9) ∂x ∂x ∂x ∂x

4.2

Lorentz-Transformation

Wir betrachten homogene Lorentztransformationen x0µ = Λµν xν =

∂x0µ ν x . ∂xν

(4.10)

Die allgemeine (inhomogene) Lorentztransformation hat die Form x0µ = Λµν xν + aµ . Der Vektor aµ macht eine Translation. Wir betrachten nur den Fall aµ = 0. Inhomogene
µ µ Lorentztransformationen lassen Produkte (x1 − x2 ) x1µ − x2µ invariant. Aus der Bedingung, dass das Produkt eines kovarianten Vektors mit einem kontravarianten Vektor invariant unter einer Lorentztransformation ist, erhalten wir folgende Bedingung f¨ ur Λµν : ! a0µ b0µ = Λµν aν gµσ Λσ% b% = aν bν = aν gν% b% ⇒ Λµν gµσ Λσ% = gν% In Matrixschreibweise ist dies ΛT gΛ = g Inversion beider Seiten dieser Gleichung gibt Λ−1 g(ΛT )−1 = g 64

(4.11)

und damit die Variante ΛgΛT = g .

(4.12)

Im Folgenden z¨ahlen wir einige Eigenschaften der Lorentztransformationen auf: Es ist

!

det(ΛT gΛ) = (det Λ)2 det g = det g . Also ist der Betrag der Determinante 1 und det Λ = ±1 . Wenn wir in der Beziehung vor (4.11) ν = 0 setzen, erhalten wir Λµ0 gµσ Λσ% = g%0 = δ%0 . Wenn wir auch % = 0 setzen, wird daraus Λµ0 gµσ Λσ0 = 1 und explizit 0

2

(Λ 0 ) − Dies bedeutet

3 X

(Λk0 )2 = 1 .

k=1

Λ0 0 ≥ 1 oder Λ0 0 ≤ −1 . Wenn Λ eine Lorentztransformation ist, dann auch gΛ: (gΛ)T g(gΛ) = ΛT ggg Λ = g . |{z}

(4.13)

=g

Die Matrix

 1 0 0 0  0 −1 0 0   g=  0 0 −1 0  0 0 0 −1 

(4.14)

macht eine Raumspiegelung. Sie invertiert das Vorzeichen von det Λ. Wenn Λ eine Lorentztransformation ist, dann auch (−g)Λ: (−gΛ)T g(−gΛ) = ΛT ggg = g . |{z}

(4.15)

=g

Die Matrix



−1  0 −g =   0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1

(4.16)

invertiert die Zeitrichtung. ⇒ Jede Lorentztransformation l¨asst sich als Produkt von ullt. g und/oder −g mit einer Matrix Λ schreiben, die Λ0 0 ≥ 1 und det Λ = 1 erf¨ 65

Wenn Λ1 und Λ2 Lorentztransformationen sind, dann ist auch das Produkt Λ2 Λ1 eine Lorentztransformation: (Λ2 Λ1 )T g(Λ2Λ1 ) = ΛT1 ΛT2 gΛ2Λ1 = ΛT1 gΛ1 = g . Im folgenden sei det Λ = 1 und Λ0 0 ≥ 1. F¨ ur die Matrix Λ mit 16 Elementen bleiben 6 voneinander unabh¨angige Parameter u ¨brig. Denn die Bedingung (4.11) wird zu 16 Bedingungen an die Elemente von Λ, wenn wir sie f¨ ur alle 16 Matrixelemente ausschreiben. Allerdings sind jeweils 6 dieser Bedingungen identisch, da Transposition von (4.11) wieder die identische Bedingung liefert. Also haben wir 10 voneinander unabh¨angige Bedingungen an 16 Elemente, was auf 6 freie Parameter f¨ uhrt. Wenn wir also 6 voneinander unabh¨angige Lorentz-Transformationen angeben, die jeweils durch einen Parameter charakterisiert sind, k¨onnen wir alle anderen aus ihnen durch Produktbildung zusammensetzen. Diese 6 Parameter sind 3 Drehwinkel f¨ ur die Rotationen um die drei Achsen und 3 Geschwindigkeiten f¨ ur eigentliche Lorentztransformationen l¨angs der 3 Achsen. Wir behandlen zun¨achst die Drehungen. Eine Drehung um ϕ umd die z-Achse entspricht der Lorentztransformation 

1 0 0  0 cos ϕ − sin ϕ Λ=  0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0

  0  0   = lim  0  N →∞  1

1 0 0 0

0 1 ϕ N

0

0 − Nϕ 1 0

N 0 0   0  1

(4.17)

Die Drehungen um die anderen Achsen erhalten wir durch zyklisches Vertauschen von x, y, z. Es ist leicht zu zeigen, dass die Drehungen die Beziehung (4.11) erf¨ ullen. Bei einer Loretztransformation im engeren Sinn bewegt sich das Inertialsystem I 0 mit Geschwindigkeit ~v gegen¨ uber I. Wenn ~v in x1 -Richtung zeigt, ist 

mit

und

cosh η − sinh η  − sinh η cosh η Λ=  0 0 0 0

0 0 1 0

  0  0   = lim  0  N →∞  1

cosh η = q sinh η = q 66

1 1−

v2 c2

v c

1−

v2 c2

1 − Nη 0 0

=γ

= βγ .

− Nη 1 0 0

0 0 1 0

N 0 0   0  1

(4.18)

Damit haben wir die vertraute Form der Lorentztransformation: t − vx/v 2 t = q . 2 1 − vc2

x − vt x =q ; 2 1 − vc2 0

0

Es ist leicht zu zeigen, dass auch diese Lorentztransformationen die Beziehung (4.11) erf¨ ullen. Wir fassen die Essenz dieses Abschnitts zum Schluss nochmal zusammen: Jede Lorentztransformation l¨asst sich als das Produkt von g (Raumspiegelung), −g (Zeitumkehr), Rotation um die drei Achsen und Lorentztransformationen im engeren Sinn in Richtung der drei Achsen schreiben.

4.3 4.3.1

Viererstromdichte, Viererpotenzial und Feldst¨ arketensor Viererstromdichte

Es muss in jedem Inertialsystem die Kontinuit¨atsgleichung gelten: ∂% ~ ~ +∇·j =0 ∂t

(4.19)

∂µ j µ = 0 .

(4.20)

Mit j 0 = c% wird dies zu An dieser Gleichung sehen wir, dass j µ ein Vierervektor ist.

4.3.2

Viererpotenzial

Mit der Lorentz-Eichung

gilt

1 ∂Φ ~ ~ +∇·A = 0 c ∂t

(4.21)

~ 1 ∂2A ~ = 4π ~j − ∇2 A 2 2 c ∂t c

(4.22)

und

1 ∂2Φ − ∇2 Φ = 4π% . c2 ∂t2 Wir definieren den d’Alembert-Operator  ≡ ∂µ ∂ µ =

1 ∂2 − ∇2 c2 ∂t2

(4.23)

(4.24)

und A0 = Φ 67

(4.25)

und erhalten dann die Eichbedingung in der Form ∂µ Aµ = 0

(4.26)

und die Gleichungen f¨ ur die Potenziale in der Form Aµ =

4π µ j . c

(4.27)

Also ist auch Aµ ein Vierervektor. Wir ben¨otigen nun den Zusammenhang zwischen dem Viererpotenzial und elektrischen und magnetischen Feldern.

4.3.3

Feldst¨ arketensor

Die Felder h¨angen mit den Potenzialen zusammen u ¨ ber ~ ~ = − 1 ∂ A − ∇Φ ~ ; E c ∂t ~ = ∇ ~ ×A ~. B

(4.28) (4.29)

Komponentenweise geschrieben ist dies
1 ∂Ax ∂Φ − = − ∂ 0 A1 − ∂ 1 A0 c ∂t ∂x
∂Ay ∂Az = − + = − ∂ 2 A3 − ∂ 3 A2 ∂z ∂y

Ex = − Bx

(und entsprechend mit zyklischer Vertauschung der drei Raumkoordinaten). Wir definieren den Feldst¨arketensor   0 −Ex −Ey −Ez  Ex 0 −Bz By   F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ =   Ey Bz 0 −Bx  Ez −By Bx 0

Dies ist ein kontravarianter Tensor zweiter Stufe. Jede Komponente transformiert sich gem¨aß einer Lorentztransformation: F 0µν =

∂x0µ ∂x0ν αβ F = Λµα Λν β F αβ . ∂xα ∂xβ

(4.30)

Der kovariante Feldst¨arketensor ist

Fµν = gµα gνβ F αβ



 0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By   =  −Ey Bz 0 −Bx  −Ez −By Bx 0 68

(4.31)

Die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen lassen sich daher schreiben als ∂α F αβ =

4π β j c

(4.32)

Dies u ufen wir durch folgende Nebenrechnung: ¨ berpr¨ β=0:

3 X ∂Ek k=1

∂xk

= 4π%

4π 1 ∂Ex ∂Bz ∂By − + = jx c ∂t ∂y ∂z c Durch zyklisches Vertauschen der Raumkoordinaten erhalten wir aus der letzten Gleichung die vierte Maxwellgleichung β=1:

−

~ ~ ×B ~ − 1 ∂ E = 4π ~j . ∇ c ∂t c Die homogenen Maxwellgleichungen lassen sich schreiben als ∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0

(4.33)

Dies ist die sogenannte Jacobi-Identit¨at. Auch dies u ufen wir durch eine kurze Nebenrechnung: ¨berpr¨ α, β, γ = 1, 2, 3 : α, β, γ = 0, 1, 2 : bzw. mit allen drei Komponenten

~ ·B ~ =0 ∇

−∂0 Bz − ∂x Ey + ∂y Ex = 0

~ ~ ×E ~ + 1 ∂B = 0 . ⇒∇ c ∂t Die Jacobi-Identit¨at folgt unmittelbar aus der Definition

(4.34)

F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ durch Addition der entsprechenden Ableitungen: ∂ α F βγ +∂ β F γα +∂ γ F αβ = ∂ α ∂ β Aγ −∂ α ∂ γ Aβ +∂ β ∂ γ Aα −∂ β ∂ α Aγ +∂ γ ∂ α Aβ −∂ γ ∂ β Aα = 0 . (4.35) Sie l¨asst sich kompakter schreiben mit der Definition des dualen Feldst¨arketensors 1 F µν := εµνλ% Fλ% 2   0 −Bx −By −Bz  Bx 0 Ez −Ey   = (4.36)  By −Ez 0 Ex  Bz Ey −Ex 0 und lautet dann ∂µ F µν = 0 . (4.37) 69

Bemerkung: εµνλ% ist der vollst¨andig antisymmetrische Tensor vierter Stufe“ ” εµνλ% = 1 falls µνλ% eine gerade Vertauschung von 0 1 2 3 ist εµνλ% = −1 falls µνλ% eine ungerade Vertauschung von 0 1 2 3 εµνλ% = 0 sonst Aus dem Feldst¨arketensor lassen sich zwei unter Lorentztransformation invariante Gr¨oßen konstruieren: 1 µν ~2 − E ~2 F Fµν = B (4.38) 2 und 1 µν ~ ·B ~ F Fµν = E (4.39) 4

4.4

Transformation der elektromagnetischen Felder

F µν ist ein Tensor zweiter Stufe und transformiert sich daher gem¨aß F 0µν = Λµσ Λν % F σ% .

(4.40)

Wir betrachten eine Lorentztransformation im engeren Sinn. Sei I 0 gegen¨ uber I mit Geschwindigkeit v in x1 -Richtung bewegt. Dann ist   γ −βγ 0 0  −βγ γ 0 0   Λ= (4.41)  0 0 1 0  0 0 0 1 und die Felder transformieren sich gem¨aß Ex0 = = Ey0 = = 0 Ez = = 0 Bx = = 0 By = = 0 Bz = =

F 010 = Λ1 0 Λ0 1 F 01 + Λ1 1 Λ00 F 10 Ex F 020 = Λ2 2 Λ0 0 F 20 + Λ2 2 Λ01 F 21 γ(Ey − βBz ) F 030 = Λ3 3 Λ0 0 F 30 + Λ3 3 Λ01 F 31 γ(Ez + βBy ) F 032 = Λ3 3 Λ2 2 F 32 Bx F 013 = Λ1 0 Λ3 3 F 03 + Λ1 1 Λ33 F 13 γ(By + βEz ) F 021 = Λ2 2 Λ1 0 F 20 + Λ2 2 Λ11 F 21 γ(Bz − βEy )

= β 2 γ 2 (−Ex ) + γ 2 Ex = γEy − βγBz = γEz + βγBy

= γβEz + γBy = −βγEy + γBz

Vektoriell geschrieben lautet dies 2 ~ β~ · E) ~ ~0 = E ~ k + γ(E ~ ⊥ + β~ × B) ~ = γ(E ~ + β~ × B) ~ − γ β( E γ+1

70

(4.42)

2 ~ β~ · B) ~0 = B ~ k + γ(B ~ ⊥ − β~ × E) ~ = γ(B ~ − β~ × E) ~ − γ β( ~ B (4.43) γ+1 ~ k und B ~ k die Komponenten in Richtung ~v sind. wobei E Ein Feld, das in einem System rein elektrisch oder rein magnetisch ist, erscheint im anderen System als eine Mischung von elektrischen und magnetischen Feldern. Elektrische und magnetische Felder sind eng miteinander verkn¨ upft. Wir betrachten als Beispiel das Feld einer Punktladung, die sich mit Geschwindigkeit ~v am Beobachter vorbeibewegt. Die Ladung q ruht im System I 0 (Eigensystem der Ladung) am Ursprung. Der Beobachter sitzt in seinem System I bei P = (0, b, 0).

x02

x2 P vt

b

q x1

x3

x01

x03

Im System I 0 gibt es nur ein elektrisches Feld. Am Ort P betr¨agt das Feld qb qvt0 , E20 = 03 , 03 r r √ 0 2 2 mit r = b + v t02

E30 = 0

E10 = −

(4.44) 0

Um zu den Feldern im System I zu gelangen, machen wir die Ersetzung t = tγ . Dann gilt am Ort P: E1 = E10 = p E2

B3

qvγt 3

b2 + γ 2 v 2 t2 γqb = γE20 = p 3 b2 + γ 2 v 2 t2 = γβE20 = βE2 .

