Statistik: Eine verständliche Einführung

Udo Kuckart z . St efan Rädiker . Thom as Ebert . Julia Schehl Statistik

Udo Kuckartz . Stefa n Rädiker Thomas Ebert . Julia Schehl

Statistik Eine verständliche Einfüh rung

III VSVERLAG

Bibliogra fische Information der Deutschen Nationalbibliothek Oie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publika tion in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Int ernet über c ht t o.z/dnb.d-nb.des abrutbar.

1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten

© VS verlag für Sozialwissenschaften I Springe r Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Frank Engelhardt VS Verlag für Sozialwissenschaften ist eine Marke von Springer sacrmeden Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer scence-eusmess Media . wwwvs -verleg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und verarbeitung in elektronischen Systemen. Oie Wiedergabe von ceoraucnsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeic hnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der warenzechen - und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu bet rachten wären und daher von jedermann benu tzt werden dürften. Umschlaggestaltung: k ünkenopka Medienentwicklung. Heidelberg Druck und bucnbmcenscne Verarbeitung: reo Brink, Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem capter ennteo in the Netnertenos ISBN 978-3-531-16662 -9

Inhalt

~ ~ r t

9

1

Die Aufbe re it u ng der Daten für die sta tistische Anal yse 1.1 Der Codep lan 1.2 Fehlen de Werte, immer ein Problem 1.3 Der Entwu rf eines Codeplans - ein Beispiel 1.4 So geht es mit SPSSjSYSTAT

13 14 20 21 26

2

Häufigkei ts verteilungen und ihre grafisch eu Da rstellungen 2.1 Häufigkeitstabellen 2.2 Bildung von Kategorien bei intervallskalierten Variab len 2.3 Grafische Dar stellungen einfacher Häu figkeitsvertei lungen 2.4 So gehtes mit SPSSjSYSTAT

33 34 37 38 51

3

Mitt elwerte und Streuungs maße 3.1 Mittelwerte 3.2 Streu ungs maße 3.3 Boxplots: Grafische Dars tellung von Streuu ngen 3.4 Stand ardi sierungsverfahren 3.5 So geht es mit SPSSj SYSTAT 3.6 Mitt elwerte und Streuungsmaße in der Forschungsliterat ur

57 57 64 70 72 75 80

4

Kreuztab elle, Chi-Quadrat und Zusammenban gsm aße 4.1 Das Prin zip der Kreuztabelle 4.2 Absolute Häufigkeiten, Spalten summ en und Zeilensummen 4.3 Relative Häufigkeiten, Spalte nprozente und Zeilenprozente 4.4 Erwar tu ngswerte und die Berechnung von Chi-Quadrat 4.5 Die Kreuztab elle mit meh rfach gest uften Merkmalen 4.6 Zusammenhangs maße für d ie Kreuzta bellenana lyse 4.7 Weitere Variablen in die Analyse ein bezie hen 4.8 Chi-Quad rat-Berechnung für univariate Verte ilungen 4.9 Grafische Darste llung von Kreuztabe llen 4.10 So geht es mitSPSSjSYSTAT 4.11 Die Kreuztabellenanalyse in der For schungsliteratur

81 81 83 84 86 89 91 93 93 95 98 101

Inhalt

6

5 Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 5.1 Was ist Wahrscheinlichkeit und wie berechnet man sie? 5.2 Irren ist nicht nur menschlich, sondern auch wahrscheinlich 5.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 5.4 Die Binomialverteilung 5.5 Die Normalverteilung 5.6 Die t-Verteilung 5.7 Die Chi-Quadrat-Verteilung 5.8 Die F-Verteilung

103 104 111 112 115 119 126 127 128

6

129 129 133 135 138 140 142 144 145

Die 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

Logik des statistischen Schließens Die Verteilung von Stichprobenkennwerten Konfidenzintervalle Die statistische Hypothese Der Hypothesentest Einseitige und zweiseitige Tests Alpha-Fehler und Beta-Fehler Signifikanz - ein Begriff, der in die Irre führen kann Effektgröße

7 t- Test: zwei Mittelwerte vergleichen 7.1 Mittelwerte von zwei unabhängigen Stichproben vergleichen 7.2 Mittelwerte von zwei abhängigen Stichproben vergleichen 7.3 So geht es mitSPSS/SYSTAT 7.4 Der Vergleich von Mittelwerten in der Forschungsliteratur

147 149 154 158 165

8

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen 8.1 Grundbegriffe der Varianzanalyse 8.2 Das Prinzip der einfaktoriellen Varianzanalyse 8.3 Durchführung einer einfaktoriellen Varianzanalyse 8.4 Die mehrfaktorielle Varianzanalyse 8.5 Voraussetzungen für die Durchführung einer ANOVA 8.6 So geht es mitSPSS/SYSTAT 8.7 Die Varianzanalyse in der Forschungsliteratur

167 167 168 170 178 180 181 186

9

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren 9.1 Zusammenhänge von Variablen grafisch darstellen 9.2 Die Korrelation von intervallskalierten Variablen 9.3 Die Korrelation von ordinalskalierten Variablen 9.4 Die Korrelation von nominalskalierten Variablen 9.5 Korrelation und Kausalität 9.6 So geht es mit SPSS/SYSTAT 9.7 Die Korrelationsanalyse in der Forschungsliteratur

189 189 192 198 200 203 206 211

Inhalt

7

10 Skalenbildung 10.1 Was ist überhaupt eine Skala? 10.2 Skalierungsverfahren 10.3 Konstruktion einer Likert Skala 10.4 Die Qualität einer Skala 10.5 Angaben der Skalengüte in der Forschungsliteratur 10.6 So geht es mit SPSS/SYSTAT

215 216 219 220 227 228 228

11 Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen 11.1 Einfache lineare Regression 11.2 Multiple lineare Regression 11.3 Ausblick auf die logistische Regression 11 .4 So geht es mitSPSS/SYSTAT 11.5 Die Regressionsanalyse in der Forschungsliteratur

233 233 239 244 246 250

Glossar

253

Literatur

261

Anhang A. Datensätze von sozial- und erziehungswissenschaftlichen Studien B. Tabellen

263 263 267

Register

272

Vorwort

Dieses Lehr buch der sozialwis sen schaftlichen Sta tistik ist spe ziell für die neuen Bachelor- und Master-Studieng änge konzipiert: Es ist forsc hungsorientiert, verstä ndlich und anwendungsorientiert Was heißt das ? Forschungsorientiert bed eutet, das s zu Beginn der Planu ng des Inhalts dieses Buches die method enkritische Lektü re de r Top-Fachzeits chriften sta nd. Wir haben zunächst katalogisiert, welche sta tistischen Verfahren in den forschun gsorientierten Artikeln verwe ndet werden, d ie bs pw. in d er Kölne r Zeitschri ft für Soziologie, der Zeitschrift für Erzie hungswissenschaft, der Zeitschr ift für Evaluation, der Zeitschrift für Soziologie oder der Zeitschrift für Pädagogik a bged ruc kt w urden. Verfahren, d ie dort häufi g Verwend ung finden, muss man als Fachwi s-

sensc haftlerj in kennen , allein schon um die Fachbeitr äge verstehen und kriti s ieren zu können. Solche Verfahren hab en pr ioritär Eingang in dieses Buch gefunden, weil diese Zeitsc hriften den Stare-of-th e-art vo n Forschu ng und For sch ungsmet hodik repräsentieren. Verständlich bedeutet, dass wi r darauf verzichtet haben, ein Lehrbuch der Stochasti k mit sozialwiss enschaftliehen Beispie len zu schreiben. Unsere Devise lautete: Soviel Math ematik und sovie l Form eln wie nötig, soviel sozialw issenscha ftliehe Forschu ngs- und Interpretationslogik wie möglich. Wir wo llen also in diesem Buch dar ste llen, was man aus der Persp ektive der empirischen Sozialforschu ng an Stati stikkennt nissen besitzen muss und nicht der inneren Logik der statistische n Verfah ren und ihr er mathematischen Grund lagen folgen. Anwendun gsorienti ert bedeutet, das s w ir die Leser und Leserinnen in den Stand vers etzen wollen, die dargestellten Verfah ren auch pra ktisc h im Forschungsalltag einsetz en zu können - und dies geschieht heutzuta ge mit Statis tik-Software, die preisgünstig und teilwei se kosten los für herkömmliche P'Cs verfügba r ist. Die Fäh igkeit, all die s auch per Hand mit dem eigenen Taschenrechner a usführen zu können, ist da gegen von begren ztem Nutzen . Wir hab en deshalb Wert darauf gelegt, jeweils zu erk lären, w ie d ie bes prochenen Statistikverfa hren in die Praxis umsetzba r sind, und zwar zum einen mit dem we it verb reiteten Program m SPSS und zum anderen mit dem Programm SYSTAT, dessen Version für Stud ierende unter dem Namen MYSTAT kosten los zu r Verfügung geste llt wi rd. Statistik-Puris ten werden vielleicht vorbringen, dass die Darstellung in diesem Buch zu oberflächlich sei und die Kompetenz pre ise n, au ch eine Varianz -

10

Vorwort

analyse oder eine multiple Regression mit dem Taschenrechner lösen zu können. Wir halten diese Fähigkeit für entbehrlich. Viel wichtiger ist es unseres Erachtens, die Ergebnisse statistischer Analysen interpretieren zu können und die Realität empirischer Forschung mit kritischem Blick wahrzunehmen. Was nützt bspw. die theoretisch unbestrittene Überlegenheit von Zufallsstichproben als Auswahlverfahren, wenn mehr als die Hälfte der so ausgewählten Menschen aus was für Motivlagen auch immer - nicht zu einem Interview bereit sind? Die Kritik, die an den quantitativ-statistischen Methoden und den mit ihnen produzierten Ergebnissen in den letzten Jahrzehnten vorgetragen worden ist, hat nicht zuletzt deshalb gegriffen, weil das Festhalten am standardisierten Vorgehen und mathematisch-statistischen Prinzipien oftmals an den Realitäten der Lebenswelt vorbei ging. Es wäre allerdings falsch, aus der teilweise berechtigten Kritik gleich eine fundamentale Ablehnung zu folgern. Die Betrachtung von zahlenmäßigen Verteilungen, Relationen und Korrelationen kann sehr erhellend sein und stellt ein machtvolles Instrumentarium empirischer Sozialforschung dar. Das ist auch trotz der Ablehnung, auf die der Lerngegenstand Statistik des Öfteren stößt, den Studentinnen und Studenten durchaus bewusst. Im Rahmen unserer Vorlesung "Einführung in die sozialwissenschaftliehe Statistik haben wir Studierende im 2. Semester schriftlich gefragt "Was ist der Nutzen von statistischen Erhebungen für die Pädagogik?" Von den mehreren hundert Antworten auf diese offen gestellte Frage seien hier nur wenige exemplarisch genannt: Erfolg oder Misserfolg von bestimmten Maßnahmen/Experimenten überprüfen Aktuelles, repräsentatives Bild von der Gesellschaft erhalten Bedürfnisse, Wünsche, Meinungen der Klienten und Klientinnen kennenlernen Theorien und Hypothesen überprüfen Ursachen und Problemfelder erkennen Verbesserung der Qualität pädagogischer Arbeit Schon diese kleine Auswahl zeigt in ihrer verblüffenden Vielschichtigkeit, wie wichtig ein solides Basiswissen in statistischen Methoden sein kann. Dieses Buch folgt der Logik der statistischen Datenanalyse. wie sie typischerweise in Forschungsprojekten praktiziert wird. Die Kapitel bauen aufeinander auf und sollten deshalb auch der Reihe nach gelesen werden. Der Prozess der Datenerhebung und deren verschiedene Formen wie Interview, Beobachtung, Experiment oder Inhaltsanalyse bleiben in diesem Buch außen vor. Wir starten mit dem ersten Kapitel an dem Punkt, wo die auszuwertenden Daten bereits vorliegen, z.B. in Form ausgefüllter Fragebögen oder Beobachtungsbögen. In den folgenden zehn Kapiteln wird ein anwendungsorientiertes statistisches Grundwissen vermittelt.

Vorwort

11

Alle Kapitel, in denen Berechnungen erläutert werden, beinhalten einen Abschnitt "So geht es mit SPSS/SYSTAT", in dem die Umsetzung des Beschriebenen mit Statistiksoftware erklärt wird. Den Abschluss der meisten Kapitel bildet ein Abschnitt, in dem Beispiele aus der aktuellen Forschungsliteratur dargestellt werden. Der Anhang enthält unter anderem ein Glossar der zentralen Begriffe sowie Hinweise aufwichtige, für die Forschung frei zugängliche Datensätze großer sozial- und erziehungswissenschaftlicher Studien. Das Buch ist als Begleitbuch für einen einsemestrigen Hochschulkurs mit 15 Terminen konzipiert, wobei der erste Termin wie üblich als Einführungstermin und der letzte Termin für die abschließend Klausur vorgesehen ist. Je nach intendierter Schwerpunktsetzung können dann zwei Kapitel, bspw. Kapitel 4 .Kreuztabellenanalyse" und Kapitel 11 "Regression", vertiefend an zwei Terminen bearbeitet werden. Es ist empfehlenswert und höchst sinnvoll, parallel zum inhaltlichen Seminar/Vorlesung einen Übungstermin oder ein Tutorium vorzusehen. Wir möchten uns bei allen bedanken, die uns bei der Erarbeitung und Fertigstellung dieses Buches unterstützt haben. Dies gilt vor allem für die Mitarbeiterinnen der Marburger Arbeitsgruppe für Methoden & Evaluation (magma), insbesondere für Katrin Peyerl, Dina Weiler, [anika Olschewski, Julia Busch und Stefanie Zanetti, die bei der Erstellung der Grafiken sowie beim Satz und Layout sehr engagiert und zuverlässig gearbeitet haben. Udo Kuckartz, Siefan Rädiker, Thomas Ebert,julia Schehl Marburg, im April 2010 P.S.: Im Internet stellen wir unter V\TWV\l.statistik-verständlich.de zusätzliche Informationen (interessante Links, Formelsammlung etc.) bereit.

1

Die Aufbereitung der Daten für die statistische Analyse

Bevor Daten ausgewe rtet werden können, müs sen sie zunächs t so aufberei tet w erden, dass sie mit sta tisti schen Analysep rogrammen bearbeite t werden können. Hat man etwa eine Pace-tc-face-Befragung! - also eine mündliche persönliche Befragung - du rchgeführt und die Antworten in einem Papierfragebogen notiert, s o muss man nun den Transfer der Dat en von den vielen einzelnen Fra geböge n in eine einzige übersichtliche Datenta belle orga nisieren. Eine so lche Datentabelle für die statistische Analyse besitzt eine n rechteckigen Aufbau und s ieht im Prinzip folgendermaßen aus: Tab 1-1 ' Die Datentabelle als Ergebnis d er Dat en au fber eit ung 10

Geschl echt

Note

Religion

Zufriedenheit

Beruf

101

m

3,2

2

2

Lehre r

10 2

w

2,1

1

3

Ärzt in

103

m

2,3

2

3

Schreiner

10 4

w

3,2

3

4

Päd ago gin

1,9

1

0

Anwa lt

105 106

m

2,9

3

2

Verkäufer

107

m

1,6

0

1

Krankenpfleger

Die erste Zeile ent hält die Namen der Variablen, hier z.B. Geschlecht, Note etc. Die fertige Dat entabelle, die häufig au ch Datenmat rix genannt wird, besteht aus n Zeilen, also genau so vielen Zeilen, wie es Befragte gibt, und m Spalte n, d h. so vielen Spa lte n, wie der Fragebogen Fragen ent hä lt bzw. um es gena u zu for mu-

1

Jm Fall von Online-Befra gungen muss man sich viele der hier folgenden Überlegungen bereits vor der Datenerhebung ma chen (vgl. hier zu z.B. Kuckart z u.a. 2009).

14

Die Aufbereitung der Daten fur die statistische Analyse

lieren: so viele Spalten, wie Variablen definiert werden müssen, um die Befragung adäquat auswerten zu können.

Was ist eigentlich eine Variable? Der Begriff "Variable" wird in den Sozialwissenschaften für ein Merkmal oder eine Eigenschaft verwendet. Eine Variable besitzt verschiedene Ausprägungen, z.B. hat das "Geschlecht" die Ausprägungen "männlich" und "weiblich" und die Ausprägungen der Variable "Alter in Jahren" sind die Jahre. Häufig werden die Begriffe "Variable" und "Merkmal" sy'nony'm verwendet. In der ersten Spalte der oben dargestellten Datentabelle (Tab. 1-1) steht eine Identifikationsnummer (Spaltenbenennung "rDU), die es ermöglichen soll, schnell auf den Originalfragebogen zurückzugreifen. Wenn auf den zu erfassenden Fragebögen nicht bereits eine eindeutige Kennung abgedruckt war, muss man also vor der Dateneingabe einen Stift zur Hand nehmen und alle ausgefüllten Fragebögen mit einer laufenden Nummer versehen. Eine solche Identifikationsnummer ist vor allem dann wichtig, wenn sich später bei der Kontrolle der eingegebenen Daten herausstellt, dass offenbar ein Eingabefehler vorliegen muss, weil die Datentabelle z.B. Variablenwerte enthält, die es aufgrund des Codeplans gar nicht geben kann oder die sehr unwahrscheinlich sind (Alter = 200 Jahre, 20-Jährige mit sieben Kindern etc.).

1.1 Der Codeplan Wenn man die Daten in Tabelle 1 näher betrachtet, wird man höchstwahrscheinlich die Tabellenwerte der Variablen "Geschlecht" intuitiv mit den tatsächlichen Ausprägungen der Variable in Verbindung bringen. Man vermutet wohl zurecht, dass der Code .rn" männlich bedeutet und es sich bei ID = 101 um einen männlichen Befragten handelt. Dementsprechend bedeutet die Eingabe "w", dass die befragte Person "weiblich" ist. Anders verhält es sich bei der vierten Spalte, die Angaben über die Religionszugehörigkeit enthält. Diese ist hier nicht im Klartext eingetragen, sondern wir finden dort nur Zahlenangaben, die wir nicht direkt in Verbindung mit den möglichen Ausprägungen "katholisch", "evangelisch", "keine Religionszugehörigkeit" etc. bringen können. Hier bedarf es also einer entsprechenden Korrespondenztabelle, in der die Bedeutung eines Variablenwertes eindeutig festgelegt wird. Eine solche Korrespondenztabelle bezeichnet man auch als Codeplan, Codierscherna oder englisch als Codebook. Betrachten wir Tab. 1- 2 als Beispiel:

15

Der Codeplan

Tab. 1-2:

Beispiel-Codeplan für sechs Variablen

Variablenname

Variablenlabel

Wertelabel

Variablentyp

Skalenniveau

ID

Identifikations nummer

Wert eingeben

Numerisch

nominal

Geschlecht

Geschlecht

w = weiblich

Strtng

nominal

Numerisch,l Dezimalstelle

intervall

Numerisch

nominal

Numerisch

ordlnal

Strtng

nominal

m - männlich 0= k.A.

Wert eingeben

Note

Durchschnittsnote im Abitur

0= k.A.

Religion

Religionszugehörigkelt

2 = protestantisch 3 = nlcht-chrtstl. Religion

1

katholisch

0= k.A.

1

Zufriedenheit

Beruf

Zufriedenheit mit Einkornmens-höhe Welchen Beruf üben Sie aus?

sehr zufrieden

2 = eher zufrieden 3 = eher nicht zufrieden 4 = sehr unzufrieden 0- k.A. Text eingeben

Der Codeplan ordnet den Fragen und Teilfragen eines Fragebogens Variablennamen (engl. Variable Names) und den möglichen Ausprägungen einer Variablen Wertelabels (Value Values) zu. Im folgenden Abschnitt werden die einzelnen Spalten von Tab. 1- 2 erläutert: Variablenname

Die Variablennamen dienen einem Statistikprogramm zur eindeutigen Identifizierung der einzelnen Variablenspalten. Variablennamen bestehen aus einem Wort bzw. einer Zeichenkette ohne Leerzeichen. Wenn der Fragebogen kurz ist und nur wenige Variablen zu definieren sind, kann man wie in Tab. 1-2 eine einfache, gegebenenfalls verkürzte Klartextbezeichnung verwenden. In den meisten Codeplänen enthält der Variablenname jedoch die Nummer der korrespondierenden Frage im Fragebogen, also bspw. "F1" oder "v23", wobei das "F" als Abkürzung für Frage und das "v" für Variable stehen. Diese Methode hat insbesondere bei längeren Fragebögen den Vorteil, dass man leichter den Überblick behält und im Statistikprogramm auf gesuchte Variablen schnell zugreifen kann. Zu beachten ist ferner, dass Statistikprogramme häufig nur bestimmte Zeichenkombinationen als Variablennamen erlauben (die Vorschriften werden im Detail weiter unten dargestellt).

16

Die Aufbereitung der Daten fur die statistische Analyse

Variablenlabel

In das Feld .Vartablenlabel" lässt sich für jede Variable eine detaillierte Beschreibung der Variablen eintragen. Während die Variablennamen meist Beschränkungen unterliegen, hat man bei der Definition von Variablenlabels "freie Hand". So bietet es sich an, die vollständige Formulierung der Frage aus dem Fragebogen als Variablenlabel zu übernehmen. Statistikprogramme benutzen das Variablenlabel später bei der Ausgabe zur Beschriftung von Tabellen und Grafiken. Wertelabel

Die dritte Spalte ist für die Ausprägungen der jeweiligen Variablen vorgesehen. Es wird festgehalten, wie die Antworten auf eine Frage in die Datenmatrix eingegeben werden. Enthält eine Frage im Fragebogen Antwortvorgaben (z.B. männlich und weiblich), so informiert die Spalte Wertelabel darüber, mit welcher Zahl oder mit welchem Zeichen die unterschiedlichen Antvvortmöglichkeiten in der Datenmatrix erfasst werden. Variablen typ

Beim Anschauen der Tab. 1-1 stellt man auf den ersten Blick fest, dass es offenbar Variablen verschiedenen Typs geben kann, bspw. findet man in der Spalte Geschlecht nur einzelne Buchstaben ("w" und "m") und in der Spalte Beruf ganze Wörter Ll.ehrerm"}. Solche Variablen, die nicht nur Zahlen, sondern auch Buchstaben und andere Zeichen enthalten, bezeichnet man als Zeichenkettenoder Stringvariable. Die Variablen Religion und Zufriedenheit enthalten hingegen ganze Zahlen und die Variable Note (das ist die Durchschnittsnote der Befragten im Abitur) enthält Zahlen mit Nachkommstellen. Derartige Variablen werden als "numerisch" bezeichnet. Skalenniveau

Welche Operationen man mit Variablen durchführen kann, hängt von ihrem Skalenniveau (Messniveau) ab. Man unterscheidet zwischen Nominalskala, Ordinalskala und Intervallsakala-, wobei die Nominalskala das geringste Skalenniveau und die Intervallskala das höchste aufweisen. Beim Vorgang des Messens werden den Merkmalen des empirischen Relativs Zahlen so zugeordnet, dass die ursprünglichen Relationen möglichst erhalten bleiben. Für das einfachste Skalenniveau. die Nominalskala, sieht dies etwa wie in Abb. 1-1 aus.

2

Die vierte Skalenart, die Verhältnisskala oder Ratioskala, spielt in der empirischen Forschung so gut wie keine Rolle und wird hier nicht berücksichtigt

Der Codeplan

17

Abb. 1-1: Veranschaulichung der Nominalskala

I Merkmal "Geschlecht" I

I

~

Camilla

!

Isabel Florian Nils

I

Zahlen

-

Empirisches Relativ

..

1

..

2

~

~

I

I

Numerisches Relativ

I

I

Anstelle der Werte ,,1" und ,,2" hätte man auch andere Werte zur Bezeichnung des Geschlechts wählen können [etwa; 7" und ,,12"). Für Variablen mit Nominalskalenniveau lassen sich nur Aussagen über Gleichheit bzw. Ungleichheit treffen. Jemand ist männlich oder weiblich; deutscher, italienischer, französischer oder anderer Nationalität. Dementsprechend ist es auch ohne Belang, welche Zahlen man den verschiedenen Ausprägungen einer nominalskalierten Variable zuordnet, ob man bei der Frage nach der Parteipräferenz der SPD ,,1" oder ,,4" zuordnet, spielt keine Rolle. Anders verhält es sich bei der Ordinalskala. Hier ist es erforderlich, dass im empirischen Relativ eine Ordnungsrelation besteht und diese Relation muss bei der Zuordnung von Zahlen erhalten bleiben. Beispiele für ordinalskalierte Variablen sind Gehaltsstufen, Bildungsabschlüsse, soziale Schicht und alle Arten von Rangfolgen. Sind Objekte äquivalent - etwa Personen, die beide nach der Gehaltsgruppe TVÖD 13 bezahlt werden - erhalten sie eine identische Zahl zugeordnet. Die schematische Darstellung in Abb. 1-2 verdeutlicht, dass die Information über den Rangplatz (Platzierung) auch erhalten bleibt, wenn anstelle von ,,1", ,,2", ,,3"und ,,4" die Zahlen ,,1", ,,3", ,,6" und" 7" zugeordnet werden. Die Intervallskala erlaubt nicht nur Aussagen über die Rangfolge von Objekten, sondern auch über die Größe ihrer Abstände. Während ich bei der Rangskala den zugeordneten Werten nur entnehmen kann, dass Camilla vor Isabel und Florian vor Nils ins Ziel gekommen ist, sind die Werte einer Intervallskala so zugeordnet, dass gleiche Zahlendifferenzen zwischen zwei Objekten gleichen Merkmalsunterschieden entsprechen. Erhalten bspw. unsere vier Läufer linnen die von ihnen benötigte Zeit in Sekunden zugeordnet, so lassen sich auch Aussagen über die Abstände von je zwei Objekten formulieren ("Der Abstand zwischen Camilla und Isabel ist größer als der zwischen Florian und Nils"]. Beispiele für intervallskalierte Variablen sind "Zeit, die für Zusammenlegen eines Puz-

18

Die Aufbereitung der Daten fur die statistische Analyse

zles benötigt wurde", "Zahl der Kinder", "Einkommen in Euro", "Entfernung von Wohnung zur Arbeit in Kilometern". Anstelle von Intervallskalenniveau ist häufig auch vom metrischen Skalenniveau die Rede. Abb. 1-2: Veranschaulichung der Ordinalskala

Merkmal "Gemessene Zeit beim 100m Lauf'

I

I

Zahl

---:-----_~

3

--+-----~~

6

--+-----~~

7

Numerisches Relativ

I

Zu unterscheiden sind ferner stetige (kontinuierliche) und diskrete Variablen: Bei stetigen Variablen existieren im Prinzip zwischen zwei Werten unendliche viele Zwischenwerte (Beispiel: Zeitmessung), während bei diskreten Variablen die Werte abzählbar sind und keine Zwischenwerte auftreten können (Beispiel "Zahl der Kinder"). Mit dem Begriff kategoriale Variablen werden üblicherweise neben nominalskalierten auch ordinalskalierte Variablen mit relativ wenigen Ausprägungen

bezeichnet. Anstelle von Ausprägungen ist dann meistens von Kategorien die Rede. In manchen Statistikprogrammen, wie etwa in SYSTAT, wird nur zwischen intervallskalierten und kategorialen Variablen unterschieden. Häufig findet man in der Literatur auch den Begriff dichotome Variable. Dies ist eine Variable mit lediglich zwei Ausprägungen, wobei es sich um eine natürliche oder konstruierte Dichotomie handeln kann. Das Merkmal "Geschlecht" ist ein Beispiel für eine natürliche Dichotomie, während andere Dichotomien wie etwa die dichotome Variable "Einkommen" von den Forschenden konstruiert werden, indem ein Schwellenwert definiert wird, der die Werte in lediglich zwei Gruppen aufteilt (erste Gruppe: Einkommen über dem Durchschnitt; zweite Gruppe: Einkommen unter dem Durchschnitt). Prinzipiell können Variablen eines bestimmten Skalenniveaus in solche eines geringeren Skalenniveaus transformiert werden. So kann die intervallskalierte Variable "Einkommen" nicht nur wie beschrieben in eine dichotome (=nominalskaliert), sondern auch in eine

19

Der Codeplan

ordinalskalierte Variable verwandelt werden, indem die Probanden gemäß ihrem Einkommen in eine Rangreihe gebracht werden. Das Skalenniveau determiniert die Art von möglichen mathematischen Operationen und damit auch die statistischen Verfahren, die mit den so skalierten Variablen durchführbar sind (vgl. Tab. 1-3). So ist es offenkundig unsinnig, einen Mittelwert der Religionszugehörigkeiten zu berechnen, obwohl die Spalte in der Tab. 1-3 nur Zahlenangaben enthält und theoretisch - anders als bei der Stringvariable "Geschlecht" - die Berechnung eines Mittelwerts denkbar wäre. Tab. 1-3

Skalenniveau nominal

ordinal

Erlaubte Operationen

Beispiele

a=b

Geschlecht, Beruf, Partelpräferenz. Studienfach,

a,b

Religionszugehö rigkeit

a
Gehaltsstufe, militärischer Rang, Rangliste der besten Freunde/Freundinnen

a>b Interva!l

a-b=c-d

Zahl der Kinder, Einkommen, Durchschnittsnote im Abitur, Zahl der Elektroge räte im Haushalt,

Die Variablen der Tab. 1-2 besitzen also folgendes Skalenniveau: Variablenname

Skalenniveau

ID

nominal (zur Identifikation von Fragebögen)

Geschlecht

nominal (dichotom)

Note

Interva!l

Religion

nominal

Zufriedenheit

ordlnal

Beruf

nominal

An der unterschiedlichen Codierung der Variablen Geschlecht, Beruf und Religion lässt sich erkennen, dass nominalskalierte Variablen sowohl als Stringvariable als auch als numerische Variable codiert werden können. Während das Geschlecht in unserem Beispiel als Stringvariable definiert wurde, ist die Religionszugehörigkeit als numerische Variable definiert. In der Regel ist es bei Benutzung von statistischen Analyseprogrammen vorzuziehen, numerische Variable zu verwenden, obwohl deren Ausprägungen wie gesehen nicht ohne Hinzuziehen einer Korrespondenztabelle interpretiert werden können.

20

Die Aufbereitung der Daten für die statistische Analyse

1.2 Fehlende Werte, immer ein Problem Bei der Übertragung der Informationen aus einem Papier- oder OnlineFragebogen in eine Datenmatrix steht man häufig vor dem Problem, dass eine Antwort eines Befragten nicht auswertbar ist. Hierfür können zahlreiche Gründe vorliegen, z.B. Die Befragten haben die Antwort verweigert oder die Frage aus anderen Gründen nicht beantwortet Die Befragten haben zwei Antwortmöglichkeiten angekreuzt, obwohl nur eine Antwort erlaubt ist. Gelegentlich werden Kreuze auch zwischen zwei Ankreuzkästchen gesetzt und sind nicht eindeutig einer Antwortalternative zuzuordnen. Die Antwort ist offensichtlich falsch, z.B. wenn bei der Befragung von Studierenden eine Befragte als Alter ,,225" angegeben hat, ist nicht klar, ob sie 22 Jahre oder 25 Jahre meinte oder sich einen Scherz erlaubt hat. Die Antwort ist nicht lesbar. Die Antwort ist im Vergleich mit anderen Angaben nicht plausibel, z.B. eine 20-Jährige Person mit sieben Kindern. Die Frage trifft nicht zu, z.B. die Frage nach der Höhe des Einkommens bei einem befragten Kind. Das Problem der sogenannten fehlenden Werte ist bei der Auswertung von Forschungsdaten keineswegs trivial, sondern verursacht vielfältige Probleme. Zunächst muss man aber entscheiden, wie man solche fehlenden Werte in der Datentabelle codiert. Hierfür bieten sich im Wesentlichen zwei Methoden an. Erstens kann man das entsprechende Feld in der Datenmatrix einfach leer lassen, wie dies z.B. in Tab. 1-1 bei der Person mit der Identifikationsnummer 105 bei der Frage nach dem Geschlecht geschehen ist. Zweitens kann man fehlende Werte mit einem Zahlencode in die Datenmatrix aufnehmen. Dies ist dann hilfreich, wenn man zwischen verschiedenen Arten fehlender Werte unterscheiden möchte, so kann man z.B. die ,,9" für zweideutige Antworten verwenden und die ,,0" bei Antwortverweigerung. Von zentraler Bedeutung ist, welche Vorgaben das benutzte Statistikprogramm für die Verwaltung der fehlenden Werte macht, denn bei der Auswertung, z.B. bei der Berechnung des Mittelwertes, muss das Statistik- Programm in der Lage sein, die fehlenden Werte aus den Berechnungen auszuschließen. Wenn man als Code für fehlende Werte bei der Altersangabe den Wert ,,99" definiert hat, würde sich das Durchschnittsalter der Stichprobe nicht unerheblich erhöhen, wenn der Wert 99 in die Berechnung einbezogen würde. SPSS ist in Bezug auf die Handhabung fehlender Werte sehr flexibel, denn man kann fast alle denkbaren Werte als fehlende Werte deklarieren. Auch kann man unterschiedliche Arten fehlender Werte - etwa Antwortverweigerung.

Der Entwurf eines Codeplans - ein Beispiel

21

Weiß-nicht-Antvvorten etc. unterscheiden. SYSTAT ist in dieser Hinsicht weitaus restriktiver. Hier kann man fehlende numerische Werte nur durch einen Punkt kenntlich machen und fehlende Werte von Stringvariablen müssen als Leerzeichen codiert werden.

1.3 Der Entwurf eines Codeplans - ein Beispiel Nach diesen Vorklärungen wollen wir die Entstehung eines Codeplans an einem Beispiel demonstrieren. Wir werden dazu den Originalfragebogen der Studie Umweltbewusstsein in Deutschland> ausschnitt:vveise durchgehen.

OffeneFragen Der Fragebogen beginnt wie folgt: 1.

Was, glauben Sie, ist das wichtigste Problem, dem sich unser Land heute gegen übersieht?

INT.:

Bitte die Antwort des/der Befragten genau notieren! Bitte nur die ersten zwei Probleme, die der Befragte nennt, notieren!

Die erste Frage ist also eine offene Frage ohne Antwortvorgaben. Bei offenen Fragen werden die Antworttexte der Befragten in der Regel einfach in das entsprechende Feld der Datenmatrix eingegeben, so dass als Variablentyp nur .Stnng" in Frage kommt. Der Codeplans beginnt folgendermaßen: Variablenname

Label

Wertelabel

Typ

Skala

Fl

Wichtigstes Problem in Deutschland

(entfällt; Codieranweisung .Antworttext eingeben")

String

nominal

Um später eine Häufigkeitstabelle mit den Antworten auf die erste Frage erstellen zu können, müssen zunächst die Antworten durchgelesen werden und eine sinnvolle Kategorisierung entwickelt werden. Dabei verwendet man am besten die aus der qualitativen Inhaltsanalyse stammende Technik der induktiven Codierung (vgl. Mayring 2008: 74). Da die Zahl der Probleme, die potenziell von den Befragten genannt werden können, riesig groß ist, verfährt man bei der Kategorienbildung am besten so, dass bei der späteren Bearbeitung der Antworttexte für jedes Problem eine Oll-Variable definiert wird, wobei für den Fall,

3

Vgl. KuckartzjRheingans-HeintzejRädiker (2006). Der vollständige Fragebogen ist unter www.umweltbewusstsein.deverfügbar.

Die Aufbereitung der Daten fur die statistische Analyse

22

dass das betreffende Problem genannt wurde, eine 1 codiert wird. Die erarbeiteten Kategorien werden dann als Wertelabel in den Codeplan integriert. Zu diesem Zeitpunkt kann man allerdings noch nicht wissen, welche Kategorien gebildet werden, deshalb sind diese auch nicht Teil des ursprünglichen Codeplans, sondern werden erst später in diesen eingefügt.

lternbatterien Frage 2 des Fragebogens zum Umweltbewusstsein stellt eine sogenannte Itembatterie dar. Das Antwortformat ist jeweils gleich, nämlich eine 4er-Skala, sie von "sehr wichtig" bis "überhaupt nicht wichtig" reicht. 2. Ich lese Ihnen nun verschiedene politische Aufgabenbereiche vor. Bitte sagen Sie mir jeweils, ob Sie persönlich die Aufgabe für sehr wichtig, eher wichtig, weniger wichtig oder für überhaupt nicht wichtig halten. sehr wichtig

eher wichtig

weniger wichtig

überhaupt nicht wichtig

1

2

3

4

die Arbeitslosigkeit bekämpfen

0

0

0

0

den Bürger wirksamer vor Verbrechen schützen

0

0

0

0

für wirksamen Umweltschutz sorgen

0

0

0

0

das Zusammenleben mit Ausländern regeln

0

0

0

0

Die Umsetzung in den Codeplan geschieht wie in der folgenden Abbildung. Die Variablenlabels und Wertelabels werden zweckmäßigerweise so formuliert, dass die Formulierungen des Fragebogens so weit wie möglich im Originaltext übernommen werden. Gerade bei Fragebogenerhebungen ist äußerst wichtig zu wissen, wie die Frageformulierung lautet, insofern verbietet es sich an dieser Stelle, sich neue Formulierungen auszudenken, und zwar auch dann, wenn sie vielleicht präziser und besser wären.

23

Der Entwurf eines Codeplans - ein Beispiel

Variablenname

Label

Wertelabel

Typ

Skala

F2- 1

Politische Aufgabenberelche: Arbeitslosigkelt bekämpfen

1 = sehr wichtig

numerisch

Intervall

2 = eher wichtig

numerisch

Intervall

3 = weniger wichtig 4 = überhaupt nicht wichtig 0= fehlend

F2_4

das Zusammenleben mitAusländern regeln

Siehe F2- 1

Mehrfachnennungen Sehr häufig sind Frageformen, die den Befragten Mehrfachnennungen gestatten, wie bei der Frage 5 des Fragebogens zum Umweltbewusstsein. 5. Ich habe hier jetzt Karten mit verschiedenen Aufgabenbereichen im Umweltschutz. Welchen Aufgaben sollte sich die Bundesregierung Ihrer Meinung nach in der Zukunft verstärkt zuwenden? Bitte suchen Sie die drei Aufgaben aus, die Ihnen am wichtigsten erscheinen. ausgewählt

A

für einen sparsameren Umgang mit Energievorräten sorgen

D

B

mehr informieren über gesundheits- und umweltgefährdende Produkte und Zusätze

D

C

für eine umweltfreundliche Stadtentwicklung sorgen

D

für einen verbesserten Naturschutz sorgen

E

das Aussterben von Tier- und Pflanzenarten verhindern

F

für eine Unabhängigkeit von Öl und Gas durch erneuerbare Energien sorgen

G

die Entwicklung von sparsamen Antrieben und Motoren fördern

D D D D D

H

für eine deutliche Verringerung von klimaschädlichen Gasen sorgen, z.B. den Ausstoß von Kohlendioxid (C02)

D

I

für einen sparsameren Rohstoffverbrauch sorgen

D

Solche Fragen lassen sich prinzipiell auf zwei unterschiedliche Arten codieren. In der ersten Variante sieht man so viele Variablen vor, wie Nennungen möglich sind, in diesem Fall also drei Variablen:

Die Aufbereitung der Daten fur die statistische Analyse

24

F5- 1N

Vorrangige Aufgabenberelche im Umwelt-

1- sparsamer Umgang mit Energievorräten

schutz 1. Nennung

2 = Information über gesundhelts- und umweltgefährdende Produkte

numerisch

nominal

3 = für umweltfreundliche Stadtentwickl ung sorgen 4= .

5 =. 6 =. 7=. 8 =. 9 = für sparsameren Roh-

stoffverbrauch sorgen

0= fehlend F5- 2N

Vorrangige Aufgabenberelche im Umweltschutz 2. Nennung

Wie FS-

1N

numerisch

nominal

F5- 3N

Vorrangiger Aufgabenbeteich im Umweltschutz 3. Nennung

Wie FS-

1N

numerisch

nominal

Bei der zweiten Variante der Umsetzung in einen Codeplan sieht man für jede Antvvortmöglichkeit eine Variable vor: Aufgabenbereiche im Umweltschutz: Sparsamer Umgang mit Energievorräten Aufgabenbereiche im Umweltschutz: mehr informieren über gesundhelts- und umweltgefährdende Produkte

1 = genannt

numerisch

nominal

numerisch

nominal

0= nicht genannt 9 = gesamte Frage nicht beantwortet 1 = genannt 0= nicht genannt 9 = gesamte Frage nicht beantwortet

Die erste Variante ist dann vorzuziehen, wenn es nur eine relativ kleine vorab festgesetzte Anzahl von Nennungen gibt. Die zweite Variante ist dann günstiger, wenn die Zahl der Nennungsmöglichkeiten groß ist oder wenn die Zahl der möglichen Nennungen nicht von vornherein festliegt. Beim vorliegenden Beispiel würden bei der zweiten Variante also neun Variablen gebildet.

25

Der Entwurf eines Codeplans - ein Beispiel

Normale Einzelfragen Normale Einzelfragen sollten ohne weitere Umstände in den Codeplan übertragen werden wie die folgende Frage 7: 7.

Jetzt einige Fragen zur Umweltpolitik und zu umweltpolitischen Maßnahmen. Wenn Sie die Politik der Bundesregierung bewerten, soll die Regierung Ihrer Meinung nach insgesamt mehr für den Umweltschutz tun, weniger für den Umweltschutz tun, oder ist es so richtig , wie es derzeit ist?

1 2 3

F7

D D D

soll mehr für den Umweltschutz tun soll weniger für den Umweltschutz tun ist so richtig, wie es derzeit ist

Soll die Bundesregierung mehr für den Umweltschutz tun?

1 = soll mehr tun

numerisch

nominal

2 = soll weniger für den Umweltschutz tun 3 = ist so richtig, wie es ist 9 = keine Antwort

Wer die Antwortvorgaben aufmerksam liest, wird vielleicht bemerken, dass die Reihenfolge der Antwortvorgaben unglücklich gewählt wurde, denn in dieser Form besitzt die Variable nur Nominalskalenniveau. Besser wäre es gewesen, die Antwort "ist so richtig, wie es derzeit ist" in der Mitte (mit dem Code 2) anzuordnen, dann hätte die Variable Ordinalskalenniveau. Gegebenenfalls lässt sich die Reihenfolge später noch verändern, für die Dateneingabe sollte man aber - um die Codierer nicht zu verwirren - die Zuordnungen des Fragebogens beibehalten. Erst, wenn auf die beschriebene Weise der gesamte Fragebogen in den Codeplan umgesetzt wurde, kann mit der Eingabe der Daten begonnen werden.

26

Die Aufbereitung der Daten fur die statistische Analyse

1.4 So geht es mit SPSSjSYSTAT Aufbereitung der Daten mit SPSS4 Hinweise zu Variablennamen

SPSS besitzt einige Besonderheiten, die man von vornherein berücksichtigen sollte: Bei älteren Versionen (bis Version 11) durften Variablennamen nur aus maximal 8 Zeichen bestehen. Seit der SPSS-Version 12 sind immerhin 64 Zeichen erlaubt. Die Variablennamen dürfen aus Buchstaben, Ziffern und einigen wenigen Sonderzeichen (z.B.: _, @) bestehen, aber keine Leerzeichen enthalten. Variablennamen müssen einzigartig sein, d.h. im gesamten Codeplan darf der gleiche Name nur einmal existieren. Dabei unterscheidet SPSS nicht zwischen Groß- und Kleinschreibung. In den neueren Versionen bleibt die Groß- Kleinschreibung allerdings bei der Anzeige erhalten.

Legale Namen EinstellungUmwelt Geschlecht einsA KUCKARTZ_RÄDIKER Einkommen Frage_l

Illegale Namen Einstellung zur Umwelt Geschlecht.Lehrer

lA

KUCKARTZ&RÄDIKER Einkommen! Frage 1

Definition der Variablen in der Variablenansicht Der SPSS-Dateneditor unterscheidet zwischen zwei Ansichten: der Datenansicht und der Variablenansicht, zwischen denen man durch Klick auf die bei den "Tabs" am unteren Bildschirmrand hin- und herwechseln kann. In der Datenansicht können die Variablenwerte angezeigt und verändert werden. Die Definition des Codeplans und die Eingabe von Variablennamen und -werten etc. erfolgt in der Variablenansicht.

4

Für die Darstellung des Vorgehens in SPSS greifen wir auf die Softwareversion 18 zurück, die zwischenzeitlich auch unter dem Namen PASW firmierte.

..

So geht es mitSPSSjSYSTAT

27

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Hilfe

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Umschalten zwischen Daten- ) : und Variablenansicht

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Man geht so vor, dass man in die erste Spalte den Namen der Variablen einträgt und dann mit der Tab-Taste in die nächste Spalte springt, wo man den Variablentyp auswählt. SPSS unterscheidet zwischen acht verschiedenen Variablentypen, von denen man aber normalerweise nur zwei braucht, nämlich "Numerisch" und .Stnng".

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@[~~~:~~j~i

Bre!te: 18

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ö eam eut enen.

~12==~

O OO!la r

o sgezrene Währung O Sl! ing

OK

I

Abtlfechen

Hilfe

Bei der Umsetzung eines Fragebogens in SPSS-Variablen hat man es in den meisten Fällen mit einstelligen Zahlen ohne Nachkommstellen zu tun, so dass man den Wert für die "Breite" der Variablen auf 1 und für Dezimalstellen auf 0 einstellen kann. Die oben beschrieben Variable "Note", mit der die Durchschnittsnote im Abitur erfasst wird, benötigt allerdings eine Nachkommstelle. Stringvariablen können in älteren Versionen von SPSS maximal 255 Zeichen lang sein. Seit der Version 14 können Texte mit bis zu 32768 Zeichen eingegeben werden.

Die Aufbereitung der Daten für die statistische Analyse

28

Bei SPSS kann in die Spalte .Variablenlabel" eine ausführliche Bezeichnung für die Variable eingetragen werden und in der Spalte "Wertelabels" können Labels für die Ausprägungen der Variablen definiert werden.

Fehlende Werte In der Datenansicht behandelt SPSS alle nicht ausgefüllten Eingabefelder von Variablen als fehlende Werte. Diese Werte heißen in SPSS systemdefiniert fehlend. Es können aber auch beliebige Zahlenwerte als benutzerdeJiniert fehlend definiert werden. Ein Klick in die Spalte Missing Values öffnet das in der folgenden Abbildung dargestellt Dialogfeld, in dem alle Werte angegeben werden können, die SPSS als fehlend behandeln soll.

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11 I

11

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1 ~ b<erneiiJ

U

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Bei itembatterien, die alle das gleiche Antwortformat haben, wäre es unpraktisch jeweils alle Wertelabel und Missing Value Vereinbarungen neu einzugeben. SPSS erlaubt es hier, eine komplette Variablendeklaration zu kopieren, in dem man diese anklickt, mit "Bearbeiten > Kopieren" in die Zwischenablage kopiert und dann mittels "Bearbeiten > Einfügen" erneut einfügt. Da Variablennamen nicht doppelt definiert werden dürfen, ändert SPSS lediglich den Variablennamen ab, alles andere erscheint in der gleichen Form wie bei der Ausgangsvariablen, d.h. mit allen Definitionen von Wertelabeln. Alle Zahlenwerte, die in der dargestellten Eingabemaske in eins der drei Felder unter "Einzelne fehlende werte" eingetragen werden, behandelt SPSS bei der Auswertung der Daten als fehlend und schließt diese aus den Berechnungen aus. Die Spalten "Spalten" und "Ausrichtung" beziehen sich nur auf die Darstellung der Variablenwerte im SPSS Dateneditor, die Spalte Measures ermöglicht einem die Skalenqualität der Variablen zu definieren. Allerdings hat die Angabe primär nur einen Wert für die eigene Erinnerung, SPSS prüft nicht immer, ob das gewählte statistische Verfahren auch für diesen Skalentyp überhaupt geeignet ist.

29

So geht es mit SPSSjSYSTAT

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Numerisch 4

0

Identifib tion

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Stnng

I

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10

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Eingabe der Daten Wenn alle Variablen definiert sind, kann mit der Eingabe der Daten begonnen werden. Bevor man dies tut, sollte man noch einmal überprüfen, ob die gewählten Variablentypen korrekt sind, denn eine nachträgliche Veränderung (etwa des Typs String in eine numerische Variable) ist nicht immer möglich. Die Definition von Wertelabels und fehlenden Werten kann hingegen auch später noch verändert werden, ohne dass die zwischenzeitlich eingegebenen Daten davon direkt betroffen sind. Selbstverständlich ist darauf zu achten, dass keine falschen Zuordnungen von Variablenwerten zu Wertelabels erzeugt werden. Zur Dateneingabe schaltet man in die Datenansicht und beginnt - dem Codeplan entsprechend - mit der Eingabe der Daten. Durch das Drücken der Tabulator-Taste springt man jeweils ins nächste Eingabefeld. Bei der Eingabe der ersten Fragebögen stellt man eventuell fest, dass der Codeplan noch einmal verbessert werden muss. Man nimmt dann diese Verbesserung vor und fährt mit der Eingabe fort. Fragebogen für Fragebogen werden die Daten eingegeben. Hilfskräfte sind in den meisten Fällen willkommen.

Die Aufbereitung der Daten für die statistische Analyse

30

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1

3.2 l ehrer 2.1 Arzt in 2.3 Sc hreiner 1,9 Anwalt

1,6 Krankenpl1 eg er - ,- -

Date "a nsic ht

Speichern der Daten und Zusammenfügen von Daten Mit "Datei> Speichern unter" können Daten und Variablendeklarationen gemeinsam in einer sogenannten SPSS-Systemdatei (erkennbar an der Endung .savJ gespeichert werden. Wenn man in einer Arbeitsgruppe die Dateneingabe auf mehrere Personen verteilt hat, besteht die Möglichkeit mehrere sav-Dateien, die die gleiche Struktur aufweisen, zusammenzufügen. Dateien weisen die gleiche Struktur auf, wenn sie Variablen gleichen Namens und gleichen Typs enthalten. Man muss in diesem Fall also so vorgehen, dass zunächst der gesamte Codeplan in SPSS umgesetzt wird und dann diese Datei, die noch keine Daten enthält, dupliziert wird, so dass verschiedene Personen die Daten eingeben können. Damit die Fusion der Datei problemlos geschehen kann, dürfen keine Änderungen an den Variablendeklarationen vorgenommen werden, z.B. keine Änderung der Variablennamen. Zusammengefügt werden die Daten, indem zunächst die erste Datei geöffnet wird und dann mit Hilfe der Option "Daten> Dateien zusammenfügen> Fälle hinzufügen" die zweite SAV-Datei an die erste angehängt wird.

31

So geht es mit SPSSjSYSTAT

Aufbereitung der Daten in SYSTAT5 Variablennamen Generell ist SYSTAT ein etwas einfacheres Programm, das über weniger Optionen als SPSS verfügt, welche aber in den meisten Fällen völlig ausreichen. Variablennamen dürfen aus maximal 64 Buchstaben oder Zahlen bestehen. Stringvariablen müssen mit einem Dollarzeichen ($) enden. SYSTAT unterscheidet nicht zwischen Groß- und Kleinschreibung, sondern verwandelt sofort alle eingegebenen Kleinbuchstaben in Großbuchstaben, d.h. auch die spätere Ausgabe von Variablennamen besteht nur aus Großbuchstaben. Außer Zahlen und Buchstaben sind nur der Unterstrich (J und runde Klammern in Variablennamen erlaubt. Variablenlabels können bis zu 256 Zeichen lang sein und beliebige Zeichen enthalten. Als Default-Wert für das Variablenlabel setzt SYSTAT zunächst den Variablennamen ein. Es können auch Wertelabels definiert werden. • [u

OK

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Variablentyp SYSTAT kennt nur zwei Variablentypen, nämlich numerisch (max. 23 Stellen) und string (max. 256 Zeichen). Standardmäßig ist bei SYSTAT eingestellt, dass Stringvariablen maximal 24 Zeichen lang sind. Dieser Wert kann über die Menüfunktion .Edit > Options" auf maximal 256 Zeichen erhöht werden. Stringvariablen erlauben die Verwendung von Groß- und Kleinschreibung.

5

Für die Darst ellung der Verwendung von SYSTAT greifen wir auf die Softwareversion 12 zurück. Unter www.systat.com können Studierende das kostenfreie Programm MYSTAT herunterladen, das den Großteil aller Funktionen von SYSTAT enthält, jedoch nur 100 Variablen pro Datei erlaubt

32

Die Aufbereitung der Daten für die statistische Analyse

Das Skalenniveau lässt sich in der Spalte .categorical" festhalten. SYSTAT bietet die Möglichkeit sowohl String- als auch numerische Variable als .xategorical" zu deklarieren. In diesem Fall ist der Wert in der Spalte auf "YES" zu stellen. §

MYSTAl , A ';lud. nl V. " ion 01 5V>TAT - IC,\lI,",,\St>ll>ti k\D ~,lctop\SI't"li kb u( h\\.c ro.n ,h ol>\Unl~l .d,
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Fehlende Werte Für fehlende Werte sieht SYSTAT nur sehr eingeschränkte Möglichkeiten vor: Bei einer numerischen Variable wird ein fehlender Wert durch Leerlassen des Eingabefeldes oder durch Eingabe eines Punktes erzeugt, bei Stringvariablen durch ein Leerzeichen. Weitergehende Möglichkeiten zur Deklaration fehlender Werte existieren nicht. Eingabe der Daten Sobald alle Variablen definiert sind, schaltet man in die Ansicht .Data" um und kann mit der Dateneingabe beginnen. Mit der Tabulator-Taste kann man sich von einem Eingabefeld zum nächsten bewegen. Speichern der Daten und Zusammenftigen von Daten Mit der Menüfunktion "File> Save as" werden die Daten und der Codeplan gemeinsam in einer SYSTAT-Systemdatei (erkennbar an der Endung .syz) gespeichert. Ähnlich wie bei SPSS kann man, wenn mehrere Mitglieder eines Teams die Dateneingabe vornehmen, zwei von der Struktur her identische Systemdateien leicht zusammenfügen. Nachdem die erste Datei geöffnet wurde, wählt man .Data > Merge Files> Append Cases" und SYSTAT fügt die beiden Dateien zusammen.

2

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

Die Kapitel 2 bis 4 befassen sich mit der des kr iptiven oder besc hreibenden Sta tistik Unter der des kriptiven Stati sti k verste ht man eine Vielzahl von Verfah re n, die eine gegebene Datenmenge summ arisch zusammenfassen und die Beziehu ngen zwischen Varia blen unte rsuchen. Die Desk ript ivstatist ik besc hränkt sich au f Aussagen über die erhobenen Daten, ihr e Verfahren könn en sic h auf einzelne Merkmale bezieh en (uni variate Analyse) ode r Zusammenhänge zw ischen zwe i (bivariat e Ana lyse) oder mehr Variab len (mu ltivariat e Analyse) untersuchen. Wenn d ie Daten aufbereitet sind, d h. die Eingab e in eine Datenmatrix beendet ist und gegeben enfa lls die offenen Fragen kategori siert s ind, kann die statistische Analyse beginnen. Der Deskriptivstatistik ste hen prinzipiell drei Möglichkeiten zur Verfügung: tabellarische Darste llungen in Form sogenannte r Häufigkeitstabellen grafische Darstellungen Ber echnung von statistischen Kennwerten Die ers te Phase der Auswertung empirischer Daten ist in der Regel durch Exploration gekenn zeichnet, d.h. man unternimmt ein e ers te Erkundung durch das Dickicht der Zahlen und verschafft sich ein en Überblick über die Ergebn isse der Studi e. Sinnvollerweise beginnt man mit einer Auszählun g der Häufigke ite n der Merkm alsausprägungen der Variablen, und zwar für de n gesa mten Datens atz. Natürli ch wird man im späteren Forschungsbe richt nu r einen Teil der Tabe llen ver we nde n kön nen, den noch ist es sinnvoll, zunächst einma l für alle Variab len am best en in der Reihenfo lge des Fragebogen s - eine Häufigkeits auswertung an zufer tigen. Di ese Vorgehen sweise erla ubt es au ch, eine Kontrolle der eingegebene n Werte hinsicht lich des Auftretens von nicht erlaubte n Werten vorz unehm en . Zielvor stellung ist es also, über Ta bellen nach de m Muster von Tab. 2-1 zu verfügen. Dort ist da s Ergebni s einer Erhebung unt er Mitgliedern der Gese llscha ft für Evaluati on (DeGEval) dargestellt; gefragt wa r, we lchen institutio nellen Hintergru nd d ie Mitglied er der Gesellschaft besitzen.

34

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

Tab. 2-1: Institutioneller Beschäftigungskontext (n = 163) Häufigkeit

Prozent

Freiberuflich

38

23,3

Privatwirtschaftliches Unternehmen

26

16,0

Non-Profit-Organ lsatlon

19

11,7

Universität, Hochschule

52

31,9

Sonstiger Öffentlicher Dienst

28

17,2

Man erfährt aus dieser Tabelle, dass nahezu ein Drittel der Mitglieder der DeGEval an Universitäten und Hochschulen beschäftigt sind und dass insgesamt 163 Personen befragt wurden. Nicht immer sind Überblicke über die Antwortverteilungen so einfach herzustellen wie bei dieser einfachen nominalskalierten Variable "Institutioneller Beschäftigungskontext". So kann eine Variable nicht nur fünf Ausprägungen wie in diesem Beispiel aufweisen, sondern eine intervallskalierte Variable hat vielleicht sogar mehrere hundert Ausprägungen (wenn man etwa in einer Repräsentativstudie mit 2000 Forschungsteilnehmenden nach dem exakten Monatseinkommen in Euro fragt) oder es können Mehrfachantworten möglich sein, was dazu führt, dass mehrere Variablen zu einer einzigen Häufigkeitstabelle zusammengefasst werden müssen. Beginnen wir also etwas ausführlicher mit der Beschreibung von Häufigkeitstabellen.

2.1 Häufigkeitstabellen Häufigkeitstabellen sind Darstellungen der absoluten und relativen Häufigkeiten der Ausprägungen einer Variablen. Als absolute Häufigkeit bezeichnet man die nach Kategorien ausgezählte Verteilung der Antworten einer Variablen. Die relative Häufigkeit gibt - meist in Form einer Prozentangabe - an, wie häufig die jeweilige Kategorie (Ausprägung) in Relation zur Anzahl der Fälle auftritt. Je nach empirischer Studie können Fälle aus Personen, Haushalten, Institutionen etc. bestehen, die Gesamtzahl der Fälle wird üblicherweise mit n [entweder dem kleinen oder großen Buchstaben) bezeichnet. Die Häufigkeitstabellen, die man in der ersten Phase der Auswertung erstellt, sollten auch die fehlenden Werte explizit aufführen. In späteren Forschungsberichten wird auf eine explizite Angabe über fehlende Werte häufig aus pragmatischen Gründen verzichtet, allerdings sollte bei einer relevanten Anzahl fehlender Werte zumindest in einer Fußnote eine Angabe hierzu erfolgen. Häufigkeitstabellen erstellt man heute nicht mehr mit Hilfe von Strichlisten, sondern mit

35

Häufigkeitstabellen

Hilfe von Statistik-Software. Die ausgegebenen Tabellen folgen meistens dem Muster der hier dargestellten Tab. 2-2 Diese Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Befragung von 122 Studierenden des BA-Studiengangs "Erziehungs- und Bildungswissenschaft", die nach ihrem Interesse für bestimmte Profilmodule gefragt wurden. Tab. 2-2: Beispiel für eine Häufigkeitstabelle Interesse Profilmodul

Häufigkeit

Prozent

Gültige Prozent

Kumulierte Prozent

Medien

13

10,7

14,1

14,1

Umwelt

7

5,7

7,6

21,7

Gender

4

3,3

4,3

26,1

Gesellschaft und Bildung

22

18,0

23,9

50,0

Beratung

46

37,7

50,0

100,0

92

75.4

100,0

28

23,0

2

1,6

122

100,0

Total Weiß ich noch nicht . Fehlende Werte Total

Spalte 1 enthält die Ausprägungen der Variablen, hier also die zur Auswahl stehenden fünf Profilmodule sowie die Antwortmöglichkeit "Weiß ich noch nicht." Spalte 2 listet die Anzahl der Personen mit der entsprechenden Merkmalsausprägung: Es sind also 13 Personen, die Medien als Profilmodul wählen wollen und 7 Personen, die sich für Umwelt entscheiden. Spalte 3 enthält die relativen Häufigkeiten in Prozent. Diese werden wie folgt berechnet: f(k) %k =--·100%

n

f(k)

n

=

absolute Häufigkeit in der Kategorie k Anzahl der Fälle

Die 13 Personen, die als Profilmodul Medien wählen möchten, haben an den 122 befragten Personen also einen Anteil von 13/122 . 100% = 10,%.

36

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

Spalte 4 enthält die sogenannten gültigen Prozentwerte. Da fehlende Werte in der empirischen Sozialforschung immer vorkommen können, ist es sinnvoll eine weitere Form der Prozentuierung vorzunehmen, die nur die gültigen Werte berücksichtigt. Die Ursachen für fehlende Werte können wie beschrieben sehr vielfältig sein. Bei der obigen Frage nach der Entscheidung für ein bestimmtes Profilmodul kann es natürlich passieren, dass Befragte sich noch nicht entschieden haben, welches Profil modul sie studieren wollen. Für eine Schätzung, wie viele Studierende bspw. "Beratung" wählen werden, würde man auf den Prozentwert auf der Basis der gültigen Antworten zurückgreifen, d.h. den Anteil mit 50% schätzen. Ähnlich verhält es sich bspw. bei der bekannten Sonntagsfrage "Welche Partei würden Sie wählen, wenn nächsten Sonntag Bundestagswahl wäre?". Hier sind beide Arten von Prozentwertverteilungen interessant. Aus der Prozentangabe bezogen auf alle Werte kann man entnehmen, wie groß der Prozentsatz der noch Unentschlossenen ist. Aus der Prozentangabe der gültigen Werte kann man entnehmen, wie die Prozentanteile der Parteien bei den bereits Entschiedenen aussehen. Die gültigen Prozente werden nach folgender Formel berechnet

f(k) %k =--·100%

ng

f(k)

ng

=

absolute Häufigkeit in der Kategorie k Anzahl der Fälle mit gültigen Werten

Anstatt durch alle Fälle zu teilen, wird also bei der Berechnung der gültigen Prozente nur durch die Anzahl der gültigen Fälle dividiert - in unserem Beispiel also durch 92.

Spalte 5 enthält die kumulierten gültigen Prozentwerte. Die in der Tabelle von oben nach unten summierten gültigen Prozentwerte ergeben die kumulierte Häufigkeitsverteilung. Die zweite Zahl in der letzten Spalte ,,21,7%" ergibt sich also als Summe von 14,1% und 7,6%. In der letzten Ausprägung muss die kumulierte Häufigkeitsverteilung den Wert 100% ausweisen. Der kumulierte Prozentwert berechnet sich wie folgt: "k _fkum(k) ·100" 70kum70

n

fkum(kJ = die aufsummierten absoluten Häufigkeiten bis einschließlich zur Kategorie k n = Anzahl der Fälle

Bildung von Kategorien bei intervallskalierten Variablen

37

Z.Z Bildung von Kategorien bei intervallskalierten Variablen Bei intervallskalierten Variablen (oder ordinalskalierten Variablen mit sehr vielen Ausprägungen) macht es keinen Sinn, eine Häufigkeitstabelle nach dem obigen Muster zu erstellen. Hat man bspw. das Monatseinkommen in Euro erhoben, so kann eine solche Variable eine kaum mehr überschaubare Anzahl von Ausprägungen besitzen, d.h. die Häufigkeitstabelle würde sich vielleicht über mehrere Seiten erstrecken und wäre als Information ziemlich nutzlos. Die Lösung sieht dann so aus, dass Kategorien gebildet werden, d.h. die Variablenwerte werden systematisch gruppiert und in Kategorien zusammengefasst. Als erstes stellt sich natürlich die Frage, wie viele Kategorien man braucht. Auf diese Frage lässt sich keine allgemeingültige Antwort geben. Die Zahl der zu bildenden Kategorien richtet sich einmal nach dem gewünschten Differenzierungsgrad und zum anderen nach der Anzahl der zu kategorisierenden Fälle. Hat man wie im Beispiel der Mitgliederumfrage der DeGEval nur eine relativ kleine Fallzahl (n = 163), würde es wenig Sinn machen, für das Einkommen zehn Kategorien zu bilden, denn bei einer späteren Zusammenhangsanalyse mit einem drei- oder vierfach gestuften Merkmal würden sich bereits 30 bzw. 40 Merkmalskombinationen ergeben. Verfügt man hingegen wie bei den großen EurobarometerStudien oder der Shell-Jugendstudie (vgl. Anhang Al über mehr als 2.000 Probanden, so wäre die Unterscheidung von zehn Einkommenskategorien an sich unproblematisch. Es ist dann abzuwägen, welcher Differenzierungsgrad sinnvoll ist bzw. von den Rezipierenden oder Auftraggebenden der Studie gewünscht wird. Bei Grundlagenforschung wird man naturgemäß für größere Exaktheit und für einen höheren Differenzierungsgrad plädieren, bei angewandter Forschung oder Forschung mit hoher öffentlicher Aufmerksamkeit (wie der ShellJugendstudie) wird man sich auf ein besser kommunizierbares Maß beschränkenmüssen. Zur Bestimmung der Kategoriengrenzen und der Kategorienbreiten ermittelt man zunächst die Variationsbreite als Differenz aus größtem und kleinstem Wert, anschließend dividiert man durch die gewünschte Anzahl der Kategorien und erhält die Kategorienbreite. Beispiel: Man habe bei 100 vierjährigen Kindern die Zeit ermittelt, die sie zum Zusammenlegen eines Puzzles benötigen. Der kleinste Wert betrug 180, der größte 360 Sekunden. Es sollen 6 Kategorien gebildet werden. Variationsbreite: 360 - 180 180 Kategorienbreite: -6-

= 180 Sek.

= 30 Sek.

38

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

Damit ergeben sich die in Tab. 2-3 dargestellten Kategorien. Tab. 2-3 Kategorie

Sekunden

1

180 - 209

2

210 - 239

3

240 - 269

4

270 - 299

5

300 - 329

6

330 - 360

Auf den ersten Blick irritiert der Wertebereich der Randkategorie ,,330 - 360 Sekunden". Da es sich bei der gemessenen Zeit um ein stetiges Merkmal handelt, gehen die eigentlichen Kategoriengrenzen bis 359,9 Periode. Da aber anders als bei olympischen Wettbewerben keine NachkommastelIen gemessen wurden, ermöglicht die Zuordnungstabelle eine eindeutige Kategorisierung aller Messwerte. Wenn sich bei der Ermittlung von Kategorienbreiten sehr unanschauliche Werte ergeben (z.B. 233,5 bis 246,4) Sekunden, empfiehlt es sich, die Zahl der Kategorien um 1 zu erhöhen und ganzzahlige Kategorienbreiten vorzusehen. Ein Problem können Ausreißerwerte darstellen, also wenn in unserem Beispiel ein Kind 500 Sekunden benötigt hätte. Solche Werte sollten bei der Bestimmung der Variations breite nicht berücksichtigt werden und die Randkategorien sollten dann als offene Kategorien definiert werden, hier also ,,330 und mehr Sekunden".

2.3 Grafische Darstellungen einfacher Häufigkeitsverteilungen In diesem Abschnitt sollen Möglichkeiten der grafischen Darstellung von einfachen Häufigkeitsverteilungen und Kennwerten aufgezeigt werden. Über konkrete Hinweise und Beispiele zur Gestaltung von grafischen Darstellungen bzw. Visualisierungen hinaus wird in diesem Kapitel auch die Frage beantwortet, welche Form der Darstellung sich wann und wie sinnvoll einsetzen lässt. Bereits die erläuterten Häufigkeitstabellen stellen als "Nicht-Text-Elemente" eine Form von Visualisierungen dar und schon dieser einfache Typus zeigt deutlich den Zugewinn, der durch den Einsatz von Tabellen und Grafiken möglich ist. Denn Visualisierungen erlauben es, komplexe Informationen übersichtlicher und schneller

Grafische Darstellungen einfacher Häufigkeitsverteilungen

39

erfass bar bereit zu stellen, als dies mittels Beschreibungen in einem Fließtext möglich wäre. Somit spielen grafische Darstellungen bei der Unterstützung des Verstehensprozesses eine wichtige Rolle, wenn bspw. sprachliche Erklärungen zu umständlich oder ausufernd wären. Der Zugewinn durch Visualisierungen besteht nicht nur bei der hier im Fokus stehenden Darstellung von Häufigkeiten oder Verteilungen, sondern auch bei der Verdeutlichung von Verknüpfungen und Zusammenhängen. Die bildlichschematische Abbildung von Abläufen ist deutlich anschaulicher als deren sequenzielle Beschreibung in der Schriftsprache. Für den Einsatz von Visualisierungen spricht außerdem deren motivierender Charakter, etwa indem sie Texte auflockern. Nichts wirkt abschreckender als Absätze gefüllt mit Zahlenkolonnen. wohingegen Grafiken sofort den Blick auf sich ziehen. Während die letztgenannte Funktion der Motivation vorrangig für die Darstellung von Ergebnissen gilt, spielen die anderen Vorteile auch bei der Erkundung von Daten eine wichtige Rolle. In den 1970er Jahren plädierte [ohn W. Tukey in seinem Buch .Bxplorauve Datenanalyse" für den Einsatz von Grafiken zur Datenerkundung um so bspw. Hypothesen über die möglichen Gründe für das Zustandekommen der vorliegenden Daten aufzustellen zu können. Sowohl Zusammenhänge als auch Ausreißer treten aus grafischen Darstellungen deutlich plastischer und schneller hervor als aus Tabellen. Balkendiagramme In Balkendiagrammen (engl. bar charts) erfolgt die Darstellung von absoluten oder relativen Häufigkeiten auf einem zweiachsigen rechtwinkligen Koordinatensystem. Je nach Ausrichtung der Balken wird dabei zwischen horizontalen und vertikalen Balkendiagrammen unterschieden. Bei einem horizontalen Balkendiagramm sind die Balken übereinander angeordnet. Die Merkmalsausprägungen stehen auf der y-Achse (Ordinate) und die Häufigkeiten werden durch horizontale Balken dargestellt. In Abb. 2-1 würden sich also 24% der Befragten für die SPD entscheiden, wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahl wäre. Im Falle eines vertikalen Balkendiagramms hingegen sind die Merkmalsausprägungen auf der horizontalen Achse (Abszisse) und die Häufigkeiten auf der vertikalen (Ordinate) abgetragen - die Balken stehen also nebeneinander. Häufigwerden vertikale Balkendiagramme auch Säulendiagramme genannt. Abb. 2-2 zeigt ein vertikales Balkendiagramm. bei der auf der Abszisse die Antwortmöglichkeiten auf die Frage nach der Selbsteinschätzung des eigenen Gesundheitszustandes zu sehen sind. Anhand der Höhe der Balken kann abgelesen werden, dass bspw. 25% der Befragten ihren Gesundheitszustand als "ausgezeichnet" einschätzen.

