Statistik-Übungen: Beschreibende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Schließende Statistik 3. Auflage (Lehrbuch)

Günther Saurier Statistik-Übungen Günther Baurier •• Statistik-Ubungen Beschreibende Statistik Wahrscheinlichkeitsr...

Author: Günther Bourier

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Günther Saurier

Statistik-Übungen

Günther Baurier ••

Statistik-Ubungen Beschreibende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung Schließende Statistik 3., überarbeitete Auflage

•

GABLER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalb ibliografie; detail lierte bibliografische Daten sind im Internet über -chttpv/dnb.d-nb.deo abrufbar.

Professor Dr. Günther Bourier lehrt Statistik an der Hochschule Regensburg.

Die ersten beiden Auflagen des Werkes sind im Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, Herne/Berlin, erschienen. 3., überarbeitete Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten

© Gabler Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Jutta Hauser-Fahr I Renate SChilling Gabler Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmed ien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Seience-Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urhebe rrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikrovertilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Hancelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berün Gedruckt auf säurefreiem und chlortrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8349-2389-9

V()n~'()rl

v

Vorwort Für di e Aneignung statistischen Wissens und für die Fähigkeit, di eses Wi ssen in der Praxis anzuwenden, ist neben den beiden Bau steinen - Besuch statistisc her Vorlesungen - Stud ium statistischer Lehrbücher der dritte Bau stein - Bearb eiten von Übungsaufgaben erforderlich. Das intensive Bearbeiten von Übu ngsaufgaben hilft ganz wesentl ich dab ei, sich die statistisc hen Methoden anzueignen und zu verinnerlichen sowie praktisch umzu setzen. Die beiden Bausteine "Statistische Vorles ungen" und "Sta tistische Lehrbü cher " mü ssen schwerp unktmäßig die theoreti sche Vermittlung der Metho den zum Gegenstand haben, d.h. sie können der Nachfrage bzw. dem Erfordern is nach Übungsaufgaben nur in begrenztem Ma ße entsprechen. Dieses Such befasst sich als Übungs buch gez ielt mit dem dritten Baustein. Es soll den Stu dierenden eine ausreichende Möglichke it geben, die augee igneten statistischen Method en auf Übungsau fgaben anzuwenden. Zusamme n m it den von mir ver fassten Lehrbüc hern "Beschreibende Stat istik" und "Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Stat istik", die beide ebenfalls im Gabler Verlag erschienen sind, bildet es eine Einhe it, d ie den Studierenden die Aneign ung und Umse tz ung statistischer Methoden erm öglicht . Als hilfreiches Zusatzmaterial gibt es zu di esem Übungsbuch die Lern soft ware "PC-Statistiktrainer", die unter www.gabler.de (siehe dazu S. 3) heruntergelad en werden kann . Das Üb ungs buch wurde für die dritte Auflage kritisch durchgesehen lind übera rbeitet. Zahlreiche Aufgaben wu rden dabei aktualisiert .

Günther Saurier

Inhaltsverzeichnis

VII

In haltsverzeichn is Vorwo rt . . . . Einführung

V

.

2 Besc hreibe nde Statistik

5

2. 1 Parameter von Häufigkeitsverteilungen

5

2.2 Ver hältn isza hlen

30

2.3 Indexzahlen

37

2.4 Ze itreihenanalyse

56

2.5 Regressions- und Korrelationsanalyse

78

3 Wahrsc heinlichke itsrechnung

3.1 Sätze der Wa hrscheinl ichkeitsrechn ung

10 1 ...........

101

3.2 Kom binatorik . . .. . . . .

11 7

3.3 Diskrete Verte ilungen

127

3.4 Stetige Verteilungen

149

4 Schließe nde Stati stik

165

4.1 Schä tzve rfahre n

165

4.2 Testverfahren

187

Ta bellenanhang

209

J Ein{fi hr llng

1 E infü h r ung Gegenstand un d Z ielsetzu ng des Buches Das Gebiet der Statistik kann in die drei Teilgebiete - beschreibende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - schließende Statistik gegliedert werden. Zielsetzung des Buches ist es, die Studierenden zu befähigen , praktisc he Problemstellungen aus diesen drei Teilgebieten selbstständig lösen zu können. Dazu dienen die zahlreichen Übungsaufgaben. die ausführlich Schritt um Schritt gelöst werden und abschließend interp retiert werden. Die ausführliche schrittwe ise Darstellung der Lösung soll den Studierenden helfen, sich die Lösungstech niken zu erarbeiten, zu verinnerlichen und diese praktisch anwenden zu können. Wie im VOTW0I1 ausgeführt, kann es nicht Gegenstand eines Übungsbuches sein, die statistischen Methoden theoretisch zu vermitteln, d.h. die Methoden herzuleiten und deren Sinn und Zweck zu erklären. Dies ist vielmehr der zentrale Gegenstand von Statistikvorlesungen und Statistiklehrbüchern. Die Arbeit mit diesem Buch setzt also voraus, dass die Studierenden entsprechende Vorlesungen besucht und/oder entsprechende Lehrbücher durchgearbeitet haben. In ha lte Das Übungsbuch umfasst Stoffbereic he. die sich Studierende der Wirtsc haftswissensc haften an Univers itäten und Fachhochschulen im Grundst udium zu erarbeiten haben. Die hier ausgewählten Stoffbere iche können aus dem Inhaltsverzeichnis ersehen werden. Aufga ben und Lösunge n Zu jedem der für dieses Übungsbuch ausgewählten Probleme we rden in der Regel nich t nur eine, sondern mehrere Übungsaufgaben gestellt, um den Studierenden ausreichende Übungsmöglichkeiten zu gehen. Für die jeweils erste von ähnlichen Aufgaben wird der Lösungsweg ausführlich aufgezeigt. Für die weiteren, analog zu lösenden Übungsaufgahen werde n mindestens die Zwisch energe bnisse

2

I Hin6"ilm mg

und die Endergebnisse angegeben. Dadurch werden die Studierenden gefordert, die Aufgab en aktiv zu bearbei ten, und nicht verleitet, d ie aufgezeigten Lös ungswege nu r nachzuvollziehen. - Die Lösung einer j eden Üb ungsaufgabe erfolgt im un mittelb aren An sch luss an die AufgabensteIlung, um dem Leser ein mühevolles Hin- und Herb lätt em zu ersparen.

Zum Lern- und A rbe itsprozess Für das Erarbe iten und die Umsetzung der Lösungstechniken bzw . für die Vorbe-

reitung auf die Statistikklausur empfiehlt der Verfasser folgendes phasenweises

Vorgehen. Phase I: Aneignung der statistischen Methode Im Rahmen der Statistikvorlesung und/oder beim Studium der Fachliteratu r I erfolgt di e erste intensive Beschäfti gung mit der statistisc hen Me thode . Phase 1I: Erste praktische An wendung Für die erste praktische Anwendun g einer statistischen Metho de ist die entsprechen de Übungsaufga be mit der ausführlich en Lösu ng vorgesehen. Stud ierende, die sich mit der Lösungstech nik noch nicht vertr aut fühle n, so llten die Lö sung Schritt um Schritt intensiv durcharbeiten und sich dad urch die Lösu ngstechnik erarbe iten. Stud ierend e, die sich mit der Lösung stechnik bereits vertraut fühl en, sollten die Au fgabe schon möglichst eigenständig bearbe iten und ihre Lösung Schritt um Schritt mit der vorgegebenen Lösu ng verg leichen. Phase III: Wiederh olte p raktische Anwendung Für di e wieder holte praktische Anwendung einer statistische n Metho de kann eine weitere Aufgabe aus dem entsprechend en Probl emfe1d ausgewählt werden. Bei der Lös ung der Aufga be sollten Klau surbedi ngungen hergestellt werden, d.h. nur die an der j eweiligen Hochsch ule zugelasse nen Hilfsmittel sollten bei der Lö sung der Aufgabe verwendet werden. Auf dieses Weise kann individ uell festgestel lt werden, wo eventuell noch Wissensl ücken bestehen. I Stellvertretend seien hier genannt: Bourier, Günther: Beschreibende Statistik, 8. Aufl., Wiesbaden: Gabler, 20 I0 Bour ier, Günther: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 6. Auflage, Wiesbaden: Gabler, 2009

J Ein fÜhrun g

3

Phase IV: Gene ralp robe In der Klau sur sind Au fgaben aus versc hiedenen Bereich en der Statistik zu lösen. Auf genau diese Sit uation sollten sich die Studierenden in der letzten Phase vor der Klausur einstellen. Dies geling t, indem nicht A ufgabe um Aufgabe aus einem einz igen Themenkreis nacheinander bearbeitet wird, sondern indem A ufgaben aus verschied enen Themenbereichen in zufällig er Abfolge gelöst werden. Auf diese We ise wird man , wie in der Klausur, ständ ig ge forde rt, sich neu in Themenkreise einzudenken und verschiedenartige Aufgaben zu lösen. Fe hlerq uel len Aus langjähriger Lehr- und Korrekturerfahr ung we iß der Verfasser, dass bei der Lösung von Aufgaben bestimmte Fehler gehäuft auftreten. Um derartige typische Fehl er vermeiden zu hel fen, wird im Rahmen der a usfü hrlic hen Lösung von Aufgaben auf diese Feh ler explizit aufme rksam gemac ht. Übungs- und Lernhilfe Vom Verfasser wurde die interaktive Lernsoftware PC-Statistiktrainer. Mit Hil fe des PC-Statistiktrainers kann ein breites Spektrum von Au fgaben au s der beschreibenden Statistik, der Wahrscheinlichkeitsre chnung und der schließenden Statistik ge löst werden . Der Benu tzer ist dabei nic ht an fest vorgege bene Datensätze gebunden, er kann vielmehr für alle dargestell ten Method en die Datensätze frei wählen. Für nahezu j ede Aufgabe wird der Lösungsweg Schritt fü r Schritt deta illie rt aufgezeigt und d ie Lösung interpre tiert . Das schrittweise Vorgehen so ll den Benutzer der So ftware zum einen bei dem Erarbeiten der Lösungstechni k unterstützen und ihm den praktischen Umgang mit den statistische n Me thod en erleichtem . Zum anderen soll das schrittwe ise Vorge hen dcm Benutzer ermögliehen, seine persönli chen Rechenergebn isse detailliert auf ih re Richtigkeit hin zu überprü fen und eventuell gemachte Fehler schnell und einfach zu identifizieren . Der PC- Statistiktrainer kann über den Onl ine-Service des Gabler Verlags als Z usatzmaterial heru ntergeladen werd en. Dazu ist unter www.gabler.d e die Web seite zu d iesem Üb ungsbuch aufzur ufen; unter dem Icon "0 + " (Online Plus) gelangt man zu der Ler nsoftware .

5

2./ Parameter von H äl/figkeit.l'verteif /lngen

2 Beschreib end e Stat ist ik In diesem Kapitel werd en Übungsa ufgaben zu de n Themenbereichen Parameter von Häufigkeitsverteilungen. Messzahlen, Verhä ltniszahlen , Indexzahlen, Zeitreihenanalyse und Regressions- und Korr elation sanaly se gestellt.

2.1 Param et er vo n Hliufigkeitsvertei lu ngen Häufi gkeitsverteilu ngen informieren, wie sich die Merkmal sträger einer Gesamtheit auf die Merkmalsweite oder auf Klassen von Merkm alsw erten vert eile n. Die typ ischen Eigenschaften von Häufigkeit svert eilun gen können mit Hilfe VOll Parametern in kom primiert er Form ausgedrückt bzw . be schrieben werd en. Die folgenden Übu ngsaufga ben befa ssen sich mit den Bereichen -l\l ittelwerte - St reuu ngsma ße - Q uantile - Konzent rations rec hnu ng

Aufgab e 2.1 - A I : Feh lzeiten In der nachstehenden Tab elle sind d ie Fehlzeit en (in Tagen) von 50 Arbe itnehmem (AN) eines Unterne hmens für das verg angene Jahr angegeben . Fehlzeit (Tage)

0

3

5

9

12

IR

21

Anzahl der AN

5

9

13

9

8

4

2

a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel, den Modus und den Med ian ! b) Berechnen Sie das 3. Qua rtil und das 9. Dezil! c) Berechnen Sie d ie mittlere absolute Abweic hung, die Varian z und die Standardabweichung ! d) Au f welchen Anteil der AN entfallen d ie unieren 75 % der gesamten Fehlzeit? e) Welc her Anteil der gesamten Fehlzeit entfallt auf die obere n (k ränksten) acht Ar beitnehmer?

2 Beschreibende Statistik

6

Lösung 2.1 - AI : Fehlzeiten

Die nachstehende Arbeitstabelle dient der Durchführung und zugleich der übersichtlichen Darstellung erford erlicher Rech enop erationen. (I ) (2) (3)

(4)

(5) (6) x ' · h· H ~

(7)

, h·, fj ,. F·, , , ,

Fe,

0 3

5 9

5 9 12 18 21

13 9 8 4 2

0,00 0,07 0, 24 0,45 0,70 0,89 1,00

x·

5 0, 10 14 0,28 27 0,54 36 0,72 44 0,88 48 0,96 50 1,00

=

0 27

65 81 96 72 42

92 173 269 34 1 383

(9)

(10 )

Ix;-xl Ix; -xl . hj (Xi - x)2 . h 7,66 4,66 2,66 1,34 4,34 10,3 4

13,34

383

~ Xi hj

0 27

(8)

j

293,3 8 195,44

38,30 4 1,94 34,58 12,06 34, 72 41,36 26,6 8

9 1,98 16,16 150,68 427,66 355, 9 1

229 ,64

1.53 1,2 1

Merkmalswert

absolute einfache Häufigkeit H , = absolute kum ulierte Häufigkeit F i = relative kumulierte Häufigkeit Hi = absolute kumuliert e Häufigkeit (wobei hj = Xi . h j ; Spalte 5) x = arithmetisches Mittel n = Anzahl der Merkmalsträger (hier: n = 50) v = Anzahl der verschiedenen Merkmalswerte (hier: v = 7) =

a) Mitte lwer te

i) Arithmetisches Mittel: _

I

v

1

x = _ . :E x : . h· = - · 383 = 7,66 n i= 1 I I 50

(Berechnung s. Spalte 5)

Die durchschnittliche Fehlzeit der Arbeitnehmer beträgt 7,66 Tage. Fehlerquelle: Division der gesamten Fehlzeit 383 Tage mit v

verschiedenen Merk malswert e) anstalt mit n =

(Anzahl der 50 (Anzahl der Arbeitnehmer). = 7

ii) Modus: Am häufigsten, nämlich lScmal. wurde die Fehlzeit 5 Tage beobachtet.

7

2./ flamme/er von Häll{igkeils verieilllngen

iii) Median: Die relative kum ulierte Häufigkeit F = 0,5 0 (Spal te 4) wird bei dem Merkma lswert 5 erreic ht. (Mindestens) 50 % der Arb eitnehmer haben höchstens 5 Ta ge gefehlt, (mindes tens) 50 % der Arbeitnehm er haben m indestens 5 Tage ge fehlt. b) Q ua nt ile

i) 3. Quartil (75 % / 25 %): Die rela tiv e kumu lierte Häufigk eit F = 0,75 (Spalte 4) wird bei dem Merkma lswert 12 erreicht. (M indes tens) 75 % der Arbeitnehmer haben höchstens 12 Tage gefehlt. ii) 9. Dezi l (9 0 % / 10 %) : Die relative kumul iert e Häu figkeit F = 0,90 (Spalte 4) wird bei dem Merkmalswert 18 erreicht. (Mindes tens) 90 % der Arbeitnehmer haben höchstens 18 Tage ge fehlt. c) St reuu ngs maße i) Mittler e absolute Abwei chung:

ö = .!. ·

f

n i=1

Ix , - x l · h· I

I

= 1.. .229, 64 = 4,59 50

(Berec hnungs. Sp. 9)

Die Feh lzeit der Arbeitnehmer weicht durchschn ittlich um 4,59 Tage von der d urchsc hnittlichen Fehlzeit 7,66 Tage ab .

Fehlerquelle: Division der gesamt en Abweichung 229,64 mit v = 7 (Anz ahl der verschie denen Me rkmalswerte) anstatt mit n = 50 (Anzahl der Arbe itne hmer). ii) Varianz (m ittlere quadrat ische Abwe ich ung) und Standardabweichung:

cr 2 = .!.n . . ~ ~(x I. 1=1

_x) 2 ' h I' =

...!... 5312J = 30 , 62 Tage 2 SO ·1 . ,

(S. SIJ .IO)

Fehlerqu elle: Division der gesamt en quadri erten Abweich ung 1.53 1,21 m it v = 7 (Anzahl der Merk mal swerte) anstatt mit n = 50 (An zahl der Arbeitnehmer).

o=

JlJ2

=

j30, 62 = 5,53 Tage

Eine inhaltliche Interp retation der Varia nz (Dimens ion: Tage 2 !) und da mit auch der Standardabw eichu ng als Wurzel aus der Varia nz ist nicht mögli ch .

2 Reschreihende Statistik

8 d) Konzen tration sr echn un g

Gegeben: F* = 0,75 (s. Sp. 7);

F

gesucht: F (5. Sp. 4)

F' 0,70

0,88

+- 0,75

_

0,75 - 0,70

F - 0,88 + 0,89 _0,70 ' (0,96 - 0,88) F = 0,88 + 0,02 = 0,90

0,96

0,89

Die unteren 75 % der gesamten Fehlzeit entfallen auf 90 % der Arbe itne hmer.

Feltlerquellen : Al s Intervallgrenzen für F* we rden nicht die beid en

ruf F*

"" 0,75 unm ittelba ren

Nachbarwerte 0,70 und 0,89 gewählt, sondern weiter en tfernt liegende Werte. Es wird vergessen, f = 0,02 zum Basi swert F5 = 0,88 zu addieren. Ob erflächliches Lesen der AufgabensteIlung fuhrt zu Fehlern wie - Quantil sberechn ung austart Konzentrationsrechnu ng - Verw ech slung VOll Fund F*, d.h . F = 0,75 anstatt F* = 0,75 e) Konzentrationsrechnun g Gegeben: Die ob eren 8 Ar beitn ehmer; gesucht F* Lösungsansatz I : Die oberen 2 + 4 + 2 = 8 Arbe itnehmer haben

2· 2 1 + 4 · 18+ 2· 12 = 138 Tag e gefehlt . Das sind j~~ . 100 = 36,0 % der gesa mten Fehl zeit . Lösungsansatz 2: (hier aufwändiger als Lösungsan satz I) Kompl ementfrage: Welch er Ante il der gesa mten Fehlzei t entfällt au f die unteren (= "gesündesten ") 50 - 8 = 42 Arbe itnehmer? Gegeben : H = 42 (s. Sp. 3); ges ucht: P (s. Sp. 7) H

::!--+! 44

F*

0,45 0,70

42 -36 F' = 0, 45 + 44 - 36 . (0' 70 - 0 , 45)

F* = 0,45 + 0, 19 = 0,64 Endergebn is: F* = I - 0,64 = 0,36

Auf die ob eren acht Arbeitne hmer entfallen 36 % der gesamten Feh lzeit.

2. I Parameier von Häufigkeils verleilungen

9

Fehlerqu ellen beim Lösungsansatz 2: Als Intervallgrenzen für H werde n nicht die beiden für H

=

42 unmittelb aren

Nachbarwerte 36 und 44 ge wä hlt, son dern weiter entfernt liegende Werte. Es w ird vergessen, f* = 0, 19 ZUIll Basiswe rt F* = 0 ,45 zu addieren. Bei dem Lö sungsansatz über das Komplement wi rd vergessen, das Z w ischene rgebnis 0,64 vo n I ab zu ziehen . Oberflächli ches Lesen der Aufga benstellu ng fuhrt zu Fehlern wie • Quan tilsb erech nung ans tatt Kon zentrationsrechnung - Verwechs lung von F und F*, d .h. Umwa ndlu ng der abso luten Häufigkeit I1 in d ie re lative Iläufigkeit F

Aufga be 2. 1 - A2: Betriebsrente Ein Untern ehmen za hlt an seine 50 ehe maligen A rbe itne hmer (AN) monatlich e Betriebsrenten . Nachs tehe nd find en Sie die Häufigkeitsverteilu ng. Betrieb srente (€)

40

50

60

70

80

90

Anz ahl der AN

4

10

14

8

5

4

100 140 3

2

a) Berechnen Sie den ges amte n Ren tenb etrag. den das Un ternehmen mona tlich an d ie 50 Betriebsrentn er ausbezahlt ! b) Berechnen Sie das arithm etische M ittel, den Medi an und den Mod us! c) Berechn en Sie das I. Quanil und da s I. Dezil! d) Be rech nen Sie d ie mittl ere abso lute Abweic hu ng, d ie Varia nz, di e Standardab weich ung un d den Variarionskoeffizien tcn! e) Wie viele Ren tner erha lten höch stens 80 € Betrie bsrente?

t) Welchen Ant eil an der ges amt en Betriebsreute h aben die einkommen sch w äch sten 20 % und welchen die einkommens tärksten 20 % Betriebsren tn er? g) Welche r Anteil der Rent ner erhält die Hälfte der ges amten Rent enb etrags? Lös ung 2.1 - A2 : Hen-iebsren te

a) Gesa mte Betriebsrente 8 L Xi ' h i = 3 .400

i=!

(Berec hn ung s. S. 10, Tabell cnsp. 5)

Die mo natl ich en Betri ebsrenten betragen insgesam t 3.400 €.

2 Beschreibende Statistik

10

Die nachstehende Arbeitstabelle dient der Durch führung und zugleich der übersichtlichen Darstellung erforderlicher Rech enope rat ionen ( I ) (2) (3) h· H·

x;

,

,

40

(4)

(5)

, x,· · h·,

F·

4 50 10

4 0,08 14 0,28

60

14

70

8

28 0,56 36 0,72

80

5

41

0,8 2

90

4

100 140

(6)

H',

(7)

(8)

(9 )

, Ix. -xl Ix,-xl. hi

F~

( 10) (x - x)2 . h i l

500

160 660

0,05 0, 19

28 18

112 180

3.240

840

1.500

0,44

8

112

896

560 2.06 0

0,6 1

2

16

32

400 2.460

0,72

12

60

720

45 0,90

360

2.820

22

88

1.936

3

48

0,96

300

3. 120

0,8 3 0,92

32

2

50

1,00

280 3.400

1,00

72

96 144

10.368

808

23.4 00

2Q.

160

3.400

3. 136

3.072

b) Mittelwerte i) Arithmetisches Mittel: _ 1 v I x = n· .L xi ' h i = 50 . 3.400 ]= ]

=

68

(Berechnung s. Sp. 5)

Die durchschnittliche Betriebsrente beträgt 68 E.

Modus: Am häufigsten, nämlich 14-mal, wurde die Betriebsrente 60 € ausbezahlt. ii) Median: Die relative kumulierte Häufigkeit F = 0,50 (Spalte 4) \vird bei dem Merkmalswert 60 erreicht. (Mindestens) 50 % der Rentn er erhalten eine Rente von höch-

stens 60 € . c) Quantile

i) 1. Quartil (25 % / 75 %) : Die relative kumuliert e Häufi gkeit F = 0,25 (Spalte 4) wird bei dem Merkmalsweit 50 erreicht. Das untere Viertel der Rentner erhält eine Rente von höchstens 50 € .

II

2. J Para meter von Hä uOgke it.werteilunge n

ii) I. Dezil ( 10 % / 90 %): Die relative kumulierte Häufigkeit F = 0, 10 (Spalte 4) wird bei dem Merkmalswert 50 erreicht. Das untere Zehntel der Rentner erhält eine Rente von höchstens 50 E. d) St re uungsma ße

i) Mittlere absolute Abweichung: I

v_I

8 =n: ' ,L

IXi- x l · hi

1=1

=

50· S08

=

16,16

(Berechnullgs .S p. 9)

Die einzelnen Betriebsrenten weichen durchschnittlich 16,16 € von der durch schnittlichen Bet riebsrente 68 € ab. ii) Varianz (mittlere quadratische Abweichung) und Standardabweichung: 0'2

I ,

=

i

(x· • x)2 , h· = ...!.. . 23 400 = 468 €2 1 50 .

n i= 1 I

(Berechnung s. Sp. 10)

Eine Interpretation ist nicht möglich (€ 2 l}.

o~ Ja 2

~

J468

~ 21,63 €

Auch für die Standardabweichung ist eine Interpretation nicht möglich. iii) Variat ionskoeffizient

I ' 100

=

2 ~,:3 . 100

=

31,8 %

Die Standardabweichung 21,63 € beträgt 31,S % der durchschnittlichen Rente von 68 €, e) Q uantil Gegeben: x ~ 80 (5. Sp. I); gesucht: 11 (5. Sp. 3); Zu dem Wert x 5 = 80 € gehört die absolute kumuliert e Häufigkeit H 5 = 4 1. 41 Rentner erhalten höchstens 80 € Rente.

f) Konzent ration srechn un g

i) Gegeben: F = 0,20 (5. Sp. 4); gesucht: F* (s. Sp. 7) F' ~

°

F'

0,05 + 0,08

~

,

°

05 + 0,20 - 0,08 . (0 19 _ 05) 0,28 • 0,08 ' , ~

0, 13

Die einkommenschwächsten 20 % der Rentner erhalten 13 % der Gesamtrente.

12

2 Heschreihellde Slalisrik

ii) Gegeben : Komp lement zu F = 0,80 (s. Sp. 4) ; gesucht: F* (s. Sp. 7)

F' = 06 1 + 0,80 -0,72 . (072 _ 0 6 1) ,

F'"

=

0,82-0,72

0,61 + 0,09

=

'

,

0,70 bzw. 70 %

Die eink.stärksten 20 % der Rentn er erhalten 100 - 70 = 30 % der Ge samtr ente. g) Konz ent r at ionsre ch nu ng

Gegeben : F' = 0,50 (s. Sp. 7); gesucht: F (s. Sp. 4) F = 0,56 +

~:~~ : ~::: . (0, 72 - 0,56)

F = 0,56 + 0,06

= 0,62

50 % der Gesamtr ente entfallen auf die ein kommenschw achen 62 % der Rentn er (bzw . 50 % der Gesamtrente entfallen auf die eink.starkcn 38 % der Rentn er).

Aufgabe 2.1 - A3: Überstunden Die nachstehende Häufigkeitsverteilung zeigt auf, wie viele Überstunden die 30 Arbeitnehmer (A N) einer Firma in der letzten Wo che geleistet haben. Überstunden Anzahl der AN

° 7

1

2

3

4

5

8

J

4

9

4

2

1

a) Wie viele Überstunden haben die Arbeitnehmer insgesamt geleistet? b) Berechnen und interpr etieren Sie das arithmetische Mittel, den Median und c) d) e)

f)

den Mod us! Er mitteln und interpretieren Sie da s 3. Quanil und das 9. Dezil! Berechnen Sie die mitt lere absolu te Abweichung, die Varianz, die Stan dardabwei ch ung lind den Variationskoe ffizienten! Welchen Anteil an den Gesamtüb erstunden haben die unteren 25 % der Arbeitnehmer, welchen die oberen 25 % der Arbeitne hmer und welchen die unteren 25 Arbeitnehmer? Auf welc hen An teil der Arbeitnehmer entfalle n die unteren 80 % der Überstunde n, auf welch en die unteren 50 % der Überstunden?

2. J Parameter von Hällfigkei/sverleilllngen

13

Lösu ng 2.1 - A3 : Überstunden a)

7 .L x · . h: ~ 72 1= 1

b)

X"" -30 ' · 72 "" 2 ' 4',

c)

3. Quartil: 3;

d)

8 ~ 3~ ' 4 5,2 ~ 1,5 1; cr 2 ~ 310 ' 1 05, 2 ~3,5 1 ;

, ,

VK ""

e)

i)

Modus: 3',

Median : 3

9. Dezentil: 4

cr ~ J3:51 ~ 1 ,87

1, 87 . 100 = 77,9 %

2,4

F' ~0 00 + 0,25. 0,23'(004.000) ~ 0,008 ,

0, 33 • 0,23

'

,

ii ) I· F' ~ 1 • [0 15 + 0,75 -0,47 (0 53 - 0 15)] ~ 0,495 , 0,77 -0,47 ' , ii i) F' f)

~ 0,53 + ;~ =;~

.(0, 75 - 0, 53) ~ 0,64

i) F ~ 0,90 + 0,80 .0,75 . (0, 97 . 0,90) ~ 0,925

0, 89 - 0,75

" ) F ~ 0 , 47 + 0, 7 0 550 -0, 0 15" (0 ' 77 - 0,4)

II

, 3

, I)

~0 ,746

Aufga be 2.1 - A4: Liefer t reue Zur Ermittlung der Liefergenauigkeit einer Firma werden für 120 zufällig ausgewählte Artikel die Verspätungen festgestellt. Ve rspätung (Tage)

0

I

2

3

4

6

10

Anzahl der Artikel

55

37

13

7

4

2

2

a) Berechnen und interpr etieren Sie das arithmetische Mittel, den Median und den Modus! b) Ermitteln und interpretieren Sie das 9. Dezil und das 95. Perzentil! c) Berechnen Sie die mittlere absolute Abwe ichung, die Varianz und die Standardabweichung! d) Welchen Anteil an der Gesamtverspätung haben 95 % der Artikel, welchen die oberen 10 % der Artikel und welchen die oberen 10 Arti kel?

14

2 Beschreibende Statistik

e) Aufweic hen Anteil der A lt . entfallen die ob eren 50 % der Gesam tvcrspät ung? f) Auf wie viele der Arti kel entfallen die oberen 30 % der Gesamtver sp ätung? Lösu ng 2.1 - A4: Lie fer t reu e 1_ . 132 = I ' I , a) x = _120

Median: I',

1\'10du5: 0

b)

9. Dezi l: 3;

95. Perze ntil: 4

c)

ö ~ 1~0 ·1 2 8, 4 ~ 1,07; cr2 ~ 1 ~0 ' 3 42, 8 ~ 2, 86 ; c

d)

F' ~ 0 64 + 0,95 - 0,93 . (076 _ 0 64) ~ 0 70 0,97 - 0,93

,

'

,

>

j 2, 86

~ 1 ,69

,

F' ~ I _ [0 48 + 0,90 - 0,88. (064 _ 0 48») ~ I - 0 544 ~ 0 456 , 0,93 - 0,88 " , ,

F' ~ 1- [0 48 + 110 105 (0 64 -048)J ~ 1 - 0 5 94 ~ 0406 ,

112- 105

"

"

e)

F ~ I - [0 88 + 0,50 - 0,48 . (0 93 _0 88) J ~ I _ 0 886 ~ 0 114

t)

II ~ 120- [1 12 + 0,70 - 0,64 · ( 1 16 - 1 1 2» ) ~ 1 2 0 - 11 4 ~ 6

,

0, 64 - 0,48

"

"

0,76 - 0,64

Aufga he 2.1 - A5 : Kap italanl age Ein Investor hatte am 0 1. Jan uar 100.000 € für se chs Jahre angelegt. Die Verz insung ste igt von Jah r zu Jahr an und zwar von 3,0 0 übe r 3,25 , 3,50, 4,00, 5,00 auf zuletzt 6,00 %. Die Zinsen werden dem ange leg ten Betrag stets zugeschrieben und mitverzinst. a) Be sti mm en Sie die durchsc hnittliche j äh rliche Verzi nsung! b) Wie hoch ist da s Kapital am Ende der Laufzeit? Lös ung 2.1 - A5: Kapita la n lage a) Durchsch nitt liche Verzin sung Da die Zinse n dem Kapital zugesc hr iebe n lind mitverzin st werden, hand elt es sich um einen Wa chstum spro zess. Das geo metrische Mittel ist zu berechn en.

6j l, 03 . 1,0325 · 1,035 · 1,04 . 1,0 5 . 1,06

~ 6j l ,27407 8 ~ 1,0412

Die dur chschnittliche j ährliche Verzins ung beträgt 4, 12 % .

2. J Parameter von HällOgkeitsvert eifllngcn

15

Fehlerquelle (sehr häufig): Verwendung des arit hmetisch en (4,13 % ; hier geringe Fehlera uswirk ung) anstatt des geometrischen Mittels. b) Kapitalendbe trag Nac h sechs Jahren beträgt das Kapital 100.000 · 1,04 12 6 = 100.000 · 1,274 104 = 127.410,4 €

Aufga be 2. 1 - A6 : Ge winnentwickl ung In nachstehender Tab elle ist für den Zeitraum 2004 bis 2009 die Gewinn entw icklung eines Handwerkbetriebes beschrieben. Jahr Gewinn (€)

2004

2005

2006

2007

2008

2009

60.000

69.000

84.180

78.287

97.0 76

122.3 16

Die Handwerksmeister will von Ihnen den durchschn ittlichen prozentualen Gewinnanstieg pro Jahr (Vervielfachung) erfahren. Lösung 2.1 - A6: Gewinnentwicklung Schritt I : Berech nung der Wach srumsfakt oren x Jahr

Gew inn (€)

2004 2005 2006 2007 2008 2009

60.000 69.000 84. 180 78.287 97.076 122.3 16

Wachst umsfaktor x

-

1,15 1,22 0,93 1,24 1,26

Schritt 2: Berechnung des geometrischen Mittels 5j l , 15' 1, 22 '0, 93 ' 1,24' 1, 26

=

5 j2,038 604

=

ode r einfac her und kürzer: 5 ~~goI06 == 5 j2, 0386 0

1,1531 =

1, 1531

Der Gewi nn ist von Jahr zu Jahr durchschnittlich um 15,31 % gestiegen.

2 Beschreibende Statistik

16

Fehlerquelle : Bei letzterem Lösungsweg. Ziehen der 6. Wurzel (A nzahl der Ze iträ ume ) anstatt Zieh en der 5. Wurzel (Anza hl der Wa chstumsfaktoren).

Aufga be 2.1 - A7: Energ iep reise Die Preise für Gas betrugen im Jahr 200 8 in der Bund esrepubl ik Deutschl and das l .Süa -fach e gegenüber 2005. Um wie viel Prozent sind d ie Energiepreise von Jahr zu Jahr durchschn ittlich gestiegen? Lösu ng 2. t - A7: Energiepreise 3 J I, 304 ~ 1,092 5 bzw. + 9,25 %

A ufga be 2. t - A8: Aktienkurs Der Kurs einer Aktie (in E) betrug j eweils zum 3 1. 12. fü nf aufe inander folgender Jahre 80, 94 ,4, 141 ,6, 113,28 und 120. Um w ie viel Pro zent hat sich der Aktien kurs durchsch nittlich von Jah r zu Jahr verändert?

Lösun g 2.1 - A8: Ak tleukurs 4jJ 20/80 = 1, 1067 bzw. + 10,67 %

Aufga be 2. 1 - A9: Abfüllanlage Ein Limon adenhersteller verfügt über zwe i Abfüllanlagen A und B. Auf A kön nen pro Stunde 10.000 Flaschen und auf B pro Stunde 30 .000 Flaschen abgefüllt werden. Wie viele Flaschen wu rden pro Stunde durchschnittlich abgefüllt, wenn auf A 120.000 Flaschen und aufB 240.000 Flaschen abgefüllt wurden? Lö su ng 2. 1 - A9: A bfü lla nlage Es ist das harm onisch e Mittel zu berechn en, da das Me rkmal als Quotient (Flaschen/S tund e) definiert ist und die Häufigkeit (Flasc hen) dieselbe Dimension wie der Zäh ler des Q uotienten besitzt. xA

10.000 Flaschen/Stunde;

h A = 120 .000 Flaschen

xB = 30.000 Flaschen/Stu nde;

h S = 240.000 Flaschen

=

Ge samtzahl Fl. Gesa mtzeit

120 .000 + 240 .000 120.000 + 240,000 10.000 30.000

= 360 .000 = 18 00 0

20

.

0. 11. pro Stunde w urd en durchschni ttlich 18.000 Flaschen Limonade abgefüllt .

17

2. J Parame ter von fläuOgkeifsrertcilungen Fehlerqu elle: Berechnung des arithmetischen Mittels anstatt des harm oni schen Mitt els.

A ufgabe 2.1 - AIO : Kipplure Eine vo ll belad ene Kipplore legt die vier Kilometer von eine r Tongrube zur Ziegelei mit 20 kmJh zurück, für die Leerfahrt von der Ziegele i zur Tongrube erreicht die Kipplore eine Geschwin digkeit von 40 krn/h . • Wie hoch ist die Durchschnittsgeschw indigkeit der Kipplor e auf der Gesa mtstrec ke? Lös ung 2.1 - A IO: Kipplor e Gesamtstrecke = 4 + 4 = 26,67 kmJh Gesamtzeit ..:!... + ..:!... 20

40

Aufga be 2.1 - AI I: .la hreseinkommen In der folgenden Abbildung finden Sie die klassifizierte Häufigkeit svert eilung für die Jahr eseinkommen (in Tsd. €) VOll 200 Arbeitnehmern. Einkomm en (Tsd . €) von .. bis unter ..

20 40 60 80 120 160 a) b) c) d) e) f)

40 60 80 120 160 200

Anzahl der

Arb.nehmer

12 32 70 56 28 2

Berechnen Sie das gesamte Jahreseinkomm en der 200 Arbeitne hmer! Ber echnen Sie das arithmetische Mittel, den Modus und den Median! Berechnen Sie das I. Quani l und das 9. Dezil! Wie viele Arbeitn ehmer haben ein Jahreseinkommen unter 72 Tsd . €? Wie viele Arbeitn ehmer haben ein Einkommen von mindestens 125 Ts d. €? Berechnen Sie die mittlere abso lute Abwe ichung, den zentralen Q uartil sabsta nd, die Varianz und die Standardabweichung!

g) Berechnen Sie den Variarion skoeffizienten!

18

2 Beschreibende Statistik

h) We lcher einkomm enschwache Anteil der Arbeitnehmer erhält 50 %, welc her einkomm enschwache Anteil 25 % des gesamten Jahreseinkommens? i) Welch er Anteil des ges am ten Jahreseinkom mens entfallt auf die einko mmenschwächsten 10 %, welch er auf die einkommenstärkste n 25 % der Arbe itnehmer und we lcher auf die einkommenstärksten 10 Arbe itnehmer?

j ) Wie viele einkomm en stärkste AN erhalten 20 % des gesamten Einkomm ens? k) Berech nen Sie den Gini-Koeffizienten l Lösun g 2.1 - Al l : Jahreseinkom men Die nac hstehende Arbe itsta belle dient der Durchführu ng und zug leic h der üb ersichtlichen Darstellu ng er for derlicher Rechenoperationen. Ja hreseink. (Tsd . E) ( I ) von

..

h· J

bis unter ..

(2)

(3)

(4)

I

Xj . hj

H· J

x· J

I

(5)

-xt (6)

Ixj -xl·hj (xi

hj

20

40

12

30

360

12

644 ,4

34.604,28

40

60

32

50

1.600

44

1.0 78,4

36.342 ,08

60

80

70

70

114

959 ,0

13.138,30

80

120

56

120

160

28

100 140

4.900 5.600 3.920

170 198

9 12,8 1.576,4

14.878,64 88.75 1,32

160

200

2

180

360

200

192,6

18.547,38

5.363 ,6

206.262,0 0

16 .740

~ I

Klassenm itte der Klass e j

=

Xj

h· =

abso lute einfac he Klassenhäufigkeit

J H· = J

absol ute kum ulierte Klassenhäu figkeit

x

arithm etisches Mittel Anza hl der Mer kmalsträg er (n « 200 ) Anzahl der Klass en (v ::: 6)

n =

v

a) Gesamtes J ah r esein kommen 6

I

L X. . hj

je l J

= 16.740

(Berec hnung s. Sp. 3)

Das jährliche Gesam teinkomm en der 200 Ar beitnehmer beträgt 16 .740 Tsd. € .

Fehlerquelle (relativ häufig): Als Klassen mitte wird die halbe Klassenbreite angesetzt.

2. J Parame ier von Häll figkeifsverleilungen

19

b) Mittelwerte i) Arithmetisches Mittel x=

~ Lxj.hj

=

2~0 ·

16.740 = 83, 70 Ts d. €

(Be rechnung s. Sp . 3)

Das d urchsch nittl iche Jahreseinkommen beträgt zirka 83,7 0 Tsd. €.

Feh lerq uelle : Divi sion mit v = 6 (Anzahl der Klassen) anstatt mit n = 200. ii) Modus Mo

h·

J Schritt I : Berechnung der Häufigkeitsdi chten d. ~ J Klassenbreite 12 ~ 0,6; d ~ 1, 6; d ~ 3,5; d ~ 1, 4; d ~ 0, 7; d d l ~ 20 2 3 4 S 6

~

0,05

Schritt 2: Bestim mung der Modusklasse Mo dusklasse ist die Klasse 3, da diese mit 3,5 d ie grö ßte Dicht e aufweist. Schritt 3: Lokalis ieru ng

d3 - d2 (d] - d 2 ) + (d 3

= 60

+

3, 5 - 1,6 (3,5 - 1,6) +(3,5- 1,4)

= 60 + 0,475

· 20

(80

60)

= 69, 50 Tsd. €

Das am häufigsten beobachtete Jahreseinkommen beträgt 69,50 Tsd. €.

FelJlerquelle (sehr häufi g): In den Sch ritten 2 (Mod usklasse) und 3 (Lokalisierung) werden die ein fac hen Häufi gkeit en h verw endet artstatt die H äufigkeitsdich ten d. Be i untersch iedli chen Klassenbreit en im relevanten Ber eich führt dies zu Fehlern . iii) Me dian Me Sch ritt I : Bestimm ung der Media nklasse Mediankl asse ist die Klasse 3. In dieser Klasse liegt der Merkmalstr äger. bei dem H den Wert 200/2 = 100 erreicht bzw . F den Wert 0,50 (Halbieru ng der Gesamth eit). Sch ritt 2: Loka lisierung Lö sungsweg 1: Gegeben: H = 100 (oder auch: F = 0,50); ges ucht: x

20

2 Beschreibende Sta tistik

x

H

~ l e ""60 + : ~ ~ 1: · ( 80 - 60} Me = 60 + 0,80 ·20 = 76,0

50 % de r Arbeitnehmer habe n ein Jahre seinkommen von höchstens 76 .000 f . Lösungsweg 2: Formel (a us ob igem Strahl ensatz abl eitba r)

n - HZ

Me = x) + 2 h

3

. (x ~ - x3)

= 60

+ 10°

7044 - (80 -

60)

= 60 + 0, 80 · 20 = 76, 0 Tsd. € c) Q uuntile Die Ve rgehensweis e bei der Ermit tlu ng des Media ns ist auf die Ermi ttlung der

Q uantile zu übert rage n. Hier wird der Lösungsweg 2 aufgezeig t. i) J. QuartiJ QI Schri tt I: Besti mmu ng der I. Qu arti lsklasse I. Q uartilsk lasse ist die Klasse 3.ln d ieser Klasse liegt der Mer krnalsträger ,

be i dem H de n We rt 200/4

=50 erreicht

bzw. F den Wert 0,25 (A ufteilung

der Gesamtheit in 2S % und 75 %) . Schri tt 2: Lokalisierun g Ql =

II - 11 2

x~ + 4 h

J

. (X') -

X~) = 60 + 50 ; 44 . (80 _ 60) = 61,71

25 % der Arbe itne hmer haben ein Jahreseinkommen von höchstens 61 .7 10 €. ii) 9. Dezil D 9 Schritt I: Bestimm ung der 9. Dczils klasse 9 . De zilsklasse ist die Klasse 5. In dieser Klasse liegt der Me rkmalsträger. bei dem H den Wert 9110 von 200 = 180 erreicht bzw . F den Wert 0,90 (Aufteilun g der Gesamthe it in 90 % und 10 %). Schri tt 2: Lokalisieru ng

-2.. · n - H4 D = x u + 10 . (xo _ x u ) = 120 + 180 -1 70 . (160_ 120) = 134 29 9 S h S S 28 ' S

90 % de r Ar beitneh mer haben ein Jahreseinkommen von höchstens 134.290 €.

2./ Parameter von HöuOgkeilsverleilungen

21

d) Q ua n tll: Il öch steinkomm en Gegeben : x < 72 ; gesucht H Die Erm ittlung der Häufigkeit H erfolgt analog zu den Aufgaben unter b) und c) . Der Unter sch ied besteh t darin, dass j etzt der Merkmalswert gegebe n und die Häufi gkeit gesu cht ist; unter b) und c) war es umgekehrt .

II

Lösungsweg I : Stra h lensatz

x 60 72 80

fI Il(x < 72) ~ 44 + 72 -6° (1 14 _44) 80 - 60

44

fI(x < 72)

~

44 + 0,60 . 70 ~ 86

~

114

86 Arbeitnehmer haben ein Jahreseinkommen unter 72.00 0 E. Lösungsweg 2: Form el (a bgeleitet aus dem Stra hlensatz) H(x < 72 ) = H 2 +

72 - x~ 0 u · h3 x3 - x3

44 + 72 - 60 . 70 ~ 86 80 - 60

e) Q ua ntil : Miadcstein kom mcn Geg ebe n: x

z 125

bzw. das Komplement x < 125; ges ucht: H

H (x < 1 25 ) ~ H 4 +

lI (x

~

1 2 5- x ~ 0

u · h 5 ~ 170 +

xs - x s

125) ~ 200 - 173,5

~

125 120 · 2 8~ 1 73 5 160 - 120 '

26,5

26 (26,5) Arbe itnehmer hab en ein Ja hreseinkomme n von mindestens 125 .000 E.

f) St reuungsmaße

i) Mittlere absolut e Abwe ichung Ö Schri tt I : Bestimmung des arithmetischen Mittels:

x = 83,7 Tsd.

€ (siehe b) )

Schritt 2: Summe der absoluten Abweichunge n

f

je l

I x~ J

- 83,71 · hj = 5.363,6 Tsd. €

Sch ritt 3: Division mit n = 200 I)

~

5.363,6 200

~

26,82 Tsd. €

(Berec hnungs .S p.5)

2 Beschreibende Statistik

22

Die Jahreseinkommen weichen im Durchschnitt um 26. 820 € vom durch schni ttli chen Jahresei nkommen 83 .700 € ab.

Fehler quelle: Division mit v = 6 (Anzah l der Klassen) anstatt mi t n = 200. ii) Varianz 0 2 Schr itt 1: Bestimmu ng des arithmetischen Mittels : x

=

83,7 Tsd. E (sie he b) )

Schritt 2: Summe der qu adrierten Abweichungen

L ( xf -

83,7 ) 2 . h j

= 206 .262

Tsd. €2

(Berechnung s. Sp. 6)

Schritt 3: Division mit n = 200 ,,2 = 206.262 = 1 03 1 3 1 Tsd . €2 200 . , iii) Standarda bwe ichung cr

,, ~f<;2 ~

J 1.03 1,3 1

~ 3 2, I I Tsd. €

g) Variut ionskocfflzlcnt VI< V K= !J. . 100 = 32 , 11 . 100 = 38,3 7% 83,7

x

0

Die Standardabweichung 32. 110 € beträgt 38 ,37 % vom durch schn ittlichen Jahreseinkommen 83 .700 E. h - j) Relative Konz ent rutlonsm cssun g Die nac hste hende Arbeitstabelle dient de r Durchführung und zug leich der übersichtlichen Darstellun g erforderl iche r Rechenoperat ionen. Jahreseink. (Ts d. €)

(I )

(2)

(3)

(4)

von ... bi s unter ...

h· J

f J

11·

J

Fj

(5) h ' I J Xi . hj

(6)

(7)

Hi

Fi

20 40

40

12

0,06

12

0,06

360

360

0,02

60

32

0, 16

44

0,22

1.600

1.960

0, 12

60

80

70

0,35

114

0,57

4.900

6.860

80

120

56

0,28

170

0,85

5.600

12.460

0,4 1 0,74

120

160

28

0, 14

19 8

0,99

3.920

16 .380

0,98

160

200

2

0,0 1

200

1,00

360

16 .740

1,0 0

23

2. J Parameter von Häll{igkeitswrfeilllngen h* = j

ab solute einfache Klassenhäufigkeit (Gesamtein kommen der Klasse j)

H* = j

ab solute kumulierte Klassenhäu figk eit

h) r elative Konzentra tionsm essun g

i) Ge ge be n : F*

=

F

0,5 0;

gesucht : F

F'

57 1 1 ° °' ~

0,85

'4 1 0,50

F = 0 57 + 0,50 - 0,4 1 , (0 85 _° 57) ' , , 0,74 - 0,41 F = 0,5 7 + 0,076

=

0,646

0,74

50 % de s ge sa mten JE entfallen auf die ein komm enschwaeben 64 ,6 % der AN. ii) Gegebe n: F* = 0,25;

F

° '22 1

ges ucht: F

F'

1°' 12 ~ 0,25

0,57

F = 022+ 0,25 - 0,12. (0,57 _ 0,22) , 0, 4 1 -0, 12 F = 0,22+ 0, 157 = 0,377

0,41

25 % des gesamten JE entfalle n auf die einkomme nsc hwac he n 37 ,7 % der AN .

Feh lerquelle (sehr häufig): Oberfläc hlic hes Lesen der Aufgaben stellung führt zu Verwe ch slunge n der Ko nze ntr ations rec hnung mit der Q uantilsermi ttlu ng und auch zu Ve rwe chs lunge n der gegebene n und gesuchte n Größe (Verw echslung von Fund F*). i) Rela tive Konzentrati ons messung i) Ge gebe n: F

F 0,06

0, 10 0,22

...

=

0, 10;

F' 0,02

ges uc ht: F* F* = 0,02 + ~' ~~ :

,

~'~~ . (0, 12 - 0,02) ,

F* = 0,02 + 0,02 5 = 0,04 5

0, 12

Die einko mmenschwächsten 10 % der AN erhalte n 4,5 % des gesamten JE.

2 Beschreibende Statistik

24 ii) Gegeben: Komplement zu F = 0,75;

gesucht: F*

F* = 0 4 1 + 0, 75 - 0,57 _(0 74 _ 04 1) 0,85 - 0,57

,

F*

=

'

,

0,4 1 + 0,2 12 = 0,622

Die einkommenstärksten 25 % der Arbeitnehmer erhalten 37,8 % ( 100 - 62,2) des gesamten Jahreseinkommens.

iii) Gegeben: Komplement zu H = 190; gesucht: F* F' = 074 + 190 -17° (098_ 074) , 198-170 ' , F* = 0,74 +0, 171

=

0,9 11

Die einkommenstärksten 10 Arbeitnehmer erhalten 8,9 % ( 100 - 9 1, I) des gesamten Jahreseinkom mens. j) Relat ive Konzent rat ionsmessung Gege ben: Komplement zu F*

=

0,80 ;

gesucht: H

H = 170 + 0,80 - 0,74 _( 198 _ 170) 0,98 - 0,74 H = 170 + 7 = 177 20 % des gesamten Jahreseinkommens entfalle n auf die oberen 23 (200 - 177)

Arbeitnehmer. k) Gini-Koeffizient GK GK = 1 -

6

L

j=l

fj - (F7 I + F' ) J-

J

mit F ~ = 0

GK = 1 - [0,06 -(0, 00 + 0, 02) + 0,16-(0,02 + 0, 12) + 0,35-(0, 12 + 0, 41 ) + 0,28-(0 ,4 1+0, 74) + 0, 14-(0, 74 + 0, 98) + 0,0 1- (0, 98 + 1, 00) ) GK

=

1 - 0,792 = 0,208

Es liegt eine schwache Konzentration des Gesamteinkommens auf die Arbeitnehmer vor.

25

2. J Param eter von Häufigk eitsl'erteilungen A ufgabe 2.1 - A 12: \ Vcrtlla pi c nl c lHlt

Bei einer Sparkasse nzwe igstelle werden 220 Wert papierdepots ge führt. Nac hstehend fin den Sie die klassifizi ert e Häufigkeitsvert eilung für den Wert der Depot s (in Ts d. €) zum 3 1. 12. des letzten Jahres. Depotwert (Tsd. €) von .. b is unter ..

0 10 20 30 50 100

Anza hl der Depots

10 20 30 50 100 200

40 60 50 30 20 20

a) Berechnen Sie den gesa mten Depotwert! b) Berechnen und interpretieren Sie das ar ithmetische Mittel, den Mod us und den Med ian! c) Berech nen und interpretieren Sie das 3. Quartil und das 2. Dezil! d) W ie viele Depots haben einen Wert unter 25 Tsd. €? e) Wie viel Prozen t der Depots haben einen WCl1 von m indestens 70 Tsd. €'! f) Berechnen Sie die mittlere absol ute Abweichung, den zentralen Quartilsabstan d, d ie Varianz und die Standardabweichung! g) Berechnen Sie den Variation skoe ffiziente n! h) We lcher Anteil der Depots umfasst 50 % des gesamten Depotswert s, welcher 90 % des ges amten Depotswerts? i) We lcher An teil des gesa mten Depotswerts entfallt auf die wertniedr igst en 10 % , welch er auf die werthö chsten 25 % der Depots und welche r auf d ie wert höc hsten 10 Depots'! j) W ie viele werthöc hste Depots umfassen 20 % des gesa mten Depotwert es? k) Berech nen und interpretieren Sie de n Gini-Koeffi zienten! Lös u ng 2.1 - A 12: W ertpapierdepot a)

6

.L

J=I b)

/ Xj . hj = 8.050 Tsd. €

Arithmet isches Mittel: x :::

2~O . 8.050

= 36, 59 Tsd. €

26

c)

2 Beschreibende Statistik

Modus: m = 2; Mo

=

10 + (6 _4)6 +- 4(6 _ 5) ' ( 20 - 10)

Median: m = 3; Me

=

20 + 11° - 100 . (30 - 20) 50

=

=

16,67 Tsd . €

22 Tsd. €

3. Quarti1: Q3 = 30 + 165 - 150 (50 - 30) = 40 Tsd. € 30 2. Dezil: DZ = 10 + 0, 2g ;~' 18 . (20 _ 10) = 10,74 Tsd. € ,

;~ : ~g . ( 150 - 100) = 125

d)

H(x < 25) = 100 +

e)

F(x

f)

Mittlere absolute Abweichung: 0

~ 70) =

70 - 50 1 - [0,82 + 100 _ 50 ' (0, 9 1 - 0,82») = 0, 144 =

6 .~;~, 2

=

28, 53 Tsd. €

Zentraler Q uartil sab stand: ZQA = 40 ~ 12,6 = 27,4 Tsd. € V an' anz:. c 2 -- 36 1.693, - . 164 4, 06 Tso. d €, ,. 0' -- 40 , 55 T sd . € 220 6 -

40 55

o

g)

. . k.oe mizrenr: ' VK V enanons

h)

F = 08 2 +°,5 0 -0,44 . (0 9 1_082) = 0848 0,63 - 0,44

,

= 36: 59 . 100 =

'

,

11 0, 81 Yo

,

F = 09 1 + 0, 90-0, 63 ' ( 100 -09 1) = 0976 , 1, 00 - 0,63 ' , , i)

F' = 000 + 0, 10 - 0,00 (0 02 _ 0 00) ,

0,18 -0,00

'