Die u ¨brigen Komponenten verschwinden. Wir betrachten die Grenzf¨alle kleiner und großer Geschwindigkeit. Bei nichtrelativistischer Geschwindigkeit, d.h. f¨ ur γ ≈ 1 gilt ~ =E ~0 E und

~ = q ~v × ~r B c r3 71

(4.45) (4.46) (4.47)

Bei relativistischer Geschwindigkeit, also bei β ≈ 1, γ  1 ist E1 = − und wenn γvt  b ist, ist

q , γ 2 v 2 t2

E2 = B3 .

Zur Zeit t = 0 bewegt sich die Ladung sekrecht zur Beobachtungsrichtung, und es ist E1 = 0, E2 = B3 = γq . Das Feld ist um den Faktor γ h¨oher als das einer ruhenden b2 b Ladung, aber nur f¨ ur eine Zeit der Gr¨oßenordnung γv . Die elektrischen Feldlinien scheinen senkrecht zur Flugrichtung komprimiert.

~v

4.5

Lagrange- und Hamiltonfunktion fu ¨ r ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld

F¨ ur die Teilchenbahn in elektromagnetischen Feld muss das Prinzip der minimalen Wirkung gelten. Die Wirkung ist Z t2 Z τ2 S= Ldt = γLdτ (4.48) t1

τ1

Hierbei haben wir als als Integrationsvariable eine invariante Gr¨oße gew¨ahlt, die Eigenzeit τ des Teilchens, die mit der Zeit im System des Beobachters zusammenh¨angt u ¨ber dτ =

dt γ

und die gegeben ist durch die Bedingung dxµ dxµ = (dτ )2 /c2 . Die Wirkung sollte Lorentz-invariant sein, also auch γL. Um γL zu finden, suchen wir zun¨achst den einfachsten Lorentz-invarianten Ausdruck, der sowohl die Geschwindigkeit des Teilchens als auch seine Masse und das elektromagnetische Feld enth¨alt. Er ist L=−

 1 2 e mc + uµ Aµ . γ c 72

(4.49)

uµ = γ(c, ~v) ist die Vierergeschwindigkeit. Um zu u ufen, ob dies die richtige Lagrangefunktion sein kann, betrachten wir den ¨berpr¨ nichtrelativistischen Grenzfall, in dem die Lagrangefunktion in diejenige aus der Theo-1 Vorlesung u uhrenden Terme ¨ bergehen sollte. Wenn wir in v/c entwickeln und nur die f¨ mitnehmen, erhalten wir 1 e ~, L ≈ −mc2 + mv 2 − eΦ + ~v · A 2 c

(4.50)

¨ in Ubereinstimmung mit dem Ausdruck aus der Theo-1 Vorlesung. Der Ausdruck (4.49) ist also der richtige Ausdruck f¨ ur die relativistischen Lagrange-Funktion eines Teilchens im elektromagnetischen Feld. Dies ist nicht das einzige Beispiel daf¨ ur, dass der einfachste Ausdruck, der den logischen Anforderungen gen¨ ugt, auch tats¨achlich der richtige ist. Als n¨achstes leiten wir die Hamilton-Funktion nach den gewohnten Regeln her. Der zu xi kanonisch konjugierte Impuls ist pi =

e ∂L = γmvi + Ai . ∂vi c

(4.51)

(Bei lateinischen Indizes sind die r¨aumlichen Komponenten gemeint.) Damit ist die HamiltonFunktion  1e 1 2 e~ 2 ~ γcΦ − γ~v · A (4.52) H = pi vi − L = γmv + mc + A · ~v + γ c γc = γmc2 + eΦ . (4.53) Nun m¨ ussen wir die Hamilton-Funktion noch durch den kanonischen Impuls ausdr¨ ucken statt durch die Geschwindigkeit, die in γ enthalten ist. Dazu machen wir folgende Berechnung: Es ist H − eΦ = γmc c und e~ p~ − A = γm~v c Auf der rechten Seite dieser beiden Gleichungen stehen die Komponenten des Viererimpulses muµ . Aus beiden Gleichungen zusammen bekommen wir die Beziehung  2  e ~ 2 H − eΦ − ~p − A = m2 c2 , (4.54) c c und aufgel¨ost nach H ist dies H=

r

 e ~ 2 + eΦ . m2 c4 + c2 p~ − A c

Bemerkungen: 73

(4.55)

~ = 0 ist diese relativistische Beziehung zwischen Energie und Impuls F¨ ur Φ = 0, A bekannt. Das elektromagnetische Feld wird eingekoppelt durch die Ersetzungen H → H − eΦ ~ und p~ → p~ − ec A. Im nichtrelativistischen Grenzfall erh¨alt man 1  e ~ 2 + eΦ , H ≈ mc2 + ~p − A 2m c

(4.56)

so wie man es von der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik schon kennt. Als n¨achstes bestimmen wir die relativistischen Bewegungsgleichungen, also die aus (4.49) resultierenden Lagrange-Gleichungen: d ∂L ∂L = dt ∂vi ∂xi d  ∂Φ e ∂Ak e  + vk γmvi + Ai = −e dt c ∂xi c ∂xi  ~ e  d e dA ~ ~ ~ (γm~v ) = −e∇Φ − + ∇ ~v · A dt c dt c ~ e ∂ A e ~ A ~+ ~ − − (~v · ∇) = −e∇Φ c ∂t | c {z

(4.57) (4.58) (4.59) e~ ~ ∇(~v · A) c }

(4.60)

e ~ A) ~ ~ v ×(∇× c

Also ist die Bewegungsgleichung

d ~ + e ~v × B ~. (γm~v ) = eE dt c

(4.61)

Wir betrachten getrennt die Komponente in Flugrichtung des Teilchens und senkrecht zu ihr: In Flugrichtung des Teilchens haben wir   d ~ k = eE ~0 (γm~v ) = eE (4.62) k dt k ~ 0 ist das Feld im Bezugssystem des Teilchens.) (Zur Erinnerung: E k Senkrecht zur Flugrichtung erhalten wir   d ~ ⊥ + e ~v × B ~ = 1 eE ~0 (γm~v ) = eE dt c γ ⊥ ⊥   d ~ ⊥0 (γm~v ) = eE dτ  ⊥ d d~x ~0 m~u = eE mit ~u = . ⊥ dτ dτ ⊥ 74

(4.63)

4.6

Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes

Die Maxwell-Gleichungen lassen sich aus dem Prinzip der minimalen Wirkung herleiten. Dazu m¨ ussen wir eine Lagrange-Dichte f¨ ur Felder“ einf¨ uhren: ” L (Aµ , ∂ν Aµ ) (4.64) Sie h¨angt von allen Feldkomponenten und allen ersten Ableitungen ab. Die Lagrange-Funktion ist dann Z 0 L(x ) = d3 xL (Aµ , ∂ν Aµ )

(4.65)

und die Wirkung ist S=

Z

4

µ

µ

d xL (A , ∂ν A ) =

Ω

Z

dx0 L(x0 ) ,

(4.66)

wobei Ω ein Gebiet im 4-dimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum ist. Das Prinzip der kleinsten Wirkung wird uns auf die Bewegungsgleichungen der Felder f¨ uhren. Wir verlangen also δS = 0 bei Variation der Felder, d.h. bei der Variation Aµ (x) → Aµ (x) + δAµ (x) mit δAµ (x) = 0 auf der Oberfl¨ache Γ(Ω). Wir erhalten   Z ∂L ∂L 4 µ µ δS = dx δA + δ(∂ν A ) ∂Aµ ∂(∂ν Aµ ) Ω o  Z n ∂L ∂L ∂ 4 µ δAµ = dx δA − µ ν ∂(∂ Aµ ) ∂A ∂x Ω  ν Z ∂ ∂L + d4 x ν δAµ µ) ∂x ∂(∂ A ν {z } | ΩR Γ(Ω)

(4.67)

(4.68)

dσν ∂(∂∂LAµ ) δAµ =0 ν

(Dabei ist dσν ein Oberfl¨achenelement.) Dies muss f¨ ur beliebige δAµ (x) verschwinden. Also haben wir die Bewegungsgleichungen ∂L ∂L ∂ − ν = 0. µ ∂A ∂x ∂(∂ν Aµ )

(4.69)

Dies sind die Euler-Lagrange-Gleichungen der Feldtheorie. Nun setzen wir f¨ ur das elektromagnetische Feld eine Langrange-Dichte an und zeigen, dass die zugeh¨origen Euler-Langrange-Gleichungen die inhomogenen Maxwellgleichungen sind. Wir ben¨otigen wieder einen Lorentz-invarianten Ausdruck und setzen daher an L =−

1 1 Fµν F µν − jµ Aµ 16π c 75

(4.70)

mit F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ . Dann ist
∂L 1 ∂ ∂ λ A% − ∂ % Aλ = − 2Fλ% µ µ ∂(∂ν A ) 16π ∂(∂ν A ) | {z }

(4.71)

g λλ ∂λ A% −g %% ∂% Aλ


1 Fλ% δλν δ%µ g λλ − Fλ% δ%ν δλµ g %% 8π 1 = − F νµ 4π und die Euler-Langrange-Gleichungen sind 1 1 − ∂ν F νµ = − jµ 4π c 4π jµ ∂ν F νµ = c Dies sind die inhomogenen Maxwellgleichungen. = −

4.7

(4.72) (4.73)

(4.74) (4.75)

Energie-Impulstensor (kanonischer)

Die Hamilton-Dichte ergibt sich aus der Lagrange-Dichte u ¨ ber die Beziehung ∂L H = (∂0 Aµ ) − L ∂(∂0 Aµ ) | {z } zu Aµ kanonisch konjugierter Feldimpuls

(4.76)

Wir definieren die allgemeinere Gr¨oße T µν =

∂L ∂ ν Aλ − g µν L , λ ∂(∂µ A )

(4.77)

deren 00-Komponente die Hamilton-Dichte ist. Wir werten dies f¨ ur das freie elektromagnetische Feld aus: −1 1  ~ 2 ~ 2 µν L = Fµν F = E −B (4.78) 16π 8π 1 (4.79) ⇒ T µν = − g µ% F%λ ∂ ν Aλ − g µν L 4π 1 F0λ ∂ 0 Aλ − L 4π ~ 1 ~ 1 ∂A · −L = − E 4π ∂t} |c {z

⇒ T 00 = −

(4.80) (4.81)

~ ∇Φ ~ −E−

1 ~ ~ 1 2 1 E + E (E 2 − B 2 ) · ∇Φ − 4π 4π 8π 1 1 ~ ~ − Φ(∇ ~ ·E ~ )) (E 2 + B 2 ) + (∇ · (EΦ) = | {z } 8π 4π =

=0

76

(4.82) (4.83)

T 00 =

1 ~ 1 ~ (E 2 + B 2 ) + ∇ · (EΦ) 8π 4π

(4.84)

1 Dabei ist 8π (E 2 + B 2 ) die Energiedichte, so wie fr¨ uher definiert, und schwindet bei Integration u ¨ber den Raum.

1 ~ ∇ 4π

1 ~ 1 ~ F0λ ∂ i Aλ = E · ∂i A 4π 4π F¨ ur den n¨achsten Schritt ben¨otigen wir folgende Nebenrechnung: T 0i = −

~ · (EΦ) ver(4.85)

~ × (∇ ~ × A)) ~ i=E ~ · ∂i A ~ − (E ~ · ∇)A ~ i (E Also wird T 0i =

1 ~ ~ i + 1 (E ~ · ∇)A ~ i (E × B) 4π 4π

(4.86)

~ = 0 ist dies gleichbedeutend mit und wegen ∇ · E T 0i =

1 ~ ~ · (Ai E) ~ ~ i+ 1 ∇ (E × B) 4π 4π

1 ~ ~ i die Impulsdichte, so wie fr¨ Dabei ist 4π (E×B) uher definiert, und bei Integration u ber den Raum. ¨

(4.87) 1 ~ ~ ∇·(Ai E) 4π

verschwindet

Bemerkung: Es gibt ein allgemeines Verfahren, um aus dem kanonischen Energie-Impulstensor T µν einen symmetrischen Energie-Impuls-Tensor Θµν zu konstruieren, der eichinvariant und spurlos ist. Es verschwinden dann die Zusatzterme, und Θ00 = 1 1 ~ ~ Θij = − 1 (Ei Ej + Bi Bj − 1 δij (E 2 + B 2 )). (E 2 + B 2 ), Θ0i = 4π (E × B), 8π 4π 2

77

Kapitel 5 Mechanik des starren Ko ¨rpers 5.1

Einfu ¨ hrung

In diesem Kapitel betrachten wir die Bewegung starrer K¨orper. Ein starrer K¨orper ist ein K¨orper mit fest vorgegebener, diskreter oder kontinuierlicher Massenverteilung, dessen Gestalt sich nicht ¨andert. Wir betrachten zwei Arten von starren K¨orpern: (a) Ein System von n Massepunkten mit den Massen m1 , . . . , mn , die durch starre Abst¨ande verbunden sind. Die Gesamtmasse ist M=

n X

mi .

