Surikagaku gairon: Joho kagaku (Japanese Edition)

情 ★報 ★科 ★学

数

理

科 桜井 明

学 概 著

東京電機大学 出版局

論

ま え が き

  数 理 科 学 は 自然 や 社 会 現 象 を数 学 化 して研 究 す る学 問 とい え よ う.こ れ は,古 くか らの 大 き な 流 れ で い え ば,ニ と,ほ

ュ ー トン 力学 を典 型 とす る数 理 物 理 的 な も の

とん ど同 時 代 か らの 統 計 学 的 な もの とが あ る が,近 年 に な っ て,全

い 情 報 科 学 的 な もの が 発 足 した.こ れ らは,さ

く新 し

らに 電 子 計 算機 の発 達 と相 ま っ て

ます ます 発 展 す る と と もに,そ の 範 囲 は 日 々広 が り,以 前 は 数学 とは全 く無 縁 と 考 え られ て き た領 域,た と えば文 学 や 芸術 とい っ た分 野 に さ え も広 が りつ つ あ る.   本 書 は この よ うな 数 理 科 学 の 学 問 と して の 領域,そ

の 固 有 の方 法,お

よ び,そ

の 分 野 な どに つ い て の 概 観 を与 え るこ と を 目的 とす る.   そ の た め,ま ず 第 Ⅰ部 に お い て,こ の 学 問 の対 象 で あ る 自然 現 象や 社 会 現 象 に 存在 す る規則 性,と

くに そ の数 学性 につ い て考 察 す る.数 理 科 学 の 方 法 は,現 象

の この よ うな 数学 性 に 基 づ き,現 象 を数 学 モ デ ル化 し,そ れ に よ って 現 象 を研究 す るこ とで あ る.し た が っ て,こ の方 法 は,数 学 モ デル の作 製 とそ れ に よ る現 象 の 研 究 とい う ２段 階 に な る.第

Ⅱ部 に お い て は,こ の よ うな 方 法 の概 略 を述 べ

る.こ こ で の要 諦 は,い ず れ の 段 階 にお い て も,そ こ に現 れ る数学 は,原 則 と し て,数 学 自身 と して よ り,問 題 と してい る現 象 との 関 連 に お い て 意 味 を もっ てい る こ と で あ る.こ の 点 が数 理 科 学 と数 学 との 違 い であ り,こ れ が数 理 科 学 固 有 の 方 法 を示 して い るわ け であ る.   第 Ⅲ部 に お い て,数 理 科 学 の 各 分 野 に つ い て の概 観 を試 み る.数 学 的 性 質 を も つ 現 象 は す べ て この 科 学 の 対 象 とな る う るわ け で あ る か ら,そ れ は数 限 りな くあ り,ま た 日 々増 え て い て,こ れ ら を も ら さず解 説 す る こ とは不 可 能 に近 い.し か し,そ れ らの学 問 分野 こそ 千差 万別 で あ るが,数 理 科 学 の方 法 とい う観 点 か ら見 れ ば,そ れ らは大 体 に お い て,上 記 の数 理 物 理,数 理 統 計 お よ び情 報科 学 に お け る手 法 に 基 づ く もの が 多 い.こ の点 を考 慮 し,こ れ らにつ い て の 記 述 を主 と し, それ を基 準 に考 え るこ と と した.な お,こ れ らの 諸 分 野 での 具 体 的 な事 項 につ い

て は,諸 家 の 成 書 を随 所 に引 用 させ て い た だい た.こ れ らの 多 くは ま た,参 考 書 と して 巻 末 に 一 括 して 挙 げ させ て い た だい て い る.   数 理 科 学 全 体 を概 観 す る試 み と して,執 筆 に あた っ て は最 善 をつ く した つ も り で あ る が,至

らぬ こ とも 多い か と思 われ る.お 気づ き の点 等 あれ ば,御 指 摘 い た

だ けれ ば幸 い で あ る.   最 後 に,本 書 は小 冊 子 な が ら完 了 ま で に長 い 年 月 を要 した.そ の 間,絶 え ざ る 御 関 心 と御 声 援 をい た だい た 東 京 電 機 大 学 出版 局 と くに 植 村 八 潮 氏 に心 か ら感 謝 い た したい. 昭 和62年

５月

桜 井

 明

目

次

まえがき

Ⅰ.数 理 科 学 の 基 礎 １.数 理 科 学 と は

 ２

２.数 学 と科 学 と工 学

  ７

2.1  形 式 科 学 と経 験 科 学

 ７

2.2  科 学 と 工 学

 ９

学 の法 則

 11

3.1  科 学 法 則 の 性 格

  11

３.科

3.2  確 定 的 法 則 と統 計 的 法 則

 14

４.自 然 科 学 の 発 達 4.1 

 16

発 達 の メ カニ ズム

 16

4.2  発 達 の モ チ ベ ー シ ョ ン

 17

５.人 文 科 学 と 自然 科学

 20

６.科 学 法 則 の 数 学 性

 24

Ⅱ.数 理 科 学 の 方 法 ７.現 象 の数 学 化

 30

7.1  数 学 モ デ ル

 30

7.2  数 学 モ デ ル の 種 類

 31

８.数 学 モデ ル の構 成

  35

8.1  数 学 モ デ ル の構 成 原 理

  35

8.2  数 学 モ デ ル化 の 実際 と簡 易 な 例

  36

8.3  経 験 式,最

  39

小二 乗 法,無 次 元 表 現

8.4  基礎 方 程 式

  45

8.5  基礎 方 程 式 に 基 づ くモ デ ル の構 成

  50

8.6 

  56

解 の 存 在,一

意 性,安

定性

９.数 学 モ デ ル に よ る現 象 の解 明,近 似 解 法 9.1 

  62   62

現 象 の解 明

9.2  近 似 解 法 の い ろ い ろ

  66

Ⅲ.数 理 科 学 の 実 際 10.数 理 科 学 の基 礎 的 分 野

  78

10.1  基 礎 的 分野 の概 観

  78

10.2  数 理 物 理 学

  79

10.3  数 理 統 計 学

  95

10.4  情 報 理 論

 114

10.5  線 型 計 画 法

  122

10.6 

  131

グ ラ フ理 論 の応 用

11.非

自然 科 学 に お け る数 理 科 学

 139

11.1  数 理 心 理 学

  140

11.2  数 理 経 済 学

  143

11.3  社 会科 学 に お け る数 量 分析 11.4 

言 語 の 数 理科 学

11.5  芸 術 の 数 理

12.複

雑 な現 象 へ の 応 用

 153   155  157   160

12.1  数理 生 物 学,数 理 生 態 学

 160

12.2 

 166

交通 問題

参考書

 174

索 引

 177

◆第Ⅰ 部◆

数理 科 学 の基 礎

ｌ.

数 理 科 学 とは

  数 理科 学 とは,種 々 の現 象 に存 在 す る数 学 的 性質 を利 用 してそ の 現 象 を研 究 あ るい は 利用 す る学 問 とい え よ う.こ の 場 合 の 現 象 は 自然 現 象 に限 らず,広

く社 会

現 象 そ の他 を含 ん で い る.   お よそ,科 学 は 自然 や 社 会 の 現 象 を対 象 と し,と

くに そ の 法 則 性 を探 求 す る

が,そ れ は しば しば数 学 性 を もっ てい る.こ の こ と を基 礎 と し,こ れ に よ って 現 象 を数学 化 あ る い は数 学 モ デ ル化 し,そ れ に つ い て 数学 を利 用 してそ の現 象 を究 明 す るの が そ の原 理 で あ る.し た が っ て,そ れ は数 学 自身 で はな く,ま た,あ

る

特 定 の 科学 の部 門 で もな い.数 学 性 を もつ 現 象 は何 で もそ の 対 象 とな り,そ れ に 数 学 を用 い るこ とに な る.   この こ との簡 単 な例 と して,気 体 の 体 積 は そ の圧 力や 温 度 の変 化 に よ って 変 わ る とい う現 象 を考 え てみ よ う． こ の現 象 を よ く調 べ てみ る と,つ ま り,気 体 の 温 度,圧

力,体 積 な ど を多 くの 場 合 に 測 っ た 結 果 を総 合 し,た

とえ ば温 度 が 同 じ

デ ー タ だ け に着 目す る と,そ の体 積 と圧 力 とは 大体 にお い て反 比 例 してい る とい う数 学 的 性 質 が 見 られ る(ボ イ ル の 法 則).こ

れ は,体 積 をｖ,圧 力 を ｐ とす る

と,同 じ温 度 に 対 してpv=k(一

定)と 数 学 モ デ ル化(こ の 場 合 は 数 式 化)さ れ,

さ らに,こ れ を利 用 す れ ば,た

とえ ば圧 力 ｐ が どれ だけ に な っ た とき 体積ｖ が ど

れ だけ に な るか を,v=k/pと

「数 学 」を使 っ て 計 算 し予 測 す るこ とが で き る.こ

れ が,つ ま り,数 理 科 学 の考 え方 で あ る. (１) 物 理 的 科 学,工 学   この例 の よ うに,数 学 性 は と くに物 理 的 現 象 に お い て顕 著 で あ り,こ のた め, 物 理学 は古 くか ら数 学 を基 に して研 究 され,な か に は量 子 力学 の よ うに,そ の 基

礎 の 本 質 に お い て 数 学 的 表 現 を と る もの もあ る.こ の た め,そ の 数学 的分 野 であ る数 理 物 理 学 は,今 学,と

日の 数 理 科 学 の ひ とつ の典 型 と考 え られ て い る.ま た,工

くに 機 械,電 気,土 木 な どの物 理 的 工 学 で は物 理 学 の 法 則 を利 用す るこ と

が 多 く,そ の た め,そ の数 学 的 性 質 が広 く応 用 され る.と こ ろ で,物 理学 の法 則 の 数 学 モ デ ル は ニ ュー トンの 方 程 式,マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 な ど微 分方 程 式 で記 述 され る こ と が多 く,し た がっ て,そ こ に使 われ る数 学 と しては 微 分積 分 学 の 応 用 が主 な役 割 を演 じて きた.以 前 か らの い わ ゆ る 「応 用 数 学 」の 内容 の 大 部 分 が これ にあ た る とい っ て も過 言 では な い. (２) 数 学 の 応 用 の拡 大,抽 象 数 学 の効 用   と こ ろ で,数 学 の 応 用 は,上 の よ うな場 合 に限 らない.と

くに,近 代数 学 は従

来 の 数 や 図 形 の 性 質 の 研 究 か ら離 れ,そ れ ら を抽 象 化 し公 理 化 した.こ の こ と は,数 学 が単 に数 や 図形 や 数 式 に 対 して のみ な らず,そ

の広 い範 囲 に 対 す る応 用

が 開 けた こ と を意 味 す る.例 と して群 論 を考 え てみ よ う.そ れ は ひ とつ の公 理 系 を満 足 す る集 合 と して定 義 され,そ れ を基 礎 と して構 成 され てい る.と ころ で, 普 通 の 数 は この 公 理 系 を満 足 す る性 質 を もっ て い る.実 際 に,こ の 公 理 系 は数 の もつ 性 質 の あ る もの を抽 象 化 した もの と もい え る.し か し,こ れ は,こ の 公理 系 を満 足 す る集 合 で あ り さえす れ ば何 に で も適 用 され,そ

の定 理 や 結 果 は 自由 に利

用 で き る こ と に な る.し た が って,無 限 の 応用 が可 能 とな る わ け であ る.こ の よ うな わ け で,数 学 の 応 用 は,す な わ ち,数 理 科 学 の範 囲 は,上 述 の 物 理学 や 物 理 的 工 学 に 対 す る もの か らは るか に 広 が っ て,生 物 科 学 な どの他 の 自然 科学 の部 門 は も ち ろん,心 理 学,ま た,経 済 学,社 会学 な どの社 会 科 学 の部 門 や,さ 政 治 学,文 学,は

らに は

て は芸 術 な ど従 来 は考 え られ な か っ た よ うな部 門 に も及 ん で い

る.ま た,こ れ らにお い て は,既 存 の あ る数 学 体 系 をそ の ま ま応 用 す る だけ で な く,矛 盾 の な い 公 理 系 に よ って 理論 体 系 を構 成 す る とい う抽 象 数 学 の 考 え方(公 理 主 義)そ の もの が 応 用 され るこ と も多 い.

(３) 電 子 計 算 機 の 発 達 と数 理 科 学   電 子 計 算 機 の 発 達 の 数 理 科 学 へ の 影 響 に つ い て は言 を また な い が,そ れ に は, 従来 か らの数 理科 学 部 門の 拡 大 と新 た な部 分 の創 始 とい う二つ の面 が考 え られ る.   第 一 の 場 合 に つ い て は,と

くに物 理 的 現 象 に つ い て顕 著 で あ る.上 述 の よ う

に,こ の分 野 の 研 究 は こ こ数 世 紀 来 の 科学 の時 代 にお い て 中 心 的地 位 を占 め て い る.多

くの 法 則 が 発 見 され,そ の 適 用 範 囲 につ い て もほ とん ど確立 され て い る.

した が って,こ の 分 野 の ほ とん どの現 象 は これ らの 法 則 に よ り説 明 され,予 測 さ れ うる.た とえ ば 力 学現 象 の 多 くは ニ ュ ー トンの 法 則 で 支 配 され,そ の 数学 化 で あ るニ ュー トンの運 動方 程 式 を用 いれ ば,何 十 年 後 の 惑 星 の位 置 も,月 ロケ ッ ト の 軌 道 も原 理 的 に は 計算 に よ っ て予 測 で き る はず であ る.し か し,そ の た め の計 算 は 複 雑 か つ膨 大 とな り,紙 と鉛 筆 の計 算 では 何 十 年 もか か る か も しれ な い.し た が っ て,以 前 に は,こ の種 の問 題 は原 理 的 に は 可 能 で も,実 際 問 題 と して不 可 能 と され て い た が,電 子 計 算 機 の 出現 は この 状 況 を一 変 させ た.こ の よ うな事 情 は,古 典 的数 理 科 学 の も うひ とつ の 分 野 であ る統 計学 にお い て も起 こ っ た.こ こ で も膨 大 な デ ー タの 処 理 が可 能 に な る こ とに よ って 大 き く変 貌 した.   次 に第 二 の影 響 に つ い ては,電 子 計 算 機 の もつ 新 しい能 力 に対 応 し,そ れ に よ っ て新 しい数 理 科 学 の 分 野 が つ く り出 され る とい う,数 理 科 学 に 質 的 変 化 を与 え る よ うな影 響 を もた らした 。 具 体 的 に は,後 述 の よ うな情 報 科 学 の 各 分 野 な どが こ の よ うに して つ く り出 され た 新 しい 部 門 で あ る. (４) 数 学 モ デ ル   数 理 科 学 は,数 学 は 用 い るが,数 学 自身 で は な い.ま た,そ れ は 現 象 の説 明 お よ び予 測 を 目的 と して い る以上,科 学 とい え る が,特 定 の 科学 の部 門 で は な い. そ れ は む し ろ,科 学 探 求 の ひ とつ の有 力 な方 法 で あ り,数 理 科 学 の 各部 門 は そ の 方 法 の そ の 部 門へ の適 用 と考 え られ る.と こ ろ で,こ の 方 法 の核 心 をな す の が現 象 の 数 学 化 あ る い は数 学 モ デ ル化 で あ る.そ れ は,あ の もつ 数 学性 を抽 出す る作 業 で あ る.こ の場 合,あ

くま で現 象 に立 脚 し,そ れ

る現 象 につ い て数 学 性 が常 に

存 在 す る とは 限 らな い が,い ず れ に して も 目的 に応 じて 適 切 な もの を取 り出 さ な け れ ばな らな い.そ の 具 体 的 な方 法 の実 際 につ い て は 後 述 の とお りで あ る.た と え ば ニ ュ ー トンの 運 動 方 程 式 は 現 象 の 力 学 的 な様 相 に 対 す る数 学 モ デ ル で あ っ て,そ の 他 の様 相 に 対 して は 無意 味 な の で あ る. (５) 数 理 科 学 の歴 史   数理 科 学 の分 野 は 多 岐 に わ た り,そ の概 観 を見 る だけ で も容 易 で な い が,こ こ で は それ を歴 史 的発 展 の 順序 に従 って 見 て み よ う.   ま ず,古 代 に お け る幾 何 学 の応 用 な どもた しか に 数理 科 学 の一 種 と考 え られ る が,近 代 にお い て は,物 理 学,天 文 学 な どの い わ ゆ る物 理 科 学 に お け る もの がそ の発 端 で あ り,と くに 力学 の法 則 を単 純 な 数 式 で表 した ニ ュ ー トンの 力学 は,そ の輝 か しい 成 功 に よ りそ の後 の数 理 科 学 の ひ とつ の典 型 とな っ て,他 の 科 学 分 野 にお け る数 学 化 の発 展 を うな が した.そ れ は,そ の 多 くが,熱 力学,電 気 力 学, 人 口力 学 な ど力 学 とい う名 前 を使 うこ とに も うか が え る.そ れ らは 自然 科 学 部 門 の み な らず 社 会 科 学 部 門 に も及 び,と

くに 数理 経 済 学 はそ の典 型 で あ り,そ の た

め,こ れ は しば しば人 文 社 会 科 学 での物 理 学 な どと呼 ばれ る こ と が あ る.こ れ は また,そ れ ら を応 用 す る工 学 の 各 分 野,す な わ ち,土 木,機 械,電 気 な どの い わ ゆ る物理 的 工 学 での 発 展 とな った.   一 方,上

と違 っ た 系 譜 と して統 計 学 が あ る.こ れ は17,18世

な どに端 を発 し,や が て 確 率論 と結 びつ き,さ

紀 ごろ の 国勢 学

らに 今 世 紀 に 入 っ て か ら近 代 的 な

数理 統計 学 とな っ た.こ の 手 法 は,科 学 の全 分 野 で広 く用 い られ て きた が,と

く

に人 文,社 会 な どの文 科 系科 学 では,こ れ が ほ とん ど唯一 の数 量的 手 法 で あ った.   そ れ に対 して,電 子 計算 機 の 出現 が数 学 の 抽 象 化 と相 ま っ て,数 理 科 学 の様 相 を大 き く変 貌 させ た こ とは 上述 の とお りであ る.そ れ は,と

くに 人文,社 会 な ど

の非 自然 科 学 の分 野 に お い て著 し く,従 来 の 統 計 学 的 手 法 とは異 質 な,代 数 的 方 法 に よ っ て抽 象 化 され た数 学 を直接 に利 用 す る.そ れ らの例 と して は,数 理 心 理 学,数 理 経 済 学,数 理 言語 学,経 営 学,線 型 計 画 法 な ど,枚 挙 に い とま が ない ほ どで あ る.こ の よ うな抽 象数 学 の手 法 は また,多

くの工 学 の問 題 に も応 用 され て

い る.そ の 最 も大 きな もの は 情報 工 学 で,そ の基 とな る情報 科学 と と もに,そ の 発 展 は,現 在 か ら未 来 に か け て の 科学 技 術 の 中心 課 題 の ひ とつ と もな ろ う と して い る.   さ らに,主 に 計 算 機 の 発展 に よ る統 計 的処 理 の拡 大 に よ り,そ れ は心 理 学,文 章 学,政 治 学,歴 史学 な ど従 来 は考 え られ な か った よ うな部 門 に ま で広 が っ てい る.

問  題   １

(１)数 理 科 学 とは ど うい う学 問 と思 っ て い た か. (２)数 理 科 学 の 例 を考 え よ. (３)数 理 科 学 の 発達 につ い て考 え よ.

２. 数 学 と科 学 と工 学

  科学 や 工 学 の うち,と

くに物 理 的科 学 や 工 学 の 多 くは 数 式 に 満 ち て い て,一 見

した とこ ろ 数 学 と同 じよ うに 見 え る.し か し,数 学 と科 学 と工 学 で は,そ の 性 格,目 的 に つ い て 判 然 た る区別 が あ る.ま た,数 理 科 学 は 数 学 を利 用 す る が,数 学 自身 で は な い.数 学 と 自然 ・人文 科 学 な どの 科 学 とは,形 式 上 は 異 な っ た種 類 の学 問 で あ る.す な わ ち,数 学 は形 式 科 学 と呼 ばれ る もの の 一 種 で あ り,こ こ に い う科 学*は,経 験 科 学 に属 す る.さ

らに,科 学 と工 学 と はそ の 目的 に お い て,

画 然 と した 区別 が あ る.

2.1  形 式 科 学 と経 験 科 学

  形 式 科 学 に は 論 理 学 と数 学 が あ り,そ れ は い わ ゆ る形 式 的 真 理 の追 及 を 目 ざ す.す な わ ち,設 定 され た取 り決 め か ら,経 験 的 事 実 とは 関 係 な く形式 的 に成 立 す る もの を考 え る.数 学 で は,そ れ は,あ る特 定 の 仮 説 あ るい は 公 理 を出発 点 と し,そ れ に論 理 を用 い て,演 繹 的 に構 成 され る体 系 で あ る.し た が っ て,こ れ は 論 理 自体 を研 究 す る論 理 学 とは違 っ た学 問 であ る.た とえ ば,自 然 数論 で は,自 然 数 Ｎ と して 次 の よ うなPeanoの

公 理**:

*  「科 学 」 とい う言 葉 の 意 味 であ るが,こ れ に は 普 通,幾 通 りもの 意 味 が あ る.最 も広 い 意 味 で は,学 あ る い は学 問 とほ とん ど同 じに 使 わ れ,上 あた る.も

の形 式 科学 の 科 学 は これ に

っ と狭 い意 味 で は,自 然 ・社 会 科 学 な ど を合 わ せ た い わ ゆ る経 験 科 学 とい

われ る もの を指 し,最 も狭 い が 最 も広 く使 わ れ るの は,自 然 科 学 の 意 で あ り,こ こ で はそ の ２番 目の意 味 の もの とす る. **  これ は,直 観 的 に わ か りに くい もの を と くに 例 と して選 ん だ もの で あ る.

  (ⅰ)１

とい う記 号 で 表 さ れ る 元 が あ っ て,1∈N.

  (ⅱ)Ｎ

か ら Ｎ へ の 単 射 〓:N→Nが

  (ⅲ)N⊃Mの

Ｍ が,条

件1∈Mと

あ っ て,1〓 〓(M)⊂Mを

を 満 足 す る も の を 設 定 し,こ

れ に 基 づ い て,こ

な る 体 系 をつ く っ て い る.こ

の と き,公

どの よ う な 公 理 系 を 設 定 し,ま の 問 題 で あ る.上 が,そ

れ は,決

の 例 で も,こ

〓(N). 満 た せ ばM=N.

れ か ら誘 導 さ れ る 多 くの 定 理 よ り

理 か ら定 理 を導 く に は 論 理 を 用 い る が,

た そ れ か ら ど の よ う な 定 理 を 導 くか は,数 れ は 一 見,普

通 の 数 とは 関 係 な い よ うに 見 え る

して 単 に 無 目 的 に 設 定 さ れ た の で は な く,わ

自 然 数 の 性 質 を う ま く表 す た め に 考 え ら れ た も の で あ り,ま は,そ

れ わ れ の知 っ て い る た,そ

の よ うな 性 質 を 抽 象 的 に 示 す よ う に 構 成 され て い る.も

然 科 学 や 人 文 科 学(も

ゆ る 経 験 科 学 で あ っ て,あ

の 結 果 の経 験 的 事

た,経

っ と 厳 密 に は,非

自 然 科 学)は,い

わ

く ま で 自 然 や 社 会 現 象 に つ い て の 経 験 事 実 を基 に し,

そ れ か ら帰 納 さ れ る 命 題 を探 求 す る.し

  た と え ば,羽

れ らは

の 本 質 か ら い っ て 必 要 と し な い.

  こ れ に 対 し て,自

な ら ず,ま

の 定理 の 多 く

ち ろ ん,こ

論 理 的 に 矛 盾 の な い 体 系 で あ る こ と だ け が 要 求 さ れ て お り,そ 実 と の 整 合 は,そ

学 自体

か も,そ

れ は 経 験 的 事 実 と照 合 され ね ば

験 的 証 拠 に よ っ て 支 持 され る と き に の み 受 け 入 れ ら れ る. 毛 の よ う な 軽 い 物 と金 槌 の よ う な 重 い 物 を 並 べ て 落 と し た と き の

経 験 か ら,「 重 い 物 ほ ど 速 く 落 ち る 」 と い う 命 題 あ る い は 法 則 を た て た と し よ う. こ れ は,し

か も,重

い 物 ほ ど地 球 か ら強 く引 っ 張 られ て い る の で あ ろ う か ら ま こ

と に 当 然 と い う考 え に よ っ て も支 持 され る よ う に 見 え る.し わ ら ず,そ

れ は,相

れ に もか か

当 に 重 さ の 違 う石 こ ろ が 同 じ よ う に 落 ち て い く と い う経 験 的

事 実 に 反 し て お り,受 ま れ る と き,と

か し,そ

け 入 れ る こ と は で き な い.別

な 例 で,男

の 子 も 女 の 子 も生

く に ど っ ち が 多 く な る と い う 理 由 は な さ そ う で あ る か ら,「 男 女

の 赤 ん 坊 の 生 ま れ る 割 合 は 同 じ で あ る」 と い う命 題 は 別 に 問 題 な く受 け 入 れ られ る よ う に 見 え る.し   し か し,経

か し,事

実 は,男

子 の 方 が52%と

多 く な っ て い る.

験 科 学 の 法 則 は 経 験 事 実 そ の もの で は な い こ と に 注 意 し よ う.例

し て,「 太 陽 は 朝,東

か ら昇 る」 と い う 法 則 を 考 え て み よ う.こ

る ほ と ん ど無 数 の 経 験 か ら の 帰 結 で あ ろ う.し

か し,そ

と

れ は過 去 に お け

れ らは あ くま で過 去 の 事

実 であ って,そ れ だ け か ら明 日 も明 後 日 も太 陽 が東 か ら昇 る とい う こ とは わ か ら な い.そ れ は あ くま で経 験 とは 離 れ た命 題 で あ って,し か も未 来 の 事 実 に よ っ て 検 証 され るべ き の もの で あ る。   経 験 科 学 の こ の よ うな 性 格 とそ れ を追 求 す るた めの 方 法,と 察 や 実 験 に よ る経 験 事 実 の組 織 化 な ど は,16∼17世 第 に 確 立 され,今

くに,計 画 的 な観

紀 以 来,徐

々 に 始 ま り,次

日の い わ ゆ る科学 文 明 の発 展 の 基 とな っ て い る.

  と くに,経 験 科 学 が事 実 に依 存 し,そ れ に 基 づ い て論 理 的 に構 成 され てい る と い うこ とは,そ れ が客 観 的 で確 実 な知 識 で あ る こ と を意 味 す る.し た が っ て,そ れ の 発展 は確 実 な進 歩 で あ る.ま た,そ れ は 事 実 に基 づ く知 識 で あ るか ら,こ れ を,そ の よ うな 事 実 に 関 す る予 測 な どに 利 用 す る こ とは 確 実 な 結 果 が 期待 され る.近 年 にお け る科 学 技 術 の急 速 な進 歩 に は この よ うな背 景 が あ る.

2.2 

科 学

と 工 学

  科 学 と工 学 と に は そ の 性 格,と

くに そ れ ら の 目 的 に お い て 判 然 と した 区 別 が あ

る.   科 学 は,上

述 の よ う に,経

す こ と を 目的 と す る.こ す こ と を 目 的 と し,そ も の は,そ

験 を 基 に して 自 然 や 社 会 現 象 に 現 れ る 法 則 を 見 い 出

れ に 対 し て 工 学 は,何

ら か の 形 で 物 を 人 工 的 に つ く り出

の た め の 方 法 を 追 求 す る.し

れ ま で 自 然 に は な い も の で あ る.こ

た が っ て,工

れ は,橋

学 の 対 象 とな る

を か け る,電

トウ ェ ア を つ く る,ど

れ を と っ て 見 て も 明 ら か で あ る.こ

え ば 自 然 科 学 で は,自

然 現 象 そ の も の を 見 つ め て い る だ け で あ り,実

い っ て も,そ

の こ と は,科

れ は 現 象 を よ く 見 る た め の 手 段 で あ る の に 比 べ て,立

算 機 の ソフ 学,た

と

験 をす る と

場 上 大 き な違

い と い わ ね ば な ら な い.   と こ ろ で,こ

の よ う に 立 場 は 違 う が,別 学,技

の 面 か らい え ば,両

て い る.ま

ず,工

っ て も,自

然 の 法 則 に 反 し た も の を つ く る こ とは で き な い.永

と して も 無 益 だ し,そ

者 は 密接 に 関連 し

術 が 自 然 に は な い も の をつ く る こ と を 目 ざ し て い る と い

れ ほ ど で な く て も,重

久機 関 をつ くろ う

力の 法 則 を無 視 した 建 物 は つ ぶ れ た

り倒 れ た りす る.も ち ろん,こ の こ とは,物

をつ くるの に は 科学 の法 則 の 理 解 が

不 可 欠 で あ る こ と を意 味 しな い． す な わ ち,物 をつ くる場 合,必 要 とす る もの が 自然 の 法 則 に か な って つ く り上 げ られ れ ば よい の であ って,そ の途 中 の 経 過 は 問 題 で な い.実 際,た

とえ ば,家

をつ くる に して も,そ れ は長 い経 験 に よ って,そ

の建 て方 に つ い て の方 法,す な わ ち工 学 が樹 立 され て きて い る わ け であ る.   問題 点 は,物

をつ く る場 合,そ れ につ い て 知 られ て い る科 学 の法 則 を利 用す れ

ば能 率 が よい,と い うこ とで あ る.古 代 に 建 て られ た 法 隆寺 の屋 根 の 勾 配 が現 代 の建 築学 の理 論 計 算 の結 果 に合 って い る と よ くい わ れ る.古 代 にお い て そ の形 に 到 達 す る に は,試

行 錯 誤 の大 きな 努 力 と長 い 年 月 が か か っ た に違 い な い.そ

れ

が,科 学 の法 則 を利 用 す れ ば,計 算 で簡 単 に 能 率 よ く出 るこ とが,現 代 の 科学 文 明の 発 展 に お け る科 学 の工 業 技 術 に 対 す る基礎 的 役 割 を示 してい る.こ の場 合, 科 学 が経 験 とい う事 実 に基 づ い て い る こ との 意 義 が 大 き い の で あ る.

問 題 ２

(１)形 式 科 学 と経 験 科 学 の 相違 点 につ い て考 え よ. (２)論 理 学 と数 学 の 関 連,と

くに そ の類 似 点,相 違 点 につ い て考 え よ.

(３)数 学 と科 学 と工 学 と相 違 点 お よ び 関連 性 につ い て考 え よ.