,

=

0 0 11 ,

F' = I _ [0 29 + 0,75 - 0,68 . (0 44 _0 29) ] = 0 635 , 0,82 - 0,68 ' , , . F' = 1 - [0,63+

~~~: ~gg( I ,00- 0,63») =

~:~~: ~:~~ . (220 - 200) ] =

j)

H = 220 - [200 +

k)

Ginikoeffizient: GK

=

I - 0,49

=

0, 185 10,8

0,51

Aufgabe 2.1- A I3: Artike lu ms ätze Ein Versandhändler fuhrt 500 verschiedene Artikel. Nachstehend finden Sie die Häufigkeitsverteilung der Art ikelumsätze (in Tsd. E) des letzten Monats.

2.1 Param eter von Häu{igkeitsverteilungen Umsatz (Tsd. €) von .. bis unter . 0

27

Anzahl de r Artikel

10 20

50 80 160

30 40 60

30 40 60 100

120 50 20

100

200

20

10

20

a) Berec hnen Sie den gesamten Artikelumsatz! b) Berechnen und interpretieren Sie das arithm et ische Mittel, den Mod us und den Median ! c) d) e) f)

Berec hnen und inte rpre tieren Sie das l .Quarti l und das 9. Dezil! Wie vie le Artike l haben einen Wert unter 50 Tsd . €? W ie viel Proz ent der Artik el haben einen Wert von min destens 75 Tsd. E? Berec hnen Sie d ie mittlere absolute Abw eichung , die Varianz und d ie Sta ndardabweichu ng!

g) Berech nen Sie den Variationskoeffizienten! h) Auf wie viel Prozent der Artike l entfall en 25 % des Gesamt -Artikelumsatzes? i) Welchen Anteil des gesam ten Artik elumsatzes erzielen die umsatzstärk sten 10 AI1ikel? j ) Welchen An teil des gesamten Artikelumsatzes e rzielen di e umsatzschwächsten 20 % der Artikel? Lösu ng 2,1 - AU : A r tikelu msä tze

a) b)

7

L

/

x- . h · = 16.750 Ts d. €

. I J J=

J

Ar ith metisches Mittel:

x=

5~0 . 16.750

= 33 , 5 T sd . €

16-8 (3 d Mod us: m = 3; Mo = 20 + ( 16 - 8) + ( 16 . 12) ' 0 - 20) = 26,67 Ts . E Me dian: m = 3; Me = 20 + 250 - 130 . (30 _ 20) = 27 ,5 Tsd. € 160

28 c)

2 Bes chreibende Statistik

I. Quartil:

QI ~ IO + 1 2 58~ 50 ' (20 .1 0) ~ 19. 375 Tsd. €

9. Dezil D 9 ~ 40 + 450 '04 10 . (60 . 40) ~ 56 Tsd. € 5 d)

H(x < 50)

e)

F(x

f)

Mittlere absolute Abweichung: 0 =

~

4 10 + 25 ~ 435

~ 75) ~ 1,00· [0,92 +

Varianz' 0'2 .

=

408. 125 500

Standardabweichung: o

?go'.620 ·0,04 ] ~ 0,065

J816, 25

28,57 Tsd. €

=

g)

Variationskoeffizient. VK

h)

F ~ 0,26 +

i)

F'

j)

F' ~ 0,0 1 +~:;~: ~::~ (0,09 .0,01 ) ~

~

~:;~ : ~:~~

1,00· [0,82 +

= 17, 06 Tsd. €

816 25 Tsd €2 ' .

= =

85~~O

=

28, 57 . 100 = 85,28 %

33, 5

(0,58 • 0,26)

~b~: :~~

.

~

0,473

(1,00 · 0,82) ]

~

0,09

0,06

Aufgabe 2. 1 - A 14: Muterialve r brau ch Eine Finna benötigt für die Herstellung ihrer Produkte insgesamt 250 verschiedene Materialien. Nachstehend finden Sie die klassifizierte Häufigkeitsverteilung für die Materialverbräuche (in E) der letzten Woche. Verbrauch (E} von .. bis unter .. 0 100 200 400 600 800 1.000 2.000

100 200 400 600 800 1.000 2.000 4.000

Anzahl der Materialien 50 70 40 25 20 15 20 10

2.1 Parameier von Htillf/gkeifsverleilungen

29

a) Berechnen Sie den gesamten Materialverbrauch! b) Berechnen und interpretieren Sie das arithmetische Mittel, den Modus und den Media n! c) Berechnen und interpretieren Sie das 3. Quart il und das 5. Perzentil! d) Bei wie vielen Materialien lag der Verbrauch unt er 250 €? e) Bei wie vielen Materia lien betrug der Verbrauch mindestens 750 €? f) Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung, die Varianz und die Standardabweichung! g) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten ! h) Auf wie viel Prozent der Materialien entfallen 50 % des gesamten Materialverbrauchs? i) Welcher Anteil des gesamten Materialverbrauchs entfallt auf die 25 Materialien mit dem höchsten Verbrauch? j) Welcher Anteil des gesamten Materialverbrauchs entfallt auf 80 % der Materialien? Lö sung 2.) - A14: l\l 11 ler illlvc r h rllUc h

a) b)

8

L

x' .hj

j=1 J

= 125.000 €

Arithmetisches Mittel: x=: 2~O ' 125.000 =: 500 €

07·0 5 Modus: m = 2; Mo = JOO + (0,7 .0,5) + (0,7 .0,2 ) . (200 · 100) = 128,57 € Median: m =3 ; Me = 200 + 125 0 12° (400. 200) = 225 € 4' c)

3. Quarti1: Q3 = 600 + 0, 750,~t, 74. (800 · 600) = 625 € 5.Perzenti1: P = 0 + 0, 05 . 0,0° ( 100 . 0) = 25€ 5 0,20

d)

l1(x < 250) = 120 + 250 · 200 (160 · (70) = 130 400 ·200 -

e)

l1(x ~ 750) = 250 · [ 185 + 750 . 600 ' 201 = 50 800 · 600

f)

Mittlere absolute Abweichung: Ö =: 110.000 =: 440 € 250 Varianz: 0 2 =: 106.000.000 =: 4")4 000 €2 250 - .

g)

2 Beschreibende Statistik

30

o

h)

Standardabweichung:

g)

Variationskoeffizient. V K = 65 1, 15 . 100 = 130 23 % , 0 500

h)

F ~ 0,82 +

i)

F'

J')

F' ~ 0 30 + 0,80 - 0,74 . (0 41 _ 0 30) ~ 0,383 ' , , 0,82- 0,74

~

~:;~ : ~:: :

1,00 - [0,52 +

=

J 424.000 = 6 5 1,1 5 €

(0,88 - 0,82)

~;~ ~ ~~~

~

0,869

(0, 76 - 0,52) ]

~

0,42

2,2 Verhä ltniszahlen Verhältniszahlen werden ge bildet, indem zw ei Zahlen, die in e inem sinnvo llen,

sechlogischen Zusammenhang stehen, ins Verhältnis ges etzt werden. Verhältniszahlen werden in Gl iederungs-, Beziehun gs- und Messzahlen untergliedert .

Die folgenden Übungsaufgaben befassen sich mit - Glied erun gszahlen

- Beziehungszahl en - Messzahlen

Aufgabe 2.2 - AI : Bundestagswahl 2009 Bei der Bundestagswahl 2009 verteilten sich die 43.371. 190 gültigen Zweitstimmen w ie folgt auf die Parteien:

Partei

Zweitstimmen

CDU SPD FDP

11.828.277 9.990.48 8 6.316.080 5. 155.933 4.643.272 2.830.238 2.606.902

Linke

Grüne

CSU andere

Überfuhren Sie das Ergebnis in eine leichter erfassbare und leichter auswertbare Form!

31

2.2 Verhältniszahlen Lösun g 2.2 - Al : Bund estagswa hl 2009

Das Wahlergebni s kann leichter erfasst und ausgewertet werden. wenn die Struktur der Wählerschaft in einer klareren Form dargestellt \...-ird. Dies gelin gt mit Gliederun gszahl en; sie ennöglichen einen klaren Einblick in die innere Struktur einer Ge samtm asse. Gliederungszah l =

Teilmasse . 100 übergeordnete Gesamtm asse

Im vorliegenden Beispiel ist die Stimmenanzahl einer Partei (Teilmasse) durch die Gesamt-Stimmenan zahl (übergeordnete Gesamtmasse) zu divid ieren und das Ergebnis mit 100 zu multiplizieren. Stimmenanteil der SPD

9.990.488 . 100 = 43.37 1.190 Partei

= 23.0 %

Zweitstimmenanteil (in %)

CDU SPD FDP Linke Grü ne

CSU andere

27,3 23,0 14,6 11 ,9 10,7 6,5 6,0

Diese relative Darstellung des Wahlergebnisses mit Hilfe von Gliederungsza hlen ist wesentlich einp rägsamer und erlaubt eine wesentlich einfachere Anal yse des Wahlausgangs.

Aufga be 2.2 - A2: Arbeitsproduktiv ität In der nachstehenden Übersicht finden Sie das reale Brultoinlandsprod ukt der BRD zu Preisen von 1995 sowie die geleisteten Arbeitsstunden im Inland für den Zeitraum 2002 bis 2004 . 200 2

2003

2004

Bruttoinland sprodu kt (Mrd. E)

1.987,6

1.985,2

2.0 16, 1

gele istete Arbei tsstunden (in Mio.)

55.644

55.226

55.4 53

2 Besch reibende Statist ik

32

Wie hat sich die Arbe itsproduktiv ität im Betr acht ungszeitraum entwickelt?

Lösung 2.2 - A2 : Arbeit sprod uktivität Die Me ssung der Arb eit sproduktivitä t erfolgt mit Hilfe von Beziehung szahle n. Eine Beziehu ngszahl ist dadu rch gekennze ichnet, dass zwe i versc hiedenarti ge, wesensfremde Größen wie im Beispiel die Größ e "Brutto inlands prod ukt" und die Größe "gele istete Arbe itsstunde n'' ins Verhältn is (in Beziehung) gesetzt we rden . Die Arbeitsprod uktivität betrug im Jahr 200 2 Produkti vität =

Brult oin land sprodukt ge leistete Arbeitss tunden

=

1.987 , 6 55.644

=

35 72 €/Std '

Im Ja hr 2003 stieg die Arbei tspro duktivität auf 35,95 € /S td und im Jah r 2003 auf 36,36 € /Std. Aufgabe 2.2 - A3: G ew in n en tw ic k lu ng

In der nach stehenden Tabelle ist die Gew innen twicklung (in E) der beiden Firmen A und B für die letzten fünf Jahre wiedergegeben. 01

02

03

04

05

Firma A

56 .532

64.4 96

62 .854

72.48 4

76 .8 74

Firma B

122.254

133.561

120.61 2

138. 568

148.356

Jahr

a) Vergleichen Sie die Gewinnentwicklung der beiden Finn en ! Ve rw enden Sie da bei eine For m, die den Vergleich erleichtert! b) Um wie viel Pro zent haben sich die Ge winne von 0 1 nach 05 verändert? c) Um wie viel Pro zent haben sich die Gewinn e von 03 nach 04 veränd ert? Lösu ng 2.2 - A3 : Gewin ne ntwicklung Der Vergleich der Gew innentwicklung der beiden Finnen ist leichter mögl ich, we nn die Gewinn e in Form von Messzahlen dargestellt werden. Eine Me ssza hl ist dadurch gek ennzeichn et, dass zwei sac hlich gleiche , abe r räumlich od er zeitlich untersch iedl iche Größen ins Ve rhältn is gesetzt werden. Eine Größ e wi rd gleichsam an der and eren Größe gemessen. a) Ve rgleich der Entwicklung Die Gewi nne werd en zunächst in Form von Messzahl en dargestellt. Die Gew inne der Jahre 02 bis 05 v·verden dab ei j eweils am Gewinn de s Jahres 0 I gem essen.

2.2 Verhältniszahlen

33

Messzahl en für das Jahr 02 : Firma A' 64.496 · 100 . 56.532

=

11 4, 1

Fir ma B:

133.561 . 100 ~ 109 2 122.254 .

Bei Firm a A (Finna B) lag der Gewi nn im Jahr 02 um 14, 1 % (9,2) über dem Gewinn des Jahres 0 1. Die beiden Messzahl enreihen lauten:

01

02

03

04

05

Firm a A

100,0

114, 1

111 ,2

128,2

136,0

Finna B

100,0

109,2

98,7

11 3,3

12 1,4

Jahr

Die Darstellung der Gewinnentwicklung mit Hilfe von Messzahlen lässt sofort erkennen, dass der relative Gew innanstieg bei der Firma A deutlich größer war als bei der Firma B. b) Gewinnanstieg von 0 1 nach 05 Die relative Gewinnsteigerung des Jahres 05 gegenübe r dem Jahr 01 kan n direkt aus der Messzah l abgelesen werden, da bei dieser Messzahl der Gewinn des Jahres 05 am Gewinn des Jah res 0 1 relativiert wu rde. Der Gew inn im Jahr 05 lag bei Firma A (Fir ma B) um 36,0 % (2 1,4 %) über dem Gewinn des Jahres 0 I. c) Gewinnanstieg von 03 nach 04 i) Differenz von Messzahlen (Prozentzahlen) Die Differenz aus zwe i Messzahle n gibt die Veränderung in Prozentpunkten wieder. So beträ gt der Gewinnanstieg bei Firma A im Jahr 04 gege nübe r Jahr 03 128,2 - 111,2

=

17,0 %·Punkte

Die Prozentpunkte werden in Prozente umgerechnet, indem die Prozentpunkte du rch die Bezugs-Messzahl dividiert und das Ergebnis mit 100 multipliziert wird.

i

1\ 7 ,02 "100 = 15,3 % Der Gewinn im Jahr 04 lag um 15,3 % über dem Gewinn des Jahres 03. Fir ma B: 11 3,3· 98,7

=

14,6 o/o--Punkte;

14, 6 . 100 = + 14,8 % 98, 7

2 Beschreibende Statistik

34

Fehlerquelle (se hr häufig) : Es kommt sehr häufig vor, dass die Differenz aus zwei Prozentzahlen (z.B. Messzahlen, Gliederungszahlen) als Prozentergebnis interpretiert wird anstart als Prozentp unkterge hnis . Prozentergebnis und Prozentpunktergebnis sind nur dan n identi sch, wen n der Subtrahend genau 100 % beträgt (Jahr 0 I im Beispiel ).

ii) Quoti ent aus Messzahlen Der o.a. Fehler tritt nicht auf, wenn anstelle der Differenz der Quotient aus zwei Messzahl en berechnet wird. Finn a A:

: ~~', ;

Finna B:

100 = 115,3 %;

.J..I.1l. 98 7 IOO = ,

1148 'Y. • 0

Zur Feststellu ng der prozentualen Veränderung ist vom Prozentergebn is der WC11 100 abzuziehen .

Aufgabe 2.2 - A4: Umsatzentwicklung Nachstehend ist d ie Entwicklung des Gesamtu msatzes (Tsd. E) und die Umsatzentwi cklung (Tsd . €) e ines Artikel s A für die letzten fünf Ja hre wiedergegeb en . Jahr Gesamtumsat z Umsatz A

01

02

03

04

05

32 .54 1

35.325

38.784

42 .362

45.378

8.4 54

9.96 1

10.6 12

10.768

10.744

Besch reiben Sie au f transparente Weise die Um satzentwicklung des Art ikels A im Rahm en der Entw icklung des Gesamtumsatze s! Lös ung 2.2 - A4 : Umsutzentwlck lu ng Beschreibung mit Hilfe von Messzahlen : 01

02

03

04

05

Ges.umsatz (0 1 = 100)

100,0

108,6

119,2

130,2

139,4

Umsatz A (0 1 = 100)

100,0

117,8

125,5

127,4

127, 1

Jahr

Die Entw icklung des Gesamt umsatzes ist durch ein nahezu konstantes jährliche s Wac hstu m zw ischen 8 und 10 % gekennzeichnet. Die Entwicklung des Artikels A ist bis auf das Jahr 03 losgelöst von dieser En tw icklung. So stieg der Umsa tz von Artikel A im Jahr 02 mit 17,8 % deutlich stärker als der Gesam tumsatz. Im

2.2 Verhältniszahlen

35

Jahr 04 ist eine deut liche Abschwä chung des Umsatzwachstums eingetreten; der Ums atz ist nur um 1,8 % gegenüber dem Vorj ahr ges tiegen. Im Jahr 05 kam es zu einem leichten Umsatzrüc kgang. Damit konnte Artikel A den relativen Anstieg des Gesam tumsatzes in den Jahren 04 lind 05 nicht annähernd erre ichen.

Aufgabe 2,2 - A5: Kapitalstruktur In der nachstehenden Tabelle finden Sie in Kurzform die Kapitalstru ktur der Firmen A und B (Angaben in Mio. €):

Firma

A

B

Eigenkapital Rückstellunge n Verbindlichkeiten

34,8 17,5 120,6

52,9 27,4 169,4

Gesamtkapital

172,9

249 ,7

Vergleichen Sie die Kapit als truktur der beiden Finn en. Verwe nden Sie dab ei Ve rhältnisza hlen, durc h die die Kapital struktu r tran sparent aufgezeigt wird! Lösun g 2.2 - A5 : Ka pita lstruktu r Bildung von Glied erungszahlen . A: 20, 1; 10,1; 69,8.

B: 2 1,2; 11 .0; 67,8

Aufga be 2.2 - A G: Krankenstand Unternehm en A beschäftigte im letzten Jahr durchschnittl ich 2.743 Personen, die insgesamt 2 1.806 Tage krankheitsbed ingt gefehlt haben. Die 3.487 Besch äftigten des Unternehm ens B fehlten insgesamt 32. 115 Tage. Die Zahl der Arbeitstage be-

trug in beiden Unternehmen 2 10. • Vergleichen Sie die Fehlze ite n der be iden Untern ehmen mit Hilfe von Verhältniszahlen! Lösung 2.2 - A6 : Krunkcust und Durchschnittliche Fehlzeit (FehltagelBeschäftigtenanzahl) : A: 7,95 ; B: 9,2 1. Durch schni ttlich er Kranken stand: A:

2 .~l38.0;1O '

100

=

3,79 %; B: 4,39 %

A ufg a be 2.2 ~ A 7: Nebe nw irkunge n In einer Studie wurd e festgestellt, dass über 89 % der Patienten, die über drei Jahre ein bestimmtes Medikament gegen Sodbrennen eingenommen hatten, mit

36

2 Beschreibende Statis tik

dem Medikament zufrieden war en. 0,003 % der Patienten erkrankten an ei nem sehr seltenen und schweren Augenleiden. In einer Vergleichsgruppe erkrankten dagegen nur 0,00 1 % an diesem Augenleiden. • In einer Tageszeitung war dazu zu lesen, dass das Medikament das Risiko, an dem Augenleide n zu erkranken, auf das 3·fache er höhe. - Nehmen Sie Ste llung zu der Aussage in der Tageszeitu ng! A ufga be 2.2 - A7: Nebenwirk ungen Die Aussage ersc hreckt die Patienten, die d ieses Medikament einnehmen und denen das Risikoausmaß unbekannt ist. Die Messzahl 300 % (3-fach) ist um die beiden Gliederungszahlen 0,003 % und 0,00 I % zu ergänzen, damit die Geringfügigkeir des Risikos erkennbar wird. So erkrankten von z.B . 100.000 Patienten drei Patienten an statt ein Patient. Abgese hen davon ist der kausale Zusammen hang zwischen Med ikament eneinnahme und Erkrankung zu klären . - Auf der anderen Se ite waren von den 100.000 Patienten 89.000 Patienten zufriede n.

Aufgab e 2.2 - A8: Gewinnans tieg Im vorletzten Jahr betrug bei einem Versandhande l der Antei l der Retouren 2,2 %, im letzten Jahr 3, I % . - Nehmen Sie Stellung zur Aussage des Leiters der Q ualität skontr olle, die Anzahl der Retouren sei nur um 0,9 % ges tiegen! (Lö sung: Anstieg um 0,9 %· Punkte; Anstieg: 40,9 %!)

Aufg a be 2.2 - A9: Besc häftig tenza hl In der nachstehenden Tab elle ist die Entw icklung der Beschäftigtenzahl der Untern ehm en A und B für die letzten sechs Jahre wiedergegeben. Jahr

01

02

03

04

05

06

Anzahl A

187

197

233

21 5

24 1

254

Anzahl B

136

145

171

162

180

193

a) Vergleichen Sie d ie Entw icklung der Beschäft igtenzahlen der beid en Unternehmen A und B1 b) Um wie viel Prozent hat sich die Beschäft igtenzah l im Betrachtu ngszeitraum verändert ? c) Um wie viel Prozent hat sich die Beschäfti gtenzahl VO ll 05 bis 06 verä nde rt?

37

2.3 Indexzahlen Lösun g 2.2 - A9: Beschä ftigt en zahl a)

Ve rwe ndung von Messzahlen: A: 100,0; 105,3; 124,6; 11 5,0; 128,9; 135,8. B: 100,0; 106,6; 125,7; 119,1; 132,4; 141 ,9.

b)

A : +35, 8 %; B: +4 1,9 %

c)

A : 128, 9 . 100 = 105,4,d.h. + 5,4 % ; B : 132:4 . 100 = I07,2, d.h. + 7,2 %

135, 8

14 1 9

2.3 Index zahlen Indexzahlen haben d ie Au fgab e, die Entwicklung einer kompl exen Gr öße zu besc hreibe n. Die Komplexität der Größe besteht darin. da ss sie sich aus i.d.R. vielen Ein zelgr ößen. die von unterschied licher Bedeutung sind, zusammensetzt. Ma n denk e zum Beisp iel an die Entwic klung der Lebenshaltungsk osten oder an die Entwicklung des deu tschen Aktie nmarktes . Die fol genden Übu ngs aufgaben befassen sich mit den Bereichen - Preis-, l\lengen- un d Umsa tzl ndlzcs - Um bas le ru ng - Verkn ü pfung (Verkettung) - P reisber eini gu ng - Ka ufk r aftpu ri tät

Aufg abe 2.3 - AI: Elementa re Inde xberechn ung In der nachstehenden Tabe lle sind für die Güter A, B und C die Prei se und Mengen für d ie Jahre 1, 2 und 3 angegeben :

Gut A

B

C

Jahr 1

Jahr 2

Jahr 3

Preis

Menge

Preis

Menge

Preis

Menge

6,00 27,50 t4 ,00

22 4 7

7,00 26,00 14,50

21 6 9

7,50 28,00 15,00

23 5 10

a) Berec hnen Sie die Preisindizes nac h Laspeyrcs zum Basisj ah r I !

38

2 Haschreib ende Statistik

b) Berec hnen Sie di e Me nge nindizes nach Laspeyres zum Basisjahr I! c) Berechne n Sie die Preisindizes nach Paasche zum Basisj ahr I ! d) Berec hnen Sie di e Mengenin dizes nach Paasche zum Basisjahr I ! e) Be rechnen Sie die Umsatzind izes zum Basisjahr I !

f) Um wie viel Prozent lagen die Preise im Bericht sj ahr 3 über denen des Berichtsj ahres 2? fI ) Ve rwenden Sie für Ihre Berech nungen die Preisind izes nach Laspeyres ! f2) Verwende n Sie für Ihre Berech nungen die Preisin dizes nac h Paasche!

0 ) Wa nn ist di e Berec hnung unter f2) prob lematisch? f4) Waru m sind die Ergebn isse unte r f1 ) und f2) ni cht iden tisc h?

Lösung 2.3-A1: Elementare Indexberec hnung

p; q;

Preis in der Berichtszeit i = Menge in der Bericht szeit i =

LP-J,'- = Preisindex nach Laspeyres fü r d ie Berichtszeit i gegenübe r der Basiszeit .i pPj,i = Preisindex nach Paasche für die Berichtszeit i gegen übe r der Basiszeit j LQj,i = Mengeni ndex nach Laspey re s für die Bericht szeit i gegenübe r der Basiszeit j PQj,i = Menge nindex nach Paasche für die Berichtszeit i gegenübe r der Basiszeit j Uj,i = Umsatzindex für d ie Berichtszeit i gege nüber der Basiszeit j

a) P reisi ndizes na ch Las pcyrcs P _ L P 2 -q l_ = 7 -22 +26,0 -4 + 14, 5 - 7 _ 100 100 L I,Z- L PI _QI 6 -2 2 +27,5 -4 + 14, 0 - 7 = 359,5 _100 = 105,7

340

LP 1,3

LP ] -Q l

= LP I -Q l

- 100

7,5 - 22 +2 8,0 - 4 + 15 - 7 + 27,5 - 4 + 14 - 7 100

= 6,0 -22

= 382 _ 100 = 112,4 340

Die Preise im Beric htsjahr 2 (3) lagen du rchschnittlich 5,7 % ( 12,4 % ) über den en des Ba sisjahres 1.

2.3lndexzahlen

39

b) l\1engenindizes nach Las peyres L

Q

~ L q2 · P I . 100 ~ 2 1·6 + 6 ·27,5 + 9 . 14 . 100

1,2

L q l · PI

~

22 . 6 +4 .27,5 +7 . 14

417 340· 100 ~ 122,6

Q = L Q3 · P I .I OO = 23 .6 +5 .27,5 +10 . 14 . 100 22 · 6 +4 ' 27, 5 + 7 · 14 L 1,3 L q \· p \

~ 4 15, 5 . 100 ~ 122 2 340

'

Die Mengen im Berichtsjahr 2 (3) lagen durchschnittlich 22,6 % (22,2 %) über denen des Basisjahres I. c) Pre isindizes nach Pansche

pP

I2

~ LP2 ·q2 .1 00 ~ 7 .21 + 26,0 . 6 + 14,5 . 9 . 100 LP I · q2 6 ·2 1 + 27,5· 6+ 14,0 · 9 ~ 433,5. 100 ~ 104 0 417 '

pP I,) ~ L P3 · q3 . 100 ~ 462, 5 . 100 ~ 111,3 LP I · q) 41 5, 5 Die Preise im Berichtsjahr 2 (3) lagen durchschnittlich 4,0 % ( 11,3 %) über denen des Basisj ahres I. d) Men genin dizes nach Pa nsche

2 1 .7 +6 .26,0 + 9 . 14,5 . 100 22 ·7 +4 · 26,0 +7 · 14, 5

~ 43) , 5 . 100 ~ 120, 6 359,5

~ L q 3 · P 3 · 100 ~462, 5 . 100 ~ 1' 1 1 Q PI ,] Lql · P3 382 - , Die Mengen im Berichtsjahr 2 (3) lagen durchschnittlich 20,6 % (2 1, 1 %) über denen des Basisj ahres I. e) Umsatzindizes

U

l ,2

~

LP 2 · q2 . 100 LP I · q l

~

433, 5 . 100 340

~

127,5

2 Beschreibende Statist ik

40 = 462 , 5 '1 00 =

340

1360 '

Die Umsä tze im Berichtsjahr 2 (3) lagen durchschnitt lich 27,5 % (36,0 %) über denen des Basisjahres I. f) Preis ver änd erung von 2 na ch 3 f1) auf Basis der Preisindizes nach Laspeyres

P

~ . 100 LP 1,2

=

112, 4 . 100 = 106, 3 105, 7

oder 11 2,4 - 105,7 = 6,7 %-Punkte;

~ ' 1 00= 6,3 % 105, 7

Fehlerquelle (s ehr oft): Die Differenz aus zwe i Indexzahle n wird als Prozentergebnis interpretiert anstart als Prozcntpunktcrgcbnis. f2) auf Basis der Preisind izes nach Paasche p P I ,3 . 100 = .!..!..!.J. . 100 = 7 0 % 104 , 0 , 0 p P 1,2

oder

111 ,3 - 104,0 = 7,3 lYo-P unkte;

7,3 104, 0

. 100 = 7,0 %

Die Preise im Berichtsjahr 3 lagen durchschnittlich 6,3 % (nach Paasche 7,0 %) über denen des Bericht sjahres I.

13) Bei der Berechnun g unter (2) werden zwei Preisindizes verwendet, denen unterschied liche Warenkörbe zugrunde liegen. So liegt dem Preisindex für das Jahr 2 der Warenkor b des Jahres 2 und dem für das Jahr 3 der Wa renkorb des Jahres 3 zugrunde. Unterscheiden sich die beiden Warenkörbe deutlich, dan n kann die Ermi ttlung der Preisveränderung problematisch sein. In diesem Fall ist die Rechnung ungenau bzw . fehlerhaft , da die zu berechnende Preisveränderu ng durch Mengenveränderungen überlagert bzw. verfälscht wird. f-t) Die Ergeb nisse unter f1) und f2 ) weichen i.d.R. voneinander ab, da Laspeyres und Paasche unterschiedliche Gewichtungen verwenden.

Aufga be 2.3-A2: Umbasierung In nachstehender Tabelle ist der Verbraucherpreisindex (Preisindex für die Lebenshaltung) für die Bundesrepublik Deutschland ( 1995 = 100) und die Schweiz

2.3/ndexzahlen

41

(Mai 1993 = 100; Jahresdur chschnitt 1993 = 99,9) auszugsweise für die Jah re 1995 bi s 200 8 angegeben. Jahr

BRD Schweiz

1995

1996

...

200 5

2006

2007

2008

100,0 102,6

101,3 103,4

... ...

115,8

117,7

120,4

123,4

111 ,0

11 2,2

113,0

115,0

Ve rg leichen Sie die Preise ntwickl ung in der BRD mit der der Schwe iz für den Betracht ungszeitraum 1 L.ösung 2.3-A2: Umba sicr u ng Ein unmittelb arer Vergleich der Preis cutwicklu ng in beiden Lände rn anhand der Indexzahlen ist nicht möglich , da beide Index za h len reihen versc h iede ne Basisze iträume (BRD: 1995 = 100 ; Schwe iz: Mai 1993 = 100) bes itze n. Für einen unmitt elbaren Vergleich müssen beid e Reihen ein ge meinsames Bas isjahr besitzen . Es ist sinnvoll, die Indexzahlenreihe für die Schweiz so umzubasieren , da ss - wie in der BRD - da s Jah r 1995 die Indexzahl 100,0 besitzt. Die Um basierun g er folgt mit Hilfe des Dreisatzes. dur ch den di e Ve ränderu ngsrat e der Indexreihe zur alten Basis auf die Indexreihe zur neucn Basis ( 199 5 100) übertragen wi rd. Prei sindex für Bericht sjah r 1996 zum Basisj ahr 19 95: P 95.95 100 P93,96

P 95,96 ~

P 93,95

=

P 93,96 : P 93.95

~ P93,96 : P 93,95

100 ~ 103, 4 102, 6

100

~

100,8

Der Preisindex für die Bericht szeit i zur Basis 1995 errec hnet sich dami t:

P

. _

95.1 -

P93,i

P

• 93 95

100

=

P93,; . 100 102, 6

Die Prei sindizes fü r die Beri chtsj ahre 2005 bis 200 8 lauten:

P95,05

=

P 93,05 102, 6

P 93,06 P95•06 = 102, 6

100 =

.!..!.!"Q

100

= 108,2

100

112, 2 102, 6

100

~

~

102, 6

109,4

=

2 Beschreibende Statistik

42

11 3, 0

~ 102, 6 . 100 = 110, I;

=

P05,O'

115, 0 1 02, 6 ' 100 ~ 11 2,1

Gegenübe rstellung der beiden Indexreihen mit de r gemeinsamen Basis 1995:

Jahr

1995

1996

, ..

2005

2006

2007

2008

BRD Schweiz

100,0 100,0

101,3 100,8

...

115,8 108,2

117,7 109,4

120,4 110,1

123,4 112, 1

...

Die beiden Indexreihen können j etzt unmittelbar verglichen werden, da sie mit 1995 ein gem ein sames Basisjah r besitzen. Die Verb raucherpreise in der Schwe iz sind im Betrachtung szeitraum mit 12,1 % deutlich weniger ges tiege n als in der BR D mit 23 ,4 % .

Fehlerque lle: Für den Vergleich wer den die Differenzen der entsprechenden, nicht umbasiert en Index zahl en (BR D: 123,4 - 100 = 23,4; Schw eiz: 115,0 - 102,6 = 12,4 ) berechnet und als Prozentwerte anstatt Proze ntpunktwct1e interpretiert, was hier im Fall der Schweiz zu einem fehlerhaften Ergebnis fühlt .

Aufga be

2 . 3~A 3 :

Ve r knüpfung (Ve r kett ung)

In nachstehender Tabelle ist der Verbraucherp reisind ex (Preisind ex für d ie Lebensha ltung) für die Bundesrepubl ik Deutschla nd für den Ze itra um 200 0 bis 2008 ausz ugsweise wie dergegeben. Da diese Indexzahle n nach Laspeyres en nittelt werden, mu ss der Warenkor b in bestimmten Abständen aktual isiert werden. Dies ist zuletzt im Jah r 2000 gesc hehen. Dadurch kam es zu einer Unterbrechung der Indexzahlenr eihe im Jahr der Aktualisieru ng. Jahr

20 00

200 1

POO,i

100,0

102,0

P05,i

... 2004

2005

106,2

108,3

,"

100,0

20 06

2007

200 8

2009

10 1,6

103,9

106,6

107,0

a) Um wi e viel Prozent sind die Preise von 2000 bis 2006, ..., 2009 gestiegen? b) Warum wei cht die für 200 6 durch Verkn üpfeng ermittel te Indexzah l zur Basis 2000 von der dur ch das Statistische Bundesamt empirisch ermittelten Indexzahl 110, I ab?

2.3Indexzahlen

43

Lösung 2.3-A3 : Verknüpfung (Verkettu ng) Zur Beantwortung der Frage sind die fehlenden Indexzahl en zumindest eine r der beiden Indexzahlenreihen zu ermitteln . Dies kann du rch d ie Fortführung der alten Indexzahlenr eihe (Bas is 20 00) oder durch die , bei der vorl iegenden Probl emstellung aufwändi gere - Rückrechnung der neuen Indexzahl enreihe (Bas is 2005 ) geschehen. Die Verknüpfung (Verkettung) erfolgt wie bei der Umbasien mg mit Hilfe des Drei satzes, durch den d ie Ver änderungsrate der einen Indexreihe auf di e and ere Indexreih e übertragen wird. Die Fortführung der alten Indexzahlenreihe erf olgt, indem di e aus der neuen Indexzah lenreihe bekannte Preisentwicklung au f die alt e Reih e übertragen wird. Die Rückrechn ung der neuen Indexzahlenreih e erfolgt ana log zur Fortfiihrung der alten Reihe . Die neue Indexzahl enreih e wird zurückgerech net, indem die aus der alten Indexzah lenreihe bekannte Preise ntw icklung au f die neue Reihe übertrage n wird. a) P r eissteige ru ng von 2000 bis 200 6, ..., 2009 i) Fortführu ng der alten Indexzahlenr eihe (Bas is 2000) Preisind ex fü r d as Berichtsj ahr 2006 zur Basis 2000: P OO,06

POO,OS ::: P 05 ,06

P OO,06

POO,os

P05,OS

= P OS,06 : 100

P OO,06 = POS,06

P00,05 ::: 101 6 100

'

108, 3 =1 10 0 100 '

Der Prei sindex für die Berichtszeit i zur Basis 1995 errechnet sich dam it:

POO,i ::: P 05,i

POO,OS 100

= POS,i

108, 3 100

Die Pre isind izes für die Berichtsj ahre 2007 bis 2009 zur Basis 2000 lauten: 108, 3

P OO,07 = P 05,07 , - 100

= 103, 9

106 6 , 108,3 = 115 4 P OO,08 = , 100 ' 107 0 , 108,3 = 115, 9 P OO,09 = , 100

108, 3 - - = 112,5 100

2 Beschreibende Statistik

44

Lesebeispiel. Die Verbraucherpreise lagen 2009 durchschnittli ch 15,9 % über denen des Jahres 2000.

ii) Rückrechnung der neuen Indexzahlenreihe (Basis 2005)

Preisindex für das Berichtsjahr 2004 zur Basis 2005: POS,04

POS,OS = POO,04

POO,OS

P 05,04

100

=

POO,05

P

05,04

= P 00,04

POO,04

100 = 106, 2 POo,os

~

108, 3

= 98 I

'

Der Preisindex für die Berichtszeit i zur Basis 2005 errechne t sich damit: P05 i = P OOi . n" 1O",0_ - POO' . ~ , ' Poa,OS ,1 108, 3

Die Preisindizes für die Berichtsjahre 200 I und 2000 zur Basis 2005 Jaulen 100 100 POS,OI = POO,OI . 108, 3 = 102, 0 · 108, 3 = 94.2 P05,00

= 100, 0 '

100 108,3

= 92, 3

Preisanstieg von 20 00 bis 2008: (Indexzahlenreihe zur Basis 2005)

~~::~~ 'I OO = l~t36100 = 115, 5 ,

d.h. +1 5,5 %

Preisanstieg von 2000 bis 2009 : (Indexzahlenreihe zur Basis 20 05)

P 05,09 . 100 P05,00

= 1~;'30 ' 1 00 = 115, 9 , ,

d.h. + 15,9 %

Gesamtdarstellung der Verknü pfung: Jahr

2000

200 1

POO,i 100,0

92,3

P05,i

...

2004

2005

2006

2007

2008

2009

102,0

.. .

106,2

108,3

110,0

112,5

115,4

115,9

94,2

...

98, 1

100,0

101,6

103,9

106,6

107,0

b) Abweichun g von den empirischen Werten

Den heiden Indexreihen liegen unterschiedliche Warenkörbe zugrunde, was i.d.R. voneinander abweichende Veränderungsraten zur Folge hat. Die im Rahmen der

2. 3lndexzahlen

45

Ve rknü pfung vorzune hme nde Übertrag ung der Veränderu ngsra te der eine n Reih e auf die an dere Reih e ist daher i.d.R. "fchlcrbchaftet" .

Aufgabe 2.3-A4 : Verknüpfung und Umba sicru ng In nachsteh end er Tabelle ist der Ver brau cherprei sinde x für die Bund esrepublik Deut schl and für den Ze itraum 2002 bis 2009 wiedergegeben. Jahr

2002

2003

2004

2005

POO,i

103,4

104,5

106,2

108,3 100,0

P 05,i

2006

2007

2008

2009

10 1,6

103,9

106,6

107,0

Um w ie viel Prozent sind die Preise von 2002 b is 20 09 gestiegen? Lösu ng 2.3-A4: Ve rkn üpfu ng und Um basicr ung Schritt I : Ve rknüpfeng der beiden Indexzahle nre ihen Da die beid en Jahre 2002 und 2009 zwe i verschiedene n Tei len der unterbro chene n Indexreih e ange hören, ist zunäc hst die Verknüp furig de r beiden Teile vorz unehmen. Diese Verknüpfung wa r Gegenstand der Aufgabe 2.3 · A3, so da ss das Verkn üpfungsergebnis übernommen werde n kann und zwa r hier d ie Fortführung der Indexreih e zur Basis 2000. Jahr

2002

200 3

2004

2005

2006

2007

2008

2009

P OO,i

103,4

104,5

106,2

108,3

110,0

11 2,5

11 5,4

115,9

Sc hr itt 2: Um basierung Da der Preisindex im Ausgangsjahr des Preisvergleichs 2002 mit 103,4 ungleich

100,0 ist, m uss eine Umbasieru ng vorgenom men w erd en.

p

oder:

_ P OO,09 . 100 02,09 - P 00,02

= 115, 9 10 3, 4

115,9 - 103,4 = 12,5 %- Punkte;

. 100 = 112, I 12, 5 103, 4

100 = 12, 1 %

Die Preise sind von 2002 bis 2009 um durchschnitt lich 12, I % gestieg en .

Fehlerquellen : M iss achtu ng der Aufga bensteJlung und Berechnun g von P OO 09 . -' Ve rwechslung von Prozentpunkten und Prozenten.

2 Beschreibende Statistik

46

Aufgabe 2.3-A5: Preisbereinigung (Dcflationieru ng) In der nachstehenden Tab elle find en Sie auszugsweise für den Ze itraum 2002 bis 2008 die Um satzentwicklung (in Ts d. €) einer Tankstelle sowie den entsprec he n-

den Preisindex für Motorenkraftstoffe. 2002

...

20 05

2006

2007

2008

500

...

540

620

7 10

760

108,0

...

122,5 105,5

109,8

117,3

Jahr

Umsatz (Tsd. €) P 2000,i

100,0

P 200S,i

Wieviel Tsd. € der nominellen Umsatzsteigerung von 2002 bis 2008 sind auf die Inflation, wiev iel Tsd . € auf die mengenmäßige Mehrle istung zurüc kz uführen?

Lösun g 2.3-A5 : Pre isbereinigung (I>cflationierung) Der Umsatz der Tankstelle ist im Betrachtungszeitra um 2002 bis 2008 nominell um 760 - 500 = 260 Tsd . € ges tiegen. Verantwortlich dafür wa ren M engen- und Preisver änderu ngen . Um den j eweiligen Einfluss der beiden Komp one nten herauszufilte rn, muss der Um satz des Jahres 200 8 zu Preisen von 2002 ermi ttelt werde n, d .h . eine Deflationierun g ist vorzu nehm en. Für die Deflatio nierung ist zunächs t die Preisverän derung von 2002 bis 2008 zu ermitteln. Dies geschieht mit Hilfe der Verknüpfeng (Sc hritt 1) und der Umbas ierung (Schritt 2). Sc hr itt 1: Verknüpfurig (Fortführung der alten Indexzahlenreihe) Es ist der Preisindex für 2008 zur Basis 2000 zu berechn en. P oo, 08 ~ POS,08 .

POO,OS 100

= 117

'

3 . 122, 5 100

~

143 7 '

Die Preise sind von 2000 bis 2008 durchschnittlich um 4 3,7 % gestiege n. Sc hritt 2: Umbas ieru ng Es ist der Preisindex für 2008 zur Basis 2002 zu berechnen. P

02,08

~

P OO,08 . 100 = 14 3, 7 . 100 P OO,02 108,0

~

133 I '

Die Preise sind von 2002 bis 200 8 durchschnittl ich um 33, 1 % gestiegen.

47

2.3 1ndexzahle n Schritt 3: Preisbereini gung

Der Umsatz des Jah res 2008 beträgt nominell 760 Tsd. E. Um den Umsatz real, d.h. zu Preisen von 2002 zu berechn en, ist der no minelle Umsatz um die Preissteige rung des Ze itra umes 2002 bis 2008 in Höhe von 33, 1 % zu bereinigen. Dazu ist der nom inelle Umsatz durch den unter Schritt 2 er mi ttelt en Prei sindex zu dividi eren und das Ergebnis mit 100 zu multipli zie ren. Rea ler Umsatz 2008 :::: Nomineller Umsa tz 200& . 100 ::::

P02,Og

760

133, 1 .

100

= 57 1,0 Tsd. € De r Umsa tz des Jah res 2008 beträgt zu Preisen des Jahres 2002 57 1,0 Tsd. E. Schritt 4: Ana lyse der nominellen Umsatzs teigerung Der Teil der nominellen Umsatzs teigerung. der in flationsbed ingt ist, ergibt sich aus der Differ enz des nomi nellen Umsatzes und des rea len Umsa tzes.

760 - 57 1 = 189 Tsd. € Die Inflation in Höhe von 33 , 1 % hat zu einer Um sat zstei gerung von 189 Tsd. € beigetragen . Der Te il der nominellen Umsa tzs teigeru ng. der auf die mengen mäßige Mehrleistung zurüc kzuführe n ist, also die reale Umsa tzsteigerung. ergib t sich a) aus der Differenz zwisc he n dem Umsa tz 2008 und dem Umsa tz 2002, jewei ls zu Prei sen von 2002 bzw . b) aus der Differenz der nomi nel len Umsatzsteigerung und der rea len Umsa tzs teige rung .

a) 571 - 500 =7 1 Tsd.€ b) 260 - 189 = 71 Tsd. € Die mengenmäßige Leistung zu Pre isen von 2002 (0: rea le Umsatzsteige rung) wa r 2008 um 7 1 Tsd . € höher als in 2002.

Fehlerquelle bei der Preishereinigung Eine relativ häufige Fehl erq uelle bei der vor liege nden Problem stell ung ist, dass der zu ermi tte lnde Preisindex nicht harm onisch au f dem Beobac htu ngszeitra um abgestimmt w ird. Der im Schri tt 3 im Nenner einzusetze nde Preisindex mu ss genau auf den vorgegebenen Beobachtungsze itra um (im Be ispie l 2002 bis 200&) zugeschnitten sein. Im vorliege nden Be ispiel ist fo lglich der Preisind ex für das Bericht sjah r 2008 zum Ba sisjahr 2002 und nicht - ein häufiger Fehler - der Preisindex 2008 zum ursprü nglichen Basisja hr 2000 anzu setzen.

2 Beschre ibende Statis tik:

48

Aufgabe 2.3-A6: Ka ufk raftp a ritä t (Ve r bra uchergeld pn r ität) Anhand eines stark vereinfachten Warenkorbes von vier G ütern ist ein Kau fkraftverg leic h zw isc hen Deutschla nd lind der Schwe iz vorzunehm en. Die Preise (in € bzw. sfr) und Mengen der Güt er sind nachstehend angegeben . Deut schland Gut

Schweiz

Preis

Menge

Preis

Menge

It

20 80 100 50

26 21 18 30

20 70 110 60

A B C D

13

12 13

a) Wie haben sich die Lebenshaltungsko sten für einen Deutschen in der Schweiz be i gleic he n Verbrauchsgewohnheiten verändert (Valutaparität I € "" 1,368 sfr; Stand : 3 1.03.20 10)? Wie hoch ist sein Kau fkrafrgewiruv-verlu st? b) Führen Sie die Berechnung für einen Schweizer durch, der in der BRD nach se inen Verbrauchsgewohnheiten lebt! (Valutapari tät: I sfr = 0,66 4 €) Lösu ng 2.3-A6: Kaufkruftpa rl tät (Yerbru uchcrgeld pa r it ät)

a) Deutscher Warenkorb Zur Bere chnun g der Kaufkraft parität sind die Me ngen des deut schen Wa renko rbes zum eine n mit den schweizerisc hen Preisen und zum and eren m it den deutschen Preisen zu bew erten und anschließend gege nüberzuste llen. Im Untersc hied zu den bisheri gen Aufgaben zur Index lehre wird j etzt ein int erre gional er und nicht ein intertemp oraler Preisvergleich durchgeführt. Be i den Berechnungen werd en die Ze itangabe n daher dur ch Regionalangaben erse tzt.

26· 20 + 21 ·8 0 + 18 · 100 + 30 ·5 0 11 · 20 + 13 · 80 + 12 ·1 00 + 13· 50

5.500 ~ 3. 110 Euro I € ,; 1,768 sfr

=I

bzw.

'

768 .2!!.... Euro I sfr ,; 0,566 €

Für I sfr ( 1,76 8 sfr) erhält man in der Schweiz die g leiche Menge wie Deutschland für 0,566 € ( I €) . 1 sfr ist kaufgleich 0,566 € ( I €,; 1,768 sfr) .

in

2.3lndexzahlen

49

Wege n der unterschiedlichen Währungen ist in den Kaufk raftvergleich die Valutaparität einz ubez iehen:

J€ ;

1,368 sfr

bzw.

1 sfr ,; 0,73 \ €

Der deutsche Warenkorb kostet in der Schweiz in € ausgedr ückt:

L PS ' so 0, 73 1 = 5.500 . 0,731 = 4.020,50

€

Der Deutsche lebt in der Schweiz um 4.020,50 - 3. 110,00 = 9 10,50 € teurer, d. h. er muss 29,3 % (910 ,50 gemessen an 3. 110,00) mehr ausgeben. Anders ausgedrückt: In der BRD würde er um 9 10,50 € billiger leben. Der Kau fkraftverlust des Deutschen in der Schweiz beträgt dam it 22,6 % (9 10,50 geme ssen an 4.020,50) . Die Kaufkra ft eines € beträgt in der Schwe iz damit nur 1 - 0,226 = 0,774 E. D.h . in der Schwe iz erhä lt man für J€ War en im Gegenwert von nur 0,774 € .

Fehlerquelle: Verwechslung von Teuerungsrate (hier: 29,3 %) und Verlustrat e (hier : 22,6 %) . b) Sc hweize r Warenkorb Zur Berechnung der Kaufk raftparit ät sind die Mengen des schwe izerischen Warenkorbes zum ein en mit den deutschen Preisen und zum ande ren mit den schweizerischen Preisen zu bew erten und an schließend gegenüb erzustel len.

P

_ L PO ' q s 11 ·20 + 13 · 70 + 12 · 110 + 13·60 S,O - LP S 'q s = 26· 20 + 2 1 · 70 + 18 · 110+ 30 · 60

= 3.230 Euro Euro f = 0560 ' f " d I1.:

5.7 70

sr

s r

1 s fr =' 0, 560 € bzw. I € = ' I, 786) s fr

Für I € (0,560 €) erhält man in der BR D die gleiche Menge wie in der Schweiz für 1,786 sfr (1 sfr). 1 € ist kaufgleich 1,786 sfr ( I sfr = 0,560 E). Der schwe izerisch e Warenkorb kostet in der BRD in sfr au sgedrüc kt:

L pO · q S · I, 506 = 3.230 · 1, 506 = 4.864,38 sfr Der Schweizer lebt in der BRD um 5.770 - 4.864,38 = 905,62 sfr bzw. um 15,7% (905 ,62 gemess en an 5.770 ) billiger. - In der Schweiz würde er um 905 ,62 sfr teurer leben. Der Kaufkraftgewin n des Schweizers in der BRD beträgt 18,6 % (905,62 gemessen an 4.864,38). Die Kaufkraft eines sfr in der BRD beträ gt damit 1,18 6 sfr, d.h. in der BRD erhält er für 1sfr Ware n im Gegenwert VOll 1, 186 sfr.

2 Beschreibende Statistik

50

Aufgabe 2.3-A 7: Durchschnittlicher Brut tostun denverdienst In der nachstehenden Tabelle ist der Index der durchschnittlich bezahlten Wo · ehens tunden für Männer und Frauen (200 5

=

100 ) in der BRD für die Jahre 2006,

2007 und 2008 w iedergegeben (Abkürzung hier: IdWS):

Jahr

2006

2007

2008

Mä nne r

100,3

100,3

100,4

Frauen

100,2

100,3

100,4

In der nächsten Tabelle ist der Index der durchschnitt lichen Bruttowoche nverdienste für Männer und Frauen (2005 = 100) in der BRD für die Jahre 2006 , 2007 und 2008 wiedergegeben (Abkürzung hier: IdB\VV):

Jahr

2006

2007

2008

Männer

10 1,2

103,0

106,5

Frauen

100,6

101,6

105,6

Berechnen Sie den Index der durchschnittlichen Bruttostundenverdie nste für Männer und für Frauen (2005 = 100) in der BRD für die Jahre 2006 , 2007 lind 2008 (Abkürzung hier: IdBSV)! Werten Sie die Ergebnisse aus !

Lösung 2.3-/\ 7: Durchschnittli cher Bruttostundenverdienst Um den Index der durchschnittlichen Bruttostun denverdie nste (Preisindex) zu ermitteln, ist der Index der durchschnittlichen Brut towochenverdien ste (U msatzindex) durch den entsprechenden Index der durchschnittlich bez ahlten Woc henstunden (Mengenindex ) zu dividieren und dann mit 100 zu multiplizieren.

IdBSVOS,i

=

Berichtsj ahr

IdBWVoS,i IdWS05,i

· 100

Männer

Frauen

2006

101,2 . 100 100, 3

=

100,9

100, 6 . 100 100, 2

=

100, 4

2007

103,0 . 100 100, 3

=

102, 7

101, 6 . IOD 100, 3

=

101, 3

2008

106, 5 . 100 100, 4

=

106, I

105, 6 . 100 100, 4

=

105, 2

51

2.31ndexzahlen

Der durch schnittl iche Bruttos tu nde nve rdienst ist von 2006 bis 200 8 bei den Männern um durch schn ittl ich 5, 1 % ( 106, 1/100,9) gestiege n und dam it etwas stärker als bei den Frauen, die eine durchschnittl iche Steigerung von 4,8 % ( 105,2/ 100,4) aufw eisen.

Aufgabe 2.3-A8: Rentn erhaushalte Der Prei sindex für die Lebenshaltung von 2 Personen- Rentn erhaushalten mit geringem Einkom men betrug im Ja nuar 1998 und im Dezem ber 2002 für da s früh eBundesgebiet 104,7 bzw. 111 ,2 und für die Neuen Länder und Os t-Be rlin

Te

105,5 bzw. 111,0 (in 2002 war die letztmalige Ermittlung dieses Preisindexe s). a) Berechnen Sie den durch sch nittlichen Preisanstieg im Beobachtungszeitraum für "West" un d "Ost"! b) Berechnen Sie fiir "West" und "Ost" den Kaufkraftverlust einer Geldeinheit! Lö sung 2.3-,\8: Ren tn erhaushalt e

111,05 . 100 = 105,2 a) West: ~ 104,7 .100 = 1062 ' , Ost: 105, 104, 7 . 100 - 94 105, 5 . 100 = 950 b) West . ~ " 2 d.h. - 58 , '" / 0 , 0 st:. ~ " d .l1. - 50 , ·1'0

Aufga be 2.3-A9: Kleinm at erial Eine Firma bezieht von einem Lieferanten die Kleinm ateria lien A, B, C und D. In der nachstehenden Tabelle sin d die Preise (i n €) und die bezog enen Me nge n f ür di e Jahre 1, 2 und 3 angegeben. G ut

A 8 C D

Jah r I

Jahr 2

Jahr 3

Preis

Menge

Preis

Menge

Preis

Me nge

50 12 25 4

12 20 40 90

48 13 28 4

14 18 45 95

55 15 30 5

13 19 42 100

a) Ber echnen Sie die Preisindizes nach Laspeyres zum Basisjahr I ! b) Berechnen Sie die Mengenindizes nach Laspeyres zum Basi sjahr I! c) Be rech nen Sie die Preisind izes nach Paasche zum Basisja hr I! d) Ber echn en Sie die Mengenindizes nach Paasche zum Basisja hr I !

2 Beschre ibende Statistik

52

e) Berechnen Sie die Umsatzindizes zum Basisjahr I! f) Um wie viel Prozent lagen die Preise im Berichtsja hr 3 dur chschnitt lich über denen des Beri chtsj ahres 2? Verwenden Sie die Preisindizes au s Lö sun g a)! g) Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres für das Berichtsjahr 3 zum Basisj ahr 2! Wa rum weicht das Ergebnis von dem unter f) ab? h) Um wie viel Prozent lag der Mengenverbrauch im Berichtsjahr 3 durchschnittlich unt er dem Mengenverbrauch des Berichtsj ahres 2? Verwe nden Sie die Meng enindizes aus Lösung b)! Lösung 2.3-A9: Kleinmateria l a) 100,0 ; 105,3; 11 8,6 b) 100,0; 110,0; 105,8 c) 100,0; 105,2; 118,6 d) 100,0 ; 109,9; 105,7 e) 100,0; 11 5,7; 125,5 f) + 12,6 % g) + 12,5 % . Unter f) gilt der Wa renkorb aus I, unter g) der Warenkorb aus 2. h) -3,8 %

Aufgab e

2 . 3 ~ AIO :

Gesc hä fts re ise nach Oslo

Ein leit end er Anges te llter au s Regensbu rg macht eine dreiwöchige Geschä ftsreise nach O slo. Se ine Verb rauchsge wohnheiten lassen sich durch die ~ zur Vere infach ung nur

~

vier Güter A bis D repräsentati v darstellen. In der nachstehenden Ta -

belle sind für diese Güter die Regensb urger Mengen und die Preise in Regensburg (in € ) und in Oslo (in nkr) angegeben. Gut

A B

C

0

Menge

15 20 5 30

Preis Rege nsburg

10 15 19 8

Oslo

103 140 160 85

Wie hoch ist der Kaufkraftgcwim v -verlust für den leitenden Angeste llten, wenn der Wechselkurs (Valutaparität) I € = 7,63 nkr (Stand: 3 1.03.20 10) betr ägt! Lösu ng

2.3~A

I 0: Gesc häftsreise nuc h O slo

Schritt L Kosten des Warenkorbes R in Regensburg 785 E, in 0 510 7.695 nkr Schritt 2: Kaufkraftparität. 7.695 (nkr) = 9 803 nkr/f 785 (E uro) ,

2.3Indexzahlen d.h.: 1 €

=

53 9,803 nkr bzw. I nkr

=

0, 102€

Schritt 3: Kos ten des Regensburger Wa renkorbes in Oslo in € ausgedrückt: 7.695 · 7, ~3 = 1.00 8,52 € Schritt 4: Verteuerung Der Deutsche lebt in Oslo um 1.008,52 -785

=

223,52 € bzw. um 28,5 % teurer.

Schritt 5: Kaufkr aftverl ust In der BRD würde er um um 223, 52 € billiger leben. Der Kaufkra ftverlust des Deutsc hen betr ägt damit in O slo 22,2 % (223,5 2 gemesse n an 1.008,52). Die Kaufkr aft 1 € in O s10 beträgt damit nur 0,778 €. D.h. in Oslo er hält er fü r I € Waren im Gegenw ert von nur 0,778 €. A ufgabe 2.3 -Al l : U m sa tza n al yse In der nachstehend en Tabelle finden Sie auszugsweise für den Zeitraum 200 2 bis 2009 d ie Umsatzentwicklung (in Tsd. €) einer Porzellanfabrik sowie den von der Fabrik für ihre Artikel erstellten Index für Erzeugerpreise. Jahr

2002

2003

2004

2005

2009

Um sat z (Tsd . €)

1.500

1.650

1.800

1.900

2.550

POO,i

104,8

108,2

112,2

110,8 100,0

P OS,i

111,4

.. .

Wie viel Tsd. € der nom inellen Umsatzs teigeru ng von 2002 bis 2008 sind auf die Inflation, wie viel Tsd. € auf d ie mengenmäßi ge Mehrleistu ng zurü ckz ufüh ren? Lö sung 2.3- A I t : Umsa tza nalyse Schritt 1: Preisindex 2009 zur Basis 2000: P OO 09 ,

=

111 4 . 110, 8 , 100

=

123 4 '

Schritt 2: Preisindex 20 09 zur Ba sis 2002 : P02 09 = 123, 4 . 100 0 = 117 7 , 104, 8 ' , Schritt 3: Umsatz 2009 zu Preisen von 200 2: 2.550 . 100 117, 7

=

2 16 7 Tsd € . .

Schritt 4 : Umsatza nalyse - inflationsbedi ngte Umsatzsteigerun g: 2.550 - 2. 167 = 3 83 Tsd. € - mengenmäßige (reale) Meh rleis tung. 2. 167 - 1.500 = 667 Tsd. €

54

2 Beschreibende Statis tik

Aufgabe 2.3-AI2 : Verse tzung von J\l ünchen nach C ha m Ein Angestel lter wurd e von Mün chen nach Cham im Bayerischen Wa ld verse tzt. Seine Verbrauchsgew ohnheiten lassen sich rep räsentativ dur ch die Güt er A bis D dar stellen . In der nachstehenden Tabelle sind ruf diese Güter die Mengen und die Preise (in € ) in Mü nchen und in Cham angege ben.

Gut

Menge

A

125 70 40 35

B

C D

Preis München Cham

23 25 30 45

20 19 25 42

a) Um wi e viel Pro zent lebt der Angestellte in Cham billiger/teurer ? b) Wie viel Prozen t betr ägt der Kaufk raftgewimv-verlu st? Lösung 2.3-A 12: Versetzu ng von M ün ch en nach C ha m Schr itt I : Kosten des Wa renkorbes in Münc hen 7.400 €

Schritt 2: Kosten des Warenkorbes in Cham 6.300 € Schritt 3: Kostenvergleich a)

Das Lebe n in Cha m ist um 1 100 € bzw. 14,9 % billiger als in Mü nchen.

b) Kaufkraft gew inn in Cha m: 17,5 % (1.100 gemessen an 6.300). Fü r I € erh ält der Angestellte in Cham Waren im Gegen wert von 1,1 75 E.

Aufgabe 2.3-AI3 : Reales Einkommen Ein Hoc hsch ulabsolvent trat 1985 se ine erste Stelle an und erhielt ein Jah resnettoeinkommen VOll umgerechnet 24.000 C. Im Jahr 200 9 erhielt er ein Jahresnettoeinkommen von 58 .000 E. Wie gro ß wa r - gemessen an 1985 - se in rea les Jahresnettoeinkommen im Jahr 2009 ? Welcher Te il des nomine llen Einkom menszuwachses stellt eine n realen Zuwachs dar, welc her Te il ist in flat ion sbedingt? Verwenden Sie die nachstehend

angegebenen Verb raucherpre isindizes

für

Deutschlan d (Preisindex für die Lebenshaltu ng) als Maßstab fü r die Ve rte uerung der per sönlichen Leben shaltung des Hochschula bso lventen .

2.3lndexzahlen

55

~r Basisjahr

1991

I"",

11u, I 100,0

199 1 1995 2000 2005

1995

112,5 100,0

2000

106,9 100,0

2005

108,3 100,0

2009

107,0

Lösung 2.3-A13: Rea les Einko mmen Schritt I : Preisindex für 2009 zur Basis 1985 P8 S , 09 ~

110,7 -1, 125 - 1, 069 - 1, 083 - 1, 070

= 154, 3

Schritt 2: reales Nettoeinkommen 58_000 _100 154, 3

=

37 589 € -

Schritt 3: Analyse des Einkommenszuwachses - nom ineller Zuwac hs: 58.000 - 24.000 = 34.000 € - realer Zuwachs: 37.589 - 24.000 = 13.589 € - inflationsbedingter Zuwachs: 58.000 - 37.589 = 20.4 1\ €

Aufgabe 2.3-A I4: Ind exanstieg Ermitteln Sie rechnerisch, wie der Umsatzindex reagiert, wenn für alle G üter in der Berichtsperiode die Preise um 5 % und die Mengen um 10 % gege nüber der Basisperiode gestiegen sind. Lös ung 2.3-A I4: Indexanstieg

p .= 0,1

mit p,

Lp -qI

I

L Poqo =

.\00

1,05·PO und qi = 1, IO·q o ergibt sich

d.h . der Umsatz index ist um 15,5 % gegenüber der Basisperiode gestiegen.

56

2 Beschreibende Statistik

2.4 Zeitrei henana lyse Wesentlic he Aufgabe der Zeitreihenanaly se ist es, die Struktur und d ie Gesetzm äßigkeite n ein er Zeitreihe zu erkennen. Die Kenntni s der Struk tu r und der Gesetzmäßigke iten einer Zeitreihe ist notwend ig, um die Entwicklung eine r Ze itre ihe richtig einschätzen und beu rteilen zu können und um eine Zeitreihe qua lifiziert fortsc hre iben zu können. Zum Erkennen der Struktur und der Gesetzm äßigkelten einer Ze itrei he mü ssen

die Einfl ussgrößen bzw. Komponenten, die auf die Ze itre ihenwerte einwirken, identifiziert un d in ihrem Zusa mmenwirken erkannt werden. Die folgend en Üb ungsaufgaben befassen sich mit den Bereichen

Method en zur Trendermit tlung M ethod e der gleit enden Durch schn itt e M ethod e d er klein st en Quadrate Ermittlung perlediseher Schwankun gen Progno se erst el lu ng

Aufgabe 2.4 - AI : Gleitender Durch schn itt Nac hstehe nd sind die Umsätze Yi (in Mio . €) eines Untern ehmens für die Jahre I bis 12 wiedergegeben . x·

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

I1

12

y;

50

53

55

49

47

52

56

58

59

53

57

54

•

a) Bestimmen Sie die gleitenden Durchschnitte 3., 5. und 7. Ordnung . b) Bestimmen Sie den gleitend en Durchschnitt 4. Ordnung . c) Stellen Sie die Ergebnisse für Aufga be a) grafisc h dar. Lösung 2.4 - AI : G leitender Durchschnitt a) gle itender Durchschnitt 3., 5. und 7. Ordnung i) 3. O rdnung Beim gleitend en Durchsch nitt 3 . Ordn ung w ird der Durc hschnitt aus den Ze itre ihen wert en dreie r benachbarter Ze iträ ume ermittel t und dem mittleren dieser Ze iträu me zugeordnet.

