Rearrangement relatif: Un instrument d'estimations dans les problemes aux limites (Mathematiques et Applications)

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Jean-Michel Rakotoson

R´earrangement Relatif Un instrument d’estimations dans les probl`emes aux limites

123

Jean-Michel Rakotoson Laboratoire d’Applications des Math´ematiques Universit´e de Poitiers Boulevard Marie et Pierre Curie T´el´eport 2, BP 30179 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex France [email protected]

Library Congress Control Number: 2008928565

Mathematics Subject Classification (2000): 46E30, 46E35, 42B25, 35B45, 35B65, 35B50, 35J20, 35K65, 35J70, 35K55, 82D10

ISSN 1154-483X ISBN-10 3-540-69117-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-69117-4 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation r´eserv´es pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destin´ees a` une utilisation collective. Toute repr´esentation, reproduction int´egrale ou partielle faite par quelque proc´ed´e que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefac¸on sanctionn´ee par les articles 425 et suivants du Code p´enal. Springer est membre du Springer Science+Business Media c
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Je d´edie ce livre `a ma grande famille, a` tous mes professeurs de Math´ematiques, et en particulier a` la m´emoire de Fran¸cois Razanamparany.

Avant-propos

Je remercie avant tout mes deux enseignants, le Professeur Roger Temam et Madame Jacqueline Mossino, qui sont les premiers a` ´etudier la d´eriv´ee directionnelle du r´earrangement monotone et qui m’ont donn´e cette opportunit´e de m’initier a` cette notion qu’ils ont bˆ aptis´ee r´earrangement relatif. Ils ´etaient aussi mes co-auteurs dans l’´etude de plusieurs propri´et´es d´emontr´ees aux chapitres 2, 3, et 9. Que mes diff´erents collaborateurs trouvent ici ma profonde reconnaissance, en particulier Idelfonso D´ıaz de l’Universit´e Complutense de Madrid, qui a apport´e un merveilleux probl`eme issu de la physique des plasmas. Ce mod`ele li´e aux machines dites “Stellarator” a pos´e plusieurs questions ouvertes sur le r´earrangement relatif. Cela m’a conduit a` plusieurs d´eveloppements des propri´et´es du r´earrangement relatif en particulier les r´esultats du chapitre 7. Il en est de mˆeme du professeur Denis Serre de l’Ecole Normale Sup´erieure de Lyon, qui m’a soumis le probl`eme multicontrainte donn´e en exemple `a l’introduction du chapitre 8. Ce probl`eme a permis de d´evelopper une belle application de la notion du r´earrangement relatif expos´ee dans ce chapitre. Enfin, je termine mes remerciements au Professeur Marisa Seosane de l’Universit´e de Santiago de Compostella (Saint Jacques de Compostelle) avec qui j’ai ´ecrit plusieurs articles dont certains r´esultats sont dans ce livre, et `a tous mes amis et collaborateurs italiens dont le Professeur Alberto Fiorenza de Naples, qui a introduit les petits espaces de Sobolev qui ont donn´e naissance a des applications des in´egalit´es ponctuelles pour le r´earrangement relatif. ` J’adresse un merci particulier a` Abdallah El Hamidi qui a bien voulu relire mon manuscrit et `a Catherine Falaise-Bougant pour la mise en forme de ce document. Les remarques des r´ef´er´es anonymes m’ont permis d’am´eliorer le texte, qu’ils trouvent ici toute ma reconnaissance. J’exprime toute ma gratitude a` Bernard Saramito et aux ´editeurs de la collection pour avoir accept´e ce livre dans cette s´erie. Juillet 2007

Poitiers, Jean Michel Rakotoson

Pr´ eface

Quand on parle des inclusions de Sobolev, la plupart du temps on pense a` celles associ´ees aux espaces de Lebesgue. Les techniques pour obtenir les in´egalit´es associ´ees ou correspondantes sont fond´ees soit sur une repr´esentation int´egrale de la fonction a` estimer (c’est la m´ethode originelle de Sobolev (voir les livres de Gilbard-Trudinger [68])), soit sur l’usage de l’in´egalit´e de Gagliardo-Nirenberg (voir les livres de Br´ezis [24] ou de Adams [1] ou de J.E. Rakotoson -J.M. Rakotoson [88]). Quand on essaie de passer a` des espaces plus g´en´eraux comme les espaces de Lorentz, les espaces de Birnbaum-Orlicz, les espaces de Zygmund Lβ (Log L)α ou tout autre espace norm´e comme celui r´ecemment introduit par Alberto Fiorenza [60] : les petits espaces de Lebesgue, ces techniques usuelles pour obtenir les inclusions de Sobolev classiques ne sont plus facilement adaptables pour prouver les inclusions de Sobolev associ´ees `a ces espaces. Ici, on propose des in´egalit´es ponctuelles qui lient une fonction et son gradient. Ces in´egalit´es s’av`erent ˆetre la racine de nombreuses in´egalit´es de type Sobolev associ´ees `a des espaces norm´es, c’est `a dire si ρ, ρ0 sont deux normes, W 1 (Ω, ρ) un espace de Sobolev associ´e `a la norme ρ, L(Ω, ρ0 ) l’espace norm´e associ´e `a ρ0 , on donne des conditions (appel´ees indices d’inclusion) pour que W 1 (Ω, ρ) ⊂ L(Ω, ρ0 ) avec une inclusion “continue”. Outre les inclusions de Sobolev, on montrera que ces in´egalit´es conduisent aussi `a des in´egalit´es d’interpolation de type Gagliardo-Nirenberg. Un autre avantage de la m´ethode que nous allons pr´esenter, est de pouvoir estimer les constantes qui apparaissent dans ces in´egalit´es. Voici un exemple d’in´egalit´e fr´equemment utilis´ee que nous red´emontrons : si Ω est un ouvert born´e de IR2 , alors pour tout ´el´ement u ∈ H01 (Ω) on a |u|L4 (Ω)



 14 1 1 1 |u|L2 2 (Ω) |∇u|L2 2 (Ω) , π

ou encore, nous montrerons que pour des espaces W 1 (Ω, ρ) qui s’injectent dans l’ensemble des fonctions continues on a :

X

Pr´eface 1−

1

α N osc u
N ρB(x,r) (∇u) αN −1 B(x,r)∩Ω o` u αm d´esigne la mesure de la boule unit´e de IRm , ρB(x,r) d´esigne la restriction de la norme ρ aux applications d´efinies sur la boule B(x, r) de centre x et de rayon r > 0. Dans le cas particulier des espaces de Lorentz, un tel r´esultat a ´et´e d´emontr´e par E.M. Stein [118], mais sans l’estimation de la constante. Sa m´ethode est bas´ee sur une repr´esentation int´egrale de la fonction u et l’usage de la th´eorie des op´erateurs du type faible (voir le livre de Bennett-Sharpley [17]). Pour obtenir ces pr´ecisions dans les estimations nous avons class´e les fonctions que nous ´etudions, en trois grandes cat´egories selon leurs conditions au bord du domaine Ω : 1. Les fonctions a` trace nulle 2. Les fonctions a` trace partiellement nulle 3. Les fonctions a` trace quelconque Ces in´egalit´es ponctuelles peuvent ˆetre obtenues dans les probl`emes aux limites. Ce qui conduit a` des th´eor`emes de r´egularit´e pour les espaces norm´es i.e. on peut r´epondre partiellement a` la question : si f appartient a` un espace norm´e L(Ω, ρ) que peut-on dire de la solution u? Pour des raisons de clart´e, nous avons souvent illustr´e ces r´esultats en choisissant les espaces de Lorentz et de Lebesgue suivant les conditions aux limites (1) ou (2) ou (3) pr´ec´edentes. On peut les remplacer par les espaces cit´es ci-dessus ou par tout autre espace norm´e dont la norme v´erifie certaines propri´et´es. L’obtention de ces in´egalit´es ponctuelles se fait par l’interm´ediaire du r´earrangement monotone et relatif dont les d´efinitions et propri´et´es sont introduites au chapitres 1 et 2. L’un des principaux avantages de ces r´earrangements est que ce sont des transformations qui envoient l’ensemble des fonctions mesurables L0 (Ω) dans l’ensemble des fonctions mesurables sur un intervalle de mˆeme mesure Ω∗ =]0, |Ω| [ en conservant certaines “qualit´es” de la fonction d’origine. Ces propri´et´es de conservation sont illustr´ees par les propri´et´es d’´equimesurabilit´e pour le r´earrangement monotone, les in´egalit´es ponctuelles du type Poly` a-Sz¨ego, du chapitre 3 ou encore les op´erateurs moyennes pour le r´earrangement relatif. Au chapitre 4, on ´etablit alors les in´egalit´es ponctuelles r´esultant des formules int´egrales de Fleming-Rishel, des in´egalit´es isop´erim´etriques et les propri´et´es des r´earrangements monotones et relatifs. On les applique aux inclusions non classiques et aux interpolations. Au chapitre 5, on aborde la question d’estimations ponctuelles pour des probl`emes aux limites telles les ´equations quasilin´eaires, les ´equations relevant de la physique des plasmas pour une machine dite Tokamak.

Pr´eface

XI

Certains probl`emes de la physique se mod´elisent en utilisant directement ces outils de r´earrangements monotones et relatifs. Ce qui est assez naturel puisque le r´earrangement monotone est l’inverse de la fonction “volume” des ensembles de niveau. Une illustration graphique est donn´ee `a la fin du premier chapitre. Quant a` la notion de r´earrangement relatif, d’une fonction b par rapport a` une autre fonction u, son interpr´etation d´epend de u, si u est une fonction ´etag´ee par exemple, alors la r´earrang´ee de v par rapport a` u est une fonction d´efinie par morceaux obtenue en consid´erant les r´earrangements monotones des restrictions de v aux plateaux de u. Par contre si u est “r´eguli`ere”, alors la fonction r´earrang´ee de v par rapport a` u est une moyenne pond´er´ee de v sur une surface de niveau de u. Une illustration graphique est donn´ee `a la fin du chapitre 2. Pour r´esoudre ces probl`emes o` u interviennent le r´earrangement monotone et sa d´eriv´ee premi`ere, nous avons repris les th´eor`emes de Coron-AlmgremLieb mais en les exposant autrement. Certaines preuves sont donc diff´erentes de celles originellement donn´ees par leurs auteurs, c’est l’objet du chapitre 6. Quant au chapitre 7, il r´epond aux mˆemes interrogations que le chapitre 6 mais pour le r´earrangement relatif qui intervient dans le cadre des mod`eles de la physique des plasmas relevant d’une machine Stellarator. Nous donnons quelques uns de ces mod`eles dits non locaux au chapitre 8 en utilisant un cadre abstrait. Tout ce qui a ´et´e d´ecrit pr´ec´edemment s’adapte aux cas d’une famille de fonctions param´etr´ees, par exemple, les fonctions d´ependant du param`etre temps. C’est l’objet du chapitre 9 o` u nous montrons que le r´earrangement relatif peut servir a` l’´etude de la r´egularit´e en temps du r´earrangement monotone d’une famille de fonctions. Comme dans le cas des probl`emes stationnaires, on peut obtenir des estimations ponctuelles pour ces fonctions param´etr´ees. Nous illustrons cela pour des ´equations quasilin´eaires et un syst`eme d’´equations relevant d’un syst`eme Chemotaxis. Puisque ce cours a ´et´e propos´e en partie en D.E.A. de math´ematiques `a l’Universit´e de Poitiers, nous proposons au chapitre 10 quelques exercices et des solutions ou indications de solutions au chapitre 11. Remarques pr´ eliminaires Nous avons opt´e de num´eroter les th´eor`emes, lemmes, corollaires, propositions comme suit : de gauche `a droite, lire le num´ero du chapitre ensuite vient le num´ero du paragraphe et le nombre le plus a` droite est le num´ero du th´eor`eme, lemme, corollaire ou proposition. On utilisera des symboles abr´eg´es : - p.p. ou pp pour signifier presque partout - t.q. ou tq signifient tel que (ou telle que, tels que. . . )

Table des mati` eres

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Pr´ eface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Index de symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2

3

Motivations et g´ en´ eralit´ es sur le r´ earrangement monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Les in´egalit´es de Hardy-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Etude de la continuit´e de u → u∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Espaces fonctionnels li´es au r´earrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Th´eor`eme de Ryff et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Construction du r´earrangement monotone d’une fonction u en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´ earrangement relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Calcul d’une d´eriv´ee directionnelle : le r´earrangement relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propri´et´es imm´ediates du r´earrangement relatif . . . . . . . . . . . . . 2.3 Op´erateurs moyennes de premi`ere esp`ece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Op´erateurs moyennes de seconde esp`ece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Formules int´egrales pour une fonction de deux variables et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Applications des op´erateurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Construction d’un r´earrangement relatif d’une fonction v par rapport a` une fonction u en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5 6 11 16 21 25 27 31 32 42 47 49 51 54 56

In´ egalit´ es du type Poly` a-Sz¨ ego et r´ egularit´ e du r´ earrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1 Continuit´e s → u∗ (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

XIV

Table des mati`eres

3.2 Formule de Fleming-Rishel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Continuit´e locale absolue du r´earrangement monotone . . . . . . . . 3.4 R´earrangements sph´eriques et in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 In´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego ponctuelles pour le α-r´earrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 67 75 79

4

In´ egalit´ es ponctuelles et inclusions g´ en´ eralis´ ees de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1 In´egalit´es ponctuelles pour le r´earrangement relatif . . . . . . . . . . 84 4.2 Inclusions de type g´en´eral : applications aux espaces de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3 Indice g´en´eral d’inclusions pour les fonctions a` trace nulle . . . . 91 4.4 Inclusions de Poincar´e-Sobolev-Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4.1 Cas des fonctions `a trace nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4.2 Cas des fonctions nulles sur une partie du bord . . . . . . . . 99 4.4.3 Indice g´en´eral d’inclusion des fonctions a` trace 1 quelconque dans W 1− p ,p (∂Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.5 Calcul d’indices d’inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.6 In´egalit´es d’interpolation pour un espace norm´e g´en´eral . . . . . . 111

5

Formalisme d’estimations pour les probl` emes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1 Quelques lemmes pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2 Estimations ponctuelles pour des ´equations quasilin´eaires . . . . . 117 5.2.1 Cas des probl`emes de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.2.2 Cas des probl`emes Neumann-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.3 Cas des ´equations de Neumann homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4 Un probl`eme de valeurs propres non lin´eaires en physique des plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.5 Quelques remarques subsidiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6

Continuit´ e de l’application d´ eriv´ ee du r´ earrangement monotone : u → u
∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.1 Quelques r´esultats g´en´eraux : convergence dans W 1,1 et longueur d’un arc de courbe d’une fonction monotone . . . . . . 137 6.1.1 Les I-fonctions et r´egularit´e globale du r´earrangement associ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.1.2 Longueur d’arc et propri´et´es inh´erentes . . . . . . . . . . . . . . 147 6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres et continuit´e de u ∈ W 1,p (Ω) (resp. W01,p (Ω)) → u∗ ∈ Lp (Ω∗ , k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.2.1 D´ecomposition d’une fonction de distribution et propri´et´es diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.2.2 D´efinition d’une fonction co-aire et continuit´e . . . . . . . . . 165

Table des mati`eres

XV

7

Continuit´ e forte de l’application r´ earrangement relatif : equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 u → b∗u et cons´ 7.1 Quelques formules auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.2 Approximation sp´eciale de b∗u pour u ∈ L1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 185 7.3 Convergence forte de la d´eriv´ee directionnelle u → u∗ . . . . . . . . 190

8

Quelques probl` emes li´ es au r´ earrangement relatif . . . . . . . . . . 195 8.1 Optimisation multicontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.1.1 Un th´eor`eme abstrait d’existence de multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.1.2 Une application concr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.2 Sur un probl`eme semilin´eaire abstrait et ses applications aux probl`emes nonlocaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.2.1 Th´eor`emes abstraits pour des probl`emes nonlocaux . . . . 206 8.2.2 Applications a` quelques probl`emes nonlocaux . . . . . . . . . 209

9

R´ earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl` emes d’´ evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.1 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions . . . . . . . . . . . . . 216 9.2 R´egularit´e en temps du r´earrangement u∗ (t, s) . . . . . . . . . . . . . . 217 ∂u∗ 9.3 Convergence et continuit´e pour u → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 ∂t 9.4 Applications aux estimations a priori et `a la r´egularit´e . . . . . . . 224 9.4.1 Un th´eor`eme abstrait d’existence et de r´egularit´e . . . . . . 224 9.4.2 Cas des ´equations quasilin´eaires paraboliques . . . . . . . . . 226 9.4.3 Cas particulier des ´equations lin´eaires   s : estimations s  ∂u   (t, σ)dσ et ponctuelles de |u|∗ (t, σ) . . . . . . . 231  ∂t  0 0 ∗ 9.5 Comportement, pour un temps long, d’un syst`eme d’´equations en Chemotaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10 Exercices et probl` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.2 Probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 11 Solutions ou indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 11.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 11.2 Probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 12 Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Litt´ erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 R´ esum´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Index de symboles

• • • • • • • •

• • •

IRN espace euclidien de dimension N . x · y produit scalaire euclidien. √ |x| = x · x norme euclidienne. V  ou V ∗ dual topologique d’un Banach V . < ., . > crochet de dualit´e entre V et son dual. V F (ou simplement F ) adh´erence de F dans V . CV F = F c compl´ementaire de F dans V . B(x, r) = {y : |x − y| < r} boule ouverte de centre x et de rayon r, B(0, r) = Br . S’il n’y a pas de confusion, on note de la mˆeme mani`ere la boule ferm´ee. B(0, 1) est appel´ee boule unit´e. |E| ou mes(E) mesure de Lebesgue d’un ensemble E. χ  caract´eristique de E.  E fonction f = f (x)dx int´egrale de f sur Ω par rapport a` la mesure de Ω

• • • • • •

Ω

Lebesgue. f ∗ g convolution de f et de g. ∂ d´eriv´ee partielle par rapport a` la variable x . i ∂xi   ∂f ∂f gradient de f . ∇f = ,··· , ∂x1 ∂xN α1 +α2 +···+αN Dα f = α1 ∂ α2 f, |α| = α1 + · · · + αN . ∂ x1 ∂ x2 · · · ∂ αN xN N  ∂2f ∆u = . ∂x2i i=1 Les espaces C k (Ω), C 0,α (Ω) et D(Ω)=Cc∞ (Ω) – C(Ω) = C 0 (Ω) = {v : Ω −→ IR continue} – supp (v)=support de v

2

Index de symboles

– C(Ω) = {u : Ω → IR born´ee, continue et qui peut ˆetre prolong´ee en une fonction continue sur Ω} – Pour k  1, k∈ IN , · C k (Ω) = v ∈ C k−1 (Ω), Dα v ∈ C(Ω), |α| = k

· C ∞ (Ω) = C k (Ω) k
0

· ·

•

Cc (Ω) = {v ∈ C(Ω) tel que le supp(v) = Ksoit un compact} = {v ∈ C(Ω) tel que v(x) = 0 sur Ω\K, K compact dans Ω} Cck (Ω) = Cc (Ω) ∩ C k (Ω), k  1

Soit Ω un ouvert born´e de IRN et 0 < α
1, on note  |v(x) − v(y)| 0,α C (Ω) = v ∈ C(Ω), sup < +∞ |x − y|α (x,y),x=y

 |v(x) − v(y)| muni de la norme v 0,α = |v|C(Ω) + sup . |x − y|α (x,y),x=y Les espaces Lp (Ω) 1
p
∞. Si 1
p < ∞, on note

  p p |v(x)| dx < +∞ . L (Ω) = v : Ω −→ IR mesurable tel que Ω

 p

La norme est not´ee |v|p =

|v(x)| dx

 p1 .

Ω

Si p = ∞, on note

L∞ (Ω) = {v : Ω −→ IR mesurable, ∃M > 0 t.q. |v(x)|
M p.p.} •

•

la norme est not´ee |.|∞ . Lp,q espace de Lorentz d’exposant p et q, |·|(p,q) une norme dans l’espace de Lorentz, |·|p,q quantit´e ´equivalente a` la norme |·|(p,q) .


L(p petit espace de Lebesgue. p La norme associ´ee est pour p = p−1 +∞ 1  (p−ε)

 1 (p−ε)
− p−ε inf ε gk dx , |g|(p
=  Inf g=

•

+∞ k=1

gk gk
0

k=1

0<ε
Ω

o` u (p − ε) est le conjug´e de p − ε. Espace dual D (Ω) = {L : D(Ω) → IR, lin´eaire continue }= espace des distributions 1 1
Lp (Ω) = Lp (Ω), + = 1, 1
p < +∞. p p

Index de symboles

3

•

Espaces de Sobolev W 1,p (Ω) Soit 1
p
∞, on note l’espace de Sobolev : W 1,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω), tel que pour i = 1, · · · , N , la d´eriv´ee distribution ∂u co¨ıncide avec une fonction gi de Lp (Ω)}. ∂xi

•

Fonctions ` a valeurs vectorielles – Si p est fini on note Lp (0, T ; V ) = {u : [0, T ] −→ V, est une fonction mesurable t.q. la p fonction t → |u(t)| soit Lebesgue int´egrable},  T p p |u(t)| dt la norme ´etant |u|Lp (0,T ;V ) = 0

– Si p est infini, alors on note L∞ (0, T ; V ) = {u : [0, T ] −→ V, t.q. l’application t → |u(t)| soit mesurable, sup ess |u(t)| soit fini}. t∈[0,T ]

la norme ´etant |u|L∞ (0,T ;V ) = sup ess |u(t)| . t∈[0,T ]

– C k ([0, T ]; V ) = {v ∈ C k−1 ([0, T ]; V ) t.q v (k) ∈ C([0, T ]; V )} – C ∞ ([0, T ]; V ) = C k ([0, T ]; V ). k
0

– D (0, T ; V ) = {L : D(0, T ) −→ V, lin´eaire et continue }. u d´eriv´ee en temps, u ∈ D (0, T ; V ). – W 1,p (0, T ; V ) = {v ∈ Lp (0, T ; V ) t.q v  ∈ Lp (0, T ; V )}. • {u > t} = {x : u(x) > t}, {u = t} = {x : u(x) = t}. • Hm (E) mesure de Hausdorf m-dimensionnelle de E. a l’ensemble E. • u|E restriction de la fonction u ` • αm mesure de Lebesgue de la boule unit´e dans IRm . • mu (t) = |u > t| = m(t) fonction de distribution de u. d´ecroissant de u. • u∗ r´earrangement  t

•

u∗∗ (t) = t−1

• • • • • • • • •

v∗u r´earrangement relatif de v par rapport a` u. ∂G(u) sous-diff´erentiel au point u d’une fonctionnelle G. Mu op´erateur moyenne de 1ere esp`ece. Mu,v op´erateur moyenne de 2nde esp`ece. PΩ (E) p´erim`etre au sens de De Giorgi de E dans Ω. PIRN (E) p´erim`etre dans Ω relativement `a un poids b de E. Q(Ω) ou Q constante relative isop´erim´etrique de Ω. ρ norme associ´  ee d’une norme ρ.  1 V (Ω, ρ) = v ∈ W 1,1 (Ω) : ρ (|∇v|∗v ) < +∞ .   W 1 (Ω, ρ) = v ∈ W 1,1 (Ω) : ρ (|∇v|∗ ) < +∞ .

•

0

u∗ (σ)dσ.

1 Motivations et g´ en´ eralit´ es sur le r´ earrangement monotone

Pour montrer les in´egalit´es de Sobolev, on peut utiliser la th´eorie de potentiel (potentiel de Riesz), qui est une mani`ere d’utiliser les repr´esentations int´egrales, ou bien l’in´egalit´e de Gagliardo-Nirenberg, pour u ∈

Cc∞ (IRN )

|u|

N L N −1

(IRN )




N 

1

|∂j u|LN1 (IRN ) .

j=1

Les preuves sont souvent tr`es techniques et s’adaptent difficilement aux espaces invariants par r´earrangement. L’outil que nous allons pr´esenter dans ce livre est une extension de celui d´evelopp´e dans le livre de Mossino [82] et est avant tout un outil pratique pour faire des estimations concernant les fonctions d’une variable r´eelle u partant d’un domaine Ω (souvent ouvert born´e r´egulier de IRN ) dans IR i.e. u : Ω → IR. Un exemple de probl`eme ´etudi´e avec cet outil est le suivant: peut-on estimer (de fa¸con explicite) la constante |∇u|Lp (Ω)N

1

λ1p (Ω) =

Inf

u∈Cc∞ (Ω),

u=0

|u|Lp (Ω)

1
p<∞?

,

ou plus g´en´eralement, si 1
p < N, p∗ l’exposant de Sobolev associ´e, peut-on donner des estimations explicites de Inf ∞

u∈Cc (Ω), u=0

|∇u|Lp (Ω)N |u|Lp∗ (Ω)

?

Et si p = N peut-on trouver un espace X(Ω) t.q. X(Ω) ⊂ C(Ω), X(Ω)
W·1,N (Ω)?

6

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

et dans ce cas, peut-on donner une estimation de osc B(x,r)∩Ω

u en fonction de r (r → 0),

B(x, r) d´esignant la boule centr´ee en x ∈ Ω, de rayon r. L’espace X(Ω) est un espace “limite” des espaces de Sobolev classiques qui souvent ne s’exprime pas en terme d’espaces de Lebesgue, mais en utilisant des espaces li´es au r´earrangement comme les espaces de Lorentz ou les petits espaces de Lebesgue (voir Stein, Fiorenza-Rakotoson [62, 118]). Le mˆeme outil que nous allons d´evelopper va nous permettre : - De r´esoudre des probl`emes d’optimisation non classique, telle que la minimisation suivante : 

  1 2 |∇v| dx − f v dx, v ∈ K(h) , o` u h ∈ L∞ (Ω) Inf 2 Ω Ω et K(h) =

   1 v ∈ H0 (Ω) : Φ(v)dx
Φ(h)dx ∀ Φ : IR → IR convexe lipschitzienne . Ω

Ω

- De trouver l’´equation d’Euler associ´ee `a ce probl`eme. On verra que l’ensemble des contraintes peut s’exprimer en terme de r´earrangement monotone et l’obtention des ´equations d’Euler n´ecessite le r´earrangement relatif. Des ´equations aux d´eriv´ees partielles non locales vont ˆetre abord´ees comme applications de ces outils. D’autres probl`emes multicontraintes peuvent se reformuler en terme de r´earrangement relatif et de r´earrangement monotone, voir le chapitre 2.

1.1 Notations et rappels Tout au long de ce livre, on d´esignera par : IR

N

l’espace euclidien muni de la norme |x| =



N 

1/2 x2i

associ´ee au produit

i=1

scalaire (x, y) =

N 

xi yi (avec x = (x1 , · · · , xN ), y = (y1 , · · · , yN )), B(x, r)

i=1

la boule ouverte de centre x et de rayon r. Pour simplifier, on utilisera la mesure de Lebesgue et si E est mesurable dans IRN , on note |E| la mesure de E ou par abus le volume de E, Ω d´esignera l’ensemble (souvent born´e) sur lequel on travaille.  1 si x ∈ E, La fonction caract´eristique de E sera not´ee χE i.e. χE = La 0 sinon. mesure de Haussdorf m-dimensionnelle de E sera quelquefois utilis´ee et sera not´ee Hm (E). Notons que HN (E) = |E| ≡ LN (E).

1.1 Notations et rappels

7

En un mot, le r´earrangement d’une fonction  u : Ω → IR est la fonction u∗ inverse de la fonction volume suivant t → vol u > t = |u > t|. C’est donc une fonction d´ecroissante. Son int´erˆet principal se r´esume par la conservation du volume :     vol u > t = vol u∗ > t (∀ t) (volume d’ensemble de niveau). Ce qui implique la conservation de normes dans diff´erents espaces norm´es.  Si u : Ω → IR est une fonction   mesurable,  on notera simplement  : u > t = x ∈ Ω : u(x) > t , u = t = x ∈ Ω : u(x) = t de mˆ eme pour  les ensembles {u < t}, {u
t}, {u  t}. Leur mesure est not´ee    u > t  = |u > t|, de mˆeme pour |u < t|, |u  t|, |u = t|. Si E ⊂ Ω on  a l’ensemble E. note v E la restriction de v ` On notera Lp (Ω) les espaces de Lebesgue classiques 1
p
+∞ munis de la norme |·|p . D´ efinition 1.1.1 (palier en une valeur t). Soit t ∈ IR, u : Ω → IR mesurable. On dira que u a un palier au point t si |u = t| > 0.    u = t o` u Du est On appelle plateaux de u l’ensemble P (u)= t∈Du

l’ensemble des points o` u u a un palier.

Proposition 1.1.1. Soit u : Ω → IR mesurable (Ω born´e ou de mesure finie). Alors Du (donn´e dans la d´efinition pr´ec´edente) est au plus d´enombrable. Preuve de la proposition.

 1 Pour n ∈ IN , on pose Du,n = t ∈ Du : |u = t| > . n  Du,n . Montrons que Du,n est au plus d´enombrable. Si ce Alors Du = ∗

n∈IN ∗

n’est pas le cas, alors Du,n est un ensemble infini non d´enombrable et par  ⊂ Du,n . l’axiome du choix, il existerait un sous-ensemble d´enombrable Du,n Alors

8

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

        1   card(Du,n )
|u = t| =  {x : u(x) = t}
|Ω| n  

t∈Du,n

t∈Du,n

Ce qui est absurde. Par suite Du lui-mˆeme est au plus d´enombrable.



D´ efinition 1.1.2 (fonction de distribution). Soit u : Ω → IR mesurable, |Ω| < +∞. On appelle fonction de distribution de u la fonction d´ecroissante : mu = m :

IR → IR d´efinie par m(t) = mu (t) = mesure {u > t} . t → m(t)

D´ efinition 1.1.3 (r´earrangement d´ecroissant). Soit u : Ω → IR mesurable, |Ω| <  +∞. On appelle r´earrangement  d´ecroissant de u, la fonction u∗ : 0, |Ω| → IR d´efinie par u∗ (s) = Inf {t ∈ IR, m(t)
s} . Si s = 0, u∗ (0) = sup ess u, s = |Ω| , u∗ (|Ω|) = inf ess u. Ω

Ω

Propri´ et´ e 1.1.1. (a) m est continue ` a droite,  (b) u∗ m(t)
t ∀ t, (c) m (u∗ (s))
s ∀ s,  a droite sur 0, |Ω|), (d) u∗ est continue ` (e) Si u
v p.p. alors u∗ (s)
v∗ (s) ∀ s ∈ Ω∗ . Preuve. (a) Posons E(h) = {t < u
t + h} alors E(h1 ) ⊂ E(h2 ) si h1
h2 et

E(h) = ∅ : lim |E(h)| = 0 soit lim m(t + h) = m(t). h→0 h→0 h>0  (b) u∗ m(t) = Inf {θ : m(θ)
m(t)}
t. (c) Soit s ∈ Ω∗ , il existe tn ∈ IR, t.q. m(tn )
s, tn > u∗ (s), tn −−−−−→ u∗ (s). n→+∞

Par continuit´e `a droite, nous avons :     m(tn ) −−−−−→ m u∗ (s) : m u∗ (s) = lim m(tn )
s. n→+∞

n

Pour s = |Ω| , m(inf ess u)
|Ω| , s = 0 on a m(sup ess ) = 0. Ω

Ω

1.1 Notations et rappels

9

  (d) Supposons qu’il existe s ∈ 0, |Ω| t.q. lim u∗ (s + h) = u∗ (s), alors il h 0

existe γ t.q. u∗ (s) > γ > u∗ (s + h), ∀ h > 0. D’o` u   m(γ)
m u∗ (s + h)
s + h : m(γ)
s. Par d´efinition de u∗ , u∗ (s)
γ, contradiction. (e) Si u
v alors mu (t)
mv (t) ∀ t, ce qui entraˆıne par d´efinition u∗ (s)
v∗ (s), ∀ s ∈ Ω∗ (par continuit´e `a droite pour s = 0, par continuit´e a gauche pour s = |Ω|). ` 

Propri´ et´ e 1.1.2 (fondamentale d’´equimesurabilit´e). Pour tout r´eel t, on a : 1. |u > t| = |u∗ > t|, 2. |u  t| = |u∗  t| ,

|u
t| = |u∗
t|,

|u = t| = |u∗ = t| .

Preuve. Il suffit de montrer le premier ´enonc´e car : |u
t| = |Ω| − |u > t| = |Ω| − |u∗ > t| = |u∗
t|, lim |u > t − h| = lim |u∗ > t − h| implique |u  t| = |u∗  t| .

h 0

h 0

 Pour montrer (1.), posons I(t) = σ ∈ Ω∗ u∗ (σ) > t ˙ • Si t  sup ess u, Ω   alors I(t) = ∅ : mes I(t) = |u > t| = 0. • Si t < sup ess u, alors 0 ∈ I(t) et comme u∗ est d´ecroissante I(t) est Ω     un intervalle. D’o` u I(t) = 0, mes {u∗ > t} . Comme u∗ m(t)
t alors   m(t) ∈ I(t) donc m(t)  longueur I(t) = |u∗ > t|. Ainsi γ = |u > t|  |u∗ > t|.   Soit s > |u∗ > t| alors s ∈ I(t) i.e. u∗ (s)
t, m(t)
m u∗ (s)
s, en faisant tendre s vers |u∗ > t| on a alors |u > t|
|u∗ > t|. 

Corollaire 1.1.1. Soit F : IR → IR+ bor´elienne. Alors   F (u)dx = Ω

En particulier, |u|Lp (Ω) = |u∗ |Lp (Ω∗ )

F (u∗ )ds.

Ω∗

1
p
+∞.

Preuve. • Si F (t) = χ(a,b) (t), (a, b) ∈ IR × IR fonction caract´eristique d’un intervalle, alors l’´egalit´e est vraie.  • Si O est un ouvert de IR, comme O = ]aj , bj [, ]ai , bi [ deux a` deux j∈D

disjoints, o` u D est au plus d´enombrable on a

10

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

 χO (u)dx = Ω



χ]aj ,bj [ (u)dx =

Ω

j∈D

 j∈D

 χ]aj ,bj [ (u∗ )ds = χO (u∗ )ds.

Ω∗

Ω∗

• Si A est un ferm´e de IR, puisque χA = 1 − χIR\A et IR\A = O est un ouvert alors on a l’´egalit´e. On note :

   χE (u)dx = χE (u∗ )ds . M1 = E bor´elien : Ω

Ω∗

On v´erifie que M1 est une σ-alg`ebre contenant tous les ouverts (principe d’extension de Carath´eodory) par suite elle contient la σ-alg`ebre bor´elienne. • Si F : IR → IR+ est bor´elienne born´ee alors il existe (ani )in et {Ei }in avec n  ani χEi (σ) ´etag´ee, Ei bor´elienne et lim Fn (σ) = F (σ) ∀ σ ∈ IR, Fn (σ) = n→+∞

i=0

Fn est uniform´ement born´ee en n. Alors, par le th´eor`eme de la convergence domin´ee on a:     Fn (u)dx = Fn (u∗ )ds =⇒ F (u)dx = F (u∗ )ds. Ω

Ω∗

Ω

Ω

• Si F est  bor´elienne non born´ee, alors on consid`ere la suite de fonctions : σ |σ|
k Tk (σ) = k sign(σ) sinon, Fk (σ) = Tk ◦ F (σ) v´erifie 0
Fk (σ)
Fk+1 (σ)
F (σ) alors 

 Fk (u) = Ω

Ω∗

(Beppo-L´evi) Fk (u∗ )ds =⇒ k→+∞



 F (u) = Ω

F (u∗ ). Ω∗



N.B. On peut remplacer les mesures de Lebesgue par la mesure pond´ e r´ e e  a(x)dx si a > 0, a ∈ L1 (Ω) et d´efinir le r´earrangement d´ecroissant |E|a = E

ua∗ associ´e `a u (voir exercice 10.1.4, chapitre 10, ou les articles RakotosonSimon [104, 105], Mercaldo A. [80], Brock F. et al. [26]). Lemme 1.1.1. Soit ψ : IR → IR croissante. Alors, pour tout u mesurable (ψ ◦ u)∗ = ψ(u∗ ). Preuve. Par ´equimesurabilit´e, on a :     χ]t,+∞[ ◦ ψ (u∗ )ds = |ψ ◦ u∗ > t| . |ψ ◦ u > t| = χ]t,+∞[ (ψ ◦ u)du = Ω

Ω∗

Ce qui signifie que (ψ ◦ u)∗ = (ψ ◦ u∗ )∗ . Posons f = ψ ◦ u∗ , alors f est d´ecroissante. Si s ∈ Ω∗ alors l’intervalle {f > f (s)} ne contient pas s mais contient 0 s’il est non vide donc on a toujours |f > f (s)|
s, ainsi f∗ (s)
f (s)

1.2 Les in´egalit´es de Hardy-Littlewood



  Tk f (s) ds =

(par d´efinition). Comme pour tout k : Ω∗

et que Tk (f∗ (s))
Tk (f (s)) on a :



11

  Tk f∗ (s) ds

Ω∗

∀ k : Tk (f∗ (s)) = Tk (f (s)) p.p. en s. =⇒ f∗ (s) = f (s) p.p. d’o` u (ψ ◦ u)∗ = (ψ ◦ u∗ )∗ = ψ ◦ u∗



1.2 Les in´ egalit´ es de Hardy-Littlewood On aura besoin du lemme de Lyapounov suivant : Lemme 1.2.1 (de Lyapounov). Soit s ∈ Ω∗ t.q. il existe t ∈ IR, |u > t|
s
|u  t|. Alors il existe un ensemble E mesurable t.q. :  • {u > t} ⊂ E ⊂ {u  t} , • |E| = s. Preuve. Soit P un polynˆ ome (exemple P (x) =

N 

2

x2i = |x| ) et v la restriction

i=1

de P ` a {u  t} \ {u > t} = {u = t} (notons que si |u = t| = 0, s = |u > t|, E = {u > t}). Consid´erons E = {x ∈ Ω : u(x) > t} ∪ {x : u(x) = t, v(x) > v∗ (s − |u > t|)} . Comme v est sans palier, alors |E| = |u > t| + |v∗ > v∗ (s − |u > t|)| = s. 

Lemme 1.2.2 ( 1`ere in´egalit´e de Hardy-Littlewood). Soit E ⊂ Ω mesurable, u : Ω → IR mesurable  0 ou int´egrable. Alors, 

 u(x)dx


0

E



 u(x)a(x)dx


De mˆeme on a E

Si E v´erifie {u > t0 } ⊂ E ⊂ {u 

|E|

|E|a

0 t0 },

u∗ (s)ds.

ua∗ (s)ds, pour a > 0, a ∈ L1 (Ω). alors on a l’´egalit´e.

Preuve. Soit v = u|E restriction de u ` a E. Alors par ´equimesurabilit´e, on d´eduit :   |E| u(x)dx = v∗ (σ)dσ. E

0

(Ce qui est vrai si u  0 ou u ∈ L1 (E)). Mais mv (t)
mu (t) alors v∗ (s)
u∗ (s), s
|E|.

12

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

D’o` u l’in´egalit´e. Si {u > t0 } ⊂ E ⊂ {u  t0 }, alors on a :     u dx = u dx + u dx = t0 |E\ {u > t0 }| + E\{u>t0 }

E





|E|

0

u∗ dσ =

{u>t0 }



|u>t0 |

u∗ dσ +

0

u∗ ds

u∗ >t0



|E|

|u>t0 |

u∗ dσ


  u∗ dσ + t0 |E| \ |u > t0 | ,

u∗ >t0

en effet σ > m(t0 ) =⇒ u∗ (σ)
u∗ (m(t0 ))
t0 . 

|E|

0

 u∗ dσ


u dx. E

Autre preuve. Montrons que u∗ (σ) = v∗ (σ) si σ < |E|. Soit σ ∈ [0, |E| [ et t ∈ IR, si t < t0 , mu (t)  |E| > σ, si t  t0 , mu (t) = mv (t) ({x ∈ Ω : u(x) > t} = {x ∈ E : u(x) > t}). Alors u∗ (σ) = Inf {t  t0 : mu (t)
σ} = v∗ (σ).



Corollaire 1.2.1 (de la 1`ere in´egalit´e). (a) Pour tout s ∈ Ω∗ si u  0 mesurable ou u int´egrable :

   s u∗ (σ)dσ = Max u(x)dx, |E| = s . 0

 (b) Si u  0,

0

E



s

u∗ (σ)dσ = Max

u(x)dx,

 |E|
s .

E

Preuve. (a) Si |u = u∗ (s)| = 0, alors E = {u > u∗ (s)} v´erifie   u(x)dx = u∗ (σ)dσ. {u>u∗ (s)}

{u∗ >u∗ (s)}

Si |u = u∗ (s)| > 0, alors |u > u∗ (s)|
s
|u  u∗ (s)|, il existe E ⊂ Ω mesurable t.q. {u > u∗ (s)} ⊂ E ⊂ {u  u∗ (s)} et |E| = s. D’apr`es le lemme pr´ec´edent, on d´eduit que : 

 u(x)dx = E

0

|E|

u∗ (σ)dσ.

1.2 Les in´egalit´es de Hardy-Littlewood

(b) Si u  0, alors on a :

  s u∗ (σ)dσ = Max u(x)dx, 0

 |E| = s

E



et

13



|E|

Max

|E|
s

u∗ (σ)dσ,

0




s

0

u∗ (σ)dσ. 

Corollaire 1.2.2. Sous les mˆemes conditions que le lemme 1.2.2 :

    s u∗ (σ)dσ = Max u(x)z(x)dx, 0
z
1, z(x)dx = s 0

Ω

∀ s ∈ Ω∗ .

Ω



Preuve. Soient 0
z
1,

z(x)dx = s > 0 Ω





u(x)z(x)dx =

 u(x)z(x)dx =

{z>0}

Ω

|z>0|z

0

uz∗ (σ)dσ

(o` u uz∗ est le r´earrangement d´ecroissant par rapport a` la mesure z(x)dx sur  {z > 0}, |z > 0|z =

z(x)dx = s.) {z>0}

Or, 0
z
1 =⇒ uz∗ (σ)
u∗ (σ), d’o` u   u(x)z(x)dx


0

Ω

s

u∗ (σ)dσ.

Comme 

 u(x)dx, |E| = s Max E


Max

 u(x)z(x)dx, 0
z
1,

Ω

 z(x)dx = s

Ω

on d´eduit le r´esultat. Voir chapitre 10 (exercice 10.1.20) pour une autre preuve de ce corollaire.  Proposition 1.2.1. Soit u : Ω → IR int´ egrable. Pourtout s ∈ Ω∗ , posons : F (u) = min ts + (u − t)+ dx . Alors t∈IR

Ω

 F (u) = 0

s

u∗ (σ)dσ.

14

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

 (u − t)+ dx, t ∈ IR. Alors,

Preuve. Posons F (t, u) = ts + Ω



(u − t)+ (σ)dσ

F (t, u) = ts +

Ω |u
t|

 = ts +

0





s

= ts + 0



(u∗ − t)(σ)dσ

(u∗ − t)(σ)dσ + 

s

= 0

|u
t|

(u∗ − t)(σ)dσ

s |u
t|

u∗ (σ)dσ +

(u∗ − t)(σ)dσ.

s

Nous avons



|u
t|

(u∗ − t)(σ)dσ  0.

s

En effet : Si t
u∗ (s) alors |u∗  t|  |u∗  u∗ (s)|  s  |u
t| et Si σ < |u  t| alors u∗ (σ) − t  0 : (u∗ (σ) − t) dσ  0;

•

s

• Si t > u∗ (s) alors |u  t|
|u > u∗ (s)|
s et si σ > |u  t| alors u∗ (σ) − t < 0. Par suite, l’int´egrale est positive; • Si t = u∗ (s), sur (s, |u  u∗ (s)|) la fonction u∗ = u∗ (s) alors  s F (u∗ (s), u) = u∗ (σ)dσ. 0

D’o` u

 0



s

u∗ (σ)dσ
Min F (t, u) = F (u)
F (u∗ (s), u) = t

0

s

u∗ (σ)dσ. 

Corollaire 1.2.3 (de la proposition 1.2.1). Soient u, v deux fonctions int´egrables. Alors, on a l’´equivalence suivante : ⎧ s  s ⎪ ⎪ u (σ)dσ
v∗ (σ)dσ, ∀ s ∈ Ω∗ , ⎪ ∗ ⎪ ⎨ 0 0 [A]   ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ udx = vdx, Ω

⇐⇒ [B]

Ω

⎧ ⎨∀  Φ : IR → IR convexe et lipschitzienne, ⎩

Φ(u)dx
Ω

Φ(v)dx. Ω

1.2 Les in´egalit´es de Hardy-Littlewood

15

Preuve. Montrons que [B] implique [A]. En effet, pour tout t ∈ IR, Φ(σ) = (σ − t)+ est convexe lipschitzienne. Par suite,   (u − t)+ dx
(v − t)+ dx. Ω

Ω

Par la proposition pr´ec´edente on conclut que  s  s u∗ (σ)dσ
v∗ (σ) ∀ s ∈ [0, |Ω|]. 0

0





En consid´erant Φ(t) = −t, on d´eduit

u(x)dx  Ω

v(x)dx d’o` u [A]. Ω

R´eciproquement si Φ est convexe et lipschitzienne alors Φ est une fonction croissante born´ee. Par convexit´e         v∗ (σ) − u∗ (σ) Φ u∗ (σ)
Φ v∗ (σ) − Φ u∗ (σ) ∀ σ ∈ Ω∗ . 

D’o` u

(v∗ − u∗ ) Φ (u∗ )dσ




Ω∗

Or,



Ω

(v∗ − u∗ ) Φ (u∗ )dσ =

Ω∗




 =− Ω∗



 Φ(v)dx −

0



d dσ

Ω∗ σ

Φ(u)dx. Ω

 0

σ

(v∗ − u∗ ) dtΦ (u∗ )dσ 

(v∗ − u∗ ) dt dΦ (u∗ )

|Ω|

(v∗ − u∗ ) dt = 0).  σ (v∗ − u∗ ) dt  0, on d´eduit Puisque −dΦ (u∗ )  0 et (sachant que

0





0

Φ(v)dx − Ω



(v∗ − u∗ ) Φ (u∗ )dσ  0.

Φ(u)dx  Ω

Ω∗



Th´ eor` eme 1.2.1 (2`eme in´egalit´e de Hardy-Littlewood). 1 1
Soient f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lp (Ω), +  = 1, 1
p
+∞. Alors p p   f (x)g(x)dx
f∗ (σ)g∗ (σ)dσ. Ω

Ω∗

16

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

On a besoin du lemme suivant : Lemme 1.2.3 (de Fubini).
Soient f ∈ Lp (Ω), f  a > −∞, g ∈ Lp (Ω) alors 





f (x)g(x)dx = a Ω

g(x)dx + 

dt 

f (x)

χ]a,f (x)[ (t)dt alors, par le

a



+∞

dt

g(x)χ]a,f (x)[ (t)dx

a

Ω

Ω

 dt

+∞

a

Th´eor`eme de Fubini-Tonelli classique   (f (x) − a) g(x)dx = +∞

f >t

dt = a



g(x)dx.

a

Ω

Preuve. Comme f (x) − a =

=



+∞





+∞

g(x)χ{f >t} (x)dx =

dt

g(x)dx. {f >t}

a

Ω



Preuve du th´eor`eme. Commen¸cons par le cas o` u f ∈ L∞ (Ω), a = inf ess f > −∞. Par Ω

´equimesurabilit´e et le premier lemme de Hardy-Littlewood : 





f (x)g(x)dx
a Ω

Ω∗



+∞

g∗ dσ +



dt {f∗ >t}

a

g∗ (σ)dσ =

f∗ g∗ , Ω∗



∞

si f ∈ L (Ω), alors Tk (f ) ∈ L (Ω), Tk (f )∗ = Tk (f∗ ) et Tk (f )g(x)dx
Ω  Tk (f∗ )g∗ dσ. Quand k → +∞ par le th´eor`eme de la convergence domin´ee, p

Ω

on obtient



 f gdx
Ω

f∗ g∗ dσ. Ω∗



1.3 Etude de la continuit´ e de u → u∗ Commen¸cons par quelques remarques qui sont des cons´equences des r´esultats qu’on a vus ci-dessus. Proposition 1.3.1. Si u, v sont dans L∞ (Ω) alors |u∗ (σ) − v∗ (σ)|
|u − v|∞

∀ σ ∈ Ω∗ .

1.3 Etude de la continuit´e de u → u∗

17

Preuve. Notons tout d’abord que (u + c)∗ = u∗ + c (c = constante) (en choisissant ψ(t) = t+c dans le lemme 1.1.1). Comme, |u(x) − v(x)|
|u − v|∞ alors v(x) − |u − v|∞
u(x)
v(x) + |u − v|∞ p.p.. D’o` u v∗ (σ) − |u − v|∞
u∗ (σ)
v∗ (σ) + |u − v|∞

∀ σ. 

Proposition 1.3.2. Soient u, v ∈ L2 (Ω), alors |u∗ − v∗ |L2 (Ω)
|u − v|L2 (Ω) .    2 2 = u∗ dσ + v∗ − 2dσ u∗ v∗ dσ.

2

Preuve. |u∗ − v∗ |L2 (Ω∗ ) Ω∗ Ω∗ Ω∗   Comme u ∗ v∗  uv par ´equimesurabilit´e on a : Ω∗

Ω



2

|u∗ − v∗ |L2 (Ω∗ )


Ω

u2 dx +



v 2 dx − 2

Ω



2

uvdx = |u − v|L2 . Ω

Proposition 1.3.3. Soient u, v ∈ L1 (Ω), alors |u∗ − v∗ |L1
|u − v|L1 . Preuve. Suivant les id´ees de Crandall et Tartar [37], on a : min(u, v)(x) =

u(x) + v(x) − |u(x) − v(x)|
(u(x) et v(x)) . 2

D’o` u min(u, v)∗
min(u∗ , v∗ ) = Par ´equimesurabilit´e, on a :   [(u + v) − |u − v|] (x)dx
Ω

Ainsi on a :

u∗ + v∗ − |u∗ − v∗ | . 2

[(u∗ + v∗ ) − |u∗ − v∗ |] dσ.

Ω∗



 |u − v| (x)dx  Ω

|u∗ − v∗ | dσ. Ω∗



Corollaire 1.3.1. Pour tout p ∈ [1, +∞], l’application u ∈ Lp (Ω) → u∗ ∈ Lp (Ω) est (fortement) continue.

18

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

On montre mˆeme que c’est une application contractante. Th´ eor` eme 1.3.1 (propri´et´e de contraction). Soient ρ une fonction convexe de IR dans IR, u et v deux fonctions mesurables t.q. v ∈ L∞ (Ω) alors   ρ ((u + v)∗ − u∗ ) dσ
ρ(v)dx. (1.1) Ω∗

Ω ∞

En particulier si u ∈ L (Ω) alors :   ρ (v∗ − u∗ ) dσ
ρ(v − u)dx. Ω∗

(1.2)

Ω

Corollaire 1.3.2. On suppose de plus que ρ satisfait a ` la condition de croissance suivante : ∃α > 0, β > 0 : t.q. p

∀ t ∈ IR,

|ρ(t)|
α |t| + β

pour 1
p < +∞.

Alors ∀ (u, v) ∈ Lp (Ω) × Lp (Ω) on a :   ρ(u∗ − v∗ )dσ
ρ(u − v)dx. Ω∗

Ω

En particulier l’application u ∈ Lp (Ω) → u∗ ∈ Lp (Ω∗ ) est un contraction. Preuve du th´eor`eme. 1er cas : u ∈ L∞ (Ω), ρ ∈ C 2 (IR). On pose γ = min (− |u|∞ , − |u + v|∞ ) alors p.p. en x 

u(x)



u(x)+v(x)

ρ (t − s)dtds = −

− γ

γ

 u(x)   ρ (u(x) + v(x) − s) − ρ (γ − s) ds γ

      = −ρ γ − u(x) + ρ(0) + ρ v(x) − ρ u(x) + v(x) − γ ainsi  ρ (v(x)) = − γ

u(x)

u(x)+v(x)

    ρ (t − s)dtds + ρ γ − u(x) − ρ(0) + ρ u(x) + v(x) − γ .

γ

En reprenant cette preuve, on a l’identit´e : ρ(α−β)  +∞ +∞ ρ (t − s) H(β − s) H(α − t)dsdt + ρ(γ − β) − ρ(0) + ρ(α − γ) =− γ

γ

1.3 Etude de la continuit´e de u → u∗

19

 0 si t < 0 si α et β  γ, si on introduit la fonction de Heaviside H(t) = 1 sinon. On int`egre la fonction ρ(v) sur Ω et on utilise l’´equimesurabilit´e :  ρ (v(x)) dx Ω



+∞

=− γ





+∞ 

ρ (t − s)



H (u(x) − s) · H (u(x) + v(x) − t) dxdsdt Ω

γ



ρ (γ − u∗ (s)) ds − ρ(0) |Ω| +

+ Ω∗

ρ [(u + v)∗ (s) − γ] ds.

(1.3)

Ω∗

Par l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood, on a :   H (u(x) − s) H ((u + v)(x) − t) dx
Ω

Ω∗

H(u − s)∗ H ((u + v) − t)∗ dσ. (1.4)

Mais σ → H(σ − t) est croissante, ainsi H (u(t) − s)∗ = H(u∗ − s), H ((u + v) − t)∗ = H ((u + v)∗ − t). Puisque ρ est convexe, −ρ
0, on obtient des relations (1.3), (1.4) l’in´egalit´e suivante : 

 ρ (v(x)) dx  − γ

Ω

 ρ (t − s) H(u∗ (σ) − s)H ((u + v)∗ (σ) − t) dσdtds

+∞  +∞

γ





Ω∗

ρ (γ − u∗ (σ)) dσ +

+ Ω∗

ρ ((u + v)∗ (σ) − γ) dσ − ρ(0) |Ω|

(1.5)

Ω∗

Un calcul similaire a` celui fait pr´ec´edemment (ou l’identit´e pr´ec´edente) montre que le membre de droite de la relation (1.5) n’est autre que  ρ ((u + v)∗ − u∗ ) (σ)dσ : Ω∗



 ρ ((u + v)∗ − u∗ ) (σ)dσ
Ω∗

ρ(v)(x)dx Ω

2` eme cas : ρ ∈ C 2 , u mesurable. Soit la fonction : Tn (σ) = [n − (n − |σ|)+ ] sign(σ) alors Tn (u) ∈ L∞ et Tn (u)∗ = Tn (u∗ ) p.p. et   ρ (Tn (u + v)∗ − Tn (u∗ ))
ρ (Tn (u + v) − Tn (u)) . Ω∗

Ω

20

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

Par le th´eor`eme de la convergence domin´ee   ρ [(u + v)∗ − u∗ ] = lim ρ (Tn (u + v)∗ − Tn (u∗ )) n #$ % Ω∗ " Ω∗ ∈L∞ (Ω∗ )






lim

ρ (Tn (u + v) − Tn (u)) =

n

Ω

ρ(v)dx. Ω

3` eme cas : ρ est convexe. Si (θj ) est une suite r´egularisante θj  0 alors ρj = θj ∗ρ ∈ C ∞ (IR) est convexe. Comme ρj converge uniform´ement vers ρ sur tout compact on a le r´esultat (l` a encore on a utilis´e le fait que (u + v)∗ − u∗ ∈ L∞ (Ω∗ )). En rempla¸cant v par v − u, on a :   ρ(v∗ − u∗ )dσ
ρ(v − u)(x)dx. Ω∗

Ω



Preuve du corollaire. Soit la fonction : Tk (σ) = [k − (k − |σ|)+ ] sign(σ)  ρ (Tk (v∗ ) − Tk (u∗ )) dσ
ρ (Tk (v) − Tk (u)) dx.

 Ω∗

Ω

On a aussi,  p p |ρ (Tk (v∗ ) − Tk (u∗ ))|
c (|v∗ | + |u∗ | ) + β ∈ L1 (Ω∗ ) lim ρ (Tk (v∗ ) − Tk (u∗ )) = ρ(v∗ − u∗ ) p.p., k→+∞

par le th´eor`eme de la convergence domin´ee :   ρ (Tk (v∗ ) − Tk (u∗ )) = lim k→+∞

Ω∗





de mˆeme

ρ (Tk (v) − Tk (u)) =

lim

k→+∞

ρ(v∗ − u∗ )dσ,

Ω∗

Ω

ρ(v − u)dσ. Ω

p

p  1 est convexe. Exemple : ρ(t) = |t| Voici un corollaire direct du Corollaire 1.3.2 et de la Proposition 1.2.1 Corollaire 1.3.3. ∀ (u, v) ∈ L1 (Ω) × L1 (Ω) 1. ∀ t ∈ IR



 (|u∗ − v∗ | − t)+ dσ


(|u − v| − t)+ dx.

Ω∗

2. ∀ s ∈ Ω ∗

Ω

 0



s

|u∗ − v∗ |∗ (σ)dσ


0

s

|u − v|∗ (σ)dσ.



1.4 Espaces fonctionnels li´es au r´earrangement

21

Preuve. Pour l’´enonc´e (1), on applique le corollaire 1.3.2 avec la fonction convexe σ → (|σ| − t)+ . Pour la partie (2), on combine l’´enonc´e (1) avec la proposition 1.2.1 

Remarque. La mˆeme d´emarche conduit a` l’in´egalit´e de Lorentz-Shimogaki (voir Bennett-Sharphey [17] ou B´enilan-Crandall [16]).

1.4 Espaces fonctionnels li´ es au r´ earrangement Notons maintenant : L0 (Ω) = {v : Ω → IR mesurable} L0+ (Ω) = L0 (Ω) ∩ {v : Ω → IR+ } . D´ efinition 1.4.1 (norme sur L0+ (Ω)). Soit ρ : L0+ (Ω) → IR+ . On dira que ρ est une norme si elle v´erifie les quatre axiomes suivants : ∀ f, g ∈ L0+ (Ω): 1. 2. 3. 4.

Si 0
f
g alors ρ(f )
ρ(g) (ρ sera dite monotone). ρ(λf ) = |λ| ρ(f ), ∀ λ ∈ IR (ρ sera dite homog`ene). ρ(f + g)
ρ(f ) + ρ(g) (ρ satisfait l’in´egalit´e triangulaire). ρ(f ) = 0 ⇐⇒ f = 0 (ρ sera dite d´efinie).

Quelquefois, on n’utilisera que quelques unes des propri´et´es 1–4 c’est le cas des applications f → |f |p,q d´efinies ci dessous. Si ρ est une application sur L0+ (Ω) alors on l’´etend sur L0 (Ω) en posant pour f ∈ L0 (Ω), ρ(f ) = ρ(|f |). On dira que ρ est non triviale s’il existe f0 > 0 : ρ(f0 ) > 0 et finie. D´ efinition 1.4.2. Soit ρ une norme sur L0 (Ω). On dira que ρ est une norme invariante par r´earrangement (r.i) si f, g ∈ L0 (Ω) v´erifiant f∗ = g∗ implique ρ(f ) = ρ(g).

D´ efinition 1.4.3 (norme de Fatou). On dira qu’une norme ρ est une norme de Fatou si 0
fn (x)
fn+1 (x) −−−−−→ f (x) p.p. implique ρ(fn ) −−−−−→ ρ(f ). n→+∞

n→+∞

En plus des espaces de Lebesgue, voici des espaces associ´es `a des normes de Fatou, non triviales et invariantes par r´earrangement, ces espaces sont les plus fr´equemment utilis´es dans la litt´erature.

22

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

Pour introduire les espaces de Lorentz, d´efinissons pour f ∈ L0 (Ω), s ∈ Ω∗  1 s |f |∗∗ (s) = |f |∗ (σ)ds s 0 et pour 1
p
+∞,

0 < q
+∞ 

|f |(p,q) =



Ω∗

q dt  q1 1 t p |f |∗∗ (t) t

et |f |(p,q) =

1

sup t p |f |∗∗ (t)

si q < +∞

si q = +∞.

0t<|Ω|

D´ efinition 1.4.4 (espaces de Lorentz). Soit 1
p
+∞, 0 < q
+∞. On appelle espace de Lorentz Lp,q (Ω) l’ensemble   f ∈ L0 (Ω), |f |(p,q) < +∞ .

Lemme 1.4.1. Soit 1
p
+∞, 1
q
+∞. Alors Lp,q (Ω) est un espace vectoriel norm´e avec ρ(f ) = |f |(p,q) . De plus, ρ est une norme de Fatou, invariante par r´earrangement (non triviale) si q < +∞, et pour q = +∞ sur L∞ (Ω) au lieu de Lp,∞ (Ω).

   s Preuve. Puisque |f |∗ (t)dt = Max |f | dx, |E|
s ainsi E 0  s f→ |f |∗ (t)dt est sous-lin´eaire i.e. 0

 0



s

|f + g|∗ (t)dt


0



s

|f |∗ (t)dt +

s

0

|g|∗ (t)dt.

 s  s Comme |λf |∗ = |λ| |f |∗ ∀ λ ∈ IR donc |λf |∗ (t)dt = |λ| |f |∗ (t)dt. 0  s0  s u f∗ (t)dt
g∗ (t)dt. Si 0
f
g alors 0
f∗
g∗ d’o` 0

0

On d´eduit de ces remarques que f→|f |(p,q) est une norme si 1
q
+∞. Cette norme est invariante par r´earrangement. Notons  d’abord que Φ (Tk (|f∗ |)) = Φ (Tk (|g∗ |)) alors si f∗ = g∗ alors |f |∗ = |g|∗ . En effet,   Ω∗  Ω∗  Φ (Tk (|f |)) = Φ (Tk (|g|)) soit Φ (Tk (|f |∗ )) = Φ (Tk (|g|∗ )) Ω

Ω

Ω

∀ Φ : IR → IR convexe lipschitzienne. Ainsi,

Ω

1.4 Espaces fonctionnels li´es au r´earrangement





s

0

Tk (|f |∗ ) =

23

s

Tk (|g|∗ ) =⇒ |f |∗ = |g|∗ .

0

A partir de l` a, on voit que si f∗ = g∗ alors |f |(p,q) = |g|(p,q) . Pour montrer que c’est une norme de Fatou , on sait (voir exercice 10.1.6), que : → f∗ (σ) si 0
fn (x)
fn+1 (x) −−−−−→ f (x) alors fn∗ (σ)
f(n+1)∗ (σ) − n→+∞ n partout.   t

t

fn∗ (σ)dσ − →

Par le th´eor`eme de Beppo-Levi,

n

0

0

f∗ (σ)dσ

∀ t ∈ Ω∗ . Ce

qui entraˆıne pour q < +∞ :  1  1 q  1 q q t p |fn |∗∗ (t)
t p |fn+1 |∗∗ (t) −−−−−→ t p |f |∗∗ (t) . n→+∞

De nouveau par le th´eor`eme de Beppo-Levi on d´eduit : |fn |(p,q) −−−−−→ |f |(p,q) . n→+∞

1

Si q = +∞, on applique le lemme de Dini sachant que t → t p |f |∗∗ (t) est continue sur [0, |Ω|].  1  1 Si f ∈ L∞ (Ω), alors sup t p |fn |∗∗ (t) → sup t p |f |∗∗ (t). t∈[0,|Ω|]

t∈[0,|Ω|

On peut remplacer la norme pr´ec´edente par la quantit´e ´equivalente :   q dt  q1 1 p t |f |∗ (t) si q < +∞ |f |p,q = t Ω∗ 

et |f |p,+∞ =

sup 0
 1 t p |f |∗ (t)

si q = +∞.

L’application f→|f |p,q n’est pas en g´en´eral une norme (sauf si 1
q
p, voir exercice 10.1.10) mais n´eanmoins, cette application est monotone, d´efinie et homog`ene au sens de la d´efinition 1.4.1. Si p = q, par ´equimesurabilit´e on retrouve les espaces de Lebesgue classiques. Voici l’in´egalit´e de Hardy qui permettra de montrer une partie de l’´equivalence : Lemme 1.4.2 (Hardy). Soit 1
p < +∞, r > 0, f  0 mesurable sur [0, +∞[. Alors 

+∞

p p−r−1

F (x) x 0

o` u F (x) =

dx
1 x



 p p  r

+∞

f (t)p tp−r−1 dt

0

x

f (t)dt, x > 0. 0

24

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone r

Preuve. En appliquant l’in´egalit´e de H¨older avec dµ(t) = t p −1 dt, p
 x p
 x r r 1− p −1 p f (t)dt = f (t)t t dt 0


D’o` u on a :  +∞
 x

r

p f (t)dt

0

 p p−1

1 r(1− p )



0 x

r

p

[f (t)] tp−r−1+ p dt.

x

0

−r−1

x

0

dx


 p p−1  r

+∞

r −1− p



x p

0

r

[f (t)] tp−r−1+ p dt.

x

0

(1.6)

En appliquant le th´eor`eme de Fubini  +∞  x r r p x−1− p [f (t)] tp−r−1+ p dt =  =

0

0

+∞

r p p−r−1+ p




+∞

[f (t)] t 0

r −1− p

x

 dx dt

t

 p +∞ p p t [f (t)] t−r−1 dt. r 0 En combinant les relations (1.6) et (1.7), on a le r´esultat. =

(1.7) 

A l’aide de ce lemme de Hardy, on d´eduit : Corollaire 1.4.1. Soit f ∈ Lp,q (Ω), 1 < p < +∞, 1
q
+∞ |f |(p,q)


p |f | . p − 1 p,q

Preuve.


 1 Cas o` u q < +∞ : On choisit r = q 1 − , on remplace p par q dans le p lemme pr´ec´edent, apr`es avoir prolong´e f∗ par z´ero (f  0) on a :   q q  f∗∗ (t)q tq−r−1 dt
f∗ (t)q tq−r−1 dt r Ω∗ Ω∗ d’o` u le r´esultat. Si q = +∞ on ´ecrit      t  t 1 1 1 1 1 |f |(p,+∞) = sup t p −1 σ − p σ p f∗ (σ)dσ
sup t p −1 σ − p dσ |f |p,+∞ t

0

t

p |f | = . p − 1 p,+∞

0



1.5 Th´eor`eme de Ryff et cons´equences

25

1.5 Th´ eor` eme de Ryff et cons´ equences Dans ce dernier paragraphe, on va donner quelques propri´et´es g´en´erales qui vont ˆetre utiles par la suite. D´ efinition 1.5.1. Une application σ : Ω → Ω ∗ = [0, |Ω|] est dite une application pr´eservant les mesures si :  −1  σ (E) = |E| . ∀ E ⊂ Ω ∗ mesurable, On a alors le th´eor`eme de Ryff suivant : Th´ eor` eme 1.5.1 (de Ryff (admis)). Soit Ω un ensemble de mesure finie, f ∈ L0 (Ω). Alors il existe une application σ : Ω → Ω ∗ pr´eservant les mesures telle que : f∗ ◦ σ = f, presque partout dans Ω.   Remarque. Si f est sans palier i.e. mes P (f ) = 0, alors on peut prendre σ(x) = |f > f (x)|, pour x ∈ Ω. Comme cons´equence de ce th´eor`eme on a : Proposition 1.5.1. Soient f et g deux fonctions de L0+ (Ω). Alors il existe g1  0 ´equimesurable avec g (i.e. g1∗ = g∗ ) tel que   f g1 dx = f∗ g∗ dσ. Ω

Ω∗

Preuve. D’apr`es le th´eor`eme de Ryff, il existe σ pr´eservant les mesures tel que f = f∗ ◦ σ. Posons g1 = g∗ ◦ σ. Alors g1∗ = g∗ , puisque σ pr´eserve les mesures, on v´erifie, ∀ t ∈ IR, |g1 > t| = |g > t|. Pour la mˆeme raison, on a :      f g1 dx = (f∗ g∗ ) σ(x) dx = f∗ g∗ dt. Ω

Ω

Ω∗



Comme cons´equence directe de cette proposition, on a : Proposition 1.5.2. Soient f et g deux ´el´ements de L0+ (Ω). Alors,

   f∗ g∗ dt = Max f gdx, g∗ = g ∗ . Ω∗

Ω

26

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

1 1 +  = 1, on peut prouver la p p proposition 1.5.2 par densit´e (voir exercice 10.1.12). Une application de la proposition 1.5.2 concerne les normes associ´ees :


Remarque. Si (f, g) ∈ Lp (Ω) × Lp (Ω),

D´ efinition 1.5.2 (d’une norme associ´ee.). Soit ρ une norme non triviale sur L0 (Ω). On appelle norme associ´ee de ρ, l’application ρ : L0 (Ω) → IR+ donn´ee par :

   |f ψ| dx, ρ(ψ)
1 . ρ (f ) = sup Ω

Proposition 1.5.3. Soit ρ une norme invariante par r´earrangement. Alors,

   |f |∗ |g|∗ dt, ρ(g)
1 , ρ (f ) = sup Ω∗





ρ (f ) = sup Ω∗

|f |∗ |g|∗ dt,

 ρ (g)
1 . 

En particulier, ρ est une norme invariante par r´earrangement. Preuve. Par d´efinition de ρ et l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood on a :

   ρ (f )
sup |f |∗ |g|∗ dt, ρ(g)
1 . (E1) Ω∗

Par la proposition 1.5.2 pr´ec´edente, et du fait que ρ soit invariante par r´earrangement, on a :

   |f |∗ |g|∗ dt = sup |f | |g| dx, |g|∗ = |g|∗ Ω∗ Ω 

 |f | |g| dx, ρ(g)
1
sup Ω

= ρ (f ).

(E2)

En combinant les in´egalit´es (E1) et (E2) pr´ec´edentes, on d´eduit la premi`ere ´egalit´e. La deuxi`eme ´egalit´e d´ecoule de la premi`ere puisque ρ est alors invariante par r´earrangement. 

Remarques. On a le th´eor`eme de Lorentz-Luxembourg suivant : si ρ est une norme de Fatou alors ρ = ρ.

1.6 Construction du r´earrangement monotone

27

Les normes de Fatou ρ sur L0 (Ω) v´erifiant ρ(χE ) < +∞, pour E mesurable 

|f |(x)dx < C(E)ρ(f ), ∀ f ∈ L0 (Ω) sont associ´ees `a des

contenu dans Ω et E

espaces appel´es Espaces de Fonctions de Banach (Banach Function space en anglais) d´efinis par :   Ba (Ω, ρ) = g ∈ L0 (Ω) : ρ(g) < +∞ . Ba (Ω, ρ) est un espace de Banach pour la norme naturelle ||g|| = ρ(g). Les th´eor`emes li´es `a la th´eorie de la mesure, comme le th´eor`eme de BeppoL´evi, le lemme de Fatou, le th´eor`eme de la convergence domin´ee de Lebesgue peuvent ˆetre trouv´es dans le livre de Federer [54], ou de Hewitt-Stromberg [71] ou de Br´ezis [24], J.E. Rakotoson-J.M. Rakotoson [89].

1.6 Construction du r´ earrangement monotone d’une fonction u en dimension 1 Comme l’application u ∈ L1 (a, b) → u∗ ∈ L1 (0, b − a) est fortement continue, il suffit de construire le r´earrangement monotone d’une fonction u en dimension 1 dans le cadre des fonctions ´etag´ees. Soit n  u(x) = uj χEj (x), x ∈ [a, b]. j=1

On trie les valeurs de u par ordre d´ecroissant (strict) soit t1 > t2 > . . . > tp , a chaque valeur tj est associ´ee l’ensemble {u = tj } = Fj . En posant : ` a0 = 0, a1 = |F1 |, a2 = |F1 | + |F2 |, . . . , ap = |F1 | + |F2 | + . . . + |Fp | = b − a t1 = Max u(x), x∈[a,b]

on d´eduit :

⎧ t1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨t2 u∗ (s) = . .. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ tp

tp = Min u(x), x∈[a,b]

0
s < a1 a1
s < a2 ap−1
s
ap = b − a.

La fonction distribution mu (t) associ´ee peut ˆetre construite simultan´ement puisque

28

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

3.2

3.2

2.8

2.8

y

y

2.4

2.4

2

2

1.6

1.6

1.2

1.2

0.8

0.8

0.4 0.5

0.4 0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

3

3.5

4

4.5

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

3

3.5

4

4.5

Fig. 1.1. R´earrangement d’une fonction en escalier

⎧ b − a = ap ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎨ p−1 . mu (t) = .. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a1 ⎪ ⎪ ⎩ 0

si t < tp , si tp
t < tp−1 , si t2
t < t1 , si t  t1 .

La description pr´ec´edente peut ˆetre ´etendue aux fonctions donn´ees en dimension  2, le choix est ici motiv´e par la clart´e et la facilit´e de calcul en dimension 1. L’algorithme pr´ec´edent peut s’interpr´eter de la fa¸con suivante : si nous appelons “bloc uj ” le “rectangle Ej × {uj }”, on rassemble d’abord tous les rectangles de mˆeme hauteur uj . On obtient ainsi de nouveaux “blocs” [aj−1 , aj ] × {tj }. Ensuite on met a` gauche le bloc le plus ´elev´e [a0 , a1 ] × {t1 } et ainsi de suite par ordre d´ecroisssant (voir Fig. 1.1). Le mˆeme algorithme permet de tracer le r´earrangement d’une fonction u non n´ecessairement ´etag´ee(voir figures 1.2 et 1.3). Notes pr´ e-bibliographiques Le th´eor`eme de Ryff est prouv´e dans le livre de Chong et Rice [32]. Les r´esultats de ce chapitre 1 sont souvent classiques, n´eanmoins certaines preuves rel`event d’ouvrages r´ecents comme le livre de Ziemer [129], de

1.6 Construction du r´earrangement monotone 3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2 1.5

2

y

1.5

1

1

0.5

0.5

1

29

0.5

1.5

1

2

−0.5

x

2.5

3

3.5

y

1

0.5

1.5

1

2

− 0.5

−1

−1

−1.5

−1.5

−2

−2

−2.5

−2.5

−3

−3

−3.5

−3.5

x

2.5

3

3.5

Fig. 1.2. R´earrangement de x2 sin (10x)

1.25

1.25

1

1 y

y

0.75

0.75

0.5

0.5

0.25

0.25

2.5 −0.25

5

7.5

x 10

12.5

2.5

5

7.5

x 10

− 0.25

Fig. 1.3. R´earrangement de max(cos x, min(0.7, max(sin x − 0.2)))

12.5

30

1 Motivations et g´en´eralit´es sur le r´earrangement monotone

Jacqueline Mossino [82] ou d’articles comme celui d’Alvino-Lions-Trombetti [6] ou de Chiti [31] et comme la th`ese de B. Simon [116]. Un expos´e des espaces de Lorentz est donn´e dans l’article de Richard Hunt [72]. D’autres normes sont propos´ees en exercice (voir 10.1.30).

2 R´ earrangement relatif

Dans ce chapitre, nous allons nous int´eresser `a la d´eriv´ee directionnelle du r´earrangement, i.e. a` l’application u ∈ Lp (Ω), (1
p
+∞) → u∗ ∈ Lp (Ω∗ ). L’usage des d´eriv´ees directionnelles est naturel pour les probl`emes d’optimisation, lorsqu’on veut caract´eriser une solution optimale. L’exemple bien connu est le suivant : Pour f ∈ L∞ (Ω),

     1 1 2 2 Min |∇v| − f v = J(v), v ∈ H01 (Ω) = |∇u| − f u = J(u). 2 Ω 2 Ω Ω Ω La solution optimale u v´erifie alors J(u + λv) − J(u)  0, λ>0 λ

lim

λ→0,

c’est la d´eriv´ee de J au point u dans la direction v, d’o` u    −∆u = f ∇u · ∇v dx − f v = 0 ∀v ⇐⇒ u=0 Ω Ω

dans Ω . sur ∂Ω

Si au lieu de J, on consid`ere la fonctionnelle :  & J(v) = J(v) + f∗2 (σ)v∗2 (σ)dσ, Ω∗

  & & alors il y a une solution optimale u v´erifiant J(u) = inf J(v), v ∈ H01 (Ω) . & + λv) − J(u) & J(u  0. Quelle est l’´equation donn´ee par lim λ→0 λ Une autre motivation de l’´etude du r´earrangement relatif est fournie par le probl`eme introduit par J.I. D`ıaz, mod´elisant certains aspects de la fusion

32

2 R´earrangement relatif

nucl´eaire. Ce probl`eme est multicontrainte et grˆace au r´earrangement relatif, il peut se formuler sous la forme d’une ´equation d’´equilibre −∆u = G(u). Il s’´enonce de la fa¸con suivante : 1,1 (IR) tel que Trouver un couple (u, F ) ∈ H 1 (Ω) × Wloc

 {u>t}

−∆u = aF (u) + F (u)F  (u) + bp (u) u − γ ∈ H01 (Ω),

dans Ω,

[F (u)F  (u) + bp (u)] dx = j(t, ||u+ ||L∞ (Ω) ), ∀ t ∈ [inf Ω u, supΩ u] .

On montre que ce probl`eme est ´equivalent a` : −∆u(x) = a(x)Fu (x) + p (u(x))[b(x) − b∗u (|u > u(x)|)] +jt (u+ (x), u+∗ (0))u+∗ (|u > u(x)|) o` u

' Fu (x) = Fv2 − 2 



|u>u+ (x)| |u>0|

|u>u+ (x)|

+2 |u>0|

dans Ω,

[p(u∗ )] (s)]b∗u (s)ds ( 12

jt (u+∗ (s), u+∗ (0))(u+∗ (s))2 ds +

et b∗u = lim

λ→0

(u + λb)∗ − u∗ . λ

Probl` eme ouvert : Dans l’´etat actuel de la recherche, on ne sait pas calculer directement la limite (u + λv)∗ − u∗ ponctuelle de (σ) quand λ  0, (σ ∈ Ω∗ ). λ N´eanmoins, une r´eponse peut ˆetre donn´ee (voir chapitre 7 ou l’article de Rakotoson-Seoane [101]) si u est r´eguli`ere ou en escallier et v ∈ Lp (Ω).) A d´efaut  de calcul direct, on va s’int´eresser `a la d´eriv´ee directionnelle de s

F (s,·)

u −−−−→

0

u∗ (σ)dσ pour u ∈ L1 (Ω), s ∈ Ω∗ .

2.1 Calcul d’une d´ eriv´ ee directionnelle : le r´ earrangement relatif Consid´erons u et v deux fonctions int´egrables et d´efinissons pour s ∈ Ω∗  w(s) =

 v(x)dx +

{u>u∗ (s)}

0

s−|u>u∗ (s)|



v|{u=u∗ (s)}

 ∗

(σ)dσ

2.1 Calcul d’une d´eriv´ee directionnelle: le r´earrangement relatif



o` u v|{u=u∗ (s)} d´esigne la restriction de v ` a {u = u∗ (s)} et v|{u=u∗ (s)} r´earrangement d´ecroissant.

33

 ∗

son

Th´ eor` eme 2.1.1 (d´eriv´ee Directionnelle). Pour tout s ∈ Ω∗ , pour u et v dans L1 (Ω), lim

λ→0, λ>0

F (s, u + λv) − F (s, u) = w(s). λ

Corollaire 2.1.1 (du th´eor`eme de D´eriv´ee directionnelle). On suppose que v ∈ Lp (Ω), 1
p
+∞. Alors, 1. w ∈ W 1,p (Ω∗ )  (u + λv)∗ − u∗ dw dans Lp (Ω∗ )-faible si 1
p < +∞, 2.  λ→0 ds λ dans L∞ (Ω∗ )-faible-* sinon. Quelques r´ esultats pr´ eliminaires. Notre preuve sera bas´ee sur quelques r´esultats d’analyse convexe. Ceci est dˆ u au fait que : Lemme 2.1.1. F (s,·)

L’application u ∈ L1 (Ω) −−−−→ topologie forte, ∀s ∈ Ω∗ .

 0

s

u∗ (σ)dσ est convexe et continue pour la

Preuve. Soit s ∈ Ω∗ . On a vu que pour tout λ > 0, u et v int´egrables, nous avons :  s  s  s (λu + v)∗ (σ)dσ
(λu)∗ (σ)dσ + v∗ (σ)dσ 0

0



s

=λ 0

u∗ (σ)dσ +

0



s

0

v∗ (σ)dσ.

