Stochastische Strukturoptimierung von Stab- und Balkentragwerken German

Kurt Marti · Detlef Gröger Stochastische Strukturoptimierung von Stab- und Balkentragwerken

Kurt Marti · Detlef Gröger

Stochastische Strukturoptimierung von Stab- und Balkentragwerken Mit 82 Abbildungen und 18 Tabellen

123

Professor Dr. Kurt Marti Dr. Detlef Gröger Universität der Bundeswehr Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Werner-Heisenberg-Weg 39 85577 Neubiberg Deutschland [email protected]

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ISBN-10 3-540-26038-2 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-26038-7 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen. Satz: Digitale Druckvorlage der Autoren Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: medionet AG, Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier 7/3142/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Die Stochastische Strukturoptimierung von Stab- und Balkentragwerken ist ein multidisziplin¨ arer Wissenschaftszweig. Sie liefert die Grundlagen f¨ ur die Optimierung von Tragwerken mittels Verfahren der Stochastischen Optimierung zur Ber¨ ucksichtigung stochastischer Schwankungen der Modellparameter. Ein zentrales Problem der Technischen Mechanik ist bekanntlich die Ermittlung der Verformungen, Dehnungen und Spannungen eines K¨orpers (Tragwerks) unter Belastung. Eine geschlossene L¨ osung der das Problem beschreibenden Differentialgleichungen ist bei der Komplexit¨at der Strukturen in der Regel nicht m¨ oglich. Jedoch kann man Diskretisierungsverfahren wie die Finite Element Methode (FEM) verwenden. Bei der FEM wird der betrachtete K¨ orper gedanklich in hinreichend viele endliche Teile von einfacher geometrischer Form, etwa St¨abe oder Balken, die sogenannten finiten Elemente, zerlegt. An Stelle der Verformung des urspr¨ unglichen K¨ orpers werden dann die Verschiebungen und Verdrehungen der Endpunkte (Knoten) dieser St¨ abe oder Balken betrachtet. Die einzelnen Knotenverschiebungen und -verdrehungen lassen sich mit Hilfe der Elementsteifigkeitsmatrizen in eine lineare Beziehung zu den auf die Knoten wirkenden Kr¨ afte und Momente setzen. Durch “Aufsummierung” u ¨ber alle Elemente erh¨ alt man so eine Gleichung Ku = F, (0.1) die den Vektor u aller Knotenverschiebungen und -verdrehungen u ¨ ber die Gesamtsteifigkeitsmatrix K mit der ¨ außeren Last F verkn¨ upft. Nach Einf¨ uhrung ¨ von Randbedingungen kann u hieraus bestimmt werden. Ahnliches gilt auch f¨ ur die Dehnungen und Spannungen. In die Gesamtsteifigkeitsmatrix K gehen die Parameter des K¨orpers (Geometrie, Materialeigenschaften) ein. Befindet sich ein Tragwerk vorerst in der Planung, so k¨ onnen einige dieser Parameter als Variable (Entwurfsvariable) angesehen werden. Ziel der Strukturoptimierung ist es, die Entwurfsvariablen so zu bestimmen, dass das Tragwerk den vorgegebenen Anforderungen “am besten” gen¨ ugt. Dies bedeutet, dass die Gesamtsteifigkeitsmatrix nicht mehr als konstant, sondern als Funktion des Vektors x der Entwurfsvariablen aufgefaßt wird: (0.2) K = K(x).

VI

Vorwort

Wesentlich und neu bei der vorliegenden Untersuchung ist nun, dass gewisse Tragwerksparameter und die ¨ außeren Lasten nicht als deterministische Gr¨ oßen, vielmehr – wie es der Realit¨ at entspricht – als stochastischen Schwankungen unterliegend angesehen werden. Bezeichnet a = a(ω) den Vektor der stochastischen Modellparameter, so ist

 K = K a(ω) , F = F a(ω) . (0.3) Bei einem Optimierungsproblem ist infolgedessen
 K = K a(ω), x ,

(0.4)

wobei die Entwurfsvariablen (Nominalwerte) x nat¨ urlich deterministisch sind. Die Reaktion des Tragwerks unter Last muss daher durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. durch gewisse Momente der Reaktionsvariablen (Knotenverschiebungen und -verdrehungen, Spannungen, Reaktionslasten) beschrieben werden. Man spricht darum oft auch von Stochastischen Finite Elemente Methoden (SFEM). Ferner m¨ ussen die Anforderungen an das Tragwerk mit Hilfe von Erwartungswerten oder Wahrscheinlichkeiten formuliert werden. Demnach l¨ aßt sich der Inhalt dieses Buches an der Schnittstelle der Disziplinen -

Festigkeitslehre Stochastische Finite Elemente Stochastische Optimierung

ansiedeln. Die Gliederung ist dementsprechend: In Teil I wird die lineare Theorie der Stabtragwerke als Grundlage f¨ ur die FEM entwickelt. Vorausgesetzt werden dabei nur wenige Kenntnisse aus der Technischen Mechanik und der Ingenieurmathematik, insbesondere eine gewisse Vertrautheit mit der Matrizenrechnung. In Teil II setzen wir voraus, dass die ¨ außere Last und gewisse Stabparameter (Querschnittsgr¨ oßen, Elastizit¨ atsmodule, ...), die u ¨ blicherweise als deterministisch angesehen werden, tats¨ achlich stochastisch variierende Gr¨oßen sind, von denen man die Verteilung oder einige Momente kennt. Verm¨oge der Gleichungen (0.1) und (0.3) ist dann auch u ein Zufallsvektor. Es wird dargestellt, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Verschiebungen und Spannungen in den Knoten aus denen der stochastischen Stabparameter und außeren Lasten – zumindest approximativ – berechnen lassen. An Vorkennt¨ nissen aus der Stochastik werden nur die grundlegenden Definitionen und Eigenschaften von Zufallsgr¨ oßen und -vektoren, ihren Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Momenten ben¨ otigt. In Teil III schließlich wird die Optimierung von Tragwerken mit stochastischen Parametern behandelt. Dazu wird ein geeignetes deterministisches Ersatzproblem des Ausgangsproblems mit stochastischen Modellparametern ¨ formuliert. Solche ergeben sich durch den Ubergang zu den erwarteten Erstellungskosten (z.B. Konstruktionskosten) sowie durch den Einbezug von

Vorwort

VII

Versagenswahrscheinlichkeiten oder allgemeiner der erwarteten Kosten aus Verletzungen der Betriebsbedingungen der Struktur (z.B. Bedingungen f¨ ur die Verschiebungen, Verdrehungen, Spannungen, etc.). Auf diese Weise wird das Strukturoptimierungsproblem mit stochastischen Modellparametern wieder auf ein endlich-dimensionales deterministisches Parameteroptimierungsproblem f¨ ur die Entwurfsvariablen x zur¨ uckgef¨ uhrt. Dieses kann dann durch Methoden der mathematischen Optimierung sowie deterministische und stochastische Suchverfahren iterativ gel¨ ost werden. Eine kurze Beschreibung einiger Optimierungsverfahren findet man im letzten Abschn. 11. So gibt das Buch eine Einf¨ uhrung in das neue Gebiet der Analyse und Optimierung von Tragwerken unter stochastischer Unsicherheit. Es werden die Grundlagen ausf¨ uhrlich dargestellt und zum Teil von unterschiedlichen Standpunkten aus beleuchtet, manche Resultate mit unterschiedlichen Methoden hergeleitet. Das Buch, geschrieben f¨ ur Studierende, praktisch t¨atige Ingenieure und Mathematiker, ist auch gedacht als eine Ausgangsbasis f¨ ur die weitere Entwicklung. An einigen Stellen befinden sich Hinweise darauf, wo zuk¨ unftige Forschungen einsetzen k¨ onnten. Besondere M¨ uhe haben wir auf die zahlreichen und eingehend behandelten Beispiele verwandt. Einerseits dienen sie der Veranschaulichung des theoretischen Stoffes und andererseits werden sie dem Leser eine Hilfe sein, eigene Probleme der Praxis erfolgreich zu bearbeiten. F¨ ur die finanzielle F¨ orderung der Arbeit an diesem Buch sei dem Freundeskreis der Universit¨at der Bundeswehr M¨ unchen an dieser Stelle ganz besonders gedankt. Ganz herzlich danken wir Frau Elisabeth L¨ oßl vom Institut f¨ ur Mathematik und Rechneranwendungen der UniBw M¨ unchen f¨ ur ihren grossen Einsatz bei der Erstellung des endg¨ ultigen LATEX-Satzes des Manuskripts inkl. Graphiken. Unser Dank gilt auch den Studenten der UniBw M¨ unchen, die beim LATEX-Satz des Manuskriptes mitwirkten. Danken m¨ ochten wir schließlich dem Springer-Verlag f¨ ur die Aufnahme des Buches in die Springer-Lehrbuchreihe “Technik”. M¨ unchen, im Juni 2005

Kurt Marti, Detlef Gr¨oger

Inhaltsverzeichnis

Teil I Stabtragwerke 1

Einf¨ uhrung und Allgemeine Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen . . . . . . . . 2.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨afte . . . . . . 2.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen . . . . . . . . . . . . . 2.5 Entfernung von St¨ aben aus einem Tragwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Der Torbogen (portal frame) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Der Dreistab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 19 24 26 29 30 30 36

3

Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen . . . . . . . . . . . 3.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Beziehungen zwischen Momenten, Querkr¨aften, Verdrehungen und Querverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Herleitung und Struktur der Elementsteifigkeitsmatrix . 3.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨afte . . . . . . 3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Axialspannung und Biegespannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Der Gesamtspannungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Aus zwei Teilbalken zusammengesetzter Balken . . . . . . . 3.5.2 Der Torbogen (portal frame) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 43

4

45 52 57 60 63 63 70 76 76 85

R¨ aumliche Stabtragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.1 Globale und lokale Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.2 Beziehungen zwischen Momenten, Querkr¨aften, Verdrehungen und Querverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.1.3 Herleitung und Struktur der Elementsteifigkeitsmatrix . 110 4.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

X

Inhaltsverzeichnis

4.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨afte . . . . . . 120 4.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen . . . . . . . . . . . . . 122 4.5 Beispiel: In einer Ebene arbeitender Roboter . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Teil II Stabtragwerke mit stochastischen Parametern 5

Zusammenfassung von Teil I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6

Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe . . . 149 6.1 Formulierung der Problematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.2 Allgemeines Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.2.1 Tensorielle Produkte von Vektoren und Matrizen . . . . . . 151 6.2.2 Momente von Zufallsvektoren und -matrizen . . . . . . . . . . 153 6.2.3 Bestimmung der Verteilung eines Zufallsvektors aus seinen Momenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.2.4 Momente von gleich- oder dreiecksverteilten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.3 Zur Verteilung der Steifigkeitsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7

Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.1 Matrixnormen und Matrizenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.1.1 Vektor- und Matrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.1.2 Konvergenz von Matrizenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.2 Potenzreihenentwicklung der inversen Steifigkeitsmatrix . . . . . . 174 7.2.1 Erste Methode: Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.2.2 Zweite Methode: Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . 182 7.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.3.3 Approximation der erwarteten inversen Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.4 H¨ ohere Momente der inversen Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . 203 7.4.1 Momente zweiter Ordnung, Kovarianzen . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4.2 Momente n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8

Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.1 Momente der Last-Lagerkraft-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.1.1 Potenzreihenentwicklung der Last-Lagerkraft-Matrix . . . 209 8.1.2 Momente n-ter Ordnung der Last-Lagerkraft-Matrix . . . 211 8.2 Momente der Last-Spannungs-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 8.2.1 Potenzreihenentwicklung der Last-Spannungs-Matrix . . . 212 8.2.2 Momente n-ter Ordnung der Last-Spannungs-Matrix . . . 214

Inhaltsverzeichnis

XI

8.3 Momente der Responsevariablen des Tragwerks . . . . . . . . . . . . . . 215 8.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.4.1 Tragwerke, in denen nur die Elastizit¨atsmodule der St¨ abe stochastischen Schwankungen unterliegen . . . . . . . 218 8.4.2 Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen . . . . . . . . . 219 8.4.3 Torbogen mit starren Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Teil III Stochastische Strukturoptimierung von Stabtragwerken 9

Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken . . . . . . . . . . . . . . 227 9.1 Entwurfsziele und Entwurfsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.2 Programme zur Entwurfsoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.2.1 Robuste Optimalent¨ urfe (robust optimal design) . . . . . . 232 9.3 Zielfunktionen und Restriktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.3.1 Kostenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.3.2 Vektorfunktionen zur Tragsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.3.3 Skalare Funktionen zur Tragsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.4 Absch¨ atzung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . 244 9.5 Spezielle Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.6 Beispiel: Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen . . . . . . . 253

10 Sensitivit¨ atsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.1 Gradienten von Ziel- und Restriktionsfunktionen in den speziellen Programmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.1.1 Gradient der Gewichtsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.1.2 Gradient der erwarteten Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . 259 10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.2.1 Quadratische Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.2.2 Approximation f¨ ur eine Beispielklasse . . . . . . . . . . . . . . . . 272 10.2.3 Stochastische Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 11 Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 11.1 Deterministische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 11.2 Stochastisches Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 11.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 11.3.1 Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen . . . . . . . . . 287 11.3.2 Torbogen mit starren Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Teil I

Stabtragwerke

1. Einfu ¨hrung und Allgemeine Voraussetzungen

Tragwerke spielen im gesamten Ingenieurwesen, insbesondere im Bauingenieurwesen, in der Luft- und Raumfahrttechnik, im Leichtbau, etc., eine ganz zentrale Rolle, sind doch Hochspannungsmasten, Hochbauten, Bohrplattformen, Antennen, Parabolspiegel f¨ ur Satellitenfunk und Radioastronomie, Sonnenenergiekollektoren, Windkraftanlagen, etc., aber auch verschiedene Verkehrssysteme (Schienenfahrzeuge, Luft- und Raumfahrzeuge, Schiffe, maritime Systeme) auf eine (mehr oder weniger sichtbare innere) Tragstruktur angewiesen, die das gesamte mechanische System tr¨agt und die auftretenden mechanischen Belastungen, Beanspruchungen sicher auff¨angt. Bei der Tragwerksoptimierung geht es meistens um die Bestimmung zuverl¨ assiger gewichts- oder kostenoptimaler Strukturen, d.h. um kosteng¨ unstige oder “schlanke” Strukturen, die die zu erwartenden Lasten, Beanspruchungen sicher oder mit ausreichend hoher Sicherheit tragen k¨onnen. Historisch wurden zun¨ achst ganz einfache Tragelemente – z.B. St¨ utzen, Tr¨ager, Wandscheiben, Kragplatten – optimiert [La87]. Sp¨ ater erfolgte die optimale Auslegung oder Bemessung komplexerer Tragsysteme, wie sie im Kraftwerksbau, bei Bauten in Erdbebengebieten, bei der Gewichtsoptimierung von Tragstrukturen in der Luft- und Raumfahrt, in der Fahrzeugtechnik und im Bauwesen (Br¨ ucken, Tragkabelbr¨ ucken, H¨ angebr¨ ucken, Hallen¨ uberdachungen, Tr¨ager, Leitungsmasten, Hochbauten, mehrst¨ ockige Geb¨ aude), im konstruktiven Ingenieurbau, im Leichtbau, sowie im Massivbau vorkommen. Ganz a¨hnliche Probleme treten auch beim Optimalentwurf von Verbundwerkstoffen [Rei97] auf. Je nach technischer Anwendung ergeben sich dabei verschiedene Arten von Strukturoptimierungsaufgaben. Dazu geh¨ ort insbesondere die -

Materialoptimierung Topologieoptimierung Gestalt- oder Geometrieoptimierung und die Dimensionierung (Sizing).

In den meisten bisherigen Lehrb¨ uchern und Monographien u ¨ ber Tragwerke und allgemeinere mechanische Strukturen werden bei der Analyse und Optimierung der mechanischen Strukturen deterministische, also gegebene Modellparameter vorausgesetzt. Zufolge verschiedenartiger, insbesondere stochastischer Schwankungen:

4

-

1 Einf¨ uhrung und Allgemeine Voraussetzungen

des verwendeten Materials (z.B. der E-Moduli, der Fließspannungen, plastische Kapazit¨ aten, etc.) der ¨ außeren Lasten (z.B. Wind-, Wellen-Lasten, Belastung einer Br¨ ucke durch PKW-, LKW-Verkehr) der Mess- bzw. Sch¨ atzwerte (Sch¨ atzfehler) der Herstellungsverfahren (Fertigungsfehler, Toleranzen), etc.,

-

sind die Modellparameter oder Daten eines Tragwerks in der Praxis aber keine fest vorgegebenen Gr¨ oßen. Vielmehr m¨ ussen diese durch Zufallsvariablen (bzw. -vektoren) mit einer bestimmten gemeinsamen Wahrscheinlichkeits (W-)Verteilung modelliert werden. Die W-Verteilung wird im Folgenden als bekannt vorausgesetzt. Durch gewisse Modifikationen k¨onnen die hier vorgestellten Methoden der Stochastischen Optimierung [Ma05] aber auch auf den Fall nur teilweise bekannter W-Verteilungen u ¨ bertragen werden. Behandelt werden im Folgenden ebene und r¨aumliche Stab- und Balkentragwerke, mechanische Strukturen also, die sich aus einer bestimmten Anzahl einzelner Elemente der Struktur zusammensetzen. Dies sind St¨abe oder Balken (beams), also prismatische Teile eines Tragwerks, deren Querschnitte klein sind im Vergleich zu den L¨ angen1 . Die Elemente der Struktur sind an den Enden starr oder drehbar (mit reibungsfreien Gelenken) verbunden mit anderen Elementen und/oder mit der festen Halterung (Verankerung, Baugrund) des Tragwerks. Diese Verbindungsstellen mit starren (rigid-jointed) oder drehbaren (pin-jointed) Gelenken heißen auch Knoten des Tragwerks. Spezielle Tragwerke sind a) ebene oder r¨ aumliche Fachwerke (plane, spatial trusses), bei denen die St¨ abe untereinander und mit der Verankerung gelenkig verbunden sind; b) ebene und r¨ aumliche Rahmen (plane, spatial frames), also Stabsysteme mit biegesteifen Knoten und/oder Gelenkknoten. Abbildung 1.1 zeigt Beispiele ebener Stabtragwerke, manche davon mit angreifenden Kr¨ aften. Belastung 9

1

?

Siehe z.B. Baulexikon online: http://www.bauwerk-verlag.de



1 Einf¨ uhrung und Allgemeine Voraussetzungen

5

j

+

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-?

?

Abb. 1.1. Ebene Tragwerke

Belastet man ein Tragwerk durch a ¨ussere Kr¨afte oder Momente, die an bestimmten Stellen auf das Tragwerk einwirken, so wird die Struktur mehr oder weniger deformiert, und innerhalb des Tragwerks bauen sich innere Kr¨afte und Momente auf, die im Ruhezustand mit den a ¨usseren Lasten im Gleichgewicht stehen. F¨ uhrt man evtl. virtuelle Knoten ein, so kann in vielen F¨allen angenommen werden, dass die Lasten nur in den Knoten des Tragwerks angreifen. Die Aufgabe der Statik ist nun die Berechnung der Verschiebungen (Translationen und Rotationen der Knoten) sowie der inneren Kr¨afte und Momente des Tragwerks unter einer bestimmten Last. In diesem Buch wird dabei ein elastisches Verhalten der untersuchten mechanischen Struktur vorausgesetzt. In der elastischen Analyse wird angenommen [Ki93, Kr05, LaTh80,

6

1 Einf¨ uhrung und Allgemeine Voraussetzungen

Sp75, WuKi04], dass zwischen den Verschiebungen der Struktur und der ¨ausseren Last (Kr¨ afte und Momente) eine lineare Beziehung besteht. Es wird ferner angenommen, dass die Translationen und Rotationen der Knoten (betragsm¨ assig) so klein sind, dass im Resultat die Geometrie des Tragwerks und damit die inneren Kr¨ afte und Momente unter der ¨ausseren Last nicht wesentlich ge¨ andert werden. Das Ziel der elastischen Analyse ist dann die Bestimmung der Verschiebungen der Struktur sowie der inneren Kr¨ afte und Momente unter einer gegebenen ausseren Last. ¨ Zu den fundamentalen Relationen der elastischen Analyse geh¨oren [Ki93, LaTh80, Sp75, WuKi04] die folgenden Bedingungen: I) Gleichgewichtsbedingung: Die angreifenden Lasten m¨ ussen mit den inneren Lasten im Gleichgewicht stehen. II) Kinematische Vertr¨ aglichkeit: Ein Verschiebungszustand ist nur dann kinematisch vertr¨ aglich, wenn alle Einzelelemente der Struktur l¨ uckenlos zusammenpassen und zus¨ atzlich die kinematischen Randbedingungen erf¨ ullt sind. III) Materialgesetz: In der klassischen Elastizit¨atstheorie gilt das Hookesche Gesetz, wonach Spannungen und Dehnungen linear voneinander abh¨angen. Der maximale Bereich, in dem diese Annahme zutrifft, ist f¨ ur jeden Werkstoff unterschiedlich und als bekannt anzusehen.

Spannung 6

linear elastischer Bereich

Dehnung

Abb. 1.2. Materialgesetz

1 Einf¨ uhrung und Allgemeine Voraussetzungen

7

Durch die Entwicklungen im ersten Teil des Buches wird ersichtlich werden, wie diese Bedingungen einen die genannte Aufgabe l¨osenden Formelapparat erm¨ oglichen und in diesen eingehen. F¨ ur weitergehende Erl¨auterungen verweisen wir den Leser auf die genannte Literatur. F¨ ur die Elemente und Knoten eines Tragwerks treffen wir die Vereinbarung. Die Knoten werden durchnummeriert und mit der jeweiligen Nummer i = 1, . . . , n bezeichnet. Alle St¨abe, ihre Anzahl sei N , werden mit einer Orientierung versehen. Definition 1.1. Der Stab, welcher die Knoten i und j miteinander verbindet und von Knoten i zu Knoten j hin orientiert ist, wird durch das Symbol (i, j) bezeichnet. Es ist dann i der Anfangs- und j der Endknoten von (i, j). Die Zusammenhangseigenschaften eines Tragwerks lassen sich nun durch seine Inzidenzmatrix beschreiben. Definition 1.2. Die Matrix C = (cij )i,j=1,...,n , erkl¨art durch  1, falls i
= j und Element (i, j) existiert cij = 0, sonst heißt Inzidenzmatrix des orientierten Tragwerks . Die durch  1, falls i
= j und Element (i, j) oder (j, i) existiert c∗ij = 0, sonst. erkl¨arte n × n Matrix C ∗ = (c∗ij ) dagegen wird die Inzidenzmatrix des Tragwerks genannt. Es gilt also c∗ij = 1 genau dann, wenn die Knoten i, j verschieden und durch einen Stab verbunden sind; und es gilt cij = 1 genau dann, wenn dar¨ uberhinaus bei der gew¨ ahlten Orientierung i Anfangs- und j Endknoten dieses Stabes ist. Beispiel 1.1. Die Orientierung ist durch Pfeile angedeutet: Man erh¨alt: ⎛

011 ⎜0 0 1 C =⎜ ⎝0 0 0 000

⎞ 0 1⎟ ⎟, 1⎠ 0

⎛

0 ⎜1 ∗ C =⎜ ⎝1 0

11 01 10 11

⎞ 0 1⎟ ⎟. 1⎠ 0

Bemerkung 1.1. Die Matrix C ist nicht symmetrisch. Dagegen ist C ∗ stets symmetrisch, und es gilt C ∗ = C + C  .

8

1 Einf¨ uhrung und Allgemeine Voraussetzungen 3 (2,3)

*

2 (3,4)

(1,2)



 (1,3)

^ (2,4)

j

1

4

Abb. 1.3. Bezeichnung der Knoten und St¨ abe eines Tragwerks

Grunds¨ atzlich betrachten wir nur kinematisch stabile Tragwerke. Grob gesprochen ist ein Tragwerk kinematisch stabil, wenn seine Knoten im Großen nicht verschiebbar sind. Es ist unter ¨ außeren Lasten (im linear-elastischen Bereich) zum Gleichgewicht f¨ ahig und erreicht dieses unter nicht “unzul¨assig” großen Verformungen. Von einer genauen Kennzeichnung a priori dieser Tragstrukturen m¨ ussen wir hier absehen. Wir bemerken nur, dass innerhalb der sp¨ater zu entwickelnden, linearisierenden Theorie die kinematische Stabilit¨at eines Tragwerks dadurch gekennzeichnet ist, dass s¨ amtliche unbekannten L¨angen¨anderungen oder Verbiegungen der Elemente des Tragwerks unter ¨ außerer Belastung eindeutig aus dieser bestimmbar sind. Offensichtlich ausgeschlossen sind damit “Tragwerke”, die frei bewegliche Teilstrukturen enthalten. Schwieriger zu identifizieren ist die kinematische Instabilit¨ at bei sogenannten Wackelstrukturen und dergleichen. Jedoch wollen wir auf diese Ausnahmef¨ alle nicht eingehen, sondern verweisen auf die Literatur (vgl. [KrWi90, S.119ff.]). Beispielsweise ist der Torbogen (zweites Beispiel in Abb. 1.1) bei drehbaren Verbindungen kinematisch instabil. Durch eine zus¨atzliche Verankerung, etwa des linken oberen Knotens, kann dies behoben werden. Bei starren Verbindungen ist der Torbogen nat¨ urlich kinematisch stabil. Wir werden dieses Beispiel ausf¨ uhrlich in den Abschn. 2.6.1 und 3.5.2 behandeln. Schließlich vereinbaren wir, dass die Kr¨ afte nur in den Knoten angreifen sollen. F¨ ur Tragwerke mit starren Verbindungen stellt diese Forderung keine Einschr¨ ankung dar. Wirkt n¨ amlich eine Kraft auf einen Punkt zwischen den

1 Einf¨ uhrung und Allgemeine Voraussetzungen

9

Knoten des Stabes, so wird dort ein “k¨ unstlicher” Knoten eingef¨ uhrt, siehe Abb. 1.4.

F 2

?

F 3

2

?

4

3

1

4

1

5

Abb. 1.4. “K¨ unstliche” Knoten

In den nachfolgenden Abschnitten beschreiben wir das Verhalten eines Tragwerks unter Belastung allein durch die Reaktion der Knoten, d.h. durch deren Verschiebungen oder Verdrehungen. Infolge unserer Voraussetzungen (Tragwerke kinematisch stabil, Belastung nur im linear-elastischen Bereich) fallen diese Verschiebungen oder Verdrehungen gering aus. Daher d¨ urfen wir davon ausgehen, dass die dimensionslosen Gr¨ oßen -

Verschiebung des Knotens i oder j L¨ ange des Stabes (i, j)

-

Verdrehung des Knotens i oder j

sehr klein und ihre Quadrate diesen gegen¨ uber zu vernachl¨assigende Gr¨oßen sind. Wir werden unsere Ausf¨ uhrungen u ¨ber Stabtragwerke im Sinne zunehmender Komplexit¨ at entwickeln. Bei der Betrachtung von ebenen Tragwerken wird stillschweigend vorausgesetzt, dass die angreifenden Kr¨afte nur in der Tragwerksebene wirken.

2. Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

In diesem Abschnitt betrachten wir ein ebenes Stabtragwerk mit der Eigenschaft, dass alle Verbindungen der St¨ abe untereinander und mit der Verankerung drehbar sind. Gem¨ aß unserer Vereinbarung in Kap. 1 soll die auf das Tragwerk wirkende Belastung nur in den Knoten angreifen. Der wesentliche Unterschied zu starren Verbindungen besteht darin, dass bei drehbaren Verbindungen keine Drehmomente u ¨ ber die Knoten auf die angrenzenden St¨abe wirken k¨ onnen. Daher er¨ ubrigt sich die Ber¨ ucksichtigung einer entsprechenden Komponente bei den ¨ außeren Kr¨ aften. Aus der Belastung des Tragwerks resultieren nach Einstellen des Gleichgewichtszustandes gewisse Verschiebungen der Knoten (Verdrehungen treten nicht auf). Die Beziehung zwischen Lasten und Verschiebungen soll nun analytisch dargestellt werden. Dazu fassen wir die Knoten als Punkte und die Kr¨afte als Vektoren in der Ebene des Tragwerks auf und f¨ uhren ein {x, y}-Koordinatensystem, genannt globales Koordinatensystem in dieser Ebene ein; x, y heißen dann globale Koordinaten . Da auch die Verschiebungen vektorielle Gr¨oßen sind, d¨ urfen wir f¨ ur unsere Zwecke das globale Koordinatensystem parallel verschieben, so dass sein Ursprung in den jeweils betrachteten Knoten f¨allt. Zun¨ achst beschreiben wir das Verhalten eines einzelnen Elements des Tragwerks.

2.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix Es sei (i, j) ein Stab des Tragwerks. Er verbindet den Anfangsknoten i mit dem Endknoten j. Wir f¨ uhren ein lokales Koordinatensystem {x , y  } mit dem Ursprung im Anfangsknoten i so ein, dass die x -Achse in Richtung des Stabes (i, j) verl¨ auft. Parallel verschoben, denken wir es uns auch mit dem Ursprung im Endknoten j . Definition 2.1. Es seien L = L(i,j) die L¨ange, A = A(i,j) der Querschnitt und E = E(i,j) der Elastizit¨atsmodul des Stabes (i, j). Ferner bezeichne α = α(i,j) denjenigen Winkel, den der Stab (i, j) (oder die lokale x -Achse) mit der globalen x-Achse einschließt.

12

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

α wird im Punkt i gemessen, indem man die (parallel verschobene) x-Achse so lange im Gegenuhrzeigersinn dreht, bis sie mit der x -Achse zusammenf¨allt. y

Belastung F3

6 y


3

K

* x


* α

2

5

K

4

1

Abb. 2.1. Globales, lokales Koordinatensystem

6x

Vereinbarung. Es sei v ein Vektor in der Ebene des Tragwerks. Hat v die globalen Koordinaten x, y und die lokalen Koordinaten x , y  , so schreiben wir daf¨ ur kurz:



 x x v= und v = . y y Man beachte, dass v nicht die Transposition von v ist. Hierf¨ ur wird die Bezeichnung v verwendet. Zur Beschreibung der Koordinatentransformation {x, y} → {x , y  } verwenden wir die Transformationsmatrix 

cos α sin α . Tα = − sin α cos α Bekanntlich gilt:

v = Tα v.

(2.1)

Das Tragwerk unterliege jetzt einer Belastung, und wir betrachten den sich einstellenden Gleichgewichtszustand.

2.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix y 6

y

y

13

6




K v

* x


 j

K α

i

x

x Abb. 2.2. Drehung des Koordinatensystems

Definition 2.2. Fi bzw. Fj sei die auf den Knoten i bzw. j wirkende ¨außere Kraft . F¨ ur die freien (nicht verankerten) Knoten i sind die Kr¨afte Fi gerade die auf das Tragwerk aufgebrachten Lasten und i.a. bekannt. F¨ ur die Knoten i in den Verankerungen stellen die Fi die unbekannten Reaktionskr¨afte des Lagers dar (Lagerkr¨afte). Die Kr¨ afte Fi setzen sich zusammen aus ihren auf die angrenzenden St¨abe wirkenden Bestandteilen. Im Fall drehbarer Verbindungen wirken diese, wie sich sogleich herausstellen wird und in Abb. 2.3 bereits angedeutet ist, nur in axialer Richtung.

14

y

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

6

(1,2) F2





:  F2

F2

(2,3)

F2

3 5

2

1

4

6

x

Abb. 2.3. Tragwerk unter Last

(i,j)

(i,j)

Definition 2.3. Fi bzw. Fj sei die im Gleichgewichtszustand in dem Knoten i bzw. j auf den Stab (i, j) wirkende ¨außere Kraft . Gem¨ aß Vereinbarung haben wir f¨ ur diese Vektoren die Darstellungen (i,j) Fi

=

(i,j)  Fxi (i,j)

Fyi

bzw.

(i,j) Fj

=

(i,j)  Fxj (i,j)

Fyj

in globalen Koordinaten und die Darstellungen (i,j) (Fi )

=

(i,j)  Fx
i (i,j)

Fy
i

bzw.

(i,j) (Fj )

=

(i,j)  Fx
j (i,j)

Fy
j

in lokalen Koordinaten. Die Belastung des Tragwerks erzeugt nun gewisse Knotenverschiebungen. Definition 2.4. ui bzw. uj bezeichne die durch die Belastung bewirkte Verschiebung des Knotens i bzw. j aus der Ausgangslage in die Gleichgewichtslage. Vereinbarungsgem¨ aß haben wir f¨ ur diese Vektoren die Darstellungen



 ui uj ui = bzw. uj = vi vj in globalen Koordinaten und die Darstellungen



 uj ui  ui = = bzw. u j  vi vj in lokalen Koordinaten.

2.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

15

y 6

O y


6 v3

O

v3


6

u3

v2 u2 

v2
2

1

u2

3

u
2



:

x


u3

u
3

-

 5

4

6

-

x

Abb. 2.4. Knotenverschiebungen

F¨ ur die Knoten i in den Verankerungen gelten die Nebenbedingungen ui = 0. F¨ ur die freien Knoten i sind die ui unbekannt. In Abb. 2.4 ist z. B. u1 = u4 = u6 = 0. Nach den Prinzipien der Mechanik gilt im Gleichgewichtszustand : I) Die Summe aller auf den Stab (i, j) wirkenden ¨außeren Kr¨afte verschwindet: (i,j) (i,j) = 0. (2.2) Fi + Fj II) Die Summe aller auf den Stab (i, j) wirkenden ¨außeren Drehmomente verschwindet. (i,j)

Da das einzige auf (i, j) wirkende Drehmoment von dem Kr¨aftepaar Fi , (i,j) (i,j) (i,j) herr¨ uhrt, verschwinden die Komponenten von Fi , Fj senkrecht Fj zur Stabachse (in Gleichgewichtslage), so dass diese Kr¨afte in der Tat nur in axialer Richtung wirken. Bei der analytischen Darstellung dieser Aussage ist grunds¨ atzlich zu beachten, dass die Gleichgewichtslage des Stabes (i, j) von seiner Ausgangslage, auf welche ja das lokale Koordinatensystem bezogen ist, verschieden ist, siehe Abb. 2.5

16

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

y
6

y
6

(i,j)

Gleichgewichtslage

Fj

: y ............... ...6 ... ... ... ... ...  6 Fx(i,j) ? .........
j (i,j) .................. ... ... ...
... F ... ... i ... ∆α ... vi ... ... .. 9 - vj
 L + u
j − u
i uj ui i u
i




6

L

-j u
j -

?

-

x


-

x


Ausgangslage Abb. 2.5. Stab in Gleichgewichtslage

Nach den Voraussetzungen von Abschn. 1 ist aber das Verh¨altnis vj − vi L + uj − ui sehr klein. Folglich ist auch sin ∆α “klein von erster Ordnung”, wobei ∆α die Differenz der Winkel ist, die der Stab (i, j) in der Gleichgewichtslage und in der Ausgangslage mit der globalen x-Achse einschließt. ¨ F¨ ur die L¨ angen¨ anderung des Stabes beim Ubergang von der Ausgangs- in die Gleichgewichtslage erh¨ alt man ∆L = (L + uj − ui )2 + (vj − vi )2 − L

 2   vj − vi    = (L + uj − ui ) 1 + −L L + uj − ui ⎛  2 ⎞   − v v 1 j i ⎠−L ≈ (L + uj − ui ) ⎝1 + 2 L + uj − ui = uj − ui +

1 (vj − vi )2 . 2 L + uj − ui

(2.3)

Durch Vernachl¨ assigung von “kleinen Gr¨ oßen zweiter Ordnung” ergibt sich nun aus der durch das Hookesche Gesetz F =

EA ∆L L

gegebenen Beziehung zwischen der Dehnung ursachenden Kraft F mit (2.3)

∆L L

des Stabes und der sie ver-

2.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix (i,j)

|Fj

| = ±EA

17

uj − ui ∆L ≈ ±EA . L L

Aus demselben Grund ist folglich (i,j)

(i,j)

Fy
j = ±|Fj

| sin ∆α ≈ 0

(2.4)

EA  (uj − ui ). (2.5) L Man beachte, dass bei der durch (i, j) festgelegten Orientierung tats¨achlich gilt: (i,j) Fx
j ≥ 0 ⇔ ∆L ≥ 0 ⇔ uj − ui ≥ 0, (i,j)

(i,j)

Fx
j = ±|Fj

(i,j)

| cos ∆α ≈ ±|Fj

|≈

so dass in (2.5) das Vorzeichen stimmt! Fasst man dann (2.2),(2.4) und (2.5) in Matrixform zusammen, so ergibt sich ⎛ (i,j) ⎞ ⎛ ⎞⎛  ⎞ Fx
i ui 1 0 −1 0 ⎜ F (i,j) ⎟ EA ⎜ ⎟ ⎜ vi ⎟ 0 0 0 0 ⎜ y
i ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟. (2.6) ⎜ (i,j) ⎟ = ⎝ Fx
j ⎠ L ⎝ −1 0 1 0 ⎠ ⎝ uj ⎠  (i,j) vj 00 00 F y
j

Diese in lokalen Koordinaten dargestellte Beziehung zwischen Kr¨aften und Verschiebungen u ¨bertragen wir jetzt in globale Koordinaten. Der Einfachheit halber lassen wir f¨ ur den Moment auch den oberen Index (i, j) fort. Nach (2.1) gilt   





Fxi Fx
j Fxj Fx
i = Tα = Tα , Fy
i Fyi Fy
j Fyj sowie







 uj ui ui uj , . = T = T α α vi vi vj vj Damit folgt einerseits ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ Fxi Fx
i cos α sin α 0 0 F xi ⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Tα ⎝ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜F
⎟ ⎜ ⎜F ⎟ F ⎜ ⎟ ⎜ − sin α cos α 0 0 ⎟ yi yi ⎟ ⎜ y i⎟ ⎜ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎞ =⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ Fx
j ⎟ ⎜ ⎜ Fxj ⎟ 0 0 cos α sin α ⎟ Fxj ⎟ ⎜ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ Tα ⎝ ⎠⎠
Fyj Fy j 0 0 − sin α cos α Fyj und andererseits aus (2.6)

⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎛ ui 1 0 −1 0 Fx
i ⎜ Fy
i ⎟ EA ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎜ Tα vi ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ Fx
j ⎠ = L ⎝ −1 0 1 0 ⎠ ⎝ uj ⎠ Tα vj Fy
j 00 00 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ 1 0 −1 0 cos α sin α 0 0 ui ⎟ ⎜ − sin α cos α ⎟ ⎜ vi ⎟ EA ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟. = 0 0 cos α sin α ⎠ ⎝ uj ⎠ L ⎝ −1 0 1 0 ⎠ ⎝ vj 00 00 0 0 − sin α cos α

18

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

Aufl¨ osen ergibt ⎛

⎞ ⎛ ⎞−1 ⎛ ⎞ Fxi cos α sin α 0 0 1 0 −1 0 ⎜ Fyi ⎟ ⎜− sin α cos α ⎜ ⎟ 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ EA⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝Fxj ⎠ = ⎝ ⎝ ⎠ 0 0 cos α sin α L −1 0 1 0⎠ Fyj 0 0 − sin α cos α 0 0 0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞ cos α sin α 0 0 ui ⎜− sin α cos α ⎜ vi ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ · ⎝ 0 0 cos α sin α ⎠⎝uj ⎠ vj 0 0 − sin α cos α ⎞⎛ ⎞ ⎛ cos α sin α − cos2 α − cos α sin α cos2 α ui ⎜ vi ⎟ EA ⎜ sin α cos α sin2 α − sin α cos α − sin2 α ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ (2.7) ⎜ = cos2 α cos α sin α⎠⎝uj ⎠ L ⎝ − cos2 α − cos α sin α vj sin α cos α sin2 α − sin α cos α − sin2 α Definition 2.5. Die Matrix ⎞ ⎛ cos α sin α − cos2 α − cos α sin α cos2 α EA ⎜ α sin2 α − sin α cos α − sin2 α ⎟ ⎜ sin α cos ⎟ k = k (i,j) = 2 ⎝ − cos α − cos α sin α cos2 α cos α sin α ⎠ L sin α cos α sin2 α − sin α cos α − sin2 α heißt die Elementsteifigkeitsmatrix des Stabes (i, j) (in globalen Koordinaten). Die entsprechende Matrix in Gleichung (2.6) wird demgegen¨ uber als Elementsteifigkeitsmatrix in lokalen Koordinaten bezeichnet. Man beachte, dass k von der Wahl des globalen Koordinatensystems abh¨angig ist, indem dies gem¨ aß Definition 2.1 f¨ ur den Winkel α zutrifft. Bemerkung 2.1. F¨ ur jeden Stab (i, j) ist k (i,j) symmetrisch. F¨ ur sp¨ atere Zwecke n¨ utzlich ist die folgende Darstellung der Elementsteifigkeitsmatrix. Nach Definition 2.5 gilt k (i,j) = q(i,j) k

(i,j)

,

(2.8)

E(i,j) A(i,j) L(i,j)

(2.9)

wobei der Steifigkeitsfaktor q(i,j) :=

nur von der Beschaffenheit des Stabes (i, j) abh¨angt, w¨ahrend die Matrix ⎞ ⎛ (i,j)  (i,j)  k k 12 (i,j) ⎟ ⎜ 11 k =⎝ ⎠, (i,j) (i,j)   k k 21

22

2.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix

bestehend aus den symmetrischen Bl¨ ocken 

(i,j) (i,j) cos2 α cos α sin α   k 11 = k 22 = sin α cos α sin2 α 

(i,j) (i,j) cos2 α cos α sin α   , k 12 = k 21 = − sin α cos α sin2 α

19

(2.10a) (2.10b)

allein durch dessen Lage im globalen Koordinatensystem bestimmt ist. Fasst man zusammen (i,j)

k κλ := q(i,j) k κλ , (i,j)

κ, λ = 1, 2 ,

(2.11)

so hat man die Zerlegung ⎛ ⎜ k (i,j) = ⎝

(i,j)

k 11 k

(i,j) 21

(i,j)

k 12 k

(i,j) 22

⎞ ⎟ ⎠,

und (2.6) schreibt sich in der Gestalt (i,j)

Fi

(i,j) Fj

(i,j)

(i,j)

(2.12a)

(i,j) 21 ui

(i,j) 22 uj .

(2.12b)

= k 11 ui + k 12 uj =k

+k

2.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix Nach der im vorigen Abschnitt durchgef¨ uhrten Analyse des Verhaltens eines einzelnen Elements des Tragwerks bei Belastung, gilt es nun, die Relationen (2.7) zwischen wirkenden Kr¨ aften und Verschiebungen so zusammenzufassen, dass das Verhalten des gesamten Tragwerks erfasst wird. Dazu ziehen wir die in Definition 1.2 eingef¨ uhrte Inzidenzmatrix C des orientierten Tragwerks heran. Die Aussage, dass zu zwei Knoten i, j im Tragwerk das Element (i, j) existiert, l¨ asst sich n¨ amlich kurz durch cij = 1 beschreiben. Gem¨ aß den Definitionen 2.2 und 2.3 haben wir damit f¨ ur jeden Knoten i = 1, . . . , n  (i,j)  (l,i) Fi = Fi + Fi ; cij =1

clj =1

in Worten: Fi ist die Summe aller Kr¨ afte, die im Gleichgewichtszustand im Knoten i auf die in i beginnenden oder in i endenden St¨abe (i, j) bzw. (l, i) ausge¨ ubt werden.

20

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen l1

q

j

:

i

j

*

j1

l Abb. 2.6. Definition der Inzidenzmatrix C

Diese Darstellung noch weiter vereinfachend, schreiben wir Fi =

n 

(i,j) cij Fi

j=1

+

n 

(l,i)

cli Fi

(2.13)

l=1

und vereinbaren, dass diejenigen Summanden, f¨ ur die (i, j) bzw. (l, i) (und (i,j) (l,i) ebenso Fi bzw. Fi ) gar nicht existieren und die c also gleich Null sind, keinen Beitrag zur Summe leisten. Entsprechendes gelte auch f¨ ur im folgenden auftretende Summen ¨ ahnlicher Art. Gem¨ aß (2.12a) und (2.12b) gilt in globalen Koordinaten (i,j)

= k 11 ui + k 12 uj

(l,i)

= k 21 ul + k 22 ui .

Fi

Fi

(i,j)

(i,j)

(l,i)

(l,i)

Durch Einsetzen dieser Darstellungen in (2.13) erh¨alt man (wieder in globalen Koordinaten)   (i,j) (l,i) (l,i) (i,j) Fi = cij (k 11 ui + k 12 uj ) + cli (k 21 ul + k 22 ui ) j

=




cij k

(i,j) 11

+

j

=


 j



l

cli k

(l,i) 22

   (i,j) (l,i) ui + cij k 12 uj + cli k 21 ul

cli k

(l,i) 22

  (i,k) (k,i) ui + (cik k 12 + cki k 21 )uk .

j

l

cij k

(i,j) 11

+



l

k=i

l

Fasst man diese Gleichungen mit i = 1, 2, . . . , n zu einer Vektorgleichung zusammen, so ergibt sich F = Ku, (2.14) wobei

⎛

⎞ F1 ⎜ F2 ⎟ ⎜ ⎟ F = ⎜ .⎟, . ⎝ .⎠ Fn

⎞ u1 ⎜ u2 ⎟ ⎜ ⎟ u = ⎜ .⎟ ⎝ .. ⎠ ⎛

un

2.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix

gesetzt wurde und K die 2n × 2n Matrix ⎛  (1,2) (2,1) (1,j) (l,1) c12 k 12 + c21 k21 c1j k 11 + cl1 k 22 ⎜ j l ⎜   (l,2) (1,2) (2,j) ⎜ c21 k (2,1) + c k 21 c2j k 11 + c12 k 22 12 12 ⎜ j l ⎜ K=⎜ (3,1) (1,3) (3,2) (2,3) c32 k 12 + c23 k 21 ⎜ c31 k 12 + c13 k 21 ⎜ .. .. ⎜ . . ⎝ (2,n) (n,2) (n,1) (1,n) cn2 k 12 + c2n k 21 cn1 k 12 + c1n k 21 (1,3)

(3,1)

(1,n)

c13 k 12 + c31 k 21 ··· (2,3) (3,2) c23 k 12 + c32 k 21 ···   (l,3) (3,j) c3j k 11 + cl3 k 22 · · · j

l

.. . (3,n) (n,3) cn3 k 12 + c3n k21

(n,1)

c1n k 12 + cn1 k 21 (2,n) (n,2) c2n k 12 + cn2 k 21 (3,n) (n,3) c3n k 12 + cn3 k 21 

···

j

21

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (l,n) ⎠

.. .  (n,j) cnj k 11 + cln k 22 l

bezeichnet. Das lineare Gleichungssystem (2.14) stellt die gesuchte Beziehung zwischen den auf das Tragwerk wirkenden Kr¨ aften und den Verschiebungen der Knoten dar. Kraftkomponenten und Knotenverschiebungskomponenten beziehen sich dabei auf das globale Koordinatensystem {x, y}. Definition 2.6. Die Matrix K heißt Gesamtsteifigkeitsmatrix Struk-tur- oder Systemsteifigkeitsmatrix des Tragwerks.

oder auch

Bemerkung 2.2. K ist eine 2n × 2n Blockmatrix und zusammengesetzt aus n2 quadratischen Bl¨ocken der Ordnung 2. An der Stelle i, k mit i
= k steht der Block (i,k) (k,i) cik k 12 + cki k 21 . Dabei ist h¨ochstens einer der beiden Faktoren cik , cki ungleich Null. Sind beide gleich Null, so steht dort der Nullblock 0 . An der Stelle i, i steht der Block   (i,j) (l,i) cij k 11 + cli k 22 . j

l

Mindestens eine der beiden Summen ist nicht leer. Gilt cij = 1 und cli = 1, so sind die Knoten i, j, l paarweise verschieden. Um eine der Darstellung (2.8) der Elementsteifigkeitsmatrix analoge Darstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix zu erhalten, ben¨otigen wir die Definition 2.7. F¨ ur jeden Stab (i, j) sei K (i,j) diejenige 2n×2n Blockmatrix, bestehend aus Bl¨ocken der Ordnung 2, welche

22

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen Tabelle 2.1. Zerlegung der Elementsteifigkeitsmatrix an der Stelle den Block (i,j)

i, i

k 11

i, j

k 12

j, i

k 21

j, j

k 22

(i,j) (i,j) (i,j)

0

sonst

enth¨alt. j

i ⎛ i K

(i,j)

= j -

? 0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝

? 0

(i,j) k 11

0 (i,j) k 12

0 (i,j) k 21

0

0 (i,j) k 22

0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

0

Die Matrix K (i,j) ist nur von dem Winkel α = α(i,j) , den der Stab (i, j) mit der globalen x-Achse einschließt abh¨ angig; kurz: K (i,j) = K (i,j) (α(i,j) ). (i,j) aß (2.10a,b) gilt Da f¨ ur die Bl¨ ocke k κλ gem¨ (i,j) (i,j) (i,j) (i,j) (k 11 ) = k 11 , (k 22 ) = k 22 (i,j) (i,j) (i,j) (i,j) (k 12 ) = k 21 , (k 21 ) = k 12 ,

ist K (i,j) symmetrisch. Lemma 2.1. Es gilt K =



cij q(i,j) K (i,j) .

i,j

Beweis: Wir benutzen hier die folgende Schreibweise: F¨ ur eine 2×2 Matrix h und r, s ∈ {1, . . . , n} sei s ⎛ [h ]r,s := ⎝

0 0

? ⎞ 0 ⎠ r h 0

2.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix

23

die aus n2 quadratischen Bl¨ ocken der Ordnung 2 bestehende 2n × 2n Matrix, welche an der Stelle r, s den Block h und sonst nur Nullbl¨ocke enth¨alt. Damit gilt nach Bemerkung 2.2:     (k,i)  (i,k) (l,i) (i,j) cik k 12 + cki k 21 i,k + cli k 22 cij k 11 + K= i

=

j


 i

i,i

l (i,j) cij q(i,j) [k 11 ]i,i

+



j

i=k

(l,i) cli q(l,i) [k 22 ]i,i



l

  (i,k) (k,i) cik q(i,k) [k 12 ]i,k + cki q(k,i) [k 21 ]i,k + i=k

=



(i,j)

cij q(i,j) [k 11 ]i,i +



i,j

+



i,l (i,k) cik q(i,k) [k 12 ]i,k

i,k

=



+

(l,i)

cli q(l,i) [k 22 ]i,i



(k,i) cki q(k,i) [k 21 ]i,k

i,k

 (r,s)  (r,s) (r,s) (r,s) crs q(r,s) [k 11 ]r,r + [k 22 ]s,s + [k 12 ]r,s + [k 21 ]s,r

r,s

=



crs q(r,s) K (r,s) .

r,s

Wegen der Symmetrie der Matrizen K (i,j) folgt aus Lemma 2.1 sofort Lemma 2.2. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K ist symmetrisch. In der Zerlegung von K gem¨ aß Lemma 2.1 treten die Eigenschaften des Tragwerks deutlich hervor. Durch die -

cij werden die Zusammenhangs- (topologischen) Eigenschaften des Tragwerks abe, d.h. deren Abmessungen und releq(i,j) die Beschaffenheit seiner St¨ vante Materialeigenschaft abe zueinander, d.h. die Winkelgeometrie des TragK (i,j) die Winkel der St¨ werks

erfasst. Die dadurch sich er¨ offnende M¨ oglichkeit der getrennten Behandlung dieser Parameter ist grundlegend f¨ ur die sp¨ ateren Untersuchungen in Teil III. F¨ ur die tats¨ achliche Aufstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix fassen wir zusammen: j i ⎛ q(i,j) K

(i,j)

? 0

⎜ ⎜ = ⎜ ⎜0 ⎝ 0

? 0

k

(i,j) 11

0 k

(i,j) 12

0 (i,j)

0 (i,j)

k 21

k 22 0

0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

 i (2.15)  j

24

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

und benutzen K=



cij (q(i,j) K (i,j) )

(2.16)

i,j

2.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨ afte In diesem Abschnitt bezeichnen i1 , i2 , . . . , im die freien Knoten des Tragwerks und j1 , j2 , . . . , jn−m die Knoten in den Verankerungen. Dabei sei i1 < i2 < . . . < im und j1 < j2 < . . . < jn−m . Es gilt ν = 1, 2, . . . , n − m,

ujν = 0,

(2.17)

und wir machen die Voraussetzung, dass die auf die freien Knoten wirkenden außeren Kr¨ afte ¨ Fiµ , µ = 1, 2, . . . , m, bekannt sind. Wirkt keine a urlich ¨ußere Kraft auf den Knoten iµ , so ist nat¨ Fiµ = 0. ui1 , ui2 , . . . , uim stellen also die unbekannten Knotenverschiebungen und Fj1 , Fj2 , . . . , Fjn−m die unbekannten Reaktionskr¨ afte in den Lagern dar. Zur Berechnung dieser Gr¨ oßen ziehen wir das lineare Gleichungssystem (2.14) heran. Der u ¨bersichtlicheren Darstellung halber ordnen wir die Zeilen und Spalten von K simultan so um, dass (2.14) die Gestalt Fi1

ui1

Fi2

ui2

Fi3 .. . Fim

K0

K01

• uim

=

Fj1 Fj2 .. .

ui3 .. .

0 K10

K1

Fjn−m

0 .. . 0

annimmt. Man beachte dabei (2.17). Mit den dadurch definierten 2m × 2m resp. 2(n − m) × 2m Blockmatrizen K0 resp. K10 gilt: K0 u0 = F0 1

(2.18) 0

F = K10 u , wobei

(2.19)

2.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨ afte

⎛

25

⎞

Fi1 ⎜ Fi2 ⎟ ⎜ ⎟ F0 := ⎜ . ⎟ ⎝ .. ⎠ Fim den Vektor der gegebenen ¨ außeren Kr¨ afte (Gesamtlastvektor) bezeichnet, ⎛ ⎞ ui1 ⎜ ui2 ⎟ ⎜ ⎟ u0 := ⎜ . ⎟ ⎝ .. ⎠ uim den Gesamtknotenverschiebungsvektor und ⎛ Fj1 ⎜ Fj2 ⎜ F1 := ⎜ . ⎝ ..

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Fjn−m den Vektor der Reaktionskr¨ afte (Gesamtlagerkraftvektor) . In den linearen Gleichungssystemen (2.18) ist also F0 bekannt, u0 unbekannt. Die in Abschn. 1 zugrunde gelegte Voraussetzung der kinematischen Stabilit¨ at des Tragwerks bedeutet nun gerade, dass die Knotenverschiebungen durch das LGS (2.18) eindeutig bestimmt sind. Wir gehen also davon aus, dass die Matrix K0 invertierbar ist. Dann folgt aus (2.18) u0 = K0−1 F0 .

(2.20)

Mit Hilfe von (2.19) lassen sich nun auch die Lagerkr¨afte berechnen: F1 = K10 K0−1 F0 .

(2.21)

Die Matrix K0 wird im Folgenden eine große Rolle spielen. Wir halten fest Bemerkung 2.3. K0 ist diejenige 2m × 2m Matrix, die aus K (in der urspr¨ unglichen Anordnung) dadurch entsteht, dass die Blockzeilen und Blockspalten, die zu den Indizes j1 , j2 , . . . , jn−m geh¨oren, gestrichen werden. Definition 2.8. Die Matrix K0 heißt die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix des Tragwerks. Aus Bemerkung 2.3 und Lemma 2.2 folgt sofort Lemma 2.3. Die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix K0 ist symmetrisch. Analog ergibt sich aus Bemerkung 2.3 und Lemma 2.1 die Struktur von K0 . Mit

26

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen (i,j)

Definition 2.9. F¨ ur jeden Stab (i, j) bezeichne K0 diejenige 2m × 2m Matrix, die aus K (i,j) dadurch entsteht, dass die Blockzeilen und -spalten mit den Indizes j1 , j2 , . . . , jn−m gestrichen werden. erh¨ alt man n¨ amlich Lemma 2.4. Es gilt K0 =



(i,j)

cij q(i,j) K0

(i,j)

, wobei K0

(i,j)

= K0

(α(i,j) ) nur

i,j

von α(i,j) abh¨angig ist. Wie f¨ ur K0 ergibt sich auf entsprechende Weise: K10 ist diejenige 2(n − m) × 2m Matrix, die aus K dadurch entsteht, dass die zu den Indizes i1 , . . . , im geh¨ origen Blockzeilen und die zu den Indizes j1 , . . . , jn−m geh¨ origen Blockspalten entfernt werden. Es gilt  (i,j) K10 = cij q(i,j) K10 (2.22) i,j (i,j)

angigen, 2(n−m)×2m Matrizen K10 mit bestimmten, allein von α(i,j) abh¨

=

(i,j) K10 (α(i,j) ).

2.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen Ein prismatischer Stab mit dem Querschnitt A erf¨ahrt unter Zug- oder Druckbeanspruchung durch eine in Achsenrichtung wirkende Kraft F die Spannung F . A Ziel dieses Abschnitts ist die Berechnung der Spannungen in den einzelnen Elementen unseres Tragwerks bei Belastung. Dazu greifen wir auf Abschn. 2.1 zur¨ uck. Dort haben wir gesehen, dass die im Gleichgewichtszustand im Knoten i resp. j auf den Stab (i, j) ausge¨ ubte Kraft in axialer Richtung wirkt und in lokalen Koordinaten die Darstellung σ=

(i,j) (Fi )

(i,j) 

(i,j)  Fx
i Fx
j (i,j)  = resp. (Fj ) = 0 0

mit (i,j)

(i,j)

Fx
i = −Fx
j hat, siehe (2.4-6).

Definition 2.10. Im Gleichgewichtszustand sei (i,j)

σi

:=

1 A(i,j)

(i,j)

Fx
i

2.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

27

die Spannung des Elements (i, j) im Knoten i und (i,j)

σj

:=

1 (i,j) F
A(i,j) x j

die Spannung des Elements (i, j) im Knoten j. Wegen (2.4) gilt nat¨ urlich (i,j)

σi

(i,j)

= −σj

(2.23)

f¨ ur jeden Stab, und es gen¨ ugt, etwa die Spannung in dem Anfangsknoten zu betrachten. y


6 (i,j)

σi

(i,j)

σj

>-0



<0

Druckspannung (i,j)

Fx
i

j

i -



Zugspannung



(i,j) σi

(i,j)


j  Fx-




x -

-

(i,j)

σj

<0

>0

Abb. 2.7. Zug- und Druckspannung

Aufgrund von Definition 2.10 folgt mit (2.1) und (2.6)

(i,j)  1 (i,j)  σi (F ) = A(i,j) i 0

  

1 E(i,j) A(i,j) 1 0 −1 0 Tα(i,j) 0 ui = 0 T u 0 0 0 0 A(i,j) L(i,j) α(i,j) j

  E(i,j) cos α(i,j) sin α(i,j) − cos α(i,j) − sin α(i,j) ui = . 0 0 0 0 uj L(i,j) Mit s(i,j) =




(i,j)

s1

(i,j)

s2

 ,

wobei (i,j)

s1

:= (cos α(i,j) , sin α(i,j) )

(2.24a)

(i,j) s2

:= −(cos α(i,j) , sin α(i,j) ),

(2.24b)

28

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

wird also (i,j)

σi

=

E(i,j) (i,j) s L(i,j)



ui uj

 =

Setzt man noch s (i,j) :=

E(i,j) (i,j) (i,j) ( s ui + s2 uj ). L(i,j) 1

E(i,j) (i,j) s , L(i,j)

so erh¨ alt man (i,j)

σi

= s (i,j)

ui uj

(2.25)

 .

(2.26)

Um die Gleichungen (2.26) m¨ oglichst einfach zusammenzufassen, denken wir uns die St¨ abe des Tragwerks lexikographisch angeordnet. Definition 2.11. Es seien (i, j) und (i , j  ) zwei St¨abe des Tragwerks. Dann heißt (i, j) lexikographisch kleiner als (i , j  ), wenn gilt i < i oder

i = i und j < j  .

Die N St¨ abe des Tragwerks seien nun, der lexikographischen Gr¨oße nach geordnet, den Zeilen der im Folgenden auftretenden Vektoren oder Matrizen zugeordnet. F¨ uhren wir demgem¨ aß den Gesamtspannungsvektor ⎛ ⎞ .. . ⎜ ⎟ ⎜ σ (i,j) ⎟ ⎜ i ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ σ := ⎜ .. ⎟ ⎟ ⎜ (i
,j
) ⎟ ⎜σi
⎟ ⎝ ⎠ .. . und die N × 2n Blockmatrix S ein, bestehend aus N n Bl¨ocken der Ordnung 1 × 2, wobei sich in der zu (i, j) geh¨ origen Zeile an der Stelle k der Block ⎧ E(i,j) (i,j) ⎪ ⎪ s (i,j) s , falls k = i = ⎪ 1 ⎪ L(i,j) 1 ⎨ E(i,j) (i,j) (i,j) s2 = s , falls k = j ⎪ ⎪ ⎪ L(i,j) 2 ⎪ ⎩ 0 , sonst befindet, k = 1, . . . , n,

2.5 Entfernung von St¨ aben aus einem Tragwerk

i

j

? ? ⎞ ... (i,j) (i,j) ⎜. . .s 1 . . . 0 . . . 0 . . .s 2 . . . ⎟  (i, j) ⎟ ⎜ ⎟ ... , S=⎜ ⎟ ⎜ ⎝. . . 0 . . .s (i
,j
) . . . s (i
,j
) . . . 0 . . . ⎠  (i , j  ) 1 2 ... ⎛

?

j

i

29

?

so lassen sich die Gleichungen (2.26) in der Form σ = Su

(2.27)

zusammenfassen. Aufgrund von (2.24a,b) hat man analog zu Lemma 2.1 die Darstellung  E(i,j) (i,j) S= ci,j S (2.28) L(i,j) i,j mit bestimmten N × 2n Matrizen S (i,j) = S (i,j) (α(i,j) ), die nur von α(i,j) abh¨ angig sind. Wegen (2.17) und (2.20) zerf¨ allt u in einen Nullvektor und u0 = K0−1 F0 . Bezeichnet S0 die aus der Matrix S durch Streichen der zu den Indizes j1 , j2 , . . . , jn−m geh¨ origen Blockspalten hervorgehende N × 2n Teilmatrix, so geht (2.27) u ¨ ber in (2.29) σ = S0 u0 = S0 K0−1 F0 . Analog Lemma 2.4 ergibt sich aus (2.28) S0 =

 i,j

(i,j)

cij

E(i,j) (i,j) S L(i,j) 0

(2.30)

(i,j)

mit N × 2m Matrizen S0 = S0 (α(i,j) ), die durch Entfernen der zu j1 , . . . , jn−m geh¨ origen Blockspalten aus S (i,j) entstehen.

2.5 Entfernung von St¨ aben aus einem Tragwerk Aus einem gegebenen Tragwerk sollen jetzt unter Wahrung der kinematischen Stabilit¨ at ein oder mehrere St¨ abe entfernt werden, so dass ein Teiltragwerk entsteht. Es ist zu kl¨ aren, wie sich aus den fundamentalen Matrizen K, S des (gesamten) Tragwerks diejenigen des Teiltragwerks ableiten lassen. Der K¨ urze halber bezeichne B0 die Menge der zu entfernenden St¨abe. ur Setzt man in der Inzidenzmatrix C des orientierten Tragwerks cij = 0 f¨ alle (i, j) ∈ B0 , so entsprechen die Indizes i, die einer Nullzeile und zugleich einer Nullspalte angeh¨ oren, umkehrbar eindeutig denjenigen Knoten, die in

30

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

dem Teiltragwerk nicht mehr vorkommen. J0 bezeichne die Menge aller dieser Knoten. Die verbleibenden Knoten und St¨ abe des Teiltragwerks seien so nummeriert resp. orientiert, dass die urspr¨ ungliche Reihenfolge resp. Orientierung erhalten bleibt. In der Darstellung  cij q(i,j) K (i,j) K= i,j

von K sowie in der entsprechenden Darstellung S=

 i,j

cij

E(i,j) (i,j) S L(i,j)

von S setze man nun cij = 0 f¨ ur alle (i, j) ∈ B0 und streiche in den sich ergebenden Matrizen alle Blockzeilen und -spalten mit einem Index aus J0 bzw. (bei Blockzeilen in S) aus B0 . Die auf diese Weise aus den fundamentalen Matrizen K, S des Tragwerks entstehenden Matrizen K  , S  sind dann die Fundamentalmatrizen des Teiltragwerks. Diese unmittelbar einsichtige Bemerkung gilt unver¨andert auch f¨ ur die sp¨ater zu behandelnden ebenen Tragwerke mit starren Verbindungen und r¨aumlichen Tragwerke.

2.6 Beispiele 2.6.1 Der Torbogen (portal frame)

y

6 α(2,3) = 0

α(3,4) = (2,3)

2

3

3π 2

x

(1,2)



(3,4) α(1,2) =

π 2

1

4

x

Abb. 2.8. Torbogen

Der Zusammenhang und die Winkelgeometrie im Torbogen sowie die gew¨ ahlte Orientierung ist in der obigen Abbildung dargestellt. Es existieren

2.6 Beispiele

31

also nur die St¨ abe (1, 2), (2, 3), (3, 4), und die Inzidenzmatrix des orientierten Tragwerks lautet ⎛ ⎞ 0100 ⎜0 0 1 0⎟ ⎟ C=⎜ ⎝0 0 0 1⎠. 0000 Da die Verbindungen drehbar sind, ist der Torbogen kinematisch instabil, wenn – wie in Abb. 2.8 – nur die Knoten 1 und 4 verankert sind. Wir werden sehen, wie sich diese Verletzung unserer Voraussetzung von Abschn. 1 auf die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix auswirkt und sp¨ater eine weitere Verankerung einf¨ uhren. Zun¨ achst berechnen wir die Elementsteifigkeitsmatrizen gem¨aß Definition 2.5: -

-

-

Stab (1, 2) (Anfangsknoten 1, Endknoten 2) Wegen α(1,2) = π2 ergibt sich cos α(1,2) = 0, sin α(1,2) = 1 und somit ⎛ ⎞ 0 00 0 ⎟ E(1,2) A(1,2) ⎜ ⎜ 0 1 0 −1 ⎟ k (1,2) = ⎝ 0 0 0 0⎠ L(1,2) 0 −1 0 1 als Elementsteifigkeitsmatrix von (1, 2). Stab (2, 3) (Anfangsknoten 2, Endknoten 3) Mit α(2,3) = 0 und folglich cos α(2,3) = 1, sin α(2,3) = 0 ergibt sich die Elementsteifigkeitsmatrix von (2, 3) als ⎛ ⎞ 1 0 −1 0 ⎟ E(2,3) A(2,3) ⎜ ⎜ 0 0 0 0⎟ k (2,3) = ⎝ −1 0 1 0 ⎠ L(2,3) 00 00 Stab (3, 4) (Anfangsknoten 3, Endknoten 4) alt Hier ist α(3,4) = 3π 2 , also cos α(3,4) = 0, sin α(3,4) = −1, und man erh¨ ⎛ ⎞ 0 00 0 ⎟ E(3,4) A(3,4) ⎜ ⎜ 0 1 0 −1 ⎟ k (3,4) = ⎝ 0 0 0 0⎠ L(3,4) 0 −1 0 1 als Elementsteifigkeitsmatrix von (3, 4).

Im zweiten Schritt fassen wir die Elementsteifigkeitsmatrizen gem¨aß (2.16) zur Gesamtsteifigkeitsmatrix K zusammen. Wegen c12 = c23 = c34 = 1 und sonst cij = 0 und mit

32

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

q(1,2) =

E(1,2) A(1,2) , L(1,2)

q(2,3) =

E(2,3) A(2,3) , L(2,3)

q(3,4) =

E(3,4) A(3,4) L(3,4)

lautet (2.16) hier K = q(1,2) K (1,2) + q(2,3) K (2,3) + q(3,4) K (3,4) . Dabei sind die 8 × 8 Blockmatrizen auf der rechten Seite durch (2.15) bestimmt. Man erh¨ alt

K=

................................................. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. (1,2) (1,2) .. .. k 11 k 12 .. .. .. .. .. .. .. .. ................................................. .. .. .. .. .. .. .. .. (1,2) (1,2) (2,3) (2,3) . .. k 21 k 22 + k 11 .. k 12 .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. (2,3) (3,4) (3,4) (2,3) .. k 12 k 22 + k 11 ... k 21 .. .. .. .. .. .. .................................................. .. .. .. .. .. .. .. .. (3,4) (3,4) .. .. k 22 k 21 .. .. .. .. .. .. ................................................... ..

¨ Es ergibt sich also K durch “Uberlagerung” der Elementsteifigkeitsmatri(1,2) (2,3) (3,4) zen k ,k ,k :

k (1,2)

.. ................................. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. ................................. ... ... .. ... .. ... ..  + ... ... .. .. . . ... (2,3) . k

.. K = .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ................................. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .. ..................................



+ k (3,4)

Kopplung im Knoten 2

Kopplung im Knoten 3

2.6 Beispiele

=

0

0

0

0

q(1,2)

0

0

0

q(2,3)

33

.................................................... .. 0 0 0 0 0 ... .. .. . −q(1,2) 0 0 0 0 .... .. ... 0 −q(2,3) 0 0 0 ... .. .. . q(1,2) 0 0 0 0 .... .. 0 q(2,3) 0 0 0

0 0 −q(1,2) .. .. .. 0 0 −q(2,3) .. .. .. .. 0 0 0 0 .. .. .. .. 0 0 0 0 .. .. .. .. .. 0 0 0 0 .. ..................................................

0

q(3,4)

0

−q(3,4)

0

0

0

0

0

−q(3,4)

0

q(3,4)

Betrachten wir nun den Fall, dass nur die Knoten 1, 4 verankert sind: i1 = 2, i2 = 3; j1 = 1, j2 = 4. Gem¨ aß Bemerkung 2.3 lautet die zugeh¨ orige reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix ⎞ ⎛ q(2,3) 0 −q(2,3) 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎟ q(1,2) ⎟ ⎜ K0 = ⎜ ⎟. ⎜ −q(2,3) 0 q(2,3) 0 ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 0 q(3,4) Da die erste und dritte Zeile linear abh¨ angig sind, ist K0 nicht invertierbar. Das war auch nicht zu erwarten, weil in diesem Fall der Torbogen kinematisch instabil ist. Wir f¨ uhren daher eine zus¨ atzliche Verankerung in dem Knoten 2 ein. Dann sind i1 = 3; j1 = 1, j2 = 2, j3 = 4, und

⎞

⎛ K0 = ⎝

q(2,3)

0

0

q(3,4)

⎠.

ist invertierbar.

 Fx3 Es sei F3 = die auf den freien Knoten wirkende ¨außre Kraft. Fy3 Die Verschiebung des freien Knotens berechnet sich gem¨aß (2.20) zu

34

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

u3 = K0−1 F3 , d.h. u3 =

y

Fx3 , q(2,3)

v3 =

Fy3 . q(3,4)

y

6

Fy3

6 6



> -

F2 2 (Lagerreaktion)

3

1

4

F3

-

x

Fx3

-

x

F4

(Lagerreaktion)

?

Abb. 2.9. Lagerreaktionen

Zur Bestimmung der Lagerkr¨ afte ben¨ otigen wir die Matrix K10 , die durch Streichen der zu i1 geh¨ origen Blockzeile und der zu j1 , j2 , j3 geh¨origen Blockspalten aus K hervorgeht: ⎞ ⎛ 0 0 ⎜ 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜−q(2,3) 0 ⎟ ⎟. K10 = ⎜ ⎜ 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 ⎠ 0 −q(3,4) Nach (2.19) gilt dann

⎛

0 0

0 0

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ F1 ⎜−q(2,3) 0 ⎟ ⎟ u3 , ⎝ F2 ⎠ = ⎜ ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ F4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 ⎠ 0 −q(3,4) ⎛

⎞

2.6 Beispiele

35

also





 

 −q(2,3) u3 0 −Fx3 0 F1 = 0, F2 = = , F4 = = . 0 0 −q(3,4) v3 −Fy3

Ein Blick auf Abb. 2.9 zeigt die Evidenz dieses Resultats. Schließlich berechnen wir die Elementspannungen. Mit der lexikographischen Anordnung der St¨ abe (1, 2) < (2, 3) < (3, 4) ⎛

wird

(1,2)

s ⎜ 1 S=⎝ 0 0

⎞ (1,2) 0 0 s2 ⎟ (2,3) (2,3) s1 0 ⎠. s2 (3,4) (3,4) s2 0 s1

Nun ist nach (2.24a,b), (2.25) (1,2)

s1

(2,3)

s1

(3,4)

s1

 E(1,2) E(1,2) (1,2) (cos α(1,2) , sin α(1,2) ) = 0, = −s 2 L(1,2) L(1,2)

 E(2,3) E(2,3) (2,3) = (cos α(2,3) , sin α(2,3) ) = , 0 = −s 2 L(2,3) L(2,3)

 E(3,4) E(3,4) (3,4) = (cos α(3,4) , sin α(3,4) ) = 0, − = −s 2 L(3,4) L(3,4) =

und folglich ⎛

E(1,2) E(1,2) 0 − 0 0 0 0 ⎜ 0 L(1,2) L(1,2) ⎜ ⎜ E(2,3) E(2,3) 0 − 0 0 0 S=⎜ ⎜0 0 L L(2,3) (2,3) ⎜ ⎝ E(3,4) E(3,4) 0 0 0 0 0 − 0 L(3,4) L(3,4)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠

Durch Streichen der zu den Indizes j1 , j2 , j3 geh¨origen Blockspalten ergibt sich ⎞ ⎛ 0 0 ⎟ ⎜ E(2,3) ⎜− 0 ⎟ ⎟, ⎜ L S0 = ⎜ (2,3) ⎟ ⎝ E(3,4) ⎠ 0 − L(3,4) und mit (2.29) folgt ⎞ 0 0 ⎟ ⎜ ⎜− 1 0 ⎟ −1 ⎜ ⎟ F3 . σ = S0 K0 F3 = ⎜ A(2,3) ⎟ ⎝ 1 ⎠ 0 − A(3,4) ⎛

36

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

Damit erh¨ alt man (1,2)

σ1

(2,3)

= 0,

σ2

Fx3 , A(2,3)

σ3

Fx3 , A(2,3)

σ4

=−

(3,4)

=−

(3,4)

=

Fy3 A(3,4)

und nach (2.23) (1,2)

σ2

(2,3)

= 0,

σ3

=

Fy3 . A(3,4)

Anmerkung: Durch Einf¨ uhrung der zus¨ atzlichen Verankerung in Knoten 2 ist nat¨ urlich der Stab (1, 2) funktionslos geworden. Man h¨atte ihn, und damit auch den Knoten 1, gem¨ aß Abschn. 2.5 von vornherein entfernen k¨onnen und sich dadurch das Mitf¨ uhren von u ussigen Nullbl¨ocken erspart. ¨ berfl¨ 2.6.2 Der Dreistab y 6 α(2,4)

α(2,3)

-

x

2

1 (1,2)

 (2,3)

(2,4)

I 1

α(1,2)

3

4

-

x

Abb. 2.10. Dreistab

Gem¨ aß Abb. 2.10 sind die Knoten 1,3,4 (drehbar) verankert, die Belastung wirkt auf den Knoten 2. Es existieren nur die Elemente (1, 2), (2, 3), (2, 4). Die Inzidenzmatrix des orientierten Tragwerks lautet ⎛ ⎞ 0100 ⎜0 0 1 1⎟ ⎟ C=⎜ ⎝0 0 0 0⎠. 0000 Die Elementsteifigkeitsmatrizen schreiben sich f¨ ur

2.6 Beispiele

37

– Stab (1, 2): E(1,2) A(1,2) k (1,2) = L(1,2) ⎞ ⎛ cos2 α(1,2) cosα(1,2) sinα(1,2) −cos2 α(1,2) −cosα(1,2) sinα(1,2) ⎟ ⎜ sinα(1,2) cosα(1,2) sin2 α(1,2) −sinα(1,2) cosα(1,2) −sin2 α(1,2) ⎟ ·⎜ 2 2 ⎝ −cos α(1,2) −cosα(1,2) sinα(1,2) cos α(1,2) cosα(1,2) sinα(1,2) ⎠ −sinα(1,2) cosα(1,2) −sin2 α(1,2) sinα(1,2) cosα(1,2) sin2 α(1,2) – Stab (2, 3): E(2,3)A(2,3) k (2,3) = L(2,3) ⎛ ⎞ cosα(2,3) sinα(2,3) −cos2 α(2,3) −cosα(2,3) sinα(2,3) cos2 α(2,3) ⎜ sinα(2,3) cosα(2,3) ⎟ sin2 α(2,3) −sinα(2,3) cosα(2,3) −sin2 α(2,3) ⎟ ·⎜ 2 2 ⎝ −cos α(2,3) −cosα(2,3) sinα(2,3) cos α(2,3) cosα(2,3) sinα(2,3) ⎠ −sinα(2,3) cosα(2,3) −sin2 α(2,3) sinα(2,3) cosα(2,3) sin2 α(2,3) – Stab (2, 4): E(2,4)A(2,4) k (2,4) = L(2,4) ⎛ ⎞ cosα(2,4) sinα(2,4) −cos2 α(2,4) −cosα(2,4) sinα(2,4) cos2 α(2,4) ⎜ sinα(2,4) cosα(2,4) ⎟ sin2 α(2,4) −sinα(2,4) cosα(2,4) −sin2 α(2,4) ⎟ ·⎜ 2 ⎝ −cos2 α(2,4) −cosα(2,4) sinα(2,4) cos α(2,4) cosα(2,4) sinα(2,4) ⎠ −sinα(2,4) cosα(2,4) −sin2 α(2,4) sinα(2,4) cosα(2,4) sin2 α(2,4) ¨ Ahnlich wie im vorigen Beispiel erh¨ alt man ......................................... ... ... .. .. ... ... .. . . (1,2) (1,2) .. . k 11 k 12 .. ... .. .. ... ... .. .. ......................................... .. .. .. .. (1,2) . ... . k 22 .. ..  Verbindung .. (2,4) (1,2) (2,3) (2,3) ... . k 21 k 12 .. k 12 +k 11 .. im 2. Knoten .. .. (2,4) .. ... +k 11 .. .. .. .......................................... K = .... ... ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. (2,3) (2,3) ... ... ... ... k 21 ... k 22 .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. ................................................................................... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. (2,4) .. . .. .. k (2,4) . k .. .. 21 22 .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. ................................................................................... .. .. ..