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

40

Abb.2-1

,

,

,

,

I

I

Welche Partei würden Sie wählen, wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahl wäre? CDU/CSU

5PD Grüne

Linke

FDP Sonstige

~

I

I

i

I

i

I

i

I

36 26

15 11

8

)- ~ 0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40"10

Quelle: infratestdimap, 04.02.2010, n = 1.500

Abb.2-2 Wie schätzen Sie Ihren Gesundheitszustand ein? 60%

50% 40% 30%

20% 10% 0% ausgezeichnet

gut

einigermaßen

schlecht Quelle: fiktive Daten

Balkendiagramme können sehr schnell ein Bild über die quantitative bzw. relative Rangfolge von Merkmalsausprägungen vermitteln, was durch eine sinnvolle Sortierung noch verstärkt werden kann. Im Falle der Darstellung von nominalskalierten Variablen wie der Parteienpräferenz in Abb. 2-1 sollte die Sortierung direkt nach der Häufigkeit erfolgen, sodass bspw. ohne große Anstrengungen ersichtlich ist, welche Ausprägung am häufigsten bzw. am seltensten vertreten ist. Bei ordinalskalierten Variablen hingegen sollte die Reihenfolge der Kategorien beibehalten werden, da diese sonst durch den Betrachter/die Betrachterin in einem zusätzlichen Schritt erst wieder hergestellt werden muss (siehe Abb. 2-2).

41

Grafische Darstellungen einfacher Häufigkeitsverteilungen

In beiden gezeigten Beispielen wurde jeweils die relative Häufigkeit verwendet, was in den meisten Fällen die beste Wahl darstellt. Liegen hingegen nur kleine Stichproben vor (n < 20), so empfiehlt es sich, zusätzlich die absoluten Häufigkeiten anzugeben und die Prozentangaben ohne NachkommastelIen zu belassen, da sonst eine nicht vorhandene Genauigkeit suggeriert wird. Ein sehr wichtiger Aspekt bei der Erstellung sowie Bewertung von Balkendiagrammen ist die Gestaltung der Achse, auf der die Häufigkeiten abgetragen werden. So kann die die Nicht-Verwendung der Null als Startpunkt also der Beschneidung der Achse, zu Verzerrungen führen. Ebenso verhält es sich mit der Streckung der Achse durch kleinere Abstände zwischen den Skalen punkten. Beides führt dazu, dass bereits geringe Unterschiede zwischen den Merkmalsausprägungen visuell deutlich stärker hervortreten, wie Abb. 2-3 zeigt, in der die identischen Daten auf unterschiedliche Weise dargestellt sind. Prinzipiell ist gegen das Beschneiden der Achsen nichts einzuwenden, denn bisweilen kann dies durchaus angemessen sein, etwa wenn nur sehr kleine Unterschiede veranschaulicht werden sollen und auch viele Grafiktools machen dies automatisch. Wichtig ist allerdings, die Leserinnen und Leser darauf hinzuweisen. In Abb. 2-3 sieht man, wie trotz einer eher homogenen Alterszusammensetzung durch das Beschneiden der x-Achse die erste Altersgruppe optisch überproportional stark hervortr'itt," Abb . 2-3: Die selb e n Daten, links mit und rechts ohne Nullpunkt visualisiert Altersverteilung der Kursteilnehmer/-innen

30%

Altersverteilung der Kursteilnehmer/-innen

28%

25% 20%

26%

15%

24%

10%

22%

5%

20%

0% 20-25

26-31

32-37

Alter i n Jahren

38-43

20-2 5

26-31

32-37

38-43

Alter in Jahren

Bei der Betrachtung und Erstellung von Balkendiagrammen, die kategorisierte Daten (vgl. Kapitel 2.2) darstellen, ist weiterhin darauf zu achten, dass identische Kategorienbreiten gewählt werden, da sonst ein direkter Vergleich zwi6

Weitere Beispiele, wie mittels Grafiken Ergebnisse verfälscht dargestellt werden, finden sich bei Krämer 2008.

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

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sehen den Gruppen nur schwer möglich ist. Dies wäre bspw. dann der Fall, wenn man das Einkommen von Befragten nicht in gleich breite Kategorien von etwa 1.000 Euro einteilt, sondern die eine von 0 - 1.000 EUR, die andere von 1.001 2.500 EUR und die letzte von 2.501 - 3.500 geht. Ein höherer Balken der mittleren Kategorie käme dann nicht zwangsläufig durch die Einkommensverteilung zustande, sondern auch dadurch, dass potenziell mehr Personen in dieses breitere Intervall fallen. Histogramme Histogramme sind eine besondere Form von Balkendiagrammen zur Darstellung intervallskalierter Variablen mit vielen Werten, wie etwa dem Alter oder dem Jahreseinkommen. Histogramme bilden dabei die Daten häufig in kategorisierter Form ab, womit sie sich besonders für die Visualisierung vieler Ausprägungen oder großen Datenmengen eignen. Abb.2-4 Wie hoch ist Ihr persönliches monatliches Nettoeinkommen? 50% 40% 30% 20% 10% 0%

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

>4000

persönliches Monatseinkommen in EUR

Quelle:Jiktive Daten

Abb. 2-4 zeigt die fiktive Verteilung des persönlichen monatlichen Nettoeinkommens von 1438 Befragten. Dieses ist auf der x-Achse abgetragen und in Intervalle mit einer Breite von jeweils 500 EUR eingeteilt, über denen jeweils ein Rechteck gezeichnet wurde. Auf der y-Achse kann die relative Häufigkeit der einzelnen Kategorien abgelesen werden. Man kann so bspw. sehen, dass 45% der Personen angeben, von 1001 bis 1500 Euro im Monat zu verdienen. Meist sind - wie hier - die für ein Histogramm gebildeten Kategorien gleich breit, was jedoch nicht zwingend sein muss. Denn eigentlich dient nicht die Höhe oder Länge der Rechtecke als direktes Maß und Repräsentant für die Häufigkeit, sondern die Fläche und so sind auch ungleichgroße Kategorienbreiten denkbar. Da die Fläche jedoch deutlich schwieriger zu interpretieren ist als die

Grafische Darstellungen einfacher Häufigkeitsverteilungen

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Länge oder Höhe und darüber hinaus bei unterschiedlichen Kategorienbreiten auch die Beschriftung der y-Achse wegfällt, wird in der Regel auf gleiche Kategorienbreiten zurückgegriffen. Eine weitere Besonderheit von Histogrammen ist, dass die einzelnen Balken direkt aneinander grenzen, ohne sich jedoch zu überschneiden. Dies verdeutlicht, dass die Grenzen der gebildeten Intervalle ebenfalls aneinander grenzen, kein Wert ausgelassen wurde und es sich somit um die Darstellung einer kontinuierlichen Variablen handelt. In unserem Beispiel gibt es keine Werte in der Kategorie ,,4000 EUR", sie wird aber dennoch mit eingezeichnet, um auf einen Blick zu zeigen, dass diese Kategorie leer ist. Damit bieten Histogramme eine gute Möglichkeit, die Form einer Verteilung zu erkennen und zu beschreiben. Häufig verwendete Begriffe hierbei sind "Schiefe" (engl. skewness) und "Exzess" (engl. kurtosis). Eine schiefe Verteilung kann entweder linkssteil und damit rechtsschief oder rechtssteil und damit linksschief sein. Die Einkommensverteilung in Abb. 2-4 hat ihren Gipfel links und einen langgezogenen rechten Ausläufer, womit sie linkssteil bzw. rechtsschief ist. Bei einer linkssteilen Verteilung ist der Mittelwert größer als der Median, der Schwerpunkt ist also nach links verschoben. Umgekehrt ist bei einer rechtssteilen Verteilung der Mittelwert kleiner als der Median (siehe Abb. 2-5). Unter Exzess wird die Wölbung einer Verteilung verstanden wobei zwischen schmalgipflig und breitgipflig unterschieden wird (Abb. 2-5). Sowohl für die Schiefe als auch den Exzess gilt, dass deren Angabe nur bei Verteilungen sinnvoll sind, die eingipflig (uni modal) sind. Abb.2-5

linkssteil/ rechtssch lef

rechtssteil/I inksschlef

1\

hreitgipflig

unimoda I/eing!pflig

bimoda I/zweigipflig

schmalgipflig

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Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

Beachtet werden sollte allerdings, dass sich das Bild eines Histogramms erheblich durch die Variation der Intervallbreite verändern lässt Zu viele Kategorien ziehen in der Regel ein verstärktes Auf und Ab der Balken nach sich, während zu grob gewählte Intervalle ein eher flaches Histogramm bewirken. Aber selbst bei einer gut gewählten Kategorienbreite geht in einem Histogramm die Information darüber verloren, wie sich die Werte innerhalb der Intervalle verteilen. Dieser Informationsverlust, der mit der Einteilung in Kategorien einhergeht, verhindert Aussagen darüber, ob die Werte innerhalb eines Intervalls dicht beieinander liegen oder sich gleichmäßig über die gesamte Breite verteilen. Kreisdiagramme Kreisdiagramme (engl. pie charts) bieten die Möglichkeit relative Häufigkeiten darzustellen. Die jeweiligen Anteile der verschiedenen Merkmalsausprägungen werden durch den Flächeninhalt bzw. Winkel einzelner Kreissegmente dargestellt, wobei 1% einem Winkel von 3,6 0 entspricht. Hierdurch ergibt sich das Bild eines Kuchens, der in unterschiedlich große Stücke geschnitten wurde, weshalb Kreisdiagramme häufig umgangssprachlich auch als Torten- bzw. Kuchendiagramme bezeichnet werden. Wie auch beim Kuchen bilden in einem Kreisdiagramm alle Einzelstücke ein Ganzes, was bedeutet, dass die Summe aller Anteile (rundungsbedingt annähernd) 100% ergeben muss. Abb.2-6 Welche Partei würden Sie wählen, wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahl wäre?

CDU/CSU 36%

SPD 26%

Quelle: infratest dimap, 04.02.2010, n = 1.500

Gleichwohl Kreisdiagramme sehr häufig in den Medien eingesetzt werden, sind sie als Visualisierungsform nicht unproblematisch. Zunächst sind sie nur für eine beschränkte Anzahl von unterschiedlichen Merkmalsausprägungen geeignet, da sie sonst zu unübersichtlich werden. Weiterhin ist es bei mehreren kleinen

Grafische Darstellungen einfacher Häufigkeitsverteilungen

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Teilstücken sehr schwierig, deren Größen zu unterscheiden. Hinzu kommt noch, dass es für die menschliche Wahrnehmung im Vergleich zu Längenunterschieden bei Balkendiagrammen deutlich schwieriger ist, Unterschiede zwischen Flächen oder Winkeln wahrzunehmen. Besonders gut sichtbar werden in Kreisdiagrammen hingegen vorhandene große quantitative Unterschiede zwischen Kategorien. Bei der Entscheidung für die Verwendung von Kreisdiagrammen sollte also aufgrund der Einschränkungen bedacht werden, dass es meist bessere Alternativen gibt und gänzlich verzichten sollte man auf ihren Einsatz beim Vergleich von Anteilen zwischen mehreren Gruppen. Fällt die Wahl schließlich doch auf diesen Visualisierungstyp, so erhöht bei nominalskalierten Daten eine Anordnung der Teilsegmente der Größe nach und im Uhrzeigersinn die Lesbarkeit, so wie dies in Abb. 2-6 vorgenommen wurde. Liegen ordinalskalierte Daten vor, so sollte - wie auch beim Balkendiagramm - deren Sortierung beibehalten werden. Bei vielen kleinen, schwer unterscheidbaren Kreissegmenten bietet es sich an, diese in einer Kategorie "Sonstige" zusammenfassen, wobei darauf zu achten ist, dass diese Kategorie nicht größer ist als eine der anderen. Außerdem sollte dieser Schritt auf jeden Fall für die Leserinnen und Leser dokumentiert werden. Liniendiagramme Sollen Daten in ihrem zeitlichen Verlauf dargestellt werden, z.B. wenn Zeitreihen vorliegen, so bietet sich hierfür ein Liniendiagramm an. Abb. 2-7 zeigt die zeitliche Entwicklung der Arbeitslosenquote differenziert für die alten und neuen Bundesländer. Abb.2-7 Arbeitslosenquote nach Gebietsstand 25% 20% 15% 10%

5% 0%

2000

2001

~ Gesa mt

2002

2003

~ A l te

2004

2005

Länder (ohne Berlin)

2006 ~

2007

2008

2009

Neue Länder (einschi. Berlin)

Quelle: Statistisches Bundesamt 2010

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Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

Entsprechend unseren Lesegewohnheiten hat es sich durchgesetzt, dass auf der x-Achse die Zeiteinheiten, also bspw. Jahre, Monate, Stunden U$W. von links nach rechts aufsteigend und auf der y-Achse die darzustellenden Werte eingezeichnet werden. Die einzelnen Datenpunkte werden anschließend mit Linien verbunden, was diesem Diagrammtyp seinen Namen gibt. Liniendiagramme haben gegenüber Balkendiagrammen den Vorteil, dass mit ihnen auch sehr viele Datenpunkte visualisiert werden können, ohne dass die gesamte Abbildung unübersichtlich wird. Bei Liniendiagrammen ist immer darauf zu achten, dass die Verwendung von Linien logisch sinnvoll sein muss. Die Verteilung von Schulabschlüssen in einer Stichprobe bspw. lassen sich nicht in einem Liniendiagramm darstellen, da in diesem Fall Verbindungslinien inhaltlich keinen Sinn haben. In diesem Fall ist ein Balkendiagramm besser geeignet. Abb. 2-7 zeigt einen großen Vorteil dieser Visualisierungsart: Mit ihrer Hilfe lassen sich sehr gut mehrere Datenreihen gleichzeitig abbilden und damit vergleichen. Zur Unterscheidung der einzelnen Datenreihen können unterschiedliche Gestaltungselemente herangezogen werden. Zum einen können die Datenpunkte jeweils durch unterschiedliche Symbole markiert werden (Dreiecke, Vierecke, etc.). Eine andere Möglichkeit der Unterscheidung bietet die Verwendung verschiedener Linienfarben. Schließlich können auch die Linien in ihrer Form variiert werden, sodass bspw. gepunktete, gestrichelte und durchgezogenen Linien gezeichnet werden. Um den Leserinnen und Lesern die Unterscheidung zu vereinfachen, sollte man sich jedoch auf eine Markierungsart beschränken . Wie bei den Balkendiagrammen kann auch in Liniendiagrammen der Verlauf optisch entweder drastischer oder weniger bedeutsam dargestellt werden. Dies kann hier ebenfalls durch Streckung bzw. Stauchung der y-Achse erreicht werden. Darüber hinaus sind aber auch durch Veränderungen der x-Achse Verzerrungen möglich: Je nachdem, wie groß der Abstand zwischen den Zeitpunkten gewählt wird, erscheinen die Unterschiede zwischen den Datenpunkten stärker oder schwächer. Stamm-Blatt- Diagramme Stamm-Blatt-Diagramme (engl. stem-and-leaf plots) sind eine quasi-grafische Form von Histogrammen und verlangen demnach ebenfalls intervallskalierte Variablen mit vielen Werten. Auch hier werden wie bei einem Histogramm Kategorisierungen vorgenommen, jedoch bleibt die Information, wie sich die Werte jeweils in den Kategorien verteilen, erhalten. Dies bringt allerdings mit sich, dass sich Stamm-Blatt-Diagramme nicht für sehr große Datensätze mit mehr als 150 Datenpunkten eignen. Genau wie Histogramme geben Stamm-BlattDiagramme ein sehr gutes Bild über die Form einer Verteilung.

47

Grafische Darstellungen einfacher Häufigkeitsverteilungen

Am besten lässt sich diese Visualisierungsform anhand eines Beispiels verstehen. Gegeben sei folgende Verteilung der von 14 Studierenden erreichten Klausur- Punkte 25,26,31,31,35,36,37,39,40,41,44,48,56,57

In einem Stamm-Blatt-Diagramm sieht diese Verteilung wie folgt aus. 2

56

3

115679

4

0148

5

67

Der Stamm wird in diesem Fall durch die Zehnerwerte gebildet, die Blätter entsprechen den Werten der Einerstellen. Liegen wie hier ganze Zahlen vor, so ist die Abtrennung der ersten Ziffer als Stamm die Regel. Würden statt zweistelliger Punktwerte vierstellige Einkommen vorliegen, so entspräche der Stamm dementsprechend den Tausendern und die Blätter den Hundertern. Dabei wird entweder auf die HundertersteIle gerundet oder aber die Zehner und Einer werden einfach abgetrennt Aus den Monatseinkommen 500, 600, 1350, 1920, 2210,2680 und 2840 erhält man folgendes Stamm-Blatt-Diagramm mit gerundeten Daten. 500600 13501920

500600 ~

221026802840

Werte so rti eren

14001900

~

220027002400 ~

auf- bzw. abrunden

~

o

56

1

49

2

278

Zehner und Einer streichen

Bei rationalen Zahlen werden meist die ganzen Zahlen als Stamm und die Dezimalstellen als Blätter verwendet, wobei meist nur die erste Nachkommastelle ebenfalls abgetrennt oder gerundet eingezeichnet wird. Allgemeine Hinweise zu grafischen Darstellungen Für die Erstellung von Grafiken lassen sich einige generelle Richtlinien zur Vermeidung von Fehlern, die zu Verzerrungen und Problemen beim Ablesen führen, formulieren.

48

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

Vollständige Beschriftungen Ein wichtiger Punkt bei der Gestaltung von Grafiken ist deren Beschriftung, da fehlende oder falsch platzierte Informationen die korrekte Interpretation erheblich erschweren, wenn nicht gar unmöglich machen. Zunächst sollte die gesamte Grafik einen Titel erhalten, der deutlich beschreibt, was genau die Abbildung zeigt. Hierfür bewährt hat sich die Orientierung an der im Erhebungsinstrument gestellten Frage oder gar deren wörtliche Wiedergabe, wenn diese nicht zu lang ist und sich nicht bereits im Text befindet. Um den Titel deutlich als solchen erkennbar zu machen, sollte er weit genug von den Datenachsen entfernt platziert werden. Hilfreich kann es auch sein, ihn in einer anderen Schriftauszeichnung oder -größe zu formatieren. Bei zu langen Fragen sollte diese unterhalb der Grafik platziert sein. Beschriftet werden müssen auch die vorhandenen Achsen. Die Achsenbeschriftung bei der Darstellung von Häufigkeitsverteilungen gibt Auskunft darüber, welche Variable abgebildet ist und ob es sich um absolute oder relative Häufigkeiten handelt. Zur Gestaltung der Achsen gehört weiterhin, die entsprechenden Skalenwerte bzw. Merkmalsausprägungen einzutragen. Zusätzlich können noch Teilstriche eingezeichnet werden, wobei zwischen den einzelnen Skalenpunkten maximal fünf von diesen liegen sollten. Um eine hohe Lesbarkeit zu erreichen, sollten alle Beschriftungen grundsätzlich horizontal von links nach rechts verlaufen, also in der für den Leser und die Leserin gewohnten Art Gleichwohl dies nicht immer leicht umzusetzen ist, sollten vertikale Beschriftungen die Ausnahme darstellen. Eine gute Alternative bspw. bei vertikalen Balkendiagrammen stellen schräg gestellte Beschriftungen dar. Bei allen Beschriftungen der Achsen und deren Punkte ist weiterhin darauf zu achten, dass diese jeweils näher am entsprechenden visuellen Objekt liegen, als an irgend einem anderen Teil der Grafik, damit sie in der Wahrnehmung schnell als zugehörig erkannt werden. Zu einer vollständigen Beschriftung gehört ebenfalls die Information darüber, auf welcher Fallzahl die Abbildung beruht. Diese lässt sich am besten in der Form "n = xy" platzieren, und zwar so, dass sie schnell gefunden werden kann z.B. im Titel oder direkt unterhalb der Grafik. So kann die Leserin/der Leser gerade bei der Darstellung von Prozentangaben die abgebildeten Daten besser einordnen und bewerten. Gerade bei Präsentationen und wenn Daten aus unterschiedlichen Quellen visualisiert werden, sollte die Herkunft der Daten ebenfalls ersichtlich sein. Wie eine gut und vollständig beschriftete Grafik aussehen kann, zeigt Abb. 2-8.

Grafische Darstellungen einfacher Häufigkeitsverteilungen

49

Abb. 2-8: Gut und vollständig beschriftete Grafik Akzeptanz von Aktivität in Umwelt- oder Naturschutzgruppe bei Freunden/Bekannten würden das sehr gutfinden würden das eher gut finden wären eher zurückhaltend würden das eher schlecht finden

,

,

~

I

16

1I I I I I

.2

würden das sehr schlecht finden

47

34

1 0%

5%

10"10

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

Frage: Was glauben Sie: Finden oder fänden es Ihre Freunde und Bekannten gut, wenn Sie in einer Umwelt- oder Natu rschutzgr uppe aktiv sind oder wären? Quelle: Umweltbewusstsein in Deutschland 2006, n = 2.034

2D statt 3D

Die meisten Programme zur Erstellung von Grafiken ermöglichen die Erstellung von sogenannten .Pseudo-Sü-Diagrammen", bei denen eigentlich zweidimensionale Darstellungen mittels 3D-Körpern wie z.B. räumlich dargestellte Säulen in scheinbar räumlicher Form ausgegeben werden. Auch in den Medien wird bei der Verwendung von Grafiken häufig auf die 3D-Form zurückgegriffen. Diese mögen aus ästhetischer Sicht zuweilen sicherlich ansprechender sein als deren zweidimensionalen Pendants, für die Verwendung in wissenschaftlichen Arbeiten sind sie jedoch ungeeignet. Die Gründe hierfür liegen in einer unnötigen Erhöhung der Komplexität und in den durch sie verursachten Verzerrungen, die ein schnelles bzw. fehlerfreies Ablesen verhindern. Zusätzlich führt die Beschränkung der zweidimensionalen Zeichnungsfläche bei einer räumlich verteilten Anordnung dazu, dass Objekte im Hintergrund von anderen Elementen überlagert und verdeckt werden. Abb. 2-9 und Abb. 2-10 zeigen dieselben Daten in einem vertikalen Balkendiagramm. Bereits der Vergleich der Säulen über der ersten Kategorie zeigt deutlich den Verzerrungseffekt durch die Pseudo-3D-Darstellung. Dieser verhindert ein fehlerfreies Ablesen der Werte, da die Säule weit unter der Linie, die den Wert 70 markiert, endet.

50

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

Abb. 2-9: Verzerrung durch Pseudo-3D-Darstellung

80

70 60 50 40 30 20 10

o 3

2

4

Abb. 2-10: Dieselben Daten in zweidimensionaler Darstellung 80

70 60

50 40 30 20 10

o 2

3

4

AufÄsthetikachten Bei der Gestaltung von Visualisierungen sollte weiterhin ein Augenmerk auf deren Proportionen bzw. Form gelegt werden. Grafiken sollten eine horizontale Ausdehnung aufweisen, also breiter sein als hoch, wofür es mehrere Begründungen gibt (vgl. Tufte 2007: 186ff.). Für diese Gestaltung spricht unter anderem die Analogie zum Horizont und der menschlichen Fähigkeit, Veränderungen an diesem schnell wahrnehmen zu können - damit entspricht diese Form eher den natürlichen Sehgewohnheiten. Auch wirken bestimmte Seitenverhältnisse auf den Menschen als besonders ästhetisch. Man muss hier jedoch nicht zwingend den "Goldenen Schnitt", der als das Maß in der Kunst und Architektur gilt, einhalten. Denn auch andere Seitenverhältnisse gelten als ästhetisch, sodass als Faustregel Grafiken etwa 50 Prozent breiter als hoch sein sollten. Teilt man die

51

So ge ht es mit SPSS/ SYSTAT

Breite durch d ie Höhe sollte demnach das Ergebni s ca. 1,5 bet rage n, so wie dies bei einer Gra fik mit den Maßen 12cm x 8cm der Fall ist. Schließ lich s prec he n auch ga nz pragmat ische Grü nde für eine derartige Gestalt ung: d ie oben ausges proc he ne Emp fehlung, d ie Schrift horizon tal verlaufen zu lassen , lässt s ich so leichter umsetzen.

2 .4 So ge h t es mitSPSSjSYSTAT Häufigke it sverteilun gen in SPSS In SPSS findet man die Funktio n zur Erste llung von Häufigkeitstabellen unte r dem Menüpu nkt .Analysteren > Deskriptive Statistik > Häufigkeite n ...". Im Hauptdialogfeld wird im linken Fenste r die Var iable nliste dargestellt, aus de r man die interessieren de(n) Variable(n) auswählt. Durch Anklicken des Dre iecks in de r Mitte zwische n d en Fenster n kann man ausgewählte Variable( n) in das zu Anfang noch leere recht e Variab lenfenster übert rage n. Nach Bestätigen mit "OK" wird eine Häufigkeits ta belle ersteLLt, die mit Tab. 2-2(5.35) nahezu ide nt isch ist. Die Tabelle kann übe r d ie Zwische nab lage d irekt in eine n Forschu ngs ber icht hinein kopiert we rde n. fiI Ho"' ogkeot

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Hilfe

Zur Kategorisierun g von Variablen wird die SPSS Funktion "Tra ns formieren > Recodier en" be nutzt. Man kann entscheiden, ob man die beste he nde Variable umcodier en w ill oder für die neuen Kategorien zuordnungen eine neue Variable erz eugen w ill. Letzteres ist vorzuziehen, denn so bleiben die ursp rü nglichen Date n, di e ja gena ue re Messungen darstellen , für etwa ige weitere Analysen er halten.

52

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafisch en Darstellungen

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In SPSS können auch neue Variablen berechnet werden, die vorhandene Variablen zusammenfassen. Dazu wird der MenüpunktTransformieren > Variable berechnen ..." aufgerufen. Hat man bspw. mit Hilfe von zehn Variablen erfasst, welche Elektrogeräte die Befragten besitzen, dann kann man eine neue Variable "Anzahl der Elektrogeräte im Haushalt" durch auszählen dieser zehn Variablen bilden. Für die Generierung von Häufigkeitstabellen für Mehrfachantworten offeriert SPSS eine eigene Prozedur, die über den Menüpunkt "Analysieren> Mehrfachantworten " zugänglich ist.

Grafische Darstellungen in SPSS Alle in diesem Kapitel vorgestellten Visualisierungstypen lassen sich ohne großen Aufwand in SPSS erstellen. Balken- und Kreisdiagramme sowie Histogramme können am einfachsten im Rahmen einer Häufigkeitsauswertung angefordert werden. Im Dialogfenster unter "Analysieren> Deskriptive Statistiken> Häufigkeiten ...~ kann nach einem Klick auf den Button .Diagramme" eine gewünschte grafische Darstellungsform ausgewählt werden.

So geht e s mit SPSSj SYSTAT

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Die Grafik finde t sich in der SPSS-Ausgabe unte r den Häufigke itstabellen und mittels Doppelklick gelangt man zu einem neu en Dialogfenster mit sehr umfangreichen Möglichkeiten, um die Grafik nach eigen en Wüns chen an zupassen. Unter and er em kann die Reihenfo lge der Balken, Säulen ode r Kreissegmente geänder t so wie Beschr iftun gen und Fa rb en va riiert werden. Für a ndere Forme n de r grafischen Da rst ellung, wie etwa das Liniendiagrarnrn , bie tet SPSS einen eigene n, größtente ils intu itiv zu bediene nden und selbste rklä re nde n Menüpunkt .Dtagramrne > Diagramme rst ellung": fillo..gtlmmerst ellutlg

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Zun ächst zieht man den gewünschten Diagrammtyp mit der Maus und anschließ end die gewünschten Vari ablen ins obere rechte Fenster.

Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Darstellungen

54

Etwas versteckt und nicht im Menü .Diagrammerstellung" zu finden ist das Stamm-Blatt-Diagramm. Dieses befindet sich unter "Analysieren> Deskriptive Statistiken> Explorative Datenanalyse...", Hier kann nach einem Klick auf "Diagramme ..." ein entsprechendes Häkchen gesetzt werden.

Häufigkeitsverteilungen in SYSTAT SYSTAT ist nicht ganz so komfortabel wie SPSS. Um Häufigkeitstabellen zu erstellen geht man auf .Analyze > One-Way Frequency Tables ...", Im linken Dialogfenster können die Variable(n) ausgewählt werden und mittels des .Add". Buttons ins rechte Dialogfenster übertragen werden. Als nächstes muss alleine die Option .Frequency distrfbution" aktiviert werden.

Moin

I Cel sl olislOod

I

Resompling

Selecled v", ioble(s)

Avoiloble v", ioble(s)

'0

•

GESCHLECHH lI ALTER

I

I

Add --)

L:il . _ 1<-- Reroove I

RELIGIO N

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1.,_", "I

l!lJ Fre~ncy " slroooo

IEJ COl.rls

~ COl.rls ond percent s

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Moos" es ~ Pe", son c!-i-squ", e

D ConIdence rlervols lor perceols wilh ~ conldence ~ IncWe missng volues

IEJ Sove lobIelsl

J

l

l

OK

II

Conc
I

Wenn keine weiteren Einstellungen vorgenommen werden, erstellt SYSTAT die Häufigkeitstabelle nur mit den gültigen Werten. Es besteht die Möglichkeit, die fehlenden Werte zu integrieren, indem die Option .jncl ude missing values" aktiviert wird. Als Ergebnis werden alle Werte mit in die Häufigkeitstabelle aufgenommen. In SYSTAT können die gültigen Prozente und die Prozente aller Ausprägungen nicht in einer Tabelle angezeigt werden. Die Kategorisierung von Variablen ist in SYSTAT unter .Data > Transform > Recode" verfügbar. Wie bei der Erstellung von Häufigkeitstabellen werden auf der linken Seite die relevanten Variablen ausgewählt und mit dem .Add '<Butron in die rechte Tabelle übertragen werden. Es besteht die Option, die bestehende

55

So geht es mit SPSSjSYSTAT

Variable umzukodieren oder eine neue Variable zu erzeugen. Für den zweiten Fall muss in der Tabelle rechts neben der ausgewählten Variable ein neuer Variablenname eingetragen werden. Mithilfe eines Buttons, welcher mittig auf der rechten Seite zu finden ist, wird eine neue Zeile im unteren Bereich des Fensters erzeugt. Nun können auf der linken Seite die alten und auf der rechten die neuen Werte eingetragen werden.

Avoiloble vorioble(s)

'0 C GESCHLECHT ALTER C RELIGION ZLIFRIE DENHE

•,:'7,'::'

IJI ~~~ r--~-==","~'",mi"iiail II [ Add --> I 1<-- Roroove I

Now V. luo •

Old V. luo

, i

s

• ~ Sove lile

~BJ

J OK

I LJ:~~::J

Man könnte bspw. das Alter der Probanden einer Stichprobe so kategorisieren, dass man die Kategorien ,,1 = 20-29 Jahre", ,,2 = 30-39 Jahre" usw. erhält, wobei 1 und 2 den Wertelabels entsprechen. Dafür wird im Feld .Recode Frorn" die Variable "ALTER" ausgewählt und in dem .Recode To" Feld die neue Variable "ALTERKATEGORISIERT" angelegt. Nun kann im unteren Teil des Dialogfeldes für jedes Alter der richtige Wertelabel eingetragen werden, z.B. 20 = 1, 21 = 1, 22 = 1, ..., 30 = 2, usw..

Grafische Darstellungen in SYSTAT SYSTAT bietet eine große Fülle an unterschiedlichen Visualisierungsformen, die mittels "Graph> Graph Callery..." angefordert werden können. Etwas übersichtlicher und für die in diesem Kapitel behandelten Grafiken zugänglicher ist der Eintrag "Graph> Summary Charts" bzw. für das Histogramm "Graph> Density Displays". Die unten stehende Abbildung zeigt beispielhaft das Dialogfenster zur Erstellung eines Balkendiagramms. Zuerst wählt man die Variable aus, die visualisiert werden soll und bringt sie in das Feld .Xcvanablefs)". Nun lassen sich über die Reiter eine Vielzahl von Einstellungen vornehmen, auf die an dieser

56

Häufigkeitsverteilungen und ihr e grafischen Darste llungen

Stell e nu r exemplarisch eingegangen werden kann. Sollen etwa statt de r absoluten die proz entuale Häufigkeit angezeigt werden, muss im Reiter "Options" das Feld "Display the values as a percentage oft the sum" aktiviert sein. Für die Ausgabe eines vertikalen statt horizontalen Balkendiagramms gibt es unter "All Axes" die Option .T ranspose X-Y-Achses". Der Großteil de r Einstellungen lässt sich auch im Nachhinein per Doppelklick au f die Grafik verändern.

c-

I~ p' h' Bor (h, rt

I

AIAxos Moin OplOooo

I

I

I

Errar Bors

LeQend

I

Coordinoles

I I

Coo X-Axis

I

I I "Z-Axi, I

X-viOIioble(s)

Avoiloble vorioblelsl

'0

GESCHLECHH

LiclfiJ

ALTER

[ <--Remove

RELI GION$ ZUFRIEDENHEIT NOTE BERUF S TU DIE N RIC H TU ~

GESCHLECHH

I

!!I M

• Ir

•

Y-viOIioble(s)

[ Add --> I I <--Reroove l

D Repealed trials

ICOOXIlsj

. 1_ ,.... • Z-viOlioble(s)

[

Add -->

I

[ < - Reroove l

,=

I

Y-Axis

[

•

Add -->

I

[ <--Reroove l

1,-.= .1

I!:l COlXIls 01 Y "X D Malrix colt.mns Display os

Gr ~

[3-D

varioble(s)

[ .",;]

='I

D M",.(Dual) D MuW lol

D Overlay mul:o;>Ie !l'aph,.-< o a s",* Ir""", D Slack bars 01 rrruli:tpIe var,obIes

~~ffiJ

D Range bElwoen lwo variobles

1

"'

11

c_, I

In SYSTAT lässt sich ein Stamm-Blatt-Diagramm über das Menü .Analyze > Descriptive Statistics > Stem-and-Leaf" anfo rdern.

3

Mittelwerte und Streuungsmaße

3.1 Mittel werte Mittelwerte, au ch Maße der zentralen Tendenz genannt, bieten die Möglichkeit Datenmengen so zu aggregi er en, dass man sie du rch einen ein zigen Wert ausdrü cken kan n. Wenn man an Mittelwerte denkt, fallt einem zunächst das arith meti sche Mittel, de r Durchschnittswert, ein, den man bereits aus der Schule kennt, wo z.B. die Durchschnittsnote einer Klassen arbeit berechnet wur de. ln diesem Ka pite l we rde n die drei Mittelwerte Mod us, Median und arithm etis ches Mittel vorgeste llt. Der Unterschied zwischen den drei Mittelwer ten ist die Art und Weise, wie s ie die ze ntrale Tendenz der Werte beschreib en . Mo dus

Der Modu s (e ng!. mode), auc h Modalwert genannt, ist der Wert, der in nerha lb ein er Dat enmen ge am häufigs ten vor komm t. Er muss nicht ber echnet werden, ma n kann ihn in einer Häufigkeitstabelle oder einer grafisc he n Darste llung ein fach ablesen. Beispielsweise w ur de das Alter von neun Kindern einer Kinderg artengrupp e er ho ben und die Ergebnisse wie in Abb. 3-1da rges tellt. Ab b.3·1 5

6

4

2

o 4 Jahre

5 Jahre

6 Jahre

Der Modu s bet rägt in diesem Fall 6 Jahre, we il d ieser Wert am häufigsten vorkomm t. Da nu r ein Modus vor handen ist, handelt es s ich um eine unimo dale Verteilung. Wen n in einer Verteilung zwei Werte die höchste Anza hl von Nen nun gen haben, wü rde ma n von eine r bimodalen Vert eilung sprec he n. Wenn alle Wer te gleichhäufig vo rkommen, es also in jeder Alterss tufe die gleiche Anzahl von Kinderga rtenkind ern gäbe, so würde die Bestimmung eines Modus

Mittelwerte und Streuungsmaße

58

keinen Sinn haben, weil man dann keine zusammenfassende Information erhält Üblicherweise wird der Modus vor allem dann angegeben, wenn die Verteilung ein oder zwei herausstehende Werte hat. Die Bestimmung des Modus ist an kein Skalenniveau gebunden, er lässt sich sowohl für Intervallskaien als auch für Ordinal- und Nomialskalen ermitteln. Es könnte sowohl ein bestimmtes Alter [intervall], ein bestimmter Schulabschluss (ordinal) oder eine Religionszugehörigkeit (nominal) am häufigsten vorkommen. Wenn es einzelne Werte gibt, die stark von den restlichen Werten abweichen, sogenannte Ausreißer, so bleibt der Modus konstant. Man spricht deswegen davon, dass er gegenüber Ausreißern robust ist, da sich die Werte neben dem Modalwert beliebig ändern können, ohne ihn zu beeinflussen. Dieser Vorteil des Modus ist gleichzeitig auch seine Schwäche, da er nur darüber eine Aussage treffen kann, welcher Wert am häufigsten vorkommt und außer diesem Wert keine weiteren Werte berücksichtigt. Abb. 3-2 zeigt drei verschiedene Verteilungen, die alle den gleichen Modus aufweisen und trotzdem eine völlig andere Form haben. Abb.3-2

10 1

1 2

3

1

2

1

4

5

6

7

10

8

2

3

4

10

9

5

6

2

3

9

4

5

6

Median Der Median (engl. median) teilt die Datenmenge genau in der Mitte, so dass 50% der Werte über dem Median und 50% der Werte unter dem Median liegen. Um den Medien bestimmen zu können, werden zunächst alle vorkommenden Werte der Größe nach sortiert. Dafür muss die analysierte Variable mindestens ordinalskaliert sein. Je nachdem ob eine gerade oder ungerade Anzahl von Werten vorliegt, gestaltet sich die Bestimmung des Medians unterschiedlich. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Median der Wert, der genau in der Mitte der nach Größe aufgereihten Werte steht. Um ihn zu bestimmen, sind folgende Schritte notwendig:

59

Mittelwerte

Bestimmung a es Meaians 6ei einer ungeranen Anzalil von Wert en a) Alle Werte der Größe nach sortieren. b) Die Position des mittleren Werts mit der Formel ~ bestimmen, 2

wobei n der Anzahl der Werte entspricht. c) Den mittleren Wert ablesen.

Wenn der Median des Alters der neun Kindergartenkinder aus dem obigen Beispiel bestimmt werden soll, muss folgendermaßen vorgegangen werden: Werte sortieren

4

5

5

5

6

6

6

6

6

i.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Position des mittleren Wertes bestimmen Mittleren Wert ablesen

Der fünfte Wert ist 6. Der Median beträgt also 6 Jahre.

Wenn nun die Kindergartengruppe ein neues Kind im Alter von 4 Jahren aufnimmt, verändert sich die Situation ein wenig, denn nun haben wir es mit zehn Kindern zu tun und es gibt keinen Wert mehr, der genau in der Mitte der Reihe steht. In diesem Fall müssen die zwei mittleren Werte bestimmt werden, weil der Median genau in der Mitte dieser beiden Werten liegt. Bestimmung a es Meaian Dei einer ungeranen Änzalil von Werten a) Alle Werte der Größe nach sortieren. b) Die Position der beiden mittleren Werte mit den Formeln?:. und ~ 2

2

bestimmen. c) Die beiden mittleren Werte ablesen. d) Die Mitte dieser beiden Werte mit der Formel Wert 1+W ert 2 berechnen. 2

Für das Beispiel mit den nun zehn Kindergartenkindern bedeutet dies: Werte sortieren

4

4

5

5

5

6

6

6

6

6

i.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Position der mittleren Werte bestimmen

1. Wert:?:. = ~

Mittlere Werte ablesen

Der fünfte Wert ist 5 und der sechste Wert ist 6. Mitte der beiden Werte bestimmen: ~

Mitte der mittleren Werten bestimmen

2

2

=5

Der Median beträgt also 5,5 Jahre.

2

= 5,5

Mittelwerte und Streuungsmaße

60

Genau wie der Modus ist der Median gegenüber Ausreißern robust. Ein Anwendungsbeispiel des Medians findet sich im World Fact Book der CrA7. Für jedes Land der Welt ist unter anderem der Median des Alters aufgeführt, also das Alter durch das die Bevölkerung eines Landes in zwei Gruppen geteilt wird. Der Median des Alters in Deutschland beträgt 43,8 Jahre während er in Afghanistan bei 17,6 jahre liegt. In Afghanistan sind also 50% der Bevölkerung jünger als 17,6 jahre und in Deutschland sind 50% der Bevölkerung jünger als 43,8 jahre. Allein durch den Median erhält man so eine wichtige Information über die Altersstruktur der beiden Länder.

Arithmetisches Mittel Der Mittelwert, oder das arithmetische Mittel (engl. mean value], ist umgangssprachlich als der Durchschnittswert bekannt. Alle Maße der zentralen Tendenz können unter dem Begriff Mittelwerte zusammengefasst werden, wenn von dem Mittelwert die Rede ist, so ist jedoch das arithmetische Mittel gemeint. Der Mittelwert begegnet einem häufig auch im Alltag, z.B. wenn das Durchschnittseinkommen einer Berufssparte in den neuen und alten Bundesländern verglichen oder über das Abschneiden verschiedener Länder in der PISA-Studie gesprochen wird. Um den Mittelwert zu berechnen, werden alle vorkommenden Werte summiert und durch die Anzahl der Werte dividiert. Der Mittelwert wird üblicherweise mit x (ausgesprochen x quer) abgekürzt und die Formel für seine Berechnung lautet: Mittelwert Xi

n

= =

x=

Xl

+

xa

+ x 3 + .+ x n

--'-----"----''--------''

IY=l Xi

n

n

Messwert des i-ten Falls Anzahl der Fälle

Berechnen wir nun den Mittelwert für das Alter der neun Kindergartenkinder aus Abb. 3-1: 4+5+5+5+6+6+6+6+6 ------:::9-----

49 =9" = 5,4

Für die Kindergartenkinder ergibt sich ein Durchschnittsalter von 5,4 Jahren. Der Mittelwert ist demnach um 0,6 Jahre niedriger als der weiter oben berechnete Median von 6 Jahren.

7

https:jjwww.cia.govjlibraryjpublicationsjthe-world-factbook

Mittelwerte

61

Das Summenzeichen L Das Summenzeichen kann als vereinfachte Schreibweise verwendet werden, wenn Zahlen aufsummiert werden sollen. In unserem Beispiel liegen als Messwerte X i die Altersangaben von neun Kindern vor. Um den Vorgang der Summierung dieser neun Werte zu beschreiben, könnte die folgende Schreibweise gewählt werden:

Bei einer großen Anzahl von Werten kann diese Schreibweise jedoch schnell umständlich werden. Ein Summenzeichen vor dem Xi steht für die folgende Abkürzung: LXi = die Summe aller Werte Xi Das Summenzeichen wird mit einem sogenannten Laufindex (meistens mit dem Buchstaben i) versehen, der angibt, was summiert werden sollen. Am unteren Rand des Summenzeichens steht der erste zu summierende Wert und am oberen Rand der letzte. Folgendes Summenzeichen meint also:

Soll das Alter aller neun Kindergartenkinder aufsummiert werden, muss das Summenzeichen demnach folgendermaßen beschriftet werden:

Um den Mittelwert berechnen zu können, muss die untersuchte Variable, wie hier das Alter, intervallskaliert sein. Für Variablen mit niedrigerem Skalenniveau hat die Berechnung des Mittelwerts keinen Sinn. Man stelle sich den Versuch vor, den Mittelwert der nominalskalierten Variable Familienstand mit den Werten 1 = ledig, 2 = verheiratet und 3 = verwitwet zu bilden. Ein Mittelwert von 2,5 wäre in diesem Fall offensichtlich unsinnig. Bei der Interpretation eines Mittelwertes muss bedacht werden, dass dieser Wert von einigen außergewöhnlich hohen oder niedrigen Ausreißerwerten leicht beeinflusst werden kann. Ein einziger hoher Wert treibt den Mittelwert in die Höhe. Wird zum Alter der neun Kinder das Alter der dort tätigen 26-jährigen Erzieherin hinzugerechnet. steigt der Mittelwert von 5,5 auf 7,5 Jahre. Man spricht deshalb davon, dass der Mittelwert anfällig gegenüber Ausreißern ist. Zudem ist die Berechnung des Mittelwertes nur bei Verteilungen üblich, die unimodal und annähernd symmetrisch sind. Bei einer Verteilung mit mehreren

Mittelwerte und Streuungsmaße

62

Modi oder einer u-förmigen Verteilung hat der Mittelwert wenig Aussagekraft. weil er die realen Begebenheiten nicht wiedergeben kann. Wenn man z.B. das Alter der Besucherinnen und Besucher eines Stadtteilzentrums erhebt, das vor allem von älteren Menschen und Kindern und Jugendlichen besucht wird, dann ist die Altersverteilung u-förmig und das Durschnittsalter einer Untersuchung beträgt könnte bspw. 35 Jahre betragen. Dieser Wert gibt die Realität jedoch nicht gut wieder. In einem solchen Fall ist es besser, für beide Gruppen das jeweilige Durchschnittsalter zu berechnen und so z.B. die bei den Mittelwerte 15 und 76 Jahre zu erhalten. Bevor man einen Mittelwert berechnet, sollte man also einen Blick auf die Verteilung der Werte in einer Häufigkeitstabelle oder grafischen Darstellung werfen.

Mittelwertfür eine Häujigkeitstabelle Auch wenn Werte bereits in einer Häufigkeitstabelle zusammengefasst wurden, lässt sich der Mittelwert berechnen. Die Tab. 3-1 bildet die Altersverteilung von 25 Kindern eines Kindergartens ab. Die ersten Spalte enthält die drei verschiedenen Altersstufen k i Die zweite Spalte gibt für jedes Alterskategorie an, wie häufig sie vorkommt (fi). Um den Mittelwert der so vorliegenden Altersverteilung der Kindergartenkinder zu bilden, müssen die Alterskategorien, wie in der dritten Spalte dargestellt, mit der Häufigkeit ihres Auftretens multipliziert und anschließend summiert werden. Tab. 3-1 Alte r k i

Häufigkeit

t,

r..«,

4

6

24

5

9

45

6

10

60

Lf,;,1 fi . k i =129

Um den Mittelwert zu berechnen, wird diese Summe nun durch die Summe der Häufigkeiten dividiert (also durch die Summe der zweiten Spalte). Formalisiert lässt sich dieser Vorgang folgendermaßen beschreiben.

x= fi ki

m

If,:,lh· k i If,:,lh

f, . k,

+ f, . k, + f3 . k 3 + .+ km t, + f, + t, + ... + fm

Die Häufigkeit des Vorkommens einer Kategorie Der Wert einer Kategorie Die Anzahl der Kategorien

63

Mittelwerte

Für die Kinder des Kindergartens ergibt sich demnach ein Mittelwert von 5,2 Jahren.

x~

129

25~

5,2

Mittelwert für gruppierte Daten Es kommt vor, dass Daten bereits kategorisiert, d.h. gruppiert, wurden und nun aus der Tabelle der gruppierten Daten heraus der Mittelwert berechnet werden soll. Zum Beispiel wurde die Zeit, die die Kinder einer Grundschulklasse täglich im Internet verbringen, zu den Kategorien 0 bis <30 Minuten, 30 bis <60 Minuten und 60 bis 90 Minuten zusammengefasst Kategorie

Anzahl der Kinder !k

Kategorienmitte Xk

Obis <30 Minuten

5 Kinder

15 Minuten

30 bis <60 Minuten

14 Kinder

45 Minuten

60 bis 90 Minuten

6 Kinder

75 Minuten

Eine genaue Berechnung des arithmetischen Mittels der im Internet verbrachten Zeit ist nun nicht mehr möglich, daher muss ein Verfahren angewendet werden, durch das man sich an das arithmetische Mittel annähern kann. Zum Beispiel kann für die Kinder in der Kategorie 0 bis <30 Minuten nicht mehr nachvollzogen werden, wie viele von ihnen 10 Minuten täglich und wie viele von ihnen 20 Minuten täglich online sind. Daher nimmt man für alle Kinder einer Kategorie die jeweilige Kategorienmitte als Wert, der z.B. für die Kategorie 0 bis <30 Minuten bei 15 Minuten liegt. Die Anzahl von Kindern in einer Kategorie wird nun mit der jeweiligen Kategorienmitte Xk multipliziert und das Ergebnis anschließend durch die Anzahl aller Kinder geteilt:

X= !k Xk

m

L:~=1!k . Xk

/ , . x, + [z . x, + [s . x 3 + ... + fm·xm

I.':~1 !k

Die Häufigkeit des Vorkommens einer Kategorie Die Kategorienmitte Die Anzahl der Kategorien

Wenn man anhand dieser Formel die durchschnittlich im Internet verbrachte Zeit der Grundschulkinder berechnet, erhält man als Ergebnis eine Zeit von 46,2 Minuten: 5·15+ 14·45+6·75 1155 X= 5+14+6 =---zs=46,2

64

Mittelwerte und Streuungsmaße

3.2 Streuungsmaße Mittelwerte als Maße der zentralen Tendenz geben Auskunft über die Mitte einer Verteilung von Werten. Mehr erfährt man über die Verteilung jedoch nicht. Daher wird üblicherweise zusätzlich ein Streuungsmaß berechnet, das darüber informiert, wie weit die Werte um die Mitte herum streuen. Wenn in zwei Kindergartengruppen die Zeit gemessen wird, die die Kinder brauchen um ihre Schuhe zu binden und die Kinder der Hasengruppe einen Mittelwert von 40,6 Sekunden erreichen, während die Kinder der Bärengruppe durchschnittlich 40,8 Sekunden benötigen, könnte man bei alleiniger Betrachtung der Mittelwerte zunächst davon ausgehen, dass die feinmotorische Fertigkeit der Kinder bezüglich des Schuhbindens in beiden Gruppen ähnlich verteilt ist. Ein Blick auf die genauen Ergebnisse zeigt jedoch einen völlig anderen Tatbestand (Abb. 3-3). In der Hasengruppe sind die von den Kindern benötigten Zeiten viel dichter beieinander als bei den Kindern der Bärengruppe. Während in der Hasengruppe eine Tendenz der Kinder zu einer Zeit von 40-45 Sekunden erkennbar ist, verteilen sich die Kinder der Bärengruppe gleichmäßig auf die verschiedenen Zeiten. Abb.3-3 Hasengruppe

4

Bärengruppe

4

3

3

2

20

25

30

40

45

2

2

50

55

60

20

3

2

2

2

2

25

30

40

45

3

2

50

55

60

Offensichtlich können zwei Verteilungen trotz eines fast identischen Mittelwertes völlig verschieden sein. Zusätzlich zu den Kennzahlen, die man durch die Berechnung von Mittelwerten erhält, braucht man deswegen Informationen über die Verteilung der Werte insgesamt. Zur Erinnerung: Mittelwerte sagen etwas darüber aus, wo auf der x-Achse sich die jeweilige Mitte der Werte befindet. An Streuungsmaßen kann zusätzlich abgelesen werden, wie weit um den Mittelwert herum die restlichen Werte streuen. Je weiter die Werte sich vom Mittelwert entfernen, desto größer ist die Streuung und desto flacher die Verteilung. Je näher die Werte sich am Mittelwert befinden, desto kleiner ist die Streuung und desto schmalgipfliger die Verteilung. Die Streuung, der für das Schuhebinden benötigten Zeit, ist in der Bärengruppe also größer als die Streu-

Streuungsmaße

65

ung in der Hasengruppe. Mit anderen Worten, die gemessenen Zeiten der Bärengruppe sind unterschiedlicher als die Zeiten der Hasengruppe. Wie bei den Mittelwerten gibt es auch bei Streuungsmaßen nicht ein einziges, sondern verschiedene Maße mit unterschiedlichen Voraussetzungen und Berechnungsweisen. In diesem Kapitel werden Spannweite, Perzentile und Quartile, Varianz und Standardabweichung vorgestellt Zu beachten ist, dass Streuungsmaße nicht für nominalskalierte Variablen berechnet werden können, da die einzelnen Messwerte in keine geordnete Reihenfolge von z.B. langsam nach schnell oder niedrig nach hoch gebracht werden können. Die Anordnung der Kategorien auf der x-Achse ist demnach beliebig und eine Streuung wäre je nach Anordnung unterschiedlich und deshalb ohne Aussagekraft.

Spannweite Einen schnellen Überblick über die Streuung der Werte einer Verteilung gibt die Spannweite, auch Variationsbreite genannt (engl. range). Dieses Streuungsmaß informiert über den Abstand von Minimum und Maximum, also den Abstand zwischen dem niedrigsten und höchsten Wert einer Verteilung. Berechnet wird die Spannweite, die üblicherweise mit R abgekürzt wird, indem der niedrigste Wert vom höchsten Wert abgezogen wird: Spannweite R

= x max

-

xmin

Wenn man die Spannweite für die gemessenen Zeiten des Schuhebindens in den bei den Kindergartengruppen berechnet, erhält man für die Hasengruppe eine Spannweite von 30 Sekunden und für die Bärengruppe eine Spannweite von 40 Sekunden.

Hasengruppe: Bärengruppe:

R R

= 55 Sekunden = 60 Sekunden -

25 Sekunden 20 Sekunden

= 30 Sekunden = 40 Sekunden

Anhand dieser bei den Kennzahlen kann man bereits erkennen, dass die Zeiten der Kinder in der Hasengruppe homogener sind, sich also weniger unterscheiden als die Zeiten der Kinder in der Bärengruppe. Da die Spannweite nur die zwei äußersten Werte der gesamten Verteilung berücksichtigt, ist sie gegenüber Ausreißern sehr empfindlich. Wenn z.B. in der Hasengruppe ein Kind 120 Sekunden benötigt hätte, würde die Spannweite der Gruppe 95 Sekunden statt 30 Sekunden betragen. Die Spannweite kann für ordinal- und intervallskalierte Daten berechnet werden und wird häufig angewendet, um den Bereich zu kennzeichnen, in dem sich die Werte einer Stichprobe befinden.

Mittelwerte und Streuungsmaße

66

Perzentile, Quartile und Interquartilsabstand Die Spannweite gibt Auskunft über die bei den Werte einer Verteilung, zwischen denen sich 100% aller Werte befinden. Häufig möchte man nur Auskunft über die mittleren 50% der Werte erhalten, ohne die oberen und unteren 25% der Werte zu berücksichtigen. Dies ist der Fall, wenn Ausreißer außen vor gelassen werden sollen oder der mittlere Bereich der Daten mehr interessiert als die Extremwerte. Für die Bestimmung des Medians wurde die Reihe der geordneten Werte einer Verteilung in zwei Hälften geteilt. Man kann die geordneten Werte statt nur in zwei aber auch in mehrere Teile einteilen. Wenn die der Größe nach sortierten Werte, in genau 100 gleich große Teile geteilt werden, nennt man die Schnittstellen Perzentile und zwischen zwei Perzentilen liegt immer ein Anteil von einem Prozent der Werte einer Verteilung. Wenn das Alter von 200 Personen erhoben wird und die Werte anschließend der Größe nach sortiert werden, erhält man eine lange Reihe von Zahlen, die mit dem kleinsten Alter beginnt und mit dem größten Alter endet, etwa so: 18,18,18,18,19,19,20,20,20,22,

,87,88,88,90.

Genau zwei Werte entsprechen in diesem Fall einem Prozent der Werte insgesamt. Nach jedem zweiten Wert befindet sich ein Perzentil (p), eine Schnittstelle, die analog zur Bestimmung des Medians, genau zwischen den beiden sie flankierenden Werten liegt. 18 18

18 18 p1

pi p2 p3 p4

19 19 p2

20 20 p3

20 22 p4

87 88 p5

p98

88 90 p99

plaa

= 18 = 18,5 = 19,5 = 20

p99 = 88 pl00 = 90

Dabei schneidet das x-te Perzentil x% der Werte ab, also werden die untersten 5% der Werte durch das 5. Perzentil und die obersten 5% durch das 95. Perzentil abgeschnitten. Wenn man erfahren möchte, zwischen welchen beiden Werten sich 90% der Werte befinden, kann man die Spannweite zwischen dem 5%Perzentil und dem 95%-Perzentil berechnen. Einzelne Perzentile zu berechnen, hat jedoch erst ab einer geeigneten Anzahl von Werten Sinn. Am häufigsten werden das 25., 50. und 75. Perzentil genutzt, die eine Verteilung in vier gleichgroße Abschnitte teilen, welche jeweils 25% der Werte enthalten. Diese Perzentile werden Quartile genannt und können auch für eine geringere Anzahl von Werten bestimmt werden, wobei fast immer Statistiksoftware zum Einsatz kommt

Streuungsmaße

67

Es gibt für Quartile verschiedene Arten der Notation: 25. Perzentil 50. Perzentil 75. Perzentil 100. Perzentil

= = = =

1. Quartil 2. Quartil 3. Quartil 4. Quartil

= Q.25 = Q.50

(= Median)

= Q.75 = Q.l00

Die Spannweite der mittleren 50% der Werte kann nun anhand des Abstandes zwischen dem 1. und 3. Quartil berechnet werden. Diese reduzierte Spannweite wird Interquartilsabstand IQR (eng!. interquartile range) genannt und folgendermaßen bestimmt: Interquartilsabstand IQR

= 3. Quartil-l. Quartil = Q.75 -

Q.25

Da die Werte der Verteilung für die Berechnung von Perzentilen, Quartilen und dem Interquartilsabstand in eine geordnete Reihenfolge gebracht werden müssen, ist es notwendig. dass die Variablen ordinal- oder intervallskaliert sind.

Varianz und Standardabweichung Das in der Sozialforschung am häufigsten verwendete Streuungsmaß ist die Standardabweichung (engl. standard deviation), die mit s oder SD abgekürzt wird. Die Standardabweichung ergibt sich rechnerisch als Wurzel aus der mit S2 oder var(x) abgekürzten Varianz (engl. variance). Die Varianz informiert darüber, wie weit die Werte einer Verteilung vom arithmetischen Mittel entfernt liegen. Varianz und Standardabweichung können nur für intervallskalierte Variablen angewendet werden, da das arithmetische Mittel für ein niedrigeres Skalenniveau nicht berechnet werden kann. Für die Berechnung der Varianz werden die Abstände aller Werte zum Mittelwert quadriert, aufsummiert und anschließend durch die Anzahl der Werte geteilt. Varianz var(x) Xi

x

n

= = =

= S2 =

IY=l (x, - x/ n

Wert eines Falls Mittelwert Anzahl der Fälle

In der Inferenzstatistik, die in diesem Buch ab Kapitel 5 behandelt wird, findet die folgende, leicht abgeänderte Formel Verwendung: Varianz (Inferenzstatistik) var(x)

= S2 = IY=l (Xi

-

n-l

x/

Mittelwerte und Streuungsmaße

68

Von der Anzahl der Fälle im Nenner wird der Wert Eins abgezogen. Statistiksoftwate und Tabellenkalkulationsprogramme wie Excel verwenden standardmäßig die Formel der Inferenzstatistik bei der Varianzberechnung. Um die Standardabweichung zu erhalten, muss nur noch die Wurzel aus der Varianz gezogen werden: Standardabweichung s

=B

Der Vorteil von Varianz und Standardabweichung ist, dass sie im Gegensatz zur Spannweite oder dem Interquartilsabstand nicht nur zwei, sondern alle Werte berücksichtigen. Je höher die Varianz und Standardabweichung ausfallen, desto weiter streuen die Werte um den Mittelwert. Die Tab. 3-2 verdeutlicht die Rechenschritte. die notwendig sind, um die Varianz der Zeiten zu berechnen, die zehn Kindergartenkinder der Hasengruppe für das richtige Zuordnen von geometrischen Formen benötigen. Die Durchschnittszeit der zehn Kinder beträgt 38,5 Sekunden. Die erste Spalte zeigt die für jedes Kind gemessene Zeit in Sekunden an. In der zweiten Spalte wird von jedem Messwert die Durchschnittszeit abgezogen und das Ergebnis in der dritten Spalte quadriert. Tab. 3-2 X,

x i- X

(Xi - x)Z

Oskar

25

25 - 38,5 = -13,5

182,25

Emil

30

30 - 38,5 = -8,5

72,25

Sonja

60

60 - 38 ,5 = 21,5

462,25

Nils

45

45 - 38,5 = 6,5

42,25

Luzie

35

35 - 38,5 = -3,5

12,25

Florian

25

25 - 38,5 = -13,5

182,25

Camilla

45

45 - 38,5 = 6,5

42,25

Laura

20

20 - 38,5 = -18,5

342,25

Isabel

60

60 - 38,5 = 21,5

462,25

Kalle

40

40 - 38,5 = 1,5

2,25 L[.~\(Xi

L[~tCXi - X)2

n

- X)2 = 1802,5 1802,5

----ul ~

180,25

69

Streuungsmaße

Beim Betrachten der Tabelle wird deutlich, dass Werte, die weiter vom Mittelwert entfernt liegen, durch das Quadrieren weit mehr zur Varianz beitragen, als Werte die wenig vom Mittelwert abweichen. Aus der berechneten Varianz von 180,25 Sekunden.' wird durch das Ziehen der Wurzel die Standardabweichung ermittelt: Standardabweichung s

= ,/180,25 Sekunden' = 13,4 Sekunden

Angenommen auch in der Bärengruppe wurde die zum Zuordnen der Formen benötigte Zeit gemessen und anschließend Mittelwert, Varianz und Standardabweichung berechnet: Hasengruppe

Bärengruppe

x = 38,5 Sekunden

x = 39,8 Sekunden

S2

= 180,25 Sekunden"

s = 13,4 Sekunden

S2

= 85,5 Sekunden"

s = 9,2 Sekunden

Obwohl sich die Mittelwerte der beiden Gruppen nur um 1,3 Sekunden unterscheiden, kann man an der Standardabweichung eine Unterschiedlichkeit der Kindergartengruppen deutlich erkennen. Die höhere Standardabweichung in der Hasengruppe bedeutet, dass die Zeiten innerhalb dieser Gruppe unterschiedlicher sind als die der Kinder in der Bärengruppe.

70

Mittelwerte und Streliungsmaße

3.3 Boxplots: Grafische Darst ellung vo n Streuungen Boxplots sind Diagramme , die den Median und die Streuu ng von Daten grafisch dar ste llen. Sie können mit einer Stat ist iksoftwa re erst ellt werden. Abb. 3-4 zeigt ein Boxplot de r Altersverteilung für die mä nnlichen und wei bliche n Stud iere nde n eines Stud iengangs. Abb. 3-4

:~

::: " :::"

•,.:E

Extremwerte

•

• • •

• • • •

Ausre Ißer

•

<

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::.

:;

3 . nuartil

1. Qua rtil

I

I .Median

1We;bli
~

.. Niedrigster Wer t innerhal b von 1.5 lnt e rq uartllsa bsta nde n M' nnli
Die Box selbst kennze ichnet den Bereich, in dem die mittleren 50% aller We rte liegen , also de n lnterquartilsabstand. Die Ränder der Box sind de mnach durch da s 1. und das 3. Quartil definiert. Als zwe ite Info rmat ion wird die Lage des Medians d urch eine Linie inner halb d er Box geke nnze ichnet. Von der Box geh en die T-för migen Whisker s, auch Fühler genan nt, ab. Was du rch d ie Whisker s geken nzeichnet wir d, ist je nach Definitio n unte rsch iedl ich. Me iste ns ist es jedoch so, dass die Län ge de r Whisker maximal d as l ,5-fache de s Inter quartilsahstands bet rägt und ge nau an de m Pun kt enden , an de m sich der letzte Wert befinde t, der sich nicht weite r als 1,5 lnterquarti lsabstände vom Med ian entfernt. Daher ist es möglich, d ass die Whisker s nicht die gleiche Länge bes itzen. Wenn d ie Definition de r Whiskers auf diese Art gewähl t wird, wer den Datenp un kte. d ie weite r als 1,5 Interq uar tilsa bstände vo m Median entfernt liege n, als Aus re iße r in Fo rm von Kreisen oder Punkten da rgestellt. Ein Wert, der mehr als 3 lnterquartilsabstände vom Median e ntfernt liegt, gilt als Extremwe rt und wird mit einem Stern geke nnzeichnet. Es gibt allerdings Fälle, in denen kein Wert weiter als 1,5 Interquart ilsabstände vom Median entfernt liegt. Dann kennzeichne n die Whis-

Boxplots: Grafische Darstellung von Streuungen

71

ker gleichzeitig die Lage des Maximum bzw. Minimum, also den höchsten und niedrigsten Wertes der Verteilung. Die Whiskers können auch so definiert werden, dass sie vom niedrigsten zum höchsten Wert der Verteilung reichen oder dass sie den Bereich kennzeichnen, in dem 95% der Werte liegen. Boxplots vermitteln schnell ein sehr gutes Bild über eine vorhandene Verteilung. Sie eignen sich für die Darstellung unimodaler Verteilungen, bei mehrmodalen Verteilungen würde die Box sehr groß werden und keine nützlichen Informationen mehr wiedergeben. In den mit SPSS erstellten Boxplots der Altersverteilung von Männern und Frauen in Abb. 3-5 kennzeichnen die Whiskers den 1,5-fachen Interquartilsabstand. An der Achsenbeschriftung auf der linken Seite zeigt sich eine weitere Besonderheit von Boxplots. Ab einem Alter von 32 springt die Skala um 3, um 5 oder um 2 Jahre nach oben. Das liegt daran, dass Boxplots nicht vorkommende Werte auslassen. Es werden nur die Daten angezeigt, die auch wirklich vorhanden sind. Boxplots erlauben auch die gleichzeitige Darstellung mehrere Verteilungen oder mehrerer Untergruppen innerhalb einer einzigen Verteilung. In Abb. 3-5 wird das Klimabewusstsein differenziert nach Geschlecht und Bildungsstand angezeigt Abb.3-5 Geschlecht 20 ,00

.

Mann

. Fra u c

.~

, ••

1 5,0 0

~

~

10 ,00

" ~

5,00

.oo--'-----,--L-----,----,-------' niedri g

mittel

hoch

Bildung kategorisiert

Boxplots eignen sich zudem gut für die Hypothesenentwicklung. Anhand der Boxplots in Abb. 3-5 können die Hypothesen aufgestellt werden, dass ein höheres Bildungsniveau mit einem höheren Klimabewusstsein einhergeht und Frauen ein tendenziell höheres Klimabewusstsein als Männer haben. Woran erkennt

Mittelwerte und Streuungsmaße

72

man dies? Die mittlere Linie, die den Median kennzeichnet, ist bei den bei den rechten Boxplots der Personen mit hohem Bildungsniveau deutlich höher als bei den Boxplots für das niedrige Bildungsniveau. Auch die untere Begrenzung der beiden rechten Boxen, die das 1. Quartil kennzeichnet, ist höher als bei den meisten anderen Gruppen. Innerhalb der Bildungsniveaus erreichen die Frauen jeweils höhere Werte, was an der höheren Linie des Medians (mittleres Bildungsniveau) oder einem höheren Wert für das 3. Quartil (hohes Bildungsniveau) erkennbar ist.

3.4 Standardisierungsverfahren Variationskoeffizient Den Variationskoeffizienten V (engl. coefficient of variation) erhält man, wenn man die Standardabweichung durch den Mittelwert teilt. Er setzt die Größe der Standardabweichung also in ein Verhältnis zur Größe des Mittelwerts. Anhand des Variationskoeffizienten lassen sich verschiedene Verteilungen miteinander vergleichen, selbst wenn die Verteilungen nicht die gleiche Skala/Maßeinheit aufweisen. Die Formel zur Berechnung lautet: Variationskoeffizient V

=

s X

Als Einschränkung darf der Mittelwert nicht Null betragen, da durch Null nicht geteilt werden darf. Die Variationskoeffizienten der zehn Kinder aus der Hasenund der Bärengruppe betragen: Hasengruppe: Bärengruppe:

v= -xs v= xs

1 3,4 38,5 9,2 39,9

~

0,348

~

0,231

Der Variationskoeffizient ist eigentlich dimensionslos. Damit er besser interpretiert werden kann, wird er oft als Prozentzahl angegeben. Für die Hasengruppe beträgt er 34,8% und für Bärengruppe 23,1%. Diese Prozentzahlen sagen aus, dass für die Kindergartengruppen die Standardabweichungen, der zum Zuordnen der geometrischen Formen benötigten Zeiten 34,8% bzw. 23,1% des Mittelwerts betragen.

z-Transformation Eine weitere Standardisierungsmethode ist die z-Transformation. Sie ordnet jedem Wert einer Verteilung einen z-Wert zu, der darüber informiert, wie weit dieser Wert vom Mittelwert abweicht. Eigentlich sind z-Werte dimensionslos, allerdings kann man die Höhe eines z-Wertes als Standardabweichungen inter-

Standardisierungsverfahren

73

pretieren. Wenn für einen Messwert ein z-Wert von 1,5 berechnet wird, bedeutet dies, dass dieser Wert genau 1,5 Standardabweichungen oberhalb des Mittelwertes liegt, während ein Wert von -1,5 bedeutet, dass der Wert genau 1,5 Standardabweichungen unterhalb des Mittelwertes liegt. Eingesetzt wird die zTransformation vor allem, um Werte verschiedener Verteilungen zu vergleichen. Zum Beispiel braucht Sonja, die in die Bärengruppe geht, für das Zusammenlegen eines Puzzles mit 25 Puzzleteilen 250 Sekunden. Der Mittelwert der benötigten Zeiten in der Bärengruppe beträgt 320 Sekunden. An einem anderen Kindergarten wurde der gleiche Test mit einem etwas kleineren Puzzle durchgeführt. Nils, der dort die Blumengruppe besucht, braucht 230 Sekunden, um ein Puzzle mit 20 Puzzleteilen zusammenzulegen. Die Durchschnittszeit in seiner Kindergartengruppe beträgt 290 Sekunden. Mit Hilfe der z-Transformation kann die Frage beantwortet werden, welches der bei den Kinder im Vergleich zu seiner Kindergartengruppe schneller ein Puzzle zusammenlegen kann. Dafür benötigt man drei Werte: die jeweiligen Puzzlezeiten der Kinder, die durchschnittlich benötigte Zeit in ihrer Kindergartengruppe x und die jeweils dazu gehörende Standardabweichung s. Die Formel der z-Transformation lautet: z-Transformation

x,

x s

= = =

S

einzelner Messwert innerhalb der Vergleichsgruppe Mittelwert der Vergleichsgruppe Standardabweichung der Vergleichsgruppe

Wenn man jetzt die z-Transformation auf die Puzzlezeiten von Sonja und Nils anwendet, ergeben sich folgende z-Werte. Tab . 3-3 Sonja

Nils

Puzzlezeit

xi

250 Sekunden

230 Sekunden

Durchschnittliche Puzzlezeit der Kindergartengr~~e

x

320 Sekunden

290 Sekunden

Standardabweichung

5

90 Sekunden

60 Sekunden

z-wert

Xi -x 5

250

320 90

"" -0,8

230

320 60

-1,5

Beide Kinder brauchen weniger als die Durchschnittszeit in ihrer Gruppe für das Legen des Puzzles, da der z-Wert bei beiden einen negativen Wert erreicht. Nils ist jedoch im Verhältnis zu Sonja etwas schneller als die restlichen Kinder in

74

Mittelwerte und Streuungsmaße

seiner Gruppe, da seine Zeit 1,5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert seiner Vergleichsgruppe liegt. Die Zeit von Sonja liegt mit 0,8 Standardabweichungen etwas näher am Mittelwert. Was genau geschieht während der z-Transformation? Abb. 3-6 stellt das Prozedere der z-Transformation grafisch dar. In der Bärengruppe verteilten sich die Puzzle zeiten zunächst um den Mittelwert von 320 Sekunden. Die Verteilung ist auf der x-Achse demnach um den Wert von 320 Sekunden herum positioniert. Indem von jeder Zeit nun die Durchschnittszeit abgezogen wird, verschieben sich die Zeiten um genau diese 320 Sekunden nach links. Die so entstandene Verteilung hat den Mittelwert Null, an der Position der Werte im Verhältnis zueinander hat sich jedoch nichts verändert. Wird nun jeder einzelne Wert durch die Standardabweichung geteilt, wird jeder Person ihr z-Wert zugewiesen, der die Entfernung der Zeit von der Durchschnittszeit in Standardabweichungen angibt. Als Ergebnis erhält man eine Verteilung, die eine Standardabweichung von 1 hat. Abb.3-6

allbla.