D’o` u la convexit´e de F (s, ·). De plus, par la propri´et´e de contraction, on d´eduit :  |u − v| dx. |F (s, u) − F (s, v)|
Ω



D´ efinition 2.1.1 (fonction polaire ou conjugu´ee). On appelle fonction polaire de F (s, ·)  la fonction d´efinie sur L1 (Ω) = L∞ (Ω) donn´ee par 

 qv dx − F (s, v) , pour q ∈ L∞ (Ω). F ∗ (s, q) = sup v∈L1 (Ω)

Ω

34

2 R´earrangement relatif

D´ efinition 2.1.2 (sous-diff´erentielle). Soient u ∈ L1 (Ω), s ∈ Ω∗ . On appelle sous-diff´erentielle de F (s, ·) au point u, l’ensemble :

  ∞ 1 ∂F (s, u)= q ∈ L (Ω) : q(v − u)
F (s, v) − F (s, u), ∀v ∈ L (Ω) . Ω

Proposition 2.1.1. 

 qudx . ∂F (s, u) = q ∈ L∞ (Ω), F ∗ (s, q) + F (s, u) = Ω

Preuve. Pour q ∈ L∞ (Ω), on a  q(v − u)
F (s, v) − F (s, u),

∀v ∈ L1 (Ω)

Ω





⇐⇒

qv dx − F (s, v)
Ω

⇐⇒ F ∗ (s, q)




qu dx − F (s, u),

∀v ∈ L1 (Ω)

Ω

qu dx − F (s, u)
F ∗ (s, q)

Ω



∗

⇐⇒ F (s, q) + F (s, u) =

qu dx. Ω



D’o` u le r´esultat. Proposition 2.1.2. Soient u et v dans L1 (Ω). F (s, u + λv) − F (s, u) = λ

  = Max qv dx, q ∈ ∂F (s, u) .

F  (s, u; v) =

lim

λ→0,λ>0

Ω



Preuve. Si q ∈ ∂F (s, u), alors ∀λ > 0, D’o` u 

qv dx
F (s, u + λv) − F (s, u).

λ Ω





qv dx
F (s, u; v) =⇒ Max Ω

qv,

 q ∈ ∂F (s, u)
F  (s, u; v).

Ω

Pour montrer la r´eciproque posons, pour u et s fix´es, ϕλ (v) =

F (s, u + λv) − F (s, u) . λ

2.1 Calcul d’une d´eriv´ee directionnelle: le r´earrangement relatif

35

La fonction λ → F (s, u + λv) est convexe donc l’application λ → ϕλ (v) lim ϕλ (v) = Inf ϕλ (v) = F  (s, u; v). est croissante sur IR+ . Par suite, λ→0, λ>0

λ>0

Calculons la fonction polaire de F  (s, u; ·) : soit q ∈ L∞ (Ω) = L1 (Ω) 

 ∗    qv dx − F (s, u; v) F (s, u; ·) (q) = sup v∈L1 (Ω)

 =

 qv dx + sup − ϕλ (v) 

sup v∈L1 (Ω)

Ω

=

sup

sup

v∈L1 (Ω) λ>0

 Ω



sup

= sup

Ω

λ>0 v∈L1 (Ω)

λ>0

 qv dx − ϕλ (v)  qv dx − ϕλ (v)

Ω

= sup ϕ∗λ (q) λ>0



 F (s, u + λv) F (s, u) = sup qv dx − + λ λ v∈L1 (Ω) Ω

  F (s, w) w−u F (s, u) = sup dx − q + λ λ λ w∈L1 (Ω) Ω 
 1 = qu dx . F ∗ (s, q) + F (s, u) − λ Ω

or

ϕ∗λ (q)

Puisque 

∗

qu dx  0 ∀q ∈ L∞ (Ω), ∀u ∈ L1 (Ω)

F (s, q) + F (s, u) − Ω

alors



∗ F (s, u; ·) (q) = sup ϕ∗λ (q) = 

λ>0

 0 +∞

si q ∈ ∂F (s, u) sinon.

∗ Par suite, le polaire de F  (s, u; ·) est 



∗∗ F (s, u; ·) (v) = 

∗  qv dx − F (s, u; ·) (q)





sup q∈L∞ (Ω)

Ω


 =

sup q∈∂F (s,u)



 qv dx .

Ω

Mais l’application v → F  (s, u; v) est convexe, continue car |F  (s, u; v) − F  (s, u; v)|
|v − v|L1 (Ω) ,

36

2 R´earrangement relatif

(donc aussi partout finie), par suite (voir H. Br´ezis, [24]) on d´eduit: ∗∗  = F  (s, u; ·). F  (s, u; ·) 




D’o` u 

F (s, u; v) =

sup q∈∂F (s,u)

qv dx . Ω



La prochaine ´etape consiste `a calculer ∂F (s, u) et ce supremum. Lemme 2.1.2. Pour s fix´e dans Ω∗ , u ∈ L1 (Ω), d´efinissons la fonctionnelle  Gs (v) = (v − u∗ (s))+ dx + su∗ (s), Ω

v ∈ L1 (Ω). Alors

∂F (s, u) ⊂ ∂Gs (u).

Preuve. Soit q ∈ ∂F (s, u), s et u fix´es. On a vu pr´ec´edemment (voir expression  s

0

u∗ (σ)dσ au chapitre 1) que F (s, v)
Gs (v), F (s, u) = Gs (u). Alors

∀v ∈ L1 (Ω), on a  q(v − u)dx
F (s, v) − F (s, u)
Gs (v) − F (s, u). Ω

 q(v − u)
Gs (v) − Gs (u) : q ∈ ∂Gs (u).

D’o` u



Ω

Lemme 2.1.3. Pour s et u fix´es, on a :  ∂Gs (u) = q ∈ L∞ (Ω) : 0
q
1, q = χ{u>u∗ (s)} + z  avec support z ⊂ {u = u∗ (s)} . Preuve. Soit q ∈ ∂Gs (u). Alors ∀v ∈ L1 (Ω)    q(v − u)dx
(v − u∗ (s))+ dx − (u − u∗ (s))+ dx. Ω

Ω ∞

Ω

Soient ϕ ∈ L (Ω) et λ > 0, alors en choisissant v = u + λϕχ{u=u∗ (s)} , on d´eduit que

2.1 Calcul d’une d´eriv´ee directionnelle: le r´earrangement relatif



 qϕ dx {u=u∗ (s)}

∀ϕ ∈ L∞ (Ω).

ϕ dx

=

37

{u=u∗ (s)}

En effet, en posant :     u + λϕχu=u∗ (s) − u∗ (s) + (x) − u − u∗ (s) + (x) fλ (x) = λ u par le th´eor`eme de la alors quand λ → 0, fλ (x) tend vers ϕχ{u>u∗ (s)} . D’o` convergence domin´ee on a 




lim

ϕq dx

λ→0

{u=u∗ (s)}

ϕ dx

fλ (x)dx = Ω

,

{u>u∗ (s)}

ce qui fournit l’´egalit´e. Ainsi q(x) = χ{u>u∗ (s)} si u = u∗ (s). De mˆeme si on choisit v = u + ϕχ{u=u∗ (s)} , ϕ ∈ L∞ (Ω), alors : 




ϕq dx {u=u∗ (s)}

ϕ+ dx . {u=u∗ (s)}

Si ϕ  0 ceci entraˆıne q
1 et si on choisit ϕ
0 alors on a 
0 : q  0.

ϕq dx {u=u∗ (s)}

On conclut : 0
z
1,

q(x) = χ{u>u∗ (s)} (x) + z(x),

supp z ⊂ {u = u∗ (s)} .

R´eciproquement, si q est de cette forme, alors 



 q(v − u) = Ω

q(v − u∗ (s))dx − Ω




 (v − u∗ (s))+ dx −

Ω

(u − u∗ (s))dx {u>u∗ (s)}

(u − u∗ (s))+ dx : q ∈ ∂Gs (u). Ω



Pour calculer ∂F (s, u), rappelons que

  ∞ ∗ ∂F (s, u) = q ∈ L (Ω) : F (s, q) + F (s, u) = qu dx , Ω

il nous faut calculer la fonction polaire F ∗ (s, q).

38

2 R´earrangement relatif

Lemme 2.1.4. Soit q ∈ ∂Gs (u). Alors, 

⎧ ⎨0 F ∗ (s, q) = ⎩ +∞

si

q(x)dx = s Ω

.

sinon

Preuve. sup v∈L1 (Ω)

=



 qv dx − min ts + (v − t)+ dx



F ∗ (s, q) =

sup

sup

v∈L1 (Ω)

t



= sup −ts + t

t

Ω



Ω



qv dx − ts − Ω

(v − t)+ dx Ω





 qv dx −

sup v∈L1 (Ω)



Ω

(v − t)+ dx

.

Ω

Or, 





qv −

(v − t)+ dx =

Ω

Ω



Ω



Ω

D’o` u F ∗ (s, q) = 
 = sup t t

q dx − Ω



(q − 1)(v − t)+ dx −

=



q(v − t)dx + t

(v − t)+ dx Ω



q(v − t)− dx + t Ω

qdx. Ω

 

  q dx − s + sup (q − 1)(v − t)+ dx− q(v − t)− dx . v∈L1 (Ω)

Ω

Ω

Ω

Puisque q ∈ ∂Gs (u), alors 0
q
1. Par suite,   (q − 1)(v − t)+ dx − q(v − t)− dx
0. Ω

Ω

En prenant v = t, on voit que : 

  sup (q − 1)(v − t)+ dx − q(v − t)− dx = 0. v∈L1 (Ω)

D’o` u

Ω

Ω

 ⎧  ⎨


 0 si q(x)dx = s F ∗ (s, q) = sup t q dx − s = . Ω ⎩ t Ω +∞ sinon 

On d´eduit ainsi :

2.1 Calcul d’une d´eriv´ee directionnelle: le r´earrangement relatif

39

Corollaire 2.1.2.

   ∂F (s, u) = q ∈ ∂Gs (u) : F (s, u) = qu dx, q(x)dx = s ⇐⇒ Ω Ω  ∂F (s, u) = q ∈ L∞ (Ω), q = χ{u>u∗ (s)} + z, avec suppz ⊂ {u = u∗ (s)}   s   et u∗ (σ)dσ = qu dx, q(x)dx = s . 0

Ω

Ω

Corollaire 2.1.3 (du corollaire 2.1.2). Pour tout s ∈ Ω∗  ∂F (s, u) = q = χ{u>u∗ (s)} + z, 0
q
1, supp z ⊂ {u = u∗ (s)}  et

 z(x) dx = s − |u > u∗ (s)| .

{u=u∗ (s)}

Preuve. Examinons de plus pr`es ∂F (s, u)  s  u∗ (σ)dσ = qu dx ⇐⇒ 0 Ω ⎛   s  |u∗ >u∗ (s)| ⎜ ⎜ u∗ (σ)dσ − u∗ (σ)dσ = ⎝ z dx 0

0

⎞

{u=u∗ (s)}

⎛ ⎜   ⇐⇒ u∗ (s) s − |u > u∗ (s)| = u∗ (s) ⎜ ⎝

⎟ ⎟ u∗ (s) ⎠ ⎞

 z dx {u=u∗ (s)}

⎟ ⎟. ⎠

Si u∗ (s) = 0 alors on a donc : 

 = s − |u > u∗ (s)| ⇐⇒

z dx {u=u∗ (s)}



s

0

u∗ (σ)dσ =

qu dx, Ω

 q(x)dx = s.

d’o` u l’on d´eduit que Ω

Si u∗ (s) = 0 alors par ´equimesurabilit´e on a toujours  0



s

u∗ (σ)dσ = Ω



 q(x)dx = s ⇐⇒

qu dx et Ω

z(x) dx = s − |u > 0| . {u=0}



40

2 R´earrangement relatif

Th´ eor` eme 2.1.2 (expression de F  (s, u; v)). Soient u et v dans L1 (Ω), s ∈ Ω∗ . Alors, 



 v dx

F (s, u; v) =

+

{u>u∗ (s)}

Preuve. On sait que F  (s, u; v) = Max

 Ω

s−|u>u∗ (s)|



v|{u=u∗ (s)}

 ∗

(σ)dσ .

0

 qv dx, q ∈ ∂F (s, u) avec q = χ{u>u∗ (s)} + z

 on a : F  (s, u; v) =

v dx

+

{u>u∗ (s)}

⎧ ⎪ ⎨ + Max

⎪ ⎩

zv dx , 0
z
1, supp z ⊂ {u = u∗ (s)},

Ω

 z(x)dx = s − |u > u∗ (s)| {u=u∗ (s)}

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

 =

v dx

+

{u>u∗ (s)}

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ + Max

⎪ ⎪ ⎩

 zv dx , 0
z
1,

{u=u∗ (s)}

z(x)dx = s − |u > u∗ (s)| {u=u∗ (s)}

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

.

D’apr`es les corollaires des in´egalit´es de Hardy-Littlewood, on a : ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪   ⎨ ⎬ zv dx , 0
z
1, z(x)dx = s − |u > u∗ (s)| = Max ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ {u=u∗ (s)} ⎭ {u=u∗ (s)}  =

s−|u>u∗ (s)|



v|{u=u∗ (s)}

 ∗

dσ .

0

D’o` u le r´esultat.



2.1 Calcul d’une d´eriv´ee directionnelle: le r´earrangement relatif

41

Th´ eor` eme 2.1.3. Soient u ∈ L1 (Ω), v ∈ Lp (Ω), 1
p
+∞. Alors
 d  d F (·, u + λv) − F (·, u) F (·, u; v) 1.  λ 0 ds ds λ p dans L (Ω∗ )-faible si 1
p <+∞; dans L∞ (Ω∗ )-faible-* si p =+∞. 2. En particulier, F  (·, u; v) ∈ W 1,p (Ω∗ ).

D´ efinition 2.1.3 (du r´earrangement relatif ). Sous les mˆemes conditions que le th´eor`eme ci-dessus, on appelle le r´earrangement relatif de v par rapport ` a u la fonction v∗u =

d  F (·, u; v) ∈ Lp (Ω∗ ). ds

F (s, u + λv) − F (s, u) = wλ (s), λ > 0. λ Alors en utilisant la propri´et´e de contraction, on a : ∀s ∈ Ω∗    dwλ   1. |wλ (s)|
|v|L1 (Ω) , 
|v|Lp (Ω) . ds  p

Preuve du Th´ero`eme 2.1.3. Posons

L (Ω∗ )

2. Puisque lim wλ (s) = F  (s, u; v) on a ∀ϕ ∈ L∞ (Ω∗ ), λ→0







ϕ(s)F (s, u; v)ds = lim Ω∗



λ→0

ϕ(s)wλ (s)ds Ω∗

 dwλ d   F (·, u; v). dans D (Ω∗ ) . ds ds Par suite, si 1 < p
+∞ alors d’apr`es les relations (1) et (2) on a : donc

3. |F  (s, u; v)|
|v|L1 (Ω) . 4. ∀ϕ ∈ Cc1 (Ω∗ ), on a      ϕ (s)F  (s, u; v)ds
|v| p L (Ω) · |ϕ|Lp
(Ω∗ )   Ω

dϕ dwλ ). Par cons´equent F  (·, u; v) ∈ W 1,p (Ω∗ ). Comme reste dans ds ds   dwλ =− ϕ ϕ (s)F  (s, u; v)ds, on d´eduit que un born´e de Lp (Ω∗ ) et lim λ→0 Ω ds Ω d  dwλ  F (·, u; v) dans Lp (Ω∗ ) faible si 1 < p < +∞ et dans L∞ (Ω∗ )ds λ→0 ds faible-* si p = +∞. Pour le cas p = 1, on va utiliser le crit`ere de Dunford-Pettis, i.e.     dwλ    ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 t.q. si |A|
δ(ε) alors  ds  ds
ε, ∀λ > 0. A

(o` u ϕ =

42

2 R´earrangement relatif

dwλ reste dans un born´e de En effet, cette propri´et´e assure que le fait que ds d  dwλ L1 (Ω∗ ), entraˆıne que converge F (·, u; v) dans L1 (Ω∗ ) faible (en utilds ds isant (2)). Pour montrer la propri´et´e de Dunford-Pettis, fixons ε > 0 et vε ∈ L∞ (Ω) ε ε t.q. |v − vε |L1
et δε > 0 t.q. 2 |vε |∞
. 2 δε F (s, u + λvε ) − F (s, u) et soit A un sous-ensemble Posons wλ,ε (s) = λ mesurable de Ω∗ . Si |A|
δε alors on a :           dwλ   dwλ  dwλ,ε  dwλ,ε  
    + −  ds   ds  ds  ds  A A A        (u + λvε )∗ − (u + λv)∗   (u + λvε )∗ − u∗      = +    λ λ A A
|vε − v|L1 + |vε |L∞ |A|


ε ε + = ε. 2 2 

2.2 Propri´ et´ es imm´ ediates du r´ earrangement relatif

Proposition 2.2.1. Soient u ∈ L1 (Ω) et v ∈ Lp (Ω), 1
p
+∞. (a) |v∗u |Lp (Ω∗ )
|v|Lp (Ω) . (b) Si v1
v2 vi ∈ Lp (Ω) alors v1∗u
v2∗u . (c) L’application v ∈ Lp (Ω) → v∗u ∈ Lp (Ω∗ ) est une contraction. (d) ∀Φ : IR → IR lipschitzienne et convexe on a :   Φ(v1∗u − v2∗u )dσ
Φ(v1 − v2 )dx. Ω∗

Ω

Preuve des propri´et´es. (a) Pour montrer que |v∗u |p
|v|p . On a

 
|v∗u |p = sup v∗u ϕdσ, ϕ ∈ Lp (Ω∗ ), |ϕ|Lp

1 Ω∗

1 1 + = 1. p p

2.2 Propri´et´es imm´ediates du r´earrangement relatif

43

Mais avec l’in´egalit´e de H¨older, on conclut que :   dwλ ϕdσ
|ϕ|p
· |v|p v∗u ϕdσ = lim λ→0 Ω dσ Ω∗ ∗      dwλ   
|v| . D’o` d’apr`es le lemme pr´ec´edent,  u le r´esultat. p dσ p (b) Soit v1 et v2 deux ´el´ements de L1 (Ω), u ∈ L1 (Ω). Alors, ∀λ > 0, (u + λv1 )∗
(u + λv2 )∗ si v1
v2 p.p. Ainsi ∀ϕ ∈ D(Ω∗ ), ϕ  0 nous avons :   (u + λv1 )∗ − u∗ (u + λv2 )∗ − u∗ ϕ
ϕ λ λ Ω∗ Ω∗ quand λ  0, on d´eduit   v1∗u ϕ
Ω∗

v2∗u ϕ =⇒ v1∗u
v2∗u p.p..

Ω∗

(c) En raisonnant comme en (a) et (b) si v1 et v2 sont dans Lp (Ω), 1

p
+∞, u ∈ L1 (Ω), alors, ∀ϕ ∈ Lp (Ω∗ ) la propri´et´e de contraction et l’in´egalit´e de H¨older impliquent que    (u + λv1 )∗ − (u + λv2 )∗ ϕdσ
|ϕ|p
|v1 − v2 |p . λ Ω∗ En faisant tendre λ vers z´ero, on a:  (v1∗u − v2∗u )ϕdσ
|ϕ|p
|v1 − v2 |p




∀ϕ ∈ Lp (Ω),

Ω∗

ce qui entraˆıne que : |v1∗u − v2∗u |p
|v1 − v2 |p . Ce qui prouve que l’application v ∈ Lp (Ω) → v∗u ∈ Lp (Ω∗ ) est une contraction. (d) Puisque l’application v → v∗u est continue, il suffit de montrer que ∀v ∈ L∞ (Ω), ∀Φ : IR → IR convexe, lipschitzienne on ait:   Φ(v∗u )dσ
Φ(v)dx ∀u ∈ L1 (Ω). Ω∗

Ω

En effet, si on note v k = Tk (v) (troncature de v) alors v k → v si v ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞, alors, comme on a :    k  k Φ(v∗u )(σ) − Φ(v∗u )(σ)
|Φ |∞ v∗u (σ) − v∗u (σ) , on d´eduit que : 

 lim k

Ω∗

k Φ(v∗u )(σ) =

Φ(v∗u )dσ. Ω∗

44

2 R´earrangement relatif





Comme

Φ(v k ) =

lim k

 l’in´egalit´e Ω∗

k Φ(v∗u )dσ



Ω




Φ(v), Ω



 Φ(v∗u )


k

Φ(v ) entraˆınerait Ω

Ω∗

Φ(v). Ω

Pour prouver l’in´egalit´e dans le cas d’une fonction born´ee, on introduit pour vi ∈ L∞ (Ω), i = 1, 2, v = v1 − v2 et le convexe : 

  Φ(h)dσ
Φ(v)dx K(v) = h ∈ L2 (Ω∗ ), Ω∗

Ω

(o` u Φ : IR → IR convexe lipschitzienne). C’est un ferm´e pour la topologie forte de L2 (Ω∗ ). Par suite K(v) est faiblement ferm´e. Pour u ∈ L1 (Ω),
   dwλ dwλ (u + λv1 )∗ − (u + λv2 )∗ = v´erifie Φ Φ(v)dx dσ
ds λ dσ Ω∗ Ω dwλ  v1∗u − v2∗u dans L2 (Ω∗ )(voir les th´eor`emes de contraction) et dσ λ→0   Φ(v1∗u − v2∗u )
Φ(v) car v1∗u − v2∗u ∈ K(v). 

faible. Donc Ω∗

Ω

Remarque. D’autres extensions sont possibles pour la contraction par exemple si ρ : IR+ → IR+ convexe, v1 et v2 dans L∞ (Ω) alors   ρ (|v1∗u − v2∗u |) dσ
ρ (|v1 − v2 |) dx, ∀u ∈ L1 (Ω). Ω∗

Ω

Corollaire 2.2.1 (de la proposition 2.2.1). Si v ∈ Lp (Ω), 1
p
+∞, u ∈ L1 (Ω)  s  s 1. ∀s ∈ Ω∗ , |v∗u |∗ (σ)dσ
|v|∗ (σ)dσ. 0

0

2. Si v ∈ Lp,q (Ω) alors v∗u ∈ Lp,q (Ω∗ ) et |v∗u |(p,q)
|v|(p,q) . Preuve. C’est une cons´equence des ´equivalences qu’on a montr´ees auparavant et de la d´efinition de Lp,q (Ω). En effet la fonction σ → (|σ| −  t)+ est convexe, s

on d´eduit, par les propri´et´es donn´ees au chapitre 1, que ∀t :  s |v|∗ (σ)dσ. L’assertion (1) implique (2). 0

0

|v∗u |∗ (σ)dσ


2.2 Propri´et´es imm´ediates du r´earrangement relatif

45

On sait que si 1
q
p < +∞ alors l’application f → |f |p,q est une norme. On peut alors, dans ce cas montrer que |v∗u |p,q
|v|p,q . La preuve est incluse dans le r´esultat g´en´eral suivant qui avec le corollaire 1.3.3 montre que l’application r´earrangement est une contraction de Ba (Ω, ρ) dans Ba (Ω∗ , ρ) si ρ est invariant par r´earrangement. Th´ eor` eme 2.2.1 (Lorentz-Luxembourg). Soit ρ une norme non triviale sur L0 (Ω∗ ). On suppose que la norme ρ est une norme de Fatou, invariante par r´earrangement. Soient f, g dans L0 (Ω∗ ),   s

si f  0, g  0 v´erifient ∀s  0,

0

s

f∗ (σ)dσ


0

g∗ (σ)dσ, alors

ρ(f )
ρ(g). On admettra ce th´eor`eme, voici quelques ´el´ements de sa preuve. On rappelle sur L0 (Ω∗ ), la norme dite associ´ee :

  |ψϕ| dσ : ρ(ψ)
1 . ρ (ϕ) = sup Ω∗

Alors



|f ϕ| dσ
ρ (ϕ) · ρ(f )

si f ∈ L0 (Ω∗ ), ρ (ϕ) < +∞.

Ω∗



On d´eduit de la proposition 1.5.3 et du th´eor`eme de Lorentz-Luxemburg concernant la norme associ´ee de ρ le : Lemme 2.2.1. Si ρ est une norme de Fatou alors

  ρ(f ) = sup |f ϕ| dσ : ρ (ϕ)
1 Ω∗

et si ρ est invariante par r´earrangement 

 f∗ |ϕ|∗ dσ : ρ (ϕ)
1 . f  0, ρ(f ) = sup Ω∗

On peut alors montrer Lemme 2.2.2.  s  s f∗ (σ)dσ
g∗ (σ)dσ ∀s ∈ Ω∗ , alors ∀ϕ ∈ L0 (Ω∗ ), Si f  0, g  0, 0 0 on a :   f∗ |ϕ|∗ dσ
g∗ |ϕ|∗ dσ. Ω∗

Ω∗

46

2 R´earrangement relatif

Preuve. Si |ϕ|∗ (|Ω|) = 0 alors   f∗ |ϕ|∗ = − Ω∗







− Ω∗

0


 Ω∗



s



s

0

f∗ (t)dt d |ϕ|∗


g∗ (t)dt d |ϕ|∗ =

Ω∗

g∗ |ϕ|∗ dσ.

Si |ϕ|∗ (|Ω|) = 0, alors on consid`ere ⎧ ⎨|ϕ| (σ) si 0
σ < |Ω| − 1 n+1 . ϕn (σ) = ⎩0 sinon 1 . Par suite 0
ϕn
ϕn+1 → |ϕ| p.p. et ϕn∗ (σ) = 0, si σ > |Ω| − n+1   Comme f∗ ϕn∗ (σ)dσ
g∗ (σ)ϕn∗ (σ)dσ, on conclut avec le th´eor`eme Ω∗

Ω∗

de Beppo-Levi. 

Ainsi, on d´eduit le th´eor`eme 2.2.1,

 

  ρ(f ) = sup f∗ |ϕ|∗ , ρ (ϕ)
1
ρ(g) = sup g∗ |ϕ|∗ , ρ (ϕ)
1 . Ω∗

Ω∗

Comme application, on peut consid´erer :   q dt  q1 1 ρ(f ) = |f |p,q = t p |f |∗ (t) 1
q
p < +∞ t Ω∗  est une norme sur L0 (Ω∗ ) et Lp,q = f ∈ L0 (Ω∗ ) : ρ(f ) < +∞ . Elle est de Fatou et invariante par r´earrangement. On a montr´e que  s  s |v∗u |∗ (σ)dσ
|v|∗ (σ)dσ ∀s ∈ Ω∗ 0

0

alors

 ρ(v∗u )
ρ(|v|∗ ) =

Ω∗



q dt  q1 1 t p |v|∗ (t) , t

soit |v∗u |Lp,q (Ω∗ )
|v|Lp,q (Ω) . 

Plus g´en´eralement, sous les hypoth`eses du th´eor`eme 2.2.1, ρ(|v∗u |)
ρ(|v|∗ ). En particulier si u est sans palier, on retrouve la propri´et´e de contraction ρ(|v1∗v − v2∗u |)
ρ(|v1 − v2 |), ρ ´etant une norme de Fatou invariante par r´earrangement.

2.3 Op´erateurs moyennes de premi`ere esp`ece

47

2.3 Op´ erateurs moyennes de premi` ere esp` ece Les op´erateurs moyennes vont nous permettre de passer d’une int´egrale d´efinie a une int´egrale d´efinie sur Ω. sur Ω∗ ` D´ efinition 2.3.1. Soit u : Ω → IR mesurable. P, P∗ sont respectivement l’ensemble des paliers de u et  de u∗ : Pi , P∗ = Pi∗ , |Pi | = |{u = ti }| = |Pi∗ | = |{u∗ = ti }]. P = i∈D

i∈D

Pour presque tout x ∈ Ω, on note :   βu (x) = β(u)(x) = |u > u(x)| = mu u(x) β u (x) = β(u)(x) = |u  u(x)|   δ(u)(x) = β(u)(x), β(u)(x) . Si x ∈ Pi , on note si = β(u)(x), si = β(u)(x), ainsi Pi∗ = [si , si ). Lemme 2.3.1. Soient P l’ensemble des paliers de u, P∗ celui de u∗ et N un ensemble mesurable de Ω∗ on note : βu−1 (N ) − P = {x ∈ Ω\P : β(u)(x) ∈ N } avec β = β ou β.   Alors si |N | = 0, βu−1 (N ) − P  = 0. Preuve. Soit ε > 0, il existe un ouvert Oε : N ⊂ Oε ⊂ Ω∗ , |Oε |
ε, alors βu−1 (N ) − P ⊂ βu−1 (Oε ) − P. Il suffit donc de montrer que  −1  βu (Oε ) − P 
ε.  −1  βu (Oε ) − P  =







χOε (β(u)(x)) · χ

ti

IR−

Ω

 u(x) dx.

i∈D

La fonction t → χOε (mu (t))·χ



IR−

ti

(t) est une fonction positive bor´elienne

i∈IR

alors, par ´equimesurabilit´e nous avons :    −1    βu (Oε ) − P  = χOε βu∗ (u∗ (s) · χ Ω∗



IR− i∈IR

 ti

 u∗ (s) ds

48

2 R´earrangement relatif

    / P∗ alors mu∗ u∗ (s) = s car mu t = mu∗ t . Mais si s ∈   −1    βu (Oε ) − P  =  u∗ (s) ds
|Oε |
ε. χOε (s) · χ IR− ti Ω∗ i∈IR



D´ efinition 2.3.2. Soient u : Ω → IR mesurable, P (u) = P l’ensemble des paliers de u et P∗ celui de u∗ , g : Ω∗ → IR mesurable (d´efinie presque partout) positive ou g ∈ L1 (Ω∗ ). On d´efinit Mu (g) : Ω → IR par :  ⎧  ⎪ g β (x) si x ∈ Ω\P ⎪ u ⎨

 s Mu (g)(x) = i 1 ⎪ ⎪ g(s)ds si x ∈ Pi . ⎩ |Pi | s
i Mu (g) est bien d´efini presque partout dans Ω car par le lemme 2.3.1, on a g = g  p.p. =⇒ Mu (g)(x) = Mu (g  )(x) p.p..

Lemme 2.3.2. (i) Si g : Ω∗ → IR mesurable positive ou si g est int´egrable alors   g(σ)dσ = Mu (g)dx. Ω∗

(ii) ∀p ∈ [1, +∞],

Ω

  Mu ∈ L Lp (Ω∗ ), Lp (Ω) et Mu = 1.

Preuve. Il suffit de prouver, pour g  0 mesurable   g(σ)dσ = Mu (g)dx Ω∗ \P∗

Ω\P





et

g(σ) = Pi∗

Mu (g)dx. Pi

Soit g bor´elienne t.q. g = g p.p. Alors, on a : 

 g(σ) dσ =

Ω∗ \P∗

 g

Ω∗ \P∗

=



χ Ω∗

IR− i∈D

    u∗ (s) g mu∗ u∗ (s) ds

 ti

2.4 Op´erateurs moyennes de seconde esp`ece

 =





χ

ti

IR−

Ω

49

    u(x) g mu u(x) dx

i∈D



     g βu (x) dx . g βu (x) dx =

=

Ω\P

Ω\P

Par ailleurs, on a : 

 Pi∗



s

i

g=

g(σ) = s

i

Mu (g)dx . Pi

Ce qui ach`eve la preuve du lemme 

u si g ∈ L1 (Ω∗ ) alors Mu (g) ∈ L1 (Ω) Notons que : |Mu (g)|
Mu (|g|) d’o` et:     Mu (g) = Mu (g+ ) − Mu (g− ) = g(σ)dσ. Ω

Ω

Ω

Ω∗

Pour 1
p < +∞, on a presque partout :  p p p |Mu (g)(x)|
Mu (|g|) (x)
Mu (|g| ) (x), d’o` u



 p

|Mu (g)|
Ω

Ω

   p = Mu |g| Ω∗

⎫ p ⎪ |g| (σ)dσ ⎪ ⎬

g = cte , Mu g = g si p = ∞

⎪ ⎪ ⎭

=⇒ Mu = 1

|Mu (g)(x)|
|g|∞ : |Mu (g)|∞
|g|∞ .



D´ efinition 2.3.3 (op´erateurs moyennes de 1`ere esp`ece). L’application Mu : Lp (Ω∗ ) → Lp (Ω) est appel´ee op´erateur moyenne de premi`ere esp`ece.

2.4 Op´ erateurs moyennes de seconde esp` ece Soient u, v deux fonctions r´eelles mesurables. On peut d´efinir Mu,v de la fa¸con suivante :  P (u) = ensemble des paliers de u = Pi (u) i∈D

50

2 R´earrangement relatif

vi = v|Pi (u) , g : Ω∗ → IR mesurable  0 ou int´egrable. Alors Mu,v (g) : Ω → IR est donn´ee par :    g βu (x) si x ∈ Ω\P, Mu,v (g)(x) = Mvi (hi )(x) si x ∈ Pi ,   hi : 0, si − si = |Pi | → IR : hi (s) = g(si + s). Mvi est d´efinie comme Mu (Ω remplac´e par Pi ). On v´erifie  Ω∗ alors si g = g  p.p. dans   Mu,v (g) = Mu,v (g ) p.p. si g  0 alors

gdσ =  si g est int´egrable alors Ω∗

Ω

Mu,v (g)  g= Mu,v (g)

Ω∗

si v =cte Mu,v = Mu. Mu,v ∈ L Lp (Ω∗ ), Lp (Ω) ,

Ω

1
p
+∞,

Mu,v = 1.

Notons que : 

 Mu,v (g)dx =

 =

lemme sur Mvi

Mv i h i Pi

Pi




s

i −si

hi

s

i



g =

= s
i

0

Mu (g) . Pi

D´ efinition 2.4.1. Mu,v est appel´e op´erateur moyenne de seconde esp`ece.

Lemme 2.4.1. Soient g ∈ L1 (Ω∗ ) et gn une suite de L1 (Ω∗ ) t.q.  gn (σ) − → g(σ) p.p. n

gn → g dans L1 (Ω∗ ). Alors Mu (gn )(x) → Mu (g)(x) p.p. et Mu,v (gn )(x) → Mu,v (g)(x) p.p. dans Ω.

2.5 Formules int´egrales pour une fonction de deux variables et cons´equences

51

Preuve.  N = σ ∈ Ω∗ : gn (σ) ne tend pas vers g(σ) ou g(σ) n’existe pas alors   |N | = 0. Par cons´equent, x ∈ Ω\P : βu (x) ∈ N est de mesure nulle. Ainsi,     → g βu (x) p.p. x ∈ Ω\P . * gn βu (x) − n  s

i  s

i Comme gn (σ)dσ − → g(σ)dσ : Mu (gn )(x) → Mu (g)(x). n

s
i

s
i

→ g(si + s) p.p. dans Pi∗ alors hi,n (s) = gn (si + s) −

*

n

Mvi (hi,n )(x) → Mvi (hi )(x) p.p. dans Pi . Puisque D est au plus d´enombrable, on d´eduit : Mu,v (gn )(x) → Mu,v (g)(x) p.p.. 

2.5 Formules int´ egrales pour une fonction de deux variables et cons´ equences Soit F : Ω∗ × IR → IR une fonction d´efinie p.p. dans Ω∗ et partout dans IR. On suppose que F est de Carath´eodory, c’est `a dire p.p. s : t ∈ IR → F (s, t) est continue et ∀ t,

s ∈ Ω∗ → F (s, t) est mesurable.

On d´efinit MF (resp pour Mu F, Mu,v F ) par :     MF (x, t) = MF (·, t) (x).

Lemme 2.5.1.   (i) M F ◦ u∗ = (MF ) ◦ u,  (ii) Si F  0

F ◦ u∗ =

(MF ) ◦ u dx,

  (iii) Si F ◦ u∗ ∈ L (Ω∗ ), 1
p
+∞ alors MF ◦ u ∈ Lp (Ω):     
|F ◦ u∗ |Lp (Ω∗ ) .  MF ◦ u p Ω∗ p

Ω

L (Ω)

52

2 R´earrangement relatif

Preuve. Cas o` u M = Mu , si u(x) = ti , i ∈ D alors :  s

i  s

i       1 1 F s, u(x) ds = F s, ti ds • MF ◦ u(x) = |Pi | s
i |Pi | s
i =

1 |Pi |



s

i

s
i

    F s, u∗ (s) = MF ◦ u∗ (x).

Pour p.p. x ∈ Ω\P on a :          • Mu F ◦ u(x) = F βu (x), u(x) = F βu (x), u∗ βu (x) = Mu F ◦ u∗ (x) 

(i) et (ii) en d´ecoulent. La preuve est identique pour Mu,v .

Lemme 2.5.2. Soient v ∈ Lp (Ω), 1
p
+∞, u ∈ L1 (Ω). Soit w = w(u, v) la fonction d´efinie par le th´eor`eme 2.1.1. 1 1 Soit g ∈ Lq (Ω∗ ), + = 1, alors : q p    dw = gv∗u = g· Mu,v (g) · v dx. ds Ω∗ Ω∗ Ω Preuve. Si 1 < p
+∞, comme l’application g ∈ Lq (Ω∗ ) → Mu,v (g) ∈ Lq (Ω) est continue il suffit de montrer l’´egalit´e pour un sous-espace dense : g ∈ D(Ω∗ ). On a   s−s
i    v(x)χ]u∗ (s),+∞[ u(x) dx + χPi∗ (s) vi∗ dσ , w(s) = Ω

on ´ecrit que :

i∈D



  dg dw =− w =A+ g· Bi ds Ω∗ Ω∗ ds i∈D     dg avec A = − χ]u∗ (s),+∞[ u(x) v(x)dx Ω∗ ds Ω ⎤ ⎡ s 

i  s−s
i dg ⎢ ⎥ · ⎣ vi∗ dσ ⎦ ds. et Bi = − ds
si

0

Par le th´eor`eme de Fubini

0

2.5 Formules int´egrales pour une fonction de deux variables et cons´equences





A=−

v(x) Ω

 =−



Ω∗

  dg · χ]−∞,u(x)[ u∗ (s) ds ds



  dg ds = v(x)g βu (x) , puisque on a Ω βu (x) ds Ω     {u∗ (·) < u(x)} = βu (x), |Ω| et {u∗  u(x)} = 0, βu (x) . |Ω|

v(x)

Pour Bi on int`egre par parties : 

Bi = −g(si ) ·




s

i −si

s

i

g(s)vi∗ (s − si )ds .

vi∗ (σ)dσ + s
i

0

Le premier terme vaut :  =−

g(si )



g(si )vi (x)dx .

· vi∗ (σ) = −

Pi∗

Pi

Comme, si = βu (x), cette derni`ere int´egrale s’´ecrit : −g(si )






s

i −si

·

vi∗ (σ)dσ = − 0

g(βu (x))vi (x)dx . Pi

Quant au second terme, 

s

i

g(s)vi∗ (s −

si )ds

 =

s
i




s

i −si

g(σ +

si )



· vi∗ (σ)dσ =

 F ◦ vi∗ (s)ds

Pi∗

0

(avec F (s, t) = g(s + si ) · t)  =

  Mvi F ◦ vi dx =

Pi



   Mvi g · +si vdx =

Pi

 Mu,v (g)v dx. Pi

D’o` u, par combinaison des deux termes, on obtient :  Bi = −

 g(βu (x))v(x)dx +

Pi

Mu,v (g)v(x)dx , Pi

53

54

2 R´earrangement relatif

 g Ω∗

dw = ds



    g βu (x) v dx + Mu,v (g)v dx = Mu,v (g)v dx. P

Ω\P

Ω

Cas o` u p = 1. Pour g ∈ L∞ (Ω∗ ), on consid`ere une suite gn ∈ D(Ω∗ ) t.q. ⎧ 1 ⎪ ⎨gn → g dans L (Ω∗ ) . |gn |∞
|g|∞ ⎪ ⎩ gn → g p.p. Alors Mu,v (gn )(x) → Mu,v (g)(x) p.p. dans Ω (par le lemme 2.4.1 ). Ainsi si v ∈ L1 (Ω) |Mu,v (gn )v(x)|
|gn |∞ · |v(x)|
|g|∞ |v(x)| ∈ L1 (Ω) par le th´eor`eme de la convergence domin´ee, nous avons :   Mu,v (gn )v dx → Mu,v (g)v dx Ω

de mˆeme,

Ω



 gn · v∗u dσ − →

 d’o` u

 Mu,v (g)v =

Ω

g(σ) · v∗u (σ)dσ,

Ω

Ω

g(σ)v∗u (σ)dσ. Ω∗

En particulier pour g(s) = F ◦ u∗ (s)   (F ◦ u∗ ) v∗u = [(Mu,v F ) ◦ u] vdx. Ω∗

Ω



2.6 Applications des op´ erateurs moyennes Les applications de ces formules sont nombreuses, en voici des exemples. Proposition 2.6.1 (continuit´e faible de u → v∗u ). Soient uet v  deux ´el´ements de L1 (Ω). On suppose que u est sans palier i.e. mes P (u) = 0, un une suite de L1 (Ω) t.q. un (x) −−−−−→ u(x) p.p. n→+∞

dans Ω. Alors v∗un



n→+∞

v∗u dans L1 (Ω∗ )-faible.

2.6 Applications des op´erateurs moyennes

55

Preuve. Pour x ∈ Ω, β(un )(x) = |un > un (x)| , β(un )(x) = |un  un (x)|.   δ(un )(x) = β(un )(x), β(un )(x) . Notons alors, pour g ∈ D(Ω∗ ) Min

σ∈δ(un )(x)

g(σ)
Mun,v (g)(x)


Max

σ∈δ(un )(x)

g(σ).

On a toujours, |u > u(x)| = lim inf β(un )(x)
lim sup β(un )(x)
|u  u(x)| . n

n

  Si mes P (u) = 0 alors lim δ(un )(x) = β(u)(x). n  Donc lim Mun,v (g)(x) = g |u > u(x)| . Par le th´eor`eme de la convergence n domin´ee et la formule pr´ec´edente, on a    g(σ)v∗un (σ)dσ = lim Mun ,v (g)v dx = g(σ)v∗u (σ)dσ. lim n

n

Ω∗

Ω

Ω∗

Ainsi, v∗un  v∗u dans D (Ω∗ ). Mais |v∗un |L1
|v|L1 et ∀ E ⊂ Ω∗ mesurable 

 |v∗un |


E

|E|

0

|v|∗ .

Ainsi, v∗un v´erifie le crit`ere de Dunford et Pettis, par suite v∗un  v∗u dans L1 (Ω∗ )-faible.   L’hypoth`ese mes P (u) = 0 est utile. On peut construire une fonct.q. v∗un ne tend pas vers v∗u tion u ∈ L1 (Ω) et une suite un ∈ L1 (Ω)  (∀ v ∈ L1 (Ω)) dans D (Ω∗ ), et mes P(u) = 0 (voir chapitre 7). 

Dans le cas o` u u a un palier au moins, nous avons le r´esultat suivant g´en´eralisant le pr´ec´edent : Th´ eor` eme 2.6.1. Soient v ∈ L1 (Ω) et un , u une suite de L1 Ω) t.q. un (x) → u(x) p.p. dans Ω. Soit θ ∈ L  1 (Ω∗ ) t.q. θ(σ) = 0 si σ ∈ P (u∗ ). Alors, θv∗un  θv∗u dans L1 (Ω∗ )-faible. Preuve. Par densit´e, il suffit de consid´erer θ ∈ C(Ω ∗ ). Comme ci-dessus, si E ⊂ Ω∗ mesurable alors  |E|  |θv∗un | dt
|θ|∞ |v|∗ dt. 0

E

Il suffit alors de montrer ∀ g ∈ C(Ω ∗ )   gθv∗un = lim n

Ω∗

Ωn

gθv∗u dt.

56

2 R´earrangement relatif

Par la formule de la moyenne, on a :     gθv∗un dt = Mun v gθ (x)v(x)dx. Ω∗

Ω∗

Puisque θ(σ) = 0 si σ ∈ P (u∗ ), on d´eduit que      lim Mun v gθ (x) = gθ |u > u(x)| , n

notons que |u > u(x)| ∈ P (u∗ ) si x ∈ P (u). Par le th´eor`eme de la convergence domin´ee, et de nouveau la formule de la moyenne, on d´eduit le r´esultat.



Th´ eor` eme 2.6.2. Soient u et v dans L1 (Ω) et soit θ ∈ L1 (Ω∗ ) t.q. θ(σ) = 0 si σ ∈ P (u∗ ). Alors,   θ vχΩ\P (u) ∗u = θχΩ∗ \P (u∗ ) v∗u . Preuve. Si g ∈ C(Ω ∗ ) alors,  Ω∗

et

 Ω∗

  gθ vχΩ\P (u) ∗u dt =





θg



 |u > u(x)| v dx

Ω\P (u)







gθ χΩ∗ \P (u∗ ) v∗u dt =  =

Ω

  Mu,v gθχΩ∗ \P (u∗ ) v dx

   gθ |u > u(x)| v dx

Ω\P (u)

  (car χΩ∗ \P (u∗ ) |u > u(x)| = 1 si x ∈ Ω\P (u)).



2.7 Construction d’un r´ earrangement relatif d’une fonction v par rapport ` a une fonction u en escalier Dans ce paragraphe, nous allons donner un exemple de trac´e d’un r´earrangement relatif d’une fontion v par rapport a` une fonction u en escalier. Comme l’application v ∈ L1 (a, b) → v∗u ∈ L1 (0, b − a) est une contraction, on peut se restreindre a` des fonctions v en escalier pour illustrer le trac´e.

2.7 Construction d’un R.R. d’une fonct. v par rapport a ` une fonct. u en escalier 4

4

3.6

3.6

3.2

3.2

y

y

2.8

2.8

2.4

2.4

2

2

1.6

1.6

1.2

1.2

0.8

0.8

0.4 0

57

0.4 0.25

0.5

0.75

1

1.25

x

1.5

0.75

2

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

x

1.5

0.75

2

Fig. 2.1. R´earrangement relatif de v par rapport a `u

Soit u : [a, b] → IR, u(x) =

n 

uj χEj (x), x ∈ [a, b]. On commence par

j−1

trier les valeurs uj par ordre strictement d´ecroissant t1 > . . . > tp . On note Fj = {u = tj } et a0 = 0, a1 = |F1 |, a2 = |F1 | + |F2 |,. . . ,ap = b − a = |F1 | + . . . + |Fp | (notons aj − aj−1 = |Fj | = |{u = tj }|). On d´efinit vj = v restreint a` Fj et on applique l’algorithme de calcul du r´earrangement monotone `a vj , on obtient vj∗ (qui est une fonction en escalier pour v en escalier). On obtient v∗u en translatant les r´earrangements comme suit (voir Fig. 2.1): ⎧ v1∗ (s) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v2∗ (s − a1 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ v∗u (s) =

⎪ .. ⎪ ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ vp∗ (s − ap−1 ) ⎪ ⎪ ⎩

si 0
s < a1 si a1
s < a2 (translat´e de v2∗ `a partir de a1 en prenant une longueur |u = t1 |) si ap−1
s < ap = b − a (translat´ee de vp∗ sur [ap−1 , ap ])

Remarque. Pour d’autres trac´es du r´earrangement relatif lorsque v et u sont affines par morceaux par exemple et u v´erifiant |{x : u (x) = 0}| = 0, nous renvoyons a` l’article de Rakotoson-Seoane [101].

58

2 R´earrangement relatif

Voici un exemple explicite de r´earrangement relatif de fonctions continues : soient ⎧ ⎪ 0
x
1 ⎨x 5 1 1 I =]0, [= I∗ , v(x) = 3x, u(x) = 2 x + 2 1 < x
2 ⎪ 2 ⎩7 2 < x
52 2 −x alors

 6−s v∗u (s) = 3( 52 − s)

0
s < 32 3 5 2
s
2

Comme l’application u → b∗u n’est pas en g´en´eral fortement continue, on ne apartir des fonctions en escalier u. peut pas construire b∗u `    1,1 Si u ∈ W (Ω) t.q.  x : ∇u(x) = 0  = 0 et v ∈ L1 (Ω) alors a` partir de la formule de Federer (cf. p.158), appliqu´ee `a w(s), on d´eduit apr`es d´erivation, que pour presque tout σ ∈ Ω∗ :   dHN −1 v(x)dHN −1 (x) 1 v∗u (s) = , N  2. o` u a(s) = |∇u| a(s)   |∇u| (x) (x) u=u∗ (s)

u=u∗ (s)

Le calcul pr´ec´edent donne un sens faible a` v∗u pour u ∈ L1 (Ω). Une expression analogue peut ˆetre montr´ee pour N = 1. Ce calcul est justifi´e dans l’article de Rakotoson [92], D´ıaz-Rakotoson [51]. Il est laiss´e aux lecteurs. Voici un exemple o` u v est continue et u en escalier (voir figure 2.2) : v(x) = x 0
x
3, et

Alors

⎧ ⎪ ⎨2 u(x) = 1 ⎪ ⎩ 3

0
x < 1, 1
x < 2, 2
x
3.

⎧ ⎪ ⎨3 − s 0
s < 1, v∗u (s) = 2 − s 1
s < 2, ⎪ ⎩ 4 − s 2
s
3.

Pour la figure qui va suivre, sur la partie gauche nous avons les trac´es de u, u∗ , v, v∗ avec

2.7 Construction d’un R.R. d’une fonct. v par rapport a ` une fonct. u en escalier 3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5

59

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5

Fig. 2.2. R´earrangement relatif de v par rapport a `u

1

2

2

1.5

1.5

y

y

1

1

0.5

0.5

0.5

1 1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

5

5.5

6

1

0.5

− 0.5

− 0.5

−1

−1

1 1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x

Fig. 2.3. R´earrangement relatif de v(x) = sin(x) par rapport a `u

5

5.5

6

60

2 R´earrangement relatif

⎧ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨2 u(x) = ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 ⎪ ⎪ ⎩ 2

0<x<1 1<x<2 2<x<3 , 3<x<4 4<x<5 5<x<π

v(x) = sin(x)

et sur la partie droite le r´earrangement relatif de v∗u et le r´earrangement monotone {v∗u }∗ (voir Fig. 2.3). On voit que : {v∗u }∗ = v∗ , cette propri´et´e sera d´emontr´ee au chapitre 7. Notes pr´ e-bibliographiques Tous les r´esultats de ce chapitre (sauf le th´eor`eme 2.2.1 de LorentzLuxemburg qu’on peut trouver dans le livre de Chong et Rice) sont ´enonc´es soit dans le livre de J. Mossino, soit dans la th`ese de B. Simon, soit dans les articles de Mossino-Temam, soit ceux de l’auteur et/ou ses collaborateurs.

3 In´ egalit´ es du type Poly` a-Sz¨ ego et r´ egularit´ e du r´ earrangement

L’une des ´egalit´es que nous utiliserons fr´equemment pour estimer ponctuelle s  u∗ (σ)dσ. Mais une telle ´egalit´e ment u∗ est la suivante : u∗ (s) − u∗ (t) = t

n’est vraie que si u∗ est absolument continue sur [t, s]. Ainsi dans ce chapitre, nous allons montrer comment le r´earrangement relatif va nous permettre de r´epondre a` la question naturelle suivante : si u est r´eguli`ere (disons C k (Ω)) que peut-on dire de la r´egularit´e de u∗ ? A travers cette ´etude, on d´eduira des in´egalit´es qui lieront le gradient de u et la d´eriv´ee de u∗ . Ces in´egalit´es donneront les in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego classiques mais aussi diverses autres extensions. Mais auparavant, faisons quelques remarques pr´eliminaires. La nature du domaine doit intervenir dans le cas g´en´eral. En effet si Ω = Ω1 ∪ Ω2 , Ωi ouverts disjoints (Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅), alors la fonction caract´eristique de Ω 1 : u(x) = χΩ 1 (x) est une fonction continue sur Ω, u∗ : [0, |Ω|] → IR est donn´ee  1 si s ∈ [0, |Ω1 | [ par u∗ (s) = / C(Ω ∗ ). On montrera alors que . Donc u∗ ∈ 0 sinon u∗ ∈ C(Ω ∗ ) ⇐⇒ u(Ω) connexe, si u ∈ C(Ω) ∩ L∞ (Ω). Ensuite, pour montrer que mˆeme si on a une fonction u ind´efiniment d´erivable, analytique, son r´earrangement n’est pas n´ecessairement C 1 . En voici un exemple sur [−1, 2], consid´erons u(x) = x2 , alors, pour s ∈ [0, 3] ⎧ ⎪ si 0
s < 1 ⎨(2 − s)2
2 . u∗ (s) = 3−s ⎪ si 1
s
3 ⎩ 2 On note que u∗ ∈ / C 1 [0, 3]. Nous allons n´eanmoins montrer que si u ∈ C 0,1 (Ω), (Ω connexe r´egulier 0,1 ou u = 0 sur ∂Ω), alors u∗ ∈ Cloc (Ω∗ ). Commen¸cons par ´etudier la continuit´e de u∗ . D´esormais, Ω sera toujours un ouvert, born´e (pour simplifier).

62

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

3.1 Continuit´ e s → u∗(s) Th´ eor` eme 3.1.1 (continuit´e de u∗ ). Soit u ∈ C(Ω) ∩ L∞ (Ω). Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) u∗ ∈ C(Ω∗ ), (ii) u(Ω) est connexe. Preuve. (ii) =⇒ (i) Puisque u(Ω) est connexe alors on a :   u(Ω) = α = inf ess u, β = sup ess u ⊂ IR. Ω

Ω

On a toujours u∗ (0) = lim u∗ (s), u∗ (|Ω|) = lim u∗ (s). Soit maintenant, s 0

s |Ω|

s ∈ Ω∗ , comme u∗ est monotone alors elle admet une limite a` gauche et `a droite. De plus, nous savons que u∗ est continue `a droite. Par suite, u∗ (s− ) =

lim

h→0 h>0

u∗ (s − h), u∗ (s) =

lim

h→0 h>0

u∗ (s + h).

Si u∗ ´etait discontinue au point s alors |u∗ (s) < u∗ < u∗ (s− )| = 0. Soit par ´equimesurabilit´ e |u∗ (s) <u < u∗ (s− )| = 0. 

est contenu dans ]α, β[, il existe x ∈ Ω :   u∗ (s) < u(x) < u∗ (s− ) et par continuit´e, cet ensemble u∗ (s) < u < u∗ (s− ) contient une boule centr´ee au point x. Par cons´equent |u∗ (s) < u < u∗ (s− )| > 0 (d’o` u la contradiction). (i) =⇒ (ii) On raisonne par l’absurde. Si u(Ω) n’est pas connexe alors il existerait deux ferm´es non vides F1 et F2 t.q. F1 ∩ F2 = /0 et F1 ∪ F2 = u(Ω). u(Ω) ´etant un compact, F1 et F2 le sont aussi. Soient t1 ∈ F1 et t2 ∈ F2 , on peut supposer t1 < t2 . On pose c = sup F1 ∩ [t1 , t2 ]. Par compacit´e, on a c ∈ F1 ∩ [t1 , t2 ]. Soit d = inf F2 ∩ [c,  t2 ], de mˆeme d ∈ F2 ∩ [c, t2 ]. On a c < d car F1 ∩ F2 = ∅ et ]c, d[∩ F1 ∪ F2 = ∅.   Comme

u∗ (s) < u < u∗ (s− )

Mais comme u(Ω) = F1 ∪ F2 d’o` u x ∈ Ω : c < u(x) < d = ∅, soit |c < u∗ < d| = 0. Or inf ess u
c < d
sup ess u . Si u∗ ´etait continue sur Ω Ω   Ω∗ , il existerait s ∈ Ω∗ t.q. u∗ (s) ∈]c, d[ et h > 0 : u∗ s − h, s + h ⊂]c, d[. Alors |c < u∗ < d|  2h > 0. 

3.2 Formule de Fleming-Rishel

63

3.2 Formule de Fleming-Rishel Pour analyser la d´eriv´ee de u∗ nous avons besoin de quelques lemmes. Tout d’abord la notion de p´erim`etre au sens de De Giorgi qui ´etend la notion classique de p´erim`etre pour des ensembles bien r´eguliers. D´ efinition 3.2.1 (p´erim`etre d’un ensemble mesurable). •

Soit E un ensemble mesurable de Ω. On appelle p´erim`etre de E suivant Ω le nombre

  → → − → −  ∞ N − PΩ (E) = sup div ( Φ )dx, Φ ∈ Cc (Ω) ,  Φ 
1 . ∞

E

•

On appelle p´erim`etre de E suivant IRN le nombre

 →  → − → − −  PIRN (E) = sup div ( Φ )dx, Φ ∈ Cc∞ (IRN )N ,  Φ  E

∞


1 .

∂E ∂E ∩ Ω E Proposition 3.2.1. 1. PΩ (Ω) = 0 = PΩ (E) si |E| = 0. 2. PΩ (E)
PIRN (E), ∀ E mesurable dans Ω. Si E ⊂ Ω1 ⊂ Ω, Ω1 ouvert relativement compact dans Ω, on a l’´egalit´e. 3. Si {En } est une suite d’ensembles mesurables de Ω t.q. χEn (x) → χE (x) p.p. o` u E mesurable ⊂ Ω. Alors PΩ (E)
lim inf PΩ (En ) (semin

continuit´e inf´erieure). Preuve. → − 1.  Puisque Φ ∈ Cc∞ (Ω)N , Φ = (Φ1 , . . . , ΦN ), → − → div Φ dx = Φ·− n dHN −1 (x) = 0, ceci grˆace `a la formule de Green Ω ∂Ω
→ − → n (x) la normale ext´erieure avec support Φ ⊂ Ω  ⊂⊂ Ω, Ω  de classe C 1 , −  au point x ∈ ∂Ω .

64

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

→ − 2. Si Φ ∈ Cc∞ (Ω)N alors le prolongement par z´ero dans IRN est un ´el´ement u l’in´egalit´e. de Cc∞ (IRN )N d’o` Si E ⊂ Ω1 ⊂ Ω, consid´erons ψ ∈ Cc∞ (Ω) t.q. ψ = 1 sur Ω1 . → − ∀ Φ ∈ Cc∞ (IRN )N , on a   → − → − → − div(ψ Φ )dx = div( Φ )dx, ψ Φ ∈ Cc∞ (Ω)N . E

E

D’o` u PIRN (E)
PΩ (E) : PΩ (E) = PRN (E). Voici un exemple de couple (E, Ω1 ) v´erifiant E ⊂ Ω 1 ⊂ Ω. Soit E : dist(E, ∂Ω) > 0 alors on peut prendre   1 Ω1 = x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > dist(E, ∂Ω) . 2 → − 3. Soit Φ ∈ Cc∞ (Ω)N alors par le th´eor`eme de la convergence domin´ee, on a :   → − → − lim div( Φ )dx = div( Φ )dx. n

 Comme

En

E

→ − div( Φ )dx
PΩ (En ) d’o` u



En

→ − div( Φ )dx
lim inf PΩ (En ) soit n

E

PΩ (E)
lim inf PΩ (En ).



n

Le p´erim`etre ainsi d´efini est une bonne g´en´eralisation car, on a la proposition suivante : Proposition 3.2.2. Soit U un ouvert born´e inclus dans Ω t.q. ∂U ∩ Ω soit de classe C 1 . Alors, pour N  2,  dHN −1 (x) . PΩ (U ) = ∂U ∩Ω

Preuve. Soit Φ ∈ Cc∞ (Ω)N . Comme Φ(x) = 0 au voisinage de ∂Ω, alors par la formule de Green,    → Φ·− n dHN −1 (x)
|Φ|∞ · dHN −1 (x) . div(Φ)dx = U

∂U ∩Ω

∂U ∩Ω

 De cette in´egalit´e, on conclut que PΩ (U )


− dHN −1 (x) , car |→ n | = 1.

∂U ∩Ω

→ R´eciproquement, consid´erons le champ de vecteurs − n (x), x ∈ ∂U . → − → − L’application x ∈ ∂U ∩ Ω → n (x) (| n | = 1, normale ext´erieure unitaire) est

3.2 Formule de Fleming-Rishel

65

→ − − → de classe C 1 . On peut l’´etendre a` IRN en un champ V (x) t.q. V ∈ C 1 et −  →   V (x)
1, ∀ x ∈ IRN . Notons tout d’abord que puisque Cc∞ est dense dans Cc1 . On a aussi   div(Φ)dx, Φ ∈ Cc1 (Ω)N , |Φ|∞
1 PΩ (U ) = sup U   → −  sup div(ψ V )dx, ∀ ψ ∈ Cc1 (Ω), |ψ|∞
1 U

 = sup

 → → − ψV · − n dHN −1 (x) , ∀ ψ ∈ Cc1 (Ω), |ψ|∞
1 .

∂U ∩Ω

→ → − Comme V · − n = 1 sur ∂U ∩ Ω, alors :   ψdHN −1 (x)dx, ψ ∈ Cc1 (Ω), |ψ|∞
1 . PΩ (U )  sup ∂U ∩Ω

 D’o` u PΩ (U ) 

dHN −1 (x) . (Notons qu’il existe une suite ψj ∈ Cc∞ (Ω) t.q.

∂U ∩Ω

|ψj (x)|
1 et ψj (x) −−−−→ 1 ∀ x ∈ Ω).



j→+∞

Th´ eor` eme 3.2.1 (formule de Fleming-Rishel). Soit u ∈ W 1,1 (Ω). Alors 

 |∇u| dx =

Ω

+∞

PΩ



u>t



dt .

−∞

⎧ ⎨ ∇u (x) si ∇u(x) = 0 → − |∇u| Preuve. Posons V (x) = . Alors |V (x)|
1. Par ⎩ 0 sinon −  → − →  r´egularisation, il existe une suite Φ j de Cc∞ (Ω)N t.q.  Φ j (x)
1 pour tout x ∈ Ω et Φj (x) −−−−→ V (x) p.p. dans Ω; on a alors j→+∞



 |∇u| (x)dx = lim

j→+∞

Ω

∇u · Φj dx. Ω

Par la formule de Green, et le th´eor`eme de Fubini (voir lemme 1.2.3) 



 ∇u · Φj dx = − Ω

u div(Φj )dx = − Ω

+∞

dt −∞

 div(Φj )dx . {u>t}

66

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

 (noter que

div(Φj )dx = 0). Ω



+∞

Comme −





+∞

div(Φj )dx


dt −∞

PΩ (u > t)dt , on d´eduit −∞

{u>t}







|∇u| dx = lim j

Ω

+∞

∇u · Φj (x)dx
Ω

PΩ (u > t)dt . −∞

Pour l’in´egalit´e inverse, commen¸cons par le cas o` u u ∈ C ∞ (Ω) ∩ W 1,1 (Ω). Consid´erons pour ε > 0, ψε ∈ D(Ω) t.q. 0
ψε
ψδ
1 si δ < ε et ψε (x) −−−→ 1 pour tout x ∈ Ω. Alors par le th´eor`eme de la convergence ε→0   2 |∇u| ψε 8 dx = |∇u| dx. Par la formule de Green, domin´ee, lim ε→0 Ω 2 Ω ε + |∇u| ensuite le th´eor`eme de Fubini, on a : ⎞ ⎛   2 |∇u| ∇u ⎠ dx ψε 8 dx = − u div ⎝ψε 8 2 2 Ω Ω ε + |∇u| ε + |∇u|  =−

+∞



dt −∞

⎞

⎛ div ⎝ψε 8

∇u ε + |∇u|

⎠ dx

{u>t}



∇u

div (ψε Uε ) dx = 0 o` u Uε = 8

(noter

2

2

). Puisque u ∈ C ∞ (Ω),

ε + |∇u| d’apr`es le th´eor`eme de Sard, pour presque tout t ∈ IR, u−1 (t) est une sousvari´et´e de dimension N − 1 de classe C ∞ sur laquelle ∇u = 0. Par suite pour presque tout t, les ensembles {u > t} sont des ouverts de bord C ∞ et la ∇u → (x). normale ext´erieure en un point x du bord est − n (x) = − |∇u| En utilisant la formule de Green, on d´eduit : Ω

 −

+∞



 div(ψε Uε )dx =

dt −∞

+∞

ψε |Uε | dHN −1 (x) .

−∞

u>t



dt

∂{u>t}

Quand ε → 0, cette derni`ere int´egrale converge vers : 

+∞



 dHN −1 =

dt −∞

−1

u

(t)

+∞

PΩ (u > t)dt . −∞

3.3 Continuit´e locale absolue du r´earrangement monotone

67

En combinant ces derni`eres relations, on a : 

 |∇u| dx =

Ω

+∞

PΩ (u > t)dt . −∞

Si u ∈ W 1,1 (Ω) alors il existe une suite un ∈ C ∞ (Ω) ∩ W 1,1 (Ω) t.q. un (x) −−−−−→ u(x) p.p. et dans W 1,1 (Ω)-fort. Alors pour presque tout t ∈ IR, n→+∞

on a χ{un >t} (x) → χ{u>t} (x) p.p. en x. Par la semi-continuit´e inf´erieure lim inf PΩ (un > t)  PΩ (u > t) et par le lemme de Fatou, on a : n



+∞

PΩ (u > t)dt −∞


lim inf n





+∞

|∇un | dx =

PΩ (un > t)dt = lim inf −∞

n

Ω

|∇u| dx. Ω



3.3 Continuit´ e locale absolue du r´ earrangement monotone Nous admettrons le lemme suivant dont les preuves peuvent ˆetre trouv´ees dans les livres de Federer [54], V. Madja [79], ou l’article de L. Ljusternik [77]: Lemme 3.3.1 (in´egalit´e isop´erim´etrique et relative isop´erim´etrique). 1. Pour tout ensemble E mesurable de IRN , de mesure finie, on a : 1 1− 1 N |E| N o` u αN d´esigne la mesure de la boule unit´e PRN (E)  N αN de IRN . On a l’´egalit´e si et seulement si E est une boule de IRN . Cette in´egalit´e est dite l’in´egalit´e isop´erim´etrique dans IRN . 2. On suppose que Ω v´erifie la propri´et´e du cˆ one int´erieur (par exemple Ω lipschitzien) et qu’il est connexe. Alors il existe une constante Q = Q(Ω, N ) > 0 tel que pour tout ensemble E mesurable de Ω, on ait :   1− 1 1− 1 min |E| N , |Ω\E| N
QPΩ (E). (c’est l’in´egalit´e dite relative isop´erim´etrique). Remarque. 1. Si Ω est une boule alors Q(Ω, N ) = de la boule unit´e de IRm ).

1 αN −1

 α 1− N1 N

2

(o` u αm est la mesure

68

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

2. Si Ω est un rectangle de cˆot´es a, b, a  b > 0 alors Q(Ω, 2) = a1/2 (2b)−1/2 , (donc Ω ⊂ IR2 ). 3. Si Ω est un triangle de IR2 dont le plus petit angle est ω alors Q(Ω, 2) = (2ω)−1/2 . Ces deux derniers ´enonc´es sont dˆ us `a Cianchi [35]. Nous allons maintenant appliquer, ces in´egalit´es et le lemme de Fleming-Rishel `a la recherche de la r´egularit´e du r´earrangement monotone. Th´ eor` eme 3.3.1 (fondamental (de r´egularit´e)). Soit u ∈ W 1,1 (Ω). On suppose qu’il existe une fonction continue k : Ω∗ →]0, +∞[ t.q. PΩ (u > t)  k(|u > t|) pour presque tout t ∈ 1,1 (Ω∗ ). De plus, u v´erifie l’in´egalit´e ] inf ess u, sup ess u[. Alors, u∗ ∈ Wloc Ω

Ω

ponctuelle suivante −k(s)

du∗ (s)
|∇u|∗u (s) p.p.. ds

Preuve. Soit I(ε) =]ε, |Ω| − ε[. Si u ∈ W 1,1 (Ω) alors pour tout  0<ε<  |Ω| et1,1 s ∈ Ω∗ , u − u∗ (s) + ∈ W (Ω) et d’apr`es la formule de Fleming-Rishel, on d´eduit      |∇u| dx = PΩ u − u∗ (s) + > t dt IR

u>u∗ (s)

 = 0



+∞

PΩ

 +∞    PΩ u > σ dσ . u > t + u∗ (s) dt =

(3.1)

u∗ (s)

1  ∈]0, +∞[. Soit η > 0 alors il existe δ > 0 : Posons c = Min k(σ), σ ∈ I(ε)  δ |∇u|∗ (σ)dσ
η. c 0

Consid´erons alors ]ai , bi [⊂ I(ε), i = 1, . . . , m, m intervalles deux a` deux m  (bi − ai )
δ. D’apr`es la relation (3.1), on d´eduit disjoints t.q. i=1



 |∇u| dx u∗ (bi )
=

u∗ (ai )

PΩ (u > t)  u∗ (bi )



u∗ (ai )

k(|u > t|)dt . u∗ (bi )

Mais pour presque tout t t.q. u∗ (bi )
t
u∗ (ai ), on a : ai
|u  u∗ (ai )|
|u  t| = |u > t|
|u > u∗ (bi )|
bi .

(3.2)

3.3 Continuit´e locale absolue du r´earrangement monotone

69

D’o` u

      k |u > t|  Min k(σ), ai
σ
bi  Min k(σ) : σ ∈ I(ε)

(3.3)

et par d´efinition du r´earrangement relatif : 

 |∇u| dx

bi

|∇u|∗u (σ)dσ .

=

u∗ (bi )
(3.4)

ai

En combinant les relations (3.2) a` (3.4), on aboutit ∀ i = 1, . . . , m : 

bi

|∇u|∗u (σ)dσ  Min

  k(σ), σ ∈ I(ε) |u∗ (ai ) − u∗ (bi )| .

(3.5)

m    u∗ (ai ) − u∗ (bi ) .

(3.6)

ai

D’o` u  c

9

|∇u|∗u (σ)dσ  i ]ai ,bi [

i=1

Mais par le corollaire 2.2.1, on sait : 9

 9

|∇u|∗u

  | i ]ai ,bi [| 

|∇u|∗u (σ)dσ

i ]ai ,bi [

d’o` u

m  

∗

0

  u∗ (ai ) − u∗ (bi )
c

i=1

0

δ

|∇u|∗ (σ)dσ,

(3.7)

δ 0

|∇u|∗ (σ)dσ
η.

(3.8)

Ce qui prouve que u∗ est absolument continue, comme u∗ ∈ L1 (Ω) : u∗ ∈ 1,1 (Ω∗ ). Wloc Pour obtenir l’in´egalit´e ponctuelle, on reprend (3.2)–(3.6) avec ai = s, bi = s + h, h > 0, 1 h



s+h

|∇u|∗u (σ)dσ  Min s

  u (s) − u (s + h) ∗ ∗ . (3.9) k(σ), s
σ
s + h · h

du∗ u∗ (s) − u∗ (s + h) =− (s) pour presque h ds ∈ L1 (Ω∗ ) alors

1,1 Puisque u∗ ∈ Wloc (Ω∗ ) donc lim

tout s et comme |∇u|∗u

h→0

70

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

1 lim h→0 h



s+h

|∇u|∗u (σ)dσ = |∇u|∗u (s) pour presque tout s. s

De ces faits, la relation (3.9) conduit a` : −k(s) ·

du∗ (s)
|∇u|∗u (s) p.p. en s. ds 

Corollaire 3.3.1. Soit u ∈ W01,p (Ω), u  0, 1
p
+∞. Alors u∗ ∈ W 1,p (ε, |Ω|) ∀ ε ∈ ]0, |Ω| [. De plus on a les in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego suivantes     1  1 du∗    N  1− N 
|∇u|∗u  p
|∇u|Lp (Ω) . (3.10) N αN  s ds Lp (Ω∗ ) L (Ω∗ ) Preuve. Si u ∈ W01,p (Ω), u  0 alors ∀ t > 0 {u > t} ∩ ∂Ω est de mesure HN −1 nulle. Alors pour tout t > 0,

1

1 1− N

N PΩ (u > t) = PIRN (u > t)  N αN |u > t| 1 N

applique le th´eor`eme fondamental 3.3.1 avec k(σ) = N αN σ d’abord les in´egalit´es (3.10). 1,1 (Ω∗ ) et que ∀ ε ∈]0, |Ω| [ : Puisque u∗ ∈ Wloc    du∗   
cε |∇u|Lp (Ω) < +∞.  ds  p L (ε,|Ω|)

1 1− N

On d´eduit du fait que u∗ ∈ Lp (Ω∗ ) que u∗ ∈ W 1,p (ε, |Ω|).

. On

. On d´eduit



Corollaire 3.3.2. On suppose que Ω est un ouvert connexe v´erifiant la propri´et´e du cˆ one int´erieur ( soit par exemple C 0,1 ).   1 1 1 On pose k(s) = min s1− N , (|Ω| − s)1− N . Alors, si 1
p
+∞, Q ∀ u ∈ W 1,p (Ω),

1,p u∗ ∈ Wloc (Ω∗ ).

De plus, on a les in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego :      du∗    k ·  |∇u|

|∇u|Lp (Ω) .  p  ∗u  ds Lp (Ω∗ ) L (Ω∗ )

(3.11)

3.3 Continuit´e locale absolue du r´earrangement monotone

71

Preuve. Soit u ∈ W 1,p (Ω). Alors d’apr`es l’in´egalit´e relative isop´erim´etrique : PΩ (u > t)  k(|u > t|) ∀ t ∈ IR. Donc 1,1 u∗ ∈ Wloc (Ω∗ ) et − k(s)

du∗
|∇u|∗u (s) p.p.. ds

D’o` u

   du∗    
 |∇u|∗u 
|∇u|Lp (Ω) .  p k(s) ds L (Ω∗ ) Lp (Ω∗ )    du∗  1,p 
cε |∇u|Lp (Ω) =⇒ u∗ ∈ Wloc (Ω∗ ). Ainsi, ∀ ε > 0,  ds Lp (ε,|Ω|−ε)

(3.12) 

Corollaire 3.3.3. Soit u ∈ W01,p (Ω), 1
p
 +∞. On note pour s ∈ Ω ∗ k(s) = 1 1 1 1− N 1− N N . Alors , (|Ω| − s) N αN Min s ∀ t = 0

PΩ (u > t)  k(|u > t|).

Et l’on a les in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego :      du∗    k ·  |∇u|

|∇u|Lp (Ω) .  ∗u  p  ds Lp (Ω∗ L (Ω∗ ) Preuve. 1

1 1− N

N |u > t| Soit t = 0. Si t > 0 alors PΩ (u > t) = PIRN (u > t)  N αN 1 N

et si

1 1− N

. t < 0 alors PΩ (u > t) = PΩ (u
t) = PIRN (u
t)  N αN |u
t| D’o` u,   1 1− 1 1− 1 N PΩ (u > t)  N αN min |u > t| N , (|Ω| − |u > t|) N . On applique le th´eor`eme fondamental 3.3.1 et on suit le mˆeme raisonnement qu’aux corollaires 3.3.1 et 3.3.2. 

On peut donner une r´egularit´e globale pour u∗ si u est suffisamment r´eguli`ere. Th´ eor` eme 3.3.2. Soit Ω un ouvert born´e connexe v´erifiant la propri´et´e du cˆ one int´erieur (par exemple lipschitzien). Soit Q = Q(Ω, N ) la constante relative isop´erim´etrique associ´ee a ` Ω. Alors, si u ∈ W 1,p (Ω), p > N alors 1 u∗ ∈ W 1,q (Ω∗ ), 1
q < q0 avec q0 = . De plus, on a : 1 + p1 − N1    du∗  β(N,p)   ||∇u|∗u |p ,  ds 
Qc(N, p) |Ω| q ν  1 1 1 1 1 pq + − − 1, c(N, p) = 4 1 − N
(p−q) ν= − . avec β(N, p) = N q p p q

72

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

1,1 Preuve. Il suffit de montrer que u∗ ∈ Lq (Ω∗ ) (car u∗ ∈ Wloc (Ω∗ )). En ´ecrivant :       q  du∗ q  du∗  −q    dσ = k(σ) k(σ) dσ    dσ  Ω∗ dσ Ω∗   1 1− 1 o` u k(σ) = min σ 1− N , (|Ω| − σ) N , on applique alors l’in´egalit´e de H¨older a cette derni`ere in´egalit´e pour obtenir : `

   q1   (p−q) pq  du∗ q qp −   k(σ) p−q dσ  dσ  dσ
Ω∗ Ω∗



β(N,p)


Qc(N, p) |Ω|

   du∗  k   dσ 
p

||∇u|∗u |p .

R´esultat identique si u ∈ W01,p (Ω), p > N, Ω un ouvert born´e quelconque.



1,1 (Ω∗ ) de u∗ est vraie pour un ouvert quelEn r´ealit´e, la r´egularit´e Wloc conque connexe mais dans ce cas on n’a plus d’estimation pour |u∗ |L1 (ε,|Ω|−ε) , pour ε > 0. On a le th´eor`eme suivant

Th´ eor` eme 3.3.3. 1,1 (Ω) alors Soit Ω un ouvert quelconque mais connexe. Si u ∈ Wloc 1,1 u∗ ∈ Wloc (Ω∗ ).

La preuve de ce th´eor`eme n´ecessite les lemmes suivants. Lemme 3.3.2. du∗ (s) ∈ IR. Soit u : Ω → IR mesurable, B ⊂ Ω∗ t.q. |B| = 0 et ∀ s ∈ B, ds Alors, |u∗ (B)| = 0. ∗ Preuve du lemme 3.3.2. Soit  k ∈ IN et notons pour n ∈ IN , Bk = s ∈ B : |u∗ (s)|
k  1 . et Bn,k = s ∈ Bk : |u∗ (s) − u∗ (s )|
(k + 1) |s − s | , |s − s |
n  1 Alors, Bk = Bn,k et |Bk | = 0. Pour n  1 (fix´e) et δ ∈]0, [, il existe une n n
1    famille d’intervalles deux a` deux disjoints Jn,p p
1 tel que Bn,k ⊂ Jn,p

et

 p
1

p
1

mes(Jn,p )
δ. Posons bp = |u∗ (Bn,k ∩ Jn,p )|.

3.3 Continuit´e locale absolue du r´earrangement monotone

Puisque u∗ (Bn,k ) =

+∞ 

73

  u∗ Bn,k ∩ Jn,p

p=1

   alors u∗ Bn,k 


+∞ 

  bp et bp
(k + 1)mes Jn,p

p=1   (en effet si Jn,p = [b, a] alors on a u∗ Bn,k ∩ Jn,p ⊂ [u∗ (a), u∗ (b)] et bp
u∗ (b) − u∗ (a)
(k + 1)mes(Jn,p )). On d´eduit |u∗ (Bn,k )|
(k + 1)δ : |u∗ (Bn,k )| = 0 ∀ n, k ce qui implique 

|u∗ (Bk )| = 0 : |u∗ (B)| = 0.

Lemme 3.3.3.  1,1 (Ω∗ ). Alors, l’ensemble I  (v) = t ∈ I(v) = Soit v : Ω → IR t.q. v∗ ∈ Wloc    inf ess v, sup ess v , mv (t) = 0 est de mesure nulle. Ici, mv (t) = |v > t|. Ω

Ω

Preuve. Consid´erons l’ensemble   End = s ∈ Ω∗ , v∗ (s) n’existe pas ou n’est pas fini . 
 1  1   = 0, ∀ j  jΩ . Alors |End | = 0 donc γj = v∗ End ∩ , |Ω| − j j     D’o` u |v∗ (End )|
γj = 0. Puisque v∗ mv (t) = t, ∀ t ∈ I(v), alors  I  (v) ⊂ t ∈ I(v),

 mv (t) ∈ End ⊂ v∗ (End ).

j
jΩ

D’o` u |I  (v)|
|v∗ (End )| = 0 .



Lemme 3.3.4. Si v : Ω → IR mesurable t.q. l’ensemble   I  (v) = t ∈ I(v) =] inf ess v, sup ess v[, mv (t) = 0 Ω

Ω

1,1 soit de mesure nulle et v∗ ∈ C(Ω∗ ), alors, v∗ ∈ Wloc (Ω∗ ).

Preuve. Il suffit de montrer que pour tout ε > 0, si E ⊂ [ε, |Ω| − ε] avec |E| = 0 alors |v∗ (E)| = 0. Posons   Dv = t ∈ I(v), |v = t| > 0 ,   I”(v) = t ∈ I(v), t.q. mv (t) n’existe pas ou n’est pas fini .

74

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

  Comme v∗ mv (t) = t ∀ t ∈ I(v),  alors

 pour tout t ∈ I3 (v) = I(v)\ Dv ∪ I  (v) ∪ I”(v) , on peut appliquer la   1 d´erivation compos´ee v∗ mv (t) =  ∈ IR. mv (t)  Comme |Dv ∪ I (v) ∪ I”(v)| = 0, alors pour presque tout t ∈ I(v),      v∗ m(t) ∈ IR. Si on note Ed = s ∈ E : v∗ (s) est fini alors,     t ∈ I3 (v) : ∃s ∈ E, t = v∗ (s) ⊂ t ∈ I3 (v) : mv (t) ∈ Ed ⊂ v∗ (Ed ).     D’o` u |v∗ (E)| =  t ∈ I3 (v), ∃s ∈ E, t = v∗ (s) 
|v∗ (Ed )|. En appliquant

le lemme 3.3.2, on d´eduit |v∗ (Ed )| = 0. 