38

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

oder ......................................... .. ... .. .. ... ... ... .. ... ... .. .. ... .. .. ... (1,2) ......................................... . ... . k .. .. .. ... .. ..  Kopplung . . (2,4) (2,4) .. . +k 11 ... k 12 .. im 2. Knoten .. ... .. ... .. ... .. ... K = .... k (2,3)..................................... ... .. .. . .. . . .. . . ... .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. ... ... .. .. .. .. ... ... . .. . ... ... .. ... ... . . .. . .................................................................................. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... ... . . .. .. .. ... .. ... .. .. (2,4) (2,4) . .. .. . . . k k .. .. . .. 21 22 . ... . . . .. ... ... ... .. ... ........................................................................................... Wegen i1 = 2; j1 = 1, j2 = 3, j3 = 4 ergibt sich die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix (1,2)

K0 = k 22 ⎛

=⎝

(2,3)

(2,4)

+ k 11 + k 11  q(i,j) cos2 α(i,j)



q(i,j) sin α(i,j) cos α(i,j)

⎞ q(i,j) cos α(i,j) sin α(i,j) ⎠,  q(i,j) sin2 α(i,j)

E(i,j) A(i,j) und u ¨ ber (i, j) = (1, 2), (2, 3), (2, 4) zu summieren L(i,j) ist. Mit Hilfe der versch¨ arften Schwarzschen Ungleichung u ¨ berzeugt man sich leicht, dass det K0 > 0, K0 also tats¨ achlich invertierbar ist. außere Last. Es sei F2 die auf den Knoten 2 wirkende ¨ Dann ist zun¨ achst wobei q(i,j) =

u2 = K0−1 F2 = (k 22

(1,2)

(2,3)

+ k 11

+ k 11 )−1 F2

die zugeh¨ orige Verschiebung. Da ⎛ K10

(1,2)

k 12

⎞

⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ (2,3) ⎟ = ⎜ k 21 ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ (2,4) k 21

erh¨ alt man weiter die Lagerreaktionen

(2,4)

2.6 Beispiele

F1 = k 12 u2 = k 12 K0−1 F2 (1,2)

(1,2)

F3 = k 21 u2 = k 21 K0−1 F2 (2,3)

(2,3)

F4 = k 21 u2 = k 21 K0−1 F2 . (2,4)

(2,4)

Zur Bestimmung der Elementspannungen hat man wegen (1, 2) < (2, 3) < (2, 4) ⎛

zu setzen:

(1,2)

s ⎜ 1 S=⎝ 0 0

⎞ (1,2) s2 0 0 ⎟ (2,3) (2,3) s2 0 ⎠ s1 (2,4) (2,4) s1 0 s2

⎞ (1,2) s2 ⎟ ⎜ S0 = ⎝ s (2,3) ⎠. 1 (2,4) s1 ⎛

und

Aus den Gleichungen = (−1)κ−1 s (i,j) κ

E(i,j) (cos α(i,j) , sin α(i,j) ), L(i,j)

(i, j) = (1, 2), (2, 3), (2, 4)

und σ = S0 u2 ergibt sich dann (1,2)

σ1

(2,3)

σ2

(2,4)

σ2

E(1,2) (1,2) (cos α(1,2) , sin α(1,2) )K0−1 F2 = −σ2 L(1,2) E(2,3) (2,3) (cos α(2,3) , sin α(2,3) )K0−1 F2 = −σ3 =− L(2,3) E(2,4) (2,4) (cos α(2,4) , sin α(2,4) )K0−1 F2 = −σ4 . =− L(2,4) =−

Wir entfernen jetzt Stab (2,4) aus dem Dreistab und geben explizit vor: α(1,2) =

3 π π 7 und α(2,3) = π = π + . 2 4 2 4

39

40

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen y 6

α(2,3) =

7π 4

2

 π 4

(1,2)

(2,3)

 1 α(1,2) =

π 2

π 4

3

-

x

Abb. 2.11. 2-Stab

In den Bezeichnungen von Abschn. 2.5 erh¨ alt man: B0 = {(2, 4)} ⎛ ⎞ 0100 ⎜0 0 1 0⎟ ⎟ C = ⎜ ⎝ 0 0 0 0 ⎠ und J0 = {4} 0000 .. ................... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .............k (1,2) K = .. .. .. .. ... .. .. ..................  S =

(1,2)

s1 0

k (2,3)............. .. .. ... .. .. .. (1,2)

0 s2 (2,3) (2,3) s1 s2

 ,

2.6 Beispiele

⎛ also

K0

=k

(1,2) 22

+k

(2,3) 11 ,

 K10

⎜ = ⎝

(1,2)

k 12 k

(2,3) 21

⎞ ⎟ ⎠, und S0 =



(1,2)

41



s2 (2,3) s1

.

√

Mit cos α(1,2) = 0, sin α(1,2) = 1 und cos α(2,3) = 22 , sin α(2,3) = −

 00 (1,2) (1,2) k 22 = q(1,2) = −k 12 01

1 1 (2,3) (2,3) 2 −2 k 11 = q(2,3) = −k 21 − 21 12 E(1,2) (1,2) =− s2 (0, 1) L(1,2) √ √  E(2,3)
2 2 (2,3) . ,− = s1 L(2,3) 2 2

√ 2 2

wird

Somit gilt ⎞−1 1 1 − q(2,3) ⎟ ⎜ 2 q(2,3) 2 ⎠ F2 ⎝ 1 1 − q(2,3) q(1,2) + q(2,3) 2 2 ⎞ ⎛ 1 1 2 + ⎜ q(2,3) q(1,2) q(1,2) ⎟ ⎟ ⎜ 1 1 ⎠ F2 ⎝ q(1,2) q(1,2) ⎛ ⎞ 2Fx2 Fx2 + Fy2 + ⎜ q(2,3) q(1,2) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Fx2 + Fy2 q(1,2) ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 0 0 0 ⎠ u2 = ⎝ ⎝ ⎠ 0 −q(1,2) −Fx2 − Fy2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 q q − −Fx2 ⎜ 2 (2,3) 2 (2,3) ⎟ ⎠ ⎠ u2 = ⎝ ⎝ 1 1 Fx2 q(2,3) − q(2,3) 2 2 ⎛ ⎛ E(1,2) ⎞ Fx2 + Fy2 0 − − ⎜ ⎜ ⎟ L √ (1,2) ⎟ u2 = ⎜ √A(1,2) ⎜√ ⎝ 2E(2,3) ⎝ 2E(2,3) ⎠ 2Fx2 − A(2,3) 2L(2,3) 2L(2,3) ⎛

u2 =

=

=

F1 =

F3 =

σ=

⎞ ⎟ ⎟. ⎠

Als Sonderfall erw¨ ahnen wir noch, dass man durch Entfernung des Stabes (2,4) und Vorgabe von α(1,2) = 0

und

α(2,3) = π

42

2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen

die singul¨are Matrix K0 =



20 00



erh¨alt. Tats¨achlich ist das zugeh¨ orige Tragwerk kinematisch instabil, denn senkrecht zu den Stabachsen ist der Knoten 2 im Großen verschiebbar.

Abb. 2.12. Lineares Tragwerk

3. Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

In diesem Abschnitt betrachten wir ein ebenes Stabtragwerk, in dem alle Verbindungen der St¨ abe untereinander und mit der Verankerung starr sind. Hier k¨ onnen Drehmomente u ¨ ber die Knoten auf die angrenzenden St¨abe wirken. Die (wieder nur in den Knoten angreifenden) ¨ außeren Kr¨afte m¨ ussen also mit einer entsprechenden Komponente versehen sein. Im Gleichgewichtszustand registriert man außer den L¨angen¨anderungen noch Verbiegungen der St¨ abe. Letztere werden im Folgenden lediglich u ¨ber die Verdrehungen der Knoten erfasst und den Verschiebungsvektoren als dritte Komponente hinzugef¨ ugt. Um die Beziehung zwischen den solcherart erweiterten Lasten und Verschiebungen darzustellen, wird wie in 2 ein globales {x, y}-Koordinatensystem in der Ebene des Tragwerks eingef¨ uhrt. Weiterhin erweitern wir die Vielfalt von m¨ oglichen Tragwerken, indem wir neben freien und verankerten Knoten als weiteren Typ gest¨ utzte Knoten zulassen. Der Einfachheit halber beschr¨ anken wir uns dabei aber auf solche St¨ utzen, die Knotenverschiebungen l¨ angs einer der beiden globalen Koordinatenachsen ausschließen.

3.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix Wir betrachten wieder zuerst das Verhalten eines einzelnen Elementes (i, j) des Tragwerks. Außer den in Definition 2.2 erfassten Kr¨ aften haben wir hier bei Belastung Drehmomente zu ber¨ ucksichtigen. Bezugspunkt f¨ ur die Drehmomente ist ein beliebiger, aber fest gew¨ ahlter Punkt der {x, y}-Ebene. Nach Voraussetzung sollen die Drehmomente nur eine z-Komponente besitzen und d¨ urfen daher als Skalare aufgefasst werden. Definition 3.1. Mi bzw. Mj sei das in dem Knoten i bzw. j angreifende ¨außere Drehmoment (genauer dessen z-Komponente). Die Momente Mi (in den freien Knoten als bekannt anzusehen) setzen sich wieder zusammen aus ihren auf die angrenzenden St¨abe wirkenden Bestandteilen.

44

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen (i,j)

(i,j)

Definition 3.2. Mi bzw. Mj sei das im Gleichgewichtszustand in den Knoten i bzw. j auf den Stab (i, j) wirkende ¨außere Drehmoment. Neben die in Definition 2.4 erfassten Verschiebungen der Knoten treten hier noch deren Verdrehungen. Betrachtet man den Knoten i als starren K¨ orper, dessen Schwerpunkt in der {x, y}-Ebene liegt, so l¨asst sich seine Bewegung von der Ausgangslage in die Gleichgewichtslage bekanntlich in die Translation ui seines Schwerpunktes und die Rotation θi um die z-Achse durch diesen Punkt zerlegen. Definition 3.3. θi heißt der Verdrehungswinkel des Knotens i. y 6

o) i

> αo i

-

γ

-

x Gleichgewichtslage

x Ausgangslage

-

x

θi = γ − α Abb. 3.1. Verdrehungswinkel eines Knoten

Wie u ¨ blich, erfolgt die Winkelmessung im Gegenuhrzeigersinn. Wie in Abschn. 2.1 f¨ uhren wir ein dem Stab (i, j) angepasstes lokales Koordi(i,j) (i,j)   natensystem {x , y } ein. Offensichtlich sind die Gr¨oßen Mi , Mi , Mj , θi unabh¨ angig davon, ob das globale oder das lokale Koordinatensystem zugrunde gelegt wird. Mit derselben Begr¨ undung wie in Abschn. 2.1 ergibt sich, dass in der Gleichgewichtslage des Stabes (i, j) bis auf “kleine Gr¨oßen zweiter Ordnung” die (i,j) (i,j) (i,j) in L¨ angsrichtung wirkenden Kraftkomponenten durch Fx
j , Fx
i = −Fx
j gegeben sind und die Beziehung (i,j)

Fx
j = besteht, siehe (2.5).

EA  (uj − ui ) L

3.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix y 6



y
M



(i,j)

Mi

... ... . . . ... ... } . . .. ... ... θi . K αM . .. α +
α .... i

45

(i,j)

Mj ... ... . . ... ... . . .. j .....θ } . . . j ... . . ... ...

1x


-

x

-

x

Abb. 3.2. Momente und Verdrehungswinkel (i,j)

Dagegen haben wir die Beziehungen zwischen den Gr¨oßen Mk θk , vk f¨ ur k = i, j jetzt zu untersuchen.

(i,j)

, Fy
k ,

3.1.1 Beziehungen zwischen Momenten, Querkr¨ aften, Verdrehungen und Querverschiebungen Wir legen zun¨ achst wieder das lokale Koordinatensystem {x , y  } zugrunde. ¨ Abb. 3.3 zeigt den Stab (i, j) beim Ubergang von der Ausgangslage in die Gleichgewichtslage. Der Einfachheit halber lassen wir den Index (i, j) bis auf weiteres fort. y
6

Y Mj k Mi

y
6 6 Fy
i ..................................................................................................................... vj
.......................K 6 .θo θi
.. j vi

. v (x ) .. Fy
j ..? . ? .
j i  !" x  !
"
ui - uj L Abb. 3.3. Biegung eines Stabes (Balkens)

-

x


-

x


46

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

Da es sich um sehr kleine Winkel handelt, gilt approximativ dv  (0) = tan θi ≈ θi dx  dv (L) = tan θj ≈ θj . dx

(3.1) (3.2)

Wir betrachten nun die Bedingungen f¨ ur den Gleichgewichtszustand. F¨ ur die Kr¨ afte gilt unver¨ andert Fi + Fj = 0. Bei den Drehmomenten approximieren wir den von dem Kr¨ aftepaar Fi , Fj gelieferten Beitrag ⎛

⎛  ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ L + uj − ui uj − ui L ⎝ vj − vi ⎠ × Fj = ⎝ 0 ⎠ × Fj + ⎝ vj − vi ⎠ × Fj 0 0 0 durch

⎞ ⎛ ⎛ ⎞ L 0 ⎝ 0 ⎠ × Fj = ⎝ 0 ⎠ , LFy
j 0

da der zweite Summand von kleinerer Gr¨ oßenordnung ist. F¨ ur den ganzen Stab haben wir dann neben (2.2) die Gleichgewichtsbedingung Mi + Mj + LFy
j = 0.

(3.3)

Wir denken uns jetzt im Abstand x > 0 vom Knoten i einen Querschnitt durch den Stab (i, j) im Gleichgewichtszustand gelegt. M (x ) = Mz (x ) bezeichne das auf diesen Querschnitt wirkende ¨ außere Drehmoment (Biegemoment). Als Summe der ¨ außeren Drehmomente, welche auf den von x bis L reichenden Teil des Stabes wirken, wird wie eben M (x ) = Mj + (L − x )Fy
j .

(3.4)

Wir ben¨ otigen noch Definition 3.4. Der Ursprung des lokalen Koordinatensystems {y  , z  } = {y  , z} sei in den Schwerpunkt des Querschnittes A (Durchstoßpunkt der neutralen Faser) des Stabes (i, j) gelegt. Dann heißt das Integral # 2 z z I = I = I(i,j) = y  dA A

das Tr¨ agheitsmoment des Stabquerschnittes (bzgl. der z-Achse).

3.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix





y 6

47




y 6

y 6 Querschnitt A



-

x


0

x







L


z

z

Abb. 3.4. Stabquerschnitt

Je nach Zusammenhang bezeichnet A die Querschnittsfl¨ache des Stabes oder deren Inhalt. Beispiel 3.1. Tr¨agheitsmomente verschiedener Stabquerschnitte a) Rechteck y
6

1

x


L .......

6

h

z


0

? .. ....... ...

..

-... b Abb. 3.5. Rechteck

Es gilt A = b·h

48

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

#

b

y  dA =

#+ 2

h

#+ 2

2

I = Iz =

+b

y  dy  dz  = [z  ]− 2b · 2

$

2

%+ h2

z
=− 2b y
=− h 2

A

1 = b· 3

1 3 y 3

 

3  3 h h3 b · h3 Ah2 b h = = . = ·2 − − 2 2 3 8 12 12

b) Kreis y
6

1x
L .....................

6

-

d

z


? ..................... 0

Abb. 3.6. Kreis

πd2 A = πr2 = 4 # Ad2 πd4 2 = I = I z = y  dA = 64 16 A

c) Kreisring y
6

1x


..................... D

6 ............... 6 d ............... ? ? .....................

-

z


Abb. 3.7. Kreisring

−h 2

3.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

A=

π 2 (D − d2 ) 4 #

y  dA = 2

I = Iz =

A 2 π (D4 − d4 ) = (D + d2 ) 64 16

A

d) Ellipse

y
6

1

x


....................... b

6

.. .. . .? ........................ .. . a

-

.. .. .. .. -...

z




Abb. 3.8. Ellipse

A=

πab 4

#

y  dA = 2

I = Iz =

A 2 πab3 = b 64 16

A

e) Gleichschenkliges Dreieck y
6 1x
.........................

62h 6

h

3

S .....? ..............

.? ...........

-

0

.. .. ... ..

.. .. .. .. -...

b Abb. 3.9. Dreieck

z


49

50

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

A=

bh 2

#

y  dA = 2

I = Iz =

A 2 bh3 = h 36 18

A

f ) Regelm¨aßiges Sechseck

y
..... ..... .. R 

1x


6 ................................

6

..... ..... ..

s

z


................................?

Abb. 3.10. Sechseck

√ 3R √ R · 2s 3 3 2 = R A = 6· 2 2 √ # 5 5 3 4 5 4 z 2 R = AR2 . I = I = y dA = √ s = 16 24 48 3 s=

A

Nach dieser Einschaltung setzen wir die Analyse des Gleichgewichtszustandes des Stabes (i, j) fort. Es sei vorausgesetzt, dass die y  -Achse eine Symmetrieachse (allgemeiner: eine Haupttr¨ agheitsachse) des Querschnittes ist. Aus der Biegetheorie (linear-elastischer Fall) u ¨bernehmen wir die Gleichung M (x ) = EI

d2 v  , dx2

(3.5)

wobei E den Elastizit¨ atsmodul und I das Tr¨agheitsmoment des Stabquerschnittes bezeichnen. (Vgl. etwa [MaHo00, S. 176]). Einsetzen von (3.4) in (3.5) ergibt die Differentialgleichung EI

d2 v  = Fy
j (L − x ) + Mj , dx2

(3.6)

3.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

und durch zweimalige Integration folgt

 dv  x2  EI  = Fy
j Lx − + Mj x + C1 dx 2

2  x2 x3 x EIv  = Fy
j L − + C1 x + C2 . + Mj 2 6 2

51

(3.7) (3.8)

Die Konstanten C1 , C2 lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Wegen (3.1) erh¨ alt man aus (3.7) f¨ ur x = 0 zun¨achst EIθi = C1 . Ferner folgt aus (3.8) und v  (0) = vi EIvi = C2 . Analog ergibt sich wegen (3.2) und v  (L) = vj aus (3.7) und (3.8)

 L2 EIθj = Fy
j L2 − + Mj L + C1 2 L2 + Mj L + EIθi , = Fy
j

2 3  L L3 L2  − + C1 L + C2 EIvj = Fy
j + Mj 2 6 2 L2 L3 + Mj + EIθi L + EIvi = Fy
j 3 2 unter Verwendung der ermittelten Werte f¨ ur C1 , C2 . Somit gilt L2 + Mj L = EI(θj − θi ) 2 3 L L2 Fy
j + Mj = −EILθi + EI(vj − vi ). 3 2 Wir l¨ osen dieses lineare Gleichungssystem nach Fy
j , Mj auf und erhalten Fy
j

12EI  6EI 12EI  6EI v − 2 θi + v − 2 θj L3 i L L3 j L 6EI  2EI 6EI  4EI θi − 2 vj + θj . Mj = 2 vi + L L L L

Fy
j = −

Mit den Gleichgewichtsbedingungen (2.2) und (3.3) erh¨alt man dann weiter Fy
i = −Fy
j 12EI  6EI 12EI  6EI = vi + 2 θi − vj + 2 θj 3 3 L L L L Mi = −Mj − LFy
j 6EI 4EI 6EI 2EI θi − 2 vj + θj . = 2 vi + L L L L

52

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

Schließlich werden die letzten vier Gleichungen zu der Vektorgleichung ⎛ ⎞ 12EI 6EI 12EI 6EI ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ − ⎜ L3 L2 L3 L2 ⎟ Fy
i ⎜ ⎟ vi 4EI 6EI 2EI ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 6EI ⎜ ⎟⎜θ ⎟ ⎜M ⎟ ⎜ − 2 2 i ⎜ i⎟ ⎟ ⎜ L ⎜ L L L ⎟ (3.9) ⎟⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ 12EI 6EI 6EI 12EI ⎟ ⎜ v ⎟ ⎜Fy
j ⎟ ⎜ j⎠ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎜− 3 − 2 ⎝ ⎜ L L L3 L2 ⎟ ⎝ 6EI Mj 6EI 4EI ⎠ θj 2EI − 2 L2 L L L zusammengefasst. 3.1.2 Herleitung und Struktur der Elementsteifigkeitsmatrix Fasst man alle Beziehungen zwischen L¨ angs-, Querkr¨aften, Momenten (Fx
i , Fy
i , Mi , Fx
j , Fy
j , Mj ) und Verschiebungen, Verdrehungen (ui , vi , θi , uj , vj , θj ) im Stab (i, j) zusammen, also ⎛ EA 0 ⎞ ⎜ L ⎛ ⎜ 12EI ⎜ F
⎜ x i⎟ ⎜ 0 ⎜
⎟ ⎜ L3 ⎜ Fy i ⎟ ⎜ 6EI ⎟ ⎜ ⎜ ⎜M ⎟ ⎜ 0 ⎜ i⎟ ⎜ L2 ⎟=⎜ ⎜ ⎜Fx
j ⎟ ⎜ EA ⎟ ⎜− ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜Fy
j ⎟ ⎜ L 12EI ⎠ ⎜ ⎝ ⎜ 0 − 3 ⎜ Mj L ⎝ 6EI 0 L2

die Gleichungen (2.5) und (3.9), so erh¨alt man ⎞ EA 0 − 0 0 ⎟ ⎛ ⎞ L ⎟ 12EI 6EI ⎟ ui 6EI ⎟⎜ ⎟ 0 − 3 ⎜ ⎟ L2 L L2 ⎟ ⎟ ⎜ v ⎟ 4EI 6EI 2EI ⎟ ⎜ i ⎟ ⎟⎜ θ ⎟ 0 − 2 ⎜ i⎟ L L L ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ (3.10) EA ⎟ ⎜ u ⎟ 0 0 0 ⎟⎜ j ⎟ ⎟⎜  ⎟ L ⎟⎜ ⎟ 6EI 12EI 6EI ⎟ ⎝ vj ⎠ ⎟ − 2 0 − L L3 L 2 ⎟ θj 2EI 6EI 4EI ⎠ 0 − 2 L L L

Um von den bis jetzt benutzten lokalen zu globalen Koordinaten u ¨ berzugehen, beachten wir: Hat ein Vektor die globalen Koordinaten x, y, z und die lokalen Koordinaten x , y  , z  , so gilt wegen (2.1) und z  = z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ x cos α sin α 0 x ⎝ y  ⎠ = ⎝ − sin α cos α 0 ⎠ ⎝ y ⎠ z 0 0 1 z und

3.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

53

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛  ⎞ x cos α − sin α 0 x ⎝ y ⎠ = ⎝ sin α cos α 0 ⎠ ⎝ y  ⎠ . z z 0 0 1 F¨ ur das Folgende setzen wir der K¨ urze halber c = cos α,

s = sin α

(3.11)

Die Transformation von (3.10) ergibt dann ⎞⎛ EA ⎞⎛ ⎞ ui c −s 0 0 0 0 0 0 − EA 0 0 L L ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 6EI 6EI ⎟⎜  ⎟ 12EI ⎜ Fyi ⎟ ⎜s c 0 0 0 0⎟⎜ 0 0 − 12EI L3 L2 L3 L2 ⎟⎜ vi ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 4EI 2EI ⎟ 6EI ⎜ Mi ⎟ ⎜0 0 1 0 0 0⎟⎜ 0 ⎟⎜ ⎟ 0 − 6EI L2 L L2 L ⎟⎜ θi ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ EA 0 0 0 0 ⎟⎜uj ⎟ ⎜Fxj ⎟ ⎜0 0 0 c −s 0⎟⎜− EA L ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ L ⎜F ⎟ ⎜0 0 0 s c 0⎟⎜ 0 − 12EI − 6EI 0 12EI 6EI ⎟⎜  ⎟ − 3 2 3 2 ⎝ yj ⎠ ⎝ ⎠⎝ L L L L ⎠⎝ vj ⎠ 6EI 2EI 6EI 4EI 0 0 00 0 1 0 0 − L2 Mj θj L2 L L ⎛ ⎛ EA ⎞ ⎞ 6EI EA ui c L −s 12EI s 12EI −s 6EI L3 −s L2 −c L L3 L2 ⎜ ⎜ EA ⎟ ⎟ 12EI ⎜s ⎟⎜ ⎟ c 12EI c 6EI −s EA c 6EI L3 L2 L −c L3 L2 ⎟ ⎜ vi ⎟ ⎜ L ⎜ ⎟ ⎜ 6EI 4EI 2EI ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ θi ⎟ 0 − 6EI L2 L L2 L ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎜ EA 12EI ⎟⎜ ⎟ s 6EI c EA −s 12EI s 6EI ⎜u ⎟ ⎜−c L s L3 L2 L L3 L2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ j⎟ ⎜−s EA −c 12EI −c 6EI s EA c 12EI −c 6EI ⎟ ⎜ v  ⎟ ⎝ L L3 L2 L L3 L2 ⎠ ⎝ j ⎠ 6EI 2EI 6EI 4EI 0 − L2 0 θj L2 L L ⎞⎛ ⎞ ⎛ EA ⎛ ⎞ 6EI EA 12EI c L −s 12EI c s 0 0 0 0 ui −s 6EI L3 −s L2 −c L s L3 L2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ EA ⎟⎜ 12EI EA 12EI ⎜s ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ c 6EI c 6EI L2 −s L −c L3 L2 ⎟⎜−s c 0 0 0 0⎟⎜ vi ⎟ ⎜ L c L3 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6EI 4EI 2EI ⎟⎜ ⎜ 0 0 0 1 0 0 0⎟⎜ θi ⎟ 0 − 6EI L2 L L2 L ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎜ EA 12EI ⎟⎜ ⎟ EA 12EI 6EI ⎟⎜ 0 0 0 c s 0 s 6EI c −s s ⎜−c L s L3 ⎜ ⎟ ⎟⎜uj ⎟ 2 3 2 L L L L ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜−s EA −c 12EI −c 6EI s EA c 12EI −c 6EI ⎟⎜ 0 0 0 −s c 0⎟⎜ v ⎟ 3 2 3 2 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎝ j ⎠ L L L L L L 6EI 2EI 6EI 4EI 0 0 0 0 0 1 θj 0 0 − L2 L2 L L ⎛

Fxi

also mit

⎞

⎛

(Fxi , Fyi , Mi , Fxj , Fyj , Mj ) = k (ui , vi , θi , uj , vj , θj )

(3.12)

54

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

⎛

k = k (i,j)

2 12EI c2 EA L + s L3 ⎜ ⎜ cs EA − cs 12EI ⎜ L L3 ⎜ 6EI ⎜ −s L2 ⎜ := ⎜ ⎜ −c2 EA − s2 12EI ⎜ L L3 ⎜ 12EI EA ⎜ −cs L + cs L3 ⎝

−s 6EI L2

12EI cs EA −s 6EI L − cs L3 L2 2 12EI s2 EA L + c L3

c 6EI L2

c 6EI L2

4EI L 12EI 6EI −cs EA + cs s 3 L L L2 2 EA 2 12EI −s L − c L3 −c 6EI L2 2EI c 6EI L2 L

EA 6EI 12EI 2 12EI −c2 EA L − s L3 −cs L + cs L3 −s L2

⎞

⎟ 12EI 6EI ⎟ 2 EA 2 12EI −cs EA + cs −s − c c L L3 L L3 L2 ⎟ ⎟ 6EI 6EI 2EI ⎟ s L2 −c L2 ⎟ L ⎟ EA 12EI 6EI ⎟ 2 EA 2 12EI c L + s L3 cs L − cs L3 s L2 ⎟ ⎟ 12EI 2 12EI ⎟ cs EA s2 EA −c 6EI L − cs L3 L + c L3 L2 ⎠ −c 6EI L2

s 6EI L2

4EI L

Definition 3.5. Die vorstehende Matrix k = k (i,j) , in der c und s durch (3.11) gegeben sind, heißt die Elementsteifigkeitsmatrix des Stabes (i, j). Die Matrix in Gleichung (3.10) wird zur Unterscheidung Elementsteifigkeitsmatrix in lokalen Koordinaten genannt. Bemerkung 3.1. F¨ ur jeden Stab (i, j) ist k (i,j) symmetrisch. Entsprechend der Zusammensetzung von (3.10) aus (2.6) und (3.9) haben wir die Zerlegung k (i,j) = k (i,j) + k (i,j) (3.13) a z von k (i,j) in zwei Summanden ⎛

k (i,j) a

und

c2

cs 0 −c2 −cs 0

0

0 0

⎜ ⎜ ⎜ cs s2 ⎜ EA ⎜ ⎜ 0 0 = ⎜ L ⎜ −c2 −cs ⎜ ⎜ ⎜ −cs −s2 ⎝

⎞

⎟ ⎟ 0 −cs −s2 0 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 c2 cs 0 ⎟ ⎟ ⎟ 2 0 cs s 0 ⎟ ⎠ 0

0 0

3.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

⎛

k (i,j) z

s2 L123 ⎜ ⎜ −cs 12 ⎜ L3 ⎜ ⎜ −s 6 ⎜ L2 = EI ⎜ ⎜ −s2 123 ⎜ L ⎜ ⎜ cs 123 L ⎝ −s L62

−cs L123 −s L62 −s2 L123 cs L123 −s L62 c2 L123 c L62

c L62

4 L cs L123 s L62 −c2 L123 −c L62 2 c L62 L

55

⎞

⎟ cs L123 −c2 L123 c L62 ⎟ ⎟ ⎟ 6 6 2 ⎟ s L2 −c L2 ⎟ L ⎟ 12 6 ⎟ 2 12 s L3 −cs L3 s L2 ⎟ ⎟ −cs L123 c2 L123 −c L62 ⎟ ⎠ 4 s L62 −c L62 L

W¨ ahrend der erste den Anteil der axialen Federung an der Reaktion des Stabes (i, j) unter Belastung darstellt, entspricht der zweite dem Anteil der Verbiegung um die z-Achse. Um eine zu (2.8) analoge Darstellung der Elementsteifigkeitsmatrix herauszuarbeiten, setzen wir ⎞ ⎛ 2 c cs 0 −c2 −cs 0 ⎜ cs s2 0 −cs −s2 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ (i,j),1 ⎟ ⎜ k =⎜ 2 2 cs 0 ⎟ ⎟ ⎜ −c −cs2 0 c ⎝ −cs −s 0 cs s2 0 ⎠ 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 000000 ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 4 0 0 2⎟ (i,j),2 ⎟ ⎜ k =⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎝0 0 0 0 0 0⎠ 002004 ⎛ ⎞ 0 0 −6s 0 0 −6s ⎜ 0 0 6c 0 0 6c ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −6s 6c 0 6s −6c 0 ⎟ (i,j),3 ⎜ ⎟ k =⎜ ⎟ ⎜ 0 0 6s 0 0 6s ⎟ ⎝ 0 0 −6c 0 0 −6c ⎠ −6s 6c 0 6s −6c 0 ⎞ ⎛ 12s2 −12cs 0 −12s2 12cs 0 ⎜ −12cs 12c2 0 12cs −12c2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ (i,j),4 ⎜ ⎟ k =⎜ 2 2 0⎟ ⎜ −12s 12cs2 0 12s −12cs ⎟ ⎝ 12cs −12c 0 −12cs 12c2 0 ⎠ 0 0 0 0 0 0 Die dadurch definierten 6 × 6 Matrizen, ebenso wie die sie konstituierenden 3 × 3 Bl¨ ocke, sind nur von dem Winkel α abh¨ angig. Aus (3.13) folgt zun¨achst k (i,j) =

EA (i,j),1 EI (i,j),2 EI (i,j),3 EI (i,j),4 k k + + 2k + 3k L L L L

(3.14)

56

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

Diese Darstellung kann noch etwas modifiziert werden. z des Querschnitts A von Definition 3.6. Der Tr¨ agheitsradius r = rz = r(i,j) (i, j) (bzgl. der z-Achse) ist erkl¨art durch # 1 I 2 y  dA. r2 = = A A A

Beispiel 3.2. Aus Beispiel 3.1 entnehmen wir die folgende Tabelle. Tabelle 3.1. Tr¨ agheitsradius f¨ ur verschiedene Querschnitte rz

A Rechteck mit der H¨ ohe h Kreis mit Durchmesser d Kreisring mit den Durchmessern D, d Ellipse mit vertikaler Achse b Gleichsch. Dreieck mit der H¨ ohe h Regul¨ ares Sechseck mit Seitenl¨ ange R

√1 h 12 1 d 4 √ 1 D2 + 4 1 b 4 √1 h 18 5 R 24

d2

&

Demnach geht (3.14) u ¨ ber in  (i,j),1 k + r2 k (i,j),2 + (i,j) = q(i,j) k

k (i,j) =

EA L

r 2 (i,j),3 Lk

+

r 2 (i,j),4 L2 k

 (3.15)

mit q(i,j) wie in (2.9) und einer bestimmten, nur von α, r, L abh¨angigen Matrix (i,j) k . Die Zerlegungen der symmetrischen Matrizen k (i,j),1 , k (i,j),2 , k (i,j),3 , k (i,j),4 in 3 × 3 Bl¨ ocke sind bereits in ihren Definitionen angedeutet. Ent(i,j) sprechend zerlegt man k und (siehe Definition 3.5)

(i,j)

k 12

(i,j)

k 22

k 11

(i,j)

k (i,j) = k 21

(i,j)

3.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix

57

Wir erweitern nun die Definitionen (2.3) und (2.4). (i,j)

(i,j)

Definition 3.7. In dem erweiterten Kraftvektor Fi bzw. Fj fassen wir die ¨außere Kraft und das ¨außere Drehmoment zusammen, die im Gleichgewichtszustand in dem Knoten i bzw. j auf das Element (i, j) wirken. Es ist also in globalen Koordinaten ⎛ (i,j) ⎞ ⎛ (i,j) ⎞ Fxi F ⎜ (i,j) ⎟ ⎜ xj ⎟ (i,j) (i,j) (i,j) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ Fi = ⎝ Fyi ⎠ bzw. Fj = ⎝ Fyj ⎠. (i,j) (i,j) Mi Mj Definition 3.8. In dem erweiterten Verschiebungsvektor ui fassen wir die durch die Belastung bewirkte Verschiebung und Verdrehung des Knotens i zusammen. Demgem¨ aß ist in globalen Koordinaten ⎛ ⎞ ui ⎝ ui = vi ⎠ . θi Nach alledem schreibt sich Gleichung (3.12) in der mit (2.12a,b) identischen Form (i,j)

Fi

(i,j) Fj

(i,j)

(i,j)

(3.16a)

(i,j) 21 ui

(i,j) 22 uj .

(3.16b)

= k 11 ui + k 12 uj =k

+k

3.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix Wegen der v¨ olligen Analogie zwischen den Formeln (2.12a,b) und (3.16a,b) l¨ asst sich auch beim Auftreten von Drehmomenten und Knotenverdrehungen die Gesamtsteifigkeitsmatrix wie in Abschn. 2.2 herleiten. Zun¨ achst ist noch Definition 2.2 zu erweitern. Definition 3.9. In dem erweiterten Kraftvektor Fi seien die ¨außere Kraft und das ¨außere Drehmoment zusammengefasst, die im Gleichgewichtszustand auf den Knoten i wirken. Damit gilt wieder: Fi ist die Summe aller erweiterten Kr¨afte, die im Gleichgewichtszustand im Knoten i auf die in i beginnenden oder in i endenden St¨ abe (i, j) bzw. (l, i) ausge¨ ubt werden; d.h. Fi =

n  j=1

(i,j)

cij Fi

+

n  l=1

(l,i)

cli Fi

.

58

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen l1 j

q

:

i

j

*

j1

l

Abb. 3.11. Bestimmung der Inzidenzmatrix C

Aufgrund von (3.16a,b) erh¨ alt man hieraus mit derselben Rechnung wie in Abschn. 2.2 in globalen Koordinaten 
   (k,i) (i,k) (l,i) (i,j) (cik k 12 + cki k 21 )uk cli k 22 ui + cij k 11 + Fi = j

k=i

l

f¨ ur i = 1, 2, . . . , n. Diese n Gleichungen werden wieder zu einer Vektorgleichung F = Ku (3.17) zusammengefasst mit den 3n-Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ F1 u1 ⎜ F2 ⎟ ⎜ u2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u = ⎜ . ⎟, F = ⎜ . ⎟ ⎝ .. ⎠ ⎝ .. ⎠ un

Fn

aller erweiterten Verschiebungen resp. Kr¨ afte und der 3n × 3n Matrix ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ K=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝



(1,j)

+

(2,1)

+ c12 k 21

(3,1)

+ c13 k 21 .. .

(n,1)

+ c1n k 21

c1j k 11

j

(l,1)

cl1 k 22

l

c21 k 12

(1,2)

(1,2)

+ c21 k 21

(2,j)

+

(3,2)

+ c23 k 21 .. .

(n,2)

+ c2n k 21

c12 k 12 

c2j k 11

j

c31 k 12

cn1 k 12

(2,1)



(l,2)

cl2 k 22

l

(1,3)

c32 k 12

(1,n)

cn2 k 12

(2,3)

(2,n)

3.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix (1,3)

(3,1)

(1,n)

···

c1n k 12

+ c32 k 21 ···   (3,j) (l,3) c3j k 11 + cl3 k 22 · · ·

c2n k 12

c13 k 12

+ c31 k 21

(2,3)

(3,2)

c23 k 12

j

.. . (n,3)

cn3 k 12

l

(3,n)

+ c3n k 21

59

⎞

(n,1)

+ cn1 k 21

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (3,n) (n,3) ⎟ c3n k 12 + cn3 k 21 ⎟ ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟   (n,j) (l,n) ⎠ ··· cnj k 11 + cln k 22 (2,n)

(n,2)

+ cn2 k 21

j

l

Definition 3.10. Die Matrix K heißt die Gesamtsteifigkeitsmatrix (auch Struktur- oder Systemsteifigkeitsmatrix) des Tragwerks. Gegen¨ uber der Gesamtsteifigkeitsmatrix aus Abschn. 2 besteht K hier aus n2 Bl¨ ocken der Ordnung 3 anstelle der Ordnung 2. Ansonsten bleibt die Bemerkung 2.2 unver¨ andert g¨ ultig. Wie in Definition 2.7 seien zu den 6 × 6 Matrizen (i,j) k , k (i,j),1 , k (i,j),2 , k (i,j),3 resp. k (i,j),4

die aus Bl¨ ocken der Ordnung 3 bestehenden 3n × 3n Matrizen K (i,j) , K (i,j),1 , K (i,j),2 , K (i,j),3 resp. K (i,j),4 erkl¨ art. Alle diese Matrizen sind symmetrisch. Da nach (3.15) gilt (i,j) z k = k (i,j),1 + (r(i,j) )2 k (i,j),2 +

z (r(i,j) )2

L(i,j)

z (r(i,j) )2

k (i,j),3 +

L2(i,j)

k (i,j),4 ,

folgt z K (i,j) = K (i,j),1 + (r(i,j) )2 K (i,j),2 +

+

z )2 (r(i,j)

L2(i,j)

z )2 (r(i,j)

L(i,j)

K (i,j),3

K (i,j),4 .

(3.18)

Lemma 3.1. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix hat die Darstellungen  K= cij q(i,j) K (i,j) i,j

=



cij

i,j

+

 i,j

z E(i,j) A(i,j) (i,j),1  E(i,j) I(i,j) K + cij K (i,j),2 L(i,j) L (i,j) i,j

cij

z E(i,j) I(i,j)

L2(i,j)

K (i,j),3 +

 i,j

cij

z E(i,j) I(i,j)

L3(i,j)

K (i,j),4 .

60

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

Beweis: Die erste Darstellung leitet man genauso wie im Beweis von Lemma 2.1 her. Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von (3.18). Was die Abh¨ angigkeit der in Lemma 3.1 auftretenden Matrizen von den Parametern des Stabes (i, j) betrifft, so gilt: ist unabh¨ angig von allen Parametern K (i,j),2 K (i,j),1 = K (i,j),1 (α(i,j) ), K (i,j),3 = K (i,j),3 (α(i,j) ), K (i,j),4 = K (i,j),4 (α(i,j) ) z K (i,j) = K (i,j) (α(i,j) , r(i,j) , L(i,j) )

Lemma 3.2. K ist symmetrisch.

3.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨ afte Wir nehmen an, das Tragwerk enthalte neben Verankerungen als weiteren Typ von Lagern auch St¨ utzen. Es gebe also m1 freie Knoten m2 gest¨ utzte Knoten n − m1 − m2 verankerte Knoten. Dabei unterscheiden wir zwischen horizontal und vertikal gest¨ utzten Knoten. Erstgenannte sind einer Verschiebung nur parallel zur x-Achse, letztere nur parallel zur y-Achse des globalen Koordinatensystems f¨ahig. Diese Knoten werden durch folgende Symbole angezeigt:

y 6 horizontal gest¨ utzt

vertikal gest¨ utzt

-

x

Abb. 3.12. Gest¨ utzte Knoten

Wir machen die Voraussetzung, dass sowohl die auf die freien Knoten wirkenden ¨ außeren Lasten (erweiterten Kr¨ afte) als auch f¨ ur die horizontal

3.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨ afte

61

gest¨ utzten Knoten Fxi , Mi und f¨ ur die vertikal gest¨ utzten Knoten Fyi , Mi bekannt sind. Die Ausgangssituation l¨ asst sich dann so zusammenfassen: Tabelle 3.2. Gest¨ utzte Knoten Typ des Knotens i

bekannt

unbekannt

frei

Fi

ui

horizontal gest¨ utzt vi = 0, Fxi , Mi ui , θi , Fyi vertikal gest¨ utzt ui = 0, Fyi , Mi vi , θi , Fxi verankert

ui = 0

Fi

Die Eintragungen ui ; ui , θi ; vi , θi resp. Fyi ; Fxi ; Fi der rechten Spalte stellen also die gesuchten Knotenverschiebungen resp. Lagerkr¨afte dar. Um die folgenden Entwicklungen m¨ oglichst kurz und u ¨bersichtlich zu halten, treffen wir f¨ ur diesen Abschnitt die Vereinbarung. Es seien A eine 3n× 3n Matrix und x ein 3n-Vektor. Mit A0 bezeichnen wir diejenige Matrix, die aus A dadurch entsteht, dass s¨amtliche Zeilen und Spalten gestrichen werden, die zu den Indizes ⎫ 3i − 1, falls i horizontal gest¨ utzt ist ⎬ 3i − 2, falls i vertikal gest¨ utzt ist (3.19) ⎭ 3i, 3i − 1, 3i − 2, falls i verankert ist geh¨oren, wobei i alle Knoten 1, 2, . . . , n des Tragwerks durchl¨auft. Entsprechend verstehen wir unter x0 denjenigen Vektor, der aus x durch Entfernen s¨amtlicher zu den Indizes (3.19) geh¨origen Komponenten hervorgeht. Weiter bezeichne A10 diejenige Matrix, die aus A dadurch entsteht, dass alle Zeilen mit den Indizes ⎫ 3i, 3i − 1, 3i − 2, falls i frei ist ⎬ 3i, 3i − 2, falls i horizontal gest¨ utzt ist (3.20) ⎭ 3i, 3i − 1, falls i vertikal gest¨ utzt ist sowie alle Spalten mit den Indizes (3.19) gestrichen werden. Schließlich sei x1 derjenige Vektor, der aus x durch Entfernen aller zu den Indizes (3.20) geh¨origen Komponenten hervorgeht. Bemerkung 3.2. Es ist x0 ein 3(m1 + m2 ) − m2 Vektor und x1 ein 3(n − m1 − m2 ) + m2 Vektor. Entsprechende Dimensionen haben die Matrizen A0 und A10 . Die Vektoren x0 und x1 sind komplement¨ar in Bezug auf x. Ist die Matrix A symmetrisch, so offensichtlich auch A0 . Man best¨ atigt sofort, dass diese Bezeichnungsweise mit der in Abschn. 2.3 benutzten vertr¨ aglich ist. Angewandt auf die Vektoren F, u in Abschn. 3.2 ergibt sich:

62

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

F0 ist der vorgegebene Gesamtlastvektor F1 ist der unbekannte Gesamtlagerkraftvektor u0 ist der unbekannte Gesamtknotenverschiebungsvektor u1 = 0, und aus Gleichung (3.17) folgt F0 = K0 u0 F1 = K10 u0 . Definition 3.11. Die Matrix K0 heißt die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix des Tragwerks. Lemma 3.3. K0 ist symmetrisch. K0 ist nach Voraussetzung invertierbar. Man bestimmt wieder die gesuchten Knotenverschiebungen (incl. -verdrehungen) aus u0 = K0−1 F0

(3.21)

und die gesuchten Lagerkr¨ afte (incl. Drehmomenten) aus F1 = K10 K0−1 F0 .

(3.22)

Aufgrund der Vereinbarung folgen aus Lemma 3.1 sofort Lemma 3.4. Es gilt  (i,j) K0 = cij q(i,j) K0 i,j

=

 i,j

 cij

(i,j),1 q(i,j) K0

+

4 z  E(i,j) I(i,j) κ=2

Lκ−1 (i,j)

 (i,j),κ K0

,

wobei (i,j),2

K0 unabh¨angig ist von allen Parametern, (i,j),1 (i,j),3 (i,j),4 K0 , K0 , K0 nur von α(i,j) abh¨angig sind, (i,j) z von α(i,j) , r(i,j) , L(i,j) abh¨angig ist. K0 Lemma 3.5. K10 hat die Darstellungen   4 z    E(i,j) I(i,j) (i,j) (i,j),1 (i,j),κ cij q(i,j) K10 = cij q(i,j) K10 + K10 K10 = Lκ−1 (i,j) κ=2 i,j i,j mit entsprechenden Parameterabh¨angigkeiten wie in Lemma 3.4

3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

63

3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen 3.4.1 Axialspannung und Biegespannung Wir betrachten zun¨ achst wieder einen einzelnen Stab (i, j) des Tragwerks. Die x -Achse des lokalen Koordinatensystems verlaufe durch seine neutrale Faser (Schwerpunktslinie). Es bezeichne I = I z das Tr¨agheitsmoment des Stabquerschnittes A (Definition 3.4). Wirkt in einem der Knoten von (i, j) außer der in Achsenrichtung des Stabes angreifenden ¨ außeren Kraft F noch das ¨ außere Drehmoment M auf diesen, so treten neben der bereits in Abschn. 2.4 betrachteten Axialspannung σa =

F A

infolge der Verbiegung um die z-Achse auch Biegespannungen auf. Im Gegensatz zur Axialspannung sind die Biegespannungen nicht konstant u ¨ ber den ganzen Querschnitt verteilt. Die Biegespannung in einer Faser mit dem (vorzeichenbehafteten) Abstand y  zur z  -Achse ist gleich σz = σz (y  ) = −

M  y I

(vgl. etwa [MaHo00, S. 172]). Die (gesamte) Spannung σ = σa + σz in einer Faser ist also abh¨ angig von deren Abstand zur z  -Achse. Es liegt auf der Hand, die Intervallgrenzen σ. und σ˙ zu bestimmen, in denen alle vorkommenden Werte von σ liegen. Infolgedessen wird jeder Knoten eines Elementes durch zwei Spannungswerte vertreten sein. Im Detail sieht das folgendermaßen aus:

64

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

Abb. 3.13. Axial- und Biegespannung

Mit y˙  bzw. y.  bezeichnen wir den maximalen bzw. minimalen Wert von y , der zu einem Punkt des Querschnitts A geh¨ ort. Es gilt stets y˙  > 0 und  y. < 0. 

Definition 3.12. Die (orientierten) Widerstandsmomente des Querschnittes von (i, j) (bzgl. der z-Achse) sind erkl¨art durch ˙ =W ˙ z=W ˙ z = I, W (i,j) y˙  I z z W . (i,j) = y  . . =W . =W . Oft ist die Symmetriebedingung y˙  = −y.  erf¨ ullt; beispielsweise immer dann, wenn der Querschnitt A symmetrisch zum Ursprung oder symmetrisch zur z  -Achse des {y  , z  }-Koordinatensystems ist. In diesem Fall setzen wir y◦ := y˙  = −y.  (3.23) und ˙ = −W W := W . =

I y◦

(3.24)

3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

Beispiel 3.3. Widerstandsmomente verschiedener Stabquerschnitte a) Rechteck

y
6

1

x


.....................................

...........

6

6◦

y


h

?

S

z


? .. ........... .. .. .

.. .. . -.. b

Abb. 3.14. Rechtecksquerschnitt

Hier ist die Symmetriebedingung erf¨ ullt, und gem¨aß (3.23) gilt y = ◦

h . 2

Aufgrund von (3.24) ergibt sich dann nach Beispiel 3.1a) W =

I bh2 Ah 2 bh3 · = = . = ◦ y h 12 6 6

b) Kreis

y
6

1

.. . .. . .. .. . .. . .. .. . .........................

6

d

6◦

S

y


?

x


z


.? . . .. . .. .. . .. . .. .. . ..

Abb. 3.15. Kreisquerschnitt

65

66

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

Hier ist

d 2 der Radius des Kreises, und nach Beispiel 3.1b) folgt y◦ =

W =

I πd3 Ad 2 πd4 = = . = · y d 64 32 8 ◦

c) Kreisring y
6

1

x


.. . .. . .. .. . .. . .. .. . ..

6

.. .. . .. . .. .. . ..

d6 .? . .. . .. . .. .. . ..

D

-

z


.? . . .. . .. .. . .. . .. .. . ..

Abb. 3.16. Ringf¨ ormiger Querschnitt

y = ◦

W =

D 2

A D2 + d2 I 2 π π D4 − d4 · (D4 − d4 ) = · = · = y D 64 32 D 8 D ◦

d) Ellipse y
6 x
......................................................................1

6

b

6◦

y


.. .. .. S .. .. . ? ... ............................... .. .. .. . a

.. .. .. .. .. .. .. .. .. . -..

Abb. 3.17. Ellipsenf¨ ormiger Querschnitt

?

z


3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

y◦ = W =

b 2

πab2 Ab 2 πab3 I = = = · y b 64 32 8 ◦

e) Gleichschenkliges Dreieck y
6
* x

............................................................

6

6 y˙
= 23 h

S

h

- z


y.
= − 31 h

? ............. .. .. ...

? ............................... .. .. . . -. b

Abb. 3.18. Dreiecksquerschnitt

y˙  =

2 h, 3

1 y.  = − h 3

Hier ist die Symmetriebedingung nicht erf¨ ullt! 3 2 ˙ = I = 3 · bh = bh = Ah W  y˙ 2h 36 24 12 3 2 bh Ah 3 bh I W . = y = − h · 36 = − 12 = − 6 .

67

68

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

f ) Regelm¨aßiges Sechseck y


x


6

.... R  ....... .... .... .... ... .... ...

6

s

*

........................................

6◦

.... .... ....

y


S

?z


.? .. .... ... ... ... ... ...

Abb. 3.19. Sechseckiger Querschnitt

√ 3 s ◦ R y = = 2 2 √ 5 3 4 5 3 2 5 I √ · R = R = √ AR W = ◦ = y 16 8 3R 12 3 Die Biegespannungen σz im betrachteten Knoten liegen nun zwischen den Randextremen M M σ. z := − y.  = − I W . und M M σ˙ z := − y˙  = − , ˙ I W und die Spannungen σ folglich in den Grenzen M F − σ. := σa + σ. z = A W . und

M F . − ˙ A W Demnach haben wir es mit den folgenden Gr¨ oßen zu tun. Neben Definition 2.10 (Axialspannung) tritt zun¨ achst σ˙ := σa + σ˙ z =

Definition 3.13. Im Gleichgewichtszustand sei 1 (i,j) (i,j) σ. i,z := − Mi W . (i,j)

3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

bzw. (i,j)

σ˙ i,z := −

69

1 (i,j) M ˙ (i,j) i W

die Biegespannung , die im Knoten i in einer Randfaser der “Unterseite” (wo y  < 0) bzw. der “Oberseite” (wo y  > 0) des Stabes (i, j) mit maximalem Abstand zur “neutralen Schicht” (d.h. zur {x , z  }-Ebene) auftritt. Analog sei 1 (i,j) (i,j) σ. j,z := − Mj W . (i,j) bzw. (i,j)

σ˙ j,z := −

1 (i,j) Mj ˙ W(i,j)

die im Knoten j auftretende Biegespannung in einer Randfaser der Unterbzw. Oberseite von (i, j) mit maximalem Abstand zur neutralen Schicht. Die Addition der Axialspannungen (i,j)

σi,a =

1 (i,j) F
, A(i,j) x i

(i,j)

σj,a =

1 (i,j) F
A(i,j) x j

zu den extremalen Biegespannungen f¨ uhrt dann auf Definition 3.14. Die Spannung, die im Knoten i in einer Randfaser der Unter- bzw. Oberseite des Stabes (i, j) mit maximalem Abstand zur neutralen Schicht auftritt, wird durch (i,j)

:= σi,a + σ. i,z

(i,j)

:= σi,a + σ˙ i,z

(i,j)

:= σj,a + σ. j,z

(i,j)

:= σj,a + σ˙ j,z

σ. i

(i,j)

(i,j)

(i,j)

(i,j)

(i,j)

(i,j)

(i,j)

(i,j)

bzw. σ˙ i bezeichnet. Analog bezeichne σ. j bzw. σ˙ j

die im Knoten j auftretende Spannung in einer Randfaser der Unter- bzw. Oberseite von (i, j) mit maximalem Abstand zur neutralen Schicht. Im Symmetriefall liegen die im Knoten i auftretenden Spannungen gem¨aß (3.24) zwischen den Randwerten (i,j)

(i,j)

σ. i

=

analog im Knoten j.

M Fx
i + i , A(i,j) W(i,j)

(i,j)

(i,j)

σ˙ i

=

Fx
i M − i ; A(i,j) W(i,j)

70

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

Bemerkung 3.3. Die hier betrachteten Spannungen (Summe aus Axial- und Biegespannungen) sind Normalspannungen, die senkrecht zur Fl¨ache des Stabquerschnittes wirken. Außerdem treten (bei starren Verbindungen) noch Schubspannungen tangential zur Querschnittsfl¨ache auf. Von deren Erfassung sehen wir jedoch an dieser wie auch an sp¨aterer Stelle (Abschn. 4.4) ab. 3.4.2 Der Gesamtspannungsvektor Gem¨ aß Definition 3.14 hat man in den Knoten i und j des Elements (i, j) die zweidimensionalen Spannungsvektoren     (i,j) (i,j) σ. j σ. i (i,j) (i,j) = = und σ j σi (i,j) (i,j) . σ˙ i σ˙ j Damit ist dem Element (i, j) der vierdimensionale Spannungsvektor ⎛

σ (i,j)

(i,j) ⎞ (i,j) Fx
i Mi − ⎜ ⎟ W ⎞ ⎜ A(i,j) . (i,j) ⎟ ⎛ ⎜ (i,j) ⎟ (i,j) (i,j) Fx
i Mi ⎟ ⎞ ⎜σ. i ⎟ ⎜ ⎛ ⎜ ⎟ − (i,j) ⎜σ˙ (i,j) ⎟ ⎜ A(i,j) ˙ (i,j) ⎟ σi W ⎟ ⎜ i ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ = = ⎜ (i,j) ⎟ = ⎜ (i,j) (i,j) ⎟ (i,j) ⎟ ⎜ Fx
j ⎜σ. Mj ⎟ σj ⎟ ⎝ j ⎠ ⎜ ⎜ A(i,j) − W ⎟ (i,j) . (i,j) ⎟ ⎜ σ˙ j ⎜ (i,j) (i,j) ⎟ Mj ⎠ ⎝ Fx
j − ˙ (i,j) A(i,j) W ⎛ 1 ⎞ −1 0 0 ⎜ A(i,j) W ⎟ ⎛ (i,j) ⎞ . (i,j) ⎜ ⎟ F
xi −1 ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟⎜ ⎜ ˙ (i,j) ⎜ A(i,j) W ⎟ ⎜Mi(i,j) ⎟ ⎟ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 1 (i,j) ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎝ Fx
j ⎠ 0 ⎜ A(i,j) W . (i,j) ⎟ (i,j) ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ Mj 1 0 0 ˙ (i,j) A(i,j) W

zugeordnet. Es gilt also ⎛

σ (i,j)

(i,j)

Fx
i

⎞

⎜ (i,j) ⎟ ⎜F
⎟ ⎜ yi ⎟ ⎜ (i,j) ⎟ ⎜Mi ⎟ ⎟ = B (i,j) ⎜ ⎜ (i,j) ⎟ , ⎜ Fx
j ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ F (i,j) ⎟ ⎝ y
j ⎠ (i,j) Mj

(3.25)

3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

wobei die 4 × 6 Matrix B (i,j) definiert ist durch ⎛ 1 −1 0 0 ⎜ A(i,j) W . (i,j) ⎜ −1 ⎜ 1 ⎜ 0 0 ˙ ⎜ A(i,j) W(i,j) (i,j) ⎜ B =⎜ 1 ⎜ 0 0 0 ⎜ A (i,j) ⎜ ⎝ 1 0 0 0 A(i,j)

71

⎞ 0

0

⎟ ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ −1 ⎟ . ⎟ 0 W . (i,j) ⎟ ⎟ −1 ⎠ 0 ˙ (i,j) W

Entsprechend dem Beitrag von Axial- und Biegespannung zur gesamten Spannung haben wir die Zerlegung B (i,j) = Ba(i,j) + Bz(i,j)

(3.26)

mit ⎛

Ba(i,j)

Bz(i,j)

1

00

⎞ 00 ⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 00

0

⎜ A(i,j) ⎜ 1 ⎜ 00 0 ⎜ ⎜A = ⎜ (i,j) ⎜ 0 00 1 ⎜ A(i,j) ⎜ ⎝ 1 0 00 A(i,j) ⎞ ⎛ −1 00 00 0 ⎟ ⎜ W . (i,j) ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎜0 0 00 0 ⎟ ˙ (i,j) ⎟ ⎜ W ⎟ =⎜ ⎜ −1 ⎟ . ⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎜ W . (i,j) ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ −1 ⎠ 00 0 00 ˙ (i,j) W

Demnach stellen   (i,j)  Fi (i,j) (i,j)  (i,j)  σ a = Ba Fj

resp.

σ (i,j) z

=

Bz(i,j)

  (i,j)  Fi  (i,j)  Fj

(3.27)

den Beitrag der Axial- resp. Biegespannung am Spannungsvektor σ (i,j) = σ (i,j) + σ (i,j) a z dar. Setzt man

(3.28)

72

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

⎛

Uα(i,j)

⎞ c s0 ⎜ −s c 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 01 ⎟ ⎜ ⎟ , wo c = cos α(i,j) , s = sin α(i,j) =⎜ ⎟ c s 0 ⎟ ⎜ ⎝ 0 −s c 0 ⎠ 0 01

und

⎞ EA EA 0 0 0 0 − ⎟ ⎜ L L ⎟ ⎜ ⎜ 12EI 6EI 12EI 6EI ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 − ⎜ L3 L2 L3 L2 ⎟ ⎟ ⎜ 4EI 6EI 6EI 2EI ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 − L ⎟ ⎜ L2 L L2 =⎜ ⎟, EA ⎟ ⎜ EA ⎜− 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ L L ⎟ ⎜ 12EI 6EI 12EI 6EI ⎟ ⎜ ⎜ 0 − 3 − 2 0 − 2 ⎟ ⎜ L L L3 L ⎟ ⎝ 2EI 6EI 6EI 4EI ⎠ 0 0 − 2 L L2 L L ⎛

k  = k (i,j)

so ist nach (3.10)  



 (i,j)  Fi ui ui (i,j)  (i,j)  = k (i,j) U . = k α(i,j) uj uj Fj

(3.29)

Im Hinblick auf (3.25), (3.27) sind also die Matrizen (i,j)

sa

(i,j)

:= Ba

k (i,j) Uα(i,j) ,

(i,j)

sz

(i,j)

:= Bz

k (i,j) Uα(i,j)

s (i,j) := B (i,j) k (i,j) Uα(i,j) zu berechnen, wobei nach (3.26) s (i,j) = s (i,j) + s (i,j) . a z

(3.30)

Es ergibt sich mit den Abk¨ urzungen z z ˙ =W ˙ z α = α(i,j) , E = E(i,j) , L = L(i,j) , I = I(i,j) , W . =W . (i,j) , W (i,j)

und

I I  = y˙  = y˙ (i,j) = y.  = y. (i,j) , ˙ W W . (vgl. Definition 3.12) durch Ausmultiplizieren von links her: ⎛ ⎞ 1 0 0 −1 0 0 E ⎜ 1 0 0 −1 0 0⎟ ⎟ Uα s (i,j) = ⎜ a L ⎝−1 0 0 1 0 0⎠ −1 0 0 1 0 0

3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

⎛

c s E⎜ c s = ⎜ ⎝ −c −s L −c −s ⎛ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜0 E ⎜ = ⎜ s (i,j) z L⎜ ⎜0 ⎜ ⎝ 0 ⎛ ⎜0 ⎜ ⎜ 0 E⎜ ⎜ = ⎜ L⎜ ⎜0 ⎜ ⎝ 0 ⎛

0 −c −s 0 −c −s 0 c s 0 c s

6I LW . 6I − ˙ LW 6I − LW . 6I − ˙ LW

−

6 − y.  L 6 − y˙  L 6 − y.  L 6 − y˙  L

6 −4y.  0 y.  L 6  −4y˙ 0 y˙  L 6  −2y. 0 y.  L 6 −2y˙  0 y˙  L

6s  ⎜ L y. ⎜ ⎜ 6s  y˙ E⎜ ⎜ = ⎜L L ⎜ 6s  ⎜ y. ⎜L ⎝ 6s y˙  L

6c  y L. 6c − y˙  L 6c  − y. L 6c  − y˙ L −

Im Symmetriefall

73

(3.31)

⎞ 2I W . ⎟ ⎟ 2I ⎟ − ⎟ ˙ ⎟ W Uα 4I ⎟ ⎟ − ⎟ W . ⎟ 4I ⎠ − ˙ W ⎞ −2y.  ⎟ ⎟ ⎟ −2y˙  ⎟ ⎟ ⎟ Uα ⎟ −4y.  ⎟ ⎟ ⎠ −4y˙ 

4I 6I 0 W LW . . 6I 4I − W˙ 0 ˙ LW 2I 6I − 0 W LW . . 6I 2I 0 − ˙ ˙ W LW

−

⎞ 0 0⎟ ⎟; 0⎠ 0

−

6s −4y.  − y.  L 6s −4y˙  − y˙  L 6s   −2y. − y. L 6s   −2y˙ − y˙ L

6c  y L. 6c  y˙ L 6c  y L. 6c  y˙ L

⎞ −2y.  ⎟ ⎟ ⎟ −2y˙ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ −4y. ⎟ ⎟ ⎠  −4y˙

(3.32)

y  = y˙  = −y.  ◦

wird einfacher ⎞ 6s 6c 6s 6c − 4 − 2 ⎟ ⎜ L L L L ⎟ ⎜ 6s 6c ⎟ ⎜ 6s 6c ⎜ ⎟ − −4 − −2 E ◦ ⎜ L ⎟ L L L = y ⎜ ⎟. 6s 6c ⎟ L ⎜ 6s 6c 2 − 4⎟ ⎜− ⎜ L ⎟ L L L ⎝ 6s 6c ⎠ 6s 6c − −2 − −4 L L L L ⎛

s (i,j) z

Die Berechnung der Spannungsvektoren

(3.33)

74

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

(i,j) σa

=

(i,j) sa

 ui , uj

(i,j) σz



= 

(i,j) sz

ui uj

 (3.34)

ui uj

σ (i,j) = s (i,j)

(3.35)

uckgef¨ uhrt. Die anschließenden Entist somit auf die Kenntnis von ui , uj zur¨ wicklungen f¨ uhren wir nur f¨ ur σ (i,j) explizit aus. Es ist leicht, daraus die (i,j) (i,j) zu entnehmen. entsprechenden Darstellungen f¨ ur σ a , σ z (i,j) (i,j) Um zu (2.25) analoge Darstellungen von s (i,j) = s a + s z herauszuarbeiten, setzen wir s (i,j) =

s (i,j),1 =

s (i,j),2 =

s (i,j),3 =

s (i,j),4 =

s (i,j),5 =

E (i,j) s L ⎛ ⎞ c s 0 −c −s 0 ⎜ c s 0 −c −s 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝−c −s 0 c s 0⎠ −c −s 0 c s 0 ⎛ ⎞ 0 0 −4 0 0 −2 ⎜0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 −2 0 0 −4⎠ 00 000 0 ⎛ ⎞ 00 000 0 ⎜0 0 −4 0 0 −2⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 0 0 0 ⎠ 0 0 −2 0 0 −4 ⎛ ⎞ 6s −6c 0 −6s 6c 0 ⎜ 0 00 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝6s −6c 0 −6s 6c 0⎠ 0 00 0 00 ⎛ ⎞ 0 00 0 00 ⎜6s −6c 0 −6s 6c 0⎟ ⎜ ⎟. ⎝ 0 00 0 0 0⎠ 6s −6c 0 −6s 6c 0

(3.36)

s (i,j) ist als Summe der in (3.31) und (3.32) bestimmten Matrizen bekannt, und aus dieser Darstellung ist auch s (i,j) explizit zu entnehmen. s (i,j) ist von α, y.  , y˙  , L abh¨ angig. Weiterhin erkennt man, dass gilt: s (i,j) =

E (i,j),1 Ls

+

Zerlegt man s (i,j) als

E  (i,j),2 Ly .s

+

E  (i,j),3 L y˙ s

E  (i,j),4 L2 y .s

(i,j)

(i,j)

ui + s 2

uj .

+

E  (i,j),5 . L2 y˙ s

(3.37)
 (i,j) in zwei 4 × 3 Bl¨ocke, so schreibt sich (3.35) = s (i,j) s2 1 σ (i,j) = s 1

+

(3.38)

3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

75

Wie in Abschn. 2.4 verwenden wir nun die lexikographische Anordnung der N St¨ abe des Tragwerks und f¨ uhren den Gesamtspannungsvektor ⎛ . ⎞ .. ⎜ (i,j) ⎟ ⎜σ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ σ = ⎜ . ⎟ , (i, j) < (i , j  ) ⎜

⎟ ⎜σ (i ,j ) ⎟ ⎝ ⎠ .. . und die 4N × 3n Blockmatrix j i i

? ? ⎞ ... (i,j) (i,j) ⎜. . .s 1 . . . 0 . . . 0 . . .s 2 . . . ⎟  (i, j) ⎟ ⎜ ⎟ ... , S=⎜ ⎟ ⎜



⎝. . . 0 . . .s (i ,j ) . . . s (i ,j ) . . . 0 . . . ⎠  (i , j  ) 1 2 ... ⎛

?

j

?

(i, j) < (i , j  )

ein. Die N Gleichungen (3.38) werden dann durch σ = Su

(3.39)

zusammengefasst. Gem¨ aß (3.36), (3.37) existieren Darstellungen 

E(i,j) (i,j) S L(i,j) i,j ⎛   E(i,j) y. (i,j) E(i,j) (i,j),1 = cij ⎝ S + S (i,j),λ λ/2 L (i,j) L i,j λ=2,4 (i,j) ⎞   E(i,j) y˙ (i,j) + S (i,j),λ ⎠ (λ−1)/2 L λ=3,5 (i,j)

S=

cij

(3.40)

mit folgenden Parameterabh¨ angigkeiten der auftretenden Matrizen: S (i,j),2 , S (i,j),3 sind unabh¨ angig von allen Parametern, S (i,j),1 , S (i,j),4 , S (i,j),5 sind nur von α(i,j) abh¨angig,  , L(i,j) abh¨angig. S (i,j) ist von α(i,j) , y. (i,j) , y˙ (i,j) Gem¨ aß (3.21) zerf¨ allt u in u0 = K0−1 F0 und u1 = 0. Im Folgenden werde die aus S durch Streichen der zu den Indizes (3.19) geh¨origen Spalten hervorgehende Matrix mit S0 bezeichnet, etc.. Dann geht (3.39) u ¨ ber in σ = S0 u0 = S0 K0−1 F0 ,

(3.41)

76

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

und S0 hat nach (3.41) die Darstellungen 

E(i,j) (i,j) S L(i,j) 0 i,j ⎛   E(i,j) (i,j),1  E(i,j) y. (i,j) (i,j),λ = cij ⎝ S0 + S0 λ/2 L(i,j) L(i,j) i,j λ=2,4 ⎞   E(i,j) y˙ (i,j) (i,j),λ ⎠ + . S0 (λ−1)/2 λ=3,5 L(i,j)

S0 =

cij

(3.42)

Dabei bestehen wieder die Parameterabh¨ angigkeiten: (i,j),λ

S0 ist unabh¨ angig von allen Parametern, λ = 2, 3 (i,j),λ (i,j),λ S0 = S0 (α(i,j) ), λ = 1, 4, 5 (i,j) (i,j)  , L(i,j) ). = S0 (α(i,j) , y. (i,j) , y˙ (i,j) S0 Wir heben noch den Fall hervor, dass alle St¨ abe (i, j) des Tragwerks die Symmetriebedingung erf¨ ullen. Mit  y◦(i,j) = y˙ (i,j) = −y. (i,j)

folgt dann aus (3.42) 
E(i,j) (i,j),1  S0 + S0 = cij L(i,j) i,j

E(i,j) y
(i,j) λ/2 L(i,j)

λ=2,4

(i,j),λ+1

(S0

(i,j),λ

− S0

 ) .

3.5 Beispiele 3.5.1 Aus zwei Teilbalken zusammengesetzter Balken 3.5.1.1 Balken einseitig eingespannt bzw. gest¨ utzt  ^

x
= x

1

2 Abb. 3.20. Linear angeordnete Balken

3

3.5 Beispiele

77

Der ganze Balken ist zusammengesetzt aus den Teilbalken (1, 2), (2, 3). Es gilt α(1,2) = α(2,3) = 0 und daher f¨ ur beide Balken x = x, y  = y. Knoten 1 ist verankert, Knoten 3 ist horizontal gest¨ utzt. Eine ¨außere Last wirke nur auf die “Nahtstelle” 2. Die Elementsteifigkeitsmatrizen werden gem¨aß Definition 3.5 bestimmt. F¨ ur den Stab (1, 2) ist α(1,2) = 0 und folglich c = 1, s = 0. Es ergibt sich ⎛

k (1,2)

EA ⎜ L ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ =⎜ ⎜ EA ⎜− ⎜ L ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

0

0

12 EI 3 L 6 EI 2 L

6 EI 2 L 4 EI L

0

0

12 6 −EI 2 3 L L 6 2 EI 2 EI L L

−EI

EA − L

⎞ 0

0

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ EA ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ L 12 6 ⎟ ⎟ 0 EI 3 −EI 2 ⎟ L L ⎟ ⎠ 6 0 −EI 2 EI L4 L 12 6 −EI 3 EI 2 L L 6 2 −EI 2 EI L L

z mit E = E(1,2) , A = A(1,2) , L = L(1,2) , I = I(1,2) . k (2,3) ist durch denselben z Ausdruck gegeben mit E = E(2,3) , A = A(2,3) , L = L(2,3) , I = I(2,3) . Wie in Abschn. 2 erh¨ alt man die Gesamtsteifigkeitsmatrix

(1,2)

k 11

K=

(1,2)

k 21

(1,2)

k 12

..................................... .. .. .. .. .. (1,2) (2,3) (2,3) .. ..k 22 + k 11 k 12 .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. . .. (2,3) (2,3) .. .. k 21 k 22 .. .. .. ........................................

=

78

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

¯A ¯ E ¯ L

0 0 ¯¯

− EL¯A =

0

0

0

¯ I¯ 12E ¯3 L ¯ I¯ 6E ¯2 L

¯ I¯ 6E ¯2 L ¯ I¯ 4E ¯ L

0

0 ¯¯

¯¯

− 12L¯E3 I − 6L¯E2I

0

¯ I¯ 6E ¯2 L

¯ I¯ 2E ¯ L

0

0

0

0

0

0

0

0

0

mit

¯¯

− EL¯A 0 0

0

0

0

0

0

¯¯ − 12L¯E3 I ¯¯ − 6L¯E2I

¯ I¯ 6E ¯2 L ¯ I¯ 2E ¯ L

0

0

0

0

0

0

+ E*A* 0 0 − E*A* 0 0 * * L L 

¯ I¯ ¯ I¯ * *I* * * E E E I* E I* 12E I* 6E 0 12 L¯ 3 + 3 6 − L¯ 2 + 2 0 − 3 * 
* * *2 L L L L
¯ I¯ *I* 4 E¯ I¯ + E*I* E 0 6 −E 0 − 6E*2I* 2E*I* ¯ 2 + *2 ¯ L L * * * L L L L * * * * EA − EA 0 0 0 0 * * L L * * * 12E I* 6E I* 12E I* 6E − 2 − *2I* 0 − 3 0 * * *3 * L L L L *I* *I* 4E*I* *I* 6E 2E 6E 0 0 − *2 * *2 * L L L L

¯A ¯ E ¯ L

¯ = E(1,2) , A¯ = A(1,2) , L ¯ = L(1,2) , I¯ = I(1,2) E * * * E = E(2,3) , A = A(2,3) , L = L(2,3) , I* = I(2,3) .