Vor der z-Transformation

x = 320 s = 60

Nach Abzug des Mittelwertes

x=o

s = 60

Nach Dividierung durch die Standardabweichung

x=o s=1

Abschließend für dieses Kapitel fasst die Tab. 3-4 die benötigten Skalenniveaus für die in diesem Kapitel vorgestellten Verfahren zusammen. Nur bei Variablen, die Intervallskalenniveau besitzen, können alle Verfahren angewendet werden. Bei Variablen mit niedrigerem Skalenniveau muss beachtet werden, dass die Auswahl eingeschränkt ist.

75

So geht es mit SPSS/ SY5TAT

Tb a 3 <J.

Skalenniveau

Modus Mmelwerte Med ian

Nominal

Ordinal

Intervall

,/

,/

,/

,/

,/

Mitte lwe rt Pe rzentile/O uart ile Streuungima8e Var ia nz

Standardisie rungiverfahren

,/ ,/

,/ ,/

St andardabwekhu ng

,/

Va rtat o nskoeffizien t

,/

z-I ra nsform at ion

,/

3 .5 So geht es mitSPSSjSYSTAT Kennwerte mit SPSS berechnen Die Ausgabe statist ischer Kennwert e forde rt ma n in SPSS über den Men ü pu nktes "Analysiere n > Deskr iptive Stat istik> Häu figkeite n" an. Ein Klick auf den Butt on "Stat istik" öffnet ein Dialogfeld, in dem versch ieden e Kennwerte ausgew ählt we rden können: ill l-l."'i9k.~.~: St.1O.h' P.mo~ ti lw.!t.

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Mittelwerte und Streuungsmaße

76

Im Rahmen einer Befragung wurden Bachelorstudierende gefragt, wie viele Leistungspunkte sie am Ende ihres 4. Semester wahrscheinlich gesammelt haben werden. Für diese intervallskalierte Variable gibt SPSSfolgende Ergebnistabelle aus. N

Gültig Fehlend

79 11

Mittelwert

111,34

Median

110,00

120

Modus Standardabweichung

16,980 288,330

Varianz

112

Spannweite Minimum

30

Maximum

142

Perzentile

25

100 ,00

50

110,00

75

120,00

SPSS berechnet für die 79 Personen eine Spannweite von 112 Punkten, die zwischen 30 und 142 Leistungspunkten liegt. Der Mittelwert beträgt 111 Punkte und der Median mit 110 Punkten nur einen Punkt weniger. Am häufigsten wurden 120 Punkte angegeben, was auf eine rechtssteile Verteilung hinweist, weil der Modus rechts vom Mittelwert liegt. Die Standardabweichung ist mit 17 Punkten im Verhältnis zum Mittelwert eher gering. Die Varianz beträgt 288,3 Punkte, wobei SPSSzur Berechnung der Varianz die Formel der Inferenzstatistik verwendet. Das gleiche gilt für den Interquartilsabstand, den SPSS nicht berechnet, den man aber als Differenz zwischen dem 1. und 3. Quartilleicht bestimmen kann und der 120 -100 = 20 Punkte beträgt. Die Verteilung ist trotz der großen Spannweite daher eher schmalgipflig. Wahrscheinlich gibt es nur wenige Ausreißer, die das Minimum von 30 Punkten verursachen. Das folgende Diagramm zeigt, dass die aus den Maßzahlen gezogenen Annahmen über die Art der Verteilung zutreffen.

77

So geht es mit SPSS/SYSTAT

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IQe L Quartil ~ •• •• 3 Quartil

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Medi a n

""

""

Mitt e lwe rt

Um eine z-Transformation mit SPSS durchzuführen, muss das Menü "Analysieren> Deskriptive Statistiken> Deskriptive Statistik" aufgerufen und im Auswahlfenster nach Auswahl der zu transformierende Variable das Häkchen im Feld "Standardisierte Werte als Variable speichern" gesetzt werden. SPSS berechnet nun im Hintergrund die z-Werte für die ausgewählte Variable und legt anschließend eine neue Variable an, in der die z-Werte gespeichert sind.

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u eerwercne mrcr, u eer wercne Inf\>r Überweldle Inf\>r Über weldl e tnfol ,. Uberweldle Infor.,. Nadl WIe "' elen S Planen Sie evenlu

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I

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Um Boxplots zu erstellen, muss der Menüpunkt "Diagramme> Diagrammerstellung" aufgerufen werden und im unteren Bereich .Boxplot" ausgewählt werden.

78

Mittelwerte und Streuungsmaße

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Galerie

Grunaelemente

Grupp'erliPunKl- ID

iTi te llfu ß n ote ~

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Ausw
Balken

U ni.

Flam e KreislP ," ar Streu-IPun ktdia

H istogramm

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Doppel. rn, . n Hi lfe

Im Fenster werden die gewünschten Variablen mit der Maus in die markierten Felder an x- oder y-Achse und im Falle von gruppierten Boxplots die Variable, nach der die verschiedenen Gruppen unterschieden werden sollen in das Feld .Clustervariable" Feld gezogen. Kennwerte mitSYSTAT berechnen Um statistische Kennwerte in SYSTAT anzufordern, wählt man den Menüpunkt .Analyze > Basic Statistics" aus. Im erscheinenden Dialogfenster können alle hier behandelten Kennwerte bis auf den Modus ausgewählt werden. Um den Modus zu bestimmen, kann man diesen aus einer mit SYSTAT erstellten Häufigkeitstabelle ablesen.

So geh t es mit SPSSjS YSTAT

79

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I

J I or J I c.n:.l;;;iifJ

~~[jl]

Hinter der Abkürzung CVverbirgt sich der Variationskoeffizient (coefficient of variation) und SD steht für die Standardabweichung (standard deviation). Die z-Transformation fordert man über den Menüpunkt .Data > Standardize" an und wählt eine oder mehrere zu transformierende Variablen aus. i '9=i~

, Z D.I ", Slilnd.ordiu Aveiloblevorioble(s)

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SUBMI TDATE STARTDATE F2_VERTIEFUN _p

·W

'

DP nc" u

'

·

Cl

·

...... D Selecled vorioble(s)

~

I <-.R emove I

;, ~

o SD

~ Sove lile

~ e~

I

~~

' J

~~

Es empfiehlt sich, ein Häkchen in das Feld .Save flle" zu setzen und im darunterliegenden Feld einen Speicherort auszuwählen. Bei einem Klick auf "OK" erstellt SYSTAT am ausgewählten Speicherort eine Kopie der aktuellen Datendatei, in der die Werte der ausgewählten Variablen durch ihre z-Werte ersetzt wurden.

80

Mittelwerte und Streuungsmaße

3.6 Mittelwerte und Streuungsmaße in der Forschungsliteratur In der Forschungsliteratur werden Mittelwerte und Streuungsmaße häufig "nebenbei" aufgeführt, wenn Ergebnisse von komplexen statistischen Analysen berichtet werden. Manchmal finden sie sich jedoch auch als prägnante Kennwerte. um das analysierte Datenmaterial zu beschreiben. Beispielweise wurde im Rahmen einer interdisziplinären Forschergruppe in 97 Kindergärten eine Studie über das Qualitätsniveau durchgeführt. Die Tab. 3-5 bildet einen Auszug einer Ergebnistabelle dieser Studie ab (vgl. Kuger jKluczniok 2009: 166). Tab. 3-5 : Prozessqualität im Kindergarten Strukturmerkmale Anzahl der Kinder in de r Gruppe

M

SO

Min

Mo>

24.3

3.6

9.0

30.0

Anzahl Kinder pro Fachkraft in der Gruppe

12.4

4.6

4.S

26.7

Quote der Kinder mit Migrationshintergrund in der Gruppe

24.6

26.8

0.0

100.0

Anzahl der Berufsjahre der Gruppenleiterin

15.0

9.0

0.3

40.0

3.3

2.6

1.3

19.6

Quadratmeter pro Kind in den Gruppenräumen

In der Tabelle finden sich Mittelwert (M), Standardabweichung (SD), Minimum (Min) und Maximum (Max) für verschiedene in der Studie erhobene Merkmale. So kann man entnehmen, dass die Kindergartengruppen durchschnittlich aus 24,3 Kindern bestehen und die Standardabweichung 3,6 beträgt. Die kleinste untersuchte Kindergartengruppe besteht aus 9 Kindern und die größte Gruppe aus 30 Kindern, die Spannweite beträgt also 30-9 = 21 Kinder. Wenn man die Quote der Kinder mit Migrationshintergrund betrachtet, stellt man fest, dass diese durchschnittlich 24,6% beträgt, wobei die Standardabweichung von 26,8% sehr groß ist. Mit dieser hohen Streuung geht auch eine sehr hohe Spannweite von 100%, denn es gibt Kindergartengruppen, in denen alle Kinder einen Migrationshintergrund besitzen (Max = 100%) und Kindergartengruppen, in denen dies für keines der Kinder zutrifft (Min = 0%).

4

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

Die sozialwissenschaftliehe Ana lyse ist in der Regel nicht nur an der Ermittlung der Vert eilu ng einzelner Phänome ne bzw. Variab len, sondern an der Unters uchung von Beziehungen zwisc hen sozialen Phänomen en interessiert. In diesem Kapi te l geht es nicht mehr nu r um die Auswertung einzelner Varia blen und die Berechnung der Kennwerte ihrer Verteilung (..univar iat e Ana lyse "), so nder n um den Zusa mme nha ng zwisc hen zwei Variab len, und zwar zunächst zw ischen so lchen, d ie Nomin alska lenniveau aufweisen. Man spricht in diese m Fall von bivariater Ana{yse und ste llt den Zusammenhan g zwisc he n den beid en Variab len in Form eine r sogenannten Kreuztabelle oder Kontingenztafel dar. In der Methodenliteralur existiert für die Kreuztabellenanalyse eine Vielzah l unt erschiedlicher Begriffe: Man spricht auch von Kontingenztafelana lyse, Tabe llenanalyse oder an glisiert von Cross-Tabu lation oder Cross-Tabs. Mit Chi-Quadrat wird in diesem Kapitel ein Zusammenh an gsmaß eingeführt, da s zum einen den in einer Kreuztabe lle vorhanden en Zusamm enhang in einer ein zigen Maßzah l ausdrückt, zum anderen aber auch eine Prüfgröße für einen sogen annten Sign ijikanz test dar stellt. Wie man solche Signifikanztests du rchführt, wird in Kapitel 9 besc hrieben.

4.1 Das Prinzip der Kreuztabelle In einer Kreuztabelle werden die Häufigkeitsvert eilun gen von zwe i Variab len dargestellt und ana lysiert. Die Kreuztabelle ist ein Multit alent. sie eignet sich s owohl für nomina l- und ordinalska lierte als auch für gruppierte metrische Variab len. In Kapitell wurde dargelegt, dass man au ch Variab len mit höheren Skalennivea us prob lem los in so lche mit geringerem Skalenniveau transformieren kann. Also aus einer Variab le "Einkommen", deren Werte das Monatseinkommen in Euro beinhalten, kann man durch Kategorisierung eine ordinalskalierte Var iable mit bsp w. sechs Einkommen sgruppen erze ugen ode r man kann die gleiche Variable auch gro b entlang des Media ns dichoto misiere n, d.h. in zwei Gru ppen unt erteilen, und lediglich die be ide n Ausprägungen "hohes Einkomme n" und "niedriges Einkom men" untersche iden. Die Kreuztabellenanalyse lässt

82

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

sich folglich auch mit ordinalskalierten Variablen oder in Kategorien zusammengefassten intervallskalierten Variablen durchführen. Man spricht deshalb auch von kategorialen Variablen und von der Kreuztabellenanalyse als Kategorialdatenanalyse. Faktische Voraussetzung für eine Kreuztabelle ist, dass die Zahl der Kategorien nicht allzu groß ist, ansonsten wird die Tabelle leicht unübersichtlich und kann weder in einer schriftlichen Publikation noch in einem Vortrag vollständig präsentiert werden. Eine Empfehlung für die maximale Anzahl von Kategorien lässt sich schwerlich geben, schließlich hängt die Darstellung auch von der Schriftgröße und der Art der Beschriftung ab. In jedem Fall sollte die Tabelle auf eine DIN-A4 Seite passen und die Schriftgröße nicht zu klein gewählt werden. Die einfachste Form der Kreuztabelle ist die Vier-Felder-Tafel, in der beide Variablen nur zwei Ausprägungen besitzen: Tab. 4-1 Bildung hoch (X1)

niedrig (X2)

Zeilensumme

männlich (Y1)

a

b

a+b

weiblich (Y2)

c

d

c+d

Spaltensumme

a+c

b+d

n

Die eigentlichen vier Felder im Innern dieser Kreuztabelle sind mit abis d bezeichnet. In der Spalte Zeilensumme stehen die auf die Zeilenvariable bezogenen Häufigketten. in den Spaltensummen entsprechend die Häufigkeiten der Spaltenvariablen. Betrachtet man nur die Spaltensummen bzw. nur die Zeilensumrnen, so findet man dort die univariaten Häufigkeiten der beiden Variablen wieder. Die Spaltenvariable, in der Tabelle ist dies die Variable "Bildung", wird durch den Buchstaben x symbolisiert, ihre Ausprägungen durch den Buchstaben i, der hier die Werte 1 und 2 annimmt [xr und X2). Die Zeilenvariable, hier "Geschlecht", wird durchy und ihre Ausprägungen durch den Buchstabenj symbolisiert. Die Kreuztabelle ist eine i malj Tabelle und besitzt also i malj (hier 2 ·2 = 4) Felder bzw. Zellen. Eigentlich ist es funktional und für die statistische Berechnung unerheblich, wie man die Variablen anordnet, untersucht man jedoch eine Fragestellung, bei der man einen Zusammenhang in einer bestimmten Richtung vermutet {Die Bildung beeinflusst das Umweltbewusstsein"), so gibt es eine Konvention, derzufolge die unabhängige Variable, d.h. die Variable, von der die vermutete Wirkung ausgeht, als Spaltenvariable dargestellt wird. Will man nur den wechselseitigen Zusammenhang tabellieren, ohne dass man bereits eine be-

Absolute Häuflgkeiten, Spaltensummen und Zeilensummen

83

stimmte Richtung annimmt, so spielt es keine Rolle, welche Variable als Spaltenvariable und welche als Zeilenvariable gewählt wird. In den einzelnen Zellen der Kreuztabelle können, ähnlich wie bei univariaten Häufigkeitstabellen, sowohl absolute als auch relative Häufigkeiten (Prozentanteile) stehen. Eine Bedingung für die Kreuztabellenanalyse scheint eigentlich selbstverständlich, soll hier aber dennoch nicht unerwähnt bleiben, nämlich dass sich jeder Fall eindeutig den Merkmalsausprägungen bei der Variablen, also einer Zelle der Vier-Felder-Tafel zuordnen lässt. Beispiel: In einer Studie über Absolventinnen und Absolventen des DiplomPädagogik-Studiengangs wurde u.a. nach der gewählten Studienrichtung (entweder Sozial- jSonderpädagogik oder ErwachsenenbildungjAußerschulische Jugendbildung) gefragt. Es soll nun untersucht werden, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der gewählten Studienrichtung gibt. Aufgrund der vorhandenen Hintergrundinformationen vermuten wir, dass Männer sich eher für Erwachsenenbildung entscheiden, d.h. es handelt sich um eine gerichtete Fragestellung mit der unabhängigen Variable "Geschlecht", die folglich als Spaltenvariable definiert wird.

4.2 Absolute Häufigkeiten, Spaltensummen und Zeilensummen Im ersten Schritt wird die Verteilung der 138 Befragten dieser Studie auf die vier Zellen ermittelt (absolute Häufigkeiten). Den Randhäufigkeiten der Tab. 4-2 können wir die univariaten Verteilungen entnehmen: Es sind also 37 Befragte männlichen und 101 Befragte weiblichen Geschlechts; 96 Befragte hatten sich für Sozial- jSonderpädagogik entschieden und 42 für ErwachsenenbildungjAußerschulische Jugendbildung. Tab. 4-2: Kreuztabelle mit absoluten Häufigkeiten Geschlecht

Studienrichtung

Total

männlich

weiblich

Total

Scalal-jSonderpädagogik

22

74

96

Erwachsenen btldu ngJAußerschulische Jugendbildung

15

27

42

37

101

138

84

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

4.3 Relative Häufigkeiten, Spaltenprozente und Zeilenprozente Im zweiten Schritt werden anstelle der absoluten Häufigkeiten die Prozentzahlen bezogen auf die Gesamtpopulation (n = 138) wiedergegeben. Aus der Tab. 4-3 kann bspw. abgelesen werden, dass 15,9% der Befragten männlichen Geschlechts sind und Sozial-jSonderpädagogik studiert haben. Aus den Prozentangaben der Randhäufigkeiten geht hervor, dass 69,6% sich für Sozial- jund Sonderpädagogik und 30,4% für Erwachsenenbildung entschieden hatten. Tab. 4-3: Kreuztabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten Geschlecht

Studienrichtung

Sozlal-jSonderpädagogik Erwachsenen b!IdungJ Außerschulische Jugendbildung

Total

männlich

weiblich

Total

absolut

22

74

96

%

15,9%

53,6%

69,6%

absolut

15

27

42

%

10,9%

19,6%

30,4%

absolut

37

101

138

%

26,8%

73,2%

100,0%

Im dritten Schritt werden die Zeilen prozente berechnet. Für die erste Zeile, die Studienrichtung Sozial- jSonderpädagogik, bedeutet dies, dass die Prozentangaben für die beiden Geschlechter auf die insgesamt 96 Befragten bezogen werden, die diese Studienrichtung gewählt haben. Diese Personen verteilen sich zu 22,9% (männlich) und 77,1% (weiblich) auf die Geschlechter. Die Prozentangaben aller Zellen einer Zeile addieren sich bei zeilenweiser Prozentuierung immer zu 100%.

Relative Häuflgkeiten, Spaltenprozente und Zeilenprozente

85

Tab. 4-4: Kreuztabelle mit Zeilenprozenten Geschlecht männlich

weiblich

Total

22

74

96

22,9%

77,1%

100,0%

15

27

42

35,7%

64,3%

100,0%

absolut

37

101

138

%

26,8%

73,2%

100,0%

absolut Sozlal-jSonderpädagogik Studienrichtung

% der Studienrichtung

Erwachsenenbild ungj Außerschulische Jugendbildung

Total

absolut % der Studienrichtung

Im folgenden vierten Schritt werden die Spaltenprozente berechnet, bei der sich die Prozentangaben auf die Spaltensumme beziehen: Bei einer gerichteten Fragestellung ("Das Geschlecht beeinflusst die Wahl der Studienrichtung") sind die Spaltenprozente die entscheidende Größe. Der Tab. 4-5 lässt sich entnehmen, dass von den Männer 59,5% Sozial-jSonderpädagogik und 40,5% Erwachsenenbildung gewählt haben. Bei den Männern ist damit der Prozentanteil für die Wahl der Studienrichtung Erwachsenenbildung tatsächlich höher als bei den Frauen (26,7%), was auf den ersten Blick für die oben formulierte Vermutung spricht. Tab. 4-5: Kreuztabelle mit Spaltenprozenten Geschlecht männlich

weiblich

Total

absolut

22

74

96

/Sonderpädagogfk

%von Geschlecht

59,5%

73,3%

69,6%

Erwachsenen biIdungJ Außerschulische Jugendbildung

absolut

15

27

42

%von Geschlecht

40,5%

26,7%

30,4%

absolut

37

101

138

%

100,0%

100,0%

100,0%

SozialStudienrichtung

Total

86

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

4.4 Erwartungswerte und die Berechnung von ChiQuadrat Wie groß nun der Zusammenhang zwischen den bei den Merkmalen ist, wird mithilfe der Chi-Quadrat-Statistik ermittelt Die Logik von Chi-Quadrat-Verfahren besteht darin, empirisch beobachtete und erwartete Häufigkeiten miteinander zu vergleichen. Den Randhäufigkeiten können wir entnehmen, dass unter den insgesamt 138 Pädagogik-Studierenden 101 Frauen sind, sie also einen Anteil von 73,2% haben. Unter der Annahme, dass das Geschlecht die Studienrichtung nicht beeinflussen würde, würden wir für beide Studienrichtungen ohne Unterschied einen Frauenanteil von 73,2 Prozent erwarten. Formalisiert lässt sich schreiben: j,(weibliche in Sozialpädagogik) = 0,732' 96 = 70,3 Personen j,(weibliche in Erwachsenenbildung) = 0,732' 42 = 30,7 Personen Mit Je werden in der obigen Gleichung die erwarteten Häufigkeiten bezeichnet. MitJb bezeichnet man hingegen die beobachteten, d.h. die empirisch in der Studie ermittelten Häufigkeiten. Diese betragen hier 74 (Sozialpädagogik) und 27 (Erwachsenenbildung). Es haben sich also mehr weibliche Studierende für Sozialpädagogik und weniger für Erwachsenenbildung entschieden als man aufgrund der Randhäufigkeiten erwarten würde. Chi-Quadrat ist nun ein Maß, das die Abweichungen der beobachteten von den erwarteten Häufigkeiten misst und in einer einzigen Maßzahl ausdrückt. Um die Logik des Verfahrens zu verstehen, mag man sich als Gedankenexperiment vorstellen, was das Resultat wäre, wenn die Wahl der Studienrichtung tatsächlich ausschließlich vom Geschlecht bestimmt würde, dann würden nämlich bspw. alle Männer Erwachsenbildung wählen und alle Frauen Sozialpädagogik. Die Randhäufigkeiten lassen einen solchen perfekten Zusammenhang in diesem Fall aber gar nicht zu, denn unter den Studierenden befinden sich nur 37 Männer, aber 42 Studierende der Erwachsenenbildung, d.h. es müssen sich mindestens 5 Frauen ebenfalls für Erwachsenenbildung entschieden haben. Will man nun den Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen durch eine Prüfgröße messen, so müsste diese einen perfekten Zusammenhang der beiden Variablen durch einen möglichst hohen Wert anzeigen. Je mehr nun die tatsächlich empirisch feststellbaren Häufigkeiten mit den erwarteten übereinstimmen, desto kleiner müsste die Prüfgröße bis diese schließlich gleich null wäre, wenn beobachtete und erwartete Werte identisch sind. Genau diese Eigenschaften hat die im Weiteren beschriebene Prüfgröße Chi-Quadrat.

Erwartungswerte und die Berechnung von Chi-Quadrat

87

Zur Berechnung von Chi-Quadrat müssen zunächst die Erwartungswerte berechnet werden. Die allgemeine Formel zur Ermittlung des Erwartungswertes einer Zelle in der i-ten Zeile undj-ten Spalte der Kreuztabelle lautet: fe(i,j) nj

p.

= =

= nj

. Pi

Anzahl der Fälle in Kategorie j relative Häufigkeit für die Ausprägung i

Die erwartete Häufigkeit für die Tabellenzelle (iJ) lässt sich auch aus den Randhäufigkeiten bestimmen: f'Ct,})

n

=

Zeilensumme i . Spaltensumme j

= -------'------"n

Anzahl aller Fälle

Diese Berechnungsmethode ist bei Berechnung mit dem Taschenrechner vorzuziehen, weil sich so Rundungsfehler vermeiden lassen. Beide Berechnungsmethoden funktionieren nicht nur für Vier-Felder-Tafeln, sondern für Kreuztabellen beliebiger Größe. Tab. 4-6 gibt die aufgrund der Randhäufigkeiten zu erwartende Anzahl von Befragten für die vier Zellen der Tabelle wieder. Eine solche Tabelle der erwarteten Häufigkeiten bezeichnet man auch als Indifferenztabelle. Tab. 4-6: Indifferenztabelle mit Erwartungswerten Geschlecht

Studienrichtung

Total

männlich

weiblich

Total

Scalal-jSonderpädagogik

25,7

70,3

96,0

Erwachsenen b!IdungJ Außerschulische Jugendbildung

11,3

30,7

42,0

37,0

101,0

138,0

Um die Prüfgröße Chi-Quadrat zu ermitteln, sind jetzt noch die Abweichungen der beobachteten von den erwarteten Werten zu berechnen. Tab. 4-7 enthält in jeder Zelle der Vier-Felder-Tafel die beobachtete Häufigkeit, die erwartete Häufigkeit und deren Differenz, das sogenannte Residuum.

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

88

Tab. 4-7: Absolute Häufigkeiten, Erwartungswerte und Residuen Geschlecht

SozlaI-/Sonde rpädagogik Studien-

richtung Erwachsenen bild u ngJAu ßerschulische Jugendbildung

Total

männlich

weiblich

Total

beobachtet

22

74

96

erwartet

25,7

70,3

96,0

residual

-3,7

3,7

beobachtet

15

27

42

erwartet

11,3

30,6

42,0

residual

3,7

-3,7

beobachtet

37

101

138

residual

37,0

101,0

138,0

Chi-Quadrat wird nun so ermittelt, dass für jede der vier Zellen der Tabelle die Differenz zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten gebildet und anschließend quadriert wird. Das Ergebnis wird durch die jeweils erwartete Häufigkeit dividiert. Die vollständige Formel zur Berechnung von Chi-Quadrat, das üblicherweise durch den griechischen Buchstaben X (sprich: Chi) abgekürzt wird, sieht folgendermaßen aus:

k

Jb Je

= Anzahl der Zellen = beobachtete Häufigkeiten = erwartete Häufigkeiten

Für die obige Vier-Felder-Tafel ergibt sich folgendes Chi-Quadrat: z-

X -

37' 37' (-37)' (- 3 7) ' ' - '-''::::: 2 38 257 +703+113+ 307 ' , , . ,

Anhand dieses Beispiels lässt sich auch bereits der für die spätere Signifikanzprüfung der Chi-Quadrat-Analyse (siehe Kapitel 9) wichtige Begriff der Freiheitsgrade erläutern. Unsere Ausgangstabelle besteht nur aus vier Zellen. Die Personen sind entweder männlich oder weiblich und haben entweder Sozialpädagogik oder Erwachsenenbildung gewählt. Bei gegebenen Randhäufigkeiten

Die Kreuztabelle mit mehrfach gestuften Merkmalen

89

(also den Zeilen- und Spaltensummen) werden mit der Häufigkeit einer Merkmalskombination die Häufigkeiten der übrigen drei Zellen automatisch festgelegt: Wenn man weiß, dass 22 Männer Sozial- und Sonderpädagogik gewählt haben, lassen sich die Häufigkeiten der anderen drei Felder der Kreuztabelle sofort berechnen. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist folglich gleich 1. Bei der Kontingenztafelanalyse sind die Freiheitsgrade also gleich der voneinander unabhängigen Zellen. Angenommen man habe als Spaltenvariable anstelle des Geschlechts ein dreifach gestuftes Merkmal - z.B.die Variable .Schulabschluss" mit den Ausprägungen niedrig, mittel, hoch - so reicht die Kenntnis der Anzahl der Personen einer Zelle (z.B. Wahl der Sozialpädagogik/niedriges Bildungsniveau) nicht zur Bestimmung der Tabelle aus. Hier ist die Zahl der Freiheitsgrade gleich zwei, denn bei gegebenen Randhäufigkeiten benötigen wir die Häufigkeiten von mindestens zwei Zellen, um die übrigen unter Zuhilfenahme der Randhäufigkeiten errechnen zu können.

4.5 Die Kreuztabelle mit mehrfach gestuften Merkmalen Die Vier-Felder-Tafel stellt nicht den Regelfall bei der Kreuztabellenanalyse dar, denn in den meisten Fällen arbeitet man mit Variablen, die mehr als zwei Ausprägungen besitzen bzw. es ist zumindest eine Variable mit mehr als zwei Ausprägungen beteiligt. Wie sieht das Verfahren nun aus, wenn wir es mit einer Kreuztabelle zu tun haben, die mehr als vier Zellen aufweist? Hier ein Beispiel: Tab. 4-8 Altersstufe

Klimabewusstsein

Total

Total

18-24

25-49

50+

niedrig

42

230

201

473

mittel

87

494

554

1135

hoch

23

203

200

426

152

927

955

2034

In Tab. 4-8 ist als Spaltenvariable eine gruppierte Variable namens "Altersstufe" dargestellt - sie hat 1=3 verschiedene Ausprägungen. Das kategorisierte .Klimabewusstsein" mit k = 3 Ausprägungen bildet die Zeilenvariable. Untersucht werden soll nun die Frage, ob es Unterschiede zwischen den Altersgruppen hinsichtlich des Klimabewusstseins gibt.

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

90

Bezeichnet man die Anzahl der Ausprägungen der Zeilenvariablen mit kund die Anzahl der Ausprägungen der Spaltenvariablen mit 1, dann besitzt die Kreuztabelle k mall, d.h. 3 mal 3 gleich 9 Zellen im inneren Kern der Tabelle. Die Prüfgröße Chi-Quadrat wird hier im Prinzip genauso berechnet wie bei der Vier-Felder-Tafel:

X'

=

II k

I

i= l j= l

(fb(i.j) - l ' (i.j))

z

fe(q)

Alle i mal j Zellen der Tabelle werden durchlaufen und es wird jeweils das zellenspezifische Chi-Quadrat berechnet und diese Einzelwerte werden schlussendlich zu einem Gesamt-Chi-Quadrat summiert. Die Erwartungswerte für die Zellenhäufigkeiten werden nach der in Abschnitt 4.4 dargestellten Formel über die Randhäufigkeiten ermittelt. Neu ist bei der Kreuztabelle mit mehrfach gestuften Merkmalen lediglich die Berechnung der Freiheitsgrade. Diese beträgt: df= (k-l)· (1-1) hier also df= (3-1)· (3-1) = 2·2 = 4

Entsprechend würde eine 4 mal 4 Kreuztabelle mit 16 Zellen drei mal drei gleich neun Freiheitsgrade besitzen. Nach der obigen Formel berechnen wir die erwarteten Häufigkeiten über die Randhäufigkeiten und anschließend Chi-Quadrat. Interessant ist nicht nur das Gesamt-Chi-Quadrat, sondern auch die Chi-Quadrat Werte in den einzelnen Zellen. Sie zeigen bei Tabellen mit mehr als vier Zellen an, welche Zellen besonders viel zum Gesamt-Chi-Quadrat beitragen. Als Voraussetzung für die Chi-Quadrat Berechnung wird in der Literatur in der Regel genannt, dass maximal 20% aller Zellen der Tabelle eine erwartete Häufigkeit kleiner 5 aufweisen dürfen. Die Begründung hierfür ist, dass durch die Berechnungsmethode. bei der ja die erwarteten Häufigkeiten im Nenner stehen, der Quotient bei sehr kleinen Erwartungswerten schnell steigt und der tatsächliche Zusammenhang zwischen der Variablen somit verfälscht würde, wenn sehr kleine erwartete Häufigkeiten auftreten. Man hat aber auch bei einer Kreuztabellenanalyse mit vielen Erwartungswerten kleiner 5 noch die Möglichkeit, die Tabelle daraufhin zu inspizieren, ob tatsächlich eine solche Zelle mit f;« 5 zu einem hohen Chi-Quadrat beiträgt Je kleiner die Anzahl der Probanden ist und je größer die Zahl der Merkmalsausprägungen der beiden Variablen, desto virulenter wird das Problem der kleinen Erwartungswerte. Die Lösung kann dann eventuell darin bestehen, dass man Merkmalsausprägungen sinnvoll zusammenfasst und so die Zahl der Tabellenzellen verkleinert Auch wird bei kleinen Fallzahlen häufig mit dem sogenannten Fishers Exakt Test gearbeitet, der in diesen Fällen zuverlässigere Ergebnisse liefert.

Zusammenhangs maße für die Kreuztabellenanalyse

91

Man mag sich auch fragen, wie viele Spalten und Zeilen eine Kreuztabelle eigentlich haben darf. Prinzipiell gibt es keine Grenze, aber einerseits ist durch die Anzahl der Probanden wegen der 200/0-Bedingung ein Limit gesetzt und andererseits sollte man seine Ergebnisse ja in übersichtlicher Form berichten, so dass eine 10 mal 10 Tabelle sicher normalerweise kaum mehr angemessen ist. Es gibt allerdings weithin bekannte Ausnahmen: In Studien des Eurobarometer (vgl. Anhang Al ist es bspw. üblich, alle 27 EU-Staaten in Kreuztabellen nebeneinander anzuordnen.

4.6 Zusammenhangsmaße für die Kreuztabellenanalyse Die Berechnung von Chi-Quadrat fasst zwar den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen in einer Maßzahl zusammen, gibt aber keine Information über die Stärke des Zusammenhangs. Wie die Formel zur Berechnung von Chi-Quadrat leicht erkennen lässt, ist Chi-Quadrat abhängig von der Fallzahl. d.h. je größer diese ist, desto größer wird auch Chi-Quadrat. Die gleiche Tabelle mit den gleichen Spalten- und Zeilenprozenten produziert ein weit höheres Chi-Quadrat, wenn man die jeweiligen absoluten Häufigkeiten in den Zellen einfach verdoppeln würde. Um die Stärke eines Zusammenhangs zu ermitteln, muss man also einen Schritt weiter gehen und die Anzahl der untersuchten Fälle mit in die Berechnung eines Koeffizienten einbeziehen, wodurch die Zusammenhangsstärke gewissermaßen standardisiert wird. Es existieren eine Reihe von auf Chi-Quadrat beruhenden Koeffizienten, die genau dies zum Ziel haben, die gebräuchlichsten sind der Phi- Koeffizient, der Kontingenzkoeffizient Cund Cramers V. Phi- Koeffizient Der Phi-Koeffizient ist ein Maß für den Zusammenhang von zwei dichotomen Variablen. Er eignet sich also nur für die Vier-Felder-Tafel und berechnet sich aus den Zellenhäufigkeiten a, b, c und d:


=

a·d-b·c '-J7(a=+=c"")=.7.(b=+=d":;)C".'7(a=+;==:;b)C".'7(c=+==;d);=

Beispiel: Ist die Bereitschaft von Eltern, ihr Kind an einem internationalen Austausch teilnehmen zu lassen, abhängig vom Geschlecht des Kindes?

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

92

Tab. 4-9 Geschlecht des Kindes

Bereitschaft Aus landsaufenthalt

männlich

weiblich

ja

20

a

10

b

30

nein

30

c

40

d

70

50

50

100

Im Beispiel erhalten wir also:
=

20 ·40-10 ·30 ~50

. 50 . 30 . 70

0,22

Phi steht in folgender Beziehung zu Chi-Quadrat:

X2

bzw.

= n . lj) 2

Der Wertebereich von Phi reicht von 0 bis + 1, wobei ein höherer Wert eine höhere Stärke des Zusammenhangs bedeutet, ein Wert von 0,22 ist also eher als geringer Zusammenhang zu interpretieren (vgl. auch Kapitel 9, Tab. 9-3).

Kontingenzkoeffizient C Der Kontingenzkoeffizient C basiert ebenfalls auf Chi-Quadrat. Er wird folgendermaßen bestimmt:

~ 2

c-- X 2 +n Der Wertebereich von C hat im Prinzip ebenfalls Grenzen zwischen 0 und + 1, aber der maximal erreichbare Wert ist abhängig von der Tabellengröße. Er bestimmt sich folgendermaßen:

~ c-; = ~~-Rmit R = min (ij), wobei i gleich der Anzahl der Kategorien der Zeilenvariablen und j gleich der Anzahl der Kategorien der Spaltenvariablen ist. Bei einer 4x3 Kreuztabelle ist also R = 3 und Cmax= 0,816 (Wurzel aus 2/3). Wegen dieser un-

Weitere Variablen in die Analyse einbeziehen

93

günstigen Eigenschaft wird Cin der Praxis weit seltener verwendet als der Koeffizient Cramers V. Cramers V Der auf Cramer zurückgehende Zusammenhangskoeffizient Vwird nach folgender Formel bestimmt:

v--

~ 2

n· (R -1)

mit R = min (i, j), wobei i und j die gleiche Bedeutung haben wie beim CKoeffizienten. Der Wertebereich von V hat Grenzen zwischen 0 und +1, der Koeffizient ist für Tabellen beliebiger Größe geeignet und schöpft immer den vollen Wertebereich aus, d.h. er kann bei allen Tabellengrößen den Wert 1 erreichen.

4.7 Weitere Variablen in die Analyse einbeziehen Die Kreuztabellenanalyse ist zwar eigentlich nur ein Verfahren zur Überprüfung bivariater Zusammenhänge, aber es lassen sich durchaus auch mehr Variablen in die Analyse einbeziehen. So lässt sich untersuchen, ob der ermittelte Zusammenhang auch bei Berücksichtigung von weiteren Variablen fortbesteht. Dies geschieht, indem die verschiedenen Ausprägungen weiterer Variablen als Schichten (engl. layers) je gesondert betrachtet werden. Hat man bspw. einen Zusammenhang zwischen Umweltbewusstsein und Geschlecht festgestellt, kann man nun überprüfen, ob sich dieser Zusammenhang auf jedem Bildungsniveau wiederfindet. Hat man drei Stufen des Bildungsniveaus (niedrig, mittel, hoch) unterschieden, erstellt man für jede Stufe eine Kreuztabelle mit Chi-QuadratBerechnung. Falls der Zusammenhang zwischen Umweltbewusstsein und Geschlecht nun verschwindet, könnte dies daran liegen, dass es einen Zusammenhang zwischen Bildung und Geschlecht gibt und es in Wirklichkeit primär die Bildung ist, die das Umweltbewusstsein beeinflusst und nicht das Geschlecht.

4.8 Chi-Quadrat-Berechnung für univariate Verteilungen Chi-Quadrat-Verfahren eignen sich nicht nur für die Kreuztabellenanalyse. sondern auch für die Prüfung univariater Verteilungen. Dazu folgendes Beispiel: Angenommen wir zählen bei einem bestimmten Vortragsabend der Volkshochschule 30 Frauen und 50 Männer als Teilnehmende. Nun wisse man gleichzeitig

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

94

aus der Teilnehmendenstatistik dieser Einrichtung, dass insgesamt genauso viele Männer wie Frauen VHS-Vorträge besuchen. Wir erwarten also eigentlich auch für diese Veranstaltung einen Frauenanteil von 50 Prozent, sprich bei 80 Teilnehmenden wäre der Erwartungswert für Frauen (und Männer) gleich 40. Tatsächlich sind es aber nur 30 Frauen, die die Veranstaltung besuchen. Mit Chi-Quadrat lassen sich nun die Abweichungen der beobachteten von den erwarteten Häufigkeiten messen, dazu wird folgende Tabelle erstellt: Tab. 4-10 Geschlecht

Teilnehmende insgesamt

Frauen

Männer

Vortrag - beobachtet

80

30

50

Vortrag - erwartet

80

40

40

Differenz (beobachtet-erwartet)

-10

10

Quadrierte Differenz

100

100

Mit der Berechnung der Abweichungsquadrate haben wir schon den halben Weg zur Berechnung von Chi-Quadrat hinter uns gebracht Die Formel zur Berechnung von Chi-Quadrat sieht vor, dass die Abweichungsquadrate jeweils durch die erwartete Häufigkeit der Zelle dividiert werden:

fbU) = beobachtete Anzahl in Kategorie j erwartete Anzahl in Kategorie j k = Anzahl der Kategorien

leU) =

Im Fall der Gleichverteilung erwarten wir für jede Kategorie die gleiche Häufigkeit, so dass wir alle Abweichungsquadrate zunächst summieren und dann durch die erwartete Häufigkeit dividieren können, hier also:

X'

=

100

+ 100 40

=5

Für die Berechnung müssen keine besonderen Anforderungen erfüllt sein, ein Merkmal muss weder gleich verteilt sein, noch bestimmten anderen Bedingungen, wie z.B. ein bestimmtes Skalenniveau. genügen.

Grafische Darstellung von Kreuztabellen

95

4.9 Grafische Darstellung von Kreuztabellen Die bivariaten Zusammenhänge in einer Kreuztabelle lassen sich auch grafisch darstellen. Dies kann zunächst in der gleichen Form geschehen wie bei der univariaten Analyse, nämlich in Form von Kreisdiagrammen, horizontalen und vertikalen Balkendiagrammen (Säulendiagramm). Darüber hinaus können Zusammenhänge auch in Form von Boxplots (siehe vorne in Kapitel 3.3 der Zusammenhang von Klimabewusstsein und Bildung) dargestellt werden.

Gruppierte Balkendiagramme Aus einem gruppierten Balkendiagramm lässt sich leicht ersehen, ob ein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen besteht und ob die dargestellten Differenzen groß oder klein sind. Wichtig ist, dass die Balken auch mit den Zahlenwerten beschriftet werden, ansonsten erfüllt das Diagramm zwar den Zweck, die prinzipiellen Zusammenhänge darzustellen, es kann aber die Kreuztabelle mit Zahlen nicht ersetzen. Im Balkendiagramm in Abb. 4-1 ist der in Tab. 4-6 dargestellte Zusammenhang von Geschlecht und Wahl der Studienrichtung visualisiert. Die Achsenbeschriftung kann sowohl in absoluten Häufigkeitswerten als auch in Prozentwerten erfolgen. Abb.4-1 Wahl der Studienrichtung in Abhängigkeit vom Geschlecht (n=138J 80%

60%

40"10

40,5%

• männlich 26,7% • weiblich

20"10

0% ErwachsenenblIdungj Au ßerschulische JugendblIdung

Sozla l-jSonderpädagogi k

Studienrichtung

Quelle: Erstsemesterstudie, www.methoden-evaiuation.de

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

96

Abb. 4-2 zeigt ein gruppiertes Balkendiagramm, das die regionale Herkunft von Studierenden verschiedener Jahrgänge miteinander vergleicht. Man kann dem Diagramm entnehmen, dass sich die Zusammensetzung der Studierenden zwischen dem Diplomjahrgang 2006 und den ersten bei den Bachelorstudiengängen 2007 und 2008 etwas verändert. Der Anteil der Erstsemesterstudierenden, die aus Marburg und Umgebung stammen, steigt von 26% auf 43% (2007) bzw. 41% (2008) an. Gleichzeitig verringert sich der Anteil der Studierenden, die aus einem anderen Bundesland stammen von 59% auf38% bzw. 44%. Abb.4-2 Entwicklung der Herkunft der Diplom-Studierenden 2006 bzw. BA-Studierenden 2007 und 2008 59%

60"10 • Marburg und Umgebung (lOOkm)

50"10 40"10

• Hessen

30"10

. Ande res Bundesland

20"10 10"10

4%

. Ande re r Staat

0%

2006

2007

2008

Quelle: Erstsemesterstudie, www. methoden-evaiuation.de

Gestapelte Balkendiagramme Gestapelte Balkendiagramme stellen eine Alternative zu gruppierten Balkendiagrammen dar. Sie sind allerdings, wie das Beispiel in Abb. 4-3 zeigt, manchmal schwer zu lesen, da der Vergleich der Größe von einzelnen Balkenabschnitte nicht immer leicht fällt. Automatisch nimmt man die Zahlenangaben zu Hilfe, was aber in einer bloß tabellarischen Darstellung einfacher ginge.

Grafische Darstellung von Kreuztabellen

97

Abb.4-3 Entwicklung der Herkunft der Diplom bzw. BA-Studierenden zwischen 2006 und 2008 100%

4°~

• Marburg und Umgebung (lOOkm)

80% 59%

38%

44%

• Hessen

60% . A nde res Bundesland

40%

. A nde rer Staat 20% 0%

2006

2007

2008

Quelle: Erstsemesterstudie, www.methoden-evaiuation.de

Kreu ztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

98

4.10 So geht es mit SPSSjSYSTAT Kreuztabellenanalyse in SPSS SPSS ermöglicht nicht nur die Erstellung zweidimensionaler Tabellen, sondern die Berücksichtigung einer dritten Variablen, durch welche eine Schichtung der angeforderten Kreuztabellen vorgenommen wird. Das Hauptdialogfeld für die Kreuztabellenanalyse sieht wie folgt aus:

ii Kreu;t, bellen Zell.(n)

~ id lid) tlß su ~m itdate ls ubmildalel ~ startdate {startdate]

Ä

I

'""

Gesquec:ht

litatlSt1 ken..5J

L le ll . ~._J

Code ~1 _codel

Lf!l.f maL

~ Verl ief1.J nQsmodul {T2_vertiefunQs 1. Profilmo dul lU _1yrofilmodulj

IJ I:J2. Proftlmo clullfl_2yrofilmo dulj

I!

~ 1. Nebenfad1 ~4_1 _n eb e nfa d11

6J 2 . Ne ben fa d1 (l alls zutreffend) {14

IJ J . Ne ~enfa ch (falls zutreffend) lf4 IJ Wie Qul fUhlen Sie sich inf <>rmi ert ~ Wie QutfU hlen Sie sich informi ert

6J Wie Qut fUhlen Sie sich Inf of m iert

IJ Ü~e r we l ch e Inform .ti on sw eQe m lEl 9:ru ppierte Balkendia!l'amme anzeiQen

11"1 K ein e Ta bellen !-f lfe

Mit Hilfe der Option "Zellen" lassen sich folgende Werte für die Darstellung in den Zellen auswählen: beobachtete und erwartete Häufigkeiten, relative Häufigkeiten bezogen auf die Anzahl der Fälle, Spaltenprozente, Zeilenprozente unstandardisierte, standardisierte und korrigiert standardisierte Residuen (diese pro Zelle ausgegebenen Ergebnisse sind zur besseren Interpretation nützlich)

So geht es mit SPSS/SYSTAT

99

ffil Kreurt ,~ell en: Zellen , n..igen

lQl

r;:':"::::~'~ I!"J !,:rwartet

Pfozentwerte -

Residuen

I!':'J ,1;e ilenwe ise

~ !:,!id1t standardisi ert

I!"J

Irl §tan dardis iert

Sl'a ltenwe ise

lEl Gesarn!

~ Kooigie,t stand.r
Nid1tganmohlige Ge>Md1tungen

@ A!!z.a hl in den Zellen runden o Fallge!!id1 te runden o Mz.ah!ln den Zellen stutzen o E. lIge>M ct1te stutzen o keine Koo ekt!!, en

I

Weiter

l lA!lo;ed1 en

J

i lte

Mittels der Option "Statistiken" lassen sich Koeffizienten anfordern, und zwar Chi-Quadrat und der Pearsonsche Korrelationskoeffizient (Kapitel 9), für nominalskalierte Daten u.a. der Kontingenzkoeffizient, Phi und Cramers V, für ordinalskalierte Daten die in diesem Buch nicht beschriebenen Gamma, Sommers d und Kendalls tau sowie ferner für Kombinationen aus nominalen und intervallskalierten Variablen Eta sowie weitere spezielle Koeffizienten.

Im Kreurt.1b~ len: 5tmm ~

lQj

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~ Korreli!IJ ("wn

Nomllla l

Ofdinal

~ K~tinoellZkoellizienl

I!':l Qamma

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J

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~ Uns";h erlle~s koeTr1Den1

~ Kendall-Talt-C

[~;;~ bezu~lC~ mte~]

~ Kappa ~ RISIko

11";1 Ud'l emar ~ Cochf~n· und Uant~+laens.zeI-Sli!IJsbk Ge~SiImesOuo':
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100

Kreuztabe lle. Chi-Quadrat un d Zusammenha ngsmaße

Die Möglichkeiten zur grafischen Dar stellu ng von biva rtaten Zusammenhangen in SPSS sind re lati v begr enzt. Die Prozedur ,,Analys ie re n> Kreuztabellen > Des kriptive Stat ist iken > Kre uztabellen" erlaubt d ie Erst ellung von gr uppierten Balkendiagramm en. Das Menü "Diagramme> Diagramm e rste llung" offeriert zwa r weitere Visualisieru ngsmö glichkeite n, wer jedoch hinsichtlich Gesta ltu ng und Beschriftung flexibler sein will, sollte eher zu Excel od er äh nliche n Programmen gre ifen, um Grafiken wie gestapelte Balkendiagramm e zu ers tellen. Kreuzta bel lenanalyse in SYSTAT Um eine Kreuztabelle in SYSTAT zu erstellen, wählt man im Menu ..A.nalyze > Tables > Two Way", Sodann erscheint das Haup tdi alogfeld. in dem im obere n Dritt el die zu unt er suchenden Var iablen aus gewählt werden könn en. Fern er lässt sich angeben, welc he Häufigkel ten in der Tabelle ausgegeben wer den sollen (~ Devia tes " ste ht für Residuen). Über de n Reite r ~M ea s u res" forde rt man ChiQuadrat, Phi, Kontin genskoeffizient C und Cramers V sowie zahlreiche wei tere Maßzah len an.

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Die Kreuztabellenanalyse in der Forschungsliteratur

101

4.11 Die Kreuztabellenanalyse in der Forschungsliteratur Ein Blick in die Forschungsliteratur offenbart, dass in vielen Artikeln ChiQuadrat als Maßzahl für den Zusammenhang von zwei Merkmalen berichtet wird. Deutlich seltener ist allerdings der standardisierte Zusammenhang in Form von Phi, Cramers V oder eines anderen Koeffizienten zu finden. Häufig wird nicht nur ein untersuchter Zusammenhang verbalisiert, sondern auch die dazugehörige Kreuztabelle präsentiert, die selten eine Größe von 3x3 Feldern übersteigt Kreuztabellen werden zum einen verwendet, um eine umfassende Beschreibung der erhobenen Daten zu geben und über eventuelle Verzerrungen im Datensatz zu informieren. Pöschl u.a. (2009) berichten bspw. über eine Evaluationsstudie zur Mensch-Roboter-Interaktion im Baumarkt Die Autorinnen und Autoren stellen die Zusammensetzung der befragten Personen sehr übersichtlich mithilfe einer Kreuztabelle dar, die auszugsweise in Tab. 4-11 wiedergeben ist. Je nach Nutzungsgrad eines Roboters als Einkaufsratgeber werden drei Gruppen unterschieden: die Nutzer. die Abbrecher und die Nicht-Nutzer. Diese drei Gruppen bilden die Spalten der Tabelle, während in den Zeilen einmal die Variable Geschlecht mit zwei Ausprägungen (Zeilen) und die Variable Alter mit fünf Ausprägungen aufgetragen sind. Es handelt sich also genau genommen nicht nur um eine, sondern um die Kombination von zwei Kreuztabellen. Die Zellen enthalten die Spaltenprozente und geben z.B. an, wie groß der Anteil der Männer in den jeweiligen drei Gruppen ist. Die erste Zeile verrät, dass der Männeranteil in allen drei Gruppen nahezu identisch ist, denn er schwankt nur um drei Prozentpunkte von 62 bis 65%. Bezüglich des Alters zeigen sich aber deutliche Unterschiede bei den drei Gruppen, denn unter den NichtNutzern sind deutlich mehr ältere Menschen vertreten. Tab. 4-11: Soziodemographische Statistiken (in Prozent) der erhobenen Daten, aus: Pöschl u.a. (2009: 47) Nutzer 58)

Abbrecher {n = 96)

{n =

Nicht-Nutzer {n = 83)

Gesamt 237)

{n =

Geschlecht männlich weiblich

62 38

63 37

65 35

63 37

26 19 17 28 10

16 14 28 32 10

10 11 26 36 17

16 14 25 32

Alter 16-29 30-39 40-49 50-64 65 und älter

13

Kreuztabelle, Chi-Quadrat und Zusammenhangsmaße

102

Neben der Charakterisierung der befragten Personen findet man in der Forschungsliteratur sehr häufig Kreuztabellen. die über die Ergebnisse einer Zusammenhangsstudie informieren. Emrich u.a. (2007) berichten über die Auswirkungen eines Internatsbesuch einer Eliteschule des Sports und haben hierfür zahlreiche Kreuztabellen. wie die in Tab. 4-12 dargestellte, angefertigt. Sie haben unter anderem die Hypothese überprüft, ob Sportler linnen, die eine Eliteschule des Sports besucht haben (Zeilenvariable), häufiger einen Medaillenplatz bei den Olympischen Spielen (Spaltenvariable) erreichen. Die Kreuztabelle enthält neben den absoluten Häufigkeiten auch die Zeilenprozente. der folgenden Zusammenhang verdeutlicht: Während von Sportlerjinnen des Internats 48,7% einen Medaillenplatz erhielten, waren es unter den Nicht-Besuchernj innen lediglich 18,5%. Im Erläuterungstext werden das errechnete Chi-Quadrat und das Ergebnis der Hypothesenprüfung angegeben: "Die Häufigkeiten der Medaillenplätze unterscheiden sich signifikant (,(2 = 6,29; df = 1; N = 66; P = 0,012) in Abhängigkeit von der Unterbringung im Internat" (ebd. 236). Was es mit dem Begriff "signifikant" und dem kleinen p in der Klammer auf sich hat, erläutern wir in den folgenden beiden Kapiteln. Tab. 4-12: Internatsbesuch und sportlicher Erfolg insgesamt unter Eliteschülern des Sports (Prozentangaben bezogen auf Zeilen), aus: Emrich u.a. (2007: 237) Platzierungskategorie bei letzten Olympischen Spielen Medaillenplatz kein Medaillenplatz Internat in Eliteschule des Sports Gesamt

ja

nein

Gesamt

5

48,7% 18,5%

20 22

51,3% 81,5%

39 27

100% 100%

24

36,4%

42

63,6%

66

100%

19

5

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

In den bisherigen Kapite ln habe n wir wichtige Verfahren der besc hreiben den Statis tik be handelt. In dies em Kapitel wird mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein wichtiger Grunds tein für die schließende Statistik gelegt. Vere infacht au sgedrückt bes teht das Ziel de r schließ enden Sta tistik dari n, die Ergebnisse in den erho bene n Daten zu ver allgemeinern. Dabei spielt das Konzept vo n Grundgesa mtheit und Stichprobe (engl. population und sample) eine w ichtige Rolle, da s wir a n dieser Stelle kurz einführen möchten: Als Grundgesamtheit bezeichnet man d ie Menge vo n Einheiten, über d ie man etwas au ssagen möcht e. In der Sozialwissenschaft sind die s in der Regel Personen, we sha lb hä ufig für Grundgesamtheit der gleichbedeutende Begriff Population verwendet wird. Als Einheiten kommen neben Personen auc h Familien, Haus halte und Organisation en, aber auc h Produkte und Dokumente wie Arbeitsleistungen von Ausz ubildenden, Schülera ufsätze und Evaluations berichte in Frage. Einige Beispiele für Grundgesamth eiten s ind alle Schüler/innen einer Schule, alle Bewohner/innen einer Behinderteneinri cht ung. alle Teilnehmenden einer Bildungsmaßnah me, alle Familien mit schulpflichtigen Kindern in einer Stadt, alle Per sonen ab 18 Jahr en mit Hauptwoh nsitz in Deutschland und alle Aufsätze von Schülern/innen einer Klasse.

Da man jedoch häufig nicht alle Einheiten der Grundg esamtheit untersuchen kann, muss man eine Auswa hl der Einheiten t reffen. Wäh lt man per Zufall Untersuchungseinheit en a us der Grundgesa mt heit aus, dann nen nt man diese Auswa hl Stichprobe. Wichtige Voraussetzung für die Anwendung der meisten statistischen Verfahren ist, dass alle Einheiten die gleic he Chance ha ben, in die Stichprobe aufgenommen zu werden. (In der empirischen Sozialforsc hung wird mit dem Begriff Stichprobe auch die Auswahl von Personen bezeichnet, die nic ht a uf dem Zufall, sondern auf willkürlicher oder bewusster Auswa hl beruht. Im Folgenden be ziehen wir uns aber nur auf Stichp roben, die per Zufall zusta nde gekommen sind.)

104

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wenn man von einer Stichprobe auf eine Grundgesamtheit schließen möchte, spielen Wahrscheinlichkeiten eine wichtige Rolle: Man stellt bspw. in einer Zufallsstichprobe von 100 Familien fest, dass 30% der Befragten die Einführung von Schuluniformen befürworten. Aber wie wahrscheinlich ist es, dass dieser Prozentsatz auch für die Grundgesamtheit aller Familien in der Stadt gilt? Oder, wie wahrscheinlich ist es, in einer Stichprobe zufällig einen Unterschied zwischen Männern und Frauen hinsichtlich ihrer Einstellung zur Elternzeit zu finden, obwohl in der Grundgesamtheit gar kein Unterschied vorliegt? Aber auch bei allgemeineren Fragen und bei Erhebungsinstrumenten kommt die Wahrscheinlichkeit ins Spiel: Ist die neue Lernmethode wirklich besser als die alte oder können die besseren Lernerfolge vielleicht dem Zufall zugeschrieben werden? Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand beim Ausfüllen eines Fragebogens mit zehn Ja/Nein-Fragen zehn Mal "nein" ankreuzt? Um derartige Fragen zu beantworten, bedient sich die sozialwissenschaftliche Statistik der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei besteht das Hauptziel darin, Muster und Regelmäßigkeiten vom Zufall abzugrenzen. Man möchte sich quasi gegen den Zufall absichern, um die Gültigkeit von postulierten Aussagen und Theorien einschätzen zu können oder die Wirksamkeit von neuen Methoden und Interventionen zu überprüfen. Manchmal spricht man auch davon, zufällige von .überzufälligen" Ergebnissen zu unterscheiden. Diese Formulierung soll zum Ausdruck bringen, dass es häufig um die Frage geht, ob ein Ergebnis so unwahrscheinlich ist, dass es nicht mehr dem Zufall zugeschrieben werden kann. Doch was bedeutet eigentlich in diesem Zusammenhang "Wahrscheinlichkeit" und wie lässt sie sich berechnen?

5.1 Was ist Wahrscheinlichkeit und wie berechnet man sie? Um diese Frage zu beantworten, wollen wir zunächst zwei wichtige Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung einführen, das Zufallsexperiment und das Ereignis. Das Zufallsexperiment Wirft man eine Münze oder einen Würfel, so führt man in der Sprache der Statistik ein Zufallsexperiment durch, das durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet ist: Das Experiment ist unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar, die möglichen Ergebnisse sind bekannt, aber der Ausgang unterliegt dem

Was ist Wahrscheinlichkeit und wie berechnet man sie?

105

Zufall, kann also nicht vorhergesagt werden. In den Sozialwissenschaften fasst man auch die Befragung oder die Beobachtung einer Person als Zufallsexperiment auf. Wenn in der Shell-Jugendstudie eine Person danach gefragt wird, ob sie Heiraten für "in" oder "out" hält, dann sind zwar die möglichen Ergebnisse bekannt, aber für welches Ergebnis sich die Person entscheidet, kann nicht vorhergesagt werden und unterliegt - aus Sicht des Forscherteams - dem Zufall. Genauso stellt auch die zufällige Auswahl von Personen ein Zufallsexperiment dar und zwar in Hinblick auf die Zusammensetzung der Stichprobe. Wählt man bspw. aus einer Seminargruppe per Zufall fünf Personen aus, unterliegt es auch dem Zufall, wie viele Männer und Frauen in der Stichprobe sind und welches Alter diese haben.

DasEreignis Der Ausgang eines Zufallsexperiments wird als Ereignis bezeichnet. Ein mögliches Ereignis des Münzwurfes ist "Kopf'. Eine ,,1 zu würfeln", aber auch "eine 5 oder eine 6 zu würfeln" sind mögliche Ereignisse beim Würfeln. Ereignisse, die sich nicht weiter in Einzelereignisse zerlegen lassen, nennt man Elementarereignisse. "Kopf' beim Münzwurf und die Antwort "in" auf die Frage der Jugendstudie nach dem Heiraten sind Elementarereignisse, während das Ereignis "eine gerade Zahl zu würfeln" aus drei Elementarereignissen zusammengesetzt ist, nämlich der 2, der 4 und der 6. Alle möglichen Elementarereignisse bilden den sogenannten Ereignisraum. So besteht der Ereignisraum für den Würfelwurf aus den sechs unterschiedlichen Seiten des Würfels {1; 2; 3; 4; 5; 6) und für die Frage nach dem Heiraten aus den beiden Antwortalternativen {in; out}. Mit diesen beiden Grundbegriffen lässt sich "Wahrscheinlichkeit" definieren: Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Chance, dass bei einem Zufallsexperiment ein interessierendes Ereignis eintritt. Die Wahrscheinlichkeit lässt sich in einer Zahl zwischen 0 und 1 angeben. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet, dass das Ereignis mit Sicherheit nicht eintritt, eine 1 steht dafür, dass das Ereignis mit absoluter Gewissheit stattfindet. Zum Beispiel kann das Ereignis, eine 7 bei einem sechsseitigen Würfel zu würfeln, nicht eintreten und die zugehörige Wahrscheinlichkeit beträgt O. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Münze "Kopf oder Zahl" zu werfen, beträgt hingegen 1, denn eins der beiden wird die Münze in jedem Fall zeigen. Häufig wird die Höhe der Wahrscheinlichkeit nicht als Zahl zwischen 0 und 1 berichtet, sondern als Prozentwert zwischen 0 und 100%. Die Aussage, dass die neue Lernmethode mit 80%iger Wahrscheinlichkeit besser ist als die alte, lässt

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

106

sich einfach besser kommunizieren als "die Wahrscheinlichkeit, dass die Lernmethode besser ist, beträgt 0,8". Um die Wahrscheinlichkeit von einer Dezimalzahl zwischen 0 und 1 in eine Prozentzahl umzuwandeln, muss man sie einfach mit 100 multiplizieren, also das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben:

0,630 -7 63,0%

0,155 -7 15,5%

0,049 -7 4,9%

Da in vielen, vorwiegend englischsprachigen Ländern ein Punkt anstelle eines Kommas verwendet wird, finden sich in vielen Publikationen, aber auch in einigen Statistikprogrammen häufig unterschiedliche Schreibweisen, die jedoch alle das gleiche bedeuten. Beispielsweise sollen alle folgenden Notationen eine Wahrscheinlichkeit von 5% ausdrücken: 5,0%

5.0%

0.05

0,05

.05

---.....,

Üblicherweise wird die Wahrscheinlichkeit mit dem großen oder dem kleinen Buchstaben "P" abgekürzt, wobei das interessierende Ereignis in Klammern angehängt wird. So bezeichnet P(Würfelwurf= 3) die Wahrscheinlichkeit, dass man eine drei würfelt. Es existiert keine eindeutige Regel, wann das große "P" und wann das kleine .p" benutzt wird, und beide Schreibweisen sind korrekt. Allerdings wird in der sozialwissenschaftlichen Literatur in der Regel der Kleinbuchstabe bevorzugt. Dabei wird häufig nur der Buchstabe .p" ohne das zugehörige Ereignis angegeben. In diesem Fall muss man sich das Ereignis aus dem Zusammenhang erschließen. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis lässt sich nach der klassischen Definition von Pierre-Simon Laplace (1749-1829) berechnen, indem man die Anzahl der günstigen Fälle für ein Ereignis durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse teilt: Wahrscheinlichkeit (Ereignis A)

Anzahl der günstigen Ereignisse Anzahl der möglichen Ereignisse

= P(A) = -:-----:-:-,----"-:,....,,--:'--::--"'--:--

Was versteht man unter den günstigen und den möglichen Ereignissen? Dies wollen wir an einigen einfachen Beispielen verdeutlichen. Angenommen, man möchte die Wahrscheinlichkeit bestimmen, eine 5 oder eine 6 beim einmaligen Würfelwurf zu erhalten. Dann gibt es zwei günstige Ereignisse (die Augenzahlen 5 und 6) sowie sechs mögliche Ereignisse: P(keine 5 und keine 6)

= 100% -

P(5 oder 6)

= 100% -

33%

= 66%

107

Was ist Wahrscheinlichkeit und wie berechnet man sie?

P(5 oder 6 würfeln)

=

o

D[]I

.. .. = ~ = -'= 0,33 = 33% D D Cl D []I 6 3

Auf die gleiche Weise bestimmt man die Wahrscheinlichkeit, "Kopf' beim Münzwurf zu erhalten, mit einem günstigem ("Kopf') und zwei möglichen Ereignissen (..Kopf' oder "Zahl") als \12 = 0,5. Natürlich ist die Wahrscheinlichkeit, "Zahl" zu werfen, genau so hoch. Um beim Würfeln eine ungerade Zahl zu werfen, existieren insgesamt drei Möglichkeiten, nämlich die Augenzahlen 1, 3 und 5. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ergibt sich demnach als 3/6, beträgt also ebenfalls 1/2 = 0,5. Zu jedem Ereignis "A" existiert ein sogenanntes Komplementärereignis "non A". Das Komplementärereignis zu ,,5 oder 6" beim Würfelwurf lautet z.B. "keine 5 und keine 6" zu werfen. Bei jedem Zufallsexperiment tritt entweder ein Ereignis oder sein Komplementärereignis ein, da es ja nur diese beiden Ereignisse gibt. Deshalb addieren sich die beiden Wahrscheinlichkeiten immer zu 100%: P(A) + P(non A) = 100% P(5 oder 6) + P(keine 5 und keine 6)

= 100%

Diese Eigenschaft kann man ausnutzen, um die Wahrscheinlichkeit auszurechen, dass ein Ereignis nicht eintritt. Man zieht einfach die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt, von 100% ab und erhält die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P(keine 5 und keine 6)

= 100% -

P(5 oder 6)

= 100% -

33%

= 67%

Die Mathematik offeriert uns weitere "Abkürzungen" für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, z.B. wenn man an der Wahrscheinlichkeit für zusammengesetzte Ereignisse oder für andere komplexe Ereignisse interessiert ist. Zu den Abkürzungen zählen unter anderem der Additionssatz und der Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Additionssatz {für die Oder-Verknüpfung von Ereignissen] Schließen sich Ereignisse eines Zufallsexperiments gegenseitig aus, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis 1 oder Ereignis 2 ... oder Ereignis n eintritt, als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Da die 5 und die 6 beim einmaligen Würfelwurf nicht gemeinsam auftreten können, sie sich also gegenseitig ausschließen, lässt sich die Wahrscheinlichkeit, eine 5 oder eine 6 zu würfeln auch folgendermaßen bestimmen:

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

108

P(S oder 6)

1

1

1

= peS) + P(6) ="6 +"6 ="3 = 0,33 = 33%

Multiplikationssatz (für die Und-Verknüpjung von zwei Ereignissen] Will man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass man beim zweimaligen Würfeln zuerst eine 5 und dann eine 6 erhält, braucht man nur die Einzelwahrscheinlichkeiten multiplizieren:

P(S und 6 zu würfeln)

1 1

1

= peS) . P(6) ="6."6 = 36 = 0,03 = 3%

Auf diese Weise lässt sich auch die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person "männlich" und ,,18 Jahre alt" ist. Hierzu muss man lediglich die Einzelwahrscheinlichkeiten für "männlich" mit der von ,,18 Jahren" multiplizieren. Der Multiplikationssatz lässt sich auch auf Ereignisfolgen anwenden: Die Wahrscheinlichkeit, 4-mal hintereinander Kopf zu werfen, beträgt \12·\12· \12· \12, also \12 hoch 4 = 1/16 = 6,25%. Wichtige Voraussetzung für die Anwendung des Multiplikationssatzes ist allerdings, dass sich die zwei Ereignisse nicht gegenseitig in ihrer Wahrscheinlichkeit beeinflussen. Man spricht davon, dass die Ereignisse voneinander stochastisch unabhängig sein müssen. Das heißt, unabhängig davon, ob das eine Ereignis eintritt oder nicht, bleibt die Wahrscheinlichkeit für das andere Ereignis gleich. Die Münze hat kein Gedächtnis und deshalb ist die Wahrscheinlichkeit Kopf zu werfen bei jedem Wurf unabhängig von den vorherigen Würfen. In den Sozialwissenschaften sind "Ereignisse" allerdings häufig voneinander abhängig: Personen über 30 haben mit größerer Wahrscheinlichkeit Kinder. Wenn ich weiß, dass eine Person verwitwet ist, steigt die Chance, dass sie weiblich ist, weil Frauen im Durchschnitt länger leben als Männer. Mithilfe der oben vorgestellten Wahrscheinlichkeitsberechnung nach Laplace (Anzahl günstiger geteilt durch Anzahl möglicher Ereignisse) lassen sich Wahrscheinlichkeiten bereits vor der Durchführung eines Zufallsexperiments bestimmen. Deshalb wird diese Wahrscheinlichkeit auch als theoretische oder apriori-Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Um die Berechnung nach Laplace anwenden zu können, müssen jedoch erstens alle Elementarereignisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten und zweitens muss man die günstigen und möglichen Ereignisse abzählen können. Mit diesen Voraussetzungen kann die Bestimmung der theoretischen Wahrscheinlichkeit selbst bei einfachen, aber in den Sozialwissenschaften häufig vorkommenden Beispielen an ihre Grenzen stoßen: Wie groß ist etwa die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher findet, dass Heiraten "in" ist? Hier sind zwar die möglichen Ereignisse bekannt, nämlich "in" und "out". Aber offensichtlich unterscheiden sich die

Was ist Wahrscheinlichkeit und wie berechnet man sie?

109

Wahrscheinlichkeiten für beide Ereignisse, denn diese sind davon abhängig, wie viele der Jugendlichen in ganz Deutschland Heiraten "in" finden. Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu finden, muss man deshalb auf die Bestimmung der empirischen oder auch a-posteriori genannten Wahrscheinlichkeit zurückgreifen, die man erst nach der Durchführung eines Zufallsexperiments ermitteln kann. Sie lässt sich formal folgendermaßen ausdrücken: empirische Wahrscheinlichkeit k

n

= =

k

= n--->oo Um n

Anzahl der günstigen Ereignisse Anzahl der durchgeführten Zufallsexperimente

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist also definiert als Grenzwert (Limes) der relativen Häufigkeit, mit der das Ereignis auftritt, wenn man theoretisch unendlich viele Experimente durchführt. Wie ist diese Definition zu verstehen? Dies wollen wir zunächst am Beispiel des Münzwurfs erläutern. Die theoretische Wahrscheinlichkeit beim Münzwurf "Kopf' zu erhalten, beträgt wie oben gezeigt 1/2 = 50%. Alternativ könnte man diese Wahrscheinlichkeit auch ermitteln, indem man eine Münze sehr häufig wirft, und notiert, wie oft sie dabei "Kopf' zeigt. Dieses Experiment kann man mithilfe eines Computers simulieren. In der folgenden Tabelle sind Ergebnisse einer solchen Simulation für 10, 50, 100, 500 und 1.000 Mal werfen einer Münze aufgeführt: Tab . 5-1: Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit durchgeführte Münzwürfe

absolute Häufigkeit von "Kopf"

relative Häufigkeit von "Kopf"

10

4

4/10 = 40,0%

50

24

24/50 = 48,0%

100

51

51/100 = 51,0%

500

254

254/500 = 50,8%

1.000

502

502/1.000 = 50,2%

In unserer Simulation beträgt die relative Häufigkeit von "Kopf' bei 10 Würfen 40% und liegt damit 10 Prozentpunkte niedriger als die wahre Wahrscheinlichkeit von 50%. Bei 100 Würfen beträgt der Abstand nur noch 1 Prozentpunkt, bei 1.000 nur noch 0,2. Die relative Häufigkeit schwankt um den wahren Wahrscheinlichkeitswert von 50% und nähert sich diesem Wert mit zunehmender Zahl der Würfe immer weiter an.