  Preuve du th´eor`eme 3.3.3. Soit Ωj une suite de born´es connexes de bord  j
0 lipschitzien t.q. Ω j ⊂ Ωj+1 ⊂ Ωp = Ω. Posons uj = u|Ωj la restriction p
0

1,1 1,1 ` Ωj de u ∈ Wloc a (Ω). Alors uj ∈ W 1,1 (Ωj ) et uj ∗ ∈ Wloc (Ωj∗ ). De plus, uj ∗ (0)
(uj+1 )∗ (0) −−−−→ u∗ (0), uj ∗ (|Ωj |) → u∗ (|Ω|). j→+∞

Ainsi, si u∗ (0) < a < b < u∗ (|Ω|), alors pour j grand, |a < u < b| = |a < u∗ < b|  |a < uj < b| > 0 (car uj ∗ (0) < a < b < uj ∗ (|Ωj |)). Ce qui prouve que n´ecessairement u∗ ∈ C(Ω∗ ). Si Ij (u) =]uj ∗ (0), uj ∗ (|Ωj |)[ alors pour presque tout t ∈ Ij (u), ∀ h > 0, 0


m(t) − m(t + h) mj (t) − mj (t + h)
h h

(3.13)

o` u mj (t) = |uj > t| , m(t) = |u > t|. Ce qui implique 0
−mj (t)
−m (t) pour presque tout t ∈ Ij (v).     D’o` u t ∈ Ij (v) : m (t) = 0 ⊂ t ∈ Ij (v) : mj (t) = 0 .     1,1 Comme uj ∗ ∈ Wloc (Ωj∗ ) donc  t ∈ Ij (v) : mj (t) = 0  = 0 d’apr`es le lemme 3.3.3. D’o` u           t ∈ Ij (v) : mj (t)  = 0.  t ∈ I(v) : m (t) = 0 
j 1,1 On applique maintenant le lemme 3.3.4 pour conclure que u∗ ∈ Wloc (Ω∗ ). 

Remarque. On peut utiliser une d´ecomposition de Ω en cubes mais pour montrer que u∗ est continue, on proc`ede autrement (voir exercice 10.1.27, chapitre 10, ou les articles cit´es).

3.4 R´earrangements sph´eriques et in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego classiques

75

3.4 R´ earrangements sph´ eriques et in´ egalit´ es de Poly` a-Sz¨ ego classiques D´ efinition 3.4.1. ` l’origine et de Consid´erons u : Ω → IR mesurable et Ω la boule centr´ee a ˜  N  mˆeme mesure que Ω. On d´efinit u : Ω → IR par u(x) = u∗ αN |x| , ˜ ˜ ˜ |x| =norme euclidienne de x ∈ Ω . ˜ u s’appelle le r´earrangement sph´erique de u . ˜

Propri´ et´ e 3.4.1 (imm´ediates). 1. u est une fonction radiale, qui d´ecroˆıt le long du rayon i.e. si |x| = r1 < ˜ r2 = |y| , (x, y) dans Ω alors u(x)  u(y). ˜ ˜ ˜ 2. u et u sont ´equimesurables. ˜ 3. u ∈ Lp (Ω) → u ∈ Lp (Ω ) est une contraction pour 1
p
+∞. ˜ ˜ Preuve. (1) d´ecoule de la d´efinition de u. Quant a` (2), on a pout tout t ∈ IR, ˜ par changement de variables,     Rayon de Ω       u > t = ˜ u∗ (αN rN ) N αN rN −1 dr = u χ (x) dx = χ]t,+∞[ ]t,+∞[  ˜ ˜ 0 Ω ˜    = χ]t,+∞[ u∗ (s) ds = |u∗ > t| = |u > t| . Ω∗

L’´enonc´e (3) d´ecoule de la propri´et´e de contraction de u∗ .



Revenons maintenant a` la r´egularit´e de u et les in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego. ˜ Proposition 3.4.1 (In´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego classiques). Soit u ∈ W01,p (Ω), u  0, 1
p
+∞. Alors       u ∈ W01,p (Ω ) et ∇u
 |∇u|∗u Lp (Ω∗ )
|∇u|Lp (Ω) . ˜ Lp (Ω ) ˜ ˜ ˜

76

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

Preuve. Commen¸cons par le cas o` u
u ∈ Cc∞ (Ω),  Alors ∀ ε > 0 (petit), u ∈ W 1,∞ Ω \B(0, ε) ˜ ˜ centr´ee `a l’origine de rayon ε. En effet, u∗ ∈ 2
(x, y) ∈ Ω \B(0, ε) , alors ˜      N u(x) − u(y)
|u∗ | ∞  L (αN εN ,|Ω|) αN |x|  ˜ ˜

u  0. o` u B(0, ε) d´esigne la boule W 1,∞ (αN εN , |Ω|). Ainsi, si

N  − |y| 
cεN |x − y| .

Avec l’´equimesurabilit´e, cette in´egalit´e conduit au fait que u est lipschitzienne ˜ sur Ω \B(0, ε) = Ωε . De nouveau, par changement de variables, 1
p < +∞ ˜ p    |Ω|    1   p  p ∇u dx=(N α N )p s1− N1  du∗  dx
 |∇u| p p  ds  N ∗u L (Ω∗ )
|∇u|Lp (Ω) . (3.14) ˜ Ωε αN εN

D’o` u quand ε → 0, ∀ p ∈ [1, +∞[       ∇u
 |∇u|∗u Lp (Ω )
|∇u|Lp (Ω) .  ˜ p ∗ L (Ω ) ˜

(3.15)

Dans la relation (3.14) ou (3.15), on conclut que u ∈ W 1,∞ (Ω ) quand p → ˜ ˜ +∞. Comme u(x) = inf u = 0 pour x ∈ ∂ Ω alors u ∈ W01,∞ (Ω ). Ω ˜ ˜ ˜ ˜ Si u ∈ W01,p (Ω), u  0, alors, il existe u ∈ D(Ω), u  0 t.q. un → u n n      
|∇un |Lp (Ω)
cte et que dans W 1,p (Ω)-fort. Comme ∇un   ˜  p L (Ω ) ˜       = |un∗ − u∗ |Lp (Ω∗ ) −−−−−→ 0, on conclut, pour p > 1, que un u n − u  n→+∞ ˜ ˜ Lp ( ) ˜ Ω ˜ converge vers u dans W 1,p (Ω )-faible : u ∈ W 1,p (Ω ). ˜ ˜ ˜ ˜       D’o` u ∇u
 |∇u|∗u Lp (Ω )
|∇u|Lp (Ω) (en utilisant un changement ∗ ˜ Lp (Ω ) ˜ de variables comme `a la relation 3.14). Si p = 1, v´erifions que (∇un )n
0 satisfait les conditions de Dunford-Pettis. ˜         N −1   N  Comme ∇un  (x) = N αN |x| un∗ (αn |x| ), on a le r´esultat cherch´e.  ˜  Introduisons quelques r´esultats g´en´eraux.

3.4 R´earrangements sph´eriques et in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego classiques

77

Lemme 3.4.1. Soit u ∈ W01,1  (Ω), u  0. Posons : 1   1 N  σ 1− N |u∗ (σ)|, pour σ ∈ Ω ∗ . Alors v = z∗ . v(σ) = ∇u (σ), z(σ) = N αN ˜∗     Preuve. Pour t ∈ IR, en utilisant l’expression de ∇u, on a : ˜  |v > t| =

  χ]t,+∞[ v(σ) dσ =

Ω∗

 Ω ˜

   N  χ]t,+∞[ z αN |x| dx

(ceci par ´equimesurabilit´e). En effet avec un changement de variables dans cette derni`ere int´egrale, on conclut :    |v > t| = χ]t,+∞[ z(s) ds = |z∗ > t| : v = z∗ . Ω∗

Lemme 3.4.2. (voir aussi le chapitre 4). Sous les conditions du lemme 3.4.1, ∀ s ∈ Ω ∗ , on a les in´egalit´es ponctuelles de Poly` a-Sz¨ego :  s  s  s    ∇u (σ)dσ
(|∇u|∗u )∗ (σ)dσ
|∇u|∗ (σ)dσ.  ˜ 0 0 0 ∗ Preuve. Par le corollaire 3.3.1 du th´eor`eme fondamental (de r´egularit´e) 3.3.1, u v(σ) = z∗ (σ)
(|∇u|∗u )∗ (σ). Ainsi, on a p.p. en σ, z(σ)
|∇u|∗u (σ). D’o`    s  s  s   ∇u (σ)dσ
(|∇u| ) (σ)dσ
|∇u|∗ (σ)dσ. ∗u ∗  ˜ 0 0 0 ∗ (voir les propri´et´es du r´earrangement relatif du chapitre 2). Corollaire 3.4.1. La suite (∇un )n v´erifie la condition de Dunford-Pettis. En particulier, ∇un ˜ ˜ tend vers ∇u dans L1 (Ω )-faible et u ∈ W01,1 (Ω ). ˜ ˜ ˜ ˜ 1 Preuve. Soit η > 0, il existe n0 entier, t.q. ∀ n  n0 , |∇(un − u)|L1
η. Soit 2 δ > 0 t.q.  δ  δ 1 1 j = 0, . . . , n0 . |∇u|∗ (σ)dσ
η, |∇uj |∗ (σ)dσ
η 2 2 0 0 Alors, d’apr`es le th´eor`eme de Hardy-Littlewood, puis le lemme 3.4.2, ∀ E mesurable dans Ω v´erifiant |E|
δ, ˜

78

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement |E|        |E|       ∇u dσ ∇u dx

|∇un |∗ dσ .    n n  ˜  E ˜  ∗ 0 0

      Si n
n0 alors ∇un  dx
η.  E ˜  |E|     |E|    ∇u dσ Si n  n0 alors
|∇(u − u)| + |∇u|∗ dσ
η (par la  n n L1  ˜  ∗ 0 0

propri´et´e de contraction).

      En combinant ces relations, on a : ∇un  dx
η. On conclut comme le cas E ˜  p > 1. Enfin concluons ce paragraphe par le th´eor`eme g´en´eral suivant : Th´ eor` eme 3.4.1 (extension des in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego). Soit ρ une norme de Fatou invariante par r´earrangement, non triviale sur L0 (Ω∗ ). Alors, pour tout u ∈ W01,1 (Ω), u  0 on a l’in´egalit´e :
     ρ ∇u ∗
ρ (|∇u|∗u )
ρ (|∇u|∗ ) . ˜ Preuve. C’est une cons´equence du lemme 3.4.2 et du th´eor`eme 2.2.1 de Lorentz-Luxembourg. 

   du∗  
|∇u|L1 (Ω) Remarque. Si pour tout u ∈ W 1,1 (Ω) on a k · ds L1 (Ω∗ ) 1 avec k(0) = k(|Ω|) = 0, k ∈ Cloc (Ω∗ ). Alors pour tout E mesurable dans Ω, PΩ (E)  k(|E|). En effet, si E ⊂ Ω mesurable alors, il existe une suite um ∈ C ∞ (Ω) ∩ W 1,1 (Ω) t.q. :  (i) lim |∇um | dx = PΩ (E), m→+∞

(ii)

Ω

lim |um − χE |L1 = 0.

m→+∞

Un tel r´esultat est prouv´e dans le livre de V. Madja [79]. Soit ϕ ∈ D(Ω∗ ) t.q. |ϕ|∞
1 et ϕ(|E|) = 1, on suppose que 0 < |E| < |Ω|, nous avons alors  Ω∗

(kϕ) um∗ dσ
|ϕ|∞ |∇um |L1 mais um∗ → χ[0,|E|] . D’o` u

3.5 In´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego ponctuelles pour le α-r´earrangement



(kϕ) um∗
lim |∇um |L1 = PΩ (E).

k(|E|) = lim m

79

m

Ω∗

Si |E| = 0 ou |E| = |Ω| alors k(|E|) = PΩ (E) = 0.

3.5 In´ egalit´ es de Poly` a-Sz¨ ego ponctuelles pour le α-r´ earrangement On peut d´efinir des r´earrangements similaires au cas sph´erique appel´es α-r´earrangement, on aura besoin de quelques pr´eliminaires. D´ efinition 3.5.1 (et notations). one ouvert de IRN , N  2 de sommet l’origine et d’angle Soit Σα un cˆ u αN −1 est la mesure de la boule unit´e de IRN −1 (i.e. solide α ∈]0, αN −1 [ o` aussi la (N − 1) mesure de Hausdorff de la sph`ere unit´e S N −1 ). Soit Aα un sous-ensemble de S N −1 de mesure α i.e. HN −1 (Aα ) = α, alors on a pr´ecis´ement,   Σα = λx, x ∈ Aα , λ ∈]0, +∞[ . (Aα = Σα ∩ S N −1 ). On suppose ∂Σα est lipschitzien. On note Σ(α, R) l’ouvert sectoriel de IRN d’angle solide α et de rayon R u B(0, R) est la boule de rayon R c’est a ` dire Σ(α, R) = Σα ∩ B(0, R) o` centr´ee a ` l’origine. On notera σN la mesure du secteur unitaire Σ(α, 1) i.e. mes {Σ(α, 1)} = α σN . Exemple pour N = 2, σ2 = . 2 Dans le plan IR2 , on consid`ere les coordonn´ees polaires. Pour α ∈ ]0, π[, on a :   Σα = (ρ, θ) ∈ IR2 : 0 < θ < α, ρ > 0 y

6   





 α 6 0

1

x

80

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

On a le : Th´ eor` eme 3.5.1 (in´egalit´e isop´erim´etrique pour un cˆ one ). 1

1−

1

Si Σα est un cˆ one convexe de IRN alors PΣα (E)  N σNN |E| N , pour tout ensemble mesurable E ⊂ Σα de mesure finie. Si ∂Σα \{0} est r´eguli`ere alors on a l’´egalit´e si et seulement si E est un secteur convexe Σ(α, R) homoth´etique a ` Σα . Ce th´eor`eme sera admis, pour plus de d´etails on peut consulter l’article de Lions-Pacella-Tricacino [76]. Pour un ouvert Ω born´e connexe lipschitzien, on consid`ere Γ0 ⊂ ∂Ω, HN −1 (Γ0 ) > 0 et Γ1 = ∂Ω\Γ0 . On d´efinit la constante relative isop´erim´etrique suivante : 1− 1 |E| N Q(Γ1 , Ω) = sup E PΩ (E) o` u le supremum est pris sur tous les ensembles mesurables E de Ω t.q. ∂E ∩Γ0 ne contient aucun sous-ensemble de mesure HN −1 positive. On admet les propositions suivantes : Proposition 3.5.1 (exemple de calcul explicite). convexe d´efini pr´ec´edemment. On Soit α ∈ ]0,αN −1 [ et Σ(α, R) le secteur  : : note Γ0 = x ∈ ∂Σ(α, R), |x| = R et Γ1 = ∂Σ(α, R)\Γ:0 . Alors     1 avec σN = HN Σ(α, 1) . Q Γ:1 , Σ(α, R) = 1 N σNN

Proposition 3.5.2 (finitude Q(Γ1 , Ω)). On a Q(Γ1 , Ω) < +∞. De plus, il existe un secteur unitaire Σ(α, 1) t.q. Q(Γ1 , Ω) =

1 1

.

N σNN

Nous allons d´efinir le α-r´earrangement : D´ efinition 3.5.2 (α-r´earrangement). Soit Ω un ouvert connexe born´e lipschitzien, de constante isop´erim´etrique 1 earrangement d’une fonction mesurable u : Ω → IR, 1 . On appelle α-r´ N σNN    N la fonction Cα u : (α, R) → IR, avecHN (α,  R) = σN R = HN (Ω) N d´efinie par Cα u(x) = u∗ σN |x| .

3.5 In´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego ponctuelles pour le α-r´earrangement

81

La fonction Cα u a les mˆemes propri´et´es que u. Les preuves sont identiques `a ˜ celles de u. ˜ Propri´ et´ e 3.5.1. 1
q
+∞. 1. |u|Lq (Ω) = |Cα u|Lq ((α,R))   1,p 1,p 2. Si u ∈ WΓ0 (Ω) = v ∈ W (Ω) : v = 0 sur Γ0 , 1
p
+∞, alors 1 s N −1 pour u  0 −u∗ (s)
1 |∇u|∗u (s) N σNN |∇Cα (u)|Lp ((α,R))
|∇u|Lp (Ω) . et On a de mˆeme que le r´earrangement sph´erique des in´egalit´es de type Poly` aSz¨ego ponctuelles. Th´ eor` eme 3.5.2. (Ω), u  0. Alors ∀ s ∈ Ω ∗ , on a Soit u ∈ WΓ1,1 0 



s

0

|∇Cα (u)|∗ (σ)dσ


Lemme 3.5.1. (Ω), u  0. Soit u ∈ WΓ1,1 0 1

0



s

(|∇u|∗u )∗ (σ)dσ


0

s

|∇u|∗ (σ)dσ.

1

Posons w(s) = −N σNN s1− N u∗ (s) pour s ∈ Ω∗ . Alors, ∀ σ ∈ Ω∗ |∇Cα (u)|∗ (σ) = w∗ (σ)
(|∇u|∗u )∗ (σ). N

Preuve du lemme. Comme Cα u(x) = u∗ (σN |x| ) alors p.p. en x N −1

|∇Cα (u)| (x) = −N σN |x|

u∗ (σN |x| ) = w(σN |x| ). N

N

Pour tout t ∈ IR, on d´eduit apr`es changement de variables    N mesure x : |∇Cα (u)| (x) > t =  χ]t,+∞[ (w(σN |x| )dx (α,R)

 =

χ]t,+∞[ Ω∗



 w∗ (s) ds : |∇Cα (u)|∗ = w∗ .

Par les in´egalit´es ponctuelles (voir propri´et´e 3.5.1), on a  |∇u|∗u .

+w(s)
|∇u|∗u (s), p.p. en s ∈ Ω∗ d’o` u w∗


∗



Preuve du th´eor`eme 3.5.2. Du lemme pr´ec´edent, on d´eduit en combinant avec les propri´et´es du r´earrangement relatif :  s  s  s |∇Cα (u)|∗ (σ)dσ
(|∇u|∗u )∗ (σ)dσ
|∇u|∗ (σ)dσ. 0

0

0



82

3 In´egalit´es du type Poly` a-Sz¨ego et r´egularit´e du r´earrangement

Notes pr´ e-bibliographiques Les preuves donn´ees aux paragraphes 3.1 et 3.2 sont tir´ees de la th`ese de B. Simon [116]. Le th´eor`eme fondamental 3.3.1 est une combinaison des r´esultats de Rakotoson-Temam [107, 109] et Rakotoson [99]. Les corollaires 3.3.1 et 3.3.2 sont des variantes am´elior´ees des in´egalit´es de Poly` a-Szeg¨o. Tout le reste de ce paragraphe est dˆ u a` l’auteur. Les th´eor`emes du paragraphes 3.4 sont des versions am´elior´ees des r´esultats existants, voir le livre de J. Mossino [82]. Les α-r´earrangements ont ´et´e introduits par Lions-Parcella-Tricanco [76], les in´egalit´es ponctuelles reliant le α-r´earrangement et le r´earrangement relatif sont dues a` l’auteur.

4 In´ egalit´ es ponctuelles et inclusions g´ en´ eralis´ ees de Sobolev

Les r´esultats classiques sur les inclusions de Sobolev nous indiquent que W01,N (Ω) est contenu dans Lq (Ω) pour tout q fini, et que si p > N alors olderiens W01,p (Ω) est contenu (aussi de fa¸con continue) dans les espaces h¨ N C 0,1− p (Ω). On constate qu’il “manque” des espaces interm´ediaires X(Ω) satisfaisant : W01,p (Ω) ⊂> X(Ω) ⊂> W01,N (Ω) et X(Ω) ⊂ C(Ω). E.M. Stein a montr´e que =

=

l’espace de Lorentz-Sobolev

  W 1 (Ω, | · |N,1 ) = f ∈ L1 (Ω) : |∇f | ∈ LN,1 (Ω)

est contenu dans l’ensemble des fonctions continues C(Ω). Pour cela, en utilisant une repr´esentation int´egrale de f , il montre que pour tout cube Q(h) de cˆot´e |h|, pour tout x et x + h dans Q(h), on a : |f (x + h) − f (x)|
c|∇f χQ(h) |LN,1 . La m´ethode que nous proposons dans ce chapitre nous conduira a` red´emontrer ce r´esultat mais en mˆeme temps `a pr´eciser la constante, on prouvera en particulier que W 1 (Ω, |·|N,1 ) ⊂ C(Ω) et ∀ u ∈ W 1 (Ω, |·|N,1 ), ∀ x ∈ Ω t.q. B(x, r) ⊂ Ω, on a : 1−

1

α N osc u
N αN −1 B(x,r)



αN r N 1

t N |∇u|∗ 0

dt . t

Cette in´egalit´e d´ecoule d’une in´egalit´e plus g´en´erale sur W 1,1 (Ω) stipulant a B(x, r) alors que si u est la restriction de u ` 1−

1

α N osc u
N αN −1 B(x,r)

 0

αN r N

  1 s N −1 |∇u|∗u (s)ds . ∗

84

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Pour obtenir de tels r´esultats, revenons `a une in´egalit´e du chapitre pr´ec´e|∇u|∗u (σ) pour σ ∈ Ω∗ , u appartenant a` une dent, qui s’´ecrit : −u∗ (σ)
k(σ) famille de fonctions. C’est cette in´egalit´e ponctuelle qui permet en r´ealit´e de donner non seulement une preuve unificatrice de diverses inclusions de Poincar´e-Sobolev mais aussi des extensions non classiques de ces in´egalit´es. Mieux encore, elle conduit a` des estimations des diverses constantes qui apparaissent dans ces in´egalit´es comme par exemple, la premi`ere valeur pro|∇u|p 1 Inf 1,p ou plus g´en´eralement si pre du p-Laplacien λ1 (Ω) p = u=0 u∈W0 (Ω) |u|p |u|q pN , 1
p
N , une estimation de sup . 1
q
p∗ = 1,p N −p |∇u| p u=0 u∈W0 (Ω) On verra que l’on peut remplacer sans difficult´e Lp (Ω) par tout autre espace L(Ω, ρ) ou L(Ω∗ , ρ) avec ρ une norme de Fatou invariante par r´earrangement. Pour donner un exemple de norme ρ diff´erente de celle des espaces de Lorentz, p . Pour g  0 consid´erons Ω un ouvert de mesure 1, 1 < p < +∞, p = p−1 mesurable, on associe +∞ 1  (p−ε)

 1 (p−ε)
− p−ε Inf inf ε gk dx |g|(p
= +∞ g=

k=1

gk gk
0

k=1

0<ε
Ω

o` u (p − ε) est le conjugu´e de p − ε. Notons ρ(g) = |g|(p
.  
Consid´erons L(p (Ω) = g mesurable : g (p
< +∞ . Ces espaces








v´erifient Lp +ε (Ω) ⊂ L(p (Ω) ⊂ Lp (Ω) ∀ ε > 0, ils sont appel´es petits espaces de Lebesgue. De tels espaces ont ´et´e introduits par Fiorenza [60]. Le petit espace de Lebesgue-Sobolev not´e :   W 1,(N (Ω) = u ∈ L1 (Ω) : ρ(|∇u|) < +∞ v´erifie :

1−

1

α N osc u
N αN −1 B(x,r)




|Ω|N N −1

1− N1   ρ |∇u|χB(r,x) .

4.1 In´ egalit´ es ponctuelles pour le r´ earrangement relatif D´ efinition 4.1.1 (propri´et´e PSR ). Nous dirons qu’un sous-ensemble V de W 1,1 (Ω) v´erifie les in´egalit´es de Poincar´e-Sobolev pour le r´earrangement relatif (not´e PSR) si : 1,1 (Ω∗ ), ∀ u ∈ V (i) u∗ ∈ Wloc (ii) Il existe une fonction K(·, Ω, V ) : Ω∗ → [0, +∞[ mesurable t.q. :

−u∗ (s)
K(s, Ω, V ) · |∇u|∗u (s), p.p. tout s et ∀ u ∈ V.

4.1 In´egalit´es ponctuelles pour le r´earrangement relatif

85

Avant de donner des propri´et´es g´en´erales pour un tel ensemble V , voici quelques exemples d’ensembles V (cons´equence du th´eor`eme fondamental 3.3.1). Th´ eor` eme 4.1.1 ( existence d’ensemble V v´erifiant la propri´et´e PSR). 1. L’ensemble V = W01,1 (Ω) ∩ L0+ (Ω) v´erifie la propri´et´e PSR. De plus on 1 s N −1 peut choisir K(s, Ω, V ) = 1 . N N αN 2. L’ensemble V = W01,1 (Ω) v´erifie la propri´et´e PSR avec  1  1 max s N −1 , (|Ω| − s) N −1 K(s, Ω, V ) = . 1 N N αN 3. Si Ω est un ouvert connexe lipschitzien alors V = W 1,1 (Ω) v´erifie la propri´et´e PSR. De plus, il existe une constante Q(Ω, N ) = Q > 0 (qui est une constante relative isop´erim´etrique) telle que   1 1 K(s, Ω, V ) = Q max s N −1 , (|Ω| − s) N −1 . 4. Si Ω est un ouvert connexe lipschitzien alors V = WΓ1,1 (Ω) ∩ L0+ (Ω) v´erifie la propri´et´e PSR avec 0 1

K(s, Ω, V ) =

s N −1 1

N σNN

    avec σN =  (α, 1) .

Preuve. C’est une cons´equence du th´eor`eme fondamental 3.3.1 et ses corollaires 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, propri´et´e 3.5.1. Corollaire 4.1.1. Soit Ω = B(R) une boule de rayon R > 0. Alors V = W 1,1 (B(R)) v´erifie la propri´et´e PSR et K (s, B(R), V ) =

1 αN −1

 α 1− N1 N

2

 Max

  1 −1  1 s N −1 , αN RN − s N

o` u αm d´esigne la mesure de la boule unit´e de IRm . Preuve. On sait que dans le cas d’une boule la meilleure constante relative 1  αN 1− N1 isop´erim´etrique est Q = , d’o` u le r´esultat. 

αN −1 2 Voici quelques th´eor`emes g´en´eraux pour les ensembles V v´erifiant la propri´et´e PSR.

86

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Proposition 4.1.1. Soit V ⊂ W 1,1 (Ω) v´erifiant la propri´et´e PSR. Pour tout u ∈ V ∩ W 1,q (Ω), 1
q < +∞, on a aussi : 1

−u∗ (s)
K(s, Ω, V ) · [(|∇u| )∗u ] q (s) q

pp en s.

Preuve. Pour h > 0, on a |u∗ (s + h) < u < u∗ (s)|
h, par l’in´egalit´e de H¨ older 

⎛



s+h

1 ⎜
h1− q ⎝

|∇u| dx

|∇u|∗u dσ =

u∗ (s+h)
s



⎞ q1

s+h

⎟ q (|∇u| )∗u (σ)dσ ⎠ .

s

D’o` u, pour presque tout s ∈ Ω∗ on a : 1 |∇u|∗u (s) = lim h→0 h



s+h q

1

|∇u|∗u (σ)dσ
[(|∇u| )∗u (s)] q . s



Proposition 4.1.2. Soit V v´erifiant la propri´et´e PSR. Posons K(s) = K(s, Ω, V ) pour 0 < σ < t, sup ess [sK(s)] = g(t, σ). Alors σ<s

 t u∗ (σ) − u∗ (t)
g(t, σ) |∇u|∗∗ (t) σ 1 o` u |∇u|∗∗ (t) = t

 0

t

|∇u|∗ (τ )dτ.

1,1 Preuve. En effet, puisque u∗ ∈ Wloc (Ω∗ ) alors



t

u∗ (σ) − u∗ (t) = − σ

u∗ (s)ds 



t


σ

K(s, Ω, V ) |∇u|∗u (s)ds

t

1 |∇u|∗u (s)ds σ s
  t
 t 1 t
g(t, σ) |∇u|∗u (s)ds
g(t, σ) |∇u|∗∗ (t) . σ t 0 σ
g(t, σ)



Il arrive qu’au lieu d’utiliser u∗ on ait besoin de u∗∗ . Dans ce cas on peut remplacer u∗ par u∗∗ . On a alors le :

4.2 Inclusions de type g´en´eral : applications aux espaces de Lorentz

87

Th´ eor` eme 4.1.2. Soit V un sous-ensemble de W 1,1 (Ω) v´erifiant la propri´et´e PSR. Alors, ∀ u ∈ V : −u∗∗ (s)
K(s) [|∇u|∗u ]∗∗ (s) p.p. s ∈ Ω∗ . En particulier, on a : : −u∗∗ (s)
K(s) |∇u|∗∗ (s) p.p. s : o` u K(s) =

1 s

sup ess [tK(t)]. 0ts

Preuve. Par int´egration par parties, pour s ∈ Ω∗ , u ∈ V , on a   1 s 1 s [u∗ (t) − u∗ (s)] dt = t |u∗ (t)| dt. s 0 s 0

(4.1)

Par la propri´et´e PSR et Hardy-Littlewood, on d´eduit   s  1 s : u∗∗ (s) − u∗ (s)
tK(t) |∇u|∗u (t)dt
K(s) |∇u|∗u (t)dt s 0 ∗ 0 comme −

d 1 u∗∗ (s) = [u∗∗ (s) − u∗ (s)], on d´eduit ds s   : : |∇u|∗u (s)
K(s) |∇u|∗∗ (s). −u∗∗ (s)
K(s) ∗∗

Exemple si V =

1,1 (Ω) W0+

: alors K(s) = K(s) =



1

s N −1 1

.

N N αN

4.2 Inclusions de type g´ en´ eral : applications aux espaces de Lorentz Pour ´etudier les inclusions du type Poincar´e-Sobolev associ´ees `a une norme ρ rappelons la : D´ efinition 4.2.1 (norme associ´ee). Soit ρ une norme (non triviale) sur L0 (Ω∗ ). On appelle norme associ´ee l’application ρ : L0 (Ω∗ ) → [0, +∞] d´efinie par   ρ (f ) = sup |f g| dσ, ρ(g)
1 Ω∗

88

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Th´ eor` eme 4.2.1 (inclusion dans L∞ (Ω) ). Soit  V v´erifiant la propri´et´e PSR. L’ensemble u ∈ V, t.q. ρ (|∇u|∗u ) < +∞ est inclus dans L∞ (Ω)   si ρ K(·, Ω, V ) est finie. De plus,     osc u
ρ K(·, Ω, V ) ρ |∇u|∗u . Ω  Preuve. Pour tous σ, s ∈ Ω∗ , on a |u∗ (σ) − u∗ (s)|
|∇u|∗u (t)K(t)dt o` u Ω∗

K(t) = K(t, Ω, V ). Par d´efinition de ρ    K(t) |∇u|∗u (t)
ρ (K) · ρ |∇u|∗u . Ω∗

D’o` u osc u
ρ (K)ρ(|∇u|∗u ) < +∞ si ρ (K) < +∞ et ρ(|∇u|∗u ) < +∞. Ω



On peut remplacer l’ensemble pr´ec´edent par un autre ensemble plus courant si ρ a plus de propri´et´es. Corollaire 4.2.1. On consid`ere ρ une norme de Fatou invariante par r´earrangement sur L0 (Ω∗ ). Alors, pour V v´erifiant la propri´et´e PSR,   u ∈ V : ρ(|∇u|∗ ) < +∞ ⊂ L∞ (Ω) si ρ (K) < +∞ o` u K(·) = K(·, Ω, V ). Preuve. On sait que pour u ∈ W 1,1 (Ω), on a toujours,  s  s (|∇u|∗u )∗ (σ)dσ
|∇u|∗ (σ)dσ, ∀ s ∈ Ω∗ . 0

0

Alors ρ(|∇u|∗u )
ρ(|∇u|∗ ). Par cons´equent on a :     u ∈ V : ρ(|∇u|∗ ) < +∞ ⊂ u ∈ V : ρ(|∇u|∗u ) < +∞ . 

Dans ce qui va suivre nous allons donner des normes (les plus courantes en dehors de celles des espaces de Lebesgue) v´erifiant les conditions du corollaire 4.2.1 ou du th´eor`eme 4.2.1. ρN

Lemme 4.2.1. L’application f ∈ L0 (Ω∗ ) −−→

 Ω∗

1

t N |f |∗ (t)

norme de Fatou, invariante par r´earrangement, non triviale.

dt est une t

4.2 Inclusions de type g´en´eral : applications aux espaces de Lorentz

89

Preuve. En effet si f ∈ L0+ (Ω∗ ) 0
fn
fn+1 → f presque partout, comme 0
fn∗
(fn+1 )∗ → f∗ , avec le th´eor`eme de Beppo-L´evi on a ρN (fn ) → ρ(f ). Par suite f → ρN (f ) est une norme de Fatou et invariante par r´earrangement 1 sur L0+ (Ω), donc sur L0 (Ω). Il suffit de prendre f (t) = 1, ρN (1) = N |Ω| N , donc elle est non triviale. 

Lemme 4.2.2. La norme associ´ee a ` la norme du lemme 4.2.1 v´erifie  1  1 1 t N
|f |∗ (t) o` . u  =1− N N 0t|Ω|   Preuve. Si ρN (g)
1 alors |f g|
|f |∗ |g|∗ (d’apr`es l’in´egalit´e de ρN (f )


sup

Ω

Hardy-Littlewood) d’o` u   1   |f g| dx
sup t N
|f |∗ (t) · t

Ω

Ω∗

 1  D’o` u ρN (f )
sup t N
|f |∗ (t) .



t

Ω∗

 1  1 t− N
|g|∗ (t)dt
sup t N
|f |∗ (t) . t

1

On notera d´esormais ρN,1 (f ) = sup t N
t



 |f |∗ (t) .

Cette in´egalit´e est suffisante dans notre contexte, n´eanmoins puisque ρN est invariante par r´earrangement, on a en fait l’´egalit´e. Lemme 4.2.3. 1  ρ (f )
ρN (f )
ρN,1 (f ), N N,1

∀ f ∈ L0 (Ω).

Preuve. Puisque ρN est invariante par r´earrangement, on d´eduit :   ρN (f ) = sup |f |∗ |g|∗ dt, ρN (g)
1 . Ω∗

Soit t ∈ Ω∗ (fix´e) et E ⊂ Ω∗ tel que |E| = t. Consid´erons la fonction g(σ) = 1 1 eduit 1 χE (σ), σ ∈ Ω∗ . Alors ρN (g) = 1 car g∗ (σ) = 1 χ[0,t) (σ), on d´ NtN NtN alors que    1
t N
1 t  |f |∗ g∗ (σ)dσ = |f |∗ (σ)dσ . ρN (f )  N t 0 Ω∗  1 t Mais |f |∗ (t)
|f |∗ (σ)dσ. Par cons´equent, ∀ t ∈ Ω∗ t 0  1  1
t N |f |∗ (t) . ρN (f )  N 

90

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

 −1 1 N alors ρN,1 (K1 ) = N αN .

1

Lemme 4.2.4. (a) Soit K1 =  (b) Soit K2 (t) = Max

t N −1 1 N

(N αN )  1 1 t N −1 , (|Ω| − t) N −1 . Alors : 1

ρN,1 (K2 ) = 21− N . Preuve.  1 −1   1 N u sup σ N
K1∗ (σ) = N αN . (a) On a K1∗ = K1 d’o` σ   1 1 1 1 (b) On a K2∗ (σ) = 2 N
σ − N
. D’o` u sup σ N
K2∗ (σ) = 2 N
. σ



On applique dans les deux cas, le lemme 4.2.3. Corollaire 4.2.2 (du lemme 4.2.4).     (a) Soit W01 Ω, |·|N,1 = u ∈ W01,1 (Ω), |∇u| ∈ LN,1 (Ω) .   Alors, W01 Ω, |·|N,1 ⊂ L∞ (Ω)   1 et ∀ u ∈ W01 Ω, |·|N,1 , |u|∞
1 |∇u|LN,1 (Ω) . N N αN (b) Soit r > 0 etB(r) une boule de rayon r. Notons       X B(r) = u ∈ L1 B(r) : |∇u| ∈ LN,1 B(r) . Alors, 1−

1

α N osc u
N αN −1 B(r)



αN r N

1−

1

t N |∇u|∗ (t) 0

1

α N dt = N |∇u|LN,1 (B(r)) . αN −1 t

Preuve.

  (a) Si u ∈ W01 Ω, |·|N,1 alors v = |u| ∈ W01,1 (Ω), |u|∗ (|Ω|) = 0. En utilisant ρN , on a ρN (|∇v|∗ ) = |∇u|N,1 , en utilisant le th´eor`eme 4.2.1, on a pour tout s v∗ (s)
ρN (K1 )ρN (|∇v|∗ )
1 1 |∇u|N,1 . N N αN   (b) Comme X B(r) v´erifie la propri´et´e PSR avec    K s, B(r), X B(r) =

 α 1− N1

1

N

αN −1

2

K2 (s) ,

alors avec le th´eor`eme 4.2.1, osc u


B(r)

ρN (K)ρN (|∇u|∗ )

1−

1

α N
N |∇u|LN,1 (B(r)) . αN −1 

4.3 Indice g´en´eral d’inclusions pour les fonctions ` a trace nulle

91

Corollaire 4.2.3.     Soit W 1 Ω, |·|N,1 = u ∈ L1 (Ω) : |∇u| ∈ LN,1 (Ω) .   Alors W 1 Ω, |·|N,1 ⊂ C(Ω) et ∀ x ∈ Ω, et r > 0 t.q. B(x, r) ⊂ Ω, 1−

1

α N osc u
N |∇u|LN,1 (B(r)) . αN −1 B(x,r)

4.3 Indice g´ en´ eral d’inclusions pour les fonctions a ` trace nulle Les in´egalit´es ponctuelles vont nous permettre de donner des estimations de |∇u|p fa¸con simple des constantes telles : inf , 1
q
p∗ . Juste en utilisant u∈W |u|q trois “petits” arguments :  (a) ∀ s, σ ∈ Ω∗ , u∗ (σ) − u∗ (s) = −

s 1,1 (Ω∗ ). u∗ (t)dt si u∗ ∈ Wloc

σ

(b) Equimesurabilit´e ou invariance par r´earrangement. (c) Les in´egalit´es ponctuelles de Poincar´e-Sobolev pour le r´earrangement relatif additionn´ees de l’in´egalit´e de H¨older entre une norme et sa norme associ´ee. Voici un th´eor`eme g´en´eral qui illustre cela. Notations. Pour un ensemble V v´erifiant la propri´et´e PSR, on note K = K(·, Ω, V ). Pour ρ une norme sur L0 (Ω∗ ), on d´efinit l’espace de Sobolev:   W 1 (Ω, ρ) = u ∈ V : ρ(|∇u|∗ ) < +∞ . On suppose W 1 (Ω, ρ) = {0}. Pour u ∈ L0 (Ω), on d´efinit deux fonctions : (t, s) ∈ Ω∗2 1 a1 (t, s, u) = sign (|u  0| − t) sign (t − s) o` u sign (σ) = 0 a2 (t, s, u) = sign (t − |u  0|) sign (s − t). a(t, s, u) = a1 (t,'s, u) + a2 (t, s, u). ( N (t, s) = K(t)

sup

a(t, s, u) .

u∈W 1 (Ω,ρ)

On note pour s ∈ Ω∗ , N (s)(t) = N (t, s), t ∈ Ω∗ .

si σ > 0 . sinon

92

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Lemme 4.3.1 (fondamental). Soit u ∈ V . Alors ∀ s ∈ Ω∗ ,  |u∗ (s)|
K(t)a(t, s, u) |∇u|∗u (t)dt . Ω∗

Preuve. Soit s ∈ Ω∗ , u ∈ V . Si 0
s
|u > 0|  alors u∗ (s) = −

|u
0|

u∗ (t)dt entraˆıne, du fait que u ∈ V , que

s

 |u∗ (s)|
Ω∗

K(t)a1 (t, s, u) |∇u|∗u (t)dt .

Comme a2 (t, s, u) = 0, on d´eduit que  K(t)a(t, s, u) |∇u|∗u (t)dt. |u∗ (s)|
Ω∗

Si |u  0| < s
|Ω| alors  |u∗ (s)| =

s

|u∗ (t)| dt


|u
0|

 Ω∗

K(t)a2 (t, s, u) |∇u|∗u (t)dt

 =

Ω∗

K(t)a(t, s, u) |∇u|∗u (t)dt.

Si |u > 0|
s
|u  0| , u∗ (s) = 0. L’in´egalit´e reste vraie.



Th´ eor` eme 4.3.1 (g´en´eral d’inclusion et d’estimation). Soit ρ une norme de Fatou invariante par r´earrangement non triviale sur L0 (Ω∗ ) et soit ρ0 une application d´efinie, homog`ene et monotone sur L0 (Ω∗ ). Pour s ∈ Ω∗ , on note b(s) = ρ (N (s)) (ρ associ´ee de ρ). Alors 1. ∀ u ∈ W 1 (Ω, ρ), ρ0 (u∗ )
ρ0 (b)ρ(|∇u|∗u )
ρ0 (b)ρ(|∇u|∗ ), 2. ρ0 (b) > 0, ρ(|∇u|∗ ) 1
. En particulier, 3. Inf ρ0 (b) u∈W 1 (Ω,ρ) u=0 ρ0 (u∗ )   W 1 (Ω, ρ) ⊂> v ∈ L0 (Ω) : ρ0 (v∗ ) < +∞ si ρ0 (b) < +∞. Preuve. Soit u ∈ W 1 (Ω, ρ). D’apr`es le lemme fondamental 4.3.1, on d´eduit :  |u∗ (s)|
N (t, s) |∇u|∗u (t)dt
ρ (N (s))ρ(|∇u|∗u ). (4.2) Ω∗

Puisque ρ est une norme de Fatou invariante par r´earrangement on d´eduit ρ(|∇u|∗u )
ρ(|∇u|∗ ). Par suite pour toute application d´efinie, homog`ene et monotone ρ0 sur L0 (Ω∗ ), on a, pour tout u ∈ W 1 (Ω, ρ),

4.4 Inclusions de Poincar´e-Sobolev-Lorentz

93

ρ0 (u∗ )
ρ(|∇u|∗ )ρ0 (ρ (N (s))) = ρ0 (b)ρ(|∇u|∗ ) . Si ρ0 (b) = 0 alors ∀ u, u∗ = 0 (d’apr`es le premier ´enonc´e et ρ0 est d´efinie) donc W 1 (Ω, ρ) = {0} (contradiction). De la relation 1), puisque ρ0 (b) > 0 on d´eduit l’estimation, et si ρ0 (b) < +∞ 

alors ρ0 (u∗ ) < +∞ ∀ u ∈ W 1 (Ω, ρ). Corollaire 4.3.1 ( des fonctions positives). Si W 1 (Ω, ρ) ⊂ L0+ (Ω) alors pour tout (t, s) N (t, s) = K(t) sign (t − s).

D´ efinition 4.3.1. ρ0 (b) est appel´e indice d’inclusion associ´e ` a W 1 (Ω, ρ).

Corollaire 4.3.2. On suppose que 1 ∈ W 1 (Ω, ρ) alors ρ0 (b) = +∞ Comme premi`ere application, on va retrouver les inclusions classiques en calculant ρ0 (b).

4.4 Inclusions de Poincar´ e-Sobolev-Lorentz 4.4.1 Cas des fonctions ` a trace nulle   Consid´erons le cas o` u V = u ∈ W01,1 (Ω), u  0 . Alors nous savons
  p1 1 −1 p que K(t) = t N 1 . Choisissons ρ(f ) = |f | , 1 < p < +∞, alors N N αN

Ω∗

W 1 (Ω, ρ) = W01,p (Ω) ∩ L0+ (Ω).
  p1
1 t N −1 p
 Dans ce cas ρ (f ) = |f | , N (t, s) = 1 sign (t − s). Ainsi N Ω∗ N αN ⎛ ⎜ ρ (N (s)) = ⎝

 s

|Ω|

⎞ p1


p
⎟ t− N
⎠

1 1

N N αN

⎧
1 1 |Ω| N
⎪ ⎪ ⎪ si p = N + Log 1 ⎪ ⎪ s ⎨NαN N ⎤ p1
⎡ = p
p
1− N ⎪ 1− N

⎪ 1 − s |Ω| ⎪ ⎣ ⎪ N  ⎦ sinon ⎪ 1 · ⎩ N  − p NαN N

pour s ∈ Ω∗ .

 s N1 −1 Remarque. On peut consid´erer aussi le cas p = 1, ρ N (s) = 1 . N N αN 



94

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Th´ eor` eme 4.4.1. d´efinie, homog`ene et monotone sur L0 (Ω∗ ) t.q. Soit ρ 0
 une application  N1
 ρ0 + Log |Ω| < +∞. s   Alors W01,N (Ω) ⊂ v ∈ L0 (Ω), ρ0 (v∗ ) < +∞ . En particulier, ∀ r ∈ [1, +∞[, on a W01,N (Ω) ⊂ Lr,+∞ (Ω) . De plus, on a : 1

λ=

1

N N αN [eN  ] N
1 r

|Ω| r

1 N





Inf

u∈W01,N (Ω)

|∇u|LN . u=0 |u|r,+∞

1,N Preuve. Rappelons que si u ∈ W01,N (Ω) alors |u| ∈ W0+ (Ω). Ainsi la premi`ere partie de ce th´eor`eme d´ecoule du th´eor`eme 4.3.1. Quant  a` la seconde partie, 1 r s |f |∗ (s) , f ∈ L0 (Ω∗ ). Alors on consid`ere l’application ρ0 (f ) = sup 0s|Ω|

dans ce cas : ρ0 (b) =



1 1 N

N αN

sup s

1 r

s




s − Log |Ω|

 N1




1

=

|Ω| r

1 N

N αN

sup

0t1

1

1

t r (− Log t) N




s ). Or, nous avons : |Ω|  1    N
 N1
 r  N1
1
N r r sup t (− Log t) = sup t (− Log t) = . eN  0t1 0t1

(en posant t =

D’o` u ρ(b) = 4.3.1.

1 |Ω| r  r  N1
, d’o` u la minoration a` l’aide du th´eor`eme g´en´eral 1 eN  N N αN 

|∇u|LN |∇u|LN = Inf 1,N |u| u=0 u
0 u∈W0 (Ω) u=0 |u|r,+∞ r,+∞ (car |∇u| = |∇ |u||). En utilisant le r´earrangement sph´erique on d´eduit : |∇u|N |∇u|N  Inf = a. On peut encadrer Inf 1,N u∈W0 (Ω) u=0 |u|r,+∞ u
0 u∈W01,N (Ω ) u=0 |u|r,+∞ ˜ cette derni`ere quantit´e. Remarque. On a vu que

Inf

u∈W01,N (Ω)

Proposition 4.4.1. Soit Ω = B(R) une boule de mˆeme mesure que Ω ˜ 1 δ centr´ee a ` l’origine. Soit δ > 0 (petit) α > 1, m =  − >0 N N m  N αN |x| et v(x) = − Log pour x ∈ Ω . Alors, pour α < erm on a α |Ω| ˜ δ

|∇v|N (re−1 ) N m−m+1 = λ  a  λ. 1 1 |v|r,+∞ [δ(Log α)δ ] N (N  ) N


4.4 Inclusions de Poincar´e-Sobolev-Lorentz

95

Preuve. En effet un calcul direct donne : 1

N mN αN

|∇u|LN =

1

1

1 N

, |u|r,+∞ = α r |Ω| r sup



1

t r (−Ln t)

m



1 0t α [δ(Log α)δ ]  1   rm m 1 δ m = alors on d´eduit et sup t r (−Ln t) . Comme m =  − 1 e N N 0t α l’expression du rapport sachant que 1

1

N N αN [eN  ] N


λ=

1 r

|Ω| r

1 N


, a = inf

u
0

|∇u|N . |u|r,+∞ 

Remarque. Noter que L (Ω) ⊂ L (Ω) ⊂ L (Ω) ∀ q < r. On peut “am´eliorer” le r´esultat pr´ec´edent en rempla¸cant |·|r,+∞ par ρ0 = |·|r . On a alors, en reprenant la d´emarche pr´ec´edente que : r

r,+∞

q

Th´ eor` eme 4.4.2 (inclusion de Sobolev pour p = N ). W01,N (Ω) ⊂ Lr (Ω), ∀ r < +∞ on a : 1

|u|Lr (Ω)


|Ω| r




1

N N αN

1

(− Log t)

r N


 r1 dt

0

| |∇u|∗u |N

et 

1

(− Log t)

r N


0

 +∞  1 1 1 r   r(N  ) N
e− N
. dt = σ r(1− N ) e−σ dσ =Γ 1 +  r→+∞ N 0

Corollaire 4.4.1 (in´egalit´e de Trudinger ). 1 On a ∀ λ > 1 N N αN


 exp Ω

|u(x)| λ |∇u|N

 NN−1





1−

|Ω| 1

 NN−1 .

1

N λN αN

Id´ee de preuve. Pour k entier, on choisit r = k NN−1 dans le th´eor`eme 4.4.2 ⎛ ⎞   +∞ |Ω| k NN ⎜ ⎟ k N −1 k −σ |u(x)| N −1 dx
e dσ . σ |∇u| ⎝ ⎠ 1 N N N k N −1 Ω (N αN ) 0

96

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Sachant que exp(t) =

+∞ k  t k=0

k!

, a` partir de l’in´egalit´e pr´ec´edente en multipliant

1

, on d´eduit apr`es sommation l’in´egalit´e. 

λ Remarque. L’optimisation de la condition sur λ (in´egalit´e de Trudinger) a ´et´e prouv´ee par E. Lieb [74]. par

k NN −1

Th´ eor` eme 4.4.3 (inclusion dans C 0,α (cas p > N )). Soit u ∈ W01,p (Ω), p > N . Alors u ∈ C 0,α (Ω) avec α = 1 −

N . p

De plus, (i) |u|∞




1

N (p − 1) p−N

1− p1

1

1

1

2N −p osc u
αN −1 B(x,r)




|Ω| N

1 −p

| |∇u|∗u |Lp (Ω∗ ) , N αN (ii) ∀ r > 0, ∀ x ∈ Ω t.q. B(x, r) = B(r) ⊂ Ω, on a : 1 N

N (p − 1) αN p−N

1− p1

N

|∇u|Lp (B(x,r)) · r1− p .

Preuve. (i) On choisit ρ0 (f ) = |f |∞ .   1− p1  p
p
N (p − 1) 1 1− N 1− N

Comme b(s) = − s |Ω| , 1 p−N N N αN pour p > N, s ∈ Ω∗ , on d´eduit que ρ0 (b) =



1 1 N

N αN

N (p − 1) p−N

1− p1

1

|Ω| N

1 −p

,

on conclut avec le th´eor`eme g´en´eral d’estimation 4.3.1 sachant que |u| ∈ W01,p (Ω) si u ∈ W01,p (Ω). a B(x, r). Alors u ∈ W 1,1 (B(r)). Par l’in´egalit´e (ii) Soit u la restriction de u ` de Poincar´e-Sobolev ponctuelle (voir corollaire 4.1.1 du th´eor`eme 4.1.1), on d´eduit osc u = u∗ (αN rN ) − u∗ (0)
B(x,r)




1 αN −1

 α 1− N1  N

2

αN r N

Max



  1 −1  1 |∇u|∗u (t)dt t N −1 , αN rN − t N

0

En appliquant l’in´egalit´e de H¨older a` cette derni`ere int´egrale et sachant ||∇u|∗u |Lp (0,αN rN )
|∇u|Lp (B(r)) = |∇u|Lp (B(r)) ,

4.4 Inclusions de Poincar´e-Sobolev-Lorentz

97

on d´eduit 1

osc u


2

1

1

2N −p αN −1

=

⎜ · ⎝2

N

αN −1

B(x,r)

⎛

 α 1− N1



⎞ p1


αN r N


⎟ 1 t( N −1)p ⎠

|∇u|Lp (B(r))

0


αN

N (p − 1) p−N

1− p1

|∇u|Lp (B(r)) 

Notons que le prolongement par z´ero de u dans IR C 0,α (Ω).

N

est dans W

1,p

(IR ) ⊂ N

Th´ eor` eme 4.4.4 (inclusion pour p < N ). Si 1
p < N , on a : W01,p (Ω) ⊂> Lp (Ω) avec ∗

1

(i) |u|Lp∗ (Ω)


1

B p∗ | |∇u|∗u |Lp (Ω∗ )

1 N

N αN



1 1 1 = − . de plus, on a : p∗ p N

si 1 < p < N avec



⎫−1+ pp∗ 
p∗ − pN∗ ⎬ p 1     B= ∗ p∗ 1 − p (p − 1) ⎩ Γ ∗p∗ Γ p(p∗∗ −1) ⎭ p p −p p −p ⎧ ⎨

∗



pp∗ p∗ −p

Γ

+∞

tx e−t dt .

o` u Γ (x + 1) = 0

(ii) |u|

N

L N −1




1

|∇u|L1 (Ω)

1

N N αN

si p = 1.

Preuve. Soit u ∈ W01,p (Ω), quitte a` remplacer par |u|, on peut supposer que 

|Ω|

|u∗ (t)| dt .

u  0. On a : u∗ (s) = s

Alors 



∗

u(x)p dx = Ω

∗



|Ω|

⎢ ds ⎣

u∗ (s)p ds = Ω∗

⎡

0



|Ω|

⎤p∗

⎥ |u∗ (t)| dt ⎦

.

s

On applique l’in´egalit´e de Bliss (voir ci-apr`es), on d´eduit p∗



|u|p∗
0

|Ω|

⎡

⎢ ds ⎣

 s

|Ω|

⎤p∗

⎥ |u∗ (t)| dt ⎦

∗

⎤ pp  |Ω|   N −1 p ⎥ ⎢ 
B ⎣ u∗ (t)t N  dt ⎦ . ⎡

0

98

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Par l’in´egalit´e PSR, on sait que dans ce cas,   N −1    u∗ (t)t N 


1 1

N N αN

|∇u|∗u (t) .

D’o` u en combinant les deux in´egalit´es : 1

|u|p∗


B p∗ 1

N N αN

1

B p∗

||∇u|∗u |Lp (Ω∗ )


1

N N αN

|∇u|Lp (Ω) .

1,1 (Ω) (fonctions positives), on peut supQuant a` (ii), puisque D(Ω)+ = W0+ poser que u ∈ D(Ω), u  0. Par ailleurs si on consid`ere le r´earrangement sph´erique u ∈ W 1,∞ (Ω ), u  0, alors nous avons: ˜ ˜ ˜       1 1 ∇u(x) dx s1− N |u∗ (s)| ds N  ˜  = N αN Ω Ω ˜ ˜   |∇u|∗u (σ)dσ =
|∇u| dx. Ω

Ω∗

Par ´equimesurabilit´e, il suffit de montrer 0que : 
Ω

 NN−1 1− N1 1 u(x) dx
1 N ˜ N αN

    ∇u .  ˜ 1 L

Soit t > 0, Tt la troncature au niveau t i.e. Tt (σ) = min(σ, t) si σ  0. En
 1− N1 N suivant l’id´ee de W. Ziemer [129] posons, f (t) = Tt (u) N −1 dx . Alors ˜ Ω f est absolument continue car    NN−1 1− N1  1− N1            ) − Tt
(u) dx
|t − t | u > min(t, t ) , |f (t) − f (t )|
Tt (u ˜ ˜ ˜ Ω d’o` u si t = t + h, 1

|f (t) − f (t )|
h|u > t|1− N pour h > 0. ˜ 1

Ce qui entraˆıne que |f  (t)|
|u > t|1− N p.p. t, ˜     +∞   +∞   1    |u > t|1− N dt . |u| NN−1
 f (t)dt 
L   ˜ ˜  0  0

4.4 Inclusions de Poincar´e-Sobolev-Lorentz 1

99

1

N Puisque PΩ (u > t) = N αN |u > t|1− N pour presque tout t, on d´eduit a` l’aide ˜ ˜ ˜ de la formule de Fleming-Rishel

|u|

N

L N −1






1 1 N

N αN



+∞

|∇u|dx . PΩ (u > t)dt
1 ˜ ˜ N ˜ N αN Ω ˜ 1

0



D’o` u l’in´egalit´e.

Remarque. En utilisant ρ0 (b) = |b|q alors, on peut montrer dans ce cas (1 < p < N ) que ρ0 (b) < +∞ ∀ q < p∗ . On ne peut malheureusement pas u l’usage du lemme de Bliss. traiter le cas limite q = p∗ . D’o` Lemme 4.4.1 (de Bliss). Soit ϕ  0 et q > p > 1. Alors 

+∞

⎛ ⎜ ⎝

0



⎞q

+∞

⎡

⎟ ⎢ ϕ(s)ds ⎠ dt
B ⎣



+∞

⎤ pq

p ⎥ ϕ(t)p t−1+p+ q ⎦

0

t

o` u ⎧ ⎨

q  B= q(p − 1) ⎩ Γ

 Γ q q−p



pq q−p



Γ

 p(q−1) q−p



⎫ pq −1 ⎬ ⎭


q− pq +1 1 × q 1− . p

N.B. Pour obtenir la r´egularit´e au bord on utilisera implicitement un op´erateur de prolongement P : W 1,p (Ω) → W 1,p (IRN ) pour Ω ouvert lipschitzien (voir Madja V. [79]). 4.4.2 Cas des fonctions nulles sur une partie du bord Pour cette classe de fonctions, on utilise plutˆ ot la notion de α-r´earrangement vue au paragraphe 3.5. On suppose alors que Ω est un ouvert connexe lipschitzien, Γ0 ⊂ ∂Ω, HN −1 (Γ0 ) > 0, Γ1 = ∂Ω\Γ0 . Remarque. Puisqu’on peut ´ecrire Q(Γ1 , Ω) =

1

1 , on constate que le cas N σNN des fonctions a` trace partiellement nulle est le mˆeme que le cas des fonctions a trace nulle. Il suffit de remplacer αN mesure de la boule unit´e par la mesure ` σN d’un secteur unitaire Σ(α, 1). On d´eduit alors facilement :

100

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Th´ eor` eme 4.4.5 (inclusion de WΓ1,p (Ω) ). 0 1,p Notons pour 1
p
+∞, WΓ0 (Ω) = W 1,p (Ω) ∩ WΓ1,1 (Ω). 0 (Ω) ⊂ C 0,α (Ω), α = 1 − 1. Si p > N alors, WΓ1,p 0 |u|∞




1 1 N

N σN

N (p − 1) p−N

1− p1

1

|Ω| N

1 −p

N et ∀ u ∈ WΓ1,p (Ω) 0 p | |∇u| |∗u |Lp (Ω∗ ) .

L’oscillation de u dans B(x, r) est la mˆeme que dans le th´eor`eme 4.4.3. (Ω) ⊂ Lr (Ω) ∀ r ∈ [1, +∞[ et 2. Si p = N, WΓ1,N 0 1

|Ω| r

|u|r


+∞

σ

1 r(1− N ) −σ

∗

1

B p∗

1

N N σN

e

 r1 dσ

0

WΓ1,p (Ω) ⊂ Lp (Ω), 0

3. Si 1
p < N , (i) |u|p∗


1

N σNN




| |∇u| |∗u |N .

1 1 1 on a : = − p∗ p N

| |∇u| |∗u |p si 1 < p < N avec B la mˆeme constante

que le th´eor`eme 4.4.4, (constante de Bliss). 1 (ii) |u| N
1 |∇u|1 si p = 1. N −1 N σNN

4.4.3 Indice g´ en´ eral d’inclusion des fonctions ` a trace quelconque 1 dans W 1− p ,p (∂Ω) Les inclusions de Sobolev pour les espaces W 1,p (Ω) sont analogues a` celles pr´esent´ees ci-dessus lorsque Ω est un ouvert born´e de bord lipschitzien. Les estimations dans ce cas sont diff´erentes i.e. les constantes sont diff´erentes et on utilise non plus le gradient mais la norme de W 1,p (Ω). Voici un th´eor`eme d’estimations g´en´erales dans ce cas: Th´ eor` eme 4.4.6.      , max s, |Ω| . Soit V un Pour s ∈ Ω∗ , on note I(s) = min s, |Ω| 2 2

sous-ensemble de W 1,1 (Ω) v´erifiant la propri´et´e PSR, associ´e a ` la fonction K = K(·, Ω, V ). Soit ρ une norme non triviale sur L0 (Ω∗ ). Notons, b(s) = ρ (χI(s) K) et     V 1 (Ω, ρ) = v ∈ V t.q. ρ |∇v|∗v < +∞ .

4.4 Inclusions de Poincar´e-Sobolev-Lorentz

101

Alors pour toute application d´efinie, homog`ene et monotone ρ0 sur L0 (Ω∗ ), v´erifiant ρ0 (1) < +∞, si ρ0 (b) < +∞ on a   V 1 (Ω, ρ) ⊂ L(Ω, ρ0 ) = v ∈ L0 (Ω) : ρ0 (v∗ ) < +∞ . De plus, on a : ∀ u ∈ V 1 (Ω, ρ)
  |Ω| 
ρ0 (b)ρ(|∇u|∗u ). ρ0 u∗ − u∗ 2

D´ efinition 4.4.1. ρ0 (b) s’appelle indice d’inclusion associ´e a ` V 1 (Ω, ρ). Remarques. 1. Si ρ0 v´erifie ρ0 (f + constante)
ρ0 (f ) + constante ρ0 (1), la derni`ere in´egalit´e implique : 
  |Ω|  ρ0 (1) < +∞. ρ0 (u∗ )
ρ0 (b)ρ(|∇u|∗u ) + u∗ 2  

     |Ω|  u∗ |Ω| , ce qui implique que + En effet |u∗ |
u∗ − u∗   

2 
 2   |Ω| |Ω|  ρ0 (u∗ )
ρ0 u∗ − u∗ ρ0 (1). + u∗ 2 2  2. Si ρ est une norme de Fatou invariante par r´earrangement alors sous les conditions du th´eor`eme on a : W 1 (Ω, ρ) ⊂ V 1 (Ω, ρ) car ∀ u ∈ W 1 (Ω, ρ), ρ(|∇u|∗u )
ρ(|∇u|∗ ) < +∞ . Preuve du th´eor`eme 4.4.6. Soit u ∈ V 1 (Ω, ρ) alors ∀ s ∈ Ω∗ , 
    u∗ (s) − u∗ |Ω| 
χI(s) (σ)K(σ) |∇u|∗u (σ)dσ.  2  Ω∗ D’o` u l’on a :


   u∗ (s) − u∗ |Ω| 
ρ (χI(s) K) · ρ(|∇u| ). ∗u  2 

Si ρ0 est homog`ene et monotone, on d´eduit :

 |Ω| ρ0 u∗ − u∗
ρ0 (b)ρ(|∇u|∗u ) 2 o` u b(s) = ρ (χI(s) K), ρ est la norme associ´ee `a ρ.



102

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Corollaire 4.4.2 (du th´eor`eme 4.4.6). Sous les conditions du th´eor`eme pr´ec´edent, si ρ est une norme de Fatou invariante par r´earrangement et ρ0 (f + λ)
ρ0 (f ) + λρ0 (1), ∀ λ ∈ IR+ , f ∈ L0 (Ω∗ ) alors 2 ρ0 (1) |u|1 , |Ω|   ∀ u ∈ W 1 (Ω, ρ) = v ∈ V : ρ(|∇u|∗ ) < +∞ . ρ0 (u∗ )
ρ0 (b)ρ(|∇u|∗ ) +

Preuve du corollaire. Puisque ρ est une norme de Fatou invariante par r´earrangement on d´eduit que (voir remarques ci-dessus) : 
  |Ω|   ρ0 (1). (4.3) ρ0 (u∗ )
ρ0 (b)ρ(|∇u|∗ ) + u∗ 2  Mais puisque u∗ est d´ecroissante on a : 2 |Ω| D’o` u






|Ω|

u∗ (σ)dσ
u∗ |Ω| 2

|Ω| 2



2
|Ω|



|Ω| 2

u∗ (σ)dσ . 0


   u∗ |Ω| 
2 |u| 1 .  2  |Ω| L

On combine les deux relations (4.3) et (4.4), on d´eduit l’in´egalit´e.

(4.4) 

Il arrive souvent dans les applications que l’on utilise des fonctions a` moyenne donn´ee. Pour cette nous allons donner un th´eor`eme
raison   analogue |Ω| 1 u(x)dx. au th´eor`eme 4.4.6 o` u u∗ est remplac´ee par la moyenne 2 |Ω| Ω Th´ eor` eme 4.4.7. Sous les mˆemes conditions que le th´eor` eme 4.4.6, con1 1 sid´erons u ∈ V (Ω, ρ) et notons su ∈ Ω ∗ t.q. u∗ (su ) = udx, |Ω| Ω   I(u, s) = [min(s, su ), max(s, su )] , bu (s) = ρ χI(u,s) K . Pour toute application homog`ene et monotone ρ0 sur L0 (Ω∗ ) t.q. ρ0 (bu ) < +∞ et ρ0 (1) < +∞, on a 
   1 u(x)dx
ρ0 (bu )ρ |∇u|∗u . ρ0 u∗ − |Ω| Ω Preuve. Elle est identique a` celle du th´eor`eme 4.4.6 en rempla¸cant I(s) par I(u, s) et b par bu . Notons que si su = 0 ou su = |Ω| alors u est constante.

4.5 Calcul d’indices d’inclusions

103

Ainsi le cas le plus int´eressant est 0 < su < |Ω|, ainsi il suffit de remplacer |Ω| dans les applications du th´eor`eme 4.4.6, par su pour obtenir un r´esultat 2 analogue. 

4.5 Calcul d’indices d’inclusions Pour changer, nous allons consid´erer dans cette partie ρ(f ) = |f |(p,q) la norme dans l’espace de Lorentz Lp,q (Ω). On va supposer que Ω est un ouvert born´e connexe lipschitzien dont la constante relative isop´erim´etrique est not´ee Q > 0. On a alors : Lemme 4.5.1. Soit 1 < p < +∞, 1
q
+∞. Alors, la norme associ´ee 1 1 1 1 a ρ est ´equivalente a ` ` |·|(p
,q
) , +  = 1, +  = 1. De plus, on a p p q q ρ (g)
|g|(p
,q
) ,

∀ g ∈ L0 (Ω).

Preuve. On se contentera de montrer la derni`ere in´egalit´e qui est suffisante dans notre contexte :    |f g| dx
|f |∗ (t) |g|∗ (t)dt
|f |∗∗ (t) |g|∗∗ (t)dt Ω∗



= Ω∗

Ω∗



Ω∗

 1  dt 1 t p |f |∗∗ (t) t p
|g|∗∗ (t)
|f |(p,q) |g|(p
,q
) t

(par l’in´egalit´e de H¨older). En prenant le supremum sur toutes les fonctions f ∈ L0 (Ω∗ ) : |f |(p,q)
1, on a l’in´egalit´e ρ (g)
|g|(p
,q
) ∀ g ∈ L0 (Ω∗ ).

 Rappelons que sous les conditions pr´ec´edentes, l’ensemble V = W 1,1 (Ω) v´erifie l’in´egalit´e ponctuelle de Poincar´e-Sobolev avec  1  1 −1 K(σ) = Q max σ N −1 , (|Ω| − σ) N .

Lemme 4.5.2 (calcul de (χI(s) K)∗ ). Soit s ∈ Ω∗ , alors pour tout σ ∈ Ω ∗ , ⎧ |Ω| ⎪ ⎨(s + σ) N1 −1 χ |Ω| (σ) , si 0 < s
[0, 2 −s] 2 (χI(s) K)∗ (σ) = Q 1 |Ω| ⎪ ⎩(|Ω| − s + σ) N −1 χ < s < |Ω| . si [0,s− |Ω| 2 ] 2 Preuve. Si 0 < s


|Ω| v alors χI(s) K = a pour allure 2 Q

104

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

6

1

s N −1
 1 −1 |Ω| N 2 0

|Ω| 2

s

⎧ 1 ⎨ Qσ N −1 i.e. v(s) = ⎩0

si s
σ


|Ω|

|Ω| 2

ailleurs. Pour obtenir le r´earrangement d´ecroissant de v il suffit de translater d’une longueur s vers la gauche.⎧ |Ω| 1 ⎨ (σ + s) N −1 si 0
σ < −s D’o` u (χ[s, |Ω| ] K)∗ (σ) = Q 2 2 ⎩0 sinon. Si

|Ω| < s < |Ω| alors v = χ[ |Ω| ,s] K a pour allure : 2 2 6 1

Q(|Ω| − s) N −1


Q

|Ω| 2

 N1 −1

0

|Ω| 2

⎧ 1 ⎨ Q(|Ω| − σ) N −1 i.e. v(σ) = ⎩0

|Ω|

s |Ω| <σ
s 2 sinon.

si

∀ t ∈ IR+ , on a

⎧ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ |Ω| |v > t| = s − 2 ⎪
− NN−1 ⎪ ⎪ ⎪ t ⎪ ⎩s − |Ω| + Q

1

−1

si t  Q (|Ω| − s) N
 1 −1 |Ω| N si t
Q 2 sinon.

4.5 Calcul d’indices d’inclusions

⎧ ⎪ ⎨0

D’o` u v∗ (σ) =

105

|Ω| 2 |Ω| . si 0
σ < s − 2

si σ  s −

⎪ ⎩Q(|Ω| − s + σ) N1 −1

Commen¸cons par le cas o` u p  N, q = 1. Lemme 4.5.3 (expression de b(s)). Soit p  N, q = 1 et posons, pour  s ∈ Ω∗ , b1 (s) = χI(s) K p
,+∞ . Alors, 1
 1  |Ω|  p
2 N
b1 (s) = Q s − , 2  |Ω| et

1 1 N + , = 1, N  = p p N −1

  b1 (s)
b(s) = χI(s) K (p
,+∞)
pb1 (s)

∀ s ∈ Ω∗ .

Preuve.   Puisque l’on a |v|p
,+∞
|v|(p
,+∞)
p |v|p
,+∞ , calculons χI(s) K p
,+∞ . Due a` la sym´etrie des expressions du r´earrangement dans le lemme (4.5.2) |Ω| pr´ec´edent, il suffit de faire le cas o` u0<s
, 2  1      b1 (s) = χI(s) K p
,+∞ = sup t p
χI(s) K ∗ (t) . t

Soit en reprenant l’expression du lemme pr´ec´edent ⎡ b1 (s) = Q

1

t p
(s + t)

sup

− N1


= Q⎣

0t |Ω| 2 −s

sup

0t |Ω| 2 −s

N
p


⎤ N1


t ⎦ s+t

.

N


t p
est croissante. D’o` u Pour p  N , la fonction t → s+t
b1 (s) = Q

2 |Ω|

 p1
 N1

|Ω| −s · , 2

0<s


|Ω| . 2

|Ω| < s < |Ω|, 2
1
1 2 N
|Ω| p
b1 (s) = Q · s− . |Ω| 2

Par sym´etrie, on a pour



106

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Th´ eor` eme 4.5.1 (inclusions des espaces de Lorentz-Sobolev : p  N). Soit p  N, q = 1.   D´efinissons, W 1 (Ω, |·|p,1 ) = v ∈ L1 (Ω) : |∇v| ∈ Lp,1 (Ω) . Alors, 1. W 1 (Ω, |·|p,1 ) ⊂ L∞ (Ω) ∩ C α (Ω), α = 1 − 2. ∀ v ∈ W 1 (Ω, |·|p,1 ), on a
|v|∞
pQ

|Ω| 2

 N1 − p1

N . p

|∇v|(p,1) +

2 |v| |Ω| 1

1− 1

N α p et osc v
N |∇v|Lp,1 (B(r)) r1− p o` u B(x, r) = B(r) ⊂ Ω. αN −1 B(x,r)

Preuve. Notons d’abord que : 1 −1 Lp,1 ⊂ LN,1 et |f |(N,1)
|Ω| N p |f |(p,1) , ∀ f ∈ Lp,1 p  N . En effet,  |f |(N,1) =

1

Ω∗

1

1

t N − p t p |f |∗∗ (t)

1 dt −1
|Ω| N p |f |(p,1) . t

Ainsi W 1 (Ω, |·|p,1 ) ⊂> W 1 (Ω, |·|N,1 ) avec une injection continue. On a vu que : ∀ v ∈ W 1 (Ω, |·|N,1 ), 1−

1− 1

1

N

α N α p r1− p |∇v|LN,1 (B(r))
N |∇v|Lp,1 (B(r)) osc v
N αN −1 αN −1 B(r) (en utilisant l’in´egalit´e pr´ec´edente). Pour justifier l’estimation L∞ , on consid`ere, ρ0 (v) = |v|∞ . Alors, en appliquant le corollaire 4.4.2 du th´eor`eme 4.4.6, on d´eduit : ∀ v ∈ W 1 (Ω, |·|p,1 ), |v|∞

2 |v|
pQ
|b|∞ |∇v|(p,1) + |Ω| 1




|Ω| 2

 N1 − p1

|∇v|(p,1) +

2 |v| . |Ω| 1 

Remarque. Si p > N , pour tout N < q < p on a : Lp
Lq,1
LN,1 . En effet, f ∈ Lp+ (Ω) on a : 

dt t f∗ (t)
t Ω∗ 1 q

(car q  > p pour p > q).







t Ω∗

−p q


 p1


1

|f∗ |p = c |Ω| p


− q1


|f |p < +∞

4.5 Calcul d’indices d’inclusions

107

En cons´equence, on a : W 1,p (Ω) ⊂ W 1 (Ω, |·|q,1 ) ⊂ W 1 (Ω, |·|N,1 ).

Corollaire 4.5.1 ( du th´eor`eme d’inclusion 4.5.1). Pour tout p > N , on a : W 1,p (Ω) ⊂> C 0,α (Ω),

α=1−

p . N

Preuve. Pour v ∈ W 1,p (Ω), ∀ N < q < p, on a 1− 1

q α q osc v
N |∇v|Lq,1 (B(r)) · r1− N αN −1 B(r)

1− q1

1− q(p−1)

q 1 1 αN (p−1)q
|∇v|Lp (B(r)) r1− N · r( q − p )N αN −1 Quand q → p, on d´eduit :

αN

1− 1

p α p osc v
N |∇v|Lp (B(r)) · r1− N . αN −1 B(r)

La r´egularit´e au bord ∂Ω d´ecoule de l’op´erateur de prolongement continu P : W 1,p (Ω) → W 1,p (IRN ) . 

Th´ eor` eme 4.5.2 (inclusion dans les espaces de Lorentz). Si 1
p < N, 1
q < +∞ alors ∗

W 1 (Ω, |·|p,q ) ⊂> Lp

,q

(Ω),

1 1 1 . = − ∗ p p N

De plus, on a pour v ∈ W 1 (Ω, |·|p,q ) : 1. Si γ0 v = 0 sur ∂Ω alors si u = |v| |v|p∗ ,q


p∗ 1 N

N αN

||∇u|∗u |p,q


p∗ 1

N N αN

|∇v|p,q si 1
q
p.

et |v|(p∗ ,q)


 1 1 p∗   −1 + (p∗ ) q |Ω| p∗ |v|1 si p < q
+∞. 1  |∇u|∗u  (p,q) N N αN

2. Si γ0 v ≡ 0 sur ∂Ω alors il existe une constante c2 > 0 ne d´ependant que de p, q, Ω, N et Q t.q.

108

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev


   v − v∗ |Ω|   2  et


   v − v∗ |Ω|   2 

p∗ ,q


c2 ||∇v|∗v |p,q
c2 |∇v|p,q si 1
q
p,


c2 ||∇v|∗v |(p,q)
c2 |∇v|(p,q) si p < q
+∞.

(p∗ ,q)

Preuve. Commen¸cons par rappeler un lemme de Hardy dont la preuve est identique a` celle donn´ee au d´ebut du chapitre : (voir exercice 10.1.29, chapitre 10) Lemme 4.5.4 (de Hardy (2eme version)). Soit f : [0, +∞[→ [0, +∞[ mesurable, r < 0 et q  1, deux nombres r´eels. Alors, q
q  +∞  +∞
 +∞ q −r−1 f (t)dt x dx
f (t)q tq−r−1 dt. |r| 0 x 0 1er cas : v ∈ W 1 (Ω, |·|p,q ) t.q. v = 0 sur ∂Ω. Posons u = |v| (quitte a` raisonner par densit´e on pourra supposer v born´ee), on a :  q   |Ω| q dt  q 1 q −1 t p∗ u∗ (t) = t p∗ |u∗ (σ)| dσ dt . |v|p∗ ,q = t t Ω∗ Ω∗ Quitte a` prolonger u∗ par z´ero, nous pouvons appliquer le lemme de Hardy pr´ec´edent pour obtenir :     q dt 1 1 q q+ q∗ −1 q ∗ q  ∗ q p t p t1− N |u∗ (t)| |u∗ (t)| t dt = (p ) |v|p∗ ,q
(p ) t Ω∗ Ω∗ Par l’in´egalit´e ponctuelle de Poincar´e-Sobolev : 1

t1− N |u∗ (t)|


D’o` u q |v|p∗ ,q




1 1

N N αN

q

1 1 N

N αN

(p∗ )q

|∇u|∗u (t)  Ω∗



pp.

1

t p |∇u|∗u

q dt . t

Soit • Si 1
q
p en utilisant l’in´egalit´e de Poly` a-Sz¨ego (th´eor`eme 3.4.1), on a: |v|p∗ ,q


p∗ 1 N

N αN

||∇u|∗u |p,q


p∗ 1

N N αN

|∇v|p,q .

• Si p < q < +∞ alors par int´egration par partie, on a

4.5 Calcul d’indices d’inclusions



q p∗ |Ω| p∗ u∗∗ (|Ω|)q − p∗ q

q

t p∗ −1 u∗∗ (t)q dt =

Ω∗

A l’aide du th´eor`eme 4.1.2 i.e. −u∗∗ (t)


d´eduit :

+




p∗

Ω∗

1

N N αN

q

t p∗ −1 u∗∗ (t)q dt
q

t p∗ −1 u∗∗ (t)q dt

 q1


Ω∗

t

1 N



109

q

Ω∗

 t p∗ uq−1 ∗∗ (t)u∗∗ (t)dt.

−1 1

et l’in´egalit´e de H¨older on

N N αN

q p∗ |Ω| p∗ u∗∗ (|Ω|)q q  q1
 q t p −1 (|∇u|∗u )q∗∗ (t)dt .

Ω∗

En utilisant l’in´egalit´e de Young suivante : ab
r´esultat.

1 q 1
a +  bq , on d´eduit le q q 

2eme cas γ0 v ≡ 0 sur ∂Ω. Ecrivons que 
q   v − v∗ |Ω|   2  ∗

p ,q

 |Ω|  1 + t p∗ |Ω| 2

 =

|Ω| 2



0


q 1  |Ω|  dt t p∗ v∗ (t) − v∗ 2  t


q   v∗ (t) − v∗ |Ω|  dt = I1 + I2 .  2  t

On traite la premi`ere int´egrale comme le cas pr´ec´edent. En appliquant l’in´egalit´e de Hardy, q  |Ω|  |Ω|  |Ω| q dt 2 2 2  1  q 1 −1  ∗ t p t1− N |v∗ (t)| . I1 = tp |v∗ (σ)| dσ dt
(p∗ )q t 0 t 0 1

Puisque t1− N |v∗ (t)|
Q |∇u|∗u (t) pour t


|Ω| , on obtient alors 2

I1
Qq (p∗ )q ||∇v|∗v |p,q
Qp (p∗ )q |∇v|(p,q) . q

q

(4.5)

Quant a` l’in´egalit´e I2 , nous introduisons 
q−1 γ   |Ω| q−N : γ 1−q , b(t) = γ − (|Ω| − t) alors :b ∈ L1 |Ω| , |Ω| . γ= 2 (q − 1)N 2   |Ω| , |Ω| On ´ecrit pour tout t ∈ 2 q 
q  t   1 1 |Ω| − v∗ (t) − v∗  = (|Ω| − σ) N
(|Ω| − σ) N
|v∗ (σ)| dσ  |Ω| 2  2

110

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev


Q

q

t

q |Ω| 2

− N1


(|Ω| − σ)


Qq:b(t)

|∇v|∗v (σ)dσ



|Ω| |Ω| 2

q

[|∇v|∗v ] dσ

(ceci en utilisant la propri´et´e PSR et l’in´egalit´e de H¨older). Ainsi   1+ p |Ω| q q q q2 : I2
Q b(t)dt · ||∇v|∗v |p,q
c1 |∇v|(p,q) 1 |Ω| |Ω| N 2 d’o` u

1

2  cq c2 = Q p∗ + c2 , c2 = 1 . Q 

Preuve identique a` la partie 1 pour le cas p < q < +∞.