2.~

Zeitreihenanatvse

57

Yj = gleitender Durchschnitt ruf den Zeitraum i 47

52

5'2

+ 55 = 52,67 = 50 + 53 3

49 1 47

52

5'3

+ 49 = 53 + 55 = 52,33 3

471 52

5'4

= 55 + 493 + 47 = 50,33

150

53

551 49

50

53

55

50

53 155

49

Die gleitenden Durchschnitte HiT die Jahre 2 bis 11 sind auf S. 58 tabellarisch aufgeli stet. ii) 5. Ordnung

Die Ve rgehensweise für die 5. Ordnung ist analog jener für die 3. Ordn ung. Der Durchschnitt wirdjetzt aus fünf anstatt drei Zeitreihenwerten gebildet. 150

53

55

49

47 1 52

56

-e 5'3 50 153

55

49

47

52 1 56

--> 5'4 50

53 155

49

47

= 50 + 53 + 555 + 49 + 56 = 50, 8

52

+ 56 + 52 = 53 + 55 + 49 = 5 1, 2 5

56 1 =

55 + 49 + 47 + 52 + 56 5

=

51 8 '

Die gleitenden Durchschnitte für die Jahre 3 bis 10 sind auf S. 58 tabellarisch aufgelistet.

iii) 7. Ordn ung Die Vorgehensweise für die 7. Ordnung ist analog jener für die 3. und 5. Ord-

nung. Der Durchschnitt wird jetzt aus sieben Zeitreihe nwert en gebildet. Y4 = 50+53 +55 +4.7 +47 +5 2 + 56 = 51 ,7 1

5'5 =

53 + 55 + 49 + 47 + 52 + 56 + 58 = 52 86 7 ' 55 + 49 + 47 + 52 + 56 + 58 + 59

7

= 53,71

2 Beschreibende Sta tistik

58

Die gleitenden Durchschnitte für die Jahre 4 bis 9 sind in der nachstehenden Ta-

belle aufgelistet. b) 4. Ordnung Gehen in die Berechnung des gleitenden Durchschnitts 4 . Ordnung die Umsätze

von vier benachbarten Jahren ein, dann existiert kein mittleres Jahr, dem der Durchschnitt zugeordnet werden kann. Um die Zuordnung zu einem mittleren Jahr zu erm öglichen, werden drei benachbarte Jahre und die \/0 (- und nachgelagerten Halbjahre erfasst. Damit ist das zwe ite ganz erfasste Jahr der mittlere Zeitraum, dem der Durchschnitt zuzuordnen ist. Die Umsätze der nur zur Hälfte er-

fassten Jahre gehen jeweils nur zur Hälfte in die Durchschnittsberechn ung ein. )'3 = 0, 5 ' 50 + 53 + ~5 +49 +0,5 '47 = 5 1,3 8 0, 5·53 + 55 + 49 + 47 + 0,5 · 52 = 50 88 4

)' 5

'

0, 5 ' 55 + 49 + 47 + 52 + 0,5 · 56 = 50,88 4

=

Auflistung der gleitenden Durchschnitte 3., 4., 5. und 7. Ordnung: Yj als gleitender Durchschnitt k-ter Ordnung

,

x·

Yi

k =3

I

50 53 55 49 47 52 56 58 59 53 57 54

-

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

52,67 52,33 50,33 49,33 5 1,67 55,33 57,67 56,67 56,33 54,67

-

k =4

-

-

5 1,38 50,88 50,88 52, 12 54,75 56,38 56,62 56,25

-

k=5

k =7

-

-

50,80 5 1,20 5 1,80 52,40 54,40 55,60 56,60 56,20

-

-

-

-

5 1,7 1 52,86 53,7 1 53,43 54,75 55,57

-

-

2.4 Ze i freihena nalyse

59

Mio. €

60 58 56 54

52

•

. --

50

.. Zeit reihe

k= 3 k= 5 k= 7

48

46 3

5

7

9

11

Abb. 2.4- 1: Zeitreihe mit T rendlinien nach der Methode der gleitenden Durchschnitte für k == 3, 5 und 7

Aufgabe 2.4 - A2:

~ I e t h o de

der kleinsten Quadrat e (I)

Für d ie Ze itre ihe unter Aufgabe 2.4 -A 1 ist der Tren d mit der Metho de der kl einsten Q uadrate zu erm itte ln und ansch ließend grafisc h wiede rzuge ben. Lösu ng 2.4 - A2: Meth ode de r kleinst en Q uad ra te ( I) Schritt I ; Erkenn en des Trendverla ufs Der T rend beschreibt die langfristige Gru ndrichtung der Zeitrei he . Er darf da her nich t auf kurzfristig wirkend e und zufällige Einflüsse reagieren, so ndern mu ss als eine Art Mitte llinie glatt du rch die Zeitreihenwe rte laufen. Zum Erken nen des Trendverlaufs ist es i.d.R. erfo rderlich, die Ze itreihe grafisc h darz ustellen . Die Zeitreihe ist in Abb. 2.4- 1 grafi sch wiedergege ben. Es ist zu erkenn en, da ss d ie Umsä tze im Zei tablauf tendenziell zunehmen. Schri tt 2: Festlegung des mathematischen Funktions typs Der im Schritt I erkannte T rendverlauf ist durch einen mathematisch en Funk tionsty p zu beschreiben. Als "glatte Mittellini e" kommt hier eine Funktion 1. Gra des bzw. ein linearer Trend infr age.

2 Beschreibende Stat istik

60

Fehlerquelle :

Auswahl einer Funktion, die den Verlauf der Zeitreihe nwc lte möglichst exakt nachzeichnet, d.h. möglichst durch die Punkte läuft (z.8. Funktion 4. Grades). Schritt 3: Numerische Festlegung der Funktionalparameter Für die Funktion I. Grades (Trendge rade) sind die Parameter a und b, d.h. der Sc hnittpunkt mit der Ordinate bzw. das Steig ungs maß . numerisch festzulege n.

Die numerische Festl egung der Parameter ruf die Trendgerade

y=

a + bx er-

folgt mit a

=y -

bx:

b

=

nxy LX~, - nx2

LXiY i -

Schritt 3.1: Berechnung des Steigungsmaßes b Zunächst werde n in der nac hstehenden Arbeits tabelle die be iden Summenaus-

drücke, die für die Bestimmung von b benötigt werden, berechnet.

L x;Yi

x·

,

Y;

xiYi

x;

I

50

50

2

53

106

I 4

3 4

55

165

9

5

49 47

6

52

7

56

8 9

2

196

16

235 3 12

25 36

58

392 464

49 64

59

53 1

81

10

53

530

100

11

57

627

121

12

54

648

144

78

643

4.256

650

L x ~ = 650

= 4.256 (5. Sp . 3);

(5. Sp. 4 )

Felüerquetle (häufig): Es werden fälschlicherweise

berechnet.

:E Xi . L Yj

=

78 ·643 und/oder L Xi ' LXi

=

78·78

2.4 Zeitreihenanatvse

x= nxy

L X', n

=

78 12

61

I'

= 6,50;

=

nxl

= 12 '6,5 ' 53, 58 = 4.179, 24;

L Y; n

=

= 643 = 53,58;

12

12 · 6, 5 ·6, 5

=

507.

Steigungsmaß b: b

=

L XjY j -

nxy

Lxf - nx

l

4.256 - 4.179, 24 = 76,76 = 0,537 143 650 - 507

=

Schritt 3.2: Berechnung des Schnittpun ktes mit der Ord inate a: a

= I'

- bx

= 53, 58

- 0,537 · 6,5

=

50,090

Schritt 3.3 : Aufstellung der Trendgeraden.

y = 0, 537x + 50, 090 In Abb. 2.4-2 sind Zeitreihe und Trend grafi sch wiedergegeben:

Mio.€ A 60 58 56 J:!

" E ~

~

54 52 50 •

48

• Zeitreihe Trendlinie

46 3

5

7

11

Abb.2.4·2: Zeitreihe mit Trendlinie nach der Methodeder kleinsten Quadrate

Jahre

62

2 Beschreibende Statistik

Aufgabe 2.4 - A3: Me thod e der kleinsten Qu adrate (11) Der Absatz eines Übungsbuches hat sich in den letzten acht Monaten wie folgt entwickelt:

Monat xi

I

2

3

4

5

6

7

8

A bsatz Yj

50

64

71

81

112

125

144

183

Beschreibe n Sie den Trend mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate!

Lösung 2.4 - A3: Met hode de r kleinsten Quadrate (11) Schritt 1: Erkennen des Trendverlaufs Die Zeitreihe ist in Abb. 2.4-3 (S. 64) grafisch wiedergegeben. Es ist zu erkennen, dass der Absa tz in den 8 Monaten prog ressiv zuge nommen hat.

Sch ritt 2: Festlegung des mathematischen Funktionstyps Als "glatte Mittellinie" kommt hier eine Exponentialfunktion infrage. (Ebe nso ist eine Funktion 2. Grad es zur Beschreib ung des Trends möglich.) (mit a > 0 und b > 0) Schri tt 3: Numerische Festleg ung der Funktionalparameter Für die Expon entia lfunkti on sind die beid en Parameter a und b nu meri sch festzu legen . Schritt 3. 1: "Lin earisienmg" der Exponentialfunkt ion Die Exponentialfunktion ist auf dem Wege der Logarith mierun g in die lineare Fonn

In

y=

In a + x - In b

zu transformieren. Die numerische Festlegurig der Parameter a und b für die Trendgerade erfolgt mit

In a =

:Lln Yi n

- ln b - x

In Yi - n· x·

Lxt - nx

2

L ln Yi

n

2..1 Zeilreihenanalyse

63

Schritt 3.2: Berechnung der Funktionalparameter In a und In b Zunächst werden in der nachstehenden Arbeitstabelle die Summenaus drücke. die für die Bestimmung von a und b benötigt werden, berechnet.

x-

,

Yl

In Yi

x: -ln y '

,

x-2

I 2 3

50 64 71 81 112 125 144 183

3,9 120 4, 1589 4,2627 4,3944 4,7185 4,82 83 4,9698 5,209 5

3,9 120 8,3178 12,7880 17,5778 23,5925 28,9699 34,78 87 4 1,6759

I 4 9

16 25 36 49 64

36,454 1

171,6226

204

4 5 6 7 8 36

x = 36 = 4 8

"

L ln Yi n

5-

L Xi , In Yj = 171, 6226;

n';;::'

,

= 36, 454 1 = 4 8

L ln Yj n

,

"

5568-

= 8·4,5 ·4,5568 = 164,0448;

n·;;::2 = 8 .4, 5 2 = 162 .

Damit errechnen sich:

In b In .

=

171, 6226 - 164, 0448 204 162

= 4,5568

- 0, 1804 -4, 5

=

7,5778 42

=

0, 1804

= 3,745

Schritt 3.3: Berechnung der Funktionalparameter a und b (Delogarithmierung) b = 1, 1977; a

~

42,3090

Damit lautet die Trend funktion .

y=

42, 3090 - 1, 1977 x

Der Funktionalparam eter 1, 1977 besagt, dass der Absatz eines Monats durc hschnittlich das 1, 1977-fache des Vonnonatsabsatzcs betragen hat, d.h. der Absatz ist von Monat zu Monat um durchschnittl ich 19,77 % gestiegen.

64

2 Reschreihende Statistik y 200 160

-•• N

•

120

•

,D

-c

•

80 40

> 3

2

5

4

6

7

8

Ja hr

Abb . 2.4-3: Zeitreihenwerte mit Exponentialfunktion als Trendfunktion

Aufga be 2.4 - A4: Peri odische Schwa nkungen (I ) In der nachstehenden Tabelle sind die Quartalsumsätze (in Tsd. E} eines Arti kels für die letzten drei Jahre wiedergegeben.

Quartal xi

I

2

3

4

Umsatz Yj

5

1

4

11

5

6

13,7 9,5

7

8

9

10

11 12

12,6

19,7

22

18

2 1 28

a) Ermitteln Sie den Trend mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate! b) Berechnen Sie die Trend-Umsätze! c) Be rechnen Sie die additiven und multiplikativen Schwankungskomponenten! d) Stellen Sie die Verkn üpfungsform von Trend und periodischer Schwan kung fest und berechnen Sie die Sais onnormalen l Lösung 2.4 - A4: Pe r iodisc he Schwa nkungen (I) a) T ren dermittlung Schritt I : Erkennen des Tren dverlaufs Die Ze itreihe ist in Abb. 2.4-4 grafisch wiedergege ben. Es ist zu erkenne n, dass der Umsatz in den 12 Quartalen tendenziell ges tiegen ist.

65

2.-1 Zeif r eihenanal yse

Tsd. E

28 24 20 N

16

•e

12

:;;

:>

- - Trendlinie 8

. - . -. Zeitreihe

4 4

2

6

8

10

12 Qu alt al

Abb .2.4-4: Zeitreihe mit Trendlinie nach der Methode der kleinsten Quadrate

Schritt 2: Festlegung des mathematischen Funkt ionstyp s Als "glatte Mittellinie" kommt hier eine Funktion I . Grade s infrage . Schritt 3: Nume rische Festleg ung der Funktionalparameter Die Festlegung der Parameter der Trendgeraden a

=y -

bx

b

y = a + bx

erf olgt mit

LXY - I1xy

= =--"::c'-'-r-r-iL X ~ - nx2

Schritt 3. 1: Berechnung des Steigungs maßes b

L xi Yi

x=

= 1.379,3 (s. Sp. 3);

L xf

= 650 (s. Sp. 4);

= 78 = 6 50' - = L Yi = 165, 5 = 13 79' 12 " y n 12 "

nxy

= 12 · 6, 5 · 13, 79 = 1.075, 62;

b =

L XjYi - nxy LX~ - nx2

=

nx2

= 12 - 6,5 - 6, 5 = 507.

1.379,3 - 1.075, 62 303, 68 = 2,124 = 650 - 507 143

2 Beschreibende Statistik

66

Sc hritt 3.2 : Berechnung des Sc hnittpunktes mit der Ordinate a

a =

5' -

bx = 13,79 - 2, 124 ·6,5 = -0,0 16

Schritt 3 .3 : Aufstellung der Trendgeraden

y=

2, 124x - 0,016

In Abb. 2.4-4 (s.S. 65) sind Ze itreihe und Trend grafisc h wied ergegeben.

b) Trend umsätze

Der Trendumsatz ist der Umsatz, der sich einstellen würd e, wenn es keine periodischen und sonstige n Einflüsse gäbe, d.h. we nn alle in die Grundrichtung der Umsatzentw icklung entscheidend für den Umsatz wäre. Für die Ermittlung des Trendumsatzes gilt:

Yi

=::

2, 124x j - 0,01 6

Die Trendum sätze sind in Spalte 5 der Arbeitstabelle wiedergegeben. ( I)

(2)

(3)

(4)

(5)

x'

,

Yi

XjYi

x·

,2

Yi

I 2

5,0 1,0

I 4 9 16

2, 1I 4,23 6,36 8,48

25 36 49 64 8J

10,60 12,73 14,85 16,98 . 19,10

100

2 1,22 23,35 25,47

3 4,0 1...... 4 .. 1 1 1 ,0 13,7 5 6 9,5 7 12,6 8 19,7 9 10 \I 12 78

.. ,

5,0 2,0 12,0 1 4 4 ,0 68,5 57,0 88,2 157,6

22,0 18,0 2 1,0 28,0

198,0 180,0 23 1,0 336,0

121 144

165,5

1379,3

650

.

(6)

Sa

(7)

•

i =Yi -Yj

2,89 -3,23 -2,36 2,52 3, 10 -3,23

-2,25 2,72 2,90 -3,22 -2,35 2,53

S~ I

=

:i Yj

2,37 0,24 0,63 1,30 1,29 0,75 0,85 1, 16 1, 15 0,85 0,90 1, 10

...

2.4 Zeifreihenanalyse

67

c) Schwankun gskompon cntc Die Schwankungs kom ponente beschreibt die Abweichung des beobachteten Umsatzes vom Trend umsatz. Die Schwankungskom po nente beschreibt also, wie die peri od ische Schwanku ng und die Restkom ponente auf den Umsatz einwirken. Sie wird nachstehend abso lut als auch relativ gemessen. Die additive Schwanku ngskom ponente misst den Ein fluss von periodischer Schw ankung und Restkomponente als Differenz zw ischen Umsatz und T rendumsatz .

• Si' = Yj - Yi Die mu ltiplikative Schwankungskompone nte mi sst den Einfluss von pe riod ischer Schwankung und Restkomponente als Quotient aus Umsatz und Trendum sat z.

S!1' = Yj I

Yi

Die addit ive n u nd multiplikativen Schwa nkungskomponenten sind in Spalte 6 bzw . Spalt e 7 der Arbe itstabe lle (s.S. 66) wiedergegeben. Die additive Schwanku ngskompo nente des z.B. 4 . Quartals besagt , dass der tatsächlic he Umsatz im 4. Quartal 2,52 Tsd . € über dem Trendumsatz gelege n ist, die des 6. Quartals besagt, dass der tatsächliche Um satz im 6 . Q uarta l 3,23 Tsd. € unter dem Trendumsa tz gelege n ist. Die mu lti plikative Schwa nkungs komponente des z. B. 4. Quartals besagt, dass der tat sächliche Umsatz im 4. Quartal 30 % über dem T rendumsatz gelege n ist, d ie des 6 . Quartal s besagt, dass der tatsäc hliche Umsa tz im 6. Quartal 25 % unter dem Trendumsat z gelegen ist. d) Tren d un d period isc he Sc hwan kung Ana lys iert man die Schwankungskomponenten g leicher Phasenabschnitte. d.h. zum Beispiel nur die der 1. Quart ale, dan n ist z u erkennen, dass d ie additive Schwankungskompon en te in jewei ls entsprec hen den Quartalen ann ähernd gleich groß (z .B. I. Qu artale : 2,89 ; 3,10 ; 2,90) ist, wä hrend die multiplikative Schwa nkungskomponente im Zeitablau f zu nimm t oder abnimmt (z .B. l. Q uarta le : 2,37 ; 1,29 ; 1,15). Die weitgehen de Stabil ität der addit iven SChwa nkungskompo nente spricht dafür, da ss in entsprechenden Qu artalen der Einfluss der per iod ischen Schwankung additive r Art ist. Unterstellt man, dass der Einfl uss der Restkompo nente zufällig ist, dann ist der Einfl uss im Durchsc hnitt Null. Der Einfluss der periodischen Schwankung kann

68

2 Beschre ibende Stat istik

daher ann ähernd festgestellt werde n, wenn man die Schwa nkungs kompo nenten gleicher Qu artal e addiert und mittelt. Die periodi sche Schwankung wird auch als Saison normale bezeichnet. . a 2,89 +3 , 10 +2,90 Saison normale SN des 1. Quartals: SN ) = 3 = 2,96

Der We rt 2,96 besagt, dass der Umsa tz in den L Quartal en dur chschnittlich 2,96 Tsd. € über dem Trendumsa tz liegt, d.h . vom I. Quartal gehen günstige Einflüsse au f den Ums atz aus. Die Sa iso nnonnalen der ande re n Quart ale lauten : SN fI = -3 ,23 Tsd. e , SN fn = -2,32 Tsd. €;

SNfv = 2,59 Tsd. €

Der Ums atz des z .B. 4. Quarta ls 11,0 Tsd. € lässt sich damit wie folgt zerlege n: - Trendumsatz:

8,48 Tsd . € (5. Arbeitstabelle, S. 66)

- Saisonnon nale:

2,59 Tsd. €

- Restkomponente :

- 0,0 7 Tsd. E ( 11,0 - 8,48 - 2,59)

Aufga be 2.4 - A5: Periodische Schwankungen (11) In der nachstehenden Tabelle sind die Quartalsum sätze (in Tsd. €) eines Artikels für di e letzten dre i Jah re wiedergegeben. Q uartal x i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1I

12

Umsat z Yi 13,5 9,7 19,8 16,8 26,6 17,0 33,6 27,0 40,0 26,0 47,0 36,3 a) Er mitteln Sie d en T rend mit Hilfe der Method e der kleinsten Quadrate! b) Berechnen Sie die Trend -Umsätze! c) Berechnen Sie die add itiven und multipli kativen Schwanku ngsko mpo nenten! d) Ste llen Sie die Ve rknü pfungs form von Trend und periodi scher Schwankung fes t und berechn en Sie die Saiso nn ormalen ! e) Ermitteln Sie, für welche Umsatzbestand teile Trend, per iodische Schwankung und Restk omponente im Quartal 9 verantwortlic h sind!

Lösung 2.4 - A5: Periodis che Schwan kun gen (11) a) T rend ermittlun g Schri tt I : Erk enn en des Trendverlau fs Die Zeitreih e ist in Abb. 2.4-5 gr afisc h wiedergegeben. Es ist zu erkennen, dass der Um satz in den 12 Quartal en tendenziell ges tiege n ist.

2. .f Zeitreihenanalrse

69

Tsd . € 48

40

1ii

32

~

E 24

=>

16

- - Trendlinie

8

•

4

2

6

• Zeitreihe

10

8

12 Quart al

Abb. 2.4-5: Zeitreihe mit Trendlinie nach der Methode der kleinsten Quadrate

Schritt 2: Festlegurig des mathematischen Funktionstyps Als "glatt e Mitte llinie" kommt hier eine Funktion I. Grade s infrage. Schritt 3: N umerische Festlegung der Funktionalparameter Die Festlegung der Parameter der Trendgeraden

a

=y -

bx

b

y=

a

+ bx erfolgt mit

LX 'Y' - nxy = ::C:'! '"-,' - -='-

,

nx 2

L X~ -

Schritt 3. 1: Berechnung des Steigungsmaßes b

L x;Yi _

= 2.4 18,3

LXi

x = - n-

nxy = b =

L xf = 650

(s. Sp. 3);

78 = T2 = 6, 50;

y

12 · 6, 5 · 26, 11 = 2.036, 58 ;

2: XjYi -

Lx f -

nxy 2.4 18,3 = 650 nx2

= 3 13,3 = 26 11.

=

nx2

2.036, 58 507

(s Sp. 4); 12

"

= 12 · 6, 5 · 6, 5 = 507.

=

38 1,72 143

=

2,669

2 Beschreibende Statistik

70

Schritt 3.2: Berechnung des Schn ittpunktes mit der Ordinate a a

=y -

=

bx

=

26, 1I - 2, 669 ' 6, 5

8,762

Schritt 3.3: Aufstellung der Trendgeraden

y=

2,669x + 8, 762

In Abb. 2.4-5 (5. 69) sind Zeitreihe und Trend grafisch wiedergegeben. b) Trendumsätze

Für die Ermittlung des Trendumsatzes gilt;

Yj =

2, 669xj + 8,762

Die Trendum sätze sind in Spalte 5 der Arbeitst abell e wiedergegeben. ( I)

(2)

(3)

(4)

(5 )

(6)

x'

,

Yi

XjYi

2 x'

,

Yl

,

S'i = Yi - Yi '

1

13,5

13,5

I

11 ,43

2,07

1, 18

2

9,7

19,4

4

14, 10

-4,40

0, 69

3 ......4

19,8

59,4 67,2

1, 18 0,86

133,0

25

16,77 19,44 "22, 11

3,03 -2 ,64

5

16,8 26,6

9 16

4,49

1,20

6

17,0

102,0

36

24,78

-7,78

0,69

7 8 ' <)'

33, 6 27,0

27,45

6, 15

1,22

"

(7)

S~n I

=

:i Yj

235,2 49 2 16,0 64 1 ' 1 (\0 0 400 3 , 81 ,

30, 11

-3, I I

0,9 0

32,78

7,22

1,22

10

26,0

260,0

100

35,45

-9,45

0,7 3

11 12

47 ,0 36,3

5 17,0 435 ,6

12 1 144

38, 12 40 ,79

8,8 8 -4,49

1,23 0,89

78

3 13,3

24 18,3

650

c) Schwankungskomponente

Die additive Schwankungskomponente misst den Einfluss von periodischer Schwankung und Restkomponente als Differenz zwischen Umsatz und Trendumsatz.

S'i

=

Yi - Yi

2.4 Zeitreihenanalvse

71

Die multiplikat ive Schwankungsko mpo nen te mi sst den Einfluss von periodischer Schwa nkung und Restkomponente als Quotient au s Umsatz und T rendumsatz.

S~ = Yi I

Yi

Die additiven und multiplik ativen Schwan kungsko mpo nenten sind in Spa lte 6 bzw . Spa lte 7 der Arbeitstab elle wiedergeg eben . Die additive Schwankungskompo nente des z.B. 3. Qu artals besagt, da ss der tatsächliche Umsatz im 3 . Quarta l 3,03 Tsd . € über dem Trendumsatz ge lege n ist, die des 4. Qualtals besagt, dass der tatsächliche Ums atz im4 . Quartal 2,64 Tsd. € unt er dem Trendumsatz ge legen ist. Die m ulti plikative Schwankungskom pon en te des z.B. 3 . Q uartals besagt , dass der tatsächlich e Umsatz im 3. Quartal 18 % über dem T rendumsatz gelege n ist, d ie des 4. Q uartals besagt, dass der tatsächliche Ums atz im 4. Q ualtal 14 % un ter dem Trendu msatz gelegen ist. d) und e) Trend und periodi sche Sch wankung Analysie rt man d ie Schw ankungskompon enten g leicher Phasena bschnit te. d.h. zum Beisp iel nur die der I. Q uarta le, dann ist zu erkennen, da ss die multi plikativc Schwankungskomponente in j eweils entsprechende n Quartalen ann ähernd gleich groß (z.8. l. Q uarta le: 1,18; 1,20 ; 1,22) ist, währen d die additive Schwankungs komponente im Ze itablauf deutlich zunimmt (z.8 . I. Quart ale : 2,07; 4,49 ; 7,22 ) oder abnimm t. Die weitgehend e Stabilität der multiplikativen Schw ankungs kornpon ente spricht dafür, dass in entsprechenden Qu arta len der Einfluss der per iod ischen Schwankung mu ltiplikativer Art ist. Saisonnormale SN des I. Quartals : SN ~n =

1, 18 + 1,20 + 1,22 3

~

1,20

Der Wert 1,20 besagt, dass der Umsatz in den I. Q uartale n durchschnittli ch 20 % üb er dem Tren dumsatz liegt, d.h. vom I. Quartal ge hen günstige Einflüsse auf den Umsa tz aus. D ie Saiso nnonn alen der anderen Quartale lauten:

SN ~ ~ 0,70 ; SN ~I ~ 1,21 ;

SNrV ~ 0,88

Der Um satz des z.B. 9 . Qualtals 40,0 Tsd . € lässt sich damit wie folgt ze rlegen: - T rendum satz : - Sa iso nnonnale : - Restkomponente:

32,78 Tsd . € (s. Arbeits tabe lle) 6,56 Tsd. € (20 % vo n 32,78) 0,66 Tsd. € (40, 0 - 32,78 - 6,56)

2 Beschreibende Statistik

72

Aufgabe 2.4 - A6 : Pregnu seerst ellung ( I) Aufg abe 2A-A6 stel lt die Fortsetzung der Aufgabe 2.4·A2 (S. 59) dar. Für die dort bzw . unt er Aufgabe 2A-A I (5 . 56) angegebe ne Ze itreihe sind der Um satz für das Ja hr 13 und der Umsatz für das Jah r 25 zu progno stizieren .

Lösun g 2.4 - A6: Prognoseerstellun g (I) Für die Pro gnoseerstell ung wir d d ie unter Aufgabe 2.4· A2 ermittelte T rendgerade

Yj

= O,537x j + 50,090

verw endet. i) Jahr 13 bzw . x 13

yr3

=

= 0 ,537 . 13

13

+ 50,090

=

57,07 1 Mio. €

Der Tr endumsatz 57,07 1 Mio. € wird als Prognosewert verw endet. - Die Abweichunge n der Umsä tze der letzten 12 Jah re vom j eweiligen T rendumsatz könn ten herangezogen werden, um Aussagen über das Ausmaß mög licher Abweic hunge n des Pro gno seu msatzes vom tatsächlichen Umsatz zu machen . Die Aussagen kön nten zusätzlich mit Hilfe der Wah rscheinlichkeitstheor ie gestützt werden. ii) Jahr 25 bzw. x25 :::: 25

Y~5 ~ 0,5 37 ·25 + 50,0 90

= 63,5 15 r-.h o. €

Es ist n icht sinn voll, den Trend umsatz 63,5 15 Mio. € als Prognosewert zu verwe nden, da das Prognosej ahr 25 zu weit vom Untersuchungszeitraum [1; 12], für den di e erkannte Gesetzmäß igkeit gilt, entfernt liegt.

Aufga be 2.4 - A7: Prognoseerstellung (11) Aufgabe 2.4 -A 7 stellt d ie Fort setzung der Aufgabe 2.4-A3 (S. 62 ) dar . - Es ist für den Mo nat 10 der Absatz von Büchern zu prognostizieren. Lö sung 2.4 - A 7: P rogn oseerst ellun g (11 ) In die unter Aufgabe 2.4 -A7 ermittelte Trendfunkt ion ist der Mo nat sw ert 10 einzusetze n.

yio = 42 ,3090· I, 1977 10 = 42,3090 ·6,074 1 = 256,989 1 We nn d ie für die Mo nate I bis 8 erkannt e En twicklung anhä lt, kann mit einem Absa tz vo n zirka 257 Büchem gerechnet werden.

73

2. .J Zeitreihcnanalvse

Aufgabe 2.4· A8: Prognoseerstellung (1lI) Aufgabe 2.4-Aß stellt die Fort setzung der Aufgabe 2.4-A4 (S. 64) dar. - Es ist der Umsatz für das II. Quarta l des 4. Jahres zu prognostizieren . Lösu ng 2.4 - Ag: Prognosee rstcllung (111) Es sind di e unter Aufgabe 2.4-A4 festgestellten Gesetzmäßigk elten für di e Prognoseerste llung heran zuziehen. Schritt 1: Ermittlung des Trendumsatzes .p

Y I4 ~ 2, 1 24 ' 1 4·0,O I6 ~ 29,72T sd . €

Aufgrund des Trend es kann mit einem Umsatz von 29,72 Tsd. € gerechn et we rden.

Fehlerque lle: Es wird die Nummer des Quartals fehlerhaft ermit telt . Schri tt 2; Berücksic htigung der periodi schen Schwankung Es wurde unter Aufgabe 2.4·A4 festgestellt, dass die Umsätze in den 11. Q uartalen durchschnittlich 3,23 Tsd. € unter dem j ewei ligen Trendumsatz liegen . p

Yl4

~P

~ Y14

a

+ SN II

~

29.72· 3,23

~

d 26.49Ts . €

Für das 11. Quartal im 4. Jah r wird ein Umsatz von 26 .490 € prognostiziert . Feltlerquelle (hä ufig): Es wird vergessen, d ie periodische Schwa nkung in die Prognose einz ubeziehen, wa s einen erheblichen Verlust an Prognosequalität bedeuten kann.

Aufga be 2.4 - A9: P rognoscc r s tcllun g (I V) Aufgabe 2.4·A 9 stellt die Fort setzu ng der Aufgabe 2.4-A5 (S. 6 8) dar. - Es ist der Umsatz für das I. Quarta l des 5. Jahres zu progno stizier en. Lösung 2.4 - A9: P ro gnoseer stellung (IV) Es sind die unter Aufgabe 2.4- A5 festges tellten Gesetzmäßi gkeiten fiir d ie Prognoseerstellung heranzuziehen. Schritt I : Ermi ttl ung des Trendumsatzes

.p Y17 ~ 2,669 · 17 + 8.762

~

54,135 Tsd. €

74

2 Heschreihen de Slalis lik

Aufgrund des Trendes kan n mit einem Umsatz von 54, 135 Tsd . € gerechnet we rden .

Fehlerquelle: Es wi rd di e Nummer des Quartals fehlerhaft ermitt elt . Schr itt 2: Berücksichtig ung der peri odi schen Schwankung Es wurde unter Aufgabe 2.4-A5 festgestellt, dass die Umsätze in den I. Quartalen durchschni ttli ch 20 % über dem je we iligen Trendumsatz liegen .

yf7 =y i7 ·SNj =54, 135 . 1,20 = 64,962 Tsd. € Für das I. Quartal im 5. Jahr wird ein Umsa tz von 64 .962 € pro gnostiziert .

Feh lerquelle (häufig): Es wird verges sen , die period ische Schwankung in die Prognose einzubez iehen, was einen erheblichen Verlust an Prognosequalität bedeuten kann . Probleme, Trend un d mult iplik ative Sais onnormale zu verknüpfen, insb esondere wen n die Sai sonnonnale klein er als I ist (= Fehler bei der Pro zentrech nung). Ad ditio n der Saisonnorm alen anstatt Multiplika tion mit der Saisonnorm alen .

Aufgabe 2.4 - A 10; Umsalzenlwicklung Nachstehend sind die Umsä tze (in Mio . €) eines Unternehmens für die letzten 12 Jahre wiedergegebe n. Jahr

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Umsatz

6

8

5

10

9

13

16

15

16

20

18

24

Beschre iben Sie den T rend der Umsatze ntwicklung mit Hilfe der Meth ode gleiten der Durchschnitte 3., 4., 5. und 7. Ordnung! Geben Sie Ihre Ergebnisse grafisch wiede r! Lösung 2.4 - ..-\ 10: Umsa tze ntwicklung

3. Ordnung: 6,33; 7,67; 8; 10,67; 12,67; 14,67; 15,67; 17; 18; 20,67. 4. Ordnung: 7,62; 8,62; 10,62; 12,62; 14, 12; 15,88; 17; 18,38. 5. Ordnu ng : 7,6; 9; 10,6 ; 12,6; 13,8; 16; 17; 18,6. 7. Ordnung: 9,57; 10,86; 12; 14, 14; 15,29; 17,43.

2.4 Zeitreihenanatvse

75

Aufgabe 2.4 - Al l : Gelände fahrze ug Im Umfe ld meh rerer kräftiger Preiserh öhungen für Dieselkraftstoff entw ickelte sich der Absatz eines sehr viel Kraftstoff verbrauchend en Gelände fahrze ugs in den letzten 10 Monaten wie folgt: Mo nat

I

Absa tz

1.200

2

3

4

5

6

7

8

9

10

870

595

400

300

200

145

94

64

53

a) Stellen Sie die Absatzentwicklung gra fisch dar und überlegen Sie, we lcher Funkt ionstyp den Trend wiedergeben kann! b) Beschreib en Sie den Trend der Absatzente.. . icklung mit Hilfe der Methode der klein sten Quadrate! c) Progno stizier en Sie den Absatz für den 12. Monat! Aufga be 2.4 - A l l : G el ände fa hrzeug a) Expon entialfunktion. b) In b = (272,383 8 - 30 1,895): (385 - 302,5) = -0,3577; b = 0,6993 In a = 5,4 89 - (-1,9674) = 7,4564; a = 1730 ,8493. c) ca . 24 (23,67 )

Aufgabe 2.4 - A12: Museum Nach der Au fnahme bedeutend er Gemälde in einem Museum für mod ern e Kunst wurden in den letzten 16 Q uarta len folgende Anza hl von Besuche rn (in 1.000) gezählt: Quartal

I

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

Anzahl 13 7 2 1 19 28 22 36 34 43 37 5 1 49 59 52 66 64 a) Stellen Sie d ie Entwicklung grafisch dar und überlegen Sie, welcher Funktionsty p den Trend wiedergeben kann! b) Beschreib en Sie den Trend mit Hilfe der Methode der klein sten Qu adrat e! c) Ermittel n Sie die add itiven und multiplikative n Schwankungskompo nenten! d) Wi e sind Tren d und periodische Schwankung verknüp ft? e) Berechnen Sie die zu d) entsprechenden Saiso nno rmalen! f) Prognostizieren Sie die Besucherzahl für das Quartal 18!

2 Beschreibende Statistik

76 Lösun g 2.4 - AI2: 1\luseu m

a) b) d) f)

Funktion I. Grades (Trendgerade) b = (6377 - 5.108, 16) : ( 1.496 - 1.156) = 3,732; a = 37,56 - 3 1,72 1 = 5,839 additiv. e)3, 79; -6,2; 4,08; - 1,66 73,0 15 - 6,2 = 66,8 15 (in 1.000) bzw. 66.8 15 Besucher

Aufgabe 2.4 - AI3: Cerevisla Hrau Gm bH Die Cerevi sia Brau GmbH hat am I. August 2009 den Diplom-Betriebswirt Delator eingestel lt, der mit seinem neuen Marketingkonzept den stark rü ckläufigen Bierabsatz wieder steigern soll. Die rückläufige Entwicklung der letzten vier Jahre kann durch die Trendgerad e y = -5,5x + 345 beschrieben werden. Der Trendennittlung lagen die Quartalswert e (X) der Jahre 2004 his 2009 zugrunde. Der Bierabsatz (Y; in 1000 hl) in den 11. Quartalen betrug: x·I

2

6

10

14

Yi

412,36

376,8

350,9

3 19,2

a) Untersuchen Sie anhan d der vorliege nden Daten, wie Tren d un d periodi sche Schwankun g verknüpft sind! Begründen Sie Ihre Antwort! b) Interpretieren Sie die Schwankungskompon ente für da s QUaT1al 10! c) Berechn en Sie die Saiso nnormale! Interpretieren Sie da s Ergebnis! d) Wie hoch muss der Bierabsatz im 11. Quartal 2010 mind estens se in, dam it Delator von einem erfolgre ichen Marketingkonze pt sprechen kann ? Lösu ng 2.4 - A 13: Cerevista Hrnu G m bll a) multiplik ative Verknüpfung, da die multipIikativen Schw anku ngskom pon enten ann ähe rnd gleich 1,23; 1,2 1; 1,21 ; 1,19; b) S% = 1,21 ; c) SNIT = 1,2 1; d) 18. Quarta l: 24 6 · 1,2 1 = 29 7,66 , d.h. deutlich über 297.66 0 hl.

Aufgabe 2.4 - A14: Betri ebsunfalle In einem Großkonzern wu rde für die Ze it vom 01.0 1.2005 bis 3 1 12.2009 bei annähernd gleicher Beschäftigt enanzahl ein erheblicher Rückgang der Betrieb su nfalle (Y ) regi striert. Die rückläufige Entwicklung in d iesem Ze itraum kan n durch di e Trendger ade y =. 50x + 1.800 beschrieben werden. Der Tren der mittlu ng lagen die Quartalswert e (X) des Betrachtun gszeitraumes zugru nde.

2. .J Zeitrcihcnanalvsc

77

Anza hl der Betri eb sunfälle in den I. Qu arta len der fün f Jahre :

,

x·

1

5

9

13

17

y;

1.590

1.382

1.176

982

780

a) Untersuche n Sie anhand der vorliegenden Daten, wie Tren d und period isch e Sc hwankung ve rknüpft sind! Begrü nden Sie Ihre Antwort ! b) Bestimmen Sie die Schwan kungskomponente für das Quartal 9! Interpretieren Sie das Erge bnis ! c) Berechnen Sie d ie Saisonnormale! Interp retieren Sie das Ergeb nis! d) Ge be n Sie eine Prognose für das I. Qua rtal 2011 ab! Halten Sie das Ergebnis für realistisch? Beg rü nden Sie Ihre Auffassung! Lös u ng 2.4 - A t4: Betriebs unfa lle a) add itive Verkn üpfung, da - 160 ; - 168; - 174; -168 ; - 170 an n ähernd gleich; b) S ~ = -1 74 ; c) SN ~ = -840 : 5 = - 168 ; d) 25 . Quartal : 550 - 168 = 382; der Wert wir d n ur schwer erre ichbar se in.

Aufga be 2.4 - A 14: M ateri a lve r b r au ch Der monatlich e Mat erial verbrau ch y (in kg) von 0 1.0 1.05 bis 3 1. 12.09 wird durch die Trendge rade y = 300x + 60.000 beschr ieb en . In der folgen den Tab elle finden Sie die Ve rbrauchswerte für d ie Monate Augus t aus diesem Zeitraum: Monat Ve rbrauc h

8

20

32

44

56

54.290

56 . 100

57 .770

62 .950

64.5 10

a) Untersuc he n Sie anband der vor liegen de n Date n, wie Tre nd und periodisch e Schwankung verk nüpft sind! Begründe n Sie Ihre Antwo rt! b) Bere chn en Sie d ie Saisonno n nale für den M onat August! c) Auf wie viel kg so llte der Materialdispo ne nt das Lage r zum 0 I . August 20 10 m indestens auffü llen lassen? Lö s ung 2.4 - A1 4: Muterialverbrauc h a) multiplikative Ve rknüpfung, da 0,87 ; 0,85; 0,83 ; 0,86 ; 0,84 ann ähernd g leich; b)

SN~Ug = 0,8 5 ; c) Auffüllung auf noch eine n Sich erh eitszuschlag.

Y;s

= 80.400·0,85 = 68.340 kg, dazu

2 Beschreibende Statistik

78

2.5 Regressions- und Korre lationsa na lyse Die Regression s- und Korr elationsanal yse hat di e Aufgabe, den Zusammenhang

zwischen mehreren Merkmalen zu beschreiben. Bei den fo lgenden Aufgaben ist der Zusammenhang zwischen zwei Merkma len X und Y zu ana lysieren . Im Rahm en der Regressionsa naly se wird di e Form bzw . Tendenz des Zu sammenhangs durch eine math emati sche Funkt ion beschr ieben . Die Korrelationsan alyse untersucht, wie stark der Zusammenhang zw isc hen den Me rkmalen ausgeprägt ist. Bei der Regression sana lyse kommt die Methode der klein sten Quadrate zum Einsatz. Zu die ser Method e werden relativ wenige Aufgaben ges tellt, da zu dieser Metho de im Rahm en der Zeitre ihenanalyse (Absc hnitt 2.4, S. 56 ff.) bereit s Aufgaben ge stellt wu rden. Dort \....urde mit der Methode der kleinsten Q uad rate der Zusammenhang zwi schen dem Merkma l X (Zeit) und dem zwe iten Merkma l Y (Umsatz, Ab satz, Besucherzahl etc.) analy siert . Die Zeitreih enana lyse ist, so ge sehen, ein Spez ialfal l der Regression sanal yse. Die fo lgenden Übungsa ufgaben befa ssen sich mit den Bereichen - E rmittlung der line aren Reg ressionsfun k tion -

Korrel ationsk oeffizient von Bra vnis-P earson ß estimmthcitsm aß Rangkorrelariousko efflzlcn t V Oll Spea r mun Kontin genz koeffizient en

Aufga be 2.5 - A I: P roduktionskosten In der folgenden Ta belle finden Sie für das letzte zwe ite Halbjahr d ie monatli chen Au sbringung smengen und die jeweiligen Prod uktionskosten. Mo nat

7

8

9

10

11

12

Menge (in 1.000)

2

3

6

4

8

7

40

45

85

65

95

90

Kosten (Tsd. € )

a) Unters uchen Sie mit Hilfe eines Streuungsdiagramms. von welch er Zusammenhang zwischen den beiden Me rkmale n ist !

F0l111

der

2.5 Regressions- und K()rrela!i() nsana'y.~e

79

b) Ermitteln und interpre tieren Sie die Regressionsfunktion y! c) Berech nen Sie den Korrelationskoeffizienten von Bravai s-Pearson ! d) Berec hnen und interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß ! e) Mit welchen Produktionskosten ist bei einer Ausbringungsmenge von 4.000 Stück zu rechnen? Lösun g 2.5 - Al : Pro duktionskosten

a) Streuungsdingra mm In Abb. 2.5- 1 ist das Streuungsdigramm \viedcrgegebcn. Es ist - nicht nur wegen der bereits eingetragenen Regressionsgeraden - deutlich zu erkennen, dass der Zus ammenhang zwischen Ausbringungsmenge und Produktionskosten durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. b) Reg ressio nsfun kt ion Sr

Die Regressionsfunktion Y beschreibt die Fonn des Zusammenhangs zwischen dem unabhängigen Merkmal X und dem abhängigen Merkmal Y. In der Aufgabe ist die Ausbringungsmenge das unabhängige Merkmal und die Produktionskosten sind das abhängige Merkmal, entsprechend sind X und Y zuzuordnen. Wäre die Abhängigkeit nicht einseitig, sandem wechselseitig oder unbekann t, dan n wäre zusätzlich die Regressionsfunktion aufzustellen.

x

2 Besc hre ibende Stat istik

80

Die Regressionsger ade y wird mit der Methode der kleinsten Q uadra te ermit telt . Diese Methode wurde unter Aufgabe 2A-A2 ausführlich beschriebe n. Schritte I und 2: Erkennen des Regre ssionsverlaufs und Festlegung des math ematischen Funkti on styp s Diese Schri tte wurden unt er a) durchgeführt.

Fehlerquelle: Ausw ahl eines ungeeigneten, nicht passenden Fu nktionstyps. Schritt 3: Numerisc he Festleg ung der Funktiona lparameter Die Parameter für die Regre ssion sgerade

y=

al

+ b Ix

werd en numerisch

fes tge leg t mit b I --

L

X' y ' - nxy-

"

Lxf -

nx: 2

Schr itt 3. 1: Berechnu ng des Steig ungsmaß es b 1 Z unäc hst werden in der nachstehenden Arbeitstabelle die beiden Summenausdru cke, die für die Bestimmu ng von b 1 benötigt werden, berechnet.

,

Yi

2

x iYi

x,2

40

80

4

3

45

135

9

6

85

5 10

36

X·

L xiYi

4

65

260

16

8

95

760

64

7

90

630

49

30

420

2.375

178

= 2.375 (5. Sp. 3);

L X,2

= 178 (5. Sp . 4 )

Fehler quelle (hä ufig) : Es we rde n fälsc hlicherweise L Xi ' L Yi = 30 . 420 und/o der

LX", L X', =

berechnet. _ L Xi 30 x = - - = 6 n

nxy

= 5''

= 6· 5 . 70 = 2.100 ;

-Y =

L Yi

nx2

= 6·5·5 = 150.

n

= 420 = 70 '

6

'

30·30

2.5 Regressions· und Korrelationsanatvsc

81

Steigu ngsma ß b 1 : _ L Xi Yi - nxy 2.375 - 2. 100 b1 = 178 - 150 2 L X? - nx

,

= 275 28

= 9,82

Schritt 3.2: Berechnung des Schnittp unktes mit der Ordinate a l

"I

=Y-

b lx

= 70

- 9,82 '5

=

20,9

Schritt 3.3: Aufstellung der Regressionsgeraden

y=

9,82x + 20, 9

Mit Hilfe der Regressionsge raden können für bestimmte Ausb ringungsmenge n die j ewe ils tendenziell (d urchschnittli ch) anfallenden Prod ukt ionsko sten berech net w erden. Der Regressionskoeffi zient b 1 = 9 , 82 besagt, dass mit einer Erhöhung der Ausbringungsmenge um 1.000 Stück die Prod uktionskosten um tend enziell (d urchschnittlich) 9,82 Tsd. € ansteigen. Die Regressionskonstante a l = 10, 9 besagt, dass d ie Produ ktionsko sten bei der Ausb ringu ngsmenge 0, also die fixen Produkrionskostcn, 10,9 Tsd. € betr agen. . Die Interp retation ist j edoch nicht unproblem atisch, da die Ausbringungs menge x = 0 nicht im Unte rsuchungs bereich [2; 7] enthalten ist.

Fehlerquelle (se hr häufig): Die Regression skonstante wird gedan kenlos als fixe Größe, im Beispiel als fixe Kosten , interpretiert , ohne zu beachten, ob der zugehörige Wert x = 0 im Untersuch ungs bere ich liegt. Liegt der Weil nicht im oder nicht sehr nahe am Unters uchungsbereicb, dann ist d ie Interpretation problematisch, da im Bereich um 0 ein anderer, hier nicht untersuchter Zusa mmenhang zwi schen X und Y gelten könnt e . Exkurs: Regressionsfunktion

x= a2 + b 2 x

Da di e Produ ktion skosten keinen Einfluss auf d ie Ausbringungs menge haben, ist die Erstellung der Regressionsfunktion nicht erforderlich. Die nachstehende Erstellun g der Funktion erfolgt allein aus lerntechnischen Gründen.

x

_ LX jYi - nxy b2 z 2. Yj - ny 2

2.375 - 2. 100 32.200 _ 29,400

bZ

=

"2

=5

- 0, I . 70

=

= -2

275 2800

=

0, I

82

2 Beschreibende Statistik

Die zwei te Regressionsgerade lautet damit: x = b 2 y + 32 = 0, Iy - 2 Im Falle der Abhängigkeit könnte mit Hilfe dieser Regressionsgeraden

ruf

be-

stimmte Produktionskosten die sich j eweils tend enziell (d urchschnittlich) ergebende Ausbringungsmenge berechnet werden. - Der Regressionskoeffizient 0, I besagt, dass bei einer Erhöhung der Kosten um 1 Tsd. € die Ausbringungs menge tendenziell um 0, I Einheiten (in 1.000) bzw . 100 Stück ansteigt. Die Probl ematik

der Interpr etation der Regressionskonstant en wird bei dieser Regression sgeraden mit - 2 besonders deutl ich. Die Interpretat ion "bei Produktionskosten in Höhe von o € beträgt d ie Ausbringungsmcnge tendenziell (durc hschnittlich) -2.000 Stück" macht kein en Sinn. Der Wert Y "" 0 liegt zu weit außerhalb des Untersuchungs be reichs [40; 90J,

c) Korrelation skoeffizient r vo n ßrav a is-Pea r son Der Korrelationskoeffi zient von Bravais -Pearse n misst die Stärke des linearen Zusa mmenhangs zwischen zwei Merkmalen X und Y. Der Korrelationskoeffi zient wird mit - eine mögliche Darstellungsfor m - folgender Formel berechnet:

=

r

L XiYi -

nxy

2.375 - 2.100

275

J( 178- 150) · (32.200 - 29.400)

Jz8 · 2800

275 28 0

+ 0,98.

Z ur Interpretat ion des Korrelationskoeffizienten: zunehmend gleich l~ u figer > (posi tiver ) Zusammenha ng

zunehmend gege nläufiger (negativer ) Zusammenhang

~

- - - - - -- - -- - - 1 -I

r

o

r

+1

Da r mit +0,98 sehr nahe an der oberen Gre nze des Wertebereiches für r liegt, besteht ein sehr starker gleichläufiger (positiver) Zusamme nhang zw ischen der A usbringungs menge und den Produktionskosten . D.h . es besteht die sehr starke Tendenz, dass die Produktionskosten mit zunehmender Ausbring ungs menge

2.5 Regressions- lind Korrd ationsanalvse

83

ebenfa lls zu nehmen entlang der Regressionsgeraden y. Der Einfl uss der Ausbringungsmenge auf die Produktionskosten ist sehr hoch, andere Faktoren haben einen nur untergeordneten Einfluss auf die Koste n.

Fehlerqu elle: Der Wert r wird - falls positiv - fehlerhafterweise als Prozentwert interpretiert (im Beispiel: "Die Produktionskosten werden zu 98 % d urch die Ausbringungsmenge bestimmt. "). d ) Bestlmmth clt smuß B 2 Das Bestimmtheitsmaß misst die Stä rke des Zusammenhangs zwischen zw ei Merkmalen X und Y, indem über eine Streuungszerle gung (Varian zanalyse) ermitt elt wird, inwieweit d ie quadrierten Abwe ichungen der Merkm alswerte y vom durch schnittlichen Merkmalswert y durch das Merkma l X bzw. die Regression bestim mt bzw . verursacht werden . Die Berechn ung des Unbestimmtheitsmaßes erfolgt mit

t

(L XjYi - nxy

Bei linearem Zusammenhang ist das Bestimmtheitsmaß gleich dem Quadrat des Korrelatio nskoeffi zient en von Bravais- Pearson. Es gilt folglich :

8 2 = r2 = b 1 . b2

(nur bei linearem Zusammenh ang')

Der Teil der Abw eichung, der durch die Regression unbestimmt bleibt, wird d urch das Unbestimmtheitsmaß U 2 angegeben bzw. beziffert . U 2 = 1 _ B2

Da der Korrelation skoeffizient aus Aufgabe c) bekannt ist, kann das Bestimmtheitsmaß vereinfac ht berechnet werden :

B 2 = , 2 = 0, 98 2 = 0, 96 Das Bestim mtheitsmaß drückt aus, dass die Varianz der Produktionskosten z u 96 % durch die Ausbringungsmcnge verursacht wird . 0 .11 . die quadri erten Abweichungen der Produktionskosten von den durc hschnittlichen Produktionskosten 70 Tsd. € werden zu 96 % durch die Ausbringungsmenge bestimm t. Der Einfluss

2 Beschreibende Statis tik

84

der Ausbringu ngsme nge auf die Kost en ist folglich sehr hoch . Andere Ein flu ssfaktoren sind für nur 4 % der quadri erten Abweichunge n veran twortlich.

Fehlerquelle: Der Wert für das Bestimmth eitsmaß w ird nicht auf die Varian z der Prod uktionskosten, sondern fehlerhafterw eise auf die Produktion skosten se lbst bezogen (im Beispi el: "D ie Produktionskosten werden zu 96 % durch d ie Ausbringungs menge bestimmt. ").

e) Ausbrin gun gsmen ge 4.000 Der Wert x = 4 (in 1.000 Stück t) ist in die Regress ionsfunkt ion einzuse tze n:

y4

~ 9,82·4

+ 20, 9

~ 60, 18 Tsd. €

Bei einer Au sbrin gungsmenge von 4.000 Stück fallen tend enz iell (du rch schnittlich) Kost en in Höhe 60, 180 € an .

Aufgabe 2.5 - A2: Existenzgründer Ei n Existenzgrü nd er erwartet im ersten Gesc hä ftsjahr einen Umsatz in Höhe von 150 Tsd . € . Er mö chte wissen , mit welchem Mat eriala ufwand er ten denziell rechnen mu ss. - Von zehn vergleichbaren Exist enzgründungen au s dem letzten Jahr liegen die Um satzzahl en X und d ie Materialaufwendungen Y vor. Um satz (Tsd. €) Aufwand (T sd. €)

145 134 162 131 49

37

52

41

169 138 167 174 158 140 48

38

52

52

48

46

a) Stellen Sie die Form des Zusa mmenhangs zwischen Umsatz und Materialaufwa nd fest! b) Ermi ttel n un d interpretieren Sie die Regression sfunktion! c) Berech nen Sie den Korrelationskoeffi zienten von Bra vais-Pearson ! d) Ber ech nen und int erpretieren Sie das Bcstimmtheit smaß ! e) Mit welch em Mat erialaufwand muss der Exis tenzgrü nder rec hnen? Lösu ng 2.5 - A2 : Ex istenzg r ünder a) Form des Z usa m me nha ngs Gibt ma n die Dat en graphi sch wieder, da nn ist ersic htlich, dass die Fonn de s Z usammenha ngs dur ch eine Regression sgerade beschrieben werden kann.

2.5 Regressions· lind Korrelationsanatvse

85

y

b) Reg ressionsfun ktion

Schritte I und 2: Erkennen des Regressionsverlaufs und Festlegung des mathematischen Funktionstyps Diese Schritte wurden bereits unter a) durchgeführt . Schritt 3: Numerisc he Festlegung der Funktionalparameter Schritt 3. 1: Berechnung des Steigungsmaßes b I Zunächst werden in der nachstehenden Arbeitstabelle die beiden Summenausdrucke, die für die Bestimmung von b I benötigt werden, berechnet.

,

-x = L nXi = nxy =

nx2

2 x·

49 37 52 41 48 38 52 52 48 46

7.105 4.958 8.424 5.37 1 8. 112 5.244 8.684 9.048 7.584 6.440

21.025 17.956 26 .244 17.16 1 28.56 1 19.044 27.889 30.276 24.964 19.600

463

70.970

232.720

Yi

145 134 162 13 1 169 138 167 174 158 140 1.5 18

L xiYi = 70.970

(5. Sp. 3);

1.51 8 10

= 151' 8',

10 ' 151, 8 ·46, 3

,

XjYj

x·

L xf

= 232.720 (5. Sp. 4);

_ L Yi 463 Y = - n- = 10

=

46, 3;

= 70.283, 4;

= 10 , 151. 8 ,1 51, 8 = 230.432, 4.

Steigungsmaß b 1:

L XjYi

,

-

LX ~ -

nx:y

nx2

70.970 - 70.283, 4 - 230.432,4

= 232.720

686,6

= 22. 87, 6 =0,3 00

86

2 Beschreibende Statis tik

Schritt 3.2: Berechnung des Schnittpunktes mit der Ord inale a I a l = Si - b\ x

= 46,3

- 0,3 · 15 1,8 = 0, 76

Schritt 3.3 : Aufstellung der Regressionsgeraden

y = 0, 3x +

0,76

Mit Hilfe der Regressionsgeraden können für bestimmte Umsätze die jeweils durchschnittlich bzw. tenden ziell anfallenden Materiala ufwend ungen berech net

werden.

Der Regressionskoeffi zient b l = 0, 3 besagt, dass mit einer Erhöhung des Umsatzes um I Tsd. € der Materialaufwand um tendenziell (durchschnittlich) 0,3 Tsd. € ansteigt.

Die Interpretation der Regressionskonstanten a l = 0, 76 ist nicht zulässig, da der Umsatz x = 0 weit außerhalb des Untersuchungsbereichs [ 13 I; 174] liegt.

Fehlerquelle (sehr häufig): Die Regressionskonstan te wird als fixer Materia laufwand interpretiert, ohne zu beachten , ob der zugehörige Wert x :=: 0 im Untersuchungsbereich liegt.

c) Korrelationskoeffizient r von Bravais-Pe arsen ~ xi Yi -

nxy

r~,===,;7:;:0~.9~7~0;-~70:;.~28~3~,4i==:o="7.'==c

r = J (232.720- 230.432,4) · (21.731 - 2 1.436,9)

686, 6 J2.287 , 6 · 294, 1

Es besteht die starke Tendenz, dass die Materialaufwendungen mit zunehmendem Ums atz ebenfalls zunehmen entlang der Regression sgeraden y. d) ß estimmtheitsmaß 8 2 8 2 = , 2 = 084 , 2 = 0, 7 1

Das Bestimmtbeitsmaß besagt, dass die Varianz des Material aufwands zu 7 1 % d urch den Umsatz bestim mt wird. Das heißt, die quadrierten Abwe ichunge n des

2.5 Regressions- lind Ko rreja'i() nsana'y.~e

87

Ma teri alaufwands vom durchschnittli chen Materialaufwand 46,3 Tsd . € werden zu 7 1 % dur ch den Umsatz bestimm t.

e} M ateri a la ufw and bei 150 Ts d. € Umsatz

Der Wert x

=

150 ist in die Regressionsfunk tion einzuse tzen:

Yl50 = 0,3 · 150 + 0, 76 = 45, 76 Tsd. € Bei einem Umsatz von 150.000 € fallt durchschnittlich bzw. tendenziell ein Materi alau fwand von 45.760 € an.

Aufga be 2.5 ~ A3: Dozent enbeu rteilung N achstehend sind für sechs Dozenten das "Anspruchsnivea u der Vorles ung" und die "Beurt eil ung der Dozenten durch Studenten" angegeben . Enn itteln und interpretieren Sie den Rangkorr elationskoeffizie nten von Speerman p . Dozent A

B C D

Anspruc hsniv eau normal sehr niedrig

sehr hoch niedrig

E

hoch

F

normal

Beurteilung ausreichend gut mangelhaft sehr gut befried igend befried igend

Mit Hi lfe des Rangkorrela tion skoeffizienten von Spe arman kön nen Richtung und Stärke des Zusammenhangs zwischen zwe i Me rkmalen X und Y gemessen werden . Vorausse tzung ist, dass ein Merkmal genau ord inalskal iert ist, das and ere ordin al-, intervall - oder verhältniss kalie rt ist. Die Merkmalsträge r können dan n hinsichtlich eines j eden der beiden Merkmale in die natürliche Rangordnun g gebracht werden. Richt ung und Stärke des Z usammenhangs können geme ssen werden, ind em di e beiden Rangordnungen auf den Grad ihre r Übere instimm ung untersucht werden. Lösung 2.5 - A3: Dozenten beurteil ung Schritt I : Skalierung der Merkma le S eide Merkm ale sind ordinals kaliert . Der Zusammenhang kann daher mi t Hilfe des Rangkorr elationskoeffi zienten von Speannan untersucht werd en.

88

2 Beschreibende Statistik

Schritt 2: Arbeitshypothese Zunäc hst ist eine Arbeits hypothese über die Richtung des Zusammenhangs aufzustellen. Die Hyp othese ist maßgebend für die Gestaltung der Rangordnu ngen (Schritte 3 und 4) und die abschließende Interpretation (Schritt 5). - Unter den ver schiedenen, möglichen Arbeitshy pothesen für die vor liegende Aufgabe wird folgende ausgewählt. "Je höher das An spruchsniveau des Dozenten, desto besser die Beurteilu ng des Dozenten durch die Studenten ."

Feh lerquelle (häufig): Es wird oh ne Arbe itshypothese gea rbe itet. Dies kann unter Schritt 5 zu schwe ren Fehlin terp retatio nen führen.

Schritt 3: Rangordnung hinsichtlich Merkmal X Entsprechend der Arbe itshypothes e wird dem Dozenten mit dem höchsten Anspruchsniveau der Rangplatz I, , dem Dozenten mit dem niedrigsten Anspruchs niveau der Rangp latz 6 zugeordnet. Besitzen zwe i oder mehr Dozenten das gleiche Anspru chs nive au. dann wird je dem dieser Dozenten das arithmetische Mitt el au s den Rangplätzen zugeordnet, die sie im Falle eines unmittelbaren Nache inanders erhalten hätt en. Dozent

Niveau x i

A

normal sehr niedrig sehr hoc h niedrig hoch normal

B

C

0 E F

Urteil Yj ausre ichend gut mangelhaft sehr gut befri edigend befri edigend

O·,

,

02

Rgx i

Rg Yj

3,5 1 5

5 2 6 I

1,5 4 5 4

2,25 16 25 16

2 3,5

3,5 3,5

1,5 0

2,25 0

6

6 1,5 Rg x i = Rangplatz des Merkmalträgers i hin sichtlich Merkmal X Rg Yi = Rangplatz des Merkmalträgers i hinsichtlich Merkmal Y

Fehlerquellen (häu fig): Den Urt eilen, Bewert ungen etc. werden Schl üsselziffern (z.B. be friedigend = 3) anstatt Ran gplätze zugeo rdnet.

89

2.5 Regressions- und Korretationsanatvse