Da Knoten 1 verankert, Knoten 2 frei und Knoten 3 horizontal gest¨ utzt ist, lauten die Indizes (3.19) 1, 2, 3, 8 und die Indizes (3.20) 4, 5, 6, 7, 9. Demnach ist

u0 = (u2 , v2 , θ2 , u3 , θ3 )

der zu bestimmende Knotenverschiebungsvektor, u1 = (u1 , v1 , θ1 , v3 ) = 0, F0 = (Fx2 , Fy2 , M2 , Fx3 , M3 ) = (Fx2 , Fy2 , M2 , 0, 0) der vorgegebene Lastvektor, F1 = (Fx1 , Fy1 , M1 , Fy3 ) der zu ermittelnde Lagerkraftvektor,

3.5 Beispiele

79

⎞ ¯ A¯ E *A * *A * E E + 0 0 − 0 ⎟ ⎜ L * * L L     ⎟ ⎜ ¯ ⎜ ¯ I¯ E * I* ⎟ * I* * I* ¯ I¯ E E E E ⎟ ⎜ 6 − ¯2 + 0 6 0 12 ¯ 3 + ⎟ ⎜ *3 *2 *2 ⎟ ⎜ L L L L L     ⎟ ⎜ ⎜ * I* * I* ⎟ ¯ I¯ E ¯ I¯ E * I* E E E ⎟ ⎜ K0 = ⎜ + 0 2 0 6 − ¯2 + 4 ⎟ ¯ 2 * * * ⎜ L L L L L ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ** *A * E ⎜ − EA 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ * * ⎜ ⎟ L L ⎝ * I* * I* ⎠ * I* E E E 0 6 2 0 4 *2 * * L L L ⎛

die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix und ⎞ ⎛ ¯¯ EI 0 0 0 0 − ⎟ ⎜ L ¯ ⎟ ⎜ ¯ I¯ E ¯ I¯ E ⎟ ⎜ ⎜ 0 −12 ¯ 3 6 ¯ 2 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ L L K10 = ⎜ ⎟. ¯ I¯ ¯ I¯ E ⎟ ⎜ 0 −6 E 0 0 2 ⎟ ⎜ ¯2 ¯ L L ⎟ ⎜ ⎝ * * * * * * EI EI EI ⎠ 0 −12 −6 0 −6 *3 *2 *2 L L L ¯ A, ¯ L, ¯ I¯ und E, * A, * L, * I* wie oben angegeben definiert. u0 und F1 Dabei sind E, bestimmen sich dann aus K0 u0 = F0 F1 = K10 u0 . Das LGS f¨ ur u0 zerf¨ allt in ⎛ ⎞ *A * E ¯ A¯ E *A * E 



+ − ⎜ L * * ⎟ L L ⎜ ¯ ⎟ u2 = Fx2 ⎝ *A * *A * ⎠ u3 0 E E − * * L L und 

   ⎞ * I* * I* ¯ I¯ E * I* E¯ I¯ E E E ⎜ 12 ¯ 3 + 3 6 − ¯ 2 + 2 6 2 ⎟ * * * ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎜ L L ⎞ L L  L ⎟ v2   ⎜  Fy2 ⎜ ⎟ * * * * ¯ ¯ * * ¯ ¯ EI E I ⎟ ⎝θ ⎠ = ⎝ M ⎠ EI ⎜6 − E I + E I 2 2 + 2 4 ⎜ ⎟ ¯2 ¯ 2 * * * ⎟ θ3 ⎜ L L L L L 0 ⎜ ⎟ ⎝ * I* * I*⎠ * I* E E E 6 4 2 *2 * * L L L ⎛

und hat die L¨ osung

80

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

¯ x2 LF u2 = u3 = ¯ ¯ EA      * I* ¯ I¯ ¯ I¯ * I* E E E 1 E 4 ¯ +3 Fy2 − −6 ¯ 2 + 3 M2 v2 = * *2 ∆ L L L L      ¯ I¯ * I* ¯ I¯ * I* E E 1 E E 12 ¯ 3 + 3 θ2 = M2 − −6 ¯ 2 + 3 Fy2 *3 *2 ∆ L L L L 

1 3 θ3 = − v2 + θ2 * 2L     ¯ I¯ ¯ I¯ ¯ I¯ ¯ I¯ * I* * I* E E E E E E 1 −6 − 3 ¯ 2 Fy2 + −9 − 6 ¯ 3 M2 , +3 −3 = * ¯L * *2 ¯ 2L *3 ∆ L L L L L L  ¯ 2 I¯2 36 E 36 12 ¯E * I¯I* > 0. E ∆ := 12 ¯ 4 + + + ¯ 3L * ¯L *3 ¯ 2L *2 L L L L

wobei

Wir heben noch zwei Spezialf¨ alle hervor. Ist erstens Fx2 = 0, so wird u2 = u3 = 0.

/ ? 1

2

3

Abb. 3.21. Belasteter Einzelbalken

Haben zweitens die beiden Teilbalken dieselbe “Geometrie”, d.h. gilt I¯ = * ¯=L * =: L, so vereinfachen sich die obigen Formeln zu I =: I und L 

IM2 1 IFy2 ¯ * ¯ * + (6E − 3E) 2 v2 = (4E + 3E) ∆ L L 

1 IM2 IF y2 ¯ * ¯ * θ2 = (6E − 3E) 2 + (12E + 3E) 3 ∆ L L 

1 IM2 IF y2 ¯ * ¯ * θ3 = (−9E − 3E) 2 + (−15E + 3E) 3 ∆ L L mit ∆ =

¯ 2 EI ¯ L4 (12E

* Die Komponenten von F1 lauten in diesem Fall + 84E). Fx1 = −Fx2

3.5 Beispiele

81

¯ − 9E * * M2 −2E 9E Fy2 + ¯ * ¯ * 2E + 14E 2E + 14E L ¯ − 4E * ¯ + 4E * −2E −2E M1 = LFy2 + M2 ¯ * ¯ * 2E + 14E 2E + 14E * * M2 −5E −9E . Fy3 = Fy2 + ¯ + 14E * ¯ + 14E * L 2E 2E Fy1 =

Die Richtigkeit der Rechnung l¨ asst sich anhand der Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur den zusammengesetzten Balken Fy1 + Fy2 + Fy3 = 0 −LFy1 + LFy3 + M1 + M2 = 0 u ufen. ¨ berpr¨ Wir wenden uns nun der Spannungsberechnung zu. F¨ ur die Balken (i, j) = (1, 2), (2, 3) ist α(i,j) = 0 und c = cos α(i,j) = 1, s = sin α(i,j) = 0. Die Summe (i,j)

der Matrizen s a

s (i,j)

(i,j)

und s z ⎛ E ⎜ L ⎜ ⎜ E ⎜ ⎜ =⎜ L ⎜ E ⎜− ⎜ L ⎝ E − L

ergibt in diesem Fall

6E  y L2 . 6E − 2 y˙  L 6E  − 2 y. L 6E  − 2 y˙ L −

4E  y L . 4E  − y˙ L 2E  y − L . 2E  y˙ − L −

E L E − L E L E L −

6E  y L2 . 6E  y˙ L2 6E  y L2 . 6E  y˙ L2

⎞ 2E  y. L ⎟ ⎟ 2E  ⎟ − y˙ ⎟ L ⎟ ⎟ 4E  ⎟ y. ⎟ − L ⎟ 4E  ⎠ y˙ − L −

 mit E = E(i,j) , L = L(i,j) , y.  = y. (i,j) , y˙  = y˙ (i,j) ; und nach (3.35) ist

 (i,j) (i,j) ui σ =s . uj

Von der Aufstellung der 8 × 9 Matrix   (1,2) (1,2) s1 s2 0 S= (2,3) (2,3) , s2 0 s1 der sich aus dieser durch Entfernen der Spalten 1, 2, 3, 8 ergebenden Matrix S0 und der Vektorgleichung

(1,2)  σ σ= = S0 u0 σ (2,3) sehen wir aus Platzgr¨ unden ab. F¨ ur den Spezialfall, dass die beiden Teilst¨ abe des vorliegenden Tragwerks dieselbe “Geometrie” haben, wollen wir die zugeh¨origen Elementspannungen

82

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

explizit berechnen. Zur Bestimmung von σ (1,2) resp. σ (2,3) sind dann in s (i,j) ¯ resp. E * zu ersetzen und in E durch E ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 u2 u3 u1 = ⎝ 0 ⎠ , u2 = ⎝ v2 ⎠ , u3 = ⎝ 0 ⎠ θ2 0 θ3 die oben ermittelten Werte von u2 , u3 , v2 , θ2 , θ3 einzusetzen. Man erh¨alt (1,2)

= −

(1,2)

=

(2,3)

=

(2,3)

= 0

σ. 1

σ. 2 σ. 2 σ. 3

¯ + 4E * LFy2 ¯ − 4E * M2 2E Fx2 2E + + ¯ + 14E * W ¯ + 14E * W A 2E 2E . . * ¯ − 5E * M2 LFy2 5E −2E Fx2 + + ¯ + 14E * W ¯ + 14E * W A 2E 2E . . * M2 * LFy2 −9E −5E + ¯ + 14E * W ¯ + 14E * W 2E 2E . .

I (2,3) (1,2) (2,3) (1,2) mit W mit ur σ˙ 1 , σ˙ 2 , σ˙ 2 , σ˙ 3 . = y ; und entsprechende Formeln f¨ . (2,3) ˙ = I an der Stelle von W W = 0 ist evident. Zur Kon. . Das Resultat σ 3 y˙  trolle der Rechnung k¨ onnen außerdem die Beziehungen (1,2)

σ. 1

=

M1 Fx1 , − A W .

(1,2)

σ. 2

(2,3)

= σ. 2

=

M2 Fx2 − A W .

verwendet werden. 3.5.1.2 Balken beidseitig eingespannt



U U * E, * L *, I* A,

¯ E, ¯ L, ¯ I¯ A, 1

2

3

Abb. 3.22. Belasteter Doppelbalken

Der Knoten 3 des Tragwerks aus dem vorigen Abschnitt sei jetzt nicht ¨ mehr gest¨ utzt, sondern verankert. Wir untersuchen, wie sich diese Anderung

3.5 Beispiele

auf die Knotenverschiebungen, Lagerkr¨ afte und Spannungen auswirkt. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K bleibt unver¨ andert. Nun ist u1 = 0,

u3 = 0

(Verankerung der Knoten 1,3) und u0 = u2 = (u2 , v2 , θ2 ) F0 = F2 = (Fx2 , Fy2 , M2 )

 F1 F = = (Fx1 , Fy1 , M1 , Fx3 , Fy3 , M3 ) . F3

sowie

1

Mit den Abk¨ urzungen des vorigen Beispiels wird demnach ⎛ ⎞ ¯ A¯ E *A * E 0 0 + ⎜ L ⎟ * L ⎜ ¯   ⎟  ⎜ * I* * I* ⎟ ¯ I¯ E ¯ I¯ E ⎜ ⎟ E E ⎜ ⎟ 6 − ¯2 + 0 12 ¯ 3 + K0 = ⎜ ⎟ 3 2 * * L L L L ⎜   ⎟   ⎜ ¯ I¯ E * I* * I* ⎟ ¯ I¯ E ⎝ ⎠ E E 0 6 − ¯2 + + 4 ¯ *2 * L L L L ⎛ ¯¯ ⎞ EA 0 0 ⎟ ¯ ⎜− L ⎜ ⎟ ¯¯ ¯¯ ⎟ ⎜ ⎜ 0 − 12E I 6E I ⎟ ⎜ ¯3 ¯2 ⎟ L L ⎜ ⎟ ⎜ ¯ I¯ ⎟ ¯ ¯ 6E I 2E ⎜ 0 ⎟ − ⎜ ¯2 ¯ ⎟ L L ⎜ ⎟ K10 = ⎜ * * ⎟. ⎜ EA ⎟ 0 0 ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ L * ⎟ ⎜ * I* 6E * I*⎟ ⎜ 12 E ⎟ ⎜ 0 − − ⎜ *3 *2 ⎟ L L ⎟ ⎜ ⎝ * I* ⎠ * I* 2E 6E 0 *2 * L L Aus dem LGS K0 u0 = F0 bestimmt man dann Fx2 *A * ¯ A¯ E E + ¯ * L   L    * I* ¯ I¯ E * I* E E¯ I¯ E 1 v2 = 4Fy2 − − ¯ 2 + 6M2 ¯ +3 L * *2 ∆ L L L      * I* ¯ I¯ E * I* E¯ I¯ E E 1 θ2 = 12M2 − − ¯ 2 + 6Fy2 , ¯3 + L *3 *2 ∆ L L L u2 =

83

84

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

wobei

 ¯ 2 I¯2 * 2 I*2 48 E 48 E 72 ¯E * I¯I* > 0. + ∆ := 12 ¯ 4 + 12 + + E *4 ¯ 3L * ¯L *3 ¯ 2L *2 L L L L L Haben beide Teilbalken wieder dieselbe geometrische Beschaffenheit, so wird LFx2 ¯ * (E + E)A 

6IM2 1 4IF y2 ¯ * ¯ * v2 = + (E − E) 2 (E + E) ∆

L L  1 12IM2 6IFy2 ¯ * ¯ * + (E + E) θ2 = (E − E) ∆ L2 L3 u2 =

mit ∆ :=

12I 2 ¯ 2 L4 (E

* 2 + 14E ¯ E), * und aus +E F1 = K10 u0

ergibt sich in diesem Fall ¯ E Fx1 = − F ¯+E * x2 E ¯E * ¯ 2 − 7E ¯E * M2 −E 12E Fy1 = Fy2 + 2 2 2 2 ¯ ¯ * ¯ * * ¯ * E + E + 14E E E + E + 14E E L 2 ¯E * ¯E * ¯ − 3E ¯ 2 + 5E −E −E M1 = LFy2 + M ¯2 + E ¯2 + E * 2 + 14E ¯E * * 2 + 14E ¯E * 2 E E * E Fx3 = − F ¯+E * x2 E ¯E * * 2 − 7E ¯E * M2 −E −12E Fy3 = Fy2 + 2 2 2 2 ¯ +E * + 14E ¯E * * + 14E ¯E * L E E¯ + E 2 2 * ¯ * ¯ * * E + 3E E −E + 5 E E M3 = LFy2 + M . 2 2 2 ¯ ¯ * ¯ * * 2 + 14E ¯E * 2 E + E + 14E E E +E Auch die Matrix S bleibt unver¨ andert, und mit (1,2) 0

σ (1,2) = s 2

u ,

(2,3) 0

σ (2,3) = s 1

u

erh¨ alt man f¨ ur den genannten Spezialfall (1,2)

σ. 1

(1,2)

σ. 2

(2,3)

σ. 2

(2,3)

σ. 3

¯ 2 + 3E ¯E * E Fx2 LFy2 + ¯ +E * A * 2 + 14E ¯E * W E E¯ 2 + E . ¯ Fx2 ¯E * E LFy2 4E + = ¯ +E * A * 2 + 14E ¯E * W E E¯ 2 + E . * ¯ * E Fx2 LFy2 −4E E + = ¯ +E * A * 2 + 14E ¯E * W E E¯ 2 + E . 2 * * ¯ * E Fx2 −E − 3E E LFy2 + =− 2 ¯ * ¯ * 2 + 14E ¯E * W A E+E E +E . =−

¯ E

+ +

¯E * E¯ 2 − 5E M2 * 2 + 14E ¯E * W E¯ 2 + E . ¯ 2 − 7E ¯E * M2 −E

* 2 + 14E ¯E * W E¯ 2 + E . 2 * ¯ * −E − 7 E E M2 + * 2 + 14E ¯E * W E¯ 2 + E . 2 * ¯ * E − 5E E M2 + 2 2 ¯ * ¯ * E + E + 14E E W .

3.5 Beispiele

85

(1,2) (1,2) ˙ in der Stelle von W und entsprechende Formeln (mit W ur σ˙ 1 , σ˙ 2 , . ) f¨ (2,3) (2,3) σ˙ 2 , σ˙ 3 .

3.5.2 Der Torbogen (portal frame)

y

6 α(2,3) = 0

α(3,4) = (2,3)

2

3

3π 2

x

(1,2)



(3,4) α(1,2) =

π 2

1

4

x

Abb. 3.23. Torbogen

Die Verbindungen des in Abschn. 2.6.1 betrachteten Torbogens seien jetzt nicht als drehbar, sondern als starr vorausgesetzt. Damit ist die kinematische Stabilit¨ at des Tragwerks gew¨ ahrleistet, und eine zus¨atzliche Verankerung kann entfallen. Wir geben zun¨ achst f¨ ur jedes Element die Summanden der Zerlegung (i,j) + k der Elementsteifigkeitsmatrix an (vgl. (3.13)). k (i,j) = k (i,j) a z -

Stab (1,2): α(1,2) =

k (1,2) a

π 2,

also c = 0, s = 1 ⎛ ⎞ 0 0 00 0 0 ⎜ ⎟ ⎜0 1 0 0 −1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ E(1,2) A(1,2) ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ = ⎜ ⎟, ⎜0 0 0 0 0 0 ⎟ L(1,2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 −1 0 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ 0 0 00 0 0

86

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

⎛

12

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ 6 ⎜ ⎜− 2 ⎜ L(1,2) z ⎜ = E(1,2) I(1,2) ⎜ 12 ⎜− 3 ⎜ L (1,2) ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 6 − 2 L(1,2) L3(1,2)

k

-

-

(1,2) z

0 0 0 0 0 0

−

6 L2(1,2)

k (3,4) a

12 L3(1,2)

0 4

0 6

L(1,2) 6 L2(1,2)

L2(1,2) 12 L3(1,2)

0 2

0 6

L(1,2)

L2(1,2)

Stab (2,3): α(2,3) = 0, also c = 1, s = 0 ⎛ ⎞ 1 0 0 −1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ E(2,3) A(2,3) ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ (2,3) ka = ⎜ ⎟, ⎜−1 0 0 1 0 0⎟ L(2,3) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ 0 00 0 00 ⎛ 0 0 0 ⎜ 12 6 ⎜0 ⎜ 3 2 L(2,3) L(2,3) ⎜ ⎜ 4 6 ⎜ ⎜0 2 ⎜ L L (2,3) (2,3) z ⎜ k (2,3) = E(2,3) I(2,3) z ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ 12 6 ⎜ ⎜0 − 3 − 2 ⎜ L(2,3) L(2,3) ⎜ ⎝ 2 6 0 2 L(2,3) L(2,3) 3π , also c = 0, s = −1 2 ⎛ ⎞ 0 0 00 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1 0 0 −1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎟ E(3,4) A(3,4) ⎜ ⎜0 0 0 0 0 0 ⎟ = ⎜ ⎟, ⎜0 0 0 0 0 0 ⎟ L(3,4) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 −1 0 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ 0 0 00 0 0

Stab (3,4): α(3,4) =

−

0 − 0 0 0 0 0

0

0 12 0 − 3 L(2,3) 6 0 − 2 L(2,3)

0 0

0 12

L3(2,3) 6 0 − 2 L(2,3)

6

⎞

L2(1,2) ⎟ ⎟ 0 2

L(1,2) 6 L2(1,2) 0 4

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

L(1,2)

0 6

⎞

⎟ ⎟ ⎟ L2(2,3) ⎟ 2 ⎟ ⎟ ⎟ L(2,3) ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 6 ⎟ − 2 ⎟ L(2,3) ⎟ ⎟ 4 ⎠ L(2,3)

3.5 Beispiele

⎛

12

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 6 ⎜ 2 ⎜ L(3,4) z = E(3,4) I(3,4) ⎜ ⎜ 12 ⎜− 3 ⎜ L (3,4) ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 6 L2(3,4) L3(3,4)

k

(3,4) z

0 0 0 0 0 0

6 L2(3,4) 0 4 L(3,4) 6 − 2 L(3,4) 0 2 L(3,4)

−

12 L3(3,4)

0

0 6 − 2 L(3,4) 12 L3(3,4)

0

0 6 − 2 L(3,4)

0

0 0

0

6

87

⎞

⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎟ L(3,4) ⎟ ⎟ 6 ⎟ − 2 ⎟ L(3,4) ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎠ 4 L2(3,4)

L(3,4)

¨ Wegen der formalen Ubereinstimmung der Gesamtsteifigkeitsmatrix bei drehbaren Verbindungen mit der bei starren Verbindungen, ergibt sich wie in Abschn. 2.6.1

K=

................................................. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. (1,2) (1,2) .. .. k 11 k 12 .. .. .. .. .. .. .. .. ................................................. .. .. .. .. .. .. .. .. (1,2) (1,2) (2,3) (2,3) . .. k 21 k 22 + k 11 .. k 12 .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. (2,3) (3,4) (3,4) (2,3) .. k 22 + k 11 k 12 ... k 21 .. .. .. .. .. .. .................................................. .. .. .. .. .. .. .. .. (3,4) (3,4) .. .. k 21 k 22 .. .. .. .. .. .. ................................................... ..

Zur Berechnung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨afte hat man wegen der Nebenbedingungen -

Verankerung der Knoten 1, 4 außere Belastung der Knoten 2, 3 ¨

zu setzen:



 u2 u1 1 u = =0 , u = u 3



u4  F2 F1 , F1 = . F0 = F3 F4 0

88

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

Dann gilt F0 = K0 u0 F1 = K10 u0 , wobei

(1,2)

k 22

(2,3)

(2,3)

+ k 11

(1,2)

k 12

K0 = (2,3)

(2,3)

k 22

(3,4)

+ k 11

Nach dem Voranstehenden ist nun ⎛ E(2,3) A(2,3) L(2,3)

(1,2)

0

0

k 21

K10 = k 21

k 22

k 12

(2,3)

+ k 11

(2,3)

k 12

(2,3)

k 21

0

(3,4)

6 z E(1,2) I(1,2) L2

⎞

⎜ (1,2) ⎟ ⎟ ⎜ 12 z ⎟ ⎜+E(1,2) I(1,2) L3(1,2) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 12 6 z z 0 E(2,3) I(2,3) L3 E(2,3) I(2,3) L2 ⎜ ⎟ (2,3) (2,3) ⎟ =⎜ ⎜ ⎟ E A(1,2) ⎜ ⎟ + (1,2) L(1,2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6 4 6 z z z E(2,3) I(2,3) E(2,3) I(2,3) ⎜ E(1,2) I(1,2) ⎟ 2 2 L L L (2,3) ⎠ (1,2) (2,3) ⎝ 4 z +E(1,2) I(1,2) L(1,2) ⎞ ⎛ E A(2,3) − (2,3) 0 0 L (2,3) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 12 6 ⎟ z z 0 −E(2,3) I(2,3) L3 E(2,3) I(2,3) L2 ⎟ =⎜ (2,3) (2,3) ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 6 2 z z 0 −E(2,3) I(2,3) L2 E(2,3) I(2,3) L(2,3) (2,3) ⎞ ⎛ E(2,3) A(2,3) − L(2,3) 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 12 6 z z 0 −E(2,3) I(2,3) −E(2,3) I(2,3) =⎜ L3(2,3) L2(2,3) ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 6 2 z z 0 E(2,3) I(2,3) E(2,3) I(2,3) L(2,3) L2 (2,3)

3.5 Beispiele

⎛

(2,3)

k 22

(3,4)

+ k 11

(1,2)

k 12

(3,4)

k 21

E

89

⎞

A

(2,3) (2,3) 6 z 0 E(3,4) I(3,4) L(2,3) L2(3,4) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 12 z ⎜+E(3,4) I(3,4) ⎟ L3(3,4) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 12 6 ⎟ z z 0 E(2,3) I(2,3) −E I ⎜ 3 2 (2,3) (2,3) L(2,3) ⎟ L(2,3) ⎟ =⎜ ⎜ ⎟ E(3,4) A(3,4) ⎜ ⎟ + L(3,4) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6 6 4 z z z −E(2,3) I(2,3) L2 E(2,3) I(2,3) L(2,3) ⎟ ⎜ E(3,4) I(3,4) L2 ⎝ ⎠ (3,4) (2,3) 4 z +E(3,4) I(3,4) L(3,4) ⎛ ⎞ 6 12 z z −E(1,2) I(1,2) 0 −E I 3 2 (1,2) (1,2) L L(1,2) ⎜ (1,2) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E(1,2) A(1,2) =⎜ 0 − L(1,2) 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 6 z z E(1,2) I(1,2) L2 0 E(1,2) I(1,2) L(1,2) (1,2) ⎞ ⎛ 6 12 z z −E(3,4) I(3,4) 0 −E I 3 2 (3,4) (3,4) L(3,4) L(3,4) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ E(3,4) A(3,4) =⎜ 0 − L(3,4) 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 6 2 z z E(3,4) I(3,4) L2 0 E(3,4) I(3,4) L(3,4) (3,4)

und Einsetzen ergibt ⎛ 12 6 z z −E(1,2) I(1,2) 0 −E(1,2) I(1,2) L3(1,2) L2(1,2) ⎜ ⎜ E A(1,2) ⎜ 0 − (1,2) 0 L(1,2) ⎜ ⎜ 6 2 z z ⎜ E(1,2) I(1,2) 2 0 E(1,2) I(1,2) L(1,2) L(1,2) K10 = ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎝ 0

0

0 ⎞

0

0

0

0

0

0

0

0

0 z −E(3,4) I(3,4) L3

12

0

(3,4)

(3,4)

−

0 6 z E(3,4) I(3,4) L2

(3,4)

6 z −E(3,4) I(3,4) L2

E(3,4) A(3,4) L(3,4)

0

0 2 z E(3,4) I(3,4) L(3,4)

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

E(2,3) A(2,3) L(2,3)

⎜ ⎜ 12 z ⎜+E(1,2) I(1,2) L3(1,2) ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 6 z ⎜E ⎜ (1,2) I(1,2) L2(1,2) ⎜ ⎜ ⎜ K0 = ⎜ ⎜ − E(2,3) A(2,3) ⎜ L(2,3) ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝

⎛

(2,3)

0

(2,3)

(2,3)

6 z E(2,3) I(2,3) L2

12 z −E(2,3) I(2,3) L3

+

E(1,2) A(1,2) L(1,2) 6 z E(2,3) I(2,3) L2(2,3)

12 z E(2,3) I(2,3) L3

0

(2,3)

2 z E(2,3) I(2,3) L(2,3)

6 z −E(2,3) I(2,3) L2

0

4 z +E(1,2) I(1,2) L(1,2)

4 z E(2,3) I(2,3) L(2,3)

(2,3)

6 z E(2,3) I(2,3) L2

(1,2)

6 z E(1,2) I(1,2) L2

0

0

E(2,3) A(2,3) L(2,3)

(3,4)

6 z E(3,4) I(3,4) L2

0

12 z +E(3,4) I(3,4) L3(3,4)

E(2,3) A(2,3) L(2,3)

−

(2,3)

(2,3)

E(3,4) A(3,4) L(3,4) (2,3)

6 z −E(2,3) I(2,3) L2

+

12 z E(2,3) I(2,3) L3

0

(2,3)

6 z −E(2,3) I(2,3) L2

12 z −E(2,3) I(2,3) L3

0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 6 z ⎟ E(2,3) I(2,3) L2 (2,3) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 z E(2,3) I(2,3) L(2,3) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 6 z ⎟ E(3,4) I(3,4) L2 ⎟ (3,4) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 6 ⎟ z −E(2,3) I(2,3) L2 ⎟ (2,3) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 4 z E(2,3) I(2,3) L(2,3) ⎟ ⎠ 4 z +E(3,4) I(3,4) L(3,4)

0

90 3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

3.5 Beispiele

91

Die erste der in Lemma 3.4 gegebenen Darstellungen von K0 lautet im vorliegenden Fall wie folgt: (1,2)

K0 = q(1,2) K0 wobei q(i,j) =

(2,3)

+ q(2,3) K0

E(i,j) A(i,j) , L(i,j)

(3,4)

+ q(3,4) K0

,

(i, j) = (1, 2), (2, 3), (3, 4)

⎛

(1,2)

K0

(2,3)

K0

(3,4)

K0

⎞ 12r2 0 6r2 0 0 0 2 L ⎜ L ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 0 0 0⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 6r ⎟ ⎜ L 0 4r2 0 0 0 ⎟ z =⎜ , L = L(1,2) ⎟ mit r = r(1,2) ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 000 ⎛ ⎞ 1 0 0 −1 0 0 ⎜ ⎟ 2 ⎜ 6r2 0 − 12r2 6r2 ⎟ ⎜ 0 12r2 L L ⎟ ⎜ ⎟ L2 L22 ⎜ 6r 2 2 ⎟ ⎜ 0 6r ⎟ 4r 2r 0 − L L ⎟ mit r = rz , =⎜ (2,3) ⎜ ⎟ 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ −1 ⎜ ⎟ L = L(2,3) 2 2 ⎜ 12r2 − 6r2 ⎟ 0 ⎜ 0 − 12r2 − 6r ⎟ 2 L L ⎠ L2 L 2 ⎝ 6r 2 2 0 6r 0 − 2r 4r L L ⎞ ⎛ 000 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ z mit r = r(3,4) =⎜ , L = L(3,4) . 2 2⎟ ⎜ 0 0 0 12r2 0 6r ⎟ ⎜ ⎟ L L ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 0 0 0 6r 0 4r L

Zur Spannungsberechnung setzen wir der Einfachheit halber f¨ ur (i, j) = (1, 2), (2, 3), (3, 4) den Symmetriefall voraus, wo nach (3.34),(3.31) und (3.33) ⎞ ⎛ c s 0 −c −s 0 ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ E⎜ ⎜ c s 0 −c −s 0 ⎟ ⎝ ui ⎠ (i,j) σa = ⎜ ⎟ L ⎜−c −s 0 c s 0 ⎟ uj ⎠ ⎝ −c −s 0

c

s0

92

3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen

⎛

σ (i,j) z

⎞ 6 4 2 6 6 6 ⎜−s L2 c L2 L s L2 −c L2 L ⎟ ⎜ ⎟ 6 6 6 4 6 2 ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎜ s 2 −c 2 − −s 2 c 2 − ⎟ u i ◦ ⎜ L L L L L⎟ = E y ⎜ L ⎟⎝ ⎠ 2 4⎟ u 6 6 6 6 ⎜ j s 2 −c 2 ⎟ ⎜−s 2 c 2 ⎜ L L L L L L⎟ ⎝ ⎠ 6 6 6 2 6 4 s 2 −c 2 − −s 2 c 2 − L L L L L L

mit c = cos α(i,j) , s = sin α(i,j) , E = E(i,j) , L = L(i,j) , y◦ = y◦(i,j) . -

Stab (1,2): α(1,2) =

σ (1,2)

-

π 2,

also c = 0, s = 1

⎛ ⎞ E E ◦ 6 ◦ 4 ◦ 6 ◦ 2 E y E y 2 − E y −E y  2 ⎜ L L L L L L⎟ ⎜ ⎟ 6 E 4 6 2 ⎟⎛ ⎞ E ⎜ ⎜ E y◦ 2 −E y◦ −E y◦ 2 − −E y◦ ⎟ u1 ⎜ L L L L L L⎟ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 6 E 6 E ⎜ ◦ ◦ ◦ 4 ⎟ ◦ ⎜−E y 2 − Ey Ey 2 E y ⎟ u2 ⎜ L L L L L L⎟ ⎝ 6 E 2 6 4⎠ E −E y◦ E y◦ 2 − −E y◦ −E y◦ 2 L L L L L L

mit E = E(1,2) , L = L(1,2) , y◦ = y◦(1,2) und u1 = 0. Stab(2,3): α(2,3) = 0, also c = 1, s = 0 ⎛

σ (2,3)

-

⎞ E E ◦ 6 ◦ 4 ◦ 6 ◦ 2 Ey 2 Ey − −E y 2 E y ⎜ L L L L L L⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ E ⎜ E ◦ 6 ◦ 4 ◦ 6 ◦ 2 ⎟ ⎜ −E y 2 −E y − E y 2 −E y ⎟ u2 ⎜ L L L L L⎟ =⎜ L ⎟⎝ ⎠ E ⎜ E ◦ 6 ◦ 2 ◦ 6 ◦ 4 ⎟ ⎜− Ey 2 Ey −E y 2 E y ⎟ u3 ⎜ L L L L L L⎟ ⎝ E ⎠ E ◦ 6 ◦ 2 ◦ 6 ◦ 4 E y 2 −E y − −E y 2 −E y L L L L L L

mit E = E(2,3) , L = L(2,3) , y◦ = y◦(2,3) . Stab(3,4): α(3,4) = 3π 2 , also c = 0, s = −1 ⎛

σ (3,4)

⎞ E 6 E ◦ 4 ◦ 6 ◦ 2 y y y − E −E E ⎜ L2 L L L2 L L⎟ ⎟⎛ ⎞ ⎜ 6 4 6 E E ⎜ ◦ ◦ 2 ⎟ ⎜−E y◦ 2 − −E y◦ E y 2 −E y ⎟ u3 ⎜ L L L L L L⎟ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 6 E 2 6 E ⎜ ◦ ◦ ◦ ◦ 4 ⎟ ⎜ Ey 2 Ey −E y 2 − E y ⎟ u4 ⎜ L L L L L L⎟ ⎝ 6 E 2 6 4⎠ E −E y◦ E y◦ 2 − −E y◦ −E y◦ 2 L L L L L L E y ◦

mit E = E(3,4) , L = L(3,4) , y◦ = y◦(3,4) und u4 = 0.

3.5 Beispiele

⎛

93

⎞ σ (1,2) Von der abschließenden Berechnung von u0 , F und σ = ⎝σ (2,3) ⎠ sehen wir σ (3,4) aus Platzgr¨ unden ab. 1

4. R¨ aumliche Stabtragwerke

Wir lassen jetzt die Beschr¨ ankung auf ebene Tragwerke fallen und untersuchen in diesem Abschnitt r¨ aumliche Tragstrukturen. Wie bereits erw¨ahnt, fallen hierunter auch solche Tragwerke, deren St¨abe (genauer: die neutralen Fasern der St¨ abe) zwar s¨ amtlich in einer Ebene liegen, wo aber die angreifenden Kr¨ afte nicht nur in dieser Ebene wirken. Tragwerke mit drehbaren bzw. mit starren Verbindungen werden parallel behandelt. Allem Folgenden zugrunde liegend ist ein im Raum eingef¨ uhrtes globales {x, y, z}-Koordinatensystem .

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix Wir betrachten zun¨ achst wieder einen festen Stab (i, j) des Tragwerks. 4.1.1 Globale und lokale Koordinaten Dem Stab (i, j) wird auf folgende Weise ein lokales {x , y  , z  }-Koordinatensystem angepasst: Die x -Achse liegt in der neutralen Faser (Schwerpunktslinie) des Stabes und sei von i in Richtung auf j orientiert. Die Wahl der y  -Achse und der z  -Achse innerhalb der Normalenebene zur Stabachse wird so getroffen, dass diese Achsen Haupttr¨ agheitsachsen des Stabquerschnittes A = A(i,j) sind. Man beachte, dass das globale und das lokale Koordinatensystem Rechtssysteme sind. Wie in Abschn. 2.1 vereinbaren wir f¨ ur einen r¨aumlichen Vektor v mit den globalen Koordinaten x, y, z und den lokalen Koordinaten x , y  , z  die Schreibweisen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x v = ⎝ y ⎠ und v = ⎝ y  ⎠ . z z Die Beziehung zwischen globalen und lokalen Koordinaten wird durch die Transformationsmatrix T (i,j) beschrieben, welche folgende Gestalt hat.

96

4 R¨ aumliche Stabtragwerke z 6

1

x


γ(i,j) β(i,j)

-

y

α(i,j)

x



Abb. 4.1. Richtungscosinus

Bezeichnen α = α(i,j) , β = β(i,j) , γ = γ(i,j) die Richtungswinkel der x -Achse mit den globalen Koordinatenachsen, so sind c11 := cos(x , x) = cos α, c12 := cos(x , y) = cos β, c13 := cos(x , z) = cos γ die Richtungscosinus der x -Achse im globalen Koordinatensystem. Analog stellen c21 := cos(y  , x), c22 := cos(y  , y), c23 := cos(y  , z) c31 := cos(z  , x), c32 := cos(z  , y), c33 := cos(z  , z) die Richtungscosinus von y  - und z  -Achse dar. F¨ ur die orthogonale Matrix ⎛ c11 c12 T (i,j) = ⎝ c21 c22 c31 c32 gilt dann:

v = T (i,j) v,

im globalen Koordinatensystem ⎞ c13 c23 ⎠ c33

v = (T (i,j) ) v .

In globalen Koordinaten ist also ⎞ c11 = ⎝ c12 ⎠ c13 ⎛

b1 =

(i,j) b1

der Einheitsvektor in Richtung der x -Achse,

(4.1)

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

⎛

(i,j)

b2 = b2

97

⎞

c21 = ⎝ c22 ⎠ c23

der Einheitsvektor in Richtung der y  -Achse und ⎛ ⎞ c31 (i,j) b3 = b3 = ⎝ c32 ⎠ = b1 × b2 c33 der Einheitsvektor in Richtung der z  -Achse. asst sich die Lage des Stabes (i, j) im Raum (bis Durch Angabe von b1 und b2 l¨ auf Translationen) eindeutig beschreiben. Tats¨ achlich sind dazu aber nur drei unabh¨ angige Koordinaten notwendig. Als solche eignen sich die Eulerschen Winkel. x

6 z


ϑ x




}

 /

- z ψ y



* 7ϕ U

j

y


Knotenlinie

Abb. 4.2. Eulersche Winkel

Definition 4.1. ϑ = ϑ(i,j) , ψ = ψ(i,j) , ϕ = ϕ(i,j) bezeichnen die Eulerschen Winkel, welche die Lage des lokalen Koordinatensystems {x , y  , z  } gegen das globale System {x, y, z} festlegen. Man hat dann: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ cos ϑ c11 b1 = ⎝c12 ⎠ = ⎝ sin ψ sin ϑ ⎠ c13 − cos ψ sin ϑ

(4.2)

98

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

⎛

⎞ ⎛ ⎞ c21 sin ϑ sin ϕ b2 = ⎝c22 ⎠ = ⎝ cos ψ cos ϕ − sin ψ cos ϑ sin ϕ ⎠ sin ψ cos ϕ + cos ψ cos ϑ sin ϕ c23 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ sin ϑ cos ϕ c31 b3 = ⎝c32 ⎠ = ⎝ − cos ψ sin ϕ − sin ψ cos ϑ cos ϕ ⎠ . c33 − sin ψ sin ϕ + cos ψ cos ϑ cos ϕ

(4.3)

(4.4)

Die von uns benutzte Bezeichnungsweise bei ebenen Tragwerken ergibt sich hiernach durch Setzen von ϑ = α, ψ = 90◦ , ϕ = 270◦. Sp¨ ater werden die folgenden Matrizen eine Rolle spielen. Definition 4.2. F¨ ur 1 ≤ r, s ≤ 3 sei (i,j) b rs = b rs

⎛ ⎞ cr1 ⎝ cr2 ⎠ (cs1 , cs2 , cs3 ). := br b = s cr3

b rs ist die 3 × 3 Matrix ⎛

⎞ cr1 cs1 cr1 cs2 cr1 cs3 ⎝ cr2 cs1 cr2 cs2 cr2 cs3 ⎠ , cr3 cs1 cr3 cs2 cr3 cs3

und es gilt

   b rs = (br b s ) = bs br = b sr .

Mit Hilfe von (4.2), (4.3), (4.4) best¨ atigt man leicht die Bemerkung 4.1. Die Matrizen b 12 ,

b 22 + b 33 ,

b 23 − b 32

sind von dem Eulerschen Winkel ϕ unabh¨angig. 4.1.2 Beziehungen zwischen Momenten, Querkr¨ aften, Verdrehungen und Querverschiebungen Die in Abschn.2 definierten Vektoren Fi , ui erhalten hier eine dritte Koordinate, n¨ amlich im globalen System Fzi bzw. wi und im lokalen System

Fz
i bzw. wi . (i,j)

(i,j)

Entsprechendes gelte f¨ ur Fj , Fi und Fj . Wie in Abschn.2 erh¨ alt man f¨ ur die Gleichgewichtslage des Stabes aufgrund der axialen Federung

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix (i,j)

(i,j)

−Fx
i = Fy
j =

E(i,j) A(i,j)  (uj − ui ) L(i,j)

99

(4.5)

und bei drehbaren Verbindungen außerdem Fy
i = Fy
j = 0

(i,j)

(i,j)

(4.6)

(i,j) Fz
i

(i,j) Fz
j

(4.7)

=

= 0.

Damit ist der Fall drehbarer Verbindungen bereits erledigt, und wir setzen ab jetzt in diesem Abschnitt starre Verbindungen des Tragwerks voraus. Bei starren Verbindungen m¨ ussen Drehmomente ber¨ ucksichtigt werden. Bezugspunkt f¨ ur diese ist ein beliebiger, aber fest gew¨ahlter Punkt im Raum. Definition 4.3. Im Gleichgewichtszustand sei Mi das gesamte im Knoten i (i,j) der auf den Stab (i, j) wirkende angreifende ¨außere Drehmoment und Mi Teil von Mi . Diese Vektoren haben die Darstellungen ⎛ ⎞ Mxi Mi = ⎝Myi ⎠ , Mzi

⎞ (i,j) Mxi ⎜ (i,j) ⎟ = ⎝Myi ⎠ (i,j) Mzi ⎛

(i,j)

Mi

in globalen Koordinaten und die Darstellungen ⎞ ⎛ M x
i Mi = ⎝My
i ⎠ , Mz
i

⎞ (i,j) M x
i ⎟ ⎜ (i,j) (Mi ) = ⎝My(i,j)
i ⎠ (i,j) Mz
i ⎛

(i,j)

in lokalen Koordinaten. Entsprechendes gelte f¨ ur Mj und Mj . Bei Belastung erfahren die Knoten neben Verschiebungen auch Verdrehungen. Nach dem Theorem von Chasles kann die Bewegung des Knotens i von der Ausgangslage in die Gleichgewichtslage aufgefasst werden als Translation ui seines Schwerpunktes und Rotation θ i um eine Achse durch diesen Punkt. Da es sich um sehr kleine Drehungen handelt, ist eine Darstellung von θ i als Vektor m¨ oglich. Definition 4.4. θ i heißt der Verdrehungsvektor des Knotens i. Im globalen bzw. lokalen System ist ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ θxi θx
i θi = ⎝θyi ⎠ bzw. θi = ⎝θy
i ⎠ . θzi θz
i

100

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

Geometrische Veranschaulichung der lokalen Verdrehungswinkel: z


6

θx
i ... ... i . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . .. ... ... . . . z
... ... 6 . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . O θx
j . -
... j y

x


-



y


Abb. 4.3. Torsionswinkel

z
6

i

. ... ... . . . ... ...



y


θy
i

Abb. 4.4. Verdrehung bez. y’-Achse

x


4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

101

y
6

i

-

O θz
i

x




z


Abb. 4.5. Verdrehung bez. z
-Achse

Man beachte, dass θy
i im Uhrzeigersinn der {x , z  }-Ebene gemessen wird, da {x , z  , y  } ein Linkssystem darstellt. Die Verbiegung des Stabes setzt sich zusammen aus einer Verbiegung um die y  -Achse und einer Verbiegung um die z  -Achse. Betrachtet man die Gleichgewichtsbedingung f¨ ur die Momente: ⎛ ⎞ L  (i,j)   (i,j)   (i,j)  Mi + Mj + ⎝ 0 ⎠ × Fj = 0, 0 d.h. (i,j)

(i,j)

(i,j) My
i

(i,j) My
j

M x
i + M x
j = 0 +

−

(4.8)

(i,j) LFz
j

=0

(4.9)

Mz
i + Mz
j − LFy
j = 0,

(4.10)

(i,j)

(i,j)

(i,j)

so erkennt man, dass (4.10) mit (3.3) identisch ist, w¨ahrend (4.9) eine analoge Form annimmt, wenn man die Orientierung der y  -Achse a¨ndert. In der ¨ Tat ist {x , z  , −y  } ein Rechtssystem! Bei der Ubertragung der Formeln aus Abschn.3.1.1 auf die Verbiegung um die y  -Achse sind also alle auf die y  -Achse bez¨ uglichen Koordinaten mit entgegengesetzten Vorzeichen zu nehmen. Unabh¨ angig von der Orientierung der y  -Achse ist Definition 4.5. Es bezeichne





#

z  dA 2

y = I y = I(i,j) A

das Tr¨ agheitsmoment des Stabquerschnittes bzgl. der y  -Achse. Aus der Verbiegung um die z  -Achse hat man nach (3.9) die Beziehungen

102

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

⎛

⎞ 6 12 ⎛ ⎞ 2 L(i,j) L(i,j) ⎟ (i,j) ⎟ vi Fy
i ⎟⎜ 6 ⎜ (i,j) ⎟ ⎟ − 2 ⎟ ⎜M
⎟ E(i,j) I z
⎟ ⎟⎜ L(i,j) (i,j) ⎜ θz
i ⎟ ⎜ zi ⎟ ⎟ . ⎜ ⎜ (i,j) ⎟ = 12 6 ⎟⎜  ⎟ ⎜F
⎟ ⎟ L(i,j) v ⎟ − j ⎝ ⎝ yj ⎠ ⎠ L2(i,j) L(i,j) ⎟ (i,j) ⎟ θ
Mz
j z j ⎠ 6 − 4 L(i,j) (4.11) Demnach ergibt sich aus der Verbiegung um die y  -Achse: ⎛ ⎞ 12 6 6 12 − ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎜ L2(i,j) L(i,j) L2(i,j) L(i,j) ⎟ (i,j)  ⎜ ⎟ w Fz
i i ⎜ 6 ⎟⎜ 6 ⎟ ⎟ ⎜
4 − 2 ⎟ ⎜ −θ
⎟ ⎟ E(i,j) I y ⎜ ⎜−M (i,j) ⎜ ⎟
L L y i (i,j) ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ y i (i,j) ⎜ (i,j) ⎟ ⎟, ⎜ (i,j) ⎟ = 12 12 6 6 ⎟⎜  ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ F
L(i,j) ⎜ ⎟ ⎝ wj ⎠ ⎜− 2 − − ⎝ zj ⎠ 2 ⎜ L L(i,j) L(i,j) L(i,j) ⎟ (i,j) (i,j) ⎜ ⎟ −θ
−My
j y j ⎝ 6 ⎠ 6 2 − 4 L(i,j) L(i,j) ⎞

⎛

12 6 ⎜ L2(i,j) L(i,j) ⎜ ⎜ 6 ⎜ 4 ⎜ L(i,j) ⎜ ⎜ 12 6 ⎜− 2 − ⎜ L L (i,j) (i,j) ⎜ ⎝ 6 2 L(i,j)

−

d.h. ⎛ ⎛

(i,j)

Fz
i

⎞

⎜ (i,j) ⎟
⎜M
⎟ E(i,j) I y (i,j) ⎜ yi ⎟ ⎜ (i,j) ⎟ = ⎜F
⎟ L(i,j) ⎝ zj ⎠ (i,j)

My
j

12 6 − ⎜ L2(i,j) L(i,j) ⎜ ⎜ 6 ⎜− 4 ⎜ L(i,j) ⎜ ⎜ 12 6 ⎜− 2 ⎜ L (i,j) L(i,j) ⎜ ⎝ 6 − 2 L(i,j)

⎞ 12 6 − ⎛ ⎞ L2(i,j) L(i,j) ⎟ ⎟ wi ⎟⎜ 6 ⎟ 2 ⎟ ⎟⎜ θy
i ⎟ L(i,j) ⎜ ⎟ ⎟ ⎟. 12 6 ⎟⎜  ⎟ ⎜ w ⎟ j ⎝ ⎠ L2(i,j) L(i,j) ⎟ ⎟ θ
y j ⎠ 6 4 L(i,j) (4.12)

−

Beispiel 4.1. Tr¨agheitsmomente der Stabquerschnitte in Beispiel 3.1 bzgl. der y  -Achse

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

a) Rechteck y
6

1

x


...........

6

h

z


? .. ........... .. .. .

.. .. . -.. b Abb. 4.6. Rechtecksquerschnitt




#

Iy =

z  2 dA =

b3 h 12

A

b) Kreis

y
6

1 x


.....................

6

-

d z .? .................... Abb. 4.7. Kreisquerschnitt




#

z  dA =

#

2

Iy = A

2

A




y  dA = I z =

πd4 64




103

104

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

c) Kreisring

y
6

1 x


.....................

6

D

...............

6

-

d .? .............. .? ....................

z
0 Abb. 4.8. Ringf¨ ormiger Querschnitt




#

Iy =

z  2 dA =

A

#




y  2 dA = I z =

π (D4 − d4 ) 64

A

d) Ellipse

y
6 . . .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. . ..

1

6

b

.. .. .. .. .. . ? ... ............................... .. .. .. . a

.. .. .. .. .. .. .. .. .. . -..

Abb. 4.9. Ellipsenf¨ ormiger Querschnitt




#

z  dA = 2

Iy = A

πa3 b 64

x


z


4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

e) Gleichseitiges Dreieck y
6

1 x


.. .. .. .. .. .

z

.. .. .. .. . -..




b Abb. 4.10. Dreiecksquerschnitt




#

z  dA = 2

Iy =

√
3 4 b = Iz 96

A

f ) Regelm¨aßiges Sechseck y


R

1

6

x


....  ........

.... .... ....

z


Abb. 4.11. Sechseckiger Querschnitt

I

y


# = A

√
5 3 4 R = Iz z dA = 16 2

105

106

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

F¨ ur alle Querschnitte in Beispiel 3.1 sind die eingezeichneten y  , z  -Achsen Haupttr¨ agheitsachsen, wie man aus Symmetriegr¨ unden leicht erkennt. Es bleiben noch die Beziehungen zwischen Torsionsmomenten und Torsionswinkeln zu beschreiben. Greift an dem freien Ende eines prismatischen Stabes mit der L¨ ange L und dem Querschnitt A ein in Achsenrichtung wirkendes Drehmoment M an, so verdreht sich der Querschnitt des freien Endes gegen¨ uber dem des eingespannten Endes um den Winkel θ=

ML . GI t

(4.13)

Dabei bezeichnet

E (4.14) 2(1 + ν) den Schubmodul des Stabes. Die darin eingehende Querdehnungszahl (Poissonzahl) ν sei durch Abb. 4.12 veranschaulicht: G=

-F h b L

? F -

h +
h L +
L

b +
b

Abb. 4.12. Querdehnungszahl (Poissonzahl)

ν=−

∆b/b ∆h/h =− ∆L/L ∆L/L

G, ebenso wie ν, ist eine Materialkonstante. Es gilt stets 0 < ν < 1. Ferner bezeichnet I t das (Drill- oder) Torsionstr¨agheitsmoment des Stabquerschnittes A, auf dessen allgemeine Definition wir hier aber nicht eingehen. (Siehe etwa [MaHo00, S. 208 f]) Beispiel 4.2. Torsionstr¨agheitsmomente verschiedener Stabquerschnitte (Siehe [MaHo00, S. 209 ff] sowie die Anh¨ange in [As90] und [PeWi92]).

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

107

a) Rechteck z
6

6

z
6

-

h

6

y


-

b

y


? 

? 

-

b

h

Abb. 4.13. Rechtecksquerschnitt

b bezeichne die L¨ange der kleineren, h die L¨ange der gr¨oßeren Rechtecksseite.  

5 b 1 b I t ≈ b3 h 1 − 0, 63 + 0, 052 + ... 3 h h b) Kreis

z
6

6 -

d

y


?

Abb. 4.14. Kreisquerschnitt

It =

πd4 32

(=polares Tr¨agheitsmoment)

108

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

c) Kreisring

z
6

6 6 D

-

d

y


? ?

Abb. 4.15. Ringf¨ ormiger Querschnitt

It =

π(D4 − d4 ) 32

(=polares Tr¨agheitsmoment)

d) Ellipse

z
6

6 -

b

y


? 

a

Abb. 4.16. Ellipsenf¨ ormiger Querschnitt

It =

πa3 b3 16(a2 + b2 )

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

e) Gleichseitiges Dreieck

z
6

-

y


S



b

Abb. 4.17. Dreiecksquerschnitt

√ t

I =

3 4 b 80

f ) Regelm¨aßiges Sechseck

z


6

.... .... ....  R .... .... ....

-

y


Abb. 4.18. Sechseckiger Querschnitt

I t ≈ 1, 039 R4 Wendet man Gleichung (4.13) in der Form M=

GI t θ L

109

110

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

auf den Stab (i, j) in der Gleichgewichtslage an, so erh¨alt man unter Ber¨ ucksichtigung von (4.8) die gesuchte Beziehung (i,j)

(i,j)

−Mx
i = Mx
j =

t G(i,j) I(i,j)

L(i,j)

(θx
j − θx
i ).

(4.15)

4.1.3 Herleitung und Struktur der Elementsteifigkeitsmatrix a) bei drehbaren Verbindungen (4.5), (4.6), (4.7) lassen sich in der Form  

 (i,j)  Fi  (i,j) ui  (i,j)  = k uj Fj

(4.16)

schreiben, wo – mit E = E(i,j) , A = A(i,j) , L = L(i,j) – ⎛ ⎞ 1 0 0 −1 0 0 ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ EA ⎜ (i,j) ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ = k ⎜ L ⎜−1 0 0 1 0 0 ⎟ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 0⎠ 0 0 0 0 0 0 die Elementsteifigkeitsmatrix in lokalen Koordinaten bezeichnet. F¨ ur den ¨ Ubergang zu globalen Koordinaten setzen wir U (i,j)

⎛ (i,j) ⎞ 0 T ⎠. := ⎝ (i,j) 0 T

Es ergibt sich mit (4.1) und (4.16)      (i,j)  (i,j)  F(i,j) Fi i  (i,j)  = U (i,j) Fj Fj

  (i,j)   (i,j) (i,j) ui k U = U . uj Um die Matrix

  (i,j) (i,j) U k (i,j) := U (i,j) k 

(4.17)

(4.18)

(4.19)

zu bestimmen, rechnet man zweckm¨ aßig mit Blockmatrizen. Mit dem Block ⎛ ⎞ 100 B := ⎝ 0 0 0 ⎠ 000

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

111

wird n¨ amlich k (i,j)

⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛  0 T (i,j) 0 B −B EA ⎝ T (i,j) ⎠⎝ ⎠ =  (i,j)  ⎠ ⎝ L 0 T 0 T (i,j) −B B ⎞ ⎛     EA ⎝ T (i,j) B T (i,j) − T (i,j) B T (i,j) ⎠ =   (i,j)   L T − T (i,j) B T (i,j) B T (i,j)

und ⎞⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎛ 100 c11 c21 c31 c11 c12 c13  (i,j)  T B T (i,j) = ⎝c12 c22 c32 ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠ ⎝c21 c22 c23 ⎠ c13 c23 c33 c31 c32 c33 000 ⎛ 2 ⎞ c11 c11 c12 c11 c13 = ⎝c11 c12 c212 c12 c13 ⎠ = b 11 c11 c13 c11 c13 c213 (vgl. Definition 4.2). Definition 4.6. a) Die Matrix k

(i,j)

EA = L



b 11 −b 11 −b 11 b 11



heißt die Elementsteifigkeitsmatrix des Stabes (i, j). Nach (4.18), (4.19) gilt 

(i,j)

Fi (i,j) Fj



= k (i,j)

 ui . uj

(4.20)

k (i,j) ist symmetrisch. Setzt man noch

 (i,j) b 11 −b 11  = k , −b 11 b 11 so erh¨ alt man mit (2.9) die Darstellung (i,j) k (i,j) = q(i,j) k , (i,j) nur von den Winkeln ϑ(i,j) , ψ(i,j) abh¨angt. in der die Matrix k

(4.21)

112

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

b) bei starren Verbindungen Der Einfachheit halber lassen wir im Folgenden bei den Stabparametern den Index (i, j) weg. (4.5), (4.11), (4.12) und (4.15) werden dann durch das umseitige Gleichungssystem (4.22) zusammengefasst. (i,j) Die Koeffizientenmatrix in (4.22) wird wieder mit k  bezeichnet und  (i,j) Elementsteifigkeitsmatrix in lokalen Koordinaten genannt. k ist symmetrisch und schreibt sich als Blockmatrix in der Form ⎞ ⎛ (i,j) (i,j) k  11 k  12 (i,j) ⎟ ⎜ = ⎝ k ⎠ (i,j) (i,j)   k 21 k 22 mit k  κλ = E L ⎞ ⎛ (−1)κ−λ A 0 0 0 0 0

z z ⎜ 0 0 0 (−1)κ−1 6IL ⎟ 0 (−1)κ−λ 12I ⎟ ⎜ L2

⎟ ⎜ κ−λ 12I y κ 6I y ⎟ ⎜ 0 0 (−1) 0 (−1) L 0 L2 ⎟, t ×⎜ κ−λ I ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 (−1) 2(1+ν) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y

⎠ ⎝ 0 0 (−1)λ 6IL 0 22−|κ−λ| I y 0 (i,j)

0

z


(−1)λ−1 6IL

0

0

0

22−|κ−λ| I z




wobei 1 ≤ κ, λ ≤ 2. Dabei wurde (4.14) verwendet. Um zu globalen Koordinaten u ¨berzugehen, benutzen wir wieder die Matrix U (i,j) in (4.17) und berechnen k κλ := (U (i,j) ) k  κλ U (i,j) , (i,j)

(i,j)

Das Resultat ist in (4.23) niedergelegt.

1 ≤ κ, λ ≤ 2.

(i,j)

Fx
i

⎞

⎛

EA L

0

0

0

0

0

⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜

⎜ (i,j) ⎟ ⎜ 12EI z 6EI z ⎜ Fy
i ⎟ ⎜ 0 0 0 0 L3 L2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜
y
⎜ (i,j) ⎟ ⎜ 12EI y ⎜ Fz
i ⎟ ⎜ 0 0 − 6EI 0 0 L3 L2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ (i,j) ⎟ ⎜ GI t ⎜M x
i ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 L ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ y
y
⎜ (i,j) ⎟ ⎜ ⎜M y
i ⎟ ⎜ 0 − 6EI 0 0 4EI 0 L2 L ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜

⎜ (i,j) ⎟ ⎜ 6EI z 4EI z ⎜M z
i ⎟ ⎜ 0 0 0 0 L2 L ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟=⎜ ⎜ (i,j) ⎟ ⎜ EA ⎜ Fx
j ⎟ ⎜ − L 0 0 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ z
z
⎜ (i,j) ⎟ ⎜ ⎜ Fy
j ⎟ ⎜ 0 − 12EI 0 0 0 − 6EI L3 L2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ y
y
⎜ (i,j) ⎟ ⎜ ⎜ Fz
j ⎟ ⎜ 0 0 6EI 0 0 − 12EI L3 L2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ t ⎜ (i,j) ⎟ ⎜ ⎜M x
j ⎟ ⎜ 0 0 − GI 0 0 0 L ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ y
y
⎜ (i,j) ⎟ ⎜ ⎜M y
j ⎟ ⎜ 0 − 6EI 0 0 2EI 0 L2 L ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝

(i,j) 6EI z 2EI z 0 Mz
j 0 0 0 L2 L

⎛ 0

0 0 0 − 6EI L2

0 0 0 0




z


12EI z L3

0

− 6EI L2

0 0

0

0

EA L

0

0

z


z


0

0

0 − 12EI L3

− EA L 0

0

0

z


⎞⎛ ui

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6EI  ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 v 0 0 2 L ⎟⎜ i ⎟ ⎜ ⎟ ⎟
y
⎟⎜  ⎟ 6EI y ⎜ ⎟ ⎟ − 12EI 0 0 w − 3 2 L L ⎟⎜ i ⎟ ⎟⎜ ⎟ t ⎟⎜ ⎟
i ⎟ ⎜ ⎟ 0 θ 0 0 − GI x L ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ y
y
⎜ ⎟ ⎟ 6EI 2EI
i ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 θ 2 y L L ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ z
⎟ ⎜ ⎟ 2EI
i ⎟ ⎜ ⎟ 0 θ 0 0 z L ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜  ⎟ 0 0 0 0 ⎟ ⎜ uj ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ z
⎟ ⎜  ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 v 0 0 − 6EI 2 j L ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ y
y
⎜ ⎟ 12EI 6EI  ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 0 0 w 3 2 j L L ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ t ⎜ ⎟ ⎟ GI ⎜ ⎟
j ⎟ 0 θ 0 0 x L ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ y
y
⎜ ⎟ ⎟ 6EI 4EI ⎜ ⎟
j ⎟ 0 0 θ 2 y L L ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ ⎠ z
4EI
j 0 θ 0 0 z L (4.22)

0

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix 113

E L



y


+c21 c22 12I L2 

z
y


+c21 c23 12I L2 

z


z


 y


 y


z


+c22 c23 12I L2

(−1)λ−1 ·
z
c32 c22 6IL  y
−c22 c32 6IL

(−1)λ−1 ·
z
c33 c22 6IL  y
−c23 c32 6IL

(−1)λ−1 ·
z
c33 c21 6IL  y
−c23 c31 6IL



(−1)λ−1 ·
z
c32 c21 6IL  y
−c22 c31 6IL

+c33 c32 12I L2

y


+c23 c22 12I L2

(−1)λ−1 ·
z
c31 c22 6IL  y
−c21 c32 6IL



z


(−1)λ−1 ·
z
c31 c21 6IL  y
−c21 c31 6IL

+c33 c31 12I L2

y


+c23 c21 12I L2

z


y


c33 c23 6IL

(−1)λ−1 ·

−c23 c33 6IL








z


y


c32 c23 6IL

(−1)λ−1 ·

−c22 c33 6IL


z


y


c31 c23 6IL 

z




(−1)λ−1 ·

−c21 c33 6IL




+c233 12I L2

y


+c223 12I L2

z


+c32 c31 12I +c232 12I +c32 c33 12I 2 2 2
L
L
L (−1)κ−λ c13 c11 A (−1)κ−λ c13 c12 A (−1)κ−λ c213 A

+c222 12I L2

 y


+c22 c21 12I L2

z


+c231 12I +c31 c32 12I +c31 c33 12I 2 2 2
L
L
L κ−λ κ−λ 2 κ−λ c12 c11 A (−1) c12 A (−1) c12 c13 A (−1)

y


+c221 12I L2

z





(−1)κ−λ c211 A (−1)κ−λ c11 c12 A (−1)κ−λ c11 c13 A

z


c33 c22 6IL

(−1)κ ·

 t

(−1)κ ·
y
c33 c23 6IL  z
−c23 c33 6IL

(−1)κ ·
y
c32 c23 6IL  z
−c22 c33 6IL

(−1)κ ·
y
c31 c23 6IL  z
−c21 c33 6IL

t

t

t

I (−1)κ−λ c212 2(1+ν)

+22−|κ−λ| c222 I y 
+c232 I z

(4.23)

t

I (−1)κ−λ c213 2(1+ν)

+22−|κ−λ| c223 I y 
+c233 I z

t

I (−1)κ−λ c12 c13 2(1+ν)

+22−|κ−λ| c22 c23 I y 
+c32 c33 I z

I I (−1)κ−λ c11 c12 2(1+ν) (−1)κ−λ c11 c13 2(1+ν)



+22−|κ−λ| c21 c22 I y +22−|κ−λ| c21 c23 I y  

+c31 c32 I z +c31 c33 I z

−c23 c32 6IL






y


z


c32 c22 6IL

(−1)κ ·

−c22 c32 6IL


y


z




y


c31 c22 6IL

(−1)κ ·

−c21 c32 6IL




I I (−1)κ−λ c13 c11 2(1+ν) (−1)κ−λ c13 c12 2(1+ν)



+22−|κ−λ| c23 c21 I y +22−|κ−λ| c23 c22 I y  

+c33 c31 I z +c33 c32 I z

t

I (−1)κ−λ c12 c11 2(1+ν)

+22−|κ−λ| c22 c21 I y 
+c32 c31 I z

t

I (−1)κ−λ c211 2(1+ν)

+22−|κ−λ| c221 I y 
+c231 I z

t

(−1)κ ·
y
c33 c21 6IL  z
−c23 c31 6IL

(−1)κ ·
y
c32 c21 6IL  z
−c22 c31 6IL

(−1)κ ·
y
c31 c21 6IL  z
−c21 c31 6IL

 (i,j)  (i,j) k κλ = U (i,j) k  κλ U (i,j) =

114 4 R¨ aumliche Stabtragwerke

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

Definition 4.6.

115

b) Die Matrix  k

(i,j)

:=

(i,j)

(i,j)



k 11 k 12 (i,j) (i,j) k 21 k 22

heißt die Elementsteifigkeitsmatrix des Stabes (i, j). Nach Definition gilt ⎞ 

⎛ k

(i,j)

=⎝

U (i,j)

0

0

U (i,j)

⎛

⎠k

 (i,j)

⎝

⎞ U (i,j)

0

0

U (i,j)

⎠.

(4.24)

Demnach hat man f¨ ur die erweiterten Kraftvektoren ⎛

(i,j)

Fi

⎞ (i,j) Fxi ⎜ (i,j) ⎟ ⎜ Fyi ⎟ ⎜ (i,j) ⎟ ⎟ ⎜F zi ⎟ =⎜ ⎜M (i,j) ⎟ , ⎜ xi ⎟ ⎜ (i,j) ⎟ ⎝Myi ⎠ (i,j) Mzi

⎛

(i,j)

Fj

(i,j) ⎞ Fxj ⎜ (i,j) ⎟ ⎜ Fyj ⎟ ⎜ (i,j) ⎟ ⎜ Fzj ⎟ ⎟ =⎜ ⎜M (i,j) ⎟ ⎜ xj ⎟ ⎜ (i,j) ⎟ ⎝Myj ⎠ (i,j)

Mzj

und die erweiterten Verschiebungsvektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ uj ui ⎜ vi ⎟ ⎜ vj ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ wj ⎟ ⎜ wi ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ui = ⎜ ⎜θxi ⎟ , uj = ⎜θxj ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝θyj ⎠ ⎝θyi ⎠ θzi θzj aus (4.22) die mit (4.20) formal u ¨ bereinstimmende Gleichung  

 (i,j) Fi (i,j) ui =k . (i,j) uj Fj

(4.25)

u agt sich wegen (4.24) auf k (i,j) . Die Symmetrie von k  ¨ bertr¨ uhren wir Um die Parameterabh¨ angigkeiten von k (i,j) herauszuarbeiten, f¨ unter Verwendung der Bl¨ ocke b rs (vgl. Definition 4.2) und von 3 × 3 Nullbl¨ ocken die folgenden Blockmatrizen ein: ⎞ ⎛ b 11 0 −b 11 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎟ k (i,j),1 = ⎜ ⎝ −b 11 0 b 11 0 ⎠ 0 0 0 0 (i,j)

116

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

⎞ 0 0 0 0 ⎜ 0 4b 33 0 2b 33 ⎟ ⎟ =⎜ ⎝0 0 0 0 ⎠ 0 2b 33 0 4b 33 ⎛ ⎞ 0 6b 23 0 6b 23 ⎜ 6b 32 0 −6b 32 0 ⎟ ⎟ =⎜ ⎝ 0 −6b 23 0 −6b 23 ⎠ 6b 32 0 −6b 32 0 ⎛ ⎞ 12b 22 0 −12b 22 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎟ =⎜ ⎝ −12b 22 0 12b 22 0 ⎠ 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 0 0 ⎜ 0 4b 22 0 2b 22 ⎟ ⎟ =⎜ ⎝0 0 0 0 ⎠ 0 2b 22 0 4b 22 ⎛ ⎞ −6b 32 0 −6b 32 0 ⎜ −6b 23 0 6b 23 0 ⎟ ⎟ =⎜ ⎝ 0 6b 32 0 6b 32 ⎠ −6b 23 0 6b 23 0 ⎛ ⎞ 12b 33 0 −12b 33 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎟ =⎜ ⎝ −12b 33 0 12b 33 0 ⎠ 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 0 0 ⎜ 0 b 11 0 −b 11 ⎟ ⎟ =⎜ ⎝0 0 0 0 ⎠ 0 −b 11 0 b 11 ⎛

k (i,j),2

k (i,j),3

k (i,j),4

k (i,j),5

k (i,j),6

k (i,j),7

k (i,j),8

Diese Matrizen sind alle symmetrisch und nur von den Eulerschen Winkeln ϑ, ψ, ϕ abh¨ angig. Nach Bemerkung 4.1 sind k (i,j),1 , k (i,j),8 und k (i,j),κ + k (i,j),κ+3 ,

κ = 2, 3, 4

sogar nur von ϑ, ψ abh¨ angig. Mit Hilfe von (4.23) erh¨ alt man nun die Darstellung


k (i,j) =




EA (i,j),1 EI z (i,j),2 EI z (i,j),3 k k + + 2 k + L L
L
y y EI EI k (i,j),5 + 2 k (i,j),6 + + L t L EI (i,j),8 k + , 2L(1 + ν)




EI z (i,j),4 k L3
y EI k (i,j),7 L3 (4.26)

4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix

aus der die Parameterabh¨ angigkeiten sofort ersichtlich sind. Ist die Beziehung

Iy = Iz

117

(4.27)

erf¨ ullt (z.B. wenn A ein Kreis, Kreisring, gleichseitiges Dreieck oder regelm¨aßiges Sechseck ist), so geht (4.26) mit


I := I y = I z




u ¨ ber in die Darstellung k (i,j) =

4 EA (i,j),1  EI EI t (i,j),κ (i,j),κ+3 k k (i,j),8 , + (k + k ) + κ−1 L L 2(1 + ν) κ=2

wo die Abh¨ angigkeit vom Parameter ϕ wegf¨ allt. F¨ uhrt man analog zu Definition 3.6 verm¨ oge +

Iy ry = A


den Tr¨agheitsradius ry des Querschnittes A von (i, j) bzgl. der y  -Achse und verm¨ oge + It t r = A den Torsionstr¨agheitsradius rt des Stabquerschnittes ein, so kann (4.26) in die Form (i,j) k (i,j) = q(i,j) k (4.28) gebracht werden mit einer bestimmten Matrix (i,j) (i,j)

= k (ϑ, ψ, ϕ, ry , rz , rt , L, ν). k

Schließlich ist es zweckm¨ aßig, zur Vereinfachung der Notation geeignete Abk¨ urzungen f¨ ur die in (4.26) auftretenden Koeffizienten einzuf¨ uhren. Wir setzen: E(i,j) A(i,j) L(i,j)

q(i,j),1 := q(i,j) =




q(i,j),2 :=

z E(i,j) I(i,j)

L(i,j)




, q(i,j),3 :=




q(i,j),5 := q(i,j),8 :=

y E(i,j) I(i,j)

L(i,j) t G(i,j) I(i,j)

L(i,j)

(4.29a) z E(i,j) I(i,j)

L2(i,j)




, q(i,j),4 :=




, q(i,j),6 := =

y E(i,j) I(i,j)

L2(i,j)

t E(i,j) I(i,j)

2(1 + ν(i,j) )L(i,j)

z E(i,j) I(i,j)

L3(i,j)

(4.29b)




, q(i,j),7 :=

y E(i,j) I(i,j)

L3(i,j)

(4.29c) (4.29d)

118

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

Hiermit schreibt sich (4.26) einfach als k (i,j) =

8 

q(i,j),κ k (i,j),κ .

(4.30)

κ=1

4.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix F¨ uhrt man f¨ ur den Fall starrer Verbindungen zu jedem Knoten i noch den erweiterten Kraftvektor Fi = (Fxi , Fyi , Fzi , Mxi , Myi , Mzi ) ein, so gilt in jedem Fall Fi =



(i,j)

cij Fi

+



j

(l,i)

cli Fi

.

l

Aufgrund von (4.20) bzw. (4.25) erh¨ alt man hieraus mit derselben Rechnung wie in Abschn.2.2 die Vektorgleichung F = Ku, ⎛

⎛

⎞ F1 ⎜ F2 ⎟ ⎜ ⎟ F = ⎜ . ⎟, ⎝ .. ⎠

wobei

⎞ u1 ⎜ u2 ⎟ ⎜ ⎟ u=⎜ . ⎟ ⎝ .. ⎠

Fn und

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ K=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝



(1,j)

+

(2,1)

+ c12 k 21

(3,1)

+ c13 k 21 .. .

cn1 k 12

(n,1)

+ c1n k 21

(1,3)

(3,1)

c1j k 11

j

un (l,1)

cl1 k 22

l

c21 k 12

(1,2)

(1,2)

(2,1)

c12 k 12

+ c21 k 21   (2,j) (l,2) c2j k 11 + cl2 k 22 j

c31 k 12

l

(1,3)

c32 k 12

(1,n)

cn2 k 12

···

+ c23 k 21 .. .

(2,3)

(n,2)

+ c2n k 21

(2,n) (n,1)

c1n k 12 + cn1 k 21 (2,n) (n,2) c2n k 12 + cn2 k 21 (3,n) (n,3) c3n k 12 + cn3 k 21

l

.. . (n,3) (3,n) cn3 k 12 + c3n k 21

(3,2)

(1,n)

c13 k 12 + c31 k 21 ··· (2,3) (3,2) c23 k 12 + c32 k 21 ···   (l,3) (3,j) c3j k 11 + cl3 k 22 · · · j

(4.31)

 j

⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (l,n) ⎠

.. .  (n,j) cnj k 11 + cln k 22 l

4.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix

119

Definition 4.7. Die Matrix K heißt die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Tragwerks. Konstruiert man entsprechend dem Verfahren in Definition 2.7 zu jedem (i,j) sowie aus NullStab (i, j) die aus den vier quadratischen Bl¨ ocken von k bl¨ ocken bestehende Matrix K (i,j) , so l¨ asst sich aufgrund von (4.21) bzw. (4.28) K wie in Lemma 2.1 darstellen:  cij q(i,j) K (i,j) . Lemma 4.1. Es gilt K = i,j (i,j) Da sich die Symmetrie von k (i,j) auf k und damit auch auf K (i,j) u bertr¨ a gt, folgt aus Lemma 4.1 sofort ¨

Lemma 4.2. Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K ist symmetrisch. Wir machen nun noch Anmerkungen zu den beiden F¨allen: a) Drehbare Verbindungen Hier sind F, u 3n-Vektoren, und K ist eine 3n × 3n Blockmatrix bestehend aus n2 quadratischen Bl¨ ocken der Ordnung 3. Da

 (i,j) b 11 −b 11 = k −b 11 b 11 nur von ϑ(i,j) , ψ(i,j) abh¨ angig ist, gilt auch K (i,j) = K (i,j) (ϑ(i,j) , ψ(i,j) ). b) Starre Verbindungen Hier sind F, u 6n-Vektoren, und K ist eine 6n × 6n Blockmatrix bestehend (i,j) aus n2 quadratischen Bl¨ ocken der Ordnung 6. Ebenso wie f¨ ur k besteht die Parameterabh¨ angigkeit





y z t K (i,j) = K (i,j) (ϑ(i,j) , ψ(i,j) , ϕ(i,j) , r(i,j) , r(i,j) , r(i,j) , L(i,j) , ν(i,j) ).

Um zu einer Darstellung von K mit “h¨ oherer Aufl¨osung” als in Lemma 4.1 zu gelangen konstruieren wir analog zu (i,j) K (i,j) aus k

die 6n × 6n Blockmatrizen (i,j),κ K (i,j),κ aus k ,

κ = 1, 2, . . . , 8.

120

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

Aus (4.28), (4.30) folgt dann mit den Abk¨ urzungen (4.29) q(i,j) K (i,j) =

8 

q(i,j),κ K (i,j),κ .

κ=1

Damit ergibt sich aus Lemma 4.1 bei starren Verbindungen das Lemma 4.3. K=



cij

1≤i,j≤n



wobei K

(i,j),κ

=

8 

q(i,j),κ K (i,j),κ =

κ=1



cij q(i,j),κ K (i,j),κ ,

i,j;κ

K (i,j),κ (ϑ(i,j) , ψ(i,j) ), κ = 1, 8 K (i,j),κ (ϑ(i,j) , ψ(i,j) , ϕ(i,j) ), κ = 2, 3, . . . , 7.