３ .科 学 の 法 則

3.1  科学 法 則 の性 格

(１) 経 験 事 実 と仮 定   自然 や 社 会 現 象 に つ い て の 経 験 事 実 に は,し た 性 質 が 見 られ る.た

と え ば,夜

空 の 星 を 注 意 深 く観 察 す る と,そ

め て 規 則 的 に 変 動 し て い る こ と が わ か る.す と し規 則 正 し く 西 方 に 移 動 し,さ と,そ

ば し ば 規 則 的 な 様 相 や あ る定 ま っ

な わ ち,そ

ら に も っ と詳 し く,そ

れ らは 時 間 が た つ と 全 体 れ を 毎 晩,観

れ ら の 位 置 は 少 し ず つ ず れ て く る こ と も わ か る.ま

が き が 当 た る確 率 も,10枚,20枚

物 を 落 と せ ば,ま

た,お

で は 何 と も い え な い が,何

割 合 は 大 体 一 定 に な っ て く る と い う 規 則 性 が 見 え る.さ

る い は 原 理,定

ら に は,も

律 な ど と 呼 ば れ る も の で あ る.そ

ル キ メ デ ス の 原 理,定

の よ う な 法 則 は ど の よ う に し て 導 入 さ れ,確 れ は,上

考 え よ う.そ く,あ

放 し て 写 せ ば,星

っ と簡 単 に,

の 中 心 とな るの

れ ら は,た

比 例 の 法 則 な ど で あ る.で

測 す れ ば,そ

とえ ば は,こ

立 さ れ る か.

の よ う な 経 験 事 実 か ら洞 察 さ れ な け れ ば な ら な い.星

の 位 置 を 夜 中,観

る い は,そ

年 玉 つ き年 賀 は

ず は 必 ず 下 に 落 ち る.

パ ー キ ン ソ ン の 法 則,ア

  ま ず,そ

測 を続 け る

百 枚 とな る と そ の

  科 学 の 理 論 は こ の よ う な 経 験 的 事 実 を 基 に し て 構 成 さ れ る.そ が 法 則,あ

の位 置 が き わ

の例 で

れ は 天 球 上 を 円 弧 状 に 同 じ割 合 で 動

れ を い ち い ち 観 測 しな くて も 固 定 し た カ メ ラ の シ ャ ッ タ ー を 開 ご と の 軌 道 が 同 心 円 と な っ て 撮 れ る.こ

れ か ら,「 星 は 天 球 上

を 円 弧 状 に 同 じ割 合 で 動 く 」 と い う 法 則 が あ る と考 え た と し よ う.し

か し,そ

の

た め に は 次 の こ と を 考 え る 必 要 が あ る.ま

ず,前

章 で も 述 べ た よ う に,こ

は 経 験 事 実 そ の も の で は な い と い う こ と で あ る.す は 何 枚 か の 写 真 で あ る が,こ あ っ て,上

な わ ち,こ

れ が 何 万 枚 い や 何 億 枚 で も,そ

の 一 般 的 命 題 と は な ら な い か ら で あ る.も

千 年 と 毎 晩 そ うで あ っ て も,今

の場 合 の経 験 事 実

れ は有 限 個 の 事 実 で

っ と 端 的 に い っ て,過

晩 そ う な る と は 限 ら な い.こ

も 極 端 な こ と を い っ て い る よ う で あ る が,別

の命題

去何

の こ と は,あ

ま りに

と え ば,あ

る人 を

な 例 で 考 え て,た

３ 日 続 け て 午 後 １時 に 同 じ場 所 で 見 か け た か ら と い っ て,「 そ の 人 は そ の 場 所 に １時 に い る 」 と い う法 則 を つ く ろ う と は 思 わ な い だ ろ う.し 経 験 事 実 を 踏 ま え て,そ

実 の単 な る認 定 を越 え た 洞 察 が 不 可 欠 で あ

れ が 多 く の 天 才 的 科 学 者 の 業 績 で あ る ゆ え ん で あ る.上

が 自転 す る 」 と い う 法 則 を設 定 す る方 が,何 は る か に 簡 単 で あ り,合

則 は,

れ を う ま く説 明 す る た め 仮 定 さ れ た 命 題 で あ り,そ れ を

ど の よ う に 設 定 す れ ば よ い かは,事 り,そ

た が っ て,法

理 的 で あ ろ う.た

間 違 っ て い る と い う の で は な く,ど

の 例 で も,「 地 球

万 の 星 が い っせ い に 回 る とい うよ り だ,こ

こ で 注 意 す る の は,ど

ち らか が

ち ら の 方 が よ り簡 単 で 合 理 的 で あ る か とい う

こ と で あ る.

(２) 仮 定 と検 証   さ て,法

則 は,上

の よ うに ま ず 仮 定 され る も の で あ り,そ

な る も の で も よ い が,そ

れ は 原理 的 に はい か

れ が 法 則 と し て 確 立 さ れ る た め に は,事

実 に よ って 検 証

さ れ な け れ ば な らな い.   再 び 上 の 例 を 考 え,神

話 に あ る よ う に,「 昼 の う ち に 神 様 が 星 を つ く っ て 朝 に

東 か ら投 げ 上 げ る 」 と し よ う.こ

れ で も,上

で は 昼 間 で も 相 当 の 星 が 観 測 で き,そ る.他 あ る.こ

の 夜 の 経 験 と は 矛 盾 しな い が,現

の 結 果 と 矛 盾 す る.す

な わ ち,経

代

験に反す

の 有 名 な 例 で,「 重 い 物 ほ ど 速 く落 ち る 」 と い う ア リ ス トテ レ ス の 法 則 が れ は,ギ

リシ ャ の い わ ゆ る 自 然 哲 学 が,事

く と い う 例 に よ く 出 さ れ る.も る の 理 」な ど が あ る.あ 瞬 間 で も 同 じ,し

っ と 極 端 な 例 で は,竹

る 瞬 間 を 考 え れ ば,矢

た が っ て,矢

実 に よ る 検 証 とい う考 え を 欠 林 の 七 賢 人 の 「飛 矢 飛 ば ざ

は 止 ま っ て い る は ず,こ

は 止 ま っ て い る は ず だ,と

れは次の

い う わ け で あ る.も

っ

と も こ れ は,は

じ め か ら事 実 と 合 わ せ る よ り,そ

れ と矛盾 す る もの を も って きて

い る.   以 上 は,事

実 と反 す る こ と か ら仮 説 を否 定 す る 場 合 で あ る が,も

は 逆 の 場 合,す

な わ ち,事

き る 場 合 で あ る.そ

実 に よ っ て 仮 説 の 真 実 性 を立 証 し,法

の た め の 方 法 は,簡

囲 の 中 で任 意 に 場 合 を考 え,そ る.た

単 に い え ば,仮

則 と して 確 立 で

説 の 成 り立 つ で あ ろ う範

れ に つ い て 仮 説 が 成 り立 っ て い る か ど う か を 調 べ

と え ば,「 星 は 天 空 上 を い っ せ い に 動 く」 とい う仮 説 で,こ

ず っ と成 り立 つ と考 え る と き,そ え ば ５ 日後 の 晩 を考 え,そ る とす れ ば,任

っ と大 事 な の

の 任 意 の 場 合,す

な わ ち,未

れ が これ か ら

来 の あ る 晩,た

の 晩 に も 写 真 を 撮 っ て 観 測 して み る.そ

意 の 晩 に 合 っ て い る の で あ る か ら,ず

と

れが合ってい

ー っ と 成 り立 つ は ず だ,と

い う こ と に な る.   しか し,実

際 は そ う簡 単 で は な い.ま

わ か ら な い.と

くに,そ

た,そ

意 と い っ て も,は

実 に は,確

種 な ほ どそ の 仮 説 の 実 証 度 が 高 い と考 え る べ き で あ ろ う.た の 法 則 は 地 球 上 で の 落 体 とか,放 て 妥 当 で あ る ば か り で な く,月

る.さ

実 を予 測 し,説

(３)  観 測,実

物 体 の 運 動 と か,そ の 運 動,惑

証 を与 え る事 実 が多 と え ば,ニ

ュ ー トン

の他 さ ま ざ まな 運 動 に つ い

星 の 軌 道,人

種 多 様 の 事 実 に よ っ て 検 証 さ れ,そ

ら に ま た,こ

際,

れ ま で の 科 学 理 論 が 崩 れ る こ とは普 通 の こ とで あ

れ が 科 学 の 進 歩 の 形 態 で も あ る.現

の 事 実 な ど,多

た してそ うか は

の 範 囲 が は っ き り と わ か っ て い る わ け で は な い .実

新 し い 事 実 の 発 見 に よ り,そ り,ま

ず,任

工 衛 星 の 運 動 な ど宇 宙 で

れ だ け広 い 適 用 性 を もっ て い

の よ うに 広 い 適 用 性 を も っ た 理 論 こ そ が,知

られ な か っ た事

明 す る こ と が で き る わ け で あ る.

験

  科 学 は経 験 事 実 を基 に して い るが,漠 然 と した経 験 の 集 ま りで は あ ま り役 に は 立 た な い.そ れ は 計 画 的,客 観 的 な観 測 の結 果 で あ る必 要 が あ る.こ の た め に有 効 な 手 段 が 実 験 で あ る.実 際 に起 こ る現 象 は,多 くの 原 因 に よ り,複 雑 な こ とが 多 い.こ れ は,普 通,そ

の現 象 に多 くの 因子 がか らん でい るた め で あ る こ と が多

い.こ れ に対 し,実 験 は,人 為 的 な環 境 条 件 の 設 定 に よっ て,そ れ らの 因 子 の 変

化 を制 限 す る.す な わ ち,因 果 関 係 が で き る だ け単 純 な 状 況 をつ く り出す わ け で あ る.場 合 に よ って は,自 然 の状 態 で は容 易 に 実 現 され な い事 象 を人 為 的 に 起 こ す こ と も可 能 で あ る.こ れ らに よ っ て,現 象 の 追 求 は 容 易 か つ確 実 とな り,と く に 上述 の よ うな 法 則 の 検 証 も組 織 的 に行 え る よ うに な った.こ れ は,近 世 以 来 の 科 学 の 急 速 な 発 達 の 大 きな要 因 の ひ とつ で もあ る.   この 場 合,も

ち ろ ん実 験 不 可能 の現 象 も多 い.歴 史 的 事 実 の 探 求 な どは当 然 で

あ る が,天 体 の 運 動,地

上 の 現 象 で も台 風 な どの よ うな 大 規 模 な もの,さ

らに

は,実 験 す る こ とに よ って 現 象 そ の もの が乱 され て しま うよ うな場 合 な どが,こ れ に あ た る.こ の よ うな 場 合 は,観 測 に よ る以 外 の 方 法 はな い わ け で あ る が,実 験 を計 画 す るの と同 じよ うな 組織 的,計 画 的 な観 察 に よ って,現 象 の単 純 化 をあ る程 度 に お い て達 成 す る こ とが で き る.さ らに,場 合 に よ って は,現 象 そ の もの の 直 接 の 観 察 は 困難 で あ って も,実 験 可能 な事 象 で の結 果 か ら間 接 的 に,も との 現 象 を追 求 す る こ と も多 い.定 比 例 の 法則,倍 数 比 例 の法 則 とい った 化 学反 応 に お け る実 験 的 事 実 を基 に して,原 子 や 分子 の存 在 を結 論 す るの が この よい例 であ る.   また,各 種 の世 論 調 査,考 古 学 上 の 遺物 の吟 味 な ど とい っ た もの も,広 い意 味 で の実 験,観 測 に あ た る.

3.2  確 定 的 法 則 と統 計的 法 則

  上 で考 え た 法 則 の 大部 分 は,現 象 の 生 起 に 対 して 確 定 的 な結 果 を与 え る,い わ ゆ る確 定 的 法 則 であ る.そ れ は,た と え ば,特 定 の 星 の 何 日の何 時 にお け る位 置 を確 定 的 に与 え る.物

を落 と した と き,そ の ｔ秒 の 落下 距 離 ｘはx=(1/2)gt2で

与 え られ る,太 陽 は 朝,東 か ら昇 る,等 々 であ る.し か し,こ れ に対 して,現 象 自体 は 本 質 的 に 偶 発 的 で あ るが,統 計 的 に 見 て 法 則 が 成 り立 つ,い わ ゆ る統 計 的 法 則 が あ る.上 述 の 年 賀 は が き の 当た る数 や 男 の 子 の 生 まれ る割 合 な どが この 例 で あ る.そ こ では,個

々の例 で は全 く偶 然 であ るが,多 数 の 例 につ い て統 計 を と

れ ば,大 体 に お い て 一 定 の 比 率 が現 れ て くるわ け で あ る.

  こ の よ う な 法 則 は 個 々 の 事 象 に 対 し て は 何 も 決 定 的 な 答 を 与 え な い が,多 事 象 に 対 す る 平 均 と し て 意 味 が あ る の で,そ な 役 割 を 演 じ,と

の よ う な 事 象 の 説 明,予

く に 近 代 社 会 の 各 方 面 で 不 可 欠 の もの で あ る.た

分 野 で の 古 典 的 な 例 で あ る 保 険 の 問 題 で も,保

くの

測 に は大 き と え ば,こ

険 の 金 額 の 決 定 な ど,こ

の

の よ うな

統 計 的 法 則 な し に は 考 え ら れ な い.   と こ ろ で,こ れ は,現 も,物

の 両 者 の 法 則 の 違 い は,そ

象 の 多 く は,詳

れ ほ ど は っ き り し た も の で は な い.そ

細 に 見 る と偶 発 的 で あ る こ と に よ る.上

体 は ま っ す ぐに 落 ち る の で は な く,空

気 の 抵 抗,そ

そ の 他 さ ま ざ ま の 小 さ な 影 響 に よ っ て 細 か い,じ き,し

か も,そ

い は 小 さ く,し っ て い る.す た だ,実

の 運 動,す

か もそ の 平 均 は 大 体 に お い て 上 のx=(1/2)gt2の の 法 則 も,そ

な わ ち 風,

く ざ く運 動 を し な が ら落 ち て い

の 様 子 は １回 ご と に 違 っ て く る は ず で あ る.し

な わ ち,こ

の 落 体 の例 で

の 意 味 に お い て,統

か し,こ

れ らの 違

法 則 の結 果 に な

計 的法 則 な の で あ る.

際 に 起 こ る 事 象 が こ れ の 結 果 と あ ま り違 わ な い と い う点,す

な わ ち程 度

の 差 に あ る わ け で あ る.

問

題

３

(１)  科学 の法 則 成 立 の要 諦 に つ い て 述 べ よ. (２)  非 科 学 的 な考 え方 の 例 をあ げ よ. (３)  統 計的 法則 の例 を考 え よ. (４)  科 学 の 法 則 の 性 格 を,浮 力 現 象 につ い て の ア ル キ メデ スの 原 理 を例 に と って 説 明 せ よ.

４. 自然科 学の発達

4.1 

発 達 の メカ ニ ズ ム

  ギ リシ ャ以 来 の 自然 哲 学 的 科 学 に対 して,ガ

リ レイ な どに 始 ま る とい われ る近

代 科 学 は 激 し く変 貌 し,大 きな 発 展 を遂 げ,こ

こ200∼300年

時 代 が 出 現 した.そ

こ では,観 察 に よ る事 実,と

の い わ ゆ る科 学 の

くに 実 験 に よ る結 果 に基 づい て

法 則 を確 立 す る と い う科 学 の方 法 の適 用 が大 きな 役 割 を演 じて い る こ とは前 章 の とお りで あ るが,さ

らに,そ の よ うに して得 られ た 法 則 の 統 合,整 理 と拡 張 とい

っ た 過 程 で さ らに 大 き な進 歩 が な され た.   この 事 情 の 典 型 的 な 例 と して,テ ィ コ ・プ ラー エ の 惑 星 運 動 の 観 測,そ れ に基 づ くケ プ ラー の ３法 則,そ れ をす べ て説 明す るニ ュー トンの 法 則 に つ い て考 え よ う.テ ィ コ ・プ ラー エ は何 十年 に わ た っ て惑 星 の 位 置 の 観 測 を続 け た.ケ プ ラー は この 豊 富 な 記 録 の 詳 しい 検討 の結 果,惑 星 が楕 円軌 道 を動 くと仮 定 すれ ば観 測 記 録 と よ く適 合 す る こ と を確 か め た(第 一 法 則).さ 則),お

らに,面 積 速 度 一 定(第 二 法

よ び,周 期 の ２乗 は 太 陽 か らの平 均 距 離 の ３乗 に 比 例 す る こ と(第 三 法

則)を 見 い 出 した.こ れ らの法 則 はい ず れ も観 測 結 果 か ら導 か れ た もの で あ る. しか し,そ れ らは 観 測 結 果 か ら機 械 的 に 導 かれ た もの で は な い こ とに 注 意 し よ う.た と えば,第 一 法 則 に つ い て も,ケ プ ラー は 最 初 は 円 を仮 定 して い た が,よ く合 わ な い の で楕 円 を設 定 した わ け で あ る.   さて,ニ ュ ー トンは,と

くに こ の第 三 法 則 に着 目し,こ れ が 成 立 す るた めの 条

件 と して 力 の 逆 ２乗 則,す な わ ち,万 有 引 力 の 法 則 を見 い 出 し,こ れ と運 動 の法 則(ニ ュ ー トンの 法 則)を 用 い て,上 の ３法 則 をす べ て説 明 した.し

か も,こ の

ニ ュ ー ト ン の 理 論 は,惑 さ ら に は,地 て,こ

星 や 月 な ど 他 の 天 体 の 運 動 も,

上 の 運 動 に つ い て の 多 くの 法 則 も 説 明 す る こ と が で き る.し

の よ う に し て,個

で あ る が,一

星 の 運 動 だ け で な く,彗

方,そ

々 の 多 くの 法 則 が ひ と つ の 法 則 に 統 合,整

の 過 程 に お い て,自

たがっ

理 され るわ け

然 現 象 そ の も の の 規 則 性 の よ り深 い 理 解

が 得 られ る こ と と な る.   と こ ろ で,ニ

ュ ー ト ン の 方 程 式 は,こ

合 し て 確 立 さ れ,そ ぶ.そ

れ は,実

際,人

類 の 知 性 の 大 き な 産 物 で あ り,そ

の モ デ ル と な っ て い る.し ば,非

の よ う に 数 知 れ な い ほ ど多 く の 法 則 を統

の 適 用 範 囲 は 未 知 の も の も 含 ん で 力 学 現 象 の ほ と ん どに 及

か し,こ

れ と て 万 能 で は な く,限

常 に 速 い 運 動 で は 適 用 され な く な り,そ

す る こ と が 必 要 と な る.こ

れ に続 く多 くの科 学 理 論 界 が あ る .た

とえ

れ に 合 う よ う に 改 良 あ るい は 拡 張

の よ う な 拡 張 が 相 対 性 理 論 で あ る.一

の よ う な 非 常 に 小 さ い 物 体 の 運 動 に つ い て も不 都 合 が 目立 つ .そ

方,原

子や分子

こ を 修 正 した の

が 量 子 力 学 で あ る と い え よ う.

4.2 

発 達 の モ チ ベ ー シ ョン

(１) 単 純 性 と複 雑 性   と こ ろ で,科

学 の 理 論 は,こ

の よ う に,な

る べ く 多 く の 現 象 を,な

的 で か つ 簡 単 な 法 則 に よ っ て 説 明 で き る よ う に つ く られ る.し と い う こ と が,科

る べ く統 一

た が っ て,単

学 の 法 則 に 要 求 され る 大 き な 性 質 の ひ とつ に な る.こ

純性

れ は,別

な 面 か ら 見 れ ば,現

象 の も つ 簡 単 な 性 質 を 追 求 して い る と い っ て も よ い で あ ろ

う.こ

び 落 体 の 運 動 を例 に と っ て 考 え て み よ う.上 述 の よ うに,落

の こ と を,再

体 の 運 動 の 詳 細 は き わ め て 複 雑 か つ 偶 発 的 で あ る が,大 2)gt2と

い う簡 単 な 法 則 で 大 体 表 せ る.ま

動 は,い

つ も ほ と ん ど正 確 に 予 測 で き る.こ

て お り,そ

れ を利 用 す る 工 学,技

た,逆

に,こ

局 に お い て は,x=(1/ の 法 則 に よ っ て,そ

の こ と は,科

学法 則 の有 用 性 を示 し

術 か ら の 要 求 と 相 ま っ て,自

達 の 原 因 の ひ とつ と考 え られ て い る.

の運

然科学の急速な発

  こ の よ う に,い に 着 目 し,そ

ま ま で の 自 然 科 学 の 発 達 と有 用 性 は,自

然 現 象 に 現れ る単 純 性

れ の 発 見 に 努 め た 結 果 で あ る と い っ て も 過 言 で は あ る ま い.上

ュ ー ト ン の 力 学 は,そ

の よ う な 事 実 の 好 例 で あ る.と

こ ろ で,こ

のニ

の200∼300年

の 科 学 の 時 代 に お い て,こ

の よ うな 単 純 な 性 質 は ほ と ん ど発 見 し尽 く さ れ た よ う

に 見 え る.こ

こ 数 年 来,科

の こ と は,こ

学 の 限 界 とか,科

あ る と い わ れ る こ と と 無 関 係 で は あ る ま い.す 発 見 し 尽 く さ れ,利 明 と 利 用,あ

な わ ち,上

用 し 尽 く され て し ま っ て い る.一

る い は,ご

学 の 時 代 は 終 わ りつ つ の よ うに 単 純 な 法 則 は

方,も

っ と複 雑 な 現 象 の 解

く 小 さ な 変 化 が 重 要 な 意 味 を もつ よ う な 現 象 の 解 明 の 必

要 性 と い っ た 要 求 に 対 し て,い

ま ま での 科 学 の方 法 で は対 処 で き ない とい っ た事

実 が こ れ を 示 して い る.   例 と して,天 え よ う.ま

ず,気

気 予 報 が し ば し ば 外 れ る の で,こ 象 観 測 の 技 術,方

な い ほ ど進 歩 し て い る.明

法 は,現

治 時 代 で は,せ

れ を 改 良 し た い と い う問 題 を考

代 と明 治 の は じめ とで は比 較 に な ら

い ぜ い 気 圧 計,温

度 計 な どに よ る少数

の 地 点 で の 観 測 に よ っ て 天 気 図 をつ く っ て 予 報 し て い た.こ は,多

数 の 地 点 の み な らず,上

な 観 測,さ

ら に は,コ

空 で の 値 も得 ら れ,ま

た,気

れ に 対 して現 代 で 象 衛 星 に よ る全 体 的

ン ピ ュ ー タ に よ る大 気 の 運 動 の 詳 細 な 計 算 に 基 づ く未 来 天

気 図 の 作 成 ま で で き る.し

か し,そ

れ に も か か わ ら ず,そ

時 代 と あ ま り変 わ ら な い とい わ れ て い る.こ

れ は,ど

の予 報 の 的 中率 は 明 治

う し て で あ ろ う か.

(２) 科 学 の限 界 へ の挑 戦   そ の 原 因 に は,科 学 の根 本 に関 わ る問 題 が潜 ん でい る よ うに 思 わ れ る.す なわ ち,測 定 値,天

気 図,は て は未 来 天 気 図 の作 成 もす べ て 発 見,確 立 され た科 学 の

法 則 を利用 して い るが,こ れ らの 法 則 は 上 述 の よ うに大 体 にお いて 合 って い るだ け な の で,そ れ に よ る予 測値 も大 体 に お い て の正 しい値 とな らざ る を えな い.も ち ろん,そ の値 の精 度 自体 は 明治 時 代 に 比 べ て格 段 に よ くは な って い る.と くに 気 温 な どの 予報 は ほ とん ど当 た っ てい る.し か し,そ れ は完 全 で な く,多 少 の誤 差 を含 む こ とに な る.   と こ ろが,あ

る特 定 の 地 点 で の天 気 の 様 子 は,そ れ らの値 の ほ ん のわ ず か の違

い で大 き く違 うこ とが多 い.た

とえ ば,雪 に な るか雨 に な るか は,気 温 で は ほ ん

の １℃ ぐ らい の 違 い で起 こ る とい う.こ の よ うな 精 度 で 気温 を予 測 す る こ と は きわ め て難 しい.し た が って,天 気 図 の様 子 も気圧 配 置 な ども,ほ とん ど完 壁 に 予 測 で き て い る わ け だ が,こ の ど うに もな らな い 小 さな値 の 差 に よっ て,天 気 は 雨 に な っ た り雪 に な った り,あ るい は,朝 に 降 る とい う予 報 が午 後 に な っ た りす れ ば,予 報 は外 れ た とい うこ とに な るわ け で あ る.こ の こ とは,た とえ ば,小 さ な 紙 片 を落 と した ときそ の 落 下 地 点 を予 測 す るの が ほ とん ど不 可 能 で あ る の と似 た 現 象 で,と

くに小 さ な原 因 が大 きな 変化 を もた らす か らで あ って,そ の よ うな

こ との ない 現 象 を主 と して追 求 して き た現 在 ま で の科 学 の方 法 では 扱 い に くい の が 道 理 で あ る.   一 方,複 雑 化 した 現 代 社 会 に お い て は,こ の よ うな問 題 に対 す る解 答 が急 がれ て い る.地 震 予 知 の 問題,環 境 問 題 な どが そ れ で あ っ て,こ の よ うな 複雑 な問 題 に 対 して 自然 科 学 が どの よ うな 新 しい方 法 で対 処 して い くか は今 後 の 問題 で あ ろ う.こ れ に対 す るひ とつ の解 決 と して は,個 々 の 問題 につ い て詳 細 に調 べ るこ と に よ っ て予 測 の精 度 を上 げ る とい うこ とが必 要 で あ り,そ の た めに は 電算 機 の い っそ うの 発 達 が不 可 欠 で あ ろ う.

問

題

４

(１)  自然 科 学 の 発 達 の原 因 に つ い て 述 べ よ. (２)  科 学 の 限 界 の 問 題 に つ い て 考 え よ. (３)  小 さな 原 因 が大 きな 結 果 を引 き 起 こ す 例 を考 え よ.

５. 人文科学 と自然科 学

  こ こ で 人 文 科 学 と は,自 き 分 野 を 指 す.具

然 科 学 に 対 し た も の,む

体 的 に は,法

学,政

治 学,社

し ろ 非 自然 科 学 と で もい うべ

会 学,経

済 学,歴

史 学,考

古 学,

言 語 学 な ど の い わ ゆ る文 科 系 の 学 問 の こ と で あ る.   さ て,こ か.ま

の よ う な 人 文 科 学 は,は

た,上

あ ろ う か.こ う ち,と

述 の よ う に,経

た して,い

ま ま で述 べ た意 味 で科 学 であ ろ う

験 事 実 に 基 づ い て 法 則 を設 定 し,検

れ ら は 難 し い 問 題 で あ り,こ

こ で は,人

証 して い るの で

文 科 学 の もつ 種 々 の 特 性 の

く に 自然 科 学 の そ れ と の 関 連 に つ い て 考 え て み た い.

(１) 人 文 科 学 と 自然 科 学 の 性 格 の 違 い   ま ず,実 際 問 題 と して,こ れ らの 人 文 科学 の 多 くは近 代 の 自然 科 学 が 発 生 す る は るか以 前 か ら存 在 して い たの で,そ の 学 問 と しての 性 格 が 自然 科 学 と異 質 で あ るこ とが 多い.ま

た,そ の 方 法 につ い て も,科 学 的 方 法 以 外 の 多 くの もの が 使 わ

れ る.し か し,と くに実 証 性 を重 ん ず る部 門 につ いて は,自 然 科 学 と同 じ基盤 に 立 つ わ け で あ り,ま た 一 方 に お い ては,自 て,む

然 科 学 の 驚 くべ き発 達 に 影 響 を受 け

し ろ積 極 的 にそ の 手 法 を取 り入 れ,そ れ を 「科 学 化 」す る こ と も行 わ れ て

い る.人 文 科 学 の 物 理 学 と いわ れ る経 済学,と

くに理 論 経 済 学 は そ の よい 例 で あ

る.   しか し,人 文 科 学 の 多 くの 分 野 では,そ れ を自然 科 学 的 に 扱 うこ とは 困 難,あ るい はほ とん ど不 可 能 に 近 い こ と も多 い.そ れ は,ま ず,人 文 科 学 の 問題 は 自然 科 学 が対 象 とす る現 象 に 比 べ,多

くの要 因 が か らみ 合 って い る きわ めて複 雑 な現

象 で あ る こ と,さ らに,そ れ らの 要 因 のす べ てに わ た って の 影 響 が 見 られ るほ ど 多 くの経 験 事 実 が 普 通 は な い こ とが あ げ られ る.そ れ た め,む

しろ そ の個 別 性 が

重 要 と な る こ と が 多 い.

  一 方,自 然 科 学 は,対 象 とす る現 象 自体 が単 純 で あ る場 合 が 多 い上 に,そ の 追 求 の 根 本 に お い て,現 象 の もつ 単純 性 を問 題 と し,複 雑 な 現 象 に 対 して あ ま り有 効 で な い こ とは 前 章 で述 べ た とお りで あ る.し か し,別 な 面 か らい え ば,複 雑 な 現 象 で も,状 況 を局 限 す れ ば,そ の範 囲 内 では 単 純 化 で き る こ とが多 い.た とえ ば,上 述 の 紙 片 の 落 下 の 問題 で も,手 を放 した 直 後 の短 い 時 間 の運 動 は十 分 に予 測 で き る.ま た,天 気予 報 で も,あ る特 定 の 場 所 で,５ 分後 の こ とな ら,ま ず精 確 に予 報 で き る.   人 文 科 学 で の 法 則 や 真 理 は,こ

の よ う な 意 味 で,自

に限 られ た 状 況 で 成 り立 つ も の が 多 い .こ も関 連 し て い る.と

く に,人

合もあ ろ うが

,普

通 は,そ

の こ と は,人

文 科 学 の 分 野 で は,一

盾す る よ う な 論 説 が し ば し ば 現 れ る.こ

然 科 学 の法 則 に 比 べ て非 常

れ ら は,そ

文 科 学 の 問 題 の個 別 性 と

見 そ の 主 張 が 相 反 し,か

つ矛

の一 方 が誤 りであ るよ うな場

れ ら の そ れ ぞ れ が 基 づ く状 況 が 異 な る の で,そ

れ ぞれ

が一 面 の 真 理 を 表 し て い る と 考 え る べ き で あ ろ う.