Voici une preuve fond´ee sur le th´eor`eme g´en´eral 4.4.6 qui donne un r´esultat valable pour q
+∞ mais plus faible si q < +∞. Th´ eor` eme 4.5.3. Soit 1
p < N, 1 < q
+∞. Alors, on a ∗

W 1 (Ω, |·|p,q ) ⊂ Lp

,+∞

(Ω) .

De plus, on a 
   u − u∗ |Ω|   2 

p∗ ,+∞


2

1 p∗




+∞

Q 1

γ −ν

(θ − 1) θ

1− q1 dθ

||∇u|∗u |(p,q)

q N −1 q p−1 · , ν = · et Q est la p q−1 N q−1 constante isop´erim´etrique associ´ee a ` Ω.

∀ u ∈ W 1 (Ω, |·|p,q ), o` u γ+1 =

Preuve. Dans le th´eor`eme 4.4.6 d’estimation g´en´erale, on choisit alors ρ0 = |·|p∗ ,+∞ et ρ(·) = |·|(p,q) . Ainsi, ρ (·)
|·|(p
,q
) et comme |·|(p
,q
)
p |·|p
,q
,    il suffit d’estimer ρ0 χI(s) K p
,q
.   Pour des raisons de sym´etrie dans l’expression de χI(s) K ∗ , il suffit d’estimer |Ω| . Dans ce cas nous avons : pour s < 2 ⎡ ⎤ q1
|Ω| −s   ⎢  2 q
−1 ⎥
− q
⎥
b(s) = χI(s) K p
,q
= Q ⎢ ⎣ σ p (s + σ) N dσ ⎦ . 0

Par changement de variables, la derni`ere int´egrale s’´ecrit q q (en posant γ + 1 =  , ν =  ) : p N

4.6 In´egalit´es d’interpolation pour un espace norm´e g´en´eral

⎡

⎤ q1
|Ω|  2 −s
⎢ ⎥ γ+1−ν
⎢ σ pq
−1 (s + σ)− Nq
dσ ⎥ = s q
⎣ ⎦ 0

111

⎛

⎞ q1
|Ω|  2s ⎜ ⎟ ⎜ (θ − 1)γ θ−ν dθ ⎟ ⎝ ⎠ 1


 +∞  q1
γ+1−ν 1 γ −ν = − et J = Q (θ − 1) θ dθ < +∞. D’o` u, en q p∗ 1 utilisant la sym´etrie : ⎧ 1 |Ω| ⎪ ⎨s− p∗ , si 0 < s
2 b(s)
J 1 |Ω| ⎪ ⎩(|Ω| − s)− p∗ , si < s < |Ω| . 2

or,

On d´eduit

1

1

1

b∗ (s)
2 p∗ Js− p∗ : |b|p∗ ,+∞
2 p∗ J .

On applique alors l’estimation g´en´erale 
   u − u∗ |Ω| 
|b|p∗ ,+∞ ||∇u|∗u |(p,q) .  2 p∗ ,+∞ Sachant que ||∇u|∗u |(p,q)
|∇u|(p,q) , on a : 
   u − u∗ |Ω|   2 

p∗ ,+∞


2

1 p∗


 Q 1

+∞

γ −ν

(θ − 1) θ

1− q1 dθ

|∇u|(p,q) . 

Corollaire 4.5.2 ( du th´eor`eme 4.5.3). ∀ u ∈ W 1 (Ω, |·|p,q ) 1

1

|u|p∗ ,+∞
2 p∗ J |∇u|(p,q) + 2 |Ω| p∗

−1

|u|1 .

Remarque. Le cas  q = 1 p < N peut ˆetre abord´e avec la mˆeme m´ethode en calculant b(s) = χI(s) K p
,+∞ .

4.6 In´ egalit´ es d’interpolation pour un espace norm´ e g´ en´ eral Les in´egalit´es de Poincar´e-Sobolev (PSR) peuvent aussi servir a` obtenir des in´egalit´es d’interpolation avec, en prime les estimations des constantes. En voici quelques exemples :

112

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

Th´ eor` eme 4.6.1 (interpolation du type Gagliardo-Nirenberg g´en´eralis´ ee).

1 Soit ρ une norme non triviale sur L0 (Ω∗ ) et soit u ∈ V0+ (Ω, ρ) = v ∈    1,1 (Ω), ρ |∇v|∗v < +∞ . W0+  |Ω| si q  1 Pour q ∈]0, +∞[, on note |Ωq | = . |u > 0| si 0 < q < 1 Pour toute application ρ0 homog`ene et monotone sur L0 (Ω∗ ), on a alors :


ρ0 (u∗ )


 q1

q Nα

1

ρ (|∇u|∗u ) q ρ0

1 N

   1  ρ k1 uq−1 χ[s,|Ω|] q ∗

1

avec k1 (t) = t N −1 .

Corollaire 4.6.1. On suppose que Ω est un ouvert born´e de IRN (pour simplifier). Si N 
p < +∞, alors ∀ u ∈ W01,N (Ω), a a    a 1 1   1−a a 1−a |u|p
|∇u|N |u|p−N
|∇u|∗|u|  |u|p−N

1 1 N N N aN αN aN αN avec a =

N . p

Preuve du th´eor`eme 4.6.1. Soit u ∈ W01 (Ω, ρ), d’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´eSobolev (PSR), on a : 1

−u∗ (s)




s N −1 1

N N αN

|∇u|∗u (s)

p.p.

que Comme u  0, on d´eduit apr`es multiplication par uq−1 ∗ −

1 1 1 d q N −1 uq−1 (s), u∗ (s)
1 |∇u|∗u (s) · s ∗ q ds N N αN

q  0.

En int´egrant entre s et |Ωq | on d´eduit de cette in´egalit´e que ∀ s ∈ Ω ∗  1 q uq∗ (s)
|∇u|∗u (t)t N −1 u∗ (t)q−1 χ[s,|Ωq |] (t)dt. 1 N Ω∗ N αN En utilisant ρ et ρ , on obtient, ∀ s ∈ Ω ∗ uq∗ (s)


q 1 N

N αN

  ρ (|∇u|∗u ) ρ k1 uq−1 χ[s,|Ωq |] ∗

4.6 In´egalit´es d’interpolation pour un espace norm´e g´en´eral

113

1

o` u k1 (t) = t N −1 , t ∈ Ω∗ . Puisque ρ0 est homog`ene et monotone sur L0 (Ω∗ ), on a alors :   q1    q1  1 q  q−1 q ρ k ρ0 (u∗ )
ρ (|∇u| ) ρ χ u . 0 1 [s,|Ωq |] ∗ 1 ∗u N N αN 

Preuve du corollaire 4.6.1. ˙ |·|N et qN  = p. Alors Il suffit de consid´erer u  0. On choisit ρ0 = |·|p , ρ= l’in´egalit´e du th´eor`eme implique :  |u|p


 q1

q

1 q



||∇u|∗u |N

1

N N αN




|Ω|

s

Ω∗


t−1 up−N (t)dt ∗

 p1 ds

(4.6)




Posons a = 1 − p−N = Np = 1q . En int´egrant par partie la derni`ere int´egrale p (ou en utilisant le th´eor`eme de Fubini) :     |Ω|
−1 p−N
t u∗ (t)dt ds = up−N (t)dt. (4.7) ∗ Ω∗

s

Ω∗

En combinant (4.6) et (4.7), on a :  a 1 a 1−a |u|p
||∇u|∗u |N |u|p−N
1 N aN αN 

Remarques. •

Le corollaire pr´ec´edent est souvent utilis´e avec N = 2, p = 4, p − N  = 2 donc a = |u|4


•

1 2


 14 1 1 1 |∇u|22 |u|22 π

Le th´eor`eme 4.6.1 peut ˆetre ´enonc´e pour des fonctions a` trace non nulle i.e. W 1,1 (Ω), il suffit d’appliquer l’in´egalit´e (PSR) ad´equate.

A partir de cette derni`ere interpolation, d´ecoulent d’autres interpolations. En voici un exemple Corollaire 4.6.2 (du th´eor`eme 4.6.1). Sous les mˆemes conditions que le th´eor`eme pr´ec´edent, si max(N  , p − N  )
r
p < +∞ alors : r

r 1− p

p |u|p
c |∇u|N |u|r

114

4 In´egalit´es ponctuelles et inclusions g´en´eralis´ees de Sobolev

 avec c =

a

1 aN αN




(1−a)(1− p−N ) r

r

1 N

Cr (N, Ω) p −a |Ω| 1

N |Ω| r , Cr (N, Ω) = a= 1 p N N αN




+∞

σ

1 r(1− N ) −σ

e

,

 r1 dσ

.

0

Preuve. On a vu au th´eor`eme 4.4.2 que pour u ≡ 0 : 1,N |u|r
Cr (N, Ω) |∇u|N pour W0+ (Ω), on d´eduit que : a

r a− p

|∇u|N = |∇u|N

r

r a− p

r

p |∇u|N
Cr (N, Ω) p −a |u|r

r

p |∇u|N

(4.8)

et par l’in´egalit´e de H¨older, on sait que : 1−a




(1−a)(1− p−N ) r

|u|p−N

|Ω|

1−a

|u|r

.

En combinant avec le th´eor`eme 4.6.1 pr´ec´edent, on d´eduit le r´esultat.

(4.9) 

Notes pr´ e-bibliographiques Les r´esultats issus de ce chapitre sont en majorit´e dˆ us `a l’auteur (voir r´ef´erences cit´ees en fin d’ouvrage) sauf ceux des inclusions classiques de Sobolev. N´eanmoins les preuves sont bas´ees sur les r´esultats de l’auteur.

5 Formalisme d’estimations pour les probl` emes aux limites

Les estimations ponctuelles utilisant les r´earrangements monotones dans les ´equations aux d´eriv´ees partielles ont ´et´e initi´ees par G. Talenti [120] o` u il a compar´e la solution de −∆u = f ∈ L2+ (Ω), u ∈ H01 (Ω) a` la solution radiale u f est la fonction r´earrangement sph´erique de de −∆U = f, U ∈ H01 (Ω ) o` :

:

f et Ω est la boule de mˆeme mesure que Ω. Il a prouv´e alors que u∗ (s)
:

U∗ (s), ∀ s. Comme U∗ est connue explicitement, on d´eduit les r´egularit´es de u dans n’importe quel espace invariant par r´earrangement. Des r´esultats analogues ont ´et´e prouv´es par divers auteurs adoptant la m´ethode de Talenti. Dans ce chapitre, nous adoptons une m´ethode diff´erente, nous allons essayer de d´evelopper syst´ematiquement un m´ecanisme d’estimations a priori en utilisant les diverses propri´et´es du r´earrangement monotone et relatif. Grosso modo, l’id´ee est la suivante : Consid´erons u, un ´el´ement d’un ensemble V , solution par exemple d’une ´equation variationnelle de la forme :   ; < A(u), ϕ = T, ϕ , ∀ ϕ ∈ W (V ⊂ W ) et T ∈ W  (espace dual de W ). Pour chaque s ∈ Ω∗ , on construit une fonction test ϕ(s) de mani`ere `a transformer l’´equation pr´ec´edente en une in´equation ponctuelle en s. En g´en´eral,  (s)
puisqu’il faut estimer v = |u|, cette in´equation peut s’´ecrire : a (∇v) ∗v   u G(T ) est une fonction de la donn´ee T uniquement, Φ : IR → IR Φ G(T )∗v , o` est bien d´etermin´ee en g´en´eral. Moyennant les hypoth`eses de croissance sur l’op´erateur, si V v´erifie la propri´et´e PSR alors l’in´egalit´e conduit a` l’in´equation diff´erentielle :   −v∗ (s)
K(s, Ω, V )Φ G(T )∗v (s). A partir de l` a, une analyse analogue a` celle du chapitre 4 conduit a` des estimations de v dans divers espaces   norm´esL(Ω  ∗ , ρ). Par exemple si ρ et ρ0 sont deux normes distinctes t.q. ρ Φ G(T )∗v < +∞ et si l’indice d’injection   u ρ est la norme associ´ee de ρ) est fini alors v∗ ∈ L(Ω∗ , ρ0 ) ρ0 ρ (χI(s) K) (o` i.e. ρ0 (v∗ ) < +∞.

116

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

5.1 Quelques lemmes pr´ eliminaires Nous allons illustrer cette d´emarche `a l’aide de quelques exemples, en faisant varier les conditions aux limites et nous terminerons par quelques cons´equences directes de ces ´etudes. Commen¸cons par quelques lemmes g´en´eraux : Lemme 5.1.1 (in´egalit´e de H¨older pour le r´earrangement relatif). Si 1 < p
p < +∞, p = , si F1 ∈ Lp (Ω)N et F2 ∈ Lp (Ω)N alors ∀ u ∈ L1 (Ω), p−1 on a p.p. s ∈ Ω∗ 

F1 · F2 χΩ\P (u)

 ∗u

 p1  p1
  p p
(s)
|F1 | χΩ\P (u) (s) |F2 | χΩ\P (u) , ∗u

o` u χΩ\P (u) d´esigne la fonction caract´eristique de Ω\P (u), P (u) l’ensemble des paliers de u, F1 · F2 est le produit scalaire dans IRN , |Fi | la norme euclidienne de Fi , i = 1, 2. Preuve. Par d´efinition du r´earrangement relatif, la fonction :  s →

F1 · F2 χΩ\P (u) dx est dans W 1,1 (Ω∗ ), donc elle est presque partout {u>u∗ (s)}

d´erivable. Ainsi    1 F1 · F2 χΩ\P (u) dx . F1 · F2 χΩ\P (u) (s) = lim h 0 h ∗u {u∗ (s+h)
En appliquant l’in´egalit´e de H¨older a` cette derni`ere int´egrale et en faisant tendre h vers z´ero on d´eduit le lemme. 

1,1 Lemme 5.1.2. Soit 1
p
+∞, et soit v ∈ Lp (Ω) t.q. v∗ ∈ Wloc (Ω∗ ).   p
g v − v∗ (s) + dx est dans Alors ∀ g ∈ L (Ω) la fonction G(s) = Ω

1,1 (Ω∗ ). De plus, on a pour presque tout s Wloc   s dv∗ dv∗ (s) g(x)dx = − (s) G (s) = − g∗v (σ)dσ. ds ds 0 {v>v∗ (s)}

 Preuve. La fonction H : IR → IR d´efinie par H(t) =

g(v − t)+ dx est Ω

localement lipschitzienne car, ∀ t1 , t2
    |H(t1 ) − H(t2 )|
|g| dx |t1 − t2 | , |H(t)|
|gv| + |t| |g| . Ω

Ω

Ω

5.2 Estimations ponctuelles pour des ´equations quasilin´eaires

117



 1,1 Par suite, la fonction compos´ee G(s) = H v∗ (s) est dans Wloc (Ω∗ ) d`es 1,1 que v∗ ∈ Wloc (Ω∗ ) et ob´eit `a la r`egle de d´erivation de fonctions compos´ees,   dv∗ c’est `a dire G (s) = H  v∗ (s) (s) p.p. en s. Un calcul direct de H  (t) = ds  H(t + h) − H(t)  conduit a` l’expression H (t) = − gdx . lim h 0 h {v>t}

5.2 Estimations ponctuelles pour des ´ equations quasilin´ eaires Dans ce paragraphe, nous allons consid´erer pour p ∈]1, +∞[, un op´erateur commun´ement appel´e op´erateur de Leray-Lions, & a : Ω × IR × IRN → IRN v´erifiant : LL1 & a est de Carath´eodory i.e. que pour presque tout x, (σ, ξ) ∈ IR × IRN → & a(x, σ, ξ) ∈ IRN est continue et ∀ (σ, ξ) ∈ IR × IRN , x → & a(x, σ, ξ) ∈ IRN est mesurable. LL2 (Coercivit´e), il existe un r´eel α > 0 t.q. p.p. en x ∈ Ω, ∀ (σ, ξ) ∈ IR × IRN p

& a(x, σ, ξ) · ξ  α |ξ| . LL3 Il existe un constante c > 0 t.q. p.p. en x ∈ Ω, ∀ (σ, ξ) ∈ IR × IRN on a :  
p−1 p−1 + |σ| + a0 (x) o` u a0 ∈ Lp (Ω). |& a(x, σ, ξ)|
c |ξ| Remarques. 1. Les hypoth`eses (LL1) et (LL3) ne seront pas directement utiles, elles assurent essentiellement que les op´erations, que nous effectuerons, auront un sens. Par exemple, que ∀ u ∈ W 1,p (Ω)    & a x, u(x), ∇u(x) · ∇ϕ(x)dx est finie, ∀ ϕ ∈ W 1,p (Ω) . Ω

2. On supposera l’existence de solutions tout le long du chapitre.  
Pour T ∈ W −1,p (Ω) = W01,p (Ω) , on notera |T |−1,p
sa norme (duale) et N  ∂fi
on utilisera la d´ecomposition T = − avec fi ∈ Lp (Ω), ∂x i i=1

'N ( 12   2 fi (x) avec |F |Lp
(Ω) = |T |−1,p
. F (x) = f1 (x), . . . , fn (x) , |F (x)| = 

i=1

118

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

5.2.1 Cas des probl` emes de Dirichlet Lemme 5.2.1 (equation ponctuelle sur Ω∗ ). 1,p Sous les conditions  pr´ec´edentes, pour toute solution u ∈ W0 (Ω) de −div & a(x, u, ∇u) = T dans D (Ω), on a     & a(∇u) · ∇u (s) = F · ∇u (s) p.p. en s ∈ Ω∗ ∗v

∗v

  o` u on a pos´e & a(∇u)(x) = & a x, u(x), ∇u(x) , v = |u|.   Preuve. Soit u ∈ W01,p (Ω) solution de −div & a(x, u, ∇u) = T . Ce qui est ´equivalent a` ∀ ϕ ∈ W01,p (Ω),   & a(∇u) · ∇ϕdx = F · ∇ϕdx . Ω

Ω

Pour s ∈ Ω∗ , consid´erons la fonction localement lipschitzienne   Φs : IR → IR d´efinie par, pour σ ∈ IR Φs (σ) = |σ| − v∗ (s) sign (σ) . +

 1  Cette fonction v´erifie Φs (σ) = 0

si |σ| > v∗ (s), . En choisissant ϕ = Φs (u) sinon 

 & a(∇u) · ∇u dx =

alors, on a ∀ s ∈ Ω∗   & a(∇u) · ∇u

∗v

{v>v∗ (s)}

F · ∇u dx ce qui est ´equivalent a` {v>v∗ (s)}

  = F · ∇u .



∗v

Th´ eor` eme 5.2.1. Sous les mˆemes hypoth`  eses que le lemme 5.2.1, on a, 1,p a(x, u, ∇u) = T , p.p. en s pour toute solution u ∈ W0 (Ω) de −div & 1. |∇v|∗v (s)
2. −v∗ (s)


1  1

α p−1

1 s N −1 1 1 N α p−1 N αN

1 p
p |F | (s), ∗v  1 p
p |F | (s), ∗v

o` u v = |u|, T = −div(F ). Preuve. Rappelons que l’application v → v∗u est croissante, i.e. si v1
v2 p.p. alors v1∗u
v2∗u  p.p. en s et  (αv)∗u = αv∗u si α > 0. p Puisque & a(∇u) · ∇u (x)  α |∇v| (x) p.p. dans Ω, alors le lemme 5.2.1 implique, pour presque tout s :

5.2 Estimations ponctuelles pour des ´equations quasilin´eaires

 1 1      p p
p
p p α |∇v| (s)
F · ∇u (s)
|F | (s) |∇v| (s). ∗v

∗v

∗v

∗v

119

(5.1)

En effet, il suffit d’appliquer le lemme 5.1.1 (in´egalit´e de H¨older) et le fait que |∇u| = |∇v| , ∇u(x) = 0 p.p. sur P (u). En simplifiant l’in´egalit´e (5.1), on d´eduit : 

p

|∇v|

 p1 ∗v

(s)


1  p


p


|F |

 p1 ∗v

αp

(s),

p.p. en s.

(5.2)

L’in´egalit´e de H¨older pour le r´earrangement relatif conduit : 1  p p |∇v|∗v (s)
|∇v| (s) ∗v

p.p. en s.

(5.3)

Les relations (5.2) et (5.3) donnent l’´enonc´e (1) du th´eor`eme. Quant a` la seconde relation, puisque v ∈ W01,p (Ω) v  0, on a d’apr`es la propri´et´e PSR associ´ee `a cette classe de fonctions (voir th´eor`eme 4.1.1) : 1

−v∗ (s)


s N −1

(5.4) 1 |∇v|∗v (s). N N αN On combine cette derni`ere relation avec l’´enonc´e (1) pour obtenir la relation (2). 

5.2.1 eor` eme 5.2.1). Soit ρ une norme sur L0 (Ω∗ ). (du
th´ 1  1 p p On suppose que ρ |F | ∗v < +∞ et si k(σ) = σ N −1 on note b(s) =

Corollaire

ρ (kχ[s,|Ω|] ). Soit ρ0 est une application homog`ene et monotone. On suppose que l’indice d’injection ρ0 (b) < +∞. Alors, on a : ρ0 (v∗ )


ρ0 (b) 1 N

1

N αN α p−1

 1  p
 p ρ |F | ∗v < +∞ .

  Preuve. Puisque v ∈ W01,p (Ω), v  0 alors v∗ (|Ω|) = 0 et v∗ ∈ W 1,p ε, |Ω| , ∀ 0 < ε < |Ω|. Ainsi ∀ s ∈ Ω∗ , en appliquant le th´eor`eme 5.2.1 :  v∗ (s) = − s

|Ω|

v∗ (σ)dσ


 Ω∗

1  p
p k(σ) |F | (σ) 1 N

N αN α

∗v

1 p−1

χ[s,|Ω|] (σ)dσ .

En utilisant successivement ρ et ρ puis ρ0 , on d´eduit de cette derni`ere in´egalit´e :     1  ρ0 ρ kχ[s,|Ω|] p
p ρ0 (v∗ )
· ρ |F | < +∞ . 1 1 ∗v N N αN α p−1 

120

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

A partir de ce r´esultat, on retrouve la r´egularit´e L∞ lorsque F ∈ Lr (Ω)N , et N . r > p−1 Proposition 5.2.1. Soit T ∈ W




−1,r

N p , p−1 p−1



(Ω) avec r > max alors toute solution   a(x, u, ∇u) = T dans D (Ω) est born´ee et |u|∞
u ∈ W01,p (Ω) de −div & 1

b(0) 1 N N αN

|F |Lp−1 r (Ω) .

1 α p−1

Preuve. On choisit ρ0 (·) = |·|∞ , ρ(·) = |·|(p−1)r alors 



'



|Ω|

ρ kχ[s,|Ω|] =

σ

(p−1)r 1 (N −1)( (p−1)r−1

1 (1− (p−1)r

= b(s) .

s

  N alors b(0) < +∞, donc b∞ = b(0) < +∞. D’o` u en p−1 appliquant le corollaire 5.2.1 pr´ec´edent,  1 1  b(0) b(0) p
p
  |F |
|F |Lp−1 |v|∞
r (Ω) . 1 1   1 1 ∗v L(p−1)r N N N αN α p−1 N αN α p−1 Puisque r >



Pour obtenir un meilleur r´esultat analogue a` celui de cette propri´et´e, on peut introduire l’ensemble suivant :   N 1 N 1 p
p ,p W−1 (Ω) = T ∈ D (Ω) : T = −div F, |F | ∈ L p , p (Ω) .

Proposition 5.2.2. N

,1

N




,1

p p p p (i) W−1 (Ω) ⊂ W −1,p (Ω), W −1,r (Ω) ⊂ W−1 (Ω), r > N

,1

N . p−1

p p (ii) Si T ∈ W−1 (Ω), alors u ∈ L∞ (Ω).    p
p 1 |F | De plus |u|∞
  N 1 . 1 1 N α p−1 ( p ,p) N αN

Preuve de la proposition 5.2.2. N

,1




p p (Ω) ⊂ W −1,p (Ω), consid´erons T = −div(F ), (i) Pour montrer que W−1


p

|F |

∈L

N p

1 ,p

(Ω). Comme, ∀ s ∈ Ω∗ ,     1 s 1 p
p
p
|F | dx
|F |∗ (σ)dσ = |F | (s) , |Ω| Ω s 0 ∗∗

5.2 Estimations ponctuelles pour des ´equations quasilin´eaires

121

on obtient
 p1     1 1 1 1 ds p
p
p < +∞ , |F | dx s N −1 ds
s N |F | (s) |Ω| Ω s ∗∗ Ω∗ Ω∗    p
 p
ce qui entraˆıne |F |Lp

c |F |  N 1 . ( p ,p)
 N 1 , N p p p −1,r , (Ω) ⊂ W−1 (Ω), r > max Pour prouver W on app−1 p−1 plique l’in´egalit´e de H¨older comme auparavant    1   p1 1   p
p p
s N −1 |F | (s)ds
γ  |F |  r
. ∗∗

Ω∗

∗∗ L p

Par l’in´egalit´e de Hardy, (voir lemme 1.4.2) on d´eduit alors :   1 1 1 p
p s N −1 |F | (s)ds
c |F |Lp−1 < +∞ si T = −div(F ) ∈ W −1,r (Ω). r ∗∗

Ω

p


(ii) Posons G = |F | , cN =

1

1

1

N α p−1 N αN

. Alors, par l’in´egalit´e de Hardy-

Littlewood, on a :  |Ω|    p1 1 σ N −1 G∗v (σ)dσ
cN |u|∞
cN 0

  p1 1 σ N −1 G∗v (σ)dσ . ∗

Ω∗

Mais en tout point σ ∈ Ω∗ , on a (cf. corollaire 2.2.1) :     G∗v (σ)
G∗v (σ)
G∗∗ (σ) . ∗

Ainsi,

 |u|∞
cN

Ω∗

∗∗

  1 1  p
p σ N −1 G∗∗ (σ) p dσ = cN |F |  N (

p

1 ,p )

. 

On peut obtenir la r´egularit´e d’une solution radiale d´ecroissante le long du rayon. Th´ eor` eme 5.2.2 (r´egularit´e du r´earrangement sph´erique). Soit v le r´earrangement sph´erique de v = |u|. Alors, ∀ σ ∈ Ω∗ ˜ 1 1 p
p o` |∇v |∗ (σ)
u G = |F | . 1 G∗∗ (σ) ˜ α p−1 Preuve. D’apr`es le th´eor`eme 5.2.1, on a p.p. en s ∈ Ω∗ , 1

1 

1

N 1− N  s v∗ (s)
−N αN

α

1 p−1

G∗v

 p1

(s) .

122

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

D’o` u, ∀ σ ∈ Ω∗ (via le lemme 3.4.1 et le corollaire 2.2.1), |∇v |∗ (σ) = ˜



1

1

N 1− N  − N αN s v∗

 ∗

(σ)


1  α

1 p−1

G∗v

 p1 ∗

(σ)


1 α

1 p−1

1

G∗∗ (σ) p . 

Corollaire 5.2.2 (du th´eor`eme 5.2.2). r p
Si 1
r
+∞ et |F | ∈ L p ,+∞ (Ω) alors |∇v | ∈ Lr,+∞ (Ω). ˜ Preuve. Elle d´ecoule imm´ediatement du pr´ec´edent th´eor`eme 5.2.2.



Corollaire 5.2.3 (du th´eor`eme 5.2.2). On suppose que T ∈ Lr (Ω), r > N . Alors v est lipschitzienne (en particulier ∇v ∈ L∞ (Ω)N ). ˜ ˜ Preuve. Soit w ∈ H01 (Ω) : −∆w = T . Alors, w ∈ W 2,r (Ω). Ainsi |∇w| ∈ L∞ (Ω).   1   p−1 |F |∞   Comme T = −div(F ), F = ∇w on d´eduit ∇v  (σ)
∀ σ ∈ Ω ∗ . D’o` u 1 α p−1 ˜∗ le r´esultat, via la proposition 5.2.1, car
 N p r −1,s L (Ω) ⊂ W , pour un s > max . p−1 p−1 

On peut montrer l’existence de solutions d’E.D.P. qui sont radiales et d´ecroissantes le long du rayon. Voici un exemple, Proposition 5.2.3. Soit Ω = B(R) la boule de rayon R > 0 centr´ee a ` l’origine. Si f ∈ L∞ (Ω) est telle que f (x) = f (x)  0, alors il existe une ˜ et une seule solution u ∈ W 1,∞ (Ω) ∩ W01,p (Ω) v´erifiant   p−2 −∆p u = −div |∇u| ∇u = f dans Ω . Preuve. On sait qu’il existe u ∈ W01,p (Ω) v´erifiant :    1   1 p p J(u) = |∇u| dx − f u = inf |∇v| dx − f v, v ∈ W01,p (Ω) . p Ω p Ω Ω Ω De plus, u = u  0. En effet, u ∈ W01,p (Ω) v´erifie −∆p u = f . Par le ˜ principe du maximum u  0. Par ailleurs, l’op´erateur −∆p ´etant strictement monotone sur W01,p (Ω), on d´eduit que u est l’unique solution de cette ´equation aux d´eriv´ees partielles. Le r´earrangement sph´erique u  0, u appartient a` ˜ ˜

5.2 Estimations ponctuelles pour des ´equations quasilin´eaires

123

W01,p (Ω). De plus, par l’in´egalit´e de Poly` a-Sz¨ego et l’in´egalit´   e de Hardyp p Littlewood, on a : |∇u| dx
|∇u| dx et fu
fu = f u. ˜ Ω Ω Ω Ω ˜˜ Ω ˜ D’o` u J(u)
J(u). Ainsi J(u) = J(u) : u = u. La r´egularit´e W 1,∞ d´ecoule du ˜ ˜ ˜ corollaire 5.2.2 pr´ec´edent. 

On peut montrer l’existence de solution radiale autrement (par exemple par un th´eor`eme de point fixe). En combinant l’in´egalit´e de Bliss avec le th´eor`eme 5.2.1, on a : Th´ eor` eme 5.2.3. N

p−1 (Ω) 1. Si T ∈ W −1, alors toute solution u ∈ W01,p (Ω),  −div & a(x, u, ∇u) = T dans D (Ω) v´erifie : u ∈ Lq (Ω) pour tout 1

q < +∞ et |u|q
B0 · |F | p−1N . L p−1

2. Si T ∈ W

−1,r

avec m∗ =



(Ω), p < r <

N ∗ alors u ∈ Lm (Ω), p−1

1 (p − 1)rN et |u|m∗
B0 |F |Lp−1 r (Ω) . N − (p − 1)r

Preuve. 1. Soient 1
q < +∞, p < m < N t.q. q < l’in´egalit´e de Bliss (voir lemme 4.4.1) m∗ |u|Lq



Nm = m∗ . Alors d’apr`es n−m

 mm   N −1 m   N (t)t dt v∗ 

∗


B Ω∗

 1 1 en utilisant l’estimation −v∗ (t)t1− N
cN G∗v p (t), on d´eduit m∗ |v|q




∗ Bcm N

 (G∗v )

m p

 mm∗ (t)dt

Ω∗ 1

1

1

1

|v|q
B m∗ cN |G∗v | p mp
B m∗ cN |F | p−1N < +∞ L p−1

L

N p−1

pour F ∈ L (Ω)N , m < N . 2. La d´emonstration est identique a` celle ci-dessus en prenant m = (p − 1)r, 1 1 

ainsi 0 < m < N . D’o` u |v|
B m∗ cN |F | p−1 r . q

L

124

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

5.2.2 Cas des probl` emes Neumann-Dirichlet Des r´esultats analogues peuvent ˆetre obtenus pour des probl`emes de Neumann-Dirichlet. Si le domaine est un ouvert born´e connexe lipschitzien, et si on note Γ0 une partie de mesure positive de ∂Ω, Γ1 = ∂Ω\Γ0 , alors on posera comme au 1 chapitre 4, paragraphe 4.3, la constante isop´erim´etrique associ´ee `a Ω 1 N σNN   |u| N 1 N −1 1,p (Ω) = v ∈ W (Ω) : v = 0 sur Γ sup . et `a WΓ1,p 0 . Alors 1 = 0 1,1 |∇u| N 1 u∈WΓ N σN 0 En suivant la mˆeme d´emarche qu’au paragraphe pr´ec´edent on a :  
Th´ eor` eme 5.2.4. Soient T = −div(F ) ∈ WΓ1,p (Ω) et F ∈ Lp (Ω)N . 0 (Ω), v´erifiant Alors pour toute solution u ∈ WΓ1,p 0   & a(x, u, ∇u) · ∇ϕdx = F · ∇ϕ, ∀ ϕ ∈ WΓ1,p (Ω) 0 Ω

Ω

on a pour presque tout s ∈ Ω∗ :     1. & a(∇u) · ∇u ∗v (s) = F · ∇u ∗v (s) o` u& a(∇u) = & a(x, u, ∇u), v = |u|, 1 (G∗v ) p (s) p
2. |∇u|∗v (s)
o` u G = |F | , 1 α p−1 1 1  −1 cN s N (G∗v ) p (s) o` u& cN = 3. −v∗ (s)
&

1 1 N

1

.

N σN α p−1

De ce fait les corollaires de ce th´eor`eme sont identiques `a ceux du paragraphe 5.2.1 du probl`eme Dirichlet, il suffit de remplacer αN par σN . 1,p Corollaire 5.2.4 (du   th´eor`eme 5.2.4). Soit une solution u ∈ WΓ0 (Ω) de & a(∇u) · ∇ϕdx = F · ∇ϕ, ∀ ϕ ∈ WΓ1,p (Ω). Alors 0 Ω

Ω




1. si F ∈ Lr (Ω)N , r > max

N p , p−1 p−1

|u|∞


 alors u ∈ L∞ (Ω) 1

b(0) 1 N

N σN α

|F |Lp−1 r (Ω) ,

1 p−1

N

2. si F ∈ L p−1 (Ω), p < N alors u ∈ Lq (Ω) ∀ q < +∞ 1

|u|q
c |F | p−1N , L p−1

5.3 Cas des ´equations de Neumann homog`enes

3. si F ∈ Lr (Ω), p < r <

125

N N (p − 1)r ∗ , u ∈ Lm (Ω), m∗ = et p−1 N − (p − 1)r 1

|u|m∗
c |F |Lp−1 . r En utilisant le α-r´earrangement, on obtient alors : r Corollaire 5.2.5 (du  th´eor`eme 5.2.4).  Soient T ∈ L (Ω), r > N et u ∈ (Ω) solution de & a(∇u) · ∇ϕ = F · ∇ϕ, pour tout ϕ ∈ WΓ1,p (Ω), WΓ1,p 0 0 Ω

Ω

T = −div(F ), on suppose que u  0. Alors ∇Cα (u) ∈ L∞ (Ω)N . De plus, on a 1 p−1 |F |∞ |∇Cα (u)|∗ (σ)
, ∀ σ ∈ Ω∗ . 1 α p−1 Preuve. On suit exactement la mˆeme preuve que le corollaire 5.2.3. Remarque. • Le probl`eme de Neumann-Dirichlet est formellement ´equivalent a` ⎧   ⎪ a(x, u, ∇u) = T dans Ω, ⎨−div & → & a(∇u) · − n =0 sur Γ1 = ∂Ω\Γ0 , ⎪ ⎩ u=0 sur Γ0 . •



Dans la suite, on ´ecrira toujours & a(∇u) = & a(x, u, ∇u).

5.3 Cas des ´ equations de Neumann homog` enes


Consid´erons f ∈ Lp (Ω) de moyenne nulle. Consid´erons le probl`eme formel suivant : ⎧ ⎪ ⎨u ∈ W 1,p (Ω),   (PN ) −div & a(x, u, ∇u) = f dans Ω, ⎪ → ⎩& a(∇u) · − n =0 sur ∂Ω, − → n (x) la normale unitaire ext´erieure a` ∂Ω au point x, Ω est un ouvert connexe lipschitzien. Le probl`eme variationnel correspondant ´etant   & a(∇u) · ∇ϕdx = f ϕ ∀ ϕ ∈ W 1,p (Ω). (PvN ) Ω

Ω

On a alors l’estimation ponctuelle suivante : Th´ eor` eme 5.3.1. Toute solution variationnelle u ∈ W 1,p (Ω) de (PvN ) v´erifie pour presque tout s  s   1. & a(∇u) · ∇u (s)
−v∗ (s) |f |∗v (σ)dσ, ∗v

0

126

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

1  p−1
 s 1 Q   1 −1  p−1 max s, |Ω| − s N 2. |∇v|∗v (s)
|f |∗v (σ)dσ , α 0 1   p−1 

 s   N1 −1 p Q  3. −v∗ (s)
|f |∗v (σ)dσ 1 max s, |Ω| − s 0 αp o` u v = |u|, Q la constante relative isop´erim´etrique associ´ee a ` Ω.

  Preuve. Soit la fonction ϕ = v − v∗ (s) + sign (u) ∈ W 1,p (Ω), en appliquant le lemme 5.1.2, on d´eduit de 

 & a(∇u) · ∇u dx = Ω

v>v∗ (s)

que

  f sign (u) v − v∗ (s) + dx

   & a(∇u) · ∇u (s) = −v∗ (s) ∗v

s



0

 f sign (u) ∗v (σ)dσ .

−v∗

 0, d’o` u l’´enonc´e (1). Comme f sign (u)
|f | et que Quant a` l’´enonc´e (2), on utilise la coercivit´e de & a pour d´eduire    p & a(∇u) · ∇u ∗v (s)  α |∇v| ∗v (s), ce qui donne en combinant avec l’´enonc´e (1) et la propri´et´e PSR que
 s     1 −1 Q p |∇v| ∗v (s)
max s, |Ω| − s N |∇v|∗v (s) |f |∗v (σ)dσ . α 0 D’apr`es l’in´egalit´e de H¨older, on a :  p  p |∇v| ∗v (s)  |∇v|∗v (s) . Ainsi les deux derni`eres in´egalit´es conduisent `a l’´enonc´e (2) i.e. |∇v|∗v (s)


Q α

1  1 −1  p−1 max s, |Ω| − s N




 0

s

|f |∗v (σ)dσ

1  p−1

.

De nouveau, en utilisant l’in´egalit´e PSR l’´enonc´e (2) conduit a` (3). Corollaire 5.3.1 (du th´eor`eme 5.3.1). N 1 On suppose que f ∈ L p , p−1 (Ω). Alors ∞

u ∈ L (Ω) et |u|∞

2 |u| +
|Ω| 1




Q α

1 p

p


1

|f |(p−1 N , p

1 p−1 )

.



5.3 Cas des ´equations de Neumann homog`enes





s

|f |∗v (σ)dσ


Preuve. On sait que 0


v∗ (0) − v∗

|Ω| 2



127

s

0

|f |∗ (σ)dσ. On a alors

|Ω|

1  p−1
 s  2   N1 −1 p
Q ds
|f |∗ dσ 1 max s, |Ω| − s 0 αp

0




Q

=

α

p


|Ω| 2 1 (N −1)p





s

1 p

0

0

s

|f |∗ (σ)dσ

1  p−1

ds .

Or on a pour cette derni`ere int´egrale |Ω|

|Ω|

 2  2 1 1 1  p−1  p−1 ds p 1 (N −1)p+1
|f |(p−1 . N 1 s s N |f |∗∗ (s) |f |∗∗ (s) ds = p , p−1 ) s 0

0

En combinant ces derni`eres in´egalit´es, on obtient : |u|∞ = v∗ (0)


v∗

|Ω| 2




+

Q α

p


1 p−1 N 1 ( p , p−1 )

|f |

1 p

2 |u| +
|Ω| 1




Q α

1 p

p


1

|f |(p−1 N , p

1 p−1 )

. 

Remarque. Dans le cas du probl`eme de Dirichlet homog`ene (ou NeumannDirichlet), on a le mˆeme type de r´esultat i.e. si u ∈ W01,p (Ω) est une solution   N 1 de −div & a(∇u) = f et si f ∈ L p , p−1 (Ω) alors u ∈ L∞ (Ω) et on a :  |u|∞


p


1 1 N

N αN α

1 p

q

1

|f |(p−1 N , p

1 p−1 )

Pour traiter le cas o` u f ∈ Lm, p−1 (Ω), 1
m <

. N , commen¸cons par p

l’observation suivante : Proposition 5.3.1. ∀ u ∈ L1 (Ω), si v = |u| alors on a : ∀ r > 0, q > 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝



|Ω|

σ |Ω| 2

q r −1

⎞ q1 ⎟ 1 v∗ (σ) dσ ⎟
2 |Ω| r −1 ⎠ q


 rq  q1
 q1 1 r |u|1 1 − . q 2

128

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

Preuve. Puisque v∗ est d´ecroissante, on a : 




|Ω|

σ

q r −1

q

v∗ (σ) dσ
v∗

|Ω| 2

et


v∗

|Ω| 2



2
|Ω|

|Ω| 2


 rq  q
 q 1 r |Ω| r 1 − q 2

|Ω| 2



v∗ (σ)dσ


0

2 |u| . |Ω| 1

En combinant ces deux derni`eres in´egalit´es, on obtient la proposition.



On le th´eor`eme de r´egularit´e, pour u ∈ W 1,p (Ω) solution de  a maintenant  −div & a(∇u) = f .   q N Th´ eor` eme 5.3.2. Soient m ∈ 1, et f ∈ Lm, p−1 (Ω) avec 1
q < +∞. p Alors toute solution u ∈ W 1,p (Ω) de   & a(∇u) · ∇ϕ dx = f ϕ dx, ∀ ϕ ∈ W 1,p (Ω) Ω

Ω

v´erifie u ∈ Lr,q (Ω) avec r = |u|r,q
4 |Ω|

Preuve. On ´ecrit

q |u|r,q

1 r −1

mN (p − 1) . De plus, N −p

 q1 p
1 Q r p−1 |u|1 + r |f |(m, . q 1 p−1 ) q αp

= I1 + I2 et v = |u| o` u I1 =



|Ω| 2 q r −1

σ

v∗ (σ)q dσ . Alors,

0

1

l’estimation de I2q d´ecoule de la proposition 5.3.1. Quant a` I1 on d´eduit de l’estimation ponctuelle de v∗ que :
v∗ (s) − v∗  Comme 0

|Ω| 2







p


Q

t

1

αp

s



t

|f |∗v (σ)dσ


I3 =


 0

t

|f |∗v (σ)dσ

1  p−1

|f |∗ (σ)dσ, on d´eduit

|Ω| 2 q r −1

σ

0




p −N


t

0



|Ω| 2


q |Ω| dσ v∗ (σ) − v∗ 2

,

s<

|Ω| . 2

5.4 Un probl`eme de valeurs propres non lin´eaires en physique des plasmas





Q α

1 p

qp


|Ω| 2 q r −1

σ

0

⎡

|Ω|

⎢  2 p
⎢ t− N
⎣




t

0

0

|f |∗ (σ)dσ

1  p−1

129

⎤q ⎥ dt⎥ ⎦ dσ .

On applique maintenant l’in´egalit´e de Hardy a` la seconde int´egrale pour obtenir la majoration suivante
qp
  q  p−1 q q qp
Q q r (t) t p−1 + r +q−1− N
dt. I3
|f | 1 ∗∗ Ω∗ αp   q q qp p 1 p q q Mais on a + +q−  = + − avec = p−1 r N p−1 N r r m(p − 1) mN (p − 1) . D’o` u r= N −p

qp
  p
q  p−1 1 1 1 Q Q dt q p−1 q I3
|f |∗ (t)t m : I3
r r |f |(m, . q 1 1 p−1 ) t Ω∗ αp αp Ce qui implique (en comparant I1 et I2 )
p


1
1 1 1 Q |Ω| |Ω| r r q q p−1 I1
r |f |(m, q ) + v∗ . 1 p−1 2 2 q αp
 1 |Ω| 2 |u|1 , on d´eduit l’estimation de I1q . Comme v∗
2 |Ω| 1

1

En notant en outre que |u|r,q
I1q + I2q , on obtient l’estimation du th´eor`eme. 

∗

Remarque. Si m > p , q < p∗ alors Lr,q (Ω)
Lp (Ω). q = 1 (donc p  2), alors on trouve Si on consid`ere m = p−1 N

u ∈ L N −p (p−1),1 (Ω) ⊂ Ls (Ω),

∀s <

N (p − 1) pour f ∈ L1 (Ω). N −p

Pour varier les syst`emes `a ´etudier, consid´erons dans ce qui suit un probl`eme de valeurs propres non lin´eaires issu de la physique des plasmas.

5.4 Un probl` eme de valeurs propres non lin´ eaires en physique des plasmas Soit Ω un ouvert born´e connexe de classe C ∞ dans IR2 . On consid`ere le sousespace ferm´e de H 1 (Ω) suivant :   V = v ∈ H 1 (Ω) : v = constante sur ∂Ω .

130

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

Th´ eor` eme 5.4.1. Il existe une fonction u ∈ H 2 (Ω) ∩ V v´erifiant pour λ > 0, I donn´e ⎧ −∆u + λu− = 0 dans Ω, ⎪ ⎪ ⎨ u sur ∂Ω, [T ]  = γ = (constante) ⎪ ∂u ⎪ ⎩ d = I > 0. ∂Ω ∂n (voir chapitre 10, probl`emes des plasmas pour une d´emonstration due a` M. Sermange). Proposition 5.4.1. Toute solution u du probl`eme [T ] est deux fois continˆ ument d´erivable.

Th´ eor` eme 5.4.2. Soit u une solution du syst`eme [T ]. Alors, (a)λ > λ1 ⇐⇒ u|Γ > 0, (b)λ = λ1 ⇐⇒ u|Γ = 0, (c)λ < λ1 ⇐⇒ u|Γ < 0 o` u λ1 est la premi`ere valeur propre sur Ω du probl`eme de Dirichlet. Preuve. Notons tout d’abord que si u|Γ
0 alors d’apr`es le principe du maximum strict (voir les in´egalit´es de Harnack, par exemple dans le livre de GilbargTrudinger [68]) on a u< 0. Si  u|Γ > 0 alors u est une fonction propre du Laplacien dans Ωp = u < 0 associ´ee `a la valeur propre λ. Puisque u ne s’annule pas dans Ωp , λ est donc la premi`ere valeur dans Ωp . Comme la premi`ere valeur propre du probl`eme de Dirichlet est une fonction d´ecroissante du domaine, ceci ne peut avoir lieu que si λ > λ1 . De mˆeme si u|Γ = 0 alors Ω = Ωp , et par cons´equent λ = λ1 . Nous avons ainsi prouv´e que Si u|Γ > 0 alors λ > λ1 et u|Γ = 0 ⇐⇒ λ = λ1 . Montrons que si λ > λ1 alors u|Γ > 0. En effet, soit ϕ1 la premi`ere fonction propre du Laplacien associ´ee `a λ1 , alors on peut choisir ϕ1  0 (car |∇ϕ1 | = |∇ |ϕ1 ||). En utilisant la formule de Green, nous avons  −u|Γ 

∂Ω

∂ϕ1 d = ∂n

  Ω



ϕ1 ∆u − u∆ϕ1 dx =

 

 λϕ1 u− + λ1 ϕ1 u dx,

Ω



λ1 ϕ1 (u− + u)dx( car λ > λ1 et |u < 0| > 0) = λ1

> Ω

ϕ1 u+ dx  0. Ω

5.4 Un probl`eme de valeurs propres non lin´eaires en physique des plasmas



Ainsi

131



∂ϕ1 d > 0 : u|Γ > 0. Ω ∂Ω ∂n Dans ce qui va suivre on suppose que λ > λ1 . u|Γ



λ1 ϕ1 = −u|Γ

Lemme 5.4.1. Soit ϕ1 la premi`ere fonction propre du probl`eme de Dirichlet suivant ⎧ ⎪ −∆ϕ1 = λ1 ϕ1 , ⎪ ⎪ ⎨ ϕ1 = 0 sur ∂Ω  ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ ϕ1 dx = . λ1 Ω Alors, pour toute solution u du probl`  eme [T ], on a λ − λ1 0 < u|Γ
I Max ϕ1 + λ1 ϕ1 u+ dx . λ Ω Ω Preuve. Nous avons vu qu’` a partir de la formule de Green, on a     ∂ϕ1 λϕ1 u− + λ1 ϕ1 u dx = d = −u|Γ ∂Ω ∂n  Ω  = (λ − λ1 ) ϕ1 u− dx + λ1 ϕ1 u+ dx. Ω

Ω

Par la formule de Green et le choix de ϕ1    ∂ϕ1 d = − − ∆ϕ1 dx = λ1 ϕ1 dx = 1 ∂Ω ∂n Ω O d’o` u l’identit´e suivante :





u|Γ − λ1

ϕ1 u+ dx = (λ − λ1 ) Ω

   Comme u ∈ K = v ∈ V : λ v− (x)dx = I :

ϕ1 u− dx.

(5.5)

Ω

Ω



ϕ1 u− dx


(λ − λ1 ) Ω

λ − λ1 I Max ϕ1 , λ Ω

d’o` u le r´esultat. Comment estimer max ϕ1 ? Ω

Lemme 5.4.2. Sous les mˆemes hypoth`eses que le lemme 5.4.1, on a : 1 λ1 |Ω| 2 |ϕ1 |L2 (Ω) , (i) Max ϕ1
2π Ω 1 (ii) |ϕ1 |L2 (Ω)
√ . 2 πλ1



132

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

Preuve. Puisque −∆ϕ1 = λ1 ϕ1 , ϕ1 ∈ H01 (Ω) alors en utilisant le th´eor`eme 5.3.1 et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :
   1 dϕ1∗ 2 (s)
λ1 s 2 |ϕ1 |L2 · − |∇ϕ1 | (s). ds ∗ϕ1 Mais, d’apr`es les in´egalit´es ponctuelles pour le r´earrangement relatif : 1 s− 2  dϕ1∗ 2 2 (s)
√ |∇ϕ1 | (s), ds 2 π ∗ϕ1 1

−

ainsi les deux derni`eres in´egalit´es impliquent : 1

λ1 s− 2 dϕ1∗ (s)
|ϕ1 |L2 (Ω) . − ds 4π

(5.6)

On int`egre cette derni`ere in´egalit´e pour obtenir : Max ϕ1
Ω

1 λ1 |Ω| 2 |ϕ1 |L2 (Ω) . 2π

(5.7)

Pour obtenir la deuxi`eme in´egalit´e, en utilisant le mˆeme argument qu’au th´eor`eme 5.3.1, on a : 
 s λ1 dϕ1∗ (s)
ϕ1∗ (t)dt . (5.8) −s ds 4π 0 On multiplie cette ´equation par ϕ1∗ , d’o` u −s

d 2 λ1 d ϕ1∗
ds 4π ds



2

s

0

ϕ1∗ (t)dt

.

(5.9)

En ´ecrivant −s

d d 2 ϕ = − (sϕ21∗ ) + ϕ21∗ , ds 1∗ ds

(5.10)

on d´eduit apr`es int´egration que  0

|Ω|

ϕ21∗ (t)dt

λ1
4π

 0

2

|Ω|

ϕ1∗ (t)dt

(5.11)

soit par ´equimesurabilit´e 1 |ϕ1 |L2
√ . 2 λ1 π

(5.12) 

5.4 Un probl`eme de valeurs propres non lin´eaires en physique des plasmas

133

Corollaire 5.4.1 (du lemme 5.4.2). 1 Max ϕ1
4π Ω

=

1 λ1 |Ω| 2 . π

La m´ethode pr´ec´edente peut ˆetre g´en´eralis´ee sous la forme : Lemme 5.4.3. Soit u  0, u ∈ H01 (Ω) solution de ∆u + f (u) = 0 avec f : IR+ → IR+ . Alors

 2  F (u)dx
f (u)dx 8π Ω

 avec F (u) =

Ω

u

f (t) dt. 0

Preuve. Comme −∆u = f (u) alors, on a: (f  0)
 s 
   du∗ 2 |∇u|
f (u∗ )dσ − . ds ∗u 0 En utilisant l’in´egalit´e de Poincar´e-Sobolev ponctuelle, on d´eduit : −

s−1 du∗
ds 4π





s

f (u∗ )dσ

0

puisque f  0, 1 du∗
f (u∗ ) −sf (u∗ ) ds 4π





s

0

(5.13)

f (u∗ )dσ

(5.14)

soit d −s ds  0

 0

u∗ (s)

1 d f (t)dt
8π ds

 0

2

s

f (u∗ )(t)dt

⎫ ⎫2 ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  u∗ (s)  s ⎬ ⎬ ⎨ ⎨ d 1 d f (t)dt − f (u∗ (t))dt s f (t)(t)dt
⎪ ⎪ ds ⎪ ⎭ 8π ds ⎪ ⎭ ⎩ 0 ⎩ 0

(5.15)

u∗ (s)

En int´egrant cette relation on obtient le r´esultat.

(5.16)



134

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

Lemme 5.4.4. Dans l’ouvert Ωp , on a : I 1. |u|L2 (Ωp )
√ , 2 = λπ 1 λ I 2. Max |u|
|Ωp | 2 . Ωp 4π π Preuve. La fonction ϕ = |u| v´erifie le probl`eme analogue `a celui de ϕ1 suivant  −∆ϕ = λϕ dans Ωp , ϕ = 0 sur ∂Ωp et λ ϕdx = I. Ωp

(L’´equation est d´efinie au sens variationnel). En appliquant le lemme 5.4.3 ou en reprenant la preuve du lemme 5.4.2, on a 2

  1 I2 2 , ϕ dx
ϕ dx = λ 4λπ 4λπ Ωp Ω d’o` u (1). 1 λ Quant a` (2) on sait Max |u|
|Ωp | 2 |u|L2 (Ωp ) (voir 5.7) Ωp 2π = 1 1 I λ I λ × √ |Ωp | 2
|Ωp | 2 .
2π 2 λπ 4π π



Lemme 5.4.5 (minoration de la taille du plasma). 24/3

π
|Ωp | . λ

Preuve. 1 |Ωp |

 |u| dx = Ωp

1 |Ωp |

 u− = Ω

d’o` u I I
Max |u|
Ω λ |Ωp | 4π p 4

=

I λ |Ωp |

1 λ |Ωp | 2 π

π 3/2 3/2
|Ωp | . λ3/2 

5.5 Quelques remarques subsidiaires Les cons´equences des ´etudes pr´ec´edentes sont nombreuses, en voici un exemple:

5.5 Quelques remarques subsidiaires

135

Th´ eor` eme 5.5.1 (r´egularit´e sans poids). Soient Ω un ouvert lipschitzien 2 de IR , born´e et V = v ∈ W 1,2 (Ω), ∆v ∈ L∞ (Ω) et γ0 v
0 . Alors,  (s)
∀ v ∈ V, v+∗ ∈ W 1,∞ (Ω∗ ), −v+∗

1 |∆v|∗∗ (s) . 4π

Preuve. Posons w = v+ et ´ecrivons pour tout s ∈ Ω∗       ∆v · w − w∗ (s) + ds = ∆v w − w∗ (s) + dx, w ∈ W01,2 (Ω) . Ω

Ω

 D’o` u−



2

|∇w| ds = Ω

{w>w∗ (s)}



|∇w|

2



  ∆v w − w∗ (s) + dx, en d´erivant en s on d´eduit :

dw∗ (s) (s) = + ds ∗w



s 0



∆v)∗w (σ)dσ .

Comme w ∈ W01,2 (Ω), w  0 d’o` u, en utilisant l’in´egalit´e (PSR) (proposition  12 − 12   s 2 |∇w| ∗w (s) . En combinant ces deux derni`eres 4.1.1) −w∗ (s)
√ 2 π relations, on d´eduit :   1 1 s 1 1 s    ∆v ∗w (σ)dσ
−w∗ (s)
|∆v|∗ (σ)dσ . 4π s 0 4π s 0 

   Remarque.  ∆v ∗w 
|∆v|∗w car         1  1   |∆v| dx ,  h ∆v dx 
 {w (s+h)<w<w (s)}  h {w (s+h)<w<w (s)} ∗ ∗ ∗ ∗   sur {w = w∗ (s)}, ∆v = 0 p.p. . Notes pr´ e-bibliographiques Les preuves donn´ees dans ce chapitre sont dues `a l’auteur et peuvent ˆetre trouv´ees dans les diff´erents articles cit´es [97,99]. Pour les r´esultats eux-mˆemes, ceux des paragraphes 5.1 et 5.2 sont de l’auteur et trouvent leur origine dans les articles parus en 1986–1987 voir [90, 91, 108].

136

5 Formalisme d’estimations pour les probl`emes aux limites

Quant aux r´esultats du paragraphe 5.3 ils sont dus a` diff´erents auteurs sur les mod`eles de Grad-Mercier qui ont ´et´e introduits dans la litt´erature math´ematiques par R. Temam [125, 126], voir aussi [18, 23, 87, 117]. Pour les propri´et´es qualitatives voir le livre de J. Mossino et les r´ef´erences cit´ees dans ce livre. Le th´eor`eme 5.5.1 est ´enonc´e dans D`ıaz-Padial-Rakotoson [49].

6 Continuit´ e de l’application d´ eriv´ ee du r´ earrangement monotone : u → u∗

Dans ce chapitre, nous allons ´etudier la continuit´e de l’application, u ∈ W 1,p (Ω) → u∗ ∈ Lp (Ω∗ , k). Les motivations de cette question ont d´ej`a ´et´e ´evoqu´ees au chapitre 2, mais en plus les r´esultats de ce chapitre seront essentiels pour les prochains chapitres. La r´eponse `a la question pr´ec´edente a ´et´e apport´ee par Coron-Almgren-Lieb et est assez surprenante. Si N = 1 (donc k = 1), elle est toujours continue. Si N  2, alors  la mesure de Radon associ´ ee `a la d´eriv´ee distribution de t →  mo,u (t) = mesure x : u(x) > t, ∇u(x) = 0 doit ˆetre totalement singuli`ere (i.e. ne doit pas comporter de partie absolument continue par rapport a` la mesure de Lebesgue) pour que l’application soit continue au point u. On dira dans ce cas que la fonction est co-aire r´eguli`ere, c’est le cas des fonctions de N,p (Ω), p > 1. Wloc 1,1 (Ω) est co-aire Le lien avec la dimension 1, est que toute fonction de Wloc r´eguli`ere pour Ω un intervalle de IR. Nous allons pour cela introduire quelques r´esultats g´en´eraux.

6.1 Quelques r´ esultats g´ en´ eraux : 1,1 et longueur d’un arc de courbe convergence dans W d’une fonction monotone On a le th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 6.1.1. Soit {v, vj } une suite de fonctions d´ecroissantes de W 1,1 (Ω∗ ). On suppose qu’on a les convergences suivantes:  1. lim |vj (t) − v(t)| dt = 0, j

Ω∗

 2. lim j

Ω∗

8

 1 + vj (t)2 dt = Ω∗

>

1 + v  (t)2 dt.

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

138



Alors

   vj (t) − v  (t) dt = 0

lim j

Ω∗

et pour tout 0 < α < β < |Ω|, 

β



8

lim

1+

j

vj (t)2

β

dt =

α

>

1 + v  (t)2 dt .

α

Preuve du th´eor`eme. 1`ere ´etape. Montrons que pour tout α ∈]0, 1[, on a :     vj − v  α (t)dt − →0. j

Ω∗

 v  (x) Soit n ∈ IN , notons = 0 Lusin, il existe ϕn ∈ C(Ω ∗ ) t.q. ∗

v:n (x)

si |v  (x)|
n . D’apr`es le th´eor`eme de sinon

  1   0
−ϕn
n,  x ∈ Ω∗ : v:n (x) = ϕn (x) 
n . 2

(6.1)

D’apr`es l’in´egalit´e suivante, si a  0, b  0 alors on a : > > (b − a)2 a 1 1 + b2  1 + a2 + √ (b − a) +  . 2 1 + max(a, b)2  32 1 + a2 et puisque −vj  0, −ϕn  0, on d´eduit :   8  2 1 + vj (t) dt  Ω∗

 + Ω∗

>

   ϕn (t) vj − ϕn (t) 1 > dt + 2 Ω∗  1 + ϕ2n (t)  >

Puisque lim

j→+∞

Ω∗

1 + ϕ2n (t) dt

Ω∗



2 vj − ϕn dt . 2  32  1 + max vj , ϕn

(6.2)

   ϕn vj − v  (t)dt = 0 (d’apr`es les hypoth`eses (1) 2 1 + ϕn

et (2) et que l’on a :  



|v − ϕn |1
|v −

v:n |1

+

|: vn

− ϕn | 1


n |v  | dt + = o(1)n→+∞ n−1 2
v
n | |

6.1 Quelques r´esultats g´en´eraux

139

par cons´equent,  Ω∗

ϕn (t)(vj − ϕn )(t) > dt
1 + ϕ2n (t)



|v  |dt +

|v
|
n

n + o(1)j→+∞ . 2n−1

Par ailleurs, 

2   2    vj − ϕn (t)dt vj − v  (t)dt 1   |v  |  n − n−2 3  3 −4          2 2 2 2 2 Ω∗ Ω∗ 1 + max vj , ϕn 1 + max vj , v  (6.3)       (en effet, Ω∗ = |v  |
n, v  = ϕn ∪ |v  |
n, v:n = ϕn ∪ |v  |  n 

(b − a)2

u une simple d´ecomposition 3
2, pour a  0, b  0. D’o` [1 + max(a, b)2 ] 2 des int´egrales permet de d´eduire l’in´egalit´e ci-dessus en tenant compte de la majoration (6.1)). En faisant tendre j vers l’infini dans la relation (6.2), on d´eduit, a` partir de ces in´egalit´es et de (2),

et

1 lim sup 2 j

+

1 2n−1

n + n+ 2



 Ω∗

2   vj − v  (t)dt   |v  |  n  + 3
2     2 2 1 + max vj , v 



|v  | dt + {|v
|
n}



8

1 + v
2 (t) −

 > 1 + ϕ2n (t) dt.

(6.4)

Ω∗

Mais 

8

  > 2 1 + v (t) − 1 + ϕn dt

2

Ω∗

 

|v − ϕn | dt


Ω∗

|v  | dt +

{|v
|
n}

n . 2n−1 (6.5)

En combinant (6.5) et (6.4) et en faisant tendre n vers l’infini on arrive a` :  lim j

Ω∗



2 vj − v  (t)dt

  3 = 0. 1 + max(vj , v  )2 2

On d´eduit de cette relation (6.6) que ∀ θ > 0     vj (t) − v(t) χ{|(|v
)θ} (t)χ{|v
|θ} (t)dt = 0, lim j j

Ω∗

(6.6)

(6.7)

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

140



  vj  dt
c, c ind´ependante de j on d´eduit

et comme Ω∗

  c     c    t ∈ Ω∗ : vj (t) > θ 
et  |v  | > θ 
. θ θ     vj − v  α = 0. Les relations (6.7) et (6.8) impliquent que lim j

Ω∗

2`eme ´etape. Montrons que  lim j

 Posons Aj =

(6.8)

8  >    1 + vj (t)2 − 1 + v  (t)2  dt = 0 .

(6.9)

Ω∗

8

8


2

1 + vj (t)dt, fj =






1 + vj2 (t)

,A=

8 1 + v
2 (t)dt

Aj Ω∗ Ω∗ >
2 1 + v (t) . et f = A Supposons que la convergence de (6.9) n’ait pas lieu, alors il existe η > 0 et une sous-suite not´ee (vj ) telle que :  8  >   ∀j .  1 + vj (t)2 − 1 + v 2 (t) dt  η > 0 Ω∗

En utilisant la premi`ere ´etape, on peut extraire de cette sous-suite, une autre sous-suite (kj ) qui converge simplement (cons´equence de la 1`ere ´etape). >   1 + v 2 (t) Alors fkj (t) − = f (t), → fkj (t) dt = f (t) dt = 1. Ω∗ Ω∗  j  A Montrons que fkj − f L1 (Ω∗ ) − → 0, En effet, soit ε > 0, ∃ δε > 0 t.q. si j  |E|
δε f (t) dt
ε. E

D’apr` es le th´eor`  eme d’Egoroff, il existe Aε ⊂ Ω∗ t.q. |Ω∗ \Aε |
δε et  sup fkj (x) − f (x) −−−−→ 0. De ce fait, on a : j→+∞

x∈Aε

 lim sup j

Par suite

Ω∗ \Aε



lim sup j

Ω∗



 fkj (t) dt
1 − lim j

fkj (t) dt =

f (t) dt
ε. Ω∗ \Aε

Aε

  fkj (t) − f (t) dt
2ε : lim j



  fkj (t) − f (t) dt = 0 .

Ω∗

Ceci contredit notre hypoth`ese de d´epart. On d´eduit entre autre : ∀ (α, β) : 0 < α < β < |Ω|

6.1 Quelques r´esultats g´en´eraux



β

8

lim j

 3`eme ´etape. lim j

 1 + vj (t)2 dt =

α

β

8

141

1 + v
2 (t) dt .

α

   vj − v   dt = 0.

Ω∗

En utilisant l’in´egalit´e suivante, pour a  0, b  0
 >  > 2   √ 0
|a − b| 1 − √
 1 + a2 − 1 + b2  1 + a2 + 1 + b2 sachant que −v   0, −vj  que ∀ θ > 0  lim sup j

0, on d´eduit des relations (6.7), (6.8) et (6.9)

   vj − v   dt
c −−−−−→ 0 . θ θ→+∞ Ω∗ 

6.1.1 Les I-fonctions et r´ egularit´ e globale du r´ earrangement associ´ e Pour obtenir des fonctions dont le r´earrangement monotone est absolument continu dans Ω∗ , on a besoin de la d´efinition : D´ efinition 6.1.1. Soit I = (α, β), α
β. Pour f : Ω → IR, on associe f I : Ω → IR+ : ⎧ ⎪ si f (x)
α, ⎨0 f I (x) = f (x) − α si α
f (x)
β, ⎪ ⎩ β−α si f (x)  β, f I est appel´ee I-fonction de f . On notera :

 If = I = (α, β) ∈ IR2 : |f > β| > 0,

|f > α| < |Ω| ,

Propri´ et´ e 6.1.1 (des I-fonctions). ⎧ ⎪ ⎨β si σ  β, 1. Si on introduit Tα,β (σ) = σ si α
σ
β, ⎪ ⎩ α si σ
α, I alors f = Tα,β (f ) − α, pour toute fonction f : Ω → IR.   I 2. 0
f I
β − α, f I ∗ = (f∗ ) (qu’on notera f∗I ).

 α
β .

→ I = (α, β) dans IR2 , alors fj j → f I dans L1 (Ω) si 3. Si Ij = (αj , βj ) − I

j

fj → f dans L1 (Ω).

142

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

Preuve. L’assertion (1) se v´erifie imm´ediatement. Puisque l’application   I σ → Tα,β (σ) est croissante, on d´eduit f I ∗ = Tα,β (f∗ ) − α = (f∗ ) . I I u f  0. Comme Tα,β (f )
β : f
β − α. On a Comme Tα,β (σ)  α, d’o`  Ij I  u l’assertion (3). 

fj −f  (x)
|fj (x)−f (x)| + |β−βj | + |α−αj | d’o` Lemme 6.1.1 (de r´egularit´e des r´earrangements des I-fonctions). 1. Soit f  0, f ∈ W01,p (Ω), 1
p
+∞. Alors, ∀ I ∈ If , f∗I ∈ W 1,p (Ω∗ ). De plus, on a : 

    I   f∗ 
cI (f )| |∇f |∗f |p avec cI (f ) =

1

N N αN

|f > β|

p

−1 1 1− N

.

2. Si Ω est un ouvert connexe born´e lipschitzien alors ∀ I ∈ If , f∗I ∈ W 1,p (Ω∗ ) si f ∈ W 1,p (Ω) . De plus

    I   f∗ 
c1I (f )| |∇f |∗f |p , p

avec c1I

Q

=

1 1− N

min (|f > β| , |f
α|) isop´erim´etrique associ´ee `a Ω.

, Q la constante relative

On notera m(t) = |f > t|.

     Preuve. Puisque Tα,β est localement lipschitzienne avec Tα,β 
1, on d´eduit 1,p 1,p que f∗I ∈ Wloc (Ω∗ ) d`es que f∗ ∈ Wloc (Ω∗ ).   1 1  N  1− N Si f  0, f ∈ W01,p (Ω), on sait que N αN f∗ 
| |∇f |∗f |p , ainsi, pour σ p

p < +∞ :

 p− Np 
  p σ p  I  p |f∗ (σ)| dσ
 f∗  dσ = |f∗ (σ)| dσ . m(β) Ω∗



α
m(β)σm(α)

D’o` u     I   f∗ 
p

1 1 N

1 1− N

N αN m(β)

  1 1  N  1− N N αN f∗ 
σ p

||∇f |∗f |p 1

1

N N αN m(β)1− N

.

Si f ∈ W 1,+∞ (Ω) ∩ W01,1 (Ω), f  0 quand on fait tendre p → +∞ dans la relation pr´ec´edente, on a :     I   f∗ 
cI (f )| |∇f |∗f |∞ . ∞

6.1 Quelques r´esultats g´en´eraux

143

La relation (2) se d´emontre de la mˆeme mani`ere en utilisant la relation  1   1− 1 

min (σ, |Ω| − σ) N f∗ 
| |∇f |∗f |p . Q p Remarque. Rappelons que ||∇f |∗f |p
|∇f |p . Lemme 6.1.2 (convergence des I-fonctions). Soit {fj , f } une suite de → f dans W 1,p (Ω). Alors ∀ I ∈ IR2 , on a fjI −−−−→ f I W 1,p (Ω) t.q. fj − j

j→+∞

dans W 1,p (Ω). Ici, 1
p < +∞. Preuve. Soit I = (α, β) ∈ IR2 . Alors, p.p. x ∈ Ω,

  I fj (x) − f I (x) = |Tα,β (fj )(x) − Tα,β (f )(x)|
|fj (x) − f (x)| . Donc fjI → f I dans Lp (Ω)-fort. Supposons qu’il existe ε > 0 et une sous-suite not´ee fj t.q.  p |∇ (Tα,β (fj ) − Tα,β (f ))| dx  ε > 0, ∀j .

(6.10)

Ω

On peut trouver une fonction h ∈ Lp (Ω) et une sous-suite fσ(j) t.q. ∇fσ(j) (x) −−−−→ ∇f (x) p.p., j→+∞

fσ(j) (x) −−−−→ f (x) p.p. j→+∞

  ∇fσ(j) (x)
h(x), p.p. . On d´eduit

  ∇Tα,β fσ(j) (x) −−−−→ ∇Tα,β (f (x)) p.p. j→+∞

   ∇Tα,β fσ(j) (x) 
h(x) p.p. .       ∇ Tα,β fσ(j) − Tα,β (f ) p dx = 0 ce qui Pour cette sous-suite on a : lim j

Ω

contredit la relation (6.10).



Voici le r´esultat qui lie la convergence des d´eriv´ees des r´earrangements des I-fonctions et leurs fonctions associ´ees. Th´ eor` eme 6.1.2. Soit {f, fj } une suite de fonctions de W 1,1 (Ω) t.q. fj −−−−→ f dans W 1,1 (Ω). On suppose que ∀ I ∈ If , ∀ Ij ∈ Ifj t.q. j→+∞     I Ij → I dans IR2 , fj∗j − → f∗I dans L1 (Ω∗ ). j

1,1 Alors, fj∗ − → f∗ dans Wloc (Ω∗ )-fort. j

144

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

Preuve du th´eor`eme. Puisque fj∗ → f∗ dans L1 (Ω∗ ), il suffit de montrer que fj∗ → f∗ dans L1loc (Ω∗ ). Soit 0 < ε < ω < |Ω|. Supposons qu’il existe une sous-suite not´ee (fn ) de (fj ) et un nombre η > 0 :  ω    fn (t) − f∗ (t) dt  η > 0, ∀n . ∆n = ∗ ε

Quitte a` extraire une sous-suite de fn , on peut trouver (ε1 , ω1 ) : 0 < ε1
ε < ω
ω1 < |Ω| et αn = fn∗ (ω1 ) − → f∗ (ω1 ) = α, βn = fn∗ (ε1 ) → f∗ (ε1 ) = β. n

Posons In = (αn , βn ), I = (α, β). Notons que αn
βn et α
β. De plus, |fn > αn | < |Ω| (resp. |f > α| < |Ω|) et |fn > βn | > 0 (resp. |f > β| > 0) de par le choix de 0 < ε1 < ω1 < |Ω|. Ainsi In ∈ Ifn , I ∈ If et In −−−−−→ I. Par suite n→+∞

  I fnn − f∗I  1,1 ∗ W (Ω

∗)

−−−−−→ 0.

(6.11)

n→+∞

Par ailleurs, on a   t ∈ Ω∗ : ε < t < ω ⊂ fn−1 ([αn , βn ]) ∩ f∗−1 (([α, β]) = Fn . ∗ D’o` u    ω       I    In  fn (t) − f∗ (t) dt
f (t) − f∗ (t) dt
fnIn∗ − f∗I W 1,1 (Ω∗→ 0.  n∗ ∗ ) ε

Fn



(d’apr`es la relation 6.11). D’o` u la contradiction.

Si Ω est un ouvert born´e connexe lipschitzien ou si les fonctions f et fj sont a` trace nulle, alors on peut pr´eciser le th´eor`eme pr´ec´edent : Th´ eor` eme 6.1.3. Sous les mˆemes conditions que le th´eor`eme 6.1.2, si on note, pour σ ∈ Ω∗ , ⎧ 1 1 N ⎪ σ 1− N si f, fj sont dans W01,1 (Ω), ⎪N αN + ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎨ min (σ, |Ω| − σ)1− N si Ω est un ouvert connexe lipchitzien k(σ) = Q ⎪ ou si f, fj sont non sign´ees ⎪ ⎪ ⎪ −1  ⎪ 1 ⎪ ⎩ , dans W 1,1 (Ω) avec Q = N α N 0

alors,

    k fj − f∗  1 ∗ L (Ω

∗)

−−−−→ 0. j→+∞

N

6.1 Quelques r´esultats g´en´eraux

145

Preuve du th´eor`eme qu’il existe η > 0 et une sous-suite  6.1.3. Supposons  encore not´ee (fj ) : k fj∗ − f∗ 1  2η > 0. Posons m = inf ess f, mj = inf ess fj , M = sup ess f, Mj = sup ess fj Ω Ω Ω Ω  δ η et consid´erons δ > 0 t.q. 4 |∇f |∗ dt
alors, il existe (α, β), (αj , βj ) tel 3 0 que 0 < |m < f
α|
δ, 0 < |mj < fj
αj |
δ, 0 < |Mj > fj > βj |
δ,

0 < |M > f > β|
δ,

avec α
β, αj
βj , ∀ j et lim αj = α, lim βj = β. j

j

Ij = (αj , βj ), I = (α, β). Alors, on a :  Notons k f  − f∗ 
j∗ 1 

              I    Ij Ij  I       k f k f
k fj∗ − fj∗ + − f + − f  ∗ ∗ ∗  j∗    1 1

1

= A1j + A2j + A3  on a : A1j =

  k(σ) fj∗ (σ) dσ , en introduisant les fonctions troncatures

{fj∗ αj }∪{fj∗ >βj } H fj j (x) H (fj )∗ j ,

Z

H

= min (fj (x), αj ), et fj j (x) = max (fj (x), βj ), on a alors : fj∗ j = Z

H

fj∗j = (fj )∗ j . Alors, on d´eduit :                H   Z  H Z A1j
k fj∗ j  + k fj∗j 
∇fj j  + ∇fj j  . 1

1

1

1

  Puisque ∇fj = 0 presque partout sur fj = mj , en utilisant une simple d´ecomposition et le th´eor`eme de Hardy-Littlewood:   |mj
0

0

δ

|∇f |∗ (t)dt.

De mˆeme on a :     Zj 
|∇ (f − f )| + ∇fj  j 1 1

0

δ

|∇f |∗ (t)dt.

Par cons´equent,  A1j
2 |∇ (fj − f )|1 + 2

δ 0

|∇f |∗ (t)dt ,

(6.12)

146

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

Par l’in´egalit´e PSR et l’in´egalit´e ponctuelle (voir corollaire 2.2.1) :  δ        |∇f |∗ (t)dt , A3 = k f∗I − f∗ 
2 1

enfin le terme


A2j


(6.13)

0

     Ij   I    Max k  fj∗ − f∗  −−−−→ 0. j→+∞ Ω 1

∗

Par le choix de δ > 0 et pour j  jn on a : 
    δ  I     η |∇f |∗ (t)dt + Max k  fj∗j − f∗I 
3 = η. 2 |∇ (fj − f )|1 + 4 3 Ω ∗ 0 1 Dans ces conditions on a pour j  jn    0 < 2η
k fj∗ − f∗ 1
A1j + A2j + A3
η , 

d’o` u la contradiction.

Voici les observations qui d´ecoulent des preuves de la r´egularit´e des Ifonctions. 1,1 Lemme 6.1.3. Soient f ∈ W 1,1 (Ω) t.q. f∗ ∈ Wloc (Ω∗ ) et |k(·)f∗ (·)|1
|∇f |1 o` u k : Ω∗ → IR continue avec k(0) = 0. Si |f = f∗ (0)| > 0 1,1 (0, b) ∀ b < |Ω|. De plus, si on alors f∗ ∈ W  note : 0 < γ = min k(σ), 0 < |f > f∗ (0)| < σ < b , alors

|f∗ |L1 (0,b)


1 |∇f |1 . γ

Corollaire 6.1.1 (du corollaire du lemme 6.1.3). Sous les mˆemes conditions que le lemme 6.1.3, si |f = f∗ (0)| > 0 et |f = f∗ (|Ω|)| > 0 alors f∗ ∈ W 1,1 (Ω∗). Si on note  0 < µ = min k(σ) : 0 < |f > f∗ (0)| < σ < |f > f∗ (|Ω|)| < |Ω| , alors |f∗ |L1 (Ω∗ )


1 |∇f |1 . µ

On peut ´etendre le lemme 6.1.2, comme suit : Lemme 6.1.4. Sous les mˆemes conditions que le lemme 6.1.2, → I dans IR2 , si I = (α, β), Ij = (αj , βj ) t.q. Ij − j

alors

fj j → f I dans W 1,p (Ω)-fort. I

6.1 Quelques r´esultats g´en´eraux

147

p    I Preuve. En effet, ∇fj j − ∇f I 
p


c

 p + c ∇fjI − ∇f I p + c

p

|∇fj | dx

min(αj ,α)fj max(αj ,α)

 p

|∇fj | dx

−−−−→ 0.

j→+∞ min(βj ,β)fj max(βj ,β)



Pour compl´eter les th´eor`emes 6.1.2 et 6.1.3, nous devons montrer Th´ eor` eme 6.1.4. Sous les mˆemes conditions que le th´eor`eme 6.1.3, si fj → f dans W 1,p (Ω), 1
p < +∞, alors     k fj − f∗  −−−−→ 0. ∗ p j→+∞

Preuve. Sous les mˆemes conditions que le th´eor`eme 6.1.3, on peut appliquer l’in´egalit´e de Poincar´e-Sobolev ponctuelle, pour d´eduire ∀ E mesurable  E ⊂ Ω∗ , E

    p k fj  dt
∗

  E

|∇fj |∗fj

p

 (t)dt


0

|E|

p

|∇fj |∗ (t)dt.

D’o` u, ∀ E ⊂ Ω∗ mesurable       k fj − f∗  p |∇fj |  p
+ ||∇f |∗ |Lp (0,|E|) . ∗ ∗ L (0,|E|) L (E)

(6.14)

Ainsi, si fj∗ −−−−→ f∗ (σ) p.p., alors en appliquant le th´eor`eme de Vitali j→+∞    → 0. (grˆ ace `a la relation (6.14)), on d´eduit k f  − f∗  − j∗

p j

alors qu’il existe η > 0 et une sous-suite not´ee (fj∗ ) telle que  Supposons  k f  − f∗   η > 0, alors d’apr`es le th´eor`eme 6.1.3, on peut extraire une j∗ p sous-suite not´ee (fkj ) : fk j∗ (σ) →f∗ (σ) p.p., la remarque pr´ec´edente implique      k fk j∗ −f∗  −−−−→ 0. p j→+∞      Ce qui contredit le fait k fk j∗ −f∗   η > 0. 

p

6.1.2 Longueur d’arc et propri´ et´ es inh´ erentes Notre objectif est d’utiliser le th´eor`eme de convergence (voir th´eor`eme 6.1.1) I avec vj = ujj , ∀ Ij ∈ Iuj . Pour v´erifier les hypoth`eses du th´eor`eme, on aura besoin de la notion de longueur d’un arc de courbe.