4.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨ afte Wir stellen die Ausgangssituation kurz wie folgt dar: I) bei drehbaren Verbindungen Tabelle 4.1. Verankerung des Tragwerks: Drehbare Verbindungen Typ des Knotens i frei gest¨ utzt in z-Richtung gest¨ utzt in y-Richtung gest¨ utzt in x-Richtung verankert

bekannt Fi wi = 0 Fxi , Fyi vi = 0 Fxi , Fzi ui = 0 Fyi , Fzi ui = 0

unbekannt ui ui , vi Fzi ui , wi Fyi vi , wi Fxi Fi

II) bei starren Verbindungen Tabelle 4.2. Verankerung des Tragwerks: Starre Verbindungen Typ des Knotens i frei gest¨ utzt in z-Richtung gest¨ utzt in y-Richtung gest¨ utzt in x-Richtung verankert

bekannt Fi wi = 0 Fxi , Fyi , Mi vi = 0 Fxi , Fzi , Mi ui = 0 Fyi , Fzi , Mi ui = 0

unbekannt ui ui , vi , θ i Fzi ui , wi , θ i Fyi vi , wi , θ i Fxi Fi

4.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨ afte

121

Die Eintragungen rechts von den gestrichelten Linien kennzeichnen die vorgegebenen Lasten resp. gesuchten Lagerkr¨ afte. Wir fassen nun, unterschieden nach den beiden F¨allen, die folgenden Indizes zusammen: ⎫ 3i, wenn i in z-Richtung gest¨ utzt ist ⎪ ⎪ ⎬ 3i − 1, wenn i in y-Richtung gest¨ utzt ist f¨ ur i = 1, 2, . . . , n 3i − 2, wenn i in x-Richtung gest¨ utzt ist⎪ ⎪ ⎭ 3i, 3i − 1, 3i − 2, wenn i verankert ist (4.32a) ⎫ 6i − 3, wenn i in z-Richtung gest¨ utzt ist ⎪ ⎪ ⎬ 6i − 4, wenn i in y-Richtung gest¨ utzt ist f¨ ur i = 1, 2, . . . , n utzt ist⎪ 6i − 5, wenn i in x-Richtung gest¨ ⎪ ⎭ 6i, 6i −1, . . . , 6i − 5, wenn i verankert ist (4.32b) A, x seien a) eine 3n × 3n Matrix und ein 3n-Vektor b) eine 6n × 6n Matrix und ein 6n-Vektor. Dann bezeichne A0 die durch Streichen aller zu den Indizes (4.32a resp. b) geh¨origen Zeilen und Spalten, A10 die durch Streichen aller nicht zu den Indizes (4.32a resp. b) geh¨origen Zeilen und aller zu den Indizes (4.32a resp. b) geh¨origen Spalten aus A hervorgehende Matrix und x0 den durch Streichen aller zu den Indizes (4.32a resp. b) geh¨origen Komponenten, x1 den durch Streichen aller nicht zu den Indizes (4.32a resp. b) geh¨origen Komponenten aus x hervorgehenden Vektor. Mit diesen Vereinbarungen ist F0 der vorgegebene Gesamtlastvektor F1 der unbekannte Gesamtlagerkraftvektor u0 der unbekannte Gesamtknotenverschiebungsvektor u1 = 0, und aus (4.31) folgt F0 = K0 u0 F1 = K10 u0 , d.h. u0 = K0−1 F0 F1 = K10 K0−1 F0 .

(4.33) (4.34)

122

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

Definition 4.8. Die Matrix K0 heißt die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix des Tragwerks. Aus den Lemmata 4.1, 4.2 und 4.3 ergeben sich sofort: Lemma 4.4. K0 ist symmetrisch. Lemma 4.5. Es gilt  (i,j) K0 = cij q(i,j) K0

und

K10 =

(i,j)

(i,j)

cij q(i,j) K10 ,

i,j

i,j

wobei K0



(i,j)

und K10

abh¨angig sind von den Parametern

ϑ(i,j) , ψ(i,j) bei drehbaren Verbindungen,





y z t ϑ(i,j) , ψ(i,j) , ϕ(i,j) , r(i,j) , r(i,j) , r(i,j) , L(i,j) , ν(i,j) bei starren Verbindungen.

Lemma 4.6. Bei starren Verbindungen gilt außerdem   (i,j),κ (i,j),κ cij q(i,j),κ K0 und K10 = cij q(i,j),κ K10 K0 = i,j;κ

i,j;κ (i,j),κ

mit Koeffizienten q(i,j),κ gem¨aß (4.29a-d) und Matrizen K0 die nur von den Parametern

(i,j),κ

bzw. K10

,

ur κ = 1, 2 ϑ(i,j) , ψ(i,j) f¨ ur κ = 2, 3, . . . , 7 ϑ(i,j) , ψ(i,j) , ϕ(i,j) f¨ abh¨angen.

4.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen Wir stellen die beiden F¨ allen gemeinsamen Entwicklungen voran. Die Spannungen in dem Element (i, j) werden durch einen Spannungsvektor σ (i,j) repr¨ asentiert. Wie anschließend im einzelnen dargelegt wird, l¨asst sich eine Matrix (4.35) s (i,j) = p(i,j) s(i,j) mit p(i,j) :=

E(i,j) L(i,j)

(4.36)

und einer bestimmten, von E(i,j) unabh¨ angigen Matrix s(i,j) angeben, so dass gilt

 (i,j) (i,j) ui =s σ . (4.37) uj

4.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen (i,j)

Nach Zerlegen von s (i,j) in zwei Bl¨ ocke s 1 (i,j)

σ (i,j) = s 1

(i,j)

, s2

(i,j)

ui + s 2

123

schreibt sich (4.37) als

uj .

(4.38)

Wie in den Abschnitten 2.4 und 3.4.2 konstruieren wir nun den Gesamtspannungsvektor ⎛ . ⎞ .. ⎜ (i,j) ⎟ ⎜σ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ σ := ⎜ . ⎟ , (i, j) < (i , j  ) ⎜

⎟ ⎜σ (i ,j ) ⎟ ⎝ ⎠ .. . und die Blockmatrix i

j

? ? ⎞ ... (i,j) (i,j) ⎜. . .s 1 . . . 0 . . . 0 . . .s 2 . . . ⎟  (i, j) ⎜ ⎟ ⎟ ... S := ⎜ ⎜ ⎟



⎝. . . 0 . . .s (i ,j ) . . . s (i ,j ) . . . 0 . . . ⎠  (i , j  ) 1 2 ... ⎛

?

j

i ?

Die N Gleichungen (4.38) werden damit durch σ = Su

(4.39)

zusammengefasst. Es bezeichne S0 die aus S durch Streichen der zu den Indizes (4.32a resp. b) geh¨ origen Spalten hervorgehende Matrix. Mit (4.33) ergibt sich dann aus (4.39) (4.40) σ = S0 u0 = S0 K0−1 F0 . Konstruiert man in offenkundiger Weise zu jedem Stab (i, j) eine aus den (i,j) (i,j) beiden Bl¨ ocken von s(i,j) = ( s 1 , s2 ) sowie aus Nullbl¨ocken bestehende (i,j) Matrix S , so erh¨ alt man mit (4.35) Lemma 4.7. Es existiert die additive Zerlegung  S= cij p(i,j) S (i,j) , i,j

aus welcher durch Streichen der zu den Indizes (4.32a,b) geh¨origen Spalten wird  (i,j) S0 = cij p(i,j) S0 . i,j

Damit ist das beiden F¨ allen gemeinsame Ger¨ ust vorgestellt. Wir haben jetzt noch die jeweiligen Besonderheiten aufzuzeigen.

124

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

a) Drehbare Verbindungen Wie in Abschn. 2.4 treten auch hier nur Axialspannungen F A

σ = σa = auf. Bezeichnet (i,j)

σi

:=

1 (i,j) F
A(i,j) x i

die im Gleichgewichtszustand im Knoten i auftretende Spannung des Elements (i, j), so gilt f¨ ur die entsprechende Gr¨ oße im Knoten j (i,j)

σj (i,j)

Wir betrachten daher nur σi Mit der Blockmatrix

(i,j)

= −σi

.

. ⎛

⎞ 100 B = ⎝0 0 0⎠ 000

aus Abschn.4.1.3a und E = E(i,j) , A = A(i,j) , L = L(i,j) ergibt sich aufgrund von (4.16) ⎛ (i,j) ⎞

 σi   1 EA ui ⎝ 0 ⎠ = 1 F(i,j) (B, −B) = uj A i A L 0

(i,j)   E T 0 ui = (B, −B) uj 0 T (i,j) L

 E ui = (BT (i,j) , −BT (i,j) ) . uj L Wegen BT (i,j) ist folglich (i,j) σi

⎞ ⎛ c11 c12 c13 =⎝ 0 0 0 ⎠ 0 0 0

 E  ui  = (b1 , −b1 ) . uj L

Wir setzen (i,j)

σ (i,j) = σi und so dass (4.37) erf¨ ullt ist.

 s (i,j) = p(i,j) (b 1 , −b1 ),

(4.41) (4.42)

4.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

125

Damit wird σ ein N -Vektor, S eine N × 3n Matrix und in den Darstellungen von Lemma 4.7 bestehen die Parameterabh¨ angigkeiten S (i,j) = S (i,j) (ϑ(i,j) , ψ(i,j) ) (i,j)

S0

(i,j)

= S0

(ϑ(i,j) , ψ(i,j) ).

b) Starre Verbindungen Der Index (i, j) wird bei Stabparametern im Folgenden meist fortgelassen. Auch hier betrachten wir bei jedem Element (i, j) nur die im Gleichgewichtszustand in den Fasern auftretenden Normalspannungen an den Knoten. Da Verbiegungen um die y  -Achse und um die z  -Achse auftreten, berechnet sich die Spannung aus der Summe σ = σa + σy
+ σz
von Axialspannung und entsprechenden Biegespannungen. Nun ist {x , z  , y  } ein Linkssystem, also hat man gegen¨ uber σz
= −

Mz
 y I z


(vgl. Abschn.3.4.1) zu nehmen σy
=

My
 z. I y


Abb. 4.19. Axial- und Biegespannung

ur σz
. z˙  und z.  bezeichnen alDie Grenzen f¨ ur σy
bestimmt man wie f¨ so den maximalen bzw. minimalen Wert von z  , der bei einem Punkt des Querschnitts A vorkommt.

126

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

Definition 4.9. Die (orientierten) Widerstandsmomente des Querschnittes von (i, j) bzgl. der y  -Achse sind erkl¨art durch


y
˙ y
= W ˙ y = I W (i,j) z˙ 
Iy y
y
W . =W . (i,j) = z  .

Ist die Symmetriebedingung z˙  = −z.  =: z  ◦

erf¨ ullt, so setzt man

y
y
˙ y
= −W W . =: W .

Beispiele f¨ ur Widerstandsmomente bzgl. der y  -Achse entnimmt man leicht aus Beispiel 4.1. Die Biegespannungen σy
im Knoten i liegen also zwischen den Randextremen 1 (i,j) (i,j) σ. i,y
:= y
My
i W . und 1 (i,j) (i,j) My
i , σ˙ i,y
:=
y ˙ W entsprechend die im Knoten j zwischen (i,j)

σ. j,y
:= und

1 (i,j) My
j y
W .

1 (i,j) My
j . ˙ W y
sowie der Wert von σa im jeweiligen Knoten lauten wie (i,j)

σ˙ j,y
:=

Die Grenzen f¨ ur σz
in Abschn.3.4.1 y
z
˙ y
, W ˙ z
> 0 h¨ angt die Entscheidung, welche der Wegen W . < 0 und W . ,W ur σz
jeweils die obere bzw. die untere ist, angegebenen Grenzen f¨ ur σy
und f¨ von dem Vorzeichen der beteiligten Momentenkomponente ab. Da dieses f¨ ur beide Momentenkomponenten a priori unbekannt ist, kommen als Schranken f¨ ur σy
+ σz
vier Werte in Frage. Es ist daher zweckm¨aßig, σa Grenzen f¨ ur σy
Grenzen f¨ ur σz
separat zu berechnen, und erst anschließend daraus eine Schranke f¨ ur die gesamte Spannung σ = σa + σy
+ σz


4.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

127

in einer beliebigen Faser am betrachteten Knoten zu entnehmen. Demgem¨aß setzen wir ⎛ (i,j) ⎞ σi,a ⎜ (i,j) ⎟ ⎜σ. i,y
⎟ ⎜ (i,j) ⎟ (i,j) ⎟ =⎜ σi ⎜σ˙ i,y
⎟ ⎜ (i,j) ⎟ ⎝σ. i,z
⎠ (i,j) σ˙ i,z
⎛ ⎞ ⎛1 ⎞ Fx(i,j)
i 0 0 ⎜ (i,j) ⎟ A 0 0 0 F
i ⎟ ⎜ 0 0 0 0 1 y
0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y(i,j) W ⎜ ⎟ . ⎜ Fz
i ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ = ⎜ 0 0 0 0 W˙ 1y
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜Mx(i,j)
i ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 − W1 z
⎠ ⎜ ⎟ ⎜ (i,j) . ⎝M y
i ⎠ 0 0 0 0 0 − W˙1z
(i,j) Mz
i (i,j)

und ebenso σ j . B (i,j) bezeichne die durch Duplikation der eben konstruierten Matrix entstehende Block-Diagonalmatrix. F¨ ur   (i,j) σi σ (i,j) := (4.43) (i,j) σj ergibt sich dann mit (4.22) σ

(i,j)

 

 (i,j)  Fi (i,j)  (i,j) ui   =B k =B (i,j)  uj Fj

(i,j)   0 ui (i,j) U = B (i,j) k  . uj 0 U (i,j) (i,j)

Mit der Matrix s (i,j) := B (i,j) k 

(i,j)

(i,j)  U 0 , 0 U (i,j)

die nach einer Zwischenrechnung explizit in (4.44) bestimmt wird, ist also (4.37) erf¨ ullt.

s (i,j) = p(i,j)

0

− L6 z˙ 

− L6 y˙ 

0

4c22 z˙ 

4c21 z˙ 

0 2c22 z. 

0

−4c31 y˙  −4c32 y˙ 

−4c31 y.  −4c32 y. 

4c22 z. 

0

4c21 z. 

0

0

0

0

0

0

0





0



0

0

0

0

1

0

0

0

0

−1

2c23 z. 

0

6  Ly . 6  y L ˙

0

0

0

6  Ly . 6  L y˙

0

0

0

c11

6c32  . L z 6c32  L z˙ 6c22  L y . 6c22  L y˙

c12

6c32  . L z 6c32  L z˙ 6c22  L y . 6c22  y L ˙

0

6c33  L z. 6c33  L z˙ 6c23  L y . 6c23  L y˙

c13

6c33  L z. 6c33  L z˙ 6c23  L y . 6c23  y L ˙

2c21 z˙ 

2c21 z. 

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0





2c22 z˙ 

2c22 z. 

0

0

0

4z˙

4z.

0

0

0

2z˙



2z. 

0

2c23 z˙ 

2c23 z. 

0

−4y.  −4y˙ 

0

0

0

−2y.  −2y˙ 

0

0

0

4c22 z˙ 

4c21 z˙ 

4c23 z˙ 

4c23 z. 

0

−4c31 y˙  −4c32 y˙  −4c33 y˙ 

−4c31 y.  −4c32 y.  −4c33 y. 

4c22 z. 

0 4c21 z. 

0

−2c31 y˙  −2c32 y˙  −2c33 y˙ 

−2c31 y.  −2c32 y.  −2c33 y. 

0

0

6  L z. 6  L z˙

0

0

0

6  L z. 6  L z˙

−c11 −c12 −c13

−2y.  −2y˙ 

0

0

0

−4y. −4y˙ 

0

0

0

4c23 z.  6cL31 z.  4c23 z˙  6cL31 z˙  −4c33 y.  6cL21 y.  −4c33 y˙  6cL21 y˙ 

0

0

2z˙

2z.

0

0

0

4z˙



4z. 

0

6c31  L z. 6c31  6c32  6c33     6c31  − L z˙ − L z˙ − L z˙ 2c21 z˙ 2c22 z˙ 2c23 z˙ L z˙ 6c21  6c22  6c23     6c21  − L y. − L y. − L y. −2c31 y. −2c32 y. −2c33 y. L y. − 6cL21 y˙  − 6cL22 y˙  − 6cL23 y˙  −2c31 y˙  −2c32 y˙  −2c33 y˙  6cL21 y˙ 

−c13

− 6cL33 z.  − 6cL33 z˙  − 6cL23 y.  − 6cL23 y˙ 

− 6cL31 z.  − 6cL32 z.  − 6cL33 z.  2c21 z. 

−c12

− L6 y. 

0

−c11

0

0

0

c13

0

0

0

− L6 z.  − L6 z˙ 

0

0

0

0

0

− L6 z.  0

0

0

−1

0

c12

E L

− 6cL32 z.  − 6cL32 z˙  − 6cL22 y.  − 6cL22 y˙ 

=

c11

(i,j)

− 6cL31 z.  − 6cL31 z˙  − 6cL21 y.  − 6cL21 y˙ 

B (i,j) k 

0

0 0

0

0 − L6 y.  − L6 y˙ 

0

1

(4.44)

128 4 R¨ aumliche Stabtragwerke

4.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen

129

Damit wird σ ein 10N -Vektor, S eine 10N × 6n Matrix, und die Matrizen (i,j) in Lemma 4.7 sind genau von den Parametern S (i,j) , S0   , L(i,j) , z. (i,j) , z˙(i,j) ϑ(i,j) , ψ(i,j) , ϕ(i,j) , y. (i,j) , y˙ (i,j)

abh¨ angig. Um zu Darstellungen von S, S0 mit ”h¨ oherer Aufl¨osung” als in Lemma uhren 4.7 zu gelangen, zerlegen wir analog zu (4.30) die Matrix s (i,j) . Dazu f¨ wir die aus den Bl¨ ocken b ocken bestehenden 10 × 12 Blockr und 1 × 3 Nullbl¨ matrizen s (i,j),κ , κ = 1, 2, . . . , 9, ein, von denen wir nur diejenigen Zeilen auff¨ uhren, die keine Nullzeilen sind: ⎞ ⎛  1 b1 0 −b 1 0 ⎟ ⎜ ... ⎟ s (i,j),1 = ⎜ ⎝−b 0 b 0 ⎠  6 1 1 ... ⎛ s

(i,j),2[3]

⎜0 ⎜ =⎜ ⎜ ⎝0

⎞ ... ⎟  0 −2b3 ⎟ 4[5] ⎟ ... ⎟  ⎠  9[10] −2b3 0 −4b3 ...

−4b 3

⎞ ...  ⎟ ⎜−6b 4[5] 2 0 6b2 0 ⎟ ⎜ ⎟ . . . =⎜ ⎟ ⎜ ⎝−6b 0 6b 0 ⎠  9[10] 2 2 ... ⎛

s (i,j),4[5]

⎛ s

(i,j),6[7]

⎜0 ⎜ =⎜ ⎜ ⎝0

⎛

s (i,j),8[9]

Mit den Abk¨ urzungen:

⎞ ... ⎟  2[3] 4b 2 0 2b2 ⎟ ⎟ ... ⎟ ⎠  7[8] 2b 2 0 4b2 ...

⎞ ...  ⎟ ⎜−6b 2[3] 3 0 6b3 0 ⎟ ⎜ ⎟ . . . =⎜ ⎜ ⎟ ⎝−6b 0 6b 0 ⎠  7[8] 3 3 ...

130

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

p(i,j),1 := p(i,j) = p(i,j),2 :=

E(i,j) y
(i,j)

.

L(i,j)

E(i,j) L(i,j)

(4.45a)

,

p(i,j),3 :=


E(i,j) y˙ (i,j) L(i,j)

(4.45b)

p(i,j),4 :=

E(i,j) y
(i,j) L2(i,j)

,

p(i,j),5 :=


E(i,j) y˙ (i,j) L2(i,j)

(4.45c)

p(i,j),6 :=

E(i,j) z.
(i,j) , L(i,j)

p(i,j),7 :=


E(i,j) z˙ (i,j) L(i,j)

(4.45d)

p(i,j),8 :=

E(i,j) z
(i,j) L2(i,j)

p(i,j),9 :=


E(i,j) z˙ (i,j) 2 L(i,j)

(4.45e)

.

.

,

schreibt (4.44) sich hiernach als s (i,j) =

9 

p(i,j),λ s (i,j),λ .

(4.46)

λ=1

Nun konstruieren wir analog zu S (i,j) aus s(i,j) die 10N × 6n Blockmatrizen S (i,j),λ aus s (i,j),λ ,

λ = 1, 2, . . . , 9.

Aus (4.35), (4.46) folgt dann p(i,j) S (i,j) =

9 

p(i,j),λ S (i,j),λ .

λ=1

Durch Einsetzen ergibt sich damit aus Lemma 4.7 bei starren Verbindungen Lemma 4.8. Es gilt S=



cij

1≤i,j≤n



wobei S (i,j),λ =

9 

p(i,j),λ S (i,j),λ =

λ=1



cij p(i,j),λ S (i,j),λ ,

i,j;λ

S (i,j),λ (ϑ(i,j) , ψ(i,j) ), λ=1 S (i,j),λ (ϑ(i,j) , ψ(i,j) , ϕ(i,j) ), λ = 2, 3, . . . , 9,

und durch Streichen der zu den Indizes (4.32b) geh¨origen Spalten wird  (i,j),λ S0 = cij p(i,j),λ S0 i,j;λ

mit entsprechenden Parameterabh¨angigkeiten.

4.5 Beispiel: In einer Ebene arbeitender Roboter

131

4.5 Beispiel: In einer Ebene arbeitender Roboter Wir betrachten einen in einer Ebene arbeitenden Roboter mit zwei translatorischen Freiheitsgraden und fassen diesen als Stabtragwerk mit starren Verbindungen auf [Hau98]. Der Winkel zwischen den beiden Armen des Roboters (d.h. zwischen den St¨ aben (1,2) und (2,3)) betr¨agt konstant 90◦ , die Arml¨ angen (d.h. L(1,2) und L(2,3) ) sind variabel. Knoten 1 ist verankert, Knoten 3 stellt die Roboterhand dar. Da die im Knoten 3 angreifende ¨außere Last ganz beliebig sein kann, haben wir es hier mit einem r¨aumlichen Stabtragwerk zu tun.

z 6 z
6

M3 K

y




-

2

x

(2,3)

3




F3



y



(1,2)

x
6 z


 1

-

x

-

y


Abb. 4.20. Roboter als Tragwerk

Wie Abb. 4.20 zeigt, legen wir das globale Koordinatensystem derart, dass Knoten 1 im Ursprung liegt und die St¨ abe (1,2) und (2,3) in Richtung der z- bzw. der x-Achse verlaufen. Die Arbeitsebene des Roboters wird dann zur {x, z}-Ebene, und wenn x0 , 0, z0 die globalen Koordinaten der Roboterhand vor der Belastung sind, so gilt

132

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

L(1,2) = z0 ,

L(2,3) = x0 .

Die lokalen Koordinatensysteme zu den beiden Elementen werden wie in der Abbildung angedeutet gew¨ ahlt. Die Einheitsvektoren in Richtung der lokalen Koordinatenachsen lauten dann: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 1 (1,2) (1,2) (1,2) b1 = ⎝ 0 ⎠ , b2 = ⎝ 0 ⎠ , b3 = ⎝1⎠ 1 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 (2,3) (2,3) (2,3) b1 = ⎝ 0 ⎠ , b2 = ⎝ 1 ⎠ , b3 = ⎝0⎠. 0 0 1 Das entspricht den Eulerschen Winkeln ϑ(1,2) = π2 , ϑ(2,3) = 0,

ψ(1,2) = π, ϕ(1,2) = π2 ψ(2,3) = 0, ϕ(2,3) = 0.

Gem¨ aß Definition 4.2 berechnen wir ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 000 (1,2) b 11 = ⎝ 0 ⎠ (0, 0, 1) = ⎝ 0 0 0 ⎠ 1 001 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 100 (1,2) b 22 = ⎝ 0 ⎠ (1, 0, 0) = ⎝ 0 0 0 ⎠ 0 000 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 000 (1,2) b 33 = ⎝ 1 ⎠ (0, 1, 0) = ⎝ 0 1 0 ⎠ 0 000 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 010 (1,2) b 23 = ⎝ 0 ⎠ (0, 1, 0) = ⎝ 0 0 0 ⎠ 0 000 ⎛ ⎞ 000 (1,2) (1,2) b 32 = (b 23 ) = ⎝ 1 0 0 ⎠ 000 und ebenso ⎛

b

(2,3) 11

⎛ ⎞ 000 00 (2,3) (2,3) b 22 = ⎝ 0 1 0 ⎠ , b 33 = ⎝ 0 0 000 00 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 000 000 (2,3) = ⎝ 0 0 1 ⎠ , b 32 = ⎝ 0 0 0 ⎠ . 000 010

⎞ 100 = ⎝0 0 0⎠, 000 b

(2,3) 23

⎛

⎞ 0 0⎠ 1

4.5 Beispiel: In einer Ebene arbeitender Roboter

133

Zur Vereinfachung der Notation kennzeichnen wir wie in Beispiel 3.5.1 die Parameter des Stabes (1,2) durch einen dar¨ ubergesetzten Querstrich, die des Stabes (2,3) durch eine dar¨ ubergesetzte Schlange: E¯ = E(1,2) , ˜ = E(2,3) , E

A¯ = A(1,2) , A˜ = A(2,3) ,

¯ = L(1,2) = z0 , L ˜ = L(2,3) = x0 , L

... ....

Die Elementsteifigkeitsmatrizen k (1,2) und k (2,3) lassen sich nun mit Hilfe von (4.26) leicht aufstellen. Hieraus bestimmt sich die Gesamtsteifigkeitsmatrix (1,2)

k 11

(1,2)

k 12

(1,2) (1,2) (2,3) (2,3) K = k 21 k 22 + k 11 k 12 . (2,3)

k 21

(2,3)

k 22

Durch Streichen der zu den Indizes (4.32b): 1, 2, 3, 4, 5, 6 geh¨ origen Zeilen und Spalten von K erh¨ alt man die reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix K0 , durch Streichen der zu den Indizes 7, 8, . . . , 18 geh¨origen Zeilen und der zu den Indizes 1, 2, . . . , 6 geh¨ origen Spalten die Matrix K10 . Diese f¨ unf Matrizen sind auf den folgenden drei Seiten explizit angegeben. Ferner haben wir

 u2 , u1 = u1 = 0 u0 = u3 und

  F2 0 F = = , F3 F3 0

F1 = F1 .

134

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

k (1,2) = ¯ ¯z


12 EL¯I3

0

0 y


¯¯

12 EL¯I3

¯ ¯z


y


¯¯

0 −6 EL¯I2 ¯A ¯ E ¯ L

¯ ¯z


0 −12 EL¯I3

6 EL¯I2

0

0 y


¯¯

4 ELI¯

0 y


¯¯

−12 EL¯I3

0

0

0

0

0

− EL¯A

z


¯¯

4 EL¯I

¯¯

0

−6 EL¯I2

0

0

z


¯¯

0 ¯ ¯t

GI ¯ L

¯ ¯z


12 EL¯I3

0

0

0

y


¯¯

2 ELI¯

0

0

0

2 EL¯I

0

0

0

0

0

0

0

−6 EL¯I2

0

−6 EL¯I2

0

0

0

0

0

0

0

¯ ¯y


12 EL¯I3

sym.

0

¯¯

6 EL¯I2

0

0

¯¯

0

0

−6 EL¯I2

y


0

0

0

0

0

y


¯ ¯z


6 EL¯I2

0

0

¯¯

0 ¯ ¯t

¯ ¯z


¯ ¯y


¯A ¯ E ¯ L

0 z


¯ ¯y


4 ELI¯

− GL¯I

¯ ¯z


4 EL¯I

0 ¯ I¯t G ¯ L

k (2,3) = ˜A ˜ E ˜ L

0 ˜ ˜z
12 EL˜I3

0 0 ˜ ˜y
12 EL˜I3

0

0

0

0

0

0

˜ ˜y
−6 EL˜I2

˜ ˜z
6 EL˜I2

˜ I˜t G ˜ L

sym.

0 ˜ ˜y
4 ELI˜

0 0 0 ˜ ˜z
4 EL˜I

˜˜

− EL˜A 0

0 ˜ ˜z
−12 EL˜I3

0

0

0

0 ˜ ˜z
6 EL˜I2

0

0

0

˜ ˜y
−12 EL˜I3

0

−6 EL˜I2

0

0

0

0

0

0

0

0

˜ ˜z
−6 EL˜I2

˜ ˜y
6 EL˜I2

˜ ˜t − GL˜I

˜A ˜ E ˜ L

0 0

0

0

˜ ˜y


˜ ˜y
2 EL˜I

0

0

0

0

˜ ˜z
2 EL˜I

0

0

0

0

0

˜ ˜z
12 EL˜I3

0

0

0

−6 EL˜I2

0

6 EL˜I2

0

0

0

˜ ˜y


12 EL˜I3

˜ I˜t G ˜ L

˜ ˜y


˜ ˜y
4 EL˜I

˜ ˜z


0 ˜ ˜z
4 EL˜I

12 E¯I3 L

¯ ¯z


0

0

¯A ¯ E ¯ L

4 EI¯ L

¯ ¯y


¯ ¯y
−6 E¯I2 L

¯ ¯y
12 E¯I3 L

0

0

0

4 EI¯ L

¯ ¯z


0

0

0

6 E¯I2 L

¯ ¯z


¯I¯t G ¯ L

0

0

0

0

0

0

0 ˜ ˜z


12 E¯I3 +12 E˜I3 L L

¯ ¯y


0

0

6 E¯I2 L

¯ ¯y


0

¯ ¯y
−12 E¯I3 L

sym.

˜˜ 12 E¯I3 + EA ˜ L L

¯ ¯z


0

−6 E¯I2 L

¯ ¯z


0

0

0

−12 E¯I3 L

¯ ¯z


˜I˜y
¯A ¯ E E ¯ +12 L ˜3 L

0

0

0

0

0

0

¯¯ − E¯A L

¯ ¯y
˜ ˜t 4 EI¯ + G˜I L L

0

6 E¯I2 L

¯ ¯y


0

0

0

¯ ¯y
2 EI¯ L

0

0 ¯ ¯y
−6 E¯I2 L

0

K=

0 0

0 0 ˜ ˜y
12 E˜I3 L

0 ˜ ˜z
12 EI3 ˜ L

0

0

˜I˜t G ˜ L

0

0

0 ˜A ˜ E ˜ L

0 ˜ ˜z
−6 E˜I2 L

0

˜ ˜t − G˜I L

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

˜ ˜y
6 E˜I2 L

0

˜ ˜y
−12 E˜I3 L

0

0

0

0

0

0

0

0

˜I˜z
¯I¯t E G ¯ +4 L ˜ L

0

0

˜ ˜z
−12 E˜I3 L

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

˜˜ − EA ˜ L

0

0

0

0

0

0

0

0

6 E˜I2 L

˜ ˜z


0

¯ ¯t − G¯I L

0

0

0

0

0

˜ ˜y
¯ ¯z
4 EI¯ +4 EI˜ L L

˜ ˜y
−6 E˜I2 L

0

−6 E¯I2 L

¯ ¯z


0

2 EI¯ L

¯ ¯z


0

0

0

¯ ¯z
6 E¯I2 L

0 ˜ ˜z
4 EI˜ L

0

0

0

˜ ˜z
−6 EI2 ˜ L

0

˜ ˜z
2 EI˜ L

0

0

0

˜ ˜z
6 E˜I2 L

0

0

0

0

0

0

0

˜ ˜y
4 EI˜ L

˜ ˜y
6 E˜I2 L

0

0

0

˜ ˜y
2 EI˜ L

0

˜ ˜y
−6 E˜I2 L

0

0

0

0

0

0

0

0

4.5 Beispiel: In einer Ebene arbeitender Roboter 135

136

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

K0 = ¯ ¯z
12 E¯I3 L ˜˜ + E˜A L

0

0

0

¯ ¯z
−6 E¯I2 L

0

˜˜ − E˜A L

0

0

0

0

0

¯ ¯y
12 E¯I3 L ˜ ˜z
+12 E I3 ˜ L

0

¯ ¯y
6 E¯I2 L

0

˜ ˜z
6 E I2 ˜ L

0

˜ ˜z
−12 E I3 ˜ L

0

0

0

˜ ˜z
6 E I2 ˜ L

¯A ¯ E ¯ L ˜ ˜y
+12 E˜I3 L

0

˜ ˜y
−6 E˜I2 L

0

0

0

˜ ˜y
−12 E˜I3 L

0

˜ ˜y
−6 E˜I2 L

0

¯ I¯y
4 E¯ L ˜ ˜t + G˜I L

0

0

0

0

0

˜ ˜t − G˜I L

0

0

¯ ¯z
4 E¯I L ˜ I˜y
+4 E˜ L

0

0

0

˜ ˜y
6 E˜I2 L

0

˜ I˜y
2 E˜ L

0

¯ I¯t G ¯ L ˜ ˜z
+4 E˜I L

0

˜ ˜z
−6 E˜I2 L

0

0

0

˜ ˜z
2 E˜I L

˜A ˜ E ˜ L

0

0

0

0

0

˜ ˜z
12 E˜I3 L

0

0

0

˜ ˜z
−6 E˜I2 L

˜ ˜y
12 E˜I3 L

0

˜ ˜y
6 E˜I2 L

0

˜ I˜t G ˜ L

0

0

˜ I˜y
4 E˜ L

0

sym.

˜ ˜z
4 E˜I L

K10 = ¯ I¯z −12 EL ¯3




0

0

0


¯ I¯y −12 EL ¯3

0


¯ I¯y −6 EL ¯2

0

0

A − EL ¯

0


¯ I¯y 6 EL ¯2

0


¯ I¯z −6 EL ¯2

0

0

0 0

¯ ¯

0 0

¯ I¯z 6 EL ¯2




0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0


¯ I¯y 2 EL ¯

0

0

0

0

0

0

0

0

0


¯ I¯z 2 EL ¯

0

0

0

0

0

0

0

0

¯ I¯t − GL ¯

0

0

0

0

0

0

0

4.5 Beispiel: In einer Ebene arbeitender Roboter

137

Zur Bestimmung von u0 zerlegen wir das LGS K0 u0 = F0 durch geeignete Anwendungen der elementaren Umformung “Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen” in Teilsysteme, die sich sukzessive l¨ osen lassen. So ergibt sich: ¯ A¯ E ¯ w2 = Fz3 L und folglich ⎛ ⎝ und damit

¯ ¯y


6 EL¯I2

¯ ¯2 L L θx2 = − ¯ ¯y
Fy3 + ¯ ¯y
Mx3 EI 2E I 3 ¯ ¯ L L2 v2 = ¯ ¯y
Fy3 − ¯ ¯y
Mx3 ; 3E I 2E I t t ˜ ˜ ˜ ˜ GI GI θ − θ = Mx3 , ˜ x3 ˜ x2 L L

also

⎛

¯ ¯y


12 EL¯I3

¯ L w2 = ¯ ¯ Fz3 ; EA ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ y
¯ ¯ 6 EL¯I2 v2 Fy3 ⎠ ⎠⎝ ⎠ = ⎝ ¯ I¯y
θx2 4 EL Mx3 ¯

˜ ˜z


12 EL˜I3

⎜
⎜−6 E˜ I˜z ˜2 ⎝ L 0 ⎛ ˜ ˜z
12 EL˜I3 ⎜ d.h. ⎜ ⎝ 0 0

  ¯ ˜ ¯2 L L L θx3 = − ¯ ¯y
Fy3 + ¯ ¯y
+ Mx3 ; ˜ I˜t EI 2E I G ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ˜ ˜z
˜ ˜z
˜ ˜z
−6 EL˜I2 −6 EL˜I2 v3 Fy3 + 12 EL˜I3 v2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
˜ I˜z
˜ I˜z
⎟ ⎜θz3 ⎟ = ⎜ Mz3 − 6 E˜ I˜z v2 ⎟ , 4 EL 2 EL ˜ ˜ ˜2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ L ˜ I˜z
G ˜ I˜z
¯ I¯t E −2 EL + 2 θ −M z2 z3 ¯ ˜ ˜ L L ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞

z z ˜˜ ˜˜ ˜ ˜z
Fy3 + 12 EL˜I3 v2 v3 −6 EL˜I2 −6 EL˜I2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ˜ I˜z
˜ I˜z
E ⎟ ⎜θz3 ⎟ = ⎜ Mz3 + L˜ Fy3 ⎟ , − EL ˜ ˜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ 2 L ˜ I˜z
G ˜ I˜z
¯ I¯t E −2 EL + 2 θ −M z2 z3 ¯ ˜ ˜ L L

und folglich ¯L ˜ ¯ L L θz2 = ¯ ¯t Fy3 + ¯ ¯t Mz3 GI GI     ¯L ˜ ¯ ˜2 ˜ L L L L θz3 = ¯ ¯t + Fy3 + ¯ ¯t + Mz3 ˜ I˜z
˜ I˜z
GI GI E 2 E     ¯3 ¯L ˜ ¯L ˜2 ˜3 ¯2 ˜2 L L L L L L v3 = Fy3 − ¯ ¯y
Mx3 + ¯ ¯t + Mz3 ; ¯ I¯t + 3E ¯ I¯y
+ G ˜ I˜z
˜ I˜z
GI 3E 2E I 2E

138

⎛

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

˜ ˜y


12 EL˜I3

˜ ˜y


6 EL˜I2

⎞⎛

˜ ˜y


6 EL˜I2

0

⎞ w3

⎛

˜ ˜y


Fz3 + 12 EL˜I3 w2

⎞

⎟ ⎜ ˜ ˜y
⎟⎜ ⎟ ⎜
˜ I˜y
˜ I˜y
⎜ 6 EI ⎟ ⎜θ ⎟ ⎜ M + 6 E˜ I˜y w ⎟ 4 EL 0 2 EL 2 ⎟ ⎜ L˜ 2 ⎟ ⎜ y3 ⎟ ⎜ y3 2 ˜ ˜ ˜ L ⎟, ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ¯ I¯z
¯ I¯z
E E ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 12 L¯ 3 −6 L¯ 2 u2 ⎠ ⎝ Fx3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



y z z y ˜ I˜ ¯ I¯ ˜ I˜ ¯ I¯ E E E 0 −2 EL 4 + 2 θ −M −6 y2 y3 2 ¯ ¯ ˜ ˜ L L L

d.h.

⎛ ˜ ˜y
˜ ˜y
12 EL˜I3 6 EL˜I2 0 ⎜ ˜ I˜y
⎜ 0 E 0 ⎜ ˜ L ⎜ ¯ ¯z
E ⎜ 0 0 12 L¯I3 ⎝ ¯ ¯z
0 0 −6 EL¯I2

⎞⎛

⎛ ⎞ ˜ ˜y
Fz3 + 12 EL˜I3 w2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ˜ I˜y
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M − L˜ F ⎟ − EL y3 ⎜ ˜ ⎟ ⎜θy3 ⎟ 2 z3 ⎟ =
⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟, ¯ ¯z ⎜ u2 ⎟ ⎜ ⎟ −6 EL¯I2 ⎟ Fx3 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ z
¯ ¯ ˜ z3 4 E I¯ My3 − LF θy2 ˜ ˜y


6 EL˜I2

⎞

w3

L

und somit ¯L ˜ ¯ ¯2 L L L
Fx3 − ¯ ¯z
Fz3 + ¯ ¯z
My3 z ¯ ¯ EI EI 2E I ¯3 ¯ 2L ¯2 ˜ L L L u2 = ¯ ¯z
Fx3 − ¯ ¯z
Fz3 + ¯ ¯z
My3 3E I 2E I 2E I    ¯L ˜ ¯ ˜2 ˜ ¯2 L L L L L Fz3 + ¯ ¯z
+ My3 θy3 = ¯ ¯z
Fx3 − ¯ ¯z
+ ˜ ˜y
˜ I˜y
EI EI 3E I 2E    E I ¯L ˜2 ¯ 2L ¯ ¯L ˜ ˜3 ˜2 ˜ L L L L L L w3 = − ¯ ¯z
Fx3 + ¯ ¯ + ¯ ¯z
+ Fz3 − ¯ ¯z
+ My3 ; ˜ I˜y
˜ I˜y
EA EI EI 2E I 3E 2E θy2 =

˜ A˜ ˜ A˜ E E u3 − u = Fx3 ˜ ˜ 2 L L und schließlich  u3 =

¯3 ˜ L L +
¯ I¯z 3E E˜ A˜

 Fx3 −

˜ ¯2 ¯ 2L L L F + z3
¯ I¯z ¯ I¯z
My3 . 2E 2E

Durch Einsetzen der damit bestimmten Komponenten von u0 in das LGS F1 = K10 u0 lassen sich die Lagerkr¨ afte ermitteln: Fx1 Fy1 Fz1

¯ I¯z
¯ I¯z
E E = −12 ¯ 3 u2 + 6 ¯ 2 θy2 = −Fx3 L L
y
¯ ¯ ¯ EI E I¯y = −12 ¯ 3 v2 − 6 ¯ 2 θx2 = −Fy3 L L ¯ A¯ E = − ¯ w2 = −Fz3 L

4.5 Beispiel: In einer Ebene arbeitender Roboter

139

¯ I¯y
¯ I¯y
E E ¯ y3 − Mx3 Mx1 = 6 ¯ 2 v2 + 2 ¯ θx2 = LF L L ¯ I¯z
¯ I¯z
E E ¯ x3 + LF ˜ z3 − My3 My1 = −6 ¯ 2 u2 + 2 ¯ θy2 = −LF L L ¯ I¯t G ˜ y3 − Mz3 . Mz1 = − ¯ θz2 = −LF L Bezeichnet f¨ ur den Moment Fi den Kraftvektor im engeren Sinn, so lassen sich die letzten sechs Gleichungen schreiben als F1 + F3 = 0 ⎛ ⎞ ˜ L ⎝ M1 + M3 + 0 ⎠ × F3 = 0. ¯ L 

F2 = 0 sind das gerade die GleichgewichtsWegen der Nebenbedingung M2 bedingungen f¨ ur die auf den Roboter wirkenden Kr¨afte (im engeren Sinn) und Momente. Schließlich bestimmen wir Schranken f¨ ur die Spannungen in den beiden Roboterarmen. Mit (4.44) erh¨ alt man zun¨ achst die auf der n¨achsten Seite angegebenen Matrizen s (1,2) und s (2,3) . Dann ist (1,2)

S=

s1

(1,2)

s2

(2,3)

0

s1

(1,2)

S0 =

s2

(2,3)

s1

0 (2,3)

,

s2 0

(2,3)

s2

und σ = S0 u0 , d.h. (1,2)

σ (1,2) = s 2

u2 ,

(2,3)

σ (2,3) = s 1

(2,3)

u2 + s 2

u3 .

140

4 R¨ aumliche Stabtragwerke s (1,2) = ¯ E ¯ L

0

0

0

0

0

−E ¯ L

0

0

0

0

¯
4E ¯. ¯ z L

0

0

0

¯
6E ¯. ¯2 z L

0

¯
2E ¯. ¯ z L

0

0

− 6L¯E2 z¯˙

0

¯
4E ¯˙ ¯ z L

0

0

0

¯
6E ¯˙ ¯2 z L

0

¯
2E ¯˙ ¯ z L

0

0

0

0

0

− 4L¯E y¯.


0

¯
6E ¯. ¯2 y L

0

0

0

− 2L¯E y¯.


− 6L¯E2 y¯˙

0

0

0

− 4L¯E y¯˙

0

¯
6E ¯˙ ¯2 y L

0

0

0

− 2L¯E y¯˙

0

0

0

−E ¯ L

0

0

0

0

0

¯ E ¯ L

0

0

0

0

− 6L¯E2 z¯.


0

¯
2E ¯. ¯ z L

0

0

0

¯
6E ¯. ¯2 z L

0

¯
4E ¯. ¯ z L

0

0

0

− 6L¯E2 z¯˙

0

¯
2E ¯˙ ¯ z L

0

0

0

¯
6E ¯˙ ¯2 z L

0

¯
4E ¯˙ ¯ z L

0

0

0

0

0

− 2L¯E y¯.


0

¯
6E ¯. ¯2 y L

0

0

0

− 4L¯E y¯.


0

0

0

− 2L¯E y¯˙

0

¯
6E ¯˙ ¯2 y L

0

0

0

− 4L¯E y¯˙

0

0

0

0

− 6L¯E2 z¯.


0

¯

¯

¯

− 6L¯E2 y¯.
¯







¯

¯

¯

¯

− 6L¯E2 y¯.
¯




− 6L¯E2 y¯˙




¯

¯




¯

¯




¯

¯

¯




¯

¯




0

0

s (2,3) = ˜ E ˜ L

0

0

0

0

− 6L˜E2 z˜.


0

0

0

− 6L˜E2 y˜.


0

˜

0

0

0

−E ˜ L

0

0

0

0

0

0

˜
4E ˜. ˜ z L

0

0

0

˜
6E ˜. ˜2 z L

0

˜
2E ˜. ˜ z L

0

− 6L˜E2 z˜˙

0

˜
4E ˜˙ ˜ z L

0

0

0

˜
6E ˜˙ ˜2 z L

0

˜
2E ˜˙ ˜ z L

0

0

0

0

− 4L˜E y˜.


0

˜
6E ˜. ˜2 y L

0

0

0

− 2L˜E y˜.


− 6L˜E2 y˜˙

0

0

0

˜
− 4L˜E y˜˙

0

˜
6E ˜˙ ˜2 y L

0

0

0

˜
− 2L˜E y˜˙

−E ˜ L

0

0

0

0

0

˜ E ˜ L

0

0

0

0

0

0

0

− 6L˜E2 z˜.


0

˜
2E ˜. ˜ z L

0

0

0

˜
6E ˜. ˜2 z L

0

˜
4E ˜. ˜ z L

0

0

0

− 6L˜E2 z˜˙

0

˜
2E ˜˙ ˜ z L

0

0

0

˜
6E ˜˙ ˜2 z L

0

˜
4E ˜˙ ˜ z L

0

0

− 6L˜E2 y˜.


0

0

0

− 2L˜E y˜.


0

˜
6E ˜. ˜2 y L

0

0

0

− 4L˜E y˜.


0

− 6L˜E2 y˜˙

0

0

0

− 2L˜E y˜˙

0

˜
6E ˜˙ ˜2 y L

0

0

0

− 4L˜E y˜˙

˜

˜

˜

˜

˜




˜

˜

˜

˜










˜

˜

˜




Durch Einsetzen der Komponenten von u0 ergeben sich:

˜

˜

˜




4.5 Beispiel: In einer Ebene arbeitender Roboter

141

¯ E 1 (1,2) σ1,a = − ¯ w2 = − ¯ Fz3 L A ¯ ¯ ¯ L 2 E 1 6E (1,2) σ. 1,y
= ¯ 2 z¯.  v2 + ¯ z¯.  θx2 = y
Fy3 − y
Mx3 ¯ ¯ L L W W . . ¯ ˜ ¯ ¯ L L 2E 6E 1 (1,2) σ. 1,z
= ¯ 2 y¯.  u2 − ¯ y¯.  θy2 = z
Fx3 − z
Fz3 + z
My3 , ¯ ¯ ¯ L L W W W . . . 1 (1,2) σ2,a = ¯ Fz3 A ¯ ¯ 4E 6E 1 (1,2) σ. 2,y
= ¯ 2 z¯.  v2 + ¯ z¯.  θx2 = y
Mx3 ¯. L L W ¯ ¯ ˜ 6E 4E L 1 (1,2) σ. 2,z
= ¯ 2 y¯.  u2 − ¯ y¯.  θy2 = z
Fz3 − z
My3 ; ¯. ¯. L L W W ˜ E 1 (2,3) σ2,a = (u2 − u3 ) = − Fx3 ˜ L A˜ ˜ ˜ ˜ L 2E 1 6E  (2,3) z˜.  (θy3 + 2θy2 ) = y
Fz3 − y
My3 σ. 2,y
= z˜. (w3 − w2 ) + 2 ˜ ˜ ˜. ˜. L L W W ˜ ˜ ˜ L 6E 2E 1 (2,3) σ. 2,z
= y˜.  (v3 − v2 ) − y˜.  (θz3 + 2θz2 ) = z
Fy3 + z
Mz3 , 2 ˜ ˜ ˜. ˜. L L W W 1 (2,3) σ3,a = Fx3 A˜ ˜ ˜ 2E 1 6E (2,3) z˜ (2θy3 + θy2 ) = y
My3 z˜.  (w3 − w2 ) + σ. 3,y
= ˜2 ˜ . ˜ L L W . ˜ ˜ 6E  2E  1 (2,3) y˜ (2θz3 + θz2 ) = − z
Mz3 σ. 3,z
= y˜ (v − v2 ) − ˜2 . 3 ˜ . ˜ L L W . ¯˙ an Stelle von W ¯. bzw. mit W ˜˙ an Stelle von W ˜. – entsprechende sowie – mit W (1,2) (1,2) (1,2) (1,2) (2,3) (2,3) (2,3) (2,3) Ausdr¨ ucke f¨ ur σ˙ 1,y
, σ˙ 1,z
, σ˙ 2,y
, σ˙ 2,z
bzw. f¨ ur σ˙ 2,y
, σ˙ 2,z
, σ˙ 3,y
, σ˙ 3,z
. Um hieraus Schranken f¨ ur die gesamte Spannung in einer beliebigen Faser etwa des Roboterarmes (1, 2) am Knoten 1 zu erhalten, hat man in Hinsicht auf die als bekannt anzusehenden Gr¨ oßen ¯ y3 − Mx3 = Mx1 , LF

¯ x3 − LF ˜ z3 + My3 = −My1 LF

vier F¨ alle zu unterscheiden: 1) Mx1 ≥ 0, −My1 ≥ 0

1 1 untere Schranke: − ¯ Fz3 + y
Mx1 + ¯. A W 1 1 obere Schranke: − ¯ Fz3 + y
Mx1 + ˙ ¯ A W

1 (−My1 ) ¯. z
W 1 (−My1 ) z
˙ ¯ W

142

4 R¨ aumliche Stabtragwerke

2) Mx1 ≥ 0, −My1 ≤ 0

1 1 untere Schranke: − ¯ Fz3 + y
Mx1 + ¯. A W 1 1 obere Schranke: − ¯ Fz3 + y
Mx1 + ˙ ¯ A W 3) Mx1 ≤ 0, −My1 ≥ 0 1 1 untere Schranke: − ¯ Fz3 + y
Mx1 + ˙ ¯ A W

1
(−My1 ) ˙ ¯z W 1 (−My1 ) z
¯ W .

1 (−My1 ) z
¯ W . 1 1 1 obere Schranke: − ¯ Fz3 + y
Mx1 + z
(−My1 ) ˙ ¯. ¯ A W W 4) Mx1 ≤ 0, −My1 ≤ 0 1 1 1 untere Schranke: − ¯ Fz3 + y
Mx1 + z
(−My1 ) ˙ ˙ ¯ ¯ A W W 1 1 1 obere Schranke: − ¯ Fz3 + y
Mx1 + z
(−My1 ) ¯ ¯ A W W . . Analog verf¨ ahrt man bei den u ¨brigen Spannungen.

Teil II

Stabtragwerke mit stochastischen Parametern

5. Zusammenfassung von Teil I

Um in den folgenden Untersuchungen ebene/r¨aumliche Stabtragwerke mit drehbaren/starren Verbindungen gemeinsam behandeln zu k¨onnen, fassen wir die in Teil I erzielten Resultate unter einer einheitlichen Bezeichnungsweise zusammen. Dabei verwenden wir die Abk¨ urzungen (4.29a-d) und (4.45a-e). Zun¨ achst eine kurze Wiederholung. F¨ ur den Verschiebungs- und Spannungsvektor gelten die fundamentalen Gleichungen u0 = K0−1 F0

(vgl.( 2.20),(3.21),(4.33))

F1 = K10 K0−1 F0 σ = S0 K0−1 F0

(vgl.(2.21), (3.22),(4.34)) (vgl.(2.29), (3.41),(4.40)).

(5.1) (5.2) (5.3)

Die darin auftretenden Matrizen haben die Darstellungen  (i,j) K0 = cij q(i,j) K0 (vgl. Lemmata 2.4, 3.4, 4.5) i,j

K10 =



(i,j)

(vgl. (2.22), Lemmata 3.5, 4.5)

(i,j)

(vgl. (2.30), (3.42), (4.36), Lemma 4.7)

cij q(i,j) K10

i,j

S0 =



cij p(i,j) S0

i,j

mit an den betreffenden Stellen aufgef¨ uhrten Parameterabh¨angigkeiten der (i,j) (i,j) (i,j) Matrizen K0 , K10 , S0 ; der Parameter E(i,j) f¨allt nicht darunter. Bei starren Verbindungen lassen sich diese Darstellungen verfeinern zu K0 =



cij



cij

 i,j

(vgl. Lemmata 3.4, 4.6)

4[8] 

(i,j),κ

(vgl. Lemmata 3.5, 4.6)

(i,j),λ

(vgl. (3.42), Lemma 4.8),

q(i,j),κ K10

κ=1

i,j

S0 =

(i,j),κ

q(i,j),κ K0

κ=1

i,j

K10 =

4[8] 

cij

5[9]  λ=1

p(i,j),λ S0

146

5 Zusammenfassung von Teil I (i,j),κ

(i,j),κ

(i,j),λ

wo die in den Matrizen K0 , K10 , S0 auftretenden Parameter sich nur noch auf die Lage des Stabes (i, j) beziehen. Nach Konstruktion gilt: (i,j)

K0

(i,j),κ

, K0

sind symmetrisch f¨ ur alle (i, j), κ .

Da in den folgenden Entwicklungen auf eine explizite Angabe der Stabknoten i.a. verzichtet werden kann, bezeichnen wir die Menge aller N St¨abe des betrachteten Tragwerkes mit B und ein einzelnes Element durch b ∈ B. Die Menge B sei mit der lexikographischen Anordnung der St¨abe versehen (Definition 2.11). Damit wird  cij . . . i,j

zu 

...



oder kurz

b∈B

...

b

Nun treten bei starren Verbindungen auch Doppelsummen     ... = . . . resp. ... = ... b

κ

b,κ

b

λ

b,λ



auf. Um diese mit den einfachen Summen b . . . unter einer Notation zu vereinen, vereinbaren wir, dass der Doppelindex b, 0 gleichbedeutend mit dem einfachen Index b ist. Demnach ist also     . . . = . . . resp. ... = ... . b κ=0

b

b λ=0

b

Gem¨ aß diesen Vereinbarungen lassen sich die obigen Matrizendarstellungen in jedem Fall in der Form  K0 = qbκ K0bκ (5.4) b,κ

K10 =



bκ qbκ K10

(5.5)

pbλ S0bλ

(5.6)

b,κ

S0 =

 b,λ

schreiben. In der Tabelle auf der folgenden Seite sind die jeweiligen Besonderheiten zusammengefasst.

S0 =

K10 =

K0 =

b,λ



pbλ S0bλ

b,κ

bκ qbκ K10

qbκ K0bκ



b,κ



λ = 0: S0bλ = S0b ist von αb abh¨ angig

κ=0: bκ b K10 = K10 ist von αb abh¨ angig

λ = 1, . . . , 5 : S0bλ ist h¨ ochstens von αb abh¨ angig

κ = 1, . . . , 4 : bκ K10 ist h¨ ochstens von αb abh¨ angig λ = 0: S0bλ = S0b ist von αb , y.
b , y˙ b
, Lb abh¨ angig

κ = 1, . . . , 4 : K0bκ ist h¨ ochstens von αb abh¨ angig κ=0: bκ b K10 = K10 ist von
z αb , rb , Lb abh¨ angig

ebenes Tragwerk mit drehbaren starren Verbindungen κ=0: κ=0: K0bκ = K0b ist von K0bκ = K0b ist von
αb , rbz , Lb abh¨ αb abh¨ angig angig

λ = 0: S0bλ = S0b ist von ϑb , ψb abh¨ angig

κ=0: bκ b K10 = K10 ist von ϑb , ψb abh¨ angig

λ = 1, . . . , 9 : S0bλ ist h¨ ochstens von ϑb , ψb , ϕb abh¨ angig

κ = 1, . . . , 8 : bκ K10 ist h¨ ochstens von ϑb , ψb , ϕb abh¨ angig λ = 0: S0bλ = S0b ist von ϑb , ψb , ϕb , y.
b , y˙ b
, z.b
z˙b
, Lb abh¨ angig

κ = 1, . . . , 8 : K0bκ ist h¨ ochstens von ϑb , ψb , ϕb abh¨ angig κ=0: bκ b K10 = K10 ist von
y
ϑb , ψb , ϕb , rb , rbz , rbt , Lb , νb abh¨ angig

r¨ aumliches Tragwerk mit drehbaren starren Verbindungen κ=0: κ=0: K0bκ = K0b ist von K0bκ = K0b ist von

ϑb , ψb , ϕb , rby , rbz , rbt , ϑb , ψb abh¨ angig Lb , νb abh¨ angig

5 Zusammenfassung von Teil I 147

Tabelle 5.1. Aufbau der Teilbl¨ ocke der Gesamtsteifigkeitsmatrix

148

5 Zusammenfassung von Teil I

Dabei gilt nach (4.29a-d) und (4.45a-e): qb0 = qb1 = Eb Ibz Lb




qb2 =

Eb Iby Lb




qb5 =

E b Ab Lb

qb3 =

Eb Ibz L2b




,

qb6 =

Eb Iby L2b




,

qb8 =




,

qb4 =

Eb Ibz L3b

,

qb7 =

Eb Iby L3b




Eb Ibt 2(1+νb )Lb

pb0 = pb1 =

(5.7)

Eb Lb

pb2 =


Eb y .b Lb ,

pb3 =


Eb y˙ b Lb

pb4 =


Eb y .b , L2b

pb5 =


Eb y˙ b L2b

pb6 =


Eb z .b Lb ,

pb7 =


Eb z˙ b Lb

pb8 =


Eb z .b , L2b

pb9 =


Eb z˙ b L2b

(5.8)

Wir bemerken noch, dass bei starren Verbindungen auch Darstellungen von K0 , K10 , S0 denkbar sind, deren Feinheitsgrad jeweils zwischen denen der beiden angegebenen Darstellungen liegt. Jedoch lassen sich auch diese in der Form (5.4), (5.5), (5.6) notieren. Beispiel 5.1. Bei einem r¨aumlichen Tragwerk mit starren Verbindungen kann man setzen: q˜b1 := Eb Ab ,

˜ b1 := K 0




˜ b2 := K 0

1 b2 Lb K0

+




˜ b3 := K 0

1 b5 Lb K0

+

q˜b2 := Eb Ibz , q˜b3 := Eb Iby , q˜b4 :=

Eb Ibt 2(1+νb ) ,

˜ b4 := K 0

1 b1 Lb K0 1 K b3 L2b 0 1 K b6 L2b 0

+

1 K b4 L3b 0

+

1 K b7 L3b 0

1 b8 Lb K0

womit sich K0 =

4   b∈B κ=1

˜ bκ = q˜bκ K 0

 b,κ

˜ bκ q˜bκ K 0

˜ bκ , S˜bκ ergibt. Analog erh¨alt man Zerlegungen von K10 und S0 , bei denen K 10 0 nur von der Lage und L¨ange des Stabes b abh¨angen, w¨ahrend q˜bκ , p˜bλ von Materialkonstanten und gewissen Parametern des Querschnittes von b abh¨angig sind.

6. Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

6.1 Formulierung der Problematik Bei der Realisierung eines konzipierten Tragwerks sind die effektiven Gr¨oßen Lb , Ab
y
Ib , Ibz , Ibt y. b , y˙ b , z.b , z˙b Eb , νb

(6.1)

f¨ ur jeden Stab b Zufallsvariable. Das ist bedingt durch die im Prinzip unvermeidlichen Fertigungsfehler bei der Herstellung der St¨abe und die Schwankungen ihrer Materialbeschaffenheit. So unterliegen z.B. im Stahlbetonbau1 Werkstoffe und Geometrie relativ starken Spannungen; siehe dazu auch Kap. 1, Einf¨ uhrung. Tats¨ achlich sind auch die Winkel αb

bzw. ϑb

, ψb

, ϕb

Zufallsvariable. Die Belastung F0 des Tragwerkes kann ebenfalls zuf¨alligen Schwankungen unterliegen (Beispiel: Belastung einer Br¨ ucke in Abh¨angigkeit vom Fahrzeugaufkommen). Der Einfachheit halber setzen wir jedoch in den folgenden Untersuchungen voraus, dass zumindest die Lage der St¨abe (also die Geometrie) des Tragwerks fest ist. Bemerkung 6.1. Genau genommen, bedingen stochastische Schwankungen der Stabl¨angen auch solche der Winkelgeometrie des Tragwerks, da die L¨angen und Winkel durch die Gesetze der Euklidschen Geometrie miteinander verbunden sind. Jedoch k¨onnen bei approximativer Rechnung die Ver¨anderungen der Winkel vernachl¨assigt werden, sofern f¨ ur beliebige St¨abe b, b der Fertigungsfehler ∆Lb
sehr klein im Verh¨altnis zur L¨ange Lb ausf¨allt. Diese Bedingung ist in der Praxis i.a. erf¨ ullt. Sie impliziert zun¨achst, dass die Abweichungen ∆αb bzw. ∆ϑb , ∆ψb , ∆ϕb von den theoretischen Winkelgr¨oßen αb bzw. ϑb , ψb , ϕb kleine Gr¨oßen erster Ordnung sind: 1

Siehe z.B. http://www-ifmb.bau-verm.uni-karlsruhe.de/mb/seite 192.html

150

6 Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

Abb. 6.1. Stochastische Schwankungen der Winkelgeometrie

∆ab ≈

∆Lb
Lb

Dasselbe trifft dann auf die Fehler in den Komponenten der Matrizen K bκ und S bλ zu. Aufgrund der Gleichungen  bκ K qbκ u F = Ku = b,κ

σ = Su =



b,λ

S bλ pbλ u,

auft wo die Komponenten von L1b u0 ebenfalls klein von erster Ordnung sind, l¨ die Annahme der Determiniertheit der Winkelgeometrie des Tragwerks wieder (vgl. Teil I) auf eine Vernachl¨ assigung von kleinen Gr¨ oßen zweiter Ordnung ¨ hinaus. Ahnliches gilt f¨ ur die Stabl¨ angen selbst, so dass wir unser Hauptaugenmerk auf stochastische Schwankungen der u ¨ brigen Parameter (6.1) richten werden. Um im weiteren Verlauf Zufallsvariable (Skalare, Vektoren, Matrizen) von deterministischen Variablen zu unterscheiden, schreiben wir die Erstgenannten als Funktionen des Zufallsparameters ω (Elementarereignis aus einem geeignet gew¨ahlten Wahrscheinlichkeitsraum). Aufgrund unserer Voraussetzung gibt es Darstellungen der Form (5.4), (5.5) resp. (5.6) von K0 , K10 resp. S0 derart, dass die Matrizen K0bκ

bκ , K10

, S0bλ

unabh¨ angig von ω

sind, w¨ahrend qbκ = qbκ (ω),

pbλ = pbλ (ω).

Allem Folgenden sei eine solche Darstellung zugrunde gelegt. Nach (5.4) - (5.6) sind K0 = K0 (ω),

K10 = K10 (ω),

S0 = S0 (ω)

6.2 Allgemeines Vorgehen

151

und damit auch K0−1 = K0 (ω)−1 Zufallsmatrizen. Infolge von (5.1) - (5.3) sind dann u0 = u0 (ω),

F1 = F1 (ω),

σ = σ(ω)

Zufallsvektoren. Setzt man noch q = q(ω) := (qbκ )b,κ p = p(ω) := (pbλ )b,λ ,

(6.2) (6.3)

so l¨ asst sich das Hauptproblem dieses Kapitels kurz so formulieren: Aus gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Pq , P(p,q) , PF0 bestimme man die Verteilungen Pu0 , PF1 , Pσ von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor. I.a. wird man sich mit Approximationen der Verteilungen Pu0 , ussen. Hierf¨ ur gen¨ ugt es, gewisse Momente von u0 , PF1 , Pσ zufrieden geben m¨ 1 F , σ zu berechnen. Diese Aufgabe l¨ asst sich grunds¨ atzlich in der folgenden Weise l¨osen: Aus Pq und P(p,q) (den Momenten von q und (p,q)) sind zun¨achst die Verteilungen (Momente) von K0−1 , K10 K0−1 und S0 K0−1 zu ermitteln. Da F0 und q bzw. angig anzusehen sind, wird man dann F0 und (p,q) als stochastisch unabh¨ aufgrund der Gleichungen (5.1) - (5.3) die Verteilungen (Momente) von u0 , F1 und σ bestimmen k¨ onnen. Wie bereits im Vorwort erw¨ahnt, spricht man hier oft auch von Stochastischen Finite Element Methoden (SFEM), siehe z.B. [HiNa81, KlHi92].

6.2 Allgemeines Vorgehen Soweit m¨ oglich, werden wir die zuletzt genannten Zusammenh¨ange in diesem Abschn. allgemein er¨ ortern. Dazu wiederholen wir kurz einige Grundtatsachen u ¨ ber Tensorprodukte. 6.2.1 Tensorielle Produkte von Vektoren und Matrizen Definition 6.1. Es seien ⎛ ⎞ x1 ⎜ ⎟ x = ⎝ ... ⎠ ∈ IRm1 , xm1

⎞ y1 ⎟ ⎜ y = ⎝ ... ⎠ ∈ IRm2 y m2 ⎛

zwei beliebige Vektoren. Dann heißt der Vektor

152

6 Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

⎛

⎞ x1 y1 .. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ x1 ym2 ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎜ x y ⎟ ⎟ x1 y ⎜ 2 1 ⎟ ⎟ .. ⎜ x2 y ⎟ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∈ IRm1 m2 x ⊗ y := ⎜ . ⎟ = ⎜ ⎜ . ⎝ . ⎠ ⎜ x2 ym2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ .. xm1 y ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ xm y1 ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .. ⎝ ⎠ . xm1 ym2 das tensorielle Produkt von x und y. IMn,m bezeichne den Raum der reellen n × m Matrizen. Definition 6.1 wird erweitert durch Definition 6.2. Sind ⎞ ⎛ a11 · · ·a1m1 ⎜ .. ⎟ ∈ IM A = ⎝ ... n1 ,m1 , . ⎠

⎞ b11 · · ·b1m2 ⎜ .. ⎟ ∈ IM B = ⎝ ... n2 ,m2 . ⎠ ⎛

bn2 1· · ·bn2 m2

an1 1· · ·an1 m1

zwei beliebige Matrizen, so heißt die n1 n2 × m1 m2 Matrix ⎛

a11 B ⎜ .. A ⊗ B := ⎝ .

a12 B

···

⎞ a1m1 B ⎟ .. ⎠ .

an1 1 B an1 2 B · · · an1 m1 B ⎛ a11 b11 · · · a11 b1m2 a12 b11 · · · ⎜ .. .. .. ⎜ . . . ⎜ ⎜ a11 bn2 1 · · · a11 bn2 m2 a12 bn2 1 · · · ⎜ ··· = ⎜ ⎜ ··· ⎜ an1 1 b11 · · · an1 1 b1m2 an1 2 b11 · · · ⎜ ⎜ .. .. .. ⎝ . . . an1 1 bn2 1 · · · an1 1 bn2 m2 an1 2 bn2 1 · · · ⎞ a12 b1m2 a1m1 b11 · · · a1m1 b1m2 ⎟ .. .. .. ⎟ . ··· . . ⎟ a1m1 bn2 1 · · · a1m1 bn2 m2 ⎟ a12 bn2 m2 ⎟ ⎟ ··· ··· ⎟ an1 2 b1m2 an1 m1 b11 · · · an1 m1 b1m2 ⎟ ⎟ ⎟ .. .. .. ⎠ . ··· . . an1 m1 bn2 1 · · · an1 m1 bn2 m2 an1 2 bn2 m2

6.2 Allgemeines Vorgehen

153

das tensorielle Produkt (Kroneckerprodukt) von A und B (vgl. [SchSt88, S.564]). Das Tensorprodukt gen¨ ugt den Rechenregeln - Assoziativit¨ at - Bilinearit¨ at (Linearit¨ at in beiden Argumenten) - F¨ ur alle A ∈ IMn1 ,m1 , B ∈ IMn2 ,m2 und A ∈ IMm1 ,l1 , B  ∈ IMm2 ,l2 gilt: (A ⊗ B)(A ⊗ B  ) = (AA ) ⊗ (BB  ). Die k-te Tensorpotenz ist definiert durch x⊗k := x ⊗ x ⊗ · · · ⊗ x A⊗k := A ⊗ A ⊗ · · · ⊗ A . ! "  k−mal

6.2.2 Momente von Zufallsvektoren und -matrizen Es sei X(ω) = (X1 (ω), · · · , Xn (ω))T ein reeller Zufallsvektor. Die (Anfangs-) Momente der Ordnung k von X(ω) sind definiert durch   mk1 ···kn := E Xi (ω)k1 . . . Xn (ω)kn mit k1 + . . . + kn = k, (6.4) wobei E den Erwartungswertoperator bezeichnet. Von besonderer Wichtigkeit sind die reinen Momente k-ter Ordnung   (1 ≤ i ≤ n) m···k··· = E Xi (ω)k und die Momente zweiter Ordnung m···1···1··· = E [Xi (ω)Xj (ω)]

(1 ≤ i, j ≤ n).

Letztere fasst man u ¨blicherweise in der n × n Matrix E[X(ω)X(ω)T ] zusammen. F¨ ur unsere Zwecke ist aber die Darstellung E[X(ω) ⊗ X(ω)] mit Hilfe des Tensorproduktes vorteilhafter. Allgemein sind die Momente der Ordnung k gerade die Komponenten des Vektors   E X(ω)⊗k , bei k ≥ 2 jedoch in diesem mehrfach vertreten. Setzt man ¯ = (X ¯1, . . . , X ¯ n )T := E [X(ω)] , X so sind die zentralen Momente der Ordnung k von X(ω) definiert durch

154

6 Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

  ¯ 1 )k1 · · · (Xn (ω) − X ¯ n )kn µk1 ···kn := E (X1 (ω) − X mit

k1 + . . . + kn = k.

(6.5)

Diese werden wieder zusammengefasst in   ¯ ⊗k . E (X(ω) − X) Die zentralen resp. Anfangs-Momente der Ordnung k lassen sich aus den Anfangs-resp. zentralen Momenten der Ordnung ≤ k berechnen (vgl. [Fi66, S.64, 74]). F¨ ur die Kovarianzen etwa gilt     ¯ ⊗2 . ¯ ⊗2 = E X(ω)⊗2 − X E (X(ω) − X) Nun sind die Gleichungen (5.1) - (5.3) vom Typ X(ω) = A(ω)F0 (ω) mit einer reellen n × m Zufallsmatrix A(ω) und entsprechend dimensionierten reellen Zufallsvektoren X(ω), F0 (ω). Wir d¨ urfen voraussetzen, dass A(ω) und angig sind und die Verteilung von F0 (ω) bekannt F0 (ω) stochastisch unabh¨ ist. Um die Momente von X(ω) zu bestimmen, bilden wir die k-te Tensorpotenz X(ω)⊗k = (A(ω)F0 (ω))⊗k = A(ω)⊗k F0 (ω)⊗k und erhalten aufgrund der Unabh¨ angigkeit       E X(ω)⊗k = E A(ω)⊗k E F0 (ω)⊗k .

(6.6)

Demnach sind zu ermitteln:   E A(ω)⊗k ,

(6.7)

k = 1, 2, 3, · · · ,

insbesondere der Erwartungswert A¯ = E [A(ω)]. Wir werden somit auf die Momente von Zufallsmatrizen gef¨ uhrt, die analog denen von Zufallsvektoren erkl¨ art sind. Aus (6.7) lassen sich alle Anfangsmomente von A(ω) entnehmen, mit denen sich - wie erw¨ahnt - alle zentralen Momente von A(ω) berechnen lassen. Letztere bilden die Komponenten von   ¯ ⊗k , k = 1, 2, 3, . . . E (A(ω) − A) (6.8) F¨ ur die Kovarianzen gilt wieder     ¯ ⊗2 = E A(ω)⊗2 − A¯⊗2 E (A(ω) − A) (6.9)   ¯ ⊗k Die Beziehung zwischen E (X(ω) −  X) ⊗k und (6.8) ist i.a. nicht so diund (6.7). Jedoch l¨asst sich rekt (6.6) zwischen E X(ω)  wie die in ¯0 ¯ ⊗k auf (6.8) zur¨ uckf¨ uhren, falls k = 2 oder falls F0 (ω) = F E (X(ω) − X) konstant ist. Aus

6.2 Allgemeines Vorgehen

155

¯ = A(ω)F0 (ω) − A¯F ¯ 0 = (A(ω) − A)F ¯ 0 (ω) + A(F ¯ 0 (ω) − F ¯ 0) X(ω) − X folgt n¨ amlich       ¯ ⊗2 = E (A(ω) − A) ¯ ⊗2 E F0 (ω)⊗2 E (X(ω) − X)   ¯ 0 )⊗2 +A¯⊗2 E (F0 (ω) − F und im zweiten Fall     0 ⊗k ¯ ⊗k = E (A(ω) − A) ¯ ⊗k (F ¯ ) E (X(ω) − X)

(6.10)

In den Abschn. 7 und 8 werden wir die Momente (6.7) und (6.8) f¨ ur die in (5.1)(5.3) auftretenden Matrizen A(ω) = K0 (ω)−1 , K10 (ω)K0 (ω)−1 , S0 (ω)K0 (ω)−1 mittels geeigneter Reihenentwicklungen ermitteln. 6.2.3 Bestimmung der Verteilung eines Zufallsvektors aus seinen Momenten Es sei X(ω) = (X1 (ω), . . . , Xn (ω))T ein reeller Zufallsvektor mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f (x). Wir stellen zwei Verfahren zur Bestimmung von f (x) aus den Momenten von X(ω) vor. 6.2.3.1 Fourier-Entwicklung √ −1 sei die imagin¨ are Einheit im Bereich CI der komplexen Zahlen z = x + √ y −1 (x, y ∈ IR). t = (t1 , . . . , tn )T bezeichne einen reellen Parametervektor. Dann wird durch #∞ #∞  √ T  √ T −1t x = ϕ(t) := E e ... f (x)e −1t x dx −∞

(6.11)

−∞

die charakteristische Funktion von X(ω) definiert. Es ist ϕ(0) := 1. Die Momente von X(ω) lassen sich mittels der charakteristischen Funktion ausdr¨ ucken ([Ri66, S.301, (6.13)]): Existieren die Momente k-ter Ordnung von X(ω), dann werden sie gegeben durch , 1 ∂ k ϕ(t) mk1 ...kn = √ k (k1 + . . . + kn = k) (6.12) k1 kn −1 ∂t1 . . . ∂tn t=0 Oft kann man von zuf¨ alligen Gr¨ oßen nur die Momente bestimmen. Diese reichen i.a. nicht aus, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzulegen. Nach [Ri66, S.320, (6.43) und S.322, (6.46)] gilt jedoch

156

6 Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

Lemma 6.1. Die Verteilungsfunktion von X(ω) ist durch die charakteristische Funktion von X(ω) eindeutig bestimmt. Letztere ist durch die Momente von X(ω) eindeutig festgelegt, wenn die Reihe ∞  k1 ,...,kn =0

mk1 ...kn k1 z . . . znkn k1 ! . . . kn ! 1

in einem Bereich {z ∈ CI n : |zi | ≤ ρ

f¨ ur

i = 1, . . . , n} mit ρ > 0 konvergiert.

Bei Konvergenz dieser Reihe ist n¨ amlich ϕ(z) in dem angegebenen Bereich durch eine Taylorsche Reihe darstellbar, deren Koeffizienten gem¨aß (6.12) bis √ aten mit den mk1 ...kn u auf Potenzen von −1 und Fakult¨ ¨bereinstimmen. Bemerkung 6.2. Die Bedingung in Lemma 6.1 ist erf¨ ullt, wenn der Zufallsvektor X(ω) beschr¨ ankt ist, d.h. wenn 
ur i = 1, . . . , n = 1 P |Xi (ω)| < δ f¨ f¨ ur ein gen¨ ugend großes δ (vgl. [Ri66, S.313]). Besonders einfach l¨ asst sich die im ersten Teil von Lemma 6.1 beschriebene Beziehung in Formeln ausdr¨ ucken, wenn ϕ(t) auf IRn absolut integrierbar ist. Es gilt dann die Umkehrung 1 f (x) = (2π)n

#∞

#∞ ...

−∞

ϕ(t)e−

√

−1tT x

dx

(6.13)

−∞

von (6.11) ([Ri66, S.326, (6.50)]). Demnach ergibt sich die folgende M¨ oglichkeit zur Berechnung der Verteilung von X(ω) aus den Momenten: -

Man setze ϕ(t) als Potenzreihe an, wobei die Koeffizienten nach (6.12) aus den Momenten gewonnen werden. Damit berechne man f (x) gem¨ aß (6.13), wobei von dem Integral a priori nur der Realteil zu nehmen ist.

In der Praxis ist diese Methode nur anwendbar, wenn das Bildungsgesetz f¨ ur die Momente von X(ω) (zumindes ann¨ ahernd) bekannt ist. Gem¨ aß (6.11) ist ϕ(t) die Fouriertransformierte von f (x), wohingegen (6.13) die inverse Fouriertransformation darstellt. Das dargestellte Verfahren beruht also wesentlich auf der Orthogonalit¨at der Kreisfunktionen. Demgegen¨ uber wird das zweite Verfahren von der Orthogonalit¨at der HermitePolynome Gebrauch machen.

6.2 Allgemeines Vorgehen

6.2.3.2 Gram - Charlier - Entwicklung Wir setzen 1 2 1 ϕ(x) = √ e− 2 x 2π

(x ∈ IR).