(２) 人 文 科 学 で は 実験 が難 しい   次 に 問題 とな るの は,人 文 科 学 の分 野 では 実験 をす る こ とが き わ め て難 しい こ とで あ る.す な わ ち,科 学 の方 法 を適 用 す る とす れ ば,仮 説 をつ く り,そ れ を経 験 事 実 に よ り検 証 しな けれ ば な らな い が,こ れ に対 して 実 験 が 有 力 な 手 段 で あ り,そ れ が 自然 科 学 の驚 異 的 進 歩 の ひ とつ の要 因 で あ る こ とは上 述 の とお りで あ る.し か し,実 験 の この よ うな効 用 の 本 質 は,現 象 の多 くの要 因 を固 定 し,単 純 な 状 態 を実 現 す る こ と,実 際 には 起 こ りに くい状 況 を人 為 的 につ く り出 す こ とな どに よ って,因 果 関 係 を 明確 に で きる こ とで あ る.し か し,人 文 科 学 の 多 くの問 題 の よ うに,個 別 的 で あ る こ とは,多

くの 要 因 がす でに 固 定 され て い るこ とにあ

た るの で,そ の 一 部 につ い て 単純 な 因果 関 係 が 見 い 出 せ る可 能 性 が あ る.ま た, 世 論 調 査 とい っ た こ とは,多 少 と も実 験 を して い る とい え よ う.い ずれ にせ よ, 人 文 科 学 の場 合 は,自 然 現 象 に対 す る よ うに,単 純 で 自明 な 事 実 に よ っ て実 証 す る こ とが容 易 で な く,普 通 は膨 大 な例 証 に よっ て 根拠 づ け られ る.

(３) 人 文 科 学 で は人 間 が 関 係 す る   人 文 科学 の もつ さ らに大 き な困 難,あ

るい は 自然 科 学 との 違 い は,社 会現 象 に

は 常 に 人間 が関 係 して くる こ とで あ ろ う.こ の こ とは,ま ず,人 間 の考 え方,行 動 に は 合理 的 で な い部 分 が多 く,科 学 の 根 本 で あ る合 理 性 と合 わ な い とい う事 実 が あ る.ま た,し ば しば現 象 の観 察 に お い て観 察 者 自身 が現 象 の 一部 とな っ て い て,自 然現 象 に対 す る よ うな客 観 的 な 観 察 が行 われ がた い とい う場 合 も多 い.極 端 な例 で い え ば,株 価 の 上 が り下 が りを研 究 して,そ れ の 予 測 の 学 問 的法 則 を見 い 出 した と して も,そ れ が公 表 され れ ば,そ の影 響 でそ の 法 則 は成 り立 た な くな るこ とは 明 らか で あ る.似 た よ うな こ とで あ る が,選 挙 の予 想 な ど もこ の よ うな 傾 向 が あ る.   もっ と も,こ の よ うな 事 実 は 自然 現 象 の観 察 に対 して も存 在 して い る わ け で あ るが,た だそ の 影 響 が普 通 は 無 視 で き るほ ど小 さい だけ であ る.た だ し,分 子, 原 子 とい っ た非 常 に 小 さ な もの に 対 して は,そ れ は 無 視 でき な い とい うの がハ イ ゼ ンベ ル クの 不 確 定 性 原 理 で あ り,こ れ が量 子 力学 の 基 礎 とな っ て い る.こ の ほ か,生 物 の 実 験,ま た 医 学 な ど で も,こ の こ とは当 た り前 で あ っ て,測 定 が生 物 の機 能 に影 響 しな い よ うに 行 うわ け で あ る. (４) 人 文科 学 の数 理 的取 り扱 い   以上 の よ うな 困 難 性 に もか か わ らず,人 文 科 学 の 分 野 の 問題 で も科 学 的 に扱 え る現 象 は多 く存 在 し,ま た そ の よ うな現 象 に対 す る科学 的研 究 は大 い に行 われ て い る.そ の 多 くは,現 象 の 性 質 上,定 性 的 な性 質 の 追 求 が主 で あ るが,電 算 機 の 発 達 に よ って 大 量 の 資 料 に 対 す る操 作 が可 能 に な った こ とに よ る統 計 的 方 法 に よ る定 量 的 法 則 の 確立 も多 い.一 方,抽

象数 学 と くに 代 数 的 な方 法 は,人 文 科 学 の

種 々 の分 野 での 現 象 の 数 学 化 に 適 して い る こ と もあ り,多 くの応 用 が あ る.た と え ば,心 理 学,言 語 学 な どそ の 例 は 多方 面 にわ た って い る.

問

題

５

(１) 自然 科 学 の 方 法 が使 え る人 文 科学 の分 野 の 現 象 をあ げ よ. (２) 自然 科 学 の 方 法 が使 え な い と思 われ る人 文 科 学 の 分 野 を考 え よ.

６. 科学法則 の数学性

(１) 数 学 的 表 現 を も つ科 学 法 則   科 学 法 則 は,上

述 の よ う に,自

係 な ど を 表 し て い る が,そ

然 現 象 や 社 会 現 象 に観 察 され る規 則 性 や 因 果 関

れ は し ば し ば 数 学 的 表 現 を と る.た

と え ば,電

気 の

オ ー ム の 法 則 は 「電 流 の 大 き さ は 加 え た 電 圧 の 大 き さ に 比 例 す る 」,光 の 屈 折 の 法 則 は 「sin(入 射 角)/sin(屈

折 角)=一

定 」,実 験 心 理 学 の フ ェ ヒ ナ ー −ウ ェ ー

バ ー の 法 則 は,「 手 の ひ ら に ４倍 の 重 さ の も の を の せ て は じ め て ２ 倍 と 感 じ る よ う に,刺

激 に 対 す る知 覚 の 程 度 は 刺 激 の 大 き さ に 対 し て 対 数 関 係 と な る 」等 々,

例 を あ げ れ ば 限 りな い.

  さ らに,法 則 に よ って は,そ の 本 質 に お い て数 学 的 表 現 の もの,す 以 外 で は表 せ な い もの もあ る.量 子 力 学 の 基礎 方 程 式Hψ=Eψ(シ

なわ ち数 学

ュ レー デ ィ ン

ガ ー の式)な どは この 例 で あ る.一 方,数 学 的 表 現 をもた な い 科 学 法 則 も多 い . 「政 治 で は必 ず 少 数 の 指 導 者 と多 数 の 大 衆 とに 分 化 す る」とは

,政 治 現 象 の 不 変

の 法 則 の ひ とつ とい われ る もの で あ る が,こ れ は,数 学 的 に は表 せ な い 法 則 の 例 で あ る.   これ らは ま た,定 性 的 法 則 と定 量 的 法 則 に 分 類 され る こ と もあ る.し か し,こ れ ら の差 は 判 然 と した もの で は な い.た

とえ ば,「 物 体 に 力 を加 え る と動 く」と

い う法 則 は定 性 的 で あ る が,こ れ をも っ と精 密 にす れ ば ニ ュー トンの運 動 法 則 と な り,こ れ は定 量 的 であ る.こ の よ うに,大 体 にお い て,は

じめ は定 性 的 な もの

が精 密 化 され て定 量 的 法 則 とな る こ と,す な わ ち,定 量 的 法 則 の方 が進 歩 して い る こ とが多 い.も ち ろん,本 質 的 に 定 性 的 な法 則 も存 在 す る.上 の政 治 の法 則 も そ の 例 であ ろ うが,「 役 所 で は 人 員 は仕 事 の 量 に 無 関 係 に増 え る 」とい う,い わ

ゆ るパ ー キ ン ソ ンの 法則 な る もの も,増 え る とい う定性 的性 質 が本 質 的 な の で, そ れ が どれ だ け の量 か とい う定 量 的 な こ とは あ ま り意 味 が な い.   とこ ろ で,定 性 的 法則 で も数 学 的 表 現 を もち うる.た

とえ ば,フ

レ ミン グの左

手 の 法則,「 左 手 の 人 さ し指 を感応 線,中 指 を電 流 の 方 向 に とる と,親 指 の方 向 が電 流 の作 用 す る力 の 方 向 で あ る」は 定性 的 で あ る が,幾 何学 的,す な わ ち数 学 的 表 現 をと っ て い る.さ

らに,一 般 的 に い っ て,と

くに定 量 的 法 則 は 上 の屈 折 の

法 則 の よ うな数 式 表 現 を とる こ とが 多 い.こ の 事 実 は,在 来 の 数 学 の 応 用 の主 眼 点 で あ った が,現 代 の 数 理 科 学 で は数 学 の利 用 は そ れ を越 えて 広 が っ て い る こ と は 前 述 の とお りであ る. (２) 数 学 的 表 現 の 有 用性   科学 法則 が数 学 的 に表 現 され るこ とには 以 下 の よ うな 大 き な 意義 が あ り,こ の こ とが と り もな お さず,数 理 科 学 す な わ ち 「現 象 を数 学 化 して 研 究 す る」こ との 有 用性 につ な が る.   ま ず,数

学 的 表 現 は 概 念 を 明 確 に し,か

つ,し

と を表 す の に 言 葉 だ け で 表 現 す る と き,そ た り,一

義 的 で な か っ た り し て,そ

生 活 な ど で は,む わ な い.そ で,明

こ で,哲

学 な ど で も,日

の と き の 体 積 の1/273だ

度 を ｔ,体 積 を Ｖ,さ

っ と簡 単 に,

れ は,言

ｃ:定

ら にt=0の 数

葉 で 書 け ば,

力一 定 の とき温 度

け 変 化 す る 」の よ う に な

容 を理 解 す る の が 容 易 で な い 上 に,不

pV=cV0(1+t/273), あ る い は,も

学 を 用 い る こ と は,こ

度 一 定 の と き圧 力 に 反 比 例 し,圧

れ で は,内

こ れ を圧 力 をｐ,温

問 の 目的 に は 合

常 の 言 葉 で 表 現 す る と 不 明 確 に な りが ち な の

イ ル ーシ ャ ル ル の 法 則 を 考 え て み よ う.こ

の 変 化 に 対 し て 温 度0℃ か し,こ

常

確 な 表 現 を 与 え て い る こ と に な る.

た と え ば 「気 体 の 体 積 は,温

る.し

の 表 現 の 意 味 が 明 確 で な い こ と が 多 い.日

確 に 規 定 さ れ た 特 別 の 表 現 を 用 い る わ け で あ る.数

  例 と し て,ボ

るこ

の 言 葉 の 意 味 が は っ き り して い な か っ

し ろ こ の こ と を 利 用 し て い る場 合 も あ る が,学

の よ うな 意 味 で,明

1℃

ば し ば 簡 単 に 表 現 す る.あ

明 確 で も あ る.

と き の 体 積 をV0と

し て,

t+273≡T(絶

対 温 度)  と して   pV=cV0T

と表 現 す れ ば,き わ めて 明 快 で あ る.   さ ら に,こ

の 例 の よ うに,数

と し て,ニ

ュ ー ト ン の 運 動 の 第 一 ・第 二 法 則 を 見 よ う.す

働 か な い と き,そ

れ は 静 止 し 続 け る か,等

力 が 働 く と き,そ し,物

学 に よ っ て 表 現 が 簡 単 に な る こ と が 多 い.別

な わ ち,「 物 体 に 力 が

速 直 線 運 動 をす る 」,お よ び,「 物 体 に

の 方 向 に 加 速 度 を 生 じ,そ

体 の 質 量 に 反 比 例 す る 」 と な る.こ

場 合 に 分 け,そ

の 大 き さは そ の 力の 大 き さに 比 例

れ は,物

体 に 力 が 働 く場 合 と働 か な い

れ ら をそ れ ぞ れ 第 一 ・第 二 法 則 に 対 応 させ て い る わ け で,一

裁 は 整 っ て い る が,複

雑 で 理 解 し が た い.と

Ｆ,加 速 度 も を ａ で 表 し,物

の例

こ ろ が,こ

体 の 質 量 を ｍ と す る と,簡

れ は,力

応体

の ベ ク トル*を

単 明 瞭 に,

a=kF/m さ ら に,比

例 定 数 ｋは,単

位 を 適 当 に 選 ん でk=1と

して

ma=F と 表 現 で き る.   こ れ で,ま

ず 力 が 働 か な い 場 合 は,F=0で

あ る か ら, a=0.こ

が な い の で あ る か ら速 度 は 変 わ ら な い,速 と い う こ と は,そ と を 表 す.そ 続 け る,と

の 大 き さ,方

度 は ベ ク トル で あ る か ら,そ

向 と も 一 定,す

に,力

が 働 く と き,そ

ｍ は 正 の ス カ ラ ー で あ る か ら,ａ は 零 で な い,す そ の 方 向 は 向 き も 含 め て Ｆ と 同 じ で あ る.こ 両 辺 の 絶 対 値 を と り,￨a￨=￨F￨/mと 反 比 例 す る こ と は 明 ら か で あ る.こ な 内 容 が,ma=Fと

ク トル 量 を ボ ー ル ド体(太

う し て,ニ

れ はmaに

等 しい が,

表 す.

れ が￨F￨に

か も, 式の

比 例 し, ｍ に

ュ ー トン の 第 一 ・第 二 法 則 の 複 雑

の 場 合,数

字)で

の と き は静 止 し

のａ の 大 き さ に つ い て は,上

さ れ て い る こ と に な る.

*  以 下,ベ

れ が一 定

な わ ち 加 速 度 が あ り,し

し て み れ ば,そ

い う数 学 的 表 現(こ

速度

な わ ち等 速 直線 運 動 を してい る こ

の 特 別 な 場 合 と し て 速 度 が 零 の 場 合 も 含 む か ら,そ

な っ て 第 一 法 則 を表 す.次

れ は,加

式 表 現)で

き わ め て簡 単 に表

(３) 数 学 の 論 理 性 が 科 学 を発 展 させ る  数 学 的表 現 を もつ こ との最 も大 きな 意 義 は,数 学 の も つ論 理 性 を利 用 す る こ と に あ る.す なわ ち,現 象 がい った ん数 学 化 され れ ば,そ れ は す でに 数 学 で あ るか ら,そ の現 象 の 解 明 や 予 測 を数 学 を用 い て 行 うこ とが で き る.さ

らに は,理 論 そ

の もの の単 な る経 験 事 実 を越 えて の 発 展 が 可能 とな る.   再 び ニ ュ ー トン の 法 則 を例 に と っ て 説 明 し て み よ う.ま の 法 則 はma=Fと

い う 簡 単 な 数 学 表 現 を も つ.こ

ず,上

こ で,加

述 の よ う に,こ

速 度ａ,速

度ｖ,お

よ び 位 置 ベ ク トル ｒ の 間 に 成 り立 つ 純 粋 に 数 学 的 関 係:a=dv/dt, v=dr/dt,を 用 い る と,上

式 は,

mdv/dt=F  の 形 に 変 形 さ れ る.こ 的 に 同 等 で あ る.こ

あ る い は   md2r/dt2=F の 変 形 は 数 学 を 用 い て い る の で,こ こ で,力

の 形 は 前 の も の と論 理

Ｆ が ｒ,ｖ,ｔ の 関 数 と し て 与 え ら れ て い る と す る.

こ の と き上 式 は

で あ る か ら,こ る.し

れ は 数 学 的 に は,関

た が っ て,こ

と に よ り,力

の 式 の 解r(t)を

が 与 え られ た と き,物

う 現 象 が 解 明 され る こ と に な る.し

数r(t)に

つ い て の 常 微 分 方 程 式 と 考 え られ

求 め る と い う純 粋 に 数 学 的 な 問 題 を 解 く こ 体(質

点)が

た が っ て,力

ど う い う 運 動r(t)を

を ど う 与 え る か に よ っ て,い

ま で に 知 ら れ な か っ た 現 象 を 含 め て 無 数 の 運 動 の 様 相 が,経 単 な る 数 学 の 問 題 と し て 解 か れ る こ と に な る.こ 単 に 法 則 を簡 明 に 表 現 し て い る だ け で あ る が,そ る こ と に よ り,理   ち な み に,相

当 に 複 雑 な 運 動 で も,そ

重 さ で,こ

か し,そ

ま

験 事 実 と 関 係 な く,

の こ と は,ma=Fな

る数 式 は

れ を上 の よ うに数 学 的 に変 形 す

論 そ の も の が 発 展 し た と い え よ う.

質 を も っ て い る こ と が 多 い.た な る.し

す る か とい

の 原 因 と な る 力 は 普 通,わ

と え ば,物

を投 げ た とき の運 動 の軌 跡 は放 物 線 と

れ は 投 げ 方 で い ろ い ろ 違 い う る が,物

れ は ど こ で も一 定 の 大 き さ,方

り と簡 単 な 性

向 を も つ.

体 に働 く力 はそ の物 体 の

  こ こ で 注 意 す る こ と は,上 っ て,現

の よ う な 現 象 の 数 学 表 現 は あ く ま で 「モ デ ル 」 で あ

象 そ の も の で は な い こ と で あ る.す

現 し て い る の で あ っ て,別 る.し

た が っ て,そ

る.た

と え ば,ボ

わ な い,ニ

な わ ち,そ

な 言 い 方 を す れ ば,そ

れ は,現

象 を近 似 的 に 表

の適 用 に は限 界 が あ るこ とで あ

れ を越 えて 数学 的 変形 を した結 果 は真 実 と合 わ な くな っ て く イ ル ーシ ャ ル ル の 法 則 の 表 現pV=RTは,Ｔ

ュ ー トン の 式ma=Fで

し か も実 際 問 題 と し て,こ

が大 き くなれ ば合

もｖ が 大 き け れ ば 合 わ な く な る 等 々 で あ る.

の よ う な 限 界 は そ れ ほ ど 明 ら か で な く,そ

れ は科 学 の

発 展 の 途 上 に お い て 次 第 に 明 ら か に な っ て い く の が 普 通 で あ る.

(４) 数 学 の応 用 性   数 学 は,前 述 の よ うに論 理 科 学 の 一 種 で あ り,そ の 法 則(定 理)は,形

式科学

と い う性 格 上,経 験 事 実 に よ る検 証 を必 要 と しな い.し か し,実 際 問題 と して, そ れ が結 果 的 に しば しば 自然 や 社 会 現 象 を表 現 して い るわ け で あ る.こ の こ との 深 い意 味 は,自 然 の整 合 性 な ど と も関 連 して 難 しい 問題 で,こ こで は立 ち 入 れ な い.た

とえ ば,日 常 経 験 す る三 次 元 ユ ー ク リッ ド空 間 に対 して,一 見経 験 と無縁

な 四 次元 リー マ ン空 間 が実 は特 殊 相 対 論 を記 述 し,む しろ現 実 的 で あ る とい っ た 事 実 な どが あ る.

問

題

６

 (１)  数 学 的 表 現 を もつ 科 学 法 則 の 例 を考 え,そ れ に よ っ て,科 学 法 則 の数 学 性 を説 明せ よ.   (２)  科 学 法 則 の数 学 的 表 現 の 有 用 性 に つ い て 説 明 せ よ.   (３)  数 学 的 に表 現 され ない 科 学 法 則 の 例 を考 え よ.

◆第Ⅱ

部◆

数理 科 学の 方 法

７. 現 象 の数 学 化

  数 理 科 学 で は,自 然 や 社 会 現 象 に観 察 され る数 学 的 性 質 に 基 づ き,そ の 現 象 を 数 学 化 し,数 学 を利 用 して そ の現 象 を説 明 し,予 測 す る.こ の第 一 段 階 であ る現 象 の 数 学 的 表 現 を,し ば しば数 学 モデ ル とい うわ け であ る.

7.1 

数 学

モ デ ル

  数 学 モ デ ル は,こ の も の で は な く,さ

の よ う に 現 象 の 観 測 結 果 に 対 応 して い る の で あ っ て,現 ら に 観 測 結 果 そ の も の で も な い.た

に 電 圧 Ｖ を 加 え た と き,電 い て も,こ も,そ

抗 Ｒ の電 線

流 Ｉが 流 れ る 現 象 に 対 す る 数 学 モ デ ル,V=IRに

の 場 合 の 観 測 結 果(実

れ ら は 必 ず し もV=IRの

と え ば,抵

象そ

験 値)は,図7-1の

よ うに 有 限 個 で あ り,し

直 線 上 に あ る わ け で は な い. V=IRは,あ

図7-1 

観 測 値 と数 学 モ デ ル

つ か

くま

で,こ

れ ら の 結 果 を踏 ま え て 設 定 され た 「科 学 法 則 」で あ る .さ

に も,そ

の数 式

の 適 用 に 限 界 が あ る こ と も 上 述 の と お りで あ る.

  数 学 モ デ ル は,こ

の よ う に,一

て 抽 象 し て い る場 合 が 多 い.こ

般 に は 複 雑 な 現 象 の あ る 特 定 の 性 質 を単 純 化 し

の 場 合,ど

の よ う な 性 質 に 着 目す る か は,そ

象 を ど の よ う な 目的 で 探 求 す る か に よ り 異 な り,そ に な る.し

た が っ て,同

る こ と は 普 通 で あ る.し 考 え る こ と は,し

7.2 

ら に,こ

じ 現 象 で も,目 た が っ て,モ

の現

れ に 応 じて モ デ ル 化 す る こ と

的 に 応 じ て 全 く違 っ た モ デ ル 化 が な さ れ

デ ル をそ の 目的 以 外 の 場 合 に ま で 拡 張 し て

ば し ば誤 解 の も と と な る.

数 学 モ デ ル の種 類

(１) 数 量 モ デ ル と非数 量 モ デ ル   さ て,数 学 モ デ ル は い ろ い ろ に分 類 され る が,ま ず 数量 モ デ ル と非 数 量 モ デ ル に 分 類 で き よ う.こ の 区別 は もち ろ んは っ き りした もの で は な いが,数 式 な どで 数 量 的 に表 現 され るモ デル に 対 して,数 学 では あ るが,群,関

係,有 向 グラ フ な

ど数 量 的 で な い表 現 を もつ 場 合 を非 数 量 モ デ ル とい う.   数 学 モ デ ル の 多 くは数 量 モ デ ル で あ るが,そ こ で は,数 量 化 が行 われ てい る. た とえ ば,物 体 の直 線 運 動 を表 す の に,そ の 位 置 を ｘ座標 で表 し,そ れ を実 数 と 対 応 させ る.す な わ ち,こ の運 動 の様 相 を実 数 で数 量 的 に 表 現 して い るわ け であ る.   注 意 す る こ とは,モ デル が数 で表 され て い て も,そ の数 量 化 は完 全 に 数 の もつ す べ て の 性 質 に 対 応 し て い る と は 限 ら な い こ と で あ る.た 数 は 数 で 表 さ れ て い る が,こ て,数

と え ば90-80と70-60は

の 差 と70点

と60点

力試 験 の点

な ど とい うの は 評 価 で あ っ

の も つ 性 質 の う ち 大 小 を表 す 性 質 だ け を利 用 し て い る .し

他 の 性 質,た 80点

の 場 合,80点,90点

と え ば,学

数 と し て は 同 じ く10点

た が っ て,そ

の

だ が,90点

と

の差 と が 同 じであ る とは 一 般 に い え ない .

  次 に 非 数 量 モ デ ル を 以 下 の よ うな 簡 単 な 例 に よ っ て 考 え よ う.

  太 郎 と 花 子 と の 人 間 関 係 と い う現 象 で,太 気 は な い.し

か し,両

人 と も漫 画 が 好 き だ とす る.こ

ラ フ 」に よ っ て 数 学 化 し て み よ う.有 Pnか

郎 は 花 子 に 気 が あ る が,花

こ ろ で,一

列:

1 

M=(mij) 

組 で あ る.た

{

ラ フ は,n×n行

れ を 以 下 の よ うに 「有 向 グ

向 グ ラ フ と は,「 有 限 個 の 要 素P1,P2,…,

ら な る 集 合 と い くつ か の 順 序 対(Pi,Pj)の

序 対 は 重 複 を 許 さ な い 」 で あ る.と

子にその

般 に,ｎ

(Pi,Pj)の

だ し,Pi≠Pjか

つ順

個 の 要 素 か らな る 有 向 グ

と き 

た だ し  mij=

０  そ うでな い と き で 表 さ れ る.上

の 例 で,太

(Pi,Pj)をPiがPjに よ び(P2,P3)が Ｍ

郎,花

子,漫

画 を そ れ ぞ れP1,P2,P3と

し,順

序 対

気 が あ る こ と に よ っ て 定 義 す れ ば,(P1,P2),(P1,P3),お あ る か らm12,  m13, m23=1で,他

のmijは

０ で あ る.し

た が っ て,

は

と な る.   こ れ は 簡 単 な 例 で あ る が,人

数 が も っ と多 い グ ル ー プ 内 で,ど

が 成 り 立 つ か と い っ た 問 題 で も,こ と は 数 学 を 用 い て,い

うい う人間 関 係

の よ うに モ デ ル 化 さ れ た 表 現 Ｍ を 用 い,あ

ろ い ろ な 結 論 を 出 す こ と が で き る.

  (２) 確 定 モデ ル と確 率 モ デ ル  数 学 モ デ ル の 別 の 分 類 と して,確 定 モ デ ル と確 率 モ デ ル が あ る.  確 定 モ デ ル は,そ の 数学 表 現 が確 定 した結 果 を表 現 して い る もの で,落 体 の法 則x=(1/2)gt2の

よ うに,与 え られ た時 間 ｔに 対 して 落 下 距 離 ｘが 確定 的 に与 え

られ る.   これ に 対 して 確 率 モ デ ル は,上 述 の統 計 的 法 則 に 対 す る もの で,た と えば お年 玉 つ き年 賀 は が きの 当 た る割 合 の よ うに,個

々 の 事 象 に は 確 定 した もの は な い

が,統 計 的 に 見 る と あ る法 則 が 現れ る よ うな 現 象 をモ デ ル 化 す るた め に用 い られ

る.す

な わ ち,こ

の よ う な 現 象 は,あ

た も の で あ る と考 え る.し

る生 起 確 率 を も った もの が偶 発 的 に 起 こっ

た が っ て,確

率 論 に よ っ て モ デ ル 化 され る こ と に な る.

  上 の 年 賀 は が き を 例 に と っ て 考 え て み よ う.ま ｐ と し よ う.年

賀 は が き の 当 た りは,下

そ れ が 当 た る 割 合 は3×0.01で,そ な け れ ば な ら ず,き 0.03く

ず,年

賀 は が き が 当た る確 率 を

２桁 の 数 字 の 合 う もの ３組 が 最 下 等 で,

れ 以 上 の も の が 当 た る 割 合 は ４桁 以 上 も 合 わ

わ め て 小 さ い.し

た が っ て,ｐ

の 値 は,大

体 におい てこの

らい で あ る.

  さ て,一

般 に,ひ

と つ の 試 行 に よ っ て あ る 事 象 の 起 こ る 確 率 を ｐ とす る と き,

ｎ 回 の 試 行 に よ っ て そ の 事 象 が ｒ回 起 こ る確 率 は,二

で 与 え ら れ る.し

た が っ て,た

と え ば,は

項 分 布:

が き が100枚

き た と き,当

た りが ２

枚 あ る確 率 は           50×99×

（0.03）2×（0.97）98＝0.225

と計 算 さ れ る.   一 方,そ

の 平均 値 は

と な っ て*,た

と え ば100枚

で は,平

  こ れ と 全 く 同 じモ デ ル が,別 個 あ る と き,そ

均 と し て 大 体 ３枚 当 た る とい う こ と に な る.

の 問 題,た

と え ば不 良 品 の 出 る率 が ｐの製 品 が ｎ

の 中 で 不 良 品 が γ個 で あ る割 合 は ど う な る か,と

*  上 式 は 次 の よ うに証 明 され る.

い った 場 合 に も

使 え る.   こ の よ う に,全 ャ ル の 場,熱

く違 う現 象 が 同 じ数 学 モ デ ル で 表 さ れ る こ とが 多 い.ポ

伝 導,完

ラ ス の 方 程 式 △u=0で

(３)そ

全 流 体 の 流 れ,静

電 場,静

磁 場,…

が,す

テ ンシ

べ て 同 じラ プ

表 せ る こ と な ど は こ の 好 例 で あ る.

の 他 の数 学 モ デ ル

  数 学 モ デル の分 類 と しては,以 上 の ほ か,線 型 モ デ ル と非 線 型 モ デ ル;マ ク ロ モ デ ル と ミク ロモ デ ル;数 式 モ デ ル と非 数 式 モ デ ル;…

な ど 多 くあ る.こ れ ら

の 内容 は,そ れ ぞれ そ の名 称 か ら明 らか で あ るが,そ れ らの 詳 細 に つ い て は後 述 の例 で説 明 す る こ とに な る.   シ ミュ レー シ ョン,ま た 計 算機 シ ミュ レー シ ョン とい うこ とが い わ れ る.こ れ らは,数 学 モ デ ル 化 の 一 種 と考 え られ る.す な わ ち,特 定 の 現 象 に つ き,そ の 数 学 表 現 を利 用 して,そ の 現 象 に 似 た もの を計 算 に よ って表 現 して い る.こ の場 合 も 目的 に 応 じて モ デ ル 化 して い るわ け で あ る.   物 理 的 現 象 な どの 分 野 で よ く使 われ る基 礎 方 程 式 は や は り数学 モ デ ル の一 種 と い え る.そ の 典 型 的 な 例 が た び た び引 用 す るニ ュ ー トンの方 程 式 で あ る.電 磁 現 象 に 対 す るマ ク ス ウェ ル の 方 程式,小

さな物 体 の運 動 を規定 す る量 子 力学 の方 程

式 な ど もそ れ で あ る.こ れ らは,そ れ ぞれ 広 い 適 用範 囲 を もつ,基 本 法 則 の 数 学 的表 現 で あ る.し た が っ て,こ れ らの モ デル と して の適 用範 囲 は き わ め て広 い の で,個 々 の特 殊 な場 合 に つ い て は,そ の 基 礎 方程 式 をそ の場 合 に応 じて特 殊 化 す る こ とに な る.

問

(１)数

学 モ デ ル の 種 類 を列 挙 し,そ

題

７

の ２,３に つ い て 説 明 せ よ.

(２)数 量 モ デル と非 数 量 モ デ ルの 違 い に つ い て述 べ よ. (３)あ る現 象 の 数 学 モ デ ル とそ の 現 象 自体 との 関連 につ い て考 え よ.