Merkmalsträgem mit gleichen Merkmalswerten werden die Rangplätze fehlerhaft zugeor dnet (im obigen Beispiel für x = "nonnaI": Rg = 3 anstatt Rg = 3,5). Merkm alsträger, die auf Merkmalsträger mit gleichen Merkma lswerten folgen, werde n die Rangplätze fehlerhaft zugeordnet (im obigen Beisp iel: Fortführung mit den Rangplät zen 4 und 5 anstatt mit 5 bzw. 6). Schritt 4 : Rangor dnung hinsichtlich Merkmal Y Entsprechend der Arbeitshypothese wird dem Dozenten mit der besten BeurteiJung der Rangplatz I, , dem Dozenten mit der schlechtesten Beurteilung der Rangplatz 6 zugeordnet. Schritt 5: Berechnung des Rangkorrelationskoeffizienten p Der Rangkorrelati onskoeffizien t p wird ermittelt, indem für die Rangplatzpaare der Korrelationskoeffi zient von Bravais-Pearsen r berechnet wird. Für den hier vorl iegenden Spezialfall "die Rangplätze umfassen die ersten n natürlichen Zahlen" kann die Berech nung des Korr elationskoeffizienten von Bravais- Pearsen erhebli ch vereinfacht werden . p= 1-

6 n3 - n

mit D i = Rg xi • Rg Yi

Die Formel kann auch dann verwendet werden, wenn nicht zu viele Bindungen, d.h. Merkmalsträger mit gleichen Merkmalswerten. vorl iegen. Die Abweichu ng vom exakten Ergebnis ist dann vertretbar gering. Mit der "vereinfachten" Formel ergibt sich:

6 6 1, 5 P - I - 2 16 _ 6 = 1 - 1,76 =-0,76

(zum Wert 6 1,5 s.S. 88, Tab.)

Bei Anw endun g der ursprünglichen Formel von Bravais-Pearsen (zu r Formel r siehe unter Lösung 2.5-A2c)) ergibt sich für p der Wert - 0,8 1.

Fehlerquelle (relativ häufig): Es wird vergesse n, den Quotienten (Subtrahend) von I abzuziehen. Der Summand I wird in den Zähler eingebracht. Interpretation : Der Rangkorrelationskoeffizient von Speannan ist wie der Korrelation skoeffizient von Bravais-Pearse n zu interpretieren, da letzterer zur Anwendung kommt. Dabei ist zu aber beachten, dass hier die Korrelation der Rangplä tze und damit nur mittelbar die Korrelation der Merkmale gemessen wird.

\

90

2 Besch rethende Statistik

Das negative Vorzeichen von p besagt, dass ein negativer (gege nläu figer) Z usammenh ang zw ischen den Rangplätzen besteht. O.h. mit höherem Rangp latz x geht tendenziell ein niedri gerer Rangplatz y einher und umgekehrt . Der Betra g von p gleich 0,76 drückt aus, dass diese Tend enz stark ausgeprägt ist. - Es besteht damit die starke Tendenz, da ss mit höherem Rangplatz x der Rangplatz y nied riger ist. Aufgru nd der unter Schritt 3 und Schritt 4 vorgenommenen Zuordnung bedeuten : Höherer Rangpl atz x gleich zunehmendes Anspruchsniveau. Niedrigerer Rangplat z y gleich schlechtere Beurteilung. Die sachbezoge ne Interpretation lautet damit: Es besteht die starke Tendenz, dass mit zunehmendem Anspruchsnive au die Beurtei lung des Dozenten du rch d ie Studenten schlechter ausfallt und umgekehrt. Oder einfacher : Ein positives Vorze ichen von p bedeutet, dass die aufgestellte Arbeitshy pothese bestätigt w ird; ein negatives Vorzeichen von p bed eutet, dass die aufgestellte Arbeitshypothese nicht bestätigt wird.

Fehlerquellen (häufig): Vom positiven (negat iven) Vorze ichen wird unmittelb ar au f die positive bzw . gleichläufige (negative bzw. gegenläufige) Richtun g des Zusammenhangs der Merkmale gesc hlossen, ohne die The se und d ie Zuordnung zu ber ücksicht igen . Das führt bei gege nläufige n Anordnungen zu schweren lnterp retationsfchlem . Interpretationen, bei denen Angaben zur Richt ung und Stä rke feh len , wie z. B.: "Hohes Anspruc hsniveau wird von Studenten schlecht beurteilt".

A ufga be 2.5 - A4 : Kunstge werbe In einem kunstgewerblichen Betrieb sind acht Arbeiterinne n mit dem Bemal en von Vase n beschäft igt. In der letzten Woc he wurden die Arbeitsgesch win digkeit (Anzahl der Vasen pro Tag) und die Qua lität der Vasenbe malung begutachtet. Die Qualität wurde anhand einer Skala gemessen, die von mind erev ertig ("" 1) bis ga nz hervorragend ("" 20) reicht. - Analysieren Sie den Zusam menhang zw ischen Arbeitsgeschw indigke it (X ) und Qualität der Ausfü hrung (Y)! A

B

C

D

E

F

G

H

Ges chwind igkeit

57

59

61

62

62

64

66

69

Qualität

13

14

12

14

18

15

10

14

Arbeite rin

2.5

Regress ions ~

91

lind Korrclationsanatvse

Lösung 2.5 - A4: Kunst gewerbe Schritt I : Skalierung der Merkmale Merkmal X ist verhälrnisskaliert , Merkmal Y ist ordin alskaliert . Der Zusamme nhang kann mit Hilfe des Rangkorrel ationskoeffizienten von Speerman untersucht werden. Schritt 2: Arbeitshypothese Unter den verschie denen, möglichen Arbeitshypothesen für die vorliegende Aufgabe wird folgende au sgewählt. "Je höher die Arbeitsgeschwindigkeit der Arbeiterin, desto geringer ist die Qua lität der Arbeit."

Felsterquette (hä ufig): Es wird oh ne Arbeitshypothese gearbeitet, was zu schwe ren Fehlinterpretationen unter Scho tt 5 fuhren kann. Schritt 3: Rangordnu ng hinsichtlich Merkmal X Entsprechend der Arbeitshypothese wird der Arbeiterin H mit der höchsten Arbeitsgeschwindigkeit der Rangplatz 1, ... , der Arbeiterin A mit der niedrigsten Arbeitsgeschwindigkeit der Rangplatz 8 zugeordnet.

,

,

Arbeite rin

An zahl/Tag x

Qua lität y

Rg x

Rg y

D·

D2

A 8

57 59 61 62 62 64 66 69

13 14 12 14 18 15 10 14

8

7 6 4,5 4,5 3

3 5 2 5 8 7

2

I

1

5

5 2 4 0,5 3,5 4 1 4

25 4 16 0,25 12,25 16 1 16 90,5

C

D E F G H

Fehlerquellen (hä ufig): Den Arbeiterinnen D und E \vird jeweils Rg x = 4 anst att 4,5 zugeordnet. Den Arbeiterinnen C, B und A werden die Ränge x gleich 5, 6 bzw. 7 anst att 6, 7 bzw. 8 zugeordnet.

2 Beschreibende Statistik:

92 Sc hri tt 4 : Ran gordnung hin sicht lich Merkma l Y

Entsprechend der Arbeitshypothese wird der Arbeiterin G mit der geringsten Arbeitsqual ität de r Ran gpl at z I, ... , der Arbe iterin E mit der höch sten Arbe itsqua lität der Ra ngplatz 8 zuge ordnet.

Fehlerqu etlen (häufig): Den A rb eiteri nnen S , 0 und H wird j eweils der Rang y = 4 an statt 5 zugeordne t.

Den Arbeiterinnen Fund E werden die Ränge x gleich 5 bzw. 6 oder 6 bzw. 7 ansta tt rich tigerweise 7 bzw. 8 zugeordnet. Schritt 5: Berechn ung des Ran gkorr elat ion sko effi zient en p

2

6 · LD 90 P = 1 - ---,,...:.:.---'' = 1_ 6 . , 5 =1_ 108 = - 0 08 03 _ 11 5 12 - 8 ' , Be i A nwendung der ursprünglichen Form el von Bravai s- Pearsen (z ur Form el r

siehe unter Lösung 2.S·A2c» ergibt sich fiir p der Wert - 0, 11.

Fehlerquelle (häufig): Es wi rd vergessen , den Quotienten (Subtrahend) von 1 ab zuziehen. Interpretati on : Das negati ve Vorzeichen von p besagt, mit hö herem Rangplatz x geht te ndenzie ll ei n ni edrigerer Rangplatz y einh er und umgekehrt . Der Betrag von p gleic h 0,08 druckt aus, dass di ese Ten den z se hr schwach au sgeprägt ist . - Es besteht die se hr schwache Tendenz, da ss mit höherem Rangplatz x der Ran gplatz y niedr iger ist. Aufgru nd der un ter Schritt 3 und 4 vorgenommen en Z uordnung bede utet: Höherer Rangplatz x gle ich zuneh men de Geschwindigkeit. Niedrige rer Ran gpl atz y glei ch zu nehmende Ar beitsqual it ät. Die sachb ezo gene Interpretation lautet damit: Es besteht d ie se hr sc hwache Tendenz, da ss mit zunehmender Arbeitsg eschwindigk eit d ie Arbe itsqualität an steigt. Die Geschwindig keit hat also nu r eine n se hr ge ringen, fast vernachl ässigbaren Ein flu ss auf die Qualität. - Dies es Ergebni s ist nic ht überr asche nd, wen n man bedenkt, dass die Gesc hw ind igkeitsunterschi ede der Arbeiteri nne n meistens nicht groß sind. O der einfacher erklärt: Das negati ve Vor zeiche n von p bed eu tet, da ss die aufgestellte Arbeitshypothese nicht be stä tigt wird, d. h. mi t zunehmende r Arb eit sgesc hwind igk eit nimmt die Arbeit squal ität tend enziell nicht a b.

93

2.5 Regressiom - lind Korrelationsanatvse Fehlerqu elle (hä ufi g):

Vom Vorze ichen wird unmitt elbar au f die Richtung des Zusammenhangs der Me rkma le geschlossen, ohne die Th ese und die Zuordnung zu berü cksichtigen. Aufgru nd des negati ven Vo rzeichens würde fehlerha ft d irekt auf einen negati ven bzw. geg en läufig en Zusamme nhang zw ischen Geschwindi gkeit und Qualität ge schlo ssen.

Aufga be 2.S - A5: Pau sen rcgclung 500 Studenti nnen e iner Hochsch ule wurden nach ihrer Einstellung zu einer Ve rlängeruri g der Pause zw ischen zwe i Vorlesu nge n von b isher 10 Minuten auf 20 Minuten befr agt. Von den 500 Befr agten waren 200 weiblich und 300 männlich . Als mögliche Antwo rten wa re n die WeI1e positiv (für Verlä nge ru ng), un ent schi eden un d negativ (gegen Verlängerung ) vorgege ben. Das Ergebnis der Befragung ist nach stehend wiedergegeben .

~

positiv

unentschieden

negativ

Summ e

we ibl ich

85

41

74

200

männlich

150

52

98

300

Summe

235

93

272

500

Be schreib en Sie den Zusammenhang bzw. die Abhängigkeit zwischen dem G eschlec ht (Me rkmal X) und der Einste llung zur Pausenrege lung (M erkmal V)! Mit Hilfe von Kont ingenzkoeffi zienten kann die Stärke des Zusammenhangs zw ischen zwei Merkmalen X und Y gemesse n werd en. Dabei muss eines der Merkma le ge nau nomin alskaliert sein, d ie Skalierung des andere n Me rkmals ist beliebig. Als Ma ßs tab für d ie Stärke des Zusa mmenhangs bzw . der Abhängigkeit kön nen di e Abwe ichunge n der tat sächli ch aufget retene n (empirisc hen) Häufigkelten von den (theoretischen) Häufigkeiten, die sich bei Unabhäng igkeit einstellen wü rden. hera ngezogen werde n. Je größer die Abweichung der empirisc hen von den theor etischen Il äu figkeitcn ist, desto grö ßer ist die Abhäng igkeit zwisc hen den beiden Me rkmalen und umgekehrt . - Im Folgenden w ird in den Schritte n I bi s 7 der korrigierte Kontingenzkoeffi zient von Pearson vorges tellt.

2 Beschreibende Statistik

94

Lösung 2.5 - A5: Pa usenrege jung Schritt I: Skalieruug der Merkmale Merkma l X ist no minal skali ert, Merkmal Y ist crdinalskaliert . Der Zusammenhang kann mit Hi lfe des Kontingenzkoeffi zienten von Pearson untersucht werd en . Schritt 2: Th eoretische Häufigkeit bei Unabhängig keit von X un d Y Zwei Merkma le X und Y sind voneinander statistisch unabhängig, wenn für j ede Merkma lswertk ombination (x. , Yk)

h ik

=

hj

.

n

hk

gilt. Anderenfa lls sind die beiden Merkmale vone inande r statistisch abhängig. h ik = Anz ahl der Merkmalsträge r mit den Merkmalen x i und Yk

In der nachstehenden Tab elle sind die Häufigkeit en angegeben, di e sich be i Unabhängigkeit , d.h . das Geschlecht ist ohne Einfl uss auf die Einstellung zur Pausenregelung, ergeben würden.

!~

positi v

unent schieden

weiblich

200· 235

= 94

200· 93 500

männ lich

300·2 35

=

300 ·93 500

Summ e

500

500

235

14 1

negativ

Su mme

= 37 2

200 · 172

= 6 8, 8

200

= 55,8

300· 172 500

=

300

'

93

500

172

103, 2

500

Able sebeis piel . Wären Geschl echt und Einstellung zu r Pausenregelung vonei nander unabhängig, dann hätt en ca. 69 Studentinnen eine negati ve Einstellung gegenüber der Verlängerung der Pause. Schritt 3: Relati ve Häufigkeitsabweichungen Für die Bildun g eines Kontingenzkoeffi zienten sind die relativen Häufi gkeit sabwe ichungen zu berechnen. Die im Zähler aufgeführten Abweich ungen von empirischer und theoret ischer Häufi gkeit werden quadriert, um ein gege nse itiges Aufheben po sitiver und negativer Abwe ichungen zu verm eiden .

2.5

Bssisssuuu: lind Korr ekuionsanal vse

95

h ,hk ) 2 ( h ik - - '-0hi · hk n

In der nach stehend en Tabelle sind die "relativierten" Häu figkeitsabweichu ngen angegeben.

~ weiblich

positiv (85-94)2 94

= 0, 86

(150-141)2

männl ich

unentschieden

= 0, 57

141

negati v

(41-37.2)2 = 0, 39 37,2

(74-6K, !q2

(52- 55,8)2 = 0, 26 55,8

(98- 103,2)2 = 0,26 103,2

6K,K

= 0, 39

Schritt 4: Berechnu ng von Chi-Quadrat Für die Ermi ttlun g des Kont ingenzkoeffizienten ist die Grö ße Chi-Q uadr at X2 erforderlich. Sie ist die Summe der in Schritt 3 errechneten Abwe ichunge n.

X2

v

w ( h ik -

= L L

h i 'h k )2

-

0-

-'-------,---c-----'--i= 1 k=1 hi ' hk n

Der Zähler und damit Chi-Quadrat nehmen den Wert 0 an, wenn alle empirisc hen H äufigkelten mit den theoret ischen lI äufigkeiten übere instimmen. D.h. bei Unabhängigkeit ist Chi-Quadrat gleich Null, andere nfalls größer als Null. X2

=

0,86 + 0,39 + 0,39 + 0,57 + 0,26 + 0,26 = 2,73

Die Gr öße Chi-Q uadra t selb st erlaubt noch keine Aussage über die Stärke des Zus ammenha ngs. Werden nämlich z.B. alle empirischen Häufi gkeiten verdo ppe lt, dann verdoppelt sich auch der Wert von Chi-Quadrat, obgleich die Stärke des Z usammenhang s dieselbe geblieben ist. - Würden im Beispiel alle Häufigkelten verdopp elt, so ergäbe sich für Chi-Quadrat der We rt 5,46 , Schritt 5: Konti ngenzkoeffizient K Die Beeinflussun g du rch d ie Anzahl der Merkm alsträger wird bei dem Kontingenzkoe ffizienten K beseitigt.

96

2 Beschreibende Statistik

K _ -

g

2, 73 2,73 + 500

X X2 + n -

~

0,07

Bei Unabhängigkeit nimmt der Kont ingenzkoeffi zient K wegen X2=; 0 den Wert o an. Mit zunehmender Abhängigkeit wird der Kontingenzko effizient K größer.

Schritt 6: Theoretisch maximaler Wert des Kontingenzkoeffizienten K Bei vollständi ger Abhängig keit errei cht K den maximal möglichen We rt Kmax . Kmax =

min{v, w } min{v, w }

Im Beispi el Pau senregelung, bei dem das Merkmal X zwe i (= v) und da s Merk-

mal Y drei (= w) verschiedene Werte annehmen kann, beträgt der maximale We lt Km ax =

min{ 2, 3} - I = min{ 2, 3}

J2 2

I = 0 71 '

Nimmt K seine n ma xima len Wett 0,7 1 an, dann sind d ie beid en Me rkm ale extre m sta rk von einand er statistisch abhängig. Schritt 7: Korrigiert er Kontingen zkoeffi zicnt von Pearson Wird der Kontingen zko effi zient K an Kmax gemess en bzw. rela tiviert, dann erhält man den korri gierten Kontingenzkoeffizienten von Pearso n K kow

K korr = K

K max

Der korrigiert e Kon tingenzkoeffizi ent nimmt bei Unabhängig keit den We lt 0 und bei voll ständiger Abhängigkeit den We rt I an. Je näher der We rt bei 0 ( I) liegt, desto geringe r (größer) ist die Abhängigkeit bzw . der Zusa mmen hang zwisc hen den be iden Merkm alen X und Y. Für das Beispi el Pausenregelu ng ergibt sich:

K korr = 0,07 0, 7 1 =

° ,

I

D.h. der Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und der Einstell ung zur Pausenregelung ist sehr schwach ausgeprä gt. Anders ausgedrückt: Die Einstell ung zur Pausenregc1ung wird durch da s Gesc hlec ht nur sehr geringfüg ig beeinflusst.

97

2.5 Regressions - li nd K orrefalionsanafyse

Aufgabe 2.5 - A6: w aschm irtel Sec hs Waschmittel wurden einem Warentest unterzogen. Nachstehend find en Sie für die sechs Waschmittel den jeweiligen Preis (€I lO kg) und das Gesamturteil. Marke

Preis

Gesamturtei l

A B D

12,30 14,20 11,99 12,49

ausreichend befriedigend gut mangelhaft

E F

13,99 12,89

gut sehr gut

C

Ana lysieren Sie den Zusammenhang zwisc hen Preis und Gesamturt eil! Lösung 2.5 - A6: W a schmittel Schri tt I: Speannan. Schritt 2: Arb eitshypothese: Je höher der Prei s, desto besser das Urtei l. Schritt 3: 5, 1,6,4, 2, 3. Schritt 4: 5, 4, 2,5, 6, 2,5, I. Schritt 5: p = 1 - (29,5 : 2 10) = 0, 16 (Bravais-Pearson: 0, 14). Interpretation : Es besteht die schwache Tendenz, das s mit höherem Preis ein bessere s Urteil einhergeht.

Aufga be 2.5 - A7: \ Vartungskostcn In der fo lgenden Tabelle sind die Laufzeiten (in Stunden) und die Wartun gskosten (in €) einer Masch ine für die letzten 12 Monate angegeben. Lau fzeit

39

43

52

57

46

37

31

38

45

49

52

27

Kosten

27

28

31

32

28

25

22

26

30

31

30

23

a) Zeich nen Sie das Stre uungsdia gram m und stellen Sie die Fon n des Zusamme nhangs zw ischen Ma schinenlaufzeit und Wartun gskosten fest ! b) Ermi tteln und interpre tieren Sie die Regress ionsfunktion! Lös ungshilfe n: L Xi = 5 16; LY j =333; L XiYi = 14.626;

L X ~ ~ 23 .072; L y ~ ~ 9 . 3 57 c) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten von Bravai s-Pearson ! d) Berechnen und interp retieren Sie das Besnm mtheitsmaß! e) Mit welchen Wartungsko sten ist bei einer Ma schinenlaufzeit von 40 Stu nden tend enziell zu rech nen?

2 Beschreibende Statistik

98 Lös ung 2.5 - A7: W artungsko sten

a) linearer Z usammenhang. b) b l = (14.626 - 14.319):(23.0 72 - 22. 188) = 0,35; a , = 12,7. c)307/ J88 4 · 116,25 =+ 0,96. d ) O,92. e)26,H.

Aufgabe 2.5 - A8: Ta rifgru ppe Ein Untern ehmen bezahlt seine 200 Beschäftigten im Prod uktionshereich nach den Tarifgruppen I, ll, III und IV. Aus der nachstehenden Tabelle kann die Verteilung der 124 weib lichen und der 76 männl ichen Beschäft igten auf die Tarif-

gruppen ersehen werden.

~

IV

Su mme

36

13

124

18

23

16

76

50

59

29

200

1

II

weiblich

43

32

männ lich

19

Summe

62

111

Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen den Merkma len Geschlecht (X ) und Ta rifgrup penzugehörigkeit (Y)!

Lösun g 2.5 - A8: Tarifgruppe Schritt I : korr igierter Kontingenzkoeffizient von Pearson. Schritt 2: theor. Häufigkeiten: 38,44; 31; 36,58; 17,98; 23,56; 19; 22,42; 11,02. Schritt 3: relativierte Häufigkeitsabweichungen . 0,54; 0,03; 0,01; 1,38; 0,88 ; Schritt Schritt Schritt Schritt

4: 5: 6: 7:

0,05 ; 0,02; 2,25. Chi-Quadrat = 5, 16. Kont ingenzkoeffizient K = 0, 16. maximaler Kontingenzkoeffizient = 0,71. korr igiert er Kontingenzkoeffizient von Pearson = 0,22 .

Aufgabe 2.5 - A9: Klau sur Bei einer Analyse des Zusammenhangs zwis chen den Noten in Sta tistik und Mathem atik wu rde für die These "Je besser die Stat istiknote, desto besser d ie Mathematikn ote" der Rangkorrelationskoeffizient von Speanna n p mit + 0,82 ermittelt. Interpr etie ren Sie dieses Ergebnis! (Lösung: Es besteht die starke Tendenz, dass mit besserer Note in Statistik eine bessere Note in Mathematik erzie lt wird .)

99

2.5 Regressions- lind Korrelat;onsanalyse A ufg a be 2.5 - A I 0: Werbea ufwand und Ums a tz

In der folgenden Tabelle sind unsere Werbeaufwendungen X (in € ) und die jeweils erzielten Umsätze Y (in Tsd. E] bei zehn unserer Kunden aufgelistet. Aufwand 105 110 11 5 120 124 125 130 140 145 150 Umsatz

34

27

24

32

29

26

31

25

31

33

a) Zeichnen Sie das Streuungsdiagramm und stellen Sie die Form des Zusammenhangs zwischen Werbeaufwand und Umsatz fest! b) Ermitteln und interpretieren Sie die Regressionsfunktionen y und x! c) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten von Bravais-Pearson! d) Berechnen und interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß! e) Mit welchem Umsatz war bei dem Kunden zu rechnen, bei dem wir einen Werbeaufwand von 125 € halten? Beurt eilen Sie die Güte des Ergebn isses! Lösun g 2.5 - A t O: Werbeaufwan d und Umsat z a) linearer Zusammenhang. b) bl ~( 3 6 . 96 1 - 3 6 . 908 , 8 ) : (1 61. 776 - 1 5 9 . 76 9 , 6 ) ~0, 0 3 ; a l ~ 25 , 4 1 ; b 2 ~ (36.96 1 - 36.908,8) : (8 .638 - 8.526,4) ~ 0,47; a 2 ~ 112,68. c) JO, 03 . 0, 47 -0, 12. d) O,OI. e) 29, 16 Tsd. €; geringe Güte, da nur ein schwacher Zusammenhang vorliegt. Aufgabe 2.5 - Al l : Sc hic h tarbeit In einem Unternehmen wird in drei Schichten gearbeitet. Schicht I: 6.00 - 14.00, Schicht 11: 14.00 - 22.00, Schicht I1I : 22.00 - 6.00 Uhr. Eine Befragung der 600 Arbeitnehmer nach ihrer Zufriedenheit mit dieser zeitlichen Regelung (Stufe I = sehr zufrieden, ..., Stufe V = unzufrieden) führt e zu folgendem Ergebnis:

~

I

11

11I

IV

V

Schicht I

117

95

34

II

3

Schicht 11

8

25

45

63

68

Schicht III

3

7

15

31

75

Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Schichtzugehörigkeit (X) und Arbeitszufriedenhcit (Y)!

2 Beschreibende Statis tik

100

Lösun g 2.5 - All: Sc hichtarbeit Schri tt 1: korri giert er Kont ingenzkoeffizient von Pearson, da X nominalskaliert Schritt 2: theoretische Häufigkeiten: 55,47; 55,03; 40,73; 45,5; 63,27; 44,59; 44,24; 32,74; 36,58; 50,68; 27,95; 27,73; 20,52; 22,92; 31,88, Schritt 3: relativierte Häufigkeitsabweichungen: 68,26; 29,02 ; 1,11 ; 26, 16; 57,4 1; 30,02; 8,37; 4,59; 19,09; 5,78; 22,27; 15,5; 1,49; 2,84; 58,34. Schritt 4: Chi-Quadrat = 350,25 . Schri tt 5: Kontingenzkoeff izient K = 0,6 1. Schritt 6: maxi maler Kontingenzkoe ffizient = 0,8 2. Schritt 7: korri gierter Kontingenzkoeffizient VOll Pearson = 0,74 .

Aufga be 2.5 - A12: Lieferantenbeurteilung Siebe n Liefera nten wurden hin sichtlich ihrer Liefertreue und Q ualität beurteilt. Die beiden ß eurteilungsskalen reichen j eweils von I bis 10 (se hr pünkt lich bis sehr unpünktlich ; kein e Mängel bis erhebliche Mängel). Nachstehend find en Sie die Ergebnisse der Beurteilung. Lieferan t

Liefertreue

Qualität

A

3 6 2 7 5 4 1

3 4

B

C

0 E

F G

I

5 2 3 2

An alysieren Sie den Zusammen hang zwischen Liefertreue und Q ualitä t!

Lösung 2.5 - A12 : Liefera nte nbe urteilung Schritt I : Korre lati on skoeffi zient von Spearman. Schritt 2: Arbei tshy pc these: Je höher die Liefert reue. desto höher di e Qualität. Schritt 3: Rangziffern Rg x 3; 6; 2; 7; 5; 4; I. Sch ritt 4: Rangzi ffern Rg y 4,5; 6; 1; 7; 2,5; 4,5; 2,5. Sch ritt 5: p = 1 • (72 : 336) = 0,79 (mit Bravais- Pearson : 0,78); Interpretation : Es besteht die sta rke Te ndenz, dass mit höherer Liefert reue eine höhere Qu alität einhergeht.

3. J Satze der Wahrscheinfichkeilsrechmmg

10 1

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung Untersuchungsobjekt der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind Vorgänge, deren Ausgang ungewiss ist. Welchen Ausgang ein Vorgang nehmen wird, ist vom Zufall abhängig und daher nicht mit Sicherheit vorhersehbar . Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es, das Ausmaß der Sicherheit, mit dem e in m öglicher Ausgang eintritt, zahlenmäßig auszudrücken. - In diesem Kapitel werden Aufgaben zu den Themenbereichen Sätz e de r Wahrsch einlichkeitsrechnun g, Kombinatori k, di sk r ete Ve rte ilunge n und stetige Ve rtei lungen gestellt.

3.1 Sä tze de r W ah rscheinlichkeitsre chnun g Die Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung erm ögliche n es, die Eintrittswahrscheinlichkeit für bestimmte Ereignisse mit Hilfe bereits bekannter Wa hrscheinlichkeiten anderer Ereignisse zu berechnen. Die folgenden Übungsaufgaben befassen sich mit den Bereichen - Additionssatz - bedingt e Wahrscheinli chkeit - Una bhä ngigkeit von Ereignissen - Multiplikationssa tz - Satz von der tota len Wah r scheinl ichk eit - Satz von ß ayes

Aufgabe 3. 1 - A I: A llg e me ine r Ad d it ionssatz Ein Absolvent der Betriebswirtschaftslehre hat sich im Rahmen seiner Stelle nsuche bei der Fir ma A und bei der Firma S vorgestellt. Der Absolvent schätzt die Wahrscheinlichkelten dafür, dass er eine Zusage erhält, auf 30 % bzw. auf 40 %. Wie gro ß ist die Wa hrscheinlichkeit, dass er mindestens eine Zusage erhä lt? Lösung 3. 1 - A l : Allgemeiner Additionssatz Gegeben sind die Ereignisse A und S mit ihren Eintrittswahrschcinlic bkeiten: A = {Zu sage von Firma A }; W(A) = 0,30 ; B = {Zu sage von Finna B}; WeS) = 0,40 .

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

102

Gesuch t ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A oder Ereignis B od er beide Ereig nisse gleichzeitig eintreten. - Es besteht also ein Interesse, dass mindestens eines von mehreren Ereignissen eintritt. Die Wahrscheinlichkeit dafür kann mit dem allgemeinen Additionssatz ermittelt werden. Al lgem einer Additlonssatz:

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von zwei Ereignisse n A und B eintritt, beträgt W( A u B)

~

W(A) + W(B) - W(A n B).

Unterstellt man, dass die beid en Firmen A und B ihren Zusagee ntsch eid unabhän gig voneinander treffen, dann gilt für die gleichze itige Zusage der Fin nen

A und B W(A r, B)

~

W( A) · W(B)

~

0,30 · 0,40 ~ 0, 12 bzw. 12 %.

Die Wahrsche inlichkeit für mindestens eine Zusage beträgt damit W(A u B)

~

=

W(A) + W(B) - W(A rv B) 0,30 + 0,40 - 0, 12 = 0,58 bzw. 58 %.

Fehlerqu elle: Es wird verg essen, von der Summe der beiden Einzelwah rscheinlichkelten die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von A und B zu subtrahieren.

Aufgabe 3.1 - A2: Additionssatz für disjunkte Ereignisse An einer Statistikklausur haben 80 Studierende teilgenom men. Die Verteilung der Stud ierenden auf die Noten I, 2, 3, 4 und 5 beträgt 8, 16, 32 , 24 bzw . 20 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgew ählter Studieren der mindestens die Note 2 erzieh hat? Lösung 3. 1 - A2 : Additionssatz für dls j unkt e Ereigni sse Gegeben sind die Ereignisse A und 8 mit ihren Eintritt swahrscheinl ichk eiten: A = {Erzielen der Note I} ; 8 = {Erzielen der Note 2};

W(A) = 0,08; W( B) ~ 0, 16.

Die Ereignisse A und 8 sind d isj unkt, d.h. ein gleichzeitiges Eintreten der beiden Ereigni sse A und B ist nicht möglich.

3. J Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

103

Die Aufgabe kann mit Hilfe des Additionss atzes für di sjunkte Ereign isse, der ein Spe zialfall des allgemeinen Additi onssat zes ist, ge löst wer den. Additionssatz für disjunkte Ereigni sse: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von n dlsjnnkten Ereignissen eintritt, beträgt W(.ü Ai) 1=\

= 1: W (A i) l=!

Die Wahrsch einlichkeit, dass ein Studierender mindestens die Note 2 erzielt hat, beträgt W( A u B)

= \V(A) + \V(B) =

0,08 + 0, 16 = 0,24 bzw. 24 %.

Aufgab e 3.1 - A3: Bedingte \"nhrschein lichkeit Im letzten Semester haben 235 Studenten sowohl an der Stati stik klau sur als auc h an der Ma thematikklausu r teilgenom men. In der nach stehenden Tabelle sind die Ereign isse S (Stat istik bestanden), M (Mathematik bestan den) , S (Stati stik nicht bestanden) und M (Mathematik nic ht bestanden) sow ie die mögl ichen Kombination en aus den Ere ign issen mit ihren relativen Häufigkelten (in %) angegeb en .

s

S

L

M

62

13

75

M

10

15

25

L

72

28

100

Wie groß ist die Wahrsche inlichkeit, dass ein zufällig au sgewählter Stud ent a) die Stat istikklausur bestanden hat, wenn er d ie Mathemat ikklausur bestanden hat? b) die Mat he mat ikklau sur bestanden hat, wenn er die Statistikklausur bestanden hat ? c) die Ma thematikklausur nicht bestand en hat, wenn er die Statistikklausur bestanden hat?

3

104

W{]hr.~che inlichke i lsre chnllng

Lösun g 3. 1 - A3: Bedi ngte W ah rscheinli chkeit Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses A unter der Bed ingun g, dass ein and eres Ereign is B eingetreten ist oder eintreten wird. Für die Berechnung der bed ingten Wahrscheinlichkeit gilt:

Bedi ngt e Wah r scheinlichk eit Die Wahrsche inlichkeit ruf das Ereignis A unter der Bed ingung des Ereignisses B (W( B) > 0 ) beträgt

W(AIB) ~ W(A n B) WeB) . a) Statistik bestan den , wenn Mathemat ik bestanden S ~ {Statistik bestanden }; WeS) ~ 0,72 M " {Ma thematik bestanden }; WeM ) = 0,75 (S

r,

M)

=

{Stati stik und Mathematik bestanden};

wes

n M) = 0,62

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausge wählter Stud ent die Statis tikkla usur bestanden hat, wen n er die Mathematikklausur bestanden hat, beträgt

W(SIM) ~ W~ (~1)M) ~ ~';~ ~ ,

0,8267 bzw. 82,67 %

M it dem Wissen, d ie Mathematikklausur bestanden zu haben, steigt d ie Wahrscheinlichkeit, die Statistikklausur bestanden zu haben, von ursprünglich 72 % auf 82,67 %. b) Mathe matik bestanden, wenn Statistik bestanden Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Student die Ma thematikklausur bestanden hat, wenn er die Statistikklausur bestanden hat , beträgt

_ W(M n S) _ 0,62 _ o W(M IS) WeS) - 0, 72 - 0,86 11 bzw. 86,1 1 10. Mit dem Wissen, d ie Statistikklausur bestanden zu haben, steig t d ie Wahrsche inlichkeit, die Mathematikklausur bestanden zu haben, von ursprünglich 75 % auf 86, 11 %. c) Mathematik nicht bestanden, wenn Statistik bestan den Die Wahrscheinl ichkeit , dass ein zufällig ausgewählter Stude nt die Math em atikklausur nicht besta nden hat, wenn er die Statistikklaus ur bestanden hat, beträgt

3. J Satze der

105

Wahrs ch eifllichkeil.~re chflllng

W( M IS) = W (M " S) = 0,1 0 = 0 1388 bzw . 13,88 %. 0,72 W(S) ' Mit dem Wissen, d ie Statistikklausur bestanden zu haben, sinkt die Wa hrschein lichkeit, die Ma themat ikklausur nicht bestan den zu hab en, von ursprünglich 25 % auf 13,88 % .

Aufgabe 3.1 - A4: Una bhängigkeit von E rei g niss e n In Fort setzung zur Aufgabe 3. I· A3 soll festgestellt werd en, ob die Ereignisse S (B estehen der Statistikkla usur) und M (Bestehe n der Matbemat ikklausur) voneinander unabh ängig sind oder nicht. Lösung 3. 1 - A4 : Una bhä ngigke it von Ereignisse n Die beiden Ereignisse S und M sind voneinander unabhäng ig, wenn es für das Bestehen der Statistikklausur unerhebl ich ist, welches Ergebnis bei der Mathematikklausur eingetreten ist. Dies wird in dem Satz für unabhängige Ereignisse allgemei n ausged rückt. Satz für unabhängige E re ignisse Zwei Ereignisse A und B sind voneinander unabhä ngig, wenn gilt W(A ) = W(A IB)

bzw.

W(A ) = W( AIB )

bzw.

W(A IB) = W(AIB ) Für die vorliegende Aufgabe gilt: W(S ) = 0,72 ;

W(SIM) = 0,826 7;

W(SIM) = 0, 10/0,25 = 0,40 .

Wegen W(S ) = 0,72

~

0,8267 = W(SIM)

(oder: WeS)

~

0,40 = W(S IM ) )

sind die beiden Ereignisse S (Bestehen der Statistikklau sur) und M (Bestehe n der Mathernatikklausur) abhängig. Dieses Ergebnis war zu erw arten. Für eine n aus der hetero gen zusammengese tzten Gesamtheit zufällig ausgew ähl ten Studenten ist die Wahrscheinlichkeit für S geringer als für ein en Studenten, der aus den Student en ausgew ählt wurde, die Mathematik bestanden haben .

106

3

Wah rs(.'heilllichkeil.~rechnung

Aufgabe 3.1 - A5: Allgemein er Mul tipllkatto ussarz Einer Firm a werden 20 Mengeneinheiten eines Artikels geliefert, von denen drei kleinere Fehler aufw eisen . Im Rahmen der Wareneingangskontro lle werden vier Menge neinheiten zufällig entnommen. Wie groß ist die Wahrschein lichkeit, dass die vier Mengeneinheiten keine Fehler aufw eisen? Lösu ng J . t - A5: A llgemeiner Multlpllknticn ssutz

Gegebe n sind die vier Ereignisse Ai

Ai -- {Artikel NT. i ist in Ordnung}

i -- 1, 2, 3, 4

Es interessiert die Wahrsche inlichkeit, dass alle vier Ereignisse eintreten. Die Wa hrscheinlichkeit dafür, kann mit dem allge meinen Multiplikationssa tz ermittelt werden. All gem ein er Multiplikat lon ssatz

Die Wahrscheinlichkeit, dass n Ereignisse Ai gemeinsam eintreten, beträgt W(A I " A 2 "A J rv ... " A n)

= W(A I )

. W(A 2 IA I ) .

W( A J IA I "A 2 ) · ... . W(A nIA I "A 2" ... " An_ I )

Od er in Kurzschreibweise.

Die Wahrschein lichkeit, dass alle vier Ereignisse eintreten, d.h. alle vier entnommenen Mengen einheiten weisen keine Fehler auf, beträgt W (A I "A 2 " A J "A 4) = W(A I ) · W(A 2 IA I) · W(A 3 IA I " A 2)· W(A 4 IAl "A 2 " A J )

= 11 . .!§ .!i . .!i = 0. 49 12 20

19

18

17

bzw. 49 ,12 % .

Fehlerquelle: Es wird nicht erkannt, dass die Ereignisse voneinander abhängig sind, und viermal die Wa hrscheinlichkeit W(A i ) "" 17/20 als Faktor verwe ndet. Es wird dabei überseh en, dass nach j eder Entnahme eine verä nderte, neue Entnahmes ituation entsteht (M ode ll bzw. Entna hme ohne Zurücklegen).

3.1 Sätze der Wahrscheinfichkeitsred mllng

107

Aufgabe 3.1 - A6: l\l uitilllikationssatz für unabh ängige E reignisse Di e Wahr schei nlic hkeit, dass bei m Roulett e das Erei gnis "Rot" eintritt, ist mit 18/37 gena uso gro ß wi e die Wahrscheinlic hke it für das Ere ignis "Schwarz ". Die Stra teg ie ei nes Sp ie lers besteht darin, nach vie rmaligem aufeinander folgenden A ussp ielen vo n "Schwarz" € 20 auf "Rot" zu se tze n in der Annahme, es sei wesentlich wahr sc heinlicher, dass im fünften Spiel "Rot " a usge spielt w ird als zum

fünften Ma le nacheinander "Sc hwarz". - Be urteilen Sie diese Stra tegie! Lösu ng 3,1 - A6: Multiptikarion ssutz fü r un abh ängige E reig nisse G egeben sind die Ereigni sse Ri ~ {"Rot" im Spiel Nr. i ]

und Si ~ {"Sc hw arz" im Spie l Nr. i]

G esuc ht sind die Wa hrschei nlichkeit , da ss in all en fünf Sp ie len da s Ereigni s

"Schwarz" eintritt, sowie d ie Wa hr scheinl ichkei t, dass in den erste n vier Spielen das Ereignis "Schwarz" und im fünften Spiel das Ereignis "Rot" eintritt . • Be im Rou lett e m uss für j ed es einzelne Spie l die gleic he "Entnahmesituation" ge lte n, d .h . das Ergebnis ei ner A ussp ielung dar f nicht vom Ergebni s der vora ngegang enen A uss pie lung beei nflusst werde n ( Fall mit Z urücklegen). Die Erei gn isse s ind also vo ne inande r unabhängig (da mit ist die A ufgabe ei gentl ich scho n gelöst!). Die W ahrsch einl ich keit en könn en mit Hilfe des Multipli kat ionssatze s für unabhän gige Ere ig niss e gelös t \verden. l\1ultiplikation ssa t z fü r unabhiingige E reig niss e Di e Wahr sc he inl ichkeit, dass n vone ina nde r unabhängige Ereignisse Ai

gemeinsam eintreten, beträgt

Oder in Ku rzsch reibweise.

Di e Wahrsch einlichkeit, dass fünfmal nach einander das Er eigni s "S chwarz" eintritt, beträgt

5 W«(1 Si) i= 1

=

5

18 ,-.18 18 = 0,0272 n W(Si) = -3718 ,-3718 ,37 37 37

j::::J

bzw. 2,72 %

3 Wahrscheinlichkeilsrechnung

108

Die Wahrscheinlichkei t ist mit 2,72 % tatsächlich sehr gering. Aber genauso gering ist di e Wa hrscheinlichkeit, dass viermal da s Ereignis "Schwarz " und dann das Ereig nis "Rot" eintritt, da im fünften Zug di e Eintritt swa hrscheinlichkei t fü r das Ere ign is "Rot" ebenfa lls 18/37 beträgt. Der Z uf all besitzt kein Gedachtnts . Die Strategie ist folgl ich nicht sinnvoll. Zud em beträgt die Wahrscheinlichkeit n ur 5,60 %, da ss bei vier Auss pielungen vierma l "Schw arz" eintritt. Der Spieler mü sste also lange wart en, bis er zu seinem Einsa tz käme.

Aufga be 3. 1 • A7: Sa tz von der totalen \Vah rscheinlichk cit Bei einem Elektronik-Versand können Artik el HlI S den drei Abte ilungen Audio, SAT und Video bestellt werden. Von den beste llten Art ikeln entfallen 40 % auf die Abteilung Audio, 35 % auf SAT und 25 % auf Video. S ind Kunde n mit e inem Artike l unzufrieden , so kön nen sie diesen bei Vo rliegen bestimmt er Gründe zurück schi cken. Der Anteil der Retouren beträgt bei Aud io 3 %, bei SAT 5 % und bei Video 1 % . - Wie groß ist die Wahrscheinl ichkeit, dass ein Arti kel an den Elektronik-Ver san d zu rückgeschickt wird?

Lösun g 3. 1 - A7: Satz von d er tot al en Wahrscheinlich keit Schritt I : Feststellun g der gegebenen Größen Zuordnungen für eine übersichtliche Darstellung :

I = Abteilung Audio; 2 = Abt eilung SAT; 3= Abteilung Video Ereigni sse: Ai = {Artikel stammt aus Abteilung i}

für i = 1, 2, 3

B = {Artik el wird zurüc kgeschickt} BIAj

=

{Artikel wir d zurüc kgesc hickt, wenn er aus Abteilung i sta mmt l

Wa hrsch einl ichkeiten ( ,; relative Häufigkeit)

W(A I ) ~ 0,40;

W(B[A I)

~

0,03 ;

0,35;

W(B[A 2)

~

0,05;

W(A 2)

~

W(A J ) ~ 0,25;

W(B[A3) ~ 0,0 1.

Schritt 2: Feststellun g der gesuchten Größe Gesucht ist die Wahrsche inlichkeit dafür, dass Ereignis B eintritt, d.h. ein Artikel zurückgeschickt wird.

W(B)

3. J Sätze der Wahr.\'cheinlichkeitsreclmung

109

Die Wahrscheinlichkeit kann mit Hilfe des "Satz vo n der tota len Wahrscheinlichkeit" ber ech net werden , S a tz von d er total en Wahrsch einli chkeit Bilden di e Ereignis se Al , A Z' .." A n ein vollständiges Ereigni ssystem und ist B ein beliebiges Ere ignis, dann gilt W(B) ~

n

L W(A j ) · W(B IAj )

i=l

In der nachstehenden Abbildung ist die Problem stellung grafisc h vera nscha ulicht .

AZ

AI

G~

~i~1fji

A3

I

J;>

Schri tt 3: Berechnung von W( B)

W(B) =0,40 · 0, 03 + 0, 35 · 0, 05 + 0, 25 · 0,0 1 = 0,032 bzw. 3,2% Mit einer Wa hrscheinlichkeit von 3,2 % w ird e in Artike l an den Elektro nikVersand zurüc kgesc hickt.

Fetüerquelte: Es wird das arith metische Mittel aus den bedingten Wah rscheinli chkelten 0,03, 0,05 und 0,01 gebildet, ohne die bedingten Wahrsch einlichkeiten zu "gew ichten".

Aufga be 3. 1 - A8: Satz von Baycs Mit Hilfe einer automatischen Anlage werden Flaschen vor dem Befüllen auf Verunreinigungen überprüft, Wen n eine Flasche Verunre inigungen aufw eist, dan n wird sie mit einer Wa hrschein lichkeit von 99 ,9 % bei der Übe rprüfung als solche entdeckt. Wenn eine Flasche keine Verunrei nigu ngen aufweist, dann w ird sie mit einer Wa hrschein lichkeit von 0,7 % fehlerhafterweise als verunre inigt eingestu ft. Der Anteil der verunreinigten Flaschen beträgt erfahrungsgemäß 0,5 % . Wie groß ist die Wa hrscheinlichkeit, dass eine Fla sche verun reinigt ist, wenn sie bei der Überprüfung als sa uber eingestuft word en ist?

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

110 Lösung 3. 1 - A8 : Satz von Bayes

Schritt 1: Feststellu ng der gegebenen Größen Ereigni sse: S = {Flasche ist sauber ); V = {Flasche ist veru nreinigt } FS = {Flasche als sauber eingestuft};

FV = {Flasche als verunreinigt eingestuft} Wahrscheinlichkeiten:

W(S) ~ 0,995;

W(FVIS) = 0,007;

W(FSIS) = 0,993 ;

W( V) = 0,005;

W(FVIV) = 0,999;

W(FS]V) = 0,00 1.

Schritt 2: Festste llung der gesuc hten Größe Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eitle Flasche verunre inigt ist, wen n bzw. obg leich sie bei der Überprüfung als sauber (nicht veru nreinigt) eingestuft worden ist.

W(VIFS) Die Wahrscheinlichkeit kann mit Hilfe des Satzes von Baycs berechnet werden.

Satz von Bayes Bilden die Ereignisse AI , A Z' .." An ein vollständi ges Ereignissys tem und ist B ein beliebiges Ereignis, dan n gilt für das Ereignis Aj IB

W(A, IB) = J

W(A-) ' W(B IA-) J J , L W(A-) - W(BIA -) n

1=1

,

,

Schritt 3: Berech nung der gesuchten Wahrscheinlichkeit Setzt man in der Formel Aj = V und B = FS, dan n ergibt sich

W(VIFS) =

W(V) , W(FSIV) W(S) , W(FS IS) + W(V) - W(FS IV) 0,005 ' 0, 001

0,000005

= ""0,""99 """ 5 -, 0'","'9"'93'='+"'0",""00 ""50--""0'-,0"'0""1 = "...,=~="",,=o:= 0,988035 + 0, 000005

_ 0, 000005 0, 988040

=

0,00000506

bzw .

0,000506 %.

3. J Sat ze der Wahrscheinlichkei lsrechnung

11 1

Die W ahrscheinlichkeit , dass eine Flasche verunre inigt ist, obw ohl sie als sauber eingestuft worden ist, beträgt 0,000506 %. D.h. be i z. B. 1.000.000 als saube r eingestuften Flaschen ist dur chschnittlich mit 5,06 verunrei nigten Flaschen zu rechnen . Eine zwei te mögl iche Fehlbeurteilung besteht bei der Kontrolle dar in, dass eine Flasche sauber ist, obwo hl sie als verunreinigt eingestuft word en ist. Die Wa hrsche inlic hke it für d iese Fehlbe urteilun g beträgt. W(Sj· W(FV ISj W(SIFV) = W(S). W(FV IS) + W(V) · W(FV IV)

0,995 . 0, 007

Die Wa hrscheinlichkeit, dass eine Flasche sa uber ist, obw ohl sie als verunrei nig t einges tuft worden ist, betr ägt fast 58,24 %. - Ursäc hlich für di esen hoch ersche inend en Wert ist der sehr hohe Ante il an sauberen Flaschen.

Feh lerquelle: Bei der Analyse der Aufgabe nsteIlung werden die bedingten Wahrsche inlichke iten fehl erhaft gebildet.

Aufgabe 3.1 ~ A9: Arz neimittel Zwei pharmazeut ische Unternehmen A und ß fo rschen getre nnt vo neinande r nach e inem neuen Arzneimittel. Unterne hmen A schätzt , dass es mit einer Wahrsc heinlichkeit von 65 % in den nächsten zwe i Ja h ren erfolgre ich sein wird, Unterne hm en B schätzt die Wa hrsche inlichkeit auf80 %. Wie groß ist die Wah rscheinlichkeit, dass in den näch sten beiden Ja hren a) beide Unte rne hmen erfolgreic h sind, b) mindesten s ein Unternehmen erfolgreich ist, c) Untern ehm en A erfolgreic h ist, wenn Unternehme n B erfolgreich ist?

Lösung 3.1 - A9: Arzneimitt el a) Mult iplikat ionssatz für una bhängige Ereignisse : 52 % b) allgemeiner Addit ionssa tz. 93 % (0,65 + 0,80 - 0,52) c) bed ingte Wa hrscheinlichkeit: 65 %. ~ Da beide Ereignisse voneina nder unab hängig sind, ist die bedingte Wa hrsche inlichkeit mit W(A) identisch .

112

3 Wahrscheinlichkeitsrechnu ng

Aufgabe 3.1 - Al 0: Qualltätskunt rolle Ein Zulieferer produziert ein Bauteil X auf den drei Maschinen A, Bund C, die mit Ausschussquoten von 4, 3 bzw. I % arbeiten. Bei einer Lieferung an einen seiner Kund en stammen 20 % der Bauteile von Maschine A, 30 % von Bund 50 % von C. Die Bauteile werd en vor der Auslieferung einer Endkon trolle unterzogen. Mit einer Wahrschein lichkeit VOll 98,5 % wird ein defektes Bauteil als solches erkannt. Andererseits wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,8 % ein fehletfreies Bauteil irrt ümlich als defekt eingestuft. a) Nennen Sie die gegebenen Ereignisse mit ihren Wahr scheinlichkeiten! b) Der Kunde akze ptiert Lieferungen mit einer Ausschussquote von ma ximal 2 % . Würde die maximale Ausschußquote in der Lieferung überschritten, falls keine Endkontrolle durchgeführt würde? c) Wie groß ist d ie Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil VOll Masch ine B stammt, wenn es bei der Endkontrolle als defekt einges tuft wurde? d) W ie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil defekt ist, wenn es bei der Endkontrolle als defekt eingestuft wurde? e) Wie groß ist die Wahrscheinl ichkeit , dass ein Baute il fehlerfrei ist, wen n es bei der End kontrolle als defekt einge stuft wurde ? f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil fehlerfrei ist, wen n es bei der End kontrolle als fehlerfrei einges tuft wurde? g) Wie groß ist die Wahr sch einlichkeit, dass ein Bautei l de fekt ist, wenn es bei der Endk ontrolle als feh lerfrei einges tuft wurde? h) Bei einer zwe iten, intensiven Kontrolle könnte mit Sicherhe it festgestellt werden , ob ein als defekt ein gestuftes Bauteil tatsächlich defekt ist. Die Kost en der Kontrolle belau fen sich pro Bauteil auf E 12. Der Erlös für ein feh lerfreies Bauteil beträgt E 40. • Soll die zweite Kontrolle durchgeführt od er sollen alle als defekt eingestuften Teile kostenlos verschrottet wer den ? Lösung 3. 1 - A I O: Quallt ätskonrrolte a) i = {Bautei l von Maschin e i ] für D = {de fektes Bauteil }; W( A) = 0,2;

FF

W(B) = 0,3;

W( DIA) = 0,04;

i = A, B, C ;

= {fehlerfreies Bautcil } W(C) = 0,5;

W(DjB) = 0,03;

W(DjC) = 0,0 1;

K D = {Bauteil laut Kontrolle defekt }; W(K DID) = 0,985;

W( KDIFF) = 0,0 18

3. 1 Sa tze der Wahrscheinlichkeilsrechmm g

11 3

KFF = {Bauteillaut Kontrolle fehlerfrei};

W(KF FIFF) = 0,982 ;

W(K FFID) = 0,0 15

b) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit W(D) = 0,2·0,04 + 0,3·0,03 + 0,5·0,01 = 0,022 (2,2 % ); j a, Überschreitung c) Satz von Bayes W(BID) = 0,009/0,022 = 0,409 bzw. 40,9 % d) Satz von Bayes

°

W(DIKD) 0, 022 . 0,98 5 = 55 18 bzw. 55, 18 % - 0, 022 · 0, 985 + 0,978 · 0, 0 18 ' e) Satz von Bayes oder Komplementärereignis z u d) W(FFIKD) = 1 - W(D[KD) = 1 - 0,5518 = 0,4482 bzw. 44,82 % f) Satz von Bayes

°

W(FFIKFF) -

0, 978 · 0, 982 = 0,9997 bzw. 99,97 % 0, 978 ·0, 982 + 0,022 ·0, 15 g) Satz von Bayes oder Komplementärereignis zu f) W(D[KFF) = 1 - W(FFIKFF) = 1 - 0,9997 = 0,0003 bzw. 0,03 % h) Überschuss-Erwartungswert für ein Bautei l 40·0,4482 + 0·0,55 18 · 12 = + 5,928 €. Zweite Kontrolle durchführen .

Aufg abe 3.1 - A l l : Studienerfo lg Für ei nen Studiengang wu rde festgestellt, dass von den im Jahr 2009 exmatrikulierten Studen ten 80 % die Vordiplomprüfung und 72 % die Diplomprüfung erfolgreich abgeschlossen haben. a) Nennen Sie die gegebenen Ereignisse mit ihren "Wahrscheiulich keite n''! b) Wie groß war für einen Studenten die Wahrscheinlichkeit, die Diplomprüfung zu bestehen, wen n er die Vordiplomprüfung bestanden hatte? c) Wie groß war für einen Stude nten die Wahr sche inlichkeit, die Diplom prüfung nicht zu bestehen, wenn er die Vordiplomprüfung bestanden hatte? d) Ze igen Sie, dass die beiden Ereignisse statistisch voneinander abhä ngig sind! e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Vordiplom prüfung zu bestehen und die Diplomprüfung nicht zu bestehen? Lösung 3. 1 - All : St ud iener folg a) V = {Vo rdiplom bestanden };

W(V) = 0,80;

W(D) = 0,72;

D = {Diplom be standen };

W(VnD) = 0,72

Vn D

11 4

3 Wahn cheinlichkeirsrechnul1g

b) bedingte Wahrschei nlichkeit W(D IV) = W(D nV)IW(V) = 0,72/0,80 = 0,90 bzw. 90 %

c) W(D IV) = I - W(DIV) = 1 - 0,90 = 0, 10 bzw. 10 % d) W(D) = 0,72 ~ 0,90 = W(DIV) e) allgemei ner M ultipl ikation ssatz W(V} W( D IV) = 0,80·0, 10 = 0,08 bzw. 8 % ; od er ei nfac her m it dem Differenzereignis: 0,80 - 0,72 = 0,08 bzw. 8 % zu c) bedin gte Wa hrsch einlichk eit mit Hilfe von e) W(D IV) = W(D rv V)IW(V) = 0,08/0,80 = 0,10 bzw. 10 %.

Aufga be 3. 1 - A 12: SI};el77 Bei dem Spiel 77 wird eine siebenste llige Zahl ausgespi elt . In der Anfangszeit des Sp iels wurden 70 Kugeln in eine Urne gegeben, wobe i je sieben Kug el n die Aufschrift "0", " 1", ..., "9" trugen. Zur Ermittlung der siebenstelligen Zahl wurden nache inander sieben Kugel n ohn e Zurücklegen entnomme n. - Nach einiger Zeit wurde di e Ermittlungsmethode umgestellt: Die Urne wurde derart in siebe n Teilum en ze rlegt, dass fiir j ede Stelle der ausz uspielenden Za hl eine eigene Ur ne entsta nd. In einer j eder Ume sind 10 Kugeln, die von "0" bis "9" durchn ummeriert sind. Zur Erm ittlu ng der siebenstelligen Zahl wird aus j eder Urn e genau eine Kug el entnommen. a) Wie gro ß war d ie Eintrittsw ahrsc heinlichkeit für die Zahl 11111 11 vor der Ums tell ung? b) Wie gro ß war die Eintrittswa hrsc heinlichkeit für die Za hl 1234567 vor der Um stellung ? c) Wie groß war en die Eintrittsw ahrsche inlichkeitcn für d ie beiden unter a) und

b) genannten Zahlen nach der Ums tellung? d) Warum wurde die Umstellung vorgen ommen? Lös u ng 3.1 - A1 2: Sp iel 77 a) Allge mei ner Multiplikati on ssatz (für abhän gige Ereignisse)

7 . _6 . - 5 . _

. -1 706968" ' 64

=

0 000000000834185 '

b) Allge meiner M ultiplikationssatz (für abhängige Ere ignisse)

7 7 7 7 _ - . - . - . " . . 64 - 0,000000 13607 70 69 69

3./ Satze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

115

c) Multiplikati onssatz für unabhängige Ereignisse Für beide Zahlen gilt j ew ei ls: ( 1'0)7 = 0,000000 1 d) Herstel lung der Chan cengleichh eit für alle siebe nstell igen Zahlen

Aufgahe3.I-AI3: ß SE-Test Ein Pharmaunternehmen hat einen kostengünstigen BSE-Schn elltest entwickelt. Das Untern ehmen behauptet, dass Rinder, die mi t BSE infi ziert sind, mit Hilfe des Te sts zu 99,8 % als infi ziert klassifiziert werden. Rind er, die nicht mi t BSE infi ziert sind, werd en bei dem Test zu 99, I % als nicht infiziert klassifiziert . - In eine m Rinderbestand se ien 0,03 % der Rinder mit BSE infi ziert.

a) Nennen Sie die gegebenen Ere ignisse mit ihren Wahrschein lichk eit en ! b) Wie gro ß ist die Wahrscheinlichk eit, dass ein Rind infi ziert ist, wen n es bei dem Test als infiziert kla ssifiziert worden ist? c) Wie groß ist die Wahrs cheinlichk eit, dass ein Rind nicht infi ziert ist, wenn es bei dem Test als infiziert klassifiziert word en ist ? d) Wie gro ß ist die Wa hrscheinlichkeit, dass ein Rind infi ziert ist, wen n es bei dem Test als nicht infi ziert klassifiziert worden ist? e) Wie gro ß ist die Wa hrscheinlichkeit, dass ein Rin d nicht infiziert ist, wenn es bei dem Test als nicht infi ziert klassifiziert word en ist?

f) Wi e viele Rin der werden bei einem Bestand von 1.000.000 Tieren bei Anwendun g des Testverfahrens intümlich für infiziert klassifiziert ? g) Wie viele Rind er werd en bei einem Bestand von 1.000.000 Tieren bei Am...-endu ng des Testverfahrens irrtü mlich für nicht infiziert klassifiziert? Lös u ng 3,} - A l3: HS E-T est

a) i = {infi ziertes Rind} ; W(i)

~

0.0003 ;

ni = {nicht infiz iertes Rind}

W(ni)

~

0,99 97

Ti = {Rind laut Test inf iziert };

Tni

=

{Rind la ut Test nicht infiziert}

W(Tili} ~ 0.998;

W(Tni li} ~ 0,002

W(Tn ilni} ~ 0.99 1;

W(Ti lni}

~

0,00 9

b) Satz vo n Bayes W(iITi) = 0,0003·0,998 / (0,0003·0,99 8 + 0,9997-0,009) c) Satz von Baye s

=

0,0322 bzw . 3,22 %

oder einfacher mit dem Kompl ement zu b)

W(niITi) ~ I - W(iITi) ~ 1 • 0,0322 ~ 0,9678 bzw. 96,78 %

3 Wahrscheinlichkeil,\"rechmmg

116