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

148

D´ efinition 6.1.2 (d’un longueur d’un arc). Soit f : IR → [0, +∞[ une fonction d´ecroissante. Sa d´eriv´ee distribution est une mesure de Radon qui peut se d´ecomposer df = g dt − dν o` u g ∈ L1loc (IR) et ν  0 la partie singuli`ere est une mesure localement born´ee. On appelle la longueur de l’arc du graphe de f sur le compact [a, b] le nombre :  f (a, b) =

b

>

 1+

g 2 (t) dt

dν .

+

a

[a,b]

Commen¸cons alors par la proposition suivante : Proposition 6.1.1. Soit {h, hj } une suite de fonctions int´egrables de Ω dans [0, +∞[ t.q.   (a) lim inf hj (x)dx
h dx, j

Ω

Ω

(b) lim inf hj (x)  h(x) p.p. en Ω. j

Alors, il existe une sous-suite j(1), j(2), . . . t.q.   plus, hj(k) − hL1 (Ω) −−−−−→ 0.

lim hj(k) (x) = h(x). De

k→+∞

k→+∞

Preuve de la proposition. Posons ϕ(x) = lim inf hj (x). On a d’apr`es le j

th´eor`eme de Fatou et l’hypoth`ese (a) que :    ϕ(x) dx
lim inf hj dx
h dx. Ω

(6.15)

Ω

Par ailleurs l’hypoth`ese (b) implique que :   ϕ(x)  h(x) : ϕ(x) dx  h(x) dx. Ω

(6.16)

Ω

D’o` u l’´egalit´e de ϕ et h. En utilisant l’hypoth`ese (b), on d´eduit de cette ´egalit´e que lim (hj (x) − h(x))− = 0 p.p., en effet, nous avons j

an (x) = inf (hj (x) − h(x)) n→+∞ lim inf (hn (x) − h(x)) = 0 n

j
n

et bn (x) = sup (hj (x) − h(x)) n→+∞ lim sup (hn (x) − h(x))  0. n

j
n

Comme an (x)
hk (x) − h(x)
bn (x) si k  n alors bn− (x)
(hk − h)− (x)
an− (x) et an− −−−−−→ 0 de mˆeme bn− (x) −−−−−→ 0 : (hk − h)− (x) −−−−−→ 0. n→+∞

n→+∞

k→+∞

6.1 Quelques r´esultats g´en´eraux

149

Mais 0
(hj − h)− (x)
h(x), d’o` u par le th´eor`eme de la convergence  domin´ee, on a lim (hj − h)− (x)dx = 0. Par cons´equent, j

Ω





lim inf j

Ω

(hj − h)+ (x)
lim inf

(hj − h) dx
0.

j

Ω



On d´eduit que lim inf (hj − h)+ (x)dx = 0, par suite il existe une sous-suite j Ω      hj(k) − h + (x) dx = 0 et hj(k) (x) − h(x) + −−−−−→ 0 p.p. j(k) : lim k→+∞ Ω k→+∞       Comme hj(k) − h (x) = hj(k) (x) − h(x) + + hj(k) − h(x) − −−−−−→ 0 : k→+∞

hj(k) (x) → h(x) p.p.. De mˆeme,         hj(k) (x) − h(x) dx = lim hj(k) − h + (x) dx lim k k Ω Ω    hj(k) − h − (x) dx = 0. + lim k

Ω



Voici un des th´eor`emes cl´es sur la convergence des longueurs d’arcs : Th´ eor` eme 6.1.5 (convergence des longueurs de courbes). Soient ω0 , ω2 , . . . une suite de fonctions croissantes de IR dans [0, +∞[ et consid´erons une d´ecomposition de dωj suivante, pour j  0 dωj = uj dt + dνj o` u uj ∈ L1loc(IR) , dνj  0. On suppose que pour presque tout t ∈ IR, lim inf uj (t)  u0 (t) et que j

|ωj − ω0 |L1

loc (IR)

−−−−→ 0. Alors, ∀ ϕ ∈ Cc (IR) on a j→+∞


 lim

j→+∞

8 ϕ



 1 + u2j dt +

ϕ dνj

 =

8 ϕ

 1 + u20 dt +

ϕ dν0 .

Preuve. La monotonicit´e des ωj ainsi que la convergence dans L1loc (IR) impliquent que ωj (t) −−−−→ ω0 (t) en tout point t de continuit´e de ω0 donc en j→+∞

presque tout t. Pour tout ψ ∈ Cc∞ (IR), on a :    ψuj dt + ψ dνj = − ψ  ωj dt.

(6.17)

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

150

Comme ωj → ω0 dans L1loc (IR) on a : 

 lim j

 ψ dνj = −

ψuj dt +





ψ ω0 dt =

 ψu0 dt +

ψ dν0 .

(6.18)

Mais dωj est une mesure de Radon localement uniform´ement born´ee (car ωj est monotone, ∀ j  0). D’o` u puisque Cc∞ (IR) est dense dans Cc (IR) on d´eduit que (6.18) est encore vraie pour ψ ∈ Cc (IR). Pour montrer le th´eor`eme, il suffit alors de prouver que ∀ ϕ ∈ Cc (IR)   ϕG(u0 ) dt = lim ϕG(uj ) dt (6.19) j

√ o` u G(u) = 1 + u2 − u
1. En effet il suffit de retrancher (6.18) et (6.19). Soit alors I un intervalle contenant le support de ϕ. Comme ν0 est singuli`ere, il existe un ensemble mesurable A t.q. ν0 (A) = 0 et |A| = |I|, et A ⊂ I. ∀ ε > 0, il existe un compact Bε ⊂ A : |Bε |  |I| − ε. En fait on a,   uj dt.


lim inf j

u0 dt.

Bε

(6.20)

Bε

Admettons (6.20) un instant, alors il existe une sous-suite not´ee uj : uj (t) − → j

u(t) p.p. sur Bε d’apr`es la proposition pr´ec´edente. Par le th´eor`eme de la convergence domin´ee,   lim ϕG(uj ) = ϕG(u0 ) dt. j

Bε

Posons

Bε



 ϕG(uj ) dt −

aj =

ϕG(u0 ) dt.

I

I

On a  aj =

  ϕ G(uj ) − G(u0 ) dt +

 ϕ (G(uj ) − G(u0 )) dt. Bε

A\Bε

D’o` u

  |aj |
ε |ϕ|∞ + 

Bε

  ϕ (G(uj ) − G(u0 )) dt : lim sup |aj |
ε |ϕ|∞ −−−→ 0. ε→0 j 



Ainsi lim j

ϕG(uj ) =

ϕG(u0 ).

6.1 Quelques r´esultats g´en´eraux

151

Pour prouver (6.20), on consid`ere ϕ : IR → [0, 1] continue a` support com/ Bε . Pour tout pact t.q. ϕ(t) = 1 pour tout t ∈ Bε et 0
ϕ(t) < 1 pour t ∈ u: entier m, on a la relation (6.18) pour ϕm , d’o`   lim inf uj dt
lim inf ϕm uj dt j

Bε



lim inf j

j





m

m

ϕ uj dt +

ϕ dνj



 =

m

ϕ u0 dt +

ϕm dν0 .

Quand m → +∞, on d´eduit du th´eor`eme de la convergence que    m m lim ϕ u0 dt + ϕ dν0 = u0 dt. m

Bε

Ainsi, on a :



 uj dt


lim inf j

Bε

u0 dt , Bε

d’o` u (6.20) (noter ν0 (Bε ) = 0). En raisonnant par l’absurde, on voit que toute la suite v´erifie (6.19). 

On va maintenant utiliser le r´esultat de convergence pr´ec´edent pour donner le lien entre  la longueur de la courbe fonction de distribution f (t) = mIu (t) = uI > t et son inverse g´en´eralis´e g(s) = uI∗ (s). Vu les propri´et´es des I-fonctions on supposera que f et g sont positives et born´ees. La strat´egie consiste d’abord `a regarder pour les lignes polygonales i.e. soit (fk ) une approximation de f (bien choisie), fk affine par morceaux et (gk ) celle de g obtenue avec le mˆeme proc´ed´e. On ´ecrira que les longueurs des arcs de fk et gk sont identiques soit k . On → f  (x), gk (x) − → g  (x), fk (x) − → f (x), montrera que k est born´ee, que fk (x) − k

k

→ g(x) p.p. On conclut avec le th´eor`eme pr´ec´edent. gk (x) −

k

k



Pour ´enoncer le th´eor`eme g´en´eral, voici les hypoth`eses sur f et son inverse g´en´eralis´e g : On suppose f, g : IR → IR+ d´ecroissantes v´erifiant (a) f (x) = a > 0 si −∞ < x
0, f (x) = 0 si 0 < b
x < +∞, g(y) = b si −∞ < y
0, g(y) = 0 si a
y < +∞. (b) f (resp. g) est continue a` droite sur [0, b] (resp. [0, a]). (c) f et g sont reli´ees par les formules :     g(y) = Min x : f (x)
y = sup x : f (x) > y , y ∈]0, a[,     f (x) = Min x : g(y)
x = sup x : g(y) > x , x ∈]0, b[.

152

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

On voit que f et g auront des allures identiques : y 6

y=f(x)

x 0 En fait, le graphe de f est l’image du graphe de g quand on permute x et y (i.e. par sym´etrie par rapport a` la bissectrice). Plus pr´ecis´ement, on a : Proposition 6.1.2. Soit ρ : IR2 → IR2 t.q. ρ(x, y) = (y, x). Alors, le graphe de f dans [0, b] × [0, a] donn´e par :   Γ = [0, b] × [0, a] ∩ (x, y) : lim inf f (t)
y
lim sup f (t) t→x

t→x

co¨ıncide avec l’image du graphe de g dans [0, a] × [0, b] i.e    = [0, a] × [0, b] ∩ (y, x) : lim inf g(s)
x
lim sup g(s) s→y

s→y

 sous l’action de ρ : ρ( ) = Γ .  Preuve. Par raison de sym´etrie de f, g, il suffit de montrer que ρ( ) ⊂ Γ . Soit 0 < y < a et x t.q. lim inf g(s)
x
lim sup g(s). Il s’agit de montrer s→y

s→y

que 0
x
b et que lim inf f (t)
y
lim sup f (t). Il est clair que 0
x
b. t→x

t→x

Supposons y < lim inf f (t), alors il existe une suite tn → x telle que pour t→x

tout s (proche de y) v´erifiant y < s < lim inf f (t) on a f (tn ) > s pour tout n. t→x

Ainsi, tn ∈ {σ : f (σ) > s}, ce qui entraˆıne par d´efinition de g (voir ci-dessus) que g(s) > tn . Ceci implique n´ecessairement que lim inf g(s) > lim tn = x, ce s→y

qui contredit l’hypoth`ese de d´epart pour (x, y).

n



Par ailleurs, on a l’observation suivante, compte tenu de la monotonicit´e de f . Si 0
t < x
b et 0
y < z
a alors l’un au plus des points (t, y) et (x, z) peut appartenir au graphe Γ de f . De plus, pour chaque x : −a
x
b il y a exactement un point (x, y) de Γ t.q. y = x − s (i.e. qui appartient a` un axe parall`ele `a la premi`ere bissectrice.)

6.1 Quelques r´esultats g´en´eraux

153

π = 45o Grˆ ace `a cette observation, si on consid`ere θ la rotation d’angle 4 ∗ dans le sens contraire d’une aiguille d’une montre, alors l’image  Γ de Γ i.e. b a Γ ∗ = θ(Γ ) peut ˆetre repr´esent´ee par le graphe d’une courbe h: − √ , √ → 2 2     b a a+b  t.q. |h (σ)|
1, pour presque tout σ ∈ − √ , √ . 0, 2 2 2 En effet, les paliers de f deviennent des segments parall`eles `a la premi`ere bissectrice et les “sauts” de f deviennent des segments parall`eles `a la deuxi`eme bissectrice, la monotonicit´e implique le reste. Pour obtenir l’application fk affine par morceaux, approximation de f , dont la longueur d’arc sera born´ee, on commence par discr´etiser l’intervalle   b a − √ , √ en prenant un pas constant, pour j = 0, . . . , 2k , k ´etant un entier 2 2 j a+b a donn´e, soit sj = − √ + k · √ . 2 2 2 Consid´erons alors les points de Γ ∗ , p∗j = (sj , h(sj )) , j = 0, . . . , 2k et   notons Γk∗ la r´eunion des segments p∗i−1 , p∗i qui joignent les points p∗i−1 et p∗i . Puisque, |h (σ)|
1 p.p., la longueur de chaque segment ne d´epasse pas a+b a+b . Par suite la longueur totale de Γk∗ , k , n’exc`ede pas 2k · k = a + b. k 2 2 D’o` u 0
k
a + b. −1 ∗ −1 ∗ k  θ (Γk ), (xi , yi ) = pi = θ (pi ), i = 0, . . . , 2 , Kk =  Notons Γk = x0 , x1 , . . . , x2k

(ces points peuvent ˆetre confondus). On d´eduit alors :

Proposition

6.1.3. Pour chaque i = 0, 1, . . . , 2k on a lim inf f (t)
t→xi

yi
lim sup f (t) (puisque (xi , yi ) ∈ Γ ). De plus, on a xi−1
xi et t→xi

xi − xi−1


a+b a+b , yi−1  yi et yi−1 − yi
k . k 2 2

 Pour chaque x ∈ (0, b)\Kk , il existe un indice unique i ∈ 1, . . . , 2k t.q. xi−1 < x < xi . On va choisir les xi comme des nœuds de discr´etisation. On d´efinit fk : IR → IR:

  (d) fk (t) = f (t) si t ∈ / [0, b], t, fk (t) ∈ Γk si t ∈ [0, b], fk continue a` droite sur ]0, b[, (e) fk est donn´ee pour chaque i = 0, . . . , 2k xi−1 < x < xi par fk (x) = yi − yi−1 yi−1 + (x − xi−1 ). xi − xi−1 On voit que fk est d´ecroissante.

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

154

De la mˆeme fa¸con, on d´efinit gk : IR → IR en rempla¸cant f par g. Si on note alors les diff´erentes d´ecompositions des mesures df, dfk , dg, dgk par df = f  (t) dt − dµ, dfk = fk (t) dt − dµk , dg = g  (t) dt − dν, dgk = gk (t) dt − dνk ,  par k la ligne polygonale d´efinie par le graphe de gk sur [0, a). Alors, on a   (f) k = ρ(Γk ), k l’image de Γk par ρ . (g) Puisque les longueurs d’arc sont pr´eserv´ees par les r´eflexions ρ on d´eduit que :  8   8  1 + fk (t)2 dt + dµk = 1 + gk (t)2 dt + dνk . k= [0,b]

[0,b]

[0,a]

Par ailleurs, puisque Kk ⊂ Kk+1 sont finis, alors K =

[0,a]



Kk ⊂ [0, b] est

k
0

d´enombrable. Puisque f et g sont presque partout d´erivables, on d´eduit que pour presque tout x ∈ IR\K on a : (h)

lim fj (x) = f (x),

j→+∞

lim gj (x) = g(x),

j→+∞

lim fj (x) = f  (x),

j→+∞

lim gj (x) = g  (x).

j→+∞

En fait, en tout point x de diff´erentiabilit´e, xi−1 < x < xi ,   |fk (x) − f (x)|
Max |f (t) − f (x)| , |t − x|
xi − xi−1 −−−−−→ 0. k→+∞

De plus, il existe une fonction ε(·) : lim ε(h) = 0 t.q. h→0
 a+b |fk (x) − f  (x)|
2ε −−−−−→ 0. k→+∞ 2k On en vient maintenant au th´eor`eme principal de ce paragraphe : Th´ eor` eme 6.1.6 (´egalit´e des longueurs d’arc). On suppose que f, g : IR → IR sont des fonctions d´ecroissantes inverses l’une de l’autre satisfaisant (a), (b), (c). Alors, la longueur de f sur [0, b] est ´egale a ` celle de g sur [0, a] i.e.   8   8 dµ = dν 1 + f
2 (t) dt + 1 + g
2 (t) dt + [0,b]

[0,b]

df = f  (t) dt − dµ, dg = g  (t) dt − dν.

[0,a]

[0,a]

6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres

155

Preuve. Puisque fk (resp. gk ) sont des suites born´ees qui convergent simplement vers f (resp. g), alors fk → f (resp. gk → g) dans L1loc (IR). → f  (x) (resp. gk (x) − → g  (x)) presque partout, on d´eduit Comme fk (x) − k

k

que les conditions du th´eor`eme 6.1.5 sont r´eunies, on peut conclure ∀ ϕ ∈ Cc∞ (IR)  lim k



8 ϕ

1+

fk (t)2

dt +

 ϕ dµk =

ϕ

>

 1+

f  (t)2

dt +

ϕ dµ.

(6.21)

(de mˆeme pour gk , g). Par ailleurs, puisque fk (t) = f (t) ∀ t > a, ∀ t < 0, on 

 ϕ dfk =

d´eduit :

IR\[0,a]

 ϕ df d’o` u

IR\[0,a]

 ϕ dµk =

IR\[0,a]

ϕ dµ = 0 . IR\[0,a]

Ainsi la relation (6.21) ci-dessus devient : ∀ ϕ ∈ Cc∞ (IR) ⎛ ⎞     8 8 ⎜ ⎟
2
2 ⎟ ϕ dµ ϕ dµ . = 1 + f ϕ 1 + f (t) dt + ϕ (t) dt + lim ⎜ k⎠ k k ⎝ IR

IR

[0,a]

[0,a]

(6.22) Soit maintenant ϕ ∈ Cc∞ (IR) t.q. ϕ(x) = 1 ∀ x ∈ [0, a], alors la relation  8 
2 dµk , lim k = 1 + fk dt + (6.22) implique que, sachant que k = [0,a]

[0,a]

k→+∞

 8 
2 dµ . De mˆeme pour gk et g, d’o` 1 + f (t) dt + u le r´esultat. [0,a]



[0,a]

6.2 Fonctions co-aires r´ eguli` eres et continuit´ e 1,p 1,p
p de u ∈ W (Ω) (resp. W0 (Ω)) → u∗ ∈ L (Ω∗, k) Notations. Dans ce paragraphe, nous d´esignerons par : 1 1 N k(σ) = N αN σ 1− N si on travaille avec des fonctions positives a` trace nulle 1 1− 1 et par k(σ) = min (σ, |Ω| − σ) N sinon (conditions identiques au th´eor`eme Q 6.1.3).   Lp (Ω∗ , k) = g ∈ L1loc (Ω∗ ) : |kg|Lp (Ω∗ ) < +∞ . Pour une fonction u : Ω → IR, I = (α, β) ∈ IR2 on notera : u la I- fonction associ´ee et la fonction de distribution de uI est not´ee :   mIu (t) = uI > t , t ∈ IR. I

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

156

 W01,p (Ω) On va noter Vp (Ω) = W 1,p (Ω) si Ω est connexe lipschitzien born´e. Dans tout le paragraphe, on consid´erera une suite u, uj de Vp (Ω) t.q. uj −−−−→ u dans Vp (Ω). Si Ij ∈ Iuj , I ∈ Iu t.q. Ij → I, on notera : j→+∞

f (t) = mIu (t), t ∈ IR fj (t) = mIujj (t), ⎧ I j ⎪ si s ∈ [0, |Ω|], ⎨uj∗ (s) gj (s) = 0 si s  |Ω| , ⎪ ⎩ βj − αj si s
0. ⎧ I ⎪ ⎨u∗ (s) g(s) = 0 ⎪ ⎩ β−α

De mˆeme

si 0
s
|Ω| , si s  |Ω| , si s
0.

On a g(|Ω|) = 0. En effet, si I = (α, β) ∈ Iu , inf ess u
α
β
Ω   sup ess u, alors, g(s) = Tα,β u∗ (s) − α = 0, si m(α) < s
|Ω|. De mˆeme Ω

g(0) = β − α, car u∗ (0) = sup ess u  β. Ω

On notera a = |Ω| , bj = βj − αj , b = β − α, ⎧ ⎪ ⎨|Ω| fj (t) = d´ecroissante, continue `a droite ⎪ ⎩ 0

on voit que : si t
0, sur [0, bj [, si t  bj = βj − αj .

De mˆeme pour f . Notons que fj (t) = f (t), si t
0 ou t  max(b, bj ). La proposition suivante d´ecoule alors des r´esultats concernant les Ifonctions donn´ees au premier et second paragraphe. Proposition 6.2.1. Sous les notations pr´ec´edentes, on a : 1,1 1. g, gj sont dans Wloc (IR) donc dans W 1,1 (Ω∗ ), 2. |gj − g|Lp (Ω∗ ) −−−−→ 0, j→+∞

3. |fj − f | −−−−→ 0 dans L1loc (IR), j→+∞

4. Si on a dfj = fj (t) dt − dµj , (df = f  (t) − dµ) alors  8  
dµj = 1 + fj 2 (t) dt + [0,bj ]

[0,b]

1 + gj (s)2 ds

Ω∗

[0,bj ]

  8 
2 dµ = 1 + f (t) dt + [0,b]

8

Ω∗

>

1 + g  (s)2 ds.

6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres

157

Preuve. L’´enonc´e (1) d´ecoule du lemme 6.1.1. Pour l’´enonc´e (2) on utilise le lemme 6.1.4 et la propri´et´e de contraction que        I  I |gj − g|Lp (Ω∗ ) = uj∗j − uI∗ 
u j j − u I  −−−−→ 0. Lp (Ω∗ )

Lp (Ω) j→+∞

Donc gj → g dans Lploc (IR). 3. Pour tout t, on a :

  f (t)
lim inf fj (t)
lim sup fj (t)
uI  t , j

j

  ainsi pour presque tout t ∈ IR, on a f (t) = uI  t, d’o` u lim fj (t) = f (t), j

comme 0
fj (t)
|Ω|, on d´eduit le r´esultat. Pour l’´enonc´e (4), puisque g, gj sont dans W 1,1 (Ω∗ ) alors dgj = gj (s) ds (resp. dg = g  ds), par l’invariance des longueurs d’arcs (th´eor`eme 6.1.6) pr´ec´edent, on a le r´esultat. 

On fait maintenant l’observation suivante, si :   “in´egalit´e principale” |f  (t)|
lim inf fj (t) p.p. en t j

alors le th´eor`eme 6.1.5 est applicable i.e. ∀ ϕ ∈ Cc∞ (IR)
     8 8
2
2 lim ϕ 1 + fj (t) dt + ϕ dµj = ϕ 1 + f (t) dt + ϕ dµ. j

IR

IR

IR

IR

En choisissant une fonction ϕ convenable (ϕ = 1 sur [0, b + 1]) sachant que bj → b on d´eduit a` partir de la proposition 6.2.1 que  8  8
lim 1 + gj2 (s) ds = 1 + g
2 (s) ds , j

Ω∗

Ω∗

` l’aide de l’assertion (2) et le th´eor`eme 6.1.1, on d´eduit gj → g  dans L1 (Ω∗ ). a   Maintenant on applique le th´eor`eme 6.1.3 pour avoir k uj∗−u∗ 1 −−−−→ 0. j→+∞

Enfin on conclut avec le th´eor`eme 6.1.4 :     k uj − u∗  −−−−→ 0. ∗ p j→+∞

  Ainsi, il nous faut avoir l’in´egalit´e principale : |f  (t)|
lim inf fj (t). j

Cette hypoth`ese n’est v´erifi´ee que pour une classe de fonctions appel´ees coaire r´eguli`eres dont la d´efinition 6.2.1 est dans la section 6.2.2. 6.2.1 D´ ecomposition d’une fonction de distribution et propri´ et´ es diverses Soit donc u ∈ W 1,p (Ω), 1
p < +∞. On consid`ere les fonctions d´ecroissantes associ´ees suivantes, pour tout t ∈ IR :

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

158

    mu (t) = |u > t| , mo,u (t) =  x ∈ Ω : u(x) > t, ∇u(x) = 0 

    m1,u (t) = mu (t) − mo,u (t) =  x ∈ Ω : u(x) > t, ∇u(x) = 0  .

et

Voici une proposition qui d´ecoule des formules de Federer : Proposition 6.2.2. m1,u est absolument continue sur IR. Preuve. En effet la formule de Federer s’´ecrit :  g |∇u| dx = Ω





+∞

=

dt −∞

g(x)dLN −1 (x) , (si N  2), g : IR → IR+ mesurable.

{u=t}

(Ici, LN −1 = H N −1 ). D’o` u en choisissant g(x) =

1 χ{|∇u(x)|=0 |∇u(x)| 

on d´eduit m1,u (t + h) − m1,u (t) = t

 θ→

t+h



,t
h > 0

dLN −1 (x) , comme la fonction |∇u(x)|

{u=t, ∇u=0}

dLN −1 (x) est int´egrable sur IR, on obtient le r´esultat. |∇u(x)|



{u=θ, ∇u=0}



Preuve identique pour N = 1.

Une autre cons´equence de cette mˆeme formule de Federer qui peut ˆetre utile est la suivante : Proposition 6.2.3. Soit  B ⊂ IR t.q. |B| = 0. Alors, le gradient de u est presque partout nul sur x : u(x) ∈ B .   u Preuve. On choisit g(x) = χB u(x) dans la formule de Federer. D’o`  |∇u| (x)dx = 0, d’o` u le r´esultat. 

{x:u(x)∈B}

Voici une autre preuve de cette mˆeme proposition. Soit U1 ⊃ U2 ⊃ . . . une +∞

Uj = V , |Uj | −−−−→ 0. Posons Mj (t) = suite d’ouverts de IR t.q. B ⊂ 

j→+∞

j=1 t

χUj (s)ds, 0 Cc∞ (Ω; IRN ),

on a |Mj (t)|
|t| et Mj (t) −−−−→ 0. Montrons alors ∀ ϕ ∈ j→+∞

pour chaque j,

6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres

 [u − Mj (u)] div(ϕ)dx = −

 

 1 − χ{u∈Uj } ∇u · ϕdx.

159

(6.23)

Admettons un instant cette derni`ere formule. Puisque, |Mj (u)|
|u|, et que   Mj u(x) −−−−→ 0 pour presque tout x , j→+∞

 le premier membre de l’´egalit´e (6.23) tend vers

u div(ϕ)dx. Quant au second,

puisque 0
1 − χ{u∈U  j }
1 et que χ{u∈Uj } (x) → χ{u∈V } (x) p.p. on d´eduit   u ∀ ϕ ∈ Cc∞ , qu’il converge vers 1 − χ{u∈V } (x) ∇u · ϕdx. D’o`  −

 (∇u · ϕ) dx = −

  1 − χ{u∈V } ∇u · ϕ

  ce qui entraˆıne alors ∇u = 1 − χ{u∈V } ∇u p.p. Soit ∇u(x) = 0 si x ∈ u−1 (V ) ⊃ u−1 (B). La preuve de la formule (6.23) revient a` montrer que pour tout ouvert U de IR, de mesure finie on a :       1 − χ{u∈U } ∇u · ϕdx u − M (u) div(ϕ)dx = (6.24) 

t

o` u M (t) = Soit 1 

0 gj

χU (s)ds, t ∈ IR.  0 une suite de fonctions continues t.q.

0
g1 (t)
g2 (t) . . .
gj (t) −−−−→ χU (t) partout. Alors pour j fix´e, posons j→+∞  t gj (s) ds, puisque ∇(Nj ◦ u) = (gj ◦ u)(∇u) on d´eduit alors : Nj (t) = 0

      u − Nj (u) divϕ dx = − 1 − gj (u) ∇u · ϕ dx.

(6.25)

Par le th´eor`eme de la convergence domin´ee, puisque Nj (t) → M (t) ∀ t, on a       1 − M (u) divϕ dx 1 − Nj (u) divϕ dx = lim j

 

et lim j

    1 − χ{u∈U } ∇u · ϕ dx 1 − gj (u) ∇u · ϕ dx =

on d´eduit alors (6.24) de (6.25).



6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

160

Puisque m1,u est absolument continue sur IR, on d´eduit alors : Corollaire 6.2.1 (de la proposition 6.2.2). Pour A ⊂ IR, mesurable   m1,u (A) = dm1,u (t) = − χ{u∈A} · χ{∇u=0} dx. A

Ω

Preuve. Soient a, b deux r´eels ]a, b[⊂ I(u), on a      dm1,u (t) = m1,u (b) − m1,u (a) = −  x : a < u(x) < b, ∇u = 0  [a,b]

 =−

χ{u∈]a,b[} · χ{∇u=0} dx. Ω

Donc la formule est vraie pour un ouvert donc vraie pour un Gδ (pour la d´efinition, voir les livres de G. Choquet  ou l’article [33]). De  plus, si E est   un ensemble de mesure nulle, on a :  x : u(x) ∈ E : ∇u(x)=0  = 0 d’apr`es la proposition 6.2.3. Comme pour tout ensemble A mesurable, il existe V un Gδ t.q. A ⊂ V et |A| = |V |, ainsi :          x : u(x) ∈ A : ∇u(x) = 0  =  x : u(x) ∈ V : ∇u(x) = 0  + 0. D’o` u m1,u (A) = −

 χ{u∈A} · χ{∇u=0} dx. Ω



Remarque. Rappelons que d’apr`  es la formule de Fleming-Rishel (voir chapitre 7) l’application t → χ{u>t} (x) · |∇u| dx est absolument conΩ

 tinue sur IR car

 |∇u| dx =

{u>t}

+∞

  PΩ {u > θ} dθ pour u ∈ W 1,1 (Ω).

t

Th´ eor` eme 6.2.1 (convergence des troncatures de m1,uj ). Soit {u, u1 , u2 , . . .} une suite d’´el´ements de W 1,1 (Ω) t.q. uj −−−−→ u dans W 1,1 (Ω). On consid`ere pour ε > 0, la fonction Φε (ξ) =

j→+∞ 2

|ξ|

ε2

2,

+ |ξ| ξ ∈ IRN , |ξ| ´etant la norme euclidienne de ξ. On d´efinit pour t ∈ IR,  ε m1,uj (t) = χ{uj >t} · Φε (∇uj )dx Ω

(de mˆeme pour u). Alors

pour

6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres

161

1. t ∈ IR → mε1,u (t) (resp. mε1,uj (t)) est absolument continue. De plus, la suite (mε1,uj )j est ´equi-absolument continue. 2. Pour A bor´elienne ⊂ IR de mesure finie, les fonctions mε1,uj convergent en mesure vers mε1,u sur A quand j → +∞. En particulier, il existe une sous-suite uj(k) t.q. : (mε1,uj(k) ) (t) → (mε1,u ) (t) p.p. en t ∈ A. Preuve. Pour l’assertion (1), on a pour tout intervalle ]a, b[, on a d’apr`es la formule de Fleming-Rishel. 0


mε1,u (a)

−

mε1,u (b)

1
ε



1 |∇u| dx = ε



a
b

PΩ (u > t)dt, a

ce qui implique l’absolue continuit´e. Notons aussi u0 = u. L’´equi-absolue continuit´e des mε1,uj d´ecoule de cette derni`ere formule car pour une suite d’intervalles (]ai , bi [)i=1,...,m deux a` deux disjoints tels que m  (bi − ai )
δ, v´erifie alors ∀ j i=1

0


m   i=1

  1 1 δ |∇uj | dx
mε1,uj (ai ) − mε1,uj (bi )
|∇uj |∗ (t)dt. ε 9m ε 0 i=1 ]ai ,bi [

Puisque uj → u dans W 1,1 (Ω) alors :  0



δ

|∇uj |∗ (t)dt
|∇ (uj − u)|1 +

δ

0

|∇u|∗ (t)dt
2



δ 0

|∇u|∗ (t)dt, j  jδ .

Pour la deuxi`eme assertion consid´erons un ensemble bor´elien A de mesure finie, pour j fix´e, et η > 0 on note :       (6.26) Aj = A ∩ t : mε1,uj (t) − mε1,u (t) > η (preuve identique pour le cas < −η). On veut montrer que |Aj | → 0. Supposons que cela ne soit pas vrai alors pour une sous-suite not´ee toujours (Aj ), il existe α > 0 : |Aj | > 5α > 0 ∀ j. Puisque (mε1,uj )j
0 est ´equi-absolue continue, il existe δ > 0 t.q. B ⊂ IR alors :     ε  (6.27) |B|
δ alors dm1,uj (t)
αη. B

D’apr`es le th´eor`eme de Lusin, pour chaque j il existe une fonction continue   Lj : IR → [0, 1] t.q. Bj = t ∈ IR : Lj (t) = χAj (t) est de mesure plus petite que δ. Alors, pour j  1, k ∈ IN :

162

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗



    Lj − χA  (t) dmε1,u (t)
j k



Bj

   ε    m1,uk (t) dt
ηα.

(6.28)

Par ailleurs, du fait que |Aj | > 5α > 0 et par d´efinition de Aj , on a :       (6.29) χAj mε1,uj (t) − mε1,u (t) dt > η |Aj | > 5αη. Par ailleurs, a` l’aide de la formule de Federer (ou une simple extension du corollaire 6.2.1 de la proposition 6.2.2), on a :     χAj mε1,uj (t)dt = − χAj (uj )Φε (∇uj )dx. (6.30) Ω

On combine les relations (6.28) a` (6.30) pour obtenir :    Lj (u)Φε (∇u) − Lj (uj )Φε (∇uj ) dx > 3ηα. Ij =

(6.31)

En effet, par la formule de Federer, on a :     Lj (u)Φε (∇u)dx = − Lj (t) mε1,u (t)dt. De mˆeme pour uj . D’o` u     ε      Ij = Lj − χAj m1,uj (t) − Lj − χAj mε1,u (t)dt  +

 χAj

mε1,uj



   (t)− mε1,u (t) dt > −ηα−ηα+5ηα = 3ηα. 

Posons pour j fix´e, t ∈ IR, Mj (t) =

0

t

Lj (s)ds, ρj = Mj ◦ uj , ϕj = Mj ◦ u,

alors ∇ρj = Lj (uj )∇uj et ∇ϕj = Lj (u)∇u. Si on d´efinit alors le champ de ∇uj vecteurs Uj = ecrire : 2 , alors chaque Ij peut s’´ 2 ε + |∇uj |          U · ∇ϕj − Uj · ∇ρj dx = U · ∇ϕj − ∇ρj dx + U − Uj · ∇ρj dx. Ij = Puisque ∇uj → ∇u dans L1 (Ω)N , il existe alors une sous-suite qui converge simplement et une fonction G ∈ L1 (Ω) t.q. |∇uj (x)|
G(x). Comme 0
Mj = Lj
 1 : |∇ϕj |
G, |∇ρj |
G. Comme Uj → U 1 p.p., et que |Uj |
d’o` u (U − Uj ) · ∇ρj −−−−→ 0 (par le th´eor`eme de j→+∞ ε la convergence domin´ee). Ainsi puisque Ij > 3ηα, pour j assez grand on

6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres

 a

163

U · (∇ϕj − ∇ρj ) dx > 2ηα. Puisque U ∈ L∞ (Ω)N , alors il existe une

fonction W ∈ Cc∞ (Ω)N t.q. |U |∞
|W |∞  2 |U − W | G dx < ηα.  Ceci implique alors (U − W ) · (∇ϕj − ∇ρj ) dx < ηα, avec l’in´egalit´e  U · (∇ϕj − ∇ρj ) dx > 2ηα, on d´eduit que  −

 (ϕj − ρj ) div W dx =

(∇ϕj − ∇ρj ) · W dx > ηα.

(6.32)

Puisque |Mj (a) − Mj (b)|
|Lj |∞ |b − a|
|b − a| et que uj → u p.p., on d´eduit |ρj − ϕj | → 0 p.p. et par le th´eor`eme de la convergence domin´ee, on obtient une contradiction avec (6.32). D’o` u le th´eor`eme. 

A partir du r´esultat pr´ec´edent, on a alors : Th´ eor` eme 6.2.2 (convergence de m1,uj ). Soit {u, u1 , u2 , . . .}, une suite de W 1,1 (Ω) t.q. uj → u dans W 1,1 (Ω). Alors il existe une sous-suite j(1), j(2), . . . t.q. p.p. t ∈ IR, lim sup m1,uj(k) (t)
m1,u (t) k

ou de fa¸con ´equivalente que       lim inf m1,uj(k) (t)  m1,u (t) . k

Preuve. Dans le but d’utiliser le proc´ed´e diagonal de Cantor, on choisira 1 1 1 dans le cadre du th´eor`eme pr´ec´edent ε = , , , . . . . On notera toujours 2 3 4 Φε , mε1,uj , mε1,u . Pour chaque ε et chaque bor´elien A (de mesure finie ou non),     on a une sous-suite j(k) : mε1,uj(k) (t) → mε1,u (t) p.p. sur A. Par le proc´ed´e diagonal de Cantor, il existe une sous-suite j(l) :    mε1,uj(l) (t) −−−−→ mε1,u (t) ,



l→+∞

1 1 1 pour presque tout t dans A, chaque ε = , , , . . . . 2 3 4 On note B l’ensemble des points t v´erifiant cette convergence pour tout 1 1 1 ε = , , , . . ., B ⊂ A. On sait par ailleurs que : 2 3 4

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

164

1. m1,u , m1,uj sont absolument continues sur IR (voir proposition 6.2.2). 2. Si mjε (t) = mε1,uj(l) (t), mε (t) = mε1,u (t) alors lim mjε (t) = mε (t), ∀ t ∈ B, ∀ ε. j

Puisque Φε est born´e, on d´eduit : lim mjε (t) = mε (t) j

De plus, puisque ε →

∀ t ∈ B.

2

|ξ|

2

ε2 + |ξ|

est d´ecroissante, on a d`es que ε < δ :

m1,uj (t)
mjε (t)
mjδ (t) et

m1,u (t)
mε (t)
mδ (t). Montrons maintenant que lim mjε (t) = m1,uj (t) (respectivement, ε→0

m1,u (t) = lim mε (t)). On a, pour tout t ε→0



+∞

− t

m1,uj (s)ds = m1,uj (t) = lim mjε (t) = − lim ε→0

ε→0



+∞

mjε (s)ds.

t

Du fait de la monotonie pr´ec´edente, cette derni`ere limite v´erifie donc :  +∞  +∞  − lim mjε (s)ds = − m1,uj (s)ds, comme m1,uj (s)
lim mjε (s) t

ε→+∞

ε→0

t

on a

m1,uj (s) = lim mjε (s) p.p. en s. ε→0   on d´eduit qu’il existe B0 ⊂ Du fait de la d´enombrabilit´e de m1,uj , m1,u j
1

B ⊂ A : |B0 | = |A| et ∀ t ∈ B0 , ∀ j

  m1,uj (t) = lim mjε (t), m1,u (t) = lim mε1,u (t). ε→0

ε→0

Ainsi, on a : ∀ t ∈ B0 m1,u (t) = lim mε (t) = lim lim mjε (t) , ε→0

mais,

ε→0 j→+∞

mjε (t)  m1,uj (t) : lim mjε  lim sup m1,uj (t). j→+∞

D’o` u

j→+∞

m1,u (t)  lim sup m1,uj (t). j→+∞

D’o` u le r´esultat.



6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres

165

Remarque. Dans la preuve pr´ec´edente, on a en fait utilis´e trois propri´et´es importantes : Propri´ et´ e 6.2.1. 1.

lim mjε (t) = mε (t).

j→+∞

2. si ε < δ : m1,uj (t)
mjε (t)
mjδ (t) ∀ j, et presque tout t ce qui implique m1,u (t)
mε (t)
mδ (t). 3. A l’aide de 2) et du fait que lim mε1,u (t) = m1,u (t) on a : m1,u (t) = lim mε (t).

ε→0

ε→0

A partir de 3) et 1) : m1,u (t) = lim lim mjε (t) ε→0 j→+∞

et ` a partir de 2) lim mjε (t)  lim sup m1,uj (t). D’o` u j→+∞

j

m1,u (t)  lim sup m1,uj (t). j

Mais il nous faut caract´eriser les fonctions u t.q. mu (t)  lim sup muj (t), j

ceci n’est vrai que pour des u co-aire r´eguli`eres. 6.2.2 D´ efinition d’une fonction co-aire et continuit´ e D´ efinition 6.2.1. [d’une fonction de co-aire r´eguli`ere]. 1,1 (Ω). On dira que u est dite co-aire r´eguli`ere Soit u ∈ Wloc = si de la fonction mo,u (t)  la mesure d´eriv´ee distribution     x ∈ Ω : u(x) > t, ∇u(x) = 0  est totalement singuli`ere (i.e. la partie absolument continue de dmo,u est nulle) : dmo,u (t) = −dν, ν  0.

Th´ eor` eme 6.2.3. Soit u ∈ W 1,1 (Ω) co-aire r´eguli`ere et soit uj une suite 1,1 de W (Ω) t.q. uj → u dans W 1,1 (Ω). Alors,     lim inf muj (t)  |mu (t)| p.p.. j

Preuve. Puisque mu (t) = |u > t| = m1,u (t) + mo,u (t) alors pour u co-aire u, en utilisant le r´esultat r´eguli`ere, on a dmu (t) = m1,u (t)dt − (dµ + dν). D’o` pr´ec´edent :       |mu (t)| = m1,u (t)
lim inf m1,uj (t) j

mais,

        lim inf m1,uj (t)
lim inf muj (t) j

d’o` u le r´esultat.

j



166

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

Proposition 6.2.4. Si u est co-aire r´eguli`ere alors ∀ I = (α, β) ∈ IR2 la I-fonction uI est co-aire r´eguli`ere aussi. Preuve. En effet, posons :     mIo,u (t) =  x ∈ Ω : uI (x) > t, ∇uI (x) = 0  . Sachant que 0
uI
β − α, si t
0     mIo,u (t) =  x ∈ Ω : ∇uI (x) = 0  = constante, si t  β − α

mIo,u (t) = 0,

si 0 < t < β − α, alors         mIo,u (t) = u > β +  x ∈ Ω : α
u(x)
β, u(x) > t + α, ∇u(x) = 0  . Comme m0,u (t) = 0 p.p. t ∈ IR, on d´eduit que la partie absolument continue de mI0,u v´erifie  I  mo,u (t) = 0. (Noter que 0
mI0,u (t) − mI0,u (t + h)
m0,u (t + α) − m0,u (t + α + h), pour h > 0, 0 < t < β − α) 

Le th´eor`eme principal de convergence est Th´ eor` eme 6.2.4 (continuit´e au point co-aire r´egulier). Soit {u, uj } une → u dans suite d’´el´ements de W 1,p (Ω), 1
p < +∞. On suppose que uj − W 1,p (Ω). Si u est co-aire r´eguli`ere alors :     k uj − u∗  −−−−→ 0 ∗ p

j

j→+∞

⎧ 1 1 N ⎪ N α σ 1− N si u, uj  0 ` a trace nulle, ⎪ N ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ 1− ⎪ ⎪ min (σ, |Ω|−σ) N si Ω est born´e, connexe, lipchitzien ⎪ ⎨Q o` u k(σ) = ou si u, uj sont non sign´ees dans ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ W01,p (Ω), avec dans ce cas ⎪ ⎪  −1 ⎪ 1 ⎪ ⎩ . Q = NαN N

Preuve. Soient I = (α, β), Ij = (αj , βj ) t.q. Ij → I, I (resp Ij ) dans Iu (resp. I Iuj ). Alors, on sait que ujj → uI dans W 1,p (Ω). En adoptant les mˆemes notations que pr´ec´edemment, on a :

6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres

⎧ ⎪ ⎪ ⎨0   I  fj (t) = ujj > t ⎪ ⎪ ⎩|Ω|

167

si t  βj − αj , si 0
t
βj − αj ,

(idem pour f (t)),

si t
0,

⎧ ⎪ ⎨βj − αj gj (s) = uIj∗j (s) ⎪ ⎩ 0

si s
0, si 0
s
|Ω| , si s > |Ω| ,

(idem pour g(s)).

Alors, puisque uI est co-aire r´eguli`ere, on d´eduit du th´eor`eme 6.2.3 que :   |f  (t)|
lim inf fj (t) . j

De plus |fj − f |L1

− → 0, alors d’apr`es le th´eor`eme 6.1.5

loc (IR)

 8 lim j

j






1 + fj 2 dt +

[0,βj −αj ]

dµj [0,βj −αj ]

=

 >

 1 + f
2 dt +

[0,β−α]

dµ [0,β−α]

si dfj = fj dt − dµj , df = f  (t)dt − dµ. D’o` u en utilisant la proposition 6.2.1, on d´eduit que :  >  8 lim 1 + gj (s)2 ds = 1 + g  (s)2 ds. j

Ω∗

Ω∗

Comme |gj − g|L1 (Ω∗ ) −−−−→ 0 , j→+∞    on d´eduit du th´eor`eme 6.1.1 lim gj − g  L1 (Ω ) = 0. On conclut avec les j

∗

th´eor`emes 6.1.3 et 6.1.4 que     k uj − u∗  −−−−→ 0. ∗ p j→+∞



La question naturelle est de savoir quelles sont les fonctions qui sont coaires r´eguli`eres. Le th´eor`eme suivant donne une r´eponse : Th´ eor` eme 6.2.5 (fonctions co-aires r´eguli`eres). N,p 1. Si u ∈ Wloc (Ω), p >  1 alors u est co-aire r´eguli`ere. 1,1 2. Si x : ∇u(x) = 0 est de mesure nulle, u ∈ Wloc (Ω) alors u est co-aire r´eguli`ere. 1,1 (IR) alors u est co-aire r´eguli`ere. 3. Si u ∈ Wloc

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

168

Preuve. L’assertion (2) d´ecoule de la d´efinition. Pour montrer l’assertion (1), commen¸cons par le cas o` u u ∈ CN (Ω). Par le th´eor`eme de Morse-Sard-Federer on a pour B = x : ∇u(x) = 0 , |u(B)| = 0. Alors pour tout U ⊂ IR, on a : mo,u (U ) = − 



 χ{u∈U } · χ{∇u=0} dx = −

χ{u∈U } · χ{u∈u(B)} · χ{∇u=0} dx

        o` u on note u ∈ U = x : u(x) ∈ U , u ∈ u(B) = x : u(x) ∈ u(B) .

Puisque |u(B)| = 0 donc le support de dmo,u est de mesure nulle donc elle est singuli`ere. N,p (Ω), alors d’apr`es un th´eor`eme de type Lusin, on peut modifier Si u ∈ Wloc u en une fonction de classe C N sauf sur un ensemble de mesure arbitrairement petite. On d´eduit que n´ecessairement le support de dmo,u est nulle donc elle ne peut ˆetre que singuli`ere. 1,p (Ω), p > 1, on la d´eduit de l’assertion (2.). Pour le cas (3.), si u ∈ Wloc Le cas o` u p = 1 se fait de fa¸con directe. 

Pour clˆ ore ce chapitre, nous aurons besoin du th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 6.2.6. Soit {uj , u} une suite de W 1,p (Ω), avec 1
p < +∞. On suppose que uj tend vers u dans W 1,p (Ω) et presque partout dans Ω et que u est co-aire r´eguli`ere. Alors,        kuj∗ |uj > uj (·)| → ku∗ |u > u(·)| dans Lp (Ω)-fort. Ici

 1 σ 1− N k(σ) = 1 min(σ, |Ω| − σ)1− N

1,p si u, uj ∈ W0+ (Ω) sinon.

L’ouvert Ω ´etant comme au th´eor`eme 6.2.4.       Preuve. Posons Kj = kuj∗ |uj > uj (·)| , K = ku∗ |u > u(·)| . Par ´equimesurabilit´e et du fait du th´eor`eme 6.1.4, on sait que kuj∗ → ku∗ dans Lp (Ω∗ )-fort, on d´eduit que :   lim |Kj |Lp (Ω) = lim kuj∗ Lp (Ω ) = |ku∗ |p = |K|p . j

j

∗

Il nous suffit alors de montrer que Kj  K dans Lp (Ω)-faible si 1 < p < +∞.
Soit ϕ ∈ Lp (Ω) et posons θ = χΩ∗ \P (u∗ ) . Alors par la formule des op´erateurs moyennes, on a :           ϕKj dx = ϕ∗uj · kuj∗ dt = θϕ∗uj kuj∗ dt + (1 − θ)ϕ∗uj kuj∗ dt. Ω

Ω∗

Ω∗

Ω∗

6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres

169

Par l’in´egalit´e de H¨older, on a :        (1 − θ)ϕ∗u kuj∗  dt
|ϕ|
(1 − θ) kuj∗  − →0 j p p j

Ω∗

(car |(1 − θ) (ku∗ )|p = 0).
Par ailleurs, le th´eor`eme 2.6.1 implique θϕ∗uj  θϕ∗u dans Lp (Ω∗ )-faible. Par suite,     lim ϕKj dx = θϕ∗u (ku∗ ) dt = ϕ∗u (ku∗ ) dt = ϕK dx. j

Ω

Ω∗

Ω∗

Ω

Les faits que Kj  K dans Lp (Ω)-faible et lim |Kj |p = |K|p impliquent Kj → K dans Lp (Ω)-fort si 1 < p < +∞. Pour le cas p = 1, il nous faut des r´esultats suppl´ementaires. Tout d’abord, consid´erons la troncature au niveau α > 0 i.e. Tα (t) = min (|t| , α) sign (t). Posons alors, Kj,α (x) = Tα (kuj∗ ) (|uj > uj (x)|) , K,α (x) = Tα (ku∗ ) (|u > u(x)|) . Alors |Kj,α |∞
α, |K,α |∞
α. En raisonnant de la mˆeme fa¸con que pr´ec´edemment on a : Proposition 6.2.5. Pour tout r ∈]1, +∞[, on a : (a) Kj,α  K,α dans Lr -faible, (b) lim |Kj,α |Lr (Ω) = |K,α |Lr (Ω) , j

(c) lim |Kj,α − K,α |L1 (Ω) = 0. j

Par ailleurs, on a : |Kj − K|L1 (Ω)
|Kj − Kj,α |L1 (Ω) + |Kj,α − K,α |L1 (Ω) + |K,α − K|L1 (Ω) . Par ´equimesurabilit´e on a :   |Kj − Kj,α |L1 (Ω) = Tα (kuj∗ ) − kuj∗ L1 (Ω et

∗)

− → |K,α − K|L1 (Ω) j

|K,α − K|L1 (Ω) = |Tα (ku∗ ) − ku∗ |L1 (Ω∗ ) −−−−−→ 0. α→+∞

A partir de l’´enonc´e de la proposition 6.2.5, on a alors lim sup |Kj − K|L1 (Ω)
2 |K,α − K|L1 (Ω) −−−−−→ 0. j

α→+∞



Voici des exemples de convergence dans L1 (Ω∗ ) pour la d´eriv´ee du r´earrangement monotone.

6 Continuit´e de l’application d´eriv´ee du r´earrangement monotone : u → u∗

170

Th´ eor` eme 6.2.7. Soit Ω un ouvert born´e connexe  lipschitzien de IRN et soit W 1 (Ω, |·|N,1 ) = v ∈ L1 (Ω) : |∇v| ∈ LN,1 (Ω) . Alors, si {uj u} est une suite de W 1 (Ω, |·|N,1 ) t.q. uj → u dans W 1 (Ω, |·|N,1 ), u co-aire r´eguli`ere, alors, (i) uj∗ → u∗ dans L1 (Ω∗ )-fort, (ii) uj∗ (|uj > uj (·)|) → u∗ (|u > u(·)|) dans L1 (Ω)-fort. Preuve. Notons d’abord que (uj∗ )j reste dans un born´e de L1 (E∗ ) ∀ E ⊂ Ω∗ , E∗ = (0, |E|). En effet, d’apr`es la propri´et´e PSR 1

−uj∗ (t)
Q max(t, |Ω| − t) N −1 |∇uj |∗uj (t). Ainsi, en appliquant l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood, on obtient      1 uj∗  dt
Q max(t, |Ω| − t) N −1 |∇uj |∗uj (t)dt E

E

1


Q21− N

 E∗

  1 t N −1 |∇uj |∗uj (t)dt. ∗

  Mais, |∇uj |∗uj
|∇uj |∗∗ , ainsi la derni`ere relation conduit alors a` ∗

 E

   uj∗  dt
Q21− N1 |∇uj | (N,1) L (E∗ )


1

(6.33)

1


Q21− N |∇(u − uj )|L(N,1) (Ω∗ ) + Q21− N |∇u|L(N,1) (E) 

dt .) t E∗ 1 Puisque k(uj∗ −u∗ ) −−−−→ 0 dans L1 (Ω∗ ) avec k(σ) = min(σ, |Ω|−σ)1− N ,

(o` u |f |L(N,1) (E∗ ) =

1

t N |f |∗∗ (t) j→+∞

alors a` l’aide de la relation (6.33), ∀ α ∈]0, |Ω| [, on a :  α  α       uj∗  dt + uj∗ − u∗  1
|u∗ | dt+ L (Ω ) ∗

+ Max (α, |Ω| − α)

1 N

−1

0

  k(uj∗ − u∗ ) + 1



|Ω|

   uj∗  dt +

|Ω|−α

  lim sup uj∗ − u∗ L1 (Ω j


 ∗)


2

0

α

(6.34)

0

1

|u∗ |∗ dt + Q21− N



|Ω|

|u∗ | dt .

|Ω|−α

 0

α

1

t N |∇u|∗∗ (t)

 dt . t (6.35)

6.2 Fonctions co-aires r´eguli`eres

171

Quand α → 0 le second membre de cette in´egalit´e tend vers z´ero, ce qui entraˆıne alors :   lim uj∗ − u∗ L1 (Ω ) = 0. j

∗

La partie (ii) d´ecoule de (i) en suivant la mˆeme preuve que le th´eor`eme 6.2.7 pr´ec´edent en rempla¸cant le poids k par 1. On a un r´esultat analogue pour les fonctions a` trace nulle sauf que l’ouvert Ω n’est plus n´ecessairement connexe et r´egulier. Th´ eor` eme 6.2.8. Soit Ω un ouvert born´e de IRN et soit W01 (Ω, |·|N,1 ) =   v ∈ W01,1 (Ω), |∇v| ∈ LN,1 (Ω) . Alors, si uj → u dans W01 (Ω, |·|N,1 ), u co-aire r´eguli`ere alors : (i) uj∗ → u∗ dans L1 (Ω∗ )-fort, (ii) uj∗ (|uj > uj (·)|) → u∗ (|u > u(·)|) dans L1 (Ω)-fort. Notes pr´ e-bibliographiques La totalit´e des r´esultats donn´es dans ce chapitre est tir´ee de l’article de Almgrem et Lieb [2] et aussi de Rakotoson [100]. N,p (Ω) se trouve dans Le th´eor`eme de Lusin utilis´e pour les fonctions de Wloc le livre de Ziemer [129].

7 Continuit´ e forte de l’application r´ earrangement relatif : u → b∗u et cons´ equences

Nous avons signal´e au chapitre 2 que l’´equation d’´equilibre d’un plasma confin´e dans une machine “Stellarator” peut s’´ecrire sous la forme : −∆u = G(x, u∗ , u∗ , b∗u ). Il en est de mˆeme dans une machine Tokomak, l’´equation d’´equilibre peut s’´ecrire sous la forme d’un point fixe : trouver u tel que u = T (u − g(u)) + ϕ0 et la fonction g d´epend de u, des ensembles de niveau de u et de ses r´earrangements (relatif et monotone). La r´esolution de ces ´equations passe par la m´ethode de Galerkin ou l’usage de degr´es topologiques, dans tous les cas, il faut ´etudier les continuit´es des applications u → G(·, u∗ , u∗ , b∗u ) ou de u → g(u). Dans ce chapitre, nous allons donner des ´el´ements de r´eponse sur la continuit´e de l’application (u, b) → b∗u . Comme l’application b → b∗u est une contraction, l’´etude revient a` celle de la continuit´e de u → b∗u , et pour des fonctions b dans un espace dense de L1 (Ω) par exemple les fonctions born´ees. Nous allons nous appuyer en grande partie sur le r´esultat du chapitre pr´ec´edent, puisque la quantit´e b∗u est ´etroitement li´ee `a la d´eriv´ee du r´earrangement de u c’est `a dire u∗ . Dans un premier temps, nous allons montrer que si u ∈ W 1,1 (Ω) et b ∈ ∞ L+ (Ω) ∩ W 1,1 (Ω) alors on a la formule :     b |∇u| ∗u (s) = −u∗ (s)PΩ,b u > u∗ (s)   div(Φ · b)dx, |Φ|∞
1, Φ ∈ Cc1 (Ω)N pour E o` u PΩ,b (E) = sup E

1,1 mesurable dans Ω, u∗ ∈ Wloc (Ω∗ ). Cette formule va nous conduire a` la conclusion suivante : Soit b ∈ L∞ (Ω), et soit un une suite convergeant fortement vers u dans W 1,1 (Ω). Si u est co-aire r´eguli`ere alors :     b |∇u| ∗un → b |∇u| ∗u dans L1 (Ω∗ )-fort .

Cette convergence nous am`enera au th´eor`eme principal de ce chapitre :

174

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

Th´ eor` eme (continuit´ e forte du r´ earrangement relatif restreint ` a W 1,1 ) Soient u, et un une suite de W 1,1 (Ω), avec Ω un ouvert born´e lipschitzien connexe si γ0 u ≡ 0, et Ω quelconque sinon. On suppose que un → u dans W 1,1 (Ω) et que u est co-aire r´eguli`ere. Alors, pour b ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞, on a :     bχ{∇u=0} ∗u −−−−−→ bχ{∇u=0} ∗u dans Lp (Ω∗ )-fort . n

n→+∞

Voici deux exemples de cons´equence de ce th´eor`eme : Corollaire Soient u, un une suite de W 1,1 (Ω), avec Ω un ouvert born´e lipschitzien si sinon.  γ0 u ≡ 0, et Ω quelconque  On suppose que mes x : ∇u(x) = 0 = 0. Si un → u dans W 1,1 (Ω) et que b ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞, alors 1. b∗un → b∗u dans Lp (Ω∗ )-fort,       2. b∗un |un > un (·)| → b∗u |u > u(·)| dans Lp (Ω)-fort si mes P (un ) =0. On montrera  que pour  toute fonction constante a, il existe une suite de C ∞ (Ω), un :  ∇un = 0  = 0, un → a et b∗un ne tend pas vers b∗a = b∗ . Cela laisse suppposer que notre condition pr´ec´edente est utile. Le deuxi`eme corollaire est : Corollaire Soit (λk , ϕk )k
1 une suite de valeurs et fonctions propres du Laplacien avec des conditions de Dirichlet et notons Vm le sous-espace engendr´e par les m  premi`eres fonctions propres : ϕ1 , . . . , ϕm . Alors pour 1
p < +∞, les applications suivantes sont continues :   1. u ∈ Vm \ 0 → b∗u ∈ Lp (Ω∗ )-fort,     2. u ∈ Vm \ 0 → b∗u |u > u(·)| ∈ Lp (Ω)-fort pourvu que b ∈ Lp (Ω).

7.1 Quelques formules auxiliaires Le long de ce chapitre, Ω sera un ouvert.

7.1 Quelques formules auxiliaires

175

D´ efinition 7.1.1. 1,1 (Ω). Pour E ⊂ Ω mesurable, on d´efinit : Soit b ∈ L∞ + (Ω) ∩ W   PΩ,b (E) = sup div (bΦ) dx, |Φ|∞
1, Φ ∈ Cc1 (Ω)N E

a b. qu’on appellera le p´erim`etre de E dans Ω relativement ` Ce p´erim`etre a les mˆemes propri´et´es que le p´erim`etre usuel obtenu avec b = 1. En particulier, Propri´ et´ e 7.1.1. 1. Si {E, En } est une suite d’ensembles mesurables de Ω et si χEn (x) → χE (x) p.p. alors lim inf PΩ,b (En )  PΩ,b (E), n

1,1 2. Si {b, bj } est une suite L∞ (Ω) t.q. bj → b dans W 1,1 (Ω), + (Ω) ∩ W alors, pour tout E mesurable de Ω

lim inf PΩ,bj (E)  PΩ,b (E) , j

3. PΩ,b (Ω) = PΩ,b (E) = 0 si |E| = 0. Preuve. Notons div (bΦ) = ∇b · Φ + b div(Φ) si Φ ∈ Cc1 (Ω)N donc div(b Φ) ∈ L1 (Ω). Par cons´equent χEn div(bΦ) → χE div(bΦ) p.p. et par le th´eor`eme de la convergence domin´ee, on a :   div(bΦ))dx = lim div(bΦ)dx
lim inf PΩ,b (En ) n

E

En

d’o` u 1. → b dans W 1,1 (Ω) alors div (bj Φ) → div (bΦ) dans L1 (Ω). Si bj − j

D’o` u ∀ E ⊂ Ω, mesurable,   div (bΦ) dx = lim div (bj Φ) dx
lim inf PΩ,bj (E) . j

E

j

E

D’o` u (2). Quant a` (3.) on la d´eduit de la d´efinition. La formule de Fleming-Rishel-Federer est alors vraie : Lemme 7.1.1 (formule de Fleming-Rishel-Federer ). 1,1 (Ω). Pour u ∈ W 1,1 (Ω), on a : Soit b ∈ L∞ + (Ω) ∩ W     |∇u| b dx = PΩ,b u > t dt . Ω

IR

176

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

Preuve. Tout d’abord, on a toujours :     |∇u| b dx
PΩ,b u > t dt . Ω

(7.1)

IR

En consid´erant Φj ∈ Cc∞ (Ω)N

⎧ ⎨ ∇u t.q. |Φj |
1, Φj (x) → |∇u| ⎩ 0

si ∇u(x) = 0, sinon

presque partout en x. Par int´egration par parties et par d´efinition de PΩ,b , on a : 



 ∇u · Φj · b dx = −

Ω

 div (Φj b) dx


IR

PΩ,b



u>t



dt .

IR

u>t

Par le th´eor`eme de la convergence domin´ee, on sait que   lim ∇u · Φj b dx = |∇u| b dx . j

Ω

Ω

Ces deux derni`eres relations conduisent `a (7.1). Quant a` l’in´egalit´e inverse, on consid`ere d’abord b ∈ C ∞ (Ω) ∩ L∞ (Ω), b > 0, u ∈ C ∞ (Ω) ∩ W 1,1 (Ω). Alors, comme dans le cas du p´erim`etre de De Giorgi, on a : Lemme 7.1.2. Si u ∈ C ∞ (Ω), alors pour presque tout t PΩ,b



u>t



 =

b dHN −1 si N  2 u−1 (t)

et PΩ,b



u>t



=



b(x) si N = 1.

x∈u−1 (t)

(Plus g´en´eralement, si E ⊂ Ω t.q. ∂E ∩Ω soit de classe C 2 alors PΩ,b (E) =  b dHN −1 .) ∂E∩Ω

D’o` u en combinant avec la formule de Federer, on d´eduit de ce lemme : Lemme 7.1.3. Sous les conditions du lemme 7.1.2, si u ∈ W 1,1 (Ω) alors     PΩ,b u > t dt = b |∇u| dx . IR

Ω

7.1 Quelques formules auxiliaires



 b |∇u| dx =

En effet, par le th´eor`eme de Federer,

b dHn−1 =

Ω

 PΩ,b



u>t



177



IR

−1

u

(t)

dt si N  2, il en est de mˆeme pour N = 1.

IR

∞ ∞ Si b ∈ W 1,1 (Ω) ∩ L∞ + (Ω), alors il existe une suite bj ∈ C (Ω) ∩ L (Ω), 1,1 bj > 0 : bj → b dans W (Ω), |bj |∞
|b|∞ + 1, bj (x) → b(x) p.p. Alors, par l’´enonc´e 2. de la propri´et´e 7.1.1, le lemme de Fatou et le th´eor`eme de la convergence domin´ee, on a:       PΩ,b u > t dt
lim inf PΩ,bj u > t dt IR


lim inf j

j

IR

PΩ,bj



u>t





 bj |∇u| dx =

dt = lim j

IR

Ω

b |∇u| . Ω

Maintenant si on consid`ere un ∈ C ∞ (Ω)∩W 1,1 (Ω) : un → u dans W 1,1 (Ω) alors le mˆeme argument conduit, a` partir de cette derni`ere in´egalit´e, `a :        PΩ,b u > t dt
lim inf PΩ,b un > t dt = b |∇u| dx (7.2) n

IR

IR

Ω

1,1 pour u ∈ W 1,1 (Ω), b ∈ L∞ (Ω). + (Ω) ∩ W Les in´egalit´es (7.1) et (7.2) donnent le lemme. Comme cons´equence de ce lemme, on a :

Th´ eor` eme 7.1.1. 1,1 1,1 (Ω∗ ) t.q. u∗ ∈ Wloc (Ω). Alors, Soit b ∈ W 1,1 (Ω) ∩ L∞ + (Ω) et soit u ∈ W pour presque tout s ∈ Ω∗ ,     b |∇u| ∗u (s) = −u∗ (s)PΩ,b u > u∗ (s) .

  Preuve. Comme u − u∗ (s) + ∈ W 1,1 (Ω) alors la formule de Fleming-RishelFederer conduit a`, ∀ s ∈ Ω∗ 

 b |∇u| dx =

u>u∗ (s)

+∞

PΩ,b



u>t



dt .

u∗ (s)

1,1 (Ω∗ ) et b |∇u|∈L1 (Ω), on En d´erivant par rapport a` s, sachant que u∗ ∈Wloc d´eduit la formule a` l’aide de la d´efinition du r´earrangement relatif. 

178

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

Th´ eor` eme 7.1.2 (continuit´e forte du r´earrangement relatif restreint `a W 1,1 ). Soit u ∈ W 1,1 (Ω) avec Ω un ouvert born´e lipschitzien connexe, si γ0 u ≡ 0 et Ω quelconque sinon. On suppose que u est co-aire r´eguli`ere. Si un est une suite qui converge vers u dans W 1,1 (Ω) (pour simplifier, on supposera que γ0 un = 0 si γ0 u = 0) et b un ´el´ement de W 1,1 (Ω) ∩ L∞ + (Ω) alors, 1. il existe une sous-suite not´ee n(j) t.q.      lim inf b ∇un(j)  ∗u (s)  b |∇u| (s) p.p. en s ∈ Ω∗ . ∗u

n(j)

j

    2. Toute la suite b |∇un | converge vers b |∇u| dans L1 (Ω∗ )-fort. ∗un ∗u     converge vers b |∇u| dans L1 (Ω∗ ). 3. La suite b |∇u| ∗un

∗u

Preuve. Puisque u est co-aire r´eguli`ere et que un → u dans W 1,1 (Ω) alors il existe une  sous-suite un(j) j
0 : (a) un(j) (x) → u(x) p.p. dans Ω, (b) un(j)∗ (s) → u∗ (s) p.p. en s, un(j)∗ (s) → u∗ (s) p.p. en s. Soit s ∈ Ω∗ v´erifiant (b). Si s ∈ P (u∗ ) alors u∗ (s) = 0. Ainsi a` l’aide de la formule du th´eor`eme 7.1.1, on conclut que, p.p. sur P (u∗ )      0 = b |∇u| (s)
lim inf b ∇un(j)  (s). ∗u

j

∗un(j)

Si s ∈ Ω∗ \P (u∗ ), s v´erifiant (b) alors, si on note vj (x) = un(j) (x) − un(j)∗ (s), v(x) = u(x) − u∗ (s), on a : lim χ{vj >0} (x) = χ{v>0} (x) p.p. dans Ω j

ce qui entraˆıne que lim inf PΩ,b (vj > 0)  PΩ,b (v > 0). Sachant que j

un(j)∗ (s) → u∗ (s), on conclut :    lim inf − un(j)∗ (s)PΩ,b un(j) > un(j)∗ (s)  −u∗ (s)PΩ,b (u > u∗ (s)) . j

On conclut a` l’aide du th´eor`eme 7.1.1 pour obtenir (1). 

     Posons hj (σ) = b ∇un(j)  (σ), h(σ) = b |∇u| (σ) pour σ ∈ Ω∗ , ∗un(j)

montrons alors: Lemme 7.1.4. lim |hj − h|1 = 0 . j

∗u

7.1 Quelques formules auxiliaires

179

Pour montrer ce lemme on va s’appuyer sur une variante de la proposition 6.1.1 Proposition 7.1.1.   ` valeurs dans 0, +∞ Soit {h, hj } une suite de fonctions int´egrables a v´erifiant   (i) lim hj (x)dx = h(x)dx, j

Ω

Ω

(ii) lim inf hj (x)  h(x) p.p. en x ∈ Ω. j

Alors lim |hj − h|1 = 0 . j

Preuve. La preuve de la proposition 6.1.1 indique  (hj − h)− (x)dx = 0 . lim j

Ω

On d´eduit alors,  lim sup j

Ω

 (hj − h)+ dx
lim j

(hj − h) dx = 0 . Ω

 D’o` u lim j

Ω

(hj − h)+ dx = 0 ce qui entraˆıne :

 |hj − h| (x)dx = lim

lim j

 j

Ω

Ω

 (hj − h)+ dx + lim j

Ω

(hj − h)− dx = 0 . 

On applique alors ce lemme a` la suite {hj , h} en rempla¸cant Ω par Ω∗ . La condition (ii) de cette proposition 7.1.1 est satisfaite grˆ ace `a la premi`ere assertion (1) du th´eor`eme 7.1.2. Pour v´erifier (i), on ´ecrit            hj (σ)dσ = b ∇uu(j) − |∇u| dx + b |∇u| dx − → b |∇u| = h Ω∗

Ω

Ω

j

Ω

Ω∗

on d´eduit alors hj → h dans L1 (Ω∗ ). L’assertion (2) du th´eor`eme 7.1.2 en d´ecoule, puisque s’il existe une soussuite qui ne converge pas dans L1 (Ω∗ ) vers cette limite h alors, on peut en extraire une autre sous-suite qui v´erifie l’assertion (1) et de ce fait l’usage de la proposition 7.1.1 a` cette nouvelle conduirait a` une contraction  sous-suite  (σ), σ ∈ Ω∗ . car elle convergerait vers h(σ) = b |∇u| ∗u

180

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

Quant a` la derni`ere assertion, de contraction qui s’´ecrit :       b |∇un | − b |∇u| 

elle d´ecoule de 2. en utilisant la propri´et´e

  
|b| |∇ (un − u)| −−−−−→ 0 . ∞ 1 n→+∞ ∗un 

∗un

1



On a le corollaire suivant : Corollaire 7.1.1. Sous les mˆemes conditions que le th´eor`eme 7.1.2, si b est seulement dans L∞ (Ω) alors on a encore     → b |∇u| dans L1 (Ω∗ )-fort . b |∇u| ∗un

∗u

Preuve. Commen¸cons par le cas o` u b  0, b ∈ L∞ (Ω). Alors il existe une ∞ suite bj ∈ Cc (Ω) t.q. bj (x) → b(x) p.p. bj  0 et |bj |∞
|b|∞ . Ainsi, (bj − b) |∇u| −−−−→ 0 dans L1 (Ω)-fort. j→+∞

Alors, par la propri´et´e de contraction, on a :                  b |∇u| ∗u− b |∇u| ∗u 
2 (bj − b) |∇u|  +  bj |∇u| ∗u− bj |∇u| ∗u  . n

D’o` u

1

n

1

1

          lim sup  b |∇u| ∗u − b |∇u| ∗u 
2 (bj − b) |∇u|  −−−−→ 0. n

n

1

1 j→+∞

Si b ∈ L∞ (Ω) alors on ´ecrit que b = b+ − b−         b |∇u| ∗un = b+ |∇u| ∗un − b− |∇u| ∗un −−−−−→ b |∇u| ∗u n→+∞

dans L1 (Ω∗ )-fort .



Th´ eor` eme 7.1.3. Soit u ∈ W 1,1 (Ω) avec Ω un ouvert born´e connexe lipschitzien si γ0 u ≡ 0 et Ω quelconque sinon. On suppose que u est co-aire r´eguli`ere alors, pour toute suite un qui converge vers u dans W 1,1 (Ω), (on suppose que γ0 un = 0 si γ0 u = 0) pour tout b ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞, et ε > 0 on a :     b |∇u| b |∇u| −−−−−→ dans Lp (Ω∗ )-fort. (i) ε + |∇u| ∗un n→+∞ ε + |∇u| ∗u     (ii) bχ{∇u=0} ∗u → bχ{∇u=0} ∗u dans Lp (Ω∗ )-fort. n

7.1 Quelques formules auxiliaires

181

Preuve. Commen¸cons par le cas o` u b ∈ L∞ (Ω). Si p = 1 alors la partie (i) b . Si 1 < p < +∞, d´ecoule du corollaire 7.1.1 avec b remplac´ee par ε + |∇u| b |∇u| posons B ε = ∈ L∞ (Ω), on a alors : ε + |∇u|  1  ε 1− 1  ε ε  ε p B∗u − B∗u
|2b|∞ p B∗u − B∗u −−−−−→ 0 n n p 1 n→+∞

 ε  ε ε  (et |B∗u (B∗u |) est plus petit que |B|∞
|b|∞ ). n Si b ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞ alors on approche b dans Lp (Ω) par une suite |∇u| bj ∈ L∞ (Ω), puisque
1, alors on a : ε + |∇u|  ε  ε   ε  ε  B∗u − B∗u
2 |b − bj |p + Bj∗u − Bj∗u n n p p o` u Bjε =

bj |∇u| , on d´eduit de cette in´egalit´e et du premier cas, que : ε + |∇u|  ε  ε  lim sup B∗u − B∗u
2 |b − bj |p −−−−→ 0 . n p j→+∞

n

Quant a` (ii), on constate que B ε → bχ{∇u=0} dans Lp (Ω)-fort quand ε → 0. Puisque    ε        ε  − B∗u ,  bχ{∇u=0} ∗u − bχ{∇u=0} ∗u 
2 B ε − bχ{∇u=0} p + B∗u n p n

p

on conclut que       lim sup  bχ{∇u=0} ∗u − bχ{∇u=0} ∗u 
o(1)ε→0 , n

n

p



le r´esultat s’en suit.

Corollaire 7.1.2.  Sous les mˆemes conditions que le th´eor`eme 7.1.3, on suppose que mes x ∈  Ω : ∇u(x) = 0 = 0. Alors, pour b ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞, (i) b∗un → b∗u dans Lp (Ω∗ ),  (ii) b∗un |un > un (·)| −−−−−→ n→+∞   mes P (un ) = 0.

  b∗u u > u(·) dans Lp (Ω)-fort, si

Preuve. La partie (i) d´ecoule du th´eor`eme 7.1.3 partie (ii) puisque bχ{∇u=0} = b. Quant a` (ii), commen¸cons par le cas 1 < p < +∞, on a

182

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

   b∗un |un > un (·)| = Mun (b∗un )  b∗u u > u(·) dans Lp (Ω)-faible. 




En effet si ϕ ∈ Lp (Ω), alors d’apr`es les propri´et´es des op´erateurs moyennes :   Mun (b∗un )ϕ dx = b∗un · ϕ∗un . Ω

Ω∗ p


D’apr`es (i) ϕ∗un → ϕ∗u dans L (Ω∗ ) et b∗un → b∗u dans Lp (Ω∗ ), par suite on a :      Mun (b∗un ) ϕ dx = b∗u · ϕ∗u = ϕ(x)b∗u u > u(x) dx. lim n

Ω

Ω∗

Ω∗

p

p

Par ailleurs, |Mun (b∗un )|
Mun (|b∗un | ) d’o` u |Mun (b∗un )|p
|b∗un |p =⇒ lim sup |Mun (b∗un )|p
|b∗u |p . n

Mais |b∗u |Lp (Ω∗ ) = |b∗u (|u > u(·)|)|Lp (Ω) (par ´equimesurabilit´e), puisque Lp (Ω) est uniform´ement convexe, on d´eduit que Mun (b∗un ) → b∗u (|u > u(·)|) dans Lp (Ω)-fort. Si p = 1, on consid`ere bj ∈ L∞ (Ω) t.q. bj → b dans L1 (Ω), comme l’application “op´erateur moyenne” est lin´eaire continue de norme 1, et que l’application b → b∗u est contractante, on a alors : |Mun (b∗un ) − Mu (b∗u )|1
2 |b − bj | + |Mun (bj∗un ) − Mu (bj∗u )|1 (Mu (b∗u ) (x) = b∗u (|u > u(·)|)). Puisque, on a lim |Mun (bj∗un ) − Mu (bj∗u )|1 = 0, n

on conclut lim sup |Mun (b∗un ) − Mu (b∗u )|1 = 0. n



D’o` u le r´esultat. D’autres variantes des th´eor`emes peuvent ˆetre donn´ees, on a :

Th´ eor` eme 7.1.4. Soit Φ : IRN → IR avec Φ(0) = 0 et soit {un , u} une suite de W 1,1 (Ω) t.q. Φ(∇un ) −−−−−→ Φ(∇u) dans Lp (Ω), un → u dans n→+∞




W 1,1 (Ω), l’ouvert born´e Ω ´etant comme au th´eor`eme 7.1.3. Si b ∈ Lp (Ω), 1 1 + = 1 et que u est co-aire r´eguli`ere alors, p p     bΦ (∇un ) → bΦ(∇u) dans L1 (Ω∗ )-fort. ∗un

∗u

7.1 Quelques formules auxiliaires

183

Voici un corollaire du th´eor`eme 7.1.4 pr´ec´edent : Corollaire 7.1.3. Soient 1 < p < +∞, b ∈ Lp (Ω), Φ : IRN → IR con1 1 p tinue avec |Φ(ξ)|
cp |ξ| , 1 = +  , ∀ ξ ∈ IRN . p p
Soit {u, un } une suite de W 1,1 (Ω) t.q. un → u dans W 1,p (Ω) (alors bΦ(∇un ) → bΦ(∇u) dans L1 (Ω)-fort). On suppose que u est co-airer´eguli`ere. Alors,         bΦ(∇un ) ∗u |un > un (·)| tend vers bΦ(∇u) ∗u |u > u(·)| n

dans L1 -fort. Preuve du corollaire. Puisque Φ(0) = 0 alors bΦ(∇un ) = 0 sur P (un ). Par suite,   si σ ∈ P (un∗ ) on a bΦ(∇un ) ∗un (σ) = 0 (en particulier, ceci est vrai pour σ = |un > un (x)| , x ∈ P (un )). Par cons´equent, on a pour tout ϕ mesurable        Mun ,ϕ bΦ(∇un ) ∗u = bΦ(∇un ) ∗u |un > un (·)| . (7.3) n

n

    Posons, par commodit´e d’´ecriture, Knb (x) = bΦ(∇un ) ∗un |un > un (x)| et     K b (x) = bΦ(∇u) ∗u |u > u(x)| . Montrons que Knb → K b dans L1 (Ω)-fort. Commen¸cons par le cas o` u p
) → bΦ(∇u) dans L (Ω) et par le b ∈ L∞ (Ω). Alors, dans ce cas bΦ(∇u n   
th´eor`eme 7.1.4 on d´eduit bΦ(∇un ) ∗un → bΦ(∇u) ∗u dans Lp (Ω∗ )- fort. D’apr`es la relation pr´ec´edente, on a par ´equimesurabilit´e :  b    Kn  p
=  bΦ(∇un ) ∗u Lp
(Ω ) . (7.4) L (Ω) ∗

D’o` u,

     lim Knb Lp
(Ω) =  bΦ(∇u) ∗u Lp
(Ω n

∗)

  = K b Lp
(Ω ) . ∗

∞

Si ϕ ∈ L (Ω) d’apr`es (7.3), on d´eduit     ϕKnb dx = ϕ∗un · bΦ(∇un) ∗u dσ. Ω

n

Ω∗

(7.5)

Si θ = χΩ∗ \P (u∗ ) alors θϕ∗un  θϕ∗u dans L∞ (Ω∗ )-faible-´etoile (voir th´eor`eme 2.6.1). Par suite,       θϕ∗un bΦ(∇un ) ∗un dσ − → θϕ∗u bΦ(∇u) ∗u dσ = n

Ω∗

 = Ω∗

Ω∗

  ϕ∗u bΦ(∇u) ∗u dσ

184

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

et    

Ω∗

        bΦ(∇un ) ∗u → 0. (1 − θ)ϕ∗un bΦ(∇un ) ∗u dσ 
|ϕ|∞ n n P (u∗ )

Ces deux derni`eres relations avec la relation (7.5) impliquent      lim ϕKnb dx = ϕ∗u bΦ(∇u) ∗u dσ = ϕK b . n

Ω

Ω∗

(7.6)

Ω

Par densit´e, on conclut que    
Knb  K b dans Lp -faible et lim Knb Lp
(Ω) = K b Lp
(Ω) , on d´eduit que Knb → n




K b dans Lp (Ω)-fort. Si b ∈ Lp (Ω) alors pour bj ∈ L∞ (Ω) t.q. bj → b dans Lp (Ω), la relation (7.3) conduit a`  b  Knj − Knb 
|bj − b| |Φ(∇un )|

c |bj − b| − p p p →0 1 j

et de mˆeme,

 b  K j − K b 
c |bj − b| − p → 0. 1 j

Ainsi,

    lim sup Knb − K b 1
c |bj − b|p + lim sup Knbj − Knbj 1 n

n

ce qui implique

  lim Knb − K b 1 = 0. n



  La condition que ∇u = 0 est de mesure nulle semble ˆetre irr´eductible comme le montre le contre exemple suivant donn´e en dimension 1. Soit Ω =] − 2, 2[, b une fonction int´egrable et impaire. Soit {u, un } une suite de fonctions lipschitziennes et paires d´efinies sur [−2, 0] par : u(x) =

 2

si − 1
x
0,

2(x + 2) si − 2
x
−1,

⎧ ⎨2 + 1 (1 − x2 ) si − 1
x
0, n un (x) = ⎩2(x + 2) si − 2
x
−1.