８. 数 学 モ デル の構 成

8.1  数 学 モ デ ル の構 成 原 理

  現 象 の 数 学 モ デ ル 化 の 実 際 に つ い て は,個

々 の 現 象 の そ れ ぞ れ に つ い て,ま

た,現

象 の ど の よ う な 様 相 を モ デ ル 化 す る の か の 目 的 に 応 じ て,種

る.し

か し,そ

の い ず れ に せ よ,現

々様 々であ

象 を表 現 す る た め の 諸 元 が 明 確 に 定 義 され 形

式 化 さ れ て い な け れ ば な ら な い.   た と え ば,物 ｚ を 用 い,そ

体 の 運 動 の 様 相 をモ デ ル 化 す る に は,そ

れ ら を 時 間 ｔの 関 数x(t),y(t),z(t)と

化 が そ の 運 動 を表 現 し て い る と考 え る.す と い う 数 学 的 な 問 題 に 帰 着 させ る.ま は,人

間 関 係 と い う 現 象 に つ い て,そ

考 え,そ

な わ ち,こ

た,32ペ

の 重 心 の 位 置 の 座 標 ｘ,ｙ, の関数の時間的変

れ らの関 数 の 性 質 を求 め る

ー ジ で 述 べ た 太 郎 と花 子 の 例 で

の 関 係 を順序 対 の組 で あ る有 効 グラ フ で表

現 す る こ と に よ っ て モ デ ル 化 して い る.   次 に,こ

の よ う な モ デ ル 化 に あ た っ て は,現

純 化 す る こ と が 望 ま し い 。 こ の こ と は,前

象 の 本 質 に 基 づ き,で

き る 限 り単

述 の 科 学 法 則 の 単 純 性 と関 連 し て い る

わ け で あ る.   た と え ば,物

体 の 落 下 の 現 象 を 数 学 モ デ ル 化 す る こ と を考 え る.と

般 に ど ん な 現 象 で も,細 は,物

体 に 働 く 力 に し て も,そ

空 気 の 抵 抗,ま も,大

か く考 え れ ば そ れ だ け 複 雑 に な る.す

す に し て も,重

な わ ち,こ

の 主 な も の は 地 球 の 引 力 で あ る が,そ

た 他 の 物 体 か ら の 引 力 な ど い く ら で も あ り,ま

体 は 一 定 で あ る が,厳

密 に は 高 さ や 場 所 で 変 わ る.さ

こ ろ で,一 の 場合

れ以外に も

た地球の引 力で

ら に,そ

心 の 位 置 を考 え て そ れ が 下 方 に 動 く だ け で な く,前

の 運 動 を表

後 左 右 に も動

き う る.ま

た,物

体 自 体 の 回 転 もあ る.も

原 子 の 運 動 と の 関 連 は ど う な る か,と 際 限 が な い ば か りか,た わ れ て し ま う.こ

っ と細 か くは,そ

際 限 が な い.こ

れ を 構 成 す る 分 子,

の よ うに,細

だ い た ず らに 複 雑 に な る だ け で,そ

の こ と は,科

場 合 も で き る だ け 単 純 化 し,力

か く考 えれ ば

の 現 象 の 本 質 が見 失

学 法 則 の 単 純 性 と関 わ り合 っ て い る わ け で,こ と し て も,そ

の

の 主 な も の で あ る 一 定 重 力 だ け を考

え れ ば 明 確 な 表 現 が 得 られ る わ け で あ る.   と こ ろ で,モ ち,あ

デ ル は あ く ま で モ デ ル で あ っ て,現

る モ デ ル は,現

象 の 多 く の 様 相 の う ち,目

た め に 構 成 さ れ る.し

た が っ て,同

な る も の が 構 成 さ れ る.上 的 で あ る な ら ば,少

象 そ の も の で は な い.す

的 に 応 じて そ の あ る もの を表 す

じ現 象 の モ デ ル 化 で も,そ

の 例 で も,も

々 複 雑 に な っ て も,一

なわ

の 目的 に よ っ て異

し空 気 の 抵 抗 に よ る 影 響 を調 べ る の が 目 定 重 力 の ほ か に 空 気 の 抵 抗 力 を考 え て

モ デ ル を構 成 し な け れ ば な ら な い わ け で あ る .   い ず れ に し て も,結

果 の モ デ ル は 数 学 的 に 矛 盾 の な い 体 系 で あ っ て,し

か も,

そ れ が 目 的 で あ る 現 象 の 様 相 の 適 切 な 表 現 に な っ て い な く て は な ら な い が,そ に は で き る だ け 理 想 化,簡 し て お り,こ

れ が,数

単 化 す る こ と が 必 要 で あ る.こ

れ

の こ とは近 似 とも関 連

理 科 学 の 方 法 の 根 本 で あ る と い っ て も よ い.

8.2  数 学 モ デ ル化 の実 際 と簡 単 な例

  以 上 を踏 ま え て の 現 象 を数 学 モ デ ル 化 す る た め の 方 法 の 実 際 は 多 岐 に わ た る が,そ

れ らの う ち で 代 表 的 な 型 を 列 挙 す る と,

    (１)自 明 な 関 係 に 基 づ く も の     (２)科 学 の 法 則 を 適 用 す る も の     (３)実 験 式,経

験 式 を利 用 す る もの

    (４)「 基 礎 方 程 式 」か ら導 く も の     (５)そ の 他,複 な ど とな る.こ

雑 な 現 象 に対 す る因子 分 析 法 の 応 用

れ ら の 違 い は も ち ろ ん 明 確 な も の で は な い が,以

下 で(１),(２)に

つ い て 説 明 し,(３),(４),(５)に つ い て は 章 を改 め て 考 え る こ と に す る.

(１)  自明 な関 係 に基 づ くもの   数 学 モ デ ル 自 体 が,保

存 の 法 則 と か 明 白 な 科 学 原 理 な ど の,い

に 基 づ い て 構 成 さ れ る こ と が 多 い.た

わ ば 自明 な 関係

と え ば 簡 単 な 例 と し て,主

に ア ー モ ン ドあ

め とチ ョコ レー トを製 造 して い る菓 子 工 場 の 月 間 利 益 を数 式 で表 す こ とを考 え る.現

象 を 単 純 化 し,ア

トの そ れ は20円 と き,月

と し,そ

ー モ ン ドあ め １個 の 利 益 は な ら し て12円,チ

ョコ レー

れ ら を １ か 月 に そ れ ぞ れ ｘ,ｙ個 製 造 す る とす る.こ

間 利 益 Ｐ はP=12x+20y(円)と

表 され る わ け だ が,こ

の

れ の 基礎 とな る

も の は 説 明 に も 困 る ほ ど 明 白 な 関 係 で あ る.   別 な 例 と し て,動 る.問

物 の数 が 状 況 に よっ て変 動 す る現 象 を数 学 モ デ ル 化 して考 え

題 を 簡 単 化 し,夏

の 間 に １回 の 繁 殖 期 を も ち,夏

の間 に生 まれ て 成熟 した

も の は 翌 年 の 夏 ま で に 死 ん で し ま う よ う な 動 物 を考 え る.ま の 最 初 に お け る そ の 動 物 の 雌 の 成 体 の 数 をXnと 生 き 延 び て 繁 殖 で き る 雌 の 子 を,平

し,お

た,ｎ 年 目 の 繁 殖 期

の お の の 雌 は,翌

均 し て Ｒ 匹 産 む も の と す る.そ

年 まで

の と き,

          Xn+1=RXn と 書 け る.こ 場 合 は,多

こ で も,モ

デ ル 式 が 成 り立 つ こ と は 全 く 自 明 で あ る.た

くの 仮 定 あ る い は 単 純 化 を行 っ て,現

象 を 簡 単 化 し,そ

だ し,こ

の

の 結 果 と して

自 明 な 関 係 が 成 り立 つ よ うに し て い る こ と に 注 意 す べ き で あ る.

(２) 科 学 の法 則 を適 用 す る もの   こ れ は 上 の 場 合 と 実 際 上,区

別 が つ か な い こ と も あ る が,そ

現 象 を 支 配 す る 法 則 を 数 学 化 す る こ と に あ る.簡 の 中 の 定 常 流 の 場 合 を 考 え る.こ に よ っ て,管 い,し

単 な 例 と し て,太

える

さが変 わ る管

常 流 で あ る か ら,「 流 量 不 変 の 法 則 」

の どの 場 所 で もそ こ を流 れ る流 体 の 質 量 は 同 じ でな けれ ば な らな

た が っ て,管

と す れ ば,上

の と き,定

の 内 容 は,考

の 任 意 の 点 で の 流 速,密

度 お よ び 断 面 積 をそ れ ぞ れｖ,ρ,Ａ

の 法 則 を 適 用 し て,

          ρvA=一

定

と な る.た

こ で も,流

だ し,こ

速 は 断 面 の 場 所 で 違 い う る の を,そ

の平 均 の 値 を

と っ て 単 純 化 して い る.   あ る 非 常 に ま れ に 起 こ る 事 故 の 回 数 に つ い て,そ そ こ で,こ る,そ

の 数 学 モ デ ル をつ く りた い.

の 事 故 の 割 合 は 小 さ い が 年 々 一 定 で あ る と 仮 定,あ

の と き,生

るい は単 純 化 す

起 確 率 が 非 常 に 小 さ い 事 象 に つ い て の 確 率 の 法 則 で あ る 「小 数

の 法 則 」が 適 用 さ れ,あ

る 年 に ｒ回 起 こ る 割 合(確

率)Prは,次

の ポ ア ソ ン分 布

式 で 与 え られ る.

た だ し,ｍ

は 年 あ た り の 事 故 回 数 の 平 均 値 で あ る.

  や や 複 雑 な 例 と し て,熱

い 金 属 の 物 体 を放 置 して お く と 次 第 に 冷 え て い く,と

い う現 象 を数 学 モ デ ル 化 し て 追 求 す る こ と を考 え よ う.   ま ず,物

体 が 熱 い,冷

た い と い っ た 状 態 を そ の 温 度T℃

さ せ,そ

の 時 間 的 推 移,す

よ う.と

こ ろ で,こ

わ ち,物

体 の 冷 却 の 速 さ は 物 体 の 温 度 と 周 囲 の 温 度 と の 差 に 比 例 す る.さ

  次 に,こ

間 ｔの 関 数T(t)を

求 め る こ と を 目的 と し

の 現 象 に は,「 ニ ュ ー ト ン の 冷 却 の 法 則 」が 成 り立 っ.す

に 定 義 し た 温 度 関 数T(t)に 温 度 をT0,比

な わ ち,時

に よ っ て 明確 に 代 表

対 し て,冷

例 定 数 をk(>0)と

却 の 速 さ は-dT/dtで

す れ ば,冷

て,上

あ る か ら,周

囲の

却 の 法 則 は 次 の よ う に 表 せ る.

れ を用 い て 現 象 を 研 究 す る わ け で あ る が,そ

微 分 方 程 式 の 解 と し て 求 め る と い う,純

な

れ は,関

数T(t)を

粋 に 数 学 的 な 問 題 と な る.す

この

な わ ち,上

式 は,

と し て 積 分 さ れ,log(T-T0)=-kt+c,  でT=T1(初

と 定 ま る.こ

期 条 件)と

こ で,た

ｃ:任

意 定 数,と

な る が,と

く にt=0

す れ ば,  c=log(T1-T0)で,

と え ば,T0=10, 

T1=110で, 

t=1でT=70で

あ っ た と

す れ ば,60=100e-kか

らk=0.51と

定 ま っ て,任

意 の 時 刻 ｔに お け る Ｔ の 値 が

求 ま る こ と に な る.

  以上 はす べ て簡 単 な例 で あ っ て,考 え方 を示 す た めの もの であ る.実 際 に は も ち ろ ん もっ と複 雑 な もの を考 え るわ けで あ るが,そ れ の 一 端 は 第 Ⅲ部 に お け る実 例 に お い て示 され よ う.

8.3 

経 験 式, 最 小 二 乗 法, 無 次 元 表 現

(１) 経 験 式,実 験 式   現 象 を支 配 す る要 因 が複 雑 で,一 般 的 な原 理 や 単 純 な 科 学 法 則 に よっ て 律 し切 れ な い場 合 で も,そ の現 実 にお い て 簡 単 な 関 係 が現 れ る こ とが 多 い.と

くに実 験

値 な どの場 合,こ れ を整 理 して簡 単 な 数 式 で表 せ る こ とが 多 い.こ れ を実験 式, あ るい は もっ と一 般 に経 験 式 な どとい うが,こ れ は数 学 モ デル 化 の 一 種 と考 え ら れ る.   こ の こ とは,一 般 的 に い っ て,多

くの 要 因 に よ る複 雑 な 現 象 で も,現 実 に 問題

とな っ て い る場 面 で は状 況 が狭 い 範 囲 に 限定 され,し た が って,そ の 要 因 の ご く 一 部 だ け に基 づ く因果 関係 を見 てい る こ とに よる.こ の 結 果,こ の よ うな 実験 式 の成 り立 つ 範 囲 は こ の特 殊 の状 況 に 対 応 して 狭 い の が普 通 であ る.   こ の こ と を以下 の簡 単 な例 で説 明 しよ う.い ま,あ る川 で水 中 の 流 速 と深 さ と の 関係 を観 測 した結 果, 水深   0    1    2    3    4    5 流 速   3.19 

3.23 

と な っ て い る と い う.こ   と こ ろ で,よ

3.25 

3.23 

れ を図8-1に

く 見 れ ば,川

な が ら 流 れ て い る(乱 流).し

3.11 

2.94

黒 丸 で 示 し て あ る.

の 流 れ は 決 し て 一 定 で は な く,渦 た が っ て,こ

均 を考 え て い る も の に す ぎ な い.そ

を 巻 き,の

こ に い う流 速 と は,あ

の よ うに 単 純 化 し て も,そ

た うち

る時 刻 で の 平

れ は,さ

らに 川岸

図8-1 

流 速 と 水深 との 関 係

や 川 底 の 状 態 や 流 量 な ど に よ っ て 複 雑 に 影 響 さ れ る は ず で あ る.し の 場 合,流 8-1の

れ の 細 か い 機 構 は 明 ら か で は な い.し

黒 丸 を 見 れ ば,こ

の 場 合,水

か し,そ

た が っ て,こ

れ に もか か わ ら ず,図

深 と流 速 との 間 に簡 単 な 関 係 が あ る こ とは

否 定 で き な い.   次 に,こ は,一

れ を式 で 表 す,す

番 簡 単 に,そ

な わ ち,数

学 モ デ ル 化 す る こ と を考 え る.こ

れ を ２ 次 曲 線 に あ て は め る こ と に し よ う.そ

の た め,水

こで 深 を

ｘ,流 速 を ｙ と して,           y=a+bx+cx2 と お き,定

数 ａ,ｂ,ｃを観 測 結 果 に 合 う よ う に 定 め る こ と を考 え る.

  そ こ で,x=0,2,4し,そ           3.19=a,  と な り,こ

れ に対 す る ｙの値 をと る と   3.25=a+2b+4c, 

  3.11=a+4b+16c

れ か らa=3.19,b=0.08,c=-0.025,す

なわち

          y=3.19+0.08x-0.025x2(=y1) と な る.図8-1に

お い て,こ

れ を 曲 線y1と

値 も使 っ た 場 合 は ど う な る か に つ い て は,次   さ て,こ

し て 示 し て あ る.こ

の 最 小 二 乗 法 で 述 べ る.

の よ うに 数 学 化 さ れ た わ け で あ る が,こ

の 流 速 も 計 算 に よ っ て 求 め ら れ る,な

こ で,ｘ の 他 の

れ を 用 い れ ば,途

ど に 利 用 で き る,し

か し,こ

中 の水 深 で の 式 は,こ

の

特 定 の 川 の 場 合 に 導 か れ た もの で,そ い.も

ち ろ ん,流

れ 以 外 の 川 に も 適 用 で き る と は 考 え られ な

速 分 布 が こ の よ うに 途 中 に 最 大 値 を も つ ２次 曲 線 の よ う な 型 で

あ る こ と は 一 般 的 で あ る か も し れ な い が,そ か も あ る特 定 の 場 所 の,あ

る 製 品 を つ くっ て い る 小 工 場 で,労

る と か え っ て 生 産 が 落 ち る よ う な の で,一 い う 問 題 を 考 え る.ま

働 で つ く り 出 す 製 品 の 数 と 定 義 し,過 そ れ ぞ れ9.3,9.5,8.5で

こ で,今

働 時 間 が 長す ぎ

番 よ い 労 働 時 間(時/週)(ｘ)は ず,生

産(ｙ)を,１

人,１

去 の デ ー タ か らx = 35,40,45の

あ る こ と が わ か っ た と す る.こ

黒 丸 の よ う に な る.そ

の 川 の,し

る特 定 の 日時 で の も の で あ る.

  同 じ よ う な 例 で あ る が,あ

け か を 求 め た い,と

の 係 数 ａ,ｂ,ｃ の 値 は,こ

回 も こ れ を ２次 式:y

どれ だ 時 間の労 と き ｙは

れ を 図 示 す る と 図8-2の = a + bx + cx2に

あてはめ る

と, a = -25.7,

b = 1.84,

c = -0.024

と な り,

y = -25.7 と な る.こ し て38.3時

+ 1.84x - 0.024x2

れ か らdy/dx 間/週

= 1.84 - 0.048x

= 0と

して,一

を 得 る.

図8-2 

労 働 時 間 と生 産 性 の関 係

番 能 率 の よ い 労働 時 間 と

  こ こ で も,働 きす ぎ る とか え っ て能 率 が悪 い とい う一 般 的 事実 は別 と して,こ の 生 産 と労 働 時 間 との 関 係 に対 す る モ デル 式 は,こ の 工 場 で のみ 適 用 され るわ け で あ る.し か し,こ の工 場 につ い て は最 適 時 間 を算 出 す るの に大 い に 役 立 つ わ け で あ っ て,こ の 意 味 で適 用範 囲の 狭 さ は問 題 に な らな い. (２) 最 小 二 乗 法   上 記 の 川 の 流 速 の 例 で,２

次 曲 線 を あ て は め る の に,x=0,2,4で

て ３個 の 式 を つ く り,３

つ の 係 数 ａ,ｂ,ｃの 値 を 定 め た.こ

用 い た ら ど うな る か.あ

る い は,全

に は ど うす る か.こ

ａ,ｂ,  ｃ を 観 測 値(xi, 

と し て,Ｓ

丸)に

の 場 合,

2 yi),i=1,2,…,nに

す な わ ち 点(xi, yi)と

と な る よ う に,ａ,ｂ,ｃ

の 場 合, ｘ の 他 の 値 を

う ま く適 合 す る よ うに す る

れ に 対 す る方 法 が 最 小 二 乗 法 で,こ

y=a+bx+cx  の

部 の 点(黒

の 値 を用 い

対

し て

曲 線 上 の 点(xi, y(xi))と

の 距 離 の ２乗 の 和 が 最 小

の 値 を 定 め る.

  こ の と き,そ

の よ う な ａ,ｂ,ｃ は

を 満 足 す る.こ

れか ら

aA0+bA1+cA2=B0 aA1+bA2+cA3=B1 aA2+bA3+cA4=B2

(j=0,1,2,3,4) と な り,ａ, ｂ,  ｃ を定 め る 連 立 １次 方 程 式(正 規 方 程 式)を 上 の 例 で は,n=6で,上 6a+15b+55c=18.95

式 は

得 る.

15a + 55b  + 225c  = 46.56 55a  + 225b  + 979c  = 168.56 と な り,こ

れ を 解 い て,  a = 3.18,  y = 3.18  + 0.097x 

と な る が,比

- 0.029x2 

較 の た め,図8-1に

  こ の 方 法 は,２

b  = 0.097, 

c  = -0.029を

た が っ て

(  =y2  )

お い て こ れ を 曲 線y2と

次 曲 線 に 限 らず,何

得 る.し

し て 示 し て あ る.

次 式 で も 同 じ よ うに 適 用 さ れ る が,そ

の他

y = axb と い っ た 場 合 で も,両

辺 の 対 数 を と り,Y 

= logy, 

X = logx, 

A = log aと

す れ ば

Y = A + bX の 形 に な り,上

式 が 使 え る.も

っ と 一 般 的 に,  fi(x),  i  = 1, …, mを

既 知 関 数 と し

て

の 形 に 対 し て も 同 様 に 扱 え る.   と こ ろ で,こ

の 方 法 の 要 点 は,ｎ

組 の デ ー タ(xi,  yi), i=1,  …,  nか

タ ａ,ｂな ど を 推 定 す る 問 題 で あ る.こ hood ),す る.誤

れ をい ま 最 尤 法( method 

らパ ラ メー

of  most  likeli-

な わ ち,( y1,y2,…,yn )の 同 時 生 起 確 率 が 最 大 と な る よ うに 定 め る と す

差v ≡ vi  = a  + bxi  + cxi2  - yiの 出 現 の 確 率 が 普 通 は 大 体 そ う で あ る よ う に,

正 規 分 布:

σ:標 準 偏 差

に 従 う と す る と,(  y1,y2,…,yn 

で あ り,こ る.

れ の 最 大 は,Σvi2の

)の

同 時 生起 確 率 は

最 小 と き 起 こ る,す

な わ ち,最

小 二 乗 法 を与 え

(３) 無 次 元 表 現   川 の 流 速 の 例 に 戻 っ て,そ

こ で 導 い た 実 験 式 は,こ

合 に し か 通 用 し な い わ け で あ る.し

か し,川

こ で 問 題 と し て い る川 の 場

の 深 さ Ｈ,表

面(x=0)で

の流速 ａ

を 用 い て,

あ る い は,bH/a 

= B,  cH2/a 

と 書 き 直 し て み る と,係 ず,し

た が っ て,少

= Cと

して

数 Ｂ,Ｃ は,深

さ や 川 の 流 れ の 大 き さ に は あ ま り関 係 せ

な く と も 同 じ よ う な 形 の 川 な ら,そ

同 じ く ら い に な る こ と が 考 え ら れ る.す が あ り,他

の 川 に も 使 え る 可 能 性 が あ る.こ

が 以 下 の 次 元(dimension)の   一 般 に,あ を,そ

な わ ち,こ

の 形 で な ら,多

少 と も一 般 性

の よ うな 実 験 値 の 整 理 に 有 用 な も の

概 念 で あ る.

る 物 理 量 の 単 位 が 基 本 単 位 か ら ど の よ う に 組 み 立 て られ て い る か

の 量 の 次 元 と い う.た

時 間 Ｔ と す る と,速   そ の と き,現

れ らの値 は大 体 にお い て

と え ば,力

学 系 の 基 本 単 位 を,長

度 の 次 元 は[LT-1]と

さ Ｌ,質

量 Ｍ,

表 せ る.

象 を 表 す 式 の 各 項 の 次 元 は 同 じ で な け れ ば な ら な い.た

上 の 式y = a  + bx  + cx2で,ｙ

は 速 度 で,そ

の 次 元[y]  = [LT-1],し

と え ば,

た が っ て,

ａ,bx,cx2は い ず れ も速 度 の 次 元 を も ち,ｘ の 次 元 は[Ｌ]で あ る か ら[b] = [T-1],[c]  =  [L-1T-1]で

な け れ ば な らな い.

  こ の こ と を 利 用 す る と,あ

る現 象 に主 た る影 響 を与 え る量 の 間 の関 係 を求 め る

こ と が で き る.た

振 子 の 場 合,そ

と え ば,単

度 ｇ に 主 に 関 係 す る と す る と,[周 か ら,周

期=lxgyと

の 周 期 は 振 子 の 長 さ ｌと 重 力 の 加 速

期]=[T],[ｌ] 

= [L],[g]  = [LT-2]で

す る と 両 辺 の 次 元 は 等 し い か ら,x+y  = 0,-2y 

れ か らx = -y = -1/2と

な り,

          周 期  = c(l/g)1/2, 

ｃ:定 数

あ る

= 1で,こ

が 得 ら れ る.こ

こ で,ｃ の 次 元 は な い,す

な わ ち,ｃ は 無 次 元 数 で あ る.し

ｃは 現 象 を 決 め る 量 ｌ,ｇに 無 関 係 の は ず だ か ら,ど て,特

か も,

ん な 単 振 子 で も 同 じ値 で あ っ

定 の 単振 子 に つ い て の実 験 値 に よっ て 決 め る こ とが で き る こ とに な る.

  深 さ Ｈ を用 い て 表 し た 水 深 と 流 速 の 式:

の 各 項 は 無 次 元 で あ り,ま

た,係

数 Ｂ,Ｃ も 無 次 元 量 で あ る .し

現 象 を 支 配 す る 主 な 量 が ａ,Ｈ で あ り,か

つ,流

て ２次 式 で 表 さ れ る よ う な も の で あ れ ば,Ｂ,Ｃ 一 定 の は ず であ る

.特

た が っ て,こ

の

速 と深 さ との 関係 が大 体 に お い の 値 は 個 々 の 川 に よ ら ず,大

体

定 の 川 に つ い て の デ ー タ か ら 一 般 的 な 公 式 が 得 られ る こ と

に な る.   一 般 に,物

理 的 量y,x1,…,xnの

間に

          y=f(x1,…,Xn) の よ う な 関 係 が あ れ ば,両 な 構 造 を も ち,そ

辺 は 同 じ次 元 を もつ か ら,そ

のた めに は 関 数 ｆは特 別

の た め 上 の 関 係 は 適 当 な 無 次 元 量 π,π1,…,πm(m＜n)を

用い

て           π=F(π1,…,πm) と い う無 次 元 表 現 で 表 せ る(パ   こ の こ と は,単

に 実 験 値 の整 理 お よ び一 般 的 な 適 用 範 囲 を もつ実 験 式 の設 定 に

役 に 立 つ の み な らず,理

8.4 

イ 定 理).

論 的 研 究 に お い て も き わ め て 有 効 で あ る.

基 礎 方 程 式

(１) 基 礎 方 程 式 と は   多 くの 現 象,と し て い る,す

く に 物 理 的 現 象 に つ い て は,法

な わ ち,数

則 そ の もの が す で に数 式 の 形 を

学 化 さ れ て い る も の が 多 い.そ

式 と い わ れ る も の が あ る.こ

れ も,そ

の うち,と

くに基 礎 方 程

れ ぞれ の現 象 に 対 す る数 学 モ デル の一 種 で

あ る が,そ れ は 根 本 的 に原 理 そ の もの が 方程 式 で表 され てい る こ とが 多 く,広 い 適 用 範 囲 を もつ こ とが特 徴 であ る.た び た び 引 き合 いに 出す ニ ュー トンの運 動 方 程 式 は そ のひ とつ の 典 型 で あ り,こ れ は 光 の 速 さ ほ ど速 い 運動(相 対 性理 論 の範 囲)や 原子 や 電 子 の 運 動 の よ うな 小 さい もの の運 動(量 子 力 学 の 範 囲)な ど を除 い た 力学 現 象 一 般 に適 用 され る.   こ の よ うな 方 程 式 は,電 磁 現 象 に 対 して の マ ク ス ウ ェル の 方 程 式,量 子 現 象 に 対 しての シ ュ レー デ ィ ンガ ーの 方 程 式 な どき わ め て原 理 的 な もの か ら,熱 伝導 現 象 に対 す る熱 伝 導 の方 程 式,拡 散 現 象 に 対 す る拡散 方 程 式,集 団 生 物 学 の 生長 方 程 式 な ど枚 挙 に い とま が な い.た か,同

だ し,こ れ らの うち の 相 当 数 は 数 学 的 に 同 じ

じ種 類 の式 で あ る こ とが多 い.た

とえ ば,上 記 の熱 伝 導 と拡 散 の 方 程式 は

数学 的 に は 同 じ もの で あ る.し た が って,あ

る種 類 の現 象 に対 す る基 礎 方 程式 に

つ い て の研 究 が他 の多 くの現 象 の解 明に 役 立 つ こ とに な る.極 端 な例 では,静 電 場,静 磁 場,完 全 流 体 の定 常 流,定 常 熱 伝 導,定 常 拡散 場,定 常 電 流 場,弾 性 板 の 変形,重

力 ポテ ンシ ャ ル な どが,い ず れ も同 じラ プ ラ ス の方 程 式,す

なわ ち (8.1)

で記 述 され る.   基礎 方 程 式 は 多 かれ 少 な かれ 現 象 を一 般 的 に 記 述 して い る の で,そ の特 定 の 様 相 の モ デ ル化 に は そ の特 殊 化 が必 要 で あ る.換 言 す れ ば,一 般 的 に基 礎 方 程 式 で 記 述 され て い る現 象 の 数学 モ デ ル を構 成 す る こ とは,そ の基 礎 方 程 式 をそ の 特 定 の 場 合 に対 して い か に 特殊 化す るか とい うこ とに 帰 着 す る.   以 下,基 礎 方 程 式 の 典型 的 な例 の い くつ か と,特 定 の 現 象 に対 して の特 殊 化 が い か に 行 われ るか につ い て 述 べ る. (２) 基 礎 方 程 式 の例 (ａ) 質 点 の運 動 方 程 式  力 Ｆ を受 け る 質 量 ｍ の質 点 の 運 動 は,そ の位 置 ｒ を時 間 ｔの 関 数 と して 求 め るた めの常 微 分方 程式:

(8.2) に よ っ て 定 め られ る.こ

の 式 は,大

き さ の あ る 物 体 の 場 合 で も,そ

の 重 心 の運 動

に 対 して 同 じ よ う に 用 い ら れ る.   (ｂ)  弾 性 体 の 方 程 式   密 度 ρ0の 弾 性 体 が 外 力(単

位 質 量 あ た り)ｆ を 受 け,そ

の 時 間 ｔの と き の 変 位 が ｓで あ る と き,s(x,y,z,t)は

の 任 意 の 点(ｘ,ｙ,ｚ)で

方 程 式:

(8.3)* で 与 え られ る.た   こ の 式 は,本

だ し,λ,μ は 弾 性 体 の ラ ー メ 定 数 で あ る. 質 的 に ニ ュ ー ト ン の 運 動 の 法 則(質

微 小 部 分 に 適 用 し た も の で,そ

量 × 加 速 度 ＝ 力)を

の 右 辺 は 力 に あ た る が,と

弾性体の

く に そ の 第 １,２項 は,

そ の 部 分 に 対 す る ま わ りの 媒 質 か ら の 力 を 表 す.   (ｃ)  流 体 運 動 の オ イ ラ ー 式   粘 性 の 影 響 を無 視 し た 流 体 の 運 動 は,そ き,そ

の 速 度ｖ,圧

力 ｐ,密 度 ρ は,場

の 各 点 に お い て 働 く 力 を ｆと した と

所(ｘ,ｙ,ｚ)お よ び 時 間 ｔの 関 数 と し て 次 の

方 程 式 系 に よ っ て 定 め ら れ る.

(8.4)

*  ベ ク トル 場 の 演 算 記 号     (ｘ,ｙ,ｚ)の 関 数〓(x,y,z)(ス ル,そ

の 成 分 をAx(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)と

カ ラ ー),A(x,y,z)(ベ

す る)に

ク ト

対 す る演 算 を以下 の よ う

に 書 く.

こ れ ら は,記

述 を 簡 単 に す る だ け で な く,場

す な わ ち,gradは は 回 転,に

場 の そ の 点 で の 勾 配,divは

そ れ ぞ れ 関 係 し て い る.

の物 理 的 内容 の 直 観 的 把 握 に 有 用 で あ る. 出 て い く 量,ま

たrot(あ

る い は,curl)

(8.5) p=f(ρ) こ こ で,f(ρ)は

流 体 の 性 質 に よ っ て 決 ま る 関 数 で,た

と え ば断 熱 気 体 の とき

f(ρ)㏄ ργ  (γ:比 熱 の 比) と な る.さ

て,式(8.4)は

物 質 の 連 続 性,し

さ く な る こ と を 意 味 す る.一

た が っ て物 質 が 出 た だ け 密 度 が小

方,式(8.5)は,上

の 式(8.3)と

同 じ く,ニ

ュー

ト ン の 運 動 法 則 に 対 応 す る. (ｄ)  マ ク ス ウ ェル の 方 程 式   電 磁 場 で,電

場 を Ｅ,磁 場 を Ｈ,電

電 流 密 度 を ｉとす る と,そ

束 密 度 を Ｄ,磁 束 密 度 を

Ｂ,電 荷 密 度 を ρ,

れ らは 一 般 に は(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)の関 数 で 以 下 の 方 程 式 系 を

満 足 す る.