Nach der Formel von Rodrigue sind die Hermite - Polynome Hk (x), k = 0, 1, 2, 3, . . . , gegeben durch (−1)k

dk ϕ(x) = Hk (x)ϕ(x) dxk

Es ist auch die folgende Definition gebr¨ auchlich: Hk∗ (x) = (−1)k ex

2

dk −x2 (e ) dxk

([Sp76, S.154]). Dabei besteht die Beziehung Hk∗ (x) = Hk (x) ist ein Polynom vom Grad k. Man erh¨alt:

√

√ k 2 Hk ( 2x).

H0 (x) = 1 H1 (x) = x H2 (x) = x2 − 1 H3 (x) = x3 − 3x H4 (x) = x4 − 6x2 + 3 H5 (x) = x5 − 10x3 + 15x H6 (x) = x6 − 15x4 + 45x2 − 15 H7 (x) = x7 − 21x5 + 105x3 − 105x H8 (x) = x8 − 28x6 + 210x4 − 420x2 + 105 H9 (x) = x9 − 36x7 + 378x5 − 1260x3 + 945x H10 (x) = x10 − 45x8 + 630x6 − 3150x4 + 4725x2 − 945 ... und allgemein



 k k xk−2 + 1 · 3 · xk−4 2 4

 k −1 · 3 · 5 · xk−6 + − . . . 6

Hk (x) = xk −

=

k  j=0

mit

(k)

aj xj

157

158

6 Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

. (k) aj

=

i

(−1) 2 · 1 · 3 · 5 · · · (i − 1) · 0, sonst.


 k i

,

falls i := k − j gerade

(6.14)

Die Hermite - Polynome haben die Orthogonalit¨atseigenschaft  #∞ 0, falls k
= l Hk (x)Hl (x)ϕ(x)dx = k!, falls k = l −∞

(vgl. [Sp76, S.154 ff.]). Unter Verwendung dieser Eigenschaft ist es m¨ oglich, die Dichtefunktion f (x) von X(ω) in eine Reihe der Form ∞ 

f (x) = ϕ(x)

Ck1 ...kn Hk1 (x1 ) . . . Hkn (xn )

(6.15)

k1 ,...,kn =0

zu entwickeln, wobei zur Abk¨ urzung 1 T 1 ϕ(x) = ϕ(x1 ) . . . ϕ(xn ) = √ n e− 2 x x 2π gesetzt wurde und sich die Koeffizienten gem¨ aß #∞ #∞ 1 Ck1 ...kn = ... Hk1 (x) . . . Hkn (x)f (x)dx k1 ! . . . kn !

−∞

(6.16)

−∞

berechnen. Man nennt (6.15) die Gram - Charlier - Entwicklung von f (x). Auf hinreichende Bedingungen f¨ ur die tats¨ achliche Konvergenz der Reihe gegen f (x) gehen wir hier nicht ein, sondern verweisen auf die Literatur (z.B. [Sz39]). Eine formale Begr¨ undung f¨ ur die Koeffizientenformel (6.16) f¨ uhren wir etwa f¨ ur n = 2 vor. Dazu multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung (6.15) uglich x1 von mit einem Polynom Hl1 (x1 ) und integrieren anschließend bez¨ −∞ bis +∞. Es ergibt sich: #∞ #∞ ∞  Hl1 (x1 )f (x)dx1 = Hl1 (x1 )ϕ(x) Ck1 k2 Hk1 (x1 )Hk2 (x2 )dx1 −∞

k1 ,k2 =0

−∞

= ϕ(x2 )

∞ 

Ck2 k2 Hk2 (x2 )

k1 ,k2 =0

#∞ ×

Hl1 (x1 )Hk1 (x1 )ϕ(x1 )dx1

−∞

= ϕ(x2 )

∞  k1 ,k2 =0 ∞ 

= l1 !ϕ(x2 )

k2 =0

Ck1 k2 Hk2 (x2 )δl1 k1 l1 ! Cl1 k2 + Hk2 (x2 ).

6.2 Allgemeines Vorgehen

159

Durch Multiplikation mit Hl2 (x2 ) und Integration bzgl. x2 von −∞ bis +∞ erh¨ alt man hieraus: #∞

#∞ Hl2 (x2 )

−∞

#∞ Hl1 (x1 )f (x)dx1 dx2 =

−∞

Hl2 (x2 )l1 !ϕ(x2 ) ∞ 

#∞

∞ 

Hl2 (x2 )Hk2 (x2 )ϕ(x2 )dx2

Cl1 k2

k2 =1

= l1 !

Cl1 k2 Hk2 (x2 )dx2

k2 =1

−∞

= l1 !

∞ 

−∞

Cl1 k2 δl2 k2 l2 !

k2 =1

= l1 !l2 !Cl1 l2 ,

also in der Tat Cl1 l2 =

1 l1 !l2 !

#∞ #∞ Hl1 (x1 )Hl2 (x2 )f (x)dx. −∞ −∞

Gem¨ aß (6.16) lassen sich die Ck1 ...kn als Erwartungswerte deuten. Mit den in (6.14) definierten Koeffizienten der Hermite - Polynome und (6.4) gilt n¨amlich: 1 E [Hk1 (X1 (ω)) . . . Hkn (Xn (ω))] k1 ! . . . kn ! ⎡ ⎤ k1 kn   1 (k ) (k ) E⎣ aj1 1 X1 (ω)j1 . . . ajnn Xn (ω)jn ⎦ = k1 ! . . . kn ! j1 =0 jn =0 ⎡ ⎤  (k ) 1 (k ) E⎣ aj1 1 . . . ajnn X1 (ω)j1 . . . Xn (ω)jn ⎦ = k1 ! . . . kn ! j ,...,j

Ck1 ...kn =

1

n

 (k ) 1 (k ) a 1 . . . ajnn mj1 ...jn . = k1 ! . . . kn ! j ,...,j j1 1

n

(6.15) geht damit in die Form f (x) = ϕ(x)

∞  k1 ,...,kn =0


 1 k1 ! . . . kn !

(k )

(k )

aj1 1 . . . ajnn mj1 ...jn



0≤ji ≤ki , 1≤i≤n

× Hk1 (x1 ) . . . Hkn (xn ) u oglicht, die Dichte von f (x) aus den Momenten von X(ω) ¨ ber, welche es erm¨ zu bestimmen. Man berechnet z.B.:

160

6 Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

C0...0 = m0...0 = 1 C...1... = E [Xi (ω)] = m...1... C...1...1... = E [Xi (ω)Xj (ω)] = m...1...1...  1 1  C...2... = E Xi (ω)2 − 1 = (m...2... − 1) 2 2 C...1...1...1... = m...1...1...1...  1 1  C...1...2... = E Xi (ω)(Xj (ω)2 − 1) = (m...1...2... − m...1...0... ) 2 2 1 C...2...1... = (m...2...1... − m...1...0... ) 2  1 1  C...3... = E Xi (ω)3 − 3Xi (ω) = (m...3... − 3m...1... ) 6 6 usw. 6.2.4 Momente von gleich- oder dreiecksverteilten Zufallsvariablen F¨ ur sp¨atere Beispiele stellen wir noch die Momente von eindimensionalen Zufallsgr¨oßen X = X(ω) mit den genannten Verteilungen bereit. 6.2.4.1 Gleichverteilung Die Zufallsvariable sei gleichverteilt im Intervall ¯ −δ ≤X ≤X ¯ +δ X ¯ und δ > 0. mit Konstanten X

Abb. 6.2. Gleichverteilung

Bekanntlich gilt dann (vgl. [Fi66, S.129]) ¯ − δ)k+1 ¯ + δ)k+1 − (X   (X , mk = E X k = 2(k + 1)δ

k = 1, 2, 3, . . . .

6.2 Allgemeines Vorgehen

Insbesondere erh¨ alt man: ¯ m1 = X ¯2 + m2 = X

δ2 3

¯ 3 + Xδ ¯ 2 m3 = X 4 2 ¯ + 2X ¯ δ2 + m4 = X ...

,

var(X) =

δ2 3

δ4 5

6.2.4.2 Dreiecksverteilung Die Zufallsvariable X sei dreiecksverteilt im Intervall ¯ −δ ≤X ≤X ¯ +δ X ¯ und δ > 0. mit Konstanten X

Abb. 6.3. Dreiecksverteilung

Dann gilt:   mk = E X k =

X+δ #¯

xk f (x)dx ¯ X−δ

#X¯ = ¯ X−δ

1 ¯ + δ)xk dx + (x − X δ2

X+δ #¯

1 ¯ (X + δ − x)xk dx δ2

¯ X

¯ − δ)k+2 − 2X ¯ k+2 ¯ + δ)k+2 + (X (X , = (k + 1)(k + 2)δ 2

k = 1, 2, 3, . . . .

161

162

6 Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

Insbesondere erh¨ alt man: ¯ m1 = X ¯2 + m2 = X

δ2 6

,

var(X) =

δ2 6

¯ 2 ¯ 3 + 1 Xδ m3 = X 2 4

¯4 + X ¯ 2δ2 + δ m4 = X 15 ¯ 3 δ 2 + 1 Xδ ¯ 4 ¯5 + 5X m5 = X 3

3

6

¯ 4δ2 + X ¯6 + 5X ¯ 2δ4 + δ m6 = X 2 28 ¯ 5δ2 + 7 X ¯ 3 δ 4 + 1 Xδ ¯ 6 ¯7 + 7X m7 = X 2 3 4 ¯ 6 δ 2 + 14 X ¯ 4δ4 + X ¯ 8 + 14 X ¯ 2 δ 6 + δ8 m8 = X 3 3 45 ¯ 9 + 6X ¯ 7 δ 2 + 42 X ¯ 3 δ 6 + 1 Xδ ¯ 5 δ 4 + 3X ¯ 8 m9 = X 5 5 ···

6.3 Zur Verteilung der Steifigkeitsfaktoren Wir zeigen hier, wie man die Verteilung (die Momente) von q = q(ω) in der Praxis bestimmen kann. Die entsprechende Er¨ orterung f¨ ur (p,q), welche ganz ahnlich vonstatten geht, darf dem Leser u ¨ ¨berlassen bleiben. In der Praxis ist gilt oft die Voraussetzung (V1): F¨ ur verschiedene St¨abe b
= b und beliebige κ, κ sind die Zufallsvariablen qbκ und qb
κ
stochastisch unabh¨angig. Unter dieser Voraussetzung gen¨ ugt es, f¨ ur jedes b die Verteilung von (qbκ )κ zu kennen. Wir diskutieren hier den komplexesten Fall κ = 1, . . . , 8 und lassen dabei den Index b fort. Da nach (5.7) q4 =

q32 , q2

q6 =

q3 q5 , q2

q7 =

q32 q5 , q22

reicht es aus, die Verteilung von (q1 , q2 , q3 , q5 , q8 )


(6.17)




zu kennen, bei I z = I y sogar nur die von (q1 , q2 , q3 , q8 )

(6.18)

Nun sind f¨ ur alle denkbaren Formen von Stabquerschnitten die qκ Funktionen der Variablen 3 E, ν und einer bestimmten Anzahl (6.19) voneinander unabh¨ angiger Querschnittsabmessungen. So hat man in den in Teil I behandelten Beispielen

6.3 Zur Verteilung der Steifigkeitsfaktoren

163

Tabelle 6.1. Querschnittsabmessungen Querschnitt Rechteck Kreis Kreisring Ellipse Gleichseitiges Dreieck Regul¨ ares Sechseck

Abmessungen Breite, H¨ ohe Durchmesser Außen-, Innendurchmesser Hauptachsen Breite Radius

Aus der als bekannt vorausgesetzten gemeinsamen Dichtefunktion der Variablen (6.19) l¨ asst sich dann stets die Dichte von (6.17) bzw. (6.18) bestimmen (vgl. [Fi66, S.51 ff.]). Beispiel 6.1. a) Kreis Aus der Dichte f (xE , xν , xL , xd ) von (E, ν, L, d) ist die Dichte g(y1 , y2 , y3 , y8 ) von (6.18) zu berechnen. Zu q1 =

πEd2 , 4L

q2 =

πEd4 , 64L

q3 =

πEd4 , 64L2

q8 =

πEd4 64(1 + ν)L

ergibt sich die Umkehrtransformation q2 E= 1 , 4πq3

q2 ν= − 1, q8

Die zugeh¨orige Funktionaldeterminante ⎛ q1 0 2πq3 ⎜ 1 ⎜ 0 q8 ⎜ J = det ⎜ 1 0 ⎜ q3 ⎝ q −2 q23 √q21 q2

d=4

− qq22 8 0

0

0

3

q2 . q1

⎞

q2

− 4πq1 2 3 0 q2 − q2

1

hat den Betrag |J| =

+

q2 L= , q3

0

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

√

q1 q23 . 2πq33 q82

Damit gilt

g(y1 , y2 , y3 , y8 ) = f

y12 y2 y2 , − 1, , 4 4πy3 y8 y3

+

y2 y1

& 3 y1 y2 . 2πy33 y82

b) Rechteck Aus der Dichte von (E, ν, L, b, h) wird ebenso die Dichte von (6.17) berechnet. Zu q1 =

Ebh L ,

q2 =

q8 =

Ebh3 12L ,

q3 =

Ebh3 12L2 ,

q5 =

3 1 b b 5 3 Eb h(1−0,63 h +0,052( h ) +...)

2(1+ν)L

Eb3 h 12L

164

6 Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

ergibt sich die Umkehrtransformation 

5 √ q12 q2 2q5 q5 q5 √ E = 12q3 q5 , ν = q8 1 − 0, 63 q2 + 0, 052 q2 + . . . − 1 3q2 5 , h = 2 L = qq23 , b = 2 3q q1 q1 mit dem Funktionaldeterminantenbetrag   + 5 + q5 q5 3q2 |J| = + 0, 052 + ... . 1 − 0, 63 16q34 q5 q82 q2 q2 c) Kreisring Aus der Dichte f (xE , xν , xL , xd ) ist die Dichte von (6.18) zu berechnen. F¨ ur E = E,

q1 =

πE(D 2 −d2 ) , 4L

πE(D 4 −d4 ) , 64L πE(D 4 −d4 ) 64(1+ν)L

q2 =

q8 =

q3 =

πE(D 4 −d4 ) , 64L2

hat man die Umkehrtransformation E = E, ν = qq82 − 1, L = qq32 , 2q1 q2 8q2 2q1 q2 2 D = 8q + , d = q1 πq3 E q1 − πq3 E mit dem Funktionaldeterminantenbetrag |J| =

4q22 & . q32 q82 16π 2 q32 E 2 − q14

Hieraus ergibt sich die Dichte g(y1 , y2 , y3 , y8 ) von (6.18) als

#∞ f −∞

×

y2 y2 − 1, , xE , y8 y3

+

8y2 2y1 y2 + , y1 πy3 xE

+

8y2 2y1 y2 − y1 πy3 xE



4y22 & dxE . y32 y82 16π 2 y32 x2E − y14

d) Ellipse Aus der Dichte f (xE , xν , xL , xa , xb ) erh¨alt man die Dichte von (6.17):

2√ + +  y1 y2 y5 y2 2y2 y5 y2 g(y1 , y2 , y3 , y8 ) = f − 1, , 4 ,4 √ , 4πy3 y5 (y2 + y5 )y8 y3 y1 y1 ×

3y22 4 4πy3 y5 y82 (y2

+ y5 )

6.3 Zur Verteilung der Steifigkeitsfaktoren

165

e) Gleichseitiges Dreieck

g(y1 , y2 , y3 , y8 ) = f

y2 y 3y √ 1 , 2 − 1, 2 , 2 y3 6 3y3 5y8

+

6y2 y1

 & 3 y1 y2 √ , 5 2y33 y82

wobei f (xE , xν , xL , xb ) die Dichte von (E, ν, L, b) ist. f ) Regelm¨aßiges Sechseck

g(y1 , y2 , y3 , y8 ) = f

5y12 8cy2 y2 √ , √ − 1, , 2 y3 36 3y3 5 3y8

+

6y2 5y1



& 2c 6y1 y23 √ , 27 5y33 y82

wobei c := 1, 039 und f (xE , xν , xL , xR ) die Dichte von (E, ν, L, R) ist. Weiterhin darf oft als erf¨ ullt angesehen werden Voraussetzung (V2): F¨ ur jeden Stab b sind die Zufallsvariablen (6.19) stochastisch unabh¨angig. Zur Bestimmung der Verteilung von (qκ )κ gen¨ ugt es dann, die Verteilung jeder der Variablen in (6.19) zu kennen. Wir bemerken dazu : 1) In den einschl¨ agigen Tabellenwerken sind f¨ ur den Elastizit¨atsmodul E und die Querdehnungszahl ν oft untere und obere Grenzen angegeben (siehe z.B. Anhang in [PeWi92]). Es daher naheliegend, diese Materialgr¨oßen als gleichverteilt anzusehen. Jedoch sind auch Normalverteilungen oder diskrete Verteilungen denkbar. 2) Jeder Stab wird in der Regel von Maschinen oder Automaten gefertigt, und seine Abmessungen (L¨ ange sowie bestimmte Querschnittsgr¨oßen) sind einer Vielzahl von zuf¨ alligen und voneinander unabh¨angigen Schwankungen unterworfen. Die Abweichung ∆X einer Abmessung X von dem Nominalwert X 0 kann daher als Summe sehr vieler kleiner Zufallsschwankungen betrachtet werden, die auf verschiedene sich jeweils aber nur schwach auswirkende Ursachen zur¨ uckzuf¨ uhren sind. Aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes ergibt sich daraus das sehr gebr¨ auchliche Fehlermodell, ∆X und somit auch X = X 0 + ∆X als normalverteilte Gr¨ oße anzusehen. Wir werden jedoch Dreiecksverteilungen den Vorzug geben, weil sie rechnerisch einfacher zu handhaben sind und weil dreiecksverteilte Zufallsvariablen tats¨ achlich beschr¨ankt sind (vgl. Lemma 7.11). In jedem Fall l¨ asst sich mit Hilfe der statistischen Qualit¨atskontrolle (bei einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit) erreichen, dass der Erwartungswert von X mit dem Nominalwert u ¨bereinstimmt: E [X] = X 0

(6.20)

Die zugeh¨ orige Fertigungstoleranz var(X) ist jedoch nicht immer frei w¨ahlbar. Einfacher als der Weg u andige Berechnung der Verteilung von ¨ber die vollst¨ (qκ )κ aus den Verteilungen der Variablen (6.19) ist das folgende Vorgehen. Zur approximativen Bestimmung der Verteilung von K0−1 = K0 (ω)−1 werden

166

6 Zuf¨ allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨ abe

(unter der Voraussetzung (V1)) f¨ ur jeden Stab b nur gewisse Momente von (qκ )κ ben¨ otigt: E [qκ ] ,

var(qκ ),

cov(qκ , qκ
), . . . .

Da unter der Voraussetzung (V2) die Faktoren von qκ

E,

1 = 1 − ν + ν 2 − ν 3 + −..., 1+ν

⎧ ⎨ ⎩

⎫

1 L ⎬ 1 L2 ⎭ , 1 L3

⎧ ⎫ A⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ z
⎪ I
⎪ ⎪ Iy ⎪ ⎪ ⎩ t⎭ I

stochastisch unabh¨ angig sind (vgl. [Ri66, S.237, (3.8)]), lassen sich jene Mo- mente i.a. mit Hilfe bekannter Rechenregeln direkt auf die Momente E X k der X in (6.19) zur¨ uckf¨ uhren, wobei k aber auch negative (ganze) Werte annehmen kann (siehe Beispiel 6.2). Gleichverteilungen oder Dreiecksverteilungen sind, ebenso wie Normalverteilungen, durch die Parameter Erwartungswert und Varianz eindeutig bestimmt. Aus diesen Parametern (seien sie fest vorgegeben oder frei w¨ahlbar wie in (6.20)) der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Variablen (6.19) lassen sich also die Momente von (qκ )κ , insbesondere die Erwartungswerte E [qκ ], berechnen. Beispiel 6.2. $ % 1 E [A] L $ %   1 z
,y
E I E [q2,...,7 ] = E [E] E L1,2,3 $ %       1 1 E [q8 ] = E [E] (1 − E [ν] + E ν 2 − E ν 3 + − . . .)E E It 2 L

E [q1 ] = E [E] E

mit

[a] E [b]

 2

π E 4

√

 

√ 3 3 E 2

aßiges Sechseck Regelm¨



R2

b



D 2 − E d2 )



d



3 E 4

π (E 4

π E 4

 2

E [b] E [h]

E [A]

Gleichseitiges Dreieck

Ellipse mit b < a

Kreisring

Kreis

Rechteck

Querschnitt

 

√ 5 3 E 16

3 E 96

√

 

R4



b



 4

[a] E b3



D 4 − E d4 )



π E 64

π (E 64

d

 4

√ 5 3 E 16

3 E 96

√

a

 

R4



b

E [b]



 4

 3



d

 4

E [h]



D 4 − E d4 )



π E 64

π (E 64

π E 64

b

 3

1 E 12

 






E Iy






[b] E h3

π E 64

1 E 12

E Iz



 

  

√ 3 E 80

E b



 



b

 4 

+E



1 a3

D 4 − E d2 )

1, 039E R4

a



d

 4

 1   5

π (E 32

π E 32

 

 

E It

E b



+ . . .)

− + . . .)

1 h4

  7

E [h] − 0, 63E b4 + 0, 052E b8 E

[a] E b3 − E

b

 3

π (E 16

1 (E 3

Tabelle 6.2 Berechnung der Momente der Steifigkeitsfaktoren

6.3 Zur Verteilung der Steifigkeitsfaktoren 167

7. Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

Ausgehend von den Gleichungen (5.1) - (5.3) kann man das in Abschn. 6.2 beschriebene allgemeine Verfahren auf die Berechnung der Verteilungen von u0 (ω), F1 (ω) und σ(ω) anwenden. Die Hauptschwierigkeit hierbei ist das Auftreten der Inversen K0 (ω)−1 . Diese Schwierigkeit werden wir durch eine geeignete Potenzreihenentwicklung von K0 (ω)−1 umgehen. Die Entwicklung erm¨ oglicht es uns hier, die Momente von K0 (ω)−1 zumindest approximativ zu berechnen, in dem sp¨ ateren Abschnitt 8 wird sie sich auch zur Berechnung der Momente von K10 (ω)K0 (ω)−1 und S0 (ω)K0 (ω)−1 verwenden lassen. Zur Vorbereitung schieben wir einen Exkurs u ¨ ber Normen und Reihen von Matrizen ein.

7.1 Matrixnormen und Matrizenreihen 7.1.1 Vektor- und Matrixnormen Matrixnormen werden f¨ ur uns ein wesentliches Hilfsmittel sein. Wir stellen hier einige Grundtatsachen zusammen und beginnen mit der fogenden Definition: Definition 7.1. Eine Vektornorm auf IRm ist eine Abbildung ||.|| : IRm −→ IR+ := {x ∈ IR : x ≥ 0} mit den Eigenschaften: 1.

||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0

2. 3.

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ||λx|| = |λ| · ||x|| (λ ∈ IR).

Beispiel 7.1. Es sei x = (x1 , . . . , xm )T . a) b)

||x|| = max |xj | j  Betragsummennorm ||x|| = |xj |

Maximumnorm

j

c)

Euklidsche Norm

||x||E =

4 j

x2j =

√

xT x

170

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

Jede Vektornorm definiert durch d(x, y) = ||x − y|| eine Metrik und damit eine Topologie auf IRm . Eine Umgebungsbasis von a ∈ IRm bilden die ε-Umgebungen Uε (a) := {x ∈ IRm : ||x − a|| < ε} ,

ε > 0.

Diese Topologie ist jedoch dieselbe wie die durch die Euklidsche Metrik induzierte, oder gleichbedeutend (vgl. [SchSt88, S.468]): Lemma 7.1. F¨ ur jede Vektornorm ||.|| auf IRm gibt es positive reelle Zahlen α, β mit α||x||E ≤ ||x|| ≤ β||x||E

x ∈ IRm .

f¨ ur alle

Nun bezeichne IMm den Raum der reellen m × m Matrizen. Definition 7.2. Eine Matrixnorm auf IMm ist eine Abbildung ||.|| : IMm −→ IR+ mit den Eigenschaften: i)

||A|| = 0 ⇐⇒ A = 0

ii) iii)

||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| ||λA|| = |λ| · ||A|| (λ ∈ IR)

iv)

||AB|| ≤ ||A|| · ||B||

Eine Matrixnorm auf IMm wird mit einer Vektornorm auf IRm vertr¨aglich genannt, wenn gilt ||Ax|| ≤ ||A|| · ||x||

f¨ ur alle A, x

Beispiel 7.2. ([ZuFa86, Teil 2, S.35 ff.]) Es sei A = (aij ). a) Ist ||.|| eine Vektornorm auf IRm , so definiert die zugeh¨orige Operatornorm ||Ax|| x=0 ||x||

||A|| = sup

eine mit der Vektornorm vertr¨agliche Matrixnorm. In diesem Sinne geh¨ort zu der Maximumnorm die  Zeilennorm ||A|| = max |aij |, i

j

zu der Betragssummennorm die Spaltennorm

||A|| = max j

 i

|aij |

7.1 Matrixnormen und Matrizenreihen

171

und zu der Euklidschen Norm die Spektralnorm

||A|| =

√ ρ,

wobei ρ der maximale Eigenwert der Matrix AT A ist. b) Gesamtnorm ||A|| = m · max |aij |; i,j

diese ist mit allen Vektornormen in Beispiel 7.1 vertr¨aglich. c) Euklidsche Norm

||A||E =

4

a2ij ;

i,j

sie ist mit der Euklidschen Vektornorm vertr¨aglich. Da wir es sp¨ ater auch mit nichtquadratischen Matrizen zu tun haben werden, betrachten wir auch Normen auf IMn,m , wobei nicht notwendig n = m sein muss. Einer axiomatischen Kennzeichnung von Normabbildungen ||.|| : IMn,m −→ IR+ analog zu Definition 7.2 stellt sich die Eigenschaft (4) entgegen, die i.a. nicht in IMn,m formulierbar ist. Beschr¨anken wir uns jedoch auf die f¨ unf in Beispiel 7.2 aufgef¨ uhrten Normen, welche gleichlautend auch f¨ ur nichtquadratische Matrizen definiert sind, wenn nur die Definition der Gesamtnorm durch √ ||A|| = nm · max |aij | i,j

ersetzt wird, so gilt iv  ) ||AB|| ≤ ||A|| · ||B|| f¨ ur alle A ∈ IMn,m , B ∈ IMm,l , sofern die drei R¨ aume IMn,m , IMm,l und IMn,l mit derselben Norm versehen

sind. F¨ ur Zeilen-, Spalten- und Spektralnorm ist das in [Ga86, S.459, (19 )], konstatiert. Wegen max |ai1 b1k + . . . + aim bmk | ≤ m · max |aij | · max |bjk | i,j

i,k

j,k

und m
 j=1

2 aij bjk

≤

m
 j=1

a2ij

m 


b2jk

 f¨ ur alle i, k

j=1

(Schwarzsche Ungleichung) gilt (iv’) auch f¨ ur Gesamtnorm und Euklidsche Norm. Identifiziert man IMn,m mit IRnm , so ist jede Matrixnorm auch eine Vektornorm, und nach Lemma 7.1 gilt

172

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

Lemma 7.2. Zu jeder Matrixnorm ||.|| auf IMn,m gibt es positive reelle Zahlen α, β mit α||A||E ≤ ||A|| ≤ β||A||E

f¨ ur alle A ∈ IMn,m .

Im Folgenden sei ||.|| eine fest gew¨ ahlte Matrixnorm. Bei nichtquadratischen Matrizen verstehen wir darunter eine der f¨ unf Normen in Beispiel 7.2. F¨ ur Absch¨ atzungen von Produkten kann dann die Submultiplikativit¨at (iv) bzw. (iv’) benutzt werden. Bei der konkreten Wahl dieser Norm in einem Anwendungsfall ist zu beachten, dass der Aufwand zur Berechnung i.a. mit der Feinheit der Norm steigt. Lemma 7.3. Es gibt eine positive reelle Zahl γ, so dass ||A ⊗ B|| ≤ γ||A|| · ||B||

f¨ ur alle A ∈ IMn1 ,m1 , B ∈ IMn2 ,m2 .

Beweis. F¨ ur die Euklidsche Norm gilt sogar: 4 4 4 (aij bkl )2 = a2ij b2kl = ||A||E · ||B||E . ||A ⊗ B||E = i,j

i,j,k,l

k,l

Nun gibt es nach Lemma 7.2 positive reelle Zahlen α1 , α2 , β mit ||A ⊗ B|| ≤ β||A ⊗ B||E 1 ||A||E ≤ ||A|| α1 1 ||B|| ||B||E ≤ α2 f¨ ur alle A ∈ IMn1 ,m1 , B ∈ IMn2 ,m2 . Damit folgt ||A ⊗ B|| ≤ also die Behauptung, wenn γ =

β ||A|| · ||B||, α1 α2

β α1 α2

gesetzt wird.

Aus den Eigenschaften (ii) und (iii) der Matrixnorm erh¨alt man noch: n n 5 5  5 5 Ak 5 ≥ ||A1 || − ||Ak || 5 k=1

k=2

7.1.2 Konvergenz von Matrizenreihen Definition 7.3. Es sei (k)

Ak = (aij ) ∈ IMn,m ,

k = 0, 1, 2, 3, . . .

(7.1)

7.1 Matrixnormen und Matrizenreihen

eine unendliche Folge reeller n × m Matrizen. Dann heißt die Reihe konvergent gegen die Matrix A = (aij ) ∈ IMn,m , ∞ 

Schreibweise:

173

∞ k=0

Ak

Ak = A,

k=0 (k)

wenn f¨ ur beliebige Indizes 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m die Folge (aij ), k = 0, 1, 2, . . ., gegen aij konvergiert. Erfolgt die Konvergenz unabh¨angig von der Reihenfolge der Summanden Ak und stets gegen dieselbe Summe A, so spricht man von unbedingter Konvergenz . ∞ Lemma 7.4. Wenn die Reihe k=0 ||Ak ||der Matrixnormen Ak konver∞ giert, dann konvergiert die Matrizenreihe k=0 Ak unbedingt. Beweis. Nach Lemma 7.2 gibt es eine Konstante α > 0, so dass (k)

|aij | ≤ ||Ak ||E ≤

1 ||Ak || α

f¨ ur alle i, j und k. Aufgrund der Voraussetzung sind folglich die Reihen ∞ ∞ (k) k=0 aij absolut konvergent. Damit ist k=0 Ak unbedingt konvergent. Lemma 7.5. Es seien Ai ∈ IMn1 ,m1 , i = 0, 1, 2, . . ., und  Bj ∈ IMn2 ,m2 , ∞ j= 0, 1, 2, . . ., zwei Matrizenfolgen derart, dass die Reihen i=0 ||Ai || und ∞ ∞ ∞ B = B gilt dann ||B || konvergieren. Mit A = A und j=0 j j=0 j i=0 i ∞ ( A ⊗ B ) = A ⊗ B. j i+j=k i k=0 Beweis. Es bezeichne  Ck = Ai ⊗ Bj ∈ IMn1 n2 ,m1 m2 ,

k = 0, 1, 2, . . .

i+j=k

die Faltung der Folgen (Ai ) und (Bj ). Nach Lemma 7.3 gibt es eine Konstante γ > 0, so dass f¨ ur alle n ≥ 0 gilt: n n n 5 5   5 5 Bj 5 ≤ Ck − Ai ⊗ 5



≤

j=0

i=0

k=0

||Ai ⊗ Bj || +

n 2
γ



||Ai || ·

n 2
≤

γ


 i> n 2

||Ai ⊗ Bj ||

i+j>n



0≤i,j≤n

||Ai ⊗ Bj ||

n 2 <j≤n

0≤j≤n

≤



||Ai || ·



0≤i≤n

||Bj || + γ

0≤j≤n ∞  j=0

||Bj || +



||Ai || ·

0≤i≤n ∞  i=0

||Ai || ·

 j> n 2

 n 2 <j≤n

 ||Bj || .

||Bj ||

174

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

Nach Voraussetzung strebt der Term in Klammern mit n −→ ∞ gegen 0, also ist auch n n n 5 5   5 5 Bj 5 = 0. Ai ⊗ Cn − lim 5

n→∞

k=0

i=0

j=0

n 

n 

Es folgt ⎛ lim ⎝

n→∞

n 

Cn −

i=0

k=0

Ai ⊗

⎞ Bj ⎠ = 0

j=0

und damit ∞ 

Ck = A ⊗ B.

k=0

Bemerkung 7.1. Zus¨atzlich ist on der Ck hat man

∞

||Ck || ≤ γ

k=0



||Ck || konvergent, denn nach Definiti||Ai || · ||Bj ||,

i+j=k

∞ ∞ so dass das γ-fache des Cauchyproduktes von i=0 ||Ai || und j=0 ||Bj || eine  konvergente Majorante von ∞ k=0 ||Ck || darstellt.

7.2 Potenzreihenentwicklung der inversen Steifigkeitsmatrix Wir gehen aus von einer Darstellung  qbκ K0bκ , K0 = b,κ

wobei f¨ ur alle b, κ die Matrizen K0bκ

unabh¨ angig von ω

sind, w¨ ahrend qbκ = qbκ (ω). Demgem¨ aß d¨ urfen wir K0 als eine durch (5.4) gegebene Funktion von q = (qbκ ) = (qbκ )b,κ

7.2 Potenzreihenentwicklung der inversen Steifigkeitsmatrix

auffassen, wobei die K0bκ konstante Matrizen sind. Wir setzen   ¯ = (¯ q qbκ ) := E[qbκ ] = E [q] ,

175

(7.2)

ebenso ¯ 0 := E [K0 ] , K

(7.3)

∆q = (∆qbκ ) = (qbκ − q¯bκ ).

(7.4)

¯ + ∆q q=q

(7.5)

und

Damit gilt

und nach (5.4) ¯ 0 + K0 (∆q). (7.6) q + ∆q) = K0 (¯ q) + K0 (∆q) = K K0 = K0 (q) = K0 (¯ ¯ 0 . In Voraussetzung f¨ ur alles Weitere ist die Regularit¨at der (festen) Matrix K der Praxis wird diese bei einer geeigneten Konzeption des Tragwerkes erf¨ ullt sein, vgl. die Bemerkungen in Abschn. 6.3 und zur kinematischen Stabilit¨at in Abschn. 1. Aufgrund von (5.4) und der Symmetrie der Matrizen K0bκ hat man Lemma 7.6. F¨ ur jedes q sind K0 (q),

K0 (∆q),

¯ 0, K

¯ −1 K 0

symmetrische Matrizen. Grundlegend ist nun das ¯ ist die Matrix Theorem 7.1. F¨ ur jedes q in einer gewissen Umgebung von q K0 (q) regul¨ar, und es gilt K0 (q)−1 =

∞ 

 −1  −1 ¯ . ¯ K0 (∆q) k K (−1)k K 0 0

(7.7)

k=0

F¨ ur diesen Satz werden wir anschließend zwei Beweise geben. Der erste beruht auf der geometrischen Reihe f¨ ur Matrizen, der zweite auf der Taylorreihenentwicklung der durch G(q) = K0 (q)−1

(7.8)

¯. bestimmten Funktion G um den Punkt q Dabei k¨ onnen wir von der speziellen, durch (7.2), (7.3) festgelegten Bedeutung ¯ 0 ganz absehen. Es gen¨ ¯ und K von q ugt zu wissen, dass die Matrixfunktion ¯ 0 zuordnet. ¯ die regul¨ are Matrix K K0 = K0 (q) dem Argument q ˜ Die Argumente q von K0 fassen wir als Elemente des Punktraumes IRN ˜ (ein Vielfaches von N ) die Anzahl der Komponenten von q auf, wobei N bezeichnet. Ist m die gemeinsame Ordnung der Matrizen K0 (q), so liegen die 2 Bilder von K0 in IMm = IRm .

176

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

7.2.1 Erste Methode: Geometrische Reihe Diese Methode beruht auf der bekannten Tatsache, dass f¨ ur eine Matrix A ∈ IMm mit ||A|| < 1 die geometrische Reihe ∞ 

Ak = I + A + A2 + . . .

k=0

(I = Einheitsmatrix) konvergiert. In der Tat konvergiert nach  Voraussetzung ∞ ∞ k k k k k=0 ||A|| , so dass wegen ||A || ≤ ||A|| die Matrizenreihe k=0 A nach Lemma 7.4 unbedingt konvergiert. Bezeichnet B ihre Summe, so wird B − AB = I, also ist die Matrix I − A invertierbar und ∞ 

Ak = (I − A)−1 .

k=0

(Nach [ZuFa86, Teil 1, S.269] gilt das schon unter der Voraussetzung, dass |λ| < 1 f¨ ur alle Eigenwerte λ von A. Letztere ist hier erf¨ ullt, denn nach [ZuFa86, Teil 2, S.39, Satz 1], u atzt jede Norm den Spektralradius.) ¨bersch¨ Eine einfache Anwendung davon ist ˜

¯ −1 K0 (∆q)|| < 1 existiert die Inverse Lemma 7.7. F¨ ur jedes q ∈ IRN mit ||K 0 von K0 (q), und es gilt (7.7). Beweis. Gem¨ aß (7.6) ist   ¯ 0 + K0 ∆q) = K ¯0 I + K ¯ −1 K0 (∆q) . K0 (q) = K 0 ¯ −1 K0 (∆q) geNach Voraussetzung konvergiert die mit der Matrix A = −K 0 bildete geometrische Reihe, und es folgt   ¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q) −1 K K0 (q)−1 = I + K 0 0 ∞    ¯ −1 . ¯ −1 K0 (∆q) k K = (−1)k K 0 0 k=0

Der Beweis von Theorem 7.1 ist nun leicht zu erbringen. Wegen   ¯ −1 K0bκ ≤ ¯ −1 K0bκ || (7.9) ¯ −1 K0 (∆q) = |∆qbκ | · ||K ∆qbκ K

K 0 0 0 b,κ

b,κ

ist die Normbedingung in Lemma 7.7 erf¨ ullt, sobald alle |∆qbκ | hinreichend klein sind. Das war zu zeigen.

7.2 Potenzreihenentwicklung der inversen Steifigkeitsmatrix

177

7.2.2 Zweite Methode: Taylorentwicklung Die Matrixfunktion ˜

K0 : IRN −→ IMm mit K0 (q) =



qbκ K0bκ

b,κ ˜

ist offensichtlich stetig, also auch die Funktion detK0 : IRN −→ IR. Wegen ¯ , so dass detK0 (¯ q)
= 0 existiert folglich eine Umgebung U von q detK0 (q)
= 0,

f¨ ur alle q ∈ U.

Wir betrachten die durch (7.8) bestimmte Funktion G:

U −→ IMm .

Diese Funktion l¨ asst sich auch implizit darstellen durch die Gleichung F (q, G(q)) = 0 mit der durch F (q, A) = K0 (q)A − I =



qbκ K0bκ A − I

b,κ

definierten Funktion ˜

F : IRN × IMm −→ IMm . ˜

Nun ist F beliebig oft stetig differenzierbar IRN × IMm . Es gilt n¨amlich ∂F (q, A) = K0bκ A ∂qbκ

f¨ ur alle b, κ,

∂F (q, A) diejenige m × m Matrix, die in der j-ten Spalte und f¨ ur alle i, j ist ∂a ij die i-te Spalte von K0 (q) und sonst nur Nullspalten enth¨alt. Aus der Theorie der impliziten Funktionen (vgl. [Er62, S.323 ff.]) ergibt sich dann, dass die Funktion G auf U beliebig oft stetig differenzierbar ist. Durch Anwendung der Taylorschen Formel (vgl. [Er62, S.318]) auf die Koordinatenfunktionen von G erh¨ alt man

¯ , auf der die Funktion Lemma 7.8. Es existiert eine offene Umgebung U von q G definiert ist, und G ist dort beliebig oft stetig differenzierbar. F¨ ur jedes ∆q, ¯ und q = q ¯ + ∆q in U liegt, und so dass die Verbindungsstrecke zwischen q f¨ ur jedes n = 1, 2, 3, . . . gilt:

178

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

G(q) = G(¯ q + ∆q) = Tn (∆q) + Rn , wobei q) + Tn (∆q) = G(¯



∆qb1 κ1

b1 ,κ1

+

1 2



∂G (¯ q) ∂qb1 κ1 ∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

+ ... +

1 n!

∂2G (¯ q) ∂qb1 κ1 ∂qb2 κ2


∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2 . . . ∆qbn κn



b1 ,κ1 ;...;bn ,κn

 ∂ nG × (¯ q) ∂qb1 κ1 . . . ∂qbn κn (Taylorpolynom der Ordnung n) und Rn =

1 (n + 1)! ×




∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2 . . . ∆qbn+1 κn+1

b1 ,κ1 ;...;bn+1 ,κn+1

 ∂ n+1 G (¯ q + Θ∆q) ∂qb1 κ1 . . . ∂qbn+1 κn+1

f¨ ur ein geeignetes 0 < Θ < 1 (Restglied nach Lagrange) . Um Lemma 7.8 benutzen zu k¨ onnen, sind zun¨ achst die partiellen Ableitungen von G = G(q) zu ermitteln. Diese berechnet man durch implizite Differentiation. Es gilt K0 (q) · G(q) = I

f¨ ur alle q ∈ U

und daher 0=

∂ ∂K0 ∂G ∂I = (K0 · G) = · G + K0 · , ∂qb1 κ1 ∂qb1 κ1 ∂qb1 κ1 ∂qb1 κ1

woraus durch Linksmultiplikation mit G die grundlegende Formel ∂G ∂K0 = −G G = −GK0b1 κ1 G ∂qb1 κ1 ∂qb1 κ1

(7.10)

folgt. Durch mehrfache Anwendung von (7.10) ergibt sich weiter

 ∂G ∂2G ∂ ∂ = (GK0b1 κ1 G) =− ∂qb1 κ1 ∂qb2 κ2 ∂qb2 κ2 ∂qb1 κ1 ∂qb2 κ2 ∂ ∂G K b 1 κ1 G − G (K b1 κ1 G) =− ∂qb2 κ2 0 ∂qb2 κ2 0 = −(−GK0b2 κ2 G)K0b1 κ1 G − GK0b1 κ1 (−GK0b2 κ2 G) (7.11) = GK0b2 κ2 GK0b1 κ1 G + GK0b1 κ1 GK0b2 κ2 G.

7.2 Potenzreihenentwicklung der inversen Steifigkeitsmatrix

179

Die allgemeine Formel lautet  ∂rG b κ b κ = (−1)n GK0 π(1) π(1) GK0 π(2) π(2) . . . ∂qb1 κ1 . . . ∂qbn κn π∈Sn b

. . . GK0 π(n)

κπ(n)

,

(7.12)

wobei π = (π(1), π(2), . . . , π(n)) alle Permutationen von (1, 2, . . . , n) (d.h. alle Elemente der symmetrischen Gruppe Sn ) durchl¨auft. (7.12) beweist man leicht durch vollst¨ andige Induktion nach n: ∂ n+1 G ∂qb1 κ1 . . . ∂qbn κn ∂qbn+1 κn+1
  ∂ (7.12) b κ b κ = (−1)n GK0 π(1) π(1) . . . GK0 π(n) π(n) G ∂qbn+1 κn+1 π∈Sn  (7.10) b κ b κ bn+1 κn+1 n = (−1) (−GK0 GK0 π(1) π(1) . . . GK0 π(n) π(n) G π∈Sn

− − =

b κ b κ b κ b κ GK0 π(1) π(1) GK0 n+1 n+1 GK0 π(2) π(2) . . . GK0 π(n) π(n) G b κ b κ b κ . . . − GK0 π(1) π(1) . . . GK0 π(n) π(n) GK0 n+1 n+1 G)  b κ b κ (−1)n+1 GK0 π(1) π(1) . . . GK0 π(n+1) π(n+1) G. π∈Sn+1

Jetzt lassen sich die einzelnen Summanden des Taylorpolynoms Tn (∆q) berechnen. Wir haben zun¨ achst ¯ −1 . G(¯ q) = K0 (¯ q)−1 = K 0

(7.13)

F¨ ur den linearen Term gilt mit (7.10) und (7.13) 

∆qb1 κ1

b1 ,κ1

   ∂G q)K0b1 κ1 G(¯ (¯ q) = ∆qb1 κ1 −G(¯ q) ∂qb1 κ1 b1 ,κ1
  b1 κ1 ¯ −1 ¯ −1 K0 ∆q K = −K b κ 1 1 0 0 b1 ,κ1

¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 . = −K 0 0 F¨ ur den quadratischen Term ergibt sich mit (7.11) 1 2 1 = 2

 b1 ,κ1 ;b2 ,κ2



∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2

∂2G (¯ q) ∂qb1 κ1 ∂qb2 κ2

¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 K b1 κ1 K ∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2 (K 0 0 0 0 0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 ) +K 0 0 0 0 0

(7.14)

180

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

1
 ¯ −1 ∆qb1 κ1 K b1 κ1 K ¯ −1 ∆qb2 κ2 K b2 κ2 K ¯ −1 K 0 0 0 0 0 2 b1 ,κ1 ;b2 ,κ2   ¯ −1 ∆qb1 κ1 K b1 κ1 K ¯ −1 ¯ −1 ∆qb2 κ2 K b2 κ2 K K + 0 0 0 0 0

=

b2 ,κ2 ;b1 ,κ1

=


 
  1 b2 κ2 ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 ¯ −1 K · 2K ∆q K ∆q K K0 b κ b κ 1 1 2 2 0 0 0 0 2 b1 ,κ1

b2 ,κ2

¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 =K 0 0 0  −1 2 −1 ¯ ¯ = K0 K0 (∆q) K0 .  Allgemein gilt mit (7.12) und da

(7.15) ebenso wie ∆qb1 κ1 . . . ∆qbn κn

b1 ,κ1 ;...;bn ,κn

invariant gegen Permutationen der Indizes 1, . . . , n ist: 1 n! 1 = n!



∆qb1 κ1 . . . ∆qbn κn

b1 ,κ1 ;...;bn ,κn



∂rG (¯ q) ∂qb1 κ1 . . . ∂qbn κn 

∆qb1 κ1 . . . ∆qbn κn (−1)r

b1 ,κ1 ;...;bn ,κn

¯ −1 K bπ(1) κπ(1) . . . K 0 0

π∈Sn

¯ −1 ¯ −1 K bπ(n) κπ(n) K ...K 0 0 0 = (−1)n

1 · n! n!



¯ −1 K b1 κ1 . . . ∆qb1 κ1 . . . ∆qbn κn K 0 0

b1 ,κ1 ;...;bn ,κn

¯ −1 K bn κn K ¯ −1 ...K 0 0
0 
  b 1 κ1 bn κn ¯ −1 −1 ¯ ¯ −1 . . . K K0 = (−1)n K ∆q K ∆q K b 1 κ1 0 b n κn 0 0 0 b1 ,κ1

bn ,κn

¯ −1 K0 (∆q) . . . K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 = (−1) K 0 0 0   n ¯ −1 . ¯ −1 K0 (∆q) K = (−1)n K 0 0 n

(7.16)

Durch Summation von (7.13)-(7.16) erh¨ alt man nun  −1  −1 ¯ − +... ¯ K0 (∆q) 2 K ¯ −1 − K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 + K Tn (∆q) = K 0 0 0 0 0   n ¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q) K . . . + (−1)n K 0

=

n 

0

 −1  −1 ¯ . ¯ K0 (∆q) k K (−1)k K 0 0

(7.17)

k=0

Es bleibt die Konvergenz des Taylorpolynoms f¨ ur n → ∞ zu untersuchen. Dazu berechnen wir das Restglied Rn . Ersetzt man in der Herleitung von ¯ −1 durch G(¯ (7.16) G(¯ q) = K q + Θ∆q) = K0 (¯ q + Θ∆q)−1 , so folgt wie dort 0  n+1 q + Θ∆q)−1 K0 (∆q) K0 (¯ q + Θ∆q)−1 . Rn = (−1)n+1 K0 (¯ Schließlich ergibt sich die folgende Darstellung:

(7.18)

7.2 Potenzreihenentwicklung der inversen Steifigkeitsmatrix

181

¯ enth¨alt eine solche Umgebung U0 , so Lemma 7.9. Die Umgebung U von q ¯ + ∆q ∈ U0 gilt dass f¨ ur jedes q = q G(q) = lim Tn (∆q). n→∞

Beweis. Die Funktion ˜

f : U × IRN → IR+ , definiert durch f (x, y) = ||G(x)K0 (y)|| = ||K0 (x)−1 K0 (y)|| ist offensichtlich stetig. Wegen f (¯ q, 0) = 0 gibt es daher Umgebungen Uε1 (¯ q) ⊆ U und Uε2 (0), so dass q), y ∈ Uε2 (0). f (x, y) < 1 f¨ ur alle x ∈ Uε1 (¯ ¯ + ∆q ∈ U0 und Man setze ε = min{ε1 , ε2 } und U0 = Uε (¯ q). F¨ ur jedes q = q ¯ + Θ∆q ∈ U0 ⊆ Uε1 (¯ q) und ∆q ∈ Uε2 (0), folglich jedes 0 ≤ Θ ≤ 1 gilt dann q f (¯ q + Θ∆q, ∆q) = ||K0 (¯ q + Θ∆q)−1 K0 (∆q)|| < 1.

(7.19)

Da nach (7.18) ||IRn || ≤ ||K0 (¯ q + Θ∆q)−1 K0 (∆q)||n+1 ||K0 (¯ q + Θ∆q)−1 ||, ergibt sich mit (7.19) lim ||Rn || = 0.

n→∞

Das ist aber gleichbedeutend mit limn→∞ Rn = 0, d.h. mit lim Tn (∆q) = G(q).

n→∞

Aus Lemma 7.9 und (7.17) folgt erneut Theorem 7.1. Der Beweis von Lemma 7.9 beruht wesentlich auf (7.19): ||K0 (¯ q + Θ∆q)−1 K0 (∆q)|| < 1 f¨ ur alle 0 ≤ Θ ≤ 1, w¨ ahrend in dem Beweis von Lemma 7.7 nur ||K0 (¯ q)−1 K0 (∆q)|| < 1 ben¨ otigt wurde. Zusammenfassend erhalten wir wegen   −1  ¯ K0 (∆q) k = K (∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk 0 b1 ,κ1 ;...;bk ,κk

¯ −1 K b1 κ1 . . . K ¯ −1 K bk κk ) ×K 0 0 0 0 (vgl. die Herleitung von (7.16)),

(7.20)

182

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

¯ + ∆q mit ∆q = (∆qb,κ ) derart, dass Korollar 7.1. F¨ ur jedes q = q ¯ −1 K0 (∆q)|| < 1, konvergiert die Reihe ||K 0 ∞ 

 −1  −1 ¯ ¯ K0 (∆q) k K (−1)k K 0 0

k=0

¯ −1 + =K 0

∞ 



(−1)k

¯ −1 K b1 κ1 . . . ∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk K 0 0

b1 ,κ1 ;...;bk ,κk

k=1

¯ −1 K bk κk K ¯ −1 ...K 0 0 0 gegen K0 (q)−1 . Die ersten Glieder der damit gefundenen Potenzreihenentwicklung lauten also:  ¯ −1 − ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 ∆qb1 κ1 K K0 (q)−1 = K 0 0 0 0 b1 ,κ1



+

¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2 K 0 0 0 0 0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2



−

(∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2 ∆qb3 κ3

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2 ;b3 ,κ3

¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K b3 κ3 K ¯ −1 + − . . .) ×K 0 0 0 0 0 0 0

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix ˜

In Abschn. 7.2 wurde K0 als Matrixfunktion K0 : IRN −→ IMm mit Variablen ˜ ¯ ∈ IRN die Matrix K0 (¯ im u ur ein festes q q) = ¨ blichen Sinne aufgefasst, wobei f¨ ¯ 0 regul¨ K ar ist. Hier nehmen wir wieder den Standpunkt ein, dass q = q(ω) ¯0 ¯ sowie K sowie K0 (q) = K0 (ω) Zufallsvektoren resp. -matrizen sind, und q die durch (7.2) resp. (7.3) festgelegte Bedeutung haben. 7.3.1 Grundlagen Gem¨ aß Abschn. 7.2 sei   ¯ −1 K0 ∆q(ω) || < 1 ||K 0

f.s.

(7.21)

(fast sicher, d.h. mit der Wahrscheinlichkeit 1). Wie wir sehen werden, stellt (7.21) eine Bedingung an die Verteilung der Quotientenvektoren q(ω) = (qb,κ ) dar, letztlich also eine solche an die gemeinsame Verteilung der Variablen (6.1). Nach Korollar 7.1 haben wir dann

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix

K0 (ω)−1 =

∞ 


 k −1 ¯ ¯ −1 K0 ∆q(ω) K (−1)k K 0 0

f.s

183

(7.22)

k=0

Die fast sichere Konvergenz von Zufallsfolgen wird in der Literatur auch als starke Konvergenz bezeichnet. Grundlegend f¨ ur das Weitere ist die Vertauschbarkeit von Erwartungswertbildung und Summation in (7.22). Diese ist zul¨ assig unter einer leichten (f¨ ur die Praxis unerheblichen) Versch¨arfung der Bedingung (7.21). Theorem 7.2. Es gebe eine reelle Zahl ρ, so dass 5 5 5 5 ¯ −1  5K0 K0 ∆q(ω) 5 ≤ ρ < 1 f.s. .   Dann existiert E K0 (ω)−1 , und es gilt $
% ∞    k  −1 −1 k ¯ ¯ −1 . = (−1) E K0 K0 ∆q(ω) E K0 (ω) ·K 0

(7.23)

(7.24)

k=0

F¨ ur den Beweis von Theorem 7.2 ben¨ otigen wir den folgenden Hilfssatz: ∞ ∞ Lemma 7.10. Es sei k=0 Ak (ω) eineReihe von Zufallsmatrizen mit  k=0 ∞ ∞ E [||Ak (ω)||] < ∞. Dann konvergiert k=0 Ak (ω) f.s. und es gilt E [ k=0 ∞ Ak (ω)] = k=0 E [Ak (ω)]. Beweis. Nach dem Satz (1.22)]) folgt aus der ∞von Lebesgue ([Ri66, S.394,  ∞ ||A (ω)|| und damit auch Voraussetzung, dass k k=0 k=0 Ak (ω) f.s. kon∞ vergieren und dass der Erwartungswert von ||A (ω)|| existiert. Da k k=0   ||A (ω)|| f¨ u r alle n, folgt mit dem || nk=0 Ak (ω)|| ≤ ∞ k k=0 ∞ Satz von der majorisierten Konvergenz ([Ri66, S.180, (2.28)]), dass E [ k=0 Ak (ω)] existiert ∞ und gleich k=0 E [Ak (ω)] ist. ¯ −1 K0 (∆q(ω)) erBeweis von Theorem 7.2. Mit der Abk¨ urzung A(ω) := −K 0 gibt sich aus (7.23) ∞ 

||A(ω)k || ≤

k=1

∞ 

f.s.

||A(ω)||k ≤

k=1

∞ 

ρk =

k=1

ρ , 1−ρ

also ∞ 

¯ −1 || ≤ ||K ¯ −1 || + ||A(ω)k K 0 0

k=0

=

ρ ¯ −1 || ||K 0 1−ρ

¯ −1 ||

K 0 f.s., 1−ρ

und durch Erwartungswertbildung ∞  ¯ −1   ¯ −1 ≤ K0 . E A(ω)k K 0 1−ρ k=0

Wendet man hierauf Lemma 7.10 an, so erh¨ alt man (7.22) und (7.24).

(7.25)

184

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

Bemerkung 7.2. In Lemma 7.10 gilt , ∞ ∞ 5 5 5 5  5 5 5 5 E 5 E 5Ak (ω)5 , Ak (ω)5 ≤ k=0

k=0

woraus unter der Voraussetzung (7.23) mit (7.25) folgt ¯ −1   K 0 E ||K0 (ω)−1 || ≤ . 1−ρ Im Folgenden sei stets (7.23) vorausgesetzt. Wir wenden uns nun der Auswertung von Formel (7.24) zu, die wir in die Form     −1  ¯ −1 − K ¯ −1 E K0 ∆q(ω) K ¯ E K(ω)−1 = K 0 0 0      −1 ¯ −1 K0 ∆q(ω) K ¯ ¯ −1 E K0 ∆q(ω) K +K 0 0 0        −1 ¯ −1 K0 ∆q(ω) K ¯ −1 K0 ∆q(ω) K ¯ ¯ −1 E K0 ∆q(ω) K −K 0 0 0 0 + − ... ¯ −1 + K ¯ −1 =K 0 0

∞ 

(−1)k E

   −1 k−1 ¯ K0 ∆q(ω) K 0

k=1

  ¯ −1 ×K0 ∆q(ω) · K 0 ¯ −1 + K ¯ −1 =K 0 0

∞ 

¯ −1 (−1)k Bk · K 0

(7.26)

k=1

bringen, mit nach Lemma 7.6 symmetrischen Matrizen
   −1 k−1  ¯ K0 ∆q(ω) K K0 ∆q(ω) 0 und daher auch symmetrischen Erwartungswerten     −1 k−1  ¯ , Bk := E K0 ∆q(ω) K ∆q(ω) K 0 0

k = 1, 2, 3, . . . .

Zur Abk¨ urzung und Hervorhebung von Symmetrieeigenschaften setzen wir in diesem Abschnitt [A]s := A + AT Aus (7.20) resultiert zun¨ achst  Bk =

f¨ ur alle A ∈ IMm .
  E ∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk

b1 ,κ1 ;...;bk ,κk

¯ −1 K b2 κ2 . . . K ¯ −1 K bk κk ×K0b1 κ1 K 0 0 0 0

 (7.27)

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix

185

mit ∆qbκ = qbκ − E [qbκ ] . ¨ Dabei verzichten wir der Ubersichtlichkeit halber auf die Kennzeichnung der Abh¨ angigkeit der qbκ und der ∆qbκ von ω. Die in (7.27) auftretenden Faktoren E [∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk ] sind die zentralen Momente der Ordnung k von q(ω). Allgemein setzt man ⎡ ⎤ 6 µ = µ(nbκ ) := E ⎣ (∆qbκ )nbκ ⎦ (nbκ ∈ ZZ, nbκ ≥ 0) b,κ

und nennt ord µ :=



nbκ

b,κ

die Ordnung von µ (vgl. (6.5)). Mit diesen Bezeichnungen ergibt sich aus (7.27): Bk =

 ord µ=k

wobei durch

∗ 

µ(nbκ )

¯ −1 K b2 κ2 . . . K ¯ −1 K bk κk , (7.28) K0b1 κ1 K 0 0 0 0

b1 ,κ1 ;...;bk ,κk

∗

b1 ,κ1 ;...;bk ,κk

die Summation u ¨ ber alle 7

k! (nbκ )!

verschiedenen

b,κ

Anordnungen von (b1 , κ1 ), . . . , (bk , κk ), so dass jedes (b, κ) genau nbκ - mal auftritt, angedeutet werden soll. Man beachte, dass µ(nbκ ) = 0, wenn ein qb
κ
mit nb
κ
= 1 stochastisch unabh¨ angig von allen anderen qbκ mit nbκ
= 0 ist. Hieraus ergeben sich als Folgerungen: 1) Die zentralen Momente der Ordnung 1 verschwinden s¨amtlich, also ist B1 = 0

(7.29)

2) Die zentralen Momente der Ordnung 2 sind die Kovarianzen cov(qbκ , qb
κ
) und gem¨ aß Voraussetzung (V1) nur dann von Null verschieden, wenn b = b ist. Somit wird .   ¯ −1 K bκ B2 = var(qbκ )K0bκ K 0 0 b

+

κ

 κ<κ


cov(qbκ , qbκ
)



¯ −1 K0bκ
K0bκ K 0



8 (7.30)

s

186

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

¨ 3) Ahnlich erh¨ alt man: B3 =

9 b

+



3 ¯ −1 )2 K bκ var(qbκ ) 2 · Schiefe(qbκ ) · (K0bκ K 0 0

κ 2 E(∆qbκ ∆qbκ
)

κ=κ


+

 
 ¯ −1 K0bκ ¯ −1 )2 K0bκ
+ K0bκ K ¯ −1 K0bκ
K (K0bκ K 0 0 0 s


 ¯ −1 K0bκ
K ¯ −1 K0bκ

E(∆qbκ ∆qbκ
∆qbκ

) K0bκ K 0 0



s

κ<κ
<κ



  :  
¯ −1 K0bκ

K ¯ −1 K0bκ + K0bκ

K ¯ −1 K0bκ K ¯ −1 K0bκ
(7.31) + K0bκ K 0 0 0 0 s

s

Bemerkung 7.3. In dem Spezialfall, dass κ nur den Wert 0 annimmt, hat man nach (7.29)-(7.31)  ¯ −1 K0b , B1 = 0, B2 = var(qb )K0b K 0 B3 =



b 3 2

¯ −1 )2 K b var(qb ) · Schiefe(qb ) · (K0b K 0 0

b

und weiterhin    
¯ −1 )3 K b + B4 = E ∆qb4 (K0b K var(qb )var(qb
) · M bb 0 0 b
b

mit

M bb




⎧   ⎪ ¯ −1 K b
K ¯ −1 K b
¯ −1 K b K ⎪ K0b K 0 0 0 0 0 0 ⎪ ⎪ s  ⎪ ⎪ ⎨ + K bK ¯ −1 K b K ¯ −1 K b
¯ −1 K b
K 0 0 0 0 0 0 0 s := ⎪ + K bK −1 b
¯ −1 b
¯ −1 b ¯ ⎪ K K K K K ⎪ 0 0 0 0 0 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ + K b
K ¯ −1 b ¯ −1 b
¯ −1 K b K 0 0 0 K0 K0 K0 0

Bemerkung 7.4. Es gilt µ(nbκ ) = 0, wenn ein qb
κ
mit symmetrischer Verteilung und ungeradem nb
κ
stochastisch unabh¨angig von allen anderen qbκ mit nbκ
= 0 ist. F¨ ur den Spezialfall κ = 0 und symmetrischer Verteilung aller qb folgt hieraus Bk =

 ord µ=k

µ(nb )

∗ 

¯ −1 K b2 . . . K ¯ −1 K bk . K0b1 K 0 0 0 0

b1 ,...,bk

nb gerade

ur alle ungeraden k, und (7.26) wird zu Insbesondere ist dann Bk = 0 f¨ ∞    ¯ −1 + K ¯ −1 ¯ −1 . E K(ω)−1 = K B2l · K 0 0 0 l=1

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix

187

Zum Schluss dieses Abschnittes untersuchen wir, wann die Bedingungen (7.21) oder (7.23) erf¨ ullt sind. Der Einfachheit halber beschr¨anken wir uns auf den Fall, dass die Komponenten von q(ω) stochastisch unabh¨angig sind (κ = 0). Zun¨ achst ersieht man aus (7.9), dass (7.21) oder sogar (7.23) gilt, wenn die Zufallsvariablen qb durch hinreichend kleine δb > 0 beschr¨ankt sind: |∆qb | < δb

f.s. (b ∈ B).

Eine Art der Umkehrung hiervon zeigen wir mit Folgendem: Lemma 7.11. Es sei κ = 0. Gilt (7.21), dann sind die Zufallsvariablen qb beschr¨ankt. ankt. Dann gilt Beweis. Angenommen, qb
ist nicht beschr¨ P (|∆qb
| ≥ δ) > 0,

f¨ ur alle δ > 0.

(7.32)

Wegen (7.1) ist 5 5
 b 5 ¯ −1 ∆qb
K0b
+ ¯ −1 K0 (∆q(ω))|| = 5 K ∆q K ||K 5 5 b 0 0 0 b=b


5 5  5 −1 b 5 ¯ −1 K0b
+ ¯ = 5∆qb
K K ∆q K b 0 05 0 b=b


≥ |∆qb
|

¯ −1 K0b
|| ||K 0

−



¯ −1 K0b || (7.33) |∆qb | ||K 0

b=b


Da wir St¨ abe, deren beide Knoten verankert sind, ausschliessen d¨ urfen, ist
¯ −1 K0b
||
= 0. Nun w¨ahle man f¨ ur jedes nach Teil I K0b
= 0 und damit ||K 0 b
= b ein δb > 0 derart, dass P (|∆qb | < δb ) > 0; sodann w¨ahle man ein  ¯ −1 K b || 1 + b=b
δb ||K 0 0  δ > . ¯ −1 K b
|| ||K 0

0

Wegen Voraussetzung (V1) und (7.32) ist
 P |∆qb
| ≥ δ  , |∆qb | < δb f¨ ur alle b
= b > 0, und aus (7.33) folgt, dass zumindest mit dieser Wahrscheinlichkeit 5 5 5 ¯ −1  5 5K0 K0 ∆q(ω) 5 > 1. Das widerspricht aber (7.21).

188

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

7.3.2 Beispiele 7.3.2.1 Tragwerke, in denen nur die Elastizit¨ atsmodule der St¨ abe stochastischen Schwankungen unterliegen Wir legen hier die Darstellung (5.4) mit κ = 0 zugrunde, wo qb =

Eb Ab Lb

und

Eb = Eb (ω),

Ab und Lb dagegen fest sind (b ∈ B). Die Elastizit¨atsmodule Eb seien gleichverteilt in den Intervallen αb ≤ Eb ≤ βb mit Konstanten 0 < αb < βb . b , so ergibt sich das Zentralmoment der Ordnung n von Setzt man δb = βb −α 2 Eb als (vgl. [Ri66, S. 306, (6.24∗ )])  0, falls n ungerade n µn (Eb ) = δb falls n gerade. n+1 , Die Zentralmomente von q(ω) erh¨ alt man hieraus mit , 6 n 6 Anb µ(nb ) = E ∆qb b = E [∆qbnb ] = nb b µ(nb ) (Eb ). Lb b

b

Demnach wird (7.28) zu 

Bk = nb  b

6

gerade

b

1 nb + 1



δb Ab Lb

nb  ∗

¯ −1 K b2 . . . K ¯ −1 K bk . K0b1 K 0 0 0 0

b1 ,...,bk

nb = k

Ferner folgt aus (7.26) die Gleichung ∞    ¯ −1 ¯ −1 + K ¯ −1 E K(ω)−1 = K B2l K 0 0 0 l=1





2 1  δb Ab b ¯ −1 b ¯ −1 = + K0 K0 K0 K 0 3 Lb b 

4 1  δb Ab −1 ¯ −1 K0b ¯ −1 K0b K ¯ −1 K0b K ¯ K0b K +K0 0 0 0 5 Lb b 

2
1  δb Ab δb
Ab
¯ −1 + . . . + · M bb K 0
9 L L b b
¯ −1 K 0

¯ −1 K 0

b
mit M

bb


¨ wie in Bemerkung 7.3 und in Ubereinstimmung mit Bemerkung 7.4.

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix

189

7.3.2.2 Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen Wir betrachten den abgebildeten Dreistab, der sich durch Spezialisierung in Abschn. 2.6.2 ergibt, wenn man dort αb = 45◦ ,

αb
= 270◦ ,

αb

= 315◦

setzt.

Abb. 7.1. Dreistab

Es ist dann K0b

= ˆkb22 =


K0b


= ˆkb11 =



K0b



= ˆkb11 =

1









1 2 2 1 1 2 2

00 01 1 2 1 −2

− 21



1 2

und mit den Abk¨ urzungen q = qb , q  = qb
, q  = qb

: 

1 q + q  q − q  b  b
 b

. K0 = qK0 + q K0 + q K0 = 2 q − q  q + 2q  + q  oßen aufzufassen. Durch Erwartungsq, q  , q  und K0 sind dabei als Zufallsgr¨ wertbildung erh¨alt man 

 q¯ − q¯ ¯ 0 = 1 q¯ + q¯ K q  + q¯ 2 q¯ − q¯ q¯ + 2¯ mit ¯0 = det K

1  (¯ q q¯ + 2¯ qq¯ + q¯ q¯ ) > 0. 2

190

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

Wir untersuchen nun, wann die Bedingung (7.23) erf¨ ullt ist, wobei wir der Einfachheit halber die Gesamtnorm benutzen. Zun¨achst gilt ¯ −1 (K0 − K ¯ 0) ¯ −1 K0 (∆q) = K K 0 0 ¯ −1 K0 − I = =K 0

< 1 ; ¯ 0 )I ¯ 0 )K0 − det(K adj(K ¯ det K0

und folglich f¨ ur ein ρ ≥ 0: ¯ −1 K0 (∆q)|| ≤ ρ ⇐⇒ ||adj(K ¯ 0 )K0 − det (K ¯ 0 )I|| ≤ ρ · det K ¯ 0. ||K 0 Setzt man ¯ 0 )K0 − 2 det (K ¯ 0 )I, A = (aij ) := 2adj(K so geht die rechte Ungleichung u ¨ber in ¯ 0, max |aij | ≤ ρ · det K i,j

d.h. in ¯0 ±aij ≤ ρ · det K

f¨ ur alle i, j.

Nun ist

¯ 0 )K0 = 2adj(K

q q¯ + q q¯ + q¯q  + q¯ q  q q¯ − q¯q  + q q¯ − q¯q  + q  q¯ − q¯ q  q q¯ − q¯q  q¯q  + q¯q  + q q¯ + q  q¯

und man erh¨ alt: ¯0 i) ±a11 ≤ ρ · det K

≤
ρ qq¯ + q¯ q¯ ) (¯ q q¯ + 2¯ q q¯ + q q¯ + q¯q  + q¯ q  1± 2 ≥ 

 



ρ ρ ρ   ⇔ 1± q¯ − q q¯ + 1 ± q¯ − q q¯ + q¯ 1 ± q¯ − q  2 2 2

 ≥ ρ     0 +¯ q q¯ − q 1± ≤ 2

⇔

Diese zwei Bedingungen sind erf¨ ullt, wenn



ρ ρ ρ   ρ   1− q¯ ≤ q ≤ 1 + q¯ und 1− q¯ ≤ q  ≤ 1 + q¯ , 2 2 2 2 d.h., wenn |∆q| ρ ≤ q¯ 2

und

|∆q  | ρ ≤ .  q¯ 2

 ,

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix

191

¯0 ii) ±a22 ≤ ρ · det K

ρ ≤
(¯ q q¯ + 2¯ 1± q¯q  + q¯q  + q q¯ + q  q¯ q q¯ + q¯ q¯ ) 2 ≥ 





ρ   ρ ρ  q¯ − q  + q¯ 1 ± q¯ − q  + 1 ± q¯ − q q¯ ⇔ q¯ 1 ± 2 2 2  ≥

ρ  q¯ − q  q¯ 0 + 1± 2 ≤

⇔

Diese zwei Bedingungen sind erf¨ ullt, wenn |∆q| ρ ≤ q¯ 2 iii) ⇔ ⇔

und

|∆q  | ρ ≤  q¯ 2

und

|∆q  | ρ ≤ .  q¯ 2

¯0 ±a21 ≤ ρ · det K ≤ ρ  q q¯ + 2¯ q q¯ + q¯ q¯ ) q q¯ − q¯q  ± (¯ ≥ 2 ρ  ≥ q¯q  ± ρ¯ q q¯ + q¯ q¯ ) 0. q q¯ − q q¯ ± (¯ 2 ≤

Diese Bedingungen sind erf¨ ullt, wenn wie in i) |∆q| ρ ≤ q¯ 2

und

|∆q  | ρ ≤ ;  q¯ 2

dann ist n¨ amlich q¯q  ± ρ¯ q q¯ iv) ⇔ ⇔


≥
ρ ρ   ≥  q¯q¯ q q¯ . 1 ∓ ± ρ q¯q¯ = 1 ± 2 2 ≤ ≤

¯0 ±a12 ≤ ρ · det K

≤ ρ  q q¯ + 2¯ ± (¯ q q¯ + q¯ q¯ ) ≥ 2 ρ ρ ≥ (¯ q q  ± q¯q¯ − q q¯ ) + (¯ q q  ± ρ¯ q q¯ − q q¯ ) + (¯ q  q  ± q¯ q¯ − q  q¯ ) 0. 2 2 ≤

q q¯ − q¯q  + q q¯ − q¯q  + q  q¯ − q¯ q 

Diese Bedingungen sind erf¨ ullt, wenn die eingeklammerten Terme der jeweiligen Relation gen¨ ugen. Hinreichend hierf¨ ur ist: |∆q| ρ ≤ q¯ 4

und

|∆q  | ρ ≤ q¯ 4

und

|∆q  | ρ ≤ . q¯ 4

In der Tat folgt aus den ersten beiden Ungleichungen ρ ρ 
ρ ≥
ρ  ≥  q¯q  ± q¯q¯ q¯q¯ = 1 ± q¯q¯ q q¯ , 1∓ ± 2 ≤ 4 2 4 ≤ womit die Behauptung f¨ ur den linken Term bewiesen ist. Der rechte Term geht aus dem linken durch Ersetzung von q durch q  und von q  durch q  hervor. Der mittlere Term wurde bereits in iii) betrachtet.

192

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

Zusammenfassend l¨asst sich feststellen, dass die Bedingung (7.23) erf¨ ullt ist, wenn eine reelle Zahl ρ mit 0 ≤ ρ < 1 existiert, so dass die relativen Fehler in den Quotienten q (k) f.s. durch ρ4 beschr¨ankt sind: |∆q (k) | ρ ≤ (k) 4 q¯

f.s. (k = 0, 1, 2).

(∗)

Um zu sehen, wie sich die Bedingung (∗) auf die Verteilungen der Variablen (6.19) auswirkt, konkretisieren wir unser Beispiel durch die Vorgaben: Die drei St¨ abe seien aus Nadelholz gefertigt,  dessen  Elastizit¨atsmodul wir als gleichverteilt zwischen 10 · 109 und 11 · 109 N/m2 annehmen (vgl. [KrWi90, Anhang 1]). Jeder Stab habe einen kreisf¨ ormigen Querschnitt mit einem um den jeweiligen Sollwert dreiecksverteilten Durchmesser. Die Stabl¨angen seien fest. Da die Bedingung (∗) f¨ ur alle drei St¨ abe gleich lautet, werden wir im Folgenden auf die Mitf¨ uhrung eines Stabindexes verzichten. ¯ [d2 ] π EE ¯¯ πEd2 Es gilt q = EA ¯ = ELA = 4L , folglich wird (∗) zu L = 4L und q   ¯ d2 | |Ed2 − EE ρ ≤ f.s. (∗∗) 2 ¯ 4 EE [d ] Nach den Vorgaben ist f.s. 11 − 10 1 |∆E| ≤ = , 11 + 10 21 E¯ und f¨ ur den im Intervall d¯ − δ ≤ d ≤ d¯ + δ dreiecksverteilten Durchmesser d hat man (vgl. Abschn. 6.2.4.2)   δ2 E d2 = d¯2 + . 6 Aufgrund der Absch¨ atzung

 1 2 2 2 ¯ ¯ ¯ 2 − d¯2 | + 1 Eδ ¯ 2 + E|d ¯ 2 |Ed − E d + δ | ≤ |E − E|d 6 6 1 ¯ 2 ¯ + 1 Eδ ¯ 2 ¯ Ed + Eδ(d ≤ + d) 21

6  1 ¯ 1 2 2 ¯ ¯ (d + δ) + δ(2d + δ) + δ ≤E 21 6 ist (∗∗) dann g¨ ultig, wenn 1 ¯ 21 (d +

δ)2 + δ(2d¯ + δ) + 16 δ 2 ρ ≤ . 4 d¯2 + 16 δ 2

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix

193

F¨ uhrt man hier den maximalen relativen Fehler im Durchmesser δ ε := ¯ d ein, so erh¨ alt man nach einigen elementaren Umformungen, dass die letzte Ungleichung ¨ aquivalent ist zu 1 51ε2 + 88ε + 2 ρ ≤ . 7 ε2 + 6 4 2

Eine einfache Diskussion der rationalen Funktion f (ε) = 51ε ε+88ε+2 er2 +6 gibt, dass dies f¨ ur√alle 0 ≤ ε ≤ ε0 zutrifft mit einem fest gew¨ahlten 1 ε0 < 197 (−176 + 3 4186). Insbesondere ist also (7.23) g¨ ultig, wenn der relative Fehler im Durchmesser f.s. h¨ochstens 9% betr¨agt. Das kann als in der Praxis erf¨ ullt angesehen werden. Schließlich berechnen wir die ersten Glieder der Reihenentwicklung (7.26) des Erwartungswertes von K0 (ω)−1 , wobei wir unser Beispiel durch d¯ = 0, 1 [m] , Lb = Lb



ε = 5% f¨ ur alle St¨abe 3√ = 3 [m] , Lb
= 2 [m] 2

vollends festlegen. Gem¨ aß Bemerkung 7.3 ben¨ otigen wir  2 var(q) = E q − q¯2       qE q 2 + 2¯ q3 E ∆q 3 = E q 3 − 3¯  4  3  4   qE q + 6¯ q 2 E q 2 − 3¯ q4, E ∆q = E q − 4¯ also neben q¯ = E [q] =

  π E [E] E d2 4L

auch   π2  2   4  E q2 = E E E d 16L2   π3  3   6  E q3 = E E E d 64L3       π4 E q4 = E E 4 E d8 4 256L Nun lassen sich die Momente E [E n ] ,

  E d2n

(n = 1, 2, 3, 4)

nach den in Abschn. 6.2.4 angegebenen Formeln berechnen. Auf diese Weise erh¨ alt man

194

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

B2 =

B3 =

B4 =

4773, 233486π 2 0 0 10365, 42437π 2 4, 644494995π 3 0 0 9, 152268823π 3 2, 030829852π 4 0 0 4, 132699658π 4

  

und damit die N¨ aherungen f¨ ur E[K0 (ω)−1 ]:

 0, 3636312141 · 10−7 0 −1 ¯ K0 = 0 0, 1506209806 · 10−7

 0, 3642541376 · 10−7 0 −1 −1 −1 ¯ ¯ ¯ K0 + K0 B2 K0 = 0 0, 1508530713 · 10−7

 −7 0, 3642522334 · 10 0 −1 −1 −1 ¯ ¯ ¯ K0 + K0 (B2 − B3 )K0 = 0 0, 1508524275 · 10−7 ¯ −1 + K ¯ −1 (B2 − B3 + B4 )K ¯ −1 = K 0 0

0  0, 3642548491 · 10−7 0 . 0 0, 1508533401 · 10−7 7.3.2.3 Torbogen mit starren Verbindungen Wir betrachten den Torbogen aus Abschn. 3.5.2 mit den folgenden Vorgaben:

Abb. 7.2. Torbogen

Alle St¨ abe b1 , b2 , b3 seien wieder aus Nadelholz mit einem gleichverteilten  Elastizit¨ atsmodul zwischen 10 · 109 und 11 · 109 N/m2 . Die Querschnitte seien rechteckig mit um die Mittelwerte ¯bb = ¯bb = ¯bb = 0, 1 [m] 1 2 3

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix

195

resp. ¯b = h ¯ b = 0, 1 , h 1 3

¯ hb2 = 0, 15 [m]

dreiecksverteilten Breiten resp. H¨ ohen, wobei der maximale relative Fehler jeweils 1% betrage. Die Stabl¨ angen setzen wir als fest voraus mit den Werten Lb1 = L b3 = 2 ,

Lb2 = 4 [m] .