(5.1)

i=1

Beispiel: m2 m1 m4 m3 (b) Ein K¨orper mit kontinuierlicher Massenverteilung %(~r). Seine Gesamtmasse ist Z M = d3 r%(~r) . (5.2) Die zweite, kontinuierliche Beschreibung k¨onnen wir auch als Grenzfall der ersten Beschreibung auffassen, indem wir die Massepunkte mit Atomen oder Molek¨ ulen identifizieren und u ¨ber kleine Volumina mitteln (die groß sind verglichen mit einem Atom). 78

In diesem Kapitel werden keine Deformationen betrachtet. Der starre K¨orper kann also nur seine Lage und seine Orientierung ¨andern. Er ist ein idealer Kandidat f¨ ur die Benutzung des Lagrange-Formalismus, da die starren Abst¨ande Zwangsbedingungen darstellen. Es ist zweckm¨aßig, genau so viele verallgemeinerte Koordinaten zu w¨ahlen, wie der K¨orper Freiheitsgrade hat. Dies sind drei Translations- und drei Rotationsfreiheitsgrade, wenn nicht weitere Zwangsbedingungen hinzukommen, die dem K¨orper von außen auferlegt werden. Um die Lage und Bewegung des K¨orpers zu beschreiben, ben¨otigen wir ein Koordinatensystem. Wir betrachten zwei Koordinatensysteme: 1. Ein raumfestes Koordinatensystem K, also das Laborsystem, mit den Achsen x, y, z. 2. Ein fest im starren K¨orper verankertes intrinsisches Koordinatensystem K mit den Achsen x1 , x2 , x3 . Im System K lassen sich Bewegungen in einfacher Weise beschreiben. Im System K ist die Masseverteilung % unabh¨angig von der Zeit, ganz gleich, welche Bewegung der K¨orper ausf¨ uhrt. Die beiden Koordinatensysteme sind in der folgenden Abbidlung gezeigt: z x3 P x1

S K x2

~r ~rs

y

x

Der Ursprung S von K wird oft in den Schwerpunkt gelegt, kann aber auch in einem anderen Punkt des K¨orpers verankert sein. Anhand dieser Abbildung kann man begr¨ unden, dass der starre K¨orper 6 Freiheitsgrade hat: Um seine Lage im Raum vollst¨andig festzulegen, gen¨ ugt es, die momentane Position ~rs (t) des Ursprungs S des Koordinatensystems K zu kennen sowie die momentane Orientierung von K relativ zu K. Diese Orientierung kann man durch 3 Winkel beschreiben (Rotation von K relativ zu K um die 3 Achsen von K). oder durch die Positionen ~r und ~r0 zweier im starren K¨orpers verankerten Punkte (da die Abst¨ande zwischen diesen beiden Punkten und zu S fest vorgegeben sind, erh¨alt man auch auf diesem Weg 6 − 3 = 3 Orientierungsfreiheitsgrade). 79

5.2

Kinetische Energie und Tr¨ agheitstensor

F¨ ur den Lagrange-Formalismus ben¨otigen wir die kinetische Energie. Um sie zu ermitteln, beginnen wir mit der Betrachtung infinitesimaler Verr¨ uckungen des K¨orpers. Der Punkt P habe die Position ~r in K und die Position ~x in K. Verschiebt und rotiert man den starren K¨orper ein wenig, so gilt f¨ ur P : d~r = d~rS + d~ ϕ × ~x Die Richtung n ˆ=

d~ ϕ |d~ ϕ|

(5.3)

(5.4)

ist die Rotationsachse (Rotation im Uhrzeigersinn wenn man in Achsenrichtung schaut), und |d~ ϕ| ist der Winkel, um den der K¨orper gedreht wird bei festgehaltenem S. Die Drehung ist im folgenden Bild veranschaulicht: n ˆ |d~ ϕ|

d~x ~x

α

Aus |d~x| = |~x| sin (α)|d~ ϕ| und d~x ⊥ n ˆ , ~x folgt d~x = d~ ϕ × ~x. Wir dividieren die Gleichung (5.3) durch dt

und schreiben dies in der Form

d~r d~rs d~ ϕ = + × ~x dt dt dt

(5.5)

~ + ~ω × ~x . ~v = V

(5.6)

Die Winkelgeschwindigkeit ~ω h¨angt nicht von der Wahl des Punktes S ab. Um dies zu sehen, w¨ahlen wir einen anderen Ursprung von K, den Punkt S 0 im Abstand ~a von S: ~rS 0 = ~rS + ~a. Gleichung (5.6) l¨asst sich dann alternativ schreiben als ~v = V~ 0 + ~ω 0 × ~x0 .

(5.7)

Außerdem ist ~r = ~rS 0 + ~x0 = ~rS + ~a + ~x0 = ~rS + ~x und folglich ~x = ~x0 + ~a. Eingesetzt in (5.6) gibt dies ~ + ~ω × ~a + ~ω × ~x0 . ~v = V (5.8) 80

Diese Formel setzen wir nun gleich mit (5.7). Die Gleichheit muss f¨ ur jede Wahl von ~x 0 und dazugeh¨origem ~x gelten. Also ist ~0 =V ~ + ~ω × ~a V

(5.9)

~ω 0 = ~ω .

(5.10)

und Als n¨achstes bestimmen wir den Ausdruck f¨ ur die kinetische Energie. Wir w¨ahlen S als den Schwerpunkt des starren K¨orpers, wenn wir nicht explizit etwas anderes vermerken. Dann ist n X mi~x(i) = 0 (5.11) i=1

bzw.

Z

d3 x ~x%(~x) = 0 .

(5.12)

Im System von Massepunkten ist die kinetische Energie n

1X 2 T = mi~v (i) 2 i=1 2 1 X ~ = mi V + ~ω × ~x(i) 2 i ! X
2 1 X 1X ~ 2 + V~ · = mi (~ω × ~x(i) ) + mi mi V ~ω × ~x(i) 2 2 i | {z } i i |X {z } | {z } M 2 mi~x(i) ·(V~ ×~ω) = ~ω 2~x(i) sin2 α i
| {z } 2 =0 = ~ω 2~x(i) 1 − cos2 α
2 2 = ~ω 2~x(i) − ~ω · ~x(i) =

3 X

j,k=1 3 1 ~2 1 X = ωj Jjk ωk . MV + 2 2 j,k=1

h 2 i ωj ~x(i) δjk − xj xk ωk (5.13)

In Zukunft lassen wir die Summenzeichen weg und implizieren, dass u ¨ber doppelt auftretende Indizes summiert wird. Der Tr¨agheitstensor ist Jjk :=

n X i=1

i h 2 (i) (i) mi ~x(i) δjk − xj xk 81

(5.14)

Im kontinuierlichen Fall sieht die Rechnung so aus: Z  2 1 3 ~ T = d x%(~x) V + ~ω × ~x 2 Z Z 1~2 3 ~ × ~ω d3 x ~x%(~x) +ωj Jjk ωk d x%(~x) + V = V 2 | {z } | {z } 0

M

mit

Jjk :=

(5.15)

Z

  d3 x%(~x) ~x2 δjk − xj xk

(5.16)

Also haben wir die kinetische Energie in zwei Beitr¨age zerlegt, T = Ttrans + Trot

(5.17)

1 Ttrans = M V~ 2 2

(5.18)

mit dem Beitrag der Translation

und dem Beitrag der Rotation

1 (5.19) Trot = ~ω t J~ω . 2 J ist ein Tensor zweiter Stufe: Sei R eine Rotationsmatrix, so dass die Koordinaten unter einer Rotation die Transformation xj → x0j = Rjk xk machen. Dann transformiert sich J gem¨aß 0 Jnm → Jnm = Rnj Rmk Jjk .

Dies kann man f¨ ur den zweiten Term in J sofort sehen. F¨ ur den ersten Term machen wir die Rechnung Rjm Rkn δmn = δjk , | {z } RT mk

d.h. der erste Term ist invariant unter einer Rotation. Der Translationsterm verschwindet, wenn das Koordinatensystem K in einem Punkt ~ = 0, und in der Herleitung (5.13) des K¨orpers verankert ist, der ruht. In diesem Fall ist V verschwinden die ersten beiden Terme der dritten Zeile, so dass T = 21 ~ω t J~ω u ¨brigbleibt. Im Folgenden listen wir einige Eigenschaften des Tr¨agheitstensors auf: J h¨angt von der Wahl des Koordinatensystems K ab. J ist linear in %(~x) und daher additiv. Bei Zusammenf¨ ugen zweier starrer K¨orper addieren sich die Tr¨agheitstensoren. 82

Satz von Steiner: Sei J der Tr¨agheitstensor, wie er im k¨orperfesten System K berechnet wird, das 0 im Schwerpunkt S zentriert ist, und sei K ein zu K achsenparalleles System, das 0 gegen¨ uber diesem um ~a verschoben ist. ⇒ Der in K berechnete Tr¨agheitstensor ist Z   0 (5.20) Jij = d3 x0 %(~x0 ) ~x02 δij − x0i x0j ~ x0 =~ x+~ a

↓

=

Jij + M ~a2 δij − ai aj




(5.21)

(denn alle in ~x linearen Terme verschwinden wegen der Schwerpunktbedingung). J ist reell und symmetrisch, J=

Z



 x22 + x23 −x1 x2 −x1 x3 d3 x %(~x)  −x2 x1 x23 + x21 −x2 x3  −x3 x1 −x3 x2 x21 + x22

(5.22)

und l¨asst sich durch eine orthogonale Transformation auf Diagonalform bringen:   I1 0 0 R0 J R−1 = J 0 =  0 I2 0  0 0 0 I3  2  Z y2 + y32 0 0  0 y32 + y12 0 = d3 y%(~y )  (5.23) 2 2 0 0 y1 + y2 Hierzu bestimmt man die Eigenwerte und Eigenvektoren J ~ω (i) = Ii ~ω (i) .

(5.24)

R−1 hat als Spalten die ~ω (i) . 0 I1 , I2 , I3 sind die (Haupt-)Tr¨agheitsmomente des starren K¨orpers. F¨ ur sie gilt ⇒ Ik ≥ 0,

k = 1, 2, 3

und I1 + I2 ≥ I3

(und analog unter zyklischer Vertauschung der Indizes). Dasjenige k¨orperfeste System, in dem der Tr¨agheitstensor diagonal ist, heißt Haupttr¨agheitsachsensystem. Bei Entartung von Eigenwerten w¨ahlt man die ~ω (i) so, dass sie senkrecht aufeinander stehen. Diese Situation tritt auf, wenn der starre K¨orper rotationssymmetrisch um eine Achse ist. Diese Achse ist dann eine Haupttr¨agheitsache; die anderen beiden sind senkrecht dazu und sind beliebig w¨ahlbar. Dies zeigen wir wie folgt: Sei die Symmetrieachse die x3 Achse. Dann ist %(x1 , x2 , x3 ) = %(−x1 , x2 , x3 ) = %(x1 , −x2 , x3 ) = %(−x1 , −x2 , x3 ), 83

(5.25)

und die Außerdiagonalelemente des Tr¨agheitstensors verschwinden, wie wir am Beispiel des Elements 12 zeigen: Z Z 1 3 d3 x x1 x2 (%(x1 , x2 , x3 ) + %(−x1 , x2 , x3 )) −J12 = d x%(~x)x1 x2 = 2 Z 1 = d3 x %(x1 , x2 , x3 ) (x1 x2 + x2 (−x1 )) = 0 . (5.26) 2 R Also die Diagonalelemente von 0 verschieden. Außerdem ist I1 = I2 , weil d3 x%(~x)x21 = R 3 sind nur d %(~x)x22 aufgrund der Rotationssymmetrie.