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

110

Dieses Beispiel ist gut geeignet, um das Prinzip der empirischen Wahrscheinlichkeit zu verdeutlichen. Allerdings ist das Beispiel künstlich konstruiert, denn um die Computersimulation überhaupt durchführen zu können, muss man die Wahrscheinlichkeit kennen, mit der die Münze "Kopf' zeigt. Diese Wahrscheinlichkeit liegt aber in der Praxis nicht vor, sondern eben diese wird gesucht. Man kann sich aber das vorgestellte Prinzip zu Nutze machen, um in der Praxis bspw. die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, zufällig eine Jugendliche auszuwählen, die Heiraten "in" findet. Man wählt einfach zufällig (der Zufall ist dabei sehr bedeutend, ohne ihn funktioniert es nicht) mehrere Jugendliche aus. Mit zunehmender Personenzahl muss sich der relative Anteil an Personen, der Heiraten "in" findet, immer weiter dem wahren Wert bzw. der Wahrscheinlichkeit annähern. Dies ist für Stichproben der Größe 10, 100 und 1.000 in Tab. 5-2 anhand von fiktiven, aber an die Ergebnisse der Shell-Jugendstudie 2006 angelehnten Daten dargestellt. Auf Basis der empirischen Daten schätzen wir also die Wahrscheinlichkeit, in Deutschland einen Jugendlichen anzutreffen, der Heiraten "in" findet, auf 41 %. Tab. 5-2 Anzahl zufällig ausgewählter Personen

Anteil der Personen, die Heiraten "in" finden

10

48%

100

39%

1.000

41%

Der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten Auch wenn es bereits angeklungen ist, soll zur besseren Verständlichkeit an dieser Stelle noch einmal der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten kurz an einem Beispiel verdeutlicht werden. Angenommen, an einem Vortragsabend der Volkshochschule zum Thema .Erneuerbare Energien" nehmen 30 Männer und 20 Frauen teil. Die Wahrscheinlichkeit, aus den Zuhörern zufällig einen Mann für ein kurzes Interview auszuwählen, kann man bestimmen, indem man den relativen Anteil der Männer ermittelt: 30 der anwesenden 50 Personen sind Männer, was einer relativen Häufigkeit von 30/50 = 0,6 = 60% entspricht. Dies ist genau die Wahrscheinlichkeit, einen Mann auszuwählen, denn die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis entspricht genau seinem relativen Anteil am Ereignisraum. Das zahlenmäßige Verhältnis von Frauen und Männer im Ereignisraum ist in dem Kreisdiagramm in Abb. 5-1 visualisiert: Der Flächenanteil der Frauen beträgt 40% und die Männer nehmen 60% der Fläche ein.

Irren ist nicht nur menschlich, sondern auch wahrscheinlich

111

Abb. 5-1: Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten

20 Frauen = 40% 30 Männer = 60%

Die relative Häufigkeit der Männer/Frauen e ntsprieht der Wa hrschein lieh kelt, el nen Mann/eine Frau per Zufall auszuwählen.

5.2 Irren ist nicht nur menschlich, sondern auch wahrscheinlich Menschen neigen dazu, Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen falsch einzuschätzen. Nehmen wir als einfaches Beispiel das Glücksspiel Roulette, bei dem es 18 rote und 18 schwarze Zahlen sowie die grüne Null gibt. Das sogenannte Gesetz der großen Zahlen, das die Gültigkeit der oben vorgestellten empirischen Definition der Wahrscheinlichkeit garantiert, besagt, dass auf lange Sicht gesehen beim Roulette schwarz genauso häufig fallen wird wie rot Dieses Gesetz besagt jedoch nicht, was viele Glücksspieler/innen irrtümlich glauben: "Wenn fünfmal oder sogar sechs- oder siebenmal hintereinander rot gefallen ist, wird beim nächsten Mal sicherlich schwarz fallen." In vielen Casinos wird dieser Irrglaube sogar gehegt und gepflegt, denn eine elektronische Anzeige neben dem Roulette- Tisch informiert genau darüber, welche Zahlen mit welchen Farben als letztes gefallen sind. Doch gleich was die Anzeige verraten mag, bleibt die Wahrscheinlichkeit für schwarz in jeder Runde gleich und beträgt immer 18/37, also knapp 49%, denn das Roulette hat im Gegensatz zum Menschen kein Gedächtnis. Es gibt zahlreiche Wahrscheinlichkeiten, die man intuitiv aus dem Bauch heraus zu hoch oder zu niedrig ansetzt. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am gleichen Tag des Jahres Geburtstag haben, beträgt bereits bei 27 Anwesenden mehr als 50% und die Lotto-Kombination 1, 2, 3, 4, 5, 6 ist genauso wahrscheinlich wie jede andere auch, die keinem einfachen Muster folgt. Es herrscht zudem nicht immer Einigkeit und es kann einige Zeit dauern, bis komplexe Wahrscheinlichkeiten eindeutig bestimmt sind.

112

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Besonders populär geworaen ist aas ZiegenproJjlern, Dei (lern es um eine Spielshow mit drei Türen geht, bei denen hinter zweien eine Ziege und hinter einer Tür der Hauptgewinn wartet. Nachdem der Kandidat eine der Türen ausgewählt hat, öffnet die Moderatorin (die weiß, hinter welcher Tür, was steht) eine Tür mit einer Ziege. Die Wahrscheinlichkeitsfrage lautet: Erhöht die Kandidatin, wenn sie jetzt noch einmal die Tür wechselt, ihre Chancen auf den Hauptgewinn? Zum Ziegenproblem haben sich zahlreiche Mathematiker linnen gegenseitig denunziert, es wurde in mehreren Büchern aufgearbeitet (vgl. z.B. Randow 2004), es kann einen eigenen Wikipedia-Eintragvorweisen und ist unter dem Stichwort .Monty-Ilall-Problem" auch als Video im Internet verfügbar. Inzwischen ist aber unumstritten, wenn auch nicht immer intuitiv erkennbar, dass sich die Wahrscheinlichkeit von 1/3 auf 2/3 erhöht, wenn die Kandidatin die Tür wechselt ..... Walter Krämer (1995) zählt in seinem Buch .Dcnkstc! Trugschlüsse aus der Welt der Zahlen" namhafte Gelehrte auf, die einem Irrtum bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung unterlagen. Neben anderen Erklärungsansätzen, warum Menschen gerade bei Wahrscheinlichkeiten irren, weist Krämer insbesondere darauf hin, dass wir Menschen erfahrungsgeleitet sind und darauf getrimmt sind, Gesetzmäßigkeiten zu identifizieren. "Auch die einzigartige Fähigkeit des Menschen, Muster im Chaos zu entdecken, auch im größten Unsinn einen Sinn zu finden, ... schlägt bei chaotischen Prozessen leicht ins Negative aus: Wir sehen dann imaginäre Muster in Aktienkursen oder Regelmäßigkeiten bei Glücksspielen und Würfeln, wo keine Muster oder Regelmäßigkeiten sind" (ebd. Krämer 1995: 183). Fazit: Wenn man sich mit Statistik befasst, sollte man diese Eigenschaft des Menschen immer vor Augen haben und lieber einmal rechnerisch überschlagen, ob ein vermeintlich unwahrscheinliches Ereignis tatsächlich so unwahrscheinlich ist, wie es auf den ersten Blick scheint.

5.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Eine Häufigkeitsverteilung informiert darüber, wie häufig die Ausprägungen einer Variablen vorkommen. In einer Altersverteilung kann man z.B. ablesen, wie viele Personen oder wie viel Prozent der Personen 18 Jahre alt sind. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung informiert darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit die jeweils möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments auftreten können. In Abb. 5-2 sind bspw. die Wahrscheinlichkeiten der sechs Augenzahlen beim Würfeln dargestellt. So wie bei der Altersverteilung die Variable Alter mit all ihren Ausprägungen auf der x-Achse abgetragen wird, so wird bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der x-Achse eine sogenannte Zufallsvariable aufgetragen, deren Ausprägungen den möglichen Ereignissen entsprechen.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

113

Da alle sechs Augenzahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von p = 1/6 = 16,7% auftreten können, sind in Abb. 5-2 alle Säulen gleich hoch.

In Kapitel 2 haben Sie den Unterschied zwischen diskreten und stetigen Variablen kennen gelernt: Bei diskreten Variablen lassen sich die möglichen Ausprägungen abzählen (z.B. bei der Anzahl der Kinder), bei stetigen Variablen existieren unendlich viele Ausprägungen (z.B. bei der Zeitdauer in Minuten). Die gleiche Unterscheidung wendet man auch bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen an. Bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen sich die möglichen Ereignisse abzählen und sie lassen sich daher wie in Abb. 5-2 gut in Säulendiagrammen visualisieren. Stetige Verteilungen werden graphisch in Liniendiagrammen veranschaulicht, da es unendlich viele Ereignisse gibt. In der deskriptiven Statistik verwendet man üblicherweise lateinische Buchstaben für die Abkürzung wichtiger Kennwerte und so haben wir in Kapitel 2 für den Mittelwert x und für Varianz und Standardabweichung S2 und seingeführt. Bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung werden hingegen griechische Buchstaben verwendet Statt vom Mittelwert spricht man zudem von dem Erwartungswert, der mit dem Buchstaben f1 (mü) abgekürzt wird. Für die Standardabweichung verwendet man (Y (sigma). Der Einfachheit halber verwenden wir im folgenden Text statt .Erwartungswert" dennoch den Begriff "Mittelwert". Wichtig ist schließlich die Unterscheidung zwischen Kennwerten und Parametern: Die Kennwerte einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und von Grundgesamtheiten nennt man Parameter. Diese Begriffsvielfalt ist übersichtlich in folgender Abbildung dargestellt.

114

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Stichproben

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Grundgesamtheiten

.Kennwerte"

"Parameter"

"Parameter"

Mittelwert x

Erwartungswert J1

Mittelwert J1

Standardabweichung 5

Standardabweichung a

Standardabweichung a

Varianz 52

Varianz

d

Varianz

cl

Welchen Nutzen haben die Wahrscheinlichkeitsverteilungen eigentlich? Um diese Frage zu beantworten, wollen wir noch einmal die eingangs eingeführte Definition von Zufallsstichproben heranziehen. Demnach besteht eine Stichprobe aus zufällig ausgewählten Einheiten der Grundgesamtheit, wobei alle Einheiten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden können. Eine Stichprobe kann man also auch als Ergebnis eines Zufallsexperiments verstehen: Je nachdem, welche Personen ich per Zufall auswähle, erhalte ich unterschiedlich zusammengesetzte Stichproben, mit jeweils unterschiedlichen Mittelwerten, Varianzen, Standardabweichungen und Prozentanteilen. Die wichtige Bedeutung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen besteht nun darin, dass diese statistischen Kennwerte von Stichproben nicht wahllos und beliebig sind, sondern mathematisch bestimmbaren Wahrscheinlichkeitsverteilungen folgen. Angenommen, man zieht (theoretisch) sehr viele Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit, dann folgen bspw. die Mittelwerte in den Stichproben der sogenannten Normalverteilung. Wenn wir jetzt von einem Stichprobenmittelwert auf den Mittelwert der Grundgesamtheit schließen, können wir dank der Verteilung genau sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit wir richtig liegen. Wir können also mithilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine Aussage über die Genauigkeit unserer Schätzung treffen. Weil diese Überlegungen von zentraler Bedeutung für die gesamte Inferenzstatistik (also die schließende Statistik) sind, werden wir zu Beginn von Kapitel 6 unter dem Stichwort "Zentraler Grenzwertsatz" auf sie zurückkommen. In den folgenden zwei Abschnitten sollen jedoch erst einmal häufig verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorgestellt werden: die diskrete Binomialverteilung, die für die Statistik besonders wichtige stetige Normalverteilung sowie die t-, die Chi-Quadrat- und die F-Verteilung.

Die Binomialverteilung

115

5.4 Die Binomialverteilung Zur Erläuterung der Binomialverteilung greifen wir auf ein einfaches Beispiel zurück: Man wirft zweimal eine Münze und interessiert sich für die Wahrscheinlichkeiten, einmal Zahl zu erhalten. Mit der oben vorgestellten theoretischen Definition der Wahrscheinlichkeit, lässt sich diese Aufgabe leicht bewerkstelligen, denn man benötigt lediglich die Anzahl der günstigen und die Anzahl der möglichen Ereignisse. Beim zweimaligen Münzwurf können insgesamt vier mögliche Ereignisse auftreten: Zahl, Zahl

Zahl, Kopf

Kopf, Zahl

Kopf, Kopf

Es gibt zwei günstige Ereignisse, bei denen nur einmal Zahl vorkommt, nämlich bei den Abfolgen "Zahl, Kopf' und "Kopf, Zahl". Um die Wahrscheinlichkeit für einmal Zahl beim zweimaligen Münzwurf zu berechnen, muss man nun die Anzahl der günstigen (2) durch die Anzahl der möglichen Ereignisse (4) teilen:

prix Zahl bei 2 Würfen)

= 2/4 = 0,5 = 50%

Sucht man die Wahrscheinlichkeit, einmal Zahl beim dreimaligen Münzwurf zu erhalten, kann man analog vorgehen. Zunächst muss die Anzahl der möglichen Ereignisse bestimmt werden. Hierzu notiert man alle möglichen Abfolgen des dreimaligen Münzwurfes, wobei Kfür "Kopf' und Z für "Zahl" steht: ZZZ

ZZK

ZKZ

ZKK

KZZ

KKZ

KZK

KKK

Es gibt also insgesamt acht mögliche Ereignisse, wenn man dreimal hintereinander eine Münze wirft. Bei drei Ereignissen kommt genau einmal Zahl vor, und zwar, wenn man Zahl nur beim ersten, nur beim zweiten oder nur beim dritten Wurf erhält (ZKKoder KKZ oder KZK). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also:

prix Zahl bei 3 Würfen)

= 3/8 = 0,375 = 37,5%

Auf die gleiche Weise ließe sich berechnen, wie wahrscheinlich es ist, beim zehnmaligen Münzwurf genau dreimal Zahl oder beim zehnmaligen Würfelwurf genau dreimal eine Sechs zu erhalten. Dies wäre jedoch mit der vorgestellten Methode nicht mehr einfach per Hand und Taschenrechner zu bewerkstelligen. Komfortabler ist es, auf die sogenannte Binomialgleichung zurückzugreifen, die folgendes besagt:

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

116

Wenn ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es k-mal bei n hintereinander durchgeführten Zufallsexperimenten eintritt: ?(n; p; k)

=

G) .p" .

n)

wobei ( k n!

p k

(1- p)n-k

n! = ";""7---;---;" k! . (n - k)!

1· 2 . 3 ..... n (gelesen: n Fakultät] Wahrscheinlichkeit des interessierenden Ereignisses beim einmaligen Experiment = Anzahl, wie häufig das interessierende Ereignis auftreten soll = =

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, beim zehnmaligen Münzwurf genau dreimal Zahl zu erhalten, ergibt sich durch einfaches Einsetzen in die Formel, wobei n 10, denn zehnmal wird die Münze geworfen, p 0,5, denn mit dieser Wahrscheinlichkeit tritt "Zahl" bei einem Wurf ein und k 3, denn das interessierende Ereignis "Zahl" soll dreimal auftreten. ?(n

= 10;p = 0,5; k = 3) = C30).

10) wobei ( 3

10! - 3)!

= 3! . (10

=

0,5 3 . (1- 0,5)7

= 0,117 = 11,7%

1· 2 . 3 ·4· 5 . 6 . 7·8 . 9 . 10 1·2·3·1· 2 . 3 ·4·5·6·7

= 120

Mithilfe der Binomialgleichung lässt sich auch die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass eine Familie mit drei Kindern ein, zwei oder drei Mädchen hat, denn in diesem Fall gibt es drei Zufallsexperimente. k ist 1, 2 oder 3 und die Wahrscheinlichkeit für ein Mädchen kann näherungsweise als 50% angenommen werden (Beispiel aus Krämer 2002]. Die Anwendung der Binomialgleichung soll an einem weiteren Beispiel demonstriert werden. Angenommen, bei einem viertägigen Bildungsurlaub mit zehn Teilnehmenden wird jeden Morgen neu gelost, wer an diesem Tag das Protokoll zu schreiben hat. Dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit errechnen, dass eine Person zweimal Protokoll schreiben muss. In diesem Beispiel gilt: n 4 an vier Tagen wird die Protokollvergabe gelost p = 0,1 jeden Tag gibt es ein günstiges Ereignis und zehn mögliche Ereignisse k = 2 gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person zweimal ausgelost wird

117

Die Binomialverteilung

Einsetzen in die Formel ergibt: P(n

= 4;p = O,l;k = 2) =

G)·

0,1'· (1- 0,1)'

= 0,049 = 4,9%,

Das heißt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,9% muss eine Person genau zweimal während des Bildungsurlaubes Protokoll schreiben. Für die praktische Anwendung der Binomialgleichung ist es noch nicht einmal notwendig, die Formel zu bemühen und die Wahrscheinlichkeit mit der Hand zu berechnen, denn es gibt Binomialtabellen, in der man für ausgewählte Werte von n, p und k die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nachschlagen kann (vgl. Tabelle im Anhang B). Allerdings offerieren diese Tabellen zwangsläufig nur einen kleinen Ausschnitt aller möglichen p-Werte von 0 bis 1 und reichen meist nur bis n = 20. Im Internet existieren zahlreiche Binomialrechner, die in Sekundenschnelle und ohne Mühen exakte Wahrscheinlichkeiten für (fast) beliebige Eingaben von n, p und k berechnen können. Einige Links haben wir unter www.statistik-verständlich.de zusammengestellt. Von der Binomialgleichung zur Binomialverteilung ist es nur ein kleiner Schritt. Bei einer Binomialverteilung wird auf der x-Achse abgetragen, wie häufig das interessierende Ereignis auftreten kann. Die x-Achse reicht also immer von 0 bis n, weil das interessierende Ereignis Ox, Lx, 2x ... bis maximal n Mal eintreten kann. Die Höhe des Balkens k informiert über die jeweilige Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis k-Mal eintritt. Die konkrete Gestalt einer Binomialverteilung ist von den beiden Einflussgrößen n (Anzahl der Experimente) und p (Eintrittswahrscheinlichkeit des interessierenden Ereignisses) abhängig. Man kann deshalb nicht von der Binomialverteilung sprechen, sondern es gibt unendlich viele Verteilungen. Abb. 5-3 stellt die Binomialverteilung für das obige Beispiel dar, also die Verteilung mit n = 4 und p = 0,1. Abb. 5-3: Binomialverteilung für n = 4 und p = 0,1 70% c,

.ij; ~

:§

••

"E ~

~

;;:•

~

60% 50% 40% 30% 20% 4,9%

10%

0,36%

0,01%

3

4

0% 0

2

k

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

118

Aus der Abbildung liest man ab, dass eine Person mit der Wahrscheinlichkeit von gerundet 66% keinmal, mit 29%iger Wahrscheinlichkeit einmal und - wie oben bereits berechnet - mit 4,9%iger Wahrscheinlichkeit zweimal Protokoll während der vier Tage Bildungsurlaub schreiben muss. An der Abbildung kann man sich auch leicht verdeutlichen, wie man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass ein Ereignis nicht gen au k mal sondern mindestens oder höchstens k-mal auftreten soll: Hierfür addiert man einfach die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. So beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person maximal einmal Protokoll schreibt: P(k <; 1)

= P(k = 0) + P(k = 1) = 65,6% + 29,2% = 95%

Abb. 5-4 zeigt eine weitere Binomialverteilung, und zwar für n = 10 und p = 0,5, aus der man bspw. die Wahrscheinlichkeit ablesen kann, bei zehn Münzwürfen k-mal Kopf zu werfen. Mit Blick auf die beiden Abbildungen lassen sich folgende wichtige Eigenschaften von Binomialverteilungen festhalten: sie sind immer eingipflig für p = 0,5 sind sie symmetrisch für p < 0,5 sind sie linkssteil alle Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 100% Binomialverteilungen haben natürlich auch einen Mittelwert und eine Standardabweichung. Diese Parameter lassen sich folgendermaßen bestimmen: Mittelwert f1 = n . p Standardabweichung (J Für Abb. 5-4 gilt also: J1

a

= 10

=5 0,5 = 2,5

. 0,5

= 10· 0,5·

= n· p . q

Die Normalverteilung

119

Abb. 5-4: Binomialverteilung für n = 10 und p = 0,5 30% 24,6% c,

••

25%

~

~

20%

••

15%

:§ "E ~

~

;;:•

~

10% 5%

0,1% 1,0%

1,0"10 0,1%

0% 0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

k

5.5 Die Normalverteilung Die Normalverteilung wurde ursprünglich von Abraham de Moivre (16671754) und Pierre-Simon Laplace (1749-1827) als Annäherung an die Binomialverteilung entwickelt und angewandt. Am häufigsten wird die Normalverteilung jedoch mit dem Göttinger Gelehrten Carl Friedrich Gauß (1777-1855) in Verbindung gebracht, der die Normalverteilung unter anderem in der Astronomie einsetzte. In Erinnerung an Gauß spricht man auch häufig von der Gauß-Verteilung oder von der Gaußsehen Gloekenkurve, denn wie nebenstehende, schematische Abbildung einer Normalverteilung zeigt, erinnert ihre Form an eine Glocke.

1\

Eigenschaften von Normalverteilungen Neben der Glockenform sind Normalverteilungen durch weitere wichtige Eigenschaften gekennzeichnet: Normalverteilungen sind symmetrisch. Mittelwert, Median und Modus sind identisch, liegen genau in der Mitte und teilen die Verteilung in zwei gleich große Hälften. Die meisten Werte liegen nah um den Mittelwert herum und je weiter man sich vom Mittelwert entfernt, desto weniger Werte findet man. Normalverteilungen nähern sich der x-Achse an, ohne sie jemals zu erreichen. Es existieren unendlich viele verschiedene Normalverteilungen, die jeweils durch zwei Größen eindeutig bestimmt sind, nämlich durch den Mittelwert f1

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

120

und die Standardabweichung 6. Abb. 5-5 veranschaulicht drei verschiedene Normalverteilungen, die sich hinsichtlich dieser beiden Größen unterscheiden. In der Abb. 5-5 wird die Kurzschreibweise N(jl;oJ verwendet. Die Verteilung N(O;l) bezeichnet die Verteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1. Die blau eingezeichnete Verteilung N(2;O,5) ist aufgrund des größeren Mittelwerts um eine Einheit nach rechts verschoben und hat einen schmaleren und höheren Gipfel, weil ihre Streuung nur 0,5 beträgt. Abb. 5-5: Unterschiedliche Normalverteilungen

0,8 0,7

~

~ .ij; ~

:§

c

".~ ~

;;:•

0,6 0,5 0,4 0,3

~

0,2 0,1

°

-3

-2

-1

°

2

3

4

5

6

Nehmen wir einmal an, die Zeit, die vierjährige Kinder für das Zusammenlegen eines Test-Puzzles benötigen, sei normalverteilt mit einem Mittelwert von 120 Sekunden und einer Standardabweichung von 20 Sekunden. Dann zeigt Abb. 5-6 die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Normalverteilung

121

Abb. 5-6: Normalverteilte Zeit, die vierjährige Kinder für ein Test-Puzzle benötigen

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Sekunden

Anders als bei diskreten Verteilungen, lässt sich bei stetigen Verteilungen nicht die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis ablesen, denn diese strebt gegen O. Dies ist darin begründet, dass es quasi nur ein günstiges, aber unendlich viele mögliche Ereignisse gibt, da man (zumindest theoretisch) beliebig genau messen könnte. Deshalb ist in Abb. 5-6 wie bei den anderen stetigen Verteilungen in diesem Kapitel auf der y-Achse auch nicht die Wahrscheinlichkeit, sondern die sogenannte Wahrscheinlichkeitsdichte abgetragen. Statt nach einzelnen Ereignissen zu fragen, interessiert man sich bei stetigen Verteilungen für die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die in einem bestimmten Intervall liegen, etwa nach der Wahrscheinlichkeit, dass vierjährige Kinder 100 bis 140 Sekunden brauchen, um das Puzzle zusammenzulegen. Die Fläche unter der Kurve einer stetigen Verteilung setzt man auf 100%. Da alle Normalverteilungen die gleiche Form haben, ist der Flächenanteil. der in einem definierten Abstand links und rechts um den Mittelwert herum liegt, bei allen Normalverteilungen identisch. Abb. 5-7 zeigt, dass im Streuungsbereich Mittelwert ± 1 Standardabweichung 68% der Fläche liegen und im Bereich Mittelwert ± 2 Standardabweichungen 95,5% der Fläche. Diese Information lässt sich auf unser Beispiel übertragen: Die Wahrscheinlichkeit, dass vierjährige Kinder 120 ± 20 Sekunden für die Lösung des Puzzles benötigen, beträgt 68% und mit 95,5%iger Wahrscheinlichkeit, benötigen vierjährige Kinder 120 ± 40 Sekunden.

122

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Abb. 5-7:Streuungsbereiche der Normalverteilung

-20

-tc

+10

-68%-

+20

95,5%

Die Standardnormalverteilung Als Standardnormalverteilung bezeichnet man die Normalverteilung mit dem Mittelwert I' = 0 und der Streuung 0- = 1, also N(0;1). Jede Normalverteilung lässt sich mithilfe der z-Transformation, in die Standardnormalverteilung transformieren, indem jeder Wert der Verteilung nach der in Kapitel 2 vorgestellten Formel in einen z-Wert standardisiert wird, wobei wir die griechischen Buchstaben für die bei den Parameter "Mittelwert" und "Standardabweichung" verwenden:

Bei der z-Transformation (auch z-Standardisierung genannt) behält die Verteilung ihre Form, nur die Skaleneinheiten auf der x- und auf der y-Achse verändern sich. Abb. 5-8 illustriert, wie durch die z-Transformation aus der Normalverteilung für unser Beispiel eine Standardnormalverteilung entsteht. Der blau schraffierte Bereich beträgt in bei den Verteilungen 68%. Genau genommen ist die x-Achse der Standardnormalverteilung dimensionslos. doch kann man die zWerte als Standardabweichungen interpretieren: Ein z-Wert von +1 ist gleich bedeutend mit "einer Standardabweichung oberhalb" und ein z-Wert von -1 mit "einer Standardabweichung unterhalb" des Mittelwerts. Deshalb reicht der blau schraffierte Bereich in der Standardnormalverteilung in Abb. 5-8 jetzt von z = -1 bis z = +1.

Die Normalverteilung

123

Abb. 5-8: Transformation einer Normalverteilung in die Standardnormalverteilung

... 60

80

100

120

-+

140

160

180

·3

-2

-1

o

2

3

sekunden

Praktische Anwendung der Normalverteilung Die gesamte Fläche unter einer Standardnormalverteilungskurve wird auf 100% gesetzt. Für jeden z-Wert lässt sich deshalb berechnen, wie viel Prozent der Fläche von dem z-Wert abgeschnitten werden, gewissermaßen in welche zwei Stücke der z-Wert die Verteilung zerschneidet. Der z-Wert 0 halbiert die Verteilung in genau zwei gleich große Hälften mit jeweils 50%. In Abb. 5-9 sieht man, dass zu dem eingezeichneten z-Wert von 1 genau 84,1% auf der linken Seite gehören. Abb . 5-9: zugehöriger Flächenanteil zu einem z-Wert

-4

-3

-2

-1

o

3

4

Für ausgewählte z-Werte liegen die zugehörigen Flächenanteile tabelliert vor. Mathematisch formuliert geben diese Tabellen wieder, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen z-Wert oder einen kleineren ist: P(x s z). Mit den Tabellen lassen sich zwei unterschiedliche Fragen beantworten: 1. Welcher z-Wert gehört zu einem vorgegeben Flächenanteil? 2. Welcher Flächenanteil gehört zu einem vorgegeben z-Wert? Mit der Doppel- Tab. 5-3, die häufig Normalverteilungstabelle genannt wird, lassen sich beide Fragen beantworten. In der linken Teiltabelle liest man für 95%

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

124

einen z-Wertvon 1,645 ab und in der rechten Teiltabelle für den z-Wert 2 einen Flächenanteil von 97,7%. Tab. 5-3: Normalverteilungstabelle: z-Werte und zugehörige Flächenanteile linker Flächenanteil

z-wert

z-wert

linker Flächenanteil

1%

-2,326

-2

2,3%

5%

-1,645

-1

15,9%

50%

0

0

50,0%

95%

1,645

1

84,1%

99%

2,326

2

97,7%

Im Anhang B findet man für weitere z-Werte die zugehörigen Flächenanteile. Im Internet existieren Normalverteilungsrechner, in denen man benötigte Werte auch online berechnen kann (siehe www.statistik-verständlich.de). Wie lassen sich die Flächenanteile unter der Normalverteilungskurve interpretieren und anwenden? An dieser Stelle haben wir die Normalverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung eingeführt, die Flächen stehen also für Wahrscheinlichkeiten. Weiter oben in diesem Kapitel haben Sie erfahren, dass zwischen Wahrscheinlichkeiten und relativen Häufigkeiten ein direkter Zusammenhang besteht und je nach Anwendungsfall kann man die Flächen unter der Normalverteilungskurve auch als Häufigkeiten auffassen. Bei dieser Sichtweise ist es möglich, einzelne Messwerte im Verhältnis zu den anderen Messwerten zu beurteilen. Weiß man z.B., dass der vierjährige Nils 100 Sekunden benötigt hat, um das Test-Puzzle zusammenzulegen, kann man diesen Wert mit Hilfe der zTransformation standardisieren, indem man den Mittelwert abzieht und durch die Standardabweichung teilt (vgl. Kapitel 3):

z(Nils) =

100 Sek. - 120 Sek. 20Sek.

-20 Sek. ""'2"'0"'S"'e7k-.

=-1

Anhand dieses z-Wertes können wir zunächst bestimmen, wie schnell Nils das Puzzle im Verhältnis zum Mittelwert zusammengelegt hat, denn die -1 verrät uns, dass Nils eine Standardabweichung schneller als der Durchschnitt war. Da wir aber zusätzlich wissen, dass die Zeit für das Puzzlezusammensetzen normalverteilt ist, und wir Nils mithilfe der z-Standardisierung genau auf der xAchse lokalisieren können, lässt sich sogar berechnen, wie viele Kinder weniger Zeit und wie viele mehr benötigen. Dazu schaut man in die Normalverteilungstabelle und bestimmt den Flächenanteil. der zu z = -1 gehört: In Tab. 5-3 liest man in der rechten Tabellenseite einen Anteil von 15,9% ab. Dies entspricht

Die Normalverteilung

125

dem Anteil an Kindern, der weniger Zeit oder genauso viel Zeit wie Nils für das Test-Puzzle benötigt. Um den Anteil zu bestimmen, der länger benötigt als Nils, muss man den linken Flächenanteil einfach von 100% abziehen. Der Anteil ergibt sich also als 100% - 15,9% = 84,1 %.

Bedeutung der Normalverteilung Mehrfach wurde in diesem Kapitel die besondere Bedeutung der Normalverteilung für die Statistik betont. Hierfür gibt es verschiedene Gründe: 1. Die Normalverteilung wird verwendet, um die Gültigkeit von Aussagen einzuschätzen, denn wenn man genügend große Stichproben zieht, folgen die Mittelwerte dieser Stichproben einer Normalverteilung. Dies führen wir in Kapitel 6 weiter aus. 2. Viele andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen können durch die Normalverteilung angenähert werden. So kann man für die Binomialverteilung die Werte der Normalverteilung verwenden, wenn n . p . q > 9 gilt, also eine entsprechend große Fallzahl vorliegt. Für die symmetrische Binomialverteilung mit p = 0,5 liefert die Normalverteilung bereits bei n > 36 ausreichend gute Werte, für p = 0,1 ist die Normalverteilung erst bei n > 100 anwendbar. 3. Die Normalverteilung wird für die Anwendung vieler statistischer Verfahren vorausgesetzt. 4. Einige empirische Merkmale folgen einer Normalverteilung. So sind altersspezifische Körpergewichte und die Körpergrößen von Frauen und die von Männern normalverteilt. Weitere Beispiele führt Krämer (2002: 83f.) an: "Der Intelligenzquotient aller erwachsenen Bundesbürger. die täglichen Renditen von Aktien der Deutschen Bank ... das Schlachtgewicht von Mastochsen einer Rasse x, die jährlichen Niederschläge (in mm) am Flughafen Prankfurt/Mam, der Hektarertrag an Weizen eines bestimmten Feldes über mehrere Jahre, usw," Es handelt sich um Merkmale, die sich aus der Summe vieler Einflüsse ergeben, die dem Zufall unterliegen. Beispielsweise wird der Intelligenzquotient durch die Gene, die Eltern, die Lehrer linnen, die Geschwister, die Spielkameraden und vielem mehr beeinflusst (vgl. ebd.: 84). Allerdings sind wenige der normalverteilten Merkmale für die Sozialwissenschaft relevant Die Zustimmung zu einer Aussage wie "Bürger können nur wenig Energie einsparen", gemessen auf einer 7er Skala ist z.B. selten normalverteilt. Erst wenn man mehrere Umwelteinstellungen aufsummiert; steigt die Wahrscheinlichkeit, dass man ein normalverteiltes Merkmal erhält.

126

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

5.6 Die t-Verteilung Die t-Verteilung ist die "kleine Schwester" der Standardnormalverteilung. Vereinfacht gesprochen kommt sie immer dann zum Einsatz, wenn nur wenige Daten zur Verfügung stehen, und zwar bei Stichproben mit n < 30. Die t-Verteilung ist flacher als die Normalverteilung, denn gewissermaßen besteht der Preis, den man für die geringe Datenmenge zahlen muss, darin, dass die Werte stärker streuen und weniger Werte nahe am Mittelwert liegen. Es gibt nicht nur eine t-Verteilung, sondern unendlich viele t-Verteilungen, die sich hinsichtlich einer Größe unterscheiden: dem Freiheitsgrad (engl. degrees of frccdom, abgekürzt "d/'). Der Freiheitsgrad errechnet sich je nach Anwendungsart der t-Verteilung auf unterschiedliche Weise aus der Anzahl der Untersuchungseinheiten der Stichprobe. Abb. 5-10 zeigt die t-Verteilung für die Freiheitsgrade df = 3 und df = 30. Abb. 5-10: t-Verteilungen für die Freiheitsgrade df= 3 und df= 30

-4

-3

-2

-1

o

3

4

t

Wie bei allen stetigen Verteilungen wird auch die Fläche unter einer t-Verteilung auf 100% gesetzt, so dass zu jedem t-Wert ein entsprechender Flächenanteil gehört. In der Abb. 5-10 ist in der t-Verteilung für df= 30 der t-Wert 1,70 eingezeichnet, der links von der Verteilung 95% und rechts 5% abschneidet. Auch für die t-Verteilung existieren Rechner im Internet, mit deren Hilfe sich zu jedem t-Wert und einen ausgewählten Freiheitsgrad die zugehörige Fläche, also die zugehörige Wahrscheinlichkeit berechnen lässt (vgl. www.statistikverständlich.de). Anhang B enthält eine Tabelle mit t-Werten für die häufig verwendeten Prozentanteile von 95%, 99% und 99,9%. Alle (Standard- )t-Verteilungen haben den Mittelwert Null, und zwar unabhängig von der Höhe des Freiheitsgrads. Dieser beeinflusst jedoch, wie hoch eine t-Verteilung ist, denn je größer der Freiheitsgrad, desto enger liegen die Werte um den Mittelwert herum und desto weniger verteilen sie sich auf die Randbereiche rechts und links. In Abb. 5-10 sieht man, dass der Gipfel der t-

Die Chi-Quadrat-Verteilung

127

Verteilung für df= 30 höher ist und die gesamte Verteilung etwas dichter um den Mittelwert herum liegt als bei der t-Verteilung für df= 5. Für größer werdende Freiheitsgrade geht die t-Verteilung in eine Normalverteilung über, etwa ab df= 30 ist optisch kein Unterschied mehr im Kurvenverlaufzu erkennen. Bereits für df= 105 unterscheidet sich der t-Wert, der links von der Verteilung 95% abschneidet, nur noch in der zweiten Nachkommastelle vom z-Wert, der die gleiche Fläche der Standardnormalverteilung abschneidet: Z95% = 1,645; t95%, df=105 = 1,659.

5.7 Die Chi-Quadrat-Verteilung Die ebenfalls stetige Chi-Quadrat-Verteilung (abgekürzt mit dem griechischen X 2 ) ist definiert als Summe von n quadrierten und standardisierten Zufallsvariablen. Wie bei der t-Verteilung gibt es unendlich viele Chi-Quadrat-Verteilungen, die sich nach ihrer Anzahl der Freiheitsgrade unterscheiden. Die Anzahl der Freiheitsgrade entspricht dabei der Anzahl der Summanden. Abb. 5-11 gibt die Formen der Chi-Quadrat-Verteilungen mit df= 1, df= 4 und df= 10 wieder. Während Verteilungen mit df< 2 nur monoton abfallen, steigen diejenigen mit höheren Freiheitsgraden erst an, um dann wieder abzufallen. Ein Blick auf die xAchse verrät, dass diese Verteilung nur für positive x-Werte definiert ist. Die Chi-Quadrat-Verteilung wird häufig - wie im Kapitel 4 erläutert - beim Vergleich von Erwartungswerten mit beobachteten Werten eingesetzt. Im Anhang B finden sich für ausgewählte Freiheitsgrade Chi-Quadrat-Werte, die 95%, 99% und 99,9% Flächenanteil auf der linken Seite abschneiden. Abb. 5-11: Chi-Quadrat-Verteilungen für die Freiheitsgrade df= 1, df= 4 und df= 10

~

0,4

.~ :§

0,3

".-5e

0,2

df = 1

'C ~

"E

;;:•

~

df = 10

0,1

Chi-Quadrat

0,0

°

5

10

15

20

128

Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

5.8 Die F-Verteilung Die stetige F-Verteilung erhielt ihren Namen von Ronald Fisher (1890-1962), einem Biologen und Statistiker aus London. Die Verteilung ist definiert als Quotient aus zwei Zufallsvariablen, die der Chi-Quadrat-Verteilung folgen, und kommt häufig zum Einsatz, wenn es um die Wahrscheinlichkeitsabschätzung von Varianzverhältnissen geht, z.B. bei der Varianzanalyse in Kapitel 8. Da in ihre Berechnung zwei Chi-Quadrat-verteilte Variablen einfließen, ist eine F-Verteilung nur durch zwei Freiheitsgrade eindeutig bestimmt, nämlich durch den Freiheitsgrad des Zählers und des Nenners. Abb. 5-12 zeigt die F-Verteilung für die zwei Kombinationen von Freiheitsgraden dfl = 1 und df2 = 10 sowie dfl = 5 und df2 = 5. Auch die F-Verteilung ist tabelliert im Anhang B zu finden. Abb. 5-12: F-Verteilungen für zwei verschiedene Kombinationen von Freiheitsgraden 1,0

~

~ .ij;

0,8

~

:§

••C

0,6

~

~

;;:•

0,4

~

0,2 0,0

°

2

3

4

6

Die Logik des statistischen Schließens

Population, Grundgesa mtheit, Verteilungsformen, Normalverteilung und Standardnormalverteilung - nachdem diese Begriffe im vorangehenden Kapitel eingeführ t wurden, schrei ten wir jetzt weiter voran ins Zent ru m der Inferenzstatistik. In diesem Kapite l geht es um Schätzen und Test en, um Regelmäßigkeiten in der Vert eilung von Stichprobenp arametern, um Nullhypoth esen und Alternativhypoth esen und um das Grundp rinzip des statistische n Schließens. Sta tistisc he Begriffe haben immer mehr in unsere Alltagswelt Einzug gehalten . Täglich sind w ir mit Meldungen und Information en konfrontiert, in denen von signifikanten Ergebnissen in repräsentativen Studien die Red e ist - und sogleich s ind wir gene igt, dem Gesagten Glaub en zu sche nken, sche int es doch durch dieses Zaub erw ort qua si bewiesen ("signifikant"!) und durch die Hinweise au f die Repräsentativität der Stichprobe auc h gegen jeden Verdacht des Singu lär en immunisiert. Mit statist ischen Schlüssen ve rhält es sic h aber gar nicht so ei nfach, wie wir dies im Alltag bei der Lektü re so lcher For schungsergebnisse vielleicht gerne glauben möchten. Das statistische Schließe n besitzt eine Reihe von Vor au sset zun gen, Stolperfallen und Unsicherheit en . Die Basis von allde m sind Grundannahmen über die Verteilung von Stichp robenkenn werten.

6.1 Die Verteilung von Stichprobenkennwe rten Das Ziel der Inferen zstatistik ist es, von den bekannten Kennwerten einer Stichprobe (z.B. Mitt elwert, Varianz), auf die unbekannten Paramet er einer Grundge samt he it zu schließen. War um ste llt sich die ses Prob lem überh aupt? Der w ichtigste Grund ist, dass es we gen des immensen Aufwand es praktisch unm öglich und unb ezah lbar ist, die entsprechenden interessierend en Kenn werte der Grund gesamt heit zu ermitteln. Wir können nicht die Mathem atikkomp etenzen aller deutschen Sch ülerinnen und Schüler mit Hilfe eines Tests unt ersu chen und sie anschließend mit de n Schülerinnen und Schülern de r ande re n 26 EU-Länder verg leiche n. Selbst ein so einfach zu erhebend es Merkmal wie Körpergröße oder Gewicht w ürde bei 80 Millionen Probanden in Deutschlan d mit riesig en Erhebu ngskosten verb unde n sein, so dass sich jeder Gedank e an eine so lche Stud ie von vor nherein ver bietet. Eine Vollerhebu ng der Grundgesamthei t ist aber auch - der statistischen Theorie sei Dank - re lativ überflüssig, weil man aus einer ge-

130

Die Logik des statistischen Schließens

nügend großen Stichprobe die gewünschten Information mit einer hinreichenden Genauigkeit schließen (schätzen) kann. Um die Problematik von Stichprobe und Grundgesamtheit zu verdeutlichen, wollen wir zunächst einen kleinen virtuellen Versuch starten, und zwar nicht mit einer unbekannten, sondern einer bekannten Grundgesamtheit, nämlich den 2034 Personen, die in der Studie .Llmweltbewusstsein in Deutschland'? befragt wurden". Diese Personen sollen für die folgenden Überlegungen die Grundgesamtheit darstellen, ihr Durchschnittsalter beträgt 48,9 Jahre. Wir ziehen nun aus dieser Grundgesamtheit eine Zufallsstichprobe von n = 100 Personen und ermitteln für diese Stichprobe das Durchschnittsalter. Das Ziehen der Stichprobe könnte man nach dem Umenmodell" per Hand realisieren, bequemer geschieht dies mit einem Statistikprogramm, das in der Lage ist, Zufallsstichproben gewünschter Größe zu ziehen. Für diesen Versuch haben wir die Stichprobe mit Hilfe von SPSS gezogen; das Ergebnis zeigt, dass die jüngste Person unserer 100-er Stichprobe 19 jahre alt ist und die älteste 77. Der Altersmittelwert beträgt 51,1 jahre und die Standardabweichung 15,97 jahre. Versetzen wir uns nun in die Lage, auf der Basis dieser Stichprobe den Altersdurchschnitt aller 2034 Befragten erraten zu müssen: Wie würden wir vorgehen? Da man keinen anderen Wert als diesen Stichprobenmittelwert von 51,1 Jahren zur Verfügung hat, ist es naheliegend, eben diesen als Schätzwert des Altersmittelwerts der Grundgesamtheit zu benutzen und den Mittelwert der Grundgesamtheit ebenfalls mit 51,1 Jahren zu veranschlagen. Was wir bis zu diesem Punkt getan haben, bezeichnet man als Parameterschätzung: Der uns unbekannte Parameter "Mittelwert der Grundgesamtheit" wurde aus einem Stichprobenmittelwert geschätzt. Bei diesem Versuch kennen wir aber den "wirklichen" Mittelwert der 2034 Personen, der also durch die Schätzung um 1,2 Jahre verfehlt würde. Wir starten nun einen zweiten Versuch und ziehen erneut eine Stichprobe von n = 100. Das minimale Alter beträgt nun laut SPSS-Ausdruck 19 [ahre, das maximale 83. Als Mittelwert wird 49,6 (Standardabweichung 17,95) berechnet. Diese Stichprobe ist also etwas jünger als beim ersten Versuch. Um die Sache an dieser Stelle abzukürzen, haben wir die Ergebnisse unserer ersten bei den und acht weiterer Versuche in Tab. 6-1 zusammengestellt.

8 9

Siehe Kuckartz et al. 2006 Wer den Versuch selbst ausprobieren will, kann die Daten der Studie in Form einer SPSSDatei unter www.statistik-verständlich.de herunterladen. 10 Hierzu mussten sich alle 2034 Personen ähnlich wie die 49 Lottokugeln in einer Urne befinden, aus der sie dann zufällig gezogen wurden.

131

Die Verteilung von Stichprobenkennwerten

Tab. 6-1: Mittelwerte von Zufallsstichproben der Größe n = 100 Versuch

Mittelwert der Stichprobe

Abweichung vom Mittelwert der Grundgesamtheit (48,9)

1

51,1

+0,2

2

49,6

+0,3

3

46,3

-2,6

4

49,4

+0,5

5

50,0

+1,1

6

45,3

-3,6

7

47,6

-1,3

8

49,8

+0,9

9

45,9

-3,0

10

48,7

-0,2

Die Werte der zweiten Spalte beinhalten die Verteilung des Stichprobenparameters Mittelwert für eine gegebene Stichprobengröße (hier n = 100). Für die Streuung dieser Verteilung lassen sich auch Varianz und Standardabweichung berechnen, wobei zu beachten ist, dass es sich dabei um etwas Anderes handelt als um die Streuung der 100 Messwerte. Die dritte Spalte gibt an, wie weit die jeweiligen Stichprobenmittelwerte vom Mittelwert der Grundgesamtheit abweichen. Es ist erkennbar, dass sich der Mittelwert in drei Stichproben um mehr als 2 Jahre vom Populationsmittelwert unterscheidet. Wir führen nun eine zweite Versuchsreihe durch, diesmal mit einem größeren Stichprobenumfang von n = 300. Es ergeben sich die in Tab. 6-2 dargestellten Mittelwerte und Abweichungen:

Die Logik des statistischen Schließens

132

Tab. 6-2: Mittelwerte von Zufallsstichproben der Größe n = 300 Versuch

Mittelwert der Stichprobe

Abweichung vom Mittelwert der Grundgesamtheit (48,9)

1

48,2

-0,7

2

49,0

+0,1

3

48 ,6

-0,3

4

48,9

0

5

50,1

+1,2

6

49 ,5

+1,6

7

48,6

-0,3

8

50,3

+1,4

9

48,9

0

10

48,2

-0,7

Auf den ersten Blick ist schon zu erkennen, dass die Stichprobenmittelwerte weniger schwanken als zuvor bei der kleineren Stichprobe mit n = 100 und die maximale Abweichung vom Populationsmittelwert beträgt nur noch 1,6 Jahre. Würde man die Stichprobengröße nun immer weiter erhöhen, so würde sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte immer mehr der Normalverteilung annähern, wobei der Mittelwert dem Mittelwert der Grundgesamtheit entsprechen würde. Diese Erkenntnis führt uns zu einem der zentralen Lehrsätze der schließenden Statistik, dem zentralen Grenzwertsatz, der im Kern besagt, dass Stichprobenkennwerte normalverteilt sind. 11 Die Mittelwerte von hinreichend großen Stichproben (n ;:: 30) verteilen sich normal um p, den Mittelwert der Grundgesamtheit. Diese Verteilung ist unabhängig von der Verteilung der Werte der Grundgesamtheit, d.h. diese müssen nicht normalverteilt sein. ..... Für kleine Stichproben (n < 30) folgen Stichprobenkennwerte nicht der Normalverteilung sondern der t-Verteilung mit df = n-l Freiheitsgraden.

11 Genau genommen besagt das zentrale Grenzwerttheorem, dass Summen von Zufallsvariablen normalverteilt sind. Die n Messwerte Xi einer Stichprobe werden dabei als voneinander unabhängige Realisierung einer Zufallsvariablen betrachtet

Konfidenzintervalle

133

Stichprobenkennwerte weisen wie oben gezeigt eine Streuung auf, dabei wird die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts als Standard/eh/er oder Stichprobenfehler des Mittelwerts bezeichnet. Der Standardfehler lässt sich nach folgender Formel aus der Standardabweichung der Messwerte schätzen: Standardfehler

fix

r;,

= ~-:;

Für unser allererstes Experiment mit der lOOer-Stichprobe beträgt der Standardfehler also: 15,97'

15,97

----:wcJ = 10 = 1,597 Je größer der Standardfehler ist, desto unsicherer ist die Schätzung des Mittelwerts, d.h. die Genauigkeit der Schätzung hängt entscheidend von der Streuung der Variablenwerte ab: Je kleiner die Streuung der Messwerte, desto genauer die Schätzung, je größer die Streuung desto unpräziser.

6.2 Konfidenzintervalle Dank des zentralen Grenzwertsatzes und der Möglichkeit, unbekannte Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen, können wir nun die in Kapitel 5.5 dargelegten Erkenntnisse über die Eigenschaften der Normalverteilung und insbesondere der Standardnormalverteilung kreativ anwenden. Dort war gezeigt worden, wie man zunächst einen Messwert in einen z-Wert transformieren und dann mit Hilfe der Standardnormalverteilung bestimmen kann, wie groß der Anteil der Verteilung ist, der in einem bestimmten Messwertebereich liegt. Für jede Person der Stichprobe lässt sich auf diese Weise angeben, wie viele Einheiten (in Standardabweichungen gemessen) sie vom Mittelwert positiv oder negativ entfernt ist (84% hatten zum Zusammenlegen des Puzzles länger gebraucht als der kleine Nils mit einem z-Wert von 1). Genau dasselbe kann man nun auch für Stichprobenkennwerte tun und damit bspw. ermitteln, innerhalb welchen Wertebereichs wie viele Prozent der Kennwerte liegen. Bei der Schätzung von Parametern der Grundgesamtheit ist man nicht nur an der Angabe eines ganz bestimmten Wertes (Punktschätzung) interessiert, sondern man möchte auch wissen, innerhalb welchen Bereichs der Parameter mit großer Sicherheit liegt (Intervallschätzung).

Die Logik des statistischen Schließens

134

Mit dem Begriff Konjiaenzintervall J:)ezeidinet man den Bereicn, innernall:5 dessen ein bestimmter Prozentsatz aller möglichen Populationsparameter liegt12. Am häufigsten wird das 95% Konfidenzintervall berechnet, gelegentlich auch das 99% Intervall. Wie berechnet man nun das 95%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert? Die allgemeine Formel lautet für die untere bzw. obere Grenze: Untere Grenze: Obere Grenze:

j1-

z·

fix

f1 + z· fix

Im Fall unseres Beispiels kennen wir den Mittelwert der Grundgesamtheit (n = 2034), er beträgt 48,9 Jahre. Meist sind die Parameter der Grundgesamtheit

nicht bekannt, dann verwendet man die Stichprobenwerte als Schätzung. Zur Berechnung der konkreten Unter- und Obergrenze ersetzen wir z in den obigen Formeln durch die entsprechenden z-Werte der Standardnormalverteilung. Der Tabelle der Standardnormalverteilung im Anhang B lässt sich entnehmen, dass sich 95% der Werte zwischen z = -1,96 und z = +1,96 befinden, d.h. wir setzen -1,96 bzw. +1,96 in die Formeln für die Grenzen des Intervalls ein. Für das Konfidenzintervall ergibt sich somit folgende Rechnung: Untere Grenze: Obere Grenze:

x - 1,96 . fj = 48,9 - 1,96 . 1,597 = 45,8 x + 1,96 . fj = 48,9 + 1,96 . 1,597 = 52,0

In Worten bedeutet dies "In 95% aller Fälle, in denen eine Stichprobe dieser Größe (n = 100) aus der Grundgesamtheit gezogen wird, liegt der Mittelwert zwischen 45,8 und 52,0. Um ein anderes Konfidenzintervall zu berechnen sind lediglich die der Standardnormalverteilungstabelle (Anhang B) zu entnehmenden z-Werte anstelle von 1,96 einzusetzen, z.B. 2,58 für die Berechnung des 99%-Konfidenzintervalls: Untere Grenze: Obere Grenze:

x - 2,58 . & = 48,9 - 2,58 . 1,597 = 44,8 x + 2,58 . fj = 48,9 + 2,58 . 1,597 = 53,0

12 Korrekterweise musste man eigentlich formulieren, dass in x% aller Fälle, in denen man eine Stichprobe zieht, der betreffende Parameter innerhalb des Konfidenzintervalls liegt.

135

Die statistische Hypothese

6.3 Die statistische Hypothese Die Logik des statistischen Hypothesentestens baut auf den Verteilungseigenschaften statistischer Kennwerte und dem zentralen Grenzwertsatz auf. Auch im Alltag ziehen wir Schlüsse und formulieren Hypothesen: Zum Beispiel gehen wir als Erstsemester/in um 10 Uhr in eine Vorlesung, deren Beginn für 10 Uhr angekündigt ist und stellen fest, dass der Hörsaal noch ziemlich leer ist und die Lehrkraft, ohne irgendeine Spur von Hektik zu zeigen, noch mit der Inbetriebnahme der Beameranlage beschäftigt ist. Daraus leiten wir die Hypothese ab, dass entweder unsere Uhr falsch geht oder die Vorlesung doch erst später beginnt, als es im Vorlesungsverzeichnis ausgedruckt ist. Von der ersten Hypothese rücken wir aber gleich wieder ab, als wir sehen, dass die Uhr im Hörsaal exakt die gleiche Uhrzeit wie die eigene Armbanduhr anzeigt. Der verspätete Beginn hat also offenbar nichts mit einem Defekt unserer Uhr zu tun. Wir entscheiden uns deshalb für die zweite Variante und fragen die Kommilitonin in der Reihe vor uns, was hier eigentlich los sei und erfahren, dass Vorlesungen und Seminare normalerweise erst eine Viertelstunde später als angekündigt beginnen. Beim nächsten Mal werden wir also etwas später in die Vorlesung gehen. Alltagshypothesen unterscheiden sich grundlegend von statistischen Hypothesen: Während es dort ein Alltagsproblem ist, dessen Lösung wir mit einiger Tüftelei, mit Fragen und Trial-and-error herausfinden können, handelt es sich bei statistischen Hypothesen um formalisierte Aussagen, um eine möglichst präzise Annahme, die wir mit statistischen Mitteln - und zwar einem Kalkül auf der Basis von Verteilungsannahmen - systematisch überprüfen. Die Grundeinheit einer statistischen Hypothese ist die Variable. Eine mit den Mitteln der Statistik zu prüfende Hypothese ist immer als eine präzise Aussage zu formulieren, in der ein Zusammenhang zwischen mindestens zwei Variablen behauptet wird. Dabei besitzt eine Variable immer mindestens zwei Ausprägungen - ansonsten wäre es ja auch keine Variable, sondern eine Konstante. Jede Hypothese muss so formuliert sein, dass sie auch scheitern kann, d.h. sich empirisch im Rahmen der durchgeführten Studie und auf der Basis der dafür erhobenen Daten als falsch erweisen kann. Eine einfache Hypothese könnte etwa lauten: Frauen sind klimabewusster als Männer. Es ergibt sich eine Art Vier-Felder-Tafel: 1

2

klimabewusste Männer

klima bewusste Frauen

3

4

nicht klima bewusste Männer

nicht klirna bewusste Frauen

136

Die Logik des statistischen Schließens

Trifft die Hypothese zu, so müsste sich dies auch in der Vier-Felder-Tafel niederschlagen, und zwar so, dass im Idealfall nur Felder auf der Diagonalen besetzt sind, hier also Feld 2 .Jdimabewusste Frauen" und Feld 3 "nicht klimabewusste Männer". Ist das nicht der Fall, d.h. gibt es prozentual vielleicht sogar mehr klimabewusste Männer als Frauen, so ist die Hypothese augenscheinlich gescheitert. Es gibt nun allerdings auch noch eine dritte Möglichkeit, nämlich dass die empirischen Häufigkeiten und der sich dort zeigende Zusammenhang auf die Zufälligkeit der Auswahl der Probanden zurückzuführen sind. Beim statistiscnen Hypolliesentest prüft man einen empirisdien Sadiverli:alt gegen die Zufälligkeit einer solchen Verteilung. Der statistische Hypothesentest ist immer eine Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten: Man prüft nicht einfach, ob eine Hypothese richtig oder falsch ist, zutrifft oder nicht, sondern man stellt zwei Hypothesen einander gegenüber: die sogenannte AIternativhyp,othese und die Nullhyp,"'o"th"'e "s"'e. -' Der Begriff Alternativhypothese, üblicherweise mit Hi abgekürzt, hat nichts mit der "alternativen Szene" oder anderen Alltagsbedeutungen von "alternativ" zu tun, sondern das Wort "alternativ" hat hier die Bedeutung von "neu". Die als Alternativhypothese formulierte Aussage ist es, die im Mittelpunkt des Interesses der Forschenden steht. Hiermit möchte man ein bestimmtes Phänomen erklären und Zusammenhänge offen legen. Das tut man gewöhnlich nur im Falle eines bisher nicht oder nur unzureichend erklärten Sachverhalts. Insofern ist der Begriff "alternativ" ganz treffend, denn es ist eine neue Erklärung, alternativ und/oder ergänzend zum bisherigen Forschungsstand. Die Nullhypothese, abgekürzt mit Ho, ist nun eine formale Gegenhypothese zur formulierten Alternativhypothese. Sie ist eine Negativhypothese, mit der behauptet wird, dass die zur Alternativhypothese komplementäre Aussage richtig ist. Die Nullhypothese besagt schlichtweg, dass der postulierte Zusammenhang null und nichtig ist. Die Nullhypothese ist eine Annahme über die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen. ...... Null- und Alternativhypothese sind miteinander konfrontiert wie die Abgeordneten von Regierung und Opposition im englischen Parlament. Es gibt nur zwei Alternativen, entweder H1 oder Ho trifft zu, eine dritte Möglichkeit existiert nicht, der Kampf kann also weder unentschieden ausgehen, noch kann die Alternativhypothese "ein bisschen zutreffen". Das Entscheidungskalkül ist dabei konservativ, d.h. die Nullhypothese hat eigentlich die besseren Chancen, dass die Entscheidung für sie ausfällt - solange

137

Die statistische Hypothese

man die empirischen Gegebenheiten mit hinreichender Wahrscheinlichkeit aus dem Zufall erklären kann, solange behält man auch die Ho bei. Wichtig zum Verständnis der Logik des statistischen Schließens ist, dass die beiden sich gegenüberstehenden Hypothesen auf die Grundgesamtheit beziehen. Dies ist der Zusammenhang, der eigentlich interessiert: ein Zusammenhang zwischen zwei Variablen in der Grundgesamtheit Um die Parameter der Grundgesamtheit von den Kennwerten der Stichprobe zu unterscheiden, benutzt man bei Formeln und Notationen griechische Buchstaben für die Parameter der Grundgesamtheit. Aus einer Alternativhypothese ergibt sich qua logischer Gegenüberstellung die statistische Nullhypothese. Alternativhypothese (HI) und Nullhypothese (Ho) sind zueinander komplementäre Aussagen. Die Nullhypothese ist eine formale Gegenhypothese, die behauptet, dass der in H1formulierte Zusammenhang nicht existi"'e"'rt". ..... Wenn bspw. eine neue Methode des Schriftspracherwerbs gegenüber der herkömmlichen Methode getestet werden soll, kann man die Alternativhypothese "Die neue Methode ist besser als die alte" aufstellen. Die Nullhypothese würde folglich lauten "Die alte Methode ist besser oder gleich gut wie die neue". Formalisiert schreibt man folgendes, wobei f1 für den Mittelwert der Grundgesamtheit steht: Ho: flneu ~ flalt

Andere denkbare Formulierungen für die Alternativhypothese und die komplementäre Nullhypothese lauten: Hi: flneu < flalt Hi: flneu # flalt

Ho: flneu ~ flalt Ho: flneu = flalt

Arten von Hypothesen Es lassen sich verschiedene Arten von Hypothesen unterscheiden: Unterschieds- und Zusammenhangshypothesen: Unterschiedshypothesen untersuchen, ob systematische Unterschiede zwischen zwei und mehr Gruppen bestehen. Beispiele: "Frauen sind umweltbewusster als Männer"; "Das Klimabewusstsein unterscheidet sich nach Bildungsstand"; "Kinder mit Migrationshintergrund besuchen seltener weiterführende Schulen"; "Durch ein frühpädagogisches Förderprogramm lässt sich der Spracherwerb entscheidend verbessern". Zusammenhangshypothesen untersuchen Zusammenhänge zwischen mindestens zwei Variablen. Beispiele: "Je öfter Kinder mit dem Gameboy spielen, desto schlechter können sie sich konzentrieren"; "Je posi-

Die Logik des statistischen Schließens

138

tiver eine Person zum Umweltschutz eingestellt ist, desto positiver ist auch ihr Umweltverhalten"; "Je länger die Schul- und Hochschulausbildung dauert, desto höher das Einkommen". Gerichtete und ungerichtete Hypothesen: Die ungerichtete Hypothese behauptet, dass zwischen zwei Merkmalen ein Zusammenhang besteht, ohne dass eine Angabe über die Richtung des Zusammenhangs gemacht wird. Beispiel: "Das Umweltbewusstsein differiert nach Geschlecht"; "Das Klimabewusstsein unterscheidet sich nach Bildungsstand"; .Llmweltbewusstsein und Umweltverhalten hängen zusammen". Die gerichtete Hypothese beinhaltet bereits eine Angabe über die Richtung des vermuteten Zusammenhangs, z.B.: "Frauen sind umweltbewusster als Männer"; "Kinder mit Migrationshintergrund besuchen seltener weiterführende Schulen". Spezifische und unspezifische Hypothesen: Die oben formulierten Hypothesen sind allesamt unspezifische Hypothesen, denn es wird nicht angegeben, wie groß der Unterschied bzw. wie groß der Zusammenhang ist. Wenn man in der Lage ist, die Größe anzugeben (Beispiel: "Kinder mit Migrationshintergrund besuchen halb so häufig weiterführende Schulen wie Kinder ohne Migrationshintergrund"), bezeichnet man die Hypothese als spezifische Hypothese.

6.4 Der Hypothesentest Wir haben oben gezeigt, dass der Stichprobenkennwert Mittelwert (x) normalverteilt ist, d.h. wir können für jeden beliebigen Stichprobenmittelwert berechnen, wie wahrscheinlich das Auftreten dieses oder größerer Werte ist. Die Nullhypothese stellt eine Annahme über die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen dar, betrachten wir hierzu die folgende Mittelwertsverteilung (Abb. 6-1). In der Grafik bezeichnet fk den Mittelwert der Grundgesamtheit und x den in der Stichprobe ermittelten Mittelwert. In der Grafik liegt dieser Mittelwert der Stichprobe relativ weit von flo entfernt. Mit dem schraffierten Bereich a wird der Bereich unterhalb der Normalverteilungskurve bezeichnet, welcher der Wahrscheinlichkeit von x und allen größeren Werten entspricht. Es dürfte deutlich werden, dass dieser Bereich schrumpft, wenn x größer wird, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert aus dieser Verteilung mit den Parametern flo und 0"0 stammt, sinkt mit steigender Entfernung zu flo.

Der Hypothesentest

139

Abb.6-1

• '"

x

Da die Normalverteilungskurve sich asymptotisch der x-Achse nähert, diese aber nie schneidet, gibt es keinen Punkt, keinen Schwellenwert. jenseits dessen man mit Sicherheit sagen könnte, dass der Stichprobenmittelwert nicht aus dieser Verteilung stammen kann. Man kann also bei diesem Modell des Hypothesentestens nie ausschließen, dass die Nullhypothese doch gilt, sondern lediglich eine äußerst geringe Wahrscheinlichkeit diagnostizieren. Das Modell des statistischen Schließens schafft also keine Sicherheit, sondern verspricht nur Wahrscheinlichkeiten. Das kann in Situationen und Konflikten der Lebenswelt durchaus entscheidende Bedeutung haben. Es macht eben für die gesellschaftliche Kommunikation einen Unterschied, ob Wissenschaftler linnen einen GAU in einem Atomkraftwerk ausschließen können oder ob sie feststellen, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner als 0,0001 ist. Wenn sie dann noch einräumen müssen, dass die Aussage des Modells "einmal in 10.000 Jahren" auch bedeuten kann, dass dieses besagte Ereignis zufällig bereits im nächsten Jahr eintreten könnte, trägt dies vermutlich nicht zur Beruhigung der Bevölkerung bei. Der Mittelwert einer Stichprobe lässt sich immer aus der mit der Nullhypothese verbundenen Verteilungsannahme erklären. Wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, den aufgetretenen Wert unter der Annahme der Gültigkeit der Nullhypothese zu erklären, können wir relativ leicht ermitteln, in dem wir den zu x gehörenden z-Wert berechnen und in der Tabelle der Normalverteilung nachschlagen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von diesem und allen größeren Werten ist. Würde man sich in der obigen Abbildung für die Alternativhypothese entscheiden (d.h. x entstammt nicht der abgebildeten Verteilung), so wäre diese Entscheidung mit der Irrtumswahrscheinlichkeit a belastet. Angenommen, diese betrüge 3%, ließe sich auch formulieren: "Die Irrtumswahrscheinlichkeit bei meiner Entscheidung für die Alternativhypothese beträgt 3%" oder "Lehne ich die Nullhypothese ab, so begehe ich mit 3% Wahrscheinlichkeit einen Fehler". Wie viel Irrtumswahrscheinlichkeit ist man bereit zu akzeptieren? Die empirische Forschung hat hier gewisse Konventionen entwickelt und bezeichnet die-

140

Die Logik des statistischen Schließens

se als Signijikanzniveaus. Es ist also nicht so, dass jeweils neu zu entscheiden wäre, wie viel Prozent Irrtumswahrscheinlichkeit man genau akzeptieren will, sondern die Wahl reduziert sich auf die Entscheidung zwischen verschiedenen vorgegebenen Signifikanzniveaus. Die empirische Forschung unterscheidet in der Regel das 10/0- und das 5%-Signifikanzniveau, in manchen (seltenen) Fällen arbeitet man - bei kleinen Stichproben - auch mit dem 10% Niveau.

Beträgt die Wahrscheinlichkeit des gefundenen oder eines extremeren Untersuchungsergebnisses unter der Annahme, die Ho sei richtig, höchstens 5%, so wird dieses Ergebnis als signifikant bezeichnet. Beträgt diese Wahrscheinlichkeit höchstens 1%, so ist das Ergebnis sehr signifikant (synomym: hoch ..... sign iflkant).~

Die Wahl des Signifikanzniveaus ist abhängig von der Stichprobengröße einerseits und von den Konsequenzen eines Fehlers andererseits. Bei großen Stichproben (n > 1000) sollte das l%-Niveau gewählt werden. Gleiches gilt, wenn eine Fehlentscheidung zugunsten der Hi gravierende Folgen nach sich ziehen würde, bspw. dass eine neue Lernmethode mit neuen Schulbüchern im Schulunterricht eingeführt würde oder Präventionsprogramme implementiert würden, die sehr große Kosten nach sich ziehen. Alle mit dem statistischen Testen verbundenen Fragen sind - wie ein Blick auf die Formel zur Ermittlung des Standardfehlers zeigt - aufs engste mit der Stichprobengröße verknüpft. Je größer n, desto geringer der Standardfehler. Dieser nimmt proportional zur Quadratwurzel des Stichprobenumfanges ab. Dies bedeutet praktisch, dass man den Stichprobenumfang vervierfachen müsste, um den Standardfehler zu halbieren.

6.5 Einseitige und zweiseitige Tests Hypothesen können wie oben dargelegt gerichtet oder ungerichtet sein. Für gerichtete Hypothesen werden einseitige, für ungerichtete zweiseitige Tests durchgeführt Für den einseitigen Test ergibt sich folgende Situation: Überschreitet der Stichprobenmittelwert einen bestimmten Punkt, die Signifikanzschwelle oder Signifikanzhürde, so führt dies zur Ablehnung der Nullhypothese. Alle Stichprobenmittelwerte, die größer sind, liegen im Ablehnungsbereich, der in der Grafik blau dargestellt ist. Alle Werte im weißen Bereich links davon führen zur Beibehaltung der Ho (Annahmebereich). Bei Wahl des l%-Niveaus anstelle des S%-Niveaus rückt der Schwellenwert auf der x-Achse weiter nach rechts und a wird entsprechend kleiner. Es kann selbstverständlich vorkommen, dass Stichprobenmittelwerte zwischen den Schwellenwerten 1%- und S%-

141

Einseitige und zweiseitige Tests

Niveau liegen, d.h. das eine Mal (1%-Niveau) würde man sich für die Ho, das andere Mal (5%-Niveau) für die Hi entscheiden. Betrachten wir das zu Beginn dieses Kapitels dargestellte Beispiel einer Population von n = 2034 Personen, der Mittelwert des Alters flo beträgt 48,9 Jahre. Nun hätten wir bei der Stichprobe von n = 100 einen Altersmittelwert von 52,5 ermittelt und unsere Hypothese wäre, dass es sehr unwahrscheinlich ist, dass diese im Mittel deutlich ältere Stichprobe aus der Grundgesamtheit mit flo = 48,9 stammt. Für die gerichtet formulierte Hypothese ergibt sich die in Abb. 6-2 dargestellte Situation. x liegt im Ablehnungsbereich. d.li. die Nullliypotliese wird abgelelint und die Entsclieidung erfolgt pro Alternativliypotliese. Abb.6-2

Ho ablehnen

Ho annehmen

a I" = 48,9

x= 52,S

Bei der ungerichteten Hypothese und dem zweiseitigen Hypothesentest ergibt sich eine etwas veränderte Situation, die in Abb. 6-3 dargestellt ist Jetzt gibt es aufbeiden Seiten der Verteilung einen Ablehnungsbereich, da ja in der Hypothese nichts über die Richtung des Zusammenhangs ausgesagt wird. Die Irrtumswahrscheinlichkeit a wird nun zu gleichen Teilen auf die bei den Seiten aufgeteilt. Die Konsequenz ist folglich, dass die Signifikanzschwelle bei der gerichteten Hypothese niedriger ist, denn dann ist - bildlich gesprochen - alle Irrtumswahrscheinlichkeit an einer Seite angelagert, so dass die Chance, dass der Stichprobenmittelwert nicht mehr im Annahmebereich der Nullhypothese liegt, größer ist. Und tatsächlich liegt in unserem Beispiel der Stichprobenmittelwert von 52,5 Jahren jetzt außerhalb des verkleinerten Signifikanzbereichs und wir würden in diesem Fall die Ho annehmen.

Die Logik des statistischen Schließens

142

Abb.6-3

Ho ablehnen

Ho annehmen

Hoablehnen

a/2 X= 52,5

1J,O=48,9

Beim Testen von Hypothesen sind zwei Punkte unbedingt zu beachten: Erstens müssen die Hypothesen vor dem Test formuliert werden. Also es muss vorher klar sein, ob die Hypothese gerichtet oder ungerichtet ist und ob dementsprechend ein einseitiger oder zweiseitiger Test durchzuführen ist. Eine spätere Modifikation der Hypothese mit dem Ziel, die Hi annehmen zu können, ist nicht statthaft.

Zweitens sollte die Zahl der Hypothesentests möglichst gering gehalten werden, denn bei einer hinreichend großen Zahl wächst aufgrund der gegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit die Gefahr, sich irrtümlich für die Alternativhypothese zu entscheiden.