d) Satz von Baye s W( iITni) ~ 0,0003-0,002 1 (0,0 003-0,002 + 0,9997-0,99 1) ~ 0,000 0006056 3 e) Satz von Bayes od er einfacher mit dem Komp lement zu d) W( niITni) = 1 - W(iITni) = 1 - 0,00000060563 = 0,999 99939437 f) An zahl nicht infizierter Rinder: 999.700 Rinder, davon werden 0,9 % bzw . 8.997,3 Rinder als infiziert kla ssifiziert . g) Anzahl infizierter Rinder: 300 Rinder, davon werden 0,2 % bzw. 0,6 Rinder als nicht infiziert klassifi ziert.

Au fgabe 3.1 - A 14: Fo rmell Zwei Fahrzeuge nehmen an der Fo rmell -Weltm eisterschaft teil. Fahrze ug I hat in den letzten Jah ren in 80 % der Rennen das Z iel er reicht, Fah rzeug 2 in 70 %,

beide Fahrzeuge gemeinsam in 56 % der Rennen. a) Nennen Sie die gegeben en Ereignisse mit ihren Wah rscheinlichkeiten! b) Sind die Ereigni sse statistisch voneinander unabh ängig? c) Wie groß ist die Wah rscheinlichkeit, dass c l ) be i einem Rennen beide Fahrzeuge das Ziel nicht erreichen , c2) genau ein Fahrzeug das Ziel err eicht, c3) Fahrzeug I das Ziel nicht erreicht, wenn Fahrze ug 2 da s Ziel errei cht , c4) mindestens ein Fahrzeug das Ziel erreicht ? Lösung 3. 1 - A 14: Fo r mel l a) F IZ

= {Fahrzeug

W( F IZ) = 0,80;

1 Ziel erreicht} ;

F2Z

W(F2Z) = 0,70 ;

= {Fahrzeug 2 Ziel erreicht}

W(F IZ n F2Z) = 0,56

b) Satz für unabhängige Ereign isse in Verbindung mit der be dingten Wah rsche inlichkeit W(F1Z) = 0,80 = W(FI ZIF2Z) = 0,56/0,70 = 0,80 -> unabhän gig c l) Multipli kationssatz für unabhängige Ereignisse: 0,20·0 ,30 = 0,06 c2) 0,80 -0,30 + 0,20 -0,70 = 0,3 8

oder

1 - 0,56 - 0,06 = 0,38

c3) bedi ngte Wahrschein lichkeit : W(F IZ IF2Z) = 0,20·0,70/0,70 = 0,20 (una bhängige Ereignisse!) c4) A llgeme iner Additionssatz. 0,80 + 0,70 ~ 0,5 6 = 0,94 od er I - 0,06 = 0,94

3.2 Komhinatorik

117

3.2 Kombinatorik Die Kombinatorik beschäftigt sich mit Problemen des Auswählens und/od er Anordnens von Elementen aus einer vorgegebenen endlichen Menge von Elementen. Aufgabe der Kombinato rik ist es, die Anzahl der Möglichkeiten für das Auswählen und/oder das Anordnen der Elemente zu er mitteln. Die folgenden Übungsaufgaben befassen sich mit den Bereichen -

Permutatio n ohne Wiederholung Per muta tion mit Wie derho lung Kombination ohne Wiederho lung mit Beachtung der Anordnung Ko mbination ohne Wie derho lung ohne Beachtung de r Anordnung Kombination mit \ Viederh olung mit Beachtun g der Anordnung Kombination mit \\'iedcr holung ohne Beac ht ung de r Anordn ung

Fehlerquelle: Bei einer oberflächlichen Analyse der AufgabensteIlung kann es relativ leicht passieren, dass der der Aufgabe zugrunde liegende Kombinationstyp nicht erkannt wird. Die nachstehende Fragenfolge dient dazu, den Kombinationstyp auf einfache Weise feststellen zu können. Schritt 1: Ist j edes vorgegebene Element gcnau einmal anzuordnen? - ja : Gehe nach Schritt 2. - nein : Gehe nach Schritt 3. Schritt 2: Sind die vorgegebenen Elemente alle verschieden? - ja: Permutation ohne Wiederholung. Ende. - nein : Permutation mit Wiederholung. Ende. Schritt 3: Darf ein vorgegebenes Elemente wiederholt ausgewählt werden? - nein: Gehe nach Schritt 4. - ja: Gehe nach Schritt 5. Schritt 4 : Ist die Anordnung der Elemente von Bedeutung? - ja: Variation ohne Wiederholung. Ende. - nein: Kombination ohne Wiederholung. Ende.

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

118

Schritt 5: Ist di e Anord nung der Elemente von Bedeutun g?

- ja: Variation mit Wiederholun g. Ende. - nein: Komb inat ion mit Wied erholung. Ende.

Aufgabe 3.2 - Al : Permutation ohne \Vicderholun g A uf einer Ma schine sind nach einander fünf verschi edene Aufträge zu bearbeiten . Wie viele verschiedene Ma schin enbelegungspläne gibt es? Lösu ng 3.2 - AI : Permutation ohn e Wi ed erholun g Schritt I: Fes tstellung des Typ s

VOll

Kombination

Es liegt ein e Permu tation ohne Wiederholung vor, da - j eder Auftrag genau einmal zu bearbeiten ist, - alle Aufträge voneinander verschieden sind. Schri tt 2: Ber echnu ng der Anz ahl von Anordnungs möglichkeiten Die Anzahl der Perm utationen ohne Wiederholung kann mit Hilfe des fol genden Satzes errnittelt werden: Satz: Permutationen ohne Wi ed erholung Die Anza hl der Perm utationen von n gegebenen versc hiede nen Elementen ist P(n) :=: n! Dam it ergibt sich: P(5) :=: 5! :=: 120 d.h. es g ibt 120 ver schiede ne Masch inenbclegungspl äne .

Aufgabe 3.2 - A2: Permutation mit Wiederholung In einem Büro ist eine Regalwand aus den Regalelernenten A, B, C und D aufz uste llen. Dabei sind Element A dreim al, Element B zweima l und d ie Elemente C und D je einmal vorhanden. - Wie viele versc hiedene Ano rdnungsmöglichkeiten gibt es? Lösung 3.2 - A 2: Permutation mit W ied erh olung Schritt 1: Feststellu ng des Typs von Kombin ation Es liegt eine Permutation mit Wiederholung vor, da - jedes vor gegebene Regalelement genau ein mal anzu ordn en ist, ~ die Regalelemente A un d B wiederholt vorkommen.

119

3.2 Kombina torik:

Schritt 2: Berech nung der Anzahl von Anordnungsmöglichkeiten Die Anzahl der Permu tation en mit Wieder holung kann mit Hilfe des folgenden Satzes ermi ttelt werd en : Sat z: Permutation en mit Wi ed erholun g Gegeben sind n Elemente, die in k Klassen von untereina nder gleich en Elementen zerfallen. Die einzelnen Klassen entha lten n l , n2, ..., nk Elemente (L ni= n). Dann gibt es

P

" l,n2" '," k

(n) -

n!

- n l ·I · n2·I · ... · nk ·I

Perm utat ionen.

Gegebe n sind n = 7 Regalelemente. die in k = 4 Klasse n von untereinander gleichen Regal elementen zerfallen . Die Klasse "A" enthält n l = 3 Elemente, die Kla sse "8" " z = 2 Elemen te und die Klassen "C" und "D" n3= n4 = I Element . Mit dem Satz "Perm utationen mit Wiederholung" ergibt sich: 71 5.040 P) ,2, I, 1(7) = 3! . 2! .'I! . I ! = 6·2 · I . 1 = 420

Es g ibt 420 Möglichkeiten, die sieben Regalele mente anzuordn en .

Aufg a be 3.2 - A3 : Knmbinntinn mit \Vietlerholung I Ein Möbe lgesc hä ft bietet ein Bücherregalsystem an, da s die vier Gru ndele mente A, B, C und 0 umfasst. Die Gru ndelemente sind in ihren räumlichen Ausmaßen identisch, in ihrem Aussehe n aber unterschiedlich . Wie viele verschie dene Anordnungen sind möglich, wenn a) genau sieben Elemente, b) gena u drei Elemente nebene inander aufzustellen sind?

Lösung 3,2 - A3: Komb ination mit Wiede rholung I Schritt I : Feststellung des Typs von Kombination Es liegt eine Kombination mit W iederholung mit Beachtung der Anordnung vor,

da - die vorgegebenen Elemente A, S , C und 0 voneinander versc hieden sind, - ein Regalelement wiederho lt ausgew ählt werden darf, - die Anordnung der Rega lelemente von Bedeutung ist.

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

120

Schritt 2 : Berech nung der Anzahl von Anord nungs mögl ichke iten Die Anzahl der Anordnungs mög lichkeiten kann mit Hilfe des fo lgen den Satzes

ermittelt werden: Sa tz: Komb in ation mit \\' ieder holu ng mit Beach tu ng d er A no rd n u ng Sind aus n verschiedenen Elementen k Elemente mit Wiederho lung ausz uw ählen und ist die Anordnung von Bedeutung, dann beträgt die Anzahl der Ko mb inationen (Variationen) V

v:;V (0)

= ok

a) 0 = 4; k = 7

V j'(4)

=

47

=

16.384

d.h. es gib t 16.384 M öglichkeiten, die Regal e anzuordnen .

b) 0 =4 ; k = 3 V';"(4)

=

43

=

64

d .h . es gibt 64 Möglichkeiten, die Regale anzuordnen ..

Fehlerquelle : Die Z uordn ung der Zah len zu n und k wird umgekehrt vorgeno mme n.

Aufga be 3.2 - A4: Ko mbination mit \Viederh olung 11 Die vie r Teilnehmer eine r Ne tzwerkparty bitt en kurz nac h M itternacht einen Pizza service um die Lieferu ng von vier Pizzen , wob ei es ihnen nicht auf die Pizzaso rte ankommt. Unter wie vielen So rt en -Zu sammenstell ungen kann der Pizzabä cke r wä h len, wenn er sieben verschi ede ne Pizza sort en zur Aus wahl hat ? Lös u ng 3.2 - A 4: Kombin ati on mit W ied erholung 11 Sc hritt 1: Feststell ung des Typs von Kombination Es liegt eine Kom bination mit Wi ed erholung ohne Beacht ung der Anordnung vor , da - die sieben ang ebo tenen Pizza sort en voneinander versc hie den sind, - e ine Pizzasort e öfters als einmal geli efert werd en darf, - d ie Reihen folge der Anliefen mg der vier Pizzen fiir die vier Teilneh mer ohne Bed eutung ist.

3.2 Kombinatorik

121

Schritt 2: Berechnung der Anzahl von Anordnungsmöglichkeiten Die Anzahl der Anordnu ngsmöglichke iten kann mit Hilfe des folgenden Satzes ermittel t we rden: Satz: Kombin a tion mit Wi ed erholun g ohne Bea chtung der Anordnung Sind aus n verschiedenen Elementen k Elemente mit Wiederholung auszuwählen und ist die Ano rdnung ohne Bede utu ng, dann beträgt die Anzahl der Kombinationen K

Mit n = 7 und k = 4 ergibt sich :

KW(7) ~ (7 +4 - 1 ) ~ ( 4

4

10 4

) ~ -.lQL ~ 3 .628.800 ~ 2 1 0 4! . 6'

24· 720

Der Pizzabäcker kann unter 2 10 Zusammenstellungen auswäh len . Feh lerquelle : Die Zuordnung der Zahlen zu n und k wird umgeke hrt vorgenommen .

A ufga be 3.2 - A5 : Kombin ution ohne \\'icd c rholun g I Bei eine m Pferd erenn en starten acht Pferde. Bei der gro ßen Dreierw ette ist der Einlauf der ersten drei Pferde in der richtigen Reihenfo lge vorauszusagen. - Unter wie vielen mög lichen Einläufen muss ein Wett freund auswä hlen? Lösung 3.2 - A5: Komb inat ion ohn e Wi ederho lun g I Schritt I : Feststellung des Typs von Kombination Es liegt eine Kombin ation ohne Wiederholung mit Beachtu ng der Anordnung vor, da - unter acht verschie denen Pferden auszuwählen ist, - auf ein Pferd höchstens einmal gesetzt werden kann, - die Reihenfolge des Einlaufs von Bedeutung ist. Sch ritt 2: Berechnung der Anzahl von Anordnungsmöglichkeiten Die Anza hl der Anordnungsmöglichkeiten kann mit Hilfe des folgenden Satzes ermittelt werd en :

3 Wahrscheinli chkeitsrechnung

122

Satz: Kom bination ohne Wi ederholung mit Beac htung de r Anordnung Sind au s n verschiedenen Elementen k Elemente ohne Wied erholung auszuwähl en und ist die Anordnung von Bedeutung, dann beträgt die Anza hl der Kombinationen (Variatio nen) V nl Vk (n) ~ (n _ ok)1

Mit n = 8 und k = 3 ergibt sich:

V, (8) ~ (8

8' °

3

), ~

40.320 = 336 120

Der Wettfre und muss unter 336 möglichen Einläufen wählen ,

Au fga be 3.2 - A6: Kombi nation ohne Wiederholung 11 Bei dem Spiel "6 aus 49" (Lotto) sind von den Zahlen 1, 2, ...• 49 bei einem Tipp sechs Zahlen anzukreuzen . - Wie groß ist die Wahrscheinlichke it, genau vier von den bei der Auss pielung gezoge nen sechs "richtigen" Za hlen anz ukre uzen? Lösun g 3.2 - AG: Kombi nation ohne Wi eder holu ng 11 Schritt 1: Feststellung des Typ s von Kombi nation Es liegt eine Kombination ohne Wiederholung ohne Beacht ung der Anordnung vor, da - unter 49 versc hiedenen Zahlen auszuwählen ist, ~ höch stens einmal auf eine Zahl gesetzt werden kann, - die Reihenfolge der ausge spielten Zah len ohne Bedeutung ist. Schritt 2: Ber echnun g der Wahrscheinlichkeit i) Anzahl der möglichen Tipps Die Anzahl der möglichen Tipps (Anord nungsmöglichkeiten) kann mit Hil fe des folg enden Satzes ermittelt werden: Satz: Ko mb ination ohne W icderho lu ng ohne Beacht ung der Anordn ung Sind aus n verschiedenen Element en k Elemente ohne Wie derholung ausz uwählen und ist die Anordnu ng ohne Bedeutu ng, dann beträgt die Anzahl der Kombinationen K

n'

Kk(n) = (n _ k)! ° k! ~

(n) k

3.2 Kombinato rik

123

Mit n = 49 und k = 6 ergibt sich:

K6 (49j = ( 49 ) = 4,91 , = 13.983.816 6 43. ·6. Es gibt 13.983.8 16 Möglichkeiten, einen Tipp im Lotto abzugeben . ii) Anzahl der mögl ichen Tipps für 4 Richt ige Es müssen vier von sechs Richtigen (n = 6; k = 4) und gleichzeit ig zwe i von 43 Falschen (n

= 43; k = 2) angekreuzt werden, dafür gibt es

K4 (6) . K 2(4 3)

-_ (46). (423 ) _-41·6'_2! . 2!43'· 4 1!

= 15 · 903 = 13.545 Mögli chkeiten

Fetüerquetle; Es wird vergessen , die Kom binat ionen (Ur die 4 Richtigen mit den Kom binationen für die 2 Falschen zu kombi nieren .

iii) Wahrscheinl ichk eit Die Wah rscheinlichkeit, vier Richt ige anzukreuzen , beträgt

W(4 Richtige) =

13.545 = 0 00096862 bzw. 0,096862 % 13.983.8 16 '

Aufgab e 3.2 - A7: Fußball-B unde sliga In der Fußball-B undesliga müssen am Saiso nen de von den I & ange tre tene n Man nschaften die drei in der Tabelle letzten Man nschaften abste ige n. Wie viele Ma nnsch afts-Kombinat ionen sind, theoretisch

betrachte t,

für

den

Abstieg

mögli ch ? Lösu ng 3.2 - A7: Fu ß ba ll-B undesliga Kombination ohne Wiederholung ohne Beachtung der Ano rdnung (es gibt 18 versch iede ne Ma nnschafte n; eine Mannschaft kann höchstens einen Abstiegs platz einnehmen ; di e Reihenfolge der letzten dr ei Mannsc haften ist ohne Bedeutu ng).

n = 18; k = 3; K 3( 18) = 8 16

Au fga be 3.2 - A8: Modellei senbahn Ein Hersteller von Modelleisenbahnen bietet sei ne n Kunden einen histor ischen Zu g an. für den es sec hs versc hiedene Waggonty pen gibt. - Unter wie viele n Waggon zusammenstellunge n kann ein Kunde wähl en, we nn er

3

124

Wahrscheinlichkei/.~rechn llng

a) sieben Waggons kaufen m öchte , b) vier Waggons kaufen m öchte, c) vier Waggons kaufen möchte und jeder Waggontyp nur noch einmal vorhanden ist? d) Wie vie le Zusammenste llungen kann ein Kund e vornehmen, wenn er von vier Waggontypen j e ein Exemplar gekauft hat und alle diese Wag gons in den Zug einbri ngen will? e) Wie viele Zusammenstellunge n kann ein Kund e vornehmen, wenn er von drei Waggontypen j e ein Exemplar und von einem Waggontyp drei Exemplare gekauft hat und alle diese Wagg ons in den Zug einbringen will? Lös u ng 3.2 - A8 : 1\1 odc lleisc n ba hn

a) Kombi nation mit Wiede rholung mit Beachtung der Anordnung (es gibt 6 verschiedene Waggontyp en . ein Wagg ontyp kann mehrfach gekauft werd en; d ie Anordnung der Waggons ist von Bede utung). Vf (6) = 6 7 = 279.9 36

b) wie a) , aber k > 4

V~V (6)

=

64

=

1.296

c) Kom bin ation ohne Wieder holung mit Beachtung der Anordnung (es g ibt 6 verschiede ne Waggontyp en ; ein Waggontyp kann höchstens einmal gekauft werden; die Anord nung der Wag gon s ist von Bedeutun g). V 4 (6)

= (6

6

'4)!

= 360

d) Permutation ohne Wiederholung (jeder gekaufte Wagg on ist anzuordn en ; j eder Waggontyp kom mt genau einma l vor). P(4) =4 ! =24

e) Perm utation mit Wiederholun g (jeder gekaufte Waggon ist anzuordnen; ein Waggontyp kommt "wiederholt" vor).

6'

P l , I , I, 3(6) = ~ 3! = 120

Aufgabe 3.2 - A9: Bewerberauswahl Um die Stelle eines Abteilungsleiters haben sich 14 Personen beworb en, von denen 6 zu einem Vorstellungsg es präch eingeladen werden sollen. Wie viele Auswah lmöglichkeit en gibt es?

125

3.2 Kombinatorik Lösun g 3.2 - A9 : Bewerbe rau swa hl

Kombination ohne Wiederho lung ohne Beachtung der Anordn ung (es gibt 14 verschiedene Bewerber ; ein Bewe rber kann höchstens einmal ausgewählt werden; die Reihenfolge der Auswahl ist ohne Bedeutung). n ~ 14; k ~ 6; K 6 (14) ~ 3.003

Aufga he 3.2 - A IO: R an gliste Vo n den unter Aufgabe 3.2-A9 ausgewählten sechs Bewerbern soll nach den Vorstellungsgespräc hen eine Rangliste mit den drei besten Bewerbern erstellt werd en. Wie viele Ranglisten sind theo retisch möglich? Lösung 3.2 - A l 0: Ran gliste Kombination ohne Wiederholung mit Beachtung der Anordnung (es gibt 6 verschied ene Bewerber; ein Bewe rber kann höchstens einmal ausgewä hlt werden; die Ano rdn ung ist von Bedeutung). n e ö; k e J ; V 3(6) ~ 120

Aufgab e 3.2 - A l l : Systemwette Beim Spiel "6 aus 49" (Lotto ) besteht die Möglichkeit, Systemwetten abzuschließen. Die Systemwette erm öglicht es, viele Tipps auf einfache und kurze Weise abzugeben. Bei der Nor mal wette werden in einem Tippfeld sec hs Zahlen angekreuzt, was der Abga be eines Tipps entspricht. Bei der Systemw ette können in einem Tippfe ld zwischen 7 und 14 Zahlen angekreuzt werden. Damit sind alle möglichen Tipps abgedeckt, die sich aus diesen angekreuzten Zahlen bilden lassen. - Ein Spieler möge bei der Systemwette 10 Zahlen ankreuzen. a) W ie viel kostet diese Sysremwerte, wenn ein Tipp 0,75 € kostet ? b) Wie oft hat der Spieler 3 Richtige, wenn von den 10 angekreuzten Zahlen vier richt ig sind? Lös u ng 3.2 - A l l : Sys te m we tte a) Kombi nation ohne Wiederholung ohne Beachtung der Anordnung (es gibt 10 verschiedene Zah len; eine Zahl wird höch stens einmal au sgewäh lt; die Reih enfolge der Auswahl ist ohn e Bedeutung). n > 10; k e ö; K6(lO) ~ 2 10. Kosten: 210'0,7 5 ~ 157,50 €

b) K3(4) · K3(6)

~

4·20

~

80

126

3 Wahrschein lichkeilsrechm lng

Aufgabe 3.2 - A 12: Reisekoffer Der Verkäufer eines Lederwarengeschäfts bietet Ihnen zwe i Reisekoffer A und B an, die sich nur in ihrem Sicherungssystem unterscheiden. Reisekoffer A ist mit einem vierstelligen Zahlenschloss ausgestatt et, während Reisekoffer B mit zwei vonei na nder unabhängigen, zwe istelligen Zahlenschlösser n ausgestatt et ist. Die Sicherungscodes können vom Käufer selbst festgelegt werden, wobei für j ede Stelle die Ziffern 0 bis 9 zulässig sind. Für welchen der beiden Koffer wird sich ein siche rheitsbewuss ter Käufer entscheiden?

Lösung 3.2 - A12 : Reisekoffer i) Anzahl der Sicherungsco des für Reisekoffer A

Kombi nation mit Wiederho lung mit Beachtung der Ano rdnung (es g ibt 10 versch iedene Z iffern; eine Ziffer darf mehrfach auftreten ; die Reihenfolge der Ziffern ist von Bedeutung). n = 10; k = 4; V'f ( 10) = 10.000 Cod es (die Zahlen 000 0 bis 9999 !) ii) Anzahl der Sicherungscodes für Reisekoffer B Für jedes der beiden Schl össer: Kombination mit Wiederholung mit Beach tung der Anord nung (es gibt 10 verschiedene Ziffern; eine Ziffe r darf mehr fach auftreten ; d ie Reihenfo lge der Ziffern ist von Bedeutun g). n = 10; k = 2; V'f (10) = 100 Code s (die Zahl en 00 bis 99) Für beide Schlösser gemeinsam: 100 · 100 = 10.000 Cod es iii) Ents cheid ung Koffer B bietet eine scheinbar gleich hohe Sicherheit. Beim einmaligen Versuch, den Koffer B wid errechtlic h zu öffn en, bietet er die gleiche Siche rhe it wie Koffer A. Bei "unbegrenzten " Versuchen bietet Koffer A eine 50fach höhere Siche rheit. So wird Koffer A nach durchschnitt lich 5.000 Versuchen geö ffnet, Ko ffer B nach durchschn ittlich 100 Versuchen, nämli ch j eweils 50 Versuche für das erste und das zwe ite Schloss, wobei von der geringen Anzahl der Versuche zusätzlich ein besonderer Anreiz ausgeht.

Aufga be 3.2 - AU: \Vund ertüte Für das Bcfüllen von Wundertü ten stehen einem Herstelle r 25 versch iedene Art ikel in beliebiger Menge zur Verfügu ng. Auf wie viele Arten können die Wundertüten befüll t werden, wenn eine Wundert üte vier bel iebige Artike l enthalten so ll?

3.3 Diskrete Verleilungen

127

Lösung 3.2 - A13: Wundertüte Kombination mit Wiederholung ohne Beachtung der Anordnung (es gibt 25 verschiedene Artikel; ein Artikel darf mehrfach ausgew ählt werden; die Anordnung der Artikel in der Tüte ist ohne Bedeutung). n» 25; k

~

4; K 4 (25) ~ 20.475

3.3 Diskrete Verteilungen Die theoretische Verteilung einer Zufallsvariablen zeigt auf, wie wahrscheinlich die möglichen Realisationen dieser Zufallsvariable n sind. Die theo retische Verteilung kann als ein Modell aufgefasst werden, das aufzeigt, wie die empirische Verte ilung vom theoretischen Standpunkt her aussehen müsste. Einer diskreten Vert eilu ng liegt eine Zufallsvariable zugrunde, die in einem festgelegten Intervall nur bestimmte Werte annehmen kann. Die folgenden Übungsaufgaben befassen sich mit den Bereichen - ßinomialverteilung - hypergeom etri sche Verteilun g - Poisson verteilung < Negative Blnomlalverteitun g - Geo melrische Ve rteilu ng < M ultl nc mialv cr tci lung - Approximat ionen Im Tabellenanhang sind für die Binomialverteilung und die Poissonvertei lung für ausgewählte Werte der Funktionalparameter die Wahrscheinlichkeits - und die Verte ilungsfunktion angegeben (5 . 209 fC).

Aufgabe 3.3 - A l : Bino minlvertcilung Ein Touristikuntern ehmer bietet in jedem Herbst eine exklusive Kulturreise zu den Schlössem der Loire an. Die Reise erfolgt mit einem Kleinbus, in dem neun To uristen Platz haben. Aus langjähriger Erfahrun g weiß der Unternehmer, dass eine jede Buchu ng in den letzten beiden Tagen mit einer Wahrsche inlichkeit von 5 % kurzfristig storni ert wird. - Der Unterne hmer hat wegen der kurzfristigen Stomienmgen statt neun Buchungen zehn Buchungen entgegengenommen.

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

128

a) Welches Übe rbelegungsrisiko geht der Unter nehmer ein? b) Um in der Gewinnzone zu bleib en, müssen mind estens acht Personen mi tfahren . Wie wahrsch einli ch ist es, dass der Unter nehmer noch kurzfristig für Ersatzreisende sorgen muss, um nicht in die Verlustzone zu geraten? c) Mit wie vielen Stornierungen hat er durchschnittlich zu rechnen?

Lösun g 3.3 - A l : ßin omialver tcilun g Schritt I : Defi niti on der Zufall svaria blen X Zufallsvariable X == Anza hl der kurzfristigen Stom ierungen

Fehlerquelle (häufig) : Die Zufalls variable wird fehlerhafterweise zahlenmäßig festgelegt (z.B . X = 10, X < 9 etc.). Der Zu fallsvariabJen dürfen jedoc h im Rahmen der Defin ition keine Werte (Realisationen) zugeordne t werd en. Schritt 2: Erkennen der Verteilu ngsform Die Zufa llsva riable X ist binomialverteilt , da - zehn identi sche Buchu ngsvorgänge anfallen (identische Zufallsvorgänge ) - eine Buc hung storniert od er nicht storniert wird (2 Ausgänge) - für jede Buchu ng die Stomi erun gswahrscheinlichkeit 5 % beträgt (g leichbleibende Wa hrscheinlichkeit).

Feh lerquelle (häufig): Verwe chslung mit der hypergeometrischen Verteilung. Dazu mü sste aber : a) eine übergeord nete Menge (N) gege ben sein, die fest in "Stomierer" (5 %) und "Nicht-Stomierer" (95 %) aufgeteilt ist. b) "Modell ohne Zurüc klegen" gelten. Schritt 3: Feststellen der Wett e der Funktionalpara meter - Anzahl der Buchungsvorg änge. n = 10 - Stomierungswahrscheiulichkeit: 8 = 0,05 Schritt 4 : Berechnung der Wahrschei nlichkeiten a) Das Risiko tritt ein, wenn keine Buchung storniert wird. d.h. wenn die Zufalls variable X den We rt 0 annimmt. Mit Hil fe der Wa hrscheinlich keitsfunkt ion der Binomialverteilung

[B (x I n; O)

( : ) 0 X(I _ 0)0-X

für x =0. 1. 2...., n

~

[

o

kan n d ie Wa hrscheinlichk eit berechnet wer den.

sonst

3.3 Diskrete Verteilungen

129

~( I~ ). 0, 05 0 . (1 _0,05) ' 0

f B (0 110; 0,05)

= 0,5987

bzw.

59,87 %

Das Risik o, dass keine Buch ung stornie rt wird, beträgt 59,87 % . Unter Abwä gung der mi t zehn Buch ungen verbundenen Vor- und Nachteile mu ss der Unter nehmer entscheid en, ob er da s hohe Risiko eingeht. Die Wahrscheinlichkeits- und die Vert eil ungs funktion der Binomialverteil ung ist für ausgew ählte Weit e der Funktio nalpa rameter n und

e

im Tahe1lenanhang l a

hzw . 1b (S. 209 - 2 11) w iedergegeben. b) Der Unternehmer bleibt in der Gewinnzo ne, wenn höc hstens 10 . 8 = 2 Buchunge n sto rniert werden . Die Wa hrsc he inlichkeit für X :::; 2 kann m it Hilfe der Ve rteilungs funktion F(x) berech net werden.

F B( x l n; 0 ) =

i: ("a )' 0 "

,=0

(1 - 0 )n- ,

für x = 0, 1,2, ..., n

Die Wa hrsche inlichkeit

FB(2 11O; 0,05) =

i:a=O ('aO ) ' 0, 05"

(1 - 0, 05)10-' = 0,9885

kann im Tabellenanhang 1b für n = 10, x = 2 und

e = 0,05 nachgeschlagen wer-

den (S. 211). - Die Ge fahr, dass der Unterne hmer, um Ve rluste zu ver meiden, nach Ersatzreise nde n suchen mu ss, ist mit 1 - 0,9885 = 0,0 115 bzw . 1, 15 % sehr gen ng .

Feltlerquel/e (re lativ häufig): Beim tabellari schen Ablese n der Wah rscheinlichke it wir d bei der Wahrsc heinlichkei tsfunktion fl x) anstatt be i der Vert eilungsfunktion F(x) nachgesch lagen. e) Es ist der Erwartungs wert E(X) zu bestimmen. Der Erwa rt ungswert der Biu omi alvert eilung kann mit folgend er Form el bestimmt werden:

E(X) =n · 0 Damit ergibt sich

E(X) = 10 . 0,05 = 0,5 d .h. bei ze hn Buchungen sind durch schn ittlich 0,5 Sromi erungen zu erwarten.

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

130

Aufg abe 3.3 - A2: Hypergeomet rische Verteilung Von de n 30 Einzelhändlern in einer Kleinstadt sind 10 für und 20 gegen eine Verlängerung der Lad en öffnungszeit. Im Rahmen eine r Umfrage we rden 6 z ufällig au sgewählte Ein zelhändler na ch ihrer Meinung befragt.

a) Wie groß ist die Wahrscheinl ichkeit, dass sich genau zwe i der befragten Einzel hä nd ler für eine Verlängeru ng der Lad en öffnu ngszeit aussprechen ?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens die Hälfte der be-

fragt en Hän dler ruf eine Verlä ngeru ng der LadenöfTnungszeit au sspricht? c) Wie viele Einzelhändler sind in der Umfrage zu erw arten, die sich für ein e Verlä nge ru ng der Laden öffnungszeit aussprechen? Lös u ng 3.3 - Al: Hyp er geom etri sch e Ve rteilung Schritt I : Definition der Z ufallsvaria blen X Zufallsvariab le X = An zahl der Einze lhändler, die sic h für eine Ve rlä nge ru ng der Ladenöffnungszeit au ssprechen .

Fe hlerquelle (häufig): Die Z ufa llsvariable X wi rd fehl erhafterwei se zahlenmäßig festgelegt (z. B. X = 2, X > 2 etc .). Der Z ufallsvariablen dürf en j ed och im Rahmen der Defin ition keine Werte (R ealisationen) zugeordnet werden. Schr itt 2: Erk enn en der Verteilungsform Die Z ufalls variable X ist hyp ergeom et risch verte ilt, da - von den 30 Einzelhändlern 10 für und 20 gegen ei ne Ve rlänge rung der Lad enöffnu ngszeit sind - von den 30 Einzelh ändlern 6 Einzel händl er "ohne Z urüc klegen" befragt werden.

Fehlerquelle (h äufi g): Verwechslung mit der Binomial verteilung. Bei dieser Ve rte ilung müsste j edoch bei j edem der Einzelhä ndl er die Wahrsch einl ichkeit , für d ie Verlä ngerung der Ladenöffnungszeit zu se in, 33,33 % betragen. • Hier ist die Menge der Einzelhändler j ed och vo n vorn herein fest in zwe i T eilme ngen ( 10: 20) ze rlegt. Schritt 3 : Fest stellen der W erte der Funktion alp arameter - Anzahl der Einze lhändler: N = 30 - Anz ahl der für die Verlä ngerung einges tellte n Einze lhändler: M = 10 - An za hl der befragten Einze lhändler: n = 6

3.3 Diskrete Verteilungen

13 1

Schritt 4: Berechn ung der Wah rschein lichkeiten a) Mit Hilfe der Wa hrschein lichkeilsfunktion der hypergeo metrischen Vert eilung

(MJ(N=" J x

n x

für x =max{ O,n -(N -M ) } , ...• min{ n, M }

sonst ° kann die Wah rsch einlichkeit für die Realisation X

= 2 berechnet werden.

45 · 4.845 = 0 3672 bzw. 36,72 % 593.775 "

Die Wahrsche inlichkeit , dass sich 2 der befragten Einzelhän dler für eine Verlä ngerung der Laden öffnungszeit aussprechen , beträgt 36. 72 % . b) Es ist die Wahrschein lichkeit F(X ~ 3) zu berechn en. Der Rechenaufwand wird red uziert. wenn die Wahrschein lichkeit für das Kompl ementereigni s X :5 2 berechnet wird. Statt 4 Ein zelw ahrs chei nlichkeiten sind nur 3 zu berechnen.

f ll (0130 ; 10; 6) =

fll (1130; 10; 6) =

( I~Wn

(3n

( \0 }(2 J s0

(3n

1 · 38.760 = 0,0653 593 775

=

10 · 15.504 = 0,26 11 593.775

fll(2130; 10; 6) = 0,3672 (siehe Aufgabe a)) Die Wa hrscheinlichkeit. dass sich mind estens 3 der befragten Ein zelhän dler für eine Verlängerung der LadenöfTnungszeit aussprechen, beträgt 1 - 0.0653 - 0,261 1 - 0,3672 = 0.3064 hzw. 30,64 %.

Fehlerquelle: Das Kom plementereignis zu X 2::: 3 wird fehlerhaft mit X :5 3 gebildet. - Es wird am Ende der Berechnu ngen vergessen, die Wa hrschei nlichkeit von I abzuziehen.

3 Wahncheinlichkeilsrechnllng

132

c) Es ist der Erwartungsw ert E(X) zu bestimmen . Der Erwartungswert der hypergeom etr ischen Vert eilun g kann mit fo lgend er Formel bestimmt wer den :

E(X) ~n .M N Damit ergibt sich

E(X) ~ 6 . .l.Q ~ 2 30 d.h . be i sechs Befragungen sind dur chschnitt lich 2 befürwortend e Haltu ngen zu erw arte n.

Aufga be 3.3 - A3 : Poissenvcrteilung Ein Soft wa re-H erste ller hat für seine Kunden in Süddeutsc hland di e Hotl ine S D eingerichtet. An Werktagen rufen zwischen 20.00 und 2 1.00 Uhr durchsch nitt lich 5 Kund en an. Die Hotline ist so besetzt, dass sie in dieser Ze itspa nne 9 Anrufe entgegennehmen kann. a) W ie gro ß ist die Wahrscheinl ichkeit , dass zwisc he n 20.00 und 2 1.00 Uhr drei Kunden anrufen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Hotline überlastet ist? c) Bei der Hotli ne OD für die Kunden in Ostdeutschland gehen zw ischen 20 .00 und 2 1.00 Uh r d urch schnittl ich 4 Anrufe ein; es kön nen 7 Anrufe entgegengenommen werden. Wie gro ß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beid en Hotl ines überlastet ist? d) Kann durch eine Zusammenlegung der beiden Hotlines die Wahrschei nlic hkeit der Übe rlastu ng gesenkt werden? Lös u ng 3.3 - A3: Poisson vertcilung Schritt I : Definition der Zufallsvariablen X Zufallsvariable X = Anzahl der eingehenden Anrufe bei Hot line SD Schritt 2: Erkennen der Verteil ungs form Die ZufaJlsvariable X ist po isson vertei lr, da Folgendes anzun ehmen ist - Stationa rität: Innerhalb des n-ten Tei ls der Stunde gehen durchschnittl ich 5/n Anrufe ein (z. B. zwischen 20.00 und 20. 12 Uhr I Anruf). - N achw irkungsfreihe it: die Anzahl der Anrufe in ein em Ze itseg ment ist ohne Einfluss auf die Anzahl der Anrufe in einem anderen Ze itsegme nt. - Ordinari tät: Bei genügend feiner, gleichmä ßiger Ze itseg mentierung geht in einem Ze itsegment höchstens ein Anruf ein.

3.3 Diskrete Verteilungen

133

Schritt 3: Feststellen des Weit es des Funktionalpa rameters Anza hl der durchschnitt lichen Anrufe bei Hotline SO: Il = 5 Schritt 4 : Berec hnung der Wahrschein lichkeiten a) Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeits funktion der Poissonvert eil ung für x =0,1 , 2, .. . kann d ie Wa hrscheinl ichkeit für die Realisation X == 3 berechnet werden.

f p (315)

=5

3 ' e- 5 = 125 · 0, 0067379 = 0 1404 bzw. 14,04 %. 3! 6 '

Mit eine r Wahrscheinlichkeit von 14,04 % rufen zw ischen 20.00 und 2 1.00 Uhr d rei Kund en an (sie he auch Tabellena nhang 2a, S. 2 13). b) Die Hotl ine SO ist überlastet, wenn mehr als 9 Kunden anrufen. Es ist die Wahrscheinlichkeit F(X > 9) bzw. die weniger rechenaufwänd ige Wahrscheinlichkeit I - F(X $ 9) zu berechnen oder in Tabelle 2b (S. 2 16) nachzuschlagen . Die Wahr scheinli chkeit, dass die Hotline überlastet ist, beträgt

Fp (X > 915) = 1 - Fp (X S 91 5) = 1 -0,9682 = 0,03 18 bzw . 3, 18% c) Die Hotline 0 0 ist überlastet, wenn mehr als 7 Kunden anrufen. Die Wahrsche inlic hke it, dass die Hotlin e 0 0 überlaste t ist, beträgt (s. Tab. 2b, S. 2 15)

Fp (X >714) = 1 - F(X S 714) = 1 - 0,9489 = 0,05 11 bzw. 5, 11 % Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Hotlines über lastet ist, beträgt mit dem allgemeinen Additionssatz

0,0318 + 0,0511 -0,0318·0,0511 = 0,0813 bzw . 8, 13 % d) Zusammenlegung der beiden Hotlines Zufallsvariable X I : Anzahl der Anrufe pro Stunde bei Hotline SO Zufallsvariable X 2 : Anzahl der Anr ufe pro Stunde bei Hotline 00 Funktiona lpar ameter. ~ I = 5; 11 2 = 4 Bei einer Zusa mmenlegung kom mt es zu einer Übe rlastung, wenn in einer Stunde mehr al s 9 + 7 = 16 Anrufe eingehen. Ges ucht ist die Wahrsche inlichkeit W(X 1 + X z > 16)

Die Berechnu ng der Wahrscheinlichkeiten fü r alle Kombinationen mit mehr als 16 Anrufen (z.B. 11 + 7, 8 + 9, 13 + 6) und deren anschließende Addition wär e

3 Wahrscheinfichkeilsreclmung

134

sehr aufwändig. Diese sehr umfangreiche Berechnung erübrigt sich wege n der Reprodukti vitärseigen schaft der Poissonvcrtcilun g. Reproduktlvit ät der Polssonvertcilun g Sind di e Zufallsvariablen X I, X 2 , ..., X n una bh ängig und poisson vert eilt

mit 1.1 1, 1l2, .." u n, dann ist die Zufallsvariable X = X I + X 2 + ... + X n ebenfalls poissonverteilt mit ~ =

n

L

i=\

~;

Für das Beispiel Hotline ergibt sich damit: Zufallsvariable X: Anza hl der Anrufe pro Stunde bei SD und O D

Funktionalparameter: Il W(X > 16)

=

=

1.1 1 + 11 2 = 5 + 4 = 9

I - W(X SI 6)

=

I - Fp(1619)

= 1 - 0,98 89

(s. Tab. 2b, S. 2 17)

= 0,0 111

1, 11 %

bzw.

Durch die Zusammenlegung der beiden Hotlines SD und OD kann die Wah rscheinlichkeit, dass während eine r Stunde nicht alle Anrufe entgege nge nommen werden können, von 8, 13 % auf I, I % reduziert werd en.

Aufgab e 3.3 - A4: A pp roxi ma tio n I Ein Produzent von Elektro nikba uteilen liefert einem Kunden j eden Montag 3.800 Ba uteile . Der Kunde nimm t Lieferungen mit einer Ausschussquote von 4 % und höh er nicht an. - Die Qualit ätskontrolle wird vom Lieferanten und Kund en gemeinsam durchgeführt. Der Prüfplan sieht die zufällige Entnahme ohne Zurücklegen vo n 180 Bauteilen vor. Sind davon höchstens 6 Bauteile Ausc huss (3,33 %), dann wird die Lieferung angen ommen, anderenfa lls wird sie nicht ange nommen. Wie groß ist da s Risiko des Produ zenten, dass eine Lieferung, in der nur 2 % der Bauteile Aussch uss se in mögen, nicht angenomm en wird? Lösu ng 3.3 - A4 : A pp r oxima tion I Das Produzentenrisiko besteht darin, dass die Lieferung wegen des Auffindens von mehr als 6 Ausschuss -Bauteilen in der Stichprobe von 180 Ba uteilen ni cht ange nommen wird, obwohl d ie Lieferun g mit 2 % bzw. 76 Aussc huss -Bauteilen deutlich unter 4 % Ausschuss bzw. 152 Aussc huss-Bauteilen liegt.

3.3 Diskrete Verteilungen

135

Schritt 1: Definition der Zufallsvariablen X Zufallsvariable X = Anzahl der Bauteile. die Ausschuss darstellen. Schritt 2: Erkennen der Verteil ungsform Die Zufallsvariable X ist hypergeometrisch verteilt, da - von den 3.800 Bauteilen 76 (2 %) Ausschuss sind, die anderen nicht - von den 3.800 Bauteilen 180 "ohne Zurücklegen" entnommen werden.

Fehlerqu elle (hä ufig): Verwechslung mit der Binomialv erteilu ng. Dafü r müsste jedoch für ein j edes Baut eil die A ussc husswahrsc heinlichkeit von 2 % gelten. Schritt 3: Feststellen der Weite der Funktionalpara meter - Anzahl der ge lieferten Bauteile: N = 3.800 - Anzahl der Ausschuss-Ba uteile: M = 76 - Anzahl der entnommenen Bauteile: n = 180 Schritt 4: Approxi mationsverteilung Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit

1 - FIl (613.800; 76; 180) = I -

6

L

76 ) . ( 3800 - 76 ) ( a 180 - a

a=O

3800 ) ( 180

ist auc h mit Hilfe eines Taschenrechners praktisch nicht möglich; auch Softwareprogramme lösen diese Aufgabe wegen der hohen Binomialkoeffizienten teilweise nicht mehr. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die vorliegende Verteilung durch eine andere, weniger rechenaufwändige Vert ei lung approximiert werden (s iehe Tabellenanhang, Tab elle 8, S. 226) . Im vorliegenden Beispiel ist die Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Poissonverteilung vertretbar, da die entsprechenden Approximationsbedingungen erfüllt sind.

i) n ii)

~

n =1 80 > 30

30

~ :::; 0, I

iii) ~ < 0,05

oder

~ ~ 0,9

M = ~

N

3800

n

= 3800 =

N

180

0,02

s

0, 1

0,047 < 0,05

Fehlerquelle: Das Kompleme ntereignis zu X > 6 \vird fehlerhaft mit X :::; 5 gebildet.

136

3 Wahrschcintichkettsrechnnne

Schritt 5: Feststellung der Funktiona lparameter der App roximationsverteilung Der Funk tion alparam eter der Poissonverteilung err ec hnet sich mi t

~ = n .M = 180 . --.ZL= 3 6 N

3.800

'

d.h. bei 180 entnommenen Bauteilen sind durch schnittlich 3,6 Auss chuss -Bauteile zu erw arte n. Schritt 6 : Ber ech nung der Wahrschein lichkeit

1- FH (613.800 ; 76; 180) = 1- F p(613,6) =

1-0,9267 bzw. 7,33 %

(5. Tab. 2b, S. 216)

Die Wa hrschei nlichk eit, das s eine Lieferun g von 3.800 Bau teilen . die nur 2 % Ausschuss enthält, fä lschli cherweise nicht angenommen wird, beträgt approx imativ 7,3 3 % . - Die exakte, mit der hyp ergeometrischen Ve rte ilungsfunktion enni ttelte Wahrsch einlichkeit beträgt 6,65 %.

Fehlerquelle (re lativ häufig) : Be im tabe lla rischen Ab lese n der Wa hrschei nlichkeit wird bei der Wa hrsc heinlichkeit sfunktion fl x) ansta tt bei der Verteilungsfunk tion F(x) nach gesch lagen .

Aufgabe 3.3 - A5: Approximation 11 Bei eine m schwe r beherrschbaren Produ ktion spro zess beträgt das Risiko, dass ein erzeugt er Artike l den Qualitätserfordemissen nicht genügt, 2,6 % . Wie groß ist die Wahrsch einl ichk eit, dass aus 300 erzeugte n Artikeln eine Lieferung von 290 Artikel n zusammenges tellt werden kann , die den Q ualitätse rfor dern issen genügt? Lös u ng 3.3 - A5: Approximatio n 11 Aus den 300 erzeu gte n Art ikel n kann eine Liefer ung zu sam mengestellt werd en, wenn höchstens 10 Artikel den Qualit ätserfordernissen nicht genüge n. Schr itt I: Definition der Zufallsv ariablen X Zufa llsva riab le X = Anza hl der Artikel, die den Qualit ätser for dernissen nicht genü gen. Schritt 2: Erken nen der Verteil ungs form Die Z ufa llsvariable X ist bin omialverteilt, da - die 300 Artikel nach demselben Ve rfahren hergestellt we rden - ein Artikel den Anfo rderungen genügt oder nicht genügt

3.3 Diskrete Ver/ei/ungen ~

137

für j eden Artikel die Wah rscheinlichkeit 2,6 % beträgt, den Anfo rderungen nicht zu gen ügen.

Fehlerquelle (häufig); Verwechslung mit der hypergeometrischen Verteilung. Dazu müsste eine übergeordn ete Menge (N) mit M == 0,026·N Einheiten Aussc huss gege ben sein. Sch ritt 3: Feststellen der Werte der Funktionalparameter - Anzahl der hergestellten Artikel; n == 300 • Wa hrsche inlichkeit, nicht zu genügen: 8 == 0,026 Schritt 4: A pproximationsverteilung Die Berech nung der Wahrscheinlichkeit

FB (I 01300; 0,026) =

~

(3 00 ) . 0, 026'. 0, 974 300-,

a=O

a

wäre auch unter Verwendung eines Taschenrechners sehr aufwän dig; Softwareprog ramm e lösen diese Aufgabe wege n der hohen Bin omialkoeffi zienten teilweise nicht mehr. Im vorliegend en Beispiel ist die Approximation der Binomi alverteilu ng durch die Poisson verteilung vertretbar, da die entsprechenden Approximationsbe dingungen erfüll t sind. i) n

~

n == 300 > 30

30

ii) 8 :::; 0, 1

od er 8

~

0,9

e

= 0,026 < 0,1

Schritt 5: Feststellung der Funktion alparameter der Approximationsve rteilung Der Funktionalparameter der Poissonvert cilun g errechnet sich mit ~

= n . O = 300 · 0, 026 = 7,8

d.h. be i 30 0 Art ikeln sind durchschnitt lich 7,8 Arti kel zu erwarten, d ie den Anforderungen nicht ge nügen. Schritt 6: Berechnung der Wahrscheinlichkeit

F B (l Oj3 00 ; 0,026) = F p (l OI 7,8) = 0,8352 bzw. 83,52 %

(s. Tab. 2b, S. 2 17)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung zusammenges tellt werde n kan n, beträgt app ro ximat iv 83,52 %. - Die exakte, über die Binomial verteilung ermittelte Wah rschein lichkeit beträgt 83,8 %.

138

3 Wahrscheinlich keifsrechm mg

Aufgab e 3.3 - A6: Appruxima tiun 111 Aus der Konkursma sse einer Porzellanfabrik wird u.a. ein Posten aus 800 Te llern preisgünsti g angeboten. 70 % der Teller sind ange blich I. Wa hl und die restl ichen 30 % 11. Wa hl. Ein Interessent will den Posten erwe rben, we nn von 10 Tellern, die er zufällig und ohne Zurücklege n aus dem Po sten entnehmen darf, mindestens 7 I. Wah l sind. • W ie groß ist die Wahrsc heinlichkeit, dass der Interessent den Posten erw irbt, obwohl von den 800 Tellern tatsächli ch nur 60 % I. Wah l sind? Lö sung 3.3 - A6 : Ap proxima tion 111 Der Interessent kauft die 800 Te ller, von denen 480 I. Wa h l und 320 11. Wahl sind, wenn er in einer Stichprobe von 10 Tellem mindestens 7 Teller der I. Wahl find et bzw . höch stens 3 Te ller der 11. Wa hl findet. Schritt 1: Definition der Zufallsvar iablen X Zufallsvariable X = Anza hl der Teller 11. Wa hl Sch ritt 2: Erk en nen der Verteilungsform Die Zufa llsvariable X ist hypergeometrisch verte ilt, da - vo n den 800 Tellem 60 % I. Wahl und 40 % 11. Wa hl sind - von den 800 Tellern 10 "ohne Zu rücklege n" entnommen werden. Schritt 3: Feststellen der Werte der Funktionalparameter - Anza h l der Teller: N = 800 - Anz ahl der Teller 11. Wahl : M = 320 - Anz ahl der entnommenen Teller: n = 10 Schritt 4: Appro ximationsverte ilung Die Berechnung der Wa hrscheinlichkeit

FH (31800; 320; 10) =

J

L ,=0

(

320 a

n

J' ( 800320 J 10- a (810

wäre auch mit Hilfe eines Ta schenrech ners sehr rechenaufwändig. auch Softwarep ro gramme lösen diese Aufgabe wegen der hohen Binomia lkoeffizien ten teilwei se nicht mehr. - Im vorliegenden Beisp iel ist die Approx imation der hypergeometr ischen Verte ilung durch die Binomialv erteilung vertretbar, da die entsprec henden Approx imat ionsbeding ungen erfüllt sind.

3.3 Diskrete Verteilungen i) 0, 1 <

139

o, I < M = N

~ < 0,9

ii) ~ < 0,05

.!!. =

N

~ 800

°

320 = 0 40 < 9 800 ' ,

= 0 0 125 < 0 05

'

,

Schritt 5: Feststellung der Funktionalparameter der Approximationsvert eil ung Die Funktionalparameter der Binomia lverteilung er rechnen sich mit

e=

M = 320 = 0 40 800 '

N

und n = n = 10

Schritt 6: Berechnu ng der Wahrscheinl ichkeit

FIl (31800; 320; 10) = FB(3 II O; 0,40)

±

a=O

( 10 ) , 0, 40' . 0, 60 10- ,

a

= 0,3823 bzw. 38,23 %

(s. Tabelle 1b, S. 2 11)

Die Wahrsche inlichkeit, dass es zum Kauf kommt, beträgt approximati v 38 ,23 %. - Die exakt e, über die hypergeometrische Verteilung ermittelte Wahrsche inlichkeit beträgt 38 , 13 % .

Aufga bc 3.3 - A7: Negative Binomialverteilu ng Für ein e Lieferun g wer den 10 fehlerfreie Stücke eines Artikels ben öt igt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Artikel fehlerfrei ist, beträgt 90 %. - Wie groß ist die Wa hrsche inlichkeit, dass die Lieferung genau mit der Herstellun g des zw ölften Art ikel s kompl etti ert wird?

Lös ung 3.3 - A7: Negative Hinumialverteilung Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau mit der Herstellun g des zwölften Artikels der zehnte fehlerfreie Artikel hergestellt w ird. Schritt 1: Defini tion der Zufallsvariablen X Zufallsv ariable X = Anzahl der hergestellten Artike l Schritt 2: Erkennen der Verteilungsform Die Z ufallsvariable X ist negativ binomi alvertcilt, da - ein j eder Artikel nach dem selben Verfahren hergestellt wird - ein Artikel fehlerfrei ist oder nicht - fü r j eden Artikel die Wahrscheinlichkeit. fehlerfre i zu sein. 90 % beträgt.

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

140

Schritt 3: Feststell en der Weit e der Funktionalp arameter An zahl der fehler freien Art ikel : b = 10 Wahrscheinlichkeit der Fehlerfreiheit: 0 = 0,90 Schritt 4 : Berechnu ng der Wahrscheinlichkeit Mit Hilfe der Wahrscheinl ichkeitsfunktion der negativen Binom ialvertcilung für

X

= b, b+ I, b+2, .. .

b = 1, 2, 3, . kann die W ahrsche inlic hkeit berechnet \verd en.

fNB( 121 10, 0,90 j = ( 12 - 1 ) . 0, 90 10. 0, 102 10 - 1 = 55 ·0, 3487 -0, 0 1 = 0,1918 bzw. 19,18 % Die W ahrscheinlichkeit, da ss genau mit dem zwö lften Artikel die Verpackungseinheit vervollständigt wird, beträgt 19,18 %.

Au fgabe 3.3 - A8: Geometr ische Vert eilung Für eine Lieferu ng werden 10 fehlerfreie Stücke eines Artikels benötigt. Die Wahrscheinl ich keit , daß ein Arti kel fehlerfrei ist, betr ägt 90 %. • Wie gro ß ist di e Wahrschein lichke it, dass der erste fehlerhafte Artikel mit der Herste llung des el ften Artikels anfa llt? Lös ung 3.3 - A8: Ge ometr ische Verteilun g Ges ucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau mit der elft en Herstellung eines Artikels der erste fehlerhafte Artik el anfallt. Schritt 1: Defini tion der Zufallsvariablen X Zufallsvariable X = Anzahl der hergestel lten Artikel Schritt 2: Erkennen der Verteil ungsform Die Zufallsvariable X ist geo metrisch verteilt , da - ein j ed er Art ikel nac h demselb en Verfahren hergestellt wi rd - ein Artikel fehlerhaft ist oder nicht - für jeden Artike l die Wa hrscheinlichkeit, fehlerhaft zu sei n, 10 % beträgt Schritt 3: Fes tstellen des Wertes des Funktionalpa rameters Wa hrscheinlic hkeit der Fchlerfrei heit: 8 = 0, 10

3.3 Diskrete Verteilungen

14 1

Schritt 4: Berech nung der Wahrscheinlichke it Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunkt ion der geometr ischen Verteilung

für x = 1,2, 3, ... kann die Wahrsc heinlichkeit berechnet werde n.

=

0,0349

bzw .

3,49 %

Die Wa hrscheinlichkeit, dass mit dem elft en Artikel der er ste Fehler auftri tt, beträgt 3,49 %.

Aufga be 3.3 - A9: M u lt in om ia lverteilu ng Die Qualität eines Porzellantellers kann 1., 11. oder III. Wah l sein. Die Wa hrsche inlichkeiten für die Zuordnung zu einer der drei Qu alitätsstufen betrag en bei dem eingesetzten Prod uktion sverfahren für einen je den Teller 70, 20 hzw . 10 % . Wie gro ß ist die Wahrscheinl ichkeit, dass von 10 zufäll ig ausge wä hlten Tellern genau sieben I. Wahl, zwei 11. Wa hl und einer 111. Wa hl ist? Lös ung 3.3 - A9: M ulti nomialvertell un g Schritt I : Definit ion der Z urallsvariablen X, Y und Z Zufallsvariab le X = Anzahl der Teller I. Wahl Zufallsvariable Y ::=: Anzahl der Teller 11. Wa hl Zufallsvariable Z ::=: Anzahl der Teller 111 . Wah l Schritt 2: Erken nen der Vert eilungsform Es liegt eine M ultinomialverteil ung vor, da - ein j eder Teller nach demselb en Verfahren hergestel lt wird - ein j eder Te ller 1., 11. oder 111. Wahl ist - für j eden Teller die Wahrscheinlicbkeiten 70, 20 bzw . 10 % betragen. Schritt 3: Feststellen der Werte der Funktionalparameter Anzahl der Tell er: n = 10 Wahrscheinlichkeiten: 0 1 ::=: 0,70; 8 2 ::=: 0,20; 0 3 ::=: 0, 10 Schritt 4: Berech n ung der Wahrscheinl ichkeit Mit Hil fe der Wa hrscheinlichkeitsfunktion der Multin omi alvert eilung

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

142

=

n! " 1! ·n2 ! · ··· · nk !

kan n die Wa hrschein lichk eit berechn et werden.

f M (7; 2;

1110;

0,70; 0,20; 0,10)

101 7! . 2! . = 0, 1186

bzw. 11,86%

Die Wa hrsche inlichkeit, da ss von 10 Tellern 7 Teller I. Wahl, 2 Tell er 11. Wahl und ein Te ller III. Wahl ist, betr ägt 11,8 6 %.

Aufga be 3.3 - A IO: Blutspende Blutspenden sind vor ihrer Aufbereitung zu einer Blutkonserve auf ihre Eignung zu untersu chen. Die Kosten für eine Untersuchung belaufen sich - unab hängig vo n der Blutmenge - auf 20,00 E. Mit einer Wah rscheinlic hkei t von 90 % ist eine Blutspende fü r die Aufbereitung gee ignet. An statt jede Blutspende einzeln auf ihre Eignung hin zu untersuchen, sollen drei miteinander verträgl iche Blutspenden zuerst zu einem Pool zusamm engefüh rt und erst dann untersucht werden. Wird be i der Poolbildung eine geeign ete Blut spende durch nicht geeign ete Blu tsp enden verun reinigt, dann entsteht ein Schaden von

50 € pro ursprünglich geeigneter Blutspend e. Ist di e Pool bildung unter w irtsc ha ftlichen Aspekten sinnvoll? Lösu ng 3.3 · AI O: Blu tsp ende Schritt I; X = Anzahl der ursprüngl ich geeigneten Blutspend en Schri tt 2: Binom ialverteilung Schr itt 3: Funktionalparameter n = 3; O = 0,90 Schri tt 4 : Schadenseintritt. wen n X = I und X = 2

f 8 ( 113; 0,90) = 0,027 ;

f8 (213; 0,90) = 0,243

Schade ns-Erwartungswert. I · 50 · 0, 027 + 2,50 · 0, 243

=

25,65 €

Schr itt 5: Da die Einsparung der Unte rsuchungskosten bei der Poolbildu ng mit 2 · 20 = 40 € grö ßer als der Schadens -E rwartu ngswe rt ist, ist die Poolb ildu ng unter wirtscha ftl iche n Aspekten sinnvoll.

3.3 Diskrete Verteilungen

143