た だ し, 

div D=ρ

(8.6)

div B=0

(8.7)

rot E=-B

(8.8)

rot H=i+D

(8.9)

は 時 間 微 分 ∂/∂tを表 す.

  こ こ で,式(8.6)は,任 式(8.7)は

意 の 場 所 で の 電 荷 量 だ け 電 束 密 度 が 出 て い く こ と を,

磁 荷 密 度 が な い こ と を表 す.式(8.8)は

磁 束 密 度 が 変 化 す る と電 場

が 生 じ る と い う フ ァ ラ デ ー の 電 磁 誘 導 の 法 則 を,ま

た,式(8.9)は

電 流が ある

と磁 場 が 生 じ る と い う ア ン ペ ア の 電 流 の 磁 気 作 用 の 法 則 に 変 位 電 流 Ｄ を 付 け 加 え,そ

れ ぞ れ 微 分 形 で 表 し た も の で あ る.

  な お,ρ え て,物

は 与 え ら れ た も の と し て,Ｅ,Ｄ,Ｈ,Ｂ,ｉ

が 定 ま る た め に は,上

質 に よ っ て 決 ま る 付 加 条 件 が 必 要 で あ る.一

様 で 等 方 な 物 質 で は,普

それ は D=εE, 

  B=μH, 

こ こ で,ε は 電 媒 定 数,μ

  i=σE

は 透 磁 率,σ

式 に加

は 電 気 伝 導 度 で あ る.

通

  (ｅ)  シ ュ レー デ ィ ン ガ ー の 波 動 方 程 式   V(x,y,z)で

与 え られ る 力 の 場 の 中 で 運 動 す る 物 質 ｍ の 粒 子 の 状 態 は,そ

動 関 数 ψ(x,y,z,t)に

の波

対 す る 式:

(8.10) で 与 え られ る.こ

こ で,2πh=h,h:プ

ラ ン ク の 定 数,で

あ る.

  こ れ が 量 子 力 学 の 基 本 法 則 を 与 え る.   (ｆ) 熱 伝 導 の 方 程 式   一 様 な 固 体 中 で の 熱 の 伝 導 に よ る温 度 Ｔ の 分 布 は,T(x,y,z,t)に

対 す る方 程

式: ∂T /∂ t=γ

で 表 せ る.こ

こ で,γ

  こ の 式 は,熱

(8.11)

△T

は 温 度 伝 導 率 で あ る.

の 移 動 す る量 ｑ は そ の 点 で の 温 度 勾 配grad  Tに

比 例 す る,す

な

わ ち, q=-k･grad 

T  (k＞0:熱

伝 導 率)

と い う熱 伝 導 の 法 則 と,熱 が流 れ 込 ん だ だ けそ この 温 度 は 上 が る,す な わ ち   ρc∂T/ ∂t+div 

(ρ:密

q=O

と を 組 み 合 わ せ,k/ρc=γ

度,c:比

熱)

と す る こ と に よ っ て 得 ら れ る.

  (ｇ)  気 体 の 拡 散 の 方 程 式 気 体 の 濃 度C(x,y,z,t)は,拡

散 係 数 を Ｋ と し て,式(8.11)と

∂c/∂t =K△C

同 じ形 の 式:

(8.12)

に よ って 与 え られ る.   (ｈ) 車 の流 れ の方 程 式   あ る道 路 で は どれ だ けの 車が走 れ るの か,車 が急 に ス ピー ドを落 とす と車 の流 れ に どうい う影響 が起 こ るの か,さ

らに は,赤 信 号 の 時 間 は どの く らい に した ら

よ い か,と は,あ

い っ た,い

わ ゆ る車 の 流 れ に つ い て の い ろ い ろ な現 象 の一 次 元 モ デル

る 場 所 ｘ,あ る 時 刻 ｔで の 車 の 速 さ をu(x,t),密

度 を ρ(x,t)と し て

(8.13) と表 せ る.   こ の 式 は,本

質 的 に は 上 の 式(8.4)と

同 じ で あ る.

8.5  基 礎 方 程 式 に基 づ くモデ ル の構 成

  一 般 的 に,基

礎 方 程 式 で 表 せ る よ うな 現 象 の モ デ ル 化 の 要 諦 は,そ

に 特 殊 化 す る か と い う こ と で あ る.そ 面,簡

単 化 し す ぎ(oversimplification)る

れ る こ と に な る.以

下,例

の 際,可 と,考

の式 をいか

能 な 限 り 簡 単 化 す る が,そ

の反

え る様 相 の 本 質 的 な 部 分 が 失 わ

に つ い て 説 明 す る.

  (１)  つ る ま き バ ネ で 吊 る し た お も り の 振 動

  図8-3の

よ うに,お

も り をつ る ま きバ ネ で 吊 る して上 下 に振 動 させ る現 象 を

図8-3 

つ る まき バ ネ で 吊 る したお も りの振 動

考 え る.こ

の と き,お

る だ ろ うが,主 て,現

も り は 横 に も 多 少 は 動 く し,お

に 上 下 運 動 を見 る と い う 目的 に 対 し て これ ら か らの 影 響 は 無 視 し

象 を単 純 化 す る.時

置)を,図

も り 自体 の 横 ゆ れ な ど も あ

刻 ｔに お け る お も りの 位 置(も

の よ う に 下 方 を 正 と し,お

る ｘ座 標 で 表 す.こ

の と き,お

っ と正 確 に は 重 心 の 位

も り が 止 ま っ て い る と き の 位 置 を 原 点 とす

も りの 運 動 は 時 間 ｔの 関 数x(t)に

よ っ て記 述 され

る.   さ て,こ

の 現 象 は 力 学 現 象 で あ る か ら,一

程 式(8.2)に

よ っ て 表 さ れ て い る.し

殊 化 す る こ と が 問 題 で あ る.ま

般 的 に は 前節 の ニ ュー トンの運 動 方

た が っ て,こ

ず,式(8.2)は

れ を現 在 の 現 象 に 対 して 特

ベ ク トル の 式 で あ る か ら,そ

の

ｘ,ｙ,ｚ 成 分 に 対 応 す る ３個 の ス カ ラ ー 式 が あ る が, ｘ方 向 の 運 動 だ け を考 え て い る か ら そ の ｘ成 分 の 式 だ け 用 い,ｘ 方 向 の 力 の 成 分 を Ｘ で 表 す と,

と な る.し

た が っ て,こ

の 場 合,お

モ デ ル 化 の 中 心 課 題 で あ る.そ 張 り上 げ ら れ て い る 力 ｆ の 和,す ッ ク の 法 則 を適 用 す れ ば,バ の 長 さ をl0,お (>0)と

も り に 働 く 力 Ｘ を ど の よ うに 設 定 す る か が

れ は,お

も り の 重 さ Ｗ とバ ネ に よ り上 方 に 引 っ

な わ ちX=W-fで

ネ の 伸 び(あ

あ る.と

る い は 縮 み)に

こ ろ で,ｆ は,フ

比 例 す る。 バ ネ の 本 来

も り が 静 止 し て い る と き の 長 さ を ｌ と す れ ば,バ

ネ 定 数 をk

して

k(l-l0)=W と な る が,お

も りの位 置 が ｘの とき は

k(l+x-l0)=f と な り,し

た が っ てX=W-f=-kxと

な り,こ

れか ら

あ るい は

(8.14)

と な り,こ

の 場 合 の 数 学 モ デ ル が 構 成 さ れ た.

  さ て,こ

の 方 程 式 の 一 般 解 は,Ａ,ε x=Asin(wt+ε)

を 任 意 定 数 と し て,

で 与 え ら れ る.し

た が っ て,x(t)は2π/ω

の周 期 の 単 振 動 を表 して い る こ とに

な る.   と こ ろ で,上 る.し

か し,お

の モ デ ル は お も りの 振 動 と い う 現 象 に 対 し て は 一 応,適

切 であ

も りの 振 動 は 放 置 し て お け ば 次 第 に 振 幅 が 小 さ く な り,つ

いには

止 ま っ て し ま う と い う現 象 に 対 し て は 明 らか に 不 適 当 で,こ

れ に 対 して は 簡 単 化

しす ぎ て い る.   こ の よ う な 現 象 に 対 し て は モ デ ル の 精 密 化 が 必 要 で あ る.そ す る 設 定 を 精 密 化 す る こ と で あ る が,そ

の で あ る.さ し,f1は

て,こ

考 え に 入 れ る.こ

の力は Ｗ や

の 抵 抗f1は

普 通,速

く動 く ほ ど 大 き い.そ

の 関 係 を単 純 化

なわち

と して,

した が っ てc/m=2λ

とお い て

(8.15) を 得 る.   こ の 式 の 一 般 解 は ω と λ の 大 小 関 係 で 違 っ た 形 を と り, (ⅰ)ω>λ

の とき X=Ae-λtsin(σt+ε), 

(ⅱ)ω=λ

(ⅲ)ω<λ

σ=√w2-λ2

の と き x=e-λt(A+Bt), 

B:任

意定 数

の とき x=Ae-β1t+Be-β2t, 

も

動 が 小 さ く な る と い う現 象 の モ デ ル 化 に は 無 視 で き な い

速 さ に 比 例 す る,す

と お く と,Ｘ

Ｆ に対

の た め に は 上 の Ｗ と ｆ に 加 え て,お

りの 運 動 を 止 め る よ う な 力 と し て 空 気 の 抵 抗fiを ｆ に 比 べ て 小 さ い が,振

れ は,力

  β1,β2=λ

± √λ2-ω2

と な る.   さ て,(ⅰ)を 単 振 動 の 式(8.14)と 主 な 違 い はe-λtの 因 子 で,こ で 時 間 ｔと と も に 減 少 し,零

比 較 し て み る と,σ

と ω の 違 い は 別 と し て,

れ に よ っ て 単 振 動 で は 一 定 の 振 幅 Ａ がAe-λtの す な わ ち 静 止 に 近 づ く こ と を示 し て い る.こ

形

の λを

減 衰 率 な ど と い う.   こ の よ う に,(ⅰ)の

場 合 は た し か に 減 衰 す る 振 動 で,こ

対 し適 当 な モ デ ル と な っ て い る.し

か し,も

(ⅲ)の場 合 も 解 と し て 含 ん で い る.こ て 静 止 す る様 子 を表 す.と

こ ろ で,こ

と の 方 程 式(8.15)は,(ⅱ)あ

るいは

れ ら は い ず れ も 振 動 で は な く,単

に減衰 し

れ らの 場 合 は λ≧ ω で λ が 比 較 的 大 き い,

す な わ ち 抵 抗 が 非 常 に 大 き い こ と を 意 味 し,実 振 ら した よ う な 場 合 で あ る.こ ル が,単

れ は求 め て い る現 象 に

の こ と は,あ

に 目的 と す る 現 象 の み な ら ず,そ

際 に は,た

と え ば振 子 を水 の 中 で

る 目的 の た め に つ く られ た 数 学 モ デ れ を越 え て そ れ 以 上 の 理 解 に 役 立 つ こ

と の 例 と な っ て い る.

(２) 雨 滴 の 落 下   雨 滴 は 一 種 の 落 体 で あ る が,そ 比 べ て は る か に 小 さ く,し

か も ほ と ん ど 一 定 の 値 を も つ.こ

を 構 成 し て 調 べ て み よ う.ま 殊 化 し て 得 られ る.力

の 速 さ ｖは 自 由 落 下 の 式gtで

ず,こ

与 え られ る値 に

の こ と を数 学 モ デ ル

れ も 力 学 現 象 で あ っ て,式(8.2)の

の 主 な も の は 重 さ,す

な わ ちmg(ｍ:雨

力 を特

滴 の 質 量)で

ある

が,こ

れ だ け で は 自 由 落 下 の 法 則 に な る.速

さが 無 限 に大 き くな らな い た め に

は,そ

れ を 止 め る 抵 抗 を考 え る 必 要 が あ る.こ

れ を上 と同 じ く 速 さ に 比 例 す る と

す る と,式(8.2)は,ｘ

の 正 の 方 向 を 重 力 の 方 向 と して

ｋ:正 の 定 数

あ るい は dv/dt =g-kv

と な る.こ

れ が,こ

の 場 合 の 数 学 モ デ ル で あ る.さ

て,こ

の 方程 式 の一 般 解 は

v =g/ k+ce-kt, 

で あ る が,初

ｃ:任

意 定 数

期 条 件 と してt=0でv=0と

す る と,c=-mg/kと

なって

v =g/k(1-e-kt)

を 得 る.こ か る.こ

の 式 か らｖ は ｔと と も に 増 大 し,t→

の 一 定 値g/kを

∞ で は一 定 値 に近 づ く こ とが わ

終 端 速 度 と い う.

(３) 板 の た わ み   図8-4の

よ う に,箱

の ふ た の 上 に 何 か 重 い も の を 置 い た と き,ふ

わ む か と い う現 象 を考 え る.ま と,式(8.3)に る と,重

ず,問

題 を 単 純 化 す る た め,板

よ っ て 記 述 さ れ る こ と に な る.そ

こ で,ふ

た は ど うた

は 弾 性 体 とす る

た の 平 面 をxy面

とす

しに よ る 外 力 ｆは ｚ方 向 に 働 き,ｘ,ｙ だ け の 関 数Z(x,y)で

f=(0,0,Z(x,y)) と 表 さ れ る.こ 8=(0,0,w(x,y))と

の と き,変

形8=(u,v,w)も

表 せ る.し

ｚ 方 向 で ｘ,ｙ だ け の 関 数,す

た が っ て,式(8.3)の

図8-4 

板のたわみ

ｚ成 分 だ け が 残 り,ま

な わ ち た

で あ る か ら,こ

の 場 合,式(8.3)は

(8.16) と な る.さ

ら に,ふ

た の ま わ りは 端 の 板 で 支 え ら れ て お り,そ

こ では

(8.17)

w=0 で あ る.し

た が っ て 問 題 は,方

程 式(8.16)の

解 で,境

界 条 件(8.17)を

満足す

る も の を求 め る こ と に 帰 着 さ れ た.   す な わ ち,こ て 簡 単 化,特

の 場 合 の 数 学 モ デ ル は,基

礎 方 程 式(8.3)を,こ

の場 合 に 対 し

殊 化 す る こ と に よ っ て 構 成 さ れ た わ け で あ る.

(４) 平 板 の熱 伝 導   ガ ラ ス 窓 な ど の よ う な 平 板 を通 し て の 熱 の 出 入 り の 問 題 を考 え る.こ 導 の 方 程 式(8.11)に

よ っ て 記 述 され る.ま

は 十 分 大 き い と す る と,そ

ず,平

板 の 平 面 をyz面

の と き,式(8.11)は

と 簡 単 化 さ れ,ま

た,熱

の 移 動 量 ｑは ｘ方 向 だ け,す

なわち

と な る. 常 の 場 合,す

に と り,平

の 端 の 近 く を 除 い て 温 度 Ｔ は ｘ,ｔの み の 関 数T(x,t)

と 設 定 で き る.こ

  と く に,定

れ は 熱伝

な わ ち ∂/∂t=0の

と き は,上

式は

板

とな り T=c1x+c2, 

とな る が,板

  q=(-kc1,0,0)

の 厚 さ を ｌ,板 の 両 面 で の 温 度 をT1, T2,す

T2,  T2>T1,と

な わ ちT(0)=T1, 

T(l)=

す ると

と な る.

8.6 

解 の 存 在, 一 意 性, 安 定 性

(１) モ デ ル の適 切 さ の検 討   前 節 ま で の い くつ か の 例 の よ うに,数 こ の 場 合,そ

の 方 程 式 の 解 を 求 め る こ と が そ の モ デ ル に 対 す る 主 要 な 問 題 とな る

こ と が 普 通 で あ る.そ は,そ

学 モ デ ル は し ば し ば 方 程 式 の 形 を と る.

の と き,方

の 解 が 唯 一 に 存 在 し,か

き る 現 象 を表 し て い る な ら,解 は あ りえ な い.さ

ら に,解

程 式 が 現 象 の モ デ ル と して 適 切 で あ る た め に

つ 安 定 で な け れ ば な ら な い.す が な け れ ば お か し い し,ま

が 安 定 で あ る と は,そ

な わ ち,現

た,そ

実に起

れ は 一 つ 以上 で

の 方 程 式 の 係 数,初

期条件な ど

の い わ ゆ る デ ー タ に 多 少 の 違 い が あ っ て も 解 が あ ま り違 わ な い こ と で あ る が ,こ れ は,現

実 の 問 題 で は 多 くの 場 合 デ ー タ に 相 当 す る もの が そ れ ほ どは っ き り決 ま

っ て い な い で,常

に多 少 の 違 い を含 ん でお り

,し

か も,そ

れ に も か か わ らず,結

果 と し て 起 こ る 現 象 は ほ と ん ど変 わ ら な い こ と が 普 通 で あ る こ と に 対 応 し て い る.   以 下,こ

の こ と を,簡

  い ま,Ａ,Ｂ,Ｃ

単 な,い

の ３人 で の 事 業 の も う け の 配 分 に つ い て,各

は 親 方 で 他 よ り多 く,Ｃ

は 下 働 き で 他 よ り少 な く し て,以

を 用 い る こ と を 考 え る.す 多 く取 り,Ｂ

わ ば 模 型 的 な 例 に つ い て 説 明 し よ う.

下 の よ うな 数 学 モ デ ル

な わ ち,「 Ａ は 他 の ２人 の 取 り分 の 平 均 よ り15万

の は 他 の ２人 の 平 均 値 に 等 し く,Ｃ

万 円 少 な くす る 」 と す る.こ

人 の 働 き に 応 じ, Ａ

円

の は 他 の ２ 人 の 平 均 値 よ り10

の よ う に す れ ば,Ａ,Ｂ,Ｃ

の 取 り分 に 対 し て ３個 の

式 が 成 り立 ち,一

見 こ れ で よ い よ う だ が,実

は こ れ で は 決 ま ら な い.実

際,

Ａ,Ｂ,Ｃ の 取 り分 をそ れ ぞ れ ｘ,ｙ,ｚ 万 円 とす る と

(8.18)

と な る が,こ

の 方 程 式 は 解 を も た な い,そ

れ は,た

と え ば,こ

の ３式 を 加 え る と

x+y+z=x+y+z+5 と な る こ と か ら わ か る.す

な わ ち,こ

の 方 程 式 系 は数 学 モ デ ル と して不 適 切 で あ

る こ と に な る.   そ こ で,別

の や り 方 と して,Ａ,Ｂ

の ２ 人 の 平 均 値 よ り15万

に つ い て は 上 と 同 じ だ が, Ｃ に つ い て は 他

円 少 な い とす る と,上

式 で ｚに つ い て の 式 が

z=(1/2)・(x+y)-15

と な る.こ

の と き,こ

れ ら の ３式 を満 足 す る ｘ,ｙ,ｚ の 値 は 存 在 す る が,そ

数 に あ る.す

な わ ち,一

  そ こ で,ま

た 別 の や り方 で,Ｃ

か に 少 な め に して,そ

れは無

意 で は な い,

の99%と

の 取 り分 を 他 の ２人 の 取 り分 の 平 均 値 よ りわ ず す る,と

す れ ば ど う で あ ろ う か.こ

の とき

(8.19)

で あ る が,こ

の 式 の 解 は 一 意 に 存 在 す る.す x=1505万

と な る.し

円, 

か し,こ

y=1495万

円, 

なわち z=1485万

円

の 系 は 次 の よ う な 意 味 で 不 安 定 で あ る.す

分 を 他 の ２ 人 の 平 均 値 よ り わ ず か に 少 な め に す る た め に,一 で,こ

の 数 が た と え ば98%で

わ け で あ る が,こ

と な る.あ

る い は,も

円, 

の取 り

応99%と

した の

も 結 果 に は 大 し た 違 い が な い よ うで な け れ ば 困 る

れ が 大 き く違 っ て く る の で あ る.実

x=755万

な わ ち,Ｃ

y=745万

円, 

z=735万

際,98%と 円

っ と一 般 に ａ を 小 さ な 正 数 と し て,

す る と,

(8.20) と お く と,

と な っ て,ａ

が 小 さ い と き,そ

の わ ず か な 違 い で 解 が 大 き く違 う,す

な わ ち,不

安 定 で あ る こ と が わ か る.   こ の 場 合,た

と え ば,第

万 円 と等 しい と す る.す

三 の 式 と し て,各

人 の 取 り分 の 和 が も う け の 全 体 Ａ

なわ ち

x=(1/2)･(y+z)+15 y=(1/2)･(z+x)

(8.21)

x+y+z=A とす る と,こ 実 際,こ

の 系 の 解 は 一 意 に 存 在 し,安

定 で あ る.

の式の解は x=10+A/3, 

y=A/3, 

z=-10+A/3

と 一 意 に 与 え られ る.さ

ら に,各

項 の 係 数 な ど が 多 少 違 っ て も,そ

違 い は わ ず か で あ る.た

と え ば,第

れ に よ る解 の

三の式 を

(1-a)(x+y)+z=A と す る と,そ

の解 は

と や や 複 雑 な 形 に な る が,ａ

が 小 さ け れ ば,こ

ほ と ん ど違 わ な い こ と は す ぐ確 か め ら れ る.

そ の他,第 二 の 式 を y=(1/2)･(1+a)(z+x) と変 え る な ど して も事 情 は 同 じで あ る.

のx,y,zの

値 は 上 のx,y,zの

値 と

(２) 微 分 方 程 式 にお け る検討   同 じ よ う な こ と は,微   例 と し て,あ に,そ

分 方 程 式 な ど 他 の 形 の 方 程 式 で も 起 こ る.

る 量 Ｗ が 時 間 ｔと と も に 減 少 す る 様 子 を モ デ ル 化 し て 調 べ る の

の 減 少 の 割 合(dW/dt)は d

W

Ｗ に 比 例 し, ｔに 逆 比 例 し て い る事 実 を用 い,

k＞0:比

/dt=-kW/t′

例定数

W(0)=W0 と し て,こ

れ を 満 足 す るW(t)を

  し か し,こ

求 め る こ と を 考 え る.

の 微 分 方 程 式 の 一般 解 は変 数 分 離 法 に よ り

すなわち Wtk=ec(=c′:任

と な る か ら,こ て,こ

意 定 数)

の 任 意 定 数 を ど う選 ん で もW(0)=W0と

は で き な い.し

たが っ

の モ デ ル の 解 は 存 在 し な い こ と に な る.

  こ の と き,ｔ で な く,あ

るT(＞0)が

あ っ て, T+tに

反 比 例 す る とす れ ば,方

程式 は

dW /dt=-kW/T+t で,そ

の一般解 は W(T+t)k=c′

で あ る か ら,c′=W0Tkと 外 に は な い か ら,一

す る とW(0)=W0の

条 件 が 満 足 さ れ,し

意 の 解 が 存 在 す る こ と に な る.こ

の と き,解

か もこ れ 以

Ｗ は

W=W0(T/+t)k T と 表 せ る.   こ の 解 は,Ｔ

が 小 さ い と,そ

の 変 化 に 対 し て 大 き く変 わ っ て 不 安 定 で あ る.

しか し,Ｔ

が 十 分 に 大 き い と,そ

の 小 さ な 変 化 に 対 し て 解 は あ ま り変 化 しな い,

す な わ ち 安 定 で あ る.

問

  (１)数

学 モ デ ル 構 成 の 実 際 に つ き,例

  (２)数

式 モ デ ル の 例 を 考 え よ.

  (３)真

冬 の 寒 い 夜,60℃

め れ ば よ い か.現   (４)本

８

に よ っ て 説 明 せ よ.

く ら い に 沸 い た 風 呂 の 湯 に 入 る に は,水

象 を 単 純 化 し て,数

を どの く らい の 量 う

学 モ デ ル を つ く っ て 考 え よ.

章 の 労 働 時 間 と生 産 の 例 で,そ

き の 生 産 数 がy=8.2で

題

こ で の デ ー タ に 加 え て,１

週30時

間の労働の と

あ っ た と し て,ａ,ｂ,ｃ の 値 を 最 小 二 乗 法 を 用 い て 定 め よ.  (答

a=-20.8,b=1.60,c=-0.021)   (５)エ

ネ ル ギ ー Ｅ が 質 量 ｍ と 運 動 量 ｐ で 組 み 立 て ら れ て い る と し て,Ｅ,ｍ,ｐ

係 式 を元 を利 用 し て 求 め よ,(答   (６)あ

る 場 所 で ３相115kVの

用 を 加 え た も の で あ る.一 ろ で,送

送 電 線 の 費 用 は,120万

方,送

ドル と 電 線 の 太 さ に 比 例 す る 費

電 に は 電 線 の 太 さ に 反 比 例 す る 電 力 の 損 失 が 出 る.と

電 線 の 太 さ が477000(ミ

は3200kWで

の間の関

  E=c・p2/m)

ル)の

場 合,送

電 線 の 費 用 は140万

ドル,そ

こ

の送電損失

あ っ た と い う.

  送 電 の 全 費 用 は,送 電 線 の 太 さ(ミ

ル)を

  3.52×105ミ

ル)

  (７)x=0,0.5,1に

電 線 の 費 用 と 送 電 損 失 の 和 で あ る が,こ 求 め よ.た

だ し,送

れ が 最 も小 さ くな る よ うな

電 に よ る損 失 は １kWあ

対 す る ｙ の 値 が0.9,0.1,-1.2の

と き,y=a+bxを

た り34ド

ル と す る.(答

最小二乗 法に よっ

て 定 め よ.(答y=0.983-2.1x)   (８)x=0,1,2の   (９)以

と き,y=-1.1,0.2,0.9の

場 合 は ど う か.

下 を 計 算 せ よ.

    (ａ) grad(1/γ),    r=√x2+y2+z2     (ｂ) div・grad(1/γ)     (ｃ) rot・grad〓(x,y,z)   (10) 式(8.5)に

お い て,ｖ,ｆ の ｘ,ｙ,ｇ成 分 を そ れ ぞ れ(ｕ,ｖ,ｗ),(fx,fy,fz)と

成 分 の 式 を か け.   (11)E=(Ex,Ey,Ez),      (ａ)式(8.6)を

H=(Hx,Hy,Hz),… 成 分 で 表 せ.

と して

し て, ｘ,ｙ,ｚ

    (ｂ)式(8.8)の

ｘ成 分 の 式 を 書 け.

    (ｃ)式(8.9)の

ｚ成 分 の 式 を 書 け.

  (12) 式(8.13)と

式(8.4)と

の 対 応 に つ い て 書 け.

  (13) 弾 性 体 の 方 程 式(8.3)で,f=0,s=(u,0,0)でu=u(x,t)の を 求 め よ.(答   (14) 式(8.1)で

の 満 足 す る式

ｕ が ｚに 無 関 係 の と き の 式 を書 け.

  (15)式(8.9)で

変 数 がy,zに

  (16)式(8.15)の

無 関 係 な 場 合 を 書 け.

解(ｉ)を 確 か め よ.

  (17) 落 体 の 抵 抗 が,そ

の 速 さ の1.2乗

  (18) 上 述 の も う け の 分 配 の 例 で,第 た 場 合,a=0とa=0.01と   (19) 方 程 式d2y/dx2+y=0の 在,一

と き,ｕ

  utt=(λ+2μ)/ρ0･uxx)

意 性 を考 え よ.

に 比 例 す る と き の 数 学 モ デ ル を つ くれ. 三 の 式 を(1-a)(x+y)+z=A, 

A=100万

円,と

の 答 の 差 を 求 め よ. 解 で,条

件y(0)=y(π)=0を

満 足 す る も の に つ い て,存

し

９. 数 学 モデル による現 象 の解 明,近 似 解 法

  数 学 化 され た 現 象 の 解 明 は,そ の 数学 モ デ ル に基 づ き,数 学 を用 い て行 うこ と が で き る.こ れ が数 理 科 学 の 著 しい 効 用 で あ り,そ の 眼 目の ひ とつ で あ るこ とは 再 三 述 べ た とお りで あ る.

9.1 

現

象 の 解 明

  そ の 際,注 意 す べ き こ とは,ま ず,数 学 モ デ ル は あ くま で現 象 の あ る様 相 に つ い て の モ デ ル で あ っ て,現 象 そ の もの では ない こ と であ る.し た がっ て,そ れ に よ る現 象 の 解 明 もそ の様 相 につ い て で あ っ て,そ れ を逸 脱 して は意 味 を失 う.こ の こ とは,そ れ 自体 は 自明の こ と で あ る が,実 際 と して,し ば しば起 こ りがち で あ る.た とえ ば,振 子 の現 象 を単 振 動 の 式 でモ デル 化 した とす る.そ の と き,こ の モ デ ル は 振 子 の 小振 動 の等 時 性 とい った 現 象 につ い て は適 切 な モデ ル とな っ て い るが,別 の様 相,た

とえ ば振 らせ てお くと次 第 に 振 幅 が 小 さ くな って つ い に は

静 止 して しま う,と い っ た現 象 の 解 明 につ い て は,単 振動 モ デル では 振 幅 は 一 定 で あ るか ら全 く役 に立 た な い.   次 に,上 の こ とに あ る意 味 で関 連 してい るの で あ るが,数 学 モ デル を構 成 す る 数 学表 現 は 数学 そ の もの で な く,そ の 適 用 範 囲 に制 限 が あ る こ とであ る.た と え ば気 体 の ボイ ル ーシ ャ ル ル の 法 則 の 数 式 表 現 であ るpV=RTに

つ い て も,た と え

ば そ の温 度 Ｔ の値 が 小 さい と実 際 上 そ の 物 質 は 気 体 では な くな るの で,そ れ 以 下 の 温 度 では 成 り立 た な い こ とに な る.こ の こ と は,数 学 モ デル に対 して 数 学 を 用 い る場 合 に,絶 え ず心 に と どめ てお か な けれ ば な らな い こ とで あ る.   この よ うに,数 理 科学 にお け る数 学 の利 用 は,純 粋 な 数 学 的 な展 開 とは異 な っ

て くる こ と が多 い.換 言 す れ ば,そ れ は 「数 理 科 学 の 方 法 」と で もい うべ き,そ れ 自身 の固 有 の 方 法 であ る と考 えた 方 が 妥 当 で あ る とい え る.そ の方 法 の骨 子 は 考 え て い る現 象 に即 して 数 学 を用 い る こ とで あ る が,そ の 実 際 につ い て は個 々の 問 題 に 応 じて の 対 応 が要 求 され る.そ れ に は,そ の 現 象 につ い て の 知 見 に 加 え て,そ の た めの経 験 と洞 察 を必 要 とす る.   この よ うな 方法 の うち と くに重 要 な の が,近 似 の考 え方 であ る.そ れ は 簡単 化 とい っ て もよ い と思 うが,あ ち Ａ〓Ｂ に 対 して,Ａ

る数 学 モ デ ル Ａ か ら適 当 な結 果 Ｂ を導 く,す な わ

が複 雑 す ぎ るの で これ を簡 単 化 してA′ と し,そ れ か ら Ｂ

に対 応す るB′ を導 くわ け で あ る.  例 と して,モ デ ル Ａ が A:KnXn+yn=0

ただ し Kn=(ki,j),

Xn=(xi),

で 表 さ れ て い る とす る(た

yn=(yi) 

と え ば,計

(i,j=1,…,n)

量 経 済 モ デ ル).