Beispiel 1

Homogene Kugel der Dichte % und des Radius R. Es ist I1 = I2 = I3 aus Symmetriegr¨ unden, und das Hauptachsensystem ist im Kugelzentrum verankert. Es ist Z Z R 8π%R5 2 3 r 4 dr = I1 + I2 + I3 = 3I = 3% r d x = 8π% . (5.27) 5 0 Mit % =

3M 4πR3

erhalten wir daraus 2 I = MR2 . 5

(5.28)

homogener Kinderkreisel

h

R

1 2 R πh 3 3M Dichte % = πR2 h

Volumen V

=

(5.29) (5.30)

Wir betrachten zuerst den Fall, dass das Hauptachsensystem in der Spitze verankert ist: 84

x03

x02

x01 In Zylinderkoordinaten x01 = r cos (ϕ) x02 = r sin (ϕ) x03 = z berechnen wir dann I10

=

I20

= = = = = und I30

Z

02 d3 x0 (x02 2 + x3 ) Z h Z Rz/h Z 2π
% dz dr r dϕ r 2 sin2 ϕ + z 2 0 0 0 Z h Z Rz/h
% dz dr r 3 π + 2πrz 2 0 0  Z h  4 4 R z π 2πR2 z 4 % dz + 4h4 2h2 0  4  R h Rh3 π% + 4·5 5   1 2 3 2 M R +h 5 4

= %

(5.34)

Z

02 d3 x0 (x02 1 + x2 ) Z h Z Rz/h Z 2π
= % dz dr rdϕ r 2 cos3 ϕ + r 2 sin2 ϕ 0 0 0 Z h 4 4 Rz = % dz 2π 4 4h 0 3 = MR2 . 10

= %

(5.31) (5.32) (5.33)

85

(5.35)

Wenn das Hauptachsensystem im Schwerpunkt verankert ist, x3

x2

x1

3 h 4

erhalten wir mit Hilfe des Satzes von Steiner  2 1 3 3 0 h = M(R2 + h2 ) I1 = I2 = I1 − M 4 20 4 3 MR2 . I3 = I30 = 10

5.3

(5.36) (5.37)

Drehimpuls und Bewegungsgleichung des starren K¨ orpers

Der Drehimpuls hat zwei Beitr¨age: Drehimpuls des Schwerpunktes: das ist derjenige, den man erh¨alt, wenn der K¨orper auf eine Punktmasse zusammenschrumpft. Er ist von der speziellen Wahl des (raumfesten) Koordinatenursprungs abh¨angig. Relativdrehimpuls: das ist der Drehimpuls um die Achse durch den Schwerpunkt.

86

Wir berechnen hier den Relativdrehimpuls. Wenn wir den Ursprung des Laborsystems in den Schwerpunkt des K¨orpers legen, ist dies der einzige Beitrag zum Drehimpuls: ~ L

n X

=

i=1

~ L

= ~ x˙ =~ ω×~ x

↓

=

Z

Z

Z

= =

mi~ri × ~r˙i

bzw.

d3 x%(~x)~x × ~x˙

d3 x%(~x)~x × (~ω × ~x)   d3 x%(~x) ~x2 ~ω − (~x · ~ω )~x

J ~ω

(5.38)

Also: ~ = J ~ω L

(5.39)

~ hat im allgemeinen nicht dieselbe Richtung wie ω L ~ . Es hat nur dann dieselbe Richtung, wenn ~ω entlang einer der drei Hauptachsen gew¨ahlt wird. Die Rotationsenergie k¨onnen wir nun auch durch den Drehimpuls ausdr¨ ucken: Aus (5.19) und (5.39) erhalten wir 1 ~. Trot = ~ω · L (5.40) 2 Wenn ~ω zur i-ten Hauptachse parallel ist, vereinfachen sich die beiden letzten Gleichungen zu ~ = Ii ωi L (5.41) und

1 Trot = Ii ~ω 2 . 2 ¨ Die zeitliche Anderung des Drehimpulses ist

(5.42)

~ d X dL mi~ri × ~r˙i = dt dt i  X  = mi ~r˙i × ~r˙i + ~ri × ~r¨i i

=

X i

=

X i

=

X |

i

  ¨ mi ~ri × ~ri

~ri × F~i

~i + ~ri × K {z

}

außere Kr¨ afte ¨

87

X

i,k6=i

|

~ri − ~rk |~ri − ~rk | {z }

Fki~ri ×

innere Kr¨ afte

(5.43)

Wegen dem dritten Newtonschen Gesetz heben sich die inneren Kr¨afte paarweise auf. Also bleibt X ~ dL ~i ≡ D ~ (5.44) = ~ri × K dt i ~ mit dem Drehmoment D.

5.4

Kr¨ aftefreie Bewegung von starren K¨ orpern

Ohne a¨ußere Kr¨afte gilt 1. Der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig und gleichf¨ormig. Dies folgt unmittelbar aus n n X X ~i = 0= K m~r¨i = M ~r¨S . i=i

i=i

Der Schwerpunkt S verh¨alt sich wie ein Massenpunkt unter der Wirkung der Resultierenden der ¨außeren Kr¨afte, und wenn diese verschwindet, bewegt sich S geradlinig und gleichf¨ormig.

2. Der Drehimpuls ist erhalten:

d~ L = 0. dt

(5.45)


1d  d 1d ~ = 0. ~ω t J~ω = ~ω · L Trot = dt 2 dt 2 dt

(5.46)

Dies folgt aus (5.44). 3. Die Rotationsenergie ist erhalten:

Dies folgt aus der Energieerhaltung und

d T dt trans

= 0.

Wir betrachten nun einen rotationssymmetrischen starren K¨orper (Kreisel) in Abwesenheit von ¨außeren Kr¨aften. Sei die x3 -Achse die Symmetrieachse, so dass I1 = I2 6= I3 ~ vorgegeben. Wir legen die x1 -Achse in die von L ~ und der Symmeist. Weiterhin sei L trieachse aufgespannte Ebene. Dann steht die x2 -Achse steht senkrecht auf dieser Ebene, und L2 = ω2 = 0. Also liegt ~ω in der (1, 3)-Ebene. Diese Situation ist in der folgenden Abbildung am Beispiel eines ellipsenf¨ormigen Kreisels dargestellt, wobei die (1, 3)-Ebene die Papierebene ist:

88

~ L ~ω x3

x1 ~ωP r

~ωl

~ ~ω und die Symmetrieachse in einer Ebene, und Wie schon erw¨ahnt, liegen die Vektoren L, da man diese Betrachtung zu jedem Zeitpunkt anstellen kann, liegen sie folglich immer in einer Ebene. Wir k¨onnen dies auch zeigen, indem wir das Spatprodukt der drei Vektoren bilden und zeigen, dass es Null ist:     ω2 ω1 I1 ~ =  −ω1  ·  ω2 I2  = ω1 ω2 (I1 − I2 ) = 0 . (~ω × ~e3 ) · L 0 ω3 I3 ~ n¨aher an der x1 -Achse In unserem Beispiel ist I1 > I3 . Deshalb liegt der Vektor L als der Vektor ~ω . Die Symmetrieachse x3 bewegt sich nach hinten“ (also senkrecht zur ” ~ Man nennt Papierebene). Sie rotiert gleichf¨ormig um die Richtung des raumfesten L. dies die regul¨are Pr¨azession“. Die Frequenz der regul¨aren Pr¨azession erhalten wir durch ” Aufspalten von ~ω in eine Komponente ~ωl parallel zur x3 -Achse und eine Komponente ~ωP r ~ parallel zu L: ~ω = ~ωl + ~ωP r . ~ωl ist irrelevant f¨ ur die Pr¨azessionsbewegung. Wir berechnen daher ωP r = |~ωP r |: Aus und erhalten wir

ω1 = ωP r sin (θ)

(5.47)

~ sin (θ) = I1 ω1 = I1 ωP r sin (θ) L1 = |L|

(5.48)

~ |L| . (5.49) I1 ~ω u ¨berstreicht bei der regul¨aren Pr¨azession den Spurkegel“, die Symmetrieachse den ” Nutationskegel“: ” ωP r =

89

~ L

~ω

~x3

Die Winkelgeschwindigkeit um die Symmetrieachse k¨onnen wir auch durch den Drehimpuls und die Tr¨agheitsmomente ausdr¨ ucken: Es ist ω3 =

5.5

~ cos(θ) |L| L3 = . I3 I3

(5.50)

Starre K¨ orper mit nur einem Freiheitsgrad

Nun betrachten wir starre K¨orper mit ¨außeren Kr¨aften und beschr¨anken uns zun¨achst auf Systeme mit nur einem Freiheitsgrad. Es ist zum Beispiel der K¨orper fest auf einer Rotationsachse montiert, oder er rollt auf einer Unterlage in nur einer Richtung. In beiden F¨allen beh¨alt die Rotationsachse ihre Richtung bei, und wir k¨onnen den Winkel ϕ als Freiheitsgrad w¨ahlen: ~ Bahn des Schwerpunktes S(ϕ)

S

∆ϕ

Wir w¨ahlen die z-Richtung parallel zur Rotationsachse. Die kinetische Energie hat

90

dann die Beitr¨age 1 Jzz ϕ˙ 2 2 1 ~2 1 = M V = M s˙2 , 2 2

(5.51)

Trot = Ttrans

(5.52)

wobei s˙ die Geschwindigkeit des Schwerpunkts l¨angs seiner Bahnkurve ist. Beispiel 1: physikalisches Pendel Dies ist ein an der z-Achse aufgeh¨angter starrer K¨orper. Sei R der Abstand SO. Dann ist 1 0 2 1 T = Jzz ϕ˙ = (Jzz + MR2 )ϕ˙ 2 2 2

(5.53)

und V = −MgR cos ϕ ~ex ~ez

~ey ϕ

S

Die Lagrange-Funktion ist also 1 0 2 L = Jzz ϕ˙ + MgR cos ϕ 2

(5.54)

und die Lagrange-Gleichung 2. Art ist 0=

d ∂L ∂L 0 − = Jzz ϕ¨ + MgR sin ϕ . dt ∂ ϕ˙ ∂ϕ

(5.55)

Diese Bewegungsgleichung ist diejenige eines mathematischen Pendels der L¨ange l =

91

0 Jzz . MR

Beispiel 2: Jojo ~ex

R = Radius der Achse, um die der Faden gewickelt ist. S sei in der Mitte der Achse. Hier ist die Lagrange-Funktion 1 1 L = Jzz ϕ˙ 2 + M x˙ 2 − Mgx 2 2

ϕ=R−1 x

↓

=

1 2



Jzz +M R2

und die Bewegungsgleichung ist folglich   Jzz 0= + M x¨ + Mg R2 mit der L¨osung x(t) =

1 Mgt2 2 − Jzz +M R2

+ x0 + v0 t .



x˙ 2 − Mgx ,

(5.56)

(5.57)

(5.58)

Am untersten Punkt haben wir eine elastische Reflektion x˙ → −x˙ und die Rolle steigt dann wieder bis zu dem Punkt, bei dem x˙ = 0 ist. Sei l die Fadenl¨ange. Dann ergibt sich die Schwingungsperiode zu s   2l Jzz T =2 +M (5.59) Mg R2 Dies ist u ¨ brigends eine Methode, um Jzz zu messen: Man misst l, T, R, M und berechnet daraus Jzz .