7.2 Approximation sp´eciale de b∗u pour u ∈ L1 (Ω)

Proposition 7.1.2. Pour presque tout s ∈ [0, 4], on a  0  b∗u (s) =  b|{u=2} ∗ (s)

185

si 2
s
4, si 0
s < 2,

b∗un (s) = 0. De plus, on a : un → u dans W 1,1 (−2, 2) f ort, et |u = 0| = 2, |un = 0| = 0 . La preuve d´ecoule de la d´efinition du r´earrangement relatif. Il suffit de choisir b t.q. b|{u=2} = b|[−1,1] = 0 pour d´eduire que b∗un ne tend pas vers b∗u mˆeme faiblement.

7.2 Approximation sp´ eciale de b∗u pour u ∈ L1 (Ω) Le paragraphe pr´ec´edent nous fournit des approximations de b∗u lorsque  mes x : ∇u(x) = 0 = 0, nous allons maintenant donner des approximations sp´eciales pour n’importe quelle fonction u de L1 (Ω) en utilisant des fonctions ´etag´ees un qui convergent vers u dans L1 (Ω). On a : Th´ eor` eme 7.2.1. Soient b ∈ Lp (Ω), p ∈ [1, +∞] et soit u ∈ L1 (Ω). Alors, il existe une suite un , de fonctions ´etag´ees, convergeant vers u p.p. et dans L1 (Ω) t.q. : (i) b∗un  b∗u dans Lp (Ω)-faible si 1
p < +∞, L∞ (Ω∗ )-faible-*. (ii) (b∗un )∗ = b∗ . Le premier lemme concerne le r´earrangement relatif des fonctions en escalier. Lemme 7.2.1. Soit u : Ω → IR une fonction ´etag´ee. Alors pour tout b ∈ L1 (Ω), on a : (b∗u )∗ = b∗ . Preuve. Puisque l’application b → (b∗ , (b∗u )∗ ) est  lipschitzienne, il suffit de ∞ consid´erer b ∈ L (Ω). Soit Im(u) = a1 , . . . , am t.q. a1  . . .  am . Posons ck =

k 

|u = aj | , c0 = 0.

j=1

Alors u∗ (s) = ak si s ∈ [ck−1 , ck [, k = 1, . . . , m. D’o` u |u > u∗ (s)| = ck−1 . Par d´efinition du r´earrangement relatif :   b∗u (s) = b|{u=u∗ (s)} ∗ (s − ck−1 ), s ∈ [ck−1 , ck [ .

186

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

Ainsi, pour tout polynˆ ome P , et par ´equimesurabilit´e :  P (b∗u ) = Ω∗

m  

ck

P



b|{u=u∗ (s)}

 ∗

 (s − ck−1 ) ds

k=1 ck−1

=

m  

 P (b) dx =

k=1 {u=ak }

Ω

P (b)dx : b∗ = (b∗u )∗ . 

A partir de ce lemme, on a en partie le th´eor`eme, comme le montre le corollaire suivant : Corollaire 7.2.1. Soit u ∈ L1 (Ω) sans palier. Pour toute suite un de fonctions ´etag´ees, on a pour b ∈ L1 (Ω) : (i) (b∗un )∗ = b∗ . (ii) b∗un  b∗ dans L1 (Ω∗ )-faible si un tend vers u p.p. . Preuve. L’assertion (i) d´ecoule du lemme tandis que l’assertion (ii) d´ecoule de la proposition 2.6.1. Pour le cas g´en´eral, afin d’obtenir la convergence faible lorsque u a des paliers, on va modifier un . Preuve du th´eor`eme.

  Soit u ∈ L1 (Ω). Notons Pt (u) = u = t un palier de u,  P (u) = Pt (u), Du est au plus d´enombrable. Si Du est d´enombrable alors t∈Du   nous poserons Du = t0 , t1 , . . . , tk , . . . , ti = tj   et Dum = tk , k
m . Comme le cas o` u Du est vide a ´et´e abord´e au corollaire pr´ec´edent, on ne consid´erera d´esormais que le cas o` u Du = ∅. On va commencer par montrer le lemme suivant :

Lemme 7.2.2. Soit u ∈ L1 (Ω). Il existe une suite (un ) de fonctions ´etag´ees t.q. : (i) un (x) −−−−−→ u(x) p.p. n→+∞

(ii) Il existe une suite (mn ) avec mn  +∞ si Du est d´enombrable, Dumn = Du si Du est fini et n grand :     ∀ t ∈ Dumn : un > t = u > t , un = t = u = t .

7.2 Approximation sp´eciale de b∗u pour u ∈ L1 (Ω)

187

Preuve du lemme. Il suffit de consid´erer le cas o` u u  0, pour le cas g´en´eral on d´ecomposera en u = u+ − u− et on appliquera la mˆeme m´ethode s´epar´ement a u+ et u− . ` Soit  entier  max(1, t0 ). Consid´erons un entier mn t.q.  alors n un max tk , k
mn
n. D´esignons par tσ(0) < tσ(1) < . . . < tσ(mn ) un   r´earrangement de Dumn . Soit δn = min tσ(j+1) − tσ(j) , j = 0, . . . , mn et rempla¸cons Dumn par :  D(u, n) = tσ(i) ∈ IR − (Du ∪ Q), i = 0, . . . , mn 0 < tσ(i) − tσ(i) < min






1

, δn 2n+1

et i → tσ(i) est strictement croissante



Q d´esignant l’ensemble des rationnels. Consid´erons l’ensemble suivant :
   i n mn & D(u, n) = D(u, n) ∪ , i = 0, . . . , n2 − Du 2n & n): r´earrangeons les ´el´ements de D(u, & n) . 0
αn,0 < αn,1 < . . . < αn,q , q
mn + n2n + 1, αn,j ∈ D(u, Notons que l’in´egalit´e y est stricte par le choix de D(u, n) 1 et αn,j+1 − αn,j
n et αn,q  n. 2 On associe `a (αn,j )j les ensembles suivants :   En,j = x : αn,j−1
u(x) < αn,j , j = 1, . . . , q   Fn = x : u(x)  αn,q .     Pour j fix´e dans 0, . . . , mn , il existe un seul indice q(j) ∈ 1, . . . , q t.q.   αn,q(j)−1
tj < αn,q(j) . Notons alors Zu = q(j), j = 0, . . . , mn . Pour k = q(j) ∈ Zu on ´ecrira :

2 o` u En,q(j) suivante :

un (x) =

1 2 ∪ En,q(j) En,q(j) = En,q(j)   = tj < u(x) < αn,q(j) . D´efinissons alors la fonction ´etag´ee

q 

αn,i−1 χEn,i (x) +

i=0, i∈Z / u



αn,k−1 χE 1 (x) + n,k

k∈Zu



αn,k χE 2

n,k

k∈Zu

+ αn,q χFn (x).

188

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

P our x ∈ Ω, on a |un (x) − u(x)|


1 , pour n grand. 2n

(7.7)

De plus, pour tj ∈ Dumn , on a :         2 un > tj = un > αn,q(j) ∪ tj < un
αn,q(j) = u  αn,q(j) ∪ En,q(j)   = u > tj . Enfin d´efinissons un de la fa¸con suivante :  un |Ω\P (u) (x) si x ∈ Ω\P (u), un (x) = u(x) si x ∈ P (u).   D’apr`es (7.7) on d´eduit (i). Par construction un = t = ∅ si t ∈ Dumn , d’o` u:     un = t = u = t pour t ∈ Dumn . D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a, pour t ∈ Dumn ,       un > t = un |Ω\P (u) > t ∪ x ∈ P (u) : un (x) > t       = u|Ω\P (u) (·) > t ∪ x ∈ P (u) : u(x) > t = u > t . Dans le cas o` u u est sans signe, on d´ecompose u = u+ − u− , on applique la ee `a u+ et u− m´ethode pr´ec´edente `a u+ et `a u− si on note, u+ n la suite associ´ n + − + celle de u , alors la suite u = u − u convient. Notons, support(u ) ⊂ − n n n n     u  0 et support(u− n) ⊂ u
0 . Revenons `a la preuve du th´eor`eme et consid´erons la suite (un )n
0 construite au lemme 7.2.2, d’apr`es le lemme 7.2.1, on sait que (b∗un )∗ =b∗ . De ce fait b∗un appartient a` un born´e de Lp (Ω∗ ) d`es que b ∈ Lp (Ω). De plus, par le lemme de Hardy-Littlewood, on a pour tout E ⊂ Ω∗ mesurable 

 |b∗un |


E



|E|

|b∗un |∗ (t)dt
0

|E|

|b|∗ (t)dt , 0

(voir chapitre 1 pour cette propri´et´e du r´earrangement relatif). On d´eduit que la suite (b∗un )n est faiblement compacte dans Lp (Ω∗ ), 1
p < +∞ et dans L∞ (Ω∗ )-faible-´etoile sinon. Il suffit alors de montrer ∀ ϕ ∈ C(Ω ∗ ),   lim (ϕb∗un ) (t)dt = (ϕb∗u ) (t)dt. n

Ω∗

Ω∗

7.2 Approximation sp´eciale de b∗u pour u ∈ L1 (Ω)

Puisque pour tout t ∈ Dumn , on a :     un = t = u = t ,

189

|un > t| = |u > t| , 

alors pour presque tout x ∈ P mn (u) =

Pt (u),

mn t∈Du

Mun ,b (ϕ)(x) = Mu,b (ϕ)(x).

(7.8)

Par ailleurs, puisque un (x) −−−−−→ u(x), p.p. alors pour presque tout x ∈ n→+∞

Ω\P (u), on a lim Mun ,b (ϕ)(x) = Mu,b (ϕ)(x).

(7.9)

n

Si Du est fini alors pour n grand, on a P mn (u) = P (u) alors d’apr`es (7.8), (7.9) et la formule de la moyenne :

lim n





 ϕb∗un dt = lim n

Ω∗

Mun ,b (ϕ)b dx + Ω\P (u)

 Mu,b (ϕ)b(x)dx =

P (u)

ϕb∗u . Ω∗

(7.10) Si Du est d´enombrable alors comme mn est croissante en n, on a P mn (u) ⊂ P mn+1 (u), on d´eduit alors que : 

 Mu,b (ϕ)b dx = lim

P (u)

Mun ,b (ϕ)b dx .

n

P

mn

(7.11)

(u)

Ainsi a` l’aide de (7.8), (7.9), la relation (7.11) conduit a` la mˆeme conclusion que (7.10). 

Th´ eor` eme 7.2.2. Soient u, v dans L1 (Ω) et Φ : IR → IR convexe croissante t.q. Φ(v) ∈ Lp (Ω), 1
p
+∞, et l’application v → Φ(v) est continue sur L1 (Ω∗ ). 1 1
Alors pour tout ϕ ∈ Lp (Ω), +  = 1, ϕ  0, on a p p   Φ(v∗u )ϕ dσ
Φ(v∗ ) · ϕ∗ dσ. Ω∗

Ω

Preuve. Soit (un )n
0 une suite de fonctions ´etag´ees t.q. : 1. un → u dans L1 (Ω), p 2. v∗un   v∗u dans L (Ω∗ )-faible (ou faible-* si p = +∞), 3. v∗un ∗ = v∗ .

190

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

Une telle suite existe d’apr`es le th´eor`eme 7.2.1. D’apr`es le lemme de Mazur, mn  il existe une suite (λj )j=1,...,mn t.q. λj v∗uj −−−−−→ v∗u presque partout et dans L1 (Ω∗ )-fort avec

mn 

n→+∞

j=1

λj = 1, λj  0. Par convexit´e de Φ et l’in´egalit´e de

j=1

Hardy-Littlewood, on d´eduit pour ϕ born´ee : ⎞ ⎛    mn mn   Φ(v∗u )ϕ dσ = lim Φ⎝ λj v∗uj ⎠ ϕ
lim λj Ω∗

n

Ω∗

n

j=1

j=1

Φ(v∗uj )∗ ϕ∗ dσ

Ω∗

(7.12) mais Φ(v∗uj )∗ = Φ(v∗ ) (car Φ est croissante), l’in´egalit´e (7.12) entraˆıne alors le r´esultat (en compl´etant par densit´e). Remarque. Si v  0 il suffit que Φ : IR+ → IR soit convexe et croissante.

7.3 Convergence forte de la d´ eriv´ ee directionnelle u → u∗ Une des questions int´eressantes pour l’approximation du r´earrangement relatif (u + tv)∗ − u∗ converge est de savoir quand est-ce que le quotient diff´erentiel t p fortement vers v∗u dans L (Ω∗ ), 1
p < +∞ quand t  0 ? L’´etude de la continuit´e forte de l’application u → v∗u va nous conduire a` des r´eponses `a cette question. Nous allons montrer le th´eor`eme suivant (et ses variantes). Th´ eor` eme 7.3.1.   Soit u ∈ W 1,1 (Ω) t.q. mesure x : ∇u(x) = 0 = 0. On suppose que Ω est connexe lipschitzien si γ0 u = 0 et Ω est quelconque sinon. Soit v ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞. Alors    (u + λv)∗ − u∗    −−→ 0. − v ∗u  −  λ p λ→0 Le lemme cl´e pour montrer cette convergence forte est la formule int´egrale suivante : Lemme 7.3.1. Soit u ∈ L1 (Ω) et soit v ∈ L∞ (Ω). Alors, ∀ λ ∈ IR et pour presque tout s ∈ Ω∗ , on a :  (u + λv)∗ (s) − u∗ (s) =

0

λ

v∗(u+tv) (s)dt.

7.3 Convergence forte de la d´eriv´ee directionnelle u → u∗

191

Preuve du lemme. Posons pour (t, s) ∈ IR × Ω∗ , G(t, s) = (u + tv)∗ (s). ∀ s ∈ Ω ∗ (fix´e), t ∈ IR → G(t, s) est lipschitzienne car d’apr`es la propri´et´e de contraction, on a ; ∀ t, t de IR, |G(t, s) − G(t , s)|
|v|∞ |t − t | , ∀ s ∈ Ω ∗ . En particulier, on d´eduit ∀ λ ∈ IR, ∀ s ∈ Ω ∗ ,  λ ∂G (t, s)dt. (7.13) (u + λv)∗ (s) − u∗ (s) = ∂t 0  s ∂G Pour calculer , consid´erons H(t, s) = (u + tv)∗ (σ)dσ, alors on a H ∈ ∂t  s0 1,1 (IR × Ω∗ ). En effet, ∀ s ∈ Ω∗ , t → (u + tv)∗ (σ)dσ est lipschitzienne, Wloc 0  s (u + tv)∗ (σ)dσ est absolument continue et ∀ t ∈ IR, s → 0

∂H = (u + tv)∗ ∈ L1loc (IR × Ω∗ ), ∂s

   ∂H     ∂t 
|Ω| |v|∞ . ∞

En particulier, pour presque tout (t, s) : ∂H H(t + δt, s) − H(t, s) (t, s) = lim δt→0 δt>0 ∂t δt  s (u + tv + (δt)v)∗ (σ) − (u + tv)∗ (σ) dσ = lim δt→0 δt>0 0 δt  s = v∗(u+tv) (σ)dσ, 0

(par le th´eor`eme 2.1.1 de la d´eriv´ee directionnelle). On d´eduit qu’au sens ∂2H = v∗(u+tv) , mais au sens des distributions on a aussi des distributions ∂s∂t 2 2 ∂ H ∂G ∂ H = = d’o` u ∂s∂t ∂t∂s ∂t ∂G = v∗(u+tv) . (7.14) ∂t Les relations (7.13) et (7.14) donnent le r´esultat.



Preuve du th´eor`eme 7.3.1. u v ∈ W 1,∞ (Ω). Puisque u est co-aire r´eguli`ere alors Commen¸cons par le cas o` d’apr`es le corollaire 7.1.2, on d´eduit que v∗(u+tv) −−−→ v∗u dans Lp (Ω∗ ). t→0

192

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

Ainsi,

  1 λ  v∗(u+tv) − v∗u p dt = 0. λ→0 λ 0 En utilisant le lemme 7.3.1, on d´eduit que :    (u + λv)∗ − u∗   − v∗u  = 0. lim  λ→0 λ p lim

Cas o` u v ∈ Lp (Ω). Alors on consid`ere une suite vn ∈ Cc∞ (Ω) t.q. vn → v dans p L (Ω)-fort. Puisque l’application v → v∗u est une contraction sur Lp alors on d´eduit :      (u + λv)∗ − u∗    (u + λvn )∗ − u∗     − v − (v
2 |v − v | + ) ∗u  n p n ∗u  .   λ λ p

p



D’o` u le r´esultat.

 Si on enl`eve la condition mes ∇u = 0 = 0 alors on peut supposer que u ∈ W 2,1 (Ω), co-aire r´eguli`ere pour obtenir le mˆeme type de r´esultat. Th´ eor` eme 7.3.2. Soient u ∈ W 2,1 (Ω), co-aire r´eguli`ere, v ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞. On suppose que Ω est connexe lipschitzien si γ0 u = 0 et Ω quelconque sinon. Alors,     (u + λvχ{∇u=0} )∗ − u∗  −−→ 0.  − (vχ ) {∇u=0} ∗u  −  λ p λ→0 C’est une cons´equence du th´eor`eme 7.3.3 suivant. Th´ eor` eme 7.3.3. Soit Φ : IRN → IR lipschitzienne avec Φ(0) = 0. Soit 2,1 u ∈ W (Ω), co-aire r´eguli`ere, v ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞. On suppose que Ω est connexe lipschitzien si γ0 u = 0 et Ω quelconque sinon. Alors    u + λvΦ(∇u) − u    ∗  ∗ − vΦ(u) ∗u  −−−→ 0.    λ→0 λ p

Ce dernier th´eor`eme se d´emontre comme au th´eor`eme 7.3.1. En voici les grandes lignes. Pour Φ born´ee : Si v ∈ Cc∞ (Ω) alors u + λvΦ(∇u) −−−→ u dans W 1,1 (Ω)-fort. λ→0     Ainsi, vΦ(∇u) ∗(u+λvΦ(∇u)) −−−→ vΦ(∇u) ∗u dans Lp (Ω∗ )-fort. Puisque 

λ→0

   u + λvΦ(∇u) ∗ − u∗ (s) 1 λ vΦ(∇u) ∗(u+tvΦ(∇u)) (s)dt, = λ λ 0

on d´eduit le r´esultat. On conclut par densit´e pour le cas v ∈ Lp (Ω) et Φ non born´ee.

7.3 Convergence forte de la d´eriv´ee directionnelle u → u∗

193

Quant ⎧ a` la preuve du th´eor`eme 7.3.2, on consid`ere pour 0 < ε < 1, ⎪1 si t  ε, ⎨ ψε (t) = 0 si t
0, . ⎪ ⎩ affine continue sur [0, ε]. Alors ψε ∈ W 1,∞ (IR) et ψε (t) −−−→ χ]0,+∞[ (t) ∀ t. Ainsi la fonction ε→0

Φε (ξ) = ψε (|ξ|), ξ ∈ IRN est lipschitzienne et Φε (∇u) −−−→ χ{∇u=0} p.p, ε→0

vΦε (∇u) → vχ{∇u=0} dans Lp (Ω)-fort. On conclut en utilisant les propri´et´es de contraction et le th´eor`eme 7.3.3 pr´ec´edent.

 On a le th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 7.3.4. Soit u une fonction ´etag´ee sur Ω. (u + λv)∗ − u∗ (s) = v∗u (s), λ pour 0 < λ < λ(u, v), ∀ s ∈ Ω∗ . (u + λv)∗ − u∗ (ii) Si v ∈ Lp (Ω), 1
p < +∞, alors −−−→ v∗u dans λ→0 λ Lp (Ω∗ )-fort. (i) Si v est ´etag´ee, alors

Preuve. Soit u =

j=m 

aj χEj avec a1 > · · · > am , les Ej sont deux a` deux

j=1

disjoints. Soit v une fonction ´etag´ee sur Ω, pour chaque j ∈ {1, · · · m}, on k=m  vkj χFkj avec les Fkj ´ecrit la restriction a` Ej de la fonction v par : v|Ej = k=1

deux a` deux disjoints pour k ∈ {1, · · · m}, Ej =

Fkj , et, v1j  · · ·  vmj

k=1

Ainsi, on a pour λ  0: (u + λv) =

k=m 

j=m  k=m 

(aj + λvkj )χFkj

j=1 k=1

On r´eindexe cette double somme en introduisant une bijection not´ee n de {1, · · · , m2 } dans {1, · · · , m} × {1, · · · , m} en posant ⎧ n(1) = (1, 1), · · · , · · · , n(m) = (m, 1), ⎪ ⎪ ⎪ ⎨n(m + 1) = (1, 2), · · · , · · · , n(2m) = (m, 2), ⎪ ... = ... ⎪ ⎪ ⎩ n((m − 1)m + 1) = (1, m), · · · , · · · , n(m2 ) = (m, m).

194

7 Continuit´e forte de l’application r´earrangement relatif

On pose pour 1
j
m, et 1 + (j − 1)m
i
jm, cλn(i) = aj + λvkj inf |aj − ak | j=k avec k = i − (j − 1)m. On choisit 0
λ < λ(u, v) = , on a alors 2|v|∞ 2 i=m  λ λ 2 cn(i)  cn(i+1) pour 1
i
m −1. Comme on a (u+λv)∗ = cλn(i) χ[bi−1 ,bi ) i=1

avec bi =

k=i 

|Fn(k) |, b0 = 0 pour λ  0,

k=1

on d´eduit alors pour 0 < λ < λ(u, v) 2

i=m  cλn(i) − c0n(i) (u + λv) − u = χ[bi−1 ,bi ) λ λ i=1

=

j=m 

i=jm 

v(i−(j−1)m)j χ[bi−1 ,bi ) .

j=1 i=1+(j−1)m

(u + λv) − u (s) = vu (s). On d´eduit en particulier que pour tout s: λ Par densit´e des fonctions ´etag´ees, on obtient le th´eor`eme, c’est `a dire la (u + λv) − u convergence forte dans Lp (Ω ) de : vers vu . ♦ λ Notes pr´ e-bibliographiques La majorit´e des preuves et r´esultats de ce chapitre est due `a l’auteur et/ou collaborateurs, voir Rakotoson [100], Rakotoson-Seoane [102], B. Simon [119], Rakotoson-Simon [104–106]. Le th´eor`eme 7.2.1 est inspir´e d’un r´esultat d’Alvino et Trombetti [10]. Quant aux ´equations en physique des plasmas associ´es aux machines Tokomak, on peut consulter les articles de R. Temam [125, 126] ou le livre de B. Saramito [113]. Une r´esolution par la m´ethode de degr´e topologique et la m´ethode de Galerkin d’un mod`ele de Grad-Shaframov est donn´e dans FeroneJalal-Rakotoson-Volpicelli [55, 56].

8 Quelques probl` emes li´ es au r´ earrangement relatif

Dans ce chapitre, nous allons r´esoudre quelques probl`emes faisant intervenir directement le r´earrangement monotone ou/et relatif. Ces probl`emes serviront a illustrer l’usage des r´esultats des chapitres pr´ec´edents. ` Nous avons choisi pour cela deux th´eor`emes abstraits qui nous semblent significatifs et g´en´eraux. Le premier concerne les ´equations d’Euler pour des probl`emes d’optimisation multicontrainte. Le second concerne la r´esolution de probl`emes semi-lin´eaires de la forme : Au + G(u) = 0, u appartenant a` un espace vectoriel lin´eaire V et G n’est continue que sur un sous-ensemble de V . Dans les applications de ce th´eor`eme, on verra des fonctions G(u) d´ependant de b∗u , u∗ et l’op´erateur Au = −∆u ou tout autre op´erateur du second ordre a` coefficients r´eguliers. La motivation d’une telle consid´eration rel`eve essentiellement des mod`eles en physique des plasmas.

8.1 Optimisation multicontrainte Nous allons nous int´eresser `a la recherche d’´equations d’Euler des probl`emes du type   Min J(v), S0 v ∈ K o` u J est une fonction coercive diff´erentiable sur un espace vectoriel X, S0 une application de X dans un espace Y et K un cˆ one de Y . L’exemple que nous traiterons enti`erement sera le cas o` u   1 2 J(v) = |∇v| dx − f v dx, f ∈ L∞ (Ω) , 2 Ω Ω

196

X=

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

H01 (Ω),

 S0 v(t) =

K = K1 × IR+ ,



t

0

h∗ (s)ds −



t

0

 v dx −

v∗ (s)ds; Ω

 h(x)dx

Ω

  K1 = ϕ ∈ L∞ (Ω∗ ) : ϕ(t)  0 p.p.

et Y est l’espace produit L∞ (Ω) × IR. Pour ce faire, nous aurons besoin de quelques notions pr´eliminaires. 8.1.1 Un th´ eor` eme abstrait d’existence de multiplicateurs de Lagrange On consid´erera X et Y deux espaces norm´es. D´ efinition 8.1.1 (cˆone convexe). Un sous-ensemble K de Y est appel´e cˆ one convexe si : (a) Si x, y ∈ K, α  0, β  0 alors αx + βy ∈ K, (b) Si x ∈ K et −x ∈ K alors x = 0.

D´ efinition 8.1.2 (cˆone tangent). Soit K une cˆ one convexe. On appelle cˆ one tangent en un point y ∈ K, l’ensemble d´efini par ( '  1 TK (y) = Adh´erence (K − y) . h h>0

Proposition 8.1.1. Soit K un cˆ one convexe. Alors : (i) K − IR+ y ⊂ TK (y),

IR+ = [0, +∞[,  xn − y (ii) TK (y) = x ∈ Y : x = lim , xn ∈ K , tn →0 tn >0 tn (iii) TK (y) est aussi un cˆ one convexe. Preuve. (i) Si v ∈ K et h ∈ IR+ alors pour α > 0 t.q. αh < 1 on a : 1 αv + (1 − αh)y ∈ K : v − hy ∈ (K − y). D’o` u K − IR+ y ⊂ TK (y). α   xn − y xn − y (ii) Posons A = x ∈ Y : x = lim , xn ∈ K . Puisque ∈ tn >0 tn →0 tn tn 1 (K − y) d’o` u A ⊂ TK (y). tn

8.1 Optimisation multicontrainte

197

R´eciproquement si x ∈ TK (y) alors il existe une suite hn > 0, xn ∈ Y t.q. xn hn + y ∈ K et xn −−−−−→ x. Soit tn une suite t.q. 0 < tn < hn n→+∞
 tn tn et tn → 0 alors : (xn hn + y) + 1 − y ∈ K soit tn xn + y ∈ K et hn hn tn xn + y − y = xn → x. Ce qui prouve que x ∈ A. tn (iii) Cette assertion d´ecoule de (ii). 

D´ efinition 8.1.3. Soit K un sous-ensemble de Y . On appelle cˆ one dual one polaire de K l’ensemble ou cˆ   K ∗ = ∗ ∈ Y ∗ , ∀ x ∈ K, < ∗ , x > 0 o` u Y ∗ est le dual de Y et < ·, · > d´esigne la dualit´e entre Y ∗ et Y . On notera d´esormais < ·, · >= (·, ·). Soient X et Y deux espaces vectoriels norm´es de duals (topologiques) respecone convexe ferm´e d’int´erieur non tifs X ∗ et Y ∗ . Dans Y , on se donne un cˆ vide not´e K. On s’int´eresse alors `a la solution optimale u0 du probl`eme :   (Pa ) J(u0 ) = inf J(u) : u ∈ X Su ∈ −K o` u J est une application de X dans IR et S une application de X dans Y . On suppose que J et S satisfont a` : (H1)

∀ v ∈ X, il existe une d´eriv´ee directionnelle J  (u0 ; v) dans IR i.e. lim

t→0, t>0

(H2)

J(u0 + tv) − J(u0 ) = J  (u0 ; v), t

et l’application X  v → J  (u0 ; v) est convexe. ∀ v ∈ X, il existe un ´el´ement S  (u0 ; v) ∈ Y tel que : lim

t→0 t>0

S(u0 + tv) − Su0 = S  (u0 ; v). t

De plus, l’application X  v → S  (u0 ; v) ∈ Y est convexe au sens que ∀ t ∈ [0, 1], ∀ v1 ∈ X, ∀ v2 ∈ X,   S  u0 ; tv1 + (1 − t)v2 − tS  (u0 ; v1 ) − (1 − t)S  (u0 ; v2 ) ∈ −K . On a alors le th´eor`eme principal de cette section :

198

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

Th´ eor` eme 8.1.1 (existence de multiplicateurs de Lagrange pour les probl`emes multicontraintes). On suppose (H1) et (H2). Alors il existe un r´eel positif ou nul c0 et un one polaire K ∗ tel que : ∀ v ∈ X. ´el´ement λ∗ appartenant au cˆ   c0 J  (u0 ; v) + λ∗ , S  (u0 ; v)  0 (8.1) avec (c0 , λ∗ ) = (0, 0). De plus, on a la relation d’orthogonalit´e suivante : (λ∗ , Su0 ) = 0.

(8.2)

Preuve. Consid´erons le cˆone tangent a` K au point −Su0 i.e. ' (  1 (K + Su0 ) TK (−Su0 ) = Adh h h>0

(Adh d´esigne l’adh´erence de l’ensemble) et d´efinissons dans IR × Y :    B(u0 ) = J  (u0 ; v) + α, S  (u0 ; v) + k : α  0, v ∈ X et k ∈ TK (−Su0 ) ◦

◦

et l’ouvert connexe A =] − ∞, 0[×(−K). On a A = ∅ car K = ∅.



Lemme 8.1.1. B(u0 ) est un convexe non vide.   Preuve. Soit bi = J  (u0 ; vi ) + αi , S  (u0 ; vi ) + ki avec i = 0, 1 deux ´el´ements de B(u0 ). La convexit´e de J  (u0 ; ·) et de S  (u0 ; ·) assurent que pour tout t ∈ [0, 1]:  α2 = tJ  (u0 ; v0 ) + (1 − t)J  (u0 ; v1 ) − J  (u0 ; tv0 + (1 − t)v1  0 ,   k2 = tS  (u0 ; v0 ) + (1 − t)S  (u0 ; v1 ) − S  u0 ; tv0 + (1 − t)v1 ∈ K . En posant k3 = k2 + tk0 + (1 − t)k1 on a que k3 appartient a` TK (−Su0 ) et α3 = α2 + tα0 + (1 − t)α1  0. De ce fait, nous avons que      tb0 + (1 − t)b1 = J  (u0 ; tv0 + (1 − t)v1 + α3 , S  u0 ; tv0 + (1 − t)v1 + k3 

appartient a` B(u0 ). Lemme 8.1.2. Les deux convexes non vides A et B(u0 ) sont disjoints.

Preuve. Supposons que A ∩ B(u0 ) = ∅. Alors, par d´efinition, il existe α  0, ◦

v ∈ X, k0 ∈ TK (−Su0 ), β > 0 et k1 ∈ K tel que :   J  (u0 ; v) + α, S  (u0 ; v) + k0 = (−β, −k1 ).

8.1 Optimisation multicontrainte

Soit

J  (u0 ; v) = −β − α < 0, S  (u0 ; v) = −k1 −

k0n + Su0 + o(1) tn

199

(8.3) (8.4)

k0n + Su0 = k0 . tn →0 tn

o` u k0n ∈ K et lim

Par d´efinition de S  (u0 ; v), nous avons aussi : S  (u0 ; v) =

S(u0 + tn v) − Su0 + o(1). tn

Les relations (8.4) et (8.5) entraˆınent alors que :   S(u0 + tn v) = −k0n − tn k1 + o(1) .

(8.5)

(8.6)

◦

Puisque k1 ∈ K, il existe alors τ > 0 tel que pour 0 < tn < τ on ait k1 + o(1) ∈ ◦

K, du fait que K est un cˆone, on d´eduit de (8.6) que S(u0 + tn v) ∈ −K.

(8.7)

Par ailleurs la relation (8.3) entraˆıne qu’il existe τ1 < τ tel que si 0 < tn < τ1 on ait :   (8.8) J(u0 + tn v) − J(u0 ) = tn J  (u0 ; v) + o(1) < 0. Ainsi, des relations (8.7) et (8.8) pr´ec´edentes nous obtenons pour 0 < tn < τ1 :  S(u0 + tn v) ∈ −K, J(u0 + tn v) < J(u0 ). Ceci contredit l’optimalit´e de u0 . Le lemme 8.1.2 permet alors d’appliquer le th´eor`eme de Hahn-Banach, c’est a dire qu’il existe un r´eel c0 et un ´el´ement λ∗ de Y ∗ tel que ∀ α  0, ∀ k ∈ ` ◦

TK (−Su0 ), ∀ v ∈ X, ∀ k  ∈ K = K (puisque K est convexe ferm´e) et ∀ β  0 on a :     −c0 β − (λ∗ , k  )
c0 J  (u0 ; v) + α + λ∗ , S  (u0 ; v) + k . (8.9) Cette relation implique n´ecessairement que c0  0 et alors la relation (8.9) se r´eduit a` : ∀ k ∈ TK (−Su0 ), ∀ v ∈ X   −(λ∗ , k)
c0 J  (u0 ; v) + λ∗ , S  (u0 ; v) . (8.10) Puisque TK (−Su0 ) est un cˆone, la relation (8.10) entraˆıne que : (λ∗ , k)  0 ∀ k ∈ TK (−Su0 ) ,

(8.11)

200

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

ce qui implique en particulier que λ∗ ∈ K ∗ . En rempla¸cant k par k + tSu0 , t > 0, la relation (8.11) implique que (λ∗ , Su0 ) = 0. Ainsi, nous obtenons : ⎧  ∗    ⎪ ⎨c0 J (u0 ; v) + λ , S (u0 ; v)  0 ∀ v ∈ X, (8.12) (λ∗ , Su0 ) = 0, ⎪ ⎩ ∗ ∗ λ ∈ K , c0  0 

8.1.2 Une application concr` ete Soient f ∈ L∞ (Ω) et h ∈ L1 (Ω). On consid`ere l’unique solution optimale u0 de :   (P) J(u0 ) = inf J(u) : u ∈ K(h)   1 2 |∇u| dx − f u dx et o` u J(u) = 2 Ω Ω

  K(h) = v ∈ H01 (Ω) : ϕ(v)dx
ϕ(h)dx Ω

Ω

∀ ϕ(convexe lipschitzienne) : IR → IR

 .

On veut obtenir des informations sur la r´egularit´e de u0 . Nous avons alors : Th´ eor` eme 8.1.2. Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, la solution optimale a W 2,p (Ω) pour tout p ∈ [1, +∞[. Plus pr´ecis´ement, il existe u0 appartient ` une constante ch  0 et une mesure de Radon positive λ∗ appartement au dual de L∞ (0, |Ω|) tel que si on d´efinit les ´el´ements de L∞ (Ω) suivants :  ψ1 (x) =

|Ω|

dλ∗ (σ) − ch , ψ2 (x) = ψ1 (x) + χP (u0 ) (x)

|u0
u0 (x)|



dλ∗ (σ) ,

P (u0∗ )

on a au sens des distributions : −∆u0 − f ∈ [−ψ2 ; −ψ1 ] `: et de plus λ∗ satisfait a |Ω|  σ   h∗ (τ )dτ − 0

0

σ

0

(8.13)

 u0∗ (τ )dτ dλ∗ (σ) = 0 .

En particulier     support λ ⊂ σ ∈ 0, |Ω| : ∗

0



σ

h∗ (τ )dτ =

0

σ

 u0∗ (τ )dτ .

(8.14)

8.1 Optimisation multicontrainte

201

Par commodit´e d’´ecriture, on va supposer le long de ce paragraphe que |Ω| = 1. Le passage du probl`eme (P) au probl`eme abstrait (Pa ) en vue d’appliquer le th´eor`eme 8.1.1 n´ecessite le corollaire 1.2.3 de la proposition 1.2.1 que nous rappelons. Lemme 8.1.3. Soit v ∈ L1 (Ω); nous avons l’´equivalence suivante : ⎧ ⎪ ∀ t ∈ [0, 1] ⎧ ⎪ ⎪  t  t ⎪ ⎨∀ ⎨ ϕ convexe et lipschitzienne I R → I R   v∗ (σ)dσ
h∗ (σ)dσ ⇐⇒ 0 ⎩ ϕ(v)(x)dx
⎪ ϕ(h)(x)dx ⎪0  ⎪ ⎪ Ω Ω ⎩et v(x)dx = h(x)dx. Ω

Ω

On consid`ere les cˆones convexes ferm´es suivants :   K1 =  ∈ L∞ (0, 1) : (t)  0 p.p. t ∈ [0, 1] ◦

K = K1 × [0, +∞[ ainsi K = ∅. Pour v ∈ H01 (Ω), on d´efinit :  t  t   (S1 v)(t)= v∗ (σ)dσ − h∗ (σ)dσ, t ∈ [0, 1], S2 v= h(x)dx − v(x)dx. 0

0

Ω

Ω

On note S l’application de H01 (Ω) dans L∞ (Ω∗ ) × IR d´efinie par Sv = (S1 v, S2 v). Puisque le r´earrangement conserve l’int´egrale, le lemme 8.1.3 et la d´efinition de S entraˆınent : ⎧ ⎨∀  ϕ convexe, lipschitzienne Sv ∈ −K ⇐⇒ ⎩ ϕ(v)dx
ϕ(h)dx.

Lemme 8.1.4.

Ω

Ω

En particulier, le probl`eme (P) est ´equivalent a `:   J(u0 ) = inf J(u) : u ∈ H01 (Ω) t.q. Su ∈ −K .

Lemme 8.1.5. Pour u, v dans L1 (Ω) et σ ∈ [0, 1] on note par commodit´e w(u; v)(σ) la fonction : ⎧ ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v(x)dx si |u = u∗ (σ)| = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ u>u∗ (σ) w(u; v)(σ) = avec ⎪ σ−|u>u∗ (σ)| ⎪   ⎪ ⎪   ⎪ ⎪ ⎪ v(x)dx + v|P (σ) ∗ (τ )dτ sinon ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ u>u∗ (σ) 0

202

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

P (σ) = {x ∈ Ω : u(x) = u∗ (σ) , v|P (σ) est la restriction de v ` a P (σ). Alors : (i) w(u; v) ∈ C[0, 1], ? ? ? ? S1 (u + tv) − S1 u ? − w(u, v)? (ii) lim ? ? = 0; t→0,t>0 t ∞ (iii) Pour v1 , v2 dans L1 (Ω), α  0, β  0 on a : w(u; αv1 + βv2 ) − αw(u, v1 ) − βw(u, v2 ) ∈ −K1 . Preuve. Les parties (i) et (ii) d´ecoulent du th´eor`eme 2.1.1 et de son corollaire 2.1.1 sachant que   σ   S1 (u + tv)(σ) − S1 u(σ) 1 = (u + tv)∗ (τ ) − u∗ (τ ) dτ . t t 0 La preuve de (iii) d´ecoule directement de la propri´et´e de Hardy-Littlewood suivante : pour g ∈ L1 (Ω) et pour tout σ ∈ [0, 1]

   σ g∗ (τ )dτ = Max g(x)dx : |E| = σ . 0

E



Le lemme 8.1.5 pr´ec´edent assure alors que l’op´erateur S  (u0 ; ·) est donn´e par








 w(u0 ; v); −

S (u0 ; v) =

v(x)dx ; Ω

de plus, c’est un op´erateur convexe au sens du th´eor`eme 8.1.2. Th´ eor` eme 8.1.3 (condition d’optimalit´e pour u0 ). Soit u0 la solution optimale (P) qui soit non identiquement nulle. Alors il existe une mesure one dual de K1 ) et un r´eel ch  0 tel de Radon positive ou nulle λ∗ ∈ K1∗ (cˆ que pour tout v ∈ H01 (Ω) : 

 ∇u0 ∇vdx − Ω

 f v dx +

Ω

0

1

∗



w(u0 ; v)(σ)dλ (σ) − ch

v(x)dx  0. Ω

Remarque. Si u0 est identiquement nulle (u0 = 0) alors le th´eor`eme 8.1.2 est trivial. Dans ce th´eor`eme 8.1.3, cette hypoth`ese a ´et´e mise pour des raisons de commodit´e de la preuve qui suit. Preuve. On applique le th´eor`eme 8.1.1 avec X = H01 (Ω), Y = L∞ (0, 1) × IR, K = K1 × [0, +∞[ et J et S d´efinies comme ci-dessus. Il existe alors deux r´eels c0  0, c1  0 et une mesure positive λ∗1 ∈ K1∗ tel que (c0 , c1 , λ∗1 ) = (0, 0, 0) satisfaisant, pour tout v ∈ H01 (Ω), a` :

8.1 Optimisation multicontrainte

  c0 J  (u0 ) · v + λ∗1 , w(u0 ; v) − c1

203

 v(x)dx  0 .

(8.15)

Ω

Lemme 8.1.6 (fondamental). c0 = 0. Preuve. Si c0 = 0 la relation (8.15) implique que pour tout v ∈ L1 (Ω) :  0

1

w(u0 , v)(σ)dλ∗1 (σ) − c1

 v(x)dx  0.

(8.16)

Ω

(En effet, l’application L1 (Ω)  v → w(u0 ; v) est 1-lipschitzienne.) En particulier, si F est bor´elienne avec F (u0 ) ∈ L1 (Ω), la relation (8.16) donne :  0

1

dλ∗1 (σ)






σ

F (u0∗ )(τ )dτ

0

d’o` u



1

0

 = c1

1

0

F (u0∗ )dτ

σdλ∗1 (σ) = c1 .

(8.17)

(8.18)

1er cas Si sm = |u0 = sup ess u0 | > 0 alors sup ess u0 ∈ IR. Notons que, puisque u0 = 0 alors sm < 1. En rempla¸cant F par χ{sup ess u0 } (σ), les ´equations (8.17) et (8.18) donnent :  0

1

inf(σ, sm )dλ∗1 (σ) = c1

(car F (u0∗ )(τ ) = χ{sup ess





sm

dτ = 0

0

1

sm σ dλ∗1 (σ)

(8.19)

 1 si 0
τ
sm ). u0 } (u0∗ )(τ ) = 0 sinon.

Ainsi, si on pose ψ(σ) = inf(σ, sm ) − σsm  0, la relation (8.19) entraˆıne :  0

1

ψ(σ)dλ∗1 (σ) = 0 .

(8.20)

Comme λ∗1 est une mesure positive, la relation inf`ere que :   support λ∗1 ⊂ σ ∈ [0, 1] : sm σ = inf(σ, sm ) = A0 . Etudions ce dernier ensemble. Soit σ ∈ A0 . Si 0
σ
sm alors n´ecessairement σ = 0 (car sm < 1). Si 1  σ > sm alors σ = 1.

204

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

Ainsi support λ∗1 ⊂ {0, 1}, et par cons´equent λ∗1 ne peut pas ˆetre un ´el´ement du dual de L∞ (0, 1) a` moins que λ∗1 = 0; mais dans ce cas c1 = 0 et cela contredirait le fait que (c0 , c1 , λ∗1 ) = (0, 0, 0). 2`eme cas |u0 = sup ess u0 | = 0. / P (u0∗ ). Par ailleurs, pour v∈L1 (Ω), si Comme u0∗ (0) = sup ess u0 alors 0 ∈ on d´efinit v(x) par v(x) = χΩ\P (u0 ) (x) · v(x) alors  ∀ σ ∈ [0, 1].

v(x)dx

w(u0 ; v)(σ) =

u0 >u0∗ (σ)

Dans ce cas on voit que l’application v → w(u0 ; v) est lin´eaire; de ce fait la relation (8.16) devient : ∀ v ∈ L1 (Ω) 

 c1

v(x)dx = 0

Ω

1

w(u0 ; v)dλ∗1 (σ)



 = Ω

v(x)χΩ\P (u0 ) (x)

1

dλ∗1 (σ)

(8.21)

|u0
u0 (x)|

(ceci par l’interm´ediaire du th´eor`eme Fubini) ainsi pour presque tout x ∈ Ω  c1 χΩ\P (u0 ) (x) = χΩ\P (u0 ) (x)

1

dλ∗1 (σ) .

(8.22)

|u0
u0 (x)|

Par ´equimesurabilit´e la relation (8.22) devient : pour tout s ∈ Ω ∗ \P (u0∗ ) ⎧  1  1 ⎨ c1 = dλ∗1 (σ) =⇒ c = dλ∗1 (σ) . (8.23) 1 s ⎩ 0 0 ∈ Ω ∗ \P (u0∗ )  Les relations (8.18) et (8.23) donnent alors 0

1

(1 − σ)dλ∗1 (σ) = 0, ce qui

entraˆıne que soit λ∗1 = 0 donc c1 = 0 (contradiction), soit λ∗1 est un Dirac au point σ = 1, contredisant le fait que λ∗1 ∈ L∞ (0, 1)∗ .

 Dans tous les cas on a une contradiction donc c0 = 0. On pose λ∗ =

λ∗1 c1 et ch = , d’o` u le th´eor`eme 8.1.3. c0 c0



Preuve du th´eor`eme 8.1.2. Il reste a` interpr´eter le th´eor`eme 8.1.3 au sens des distributions : soit v ∈ D(Ω), v
0, comme `a la relation (8.21) nous avons  1   1 w(u0 ; v)(σ)dλ∗ (σ)
dλ∗ (σ) v(x)χu0 >u0∗ (σ) (x)dx (8.24) 0

0

Ω

8.1 Optimisation multicontrainte

⎛



⎜ v(x) ⎜ ⎝

= Ω



205

⎞ 1

⎟ dλ∗ (σ) ⎟ ⎠ dx.

|u0
u0 (x)|

L’in´equation du th´eor`eme 8.1.3 et la relation (8.24) nous fournissent l’in´equation    ∇u0 · ∇v dx − f v dx + v(x)ψ1 (x)dx  0 (8.25) Ω

Ω

Ω

pour tout v ∈ D(Ω), v
0, o` u  ψ1 (x) =

1

dλ∗ (σ) − ch

|u0
u0 (x)|

d’o` u, dans D (Ω) :

−∆u0 − f + ψ1
0.

(8.26)

De mˆeme si v ∈ D(Ω), v  0 alors  0

1

 w(u0 ; v)(σ)dλ∗ (σ)


v(x)ψ1 (x)dx ⎛

Ω

 + Ω

⎜ v(x)χP (u0 ) (x) ⎜ ⎝



⎞ ⎟ dλ∗ (x) ⎟ ⎠ dx + ch

P (u0∗ )

 v(x)dx Ω

ce qui, combin´ee avec le th´eor`eme 8.1.3, donne dans D (Ω) :  −∆u0 − f + ψ1 + χP (u0 )

dλ∗ (σ)  0.

(8.27)

P (u0∗ )

Quant a` la relation d’orthogonalit´e, elle se traduit par :   1  σ  σ h∗ (τ )dτ − u0∗ (τ )dτ dλ∗ (σ) = 0

0

0



 Puisque 0

Ω σ

Ω



σ

h∗ (τ )dτ  ∗

 u0 (x)dx = 0.

 h(x)dx −

= ch

0

(8.28)

u0∗ (τ )dτ

σ ∈ [0, 1], la relation (8.28) implique

que le support de λ est contenu dans l’ensemble

206

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

 σ ∈ [0, 1] :

0



σ

h∗ (τ )dτ =

0



σ

u0∗ (τ )dτ

.

Puisque ψ1 et ψ2 sont dans L∞ (Ω), on d´eduit que −∆u0 − f ∈ L∞ (Ω) 

d’o` u u0 ∈ W 2,p (Ω) ∀ p ∈ [1, +∞[.

8.2 Sur un probl` eme semilin´ eaire abstrait et ses applications aux probl` emes nonlocaux Diverses ´equations d’´equilibre dans les probl`emes issus de la physique peuvent s’´ecrire sous la forme −∆u = F (u). C’est le cas, par exemple, des probl`emes de confinement d’un plasma dans une machine Tokamak ou une machine Stellarator. Dans l’un ou l’autre de ces mod`eles la fonction F (u) peut ˆetre une fonction non locale de u d´ependant par exemple du r´earrangement relatif de u par rapport a` une donn´ee b : b∗u ou encore des d´eriv´ees du r´earrangement monotone u∗ , u∗ . . .. Comme nous l’avons vu aux chapitres 6 et 7, dans ce cas la fonction u → F (u) ne sera continue que sur un petit sous-ensemble non n´ecessairement lin´eaire. Nous allons commencer par donner une m´ethode de r´esolution pour ce type de probl`emes. 8.2.1 Th´ eor` emes abstraits pour des probl` emes nonlocaux Consid´erons un espace de Hilbert (V, · ) et un espace de Banach (H, |·|) s´eparable. On suppose (H1) V ⊂> H, injection compacte (ainsi inf |v|=1 v > 0). (H2) Il existe une famille d’´el´ements finis Vh ⊂ V et une famille d’op´erateurs lin´eaires Πh t.q. lim v − Πh v = 0,

h→0

∀v ∈ V .

Soit G un op´erateur de V dans le dual (H  , |·|∗ ) de H satisfaisant : (H3) G est continu de V -fort dans H  -faible-* (i.e. muni de la topologie ∗ − σ(H  , H)).

Th´ eor` eme 8.2.1. On suppose (H1) ` a (H3) et soit B : V × V → IR une forme bilin´eaire coercive (i.e. α = inf B(v, v) > 0) v=1

continue (i.e.

sup

B(u, v) = M < +∞). On suppose de plus que G

u=v=1

v´erifie la croissance suivante :

8.2 Sur un pb. semilin´eaire abstrait et ses appli. aux pb. nonlocaux

207

(H4) Il existe (λ0 , λ1 ) ∈]0, +∞[×]0, +∞[ t.q. 0 < λ0 < α inf v , |G(v)|∗
λ0 v + λ1 ∀ v ∈ V . |v|=1

Alors, (i) Il existe uh ∈ Vh t.q. : B(uh , vh ) =< G(uh ), vh >,

∀ vh ∈ V h ,

(ii) Il existe u ∈ V (une sous-suite) uh ∈ V t.q. uh → u dans V -fort et B(u, v) =< G(u), v >,

∀v ∈ V .

Preuve du th´eor`eme.  Soit m = dim Vh et ϕ1 , . . . , ϕm une base de Vh . D´efinissons le produit scalaire suivant sur Vh : si v =

m 

v j ϕj ,

w=

j=1

m 

wj ϕj , alors [v, w] =

j=1

m 

vj wj .

j=1

On introduit alors l’op´erateur Tm : Vh → Vh d´efini par Tm v =

m 

[B(v, ϕj )− < G(v), ϕj >] ϕj .

j=1

On a pour tout v ∈ Vh : 2

[Tm v, v] = B(v, v)− < G(v), v > α v − λ0 v |v| − λ1 |v|     α inf z − λ0 v |v| − λ1 |v| .

(8.29)

|z|=1

On d´eduit alors, [Tm v, v] → +∞ si [v, v] → +∞. De plus, Tm est continu du fait de la continuit´e de B et G. On conclut avec le th´eor`eme de point fixe de u l’assertion (i). De Brouwer, pour l’existence de uh ∈ Vh t.q. Tm uh = 0 d’o` plus, a` l’aide de l’estimation (8.29), on d´eduit u h
constante =

λ1 = c1 . α inf |z|=1 z − λ0

(8.30)

Consid´erons alors, u ∈ V, u ∈ H  et une sous-suite encore not´ee uh ∈ Vh t.q. : (a) uh  u dans V -faible (b) uh → u dans H-fort (c) G(uh )  u dans H  -faible-´etoile

208

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

Soit v ∈ V . Alors, on a : B (uh , Πh v) =< G(uh ), Πh v >,

(8.31)

|B (uh , Πh v) − B (uh , v)|
c1 M v − Πh v ,

(8.32)

|< G(uh ), Πh v > − < G(uh ), v >|
c0 v − Πh v .

(8.33)

et A partir des relations (8.31)–(8.33), on d´eduit : B(u, v) = lim B(uh , Πh v) = lim < G(uh ), v >=< u , v > . h→0

h→0

Montrons maintenant que lim uh − u = 0. h→0

2

Puisque B(uh − u, uh − u)  α uh − u , il suffit de montrer que lim B(uh , uh ) = B(u, u). Or, puisque |uh − u| −−−→ 0, on a : h→0

h→0

lim B(uh , uh ) = lim < G(uh ), uh >=< u , u >= B(u, u).

h→0

h→0



Par continuit´e de G, on d´eduit que u = G(u).

Notons que l’´enonc´e (i) n’utilise que les hypoth`eses (H1), (H2) et (H4). Pour tenir compte que la fonction G peut ˆetre continue uniquement sur un sous-ensemble V de V , nous modifions l’hypoth`ese (H3) et pour ce faire, consid´erons A l’op´erateur lin´eaire continu de V dans V  d´efini par < Av, w >= B(v, w), pour tout v, w de  V et notons D(A) = v ∈ V, Av ∈ H le domaine de A. On suppose a` la place de (H3) l’hypoth`ese suivante :

 (H5) On suppose que H = H  et que G restreint a` V = D(A) ∪



 Vh

h>0

est continue de (V, · )-fort dans H-faible.

Th´ eor` eme 8.2.2. On suppose (H1), (H2), (H4) et (H5). Si B est la mˆeme forme bilin´eaire qu’au th´eor`eme 8.2.1 pr´ec´edent, alors on a les mˆemes conclusions que le th´eor`eme 8.2.1. De plus, u ∈ D(A). Preuve. La preuve de l’´enonc´e (i) est la mˆeme que ci-dessus. Quant `a la preuve du second ´enonc´e (ii), comme la fonction u = lim uh dans V -fort, et que h

B(u, v) =< u , v > ∀ v ∈ V est ´equivalente a` Au = u ∈ H donc u ∈ D(A), on peut alors appliquer l’hypoth`ese (H5) pour dire que G(uh )  G(u) dans 

H-faible ce qui implique que u = G(u).

8.2 Sur un pb. semilin´eaire abstrait et ses appli. aux pb. nonlocaux

209

Les fonctions co-aire r´eguli`eres ne forment pas un espace vectoriel. Ainsi, pour tenir compte d’autres cas d’applications o` u D(A) ⊂ V, nous donnons ici une variante du pr´ec´edent th´eor`eme en rempla¸cant (H5) par l’hypoth`ese suivante : (H6) On suppose toujours  que H =H  ⊂ V  .  Soit V t.q. W = vect Vh = ensemble des combinaisons lin´eaires finies de



h>0

Vh soit contenu dans V. Soit G : V → H continue de

h>0

(V, · ) dans H-faible. On suppose que l’adh´erence de G(W ) dans Hfaible, not´ee G(W )

σ(H)

, v´erifie   σ(H) ⊂V . A−1 G(W )

Th´ eor` eme 8.2.3. On suppose (H1), (H2), (H4) et H6.). On a alors les mˆemes conclusions qu’au th´eor`eme 8.2.1. De plus, u ∈ V. Preuve. σ(H)

Puisque uh ∈ W et G(uh )  u dans H-faible, on d´eduit u ∈ G(W ) . Comme A est un isomorphisme de V dans V  , on conclut u = A−1 u ∈ V (par (H6)). 8.2.2 Applications ` a quelques probl` emes nonlocaux

(H1) Consid´erons Ω un ouvert born´e de IRN de bord C 1 , pour j = 1, 2 Φj : IRN → IR continue t.q. il existe c1 > 0 t.q. 2

|Φj (ξ)|
c1 |ξ| ,

∀ ξ ∈ IRN , j = 1, 2.

(H2) Soit F : Ω × L1 (Ω)2 × L1 (Ω∗ )2 →]ε, +∞[, ε > 0 born´ee et de Carath´eodory au sens que : (i) Pour x fix´e, si Xn = (v1n , v2n , w1n , w2n ) est une suite de L1 (Ω)2 ×L1 (Ω∗ )2 qui converge vers X dans L1 (Ω)2 ×L1 (Ω∗ )2 alors F (x, Xn ) → F (x, X) dans IR. (ii) ∀ X ∈ L1 (Ω)2 × L1 (Ω∗ ), l’application x ∈ Ω → F (x, X) est mesurable.

210

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

Th´ eor` eme 8.2.4. Soient b1 et b2 deux ´el´ements de L∞ (Ω). Alors, il existe 1 u ∈ H0 (Ω) ∩ W 2,p (Ω), ∀ p ∈ [1, +∞[ t.q.   −∆u = F x; [b1 Φ1 (∇u)]∗v (|u > u(·)|), u∗ (|u > u(·)|), u∗ , [b2 Φ2 (∇u)]∗u Preuve.  Posons X(v) =

[b1 Φ1 (∇v)]∗v (|v > v(·)|), v∗ (|v > v(·)|), v∗ , [b2 Φ2 (∇v)]∗v



pour v ∈

H01 (Ω) ∩ W 1 (Ω, |·|N,1 ), on a X(v) ∈ L1 (Ω)2 × L1 (Ω∗ )2 . Pour appliquer le dernier H01 (Ω), H = L2 (Ω) et  th´eor`eme pr´ec´edent, consid´erons alors, V =  V = v ∈ V ∩ W 1 (Ω, |·|N,1 ) : v soit co-aire r´eguli`ere . Consid´erons la suite de fonctions propres (ϕj )j
1 associ´ee au probl`eme de Dirichlet suivant : −∆ϕj = λj ϕj , ϕj ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) ∩ C ∞ (Ω) . Pour h =

1 , m ∈ IN ∗ , on note m   Vh ≡ Vm = vect ϕ1 , . . . , ϕm ⊂ V, Vm ⊂ Vm+1 .

On d´efinit alors une fonction G : V → H par      ϕ(x)F x; X(v) dx, pour v ∈ V, ∀ ϕ ∈ H . G(v), ϕ = Ω

Si on introduit le convexe ferm´e Cε =

  f ∈ L2 (Ω) : f  ε , du fait de

l’hypoth`ese sur F , on a G(v) ∈ Cε . Proposition 8.2.1. Si {v, vn } est une suite de V t.q. vn → v dans H01 (Ω)-fort, alors : (i) X(vn ) → X(v) dans L1 (Ω)2 × L1 (Ω∗ )2 -fort, (ii) G(vn ) → G(v) dans L2 (Ω)-fort. Preuve. D’apr`es les th´eor`emes 6.2.8, 7.1.4 et le corollaire 7.1.3,  on d´eduit 1 2 1 2 ) → X(v) dans L (Ω) × L (Ω ) -fort, par hypoth` e se F x, X(vn ) → X(v n ∗   F x, X(v) dans IR pour presque que tout x et par le th´ e or` e me de la conver    gence domin´ee on a : F ·; X(vn ) → F ·; X(v) dans L2 (Ω)-fort, en particulier G(vn ) → G(v) dans L2 (Ω)-fort. Consid´erons (−∆)−1 : L2 (Ω) → H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) d´efini par  (−∆)−1 f = u f ∈ L2 (Ω)

⎧ 2 1 ⎨u  ∈ H (Ω) ∩ H0 (Ω) ⇐⇒ ⎩ ∇u · ∇ϕ = f ϕ, ∀ ϕ ∈ H01 (Ω) . Ω

Ω

8.2 Sur un pb. semilin´eaire abstrait et ses appli. aux pb. nonlocaux

211

  Si f ∈ Cε alors −∆ (−∆)−1 f = f  ε.     Par suite l’ensemble Ωf = x ∈ Ω : ∇ (−∆)−1 f = 0 est de mesure nulle   (sinon −∆ (−∆)−1 f = 0  ε p.p. sur Ωf ). Ceci montre (−∆)−1 (Cε ) ⊂ V.    Mais comme, G(V) ⊂ Cε et W = vect Vm ⊂ V, on d´eduit que m
1

G(W )

σ(H)

(adh´erence dans L2 (Ω)-faible) ⊂ Cε

(Cε est faiblement ferm´e dans L2 (Ω)). D’o` u  σ(H)  (−∆)−1 G(W ) ⊂ (−∆)−1 (Cε ) ⊂ V les hypoth`eses du dernier th´eor`eme 8.2.3 sont satisfaites. On conclut qu’il existe u ∈ V t.q. −∆u − G(u) = 0 i.e. le th´eor`eme 8.2.3. La r´egularit´e r´esulte des th´eor`emes standards de Agmon-Douglas-Nirenberg.  Les prochaines applications n´ecessiteront les lemmes suivants : 8.2.1. Soient v ∈ L1loc (Ω) et θ = χΩ∗ \P (v∗ ) la fonction caracde Ω∗ \P (v∗ ). Soit vn une suite de L1loc (Ω) qui converge vers partout. Pour x ∈ Ω, on note I(vn )(x) (resp I(v)(x) pour v)    l’intervalle mvn vn+ (x) , mvn (0) o` u mvn est la fonction de distribution de vn . Alors, pour tout σ ∈ Ω∗ σ = |v > 0|, σ = |v > v+ (x)|, on a :

Lemme t´eristique v presque

lim θ(σ)χI(vn )(x) (σ) = θ(σ)χI(v)(x) (σ) .

n→+∞

(8.34)

Preuve. Notons pour tout r´eel t, et une suite tn → t, on a : |v > t|
lim inf |vn > tn |
lim sup |vn > tn |
|v  t| . n

n

 |v > 0|, σ = |v > v+ (x)|. Si σ < |v > 0| ou Soit alors σ ∈ Ω∗ , σ = σ > |v  v+ (x)| alors pour n assez grand, on a χI(vn )(x) (σ) = χI(v)(σ) (x) = 0 donc on a (8.34). Si σ ∈] |v  0| , |v > v+ (x)| [ alors pour n assez grand χI(vn (x) (σ) = χI(v)(x) (σ) = 1 et donc on a (8.34).     Si σ ∈ |v > 0| , |v  0| et |v=0|>0 ou σ ∈ |v>v+ (x)| , |vv+ (x)| et |v = v+ (x)| > 0 alors θ(σ) = 0 et on a (8.34). 

212

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

Lemme 8.2.2. Sous les mˆemes conditions que le lemme 8.2.1, si v et vn sont dans un born´e de W 1,q (Ω), q > N et telles que vn → v dans W 1 (Ω, |·|N,1 )-fort alors pour tout b ∈ L∞ (Ω), p ∈ C 1 (IR) avec |p (t)|
c3 |t| + c4 , ∀ t ∈ IR, pour presque tout x ∈ Ω :           θχI(vn )(x) p(vn∗ ) b∗vn (σ)dσ = θχI(v)(x) p(v∗ ) b∗v (σ)dσ. lim n

Ω∗

Ω∗





Preuve. Puisque p ∈ C(IR) et |p (t)|
c3 |t| + c4 (ci constante > 0), alors on d´eduit du th´eor`eme 6.2.7 que     p(vn∗ ) → p(v∗ ) dans L1 (Ω∗ )-fort  (En effet vn∗ → v∗ dans L1 (Ω∗ ) et par suite vn∗ → v∗ dans C(Ω ∗ )-fort.) Mais puisque v, vn sont dans un born´e de W 1,q (Ω), q > N , il existe alors
r ∈]1, +∞[ t.q. [p(vn∗ )] → [p(v∗ )] dans Lr (Ω∗ )-fort. De plus, par le lemme 8.2.1, on d´eduit que pour presque tout x, on a :

θχI(vn )(x) → θχI(v)(x) dans Lr (Ω∗ ),

(r conjugu´e de r ).

De ces deux derni`eres convergences, on conclut θχI(vn )(x) [p(vn∗ )] → θχI(v)(x) [p(v∗ )] dans L1 (Ω∗ )-fort.

(8.35)

Puisque b ∈ L∞ (Ω), on sait d’apr`es 2.6.1 que θb∗un  θb∗u dans L∞ (Ω∗ )faible-*. Cette converge faible et la convergence forte de (8.35) entraˆınent le r´esultat. 

Comme cons´equence des deux derniers lemmes, on a Corollaire 8.2.1. Soient a ∈ L∞ (Ω) et q > N . Sous les mˆemes conditions que le lemme 8.2.2 si on note pour x ∈ Ω, v ∈ W 1,q (Ω) ⎤ 12 v (v+ (x))  m   ⎥ ⎢ 2  [p(v )] b (σ)dσ ⎥ F (v)(x) = a(x) ⎢ F − ∗ ∗v 0 ⎦ . ⎣ ⎡

mv (0)

+

Alors l’application v ∈ W 1,q (Ω) → F (v) ∈ Lq (Ω) est continue pour les topologies fortes. Preuve. Soit θ = χΩ∗ \P (v∗ ) , vn ∈ W 1,q (Ω). On a, pour x fix´e,  Jn =

mvn (vn+ (x))

[p(vn∗ ] b∗vn dσ = Jn,1 (x) + Jn,2 (x)

mvn (0)

8.2 Sur un pb. semilin´eaire abstrait et ses appli. aux pb. nonlocaux



avec Jn,1 (x) =

Ω∗

213

(1 − θ)χI(vn )(x) [p(vn∗ ] b∗vn dσ .

Si vn → v dans W 1,q (Ω) alors on sait vn ∗ → v∗ dans L1 (Ω∗ ) et vn∗ → v∗  dans C(Ω ∗ ), par suite lim n

Ω∗

  (1 − θ) vn ∗  (σ)dσ =



|v∗ | (σ)dσ = 0.

P (v∗ )

Comme   |Jn,1 (x)|
|b|∞ c3 |vn∗ |∞ + c4

 Ω∗

  (1 − θ) vn ∗  dσ −−−−−→ 0

(8.36)

n→+∞

D’apr`es le lemme 8.2.2, le terme Jn,2 (x) v´erifie    θχI(v)(x) [p(v∗ )] b∗v (σ)dσ. lim Jn,2 (x) = n

(8.37)

Ω∗

A l’aide de deux derni`eres relations (8.36) et (8.37), on a lim F (vn )(x) = F (v)(x) p.p. .

(8.38)

n

Puisqu’on a :   |F (vn )(x)|
|a|∞ F02 + |b|∞

 |vn∗ | dt

Ω∗



c3 |vn∗ |∞ + c4

 12

.

(8.39)

On d´eduit qu’il existe c5 > 0 t.q. |F (vn )(x)|
c5 p.p. on conclut alors avec le th´eor`eme de la convergence domin´ee. 

Th´ eor` eme 8.2.5.

|ξ| , ε > 0, ξ ∈ IR2 . Sous les ε + |ξ| mˆemes conditions que le corollaire 8.2.1 pr´ec´ edent, si b  0, p  0 et 0 <

  2 c3 < inf |∇ϕ| dx, |ϕ|2 = 1, ϕ ∈ H01 (Ω) alors il existe une fonction

On suppose que N = 2. Soit Φε (ξ) =

Ω

u ∈ W 2,p (Ω) ∩ H01 (Ω), ∀ p ∈]1, +∞[, v´erifiant      −∆u(x) = F (u)(x) + p (u)(x) b(x) − bΦε (∇u) ∗u |u > u(x)| . Preuve. Soit  (ϕj )j
0 la suite de fonctions propres du Laplacien, Vm = vect ϕ1 , . . . , ϕm . On a : D(−∆) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω),

V = H01 (Ω),

H = L2 (Ω),

214

8 Quelques probl`emes li´es au r´earrangement relatif

⎛ vect ⎝



⎞ Vm ⎠ ⊂ D(−∆) = V.

m
0

On d´efinit G : V → L2 (Ω) = H par      G(v), ϕ = ϕ(x) F (v)(x) + Kε (v)(x) dx,

∀ ϕ ∈ L2 (Ω)

Ω

     o` u Kε (v)(x) = p (v)(x) b(x) − bΦε (∇v) ∗v |v > v(x)| . D’apr`es le th´eor`eme 6.2.5 les ´el´ements de V sont co-aire r´eguliers. D’apr`es le corollaire 8.2.1 des lemmes 8.2.1 et 8.2.2 pr´ec´edents, si vn , v restent dans un born´e de D(−∆) et vn → v dans H01 (Ω) alors, vn → v dans W 1,q (Ω), pour tout q > 2, par suite F (vn ) → F (v) dans L2 (Ω)-fort. D’apr`es le corollaire 7.1.3, on d´eduit Kε (vn ) → Kε (v) dans L2 (Ω)-fort. Par cons´equent, G(vn ) → G(v) dans L2 (Ω)-fort. D’une simple modification du th´eor`eme 8.2.1 on d´eduit qu’il existe u ∈ D(−∆) t.q. −∆u(x) = F (u)(x) + Kε (u)(x). La r´egularit´e est celle de Agmon-Douglas-Nirenberg. 

Cette derni`ere application concerne les ´equations de la physique des plasmas lorsque l’on a un plasma confin´e dans une machine appel´ee Stellarator. Le mod`ele stationnaire obtenu a` partir des ´equations de la magn´etohydrodynamique est le suivant : Pour Ω ⊂ IR2 , ouvert born´e connexe de classe C 1 , γ ∈] − ∞, 0[, on cherche u ∈ H01 (Ω) ∩ W 2,p (Ω), p < +∞  −∆u = F (u) + K(u), u = γ sur ∂Ω,    K(u)(x) = p (u) b(x) − b∗u |u > u(x)| , p (t) = λt+ . On peut r´esoudre ce dernier probl`eme en utilisant le probl`eme approch´e pr´ec´edent i.e. remplacer K par Kε . On ne fera pas cette preuve (cela peut se faire en exercice avec les mˆemes arguments qu’ici).

Notes pr´ e-bibliographiques Les r´esultats deu paragraphe 8.1 sont dus a` Rakotoson-Serre [103], et ceux du paragraphe 8.2 rel`event essentiellement des travaux de Rakotoson-Seoane [101, 102]. Les m´ethodes utilis´ees dans le th´eor`eme 8.2.4 trouvent leur origine dans Rakotoson [95, 96], D`ıaz-Padial-Rakotoson [49].

9 R´ earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl` emes d’´ evolution

Le r´earrangement monotone comme le r´earrangement relatif trouve ses applications dans les probl`emes d’´evolution. En effet, des r´esultats de th´eor`eme de comparaison analogues `a ceux de G. Talenti ont ´et´e prouv´es par Catherine Bandle pour les ´equations lin´eaires r´egies par un Laplacien. Elle a compar´e ∂u − ∆u = f ∈ L2+ (Q) dans un cylindre quelconque la solution r´eguli`ere de ∂t Q =]0, T [×Ω (avec des conditions aux limites de Dirichlet) avec la solu∂U tion r´eguli`ere U de − ∆U = f dans le cylindre “r´egulier” de mˆeme ∂t : : =]0, T [×Ω : avec des donn´ees initiales comparables, en montrant que mesure Q   s

0

s

u∗ (t, σ)dσ


0

U∗ (t, σ)dσ, ∀t ∈ [0, T [, ∀s ∈ Ω∗ . Plus tard, J. Mossino

et J.M. Rakotoson [83] ont ´et´e amen´es `a ´etudier le cas o` u l’op´erateur ∆ est remplac´e par un op´erateur lin´eaire `a coefficients discontinus. Ce qui a conduit a` l’´etude de la r´egularit´e de ∂t u∗ . Notamment, nous verrons que le r´earrangement relatif intervient dans l’´etude de la d´eriv´ee du r´earrangement monotone, en montrant les formulessuivantes :  si u : Q =]0, T [×Ω → IR, u ∈ W 1,r 0, T ; Lp (Ω) (u  0 si Ω est non born´e) alors   1. u∗ ∈ W 1,r 0, T ; Lp (Ω∗ ) avec u∗ (t, s) = u(t)∗ (s), t ∈]0, T [ s ∈ Ω∗ ,

 ∂u ∂u ∂u∗ (t, s) = (t) 2. (s) = ˙ (t, s). ∂t ∂t ∂t ∗u ∗u(t) ∂u∗ On d´eduira de ces formules par exemple l’´etude de la continuit´e de u → . ∂t Comme au chapitre 5, nous utiliserons ces r´egularit´es et propri´et´es du r´earrangement monotone pour obtenir des estimations a priori pour les ´equations paraboliques quasilin´eaires. On pr´esentera aussi des th´eor`emes de comparaison de solutions qui conduiront, dans le cas du syst`eme en Chemotaxis, a` l’´etude du comportement en temps du syst`eme.

216

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

9.1 R´ earrangement relatif d’une famille de fonctions Par souci de simplicit´e, nous supposerons que Ω est un ouvert born´e de IRN . Pour une fonction u :]0, T [×Ω = Q → IR mesurable, on d´efinit, pour t fix´e dans ]0, T [, u(t) : Ω → IR par u(t)(x) = u(t, x) pour x ∈ Ω. A cette fonction u(t) on peut appliquer toute la th´eorie des chapitres pr´ec´edents, notamment u la d´efinition suivante : le r´earrangement monotone u(t)∗ . D’o` D´ efinition 9.1.1 (sym´etrisation d’une famille de fonctions). Pour u : Q = ]0, T [×Ω → IR, mesurable, on d´efinit u∗ : Q∗ =]0, T [×Ω∗ → IR par (t, s) ∈ Q∗ .

u∗ (t, s) = u(t)∗ (s),

D´ efinition 9.1.2 (r´earrangement relatif d’une famille de fonctions). Soient u, b deux fonctions int´egrables de L1 (Q). On d´efinit b∗u : Q∗ → IR par : (t, s) ∈ Ω∗ . b∗u (t, s) = b(t)∗u(t) (s),

Propri´ et´ e 9.1.1.   Soient u et b dans Lr 0, T ; Lp (Ω) , avec 1
r
+∞, 1
p
+∞. Alors les fonctions mesurables u∗ , b∗u v´erifient   1. u∗ et b∗u sont dans Lr 0, T ; Lp (Ω∗ ) .  = |u|   2. |u∗ |  Lr 0,T ;Lp (Ω∗ )

et |b∗u | r  L

0,T ;Lp (Ω∗ )

Lr 0,T ;Lp (Ω)


|b|  r L

0,T ;Lp (Ω)

.

Remarque.     r r p L 0, T ; L (Ω) = u : Q → IR mesurable u =

0



T r

|u(t)|Lp (Ω) dt < +∞

si

r est   fini.   L∞ 0, T ; Lp (Ω) = u : Q → IR mesurable sup ess |u(t)|Lp (Ω) = u < +∞ . [0,T ]

Ils sont munis des normes usuelles i.e. |u| r  L

0,T ;Lp (Ω)

 = u .

Comme nous avons ´evoqu´e le r´earrangement relatif, rappelons qu’il est obtenu en calculant la limite suivante :   s  s u(t) + hb(t) ∗ − u(t)∗ lim dσ = b∗u (t, σ)dσ. h→0 h>0 0 h 0

9.2 R´egularit´e en temps du r´earrangement u∗ (t, s)

217

Ainsi, toutes les propri´et´es obtenues dans les chapitres pr´ec´edents sont valables en fixant juste le param`etre t. Notamment, les in´egalit´es ponctuelles de Poly` a-Sz¨ego ou de Poincar´e-Sobolev. Exemple, on a :   Th´ eor` eme 9.1.1. Soit u ∈ L1 0, T ; W01,1 (Ω) , u  0. Alors, ∀s ∈ Ω ∗ , p.p. t   s  s  s     |∇u|∗u (t, σ)dσ
|∇u|∗ (t, σ)dσ, 1. ∇ u:  (t, σ)dσ
0

0

∗

0

2. Si ρ est une norme de Fatou, invariante par r´earrangement sur L0+ (Ω∗ ), alors :          ρ ∇ u (t)
ρ |∇u|∗u (t)
ρ |∇u|∗ (t) . : ∗

N Ici u est le r´earrangement sph´erique d´efini par u(t, x) = u∗ (t, αN |x| ), :

:

αN =mesure de la boule unit´e et x dans la boule de mˆeme mesure que Ω centr´ee a ` l’origine. Nous n’allons pas reporter toutes les propri´et´es , nous passons directement `a ∂u∗ l’application, a` la r´egularit´e de . ∂t

9.2 R´ egularit´ e en temps du r´ earrangement u∗(t, s) Th´ eor` eme 9.2.1.   Soit u ∈ W 1,q 0, T ; Lp (Ω) , avec 1
q
+∞ 1
p
+∞. Alors   (i) u∗ ∈ W 1,q 0, T ; Lp (Ω∗ ) , ∂w ∂u∗ = dans D (Q∗ ) o` (ii) u w : Q∗ → IR d´efinie par ∂t ∂s  w(t, s) =

∂u (t, x)dx + ∂t

{u(t)>u(t)∗ (s)}

∗ (s)|
  s−|u(t)>u(t) ∂u (t)|{u(t)=u(t)∗ (s)} (σ)dσ . ∂t ∗

0

La preuve de ce th´eor`eme n´ecessite le lemme suivant :   Lemme 9.2.1. Soit u ∈ W 1,q 0, T ; Lp (Ω) , 1
q
+∞, 1
p
+∞. u(t + h) − u(t) (x), x ∈ Ω. Pour h > 0, on note gh (t, x) =  h ∂u α dans Lα Alors, gh converge vers (Ω) [0, T ), L loc ∂t  min(p, q) si p ou q est f ini avec α = α < +∞ si p = q = +∞.