Aufga be 3.3 - A ll: La gerdisp onenten Die 7 Lagerdispon enten A, B, C, D, E, F und G können stündlich jewei ls 2 Aufträge ausführen. Abi s E sind für firmeninterne. F und G für exte rne Aufträge zuständig. Durchschnittli ch fallen während einer Stunde 6 interne und 2 exte rne Aufträge an. a) Wie gro ß ist die Wahrschein lichkeit, dass währen d ein er beliebigen Stu nde gena u 8 inte rne Aufträge eintreffen? b) Wie groß ist die Wahrschein lichkeit, dass während einer bel iebigen Stunde nicht alle eintreffenden internen Aufträge ausgeführt werden können? c) Die Wa hrsche inlichkeit, dass während einer beliebigen Stunde nicht alle internen und/oder externen Aufträge ausgeführt werden können, beträgt 9,3 %. Wie verändert sich diese Wahrscheinl ichkeit, wenn Disponent A in Rente ge ht und die verbleiben den Disponenten B bis G jetzt sowohl für intern e als au ch für externe Auft räge zustän dig sind? Lösun g 3.3 - Al l : Lagerdisponenten Lösung zu a) und b) Schritt 1: X = Anzahl der eintreffe nden internen Aufträge Schritt 2: Poissonverteilung Schritt 3: Funktionalpara meter J.l = 6 Schritt 4: Wahrscheinl ichkeiten a) f p (816) = 0, 1033 bzw. 10,33 % (5. Tab. 2a, S. 2 13) b) W(X > 10) = 1 - Fp ( 1016) = 1 - 0,9574 = 0,0426 (4,26 %)(5. Tab. 2b, S. 2 16) Lös ung zu c) Schritt 1: Zu fallsvariablen X j : Anzahl der eintreffenden internen Aufträge X 2 : Anzahl der eintreffenden externen Aufträge X : Anza hl der insgesamt eintreffenden Aufträge Schritt 2: Poissonverteil ung Schritt 3: Funktional parame ter 11 = Jll + 112 = 6 + 2 = 8 Schritt 4 : Wahrscheinlichkeit Die sec hs Disponenten B bis G sind bei mehr als 12 Aufträgen überla stet. W(X > 12) = 1 - W(X S 12) = 1 - Fp( 1218) = 1 - 0,9362 = 0,0638 Durch die Umo rganisation kann die Wahrsche inlichkeit für eine Übe rlastung trotz der Personalred uktion von bisher 9,3 % auf dann 6,38 % redu ziert werden.

144

3 Wahrscheinlichkeilsreclml/ ng

Aufgabe 3.3 - A12: Skat I Beim Skat erhä lt jeder der drei Spieler 10 Karten. Zwei Karten bleiben verdeckt liegen. Die höchsten Trümpfe beim Skat sind die vier Buben. Spieler A interessiert sich ruf die Wahrscheinlichkeiten, Buben zu erhallen. Erstellen Sie für Spieler A die Wahrschein lichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion! Lösung 3.3 - A 12: Ska t I Schritt I : X = Anzahl der Buben Schritt 2: Hypergeometrische Vert eil ung Schritt 3: Funktionalparameter: N = 32; M = 4; n = 10 Schritt 4: Wahrscheinlichkeilen für die möglichen Realisationen 0, 1, 2, 3 und 4.

f ll (0132; 4; 10) ~

f H (l 132; 4; 10) ~ Entsprechend : f(2)

(~ }(~~~ ) ( :~ J

( ~ H:~~ J C~ J

~

~

13.123. 11 0 = 0 2034 64 .512.240 '

bzw. 20,34 %

27.627.600 = 0 4283 bzw . 42,83 %

64.5 12.240

= 0,289 1; f~'3) = 0,0734;

f( 4)

'

= 0,0058 .

D.h. beispielsweise,

die Wahrschein lichkeit, dass ein Spieler alle vier Buben erhä lt, beträgt 0,58 %. Für die Verteilungsfunktion sind die oben angege benen Wahrsc beinl icbkeiten zu kumulieren : 0,2034; 0,63 17; 0,9208; 0,9942 und 1,0000 .

Aufga be 3.3 - A13: Skat 11 In Fortsetzung zur Aufgabe 3.3·A I2 : Wie groß ist die Wahrsche inlichkeit, dass Spieler A in der zehnten Spielrunde zum ersten Mal keinen Buben erhält? Spiele r A hat in den erste n neun Spielrunden stets Buben erha lten; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in der zehnten Spielrunde erstmals kein en Buhen erhält? Lösung 3.3 - A13: Skat 11 Schritt I : Zufallsvariable X = Anzahl der Spielrunden Schritt 2: Geometrische Vert eilung (10 identische Karten verteil ungspro zesse; "kein Bub e" oder "ein und mehr Buben"; die Wahrsche inlichkeit, keinen Bub en zu erhalten, ist in jeder Spielrunde gleich.)

3.3 Diskrete Verleilungen

145

Schritt 3: Funkti onal parameter - e = 0,2034 (s. Aufgabe 3.3 -A 12) Schritt 4 : Berechnung der Wahrscheinlichk eit

f G ( IOI O,2034) = 0,2034 . 0, 7966 9 = 0,02 63

bzw . 2,63 %

Die Wa hrscheinlichkeit, dass Spieler A in der zehnten Spi elrun de erstma ls kein en Buben erhä lt, beträgt 2,63 % . Anme rkung : Die Wa hrsc hein lichkeit, da ss Spieler A in der ze hnten Spiehu nde kein en Bub en erhält, wenn er zuvor stets ß uben erhalten hatte, beträg t - w ie in einer j eden Sp ielrund e - 20,34 %, da die zehn te Spielrunde unabhängig von den Spielru nden zuvor erfolgt und der Zufall kein Ge däc htn is hat.

Aufga be 3,3 - A 14 : Blutg r uppe In Deutschland hab en 37 % der Bu ndesbü rger di e Blutgrupp e "A Rhesus positiv" , 35 % "0 Rhe sus positi v", 9 % "B Rhesus po sitiv" und 19 % and ere Blutgruppen . Wie groß ist di e Wa hrsc heinl ichkeit, da ss von 4 Blutspende rn je zwe i die Blut gruppe "A Rhesus positiv" und "0 Rhesus po sitiv" haben? Lös ung 3.3 - A 14: Blu tgr up pe Schritt I : Zufallsvariablen Zufallsvariable X : Anza hl der Bun desb ürger mit "A Rhesus positiv" Zufallsvariable Y: Anza hl der Bu ndesbürger mit "0 Rhes us positiv" Zufallsvariable Z : Anzahl der Bundesbürger mit sonstigen Blutgruppen Schritt 2: Multinomialve rtei lung (es liegt zwar eine "Entnahme ohne Zurüc klegen" vo r. Bei der Auswahl von nur 4 Bundesbü rge rn aus über 80 Mio Bund esbürgern verä nde rn sich die Eintrittswahrsc heinlichke iten für die Ereignisse trotz der Entnahm e ohne Zurücklege n so gut wie nicht, si e sind gleichsam kon stant.) Schri tt 3: Fun ktiona lparameter

11 =4 ; 8 1 = 0, 37; 8 2 = 0, 35; 8 3 = 0, 09 + 0, 19 = 0, 28 Schritt 4: Wahrscheinlichkeit

f M (2; 2; 014; 0,37; 0,35 ; 0,28) = 2! .

ii .

O! . 0, 37 2. 0, 35 2. 0, 28 ° = 6·0,0 168

= 0, 1008 bzw .

10,08 %

3 Wahrscheinlichkeit.\"rechmm g

146

Aufgabe3.3 -AI5: Ampel Eine zweispurige Straße ist wegen Bauarbeiten auf einer Länge VOll 1000 In nur einspurig befahrbar. Der Verkehr wird durch eine Ampelschaltung ge rege lt. Wegen der sehr langen Rotph ase neigen Autofahrer dazu, auch noch inn erh alb der ersten drei Seku nden der Rotpha se die Ampel schnell zu passieren . Die Wahrscheinlichkeit dafür wird bei einem j eden Autofahrer auf 9 % gesc hätzt. a) Wie groß ist die Wahr scheinl ichkeit, dass von neun Autofahrern mehr als einer d ie Ampel bei Rot passiert? b) Wie groß ist d ie Wahr scheinlichkeit, dass sich von 80 Autofahre rn b l ) höchstens 5, b2) mind estens 8 verbotswidrig verhalten? Lösung 3.3 - At 5: Am pel

Schritt I : X

=

Anzahl der sich verbotsvvidrig verhaltenden Autofahrer

Schri tt 2: Binomialverteilung Lösung zu a) Schritt 3: Funkti oualparameter: n = 9; e = 0,09 Schritt 4: Wahrscheinlichkeit W(X > I) ~ 1 - W(X 5 I) ~ 1 - F B(l 19; 0.09) ~ 1 - 0,4279 - 0,3809 = 0,1912 bzw . 19,12 % Lösung zu b)

Schritt 3: Fu nktio nalp aram eter. n = 80 ; e = 0,09 Schritt 4: Approx imation durch die Poissonverteilung i) Zuläss igke it gege ben wegen n = 80 2:: 30; e = 0,09 ::5 0, 1 ii) Funktionalparame ter I..t

=

80 · 0,09 = 7,2

iii) Wahrsche inlichkeiten b l) FB (5180; 0,09)

~

b2) 1 - FB (7180; 0,09)

Fp(5 17,2) ~ 0.2759 bzw. 27.59 % ~

1 - Fp(717,2)

~

1 - 0,5689

~

0,43 11 bzw. 43,11 %

Aufga be 3.3 - A 16: Spurtsc hü tze Von einem Sportsc hützen ist bekannt, dass er bei einem Schuss in normaler Tage sfon n mit einer Wahrsche inlichkeit VOll 92 % ins Schwarze tr ifft. Wie gro ß ist d ie Wahrscheinlichkeit, dass von 50 abgegebenen Schüsse n in normaler Tagesform mindesten s 45 ins Schwarze gehen?

3.3 Diskrete Verteilungen

147

Lösung 3.3 - AI6: Sportschütze Schritt I: X = Anzahl der Treffer ins Schvv arze Schritt 2: Binomialverteilung Schritt 3: Funktionalparameter: n = 50; e = 0,92 Schritt 4: Approximation durch die Poissonverteilung i) Zulässigkeit gegeben wegen n = 50 ?: 30 und 8 = 0,92 ?: 0,90 ii) Funktionalparameter J1 = 50 · 0,92 = 46 iii) Wahrscheinlichkeit

FB(X ~ 45150; 0,92)

~

Fr (X ~ 45146)

Die Wahrscheinlichkeit kann in Tabelle 2b mittelbar nachgeschlagen werden. Mindestens 45 Treffer ins Schwarze bedeuten zugleich höchstens 5 Schüsse, die nicht ins Schwarze treffenji = 50 · (1 ·0,92) = 4. Fp (X ~ 5 14) ~0,785 1

bzw. 78,5 1%

Aufg'lbe3.3-A17: l l- er Wette Gegenstand der l l-er Wette ist es, den Ausgang von l 1 Fußballspielen vorherzu sagen, wobei zwischen dem Sieg der Heimmannschaft, dem unentschiedenen Ergebnis und dem Sieg der Auswärtsmannschaft zu wählen ist. Bei der Wette gewinnt man, wenn man neun, zehn oder elf Spiele richtig vorhersagt. Wie groß ist die Wahr scheinlichkeit, dass ein Spieler, der seine Vorhersagen rein zufällig abgibt , gewinnt?

Lösung 3.3 - AI7 : l l- er Wette Schritt I: Schritt 2: Schritt 3: Schritt 4 :

X = Anzahl der richtig vorhergesagten Spiele Binomialverteilung Funktionalparameter n = 11 ; 0 = 1/3 Wahrscheinlichkeit

FB(X ~ 9111; 1/3)

~

0,00 124 + 0,000 12 + 0,0000 1 ~ 0,00137

Bei rein zufälligen Vorhersagen beträgt die Gewinnchance 0, 137 % .

Aufga be 3.3 - A IS: Sta tistische Q ualitä tskont rolle Eine Unternehmung erhält monatlich 5.000 Mengeneinheiten eines Artikels, wobei sie Lieferungen mit mehr als 2,5 % Ausschuss nicht annimmt. Sie sind damit beauftragt, alternat ive Prüfpläne auf ihre Trennschärfe zu untersuchen, d.h. wie

148

3 Wahr.\'Cheinlichkeirsrechnu ng

scharf diese zwi schen "gute r" und "schlechter" Lieferu ng trennen können. Für die Stichpr obe numfange n (60, 120, 180) gelten die Annah mezahlen c (2, 4, 6), d.h. z. B., bei einer Stichprobe von 120 Artikeln werden maximal 4 feh lerha fte Art ikel ge dul det. Als A usschu sssätze sind 1, 2, 3, 4 und 5 % zu verv....enden . Ermitteln Sie

die Anuahmewehrschei nlichkeiren für alle möglichen Kombinationen aus Stichprobenumfang und Ausschusssatz! Analys ieren Sie Ihre Ergebni sse! Lösu ng 3.3 - A lS : Statistische Qua litiitskontrolle Schritt 1: X = An zahl der fehlerhaften Art ikel Schritt 2: Hypergeometrische Vert eil ung Schritt 3: Funktionalparameter : N = 5.000; M = 50 ( 100, 150,200,25 0); n = 60 ( 120, 180) Schritt 4 : Appro ximation du rch die Pois son verteilung i) Z uIässigk ei t ge ge be n wegen : n "" 60 ( 120, 1SO) ~ 30; Ausschus ssä tze ::;: 0, I0 ; Auswah lsätze nIN < 0,05 . ii) Wahrscheinlichkeiten - Stic hprobenumfan g n "" 60: Ausschusssatz 1% : FH(215.000; 50; 60) = F p(2 10,60) = 0,976 9 Ausschusssatz 2% : FH (215.000 ; 100; 60 ) "" Fp (21 1,2) "" 0,8795 ; usw - St ichproben umfang n "" 120 : Ausschusssa tz 1% : F H (415.000 ; 50; 120 ) "" Fp (4 11,2) "" 0 ,99 23 Aus schusssalz 2%: FH (415.000 ; 100 ; 120) "" F p(412,4) = 0,904 1; usw. ~ Stichprobenumfang n = 160: A usschusssatz 1% : FH (615.000; 50; 180 ) "" Fp (6 1 1,8) = 0,9 974 ; usw Gesamt bersich t: An nahm ewahrscheinIichkei t ü

~

60

120

180

M/N

(2)

(4)

(6)

1% 2% 3%

0,9769 0,8795 0,7306

0,9923 0,9041 0,7064

0,9974 0,9267 0,7017

4%

0,5697 0.4232

0,476 3 0,285 1

0,4204 0,2068

5%

Die Wahrschei nlic hkeit , da ss ein e Liefenmg mit 2 % Aussc huss irrt üm lich abgelehn t wird, beträgt be i einer Stichprobe von 60 Artike ln 100 - 87 ,95 = 12,05 % , bei 180 Artikel 100 - 92 ,67 "" 7,33 % . Die Wa hrsc he inlichkei t, eine Lieferung mit

3. .j Stetige Verteilungen

149

3 % Aus schuss irrtümlicherweise anzun ehmen, beträ gt bei eine r Stichp rob e von 60 Artikeln 73,06 % , bei einer Stichprob e von 180 Art ikel 70,17 % . Die beiden Bei spiele zeigen, dass mit wach sendem Stichprobenumfang n die Risiken einer Fehlbeurteilung für Lieferant und Abnehmer kleiner werden.

3.4 Stetige Verteilungen Einer stetigen Verteilung liegt eine Zufallsvariable zugrunde, die in einem festgelegten Intervall j eden belieb igen Werte annehmen kann. Die folgend en Übungsaufgaben befassen sich mit den Bereichen

- Nor malv er teilu ng bzw. Standurdnor mulvertcllu ng - Exp oncntlalverteilung - App roxim ationen Im Tab ellenanhang 3a und 3b (S. 2 18 - 220) ist für die Standardnonnalverte ilung die Verteilungsfunktion angegeben.

Aufga be 3.4 - A I: Expunentia lverteilung Ein Software-H ersteller hat für seine Kunden in Südde utschland die Hotline SO eingerichtet. An Werktag en rufe n zwischen 20.00 und 2 1.00 Uhr dur chschnittlich 5 Kunden an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zw ischen zwe i Anrufen höch sten s 6 ( 15) Minuten vergehen? Lös ung 3.4 - Al : Exponcntia lvcrtcilung Schritt 1: Definition der Zufallsvariablen X Zufallsvariable X = Zeitspanne (in Stunde n) zwischen zwe i Anrufen Schritt 2: Erkennen der Vertei lungsform Die Z ufallsvariable X ist exponcntialverteil t, da Folgendes anzun ehm en ist: - Stationarität: Innerhalb des n-ten Teils einer Stund e gehe n du rch schn ittlich 51n Anrufe ein - Nachwirk ungs freiheit. die Anzahl der Anru fe in einem Ze itsegme nt ist ohne Einflu ss auf die Anzahl der Anru fe in einem anderen Ze itseg ment - Ordi narität: Bei genügend feiner, gleichmäßiger Zeitseg mentierung geh t in einem Zeitsegment höchstens ein Anruf ein.

3 Wahrscheinlichkcitsrechmmg

150

Schritt 3: Feststelle n des Wert es des Funktio nalparameters Durchsch nittliche Anzahl der Anrufe in einer Stunde: 11 = 5 Schritt 4 : Berech nung der Wahrscheinlichkeiten Mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Expo nentialvert eilung

F( I)

E X J.t =

{O

fürx
I _ e- J.t · x für x 2:0

kann die Wahrscheinl ichkeit für die Realisationen X = 0, 1 Stunden (= 6 min) und X = 0,25 Stu nden (= 15 min) berech net werd en . F E (O, 115) = 1 - e- 5 - O, 1 = 1 _ e- O,5 = I ~ 0,6065 = 0,3935

F

E(

bzw.

39,35 %

O, 25 1 5) = 1 _ e - 5 - O,25 = l _ e- I ,25 = 1 · 0,2865 = 0,7135

bzw.

71,35 %

Fehlerquelle: Der Wert der Zufallsvariab len X wird nicht auf d ie Dimension des Funktionalparameters J.t (hier; Stunde) bezogen . Es wi rd vergessen, den exponentiellen Wert von 1 zu subtrahieren.

Aufgab e 3.4 - A l : Standa rd norma lverteilung I Eine fränkische W inzergenossenscha ft füllt den "Wipfelder Ze hntgraf" in Bock sbeutel ab. Messungen haben ergeben, dass die Füllme nge der Bocksbeu tel normalverteilt ist mit einer durchschnittlich en Füllmenge von 753 ml bei einer Standardabw eic hung von 2 ml. Wie gro ß ist die Wah rschein lichkeit, dass a) die So ll-Füllmenge von 750 ml eines Bocksbeutels unt erschritten wird, b) in eine m Bocksbeutel mindestens 757 ml enthalten sind, c) in ein em Bocksbe utel zwischen 752 und 754 ml enthalten sind, Lös ung 3.4 - A t : S ta nd ard nor malver teilung I Schritt I : Definition der Zu falJsvariablen X Zufallsvariable X :=: Füllmenge eines Bocksbeutels

Fehlerquelle (häufig) : Die Zu fallsvariab le wird zahlenmäßig festgelegt (z.B. X < 750). Der Zufalls variabIen dürfen im Rahmen der Defi nition keine Reali satio nen zugeordnet werd en.

3..1 Sleiige Verleilungen

151

Schritt 2: Feststellen der Wert e der Funktional parameter - durchschnittliche Füllm enge. fl = 753 - Standardabwe ichung: cr = 2 Schritt 3: z-Transformation Um die Wa hrscheinlichkeiten tabellarisch nachschlagen zu können, muss die vorliegend e Nonnaiverteilung in die Standardnormalverteil ung transform iert werden. Die Trans formation erfolgt mit z= a) z

>

----crx - ~

750- 753 ~ - 1 5 ' 2 ' ,

e) z = 754 - 753 = 0 5 2 '

b) z ~ 757 - 753 ~ 2 O· 2 ' , und

z ~ 752 - 753 ~ _ 0 5 2 '

Schritt 4: Nachschlagen der Wahrsc heinlic hkeifen a) FN (750I753; 2) ~ FSN(- 1,510; I) ~ 0,0668 (Tabelle Ja ) Die Wahrschein lichkeit, dass in einem Bocksbeutel die Soll-Füllmenge unterschritten wird, beträgt 6,68 %. b) I - F N (757j 753; 2) ~ I -F SN(210; I) ~ 1 - 0,9772 ~ 0,0228 (Tab. J a) Die Wa hrscheinlichkeit, dass in einem Bocksbeutel die Füllmenge 757 ml überschritten wird, beträgt 2,28 % . c) Die Soll-Füllmenge 753 ml liegt zentral im vorgegeben Intervall [752 ; 754]. Die z-Werte unterscheiden sich dann nur durch das Vorzeichen I-0,5; +0,5]. Die Wahrscheinlichkeit für dieses "zentrale Intervall" FN (754175J ; 2) - FN(7521753; 2) ~ FSN( 0,510; I) - F SN( -O,5j 0; I) kann in der für diese Fälle gesc haffenen Tabelle 3b nachgesch lagen we rden: F SN (0,5j 0; I) ~ 0,3829

(anstatt: 0,69 15 - 0,3085; Tabelle 3a)

Die Wahrschein lichkeit, dass in eine m Bocksbeutel die Füllmenge zwischen 752 und 754 ml liegt, beträgt 38,29 %.

Aufga be 3.4 - A2: Repruduktivität der Nor malverteilung Fortsetzung zu Aufgabe 3A-A I: Eine Kunde der Winzergenosse nsc haft kauft drei Bocksbeutel "Wipfeld er Zehnrgraf". Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge der drei Flaschen die Soll-Fü llmenge von 2.250 ml (3 . 750) unterschreitet?

3 Wahrscheinlichkeilsrechnung

152

Lösung 3.4 - A2: Reproduktlvlt ät der Nor ma lver teilung

Schritt 1: Definit ion der Zufallsvariablen X Z ufallsvariable X == Füllmenge der drei Bocksbeutel Z ufall sva riable X i = Füllmenge des Bocksbeutel s Ne i (i = 1, 2, 3)

X =X\ + X Z + X 3 Schritt 2: Feststellen der Funktionalparameter von X i - durchschnittliche Füllmenge: ft j = 753 (i = 1, 2, 3) - Standardabweichung: O'j = 2 (i = 1, 2, 3) Sc hr itt 3: Feststel len der Funktionalparameter von X M it Hil fe der Reproduktivität seigenschaft der Norm alve rt eilu ng kön nen die Funktionalpara me ter der Z ufallsvariablen X er mittelt werden. Ohne d iese Eige n-

schaft wäre die Wahrscheinlichkeitsermittlun g nicht möglich, da für die drei Flasche n unendli ch viele Kom b ina tionen

VOll

Füllme nge n exi sti eren .

Reproduktivit ät der Norm a lve r te ilung S ind di e Z ufallsvariablen X I, X 2 , "" "' X n una bhän g ig lind norm alv erteilt mi t ~l ' ~ 2 , ..., J..l n und 0" 1,0" 2, ... v on , dan n ist die Z ufalls variab le X = X I + X 2 + ... + X n eb enfalls norm alve rteilt mit n n 2 ~ ~ L ~i und ,,2 ~ L "i i=1 i=1 Für das Beisp iel erg ibt sich dam it:

J..l

=

1.1.1 + J.l 2 + ll 3

0" 2 = 0" 2 + 0"2 + 0" 2 I 2 3

= =

3 · 753 = 2.259 m1 3·4

=

12 bzw. 0" = 3,464 1

Fehlerouetle (relativ häufig): Die Berechnung von 0" erfolgt mit 3 . O" i = 3 . 2 = 6 . Schritt 4 : z-Transformation

z ~ 2.250 - 2.25 9 ~ _ 2 60 3, 46 4 1

'

Sc hritt 5: Nac hsc hlage n der Wah rsch einlich keit F N (2. 25012.25 9; 3,464 1) ~ FSN (-2,6010; 1) ~ 0,0047 Die Wahrscheinl ich keit, dass die Füllmenge der dr ei Flasc he n d ie So ll-Füllmenge 2.25 01111 unter schreitet, beträgt 0,47 %.

3. -I St etige Ver/ei/llngen

153

Aufg abe 3.4 - A3: Sta ndard norma lverteilung 11 Fort setzung zu Aufgabe 3.4-A I: Die fränkische Winzergenossenschaft will err eiehen , dass die Wahrscheinlichk eit, dass in einem Bocksbeutel die Soll-Füllmenge von 750 ml unterschritten wird, nicht wie bisher 6,68 % (s.S. 151, A la ), se ndem maximal 3 % betra gt. a) A uf welche Füllmenge muss die Abfüllanlage eingestellt we rde n, wenn die Anlage weiterhin mit einer Ungenauigkeit von o = 2 ml arbeitet? b) Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge vo n drei Bocksbeut el die Soll-Fü llmenge von 2.250 ml (3 . 750) Wein unterschreitet? Lösung 3.4 - A3 : Sta ndardnorma lvertei lung 11 a) Im Unte rschied zu den obigen Aufgaben ist die Wahrscheinlichkeit gegeben und der Funktionalparameter

~l .

die durchschnitt liche Abfüllmenge. gesucht.

Schritt I : Nachschlagen des z-Wertes In Tabelle 3a (5. 218 ) kann für die Wahrscheinlichkeit 0,03 der Welt z = - 1.88 nachgeschlagen werden. Schritt 2: Berechnu ng von 11 Mit Hilfe der Formel für die z-Transformation ergibt sich -1,88 =

75 ~- ~

-->

~ = 753,76

F SN( -1,88j 0; I)

• F N (750j 753, 76; 2)

Die Abfül lanlage ist auf die Füllmenge 753,76 ml einzustellen, wenn die Wa hrscheinlichkeit max imal 3 % betrage n soll, dass die Füllmenge eines Bocksbeut els die Soll-Füllmenge von 750 ml unterschreitet. b) Reproduktivität der Norma lverteil ung Die Schritte I bis 3 sind identisch mit denen aus Aufgabe 3.4-Al ., wobei Il jetzt 2.26 1,28 ml (3 '753,76) beträgt. Schritt 4 : z-Transfonnation z

= 2.250 - 2.26 1, 28 = 3 , 464 1

-3 2563 '

Schritt 5: Nachschlagen der Wahr scheinlichkeit FN(2.250j 2.261,28; 3,464 1) = FSN (-3,256310; I) = 0,0006 Die Wa hrschein lichkeit, dass die Füllmenge der drei Flaschen die Soll-F üllmenge 2.250 ml unterschreitet, beträ gt zirka 0,06 % .

3 Wahrschein/ichkeilsrechmmg

154 Aufgabe 3.4 - A4 : Ap proxima tion I

Eine Klau sur besteht aus 48 Multiple-ch oice-Aufgab en. Für j ede Aufgabe sind 4 Antworten vorgegeben, von denen jewe ils genau eine richtig ist. Die Klausur ist bestande n, wen n mindesten s 18 Aufgaben richt ig gelöst wo rden sind. - Wie groß ist die Wahrsch einlic hkeit , da ss die Klausur durc h rein zufälliges Ankre uzen der Antworten bestanden wird? Lösung 3.4 - A4: A p proxima tion I

Schritt 1: Definition der Zu fallsvariablen X Zufallsvariable X = Anzahl der richtig gelösten Aufgaben

Fehlerquelle (häufig) : Die Zufallsvaria ble wird fehlerhafte n ....eise zahlenmäßig festgelegt (z.8. X ;::: 18). Der Zufallsvariablen dürfen jedoch im Rahmen der Definit ion keine Realisationen zugeordnet wer den. Schritt 2: Erkennen der Verteilungsform Die Zufallsvariable X ist binomi alverteilt, da - 48 -mal eine von vier Antworten angekreuzt wird ~ eine Antwort richtig oder falsch angekreuzt w ird - die Wah rsche inlichkeit für eine richt ige Antwort stets 25 % beträgt.

Fehlerquelle (hä ufig): Verwechslung mit der hypergeometrischen Verteil ung (mit N = 192; M = 48 und n = 48) . Dazu müssten, lind das würde keinen S innmachen, 192 Einzelaufgab en vorl iegen , von denen 48 richtig und 144 falsch sind. Schritt 3: Feststellun g der Funktion alparameter

n =48 ; 0 = 0,25 Die Berechnun g der Wahrsc heinlichkeit FB (X ;' 18148; 0,25) =

~

a=18

( 48 ) , 0,25 ' , 0,75 48-, a

ist offensichtlich sehr aufwändig. Schritt 4 : Zul ässigkelt sprüfung der Normalverteilung Die Approximation der Binomialverteilung durc h die Nonn alverteilung ist vertretbar, da die entsprechenden Approximationsbe ding ungen erfüllt sind.

i) n . 0 . ( I - 0 ) ;, 9 (a uch: n ;, 30)

48 ·0 , 25 · 0, 75 = 9 ;, 9

ii) 0, I < 0 < 0,9

0, 1 < 0,25 < 0,9

3. .J Stetige Verteilungen

155

Schritt 5: Feststellung der Funktionalparameter der Normalvert eilung ~

= n -O

~

=

48-0,25

=

12

jn -0

o

=

o

= j 48 - 0, 25 - 0, 75 =

- (I - 0 )

,f9

=3

Der Wert f.l = 12 bedeutet, dass bei zufälligem Ankreuzen der Antworten durchschnittlich 12 richtige Antworte n zu erwarten sind.

Fehlerquelle (relativ oft): Bei der Berechnu ng von o wird vergessen, die Wurzel aus dem Produkt 9 zu ziehen. Schritt 6: Berechnun g der Wahrscheinlichkeit 1 - FB( 17148; 0,25) = 1 - FN( 17,5112; 3) = I - F SN(

17, 5- 12 3 = 1,8310; I) = 1- 0,9664 = 0,0336

Die Wahrscheinlichkeit, dass von 48 Aufgaben durch rein zufälliges Ankreuze n mindestens 18 richtig gelöst werden, beträgt approximativ 3,36 %. - Die exakte, über die Binomialverteilung enn ittelte Wahrscheinlichkeit beträgt 3,74 %.

Feh lerqu ellen : Die Stetigkeitskorrektur wird vergessen. Fehlerhafte Bildung des Komplementärereignisses mit W(X ::; 18).

Au fgabe 304 - A5: Approxi mation IJ Ein Artikel wurde von 1.500 Kunden gekauft. 75 % der Kunden \varen mit dem Artikel sehr zufrieden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Befragung von 120 zufällig ausgewählten Kunden das Befragungsergebnis uni höchstens 5 %-Punkte vom tatsächlichen Welt 75 % abweicht? Lösung 3.4 - A5: Approx imatio n 11 Schritt I: Definition der Zufallsvariablen X Zufallsvariable X = Anzahl der sehr zufriedenen Kunden

Feh lerquelle (häufig): Die Z ufallsvariable wird fehlerhafterweise zahlenmäßig (z.B. 84 ::; X ::; 96) festgelegt. Der Zufallsvariablen dürfen jedoch im Rahmen der Definition keine Realisationen zugeordnet werden.

156

3 Wahrscheinlichkei fsrechnung

Schritt 2: Erkennen der Verteilu ngsform Die Zufallsvariable X ist hypergeometrisch verteilt, da • vo n den 1.500 Kun den 75 % sehr zufrieden sind, die restl ichen nich t - von den 1.500 Kun den 120 "ohne Zurücklegen" befragt werden.

Fehlerquelle (häufig) : Verw echslung mit der Binomial verteilung, Dazu müsste jedoc h bei jedem Kunden die Wa hrscheinlichkeit, sehr zufrie den zu se in, 75 % betr agen. - Hier ist die Meng e der Kund en j edoch von vornherein in zwe i Tei le ( 1125 : 375) zerlegt.

Schritt 3: Feststellen der Werte der Funktionalparameter - Anzahl der Kunden : N = 1.500 - Anzahl der sehr zufriedenen Kunden: M • Anzahl der befr agten Kunden : 11 = 120

=

1.125

Die Berechn ung der Wa hrscheinlichkeit

FH( 84 s X s 9611500; 1125; 120) =

96 ( 11: 5). (

L

. =84

12~7~ a )

( 1500 ) 120

ist offe nsichtlich se hr aufw änd ig. Schritt 4: Zuläss igkeitspriifung der No nn aiverte ilung Die Appro ximation der hypergeom etrischen Vert eil ung durch die No rmalve rtellung ist vertr etbar , da die entsprechenden App roximationsbe ding unge n erfüll t sind.

i) n

~

n =120 2:::30

30

ii) 0, I < ~ < 0,9

0,1 < 0,75 < 0,9

...)

120 · 0, 75 . 0,25 = 22,5

l1l

M

M

n . N . (1 - N ) 2::: 9

~

9

Schritt 5: Feststellung der Funkt ionalparameter de r Normalvert eil ung

~ = 120 . 11 25 = 90 ; 1500

cr

=

cr

=

Jn · -M. (I - -M ). N -n N

N

N- I

1125 375 1380 120 · 1500 · 1500 · 1499 = 4,5512

3. .J.

Sisus:

157

Verteilungen

Der Wert I.l. = 90 besagt, dass bei 120 befragten Kunden durchschnittl ich mit 90 sehr zufriedenen Kunden zu rechnen ist. Schritt 6: Berech nung der Wahrscheinlichkeit FH (84

sXs

961 1500; 11 25; 120) " FN(83,5 s X

* 96, 5 -90 " FSN( 4, 55 12 " 1,4310; I) " 0,8473

~ 9 6, 5 1

90; 4,5512)

(s. Tab. 3b, S. 220)

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Befragungsergebn is in der Stichprobe um höchstens 5 o/o-Punkte vom Ergebni s der Grundgesamtheit 75 % abweicht, d.h. zwischen 70 und 80 % liegt, beträgt approximativ 84,73 %. - Die exakte, über die hypergeometrische Verte ilung ermittelte Wahrsc heinlichkeit beträgt 84,75 %.

Aufga be 3.4 - A6: Approxi mation 11 1 In einem Elektronik-Versandhaus treffen zwischen 10.00 und 11.00 Uhr durchschnittlich 90 telefonische Bestellungen ein. a) Wie groß ist die Wahrscheinl ichkeit, dass mindestens 100 Bestellungen zwischen 10.00 und 11.00 Uhr eingehen? b) Wie viele Personen sind für die Entgegennahme der Bestellungen erforderlich, wenn eine Person pro Stunde 12 Bestellungen entgegennehmen kann und es mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % innerhalb einer Stunde nicht zu einer Überlastung kommen soll? Lösung 3.4 - A6: Approxima tion 111 a) Schritt 1: Definit ion der Zufallsvariablen X Zufallsvariable X = Anzahl der eingehen den Anrufe Schritt 2: Erkennen der Verteil ungsform Die Zufallsvariable X ist poissonverteilt, da Folgendes anzunehmen ist - Stationarität: Innerhalb des n-ten Tei ls der Stunde gehen durchschnittlich 90/n Anrufe ei n (z.B. zwischen 10.00 und 10 .10 Uhr 15 Anrufe). - Nac hwirkungsfreiheit: die Anzahl der Anrufe in einem Zei tseg ment ist ohne Einfl uss auf die Anzahl der Anrufe in e inem anderen Zeitsegment. - Ordinarität: Bei genügend feiner, gleichmäßiger Ze itsegmentierung geht in einem Ze itsegment höchstens ein Anruf ein. Schr itt 3: Feststellen des Wert es des Funktionalparameters Anzahl der durchschnittlichen Anrufe: I.l. = 90

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

158 Die Berech nung der Wahrs chein lichkeit

I - F p(99190) = I - e

. ~ ""' -90' a=O a!

-90

ist offensichtlich sehr aufwändig. Schritt 4; Z ulässigkeitsprüfung der Normalvert eil ung

Die Approximation der Poissonverteilu ng durch die Norm alvert eilu ng ist vertretbar, da die en tsprechende Approximationsbeding ung erfüllt ist. ~

= 90

~

9

Schritt 5: Feststellen der Funktionalparameter der Normalve rteil ung ~

u;

o

=

jI1

~ =

90;

o

=

J90

= 9,4868

Schritt 6: Berechnu ng der Wahrscheinlichkeit 1 - Fp(99190) = 1- FN(99, 5190; 9,4868) 99,5 -90 = 1- F SN ( 9, 4868 = 1,0010; I) = 1-0,84 13 = 0, 1587 Die Wahrsch einlichkeit, dass zwischen 10.00 und 11.00 Uhr mindesten s 100 Kund en anrufen, beträ gt approximativ 15,87 % . - Die exakte, über die Poissonverteilurig ermittelte Wahrscheinlichkeit beträgt 15,82 %. b) Die Wahrschein lichkeit 95 % ist gegeben; ges ucht ist die zugehörige Rea lisation x. Schritt l: Nachsc hlagen des z-Wertes In Tab ell e 3a (S. 2 19) kann für die Wahrscheinlichkeit 0,95 der Wert z näheru ngsweise nachgeschlagen werden.

>

1,64 5

Schritt 2: Berechnung von x Mit Hilfe der Form el für die z-Tra nsformation ergibt sich

x - 90 1,645 = 9 4868 --> x = 105,61 ,

F SN ( I,64510; I)

• FN( 105,6 1190; 9,4868)

Es müssen 105,6 1 12 =: 8,809 bzw . 9 Personen einges tellt werden, wenn mit einer Wahrsch einlichkeit von mindestens 95 % kei ne Überlastung eintreten soll.

159

3..1 Stetige Verteillingen Aufgabe 3.4 - A 7: Ele k t r ik e r I

Ein Betr ieb selektriker muss an seinem 8-St unden-Arbeitstag u.a . durchschni ttlich vier St örfälle an elektrischen Anlagen beh eben. Wie gro ß ist die Wa hrschein lichkeit , dass der Elektrik er sich nicht sofort der Behebung des nächsten Störfalles annehmen kann, wenn er soeben zu einem Störfa ll gerufen w urde, dessen Behebung 96 Minuten er ford ert ? Lösung 3 .4 - A 7: Elekt riker I Schritt I : X

=

Zeitspanne zwischen zwei Störfälle n

Schr itt 2: Expo nentia lve rte ilung Schritt 3: Funktionalparameter: IJ. = 4 [in 8 Stunden}

Schritt 4 : x ~961(8'60) ~0, 2; FE (0,214 ) ~ l _ e-4·0,2 ~ 0,5507

Aufga be 3.4 - AB: Elektriker 11 Der Betr iebselektr iker benöti gt für die Behebu ng eines Störfalles durchschn ittlich 60 Minuten. Die Zeitspann e für die Behebung eines Störfalles se i exponentialverteilt. Wie groß ist die Wa hrs chein lichkeit , dass die Behebu ng eines Störfalles höch stens 4 5 Minuten dauert ? Lösung 3.4 - A8 : Elektr ike r 11 Schritt I: X = Dauer für die Behebung eines Störfalles Schr itt 2: Expo nentialve rteil ung Schri tt 3: Funktionalp arameter. I.t = 1 [in 1 Stunde] Schritt 4: x = 45/60 = 0,75; F E (0,75 1 1) = 1 _ e- 1·O,75

=

0,52 76

A u fg a be 3.4 - A9: Fachz eitsch r ift Die Nac hfrage nach einer Fachzeitschrift se i norma lverteil t mit dur ch schnittlich 2.000 Exemp lare n und einer Sta ndardabw eichung von 40 Exemplaren. a) Wie groß ist die Wa hrscheinlichkeit, dass die Nachfrage vo llständig gedec kt werden kann, wenn 2.100 Exemplare gedruckt werden? b) Wi e groß ist die Wah rschein lichkeit, da ss mindestens \. 940 Exemp lar e nac hgefragt werden? c) W ie groß ist die Wahrscheinli chkeit, dass zwischen 1950 und 20 50 Exemp lar e nachgefragt werden? d) W ie viele Exemplare müssen gedru ckt werden, dam it die ges amte Nac h frage mit einer Wah rscheinlich keit VOll 97,5 % gedec kt werden kann?

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

160 Lösung 3.4 - A9: Fachzeitschrift

Schritt I : Zufallsvariable X = Anzahl der nachgefragten Fachzeitschriften Schritt 2: Funktion alparameter : jl = 2.000 ; o > 40 Schritte 3 und 4 : z-Transformation und Nachschlagen der Wahrscheinlichkeifen

a) z = 21005'40 2000

=

ickei 'k.rere Grroöße) 2,5 1; 99,40 % (Stetig ettskorrekt UT, d a Xd 15 e

b) z = 1939,540 2000 = _1 "5 1' c) z =

2050,~~2000

1 - F SN (-1, 51) =9345 %0 ,

= 1,26; 79,23 %

(siehe Tabelle 3b)

d) Schritt 3: z-Wert nachschlagen für die Wahrscheinlichkeit 0,975 F(z = 1,96) = 0,975 Schritt 4: "z-Transfonnation" 1,96 =

(X+O,~~2000

-t

x = 2.077,9 bzw. 2.078 Fachzeitsch riften

Aufgabe 3.4 - A IO: Bearb eitun gsdauer Ein Auftrag wird in einem zweistufigen Prozess hergestellt . Die Bearbeitungsdauer auf der ersten Produktionstufe ist nonna iverteilt mit durch schnittlich 120 Minuten bei einer Stan dar dabwe ichung von 5 Minuten. Die Bea rbe itungsdauer auf der zwe iten Produktionstufe ist ebenfalls normalverteilt mit durch schnittlich 240 Minuten bei einer Standarda bweichung von 15 Min uten. - Wi e groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Bearbeitungsdau er a) höchsten s 380 Minuten b) zwi sch en 340 und 370 Minuten dauert? Lös ung 3.4 - A l 0: Bearbei tungsda ue r Schritt I : Zufallsvariable X = Gesamtb earbeitungsdaue r Schritt 2: Funktion alparameter. 11 = 120 + 240 = 360; 0" = J 25 + 225 = 15,8 1 Schritt e 3 und 4 : z-Tran sfc rmation und Nachschlagen der Wah rsch einl ichkeiten

a) z = 380 360 = I 27 - W(X < 380) = 0 8980 bzw 89,80 % 15, 8 1 " , . b)

zu =34~5-:160 = _ 1 ,27; W(X ~ 340) = O,1020 ,

ZO

= 370 360 = 0 63' W(X < 370) = 0 7357 15, 81 " ,

W(340

sXs

370) = 0,7357 - 0,1020 = 0,6337 bzw. 63,37 %

161

3.-1 :,,'Ietige Ver lei /lIngen

Aufga be 3.4 ~ A l l : Konkursmasse Fortführung der Aufgabe 3.3-A6 (5. 138): Aus der Konkursmasse einer Porzellanfabrik wird u.a. ein Posten aus 800 Tellern preisgünstig angeboten. 70 % der Teller sind angeblich 1. Wahl und die restlichen 30 % 11. Wahl. Ein Interessent will den Posten erwerben, wenn von 50 Tellem , die er zufällig und ohne Z urücklegen aus dem Posten entnehmen darf, mindestens 35 Teller (= 70 %) I. Wahl sind. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Interessent den Posten erwirbt, obwohl von den 800 Tellern tatsächlich nur 60 % I. Wahl sind? Verg leichen Sie das Ergebni s mit dem aus Aufgabe 3.3-A6 (S. 139)1 Lösung 3.4 - A lt : Konkurs mas se Der Interessent kauft die 800 Teller, von denen 480 I. Wahl und 320 11 . Wahl sind, wenn er in einer Stichprobe von 50 Tellern mindestens 35 Te ller I. Wahl findet bzw. höchstens 15 Teller 11. Wahl findet. Schritt I: Zufallsvariable X = Anzahl der Teller 11. Wahl Schritt 2: hypergeometrische Verteilung Schritt 3: Funktional parameter. N = 800; M = 320; n = 50 Schritt 4 : Zulässigkeit der Normalverteilung als Approximationsverteilu ng i )50 ~ 30 ;

ii)O, I < 0,60 < 0,9;

i i i) 50 · 0, 6 · 0, 4 ~

12

~

9

Schritt 5: Funktionalparameter der Normalverteilung

" ~ 50 . 320 ~ 20 ' 800 '

~

cr

~

320 480 750 50 . 800 . 800 . 799 ~ 3,3562

Schritt 6: Berechnu ng der Wahrscheinlichkeit (approximativ)

FH (151800; 320; 50) .

F N (1 5 , 5 1 2 0 ; 3 , 3 5 6 2 ) ~ F S N ( - 1 ,3 4 1 0 ; 1 ) ~ 0, 0 901

Die Wahrscheinlichkeit eines "irrtümlichen" Kaufs sinkt aufgrund der größeren Stichprobe von approximativ 38,23 % (s.S. 139) auf approximativ 9,0 I %.

Aufga be 3.4 - A12: Hobb ywinzer Hobbywinzer ürtega hat auf seinem Hanggrundstück 40 Rebstöcke. Er möchte seinen Weingarten um 60 Rebstöcke erweitern. Er hat sich für die vegetative Vermehrung durch Stecklinge entschieden. Aus Erfahru ng weiß er, dass es bei einem Steckling mit 80 % Wahrscheinlichkeit zur erwünschten Wurzelbi ldung kommt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ürtega seinen Rebstockbestand um 60 Rebstöcke erweit ern kann, wenn er 75 Stecklinge setzt?

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

162

b) Wie gro ß ist die Wahrsch einlichkeit, dass Ort ega se inen Reb stockbestand um 60 Rebstöcke erw eitern kann, wenn er 80 Stecklinge setzt?

Lösu ng 3.4 - A 12: Hobbywinzer Schritt I : Schritt 2: Schritt 3: Schritt 4:

i)

Zufallsvariable X "" Anzahl der Stecklinge mit Wurzelbildung Binom ialvert eilung Funktionalparamerer: n = 75 ( b: 80); e = 0,80 Zul ässigkeif der Norm alvert eil ung als App roximation sverteilung

7 5 ·0 ,80 ·0,20 ~12 ~9

(b: 12,8);

ii) 0, 1 < 0,8 < 0,9

Schritt 5: Fun ktionalparameter der Non nalverte iJung

~ ~ 75 ·0, 8 ~ 60 ; " ~ j 75· 0, 8 .0,2 ~ 3,464 1

( b:64; 3,5777)

Schritt 6: Berech nung der Wah rscheinlichkeit (approx imativ)

a)

1 - FB(59175; 0,8) = 1 - FN(59,5160; 3,464 1) = 1 - F SN = (-0, 1410; I) =

b)

1 - 0,4443

=

0,5557 bzw. 55,57 %

1 - FB(59180; 0,8) = 1 - FN(59,5164; 3,5777) = 1 - FSN(- 1,26 10; I) =

1 - 0, 1038

=

0,8962 bzw. 89,62 %

Aufgabe 3.4 - A13: Eilbestellung Bei einem Versandhandel treffen dur chschnittlich 184 Eilbestellung en pro Tag ein. 200 Eilbestellun gen könn en am Tag des Auftragse ingangs au sgel iefert werden. Der Ver sand han del wi rbt damit, dass mit einer Wa hrscheinlich keit von mindeste ns 95 % alle Eilbestellungen noch am se iben Tag ausgeliefert werde n. Kann der Werbung des Vere ndha ndels vertraut werden? Wie ist die Auss age gegebenen falls zu korrigi eren?

Lösung 3.4 - A13: Eilbes tellung Schritt I : Zufallsvariable X = Anza hl der Eilbes tellungen Schritt 2: Poissonverteilung Schritt 3: Funktionalpara meter: ~l = 184 Schri tt 4: Zuläs sigke lt der Norm alvert eilun g als Approxim ationsvert eil ung ~ =1 8 4 ~ 9

Schri tt 5: Fun ktio nalparameter der Normalve rt eil ung

~ = ~ = 184;

o

>

1\84

~ 13,5647

3../ ,,"eNge VerTeilungen

163

Schritt 6: Berechnung der Wahrschein lichkeit (approxi mativ)

Fp(2001184) = FN(200, 5 1184; 13,5647) = F SN ( I,22 [0; I) = 0,8888 Die Wa hrscheinlichkeit ist von 95 % auf88,88 % herabzusetzen.

Aufga be 3.4 - A 14: Lad enöffnun gszeit Von den 300 Einzelhändlern in ein er Stadt sind 100 für und 200 gegen eine Verlängerung der Ladenöffnungszeit. Im Rahmen einer Umfrage werden 60 zufällig ausgewählte Einzel händler nach ihrer Meinung befragt. a) Wie groß ist die Wahrscheinl ichkeit, da ss sich, wie in der Grundgesamtheit. ein Drittel der befragten Einzelhändler für eine Verlä nger ung der Ladenöffnungszeit ausspricht? b) Wie gro ß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens die Hälfte der befragten Händler für eine Verlängerung der Ladenöffnungszeit ausspri cht? Analysieren Sie den Unterschied gegenüber der Aufgabe 3.3-A2 (s.S. 130)! c) Wie viele Einzelhändler sind in der Umfrage zu erwarten, die sich für eine Verlängerung der Laden öffnungszeit aussprechen? Lösun g 3.4 - A 14: Lad cn iiffnun gszeit Schritt I : Zufallsvariable X = Anzahl der Einzelhändler, die sich für eine Verlän gerung der Ladenöffnungszeit aussprech en Schritt 2; hype rgeom etrische Verteilung Schritt 3 : Funktionalp arameter; N = 300; M = 100; n = 60 Schritt 4; Zul ässigkeit der Nonnaiverteilung als Approximationsverteilung

i) 50 '" 30; ii) 0, 1 < 0,33 < 0,9; iii) 60 , i~~

,;~~

= 13,33 '" 9

Schritt 5: Funktionalparameter der Normalverteilung " = r-

60. 100 300

=

20' '

Schritt 6; Berechnung der Wahrscheinlichkeit (approx imativ) a) [11 (201300; 100; 60) = F N ( 19,5

=

F;N(O, 1510; I)

=

~

X s 20, 5 120; 3,27 14)

0,1 192 bzw. 11,92 %

b) FH(X'" 301300; 100; 60)

=

FN(X '" 29,5120; 3,27 14)

= 1 - FN(29,5120; 3,27 14) = 1 - FSN( 2,90 [ 0; I) = 1 - 0,998 1 = 0,00 19 bzw. 0, 19 %

164

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Das Risiko des fehler haften Rückschlusses, dass bei der Befragung mindestens 50 % für eine Verlängerung der Ö ffnungszeiten sind, obwo hl nur ein Drittel aller Einzelhändler für eine Verlängerung ist, nimmt mit größerem absolut en Stichprobenumfang deutli ch ab, es sinkt von 30,64 % (5.5. 131) auf 0, 19 % .

c) ~ ~ 20 In der Umfrage sind durchschnittlich 20 Einzelhändler zu erwarten, die sich für

eine Verlängerung der Ladenöffnungszeit aussprechen.

4. / Schatzvertahren

165

4 Schließende Statistik Mit Hilfe der schließenden Statistik (auch: induktive, beurteilende, analytische, inferentielle Statistik) werden Aussagen über die Grundgesamtheit getroffen , ohne dass alle Elemente dieser Gesamtheit untersucht bzw. erhoben worden sind. Die Aussagen stützen sich auf Informationen, die nur für einen Teil der Elemente (Stichprobe) vorliegen. Auf dieser Basis sind Aussagen über unbekannte Parameter der übergeordneten Grundgesamtheit zu treffen oder es sind Vermutungen über Parameter oder über die Verteilungsform der Grundgesamtheit zu überprüfen. - In diesem Kapitel werden Aufgaben zu den Themenbereichen Schätzverfahren und Testverfahren gestellt.

4.1 Schätzverfahren Schätzverfahren haben die Aufgabe, den oder die unbekannten Parameter der Verteilung eines Merkmals anhand der Daten einer Stichprobe zu schätzen. Die folgenden Übungsaufgaben befassen sich mit den Bereichen -

Konfidenzint erv all für das a rit hmetische Mittel Konfidenzint ervall für de n Anteil swer t Konfidenzintervall für die Varia nz Ermittlu ng des notwendi gen Stichp roben umfa ngs

A u fga be 4. 1 - A I: Ko nfi de nz in terva ll fü r das arithm etisch e Mlttcl J.1 (I) Die Molkerei Alpmilch liefeil an eine Lebensmittelkette werktäglich 40.000 Flaschen Milch mit einer Soll-Füllmenge von je 1.000 ml. Der letzten Lieferung wurden 25 Flaschen entnommen; in dieser Stichprobe betrug die durchschnittliche Füllmenge 1000,55 m!. Aufgrund zahlreicher Kontrollen weiß man, dass die Ist-Füllmenge normalverteilt ist mit einer Streuung von o :;:: 1,2 ml. a) Erstellen Sie das zentrale 95 %-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Füllmenge J.l der 40.000 Flaschen! b) Erstellen Sie das zentrale 99 o/o-Konfidenzintervall für u! c) Erstellen Sie das zentrale 95 %-Konfidenzintervall für J.l für den Fall, dass der Stichprobenumfang n 36 Flaschen umfasst!

166

~

Schließende Statistik

d) Erstellen Sie das n ach unten begrenzte 95 % -Konfidenz intervall fUT ).!. e) Ermitteln Sie die Konfidenz für das mit 1.000 ml nach unten beg re nzte Inter-

vall HiT }.t ! f) En n ittc ln Sie die Konfidenz für das mit 1.000 ml nach oben begrenzte Intervall für u ! g) Ermitteln Sie die Konfidenz ruf das mit 1.000 ml nach unten beg re nzte Intervall für Il für den Fall, dass die durchschn ittliche Füllmenge in der Stichprobe nur 999,88 ml betr agen hat! Lös ung 4.1 - A l : Konfid enzinte rvall

ruf das arithmetische ;\l itte l ll (I>

a) ze ntrales 95 %-Konfide nzin tclvall Schr itt I : Fes tste llung der Verteilu ngsform von X ist nonn alverteilt } Va ria nz 0 2 bekan nt

~

X

( 5. Anha ng, Tab. 6)

- 1 -1 X Ist nonn a verter t

Schritt 2: Fes tstellung der Standarda bwe ichung von X (s . Anha ng, Tab. 6) 2 Varianz 0 ist bekannt } => Stichpro be ohne Zurück lege n Auswahlsatz 0 ,000625 < 0,05 Schri tt 3: Ermi ttlung von z Für 1- 0: = 0,95 ist z = 1,96

(s.Anhang, Tab. 3b )

Fehlerquelle: Der z-Wert wird fehler hafterw eise in Tabelle 3a mit 1,65 (einse itiges Intervall ) nachgesch lagen. Schritt 4: Berechnu ng des maximalen Schätz fehlers z ' 05( = 1,96 · 0, 24 = 0,47 Schr itt 5: Berechnung der Ko nfidenzgrenzen W( 1.000,55 - 0,47 W( 1.000,08

s~s

~ ~ ~

1.000,55 + 0,47) = 0,95

1.001 ,02) = 0,95

Die durchschnittli ch e Füllmenge der 40.000 Flaschen wird mit einer Wa hrsc heinlichk eit von 95 % vom Intervall [ 1.000,08 ml; 1.00 1,02 ml ] überdeckt.

167

4.1 Schatzvertahren b) zentrales 99 %-Konfidenzintervall Schritte I und 2: wie unter Aufgabe a) Schritt 3: Ennittlung von z Für I - o: = 0,99 ist z = 2,58

(s. Anhang, Tab. 3b)

Schritt 4: Berechnung des maximalen Schätzfehlers

z . cr -X = 2' 58 ' 0, 24 = 0,62 Schritt 5: Berechnung der Konfidenzgrenzen W( 1.000,55 - 0,62 $ W( 99 9, 93 S ~ S

~ $

1.000,55 + 0,62) = 0,99

1.00 1, 17) = 0,99

Die durchschnittliche Füllmenge der 40.000 Flaschen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % vom Intervall [999,93 ml; 1.00 1,17 ml] überdeckt. c) zentrales 95 %-Konfidenzintervall bei n = 36 Schritte I bis 3: wie unter Aufgabe a). In Schritt 2 ist lediglich der Stichprobenumfang n = 25 gegen n = 36 auszutauschen.

cr -

X

= ...Q.... =

,fll

Q

136

=

02

'

Schritt 4: Berechnung des maximalen Schätzfehlers

z . cr -X = 1,96 ' 0, 2 = 0, 39 Schritt 5: Berechnung der Konfidenzgrenzen W( 1.000,55 - 0,39 s W( 1. 000, 1 6 S~ S

~

s

1.000,55 + 0,39) = 0,95

1.000,94) = 0,95

Die durchschn ittliche Füllmenge der 40.000 Flaschen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [ 1.000, 16 ml; 1.000,94 m1] überdeckt. - Aufgrund der Erhöhung des Stichprobenumfangs von 25 auf 36 hat sich der maximale Schätzfehler von 0,47 ml (Aufgabe a) aufO,39 ml reduziert . d) das nach unten begrenzte 95 %-Konfidenzintervall Schritte 1 und 2: wie unter Aufgabe a).

168

.j

Schließende Statistik

Schritt 3: Enn ittlung von z Für I - u

=:

0,95 ist z = 1,65 (genauer: 1,645)

(5. Anhang, Tab. 3a)

Fehlerquelle: Der z-Wert wird fehl erhaft erw eise in Tabe lle 3b mit 1,96 (zentrales Intervall) nachgesch lagen. Schri tt 4: Berechnu ng des maximalen Schätzfehlers

z . (1 -X = I ,65 . 0 , 24

=

0 ,40

Schritt 5: Berechnung der unteren Konfidenzgrenze (Mindestinhalt) W( 1.000,55 - 0,40 W( 1.000, 15

$ ~) =

$ ~) =

0,95

0,95

Die durchschni ttliche Füllmenge der 40.000 Flaschen wi rd mit einer W ahrsche inlichkeit von 95 % vom Intervall [ 1.000, 15 ml. ; 0<> ml] überdeckt. e) Konfidenz für da s mit 1.000 ml nach unten begrenzte Interva ll Schritt I : Erstellung des Konfidenzintervalls (Ansatz) W(1.000,55 - z · 0 j( = 1.000

$ ~)

= 1-

C(

Fehlerquelle (relativ häu fig): Fehle rha fterwe ise wird "u S 1.000 = 1.000,55 ~ z· O'x: " angesetzt. Schritt 2; Berechnung des maximalen SchätzfehJers 1.000,55 - z . 0 j( = 1.000

z · a-X = + 0 ' 55 ml Schritt 3: Ermittlun g der Konfidenz I - a

z · ~ =0 55 !25 ' z = 2,29

~

I

~

a

= 0,9890

(s. Anhang, T ab. 3a)

Die d urchschn ittliche Füllm enge der 40 .000 Flasc hen wird mit einer Wa hrscheinlichke it von 98,90 % vom Intervall [1.000 ml; 0<> 1111 ] überdeck t.

4./ Schatzvertahrcn

169

f) Konfidenz für das mit 1.000 ml nach oben begre nzte Interva ll Das Ergebnis ist da s Komp lement zum Ergebnis au s Aufgabe e) und beträgt daher I - 0,9890 =:= 0,0 110. Da dieser Aufgabenty p den Studierenden relativ häufig Sch wierigke iten bereitet, wird die ausfuhrl iehe Lösun g dargestellt. Schritt 1: Erstellu ng des Konfid enzintervalls (Ans atz) W(I-l::;; 1.000

=:=

1.000,55 + z · 0 :x)

=:=

1- c

Schritt 2: Berechn ung des maximalen Schätzfehlers 1.000 = 1.000,55 + z . Cl

°

X

z . 0 -X =:= - ' 55 ml Schritt 3: Ermittlung der Konfid enz 1 - a

z ·Q ,f25

= - 055

z = - 2,29

,

1 - o:

-7

=:=

0,0 110

(s. Anhang, Tab. 3a)

Die durchsch nittliche Füllmenge der 40.000 Flasch en wird mit einer Wah rschein lichkeit von I, I % vom Intervall [0 ml; 1.000 ml] üb erde ckt. g) Konfidenz für das mit 1.000 ml nach unten begrenzte Intervall ; x = 99 9,88 ml Sch ritt I : Erstellu ng des Konfidenzinterva lls (Ansatz) W(999 ,88 - z : Cl

X

= 1.000 ~ ~) = 1 -

a

Schritt 2: Berechnung des maxim alen Sch ätzfehle rs 999,88 - z · " X

°

=

1.000

z · (}"-X = - ' 12 ml

Schritt 3: Ermittlung der Konfid enz 1 - 0:

z · Q = - 0 12

,f25

z = - 0,5

,

-7

1 - c = 0,3085

(s. Anhang, T ab. 3a)

Die d urchschnittliche Füllmenge der 40.000 Flasche n wird mit einer Wahrscheinlichke it von 30 ,85 % vom Intervall [1.000 ml; 00 ] überdeckt.

.f Sehttelsende Statistik

170

Aufgabe 4. 1 - A 2: Notwe ndiger Stichprobe numfa ng Fortsetz ung zu Aufgabe 4. 1-A 1: Wie viele Flasc hen Milch m üssen der Liefe rung

entnommen und geprüft werden, wenn a) das zentra le 95 o/o-Ko nfidenz intervall für J1 e ine Genaui gkeit von e = 0,25 ml aufweisen soll, b) die Lebensmittelkette sich mit einer Wahrschein lichkeit von 99,5 % sicher sein möc hte , dass d ie Soll-Füllmenge in der Grun dgesamthe it nicht unterschritten wird. Lösung 4.1 - A2: Notw endiger Stic hp roben um fang a) Aus Aufgabe 4.I-A 1a) sind bekannt: N = 40.000, a = 1,2, z = 1,96. Die Ge nau igkeit e ist mit 0,25 ml vorgegeben.

z2 ·N · cr2 = 1, 96 2 . 40 .000 ,1 , 2 2 = 88,3 1 - cl . (N- I) + z 2 .(J2 0, 25 2 · 39 .999 + 1, 96 2 . 1, 2 2

n>

Es sind mindestens 89 Flaschen Milch zu entnehmen und zu prüfen. Ode r unter Vernachlässigung der Endlichkeit skorrektur: 2 2 n :<:: z 2 ' (j 2 = 1, 96 ' 1, 2 = 88,5 1 e2 0, 25 2

b) Mit e sich

= 1000,55

- 1000,00

= 0,55

=

und z = 2,58 (s. Anhang, Tab. 3a) ergibt 2.40

2

2,58 .000. 1, 2 2 0, 55 . 39.999 + 2,58 2 . 1,2 2

= 3 1 66 '

Soll d ie Genaui gkeit von e = 0,55 ml mit einer Konfidenz von 99,5 % errei cht werden, dann müs sen 32 Flaschen Milch entnommen und geprüft wer den. Oder unter Vernachlässigung der Endlichkeitskorre ktur: n

> -

z2 . 0 2 __ 2, 58 2 . 1,2 2

e2

0, 55 2

= 3 1,68

Aufgabe 4.1 - A3: Konfid enzintervall für da s ari th metische M ittel 11 Zur Besc hreibung der w irtschaftl ichen lind soz ialen Lage der 1.300 BW L-St udente n einer Fachho chschule wurden 120 Studenten zufällig und "ohne Zurüc klegen" ausgewählt und befragt . Die befragten Stud enten gab en ihre ze itliche Gesamtbelastung durch Studium und Erwerbstätigkeit während der Vorlesungszeit

171

4. J Schatzverfahren

mit durch schn ittl ich 42 ,8 Stunden pro Woche an ; die Standardabwe ichung betrug da bei 11,3 St unden. a) Be stimmen Sie das zentrale 97,5 % -Konfidenzintervall für die d urchschnittl iche Ge samtbelastu ng ~ aller Studierenden! b) Bestimmen Sie das nac h unten begrenzte 95 o/o-Konfidenzintervall für u ! c) Bestimmen Sie das nach oben begrenzte 90 %-Konfidenzintervall für p! d) Erm itteln Sie die Konfi denz für das mit 40 Stunden nach unt en begrenzte Intervall für

~!

e) Erm itteln Sie die Konfidenz für das mit 4 5 Stunden nach oben begr enzte Intervall für u !

f) Der ma xim ale Schätzfehler so ll höchstens eine Stunde betragen. Bestimmen Sie für das ze ntr ale 97 ,5 %- Konfiden zin tervall den notwendi gen Stichprobenum fang ! Lös u ng 4.1 - A3: Konfid enz int ervall für d as a rithm etische Mi ttei l! a) ze ntrales 97 ,5 o/o-Kon fidenzintervall Schritt I: Feststellung der Vert eilungsform von Verte ilung von X unbekannt } Varianz 0 2 ist unbekan nt

X

(s. Anhang, Tab. 6)