92

Beispiel 3: Walze auf schiefer Ebene y

ϕ α

Die Walze habe den Radius R und die Masse M, und der Schwerpunkt der Walze sei in der Mitte der Walze. Der Zusammenhang zwischen y und ϕ ist y˙ = Rϕ˙

(5.60)

und die Lagrange-Funktion ist 1 L = Jzz 2 Die Lagrange-Gleichung

 2 y˙ 1 + M y˙ 2 + Mg sin (α)y . R 2 d ∂L ∂L = dt ∂ y˙ ∂y

f¨ uhrt auf y¨ =

(5.61)

(5.62)

Mg sin (α) Jzz +M R2

(5.63)

Wenn die Massenverteilung homogen ist, ist % konstant und M = R2 π%l und Z l Z R Z 2π Jzz = % dz dr r dϕ r 2 0

0

0

1 R4 = MR2 . = %l2π 4 2

Also ist

(5.64)

2 y¨ = g sin α . (5.65) 3 Im Unterschied hierzu lautet die Bewegungsgleichung, wenn die Walze reibungsfrei gleitet ohne zu rollen y¨ = g sin α

93

5.6

Die Eulerschen Gleichungen

Nun heben wir die Beschr¨ankung auf einen Freiheitsgrad auf. Wir bestimmen die Bewegungsgleichungen bezogen auf das k¨orperfeste System K, dessen Ursprung im Schwerpunkt liegt. Hierbei ist es wichtig, sich bewusst zu machen, dass auch K ein Interzialsystem ist. Es rotiert also nicht mit, sondern ist zu jedem Zeitpunkt neu zu w¨ahlen. Wir hatten ~ = dL ~ D dt und ~x˙ = ~ω × ~x und ~ = L

Z

d3 x %(~x)~x × (~ω × ~x)

Bemerkung: wir verstehen alle Gr¨oßen auf dieser Seite (Vektoren, Tensoren) im System K, aber schreiben keine Querstriche u ¨ber die Gr¨oßen. Wir erhalten Z h i ~ dL = d3 x%(~x) (~ω × ~x) × (~ω × ~x) + ~x × (~ω˙ × ~x) + ~x × (~ω × (~ω × ~x)) dt Z ˙ = 0 + J · ~ω + ~ω × (~x × (~ω × ~x))%(~x)d3 x und somit

~ = J · ~ω˙ + ~ω × L ~ D

(5.66)

Dabei haben wir benutzt, dass ~a × (~b × (~a × ~b)) = ~b × (~a × (~a × ~b)) ist. Denn die linke Seite ist ~a × (~a · b2 − ~b(~a · ~b)) = −(~a × ~b)(~a · ~b) = (~b × ~a)(~a · ~b) und die rechte Seite ist ~b × (~a(~a · ~b) − ~ba2 ) = (~b × ~a)(~a · ~b) = linke Seite . wenn J diagonal ist, lauten die Eulerschen Gleichungen         I1 ω˙ 1 ω1 I1 ω1 I1 ω˙ 1 + ω2 ω3 (I3 − I2 ) ~ =  I2 ω˙ 2  +  ω2  ×  I2 ω2  =  I2 ω˙ 2 + ω3 ω1 (I1 − I3 )  D I3 ω˙ 3 ω3 I3 ω3 I3 ω˙ 3 + ω1 ω2 (I2 − I1 )

(5.67)

Diese Gleichungen sind nichtlinear und f¨ uhren damit im Allgemeinen auf komplizierte Bewegungen. Wir betrachten noch einmal einen rotationssymmetrischen starren K¨orper 94

~ = 0 und I1 = I2 . Aus der dritten Euler-Gleichung folgt ohne ¨außere Kr¨afte. Es ist also D sofort, dass ω˙ 3 = 0 ist. Wenn wir die erste Euler-Gleichung nach der Zeit ableiten und ω˙ 2 durch die zweite Euler-Gleichung ausdr¨ ucken, erhalten wir ω ¨ 1 + ω1

(I1 − I3 )2 ω32 = 0. I12

Wir definieren ω02 =

(I1 − I3 )2 ω32 I12

und erhalten damit ω1 = A sin(ω0 t − φ)

(5.68)

ω2 = −A cos(ω0 t − φ) ,

(5.69)

und wobei A und φ durch die Anfangsbedingungen festzulegen sind. Die Vektoren ~ω und ~ rotieren mit Frequenz ω0 um die Symmetrieachse. Dies wird in der Literatur auch L “Nutation” genannt. Die Frequenz ω0 ist verschieden von der Pr¨azessionsfrequenz ωP r aus Gleichung (5.49), mit der die Symmetrieachse im Laborsystem um den Drehimpuls rotiert.

5.7

Der Schwere Kreisel x3

S

O Der Kreisel im Schwerefeld ist ein anspruchsvolles Thema der theoretischen Mechanik, und wir beschr¨anken uns hier auf eine Berecnung der wesentlichen Ph¨anomene. Der Kreisel sei rotationssymmetrisch um die x3 -Achse, und wir definieren l = OS wobei O der Punkt ist, in dem der Kreisel gest¨ utzt wird. Da der Punkt O fest ist, bleiben von den 6 Freiheitsgraden des starren K¨orpers nur 3 u ¨brig. Wir w¨ahlen 3 Winkel als Freiheitsgrade:

95

x3

z

x2 x1

S y

θ

x O

−φ

θ Winkel zwischen z-Achse und x3 -Achse φ Winkel zwischen Projektion der x3 -Achse auf den Boden und der x-Achse des Laborsystems ψ Winkel zwischen x1 -Achse und der Verbindungslinie von S zur z-Achse (Linie ⊥ x3 -Achse) Die kinetische Energie ausgedr¨ uckt durch die 3 Winkel ist   1  2 1 (5.70) T = (I1 + Ml2 ) θ˙2 + φ˙ 2 sin2 θ + I3 ψ˙ + φ˙ cos θ 2 | {z } 2 I10

Die potenzielle Energie ist

V = Mgl cos (θ) . Die Lagrange-Funktion L = T − V erf¨ ullt die Gleichungen ψ und φ zyklische Variablen, und ∂L Pψ ≡ ∂ ψ˙ und Pφ ≡

∂L ∂ φ˙

∂L ∂ψ

= 0 und

∂L ∂φ

= 0. Also sind (5.71)

(5.72)

sind Erhaltungsgr¨oßen. Außerdem ist auch die Gesamtenergie E = T +V eine Erhaltungsgr¨oße. Wir haben folglich genauso viele Erhaltungsgr¨oßen wie Freiheitsgrade und k¨onnen die L¨osung der Bewegungsgleichungen finden.

96

Wir dr¨ ucken zun¨achst φ˙ und ψ˙ durch die Erhaltungsgr¨oßen aus:   Pψ = I3 ψ˙ + φ˙ cos θ
Pφ = I10 sin2 θ + I3 cos2 θ φ˙ + I3 ψ˙ cos θ Pφ − Pψ cos θ ⇒ φ˙ = I10 sin2 θ Pψ ψ˙ = − φ˙ cos θ . I3 Dies wird in den Ausdruck f¨ ur die Energie eingesetzt:     2  1 0 2 2 2 ˙ ˙ ˙ ˙ E = T +V = I θ + φ sin θ + I3 ψ + φ cos θ + Mgl cos θ 2 1 (Pφ − Pψ cos θ)2 1 0 ˙2 Pψ2 Iθ + + Mgl + − Mgl (1 − cos θ) . = 2 1 2I3 2I10 sin2 θ {z } |

(5.73) (5.74) (5.75) (5.76)

(5.77)

≡Uef f (θ)

Weil E eine Erhaltungsgr¨oße ist, ist auch

Pψ2 1 − Mgl = I10 θ˙2 + Uef f (θ) E ≡E− 2I3 2 0

(5.78)

eine Erhaltungsgr¨oße. Der Ausdruck f¨ ur E 0 ist der eines gew¨ohnlichen eindimensionalen Problems mit der Variablen θ und dem Potenzial Uef f . Wir diskutieren die Dynamik des Kreisels im Folgenden qualitativ jund in mehreren Schritten. Es ist E 0 > Uef f . Wenn Pφ 6= Pψ ist: limθ→0 Uef f = limθ→π Uef f = ∞ Definiere u(t) = cos θ(t). Dann ist θ˙2 =

u˙ 2 1 − u2

und u˙ 2 = f (u) mit

 
2E 0 2Mgl(1 − u) (Pφ − Pψ u)2 f (u) = 1 − u + − I10 I10 I102 2

u ∈ [−1, 1] und f (u) ≥ 0 .

– u = 1 entspricht Pφ = Pψ und u˙ = 0 (stehender Kreisel) – u = −1 bedeutet Pφ = −Pψ und u˙ = 0 (h¨angender Kreisel) 97

(5.79)

– −1 < u < 1: schiefer Kreisel f (u) ist positiv zwischen zwei Werten u1 , u2 ∈]−1, 1[ Also bewegt sich θ(t) zwischen zwei Werten θ1 und θ2 . Betrachte

(mit u0 =

Pψ ) Pφ

Pφ u 0 − u φ˙ = 0 I1 1 − u2

zus¨atzlich zu θ˙ bzw. u: ˙ Man muss 3 F¨alle unterscheiden, je nachdem wie u0 relativ zu u1 und u2 liegt: 1. u0 > u2 (bzw. u0 < u1 ): ⇒ φ˙ hat stets dasselbe Vorzeichen. Die Bewegung des Durchstoßpunktes der x3 Achse durch eine Kugelschale sieht folgendermaßen aus:

2. u1 < u0 < u2 ⇒ φ˙ hat am oberen Breitengrad ein anderes Vorzeichen als am unteren:

3. u0 = u1 oder u0 = u2

98

φ˙ verschwindet an einem Breitenkreis.

99

Kapitel 6 Elastizit¨ atstheorie W¨ahrend wir im vorigen Kapitel Bewegungen eines starren K¨orpers betrachtet haben, der sich nicht deformiert, behandeln wir in diesem Kapitel Deformationen fester K¨orper. Wir fassen den festen K¨orper als Kontinuum auf. In den folgenden Abschnitten werden wir zun¨achst die Grundlagen legen und den Verzerrungs- und den Spannungstensor und die elastischen Module einf¨ uhren, bevor wir dann verschiedene Arten von Verformungen und Schwingungen behandeln.

6.1

Der Verzerrungstensor

Bei einer Deformation a¨ndern im Allgemeinen s¨amtliche Punkte eines K¨orpers ihre Lage. Wir bezeichnen mit dem Verschiebungsvektor ~u = ~x0 − ~x

(6.1)

die Verschiebung eines K¨orperpunktes durch die Deformation. ~x ist seine Position vor der Deformation, ~x0 ist seine Position nach der Deformation. Der Verschiebungsvektor ist an verschiedenen Stellen des K¨orpers verschieden und ist daher eine Funktion von ~x. Die Vorgabe des Vektors ~u als Funktion von ~x bestimmt vollst¨andig die Deformation des K¨orpers. Wir betrachten als n¨achstes die Ver¨anderung des Abstands zweier infinitesimal benachbarter Punkte unter der Deformation. Vor der Deformation war er q dl = dx21 + dx22 + dx23 und nach der Deformation ist er

0

dl =

q

02 02 dx02 1 + dx2 + dx3 .

Wir verwenden wieder die Summenkonvention, d.h. wir summieren u ¨ber alle in einem Ausdruck doppelt auftretenden Indizes, und schreiben daher dl2 = dx2i ,

2 dl02 = dx02 i = (dxi + dui ) .

100

Wir machen nun die Substitution dui =

∂ui dxk ∂xk

und erhalten dl02 = dl2 + 2uik dxi dxk , wobei der Tensor uik durch die Gleichung   1 ∂ui ∂uk ∂ul ∂ul uik = + + 2 ∂xk ∂xi ∂xi ∂xk

(6.2)

(6.3)

definiert ist. Der Tensor uik heißt Verzerrungstensor. Aus seiner Definition ist ersichtlich, dass er symmetrisch ist, d.h. es ist uik = uki. Wie jeden symmetrischen Tensor kann man uik in einem beliebig vorgegebenen Punkt auf Diagonalform bringen. Man muss nat¨ urlich im Auge behalten, dass der in einem vorgegebenen Punkt diagonalisierte Tensor in allen u ¨brigen Punkten des K¨orpers im Allgemeinen nicht diagonal ist. Wenn der Verzerrungstensor im gegebenen Punkt diagonalisiert ist, dann hat das L¨angenelement (6.2) in der Umgebung des Punktes die folgende Form dl02 = (δik + 2uik )dxi dxk = (1 + 2u(1) )dx21 + (1 + 2u(2) )dx22 + (1 + 2u(3) )dx23 .

(6.4)

Hierbei sind u(1) , u(2) und u(3) die drei Diagonalelemente (Hauptwerte) des Verzerrungstensors. Dieser Ausdruck zerf¨allt in drei voneinander unabh¨angige Terme. Das bedeutet, dass ¨ man die Deformation in jedem Volumenelement des K¨orpers als Uberlagerung dreier voneinander unabh¨angiger Deformationen in drei zueinander orthogonalen Richtungen, den Hauptachsen des Verzerrungstensors, betrachten kann. Jede dieser Deformationen stellt eine einfache Dehnung oder Kompression in der entsprechenden Richtung dar. Die Deformationen des K¨orpers sind praktisch fast in allen F¨allen klein, d.h. die ¨ Anderung eines beliebigen Abstands im K¨orper bleibt im Vergleich zum Abstand selbst stets klein. Dies bedeutet, dass auch alle Komponenten des Verzerrungstensors klein sind. Dagegen kann der Verschiebungsvektor selbst in einigen F¨allen trotz kleiner Deformation große Werte annehmen. So erfahren zum Beispiel die Enden eines langen, d¨ unnen Stabs beim Verbiegen des Stabs eine wesentliche r¨aumliche Verschiebung, w¨ahrend die Dehnung und Kompression im Inneren des Stabs klein bleiben. Dies ist dadurch m¨oglich, dass der Stab d¨ unn ist bezogen auf seine L¨ange. Aber in K¨orpern, deren Maß in keiner Richtung besonders klein ist, kann kein Teil eine starke r¨ umliche Verschiebung erfahren, ohne dass im K¨orper starke Dehnungen und Kompressionen auftreten. Wir beschr¨anken uns zun¨achst auf K¨orper, die in allen Richtungen eine a¨hnlich große Ausdehnung haben. In ihnen ist ui bei kleinen Deformationen klein, und wir k¨onnen das letzte Glied in (6.3) vernachl¨assigen. Somit ist der Verzerrungstensor bei kleinen Deformationen durch den Ausdruck   ∂uk 1 ∂ui + (6.5) uik = 2 ∂xk ∂xi 101

¨ gegeben. Die relativen Anderungen der L¨angenelemente in Richtung der Hauptachsen des Verzerrungstensors (im gegebenen Punkt) sind jetzt, bis auf Glieder h¨oherer Ordnung, p 1 + 2u(i) − 1 ' u(i) ,

d.h. sie sind gleich den Hauptwerten des Vezerrungstensors. ¨ Wir betrachten zum Schluss die Anderung eines kleinen Volumens bei der Deformation. Das Volumenelement dV besteht aus dem Produkt dx1 dx2 dx3 . Nach der Deformation betr¨agt es dV 0 = dV (1 + u(1) )(1 + u(2) )(1 + u(3) ) . Bei Vernachl¨assigung der Glieder h¨oherer Ordnung folgt hieraus dV 0 = dV (1 + u(1) + u(2) + u(3) ) . Die Summe der drei Hauptwerte des Tensors ist gleich der Summe der Diagonalelemente uii = u11 + u22 + u33 unabh¨angig vom Koordinatensystem. Wir haben daher dV 0 = dV (1 + uii ) .