218

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

Preuve. Soit α d´efini comme dans le lemme,   ∂u ∈ Lα (Q) d`es que u ∈ W 1,q 0, T ; Lp (Ω) . De ce fait, on d´eduit pour alors ∂t 0 < h < δ < T , on a : ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ α1

0

⎛

⎞ α1 T −δ+h   α    ⎜   ⎟ ⎟   ∂u α ⎜  (t, x) dxdt ⎟
 ∂u  |gh (t, x)| dxdt ⎟
.  ∂t  α   ∂t ⎝ ⎠ ⎠ Ω Ω L (Q)

 T−δ

0

Par suite, si on note Qδ =]0, T − δ[×Ω, on a    ∂u  . lim sup |gh |Lα (Qδ )
  ∂t Lα (Qδ ) h→0

(9.1)

∂u dans Lα (Qδ ), ∂t ∂u dans on d´eduit du fait que Lα (Qδ ) est uniform´ement convexe que gh → ∂t α L (Qδ ). Si α  = 1, on approche u par une suite d’´ el´ements un par exemple de  W 1,2 0, T ; L2 (Ω) , et qui converge dans W 1,1 0, T ; L1 (Ω) . En posant, un (t + h) − un (t) ∂un εn (h)(t) = − (t) h ∂t

Ainsi pour α > 1, puisque gh converge faiblement vers

alors εn (h) −−−→ 0 dans L1 (Qδ ). h→0

Si on pose ε(h)(t) =

u(t + h) − u(t) ∂u − (t) h ∂t

alors on a : |ε(h)|L1 (Qδ )
|εn (h)|L1 (Qδ ) + |εn (h) − ε(h)|L1 (Qδ ) et

  ∂  |εn (h) − ε(h)|L1 (Qδ )
2  (un − u) −−−−−→ 0. n→+∞ ∂t L1 Qδ )

Ainsi, ces relations combin´ees ensemble conduisent `a   ∂   lim sup |ε(h)|L1 (Qδ )
2  (un − u) : lim |ε(h)|L1 (Qδ ) = 0. ∂t h→0 L1 (Qδ ) h→0 

9.2 R´egularit´e en temps du r´earrangement u∗ (t, s)

219

Preuve du th´eor`eme. Montrons d’abord (ii) c’est a` dire que ∀ϕ ∈ D(Q∗ ), on a :  −

T

0



∂ϕ u∗ (t, σ) (t, σ)dtdσ = ∂t Ω∗



T



0

Ω∗

∂w (t, σ)ϕ(t, σ)dtdσ. ∂s

(9.2)

Pour cela, pour h > 0 consid´erons l’int´egrale 

T



I(h) = 0

Ω∗

u(t + h)∗ (σ) − u(t)∗ (σ) ϕ(t, σ)dtdσ h

et introduisons les quantit´es suivantes : ∂u (t) + hε(h)(t), ∂t      u(t + h)∗ − u(t) + h ∂u ∂t (t) ∗ I1 ε(h) = (σ)ϕ(t, σ)dtdσ, h Q∗    u(t) + h ∂u ∂t (t) ∗ (σ) − u(t)∗ (σ) I2 (h, t) = ϕ(t, σ)dσ, h Ω∗  T I2 (h) = I2 (h, t)dt. ε(h) : Q → IR t.q. u(t + h) = u(t) + h



0

 On a bien entendu I(h) = I1 ε(h) + I2 (h).   Etude I1 ε(h) : Soit δ > 0 t.q. support ϕ ⊂]0, T − δ[×Ω∗ = Q∗δ . La propri´et´e de contraction du r´earrangement conduit a`:    I1 ε(h) 
|ϕ| ∞ L (0,T −δ)×Ω∗ ) · |ε(h)|L1 (Qδ ) . En appliquant a` cette derni`ere in´egalit´e le lemme 9.2.1, on d´eduit :   lim I1 ε(h) = 0. h→0

Quant au terme I2 (h, t), le th´eor`eme de la d´eriv´ee directionnelle du chapitre 2 conduit a` : 
 ∂u (t, σ)ϕ(t, σ)dσ (9.3) lim I2 (h, t) = h→0 ∂t ∗u Ω∗ pour presque tout t. Par la propri´et´e de contraction du r´earrangement monotone, on d´eduit :    ∂u   |I2 (h, t)|
|ϕ|L∞ (Q) ·  (t) . (9.4) ∂t L1 (Ω)

220

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

Les relations (9.3) et (9.4) permettent d’appliquer le th´eor`eme de la convergence domin´ee. D’o` u  T
  T ∂u I2 (h, t)dt = (t, σ)ϕ(t, σ)dtdσ (9.5) lim h→0 0 ∂t ∗u Ω∗ 0 Par suite, on a (par changement de variables)  T  T ∂ϕ (9.6) I2 (h, t)dt = lim I(h) = − u∗ (t, σ) (t, σ)dtdσ. lim h→0 0 h→0 ∂t 0 Ω∗

   ∂u ∂u ∂u∗ = Ce qui prouve que . Puisque ∈ Lq 0, T ; Lp (Ω∗ ) , on ∂t ∂t ∗u ∂t ∗u   ∂u∗ q p d´eduit alors que ∈ L 0, T ; L (Ω∗ ) . 

∂t Une premi`ere cons´equence du th´eor`eme est :   Th´ eor` eme 9.2.2. Soit u ∈ W 1,1 0, T ; L1 (Ω) . Alors pour presque tout ∂u (t, ·) est constant (presque partout) sur tout palier de u(t) t ∈ (0, T ), ∂t i.e. o` u u(t, ·) est constant (presque partout). Preuve. Dans la preuve du th´eor`eme pr´ec´edent consid´erons h < 0 dans I2 (h, t). Alors     u(t) − h − ∂u (σ) − u(t)∗ (σ) ∂t ∗ ϕ(t, σ)dσ I2 (h, t) = − −h Ω∗  
∂u qui converge vers − (t, σ)ϕ(t, σ)dσ. Par suite, on a dans D (Q∗ ) − ∂t ∗ Ω∗

 ∂u ∂u∗ ∂u = =− − . ∂t ∂t ∗u ∂t ∗u
En
 reprenant la fonction w, on a :  ∂u ∂u ∂w ∂w et − − o` u w est donn´ee par = = ∂t ∗u ∂s ∂t ∗u ∂s ⎧ ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ⎪ si |u(t) = u∗ (t, s)| = 0, dx ⎪ ⎪ ∂t ⎪ ⎪ ⎪ {u(t)>u∗ (t,s)} ⎪ ⎪ ⎨ w (t, s) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∗ (t,s)}|
 ⎪  s−|{u(t)>u  ⎪ ⎪ ∂u ∂u ⎪ ⎪ − − |{u(t)=u∗ (t,s)} (σ)dσ + dx ⎪ ⎪ ∂t ⎪ ∂t ⎪ ∗ ⎩ {u(t)>u∗ (t,s)} 0

sinon.

9.2 R´egularit´e en temps du r´earrangement u∗ (t, s)

221

Par suite on a : ∗ (t,s)}| ∗ (t,s)}|

   s−|{u(t)>u  s−|{u(t)>u ∂u ∂u |{u(t)=u∗ (t,s)} (σ)dσ = − − |{u(t)=u∗ (t,s)} (σ)dσ . ∂t ∂t ∗ ∗

0

(9.7)

0

Fixons alors t ∈ (0, T ) et un plateau de u(t) i.e. Pθ (t) =

  u(t) = θ de

mesure non nulle. Posons sθ = |u(t) > θ| , sθ = |u(t)  θ|. Comme w(t, 0) = 0 = w (t, 0), on a : w(t, s) = w (t, s) ∀s ∈ Ω ∗ . Par suite, pour tout s ∈ [sθ , sθ ], on a d’apr`es (9.7)

  ∂u ∂u ∂w (t, s) = |P (t) (s − sθ ) = − − |Pθ (t) (s − sθ ). ∂s ∂t θ ∂t ∗ ∗ En particulier

  ∂u ∂u ∂u ∂u |Pθ (t) (0) = sup ess = − − |Pθ (t) (0) = inf ess . ∂t ∂t ∂t ∂t P (t) θ Pθ (t) ∗ ∗ 

Corollaire 9.2.1. Soit B un ensemble bor´elien de IR et soit u ∈   W 1,1 0, T ; L1 (Ω) . Alors, pour presque tout t ∈ (0, T )       ∂u∗ ∂u (t, σ)χB u∗ (t, σ) dσ = (t, x)χB u(t, x) dx. Ω∗ ∂t Ω ∂t C’est une cons´equence de e, mais voici une autre preuve :
l’´equimesurabilit´  ∂u ∂u∗ = Preuve. Puisque , alors la formule de la moyenne conduit a` : ∂t ∂t ∗u  Ω∗

 =

  ∂u∗ (t, σ) · χB u∗ (t, σ) dσ = ∂t

 Ω

   ∂u (t, x)Mu(t), ∂u (t) χB u∗ (t, ·) dx = ∂t ∂t

    ∂u    ∂u χ u(t) · (t, x)dx . M ∂u   B ∗ (t, x) · χB u(t, x) dx + ∂t (t)| ∂t ∂t  Pi u(t)   i∈D

Ω\P u(t)

Pi u(t)

(9.8)

222

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

D’apr`es le th´eor`eme 9.2.2, on a     ∂u (t, ·) = constante = ci , si u(t) = θi = Pi u(t) . ∂t D’o` u 

 M ∂u (t)|{u(t)=θ ∂t

{u(t)=θi }

i}

  ∂u (t, x)dx = ci χB (θi ) |u(t) = θi | = χB u(t)∗ · ∂t  =

  ∂u (t, x)χB u(t, x) dx . ∂t

{u(t)=θi }

Par suite, 

    ∂u   ∂u (t, x)dx = M ∂u (t)|   χB u(t)∗ · (t, x)χB u(t, x) dx . ∂t ∂t Pi u(t) ∂t   {u(t)=θi }

Pi u(t)

(9.9) 

D’o` u la formule en combinant les relations (9.8) et (9.9). En combinant les th´eor`emes pr´ec´edents avec le th´eor`eme 7.2.2 on a :

  Th´ eor` eme 9.2.3. Soient u ∈ W 1,1 0, T ; L1 (Ω) et Φ : IR → IR convexe croissante, B ⊂ IR un ensemble bor´elien de IR. Alors, pour presque tout t 


       ∂u∗ ∂u χB (u) (t, σ)dσ. (t, σ) χB u∗ (t, σ) dσ
Φ Φ ∂t ∂t ∗ ∗ Ω∗ Ω∗ Preuve. D’apr`es le th´eor`eme 7.2.2, on a

   

     ∂u ∂u χB (u∗ ) (t, σ)dσ
Φ χB (u∗ ) (t, σ)dσ Φ ∂t ∗u ∂t ∗ ∗ Ω Ω∗     u le r´esultat. mais χB (u∗ ) = χB (u) d’o` ∗

∗

On va maintenant s’int´eresser aux probl`emes de convergence de ∂u∗ pour une suite un convergeant vers u. ∂t



∂un∗ vers ∂t

9.3 Convergence et continuit´e pour u →

9.3 Convergence et continuit´ e pour u →

∂u∗ ∂t

223

∂u∗ ∂t

  Lemme 9.3.1. Soit {u, un } une suite de W 1,1 0, T ; L1 (Ω) t.q. un → u   dans W 1,1 0, T ; L1 (Ω) . Pour t ∈ (0, T ), s ∈ Ω∗ on note :   (s), θ(t)(s) = θ(t, s). θ(t, s) = χ Ω∗ \P u∗ (t)

Alors il existe une sous-suite encore not´ee (un )n , t.q. on a pour presque tout t ∂u∗ ∂un∗ (t)  θ(t) · (t) dans L1 (Ω∗ )-faible. θ(t) · ∂t ∂t   Preuve. Puisque un → u dans W 1,1 0, T ; L1 (Ω) , alors il existe une sous-suite ∂u ∂un (t) → (t) dans L1 (Ω)-fort, un (t) → u(t) dans L1 (Ω), not´ee un t.q. ∂t ∂t pour presque tout t. Par ailleurs, d’apr`es le th´eor`eme 2.6.1, on sait que  

∂u ∂u (t) (t) θ(t) ·  θ(t) · (9.10) ∂t ∂t ∗un (t) ∗u(t) dans L1 (Ω∗ )-faible. On a d’apr`es la contraction du r´earrangement relatif,    
  ∂u  ∂  ∂u  n∗  (t) − (t)
 (un − u)(t) → 0.    ∂t  ∂t ∂t ∗un (t) 1 L1 (Ω)

(9.11)

L (Ω∗ )

Par suite, puisqu’on a ' (
 
∂u ∂u ∂un∗ ∂un∗ (t) = θ(t) (t) − (t) (t) θ(t) + θ(t) ∂t ∂t ∂t ∂t ∗un (t) ∗un (t) les relations (9.10) et (9.11) conduisent au r´esultat. Th´ eor` eme 9.3.1. Soit {u, un } une suite t.q. 

∂u ∂un (t), ∇x un (t) → (t), ∇x u(t) dans L1 (Ω)N +1 ∀t ∈ T0 ⊂ [0, T ]. ∂t ∂t Alors, si u(t) est co-aire r´eguli`ere, t ∈ T0 alors on a

  ∂u ∂un χ{∇u(t)=0} (t)χ{∇u(t)=0} → ∂t ∂t ∗un (t) ∗u(t) dans L1 (Ω∗ )-fort.



224

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

Preuve. Posons


 ∂un χ{∇u(t)=0} (σ) ∂t ∗un (t)
 ∂u χ{∇u(t)=0} K(t, σ) = (σ) ∂t ∗u(t)
 ∂u χ{∇u(t)=0} (σ) Kn,1 (t, σ) = ∂t ∗un (t) Kn (t, σ) =

pour t ∈ (0, T ), σ ∈ Ω∗ . ∂  On a |Kn (t) − Kn,1 (t)|L1 (Ω∗ )
 ∂t (un − u)(t)L1 (Ω) −−−−−→ 0. Puisque n→+∞

un (t) → u(t) dans W 1,1 (Ω) et u(t) est co-aire r´eguli`ere, on d´eduit que Kn,1 (t) → K(t) dans L1 (Ω∗ )-fort.

9.4 Applications aux estimations a priori et ` a la r´ egularit´ e Ce paragraphe se base sur des principes analogues `a ceux du chapitre 5 pour obtenir des estimations du gradient ou de la solution. La premi`ere ´etape consiste `a estimer |∇v|∗v (t, s) et ensuite `a appliquer les in´egalit´es ponctuelles de Poincar´e-Sobolev pour obtenir des informations sur v = |u|. Illustrons ceci, en prenant un op´erateur mod`ele qui est le p-Laplacien. N´eanmoins, nous pouvons consid´erer les mˆemes types d’op´erateurs que nous avons utilis´es au chapitre 5, c’est `a dire Au = −div(a(x, u, ∇u)). Nous pouvons aussi ´etudier des ´equations d’´evolution faisant intervenir b∗u (t, ·) ou u∗ (t, ·). Cela correspond a` certains mod`eles de r´egimes transitoires en physique des plasmas. Ces ´equations peuvent s’´ecrire : ∂ H(u) − ∆u = G(t, x, u∗ (t, ·), b∗u (t, ·)) ∂t o` u H est fonction monotone (voir [45]) dont les solutions stationnaires correspondent a` celles cit´ees `a l’introduction du chapitre 2. Auparavant, voici un th´eor`eme abstrait qui va nous assurer que la d´eriv´ee ∂u peut ˆetre dans L1 (Q), ce qui nous permettra d’appliquer le en temps ∂t ∂u∗ . th´eor`eme sur ∂t 9.4.1 Un th´ eor` eme abstrait d’existence et de r´ egularit´ e Soient (V, · ) un espace de Banach r´eflexif de dual V  et (H, |·|) un espace de Hilbert, V ⊂ H, V dense dans H avec une injection continue. De ce fait, on a V ⊂ H ⊂ V  .

9.4 Applications aux estimations a priori et a ` la r´egularit´e

225

D´ efinition 9.4.1. Soit A un op´erateur de V dans V  , A est dit hemi-continu si l’application λ →< A(u + λv), w > est continue de IR dans IR pour tout u, v, w de V . Ici, le crochet < ·, · > d´esigne le crochet de dualit´e entre V et V  . On dira que A est monotone si ∀(u, v) ∈ V 2 < A(u) − A(v), u − v > 0. On dira que A d´erive d’un potentiel, s’il existe une fonction J : V → IR Gˆ ateaux diff´erentiable t.q. J  (u) = A(u) ∀u ∈ V.  On appellera domaine de A l’ensemble D(A) = v ∈ V, A(v) ∈ H

Th´ eor` eme 9.4.1. On consid`ere (V, · ) et (H, |·|) v´erifiant les conditions pr´ec´edentes et soit A un op´erateur hemi-continu, monotone d´erivant d’un potentiel J. On suppose de plus que A et J v´erifient les conditions de croissance suivantes : ∀v ∈ V @ A p A(v), v  α v , α > 0, 2
p < +∞, |A(v)|V
(norme dans V  )
c1 v

p−1

p

,

p

c2 v − c3
J(v)
c4 v + c5 . Alors ∀u0 ∈ D(A), ∀f ∈ H, il existe une solution unique u ∈ L∞ (0, T ; V ), T > 0 de u + Au = f, u(0) = u0 . De plus, u et Au ∈ L∞ (0, T ; H). L’exemple mod`ele que nous choisirons sera   p−2 Au = −div |∇u| ∇u = −∆p u, V = W01,p (Ω) H = L2 (Ω). Dans ce cas, on a :  1 p J(v) = |∇v| dx, v ∈ V, p Ω

p  2.

Plus g´en´eralement, en se donnant des hypoth`eses convenables sur ai on peut consid´erer les op´erateurs dits de Leray-Lions suivants : Au = −

n  ∂ ai (x, ∇u). ∂xi i=1

Ce th´eor`eme assure si, f ∈ L2 (Ω), u0 ∈ W01,p (Ω), 2
p < +∞ t.q. −∆p u0 ∈ L2 (Ω) alors l’unique solution de

226

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

⎧ ∂u ⎪ ⎪ ⎨ ∂t − ∆p u = f u=0 ⎪ ⎪ ⎩ u(0) = u0 ,

dans (0, T ) × Ω, sur (0, T ) × ∂Ω,

    ∂u ∈ L∞ 0, T ; L2 (Ω) . v´erifie u ∈ L∞ 0, T ; W01,p (Ω) et ∂t 9.4.2 Cas des ´ equations quasilin´ eaires paraboliques   Dans ce qui va suivre, nous supposerons toujours que u∈W 1,1 0, T ; L1 (Ω) . L’´equation sera prise au sens variationnel suivant :    ∂u p−2 (t, x)ψ(x)dx + |∇u| ∇u · ∇ψ dx = f (t, x)ψ(x)dx ∀ψ ∈ W01,p (Ω), Ω ∂t Ω Ω dans D (0, T ) et p.p. en t. Th´ eor` eme 9.4.2. Soient f ∈ L1 (Q), u une solution de t.q. u(t) ∈ W01,p (Ω) pour presque tout t. Alors, on a pour s ∈ Ω∗ , t ∈ (0, T ) et v = |u|, 

p

|∇v|



p(N −1)

(t, s)
 ∗v

s− N (p−1) p  (p−1) 1 N N αN



s

0

 |f |∗ (t, σ)dσ −

s

0

∂u − ∆p u = f ∂t

∂v∗ (t, σ)dσ ∂t

  o` u Ωs (t) = x ∈ Ω : v(t, s) > v∗ (t, s) .

En particulier, on a  s  (i) |f |∗ (t, σ) − 0

(ii) ∀ϕ  0,

s

∂v∗ (t, σ)dσ  0, ∀s ∈ Ω ∗ , ∂t 0 ∞ ϕ ∈ L (Ω∗ ),  p−1 ϕ∗ (s) |∇v|∗ (s)ds
Ω∗






1 1

N N αN

ϕ(s) 1

Ω∗

s1− N

 0



s

|f |∗ (t, σ)dσ −

0

s

 ∂v∗ (t, σ)dσ ds ∂t

o` u ϕ∗ (s) = −(−ϕ)∗ (s), s ∈ Ω∗ . Preuve du th´eor`eme. Pour s ∈ Ω∗ , t ∈ (0, T ), consid´erons,

p  p−1

9.4 Applications aux estimations a priori et a ` la r´egularit´e

227



   ψ(t) = v(t) − v∗ (t, s) sign u(t) ∈ W01,p (Ω). +

En utilisant ψ comme fonction test et en d´erivant par rapport a` s, on a : ⎤ ⎡
     ⎢ ∂u ⎥ p ⎥ − ∂v∗ (t, s) . f sign u dx |∇v| dx (t, s) = ⎢ − ⎦ ⎣ ∂s ∗v Ωs (t) ∂t Ωs (t)

∂v∗ Puisque = ∂t 

p

|∇v|






∂v ∂t

, on d´eduit de cette derni`ere relation que : ∗v

'

 ∗v



(t, s) = Ωs (t)

f sign (u)dx −

s

0

∂v∗ (t, σ)dσ ∂t

(


 ∂v∗ − (t, s) ∂s (9.12)

En fait, on a en g´en´eral le lemme suivant :   Lemme 9.4.1. Soit v ∈ W 1,1 0, T ; L1 (Ω) . Pour t ∈ (0, T ), on note µ(t, θ) = |v(t) > θ| , θ ∈ IR. Alors, ∀θ ∈ IR 



µ(t,θ) ∂v∗

∂t

0

(t, σ)dσ =

∂v (t, x)dx . ∂t

{v(t)>θ}

Preuve du lemme. Si |v(t) = θ| = 0, alors cette relation d´ecoule de l’identit´e  0


  µ(t,θ)  ∂v ∂v (t, σ)dσ = (t, x)dx . (t, σ)dσ = ∂t ∗v ∂t ∂t

µ(t,θ) ∂v∗

{v(t)>θ}

0

Puisque l’ensemble des θ t.q. |v(t) = θ| = 0 est au plus d´enombrable et que les  applications θ → 0



µ(t,θ) ∂v∗

∂t

(t, σ)dσ , θ →

∂v (t, x)dx sont continues a` droite, ∂t

{v(t)>θ}



on conclut qu’on a l’´egalit´e pour tout θ. Comme cons´equence de ce lemme, on a : Lemme 9.4.2. Pour presque tout t, tout θ ∈ IR+ = [0, +∞[, on a 

 f sign u dx −

{v(t)>θ}

0

µ(t,θ) ∂v∗

∂t

(t, σ)dσ  0.

228

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

Preuve du lemme 9.4.2. En consid´erant comme fonction test, ψ0 = (v − θ)+ sign u pour θ  0, on d´eduit en d´erivant par rapport a` θ ⎡ ⎤    µ(t,θ) ⎢ ⎥ d ∂v∗ p f sign (u)dx − |∇v| (t, x)dx = ⎢ 0
− (t, σ)dσ ⎥ ⎣ ⎦. dθ ∂t {v(t)>θ}

v(t)>θ

0

Cette in´egalit´e est vraie pour presque tout θ et par continuit´e `a droite (´evoqu´ee ci-dessus), l’in´egalit´e du lemme 9.4.2 est vraie pour tout θ  0.  Par l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood, on d´eduit du lemme 9.4.2 que : 



µ(t,θ)

|f |∗ (t, σ)dσ − 0

0

µ(t,θ) ∂v∗

∂t

(t, σ)dσ  0,

∀θ  0.

(9.13)

    Si on note µ(t, θ) =  v(t)  θ , on d´eduit de cette derni`ere in´egalit´e que ∀θ > 0,  µ(t,θ)  µ(t,θ) ∂v∗ |f |∗ (t, σ)dσ − (9.14) (t, σ)dσ  0. ∂t 0

0

Montrons alors que ∀s ∈ Ω ∗  s  χ(s) = |f |∗ (t, σ) −

s

∂v∗ (t, σ)dσ  0. ∂t

0

0

χ(s )  0,

χ(s”)  0.

  Si |v(t) = v∗ (t, s)| = 0 alors µ t, v∗ (t, s) = s, la relation d´ecoule de (9.13). Si v∗ (t, s) = 0 et |v(t) = v∗ (t, s)| = 0, alors posons s = |v(t) > v∗ (t, s)| et s” = |v(t)  v∗ (t, s)|. D’apr`es les relations (9.13) et (9.14), on a :

De plus d’apr`es le th´eor`eme 9.2.2, on sait : ∂v∗ (t, σ) = c(t) = constante si σ ∈ (s , s”). ∂t d χ(s) = |f |∗ (t, s) − c(t) est d´ecroissante, on d´eduit que χ(s) est Comme ds concave d’o` u:   χ(s)  min χ(s ), χ(s”)  0.

9.4 Applications aux estimations a priori et a ` la r´egularit´e

229

Si v∗ (t, s) = 0 et |v(t) = 0| = 0, on a toujours χ(s )  0, s = |v(t) > 0|, s” = |Ω|. De erer:  nouveau, on a deux cas a` consid´ 

Si mes (τ, x) ∈ Q : v(τ, x) = 0 = 0, alors pour presque tout τ , |v(τ ) = 0| = 0, (d’apr`es le th´eor`eme de Fubini) alors on peut n´egliger les t t.q. |v(t) =0| = 0. 

Si mes (t, x) ∈ Q : v(t, x) = 0 > 0, alors (en utilisant le th´eor`eme de   ∂v (t) = 0 p.p.. sur v(t) = 0 . Alors, on a : Fubini) pour presque tout t, ∂t 
  ∂v ∂v∗ (t, σ) = (t, σ) = 0, σ ∈ s , |Ω| p.p. tout t. ∂t ∂t ∗v  

Dans ce cas, on a pour s ∈ s , |Ω| 



s

χ(s) = χ(s ) + s


∂v∗ (t, σ)dσ = χ(s )  0. ∂t

On a ainsi montr´e que   Lemme 9.4.3. Soit v ∈ W 1,1 0, T ; L1 (Ω) , v  0. Si ∀θ  0 alors on a :   0
χ µ(t, θ) =





µ(t,θ)

|f |∗ (t, σ)dσ − 0

0

µ(t,θ) ∂v∗

∂t

(t, σ)dσ , p.p. en t.

Alors, χ(s)  0

∀s ∈ Ω ∗ .

Fin de la preuve du th´eor`eme 9.4.2 A partir de ce lemme et de la relation (9.12) on d´eduit : 
  s  s   ∂v∗ ∂v∗ p (t, σ)dσ − (t, s) . (t, s)
|f |∗ (t, σ)dσ − |∇v| ∂t ∂s ∗v 0 0 En utilisant l’in´egalit´e de Poincar´e-Sobolev, on sait que 1

∂v∗ s N −1 − (t, s)
1 |∇v|∗v (t, s) ∂s N N αN

et

p

p

(|∇v|∗v )
(|∇v| )∗v , p

on d´eduit, apr`es simplification, l’estimation sur (|∇v| )∗v . A partir du th´eor`eme 7.2.2, on d´eduit aussi que ∀ϕ  0 ϕ ∈ L∞ (Ω∗ )   ϕ∗ (σ)Φ (|∇v|∗ ) dσ
ϕ Φ (|∇v|∗v ) dσ Ω∗

si Φ : IR+ → IR concave croissante.

Ω∗

230

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution 1

Comme l’application t → t1− p est croissante de IR+ dans lui-mˆeme et concave, par suite  1 p 1− p




Ω∗



1

ϕ(s)

1

ϕ∗ (σ) (|∇v|∗ )



1

N N αN

Ω∗

s1− N



s

|f |∗ (t, σ)dσ −

0

et

dσ


1 p 1− p

(|∇v| )∗

0

p−1

= |∇v|∗

s

 ∂v∗ (t, σ)dσ ds ∂t

, 

d’o` u le r´esultat.

Pour avoir une estimation ne d´ependant que de la donn´ee initiale, on int`egre la derni`ere relation (iii) par rapport a` t pour avoir : Th´ eor` eme 9.4.3. Sous les mˆemes conditions que le th´eor`emes 9.4.2, on a si u(0) = u0 ∈ L1 (Ω) alors, ∀ϕ  0 ϕ ∈ L∞ (Ω∗ ), 



∗

t p−1 |∇u|∗

ϕ (σ)dσ 0

Ω∗






1 1

N N αN

(τ, σ)dτ +

1 N

N αN 

ϕ(σ) 1

Ω∗



1

σ 1− N

σ




Ω∗

 |u0 |∗ (s) +

0

ϕ(σ)

0

σ

1 1− N



σ

dσ 0

|u|∗ (t, s)ds


t

|f |∗ (τ, s)dτ

 ds dσ.

Voici un exemple de cons´equence des estimations pr´ec´edentes  Th´ eor` eme 9.4.4. Si 0

t

|f |∗ (τ, ·)dτ ∈ Lp,q (Ω), (∀t) et u0 ∈ Lp,q (Ω) alors

(a) u(t) ∈ Lp,q (Ω) pour presque tout t,      |Ω|  σ  (b) ∀s ∈ Ω ∗ , on a  ∂u  dσ 2 p−1   |f |∗ (t, y) +   (t, y) dy . s |∇u|∗ (t, s)
1 1 ∂t ∗ N σ 1− N 0 N αN s 2

Preuve. •

Du th´eor`eme 9.4.2, on d´eduit que ∀σ ∈ Ω ∗   σ
 t  σ |u|∗ (t, s)ds
|f |∗ (τ, s)dτ ds p.p. tout t, |u0 |∗ (s) + 0

•

0

0

d’o` u l’´enonc´e (a). Quant a` l’´enonc´e (b), on choisit ϕ(σ) = χ[ 2s ,|Ω|] (σ) si s > 0 alors ϕ(σ) = ϕ∗ (σ), la relation (iii) du th´eor`eme 9.4.2 implique :

9.4 Applications aux estimations a priori et a ` la r´egularit´e





s p−1

|∇v|∗

Ω∗

s 2



et

ϕ∗ (σ) |∇v|∗

p−1

Ω∗


Comme 



1

dσ

1

N N αN



|Ω|

1

σ 1− N

s 2

ϕ∗ (σ) |∇v|∗

p−1

(t, σ)dσ


(t, σ)dσ

(t, σ)dσ


s

0

231

|f |∗ (t, y)dy +

0

s

    ∂v∗   (t, y)dy .   ∂t 

   s 
   s   ∂v∗   ∂v   ∂v     (t, y)dy
  (t, y)dy,  (t, y)dy
 ∂t   ∂t   ∂t  0 0 0 ∗v ∗ ∗      ∂v   ∂u  on d´eduit le r´esultat du fait   =   , |∇u| = |∇v| et que ∂t ∂t s



s p−1

|∇v|∗ s 2

s (t, σ)dσ  |∇v|p−1 (t, s) . ∗ 2 

Voici un exemple d’estimation ponctuelle de ∂u r´egularit´e pour ). ∂t

0

s

   ∂u    (t, y)dy (donc de  ∂t  ∗

9.4.3 Cas particulier equations  lin´ eaires : estimations  ´  s  des s  ∂u    ponctuelles de |u|∗ (t, σ)  ∂t  (t, σ)dσ et 0 0 ∗ Th´ eor` eme 9.4.5.   Soient f ∈ W 1,2 0, T ; L2 (Ω) , u0 ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). On suppose que Ω est un ouvert born´e de classe C ∞ . Alors l’unique solution u de ⎧ ∂u ⎪ ⎪ dans D (Q), ⎨ ∂t − ∆u = f,   u ∈ L2 0, T ; H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) , ⎪ ⎪ ⎩ u(0) = u0 , v´erifie l’estimation ponctuelle suivante : ∀s ∈ Ω∗ , ∀t, on a :  s   s  s  t   ∂u   ∂f    (t, σ)dσ
  (τ, σ)dτ. |f (0) + ∆u | dσ + dσ 0 ∗  ∂t   ∂t  0 0 0 0 ∗ ∗

232

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

Preuve. Soit ϕk une suite de fonctions propres associ´ees au Laplacien avec des conditions de Dirichlet

Si Vm

−∆ϕk = λk ϕk , ϕk ∈ H01 (Ω) ∩ C ∞ (Ω).   = vect ϕ1 , . . . , ϕm , alors la m´ethode de Galerkin usuelle conduit a` ⎧ m    ⎪ ∂um ⎪ ⎪ f (t), ϕ − ∆u = P f (t) = ⎪ m m j ϕj , ⎨ ∂t j=1   ⎪ um ∈ W 1,2 0, T ; Vm , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩u (0) = u → u dans H 2 (Ω)-fort, u ∈ V . m 0m 0 0m m

Ici (·, ·) d´esigne le produit scalaire de L2 (Ω). Posons um = d´eduit que um satisfait a` : ⎧ ∂  ⎪ ⎪ ⎨ ∂t um − ∆um = Pm f (t), um (0) = ∆u0m + Pm f (0), ⎪ ⎪ ⎩ um (t) ∈ Vm .

∂um , alors on ∂t

On applique le th´eor`eme 9.4.2 relation (i) a` um on d´eduit :  s  s ∂ |um | (t, σ)dσ
|Pm f  (t)|∗ (σ)dσ. 0 ∂t 0 On int`egre cette derni`ere relation en temps pour conclure que :   s  ∂um     ∂t  (t, σ)dσ
0 ∗ 


0



s

|Pm f (0) + ∆u0m |∗ (σ)dσ +



s

dσ 0

0

t

|Pm f  (τ )|∗ (σ)dσ.

(9.15)

  Puisque Pm (f ) → f dans W 1,2 0, T ; L2 (Ω) -fort et que ∆u0m → ∆u0 dans ∂u ∂um → dans L2 (Q)-fort. En passant a` la limite L2 (Ω)-fort il s’ensuit que ∂t ∂t dans (9.15), on d´eduit :  s   s  s  t   ∂u   ∂f    (t, σ)dσ
  (τ, σ)dτ. |f (0) + ∆u0 |∗ (σ)dσ + dσ  ∂t   ∂t  0 0 0 0 ∗ ∗ 

Autres cons´equences des r´esultats pr´ec´edents sont les th´eor`emes de comparaison, on va se contenter pour illustrer ceci des ´equations lin´eaires i.e. p = 2.

9.4 Applications aux estimations a priori et a ` la r´egularit´e

233

Th´ eor` eme 9.4.6. Soient f ∈ L2+ (Q), u0 ∈ L2+ (Ω). Alors l’unique solution u de ⎧ ∂u ⎪ ⎪ ⎨ ∂t − ∆u = f,      2 2 1 0, T ; H u ∈ L (Ω) ∩ C 0, T , L (Ω) , 0 ⎪ ⎪ ⎩ u(0) = u0 , v´erifie, pour presque tout t, ∀s ∈ Ω∗ ⎧ 2 2   2 ∂ k ∂k ⎪ N 2− N ⎪ ⎪ − N 2 αN s
F dans Q∗ = 0, T × Ω∗ , ⎪ 2 ⎪ ∂t ∂s ⎨ ∂k (t, |Ω|) = 0 ∀t ∈ [0, T ], k(t, 0) = 0, ⎪  s ∂s ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u0∗ (σ)dσ = k0 (s), ⎩k(0, s) =  o` u k(t, s) = 0

0



s

u∗ (t, σ)dσ, F (t, s) =

0

s

f∗ (t, σ)dσ.

Preuve. Puisque f  0, u0  0 par le principe du maximum, on a u  0. D’apr`es le th´eor`eme 9.4.2 pr´ec´edent on a 

2 |∇u|∗u

 12



1




s N −1 1

f∗ (t, σ)dσ −

0

N N αN



s

s

0

 ∂u∗ (t, σ)dσ . ∂t

(9.16)

Par l’in´egalit´e de Poincar´e-Sobolev ponctuelle (PSR), on a : −

1  12 ∂u∗ s N −1  2 |∇u| ∗u (t, s). (t, s)
1 ∂s N N αN

(9.17)

Ces deux derni`eres in´egalit´es conduisent `a : 2

∂u∗ s N −2 − (t, s)
 2 1 ∂s N N αN  En introduisant, k(t, σ) = 0

 0



s

f∗ (t, σ)dσ −

0

s

 ∂u∗ (t, σ)dσ . ∂t

s

u∗ (t, σ)dσ, la relation (9.18) s’´ecrit alors :

2  2 1 2 ∂ k ∂k N (t, s) − N αN s2− N 2
F (t, s) = ∂t ∂s D’o` u le th´eor`eme.

(9.18)

 0

s

f∗ (t, σ)dσ. 

234

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

Si on introduit la fonction U radiale solution de ⎧ ∂U ⎪ ⎪ ⎪ ∂t − ∆U = f , ⎪ ⎪ ˜ ⎨     U ∈ L2 0, T ; H01 (Ω ) ∩ C [0, T ], L2 (Ω ) , ⎪ ˜ ˜ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩U (0) = u0 , ˜ N

o` u f (t, x) = f∗ (t, αN |x| ), x ∈ Ω (boule de mˆeme mesure que Ω), un calcul ˜ ˜ conduit a` : direct Proposition 9.4.1.  La fonction K(t, s) = 0

s

U∗ (t, σ)dσ v´erifie

2  2 1 2 ∂ K ∂K N (t, s) − N αN s2− N (t, s) = ∂t ∂s2 De plus, on a k(t, s)
K(t, s),

 0

s

f∗ (t, σ)dσ

∀t ∈ [0, T ] et ∀s ∈ Ω ∗ .

(Pour cette proposition voir exercice 10.1.18). A l’aide du lemme 9.5.3 ci dessous, on a k
K.

9.5 Comportement, pour un temps long, d’un syst` eme d’´ equations en Chemotaxis Soit Ω un ouvert born´e de IRN de classe C 0,1 , on va s’int´eresser au comportement asymptotique du syst`eme elliptique-parabolique suivant : ⎧ ∂u ⎪ ⎪ ⎨ ∂t = div (∇u − χu∇v) dans QT = (0, T ) × Ω, (Ch) 0 = ∆v − γv + αu dans QT , ⎪ ⎪ ⎩ dans Ω, u(0) = u0 o` u χ, γ, α sont des nombres strictement positifs, u0  0, u0 ∈ W01,p (Ω), p > N . Un tel syst`eme apparaˆıt dans les mod`eles dit de Chemotaxis. Th´ eor` eme 9.5.1. Pour toute donn´ee u0  0 de W01,p (Ω), il existe un temps Tmax > 0 et une solution unique (u, v) de (Ch) v´erifiant 1. u > 0, v > 0 dans (0, Tmax   ) × Ω,  2. u ∈ C [0, Tmax ); W01,p (Ω) ∩ C 1 [0, Tmax ); Lp (Ω) , u(t) ∈ W2,p (Ω) pour 0 < t < Tmax  et v ∈ C (0, Tmax ); W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) .

9.5 Comportement, pour temps long, d’un syst. d’´equa. en Chemotaxis

235

Nous ne montrerons pas ce th´eor`eme mais nous allons nous int´eresser `a savoir si Tmax = +∞ ou non, en utilisant le r´earrangement. Lemme 9.5.1. Soit (u, v) la solution de (Ch). s Posons k(t, s) = u∗ (t, σ)dσ, pour t ∈ (0, Tmax ), s ∈ Ω∗ . Alors, 0

⎧ 2 1  ∂k  ∂k 2 2− 2 ∂ k ⎪ N ⎪ ⎪ ∂t − N αN s N ∂s2 −αχk ∂s
0 p.p. dans QTmax ∗= (0, Tmax )×Ω∗ , ⎪ ⎪ ⎨ ∂k (t, |Ω|) = 0, ∀t ∈ [0, Tmax ], k(t, 0) = 0, ⎪ ∂s ⎪  s ⎪ ⎪ ⎪ ⎩k(0, s) = u0∗ (σ)dσ, ∀s ∈ Ω∗ . 0

∂u (t) ∈ Lp (Ω). En multipliant la premi`ere Preuve du lemme. Notons que   ∂t ´equation par u(t) − u∗ (t, s) pour s ∈ Ω∗ fix´e, t ∈ (0, Tmax ) et en int´egrant +     ∂u  2 |∇u| (t, x)dx = χ u∇v · ∇u − (t) u(t) − u∗ (t, s) + dx. (9.19) Ω ∂t u(t)>u∗ (t,s)

u(t)>u∗ (t,s)

    Sachant que u(t) > u∗ (t, s) = u(t)2 > u2∗ (t, s) (du fait que u(t)  0) on ´ecrit :      1 1 ∇v · ∇(u2 )dx= u∇v · ∇u= ∇v · ∇ u(t)2 − u2∗ (t, s) + dx. (9.20) 2 2 Ω 2 2 u(t)>u∗ (t,s)

u(t) >u∗ (t,s)

  u On multiplie la deuxi`eme ´equation de (Ch) par u(t)2 − u2∗ (t, s) + d’o` 



2

∇v · ∇ u(t) − Ω



u2∗ (t, s) +



dx = Ω

  (αu − γv) u(t)2 − u2∗ (t, s) + dx . (9.21)

En  combinant ces  derni`  eres relations, en d´erivant par rapport a` s, on a sachant u(t) > u∗ (t, s) = u(t)2 > u2∗ (t, s) = Ωs (t) ⎤
     ⎥ ∂u∗ ⎢ ∂u 2 ⎥ ⎢ (t, s)dx ⎦ − |∇u| (t, s) =⎣χu∗ (t, s) (αu − γv)dx − (t, s). ∂t ∂s ∗u ⎡

Ωs (t)

Ωs (t)

(9.22) Par d´efinition du r´earrangement relatif et le th´eor`eme de r´egularit´e sur on d´eduit de cette relation (9.22) que :

∂u∗ , ∂t

236

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

2 |∇u|∗u

  s  (t, s)= χu∗ (t, s) (αu∗ − γv∗u )(t, σ)dσ− 0

s

0


 ∂u∗ ∂u∗ (t, σ)dσ − (t, s). ∂t ∂s (9.23)

Comme au lemme 9.4.3, on a : Lemme 9.5.2. Soient µ(t, θ) = |u(t) > θ| , θ > 0. Alors, ∀θ > 0 



µ(t,θ)

u∗ (t, σ)dσ −

χαθ 0

µ(t,θ) ∂u∗

0

∂t

En cons´equence ∀s ∈ Ω∗ , on a :  s  χαu∗ (t, s) u∗ (t, σ)dσ −

(t, σ)dσ  0.

s

∂u∗ (t, σ)dσ  0. ∂t 0 0   Preuve. Soit θ > 0, en prenant comme fonction test u(t) − θ + on d´eduit comme ci-dessus que 

2

|∇u| (t, x)dx = u(t)>θ

χ 2



  ∇v · ∇ u(t)2 − θ2 + −

Ω

 Ω

 ∂u  u(t) − θ + dx = ∂t

(en utilisant la deuxi`eme ´equations de (Ch))      χ ∂u  u(t) − θ + dx. (αu − γv)(t, x) u(t)2 − θ2 + − = 2 Ω Ω ∂t Ainsi, par la r`egle de d´erivation vue au chapitre 5, d 0
− dθ





2

|∇u| dx = χαθ u(t)>θ

 u(t, s)dx −

u(t)>θ

∂u (t, x)dx −χγ ∂t

u(t)>θ

 v(t, x)dx . u(t)>θ

Par l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood et le lemme 9.4.1 sachant que v  0, on a :  0
χαθ

µ(t,θ)

u∗ (t, σ)dσ − 0

on conclut comme au lemme 9.4.3.



 0

µ(t,θ) ∂u∗

∂t

(t, σ)dσ , 

A partir de la relation 9.22, sachant que v  0 (donc v∗u  0), on a : 
   s  s  ∂u∗ ∂u∗ 2 (t, σ)dσ − (t, s)
χαu∗ (t, s) u∗ (t, s)dσ− |∇u| (t, s). ∂t ∂s ∗u 0 0 (9.24)

9.5 Comportement, pour temps long, d’un syst. d’´equa. en Chemotaxis

237

on applique l’in´egalit´e de Poincar´e-Sobolev ponctuelle pour obtenir : 

1 N

N αN

2

2 2− N

s




∂u∗ (t, s) − ∂s

2

  2
|∇u|

∗u

(t, s).

De ce fait, la relation (9.24) conduit a` :   
 s  s 1   ∂u∗ ∂u∗ 2 2− 2 N N N αN s (t, s)
χαu∗ (t, s) (t, σ)dσ u∗ (t, σ)dσ − − ∂s ∂t 0 0 (9.25) (compte tenu du lemme 9.5.2).  s En introduisant k(t, s) = u∗ (t, σ)dσ, on a donc 0

∂k (t, s) = ∂t

 0

s

∂u∗ (t, σ)dσ, ∂t

∂2k ∂u∗ (t, s), (t, s) = ∂s2 ∂s

ces in´egalit´es combin´ees `a la relation (9.25) donnent
 2 1   ∂k ∂k 2 2− 2 ∂ k N N (t, s) − N αN s − αχ k (t, s)
0. ∂t ∂s2 ∂s 

On va montrer a` partir de ce lemme, le th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 9.5.2. On a Tmax = +∞ dans les conditions suivantes : (C1) Pour N = 1 pas de condition, (C2) Pour N = 2 si u0 v´erifie αχ |u0 |1 < 8π,

2

1 −N

N |Ω| (C3) Pour N  3 si u0 v´erifie αχ |u0 |LN < N αN

.

La preuve du th´eor`eme se base sur le lemme de comparaison suivant : Lemme 9.5.3 (de comparaison). Soient f, g deux fonctions d´efinies sur QT ∗ = [0, T ] × Ω ∗ et v´erifiant (i) f, g sont dans   2 L∞ (QT∗ ) ∩ H 1 0, T ; L2 (Ω∗ ) ∩ L 0, T ; W 2,2 (δ, |Ω|), δ>0      ∂g    ∂f (ii)  (t, s)
c(t) et   (t, s)
c(t) max(s− , 1) o` u  est une constante ∂s ∂s 2 v´erifiant 0
 < 1, c ∈ L (0, T ). Si f et g satisfont le syst`eme :

238

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

⎧ 2 1  ∂f  ∂f 2 2− 2 ∂ f ⎪ N ⎪ N − N α
s − αχf ⎪ N ⎪ 2 ⎪ ∂t ∂s ∂s ⎪ 2 ⎪ 1   2 ∂g ∂ g ∂g ⎨ 2 2− N
− N αN dans QT∗ , s N 2 − αχg ∂t ∂s ∂s ⎪ ∂g(t, |Ω|) ∂f (t, |Ω|) ⎪ ⎪ ⎪
, ∀t ∈ (0, T ) 0 = f (t, 0)
g(t, 0), ⎪ ⎪ ∂s ∂s ⎪ ⎩ f (0, s)
g(0, s), s ∈ Ω∗ , et g(t, s)  0, alors f
g dans QT∗ . Preuve. Posons w = f − g. Alors w v´erifie ⎧
 2 1  ∂w  ∂g ∂f ⎪ 2 2− 2 ∂ w N ⎪ N ⎪ −g − αχ f
0 dans QT∗ ⎪ ∂t − N αN s ⎨ ∂s2 ∂s ∂s ∂w (t, |Ω|)
0, ∀t ∈ [0, T ] w(t, 0)
0, ⎪ ⎪ ⎪ ∂s ⎪ ⎩w(0, s)
0 pour s ∈ Ω . ∗ 2

On multiplie la premi`ere in´egalit´e par s N −2 w+ , (w+ = max(w, 0)), on obtient alors pour 0 < δ < |Ω|  |Ω| 2 ∂w w+ ds
s N −2 ∂t δ   |Ω|
2  |Ω| ∂ 2 w  1 2 ∂g ∂f N
N αN − g w ds + αχ f w+ s N −2 ds. (9.26) + 2 ∂s ∂s ∂s δ δ Par int´egration par partie, on a : 2  |Ω|
 ∂w ∂w+ ∂2w ∂w  t, |Ω|)w+ (t, |Ω| − (t, δ)w+ (t, δ). w ds =− ds+ + 2 ∂s ∂s ∂s ∂s δ δ (9.27) ∂w Puisque, (t, |Ω|)
0, cette derni`ere in´egalit´e donne : ∂s 2  |Ω| 2  |Ω|
∂w+ ∂ w ∂w J0 = (t, δ)w+ (t, δ) − w+ ds
− ds. (9.28) ∂s2 ∂s ∂s δ δ



|Ω|

Maintenant, ´ecrivons f = w + g alors :  J1 = δ

 = δ

|Ω|

2

|Ω|




∂g ∂f −g f ∂s ∂s

2 s N −2 w+

∂f ds + ∂s

   ∂f  Puisque   (t, s)
c(t), on d´eduit : ∂s

 δ



|Ω|

2

w+ s N −2 ds = 2

s N −2 w+

∂w g ds. ∂s

(9.29)

9.5 Comportement, pour temps long, d’un syst. d’´equa. en Chemotaxis



|Ω|

J1
c(t) δ

2

2 s N −2 w+ ds +



|Ω|

2

s N −2 w+

δ

∂w+ g ds. ∂s

Puisque g  0 et f (t, 0) = 0, on a alors :  s   s  ∂f  ∂f+   (t, σ) dσ
c(t)s w+ (t, s)
f+ (t, s) = (t, σ) dσ
 ∂σ  ∂σ 0 0 d’o` u

2

239

(9.30)

(9.31)

2

2 s N −2 w+ (t, s)
s N c(t)2 ∈ L1 (Ω∗ ).

Par ailleurs, 

|Ω|

δ

     |Ω|  ∂w+   ∂w+  2 2  g ds
 f ds  N −2 w s N −2 w+  s + ∂s  ∂s  δ

car w+ = 0 si f
g. De ces faits, on d´eduit que : 

|Ω|

J1
c(t) δ

2

2 s N −2 w+ (t, s)ds +



|Ω|

δ

   ∂w+  2  f ds. s N −2 w+  ∂s 

(9.32)

En combinant les relations (9.26), (9.28), (9.31) et (9.32), on obtient: 

1 d 2 dt

|Ω|

2 N

s

−2

δ



|Ω|


αχc(t)

s

2 N

−2

δ

2 w+ (t, s)ds

2 w+ (t, s)ds



1 N

+ N αN

2 

|Ω|




δ



|Ω|

+ αχc(t)

s

2 N

∂w+ ∂s

−2

δ

2 (t, s) ds


   ∂w+   s ds+ (9.33)  w+  ∂s 

  2  ∂w 1  N  w+ (t, δ).  + N αN (t, δ)   ∂s

En appliquant l’in´egalit´e de Young, on sait :    |Ω|  ∂w+  2  s ds
αχc(t) s N −2 w+  ∂s  δ 2 1 1 N
N αN 2

 δ

|Ω|




∂w+ ∂s

2



|Ω|

(t, s) ds + c1 (t) δ

2

2 s N −2 w+ (t, s)ds

o` u c1 ∈ L1 (0, T ). On aboutit a` l’in´egalit´e de Gronwall suivante :  2  ∂w  1  1  N  w+ (t, δ)  yδ (t)
c2 (t)yδ (t) + N αN (t, δ)   2 ∂s  o` u yδ (t) = δ

|Ω|

2

2 s N −2 w+ (t, s)ds et c2 ∈ L1 (0, T ).

(9.34)

(9.35)

240

9 R´earrangement relatif d’une famille de fonctions et probl`emes d’´evolution

     ∂g   ∂f     Mais du fait que  
c(t) max(1, s ) et  
c(t), on d´eduit que, ∂t ∂t pour δ < 1  2  ∂w  1 N  (t, δ)w+ (t, δ)
c3 (t)δ 1− −−−→ 0, N αN  c3 ∈ L2 (0, T ). δ→0 ∂s  D’o` u quand δ → 0, on obtient de l’in´egalit´e de Gronwall que :  2 2 y0 (t) = s N −2 w+ (t, s)ds
cy0 (0) = 0. Ω∗

D’o` u w+ = 0 : f
g. 

Preuve du th´eor`eme 9.5.2. Cas o` u N = 1. On consid`ere f = k et g la fonction d´efinie par  s  −λt =e ˙ g(t, s) = pe−λt th αχp hp (s) 4 (th= fonction tangente hyperbolique) o` u λ et p sont choisis de sorte que  s u0∗ (σ)dσ
hp (s) (pour p grand) 0

et 0 < λ
αχhp (|Ω|). Dans ces conditions, on a : 2 1    ∂g  ∂g 2 2− 2 ∂ g N − N αN  e−λt hp αχhp (|Ω|) − λ  0. s N 2 − αχg ∂t ∂s ∂s

Comme f = k v´erifie le lemme 9.5.1, on d´eduit d’apr`es le lemme de comparaison que :  s

0

u∗ (t, σ)dσ
e−λt hp (s),

d’o` u |u(t)|L∞ (Ω)
(constante)e−λt . Cas o` u N = 2. On choisit

avec λ, a, q ` a choisir.

g(t, s) = e−λt

aqs 1 + qs

9.5 Comportement, pour temps long, d’un syst. d’´equa. en Chemotaxis

241

 D’abord, on choisit a : u0 (x)dx < a et αχa < 8π et q assez grand de Ω  s aqs , ∀s ∈ Ω ∗ . u0∗ (s)dσ
sorte que 1 + qs 0 q Enfin, on prend 0 < λ
2 (8π − αχa). (1 + q |Ω|) Dans ces conditions, on a : 2 1  ∂g ∂g  2 2− 2 ∂ g N − N αN  0. s N 2 − αχg · ∂t ∂s ∂s

D’o` u



s

0

u∗ (t, σ)
e−λt

aqs , 1 + qs

∀s ∈ Ω ∗ .

En particulier |u(t)|∞
ce−λt . Cas o` u N  3. 2 −1 N |Ω| N . On choisit On suppose que u0 v´erifie αχ |u0 |N < N αN g(t, s) = e−λt q (s) N N2 −1 αN |Ω| N et 0 < λ
(β − αχ) q (|Ω|) β alors g est convenable i.e. 1

o` u q (s) = qs1− N

q=

2 1  ∂g ∂g  2 2− 2 ∂ g N − N αN  0. s N 2 − αχg · ∂t ∂s ∂s

D’o` u en appliquant le th´eor`eme de comparaison, on a :  s f (t, s) = u∗ (t, σ)dσ
e−λt q (s) 0

et qui implique : |u(t)|∞
ce−λt

∀t.

Notes pr´ e-bibliographiques La majorit´e des th´eor`emes cit´es dans ce chapitre est due `a l’auteur ou ses collaborateurs, voir par exemple Mossino-Rakotoson [83], D`ıaz-Nagai [47], D`ıazNagai-Rakotoson [48], Rakotoson [97]. Le th´eor`eme 9.4.1 est issu du livre de Temam [124].

10 Exercices et probl` emes

10.1 Exercices Exercice 10.1.1. Soit u ∈ Lp (Ω) 1
p < +∞. Calculer  = lim tp m(t). t→+∞

Exercice 10.1.2. Soit u : Ω → IR mesurable, avec |Ω| < +∞. (i) Montrer que |u  u ∗ (s)| s ∀s ∈ Ω∗ . (ii) Montrer que si mes P (u) = 0 (u sans plateau) alors ∀s ∈ Ω∗

  |u  u∗ (s)| = s = m u∗ (s) .

(iii) Montrer que si u ∈ C(Ω) (continue sur Ω) alors   u∗ m(t) = t ∀t ∈] inf u, sup u[. Exercice 10.1.3. Montrer que :

   1. Si 1
p < +∞ ILp# (Ω) = u ∈ C(Ω) ∩ Lp (Ω) : mes P (u) = 0 est dense dans Lp (Ω).    u ∈ L∞ (Ω) : mes P (u) = 0 est dense dans 2. Si p = +∞ IL∞ # (Ω) = L∞ (Ω).

Exercice 10.1.4. Soit a ∈ L1 (Ω), a > 0 p.p. On d´efinit pour u : Ω → IR mesurable, la fonction de distribution relativement au poids a, pour t ∈ IR  mu,a (t) = a(x)dx. {u>t}

 On pose |Ω|a =

a(x)dx et on d´efinit le r´earrangement d´ecroissant de u Ω

˙ (par rapport ` a la mesure a(x)dx≡a), s ∈]0, |Ω|a [,

ua∗· (s) = Inf {t ∈ IR, mu,a (t)
s} .

244

10 Exercices et probl`emes

1. Donner les propri´et´es de ua∗ (s) (ua∗ (0) = sup ess u, ua∗ (|Ω|a ) = inf ess u). Ω

Ω

` ces mesures 2. Montrer que u et ua∗ sont ´equimesurables relativement a ( |u > t|a = mu,a (t) = mua∗ (t) = |ua∗ > t| ∀t). 3. Montrer que si a1
a2 alors ua∗1
ua∗2 . a (a → ua∗ est croissante). De  mˆeme, u → u∗ est croissante. 4. Montrer que si u  0 t.q.

u(x)p a(x)dx < +∞ alors Ω



+∞

0

 tp dmu,a (t) = −p

+∞

0

mu,a (t)tp−1 dt.

D´eduire directement que 

 up (x)a(x) dx =

|Ω|a

0

Ω

p

(ua∗ (s)) ds.

Exercice 10.1.5. Soit uj (x) → u(x) p.p. Montrer que ∀t ∈ IR\D(u), on a lim muj (t) = mu (t). j

Exercice 10.1.6. Soit uj (x)
uj+1 (x)
. . .
u(x), Montrer que uj∗ (σ) → u∗ (σ) ∀σ.

uj (x) → u(x).

Exercice 10.1.7. Pour 1
p
+∞, 1
q
+∞, f ∈ Lp,q (Ω), on note   q dt  q1 1 |f |p,q = si q < +∞ t p |f |∗ (t) t Ω∗ et |f |p,+∞ =

 sup 0
 1 t p |f |∗ (t)

si q = +∞.

Montrer qu’il existe une constante c > 0 t.q. |f |p,q
|f |(p,q)
c |f |p,q

∀f ∈ Lp,q (Ω), 1 < p
+∞,

1
q
+∞.

Exercice 10.1.8. 1. Soit {Ei }i une partition de Ω, ai  0 i = 0, . . . , n n  ai χEi (x). Calculer u∗ . et u(x) = i=0

2. Montrer que les fonctions ´etag´ees sont denses dans Lp,q (Ω), 1
p
+∞, 1
q < +∞.

10.1 Exercices

Exercice

10.1.9. Si f (x) =

n 

245

cj χEj (x) avec Ei ∩ Ej = ∅, i = j,

j=0

c0 > c1 > . . . > cn . Si on note Fj = f (x) =

n 

fj (x),

fj = αj χFj et f∗ (t) =

j=0

j 

Ek ,

αj = cj − cj+1 alors

k=0 n 

fj∗ (t).

j=0

Exercice 10.1.10. 1. Comparer Lp1 ,q1 (Ω) et Lp2 ,q2 (Ω) 2. Quel espace est Lp,p (Ω)? 3. Pour 1
p
+∞, 1
q < +∞, montrer que L∞ (Ω) est dense dans Lp,q (Ω). 4. Montrer que si 1
q
p < +∞ alors f → |f |p,q est une norme sur Lp,q (Ω). Exercice 10.1.11. En dimension (3) calculer σ3 (mesure du secteur unitaire dans IR3 ). 1 1
+  = 1. Montrer Exercice 10.1.12. Soit f, f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lp (Ω), P p que

   f∗ g∗ dt = sup f gdx, g ∗ = g∗ . Ω∗

Ω

Commencer par le cas o` u f est sans palier et ensuite utiliser l’exercice 10.1.3. Exercice 10.1.13. que si p > N alors  1. Montrer  W 1,p (Ω) ⊂ W 1 Ω, |·|N,1 , est une inclusion continue. 2. Si u ∈ W 1,p (Ω), x ∈ Ω, r > 0 t.q. B(x, r) ⊂ Ω alors N

osc u
c |∇u|Lp (Ω) r1− p o` u c = c(N, p) ` a pr´eciser.

B(x,r)

Exercice 10.1.14.   1. Montrer que si WΓ1,1 (Ω) = u ∈ W 1,1 (Ω), u = 0, sur Γ0 alors il existe 0

c > 0 t.q. ∀u ∈ WΓ1,1 (Ω), |u|L1
c |Du|L1 . 0 |u|N
2. Montrer que Q(Γ1 , Ω) = sup 1,1 |Du| 1 u∈W (Ω) et que

Γ0

1 1

N N αN


Q(Γ1 , Ω) < +∞.

Exercice 10.1.15. Calculer



sup

u∈LN
(Ω)

u
0 0

+∞

|u|N


. 1 1− N

|u > t|

dt

246

10 Exercices et probl`emes

Exercice 10.1.16. • R´efl´echir sur le cas o` u Ω est un ouvert born´e lipu ∂Ωi est schitzienne t.q. Γ0 ⊂ ∂Ω et Γ0 ∩ ∂Ωi est de mesure HN −1 > 0 o` le bord d’une composante connexe Ωi de Ω. ` la norme de WΓ1,p (Ω) • Montrer que |∇u|p est une norme ´equivalente a 0 Exercice tels que

10.1.17. Soient (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) des nombres r´eels an
an−1
. . .
a1 et bn
bn−1
. . .
b1 .

1. Montrer que  1  0
(ak − aj )(bk − bj ) = n ak bk − 2 j=1 n

n

n

k=1



k=1

n  k=1

⎛ n ⎞  ak ⎝ bj ⎠ . j=1

2. Soit Ω un ensemble mesurable de mesure finie, u u : Ω → IR et v : Ω → IR deux fonctions mesurables et soit (s1 , . . . , sn ) tel que 0 < s1
s2
. . .
sn < |Ω|. Montrer que ⎛ ⎞⎛ ⎞ n n n   1 1 1 ⎝ u∗ (sj )⎠ ⎝ v∗ (sj )⎠
u∗ (sj )v∗ (sj ). n j=1 n j=1 n j=1 3. On suppose que Ω est un ouvert connexe (pour simplifier). D´eduire de (2)
que si u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lp (Ω) alors 

   1 1 1 u(x)dx v(x)dx
u∗ (s)v∗ (s)ds. |Ω| Ω |Ω| Ω |Ω| Ω∗ 4. Montrer que si u ∈ L1 (Ω) alors ∀s ∈ [0, |Ω|]  s  s u(x)dx
u∗ (σ)dσ. |Ω| Ω 0 Exercice 10.1.18. 1. Montrer la proposition 9.4.1. 2. Montrer que la  fonction k donn´ee au th´eor`eme 9.4.6 v´erifie k
K.     D´eduire que Φ u(t, x) dx
Φ U (t, x) dx, pour toute fonction Φ Ω

: Ω

convexe lipschitzienne de IR → IR.

Exercice 10.1.19. Soit η > 0, 0 < ε < 1, Ω un ouvert born´e de mesure 1, f ∈ L2 (Ω). Pour v ∈ H01 (Ω), on d´efinit    1 1 1 2 2 J(v) = |∇v| dx + [(v∗ )+ ] (s) ds − f · v dx. 2 Ω 2η ε Ω 1. Montrer qu’il existe une fonction uη ∈ H01 (Ω) v´erifiant  J(uη ) = inf J(v), v ∈ H01 (Ω) .

10.1 Exercices

247

2. Donner l’in´equation variationnelle v´erifi´ee par uη et montrer que uη reste dans un born´e de H01 (Ω) quand η tend vers 0. 3. On suppose que uη converge faiblement vers u dans H01 (Ω). Montrer que u satisfait a ` ⎧ ⎪|u > 0|
ε, (i) ⎨ u ∈ H01 (Ω), (ii) ⎪ ⎩ −∆u
f dans D (Ω). (iii) 4. Donner des fonctions f pour lesquelles, on n’a pas l’´egalit´e dans (iii) et prouver que si on a l’´egalit´e dans (iii) alors u est unique. Exercice 10.1.20. Soient f et g deux fonctions int´egrables sur un intervalle born´e (a, b). On suppose que f est d´ecroissante et que 0
g
1 sur (a, b). 1. Montrer que 



b



b

f (t)dt


f (t)g(t)dt
a

b−λ



a+λ

f (t)dt

o` uλ=

a

b

g(t)dt. a

2. Retrouver a ` partir de (1) le corollaire 2 du th´eor`eme de Hardy-Littlewood qui stipule  s    u∗ (σ)dσ = Max u(x)z(x)dx, 0
z
1 z dx = s . 0

Ω

Ω

Exercice 10.1.21. Soient 1
q
p
+∞ et r > N . Alors a

1−a

|u|p
c |∇u|r |u|q

, ∀u ∈ W01,r (Ω)

en pr´ecisant 0 < a < 1 et c. Ici Ω est un ouvert born´e de IRN . Exercice 10.1.22. Soient f, g, h trois fonctions int´egrables sur un domaine mesurable Ω. on suppose que h est born´ee et que 

 f (x)dx 

(i)

{h
t}

{h
t}

 (ii)

g(x)dx , ∀t  0, 

f (x)dx
{h
g(x)dx , ∀t < 0. {h


 gh dx


Montrer que Ω

f h dx. Ω

248

10 Exercices et probl`emes

Exercice 10.1.23. Soit Ω un ouvert born´e de IRN . On note d(x, Γ ) = v(x) la distance d’un point x ∈ Ω au bord Γ = ∂Ω. 1. Montrer que 1 

d(·, Γ )∗ (s)


∀s ∈ Ω∗ ,

1 N

αN

 1 1 |Ω| N − s N .

2. D´eduire que  : si α  1 d(x, Γ )−α dx = +∞, Ω

−

1

1

si Ω est la boule unit´e de IRN alors d(·, Γ )∗ (s) = 1 − αN N s N . 3. Montrer que si g ∈ W01,p (0, 1), 1 < p < +∞ alors     g 2p     x(1 − x) 
p − 1 |g |p . p (utiliser une in´egalit´e de Hardy). 4. D´eterminer une constante c > 0 t.q. ∀u ∈ W01,p (Ω), u  0 p      p −p  u(x) d(x, Γ ) dx
c ∇u(x) dx.  : Ω˜ Ω ˜ ˜ ˜ Ici 1 < p < +∞, Γ = ∂Ω . :

:

Exercice 10.1.24. Soit Ω un ouvert born´e de IRN , 1
r
p−N  , p < +∞. D´eterminer une constante c > 0 telle que : r 1− p

|u|p
c |∇u|N

r

∀u ∈ W01,N (Ω).

|u|rp ,

Exercice 10.1.25. Soit E un ensemble mesurable dans IRN , de mesure finie. On note χE la fonction caract´eristique de E. Soit (ρn )n
0 une suite r´egularisante dans Cc∞ (IRN ). 1. Montrer que un = χE ∗ ρn v´erifie |Dun |1
|DχE |1 =P ˙ IRN (E). 2. Sachant que un ∈ Cc∞ (IRN ), montrer que ∀x = (x1 , . . . , xN )

|un (x)|

N




N   j=1

 (on ´ecrira que un (x) =

+∞

−∞

∂j un dxj ).

+∞

−∞

|∂j un | dxj

10.1 Exercices

249

3. Pour i = 1, . . . , N en int´egrant successivement par rapport a ` xi et en appliquant l’in´ e galit´ e de H¨ o lder  u1 . . . um dx
|u1 |P1 . . . |um |Pm , m = N − 1, montrer que i.e. IRN

1 |un |N

√ |Dun |1 . N 4. D´eduire |E|

1 1− N

1
√ PIRN (E). N

Exercice 10.1.26. Soit Ω un ouvert born´e de IRN , a : Ω →]0, +∞[ une fonction poids. On note   W 1 (Ω, a) = v ∈ L1loc (Ω) ∩ L1 (Ω, a), |∇v| ∈ L1 (Ω, a) ,    L1 (Ω, a) = v mesurable : |v(x)| a(x)dx < +∞ . Ω

ua∗

On note le r´earrangement d’une fonction u mesurable par rapport a ` la mesure dµ = a dx, v∗u,a le r´earrangement relatif d’une fonction v par rapport a u i-e ` (u + λv)a∗ − ua∗ = v∗u,a lim λ→0 λ (mˆeme sens que si a = 1). On suppose que W 1 (Ω, a) v´erifie la propri´et´e (PSR) suivante :    p.p s ∈ 0, |Ω|a = a(x)dx . −(ua∗ ) (s)
Ka (s) |∇u|∗u,a (s) Ω

1. R´e´ecrire l’ensemble des in´egalit´es du chapitre 4 en rempla¸cant u∗ par ua∗ . 2. Donner des in´egalit´es d’interpolation relatives a ` ces espaces ` a poids. Exercice 10.1.27. Soit Ω un ouvert connexe de IRN . Qj , Qj cubes d’int´erieur deux a ` deux disjoints i.e. Sachant que Ω = ◦ Qj

◦ Qk =

j∈IN

1,1 ∩ ∅ j = k, donner une preuve du th´eor`eme que si u ∈ Wloc (Ω) 1,1 (Ω∗ ). alors u∗ ∈ Wloc

Exercice 10.1.28. Soient Ω un ensemble de mesure finie de IRN , u ∈ L1 (Ω), g ∈ Lp,q (Ω∗ ), 1 < p < +∞, 1 < q < +∞. 1. Montrer que Mu (g) ∈ Lp,q (Ω) et donner une estimation de sa norme (en pr´ecisant bien les normes utilis´ees).   2. Montrer que si u est sans plateau alors Mu : Lp,q (Ω∗ ), | · |p,q → Lp,q (Ω), | · |p,q est une isom´etrie.

250

10 Exercices et probl`emes

Exercice 10.1.29. Soient f : [0, +∞[→ [0, +∞[ mesurable, r, q deux nombres r´eels t.q. r < 0, q  1. Montrer qu’il existe une constante c1 = c1 (q, r) > 0 t.q. q  +∞
 +∞  +∞ dx dt f (t)dt
c f (t)q tq r+1 . 1 r+1 x t 0 x 0   Soit W01 (Ω, |·|p,q ) = v ∈ L1 (Ω) : |∇v| ∈ Lp,q (Ω) ∩ W01,1 (Ω). Np alors, Montrer que si 1
p < N, 1
q
p, p∗ = N −p     ∀v ∈ W01 (Ω, |·|p,q ), v  0, |v|p∗ ,q
c2 |∇v|∗v 
c2 |∇v|p,q p,q

o` u c2 est une constante ` a pr´eciser. Exercice 10.1.30. On consid`ere un ouvert born´e Ω de mesure 1 et w : ]0, 1] → IR+ une fonction localement int´egrable telle que  1 w(t)dt = +∞. 0

 On suppose inf ess [0,1]

 m t p w(t) > 0 o` u (m, p) ∈]0, +∞[2 . ' 

On d´efinit pour v ∈ L0 (Ω), ρw (v) =

1

t

w(t) 0

0

|v|p∗ (σ)dσ

( m1

 mp dt

.

Montrer que ρw est une norme de Fatou, invariante par r´earrangement. D´edurie que si (u, v) ∈ L1 (Ω)2 alors ρw (v∗u )
ρw (v).

10.2 Probl` emes Exercice 10.2.1. Soit Ω un ouvert born´e connexe de IRN de bord lipschitzien et soit f ∈ L2 (Ω) de moyenne nulle. 1. Montrer qu’il existe une fonction unique u ∈ H 1 (Ω) t.q.  u(x) dx = 0, (a)  Ω ∇u(x) · ∇v(x) dx = f (x)v(x) dx, ∀v ∈ H 1 (Ω). (b) Ω

Ω

2. On suppose d´esormais que Ω est un rectangle de largeur b et de longueur a. On pose    ab−t t |f∗u |∗ (σ)dσ; |f∗u |∗ (σ)dσ Fu (t) = min 0

0

10.2 Probl`emes

√ √  k(t) = min t, ab − t ,

251

t ∈ [0, ab].

 a  12 F (s) u , pour presque tout s ∈ [0, ab]. 2b k(s)  a  12   3. Montrer que |∇u|∗u ∈ L∞ (Ω∗ ) et que |∇u|∗u ∞
|f∗u |L2 (Ω∗ ) . 2b ∞ 4. D´eduire que u ∈ L (Ω) et donner une estimation explicite de |u|∞ .   Exercice 10.2.2. Soit W 1 (Ω, | · |N,1 ) = v ∈ L1 (Ω), |∇v| ∈ LN,1 (Ω) o` u Ω est un ouvert connexe born´e de fronti`ere lipschitzienne. Montrer que |∇u|∗u (s)


Q.0. Montrer que u∗ ∈ W 1,1 (Ω∗ ) si u ∈ W 1 (Ω, | · |N,1 ) en donnant une estimation. 1 On se propose de montrer   que siun → u dans W(Ω, | · |N,1 ) et si mes x : ∇u(x) = 0 = mes x : ∇un (x) = 0 = 0

alors un∗ → u∗ dans L1 (Ω∗ ). On aura besoin de quelques r´esultats pr´eliminaires suivants : Q.1. Montrer que si un → u dans W 1 (Ω, |·|N,1 ) alors un → u dans W 1,1 (Ω). Q.2. Montrer que un∗  u∗ dans L1 (Ω∗ )-faible. Q.3. Montrer que pour tout a  0, b  0, on a : > > (b − a)2 a(b − a) 1 +  . 1 + b2  1 + a2 + √ 2 1 + max(a, b)2  32 1 + a2  8  8 1 + un
2∗ (s) ds = 1 + u∗
2 (s) ds alors Q.4. Montrer que si lim n

Ω∗

Ω∗

un∗ → u∗ dans L1 (Ω∗ )-fort. Q.5. On d´esigne par m (resp. mn ) la fonction  de distribution de u (resp.  de un ) et on suppose d´esormais que mes x : ∇u(x) = 0 = mes x :  ∇un (x) = 0 = 0. Montrer que m et mn sont des fonctions absolument continues de IR dans Ω∗ et montrer que si R(u) = [InfΩ u, SupΩ u] alors   8 8
2 1 + m (t) dt = 1 + u∗
2 ds R(u)

Ω∗

(de mˆeme pour mn et un∗ .)     On admet que pour presque tout t de IR m (t)
liminf mn (t) n  +∞  +∞  Q.6. Montrer lim mn (σ)dσ = m (σ)dσ pour tout t ∈ [−∞, +∞] t  n t |mn (t) − m (t)| dt = 0. et lim n

IR

252

10 Exercices et probl`emes

Q.7 D´eduire des questions pr´ec´edentes que  |un∗ − u∗ | dσ = 0 . lim n

Ω∗

Exercice 10.2.3. Probl` eme des plasmas Soient I > 0, λ > 0 deux r´eels donn´es, Ω un ouvert born´e connexe de IR2 de classe C ∞ . 1. Montrer que pour tout v ∈ L2 (Ω), il existe une constante unique C(v) t.q.    I v(x) + C(v) − dx = λ Ω (t− d´esigne la partie n´egative de t). On notera d´esormais C : L2 (Ω) → IR d´efinie ci-dessus. Soit maintenant pour x ∈ Ω, A(x) une matrice a ` coefficients dans L∞ (Ω) 2 et coercive au sens que : ∀ξ ∈ IR A(x)ξ · ξ  |ξ|2 , et soit ⎧   ⎪ ⎨Av = −div A(x)∇v = −λϕ 4 4 S : L (Ω) → L (Ω) . ⇐⇒ v ∈ H01 (Ω) ϕ → ψ   ⎪ ⎩ ψ = v + C(v) − 2. Montrer que S est bien d´efinie. 3. Soit v la solution de Av = −λϕ, v ∈ H01 (Ω). Montrer qu’il existe une constante a > 0 (ne d´ependant que de Ω) qu’on pr´ecisera t.q. |v|∞
λa|ϕ|L4 (Ω) .   4. D´eduire que pour ψ = v + C(v) − , on a |ψ|∞
2λa|ϕ|L4 (Ω) +

I . λ|Ω|

Que vaut |ψ|L1 (Ω) ?

I 3 |ψ| . λ ∞ 6. D´eduire des questions pr´ec´edentes que pour tout ϕ ∈ L4 (Ω), on a : 3  |Sϕ|4L4
C1 |ϕ|L4 + C2 ,

5. Montrer que |ψ|4L4


a pr´eciser ne d´ependant que de a, λ, I, |Ω|. o` u C1 , C2 sont des constantes ` 7. Soit R la plus grande racine positive de 3  X 4 − C1 X + C2 = 0 (v´erifier qu’elle existe).

10.2 Probl`emes

253

Montrer que si |ϕ|L4
R alors |Sϕ|L4
R et d´eduire que si on note B4 (R) la boule de L4 (Ω) i.e. B4 (R) = v ∈ L4 (Ω) : |v|L4
R alors, S : B4 (R) → B4 (R). 8. En d´ecomposant S, montrer que S est compacte de L4 (Ω) dans L4 (Ω). 9. D´eduire que S admet un point fixe u ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω). 10. D´eduire qu’il existe w ∈ H01 (Ω) ⊕ IR v´erifiant : ⎧ ⎨Aw  + λw− = 0 I ⎩ w− dx = . λ Ω Exercice 10.2.4. Probl` eme On rappelle que si v ∈ W 1,p (0, 1), 1
p
+∞ alors (i) v∗ ∈ W 1,p (0, 1), |v∗ |Lp (0,1)
|v  |Lp (0,1) . (ii) Si g  0 mesurable alors ⎛  1  +∞  ⎝ |v  (x)| g(x)dx = 0

−∞

⎞ g(x)⎠ dt.

x∈v −1 (t)

On note mv la fonction de distribution de v ou plus simplement m s’il n’y a pas de confusion. Partie I Soit u ∈ W 1,p (0, 1), 1
p < +∞.



1. Montrer que pour presque tout θ ∈

−

d dθ



 inf u; sup u

[0,1]

on a :

[0,1]

|u∗ (σ)dσ| = 1.

u∗ >θ

  2. Montrer que si mes x ∈ (0, 1), u (x) = 0 = 0 alors pour presque     u m(θ) = tout θ(inf u, sup u), m (θ) = 0 et 1 = −m (θ u∗ m(θ) o` |{u > θ}|. 3. On consid`ere la fonction suivante : pour θ > 0 et h > 0, t ∈ IR ⎧ ⎪ si |t|
0 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎪ ⎪ sign (t) si |t|  θ + h ⎪ ⎪ ⎨1 Sθ,h (t) = h (t − θ) si θ
t
θ + h ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 (t + θ) si − θ − h
t
−θ. h

254

10 Exercices et probl`emes

On pose v = |u|, montrer alors que pour presque tout θ > 0

−

d dθ



|v∗ (σ)| dσ
− p

{v∗ >θ}

d dθ



|v  (x)| dx . p

{v>θ}

4. Montrer que pour presque tout θ ∈ (inf [0,1] v, sup[0,1] v) ⎛ ⎜ d 1
⎝− dθ

⎞



 p−1 p ⎟ |v  (x)| dx ⎠ − mv θ) .

u>θ

Partie II On se propose maintenant d’utiliser cette in´e√ galit´e dans les ´equations d’´evolution. On consid`ere pour j  1, ϕj (x) = 2 sin(jπx), x ∈ (0, 1). Vm = vect{ϕ1 , . . . , ϕm } (sous espace engendr´e par ϕ1 , . . . , ϕm )Pm la projection orthogonale de L2 (0, 1) sur Vm et T > 0. 1. Soit f ∈ L2 (]0, T [×]0, 1[), u0 ∈ L2 (0, 1). Montrer qu’il existe une fonction unique um ∈ H 1 (0, T ; Vm ) t.q. d dt

 0



1

um (t, x)ψ(x)dx +

0

1

∂um (t, x)ψ  (x)dx = ∂x



1

f (t, x)ψ(x)dx 0

∀ψ ∈ Vm et um (0) = Pm u0 . 2. Montrer que um reste dans un born´e de H 1 (]0, T [×]0, 1[) quand m varie. Montrer que si um (t) = 0 (pour t fix´e). Alors ∀j ∈ IN, ∀θ ∈ IR.   ∂j mes x ∈ (0, 1), j um (t, x) = θ = 0. ∂x 3. On pose vm = |um |. Montrer que pour presque tout t ∈ (0, T ) et pour presque tout θ > 0 

∂um d (t, x)dx − ∂t dθ

vm (t)>θ

∂um ∂x

2 (t, x)dx =

vm (t)>θ

 =






 Pm f (t) (x) sign um dx.

vm (t)>θ

10.2 Probl`emes

255

4.  Pour t ∈ (0, T ), s ∈ (0, 1), θ > 0, on d´efinit les fonctions km (t, s) = s vm∗ (t, σ)dσ, 0

gm = |Pm f (t)| et M (t, θ) = mes{x ∈ (0, 1), vm (t, x) > θ}. s ∂um∗ ∂km (t, s) = (t, σ)dσ dans D (]0, T [×]0, 1[) et Montrer que ∂t   0 ∂t que pour presque tout θ ∈ inf [0,1] vm (t), sup[0,1] vm (t) (t ´etant fix´e), ⎡ ⎢ 1
⎣





M (t,θ

M (t,θ) ∂vm∗

gm∗ (t)(σ)dσ − 0

0

⎤

 ∂M  ⎥ (t, θ) . (t, σ)dσ ⎦ − ∂θ ∂t

5. D´eduire que pour t fix´e, on a pour presque tout s ∈ [0, 1],  s  s ∂um∗ ∂um∗ (t, s)
(t, σ)dσ gm∗ (t, s)dσ − − ∂s ∂t 0 0 et qu’au sens des distributions dans D (]0, T [×]0, 1[)  s ∂km ∂ 2 km (t, s) − (t, s)
gm∗ (t, σ)dσ. ∂t ∂s2 0 6. Montrer qu’il existe une fonction unique u ∈ H 1 (]0, T [×]0, 1[) t.q. ∂u ∂ 2 u − =f ∂t ∂x2 u(0) = u0 , u(t, 0) = u(t, 1) = 0,  1 et si on pose k(t, s) = u∗ (t, σ)dσ alors 0

2

∂k ∂ k (t, s) − 2 (t, s)
∂t ∂s

 0

s

∀t ∈ [0, 1]

f∗ (t, σ)dσ dans D (]0, T [×]0, 1[).

Exercice 10.2.5.
Soit Ω un ouvert born´e de IRN , f ∈ Lp (Ω), 1 < p < +∞, f  0. 1. D´eterminer explicitement la solution   p−2 ∇U = f U ∈ W01,p (Ω ) de − ∆p U = −div |∇U | ˜ ˜ 1 1 dans Ω . Ici +  = 1. p p ˜ Donner U∗ .