wegen n > 30 ist X appr. nor mal verteilt

~

Schritt 2: Feststellung der Standard abwe ichung von X (s. Anhang, Tab. 6) Varianz 0 2 ist unbekannt } ::::::> 05{ = Stichprobe ohn e Zurücklege n . hl mit A usw a sara z 5 %

0- = X

11, 3 . J I ' 120 J 120 - 1 1.300

~.

, n· 1

jI • ~

= 1036 ·0953 = 0987 h '

,

•

Fehlerquelle (relativ o ft): Bei der Berechnung von 05{ wird vergesse n, d ie Wurzel zu z iehe n. Schritt 3: Ermittlung von z Für I - c = 0,975 ist z

=;

2,2 4

(s. Anhang, Tab. 3b)

Fehlerquelle : Nac hschlage n des z-We rtes in Tabelle 3a anstatt 3b.

.f Schließende Statis tik

172

Schritt 4 : Berechnung des maximalen Schätzfehlers z · &x: =: 2,24 . 0, 987 = 2,2 1 Stunden Schritt 5: Ber echnu ng der Konfidenzgrenzen W(42,8 - 2,2 1 S I' 5 42 ,8 + 2,2 1) = 0,975 W(40 ,59 5 1' 5 45,0 1) = 0,97 5

Die durchschnittliche Gesamtbela stung der 1.300 Studenten wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 97,5 % vom Intervall [40,59 h; 45,0 1 h] überdeckt. b) nach unten begrenztes 95 o/o-Konfidenzintelv all (M indes tdaue r) Schritte 1 und 2: wi e unter Aufgabe a). Schritt 3: Ermi ttlung von z

Fürl- a =O,95 ist z = I,65

(5. Anhang, Tab. 3a)

Schritt 4: Berechnung des maximal en Schätzfehlers Z .

0-X

= I ' 65 . 0 , 9 87 = 1,63 h

Schritt 5: Berech nung der unteren Konfidenzgrenze W( 42 ,8 - 1,63 S 1') = 0,95 W( 41 , 17 5 1') = 0,95

Die durchschnittliche Gesamtbelastung der 1.300 Studenten wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [41, 17 h; 00 ] überdeckt. c) nach oben begrenztes 90 o/o-- Kontidenzintervall (Höchstdauer) Schritte I und 2: wie unter Aufgabe a) Schr itt 3: Ermittlung von z Für 1 - u

=

0,90 ist z = 1,28 (5. Anhang, Tab . 3a)

Schritt 4: Berechnung des maximalen Schätzfehlers

cr-

z · X = I"28 . 0 9 87

=

I , 26 h

Schritt 5: Berechnu ng der oberen Konfidenzgrenze 4 2,8 + 1,26) = 0,90

W( I'

~

W(I'

s 44 ,06) = 0,90

4.1 Schatzverfahren

173

Die durch schn ittliche Gesamtbelastung der 1.300 Studenten wird mit einer Wahrschei nlichkeit von 90 % vom Intervall [0 h; 44,06 hJ überdeckt. d) Konfidenz für das mit 40 Stunden nach unten begrenzte Intervall Schritt I : Erstellung des Konfidenzintervalls (Ansatz)

W(42,8 - a - crj( = 40 S ~ ) = 1 - 0: Schritt 2: Berechnung des maximalen Schätzfehlers

42, 8 - z · 6 -X = 40 z ·cr - = + 2 8 h

X

'

Schritt 3: Ermittlung der Kon fidenz I - a z . cr-X

=

z = 2,84

z . 0 ' 987 = 2 ,8 --7

I - a = 0,9977

(s. Anhang, Tab . 3a)

Die durchschnittliche Gesamtbelastung der 1.300 Stude nten wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,77 % vom Intervall [40 h; <xl h] überdeckt. e) Konfi denz für das mit 45 Stunden nach oben begrenzte Intervall Schritt I : Erstellung des Konfidenzintervalls (Ansatz) W(~ S 45 = 42,8

+ z . crj() = I - 0:

Schritt 2: Berechnung des maximalen Schätzfehlers 45 = 42 ,8 + z . cr-X

z . cr-X = 22 ' h Schritt 3: Ermi ttlung der Konfidenz I - a z · cr-X = z . 0 ' 987 = 2 , 2 z = 2,23

--7

l - a = 0,9871 (s. Anhang, Tab . 3a)

Die du rchschnittliche Ges amtbelastung der 1.300 Studenten wird mit einer Wahrsche inlichkeit von 98,7 1 % vom Intervall [0 h; 45 h] überdeckt. f) notwendi ger Stichprobenumfang für das zentrale 97,5 %- Konfidenzint ervall

Mit N = 1.300, s = 11,3, z = 2,24 und e = I ergibt sich

-I Schließende Stat istik

174

2 2 2,24 ' 1.300 ' 11,3 12 . 1.299 + 2,24 2 .11 , 3 2

~ 429 4 '

Es sind minde stens 430 Studenten auszuwählen u nd zu befragen.

Aufg abe 4.1 - A4: Konfidenzinte rvall fü r den Anteil swert e Zur Beschreibu ng der wirtschaftlichen und sozia len Lage der 5.20 0 Studierenden einer Hochschule wurden 200 Studierende zufällig und "ohne Z urücklegen" ausgewählt und befragt. Von den befragten Studierenden gingen 60 % während der

Vorlesungszeit einer Erwerbstätigkeit nach. a) Bestimmen Sie das zen trale 95 o/o-Konfidenzinterva ll für den Anteil 8 der Studierenden der Hochschu le, die einer Erwerbstätigkeit nachgehen ! b) Bestimmen Sie da s zentrale 95 o/o- Konfidenz intervall für die Anz ahl der Studi erenden der Hochschule, die einer Erw erbstätigkeit nachgeh en ! c) Bestimmen Sie das nach oben begrenzte 90 %-Konfidenz interva ll fü r 8 ! d) Bestimmen Sie die Konfidenz für das mit 55 % nach unten begrenzte Kon fidenz intervall für 8 ! e) W ie viele Stud ierende müssen befragt werden, wenn mit einer Ge na uigkeit von 2 o/o-Punkten und eine r Konfidenz von 95 % der Anteil der Studiere nden, di e einer Erwe rbstätigkeit nachgehen, zu bestimmen ist? f) Wie veränd ert sich das Konfid enzintervall unter Augabe a), wenn vo n 60 0 anstatt 20 0 zufällig ausgewählt en Studierenden ebenfalls 60 % während der Vorlesungszeit erwe rbstätig gewesen wären.

Lösung 4. 1 - A4: Konfiden zint erva ll für den Ant eilswert

(3

a) zentrales 95 %-Konfidenzi nterva ll Schritt I : Feststellung der Vert eilungsform

VOll

P (s. Anhang. Tab . 7)

n p . ( I - P) ~ 200 · 120 . 80 ~ 48 > 9 200 200 P ist dah er app roxi mativ norm alverteilt. Schritt 2: Feststellu ng der Standardabweic hu ng vo n P (s. Anhang, Ta b. 7)

V~rianz von e unbekannt } Stic hprobe ohne Zurück lege n m it Auswahlsatz < 0,05

. ~ O" p = V~

4.1 Schatzverfahren

.

O" p =

175

0,60·0, 40 = 0 0347 200 - 1 '

Schritt 3: Enn ittlung von z Für I -

Cl =

0,95

ist

z = 1,96

(s. Anhang, Tab. 3b)

Schritt 4 : Berechnung des maximalen Schätzfehlers z·

crp = 1,96 . 0,0347 = 0,0680

bzw.

6,80 %-Punkte

Schritt 5: Berechnung der Konfidenzgrenzen W(0 ,600 - 0,068 s e W(0 ,532

s 0,600 + 0,068) = 0,95

s e s 0,668) = 0,95

Der Anteil der Studierenden, die während der Vorlesungszeit einer Erwerbstätigkeit nachgehen, wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [53,2 % ; 66,8 %] überdeckt. b) zentrales 95 o/o-Konfidenzintervall für die Anzahl Zur Enn ittlung des Intervalls für die Anzahl der erwerbstätigen Studierenden sind die unter a) errechneten relativen Werte in absolute Werte umzurechnen. W(0 ,532 ·5.200 W(2.766

s

s

5.200 · e

5.200 · e

s

s 0,668 . 5.200)

= 0,95

3.474) = 0,95

Die Anzahl der Studierenden, die erwerbstätig sind, wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [2.766; 3.474] überdeckt. c) das nach oben begrenzte 90 %-Konfidenzintervall für 8 Schritte I und 2: wie unter Aufgabe a). Schritt 3: Ennittlung von z Für 1 -

Cl =

0,90

ist

z = 1,28

( 5.

Anhang, Tab. 3a)

Schritt 4: Berechnung des maximalen Schätzfehlers z.

crp = 1,28 ·0,0347 = 0,0444

bzw.

Schritt 5: Berechnung der Konfidenzgrenze

w(e s 0,600 + 0,0444) = 0,90

wro s 0,6444) = 0,90

4,44 %-Pu nkte

176

.j

Schließende Statistik

Der Anteil der Studierenden, die erwerbstätig sind, wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [0 %; 64,44 %] überdeckt. d) Konfidenz für da s mit 55 % nach unten begrenzte Interva ll Schritt I: Erstellung des Konfidenzintervalls (Ansatz)

W(0,60 - a -

"p

~ 0,55 ~ 0) ~ 1 -

c

Schritt 2: Berechnu ng des maximalen Schätzfehle rs 0,60 - z ·

z·

crp = 0,55

crp= 0,05

Schritt 3: Ermittlung der Konfidenz 1 - a z . 0,0347

~

z = 1,44 -)

0,05 I-a

=

0,925 1 (5. Anhang, Tab. 3a)

Der Ante il der Studierenden, die erwerbstätig s ind, wird mit eine r Wahr scheinlichkeit von 95 % vom Intervall [55 %; 100 %] überdeckt. e) no twendiger Stichprobenu mfang

ruf das zentrale 95 0/0- Konfidenzi ntervall

Mit N = 5.20 0, P = 0,6 (die Befragung der 200 Studierenden wird als Vorstichprobe verw endet und der Anteilswert von 60 % wird als Schätzwe rt für den Anteilswert P der Stichprobe herangezogen), z = 1,96 und e = 0,02 ergibt sich mit z2 . N . P . ( I - P) n > --;;:---''----'-'---'--;!-'---'--'-- e 2 . (N - I) + z2 . P . (I - P)

>

nc

2 1, 96 ' 5.200' 0, 6' 0, 4 ~ 4 794,32 ~ 1598 1 2 2 . . 00 ., 0,02 · 5. 199 + 1,96 ·0,6 · 0, 4 "

Um die Genaui gkeit von 2 %-Punkten zu erreichen, müssten 1.599 Studiere nde befragt werden. f) zentrales 95 %-Konfidenz intervall für den f all n = 600 Schritt I : Feststellung der Verteil ungsform von P

n - p . (I - P) ~ 600 · 360 . 240 ~ 144 > 9 600 600 P ist dah er appro ximativ normalverteilt.

(s. Anhang, Ta b. 7)

-1.1 Schälzverfahren

177

Schritt 2: Feststellung der Standardabweichung von P

(s. Anhang, Tab. 7)

V~ri anz von e unbe~annt }. ~ Stichprobe ohne Zurücklegen O" p = V~ . mit Auswahlsatz ~ 0,05 O'p =

Jl-

0,6 -0 , 4 600 -1

,lI - ~

600 = 0 0 188 5200 '

Schritt 3: Ermittlung von z Für I - o: = 0,95

ist

z = 1,96

(s. Anhang, Tab. 3b)

Schritt 4: Berechnung des maximalen Schätzfehlers z · o-p = I,96 '0,0 188 =0,0368

bzw.

3,68%-Punkte

Schritt 5: Berechnung der Konfidenzgrenzen W(0,6000 - 0,0368 W(0,56 32 s 8

~

8

~

0,6000 + 0,0368) = 0,95

s 0,6368) = 0,95

Der Anteil der Studierenden, die erwerbstätig sind, wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [56,32 %; 63,68 %] überdeckt. - Durch die Erhöhung des Stichprobenumfangs VO ll 200 auf 600 hat sich die Genaui gkeit der Aussage um mehr als 3 o/o-Punkte erhöht.

A ufga be 4. 1 - A5: Konfidenzintervall für die Va ria nz Auf einer Anlage wird Zucker in Tüten abgefüllt. Das Soll-Füllgewicht beträgt 1.000 g. Aufgrund zahlreicher Messreihen ist bekannt, dass die Füllmenge der Tüten normalvert eilt ist. Um die Anlage so einstellen zu können, dass höchstens 3 % der Tüten das Soll-Füllgewicht unterschreiten, muss die Ungenauigkeit der Anlage in Form der Varianz bekannt sein. - Aus der Tagesproduktion von 90.000 Zuckertüten wurden 25 Tüten zufällig entnommen und gewogen. Die Varianz s2 in dieser Stichprobe betrug 0,6 g. a) Erstellen Sie das zweiseitige 95 %-Konfidenzintervall für die Varianz 0'2 ! b) Ermitteln Sie das nach oben begrenzte 95 %-Konfidenzintervall für die Varianz 0'2 ! c) Ermitteln Sie das nach oben begrenzte 99 %-Konfidenzintervall für die Varianz 0'2 !

178

-I Schließende Statistik

Lösun g 4.1 - A5: Konfidenzi nt e rval l für di e Varia nz

a) zweise itiges 95 %-Kon fldenzintervall Das Kon fidenzintervall für die Varianz wird erstellt mit

(n - I) ·S2

w[ y wo bei

0.

1- - ken- I

~

o

2

S

2'

(n - I) . S2 ) yu. = I - Cl - k- n- l 2'

Y5! k=n- I un d y 1- 5! k-n- t die Symbo le für den c/z -Ouanu tswen bzw. 2'

2'

( I - a/2)-Quant ilswe rt der Chi-Quadrat-Verteilung bei n - 1 Fre iheitsgraden sind. Mit n = 25, 52 = 0,6 und Cl = 0,05 ergibt sich

W( (25 - 1) . 0,6 YO,975, 24

s

,,2

s (25 - 1) '0, 6 ) ~ 0 95 YO,025, 24

W(24 .0,6 < 2 < 24,0,6 ) 39, 364 1 - " - 12,40 11 W(O, 3658 s ,,2

°,95

(s . Anhang, Tab. 4)

'

s 1, 1611) = 0,95

Die Varianz der 90.000 Zuckert üten wird mit einer Wahrschein lichkeit von 95 % vom Intervall (0,3658; 1, 1611] überdeckt .

b) nach oben begrenztes 95 o/o-Konfidenzintervall Das nach oben begrenzte Konfidenzintervall für die Vari anz wird erstel lt mit

w (,,2

s

(n- I) . S2 ) = I." Ya , k-n-I

Mit n = 25, s2 = 0,6 und n = I - 0,95 = 0,05 ergibt sich

w(,,2 W(,,2

s s

(25 - 1) · 0, 6 YO,05, 24

- w ( 2 < 24 ,0, 6 ) a - 13, 8484 ) -

°95 ,

1,0398) = 0,95

Die Varianz der 90.000 Zuckertüten wird mit einer Wa hrscheinlichkeit von 95 % vom Intervall [0; 1,0398] über deckt. c) nach oben beg renztes 99 %-Konfidenzint erva ll Mit n = 25 , s2 = 0,6 und a = 1 - 0,99 = 0,01 ergibt sich

w(

,,2

s

(2;~,~;, ;46

) = \+ 2

s

~~: ~5~3 ) = 0,99

4./ Schatzvertanren W(,,2

s

179

1,3264) = 0,99

Die Varianz der 90 .000 Zuckertüten wird mit eine r Wa hrscheinl ichkeit von 99 % vom Intervall [0 ; 1,3264} überdeckt.

Aufga be 4. 1 - A6: Aufentha ltsda uer In einem Ferienort wurde eine Urlauber-Befragung durch geführt, um u.a. di e Aufenthaltsdauer der Urlaub er in Erfahrung zu bringen . Von den 4.300 Urlaubsgästen wurde n 250 befragt. Die durch schnittliche Aufenthaltsdauer betrug 12,4 Tage bei einer Standardabweich ung von 4,7 Tagen . a) Erste llen Sie das zentrale 90 % -Konfidenzinte rvall für die durchschn ittliche Aufenthaltsdauer u! b) Erstelle n Sie das zentrale 95 %·Xonfidenzintervall für ~l! c) Erstelle n Sie das nach unten begrenzte 99 %- Ko nfidenz inte rvall für 11. d) Ermi ttel n Sie d ie Konfid enz für das mit 12 Tagen nach unten begrenzte Intervall für IJ ! e) Ermitteln Sie die Konfidenz für das mit 13 Tagen nach oben begr enzte Intervall für u !

f) W ie viele Urlauber hätt en befragt werden müssen, wenn das ze ntrale 95

%~

Konfidenzinterva ll für 11 eine Genauigkeit von 0,25 Tagen hätte aufw eisen solle n?

Lösu ng 4. 1 - A6: Aufen tha ltsd a ue r a) zentrales 90 o/o-Konfi denzint erva ll Schritt I: Fe stste llun g der Vert eilu ngs form von

X

(s. Anhang, Tab . 6)

Ve rteilung von X unbekannt } => wege n n > 30 ist X Varianz 0'2 ist unbekannt app r. normalverteilt Schritt 2: Feststellun g der Standardabweichung von Varianz 0'2 ist unbekan nt } => o-5( Stichprobe ohn e Zurücklegen m it Auswahlsatz ;?: 5 %

. = 4,7 0'· X JzSO- I

=

X

~.

"J1 ~ I

(5. Anhang, Tab . 6)

j1 - ~

~5 1 - - 0- = 0 298· 0 97 1= 0 289 Tage 4.300

'

,

,

180

~

Schließende .\'tatislik

Schritt 3: Für l- a = 0,90 ist z = 1,65 Schritt 4: Maximaler Schätzfehler.

z . o-5( = 1,65 . 0,289 = 0,48 Tage

Schritt 5: W(J2,4 - 0,48 5 u 5 12,4 + 0,48) = 0,90 W( I I,92 5

~

5 12,88) = 0,90

b) Zentrales 95 o/o-Konfidenzintervall Schritte 1 und 2: wie unter a) Schritt 3: Für 1 - c = 0,95 ist z = 1,96 Schritt 4: Maximaler Schätzfehler. z - 0'5( = 1,96 . 0,289 = 0,57 Tage

Schritt 5: W( 12,4 - 0,57 5 W( I I,83 5

~

~

5 12,4 + 0,57) = 0,95

5 12,97) = 0,95

c) nach unten begrenztes 99 %-Konfidenzintervall Schritte I und 2: wie unter a) Schritt 3: Für 1 - a = 0,99 ist z = 2,33 Schritt 4: Maxima ler Schätzfehler: z· 0'5(

Schritt 5: W( 12,4 - 0,67

5 ~) =

=

2,33 . 0, 289 = 0,67

0,99; W( ll ,73

5 ~) =

0,99

d) Konfidenz für das mit 12 Tagen nach unten begrenzte Intervall Schritt I: Konfidenzintervall (Ansatz): W( 12,4 - z · 0-5( = 12 $ IJ) = I - a Schritt 2: Maximaler Schätzfehler. 12,4 - z - 0-5( = 12 ; z· o- 3( = + 0,4 Tage Schritt 3: Konfidenz 1 - cc z . 0,289 = 0,4; z = 1,38

-7

1 - c = 0,9 162

e) Konfidenz für das mit 13 Tagen nach oben begrenzte Intervall Schritt I: Konfidenzintervall (Ansatz): W(j.! $ 13 = 12,4 + z . 0'3( )

=

1- c

Schritt 2: Maxim aler Schätzfchler: 13 = 12,4 + z · 0- 3( ; z· o-3( = + 0,6 Tage Schr itt 3: Konfid enz I - c: z · 0,289 f) notwendi ger Stichprobenumfang

= 0,6;

z = 2,08

-7

I-a

= 0,98 12

181

4. J Schatzvertahren A u fga b e 4.1 - A 7: Benzlnverhrauch

Ein Auto mob ilclub befr agte seine Mitglieder, d ie ihr Fahrzeug überw iege nd im Stadtverkehr einse tze n, u.a. nach dem Benzinverb rauch. Für die 32 VW Go lfFahrer, di e sic h u.a . an der Umfrage beteiligten, err echnete der Automo bilc1 ub einen d urchschnittlichen Verbrauc h von 8,3 2 1 auf 100 km bei einer Standardabwei chu ng von 1,2 I. a) Erste llen Sie das ze ntrale 95 o/o-Konfidenzintervall für den durchschn itt lichen Benzinve rbra uch u!

b) Erstellen Sie das zentrale 97,5 %-Konfidenzintervall für u! c) Erstellen Sie das nach unten begre nzte 97,5 %-Konfidenzintervall für u . d) Ermitteln Sie die Konfid enz für das mit 8,5 Lite rn nach oben begrenzte Intervall für ~! e) Ennitte1 n Sie die Konfiden z für das mit 7,7 Litern nac h oben begren zte Inter-

vall für ~ 1 f) Wie viel e Go lf-Fahrer hätten für das zentrale 95 %-Konfidenzinte lvall, da s eine Ge na uigkeit von 0, 1 Litern besitzt, befragt we rden müss en? Lösung 4.1 - A7: Benzinverbrau ch a) ze ntra les 95 o/o-Konfidenzi ntervall Schritt I : Feststellung der Verteilungsform von X

(s. Anhang, Tab. 6)

weg en n > 30 ist X Ve rtei lung von X unbekannt } => appr. nonnaivert eilt Varianz (12 ist unbekan nt Schritt 2: Festste llung der Standarda bwe ichung vo n Va ria nz a 2 ist unbekannt } => Stich probe ohne Zu rück legen mit Auswa hlsatz < 5 %

1, 2

~

cr x =

X

(s. Anhang, Tab . 6)

s

~

= 0 22 1 '

Schritt 3: Für I - a = 0,95 ist z = 1,96 Schritt 4 : Maximaler Schätzfehler.

a- = I ,96 . 0, 22 = 0,43 I

z. x

.J Schließende Statistik

182 Schrirt 5: W(8,32 - 0,43 ~ W(7, 89 s

~

~ ~

8,32 + 0,43) = 0,95

s 8,75) = 0,95

b) zentrales 97,5 o/o-Konfidenz interva ll

Schritte 1 und 2: wie unter a) Schritt 3: Für 1 ~ o: = 0,975 ist z = 2,24 Schritt 4 : Maximaler Schätzfehler. zSchritt 5: W(8,32 - 0,49 W(7,8 3

~ ~

~ ~ ~

cr5( = 2,24 ·0, 22 = 0,49

I

8,32 + 0,49) = 0,975

s 8,8 1) = 0,975

c) nach unten begrenztes 97,5 %-Konfidenzintervall Schritte I und 2: wie unter a)

Schritt 3: Für l -a =O,975 ist z = I,96 Schritt 4: Maximaler Schätz fehler: z . Schritt 5: W(8,32 - 0,43 ~

~)

o-x= 1,96 . 0,22 = 0,43 1

= 0,975 ; W(7,89 s u ) = 0,975

d) da s mit 8,5 Litern nach oben begrenzte Intervall Schritt I : Konfidenzintervall (Ansatz): W(~ :::; 8,5 = 8,32 + z . o-X) = 1 - a

Schritt 2: Maximaler Schätzfehler: 8 5 = 8 32 + z . "

cr-X

2 - &- =0 18 1

X

'

Schritt 3: Konfidenz l- a : z ·0,22 = 0, 18; z =0,82

l- a = O,7939

~

e) das mit 7,7 Litern nach oben begrenzte Intervall

Schritt I: Konfidenzintervall (Ansatz): W(M:; 7,7 = 8,32 + z · aX )

Schritt 2: Maximaler Sch ätzfe hler: 7 7 = 8 32 + z "

z·a-X = - 0' 62 1

a-X

Schritt 3: Konfidenz I - c : z · 0,22 = - 0,62; z = - 2,82

f) not wend iger Stichpro benumfa ng z2 . 52 n> - - -2

e

=I-a

2 2 1, 96 , 1, 2 = 5, 53 19 = 553 2 o, 12 0,0 1 '

~

1 - 0: = 0,0024

4. / Schatzvertahren

183

Aufgabe 4.1 - A8 : Teigwa renfabrik In einer Teigwarenfabrik werden u.a. Spag hetti hergestellt. Das Soll-Gewicht einer Packun g Spaghetti beträgt 500 g. Das Gewicht, dies ist aus vielen Messreihen bekannt, ist nonnaIverteilt. Der Tagesproduktion von 10.000 Pack ungen werden 2 1 Packun gen zufällig entnommen und gewogen. Die Messerge bnisse betrugen

500, 12

499,95

501, 10

502,25

503,45

502,88

504,12

502,23

503,78

502,54

503,65

50 1,44

502,2 1

502,65

50 1,69

504,87

502,41

503,33

50 1,89

502,0 1

50 1,95

a) Ermitteln Sie das arithmetische Mitte l, die Varianz und die Standardabweichung für die Stichprobe! b) Erstellen Sie das zentrale 95 o/o-Konfidenzinte rvall für das durchschnitt liche Gew icht 11 der Packungen in der Grundgesamtheit! c) Erstellen Sie das nach unten begrenzte 99 %-Konfidenzintervall für u ! d) Erstellen Sie das 95 o/o-Konfide nzintervall für die Varianz! e) Ein Einzelhänd ler hat von der Teigwarenfabrik 200 Packungen Spagh etti bezogen. Bei ein er Stic hprobe von 2 1 Packungen mögen sich die unter a) enn ittel ten Werte ergeben haben. - Erstellen Sie das zentrale 95 o/o-Kontldenz intervall für das durchschnittliche Gew icht 11 der Packungen in der Lieferu ng! Lösung 4. 1 - A8 : Teigwa re nfa brik a) arithmet isches Mitte l und Varianz der Stichprobe 21 , -c- x: = 502 4057 g = 502 4 1 g 2 1 .""" I ' ,

x = _I

1=1

,2

s

e

= _1_ ,

21

v- Ix' _ 502 4057)2

21-1 i~l

I

'

= I 49 12 ,

J l , 49 12 = 1,22

b) zentrales 95 %-Konfidenz intervall Schritt I : Feststellung der Verteilungsform von X ist normalverteilt } 2 Varianz cr unbekannt

~

X

(s. Anhang, Tab. 6)

- , 'I ' " X Ist t-verter t nur n- I Freih eitsgrad en

184

" Schließende Stafi.\'tik

Schritt 2: Fe ststellung der Standardabweichung von X

(s. Anhang, Tab . 6)

} Varianz 0'2 unbekannt Sti chprobe ohn e Zurücklege n ~ mit Au swahl satz < 5%

•

0 -

X

1, 22

=

=

cr x=

~ n- I

0 2728 g

~'

Schritt 3: Ermittlung von t Für I - rx = 0,9 5 und k = n - I = 20 Schritt 4 : Ma ximaler Sch ätzfe hler. t ·

Schritt 5;

~

(5. Anhang, Tab . 5b)

cr x = 2,0 86 . 0, 272 8 = 0,57 g

502,41 +0,57)

W(5 02 , 4 1- 0,57 S ~ S

W(501,84 S

t = 2,086

--7

~0,95

S 502,98) ~ 0,95

c) nach unten begrenztes 99 %-Konfidenz interva ll Schritte I und 2: wie unter a). Schritt 3: Ermi ttl ung von t Für 1 -

c

= 0,99 und k = n - I

= 20

Schritt 4 : Max im aler Sch ätzfehler. t .

Schritt 5; W(502 ,4 1 - 0,69 S

~

t = 2,528

--7

(5. Anhang, Tab . 5a)

cr x = 2,528 . 0,2728 = 0,69 g

) ~ 0,99; W(50 1,72 S u .) ~ 0,99

d) 95 %-Konfidenzinterv all für die Varianz

(0 - 1) 'S 2

W y [

0:

1- -

2'

k- n- I

$ 0

2

(1l _ [) '$2 ]

$yo:

- k=n- I 2'

= 1 - 0.

W(12 1- 1) , 1,4912 S ,,2 S 12 1- 1 ) ' I,49 1 2)~ 095 YO,975,20

W ( 29,824 < 2 S 34, 1696 - 0'

YO,025, 20

~~;~~: ) ~ 0,95 ;

'

W(O, 8728 S ,,2 S 3, 1096)

~ 0,95

e) zentrales 95 %- Kon fidenzinte rvall für 1.1 bei N = 20 0 Schritt L Feststellung der Verteilungsfon n von X

X ist normal 2 verteilt Varianz 0' unbekannt

(5. Anhang, Tab . 6)

} => -X rst , t-vertetiltt mit mi n- I Frei'Iiertsgra ' d en

4.1 Schatzverfahren

185

Schritt 2: Feststellung der Standardabweichung von Varianz 0 2 unbekannt } Stichprobe ohne Zurücklegen mit Auswahlsatz ;:: 5% 0, - =

1, 22

x~

.

X

~ aX = ~ .

(s. Anhan g, Tab. 6)

jI - ~

HI

1- = 0 2728 . 0 946 = 0 258 g 200 ' "

Sch ritt 3: Ermittlung von t Für I - c

=

0,95 und k = n - I = 20

Schritt 4: Maximaler Schätzfehler. t · Schritt 5: W(50 2,4 1 - 0,54 S W(50 1,87

~ S

--7

t = 2,08 6 (s. Anhang, Tab . 5b)

a:x = 2,08 6 . 0, 258 =

502,4 1 + 0,54)

=

0,54 g

0,95

s ~ S 502,95) ~ 0,95

Aufgabe 4.1 - A9: Urla uberzufriedenheit Bei der in Aufgab e 4. 1 - A6 beschriebenen Urlauber-Befragung wurden die aus 4.300 Urlaubsgästen zufällig ausgewählten 250 Urlauber auch danach befragt, ob sie den Ferienort im nächsten Jahr wieder besuchen werden. 90 beantwo rteten die Frage positiv. a) Bestimmen Sie das zentrale 90 %-Konfidenzinterv all für den Anteil 8 der Urlauber, die den Ferienort im nächsten Jahr wieder besuchen werd en ! b) Besti mmen Sie das zentrale 90 o/o-Konfidenzinte rvall für die Anza hl der Urlauber, die den Ferienort im nächsten Jahr wieder besuchen werd en ! c) Bestimmen Sie das nach unten begrenzte 90 o/o-Konfidenz intervall für 8 !

d) Bestimm en Sie die Konfi denz für das mit 40 % nach ob en begrenzte Intervall für 8! e) Wie viele Urlauber müssen befragt werden, wenn mit einer Genauigkeit von 3 % -Punkten und einer Kon fidenz von 95 % der Anteil der Urlauber, die den Ferienort im nächsten Jah r wieder besuchen werden, zu bestimmen ist?

f) Wie verändert sich das Konfi denzintervall unter Aufgabe a), we nn von 500 anstatt 250 zufällig ausgewählt en Urlaubern ebe nfalls 36 % den Ferienort im näch ste n Jahr wieder besuchen werden.

-I Schließende Statistik

186 Lösu ng 4.1 - A9 : Ur la uber zufrie denhe it a) zentrales 90

%~ K o n fi de nzi n telva l l

Schritt 1: Feststellung der Verteilungsform von P

(5. Anhang , Tab. 7)

n .P . (I -P) = 250 . 90 .160 = 576 >9 250 250 ' P ist daher appro ximat iv normalvert eilt. Schritt 2: Feststellung der Standardabweichung von P (5. Anhang, Tab . 7)

V~rianz von 8 unb ekan nt

}. ~ Stichprobe ohne Zurücklegen a p "" V~ . mit Auswahlsatz > 0,05

• = "P

j

n I- N

0,36 ·0,64 . ) 1- 250 = 00295 250 - 1 4.300 '

Schritt 3: Ermittlun g von z Für I - c

=

0,90

ist

(5. Anhang, Tab . 3b)

z = 1,65

Schritt 4: Maximaler Schätzfehler. z -

cr p= 1,65 . 0,0295 = 0,048 7

Schritt 5: W(0,36 · 0,0487 S 0 S 0,36 + 0,0487) = 0,90 W(0,31 13 S 0 S 0,408 7) = 0,90 b) zentrales 90 %-Konfidenz intervall für die Anzahl

W(0,31 13 . 4.300 S 4.300 . 0 S 0,4087 · 4.300) = 0,90 W(1.338,59 s 4.300 ·0 S 1.757,4 1) =0,90 c) das nach unten begrenzte 90 %-Konfidenzintervall

Schritte I und 2: wie unter e). Schritt 3: Ermittlung von z Für 1 -(1 =0,90

ist

z = 1,28

Schritt 4: Maximal er Schätzfehler: z

(s.Anhang, Tab . 3a)

crp = 1,28 . 0,0295 = 0,0378

Schritt 5: W(0,36 · 0,0378 S 0) = 0,90;

W(0,3222 S 0 ) = 0,90

d) Konfide nz für das mit 40 % nach oben begrenzte Intervall Schritt 1: Konfidenzint erval l (Ansatz): W(e :5 0,40 = 0,36 + z . ap ) = I • a Schritt 2: Maximaler Schätzfehler. 0,40 = 0,36 + z . a p ; z . a p

= 0,04

187

-1.2 Testver{ahren

Schritt 3: Konfidenz 1 - 0.: z ·0, 0295 = 0,04; z = 1,36 -e

1 - 0. =0,9131

e) notwendiger Stichprobenumfang Mit e = 0,03 und z = 1,96 für I - 0.= 0,95 ergibt sich 2 1, 96 . 4.300 . 0, 36 · 0, 64 = 3.805,95 = 800 58 n> 2 2 - 0,03 . 4.299 + 1,96 . 0, 36. 0, 64 4,754 '

f) zentrales 90 o/o-Konfidenzintervall für den Fall 11 = 500 Schritt 1: Feststellung der Vert eilungsform von P n . p . (1 - P) = 500 · -90 . -160

250 250

(s. Anhang, Tab. 7)

= 1152 > 9 '

P ist daher approximativ nonnaIverteilt. Schritt 2: Feststellung der Standardabweichung von P

V~rianz von e unbe~annt } . ~ Cl! Stichprobe ohne Zurucklegen crp = V~ ~ 1 - ~ mit Auswahlsatz ;?: 0,05

.

O" p =

0,36 ·0,64 . j l _ 500 = 00202 500 - 1 4.300 '

Schritt 3: Ermittlung von z: Für 1 • Cl. = 0,90 Schritt 4: Maximaler Schätzfehler: z . Schritt 5: W(0,36 - 0,0333 $ W(0,0,3267 s

es

e$

ist

z = 1,65

o-p = 1,65 . 0, 0202 = 0,0333

0,36 + 0,0333) = 0,90

0,3933) = 0,90

4.2 Testverfa hren Testverfahren haben die Aufgabe, auf der Basis von Stichprobeninformationen zu testen bzw. festzustellen, ob eine Hypothese über interessierende Eigenschaften der Grundgesamtheit. die der Stichprobe übergeord net ist, beibehalten werden kann oder abzulehnen ist. Die Hypothese kann auf die Parameter einer Verteilung, auf die Form der Verteilung oder auf die Unabhängigkeit von Merkmalen bezogen sein.

.J Schließende Statistik

188

Die folgenden Üb ungsaufgaben befassen sich mit den Bereich en

- Testverfahren für das ar ithmetische l\littel - Testverfahren für den Ant eilswert - Chi-Q uad ra t-ver teilungstest - Chi-Q ua dra t-Una bhä ngigkeitstest

Aufgabe 4.2 - AI : Testve rfahren für das a rithmetische Mitteil! Herr Meier behauptet, die zeitliche Gesamtbelastung von Studenten durch Studium un d Erwe rbstätigkeit während der Vorlesungszeit betrage durchschnittlich höchstens 40 Stunden pro Woche. Die Studentin Heike Müller dagege n meint, dass die Gesamtbelastung bei mindestens 43 Stunden liege. Verwenden Sie zur Lösung der folgenden Aufgaben die unter Aufgabe 4.I-A3 beschriebenen Stichprobenergebnisse (N = 4.300; n = 120; x = 42,8 ; s = 11,3)! a) Prüfen Sie bei einem Signifikanznivea u von 5 %, ob die Behauptung von Herrn Me ier w iderlegt werde n kann! b) Die tatsächliche d urchschnittliche Gesa mtbelastung aller Stud enten möge 39,9 Stund en pro Woche betragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass di e Beha upt ung von Herrn Müller intümlich nicht beibehalten wird? c) Die tatsächl iche durchschnittl iche Gesamtbelast ung aller Studenten möge 42,3 Stu nden pro Woc he betragen. Wie groß ist die Wa hrsc he inlic hke it, dass die Behauptung von Herrn Meier irrtümlich beibe halten wird? d) Wie würden d ie Ergebnisse unter a) bis c) ausfallen, wenn di e Stichprobe n 360 anstatt 120 Studenten umfasst hätte? e) Prüfen Sie bei einem Signifika nznivea u von 2,5 %, ob die Behauptung von Studentin Heik e Müller widerlegt werden kann!

Aufga be 4.2· Al : Testverfahre n für das arithm etische Mittel Jl a) Behaupt ung vo n Herrn Meier Schritt I : Erstellen der Hyp othesen Der Test ist laut Au fgabenste ilu ng so zu konstrui eren, dass die Wa hrscheinlichkeit für ein Fälschlicherw eises Ablehnen der Behau ptun g von Herrn Müller ma ximal 5 % (u -Fehler) beträgt. Die Behauptung von Herrn Müller ist damit zur NullHypothese zu machen.

11 1 : 1.l> I.lO = 40 h

189

-1.2 Testverfahren

Fehlerqu elle: Entgegen der Aufgabenstell ung wird die Behauptung "11 > 40" zur Null-Hypothese gemacht . Es ist aber die Behauptung zur Nullhypothese zu machen, die widerlegt werden soll bzw. für die da s Risiko der fäl schli ehen Ablehn ung mit dem Signifikanzni veau a kontrolliert werden soll (J1 s: 40). Schritt 2: Verteil ungsform und Standardabweichung von

X (s. Anhang, Tab. 6)

Verteil ung von X ist unbekannt } => wegen n > 30 ist X Varianz (j 2 ist unbekannt appr . normalverteilt 2 Varianz 0 ist unbekannt Stichprobe ohne Zurücklege n _ Auswa11 mit 1 satz ::::. 0,05

&- ~ X

11,3 -JI-

J 120

1

120 4.300

I

=> &x =

~. n -I

J1 -

~

~ 1 02 1 h '

Sch ritt 3: Feststellung des Signifikanzniveaus Die Signifika nzniv eau s a ist 0,05 vorgegeben. Schritt 4: Ermi ttl ung des Beibehal tungsbereich s Beibeh altun gsbereich : [0; 40 + z - &x I Für I - c = 0,95

~

z = 1,65

z - &X ~ 1, 65 - 1, 021 = 1,685

Beib ehaltungsbereich: [0; 41,685] Schritt 5: Entscheidung Das Stichprobenmittel bzw. der Testfunktion swert 42,8 Stunden liegt im Ablehnungabereich . Die Behauptung von Herrn Meier, die Gesamtbelastung der Student en betra ge höchstens 40 Stunden, wird bei einem Signifikanzniveau von 5 % nicht beib ehalten . b) Fehlentscheidung: u -Fehler bei J1 = 39,9 h Es ist die Wah rscheinlichkeit zu berechn en, dass da s Stichprobenmittel größer als die obere Gre nze des Beibehaltungsbereich 4 1,685 h ist, wenn J1

=

39,9 h beträgt.

.f Schließende Stattsttk

190

I -F

SN

( 4 1,685 -3 9,9 = 1 75 10' I) = 1- 0 9599 = 0 0401 I , 02 1

"

,

,

Die Wahrscheinlichk eit, dass Ho irrt ümlich abgelehnt wird, we nn die tat säch liche zeitliche Belastung 39,9 Stunden beträgt, beläuft sich auf 4,0 I %.

c) Fehlentscheidung; ß-Fehler bei ~ = 42,3 h Es ist die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass das Stich probenmitte l kleiner gleich der oberen Grenze des Beibehaltungsbereichs 4 1,685 h ist. wenn ~ = 42,3 Stunden beträgt. FN (X $ 4 1,6851 ~ ~ 42,3;" ~ 1,02 1) ~ F

( ~4 1 , 685 - 42, 3 ~ _ 0 601O: I) ~ 02743 1, 02 1 " ,

SN z

Die Wahrscheinlichkeit, dass HO irrtümlich beibehalten wird, wenn die tatsächliche zeitliche Belastun g 42,3 Stu nde n beträgt, belä uft sich auf2 7,43 %.

d) Stichprobenumfang n = 360 i) Beibehaltungsbereich:

[0; 40,0 + z . " XJ

~ [0' 400 + 1 65 .

[0; 40,0 + 1,65 . 0,57J

,

~

,

,

11, 3 j 360- I

[0; 40,94J

Die obere Grenze des Beibehaltungsbereichs sinkt von 4 1,63 auf 40,94; die Behauptung von Herrn Meier, die Gesamtbelastung der Studenten betrage höchstens 40 Stunden, wird bei einem Signifikanzniveau von 5 % nicht beibehalten. ii) Fehlentscheidung: n -Fehler bei Il = 39,9 h

I- F

SN

( 40,94 -39,9 ~ 18210' 1) ~ 1- 0,9656 ~ 0,0344 0 , 57 "

Die Wahrscheinlichkeit, dass HO irrtümli ch abgelehnt wird, wenn die tatsächliche zeitliche Belastung 39,9 Stunden beträgt, sinkt von 4,0 1 % auf3 ,44 %.

iii) Fehlentscheidung: ß-Fehler bei Il = 42,3 h F

SN

(40, 94 - 42,3 ~ _ 2 391O' I) ~ 0 0084 0 , 57 " ,

./.2 Testverfahren

19 1

Die Wahrschein lichkeit, dass HO irrtü mlich beibehalten w ird, wenn die tatsächliehe zeitliche Belastung 42,3 Stunden beträgt, sinkt von 27,43 % auf 0,84 %. e) Behau ptu ng von Frau Müller Schritt I : Erstellen der Hypothesen

Schritt 2: wie Schritt 2 unter a) Schritt 3: Feststellung des Signifikanzniveaus Das Signifikanzniveau o: ist mit 0,025 vorgegeben . Schritt 4 : Ermi ttlung des Beibchaltungsbereic hs Beibehaltun gsbe reich: [43,0 a - 0x ; M

Für I- ex = 0,975

--7 Z =

"" ]

1,96

z · 0-X = 1" 96 · 1 02 1 = 200 ,

Beibehaltun gsbereich: [41,00; 00 ] Schritt 5: Entscheidung Das Stichprobenmittel bzw. der Tes tfunktionswe rt 42,8 Stu nden liegt im Beib ehaltungsbetei ch . Die Behauptung von Frau Müller, d ie Gesamt bela stung der Smdenten betra ge mindestens 43 Stunden, wird bei einem Signifikanzniveau von 2,5 % beibehalten.

Aufga be 4.2 - A2: Testverfahren für den Anteilswert

e

In einer Glashütte wird eine neue Maschine zur Herstellung von Pressg läsern einges etzt. Der Hersteller der Maschine behauptet, dass höchsten s 2,5 % der hergestellten Gläser Ausschuss darstelle. Von den ersten 10.000 hergeste llten Gläsern werden 50 0 zufäll ig entno mmen und geprüft; von diesen wiesen 14 G läser bzw. 2,8 % der Gläser Fehler auf. a) Testen Sie die Behauptung des Herstellers der Masch ine be i einem Signifikanzniveau von 10 % !

b) Wi e groß ist der u -Fehler (Fe hler I. Art) bei e = 2,4 %? c) Wie groß ist der ß- Feb ler (Fehler 2. Art) bei E> = 2,7 %? d) Testen Sie die Behauptung des Herstellers der Maschine bei einem Signifikanzn iveau von 5 % !

-I Schließende Statistik

192 Lösung 4.2 - Al: Te stverfahren TUr den Anteilswer t

a

a) Behauptung des Herstellers Schritt I : Erstellen der Hypothesen Die Beha uptung des Herstellers, die Maschine produziere höchstens 2,5 % Ausschus s, wird gleichsam angezweifelt. Das Gegenteil ist daher nach zuweisen . Die

Behauptung des Herstellers ist zur Null-Hypothese zu machen. 11 0 : 8 S 8 0 = 0,025;

H I:

8 > 8 0 = 0,025

Anmerkung: Hätte dagegen der Hersteller der Maschin e die Richtigkeit seiner Beha uptung nachzuweisen, dann müsste dies über den Weg einer Ablehnung der dann anzusetzenden Null-Hypothese e > 2,5 % geschehen. Schritt 2: Verteil ungsform und Standardabwe ichung von P (5. Anhan g, Tab . 7) Wegen

n ' 8 0 ' ( 1- 8 0 ) = 500 · 0, 025 ·0,975 = 12,1875 > 9 ist P app roximativ normalverteilt. 2 Var ianz cr ist "bekannt " }

Stich probe ohne Zurücklegen mit Auswah lsatz ~ 5 %

crp =

0,025 ·0,975 500

:::> crp =

J8 0 . (I - 8 0) n

. ~

i N=!

10.000 - 500 = 0,0068 10.000 I

Fehlerquelle: Für 8 0 wird fälsch licherwei se der in der Stichprobe gefundene Anteilswert 0, 28 verwendet. Schritt 3: Festlegung des Signifikanzniveaus Das Signifikanzniveau ist mit 0, 10 vorgegeben. Schritt 4: Ermittlung des Beib ehaltungsbereichs Beib ehaltungsbereich ' [0; 0,025 + z · crp I Mit I - a = 0,90

~

z = 1,28

(s. Anhang, Tab . 3a)

z · cr p = 1,28 · 0, 0068 = 0,0087 bzw. 0,8 7o/o-Punkte Beibehaltungsbereich: [0; 0,0337 ]

4.2 Testverfahren

193

Schritt 5: Entscheidung Der für die Stichprobe ermittelte Anteilswert 2,8 % liegt im Beibeha ltungsbereich von HO' Die Behauptung des Herstellers, der Ausschussanteil der auf der Maschine hergestellten Gläser betrage höchstens 2,5 %, wird beibehalten . b) Fehlentscheidung : u -Fehle r bei 8 '= 0,024 Es ist die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass das Stichprobenmittel größer als die obere Grenze des ßeibehaltungsbereichs 0,0337 ist, wenn 8 '= 0,024 beträgt. W(P > 0,033718

~

1 - F SN (z ~ap P- 8

0,024)

~

1 - W(P s 0,03371 8

~

0,0337 - 0,024

---,c~'#,;#-~::=,::~= I 0,024 ·0,9 76 500

0, 0097

I- F S N ( 0 , 0 06 7 ~

10.000 -500 10.000 -1

0,024 )

~

1 0,'

~

I) --

1, 4510; I ) ~ 1- 0 , 92 6 5 ~ 0, 073 5

Beträgt der Ausschussanteil 2,4 %, dann wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 7,35 % die Behauptung des Herstellers irrtümlich abgelehnt. c) Fehlentscheidung: ß-Fehler (Fehler 2. Art) bei 8 '= 0,027 % Es ist die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass das Stichprobenmittel kleiner gleich der oberen Grenze des Beibehaltungsbereichs 0,0337 ist, wenn 8 = 0,027 beträgt. W(P

s 0,03371 8

P- 8 F SN (z ~"'-P

~

~

0,027)

~

0,0337 - 0,027 10,' 1) 0,027 · 0,973 10.000 500 500 10.000 - 1

0,0067 F SN (0,0071 =0,9410; I) ~ 0,8264

Beträgt der Ausschussanteil 2,7 %, dann wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 82,64 % die Behauptu ng des Herstellers irrtümlich beibehalten . d) Signifikanzniveau von 5 % Schritte I und 2: wie unter Aufgabe a) Schritt 3: Festleg urig des Signifikanzniveaus Das Signifikanzniveau ist mit 0,05 vorgegeben.

.J Schließende Statistik

194 Schritt 4: Ermittlung des Beibehaltungsbereichs Beibeh altun gsbereich : [0; 0,0 25 + z · O"p ] Mit I -

c

= 0,95

~

z = 1,65

(5. Anhang, Tab. 3a)

z·(J p = 1,65 · 0, 0068 = 0,0 112

bzw .

1,1 2 o/o-Punkte

Beibehaltun gsbereich: [0; O,0362} Schritt 5: Entscheidung Der für die St ichp robe ermittelte Anteilswert 2,8 % liegt im Beibehaltungsbereich von HO- Die Behau ptu ng des Herstellers, der Ausschussa ntei l der auf der Maschine hergestellten Gläser betrage höchstens 2,5 %, wird irrtümlich beibe halte n.

Aufga be 4.2 - A3: C hi-Q uad ra t-Ver tcilungstest Eine Wohnun gsb augenossen schaft hat an ihre Ge nossen 1200 Wohnungen ver mietet. Die Mieter können an j edem Werktag zwischen 09.00 und 10.00 Uhr Beschwer den üb er die Wo hnung und Woh nverhältnisse bei der Gesch äftsführu ng vorbringen . Die Anz ahl der Besch werden an den letzten 200 Tage n kann der nach folgenden Tabell e entnommen werde n. Anz ahl der Besch werd en Häu figkeit

0

I

2

3

4

5

96

67

25

7

3

2

Prüfen Sie bei einem Signifikanznivea u von 5 %, ob der Geschäftsführer S. Ellmann mit seiner Verm utung Recht hat, die Anzahl der Beschwerd en pro Werktag se i pois son verteilt mit p = 0,7. Lösung 4,2 - A3: C h i-Q ua d r at-Verteilungstes t Vor der Anwendung des Chi-Quadrat-Ve rteilungs testes ist zunächst die zu erwartende Häufigkeitsvertei lung für die Anzahl der Besc hwe rden zu erm itteln, di e sich bei Vorliegen einer Poissonverteilung theo retisch ergeben müsste. Die Häufigkeiten können m it Hilfe der in Tabelle 2a (s. Anha ng) für I.l ::= 0,7 angegebenen Wahrsc he inlic hkeiten einfac h berechnet werden. So ist beispiel swei se mit keiner Beschw erde an 200 . 0,4966 = 99,32 Tagen zu rechnen. In der folgend en Ta be lle sind d ie in der St ichprobe von 200 Ta gen vo rgefunde ne (e mpirisc he) Häufi gkeit svert eilung und die (theoretisc he) Häufigkeitsverteilung. di e bei der behaupteten Verteil ungsform zu erwa rten wäre, gegenüberges tellt.

-1.2 Testverfahren

195

Symbo le : h j = Häufi gkeit des Merkmalswerts Xj in der Stichpro be {i = I, ..., 6) h f = Häufigkeit des Me rkma lswerts xi, die bei der unter stellten Vert eilungsform zu erw arten wäre (i = I, ..., 6) Beschwer de n

, h', h'

0

1

2

96

67

25

99

70

24

4

5

7

3

2

6

1

0

3

Schritt I: Erstellen der Hypoth esen HO : Die Anzahl der Beschw erden ist poisson verteilt.

H 1 : Die Anzahl der Beschwerden ist nich t po issonvertcil t. Schritt 2: Fe stlegung des Signifikanzniv ea us Das Signifikanznivea u ist mit 0,05 vorgegeben. Schritt 3: Berechnung des Testwertes y Der Testw ert wir d mit folgender Fcrmel errec hnet:

v

y ~

'<"

....

(h~ _h~ ) 2 '

,

hf

i=1

v ist die Anz ahl der versc hiedenen We rte für das Me rkmal X Beschwerden. Die ursprüngli che Anzah l v = 6 red uziert sich auf 4, da für d ie Durchführung des Te sts die zu erw arte nden Häufigkeiten gr ößer glei ch 5 se in müssen. Im Be ispiel sind dah er die Merkma lswert e 3, 4 und 5 zu dem " Merkmals we rt" "3 • 5" zusammenzufassen und damit einhergehend auc h die en tspreche nden Häufigkeiten zu 12 (7+3+2 ) bzw . 7 (6+ 1+0). Auf diese Wei se red uz iert sich v von 6 auf 4. = (96 - 99)2

Y

99

+ (67 _ 70)2 + (25 - 24)2 + (12 _ 7)2 = 3,83 70 25 7

Schritt 4: Ermi ttlung des Beibehaltungsbe reichs Die "Abweich ungssumme" y ist näherung sweise chi -Quadrat-vertei lt mit k = v- I Fre iheitsgra den . - Für den ß eibeha ltu ngsbereich gilt

[0; YI--<x, k 9'- d = [0; Y0,95, k=4-1 =31 = [0 ; 7,8 147J (Anhang, Tab. 4)

196

-I Schlie ßende Statistik

Schritt 5: Entsc heidung Der Stichp robenfunktion swe rt liegt mit 3,83 im Beibehalrungsbereic h. Die Vermutun g des Geschäftsführers, die Anzahl der Beschwerden pro Werktag sei poi ssonverte ilt m it ~ = 0,7, ist nicht wider legt word en.

Aufgabe 4.2 - A4: Chi-Q uad ra t-Unahhä ngigkeitstest Ein Unternehmen m öchte wissen, ob bei seinen 20- bis 49-jährigen Kunden Alter

und Kundenzufr iedenheit voneinander abhängig sind oder nicht. 500 zufällig ausgewählte Kun den dieser Altersklasse wurden nach ihrer Zufriede nhe it mit dem Produkt befragt. Die Kunden wurde n dazu in die Altersklasse n 20 - 29, 30 - 39 und 40 - 49 Jahre eingeteilt. Als mögliche Antworten rUT die Zufriedenhe it wurde n die We rte sehr zufri eden, zufrieden und unzufrieden vorgege ben . Das Ergebnis der Befrag ung ist in der nachstehenden Tabelle angegeben .

~

sehr zufrieden

zufrieden

unzufrieden

Summe

Alter

20 - 29

80

100

20

200

30 - 39 40 - 49

40 60

66 94

14 26

120 180

Summe

180

260

60

500

Prüfen Sie bei einem Sig nifikanzniveau von 5 %, ob die Me rkmale Alter (X ) und Kundenzu fried enheit (Y) voneinander unabh ängig sind! Lös ung 4.2 - A 4: Ch i-Q uadra t-U na bhä ng igke itstes t Zur Prüfung der Unabhängigke it ist zunächst die für die Stichprobe (the oretische) zweidimensionale Häufigkeitsverteilung, die bei vollstä nd iger Unabhängigkeit der beiden Me rkma le zu erw arten wäre, zu erste llen. Symbo le:

hi = Häufi gkeit des Merk malswert es Xi in der Stichprobe

(i = I. 2. 3)

hj = Häufigkeit der Merkma lswertes Yj in der Stichprobe

U=

1, 2, 3)

h ij = Häufigkeit der Merkmalsweltkombi nation (Xi. Yj) in der Stichprobe

4.2 Testverfahren hij

=

197

Häufigkeit der Merkmalswertkombinatio n (x., Yj), die bei vollständiger Unabhä ngigkeit zu erw art en wäre. Die Berech nung erfo lgt mit h ~ · h~

h ~ = _ '_ _ J

'J

n

In der folgend en Tabe lle ist die Berechnung der theoret ischen Häufigkeiten bei Unabhängigke it w iedergegeb en.

~

sehr zufrieden

zufrieden

unzufrieden

Summe

Alter

20 - 29

200·\80 = 72 500

20Q.260 = 104 500

200·60 = 24 500

200

30 - 39

120·180 <00

120·260 500

\20·60 50

14, 4

120

40 - 49

180·180 = 64 ,8 500

180·260 = 93,6 500

180·60 = 2 1 6 500 '

180

Summe

180

260

60

500

43, 2

62, 4

Schr itt I : Erste llen der Hypothesen H O: Alter und Kundenzufriedenheit sind voneinander unabhängig. H \ : Alter und Ku ndenzu friedenheit sind nicht voneinander unabhängig. Schritt 2: FestIegung des Signifikanzniveau s Das Sign ifikanzniveau ist mit 0,05 vorgegeben. Schritt 3: Berechnu ng des Testwerts Y Der Testwert wird mit folgender Formel errechnet: y=

i i i=l j=1

(hij - ~ij r h ij

v ist d ie Anzahl der verschiedenen Weite für das Merkma l X Alte r; w ist die Anzahl der verschiede nen Weit e für das Merkmal Y Kund enzufriedenheit. Für die Durchftihru ng des Tests müssen die zu erwartenden H äufigkeiten größer gleic h 5 sein. Gegebenenfa lls sind - wie in Aufgabe 4.2-A 3 aufgezeigt - benachbart e

.J Schließende Statistik

198

Werte und die entsprechenden Häufigkeiten zusammenzufasse n, wa s zu einer Reduz ieru ng von v und/ode r w führt . Y

=

=

(80 _ 72)2 72

(100 - 104)2 104

+

+

(20 - 24) 2 24

+

(40 - 43,2)2 43,2

+

(66 - 62,4)2 62,4

+

( 14 - 14,4)2 14, 4

(60 - 64,8)2 64,8

+

(94 - 93,6)2 93,6

+

(26 _ 2 1,6) 2 2 1, 6

0,8889 + 0, 1538 + 0,6667

+

+ 0,2370 + 0,2077 + 0,0111 +

0,3556 + 0,00 17 + 0,8963 = 3,4 188 Die "Abweichungssumme" y ist näherungsweise chi-Q uadra t-vert eilt mit k "" (v - 1)-( w - 1) Freiheitsgrad en. Schr itt 4: Ermittlung des Beibehaltungsbereichs [0; YI-a, k=(v- I) (w- I) I = [0; YO,95, k=(3- 1}(J - I) I [0; YO,95, 4 1 = [0; 9,4877]

(s. Anhang, Tab. 4)

Schritt 5: Entscheidu ng Der Stic hpro benfunktionswert liegt mit 3,4188 im Beibehalt ungsbereich, Die Hypothese, Alter und Kundenz ufriedenheit sind voneinander unabhängig, wird beibehalt en bzw. ist nicht widerlegt worden.

Aufga be 4.2 - A5: Benzinverbrauch Bei der unter Aufgab e 4.I -A7 (5. 18 1) beschriebenen Umfrage beträgt der dur chschnittliche Benzinverbra uch der 32 VW Golf 8,32 1 pro 100 km bei einer Standarda bweichun g von 1,2 I. a) Testen Sie bei einem Signifikanzn iveau von 5 % die Behauptung, die Fahrzeuge VW Golfverbrauchen mindestens 8,3 I pro 100 km! b) Der tatsächliche Durchschnittsverb rauch möge 8,2 I pro 100 km betragen. Wie groß ist die Wahrscheinli chkeit, dass die Behauptung unter a) beib ehalt en wird? c) Testen Sie bei einem Signifikanzniveau von 10 % die Behauptun g des Hersrellers, die Fahrzeu ge VW Golfverbrauchen we niger als 8,5 I pro 100 km!

199

4.2 Testverfahren

d) Geben Sie die Au swirkungen auf die Lösung unter c) für den Fall an , dass den Umfrageergebnissen eine Befra gung von 128 G olf-Fahre r n zugru nde gelegen wäre ! Lösu ng 4.2 - A5 : Benzinverbrau ch a) Behauptung: Mindestverbrau ch 8,3 I Schritt I: Erstellen der Hypothesen Der Test ist laut AufgabensteIlung so zu konstrui eren, da ss die Wah rsch einlichkeit für ein fä lschliehetwei ses Ablehnen der Beha uptung, die Fahr zeuge würden mindesten s 8,3 I brauchen, maximal 5 % (u -Fehle r) beträgt. Die Behauptung ist damit zur Null-Hypothese zu machen .

Schritt 2: Verteil ungsform und Standardabweichung von

X

(s. Anhang, Tab. 6)

Verteilung von X ist unbekannt } wegen n > 30 ist X Varian z 0'2 ist unbek annt => appr. no rmalverteilt Varianz 0'2 ist unb ekan nt Stic hprobe ohne Zurücklegen mit Auswahlsatz < 5 %

1, 2

jJ2 - 1

}

=>

C'x = ~

~ 022 1 '

Schritt 3: Festlegung des Signifikanzniveaus Das Signifikan zniv eau ist mit a

=

0,05 vorgegeben .

Schritt 4 : Ermittlung des Beibehal tungsbereichs

[8, 3 - z'0j(; = ] ~ [8,3 - 1,65 ·0,22; = ] ~ [7,937; = ] Schritt 5 : Entscheid ung: Beibehalt ung von HO b) Fehlent scheidun g: ß-Fehler bei I.l. = 8,2 I

I -FN (7,937 18,2; 0,22) I - 0, 1151

=

~ I _ F SN ( 7, 9~~2~ 8 , 2 ~ _ 1 , 20 1 0; 1 ) ~

0,8 849 bzw. 88,49 %

-I Sch ließende Statistik

200 c) Höchstverb rauch 8,5 I Schritt 1: Erstellen der Hypothesen

Der Hersteller hat den statistischen Nachweis zu erbringen, dass die Fahrzeuge weniger als 8,5 1 pro 100 km verbrauchen. D.h. die entgege ngesetzte Behauptung (Mindestverbrauch 8,5 I) ist zur Null- Hypothese zu machen , Für sie hat die Wahrsche inlichkeit, fälschlicherwei se abgelehnt zu werden, maximal 10 % zu

betragen.

Schritt 2: wie Schritt 2 unter a)

Schritt 3: Signifikanzniveau 10 % Schritt 4: Ermittlung des Beibehaltungsbereich s [8,5 - z : " j( ; ~ ] ~ [8,5 - 1,28 . 0,22 ; ~ I ~ [8,2 184; ~ I Schritt 5: Entscheidung: Beibehaltung von Ho

d) Stichprobenumfang n = 128 Schritt 1: wie Schritt 1 unter c) Schritt 2: wie Schr itt 2 unter a) außer 1, 2 ~ 0 11 1 J 128 - 1 ' Schritt 3: Signifi kanzniveau 10 %

Schritt 4: Ermittlung des Beibehaltungsbereichs [8,5 - 1,28 . 0,1 J;

~

I~

[8,3592;

~

1

Schritt 5: Entscheidung: Nicht- Beibehaltung von HO bzw. Annahme von H I A ufgabe 4.2 - A6 : Limo nadena bfüllung Ein Getränkehersteller füllt Limonade in 700 mi-Flaschen ab. Die Anlage ist auf das Abfüllvo lumen 702 ml eingestellt. Dem Hersteller ist sehr daran gelegen, dass das Abfüllvolumen in den Flaschen dem eingestellten Volumen ent spricht. Das durchschnittliche Abfüllvolumen von 17 zufällig ausgewä hlten Flaschen betrug 70 1,7 ml bei einer Standardabweichung von I ml. Das Abfüllvolumen in der Grund gesamtheit kann als normalverteilt angenommen werden.

4.2 Testverfahren

20 1

a) Prüfen Sie bei einem Signifikanzn iveau von 2,5 %, ob das Abfüllvolu men 11 dem eing estellten Abfüllvol umen entspricht! b) Prüfen Sie bei einem Signifikanzniveau von 5 %, ob das Mindest-A bfüllvolumen von 700 ml eingehalt en wird. Den sta tistischen Nachwe is soll dab ei der Getränkehersteller erbringen ! Lösun g 4.2 - A6: Limonadennbfüllu ng a) Einhaltung des eingestellte n Abftillvolumens Schritt I : Erstellen der Hypothesen

HO: I' ~ 1'0

702 ml ;

~

H I : I'

* 1'0 ~ 702 ml

Schritt 2: Verteilungs fonn und Standardabwe ichung von X (s. Anhang, Tab. 6) X ist nonnaivertei lt } - . '1 ' . . => X Ist t-vertei t mit n-I Freiheitsgraden 2 Varianz a unbekan nt

2 Varianz cr ist unbe kannt } Stichprobe ohne Zurücklegen => mit Auswahlsatz < 0,05

o-x =

~

0,001 ~ 025 1 ~ , m ; 17 - 1 Schritt 3: Signifikanzn iveau 2,5 % Schritt 4: Er mittlung des Beibehalt ungsbereichs

_ . 702 +1''' -J [ 702 - 1 ' ,, X' X

~

[702 - 2, 473 · 0, 25 ; 702 + 2, 473 · 0, 25]

~

[70 1,4; 702,6]

Schritt 5: Ent scheidun g: Beibehaltung von 11 0 , b) Einhaltung des Mindest-Abfüllvolumen s Schritt I : Erstellen der Hypothesen

HO :

I' < 1'0

~

700;

Schritt 2: wie Schritt 2 unter a) Schritt 3: Signifikanzniveau 5 %

I'

~

1'0 ~ 700

.f Schließende Statistik

202 Schritt 4 : Ermi ttl ung des Beibehaltungsbereichs

[0; 700 + 1'0 j( ] = [0; 700 + 1,746 · 0, 25J = [0; 700,4J

Schritt 5: Entscheidung: Ablehnung von HO bzw. Annahme von H I '

Aufgabe 4.2 - A7: Bürgermeisterwahl In einer Stad t mi t zirka 80.000 Wahlberecht igt en ist in drei Woc hen der Bürgermeister zu wählen. Zur Wa hl stehen die beiden Ka ndid aten A und B. Kandidat A möchte seine Chance n mit Hilfe einer Umfrage a usloten. Von 1.250 zufällig ausgewählten Wahlberechtigten votierten 655 für A und 595 für ß.