(6.6)

Die Summe der Diagonalelemente des Verzerrungstensors stellt also die relative Volumen¨anderung (dV 0 − dV )/dV dar.

6.2

Der Spannungstensor

Eine Deformation bringt den K¨orper aus seinem Gleichgewicht, und es entstehen Kr¨afte, die ihn in den Gleichgewichtszustand zur¨ uckzuversetzen suchen.Diese bei der Deformation auftretenden Kr¨afte nennt man innere Spannungen. Die Kr¨afte, die die inneren Spannungen bewirken, sind in der Elastizit¨atstheorie Nahwirkungskr¨afte, d.h. sie werden von einem bestimmten Punkt aus nur auf die n¨achsten Nachbarn u ¨bertragen. Hieraus folgt, dass die von einem Teil des K¨orpers von den benachbarten Teilen gerichteten Kr¨afte nur u ¨ber die Oberfl¨ache dieses Teils wirken k¨onnen. Wir betrachten jetzt die auf einen bestimmten Teil des K¨orpers wirkende resultierende Kraft, Z F~ dV ,

wobei F~ die auf eine Volumeneinheit wirkende Kraft ist, so dass auf das Volumenelement dV die Kraft F~ dV einwirkt. Andererseits k¨onnen die Kr¨afte, mit denen die verschiedenen Teile innerhalb des Teilvolumens aufeinander wirken keine von Null verschiedene Resultierende bilden, da sie infolge der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung (3. Newtonsches Gesetz) sich gegenseitig kompensieren. Die auf ein Teilvolumen wirkende Gesamtkraft kann man daher als Summe derjenigen Kr¨afte betrachten, die aus seiner Umgebung auf das Teilvolumen einwirken. Wie wir aber oben schon erw¨ahnt haben, wirken diese Kr¨afte auf das betrachtete Teilvolumen u ¨ber seine Oberfl¨ache. Die resultierende Kraft kann daher als die Summe der auf jedes Oberfl¨achenelement wirkenden Kr¨afte, also 102

als ein Integral u ¨ber diese Oberfl¨ache dargestellt werden. Damit kann jede der drei KomR ponenten Fi dV der Resultierenden aller inneren Kr¨afte eines beliebigen Volumens in ein Integral u ¨ ber die Oberfl¨ache dieses Volumens umgewandelt werden. Der Vektor Fi muss daher als Divergenz eines Tensors zweiten Ranges darstellbar sein: Fi =

∂σik . ∂xk

(6.7)

Dann kann die auf ein Volumen wirkende Kraft als ein Integral u ¨ber eine das Volumen umspannende geschlossene Fl¨ache dargestellt werden: Z Z I ∂σik Fi dV = dV = σik dfk , (6.8) ∂xk wobei dfi die Komponenten des Fl¨achenelements sind, also eines Vektors, der stets in der Richtung der a¨ußeren Normalen der Fl¨ache liegt. Der Tensor σik heißt Spannungstensor. Wie man aus (6.8) ersieht, ist σik dfk die i-te Komponente der auf das Fl¨achenelement df wirkenden Kraft. Wir zeigen im Folgenden, dass der Spannungstensor symmetrisch ist. Dazu bestimmen ~ Seine erste Kompowir das auf ein Teilvolumen des K¨orpers wirkende Drehmoment D. nente ist  Z Z  ∂σ2l ∂σ3l x2 − x3 dV D1 = (x2 F3 − x3 F2 )dV = ∂xl ∂xl  Z Z  ∂(σ3l x2 − σ2l x3 ) ∂x2 ∂x3 = dV − σ3l − σ2l dV ∂xl ∂xl ∂xl I Z = (σ3l x2 − σ2l x3 )dfl − (σ32 − σ23 )dV . (6.9) Da das Drehmoment nur an der Oberfl¨ache des betrachteten Volumens angreifen kann, muss der zweite Term verschwinden. F¨ ur die anderen beiden Komponenten des Drehmoments erhalten wir ein entsprechendes Ergebnis. Wir kommen also zum Ergebnis σik = σki ,

(6.10)

d.h. der Spannungstensor ist symmetrisch. Wenn der K¨orper gleichm¨aßig von allen Seiten komprimiert wird (hydrostatische Kompression), kann der Ausdruck f¨ ur den Spannungstensor leicht hingeschrieben werden. Bei einer solchen Kompression wirkt auf jede Oberfl¨acheneinheit des K¨orpers dem Betrag nach der gleiche Druck, der entlang der Normalen zur Oberfl¨ache in das Innere des K¨orpervolumens gerichtet ist. Wenn man diesen Druck mit p bezeichnet, wirkt auf das Oberfl¨achenelement dfi die Kraft −pdfi . Andererseits muss diese Kraft, durch den Spannungstensor ausgedr¨ uckt, die Form σik dfk aufweisen. Also hat der Spannungstensor bei einer hydrostatischen Kompression folgendes Aussehen: σik = −pδik . 103

(6.11)

Alle seine von Null verschiedenen Komponenten sind einfach dem Druck gleich. Im allgemeinen Fall beliebiger Deformation sind auch die nichtdiagonalen Komponenten des Spannungstensors von Null verschieden. Dies bedeutet, dass auf jedes Oberfl¨achenelement im Innern des K¨orpers neben der Normalkraft noch Tangenzialkr¨afte wirken, die parallele Oberfl¨achenelemente relativ zueinander zu verschieben suchen. Im Gleichgewichtszustand m¨ ussen sich die Kr¨afte der inneren Spannungen in jedem Volumenelement des K¨orpers kompensieren, d.h. es muss gelten Fi = 0. Die Gleichung f¨ ur den Gleichgewichtszustand eines deformierten K¨orpers lautet somit ∂σik = 0. ∂xk

(6.12)

Wenn sich der K¨orper im Schwerefeld befindet, muss die Summe aus den Kr¨aften der inneren Spannungen und der Schwerkraft pro Einheitsvolumen, F~ + %~g , verschwinden. Die Gleichgewichtsbedingungen haben in diesem Fall die Form ∂σik + %gi = 0 . ∂xk

(6.13)

Wenn es unmittelbar an der Oberfl¨ache angreifende ¨außere Kr¨afte gibt (sie sind gew¨ohnlich die Ursache der Deformation), so gehen sie in die Randbedingungen der Gleichgewichtsbe~ die auf die Oberfl¨acheneinheit des K¨orpers wirkende ¨außere Kraft, dingung ein. Es sei K ~ so dass auf das Oberfl¨achenelement df die Kraft Kdf wirkt. Im Gleichgewicht muss diese durch die Kraft −σik dfk , welche auf das gleiche Oberfl¨achenelement infolge der inneren Spannungen wirkt, kompensiert werden. Es muss daher gelten Ki df − σik dfk = 0 . Hieraus folgt, wenn man f¨ ur dfk den Ausdruck dfk = nk df einsetzt (~n ist der Einheitsvektor der ¨außeren Normalen zur Oberfl¨ache), σik nk = Ki .

(6.14)

Das ist die Bedingung, die auf der gesamten Oberfl¨ache des K¨orpers im Gleichgewichtszustand erf¨ ullt sein muss.

6.3

Deformationsenergie und Hookesches Gesetz

In diesem Teilkapitel berechnen wir einen Zusammenhang zwischen einer Deformation und den dadurch auftretenden inneren Spannungen. Wir gehen wieder davon aus, dass die Deformation klein ist, so dass wir in Potenzen des Verzerrungstensors entwickeln k¨onnen. Zun¨achst berechnen wir die Energie einer Deformation. Der K¨orper ¨andert seine innere Energie dadurch, dass durch die außen angreifenden Kr¨afte bei der Deformation Arbeit ¨ verrichtet wird. Wir bezeichnen mit δEdV die Anderung der inneren Energie in einem kleinen Teilvolumen dV des K¨orpers. Wir gehen weiterhin davon aus, dass die Energie¨anderung unabh¨angig von der Geschwindigkeit der Deformation ist, so dass wir eine 104

quasistatische (also unendlich langsame) Deformation annehmen d¨ urfen zur Berechnung der Energie¨anderung. Dann ist der K¨orper zu jedem Zeitpunkt im Gleichgewicht, und es gilt die Gleichung (6.12) im Inneren des K¨orpers und (6.14) an seiner Oberfl¨ache. Da die Kr¨afte an der Oberfl¨ache angreifen, erhalten wir damit den folgenden Ausdruck f¨ ur die Energie¨anderung des K¨orpers Z I I δEdV = Ki δui df = σik δui dfk Z Z ∂ ∂δui = (σik δui )dV = σik dV ∂xk ∂xk   Z Z 1 ∂δui ∂δuk + = σik dV = σik δuik dV . (6.15) 2 ∂xk ∂xi ¨ Beim Ubergang zur letzten Zeile haben wir die Symmetrie des Spannungstensors aus¨ gen¨ utzt. Also lautet der Zusammenhang zwischen der Anderung der inneren Energie und der Deformation dE = σik duik . (6.16) Dieses Ergebnis gilt, solange bei der Deformation keine W¨arme zwischen den verschiedenen Teilen des K¨orpers fließt, also f¨ ur eine adiabatische Deformation. Wenn W¨arme fließt, m¨ ussen wir auf der rechten Seite den aus der Thermodynamik bekannten Term T dS addieren, wobei S die Entropie (pro Volumen) ist. Wenn der K¨orper immer auf ¨ konstanter Temperatur bleibt, beschreibt (6.16) nicht die Anderung der inneren Energie, ¨ sondern die Anderung der freien Energie dF = d(E − T S). Im folgenden nehmen wir an, dass die Temperatur konstant ist und verwenden die freie Energie. Also gilt σik =

∂F . ∂uik

(6.17)

Dieses und alle folgenden Ergebnisse k¨onnen wir auf adiabatische Prozesse anwenden, wenn wir u ¨berall die freie Energie durch die innere Energie ersetzen und alle Module bei konstanter Entropie statt bei konstanter Temperatur definieren. Um einen Zusammenhang zwischen der freien Energie F und der Deformation zu bekommen, entwickeln wir F in Potenzen der uik . Da wir annehmen, dass die Deformationen klein sind, gen¨ ugt es, die f¨ uhrenden Terme dieser Entwicklung zu ber¨ ucksichtigen. Wir machen also den Ansatz F = F0 + aik uik + bijkl uik ujl mit Entwicklungskoeffizienten aik und bijkl . Die meisten dieser Koeffizienten verschwinden. Wegen ∂F aik = = σik |{ulm }=0 = 0 ∂uik {ulm }=0

verschwinden die linearen Terme. Wir betrachten ein isotropes Material, in dem also alle Richtungen gleichberechtigt sind. Von den quadratischen Termen bleiben dann nur diejenigen, die unter einem Wechsel des Koordinatensystems invariant sind. (F¨ ur Kristalle 105

werden die folgenden Ausdr¨ ucke komplizierter.) Es gibt nur zwei solche skalaren Terme zweiter Ordnung. Zun¨achst ist die Spur uii des Verzerrungstensors invariant unter Koordinatentransformationen, und folglich auch ihr Quadrat u2ii . Außerdem ist auch die Spur des Quadrats des Verzerrungstensors invariant unter Koordinatentransformationen, also der Ausdruck uik uki = u2ik . Wir erhalten somit den Ausdruck λ F = F0 + u2ii + µu2ik . 2

(6.18)

Dies ist der allgemeine Ausdruck f¨ ur die freie Energie eines deformierten isotropen K¨orpers. Die Gr¨oßen λ und µ nennt man Lam´e-Koeffizienten. Unter Verwendung der Beziehung (6.17) erhalten wir daraus den folgenden Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Verzerrungstensor: σik = 2µuik + λull δik . Statt der Lam´e-Koeffizienten werden meist der Kompressions- und der Schermodul verwendet, so dass wir den Ausdruck f¨ ur F im Folgenden auf diese beiden Parameter umschreiben. Eine reine Scherung ist eine Deformation ohne Volumen¨anderung, und die Spur des Verzerrungstensors verschwindet daher bei einer reinen Scherung. Der umgekehrte Fall ist eine mit einer Volumen¨anderung verbundene Deformation, bei der der K¨orper seine Form beibeh¨alt. Dabei wird der Abstand zweier Punkt in jeder Richtung und u ¨berall im K¨orper um den gleichen Faktor ge¨andert, und der Verzerrungstensor lautet uik = const·δik , er ist also proportional zur Einheitsmatrix. Wir haben eine solche Deformation schon unter dem Namen hydrostatische Kompression kennengelernt. Man nent sie auch homogene Dilatation. Jede Deformation kann als Summe einer reinen Scherung und einer homogenen Dilatation dargestellt werden,   1 1 (6.19) uik = uik − δik ull + δik ull . 3 3 Das erste Glied auf der rechten Seite stellt eine reine Scherung dar, da die Summe seiner Diagonalelemente verschwindet (δll = 3). Das zweite Glied beschreibt die homogene Dilatation. Wenn wir diese Zerlegung des Verzerrungstensors in den Ausdruck (6.18) einsetzen, erhalten wir 2  K 1 (6.20) F = µ uik − δik ull + u2ll . 3 2