6.6 Alpha-Fehler und Beta-Fehler Das inferenzstatistische Hypothesentesten bezieht sich immer auf die Grundgesamtheit, deren Parameter meist unbekannt sind. Ob die in den Hypothesen formulierten Zusammenhänge "stimmen", wird immer mit Blick auf die Grundgesamtheit untersucht und nicht lediglich beschränkt auf die Stichprobe. Beim Entscheidungsprozess Nullhypothese versus Alternativhypothese existieren nun prinzipiell vier Varianten für eine richtige bzw. falsche Entscheidung: In der Grundgesamtheit gilt die

Entscheidung aufgrund der Stichprobe (empirische Studie)

Ho

H,

Ho

richt ige Entscheidung

ß-Fehler (Fehler 2. Art)

H,

a-Fehler (Fehler 1. Art)

richtige Entscheidung

Alpha-Fehler und Beta-Fehler

143

Unproblematisch ist das Feld Ho/Ho, d.h. in der Grundgesamtheit gilt die Ho und aufgrund der Ergebnisse der Stichprobe entscheidet man sich richtigerweise ebenfalls für die Ho. Ein Beispiel: Die Ergebnisse einer Studie an der Uni Marburg zeigen keine Unterschiede zwischen Studierenden der Medizin und Ingenieurstudierenden hinsichtlich der wöchentlich für das Studium benötigten Zeit. Gleiches gilt in der Grundgesamtheit. Ähnlich verhält es sich im Fall Hi/Hi, wenn man sich aufgrund der Ergebnisse der Stichprobe für die H, entscheidet. Die Stichprobe zeigt: Studierende der Medizin verbringen wöchentlich mehr Zeit mit dem Studium als Studierende der Soziologie. Dies gilt auch in der Grundgesamtheit, die Entscheidung ist richtig. Die Kombinationen Ho/Hi bzw. Hi/Ho stellen hingegen fehlerhafte Entscheidungen dar. Im einen Fall [Hi /Ho] entscheidet man sich aufgrund der Ergebnisse der Stichprobe für die Hi Ga, es gibt einen Unterschied zwischen den beiden Gruppen), aber in der Grundgesamtheit gilt die Nullhypothese (also kein Zusammenhang). Diesen Fehler bezeichnet man als Fehler erster Art (engl. type I error) oder Alpha-Fehler. Bei der Kombination Hc /Hi gilt genau das Umgekehrte: Man entscheidet sich aufgrund der Stichprobenergebnisse für die Beibehaltung der Ho, aber in der Grundgesamtheit gilt die Hi (entgegen den Ergebnissen der Studie unterscheiden sich Medizinstudierende und Ingenieursstudierende doch). Diesen Fehler bezeichnet man als Fehler zweiter Art (eng!. type II error) oder Beta-Fehler. Wie man die Alpha-Irrtumswahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art, bestimmen kann, wurde in diesem Kapitel ausführlich beschrieben. Ein vergleichbares Verfahren für die Bestimmung des Beta-Fehlers existiert aber nicht. Warum dies so ist, lässt sich leicht nachvollziehen: Der BetaFehler soll ja angeben, wie wahrscheinlich es ist, dass der gefundene Mittelwert der Stichprobe aus einer (alternativen) Verteilung mit dem Mittelwert ui und dem Standardfehler ai stammt. Nun weiß man aber gar nichts über eine solche Verteilung und kann folglich auch keinen Verteilungsmittelwert und keinen Standardfehler schätzen. Theoretisch könnte es sich um unendlich viele alternative Verteilungen handeln. Der Beta-Fehler lässt sich nur dann bestimmen, wenn man eine spezifische Hypothese formuliert, also eine Information über u: und ai besitzt. Nur für diesen Fall ist man in der Lage, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass der Mittelwert der Stichprobe aus einer Kennwerteverteilung mit eben diesen beiden Parametern stammt. Spezifische Hypothesen werden in der erziehungs- und sozialwissenschaftlichen Forschung aber nur selten formuliert und insofern findet man in der Forschungsliteratur auch nur selten Angaben zu Beta-Fehlern, während die Alpha-Irrtumswahrscheinlichkeit einen auf Schritt und Tritt begleitet.

144

Die Logik des statistischen Schließens

6.7 Signifikanz - ein Begriff, der in die Irre führen kann Signifikant, das wissen diejenigen die in der Schule Latein lernen konnten (mussten), bedeutet entscheidend, wichtig, bedeutsam. So könnte man denn auch annehmen, dass ein signifikantes Ergebnis eben ein bedeutsames ist. Manche schließen aus dem Begriff "signifikant" sogar, dass damit ein Ergebnis der empirischen Studie bewiesen sei. Das ist aber gerade nicht die Bedeutung, wenn ein Forschungsresultat als statistisch signifikant bezeichnet wird. Beim statistischen Hypothesentest bedeutet die Formulierung, dass ein Ergebnis signifikant ist, lediglich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass dieses zufällig entstanden ist, also aus der Nullhypothese erklärt werden kann, gering ist. Diese reduzierte Bedeutung des Untersuchungsbefunds "signifikant" mag auf den ersten Blick enttäuschend klingen, denn es ist eben nicht so, dass man durch einen statistischen Test die "Wahrheit" finden könnte oder ihr doch zumindest immer näher käme. Nein, man findet keine Wahrheiten, sondern man muss immer mit einem a-Fehler rechnen. Die Art und Weise, wie die Entscheidung für die Alternativhypothese gefällt wird, ist alles andere als einfach und direkt - für Außenstehende ist sie nicht leicht verständlich. Die Entscheidung für die Alternativhypothese erfolgt immer nur indirekt, nämlich als Umkehrschluss. Umgekehrt: Auch ein nichtsignifikantes Ergebnis ist keineswegs ein Beleg für die Richtigkeit der Nullhypothese. Sie ist damit keineswegs bewiesen und aus dem Tatbestand, dass die Alpha-Irrtumswahrscheinlichkeit bspw. 6% beträgt, lässt sich keineswegs der Schluss ziehen, die Nullhypothese gelte mit 94% Sicherheit. Auch aus einer hohen Irrtumswahrscheinlichkeit und der daraus folgenden klaren Entscheidung pro Ho lässt sich keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit der Gültigkeit der Ho ableiten. Es lässt sich lediglich behaupten, dass das empirische Ergebnis gut mit der Ho vereinbar ist, aber es ist ein Fehlschluss anzunehmen, dass die Ho umso richtiger sei, je höher die Alpha- Irrtumswahrscheinlichkeit ist. Gleiches gilt für die H 1 : Hat man sich bspw. aufgrund von a< 1% für die H 1 entschieden, so kann man deshalb noch lange nicht behaupten, diese gelte mit einer Wahrscheinlichkeit größer 99%. Generell gilt, dass sich die Irrtumswahrscheinlichkeit in folgenden Fällen vermindert: mit größer werdender Differenz von Stichprobenmittelwert und Mittelwert der Grundgesamtheit, mit kleiner werdender Populationsstreuung und mit vergrößertem Stichprobenumfang. Vor allem in der Nähe der Signifikanzschwelle befindet man sich also in einem recht unsicheren Terrain, weiß man doch, dass eine Erhöhung der Stichproben-

145

Effektgröße

größe in einer zukünftigen Untersuchung höchstwahrscheinlich zu einem signifikanten Ergebnis führen würde. Zudem ist es so, dass bei genügend großer Stichprobe hypothesenkonforme Unterschiede immer signifikant werden. Auch dies stellt in der öffentlichen Kommunikation über Ergebnisse wissenschaftlicher Forschung ein Problem dar, weil hierdurch auch substantiell ziemlich irrelevante Ergebnisse als signifikant (gleich bedeutsam) dargestellt werden. Die inhaltliche Bedeutsamkeit ist eine Frage der absoluten Differenz von Stichprobenmittelwert und Mittelwert der Grundgesamtheit und nicht eine Frage, die durch den Signifikanztest beantwortet wird. ...

6.8 Effektgröße Die Effektgröße (eng!. effeet size], häufig auch Effektstärke genannt, ist ein Maß für die praktische Bedeutsamkeit eines gefundenen Zusammenhangs. Die Signifikanz ist, wie dargestellt, abhängig von der Stichprobengröße und insofern kein geeignetes Maß, um einschätzen zu können, ob ein Ergebnis wirklich praktisch bedeutsam ist. Ob Mittelwertsunterschiede zwischen Experimentalgruppe und Kontrollgruppe - oder allgemein formuliert zwischen zwei Gruppen - von praktischer Bedeutung sind, ist natürlich zuallererst eine Frage der theoretischen Bewertung. Wenn ein pädagogisches Frühförderprogramm bei drei jährigen Kindern bspw. dazu führt, dass nach einer sechsmonatigen Intervention bei einem kognitiven Test im Mittel 102 anstelle von 98 Punkten erreicht werden, so bedarf dies vorrangig einer pädagogischen Bewertung, bei der sicherlich auch die Kosten eines solchen Programms nicht unberücksichtigt bleiben können. Die Effektgröße als Maßzahl liefert für eine solche Bewertung eine wertvolle Grundlage, denn sie setzt die Unterschiede zwischen den bei den Gruppenmittelwerten ins Verhältnis zur Standardabweichung der Population, d.h. es findet eine Art Normierung statt, welche die Vergleichbarkeit von Resultaten ermöglicht. Vergleichen lassen sich mittels der Maßzahl .Effektgröfse" nicht nur verschiedene empirische Studien, sondern auch Ergebnisse, die mit verschiedenen Messinstrumenten erhoben wurden. Insofern ist die Effektgröße insbesondere für Metaanalysen, in der Resultate unterschiedlicher empirischer Studien miteinander verglichen werden, von besonderer Bedeutung. Die Effektgröße für die standardisierte Mittelwertsdifferenz (in Kapitel 7 wird hierüber mehr ausgeführt) wird nach folgender Formel bestimmt: Effektgröße für Mittelwertsdifferenzen

= /11 ~ /12 a

146

Die Logik des statistischen Schließens

Die griechischen Buchstaben lassen erkennen, dass sich alle Größen der Gleichung auf Parameter der Grundgesamtheit beziehen. In den meisten Fällen liegen diese nicht vor, sondern müssen aus den empirisch ermittelten Kennwerten der beiden Gruppen geschätzt werden. Cohen (1988) unterscheidet zwischen drei Effektstufen bei Mittelwertsdifferenzen: kleine (0,2), mittlere (0,5) und große Effekte (0,8). Effektstärkenmaße existieren in zahlreichen Formen und für unterschiedliche Anwendungen, also nicht nur für Mittelwertsdifferenzen. In Kombination mit Überlegungen zu Alpha- und Beta-Irrtumswahrscheinlichkeiten, die man zu akzeptieren bereit ist, gestatten solche Maße nicht nur eine A-posterioriBestimmung der Effektgröße, sondern mit ihrer Hilfe lassen sich auch für geplante Untersuchungen optimale Stichprobengrößen bestimmen, um so eine angestrebte Effektgröße auch nachweisen zu können (vgl. Bortz 2005: 125ff.).

7

t- Test: zwei Mittelwerte vergleichen

In Kapite l 3 wurde das Verfahre n zum Berechne n eines Mitte lwerts besc hrieben und der Hinweis gegeben, dass man anha nd von Mi tte lwerten Datenmeng en s chnell zusammenfassend beschr eiben kann. In der deskrip tiven Sta tistik können Mitt elwerte leicht miteinander verglichen werden: Beispielsweise könnte man fests tellen, da ss sich die Mädchen einer Kindergartengruppe durc hschnittlich schneller die Schuhe binden als die [ungen, Die schließende Sta tisti k geht jed och über ein en solchen Vergleich hinaus, sie w ill von in Stichpro ben gemessenen Werten auf d ie Werte der Grundgesamtheit schließen. Das hei ßt man möchte nun w issen, i nwiew eit man einen Unt er schi ed, den man in ei ner bzw,

zwei Zufallsstichpr oben ermittelt hat, auf die Grundgesam theit verallgemeinern kann : Sind Mädchen generell motori sch geschickter und binden s ich de sha lb schneller die Schuhe als Jungen? Oder ist der Unterschied zufä llig entstanden, Z.B. weil die Mädchen zum großen Teil in einer Ki nderg artengruppe sind, in der ein Praktikant vor kurzem das Schuhebinden mit den Kindern geü bt hat? Mithilfe des t-Tests, der in diesem Kapitel er läute rt wird, kann man ermitteln, ob der Unterschied zwisc hen zwei Mittelwerten signifikant ist. Es gibt nicht nur eine n, sondern verschiedene t-Tests. In Abb. 7-1 ist ei n Entscheidungsbaum dargestellt, dem zu entn ehmen ist, welcher t-Test wann angewendet werden kann. Abhängige und unabhängige Stichpraben Als ers tes ist zu klär en, ob es sich um abhängige (engl. de pendent) oder una bhän gige (en gl. independent) Stichproben handelt. Eine unabh ängige Stichprobe liegt dann vor, we nn die Pers onen der zwei Stichpro be n in keiner sich beeinfluss end en Beziehung stehen, bspw. eine Stichprobe von 50 Grundschulkindern in Berlin und eine Stichpro be von 50 Grundschulkind ern in Hamburg.

t- Test: zwei Mittelwerte vergleichen

148

Abb. 7-1: Entscheidungsbaum für die Auswahl des geeigneten t-Testes Zwei Mittelwerte vergleichen

homogene Varianzen

I

t-Test für homogene Varianzen

(KapiteI7.1)

I

unabhängige

abhängige

Stichproben

Stichproben

heterogene Varianzen

I

t-Test für heterogene

t-Test für

Varianzen

abhängige Stichproben

(KapiteI7.1)

(Kapitel 7.2)

Um abhängige Stichproben handelt es sich, wenn sich die Messwerte der bei den Stichproben paarweise verbinden lassen. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn bei der gleichen Stichprobe ein Merkmal zu zwei verschiedenen Zeitpunkten erhoben wird, bspw. wenn bei einer pädagogischen Maßnahme des Jugendamts für Scheidungskinder die Stressbewältigungsfähigkeit der Kinder vor und nach der Teilnahme an der Maßnahme erhoben wird. Um abhängige Stichproben handelt es sich auch, wenn Geschwisterpaare, Ehepaare oder Mütter und ihre Kinder befragt werden. Messwerte aus unabhängigen Stichproben: die Messwerte der bei den Gruppen stehen in keiner Beziehung zueinander z.B.: Anzahl der besuchten Weiterbildungsveranstaltungen von Männern und Frauen oder die Einstellung zu Atomkraft von Personen in der Stadt und auf dem Land.

Messwerte aus abhängigen Stichproben: die Messwerte lassen sich paarweise verbinden z.B.: Die Stressbewältigungsfähigkeit von Kindern vor und nach der Teilnahme an einer pädagogischen Maßnahme des Jugendamtes oder die Einstellung zur Elternzeit von Ehefrauen und ihren Ehemännern.

Mittelwerte von zwei unabhängigen Stichproben vergleichen

149

Varianzhomogenität und -heterogenität Liegen zwei unabhängige Stichproben vor, muss als nächstes die Varianzhomogenität getestet werden. Varianzhomogenität ist dann gegeben, wenn sich die Varianzen des Merkmals in den bei den Stichproben, z.B. Grundschulkinder auf dem Land und Grundschulkinder in der Stadt, nicht signifikant voneinander unterscheiden. Üblicherweise wird die Varianzhomogenität mit dem Levene- Test überprüft. Ein signifikantes Ergebnis des Levene- Tests bedeutet, dass die Varianzen heterogen sind, sich also unterscheiden.

7.1

Mittelwerte von zwei unabhängigen Stichproben vergleichen

Angenommen man habe das Klimabewusstsein von Grundschulkindern auf dem Land und Grundschulkindern in der Stadt von zwei Zufallsstichproben mit jeweils 100 Kindern gemessen und die folgenden Mittelwerte für eine Skala .Klimabewusstsein" berechnet: Grundschulkinder Stadt: 21,0

Grundschulkinder Land: 19,1

Mit Hilfe des t- Tests lässt sich - wie eingangs ausgeführt - analysieren, wie wahrscheinlich es ist, dass die Mittelwertsdifferenz von 1,9 Punkten zufällig durch die Zusammensetzung der Stichproben entstanden ist. Bei der Durchführung des t- Tests für zwei unabhängige Stichproben werden zunächst die zu testende Alternativ- und Nullhypothese aufgestellt

Formulieren der Hypothesen Man kann entweder eine gerichtete oder eine ungerichtete Hypothese aufstellen (vgl. Kapitel 6). Ungerichtete Hypothesen postulieren lediglich einen Unterschied zwischen zwei Gruppen: "Die Lesefähigkeit deutscher Grundschulkinder unterscheidet sich von der Lesefähigkeit finnischer Grundschulkinder". Gerichtete Hypothesen beinhalten auch eine Aussage über die Richtung des Unterschieds: "Die Lesefähigkeit deutscher Grundschulkinder ist geringer als die von finnischen Grundschulkinder." Für unser Beispiel lassen sich also folgende Hypothesen aufstellen, wobei die griechischen Buchstaben zeigen, dass es sich natürlich um Hypothesen über die Grundgesamtheit handelt.

t- Test: zwei Mittelwerte vergleichen

150

ungerichtet (=zweiseitig)

Alternativhypothese Ht

Nullhypothese Ho

Das Klimabewusstsein von Grundschulkindern in der Stadt und auf dem Land unterscheidet sich :

Das Klimabewusstsein von Grundschulkindern in der Stadt und auf dem Land unterscheidet sich nicht:

usuuu. gerichtet (=einseitig)

* Jhand

uscou. = Jhand

Grundschul kinder in der Stadt haben ein größeres Klimabewusstsein als Grundschul kinder auf dem Land: J!Stadt

Grundschulkinder in der Stadt haben ein kleineres oder gleich großes Klimabewusstsein als Grundschulkinder auf dem Land:

> Jhand

J!Stadt ~ Jhand

Berechnung der Prüfg röße t und der Freiheitsgrade für homogene Varianzen Nach der Formulierung der Hypothesen wird die Prüfgröße t berechnet, anhand derer man bestimmen kann, wie wahrscheinlich es ist, dass die gefundene Mittelwertsdifferenz auftritt. Für homogene Varianzen ist t definiert als Quotient von Mittelwertsdifferenz und Standardfehler der Mittelwertsdifferenz:

= Mittelwert der Stichprobe 1 = Mittelwert der Stichprobe 2 = geschätzter Standardfehler der

Mittelwertsdifferenz in der Grundge-

samtheit Was versteht man unter dem Standardfehler der Mittelwertsdifferenz? Wenn man (theoretisch) unendlich oft die Mittelwertsdifferenz von zwei Zufallsstichproben ermittelt, erhält man eine Verteilung. Die Streuung dieser Verteilung nennt man Standardfehler. Dieser Wert ist unbekannt und wird aus den Stichprobendaten anhand folgender Formel geschätzt, was darin zum Ausdruck kommt, dass der Buchstabe Sigma [o] ein Dach trägt: (ni - 1) . s{ (ni - 1) n,

= Anzahl der Fälle in Stichprobe 1

n, = Anzahl der Fälle in Stichprobe 2

+ (n, - 1) . s~ + (n, -1)

.

J

1 n,

+1 tta

st = Varianz der Stichprobe 1 s~

= Varianz der Stichprobe 2

151

Mittelwerte von zwei unabhängigen Stichproben vergleichen

Berechnen wir nun die Prüfgröße t für die unterschiedlichen Mittelwerte des Klimabewusstseins für die Stichprobe auf dem Land und die Stichprobe in der Stadt anhand der folgenden Daten: Grundschulkinder Stadt

Grundschulkinder Land

Mittelwert Klimabewusstsein i\ = 21,0

Mittelwert Klimabewusstsein X2 = 19,1

Stichprobengröße: n 1 = 100 Kinder

Stichprobengröße: n 2 = 100 Kinder

Standardabweichung:

Standardabweichung:

Varianz

si

(Tl

= 2,5

Varianz

= 6,2

si

(T2

= 2,5

= 6,4

Zunächst wird auf der Grundlage der Varianzen in den beiden Stichproben der Standardfehler der Mittelwertsdifferenz geschätzt: (100 - 1) . 6,2 2 + (100 - 1) . 6,42 (100 - 1)

+ (100 -

1)

Nun kann der geschätzte Standardfehler in die Formel zur Berechnung der Prüfgröße t eingesetzt werden und es ergibt sich: Xl

-xz

t=--8CXI-XZ)

21,0 - 19,1 0,89 = 2,13

Wie in Kapitel 5 erläutert, gibt es nicht eine t-Verteilung, sondern unendlich viele t-Verteilungen. Die Form einer t-Verteilung hängt von der Anzahl der Freiheitsgrade ab, die beim t- Test für zwei unabhängige Stichproben wie folgt bestimmt werden: Freiheitsgrade d f

= (n i -

1)

+ (n, -

1)

=

n,

+ tta -

2

Für unser Beispiel gilt also: df

= 100 + 100 -

2

= 198

Berechnung der größe t und der Freiheitsgrade für heterogene Varianzen Sind die Varianzen der beiden Stichproben heterogen, muss eine im Nenner leicht veränderte Formel für die Bestimmung der Prüfgröße t verwendet werden.

152

t- Test: zwei Mittelwerte vergleichen

Prüfgröße t für heterogene Varianzen

Xl

x2 sf

=

Mittelwert der Stichprobe ls~= Varianz der Stichprobe 2 Mittelwert der Stichprobe 2n 1 = Anzahl der Fälle in Stichprobe 1 = Varianz der Stichprobe 1 n z = Anzahl der Fälle in Stichprobe 2

Auch die Freiheitsgrade werden bei Stichproben mit heterogenen Varianzen nach einer anderen Formel berechnet. Wenn man diese veränderte Formel anwendet, können sich für djnicht-ganzzahlige Werte ergeben. Zum Beispiel ist im Abschnitt 7.3 in den Ergebnistabellen von SPSS und SYSTAT für heterogene Varianzen ein Wert von df= 1955,296 aufgeführt, während die Berechnung der Freiheitsgrade für homogene Varianzen zu einem Ergebnis von df= 2011 kommt. Zufallswahrscheinlichkeit der Prüfgröße t bestimmen Es gibt zwei Varianten, um die Zufallswahrscheinlichkeit der Prüfgröße t zu bestimmen. In der heute üblichen Variante greift man auf den exakten Signifikanzwert zurück, der von einer Statistiksoftware ausgegeben wird. Für eine Prüfgröße t und eine bestimmte Anzahl von Freiheitsgraden erhält man dort den zugehörigen Signifikanzwert, wie z.B. p = 0,568 oder p = 0,047. Im ersten Fall wird die Nullhypothese beibehalten, da die Irrtumswahrscheinlichkeit mit 56,8% über 5% liegt. Im zweiten Fall ist die Irrtumswahrscheinlichkeit p mit 4,7% geringer als 5% und man entscheidet sich demzufolge für die Alternativhypothese (vgl. Kapitel 6.4). Bei der zweiten Variante vergleicht man den empirisch berechneten t-Wert mit einem sogenannten kritischen t-Wert. Für dieses Vorgehen nimmt man tabellarische Darstellungen von t-Verteilungen zu Hilfe, denen für verschiedene Irrtumswahrscheinlichkeiten sogenannte kritische t-Werte zu entnehmen sind, die die Signifikanzgrenzen angeben. Wenn die empirisch ermittelte Prüfgröße t den für ihre Freiheitsgrade maßgeblichen kritischen t-Wert überschreitet, bezeichnet man das Ergebnis als signifikant. Jede Spalte der t- Tabelle im Anhang B enthält die kritischen t-Werte für eine bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit. Man kann erkennen, dass die kritischen t-Werte kleiner werden, je größer die Anzahl der Freiheitsgrade ist. Für kleine Stichproben muss also ein höherer t-Wert überschritten werden. Den kritischen t-Wert ermittelt man, indem man den Wert in der Tabelle identifiziert, der sich im Kreuzungspunkt von Signifikanzniveau und den Freiheitsgraden befindet.

Mittelwerte von zwei unabhängigen Stichproben vergleichen

153

Wir testen nun die ungerichtete Alternativhypothese H1 "Das Klimabewusstsein von Grundschulkindern in der Stadt und auf dem Land unterscheidet sich" und legen dabei das Signifikanzniveau auf 5% fest. Die Anzahl der berechneten Freiheitsgrade von df= 98 ist jedoch in keiner Zeile der t-Tabelle aufgeführt. Daher muss der nächst niedrigere Wert für df identifiziert werden, in diesem Fall der Wert df= 60. Aus der t-Tabelle kann in der Zeile für die Anzahl von 60 Freiheitsgraden und der Spalte für eine zweiseitige Fragestellung mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 5% ein kritischer t-Wert von 2,00 abgelesen werden. Die oben errechnete Prüfgröße t übersteigt also den kritischen t-Wert. ....

.P.r'""üfgröße t = 2,13

>

kritischen-Wert = 2,0 "'0 "-

..1

Der Mittelwertunterschied der beiden Gruppen ist demnach auf dem 5%-Niveau signifikant und wir entscheiden uns mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von maximal 5% für die Alternativhypothese. nämlich dass sich das Klimabewusstsein von Grundschulkindern in der Stadt und auf dem Land unterscheidet. Die grundsätzlichen Entscheidungsregeln sind noch einmal in folgendem Kasten veranschaulicht Der t- Tabelle kann man einen kritischen t-Wert tem entnehmen. Ist der Betrag der Prüfgröße t größer als dieser Wert, ist der Mittelwertsunterschied signifikant. Ist die Prüfgröße t kleiner oder gleich groß, ist der Mittelwertsunterschied nicht signifikant. Entscheidungsregel für Alternativ- oder Nullhypothese: Prüfgröße t> tem = Entscheidung für die Alternativhypothese Hi Prüfgröße t < tilfn = Entscheidung für die Nullhy p.:I00~th~e..s:oe..H ..o....

...

Effektstärke beim t-Test für unabhängige Stichproben Wie entscheidet man nun, ob eine gefundene signifikante Mittelwertsdifferenz als groß oder als klein zu interpretieren ist? Hierfür haben wir in Kapitel 6.8 die Effektstärke eingeführt, die beim t- Test über die Stärke der Mittelwertsdifferenz informiert. Die Effektstärke wird beim t-Test für unabhängige Stichproben nach folgender Formel bestimmt:

Effektstärke einer Mittelwertsdifferenz

x -x

=~ "p

Xl

Xz 8p

Mittelwert der Stichprobe 1 als Schätzung für die Grundgesamtheit Mittelwert der Stichprobe 2 als Schätzung für die Grundgesamtheit geschätzte Standardabweichung der Grundgesamtheit (Population)

t- Test: zwei Mittelwerte vergleichen

154

Bei der Berechnung der Effektstärke wird also die Differenz der bei den Mittelwerte durch die Standardabweichung geteilt und dadurch normiert. Es existieren verschiedene Effektstärkemaße für den t- Test bei unabhängigen Stichproben, die sich darin unterscheiden, wie sie die Standardabweichung 8 p in der Grundgesamtheit schätzen. Häufig in der Literatur anzutreffende Effektstärkemaße sind "Cohens d" und .Hedges g". Cohens d wird bspw. folgendermaßen berechnet:

Für unser Beispiel ergibt sich also: _ 2 1~,=: 0 =-=10=:9''01

J2,S; 2,S

~

0,76

Nach Cohen (1988) betrachtet man eine Effektstärke von d = 0,2 als niedrig, von

d = 0,5 als mittel und von d = 0,8 als hoch. Für unser obiges Beispiel berechnen wir ein Cohens d von 0,76, was also einem mittleren Effekt entspricht Der Unterschied zwischen den Kindern auf dem Land und den Kindern in der Stadt von 1,9 Skalenpunkten beim Klimabewusstsein ist also als mittelgroß zu betrachten. Voraussetzungen für den t-Test bei unabhängigen Stichproben Um überhaupt einen t-Test durchführen zu können, müssen zwei Grundvoraussetzungen für die Durchführung erfüllt sein: Da der t- Test auf der Basis von Mittelwerten berechnet wird, muss die untersuchte Variable Intervallskalenniveau besitzen und zweitens sollte das Merkmal für kleine Stichproben in der Grundgesamtheit annähernd normalverteilt sein.

7.2 Mittelwerte von zwei abhängigen Stichproben vergleichen Wie zu Beginn dieses Kapitels erläutert, können bei abhängigen Stichproben immer zwei Messwerte miteinander verbunden werden, weshalb man manchmal auch von verbundenen Stichproben (engl. paired sampies) spricht. Wenn bspw. die Einstellung zur Elternzeit bei Ehepaaren gemessen wird, kann jeder Messwert einer Frau mit dem Messwert ihres Mannes verbunden werden und

155

Mittelwerte von zwei abhängigen Stichproben vergleichen

die bei den Messwerte bilden ein sogenanntes Wertepaar. Während bei unabhängigen Stichproben nur die Mittelwerte der beiden Stichproben betrachtet werden und in die Berechnung der Prüfgröße t einfließen, wird bei abhängigen Stichproben zunächst die Differenz jedes Wertepaares gebildet. Nehmen wir einmal an, in einer Grundschulklasse mit 16 Kindern wird eine Projektwoche zum Thema "Das Internet" durchgeführt Mit Hilfe eines t- Tests wird untersucht, ob die Medienkompetenz der Kinder nach der Projektwoche gestiegen ist. Dafür wird die Medienkompetenz der Kinder vor und nach der Projektwoche anhand einer Skala mit möglichen Ergebnissen zwischen 10 und 30 Punkten gemessen. Für jedes Kind ergeben sich also zwei Messwerte, die ein Wertepaar bilden. Für die gesamte Klasse werden die folgenden Mittelwerte berechnet: Medienkompetenz vorher: 18,1

Medienkompetenz nachher: 20,8

Anhand eines t- Tests soll nun überprüft werden, ob die Mittelwertsdifferenz von 2,7 Punkten mit dem Zufall erklärt werden kann oder ob die Medienkompetenz der Kinder nach der Projektwoche signifikant gestiegen ist und man darauf schließen kann, dass eine solche Projektwoche generell zu einer Steigerung der Medienkompetenz bei Grundschulkindern führt. Formulieren der Hypothesen Vorab werden wiederum die zu testende Null- und Alternativhypothese formuliert und die Entscheidung für eine gerichtete oder ungerichtete Fragestellung gefällt. Wir haben schon vor der Projektwoche die gerichtete Alternativhypothese aufgestellt, dass solch eine Projektwoche dazu führt, dass die Grundschulkinder nach der Durchführung eine höhere Medienkompetenz besitzen als vorher.

ungerichtet (=zweiseitig)

gerichtet (=einseitig)

Alternativhypothese H 1

Nullhypothese Ho

Die Medienkompetenz vor und nach der Projektwoche unterscheldet sich:

Die Medienkompetenz vor und nach der Projektwoche unterscheidet sich nicht:

Jivor;j:. Jinach

Ji vor = Jinach

Die Medienkompetenz ist nach der Projektwoche größer als vor der Projektwoche:

Die Medienkompetenz ist nach der Projektwoche kleiner oder gleich groß wie vorher:

Jivor< Jinach

Jivor

> Jinach

t- Test: zwei Mittelwerte vergleichen

156

Berechnung der Prüfg röße tfür abhängige Stichproben Grundlage für die Berechnung der Prüfgröße t für abhängige Stichproben ist folgende Tabelle: Tab. 7-1 vor Projektwoche

Medienkompetenz nach Projektwoche

Differenz

1

18,5

20,3

1,8

2

19,0

18,5

-0,5

3

17,2

20,6

3,4

n

Xn ,

xn ,

Fall i

Medienkompetenz

xm = xn 1

Summe der Differenzen:

Lf-lXDi

-

xn 2

= 58,3

Mittelwert der Differenzen: XD = 5:~3

: : ; 3,6

Jede Zeile der Tabelle enthält die Messwerte eines Kindes vor und nach der Projektwoche. In der letzten Spalte ist die Differenz dieser bei den Werte abgebildet, wobei auf das Vorzeichen geachtet werden muss. In den beiden untersten Zeilen wird die Summe aller Differenzen gebildet und anschließend durch die Anzahl der Fälle, in diesem Fall 16 Grundschulkinder, geteilt, um den Mittelwert der Differenzen zu bestimmen. Die Formel für die Berechnung der Prüfgröße t lautet: Prüfgröße tfür abhängige Stichproben Xv

8v

n

=

Mittelwert der Mittelwertsdifferenzen aller Wertepaare geschätzter Standardfehler der Mittelwertsdifferenz in der Grundgesamtheit = Anzahl der Wertepaare

In Tab. 7-1 ist ersichtlich, dass für jedes Wertepaar zunächst die Differenz XVi der beiden Messwerte Xii und XiZ gebildet wird, d.h. für jedes Kind wird die Differenz der Medienkompetenz vor und nach der Projektwoche berechnet. Anschließend werden alle Differenzen aufsummiert und durch die Anzahl der Wertepaare geteilt.

Mittelwerte von zwei abhängigen Stichproben vergleichen

157

n XVi Xii

x iZ

n

= = =

Differenz der Wertepaare Xii und Wert 1 eines Wertepaares Wert 2 eines Wertepaares Anzahl der Wertepaare

XiZ

Wie man der letzten Zeile der Tabelle entnehmen kann, ergibt sich ein Mittelwert der Differenzen von Xv = 3,6 Stunden. Nun muss der Standardfehler der Differenz 8 D für die Grundgesamtheit geschätzt werden. Die Formel hierfür lautet:

IY-l(X V i ~ XV ) 2 n-1 XVi

Xv

n

= = =

Differenz der Wertepaare Xii und x iZ Mittelwert der Mittelwertsdifferenzen aller Wertepaare Anzahl der Wertepaare

Für jedes Wertepaar wird also von der Differenz der beiden Messwerte (letzte Spalte der Tab. 7-1) der Mittelwert der Differenzen abgezogen und das Ergebnis quadriert. Anschließend wird durch n-1 geteilt und die Wurzel gezogen. Für das Beispiel bedeutet dies: (1,8 - 3,6)2

+ (3,5

- 3,6)2 + (3,4 - 3,6)2 16 -1

+ usw.

~ 2,1

Nun können die beiden Werte in die Formel zur Berechnung der Prüfgröße t eingesetzt werden und es ergibt sich eine Prüfgröße t = 0,43 Xv

1

3,6

1

2,1

v'I6

t=_·_=_·_~

fiv..;n

043

'

Ermittlung der Freiheitsgrade df Die Anzahl der Freiheitsgrade beim t- Test für abhängige Stichproben beträgt: df

= n-1

Für unser Beispiel mit den 16 Grundschulkindern ergeben sich also 16-1 = 15 Freiheitsgrade.

t-Test: zwei Mittelwertevergleichen

Zujallswahrscheinlichkeit der Prüjgröße t bestimmen Ein Statistikprogramm gibt für die Anzahl von 15 Freiheitsgraden und die Prüfgröße t= 0,43 einen Signifikanzwert von p = 0,338 aus, weshalb eine Entscheidung für die Ha getroffen wird, da dieser Wert von 33,8% über der Signifikanzschwellevon 5% liegt. Aus der t -Tab elle entnehmen wir für das 5%-Niveau den kritischen Wert t= 1,75, und logischerweise ist auch hier das Ergebnis nicht signifikant, da die empirisch berechnete Prüfgröße t= 0,43 erheblich kleiner ist. Die unt erschiedliche Medienkompetenz vor und nach der Projektwoche lässt sich au f den Zufall zurückführen. Die Projektwoche hatte keinen signifikanten Einfluss au f die Medienkompetenz von Grundschulkindern.

7.3 So geht es mit SPSSjSYSTAT t- Test für

unabhängige Stichproben in SPSS Um einen t-resr mit unabhängigen Stichproben zu berechnen, wählt man die Option "Analysieren> Mittelwerte vergleichen> t -Test bei unabhängigen Stichproben" aus. Im ersten Dialogfenster m uss zunächst die zu testende Variable (hier das Klimabewusstsein] ausgewählt werden.

Im 1 -T..t bei un,bh,n glgen 5ttch p'robe n .f Al ., n Ja hron l, l.,]

4? H"h e

Gn>ßo
.f Höch.t., BiId"n9sa '"

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J

I

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UeI(' e1zen J

At>brech~ n

~ j'~

Die zu vergleichenden Gruppen werden im unt er en Feld "Gruppenvariable" definiert. Ein Klick auf das Feld "Gruppe oer..." öffnet ein Fenster, in dem die beiden Gruppen bestimmt werden können. In unserem Beispiel wollen wir das Klimabewusstsein von Manner-n und Frauen vergleichen, wobei das Geschlecht mit 1 = männlich und 2 = weiblich codiert wurde. Daher geben wir nun im Dialogfeld die Werte 1 und 2 an. Für ordinal- und int erv alls kalia rt e Variablen er-

So geht es mit SPSSjSYSTAT

möglicht SPSS die Aufteilung in lediglich zwei Gruppen entlang eines einzugebenden Trennwertes, z.B. würde ein Wert von ,,30" die Variable Alter in die beiden Gruppen unter 30 Jahre und größer oder gleich 30 Jahre aufteilen, so dass diese beiden neu gebildeten Gruppen mit Hilfe des t- Tests verglichen werden.

Im G,upp.~ deli~i.,.~

@ An!l"!/Obe",, ~'~ ~'_ ~' 11 ""~_ - Gru;>pe !

Gru;>pe ~ 12

Cl ! "",,,wert

Nach einem Klick auf "OK" präsentiert SPSS zwei Tabellen.

....

,

..

v.,

V...-.llln:l

n<:lJt~<:h

''''76

.....,

, ",

ti

;

,twi o hio, di. Signifik,n, großor ,I, D,D5, bot"chtet m,n nu, die oboro Zello

0.1 0.1

3,16

~!,2-

M". ,..........

.~,

0,'4

...,.,

T_T.U:rdIB MIIIB.... _k:fohIIt

, .~

M'

3,16

10,1391

t.-Tatder

V"8IIZIII'I1IIn:l ~

920

""

"""

........ ...

SllIndllrdfulWr

M

.',884 -',884

•20"

...

,"'

.~,

0,'4

Die obere Tabelle informiert über die Anzahl der Fälle in den beiden Gruppen (N), die jeweiligen Mittelwerte, Standardabweichungen und Standardfehler des Mittelwerts. Die zweite Tabelle enthält das Ergebnis des t- Tests, wobei der Blick zunächst in die Spalte des Levene- Tests wandern sollte. Aus der Spalte "Signifikanz" kann abgelesen werden, ob die Variauzen homo- oder heterogen sind. Mit 0,630 ist in diesem Fall der Levene-Test nicht signifikant, d.h. Varianzhomogenität ist gegeben. In den restlichen Spalten muss daher die obere Zeile [Varianzen sind

t-T est: zwei Mittelwerte vergleichen

gleich) betrachtet werden. Der t-Wert beträgt -1,984, wobei das Vorzeichen für das Ergebnis des t-fests keine Bedeutung hat. Dieses hängt lediglich von der Reihenfolge der definierten Gruppen ab, vertauscht man die Reihenfolge, ändert sich auch das Vorzeichen. Die Anzahl der Freihei tsgrade beträgt 20 11 und die Irrtumswahrscheinlichkeit für den zweiseitigen Test (ungerichtete Fragestellung) p " 0,047. Das Ergebnis des t-Tests ist demnach auf dem SOlo-Niveau signifikant: Das Klimabewusstsein von Frauen und Männern unterscheidet sich. Für eine einseitige (gerichtete) Fragestellung muss der Wert der Signifikanz halbiert werden, wodurch ein Wert von p » 0,024 erreicht wird. Das Ergebnis wäre in solch einem Fall: Frauen haben ein höheres Klimabewusstsein als Männer. In SPSS existie rt keine vordefinierte Funktion, um sich automatisiert Effektstärken für Mittelwertsdifferenzen ausgeben zu lassen. t- Test für abhängige Stichproben in SPSS Der t-Test für zwei abhängige Stichproben wird in SPSS mittels der Option "Analysieren > Mittelwerte vergleichen> t-Test bei gepaarten Stichproben" aufgerufen. Im ersten Dialogfenster können die beiden Variablen ausgewählt werden. Diese erscheinen nicht, wie in SPSS sonst gewohnt untereinander, sondern nebeneinander als Variable l und Variable2. Beispielweise wurde in einer Schulklasse eine Projektwoche zum Thema "Energie und Umwelt" durchgeführt und vor und nach der Projektwoche das Klimabewusstsein der Kinder gemessen. Aus dem entstandenen Datensatz sind in der folgenden Abbildung die beiden Variablen . Kltmabewusstsein nachher" und .Kltmabewusstsetn vorher" ausgewähl t.

filiT-Tost b. i g.p aart en 5ltchR,ob en

QiOI Ge;>aarte Vor_

.49 Kio=l>e\llI'>Sl=
Klima b<w" ..t.. ~

,

Al e, la le 'l

,

SoIlu", [sollu", \

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Anz.hl
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" te' . ... . mTh.m " t.r= .mTh. m " tor. ..e.mTh.m

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~

•

I~ "'

161

So geht es mit SPSSjSYSTAT

Die Ausgabe von SPSS besteht wie beim t-Test für unabhängige Stichproben aus zwei Tabellen: statistik bei g.paa.... n Stichproben

Miit< Klimabewusstsein nachher Klimabewusstsein \IOrher

rt

S1anclardfelier

S1andard-

M'

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N

da.

10,3846

52

3,92

0,54

9,3654

52

4,24

0,59

Tut bei gepaarten Stichproben

Klmabewusstseln nachherKlmabelMJSstsein \IOrher

...

"

~

1,02

Gepaarte Differenzen SlandardfetEr Standarddes 2,32

0,32

T

3,165

"'51

I

~,.,

""

""'

,003

Die erste Tabelle informiert über die Stichprobengröße, Mittelwerte, Standardabweichung und den Standardfehler der Mittelwerte der gepaarten Stichprobefn}. Die Anzahl der Fälle (N) ist hier natürlich mit 52 Fällen gleich groß, da es sich um dieselben Personen handelt. Enthält eine der bei den Variablen fehlende Werte, bspw. weil ein Kind bei einer der Untersuchungen gefehlt hat, schließt SPSS diesen Fall automatisch von der Berechnung aus. Der zweiten Tabelle sind die Ergebnisse des t- Tests zu entnehmen. Für den t-Wert von 3,165 und 51 Freiheitsgrade ergibt sich eine Signifikanz von p = 0,003 (zweiseitiger Test bei ungerichteter Fragestellung). Die Mittelwerte des Klimabewusstseins vor und nach der Projektwoche unterscheiden sich signifikant voneinander. t- Testfür unabhängige Stichproben in SYSTAT Um einen t-Test mit unabhängigen Stichproben mit SYSTAT zu berechnen, wählt man im Menü .Analyze > Hypothesis Testing > Mean > Two Sampie t-Test", Sodann erscheint ein Dialogfenster. in dem die zu untersuchenden Test- und Gruppenvariablen ausgewählt und die Irrtumswahrscheinlichkeit (100% minus Alpha im Feld .Eonfidence") festgelegt werden können. Für einseitige Tests wählt man bei "Alternative type" den Eintrag "greater than" bzw. .Jess than", wenn man davon ausgeht, dass eine der bei den Gruppe einen höheren Mittelwert hat. Bei zweiseitigen Tests lässt man die Vorauswahl "not equal" bestehen.

162

t-Test: zwei Mittelwerte vergleichen

Il.1t..HyROl ho>i, Tort ing: Me, ,,, l wo -<;"' mJ1le t -T•• t Moin

I Re,~ 1

Avoiloble vorioble(s)

Selecled vorioble(s)

GESCHLECHT •

KLiMABEW1JSS~ _

ALTER '" EINKOMMEN BUNDESLAND WOHNORT •

KLiMABEWUSS TSEIN

[< Rerrm e J

.~

[

I

Add -->

[<-- Roroovel

~ " ' ~ O O T.~

Akernolive Iype

[idd::iJ

Inot equaI

-I

I

~~ffiJ

vorioble

GES CHLECHT . ~

,I

Ac\uslmenl

IEl SonIerroni

lEl DLn'1-SKJok

nss

ConIdence

Gr ~

I

.1

ur;

I O:~

Nach einem Klick auf "OK" präsentiert SYSTAT drei Tabellen. Die erste Tabelle informiert über die Stichprobengrößen, Mittelwerte wie auch Standardabweichungen. Group

N

Mean

Standard Deviation

Mann

920

9,858

3,164

Frau

1.093

10,139

3,177

Die zweite (separate variance) und dri tte (pooled variance) Tabelle enthalten das Ergebnis des t- Tests für heterogene und homogene Varianzen. Separate Variance Ditterence in Meere

-0,281

95,00% Ccntidence Interval

-0,560

t

-1,984

df

p-value

1.955,296 0,047

-0,003

163

So geht es mit SPSSjSYSTAT

Pooled Variance -0,281

Ditterence in Means 9?,09!,o __C onfidence Interval t df -value

-O, ~~ ~ß O_~

-1,984 1.955,296 0,047

Um entscheiden zu können, welche der beiden Tabellen im vorliegenden Fall die richtige ist, muss ein Test auf Gleichheit der Varianzen durchgeführt werden. Dieser wird über den Menüpunkt .Analyze > Hypothesis Testing > Variance > Equality of Two Variances..." aufgerufen. Die ausgegeben Ergebnisse können in der gewohnten Weise interpretiert werden: Ist die ausgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit (p-value) wie im Beispiel unten mit 90,5% größer als 5%, nimmt man Varianzhomogenität an und wertet in diesem Fall die Ergebnistabelle des tTestes mit der Überschrift .Pooled vanance" aus. <

uz V.," nc", EqLU lrty Moin

I R e,~ 1

I

[ Mol-->

I <--Remove I

A ~ern oliv e type

ConIdence

I

OK

II

Conc
GROUP

N

Mean

veneneo

Mann

920

9.858

10.013

Frau

1093

10.139

10.091

95.00% Ccnüdence Interval

0.877

F-ratio

0.992

df

o-verue

919,1092 0.905

I

1.124

t -Te st : zwe i Mitte lwe rte ve rgleiche n

164

t-Test für abhängige Stichproben in SYSTAT Um einen t- Test bei abhängige Stichproben zu berechnen, wählt man im SYSTAT Menü .Analyze > Hypothesis Testing > Mean > Paired t - Test". Sodann erscheint ein Dialogfenster, in dem die zu untersuchenden Variablen, die Art der Alternativhypothese und die Signifikanzschwelle ausgewählt werden können.

,

d.. Hypolnos" T..tin", M..,,,, P.,,.d ; . 1 ort Main

IRe" mplinQ I

Avoiloble vorioble(s)

Selecled vorioble(s)

KLiMABEWUSS • KLiMABEW1JSSC) ALTER SCHULE g u ,

' W

T
.

I

I

Mj -->

[ < -- R~vel

'

Akernolive type

ConIdence

E~=:iJ

c.

- - -.

~~ffiJ

~~:~:~~:~~~~~:~I

......

,

Adjuslmenl ~ .6.onIerroni

I!'J D1'"'1-S<Jok

l or:J [

e-,

I

Das Ergebnis: Mean KLIMABEWUSS TSEIN NACH

10,385

Mean KLIMABEWUSS TSEIN VOR

9,365

Mean Ditterence

1,019

95,00% Ccntidence Interval

0,3 73 1,666

Standard Devia tion ct Dittere nce

2,322

t

3,165

dl p-value

51

0,003

In der Zeile .M ean Difference" liest man ab, dass das Klimabewusstsein nach der Projektwoche um 1,019 Punkte zugenommen ha t. Der t-Wert von 3,165 ist hoch signifikant (p = 0,003).

165

Der Vergleich von Mittelwerten in der Forschungsliteratur

7.4 Der Vergleich von Mittelwerten in der Forschungsliteratur In der Forschungsliteratur werden die Ergebnisse von Mittelwertsvergleichen mithilfe eines t- Tests in Tabellenform oder im Text berichtet, wobei meist der tWert und der Signifikanzwert angegeben werden. In ausführlichen Ergebnisberichten werden zusätzlich die Anzahl der Freiheitsgrade und eine Effektstärke angegeben. Im folgenden stellen wir zwei Beispiele vor, und zwar einmal den Bericht über die Ergebnisse eines t- Tests für unabhängige und einmal eines tTests für abhängige Stichproben.

Mittelwertvergleich für unabhängige Stichproben In der Zeitschrift für Gesundheitswissenschaft stellt Raithel (2003) die Ergebnisse einer repräsentativen Studie (n = 2.425) zur ressourcenstärkenden und fördernden Leistung des Sports vor. Abb. 7-2 zeigt einen Auszug aus der Ergebnistabelle (ebd.: 154), in der die bei sportaktiven und sportabstinenten Jugendlichen berechneten Mittelwerte für drei Ressourcen aufgeführt sind. Abb.7-2, sportaktive Jugendliche

sporta bstl nente Jugendliche

Soziale Unterstützung durch Freunde (l=nied rig ... 4=hoch)

3,49

3,47

Stellung in der Freundesgruppe (l=peripher ... S=zentral)

4,03

3,74

3,9

.001

Seibstwertschätz ung (l=gering ... 4=hoch)

3,22

2,95

7,6

.001

t

Sign.< n.s.

In der ersten Spalte sind die Beschreibungen der Ressource und die zugehörige Antwortskala zu finden. Beispielsweise wurde die Ressource .Selbstwertschätzung" mit einer Skala von gering (1) bis hoch (4) erfasst, ein höherer Mittelwert für diese Ressource entspricht also einer höheren Selbstwertschätzung. Die sportaktiven Jugendlichen erreichen mit 3,22 einen höheren Mittelwert als die sportabstinenten Jugendlichen mit 2,95. In der vorletzten Spalte, liest man einen t-Wert von 7,6 ab und die Zahl .001 in der letzten Spalte verrät, dass die Wahrscheinlichkeit für einen solchen t-Wert unter 0,1% liegt. Das "kleiner als"Zeichen in der letzten Spaltenbeschriftung .Sign.e" bedeutet, dass es sich hier nicht um den exakten Signifikanzwert handelt, sondern nur angegeben ist, welche Signifkanzschwelle unterschritten wird. Die Freiheitsgrade sind der Tabelle nicht zu entnehmen.

166

t- Test: zwei Mittelwerte vergleichen

Mittelwertvergleich fur abhängige Stichproben In dem Artikel "Clowns in der Psychiatrie" stellt ein Forschungsteam die Ergebnisse eines Pilotprojekts zur Einstellung von erwachsenen Psychiatrie- Patienten gegenüber dem Einsatz von Clowns in der Klinik vor (vgl. Wild u.a. 2007). Die Einstellung zu den Clowns wird an mehreren Zeitpunkten erhoben, und zwar nach dem 1. Clowns besuch [t L], nach dem 3. Clownsbesuch (t2) und nach dem 6. Clownsbesuch (t3). Die Ergebnisse werden zu dem Testscore "Akzeptanz" zusammengefasst, der Werte zwischen 1 und 5 annehmen kann. Das Ergebnis der Untersuchung wird im Artikel folgendermaßen beschrieben: "Bei den Patienten [...] änderte sich der Akzeptanzwert von 2,6 bei tl (SD 0,78) auf 3,1 bei t2 (SD 0,65, t-Test für verbundenen Stichproben, 2-seitig, df= 8, t = 3,26, P = 0,011)" (Wild u.a. 2007: 573). Es wird also beschrieben, dass der Mittelwert nach dem dritten Clownsbesuch um 3,1 - 2,6 = 0,5 Punkte höher lag als nach dem ersten Clownsbesuch. wobei zu den Mittelwerten auch die jeweilige Standardabweichung (SO) angegeben wird. Weiterhin erfahren wir, dass es sich um eine zweiseitige Hypothese handelt, also dass getestet wurde, ob sich die Akzeptanz nach dem ersten und nach dem dritten Clownsbesuch unterscheidet. Die Anzahl der Freiheitsgrade df = 8 lässt auf eine kleine Stichprobe von neun Personen schließen. Der berechnete t-Wert beträgt 3,26 und der Mittelwertsunterschied erreicht eine Signifikanz von p = 0,011. Um das Ergebnis dieses t- Tests zu beschreiben, könnte man formulieren: Die Akzeptanz der Clowns bei den Patienten nach dem dritten Besuch unterscheidet sich signifikant von der Akzeptanz der Clowns nach dem ersten Besuch.

B Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

Mit dem im vorhergegangenen Kapitel besc hriebenen t- Test wurde ein Verfahre n vorgestellt, dass es er möglicht, Mittelwe rt un terschiede zwischen zwei Gru ppen auf Signifikanz zu unte rsuchen. Häu fig soll jedoc h geteste t werden, inwieweit sic h meh r als zwe i Gruppen von einan der unt erscheiden. Sollen bsp w. Personen gruppen mit den drei Bildungsabschlüsse n Haupt- lind Realschu le sowie Gymnasium hi nsichtli ch ihres Klimabewusstsein s verglic hen we rden, so lässt sich dies nicht mehr mit einem t- Tests realisie re n. Sta ttdessen bedient man

s ich der Vari an zanalyse, die in diesem Kapitel beschri eben wird.

8.1 Grundbegriffe der Varianzanalyse Bei der Var ianzana lyse wird der Einfluss eine r oder mehrerer unab hängiger Variablen auf eine oder mehrere abhä ngige Variab len unter sucht, wobei jedoc h häufig im Zusamm enhang mit diesem Verfahren and er e Begr iffe verwandt werden. Die unabh än gige Variable, in unserem Beispiel die Schulbildung, wir d als Faktor und der en Ausprägungen (die drei Schulfarmen) als Faktorstufe n bezeichn et. Man spricht hier auch von einer 3-fach gestufte n unabhängigen Variable. Eine weitere Bezeichnung für die unabhängige Vari able lautet Treatmentfaktor bzw. Treatment. Dies hat ihre n Ursprung in experimentellen Unte rsuchu ngsdesigns, bei denen mehrere per Zufall zusamm en geset zte Versuc hsgr uppen unt er schied lich "behandelt" werden. Ein klassisches Beispiel hierfür sind Medikam entent ests , bei denen eine Gruppe eine n zu testend en Wirks toff und ein e andere ein Placebo erhä lt. Mittlerwei le ist es ab er durchaus üblich, nicht au sschließlich im Fall von "Behand lungen" von Treatm ents zu sprechen, sondern au ch bei unt erscheidenden Merkma len wie Bildung ode r Geschlecht. Je nach zu überprüfender Hypoth ese ode r Untersuchungsan lage werden ver schiede ne Arte n von Varian zana lysen unt erschied en. Soll de r Einnuss einer einzigen unabhän gigen Variab len auf eine ab hängige Vari able unt ersucht werden, so s pricht man von einer einfaktorielten Varian zanalyse. Wird hingegen der gleichzeitige Einnuss mehrerer Faktor en getes te t, so handelt es sich um eine mehrfaktorielle Varianzanalyse. Darüber hinaus wird ebenfalls nach der Anzahl

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

168

der abhängigen Variablen unterschieden. Im Rahmen dieses Lehrbuchs wird ausschließlich die univariate Varianzanalyse beschrieben, bei der der Einfluss einer oder mehrere unabhängiger Variablen auf eine abhängige Variable untersucht wird. Soll der Einfluss auf mehrere abhängige Variablen getestet werden, so spricht man von einer rnultivariaten Varianzanalyse. Die gängige englische Abkürzung für die univariate Varianzanalyse lautet ANOVA (Analysis of Variance) und analog dazu MANOVA für die multivariate Varianzanalyse. Tab. 8-1 verdeutlich die verschiedenen Formen der Varianzanalyse und gibt für jede ein Beispiel. Tab. 8-1: Formen der Varianzanalyse Anzahl der unabhängigen Variablen/Faktoren

eine abhängige Variable

mehrere abhängige Variablen

eine

mehrere

Univarlate elnfaktortelle Varianzanalyse

Univarlate mehrfaktortelle Va-

Bsp.: Einfluss der Bildung auf das Klimabewusstsein

Bsp.: Einfluss der Bildung und des Alters auf das Klimabewusstsein

Multlvartate elnfaktortelle Vartanzanalavse

Multlvartate mehrfaktortelle Va-

Bsp.: Einfluss der Bildung auf das Klimabewusstsein und das Klimahandeln

Bsp.: Einfluss der Bildung und des Alters auf das Klimabewusstsein und das Klimahandeln

rtanzanalvse

rtanzanalvse

8.2 Das Prinzip der einfaktoriellen Varianzanalyse Auch bei der ANOVA geht es wie bei allen bisher vorgestellten inferenzstatistischen Verfahren darum, von einer Stichprobe auf die Population zu schließen. Finden sich etwa in den aus den drei Bildungsabschlüssen gezogenen Stichproben unterschiedlich hohe Mittelwerte, kann dies entweder zufälliger Natur sein oder aber sie sind auf die unterschiedlichen formalen Bildungsabschlüsse zurückzuführen. Folglich lautet die Nullhypothese. dass sich die Mittelwerte der Gruppen nicht voneinander unterscheiden, dass also das Klimabewusstsein unabhängig vom Bildungsabschluss ist: Die Alternativhypothese lautet nun nicht - wie man annehmen könnte H1 : /11 =t= /12 =t= /13' sondern:

169

Das Prinzip der einfaktoriellen Varianzanalyse

Die Alternativhypothese geht nicht davon aus, dass sich alle untersuchten Gruppen voneinander unterscheiden, sondern lediglich, dass dies bei mindestens zweien der Fall ist. Im vorliegenden Beispiel würde die Nullhypothese demnach verworfen, wenn sich die Probanden mit Hauptschulabschluss ausschließlich von denen mit Abitur signifikant unterscheiden, nicht aber von denen mit Realschulabschluss. Dies ist in Abb. 8-1 grafisch veranschaulicht. Dargestellt sind die jeweiligen Verteilungen der Klimabewusstseinswerte der drei Bildungsniveaus. Es ist gut zu sehen, dass die Personen mit Haupt- und Realschulabschluss dicht beieinander liegen, während die Personen mit Abitur deutlich höhere Werte aufweisen. Zudem ist die Mittelwertsdifferenz zwischen Hauptschulabschluss und Gymnasium am größten. Abb.8-1 Hauptschule

x=

3,6

Realschule

x=

5,8

Gymnasium

x=

9,0

Die Überprüfung der Alternativhypothese erfolgt mittels der in der Stichprobe auftretenden Varianzen, woher die Varianzanalyse auch ihren Namen hat. Die dahinter stehende Idee ist, dass die Gesamtvarianz, also die Abweichungen der Probanden vom Gesamtmittelwert, aus zwei Quellen stammt. Erstens können Abweichungen durch das Treatment verursacht sein, das bewirkt, dass sich die einzelnen Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert der Population unterscheiden. Diese Abweichung wird als Treatmentvarianz oder auch als Varianz zwischen (den Gruppen) bezeichnet Im vorliegenden Beispiel ist das Treatment das Bildungsniveau. Zweitens gibt es aber auch innerhalb der einzelnen Gruppen Abweichungen, die auf individuelle Eigenschaften der Probanden, nicht untersuchte Variablen (Störvariablen) oder Messungenauigkeiten zurückzuführen sind und als Fehlervarianz oder als Varianz innerhalb (der Gruppen) bezeichnet werden. Diese Fehlervarianz würde man also auch erhalten, wenn es kein Treatment gäbe, weshalb sie eine geeignete Schätzung für die Populationsvarianz darstellt. Je stärker nun der Einfluss des Treatments ist, desto stärker wei-

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

170

ehen Populations- und Treatmentvarianz voneinander ab und im Rahmen der Varianzanalyse wird überprüft, ob diese Abweichung statistisch signifikant ist. Die Varianz, die auf das Treatment zurückzuführen ist, bezeichnet man als Treatrnentvarianz oder Varianz zwischen den Gruppen. Die Varianz, die durch unbekannte Faktoren verursacht wird, wird Fehlervar ianz oder Varianz innerhalb der: Gruppen genannt. ...

8.3 Durchführung einer einfaktoriellen Varianzanalyse Im Folgenden soll anhand eines Beispiels das rechnerische Vorgehen der einfaktoriellen Varianzanalyse zur Nachvollziehbarkeit demonstriert werden. Untersucht wird nun, ob sich die einzelnen Bildungsniveaus (Faktor) hinsichtlich ihres Klimabewusstseins (abhängige Variable) signifikant voneinander unterscheiden. Es wurden insgesamt 15 Probanden befragt, jeweils 5 aus den drei Schulformen Hauptschule, Realschule sowie Gymnasium, deren Werte auf der Klimabewusstseinsskala von 10 bis 25 sich folgendermaßen verteilen. Tab . 8-2 : Werte der Probanden auf der Klimabewusstseinsskala Hauptschule

Summe Mittelwert

Realschule

Gymnasium

16

20

19

16

18

23

13

15

18

11

12

21

12

14

14

68

79

95

13,6

15,8

19,0

Gesamtsumme: 242 Gesamtmittelwert: 16,1

In einer solchen Datentabelle werden die Spalten durch die Paktorstufen. also die Ausprägungen des Faktors, gebildet. In der Spalte mit der Überschrift "Hauptschule" stehen demnach untereinander die Werte der fünf Personen mit Hauptschulabschluss. Tab. 8-2 zeigt die allgemeine Schreibweise einer solchen Datenmatrix. Um jeden Messwert einer Person eindeutig zuordnen zu können, erhält jeder Wert einen Doppelindex. Der erste Index i steht für die Personen unter einer Faktorstufe und läuft von 1 bis rn, der Anzahl der Personen in den jeweiligen Gruppen (in unserem Beispiel immer 5, weil die Gruppen gleich groß sind). Der

171

Durchführung einer einfaktoriellen Varianzanalyse

zweite Index j kennzeichnet die Faktorstufe und läuft von 1 bis zur letzten Faktorstufe k, hier demnach 3. Beispielsweise steht X32 für den Messwert der dritten Person in Faktorstufe 2 - in unserer oben stehenden Datenmatrix: X32 = 15. Am Ende jeder Spalte werden die Summen und Mittelwerte aller unter einer Faktorstufe i beobachteten Werte eingetragen. Die Summe wird mit Aj gekennzeichnet und der Mittelwert mit Aj . Für die späteren Rechnungen sind weiterhin die Gesamtsumme G aller beobachteten Werte sowie der Mittelwert G aus diesen Werten von Bedeutung. Tab . 8-3: Schematische Datentabelle einer einfaktoriellen Varianzanalyse Faktorstufen

m

1

2

k

x"

X"

X 1j

X"

X"

X2j

X"

X"

X3j

Xm ,

Xm ,

Xm •

A,

A,

A,

,

Aj=LXij

G

i==1

_ Aj

A

=mj

A,

A,

A,

=LAj j==1 G

G~--

m·k

Unter 8.2 wurde bereits dargestellt, dass sich die Varianz der Messwerte aus der Treatmentvarianz und der Fehlervarianz zusammensetzt. Im Gegensatz zur Berechnung der Varianz in einer Stichprobe (siehe Kapitel 3.2) ist hier nicht S2 von Interesse, sondern der Schätzwert 8 2 für die Population (zur Erinnerung: Ein Dach über dem griechischen Buchstaben bedeutet, dass es sich um einen Schätzwert handelt). Weiterhin wird nicht durch die Anzahl der Fälle dividiert, sondern durch die jeweiligen Freiheitsgrade (dfJ. Somit ergibt sich für die allgemeine Berechnung der Varianz im Rahmen einer ANOVA folgende Formel:

L:~ 1L:7= 1(Xij df

x/

172

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

Den Term im Zähler der Formel nennt man Quadratsumme, abgekürzt QS (engl. sum of squares. In diesem Term werden alle Abweichungen der einzelnen Messwerte vom Mittelwert erst quadriert und dann aufsummiert. In Analogie zur Aufteilung der Gesamtvarianz in Treatment- und Fehlervarianz wird auch die sogenannte totale Quadratsumrne (QStot) aufgeteilt, und zwar in die Treatmentquadratsumme (QStreat) und Fehlerquadratsurnrne (QSFehler). QStot

= QStreat + QSFehler

Berechnung der Treatmentquadratsumme Bei der Berechnung von QStreat wird davon ausgegangen, dass alle Unterschiede auf die unabhängige Variable, das Treatment, zurückgehen. Ausgeblendet werden individuelle Eigenschaften, Messfehler, Störvariablen etc. Unter dieser Annahme müssten alle Probanden einer Faktorstufe denselben Messwert haben, nämlich den Gruppenmittelwert Aj . Gäbe es also nur diesen einen Einfluss des formalen Bildungsabschlusses. sähe die Tabelle unserer Probanden wie folgt aus: Tab. 8-4: Theoretische Messwerte unter der Annahme, dass ausschließlich die Schulbildung Einfluss hat Hauptschule

Realschule

Gymnasium

13,6

15,8

19,0

13,6

15,8

19,0

13,6

15,8

19,0

13,6

15,8

19,0

13,6

15,8

19,0

Es interessiert nun, wie weit diese Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert

G abweichen. Dies wird für jede Gruppe ermittelt und da jede Gruppe mehrere Personen beinhaltet (nämlich rn = 5), wird die ermittelte Abweichung mit der Anzahl n multipliziert und abschließend werden alle Ergebnisse aufsummiert Zu beachten ist, dass die folgenden beiden Formeln nur anwendbar sind, wenn wie in unserem Beispiel in allen Gruppen gleich viele Personen sind, was in der Praxis nicht immer der Fall ist. Dann müssten andere Formeln zum Einsatz kommen, die diese Unterschiede berücksichtigen, auf die aber an dieser Stelle nicht weiter eingegangen wird.

Durchführung einer einfaktoriellen Varianzanalyse

Im.

173

k

QStr,at

=

G)'

(A) -

j= l

rn

Aj G

Anzahl Personen in einer Gruppe Gruppenmittelwert unter der Faktorstufe i = Gesamtmittelwert =

Der Gesamtmittelwert wurde bereits in der ersten Datentabelle des Beispiels berechnet, wobei im Nenner das Produkt aus der Anzahl der Personen pro Gruppe rn und der Anzahl der Faktorstufen k steht: _

G

=-

G

68+79+95

m·k

242

= -'-:-"..:-- 15= 16,1 5· 3

Setzt man diesen Gesamtmittelwert nun in die Formel ein, erhalten wir: QStr,at

= 5 . (13,6 - 16,1)' + 5· (15,8 = 5·6,25 + 5 . 0,09 + 5·8,41 = 31,25 + 0,45 + 42,05 = 73,75

16,1)'

+ 5·

(19 -16,1)'

Es ist zu erkennen, dass die Probanden mit Realschulabschluss den geringsten Beitrag zur Treatmentquadratsumme leisten: Ihr Mittelwert weicht mit 15,8 am schwächsten vom Gesamtmittelwert 16,1 ab. Umgekehrt weichen die Probanden mit Abitur mit einem Mittelwert von 19 am stärksten ab und leisten dementsprechend den größten Beitrag zur QStreat. Für die Berechnung der Treatmentvarianz werden noch die Freiheitsgrade benötigt. Da der jeweilige Gruppenmittelwert festgelegt ist, können innerhalb einer Gruppe die Werte nicht frei variieren. Zwischen den Faktorenstufen hingegen sind Variationen möglich, und zwar k - 1. Damit ergibt sich für die Berechnung der Treatmentvarianz: ~,

(Jtreat

=

QStreat

df

df

= k-l

Die Varianz, die auf die unterschiedlichen Schulabschlüsse zurückzuführen ist, beträgt demnach: ~,

(Jtreat

73,75

-= =3-1

36,88

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

174

Berechnung der Fehlerquadratsumme Die Fehlerquadratsumme spiegelt die Abweichungen wider, die durch Messfehler, individuelle Eigenschaften, unbekannte Faktoren etc. entstehen, also durch unsystematische Einflüsse. Bei der Berechnung der Treatmentquadratsumme wurde davon ausgegangen, dass alle Personen innerhalb einer Gruppe denselben Wert haben, da dort Einflüsse aus anderen Quellen ausgeschlossen wurden. In der Regel und so auch in unserer Stichprobe weicht jedoch ein Großteil der Personen von diesem Wert ab - diese Abweichungen müssen demnach auf unbekannte Einflussfaktoren zurückzuführen sein. Es interessiert nun, wie stark jede Person von ihrem jeweiligen Gruppenmittelwert abweicht, was für unser Beispiel folgende Tabelle ergibt: Tab . 8-5: Abweichungen der einzelnen Messwerte vom Gruppenmittelwert Hauptschule

Realschule

Gymnasium

2,4

4,2

0

2,4

2,2

4

-0,6

-0,8

-1

-2,6

-3,8

2

-1,6

-1,8

-5

Diese Abweichungen werden in einem nächsten Schritt quadriert, da sich sonst bei einer Addition der Werte unter einer Faktorstufe die Abweichungen zu 0 ausgleichen würden. Nachdem alle quadrierten Abweichungen einer Faktorstufe addiert wurden, summiert man diese zu einem Wert, der Fehlerquadratsumme:

II m

QSF'hl'T

=

k

(Xi) - A})'

i= l j= l

Xij

Aj G

Wert der Person i unter der Faktorstufe j Gruppenmittelwert unter der Faktorstufe j = Gesamtmittelwert =

Durchführung einer einfaktoriellen Varianzanalyse

175

Tab. 8-6: Aufsummierte quadrierte Abweichungen vom Gruppenmittelwert

L

Hauptschule

Realschule

Gymnasium

5,76

17,64

0

5,76

4,84

16

0,36

0,64

1

6,76

14,44

4

2,56

3,24

25

21,2

40,8

46

m

(Xij -

Aj ) 2 :

i=1

Die drei Werte der letzten Zeilen werden nun addiert: QSF'hIIT

= 21,2 + 40,8 + 46 = 108

In Analogie zur Treatmentvarianz muss dieser Wert zur Ermittlung der Fehlervarianz zum Abschluss durch die Freiheitsgrade geteilt werden. Würde man für jede Gruppe einzeln die Varianz berechnen, würde jeweils durch rn ~ 1 geteilt werden. Da die Gesamtsumme der Abweichungen jedoch schon vorliegt, können auch die einzelnen Freiheitsgrade mit folgender Formel bei gleich großen Gruppen zusammengefasst werden: k . (m - 1). Dies ergibt für die Berechnung der Fehlervarianz: ~2

(JFehler

k rn

= =

=

QSFehler

df

df

= k· (m

-1)

Anzahl der Faktorstufen Anzahl der Personen in einer Faktorstufe

Die Varianz, die in unserem Beispiel auf Fehler zurückzuführen ist, beträgt demnach: ~2 "F'hl'T

=

108 '3-.""(5=---01,)

108

= -1-2 = 9

Testen auf Signifikanz Wie weiter oben erläutert wurde, steigt mit der Stärke des Einflusses des Treatments auch die Treatmentvarianz. Beim Vergleich der Varianzen unseres Beispiels fällt bereits auf, dass die Treatmentvarianz größer ist als die Fehlervarianz. Es interessiert nun, ob dieser Unterschied signifikant oder bloß zufälliger

176

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

Natur ist. Hierfür wird zunächst die Prüfgröße F berechnet, die der F-Verteilung folgt:

Dieser Quotient gibt an, um wie viel größer die Treatmentvarianz gegenüber der

Fehlervarianz ist. Ist die Fehlervarianz größer als die Treatmentvarianz so kann auf diese Berechnung verzichtet werden, da der Einfluss des Faktors zu unbedeutend ist. Für den Zusammenhang zwischen formaler Bildung und Klimabewusstsein ergibt sich: 36,88 F=-g-=4,1 Die Treatmentvarianz ist also 4,1 mal größer als die Fehlervarianz. Dies bedeutet, dass die Varianz, die durch das Bildungsniveau hervorgerufen wird, 4,1 mal größer ist als die Varianz, die durch unbekannte Effekte verursacht wird. Um diesen Wert beurteilen zu können, wird ein kritischer F-Wert benötigt, der angibt, ab welchem empirischen F-Wert dieses Verhältnis zu unwahrscheinlich ist, um mit der Ho vereinbar zu sein. Die Ho wird abgelehnt, wenn Femp > Fk r i t . Für das Signifikanzniveau von 5%, zwei Freiheitsgraden bei der Treatmentvarianz und 12 Freiheitsgraden bei der Fehlervarianz kann in einer Tabelle der FVerteilung ein kritischer Wert von 3,89 ablesen (vgl. Anhang B). Da die ermittelte Prüfgröße über diesem Wert liegt, wird die Nullhypothese abgelehnt. - es unterscheiden sich also mindestens zwei Gruppen hinsichtlich ihres Klimabewusstseins signifikant voneinander. Statt eine - meist sehr unübersichtliche - Tabelle einer F-Verteilung heranzuziehen, wird üblicherweise auf die Ausgabe der exakten Irrtumswahrscheinlichkeit eines Statistikprogramms wie SPSS oder SYSTAT zurückgegriffen. Liegt diese Wahrscheinlichkeit unter 5%, ist das Ergebnis des F-Tests signifikant. Für einen F-Wert von 4,1, gibt eine Statistiksoftvvare bei den gegebenen Freiheitsgraden eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,044 aus. Dieser Wert besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, diesen F-Wert unter Annahme der Nullhypothese zu erhalten, geringer als 5% ist. Es konnte festgestellt werden, dass sich mindestens zwei Gruppen in ihren Mittelwerten signifikant voneinander unterscheiden. Unbekannt ist an dieser Stelle jedoch, auf welche der Gruppen dies zutrifft. Lassen sich signifikante Unterschiede zwischen allen Gruppen finden oder bspw. nur zwischen den Personen mit Hauptschulabschluss und denen mit Realschulabschluss? Um dies zu ermitteln, gibt es zahlreiche sogenannte Post-hoc-Tests zum Vergleich der Mittelwer-

Durchführung einer einfaktoriellen Varianzanalyse

177

te, auf deren mathematische Hintergründe an dieser Stelle jedoch nicht weiter eingegangen wird. Wie diese Tests in SPSS oder SYSTAT angefordert werden können und wie deren Ausgabe zu interpretieren ist, wird weiter unten in den entsprechenden Unterkapiteln erläutert Ermitteln der Effektstärke Bei dem ermittelten signifikanten Zusammenhang zwischen Schulbildung und Klimabewusstsein ist noch unbekannt, wie stark dieser ist. Dies wird anhand der Effektstärke 1]2 [eta -] ermittelt, die Auskunft über die Varianzaufklärung gibt. Mit ihr kann eine Aussage darüber getroffen werden, wie viel Prozent der beobachteten Variationen in den Werten der abhängigen Variablen auf den Faktor zurückgeht. Zur Berechnung von 1]2, das Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, wird die totale Quadratsumme benötigt, die sich aus der Addition von Treatmentquadratsumme und Fehlerquadratsumme ergibt, in unserem Beispiel also: QStot

= QStr,at + QSF'hl'T = 73,75 + 108 = 181,75

Dieser Wert wird nun in die Formel für eta- eingesetzt: ..