  こ の 数 学 モ デ ル Ａ か ら 結 論 Ｂ を 導 く た め の 数 学 は,行 る.た

と え ば,ベ

れ ば,そ

ク トルynが

れ はKn-1の

与 え られ て い てXnを

計 算 が 必 要 と な る.と

ｎ は 非 常 に 大 き な 値 で あ る と す る と,こ な る.そ て,数

こ で 考 え ら れ る こ と は,結

列Knの

計 算 が 主 とな

求 め る こ と が 問 題 で あ る とす

こ ろ で,実

際のモデルで理想的には

の よ う な 計 算 は 困 難 か ほ と ん ど不 可 能 と

果 に あ ま り影 響 が な い と思 わ れ る 量 を 除 い

ｎ を で き る だ け 少 な く し て 計 算 で き る よ う に す る こ と で あ ろ う.こ

う な 簡 単 化 に よ っ て,Ａ な る.こ

は ｎ よ り小 さ なn′ を も つA′ に よ っ て 近 似 さ れ た こ と に

のA′ に お け る行 列Kn′ はKnよ

算 で き る こ と に な る.そ れ た こ と に な る.こ

の よ

の 結 果 は,も

の と き,も

り小 さ い の で,た と のKn-1と

と え ば そ のKn′-1は

は 違 う,す

計

な わ ちB′ が 導 か

と の Ｂ とB′ と が あ ま り違 っ て は な ら な い こ と が

必 要 で あ る.   こ の よ う に 近 似 を行 う こ と は,数 に,数

学 モ デ ル を 扱 う上 で 一 般 的 に 行 わ れ る.と

学 モ デ ル が 方 程 式 の 形 で あ る と き,そ

な 分 野 を 占 め る.以

下,例

く

れ は 近 似 解 法 と して 応 用 数 学 の 大 き

に つ い て 考 え よ う.

  ま ず,簡

単 な 例 と して,単

振 子 の 場 合 に つ い て 考 え て み る.単

ｌ,時 刻 ｔに お け る振 子 の 角 度 を θ(θ≡ θ(t))と す る と(図9-1),そ

振子の長 さを の運動は角運

動 量 の 法 則 ホを 用 い て

図9-1 

単振子

*  角 運 動 量 の 法 則 ：力 Ｆ の 下 で 運 動 す る 質 量 ｍ の 質 点 の 角 運 動 量 Ｍ の 時 間 変 化 の 割 合 は 力 の 能 率 Ｎ に 等 し い.す た だ し,γ

な わ ちdM/dt=Nで

は 質 点 の 位 置 ベ ク トル,す

と す る ベ ク トル,ｐ

は 質 点 の 運 動 量,す

  こ の 法 則 は ニ ュ-ト

か ら導 け る.す な わ ち

こ で,v×v=0を

  と こ ろ で,振

子 の 場 合,

M=lmv=lml(dθ/dt) N=-lsinθ･mg

で上 の 結 果 を得 る.

用 い た.

こ で, M=γ

×P,N=r×F,

点 の ｘ,ｙ,ｚ座 標 をそ れ ぞ れ ｘ,ｙ,ｚ成 分

な わ ちp=mv,ｖ:質

ン の 運 動 方 程 式(8.2)

あるいは

で あ る.こ

な わ ち,質

あ る.こ

点 の 速 度,で

あ る.

d2

(9.1)

θ/dt2+g/lsinθ=0

に よ っ て 表 せ る.   と こ ろ で,式(9.1)の

解 は 簡 単 な 形 で は 求 ま ら な い.そ

る か ら で,も

し こ の 項 が θに 比 例 す る 形 を し て い れ ば,式

式 と な り,そ

の 解 は 簡 単 な 形 で 表 せ る こ と に な る.

  さ て,sinθ

の 値 は,図9-2か

値 と変 わ ら な い の で,そ sinθ

ら わ か る よ う に,θ

れ は,sinθ

の項 が あ

は(8.14)の

単振 動 の

が 小 さい と き ほ と ん ど θの

こでは

≒ θ

と 近 似 で き る.事 実,θ が そ れ ほ ど小 さ くな い 場 合 の θ=30ﾟす で もsin(π/6)=0.5で

あ っ て,そ

な わ ち θ=π/6=0.523

れ ほ ど違 わ な い こ と が わ か る.

図9-2 

sinθ

と θ

こ の と き,式(9.1)は d2 θ/dt2+g/lθ=0 と 近 似 で き,し

た が っ て そ の 解 は 式(8.14)の

θ=Asin(√g/l･t+ε), Ａ,ε:任

場 合 と同様 に 意 定 数

と単 振 動 の 式 で与 え られ る.   この 例 の よ うに,近 似 に あ た っ て は単 に数 学 的 に簡 単 な 形 に す る だ け でな く, 現 象 的 に 見 て,そ の 本 質 を簡 明 に表 現す る よ うにす る.こ の例 の場 合 で は,単 振 動 で表 現 す る こ とに あ た る.

  この こ とに 関 連 して,近 似 とい う と何 か 不 精 確 な こ と を して い るよ うな 感 じ を も ちが ち だが,実 は そ うでは な い とい うこ と を強 調 した い.そ れ は,ま ず 基 に な っ て い る式 自 体 が 精 確 な もの で は な い.上 の 例 で い え ば,振 子 の 糸 の 質 量 や 弾 性,空 気 の 抵 抗 な ど,ほ と ん ど無 限 ともい え る多 くの 影 響 を小 さい と して 無 視 し て 理 想 化 して い る.さ

らに は もっ と根 本 的 に,ニ ュ ー トンの 方程 式 な どの 科学 の

法 則 そ の もの が現 象 の 理 想 化 され た モ デル であ り,そ の 意 味 で現 象 に対 す る近 似 であ る.し た が っ て,上 の よ うな 近似 をす る とい うこ とは,あ

る特 定 の場 合,上

の 振 子 の 例 でい え ば小 振 幅 の 場 合,に つ い て,そ れ に 適 した 簡単 化 され た モ デ ル をつ くって い る と い う意 味 が あ るわ け で あ る.

9.2 

近 似 解 法 の い ろい ろ

  近 似 は,上 の 例 の よ うに 個 々の 問題 に応 じて 工 夫 され て きた もの で あ る が,そ れ らの 方 法 は 大 体 に お い て い くつ か の形 に 分 類,整 は,形

式 的 に は,ａ)解

理 す る こ とが で き る.そ れ

析 的 方 法, ｂ)数 値 的 方 法, ｃ)図 式 方 法,に 分 け られ

よ う.   まず,ｃ)の

図式 方 法 は,代 数 方 程 式 の 根 の 大 体 の 見 当 をつ け るの に グ ラ フ を

描 い てみ る とか,定 積 分 の 大 体 の 値 を求 め るの に,こ れ も グ ラ フ を描 い てそ の 面 積 を見 積 も る とか,精 密 では な い が便 利 な の で,実 際 上 は 予 備 的 な結 果 を 出す た め な どに よ く使 わ れ る.次 に,ａ)の

方 法 は,式 な どを何 らか の方 法 で解 析 的 な

形 の 解 が 求 ま る よ うに近 似 す る.上 の単 振 子 は そ の 簡 単 な 例 であ るが,か つ て は この 方 法 が 近 似 解 法 の 主 力 で あ っ た のみ な らず,「 応 用 数 学 」の 大部 分 は 実 質 的 に は この 方 法 の 展 開 で あ った.し か し,主 と して 電 算 機 の 発 達 と相 ま っ て,現 在 は む しろ ｂ)の 数 値 的 方 法 が そ の 主 力 とな って い る.   この 方 法 は 解 析 的 方 法 に 比 べ て は るか に一 般 的 で,そ の 適 用 の 範 囲 が広 いの が 大 きな 利 点 と な っ てい る.た だ,そ の適 用 に あた っ ては 個 別 的 な 条件 を設 定 しな れ け ばな らな い の で,一 般 的 性 質 を見 い 出す とい った こ とに は 不 向 きで,そ の 点 では 解 析 的 方 法 に 大 い に利 点 が あ る.た とえ ば,上 の単 振 子 の 例 で も,こ れ は常

微 分 方 程 式(9.1)の か ら 出 発 し て,数 と 係 数g/lに

解 を 求 め る 問 題 で あ る か ら,た 値 的 に 求 あ る こ と が で き る.し

か し,そ

い っ た 問 題 に 対 し て は,機

械 的,自

析 的 近 似 法 で は,た

を用 い れ ば,そ

θ,dθ/dtの 値

の 際,こ

対 し て 具 体 的 な 数 値 を 与 え な け れ ば な らな い.し

は そ れ ら の 値 に 対 し て は わ か る が,こ

方,解

と え ばt=0の

れ らの 出発 値

た が っ て,こ

の解

れ ら 値 の 変 化 に 対 し て 解 が ど うな る の か と

動 的 に 答 が 出 る と い う よ う に は な らな い.一

と え ば 上 述 の よ う にsinθ ≒ θ と 式 を 簡 単 化 す る 近 似

の 近 似 解 か ら,上

の よ うな 問 題 に 対 し て は,た

とえ ば振 子 の 周期

は 振 幅 に 無 関 係 に 一 定(「 振 子 の 等 時 性 」)と い っ た 「法 則 」が た だ ち に 得 られ る こ と に な る.   さ て,こ

の よ う な 近 似 解 法 の 種 類 は 多 く あ り,そ

れ ら は 千 差 万 別 で あ る が,そ

れ らの 名前 をあ げ れ ば     線 型 化,ニ ン,レ

ュ ー ト ン 法,逐

ー リ-リ

ッ ツ 法,ガ

次 近 似 法,摂

動 法,等

レ ル キ ン 法,定

価 正 弦 波 法,コ

差 法,有

ロケ ー シ ョ

限 要 素 法,WKB法,

ル ン ゲ ーク ッ タ 法,… と 限 りな い.し   以 下,こ

か も,こ

れ ら は,内

容 的 に は 一 部,重

複 し て い る もの も多 い.

の よ う な 方 法 の う ち 代 表 的 な も の の い くつ か に つ い て 簡 単 に 説 明 し た

い.

(１) 線  型  化   方 程 式 な どで,小

さい あ るい は小 さい と思 わ れ る項 を無 視 して簡 略 化 し,結 果

と し て線 型 に す るな ど,解 析 的 に 取 り扱 い や す い形 にす る.こ れ は 一 番 簡 単 だ が,解 析 的 方 法 と して は 最 も多 く使 われ る基 本 的 な 方 法 であ る.こ の場 合,解 析 的 に取 り扱 い や す い形 に すれ ば よ いの で,と

くに 線 型 に す る必要 もない が,事 実

上 は これ が 普 通 で あ る.   簡 単 な例 と して,方 程 式: ay/ dx+y+εxy2=1, 

の 解y(x),x>0を

y(0)=1(ε

求 め る 問 題 を考 え る.こ

：定 数)

(9.2)

の 方 程 式 は 求 積 法 で は 解 け な い が,ε

の 値 が 小 さ い と き は εxy2の 項 は 他 の 項 に 比 べ て 小 さ い と 思 わ れ る の で,こ を無 視 す る と,式

と簡 単 化(線

の項

は

型 化)さ

れ,こ

の 式 の 一 般 解 はy=ce-x, 

れ に 条 件y(0)=1を

用 い てc=1,し

き,exy  2=exe-2xで

あ る か ら,ε が 小 さ い と き,こ

ｃ ：定 数,で

た が っ て 近 似 解 がy=e-xと れ はx>0で

あ る か ら,こ 定 ま る.こ

の と

た しか に小 さい

値 を も つ.   ち な み に,上

の 単 振 子 の 例 で も,式(9.1)を

と 書 き 直 せ ば,上

の 近 似 は(g/l)(sinθ-θ)の

項 を無 視 し て い る こ と に な る.

(２) 摂 動 法,逐 次 近 似 法   前節 の方 法 で 得 られ る近 似 解 は,普 通 は きわ めて 粗 い 近 似 で あ っ て,実 用 上 は そ れ を改 良 して よ りよい近 似 解 を求 め る必 要 があ る こ とが 多 い.そ の た め の方 法 に摂 動 法,逐 次 近 似 法 な どが あ る.こ れ らは,上 の よ うな 意 味 で は,内 容的 に ほ とん ど同 じで あ る.   ま ず,摂 解,あ

動 法 は,上

述 の よ うに 簡 単 化 され た 式 か ら求 め た 近 似 解(第 ０近 似

るい は 第 １近 似 解 な ど とい う)を,無

の解 を求 め る方 法 で あ る.上 の 例,式(9.2)で

視 され た 項 に 代 入 して で き る方 程 式 ε=0と した 近 似 解:

y=y0=e-x を無 視 した 項 εxy2に 代 入 す る と,式(9.2)は

と な る が,こ

の 式 は 一 階 線 型 常 微 分 方 程 式 で あ り,そ

の 解 は 公 式*に よ り,

図9-3 =e-x[1-ε{1-(x+1)e-x}] と な る.図9-3にy0,y1を

図 示 し て 比 較 し て い る.

これ を続 けれ ば もっ と高度 の近 似 解 が 得 られ るが,こ の 場 合,こ の操 作 を もっ と組 織 的 に行 うに は,近 似 解 を y=y(0)+εy(1)+ε2y(2)+…

の 形 に お い て,も y(0),y(1),…

と の 式 に 代 入 し,そ

の εの 各 べ き の 係 数 を 零 と して 得 られ る

に つ い て の 方 程 式 を順 次 に 解 く こ と に よ り定 め ら れ る.

  ち な み に,摂

動 法(perturbation 

惑 星 の 運 動 に 関 連 し,そ

method)の

名 前 の 由 来 は,天

体 力学 で と くに

れ は 主 に 太 陽 の 引 力 で 決 ま り,大 体 に お い て 楕 円 運 動 を

*  一 階 線 型 常 微 分 方 程 式:

 dy/dx+P(x)y=Q(x)

の一般解は ｃ :任 意 定 数 で 与 え ら れ る.

し て い る の が,他

の 惑 星 な ど の 引 力 の 影 響 で 摂 動(perturb)さ

れ る,そ

の様 子 を

計 算 す る 方 法 と し て 考 え ら れ た も の で あ る.   逐 次 近 似 法(iteration)は,本

質 的 に は 上 の 方 法 と 同 じ で あ る.一

般 にy=f(y)

の形の方程式 を yn=f(yn-1), 

の 形 に お き,任

n=1,2,…

意 の 第0近

似y0か

ら 出 発 し て,y1,y2,…

を 順 次 に 定 め て い く方

式 で あ る.   こ の と きy=f(y)の

形 は 特 殊 の よ う だ が,た

y=y+F(y)と

た,上

書 け る.ま dy/

の 式(9.2)で

と え ばF(y)=0は

常 に

も,

y(0)=1

dx+y=-εxy2,

の 形 にお き,右 辺 を ｘの 既 知 関 数 の よ うに 考 え て

と す れ ば,こ るe-xを

の 方 法 が 適 用 さ れ る.こ

用 い れ ば,そ

の と き,y0と

し て,上

の 第 ０近 似 解 で あ

の と き の 逐 次 近 似 解 は 上 の 摂 動 法 に よ る も の と 同 じに な る.

  (３)  差   分   法

  差 分 法(finite  difference  method)は,微 る 近 似 に よ っ て,微

分 方 程 式 を こ れ ら の 関 数 値 に つ い て の 代 数 方 程 式 で 表 し,そ

の 式 の 解 を 求 め る.こ 得 る た め に は,そ

分 係 数 を関 数 値 の 有 限 差 で 置 き 換 え

の よ うに 原 理 は 簡 単 で あ る が,実

用 的 な 精 度 を もつ 近 似 を

の 未 知 数 と 代 数 方 程 式 の 数 が 膨 大 と な る の で,電

算機時代にな

っ て 役 立 つ 近 似 法 と な っ た.   そ の 有 限 差 の と り 方 は 各 種 各 様 で あ る が,最 数y(x)のx1に

も 簡 単 に は,図9-4の

お け る 微 分 係 数 を, x1と そ の 近 く のx2で

よ うに 関

の ｙの 値y1,y2に

(dy/dx)x1=y2-y1/x2-x1 と 近 似 す る.あ

る い は,一

般 に ｎ番 目 の 点xiで

の 微 分 係 数 をyiと

して

より

図9-4 

差

分

ただし と す る.こ

の と き,こ

(9.3)

の 近 似 値 の 誤 差 の オ ー ダ ー は ｈ で あ る.

  実 際 上 よ く 使 わ れ る の は 中 心 差 分 式:

(9.4)

(9.5) で あ る.こ

れ ら の 誤 差 の オ ー ダ ー は と も にh2で

  偏 微 分 係 数 も 同 様 に 近 似 さ れ る.す

z(xi,yj)=zi,j, xi+1-xi=h, な ど と 書 く と,上

な わ ち,関

(xi,yj)=(i,j) yj+1-yj=k

の 式(9.4),(9.5)に

対 応 して

あ る. 数z(x,y)に

対 して

(9.6)

な どとな る.   上 の よ うな 近 似 に よっ て 微 分 を差 分 で 置 き換 え る こ とに よ り,微 分 方 程 式 は代 数 方 程 式 に な る.   例 と して, u"+(1+x2)u=-1, 

を 考 え る.式(9.5)の 1

近 似 を 用 い る と,方

 (-1≦x≦1)

程 式 は,

(ui+1+ui-1-2ui)+(1+i2h2)ui=-1

/h2 と な る が,さ

  u(-1)=u(1)=0 

(9.7)

らに h=1/N 

(Ｎ ：正 整 数)

i=-N,-(N-1),…,-1,0,1,…,(N-1),N

とお け る.そ の とき境 界 条 件 か ら u-N=uN=0

ま た,解u(x)は

左 右対 称 で偶 関 数 で な け れ ば な らな い か ら(図9-5)

u-n=un, 

し た が っ て,未

(9.8)

(9.9)

n=1,2,…,(N-1)

知 数 はu0,  u1,…,uN-1と

な り,こ

の 式 が 与 え ら れ る.

図9-5 

差 分近 似 の 例

れ に 対 し て 式(9.7)か

ら Ｎ 個

た と え ばN=2と

す る と,未

知 数 はu0,  u1で,式(9.7)でi=O,1と

す る と

4(u1+u-1-2u0)+u0=-1 4(u2+u0-2u1)+(1+1/4)u1=-1 と な る が,式(9.8)と

式(9.9)を

用 い る と

-7u0+8u1=1

4u0-(27/4)u1=-1 これ か ら u0=59/61=0.967,  と な る.こ

こ で,N=3と

  u1=44/61=0.721 す る と,未

こ の と き,u0=0.9486と

知 数u0,  u1, u2に

対 し て 三 つ の 式 が で き る.

な る.

  こ の よ うに Ｎ を 増 し て い く と,普

通 は 精 度 が よ くな っ て い く.ま

た,そ

うで

な け れ ば 意 味 が な い.

  と こ ろ で,Ｎ

を増 す と,こ の よ うな 簡 単 な 問 題 で もそ の 結 果 の式 は 複 雑 に な

り,そ の解 を求 め るた めに は 電 算 機 の 使 用 が不 可 欠 であ る.ま た,そ の解 を求 め る の に も近 似 が必 要 とな る こ とが 普 通 で あ る.   た と え ば,上

記 の 問 題 は 連 立 １次 方 程 式 の 解 を求 め る,す

列 Ａ の 逆 行 列A-1を 倒 で あ り,そ

な わ ち,そ

求 め る こ と に な る が, Ａ の 次 数 が 大 き い とA-1の

の 係数 行 計 算 は面

の た め に 種 々 の 近 似 法 が 考 え ら れ て い る.

偏 微 分 方 程 式 に 対 す る 応 用 と して,ラ

△u≡

を 考 え,式(9.6)を

プ ラ ス の 式(8.1):

∂2u/∂x2+∂2u/∂y2=0

用 い る と,

1/ h2(ui+1,j+ui-1,j-2uij)+1/k2(ui,j+1+ui,j-1-2uij)=0 と な る が,さ

らに,h=kの

場 合 は と く に 簡 単 と な り,

(9.10) と な っ て,(i,j)点

で の ｕ の 値 が,そ

の 周 囲 の 格 子 点 での ｕの値 の 平 均 値 とな る

図9-6 

公 式(５

点 法,図9-6参

照)を

  こ の 公 式 を用 い る と,た で △u=0,Ｃ

得 る.

と え ば,あ

上 でu=ucと

  ま ず,h=1/2の

れ が 近 似 解 と な る.

よ う に 一 辺 の 長 さ １の 正 方 形 で,そ

の 他 の 辺 上 でu=0の

よ う

部 の 網 目の 点 での ｕの 値 につ い て の 連 立 １

れ が 解 を 有 す れ ば,そ

  例 と し て,図9-7(ａ)の u=1,そ

る閉 曲 線 Ｃ に よ っ て 囲 まれ た領 域 の 内部

与 え ら れ た と き の ｕ を 求 め る 問 題 は,図9-6の

に 領 域 を網 目 組 織 で 近 似 す る と,内 次 方 程 式 が で き,こ

５点 法

の ひ とつ の 辺 上 で

場 合 を考 え る.

と き は,図(ｂ)か

らわ か る よ うに

u00=1/4(1+0+1+0)=1/2 と な る.さ

ら にh=1/4(図(ｃ))と

す る と,対

称性か ら

4u11=u01+u10+1 4u10=u00+2u11

(9.11) 4u00=2u10+2u01 4u01=u0+2u11+1 と な り,こ

れ を解 い て u00=u11=1/2, 

と な る.こ

こ でu00の

  u01=5/8, 

  u10=3/8

値 は 変 わ ら な い が,実

は こ れ は 厳 密 な 値 で あ る.

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図9-7 

差分近似の例

(４)  ル ン ゲ ーク ッ タ法

常 微 分 方程 式:

dy/ dx=f(x,y) の 初 期 値 問 題,す

(9.12)

な わ ち,x=x0で

の ｙ の 値y0が

与 え られ た と き の 解y(x)を

め る 問 題 に 対 す る 標 準 的 な 数 値 解 法 で あ る.   そ の 原 理 は,式(9.4)の

よ うな 差 分 近 似 を利 用 し て

yi+1=yi+hyi′ と す れ ば,yi′

は 上 の 式(9.12)か

yi′=f(xi, 

とx=xiで

ら

yi)

の 値 か ら与 え られ る の で, x=x0で y1=y0+h・f(x0,y0) y2=y1+h・f(x1,y1)

の 初 期 値y0ニy(x0)か

ら出 発 して

求

と,y1,y2,…

の 近 似 値 が 求 ま る こ と に あ る(オ イ ラ ー 法).

  こ れ を工 夫 し て,精

度 を よ く した の が ル ン ゲ-ク ッ タ,さ

-ギ ル 法 と 呼 ば れ る もの で あ る

.そ

ら に は ル ン ゲ-ク ッ タ

の ひ とつ は

yi+1=yi+h/6(k0+4k1+k2) ここで

k0=f(xi,yi), 

k1=f(xi+h/2,yi+k0/2)

k2=f(xi+h,yi+2ki-k0) で あ っ て,こ

の と き の 誤 差 は,上

の オ イ ラ ー 法 のh2に

対 し てh5の

オーダー と

な る.   こ の 式 は,シ f(x,y)が

ン プ ソ ン の 積 分 公 式 を拡 張 した も の と も考 え ら れ る.事

ｙ を含 ま な い と き は,シ

(答   sin x-ε(3+cos 

y(0)=0  2x-4cos 

  (２)式(9.7)でh=1/3の

y′(0)=1で

題

９

εが 小 さ い と き の 近 似 解 を 摂 動 法 で 求 め よ.

x)

と き の 式 を 立 て よ. 

(３)∂2z/∂x∂yに 対 す る 差 分 式 を考 え よ.

  (４)y(x+h)=y(x)+hy′(x)+(h2/2)y"(x)+(h3/6)y〓(x+θh),  を 用 い て 式(9.4),(9.5)を   (５)式(9.11)を

解 け.

導 け.

の

ン プ ソ ン式 に な っ て い る.

問

  (１)y"+y+6εy′2=0, 

実,上

0<θ<1

◆第Ⅲ

部◆

数理 科 学 の 実際

10.  数理 科学 の基礎 的分 野

10.1 

基 礎 的 分 野 の概 観

  数理 科 学 は,歴 史 的発 展 の順 序 か らい え ば,古 代 にお け る幾 何 学 の 応 用 な どを 除 い た近 代 にお い て は,ま ず,物 理 学 や 天文 学 と くに 力学 にお け る もの が 発端 と い え よ う.そ れ は,ひ

とつ の典 型 とな って 他 の科 学 分 野 に お け る発 達 を うな が し

た が,ま た,こ れ を応 用 す る工 学 の諸 分 野:土 木,機 械,電 気 工 学 な どの い わ ゆ る物理 的工 学 に お け る発 展 に寄 与 した.さ

らに,非

自然 科 学 の多 くの 分 野 に 応用

され て きて い る.典 型 的 な もの が経 済 学 と くに理 論 経 済学 で あ っ て,い み じ く も 人 文 ・社 会 科学 に お け る物 理 学 と呼 ばれ て い る.   一方,社

会科 学 の 分 野 で は,上 の系 譜 とは 別 に 統計 学 と して始 ま り,や が て確

率 論 に 基 づ く数 学 モ デ ル と して,現 在 ま で社 会 科 学 の 多 くの分 野 で の重 要 な 方法 とな っ て い るの み な らず,人 文 科 学 を含 めた 科 学 の 全 分野 で広 く使 用 され て きて い る.   さて,近 年 に お け る数 学 の抽 象化 と電 子 計 算 機 の 出 現 は,以 上 の よ うな数 理科 学 の伝 統 的 二 大 分 野 の様 相 を大 き く変 え,ま

た そ の 範 囲 を大 き く広 げ る と同 時

に,情 報 科 学 の よ うな 全 く新 しい 分野 をつ く り出 した.   と くに,人 文 ・社 会 科 学 の 分 野 で,従 来 の統 計 的 手 法 とは 別 に 代 数的 モ デル に よ る数 学 化 が導 入 され る こ とが 多 く,そ こ では 抽 象 化 され た 数 学 を直接 に利 用 し てい る.数 理 心 理 学,数 量 経 済学,数 理 言 語 学,経 営 学 な どが そ の例 で あ る.抽 象 数 学 の 手 法 は また,従 来 の 物理 科学 的 ・物 理 工 学 的 手 法 と並 ん で 多 くの工 学 の 問 題 に も応 用 され て い る.最 も大 きな もの は情 報 科 学 とそ の 応 用 であ る情 報 工 学

の 分 野 で あ り,現 在 か ら未 来 に か け ての 科 学,技 術 の 中心 課 題 のひ とつ に な ろ う と して い る.   さ らに,前 述 の よ うに,主 に電 子 計 算 機 の 発 展 に よ っ て 従来 の統 計 的方 法 の適 用 範 囲 が格 段 に拡 大 され,文 章 学,政 治 学,歴 史 学,は

て は哲 学 や 芸 術 の 分野 な

ど,い ま ま で考 え られ な か った よ うな応 用 が され る よ うに な って きて い る.   数 理 科 学 の 各 分 野 は この よ うに 多 岐 にわ た り,し か も,日 々拡 大 され つ つ あ る.そ れ らの 概 観 を得 るの は 至 難 で あ る.以 下 で は,こ の 点 に か ん がみ,ま ず そ れ らの うち で も基 礎 的 と考 え られ る数 理 物 理 学,数 理 統 計 学 お よび情 報 理 論 に つ い て,や や 詳 述 す る.そ れ は,こ れ らが上 述 の よ うに 数 理 科 学 の 三大 系 譜 の 源 流 をな し,か つ 用 い られ る方 法 は それ ぞれ 独 特 であ る と同 時 に,そ れ らが数 理 科 学 の 各 分野 で 用 い られ 手 法 の 原型 とな って い るか らで あ る.   起 こ り うる 多 くの 可 能 性 の 中 か ら 「最 適 な もの 」を求 め る こ とが しば しば必 要 とな る.こ れ の 数 学 モ デ ル化 が,数 理 計 画,OR(Operations 

Research),線

型計

画 法 な ど とい われ る分 野 の主 題 であ る.以 下 で は,線 型 計 画 法 を例 に とっ て説 明 す る.   社 会 に お け る人 間 関 係 な どの 「関係 」を数 学 モ デ ル 化 す るた め に,グ ラ フ理 論 が 使 わ れ る こ とが 多 い.そ の 応 用 の一 端 につ い て述 べ る．

10.2 

数 理 物 理 学

  物 理 学 の 法則 の 大部 分 は数 学 的 表 現 を も ち,か つ,そ

れ らは少 数 の い わ ゆ る基

礎 方 程 式 に統 一 さ れ て数 学 的 に体 系 化 され る. (１) 数 理 物 理 学 の構 成   数 理 物 理 学(mathematical  ics)と

同 義 的 に 使 わ れ る が,理

physics)は

し ば し ば 理 論 物 理 学(theoretical 

論 は 数 学 を 用 い る と は 限 ら な い か ら,正

phys-

確 には こ

れ ら は 区 別 す べ き で あ ろ う.   さ て,物

理 学 は,慣

例 と し て 古 典 物 理 学(classical physics)と

現 代 物 理 学(mod-

ern physics)に

一 応,分

お よ び 熱 力 学,光

学,電

け ら れ る.古

磁 気 学 な ど の 分 野 が あ る.こ

の 関 係 の 法 則 に よ っ て 構 成 さ れ る.そ と実 験 に よ っ て 発 見 さ れ,確   と こ ろ で,こ

典 物 理 学 に は 力 学,弾

性 論,流

体 力 学,熱

れ ら の 分 野 は そ れ ぞ れ,そ

れ らの 法 則 は そ れ ぞ れ の 分 野 に お け る 観 測

立 され た も の で あ る.