Nach Beispiel 3.1a) ist f¨ ur jeden Stab b Eb Ab Eb bb hb = , Lb Lb Eb Ib Eb bb h3b = = Lb 12Lb

qb1 = qb2 und die Matrizen ˜ b1 := K b1 , K 0 0

˜ b2 := K b2 + 1 K b3 + 1 K b4 K 0 0 Lb 0 L2b 0

sind fest. Die Darstellung (5.4) mit κ = 1, . . . , 4 vereinfacht sich dann zu  ˜ bκ K0 = qbκ K 0 b,κ

mit κ = 1, 2. Diese Darstellung wird hier zugrunde gelegt. Explizit haben wir ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 303000 000000 ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎜0 1 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜3 0 4 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 b1 2 b1 1 ˜ ˜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ K0 = ⎜ K0 = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎝0 0 0 0 0 0⎠ ⎝0 0 0 0 0 0⎠ 000000 000000 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ 0 3 3 0 −3 3 ⎟ 4 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 43 2 ⎜ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜0 4 0 −3 2 ⎟ b2 1 b2 2 2 2 ˜ ˜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ K0 = ⎜ ⎟ K0 = ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ −1 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ −3 −3 ⎟ 3 −3 ⎠ ⎝ 0 0 0 0 0 0⎠ ⎝0 4 2 0 4 2 0 00 0 00 0 32 2 0 −3 4 2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 000000 000000 ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0 b3 1 b3 2 ˜ ⎜ ⎜ ⎟ ˜ ⎟ K0 = ⎜ K0 = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 3 0 3⎟ ⎝0 0 0 0 1 0⎠ ⎝0 0 0 0 0 0⎠ 000000 000304

196

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

(vgl. Abschn. 3.5.2), die Erwartungswerte q¯b1 1 = q¯b3 1 = 52500000 q¯b2 1 = 39375000

q¯b1 2 = q¯b3 2 = 43752, 1875 q¯b2 2 = 73831, 81640625

¯ −1 . und die auf der n¨ achsten Seite angegebene Matrix K 0 Es ist zu pr¨ ufen, ob die Bedingung (7.23) erf¨ ullt ist. Dazu benutzen wir (7.9) und die Absch¨ atzungen 1 
1 2 ¯ ¯ ¯ 1
Eb bb hb − q¯b1 f.s. 1+ 1+ |∆qb1 | = |qb1 − q¯b1 | ≤ Lb 21 100

 1 4 ¯ ¯ ¯3 1 1 Eb bb hb − q¯b2 f.s., 1+ 1+ |∆qb2 | = |qb2 − q¯b2 | ≤ 12Lb 21 100 was bei Verwendung der Euklidschen Norm auf ¯ −1 K0 (∆q)|| ≤ 0, 55404 f.s. ||K 0 f¨ uhrt. (Die Spektralnorm ergibt die etwas bessere Schranke 0, 54691.) Damit ist die Konvergenz der Reihe (7.26) gesichert. Wir berechnen die ersten Glieder dieser Reihe gem¨aß (7.29) - (7.33). Neben den auch im vorigen Abschnitt ben¨ otigten Gr¨ oßen  3  var(qbκ ), E ∆qbκ sind hier cov(qb1 , qb2 ) = E [qb1 qb2 ] − q¯b1 q¯b2       E Eb2 E b2b E h4b = − q¯b1 q¯b2 12L2b  2   2   2  2 E ∆qb1 ∆qb2 = E qb1 qb2 − q¯b2 E qb1 − 2¯ qb1 E [qb1 qb2 ] + 2¯ qb1 q¯b2  2  2   2   3  3   5  E Eb E bb E hb E Eb E bb E hb − q¯b2 = 12L3b L2b  2  2   4  E Eb E bb E hb 2 −2¯ qb1 + 2¯ qb1 q¯b2 12L2b   2 zu ermitteln. Auch diese Gr¨oßen lassen sich nach den und analog E ∆qb1 ∆qb2 in Abschn. 6.2.4 angegebenen Formeln berechnen. Auf diese Weise erh¨alt man ¯ −1 ¯ −1 ¯ −1 B2 , B3 und damit die umseitig angegebenen N¨  K0 + K0 B2 K0  aherungen −1 −1 −1 −1 −1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ und K0 + K0 B2 K0 − K0 B3 K0 von E K0 (ω) . Anmerkung: F¨ ur die oben verwendete Art der Absch¨atzung von ¯ −1 K0 (∆q)|| ||K 0 ist die Wahl der Einheiten von erheblicher Bedeutung. W¨ahlt man n¨amlich an Stelle von N, m die Einheiten kN, mm, so ergibt sich bei beiden Normen die Schranke 198, 15.

2581422, 418

¯ −1 = 10−12 K 0 ⎞ ⎛ 4844884, 015 4333, 046763 −1031787, 914 4832198, 145 −4333, 046763 −1026627, 560 ⎟ ⎜ ⎜ 19045, 81352 −4333, 046763 4333, 046763 1, 805526423 −4333, 046763 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2579816, 627 −102667, 560 4333, 046763 −521401, 1520 ⎟ ⎟ ×⎜ ⎟ ⎜ 4844884, 015 −4333, 046763 −1031787, 914 ⎟ sym. ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 19045, 81352 4333, 046763 ⎟ ⎠ ⎝ 2579816, 627 −1 −1 −1 −12 ¯ +K ¯ B2 K ¯ = 10 K 0 0 0 ⎞ ⎛ 4848029, 713 4336, 069546 −1032522, 233 4835333, 839 −4336, 068741 −1027536, 846 ⎟ ⎜ ⎜ 19060, 84360 −4336, 581725 4336, 068741 1, 806717265 −4336, 098110 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2581423, 479 −1027356, 846 4336, 098110 −521415, 7683 ⎟ ⎟ ⎜ ×⎜ ⎟ sym. 484029, 713 −4336, 069546 −1032522, 233 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 19060, 84360 4336, 581725 ⎟ ⎠ ⎝ 2581423, 479 ¯ −1 + K ¯ −1 − K ¯ −1 = 10−12 ¯ −1 B2 K ¯ −1 B3 K K 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 4848027, 624 4336, 069335 −1032521, 655 4835331, 752 −4336, 068530 −1027356, 269 ⎟ ⎜ ⎜ 19060, 84069 −4336, 581134 4336, 068530 1, 806717365 −4336, 097757 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2581422, 418 −1027356, 269 4336, 097757 −521415, 9543 ⎟ ⎟ ⎜ ×⎜ ⎟ 4848027, 624 −4336, 069335 −1032521, 655 ⎟ sym. ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 19060, 84069 4336, 581134 ⎟ ⎠ ⎝

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix 197

198

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

7.3.3 Approximation der erwarteten inversen Steifigkeitsmatrix Die numerischen Beispiele in Abschn. 7.3.2 legen es nahe, den Erwartungswert von K0 (ω)−1 quadratisch zu approximieren:   ¯ −1 + K ¯ −1 ¯ −1 E2 K E K0 (ω)−1 ≈ K 0 0 0
   −1 −1 ¯ −1 ¯ −1 K0bκ
K ¯ +K ¯ =K cov(qbκ , qbκ
)K0bκ K 0

0

0

0

b κ,κ


Bemerkung 7.5. Im Spezialfall κ = 0 erh¨alt man damit die N¨aherung: 
   ¯ −1 . ¯ −1 K0b K ¯ −1 ¯ −1 + K E K0 (ω)−1 ≈ K var(qb )K0b K 0 0 0 0 b

¯0 ¨ Andere Methoden gehen von der folgenden Uberlegung aus. Bezeichnen F 0 0 0 0 0 ¯ die Erwartungswerte der Vektoren F = F (ω) resp. u = u (ω), so und u ist (vgl.(6.6))   0 ¯ . ¯ 0 = E K0 (ω)−1 F u (7.34) Da f¨ ur deterministische Vektoren x und einen Zufallsvektor y = y(ω) des IRm die Differenz     E ||x + y||2E − ||x + E [y] ||2E = E ||y||2E − ||E [y] ||2E ¯ 0 als L¨osung des konstant und unabh¨ angig von x ist, l¨ asst sich nach (7.34) u Minimierungsproblems min f0 (x)

bez. x ∈ IRm

(7.35)

mit   ¯ 0 ||2E f0 (x) := E ||x − K0 (ω)−1 F charakterisieren. (Andere Vektornormen als die Euklidsche sind hier nicht ¯ 0 als beliebiger, aber fester m-Vektor angesehen werzul¨ assig!) Dabei kann F den. Im Folgenden werden wir an Stelle des Programms (7.35) einfacher zu behandelnde Ersatzprobleme betrachten, deren  L¨osungen zu Approximatio ¯ 0 und damit auch von E K0 (ω)−1 f¨ uhren. nen von u Es gilt 5  5  ¯ 0 52 f0 (x) = E 5K0 (ω)−1 K0 (ω)x − F E 5 5 5  5 ¯ 0 52 , ≤ E 5K0 (ω)−1 5E · 5K0 (ω)x − F E und wir betrachten erstens das Programm

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix

min f1 (x) wobei

bez. x ∈ IRm ,

199

(7.36)

5 5  ¯ 0 52 . f1 (x) := E 5K0 (ω)x − F E

Im Gegensatz zu f0 (x) enth¨ alt f1 (x) nur K0 (ω), die Inversion von K0 (ω) ist also nicht erforderlich. Lemma 7.12. Das Problem (7.36) besitzt die eindeutig bestimmte L¨osung −1  ¯ 0F ¯ 0. x∗1 = E K0 (ω)2 K

(7.37)

Sind n¨ amlich D ∈ IMm positiv definit, c ∈ IRm und b ∈ IR, so besitzt das Problem min f (x) := xT Dx + cT x + b

bez. x ∈ IRm

bekanntlich die eindeutige L¨ osung 1 x∗ = − D−1 c. 2 (Denn f (x) ist konvex und hat den Gradienten ∇f (x) = 2Dx + c; vgl. [MaGr00, Lemma 1.1 und Satz 6.5]). Eine Anwendung auf   ¯ 0 ||2 , ¯ 0 )T x + ||F ¯ 0F f1 (x) = xT E K0 (ω)2 x − 2(K (7.38) E   wo K0 (ω) f.s. regul¨ ar und damit E K0 (ω)2 positiv definit ist, ergibt die Behauptung in Lemma 7.12. Vergleicht man (7.37) mit (7.34), so stellt sich die Frage, ob die Matrix  −1 ¯0 K A1 := E K0 (ω)2   als Approximation von E K0 (ω)−1 verwendet werden kann? Um diese Frage zu beantworten, entwickeln wir A1 in eine Potenzreihe. Wie schon zuvor, ber¨ ucksichtigen wir stillschweigend die in Lemma 7.6 festgestellte Symmetrie der beteiligten Matrizen. Aus ¯ 0 + K0 (∆q(ω)), K0 (ω) = K siehe (7.6), folgt zun¨ achst     ¯ 02 + K ¯ 0 K0 (∆q(ω)) + K0 (∆q(ω))K ¯ 0 + K0 (∆q(ω))2 E K0 (ω)2 = E K   ¯ 02 + E K0 (∆q(ω))2 . =K (7.39) Wie im Beweis von Lemma 7.7 ist dann

200

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

 −1   ¯ 02 (I + K ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 ))−1 E K0 (ω)2 = (K 0   ¯ −2 ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 −1 K = (I + K 0 0 ∞    ¯ −2 , ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 )j K = (−1)j (K 0

0

j=0

falls

  ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 || < 1. ||K 0

(7.40)

Unter dieser Voraussetzung ergibt sich somit −1  ¯0 K A1 = E K0 (ω)2 ∞    ¯ −1 ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 )j K (−1)j (K = 0 0 j=0

  −1 ¯ + −.... ¯ −1 − K ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 K =K 0 0 0   Vergleicht man jetzt mit der Entwicklung (7.24) von E K0 (ω)−1 , also mit $
% ∞     k  −1 −1 k ¯ ¯ −1 K (−1) E K0 K0 ∆q(ω) = E K0 (ω) 0 k=0

   −1   −1 ¯ K0 ∆q(ω) K ¯ − +..., ¯ −1 + K ¯ −1 E K0 ∆q(ω) K =K 0 0 0 0 so findet man einen Vorzeichenunterschied bei den Summanden mit ungeradem Index  j in A1 und den entsprechenden mit dem Index k = 2j in  Terme E K0 (ω)−1 . Insbesondere trifft dies auf die quadratischen  zu, so dass  sicher A1 eine wenig geeignete Approximation von E K0 (ω)−1 ist. Zur Entwicklung einer besseren Approximationsformel ersetzen wir f1 (x) durch $ % 5 5 5  5 52 5 0 52 5 ¯ ¯ f2 (x) := E K0 (ω)x − F E − c5 K0 (ω) − K0 x5 E

mit einem c ∈ IR und betrachten zweitens das Programm min f2 (x)

bez. x ∈ IRm .

(7.41)

Gem¨ aß (7.6) ist

    ¯ 0 )x||2 = xT E K0 (∆q(ω))2 x, E ||(K0 (ω) − K E

also ergibt sich mit (7.38) und (7.39)   ¯ 0 )x||2E f2 (x) = f1 (x) − cE ||(K0 (ω) − K   ¯ 0 )T x + ||F ¯ 0F ¯ 0 ||2E = xT E K0 (ω)2 x − 2(K   −cxT E K0 (∆q(ω))2 x   ¯ 0 )T x + ||F ¯ 2 − (c − 1)E K0 (∆q(ω))2 )x − 2(K ¯ 0 ||2 . ¯ 0F = xT (K 0

E

7.3 Erwartungswert der inversen Steifigkeitsmatrix

201

Die L¨ osung des Problems (7.41) ist dann bekannt, wenn die symmetrische Matrix   ¯ 02 − (c − 1)E K0 (∆q(ω))2 C2 := K (7.42) positiv definit ist. Das l¨ asst sich durch eine geeignete Wahl des Parameters c erreichen. W¨ ahlt man n¨ amlich c > 1 derart, dass   ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 < 1, (7.43) (c − 1) · ||K 0 so folgt wie oben   ¯ 02 (I − (c − 1)K ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 ))−1 C2−1 = (K 0   ¯ −2 ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 )−1 K = (I − (c − 1)K 0

=

∞ 

0

 ¯ −2 . ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 )j K (c − 1)j (K 0 0 

j=0

¯ −2 positiv definit ist und die weiteren Terme in C −1 zumindest positiv Da K 2 0 semidefinit sind, ist C2−1 positiv definit. Damit ist dann aber auch C2 positiv definit. Demnach hat man folgendes Ergebnis: Lemma 7.13. Ist c > 1, so dass (7.43) gilt, dann besitzt das Problem (7.41) die eindeutig bestimmte L¨osung ¯ 0, ¯ 0F x∗2 = C2−1 K wobei C2 durch (7.42) definiert ist. Weiterhin hat dann ¯0 A2 := C2−1 K die Potenzreihenentwicklung A2 =

∞ 

  ¯ −1 ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 )j K (c − 1)j (K 0 0

j=0

 −1  ¯ + .... ¯ −1 + (c − 1)K ¯ −2 E K0 (∆q(ω))2 K =K 0 0 0 Wie man sieht, tritt hier kein Vorzeichenunterschied bei einander entspre  −1 chenden Summanden in A2 und auf. Es stellt also A2 eine viel E K (ω) 0   bessere Approximation von E K0 (ω)−1 dar als A1 . Gilt (7.40),  so kann c = 2 gew¨ ahlt werden, und die quadratischen Terme in A2 und E K0 (ω)−1 stimmen u ¨ berein, wenn nur ¯ −1 = K ¯ −1 K0 (∆q(ω)) K0 (∆q(ω))K 0 0

f.s.

(7.44)

202

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

  Bemerkung 7.6. Aufgrund der (guten) Approximation von E K0 (ω)−1  ¯0 ¯ 0 = E K0 (ω)−1 F durch A2 l¨asst sich eine (gute) Approximation x∗2 von u als L¨osung des quadratischen Programms (7.41) oder des linearen Gleichungssystems   ¯0 ¯ 0F ¯ 2 − (c − 1)E K0 (∆q(ω))2 )x = K (K 0

mit einem geeigneten c > 1 berechnen. Anstelle von f2 (x) betrachten wir drittens den allgemeinen quadratischen Ansatz   ¯ 0 ||2ε − xT Rx f3 (x) = E ||K0 (ω)x − F   ¯ 0 )T x + ||F ¯ 0F ¯ 2 + E K0 (∆q(ω))2 − R)x − 2(K ¯ 0 ||2 = xT (K 0

E

(vgl. (7.38) und (7.39)) mit einer symmetrischen m × m Matrix R. Erw¨ unscht ist eine Wahl von R derart, dass   ¯ 02 + E K0 (∆q(ω))2 − R C3 := K positiv definit ist und die Potenzreihenentwicklung von ¯0 A3 := C3−1 K

  bis zum Term zweiter Ordnung mit der von E K0 (ω)−1 u ¨ bereinstimmt. Dazu entwickeln wir analog zu oben   ¯ −2 ¯ −2 (R − E K0 (∆q(ω))2 ))−1 K C3−1 = (I − K 0 0 ∞    ¯ −2 , ¯ −2 (R − E K0 (∆q(ω))2 ))j K (K = 0 0 j=0

womit  −1  ¯ + ... . ¯ −1 + K ¯ −2 (R − E K0 (∆q(ω))2 )K A3 = K 0 0 0   Die quadratischen Terme in A3 und E K0 (ω)−1 stimmen also genau dann u ¨ berein, wenn  −1  ¯ −2 (R − E K0 (∆q(ω))2 )K ¯ −1 ¯ −1 ¯ −1 ¯ K 0 = K0 E[K0 (∆q(ω))K0 K0 (∆q(ω))]K0 , 0 d.h. wenn     ¯ 0 E K0 (∆q(ω))K ¯ −1 K0 (∆q(ω)) . R = E K0 (∆q(ω))2 + K 0 Bei dieser Wahl von R ist die Symmetrie gleichbedeutend mit   der Vertausch¯ −1 K0 (∆q(ω)) . Die positive De¯ 0 und E K0 (∆q(ω))K barkeit der Matrizen K 0 finitheit von C noch nicht gew¨ ahrleistet. Gilt sogar (7.44), so   3 ist damit aber wird R = 2E K0 (∆q(ω))2 und f3 (x) geht in f2 (x) mit c = 2 u ¨ ber.

7.4 H¨ ohere Momente der inversen Steifigkeitsmatrix

203

7.4 H¨ ohere Momente der inversen Steifigkeitsmatrix Nachdem in Abschn. 7.3 der Erwartungswert von K0 (ω)−1 (approximativ) berechnet wurde, wenden wir uns jetzt der Ermittlung der h¨oheren Momente     E (K0 (ω)−1 )⊗n und E (K0 (ω)−1 − E[K0 (ω)−1 ])⊗n , n = 2, 3, . . . von K0 (ω)−1 zu (vgl. (6.7) und (6.8)). Dabei setzen wir wieder ¯ −1 K0 (∆q(ω))|| ≤ ρ < 1 f.s. ||K 0 voraus, siehe (7.23). 7.4.1 Momente zweiter Ordnung, Kovarianzen Schon unter der Voraussetzung (7.21) ergab sich mit Abschn. 7.2.1, dass −1

K0 (ω)

=

∞ 

¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i K (−1)i (K 0 0

f.s.,

i=0

vgl. (7.22), unbedingt konvergiert. Auf dieselbe Weise erh¨alt man mit Lemma (7.5) (K0 (ω)−1 )⊗2 = K0 (ω)−1 ⊗ K0 (ω)−1 ∞   ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i K ¯ −1 = (−1)k (K 0 0 k=0

i+j=k

¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q(ω)))j K ⊗(K 0 0

f.s. .

Um zu pr¨ ufen, ob Lemma 7.10 auf diese Reihendarstellung anwendbar ist, setzen wir  ¯ −1 ⊗ (K ¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i K ¯ −1 K0 (∆q(ω)))j K Ak (ω) = (−1)k (K 0 0 0 0 i+j=k

und sch¨ atzen aufgrund von Lemma 7.3 und (7.23) ab:  ¯ −1 || · ||(K ¯ −1 || ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i K ¯ −1 K0 (∆q(ω)))j K ||Ak (ω)|| ≤ γ ||(K 0 0 0 0 i+j=k

≤γ



¯ −1 K0 (∆q(ω))||k · ||K ¯ −1 ||2 ||K 0 0

i+j=k

¯ −1 ||2 f.s. . ≤ γ(k + 1)ρk ||K 0 Es folgt ∞  k=0

¯ −1 ||2 ||Ak (ω)|| ≤ γ||K 0

∞ 

¯ −1 ||2 (k + 1)ρk = γ||K 0

k=0

1 f.s. (1 − ρ)2

204

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

und somit ∞  k=0

¯ −1 2 ||K0 || E [||Ak (ω)||] ≤ γ < ∞. 1−ρ

Lemma 7.10 ist also anwendbar und demnach ∞     ¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i K (−1)k E[(K E (K0 (ω)−1 )⊗2 = 0 0 k=0

i+j=k

¯ −1 ]. ¯ −1 K0 (∆q(ω)))j K ⊗(K 0 0 Damit hat man folgendes Ergebnis: Theorem 7.3. Unter der Voraussetzung (7.23) gilt ∞     ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i E (K0 (ω)−1 )⊗2 = (−1)k E[(K 0 k=0

i+j=k

¯ −1 K0 (∆q(ω)))j ] · (K ¯ −1 )⊗2 . ⊗(K 0 0

(7.45)

In (7.45) ist  −1  ¯ K0 (∆q(ω)))i ⊗ (K ¯ −1 K0 (∆q(ω)))j E (K 0 0 ⎧ I, falls i = 0, j = 0 ⎪ ⎪ ⎨ ¯ −1 Bj , falls i = 0, j ≥ 1 I ⊗K 0 = ¯ −1 Bi ⊗ I, falls i ≥ 1, j = 0 K ⎪ 0 ⎪ ⎩ ¯ −1 (K0 )⊗2 Bij , falls i ≥ 1, j ≥ 1 mit den Matrizen Bk (k ≥ 1) aus Abschn. 7.3.1 und ¯ −1 )i−1 K0 (∆q(ω)) Bij := E[(K0 (∆q(ω))K 0 −1 j−1 ¯ ⊗(K0 (∆q(ω))K ) K0 (∆q(ω))] 0

(i ≥ 1, j ≥ 1).

ur jedes k ≥ 2 und i = 1, . . . , k − 1 Auch die Matrizen Bij sind symmetrisch. F¨ hat man nach (7.20):  ¯ −1 K b2 κ2 . . . K ¯ −1 K bi κi ∆qb1 κ1 . . . ∆qbi κi K0b1 κ1 K Bi,k−i = E[ 0 0 0 0 b1 ,κ1 ;...;bi ,κi



⊗

b

∆qbi+1 κi+1 . . . ∆qbk κk K0 i+1

κi+1

¯ −1 K 0

bi+1 ,κi+1 ;...;bk ,κk b

¯ −1 K bk κk ] ·K0 i+2 i+2 . . . K 0 0  ¯ −1 . . . K bi κi ) = E[∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk ](K0b1 κ1 K 0 0 κ

b1 ,κ1 ;...;bi ,κi b

⊗(K0 i+1

κi+1

¯ −1 . . . K bk κk ). K 0 0

7.4 H¨ ohere Momente der inversen Steifigkeitsmatrix

Insbesondere gilt unter der Voraussetzung (V1), siehe Abschn. 6.3: 
B11 = cov(qbκ , qbκ
)K0bκ ⊗ K0bκ ,

205

(7.46)

b κ,κ


B12 =

 


¯ −1 K0bκ

), (7.47) E [∆qbκ ∆qbκ
∆qbκ

] K0bκ ⊗ (K0bκ K 0

b κ,κ
,κ



B21 =

 








¯ −1 K0bκ ) ⊗ K0bκ . (7.48) E [∆qbκ ∆qbκ
∆qbκ

] (K0bκ K 0

b κ,κ
,κ



Bemerkung 7.7. In dem Spezialfall, dass κ nur den Wert 0 annimmt, vereinfachen sich (7.46) - (7.48) zu  var(qb )(K0b )⊗2 , B11 = b

B12 =



3 ¯ −1 K b ), var(qb ) 2 · Schiefe(qb )K0b ⊗ (K0b K 0 0

b

B21 =



3 ¯ −1 K b ) ⊗ K b . var(qb ) 2 · Schiefe(qb )(K0b K 0 0 0

b

Sind außerdem alle qb symmetrisch verteilt, so wird Bij = 0 f¨ ur alle i, j mit ungerader Summe i + j. Mit (7.29), (7.30) und (7.46) lauten die ersten Glieder der Entwicklung (7.45):   ¯ −1 )⊗2 − (I ⊗ K ¯ −1 B1 + K ¯ −1 B1 ⊗ I)(K ¯ −1 )⊗2 E (K0 (ω)−1 )⊗2 = (K 0

0

0

0

¯ −1 B2 + (K ¯ −1 )⊗2 B11 + K ¯ −1 B2 ⊗ I)(K ¯ −1 )⊗2 − + . . . +(I ⊗ K 0 0 0 0 9   ¯ −1 )⊗2 + ¯ −1 bκ ¯ −1 bκ

= (K 0 b κ,κ
cov(qbκ , qbκ ) I ⊗ (K0 K0 K0 K0 ) : −1 ⊗2 ¯ ) − +.... ¯ −1 K0bκ
) + (K ¯ −1 K0bκ K ¯ −1 K0bκ
) ⊗ I (K ¯ −1 K0bκ ) ⊗ (K +(K 0 0 0 0 0 Die Berechnung der Kovarianzen von K0 (ω)−1 kann gem¨aß (6.9):      ⊗2   E (K0 (ω)−1 − E K0 (ω)−1 )⊗2 = E (K0 (ω)−1 )⊗2 − E K0 (ω)−1 mit Hilfe der Theoreme 7.2 und 7.3 sowie der jeweils anschließenden Ausf¨ uhrungen erfolgen. Wir w¨ ahlen hier den direkten Weg, indem wir   K0 (ω)−1 − E K0 (ω)−1 ∞  −1  −1 f.s.  ¯ } ¯ −1 − E (K ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i K ¯ K0 (∆q(ω)))i K = (−1)i {(K 0 0 0 0 i=0

¯ −1 =K 0 ¯ −1 =K 0

∞  i=1 ∞  i=1

¯ −1 )i−1 K0 (∆q(ω)) − Bi } · K ¯ −1 (−1)i {(K0 (∆q(ω))K 0 0 (−1)i

206

×

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix



¯ −1 ¯ −1 . . . K bi κi · K (∆qb1 κ1 . . . ∆qbi κi − E [∆qb1 κ1 . . . ∆qbi κi ])K0b1 κ1 K 0 0 0

b1 ,κ1 ;...;bi ,κi

ins Tensorquadrat erheben und den Erwartungswert nehmen:     E (K0 (ω)−1 − E K0 (ω)−1 )⊗2 ¯ −1 )⊗2 = (K 0

∞ 

(−1)k

k=2

k−1 



E[(∆qb1 κ1 . . . ∆qbi κi

i=1 b1 ,κ1 ;...;bk ,κk

−E [∆qb1 κ1 . . . ∆qbi κi ])

  ·(∆qbi+1 κi+1 . . . ∆qbk κk − E ∆qbi+1 κi+1 . . . ∆qbk κk )] b

¯ −1 . . . K bi κi ) ⊗ (K i+1 ·(K0b1 κ1 K 0 0 0 ¯ −1 )⊗2 = (K 0

∞ 

(−1)k

k=2



κi+1

k−1 

¯ −1 . . . K bk κk ) · (K ¯ −1 )⊗2 K 0 0 0

(E [∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk ]

b1 ,κ1 ;...;bk ,κk i=1

  −E[∆qb1 κ1 . . . ∆qbi κi ]E ∆qbi+1 κi+1 . . . ∆qbk κk ) ¯ −1 . . . K bk κk ) · (K ¯ −1 . . . K bi κi ) ⊗ (K bi+1 κi+1 K ¯ −1 )⊗2 . ·(K0b1 κ1 K 0 0 0 0 0 0 Die hierin vorkommenden Gr¨ oßen   E [∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk ] − E [∆qb1 κ1 . . . ∆qbi κi ] E ∆qbi+1 κi+1 . . . ∆qbk κk sind gleich ur k bel., i = 1, k − 1 E [∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk ] f¨ und insbesondere gleich ur k = 2, i = 1 cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 ) f¨ ur k = 3, i = 1, 2 E [∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2 ∆qb3 κ3 ] f¨ E [∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2 ∆qb3 κ3 ∆qb4 κ4 ] E [∆qb1 κ1 ∆qb2 κ2 ∆qb3 κ3 ∆qb4 κ4 ]

f¨ ur k = 4, i = 1, 3

−cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 ) cov (qb3 κ3 , qb4 κ4 ) f¨ ur k = 4, i = 2. ¨ Unter Ber¨ ucksichtigung von (7.46) - (7.48) ergibt sich dann (in Ubereinstimmung mit der Entwicklung gem¨ aß (6.9))     E (K0 (ω)−1 − E K0 (ω)−1 )⊗2 ¯ −1 )⊗2 . ¯ −1 )⊗2 (B11 − B12 − B21 + B13 + B22 − B2 ⊗ B2 + B31 − . . .)(K = (K 0

0

7.4.2 Momente n-ter Ordnung F¨ ur eine beliebige ganze Zahl n ≥ 2 gilt nach Lemma 7.5 (mit Bemerkung 7.1) unter der Voraussetzung (7.23) wie oben

7.4 H¨ ohere Momente der inversen Steifigkeitsmatrix

(K0 (ω)−1 )⊗n =

∞ 

Ak (ω) f.s.,

k=0

wobei 

Ak (ω) := (−1)k

¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i1 K (K 0 0

i1 +i2 +...+in =k

¯ −1 ⊗ . . . ⊗ (K ¯ −1 . ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i2 K ¯ −1 K0 (∆q(ω)))in K ⊗(K 0 0 0 0 Da gem¨ aß Lemma 7.3 

||Ak (ω)|| ≤ γ

¯ −1 || · . . . ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i1 K ||(K 0 0

i1 +...+in =k

¯ −1 K0 (∆q(ω)))in K ¯ −1 || ·||(K 0 0  −1 ¯ −1 ||n ¯ ≤ γ ||K0 K0 (∆q(ω))||k · ||K 0 i1 +...+in =k

(k + 1)(k + 2) . . . (k + n − 1) k ¯ −1 n ≤ γ ρ ||K0 || 1 · 2 · . . . · (n − 1)

f.s.

und demzufolge ∞ 

¯ −1 ||n ||Ak (ω)|| ≤ γ||K 0

k=0

 ∞

 k+n−1 k 1 ¯ −1 ||n f.s., ρ = γ||K 0 n−1 (1 − ρ)n k=0

erh¨ alt man ∞  k=0

¯ −1 n ||K0 || E [||Ak (ω)||] ≤ γ < ∞. 1−ρ

Also ist Lemma 7.10 wieder anwendbar, und es gilt: Theorem 7.4. Unter der Voraussetzung (7.23) ist ∞    (−1)k E (K0 (ω)−1 )⊗n = k=0



E


 i1 ¯ −1 K0 ∆q(ω) K ⊗ ... 0

i1 +...+in =k


 in  ¯ −1 )⊗n . ¯ −1 K0 ∆q(ω) · (K ...⊗ K 0

0

Die in Theorem 7.4 vorkommenden Gr¨ oßen  −1  ¯ K0 (∆q(ω)))i1 ⊗ . . . ⊗ (K ¯ −1 K0 (∆q(ω)))in E (K 0 0 berechnen sich nach (7.20) zu:

207

208

7 Momente der inversen reduzierten Gesamtsteifigkeitsmatrix

I,

falls i1 + . . . + in = 0; 

E [∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk ] ⎝

b1 ,κ1 ;...;bk ,κk

⎛

⊗⎝

i16 +i2

... ⊗ ⎝

i1 6

⎞ ¯ −1 K bj κj ⎠ K 0 0

j=1

⎞

¯ −1 K bj κj ⎠ ⊗ . . . K 0 0

j=i1 +1

⎛

⎛

k 6

⎞ ¯ −1 K bj κj ⎠ , K 0 0

falls i1 + . . . + in = k ≥ 1.

j=i1 +...+in−1 +1

Hierin versteht man wie u ¨ blich unter dem leeren Produkt die Einheitsmatrix. Insbesondere werden diese Gr¨ oßen f¨ ur i1 + . . . + in = 1 zu 0.

8. Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor

Zur Bestimmung des Verschiebungsvektors von einem Tragwerk mit stochastischen Elementen unter Belastung wird nach Gleichung (5.1) die Matrix otigt, deren Momente zu ermitteln wir in Abschn. 7 unternomK0 (ω)−1 ben¨ men haben. Ebenso geh¨ oren zum Lagerkraft- und Spannungsvektor nach (5.2) und (5.3) die Matrizen K10 (ω)K0 (ω)−1 und S0 (ω)K0 (ω)−1 , denen wir uns zun¨ achst zuwenden.

8.1 Momente der Last-Lagerkraft-Matrix Unser Vorgehen ist v¨ ollig analog zu dem in den Abschn. 7.2 - 7.4. Zun¨achst ˜ werden K0 und K10 via (5.4) resp. (5.5) als Matrixfunktionen von q ∈ IRN im u ¨ blichen Sinne aufgefasst und die Taylorentwicklung der aus diesen gebil¯ (wobei K0 (¯ deten Funktion K10 (q)K0 (q)−1 um den Punkt q q) regul¨ar ist) bestimmt. Anschließend werden wir wieder ber¨ ucksichtigen, dass q = q(ω), K0 (q) = K0 (ω) und K10 (q) = K10 (ω) Zufallsgr¨oßen sind. 8.1.1 Potenzreihenentwicklung der Last-Lagerkraft-Matrix Durch (7.8)

H(q) = K10 (q)K0 (q)−1 = K10 (q)G(q) ˜

wird eine Matrixfunktion H : IRN −→ IMn,m (mit einem bestimmten n) de¯ kann wie in Abschn. 7.2.2 finiert. Die Taylorentwicklung um den Punkt q berechnet werden. Zuerst ist ¯ −1 . ¯ 10 K H(¯ q) = K10 (¯ q)K0 (¯ q)−1 = K 0 Aus H(q)K0 (q) = K10 (q) gewinnt man ∂K0 ∂K10 ∂H K0 + H = , ∂qb1 κ1 ∂qb1 κ1 ∂qb1 κ1 d.h.

210

8 Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor

∂H b 1 κ1 = K10 G − HK0b1 κ1 G. ∂qb1 κ1 Hiermit erh¨ alt man zweitens den linearen Term  b1 ,κ1

∆qb1 κ1

 ∂H b 1 κ1 q)) ∆qb1 κ1 (K10 G(¯ q) − H(¯ q)K0b1 κ1 G(¯ (¯ q) = ∂qb1 κ1 b1 ,κ1  b1 κ1 ¯ −1 ¯ −1 ¯ 10 K =( )K0 − K ∆qb1 κ1 K10 0 b1 ,κ1

·(



¯ −1 ∆qb1 κ1 K0b1 κ1 )K 0

b1 ,κ1

¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 − K ¯ 10 K ¯ −1 . = K10 (∆q)K 0 0 0 ¯ So kann man fortfahren. Einfacher ist es aber, die Taylorentwicklungen um q ¯ 10 + K10 (∆q) K10 (q) = K der linearen Funktion K10 und G(q) =

∞ 

¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q))k K (−1)k (K 0 0

k=0

der bereits entwickelten Funktion G miteinander zu multiplizieren: ¯ 10 + K10 (∆q))(K ¯ −1 − K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 H(q) = (K 0 0 0 ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 − + . . .) +K 0 0 0 ¯ −1 + (K10 (∆q)K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ 10 K ¯ −1 − K ¯ 10 K ¯ −1 ) =K 0 0 0 0 −1 −1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ +(K10 K K0 (∆q)K K0 (∆q)K 0

0

0

¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 ) + . . . −K10 (∆q)K 0 0 Diese Reihe konvergiert, wenn die Taylorreihe von G konvergiert. Damit ist der folgende Satz bewiesen : ¯ −1 K0 (∆q)|| < 1, gilt ¯ + ∆q derart, dass ||K Theorem 8.1. F¨ ur jedes q = q 0 ¯ −1 + ¯ 10 K K10 (q)K0 (q)−1 = K 0

∞ 

¯ 10 (K ¯ −1 K0 (∆q))k (−1)k {K 0

k=1

¯ −1 K0 (∆q))k−1 }K ¯ −1 −K10 (∆q)(K 0 0 ∞   ¯ −1 + ¯ 10 K (−1)k { ∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk =K 0 k=1

b1 ,κ1 ;...;bk ,κk

¯ −1 K b1 κ1 − K b1 κ1 ) ¯ 10 K ·(K 0 0 10

k 6 j=2

¯ −1 K bj κj }K ¯ −1 . K 0 0 0

8.1 Momente der Last-Lagerkraft-Matrix

211

8.1.2 Momente n-ter Ordnung der Last-Lagerkraft-Matrix Es sei wieder q = q(ω) und demnach K0 (q) = K0 (ω), K10 (q) = K10 (ω), ¨ ferner die Erwartungswerte durch Uberqueren gekennzeichnet. Unter der Voraussetzung (7.23) ¯ −1 K0 (∆q(ω))|| ≤ ρ < 1 f.s. ||K 0 gilt nach Theorem 8.1 −1

K10 (ω)K0 (ω)

=

∞ 

¯ −1 (−1)i Ai (ω) · K 0

f.s.,

i=0

wobei ⎧ −1 ¯ , falls i = 0 ⎨ K 10 ¯ 10 (K ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i Ai (ω) := K 0 ⎩ ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i−1 , −K10 (∆q(ω))(K 0

(8.1) falls i ≥ 1.

Ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit sei ρ > 0. Dann ist ¯ 10 ||ρi + ||K10 (∆q(ω))||ρi−1 f.s. ||Ai (ω)|| ≤ ||K

f¨ ur i ≥ 1,

also wird ||Ai (ω)|| ≤ δ(ω)ρi f.s. f¨ ur i = 0, 1, 2, . . . mit der von i unabh¨ angigen Zufallsvariablen ¯ 10 || + δ(ω) := ||K

||K10 (∆q(ω))|| . ρ

F¨ ur eine beliebige Zahl n ≥ 1 ist nun (K10 (ω)K0 (ω)−1 )⊗n =

∞ 

(−1)k

k=0

...⊗



(Ai1 (ω) ⊗ Ai2 (ω) ⊗ . . .

i1 +i2 +...+in =k ¯ −1 )⊗n Ain (ω)) · (K 0

f.s. .

¨ Ahnlich wie in Abschn. 7.4.2 gilt dabei  Ai1 (ω) ⊗ . . . ⊗ Ain (ω)|| || i1 +...+in =k



≤γ

||Ai1 (ω)|| · . . . · ||Ain (ω)||

i1 +i2 +...+in =k

≤ γδ(ω)

n



i1 +...+in =k

k

n

ρ = γδ(ω)

k+n−1 n−1

 ρk f.s.

212

8 Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor

und ∞  k=0

, E ||



Ai1 (ω) ⊗ . . . ⊗ Ain (ω)||

i1 +...+in =k ∞

 k+ n

≤ γE[δ(ω) ]

k=0

n−1 n−1

 ρk

γ = E[δ(ω)n ] < ∞. (1 − ρ)n  bκ || und die Momente (also Letzteres gilt, da ||K10 (∆q(ω))|| ≤ b,κ |∆qbκ |||K10 auch die absoluten Zentralmomente) der Ordnung n von q(ω) als existent vorausgesetzt werden. Damit hat man folgendes Ergebnis: Theorem 8.2. Unter der Voraussetzung (7.23) und mit der Abk¨ urzung (8.1) gilt ∞  k=0

E[(K10 (ω)K0 (ω)−1 )⊗n ] =  ¯ −1 )⊗n . E[Ai1 (ω) ⊗ . . . ⊗ Ain (ω)] · (K 0

(−1)k

i1 +...+in =k

Die in Theorem 8.2 vorkommenden Gr¨ oßen E[Ai1 (ω) ⊗ . . . ⊗ Ain (ω)] berechnen sich zu (vgl. Theorem 8.1): ¯ 10 )⊗n , falls i1 + . . . + in = 0; (K ¯ 10 ⊗ . . . ⊗ K ¯ 10 ⊗ E[A1 (ω)] ⊗ K ¯ 10 ⊗ . . . ⊗ K ¯ 10 = 0, K falls i1 + . . . + in = 1;  ¯ 10 ⊗ . . . ⊗ K ¯ 10 cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )K b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K b1 κ1 − K ¯ b1 κ1 )K ¯ −1 K b2 κ2 ) ⊗ K ¯ 10 ⊗ . . . ⊗ K ¯ 10 ¯ 10 K ⊗((K 0 0 0 10 0 oder 

¯ −1 K b1 κ1 − K ¯ 10 ⊗ . . . ⊗ K ¯ 10 ⊗ (K ¯ 10 K ¯ b 1 κ1 ) cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )K 0 0 10

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K b2 κ2 − K b2 κ2 ) ⊗ K ¯ 10 ⊗ (K ¯ 10 K ¯ 10 ⊗ . . . ⊗ K ¯ 10 , ¯ 10 ⊗ . . . ⊗ K ⊗K 0 0 10 falls i1 + . . . + in = 2; etc. .

8.2 Momente der Last-Spannungs-Matrix 8.2.1 Potenzreihenentwicklung der Last-Spannungs-Matrix ˜

˜

Hier werden K0 : IRN −→ IMm wieder als Funktion von q und S0 : IRN −→ IMN
,m via (5.6), d.h.

8.2 Momente der Last-Spannungs-Matrix

S0 =



213

pbλ S0bλ ,

b,λ

als Funktion von p im u ¨ blichen Sinne aufgefasst. Dabei sind die Matrizen K0bκ , S0bλ konstant bzgl. aller Komponenten von (p,q). Gesucht ist die Taylorentwicklung der durch H  (p, q) = S0 (p)K0 (q)−1 = S0 (p)G(q) ¯

˜

¯ ) (wo K0 (¯ definierten Funktion H  : IRN +N −→ IMN
,m um den Punkt (¯ p, q q) regul¨ ar ist). Zuerst ist ¯ −1 ¯ ) = S0 (¯ p, q p)K0 (¯ q)−1 = S¯0 K H  (¯ 0 Aus H  (p, q)K0 (q) = S0 (p) ergibt sich durch implizite Differentiation ∂H  (p, q) = S0b1 λ1 G(q) ∂pb1 λ1 und ∂H  (p, q) = −H  (p, q)K0b1 κ1 G(q). ∂qb1 κ1 Hiermit erh¨ alt man zweitens den linearen Term   ∂H  ∂H  ¯) + ¯) (¯ p, q (¯ p, q ∆qb1 κ1 ∆pb1 λ1 ∂pb1 λ1 ∂qb1 κ1 b1 ,κ1 b1 ,λ1   ¯ )K0b1 κ1 G(¯ = ∆pb1 λ1 S0b1 λ1 G(¯ q) − ∆qb1 κ1 H  (¯ p, q q) b1 ,λ1

=(



b1 ,λ1

b1 ,κ1

¯ −1 ∆pb1 λ1 S0b1 λ1 )K 0

¯ −1 ( − S¯0 K 0



¯ −1 ∆qb1 κ1 K0b1 κ1 )K 0

b1 ,κ1

¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 − S¯0 K ¯ −1 = S0 (∆p)K 0 0 0 Diese und auch die folgenden Terme der Taylorentwicklung von H  (p, q) erh¨alt man jedoch durch Multiplikation von S0 (p) = S¯0 + S0 (∆p) mit der bekannten Entwicklung von G(q) unmittelbar:  
−1 ¯ −K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 H  (p, q) = S¯0 + S0 (∆p) K 0 0 0   −1 2 −1 ¯ − +... ¯ K0 (∆q) K + K 0 0   −1 ¯ ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ ¯ ¯ −1 = S0 K0 + S0 (∆p)K0−1 − S¯0 K 0 0  ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 + S¯0 K 0 0 0  ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 + . . . . −S0 (∆p)K 0 0

214

8 Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor

¯ −1 K0 (∆q)|| < 1 gilt Theorem 8.3. F¨ ur jedes (p, q) mit ||K 0 S0 (p)K0 (q)−1 = ∞  ¯ −1 + ¯ −1 K0 (∆q))k − S0 (∆p)(K ¯ −1 K0 (∆q))k−1 }K ¯ −1 = (−1)k {S¯0 (K S¯0 K 0 0 0 0 k=1

¯ −1 + S¯0 K 0

∞ 

(−1)k



∆qb1 κ1 . . . ∆qbk κk · S¯0

b1 ,κ1 ;...;bk ,κk

k=1



−

9

k 6

¯ −1 K bj κj K 0 0

j=1

∆pb1 λ1 ∆qb2 κ2 . . . ∆qbk κk · S0b1 λ1

b1 ,λ1 ;b2 ,κ2 ;...;bk ,κk

k 6

: ¯ −1 . ¯ −1 K bj κj K K 0 0

j=2

8.2.2 Momente n-ter Ordnung der Last-Spannungs-Matrix Hier seien wieder p = p(ω), q = q(ω) und demnach S0 (p) = S0 (ω), K0 (q) = K0 (ω); Erwartungswertbildung wird mit einem oberen Querstrich bezeichnet. Mit (7.23) gilt nach Theorem 8.3 S0 (ω)K0 (ω)−1 =

∞ 

¯ −1 (−1)i Ai (ω) · K 0

f.s.,

i=0

wobei ⎧ ⎨ S¯0 , falls i = 0 ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i Ai (ω) := S¯0 (K 0 ⎩ ¯ −1 K0 (∆q(ω)))i−1 , −S0 (∆p(ω))(K 0

(8.2) falls i ≥ 1.

F¨ ur eine beliebige ganze Zahl n ≥ 1 zeigt man wie in Abschn. 8.1.2 die folgende Entwicklung: Theorem 8.4. Unter der Voraussetzung (7.23) und mit der Abk¨ urzung (8.2) gilt E[(S0 (ω)K0 (ω)−1 )⊗n ] ∞   ¯ −1 )⊗n . = (−1)k E[Ai1 (ω) ⊗ . . . . . . ⊗ Ain (ω)] · (K 0 k=0

i1 +...+in =k

Die ersten der in Theorem 8.4 vorkommenden Gr¨oßen E[Ai1 (ω) ⊗ . . . ⊗ Ain (ω)] lauten (k = i1 + . . . + in gesetzt): S¯0⊗n , 0,

falls k = 0; falls k = 1;

8.3 Momente der Responsevariablen des Tragwerks



215

¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 ) cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )S¯0 ⊗ . . . ⊗ S¯0 ⊗ (S¯0 K 0 0 0 0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

⊗S¯0 ⊗ . . . ⊗ S¯0  ¯ −1 K b2 κ2 ) cov(pb1 λ1 , qb2 κ2 )S¯0 ⊗ . . . ⊗ S¯0 ⊗ (S0b1 λ1 K − 0 0 b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

⊗S¯0 ⊗ . . . ⊗ S¯0 oder  ¯ −1 K b1 κ1 ) ⊗ S¯0 . . . cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 ) . . . S¯0 ⊗ (S¯0 K 0 0 b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K b2 κ2 ) ⊗ S¯0 . . . . . . S¯0 ⊗ (S¯0 K 0 0  − cov(pb1 λ1 , qb2 κ2 ) . . . S¯0 ⊗

S0b1 λ1

⊗ S¯0 . . .

b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K b2 κ2 ) ⊗ S¯0 . . . . . . S¯0 ⊗ (S¯0 K 0 0  ¯ −1 K b1 κ1 ) ⊗ S¯0 . . . − cov(qb1 κ1 , pb2 λ2 ) . . . S¯0 ⊗ (S¯0 K 0 0 b1 ,κ1 ;b2 ,λ2

+

. . . S¯0 ⊗ 

S0b2 λ2

⊗ S¯0 . . .

cov(pb1 λ1 , pb2 λ2 ) . . . S¯0 ⊗

S0b1 λ1

⊗ S¯0 . . .

b1 ,λ1 ;b2 ,λ2

. . . S¯0 ⊗ S0b2 λ2 falls k = 2.

⊗ S¯0 . . . ,

8.3 Momente der Responsevariablen des Tragwerks Nach Gleichung (6.6) ergeben sich die Momente der Ordnung n ≥ 1 von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor folgendermaßen: E[u0 (ω)⊗n ] = E[(K0 (ω)−1 )⊗n ]E[F0 (ω)⊗n ] E[F1 (ω)⊗n ] = E[(K10 (ω)K0 (ω)−1 )⊗n ]E[F0 (ω)⊗n ] E[σ(ω)⊗n ] = E[(S0 (ω)K0 (ω)−1 )⊗n ]E[F0 (ω)⊗n ] Hierin setzen wir die Momente E[F0 (ω)⊗n ], d.h. die Verteilung des Vektors außeren Lasten als bekannt voraus, w¨ahrend sich die Momente der F0 (ω) der ¨ beteiligten Matrizen (unter der Voraussetzung (7.23)) nach den Theoremen 7.4, 8.2 und 8.4 berechnen lassen. Speziell f¨ ur n = 1 erh¨ alt man die Erwartungswerte ¯0 ¯ 0 = E[u0 (ω)] = E[K0 (ω)−1 ]F u ¯ 1 = E[F1 (ω)] = E[(K10 (ω)K0 (ω)−1 )]F ¯0 F ¯ 0, ¯ = E[σ(ω)] = E[S0 (ω)K0 (ω)−1 ]F σ

(8.3) (8.4) (8.5)

216

8 Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor

¯ 0 die durchschnittliche ¨ wo F außere Belastung darstellt und bei quadratischer Approximation
  ¯ −1 + K ¯ −1 cov(qbκ , qbκ
) E[K0 (ω)−1 ] ≈ K 0 0 b κ,κ







¯ −1 K0bκ K ¯ −1 ·K0bκ K 0 0 9  −1 ¯ 10 K ¯ + E[K10 (ω)K0 (ω)−1 ] ≈ K cov(qbκ , qbκ
) 0

(8.6)

b κ,κ


: bκ ¯ −1 bκ
¯ −1 ¯ −1 K0bκ − K10 ¯ 10 K K0 ) K K (8.7) ·(K 0 0 0 9
 ¯ −1 + ¯ −1 K bκ cov(qbκ , qbκ
)S¯0 K E[S0 (ω)K0 (ω)−1 ] ≈ S¯0 K 0 0 0 −



b,κ


κ

 : ¯ −1 K bκ
K ¯ −1 . cov(pbλ , qbκ
)S0bλ K 0 0 0

(8.8)

λ

Auch die Berechnung einzelner Momente zweiter Ordnung kann mittels elementarer Matrizenoperationen (d.h. ohne Tensorprodukte) durchgef¨ uhrt werden, wenn die ¨ außere Last F0 konstant ist. Die Gleichungen (5.1) - (5.3) sind dann vom Typ, X(ω) = A(ω)F0 (vgl. Abschn. 6.2.2). Bezeichnen ei = (0, . . . , 0,  1!" , 0, . . . , 0)T i-te Stelle

die kanonischen Einheitsvektoren und setzt man ⎛ ⎞ 0 ⎜ ⎟ . ⎜ 0 .. 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ··· 0 1 0 ··· 0⎟ T ⎜ ⎟ ←i Eij := ei ej = ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ .. ⎝ 0 . 0 ⎠ 0  !" j

so wird Xi (ω) = eTi A(ω)F0 = (eTi A(ω)F0 )T = (F0 )T A(ω)T ei und folglich E[Xi (ω)Xj (ω)] = E[(F0 )T A(ω)T ei eTj A(ω)F0 ] = (F0 )T E[A(ω)T Eij A(ω)]F0 .

8.3 Momente der Responsevariablen des Tragwerks

217

Im Einzelnen erh¨ alt man so E[u0i (ω)u0j (ω)] = (F0 )T E[K0 (ω)−1 Eij K0 (ω)−1 ]F0 E[Fi1 (ω)Fj1 (ω)]

(8.9)

−1 T

= (F ) E[(K10 (ω)K0 (ω) 0 T

−1

)

·Eij K10 (ω)K0 (ω) ]F E[σi (ω)σj (ω)] = (F0 )T E[(S0 (ω)K0 (ω)−1 )T 0

(8.10)

·Eij S0 (ω)K0 (ω)−1 ]F0 .

(8.11)

Quadratische Approximationen der hier auftretenden Erwartungswertmatrizen erh¨ alt man mittels der an die Theoreme 7.4, 8.2, 8.4 anschließenden Formeln durch formales Ersetzen von ⊗ durch Eij und Transposition der Faktoren linker Hand: E[K0 (ω)−1 Eij K0 (ω)−1 ]  ¯ −1 + ¯ −1 Eij K cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 ) ≈K 0 0 b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 Eij K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ·{K 0 0 0 0 0 0 −1 b1 κ1 ¯ −1 −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯ ¯ K Eij K K K +K K 0

0

0

0

0

0

¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 Eij K ¯ −1 } ¯ −1 K b1 κ1 K +K 0 0 0 0 0 0

(8.12)

E[(K10 (ω)K0 (ω)−1 )T Eij K10 (ω)K0 (ω)−1 ]  ¯ −1 )T Eij K ¯ 10 K ¯ −1 + ¯ 10 K cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 ) ≈ (K 0

0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ 10 K ¯ −1 )T Eij (K ¯ −1 K b1 κ1 − K b1 κ1 )K ¯ −1 ¯ 10 K ¯ −1 K b2 κ2 K ·{(K 0 0 0 0 0 10 0 ¯ −1 K b2 κ2 − K b2 κ2 )K ¯ −1 K b1 κ1 − K b1 κ1 )K ¯ −1 ¯ 10 K ¯ −1 )T Eij (K ¯ 10 K +((K 0

0

10

0

0

0

10

¯ 10 K ¯ −1 }. ¯ −1 K b1 κ1 − K b1 κ1 )K ¯ −1 )T Eij K ¯ 10 K ¯ −1 K b2 κ2 K +((K 0 0 0 0 0 10 0

0

(8.13)

E[(S0 (ω)K0 (ω)−1 )T Eij S0 (ω)K0 (ω)−1 ]  ¯ −1 )T Eij S¯0 K ¯ −1 + cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 ) ≈ (S¯0 K 0

0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 )T Eij S¯0 K ·{(S¯0 K 0 0 0 0 0 0 ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 )T Eij S¯0 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 +(S¯0 K 0 0 0 0 0 0 ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 )T Eij S¯0 K ¯ −1 } +(S¯0 K 0 0 0 0 0 0  b1 λ1 ¯ −1 T ¯ −1 cov(pb1 λ1 , pb2 λ2 )(S0 K0 ) Eij S0b2 λ2 K + 0 b1 ,λ1 ;b2 ,λ2

−



¯ −1 )T Eij S b1 λ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 cov(pb1 λ1 , qb2 κ2 ){(S¯0 K 0 0 0 0 0

b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 )T Eij S¯0 K ¯ −1 K b2 λ2 K ¯ −1 +(S0b1 λ1 K 0 0 0 0

218

8 Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor

¯ −1 ¯ −1 )T Eij S b1 λ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K +(S¯0 K 0 0 0 0 0 b1 λ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 T ¯ ¯ +(S K K K ) Eij S0 K −1 } 0

0

0

0

(8.14)

0

Auf die nach Voraussetzung (V1), siehe Abschn. 6.3, m¨oglichen Vereinfachungen verzichten wir an dieser Stelle.

8.4 Beispiele 8.4.1 Tragwerke, in denen nur die Elastizit¨ atsmodule der St¨ abe stochastischen Schwankungen unterliegen Wir betrachten dieselbe Situation wie in Abschn. 7.3.2.1 und setzen die dortigen Ausf¨ uhrungen fort. Die Indizes κ und λ nehmen also nur den Wert 0 an und k¨onnen weggelassen ur jedes b ∈ B und demzufolge werden. Es gilt qb = Ab pb f¨ E[∆pb1 ∆qb2 . . . ∆qbk ] =

1 E[∆qb1 . . . ∆qbk ]. Ab1

Damit ergibt sich ¯ −1 + ¯ 10 K E[K10 (ω)K0 (ω)−1 ] = K 0

∞ 



(−1)k {

k=1

E[∆qb1 . . . ∆qbk ]

b1 ,...,bk

¯ −1 K b1 − K b1 ) ¯ 10 K ·(K 0 0 10

k 6

¯ −1 K bj }K ¯ −1 K 0 0 0

j=2

und ¯ −1 + E[S0 (ω)K0 (ω)−1 ] = S¯0 K 0

∞ 

(−1)k {

k=1



E[∆qb1 . . . ∆qbk ]

b1 ,...,bk

k 6 ¯ −1 K b1 − 1 S b1 ) ¯ −1 K bj }K ¯ −1 . K ·(S¯0 K 0 0 0 0 Ab1 0 j=2 0

Wegen der Symmetrie der Gleichverteilung verschwinden auch hier alle Summanden, die zu ungeraden k geh¨ oren. ¯ 1 und σ ¯0 , F ¯ lauten: Die quadratischen Approximationen von u  

2 1 ¯ −1  δb Ab −1 ¯ 0 0 ¯ −1 K b K ¯ −1 F ¯0 ¯ ¯ u ≈ K0 F + K0 K0b K 0 0 0 3 Lb b . 8  δb Ab 2 1 −1 b −1 ¯ 0 b ¯ −1 b 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ F ≈ K10 K0 F + (K10 K0 K0 − K10 )K0 K0 3 Lb b

8.4 Beispiele

¯ −1 F ¯0 ×K 0 ¯ −1 F ¯0 + 1 ¯ ≈ S¯0 K σ 0 3

.

 δb Ab 2 Lb

b

¯ −1 K0b − 1 S0b )K ¯ −1 K0b (S¯0 K 0 0 Ab

219

8

¯ 0. ¯ −1 F ×K 0 8.4.2 Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen Die Vorgaben seien wie in Abschn. 7.3.2.2. Dann folgt ⎛ 1 1⎞ −2 −2 √ ⎞ ⎛ b ⎞ ⎜−1 −1 ⎟ ⎛ b⎞ ⎛ √ ⎜ 2 2⎟ ˆk ˆs2 − 22 − 22 12 ⎜ ⎟ 0 0 b ⎟ S0b = ⎝ 0 ⎠ = ⎝ K10 =⎝ 0 ⎠=⎜ 0 0⎠ ⎜ 0 0⎟, ⎜ ⎟ 0 0 0 0 ⎝ 0 0⎠ 0 0 ⎞ 0 0 ⎞ ⎜0 0⎟ ⎛ ⎟ ⎜ 0 ⎜0 0⎟
b ⎟, ⎜ ˆ ⎠ ⎝ = k21 = ⎜ 0 −1 ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎝0 0⎠ 0 0 ⎛




b K10

⎛ ⎞ ⎜ ⎜ 0 ⎜ =⎝ 0 ⎠=⎜ ⎜ ⎜ ˆkb

21 ⎝ ⎛





b K10

1 2

S0b

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟, 0⎟ ⎟ 1⎠

0 0 0 0 − 12

⎛




⎞ ⎛ ⎞ 0 0 0
= ⎝ ˆsb1 ⎠ = ⎝ 0 −1 ⎠ 0 0 0

⎛

S0b





2

⎞ ⎛ ⎞ 0 0 0 = ⎝ 0 ⎠ = ⎝ √ 0 √0 ⎠ .

2 2 ˆsb1 2 − 2

− 21

Setzt man p = pb , p = pb
, p = pb

, so gilt






b b b K10 = qK10 + q  K10 + q  K10 ,




S0 = pS0b + p S0b + p S0b





und durch Erwartungswertbildung erh¨ alt man ¯ 10 = q¯K b + q¯ K b
+ q¯ K b

, K 10 10 10 Aus p =

E L

ergibt sich p¯ =

¯ E L




S¯0 = p¯S0b + p¯ S0b + p¯ S0b .

und

cov(p, q) = E[pq] − p¯q¯ =

πE[E 2 ]E[d2 ] − p¯q¯. 4L2

Damit lassen sich alle f¨ ur die quadratischen Approximationen (8.7) und (8.8) ben¨ otigten Gr¨ oßen in bekannter Weise berechnen. Es ergibt sich

220

8 Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor

⎛

−0, 5000000000 ⎜ −0, 5000000000 ⎜ ⎜ 0 −1 E[K10 (ω)K0 (ω) ] ≈ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ −0, 5000000000 0, 5000000000

⎞ −0, 2070711233 −0, 2070711233 ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ −0, 5858577534 ⎟ ⎟ 0, 2070711233 ⎠ −0, 2070711233

und ⎛

⎞ −90, 10020040 −37, 31430697 0 −74, 63545058 ⎠ . E[S0 (ω)K0 (ω)−1 ] ≈ ⎝ 90, 10020040 −37, 31430697 Gibt man beispielsweise die konstante ¨ außere Last 

50000 0 [N ] F = F2 = −100000 vor, so erh¨ alt man gem¨ aß (8.3)-(8.5): 

0, 001821270688 0 ¯ =u ¯2 ≈ u [m] −0, 001508530713 ⎞ −4292, 88767 ⎛ ⎞ ⎜ −4292, 88767 ⎟ ¯1 ⎟ ⎜ F ⎟ ⎜ 0 1 ¯ ⎟ [N ] ⎜ ¯ ⎠ ⎝ F = F3 ≈ ⎜ ⎟ 58585, 77534 ¯ ⎟ ⎜ F4 ⎝ −45707, 11233 ⎠ 45707, 11233 ⎛

⎛

⎞ ⎛ ⎞ σ ¯1b −773579, 323
¯ =⎝σ σ ¯2b ⎠ ≈ ⎝ 7463545, 058 ⎠ [N/m2 ].

8236440, 717 σ ¯2b 8.4.3 Torbogen mit starren Verbindungen Wir setzen das Beispiel aus Abschn. 7.3.2.3 fort. Entsprechend wie f¨ ur K0 erhalten wir die Darstellung  b1 b2 ˜ 10 ˜ 10 (qb1 K + qb2 K ), K10 = b

wobei

8.4 Beispiele

⎞

⎛

˜ b1 1 K 10

0 00000 ⎜ 0 −1 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ =⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎝0 0 0 0 0 0⎠ 0 00000

˜ b2 1 = 0 K 10 ⎛ ˜ b3 1 K 10

⎛

0 ⎜0 ⎜ ⎜0 =⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0

00 00 00 00 00 00

˜ b1 2 K 10

⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎝

˜ b2 2 = 0 K 10 ⎛

⎞

0 00 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 −1 0 ⎠ 0 00

˜ b3 2 K 10

221

⎞

−3 0 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 3 0 2 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎠ 00 0000

0 ⎜0 ⎜ ⎜0 =⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0

⎞ 00 00 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0⎟ ⎟. 0 0 −3 0 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0⎠ 00 30 2

Die Querschnitte der St¨ abe erf¨ ullen die Symmetriebedingung mit ˚ y b = 12 hb . Es gilt pb1 =

Eb , Lb

pb2 =

Eb y.b Lb

=−

yb Eb ˚ Eb hb =− , Lb 2Lb

und die Darstellung (5.6) mit λ = 1, . . . , 5 vereinfacht sich zu  S0 = (pb1 S˜0b1 + pb2 S˜0b2 ), b

wenn man setzt S˜0b1 = S0b1 , Explizit haben wir: ⎛ 0 −1 0 ⎜ 0 −1 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 b1 1 ˜ S0 = ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎝0 0 0 0 00

1 b5 1 b4 S − S . S˜0b2 = S0b2 − S0b3 + Lb 0 Lb 0

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ 0

⎛

S˜0b1 2

−3 0 −2 0 ⎜ 30 20 ⎜ ⎜ −3 0 −4 0 ⎜ ⎜ 30 40 ⎜ ⎜ 00 00 ⎜ ⎜ 00 00 =⎜ ⎜ 00 00 ⎜ ⎜ 00 00 ⎜ ⎜ 00 00 ⎜ ⎜ 00 00 ⎜ ⎝ 00 00 00 00

⎞ 00 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎠ 00

222

8 Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor

⎛

S˜0b2 1

000

000

⎜ ⎜ 000 00 ⎜ ⎜ ⎜ 000 00 ⎜ ⎜ ⎜ 000 00 ⎜ ⎜ ⎜ 1 0 0 −1 0 ⎜ ⎜ 1 0 0 −1 0 ⎜ =⎜ ⎜ −1 0 0 1 0 ⎜ ⎜ ⎜ −1 0 0 1 0 ⎜ ⎜ ⎜ 000 00 ⎜ ⎜ ⎜ 000 00 ⎜ ⎜ 000 00 ⎝ 000 00 ⎛

S˜0b3 1

00 ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 =⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0 00

⎞

⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎠ 0

⎞ 00 00 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 −1 0 ⎟ ⎟ 0 0 −1 0 ⎟ ⎟ 0 0 1 0⎠ 00 10

⎛

S˜0b2 2

0

0

00

0

0

⎞

⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 − 32 −4 0 32 −2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 3 4 0 −3 2⎟ ⎟ ⎜ 2 2 =⎜ ⎟ ⎜ 0 − 3 −2 0 3 −4 ⎟ ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ⎜0 3 2 0 −3 4⎟ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ 0 0 00 0 0 ⎛

S˜0b3 2

00 ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 =⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0 00

⎞ 0 00 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 −3 0 −4 ⎟ ⎟ 0 3 0 4⎟ ⎟ 0 −3 0 −2 ⎠ 0 30 2

Die Erwartungswerte p¯b1 , p¯b2 und die Kovarianzen cov(pb1 , qb1 ), cov(pb1 , qb2 ), cov(pb2 , qb1 ), cov(pb2 , qb2 ) lassen sich in bekannter Weise ermitteln. Damit k¨ onnen die quadratischen Approximationen (8.7) und (8.8) berechnet werden:

E[S0 (ω)K0 (ω)−1 ] ≈ ⎞ ⎛ 3251, 483370 −98, 85670067 564, 2101097 3244, 200136 −1, 147766859 −1059, 404131 ⎟ ⎜ ⎜ −3296, 976162 −101, 1310077 −518, 7142692 −3289, 692928 −1, 128804136 1104, 899559 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2754, 623859 −1378, 485256 147440610 052853 704914 1, 85626649 2750, 1873, 98, ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −2709, 131067 101, 1314419 −1919, 200754 −2704, 560062 −1, 128477888 1332, 989828 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −1180, 879513 0, 5056064196 1810, 342676 −1245, 450992 −0, 5057926185 616, 1394548 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 1247, 482545 −0, 5056021948 −1837, 431123 1178, 847960 0, 5057968433 −589, 0510079 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −1245, 450992 −0, 5057926185 616, 1394548 −1180, 879513 −0, 5056064196 1810, 342676 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1178, 847960 −0, 5057968433 −589, 0510079 1247, 482545 0, 5056021948 −1837, 431123 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2750, 052853 −1, 147440610 −1378, 485256 2754, 623859 −98, 85626649 1873, 704914 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1, 128477888 1332, 989828 −2709, 131067 −101, 1314419 −1919, 200754 ⎟ ⎜ −2704, 560062 ⎟ ⎜ ⎜ 3244, 200136 98, 85670067 564, 2101097 ⎟ 1, 147766859 −1059, 404131 3251, 483370 ⎠ ⎝ 101, 1310077 −518, 7142692 −3289, 692928 −1, 128804136 1104, 899559 −3296, 976162

E[K10 (ω)K0 (ω)−1 ] ≈ ⎞ ⎛ −0, 5004939134 0, 3168605268 · 10−7 −0, 2031503724 −0, 4995060866 0, 3168605268 · 10 −7 0, 2031503724 ⎟ ⎜ ⎜ −0, 2274556860 −0, 9999051867 0, 2274699016 −0, 2274556860 −0, 9481332843 · 10 −4 0, 2274699016 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0, 5456955591 0, 1895275785 · 10−3 0, 09023193590 0, 5444816971 −0, 1897257352 · 10 −3 −0, 1803523295 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −0, 4995060866 −0, 3168605268 · 10−7 0, 2031503724 −0, 5004939134 −0, 3168605268 · 10 −7 −0, 2031503724 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0, 2274556860 −0, 9481332843 · 10−4 −0, 2274699016 0, 2274556860 −0, 9999051867 −0, 2274699016 ⎟ ⎠ ⎝ −3 −3 0, 09023193590 0, 5444816971 0, 1897257352 · 10 −0, 1803523295 0, 5456955591 0, 1895275785 · 10

8.4 Beispiele 223

224

8 Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und Spannungsvektor

Bei Vorgabe der konstanten ¨ außeren Lasten ⎞ ⎛ −100000

 ⎜ −100000 ⎟ ⎟ ⎜ F2 0 ⎟ [N resp. N m] 0 F = =⎜ ⎟ ⎜ F3 ⎝ 100000 ⎠ −100000 ergibt sich demgem¨ aß ⎞ −0, 001269587492 ⎟ ⎜

 ⎜ −0, 001906265113 ⎟ ⎜ ¯2 u 0, 0005165870606 ⎟ ⎟ ¯0 = u ≈⎜ ⎟ ⎜ ¯3 u ⎜ 0, 001269587492 ⎟ ⎝ −0, 001906265113 ⎠ −0, 0005165870606 ⎛

⎞ 98, 77634962 ⎟ ⎜

 ⎜ 100000, 0000 ⎟ ¯ ⎟ ⎜ ¯ 1 = F1 ≈ ⎜ −121, 3663905 ⎟ F ¯ ⎟ ⎜ F4 ⎜ −98, 77634962 ⎟ ⎝ 100000, 0000 ⎠ 121, 3663905

[m resp. rad],

⎛

[N resp. N m]

und ⎞ 9272123, 390 ⎜ 10728543, 79 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −10457471, 27 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −9543195, 908 ⎟ ⎟ ⎜ ⎛ b ⎞ ⎜ −6457129, 315 ⎟ ⎟ ⎜ σ ¯ 1 ⎜ −6863478, 020 ⎟ b2 ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ¯ σ ¯ σ= ≈⎜ 6457129, 315 ⎟ b3 ⎟ ⎜ σ ¯ ⎜ 6863478, 020 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 10457471, 27 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 9543195, 908 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ −9272123, 390 ⎠ −10728543, 79 ⎛

[N/m2 ] .

Teil III

Stochastische Strukturoptimierung von Stabtragwerken

9. Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

9.1 Entwurfsziele und Entwurfsvariablen Beim Entwerfen bzw. Dimensionieren von Stabtragwerken orientiert man sich h¨ aufig an den beiden Entwurfszielen: a) b)

Hohe Tragsicherheit und Zuverl¨ assigkeit des Tragwerks Niedrige Konstruktionskosten

Forderung (a) bedeutet: -

m¨ oglichst geringe Elementspannungen; die Spannungen d¨ urfen gewisse Maximalwerte nicht u ¨berschreiten m¨ oglichst kleine Knotenverschiebungen; die L¨angen der Verschiebungen d¨ urfen eine bestimmte Gr¨ oße nicht u ¨berschreiten m¨ oglichst geringe Lagerkr¨ afte; die Belastung der Lager muss in gewissen Grenzen bleiben ...

Dagegen bedeutet die Forderung (b): -

Verwendung m¨ oglichst kosteng¨ unstiger Materialien m¨ oglichst geringes Gesamtgewicht (Gesamtvolumen) des Tragwerks die gesamten Materialkosten f¨ ur das Tragwerk d¨ urfen einen bestimmten Maximalwert nicht u berschreiten ¨ ...

Von gr¨ oßter Bedeutung in der industriellen Praxis ist die Frage, durch welche Maßnahmen bei der Entwicklung und Konstruktion von Stabtragwerken diesen zwei Forderungen gleichermaßen entsprochen werden kann. Gesucht ist ein optimaler Entwurf , der beide Entwurfsziele am besten erf¨ ullt. Zu diesem Zweck werden ausgew¨ ahlte Parameter, welche bestimmte strukturelle Eigenschaften des Tragwerkes beschreiben, in der Planung variiert. Man nennt diese Parameter Entwurfsvariablen. Setzt man voraus, dass u ¨ ber die Art der Verbindung der St¨ abe bereits entschieden ist, so lassen sich die Entwurfsvariablen entsprechend ihrem Schwierigkeitsgrad im Entwurfsprozess in vier Gruppen einteilen (vgl. S. 21; [EsSc93, S.402ff.]). Es sind dies Entwurfsvariablen zur Beschreibung bzw. Beeinflussung der

228

• • • •

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

Topologie des Tragwerkes Materialeigenschaften der St¨ abe Geometrie des Tragwerkes Querschnitte der St¨ abe .

Sehr h¨ aufig werden Entwurfsvariablen der letzten Gruppe in Betracht gezogen. Man verwendet dazu bestimmte Querschnittskenngr¨oßen als unabh¨angige Variablen (s. Tabelle nach (6.19)), aus denen sich alle anderen Querschnittswerte berechnen lassen. Entwurfsvariablen m¨ ussen zusammen mit den bereits festgelegten (nicht zu variierenden) Parametern die Struktur des Tragwerkes eindeutig bestimmen, und sie m¨ ussen voneinander unabh¨ angig sein. Bei stochastischer Betrachtungsweise kommen gegen¨ uber der deterministischen in der zweiten und der vierten Gruppe i.a. neue Entwurfsvariablen hinzu. Tats¨ achlich sind ja Elastizit¨ atsmodul, Querdehnungszahl, spezifisches Gewicht, . . . Breite, H¨ ohe, Durchmesser, . . .