Effektstarke TJ

2

QStreat

73,75

= - QtotS = 18175 = 0,41 ,

Multipliziert man die Effektstärke eta- mit 100%, so erhält man die Varianzaufklärung, hier also 41%: Es können 41 % der Unterschiede der ermittelten Werte auf der Klimabewusstseinsskala durch die Schulbildung erklärt werden. Ob ein ermitteltes eta- als viel oder wenig eingestuft wird, hängt immer von den getesteten Faktoren ab. Je höher der Komplexitätsgrad oder das Abstraktionsniveau ist, desto unwahrscheinlicher ist es, besonders hohe Werte zu erreichen. Auch sollte beachtet werden, dass bei der einfaktoriellen Varianzanalyse ja immer nur der Einfluss eines einzigen Faktors untersucht wird. Gerade in erziehungs- und sozialwissenschaftlichen Kontexten ist es allerdings höchst unwahrscheinlich, dass man es mit monokausalen Einflüssen zu tun hat. Stattdessen wird es meist ein Zusammenspiel mehrerer Einflussgrößen geben. Vor diesem Hintergrund ist eine Varianzaufklärung von 41 % ein sehr hoher Wert.

178

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

8.4 Die mehrfaktorielle Varianzanalyse Wie bereits dargestellt, lässt sich mittels der Varianzanalyse nicht nur der Einfluss eines einzelnen Faktors auf eine abhängige Variable untersuchen, sondern auch mehrfaktorielle Hypothesen können getestet werden. Zum Beispiel kann zusätzlich zum Bildungsabschluss noch der Einfluss des Alters auf das Klimabewusstsein mit betrachtet werden. Ein solches zweifaktorielles Design hat gegenüber dem einfaktoriellen zwei Vorteile: Zum einen wird mit der Aufnahme eines weiteren Faktors die Fehlervarianz reduziert, indem eine potenzielle Störvariable nun systematisch variiert und damit .Jcontrcllierbar" wird. Die Fehlerquadratsumme einer mehrfaktoriellen ANOVA ist demnach immer kleiner oder höchstens gleich groß wie die einer einfaktoriellen ANOVA. Zum anderen kann mittels mehrfaktorieller Varianzanalysen herausgefunden werden, ob vorhanden Mittelwertunterschiede aufgrund der Kombination einzelner Faktoren zustande kommen. Ein derartiger Interaktionseffekt würde dann vorliegen, wenn bspw. ein hoher Bildungsabschluss bei den jüngeren Befragten einen stärkeren Einfluss hätte als bei den Älteren. Zur Veranschaulichung erheben wir das Klimabewusstsein nun von dreimal so viel Probanden (n = 45) und zwar gleichverteilt auf die drei Bildungsabschlüsse und die drei Altersstufen 20 - 29, 30 - 39 und 40 - 49 Jahre. Die Mittelwerte der Personen verteilen sich wie in Tab. 8-7 dargestellt. Tab. 8-7 Hauptschule

Realschule

Gymnasium

20 - 29 Jahre

12,8

14,4

22,0

30 - 39 Jahre

16,2

15,8

19,2

40 - 49 Jahre

16,6

19,6

18,2

Die Durchführung einer mehrfaktoriellen Varianzanalyse folgt ebenfalls dem Prinzip der Quadratsummenzerlegung. Die totale Quadratsumme setzt sich zusammen aus der Fehlerquadratsumme, der Quadratsumme der beiden Faktoren, die in diesem Rahmen als Hauptkomponenten bezeichnet werden, und einer sogenannten Wechselwirkungsquadratsumme, die durch die bereits erwähnte Interaktion verursacht wird. Insgesamt werden mittels mehrfaktorieller AN OVA also drei voneinander unabhängige Nullhypothesen getestet: 1. Die Mittelwerte unter den Faktorstufen des Bildungsabschluss unterscheiden sich nicht.

Die mehrfaktorielle Varianzanalyse

179

2. Die Mittelwerte unter den Faktorstufen des kategorisierten Alters unterscheiden sich nicht. 3. Zwischen den beiden Faktoren besteht keine Interaktion. Die einzelnen Rechenschritte werden an dieser Stelle nicht beschrieben, dafür wird dargestellt, wie Ergebnistabellen in Statistik-Programmen oder in der Forschungsliteratur aussehen und was sie enthalten. Eine typische Ausgabe einer mehrfaktoriellen Varianzanalyse enthält untere anderem die in Tab. 8-8 dargestellten Parameter. Tab. 8-8 Quelle (der Varianz)

Quadratsumme

df

F

P

Schu labsch Iuss

166,80

2

83,40

0,000

Kategorisiertes Alter

22,93

2

11,47

0,072

131,867

4

32,97

0,000

Schu labsch Iuss * kategonsie rtes Alter

Die ersten beiden Zeilen zeigen die Analysen der Haupteffekte. Hinsichtlich des Schulabschlusses unterscheiden sich auch in der größeren Stichprobe mindestens zwei Gruppen signifikant voneinander, denn p ist mit 0,000 kleiner als 5%. Keinen Einfluss auf das Klimabewusstsein hat hingegen das Alter (p > 0,05). Gemessen am durchschnittlichen Einfluss des Bildungsabschlusses zeigt sich also kein Unterschied zwischen den Altersgruppen. In der dritten Zeile findet sich die Information, dass aufgrund von p = 0,000 eine signifikante Interaktion zwischen den beiden Haupteffekten vorliegt. Inhaltlich bedeutet dies, dass der Einfluss des Bildungsabschlusses altersspezifisch ist. Ein Blick in die Mittelwerttabelle Tab. 8-7 verdeutlicht dies. Beispielsweise bringt eine niedrige formale Bildung bei den jüngsten Befragten im Vergleich zu den anderen Bildungsabschlüssen einen niedrigeres Klimabewusstsein mit sich und bei den Personen mit Realschulabschluss weisen die ältesten Befragten einen deutlich hören Wert auf als die anderen Altersgruppen. Das Beispiel zeigt, dass der mit der einfaktoriellen ANOVA ermittelte Einfluss der formalen Bildung nicht ohne Weiteres generalisierbar ist, denn er differiert auf den Faktorstufen des Alters. Liegt also in einer mehrfaktoriellen Varianzanalyse eine signifikante Interaktion vor, so ist die Interpretation der Haupteffekte zu relativieren. Auch wenn der alleinige Einfluss des Alters als nicht signifikant ausgegeben wurde, erfordert die Interaktion doch - wie wir gesehen haben - eine detailliertere Betrachtung des unterschiedlich starken Einflusses der Bildung auf diesen Faktor.

180

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

8.5 Voraussetzungen für die Durchführung einer ANOVA Um den F-Test im Rahmen einer Varianzanalyse durchführen zu können, müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein.

Skalenniveaus der beteiligten Variablen Die Durchführung einer Varianzanalyse bedingt eine intervallskalierte abhängige Variable. Diese Bedingung ergibt sich aus dem Grundprinzip der Varianzanalyse. Für die Berechnung der Quadratsummen wird immer der Gruppenmittelwert Aj benötigt. Da dieser erst ab Intervallskalenniveau berechnet werden kann, ist in jedem Fall darauf zu achten, dass die abhängige Variable dieses Skalenniveau besitzt. Für die unabhängige Variable ist wichtig, dass diese eine eindeutige Gruppierung ermöglicht - meist handelt es in der Praxis um nominaloder ordinalskalierte Variablen. Varianzhomogenität Mit Varianzhomogenität ist gemeint, dass sich die Varianzen der einzelnen Faktorstufen nicht signifikant voneinander unterscheiden dürfen. Der Grund hierfür liegt in der Berechnung der Fehlervarianz. in die, wie beschrieben wurde, die Abweichungen der einzelnen Messwerte vom jeweiligen Gruppenmittelwert eingeht. Weichen diese Varianzen zu stark voneinander ab, kann es zu Fehlinterpretationen des ermittelten F-Werts kommen. Liegt bspw. in einer Gruppe eine im Vergleich zu den anderen Gruppen sehr niedrige Varianz vor, bringt dies eine niedrigere Fehlervarianz mit sich. Wird jetzt zur Ermittlung des F-Werts die Treatmentvarianz durch diesen Wert geteilt, kann es passieren, dass anhand dessen ein signifikanter Zusammenhang angenommen wird, obwohl dies nicht der Fall ist. Um zu prüfen, ob Varianzhomogenität vorliegt, bieten sowohl SPSS als auch SYSTAT bei der Durchführung einer ANOVA den Levene-Test an. Dieser testet die Nullhypothese. dass die Varianzen gleich sind. Ergibt der Levene- Test ein signifikantes Ergebnis, weil p < 0,05 ist, bedeutet dies also, dass man sich für die Alternativhypothese entscheiden müsste, nach der sich mindestens zwei Varianzen signifikant unterscheiden. Kann nicht von der Varianzhomogenität ausgegangen werden, bedeutet dies jedoch nicht, dass auf die Berechnung des F-Werts verzichtet werden muss. Es sollte jedoch die Schwelle, ab der man sich für die Alternativhypothese entscheidet, höher angesetzt werden, um Fehlschlüsse zu vermeiden. Dies bedeutet, dass zur Überprüfung auf Signifikanz der kritische F-Wert für das 1%Niveau herangezogen werden sollte bzw. dass in SPSS oder SYSTAT erst ab einem poWert < .01 die Nullhypothese verworfen wird (vgl. Bühl 2010: 491). Zu beachten ist hierbei allerdings, dass die untersuchten Gruppen in etwa gleichgroß sind.

181

So geht es mit SPSSjSYSTAT

8.6 So geht es mit SPSS/SYSTAT Einfaktorielle Varianzanalyse in SPSS Die Varianzanalyse findet sich in SPSS unter "Analysieren> Mittelwerte vergleichen > Einfaktorielle ANOVA...", Im Dialogfenster für die einfaktorielle ANOVA können aus der Liste der vorhandenen Variablen die interessierenden in die entsprechenden Felder gebracht werden. In Analogie der speziellen Terminologie wird für die unabhängige Variable der Begriff "Faktor" verwendet. SPSS bietet die Möglichkeit, den Einfluss des Faktors auf mehrere abhängige Variablen zeitgleich berechnen zu lassen. Wichtig ist, dass dabei für jede abhängige Variable separate Tests durchgeführt werden.

Iillfinfokto,i~lI . ANOVA (i'" At!,ak!;,;!;;! VOl1 : w.

, , , , , , , ,

[

A!tra!
oc

Z

.

iJ

Abl,;i n!
g on!,as!e..

:.f. Kli m.~eW\lSsls .ill iiiiil

~ p.O S! l;!o <;J

.J

G ~

lPE!iOl1 en.

G """ r# 1

Sd,uia bsct,iuss

11

.I ~~ nfiJ Q e n .....I '-iuru cks etze n~ I.... Abt>rechen..l l....

Hilfe

...J

Nach einem Klick auf die Schaltfläche "Optionen" kann die Ausgabe weiterer Informationen aktiviert werden. Damit man eine Übersicht über die Verteilung der Werte innerhalb der Gruppen erhält, setzt man ein Häkchen bei "Deskriptive Statistik". Zur Überprüfung. ob die Bedingung der Varianzhomogenität erfüllt ist, wird auch an dieser Option ein Häkchen gesetzt. Nach der Bestätigung durch das Feld "Weiter" wechselt man noch in das Dialogfenster "Post Hoc...", Hier gibt es eine große Auswahl an Tests, anhand derer man sehen kann, welche Gruppen sich signifikant unterscheiden und welche nicht. Gängig sind sowohl der Test nach "Scheffe" als auch der nach .Tukey". Für das Beispiel soll das Verfahren nach Tukey zum Einsatz kommen. Danach kann durch einen Klick auf "OK" die ANOVA berechnet werden, woraufhin SPSS Folgendes ausgibt:

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

182

ONEWAY deskriptive Statistiken Klimabewusstsein 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert

N

Mittelwert

Hauptschule

5

13,60

2,302

1,030

10,74

16,46

11

16

Realschule

5

15,80

3,194

1,428

11,83

19,77

12

20

Gymnasium Gesamt

Standardabweichung

Standardfehler

Unter-

grenze

Obergrenze

Minimum

Maximum

5

19,00

3,391

1,517

14,79

23,21

14

23

15

16,13

3,603

,930

14,14

18,13

11

23

Diese Tabelle zeigt die zuvor besprochenen sowie einige weitere bekannte Maßzahlen, wie die Mittelwerte oder Konfidenzintervalle der einzelnen Faktorstufen und für die gesamte Stichprobe. Es ist zu erkennen, dass der Mittelwert der Probanden mit Abitur (19,00) deutlich über denen der anderen Personengruppen und auch über dem Gesamtmittelwert (16,13) liegt. Die zweite von SPSS ausgegebene Tabelle zeigt, ob die Bedingung der Varianzhomogenität erfüllt ist: Tut derHomogenltit derV.r1lInzen K1imabewusslBein LeveneStatistik

J

dft

,238

Da s nicht-signifikante Erge bnis (p > 0,0 5) des Levene-Tests zeigt, . dass die Varianzhomogenitat ,792 ,....-~egeben ist.

Signifikanz

dl2

2

12

In der nächsten Tabelle wird das eigentlich Ergebnis der Varianzanalyse dargestellt Hier kann der Blick sofort in die letzte Spalte gehen, in der die Irrtumswa h rsc h emuc lichkcit a b gel esen wer d en k ann. OJENAYNKNA Klimabewusstsein QuadratBum

me

Da die Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner als 0,05 ist, entscheidet man sich fü r die Alternativhypothese.

Mtlelder Quadrats

df

ZWIschen den Gruppen

73,733

2

36,867

Innerhalb derGruppen

108,000

12

9,000

Gesamt

181,733

14

F 4,096

Sign~t:" ,044

Die Tabelle .Mehrfachvergleiche" zeigt die Ergebnisse des Post-hoc-Verfahrens nach Tukey. In ihr werden von SPSS durch Sternchen die sich signifikant voneinander unterscheidenden Gruppen markiert - ein Sternchen für eine Signifikanz auf dem S%-Niveau und zwei Sternchen für eine auf dem 1%-Niveau. In der redundanten Ausgabe sieht man, dass sich nur die Probanden mit Hauptschulab-

183

So geht es mit SPSSjSYSTAT

schluss signifikant von denen mit Abitur unterscheiden, und zwar mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von p = 0.036. In der Spalte .Jvlittelwertdifferenz" findet man noch die Information, wie groß die Unterschiede der Mittelwerte ist: Der Mittelwert der Abiturienten liegt im Schnitt 5,4 Punkte über dem der Personen mit Hauptschulabschluss. Zwischen den anderen Gruppen gibt es keine signifikanten Unterschiede. Mehrfachwrglelche K1imabewuaatsein Tuke)"HSD (I) SChulabschluss

(J) SChulabschluss

95%-Konftdenzlnlervall Mlllel8 DlIJ8renz(l-J)

Standard.hler

Slgnlftkanz

Unt8rgrenZEl

Realschule

-2,200

1,897

A98

-7,26

G)mnaslum

-5,400·

1,897

,038

-10,48

Realschule

Hauptschule

~

1,897

G)mnasium

Hauptschule

Hauptschule

G)mnaslum

I

Realschule ~,Dle

-3~OO

1,897

5,400·

1,897

3~oo!

1,897

L...&!.J

-2,86

ObergrenZEl

2'-,34

". ''-

~50

-8,26

,036

,34

'DAB

-1,86

.~.

r,2501

DilJerenzder MltelwertB Ist sufdem NI'0'8sU 0.05 Signifikant

In SPSS fehlt bei der ANOVA die Möglichkeit, sich auch direkt die Effektstärke 'I' ausgeben zu lassen, sodass ein kleiner Umweg gegangen werden muss. Die entsprechende Ausgabe muss nämlich unter "Analysieren> Mittelwerte vergleichen > Mittelwerte.,," und dort in den Optionen angefordert werden. ZUsammenhangsmaBe Klimabewusstsein * Schulabschluss

Eta ,637

Em-Quadrat

,406

r Der Wert für Eta-Quad rat l~;ib t ~ie Varianzaufklärung

an, hier: 40,6%.

Mehrfaktorielle Varianzanalyse in SPSS Soll in SPSS eine mehrfaktorielle univariate Varianzanalyse, wie sie in Kapitel 8.4 gezeigt wurde, durchgeführt werden, so findet man diese unter "Allgemeines Lineares Modell> Univariat...". Die Faktoren, deren Einfluss getestet werden soll, müssen dort in das Feld "Feste Faktoren" gebracht werden. In den Optionen lassen sich zahlreiche Ausgaben anfordern, wie z.B. der Levene- Test oder Mittelwerttabellen.

Varianzanalys e: m eh r als zwe i Mitt elw erte v ergl eich en

Einfaktorielle und mehrfaktorielle Varianzanalyse in SYSTAT In SYSTAT findet sich die Varianzanalyse unter .Analyze > Analysis of Variance (ANOVA) > Estimate Model.;", Im ersten Reiter des Dialogfeldes werden d ie Variab len in die entsprechenden Felder auf der rechten Seite gebracht. Die abhängige Var iable kommt in das Feld .Dependentfs)'' und die u nab hängige Variable in das Feld .Factorfs)". Durch die Möglichkeit, hier gleich mehrere Faktoren zu definie ren, kann von hier aus also auch gleich eine mehrfakto rielle Varianzanalyse angefordertwerden. J:t:.. An,lyz'" AOlolly
,

01""" neo

Model I Repeoled Meas"es 1oploos l Resompling l Avoiloblevorioble(s) GESCHLECHT KLiMABEWUSS'

VE RANAN TWO~

. Li~=:iJ [ < - Reroove ]

NACH HALTIGK SCHULBILDUNI

Dependenl(s) KLIMABEWUSSTSEIN

'

I

ATTRAKTM TAl VORSTELLUNe AUSSAGE_8 10l , AlJSSAGE_STA 810DIVERSITABIO DIVE RSITABEREITSCHAFl -

G.:i~viJ '

,

I!'J Sove IResdlol s

,

Footor(s)

ATTRAKTMTAl ATTRAKTM TÄ,-

. 1jjI

.... ....

Add -->

I

SCHULB ILDUNG

,

I!'J Miss"" volues Covoriole(s)

[ '"I ~ ~

I <--Reroove ]

·1

,

J

I

I

~~ffiJ

•

0'

I[

C~"

1

Danach wechselt man in den Reiter "Options", in dem der Test auf Var ianzhomogeni tät in Form des Levene- Tests akti vie rt werden kann, dessen Outpu t folgende Tabelle zeigt. Test for Homoqanaltv T est steten c

I Levene's T est

D,2 3 8

Die Frage, ob sich die Mi ttelwerte von mindestens zwei Gruppen signifikant voneinander unterscheiden, wir d in der Tabelle "Analysis of v ena nce" beantwortet. Auch hier ist die letzte Spalte von Interesse, in der d ie Signifikanz in Form des p-Werts zu finden ist.

So geht es mit SPSS!SYSTAT

185

Analvsis of Variance Scurce Type 111 SS

df

Mean Squares

F-ratio

p-value

Schul abschluss

73,733

2

36,867

4,096

0,044

Error

108, 000

12

9, 000

lf Da die Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner als 0,05 ist, entscheidet man ~ch flir die Alternativhypothese.

Dependent Variable

Klimabewusstsein

N

15

Multiple R

0,637

Squared Multiple R

0,406

Die Information wrVarianzaufklärung findet sich in SYSTAT hier.

Die Anforderung eines Post-hoc-Tests ist zwar in SYSTAT, nicht jedoch in MYSTAT möglich. In SYSTAT ist nach der Durchführung einer ANOVA unter "Analyze > Analysis of Variance ..." der Eintrag .Patrwtse Compansons ..." auswählbar. Wie die folgende Abbildung verdeutlicht, bietet SYTAT eine Vielzahl an unterschiedlichen Post-hoc-Tests an, wir entscheiden uns im Beispiel für den Test nach Tukey. /JJ.

Analyze: Analy~1s ofVarlan"" (ANOVA): PallWl~" Comparlson

~;,:, 1[~~~LOiS~WSS

c - - - - - - -1If-Remove l 0 0_ D Fl-E -G ·W Q

o H ochbel~', GT2

0'_

o StYdont-N .-.n-K.....

D Dcmett

• 2·_ L G'

th..,,,,,,,,01 thon 0"""01

'Dc.mett', T3

OK

11

~

,I

Varianzanalyse: mehr als zwei Mittelwerte vergleichen

186

In der unten abgebildeten Ergebnistabelle von SYSTAT sieht man in der Spalte p-value, welche Gruppen sich signifikant voneinander unterscheiden. In unserem Beispiel sind diese signifikanten Unterschieden nur zwischen den Personen mit Hauptschulabschluss und denen mit Abitur vorhanden, denn nur hier ist p mit 0,036 kleiner als 5%. I1 S·IQnITlcant- D·ff T uk evs ' HonesnvI erence T est Schulabschluss( -i)

Schulabschluss( -j)

Difference

p-value

95.0% Confidence Interval Lower

Upper

Hauptschule

Realschule

-2.200

0.498

-7.262

2.862

Hauptschule

Gymnasium

-5.400

0.036

-10.462

-0.338

Realschule

Gymnasium

-3.200

0.250

-8.262

1.862

8.7 Die Varianzanalyse in der Forschungsliteratur Ergebnisse von Varianzanalysen werden in Ergebnisberichten meist im Fließtext in folgender Form berichtet: "Der gegebene Mittelwertunterschied wird im Rahmen einer einfaktoriellen Varianzanalyse als signifikant ausgewiesen (n = 991; F = 14,526; P < 0,001)" (Treumann 2007: 323). Auch Ergebnisse der verwendeten Post-hoc-Verfahren werden auf diese Weise dargestellt, wobei das eingesetzte Verfahren entweder direkt genannt oder in einem separaten Methodenteil erwähnt wird: "Die einzelnen Subskalen zeigen mehrere statistisch bedeutsame Haupteffekte: Der Haupteffekt Gruppe wird für die Subskala Unterrichten signifikant [Fa, 250 = 13.38, P < .01, ry2 = .14). In den Post-hoc-Tests zeigen alle Gruppen eine höhere Selbstwirksamkeitserwartung als die Studienanfänger" (Schulte u.a. 2008: 280). Im zweiten Beispiel wurden die Mittelwertdifferenzen zwischen vier Gruppen (Studienanfänger, Fortgeschrittene Studierende, Examenskandidaten und Referendare) auf unterschiedlichen Skalen auf Signifikanz untersucht. Das in diesem Beispiel verwendete Post-hoc-Verfahren ist der GT2-Hochberg-Test und im Gegensatz zum ersten Beispiel erhält die Leserin bzw. der Leser zusätzlich noch weitere Informationen. Beim F-Wert stehen tiefgestellt die beiden Freiheitsgrade (3 und 250), die zur Berechnung der Treatment- und Fehlervarianz errechnet wurden und man erhält zusätzliche Informationen zur Varianzaufklärung, die hier 14% beträgt. Zur Übersicht werden außerdem alle Ergebnisse der einzelnen Varianzanalysen tabellarisch dargestellt:

187

Die Varianzanalyse in der Forschungsliteratur

Abb. 8-2: Tabellarische Darstellung von Gruppenmittelwerten (ebd.) Studienanfänger

Abhängige Variablen

Fortgeschrittene Studierende

Examenskandidaten

Referendare

M

SO

M

SO

M

SO

M

SO

P

Allgemeine Selbstwirksamkeit

2.87

.44

2.85

.33

2.84

.4 3

2.91

.55

n.s.

Selbstwirksamkeit im Studium

2.7 6

.5 8

3.04

.48

2.87

.57

-

-

n.s.

Lehrer-Selbstwirksa mkeit

2.88

.38

2.86

.32

2.93

.33

2.90

.27

n.s.

multidimensionale Skala der LehrerSelbstwirksamkeit (Gesamtwert)

2.20,

.54

2.46

.4 1

2.45 b

.49

2.53 b

.3 1

<.01

Subskala Unterrichten

2.20,

.63

2.62 b

.49

2.59 b

.54

2.90 b

.4 5

<.01

Subskala Leistungsbeurteilung

2.44 .

.71

2.71

.57

2.81 b

.6 1

2.94 b

.4 6

<.01

Subskala Diagnostische Kompetenz

2.27

.69

2.46,

.64

2.32

.66

1.92 b

.44

<.10

Subskala Kommunikation und

2.56

.7 5

2.51

.73

2.66

.78

2.61

.76

n.s .

Subskala Anforderungen des Lehrerberufs

1.56

.60

1.53

.55

1.70

.66

1.58

.67

n.s .

Pädagogisches Professionswissen

.42,

.14

.56b

.13

.52 b

.1 6

.66,

.1 8

<.01

Subskala VerballST2000

.64

.12

.65

.17

.66

.16

.6 5

.15

n.s.

Konfliktlösung

Anmerkun g: Mi ttelwerte

In

derselben Zelle mi t unterschiedlichem Subskript unterscheiden sich statistisch signi -

f ikant bei Verwendung des GT2 Hoch berg Test s.

In jeder Zeile stehen die Mittelwerte (M) und Standardabweichungen (SD) der vier Gruppen auf den jeweiligen Skalen. In der letzten Spalte kann abgelesen werden, ob die Mittelwertunterschiede signifikant sind und wenn ja, auf welchem Signifikanzniveau. Mittels tiefgestellter Buchstaben an den Mittelwerten wird zusätzlich gezeigt, welche Gruppen genau sich signifikant unterscheiden. Auf der Skala Leistungsbeurteilung unterscheiden sich demnach die Examenskandidaten und die Referendare von den Studienanfängern (fett hervorgehoben).

9

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

Der Begriff "Korrelation" (engl. correlation) wird in der sozialwissenschaftlichen Literatur sehr häufig verwendet. Dort heißt es z.B. "Noten in der vierten Klasse und Empfehlungen für die weiterführende Schule korrelieren miteinander", "Es besteht eine Korrelation zwischen X und Y"oder "Es findet sich ein korrelativer Zusammenhang". Gemeint ist dabei immer, dass die Variablen, über die eine Aussage getroffen wird, miteinander in Beziehung stehen, denn der Begriff Korrelation leitet sich ab von .Ko-Relation", der "Wechselbeziehung". Dass die Noten in der vierten Klasse mit den Empfehlungen korrelieren, bedeutet also nichts anderes, als dass bessere Noten mit der Empfehlung für höhere Schulformen einhergehen oder anders ausgedrückt: Je höher der Notendurchschnitt, desto eher wird das Gymnasium empfohlen, je niedriger desto eher die Hauptschule. Das Ziel von Korrelationsstudien besteht darin, den Zusammenhang von zwei oder mehr Variablen zu analysieren, wir beschränken uns hier jedoch auf den Zusammenhang von zwei Variablen. In den ersten Abschnitten dieses Kapitels stellen wir vor, wie man einen solchen Zusammenhang grafisch veranschaulicht und wie man die Stärke des Zusammenhangs für unterschiedliche Skalenniveaus in einem Koeffizienten ausdrücken kann. Mit dem Thema "Korrelation" eng verknüpft ist das wichtige Thema "Kausalität", dem ein Abschnitt am Ende dieses Kapitels gewidmet ist.

9.1 Zusammenhänge von Variablen grafisch darstellen Angenommen, man habe von acht 15-jährigen Jugendlichen das jeweilige .Klimabewusstsein" und das .Nachhaltigkeitsbewusstsein" mithilfe eines Fragebogens gemessen. Die eingesetzten Skalen für beide Variablen reichen von 10 bis 25, wobei ein höherer Wert für ein höheres Bewusstsein steht. In Tab. 9-1 sind die Werte der acht Personen festgehalten. Zur besseren Übersicht ist die Tabelle nach der Höhe des Klimabewusstseins sortiert Eine derartige Tabelle, in der jede Zeile für jede Untersuchungseinheit ein Wertepaar enthält, stellt die typische Ausgangsbasis für Korrelationsstudien dar.

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

190

Tab. 9-1 Person

Klimabewusstsein (Skala von 10 bis 25)

1

11

13

2.

13

15

Nachhaltigkeitsbewusstsein (Skala von 10 bis 25)

3.

14

17

4.

17

14

5.

18

23

6.

20

22

7.

21

19

8.

22

25

Um diese Daten grafisch zu visualisieren, überträgt man sie in ein sogenanntes Streudiagramm. das jedes Wertepaar eines Falls in einem Koordinatensystem als Punkt darstellt. In Abb. 9-1 ist auf der x-Achse das Klimabewusstsein und auf der y-Achse das Nachhaltigkeitsbewusstsein aufgetragen und jeder Punkt symbolisiert eine der acht Personen. Abb. 9-1: Streudiagramm als grafische Darstellung eines Zusammenhangs 26 c

24

li,

22

~

20

~

•

18

.~

~

E • ~ z• ~

0 0

0 0

0

16

0

14

0

0

12 10 10

12

14

16

18

20

22

24

26

Klimabewusstsein

Anhand der grafischen Darstellung in einem Streudiagramm lässt sich ablesen, welcher Zusammenhang zwischen den beiden visualisierten Variablen besteht Offensichtlich ist es in unserem Beispiel so, dass höhere Werte beim Klimabewusstsein auch mit höheren Werten beim Nachhaltigkeitsbewusstsein einhergehen, denn je weiter man nach rechts auf der x-Achse wandert, desto höher lie-

191

Zusammenhänge von Variablen grafisch darstellen

gen die zugehörigen Datenpunkte auf der y-Achse. Je höher das Klimabewusstsein einer Person, desto höher ist auch ihr Nachhaltigkeitsbewusstsein. Einen solchen Zusammenhang bezeichnen wir als positiv linear. Abb. 9-2 zeigt neben diesem positiv linearen Zusammenhang drei weitere schematische Streudiagramrne, die unterschiedliche Formen des Zusammenhangs repräsentieren: Negativ linearer Zusammenhang: Wie beim positiv linearen Zusammenhang lässt sich eine Gerade erkennen. Diese Linie verläuft jedoch, von links nach rechts betrachtet, bergab und je größer x wird, desto kleiner wirdy. Kein Zusammenhang: Die Punkte folgen keinem Muster und sind willkürlich über einen Großteil der Fläche verteilt. Nicht linearer Zusammenhang: Die Punkte folgen einem Muster, das jedoch nicht als Gerade gekennzeichnet ist, sondern z.B. der Form eines "D" oder umgekehrten "D"ähnelt.

.

Abb. 9-2: schematische Darstellung verschiedener Zusammenhänge

.....'./

.... : .::.

..,.... . ' .

positiv linear

,

.:

-:

... : , ..

., -. .... -, ~

negativ linear

..' . . :

'.

.. .... .. . .... . .. .. .. -,

kein Zusammenhang

...

v,

'

..

nicht linearer Zusammenhang (z.B. umgekehrt U-förmig)

Der in Abb. 9-2 veranschaulichte positive lineare Zusammenhang ist stärker als der negative lineare, weil die Punkte des ersten Bildes weniger streuen und dichter beisammen liegen. Wenn alle Punkte genau auf einer ansteigenden Linie lägen, könnten wir von einem perfekten positiven linearen Zusammenhang sprechen. Ein solcher perfekter Zusammenhang kommt in den Sozialwissenschaften jedoch nie vor, denn dies würde z.B. bedeuten, dass alle Personen mit einem Klimabewusstsein von 12 Punkten, das gleiche Nachhaltigkeitsbewusstsein aufweisen müssten. Streudiagramme eignen sich besonders gut für die Visualisierung von zwei stetigen Variablen wie z.B. Alter und Einkommen, denn in diesem Fall können sich die einzelnen Punkte gewissermaßen auf der ganzen Fläche ausbreiten und viele Punkte können in das Koordinatensystem eingezeichnet werden, ohne übereinander gedruckt zu werden. Auch diskrete Variablen, wie etwa das Alter gemessen in Jahren, lassen sich gut in einem Streudiagramm veranschaulichen, sofern sie - wie in unserem Beispiel - viele Ausprägungen aufweisen und nicht allzu viele Datenpunkte eingezeichnet werden. Für diskrete Variablen, die nur

192

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

wenige Ausprägungen haben, ist das Streudiagramm ungeeignet, da viele Punkte übereinander gedruckt werden müssten, so dass wichtige Informationen verloren gehen. Ordinalskalierte Variablen, deren Ausprägungen ja eine Rangreihenfolge mit unterschiedlich breiten Abständen aufweisen, lassen sich ebenfalls in einem Streudiagramm grafisch aufbereiten. Allerdings sollten auch in diesem Fall die Variablen möglichst viele Ausprägungen haben und es können nur wenige Wertepaare eingezeichnet werden. Ein Streudiagramm setzt voraus, dass die Werte auf der x- und y-Achse einer eindeutigen Sortierung folgen. Deshalb lassen sich Zusammenhänge von nominalskalierten Variablen natürlich nicht in einem Streudiagramm darstellen, denn bspw. lassen sich die drei Ausprägungen "verheiratet", "ledig" und "verwitwet" der nominalen Variable "Familienstand" beliebig auf der x-Achse anordnen. Es gibt jedoch zahlreiche andere Formen der Visualisierung von Zusammenhängen nominalskalierter Variablen, die sich zum Teil auch für Variable mit höherem Skalenniveau eignen. Die wichtigsten Visualisierungsmöglichkeiten wurden bereits in Kapitel 4 vorgestellt: die tabellarische Darstellung als Kreuztabelle sowie das gruppierte oder gestapelte Säulendiagramm. Der Blick auf ein Streudiagramm kann zwar die Art des Zusammenhangs von zwei Variablen aufdecken, aber er reicht nicht aus, um dessen Stärke zu bestimmen. Doch wie bestimmt man die Stärke eines Zusammenhangs? Diese Frage wollen wir für die drei Skalenniveaus intervall, ordinal und nominal in den nächsten drei Abschnitten beantworten.

9.2 Die Korrelation von intervallskalierten Variablen Um die Höhe eines Zusammenhangs von intervallskalierten Variablen zu bestimmen, berechnet man zunächst die Kovarianz und normiert diese anschließend zur Produkt-Moment-Korrelation. Die Kovarianz Als Kovarianz (engl. covariance) bezeichnet man die wechselseitige Varianz von zwei Variablen. Diese ergibt sich, indem man für jedes Wertepaar zunächst ermittelt, wie weit der x-Wert und der y-Wert vom jeweils zugehörigen Mittelwert entfernt liegen. Multipliziert man diese Abstände erhält man für jede Person das sogenannte .Kreuzprodukt". Diese Kreuzprodukte werden alle aufsummiert und schließlich durch die Anzahl der Personen (oder allgemeiner: Untersuchungseinheiten) minus eins'> geteilt: 13 Möchte man später die Ergebnisse nicht auf Signifikanz testen und soll die Kovarianz nur zu deskriptiven Zwecken berechnet werden, teilt man nur durch n und nicht durch n-l.

Die Korrelation von intervallskalierten Variablen

.

Kovananz cov(x, y)

=

Lr~l(X,

193

-

x) . (y, - y) 1

n-

und Yi= Wert einer Person bei Variablexund bei Variabley = Mittelwerte der Variablen x undy n = Anzahl der Untersuchungseinheiten, meistens Personen

Xi

x und y

Praktisch lässt sich die Kovarianz am einfachsten bestimmen, indem man die Ausgangsdatentabelle um drei Spalten ergänzt, wie in Tab. 9-2 für unser Beispiel geschehen. In der dritten Spalte stehen die Abweichungen der x-Werte vom Mittelwert des Klimabewusstseins, in der vierten die Abweichungen der yWerte vom Mittelwert des Nachhaltigkeitsbewusstseins. Wichtig ist, auf die Vorzeichen zu achten, denn die Abweichungen werden anschließend multipliziert, um das Kreuzprodukt zu erhalten, das positive und negative Werte annehmen kann und in der vierten Spalte festgehalten wird. Tab. 9-2

-x

-s

. (y, -)1)

x = Klimabewusstsein

y = Nachhaltigkeitsbewusstsein

11

13

-6

-5,5

33

13

15

-4

-3,5

14

14

17

-3

-1,5

4,5

17

14

0

-4,5

0

18

23

1

4,5

4,5

20

22

3

3,5

10,5

21

19

4

0,5

2

22

25

5

6,5

32,5

x=

17

Y

~

Xi

Yi

18,5

(Xi - X)

Summe = 101

Die letzte Spalte summiert man auf und teilt durch die Anzahl der Kreuzprodukte, in unserem Beispiel durch acht minus eins: cov(Klimabewusstsein,Nachhaltigkeitsbewusstsein)

101

= -7-::::;

14,43

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

194

Das Vorzeichen der Kovarianz lässt sich folgendermaßen interpretieren: Eine positive Kovarianz steht für eine positive lineare Beziehung Oe mehr, desto mehr), eine negative Kovarianz für eine negative lineare Beziehung Oe mehr, desto weniger). Beträgt die Kovarianz null, ist kein Zusammenhang zwischen den untersuchten Variablen vorhanden. Die Kovarianz hat allerdings einen wesentlichen Nachteil: Sie ist abhängig von dem Maßstab der Variablen und wenn man die Variablenwerte verdoppelt, so verdoppeln sich auch die Abweichungen und die Kovarianz. Dies hat zur Konsequenz, dass sich zwei verschiedene Kovarianzen nicht einfach miteinander vergleichen lassen, wofür sie im nächsten Schritt normiert werden. Die Produkt-Moment-Korrelation nach Bravais-Pearson Eine solche Normierung der Kovarianz wird bei der Berechnung der ProduktMoment-Korrelation durchgeführt, die auf Auguste Bravais und Karl Pearson zurückgeht und häufig einfach nur .Pearson-Korrelarion" genannt wird. Fast immer, wenn in der Forschungsliteratur von "Korrelationskoeffizient" die Rede ist, dann ist die Korrelation nach Pearson gemeint Häufig findet sich in der Literatur auch nur der Buchstabe .r", der als übliche Abkürzung dient und .Pcarsons r' genannt wird. Pearsons rwird berechnet, indem man die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen der beiden Variablen x undy teilt: Pearsons r

cov(x,y)

= ----'----'-"Sx . Sy

cov(x,yJ = Kovarianz der Variablen x undy sx und Sy = Standardabweichungen der Variablen x undy

Der Korrelationskoeffizient r kann Werte zwischen -1 und +1 annehmen. Bei r = -1 liegt zwischen den beiden untersuchten Variablen ein perfekt negativer (je mehr, desto weniger) und bei r = + 1 ein perfekt positiver (je mehr, desto mehr) linearer Zusammenhang vor und bei 0 existiert kein Zusammenhang - die Variablen korrelieren nicht miteinander. Das heißt, das Vorzeichen von r gibt die Richtung des Zusammenhangs und die Höhe von r die Stärke des Zusammenhangs wieder. Für unser obiges Beispiel lässt sich Pearsons r bestimmen, indem man die berechnete Kovarianz durch die Standardabweichung des Klimabewusstseins (4,00) und durch die Standardabweichung des Nachhaltigkeitsbewusstseins (4,4 7) teilt:

195

Die Korrelation von intervallskalierten Variablen

r=

cov(x,y)

14,43 4,00.4,47 = 0,81

In unserem Beispiel liegt r mit 0,81 (man rundet r üblicherweise auf zwei Stellen nach dem Komma) recht dicht an dem maximal erreichbaren Wert von 1. Doch ist dieser Wert jetzt als hoch oder als sehr hoch anzusehen? Diese Frage wird in der Statistikliteratur und in der Forschungspraxis unterschiedlich ausgelegt. Üblich ist eine Einteilung, wie sie in Tab. 9-3 vorgenommen wird (in Anlehnung an Cohen 1988). Ein rvon 0,81 stellt demnach einen sehr hohen Zusammenhang dar. Zu beachten ist, dass das Vorzeichen von rkeine Rolle für die Höhe des Korrelationskoeffizienten spielt und in Tab. 9-3 nur der Betrag von r ohne Vorzeichen angegeben ist Ein r von -0,81 drückt also die gleiche Stärke aus wie +0,81. Tab. 9-3

Betrag von r

Stärke des Zusammenhang

0,00:;;

r < 0,10

kein Zusammenhang

0,10:;;

r < 0,30

geringer Zusammenhang

0,30:;;

r < 0,50

mittlerer Zusammenhang

0,50:;;

r < 0,70

hoher Zusammenhang

0,70:;;

r < 1,00

sehr hoher Zusammenhang

Die Höhe von r lässt sich auch grafisch veranschaulichen. In Abb. 9-3 sind vier Streudiagramme und die jeweils zugehörige Höhe von r dargestellt. Je näher r bei 1 liegt, desto dichter liegen die Datenpunkte auf einer Geraden. Bei r = streuen die Datenpunkte wahllos über die gesamte Fläche, ohne dass ein Muster erkennbar ist.

°

Abb.9-3 Grafische Veranschaulichung der Höhe von r

.. .. ..

~---~

-,

...

...

~

..

.. .

..

..

>•

r= 0

r = 0,5

r = 0,7

r = 0,9

:

196

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

Die Berechnung für Pearsons r ist nur für lineare Zusammenhänge sinnvoll. Statistikprogramme prüfen bei der Berechnung nicht, ob es sich um einen linearen Zusammenhang handelt und so lassen sich mit wenigen Mausklicks viele unsinnige und falsche Korrelationen berechnen. Es ist deshalb zu empfehlen, vor der Berechnung einer Korrelation ein Streudiagramm für die bei den untersuchten Merkmale anzufertigen und den Zusammenhang visuell zu inspizieren. Hier können auch Extremwerte identifiziert werden, die eine Korrelation fälschlicherweise in die Höhe schnellen lassen. Korrelation auf Signifikanz überprüfen Hat man in einer Stichprobe eine Korrelation gefunden, stellt sich die Frage, ob diese Korrelation auch in der Grundgesamtheit gilt. Dies kann mit einem Signifikanztest, wie er in Kapitel 6 eingeführt wurde, überprüft werden. Im ungerichteten Fall besagt die Nullhypothese beim Test der Korrelation auf Signifikanz, dass in der Grundgesamtheit keine Korrelation zwischen zwei Merkmalen besteht. Die zugehörige Alternativhypothese geht davon aus, dass eine Korrelation existiert. Verkürzt lässt sich dies mit dem kleinen griechischen r, also dem Buchstaben p ("rho") notieren, der die Korrelation in der Grundgesamtheit repräsentiert: Ho: P = 0

H,: p

*0

(pos. oder neg. Korrelation, ungerichtet)

Im gerichteten (= einseitigen) Fall vermutet man, dass in der Grundgesamtheit entweder eine positive Korrelation oder dass eine negative Korrelation existiert. Auch hierfür lassen sich jeweils Null- und Alternativhypothese formulieren: Ho:p
H1 : p

> 0 (positive Korrelation, gerichtet)

Ho:p,;> 0

H,: p

< 0 (negative Korrelation, gerichtet)

In unserem Beispiel vermuten wir, dass in der Grundgesamtheit eine positive Korrelation vorliegt, und haben deshalb vorab eine gerichtete Alternativhypothese aufgestellt: Je größer das Klimabewusstsein, desto größer ist auch das Nachhaltigkeits bewusstsein. Wir benötigen zusätzlich noch eine Prüfgröße, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass wir in einer Stichprobe eine Korrelation finden, obwohl in der Grundgesamtheit gar keine vorliegt Es lässt sich mathematisch zeigen, dass die folgende Prüfgröße der t-Verteilung mit df = n - 2 Freiheitsgraden folgt: Prüfgröße (Pearson-Korrelation) t r

n

=

r ·,Jn - 2

= -v-;Oi=_=r=2~

ermittelter Korrelationskoeffizient nach Pearson Anzahl der Untersuchungseinheiten, meist Personen

197

Die Korrelation von intervallskalierten Variablen

Mithilfe der Prüfgröße lässt sich jetzt eine Entscheidung für die Ho oder die Hi fällen. Rechnet man mit der Hand, muss man entweder in einer t-Verteilungstabelle (vgl. Anhang B) den kritischen Wert für ein ausgewähltes Signifikanzniveau ablesen oder im Internet einen t-Verteilungsrechner bemühen, der die exakte Wahrscheinlichkeit ausgibt. Im Regelfall wird man mit der exakten Wahrscheinlichkeit p entweder in einem Forschungsartikel oder in einem Statistikprogramm konfrontiert sein. Im Kasten sind die Entscheidungsregeln aufgeführt. Entscheidung mithilfe einer t-Tabelle a-Niveau festlegen: 0,1%,1% oder 5% einseitiger Test: Tabellenwert für tl-er, df=n-2 ablesen zweiseitiger Test: Tabellenwert für ta-o/z. df=n-2 ablesen Prüfgröße t> kritischer t-Wert ~ Entscheidung für die Hs, sonst Ho Entscheidung bei berechneter Irrtumswahrscheinlichkeit p a-Niveau festlegen: 0,1%,1% oder 5% p < a ~ Entscheidung für die Hi, sonst Ho beachten, ob p für einseitigen oder zweiseitigen Test berechnet wurde

Um für unser Beispiel einen Signifikanztest durchzuführen, berechnen wir zunächst die Prüfgröße t; indem wir den ermittelten Korrelationskoeffizienten von 0,81 und für die Anzahl der Personen acht einsetzen:

r·,)n - 2 t =----==~ ,)1 - r'

081·~

,

,11-

0,81'

::::: 3,38

mit df

=8-

2

=6

Wir hatten unsere Alternativhypothese gerichtet formuliert, also müssen wir einseitig testen. Für t95%, df=6 liest man in der t- Tabelle (Anhang B) einen kritischen Wert von 1,94 ab. Da die Prüfgröße mit 3,38 deutlich über dem kritischen Wert liegt, entscheiden wir uns gegen die Ho und für die Hi. Damit sagen wir implizit: Die Wahrscheinlichkeit, in unserer Stichprobe von 8 Personen eine Korrelation von 0,81 zu finden, auch wenn in der Grundgesamtheit gar keine Korrelation existiert, liegt unter 5%. Wir lehnen also die Hypothese, dass in der Grundgesamtheit 15-jähriger Jugendlicher keine Korrelation zwischen Klima- und Nachhaltigkeitsbewusstsein besteht, ab und können verkürzt formulieren: Die Korrelation von r = 0,81 ist auf dem 5%-Niveau signifikant.

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

198

Nicht außer Acht lassen darf man die Voraussetzungen für die Durchführung eines Signifikanztest bei der Korrelation: Die beiden analysierten Variablen müssen bivariat normalverteilt sein. Dies bedeutet vereinfacht, dass für die Ausprägungen der Variable x, die jeweils zugehörigen y-Werte normalverteilt sind und möglichst homogene Varianzen aufweisen. In der Praxis ist dies nicht leicht zu testen und man begnügt sich meist damit, zu überprüfen, ob beide Variablen für sich genommen normalverteilt sind. Der Test auf Signifikanz ist relativ robust gegen Verletzungen dieser Voraussetzungen. Wenn man jedoch davon ausgehen muss, dass die Voraussetzungen in keinster Weise erfüllt sind, dann kann man die Variablen als ordinalskaliert interpretieren und wie im nächsten Abschnitt beschrieben eine Korrelation berechnen. Diese Berechnung setzt keine Normalverteilung der Werte voraus.

9.3 Die Korrelation von ordinalskalierten Variablen Auch für zwei ordinalskalierte Merkmale lässt sich die Korrelation berechnen. Zur Erinnerung: Ordinalskaliert bedeutet, dass sich die Ausprägungen der Variablen zwar aufsteigend oder absteigend sortieren lassen, die Abstände zwischen zwei Rangplätzen müssen jedoch nicht gleich groß sein. Nehmen wir als Beispiel einmal an, zwei Pädagoginnen in einem Kindergarten sollen acht Kinderbücher nach dem Kriterium "Beliebtheit bei den Kindern" in eine Reihenfolge bringen und es ergeben sich die in Tab. 9-4 dargestellten Rangreihen. Tab. 9-4 Buch

Pädagogin 1: Rangplätze für die Bücher

Pädagogin 2: Rangplätze für die Bücher

A

1

B

d,

d'

3

3-1 = 2

22 = 4

2

1

1

1

C

3

4

-1

1

D

4

2

-2

4

E

5

5

D

D

F

6

6

D

D

G

7

8

1

1

H

8

7

1

1

Summe: 12

Die Korrelation von ordinalskalierten Variablen

199

In jeder Zeile ist der Rangplatz für das gleiche Buch der beiden Pädagoginnen dargestellt, zur besseren Übersicht ist die Tabelle nach der Rangreihenfolge von der ersten Pädagogin sortiert. Mit diesen Daten lässt sich jetzt bestimmen, wie stark die bei den in ihrem Urteil übereinstimmen, wie hoch also die Korrelation der beiden Variablen "Urteil Pädagogin 1" und "Urteil Pädagogin 2" ist. Für die Berechnung der Korrelation sind in die Tabelle bereits zwei weitere Spalten eingefügt: Die vierte Spalte von Tab. 9-4 enthält die Differenzen der Rangplätze (da, die sich einfach ergibt, indem man für jede Zeile von dem Rangplatz von Pädagogin 2 den Rangplatz von Pädagogin 1 abzieht. Für die vierte Spalte wurden die Differenzen quadriert (d/) und in der letzten Zeile summiert. Spearmans Rho Für ordinalskalierte Variablen wird sehr häufig der Rangkorrelationskoeffizient namens "Rho" nach Charles Spearman berechnet, der im Folgenden mit r, abgekürzt wird, um ihn nicht mit Pearsons r zu verwechseln. Während Pearsons r nur für lineare Zusammenhänge geeignet ist, lässt sich der Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman für beliebige Zusammenhänge von zwei Variablen berechnen, weil nur die Rangreihenfolge der Werte und nicht deren Höhe berücksichtigt wird. Deshalb ist r, auch robust gegenüber Ausreißern. Sofern n > 5 ist, kann r, folgendermaßen berechnet werden:

Spearmans r,

dt n

=

6· IY=l dt = 1 - n· (2 ) n -1

quadrierte Rangplatzdifferenz der i-ten Untersuchungseinheit Anzahl der Untersuchungseinheiten

Man muss also nur die Summe der vierten Spalte oben auf dem Bruchstrich und unten die Anzahl n einsetzen. Für unser Beispiel ergibt sich demnach ein r, von 0,86. Der Wertebereich von r, ist identisch zu dem von Pearsons r und ein Wert von + 1 steht für einen perfekten positiven Zusammenhang. Auch die Stärke des Zusammenhangs kann mit den Angaben in Tab. 9-3 interpretiert werden und aufgrund des hohen Wertes von 0,86 kann man also sagen, dass die beiden Pädagoginnen hinsichtlich ihrer Einschätzung der Bücher stark übereinstimmen.

Das Problem doppelter Rangplätze (Bindungen) Im obigen Beispiel kommt jeder Rangplatz nur einmal vor, weil die Pädagoginnen die Bücher nacheinander in eine Rangreihenfolge bringen. Es kann bei ordinalskalierten Variablen jedoch vorkommen, dass manche Rangplätze mehrmals vergeben werden müssen, und zwar spätestens dann, wenn weniger Rangplätze als Untersuchungseinheiten vorhanden sind. Dies ist z.B. der Fall,

200

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

wenn man von fünf Personen das persönliche Nettoeinkommen in kategorisierter Form vorliegen hat und zwei Personen der gleichen Kategorie zugeordnet wurden. In Tab. 9-5 ist ersichtlich, dass Person Bund C das gleiche Nettoeinkommen haben und sich deshalb einen Rangplatz teilen müssen. Man spricht davon, dass hier eine "Bindung" (engl. ties) vorliegt. Um dieses Problem zu lösen, weist man den Personen, die sich Rangplätze teilen, einfach den Mittelwert der auf sie entfallenen Rangplätze zu. Person Bund C teilen sich den 2. und 3. Rangplatz. sodass sie beide den mittleren Rangplatz von 2,5. zugewiesen bekommen. Tab. 9-5 Person

Nettoeinkommen in Euro

Rangplatz

A

1.000 bis unter 1.500

1.

B

1.500 bis unter 2.000

2,5. (Mittelwert aus 2. und 3. Rangplatz)

C

1.500 bis unter 2.000

2,5. (Mittelwert aus 2. und 3. Rangplatz)

D

2.000 bis unter 2.500

4.

E

3.000 bis unter 3.500

5.

Wenn die Gesamtzahl der verbundenen Ränge den Anteil von 20% aller Ränge übersteigt, muss man r. mithilfe einer anderen Formel bestimmen, die man unter anderem bei Bortz (2005: 233) findet. Korrelation auf Signifikanz überprüfen Natürlich kann man auch für den Korrelationskoeffizienten nach Spearman einen Signifikanztest durchführen. Die Hypothesen lauten identisch wie bei der Signifikanzüberprüfung von Pearsons r. Folgende Prüfgröße folgt einer t-Verteilung mit df = n - 2 Freiheitsgraden.

Prüfgröße (Spearman-Korrelation)

t

r,

= r;C;==~';7'=~ -.j(l-r,'}/(n- 2)

9.4 Die Korrelation von nominalskalierten Variablen Im Kapitel 4 haben Sie bereits mehrere Maße für den Zusammenhang von zwei nominalskalierten Variablen kennen gelernt, unter anderem Chi-Quadrat sowie die Koeffizienten Cramers V, Phi und C. Alle diese Koeffizienten dienen der Standardisierung der Maßzahl Chi-Quadrat. Die Höhe der Koeffizienten kann man

Die Korrelation von nominalskalierten Variablen

201

analog zu den Korrelationen mithilfe der Angaben in Tab. 9-3 interpretieren. Ebenso wie Pearsons r = 0,6 und Spearmans r, = 0,6 für einen hohen Zusammenhang stehen, drückt auch Cramers V = 0,6 einen hohen Zusammenhang zwischen den bei den untersuchten Variablen aus. Wir wollen an dieser Stelle nicht noch einmal die einzelnen Koeffizienten besprechen, sondern kurz die wichtige Information nachliefern, wie man einen gefundenen Zusammenhang auf Signifikanz testen kann.

Zusammenhang auf Signifikanz überprüfen In einer Studie mit 100 zufällig ausgewählten Jugendlichen habe man den Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der Zustimmung zur Frage, ob man Technik "in" oder "out" findet, untersucht. Angenommen es ergeben sich die in Tab. 9-6 dargestellten Daten. Tab. 9-6 Technik ist "in"

Technik ist "out"

weiblich

24

26

Summe: 50

männlich

41

9

Summe: 50

Summe: 65

Summe: 35

n = 100

Nach der Berechnungsformel aus Kapitel 4 ergibt sich für die Tabelle ein ChiQuadrat von 12,7 und ein Cramers Vvon 0,13. Es besteht also in der Stichprobe ein schwacher Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der Einstellung gegenüber Technik Für die Überprüfung auf Signifikanz benötigt man zunächst eine geeignete Nullhypothese und die dazugehörige Alternativhypothese. Diese werden in der Regel ungerichtet formuliert: Ho: Es besteht kein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen. Hi: Es besteht ein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen.

Manchmal spricht man auch davon, dass die beiden Merkmale unabhängig (Ho) bzw. abhängig voneinander sind (Hi). Als Prüfgröße kann man einfach den errechneten Chi-Quadrat-Wert nehmen, denn die Chi-Quadrat-Werte von Zufallsstichproben folgen der Chi-Quadrat-Verteilung, die in Kapitel 5 eingeführt wurde. Dort wurde auch erläutert, dass unendlich viele Chi-Quadrat-Verteilungen existieren, weshalb man zusätzlich noch die Anzahl der Freiheitsgrade benötigt. Diese ergibt sich aus der Größe der analysierten Tabelle: df = (Anzahl der Spalten - 1) . (Anzahl der Zeilen - 1)

202

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

Je größer die Tabelle, desto mehr Freiheitsgrade gibt es also. Für eine 3x3Tabelle beträgt df = (3-1) "(3-1) = 4 und für eine Vier-Felder-Tafel, wie in unserem Beispiel, gilt immer df = 1. Für das S%-Niveau liest man in der Chi-Quadrat-Tabelle (Anhang B) für df = 1 einen kritischen Wert von 3,84 ab. Unser berechneter Wert ist größer als der kritische Tabellenwert. deshalb entscheiden wir uns gegen die Ho. Das heißt, es existiert ein auf dem S%-Niveau signifikanter Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der Einstellung gegenüber Technik bei Jugendlichen, was man tatsächlich mit den Daten der Shell-Jugendstudie 2006 für Deutschland nachweisen kann. Das Ergebnis der Signifikanzüberprüfung kann direkt auf die Koeffizienten C, Phi und Cramers V übertragen werden, das heißt, wenn sich ein Chi-QuadratWert als signifikant erweist, sind auch die aus dem Chi-Quadrat-Wert berechneten Koeffizienten signifikant.

Übersicht über die Zusammenhangsmaße Tab. 9-7 zeigt häufig verwendete Zusammenhangsmaße für zwei Variablen in Abhängigkeit der jeweiligen Skalenniveaus. Tab. 9-7 Variable x nominal 0;

intervall

Chi-Quadrat

c

Phi-Koeffizie nt

c

Kontingenzkoeff. C

"e0

ordinal

Crame rs--v. >,

• :;; • >•

"0

Spearmans Rho (rs) 0;

c

Kendalls Tau

0

Gamma

~

0;

~

•

.5

punktbiserale Korrelation

Kovarianz

Eta

Pearsons r Determinationskoeff. R2

Die in diesem Buch vorgestellten Maße sind schwarz gedruckt. Sie befinden sich alle auf der Diagonalen der Tabelle, weil wir in diesem Buch nur Maße für Variablen mit dem gleichen Skalenniveau behandeln. Für den Fall, dass man die Va-

Korrelation und Kausalität

203

riable y als Wirkung der Variablen x interpretieren kann (hierzu mehr unter 9.5), existieren noch zwei Koeffizienten, bei denen man x als nominal- undy als intervallskaliert voraussetzt. Um den Zusammenhang von einer höher und einer niedriger skalierten Variablen (z.B. von einer ordinalen und einer nominalen) zu bestimmen, ist es möglich, die höher skalierte Variable als niedriger skaliert aufzufassen und z.B. einen Korrelationskoeffizienten für nominal-nominal zu berechnen. Der Determinationskoeffizient R2 wird noch im Kapitel 10 vorgestellt Weitere Informationen zu den Maßen Tau, Gamma und Eta findet man unter anderem bei Benninghaus (2005). Die punktbiserale Korrelation bespricht bspw. Bortz (2005).

9.5 Korrelation und Kausalität Kausalität meint, dass eine Ursache-Wirkungs-Beziehung vorliegt, und wenn dementsprechend die eine Variable die andere Variable beeinflusst, sprechen wir von einem "kausalen" Zusammenhang. In der Forschungspraxis, vor allem aber in den Medien werden Korrelationen sehr oft als kausale Zusammenhänge dargestellt, z.B. in der folgenden Art:

Hirnstruktur beeinflusst sozialen Status ,Wir konnten nachweisen, dass weniger Dopamin-Rezeptoren mit einem niedrigeren sozialen Status einhergingen, und mehr DopaminRezeptoren mit einem gehobenen Status korreliert' (web.de > Alle Magazine> Wissen> Mensch 04.02.10) Es ist zweifelsfrei korrekt, dass die beiden gemessenen Variablen .Hirnstruktur" und "sozialer Status" miteinander korrelieren und wenige Dopamin-Rezeptoren mit einem niedrigeren Status "einhergehen". Aber stimmt es auch, was die Überschrift suggeriert, dass nämlich die Hirnstruktur den sozialen Status beeinflusst? Die Antwort lautet nein, denn es könnte genauso gut umgekehrt sein, dass der soziale Status auf die Hirnstruktur einwirkt oder sich beide Variablen gegenseitig beeinflussen. Grundsätzlich gilt natürlich, dass ohne Korrelation zwischen zwei Variablen kein Zusammenhang und damit auch kein kausaler Zusammenhang vorliegen kann. Aber Korrelation bedeutet nicht zwangsläufig Kausalität: Korrelation ist eine notwendige, a6er keine hinreichende Voraussetzung für

Kansalität.

..1

Liegt eine signifikante Korrelation zwischen zwei Variablen vor, heißt dies also nicht zwangsläufig, dass die eine Variable Ursache der anderen sein muss. Viel-

204

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

mehr gibt es verschiedene Erklärungsmöglichkeiten, die für die vorgefundene Korrelation herangezogen werden können: 1. xbewirkty oder y bewirkt x 2. x undy beeinflussen sich gegenseitig kausal 3. eine Drittvariable z wirkt auf x undy gleichzeitig ein Ein Korrelationskoeffizient allein gibt keinen Aufschluss darüber, welcher die-

ser Wirkungszusammenhänge korrekt ist. Um dies zu ermitteln, müssen Zusatzinformationen herangezogen oder Experimente nachgeschaltet werden, bei denen systematisch der Einfluss der vermuteten unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable untersucht werden kann. Zudem muss bedacht werden, dass mehrere Erklärungsansätze zugleich zutreffen können, wenn z.B. y von x beeinflusst wird und gleichzeitig eine Drittvariable z auf beide Variablen einwirkt. Wir wollen die drei Erklärungsmöglichkeiten im Folgenden weiter ausführen. 1. x bewirkty oder y bewirkt x

Ob nun die Hirnstruktur den sozialen Status beeinflusst oder ob es sich gar umgekehrt verhält, lässt sich nur schwerlich forschungstechnisch untersuchen, denn hierfür wären Langzeitstudien nötig, die jedoch nicht alle möglichen Drittvariablen ausschließen könnten. In anderen Fällen ist es jedoch leichter, eine der beiden Wirkrichtungen auszuschließen: Wenn x zeitlich vor y stattfindet, kann x als Ursache vony interpretiert werden: So ist fast (wenn auch nicht ganz) auszuschließen, dass der Bildungsabschluss der Tochter den Bildungsabschluss der Mutter beeinflusst. Wenn x unveränderlich oder nicht beeinflussbar ist: So kann das Klimabewusstsein nicht das Geschlecht einer Person beeinflussen. 2. x undy beeinflussen sich gegenseitig kausal Bei diesem Erklärungsansatz geht es letztendlich um die Frage, was zuerst da war, die Henne oder das Ei? In den Sozialwissenschaften haben wir es sehr häufig mit wechselseitigen sozialen Interaktionen zu tun. Eine unsichere, junge Mutter wird vielleicht auch mit ihrem ersten Kind vorsichtiger als andere Mütter umgehen, das Kind kann hierauf verunsichert reagieren, was die Mutter wiederum dazu veranlasst, noch mehr Vorsicht walten zu lassen. Wir können dann eine hohe Korrelation zwischen "Unsicherheit der Mutter" und "Unsicherheit des Kindes" feststellen, doch die Wirkrichtung nicht eindeutig bestimmen. Ein weiteres Beispiel für gegenseitige Beeinflussung führt Krämer (1997: 173ff.) an. Häufig wird (korrekterweise) in den Medien berichtet, dass Ehemänner länger leben als unverheiratete Männer. Doch leben sie länger, weil sie Ehemänner sind (marriage protection) oder sind sie Ehemänner, weil sie länger

205

Korrelation und Kausalität

leben und deshalb länger und häufiger verheiratet sein können (marriage selection).

3. Eine Drittvariable zwirkt auf x undy gleichzeitig ein Sicherlich ist es nicht so, dass ein hohes Klimabewusstsein ein hohes Nachhaltigkeitsbewusstsein bewirkt, auch wenn die beiden Variablen hoch miteinander korrelieren. Viel wahrscheinlicher ist es, dass beide Variablen durch eine dritte Variable beeinflusst werden, z.B. die Erziehung durch die Eltern, die Wertvorstellungen und die formale Bildung, vielleicht aber auch durch das monatliche Einkommen. Das berühmteste Beispiel für den Einfluss einer Drittvariablen ist die hohe Korrelation zwischen der Storchenpopulation und der Geburtenrate, die man im letzten Jahrhundert feststellen konnte. Doch ist dies sicherlich kein Beweis dafür, dass der Klapperstorch die Kinder bringt. Vielmehr war hier die Drittvariable "Industrialisierung" am Werk, die sowohl zu einer Reduzierung der Klapperstörche als auch zu einer Verkleinerung von Familien geführt hat. Visualisiert man wie in Abb. 9-4 die "motorische Fähigkeit" und die "Sprachfähigkeit" von Kindern in einem Streudiagramm, wird man mit Sicherheit eine hohe Korrelation finden. Diese wird jedoch durch die Drittvariable "Alter" herbeigeführt: Wenn man den Zusammenhang für verschiedene Altersstufen, veranschaulicht durch die drei Ellipsen, betrachtet, verschwindet der Zusammenhang zwischen den Variablen gänzlich: Innerhalb der Ellipsen streuen die Werte ohne erkennbares Muster. Abb.9-4

o

2

3

4

5

motorische Fähigkeit

6

7

8

9

206

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

Um den vermuteten Einfluss einer Drittvariablen zu überprüfen, berechnen viele Forscherinnen und Forscher die sogenannte "partielle Korrelation", mit deren Hilfe der Zusammenhang von zwei Variablen x undy ohne Wirkung der Drittvariablen z bestimmt werden kann. Das heißt, es wird bei dieser Berechnung aus jeder der beiden Variablen die Wirkung der Drittvariablen "auspartialisiert" und anschließend die Korrelation der beiden Variablen berechnet

9.6 So geht es mit SPSSjSYSTAT Korrelationen mit SPSS Möchte man eine Korrelation für intervallskalierte oder ordinalskalierte Variablen berechnen, wählt man im SPSS-Menü "Analysieren> Korrelation> bivariate Korrelation". Im Dialogfeld wählt man zunächst die Variablen aus, deren Zusammenhang man ermitteln möchte, und klickt an, welche der zur Verfügung stehenden Korrelationskoeffizienten [Pearsons r, Spearmans rho und KendallTau-b) berechnet werden sollen. Das Häkchen bei "Signifikante Korrelationen markieren" sollte man unbedingt gesetzt lassen.

l'i Sivori,te Korrel,tion en .d Höchster ElildunQs ~ Mon atliches Einko ~ Ha usha lts Qröße lH ~ Elundes land l Elund

.

~ -SKALEN_ lVARO ~ ' " ...n. " ;n""'.,.'

i?1!~

49 Klim abeW1J sstsein l ktt ~ VerantwortunQsneW1J ~ Nachha ltiQkeits bewus

B

49 iIIter kateQorisiert l

~ Anzahl der Klnder l ~ Anzahl der Kinder u

~ Varia!>en

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[ Kone laUonskoemztenten

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ro! S; Qn i~!ante Kon elationen ma rkteren

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Abb<ed1en

H ilfe

Nach Klick auf "OK" präsentiert SPSS eine Tabelle, die man Korretattonsmatrtx nennt. Diese Matrix enthält so viele Spalten und Zeilen, wie man Variablen ausgewählt hat. In dem nachfolgenden Beispiel wurden die drei Variablen Nachhaltigkeits-, Verantwortungs- und Klimabewusstsein in die Analyse einbezogen. Die

207

So geht es mit SPSSjSYSTAT

Korrelationsmatrix gibt in den Zellen für alle Kombinationsmöglichkeiten von jeweils zwei Variablen die jeweilige Korrreiationshöhe wieder:

Nachhaltigkeitsbewusstsein

Korrelation Signifikanz N Verantworlungs- Korrelation bewusstsein Signifikanz N KlimaKorrelation bewusstsein Signifikanz N

Korrelationen Nachhaltigkeits- Verantworlungsbewusstsein bewusstsein nach Pearson 1 ,335 u (2-seitig) ,008 1.000 1.000 nach Pearson ,335** 1 (2-seitig) ,008 1.000 1.000 nach Pearson ,455* ,268* (2-seitig) ,000 0,15 1.000 1.000

Klimabewusstsein ,455**

,000 1.000 ,268* ,015 1.000 1

1.000

"", Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikan t. ", Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,05 (2-seitig) signifikant.