256

10 Exercices et probl`emes

2. Soit & a : Ω × IR × IRN → IRN v´erifiant p.p. x ∈ Ω, ∀(σ, ξ) ∈ IR × p a(x, σ, ξ) · ξ  |ξ| . Montrer que toute solution u ∈ W01,p (Ω) de IRN , &
a(x, u, ∇u) ∈ Lp (Ω)N −div & a(x, u, ∇u) = f dans D (Ω) satisfaisant & v´erifie (a) u  0 (b) |u∗ (s)|
|U∗ (s)| p.p. s ∈ Ω∗ . 3. Montrer que u(x)
U (x) ∀x ∈ Ω . ˜ ˜ p Exercice 10.2.6. Soient Ω un ouvert de mesure 1, 1 < p < +∞, p = . p−1 Pour g  0 mesurable, on associe +∞ 1  (p−ε)


1 (p−ε) |g|(p
=  Inf inf ε− p−ε gk dx g=

+∞ k=1

gk gk
0

k=1

0<ε
Ω

o` u (p − ε) est le conjugu´e de p − ε. 1. Montrer que ρ(g) = |g|(p
est une norme de Fatou invariante par r´earrangement.  
2. On note L(p = g mesurable : |g|(p
< +∞ . Montrer que








Lp +ε (Ω) ⊂ L(p (Ω) ⊂ Lp (Ω) ∀ε > 0. Exercice 10.2.7. Construire une application ρ : L0 (Ω∗ ) → [0, +∞] qui ne soit pas une norme mais qui soit monotone homog`ene. Choisir ensuite une application ρ t.q. 
1  |Ω| N
N ρ Log . < +∞, N  = s N −1 Exercice r´eguli`eres.

1,1 10.2.8. Montrer que les fonction de Wloc (IR) sont co-aire

Exercice 10.2.9. Soit Ω =]0, 1[×]0, 1[, u(x, y) = y − x et v ∈ L1 (Ω). Calculer v∗u (s), s ∈ [0, 1] en fonction de v et de u∗ (s). D´eduire si v ∈ C(Ω) alors v∗u ∈ C(Ω∗ ). Montrer que si v ∈ C 1 (Ω). Alors v∗u ∈ W 1,+∞ (Ω∗ ). Exercice 10.2.10. Soient u, v1 , v2 trois fonctions de L1 (Ω). Montrer que ∀s ∈ Ω∗  s  s |v1∗u − v2∗u |∗ (s)ds
|v1 − v2 |∗ (σ)dσ. 0

0

11 Solutions ou indications

11.1 Exercices Solution 11.1.1.



r´eponse :  = 0 car tp m(t)
u+ >t

up+ (x)dx.

Solution 11.1.2. Indication sur la preuve de l’exercice 2 (i) Comme |u  u∗ (s)| = |u∗  u∗ (s)|, consid´erons l’intervalle {u∗  u∗ (s)} il contient s . . . . 

(ii) Si mes P (u) = 0 alors |u∗  u∗ (s)| = |u∗ > u∗ (s)|. (iii) Soit t ∈ IR, si θ > t alors m(θ) < m(t) et si θ < t alors m(θ) > m(t) (car u est continue |θ < u < t| > 0 si (θ, t) ∈] inf u, sup u[). Solution 11.1.3. Indication 1. IR[X] l’ensemble des polynˆ omes est contenu dans ILp# (Ω).  2. Consid´erons P (u) = {u = t} , u ∈ L∞ (Ω) alors pour j ∈ IN , on d´efinit t∈D

⎧ ⎪ u(x), x ∈ Ω\P (u) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − |x|+γ ⎪ ⎨te j+1 |x| uj (x) = ⎪ ⎪ ⎪ j +1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩γ ∈ IR, inf |x| > −γ

si u(x) = t = 0 si u(x) = 0

x∈Ω

alors pour θ ∈ IR, |uj = θ| = 0 ∀j  0,   sup|x|+γ sup |x| |u|∞ + −−−−→ 0 |uj − u|∞
1 − e− j+1 j + 1 j→+∞

258

11 Solutions ou indications

Solution 11.1.4. Reprendre les arguments du cours. Solution 11.1.5.



Preuve. On a : muj =

χ]t,+∞[ (uj (x))dx,

t∈ / D(u).

Ω

Soit x ∈ Ω · Si u(x) > t χ]t,+∞[ (uj (x)) = 1 j  jx ·Si u(x) < t alors χ]t,+∞[ (uj (x)) = 0 j  jx : lim χ]t,+∞[ (uj (x)) = χ]t,+∞[ (u(x)) = χ]t,+∞[ (u(x)) Par convergence domin´ee, lim muj (t) = mu (t). j

Solution 11.1.6. Preuve. uj∗ (σ)
u(j+1)∗ (σ)
. . .
u∗ (σ) ∀σ. Alors, lim uj∗ (σ)=v ˙ ∗ (σ) j

v´erifie v∗ (σ)
u∗ (σ) ∀σ. |u > t| = lim |uj > t| = |v∗ > t| p.p. t. Donc pour tout t car j

|u > t − h| = |v∗ > t − h| =⇒ |u > t| = |v∗ > t|. D’o` u u ∗ = v∗ . Solution 11.1.7. Indication Montrer que |f |∗ (t)
utiliser l’in´egalit´e de Hardy.

1 t

 0

t

|f |∗ (σ)dσ. Pour l’autre in´egalit´e,

Solution 11.1.8. Indication -> Soit a∗j+1
a∗j
. . .
a0∗ r´earrangement de {a0 , . . . , an }   ⎧ ∗ ∗ ⎪ a si s ∈ 0, |E | ⎪ 0 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪   ⎪ i ⎨ ∗ i−1 si s ∈ |Ek∗ | , k=0 |Ek∗ | ai k=0 u∗ (s) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ i = 1, . . . , n ⎪ ⎪ n ⎩ 0 si t  |Ω| = k=0 |Ek | (avec a∗i associ´e `a Ei∗ ) i.e. Ei∗ = {x : u(x) = a∗i }). Solution 11.1.9. Utiliser 10.1.8

11.1 Exercices

259

Solution 11.1.10. Utiliser 10.1.8 Solution 11.1.11. α 4π sin2 . R´eponse : σ3 = 3 2 Solution 11.1.12. Voir l’indication du texte de l’exercice. Solution 11.1.13. Indication Montrer tout d’abord que : Lp (Ω) ⊂ LN,1 (Ω) ⊂ LN (Ω)

∀p > N

Ainsi : W 1,p (Ω)
W 1 (Ω, | · |N,1 )
W 1,N (Ω). Pour montrer l’inclusion Lp,q1 (Ω) ⊂ Lp,q2 (Ω) si q1
q2 . On peut d’abord montrer que ∀t ∈ Ω∗ , ∀f ∈ Lp,q (Ω). 1

(i) |f |∗∗ (t)
e e

|f |(p,q)

. Ensuite a` partir de (i), montrer que 1 tp (ii) |f |(p,q2 )
e |f |(p,q1 ) si q1
q2 .
  x q p p q Indication Pour (i) |f |(p,q)  |f |∗∗ (t)q t p −1 dt
|f |∗∗ (x)q x q (noter q 0 1 1 q e q
e ). Pour (ii), on ´ecrit que 1 e

 q

2 |f |(p,q = 2)

Ω∗

q −q1

|f |∗∗ (t)q1 |f |∗∗2

q2

q −q

2 1 1 (t) · t p −1 dt
c |f |(p,q |f |(p,q . 1) 2)

q

Solution 11.1.14. Indication Utiliser la preuve des in´egalit´es de Poincar´e-Sobolev classiques sachant que WΓ1,1 (Ω) ⊂> L1 (Ω) de fa¸con compact. 0 Solution 11.1.15. R´eponse : 1. Indication Utiliser l’espace dense D(Ω) et le r´earrangement sph´erique. Solution 11.1.16. Laiss´e au lecteur.

260

11 Solutions ou indications

Solution 11.1.17. 1. Puisque les applications j → aj , j → bj sont d´ecroissantes, on d´eduit que pour k = j bk − b j ak − aj
0 et
0 k−j k−j D’o` u (ak − aj )(bk − bj )  0 et par suite 1  (ak − aj )(bk − bj )  0, 2 j=1 n

n

k=1

on d´eveloppe cette double somme pour obtenir l’´egalit´e 2. On applique la question (1) avec aj = u∗ (sj ) et bj = v∗ (sj ). 3. On utilise le th´eor`eme de Riemann et l’´equimesurabilit´e. 4. On applique (3). En choisissant v(x) = χE (x) avec |E| = s. Solution 11.1.18. Penser au th´eor`eme de comparaison et un th´eor`eme du chapitre 1. Solution 11.1.19. 1 2

1. Noter que J(v)  J0 (v) =



2

|∇v| − Ω

 f v, ainsi on a la coercivit´e Ω 

1 1 2 (v∗+ ) (σ) dσ est continue 2η ε sur H01 (Ω)-faible, on d´eduit le r´esultat en suivant les arguments usuels. Notons J0 (uη )
J(0) donc uη reste born´e de H01 (Ω) quand η varie. On supposera uη  u dans H01 (Ω)-faible. J(uη + tv) − J(uη )  0. D’o` u 2. On calcule J  (uη )v = lim t→0, t>0 t    1 1 ∇uη · ∇v dx + uη∗+ (σ)v∗u (σ)dσ − f v dx  0 η ε Ω Ω

de J comme l’application v ∈ H01 (Ω) →

pour tout v ∈ H01 (Ω). 3. On interpr`ete cette in´egalit´e, sachant que si v ∈ D(Ω), v  0, v∗uη
0 ainsi :   ∇uη · ∇v dx − f v dx  0 : −∆uη − f
0 : −∆u
f. Ω

Ω

 Comme J(uη )
J(0) =⇒

1

2

(uη∗+ )
(constante)η. Par suite

ε

 ε

1

2

(u∗+ ) (σ)dσ = 0 : u∗+ (σ) = 0, ∀σ ∈ [ε, 1] =⇒ |u > 0|
ε.

11.1 Exercices

 f 0 4. exemple f ≡ 0

261

principe du maximum u > 0 : |u > 0| > ε

Solution 11.1.20. On ne montrera que la deuxi`eme in´egalit´e (qui entraˆıne (2) la premi`ere se fait de fa¸con identique. Posons pour x ∈ (a, b) : 

a+

H(x) =

Bx a



g(t)dt

f (t)dt

x

−

f (t)g(t)dt. a

a

C’est une fonction qui s’annule en x = a et sa d´eriv´ee est positive car
  x H  (x) = f a + g(t)dt − f (x)g(x)  0 a



x

car 0
g
1 implique

g(t)dt
x − a et puisque f est d´ecroissante alors a


f





x

a+

g(t)dt

 f (x)  f (x)g(x).

a

Par suite H(x)  H(a) = 0. Solution 11.1.21. Voir partie interpolation du cours. Solution 11.1.22. Voir le th´eor`eme de Fubini chapitre 1. Solution 11.1.23. 0,1 1. La fonction v(x) = d(x, Γ ) est dans C+ (Ω) ∩ H01 (Ω) et |∇v(x)|
1 p.p., par l’in´egalit´e (PSR), on d´eduit : 1

−v∗ (s)


s N −1 1

N N αN

d’o` u, pour tout s ∈ Ω ∗ , on a : 1

v∗ (0) −

sN 1

N αN


v∗ (s)


1  1

N αN

 1 1 |Ω| N − s N .

262

11 Solutions ou indications

2. Par ´equimesurabilit´e et l’estimation ci-dessus, en faisant un changement de variables, on d´eduit :  |Ω|  1  d(x, Γ )−α = v∗ (s)−α ds  (constante) (1 − t)−α dt = +∞ 1 2

0

Ω

si α  1. Si Ω est la boule unit´e de IRN , on a |Ω| = αN et v∗ (0) = 1 d’o` u 1

v∗ (s) = 1 −

1 N

1

sN .

αN

3. Voir le livre JE Rakotoson-JM Rakotoson [88]. 4. Pour simplifier on peut supposer que Ω est la boule unit´e, alors d(x, Γ ) = :

1 − |x|. Pour u ∈ Cc∞ (Ω), u  0 



u(x)p :

Ω :

(1 − |x|)p

1

dx = N 0

:

u∗ (αN rN )p rN −1 dr = N (1 − r)p

 0

1

   g(r) p    r(1 − r)  dr,

N −1

avec g(r) = u∗ (αN rN )r p +1 alors g ∈ W01,p (0, 1) (voir r´egularit´e de u∗ ). Conclure avec l’in´egalit´e de Hardy de la question 3 et l’in´egalit´e classique de Sobolev (voir chapitre 4), i.e. |u|p
cp (Ω)|∇u|p . :

Solution 11.1.24. Voir chapitre 4 le corollaire 4.6.2 Solution 11.1.25. 1 1 1 1 +  = 1 = +  , (voir p p q q lemme 4.5.1, il suffit d’estimer pour g ∈ Lp,q (Ω∗ ), 

h ∈ Lp ,q (Ω) l’int´egrale Mu h dx, pour h  0, g  0





1. Puisque l’espace associ´e de Lp,q est Lp ,q avec

(car |Mu (g)|
Mu (|g|)) 

Ω

 
      Mu (g)h dx = g β(u) h dx + |Pi | − g dσ − h(x)dx

Ω

Ω\P (u)

i∈D

Pi∗

Pi

(11.1)

  − d´esignant la moyenne sur A A

on a par Hardy-Littlewood : 

  g β(u) h dx


Ω\P (u)

 Ω∗

g∗ h∗ dσ
|g|(p,q) · |h|p
,q
.

(11.2)

11.1 Exercices

263

Par l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood, on d´eduit :   1 t − g dσ
g∗ (σ)dσ si t
|Pi | . t 0 Pi∗ D’o` u

 t

q p −1

Pi∗

Soit

q  
− g dσ Pi∗

q

Pi∗

t p −1 g∗∗ (t)q dt.

 1
 q1   1 q dt q 1 q −p t p g∗∗ (t) |Pi | . − g dσ
p t Pi∗ Pi∗

De mˆeme

 1
  q1
  1 q
dt q
1 q
− h(x)dx
t p h∗∗ (t) |Pi | p . p t Pi Pi∗

En posant



ai =



Pi∗

q dt 1 t p g∗∗ (t) t

 bi =

Pi∗



q
dt 1 t p h∗∗ (t) . t

Alors, on d´eduit des relations (11.1)–(11.3)   1 1
Mu (g)hdx
|g|(p,q) |h|(p
,q
) + aiq biq . Ω

(11.3)

(11.4)

i∈D

Par l’in´egalit´e de H¨older discr`ete (D est au plus d´enombrable)   q1   q1
   1 1
q q ai bi
ai bi = i∈D

i∈D

i∈D

⎞ q1
  q dt ⎟ ⎜   1 q
dt ⎟ ⎜ 1 ⎟ ·⎜ ⎟ pg ph t (t) =⎜ t (t) ∗∗ ∗∗ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ t t ∗ ∗ ⎛

∪Pi

⎞ q1 ⎛

∪Pi


|g|(p,q) |h|(p
,q
) . En combinant les relations (11.4) et (11.5), on d´eduit :  Mu (g)h dx
2 |g|(p,q) |h|(p
,q
) . Ω

D’o` u Mu (g) ∈ Lp,q (Ω) et 

 (Mu (g)h) dx, |h|(p
,q
) = 1
2 |g|(p,q) . sup Ω

  2. Par ´equimesurabilit´e, on d´eduit g β(u) ∗ = g∗ d’o` u le r´esultat.

(11.5)

(11.6)

264

11 Solutions ou indications

Solution 11.1.26. C’est une in´egalit´e de Hardy, lemme 1.4.2, on la traite comme celle de la premi`ere version (chapitre 1). Pour f  0 mesurable, on ´ecrit pour x > 0 

+∞



+∞

f (t)dt =

r

r

f (t)t q −1 t1− q dt .

x

x

En appliquant a` cette in´egalit´e, l’in´egalit´e de H¨older relative a` la mesure r dµ(t) = t q − 1dt, on d´eduit : ⎛ ⎜ ⎝



⎞q

+∞

⎛

⎟ ⎜ f (t)dt ⎠
⎝

x



⎞⎛

+∞

r ⎟⎜ f (t)q tq−r t q −1 dt ⎠ ⎝



x

 1 1 +  =1 q q




⎞ qq


+∞

r ⎟ t q −1 dt ⎠

x

 q q−1 r  +∞ r  
  x q
f (t)q tq−r t q −1 dt . r x

D’o` u l’in´egalit´e suivante : ⎛ ⎞q  q−1  ∞  +∞  +∞  +∞ r ⎜ ⎟ dx − rq −1   x dx χ[x,+∞[ (t)h(t)dt ⎝ f (t)dt ⎠ r+1
  x q 0 0

x

0

r

o` u h(t) = f (t)q tq−r t q −1 . On applique le th´eor`eme de Fubini a` cette derni`ere double int´egrale 



+∞ − rq −1

x

dx



+∞

+∞

χ[x,+∞[ (t)h(t)dt =

0

0

h(t)dt

=

q |r|

q |r| 



t

r

x− q −1 dx

0

0

=



+∞ r

h(t)t− q dt

0

+∞

f (t)q tq−r−1 dt.

0

En combinant les deux derni`eres relations, on a : ⎛ ⎞q  ∞  ∞  q q  ∞ dt   ⎜ ⎟ dx f (t)q tq r+1 . ⎝ f (t)dt ⎠ r+1
  x r t 0 x

x

11.1 Exercices

265

On applique cette in´egalit´e maintenant et pour cela, si v ∈ W01 (Ω, |·|p,q ), v  0  |Ω| on sait que v∗ ∈ W 1,1 (s, |Ω|),s > 0 et v∗ (s) = − v∗ (t)dt. s  −v∗ (t) si t ∈ Ω ∗ Posons f (t) = on a alors : 0 si t > |Ω| ⎛ q s ⎜ s p∗ v∗ (s)q
s p∗ ⎝



⎞q

+∞

⎟ f (t)dt ⎠

s

q cette derni`ere in´egalit´e conduit a` : p∗ ⎛ ⎞q  +∞  +∞  q ds ⎜ ⎟ ds
s p∗ v∗ (s)q ⎝ f (t)dt ⎠ r+1 . s s 0 Ω∗

et en posant r = −

s

Par application de l’in´egalit´e de Hardy pr´ec´edente, on a :  s Ω∗

q p∗

 q q  ∞  q q  dt q     q q dt
  v∗ (s) |v∗ (t)| tq r+1 . f (t) t r+1 =   s r r t t 0∗ q ds

x

1

|v∗ (t)|

1 |∇v|∗v (t) et donc, N N αN   1 q q ds  q q t( N −1)q+q−r−1 
  |∇v|∗v (t)dt. s p∗ v∗ (s)q  q 1 s r Ω∗ Ω∗ NαN

Par l’in´egalit´e PSR




t N −1

N

q , en simplifiant l’exposant, on d´eduit : p∗   q q q ds  q q 1
   s p∗ v∗ (s)q t p |∇v|∗v (t)dt.  q 1 s r N Ω∗ Ω∗ N αN

Puisque r = −

Puisque q
p l’application v → |v|p,q est une norme de Fatou invariante par r´earrangement et de ce fait ||∇v|∗v |p,q
|∇v|p,q . Ainsi |v|p∗ ,q


p∗ 1 N

N αN

||∇v|∗v |p,q


Solution 11.1.27. Voir l’article de Fiorenza-Rakotoson [63].

p∗ 1

N N αN

|∇v|p,q .

266

11 Solutions ou indications

11.2 Probl` emes Solution 11.2.1. 1. On applique le th´eor`eme de Lax-Milgram avec le sous-espace ferm´e de H 1 (Ω) suivant :    V = v ∈ H 1 (Ω), v(x)dx = 0 . Ω

On sait que ∀v ∈ V, |v|H 1 (Ω)
c |∇v|L2 (Ω) o` u c > 0, et par cons´equent, la  forme bilin´eaire donn´ee par a(v, w) = ∇v · ∇w dx est continue coercive Ω  f v est lin´eaire continue sur V . Il existe sur V × V , et l’application v → Ω

alors u unique sur V t.q

 f v dx ∀v ∈ V

a(u, v) = Ω

d’o` u la r´eponse.   2. La fonction v = u − u∗ (s) + ∈ H 1 (Ω), en utilisant les techniques du chapitre 5, on a d´eduit pour presque tout s ∈ Ω∗ 
 s 
     d du∗ 2 |∇u| (s) . (s) = f u − u∗ (s) + dx = f∗u (σ)dσ − ds Ω ds ∗u 0 En appliquant l’in´egalit´e de Poincar´e-Sobolev ponctuelle (relative au rectangle), on sait = 1 a du∗ (s)
· |∇u|∗u (s) − ds 2b k(s) 1

avec k(s) = min(s, |Ω| − s) 2 , |Ω| = ab.  2 2 Sachant que (|∇u|∗u )
|∇u| ∗u , on a alors (apr`es simplification) =

|∇u|∗u (s)


   1  s a · f∗u (σ)dσ   2b k(s) 0

(11.7)

mais comme,  0=

 f dx =

Ω

 f∗u (σ)dσ =

Ω∗

on a alors d’apr`es Hardy-Littlewood :

0



s

f∗u (σ)dσ +

|Ω|

f∗u (σ)dσ s

11.2 Probl`emes

⎧ ⎪  ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

s

⎪ ⎪  ⎪ ⎪  ⎪ ⎪ ⎩

  s  f∗u (σ)dσ 


0

0

  ab−s   |Ω|      f∗u (σ)dσ  =  f∗u (σ)dσ 
|f∗u |∗ (σ)dσ  s 

.

0

267

(11.8)

s

|f∗u | (σ)dσ

0

En introduisant ⎛ ⎜ Fu (t) = min ⎝





t

|f∗u | (σ)dσ;

0

⎞

ab−t

⎟ |f∗u |∗ (σ)dσ ⎠

0

les relations (11.7) et (11.8) conduisent a` = a Fu (s) · p.p. en s. |∇u|∗u (s)
2b k(s)

(11.9)

3. Par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz, Fu (s)
k(s) |f∗u |L2 (Ω∗ ) ce qui donne avec la relation (11.9) : = a ||∇u|∗u |∞
|f∗u |L2 (Ω∗ ) . (11.10) 2b 4. En reprenant l’in´egalit´e PSR, et l’in´egalit´e (11.10) on d´eduit : −u∗ (s)


a 1 |f∗u |L2 (Ω∗ ) · p.p. en s. 2b k(s)

 u dx = 0, il existe alors s0 ∈ Ω ∗ t.q v∗ (s0 ) = 0. Ainsi,

Puisque Ω

 u∗ (0) = |u∗ (0)| = −

s0 0

u∗ (t)dt


a |f∗u |L2 · 2b

 Ω∗

dt k(t)

et    u∗ |Ω|  = −



|Ω|

s0

u∗ (t)dt

a |f∗u |L2 ·
2b

 Ω∗

dt . k(t)

Comme, |u|∞ = Max



    a |f∗u |L2 · |u∗ (0)| , u∗ |Ω| 
2b

 Ω∗

dt k(t)

268

11 Solutions ou indications

et  Ω∗

on d´eduit

dt =2 k(t)


|u|
a

2a b

 12

 0

ab 2

dt √ =4 t





|f∗u |L2
a

ab 2

2a b

 12 ,

 12

|f |L2 .

Solution 11.2.2. Les r´eponses aux questions de cet exercice sont la plupart donn´ees dans le cours. Elles sont succinctement d´ecrites. On notera c diff´erentes constantes ne d´ependant que de Ω et N et de u Q0: D’apr`es l’in´egalit´e PSR, on a pour 1

u ∈ W 1 (Ω, |·|N,1 ), |u∗ (s)|
Q max(s, |Ω| − s) N −1 |∇u|∗u (s) d’o` u avec l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood    1  ds 1 s N (|∇u|∗u )∗ (s) |u∗ (s)| ds
Q21− N s Ω∗ Ω∗ 1

Q1: 0 < s < |Ω| ,

1 N Q21− N |∇u|N,1 .
Q21− N |∇u|(N,1)
N −1   1 s |∇(u − un )|∗ (σ)dσ. − |∇(u − un )|∗ (σ)dσ
s 0 Ω∗

D’o` u  1− 1 1− 1 |Ω| N |Ω| N |∇(u − un )|(N,1)
|∇(u − un )|N,1 . |∇(u − un )| dx
N N −1 Ω Q2: Soit un → u dans W 1 (Ω, |·|N,1 ) alors un∗ reste dans un born´e de L1 (Ω∗ ) comme un∗ → u∗ dans L1 (Ω∗ ) alors un∗  u∗ dans D(Ω∗ ). Soit maintenant E ⊂ Ω∗ , par l’in´egalit´e ponctuelle PSR et l’in´egalit´e de HardyLittlewood, on d´eduit   |E|  |E|   1 1 |un∗ | dσ
c s N −1 |∇un |∗un (s)ds
c s N −1 |∇un |∗∗ (s)ds 0

E



0

|un∗ | dσ
c |∇(u − un )|N,1 + c

E

 Comme

0

|E|



|E| 0

1

s N −1 |∇u|∗∗ (s)ds.

1

s N −1 |∇un |∗∗ (s)ds −−−−→ 0, on d´eduit de cette derni`ere |E|→0

in´egalit´e par (un∗ ) v´erifie les conditions de Dunford-Pettis. Par suite un∗  u∗ dans L1 (Ω∗ )-faible.

11.2 Probl`emes

269

Q3: On applique la formule de Taylor-Lagrange au point a avec √ Φ(t) = 1 + t2 , alors Φ(b) = Φ(a) + (b − a)Φ (a) +

(b − a)2 Φ”(c) 2

> > a(b − a) (b − a)2 1 + b2 = 1 + a2 + √ + 3 , 1 + a2 2(1 + c2 ) 2 d’o` u

>

1 + b2 

>

c ∈]a, b[

0
c
max(a, b)

a(b − a) (b − a)2 1 + a2 + √ +  3 . 1 + a2 2 1 + max(a, b)2 2

Q4: On applique l’in´egalit´e pr´ec´edente avec a = |u∗ (s)| = −u∗ (s), b = −un∗ (s) alors 

>

1 + un∗ (s)2 −

>

Ω∗

 >

 Ω∗

u∗ 1+

(un∗ u∗
2

−

u∗ )ds

 >

Par convergence faible lim n

Ω∗

 + Ω∗

u∗

de la question, on d´eduit : lim Kn (s) =

(un∗ − u∗ )2 Kn (s)ds.

(un∗ − u∗ )ds = 0 avec l’hypoth`ese

1 + u∗
2 n

 1 + u∗ (s)2 ds 

Ω∗

(un∗ − u∗ )2 Kn (s)ds

=

0 o` u

1 1 · . 2 1 + max  |u (s)| , |u (s)| 2  32 n∗ ∗

Soit θ > 0, bn (s) = max (|un∗ (s)| , |u∗ (s)|) , s ∈ Ω∗ alors, |un∗

−

u∗ |1




|un∗

−

u∗ | dt

 +

|un∗ − u∗ | dt .

bn θ

bn >θ

On a alors 

3  |un∗ − u∗ | dt
c 1 + θ2 4


 Ω∗

bn θ

(un∗ − u∗ )2 Kn (s)ds

 12 .

Comme |bn > θ|


1 θ

 bn (t)dt
Ω∗

1 θ


 Ω∗

|un∗ | +

 Ω∗

|u∗ |




c . θ

270

11 Solutions ou indications

Ainsi, a` l’aide de la question Q2, on a : 

|un∗

−



u∗ | dt


c



|bn >θ|

s

1 N

−1

|∇u|∗∗ ds + c

0

bn >0

|bn >θ| 1

s N −1 |∇un |∗∗ ds

0


c |∇(un − u)|N,1 + c

c θ 1

s N −1 |∇u|∗∗ ds .

0

Ainsi 3

|un∗ − u∗ |
c(1 + θ2 ) 4




(un∗ − u∗ )2 Kn (s)ds

Ω∗

 12 +

c θ



1

s N −1 |∇u|∗∗ ds + c |∇(un − u)|N,1 .

+c 0

D’o` u lim sup |un∗ n

−

u∗ |1


c

c θ 1

s N −1 |∇u|∗∗ ds −−−−−→ 0. θ→+∞

0

D’apr`es la formule de co-aire, m et mn sont absolument continues. ⎞ ⎛  b  ⎟ ⎜ dHN −1 (x) ⎜m(a) − m(b) = dt si N  2⎟ ⎠ ⎝ |∇u| (x) a u=t





+∞

dt −∞

dHN −1 (x) < +∞, idem pour N = 1. |∇u| (x)

u=t

On fait le changement de variables, t = u∗ (σ)  8  1 + m
2 (t)dt = R(u)

8

Ω∗

Pour la question Q6 voir chapitre 6. La question Q7 d´ecoule de Q6, Q5 et Q4.

1 + u∗
2 (σ)dσ.

11.2 Probl`emes

271

Solution 11.2.3.  1. t → (v(x) + t)− dx = Gv (t) est strictement d´ecroissante, de plus Ω

Gv (t) −−−−→ 0,

Gv (t) −−−−→ +∞.

t→+∞

t→−∞

En effet, par le th´eor`eme de Fatou, on a :    lim v(x) + t − dx = +∞ limt→−∞ Gv (t)  Ω t→−∞



et Gv (t)


(t − v− (x))− dx,

lim (t − v− (x))− = 0

t→+∞

Ω

(t − v− (x))−
v− (x), d’o` u le th´eor`eme de la convergence domin´ee implique que  (t − v− (x))− dx = 0. lim t→+∞

Ω

  I D’o` u il existe C(v) unique t.q Gv C(v) = . λ 2. Pour ϕ ∈ L4 (Ω) ⊂ L2 (Ω), d’apr`es le th´eor`eme de Lax-Milgram, il existe  v ∈ H01 (Ω) unique t.q Av = −λϕ. Comme C(v) est unique ψ = v + C(v) − = Sϕ unique.   3. Soit w = |v| et w − w∗ (s) + sign (v) ∈ H01 (Ω) d ds



2

|∇w| dx = − w>w∗ (s)

  2 |∇w|




∗w

D’o` u

o` u k(s) =

 √

d ds s

(s) = +

|∇w|

0 2



 12 ∗w

  λϕ w − w∗ (s) + sign (v)

  λϕ sign (v) ∗w (t)dt (w∗ (s)) .




λQk −1 (s)


 0



s

|ϕ|∗ (t)dt

1 u s, Q = √ . D’o` 2 π −w∗ (s)
 |v|∞ = −

soit



0

|Ω|

1 −1 3 s s 4 |ϕ|L4 , 4π 3

w∗ (s)ds 3

|Ω| 4 . a= 3π

|Ω| 4 |ϕ|L4
3π

272

11 Solutions ou indications

4. Comme l’application t → Gv (t) est d´ecroissante et Gv (|v|) = 0 d’o` u |v|∞  C(v) • Si C(v)  0 alors |ψ|∞
|v|∞ + C(v)
2 |v|∞ . • Si C(v) < 0 alors distinguons deux cas : si + |v|∞ + C(v)  0 alors |C(v)|
|v|∞ et si + |v|∞ + C(v)
0 alors       I = v + C(v) −  |Ω| |v|∞ + C(v) − = λ Ω Ω   = − |Ω| |v|∞ + C(v) − I + |v|∞  |C(v)| alors λ |Ω| |ψ|∞
2 |v|∞ + 5.



I I et |ψ|L1 = . λ |Ω| λ 

I 3 |ψ|∞ λ Ω Ω
3 I I 4 4 |Sϕ|L4 = |ψ|L4
2λa |ϕ|L4 + λ λ |Ω| 3  1
3
 13 I I 1 4 |Sϕ|L4
2λa |ϕ|L4 + . λ λ |Ω| 4

4

|ψ|L4


D’o` u,

3

|ψ|
|ψ|∞


 13 I C1 = 2λa , λ

ψ=

1 C2 = |Ω|

4


 43 I λ

3

|Sϕ|L4
(C1 |ϕ|L4 + C2 ) . 3

Soit X 4 − (C1 X + C2 ) = 0 admet une racine R > 0 car 3

F (X) = X 4 − (C1 X + C2 ) −−−−−→ +∞, X→+∞

4

F (0) = −C2 < 0

3

Si |ϕ|L4
R alors |Sϕ|L4
(C1 R + C2 ) = R4 . Soit |Sϕ|L4
R : S : B4 (R) → B4 (R) S : L4 (Ω) − → H01 (Ω) ⊂ L∞ (Ω) − → L4 −−−→ L4 − → L4   ϕ −→ v −→ v −→ v + Cv −→ v + C(v) − L

i

C+I

P

L continue, i =compact, C + I continue, P continue =⇒ S est compact. Il existe u ∈ H 1 (Ω) ⊂ L∞ (Ω) t.q Su = u

11.2 Probl`emes

(th´eor`eme de Leray-Schauder) on a:    u = v + C(v) −   Su = u ⇐⇒ −div A(x)∇v = −λu

273

.

Si on pose w = v + C(v) alors ⎧ ⎪ ⎪Au = Aw = −λw− ⎨ 1 w  ∈ H0 (Ω) ⊕ IR ⎪ I ⎪ ⎩ w− dx = . λ Ω Solution 11.2.4. Laiss´e au lecteur. Solution 11.2.5.





1. Si f ∈ Lp (Ω) alors f ∈ Lp (Ω ). En minimisant la fonctionnelle ˜ ˜  1 p f v sur W01,p (Ω ), on d´eduit qu’il existe au J(v) = |∇v| dx − p Ω ˜ Ω ˜ ˜ moins un ´el´ement U ∈ W01,p (Ω ) solution de −∆p U = f . Du fait de la ˜ ˜ monotonicit´e du p-Laplacien (qui est stricte) on d´eduit que cette solution est unique. De plus f  0 implique que f  0 et par le principe du ˜ maximum on d´eduit que U  0. Dans ces conditions, J(U )
J(U ) et par ˜ stricte convexit´e de J (ou unicit´e de solution) on a : U = U . Ainsi pour ˜ calculer explicitement U , il suffit de calculer U∗ .   Recherche de U Soit s ∈ Ω∗ et choisissons U − U∗ (s) + comme fonction test, on d´eduit 



  f U − U∗ (s) + dx. (11.11) Ω˜ U >U∗ (s) ˜   N N N −1 |x| Puisque U (x) = U∗ (αN |x| ) on a |∇U (x)| = N αN |U∗ | αN |x| . Puisque U est radial, alors on a : p

|∇U | dx =



 p

|∇U | dx = (N αN )p U >U∗ (s)

(N −1)p

|U∗ | (αN |x| ) |x| p

N

αN |x| <s

N

dx

274

11 Solutions ou indications

(par changement de variables) 

1

N p ) = (N αN

s

0

p

|U∗ | (σ)σ N
dσ. p

(11.12)

En combinant les relations (11.11) et (11.12) et en d´erivant par rapport a` s, on d´eduit : 1 N

p

(N αN )

p |U∗ |

(s)s

p N


 =

−U∗ (s)

f dx = −U∗ (s) ˜



U >U∗ (s)

s 0

f∗ (σ)dσ).

Puisque la solution  est unique,  on va chercher U et montrer a` posteriori que l’ensemble s : U∗ (s) = 0 est de mesure nulle. Ainsi :


p

|U∗ |

p−1

(s) =

s− N
1

0

N p (N αN )

soit




p


U∗ (s)

=−

s− N
1

N p
(N αN )

0



s

f∗ (σ)dσ 1  p−1

s

f∗ (σ)dσ

(11.13)

d’o` u

N

U (x) = U∗ (αN |x| ) = −

1 1

N p
(N αN )



|Ω|


σ

p −N


αN |x|

N

 0

1  p−1

σ

f∗ (t)dt

dσ . (11.14)

Par un calcul direct, on v´erifie que −∆p U = f , U (x) = 0, x ∈ ∂Ω. ˜ Par unicit´e desolution, on conclut que U∗ est donn´e par (11.13) et que  s : U∗ (s) = 0 est de mesure nulle.

2. Montrons que |u∗ (s)|
|U∗ (s)|. En appliquant la technique du chapitre 5, nous avons :    s p (|∇u| )∗u (s)
− u∗ (s) f∗ (t)dt. (11.15) 0

Notons que par le principe du maximum, une solution u de   −div & a(x, u, ∇u) = f  0 est positive car    p |∇u− | dx
− & a(x, u, ∇u) · ∇u− dx = − f · u−
0 0
Ω

Ω

Ω

11.2 Probl`emes

275

  (ici u− (x) = − min u(x), 0 .) En appliquant l’in´egalit´e ponctuelle PSR on a : 1

−u∗ (s)

s N −1




1 N

N αN

1

p

([|∇u| ]∗u (s)) p , s ∈ Ω∗ ,

la relation (11.15) conduit a` :


p
1

s− N
p

1 p

p

([|∇u| ]∗u (s))


1

1

0

N p−1 (N αN )

1  p−1

s

f∗ (t)dt

.

(11.16)

1

Sachant que |∇u|∗u (s)
((|∇u| )∗ (s)) p , et l’expression de U∗ donn´ee par (11.13), on d´eduit que : p




p
1

|∇u|∗u (s)


s− N
p 1 N

(N αN )

1 p−1

0

1  p−1

s

f∗ (t)dt

1

1

N = N αN s N
|U∗ (s)| .

D’o` u 1

|u∗ (s)|


|Ω|

3. Puisque u∗ (s) = s

s− N
1 N

N αN

|∇u|∗u (s)
|U∗ (s)| .

|u∗ (t)| dt d’o` u u∗ (s)
U∗ (s), ∀s ∈ Ω ∗ et d’o` u

u(x) = u∗ (αN |x|N )
U∗ (αN |x|N ) = U (x). ˜ Solution 11.2.6. Laiss´e au lecteur (ou voir les articles de Fiorenza-Rakotoson). Solution 11.2.7. Laiss´e au lecteur (ou voir l’article de Almgrem et Lieb). Solution 11.2.8. Laiss´e au lecteur. Solution 11.2.9.  v∗u (s) =

0

1

v(x, x + u∗ (s))dx, s ∈ [0, 1].

276

11 Solutions ou indications

Solution 11.2.10. On sait que ∀ψ : IR+ → IR+ convexe et lipschitzienne, on a :   ψ(|v1∗u − v2∗u |)dσ
ψ(|v1 − v2 |∗ )dσ. Ω∗

Ω∗

En prenant ψ(σ) = (σ − t)+ , t ∈ IR on d´eduit :   (|v1∗u − v2∗u |(σ) − t) + dσ
(|v1 − v2 |∗ − t)+ dσ. Ω

La proposition 1.2.1 donne le r´esultat.

Ω

12 Commentaires bibliographiques

Le concept de r´earrangement relatif a ´et´e introduit en 1981 par J. Mossino et R. Temam [84] et annonc´e formellement dans [127]. Comme cette d´eriv´ee directionnelle concerne le r´earrangement monotone, nous avons commenc´e au premier chapitre par des r´esultats g´en´eraux concernant cette derni`ere notion. On peut trouver un d´eveloppement du r´earrangement monotone dans le livre de Chong-Rice [32]. Quant aux espaces li´es au r´earrangement monotone, on peut consulter les livres de Bennett-Sharpley [17], ou de Ziemer W. [129] ou l’article de O’Neil [85]. Bien entendu, les in´egalit´es de Hardy-Littlewood ´evoqu´ees ici sont donn´ees dans les livres [70,73,86]. Les propri´et´es de contraction dans les espaces de Orlicz sont ´enonc´ees dans Chiti [31] voir aussi [92]. La preuve que nous avons adopt´ee dans le second chapitre est tir´ee d’un article de Rakotoson-Simon [104–106], pour des mesures g´en´erales, dans D`ıaz-Nagai-Rakotoson [48], pour une extension pour un domaine non born´e. L’analyse convexe utilis´ee dans cette partie se trouve dans Rockafellar [110], Brezis [24], Ekeland-Temam [53]. Quant aux propri´et´es du r´earrangement relatif, elles rel`event des articles de Mossino-Temam ou des articles de l’auteur et collaborateurs [63, 89, 92–94, 96–98, 101]. Une alternative de la preuve de la d´eriv´ee directionnelle est donn´ee dans Alvino-Lions-Trombetti [6]. La notion de p´erim`etre a ´et´e introduite par De Giorgi [38] d´evelopp´ee dans Federer [54] quant a` la formule de Fleming-Rishel rencontr´ee au chapitre 3 elle est d´emontr´ee de fa¸con similaire dans [64]. Les in´egalit´es isop´erim´etriques (ou relatives isop´erim´etriques) sont prouv´ees dans le livre de Federer [54], elles utilisent l’in´egalit´e de Brun-Minkowski. L’in´egalit´e relative isop´erim´etrique que nous citons pour un domaine connexe r´egulier est un r´esultat de FedererFleming [54], la constante de cette in´egalit´e dans le cas d’une boule a ´et´e calcul´ee par V. Majda [79] et dans IR2 par A. Cianchi [34]. Le r´esultat de u a` Sperner en 1974 dans le cas d’une fonction a` r´egularit´e de u∗ est d’abord dˆ trace nulle, mais sans utiliser la notion de r´earrangement relatif bien entendu, le cas g´en´eral est dˆ u a` l’auteur et Temam [109], d`es 1987. La preuve pr´esent´ee ici est une version simplifi´ee des d´etails de cet article pr´esent´e dans [107, 109]. Quant aux in´egalit´es classiques de Poly`a-Sz¨ego que nous donnons ici, on peut

278

12 Commentaires bibliographiques

les retrouver dans [86] et dans le livre de Bandle [14] ou Mossino [82] pour les fonctions positives a` trace nulle. Une ´etude de l’optimalit´e de l’in´egalit´e de Poly` a-Sz¨ego classique a ´et´e faite dans [27]. Quant aux fonctions a` trace partiellement nulle, la notion Cα - r´earrangement et in´egalit´es isop´erim´etriques sur un cˆ one peuvent ˆetre trouv´ees dans les articles Lions P.L. Pacella F. Tricarico, M. [76] et [75]. Les in´egalit´es ponctuelles de Poly`a-Sz¨ego ont ´et´e introduites par l’auteur [97, 98]. Le chapitre 4 a montr´e comment la propri´et´e d’estimation ponctuelle intervient de fa¸con simple et donne une m´ethode unificatrice d’obtention de diverses in´egalit´es. Ces in´egalit´es ont ´et´e introduites par l’auteur [97, 98] (voir aussi Fiorenza-Rakotoson [61, 62]). N´eanmoins, l’usage des in´egalit´es telle que l’in´egalit´e de Bliss remonte d´ej` a aux travaux de Rodemich [111] et Talenti [121]. Pour compl´eter ce chapitre, on peut consulter d’autres ouvrages concernant les inclusions de Sobolev, tels les livres de Gilbarg N.S. Trudinger [68], Adams R [1], V. Majda [79] ou les articles Alvino et collaborateurs [3, 4, 6], Moser J. [81], Brezis-Wainger [25], Strichartz [119]. La preuve page 98 pour W 1,1 (Ω) est inspir´ee de W. Ziemer [129]. L’usage des r´earrangements monotones dans les ´equations elliptiques a ´et´e initi´e par Talenti [120, 122, 123]. Sa m´ethode fut exploit´ee dans diverses directions par exemple [6, 7, 10–12, 20, 21, 39–44, 57, 58, 66, 67, 116] la m´ethode de Talenti s’appuie surtout sur l’usage de la fonction de distribution m(t) = |u > t| et de l’in´egalit´e diff´erentielle −m (t)dt
−dm(t). Cette m´ethode a ´et´e reprise dans les r´ef´erences cit´ees ci-dessus et a servi dans de nombreux cas `a des th´eor`emes de comparaison de solutions. D’autres approches de ces r´esultats de comparaison sont dans [8, 13]. La m´ethode du chapitre 5 est totalement diff´erente de celle de Talenti puisqu’elle n’utilise pas la fonction distribution mais directement le r´earrangement monotone mais aussi le r´earrangement relatif du gradient. C’est l’estimation de cette quantit´e qui est une des cl´es de cette nouvelle approche additionn´ee des in´egalit´es dites ponctuelles PSR. Cette technique a ´et´e introduite dans les articles de l’auteur [97–99]. Quant au mod`ele math´ematique de probl`eme de valeur propre non lin´eaire, il a ´et´e tir´e de l’article de Temam [126]. La mod´elisation de ces ´equations est faite dans [125]. Les mod`eles en physique des plasmas ont motiv´e l’introduction du r´earrangement relatif [84, 127]. Le lemme 5.4.3 est aussi prouv´e dans le livre de Mossino [82]. Le chapitre 6 a ´et´e bˆ ati a` l’aide de l’article d’Almgren-Lieb [2], mˆeme si la pr´esentation que nous avons adopt´ee est diff´erente de l’article originel de [2]. Les th´eor`emes du type Morse-Federer utilis´es `a la fin de ce chapitre sont donn´es dans Federer [54], Ziemer [129]. Notons que le premier r´esultat dans le cas de la dimension 1 est dˆ u a` Coron [36]. Le chapitre 7 concernant la continuit´e forte du r´earrangement relatif a fait l’objet de nombreux articles [95, 96] suivi [55, 56, 100, 102]. Ce chapitre a ´et´e surtout motiv´e par les probl`emes nonlocaux ´etudi´es par D`ıaz-Rakotoson [49–51] suivis des articles D`ıaz-Lerena-Padial-Rakotoson [45]. Ces probl`emes

12 Commentaires bibliographiques

279

rel`event de certains mod`eles en physique des plasmas li´es aux machines de confinement appel´ees Stellerator (voir [50, 51, 65, 115]). Un r´esultat voisin du th´eor`eme 7.2.1 est donn´e par Alvino-Trombetti pour le pseudo-r´earrangement [57]. Notre preuve, donn´ee dans [93], est bas´ee enti`erement sur la d´efinition particuli`ere du r´earrangement relatif contrairement `a la preuve d’Alvino-Trombetti. Le chapitre 8 a ´et´e fond´e `a partir des articles Rakotoson-Seoane [96], Rakotoson-Serre [103] et pr´esente les applications des r´esultats du chapitre 7 et du chapitre 2 a` des probl`emes non standard. Le probl`eme d’optimisation trait´e a ´et´e pr´esent´e par Serre [114]. Enfin le chapitre 9 reprend l’article de D`ıaz-Nagai [47] D`ıaz-Nagai-Rakotoson [48] mais aussi les id´ees de Bandle [14], A. Cianchi [35], Mossino-Rakotoson [83]. Les th´eor`emes de comparaison pour les probl`emes paraboliques ont ´et´e d´evelopp´es par Bandle pour les solutions fortes (r´eguli`eres) et am´elior´ees par Mossino-Rakotoson [83] pour les solutions faibles. Comme les r´esultats de Talenti pour le cas elliptique, les th´eor`emes de comparaison ont ´et´e exploit´es par divers auteurs par exemple Rodriguez [112], D`ıaz-Mossino [46], GustafssonMossino [69], pour les ´equations d’Hamilton-Jacobi dans [59, 66, 67], (voir aussi [7, 8]). Le syst`eme de Chemotaxis dans le cas d’un domaine born´e et pr´esent´e ici a ´et´e ´etudi´e par D`ıaz-Nagai [47]. Le th´eor`eme abstrait 9.4.1 a ´et´e pris dans le livre de Temam [128]. En compl´ement aux r´ef´erences pr´ec´edentes, on a un expos´e g´en´eral sur la th´eorie de la mesure utile `a la compr´ehension dans [71] et des propri´et´es des espaces de Sobolev utilis´ees pour la continuit´e du r´earrangement monotone sont trait´ees dans [30]. D’autres applications du r´earrangement monotone dans les in´equations variationnelles par exemple se trouvent dans [9,15,78], ou pour certains probl`emes li´es `a la m´ecanique des fluides [29, 52]. Pour les approches num´eriques du r´earrangement monotone et relatif, on peut consulter [19,101]. Le r´earrangement relatif n’est pas un r´earrangement comme la sym´etrisation de Steiner ou de Schwarz. Pour permettre aux lecteurs de faire une comparaison entre ces divers r´earrangements nous avons cit´es quelques r´ef´erences [5, 13, 14, 22, 26, 28, 73]. Les r´ef´erences [44, 65, 113, 115] concernent les ´equations de la magn´etohydrodynamique li´ees aux ´equations de la physique des plasmas cit´ees ici.

Litt´ erature

1. Adams, R. Sobolev spaces. Academic Press, 1975. 2. Almgren, F. and Lieb, E. Symmetric rearrangement is sometimes continuous. J. Amer. Math. Soc., 2: pp.683–773, 1989. 3. Alvino, A. Sulla disegualianza di Sobolev in spazi di Lorentz. Boll. Un. Mat. Ital., 14: pp.148–156, 1977. 4. Alvino, A. Un caso limite della diseguafliana di Sobolev in spazi di Lorentz. Rend. Acad. Sci. Napoli, XLIV: pp.105–112, 1978. 5. Alvino, A. D´ıaz J.I. Lions, P.L. and Trombetti, G. Elliptic Equations and Steiner Symmetrization. Comm. Pure Appl. Math., XLIX: pp.217–236, 1996. 6. Alvino, A. Lions, P.L. and Trombetti, G. On Optimization Problems with Prescribed Rearrangements. Nonlinear Anal. T.M.A., 13(2): pp.185–220, 1989. 7. Alvino, A. Lions, P.L. and Trombetti, G. Comparison results for elliptic and parabolic equation via Schwarz symmetrization. Ann. Inst. Henri Poincar´ e., 7: pp.37–65, 1990. 8. Alvino, A. Lions, P.L. and Trombetti, G. Comparison results for elliptic and parabolic equation via symmetrization: a new approach. Diff. Int. Eq., 4: pp.25–50, 1991. 9. Alvino, A. Matarasso, S. and Trombetti, G. Variational inequalities and rearrangements. Rend. Mat. Acc. Lincei., 9: pp.271–285, 1992. 10. Alvino, A. and Trombetti, G. Sulle migliori costanti di maggiorazione per una classe di equationi ellittiche degeneri. Ricerche Mat., 27: pp.413–428, 1978.

282

Litt´erature

11. Alvino, A. and Trombetti, G. Sulle migliori costanti di maggiorazione per una classe di equationi ellittiche degeneri e non. Ricerche Mat., 30: pp.15–33, 1981. 12. Alvino, A. and Trombetti, G. A lower bound for the first eigenvalue of an elliptic operator. J. Math. Anal. Applic., 94: pp.328–337, 1983. 13. Baernstein, A. A unified approach to symmetrization. Partial Differential Equations of Elliptic Type, XXXV: pp.47–91, 1995. A. Alvino et al., Symposia matematica. 14. Bandle, C. Isoperimetric inequalities and applications. Pitman, 1980. 15. Bandle, J. and Mossino, J. Rearrangements in variational inequalities. Ann. Mat. Pura e Appl., (4) 138: pp.1–14, 1984. 16. B´ enilan, P. and Crandall, M.L. Semigroup theory and evolution equations. Ph Clements et al. (editors Marcel Decker Inc), pp.41–76, 1991. 17. Bennett, C. and Sharpley, R. Interpolation of operators. Academic Press, 1983. 18. Berestycki, H. and Br´ ezis, H. On a free boundary problem arising in plasma physics. Nonlinear Anal., 4: pp.415–436, 1980. 19. Berm´ udes, A. and Seoane, M.L. Numerical solution of a nonlocal problem arising in plasma physics. Math. Comp. Modell., 27(5): pp.45–59, 1998. 20. Betta, F. and Mercaldo, A. Existence and Regularity results for a nonlinear Elliptic Equations. Rendiconti di Matematica, VII(11): pp.737–759, 1991. 21. Betta, F. and Mercaldo, A. Comparison and regularity results for a nonlinear elliptic equation. Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl., 20(1): pp.63–77, 1993. 22. Betta, F. and Mercaldo, A. Geometric inequalities related to Steiner symmetrization. Diff. Int. Equ., 10(3): pp.473–486, 1997. 23. Blum, J., Gallouet, T. and Simon, J. Equilibrium of a plasma in a Tokamak. ed Pitman, 1985. 24. Br´ ezis, H. Analyse fonctionnelle Th´eorie et Applications. Masson, 1983. 25. Br´ ezis, H. and Wainger, S. A note on limiting cases of Sobolev embedding and convolution inequalities. Commun. Part. Diff. Equ., 5: pp.773–789, 1980. 26. Brock, F. Continuous Steiner-symmetrization. Math. Nachrichten, 172: pp.25–48, 1995.

Litt´erature

283

27. Brothers, J. and Ziemer, W.P. Minimal rearrangements of Sobolev functions. J. Reine Angew. Math., 384: pp.153–179, 1988. 28. Burchard, A. Steiner symmetrization is continuous in W 1,p . Geom. Funct. An., 7: pp.823–860, 1997. 29. Burton, G.R. Rearrangement of functions Maximization of convex functionals and vortex rings. Math. An., 276(2): pp.225–253, 1987. 30. Chabi, A. and Haraux, A. Un th´eor`eme de valeurs interm´ediaires dans les espaces de Sobolev et applications. Ann. Fac. Sci. Toulouse, VII: pp. 87–100, 1985. 31. Chiti, G. Rearrangement of functions and convergence on Orlicz spaces. Appl. Anal., 9(1): pp.23–27, 1979. 32. Chong, K.M. and Rice, N.M. Equimeasurable rearrangements of functions. Queen’s University, 1971. 33. Choquet, G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier, 5: pp.131–395, 1955. 34. Cianchi, A. On relative isoperimetric inequalities in the plane. Bolletino della Unione Mathematica Italiana, 7(3-B): pp.289–325, 1989. 35. Cianchi, A. Optimal gradient bounds and heat equation. Diff. Int. Equ., 6(5): pp.1079–1088, 1993. 36. Coron, J.M. The Continuity of the Rearrangement in W 1,p (R). Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. S´ erie IV, 11(1): pp.57–85, 1984. 37. Crandall, M.G. and Tartar, L. Some relations between nonexpansive and ordre preserving maps. Proc. AMS, 78(3): pp.385–390, 1980. 38. De Giorgi, E. Su una teoria generale della misura (r − 1)-dimensionale in uno spazio ad rdimension. Annali Mat. pura appl., 36: pp.191–213, 1952. 39. D´ıaz, J.I. Applications of symmetric rearrangement to certain nonlinear elliptic equations with a free boundary. Pitman, 1985. 40. D´ıaz, J.I. Nonlinear partial differential equations and free boundaries., volume 1, elliptic equations. Pitman, 1985. 41. D´ıaz, J.I. Desigualdades de tipo isoperim´etrico para problemas de Plateau y capilaridad. Revista de la Academica Canaria de Ciencas, III,1(1): pp.127–166, 1991.

284

Litt´erature

42. D´ıaz, J.I. Symmetrization of nonlinear elliptic and parabolic problems and applications: a particular overview. Progress in partial differential equations elliptic and parabolic problems, Pitman Research Notes Mathematics Longman, Harlow, Essex(266): pp.1–16, 1992. 43. D´ıaz, J.I. Qualitative study of nonlinear parabolic equations: an introduction. Extracta Mathematicae, 16(2): pp.303–341, 2001. 44. D´ıaz, J.I. Modelos bidimensionales de equilibrio magnetohidrodin´ amico para Stellarators, Informe 3 Formulaci. Euroatom CIEMAT Associaton Reports, Madrid, December 1991. 45. D´ıaz, J.I. Lerena, M. Padial, J.F. and Rakotoson, J.M. Nonlocal elliptic-parabolic equation arising in the stability of a confined plasma in a Stellerator. C.R. Acad. Sci. Paris, t.329, s´erie I: pp. 773–777, 1999. 46. D´ıaz, J.I. and Mossino, J. Isoperimetric inequalities in the parabolic obstacle problems. J. Math. Pures Math., 71(9): pp.233–266, 1992. 47. D´ıaz, J.I. and Nagai, T. Symmetrization in a parabolic-elliptic system related to chemotaxis. Adv. Math. Sci. Appl., 5: pp.659–680, 1995. 48. D´ıaz, J.I. Nagai, T. and Rakotoson, J.M. Symmetrization techniques on unbounded domains: application to a chemotaxis system on IRN . J. Diff. Equ., 145(1): pp.156–183, 1998. 49. D´ıaz, J.I. Padial, J.F. and Rakotoson, J.M. Mathematical treatement of the magnetic confinement in a current carrying Stellerator. Nonlinear Anal. TMA, 34: pp.857–887, 1998. 50. D´ıaz, J.I. and Rakotoson, J.M. On a two–dimensional stationary free boundary problem arising in the confinement of a plasma in a Stellarator. C.R. Acad. Sci. Paris Serie I, 317: pp.353–358, 1993. 51. D´ıaz, J.I. and Rakotoson, J.M. On a nonlocal stationary free boundary problem arising in the confinement of a plasma in a Stellarator geometry. Arch. Rat. Mech. Anal., 134(1): pp.53–95, 1996. 52. Douglas, R.J. Rearrangement of functions on unbounded domains. Proc. R. Soc. Edin., 124(A): pp.621–644, 1994. 53. Ekeland, I. and Temam, R. Convex analysis and variational problems. North-Holland, 1976. 54. Federer, H. Geometric measure. Springer, 1989.

Litt´erature

285

55. Ferone, A. Jalal, M. Rakotoson, J.M. and Volpicelli, R. Nonlocal generalized models for a confined plasmas in a Tokamak. Appl. Math. Lett., 12(1): pp.43–46, 1999. 56. Ferone, A. Jalal, M. Rakotoson, J.M. and Volpicelli R. A topological approach for generalized nonlocal models for a confined plasmas in a Tokamak. Commun. Appl. Anal., 5(2): pp. 159–182, 2001. 57. Ferone, A. and Volpicelli, R. Some relations between pseudo-rearrangement and relative rearrangement. Nonlinear Anal., 41(7–8): pp.855–869, 2000. 58. Ferone, V. and Posteraro, M.R. A remark on a Comparison theorem. Commun. Partial Diff. Equ., 16: pp.1255–1262, 1991. 59. Ferone, V. Posteraro, M.R. and Volpicelli, R. An inequality concerning rearrangements of functions and Hamilton-Jacobi equations. Arch. Ration. Mech. Anal., 125(3): pp.257–269, 1993. 60. Fiorenza, A. Duality and reflexivity in Grand Lebesgue spaces. Collect. Math., 51(2): pp.131–148, 2000. 61. Fiorenza, A. and Rakotoson, J.M. Petits espaces de Lebesgue et quelques applications. C.R.A.S., s´erie I, 334: pp.23–26, 2002. 62. Fiorenza, A. and Rakotoson, J.M. New proprieties of small Lebesgue spaces and their applications. Mathematishe Annalen, 326: pp.543–561, 2003. 63. Fiorenza, A. and Rakotoson, J.M. Compactness, interpolation inequalities for small Lebesgue-Sobolev spaces and applications. Calc. Var. PDE, 25(2): pp.187–203, 2006. 64. Fleming, R. and Rishel, F.W. On integral formula for total graadiant variation. Arch. Math. 11: pp.218–222, 1960. 65. Freidberg, J.P. Ideal magnetohydrodynamics. Plenum, 1987. 66. Giarusso, E. and Nunziante, D. Comparison theorems for a class of first-order Hamilton-Jacobi equations. Annales Toulouse, 7: pp.57–75, 1985. 67. Giarusso, E. and Nunziante, D. Symmetrization in a class of first-order Hamilton-Jacobi equations. Nonlinear Anal., 8(4): pp.289–299, 1984. 68. Gilbarg, D. and Trudinger, N.S. Elliptic partial differential equations of second order. Springer, 1983. 69. Gustafsson, B. Mossino, J. Isoperimetric inequalities for Stefan problem. SIAM J. Math. Anal., 20(5): pp.1095–1108, 1989.

286

Litt´erature

70. Hardy, G.H. Littlewood, J.E. and Polya, G. Inequalities. Cambridge University Press, 1964. 71. Hewitt, E. and Stromberg, K. Real and abstract analysis. Springer, New York, Heidelburg, Berlin, 1965. 72. Hunt, R. On L(p, q) spaces. L’enseignement Math., 12: pp.249–276, 1966. 73. Kawohl, B. Rearrangements and convexity of level sets in PDE. Springer lecture notes 1150, 1985. 74. Lieb, E. Sharp constants in the Hardy-Littlewood-Sobolev and related inequalities. Ann. Math., 118(2): pp.349–374, 1983. 75. Lions, P.L. and Pacella, F. Isoperimetric inequalities for convex cones. Proc. A. M. S., 109(2): pp.477–485, 1990. 76. Lions, P.L. Pacella, F. and Tricarico, M. Best constants on Sobolev inequalities for functions vanishing on some part of the boundary and related question. Indiana Univ. Math. J., 37: pp.301–324, 1988. 77. Ljusternik, L.A. Brun-Minkowski inequality for arbitrary sets. Dokl. Akad. Nausk SSSR., 3: pp.55–58, 1935. 78. Maderna, C. and Salsa, S. Some special properties of solutions to obstacle problem. Rend. Sem. Mat. Un. Padova, 71: pp.121–129, 1984. 79. Madja, V. Sobolev spaces. Springer, 1985. 80. Mercaldo, A. Boundedness of minimizers of degerate functionals. Diff. Int. Equ., 9(3): pp.541–546, 1996. 81. Moser, J. A sharp form of an inequality by N. Trudinger. Indiana Uni. Math. J., 20: pp.1077–1092, 1971. 82. Mossino, J. In´egalit´es Isop´ erm´etriques et applications en physique. Hermann, 1984. 83. Mossino, J. and Rakotoson, J.M. Isoperimetric inequalities in parabolic equations. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. S´ erie IV, 13(1): pp.51–73, 1986. 84. Mossino, J. and Temam, R. Directional derivative of the increasing rearrangement mapping and application to a queer differential equation in plasma physics. Duke Math. J., 48(3): pp.475–495, 1981. 85. O’Neil, R. Convolution operators and L(p, q) spaces. Duke. Math. J., 80: pp.129–142, 1986.

Litt´erature

287

86. P` olya, G. and Szeg¨ o, W.N. Isoperimetric inequalities in mathematical physics. Princenton University Press, 1951. 87. Puel, J.P. A non linear eigenvalue problem with free boundary. CRAS., 284(A): pp.861–863, 1977. 88. Rakotoson J.E. and Rakotoson, J.M. Analyse fonctionnelle appliqu´ee aux ´equations d´eriv´ees partielles. PUF, 1999. 89. Rakotoson J.E. and Rakotoson, J.M. Local regularity of the monotone rearrangement. Appl. Math. Lett., 17(3): pp.353–355, 2004. 90. Rakotoson, J.M. R´esultat de r´egularit´e et d’existence pour certaines ´equations elliptiques quasilin´eaires. C.R.A.S., 302, s´erie 1(1): pp.567–570, 1986. 91. Rakotoson, J.M. R´earrangement relatif dans des ´equations quasilin´eaires avec un second membre distribution. Application ` a un th´eor`eme d’existence et de r´egularit´e. J. Diff. Equ., 66(3): pp.391–419, 1987. 92. Rakotoson, J.M. Some properties of the relative rearrangement. J. Math. Anal. Appl., 135(2): pp.488–500, 1988. 93. Rakotoson, J.M. A differentiability result for the relative rearrangement. Diff. Int. Equ., 2: pp. 363–377, 1989. 94. Rakotoson, J.M. Relative rearrangement for highly nonlinear equations. Nonlinear Anal. Theory, Meth. Appl., 24(4): pp.493–507, 1995. 95. Rakotoson, J.M. Strong continuity of the relative rearrangement maps and application to a Galerkin approach for nonlocal problems. Appl. Math Lett., 8(6): pp.61–63, 1995. 96. Rakotoson, J.M. Galerkin approximations, strong continuity of the relative rearrangement map and application to plasma physics equations. Diff. Int. Equ., 12(1): pp. 67–81, 1999. 97. Rakotoson, J.M. General pointwise relations for the relative rearrangement and applications. Appl. Anal., 80(1–2): pp.201–232, 2001. 98. Rakotoson, J.M. Some new applications of the pointwise relations for the relative rearrangement. Adv. Diff. Equ., 7(5): pp. 617–640, 2002. 99. Rakotoson, J.M. Relative rearrangement and interpolations. RACSAM (Rev. R. Acad. Ciencas Mad.), 97(1): pp. 133–145, 2003.

288

Litt´erature

100. Rakotoson, J.M. Multivalued fixed point index and non local problems involving relative rearrangement. Nonlinear Anal., DOI:10.1016/j.na(2006.03.32)., 2006. 101. Rakotoson, J.M. and Seoane, M.L. Numerical approximations of the Relative Rearrangement. The piecewise linear case: Application to some nonlocal problems. M2AN, 34(2): pp.477–499, 2000. 102. Rakotoson, J.M. and Seoane, M.L. Strong convergence of the directional derivative of the decreasing rearrangement mapping and related questions. Diff. Integr. Equ., 17(11–12): pp.1347–1358, Nov–Dec 2004. 103. Rakotoson, J.M. and Serre, D. Un probl`eme d’optimisation li´e aux ´equations de Navier-Stokes. Ann. Della Scuola Norm. di Pisa, XX, fasc 4, s´erie 4,: pp.633–649, 1993. 104. Rakotoson, J.M. and Simon, B. Relative rearrangement on a measure space. Application to the regularity of weighted monotone rearrangement. Part I–II. Appl. Math. Lett., 6(1): pp.75–78, 79–92, 1993. 105. Rakotoson, J.M. and Simon, B. Relative rearrangement on a finite measure space. Application to the regularity of weighted monotone rearrangement. Rev. R. Acad. Cienc. Exactas F´ıs. Nat. (Esp.), 91(1): pp.17–31, 1997. 106. Rakotoson, J.M. and Simon, B. Relative rearrangement on a finite measure space. Application to weighted spaces and to P.D.E. Rev. R. Acad. Cienc. Exactas F´ıs. Nat. (Esp.), 91(1): pp.33–45, 1997. 107. Rakotoson, J.M. and Temam, R. Une formule int´egrale du type Federer et Applications. Comptes Rendus Acad. Sci., 304: pp.443–446, 1987. 108. Rakotoson, J.M. and Temam, R. Une nouvelle m´ethode d’estimation L∞ . Application aux in´equations variationnelles. Comptes Rendus Acad. Sci., 304, serie 1(17): pp.527–530, 1987. 109. Rakotoson, J.M. and Temam, R. A co–area formula with applications to monotone rearrangement and to regularity. Arch. Ration. Mech. Anal., 109: pp.213–238, 1990. 110. Rockafellar, R.T. Convex analysis. Princeton University Press, 1970. 111. Rodemich, E. The Sobolev inequality with best possible constants. Analysis Seminar at California Institute of Technology, 1966. 112. Rodrigues, J.F. Strong solutions for quasi-linear elliptic-parabolic problems with timedependent obstacles. Pitman R.N.M.S., pp.266, 1987.

Litt´erature

289

113. Saramito, B. Stabilit´e d’un plasma: mod´ elisation math´ ematique et simulation num´erique., volume RMA, 34. Masson, 1994. 114. Serre, D. Sur le principe variationnel des ´equations de la m´ecanique des fluides parfaits. Mod. Math. et Analyse Num., 27(6): pp.739–758, 1993. 115. Shafranov, V.D. On magneto-hydrodynamical equilibrium configurations. Soviet Physics JETP, 6(33): pp.545–554, 1958. 116. Simon, B. R´earrangement relatif sur un espace mesur´e. Th` ese Universit´e de Poitiers, 1994. 117. Simon, J. Asymptotic behavior of a plasma induced by an electric current. Nonlinear Anal. T.M.A., 9(2): pp.149–169, 1985. 118. Stein, E.M. The differentiability of functions in IRn . Annals Math., 113: pp.383–385, 1981. 119. Strichartz, R.S. A note on Trudinger’s extension of Sobolev inequalities. Indiana Univ. Math. J., 21: pp.841–841, 1972. 120. Talenti, G. Elliptic equations and rearrangements. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., 3: pp.697–718, 1976. 121. Talenti, G. Best constant in Sobolev inequality. Ann. Mat. Pura Appli., (4) 110: pp.353–372, 1976. 122. Talenti, G. Rearrangements of functions and Partial Differential Equations. In Fasano, A. and Primicerio, M., editors, Nonlinear diffus. probl., pp.153–178. Springer-Verlag, 1986. 123. Talenti, G. Rearrangements and PDE. In Everitt, W.N., editor, Inequalities, fifty years on from Hardy, Littlewood and P` olya, pp.211–230. Marcel Dekker, 1991. 124. Temam, R. Analyse Num´erique. Presses Universitaires de France, 1970. 125. Temam, R. A non-linear eigenvalue problem: the shape equilibrium of a confined plasma. Arch. Rat. Mech. Anal., 60: pp.51–73, 1976. 126. Temam, R. Remarks on a free boundary problem arising in plasma physics. Comm. Par. Diff. Eq., 2(6): pp.563–585, 1977. 127. Temam, R. Monotone rearrangement of functions and the Grad-Mercier equation of plasma physics. Proceedings of the International Meeting on Recent Methods in Nonlinear Analysis (Rome, 1978), E. de Giogi, U. Mosco, pp.83–98, Pitagora, 1979.

290

Litt´erature

128. Temam, R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics, volume 68. Springer, 1988. 129. Ziemer, W. Weakly differentiable functions. Springer, 1989.

Index

α

α-r´earrangement, 79, 80

A

Approximation, 185

B

Bliss (lemme), 99

C

cˆ one convexe, 196 cˆ one dual, 197 cˆ one polaire, 197 cˆ one tangent, 196 co-aire r´eguli`ere, 166 comparaison, 237 comportement, 234 continuit´e (th´eor`eme), 62 continuit´e au point co-aire r´egulier, 166 contraction, 18, 42 convergence des I-fonctions, 143 convergence des longueurs de courbes, 149

D

d´eriv´ee directionnelle, 33 Dirichlet (probl`emes), 118

E

´egalit´e des longueurs d’arc, 154

´equimesurabilit´e, 9 equation ponctuelle sur Ω∗ , 118 espace de Lorentz, 22 estimations ponctuelles pour des ´equations quasilin´eaires, 117

F

famille de fonctions, 216 Fleming-Rishel (formule), 65 Fleming-Rishel-Federer (formule), 175 fonction de co-aire r´eguli`ere, 165 fonction de distribution, 8 fonction polaire ou conjugu´ee, 33 fonctions co-aires r´eguli`eres, 167 formalisme d’estimations, 115 Fubini (lemme), 16

H

H¨ older (in´egalit´e pour le r´earrangement relatif), 116 Hardy (lemme 2eme version), 108 Hardy (lemme), 23 Hardy-Littlewood (1ere in´egalit´e), 11 Hardy-Littlewood (2eme in´egalit´e), 15

I

I-fonctions, 141 I-fonctions (convergence), 143 in´egalit´e de H¨ older pour le r´earrangement relatif), 116 in´egalit´e de Trudinger, 95

292

Index

in´egalit´e isop´erim´etrique, 67 in´egalit´e isop´erim´etrique pour un cˆ one, 80 in´egalit´e relative isop´erim´etrique, 67 inclusion, 87 inclusion dans C 0,α , 96 inclusion dans L∞ (Ω), 88 inclusion dans les espaces de Lorentz, 107 (Ω), 100 inclusion de WΓ1,p 0 inclusion de Poincar´e-Sobolev-Lorentz, 93 inclusion de Sobolev, 95 inclusion des espaces de LorentzSobolev, 106 indice d’inclusion, 93, 101 interpolation, 112 interpolation du type GagliardoNirenberg, 112

L

Leray-Lions (op´erateur), 117 longueur d’un arc, 148 Lorentz-Luxembourg (th´eor`eme), 45 Lyapounov (lemme), 11

M

multiplicateurs de Lagrange, 198

N

Neumann (´equations homog`enes), 125 Neumann-Dirichlet (probl`emes), 124, 125 norme associ´ee, 87 norme de Fatou, 21 norme invariante par r´earrangement, 21 norme sur L0+ (Ω), 21

O

op´erateur de Leray-Lions, 117 op´erateur moyenne de 1ere esp`ece, 49 op´erateur moyenne de 2nd esp`ece, 50 optimisation, 195

P

palier, 7 p´erim`etre d’un ensemble mesurable, 63 p´erim`etre de E dans Ω relativement ` a b, 175 physique des plasmas, 214 plateaux, 7 Poly` a-Sz¨ego, 61 Poly` a-Sz¨ego (in´egalit´es classiques), 75 Poly` a-Sz¨ego (in´egalit´es ponctuelles), 77 Poly` a-Sz¨ego(extension des in´egalit´es), 78 probl`emes nonlocaux, 206 propri´et´e de contraction, 18 propri´et´e PSR, 84

R

r´earrangement d´ecroissant, 8 r´earrangement relatif, 41 r´earrangement sph´erique, 75 r´egularit´e (th´eor`eme de), 68 r´egularit´e des r´earrangements des I-fonctions, 142 r´egularit´e du r´earrangement sph´erique, 121 r´egularit´e en temps, 217

S

sous-diff´erentielle de F (s, ·), 34

R´ esum´ e

Ce livre est accessible en grande partie `a toute personne ayant une culture en analyse r´eelle de base (th´eorie de la mesure de Lebesgue). Il aborde d’abord la question : “Comment trouver une racine commune a` toute une famille d’in´egalit´es”? On obtient alors les in´egalit´es de type Poincar´e-Sobolev pour les espaces norm´es dont la norme est de Fatou et invariante par r´earrangement, les in´egalit´es de type Gagliardo-Nirenberg pour des espaces norm´es, les in´egalit´es de Poly` a-Sz¨ego ou encore les in´egalit´es donnant la r´egularit´e des solutions de probl`emes aux limites. “Peut-on obtenir toutes ces in´egalit´es uniquement `a partir d’un minimum d’informations”? Nous r´epondrons positivement en introduisant les in´egalit´es ponctuelles, li´ees aux r´earrangements monotones et relatifs. On retrouvera alors dans ce livre non seulement les inclusions et interpolations li´ees aux inclusions de Poincar´e-Sobolev classiques mais aussi leurs extensions aux espaces invariants par r´earrangement tels les espaces de Lorentz, les petits espaces de Lebesgue et les r´esultats classiques de r´egularit´e Lp pour certaines ´equations aux d´eriv´ees partielles. Outre cela, on y trouvera toute une vari´et´e d’applications de l’analyse fonctionnelle concernant les r´earrangements et les espaces qui leur sont li´es.

D´ej` a parus dans la mˆeme collection 1. T. Cazenave, A. Haraux : Introduction aux probl`emes d’´ evolution semi-lin´eaires. 1990 2. P. Joly : Mise en œuvre de la m´ethode des ´el´ ements finis. 1990 3/4. E. Godlewski, P.-A. Raviart : Hyperbolic systems of conservation laws. 1991 5/6. Ph. Destuynder : Mod´ elisation m´ecanique des milieux continus. 1991 7. J. C. Nedelec : Notions sur les techniques d’´el´ ements finis. 1992 8. G. Robin : Algorithmique et cryptographie. 1992 9. D. Lamberton, B. Lapeyre : Introduction au calcul stochastique appliqu´e. 1992 10. C. Bernardi, Y. Maday : Approximations spectrales de probl`emes aux limites elliptiques. 1992 11. V. Genon-Catalot, D. Picard : El´ ements de statistique asymptotique. 1993 12. P. Dehornoy : Complexit´e et d´ ecidabilit´e. 1993 13. O. Kavian : Introduction ` a la th´ eorie des points critiques. 1994 ´ 14. A. Bossavit : Electromagn´ etisme, en vue de la mod´elisation. 1994 15. R. Kh. Zeytounian : Mod´ elisation asymptotique en m´ecanique des fluides Newtoniens. 1994 16. D. Bouche, F. Molinet : M´ ethodes asymptotiques en ´electromagn´etisme. 1994 17. G. Barles : Solutions de viscosit´e des ´equations de Hamilton-Jacobi. 1994 18. Q. S. Nguyen : Stabilit´ e des structures ´elastiques. 1995 19. F. Robert : Les syst` emes dynamiques discrets. 1995 20. O. Papini, J. Wolfmann : Alg` ebre discr` ete et codes correcteurs. 1995 21. D. Collombier : Plans d’exp´ erience factoriels. 1996 22. G. Gagneux, M. Madaune-Tort : Analyse math´ematique de mod`eles non lin´ eaires de l’ing´ enierie p´ etroli`ere. 1996 23. M. Duflo : Algorithmes stochastiques. 1996 24. P. Destuynder, M. Salaun : Mathematical Analysis of Thin Plate Models. 1996 25. P. Rougee : M´ ecanique des grandes transformations. 1997 ¨ rmander : Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations. 1997 26. L. Ho ´chal, C. Sagastiza ´bal : Optimisation 27. J. F. Bonnans, J. C. Gilbert, C. Lemare num´ erique. 1997 28. C. Cocozza-Thivent : Processus stochastiques et fiabilit´e des syst` emes. 1997 ´ Pardoux, R. Sentis : M´ 29. B. Lapeyre, E. ethodes de Monte-Carlo pour les ´equations de transport et de diffusion. 1998 30. P. Sagaut : Introduction ` a la simulation des grandes ´echelles pour les ´ecoulements de fluide incompressible. 1998 31. E. Rio : Th´ eorie asymptotique des processus al´eatoires faiblement d´ependants. 1999 32. J. Moreau, P.-A. Doudin, P. Cazes (Eds.) : L’analyse des correspondances et les techniques connexes. 1999 33. B. Chalmond : El´ ements de mod´elisation pour l’analyse d’images. 1999 34. J. Istas : Introduction aux mod´elisations math´ematiques pour les sciences du vivant. 2000 35. P. Robert : R´ eseaux et files d’attente : m´ethodes probabilistes. 2000 36. A. Ern, J.-L. Guermond : El´ ements finis : th´eorie, applications, mise en œuvre. 2001 37. S. Sorin : A First Course on Zero-Sum Repeated Games. 2002

38. J. F. Maurras : Programmation lin´eaire, complexit´e. 2002 39. B. Ycart : Mod` eles et algorithmes Markoviens. 2002 40. B. Bonnard, M. Chyba : Singular Trajectories and their Role in Control Theory. 2003 41. A. Tsybakov : Introdution ` a l’estimation non-param´etrique. 2003 42. J. Abdeljaoued, H. Lombardi : M´ ethodes matricielles – Introduction ` a la complexit´e alg´ ebrique. 2004 43. U. Boscain, B. Piccoli : Optimal Syntheses for Control Systems on 2-D Manifolds. 2004 44. L. Younes : Invariance, d´eformations et reconnaissance de formes. 2004 45. C. Bernardi, Y. Maday, F. Rapetti : Discr´etisations variationnelles de probl`emes aux limites elliptiques. 2004 46. J.-P. Franc ¸ oise : Oscillations en biologie : Analyse qualitative et mod`eles. 2005 47. C. Le Bris : Syst` emes multi-´echelles : Mod´elisation et simulation. 2005 48. A. Henrot, M. Pierre : Variation et optimisation de formes : Une analyse g´eometric. 2005 ´garay-Fesquet : Hi´ 49. B. Bide erarchie de mod`eles en optique quantique : De MaxwellBloch ` a Schr¨ odinger non-lin´eaire. 2005 ´ger, E. Zuazua : Wave Propagation, Observation and Control in 1 − d Flexible 50. R. Da Multi-Structures. 2005 ´lat : M´ 51. B. Bonnard, L. Faubourg, E. Tre ecanique c´eleste et contrˆ ole des v´ ehicules spatiaux. 2005 52. F. Boyer, P. Fabrie : El´ ements d’analyse pour l’´etude de quelques mod`eles d’´ ecoulements de fluides visqueux incompressibles. 2005 `s, C. L. Bris, Y. Maday : M´ 53. E. Cance ethodes math´ematiques en chimie quantique. Une introduction. 2006 54. J-P. Dedieu : Points fixes, zeros et la methode de Newton. 2006 55. P. Lopez, A. S. Nouri : Th´ eorie ´el´ ementaire et pratique de la commande par les r´ egimes glissants. 2006 56. J. Cousteix, J. Mauss : Analyse asympotitque et couche limite. 2006 57. J.-F. Delmas, B. Jourdain : Mod` eles al´ eatoires. 2006 58. G. Allaire : Conception optimale de structures. 2007 59. M. Elkadi, B. Mourrain : Introduction ` a la r´ esolution des syst`emes polynomiaux. 2007 60. N. Caspard, B. Leclerc, B. Monjardet : Ensembles ordonn´es finis : concepts, r´ esultats et usages. 2007 61. H. Pham : Optimisation et contrˆ ole stochastique appliqu´es ` a la finance. 2007 62. H. Ammari : An Introduction to Mathematics of Emerging Biomedical Imaging. 2008 63. C. Gaetan, X. Guyon : Mod´ elisation et statistique spatiales. 2008 64. Rakotoson, J.-M. : R´ earrangement Relatif. 2008