Die Gr¨oßen K und µ nennt man Kompressionsmodul und Torsionsmodul (Schubmodul, Schermodul ). K h¨angt mit den Lam´e-Koeffizienten u ¨ ber folgende Gleichung zusammen 2 K = λ+ µ. 3

(6.21)

Der Kompressionsmodul und der Torsionsmodul sind stets positive Gr¨oßen. Dies folgt daraus, dass die freie Energie im thermodynamischen Gleichgewicht ein Minimum hat. In Abwesenheit von ¨außeren Kr¨aften muss dieses Minimum bei uik = 0 liegen. Die notwendige und hinreichende Bedingung hierf¨ ur ist die Positivit¨at von K und µ. 106

Zur Berechnung des Spannungstensors m¨ ussen wir die Ableitung ∂F/∂uik auswerten. Hierzu schreiben wir das totale Differenzial     1 1 dF = Kull dull + 2µ uik − δik ull d uik − δik ull . 3 3 Die Multiplikation der ersten Klammer im zweiten Glied mit δik liefert Null. Es bleibt daher der Ausdruck      1 1 dF = Kull dull + 2µ uik − δik ull duik = Kull δik + 2µ uik − δik ull duik . 3 3 Hieraus folgt f¨ ur den Spannungstensor   1 σik = Kull δik + 2µ uik − δik ull . 3

(6.22)

Dieser Ausdruck erlaubt die Bestimmung des Spannungstensors aus dem Verzerrungstensor im Fall isotroper fester K¨orper. Man sieht u.a., dass bei einer reinen Scherung oder einer reinen homogenen Dilatation die Beziehung zwischen den σik und uik allein durch den Torsions- bzw. Kompressionsmodul bestimmt wird. Wir k¨onnen auch umgekehrt den Verzerrungstensor durch den Spannungstensor ausdr¨ ucken. Dazu ben¨otigen wir die Summe der Diagonalelemente σii . Das zweite Glied in (6.22) verschwindet bei der Summation, und wir haben σii = 3Kuii oder uii =

1 σii . 3K

Diesen Ausdruck setzen wir in (6.22) ein und bestimmen hieraus die uik :   1 1 1 σik − δik σll . δik σll + uik = 9K 2µ 3

(6.23)

(6.24)

Aus Gleichung (6.23) ist ersichtlich, dass die relative Volumen¨anderung uii bei beliebiger Deformation eines isotropen K¨orpers nur von der Spur σii des Spannungstensors abh¨angt. Bei hydrostatischer Kompression des K¨orpers hat der Spannungstensor die Form σik = −pδik , und es folgt p uii = − . (6.25) K Wegen der Kleinheit der Deformation sind uii und K ebenfalls kleine Gr¨oßen, und wir k¨onnen das Verh¨altnis von relativer Volumen¨anderung zum Druck uii /p in der Form (1/V )(∂V /∂p)T schreiben. Somit haben wir   1 ∂V 1 =− . (6.26) K V ∂p T Dies ist die Kompressibilit¨at des K¨orpers. Nach (6.24) ist der Verzerrungstensor eine lineare Funktion des Spannungstensors. Die Deformation ist also proportional zu den angreifenden Kr¨aften. Dieses bei kleinen Deformationen geltende Gesetz heißt Hookesches Gesetz. 107

6.4

Homogene Deformationen

Bei homogenen Deformationen ist der Verzerrungstensor im gesamten Volumen des K¨orpers konstant. Folglich ist auch der Spannungstensor im gesamten Volumen konstant. Wir betrachten in diesem Teilkapitel K¨orper, die Zylinderform haben. Sie sind l¨angs der z-Achse orientiert, und ihr oberes und unteres Ende sind parallel zur x-y-Ebene. Am oberen und unteren Ende wird mit konstanter Kraft p pro Fl¨acheneinheit gezogen, so dass der K¨orper gestreckt wird. Wir betrachten nacheinander zwei verschiedene Randbedingungen f¨ ur die Seitenfl¨achen. Zuerst betrachten wir den Fall, dass die Seitenfl¨achen frei sind, d.h. dass keine Kraft auf sie wirkt. Anschließend betrachten wir den Fall, dass die Seitenfl¨achen fixiert sind, z.B. weil sie an den W¨anden eines Beh¨alters kleben. Wenn die Seitenfl¨achen frei sind, ist dort σik nk = 0. Der Einheitsvektor ~n steht senkrecht zur z-Achse, d.h. er besitzt nur die Komponenten nx und ny . Also ist σix = σiy = 0. Die einzige von Null verschiedene Komponente ist also σzz = p. Daraus erh¨alt man unter Verwendung von (6.24) den Verzerrungstensor. Die einzigen von Null verschiedenen Komponenten sind   1 p 1 1 uzz = p≡ + (6.27) 3 3K µ E und   1 1 1 − p ≡ −σuzz . (6.28) uxx = uyy = − 3 2µ 3K Hier haben wir den Elastizit¨atsmodul (Youngsche Zahl ) E=

9Kµ 3K + µ

(6.29)

und den Querkontraktionskoeffizienten (Poissonsche Zahl ) σ=

1 3K − 2µ 2 3K + µ

(6.30)

eingef¨ uhrt. Da K und µ positiv sind, muss σ im Bereich [−1, 1/2] liegen. Allerdings sind K¨orper mit σ < 0, d.h. deren Querdimension sich bei einer longitudinalen Dehnung vergr¨oßert, nicht bekannt. Die relative Volumen¨anderung des K¨orpers nach seiner Streckung ist uii = p

1 . 3K

(6.31)

Die freie Energie des gestreckten K¨orpers ist 1 p2 F = uzz σzz = . (6.32) 2 2E Im folgenden werden wir anstelle von K und µ, wie u ¨blich, die Koeffizienten E und σ benutzen. Die bisherigen allgemeinen Beziehungen lauten dann µ=

E , 2(1 + σ)

K=

E , 3(1 − 2σ) 108

λ=

Eσ , (1 − 2σ)(1 + σ)

(6.33)

  E σ 2 2 u , F = uik + 2(1 + σ) 1 − 2σ ll   E σ σik = uik + ull δik , 1+σ 1 − 2σ

(6.34) (6.35)

1 [(1 + σ)σik − σσll δik ] . (6.36) E Als n¨achstes betrachten wir die Kompression des Zylinders bei festgehaltenen Seitenw¨anden. Da der K¨orper nur in z-Richtung deformiert wird, ist von allen Komponenten des Verzerrungstensors nur uzz von Null verschieden. Daraus ergibt sich uik =

σxx = σyy = und σzz =

σE uzz (1 + σ)(1 − 2σ)

E(1 − σ) uzz = p (1 + σ)(1 − 2σ)

wobei p wieder die streckende Kraft pro Fl¨acheneinheit ist. Wir erhalten also uzz =

(1 + σ)(1 − 2σ) p. E(1 − σ)

(6.37)

Die Spannungen in Querrichtung des Zylinders sind σxx = σyy = p

σ . 1−σ

(6.38)

Schließlich erhalten wir f¨ ur die freie Energie den Ausdruck F = p2

6.5

(1 + σ)(1 − 2σ) . 2E(1 − σ)

(6.39)

Elastische Wellen im isotropen Medium

In einem elastischen Medium k¨onnen sich Wellen ausbreiten. Die mit der Welle einhergehenden Dehnungen und Kontraktionen laufen i.A. so schnell ab, dass man sie als adiabatisch ansehen kann. Wir verstehen in diesem Teilkapitel die elastischen Koeffizienten E und σ daher als adiabatische Koeffizienten. Um die Bewegungsgleichungen f¨ ur ein elastisches Medium zu erhalten, muss die Kraft der inneren Spannungen dem Produkt aus Beschleunigung und Dichte gleichgesetzt werden, ∂σik %¨ ui = . (6.40) ∂xk Wir m¨ ussen die rechte Seite durch den Verschiebungsvektor ~u ausdr¨ ucken. Zu diesem Zweck dr¨ ucken wir den Spannungstensor durch den Verzerrungstensor aus und ersetzen

109

diesen durch (6.5): Eσ E ∂uik ∂ull + (1 + σ)(1 − 2σ) ∂xi 1 + σ ∂xk  2   2  ∂ 2 ul Eσ ∂ ul E ∂ ui ∂ 2 uk + = + + 2(1 + σ)(1 − 2σ) ∂xi ∂xl ∂xi ∂xl 2(1 + σ) ∂x2k ∂xi ∂xk 2 2 E ∂ ui E ∂ ul = + (2σ + 1 − 2σ) . 2 2(1 + σ) ∂xk 2(1 + σ)(1 − 2σ) ∂xi ∂xl

%¨ ui =

Vektoriell geschrieben lautet diese Beziehung %~u¨ =

E E ∆~u + ∇(∇ · ~u) . 2(1 + σ) 2(1 + σ)(1 − 2σ)

(6.41)

Wir betrachten als erstes ebene Wellen. Mit dem Ansatz ~u = ~u0ei(kx−ωt) erhalten wir −%ω 2~u0 =

E E (−k 2 )~u0 + (−k 2 )(~u0 )x~ex . 2(1 + σ) 2(1 + σ)(1 − 2σ)

Wenn ~u0 parallel zur Ausbreitungsrichtung liegt, erhalten wir daraus ω2 E(1 − σ) ≡ c2l , = 2 k %(1 + σ)(1 − 2σ)

(6.42)

und wenn ~u0 senkrecht zur Ausbreitungsrichtung liegt, erhalten wir ω2 E ≡ c2t . = 2 k 2%(1 + σ)

(6.43)

Longitudinale und transversale Wellen haben also verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeit. Wegen σ > 0 ist √ c l > ct 2 d.h. die longitudinale Welle breitet sich schneller aus als die transversale. Auch allgemeine (d.h. nicht ebene) Wellen lassen sich in einen longitudinalen und einen transversalen Anteil zerlegen, die sich mit verschiedener Geschwindigkeit ausbreiten. Wir formen (6.41) um zu ~u¨ = c2t ∆~u + (c2l − c2t )∇(∇ · ~u) (6.44) und zerlegen ~u in einen longitudinalen und transversalen Teil, ~u = ~ul + ~ut , die den Beziehungen ∇ · ~ut = 0 (6.45) und ∇ × ~ul = 0 110

(6.46)

gen¨ ugen. Eingesetzt in (6.44) f¨ uhrt dies auf ~u¨l + ~u¨t = c2t ∆(~ul + ~ut ) + (c2l − c2t )∇(∇ · ~ul ) .

(6.47)

Wenn wir darauf die Divergenz anwenden, erhalten wir ∇(~u¨l − c2l ∆~ul ) = 0 . Da auch die Rotation des Ausdrucks in der Klammer verschwindet, muss der Ausdruck in der Klammer selbst verschwinden, und wir erhalten f¨ ur den longitudinalen Anteil die Wellengleichung ∂ 2~ul − c2l ∆~ul = 0 . (6.48) ∂t2 Analog wenden wir auf Gleichung (6.47) die Rotation an und erhalten ∇ × (~u¨t − c2t ∆~ut ) = 0 . Da die Divergenz des Ausdrucks in der Klammer verschwindet, muss der Ausdruck in der Klammer selbst verschwinden, und wir erhalten f¨ ur den transversalen Anteil die Wellengleichung ∂ 2 ~ut − c2t ∆~ut = 0 . (6.49) 2 ∂t

6.6

Oberfl¨ achenwellen

Als n¨achstes berechnen wir Oberfl¨achenwellen. Dies sind Wellen, die sich in der N¨ahe der K¨orperoberfl¨ache ausbreiten, ohne in das Innere des K¨orpers einzudringen. Wir beginnen mit der Wellengleichung ∂ 2~u − c2 ∆~u = 0 , (6.50) 2 ∂t wobei ~u eine transversale oder eine longitudinale Welle bezeichnet, und c die entsprechende Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die tats¨achliche Welle ist eine Linearkombination einer transversalen und einer longitudinalen Welle. Wenn wir die allgemeine L¨osung f¨ ur die transversale und longitudinale Welle gefunden haben, m¨ ussen wir sie so kombinieren, dass auch die Randbedingung an der Oberfl¨ache erf¨ ullt ist. Die Oberfl¨ache sei in der Ebene z = 0, und das K¨orperinnere sei bei z < 0. Wir machen den Ansatz einer monochromatischen Welle, die sich in x-Richtung ausbreitet, ~u = ei(kx−ωt) f~(z) . Wir werden sp¨ater sehen, dass die Randbedingung eine Beziehung zwischen k und ω vorgibt. Durch Einsetzen in die Wellengleichung erhalten wir   d2 f ω2 ~ 2 = k − 2 f (z) . dz 2 c 111

F¨ ur k 2 < ω 2 /c2 ist die L¨osung periodisch in z und kann daher keine Oberfl¨achenwelle beschreiben. Wir fordern daher k 2 > ω 2/c2 . Dann erhalten wir f¨ ur f~ L¨osungen der Form √2 2 2 f~(z) = const · ez k −ω /c . (Die L¨osungen mit einem Minuszeichen im Exponenten scheiden aus, da sie im K¨orper p 2 2 2 anwachsen statt abklingen). Wir setzen κ = k − ω /c und erhalten damit f¨ ur ~u ~u = ei(kx−ωt) eκz .