Da die Tabelle alle Informationen doppelt enthält, reicht es aus, nur die Felder oberhalb oder unterhalb der Diagonalen anzuschauen (deshalb haben wir den unteren Bereich hier grau eingefärbt). In jeder Zelle stehen drei Informationen: 1. die Höhe des Korrelationskoeffizienten, 2. die Irrtumswahrscheinlichkeit sowie 3. die Anzahl der Personen. Der Tabelle kann im ersten Schritt mittels der Sternchen hinter dem Korrelationskoeffizienten entnommen werden, welche Variablen signifikant zusammenhängen. Zwei Sternchen stehen für einen hoch signifikanten Zusammenhang auf dem 1%-Niveau und ein Sternchen steht für das S%-Niveau. Im zweiten Schritt kann der paarweise Zusammenhang der Variablen beschrieben werden. In der Beispieltabelle ist unter anderem zu sehen, dass die höchste positive Korrelation zwischen dem Klima- und dem Nachhaltigkeitsbewusstsein besteht, denn hier beträgt r = 0,455. Personen mit hohem Klimabewusstsein haben auch ein hohes Nachhaltigkeitsbewusstsein. Diese Korrelation ist auf dem 1%-Niveau signifikant, denn p ist mit 0,000 kleiner als 1% (was die Sterne auch markieren). Um Chi-Quadrat, Kontingenzkoeffizient C, Phi und Cramers V für nominalskalierte Daten auszugeben, wählt man in SPSS "Analysieren> Deskriptive Statistiken > Kreuztabellen". In dem erscheinenden Auswahlfenster legt man die Variable für die Spalte und die Variable für die Zeile der Tabelle fest. Über den Button "Statistiken " wählt man die gewünschten Koeffizienten aus und über den Button "Zellen " können Spalten-, Zeilen- sowie erwartete Häufigkeiten angefordert werden (vgL Kapitel 4),

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

208

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K'e uzt obol len

Zelle{n)

~ st" rtdat.lst" rtd atel

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Codejf1 _co dej

6, Verti efungs m odul !T2_ve'ti efu ngs I:, 1. Profilmoclu llf3_1yrofilmoclul] I;, 2. Profilmo dul lß_2Jl roftlmoclulJ I, 1. N ebenfad1 jf4_ 1_nebenfacl1j I, 2. N ebe nfad1 (fall s zulr effe nd) lf4 6, 3. Nebenfacl1 {fall s zul reffen dl!f4 I;, Wie gul fühlen Sie sid1 infOfmierl ~ Wi . Q ut fiJ h l e n Si e s i d1 i nfo,mi . rt

I, Wie gulfü hlen Sie si d1 lnf Ofmiert 6, Ub erw elche l nform al ionsw ege m

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~ McNemar ~ CGchran- und t.lantel-Haensn! I-Slat sli k

Gemeinsames OuOlen-Vemallrus

~ Ke i!'.. T. be ll e n

~ ~liirücl<setz.n~

-

1

l-f lle

Anb red1 en

SPSS gibt nach Klick auf "OK" mehrere Tabellen aus, wobei die folgende die Ergebnisse des Signifikanztests enthält». Das errechnete Chi-Quadrat beträgt 0,475 und die dazugehörige Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt 0,491. Für eine Vier-Felder-Tafel kann SPSS auch die exakte, einseitige Irrtumswahrscheinlichkeit nach Fisher ausgeben, der man immer den Vorzug geben sollte, und die für unser Beispiel 0,338 (33,8%) beträgt. Da dies deutlich größer als 5% ist, besteht also kein Zusammenhang zwischen den untersuchten Variablen. Bei größeren Häufigkeitstabellen lässt SPSS die beiden hinteren Spalten und die beiden unteren Zeilen weg. ChI-Quadrat·Tests

Wort

Asymptotisch e Signifikanz

df

(2-soitig)

,475-

1

,491

KonUnuitätskorrekturb

,184

1

,868

likelihood-Quotient

,484

1

,487

Chi-Quadrat nach Pearson

Exakter Test nach Rsher

Anzahl der gültigen Fälle

E,.,kIe Signifikanz (2seiUg)

ElOIkie Signifikanz (1ssitig)

,606

,338

118

Die letzte Ausgabetabelle, enthält die angeforderten Koeffizienten sowie deren jeweilige Irrtumswahrscheinlichkeit. Die Koeffizienten sind bei der Vier-FelderTafel vom Betrag her alle identisch und zeigen mit 0,063 ebenfalls an, dass kein Zusammenhang zwischen den beiden untersuchten Variablen existiert.

14 Die Ausgabe der Häufigkeitstabellen wurde bereits in Kapitel 4 besprochen.

209

So geht e s mit SPSSjS YSTAT

NiheNn~swe

Ise S1gn kan

•

Wo" Nominal-b:gl. Nomlnelma

-,063

Phi

,491

Cramer-V

,083

,491

KonUngenzkoefllzlent

,083

,491

hlZBhIder giilligen Fälls

118

Korrelationen mit SYSTAT Die Berechnung einer Korrelation für intervall- oder ordinalskalierte Variablen erfolgt in SYSTAT über .Analyze > Correlations > Simple". Im Dialogfeld wählt man die gewünschten Variablen und den gewünschten Korrelationskoeffizienten aus:

üI

~'j",~Iyz'" Co".labon~ Simpl.

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Avoil.oblo vori.obl<(s) GESCHLECH T

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Selecled yori.obl« s)

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VERAN TWORTI NACH HALTIGn SCHU LBI LDU Nr ATTRAKTM TAi ATTRAKT M TA' ATTRAKTM TA VORSTELlUNe AU SSAG E_BIOI ~

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SYSTAT präsentiert nach Klick auf "OK" eine Tab elle, di e unterhalb der Diagonalen die paarweise berechneten Korrelationskoeffizienten enthält. In der Spa lte links unten lies t man bspw. ein Pearsons f= 0,46 für di e Korre lation zwischen dem Nachhaltigkeits- und dem Klimabewusstseins ab.

210

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

Pearson Correlation Matrix

Nachhaltigkeitsbewusstsein

Verantwortungsbewusstsein

Nachhaltigkeitsbewusstsein

1,00

Verantwortungsbewusstsein

0,34

1,00

Klimabewusstsein

0,46

0,27

Klimabewusstsein

1,00

Die Überprüfung einer Korrelation nach Spearmans Rho auf Signifikanz ist in SYSTAT nicht verfügbar. Um eine Pearson-Korrelation zu testen, ruft man .Analyze > Hypohtesis Testing > Zero Correlations" auf und wählt die auf ihren Zusammenhang zu testenden Variablen aus. Bei "Alternative Type" stellt man "not equal" für einen zweiseitigen sowie "greater than" für einen einseitigen Test bei vermuteter positiver und .Jess than" bei vermuteter negativer Korrelation ein. Das zu testende Signifikanzniveau kann man unter .Confidence" einstellen (0,95 für das 50/0-Niveau), SYSTAT präsentiert nach Klick auf "OK" eine Tabelle mit den Mittelwerten und Standardabweichungen der beiden Variablen sowie die Ergebnisse des Signifikanztests. Da der p-value mit 0,00 unter 1% liegt, gehen wir von einem hoch signifikanten Zusammenhang zwischen dem Klima- und dem Nachhaltigkeitsbewusstsein aus. Test for Co rrelation Coefficient = 0 of Nachhaltigkeitsbewusstsein vs Klimabewusstsein with 1.000 Cases Ho : Co rrelation = 0 vs Alternative = 'not equal'

Sampie Size

1.000

Sampie Correlation Coefficient

0,46

95,00% Confidence Interval

0,42 0,49

t p-value

23,20 0,00

Für die Berechnung von Chi-Quadrat, Kontingenzkoeffizient C, Phi und Cramers Vfür nominalskalierte Variablen wählt man in SYSTAT .Analyze > Tables > Two-

Way". Im Auswahlfenster bestimmt man die Zeilen- und Spaltenvariablen, deren Zusammenhang ermittelt werden sollen, und kann zudem Spalten-, Zeilen- wie auch erwartete Häufigkeiten anfordern. Im Tab .Measures" wählt man die gewünschten Koeffizienten aus.

Die Korrelat ionsanalyse in der For schungs literatur

211

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[fablet.1 •

Die Interpretation der Ergebnisse erfolgt ähnlich wie bei SPSS. Zu beacht en ist jedoch da bei, dass Zeilen-, Spalte n- und erwartete Häufigkelten get re nnt in jeweils e igenen Ta belle n aufgeführt werden und Crame rs V, auch we nn a ngefo rdert, nicht für 2x2 Tab ellen (Vier-Feld er-Tafel n) au sgegeben wird.

9.7 Die Korrelationsanalyse in der Forschungsliter atur In der For schungsliteratur findet man im Wesentlichen zwei Arten der Ergebnisd arstellun g von Zusammenhangsst udien. Erstens werden Korrelati onskoeffizienten und andere Zusamm enhangsmaße im Text erwähnt. Da heiß t es dann bspw. "dass Part eisympat hien (und Wahlintention en) in mehrer en Unter suchun gen ... mit der Ausprägung bestimmter Persönlichkeitseigenschaften korrelieren" (Schu mann 2002: 64). Häufig wird im Text auch nur das Wort "Korrelation" als Synonym für das Wort "Zusammenhang" benutzt, ohne dass ein bestimmtes Zusamm enhangsmaß gemein t ist Zweitens werden die Erge bnisse von Korrelati onsanalysen tabellarisch präsentiert Zum Beispiel zeigt Tab. 9-8 die Höhe des Korrelati onskoeffiziente n r von vers chiedenen Einflussfaktoren und der Schullelst ung: Je besse r die Qualitä t des Unterrichts, desto besse r auch die Schulleist ung, denn hier find et sich e in "Mitt leres r mit der Schullelst ung" von 0,48. Die Fern se hzeit en a ls Ausdruck der Massenmedi ennutzung stehen in einem minima len negativen Zusammenhang mit der Schulleist ung.. de nn r bet rägt hier · 0,06.

Korrelation: Zusammenhänge identifizieren

212

Tab. 9-8: Produktivitätsfaktoren der Schulleistung, aus: Merkens (2010: 109) Beispielvariablen

Mittleres r mit Schulleistung 0,44

Schülerkompetenz

1. Kognltlve Fähigkeitenf Vorwissen

IQjLeistu ngstest

2. Entwicklungsstand

Alter/Reifung

0,10

3. Motivation

Inte resse/Lerna usda uer

0.29

Unterrichtsvaria bien 4. Quantität des Unterrichts

Unterrichts zelt

0,38

5. Qualität des Unterrichts

Lehrstrategien

0,48

Psychologisches Umfeld 6. Häusliche Umwelt

Elterliche Hausa ufga ben kontrolle

0,31

7. Klassen- und Schulklima

Klassenkohäslon

0,20

8. Außersch ulische Peerbeziehungen

Bildungsaspiration des Freundeskreises

0,19

9. Massenmediennutzung

Fernsehzeiten

-0,06

In wenigen Publikationen sind auch Streudiagramme als Visualisierung von Zusammenhängen zu finden. Hg (2008: 273) berichtet über die Evaluation von Jugendfreizeiten und veranschaulicht mehrere Zusammenhänge als Streudiagramm. Unter anderem wurden die Teilnehmenden am Ende der Freizeiten gefragt, ob sie sich vorgenommen haben, einige Dinge in ihrem Leben nach der Freizeit zu ändern. In einer Nachbefragung sollten die Teilnehmenden erneut auf einer 7er Skala angeben, inwieweit sie aufgrund der Freizeit einige Dinge in ihrem Leben verändert haben. Abb. 9-5 gibt den Zusammenhang zwischen diesen beiden Items als Streudiagramm wieder.

Die Korrelationsanalyse in der Forschungsliteratur

213

Abb. 9-5 Korrelation zwischen Absicht und Wirkung auf Ebene der Freizeitmittelwerte. Die Mittelwerte korrelieren mit r = 0,83(n = 12 Freizeiten mit 134 Befragten)

.'•

2

3

4

5

6

7

T 102: Ich habe mir vorgenommen. einige Dinge in

meinem Leben nach dieser FZ zu verändern.

Als Datenpunkte sind allerdings nicht die 134 Befragten eingezeichnet, weil in diesem Fall viele Punkte übereinander gedruckt werden müssten, da nur die ganzzahligen Werte von 1 bis 7 vorkommen könnten. Stattdessen wurde für alle N 12 Freizeiten der jeweilige Mittelwert der Freizeit ermittelt und nur diese 12 Wertepaare im Diagramm visualisiert

=

10 Skalenbildung

..Hallo mu ss eine Hausa rbeit mit SPSS bis Freita g fertig haben. Allerdings weiß ich echt nicht wie man ne Skala inter pretiert!!! Könnte mir dabei bitte jeman d behilflich sein. Danke" Der Studentin, die dies en Hilferuf in einem Foru m poste te, kann zwar nicht mehr geholfen werden, aber im folgen den Kapite l kann man genau das lernen, woru m es in de m Hilfeersu ch geht, nämli ch eine Skala zu interpre tier en und das Prinzip de r sozialwissenschaftlichen Skalenbi ldung zu ver s te hen. Zudem erfahrt man auch, w ie man eine Skale nbild ung mit SPSS bzw. SYSTAT umsetzt. Wenn man eine Fachzeitschrift durchb lättert, di e Beit räge über empir ische Un-

tersu chungen ent hält, da uert es nic ht lange, bis man a uf das Wort Skala trifft. Meist berichten die Autor innen darüber, da ss sie in dem betreffenden Projekt ein e ode r gleic h me hrere Skalen gebilde t ha be. Diese ähne ln dann im Prinzip den hier folgenden beiden Beispielen, die au s dem DFG-Projekt "Qualität von Schu le und Unterricht" sta mmen (vgl. www.q uass u.ne t/S KA LEN_2.pd IJ.

-

Tab . 10-1 : Ska la S2 FEIILV"Schulisches Fehlverhalten " (Alph a = 0,82) Wi e oft kommt es vor, dass du ... S42ABSC H

bei Schulaufg abe n vom Nachbarn abschreibst?

S42HAABS

di e Hausaufgaben von anderen abschreibst?

S42ANDER

i m Unterricht andere Aufg aben erledigst?

S42HANIC

deine Hausaufgaben nicht machst?

S42AUS

nu r darauf wartest, dass der Unte rricht endlic h aus ist ?

S42GEDAN

im Unte rr icht m it den Gedan ken ganz woanders bist ?

-

.

Tab 10-2 ' Ska la S2 EINST Posit ive schu lische Einstellungen " (Alpha S45NIE'"

=0 7 7)

Ich möchte nach me inem Schulabschluss nie w iede r etwas vo n Schule hö ren.

S45PLAGE '"

lernen i st überwiegend eine Plage.

S45VERGE '"

Vo n dem, wa s ich i n de r Schule lerne, vergesse ich das meiste recht schnell wieder.

S45N ICHT'"

Wenn ich die Schulzeit hint er mir hab e, will ich vo m Lernen nichts meh r hör en.

S4SPASS '"

Die Lehrkräfte schaff en es grün d lich, einem den Spaß am Lern en auszutre ib en .

216

Skalenbildung

Was wird in diesen Tabellen dokumentiert? Im ersten Beispiel haben die Autoren und Autorinnen sechs Fragen (sogenannte Iterns) formuliert, mit denen sie eine bestimmte Eigenschaft erfassen wollen, nämlich "Schulisches Fehlverhalten". Eine solche Sammlung von Items nennt man auch Iternbatterie. Die Items besitzen alle das gleiche Antwortformat. Die befragten Schüler können in fünf Stufen von "sehr oft" bis "nie" angeben, wie häufig sie die besagten Verhaltensweisen praktizieren. Entsprechend den in Kapitel 1 beschriebenen Regeln der Datenaufbereitung können wir hier zudem Variablennamen für die gebildeten Skalen namens "S2]EHLV" bzw. "S2_EINST" und die ihnen zugeordnete Variablenlabels, nämlich "Schulisches Fehlverhalten" und "Positive schulische Einstellungen" identifizieren. Auch bei den jeweils in den Tabellenzeilen angegebenen Kürzeln (z.B. S42ABSCH) handelt es sich um Variablennamen und jeweils daneben stehen die zugeordneten Labels wie z.B. das der Variable S42ABSCH zugeordnete Label "bei Schulaufgaben von Nachbarn abschreiben". In der jeweiligen Überschrift steht in Klammern noch eine Zahlenangabe, nämlich "Alpha = 0,82", die sich auf die weiter unten erklärte Reliabilität der Skala bezieht.

10.1 Was ist überhaupt eine Skala? Jeder hat den Begriff Skala schon einmal gehört und verbindet damit im Alltag benutzte Skalen, wie bspw. eine Temperaturskala oder eine Skala zur Messung der Geschwindigkeit Das Wort Skala stammt ursprünglich aus dem Lateini50 100 schen, wo es Leiter bzw. Treppe bedeutet. 0 Denkt man an das Fieberthermometer oder I 11 I III 11II den Tacho im Auto, würde man eine Skala technisch betrachtet - als eine Aufeinanderfolge von Teilstrichen auf einer Anzeigefläche definieren. Durch einen Zeiger oder ein anderes Hilfsmittel wird es möglich, einen Wert abzulesen.

I

I

Schauen wir noch etwas genauer hin: Was passiert eigentlich bei einer Skala? Eine interessierende Größe, eine Eigenschaft, ein Merkmal, soll gemessen und angezeigt werden. Um dies zu bewerkstelligen braucht man nicht nur ein bestimmtes theoretisches Konzept und die Benennung der interessierenden Eigenschaft (z.B. "Geschwindigkeit" oder "Körpergröße"), sondern es bedarf auch der Überlegung, mittels welchen Instrumentariums die Größe gemessen werden kann. Im Fall der Körpergröße scheint es einfach, das Alltagskonzept Größe mit Hilfe eines Längenmaßes in einen Messwert umzusetzen. Das ist aber nicht immer so einfach, schon die Messung der Windgeschwindigkeit oder der Stärke eines Erdbebens stellt da erheblich höhere Anforderungen. Die Entwicklung eines Messinstruments setzt immer einen Akt der Konstruktion voraus. Dies lässt sich gut an der Entwicklung von Temperaturskalen verdeutlichen: Die Celsius-

Was ist überhaupt eine Skala?

217

Skala arbeitet bspw. mit zwei feststehenden Punkten, dem Gefrier- und dem Siedepunkt Diese Punkte werden mit den Werten 0 Grad und 100 Grad fixiert, der zwischen ihnen liegende Abstand wird in hundert gleiche Abschnitte aufgeteilt. Anders die auf Fahrenheit zurückgehende Skala: Ihr Nullpunkt ist die von Daniel Fahrenheit in Danzig im besonders harten Winter 1708/09 gemessene tiefste Temperatur (-17,8 °Celsius). Als zweiten Fixpunkt bestimmte er den Gefrierpunkt des Wassers (32°F) und als dritten die Körpertemperatur eines gesunden Menschen (96 °F). An diesem Beispiel lässt sich erkennen, dass ein und dieselbe Eigenschaft durchaus mit verschiedenen Skalen gemessen werden kann. Zwei ganz unterschiedlich konstruierte Skalen können gleich gut geeignet sein, um das zu messen, was man messen will. Wie genau sie die Eigenschaft messen, liegt dann an der Qualität des eingesetzten Instruments. Das sozialwissenschaftliche Konzept des Messens mit Hilfe von Skalen folgt dem naturwissenschaftlichen Vorbild, d.h. eine Skala ist ein Messinstrument zur Messung eines bestimmten Merkmals. Es handelt sich aber in der Regel um Merkmale bzw. Konzepte, die nicht auf direkte Weise erfasst werden können. Während Merkmale wie die Körpergröße oder das Gewicht sich problemlos direkt erfassen lassen, verhält es sich mit Merkmalen wie "Schulisches Fehlverhalten" oder theoretischen Konzepten wie "Autoritärer Erziehungsstil" und "Umweltbewusstsein" anders. Dieses sind latente Eigenschaften, zu deren Erfassung mehrere Indikatoren benötigt werden (vgl. zum gesamten Abschnitt Schnell u.a. 2008: 127ff.) und so besteht eine sozialwissenschaftliche Skala normalerweise aus einer bestimmten Anzahl von Items (Indikatoren), die nach vorgegebenen Regeln zu einem Gesamtwert, dem Skalenwert (engl. score], zusammengefasst werden. Einer Person wird also hinsichtlich eines Merkmals oder eines zu untersuchenden Konzeptes ein Skalenwert zugeordnet Der Skalenwert gibt dann an, wie ausgeprägt bspw. ihr schulisches Fehlverhalten ist oder wie positiv ihre schulischen Einstellungen sind. Skalenbildung und psychologische Tests

Im Grunde handelt es sich auch bei den in der psychologischen Diagnostik verwendeten Tests um Skalen. Allerdings stellen die psychologischen Tests, von denen es mittlerweile mehrere Tausend gibt, einen eigenen Wissenschaftsbereich dar, in dem es, anders als in der empirischen Sozialforschung, um die möglichst exakte und teilweise sehr aufwendige Messung einzelner Eigenschaften geht (z.B. Fahrtauglichkeitstest, Intelligenztests, Leistungstests, neuropsychologische Tests etc.). Sinn und Zweck ist hier die Diagnostik und nicht die Erforschung von Zusammenhängen zwischen sozialen Phänomenen. Auch in der empirischen Sozialforschung gibt es bereits seit den 1980er Jahren Bemühungen, standardisierte Instrumentarien zur Messung von Merkmalen und Eigenschaften zu sammeln und so für evtl. weitere Nutzungen in For-

218

Skalenbildung

schungsprojekten zur Verfügung zu stellen. Das in den 1980er Jahren erschienene "ZUMA-Handbuch sozialwissenschaftlicher Skalen" wird inzwischen als elektronisches Handbuch ZIS ("Zusammenstellung sozialwissenschaftlicher Items und Skalen'w) weitergeführt. Es umfasst mehr als 350 Skalen, die thematisch von "Ärger über zu viel Umweltschutz" bis zu .Zeitbewusstsein" und "Zukunftsorientierung" reichen. Sehr viele in der ZIS katalogisierte Skalen dienen zur Messung von Einstellungen. Für jeden, der eine empirische Untersuchung plant, ist es sinnvoll, sich zunächst darüber zu informieren, ob die ZIS nicht für den untersuchten Bereich bereits bewährte Itembatterien enthält, die man gegebenenfalls übernehmen kann. Der Übergang zwischen den Testverfahren der psychologischen Diagnostik und den Skalen und Itembatterien der empirischen Sozialforschung ist fließend. So werden teilweise auch in der Sozialforschung Itembatterien eingesetzt, die aus relativ vielen Items bestehen und hinsichtlich ihrer Güte mit psychologischen Tests vergleichbar sind. Für die großen Survey-Studien wie Shell-Jugendstudie, Eurobarometer, ISS? etc. (vgl. Anhang A) gilt allerdings, dass die Breite der behandelten Themen es nicht erlaubt, einzelnen Themen im Fragebogen so viel Platz einzuräumen, wie für diagnostische Tests nötig wäre. Skala oder Index?

Skalenbildung ist nicht nur gegenüber psychologischen Tests, sondern auch gegen die Indexbildung abzugrenzen. Auf den ersten Blick ähnelt ein Index einer Skala: Er ist nämlich ebenfalls ein aus den Werten verschiedener Indikatorvariablen zusammengesetzter Wert für ein komplexes Merkmal. Anders als das eindimensionale Instrument Skala, wird ein Index aber in der Regel zur Messung mehrdimensionaler Konstrukte verwendet. Ein typisches Beispiel hierfür stellt ein Index "Soziale Schicht" dar. Hierbei werden für wichtig erachtete Variablen wie Einkommen, Bildung, Beruf etc. mit einer speziellen Gewichtung zu einem Indexwert zusammengesetzt (vgl. Schnell u.a. 2008: 166ff.). Für die Bildung eines Index ist es also wichtig, auf der Grundlage theoretischer Überlegungen alle relevanten Indikatoren auszuwählen und diese in geeigneter Weise zu gewichten. Im Gegensatz zur Skalenbildung ist es nicht erforderlich, dass die für die Konstruktion ausgewählten Items miteinander korrelieren. Ein Index setzt sich additiv zusammen, die einzelnen Indikatoren können durchaus verschiedene Skalenniveaus aufweisen, so wie etwa beim Beispiel Schichtindex die Variable Einkommen intervallskaliert, die Variable Beruf nominalskaliert und die Variable Bildung ordinalskaliert sein können. Die Vorschriften zur Erstellung des Index müssen in eindeutiger Weise die verschiede-

15 Kostenloser Download unter: http://www.gesis. 0 rgj dienstleistungenjmeth oden j sp ezieile-dienste jzi s-eh es

Skalierungsverfahren

219

nen Variablenausprägungen miteinander kombinieren, gleiches Skalenniveau oder gar gleiches Antwortformat ist nicht zwingend erforderlich.

10.2 Skalierungsverfahren Zurück zur Skalenbildung, die sich im Gegensatz zum mehrdimensionalen Index durch Eindimensionalität auszeichnet. In der Forschungsstatistik sind verschiedene Typen von Skalen entwickelt worden, deren Anwendungshäufigkeit allerdings sehr unterschiedlich ist. Manche Verfahren der Skalenbildung (sogenannte Skalierungsverfahren) wie dasjenige von Louis Thurstone sind fast in Vergessenheit geraten und andere Verfahren wie die Rasch-Skalierung und das Magnitude Vefahren kommen nur sehr selten zum Einsatz (vgl. ebd. 2008: 179ff.). Gelegentlich verwendet wird die Guttmann Skala oder Skalogramm-Methode nach Louis Guttman, ein sich stark von den anderen Skalierungsmethoden unterscheidendes Verfahren. Bei diesem werden Personen auf einer hierarchischstufenförmigen Skala eingestuft, wobei davon ausgegangen wird, dass Personen, die Aussagen auf einem hierarchisch höheren Level zustimmen, auch all solchen Aussagen zustimmen, die einem niedrigeren Level der Skala entsprechen. Eine vierstufige Guttman-Skala kann etwa folgendermaßen gestaltet werden - die "einfachste" Aussage wird den Forschungsteilnehmenden dabei immer zuerst präsentiert: Frage 1: Sind Sie bereit, Guantanomo-Häftlingen zu ermöglichen, in Deutschland zu leben? Frage 2: Sind Sie bereit, Guantanomo-Häftlingen zu ermöglichen, in ihrer Stadt zu leben? Frage 3: Sind Sie bereit, Guantanomo-Häftlingen zu ermöglichen, in ihrer Straße zu leben? Frage 4: Sind Sie bereit, Guantanomo-Häftlingen zu ermöglichen, in ihrem Haus zu leben? Wenn die vierte Frage mit ja beantwortet wird, sollten auch die "einfacheren" Fragen 1 bis 3 mit ja beantwortet werden. Guttman-Skalen sind relativ schwierig zu konstruieren, dementsprechend sind die Anwendungen des Verfahrens eher selten. Die im Folgenden ausführlicher dargestellte Likert-Skala wurde schon Anfang der 1930er Jahre von Rensis Likert entwickelt. Sie wird auch als Methode der summieren Ratings bezeichnet und ist mit Abstand das in den Erziehungsund Sozialwissenschaften am häufigsten verwendete Skalierungsverfahren.

220

Skalenbildung

10.3 Konstruktion einer Likert Skala Die Grundannahme des Likert-Skalierungsverfahren ist, dass es prinzipiell ein (fast) unendliches Reservoir an geeigneten Indikatoren für die zu messende Eigenschaft gibt. Es ist also keineswegs zwingend, dass zur Messung der Eigenschaft "Schulisches Fehlverhalten" genau die sechs Items benutzt werden, die in dem zu Beginn dieses Kapitels dargestellten Projekt "Qualität von Schule und Unterricht" ausgewählt wurden. Die Indikatoren einer Likert-Skala sind prinzipiell untereinander gleichwertig und können sich gegenseitig substitutieren, d.h. die Skala zum schulischen Fehlverhalten könnte auch aus anderen Items bestehen und sie könnte auch fünf, sieben oder zwölf Items enthalten. Wichtig ist, dass entlang einer Dimension gemessen wird. Die Likert-Skala umfasst in der Regel eine Reihe von Statements zur Erfassung von Einstellungen oder Werten. Zu jedem Item werden die Probanden nach dem Ausmaß der Übereinstimmung oder Nichtübereinstimmung gefragt. Die Zahl der Antvvortmöglichkeiten kann sowohl gerade als auch ungerade sein. Sehr häufig kommen Antwortformate mit vier oder fünf Antwortmöglichkeiten zum Einsatz. Den Antworten werden natürliche Zahlen zugeordnet und die Itemwerte werden summiert, dann gegebenenfalls gemittelt und ergeben den (Gesamt-)Skalenwert (auch Score oder Testwert genannt) einer Person auf dem Kontinuum des untersuchten Merkmals. Für die Konstruktion einer Likert-Skala ergibt sich folgender allgemeiner Ablauf, der am Beispiel der Bildung einer Skala .Llmweltbewusstsein" illustriert wird:

Schritt 1: Sammlung von geeigneten Items Zunächst stellt man solche Items (Statements) zusammen, von denen man annimmt, dass sie die in Rede stehende Eigenschaft messen. Basis für die Auswahl sind inhaltliche Überlegungen. Auch kann man auf Expertenurteile zurückgreifen oder Items aus bereits existierenden Instrumenten verwenden. Die Hürde ist dabei nicht sonderlich hoch, denn man kann reichlich viele Items auswählen, so dass es nicht weiter schlimm ist, wenn ein Item sich als weniger gut erweisen sollte. Die folgende Itemsammlung wurde zur Erfassung des allgemeinen Umweltbewusstseins in der Studie .Llmweltbewusstsein in Deutschland (2006)" erstellt: 1. Nicht nur die Industrie auch wir Bürger können zur Energieeinsparung beitragen. 2. Es gibt Grenzen des Wachstums, die unsere industrialisierte Welt schon überschritten hat oder sehr bald erreichen wird.

Konstruktion einer Likert Skala

221

3. Wissenschaft und Technik werden die Umweltprobleme nicht lösen können, wir müssen auch unsere Lebensweise ändern. 4. Wenn wir so weitermachen wie bisher, steuern wir auf eine Umweltkatastrophe zu. 5. Es beunruhigt mich, wenn ich daran denke, unter welchen Umweltverhältnissen unsere Kinder und Enkelkinder wahrscheinlich leben müssen. 6. Die Bedeutung von Umweltproblemen wird von den Umweltschützern richtig dargestellt. 7. Wir sollten nicht mehr Ressourcen verbrauchen als nachwachsen können. S. Es sollte Gerechtigkeit zwischen den Generationen bestehen, wir sollten die Umwelt nicht auf Kosten der nachkommenden Generation ausplündern. 9. Es sollte fairen Handel zwischen den reichen Ländern dieser Erde und den Entwicklungsländern geben. 10. Die landschaftliche Schönheit und Eigenart unserer Heimat sollte erhalten und geschützt werden. 11. Für einen wirksamen Naturschutz müssen noch mehr wirksame Vorschriften erlassen werden. 12. Wir Bürger können durch unser Kaufverhalten wesentlich zum Umweltschutz beitragen. Schritt 2: Urnpolung bzw. Urnformulierung einiger Iterns

Um einer immer bestehenden Zustimmungstendenz vorzubeugen und für die Interviewten etwas Abwechslung in den Frageablauf zu bringen, werden einige Items (ca. ein Viertel bis ein Drittel) so umformuliert, dass sie gegenläufig zur Skala sind. In der oben genannten Studie wurden vier der zwölf Items umgepolt, und zwar die Items 1, 3, 6 und 11, die nun wie folgt formuliert wurden: 1. Im Vergleich zur Industrie können wir Bürger nur wenig zur Energieeinsparung beitragen. 3. Wissenschaft und Technik werden viele Umweltprobleme lösen, ohne dass wir unsere Lebensweise ändern müssen. 6. Nach meiner Einschätzung wird das Umweltproblem in seiner Bedeutung von vielen Umweltschützern stark übertrieben. 11. Wenn es noch mehr Vorschriften für den Naturschutz gibt, kann man bald überhaupt nichts mehr machen. Schritt 3: Pre-Test

Im dritten Schritt erfolgt die Durchführung eines Pre- Tests, d.h. eines ersten Ausprobierens der Skala an einer hinreichend großen Stichprobe (n > 100).

222

Skalenbildung

Schritt 4: Iternanalyse und Bestimmung der Reliabilität Die eigentliche Itemanalyse dient dazu, die am besten geeigneten Items auszuwählen und die Reliabilität der Skala zu bestimmen. Unter Reliabilität versteht man dabei die Zuverlässigkeit des Messinstruments, und zwar im Sinne der Genauigkeit und Wiederholbarkeit der Messung. Vor die eigentliche Itemanalyse kann gegebenenfalls eine Faktorenanalyse vorgeschaltet werden. Bei der Faktorenanalyse handelt es sich um ein bewährtes multivariates Verfahren, dessen Ziel es ist, aus einer Korrelationsmatrix sogenannte Faktoren zu extrahieren, d.h. latent wirksame Variablen, welche die gemessenen Variablen beeinflussen. Das Verfahren der Faktorenanalyse wird in diesem Buch nicht beschrieben, eine ausführliche Darstellung findet sich bei Bortz (2005: Sl1ff.). Der Vorteil der Faktorenanalyse ist, dass so die Eindimensionalität der ausgewählten Items sichergestellt werden kann. Zentrales Ziel der Itemanalyse ist es, die Brauchbarkeit einer Skala zu überprüfen und die für die Skalenbildung am besten geeigneten Items auszuwählen. Wann ist ein Item ungeeignet? Erstens, wenn Personen mit sehr unterschiedlichen Werten auf der Gesamtskala das Item ähnlich beantworten und zweitens wenn die Antworten auf dieses Item nur wenig mit den Antworten auf die anderen Items zu tun haben. Statistisch gesprochen kann man das folgendermaßen formulieren: a] wenn die .Jtcm-Total-Korrclation" nur gering ist und b) wenn die (mittlere) Korrelation mit einer aus den anderen Items gebildeten Skala nur gering ist. Zur Beurteilung der Eignung von Items sind zwei statistische Kennwerte besonders aussagefähig: Die Schwierigkeit von Items wird in der Regel in Form ihres Mittelwerts als Schwierigkeitsindikator angegeben. Der Begriff Schwierigkeit stammt aus der klassischen Testtheorie und bezeichnet den Schwierigkeitsgrad von Aufgaben, d.h. je weniger Personen die Aufgabe lösen, desto höher ist ihr Schwierigkeitsgrad. Analog hierzu gelten Items dann als schwierig, wenn der betreffenden Aussage nur wenige Personen zustimmen können. Sehr schwierige Items sind nicht für die Skalenbildung geeignet, denn diese soll es ja schließlich ermöglichen, die Forschungsteilnehmenden zu differenzieren. Ein Item, dass nur von wenigen Zustimmung erhält, erlaubt eine solche Differenzierung aber nicht. Die Trennschärfe gibt an, wie das Item mit der gebildeten Gesamtskala korreliert, d.h. sie ist ein Indikator dafür, wie gut das betreffende Item die Skala repräsentiert. Trennschärfe-Werte über 0,50 sind als hoch einzustufen. Am besten verfährt man so, dass man einen unteren Grenzwert für die Trennschärfe festlegt, z.B. 0,25 oder 0,30 - Items werden nur dann in die Skala aufgenommen, wenn sie mindestens diese Item-Total-Korrelation aufweisen. Als Maß für die Güte einer Skala wird ihre Reliabilität (Genauigkeit der Messung) berechnet Dazu wird der Alpha-Koeffizient nach Cronbach bestimmt. AI-

Konstruktion einer Likert Skala

223

°

pha ist ein sehr häufig benutztes Maß, das Werte zwischen (unreliabel) und 1 (perfekte Reliabilität) annehmen kann. Das Wertespektrum des Alpha-Koeffizienten entspricht damit demjenigen von Korrelationskoeffizienten. Allerdings wird die Koeffizientenhöhe anders interpretiert: In bestimmten Kontexten geiten Skalen mit Alphawerten zwischen 0,7 und 0,8 als durchaus brauchbar, Werte ab 0,8 gelten als gut und Werte ab 0,9 als sehr gut. Cronbachs Alpha wird nach folgender Formel bestimmt: Cronbachs a k f

=

k·f

= 1+ (k-1 ) ·r

Anzahl der Items in der Skala durchschnittlicher Korrelationskoeffizient der Items (auch als Homogenität bezeichnet)

Für den Fall von 10 Items mit einer durchschnittlichen Korrelation von 0,20 ergibt sich ein Alpha von 0,71. Wird die Zahl der Items auf 25 erhöht, beträgt Alpha bereits 0,86. Alpha steigt also mit der Anzahl der Items an und kann auch bei relativ niedriger Korrelation der Items untereinander beträchtliche Werte erreichen. Bedingung für die Berechnung von Alpha ist, dass die Items positiv korreliert sind, ansonsten müssen die negativ korrelierenden Items umcodiert, d.h. umgepolt werden (so wie dies oben für die Items 1, 3, 6 und 11 durchgeführt wurde). Tab. 10-3 zeigt das Ergebnis der Itemanalyse für die oben dargestellte Skala zum allgemeinen Umweltbewusstsein wie man es bspw. mit der Statistiksoftware SPSS berechnen lassen kann. Die Reliabilität für diese aus 12 Items bestehende Skala "Allgemeines Umweltbewusstsein" beträgt Alpha = 0,767. Mithilfe der Ergebnistabelle lassen sich die Items identifizieren, die besonders gut und weniger gut für die Bildung dieser Skala geeignet sind. In der vierten Spalte der Tabelle steht der jeweilige Wert für die Trennschärfe ("Korrigierte Item-Skala-Kor'relation"]. Bei der Konstruktion einer Skala ist vor allem der in der letzten Spalte wiedergegebene Kennwert interessant, und zwar wird hier angegeben, wie Alpha sich im Fall des Ausschlusses des Items verändern würde. Dies ist das entscheidende Kriterium für die Auswahl von Items: Würde sich Alpha verbessern, ist das Item in der Regel auszuschließen.

224

Skalenbildung

Tab. 10-3: Ergebnis einer Itemanalyse - Item-Skala-Statistiken Skalenmittelwert, wenn

weggelassen

Korrigierte Item-SkalaKorrelation

Cronbachs AIpha, wenn ltem weggelassen

42,2

31,767

,208

,777

41,6

32,331

,250

,767

42,0

30,244

,389

,753

41,5

29,151

,504

,739

41,4

29,455

,490

,741

41,8

28,356

,536

,734

Nicht mehr Ressourcen verbrauchen als nachwachsen

41,0

30,661

,491

,743

Gene ratlonengerechtlgkelt sollte bestehen

40,8

30,966

,522

,742

41,0

31,131

,445

,748

40,7

32,721

,343

,758

42,0

28,998

,442

,747

41,4

31,691

,3 23

,759

rtem

weggelassen 1. Jeder Bürger kann zur Energieeinsparung beitragen Es gibt Grenzen des Wachstums

i "f I t

Wissenschaft und Technik allein

lösen keine Umweltprobleme Zusteuern auf Umweltkatastrophe Besorgnis über zukünftige Umweltve rhä Itn lsse

Skalenvarianz, wenn ltem

Die Bedeutung der

Umweltprobleme wird von Umweltschützern richtig

dargestellt

i

9 . Handel sollte fair sein

' 0. Erhaltung und Schutz unserer Heimat

ai.

zu wenige Vorschriften für den Natu rsch utz

02. Beitrag zum Umweltschutz durch Kaufverhalten

In der obigen Tabelle erweisen sich die Items 6, 8 und 4 als die trennschärfsten. während die Items 2, 12 und 1 die vergleichsweise schlechtesten der Skala sind. Würde man Item 1 (Bürger können nur wenig beitragen) ausschließen, würde sich Cronbachs Alpha geringfügig von 0,767 auf 0,777 verbessern. Wenn man die Zahl der Items um mehr als ein Item reduzieren will, muss man eine erneute

Konstruktion einer Likert Skala

225

Reliabilitätsanalyse mit neuer Alpha- Berechnung durchführen, weil sich natürlich die Skalenwerte. die Trennschärfe und der sich bei Item-Exklusion ergebende Alpha-Wert bei reduzierter Itemzahl verändern. Eine Verringerung der Itemzahl muss deshalb Schritt für Schritt erfolgen. Auf der Grundlage der Ergebnistabelle lässt sich nur das schlechteste und somit zuerst auszuschließende Item ermitteln, nicht jedoch das zweit- oder drittschlechteste. In unserem Beispiel erwies sich eine Skala von acht Items zur Messung des Umweltbewusstseins als optimal geeignet. Wie schon bei der aus 12 Items bestehenden Skala ist Item 6 (Übertreibung der Umweltprobleme durch Umweltschützer) das trennschärfste Item, während Item 3 (Wissenschaft und Technik werden die Umweltprobleme lösen) am wenigsten trennscharf ist. Die endgültige Skala weist eine Reliabilität von Alpha = 0,769 auf, d.h. sie ist sogar noch leicht reliabler als die 12-Item-Skala, obwohl zu ihrer Erhebung nur S Items benötigt sind. Je nach Zeitpunkt ihrer Durchführung dient die Itemanalyse unterschiedlichen Zwecken. In der Vorphase einer Haupterhebung dient sie der Konstruktion von möglichst guten Skalen und der Auswahl der Items für das letzten Endes in der Hauptuntersuchung eingesetzte Instrument. Nach der Haupterhebung dient sie zur Überprüfung der Reliabilität und um sich zu vergewissern, dass auch alle eingesetzten Items hinreichend mit der Gesamtskala korrelieren.

Schritt 5: Bildung der Gesamtskala und Berechnung von Skalenwertenfürjede Person Nach Abschluss der Itemanalyse sind allerdings noch keine Skalenwerte für die Probanden berechnet, sondern dies muss in einem gesonderten Schritt erfolgen. Zur Berechnung der individuellen Skalenwerte kann man zwischen zwei Varianten wählen: Zum einen kann man für jede Person durch Addition der Werte der Einzelitems ihren Skalenwert bestimmen; zum anderen kann man den so bestimmten Wert durch die Zahl der Items dividieren, wodurch wiederum der Wertebereich des ursprünglichen Antwortformats hergestellt wird, was in punkto Interpretierbarkeit der Skala gewisse Vorteile hat. Bei acht Items mit je fünfstufigem Antwortformat (von 1 = "stimme nicht zu" bis 5 = "stimme zu") hat also die oben gebildete Skala "Allgemeines Umweltbewusstsein" einen theoretischen Wertebereich von S bis 40 (S·l bis S·S). Das Histogramm der Skalenwerte (Abb. 10-1) zeigt, dass diese theoretische Spannweite in der Stichprobe nicht erreicht wird - der kleinste auftretende Skalenwert ist 15, der größte 40 Punkte.

Skalenbildung

226

Abb.l0-l 10"10 8% 6%

4% 2% 0% 8910111213M151617181920212223M252627282930313233~353637383940

Skala Allgemeines Umweltbewusstsein Daten: Umweltbewusstsein 2006

Detailfragen und Faustregeln für die Bildung einer Likert-Skala 1. Die Zahl der Items für die Skala sollte vor der Skalenbildung zumindest grob festgelegt werden. Basis für die Entscheidung ist die Zeit, die hierfür im Interview zur Verfügung steht. 2. Die Items sollten möglichst homogen sein, d.h. eine möglichst hohe mittlere Interkorrelation besitzen. Vor der eigentlichen Reliabilitätsanalyse sollte deshalb die Matrix der Interkorrelationen begutachtet werden, um solche Items auszuschließen, die nur wenig mit den anderen Items korrelieren. 3. Die Schwierigkeitsindizes sollten breit streuen. Es sollten also nicht nur schwierige oder mittelschwierige Items ausgesucht werden, sondern eine gesunde Mischung von Items verschiedener Schwierigkeit. 4. Bei fehlenden Werten einzelner Items, d.h. wenn Personen das betreffende Statements nicht beantwortet haben, gibt es folgende alternative Vorgehensweisen: a] es wird für die Person kein Skalenwert berechnet und der Person wird auf der Gesamtskala der Wert "fehlend" zugewiesen, b) der fehlende Itemwert wird durch den theoretischen mittleren Wert des Antwortformats ersetzt (,,3" bei einem von 1 bis 5 reichenden Antwortfot-

mat], c) der fehlende Itemwert wird durch den Mittelwert aller Probanden bei diesem Item ersetzt, d) die Bestimmung des Werts der Gesamtskala einer Person geschieht nur auf der Grundlage der Items mit gültigen Werten (vorausgesetzt nicht mehr als 20% der Items dieser Person weisen fehlende Werte auf).

Die Qualität einer Skala

227

5. Für die Berechnung des Skalenwertes macht es für spätere Zusammenhangsanalysen, die auf die gebildete Skala aufbauen, keinen Unterschied, ob man den Mittelwert der Items berechnet oder ob man einen Summenscore bildet. Der Mittelwert ist dann geeigneter, wenn die Items fehlende Werte aufweisen und man die Variante d) von Punkt 4 wählt. Generell hat es aber Vorteile, den Mittelwert und nicht die Summe der Items zu bilden, denn damit weist der Skalenwert das gleiche Wertespektrum auf wie zugrunde liegenden Items und ist dadurch leichter interpretierbar. 6. Ferner ist es immer nützlich, sich einen Überblick über die Verteilung der Skalenwerte zu verschaffen, wobei es - sofern es die Statistiksoftware erlaubt - auch sinnvoll sein kann, die Normalverteilungskurve in die grafische Darstellung einzeichnen zu lassen, so dass man die Charakteristika der Verteilung (eingipflig oder mehrgipflig, rechtsschief oder linksschief vgl. Kapitel 2) besser erkennen kann.

10.4 Die Qualität einer Skala Wann ist eine Skala eine gute Skala und wann ist sie in der Praxis brauchbar? Wie viele Items sollte eine Skala minimal und wie viele maximal enthalten? Auf diese Fragen lassen sich keine allgemeingültigen Antworten geben, denn es kommt immer auf den Sinn und Zweck der Skalenbildung und der angestrebten Zusammenhangsanalysen an. Selbst bei physikalischen Messungen (bspw. der Raumfeuchtigkeit) kann es ja sehr verschiedene Situationen geben, je nachdem ob man lediglich ungefähr wissen will, wie feucht es im eigenen Keller ist oder ob für die hochempfindliche Produktion von Computerchips ein bestimmtes Limit von Raumfeuchtigkeit ganz genau eingehalten werden muss. Im einen Fall mag ein Hygrometer mit einer Messgenauigkeit von plusminus drei Prozent ausreichen, im anderen Fall ist es vielleicht erforderlich, die Luftfeuchtigkeit bis auf eine Nachkommastelle genau zu messen. Im ersten Fall wäre es wenig sinnvoll, ein extrem präzises und dementsprechend teures Messgerät einzusetzen. Dies wäre zwar nicht falsch, aber völlig unangemessen. Auch in der empirischen Forschung steht man vor ähnlichen Entscheidungssituationen: Man verfügt nur über eingeschränkte Ressourcen, nicht nur finanzieller Art, sondern auch hinsichtlich der Zeit und der Aufmerksamkeit, die Befragte der Forschung entgegen bringen. Da steht dann möglicherweise nicht mehr als vielleicht eine Stunde Interviewzeit zur Verfügung, so dass es ganz und gar dysfunktional wäre, wenn davon schon eine Viertelstunde auf die Ermittlung des schulischen Fehlverhaltens verwendet würde. Bei der Sekundäranalyse. also der Analyse von Daten, die für einen anderen Zweck bzw. in einem anderen Kontext erhoben wurden, kann man evtl. nur unter einer beschränkten Anzahl von Items auswählen und muss sich deshalb mit relativ niedrigen Alpha-Koeffizienten abfinden.

Skalenbildung

228

10.5 Angaben der Skalengüte in der Forschungsliteratur In der Forschungsliteratur ist es üblich, zu den im Forschungsprojekt benutzten Skalen zumindest den Reliabilitätkoeffizienten Cronbachs Alpha mitzuteilen. Informativer ist es, wenn wie in Tab. 10-4 auch die deskriptiven Kennwerte wie die Anzahl der Fälle sowie Modus, Median und Mittelwert etc. angegeben werden. In der Tabelle werden für die Skala "Globale gesundheitsbezogene Lebensqualität" gleich für vier Messzeitpunkte (tl bis t4, in den Spalten dargestellt) Mittelwert, Median, Modus, Standardabweichung, Schiefe, Exzess, Minimum und

Maximum sowie der Wert für Cronbachs Alpha angegeben. Alpha erreicht Werte zwischen 0,79 (Messzeitpunkt tl) und 0,94 (t4) und hat sich von tl zu t4 deutlich verbessert, d.h. die Reliabilität der Skala hat zugenommen. Tab. 10-4: Skalenwerte Globale gesundheitsbezogene Lebensqualität, aus : Taubert (2003, 55) Kennwert

Messzeitpunkt t1

t2

t3

t4

n

124

123

121

81

M

4.34

4.39

4.27

4.42

Md

4.50

4.50

4.00

4.25

Mo

4.00

5.00

4.00

4.00

s

1.27

1.05

1.16

1.21

Schiefe

-0.02

0.08

0.03

-0.22

Kurtosis

-0.38

-0.79

0.18

-0.10

Minimum

1.00

2.00

1.00

1.00

Maximum

7.00

6.50

7.00

7.00

.79

.79

.92

.94

Cronbach's Alpha

10.6 So geht es mit SPSSjSYSTAT Skalenbildung in SPSS In SPSS lässt sich eine Itemanalyse mit Hilfe der Option "Analysieren> Skalierung > Reliabilitätsanalyse" durchführen. Das Hauptdialogfeld zeigt wie üblich im linken Fenster die Variablenliste, aus der die Items für die Analyse ausge-

So geht es mit SPSSjSYSTAT

229

wählt werden. Neben der Beschriftung "Modell" befindet sich ein Listenfeld, in dem das gewünschte Modell, meist Cronbachs "Alpha", ausgewählt wird.

rm R.l i ,birtöl,",n, ~.. ,

Einstellun Qzu: GerechUQkeit

, ,

GerechtiQkeit des eiQenenA Rel.tive eiQene 8 el. stunQd Auss. Qe: Bür Qerkönnen nur

, ,

Inl ormati on squellennutzunQ Inlof m.ti onsquellennutzunQ

#

.

~ :nl orm.tl onsquellennutzunQ nf",m, t,nno", ,o" onn,,17, ,n

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Modell SkalenMschriftung'

l_ OK

#

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49 Inlormati onsquellennutzunQ

.

.

Item3

.

,

Auss.Q e: Es QiDtGrenzen de Auss. Qe: Wissenschaft und

,

Auss. Qe: Zusteuern . ul U m Auss'Q e: 8es orQnis über zuk Auss.Q e: Ü ~ e rtre ibu n Q der U Auss. Qe: N icht mehr Ress o

# # # # #

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Die SPSS-Reliabilitätsanalyse erlaubt es nich t, Items umzupolen, dafür hat man also vor der Analyse selbst zu sorgen, indem man mittels "Transformieren> Rekodteren" die entsprechenden Items umpolt. Hat man eine fünfstufiges Antwortformat von 1 bis 5 vorliegen, werden die Werte dabei wie folgt neu zugeordnet: 1--+5, 2--+4, 3--+3, 4--+2 und 5--+1. Ein weiteres Problem für die Itemanalyse stellen fehlende Werte dar. SPSS schließt bei nur einem fehlenden Itemwert den betreffenden Fall komplett aus der Analyse aus. Gerade dann, wenn die Skala aus vielen Items gebildet wird, kann dies einen erheblichen Prozentsatz fehlender Werte bei der gebildeten Skala zur Folge haben, was natürlich nich t im Interesse der Analyse liegen kann. Die Problematik fehlender Werte lässt sich nicht innerhalb der Prozedur Reliabilitätsanalyse lösen. Gängige Verfahren (wie unter 10.3 beschrieben), bei welchen der fehlende Wert bspw. durch den Mittelwert des betreffenden Items ersetzt werden, sind nich t verfügbar, d.h. man muss vor der eigentlichen Itemanalyse bereits dafür sorgen, dass das Programm fehlende Werte adäquat bearbeitet. Die SPSS-Ausgabe enthält neben den optional verfügbaren deskriptiven Statistiken wie Mittelwerte, Varianzen und Inter-Korrelationen der Items den berechneten Alpha-Koeffizienten sowie eine Ergebnistabelle, die im Prinzip der oben dargestellten Tab. 10-4 entspricht: Item-Skala-Statistiken

Skalenbildung

230

Skalenmittelwert,

Skalenvarianz,

wenn Ilem wegge- wenn Ilem weggelassen

lassen

Cronbachs Alpha, Korrigierte IlemSkala-Korrelation

wenn Ilem weggelassen

Die entscheidenden Angaben findet man in der Spalte .Korrfgterte-Item-SkalaKorrelation" und "Cronbachs Alpha, wenn Item weggelassen". Die erste Angabe entspricht der Trennschärfe, d.h. je höher der Wert, desto besser ist das Item für die Skalenbildung geeignet Berechnet wird die Korrelation dieses Items mit der gebildeten Gesamtskala, wobei das Item selbst bei der Skalenberechnung wegelassen wird. Der zweite Wert entspricht Alpha, und zwar ebenfalls unter der Bedingung, dass das Item weggelassen wird. Liegt der Alpha-Wert höher als der für die Gesamtskala berechnete Alpha-Wert, so könnte die Skala verbessert werden, wenn man das ltem aus der Skala entfernt. Falls ein ltem negativ mit der Skala korreliert, ist dies normalerweise ein Hinweis darauf, dass vergessen wurde, das ltem umzupolen. Nach der erfolgreichen Konstruktion der Skala ist natürlich noch für jede Person der Skalenwert zu berechnen, was leider ebenfalls nicht innerhalb der Reliabilitätsprozedur möglich ist. Entsprechend den beiden oben beschriebenen Varianten zur Bildung der Skalenwerte kann man nun entweder die Werte der ltems summieren oder den Mittelwert der ltems bilden. Ersteres funktioniert mittels der Prozedur "Transformieren> Variable berechnen", und zwar wie folgt: Ein Name für die Ergebnisvariable ist einzugeben (z.B. .skalaumweltbewusstsetn" und die Variablennamen der aufzusummierenden Items sind durch ein Pluszeichen miteinander zu verbinden, also .jtemt + item2 + ... + lterrtX", und in das Feld "Numerischer Ausdruck" in SPSS einzugeben. Ein Klick auf OK erzeugt die neu berechnete Variable im Datensatz.

ZieMlliabie

Numelisdll!f AusOOid::

Den Mittelwert von x ltems kann man bilden, indem man anstelle der obigen Berechnungsvorschrift in das SPSS-Feld folgendes eingibt: MEAN(it em l , item2, ..., item x) Erneut bereiten aber die gegebenenfalls fehlenden Werte Probleme, denn SPSS würde für den Fall, dass in der obigen Gleichung zwei ltemwerte fehlen, einfach

231

So geht es mit SPSS/SYSTAT

den Mitte lw ert aus den restlichen ltems bilden und als neuen Skalenwert einset zen, was natürlich nicht gewollt ist. Man kann aber auch bei der Berechnung des Mittelwert s angeben, wie viele gültige Werte min destens vorhanden sein müssen. Folgen de Berechnungsvorschrift verlangt, dass drei der vier Werte gültig sein müssen, ansonste n wir d der Skalenwert für diese Person gleich "fehlend" gesetzt: MEAN.3(it em l , item2, ..., itemX) Skal enbildung in SYSTAT Die Optionen der Itemanalyse sind bei SYSTAT wesentlich begrenzter als in SPSS. Cronbachs Alpha lässt sich über das Menü .An alyze > Correlations > Cronbachs Alpha" berechnen. Dafür müssen nur die zu analysier end en Items in der Variablenliste auf der linken Seite ausgewählt und auf die rechte Seite mittels .Add'-Button gebracht werden. Wenn man daraufhin "OK" anklickt, wird der Alphawert zusammen mit einer Auflistung der gew ählten Variablen ausgegeben. Angaben zu Trennschärfe und Schwierigkeit einzelner Items sowie der Veränderung von Alpha bei Exklusion des b etr effenden Items kann bei SYSTAT nicht automatisch erzeugt werden. a; AMly;:oe (orrol, tio",", (Ionb, ,,h',Alph. ,~

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Um ein Item umzupolen, wählt man in SYSTAT die Funktion .Data > Transform > Recode". Die Bildung von Skalenwerten durch Summenbildung lässt sich mit der Menüopt ion .Data > Transform > Let" bewerkstelligen. Eine Ergebnisvariable ist zu definieren un d als Formel ist die gewünschte Summenbildung einzugeben, also bspw. .jtemt + item2 + item3". Bei fehlenden Itemwerten wird der Skalenwert ebenfalls auf "fehlend" gesetzt. Um den Mittelw ert der Items zu be-

232

Skal enbildung

rechnen, gibt man AVG(iteml, item2, item3) in das Berechnungsfeld ein, wobei fehlende Werte nicht berücksichtigt werden.

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11 Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

Wenn man, wie in Kapite l 9 besch rieben, mit hilfe einer Korrelationsanalyse einen Zusa mm enh ang zwisc hen Variab len festgestellt hat, kann man dieses Wissen nutzen, um dara uf a ufba uend Regr essionsanalysen (eng l. regression a nalysis ] du rchzufüh ren. Regression im statistis chen Sinne meint ..z urückführen" und heißt konkret, dass man vers ucht, eine abhängige Variable auf eine ode r mehrere una bhän gige Vari ab len zur ückzuführ e n. Umgekehrt könnte man form ulie re n: Besteht ei n Zusamm enhan g zwischen zw ei Variablen, dann kann man die eine

verwende n, um die andere vorhe rzusage n. Korrelieren bsp w. das Alte r und das Klimabewusstsein mi teinander, kann ich das Klim abewusstsein ei ner Person

an hand ihres Alte rs vo rhe rsagen. Ebenso lässt sic h das Anfan gsge halt von Absolvente n eines Studiengangs vorhe rsage n, we nn man ihre Stu d ie nda uer kenn t und a uch die Studie nleistungen könn en mit hi lfe der Abiturnote vorhergesagt werde n. Nutzt man nu r eine Variab le zur Vorhersage, spric ht man von einer einfachen oder a uch bivariaten Regres sion, ziehen wir aber we ite re Variab len hinzu, sprechen wir von multipler Regressi on. Je nachdem, ob ein linearer oder ein nicht-linear er Zusammenhang zwischen den Variablen vorliegt, verw endet man auch die Begriffe lineare und nicht-lineare Regression. Um zu verdeut lichen, dass man vers ucht, mithilfe eine r unabhängigen Variab len eine n Wert vor herz usagen, bezeichn et man diese Variablen im Rahmen der Regression meist als Prädiktoren. wä hre nd die abhängige Vari able Kriterium gen annt wird.

11.1 Einfache lineare Regression Um das Prin zip der Regres sion zu verdeut lichen , beginn en wir zunächst mit der ein fachen linea re n Regression. Nehmen wir einmal an , dass von acht Personen zwis chen 19 und 30 Jahren das Klimabewusstsein un d das Alter e rhoben wurden. Ta b. 11-1 gibt die zugehörigen Daten und Abb. 11-1 da s zugehö rige Streudiagramm wieder, da s a uf einen positiven linearen Zusammenhan g hinwei st, den n offensichtlich ist es so, dass ältere Per sonen a uch ein höh eres Klimabewus stsein haben.

Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

234

Tab. 11-1 Person

Alter (Variable xl

Klimabewusstsein (Variable vi

1.

19

11

2.

21

13

3.

22

16

4.

24

13

5.

25

18

6.

28

21

7.

29

23

8.

30

22

x - 24,8

Y. - 17,1

Bei der Regressionsanalyse versucht man - grafisch ausgedrückt -, in das Streudiagramm eine Gerade einzuzeichnen, die diesen linearen Zusammenhang widerspiegelt. Diese Regressionsgerade hat folgende Funktionsgleichung:

Yi bo b1

Schätzung des y-Wertes für den x-Wert der i-ten Person Schnittpunkt mit der y-Achse (Achsenabschnitt) Steigung der Geraden

Den Schnittpunkt mit der y-Achse bo und die Steigung der Geraden bi bezeichnet man als .Regressionskceffizienten", durch deren Höhe die Lage jeder Geraden eindeutig festgelegt ist. Das Dach über demy zeigt an, dass es sich bei dieser Geraden um eine Schätzung handelt: Für jeden x-Wert wird der zugehörige y-Wert geschätzt, in unserem Beispiel können wir also anhand des Alters einer Person ihr Klimabewusstsein vorhersagen. Diese Schätzung wäre perfekt, wenn alle Punkte genau auf der Geraden liegen, was jedoch in den Sozialwissenschaften so gut wie nie der Fall ist, weshalb eine Gerade gesucht ist, die möglichst dicht an allen Datenpunkten liegt. Man versucht also, die Gerade so in die Punktewolke des Streudiagramms zu legen, dass die Fehlerquote bei den Schätzungen möglichst gering ist. Dies ist in Abb. 11-2 verdeutlicht, in der exemplarisch für den Datenpunkt der 24-jährigen Person eine senkrechte Linie auf die Regressionsgerade gezogen wurde. Die Länge dieser Linie entspricht dem Abstand zwischen dem vorhergesagten Wert yund dem wahren Messwerty. Die Linien bezeichnet man als "Residuum" bzw. "Residuen" (Plural) und kennzeichnet sie mit dem Buchstaben .e", was man sich leicht merken kann, wenn man e mit .error" - dem Fehler - assoziiert.

235

Einfache lineare Regression

Abb.11-2 25

• c

.~

20

,

~

•E

•

•

~

52

•

15

y(vorhergesagt) e (Fehler) y (beobachtet)

10 18

20

22

24

26

28

30

32

Alter

Bei der Bestimmung der Regressionsgeraden kommt das Kriterium der kleinsten Quadrate (engl. ordinary least squares, abgekürzt "OLS") zum Einsatz: Man versucht, die Regressionskoeffizienten bn und b i so festzulegen, dass die Summe der quadrierten Residuen minimal ist. Dies ist dann der Fall, wenn man die Steigung der Geraden b i wie folgt berechnet:

. Steigung b 1 cov(x,y)

s:

=

cov(X,y) 2

Sx

= Kovarianz der beiden Variablen x undy = Varianz der Variablen x

(vgl. Kapitel 9)

In unserem Beispiel beträgt die Varianz des Alters 15,9 und die Kovarianz von Alter und Klimabewusstsein ergibt sich nach der Formel aus Kapitel 9.2 zu 17,2, sodass man diese Werte nur noch in die Formel einsetzen muss, um die Steigung bi der Regressionsgeraden zu bestimmen: b,

= _Co_v...::(x--,,-, -y-,-) Sx

17,2 15,9 ~ 1,08

Dieser Wert lässt sich wie folgt interpretieren: Wenn man auf der x-Achse eine Einheit nach rechts wandert, vergrößert sich der y-Wert um die Steigung bi. Ei-

236

Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

ne Erhöhung des Alters um ein Jahr, bringt also folglich eine Vergrößerung des Klimabewusstseins um 1,08 Skalenpunkten mit sich. Mithilfe von bi kann man bc, den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse berechnen, indem man die Mittelwerte der bei den Variablen x undy heranzieht: Achsenabschnitt bo

= Y-

b1 . X

Für unser Beispiel ergibt sich also ein y-Achsenabschnittvon bo

= 17,1- 1,08 . 24,8 = -9,68

Dieser Wert ist so zu interpretieren: Für eine Person mit dem Alter von null Jahren würden wir ein Klimabewusstsein von -9,68 voraussagen. Es wird sofort deutlich, dass es sich um einen theoretischen und keinen praxistauglichen Wert handelt, und tatsächlich wird in der Praxis bo weniger Bedeutung beigemessen als dem Regressionskoeffizienten b-, da bo wie in unserem Beispiel häufig außerhalb des relevanten Wertebereichs der Variablen auf der x-Achse liegt. Da bi als Steigung der Geraden angibt, wie stark sich eine Veränderung der unabhängigen Variablen x auf die Variable y niederschlägt, bezeichnet man bi auch als .Regressionsgewicht". Das Vorzeichen des Regressionsgewichts b1lässt sich ähnlich wie die Kovarianz (vgl. Kapitel 9) interpretieren: b i > 0: zwischen x undy besteht ein positiver Zusammenhang (je größer x, desto größer y) bi < 0: zwischen x undy besteht ein negativer Zusammenhang (je größer x, desto kleiner y) bi = 0: zwischen x undy besteht kein Zusammenhang

Da bi mit +1,08 in unserem Beispiel einen positiven Wert annimmt, bestätigt also dieser Wert den positiven Zusammenhang zwischen dem Alter und dem Klimabewusstsein. Die Höhe von bi ist jedoch abhängig von den Maßeinheiten der beiden Variablen x undy und es lassen sich nicht ohne weiteres verschiedene Regressionskoeffizienten miteinander vergleichen. Zu Vergleichszwecken standardisiert man deshalb die Regressionskoeffizienten mithilfe der Standardabweichungen von x undy: standardisierter Regressionskoeffizient ßi bi Sxjy

unstandardisierter Regressionskoeffizient Standardabweichung der Vanablen x/v

S

= b i . ..2. Sy

Einfache lineare Regression

237

Standardisierte Koeffizienten bezeichnet man üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben "Beta", um sie von unstandardisierten Koeffizienten zu unterscheiden. Für unser Beispiel errechnet man ein ßi = 0,94, was inhaltlich bedeutet: Eine Erhöhung des Alters (Variable x) um eine Standardabweichung geht mit einer Erhöhung des Klimabewusstseins (Variable y) um 0,94 Standardabweichungen einher. Zu beachten ist, dass standardisierte Koeffizienten in der Regressionsanalyse anders als viele Koeffizienten der Statistik größer als 1 bzw. kleiner als -1 sein können. Nachdem die beiden Regressionskoeffizienten bo und bi berechnet wurden, können wir jetzt die Gleichung der Regressionsgeraden für unser Beispiel aufstellen: Yi

= b o + b,

. Xi

= -9,68 + 1,08

. Xi

Mithilfe dieser Gleichung können wir für Person beliebigen Alters jetzt das Klimabewusstsein vorhersagen, indem wir das Alter als x-Wert einsetzen. Beispielweise würden wir für eine 20-jährige Person ein Klimabewusstsein von -9,68 + 1,08 . 20 = 11,92 vorhersagen. Diese Schätzung bzw. Vorhersage wird natürlich besser, wenn sie nicht nur auf den Daten von acht, sondern von mehr Personen basiert. Das Bestimmtheitsmaß R 2 Um zu beurteilen, wie gut eine Vorhersage ist, wie gut also die vorhergesagten Werte mit den realen, beobachteten Werten übereinstimmen, berechnet man das Bestimmtheitsmaß R2, das häufig auch als Determinationskoeffizient (engl. coefficient of determination) bezeichnet wird. R2 setzt die Varianz in den vorhergesagten Werten ins Verhältnis zu der beobachteten Varianz: Bestimmtheitsmaß R2

Varianz der vorhergesagten Werte Varianz der beobachteten Werte

= --;-;---,--;-c-----:--=-,-,---'----,=---,-

5' J 5' y

Im Zähler steht also die Varianz der Werte für die Variable y, die durch die Regression vorhergesagt und daher "determiniert" wird und im Nenner steht die Varianz der beobachteten Werte für y. Aufgrund dieser Berechnung gibt R2 also an, wie viel der Varianz vony durch die Regression korrekt vorhergesagt wird. Ähnlich wie bei der Varianzanalyse (vgl. Kapitel 8) spricht man davon, wie viel Varianz durch das Regressionsmodell "erklärt" werden kann. Dementsprechend wird die Varianz der vorhergesagten Werte auch als "erklärte Varianz" bezeichnet.

Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

238

Tab. 11-2 verdeutlicht die Berechnung von R2 für unser Beispiel. Die dritte Spalte enthält die Werte des Klimabewusstseins, die wir bei den acht Personen gemessen haben. Die Varianz dieser Werte entspricht also der beobachteten Varianz. In der vierten Spalte haben wir mit der Regressionsgleichung für jede der befragten Personen das vorhergesagte Klimabewusstsein berechnet Die Varianz der Werte in dieser Spalte gibt also die vorhergesagte bzw. erklärte Varianz wi eder. Tab. 11-2

Person

Alter x

Klimabewusstsein y beobachtet

1.

19

11

Klimabewusstsein y

vorhergesagt 10,84

2.

21

13

13,00

3.

22

16

14,08

4.

24

13

16,24

5.

25

18

17,32

6.

28

21

20,56

7.

29

23

21,64

8.

30

22

22,72

Varianz (beobachtet)

Varianz (vorhergesagt, erklärt)

= 20,98

= 18,58

Einsetzen der Beispiel-Werte in die Formel für R2 ergibt:

R' =

Varianz der vorhergesagten Werte 18,58 = - - = 089 Varianz der beobachteten Werte 20,98 '

Ein R2 von 0,89 bedeutet inhaltlich, dass 89% der Varianz des Klimabewusstseins durch die Varianz des Alters erklärt werden können. Da R2 nur Werte zwischen und 1 annehmen kann, entspricht 0,89 einem sehr hohen Wert.

°

Prüfung auf Signifikanz Ob sich ein R2 , das für eine Stichprobe ermittelt wurde, signifikant von Null unterscheidet, kann ähnlich wie bei der Varianzanalyse, mithilfe des F-Testes ermittelt werden. In einem Forschungsbericht werden deshalb üblicherweise für das ermittelte R2 ein F-Wert und die Irrtumswahrscheinlichkeit p angegeben. Ist p kleiner als 5%, dann ist R2 signifikant größer als Null.

Multiple lineare Regression

239

Auch die bei den Regressionskoeffizienten bn und b i werden auf Signifikanz getestet, und zwar mithilfe einer errechneten Prüfgröße t; die der t-Verteilung folgt. Ein signifikantes Ergebnis bedeutet hierbei inhaltlich, dass der Regressionskoeffizient signifikant von Null abweicht. Insgesamt sind also bei der einfachen Regression drei Irrtumswahrscheinlichkeiten zu beachten: Eine für die Güte der Vorhersage (R 2 ) , eine für den Achsenabschnitt bn und eine für die Steigung der Regressionsgeraden bi. Die Dummy-Codierung für ordinal- und nominalskalierte Variablen Für die Durchführung einer linearen Regressionsanalyse müssen die verwendeten Variablen intervallskaliert sein, wie das z.B. beim Alter, gemessen in Jahren, der Fall ist. Damit man jedoch auch nominalskalierte Variablen, wie z.B. das Geschlecht, und Variablen auf Ordinalskalenniveau, wie etwa verschiedene Bildungsstufen, in die Analyse einbeziehen kann, wendet man einen Trick an: Man führt für die Variable eine sogenannte "Dummy-Codierung" durch. Dies bedeutet, dass man für die Ausprägungen der betroffenen Variablen, zusätzliche Variablen anlegt, die jeweils nur zwei Ausprägungen haben: 0 und 1, gleichbedeutend mit "nein" und "ja". Beispielsweise transformiert man die Variable Geschlecht mit den Ausprägungen "männlich" und "weiblich" in die Variable "weiblich" mit den Ausprägungen "ja" und "nein". Diese neu entstandenen Variablen mit nur zwei Ausprägungen fasst man als intervallskaliert auf. Die Schulbildung mit den drei Ausprägungen "niedrig", "mittel" und "hoch" lässt sich wie folgt umcodieren: "Schulbildung niedrig" [ja, nein) "Schulbildung mittel" [ja, nein) "Schulbildung hoch" [ja, nein) Da mit zweien dieser drei Variablen jede Person bereits eindeutig zugeordnet werden kann, reicht es jedoch aus, nur zwei dieser Variablen zu bilden, um sie in eine multiple Regressionsanalyse mit mehreren Prädiktoren einzubeziehen.

11.2 Multiple lineare Regression Im Gegensatz zur einfachen Regression kann man mithilfe der multiplen Regression den Zusammenhang zwischen mehreren Prädiktoren und einer abhängigen Variablen untersuchen. Mit der multiplen Regression lässt sich also bspw. die Vorhersage des Klimabewusstseins durch die Hinzunahme weiterer Einfluss größen verbessern. Wenn man das Klimabewusstsein einer Person nicht nur anhand ihres Alters, sondern zusätzlich auch anhand ihres Geschlechts vorhersagt, werden die Vorhersagen besser (vorausgesetzt natürlich das Geschlecht korreliert mit dem Klimabewusstsein). Abb. 11-3 illustriert neben Alter

Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

240

und Geschlecht mögliche weitere geeignete Prädiktoren zur Vorhersage des Klimabewusstseins. Abb.11-3

In Abb. 11-3 wird auch ersichtlich, warum in der Forschungsliteratur häufig von einem .Regressionsmodell" die Rede ist: In der Formulierung soll zum Ausdruck kommen, dass versucht wurde, ein komplexes Zusammenhangsmodell mit mehreren Variablen zu entwerfen, das mithilfe der Regressionsanalyse empirisch überprüft wurde.