(9.1) (9.2)

stochastische Gr¨ oßen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass der Verteilungstyp dieser Zufallsvariablen X = X(ω) vorgegeben und die Verteilung selbst durch wenige Verteilungsparameter, wie z.B. Erwartungswert und Varianz, eindeutig bestimmt ist. In diesem Fall ist dann die standardisierte Zuonnen die Parameter E[X] und fallsvariable X ∗ nicht beeinflussbar, jedoch k¨ var(X) in & (9.3) X = E[X] + var(X)X ∗ Entwurfsvariablen sein. Bei einem bestimmten Material werden die Erwartungswerte (Durchschnittswerte) der Gr¨ oßen (9.1) i.a. nicht, die Standardabweichungen dagegen in einem gewissen Bereich w¨ahlbar sein. Bei den Gr¨oßen (9.2) werden i.a. beide Parameter variierbar sein ( Nominalwerte und Fertigungstoleranzen). Unter (9.1) oder (9.2) befindliche deterministische Gr¨oßen X = X 0 erfasst man in (9.3) durch Setzen von E[X] = X 0 und var(X) = 0. Im Folgenden betrachten wir den Fall, dass ¨ uber die Topologie und Geometrie des Tragwerks sowie ¨ uber das Material der einzelnen St¨abe bereits entschieden ist und dass sich Erwartungswerte und/oder Standardabweichungen der Gr¨oßen (6.19) unter den Entwurfsvariablen befinden. Entwurfsvariablen k¨ onnen demnach sein: & & • die Standardabweichungen var(Eb ), var(νb ) & • die Nominalwerte Xb0 und Fertigungstoleranzen var(Xb ) bestimmter, voneinander unabh¨ angiger Querschnittsabmessungen Xb

9.1 Entwurfsziele und Entwurfsvariablen

229

f¨ ur gewisse St¨ abe b ∈ B . In einem konkreten Entwurfsproblem m¨ ussen nat¨ urlich nicht alle diese Variablen Entwurfsvariablen sein. Bemerkung 9.1. Im Hinblick auf die beiden Entwurfsziele (a),&(b) l¨asst sich & var(E var(νb ) bzw. allgemein sagen, dass kleine Standardabweichungen b ), & var(Xb ) die Materialkosten aber auch die Zuverl¨assigkeit des Tragwerks erh¨ohen, w¨ahrend kleine Querschnittsvorgaben Xb die Materialkosten aber auch die Tragsicherheit des Tragwerkes verringern. Alle Entwurfsvariablen fassen wir in dem Vektor x = (x1 , x2 , . . . , xn )T zusammen. In den Darstellungen (5.4)-(5.6) sind dann bκ K0b κ , K10 , S0b λ unabh¨ angig von ω und x,

w¨ ahrend q = q(ω, x),

p = p(ω, x)

i.a. von Zufallsgr¨ ossen und Entwurfsvariablen abh¨angen. Insbesondere gilt K0 = K0 (ω, x),

K10 = K10 (ω, x),

S0 = S0 (ω, x)

und mit (5.1)-(5.3) folglich u0 = u0 (ω, x),

F1 = F1 (ω, x),

σ = σ(ω, x).

(9.4)

Im Folgenden bezeichne Y1 , Y2 , . . . , Ym eine gewisse Auswahl von Kompour Tragsicherheit und nenten der Vektoren u0 , F1 oder σ. Es seien dies die f¨ Zuverl¨ assigkeit verantwortlichen, sog. Response-Variablen, die in dem Vektor Y = (Y1 , Y2 , . . . , Ym )T zusammengefasst werden. Wegen (9.4) gilt Y = Y(ω, x).

(9.5)

In Teil II wurde das Problem behandelt, wie man bei gegebenem Entwurfsvariablenvektor x die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder die Momente des Vektors Y der Response-Variablen berechnen kann. Bleibt x unbestimmt, so erh¨ alt man die Momente von Y entsprechend als Funktionen von x. Theoretisch ist dann auch die Dichte von Y eine Funktion von x. In der Praxis ist ihre tats¨ achliche Berechnung mit Hilfe eines der Verfahren aus Abschn. 6.2.3 aber Schwierigkeiten unterworfen, die nicht ohne Weiteres zu u ¨ berwinden sind. Daher werden wir in Abschn. 9.4 die Tragsicherheits- und Zuverl¨assigkeitsforderungen durch Versch¨ arfungen ersetzen, die sich effektiv aus den Momenten von Y berechnen lassen.

230

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

Bemerkung 9.2. Der Vektor Y der Response-Variablen darf sehr wohl Komponenten aus allen drei Vektoren u0 , F1 , σ zugleich enthalten. Mit denselben Methoden wie in Teil II lassen sich n¨amlich auch die Momente von (u0 , F1 , σ) bestimmen. Jedoch ist das f¨ ur unsere Ausf¨ uhrungen nicht erforderlich, da wir bei den genannten Versch¨arfungen mit den reinen Momenten auskommen werden.

9.2 Programme zur Entwurfsoptimierung Aus einer Vielzahl m¨ oglicher Programme zur Entwurfsoptimierung (optimal design) werden wir hier drei der wichtigsten Typen vorstellen. Der Einfachheit halber nehmen wir zun¨ achst den Standpunkt ein, dass alle Parameter des Tragwerks deterministisch sind. Kosten des Tragwerks bzw. dessen Gewicht, Volumen werden oft durch  γb Lb Ab W = b

dargestellt, wobei γb ≥ 0 ein Kosten- oder Gewichtsfaktor f¨ ur den Stab b und Ab = Ab (x) ist. Allgemein beschreiben wir die Kosten durch eine skalare Funktion W = W (x) (9.6) auf dem Raum IRn der Entwurfsvariablen. Tragsicherheitsforderungen oder Tragf¨ahigkeitsbedingungen werden h¨aufig beschrieben durch Ungleichungen der Art Yimin ≤ Yi (x) ≤ Yimax ,

i = 1, . . . , m

mit gegebenen Minimal- bzw. Maximalwerten Yimin bzw. Yimax der betrachteten Response-Variablen. Allgemeiner ziehen wir auch Tragsicherheitsbedingungen der folgenden Art in Betracht: gj (x) := fj (Y(x)) ≤ gjmax ,

j = 1, . . . , r.

(9.7)

Dabei sind fj : IRm → IR gegebene Funktionen. Manchmal ist es vorteilhaft, an die Stelle der r Ungleichungen (9.7) eine einzige G(x) := f (Y(x)) ≤ Gmax

(9.8)

zu setzen mit einer geeigneten Funktion f : IRm → IR. Hier w¨ahlt man oft G(x) =

r  j=1

cj gj (x) =

r  j=1

cj fj (Y(x)),

9.2 Programme zur Entwurfsoptimierung

231

wobei die cj ≥ 0 den jeweiligen Erfordernissen angepasste Wichtungsfaktoren sind. Bedingungen f¨ ur die Entwurfsvariablen sind meist von der Art xmin ≤ xk ≤ xmax , k k

k = 1, . . . , n

oder einfach Nichtnegativit¨ atsbedingungen xk ≥ 0,

k = 1, . . . , n.

Wir notieren sie allgemein in der Form x ∈ D,

(9.9)

wobei D eine gegebene, konvexe und abgeschlossene Teilmenge des IRn ist. Es ist bequem, eine abk¨ urzende Schreibweise zu vereinbaren. Definition 9.1. F¨ ur zwei reelle Vektoren a, b gleicher Dimension sei a ≤ b, wenn alle Komponentenungleichungen ai ≤ bi erf¨ ullt sind. Die vorhergehenden Ungleichungssysteme lassen sich dann als Ymin ≤ Y(x) ≤ Ymax ,

g(x) ≤ gmax ,

xmin ≤ x ≤ xmax ,

x≥0

schreiben, wenn man noch die Funktionen gj zu einer Vektorfunktion g = (g1 , . . . , gr )T zusammenfasst. Wir behandeln hier die folgenden drei Basisprogramme zur Entwurfsoptimierung, siehe z.B. [GaSchu98]. Typ 1: min W (x) bez. g(x) ≤ gmax (alternativ: G(x) ≤ Gmax ) x∈D Hierunter fallen Probleme der Art, bei vorgegebenen Maximalspannungen oder Maximalknotenverschiebungen etc. ein Kosten-minimales oder Gewichtsminimales etc. Tragwerk zu finden. Typ 2: min G(x) bez. W (x) ≤ W max x∈D

232

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

Bei diesem Problemtyp soll bei beschr¨ ankten Kosten oder beschr¨anktem Gewicht etc. ein Tragwerk mit m¨ oglichst geringen Elementspannungen oder m¨ oglichst kleinen Knotenverschiebungen etc. ausgelegt werden. Typ 3: min c0 W (x) + c1 G(x) bez. x ∈ D Hier ist die Zielfunktion eine Kombination der Zielfunktionen in den Problemtypen 1 und 2 (mit geeigneten Wichtungsfaktoren) w¨ahrend die expliziten Restriktionen verschwinden. 9.2.1 Robuste Optimalent¨ urfe (robust optimal design) Wir kehren jetzt zum eigentlichen Problem zur¨ uck, dass stets gewisse Parameter des Tragwerks stochastische Gr¨ oßen sind. In (9.6) ist dann W = W (ω, x), und wegen (9.5) gilt auch f¨ ur die Funktionen in (9.7) und (9.8): gj = gj (ω, x)

bzw. G = G(ω, x).

Damit haben die oben formulierten Programme aber keine wohldefinierte Bedeutung mehr! Zur Gewinnung robuster Optimalentw¨ urfe [Ma02], d.h., zur Bestimmung optimaler Tragwerksentw¨ urfe, die m¨oglichst unempfindlich sind gegen¨ uber stochastischen Parameterschwankungen, ist es naheliegend, den ¨ Einfluss der Zufallsparameter durch Ubergang zu den Erwartungswerten ¯ (x) = E[W (ω, x)] W g¯j (x) = E[gj (ω, x)]

bzw.

¯ G(x) = E[G(ω, x)]

(9.10) (9.11)

zu ber¨ ucksichtigen. Wir gelangen dann zu den Problemen [Ma02, Ma05]: Typ 1: ⎫ ¯ (x) min W ⎬ ¯ ¯ (x) ≤ gmax (alternativ: G(x) bez. g ≤ Gmax ) (9.12) ⎭ x∈D Typ 2: ⎫ ¯ min G(x) ⎬ ¯ (x) ≤ W max bez. W ⎭ x∈D Typ 3:

(9.13)

9.3 Zielfunktionen und Restriktionen

¯ (x) + c1 G(x) ¯ min c0 W bez. x ∈ D

233

3 (9.14)

Im n¨ achsten Abschnitt werden wir wichtige Beispiele zur Wahl der Funktionen W, f bzw. f in den Programmen vom Typ 1 - 3 vorstellen. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung der Wahl bzw. Herleitung deterministischer Ersatzprobleme f¨ ur Optimierungsprobleme mit stochastischen Parametern findet man in [Ma05].

9.3 Zielfunktionen und Restriktionen Die Wahl der Ziel- und Restriktionsfunktionen erfolgt im Rahmen der ma¨ thematischen Modellbildung, d.h. der Ubersetzung der technischen/¨okonomischen Aufgabenstellung in die mathematische Form. Naturgem¨aß gibt es hier eine Vielzahl von M¨ oglichkeiten, unter denen die den jeweiligen Erfordernissen am besten entsprechende auszuw¨ ahlen ist. Im Hinblick auf die im vorigen Abschnitt vorgestellten Programme er¨ ortern wir der Reihe nach Funktionen zur Darstellung • • •

der Kosten der Tragsicherheitsbedingungen bei getrennter Behandlung der Tragsicherheitsbedingungen bei gemeinsamer Behandlung.

9.3.1 Kostenfunktionen Meistens werden die Kosten f¨ ur die Elemente eines Tragwerkes im Voraus mit dem Hersteller vereinbart, so dass die zuf¨ alligen Schwankungen im Fertigungsprozess nicht zu Buche schlagen. In diesen F¨ allen ist die Kostenfunktion W = W (x) ¯ = W . Wie bereits erw¨ahnt, setzt man frei vom Zufallsparameter und somit W oft  γb Lb A0b , W = b

wobei A0b der aus den Nominalwerten der Querschnittsgr¨oßen Xb resultierende Nominalwert von Ab ist. Ein weiteres Beispiel ist W =



(γb Lb A0b +

b

δb ), var(Eb )

wobei δb ≥ 0 ein zweiter Kostenfaktor ist. Richten sich die Kosten der St¨ abe nach deren tats¨achlichem Gewicht bzw. Volumen oder hat man bei der Modellierung des Problems eher das Gewicht als die Kosten im Auge, so setzt man

234

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

W =



γb Lb Ab .

b

Nach unseren Annahmen in Abschn. 9.1 sind hier γb und Lb feste Gr¨oßen, w¨ ahrend Ab vom Zufallsparameter und von Entwurfsvariablen abh¨angig ist. Es ist also W = W (ω, x) und ¯ = W



γb Lb E[Ab ].

b

Beispiel 9.1. In der folgenden Tabelle wird die Abh¨angigkeit der Gr¨oßen A0b und E[Ab ] von den m¨oglichen Entwurfsvariablen dargestellt (siehe hierzu Beispiel 6.2). Der Einfachheit halber unterdr¨ ucken wir dabei den Stabindex.

Tabelle 9.1. Nominalwerte und Toleranzen von Querschnittsabmessungen A0

Querschnitt

E[A]

0 0

Rechteck

b0 h0

b h

π (d0 )2 4 π ((D0 )2 4

Kreis Kreisring

− (d0 )2 )

π ((d0 )2 + var(d)) 4 π ((D0 )2 + var(D) 4 0 2

−(d ) − var(d))

Ellipse Gleichseitiges Dreieck Regelm¨ aßiges Sechseck

π 0 0 a b 4 √ 3 0 2 (b ) 4 √ 3 3 (R0 )2 2

π 0 0 a b 4 √ 3 ((b0 )2 + var(b)) 4 √ 3 3 ((R0 )2 + var(R)) 2

9.3.2 Vektorfunktionen zur Tragsicherheit Die Restriktionen f¨ ur die Response-Variablen seien Ungleichungen Yi ≤ Yimax

(9.15a)

Yi ≥ Yimin

(9.15b)

Yimin ≤ Yi ≤ Yimax

(9.15c)

oder oder f¨ ur i = 1, . . . , m. Sie lassen sich auf verschiedene Weisen in Ungleichungen f¨ ur deterministische Gr¨ oßen u ¨ bertragen.

9.3 Zielfunktionen und Restriktionen

235

1) Wir setzen f¨ ur jedes i gi = Yi − Yimax bzw. gi = Yimin − Yi bzw. gi+ = Yi − Yimax ,

gi− = Yimin − Yi .

Bezeichnet g die Zusammenfassung aller dieser Funktionen, so ist die Be¯ (x) ≤ 0 gleichbedeutend mit dingung g E[Yi ] ≤ Yimax

(9.16a)

E[Yi ] ≥ Yimin

(9.16b)

Yimin ≤ E[Yi ] ≤ Yimax

(9.16c)

bzw. bzw. f¨ ur i = 1, . . . , m. Diese Restriktionen sind jedoch oft nicht ausreichend. 2) Wir setzen jetzt f¨ ur jedes i  0, falls Yi ≤ Yimax bzw. Yi ≥ Yimin bzw. Yimin ≤ Yi ≤ Yimax gi = 1, sonst. Dann sind die g¯i = g¯i (x) = (9.17) = 1 − P (Yi ≤ Yimax bzw. Yi ≥ Yimin bzw. Yimin ≤ Yi ≤ Yimax ) Versagenswahrscheinlichkeiten. W¨ ahlt man f¨ ur die Versagenswahrscheinlichkeiten kleine Schranken εi , etwa εi = 0, 05 oder εi = 0, 01 und setzt ¯ (x) ≤ gmax gleichbedeutend mit gimax = εi , so ist die Bedingung g P (Yi ≤ Yimax ) ≥ 1 − εi

(9.18a)

P (Yi ≥ Yimin ) ≥ 1 − εi

(9.18b)

P (Yimin ≤ Yi ≤ Yimax ) ≥ 1 − εi

(9.18c)

bzw. bzw. f¨ ur i = 1, . . . , m. Es sind dies Wahrscheinlichkeitsrestriktionen mit den Schranken αi := 1 − εi , etwa αi = 0, 95 oder αi = 0, 99 f¨ ur die Sicherheitswahrscheinlichkeiten. Die Restriktionen (9.18) stellen i.a. eine bessere ¨ Ubersetzung der urspr¨ unglichen Restriktionen (9.15) dar als die Restriktionen (9.16). Wie bereits am Ende des Abschnittes 9.1 erw¨ahnt, lassen sich jedoch die Funktionen (9.17) in der Praxis kaum berechnen. M¨oglichkeiten zur Umgehung dieser Schwierigkeit werden in Abschn. 9.4 besprochen.

236

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

Bemerkung 9.3. Allgemein k¨onnen wir Restriktionen AY ≤ b mit fester Matrix A ∈ IMr,m und festem Vektor b ∈ IRr wie in 1) und 2) behandeln. Es werden daraus a) AE[Y] ≤ b b) P (aj1 Y1 + . . . + ajm Ym ≤ bj ) ≥ αj , j = 1, . . . , r. Bemerkung 9.4. Zerlegt man die zweiseitige Restriktion (9.15c) in die zwei einseitigen Restriktionen (9.15a) und (9.15b), so erh¨alt man nach 2) an Stelle von (9.18c) die Ungleichungen P (Yi ≤ Yimax ) ≥ 1 − εi+ und P (Yi ≥ Yimin ) ≥ 1 − εi− .

(9.19)

Auf die Beziehungen von (9.18c) zu (9.19) werden wir in Abschn. 9.4 zu sprechen kommen. 3) Die bisherigen Ans¨ atze lassen sich verallgemeinern zu gi = ϕi (Yi − Yimax ) bzw. gi = ϕi (Yimin − Yi ) bzw. gi+ = ϕi+ (Yi − Yimax ),

gi− = ϕi− (Yimin − Yi )

oder gi = ϕi+ (Yi − Yimax ) + ϕi− (Yimin − Yi ),

(9.20)

wobei ϕj : IR → IR monoton wachsende Funktionen sind. In der Tat erhalten wir f¨ ur ϕj (t) = t den Ansatz 1) und f¨ ur ϕj (t) = 0, t ≤ 0, sowie ϕj (t) = 1, t > 0, den Ansatz 2). Oft w¨ ahlt man ϕj : IR → IR+ , in welchem Fall ϕj eine Kostenfunktion (oder Straffunktion) genannt wird. Die Vorstellung dabei ist, dass ϕj die (Straf-) Kosten misst, die aus einer Verletzung der zugeh¨origen Restriktion ur t ≤ 0 sehr kleine Werte (am entstehen. Dem entspricht, dass ϕj (t) f¨ ur t > 0 rasch ansteigt. besten den Wert 0) annimmt, w¨ ahrend ϕj (t) f¨ Beispiel 9.2. Kostenfunktionen ∞  a) ϕj (t) = cjk t2k+1 mit Koeffizienten cjk ≥ 0,

k = 0, 1, 2, . . ..

k=0

Dies sind jedoch keine Kostenfunktionen im eigentlichen Sinn. Zu b) ben¨otigen wir noch die folgenden Bezeichnungen:

9.3 Zielfunktionen und Restriktionen

Definition 9.2. F¨ ur t ∈ IR seien  t, falls t ≥ 0 und t+ = 0, sonst

−



t =

237

−t, falls t ≤ 0 0, sonst.

Damit gilt t+ ≥ 0, t− ≥ 0, (−t)+ = t− und |t| = t+ + t− f¨ ur alle t ∈ IR. b) ϕj (t) = (t+ )kj mit einer ganzen Zahl kj ≥ 1. Man beachte, dass ϕj genau (kj −1)-mal differenzierbar ist. Tats¨achlich (k −1) ist ϕj j (t) = kj !t+ in t = 0 nicht differenzierbar. c) ϕj (t) = ecj t mit einem Parameter cj > 0. d) ϕj (t) = Φ( σtj ) mit einem Parameter σj > 0. =x − 1 x2 Dabei bezeichnet Φ(x) = √12π e 2 dx die Verteilungsfunktion −∞

der standardisierten Normalverteilung. Durch Wahl eines hinreichend kleinen σj > 0 l¨asst sich die in 2) verwendete Sprungfunktion ϕ(t) = 0, t ≤ 0, und ϕ(t) = 1, t > 0, beliebig genau durch ϕj (t) approximieren. Die Differenzierbarkeit von ϕj wird f¨ ur den Einsatz analytischer Methoden bei der Ermittlung eines optimalen Entwurfs ben¨otigt, vgl. Abschn. 11. Graphen zu den Kostenfunktionen unter b), c) und d) sind in der Abb. 9.1 dargestellt:

Abb. 9.1. Kostenfunktionen ϕ

238

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

(9.20) gestattet eine einfachere Darstellung, wenn ϕi+ = ϕi− =: ϕi und ϕi (t) = 0 f¨ ur alle t ≤ −ρi

(9.21)

gilt. Dabei wurde ai :=

1 max (Y + Yimin ), 2 i

ρi :=

1 max (Y − Yimin ) 2 i

(9.22)

gesetzt.

Abb. 9.2. Parameter des zul¨ assigen Intervalls

Unter dieser Voraussetzung gibt es n¨amlich eine monoton wachsende Funktion ψi : IR+ → IR+ mit ψi (0) = 0 derart, dass ϕi (t) = ψi ((t + ρi )+ ).

(9.23)

(Man setze dazu ψi (t) = ϕi (t − ρi ). Umgekehrt wird zu jeder solchen Funktion ψi durch (9.23) eine monoton wachsende Funktion ϕi mit der Eigenschaft (9.21) definiert.) Es folgt dann: gi = ψi ((Yi − Yimax + ρi )+ ) + ψi ((Yimin − Yi + ρi )+ ) = ψi ((Yi − ai )+ ) + ψi ((ai − Yi )+ ) = ψi ((Yi − ai )+ ) + ψi ((Yi − ai )− ) = ψi (|Yi − ai |).

(9.24)

Bemerkung 9.5. (9.21) wird in den Anwendungen bei passend gew¨ahlten Kostenfunktionen ϕi zumindest n¨aherungsweise erf¨ ullt sein, d.h. in der Form ϕi (−ρi )  gimax . Beispiel 9.3. a) ϕi (t) = (t+ )ki erf¨ ullt (9.21) streng. Bei gr¨oßerem ki werden unzul¨assige Werte von Yi anf¨anglich leichter, dann aber schwerer bestraft als bei kleinerem ki . b) ϕi (t) = Φ( σti ) erf¨ ullt (9.21) nur n¨aherungsweise, und (9.20) wird api proximiert durch (9.24) mit ψi (t) = Φ( t−ρ σi ).

9.3 Zielfunktionen und Restriktionen

239

Abb. 9.3. Kostenfunktionen ψ, g (Typ I)

Abb. 9.4. Kostenfunktionen ψ, g (Typ II)

¯ (x) ≤ Bei dem obigen Ansatz f¨ ur die Funktionen gi ist die Bedingung g gmax gleichbedeutend mit E[ϕi (Yi − Yimax )] ≤ gimax

(9.25a)

E[ϕi (Yimin − Yi )] ≤ gimax

(9.25b)

bzw.

240

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

bzw. max max , E[ϕi− (Yimin − Yi )] ≤ gi− E[ϕi+ (Yi − Yimax )] ≤ gi+ oder

E[ϕi+ (Yi − Yimax )] + E[ϕi− (Yimin − Yi )] ≤ gimax . Die letzte Ungleichung kann man im Fall ϕi+ (t) = ϕi− (t) = ψi ((t + ρi )+ ), t ∈ IR, nach (9.24) ersetzen durch E[ψi (|Yi − ai |)] ≤ gimax .

(9.25c)

9.3.3 Skalare Funktionen zur Tragsicherheit 1) Die Forderung nach ausreichender Tragsicherheit kann ganz allgemein beschrieben werden durch die Restriktion Y∈Y

(9.26)

mit einer fest vorgegeben Teilmenge Y von IRm . Wichtige Beispiele sind von der Gestalt Y = {y ∈ IRm :

||Dy|| ≤ ρ},

(9.27)

wobei ||.|| eine Vektornorm auf IRm (vgl. Abschn. 7.1.1) und ρ ≥ 0 ist. Ferner bezeichnet D = (dii δij ) eine Diagonalmatrix mit dii ≥ 0, i = 1, . . . , m. Beispiel 9.4. Normrestriktionen bei zwei Response-Variablen a) Maximumnorm

Abb. 9.5. Gewichtete Maximumnorm

9.3 Zielfunktionen und Restriktionen

241

b) Betragssummennorm

Abb. 9.6. Gewichtete Betragssummennorm

c) Euklidsche Norm

Abb. 9.7. Gewichtete Euklidsche Norm

Oft liegt der Nullvektor 0 ∈ IRm einigermaßen zentral in Y, und es ist dann naheliegend, Y eine der Mengen (9.27) einzubeschreiben. In allen diesen F¨allen kann man G = ||DY|| und Gmax = ρ w¨ahlen. Die ¯ ¨ Ubertragung G(x) ≤ Gmax von (9.26) lautet damit E[||DY||] ≤ ρ. Allgemeiner werden zur Definition von G an Stelle der gewichteten Normen auch Normbewertungen verwendet, d.h. man setzt G = ||DY||ν

242

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

Abb. 9.8. Approximation des zul¨ assigen Bereichs

mit einer Norm ||.|| auf IRm , einer Diagonalmatrix D und einem Exponen¨ ten ν ≥ 1. (9.26) hat dann die Ubertragung E[||DY||ν ] ≤ ρν .

(9.28)

¨ Ahnlich wie die Funktionen gi in Abschn. 9.3.2 wird auch G oft in der Form G = ϕ(Y) angesetzt, wobei ϕ : IRm → IR+ eine Kostenfunktion ist, also geringen Verletzungen der Restriktionen kleine Werte von ϕ entsprechen und umgekehrt. Wir stellen im Folgenden einige M¨oglichkeiten vor. 2) In Bezug auf die allgemeine Restriktion (9.26) setzen wir  0, falls Y ∈ Y G= 1, sonst womit sich ergibt: ¯ = G(x) ¯ G = P (Y ∈ / Y) = 1 − P (Y ∈ Y). ¯ W¨ ahlt man noch Gmax = ε mit 0 < ε  1, so ist die Bedingung G(x) ≤ max G gleichbedeutend mit P (Y ∈ Y) ≥ 1 − ε.

(9.29)

Auch hier wird also eine untere Schranke α := 1 − ε f¨ ur die Sicherheitswahrscheinlichkeit vorgegeben. In der wichtigen Beispielklasse, wo die Restriktionen die Form (9.15) haben, ist Y ein – m¨ oglicherweise unendlicher – Quader im IRm und (9.29) wird zu P (Yi ≤ Yimax bzw. Yi ≥ Yimin bzw. Yimin ≤ Yi ≤ Yimax , i = 1, . . . , m) ≥ 1 − ε.

(9.30)

9.3 Zielfunktionen und Restriktionen

243

Auf die Beziehung zu dem sich bei getrennter Behandlung ergebenden System der m Ungleichungen (9.18) werden wir im n¨achsten Abschnitt eingehen.

Abb. 9.9. Gemeinsame/getrennte Restriktionen

3) Wie bereits erw¨ ahnt, nimmt man oft G=

r 

cj g j

j=1

mit einer die Verletzung der Tragsicherheitsbedingungen bewertenden vektoriellen Kostenfunktion g und geeigneten Wichtungsfaktoren. Liegen speziell die Sicherheitsbedingungen (9.15) vor, so wird man demnach ansetzen m  ci gi (Yi ), (9.31) G= i=1

wobei gi (Yi ) = ϕi (Yi − Yimax )

(9.32a)

gi (Yi ) = ϕi (Yimin − Yi )

(9.32b)

bzw.

244

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

bzw. (mit den Abk¨ urzungen (9.22) und ψi (t) := ϕi (t − ρi )) gi (Yi ) = ψi (|Yi − ai |)

(9.32c)

mit Kostenfunktionen ϕi : IR → IR+ einer Variablen, i = 1, . . . , m. Es ergibt sich dann die Restriktion m 

ci E[gi (Yi )] ≤ Gmax .

(9.33)

i=1

Allgemein heißen Kostenfunktionen der Gestalt (9.31) separabel.

9.4 Absch¨ atzung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsrestriktionen wie (9.18), (9.29), (9.30) haben die unsch¨one Eigenschaft, dass sich die betreffenden Wahrscheinlichkeiten als Funktionen der Entwurfsvariablen in der Praxis kaum explizit berechnen lassen. Es liegt daher nahe, die Sicherheitswahrscheinlichkeiten durch berechenbare Funktionen abzusch¨ atzen. Hierzu benutzen wir die folgenden Hilfss¨atze. Lemma 9.1. Es seien X = X(ω)eine reelle Zufallsvariable und ϕ : IR → IR+ eine monoton wachsende Funktion. F¨ ur jedes ρ ∈ IR mit ϕ(ρ)
= 0 gilt dann E[ϕ(X)] E[ϕ(X)] − ϕ(ρ) ≤ P (X ≥ ρ) ≤ . ess. sup ϕ(X) ϕ(ρ) Beweis. Wie u ¨blich bezeichnet ess.sup das wesentliche Supremum von Zufallsvariablen. Der Einfachheit halber setzen wir die Existenz einer Dichtefunktion f (x) f¨ ur X voraus. Dann gilt #∞ E[ϕ(X)] =

#ρ ϕ(x)f (x) dx =

−∞

#∞ ϕ(x)f (x) dx +

−∞

ϕ(x)f (x) dx ρ

und folglich i)

#∞ E[ϕ(X)] ≥

#∞ ϕ(x)f (x) dx ≥ ϕ(ρ)

ρ

f (x) dx = ϕ(ρ)P (X ≥ ρ) ρ

ii) #ρ E[ϕ(X)] ≤ ϕ(ρ)

#∞ f (x) dx + ess. sup ϕ(X)

−∞

≤ ϕ(ρ) + ess. sup ϕ(X) P (X ≥ ρ).

f (x) dx ρ

9.4 Absch¨ atzung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten

245

Daraus folgt sofort die Behauptung. Aus Lemma 9.1 ergibt sich unmittelbar Lemma 9.2. Es seien X = X(w) eine reelle Zufallsvariable und ψ : IR + → ur jedes ρ ≥ 0 mit ψ(ρ)
= 0 gilt IR+ eine monoton wachsende Funktion. F¨ dann: E[ψ(|X|)] E[ψ(|X|)] − ψ(ρ) ≤ P (|X| ≥ ρ) ≤ . ess. sup ψ(|X|) ψ(ρ) Nat¨ urlich kann man in Lemma 9.2 ψ auch als gerade Funktion auf ganz IR definieren, in welchem Fall ψ(|X|) = ψ(X) wird. Lemma 9.3. F¨ ur i = 1, . . . , m seien Xi Zufallsvariablen und Ai Teilmengen von IR mit P (Xi ∈ Ai ) ≥ 1 − εi . Dann gilt P (Xi ∈ Ai , i = 1, . . . , m) ≥ 1 −

m 

εi .

i=1

Beweis. Mit der Regel von De Morgan ist P (Xi ∈ Ai , i = 1, . . . , m) = 1 − P (X1 ∈ / A1 oder X2 ∈ / A2 . . . oder Xm ∈ / Am ) m m   (1 − P (Xi ∈ Ai )) P (Xi ∈ / Ai ) = 1 − ≥1− i=1

i=1

≥1−

m 

εi .

i=1

Diese Regel von den kleinen Ausnahmewahrscheinlichkeiten ist auch als BonferroniUngleichung vom Grad 0 bekannt. Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeitsrestriktionen (9.18a-c). (9.18a) ur jede monoton wachsende Funkist ¨ aquivalent zu P (Yi − Yimax > 0) ≤ εi . F¨ tion ϕi : IR → IR+ mit ϕi (0)
= 0 gilt nach Lemma 9.1 P (Yi − Yimax > 0) ≤

E[ϕi (Yi − Yimax )] . ϕi (0)

Es ergibt sich damit die Versch¨ arfung E[ϕi (Yi − Yimax )] ≤ εi ϕi (0)

(9.34a)

von (9.18a). (9.34a) ist aber identisch mit (9.25a), wenn man gimax = ϕ(0)εi setzt. Analog ist (9.18b) ¨ aquivalent zu P (Yimin − Yi > 0) ≤ εi . W¨ahlt man ϕi wie eben, so ergibt sich

246

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

P (Yimin − Yi > 0) ≤

E[ϕi (Yimin − Yi )] ϕi (0)

und damit die Versch¨ arfung E[ϕi (Yimin − Yi )] ≤ εi ϕi (0)

(9.34b)

von (9.18b). (9.34b) stimmt wieder mit (9.25b) u ¨berein. Schließlich ist (mit den Abk¨ urzungen (9.22)) (9.18c) ¨aquivalent zu P (|Yi − ai | > ρi ≤ εi . F¨ ur jede monoton wachsende Funktion ψi : IR+ → IR+ mit ψi (ρi )
= 0 gilt nach Lemma 9.2 P (|Yi − ai | > ρi ) ≤

E[ψi (|Yi − ai |)] . ψi (ρi )

Demnach wird (9.18c) versch¨ arft durch die Bedingung E[ψi (|Yi − ai |)] ≤ εi , ψi (ρi )

(9.34c)

die bereits mit (9.25c) u ¨bereinstimmt. Hieraus ersieht man, dass die Absch¨ atzung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten in (9.18) mit Hilfe der Lemmata 9.1, 9.2 interpretiert werden kann als Verwendung entsprechender Kostenfunktionen zu den Restriktionen (9.15). Beispiel 9.5. F¨ ur ϕi w¨ahlt man oft ϕi (t) = ((t + Yimax )+ )ki bzw. ϕi (t) = ((t − Yimin )+ )ki mit ki ≥ 1, standardm¨aßig mit ki = 2. (9.34a, 9.34b) werden dann zu E[(Yi+ )ki ] ≤ (Yimax )ki εi bzw. E[(Yi− )ki ] ≤ (−Yimin )ki εi .

Abb. 9.10. Funktionen zur Absch¨ atzung der Sicherheitswahrscheinlichkeit

9.4 Absch¨ atzung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten

247

Auch die Funktionen unter c), d) von Beispiel 9.2 sind geeignet. F¨ ur ψi w¨ahlt man ebenfalls meistens ψi (t) = tki , t ≥ 0. Bei gerader ganzer Zahl ki geht (9.34c) dann ¨ uber in E[(Yi − ai )ki ] ≤ ρki i εi

(ki ≥ 2, gerade).

(9.35)

Bemerkung 9.6. Um die linke Seite der Ungleichung (9.35) als Funktion des Entwurfsvariablenvektors x darzustellen, gen¨ ugt es, die Momente von Yi bis zur Ordnung ki in Abh¨angigkeit von x zu bestimmen. Besonders einfach ist dies f¨ ur ki = 2. Wie einschneidend andererseits die versch¨arften Restriktionen (9.35) sind, wird ersichtlich, wenn man (9.15c) in die ¨aquivalente Form (Yi − ai )ki ≤ ρki i bringt und mit (9.35) vergleicht. W¨are Yi deterministisch, so k¨onnte man in (9.35) εi = 1 nehmen. Tats¨achlich aber wird etwa εi = 0, 05 oder εi = 0, 01 vorgeschrieben! Was die Wahrscheinlichkeitsrestriktion (9.30) betrifft, so l¨asst sich diese mit Hilfe von Lemma 9.3 auf die m Restriktionen (9.18) zur¨ uckf¨ uhren. Genauer: W¨ ahlt man in den letzteren die εi derart, dass ε1 + . . . + εm = ε, so folgt (9.30); umgekehrt folgt aus (9.30) mit ε := min{ε1 , . . . , εn } unmittelbar (9.18). Entsprechendes gilt nat¨ urlich auch f¨ ur die Beziehungen zwischen (9.18c) und (9.19). Mit den zuvor behandelten Versch¨ arfungen von (9.18) ergibt sich demnach: W¨ ahlt man in den m Restriktionen (9.34) die εi derart, dass ε1 + . . .+ εm = ε, aquivalent ist, dass die Summe der so folgt (9.30). Der Forderung an die εi ¨ linken Seiten aller m Ungleichungen (9.34) ε nicht u ¨berschreitet: m  i=1



E[ϕi (Yi − Yimax )] bzw. ϕi (0) E[ϕi (Yimin − Yi )] bzw. ϕi (0)  E[ψi (|Yi − ai |)] ≤ ε. ψi (ρi )

(9.36)

Die Restriktion (9.36) ist aber identisch mit (9.33), wenn man dort (9.32a-c), 1 und Gmax = ε einsetzt. ci = ϕi1(0) bzw. = ψi (ρ i) Schließlich betrachten wir die allgemeine Wahrscheinlichkeitsrestriktion (9.29), die a ¨quivalent ist zu P (Y ∈ / Y) ≤ ε,

248

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

wobei Y eine gegebene Teilmenge des IRm ist. Oft ist es m¨oglich, Y durch Einund Umschreiben von durch eine gewichtete Vektornorm auf IRm definierten ρ− Umgebungen von 0 Uρ (0) = {y ∈ IRm : ||Dy|| < ρ} einzuschließen. Dabei ist D wieder eine Diagonalmatrix mit nicht negativen Diagonalelementen.

Abb. 9.11. Approximation zul¨ assiger Bereiche mittels Vektornorm

Es seien also 0 < ρ ≤ ρ derart, dass Uρ (0) ⊆ Y ⊆ Uρ
(0). Dann gilt P (Y ∈ Uρ (0)) ≤ P (Y ∈ Y) ≤ P (Y ∈ Uρ
(0)) und folglich P (||DY|| ≥ ρ ) ≤ P (Y ∈ / Y) ≤ P (||DY|| ≥ ρ). Nach Lemma 9.2 hat man die Absch¨ atzungen E[ψ(||DY||)] − ψ(ρ ) E[ψ(||DY||)] ≤ P (||DY|| ≥ ρ ) und P (||DY|| ≥ ρ) ≤ , ess. sup ψ(||DY||) ψ(ρ) wobei ψ : IR+ → IR+ irgendeine monoton wachsende Funktion mit ψ(ρ)
= 0 ist. Damit folgt E[ψ(||DY||)] E[ψ(||DY||)] − ψ(ρ ) ≤ P (Y ∈ / Y) ≤ , ess. sup ψ(||DY||) ψ(ρ) und (9.29) wird garantiert durch die Forderung

9.5 Spezielle Programme

E[ψ(||DY||)] ≤ ψ(ρ)ε.

249

(9.37)

W¨ ahlt man ψ(t) = tν , t ≥ 0, mit einem Exponenten ν ≥ 1, so schreibt sich (9.37) als E[||DY||ν ] ≤ ρν ε. Dies ist eine erhebliche Versch¨ arfung der (i.a. nicht ausreichenden) Forderung (9.28). Beispiel 9.6. Mit der Euklidschen Norm, D = I und ψ(t) = t2 wird (9.37) zu E[Y12 ] + . . . + E[Ym2 ] ≤ ρ2 ε. Interessant ist auch die Kombination von Betragssummen- oder Maximumnorm mit ψ(t) = t, wo sich E[|Y1 |] + . . . + E[|Ym |] ≤ ρε bzw. max E[|Yi |] ≤ ρε i

ergeben.

9.5 Spezielle Programme Gem¨ aß Abschn. 9.3 w¨ ahlen wir die Gewichtsfunktion  W (ω, x) = γb Lb Ab (ω, x), b

¨ ferner die zur Ubertragung der Tragsicherheitsbedingung Y min ≤ Y ≤ Ymax dienenden Funktionen gi (ω, x) = ψi (Yi (ω, x) − ai ), resp. G(ω, x) =

m  i=1

i = 1, . . . , m

1 gi (ω, x). ψ(ρi )

Dabei wurden die Abk¨ urzungen (9.22) verwendet, und die ψi : IR → IR+ , i = 1, . . . , m, sind gerade und auf IR+ monoton wachsende Funktionen mit ψi (ρi )
= 0. Zur Vermeidung von Betragsstrichen schreiben wir ψi ab jetzt in symmetrischer Form. Setzen wir noch gimax = ψi (ρi )εi , resp.

i = 1, . . . , m

250

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

Gmax = ε, so sind im Hinblick auf (9.34c), (9.36) g¯i (x) ≤ gimax ,

i = 1, . . . , m

resp. ¯ G(x) ≤ Gmax Versch¨ arfungen der Restriktionen f¨ ur die Sicherheitswahrscheinlichkeiten P (Yimin ≤ Yi ≤ Yimax ) ≥ 1 − εi ,

i = 1, . . . , m

(9.38)

resp. P (Ymin ≤ Y ≤ Ymax ) ≥ 1 − ε.

(9.39)

Mit diesen Funktionen und D = {x ∈ IRn :

xmin ≤ x ≤ xmax },

wobei die Beschr¨ ankung nach oben evtl. wegfallen kann, werden die Programme (9.12)-(9.14) spezialisiert zu Typ 1: ⎫  min γb Lb E[Ab (ω, x)] ⎪ ⎪ ⎪ b ⎪ ⎪ bez. E[ψi (Yi (ω, x) − ai )] ≤ ψi (ρi )εi , i = 1 . . . , m ⎬ m (9.40)  E[ψi (Yi (ω,x)−ai )] ⎪ ≤ ε) (alternativ: ⎪ ψi (ρi ) ⎪ ⎪ i=1 ⎪ ⎭ xmin ≤ x ≤ xmax Typ 2: ⎫ m  E[ψi (Yi (ω,x)−ai )] ⎪ ⎪ min ⎪ ψi (ρi ) ⎬ i=1  max bez. γb Lb E[Ab (ω, x)] ≤ W ⎪ ⎪ b ⎪ ⎭ min x ≤ x ≤ xmax

(9.41)

Typ 3: min

 b

γb Lb E[Ab (ω, x)] + c

bez. xmin ≤ x ≤ xmax .

m  i=1

E[ψi (Yi (ω,x)−ai )] ψi (ρi )

⎫ ⎬ ⎭

(9.42)

Durch Einf¨ uhrung von m neuen Variablen y1 , . . . , ym in die Programme (9.40)-(9.42) lassen sich diese oft wesentlich verbessern. Das Verfahren beruht auf der folgenden Beobachtung. F¨ ur jedes yi mit Yimin ≤ yi ≤ Yimax gilt wegen |Yi − yi | + |yi − ai | ≥ |Yi − ai |

9.5 Spezielle Programme

251

und Lemma 9.2 P (|Yi − ai | ≥ ρi ) ≤ P (|Yi − yi | ≥ ρi − |yi − ai |) ≤

E[ψi (Yi − yi )] . ψi (ρi − |yi − ai |)

Damit l¨ asst sich (9.38) garantieren durch die Bedingung E[ψi (Yi − yi )] ≤ εi , ψi (ρi − |yi − ai |)

i = 1, . . . , m .

Abb. 9.12. Variable Referenzpunkte im zul¨ assigen Intervall

Somit ist auch (9.39) eine Folge von m  E[ψi (Yi − yi )] ≤ ε. ψ (ρ − |yi − ai |) i=1 i i

Im Allgemeinen lassen sich aber die yi so w¨ ahlen, dass diese Versch¨arfungen weniger einschneidend sind, als die zuvor benutzten (mit yi = ai ). Beispiele hierzu geben wir im n¨ achsten Abschnitt. Die verbesserten Programme lauten nun wie folgt. Typ 1: ⎫  min γb Lb E[Ab (ω, x)] ⎪ ⎪ ⎪ b ⎪ ⎪ ⎪ bez. E[ψi (Yi (ω, x) − yi )] ≤ ψi (ρi − |yi − ai |)εi , ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ i = 1...,m m (9.43)  E[ψi (Yi (ω,x)−yi )] ⎪ (alternativ: ⎪ ψi (ρi −|yi −ai |) ≤ ε) ⎪ ⎪ i=1 ⎪ ⎪ ⎪ xmin ≤ x ≤ xmax ⎪ ⎪ ⎭ min max Y ≤y≤Y Typ 2: ⎫ m  E[ψi (Yi (ω,x)−yi )] ⎪ ⎪ min ⎪ ψi (ρi −|yi −ai |) ⎪ ⎪ ⎬  i=1 max bez. γb Lb E[Ab (ω, x)] ≤ W b ⎪ ⎪ ⎪ xmin ≤ x ≤ xmax ⎪ ⎪ ⎭ min max Y ≤y≤Y Typ 3:

(9.44)

252

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

min



γb Lb E[Ab (ω, x)] + c

i=1

b

bez. x ≤ x ≤ xmax min Y ≤ y ≤ Ymax . min

m 

E[ψi (Yi (ω,x)−yi )] ψi (ρi −|yi −ai |)

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

(9.45)

Bemerkung 9.7. Hierbei wird vorausgesetzt, dass ψi keine Nullstelle im halboffenen Intervall ]0, ρi ] hat, i = 1, . . . , m. Gilt ψi (0) = 0 f¨ ur ein i ∈ {1, . . . , m}, so gibt es sicher keine L¨osung (x∗ , y∗ ) eines der Programme (9.43)-(9.45) mit yi∗ = Yimax oder yi∗ = Yimin . F¨ ur ein beliebiges aber festes x gilt n¨amlich lim

max / min yi →Yi

f.s.

E[ψi (Yi (ω, x) − yi )] = +∞ ψi (ρi − |yi − ai |)

max / min

da wir den Fall Yi (ω, x) = Yi

ausschließen d¨ urfen.

Durch Gleichsetzen aller Variablen yi , f¨ ur welche die Schranken Yimin ebenmax u asst sich die Anzahl der Optimierungsvariablen so wie Yi ¨ bereinstimmen, l¨ verringern, wobei schon diese vereinfachten Programme i.a. erhebliche Verbesserungen von (9.40)-(9.42) darstellen. In den Beispielen des folgenden Abschnitts wird stets ψi (t) = ψ(t) = t2 gew¨ ahlt. Anschaulich ist klar, dass die hier vorgestellten Programme L¨osungen besitzen , falls ihre zul¨ assigen Bereiche nicht leer sind, d.h. falls die Restriktionen u ullbar sind. Verfahren zur Berechnung von L¨osungen werden wir ¨ berhaupt erf¨ in Abschn. 11 besprechen. Bemerkung 9.8. Zur Steigerung der numerischen Stabilit¨at des Optimierungsalgorithmus ist es angebracht, die Zielfunktionen und Bedingungen der Programme durch Skalieren in eine zur Vermeidung von Rundungsfehlern zweckm¨aßige Gr¨oßenordnung zu bringen. So wird man etwa das Programm (9.40) umformen zu   min( γb Lb A0b (xmax ))−1 γb Lb E[Ab (ω, x)] b

b

E[ψi (Yi (ω, x) − ai )] − 1 ≤ 0, i = 1, . . . , m bez. ψi (ρi )εi m  E[ψi (Yi (ω, x) − ai )] − 1 ≤ 0) (alternativ: ψi (ρi )ε i=1 −

xk − xmin xk − xmin k ≤ 0, max k min − 1 ≤ 0, max min xk − xk xk − xk

k = 1, . . . , n.

Desgleichen wird man die Gewichtsrestriktion in (9.41) durch

9.6 Beispiel: Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen



253

γb Lb E[Ab (ω, x)] −1≤0

b

W max

ersetzen, w¨ahrend eine Skalierung der Zielfunktion evtl. nicht n¨otig ist.

9.6 Beispiel: Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen Wir betrachten wieder den Dreistab aus den Abschnitten 7.3.2.2 und 8.4.2, sehen hier aber den Nominalwert d0 = d¯ des gemeinsamen Querschnittsdurchmessers nicht als vorgegeben, sondern als Entwurfsvariable an. Response


Variablen seien die Spannungen σ1b , σ2b , σ2b . Die Druckbruchspannung von Nadelholz liegt bei −6 · 107 , die Zugbruchspannung bei 3, 5 · 107 [N/m2 ]. Als Grenzen f¨ ur den linear elastischen Bereich legen wir 30% der jeweiligen Bruchspannung zugrunde. Demgem¨ aß haben wir die folgenden Vorgaben: √ Lb = Lb

= 3, Lb
= 32 2 [m] E gleichverteilt zwischen 10 · 109 und 11 · 109 [N/m2 ] γ = 5000 [N/m3 ] (spez. Gewicht von Nadelholz) d dreiecksverteilt um d0 mit maximalem  rel. Fehler von 5% 50000 0 F = F2 = [N] −100000 Entwurfsvariable: x1 = x = d0 [m]


Response-Variablen: Y1 = σ1b , Y2 = σ2b , Y3 = σ2b [N/m2 ] Yimin = Y min = −1, 8 · 107 , Yimax = Y max = 1, 05 · 107 (i = 1, 2, 3). Damit ergibt sich zun¨ achst ¯ (x) W

= E[γ(Lb Ab + Lb
Ab
+ Lb

Ab

)] = γ(Lb + Lb
+ Lb

) π4 E[d2 ] √ 0,052 2 3 2 2 [N ] = 5000π 4 (6 + 2 2)(x + 6 x ) = 31905, 63889x

und a=

1 max (Y + Y min ) = −0, 375 · 107 , 2

ρ=

1 max (Y − Y min ) = 1, 425 · 107 . 2

Zur Absch¨ atzung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten benutzen wir die Funkotigen folglich die Momente erster und zweiter Ordnung tion ψ(t) = t2 und ben¨ der Yi . Diese berechnen wir nach den Formeln (8.5) und (8.11), wobei die dort eingehenden Matrizen gem¨ aß (8.8) resp. (8.14) quadratisch approximiert werden: E[S0 (ω)K0 (ω)−1 ] ≈

254

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

⎛

⎞ −0, 9010020040 −0, 3731430697 1 ⎝ 0 −0, 7463545058 ⎠ , x2 0, 9010020040 −0, 3731430697 E[(S0 (ω)K0 (ω)−1 )T E11 S0 (ω)K0 (ω)−1 ] ≈

 1 0, 8126992797 0, 3364338647 , x4 0, 3364338647 0, 1395048202 E[(S0 (ω)K0 (ω)−1 )T E22 S0 (ω)K0 (ω)−1 ] ≈

 1 0, 0006732798356 0 , 0, 5575498791 x4 0 E[(S0 (ω)K0 (ω)−1 )T E33 S0 (ω)K0 (ω)−1 ] ≈

 1 0, 8126992797 −0, 3364338647 x4 −0, 3364338647 0, 1395048202 und damit

⎛ ⎞ −7735, 793227 1 ⎝ E[Y] ≈ 2 74635, 45058 ⎠ x 82364, 40717 ⎛ ⎞ ⎡⎛ 2 ⎞⎤ 62457754, 08 Y1 1 E ⎣⎝ Y22 ⎠⎦ ≈ 4 ⎝ 5577181990 ⎠ . x Y32 6791135048

Betrachten wir erstens die zugeh¨ origen Programme vom Typ 1, wobei ahlt sei (i = 1, 2, 3). Nach Einsetzen der Momente von Yi in εi = ε = 0, 05 gew¨ E[(Yi − a)2 ] = E[Yi2 ] − 2aE[Yi ] + a2 erkennt man leicht, dass die Restriktionen E[(Yi − a)2 ] ≤ 0, 05ρ2,

i = 1, 2, 3

resp. 3 

E[(Yi − a)2 ] ≤ 0, 05ρ2

i=1

mit den gegebenen a, ρ f¨ ur reelle x nicht erf¨ ullbar sind. An Stelle von (9.40) benutzen wir daher das Programm (9.43), welches wir aber durch Setzen von yi = y (i = 1, 2, 3) vereinfachen. Es lautet dann: ⎫ min 31905, 63889x2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ bez. E[(Yi − y)2 ] ≤ 0, 05(ρ − |y − a|)2 , i = 1, 2, 3 ⎪ ⎪ ⎬ 3  2 2 (9.46) (alternativ: E[(Yi − y) ] ≤ 0, 05(ρ − |y − a|) ) ⎪ i=1 ⎪ ⎪ ⎪ 0≤x ⎪ ⎪ ⎭ Y min ≤ y ≤ Y max .

9.6 Beispiel: Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen

255

Hierin sind die E[(Yi − y)2 ], i = 1, 2, 3, zu entwickeln und die bekannten Werte von E[Yi ], E[Yi2 ], a und ρ einzusetzen. Wie wir sp¨ater zeigen werden (siehe Abschn. 11.3.1), l¨ asst sich das explizite Programm (9.46) mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren l¨ osen. Die L¨ osung lautet •

bei getrennter Behandlung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten: x∗ = 0, 1508877212

•

mit dem zugeh¨ origen Wert y ∗ = 0, 1640084213 · 107 der Hilfsvariable bei gemeinsamer Behandlung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten: x∗ = 0, 1860536135 und dazugeh¨ orig y ∗ = 0, 1283729799 · 107 .

Anmerkung: Zum Vergleich nehmen wir an, dass alle Stabparameter deterministisch sind, insbesondere also E (mit irgendeinem Wert, auf dessen Gr¨ oße es nicht ankommt) und d (= d0 ). Das (9.46) entsprechende Programm ist dann: 3√ 2 2)x 2 max ≤ Yi ≤ Y , i = 1, 2, 3

min 1250π(6 + bez. Y min x≥0

und hat die L¨ osung x∗ = 0, 08853739521. Der erhebliche Unterschied zu der oben erzielten L¨ osung beruht haupts¨ achlich auf der immer noch zu groben Absch¨ atzung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten. Hier sind weitere Verbesserungen notwendig. Wir diskutieren zweitens die auf unser Beispiel bezogenen Programme des Typs 2, wobei W max = 1500 (oder = 1000) [N ] gew¨ahlt sei. Die den Programmen (9.41) und (9.44) gemeinsamen Restriktionen ¯ (x) ≤ W max und x ≥ 0 W werden nach Einsetzen der expliziten Werte zu 0 ≤ x ≤ xmax := 0, 2168262740 (resp. 0, 1770379113). Aus (9.41) geht damit das Programm min

3 1  E[(Yi − a)2 ] ρ2 i=1

bez. 0 ≤ x ≤ xmax

256

9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken

hervor, dessen L¨ osung offensichtlich die Randstelle x∗ = xmax ist. Der Wert der Zielfunktion betr¨ agt dort ca. 0, 353 (resp. 0, 446) und ist als obere Absch¨ atzung der Versagenswahrscheinlichkeit wertlos. Wir benutzen deshalb das vereinfachte Programm (9.44), welches sich hier schreibt als ⎫ 3  E[(Yi −y)2 ] ⎪ ⎪ min (ρ−|y−a|2 ) ⎬ i=1 (9.47) bez. 0 ≤ x ≤ xmax ⎪ ⎪ min max ⎭ Y ≤y≤Y . Auch die L¨ osung des Programms (9.47) liegt auf dem Rand x = xmax des zul¨ assigen Bereiches. Wie wir sp¨ ater sehen werden, lautet sie: x∗ = 0, 2168262740,

y ∗ = 0, 09783725139 · 107

(resp. x∗ = 0, 1770379113,

y ∗ = 0, 1396932950 · 107 ).

Der zugeh¨ orige Zielfunktionswert von etwa 0, 025 (resp 0, 063) ist als obere Schranke f¨ ur die Versagenswahrscheinlichkeit brauchbar. Drittens betrachten wir die hierher geh¨ origen Programme vom Typ 3 mit dem Wichtungsfaktor c = 10000 (oder = 1000). (9.42) nimmt die Gestalt an ¯ (x) + c min W bez. x ≥ 0

3  E[(Yi − a)2 ] i=1

ρ2

¯ (x∗ ) ≈ und hat die L¨ osung x∗ = 0, 2235170490 (resp. 0, 1388601294). Es ist W 1594 (resp. 615) [N ], w¨ ahrend die zugeh¨ orige obere Absch¨atzung der Versagenswahrscheinlichkeit in etwa den Wert 0, 343 (resp. 0, 658) hat. Schließlich schreibt sich das vereinfachte Programm (9.45) hier ⎫ 3 2 ⎪ ¯ (x) + c  E[(Yi −y) 2] ⎪ min W (ρ−|y−a|) ⎬ i=1 (9.48) bez. x ≥ 0 ⎪ ⎪ ⎭ Y min ≤ y ≤ Y max . Die L¨ osung von (9.48) lautet x∗ = 0, 1869062423, (resp. x∗ = 0, 1347874716,

y ∗ = 0, 1273647205 · 107 y ∗ = 0, 2087496996 · 107 ),

was einem Gewicht von ca. 1115 (resp. 580) [N ] und der oberen Schranke 0, 049 (resp. 0, 232) f¨ ur die Versagenswahrscheinlichkeit entspricht.

10. Sensitivit¨ atsanalyse

Wesentlicher Teil der meisten Optimierungsalgorithmen ist die Ermittlung der Gradienten von Ziel- und Restriktionsfunktionen, d.h. die Berechnung ihrer Ableitungen nach den Optimierungsvariablen.Wir werden diese Aufgabe f¨ ur die in Abschn. 9.4 formulierten speziellen Strukturoptimierungsprogramme behandeln. Die Optimierungsvariablen sind in der Regel mit den Entwurfsvariablen x1 , . . . , xn identisch. (Programme (9.40)-(9.42)), k¨onnen aber auch zus¨ atzlich die von uns eingef¨ uhrten Hilfsvariablen y1 , . . . , ym umfassen (Programme (9.43)-(9.45)). Die Zielfunktions- und Restriktionsgradienten bez¨ uglich den Entwurfsvariablen geben wichtige Aufschl¨ usse u ¨ber die Empfindlichkeit (Sensitivit¨at) ei¨ ner Struktur bei Anderungen von Strukturparametern. Daher wird die Berechnung dieser Gradienten als Sensitivit¨atsanalyse bezeichnet. Grunds¨ atzlich gilt: Bemerkung 10.1. Gem¨aß (9.10) und (9.11) sind die hier betrachteten Funktionen Erwartungswerte von Zufallsvariablen, deren Verteilungen von den Entwurfsvariablen xi (i = 1, . . . , n) abh¨angen. Nach dem Satz von der Differentiation des Integrals in Abh¨angigkeit von einem Parameter ([Ri66, S.181,(2.30)]) d¨ urfen wir die Vertauschbarkeit von partiellem Differentialope∂ und Erwartungsoperator E voraussetzen. rator ∂x i

10.1 Gradienten von Ziel- und Restriktionsfunktionen in den speziellen Programmen 10.1.1 Gradient der Gewichtsfunktion Zu ermitteln ist der Gradient ¯ (x) = ∇W

¯ T ¯ ∂W ∂W (x), . . . , (x) ∂x1 ∂xn

der Funktion ¯ (x) = E[W (ω, x)] mit W (ω, x) = W

 b

γb Lb Ab (ω, x).

258

10 Sensitivit¨ atsanalyse

Diese Aufgabe l¨ auft hinaus auf die Berechnung der partiellen Ableitungen ∂ ∂ E[Ab (ω, x)] = E[ Ab (ω, x)], ∂xk ∂xk

k = 1, . . . , n

(vgl. Bemerkung 10.1). Im folgenden Beispiel wird das f¨ ur die von uns betrachteten Querschnitte durchgef¨ uhrt. Beispiel 10.1. Stabindizes lassen wir wieder fort. Die partiellen Ableitungen k¨onnen mit Hilfe der Tabelle in Beispiel 9.1 oder nach Einsetzen der Querschnittsabmessungen in der Gestalt (9.3) in die Formel f¨ ur A berechnet werden. Tabelle 10.1. Ableitung der erwarteten Querschnitte nach den Entwurfsvariablen

∂E[A] ∂xk

=E

Querschnitt

xk

Rechteck

b0

h0

h0

b0

&

var(b)

&

0

d0

&

var(d) D

Kreisring

π 0 d 2

π 2

&

var(d)

0

π D0 2 − π2 d0

d0

&

&

var(D)

π 2

var(d)

− π2

&

var(D)

a0

Ellipse

&

var(d)

π 0 b 4 π 0 a 4

b0

&

var(a)

0

&

var(b)

Gleichseitiges Dreieck

&

b

Regelm¨ aßiges Sechseck

&

√

0

var(b) R0

var(R)

∂A ∂xk

0

var(h)

Kreis



√

0

3 0 b 2

3 2

&

var(b) √ 3 3R0

√ & 3 3 var(R)



10.1 Gradienten von Ziel- und Restriktionsfunktionen in den speziellen Programmen

10.1.2 Gradient der erwarteten Kostenfunktion Wir untersuchen hier den Gradienten T

¯ ¯ ∂G ∂G ¯ (x), . . . , (x) ∇G(x) = ∂x1 ∂xn ¨ einer zur Ubertragung der Tragsicherheitsbedingungen (9.15c) geeigneten ska¯ laren Funktion G(x) = E[G(ω, x)]. Dabei werden wir, immer spezieller werdend, G(ω, x) = = f (Y(ω, x)) m  ci fi (Yi (ω, x)) = = =

i=1 m  i=1 m  i=1

(10.1) (10.2)

1 ψi (Yi (ω, x) − ai ) ψi (ρi )

(10.3)

1 (Yi (ω, x) − ai )2 ρ2i

(10.4)

annehmen. In (10.1)–(10.4) sind f : IRm → IR, fi : IR → IR, ψi : IR → IR+ differenzierbare Funktionen und ai , ρi durch (9.22) definiert. Die Funktionen (10.2)–(10.4) sind separabel (vgl. (9.31)). Beginnen wir mit der allgemeinsten Darstellung (10.1). Wegen der Vertauschbarkeit von Differentiation und Erwartungswertbildung erh¨ alt man mit der Kettenregel $ % ¯ ∂ ∂G (x) = E f (Y(ω, x)) ∂xk ∂xk % $ ∂f ∂Y (Y(ω, x)) (ω, x) =E ∂Y ∂xk % $ ∂Y (ω, x)T ∇Y f (Y(ω, x)) , k = 1, . . . , n (10.5) =E ∂xk und folglich ⎡⎛ ⎢⎜ ⎢⎜ ¯ ∇G(x) = E ⎢⎜ ⎣⎝ $ =E mit der Funktionalmatrix

∂Y T ∂x1 (ω, x)

.. .

⎞

⎤

⎥ ⎟ ⎥ ⎟ ⎟ ∇Y f (Y(ω, x))⎥ = ⎦ ⎠

∂Y T ∂xn (ω, x)

% ∂Y (ω, x)T ∇Y f (Y(ω, x)) ∂x

(10.6)

259

260

10 Sensitivit¨ atsanalyse

⎛

∂Y1 ∂x1

∂Y ⎜ . = ⎝ .. ∂x ∂Y

m ∂x1

...

∂Y1 ∂xn

...

∂Ym ∂xn

⎞

.. ⎟ . ⎠

(10.7)

und dem Gradienten

∇Y f =

∂f ∂f ,..., ∂Y1 ∂Ym

T .

(10.8)

¨ Wenn keine Missverst¨ andnisse zu bef¨ urchten sind, lassen wir der Ubersichtlichkeit halber die Argumente von Funktionen weg. Betrachten wir zun¨ achst den Gradienten (10.8). Kennzeichnet man die Ableitungen der Funktionen fi , ψi durch fi , ψi , so ergibt sich im separablen Fall der Reihe nach  ∇Y f (Y) = (c1 f1 (Y1 ), . . . , cm fm (Ym ))T

T 1 1   ψ (Y1 − a1 ), . . . , ψ (Ym − am ) = ψ1 (ρ1 ) 1 ψm (ρm ) m T

2 2 (Y − a ), . . . , (Y − a ) . (10.9) = 1 1 m m ρ21 ρ2m 0 ∂F1 ∂σ Nun bestimmen wir die speziellen Funktionalmatrizen ∂u ∂x , ∂x und ∂x , aus deren Zeilen sich die Funktionalmatrix (10.7) in jedem Fall zusammensetzen l¨ asst. Erstens folgt aus (5.1) f¨ ur jedes k = 1, . . . , n

∂u0 ∂K0−1 0 = F , ∂xk ∂xk wobei (vgl. die Herleitung von (7.10)) ∂K0−1 ∂K0 −1 = −K0−1 K . ∂xk ∂xk 0

(10.10)

Da die Matrizen K0bκ von x unabh¨ angig sind, gilt nach (5.4) 

 ∂qbκ ∂q ∂K0 bκ = K = K0 ; ∂xk ∂xk 0 ∂xk b,κ

die Summe braucht nat¨ urlich nur u ur die ¨ ber solche b, κ erstreckt zu werden, f¨ alt man xk in qbκ vorkommt. Mit alledem erh¨

 ∂q ∂u0 −1 = −K0 K0 (10.11) K0−1 F0 , k = 1, . . . , n , ∂xk ∂xk oder zusammengefasst

10.1 Gradienten von Ziel- und Restriktionsfunktionen in den speziellen Programmen



 0

∂u0 ∂u ∂u0 = ,..., = ∂x ∂x1 ∂xn

  



∂q ∂q −1 0 −1 −1 0 −1 K0 F , . . . , K0 K0 K0 F . = − K0 K0 ∂x1 ∂xk Zweitens folgt aus F1 = K10 u0 (vgl. (5.2)) unmittelbar ∂u0 ∂K10 0 ∂F1 = u + K10 , ∂xk ∂xk ∂xk wobei nach (5.5) wieder gilt  ∂qbκ ∂K10 = K bκ = K10 ∂xk ∂xk 10 b,κ



∂q ∂xk

 .

Zusammen mit (5.1) und (10.11) ergibt sich damit



  ∂q ∂q ∂F1 −1 0 −1 (10.12) = K10 K0 F − K10 K0 K0 K0−1 F0 , ∂xk ∂xk ∂xk k = 1, . . . , n oder



  

∂q ∂q ∂F1 = K10 K0−1 − K10 K0−1 K0 K0−1 F0 , . . . ∂x ∂x1 ∂x1 

  



∂q ∂q K0−1 − K10 K0−1 K0 K0−1 F0 . . . . , K10 ∂xn ∂xn Drittens folgt aus σ = S0 u0 (vgl. (5.3)) analog ∂u0 ∂S0 0 ∂σ = u + S0 ∂xk ∂xk ∂xk  



∂q ∂p −1 0 −1 (10.13) K 0 F − S0 K 0 K 0 K0−1 F0 , = S0 ∂xk ∂xk k = 1, . . . , n, da nach (5.6) wieder gilt

 ∂p ∂S0  ∂pbλ bλ = S0 = S 0 . ∂xk ∂xk ∂xk b,λ



 

 ∂p ∂q Also ist∂σ = S0 K0−1 − S0 K0−1 K0 K0−1 F0 , . . . ∂x ∂x1 ∂x1    



∂q ∂p K0−1 − S0 K0−1 K0 K0−1 F0 . . . . , S0 ∂xn ∂xn 
∂q bκ = ∂q Die in (10.11)–(10.13) auftretenden partiellen Ableitungen ∂x ∂xk b,κ k 
∂pbλ ∂p = nach den in Abschn. 9.1 spezifizierten Entwurfsvariablen und ∂x ∂x k k b,λ

xk lassen sich leicht berechnen. ∂q aus den in den nachfolgenden Tabellen Beispiel 10.2. Gem¨aß (5.7) kann ∂x k enthaltenen partiellen Ableitungen ermittelt werden.

261

262

10 Sensitivit¨ atsanalyse

Tabelle 10.2. Ableitungen von Querschnitten und Tr¨ agkeitsmomenten nach den Entwurfsvariablen ∂E ∂xk

xk

&

∂ 1 ∂xk 1+ν

var(E)

E∗

0

var(ν)

0

ν − (1+ν) 2

&

∗







Querschnitt

xk

∂A ∂xk

∂I z ∂xk

∂I y ∂xk

Rechteck

b0

b

1 3 h 12

1 2 b h 4

h0

h

1 bh2 4

1 3 b 12

var(b)

b∗ h

1 ∗ 3 b h 12

1 2 ∗ b b h 4

var(h)

bh∗

1 bh2 h∗ 4

1 3 ∗ b h 12

π d 2 π dd∗ 2 π D 2 − π2 d π DD∗ 2 − π2 dd∗

π 3 d 16 π 3 ∗ d d 16 π D3 16 π 3 − 16 d π D3 D∗ 16 π 3 ∗ − 16 d d

π 3 d 16 π 3 ∗ d d 16 π D3 16 π 3 − 16 d π D3 D∗ 16 π 3 ∗ − 16 d d

a0

π b 4

π 3 b 64

3π 2 a b 64

h π 3 d 8 π 3 ∗ d d 8 π D3 8 π 3 −8d π D3 D∗ 8 − π8 d3 d∗ 2 3 πa b (a2 +3b2 ) 16(a2 +b2 )2

b0

π a 4

3π ab2 64

π 3 a 64

πa3 b2 (3a2 +b2 ) 16(a2 +b2 )2

π ∗ a b 4

π ∗ 3 a b 64

3π 2 ∗ a a b 64

πa2 a∗ b3 (a2 +3b2 ) 16(a2 +b2 )2

π ab∗ 4 √ 3 b 2 √ 3 bb∗ 2

3π ab2 b∗ 64 √ 3 3 b 24 √ 3 3 ∗ b b 24 √ 5 3 3 R 4 √ 5 3 3 ∗ R R 4

π 3 ∗ a b 64 √ 3 3 b 24 √ 3 3 ∗ b b 24 √ 5 3 3 R 4 √ 5 3 3 ∗ R R 4

πa3 b2 b∗ (3a2 +b2 ) 16(a2 +b2 )2 √ 3 3 b 20 √ 3 3 ∗ b b 20

& & Kreis

d0

&

var(d) D0

Kreisring

d0

&

var(D)

&

var(d)

Ellipse

&

var(a)

&

var(b)

Gleichseitiges b0 Dreieck & var(b) Regelm¨ aßiges R Sechseck & var(R)

√ 3 3R √ 3 3RR∗

∂I t ∂xk

b2 h(1 − 0, 84 hb +

+0, 139( hb )5 + . . .) 1 3 b (1− 3

 5

0, 208 hb + ...) b2 b∗ h(1 − 0, 84 hb +

 5

+0, 139 hb + ...) 1 3 ∗ b h (1− 3 0, 208

 b 5

+ ...)

4, 156R3 4, 156R3 R∗

Schließlich ist (10.6) auszuwerten, wobei wir G in der speziellsten Form (10.4) annehmen. Dazu schreiben wir (10.5) in Komponenten:

10.1 Gradienten von Ziel- und Restriktionsfunktionen in den speziellen Programmen

,m % $ m   ∂f ∂Yi ¯ ∂f ∂Yi ∂G = =E E ∂xk ∂Yi ∂xk ∂Yi ∂xk i=1 i=1

(10.14)

und benutzen die Darstellungen (10.9) und – entsprechend den folgenden Fallunterscheidungen – (10.11), (10.12) oder (10.13). Fall 1: Yi ist eine Komponente von u0 Es sei etwa Yi = eTj u0 . Dann folgt 2 2 2 2ai ∂f = 2 (Yi − ai ) = 2 (eTj K0−1 F0 − ai ) = 2 (F0 )T K0−1 ej − 2 ∂Yi ρi ρi ρi ρi und

∂u0 ∂Yi = eTj = −eTj K0−1 K0 ∂xk ∂xk



∂q ∂xk



K0−1 F0 .

Ist die ¨außere Last F0 konstant, so gilt damit $ %

 % $ ∂q 2ai ∂f ∂Yi −1 −1 T = 2 E ej K 0 K 0 K0 F0 E ∂Yi ∂xk ρi ∂xk $ 

% ∂q 2 0 T −1 −1 −1 K0 F0 (10.15) − 2 (F ) E K0 Ejj K0 K0 ρi ∂xk Fall 2: Yi ist eine Komponente von F1 Es ist also Yi = eTj F1 und damit 2 2 2 2ai ∂f T = 2 (Yi − ai ) = 2 (eTj K10 K0−1 F0 − ai ) = 2 (F0 )T K0−1 K10 ej − 2 ∂Yi ρi ρi ρi ρi sowie ∂F1 ∂Yi = eTj = eTj ∂xk ∂xk

 



 ∂q ∂q K10 K0−1 − K10 K0−1 K0 K0−1 F0 . ∂xk ∂xk

Bei konstantem F0 gilt folglich $ %

 % $ ∂q 2 ∂f ∂Yi T Ejj K10 = 2 (F0 )T E K0−1 K10 K0−1 F0 E ∂Yi ∂xk ρi ∂xk $

 % ∂q 2ai K0−1 F0 − 2 E eTj K10 ρi ∂xk $

 % ∂q 2 T Ejj K10 K0−1 K0 K0−1 F0 − 2 (F0 )T E K0−1 K10 ρi ∂xk $

 % ∂q 2ai (10.16) K0−1 F0 . + 2 E eTj K10 K0−1 K0 ρi ∂xk

263

264

10 Sensitivit¨ atsanalyse

Fall 3: Yi ist eine Komponente von σ Mit Yi = eTj σ wird hier ∂f 2 2 2 2ai = 2 (Yi − ai ) = 2 (eTj S0 K0−1 F0 − ai ) = 2 (F0 )T K0−1 S0T ej − 2 ∂Yi ρi ρi ρi ρi und ∂Yi ∂σ = eTj = eTj ∂xk ∂xk



 



∂q ∂p K0−1 − S0 K0−1 K0 K0−1 F0 , S0 ∂xk ∂xk

so dass bei konstantem F0 gilt $ $ %

 % ∂f ∂Yi ∂p 2 E = 2 (F0 )T E K0−1 S0T Ejj S0 K0−1 F0 ∂Yi ∂xk ρi ∂xk

 % $ ∂p 2ai K0−1 F0 − 2 E eTj S0 ρi ∂xk $  %

∂q 2 − 2 (F0 )T E K0−1 S0T Ejj S0 K0−1 K0 K0−1 F 0 ρi ∂xk $

 % ∂q 2ai + 2 E eTj S0 K0−1 K0 (10.17) K0−1 F0 . ρi ∂xk Durch Einsetzen von (10.15)–(10.17) in (10.14) endlich erh¨alt man die ¯ partiellen Ableitungen und damit den Gradienten von G(x). Bei den verbesserten Programmen (9.43)–(9.45) haben wir an Stelle von G(ω, x) die Funktion H(ω, x, y) =

m  ψi (Yi (ω, x) − yi ) ψ (ρ − |yi − ai |) i=1 i i

zu betrachten. Um partielle Ableitungen auch nach den Hilfsvariablen y1 , . . . , ym bilden zu k¨ onnen, beseitigen wir die Betragsstriche, indem wir jedes dieser Programme wie folgt in 2m Teilprogramme zerlegen. Zun¨achst zerlegen wir den Quader Y = {y ∈ IRm : Ymin ≤ y ≤ Ymax } in die Teilquader YI := {y ∈ IRm : ai ≤ yi ≤ Yimax , i ∈ I; Yimin ≤ yi ≤ ai , i ∈ / I}, I ⊆ {1, . . . , m}. Hier durchl¨ auft I die 2m Teilmengen der Indexmenge {1, . . . , m}, und f¨ ur y ∈ YI gilt: yi ≥ ai ⇔ i ∈ I.

10.1 Gradienten von Ziel- und Restriktionsfunktionen in den speziellen Programmen

Abb. 10.1. Zerlegung in Teilquader

Zu jedem I ⊆ {1, . . . , m} erh¨ alt man nun ein Teilprogramm des urspr¨ unglichen Programms, indem man dort m  E[ψi (Yi (ω, x) − yi )] i=1

ψi (ρi − |yi − ai |)

und Ymin ≤ y ≤ Ymax durch

 E[ψi (Yi (ω, x) − yi )] i∈I

ψi (Yimax

− yi )

+

 E[ψi (Yi (ω, x) − yi )] i∈I /

ψi (Yimin − yi )

bzw. y ∈ YI ersetzt. (Da ψi eine gerade Funktion ist, gilt f¨ ur yi ≤ ai tats¨achlich ψi (ρi − |yi − ai |) = ψi (yi − Yimin ) = ψi (Yimin − yi )). Offensichtlich ergibt sich aus den L¨osungen dieser 2m Teilprogramme durch Vergleich der Zielfunktionswerte eine L¨osung des urspr¨ unglichen Programms. Daher kann man dieses durch jene ersetzen.

265

266

10 Sensitivit¨ atsanalyse

Zu ermitteln ist also f¨ ur eine beliebige Teilmenge I von {1, . . . , m} der Gradient

¯ ¯ ¯ ¯ T ¯ I = ∂ HI , . . . , ∂ HI , ∂ HI , . . . , ∂ HI ∇H ∂x1 ∂xn ∂y1 ∂ym ¯ I (x, y) = E[HI (ω, x, y)], wobei der Funktion H  ψi (Yi − yi ) ψi (Yi − yi ) + max ψi (Yi − yi ) ψi (Yimin − yi ) i∈I i∈I /  Yi − yi 2  Yi − yi 2 = + . Yimax − yi Yimin − yi

HI =



i∈I /

i∈I

Wir machen wieder Gebrauch von der Vertauschbarkeit von Differentiation und Erwartungswertbildung und berechnen zun¨achst ∂Yi ∂Yi  ψi (Yi − yi ) ∂x  ψi (Yi − yi ) ∂x ∂HI k k + = ∂xk ψi (Yimax − yi ) ψi (Yimin − yi ) i∈I /

i∈I

=

∂Yi  2(Yi − yi ) ∂x

k

i∈I

(Yimax − yi )2

+

∂Yi  2(Yi − yi ) ∂x

k

i∈I /

(Yimin − yi )2

.