(6.51)

Die transversale und die longitudinale Welle haben hierbei verschiedene Werte f¨ ur κ. Im Folgenden bestimmen wir diejenige Linearkombination einer transversalen und einer longitudinalen Welle, die die Randbedingung an der Oberfl¨ache erf¨ ullt. An der freien Oberfl¨ache muss σik nk = 0 sein. Da ~n in z-Richtung zeigt, folgt hieraus σxz = σyz = σzz = 0 , und daraus ergibt sich uxz = 0 ,

uyz = 0 ,

σ(uxx + uyy ) + (1 − σ)uzz = 0 .

(6.52)

Da keine der Gr¨oßen von y abh¨angt, liefert die zweite Gleichung uyz =

1 ∂uy =0 2 ∂z

woraus wir mit Hilfe von (6.51) erhalten uy = 0 .

(6.53)

Der Verschiebungsvektor der Oberfl¨achenwelle liegt somit in einer Ebene, die zur Oberfl¨ache orthogonal ist. Die Divergenz des “Transversalanteils” der Welle, ~ut , muss verschwinden, ∂utx ∂utz + = 0. ∂x ∂z Wenn wir (6.51) einsetzen, wird daraus ikutx + κt utz = 0 . Wir k¨onnen daher schreiben utx = κt aeikx−κt z−iωt ,

utz = −ikaeikx−κt z−iωt

mit einer Konstanten a. Die Rotation des “Longitudinalanteils” der Welle, ~ul , muss verschwinden, ∂ulx ∂ulz − = 0. ∂z ∂x 112

(6.54)

Wenn wir (6.51) einsetzen, wird daraus ikulz + κl ulx = 0 . Wir k¨onnen daher schreiben ulx = kbeikx−κl z−iωt ,

ulz = −iκl beikx−κl z−iωt

(6.55)

mit einer Konstanten b. Jetzt ben¨ utzen wir die erste und dritte Randbedingung (6.52): ∂ux ∂uz + = 0, ∂z ∂x

c2l

∂ux ∂uz + (c2l − 2c2t ) = 0. ∂z ∂x

(6.56)

Hierin muss ux = ulx + utx ,

uz = ulz + utz

eingesetzt werden. Wir erhalten dann die Bedingungen a(k 2 + κ2t ) + 2bkκl = 0

(6.57)

und 2ac2t κt k + b[c2l (κ2l − k 2 ) + 2c2t k 2 ] = 0 .

Die letzte Gleichung dividieren wir durch c2l und setzen in sie κ2l − k 2 = −

2 ω2 2 2 ct = (k − κ ) t c2l c2l

ein. Sie erh¨alt dann die Form 2aκt k + b(k 2 + κ2t ) = 0 .

(6.58)

Aus (6.57) und (6.58) k¨onnen wir a und b eliminieren und erhalten (k 2 + κ2t )2 = 4k 2 κt κl oder, wenn man diese Gleichung quadriert und κt und κl durch ct und cl ausdr¨ uckt       4 ω2 ω2 ω2 = 16k 4 k 2 − 2 k2 − 2 . (6.59) 2k 2 − 2 ct ct cl

Aus dieser Gleichung erh¨alt man eine Beziehung zwischen ω und k. Wir machen den Ansatz ω = ct kξ (6.60) und erhalten f¨ ur ξ die Gleichung

    c2t c2t ξ − 8ξ + 8ξ 3 − 2 2 − 16 1 − 2 = 0 . cl cl 6

4

2

(6.61)

ξ muss positiv, reell und < 1 sein. Es gibt nur eine Wurzel, die diesen Bedingungen gen¨ ugt, so dass man zu jedem gegebenen ct /cl nur ein bestimmtes ξ erh¨alt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Oberfl¨achenwelle ist dann ct ξ, und das Amplitudenverh¨altnis des Trasversalteils und des Longitudinalteils l¨asst sich durch ξ ausdr¨ ucken als a 2 − ξ2 =− p . b 2 1 − ξ2 113

(6.62)

6.7

Longitudinalwellen in St¨ aben und Platten

Im Rest dieses Kapitels befassen wir uns mit Wellen in St¨aben und Platten. Zun¨achst betrachten wir longitudinale Wellen, bei denen der Verschiebungsvektor in Richtung der Stabachse bzw. in der Plattenebene liegt. Im n¨achsten Abschnitt betrachten wir dann Biegewellen von St¨aben, bei denen die Verschiebung senkrecht zur Stabachse ist. Betrachten wir zun¨achst Longitudinalwellen in einem Stab. Die longitudinale (im Stabquerschnitt homogene) Deformation eines Stabes, auf dessen Seitenfl¨achen keine ¨außeren Kr¨afte wirken, ist eine einfache Dehnung oder Kompression. Bei einer einfachen Dehnung ist nur die Komponente σzz des Spannungstensors von Null verschieden. (Die z-Achse liegt in der Stabachse.) Sie h¨angt mit dem Verzerrungstensor durch die Beziehung (6.27) σzz = Euzz = E

∂uz ∂z

(6.63)

zusammen. Setzt man diesen Ausdruck in die Bewegungsgleichung %¨ uz =

∂σzk ∂xk

ein, so erh¨alt man

∂ 2 uz % ∂ 2 uz − = 0. (6.64) ∂z 2 E ∂t2 Dies ist eine Wellengleichung, und aus ihr erh¨alt man die Ausbreitungsgeschwindigkeit s E (6.65) %

der Schwingung. Sie ist kleiner als die longitudinale Wellengeschwindigkeit (6.42) in unbegrenzten Medien. Dies liegt daran, dass im unbegrenzten Medium das Material bei Kompression in einer Richtung nicht in der dazu senkrechten Richtung ausweichen kann, was die R¨ uckstellkraft und damit die Wellengeschwindigkeit gr¨oßer macht. Wir betrachten jetzt Longitudinalwellen in d¨ unnen Platten. Die Platte sei in der xy-Ebene ausgedehnt. Auf der Ober- und Unterseite greifen keine Kr¨afte an, d.h. σiz = 0. Unter Verwendung der Gleichungen (6.35) und (6.36) k¨onnen wir die folgenden Rechenschritte durchf¨ uhren, um den Spannungstensor durch den Verzerrungstensor auszudr¨ ucken uxz = uyz = 0 , 2σ 1−σ 1+σ (σxx + σyy ) − (σxx + σyy ) = (σxx + σyy ) , uxx + uyy = E E E E σxx = (uxx + σuyy ) , 1 − σ2 E σyy = (uyy + σuxx ) , 1 − σ2 E uxy . σxy = 1+σ 114

Damit erhalten wir die Wellengleichungen ∂ 2 ux ∂ 2 uy E ∂ 2 ux E E ∂σxk ∂σxx ∂σxy + = + + , = ∂xk ∂x ∂y 1 − σ 2 ∂x2 2(1 + σ) ∂y 2 2(1 − σ) ∂x∂y ∂σyk ∂σyy ∂σxy E ∂ 2 uy E ∂ 2 uy E ∂ 2 ux = = + = + + (6.66) . ∂xk ∂y ∂x 1 − σ 2 ∂y 2 2(1 + σ) ∂x2 2(1 − σ) ∂x∂y

%¨ ux = %¨ uy

Wir untersuchen eine “ebene” Welle in Richtung der x-Achse, d.h. eine solche Welle, in der die Deformation nur von x abh¨angt. Die Gleichungen (6.66) vereinfachen sich dann sehr und nehmen die folgende Form an: ∂ 2 uy E ∂ 2 uy − = 0. ∂t2 2%(1 + σ) ∂x2

E ∂ 2 ux ∂ 2 ux − = 0, ∂t2 %(1 − σ 2 ) ∂x2

(6.67)

Wir haben somit wiederum einfache Wellengleichungen. Die Koeffizienten darin sind f¨ ur ux und uy verschieden. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle mit parallelen Schwingungen zur Ausbreitungsrichtung ist s E . (6.68) %(1 − σ)2 Dagegen ist die Geschwindigkeit der Welle (uy ) mit orthogonalen Schwingungen (die aber in der Plattenebene liegen) der Geschwindigkeit ct der Transversalwellen im unbegrenzten Medium gleich. Wir sehen also, dass die “Longitudinalwellen” in St¨aben und Platten den gleichen Charakter besitzen wie Wellen im unbegrenzten Medium und sich nur durch die Geschwindigkeit unterscheiden, welche nach wie vor nicht von der Frequenz abh¨angt.

6.8

Biegewellen in St¨ aben

Wir betrachten einen in z-Richtung orientierten Stab, der transversale Schwingungen in x-Richtung ausf¨ uhrt. Dadurch wird der Stab gebogen. Sei X(z) die Auslenkung der Stabachse aus ihrer Ruhelage, und sei R der durch die transversale Biegung entstandene Kr¨ ummungsradius an einer gegebenen Stelle. Ausgedr¨ uckt durch X ist er 1 ∂2X =− 2 . (6.69) R ∂z Wir betrachten St¨abe, die bei der Biegeschwingung nur wenig deformiert werden, so dass ihre Orientierung nur wenig von der z-Achse abweicht. Dann k¨onnen wir z immer auch als Koordinate l¨angs der Stabachse auffassen, so wie wir das in der letzten Formel gemacht haben. Sei x die Koordinate in Richtung X in einem in der Stabachse verankerten Koordinatensystem. Der Abstand dz zweier parallel zur Stabachse infinitesimal benachbarter Punkte ¨andert sich bei der Deformation zu  x 0 dz = 1 + dz , (6.70) R 115

und damit ist

x R ¨ ist die relative Anderung des Abstands in z-Richtung) und uzz =

(denn uzz

σzz =

x E. R

(6.71)

(6.72)

Wir suchen nun einen Ausdruck f¨ ur die Kraft, die auf ein gegebenes Stabelement in XRichtung wirkt. Diese Kraft kommt daher, dass die Dehnung uzz f¨ ur verschiedene Werte von x verschieden ist. Es greift daher ein Biegemoment Z Z E EIy (6.73) My = − xσzz df = − x2 df = − R R an der Querschnittsfl¨ache f an. My ist das Drehmoment der inneren Spannungskr¨afte, die im gegebenen Querschnitt wirken, und es zeigt bei unserer Wahl der Achsen (z in Richtung des Stabs und x in Richtung der Auslenkung) in negativer y-Richtung. Dabei ist Iy das Tr¨agheitsmoment der betrachteten Querschnittsfl¨ache. Nun betrachten wir eine infinitesimal d¨ unne Scheibe der Dicke dz des Stabs, die durch zwei Querschittsfl¨achen begrenzt wird. Das insgesamt an der Oberfl¨ache angreifende Biegemoment ist dann My (z + dz) − My (z) =

∂My dz , ∂z

(6.74)

wobei das Minuszeichen des zweiten Terms daher kommt, dass die linke Oberfl¨ache der ~ k¨onnen wir aber auch in der Scheibe in Richtung −z orientiert ist. Das Biegemoment dM Form ~ = d~z × F~ dM (6.75) schreiben, wobei F~ die Kraft ist, die auf die rechte Oberfl¨ache der Scheibe in Richtung x und auf die linke Oberfl¨ache in Richtung −x wirkt und damit das Drehmoment verursacht. Wir dividieren beide Seiten durch dz und erhalten dMy = Fx , dz

(6.76)

und durch nochmaliges Differenzieren wird dies zu d2 My dFx . = 2 dz dz

(6.77)

Der Ausdruck auf der rechten Seite ist das Negative der Kraft %f x¨ pro L¨angeneinheit, die den Stab in x-Richtung auslenkt, so dass wir unter Verwendung von (6.73) und (6.69) die Bewegungsgleichung 4 ¨ = −EIy d X %f X (6.78) dz 4 bekommen. Die L¨osung erhalten wir wieder mit dem Ansatz X = X0 ei(kz−ωt) . 116

(6.79)

Dies f¨ uhrt auf die Dispersionsrelation ω=

s

EIy 2 k %f

(6.80)

und die Ausbreitungsgeschwindigkeit v=

dω =2 dk

s

117

EIy k. %f

(6.81)