Der Ansatz der multiplen Regression unterstellt, dass sich das Klimabewusstsein einer Person als Summe der gewichteten Prädiktoren Alter, Wohnortsgröße U$W. ergibt. Dies drückt sich in folgender Gleichung für die Vorhersagewerte y des Klimabewusstseins aus:

y = Konstante + b Aft er· XAfter + bwohnortsgröße· xWohnortsgröße + usw. Dabei sind bAlter und bWohnortsgröße die Gewichtungsfaktoren für die jeweiligen Variablen Alter und Wohnortsgröße. In allgemeiner Schreibweise lässt sich der Vorhersagewert für die y- Variable folgendermaßen ausdrücken: Vorhersagewert bo

bp Xp

p

y = b o + bl

. Xl

+ bz . X z + .. + bp . xp

Konstante k-tes Regressionsgewicht kote unabhängige Variable (Prädiktor) = Anzahl der unabhängigen Variablen (Prädiktoren)

241

Multiple lineare Regression

Es handelt sich also um eine Verallgemeinerung der Gleichung für die einfache bivariate Regression, denn wenn es nur einen Prädiktor gibt, verkürzt sich diese Gleichung auf die bereits eingeführte Gleichung für die Regressionsgeraden. Die grafische Analogie der Regressionsgeraden ist allerdings nur im zweidimensionalen Raum anschaulich und lässt sich nicht so ohne weiteres auf den ndimensionalen Raum bei der multiplen Regression ausweiten. Doch wie bei der einfachen Regression besteht das Ziel darin, die Regressionskoeffizienten zu bestimmen, die eine optimale Vorhersage erlauben. Es kommt dabei ebenfalls das Kriterium der kleinsten Quadrate zum Einsatz, weshalb die lineare Regression häufig auch OLS-Regression (von engl. ordinary least squares) genannt wird. Mathematisch ausgedrückt sind die Koeffizienten gesucht, welche die Summe der quadrierten Fehler bei der Vorhersage minimieren. Ergebnis einer multiplen Regression Das Resultat einer multiplen Regression entspricht vom Prinzip her dem oben vorgestellten Ergebnis der bivariaten Regression, nur dass statt eines einzelnen Regressionsgewichts bi jetzt für jeden berücksichtigten Prädiktor ein Regressionsgewicht vorliegt. In unserem Beispiel würden wir also eine Konstante und sechs Gewichte bi bis bc für Alter, Wohnortsgröße, Geschlecht, Bildung, Werte und Religiosität erhalten. Tab. 11-3 stellt die Ergebnisse einer multiplen Regression vor, die BöhmKasperfWeishaupt (2002) berechnet haben, um die Belastung und Beanspruchung von Lehrern zu untersuchen. Die erste Spalte enthält die verschiedenen Prädiktoren, die zweite die standardisierten Regressionskoeffizienten (Beta). Mit zwei Sternchen (**) sind die Koeffizienten markiert, die hoch signifikant von o abweichen. Das R2 von 0,33 als Maß für die Vorhersagegüte des Modells fällt moderat aus. Tab. 11-3 Variable

DisziR:lindruck KooQeration/ Integration im Kollegium Schulklima

standardisiertes Gewicht (Beta-Koeffizient)

.03 .03 -.25**

SchulaIitagsprobleme

.23**

Vor- und Nachbereitung des Unterrichts

.34**

Korrekturen, Bewertung, Prüfungsvorbereitung Geschlecht (als Dummyvariable)

R'

.09 -.18** .33

Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

242

Ein Blick auf die Höhe der standardisierten Regressionsgewichte erlaubt es im Anschluss an die multiple Regressionsanalyse zu bestimmen, welche der Prädiktoren besser und welche schlechter für eine Vorhersage geeignet sind. Offensichtlich ist es in diesem Fall so, dass die Vor- und Nachbereitung des Unterrichts und das Schulklima die besten Vorhersagen für die Lehrendenbelastung erlauben (Beta = 0,34 und -0,25), denn diese sind vom Betrag her am größten. Wie ist das Vorzeichen der standardisierten Gewichte zu interpretieren? Ein positives Gewicht heißt, dass hohe Werte des Prädiktors auch mit hohen Werten des vorhergesagten Kriteriums einhergehen. Je stärker sich eine Lehrkraft vorund nachbereitet, desto belasteter ist sie. Umgekehrt steht ein negatives Vorzeichen für einen negativen Zusammenhang. Je besser das Schulklima. desto geringer ist die Belastung.

Das korrigierte R2 Das oben eingeführte Bestimmtheitsmaß R2 als Maß für die Güte der Vorhersage wächst mit zunehmender Anzahl der Prädiktoren an. Deshalb gibt es verschiedene Vorschläge, R2 in der multiplen Regression zu korrigieren, insbesondere wenn man die Güte der Vorhersage für eine Grundgesamtheit schätzt. Häufig kommt folgendes Korrekturverfahren zum Einsatz, das die Anzahl der Prädiktoren berücksichtigt:

R' . = 1 ad]

n p R2

= = =

n-l . (1 - R') n-p-l

Anzahl der Fälle Anzahl der Prädiktoren unkorrigiertes Bestimmtheitsmaß R2

In der Forschungsliteratur werden meist sowohl R2 als auch das korrigierte R2 angegeben, letzeres häufig unter der Namen "bereinigtes" oder "adjustiertes" R2 . Die Signifikanz des korrigierten R2 wird meist durch Test von R2 auf Signifikanz ermittelt. Die Ergebnisse einer Regressionsanalyse legen häufig nahe (und in vielen Publikationen liest man es auch), dass die Prädiktoren "Einfluss nehmen", und die Höhe des vorgesagten Kriteriums "bestimmen". Es wird durch diese Formulierungen manchmal mehr, manchmal weniger bewusst, ein Kausalzusammenhang zwischen den unabhängigen und abhängigen Variablen unterstellt Wichtig zu beachten ist jedoch, dass das statistische Verfahren der Regressionsanalyse ebenso wenig wie die Korrelationsanalyse Kausalität beweist Wir verweisen an

Multiple lineare Regression

243

dieser Stelle noch einmal auf den Abschnitt "Korrelation und Kausalität" im Kapitel9. Ein signifikantes Ergebnis für R'Z als Maß der Erklärungsleistung des berechneten Modells bedeutet also nur, dass das Modell mit den empirischen Daten vereinbar ist - es beweist aber keine Kausalität. Auch ein signifikanter Regressionskoeffizient beweist noch keinen kausalen Zusammenhang zwischen dem betreffenden Prädiktor und dem Kriterium. Das Problem der Multikollinearität In den meisten Regressionsanalysen werden Prädiktoren zur Vorhersage verwendet, die selbst miteinander korrelieren. Beispielsweise wissen wir aus der Sozialforschung, dass ein Zusammenhang zwischen den beiden Prädiktoren Alter und Bildung besteht, denn jüngere Erwachsene haben tendenziell höhere Bildungsabschlüsse als ältere. Dies beschert uns bei der Regression ein Problem: Wir können nicht mehr so leicht sagen, wie groß der Beitrag des einzelnen Prädiktors für unser Vorhersagemodell ist. Dieses Problem, dass zwei oder auch mehr Prädiktoren korrelieren, bezeichnet man als "Multikollinearität". ... Bei der Durchführung und Bewertung einer multiplen Regression reicht es deshalb nicht aus, nur auf die Regressionsgewichte zu schauen. Stattdessen sollten vorab die paarweisen Korrelationen aller Prädiktoren berechnet und kontrolliert werden. Es existieren auch mehrere Koeffizienten, die eine Multikollinearität anzeigen. Hierzu gehören insbesondere die "Toleranz" und der .Varianzinflationsfaktor (VIF)", die von Statistikprogrammen im Rahmen der Regressionsanalyse berechnet werden können und in der Forschungsliteratur gelegentlich angegeben werden. Hierarchische und schrittweise Regression Wenn Berechnung und Ergebnis einer Regressionsanalyse geschildert werden, ist häufig die Rede davon, dass eine hierarchische oder schrittweise Regression durchgeführt wurde. Gemeint ist damit, dass die Prädiktoren in unterschiedlicher Reihenfolge bei der Analyse berücksichtigt werden, was zu unterschiedlichen Ergebnissen führt. Bei der "normalen" Regression gehen alle Prädiktoren gleichzeitig und gleichberechtigt in die Berechnung ein. Hierarchisch und schrittweise meint demgegenüber folgendes: Hierarchisch (eng!. hierarchical) Einzelne Prädiktoren oder auch Blöcke von mehreren Prädiktoren gehen in einer vorab definierten Reihenfolge in die Berechnung ein, so dass man überprüfen kann, welchen zusätzlichen Gewinn man

244

Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

durch die später hinzugefügten erzielt. Man berechnet in diesem Fall für jeden hinzugefügten Block ein weiteres Modell und untersucht, welche "Änderung in R2" das neue Modell herbeiführt. Schrittweise {eng!. stepwiseJ Aufgrund statistischer Kriterien werden Prädiktoren in die Regression aufgenommen oder entfernt, um ein möglichst gutes Modell mit einem hohen R2 zu erzielen.

Voraussetzungen für die lineare Regressionsanalyse Die Durchführung einer linearen Regression, gleich ob bivariat oder mit mehreren unabhängigen Variablen, ist voraussetzungsreich: Zunächst muss überhaupt ein linearer Zusammenhang vorliegen. Bevor man eine Analyse durchführt, sollte man deshalb mithilfe von Streudiagrammen überprüfen, ob jede unabhängige Variable in linearem Zusammenhang mit der abhängigen Variable steht. Alle unabhängigen Variablen müssen jeweils mit der abhängigen Variablen bivariat normalverteilt sein (vgl. Kapitel 9). Die Residuen, also die Fehler bei der Vorhersage, sollen ebenfalls einer Normalverteilung folgen. Darüber hinaus soll die Varianz der Residuen unabhängig von den x-Werten sein, das heißt z.B. dass 20-Jährige sich nicht stärker in ihrem Klimabewusstsein unterscheiden als 22-Jährige (diese Voraussetzung nennt man Homoskedastizität). Grafisch veranschaulicht heißt dies, dass die Streuung der Punkte um eine Regressionsgerade homogen ist. Es dürfen keine Ausreißer vorliegen, denn diese können zu künstlich erhöhten Regressionskoeffizienten führen.

11.3 Ausblick auf die logistische Regression Die multiple lineare Regression ist nur anwendbar, wenn die Variable, die man vorhersagen möchte, intervallskaliert ist, wie im vorherigen Abschnitt das Klimabewusstsein. In vielen Fällen in der Sozialwissenschaft möchte man jedoch Zusammenhänge untersuchen, bei denen die abhängige Variable nominalskaliert ist und nur zwei Ausprägungen hat Beispielsweise untersuchen Harazdj van Ophuysen (2008) die Faktoren, die Eltern dazu bewegen, sich anders als die Empfehlung der Grundschule für die weiterführende Schulform zu entscheiden. Als abhängige Variable betrachten sie dabei das .Entscheidungsverhalten" der Eltern und unterscheiden dabei die beiden Ausprägungen .nonkonforrn" (0) für Eltern, die sich anders als die Empfehlung entscheiden und "angepasst" (1) für Eltern, die der Empfehlung folgen.

Ausblick auf die logistische Regression

245

Weitere Beispiele für abhängige Variablen mit zwei Ausprägungen sind: Anforderungen erfüllt: ja/nein, erhöhte Sensibilität: ja/nein, Achten auf das Bio-Siegel: ja/nein. Für diese Anwendungsfälle ist die logistische Regression geeignet: Die logistische Regression ermöglicht, eine nominalskalierte abhängige Variable (das Kriterium) auf unabhängige Variablen mit beliebigem Skalenniveau (die Prädiktoren) zurückzuführen. Mithilfe der logistischen Regression lässt sich bestimmen, inwieweit einzelne Prädiktoren geeignet sind, das Kriterium "'".... ..1 vorherzusage"'n Wenn die abhängige Variable bei der logistischen Regression zwei Ausprägungen hat (also dichotom ist), dann spricht man von einer binären, bei mehr als zwei Ausprägungen von der rnultinornialen logistischen Regression. Wie bei der multiplen Regression können ordinalskalierte und nominalskalierte Variablen als Dummyvariablen (s.o.) in die Analyse einbezogen werden. Die logistische Regression ist eine nicht-lineare Regression, weshalb sich die Überlegungen zur einfachen und multiplen linearen Regression nicht eins-zueins übertragen lassen. Wir wollen an dieser Stelle nicht in die Tiefen der logistischen Regression einsteigen, sondern werfen einen Blick in die Forschungsliteratur und erläutern, wie man die Ergebnistabelle einer logistischen Regression interpretieren kann. Tab. 11-4 stellt auszugsweise die Ergebnisse eines Modells vor, das Harazdfvan Ophuysen (2008: 640) zum Entscheidungsverhalten der Eltern berechnet haben und das nur soziodemographische, nominalskalierte Variablen berücksichtigt. Tab. 11-4: Relative Chancen (Odds Ratio) für die elterliche Entscheidung (angepasst = 1 vs. Nonkonforrn = 0) Prädiktor

Odds Ratios

Migrationshintergrund (O- ohne, 1 - mit)

0.86

Bildungsabschluss der Eltern: Hauptschule? {O - nein, 1 - ja)

4.48**

Bildungsabschluss der Eltern: Realschule? (O - nein, 1- ja)

0.72

Geschlecht des Kindes (O - Junge, 1 - Mädchen)

1.32

Familienstatus (O- allein erziehend, 1 - nicht allein erziehend)

0.39

Ältere Geschwister? (O- ja, 1- nein)

6.36**

Pseudo-s" (Nagelkerke)

.228

Anteil richtig zugeordneter Fälle

79.3%

**p:;;.Ol

246

Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

Auch bei der logistischen Regression werden Regressionskoeffizienten ermittelt, die jedoch anders zu interpretieren sind als die der linearen Regression, denn es handelt sich um sogenannte "Odds Ratlos", die man wohl am ehesten mit "relative Chance" übersetzen kann. Was ist nun "Odds Ratio"? Ein Odd ist vergleichbar mit einer Wettchance und entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt im Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt Odds Ratio ist ein Chancenverhältnis. das aus den Odds ermittelt wird. Die Odds Ratios der Tab. 11-4 entsprechen dem Chancenverhältnis, dass Eltern eine angepasste Entscheidung treffen, wenn der jeweilige Prädiktor 1 ist, im Verhältnis dazu, dass er 0 ist. In der zweiten Zeile der Tabelle liest man also bspw. folgendes ab: Die Chance, dass Eltern mit Hauptschulabschluss der Grundschulempfehlung folgen, ist 4,48 mal größer als bei Eltern mit einem höheren Abschluss. Der beste Prädiktor ist jedoch die Tatsache, ob das Kind ältere Geschwister hat oder nicht, denn in diesem Fall beträgt Odds Ratio 6,36. Wenn ein Kind keine älteren Geschwister hat, ist die Chance, dass die Eltern sich an die Grundschulempfehlung 6,36 mal so groß wie bei Eltern, die bereits auf Erfahrungen mit einem älteren Geschwister bauen können. Odds Ratios werden mit dem sogenannten "Wald-Test" auf Signifikanz geprüft, einer Prüfgröße, die annähernd der Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad folgt. Als Maß für die Güte eines logistischen Regressionsmodells, also die Bewertung der Vorhersagekraft, greift man am häufigsten auf zwei Maße zurück: Erstens wird Nagelkerkes R2 (auch Pseudo R2 genannt) angegeben, das die Werte von 0 bis 1 annehmen kann, wobei ein höherer Wert eine bessere Vorhersagekraft bedeutet. Im Beispiel erreicht das Modell mit R2 = 0,23 mittelmäßige Werte. Zweitens sollte man angeben, wie viele Fälle durch die logistische Regression in die Ausprägungen der abhängigen Variablen richtig zugeordnet (klassifiziert) werden - im Beispiel sind es knapp 80%.

11.4 So geht es mit SPSSjSYSTAT Lineare Regression in SPSS Um in SPSS eine lineare Regression zu berechnen, wählt man "Analysieren> Regression > Linear". Im erscheinenden Dialogfenster sind die abhängige Variable (im Beispiel: das Klimabewusstsein) und die unabhängigen Variablen in die entsprechenden Felder zu übertragen (im Beispiel: das Alter). SPSS unterscheidet nicht zwischen einfacher und multipler Regression - fügt man nur eine unabhängige Variable ein, rechnet SPSS eine einfache, fügt man mehrere Variablen ein, rechnet SPSSeine multiple Regression. Im Drop-Down-Menü "Methode" kann man zudem auswählen, ob die unabhängigen Variablen alle auf einmal (Einschluss) oder schrittweise in die Analyse

So geht e s mit SPSSjS YSTAT

247

aufgenommen werden. Sollen mehrere Blöcke von Variablen nacheinander in der Regression berücksichtigt werden, lassen sich diese über die Schaltfläche "Weiter" definieren, die sich oberhalb der unabhängigen Variablen befindet.

!/i Lin...,. R.~,."ion , , ,

Umw . ltIi. rI1 alt. n Pro-tl mw.-<e inst. Pr.is.n dörf.r-Ty

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B.l astunQ. n im G.sun dh. its b. la

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AuswahOiariabl.

Einschluss Schrillw. is.

Fallb.schrinun Qen

Entfernen Rückwärts Varwärts

~ :'

WLs-G. wtchlu ng

1

.I lk.§.infÜQ. n

I [?:U[ÜCkS. tz.e '!l

Al>bf. ch. n

Hilf.

SPSS gibt nach Klick auf "OK" drei Tabellen aus. Die .jvlodellzusammenfassung" informiert über die Güte der Vorhersage, in unserem Fall erreichen wir ein R 2 ("R-Quadrat") von 0,88. Modellzusammenfassung Modell

l'

R

R-Quadrat

,940'

,000

Korrigiertes RQuadrat

,863

Standardfehler des Schätzers

1,69255

Die Tabelle "ANOVA" e nth ält die Prüfung des Bestimmtheitsmaßes R 2 auf Signifikanz. Ein Blick auf die let zte Spal te der Tabelle verrät, dass das errechnete R 2 von 0,88 hoch signifikant von abweicht, weil der ausgegebene We rt von 0,001 unter 1% Irrtumswahrscheinlichkeit liegt.

°

248

Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

ANOVA Mittel der Quadrate

Modell

Quadratsumme

1

Regression Nicht standardisierte Residuen Gesamt

df

129,687

1

129,687

17,188

6

2,865

146,875

7

F

45,270

8ig . ,001

Aus der Tabelle "Koeffizienten" liest man schließlich die Höhe der berechneten Regressionskoeffizienten sowie die Ergebnisse der Signifikanzüberprüfung ab. Der Regressionskoeffizient für das Alter beträgt also 1,08 und wenn man ihn standardisiert, erhält man einen Beta-Koeffizienten von 0,94. Auch hier verrät die letzte Spalte (Sig.), dass dieser Wert hoch signifikant ist, denn wieder ist p mit 0,001 kleiner als 1%. Modell

Nicht standardisierte Koeffizienten Regressionskoeffizient B

1

(Konstante) Alter

Standardisierte Koeffizienten

Standardfehler

-9,567

4,012

1,078

,160

T

Beta

,940

8ig.

-2,385

,054

6,728

,001

Binäre logistische Regression in SPSS Diese ruft man über das Menü "Analysieren> Regression> Binär logistisch" auf. Die unabhängigen Variablen können in das Feld mit der Bezeichnung .Kovartate" eingefügt werden. SPSS gibt zahlreiche Tabellen aus, in denen man unter anderem die Irrtumswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Regressionskoeffizienten, verschiedene Varianten von R2 und die Anzahl der korrekt zugeordneten Fälle ablesen kann. Lineare Regression in SYSTAT Um in SYSTAT eine lineare Regression zu berechnen, wählt man .Analyze > Regression > Least Squares ...". Im erscheinenden Dialogfenster sind die abhängige Variable (im Beispiel: das Klimabewusstsein) und die unabhängigen Variablen in die entsprechenden Felder zu übertragen (im Beispiel: das Alter). SYSTAT unterscheidet nicht zwischen einfacher und multipler Regression - fügt man nur eine unabhängige Variable ein, wird eine einfache, bei mehreren Variablen eine multiple Regression berechnet.

So geht es mit SPSSjSYSTAT

2<9

~ryz", R.gr""~'>t Squor.. Model l Eslms oo l Oplood Predicd Resompling l Avoiloblevorioble(s) GESCHLECHT KLiMABEI>IUSS TS VAROCOJl VERANAN TWO RT NACH HALTIGKElT ALTER

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-]

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SYSTAT gibt u nter anderem drei Tabe llen aus, von denen die er ste übe r die Mod ellgüt e in Form des Bestimmtheitsmaßes k' ("Squared Multipl e R") infor miert. Dependent Variabl e

Klim abewussts ein

N Squar ed Multiple R

8 0,940 0,883

Ad justed Squared Multiple R

0,863

Mul! i[lle R

r.sea

Standard Error of Eatlmate

Aus de r nächsten Tabelle kann man die Höhe der berechneten Regressionskoeffizienten sowi e das jeweilige Ergebnis der Signifikanzübe rprüfung ablesen. Der Regressionskoeffizient für das Alte r betr ägt uns tandardisiert 1,08 und standardisie rt erhält man einen Beta-Koeffizienten von 0,94. Die letzte Spalte ve rrät, dass dieser Wer t hoch signi fikant ist, denn der .p-value" ist kleiner als 1%. Rearession Coefficient5 B =

rx'xr'x'v

Effect

Coeflicient

Standard Error

Std. Coeflicient

Constan t

-8,567

Alter

1,078

4,012 0,160

0,000 0,840

Tolerance

, -2,385

1,000

6,728

p-value

0,054 0,001

Die Tabelle ,,Analysis ofVariance" enthält die Prüfung des Bestimmtheitsmaßes

k' auf Signifikanz. Die let zte Spalte der Tab elle ve rrät, dass das e rrechnete k'

250

Regression: komplexe Zusammenhänge analysieren und Vorhersagen treffen

von 0,88 hoch signifikant von 0 abweicht, weil der ausgegebene Wert von 0,001 unter 1 % Irrtumswahrscheinlichkeit liegt. Analysis of Variance Source 55

df

Mean Squares

F-ratio

p-value

Regression

129,687

1

129,687

45,270

0,001

Residual

17,188

6

2,865

Binäre logistische Regression in SYSTAT Die Berechnung einer logistischen Regression lässt sich in SYSTAT über .Analyze > Regression> Logit > Estimate ModeL." aufrufen. SYSTAT präsentiert zahlreiche Tabellen, aus denen man unter anderem die Irrtumswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Regressionkoeffizienten, verschiedene Varianten von R2 und die Anzahl der korrekt zugeordneten Fälle ersehen kann.

11.5 Die Regressionsanalyse in der Forschungsliteratur Die Darstellungen von Regressionsanalysen in der Forschungsliteratur sind meist sehr komplex und in der Regel werden die Ergebnisse in tabellarischer Form präsentiert und durch umfangreichen Text kommentiert. Vereinzelt kommen Ergebnisberichte auch ohne ergänzende Tabellen aus. So hat Damrath (2006) bspw. Einflüsse auf die Studienzufriedenheit untersucht und berichtet folgendes Ergebnis: .Aufgrund standardisierter Regressionskoeffizienten (BetaKoeffizienten) unbedeutender Höhe (.029 bzw..055) ist davon auszugehen, dass Studienzielen und kognitiven Leistungsressourcen in ihrer Gesamtheit und unter Kontrolle der übrigen Einflussgrößen keine Bedeutung für die Studienzufriedenheit zukommt" (ebd.: 276). Damrath bezeichnet hier die BetaKoeffizienten von 0,029 und 0,055 als klein, weil sie deutlich unter 0,1 liegen, und daher eine Änderung der Prädiktoren um eine Standardabweichung nur mit einer minimalen Änderung der Standardabweichung im Kriterium (hier: Studienzufriedenheit) einhergeht. Eine komplexe Ergebnistabelle einer multiplen Regression präsentieren Böhm-Kasper und Weishaupt (2002), die die Belastung und Beanspruchung von Lehrern und Schülern untersuchen:

Die Regressionsanalyse in der Forschungsliteratur

251

Tab . 11-5: Standardisierte Regresslonskoefflzlenten- und Signifikanzniveaus für multiple Regressionen (abhängige Variable: Beanspruchung der Lehrer), Lehrerstichprobe (volles Lehrdeputat), nach Bundesland Thüringen

Bayern

(n=185)

(n = 230)

ß

Variable

Slgn.

Disziplindruck Kooperation/Integration im Kollegium Schulklima

ß

Slgn.

Brandenburg (n =93)

ß

Slgn.

.03 .09

.03

-.33* *

-.25 **

-.13 -.22 *

Schulalltagsprobleme

.16 *

.23**

.26 **

Vor- und Nachbereitung d. Unterrichts

.24**

.34* *

.05

Korrekturen, Bewertung, Prüfungsvorbereitung

.16*

.09

.26**

Geschlecht

b

-.07

.2.

R'

-.18** .33

-.23** .45

a

fur die Variablen ohne Regressionskoeffizienten lagen bei den bivariaten Korrelationen auf Landeseb en e keine signifikanten Zusammenhänge vor; diese Variablen wurden daher auch nich t in die Regressionsanalyse aufgenommen . Fett hervorgehobene Bet a-Koeffizient en sind mindestens auf dem s %-Niveau signifi kant (* p < .05; ** P < .0 1)

b

Dum my-Variable : 0 = weiblich 1 = männlich

Was man in dieser Tabelle sieht, wollen wir stichpunktartig erläutern: Es wurden in Thüringen n = lSS, in Bayern n = 230 und in Brandenburg n = 93 Lehrerlinnen mit vollem Lehrdeputat befragt. In der linken Spalte sind die einzelnen Prädiktoren des Regressionsmodells aufgeführt: Disziplindruck, Kooperation usw. Für jedes Bundesland kann man entnehmen, wie hoch die standardisierten Regressionsgewichte (Beta) sind und die Sterne neben den Gewichten geben an, ob die Gewichte signifikant von 0 abweichen. Beispielsweise beträgt in Thüringen das Regressionsgewicht für das Schulklima -0,33 und dieser Wert ist hochsignifikant; je besser das Schulklima. desto geringer also die Belastung. In der letzten Zeile ist das Bestimmtheitsmaß R2 angegeben, das über die Güte des Regressionsmodells informiert. Das Modell für die Stichprobe in Brandenburg hat die höchste Güte, denn hier ist R2 mit .4S deutlich höher als bei den Modellen für Bayern und für Thüringen (.33 und .28). Inwieweit die unabhängigen Variablen (Disziplindruck, Kooperation usw.) untereinander korrelieren, erfährt man aus dieser Tabelle nicht.

Glossar

Dieses Glossar enthält knapp 80 wichtige Begriffe der Statistik, die in diesem Buch und in der Forschungsliteratur sehr häufig vorkommen. Worte, die im Erklärungstext kursiv gesetzt sind, werden ebenfalls im Glossar erläutert

Abhängige Variable ~ Unabhängige Variable Absolute Häufigkeit Die absolute Häufigkeit gibt an, wie häufig die einzelnen Ausprägungen einer Variablen in einem Datensatz jeweils vorkommen. Die Darstellung erfolgt meist in einer Häufigkeitstabelle kombiniert mit den relativen Häufigkeiten.

Alpha-Fehler Einen Alpha-Fehler (= Fehler 1. Art) begeht man, wenn man sich aufgrund der Stichprobendaten für die Alternativhypothese entscheidet, obwohl in der Grundgesamtheit die Nullhypothese gilt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit für einen Alpha- Fehler. Alternativhypothese Die Alternativhypothese ist eine Annahme über einen Unterschied bzw. einen Zusammenhang, der auf Signifikanz geprüft wird. Komplementär zur Alternativhypothese ist die Nullhypothese, die das genaue Gegenteil postuliert. ANOVA ~ Varianzanalyse Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel ist der Durchschnittswert. Um es zu berechnen, werden alle vorkommenden Werte summiert und durch die Anzahl der vorkommenden Werte dividiert.

Beta-Fehler Wird aufgrund der Stichprobendaten die Nullhypothese beibehalten, obwohl in der Grundgesamtheit die Alternativhypothese gilt, spricht man von einem Beta-Fehler (= Fehler 2. Art). Bivariat meint, dass zwei Variablen gleichzeitig betrachtet werden. Dementsprechend spricht man von bivariaten Auswertungen, wenn Zusammenhänge zwischen zwei Variablen untersucht werden. Chi-Quadrat ist eine nicht-standardisierte Maßzahl für den Zusammenhang zwischen zwei norninalskalierten Variablen. Chi-Quadrat errechnet sich durch den Vergleich von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten.

254

Glossar

Cramers V ist ein normierter Koeffizient für die Stärke eines Zusammenhangs von norninalskalierten Variablen, der die Werte von 0 bis 1 annehmen kann und sich für beliebig große Kreuztabellen eignet. Je größer V ist, desto stärker ist der Zusammenhang. Cronbachs Alpha stellt ein Maß für die Güte (Reliabilität) einer Skala dar und kann maximal den Wert 1 annehmen. Je höher Cronbachs Alpha, desto besser die Skala, wobei Werte zwischen 0,9 und 0,99 als sehr gut gelten. In bestimmten Kontexten sind aber auch schon Skalen mit Alpha-Werten zwischen 0,7 und 0,8 bereits brauchbar.

Deskriptive Statistik Die Methoden der deskriptiven Statistik werden genutzt, um Werte eines Datensatzes übersichtlich und strukturiert aufzubereiten bzw. zusammenzufassen. Zum Einsatz kommen unter anderem Häufigkeitstabellen und Grafiken sowie Streuungsmaße. Die deskriptive Statistik bezieht sich immer auf vorliegende Stichproben - Aussagen über die Grundgesamtheit werden im Gegensatz zur lnferenzstatsitik nicht getroffen. df ~ Freiheitsgrade

Dichotome Variable Eine Variable, die nur zwei Ausprägungen hat, bezeichnet man als dichotom. Beispiel: Das "Geschlecht" mit den Ausprägungen "weiblich" und "männlich". Diskrete Variable Eine intervallskalierte Variable zwischen deren abzählbaren Ausprägungen keine Zwischenwerte existieren, bezeichnet man als diskret. Beispiel: die Anzahl der Kinder. Dispersionsmaße ~ Streuungsmaße Effektgröße, Effektstärke Effektgrößen bzw. Effektstärken werden berechnet, um Informationen über die Stärke eines ermittelten signifikanten Zusammenhangs/Unterschieds zu erhalten. Die Signifikanz allein genügt nicht, um die Frage nach der sogenannten .Bedeutsamkeir" eines Effekts zu beantworten, da sie von der Stichprobengröße abhängig ist. Im Gegensatz dazu sind Effektgrößen normiert und damit unabhängig von der Stichprobengröße. Verbreitete Effektstärken sind unter anderem Cohens d für den T-Test und eta? für die Varianzanalyse.

Einseitige Hypothese Eine einseitige (gerichtete) Hypothese ist eine gerichtete Vermutung über einen Zusammenhang oder Unterschied, z.B. "Kinder in der Stadt besitzen ein höheres Umweltbewusstsein als Kinder auf dem Land." Eta2 ist ein Maß für die Effektstärke im Rahmen einer Varianzanalyse. Wurde ein signifikanter Unterschied zwischen mindestens zwei Gruppen festgestellt, so gibt eta' an, wie hoch die Varianzaufklärung ist, also wie viel Prozent der beo-

Glossar

255

bachteten Variationen in den Werten der abhängigen Variablen auf den Faktor zurückgeht.

Faktor ~ unabhängige Variable Fehlende Werte Fehlt für einen Fall eine Angabe, spricht man von einem fehlenden Wert. Fehlende Werte können z.B. auftreten, wenn eine Person die Antwort verweigert oder in einem Fragebogen ein Kreuz zwischen zwei Antwortkästchen gesetzt hat. Fehler 1. und 2. Art ~ Alpha-Fehler;

~

Beta-Fehler

Freiheitsgrade entsprechen der Anzahl an frei wählbaren Werten. Beispielsweise hat eine Vier-Felder-Tafel, deren Randsummen bekannt sind, nur einen frei wählbaren Wert, weil sich die Werte der drei anderen Zellen - ähnlich wie bei Sudoku -aus den Randsummen und dem einen Wert ergeben. F-Test ~ Varianzanalyse Grundgesamtheit Als Grundgesamtheit bezeichnet man die Menge von Einheiten, über die man etwas aussagen möchte. In der Sozialwissenschaft sind die Einheiten in der Regel Personen, weshalb häufig für Grundgesamtheit der gleichbedeutende Begriff Population verwendet wird. Inferenzstatistik Unter dem Begriff Inferenzstatistik werden Verfahren subsumiert, mit deren Hilfe Schlüsse von den Daten einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit ermöglicht werden. Häufig wird deshalb auch von schließender Statistik gesprochen. Interquartilsabstand Der Interquartilsabstand ist die Spanne, in der sich die mittleren 50% aller Werte einer Verteilung befinden. Er entspricht dem Abstand des 25. und 75. Perzentils also dem Abstand des 1. und 3. Quartils. Intervallskala Die Intervallskala ist ein Messniveau. Bei einer intervallskalierten Variablen lassen sich die Ausprägungen wie bei einer Ordinalskala sortiert aufreihen, zusätzlich sind aber auch die Abstände zwischen den Ausprägungen gleich. Beispiel: Das Alter, denn der Abstand zwischen 3 und 4 Jahren ist der gleiche wie zwischen 4 und 5 Jahren. Irrtumswahrscheinlichkeit ~ Signifikanz Kategoriale Variable Nominalskalierte Variablen sowie ordinalskalierte Variablen mit wenigen Ausprägungen werden häufig als kategorial bezeichnet. Kategorial ist gewissermaßen gleichbedeutend mit "nicht-metrisch". Konfidenzintervall Mittels inferenzstatistischer Verfahren können aus der Stichprobe Bereiche angegeben werden, innerhalb denen sich ein Wert in der Grundgesamtheit wahrscheinlich bewegt. Dieser Bereich wird als Konfidenzin-

Glossar

256

tervall oder auch VertrauensbereichjVertrauensinterval1 bezeichnet. Gewöhnlich werden in Analogie zu den lrrturnswahrscheinlichkeiten von 5% und 1% das 95%- bzw. 99%-Konfidenzintervall bestimmt. Dieses gibt bspw. an, in welchem Bereich der Mittelwert der Grundgesamtheit mit 95% bzw. 99% Wahrscheinlichkeit liegt.

Kontingenzkoeffizient C ist ein normierter Koeffizient für die Stärke eines Zusammenhangs von norninalskalierten Variablen. C kann bei Vier-Felder-Tafeln Werte zwischen 0 und 1 annehmen, bei größeren Kreuztabellen liegt der maximal erreichbare Wert unter 1. Je größer C, desto stärker der Zusammenhang. Korrelation bedeutet "gemeinsame Wechselbeziehung". Wenn zwei Variablen miteinander korrelieren, verändert sich die eine Variable in Abhängigkeit der anderen, z.B. korrelieren die Größe und das Körpergewicht von Menschen: Je größer eine Person, desto schwerer ist sie (tendenziell). Die Stärke eines Zusammenhangs wird mit Korrelationskoeffizienten, wie z.B. Pearsons r angegeben. Kovarianz nennt man die wechselseitige Varianz von zwei Variablen. Ist die Kovarianz 0, besteht kein Zusammenhang zwischen den bei den Variablen, positive Kovarianzen bedeuten eine "Je mehr, desto mehr"-Beziehung und negative eine "Je mehr, desto weniger"-Beziehung zwischen den Variablen. Levene-Test Der Levene- Test testet die Gleichheit der Varianz von zwei oder mehr Gruppen. Kommt der Levene- Test zu einem signifikanten Ergebnis, sind die Varianzen signifikant unterschiedlich, d.h. heterogen. Median Der Median ist die Mitte der geordneten Werte einer Variable. 50% der Werte liegen über dem Median und 50% der Werte unter dem Median. Messniveau bezeichnet unterschiedliche Stufen des Messens und wird häufig auch Skalenniveau genannt. Das unterste Messniveau ist die Nominalskala, die nur Aussagen über das Vorhandensein einer Ausprägung erlaubt (z.B. Religionszugehörigkeit). Bei einer Ordinalskala können die Ausprägungen zusätzlich in eine Rangreihe gebracht werden (z.B. Bildungsstufen). Das nächst höhere Messniveau ist die Intervallskala, bei der darüber hinaus auch die Abstände zwischen den Skalenpunkten gleich sind (z.B. das Alter in Jahren). Metrische Variable Häufig werden intervallskalierte Variablen auch als metrisch bezeichnet, z.B. in der Statistik-Software SPSS. Das Alter in Jahren ist eine metrische Variable. Missing Values

~

Fehlende Werte

Mittelwert ~ Arithmetisches Mittel

Glossar

257

ModusjModalwert Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert einer Datenmenge. Multivariat Von multivariat spricht man, wenn mehr als zwei Variablen gemeinsam betrachtet werden. Nominalskala Die Nominalskala ist das niedrigste Messniveau und erlaubt nur Aussagen hinsichtlich "vorhanden" oder "nicht vorhanden" bzw. "ja" oder "nein". Die Variable Religionszugehörigkeit ist nominalskaliert, weil man sich die Ausprägungen nicht in eine Rangreihenfolge bringen lassen. Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine theoretische, stetige Verteilung, welche die Form einer Glocke hat: Die meisten Werte liegen dicht um den Mittelwert herum und je weiter man sich vom Mittelwert entfernt, desto weniger Werte findet man. Die Normalverteilung ist besonders bedeutsam für die Statistik, weil die Mittelwerte von (theoretisch unendlich vielen) Stichproben einer Normalverteilung folgen und man aufgrund dieser Tatsache die Genauigkeit von Schätzungen auf Basis einer Stichprobe einschätzen kann. Nullhypothese Die Nullhypothese ist das Gegenstück zu der auf Signifikanz zu testenden Alternativhypothese. Die Nullhypothese entspricht meist der Annahme, dass kein Zusammenhang bzw. kein Unterschied vorliegt. Ordinalskala Die Ordinalskala ist ein Messniveau, das Aussagen über die Rangreihenfolge der Ausprägungen einer Variablen erlaubt, wobei die Abstände zwischen den Ausprägungen nicht gleich sein müssen. Beispielsweise wird die Variable Schulabschluss als ordinalskaliert aufgefasst, denn ihre Ausprägungen Hauptschule, Realschule und Gymnasium lassen sich in eine Rangreihe bringen, die Abstände zwischen Haupt- und Realschule sowie zwischen Realschule und Gymnasium sind aber nicht als gleich zu interpretieren. Pearsons rjProdukt-Moment-Korrelation Bei diesen synonym verwendeten Bezeichnungen handelt es sich um einen normierten Korrelationskoeffizienten, die den Zusammenhang zwischen zwei intervallskalierten Variablen quantifizieren. Pearsons r kann Werte zwischen -1 und + 1 annehmen, wobei ein negativer Wert einen "Je mehr, desto weniger" und ein positiver Wert einen "Je mehr, desto mehr"-Zusammenhang anzeigt. Werte zwischen 0,3 und 0,5 stehen für einen mittleren, Werte über 0,5 für einen hohen Zusammenhang. Ein Wert unter 0,1 bedeutet, dass kein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen vorliegt. Perzentil Werden die geordneten Werte einer Variable in 100 Teile geteilt, ist jede Schnittstelle ein Perzentil, wobei das x-te Perzentil x% der Werte abschneidet. Das Lü-te Perzentil schneidet die ersten 10% der Werte ab. Das 50. Perzentil entspricht dem Median.

Glossar

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Phi ist ein normierter Koeffizient für die Stärke eines Zusammenhangs von norninalskalierten dichotomen Variablen, der die Werte von 0 bis 1 annehmen kann. Je größer Phi, desto stärker ist der Zusammenhang. Population ~ Grundgesamtheit Prädildor ~ unabhängige Variable Quadratsumme ist die Kurzform für "Summe der quadrierten Abweichungen". Dabei wird für jeden Wert einer mindestens intervallskalierten Variablen die Abweichung vom arithmetischen Mittel ermittelt und anschließend quadriert. Die Summe aller quadrierten Abweichungen ist dann die Quadratsumme. Sie wird u.a. bei der Varianzanalyse benötigt.

Quartil Werden die geordneten Werte einer Variable in vier Teile geteilt, ist jeder dieser Schnittstellen ein Quartil. Das 1. Quartil schneidet 25% der Werte ab. Das 2. Quartil ist identisch mit dem Median. Rangkorrelationskoeffizienten dienen der Quantifizierung des Zusammenhangs von ordinalskalierten Variablen. Am häufigsten werden Spearmans Rho und Kendalls Tau berechnet. Zum Wertebereich und der Interpretation ~Produkt-Mornent-Korrelation.

Rangskala

~

Ordinalskala

°

Relative Häufigkeit Die relative Häufigkeit gibt den jeweiligen Anteil der einzelnen Ausprägungen einer Variablen an. Sie wird entweder als Wert zwischen und 1 angegeben, oder - multipliziert mit 100 - als Prozentwert. Sind bspw. von 100 Befragten 46 weiblich, so beträgt die relative Häufigkeit 0,46 bzw. 46%. Reliabilität ~ Cronbachs Alpha

Residuen sind die Abweichungen der vorhergesagten Werte von den tatsächlichen Werten. Die Residuen kann man also als Fehler auffassen und es gilt: Je größer die Residuen, desto schlechter die Schätzung. Schließende Statistik ~ Inferenzstatistik Signifikanz, -niveau, -test Signifikanz liegt dann vor, wenn anhand eines Signifikanztests davon ausgegangen werden kann, dass der in der Stichprobe gefundene Zusammenhang zwischen Variablen oder die Unterschiede zwischen Gruppen auch in der Grundgesamtheit zu finden sind. Dieser Schluss kann nie mit absoluter Gewissheit gezogen werden, sondern ist immer mit der Gefahr, sich zu irren und einen Alpha-Fehler zu begehen, behaftet. Das Signifikanzniveau gibt die maximal erlaubte Irrtumswahrscheinlichkeit an, unterhalb der man bereit ist, die Alternativhypothese anzunehmen. Die Grenzen liegen in den Sozialwissenschaften üblicherweise bei 0,05 und 0,01 also 5% bzw. 1%. Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit unter 5% wird im Allgemeinen von einem signifikan-

Glossar

259

ten Ergebnis gesprochen und von einem hoch signifikanten, wenn sie unter 1% liegt. Typische verwendete Signifikanztests sind z.B. der t- Test für Mittelwertsvergleiche, der F-Test bei der Varianzanalyse oder der Chi-Quadrat-Test für Kreuztabellen.

Skalenniveau ~ Messniveau Spannweite Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem niedrigsten und dem höchsten Wert einer Verteilung. Spearmans rho

~

Rangkorrelationskoeffizienten

Standardabweichung Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. In einer Normalverteilung liegen ca. 68% aller Werte höchstens eine Standardabweichung über oder unter dem Mittelwert. Standardfehler Zieht man aus einer Grundgesamtheit mehrere Stichproben, haben diese Stichproben Mittelwerte, die um den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit streuen. Diese Streuung bezeichnet man als Standardfehler. Der Standardfehler lässt sich aus einer Stichprobe schätzen. Standardnormalverteilung ~ Normalverteilung Stetige Variable Bei einer stetigen (= kontinuierlichen) Variable existieren im Prinzip zwischen zwei Ausprägungen unendlich viele Werte. Beispiel: Zeitmessung. Stetige Variablen sind intervallskaliert. Stichprobe Als Stichprobe bezeichnet man die Auswahl von Einheiten aus einer Grundgesamtheit. Für die Anwendung von injerenzstatistischen Verfahren ist es wichtig, dass die Auswahl der Einheiten per Zufall erfolgt Streuungsmaße Ein Streuungsmaß ist ein Maß dafür, wie weit die Werte einer Verteilung um einen Mittelwert streuen. Trennschärfe Im Rahmen der bei einer Skalenbildung durchgeführten Reliabilitätsanalyse (~CronbachsAlpha) zeigt die Trennschärfe, wie stark das jeweilige Item mit der Gesamtskala korreliert. Die Trennschärfe kann Werte von -1 bis +1 annehmen und je höher die Werte im positiven Bereich liegen, desto besser. Bei der Itemanalyse ist es sinnvoll, die Items mit niedrigen Trennschärfen aus der Skala zu entfernen. Items mit hohen Trennschärfewerten führen in der Regel zu einem hohen Alphawert für die Gesamtskala. t- Test Ein t- Test überprüft den Unterschied zwischen zwei Mittelwerten auf Signifikanz. Es gibt verschiedene t- Tests je nachdem ob die Stichproben abhängig oder unabhängig und die Varianzen homogen oder heterogen sind.

Unabhängige Variable Untersucht man zwischen zwei Variablen die Wirkrichtung, bezeichnet man die verursachende Variable als "unabhängig" und die be-

260

Glossar

einflusste Variable als "abhängig" (Wirkung). Im Rahmen statistischer Verfahren existieren spezielle Bezeichnungen für die unabhängige Variable: Bei der Regression spricht man von .Prädiktor", bei der Varianzanalyse von "Faktor". Die abhängige Variable wird häufig auch .Zfelvariable" oder "Kriterium" genannt. Univariat Werden nur eine Variable und deren Ausprägungen betrachtet, spricht man von univariat Variable wird in den Sozialwissenschaften als Begriff für ein Merkmal verwendet. Eine Variable besitzt verschiedene Ausprägungen, z.B. hat die Variable "Familienstand" in der Regel die Ausprägungen ledig, verheiratet, verwitwet. Je nachdem, welcher Art die Ausprägungen sind, unterscheidet man Variablen mit niedrigeren und höheren Messniveaus. Varianz Die Varianz ist ein Streuungsmaß. für das die quadrierten Abstände der Werte vom arithmetischen Mittel durch die Anzahl aller Werte geteilt werden. Varianzanalyse Die Varianzanalyse (ANOVA) ist ein inferenzstatistisches Verfahren, mit dem Mittelwertunterschiede zwischen mehr als zwei Gruppen untersucht werden können. Statt von unabhängigen Variablen wird in diesem Kontext von Faktoren gesprochen. Der eigentliche Test auf Signifikanz erfolgt mit Hilfe des F-Tests. Variationsbreite

~

Spannweite

Vertrauensbereich/-intervall ~ Konfidenzintervall Zentrale Tendenz Maße der zentralen Tendenz informieren über die Mitte einer Verteilung. Am häufigsten verwendet werden Modus, Median und arithmetisches Mittel. Zentralwert ~ Median Zielvariable ~ abhängige Variable z-Transformation Bei einer z-Transformation wird Werten einer Variablen ein z-Wert zugeordnet, der darüber informiert, wie viele Standardabweichungen dieser Wert vom arithmetischen Mittel abweicht. Zusammenhangsmaße

~

Korrelation

Zweiseitige Hypothese Eine zweiseitige (ungerichtete) Hypothese beinhaltet eine ungerichtete Vermutung über einen Unterschied oder einen Zusammenhang, z.B. "Kinder in der Stadt besitzen nicht das gleiche Umweltbewusstsein wie Kinder auf dem Land."

Literatur

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Anhang

A. Datensätze von sozial- und erziehungswissenschaftlichen Studien Um ein e s tatistisc he Analyse durchzufü hr en, ist es nicht notwendig, eige ne Daten zu erheb e n. Im Gegen te il: Fast a lle Da ten von gro ßen sozial- und e rziehungswi ssenscha ftlieh e n Studie n mit 1.000 un d meh r Befragten we rde n nach Ende de r Fürsch ungsp ro jekte de r Sctent iflc Com munity zur Ve rfügung gestellt. Dies gilt sowohl für rep räsen tative Erhebungen in Deutschland a ls auch für europa we ite un d intern ational ausgeleg te Unters uchungen. Inte ress ie rt e Forschen de, aber auch St ud iere nde, können die Datensät ze bei Daten archiven anfordern un d für s ogena nnte Sekundäranalysen nu tzen, das heißt die Daten un ter ei ner eigene n Fragest ellung ana lysieren. Das wich tigste Daten archiv für Deutschlan d ist beim Letb ntz-tns tnut für Sozia lwisse nsc haften, der GESIS (www. gesis.org), angesiedelt.Es st ellttausen de Datensä tze in e lektronischer Fo r m, meis t als SPSS-Datei, zusammen mit einer Projektbeschreibung un d de m verwendete n Frage boge n bzw. Er hebungs instrument zur Verfügung. Im Folge nde n sind für die Sozial - un d Erziehun gswissen schaft bedeu tsa me Datensä tze kurz beschrieben. Allge meine Bevölkeru ngs u mfrage (ALLBUS) Mit der Allgemeinen Bevölkerungsum frage der Sozialw isse nschaften (ALLBUS) we rden aktuell e Daten übe r Einste llungen , Verha lte nswei sen un d Sozials tr uktur der Bevölker ung in de r Bundes republi k De utschla nd erh obe n. Se it 198 0 .ll 1g....I... _.ru"'J'l" rmrogo 6", Sozt.lwl•...,.d •• ft.n wird a lle zwe i Jahr e von der Arbeitsgruppe ALLBUS des Leib niz-lnstitut s für Sozia lwisse nschaften (GESIS) ein re präse ntative r Quers chn itt der Bevölkerung befragt. Die Dat e n stehe n un mitt elba r na ch ihre r benutzerg erechten Aufbere itung un d Dokumentation a lle n Inte resse nte n für For schung und Lehre zur Verfügung. Da bei in for miert ein konsta nter Fragenblock übe r demograp hische Merkmale sowi e grundlegend gesellschaftlich relevante Merkmale. Ferner gibt es alternierende Fragen blöcke zu kleinere n Themengebieten wie Ehe und Familie (alle 6 [ahre er hoben ) sowie einen Block mit Schwe rpunktth em en. Infos/ Da tensä tze; www.g ests.org

264

Anha ng

Bild ungs pa ne l (NEPS) , Im August 2008 wurde an der Orto-grtcdrtch-u ntvcrsträr Harn- NEPS berg das Institut für hild ungs wissensc haftliche Längssc hnitt- Hal lono i• • Blld ung , _ ' forschung (INBIL) gegründet. Unter der Leitu ng von Prof. Dr. ltans-Peter Blossfeld wird hier das Nationale ßild ungspancl für die Bundes republik Deutsch lan d (National Educational Pan el Srudy, NEPS) von e ine m interdisziplinär zusammengesetzten Netzwerk eingerichtet, koordiniert un d durchgeführt. Das Ziel der bisher größten Bildungsstudie in Deutsc hland ist es, für eine bessere Politikhcratung und Bildungsbe richterstattung Längsschnittdaten im Hinblick a uf die Kompctcnzcntwicklungcn, Bildungsprozesse, Bildu ngsen tsch eidungen un d Bildungsrcnd itcn in form alen, nich tform ale n und Inform ellen Kontexten über die gesamte Lebensspanne zu erheben . Infos: www.hild ungspanel.de

t

Eu roba ro m e ter •• Das Eurobarometer wird seit 1973 im Auftrag de r Europäische n Kornmission in allen eu ropäischen Mi tglie dsstaate n durchgefiihrt, um die Meinungsentw icklung, die soziale un d politische Einstellung und die soziale Situation der e urop äischen Bevölker ung zu erfasse n. Mittler - .U.... OfO . . . . weile existier en dre i unte rschiedliche Eurobarometer. Das Standard Euro baromcter, das unter a nderem üher die persönliche Lage, Einstellungen und Erw artung en z ur Elf lind Deutschl and info r miert, erscheint zwe ima l jährlich. Zusä tzlich zu dem Standard Euro ha rometer erscheint fün f bis sechs Mal pro Jahr das Spezial Eurobaromctcr, welches üher die Meinung hinsic htlic h spezi eller politis cher oder sozialer The men wie z. B. EU- Verfassung oder ehrenamtlicher Tätig keit informi ert. Fern er gibt es das Flash -Eurohar om eter, eine a d hoc Telefonumfrag c, in de ren Rahm e n hochaktuelle Them en, beispielsweise die lnfuenza / /1 N1, Europäer und Tourismus oder Rechte van Kindern aufgegriffen werden. Infos: ec.e uro pa.eu/ pubucopmton www.tn s·in frates t.co m! pressejeurobarometcr.as p Darcns ärac: www.gesis.org

11"11

International s ecta t Surve y Prog ra mm e (ISSP) Das Int ern ational Soctat Survey Prog ram ( ISSP) ist ein interna tionales Umfrageprogram m, das sich jährlich alternieren den Themen der Sozialwiss enscha ft widmet - heis pielsweise Arbeit, Familie, Gender, Soziale Ungleichh eit, Freizeit und Sport od er Umwelt. Das lSSP wird in 42 Mitgliedslä ndern durchgefü hrt, in Deutschla nd im Auftrag des Letbntra-tnstrtuts für Sozialwissenschaften (GES[S) in Verbindung mit dem ALLBUS. Das [SSP verbin det schon existi erende sozialwissenschaftliehe Forschungsprojekte und koordinie rt Forschungszfclc, wodu rch es intern a tionale und interkulturelle Pers pektiven zu den natio nalen Studien herst euert. Infos: www.tss p.c rg Darcns ätzc: www.gcsts.org

A. Datensätze von sozial- und erziehungswissenschaftliehen Studien

265

Mikrozensus Der Mikrozensus ist die sei t 1957 (seit 1991 alte und neue Bun- D !.LSTATIS desländer) jährlich erhobene amtliche Repräsentatrvitatsstatistik " i'"o.""l,
4Y OECD P JSA l',u,,,h l, nd

Infos: www.oecd.orgjdejpisa Datensatze. www.pisa.oecd.org(Link:"WhatPisaProduces?'J Shell Jugendstudie Im Rahmen der Jugendstudie werden 2.500 Jugendliche im Alter von 12 bis 25 Jahren mi t dem Ziel, deren Einstellungen, Me inu n ge n, Interessen und Lebenssituationen zu erheben, persönlich-mündlich befragt. Meist nehmen die Studien, die etwa alle 4 bis 5 Jahre im Auftr ag des Mineralölkonzerns Shell durchgeführt werden, ein Schwerpunktthema (2006 beispielsweise Jung und Alt) in den Blick. www.shell-jugendstudie.de Infos: Datensatze. www.gesis.org

266

Anhang

Sozio Oekonomisches Panel (SOEP) Das Sozio Oekonomische Panel (SOEP) ist eine repräsentative Wiederholungs befragung privater Haushalte in Deutschland, die seit 1984 im Auftrag des Deutschen Instituts für Wirtschaftsforschung jährlich dieselben Personen und Familien der Bundesrepublik im Hinblick auf ein breitgefächertes Themenspektrum untersucht. Kontinuierlich informiert es beispielsweise über Persänlichkeitsmerkmale, Erwerbsbeteiligung und berufliche Mobilität, gesellschaftliche Partizipation und Zeitverwendung. Innerhalb der jährlich wechselnden Schwerpunktthemen thematisiert es z.B. Familie, soziale Dienste oder Energie- und Umweltverhalten. Das Erhebungsprogramm wird ständig an neue Entwicklungen der Gesellschaft angepasst: 1994/95 wurde die "Zuwanderer-Stichprobe" integriert, weitere zusätzliche Stichproben wurden 1998, 2000, 2002 und 2006 integriert.

S'EP

Infos/Datensatze: www.diw.de/deutsch/soep/29004.html

Umweltbewusstseinsstudien Seit Anfang der 1990er Jahre lassen das Bundesministerium Umwtltbtwusshelnino.utscbl.nd 2006 für Umwelt, Naturschutz und Reaktorsicherheit und das ~.._ ....._Il"..hv 11/1 Umweltbundesamt alle zwei Jahre das Umweltbwusstsein und das Umweltverhalten der Deutschen untersuchen. Hierzu werden 2.000 Befragte, repräsentativ für Deutschland, im Hinblick auf unterschiedliche, bei jeder Umfrage wechselnde Themen wie Klima und Energie oder Gerechtigkeit und Verantwortung interviewt. Um Zeitreihen erstellen zu können, werden etwa 50-70% bei jeder Folgebefragung repliziert, es handelt sich jedoch nicht immer um dieselben Fragen. www.umweltbewusstsein.de www.umweltbundesamt.de/umweltbewusstsein Datensätze: www.gesis.org

Infos:

World Values Survey Im Rahmen des World Values Surveys wird alle 5 Jahre im Auftrag der World Values Survey Association eine Umfrage menschlicher Werte, die gegenwärtig umfangreichste, erhoben. Ihr Ziel ist es, ein besseres Verständnis der Weltansichten und Veränderungen in Meinungen, Werten und Motiven von Menschen auf der ganzen Welt zu erheben und auszuwerten. Der World Values Survey besteht aus zwei Fragenblöcken. Zum einen gibt es einen konstanten Block Fragen, in dessen Rahmen demographische Merkmale erhoben werden. Zum anderen einen aus dem European Values Survey hervorgegangenen Fragenblock, der differente Themen wie Einstellungen über die Beziehung zwischen Menschen, Bedeutung des Glücks oder Umwelt und Politik fokussiert. Infos/Datensatze: www.worldvaluessurvey.org

B.Tabellen

267

B.Tabellen Bi. Standardnormalverteilung

z

0 P'{JL<;.zl 00

-3,00

X:$z

l P..lx s z

0%

0,25

59.87%

1.0%

2,33

0,13%

0,50

2,5%

. 1,96

5,0%

1,6-:1

-2,15

0,30%

0,15

69, 15% 7 34%

-2,50

0,62%

1,00

84,13%

~5,0 %

1,64

-2,25

1,22%

1,25

89ß4%

97,5%

1,96

-2,00

2,28%

1,50

9332%

99,0%

2,33

-1,15

4.0 1%

1,15

5.99%

~ ,5 %

2,2!l.

-1,50

6,68%

2,00

97. 72%

-1,25

10,56%

2,25

98,78%

-1,00

15,87%

2,50

9938%

-0,15

22,66%

2,15 3.00

-0,50

30,85%

-0,25

40,13%

0,00

5 Q ,~

Den linken bei den Tabellen kann man die Wahrscheinlichkeit entnehmen, einen bestimmten z-Wert oder einen kleineren zu erhalten. Die Tabelle gibt also die Größer der blau-schraffierten Fläche wieder, die ein z-Wert auf der linken Seite der Standardnormalverteilung abschneidet. Beispiel: Der z-Wert 1,75 schneidet genau 95,99% ab. Die rechte Tabelle informiert darüber, welcher z-Wert eine bestimmte Fläche auf der linken Seite abschneidet. Beispiel: 95% werden vom z-Wert 1,64 abgeschnitten.

Anhang

268

B2. Kritische Werte der t-Verteilung

•

o

o

einseitig

einseiti dl

a

5%

a

zweiseitig

zwelseltle . 1%

a

5%

a

1%

6, :u........Jl, ~ , ~,66

zweiseiti.e:.

elnseltle .

,.

dI-

a

a

a

5%

a_l%

1,7 3

2,54

2,09

2,86

5%

1%

2,92

6,96

4,30

9) g

1,~

2,53

2,09

2,85

3

2,35

01., 54

3,18

5.8 4

1,",

2,52

2,08

2,83

4

2,13

3.15

2.18

4.60

22

1, 7.2

2,51

2,07

2,82

5

202

336

2,57

403

171

2,50

207

281

. ' .94

3.1 4

245

371

23 114.

171

H9

2.Q6

280

1.89

3, 0 0

2, 36

3,50

l25

1,71

2ß9

2,06

2; Z9

8

1.86

2,90

2,31

3,36

26

1, 7.1

2.48

2,06

2,78

9

1,83

2,82

2,26

3,25

27

170

2,47

2,05

277

110-

1,8L

2,76

2.2 3

3,l'Z

I".

1.80

2, ~

2,20

3, 11

lIO

2, 47

2,05

2,].6

1,7.0

2.~6

2,05

2,1.6 2,7 5

IJ ?

2.6 ?

2,18

3,05

l30

l ;ZQ

2,46

2,0 4

13

1,77

2.65

2,16

3,91

40

1,68

2,42

2,02

2,70

114

. ' ,7 6

2.62

2.14

2.98

<0

2,40

2,68 2,66

5

1,75

2,60

2,13

2,95

6Q

1.68 1,67.

2,39

2. D.l. 2,00

6

1,75

2,58

2,12

120

1,66

2,36

1,98

2,62

17.

1,74

2,57

2,11

2,92 2,90

240

1,65

2,3 4

1,97

2,60

18

1,73

2öSS

2,10

2"illl,

+a>

1,64

2,33

1,96

,·a

Zuerst wählt man die gewünschte Spalte aus, indem man sich für einen einseitigen oder zweiseitigen Test sowie ein Signifikan zniveau von 1% oder 5% entscheidet. Dann wandert man in der Tabelle bis zur richtigen Zeile der Freiheitsgrade (df) nach unten. Ist die Anzahl der benötigten Freiheitsgrade nicht in der Tabelle vorhanden, wählt man die Zeile mit dem nächst kleineren Wert. Beispiel: Der kritische t-Wert für einen einseitigen Test mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit bei 78 Freiheitsgraden beträgt 1,67, denn man muss in der Zeile für 60 Freiheitsgrade schauen.

B.Tabellen

269

B3. Kritische Werte der Chi-Quadrat-Verteilung

a

o I...

x' 0" '%

a-~%

df

a-",%

1

3ßa

6.63

18

28.87.

0-1% 34ß1

2 I.

5,99

9,21

19 Lzn.

30,14

3619

781

11 3 ~

31 ~1

37 57

" ~9

13,28

2

32,67

38,93

5

11PZ

15,09

22

33,92

01.0, 29

6

12,59

16.81

23

35,17.

41,6 ~

lz.

H ,07.

lSA 8

36,~2

42,98

15, 51

20,09

25

3 7 65

44, n

16, 92

1,67.

38.89

45,64

1

18,31

23,21

26 27

01.0,11

46,96

11 In

19.68

24,72

28

41,34

4828

2103

2622

l 70.

42.,56

4959

3

22,36

27,69

30

43,77

50,89 63,69

l 7'

14

23ß8

29,U

40

55,7 ?

15

25,00

30,58

67,50

7615

6

2630

32,00

50 I sn.

7908

8838

17

27,59

33,41

120

146 ,57

158 ,95

Die Tabelle enthält die kritischen Chi-Quadrat-Werte für die Signifikanzniveaus von 5% und 1% für ausgewählte Freiheitsgrade. Ist die Anzahl der benötigten Freiheitsgrade nicht in der Tabelle vorhanden, wählt man die Zeile mit dem nächst kleineren Wert. Beispiel: Der kritische Chi-Quadrat-Wert für ein Signifikanzniveau von 5% bei 9 Freiheitsgraden [df] beträgt 16,92.

Anhang

270

B4. Kritische Werte der F-Verteilung

a

o Q-

5%

dfZlNennerL

dfl(Zähler 1

2

3

4

5

10

5

6ßl

579

5ßl

519

5,05

4.14

6

5,99

514

4.16

453

4,39

4 ß6

7

•

5,59

474

4,35

412

3,97

3,64

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,35

9

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,14

10

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

2,98

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

2,85

12

4,75

3,89

3,49

3,26

3,11

2,75

13

4,67

3,81

3,41

3,18

3,03

2,67

14

4,60

374

3,34

311

2,96

2,60

15

4,54

36.

3,29

306

2,90

2,54

16

4,49

363

3,24

301

2ßS

2,49

17

445

359

3,20

296

2ßl

245

1.

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,41

19

4,38

3,52

3,13

2,90

2,74

2,38

20

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

235

30

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

216

40

4,08

3,23

2,84

2,61

2,45

2,08

50

4,03

3,18

2,79

2,56

2,40

2,03

75

3,97

3,12

2,73

2,49

2,34

1,96

100

3,94

309

270

246

2,31

1,93

1000

3,85

300

2,61

2,38

2,22

184

Die Tabelle enthält die kritischen F-Werte für das 5%-Signifikanzniveau bei ausgewählten Zähler- (dfl) und Nennerfreiheitsgraden (df2). Ist die Anzahl der benötigten Freiheitsgrade nicht in der Tabelle vorhanden, sollte man auf einen Online- Rechner zurückgreifen [www.statistik-verständlich.de). Beispiel: Der kritische F-Wert für das S%-Niveau bei S Zähler- und 1000 Nennerfreiheitsgraden beträgt 2,22.

B.Tabellen

271

B5. Binominal-Tabelle

n

k

0,1

0,2

0,3

0,'

O,S

1

0

900%

80,0%

70,0%

60,0%

50,0%

1

10,0 %

20,0%

30,0%

40,0°0

50,0%

2

0

810%

64,0%

490%

36,0%

250%

1

18,0%

32 ,0%

42,0%

48,0%

50 ,0% 250%

3

• S

2

10%

4,0%

9,0%

16,0%

0

72,9%

51 ,2%

34,3%

21,6%

12,5%

1

24,3%

38 ,4%

44,1%

43,2%

37 ,5%

2

2,7%

9,6%

18,9%

28,8%

37 ,5%

3

0,1%

0,8%

2,7%

6,4%

12,5%

0

65,6%

41,0%

24,0%

13,0%

6,3%

1

29,2%

41,0%

41,2%

34ß%

25,0%

2

4,9%

15,4%

26,5%

34,6%

37 ,5%

3

0,4%

2,6%

7,6%

15,4%

25,0%

0,0%

0,2%

0,8%

2,6%

6,3%

0

59,0%

32 ,8%

16,8%

7ß%

3,1%

1

328%

41,0%

360%

25,9%

156%

• 2

7,3%

20,5%

30,9%

34,6%

31 ,3%

3

08%

5,1%

13,2%

23,0%

31,3%

0,0%

0,6%

2,8%

7.1%

15,6%

S

00%

0,0%

0,2%

1,0%

3,1%

0

53,1 %

26,2%

11,8%

4,7°0

1,6%

1

354%

39,3%

30,3%

18,7%

9,4%

• 6

2

9,8°0

24,6%

32,4%

31,1%

23,4%

3

15%

8,2%

18,5%

27 6%

31,3%

0,1 %

1,5%

6,0%

13,8°0

23,4%

S

00%

0,2%

1,0%

3.1%

9,4%

6

0,0°0

0,0%

0,1%

0,4%

1,6%

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Die Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeit wieder, bei n Versuchen k-mal ein Ereignis A zu erhalten, wenn das Ereignis beim einmaligen Versuch mit der Wahrscheinlichkeit p auftritt Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit beim sechsmaligen Münzwurf (n = 6) sechsmals (k = 6) Kopf (p = 0,5) zu werfen beträgt 1,6%.

Register

Alpha-Fehler 142 Alternativhypothese 136 Ausreißer 58 Balkendiagramm 39 gestapelt 96 gruppiert 95 Bestimmtheitsmaß R2 237 Beta-Fehler 142 Bindung 200 Binomtalverteilung 115 Binommalgleichung 116 bivariat normalverteilt 198 Boxplot 70 breitgipflig 43 Chi-Quadrat 86, BB, 94 Chi-Quadrat-Verteilung 127 Codeplan 14 Cohens d 154 Cramers V 93 Cronbachs Alpha 223 Datentabelle 13 dichotomisieren 81 Doppelte Rangplätze 199 Drittvariable 205 Dummy-Codierung 239 Effektgröße 145 Effektstärke 145 t-Test 153 Varianzanalyse 177 eingipflig 43 Elementarereignis 105 Ereignis 105 Exzess 43 Fehlende Werte 20

Fehler erster Art 143 Fehler zweiter Art 143 Fehlerquadratsumme 173 Fehlervarianz 169 Freiheitsgrade 89 Fehlervarianz 175 Kreuztabelle 90 Treatmentvarianz 173 t-Test abhängige Stichproben 157 t-Test unabhängige Stichproben 151 F-Verteilung 128 F-Wert 176 Grundgesamtherr 103 Guttmann Skala 219 Häufigkeit absolut 83 beo bachtet 86 erwartet 86 relativ 83 Häufigkeitstabellen 34 Hauptkomponenten 178 Histogramm 42 Homogenität 223 Hypothese 135 einseitig 149 gerichtet 138 ungerichtet 138 zweiseitig 149 Index 218 Indifferenztabelle 87 Interaktionseffekt 178 Interquartilsabstand 67,70 Intervallskala 17 Irrtumswahrscheinlichkeit 139

Register

Item 216,220 Itemanalyse 222 Itembatterie 216 Kategorien 37 Kategorienbreite 37 Kausalität 203 Konfidenzintervall 133 Kontingenzkoeffizient C 92 Kontingenztafel 81 Korrelation 189 Korrelationsmatrix 206 Korrigierte R2 242 Kovarianz 192 Kreisdiagramm 44 Kreuztabelle 81 Kreuztabellenanalyse 89 kritischer t-Wert 152 Likert-Skala 220 Liniendiagramm 45 linksschief 43 linkssteil 43 Median 58 Messniveau 16 Mittelwert 60 arithmetische Mittel 60 für eine Häufigkeitstabelle 62 für gruppierte Daten 63 Modus 57 Nominalskala 16 Normalverteilung 119 Nullhypothese 136 üdd 246 Odds Ratlos 246 Ordinalskala 17 Parameter 129 Pearson-Korrelation 194 Pearsons r 194 Perzentile 66 Phi-Koeffizient 91 Population 103 Post-hoc-Test 176 Produkt-Moment-Korrelation 194

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Prozent 35 gültige 36 Prüfgröße t abhängige Stichproben 156 heterogene Varianzen 151 homogene Varianzen 150 Quartile 66 R2 237 Randhäufigkeit 90 rechtsschief 43 rechtssteil 43 Regression 233 logistisch 245 Regressionsanalyse Voraussetzung 244 Regressionskoeffizient 234 standardisiert 236 Residuen 87,234 Schiefe 43 schmalgipflig 43 Schwierigkeit von Items 222 Signifikant 144 Signifikanzniveau 140 Signifikanztest einseitig, zweiseitig 140 Skala 215 Skalenniveau 16 Skalierungsverfahren 219 Spalten prozente 85 Spannweite 65 Spearmans Rho 199 SPSS Chi-Quadrat 207 fehlende Werte 28 grafische Darstellung 52 Häufigkeitsverteilung 51 Itemanalyse 229 Kategorisierung 51 Kennwerte 75 Korrelation 206 Kreuztabelle 98 lineare Regression 246

Register

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Skalenbildung 229 t-Test 158 Variablennamen 26 Varianzanalyse 181 Stamm-Blatt-Diagramm 46 Standardabweichung 67 Standardfehler 133 Standardnormalverteilung 122 Statistik schließende 103 Stichprobe 103 Stichproben abhängig 147,154 unabhängig 147 Streudiagramm 190 Streuungsmaße 64 Summenzeichen 61

SYSTAT Chi-Quadrat 209 fehlende Werte 32 Grafische Darstellung 55 Häufigkeitsverteilung 54 Itemanalyse 231 Kategorisierung 54 Kennwerte 78 Korrelation 209 Kreuztabelle 100 lineare Regression 248 Skalenbildung 231 t-Test 161 Variablenname 31 Varianzanalyse 184

Treatment 167 Treatmentquadratsumme 172 Treatmentvarianz 169 Trennschärfe 222 t-Tabelle 152 t-Test 147 t-Verteilung 126 unimodal 43 univartate Verteilung 93 Variable 14 dichotom 18 diskret 18 kategorial 82 stetig 18 Variablenlabel 16 Varianz 67 Varianzanalyse Formen der 167 Varianzaufklärung 177 Varianzhomogenität 149,180 Variationsbreite 37 VariationskoeffizientV 72 Vier-Felder-Tafel 82 Wahrscheinlichkeit 104 Wertelabel 16 Wertepaar 155 Zeilenprozente 84 zentraler Grenzwertsatz 132 z-Transformation 72, 122 Zufallsexperiment 104 Zusammenhangsmaße 202