a) Kandidat A wünscht, dass bei dem durchzuführenden Test die Behauptung, er hab e weniger als 50 % Zustimmung, zur Nullhypothese gemac ht wird. Warum wünscht Kandidat A dies? b) Te sten Sie bei einem Signifikanznivea u von 5 0/0., dass Kandid at A ei ne Zustimmung von min destens 50 % hat ! c) A möge bei allen Wählern nur 49,9 % Zusti mmu ng haben . Wie groß ist die Wa hrscheinlichkeit, dass die Null- Hypothese dennoch abgele hnt wird? Lösung 4.2 - A 7: ßü rgcrmeist erwahl a) Kandidat A will di e Hypothese, er bekäme weniger als 50 % der Stimmen, mi t einer bekannten Intumswah rscheinl ichkeit abge lehnt wissen. Er will nicht, dass di e Hypothese, er bekäme min desten s 50 % der S timmen, "led iglich" beibehalt en wird verbunden mit dem unb ekann ten ß-Fehler. b) A erhält mindestens 50 % Schritt I: Erste llen der Hypothesen

HO : 8 < 8 0 = 0,50 ; Schritt 2: Verteilu ngsform und Standardabwe ichung von P (s . Anhang, Ta b. 7) Wegen

n · 8 0 , (1 -8 01= 1.250 . 0, 50 ·0,50 = 3 12,5 > 9

ist P appro ximat iv norm alvert eilt . Varianz (1 2 " bekannt" } Stichpro be oh ne Zurücklege n => Clp = mi t Auswahlsa tz < 5 %

)8

0

. (I - 8 ) 0 n

-1.2 Testverfahren

0p =

203

0,50 -0 ,50 = 0 0 14 1 1.250 '

Schritt 3: Signifikanzniveau 5 % Schritt 4: Ermittlung des Beibehaltungsbereichs [0; 0,50 +z -" p) = [0; 1,65 - 0,0 141] = [0; 0,5232J Schritt 5: Entscheidung: HO wird abgelehnt, da 52,4 % für A gestimmt haben. c) Fehlentscheidung bei 49,9 % Stimmen für A W(P > 0,523218 = 0,499) = 1 - W(P S 0,523218 = 0,499) = 1- F

SN

(

p-8 = °, 5232 - 0,499 10 ; 1) = I - FSN( I,71 10; 1) )8 (1- 0 ) 0,499-0,501 n 1250

I - 0,9564 = 0,0436 bzw. 4,36 % Aufga be 4.2 - A8: St ich pro ben plan Ein Großhändler bekommt von einem Lieferanten zugesichert , dass weniger als 3 % der gelieferte n Artikel kleinere Fehler aufwe isen. Der gemeinsam erstellte Stichprobenplan schreibt vor, dass einer Lieferung 40 Mengeneinheiten zufällig zu entnehmen und dann zu prüfen sind. Sind alle 40 Einheiten ohne kleinere Mängel, dann wird die gesamte Lieferung akzeptiert, anderenfalls wird ein Preisnachlass gewährt. a) Wie hoch ist bei diesem Stichprobenplan das Signifikanzniveau für die NullHypothese "8 < 0,03"? Gehen Sie nur von ganzen Zahlen für 8 (in %) aus! b) Welche Risiken gehen Lieferant (ß-Fehler) und Abnehmer (c -Fehler) bei diesem Stichprobenplan ein? Verwenden Sie für Ihre Untersuchungen die Mängelquoten 0, 1,2, 3,4 und 5 (in %)! Lös ung 4.2 - A8: Sti chpr obenplan a) Das Risiko, eine "schlechte" Lieferung anzunehmen, ist am größten, wenn die Mängelquote genau 3 % beträgt. FB(X S 0140; 0,03) = 0,2957 Das Risiko (= Signifikanzniveau), eine Lieferung anzunehmen, obwohl sie nicht den Anforderungen entspricht, beträgt maximal 29,57 %.

204

.j .....tchtießende

Statis tik

b) Abnehmerrisiko und Lieferantenrisiko Das Abnehmerrisiko (u -Fehler) tritt bei 8 -Werten 2 3 % auf:

FB(X

~

0140; 0,03) ~ 0,2957;

FB(X

~

0140; 0,05)

~

FB(X ~ 0140; 0,04 ) ~ 0,1954;

0, 1285

Das Lieferantenrisiko (ß-Fehler) tritt bei 8-We rten :5 2 % auf: FB(X

~

1140; 0,00) ~ 0,0000 (!);

FB (X

~

1140; 0,02) ~ 0,5543

FB( X

~

1140; 0,0 1) ~ 0,3310;

Aufga be 4,2 - A9: Lotto-Statistik In der Lotto-Statistik wird u.a. festgehalten, welche Zahlen (ohne Zusatzzahl) seit der ersten Ausspielung am 09 .10. 1955 wie häufig gezogen worden sind. In der folgenden Übersicht sind die Ziehungshä ufigkeiten für di e Zahlen 1 bis 49 in den 3.30 8 Ausspielungen bis zum 2 1.01.2010 angegeben.

408 377 38 1 42 1 386 4 13 423

413 423 382 390 389 405 398

4 14 405 4 14 402 426 435 376

410 4 12 398 422 446 408 384

408 389 398 43 1 422 409

43 1 343 388 420 393 411 396 4 17

410 389 396 375 397 4 19 445

Prüfen Sie bei einem Signifika nzniveau von 10 %, ob jede Zahl die gleiche Chance hat, ausgespielt zu we rden! (Lösungs hilfen: Durchschnittliche Ausspiel ungs häufigk eit: 405,06 ; Varianz: 3 79,03 7 1; YO,90, 48 = 60,9)

Lösung 4,2 - A9: Lotto-St atistik Schritt I: Erstellen der Hypothesen Ho : Die Zieh ungsh äufigkeiten sind gleich vert eilt.

H I : Die Ziehungs häufig keiten sind nicht gle ich verteilt. Schritt 2: Festlegung des Signifikanzniveaus Das Signifi kanzniveau ist mit 0,10 vorgegeben.

4.2 Testverfahren

205

Schritt 3: Berechnung des Testweites y Mit der Lö sungshilfe ergibt sich für den Testwert

Y=

v

L

,1= 1

(h' ' h,)2 , S

h'i

=

2 = -'.49,----;'.;;.3;.-79,;,-,0::,3,,-7.:.1 =

x_'-i;'crh',I

405' 06

45,85

Schritt 4: Erm ittlung des Beib ehalrungsbereich s

[0; YI-(X , k=v. Il = [0; YO ,90, 481 = [0; 60,9) Schritt 5: Entscheidung Der Stichprobenfunktionsw ert liegt mit 45,85 im Beibehaltungsbereic h. Die Behauptung, das Auftreten der Zahlen I M49 ist gleich verteilt, wird bei einem SiM gnifikanzniveau von 10 % beibehalten.

A ufgabe 4.2 - AI0: Alter und w ah lverhaften In einer repräsentativen Umfrage wurden 2002 weibliche Wahlberechtigte aus dem früheren Bundesgebi et nach ihrem Wahlverhalten befragt. Die Befragten wurden in fünf Altersklasse n eingeteilt. In der nachstehenden Tabelle sind die Befragungsergebnisse für die CDUICSU, SPD, die Grünen und die FDP w iedergegeben.

~

CDU/CSU

SPD

Grüne

50

63 110 169 19 1 280

19 37 62 50 32

FD P

Alter

18 · 24 25 - 34 35 · 44 45 ·59

60 und mehr

92

134 213 360

13 24 26 35 42

Prüfen Sie bei einem Signifikanzniveau von I %, ob Alter und Wa hle ntsc heid der wei blichen Wahlberechtigten im frü heren Bundesgebiet voneinander abhängig waren !

-I Schließende Statistik

206 Lösung 4.2 - AlU: Alter und wa hlverhalten

Schritt I: Erstellen der Hypothesen H O: Alter der Frauen und Wah lentscheid sind vo neinander unab häng ig. H I : Alter der Frauen und Wah lentscheid sind von einander abhä ngig. Schritt 2: Signifika nzniveau 1 % Schritt 3: Berechnung des Testwerts y

- theoretische Häufigkeiten bei Unabhängigkeit hij 6 1,49 111,53 165,81 207 ,37

58,88 106,80 158,78 198,58

302 ,79

289,95

14,49 26,27 39,06 48,85 7 1,33

10,14 18,39 27,34 34,2 49,93

- Abw eichungs berechnungen für den Testwert y (h ~ - h ~) 2111 ~ lJ lJ IJ 2, 15 3,42

0,29

1,40

0,81

0, 10

4,38

1,71

6,10 0, 15 10,8 1

0,66 0,29 0,34

13,47 0,03 2 1,69

0,07 0,02 1,26

- Testwert y (Su mme aller Abwe ichungen) y ~ 6 9, 1 5

Schritt 4: Ermi ttlung des Beibehaltungsbereichs [0 ; YI-a , k~(v-I Hw- l)] ~ [0; YO,99, k~4' 3 =12] =

[0; YO,99, 121 = [0; 26,2 170]

(s. Anhang, Tab . 4)

Schritt 5: Entscheidu ng Der Stichprobenfunktion swe rt y liegt mit 69, 15 im Ablehnungsbereich. Die Hypothese, das Alter der weib lichen Wah lberecht igten und da s Wahlverha lten seien voneinander unab hängig, wird bei einer Irrtum swahrschei nlichkeit von I % nicht beibehalten . Anders ausge druckt: Die Behauptung, das Alter der weiblichen Wähler sei ohne Einfluss auf das Wah lverhalten, wird bei einer lrrt umswahrscheinliehkeif von 1 % nicht beibehalten.

207

-1.2 Testverfahren

Aufgabe 4.2 - All : Pausen regelung In Aufgabe 2.5-A5 (s.S. 93) ist das Ergebnis einer Befragung von 500 Student en z u ihrer Einstellung zu einer Verlängerung der Pause wiedergegeben. Prüfen Sie mit Hilfe des Chi-Qua drat-Unabhän gigkeitstests bei einem Signifikan zniveau von 10 % , ob zwischen Geschlecht und Einstellung zur Pausenregel ung eine Abhängigkeit besteht oder nicht! Lösung 4.2 - A 11 : Pausenregelung Schritt I : Erstellen der Hypothesen HO: Geschlecht und Einstellung sind vone inander unabhängig. 11 1 ; Gesch lecht und Einstellung sind voneinander abhängig. Schritt 2 : Signifikanzniveau 10 % Sch ritt 3; Berechnu ng des Testwerts y Die Berechnung der Größe X2 bzw. des Testwerts y ist unter der Lösung 2.5-A5 (S .95) ausführlich aufgezeigt. y ~ 2,73 Schritt 4: Ermi ttlun g des Beibehaltungsbereichs [0; YO,90, k ~2 J

~

[0; 4,6052J

(5. Anhang, Tab. 4)

Schritt 5: Entscheid ung Der Stichproben funktionswert y liegt mit 2,73 im Beibchaltungsbereich. Die Hypothese, Geschl echt und Einstellung sind voneinander unabhän gig, wird bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10 % beibehalten.

Hinomia /l'eneilung

209

Tabe lle na nha ng Tabelle la : Hinom ialve rteilun g; \Va h rscheinlichkeitsfunktion fS(x)

n I I

, 0 1 0 1

0.0 5

6 7

0,9500 0.0500 0,902 5 0,0950 0,0025 0,8574 0,1354 0.007 1 0000 1 0.8 145 0,17 15 0.0 135 0 .0005 0,0000 0,7738 0.20 36 0,02 14 0,00 11 0,0000 0,0000 0,735 1 0.23 2 1 0.030S 0.002 1 0.000 1 O.OOI)() 0,0000 0.69113 0,2573 0,0" 06 0.00 36 0.0002 0,0000 0.0000 O.tlOtlO

0

0.663~

8

I

8 8 8 8 8

3

0,2793 0.0515 0.005 4

6 7 8

0,0000 0,0000 0,0000 O.OtlOO

2 2 2 3 3 3 3

2 0 I

2 3

,, ,,, , , 0

1 2 3

,, ,s, ,, 0

1 2

3

6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7

x

0

1 2

,, 3

6 0 1

2

,, 3

" ,2 , "

O.OOO~

I

e

I

0.10

0.9000 0. 10110 0.11100 0, 1800 0 0100 0,7290 0,2430 0,0270 0.00 10 0,6561 0,2916 0.0486 0,0036 0.000 1 0,5905 0,3211 1 0.0729 0,008 1 0,0005 0,0000 0.53 14 0.3543 0.098 4 0.0 146 0,00 12

o.oon

00000 0.4783 0.3720 0, 1240 0.02 30 0,(lO26 0,0002 O.fMMlO

o.oooc

0,4305 0.3826 0. 1-&88 0.033 1 0,0046 0,_ 0,0000 0,0000 0,0000

0,20 I 0.25 0,11000 0.7500 O, 2IX)() 0. 2500 0,6400 0.5625 0,3200 0,3 750 0,0400 0.062 5 0,5 120 OA219 0,3lWI (lA2 19 0,09(,0 0, 1406 0,001\0 0.0 156 0,40% 0,3 16-1 0,40% 0,42 19 0, 1536 0,2 109 0.0256 0.0469 0.00 16 0.0039 0,3277 0,2373 0.4096 0,3955 0,204 8 0.26 37 O.OU~ 0.05 12 0.08 79 0,0022 O,OlJ6.1 0,0146 0,000 1 0.000 3 0.00 10 0,3771 . 0.262 1 0.1780 0.399 3 0,3932 0,3560 0,1762 0.2"S8 0.2966 O,04I S 0.08 19 0.1318 0.00 55 0.0 154 0.0330 O.OI)().. 0.0015 0.0000 0.00111 0.000 2 0.321)(, 0.2097 0. 1335 0.3<)(,{) 0.3670 0,3 115 0.211?7 0,2753 0,3 115 0.06 17 0. 11" 7 0, 1730 O,OIO? 0,02 87 O.OS77 0,00 12 O,IMI-&) O,OIl S 0,0001 O,lMlO.. 0.00 13 O.(lIKKI tl.IXXII) 0.000 1 lJ,2725 O. 167K O.HMlI 0.38-&7 0.33S5 0,2670 0.237(, 0.29 36 0,311S 0.01139 o.t..M 0,2076 0.0185 0.04 59 0,0865 0,00 26 0.009 2 0.023 1 0.000 2 0.00 11 0.003 8 0,0000 0.000 1 0 , _ 0,0000 0,0000 0,0000

0.15 0,11500 O.l 5f10 0.7225 0,2550 0,0225 0,6 141 0,325 1 0,0574 0,00 34 0,5220 0,36115 O,09n 0.0 115 O.OOOS 0,44 37 0,39 15 0.13112

o.oou

0.30 0,7000 0,3000 0..1900 0,4200 0,0 <)00 O,H30 0..1 410 0, U190 0,0270 0,240 1 0,4116 O,26·Ui 0.0756 0,0011 1 0, 1611 1 0. 3602 0. 30117 0,13 23 0,0284 0.002 4 0.1 176 0.3025 0.32"1 0,1852 0.059 5 0.010 2 0.011117 0.082 4 0,2-&7 1 0,3177 0.2 2CJ? 0,0?72 0,0250 O.lMl3(, 0.01K12 0,0576 0. 1977 0.29(.5 0.25" 1 0.1361 0.0"(,1 0,0100 0.001 2 0 .00111

!

0.35

I

0..10

I

OA5

I

0,>0

I 0,6500 Io.eoeo I 0,5500 I 0.5000 0,35110 OAllOO OA500 , 05000

I0..1225 0,4550

0, 1225 (l,2746 0..1 436 0,23 119 0,0 429 0, 17115 0,31145 0,3105 0.11I S 0,0 150 0, 1160 0.3 124 0.33/l-l 0.18 1I O,04I1K 0,005 3 0,075 4 0.243 7 O,32KO 0.2355 0.0951 0.0205 0.001 11 0.0"')0 O.lIl.. R 1l.2?115 n.267? 0.1....2 0,04(,(, O,OOR4 O.(KII)(, 0.03 19 0. 1373 0.2587 0.278l') 0. 1875 0.080R 0.021 7 0.00 33 0 ,01102

0,3600 I 0, 3025 0,4800 0,49 50 0, 1000 0,20 25 0,2 160 O, I6M 0..1320 0.408 4 0,28110 0,334 1 U,O(>40 0,09 11 tl,12% tl,09 15 0,3456 0.29 95 0,3456 0,36 75 0. 1536 0,200 S 0.0256 0.04 10 0,07711 0.0 50) 0.2592 0.2059 0.3456 0.3369 0,2304 0.2757 O,076K 0. 1128 n.n 102 0.0 1115 0,0467 0,0277 0.1 866 0. 1359 0,3 110 0.2780 0 .2765 0.3032 0. 1382 0.186 1 0.n3 (,9 0,0609 O.lXl4 1 0.00113 lJ,ll21111 0.0 152 0,1306 0.01172 0,2(, 13 O. 2 1 ~0 O,2?03 O.2? 11I O.I?3S O.23R8 n,0774 0. 1172 0.0 172 0.03 20 O.lM1I6 0.0Il]7 O.1l 16K 0.00114 0 ,08% 0.05 411 0 .2()<.10 0. 1569 0.2787 0.2568 0,2322 0.2627 O, I23 ? 0.17 19 0 .04 13 0.07 03 0 .0079 0.0 164 O.OlX17 0.00 17

1 0.2500

0,5000 0,2500 0, 1250 0,3750 0,3750 0, 1250 O,f)(j25 0,2500 0,3750 0,2S()() 0 .()(,25 0.03 13 0. 1563 0.3 125 0,3125 0.156 3 0.03 13 0.0156 0.09 311 0.2344 0.312S 0.23-u 0.093K 0.0 156 0.IX178 0.05"7 0, 16"1 0.273" O,273 ~

0. 164 1 0.05 47 0.011711 O,lX139 0.03 13 0.109 " 0.211111 0.273~

0.21R8 0.109 " 0.03 13 0.0Il39

Tahellenanhang

2 10

Tabelle l a :

ß ino mialvc rtei lung f 8 (x); Forts etzu ng

e n

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

x

0,05

0,10

0, 15

0,20

0 I

0,6302 0,2985 0,06 29 0,00 77 0,000 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 00000 0,5987 0,3 151 0,07 -16 0,0105 0,00 10 0,000 1 0,0000 0,0000 0,0000 0,00 00 0 000 0

0,3874 0,38 74 0, 1722

0,23 16 0,36 79 0,259 7 0, 1069 0,0283 0,0050 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000 0, 1969 0,3-17-1 0,2759 0,1298 0,0-101 0,00 85 0,0012 0,000 ] 0,0000 0,0000 0,0000

O,13U 0,3020 0,3020 0,1762

2

, J

s 6 7

8 9 0 1

2

,, J

6 7

, 9 10

D,n-H 6 0,00 74 0,000 8 0,000 1 0,0000 0,0000 00000 0,3-187 0,387-1 0, 1937 0,057-1. 0,011 2 0,00 15 0,000 I O,OO
0,25

0,075 1 0,2253 0,300 3 0,2336 0,0661 0, 1168 0,0 165 0,0389 0,0028 0,0087 O,Oll(}J 0,00 12 0,0000 0,000 1 O,OI)O() 0,0000 0, 107-1 0,056 3 0,26 8-1 0, 1877 0,3020 0,21116 0.20 13 0,2503 0.088 1 0,1 -1.60 0,026-1. 0,058-1. 0,005 5 0,0162 0,0008 0,00 3 1 0,000 1 0,000-1. 0,0000 0,0000 O,()OOO OJ KIOO

I

0,40 I 0,45 0,0 404 0,0207 0,0101 0,00 46 0, 155(, 0,1004 O,I)(,oS 0,0 339 0,2668 0,2162 0, 1612 0.1 110 0,266& 0,27 16 0 ,250& 0,2 119 0,1715 0,2 194 0,2508 0,2600 0,0735 0, 118 1 0, 1672 0,2 128 0,0210 0,0424 0,0743 0, 1160 0,00 39 0,0098 0,0212 0,0407 0,0004 0,00 13 0,0035 0,0083 0,0000 0,000 1 0,000 3 (1)008 0,028 2 0,0 135 0,00(,0 0.0025 0.1211 0,0725 0,0-103 0,0207 0,2335 0.1757 0,1209 0,0763 0.2668 0,2522 0.2 150 0,1 665 0.200 1 0,2377 O,250}\ 0.238-1. 0, 1029 0, 1536 0,2007 0,23-1.0 0,0368 OJ16119 0.1 115 0, 15% 0,0090 0,0212 0,0-125 0,07-16 0,00 14 O,OO,B 0,0 106 0,0229 0,000 1 0,0005 0,0016 0,0042 0,0000 O,{KKIO o.ooo i 0,0003 0,30

0,3 5

0,50 0,0020 0,0 176 0,070 3 0,164 1 0,246 1 0,246 1 O,IM I 0,0703 0,01 76 0,00 20 0.00 10 0.t)()98 0,0-139 0, 1172 0.2051 0,2-1.61 0,205 1 0,1172 0,0439 0,0098 0,00 10

Ta belle Ib: Hinnmialverteilung; VerteiJungsfunktion Fß(x)

s n 1 1

2 2 2 J J J J

x 0 1 0 1

2 0 1

2 3

,, ,, , , 0 1

2 3

0,05 I 0, 10 0,9500 0,9000 1.0000 1 00(10 0,9025 0,8 100 0,9975 0,9900 1 0000 1 0000 0,8574 0,7290 0,9928 0,9720 0,9999 0,9990 1 0000 1,0000 0,8 145 0,656 1 0,9860 0,9477 0,9995 0,9963 1,000 0 0,9999 1 000 0 1,0000

0.15 0,8500 1.0OflO 0,7225 0,9775 1 0000 0,6 14 ] 0,9393 0,9966 10000 0,5220 0,8905 0,9880 0,9995 1.0000

0,20 I 0,25 0,30 0,8000 0,7500 0,7000 1,0000 U KKIO 1,0000 0,6-100 I 5625 1 0,-1900 I 0,9600 0,9375 0,9 100 1,0000 1,0000 1,0000 0,5 120 0,42 19 0,3430 0,8960 0,8-138 0,7840 0,9920 0,9844 0,9730 1,0000 1.0000 1,0000 0,4096 0,31(,4 0,2401 0,8 192 0,7383 0,65 17 0,9728 0,9-1.92 0,9 163 0,998-1 0,9961 0,99 ]9 1.0000 1,0000 1,0000

I

°'

0,35 I 0,6500 1,0000 0,4 225 1 0,8775 1,000 0 0,27-16 0,7 183 0,957 1 1,0000 0,1785 0,56 30 0,87 35 0,9850 I,OfIOO

OAO O,6tKKl 1,0000 0,36t1O 0,8"00 1,0000 0,2160 0,641;{) 0,93W 1,0000 0.12% 0,4752 0,8208 O,97 H l ,omKI

OA5 0,5 0 0,5500 0,5fKIO I,OOOf) 1.0000 0,3025 0,2500 0,7975 0,7500 1,0000 1 0000 0, \ 664 0, 1250 0,5748 0,5000 0,9089 0.8750 1,0000 1 0000 0,09 15 0.0625 0,39 10 0,3 125 0,7585 0,687 5 0,9590 0,9 375 I ,()OOO 1.000 0

Binomialverleilung

2 11

Ta belle tb: ßinomialvertcilung FO(x); Fortsetzung

,, ,

x 0 I

S

3

n

,,

6 6 6 6 6 6 6

7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

2 4

s

0 1

2 3 4

s 6

0 1

2 3 4

, 6 7

0 1

2 3 4

, 6

7 8

0 I

2 )

4 5

6 7 8 9 0 I

2 3 4

, 6

7 8 9 10

0,05 I 0,10 0,7738 0,590 5 O,977~ 0,9 185 0,998 8 0,99 14 1,0000 0,9995 1,0000 1,0000 1,0000 1 0000 0,735 1 0,53 14 0,9672 0,8857 0,9978 0,9842 0,9999 0,9987 1,0000 0,9999 1,0000 1,0000 1,00110 1,0000 0,698 3 0,4783 0,9556 0,8503 0,9962 0, 97~3 0,9998 0,9973 1,0000 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1.0000

0,15 I 0,20 0.~·n7 0,3277 0,8352 0,7373 0,9 734 0,942 1 0,9978 0,99 33 0,9999 0,99 97 1 0000 1.0000 0,377 1 0,262 1 0,77 65 0,655 4 0,9527 0,901 1 0,99 4 1 0,9830 0,9996 0,99 8~ 1,000 0 0,99 99 1,0000 1.0000 0,320() 0,2097 0,7 166 0,5767 0,9262 0,85 20 0,9879 0,9667 0,9988 0,9953 0,99 99 0,9996 1,0000 1,0000 1.0000 I,OO(}O 0 ,66 3 ~ 0,~305 0,2725 0, 1678 0,9~28 0,8131 0,6572 0,5033 0,9942 0,9619 0, 89 ~ 8 0,7969 0,9996 0,9950 0,97 86 0,94 37 1,0000 0,9996 0,997 1 0,9896 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 r.oooo I,OOO(} I,UOOO 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 I,OOO(} 1,00 00 1.0000 1.0000 1,0000 0,6302 0,3874 0,2316 0, 1342 0,9288 0,7748 0,5995 0,"362 0,99 16 O,9 ~70 0,85 91 0,7382 0,9994 0,9917 0,966 1 0,9 1H 1,00 00 0,99 91 0,9944 0,980 4 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 1,0000 1,(KlOO 1,(}{100 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 I,0000 I,OO(}{) 1 0
e 0.25 I 0,30 0,2373 0, 168 1 0,6328 0,52 82 0,8965 0,836 9 O,911H 0,9692 0,9990 0,9976 1,0000 10000 0,17 80 0, 1176 0,5339 O,~202 0,8306 o,n n 0,9624 0,92 95 O ,995 ~ 0,9891 0,9998 0,9993 1,0000 1.0000 0,133 5 0,0 8 2~ 0,4449 0,3294 0,756~ 0,64 71 0,929 4 0,8740 0,9 87 1 0,97 12 0,99 87 0,9962 0,9999 0,9998 1,0000 I,O(}OO 0, 100 1 O,n576 0,367 1 0,2553 0,6785 0,55 18 0,8862 0,805 9 0,9727 0,9420 0,995 8 0,988 7 0,9996 0,998 7 I,(}{KIO 0,9999 1.0000 1,0000 0,075 1 0,0"04 0,3(}{)J 0,1960 0,600 7 O,~62 8 0,8343 0, 7297 0,95 11 0,90 12 0,9900 0,9747 0,9987 0,99 57 0,9999 0,9996 I,noon 1,0000 U K)OO 1,0000 0,0563 0,0282 0,2....0 0, 1 ~93 0,5256 0,3828 0,7759 0,6496 0,92 19 0,8497 0,9803 0,9527 0,9965 0,9894 0,9996 0,9984 1,(}{)(IO 0,9999 I,(}{)(KI 1,0000 L() ()O() 1.0000

0,35 I OAO O, II (,() 0,0773 OA2 8 ~ 0,3370 0,76 48 0,6826 O, 9~60 0,9 130 0,9947 0,91198 1.0000 1.0000 0,075~

0,3 191 O,M7 1 0,88 26 0,9777 0,99 82 1,0000

0,0~67

0,2333 0,5H3 0,820& 0,959 0 0,9959 1.0000 0,02 80 0 ,0~90 0, 2338 0,151'6 0,5323 004199 0,8002 0,7 102 0,9444 0,9037 0,99 10 0,9812 0,9994 0,9984 I,O(}(}O I,OOO() 0,03 19 0,0 168 0, 169 1 O,I ()()~ 0,427 8 0,3154 0,7064 0,594 1 0,8939 0,8263 O ,9 7~7 0,9502 O,99M 0,99 15 0,999 8 0,99 93 1,0000 1.0000 O,02n 7 0,0 101 0, 12 11 0,0705 0,3373 0,23 18 0,6089 0,~ 826 0,8283 0,7334 0,9 464 0,900fJ 0,9888 0,9750 0,9986 0,996 2 0,9999 0,99 97 1 0000 I J )()(}{) 0,0 135 0,00(,1) O,()860 O ,O~64 0,26 16 0, 1673 0,5 138 0,3823 0,7515 (I,C,33 I 0,905 1 0,8338 0,9740 0,9452 0,9952 0,9877 0,9995 0,99 83 1,0000 0,9999 1,0000 1.()(lOO

0,45 0,050 3 0,2562 0,593 1 0,8688 0,9815 1.0000 0,02 77 0,16 36

0 ,50 0,03 13 0,187 5 0,5000 0,11125 0,9688 1,0000 0,015 6 0, 1094

OA ~ 15

0, 3~ 38

0,6563 0,930 & 0,890 6 0,99 17 0,9844 1,0000 1,0000 0,0 152 0,007 8 0, 1024 0,06 25 0,3 164 0,2266 0,60&3 0,5000 0,8 47 1 0 ,77 3~ 0,96 43 0,937 5 0,9963 0,9922 1,0000 1,000 0 0,00 84 0,0039 0,0632 0,0352 0,220 1 0,1"45 O,~ 770 0,3633 0,73 96 0,63 67 0,9 115 0,8555 0,98 19 0,96" 1' 0,9983 0,996 1 1.0000 I,OOt}O 0,00"6 0,0020 0,03 85 0,01 95 0,1"95 0,0898 0,36 1 ~ 0,2539 0,62 14 0,50(}O 0,7~ ~7

O,83 ~ 2

0 ,7~CJ I

0,9502 0,9909 0,99 92 I,OlK)f) 0,00 25 0,0233 0,0996

0,9102 0,9805 0,99 80 1,0000 0,0010 0,0107 0,05 47 0, 1719 0,3770 U,6230 0,8 28 1 0,9453 0,9893 0,9990 1 0(J()0

O,2C,6(}

0,50 44 0 , 73 8 ~

0,89 80 0,9726 0,9955 0,99 97 1,0000

Tahellenanhang

2 12

Tabe lle 2a : Poissonvertcilung; Wahrschcin lichkcitsfunktion fp(x )

x

x

• •

0 I 2 3

•

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2

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0,00 23 0,0092 0,0252 0,0517 0,0849 0,1160 0, 1358 0,1392 0, 1269 0,1040 0,0776 0,0 530 0,033 4 0,0 196 0,0107 0,0055 0,0026 0,0012 0,0005 0,0002 0,000 1 0,0000

8.4

s.s

8.8 0,0001 0,0019 0,00 16 0,0013 0,0079 0,0068 0,0058 0,0222 0,0 195 0,0 171 0,0466 O,OU O 0,0 377 0,0784- 0,0722 0,066 3 0, 1097 0,10 34 0,0972 0, 13 17 0, 1271 0,1222 0, 1382 0, 1366 0, 1344 0,1 290 0,1306 0, 1315 0, 108" 0,1123 0, 1157 0,0828 0,08 78 0,092 5 0,0579 0,0629 0,06 79 0,0374 0,0-1 16 0,0-159 0,022 5 0,0256 0,0289 0,0126 0,0 147 0,0169 0,0066 0,0079 0,00 93 0,0033 0,0040 0,004 8 0,00 15 0,00 19 0,00 24 0,0007 0,0009 0,0011 0,0003 0,000 4 0,0005 0,000 1 0,0002 0,000 2 0.0000 0,000 1 0,0001

o.oooz

0, 0002

9.0 0,000 1 0,00 11 0,0050 0,0 150

0,0337 0,0607 0,09 11 0,1 17 1 0,13 18 0, 1318 0,11 86 0,0970 0,0728 0,0504 0,0324 0,0 194 0,0 109 O,(K)58 0,002 9 0,00 14 0,0006 0,0003 0.000 1

Tabelle 2b : Puissunverteilun g; Verteilungsfunktion Fp(x)

x

0 I 2 3

x

0 I 2 3

, 5 6 7

0,01 0,9900 1.0000 1.0000 1.0000 0.1 0,90 48 0,9953 0,9998 1,00 00 1,00 00 1,0000 1,000 0 1.00 00

0.02 0,03 0,9802 0,970 4 0,99 98 0,99 96 1.0000 1.0000 1 00 00 1 0000 0.2 I 0.3 0,8 187 0,7408 0,9825 0,963 1 0,9989 0,9%4 0,999 9 0,9997 1,0000 1.0000 1,0000 1,0000 1.0000 1.0000 I,()(K)() l, OOOO

0.04 0,960 8 0,9992 1.0000 1.0000 I 0.' 0,6703 0,9384 0,992 1 0,9992 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,05 0,95 12 0,9988 1,0000 1,0000 0.5 0/.0(.5 0,9098 0,9856 0,99 82 0,9998 1.0000 1.0000 1.0000

0,0(. I 0.07 I 0.08 0,9" 18 0,9324 0,923 1 0,9983 0,9977 0,9970 1.0000 0,9999 0,9999 1.0000 1.0000 1 000 0 0.6 0.7 0.8 0,5488 0,4966 0,4493 0,878 1 0,8 442 0,8088 0,9769 0,%59 0,9526 0,9%6 0,99 42 0,9909 0,9996 0,9992 0,9986 1,0000 0,9999 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1.0000 1.0000 1.(1)()0

0,09 0,9 139 0,9962 0,9999 1.00()O 0,9 0,4066 0,772 5 0,937 1 0,9865 0,9977 0,9997 1,0000 1,0000

I 0.1 0,90 "8 0.9953 0,999 8 1 0000 , I 0,3679 0,7358 0,9197 0,98 10 0,9% 3 0,999 4 0,9999 1.0000

215

Poisson verleilu ng

Ta belle 2b: Poissonverteilung Fp(x ). Fortsetzung

x

o

,

x

,

x

1.1

0,3329 1 0/;9\)0 2 0,900 4 3 0,9743 0,9946 5 0,9990 6 0,99 99 7 1,0000 1,0000 8 [,0000 9 2, 1 o 0, 1225 1 0,3796 2 0,6496 3 0,8386 0,9379 5 0,97 96 6 0,99 41 7 0,99 85 s 0,9997 9 0,9999 10 1,00 00 11 1,00 00 12 1,01100 3, 1 o 0,0450 1 0, 18H 0,.1012 2 0,62 .18 3 0,79 82 5 0,905 7 6 0,96 12 7 0,9858 8 0,9953 9 0,9986 10 0,9996 11 0,9999 12 1,000 0 13 1,0000 14 I,OfKlO

,

12 0,30 12 0,6616 0,8795 0,9662 0,9923 0,9985 0,9997 1,0000 1,0000 1.0000 2,2 0,1108 0,35.16 0,62 27 0,8 194 0,9275 0,975 1 0,9925 0,9980 0,9995 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 3,2 0,0.108 0,17 12 0,3799 0,6025 0,7806 0,8946 0,955 4 0,9832 0,9943 0,9982 0,9995 0,99 99 1,0000 1,0000

t.oooo

,

1,6 I 1,7 1.9 U 1.' 0,223 1 0,20 19 0,1827 0.1653 O, 1 ~96 0, 59 18 0,55 78 0,51 ~9 0, ~ 932 0,.1628 0..1337 0,8 335 0,8088 0,783 4 0,7572 0,7306 0,70 37 O,9~63 O ,93 4 ~ 0,92 11 O,9()(,8 0,89 13 0,87 47 0,9857 0,98 14 0,9763 0, 970~ 0,96 36 0,9559 0,9968 0,9955 0,99.10 0,9920 0,9896 0,9868 0,999.1 0,9991 0,99 87 0,998 1 0,9974 0,9966 0,9999 0,999 8 0,9997 0,9996 0,9994 0,9992 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,999 9 0,999 R 1,0000 1,000 0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 2,5 2.4 2,6 i 2.7 I 2.' I 2,9 0,0907 0,082 1 0,0743 0,0672 ü,06()R 0,055 0 0,30R4 0,2873 0,267 4 0,24R7 0,23 11 0,2 146 0,5697 0,5438 0,5 1R4 0,.1936 0,4695 0, 4 ~60 0,7787 0,7576 0,7360 0,7141 0,69 19 0,6696 0,90 41 O,R912 0,877.1 0,8629 0,8477 0,83 18 0,96J.3 0,9580 0,95 10 0,9.133 0,9349 0,9258 0,9884 0,9858 0,9828 0,979.1 0,9756 0,97 13 0,9967 0,9958 0,9947 0,993.1 0,99 19 0,990 1 0,9991 0,99 89 0,9985 0,998 1 0,9976 0,9969 0,9998 0,999 7 0,9996 0,9995 0,999 3 0,999 1 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,999 8 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 I,O()OO 0,999 9 r.oooo I,OIl/lIl I,O()(H) r.oooo 1,0000 1,(1)00 1,(1)00 3,3 I H 3,5 3,6 3,7 3.8 3,9 0,0369 0,0334 0,0302 0,0273 0,02H 0,022.1 0,0202 0, 15&6 0,1 ~68 0, 1359 0, 1257 0,1 162 0,107 .1 0,0992 0,3594 0,3397 0,320 8 11,3027 0,285 4 0,2689 0,253 1 0,580 3 0,5584 0,5366 0,5 152 0,49 .12 O,H3 5 0,4532 0,7626 0,7.142 0,725.1 0,7064 0,6R72 0,(,(,78 O,('4M 0,88 29 0,8705 0,8576 0,844 1 0,830 1 0,8156 0,8006 0,9~90 0,942 1 0,9347 0,9267 0,9182 0,909 1 0,8995 0,9802 0,97 69 0,9733 0,9692 0,9648 0,9599 0,95.16 0,9931 0,9917 0,990 1 0,9R83 0,9863 0,9R40 0,98 15 0,997 8 0,9973 0,9967 0,9960 0,9952 0,99 42 0,99 3 1 0,9994 0,9992 0,9990 0,9987 0,998 4 0,998 1 0,99 77 0,9998 0,999 8 0,9997 0,9996 0,9995 O, 999 ~ 0,9993 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,999 9 0,9998 0.999 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 umn I,(l/)OO 0,9999 1,(}/)()O 1,0000 I,OUfH) i.oooo I,()(l/l/l I ,OO()O J.(}()()O

U

1.4

0,2725 0,6168 0,857 1 0,9569 0,98 93 0,9978 0,9996 0,9999 1,0000 1.0000 2.3 0,100 3 0,3309 0,5900 0,7993 0,9162 0,9700 0,9906 0,9974 0,999 4 0,9999 1,0000 1,0000

O,2~(>(,

,

2.e 0, 1353 0,.1060 0,6767 0,857 1 0,947 3 0,9834 0,9955 0,99 89 0,999 8 1,0000 3,. O,049 R 0, 199 1 0,4232 0,6472 0,R153 0,916 1 0,9665 0,988 1 0,9962 0,99 89 0,9997 0,99 99 [,0000

a.n

0,0 183 0,0916 0,2381 0,4335 0,(,2&8 0,7851 0,8893 0,9.189 0,97 R6 0,99 19 0,9972 0,9991 0,999 7 0,9999 J.(KlOO

Tahellenanhang

2 16

T a belle 2b: Po issonve rteilung F p(x). Fo rtsetzu ng

u

x

,

0

4,2

4 ,3

0,0 166 0,084 5 0,2238

0,0150 0,0780 0,2102 0 ,39 54 0,5898 0 ,75 3 1 0,86 75

0,0136 0,0719 0,1 974 0,3772 0 ,5704 0 ,7367 0,8558

I

.l,4

0,0663 0, 1851 0,3 594 0,55 12 0,7 199 O,lU 36

O,9n7 0,9361 0,9290 0,921 4

8

0,9755

0,9721 0,9683 O,9C>U

9

0,9905 0,9966 0,99 89 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1 0000

0,9&&9 0,9959 0,99&6 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1 00()O

'0

14

15 16 0 I 2 3 4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14

" 16 17

18 19

0, 4 142 0,60 93 0,7693 0,8786

0,9&7 1 0,9952 0,99 &3 0,9995 0,999& 1,0000 1,0000 I O()()()

I

0 ,0 123

2 3 4 5 6 7

11 12 13

x

4, 1

0,9&51 0,994 3 0,99&0 0,9993 0,99 9& 0,9999 1,0000 1.01100

5,2

5,4

5,6

5,8

0,0055 0,03 42 0,10&8 0,238 1 0,40(, 1 0,5809 0, 732 4 0,M 49 0,9 18 1 0,9603 0,9823 0,9927 0,9972 0,9990 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1.0000

0,0045 0,0289 0,0948 0,2 133 0,3733 0,546 1 0,70 17 0. 82 17 0,902 7 0,95 12 0,9775 0,9904 0.9962 0,99 ll6 0.9995 0,9998 0.9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,0037 0,02 44 0,0824 0, 1soe 0,3422 0,5 119 0,6703 0,7970 0,88 57 0,9409 0,9718 0,9875 0,9949 0,99KO 0,9993 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,0030 0,0206 0.07 15 0, 1700 0.3 127 0,4783 0,(,3M 0,7710 0,&672 0.9292 0,965 1 0,984 1 0,9932 0,9973 0,9990 0,9996 0,99 99 1,0000 1,0000 1.000 0

I

4,5

I

-1.,6

I

I

I

4,9

I

0 ,007 4

5 0,006 1

0,0.$39

0,0 404

0, 1333 0,2 793 0,4582 0,6335 0,7767 0,9 134 0,9049 O,S960 n,RM? 0,8769 0,9597 0,95 49 0,9497 0,9442 O,93 111 0,9& 29 0,9&05 0,9778 0,9749 0,97 17 0,9933 0,9922 0,99 10 0,9896 0,988 0 0,9976 0,997 1 0,9966 0,9%0 0,9953 0,9992 0,9990 0,99 88 0,99 86 0,998 3 0,9997 0,99 97 0,9996 0,9995 0,9994 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,999& I ,OOO() 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 I,OOO() I.O()()() I. OO()O I,()OOO r.eooo

0, 1247 0,2650

4,7

4 ,' 0,0 111 0,0 101 0,009 1 0,00 82 0,06 11 0,0 563 0,05\8 0,0 477 0, 1736 0, 1626 0.1523 0 ,1425 O,3UJ 0,3257 0,3097 0,2942 0,532 1 0,5 132 0,-\9-\6 0,4763 0,7029 0,6858 O,66 M 0,65 10 0 ,8 3 11 0,&180 0,&0-16 0,790 8

6.0 0,00 25 0,0 174 0.062 0 0, 1512 0,2851 0,4457 0,6063 0,7440 0,8472 0,9 161 0,957 4 0,9799 0,99 12 0,9964 0,998(, 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1.0000

6,2 0,O()20 0,0 146 0,0536 0,1 342 0.2592 0,4 14 1 0,574 2 0,7 160 0,8259 0,90 16 0,94&6 0.9 750 0,9&&7 0,9952 0,99&1 0,9993 0,999 7 0.9999 1.0000 1.0000

I

0,-1 -\05

0,6 160 0,7622

11,8666 0,93 19 0,968 2 0,9863 0,9945 0,9')80 0,9993 0,9998 0,9999 1.11000

(, .(, (,,8 7,0 O,()()14 o.oot I O.O()O9 0,01U3 0,00 87 0,00 73 0,0400 0.0344 0.0296 0,10 5 2 0,092 8 0,08 18 0,2127 0. 1920 0. 1730 0,3547 0,3270 0,3007 0,5 108 0,4799 0,4 497 0.65&1 O,62ll5 0,59 ll7 0,7796 0.75 48 0.729 1 0.llfill 6 0,&502 0,8305 0,927 4 0,9 15 1 0,9015 0.9(,27 0.9552 0,94(,7 0,9ll2 1 0,9779 0,9730 0.9920 0,989 8 0,9872 0,9%6 0,9956 0,9943 0,99 8(, 0,9982 0,9976 0,9995 0,9993 0.9990 0,999 8 0,9997 0,9 990 0.999 9 0,9999 0,9999 I ,O()()O r.mco r.moo 1,0000

6,4

0,00 17 0,0 123 0,0463 0, 1189 0,235 1 0,38 37 0,54 23 0.6&73 0.&033 0.885& 0,93&6 0,%93 0,9857 0,9937 0.9 974 0,9990 0.99 96 0.9999 1.000 0

I

tsusseassasüsas:

2 17

Ta belle 2b: Poissonver teilun g F p (x), Fortsetzung

"o

x

I 2

,, 3

6 7

8 9 10 II 12

13 I' I' 16 17 18 19 2. 21

22 23

7,2 0,0007 0,006 1 0,0255 0,0 7 19 0,1555 0,2759 0,420-1 0,568 9 0,7027 0, 8096 0,8867 0,937 1 0,9673 0,9&-\ 1 0,9927 0,9969 0,998 7 0,9995 0,9998 0,9999 1,00 00 1,00 00 1,0000 1,01lOO

I

7,' I 7,6 0,()O06 O,(M)O; 0,00 5 1 0,00 -13 0,02 19 0,OIll.8 0,06 32 0,055 -1 0, 1395 0, 1249 0,2526 0,2307 0,3920 0,36-16 0,5393 0,5 100 0,67 57 0,6482 0,7877 0,7M 9 0,870 7 0,8535 0,926; 0,9 141': 0,960 9 0,9536 O,9ll05 0,9762 0,9908 0,98ll6 0,995 9 0,9948 0,9983 0,997ll 0,9993 0,9991 0,9997 0,9996 0,9 999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 I,OOilO 1.0000

,

7,8 0,(1(104 0,0036 0,0 16 1 0,0485 0, 1117 0,2 103 0,3384 0,-\8 12 0,620-1 0,7-1 11 0,8352 0,9020 0,9454 0,9714 0,9859 0,99 34 0,9971 0,9988 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 I,OOO() I,OOOil

I

8,0 O,(I(MH 0,0030 0,013 8 0,0424 0,0996 0, 1912 0,3 134 0,4530 0,5925 0,7 166 0,8 159 0,1': 1': 8 1 0,9362 0,965 8 0,9ll27 0,9918 0,9963 0,99 84 0,999 3 0,999 7 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

8,2 0,()(l03 0,0025 0,0 118 0,0370 0,08 87 0,1736 0,2896 0,4254 0,56-17 0,69 15 0,7955 0,8 73 1 0,926 1 0,9595 0,979 1 0,9898 0,9953 0,9979 0,999 1 0,999 7 0,999 9 1,0000 1,0000

8,4 0,0002 0,002 1 0,0 100 0,0323 0,0789 0, 1573 0,26 70 0,398 7 0,5369 0,6659 0,77-13 0,857 1 0,9 150 0,9524 0,9749 0,9875 0,994 1 0,9973 0,998 9 0,9995 0,9998 0,999 9 LOOOO

r.ooro r.oooo

I 8,6 0,0002 0,00 18 0,00 86 0,0281 0,070 I 0, 142_2 0,2-157 0,3728 0,509 4 O,MOO 0,7522 0,8-\00 0,9029 0,94-\5 0,970 1 0,98 48 0,9926 0,9966 0,9985 0,999 4 0,999 8 0,9999 1,0000 I,oono

I

8,8

i

9,. 0,000 1 0,00 12 0,0062 0,02 12 0,0550 ~~~-I 0 ,1l57 0,2256 0 ,206 8 0,347 8 0,32 39 0,4823 0, 4557 O,6 B 7 0 ,587-1 0,729 -\ 0,7060 0,8220 0,8030 0,889 8 0,875 8 0,935 8 0 ,926 1 0,964 7 0 ,958 5 0,98 16 0 ,9780 0,9909 0 ,9889 0,9957 0, 9947 0,998 1 0 ,9976 0,9992 0,9989 0,999 7 0,9996 0,9999 0 ,9998 1,0000 0,9999 i.oom J.(lI)(lO 0,0002 0,00 1; 0,0073 0,024-1 0,0621

218

Taheflenanhang

Ta belle 3a : Sta ndard norma lverteilung; F SN(z) = W(-oo :S; Z

, -3,2 -3,1

-0,09

-0,08

0,0005 0,0005 0,000 7 0,0007 0,00 10 0,0010 ~ -2,9 0,00 14 0,001 ~ -2,8 0,00 19 0,00 20 -2,7 0,002 6 0,0027 -2,6 0,0036 0,0037 ~ - 0,00 48 0,00 49 -2,4 0,006 ~ 0,0066 -2,3 0,008" 0,0087 -2,2 0,0 110 0,0 113 -2, 1 0,0 143 0.0 1"6 ~ 0,0 183 0,0 188 - 1.9 0,0233 0,0239 -1,8 0,0 29" O,D30 1 -1,7 0,0367 0,03 75 -1.6 0,0-1-55 0,0-1-65 ~ 0,0559 0,057 1 -1,-10,0681 0,069 -1- 1,3 0,0823 0,0838 -1,2 0,0985 0,1003 -I , I 0, 1170 0, 1190 ~ 0, 1379 0, 140 1 -<>,9 0, 16 11 0, 1635 0, 1867 0.J 89~ -<>,8 -<>,7 0,2 1-1-8 0,2 177 -<>,6 0,245 1 0,2-183 -<>,5 0,2 776 0,2810 -<>,4 0,312 1 0,3 156 -<>,3 0,3-1-83 0,3520 -<>,2 0,3859 0,3897 -<>, I 0,4H7 0,~ 2 86 0,0 0,46..\ 1 0,..\68 1

I

-0,07

-<>,06

-0,05

0,000 5 0,000 8 0,00 11 0,00 15 0,002 1 0,0028 0,0038 0,005 1 0,006 8 0,0089 0,0 116 0,0 150 0,0 192 0,024-1 0,030 7 0,0384 0,0-1-75 0,OS82 0,070& 0,01l53 0, 1020 0, 1210 0, 1423 0, 1660 0, 1922 0,2206 0,25 1-1 0,2843 0,3 192 0,3557 0,3936 0,4325 0,-1-721

0,0006 0,0008 0,00 11 0,00 15 0,002 1 0,0029 0,0039 0,0052 0,0069 0,009 \ 0,0119 0,0 154 0,0 197 0,0250 0,0 314 0,0392 O,O..\S5

0,0006 O,OOOg 0,00 11 0,00 16 0,00 22 0,0030

-0,0-10,0006 0,0008 0,00 12 0,00 16 0,0023 0,003 1

O ,OO~ O

O,OO~ I

0,005 4 0,0071 O,()O<)..\ 0,0 122 0,015 8 0,0202 0,0256 0,03 22 0,0-10 1

0,0055 0,0073 0,0096 0,0 125 0,0 162 0,020 7 0,0262 0,0329 0,0" 09 0,0~95 0,0505 O,OS<)~ 0,0606 0,06 18 0,072 1 0,0735 0,0749 0,OS69 O,01l1l5 0,090 1 0,1038 0, 1056 0,1075 0,1230 0, 1251 0, 127 1 0, 1-1 46 0, 1469 0,1-1-92 0, 1685 0, 1711 0,1736 0, 19-19 0, 1977 0,200 5 0,2236 0,2266 0,2296 0,25-16 0.2578 0,26 11 0,2877 0,2912 0,29-16 0,3228 0,326-1- 0,3300 0,3594 0,3632 0,3669 0,397-1- 0,40 13 0 , ~052 0,-1-36-1- 0,..\..\04 0,44-1 3 0,-1-76 1 0,-1-80 1 O , ~8-10

-0,03 0,0006 0,000 9 0,00 12 0,00 17 0,0023 0,0032 0,00 -1-3 0,0057 0,007 5 0,0099 0,0 129 0,0166 0,02 12 0,0268 0,0336 0,0" 18 0,05 16 0,0630 0,07 6-10,09 18 0,1093 0,1292 0,1515 0, 1762 0,2033 0,232 7 0,2643 0,298 1 0,3336 0,3707 0,-1-090 0 , ~ ..\83

O , ~880

-0,02

s z)

-0,0 1 0,()()O7 0,()U09 0,0013 0,0018 O ,O02~ 0,0025 0,0033 0,003 -10,00-1-5 O ,OO" ~ 0.0059 0.0060 0,0078 O,OOSO 0,0 102 0,0 104 0,0 132 0,0 136 0,0 170 0,0 17" 0,02 17 0,0222 0,027" 0,028 1 0,034-1- 0,0 35 1 0,0427 0,0436 0,0526 0,05 37 0,06-1-3 0,0655 0,0778 0,07 93 0,09 34 0,095 1 0, 1112 0, 1131 0,13 14 0, 1335 0, 1539 0, 1562 0, 17&11 0, 1814 o,2n61 0,2090 0,235& 0,2389 0,2676 0,2709 0,301.5 0, 3050 0,3372 0,3 409 0, 37~ 5 0,3783 0,4129 0,4 168 0,4522 O,~ 5 6 2 O,-1- n o O,~ 960 0,0006 0,0009 0,0013 O,O()18

0,00

o.ooo-

0,00 10 0,00 13 0,00 19 0,0026 0,0035 0,0 047 0,0062 0,0082 0,010 7 0,013 9 0,0179 0,O22 ~

0,0287 0,0359 0,0-\-1-6 0,OS-I8 0,0668 0,0808 0.096 8 0, 115 1 0. 1357 0, 1587 0, 18-1 1 0,2 119 0,2-1-20 0 ,27 ~3

0,3085 0 ,3 -1- ~6

0,382 1 0,-1-207 0,460 2 O,.SOOO

Standa rdnormalverteilung

2 19

Tabelle 3a: Standardnormalverteilung; FSN(z) = \V(-oo

$;

Z

$;

z)

OA 0,0 0,' 0, ' 0

, 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,00

0,5000 0,5398 0,5 793 0,6 179 0,65 5" 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8 159 ~ 0,8"13 1,1 0 ,86~3 1,2 0,8849 1,3 0,9032 1,4 0,9 192 ---.!2..- 0,933 2 1,6 0,9452 1,7 0,9554 1,8 0,9M I 1,9 0,9713 2,0 0,9772 2, 1 0,9821 2,2 0,9861 2,3 0,9893 2,4 0,99 18 2,5 0,9938 2,6 0,9953 2,7 0,9965 2,8 0,997" 2,9 0,998 1 3,0 0,9987 0,9990 3,1 3,2 0,9993

.,

0,01 0,50~0

-a

0,02 0,5080

0,5~ 38

0,5 ~7 8

0,5832 0,62 17 0,659 1 0,6950 0,729 1 0,76 11 0,7910 0,8 186 0,8" 38 0,8665 0,8869 0,9049 0,920 7 0,93 45 0,9463 0,9564 0,9M9 0,97 19 0,9778 0,9826 0,986" 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,99l\2 0,9987 0,999! 0,9993

0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,82 12 0,846 1 O,86116 0,8888 0,9()('(' 0,9222 0,9357 0,9" 7" 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,999 1 0,999 4

0

0,03 0,5 120 0,55 17 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,796 7 0,8238 0,8485 O,87011 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,91134 0,987 1 0,990 1 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994

,

,

O,M 0,5 160 0,5557 0,59 48 0.633 1 0,6700 0,7054 0,7389 0,770" 0,7995 0,826" 0,8508 o,lln9 0,8925 0,9099 0,925 1 0,9382 0,9495 0,9591 0,967 1 0,9738 0,9793 0, 9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,998 4 0,9988 0,9992 0,999 4

1

0,05 0,5 199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7" 22 O, 77 3~

0,8023 0,8289 0,853 ) 0,1l749 O,1l94 ~

0,9115 0,9265 0,939" 0,9505 0,959 9 0,9678 0,97.... 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,998" 0,9989 0,9992 0,999"

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7 123 0,7454 O,77M 0,805 1 0,83 15 0,855" O,1l770 0,8962 0,9 131 0,9279 0,9406 0,9 5 15 0,9608 0,96116 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,996 1 0,997 1 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,999 "

0,07 0,5279 0,5675 0,606 4 0,M " 3 0,6808 0,7 157 0,7" 86 0,779 4 0.80 78 0.83"0 0,85 77 0,&790 0,89110 0,9 147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 O,98011 0,985 0 0,9884 0,99 11 0,99 32 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,99l\5

0,0 8 0,5 319

0,09 0,535 9 0,57 1 ~ 0,5753 0,6 103 0,61" 1 0,6" 80 0.65 17 0,6844 0.6879 0,7 190 0,722" 0,75 17 0,7549 0,7823 0,7852 0,8 106 0,8 133 0,8365 0,8389 0,8 599 0,8621 0,88 10 0,8830 0,&997 0,90 15 0,9 162 0,9 177 0,9306 0,93 19 0,9429 0,944 1 0,9535 0,9545 0,9625 0,9633 0,9699 0,9 706 0,976 1 0,9 767 O,91112 0,98 17 0,9854 0,9857 0,9887 0,9890 0,99 13 0,9916 0,9934 0,9936 0,995 1 0,9952 0,996 3 0,9964 0,997 3 0,9974 0,9980 0,998 1 0,9986 0,9986 0,9990 0, 99~?-Q, 99 90 0, 9992 0,9993 0,999 3 0,9995 0 ,9995 O,9'J95

Tahe/lenanhang

220

Tabe lle Jb: Sta ndard normaln rte ilung; F;~(z) = W( -z s Z S; +z)

0,4 0,3 0,2 0, 1 0 4

z 0,0 0, 1 0,2 0,3 0-' ~ 0.6 0,7 0.8 0,9 1,0 1, 1 1.2 1,3

0.00 0,0000

0,0 1 O,OOlW 0,08 76 0,166 3

·2 0,02

0,0 160 0.0797 0,0955 0, 1585 0, 174 1 0,2358 0 .24 3-1 0,25 10 0,3 1011 0,3182 0,3255 0,3829 0,3899 0,3969 0,4515 0,458 1 0,4647 0,5 16 1 0,5223 0,5 285 0,5763 0,5821 0,5878 0,6] 19 0,6]72 0,6424 0,6827 0,6875 0,692] 0,7287 0,73]0 0,7]7] 0,7699 0,7737 0,7775 0 .sos- 0,8098 0,8132 0,83 85 0,84 15 O,84,u I," 0, _ 0,8690 0,8715 1,5 I,. O,89O.J 0,8926 0,89 48 1,7 0,9109 0,9 127 0,91 46 1,8 0,928 1 0,9297 0,9312 1,9 0,9426 0,943 9 0,9451 ~ 0,9545 0,9556 0,9566 0,9643 0,965 1 0,9660 2. 1 2,2 0,9722 0,9729 0.9736 0,9786 0,979 1 0,979 7 2.3 2,4 0.98 36 0,98 40 0,9845 0,9876 0,9879 0,988 3 2.5 0,9907 0,9909 0,99 12 2•• 2.7 0,9931 0,99]] 0,9935 2,8 0,99 .J9 0,9950 0,9952 2.9 0,996 3 0,996-1 0,9965 3,0 0997] 0,9974 0,9975 3, 1 0,99 8 1 0,9981 0,9982 3,2 0,9986 0,9987 0,9987 0,9990 0.9991 0,999 1 J3

.,

0

0,03

0." I 0,05

O,oH9

0,0319 0 . 10 34 0, 1113 0. IR19 0, 1897 0,25 8(, 0,266 1 0,3328 0,340 1 O..~ O3 9 0,410 8 n,·n13 0,4778 0,53-16 0,5407 0,5935 0,599 1 0,6476 0,6528 0,6970 0,7017 0,74 15 O,7.J57 0,7813 0,7850 0,8165 0,8 198 O,X.J 7] 0,850 1 0,8740 0,8764 0.8%9 0,8990 0,9 164 0,9 18 1 0,9328 0,9342 0.9464 0,9476 0,9576 0,9586 0,9668 0,9676 0,9743 0.9749 0,9Ra2 0,9807 0,9849 0,9853 0,9886 0,9889 0,99 15 0,9917 0,99 37 0,9939 0,99 53 0,9955 0. _ 0.9967 0,9976 0,9976 0,998 ] 0,9983 O,998S 0,9988 0,999 1 0.9992

+I,

4

2

0,0399 0, 1192 0, 197" 0,2737

0,3-173 0,4 177 0,48·0

0,5-167 O.OOH 0,65 79 0,706] O,7.J99 0,7887 0,8230 0,8529 0,8789 0,90 11 0,9 199 0,9357 0,9488 0,9596 0.968 4 0,97% 0,98 12 0,9857 0,9892 0,9920 0,9940 0,99 56 0,9')6 8 0,9977 0,998 4 0,998 8 0,9992

0.06

0.07

0,08

0,05 511 0,06 38 0, 127 1 O.13 SO O,IUS 0,205 1 0,2 128 0,2205 0,28 12 0,2886 0,2% 1 0,35-15 0,361 6 0,3688 0,4245 0,-1313 0,-1381 0,4907 0,4 97 1 0.5035 0,5527 0,5587 0,5(..4(, 0,6102 0,6 157 0,62 11 0,6629 0 . _ 0,6729 0,7109 0,7154 0,7 199 O,75.JO 0,7580 0,76 20 0,792] 0,7959 0,799 5 0,8262 0,829] 0,8324 0,855 7 0,8584 0,86 11 0,8812 0,8836 0,8859 0,903 1 0,905 1 0,9070 0,92 16 0,92 33 0.9249 O,9J7 1 0,9 385 11,9399 0,9500 0,95 12 0,9523 0,9606 0,%1 5 0,% 25 0.9692 0,9700 0,9707 0,9762 0,9768 0,9774 0.98 17 0,982 2 0,9827 0.986 1 0,9865 0,98(.9 0,9895 0,98 98 O,9<JOI 0.9922 0,992 4 0.99 26 0,9942 0,9944 0,9946 0,99 58 0,995 9 0,_ 0,996 9 0,99 70 0,99 7 1 0,9978 0,9979 0,99 79 0,99 84 0,9985 0,9985 0,9989 0.9989 0.9<)<)0 0.9992 0.9')92 O.9'J'J] 0,047&

0.09 0,07 17 0.15 07 0,2282 0,30] 5 0,3759

o,....48

0,5098 0,5 705 0,6265 0,6778 0,724] 0,7660 0.80 29 0.8355 0,8638 0,888 2

0. _ 0,9265 0,94 12 0,953 4 0,%34 0,9715 0,97811 0.9832 0.9872

0, _ 0,9929 0,9947 0,996 1 0,9972 0,9980 0,9986 0.9990 0.99 93

Chi-Ouadrat-Verteilung Tabelle 4:

22 1

Quantile der C hi-Q ua d rat-Verteilung

i -o

a

t- c k

I

2

, 3

S

, •

s

9

10 11 12

13

0,0 10 0,0002 0,020 1

0,020 0,0006 0,0'«»

O, 1 1 ~8

O,18~8

0,2971 0,55.13 0,872 1 1.2390 1.&165 2,0879 2,5582 3,053 5 3,5706 4, 1069

" ',IS

I. 17 18

19

20

21 22

23

"2. 2S

27 28 29

3.

5,22 9~

5,8 122 6,.1077 7,0 1.19 7,6327

0,U9~

0,7519 1 , 13 ~~

1.56--l3 2,0325

2,53U 3,059 1 3,6087 U 783 ~,765~

5,3682 5,98~9

6,6 1U 7,2550 7,<}o62 8,5(,70 8, 260 ~ 9,2367 8,8972 9,9145 9,542 5 IO,W OO 10, 1957 11,2926 10,856 3 11,9918 11,52.10 12,6973 12, 1982 13,.I0116 12,8785 1 ~ , 1 2 5.1 13,56-17 IVJ475 J..l,156.1 15,57.15 14.9535 16.3M2

0,025 1 0,0 50 0,0010 0,0039 0,0506 0,1026 0,2 158 0,35 18 0, ~8U 0,7 107 0,83 12 J.J455 1.6J5~ 1.2373 1,68 99 2.1673 2, 1797 2,7326 3,325 1 3,2410 3,9~03

2""';:i 3,815~ 1

~ ,57~8

5,2260 5,0087 1 5,89 19 5,6287 6,5706 6,262 1 7,2609 6,907 7 7,96 16 7,56U 8,67 18 8,2307 9,390.1 8,90(.5 10,1170 9,5'J{)8 10,8508 W,2X29 11,59 13 1O,9X23 12,3380 11,6KX5 13,0905 12,4011 13 ,8~8~ 13,1197 1 -I,6 11~ 13,8.139 15,3792 4 ,~03 8

1~ , 5 73 ~

15,3079 16,0.&71 16,7908

0,900 2,7055 ~ ,60 52 6,25 1~

7,779.1 9,2363 1O,6-U6 12,0 170 13,36 16 IUS37 15,9872 17,2750 18,5.193 19,8 119 21,06-1 1 22,3071 23,5.1 18

0,950 1 3, 8~ 15

5,99 15 7,8141 9,~877

11.0705 12,5916 14,067 1 15,5073 16,9 190 18,3070 19,6752 21.0261 22,3620 2 3 ,68~ 8

R9958 26,2962 2 ~ ,7690 27,587 1 25,989.1 28,8(.93 27,2036 30, 1.135 28,.1 120 3 1 , .I lO~ 29,6 151 32,(,706 30,8 1B B ,9245 32,()()('9 35, 1725 33, 1962 36, ~ 150 3.1,38 16 37,65 25 ] 5,56 32 38,885 1 1 6, 1 5 1 ~ 36,74 12 ~O,1I 3 3 16,9279 37,9 159 4 1.3372 17,7nu 39,0875 U ,5569 IR,4927 ~0. 2 5f,() 43,7730 ,

0,975 5,02 39 7,3778

O,91W 5,4 119 7,8H I

6,63 ~ 9

9, 3~K4

9,837~

1 1.3.1 ~9

1~,~~ 9.1

11,66 78 13,3882 15,0332

13,2767 15,086 3 16,81 19 18,4753 20,0902 2 1,6660 23,2O'JJ 24,7250 26,217 0 27,l.88 2 29.1.11 2 30,5780 31.99 99 33An x7 3.1,805 2 36, 190 8

I r.un 12,8 325

16,0128 1 6,622~ 17,53.15 18,168 2 19,0228 19,6790 20, ~832 2 1, 1608 2 1.9200 22,6 179 23,3367 2 ~ ,053 9 24,7356 25,47 15 26,118 9 26,872 7 27,~ 88.1 28,2595 28,U53 29,6332 3n,19 10 30, 9950 3 1,5264 32,3.162 3U5 23 3 3,6 87~ 3 ~1 1696 35,0 196 35,4789 36, 3-1 3-1 36,71W7 37,6595 38,0756 38,% 83 39,3 (,~ I .10,2703 ~ O,6~ 65 .1 1,5660 -11 ,923 1 .12,8558 ~ 3 ,1 945 .IU 399 U ,460X .I5,.I18X 45,7223 .16,6926 ~6, 979 2 .I7,96I X

0,990 9,21O~

~2,~663

38,9322 ~0, 2 X94

.1 1.6310 .I2,979X .I 4,3 1~ 0

45,&11 6 .16,9628 .18,2782 .19,5878 50.8922

222

Tahellenanhang

Tabelle 5a :

Quantile der t-Ve rteilung; einseitiges Intervall

l -a

0,700

0,75 0

0,800

0,850

0,900

0,950

1 0,727 2 0,6 17 3 0, 584 4 0,569

1,000 0,8 16 0,7 65 0,74 1 0,727 0,7 18 0, 7 11 0,706 0,703 0,70 0 0,697 0,695 0,69 4 0,692 0,69 1 0,690 0,6 89 0,688 0,688 0,68 7 0,686 0,686 0,6 85 0,685 0,684 0,68 4 0,684 0,683 0,6 83 0,683 0,68 1 0,679 0,677 0,616

1,376 1,06 \ 0,978 0,94 \ 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,8(,6 0,8(.5 0,863 0,862 0,86 1 0,860 0,859 0,858 0,858 0,85 1 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,851 0,84 9 0,84 5 0,84 3

1,963 1,386 1,250 I, I90 1, 156 1, 134 1,11 9 1,108 1, 100 1,093 1,088 \ ,083 1,079 1,076 1,074 1,07 1 1,069 1,06 1 1,(}(16 1,064 1,06 3 1,06 1

3,078 1,8&6 1,63& 1,533 1,416 1,440 1,4 15 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,35n 1,345 1,34 1 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,32 1 1,319 1,318 1,316 1,3 [5 1,3 14 1,3 13 1,311 1,310 1,303 1,299 1,290 1,2H6

6,314 2,920 2,353 2, 132 2,01 5 1,943 1,895 1,860 1,833 1,81 2 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,140 I ,n t 1,12 9 1,125 1,12 1 1,1 11 1,114 1,1 11 1,708 1,706 1,703 1,10 1 1.699 1,697 1,684 1,676 1,660 1.653

1- u k

, 6 7 8

9 10 II

12 13 14 15 16 17 18 19 2. 21 22 23

24 25

26 27 28 29

3.

40 50

100

200

0,559 0,553 0,549 0.546 0,543 0,542 0,540 0,53 9 0,53 8 0,53 7 0,536 0,53 5 0,5 14 0,53 4 0,533 0,533 0,532 0,532 0,532 0, 53 1 0,53 1 0,53 1 0,5 3 1 0,530 0,5 30 0,53 0 0.52 9 0, 528 0,526 0,525

1,060 1,059 1,058 1,058 1,051 1,056 1,055 1,055 1,050 1,041 1,042 1,039

I

0,975

0,980

0,990

12,706 15,894 31, 82 1 4,30 3 4,849 6,965 4,54 1 3, 182 3,48 2 3,747 2,776 2,999 2,57 1 2,757 3,36 5 2,61 2 3,143 2,H7 2,998 2,365 2.5 17 V \96 2,306 2.449 2,262 2,398 2,82 1 2,228 2,35 9 2,764 2,20 1 2,328 2,7 18 2,179 2,303 2,6 8 1 2, 160 2,282 2,6 50 2,624 2,145 2,2M 2,1 3 1 2.:~2!602 2,120 2,235 2,5 83 2,1 10 2,224 2,5 61 2, 101 2,2 14 2,552 2,093 2,205 2,539 2,191 2,52 8 2,086 2,Ol\O 2, 189 2,5 18 2, 110 2,5nR 2,074 2,069 2, 177 2,500 2,064 2,492 2, 172 2,060 2, 161 2,4S..L 2,419 2,056 2, 162 2,413 2,052 2, 158 2,048 2, 154 2,461 2, 150 2,462 2,045 2~~_ _ 2, H7 2,457 2,Q21 2,423 2, 123 2.009 2, 109 2,40 3 1,984 2,08 1 2.364 2,0(,7 2,345 1,912

I-Verteilung

Tab elle Sb:

223

Q ua ntile der t-Verteilung; zent rales In tervall

a! 2

1- " k

1 2 3

, 5

6 7 8

9 10 11

12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 22 2J

24 25 26 27 28 29 30 40 50 100 2()()

a!2

0 ,700

0,750

0 ,l:\00

0,l:\50

0 ,900

0 ,950

0,9 75

0, 9XO

0 ,990

1,96 3 1,3 X6 1,250 1,190 1, 156 1,134 1,11 9 1, 108 1, 100 1,09 3 1,0 88 1,0 8 3 1,07 9 1,07 6 1,0 74 1,0 7 1 1,0(,9 1,06 7 1.066 1,06 4 1,06 3 1,06 1 1,060 1,0 59 1,0 58 1,0 5& 1,0 57 1,0 56 1,0 55 1,0 55 1,0 50 1,04 7 1,0-\2 1,0 39

2 ,-1 1-1 1/.0-1 1,423 U -I-I 1,301 1,273 1,2 54 1,240 1,230 1,221 1,2 14 1,209 1,20 4 1,200 1,197 1,19-\ 1,19 1 1,11'1 9 1,187 1, 18 5 1,18 3 1,I &2 1,1 &0 1,1 79 1, 17l:\ U 77 1,176 1,17 5 1, 17-1 1, 173 1, 167 1,16-1 1,1 57 \,1 54

3,078 1,!l86 1,638 \ ,5 33 1,476 1,4-10 1,41 5 1,397 1,38 3 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,32 3 1,32 1 1,3 19 U 18 1,316 U l5 1,314 1,3 13 1,3 11 1,3 10 1,303 1,299 1,290 U&6

-1,165 2, 282 1,9N 1,778 1,699 1,6 50 1,617 1,592 1,5 74 1,5 59 1.5-18 1,538 1,530 1,52 3 1,517 1,51 2 1,508 1,504 1,500 1,497 1,49-1 1,492 1,-189 1,487 1,485 1,483 1,4&2 1,-180 1,479 1,477 1,468 1,46 2 1,4 51 1,445

6 ,3 1-1 2,920 2,353 2, 132 2,0 15 1,9-13 1,895 1,860 1,833 1,8 12 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,7 34 1,729 1,725 1,72 1 1,7 17 1,7 14 1,7 11 1,708 1,706 1,70 3 1,70 1 1,6 99 1,69 7 1,68-\ 1,676

12,706 -1,30 3 3, 182 2,776 2,571 2,4 47 2,365 2,306 2,26 2 2,228 2,20 1 2, 179 2, 160 2, 1-15 2, 131 2,120 2, 110 2, 101 2,09 3 2,086 2,080 2,074 2,06 9 2,064 2,060 2,056 2,052 2,0-18 2,045 2,042 2,02 1 2,009 1,98-\ 1.97 2

25,-152 6 ,20 5 -1, 177 3,-195 3,163 2,969 2,8-\1 2,752 2,68 5 2,63 4 2,593 2,560 2,533 2,5 10 2,490 2,473 2,45& 2,4 45 2,4 33 2,42 3 2,-1 14 2,40 5 2,398 2,391 2,385 2,3 79 2,373 2,36 8 2,364 2,360 2,329 2,3 11 2, 270 2,25X

3 1,82 1 6 ,965 4,5-1 1 3, 7-1 7 3,365 3, 1-13 2,9 98 2,8 96 2,82 1 2,76 -1 2,7 18 2,61'1 1 2,650 2,62 -1 2,6 02 2,583 2,56 7 2,552 2,5 39 2,5 28 2,518 2,508 2,5t)() 2,4 92 2,48 5 2,4 79 2,4 73 2,407 2,-\62 2,457 2,423 2, 403 2,30-1

6 3,656 9,92 5 5,84 1 4,6tu 4,0 32 3,707 3,49 9 3,3 55 3,25 0 3 ,169 3 ,106 3, 055 3,0 12 2,977 2,9-17 2,92 1 2,&98 2,878 2,86 1 2,8-\5 2,83 1 2,8 19 2,&0 7 2,7 97 2.!-787 2,77 9 2,77 1 2,763 2,756 2,750 2,70 4 2,6 78 2,626 2,00 1

l ,o(jQ 1,0 53

2,HS

224

Tahellenanhang

Tabelle 6: Verte ilungsform und Varianz des Stichprohc nmittcls X

~

bekannt

unbekannt

Verteilung des Me rkmals X

X ist t-vertei lt mit k := n- I Freiheitsgraden

X ist

bekan nt und normal verteil t

Wenn n > 30;

normalverteilt

X ist approx imat iv norm alverteilt

bekannt und nicht normalverteilt (n > 30)

X ist approx imativ normalverteilt

unb ekannt (n > 30)

~

bekannt

unbekannt

Stic hprobe

mit Zurüc klegen

2

0' -

X

0'

= -

n

.2

0" -

X

~ < 0,05

2

0-

X

= -

52 -

n- 1

0'

"" -

n

ohne Zurüc klegen

~ 2: 0,05

cr ~ :: 0'2 . N - n X

n

N- 1

n 0·2- = - 52 -(1 - -) X n- I N

225

Schatztunktion P

Tabelle 7: Varianz und Verteilungsform der Schätzfunktion P

~

unbekannt

bekannt

Stichprobe

2

cr p =

mit Zurücklegen

8 - ( 1- 8 ) n -2 P - (l - P) = p n- 1

(J

2

~ < 0,05

(J p

=

8- (1 -8) n

ohne Z urücklegen

~ ~ 0,05

2

Gp

=

8 - (1 - 8 ) N - n n · N- I

- 2 P - (I - P) n = - ( 1- - ) p n -I N

(J

Die Schätzfunktion P ist approx imativ nonnaIverteilt bzw . in ihrer standardisierten Form standardnormalverteilt. wenn

n - P - ( I - P) > 9

Tahellenanhang

226

Tabelle 8: A pproximationshcdingungcn

Au sgangs -

Approximations-

Approx ima t ions

Parameier der

verte ilung

bedingungen

vert eilung

Approximationsverteilung

fH (x l N ; M ; n)

0, 1 < ~ < 0,9

f s (xl n; 8 )

e =M

f p [x] 11)

w::~

N

!!.< O O5 N ' n ~ 30

~ SO , I oder ~ 2: 0,9

fr < 0,05 ll =n· M N

n 2: 30

0,1 -c ~ < 0,9

f N (xlll; 0 )

n.M O _ M » 9 N

fs (xl n; 9 )

U ""

N -

n 2: 30

8:5 0, [oder

fp(x l ll)

Il =n · e

fN (x l l-l; cr)

ue n e

e 2: 0,9

0-0 · (1 -8) 2: 9

0,1 < e < 0,9

fp (xl ")

1-1 2:9

Jn. M(I _M ) . N " N N N- I

o= Jn . 8 .(1

fN(x l ll; er)

J.l =1l

c

~

,Jff

El)