れ ら の 法 則 は,原

理 的 に は二 つ の 基 礎 方程 式 系 に よ っ て記 述 され

る こ と が 確 立 さ れ た.そ

れ らは,ニ

ュ ー トンの運 動 方 程 式 とマ ク ス ウ ェ ル の電 磁

方 程 式(基

れ ら は,そ

れ ぞ れ 式(8.2)お

本 的 に は,そ

る)で あ っ て,上

の 力 学 は も ち ろ ん ニ ュ ー ト ン の 式 で 表 さ れ る が,固

体 力 学 も そ れ に 帰 着 さ れ る.そ

れ ば か りで な く,熱

量 と は そ の 物 体 を 構 成 す る 原 子,分 で,熱

よ び 式(8.6)∼(8.9)で

あ

体 力 学,流

学 に 対 し て も,物

体 の もつ 熱

子 の 運 動 の エ ネ ル ギ ー で あ る と い う認 識 の 下

学 もそ の 本 質 に お い て は 多 く の 粒 子 の 力 学 で あ る こ と に な る.一

方,電

磁

気 学 に お け る 数 多 くの 法 則 は マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 か ら導 け る と い う 意 味 で,電 磁 気 学 は マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 系 に よ っ て モ デ ル 化 さ れ て い る と い え る が,さ に,光

の も つ 性 質 の 多 く の も の,す

折,干

渉,さ

ら に 分 散 な ど が,電

導 け る の で,光

な わ ち,伝

播 速 度,反

ら

射 ・屈 折 の 法 則,回

磁 波 と して マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 か ら 理 論 的 に

は 電 磁 波 で あ る とい う立 場 で,光

の現 象 は電 磁 現 象 と して マ ク ス

ウ ェ ル の 式 で モ デ ル 化 され る こ と に な る.   以 上 と 関 連 し て,海

王 星 が 事 実 上 ニ ュ ー トン の 方 程 式 に 基 づ く天 体 力 学 の 計 算

に よ っ て 発 見 され た こ と,電

磁 波 の 発 見 は マ クス ウェ ル の方 程 式 の 導 入 に よ る理

論 的 考 察 の 産 物 で あ っ た こ と は,古

典 物 理 学 に お け る 数 理 物 理 学 の 輝 か しい 成 果

の 例 で あ る と考 え られ て い る.   さ て,こ

の よ う に 完 成 さ れ た 古 典 物 理 学 に 対 し て,今

る 産 業 の 急 速 な 発 達 が 背 景 と な っ て,多

世 紀 の は じめ ご ろ にお け

くの 新 事 実 が 発 見 され 始 め た.そ

な も の は 熱 輻 射 の 性 質 と 光 の 速 さ の 不 変 性*で あ っ て,こ

の大 き

れ ら は い ず れ も上 の 二

*  光 の 速 さ を一 定 の速 度 で 動 く系 か ら観 測 した とき,そ れ は 系 の速 度 に 無 関 係 に 同 じ 値 に な る.こ れ は,普 通 は,他 の 物 体 の 運 動 を動 く系 か ら見れ ば,自 身 の 運 動 の 速 度 を引 い た よ うに 見 え る,す な わ ち,自 分 の速 度 に よ っ て違 っ て 見 え るわ け だか ら,こ の 光 速 一 定 は 奇 妙 に 感 じ られ るが,そ れ が 実験 事 実 な の であ る.

つ の 基 礎 方 程 式 系 に よ っ て 説 明 で き な い.す い こ と に な る.こ た.そ

れ は,し

る も の,言 正,拡

な わ ち,上

の よ う な こ と が 契 機 と な っ て,い

い 換 え れ ば,こ

と え ば,上

殊)相

も速 さ に よ っ て 変 化 す る.し

か し,そ

の 光 速 不 変 が 成 り立 つ よ うに ニ ュ ー ト

対 性 理 論 で あ る が,こ の 度 合 は,そ

よ う な 普 通 の 場 合 は ほ と ん ど無 視 で き て,ニ 子,分

れ に よ れ ば 質量 も時 間

の速 度 が光 速 に比 べ て 小 さい

ュ ー ト ン の 式 が 成 り立 っ て い る.

子 の よ う な 小 さ な もの の 運 動 に 対 し て は ニ ュ ー トン の 式 が 成 り

立 た な い こ と が 明 ら か に な り,そ あ る.そ

の か わ りに で き た の が 量 子 力 学(quantum 

の 基 礎 と な る 方 程 式 が 前 出 の 式(8.10)で

通 の 大 き さ の 物 体 に 適 用 す れ ば,そ し た が っ て,こ

れ を包 含 す

れ ら の 新 しい 事 実 も説 明 で き る よ う に 数 学 モ デ ル を 修

ン 力 学 を 修 正 し た も の が(特

chanics)で

わ ゆ る近 代 物 理 学 が誕 生 し

か し 古 典 物 理 学 の 体 系 と 全 く無 縁 の も の で は な く,そ

張 し た と考 え ら れ る.た

  一 方,原

の 古 典 物 理 学 と相 容 れ な

あ る が,こ

meれ を普

の 結 果 は ニ ュ ー ト ン 力 学 と 同 じ よ うに な り,

れ も あ る意 味 で は ニ ュ ー ト ン の 式 を修 正,拡

張 した もの で あ る と

考 え られ て い る.   と こ ろ で,物 質(マ

質 を構 成 す る 原 子 や 分 子 の 数 は 非 常 に 多 い の で,物

ク ロ 的 性 質)は

な く,そ

こ れ ら の 原 子 や 分 子 の 性 質(ミ

の 集 団 的 な 平 均 的 な 性 質 で あ る.し

と し て は,確

率 モ デ ル が 必 要 と な り,そ

っ と 広 く 統 計 物 理 学(statistical   さ らに,原

た が っ て,そ

直 接 の 現れ で

れ に 対 す る数学 モ デル

れ に対 応 す る もの が統 計 力 学 あ るい は も

physics)で

あ る.

子 よ り小 さ な 粒 子 で あ る原 子 核 や そ れ を 構 成 す る も の,一

子 に 対 し て は,上 と な り,こ

ク ロ的 性 質)の

質 の 普 通 の性

の 量 子 力 学 の 式 も 合 わ な く な る の で,こ

般 に素 粒

れ に 対 す る修正 が必 要

れ が 素 粒 子 論 で あ る.

  こ の よ う に,数 し て 絶 え ず 修 正,拡

理 物 理 学 あ る い は も っ と一 般 に 物 理 学 は,新 張 を し て 発 展 し て い る.こ

で あ る こ と は 第 Ⅰ部 で 述 べ た と お り で あ る.し

しい経 験 事 実 に対

の こ とが 科学 一般 に つ い て の基 本 か し,一

方 に お い て,物

理的現象

の 多 く の 部 分 は 上 の よ うな 方 程 式 系 で 記 述 さ れ て い る と 考 え られ る の で,あ 定 の 物 理 現 象 の 解 明 に は,そ

れ に 対 応 す る 方 程 式 を 用 い て,そ

る こ と に 帰 着 され る こ と が 多 い.

る特

の 解 の性 質 を調 べ

  天 文 学,気

象 学,地

震 学,海

洋 学 な どの い わ ゆ る物 理 的 科 学(physical  sci-

ences)は,基

本 的 に は 物 理 現 象 に つ い て の 科 学 で あ る.し た が って,そ れ は,

原理 的 に は物 理 法 則 に よっ て 支 配 され る.も ち ろ ん,そ れ に 加 え て,そ れ ぞ れ の 分野 でそ の学 問 に固 有 の 原 理,方 法 が あ るわ け で あ るが,多

くの部 分 にお い て,

上述 の基 礎 方 程 式 系 に 基 づ くモ デ ル が適 用 で き る.   さ らに,こ の よ うな 方 法 は,生 物 科 学 な どの他 の 科 学 分 野 にお い て も,そ れ が 物 理 法則 に支 配 され る現 象 で あ る限 り有 効 で あ り,そ の よ うな応 用 は,た とえ ば 数 理 生 物 学 な どの 分 野 で多 く見 られ る.   一 方,工 学 の分 野 は,序 論 に 述 べ た よ うに,そ の 目的 に お い て科 学 とは 区 別 さ れ るの で あ る が,そ の 方 法 の 実 際 に お い て は科 学 の 法 則 を利 用 す る こ と が近 年 の 科 学 文 明 の発 達 の 要 因 の ひ とつ で あ る.と くに,機 械,土 木,電 気 工 学 な どの い わ ゆ る物 理 的 工 学 の 分 野 に お い て は,そ れ はす な わ ち上 述 の 基礎 方 程 式 系 に 基 づ く数学 モ デ ル の活 用 に ほか な らな い.こ の よ うな意 味 で,こ の分 野 にお け る数 理 物 理 学 的 方 法 の応 用 は 伝 統 的 で あ る. (２) 数 理 物 理 学 の方 法   物 理 学 は絶 えず 進 歩 して い るが,そ こ で の科 学 の 方 法 と くに数 理 科 学 の 方 法 の 大 きな役 割 につ い ては,改

めて い うま で もな い.

  数理 科 学 の方 法 の要 諦 は,現 象 の 数学 的表 現,す

なわ ち,数 学 モ デル 化 と,そ

れ に 基 づ い て現 象 を研 究 す る こ とに あ る.数 理 物 理 学 に お い て は,そ の 既 成 の 部 分 を含 め て基 礎 方 程 式 系 に よっ て 数学 モ デ ル化 され る こ とが 多 い.こ れ らの 基 礎 式 は ほ とん どが微 分 方 程 式 な どの方 程 式 で あ るの で,次 の 段 階 で は,こ れ らの 方 程 式 の解 の性 質 を求 め る こ とが 主 な 問題 とな る.こ の とき,そ の方 法 は純 粋 の 数 学 的 手 法 とは 多 くの点 で違 って く る こ とが 多 い.そ の 主 な もの は,解 の具 体 的 表 現 が 必要 な こ とが 多 い こ と であ る.そ の た め,し ば しば近 似 解法 が使 われ る.し か も,そ の使 用 に あた って は,問 題 とな っ て い る物 理 現 象 に 即 してい る必 要 が あ る.   そ の よ うな方 法 の実 際 の 説 明 の た め,以 下 で は,放 物 体 の 運動,お

よ び棒 の 熱

伝 導 の 問題 を例 に して 考 え よ う.こ れ は,一 般 に,数 理 物 理 学 の 入 門 と して は, 質 点 の 力学 お よ び熱 伝 導 論 が わ か りや す い と され て い る こ と,お よ び,そ れ ら が,そ れ ぞれ 常 微 分 方 程 式 お よ び偏 微 分 方 程 式 の 問題 に帰 着 され る典 型 的 な 例 で あ るか らで あ る.   (ａ) 放 物 体 の運 動   現 象 の 数学 モデ ル化    物 体 を投 げ た場 合,ど

うい う運 動 をす るか とい う卑 近

か つ 単純 な 問題 を考 え る.こ れ を数 学 モ デル 化 して 研 究 す るわ け で あ る が,こ の 場 合 は 力学 現 象 で あ っ て,そ

れ は与 え られ た 力 Ｆ に よ る軌 道r(t)を

定 め るニ

ュー トンの 式: (8.2) と い う基 礎 方 程 式 に よ っ て 一 般 的 に モ デ ル 化 され て い る.し れ を 現 在 の 場 合 に い か に 特 殊 化 す る か で あ る が,そ

た が っ て,問

題 はこ

れは 力 Ｆ を具体的に与 える

こ と に ほ か な らな い.   さ て,こ か,空

の 場 合 に 考 え られ る 力 と し て は 重 力,す

気 の 抵 抗,地

球 の 自 転 に 基 づ く コ リオ リの 力(回

か け の 力 の 一 種),…

こ で,重

も 簡 単 な モ デ ル と して 重 力 Ｗ の み を考 え

力 は 高 さ に よ り ま た 場 所 に よ っ て も変 わ る わ け で あ る が,そ

一 定 と 仮 定 す る .こ し,で

転 して い る系 に 現 れ る見

と ほ と ん ど限 りな く あ り う る.

  こ の う ち 主 な も の は 重 力 で あ り,最 る.こ

なわ ち物体 の重 さ Ｗ のほ

れ を

の よ うに 結 果 に お い て 影 響 が 小 さい と 思 わ れ る も の を無 視

き る だ け 簡 単 で し か も本 質 的 な もの で モ デ ル を 構 成 す る の が モ デ ル 化 の 要

諦 で あ る こ と は,第

Ⅰ部 に お い て 述 べ た とお り で あ る.

  次 に,式(8.2)は

ベ ク トル の 式 で あ っ て,こ

た め に は,適

当 な 座 標 軸 を と っ て,そ

な け れ ば な ら な い.こ

れ に よ りr(t)を

れ らに対 す る成 分 で あ るス カ ラ ー式 で表 さ

の 座 標 軸 の と り方 は 任 意 で あ る が,こ

べ く簡 単 に な る こ と が 望 ま し い.そ

具体 的に求 める

こ で,鉛

位 置 ベ ク トル ｒの 成 分(ｘ,ｙ,ｚ)に よ っ て

れ も結 果 の 式 が な る

直 上 方 に ｙ軸 を と る と,式(8.2)は

(10.1) と な る.こ

れ らは た だ ち に積 分 で き て

と な る.こ

こ で,ｇ

数 で あ る.こ 体 は,原

は 重 力 の 加 速 度 で Ｗ=mgで

れ ら は,初

期 条 件,す

あ り,c1,…,c6は

な わ ち 物 体 を 投 げ る状 況 に よ っ て 定 ま る.物

点 か ら 水 平 と α の 角 を つ く る 方 向 にV0の

10-1).そ

積 分 の任 意 定

速 さ で 投 げ ら れ た と す る(図

の とき初 期 条 件 は t=O：x=y=z=0

(10.2) と な る.こ ろ,任

こ で,と

く に 原 点 か らxy面

意 に 投 げ て,そ

れ に し て も,こ

に 投 げ る 必 要 は な い わ け で あ る が,む

の 位 置 を 原 点,xy面

に と っ た と 考 え る べ き で あ る.い

う と る と 結 果 の 式 が 簡 単 に な る.

  こ の 条 件 に よ っ て,ま

ずc2=c4=c6=0,次

図10-1 

に,微

放物体の運動

分 をっ く っ て

し ず

c1=V0 

cos  α,

c3=V0 

c5=O

sinα,

と 定 ま り,r(t)は

(10.3) に よ っ て 与 え られ た こ と に な る.こ   ま ず,式(10.3)を u=V0 

れ か ら種 々 の 性 質 が 導 け る.

ｔで 微 分 す る こ と に よ り,速 cos  α,  v=−gt+V0 

度 Ｖ の 成 分 ｕ,ｖ,ｗは

sin α,   w=0

と与 え られ る.   ま た,物

体 の 運 動 の 軌 道 はx(t),y(t)の

と な る.こ

れ は,い

わ ゆ る 放物線(図10-1の

  こ の 放 物 線 は,x=0お

でy=0,さ

ら に,x=R/2で

に 達 す る こ と,ま

式 か ら ｔを 消 去 し て

た,同

Ａ)で あ る.

よび

ｙが 最 大 値

じV0に

：

対 し て,放

射 距 離 Ｒ は2α=π/2,す

な わ ら, α

が45° の と き 最 大 と な る こ と な ど が わ か る.   こ の よ うに 解 の 具 体的 表 現(10.3)が

与 え られ た こ と に よ り,現

質 が それ に 基 づ く数 学的 操 作 に よ っ て 導 か れ る こ と に な る.こ

象 の種 々 の性

れ が 数理 科 学 の 大

き な特徴 で あ る こ とは 第Ⅰ 部 で 述 べた と お り で あ る.   モ デ ル の 精 密 化    上 の モ デ ル は,で

き る だ け 簡 単 で,し

様 相 は と ら え る よ う に 構 成 さ れ て い る.し 違っ て く る の な 当 然 で あ る.た

と え ば,実

線 Ａ よ り も 下 で Ｂ の よ う に な る.ま ピ ン が か か れば,xy面

た,物

か し,そ

か も現 象 の 本 質 的 な

の細 か い点 につ い て は 現 象 と

際 の 場 合,そ

の 軌 跡 は 図10-1の

放物

体 に 野 球 の ボ ー ル の 場 合 の よ うに ス

か ら外 れ る よ う に な る.そ

う で な く て も,地

球 の 回転 の

た め横 に ずれ る, な どい ろい ろ な現 象 が見 られ る.こ れ らは,普 通 の場 合 は小 さ い の で,問 題 に しな くて も よい場 合 が多 い.し か し,場 合 に よっ て は,そ の効 果 の詳 細 な研 究 が 必 要 と な る.   そ の よ うな 場 合 には,そ れ ぞ れ の 目的 に応 じて,そ れ らの 効 果 の 原 因 とな る も の を取 り入 れ て モ デ ル を精 密 化 す る必 要 が あ る.た

と え ば放 物 体 が Ｂ の よ うに

手 前 に 落 ち る様 子 を見 るに は,物 体 に働 く力 と して重 力 に加 えて 空 気 に よ る抵 抗 力 を考 えに 入 れ る.横 にい く効 果 を見 る に は ス ピ ンカ,場 合 に よっ て は コ リオ リ の 力 を加 え る.精 密 に は,こ れ ら を全部 足 してい く.ち なみ に,月 の運 動 を精 密 に 予 測 す るに は,地 球 表 面 の 凹 凸 ま で含 め て何 千 個 もの項 が必 要 で あ る とい う.   以 下 で は,例

と して空 気 の 抵 抗 力 を取 り入 れ た モ デ ル の 精 密 化 に つ い て 考 え

る.ま ず 抵 抗 力 の 大 き さ を Ｄ とす る と,抵 抗 力 は 速 度 ｖ と逆 の 方 向 を もち,そ の ｘ,ｙ,ｚ 成分 は (10.3)′

で 表 せ る(問 題10(1)参   し た が っ て,運

照).

動 方 程 式 は 式(10.1)に

この 力 を加 えて

(10.4) と な る.   さ て,こ

の 式(10.4)か

らr(t)が

い な け れ ば い け な い.と

こ ろ で,Ｄ

い ほ ど大 き い.そ

こ で,こ

Ｄ=mkVn, 

とす る.こ

こ で,ｎ

  こ の と き 式(10.4)は

あ るい は

求 ま る た め に は,Ｄ

がを 体 的 に与 え られ て

は 一 定 と は 限 ら な い.普

通は速 さ ｖが大 き

れ を数 学 モ デ ル 化 し k,n＞0,定

数

は 測 定 に よ る と 大 体 １∼ ２ く ら い で あ る.

(10.5)

を用 い れ ば

(10.6) と な っ て,(ｕ,ｖ,ｗ)を   こ こ で,ｗ,ｚ        と な る が,上       

定 め る 連 立 方 程 式 を 得 る.

は す ぐ積 分 で き て

w=c5,    z=c5t+c6 と 同 じ初 期 条 件(10.2)に w=0, 

よ り,c5=c6=0,し

た が って

z=0

と な る.   ｕ,ｖに つ い て の 式 は 簡 単 に は 解 け な い が,よ

く見 る と, n=1の

ときは 式 が

(10.7) と 簡 単 に な る こ と が わ か る.こ わ ち,抵

れ は,式(10.5)に

戻 っ て み れ ばD=mkV,す

抗 力 が 速 さ に 比 例 す る と き で あ っ て,実

当 な 仮 定 で あ る と 考 え ら れ る.こ

の よ う に,実

な

際 問 題 と し て も大 体 に お い て 妥

際 の 現 象 と 対 比 し な が らな る べ く

簡 単 な モ デ ル をつ く っ て い く の が 数 理 科 学 の 常 套 手 段 で あ る.   さ て,式(10.7)は,そ

れ ぞ れ ｕ,ｖに つ い て の 一 階 常 微 分 方 程 式 で あ っ て,そ

れ らの 解 は

(C1,C2:任

と な る が,初

期 条 件(10.2)を

用 い,C1=V0cosα, 

意 定 数)

c2=V0sinα+g/k,

した が っ

て

(10.8) と な る.さ

ら に,こ

れ ら と 式(10.6)お

よ び 式(10.2)か

ら

(10.9)

と な る.   こ れ ら の 式 は,図10-1の

曲 線 Ｂ の よ うな 状 態 を表 し て い る わ け で あ る が,式

そ の も の が 複 雑 で 直 接 に は わ か ら な い.し 合,す

な わ ちt→

          u→0, 

と な っ て,そ

か し,た

と え ば,式

で ｔの 大 き い 場

∞ と してみ る と v→g/k 

(終 端 速 度,8.5節

の 軌 跡 は 図10-1に

参 照)

表 さ れ て い る よ う に,x=V0cosα/kに

漸近 し

て い る こ と な ど が わ か る.   も っ と具 体 的 に は,近

似 解 を 用 い た 方 が わ か りや す い.そ

の 影 響 は 小 さ い こ と に 着 目 し,式(10.7)に

れ に は,普

通 は抵 抗

お い て ｋ が 小 さ い と し て,摂

動法

(第 ９章 参 照)を 用 い る.   ま ず,式(10.7)で

と な っ て,も 式(10.7)の

ｋ の 掛 か っ て い る項 を無 視 す る と

と の 式(10.1)に

な り,そ

の 解 は 式(10.3)で

ｋの項 に代 入 す る と

こ の 式 の 解 は す ぐ求 ま り,そ

れ と初 期 条 件(10.2)か

ら

あ る.次

に,こ

れ を

(10.10) と な る が,こ や す い.も

こ で 下 線 の 部 分 が 空 気 抵 抗 の 影 響 を 示 し て い る の で,そ っ と も,こ

の 式(10.10)は,上

の 厳 密 解(10.8)お

よ び(10.9)を

が 小 さ い と し て 近 似 し て も 出 す こ と が で き る(問 題10(5)).し 近 似 解 は 式(10.5)の

の様 相 が 見

か し,こ

ｋ

の よ うな

ｎ が １で な い 場 合 で も 出 す こ と が で き る.

  さ ら に,式(10.10)の

ｘ,ｙ式 か ら ｔを 消 去 し, k2以

下 の 小 さ い 項 を無 視 す る

と

(10.11) と な る(問 題10(６)).   こ の 式 の 下 線 の 部 分 が 抵 抗 の 影 響 を示 す が,図10-1の

曲 線 Ｂ の よ う に,放

線 Ａ か ら こ の 項 の 量 だ け 下 に ず れ る 様 相 が よ く わ か る.ま る 同 様 な 計 算 に よ っ て,曲

た,k2以

線 Ｂ が ｙ軸 と 交 わ る 点 の ｘ 座 標,す

物

下 を無 視 す

な わ ち,抵

抗の

あ る 場 合 の 到 達 距 離R′ が 計 算 さ れ

(10.12) と な る(問 題10(７)).   同 じ よ うな 式 は,ｎ な 式 を 用 い,測

が １ で な い 一 般 の 場 合 に も 出 す こ と が で き る が,こ

定 の 結 果 か ら ｎ,ｋの 値 を 推 定 す る こ と も で き る.

  一 般 の ｎ の 場 合 の も っ と精 度 の よ い 解 を 求 め る た め に は,第 う な 常 微 分 方 程 式 の 数 値 解 法 を 用 い る の が 有 効 で あ る.す の 微 分 方 程 式(10.6)をt=0に し て,ル

の 問 題 は,電

９章 で 述 べ た よ

な わ ち,ｕ,ｖ に つ い て

お け る 初 期 値u=V0cosα, v=V0sinα

ン ゲ ーク ッ タ 法 な ど に よ りt>0で

ち な み に,こ

の よ う

か ら 出発

の 値 を 順 次 に 求 め て い く わ け で あ る.

子 計 算 機 が 発 明 さ れ て,そ

の 最 初 の 具 体 的 な応 用 例 と

し て 有 名 で あ る.   と こ ろ で,数

値 的 に 計 算 す る た め に は,当

た り前 の こ と で あ る が,方

程 式 に含

ま れ る定 数 で あ る ｎ,ｋ,ｇ の ほ か,初 期 値 のV0,α もす べ て 具 体 的 に 数 値 で与 え ら れ て い な けれ ば な らな い.別 言 す れ ば,計 算 は あ る特 定 の個 々 の場 合 につ い て 行 うわ け で あ る.こ の こ とは数 値 解 法 一 般 につ い て あ て は ま るわ け で,こ の方 法 は 個 々 の問 題 の 解 が必 要 な とき は大 き な威 力 を発 揮 す る.し か し,そ の反 面,解 の パ ラ メ ー タ に よ る一 般 的 な性 質 の解 明 とい っ た 問題 に は あ ま り適 当 でな い こ とが 多 い こ とは第 ９章 で も述 べ た とお りであ る.た とえ ば,初 速 が 一 定 の と き,ど の よ うな 初 角 度 α で一 番 遠 くに 飛 ぶ か とい った 簡 単 な 問 題 で も,解 析 的 な近 似 式 で は ほ とん ど 自明 だ が,数 値 解 で は α の 値 を変 化 させ た 多 くの 計 算 が 必 要 とな り,し か もそ の 結 果 か ら判 定 しな け れ ば な らな い. (ｂ) 固 体 の 熱 伝 導  一 様 な 固体 中 での 熱 伝 導 の 問 題 を考 え る.こ の 現 象 は そ の 温 度 分 布 Ｔ に対 す る以 下 の 基礎 方程 式(8.11)に

よ って 一般 的 に数 学 モ デル 化 され て い る. (8.11)

こ こ で Ｔ は,空

間 座 標(ｘ,ｙ,ｚ)お よ び 時 間 ｔの 関 数,γ

  こ の 温 度 分 布 に 対 し て,移 あ る が,そ

は 温 度 伝 導 率 を 表 す,

動 す る 熱 量 ｑ は 場 所(ｘ,ｙ,ｚ)お よ び 時 間 ｔの 関 数 で

れ は 温 度 勾 配 に 比 例 し,そ

の 逆 方 向 を 向 く ベ ク トル 量 で あ る.す

なわ

ち q=-kgrad 

で 表 せ る.こ

こ で,ｑ

Ｔ, 

(10.13)

ｋ ：熱 伝 導 率

の 大 き さ ｑは,温

度 勾 配 に垂 直 な 単位 面 積 を単 位 時 間 に 通

過 す る 熱 量 を表 す.   熱 の 伝 導 の 問 題 は,ま Ｔ か ら 式(10.13)に (8.11)は

ず 式(8.11)に

よ っ て 温 度 分 布T(x,y,z,t)を

偏 微 分 方 程 式 で あ っ て,そ

の 解 の 決 定 に は 境 界 条 件,初

設 定 が 重 要 で あ る.こ

れ は,常

合,境

の 固 体 が ど ん な 形 で,そ

界 条 件 と は,そ

時 に,方

の 境 界,た

の

こ ろ で式

期 条 件 な どの

微 分 方 程 式 の 場 合 と 違 っ た 特 徴 で あ る.こ

ど う与 え られ て い る か と い っ た 条 件 で あ る.こ 考 え られ る が,同

定 め,そ

よ っ て 伝 導 す る 熱 量 ｑ を 求 め る こ と に な る.と

の場

とえ ば表 面 上 で 温度 が

の よ うな条 件 の与 え方 は物 理 的 に

程 式 の 数 学 的 性 質 を 考 慮 す る 必 要 が あ る.

  さ て,簡

単 な 場 合 と し て 窓 ガ ラ ス や 壁 な ど の よ う な 平 板 を通 し て の 熱 の 出 入 り

の 問 題 を 考 え る.ま

ず,平

板 の 面 をyz面

に と り,平

板 は 十 分 大 き い と す る と,

そ の 端 の 近 く を 除 い て 温 度 Ｔ は(ｘ,ｔ)の み の 関 数 と 設 定 で き,基

礎 方 程 式(8.

11)は

(10.14) と簡 単 化 さ れ る.そ

の と き,熱

の 移 動 は ｘ 方 向 だ け と な り,式(10.13)の

ベ ク

トル ｑ は

(10.15) と な る.   と くに,定

常 の 場 合,す

な わ ち Ｔ が ｘ だ け の 関 数T(x)と

す る と,上

式 は

d2T / dx2=0 と な り,そ

の解は T=c1x+c2, 

と な る が,板 れT1,  T2と

積 分 定数

の 厚 さ を ｌ,板 の 両 面 の 座 標 をx=0,lと

し,そ

こ で の温 度 が そ れ ぞ

す ると T(0)=T1, 

と な り,こ

c1,c2：

  T(l)=T2

れ か ら,c1=(T2-T1)/l, 

c2=T1と

な り,  Ｔ は

T=(T2-T1)x/l+T1 と定 ま る.こ

の Ｔ を式(10.13)に

とな る が,こ

れ は,T2>T1な

k￨T2-T1￨/lの   た と え ば,内

代 入 して

ら ｘ の 負 の 方 向 に, T2
ら ｘの 正 の 方 向 に,

大 き さ の 熱 流 が あ る こ と を 示 す. 外 の 温 度 差￨T2-T1￨=10℃

の と き,厚

さl=2mmの

窓 ガラス

の １m2あ

た り を 通 過 す る 熱 量 は,k=2.5×10-3(cal/cm・s・ 2.5×10-3×(1/0.2)×10 

× 104  cal/s=1.25 

=1.25×4.2kW=5.25 

℃)と

して

kcal/s

kW

と な る.   さ て,非 布f(x)が

定 常 な 場 合 の 例 と し て,板

の 両 面 の 温 度T1,T2と

板 の 内部 の 温 度 分

与 え られ た と き の 内 部 の 温 度 分 布 の 時 間 的 変 化 を 求 め る 問 題 を考 え る.

す な わ ち,温

度T(x,t)に

対 し て,方

程 式(10.14)の

境 界 条 件:T(0,t)=T1, 

解 で

T(l,  t)=T2

初 期 条 件:T(x,0)=f(x)

を満 足 す る もの を求 め る.   こ の問 題 は,た

とえ ば,上 の 定常 流 が成 立 してい る ガ ラス 窓 を急 に あ け て両 面

と も外 気 の温 度 に な った と きの ガラ ス 内部 の温 度 変 化 とか,高 温 の金 属 板 を急 に 水 中 に入 れ た とき板 が 冷 え る様 相 とか,さ ま ざま の場 合 と関 連 して い る.   とこ ろ で,こ の 問 題 は 一 般性 を失 わ ず に T1=T2=0 とお け る.そ

れ は,Ｔ

を

T(x,t)=(T2-T1)x/l+T1+T(x,t) の よ う に 変 換 して 新 し い 変 数T(x,t)を

と な る が,こ   さ て,こ

こ でT(x,t),  T(x,0)を

用いる と

改 め て Ｔ, f(x)と 考 え れ ば よ い か ら で あ る.

の 問 題 の 解 は フ ー リエ の 方 法 で 求 め ら れ る.ま

特 解 と し て,T(x,t)=g(x)・h(t)の 形 を方程 式 に 代 入 して変 形 す る と

ず 方 程 式(10.14)の

形 で 境 界 条 件 を 満 足 す る も の を 求 め る.こ

の

と な る が,こ

の 左 辺 は ｔだ け の,右

の ｘ,ｔで 成 立 す る た め に は,こ

辺 は ｘ だ け の 関 数 で あ る か ら,こ

れ ら が 定 数(-a2と

の式 が任 意

お く)で な け れ ば な ら な い.