∂Yi Hier kann ∂x den Gleichungen (10.11)–(10.13) entnommen werden, und im k Fall eines konstanten F0 ergeben sich die Erwartungswerte   , ∂Yi ∂Yi 2E (Y − y ) i i ∂xk 2(Yi − yi ) ∂xk E = max/min max/min 2 (Yi − yi ) (Yi − yi )2 max/min

wie in (10.15)–(10.17), wenn man dort ai durch yi und ρi durch Yi ersetzt. Entsprechend ist ∂HI ψi (Yi − yi )ψi (Yi = ∂yi

max/min

=

− yi ) − ψi (Yi − yi )ψi (Yi

max/min (ψi (Yi max/min ) 2(Yi − yi )(Yi − Yi max/min (Yi − yi )3

max/min

− yi

−yi

− yi )

))2

je nachdem, ob i ∈ I oder i ∈ / I. Die Erwartungswertbildung f¨ uhrt auf max/min

E[(Yi − yi )(Yi − Yi

max/min

)] = E[Yi2 ] − (yi + Yi

max/min

)E[Yi ] + yi Yi

und damit auf die Momente erster und zweiter Ordnung von Yi , die nach Abschn. 8.3 berechnet werden k¨ onnen.

10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion

267

10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion 10.2.1 Quadratische Approximation ¨ Um die Ubersichtlichkeit zu wahren, werden wir auch hier auf das Mitf¨ uhren der Argumente ω und x verzichten. Ferner setzen wir zur Abk¨ urzung: ∂q ∂xk $ % ∂q ∂q = −E ∂xk ∂xk

$ % ¯0 ∂q ∂K = K0 E = ∂xk ∂xk

q(k) = ∆q(k) ¯ (k) K 0

¯ (k) , p(k) , ∆p(k) und f¨ ur k = 1, . . . , n. Entsprechend sind die Bezeichnungen K 10 (k) S¯0 zu verstehen. In den Formeln (10.15)–(10.17) sind die Erwartungswerte der zehn Matrizen K0−1 K0 (q(k) )K0−1 , K0−1 Ejj K0−1 K0 (q(k) )K0−1 , T Ejj K10 (q(k) )K0−1 , K10 (q(k) )K0−1 , K0−1 K10 T K10 K0−1 K0 (q(k) )K0−1 , K0−1 K10 Ejj K10 K0−1 K0 (q(k) )K0−1 , S0 (p(k) )K0−1 , K0−1 S0T Ejj S0 (p(k) )K0−1 , S0 K0−1 K0 (q(k) )K0−1 ,

K0−1 S0T Ejj S0 K0−1 K0 (q(k) )K0−1 zu bestimmen. Dazu setzen wir (7.23) voraus und substituieren die Reihenentwicklungen ¯ −1 − + . . . ¯ −1 − K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 + (K ¯ −1 K0 (∆q))2 K K0−1 = K 0 0 0 0 0 ¯ 10 + K10 (∆q) K10 = K S0 = S¯0 + S0 (∆p) (k)

¯ + K0 (∆q(k) ) K0 (q(k) ) = K 0 (k) (k) ¯ K10 (q ) = K + K10 (∆q(k) ) 10

(k)

S0 (p

(k) ) = S¯0 + S0 (∆p(k) )

f¨ ur die einzelnen Faktoren. Wir d¨ urfen dann die Produkte gliedweise ausmultiplizieren und anschließend Erwartungswertbildung und Summation vertauschen (vgl. Abschn. 7). Wir werden hier die Erwartungswerte der zehn Matrizen quadratisch approximieren, indem wir ihre Reihendarstellungen nach den Gliedern zweiter Ordnung abbrechen. Zun¨ achst gilt:

268

10 Sensitivit¨ atsanalyse

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K0−1 K0 (q(k) )K0−1 ≈ K 0 0 0 ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q(k) )K ¯ −1 − K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K +K 0

0

0

0

0

0

¯ −1 ¯ −1 K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ (k) K −K 0 0 0 0 −1 −1 ¯ −1 ¯ (k) K ¯ −1 K ¯ ¯ +K K0 (∆q)K K0 (∆q)K 0

0

0

0

0

¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 +K 0 0 0 0 0 ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K +K 0

0

0

0

0

¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K0 (∆q(k) )K ¯ −1 −K 0 0 0 ¯ −1 K0 (∆q(k) )K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 −K 0

0

0

Der Erwartungswert des linearen Terms ist nat¨ urlich gleich 0. Gem¨aß (5.4) ergibt sich demnach ¯ −1 ¯ −1 K (k) K E[K0−1 K0 (q(k) )K0−1 ] ≈ K 0 0 0  −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 ¯ + cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )(K0 K0 K0 K0 K0 K0 K0 b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 + K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ) ¯ −1 K b1 κ1 K +K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  ∂qb2 κ2 ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 − cov(qb1 κ1 , )(K0 K0 K0 K0 K0 ∂xk b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 ). ¯ −1 K b2 κ2 K +K 0 0 0 0 0

(10.18)

Bemerkung 10.2. Der letzte Term l¨asst sich auch schreiben als −

 b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

∂cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 ) ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 K0 K0 K0 K0 K0 . ∂xk

Unter Benutzung der obigen Entwicklung von K0−1 K0 (q(k) )K0−1 erh¨alt man ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 Ejj K K0−1 Ejj K0−1 K0 (q(k) )K0−1 ≈ K 0 0 0 0 +Summe von Termen erster Ordnung ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 Ejj K +K 0

0

0

0

0

0

¯ −1 ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ (k) K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 Ejj K ¯ −1 K +K 0 0 0 0 0 0 −1 −1 −1 ¯ (k) ¯ −1 ¯ ¯ ¯ ¯ +K K0 (∆q)K Ejj K K K K0 (∆q)K −1 0

0

0

0

0

0

¯ −1 K0 (∆q)K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 Ejj K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K +K 0 0 0 0 0 0 ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 Ejj K ¯ −1 K +K 0

0

0

0

0

0

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 ¯ −1 Ejj K +K 0 0 0 0 0 0 −1 −1 −1 (k) ¯ −1 ¯ ¯ ¯ −K K0 (∆q)K Ejj K K0 (∆q )K 0

0

0

0

¯ −1 K0 (∆q)K ¯ −1 Ejj K ¯ −1 K0 (∆q(k) )K ¯ −1 −K 0 0 0 0 −1 −1 (k) ¯ −1 ¯ ¯ ¯ −K Ejj K K0 (∆q )K K0 (∆q)K −1 . 0

0

0

0

10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion

269

Wie eben folgt daraus

+

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 Ejj K E[K0−1 Ejj K0−1 K0 (q(k) )K0−1 ] ≈ K 0 0 0 0 −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 −1 ¯ (k) ¯ −1 ¯ ¯ K K K Ejj K K K cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )(K K



0

0

0

0

0

0

0

0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 ¯ −1 Ejj K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K ¯ (k) K +K 0 0 0 0 0 0 0 0 ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 Ejj K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 +K 0

0

0

0

0

0

0

0

¯ −1 Ejj K ¯ −1 ¯ (k) K ¯ −1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K b1 κ1 K +K 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 b1 κ1 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯ ¯ K K K K K +K Ejj K K 0

0

0

0

0

0

0

0

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ) ¯ −1 Ejj K +K 0 0 0 0 0 0 0 0  ∂qb2 κ2 ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 cov(qb1 κ1 , )(K0 K0 K0 Ejj K 0 0 0 ∂xk

−

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 Ejj K +K 0 0 0 0 0 0 −1 −1 b2 κ2 ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 ¯ ¯ K K K ). +K Ejj K K 0

0

0

0

(10.19)

0

0

Auf entsprechende Weise entwickelt man die Erwartungswerte der vier folgenden Matrizen bis zu Gliedern zweiter Ordnung:

+



¯ (k) K ¯ −1 E[K10 (q(k) )K0−1 ] ≈ K 0 10 ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ (k) K cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )K 0

10

0

0

0

0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

−



cov(qb1 κ1 ,

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

+



∂qb2 κ2 b2 κ2 ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 K0 K0 K0 , )K10 ∂xk

(10.20)

T ¯ T Ejj K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 K Ejj K10 (q(k) )K0−1 ] ≈ K E[K0−1 K10 10 0 0 10 −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 T ¯ −1 ¯ (k) K ¯ K K Ejj K K K cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )(K K 0

10

0

0

0

0

10

0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 (K b2 κ2 )T Ejj K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 K b1 κ1 K −K 0 0 0 0 10 10 ¯ T Ejj K ¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 K ¯ −1 K b1 κ1 K +K 0

−

 b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

0

10

0

10

0

0

0

¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 (K b1 κ1 )T Ejj K −K 0 0 0 0 10 10 (k) ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 −1 ¯ T ¯ ¯ K K K ) +K K Ejj K K K 0

10

10

0

0

0

0

0

∂qb2 κ2 ¯ −1 ¯ −1 (K b1 κ1 )T Ejj K b2 κ2 K cov(qb1 κ1 , )(−K 0 0 10 10 ∂xk b2 κ2 ¯ −1 T ¯ −1 K ¯ 10 ¯ −1 K b1 κ1 K K0 +K Ejj K10 0 0 0 b2 κ2 ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 −1 ¯ T ¯ K K K ), +K K10 Ejj K 0

10

0

0

0

(10.21)

270

10 Sensitivit¨ atsanalyse

¯ 10 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 E[K10 K0−1 K0 (q(k) )K0−1 ] ≈ K 0 0 0 ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )(−K b1 κ1 K



+

0

10

0

0

0

0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2 b1 κ1 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 K0 K0 K0 K0 K0 −K10 ¯ 10 K ¯ −1 ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b1 κ1 K +K 0

0



−

0

0

0

0

0

0

¯ −1 ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ 10 K +K 0 0 0 0 0 0 0 ¯ 10 K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ) ¯ −1 K ¯ (k) K +K

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

0

0

0

0

0

0

∂qb2 κ2 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 K0 K0 K0 cov(qb1 κ1 , )(−K10 ∂xk ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ 10 K +K 0 0 0 0 0 ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 ) ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ 10 K +K 0 0 0 0 0

(10.22)

und T T ¯ 10 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 K10 E[K0−1 Ejj K10 K0−1 K0 (q(k) )K0−1 ] ≈ K K10 Ejj K 0 0 0 0  + cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 ) b1 ,κ1 ;b2 ,κ2 T ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K ¯ 10 ¯ 10 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 K b1 κ1 K Ejj K ·(K 0 0 0 0 0 0 0 0 ¯ −1 (K b2 κ2 )T Ejj K ¯ 10 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 K b1 κ1 K −K 0

0

0

0

10

0

0

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 (K b1 κ1 )T Ejj K b2 κ2 K +K 0 0 0 10 10 0 b2 κ2 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 −1 b1 κ1 ¯ −1 ¯ T ¯ K K10 Ejj K K K K −K K 0

0

0

0

10

0

0

¯ 10 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 (K b1 κ1 )T Ejj K −K 0 0 0 0 10 0 0 −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 −1 b1 κ1 ¯ −1 ¯ T ¯ ¯ ¯ K K Ejj K10 K K +K K K K K 0

0

10

0

0

0

0

0

0

¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ 10 K ¯ −1 K ¯ −1 (K b1 κ1 )T Ejj K −K 0 0 0 0 10 0 0 −1 ¯ (k) ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 T ¯ 10 ¯ ¯ ¯ −1 K ¯ −1 K b1 κ1 K K K K K K0 +K E K jj 10 0 0 0 0 0 0 0 (k) b κ b κ −1 −1 −1 −1 T ¯ Ejj K 1 1 K ¯ K 2 2K ¯ K ¯ K ¯ ¯ K −K 0

10

0

10

0

0

0

0

b1 κ1 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 T ¯ 10 ¯ −1 K K0 K0 K0 K0 K0 −K Ejj K10 0 −1 −1 T ¯ 10 Ejj K ¯ 10 K ¯ K b 1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ K +K 0

−

 b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

0

0

0

0

0

0

0

¯ −1 ¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ T Ejj K ¯ 10 K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K ¯ −1 K +K 10 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 ¯ T −1 ¯ (k) ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯ ¯ ¯ K K K ) +K K10 Ejj K10 K K K K 0

0

0

0

0

0

0

0

∂qb2 κ2 ¯ 10 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 (K b1 κ1 )T Ejj K cov(qb1 κ1 , )(−K 0 0 0 10 0 ∂xk ¯ −1 K ¯ T Ejj K ¯ 10 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 K b1 κ1 K +K 10 0 0 0 0 0 0 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 −1 ¯ T ¯ K K K −K K Ejj K 0

10

10

0

0

0

¯ T Ejj K ¯ 10 K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 K +K 10 0 0 0 0 0 0

10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion

¯ −1 K ¯ −1 ). ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ T Ejj K ¯ 10 K ¯ −1 K b2 κ2 K +K 10 0 0 0 0 0 0

271

(10.23)

¨ Ahnlich lauten die quadratischen Approximationen

+



(k) ¯ −1 E[S0 (p(k) )K0−1 ] ≈ S¯0 K 0 (k) ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯ cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )S K K K K K 0

0

0

0

0

0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

−



b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

+



cov(

∂pb1 λ1 ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 , , qb2 κ2 )S0b1 λ1 K 0 0 0 ∂xk

(10.24)

¯ −1 ¯ −1 S¯T Ejj S¯(k) K E[K0−1 S0T Ejj S0 (p(k) )K0−1 ] ≈ K 0 0 0 0 (k) ¯ −1 −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯T ¯ K K K S0 Ejj S¯ K cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )(K K 0

0

0

0

0

0

0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

−



¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 S¯0T Ejj S¯(k) K ¯ −1 K b1 κ1 K +K 0 0 0 0 0 0 0 (k) ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 −1 ¯T ¯ ¯ +K S Ejj S K K K K K K ) 0

0

0

0

0

0

0

0

0

¯ −1 (S b1 λ1 )T Ejj S¯(k) K ¯ −1 ¯ −1 K b2 κ2 K cov(pb1 λ1 , qb2 κ2 )(K 0 0 0 0 0 0

b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

−

 b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

+

 b1 ,λ1 ;b2 ,λ2

+



¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ) ¯ −1 (S b1 λ1 )T Ejj S¯(k) K +K 0 0 0 0 0 0 ∂pb1 λ1 b κ −1 −1 2 2 ¯ S¯0T Ejj S b1 λ1 K ¯ −1 ¯ K K , qb2 κ2 )(K cov( 0 0 0 0 0 ∂xk ¯ −1 S0T Ejj S b1 λ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ) +K 0 0 0 0 0 ∂pb2 λ2 ¯ −1 b1 λ1 T ¯ −1 , )K0 (S0 ) Ejj S0b2 κ2 K cov(pb1 λ1 , 0 ∂xk

(10.25)

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 E[S0 K0−1 K0 (q(k) )K0−1 ] ≈ S¯0 K 0 0 0 −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 ¯ ¯ K K K K K cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )(S0 K K 0

0

0

0

0

0

0

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

−



¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K +S¯0 K 0 0 0 0 0 0 0 ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ) +S¯0 K 0

0

0

0

0

0

0

¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 cov(pb1 λ1 , qb2 κ2 )(S0b1 λ1 K 0 0 0 0 0

b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

−

 b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

+

 b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

und

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ) +S0b1 λ1 K 0 0 0 0 0 ∂qb2 κ2 ¯ ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 )(S0 K0 K0 K0 K0 K0 cov(qb1 κ1 , ∂xk ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 ) +S¯0 K 0 0 0 0 0 ∂qb2 κ2 b1 λ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 cov(pb1 λ1 , )S0 K0 K0 K0 ∂xk

(10.26)

272

10 Sensitivit¨ atsanalyse



+

¯ −1 S¯0T Ejj S¯0 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 E[K0−1 S0T Ejj S0 K0−1 (q(k) )K0−1 ] ≈ K 0 0 0 0 cov(qb1 κ1 , qb2 κ2 )

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 ¯ (k) K ¯ −1 S¯T Ejj S¯0 K ¯ −1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K b1 κ1 K ·(K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 b1 κ1 ¯ −1 ¯T −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 ¯ ¯ ¯ K S Ejj S0 K K K K K +K K 0

0

0

0

0

0

0

0

0

¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 S¯0T Ejj S¯0 K +K 0 0 0 0 0 0 0 0 ¯ −1 ¯ −1 K (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 S¯T Ejj S¯0 K +K 0



−

0

0

0

0

0

0

0

0

¯ −1 ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 S¯T Ejj S¯0 K +K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 ¯T −1 ¯ (k) ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯ ¯ ¯ K K K ) +K S0 Ejj S0 K K K K 0

0

0

0

0

0

0

0

cov(pb1 λ1 , qb2 κ2 )

b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

¯ −1 ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 (S b1 λ1 )T Ejj S¯0 K ¯ −1 K b2 κ2 K ·(K 0 0 0 0 0 0 0 b1 λ1 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 −1 b2 κ2 ¯ −1 ¯T ¯ K S0 Ejj S K K K +K K 0

0

0

0

0

0

0

¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 (S b1 λ1 )T Ejj S¯0 K +K 0 0 0 0 0 0 0 ¯ (k) K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 K ¯ −1 (S b1 λ1 )T Ejj S¯0 K +K 0



+

0

0

0

0

0

0

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 S¯0T Ejj S b1 λ1 K +K 0 0 0 0 0 0 0 b1 λ1 ¯ −1 ¯ (k) ¯ −1 b2 κ2 ¯ −1 −1 ¯T ¯ K K K K K ) +K S0 Ejj S 0

0

0

0

0

0

0

¯ −1 K ¯ (k) K ¯ −1 ¯ −1 (S b1 λ1 )T Ejj S b2 λ2 K cov(pb1 λ1 , pb2 λ2 )K 0 0 0 0 0 0

b1 ,λ1 ;b2 ,λ2



−

cov(qb1 κ1 ,

b1 ,κ1 ;b2 ,κ2

∂qb2 κ2 ¯ −1 b1 κ1 ¯ −1 ¯T ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 )(K0 K0 K0 S0 Ejj S¯0 K 0 0 0 ∂xk

¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ¯ −1 S¯0T Ejj S¯0 K +K 0 0 0 0 0 0 ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 K b1 κ1 K ¯ −1 ) ¯ −1 S¯0T Ejj S¯0 K +K 0

+

 b1 ,λ1 ;b2 ,κ2

0

0

0

0

0

∂qb2 κ2 ¯ −1 b1 λ1 T ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 )(K0 (S0 ) Ejj S¯0 K cov(pb1 λ1 , 0 0 0 ∂xk ¯ −1 K b2 κ2 K ¯ −1 ). ¯ −1 S¯T Ejj S b1 λ1 K +K 0 0 0 0 0 0

(10.27)

10.2.2 Approximation f¨ ur eine Beispielklasse In [Eb91] wird f¨ ur eine Klasse von Beispielen eine gegen¨ uber unserem Verfahren in den Abschnitten 10.1.2 und 10.2.1 etwas vereinfachte Approximation des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion angegeben, die wir hier – weitgehend unabh¨ angig von dem Vorhergehenden – darstellen wollen. Diese Beispielklasse bezieht sich auf den Fall, dass in den Darstellungen (5.4) – (5.6) der Matrizen K0 , K10 , S0 die Indizes κ, λ nur den Wert 0 annehmen (und also fortgelassen werden d¨ urfen). Ferner wird vorausgesetzt, dass in

10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion

qb =

273

Eb Ab Eb und pb = Lb Lb

nur die Abh¨ angigkeiten Eb = Eb (ω) und Ab = Ab (x) vom Zufallsparameter und den Entwurfsvariablen vorkommen. Aus der Tabelle in Abschn. 5 ist ersichtlich, wann unter diesen Voraussetb zungen die Matrizen K0b , K10 , S0b von ω und x unabh¨angig sind: • •

im Fall drehbarer Verbindungen immer bei ebenen Tragwerken mit starren Verbindungen genau dann, wenn
rbz , y. b , y˙ b von x unabh¨ angig sind.

Beispiel 10.3. Bei ebenen Tragwerken mit starren Verbindungen ergeben sich f¨ ur die von uns betrachteten Querschnitte nach den Beispielen 3.1 und 3.2 nur die folgenden M¨oglichkeiten: Tabelle 10.3. Tr¨ agheitsradius und maximale Randfaserabst¨ ande Querschnitt Rechteck Kreis Kreisring Ellipse Gleichschenkliges Dreieck Regul¨ ares Sechseck

rz




y˙


y.


m¨ ogliche xk

√1 h 12

1 h 2

− 12 h

b = b0

1 d 4

− 12 d

−

√ 1 D 2 + d2 4

1 d 2 1 D 2

− 12 D

−

1 b 4

1 b 2

− 12 b

a = a0

√1 h 18

2 h 3 √ 3 R 2

− 13 h

b = b0

&

5 R 24

−

√ 3 R 2

−

274

10 Sensitivit¨ atsanalyse

Abb. 10.2. Rechtecksquerschnitt

Abb. 10.3. Ellipsenf¨ ormiger Querschnitt

10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion

275

y
6

1x
.........................

62h 6

h

3

S .....? ..............

.? ............

-

0

.. .. .. ..

z


... .. .. . -...

b Abb. 10.4. Dreiecksquerschnitt

F¨ ur r¨ aumliche Tragwerke mit starren Verbindungen gibt es hier keine Beispiele. Stochastische Parameter sind also nur die Elastizit¨atsmodule, und wir fassen diese in dem N -Vektor E(ω) = (Eb (ω))b∈B zusammen. Im Hinblick auf (10.3), (10.4) untersuchen wir die Funktion g¯(x) = E[ψ(Y (E(ω), x) − a)],

x ∈ IRn ;

dabei ist • • •

a ∈ IR eine Konstante Y = Y (E, x) eine hinreichend oft differenzierbare Funktion von IRN × IRn nach IR, n¨ amlich eine der Komponenten von u0 , F1 oder σ ψ : IR → IR+ eine differenzierbare Funktion (gerade und auf IR+ monoton wachsend), vorzugsweise ψ(t) = t2 .

Zun¨ achst entwickle man die Funktion E → Y (E, x) in eine Potenzreihe ¯ = E[E(ω)]: mit dem Entwicklungspunkt E ¯ x) + Y = Y (E,

 ∂Y ¯ x)(Eb − E¯b ) (E, ∂Eb b

1  ∂2Y ¯ x)(Eb − E¯b )(Eb
− E ¯b
) + . . . . + (E, 2
∂Eb ∂Eb
b,b

Betrachtet man nur die lineare Approximation von Y (E, x) bez¨ uglich E ¯ so hat man in E,

276

10 Sensitivit¨ atsanalyse

¯ x) + Y ≈ Y (E,

 ∂Y ¯ x)(Eb − E ¯b ) (E, ∂Eb b

und damit ¯ x) + g¯(x) ≈ g¯L (x) := E[ψ(Y (E,

 ∂Y ¯ x)(Eb − E ¯b ) − a)]. (E, ∂Eb

(10.28)

b

Es ist dies die sogenannte innere Linearisierung von g¯(x). Ab jetzt sei speziell ψ(t) = t2 . Damit ergibt sich aus (10.28): ¯ x) − a)2 g¯L (x) = g¯2L (x) := (Y (E,  ∂Y ¯ x) · ∂Y (E, ¯ x)cov(Eb , Eb
) + (E, ∂E ∂Eb
b
b,b 2  ∂Y ¯ x) var(Eb ), ¯ x) − a)2 + (E, = (Y (E, ∂Eb

(10.29)

b

letzteres unter der Voraussetzung (V1) in Abschn. 6.3. Als Approximation des Gradienten von g¯(x) berechnen wir jetzt den Gradienten von g¯2L (x). Nach (10.29) gilt ¯ x) − a)∇x Y (E, ¯ x) ∇¯ g2L (x) = 2{(Y (E,  ∂Y ¯ ∂Y ¯ var(Eb ) (E, x)∇x (E, x)}, + ∂Eb ∂Eb

(10.30)

b

wobei

¯ x) = ∇x Y (E,

und ∇x

∂Y ¯ (E, x) = ∂Eb



T ∂Y ¯ ∂Y ¯ (E, x), . . . , (E, x) ∂x1 ∂xn

T 2 ∂2Y ¯ x), . . . , ∂ Y (E, ¯ x) (E, . ∂x1 ∂Eb ∂xn ∂Eb 2

∂Y Y , ∂Y und ∂x∂k ∂E zu ermitteln. Es sind also die partiellen Ableitungen ∂x k ∂Eb b  Bk bezeichne die Menge aller Elemente b ∈ B, f¨ ur die xk in Ab
vorkommt.

Fall 1: Y ist eine Komponente von u0 a)

0

∂Y ∂xk

∂u ist dann eine Komponente von ∂x . k Gem¨ aß (5.1), (5.4) und (7.10) ist    ∂K −1 ∂qb
∂u0 ∂K0−1 0 0 = F = F0 ∂xk ∂xk ∂qb
∂xk
b ∈B   
∂Ab

E b = −K0−1 K0b K0−1 F0 Lb
∂xk
b ∈Bk

=−

 Eb
∂Ab

K0−1 K0b K0−1 F0
L ∂x b k


b ∈Bk

(10.31)

10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion

277

und damit  Eb
∂Ab
∂u0 ¯ ¯ x)−1 K b
(E, ¯ x)−1 F0 . (E, x) = − (x)K0 (E, 0
∂xk ∂xk L b
b ∈Bk

b) Wie eben erh¨ alt man ∂u0 Ab 0 ∂K0−1 0 ∂K0−1 ∂qb 0 = F = F = −K0−1 K0b K0−1 F ∂Eb ∂Eb ∂qb ∂Eb Lb Ab = − K0−1 K0b K0−1 F0 (10.32) Lb und damit

∂Y ¯ ∂Eb (E, x)

als eine Komponente von

∂u0 ¯ Ab (x) ¯ x)−1 K0b K0 (E, ¯ x)−1 F0 . (E, x) = − K0 (E, ∂Eb Lb c) Mit (10.31) und (10.32) ergibt sich    Eb
∂Ab
∂ 2 u0 ∂ −1 b
−1 0 = K K0 K0 F − ∂xk ∂Eb ∂Eb Lb
∂xk 0
b ∈Bk

 ∂Ab
δbb

Eb
Ab −1 b −1 b
−1 ( K0−1 K0b K0−1 − K K0 K0 K0 K0 =− ∂xk Lb Lb
Lb 0
b ∈Bk

Eb
Ab −1 b
−1 b −1 0 − K K0 K0 K0 K0 )F Lb
Lb 0 und demnach ∂ 2 u0 ¯ (E, x) = ∂xk ∂Eb  Eb
Ab (x) ∂Ab
¯ x)−1 (K b K0 (E, ¯ x)−1 K b
= (x)K0 (E, 0 0
L L ∂x b b k
b ∈Bk


¯ x)−1 K0b )K0 (E, ¯ x)−1 F0 +K0b K0 (E, 1 ∂Ab ¯ x)−1 K b K0 (E, ¯ x)−1 F0 . (x)K0 (E, − 0 Lb ∂xk

Der letzte Term verschwindet nat¨ urlich, wenn b ∈ / Bk . Fall 2: Y ist eine Komponente von F1 a) Wegen F1 = K10 u0 ist dann

∂Y ∂xk

eine Komponente von

∂F1 ∂K10 0 ∂u0 = u + K10 , ∂xk ∂xk ∂xk

(10.33)

278

10 Sensitivit¨ atsanalyse

wo

∂u0 ∂xk

bereits in (10.31) bestimmt ist. Nach (5.5) gilt nun  Eb
∂Ab
∂K10 b
= K10 , ∂xk Lb
∂xk
b ∈Bk

und es folgt  Eb
∂Ab

∂F1 b
−1 = (K10 K0 − K10 K0−1 K0b K0−1 )F0 . ∂xk Lb
∂xk


(10.34)

b ∈Bk

¯ x) verzichten wir jetzt. Auf das Einsetzen des Arguments (E, b) Analog ist ∂u0 ∂K10 0 ∂F1 = u + K10 ∂Eb ∂Eb ∂Eb und hierin

Ab b ∂K10 = K . ∂Eb Lb 10

Setzt man noch (10.32) ein, so ergibt sich

∂Y ∂Eb

als eine Komponente von

∂F1 ∂Ab b −1 = (K K − K10 K0−1 K0b K0−1 )F0 ∂Eb ∂Lb 10 0

(10.35)

c) Aus ∂ 2 F1 ∂u0 ∂ ∂K10 0 = ( u + K10 ) ∂xk ∂Eb ∂Eb ∂xk ∂xk ∂ 2 K10 0 ∂K10 ∂u0 = u + ∂xk ∂Eb ∂xk ∂Eb ∂ 2 u0 ∂K10 ∂u0 + + K10 ∂Eb ∂xk ∂xk ∂Eb und

1 ∂Ab b ∂ 2 K10 = K ∂xk ∂Eb Lb ∂xk 10

folgt mit dem Vorhergehenden  Eb
Ab ∂Ab

∂ 2 F1 = (K10 K0−1 K0b K0−1 K0b K0−1 ∂xk ∂Eb Lb
Lb ∂xk
b ∈Bk







b +K10 K0−1 K0b K0−1 K0b K0−1 − K10 K0−1 K0b K0−1


b −K10 K0−1 K0b K0−1 )F0 1 ∂Ab b −1 (K10 K0 − K10 K0−1 K0b K0−1 )F0 . + Lb ∂xk

(10.36)

10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten Kostenfunktion

279

Fall 3: Y ist eine Komponente von σ angig von x. Damit wird a) Es gilt σ = S0 u0 , und S0 ist unabh¨  Eb
∂Ab

∂u0 ∂σ = S0 =− S0 K0−1 K0b K0−1 F0 ∂xk ∂xk Lb
∂xk


(10.37)

b ∈Bk

und b)

∂Y ∂Eb

∂Y ∂xk

eine Komponente hiervon. ist eine Komponente von ∂σ ∂u0 ∂u0 ∂S0 0 1 b 0 = u + S0 = S0 u + S 0 ∂Eb ∂Eb ∂Eb Lb ∂Eb 1 b −1 Ab = ( S0 K 0 − S0 K0−1 K0b K0−1 )F0 . Lb Lb

(10.38)

c) Schließlich ist ∂u0 ∂ 2 u0 ∂2σ ∂ ∂S0 ∂u0 = (S0 )= + S0 ∂xk ∂Eb ∂Eb ∂xk ∂Eb ∂xk ∂xk ∂Eb  Eb
Ab ∂Ab

= (S0 K0−1 K0b K0−1 K0b K0−1
Lb ∂xk L b
b ∈Bk




+S0 K0−1 K0b K0−1 K0b K0−1 − −

1 b −1 b
−1 0 S K K0 K0 )F Ab 0 0

1 ∂Ab S0 K0−1 K0b K0−1 F0 . Lb ∂xk

(10.39)

Bemerkung 10.3. Beim Vergleich dieser Formeln mit denen des Abschnittes 10.2.1 ist zu beachten, dass ¯ x), K10 (E, ¯ x) resp. S0 (E, ¯ x) = S0 (E) ¯ K0 (E, in dem fr¨ uheren Abschnitt mit ¯ 0 (x), K ¯ 10 = K ¯ 10 (x) resp. S¯0 ¯0 = K K bezeichnet wurden. 10.2.3 Stochastische Approximation Der Gradient der allgemeinsten erwarteten Kostenfunktion berechnet sich nach (10.6) zu ¯ ∇G(x) = ∇x E[f (Y(ω, x))] = E[∇x f (Y(ω, x))] mit dem stochastischen Gradienten

280

10 Sensitivit¨ atsanalyse

∇x f (Y(ω, x)) =

∂Y (ω, x)T ∇Y f (Y(ω, x)). ∂x

(10.40)

Alternativ zu der Approximation des Erwartungswertes von (10.40) mit Hilfe ¯ von Potenzreihenentwicklungen erh¨ alt man eine N¨aherung von ∇G(x) durch ∇x f (Y(ω0 , x)) =

∂Y (ω0 , x)T ∇Y f (Y(ω0 , x)), ∂x

(10.41)

wobei ω0 eine Realisierung des Zufallsparameters ω ist (in der Praxis durch einen Zufallszahlengenerator erzeugt). Gradient und Funktionalmatrix ∇Y f (Y(ω0 , x)) und ∂Y ∂x (ω0 , x) ergeben sich mittels (10.9) und (10.11) – (10.13). An Stelle von (10.41) wird oft das arithmetische Mittel 1 ∇x f (Y(ω0 , x)) := ∇x f (Y(ω0i , x)) r i=1 r

(10.42)

aus zu r unabh¨ angigen Realisierungen ω01 , ω02 , . . . , ω0r von ω geh¨origen einfachen Approximationen verwendet. Die N¨ aherung @ ¯ ∇ G(x) = ∇x f (Y(ω0 , x)) ¯ wird als stochastische Approximation von ∇G(x) bezeichnet. F¨ ur die spezielle Beispielklasse in Abschn. 10.2.2 hat man ∇¯ g (x) = ∇x E[ψ(Y (E(ω), x) − a)] = E[∇x ψ(Y (E(ω), x) − a)] mit dem stochastischen Gradienten ∇x ψ(Y (E(ω), x) − a) = ψ  (Y (E(ω), x) − a)∇x Y (E(ω), x) = 2(Y (E(ω), x) − a)∇x Y (E(ω), x), wobei sich die partiellen Ableitungen in ∇x Y = (

∂Y ∂Y T ,..., ) ∂x1 ∂xn

gem¨ aß (10.31), (10.34) resp. (10.37) berechnen. Stochastische Approximationen von ∇¯ g(x) bestimmen sich aus Realisierungen E(ω0 ) = (Eb (ω0 ))b∈B des Zufallsvektors E(ω) der Elastizit¨ atsmodule.

11. Optimierungsverfahren

Ohne jeden Anspruch auf Vollst¨ andigkeit, stellen wir im Folgenden einige f¨ ur die L¨ osung der von uns betrachteten Programme wichtige Hilfsmittel aus der mathematischen Theorie der Optimierung zusammen. Eine Einf¨ uhrung in dieses Gebiet findet man in [MaGr00]. Auf die Frage nach der Existenz von L¨ osungen eines Optimierungsproblems (vorausgesetzt, die Restriktionen sind u ullbar) werden wir ¨ berhaupt erf¨ gar nicht eingehen, da diese bei den hier vorliegenden Problemen – soweit sie sinnvoll formuliert sind – anschaulich klar ist. Da wir mit (9.12)-(9.14) f¨ ur die urspr¨ unglich stochastischen Probleme ¨ durch Ubergang zu den Erwartungswerten (9.10), (9.11) deterministische Ersatzprobleme formuliert haben, so k¨ onnen wir zun¨achst die herk¨ommlichen Methoden der Optimierung f¨ ur unsere Zwecke nutzbar machen. In den Bezeichnungen halten wir uns jetzt nicht mehr notwendig an eventuelle fr¨ uhere Bedeutungen.

11.1 Deterministische Methoden Die Probleme vom Typ 1,2 (vgl. (9.12), (9.13) und spezieller (9.40), (9.41) oder auch die gem¨ aß dem letzten Teil in Abschn. 10.1.2 zerlegten Programme (9.43), (9.44)) sind von der Gestalt: 3 min f (x) (11.1) bez. g(x) ≤ 0 mit g(x) = (g1 (x), . . . , gm (x))T und hinreichend oft differenzierbaren Funktionen f, g1 , . . . , gm von IRn nach IR. Definition 11.1. Die Lagrange-Funktion L zum Programm (11.1) ist definiert f¨ ur alle Paare x ∈ IRn , λ ∈ IRm durch L(x, λ) = f (x) + λT g(x) = f (x) +

m  j=1

λ1 , . . . , λm heißen Lagrange-Multiplikatoren .

λj gj (x).

282

11 Optimierungsverfahren

Der Gradient von L bez. x ergibt sich als ∇x L(x, λ) = ∇f (x) +

m 

λj ∇gj (x).

j=1

Unter einer geeigneten Regularit¨ atsvoraussetzung hat man nun die folgenden notwendigen Optimalit¨ atsbedingungen (siehe [MaGr00, Satz 10.1]). Lemma 11.1. Ist x∗ eine (regul¨are) L¨osung von (11.1), dann existiert ein Vektor λ∗ ∈ IRm von Lagrange-Multiplikatoren, so dass ∇x L(x∗ , λ∗ ) = 0 (λ∗ )T g(x∗ ) = 0 λ∗ ≥ 0. F¨ ugt man diesen Bedingungen die trivialerweise notwendige Bedingung g(x∗ ) ≤ 0 hinzu, so lautet die vollst¨ andige Liste der notwendigen Optimalit¨ atsbedingungen in Komponentendarstellung: m  ∂gj ∗ ∂f ∗ λ∗j (x ) + (x ) = 0, k = 1, . . . , n ∂xk ∂xk j=1 ⎫ gj (x∗ ) ≤ 0 ⎬ λ∗j ≥ 0 j = 1, . . . , m ⎭ ∗ λj gj (x∗ ) = 0

(11.2)

(11.3)

Die Bedingungen (11.2), (11.3) werden die (lokalen) Kuhn-Tucker-Bedingungen genannt. Unter gewissen Voraussetzungen (Konvexit¨atseigenschaften spielen hier eine besondere Rolle) sind sie auch hinreichend. Beispielsweise gilt f¨ ur das quadratische Programm 3 min xT Dx + cT x (11.4) bez. Ax ≤ b wobei A ∈ IMm,n eine beliebige, D ∈ IMn eine positiv semidefinite Matrix ist: Lemma 11.2. x∗ ∈ IRn ist genau dann eine L¨osung von (11.4), wenn ein λ∗ ∈ IRm existiert, so dass ∇x L(x∗ , λ∗ ) = 0 ∗

λ ≥ 0,

Ax∗ − b ≤ 0,

(λ∗ )T (Ax∗ − b) = 0.

(Siehe etwa [MaGr00, Satz 13.2 in Verbindung mit Korollar 12.1].) Die Probleme vom Typ 3 (vgl (9.14) und spezieller (9.42) oder auch das zerlegte Programm (9.45)) sind von der Form: min f (x) bez. x ∈ D

(11.5)

mit einer konvexen, abgeschlossenen Teilmenge D von IRn . Oft ist einfach D = {x ∈ IRn : xmin ≤ x ≤ xmax }.

11.1 Deterministische Methoden

283

Definition 11.2. x0 ∈ D heißt ein station¨ arer Punkt des Programms (11.5), wenn ∇f (x0 )T (x − x0 ) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ D. Ein innerer Punkt x0 von D ist genau dann station¨ar, wenn ∇f (x0 ) = 0. Nach [MaGr00, Satz 6.4] gilt nun die folgende notwendige Bedingung: Lemma 11.3. Jede L¨osung von (11.5) ist ein station¨arer Punkt von (11.5). Bei konvexer Funktion f ist auch umgekehrt jeder station¨are Punkt eine L¨ osung von (11.5) ([MaGr00, Satz 6.5]). F¨ ur die Ermittlung von station¨ aren Punkten steht eine Vielzahl von Iterationsverfahren zur Verf¨ ugung. Mit diesen Verfahren lassen sich Folgen (xk )k≥1 von Punkten in D berechnen, die unter geeigneten Voraussetzungen gegen station¨ are Punkte des Problems (11.5) konvergieren. Wir betrachten hier nur das sog. Gradientenverfahren : Ausgehend von einem Startpunkt x1 ∈ D berechne man iterativ die Folge xk+1 = PD (xk − αk ∇f (xk )),

k = 1, 2, . . . .

Dabei ist α1 , α2 , . . . , αk , . . . eine Folge von Schrittweiten , die auf unterschiedliche Weisen gew¨ahlt werden kann. Standardbeispiele f¨ ur vorgegebene Schrittweiten sind αk = ⎧ ⎨

und αk =

⎩

C , k

C, C k−k0 +1 ,

k = 1, 2, . . .

f¨ ur k = 1, 2, . . . , k0 − 1 f¨ ur k ≥ k0

mit einer Konstanten C > 0. Ferner ist PD : IRn → D die Projektion von IRn auf D, d.h. PD (y) ist die L¨ osung des Hilfsprogramms min ||x − y||2E bez. x ∈ D.

(11.6)

284

11 Optimierungsverfahren

Abb. 11.1. Projektion auf eine konvexe Menge

Die Anwendung von PD erweist sich als notwendig, wenn die Folge xk+1 = x − αk ∇f (xk ) aus D hinausf¨ uhrt. F¨ ur y ∈ D ist nat¨ urlich PD (y) = y. k

Wegen ||x − y||2ε = (x − y)T (x − y) = xT x − 2yT x + ||y||2ε ist (11.6) ¨aquivalent mit min xT x − 2yT x bez. x ∈ D und, wenn D sich durch lineare Ungleichungen beschreiben l¨ asst, ein Spezielfall von (11.4). Die L¨ osung PD (y) von (11.6) kann dann mit Hilfe der lokalen Kuhn-Tucker-Bedingungen in Lemma 11.2 charakterisiert werden. Beispiel 11.1. Die Projektion auf den zul¨assigen Bereich D = {x ∈ IRn : xmin ≤ x ≤ xmax } des Problems (9.42) l¨asst sich sofort explizit darstellen. Hier hat n¨amlich das Programm (11.6) die Form min

n 

≤ xk ≤ xmax , (xk − yk )2 bez. xmin k k

k = 1, . . . , n

k=1

und zerf¨allt in die n trivialen Teilprogramme ≤ xk ≤ xmax , min |xk − yk | bez. xmin k k k = 1, . . . , n. Deren L¨osungen

11.1 Deterministische Methoden

285

⎧ max ⎨ xk , wenn yk ≥ xmax k yˆk := yk , wenn xmin ≤ yk ≤ xmax k k ⎩ min xk , wenn yk ≤ xmin k setzen sich dann zur L¨osung ˆ = (ˆ PD (y) = y y1 , yˆ2 , . . . , yˆn )T von (11.6) zusammen.

Abb. 11.2. Box constraints

Beispiel 11.2. Wir betrachten die Projektion auf den zul¨assigen Bereich D des Problems (9.41), falls die Restriktion  γb Lb E[Ab (ω, x)] ≤ W max b

linear in x, also von der Form a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn ≤ b ist. Dann wird D beschrieben durch

286

11 Optimierungsverfahren

aT x ≤ b,

x ≤ xmax ,

−x ≤ −xmin ,

und die Lagrange-Funktion zum Programm (11.6) hat den Gradienten ∇x L(x, λ) = 2x − 2y + λ1 a +

n 

λj+1 ej −

j=1

= 2(x − y) + λ1 a +

n 

λj+n+1 ej

j=1 n 

(λj+1 − λj+n+1 )ej .

j=1

Die L¨osung PD (y) von (11.6) kann durch Elimination der Lagrange-Multiplikatoren aus den Kuhn-Tucker-Bedingungen berechnet werden. Technisch einfacher erscheint jedoch die Verwendung von Optimierungssoftware (Quadratische Optimierung).

Abb. 11.3. Projektion auf ein konvexes Polyeder

11.2 Stochastisches Gradientenverfahren Ist in Problem (11.5) die Funktion f = f (ω, x) auch von einem stochastischen Parameter abh¨angig, so wird man im Allgemeinen zu der Erwartungswertfunktion f¯(x) := E[f (ω, x)] u ¨ bergehen und das Problem min f¯(x) bez. x ∈ D

(11.7)

11.3 Beispiele

287

mit den Methoden des vorigen Abschnittes l¨ osen. Insbesondere ist das Gradientenverfahren anwendbar. Jedoch wird man die Gradienten ∇f¯(xk ) oft nur approximativ berechnen k¨ onnen (f¨ ur die uns besonders interessierenden Strukturoptimierungsprogramme gem¨ aß Abschn. 10.2). Besonders erw¨ahnen wir das sog. stochastische Gradientenverfahren [Ma05, Rei97], bei welchem Af¯(xk ) ersetzt die Gradienten ∇f¯(xk ) durch stochastische Approximationen ∇ werden (vgl. Abschn. 10.2.3): Ausgehend von einem Startpunkt x1 ∈ D berechne man die Iterationsfolge xk+1 = PD (xk − αk ∇x f (ωk , xk )),

k = 1, 2, . . . .

Dabei ist ω1 , ω2 , . . . , ωk , . . . oder ω11 , ω12 , . . . , ω1r1 ; ω21 , ω22 , . . . , ω2r2 ; . . . ωk1 , ωk2 , . . . , ωkrk ; . . . eine Folge unabh¨ angiger Realisierungen von ω und in letzterem Fall rk 1  ∇x f (ωk , x ) = ∇x f (ωki , xk ). rk i=1 k

Ferner ist wieder (αk )k≥1 eine Folge von Schrittweiten und PD die Projektion von IRn auf D. So verwendet man zur L¨ osung des Programms (9.41) resp. (9.42) im k-ten Iterationsschritt an Stelle des Gradienten der Zielfunktion dessen stochastische Approximation m  i=1

1 ψ  (Yi (ωk , xk ) − ai )∇x Yi (ωk , xk ) ψi (ρi ) i

resp. 

γb Lb ∇x Ab (ω, xk ) + c

b

m  i=1

1 ψ  (Yi (ωk , xk ) − ai )∇x Yi (ωk , xk ). ψi (ρi ) i

In [Eb91] werden f¨ ur eine Reihe von Beispielen L¨osungen des Programms (9.42) nach diesem Verfahren berechnet. Das Problem der Schrittweitenwahl und damit zusammenh¨ angende Fragen der Konvergenz der Folgen (xk )k≥1 werden in einem allgemeinen Rahmen in [Pl92] er¨ortert.

11.3 Beispiele 11.3.1 Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen Wir haben die Berechnung der L¨ osungen von den Programmen (9.46)- (9.48) nachzuliefern.

288

11 Optimierungsverfahren

Programm (9.46): Wir behandeln die Tragsicherheitsbedingungen zun¨achst getrennt. Bekannt sind die numerischen Werte von ai := E[Yi2 ]x4 ,

bi := E[Yi ]x2

(i = 1, 2, 3)

(11.8)

mit denen

ai − 2bi x2 y + x4 y 2 . x4 Die Betragsstriche in den Restriktionen von (9.46) beseitigen wir gem¨aß Abschn. 10.1.2 durch Zerlegen dieses Programms in die zwei Teilprogramme ⎫ min x2 ⎬ bez. ai − 2bi x2 y + x4 y 2 ≤ εx4 (Y max − y)2 , i = 1, 2, 3 (11.9) ⎭ a ≤ y ≤ Y max E[(Yi − y)2 ] =

und

⎫ ⎬

min x2 bez. ai − 2bi x2 y + x4 y 2 ≤ εx4 (Y min − y)2 , Y min ≤ y ≤ a.

i = 1, 2, 3

(11.10)

⎭

Dabei haben wir auf den konstanten Faktor in der Zielfunktion und auf die Bedingung x ≥ 0 verzichtet, was vorerst zul¨assig ist. Setzt man nun  c := 1 − ε,

d := 2ε

Y max Y min

3

 ,

e := ε

(Y max )2 (Y min )2

3 ,

(11.11)

so schreiben sich die drei ersten Restriktionen in (11.9) resp. (11.10) als ai − 2bi x2 y + cx4 y 2 + dx4 y − ex4 ≤ 0,

i = 1, 2, 3

(11.12)

Die Lagrange-Funktion zu diesen Programmen lautet dann L(x, y; λ) = x2 +

3  i=1

+λ4

λi (ai − 2bi x2 y + cx4 y 2 + dx4 y − ex4 ) 

(a − y) (Y min − y)

3

 + λ5

(y − Y max ) (y − a)

3 ,

und die notwendigen Optimalit¨ atsbedingungen (11.2) nehmen die Gestalt an 3 

2x +

λi (−4bi xy + 4cx3 y 2 + 4dx3 y − 4ex3 ) = 0

(11.13)

i=1 3  i=1

λi (−2bi x2 + 2cx4 y + dx4 ) − λ4 + λ5 = 0.

(11.14)

11.3 Beispiele

289

Wie bereits in Abschn. 9.6 erkannt, sind Randl¨osungen mit y = a nicht m¨ oglich. Nach Bemerkung 9.7 sind auch solche mit y = Y max resp. y = Y min ausgeschlossen. Aufgrund von (11.3) gilt daher λ4 = λ5 = 0. urde mit (11.13) x = 0 folgen, was aber W¨ are auch λ1 = λ2 = λ3 = 0, so w¨ (11.12) widerspricht. Wir betrachten nun den Fall, dass genau ein λ
= 0 existiert. Bezeichnet i dessen Index, so gilt nach (11.3) und (11.14) ai − 2bi x2 y + cx4 y 2 + dx4 y − ex4 = 0 −2bi x2 + 2cx4 y + dx4 = 0.

(11.15) (11.16)

Aus der Subtraktion des y-fachen der Gleichung (11.16) von (11.15) ergibt sich cx4 y 2 = ai − ex4 . (11.17) Andererseits gilt nach (11.16) 2cx2 y = 2bi − dx2

(11.18)

4c2 x4 y 2 = (2bi − dx2 )2 .

(11.19)

und damit Aus (11.17) und (11.19) folgt nun 4ai c − 4cex4 = 4b2i − 4bi dx2 + d2 x4 , also (d2 + 4ce)x4 − 4bi dx2 + 4b2i − 4ai c = 0.

(11.20)

Aus (11.20) k¨ onnen die m¨ oglichen Werte x und dann aus (11.18) die zugeh¨origen Werte y bestimmt werden. Verwirft man alle negativen oder nicht-reellen x, so bleiben •

im Teilprogramm (11.9): Tabelle 11.1. L¨ osungen A der K.-T.-Bedingungen von (11.9) i

x

y

1

−

−

Bemerkung

2 0, 07765995666 1, 247385093 · 107 0, 09047213623 0, 9045614180 · 107 3 0, 08201987674 1, 233513753 · 10

7

0, 09466360615 0, 9122344110 · 107

y > Y max (11.12) verletzt y > Y max (11.12) verletzt

290

•

11 Optimierungsverfahren

im Teilprogramm (11.10): Tabelle 11.2. L¨ osungen A der K.-T.-Bedingungen von (11.10) x

i

y

Bemerkung

1 0, 006176513713 −1, 646170488 · 10

7

0, 02865978470 −2, 255230228 · 10

7

2

−

−

3

−

−

(11.12) verletzt y < Y min

Wir diskutieren jetzt den Fall, dass es genau zwei λ
= 0 gibt. Bezeichnen j, k deren Indizes, i den fehlenden unter 1,2,3, so gilt aj − 2bj x2 y + cx4 y 2 + dx4 y − ex4 = 0

(11.21)

ak − 2bk x2 y + cx4 y 2 + dx4 y − ex4 = 0.

(11.22)

Subtrahiert man (11.22) von (11.21), so ergibt sich x2 y =

aj − a k 2(bj − bk )

und durch Einsetzen in (11.21) aj − a k +c aj − 2bj 2(bj − bk )



aj − a k 2(bj − bk )

2 +d

aj − a k 2 x − ex4 = 0. 2(bj − bk )

Hieraus k¨ onnen die m¨ oglichen Werte von x, y bestimmt werden. Betrachtet man nur die reellen x ≥ 0 so erh¨ alt man •

im Teilprogramm (11.9): Tabelle 11.3. L¨ osungen B der K.-T.-Bedingungen von (11.9) i

x

y

1 0, 07406202123 1, 431725991 · 10

Bemerkung 7

0, 09733161754 0, 8289782721 · 107 2 0, 1508877212 0, 1640084213 · 10

y > Y max (11.12) verletzt

7

3 0, 1440621902 0, 1612939785 · 107

(11.12) verletzt

11.3 Beispiele

•

291

im Teilprogramm (11.10): Tabelle 11.4. L¨ osungen B der K.-T.-Bedingungen von (11.10) i

x

y

1

−

−

Bemerkung

2 0, 09556110882 0, 4088947993 · 107

y>a

3 0, 09158070956 0, 3991261406 · 107

y>a

Der Fall schließlich, dass λ1
= 0, λ2
= 0, λ3
= 0 ist, kann hier nicht eintreten, da sonst ai − 2bi x2 y + cx4 y 2 + dx4 y − ex4 = 0,

i = 1, 2, 3

und durch paarweise Subtraktion dieser Gleichungen a2 − a 3 a3 − a 1 a1 − a 2 = = 2(b1 − b2 ) 2(b2 − b3 ) 2(b3 − b1 ) folgen w¨ urde, was den numerischen Werten widerspricht. Insgesamt ergibt sich damit die in Abschn. 9.6 angegebene L¨osung des Programms (9.46) bei getrennten Sicherheitsbedingungen. Bei gemeinsamer Behandlung der Tragsicherheitsbedingungen setzen wir, mit den Bezeichnungen (11.8) und (11.11), A := a1 + a2 + a3 ,

B := b1 + b2 + b3 ,

C := 3 − ε,

D := d,

(9.46) zerf¨ allt dann in die zwei Teilprogramme min x2 bez. A − 2Bx2 y + Cx4 y 2 + Dx4 y − Ex4 ≤ 0 3  a ≤ y ≤ Y max Y min ≤ y ≤ a Die Optimalit¨ atsbedingungen (11.2) lauten hier 2x + λ1 (−4Bxy + 4Cx3 y 2 + 4Dx3 y − 4Ex3 ) = 0 λ1 (−2Bx2 + 2Cx4 y + Dx4 ) − λ2 + λ3 = 0, und wie oben ist λ2 = λ3 = 0, λ1
= 0. Damit gilt notwendig A − 2Bx2 y + Cx4 y 2 + Dx4 y − Ex4 = 0 −2Bx2 + 2Cx4 y + Dx4 = 0

E := e.

292

11 Optimierungsverfahren

und folglich wieder 2Cx2 y = 2B − Dx2 (D2 + 4CE)x4 − 4BDx2 + 4B 2 − 4AC = 0, woraus sich x, y ermitteln lassen. L¨ asst man die negativen oder nicht-reellen Werte von x fort, so bleiben Tabelle 11.5. Optimall¨ osung von (9.46) bei gemeinsamer Behandlung der Tragsicherheitsbedingungen x

y

im 1. Teilprogramm 0, 1860536135 0, 1283729799 · 107 im 2. Teilprogramm 0, 1210963960 0, 3755495600 · 107

Da zuletzt y > a, ist die in Abschn. 9.6 angegebene L¨osung best¨atigt. Programm (9.47): Hier setzen wir mit Bezug auf (11.8)  A := a1 + a2 + a3 ,

B := b1 + b2 + b3 ,

C :=

Y max Y min

3 (11.23)

und haben die zwei Teilprogramme min

A x4

−2B y2 +3y 2 x (C−y)2 max

bez. 0 ≤ x ≤ x ⎧ ⎫ ⎨a ≤ y ≤ C ⎬ ⎩C ≤ y ≤ a⎭

von (9.47) zu diskutieren. f (x, y) bezeichne die Zielfunktion. Wegen ur y = a die L¨osung x∗ = lim f (x, y) = +∞, Bemerkung 9.7 und da (9.47) f¨ x→0 max

x hat, liegen die L¨ osungen der beiden Teilprogramme entweder im Inneren ihres zul¨ assigen Bereiches oder auf dem Rand x = xmax . F¨ ur die erstgenannten gilt nach Lemma 11.3 ∇f (x, y) = 0, wegen − 4A5 + 4B xy3 ∂f (x, y) = x ∂x (C − y)2 y A 2 2 (− 2B ∂f x2 + 6y)(C − y) + 2( x4 − 2B x2 + 3y )(C − y) (x, y) = 4 ∂x (C − y)

=

2A x4

−

2B x2 (C

+ y) + 6Cy (C − y)3

11.3 Beispiele

293

also A x2 y = B A − B(C + y)x2 + 3Cx4 y = 0.

Einsetzen der ersten Gleichung in die Zweite f¨ uhrt auf den Widerspruch (3

A − B)Cx2 = 0. B

Daher gibt es keine inneren L¨ osungspunkte. Auf dem Rand x = xmax lautet die Zielfunktion ϕ(y) := f (xmax , y) = wobei A =

A (xmax )4 ,

B =

B (xmax )2

ϕ (y) =

A − 2B  y + 3y 2 , (C − y 2 )

gesetzt wurde. Nun ist wie oben

2A − 2B  (C + y) + 6Cy , (C − y)3





C−A so dass ϕ (y) = 0 nur f¨ ur y = B3C−B
zutrifft. Die numerischen Werte ergeben Da beidesmal im 2. Teilprogramm y > a und im 1. Teilprogramm ϕ(y) < ϕ(a),

Tabelle 11.6. Optimall¨ osung von (9.47) xmax

y

im 1. Teilprogramm 0, 2168262740 0, 09783725139 · 107 0, 1770379113 0, 1396932950 · 107 im 2. Teilprogramm

0, 2168 . . .

0, 1097 . . . · 107

0, 1770 . . .

0, 1674 . . . · 107

sind hiermit die fr¨ uher angegebenen L¨ osungen von (9.47) verifiziert. Programm (9.48): Mit den Abk¨ urzungen (11.23) und D := 31905, 63889 ergeben sich die beiden Teilprogramme A

min Dx2 + c x4 

−2B xy2 +3y 2 (C−y)2

bez. x ≥ 0 3 a ≤ y ≤ Y max Y min ≤ y ≤ a

294

11 Optimierungsverfahren

von (9.48). L¨ osungen liegen entweder im Innern des zul¨assigen Bereichs oder auf dem Rand y = a. Notwendige Bedingungen f¨ ur die erstgenannten sind (vgl. die vorige Diskussion) Dx6 (C − y) − 2cA + 2cBx2 y = 0 A − BCX 2 − Bx2 y + 3Cx4 y = 0. Aus der Addition des 2c-fachen der zweiten Gleichung zu der ersten folgt Dx4 (C − y)2 + 6cCx2 y − 2cBC = 0. Eliminiert man hierin y mit Hilfe der zweiten Gleichung, so erh¨alt man als Bestimmungsgleichung f¨ ur x ein Polynom 4. Grades in x2 . L¨asst man im 1. Teilprogramm von allen auf diese Weise bestimmten Paaren x, y diejenigen mit x < 0 oder x ∈ / IR oder y < a fort, so verbleiben Streicht man im 2. Tabelle 11.7. Optimall¨ osung von (9.48) x

y

c = 10000 0, 1869062423 0, 1273647205 · 107 c = 1000 0, 1347874716 0, 2087496996 · 107

Teilprogramm entsprechend alle Paare x, y mit x < 0 oder x ∈ / IR oder y > a, so bleiben keine u ¨brig. F¨ ur das Programm (9.48) mit y = a konnte die L¨osung in Abschn. 9.6 sofort ermittelt werden. Ein Vergleich der zugeh¨ origen Zielfunktionswerte zeigt nun, dass die im 1. Teilprogramm gefundenen x, y beidesmal tats¨achlich die L¨ osung von(9.48) darstellen. 11.3.2 Torbogen mit starren Verbindungen Wir betrachten wieder den Torbogen aus den Abschnitten 7.3.2.3 und 8.4.3, setzen hier aber voraus, dass nur die Elastizit¨ atsmodule stochastisch sind. Die Vorgaben lauten demnach:

11.3 Beispiele

Lb1 = Lb3 = 2,

295

Lb2 = 4 [m]

bb = b = 0, 1 [m] (b = b1 , b2 , b3 ) hb1 = hb3 = 0, 1 [m] Eb gleichverteilt zwischen 10 · 109 und 11 · 109 [N/m2 ](b = b1 , b2 , b3 ) γ = 5000 [N/m3 ] ⎞ ⎛ −100000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎜ −100000 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0⎟ F2 ⎟ [N resp. N m] F0 = ⎝ ⎠ = ⎜ ⎟ ⎜ F3 ⎜ 100000 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −100000 ⎟ ⎠ ⎝ 0 Entwurfsvariable: x1 = x = hb2

[m]

Response-Variablen: Y1 = u2 , Y2 = v2 , Y3 = u3 , Y4 = v3 Yimin = Y min = −0, 002,

[m]

Yimax = Y max = 0, 002 (i = 1, 2, 3, 4)

Gem¨ aß (9.22) ist hier a = 0, ρ = 0, 002. Wir w¨ahlen das Programm (9.42) mit ψ(t) = t2 , xmin = 0, xmax = +∞ und dem Wichtungsfaktor c = 1000. Die Zielfunktion schreibt sich dann: f (x) =

 b

γLb Ab (x) + c

4  E[(Yi − a)2 ] i=1

= 200 + 2000x + 1000

ρ2

4  E[Yi2 ] . 0, 0022 i=1

Dabei sind theoretisch die Momente zweiter Ordnung E[Yi2 ] verm¨oge (8.9), (8.12) Funktionen von x. Praktisch ist hier jedoch eine explizite Darstellung (so wie in dem vorigen Beispiel) nicht mehr m¨oglich. Zur Ermittlung der L¨ osung x∗ des Programms verwenden wir daher die Gradientenmethode mit vorgegebener Schrittweite. Die Berechnung des Gradienten (hier also der Ableitung von f ) in den einzelnen Iterationspunkten f¨ uhren wir gem¨aß Abschn. 10 durch. Zun¨ achst gilt 4 109  d df = 2000 + E[Yi2 ] dx 4 i=1 dx $ 2% 4  dYi = 2000 + 0, 25 · 109 E dx i=1 $ % 4  dYi 9 E Yi = 2000 + 0, 5 · 10 , dx i=1

296

11 Optimierungsverfahren

wobei nach (10.15) $

 % dq dYi −1 −1 0 T E Yi = −(F ) E[K0 Ejj K0 K0 K0−1 ]F0 dx dx

(11.24)

mit i 1234 j 1245 Nun ist hier ˜ b 1 1 + qb 1 2 K ˜ b 1 2 + qb 2 1 K ˜ b 2 1 + qb 2 2 K ˜ b 2 2 + qb 3 1 K ˜ b 3 1 + qb 3 2 K ˜ b3 2 , K 0 = qb 1 1 K 0 0 0 0 0 0 und x kommt nur in qb2 1 =

Eb2 bx , Lb2

qb2 2 =

Eb2 bx3 12Lb2

vor, wo dqb2 1 Eb2 b = , dx Lb2

Eb2 bx2 dqb2 2 = . dx 4Lb2



 dq Eb2 b ˜ b2 1 Eb2 bx2 ˜ b2 2 K K0 . + = dx Lb2 0 4Lb2 Der Erwartungswert auf der rechten Seite von (11.24) wird nach der Formel (10.19) quadratisch approximiert. Neben in bekannter Weise zu berechnenden Gr¨ oßen ben¨ otigen wir dazu: $ % 2 ¯ ¯b2 b b 1 E E ˜ 2 + b2 bx K ˜ b2 2 ¯ (1) = E K0 dq K K = 0 0 0 dx Lb2 4Lb2 dqb
κ
) = 0, falls b
= b2 oder b
= b2 cov(qbκ , dx ⎧ x, falls κ = 1, κ = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x3  b2 dqb2 κ
4 , falls κ = 1, κ = 2 ) = 2 var(Eb2 ) · cov(qb2 κ , x3  ⎪ dx Lb2 ⎪ 125 , falls κ = 2, κ = 1 ⎪ ⎩x  48 , falls κ = 2, κ = 2.

Also ist

K0

Ausgehend von einem Startpunkt x(1) k¨ onnen auf diese Weise die Iterationspunkte x(k+1) = x(k) − αk f  (x(k) ) berechnet werden. Bei der Erstellung der folgenden Tabelle wurde x(1) = 0, 5 und αk = C f¨ ur k = 1, 2, . . . , 14 gew¨ ahlt und die Konstante nach einigen Probel¨ aufen auf den Wert C = 0, 5 · 10−4 gesetzt. Man entnimmt der Tabelle, dass f¨ ur die L¨ osung x∗ gilt x(k) ≤ x∗ ≤ x(k+1) f¨ ur k = 7, 8, . . . , 14. Demnach ist auf neun Dezimalstellen genau x∗ = 0, 262798615.

11.3 Beispiele

297

Tabelle 11.8. Numerische L¨ osung von (9.42) mit Hilfe eines Gradientenverfahrens k

x(k)

f
(x(k) )

1

0, 5

1709, 170821

2

0, 4145414589

1489, 916721

3

0, 3400456229

1076, 317137

4

0, 2862297661

5

0, 2636392906

19, 06050012

6

0, 2626862656

−2, 565803020

7

0, 2628145558

0, 3636772698 −0, 4661917065

451, 8095085

8

0, 2627781881

9

0, 2628014976

0, 06575860801

10

0, 2627982097

−0, 009264139866

11

0, 2627986729

0, 001305368673

12

0, 2627986076

−0, 0001839291741

13

0, 2627986168

0, 00002591609455

14

0, 2627986155

−0, 3651642721 · 10−5

15

0, 2627986157

0, 5145256535 · 10−6

Literaturverzeichnis

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Sachverzeichnis

außere Kraft, 13, 14 ¨ außeres Drehmoment, 43, 44, 99 ¨ Anfangsknoten, 7 Axialspannung, 63 beschr¨ ankt, 187 Betragsummennorm, 169 Biegespannung, 63, 69 Bonferroni-Ungleichung, 245 charakteristische Funktion, 155 Dreiecksverteilung, 161 Dreischlag, 287 Dreistab, 36, 189, 219, 253 Drilltr¨ agheitsmoment, 106 elastische Analyse, 5 Elastizit¨ atsmodul, 11 Elemente, 4 Elementsteifigkeitsmatrix, 18, 54, 111, 115 Elementsteifigkeitsmatrix in lokalen Koordinaten, 18, 54, 110, 112 Endknoten, 7 Entwurfsvariablen, 227 Entwurfsziele, 227 Erwartungswertoperator, 153 erweiterte Verschiebungsvektoren, 115 erweiterte Kraftvektoren, 115 erweiterter Verschiebungsvektor, 57 erweiterter Kraftvektor, 57, 118 Euklidsche Norm, 169, 171 Eulersche Winkel, 97 Fachwerke, 4 Faltung, 173 fast sicher, 182

fast sichere Konvergenz, 183 Finite Element Methode, V Formel von Rodrigue, 157 Fourier-Entwicklung, 155 frames, 4 freie Knoten, 24, 60 Funktionalmatrix, 259 geometrische Reihe, 176 Gesamtknotenverschiebungsvektor, 25, 62, 121 Gesamtlagerkraftvektor, 25, 62, 121 Gesamtlastvektor, 25, 62, 121 Gesamtnorm, 171 Gesamtspannungsvektor, 28, 75, 123 Gesamtsteifigkeitsmatrix, 21, 59, 119 gest¨ utzte Knoten, 60 Gewicht, 230 Gleichgewichtsbedingung, 6 Gleichgewichtszustand, 15 Gleichverteilung, 160 globale Koordinaten, 11, 95 globales Koordinatensystem, 11, 43, 95 Gradient der erwarteten Kostenfunktion, 259 Gradient der Gewichtsfunktion, 257 Gradientenverfahren, 283 Gram - Charlier - Entwicklung, 157, 158 Hermite - Polynome, 157 Hookesches Gesetz, 6, 16 innere Linearisierung, 276 Inzidenzmatrix des orientierten Tragwerks, 7 Inzidenzmatrix des Tragwerks, 7 kinematische Stabilit¨ at, 8 kinematische Vertr¨ aglichkeiten, 6

302

Sachverzeichnis

Knoten, 4 Konvergenz von Matrizenreihen, 172 Koordinatentransformation, 12 Kosten, 230 Kostenfunktion, 236, 242 Kostenfunktionen, 233 Kroneckerprodukt, 153 Kuhn-Tucker-Bedingungen, 282 Lagerkr¨ afte, 13 Lagrange-Funktion, 281 Lagrange-Multiplikatoren, 281 lexikographisch kleiner, 28 lokale Koordinaten, 11, 95 lokales Koordinatensystem, 11, 44, 95 Materialgesetz, 6 Matrixnorm, 170 Maximumnorm, 169 Modellbildung, 233 Momente, 153 Nominalwert, 165 Normalspannungen, 70 Normalverteilung, 237 Normbewertungen, 241 Normrestriktionen, 240 optimaler Entwurf, 227 Optimierungsvariablen, 257 Ordnung, 185 Orientierung, 7 pin-jointed, 4 Poissonzahl, 106 polares Tr¨ agheitsmoment, 107 portal frame, 30 Projektion, 283 Querdehnungszahl, 106 Rahmen, 4 Realisierung, 280 reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix, 25, 62, 122 Regel von den kleinen Ausnahmewahrscheinlichkeiten, 245 reine Momente, 153 Response-Variable, 229 Restglied nach Lagrange, 178

rigid-jointed, 4 robust, 232 Schrittweiten, 283 Schubmodul, 106 Schubspannungen, 70 Schwarzsche Ungleichung, 38, 171 Sensitivit¨ at, 257 Sensitivit¨ atsanalyse, 257 separabel, 244 Sicherheitswahrscheinlichkeiten, 235 Skalieren, 252 Spaltennorm, 170 Spannung, 26, 63, 69, 124, 125 Spektralnorm, 171 starke Konvergenz, 183 station¨ arer Punkt, 283 Steifigkeitsfaktor, 18 stochastische Gradientenverfahren, 286 stochastische Approximation, 280 Stochastische Finite Elemente Methoden, VI stochastischen Gradienten, 279 Straffunktion, 236 Struktursteifigkeitsmatrix, 21, 59 Symmetriebedingung, 64, 126 Systemsteifigkeitsmatrix, 21, 59 Taylorpolynom, 178 Taylorsche Formel, 177 Teiltragwerk, 29 tensorielles Produkt, 153 tensorielles Produkt, 152 Tensorpotenz, 153 Theorem von Chasles, 99 Torbogen, 30, 85, 194, 220, 294 Torsionstr¨ agheitsmoment, 106 Torsionstr¨ agheitsradius, 117 Torsionswinkel, 106 Tr¨ agheitsmoment, 46, 101 Tr¨ agheitsradius, 56, 117 Tragf¨ ahigkeitsbedingungen, 230 Tragsicherheit, 234, 240 Tragsicherheitsforderungen, 230 Tragwerke, 4 Transformationsmatrix, 12, 95 trusses, 4 unbedingte Konvergenz von Matrizenreihen, 173

Sachverzeichnis Vektornorm, 169 verankerte Knoten, 24, 60 Verdrehungsvektor, 99 Verdrehungswinkel, 44 Versagenswahrscheinlichkeiten, 235 Verschiebung, 14 vertr¨ aglich, 170 virtuelle Knoten, 5

303

Voraussetzung (V1), 162 Voraussetzung (V2), 165 Wahrscheinlichkeitsrestriktionen, 235 Widerstandsmomente, 64, 126 Zeilennorm, 170 zentrale Momente, 153, 185

304

Sachverzeichnis

Symbolverzeichnis (i, j), 7 A ⊗ B, 152 A(ω), 154 A⊗k , 153 A0 , 61, 121 A(i,j) , 11 A10 , 61, 121 Bk , 184 Bij , 204 C = (cij ), 7 E(i,j) , 11 Eij , 216 G, 106 Hk (x), 157 I t , 106 z , 46 I(i,j)


y I(i,j) , 101 K, 21, 58, 118 K (i,j),1 , 59 K (i,j),2 , 59 K (i,j),3 , 59 K (i,j),4 , 59 K (i,j),κ , 119 K (i,j) , 22, 59, 119 K0 , 25 (i,j) K0 , 26 K10 , 26 (i,j) K10 , 26 L(i,j) , 11 Mi , 43 (i,j) Mi , 44 (i,j) Mj , 44 N, 7 S, 28, 75, 123 S (i,j),1 , 75 S (i,j),2 , 75 S (i,j),3 , 75 S (i,j),4 , 75 S (i,j),5 , 75 S (i,j),λ , 130 S (i,j) , 29, 75, 123 S0 , 29, 75, 123 (i,j) S0 , 29 T (i,j) , 96 Tα , 12 X ∗ , 228

X 0 , 165 ∆q, 175 ∆q(k) , 267 IMm , 170 Φ(x), 237 α(i,j) , 11 ¯ 154 A, ¯ 0 , 175 K ¯ (k) , 267 K 0 ¯ F0 , 216 ¯ 1 , 215 F ¯ 153 X, ¯ , 175 q ¯ 0 , 215 u ¯ 215 σ, (i,j) b rs , 98 k (i,j),1 , 55, 115 k (i,j),2 , 55, 116 k (i,j),3 , 55, 116 k (i,j),4 , 55, 116 k (i,j),5 , 116 k (i,j),6 , 116 k (i,j),7 , 116 k (i,j),8 , 116 k (i,j) , 111, 115 s (i,j),1 , 74, 129 s (i,j),2 , 74, 129 s (i,j),3 , 74, 129 s (i,j),4 , 74, 129 s (i,j),5 , 74, 129 s (i,j),6 , 129 s (i,j),7 , 129 s (i,j),8 , 129 s (i,j),9 , 129 s (i,j) , 28, 72, 124 (i,j)

k , 18, 56, 111, 117 (i,j)  s , 122 (i,j)  s , 27, 74 (i,j) σ˙ i , 69 (i,j) σ˙ j , 69 (i,j)

σ˙ i,y
, 126 (i,j)

σ˙ i,z , 69 (i,j)

σ˙ j,y
, 126 (i,j)

σ˙ j,z , 69 z ˙ (i,j) W , 64

Symbolverzeichnis ˙ y
, 126 W (i,j) y˙
, 64 z˙
, 125 ◦ y
, 64 ◦ z
, 126 [A]s , 184 b, 146 || . ||, 169, 170 µ(nbκ ) , 185 µk1 ···kn , 154 ν, 106 ω, 150 ψ(i,j) , 97 (i,j) σi , 26, 124 (i,j) σj , 27 (i,j)

σi,a , 69 (i,j)

σj,a , 69 ∞ A , 173 k=0 k θi , 44 ˜ , 175 N (i,j) σ. i , 69 (i,j) σ. j , 69 (i,j)

σ. i,y
, 126 (i,j) σ. i,z , 68 (i,j)

σ. j,y
, 126 (i,j) σ. j,z , 69


y W . (i,j) , 126 z W . (i,j) , 64
y. , 64 z.
, 125 F, 20, 58, 118 F0 , 24 F1 , 25 Fi , 13, 57, 98, 118 (i,j) Fi , 14, 57, 98, 115 (i,j) Fj , 14, 57, 98, 115 Mi , 99 (i,j) Mi , 99 (i,j) Mj , 99 σ, 28, 75, 123 σ (i,j) , 70, 124, 127 (i,j) σ i , 127 (i,j) σ j , 127 θ i , 99 (i,j) b1 , 96

(i,j)

b2 , 97 (i,j) b3 , 97 u, 20, 58, 118 u0 , 25 ui , 14, 57, 98, 115 v
, 12, 95 x0 , 61, 121 x1 , 61, 121 x ⊗ y, 152 x⊗k , 153 ϕ(i,j) , 97 ϑ(i,j) , 97 {x
, y
, z
}, 95 {x
, y
}, 11 {x, y, z}, 95 {x, y}, 11 i, 7 k(i,j) , 18, 53 m, 175 mk1 ···kn , 153 n, 7 p(i,j),1 , 129 p(i,j),2 , 129 p(i,j),3 , 129 p(i,j),4 , 129 p(i,j),5 , 129 p(i,j),6 , 129 p(i,j),7 , 129 p(i,j),8 , 129 p(i,j),9 , 129 p(i,j) , 122 q(i,j),1 , 117 q(i,j),2 , 117 q(i,j),3 , 117 q(i,j),4 , 117 q(i,j),5 , 117 q(i,j),6 , 117 q(i,j),7 , 117 q(i,j),8 , 117 q(i,j) , 18 z r = r z = r(i,j) , 56 t r , 117
r y , 117 t+ , 237 t− , 237 s (i,j) , 128 X(ω), 153 Y = (Y1 , Y2 , . . . , Ym )T , 229

305

306

Sachverzeichnis

ei , 216 p, 151 q, 151 a ≤ b, 231 q(k) , 267 x = (x1 , x2 , . . . , xn )T , 229 B, 146

E, 153 Uε (a), 170 IMn,m , 152 ess.sup, 244 f.s., 182