し た が って h′=-γa2h, 

と な り,こ

 

9″=-a2g

れ ら か ら,Ａ,Ｂ,Ｃ

を任 意 定数 と して

h=Aexp(-γa2t),  と な る が,境

g=B 

界 条 件T(0,t)=0, 

次 にsin  al=0か

らal=nπ, 

sin ax+Ccos 

T(l,t)=0を n=1,2,…

ax

満 足 さ せ る た め に は,ま

と な り,さ

ら にAB=Anと

ずC=0,

書 く と,特

解

と して

が 得 ら れ る が,こ

れ ら の 和 ΣTnも

条 件T(x,0)=f(x)が   そ こ で,い

ま た 解 で あ る の で,Anを

適 当 に と っ て初 均

満 足 さ れ る よ う に す る.

まf(x)が

の よ うな フ ー リエ 級 数 に 展 開 で き る も の とす る,そ An=fn, 

の と き,上

式 を見 比 べ て

n=1,2,…

とお け ば

と な っ て 初 期 条 件 が 満 た され て い る.さ とお く とb<1,ま

た,フ

つ い て は,exp(-γ

ー リエ 級 数 の 性 質 か ら￨fn￨
がって ￨ Tn￨=￨fn・bn2sinnπx/l￨
から

らにt>0に

よ う なkが

π2t/l2)=b あ る.し

た

￨ΣTn￨≦

Σ￨Tn￨
とな って

は 収 束 す る.同

様 に,Σ

∂Tn/∂t,Σ ∂2Tn/∂t2も 収 束 し, Ｔ が 解 と な る こ と が わ

か る.   例 と し て,f(x)=T0(一 で あ る.こ

定)を

考 え る.こ

れ は,鉄

板 の焼 き入 れ の よ うな場 合

の と きf(x)は

(10.16) の よ うな フ ー リエ 級 数 に 展 開 で き る(問 題10(４)参

照).

  し た が っ て,解T(x,t)は

と表 せ る.   こ こ で,と

く に 板 の 中 央 部,す

(-γ π2t/l2)=bと

と な る.た

鉄 板

分 後 の 中央 で の温 度 は

を用 い b=e-1.16=0.3138, 

か ら,近

似的に

の 温 度 変 化 を考 え る と,exp

おいて

と え ば,幅l=10cmの

た と し て,１

な わ ちx=l/2で

  b9∼0

（γ=0.2  cm2・s-1）

が Ｔ0＝1000℃

で あ っ

で 与 え ら れ る.   次 に,多

次 元 の 例 と し て,二

次 元,定

常 な 場 合,す

な わ ちT(x,y)に

対 して

の解 で適 当 な境 界 条 件 を満 足 す る もの を求 め る問題 で,た と え ば,ま わ りの温 度 が与 え られ て い る薄 い 板 の 温 度 分 布 を求 め る場 合 な どであ る.   こ の とき,板 の 形 が 四 角 形 な ら,上 の 例 の よ うな フ ー リエ 級 数 の方 法 で解 が 求 め られ る.し か し,一 般 の形 に 対 して は,第

９章 で述 べ た よ うに 差分 法 に基 づ く

数 値 的 近 似 解 が実 際 的 で あ る.す な わ ち,板 の領 域 を網 目組 織 で近 似 し,５ 点 法 に よ って 格 子 点 で の Ｔ の 値 を求 め る.   と こ ろ で,数 理 物 理 学 に 出 現 す る偏 微 分 方 程 式 は,8.4節 も見 られ る よ うに,主

の基礎方程式の例 で

と して二 階 で あ る が,そ れ らは 大 体 に お い て,楕 円型,放

物 型 お よび 双 曲型 と呼 ばれ る ３種 類 の型 に分 類 され る.楕 円型 の基 本 形 は 上 の △T=0 

(ラ プ ラ ス の 方 程 式)

で あ り,放 物 型 の 基 本 形 は,上

の

(熱伝 導 の方 程 式) で あ る が,双

曲 型 はu(x,t)に

ついての

(波動 方 程 式) であ る.こ れ らは,そ れ ぞれ 異 な っ た特 性 を もち,そ の 境 界 条件 の設 定,解 の 性 質 もそ れ ぞ れ に 特 有 で あ る.

10.3 

数 理 統 計 学

数 理 統 計 学 は,偶 発 的 現 象 に関 して,そ れ を確 率 モ デ ル に よ っ て研 究 す る学 問

とい え よ う.す な わ ち,確 定 的 な因 果 関 係 が 見 られ ず,ひ

とつ ひ とつ では 不 規則

で,偶 発的 に 見 え る現 象 につ い て,集 団 全 体 と して 見 て確 率 的 な 法 則 性 を見 い 出 し,追 求す る.こ こ で,偶 発 的 現 象 が す べ て確 率 モ デ ル化 で き るわ け で は な い. ま た,現 象 が偶 発 的 か確 定 的 で あ るか の 区 別 は,は っ き り した もの でな く,そ の 程 度 と見方 に よ る.た とえ ば,落 体 の よ うな一 見,確 定 的 な現 象 で も,そ の軌 跡 を細 か く見 る と き わ め て不 規 則 で 偶 発 的 で あ る.一 方,完

全 に確 定 的 な 現 象 で

も,そ の現 れ 方 に お い て 全 く偶 発 的 に 見 え るカ オ ス とい った 現 象 もあ る.   さ て,統 計 学 の 起 源 の ひ とつ は,17世

紀 の ドイ ツ国 勢 学 とい わ れ る もの であ

ろ う.こ れ は,国 家 の地 理,歴 史,法 規 な どの顕 著 事 実 の記 載 を通 して 国勢 状 態 を表 す もの で,statistics(統 計 学)の 語 源 がstate(国 家)で あ るゆ え ん であ る. しか し,こ の学 派 は数 量 的 記 載 をむ しろ排 した か ら,数 理 統 計 学 の 源流 は,む し ろ 同時 期 に 英 国 で始 ま っ た政 治算 術 学 派 に あ る と もい え よ う.こ れ は,人

口動 態

や 経 済 現 象 の 数 量 的 把 握 とい った現 代 的 な 内容 で,た と え ば,す べ て の受 胎 児 の 約36%は

約 ６歳 未 満 で 死 亡 す る,と い っ た もの を導 い て い る.こ れ らは,生 命

保 険 な どの 保 険 の成 立 と発 展 に 大 き な関 連 を も って い る.   一 方,確 率 論 は 同 じこ ろ,賭 博 な どに関 連 して発 生 した とい わ れ て い る が,保 険 の 発 展 な どに も関 与 しな が ら次第 に数 学 的 理 論 の 形 を整 え て き た.こ れ らの発 展 の 下,18∼19世

紀 の い わ ゆ る統 計 万 能 時 代 をむ か えた.こ

の,い わ ば古 典 的

統 計学 はや が て 沈 静 化 した が,い わ ゆ る小 標 本 の 理 論 に 端 を発 した近 代 的 数 理統 計 学 へ と変 貌 した.ま た,そ の基 礎 と な る確 率 論 も測 度 に 基 づ く確 率 の 定 義 の導 入 に よ って 根 本 か ら整 備 され た.   こ の よ うな進 展 に よっ て,数 理 統 計 学 の 応 用 範 囲 は 保 険,社 会統 計,経 済 統計 とい っ た伝 統 的 分 野 か ら,生 産 管 理,マ ー ケ ッテ ィ ン グ,経 営 学 な どの 部 門,ま た,農 学,生 物 学,医 学 研究 な ど小 標 本 の 分 野,さ

らに,数 理 政 治 学,数 理 文 学

とい っ た人 文 ・社 会 系 で の数 理 科 学 に お い て の 主 要 な 方法 と して種 々多 様 の 分野 に 及 ん で い る.  以 下 にお い て は,以 上 の よ うに 広 範 な 応用 を もつ数 理 科 学 の ひ とつ の 方法 と し て の数 理 統 計 学 の概 要 を述 べ る.そ の た め,ま ず,そ の根 本 の考 え方 であ る母 集

団 と 標 本 に つ い て 述 べ,次 い て 考 え る.こ

れ は,記

に,こ

の 標 本 に つ い て,平

均 値 とい っ たそ の 指標 に つ

述 統 計 と い わ れ る も の で あ る.一

方,母

確 率 モ デ ル と し て,２,３ の 典 型 的 な 確 率 分 布 を 導 入 す る.さ モ デ ル に 基 づ く統 計 的 推 測 に つ い て の 入 門 と し て,仮 る.こ

れ ら は も ち ろ ん 初 歩 的 な も の で あ る.さ

集団についての

らに,こ

れ らの確 率

説 の 検 定 お よ び 推 定 を論 ず

ら に,多

変 量 解 析 な ど で重 要 な 相

関 の 概 念 に つ い て 述 べ る.

(１) 母 集 団 と標 本   現 象 の値 のひ とつ ひ とつ の 現 れ 方 は 全 く不規 則 で も,そ の全 体 を考 え る とき に 存 在 す る規 則 性(統 計 的 法 則)を 探 求 し,利 用 す るの が 統 計 学 とい え る が,こ の よ うな 値 の 全 体 の集 ま りを母 集 団 とい い,そ の ひ とつ ひ とつ の値 を要 素,要 素 の 個 数 を母 集 団 の大 き さ とい う.そ の個 数 が 有 限 で な い とき,無 限 母 集 団 とい う. 母 集 団 の 一 部,す な わ ち,そ の 母 集 団 か ら取 り出 した要 素 の集 ま りを標 本,そ

の

要 素 の 個 数 を標 本 の 大 き さ,母 集 団 か ら標 本 を取 り出 す こ と を標 本 の 抽 出(サ ン プ リング)と い う.   た と え ば,あ そ れ は,人 21138の

る都 市 の 有 権 者 が21138人

と し,い

に よ っ て ま ち ま ち で あ る が,こ

母 集 団 で あ る.こ

の 年 収 だ け を調 べ れ ば,そ

ま 各 有 権 者 の 年 収 を考 え る.

れ ら 全 員 の 年 収 の 集 ま り が,大

の 有 権 者 の う ち か ら1500人

を選 ん で,そ

き さ

れ らの人 々

れ が こ の 母 集 団 か ら抽 出 さ れ た 大 き さ1500の

標本 で

あ る.   あ る 地 点 で の ７月 １ 日 の 雨 量 を過 去,未 に つ い て の 無 限 母 集 団 と い え よ う.ま 点 は 無 限 に あ る わ け だ か ら,無

  一 方,有

来 を通 し て 考 え れ ば,こ

た,あ

れ は そ の雨 量

る 池 の 各 点 で の 深 さ は,そ

の よ うな

限 母 集 団 と な る.

限 の 大 き さの 母集 団 で も,そ れ が非 常 に大 き い ときは 無 限 母集 団 に近

似 す る こ とが 多 い,た

と え ば,あ る年 の20歳

の 日本 人 男 子 の 身 長 は た しか に有

限 な母 集 団 であ るが,こ れ は無 限 と仮 定 した方 が事 情 は簡 単 であ る.   と こ ろ で,統 と で あ る.し

計 の 目 的 は,普

か し,母

集 団 は,有

通,母

集 団 に つ い て の 性 質(規

限 で あ れ 無 限 で あ れ,考

則 性)を

求 めるこ

え られ る実現 可 能 な す

べ て の 要 素 か ら 成 り 立 っ て い る .こ 査)は

可 能 な 場 合 も あ り,そ

し か し,無

限 で あ れ ば,こ

れ ら の す べ て に つ い て 調 べ る こ と(全 数 調

うす る こ と も 多 い.国

勢 調 査 な ど は そ の 例 で あ る.

れ は 一 般 に は 不 可 能 で あ る し,有

う に 非 常 に 大 き い 場 合 は 非 現 実 的 で あ る.ま 均 し て どれ だ け か を 知 る の に,そ

た,出

限 で も,上

の例の よ

荷 用 の １箱 の 電 球 の 寿 命 が 平

の 全 部 に つ い て 調 べ て は 意 味 が な い,と

い うこ

と も あ る.

  これ に対 して,標 本 は 実際 に入 手 した デ ー タで あ っ て,そ れ につ い て の 調 査 は 常 に 可 能 で あ る.こ の こ と を利 用 し,標 本 に つ い て の調 査 に基 づ く知 識 に よ っ て,目 的 とす る母 集 団 の性 質 を推 測 す るの が数 理 統 計 学 の課 題 で あ るが,そ の方 法 の要 諦 は母 集 団 を確 率 モデ ル と して 数学 モ デ ル化 し,確 率 の理 論 を利 用 す るこ とに あ る.   そ の 最 も素 朴 な 現 れ が,古 れ る.そ

れ は,確

典 的 統 計 学 に お け る大 数 の 法 則 の 利 用 に あ る と思 わ

率 論 的 に は,標

本 を 大 き くす れ ば,そ

特 性 に 近 い もの を もつ よ う に な る,と

い う と と で あ る.た

た よ う な お 年 玉 つ き 年 賀 は が き の 「当 た り」が,は な る よ う な も の で あ る が,さ ち,こ

ら に,有

と え ば,第

３章 に 述 べ

が きが 多 けれ ば一 定 の比 率 に

名 な 例 で は 男 女 の 出 生 率 が あ る.す

の 比 は 各 家 庭 で は も ち ろ ん ま ち ま ち だ が,何

に お い て 女 １:男1.04の

れ は あ る意 味 で母 集 団 の

万,何

なわ

十 万 例 で 見 る と,大

体

比 に な っ て い る.

  この よ うない わ ゆ る大 標 本 方 式 が 有 用 な場 合 は も ち ろ ん多 い.し か し,現 実 問 題 と して,標 本 を大 き くで き ない 場 合 が 多 い.た と え ば,ま れ に 起 こ る病 気 の調 査,生 物 学 と くに植 物 学 での 実験 デ ー タ,こ れ と関 連 して 農 学 で の 実験 な ど,さ らに,品 質 管 理 の た めの 抜 き取 り検査 な ど,現 代 社 会 での 多 方 面 の 分 野 に お け る 統 計 処 理 の 実 際 に お い て 起 こ って く る.   この よ うな 要 請 の 下 に,い わ ゆ る小標 本 の理 論 が つ く られ た が,こ れ は別 に標 本 の 大 き さが 小 さ くな くて も よい の で,任 意 の 大 き さに 対 して,そ れ に 対応 す る 確 率 に よっ て 表 され る.す な わ ち,単 に漠 然 と標 本 を多 くす る とい うの で な く, 明 確 に確 率 モ デ ル 化 す るわ け で あ る.し た が っ て,標 本 が 大 き くて も小 さ くて も,確 率論 に 基 づ い て,そ れ ぞ れ に応 じた結 論 が得 られ る.た だ し,結 果 はす べ

て 確 率 で あ っ て,他 の 数 学 の分 野 で は い わ ば100%確 て,常

実 な 結 果 で あ る の に対 し

にそ れ よ り少 な い信 頼 度 の 結 論 を導 き出 す わ け で あ る.こ れ が 確 率 モ デル

化 にお い て の特 徴 で あ る. (２) 記 述 統 計   あ る母 集 団 か ら任 意 に抽 出 され た標 本 の よ うな一 群 の資 料 に対 して,そ の統 計 的 性 質 を表 す た め に,以 下 の よ うな度 数 分 布,平 均,分 散,標 準 偏 差 とい っ た統 計 量 を用 い る.こ の よ うに資 料 を整理 し表 現 す る こ と を,記 述 統 計 とい う. (ａ) 度 数 分 布 ま ず,例

と し て,20名

の学 生 の試 験 の 点 数 が

65   70   85   90   75   50   65   70   55   60 75   65   70   60   70   65   75   80   55   65

で あ っ た と す る.こ

点数

れ を,同

点 者 で 分 類 して

50   55   60   65    70    75    80   85   90

人数

1 

2 

2 

5 

4 

3 

1 

の よ う に 表 し た も の を度 数 分 布 表 とい い,こ   一 般 に,ｎ

1 

1   20 

れ で 点 数 の と れ 具 合 が 見 え る.

個 の 資 料 を Ｎ 個 の 階 級 に 分 類 し,そ

Xi(i=1,2,3,…,N)で

代 表 さ れ る と す る と き,そ

を 資 料 の 総 数 ｎ で 割 っ た 値Fi(=fi/n)を

計

れ ぞ れ の 階 級 で の資 料 の値 が こ で の 資 料 の 数fiを

相 対 度 数 と い う.そ

の と き,度

度 数,fi 数分布

表は

代 表 値

X1  X2  X3…

…  XN

度

f1  f2  f3…

…  fN

数

相対度数 こ こ で,計

F1 

F2 

F3…

…  FN

計 ｎ

１

は

で あ る こ と を 示 して い る.   度 数 分 布 の 図 的 表 現 と して,ヒ

ス トグ ラ ム,お

よ び 度 数 折 れ 線 図 の ２通 りの 方

(ａ)  ヒ ス ト グ ラ ム

(ｂ) 度 数 折 れ 線 図10-2 

法 が あ る(図10-2(ａ),(ｂ)).第 と す る 柱 状 図 で あ る.第

度数分布図

一 の 方 法 は,各

二 の 方 法 は,各

度 数fiの か わ りに 相 対 度 数Fiを

階 級 を 横 軸 に と り,度

点(Xi,fi)を

数 を高 さ

結 ぶ 折 れ 線 に よ っ て 表 す.

用 い る 場 合 も同 様 で あ る.

(ｂ)  平       均 資 料 を(x1,x2,x3,…,xn)と

し て,そ

の 算 術 平 均:

(10.17) を平 均 あ るい は標 本 平 均 とい う. 資料 が階 級 化 され て い る とき は,ｘ を (10.18)

と す る.式(10.17),(10.18)の

ｘ が 同 じ値 に な る と は 限 らな い が,同

の 資 料 値 が そ の 代 表 値 に 等 し い と き は,そ

れ ら は 同 じ で あ る.上

合 で あ り,ｘ は どれ で 計 算 し て もx=68.25と

一階級内

の 例 は,こ

の場

な る.

(ｃ) 分 散,標 準 偏 差 上 の 平 均 ｘ か ら の 偏 差xi-x, 

i=1,2,3,…,nを

考 え,そ

の ２ 乗 の 平 均 値:

(10.19)* を分 散,あ

るい は標 本 分 散,そ の 平 方 根 で あ る ｓを標 準 偏 差 とい う.

  ｓは,標

本 が 全 体 と し て 平 均 値 を 中 心 に ど の 程 度 ま と ま っ て い る か,あ

は,換

言 す れ ば,散

ら ば っ て い る か の 目安 を与 え る量 の ひ とつ で あ る.上

るい の例で

い えば

で,20人

の ク ラ ス 全 体 の 成 績 が,平

均 点 の68.25の

前 後 に,10点

く らい ま で散

ら ば っ て い る こ と を示 し て い る. s2の 実 際 の 計 算 で は,式(10.19)を

変 換 した

(10.20) を用 い る の が 便 利 で あ る(問 題10(９)).

(３) 確 率 分 布  標 本 につ い て の知 識 か ら母 集 団 の特 性 を推 測 す るの に,そ れ が適 当 な確 率 分 布 を もつ もの と して確 率 モ デ ル 化す る. 確 率 分 布 に は離 散 的 と連 続 的 な場 合 が あ るが,そ れ ぞ れ に つ い て普 通,最

もよ

く使 われ る もの を考 え よ う. (ａ) 離 散 分 布 変 量 ｘが 定 数x1,x2,…

* 

こ のs2の

か わ り に,不

な る 値 を と る確 率P(xi)をpi,た

変 標 本 分 散s2n/(n-1)を

だ し

標 本 分 散 と 定 義 す る こ と も あ る.

と す る と き,ｘ

  例 と し て,２ か １か ２,す

を 確 率 変 数,P(xi)=Pi, 

枚 の10円

i=1,2,…

硬 貨 を 投 げ た と き 表 の 出 る 個 数 を ｘ と す れ ば,ｘ

な わ ちx1=0, 

x2=1,  x3=2で

あ り,そ

と裏 の 出 方 が 全 く 同 等 と す れ ば,1/4,2/4,1/4と P(0)=1/4, 

を 確 率 分 布 と い う.

  P(1)=1/2, 

は ０

れ ぞ れ の 起 こ る 確 率 は,表

な る か ら,確

率分 布 は

  P(2)=1/4

と な る. 確 率 分 布P(xi)=pi, 

と し,ｍ

i=1,2,…

に 対 して

を 平 均 あ る い は 期 待 値,σ

を 標 準 偏 差 と い う.

 上 の 例 で m=0×1/4+1×1/2+2×1/4=1(枚)

で あ る.

二 項 分 布     確 率 分 布P(x)が,0≦p≦1,q=1-pに

対 して

(10.21) に よ っ て与 え られ る確 率 分布 を二 項 分 布 とい う.   この 分 布 は,生 起 確 率 が ｐ の事 象 の ｎ回 の 独 立試 行 に おい て,そ の 事 象 が ｘ回 起 こ る確 率 を表 して い る.ま た,

は(p+q)ｎ

の 展 開:

の 各 項 に 相 当 し て い る.し

た が っ て,そ

の 和 は(p+q)n=1で

あ る.

図10-3 

二 項 分布

平 均 ｍ と標 準 偏 差 σ は,そ れ ぞれ m = np,    σ2 = npq

で 与 え られ る.   B(n,p)でp 10-3に

= 0.1に

し て,  n = 10,30,100と

した場 合 の 各 分布 の様 子 を図

示 し て あ る.

ポ ア ソ ン 分 布     確 率 分 布P(x)が,λ

＞0に 対 し て

(10.22) で 与 え られ る 確 率 分 布 を ポ ア ソ ン(Poisson)分   こ こ で,全

確 率 が １に な る こ と は

か らわ か る が,平 m

布 と い う.

均 ｍ,標

= σ2 =

準 偏 差 σ も同 じよ うな計 算 で

λ

と な る.

  図10-4に

お い て 種 々 の λ の 値 に 対 す る ポ ア ソ ン 分 布 の 様 子 が 示 さ れ て い る.

ポ ア ソ ン 分 布 は,ま

れ に 起 こ る,す

な わ ち,生

起 確 率 の 小 さい 事 象 の 統 計 を と る

図10-4ポ

と き 現 れ る の で,小   た と え ば,非 数,次

数 の 法 則 と 呼 ば れ る こ と が あ る.

常 に 難 しい 問 題 に よ る試 験 の 点 数 を 見 る と,零

に １題 で き た(x=1)者

れ ば,そ

ア ソ ン分 布

の 分 布 は 図10-4で

の 数 が ２∼ ３ 名,２ λ=0.3の

  事 実,二

お い てn=λ/pと

し, p→0と

続 分 布 対 し てa≦x≦bで

で 与 え ら れ る と き,f(x)を こ の と き,平

良

分 に 短 い 時 間 内 で の 電 話 交 換 機 の 利 用 度 数 な ど が あ る.

項 分 布B(p,n)に

任 意 の 区 間[a,b]に

の 他,不

名 な 例 で は 子 供 の 自殺 数(こ

(λ)が 示 さ れ る.

(ｂ)連

大多

題 以 上 で きた 者 は い な い とす

場 合 に 似 た グ ラ フ に な る.そ

品 率 が 小 さ い 製 品 の 検 査 で の 不 良 品 の 数 の 統 計,有 れ は ま れ)の 統 計,十

点(x=0)が

均 値 ｍ,お

あ る 確 率P(a≦x≦b)が

確 率 密 度 関 数 と い う. よ び 標 準 偏 差 σ は,そ

れぞれ

す る と, B(P, n)→P0

で与 え られ る.  連 続 分 布 で最 も重 要 な もの は 次 の正 規分 布 で あ る.  正 規 分 布     確 率 密度 関数f(x)が

で与 え られ る連 続 分 布 を正 規 分布 あ るい は ガ ウ スの 分 布 とい う.こ こ で

は ラ プ ラ ス の 積 分:

に よ っ て 示 さ れ る が,平

均 値 お よ び 標 準 偏 差 も,こ

と な る こ と が わ か る.図10-5に

は,そ

れ を 用 い て,そ

の 分 布 の 様 子 を,標

れ ぞ れ ｍ,σ

準 正 規 分 布N(1,0)

の 場 合 に つ い て 示 し て あ る.   正 規 分 布 は,そ

の 発 祥 の 問 題 で あ る 誤 差 の 分 布 を は じ め と し,そ

図10-5 

標 準 正規 分布;N(0,1)

の 例 は 自然

界,人 為 界 の 広 い 分 野 で枚 挙 に い とま が な い.そ の 大 き な理 由は,あ

る確 率 変 数

が 非 常 に 多 くの独 立偶 然 量 の和 で あ る とき は,大 体 に お い て正 規分 布 に な る(中 央 極 限 定 理)と い う性 質 の た め で あ る.こ れ は,た

とえ ば,誤 差 とい っ て もそ の

原 因 は 数 多 くあ り,そ れ らの 影 響 の総 合的 結 果 が あ る誤 差 と して 現 れ て い るこ と な どに 対 応 して い る.   こ の 簡 単 な 場 合 と し て,二

項 分 布 で ｎ が 大 き い と き を考 え て み る.そ

と い う確 率 の 独 立 偶 然 量 の ｎ 個 の 和 の 現 れ で あ っ て,事 と い う ｎ の 大 き な 場 合 を 見 る と,正 実 際,大

き な ｎ の 場 合,二

N(np,  npq)を

(ｃ)標

れ は,ｐ

実,図10-3のn=100

規 分 布 に 似 た 形 を し て い る こ と が わ か る が,

項 分 布B(p,n)を

す る変 数 ｘは 近 似 的 に 正 規 分 布

す る こ と が 示 さ れ る(ラ プ ラ ス の 定 理).

本 分 布

  同 じ母 集 団 か ら抽 出 され る 同 じ大 き さの 標 本 は い ろ い ろ あ り うる.し た が っ て,標 本,平 均 の よ うなそ れ か ら導 け る標 本 統 計 量 の値 も,標 本 の 数 だけ のい ろ い ろな 値 を も ち うる.そ れ ら自体 が あ る統 計 的 性 質 を示 す こ とが あ りう るわ け で あ る.そ の た め に,こ れ らの 値 の 集 ま りにつ い て度 数 分 布 を考 え る.す な わ ち, 与 え られ た 母 集 団 か ら与 え られ た 大 き さ を もつ す べ ての 可 能 な標 本 の 集 ま りに対 して 得 られ る標 本 統 計 量 の 値 の 度 数分 布 を標 本 分 布 とい う.   標 準 的 な 例 と し て,平

均 ｍ,標

準 偏 差 σ の 正 規 母 集 団N(m,σ2)か

た 大 き さ ｎ の 標 本 の 平 均 ｘ の 標 本 分 布 を考 え る と,そ σ/√ｎ の 正 規 分 布,す   一 般 に,平 均 は ｍ,標

な わ ちN(m,σ2/n)と

均 値 ｍ,標

れ は,平

ら抽 出 さ れ

均 ｍ,標

準偏差

な る.

準 偏 差 σ の母 集 団 か らの 大 き さ ｎ の標 本 の平 均 ｘの 平

準 偏 差 は σ/√nと な る.

(４) 統 計 的 推 測   標 本 に つ い て の 知 識 か ら,そ の基 に な る母 集 団 にお け る統 計 的 法則 を推 測 す る の が,数 理 統 計 学 の 大 きな 目的 の ひ とつ で あ る が,こ れ を,記 述 統計 に対 比 させ て,統 計 的 推 測 と呼 ぼ う.統 計 的推 測 の理 論 は,推 定 と仮 説 の検 定 とい う二 つ の 主 要 分 野 に 分 け られ る.以 下,そ れ らを簡 単 な 場 合 につ い て 説 明 しよ う.

(ａ)  推

定

  母 集 団 を規 定 す る定 数,た

とえ ば平 均 値,標 準 偏 差 な どを一般 に母 数 とい い,

個 々 に は 母 平 均,母 標 準 偏差 な ど とい う.母 集 団 につ い ての 統 計 的推 測 は,実 際 上 は,こ れ らの 母 数 の 値 を推 定す る問 題 とな る.母 数 の 推 定 に つ い て は,点 推 定 と区 間 推 定 の 二 つ の 方 法 が あ る.   点推 定 は 母 数 の 近 似 値 を推 測す る もの で,た と え ば標 本 平 均 を もっ て母 平 均 の 点 推 定 値 とす る.こ の とき,標 本 が大 き い ほ どそ の 近 似 度 は よ くな る こ とが 多 い.す な わ ち,大 数 の 法 則,あ る い は も っ と正 確 に は,中 央 極 限定 理 が成 り立 つ 場 合 で あ る.そ れ は,た い て,そ

とえ ば,あ

る年 の20歳

の 日本 人 男 子 とい う母 集 団 に つ

の身 長 の 平 均 値(正 確 に は,身 長 の集 ま りか らな る母 集 団 の 平 均 値)を

求 め た い とき,数 人 か らの標 本 の 平 均 値 で は何 と もい えな い が,多 人 数 を と るほ どは っ き りした 値 が 出 て くる傾 向 が見 られ る.   区 間 推 定 と は,推

定 し た い 母 数 の 値 が あ る 確 率 を も っ て 含 ま れ る 区 間 を,標

統 計 量 を用 い て 指 示 す る方 法 で あ る.そ 規 分 布 を し,か

つ,そ

の 簡 単 な 場 合 と し て,考

の 標 準 偏 差 の 値 σ が わ か っ て い る と き,そ

本

え る母 集 団 が正 の平 均 値 ｍ を

そ の 母 集 団 か ら の 大 き さ ｎ の 標 本 の 標 本 平 均 ｘ に よ っ て 推 定 す る こ と を考 え る.  そ れ は,α う にm1とm2の

を与 え られ た 小 さ な 正 数 と し た と き,母 間 に あ る確 率 が1-α

平 均 ｍ がm1≦m≦m2の

で あ る よ う なm1, m2を

よ

推 定 す る こ とで あ

る.   ま ず,母

集 団 はN(m,σ2)の

ｎ の 標 本 の 標 本 平 均 ｘ は,上

と お く と,ｚ はN(0,1)の

で 表 せ る.そ

こで

正 規 分 布 を な す か ら,そ 記 の よ う にN(m,σ2/n)の

標 準 正 規 分 布 に 従 う.す

れ か ら抽 出 さ れ た 大 き さ 正 規 分 布 と な る.そ

な わ ち, ｚの 分 布 は

こで

を満 足 す るzα(＞0)を 率 は,定

考 え る と,こ

義 に よ っ て1-α

の よ う なzα に 対 して, ｚ が￨z￨≦zα

で あ る確

に な る.

  こ こ で,ｚ を も と の 数 に 戻 す と

こ れ か らm1

≦ m ≦ m2,た

が 得 られ る.す

だし

な わ ち,母

平 均 ｍ は 確 率1-α

でx-σzα/√nとx+σzα/√nの

間

に あ る こ と が 推 定 さ れ る.   こ の と き,α

を 危 険 率,1-α

を 信 頼 度,m1,m2を

信 頼 度1-α

の信頼限界な ど

と い う.   ち な み に,α=0.05の 頼 度1-α

と きzα ≒1.96;α=0.01でzα

  ま た,標

を 高 め れ ば,信

≒2．58で

あ る.一

般 に,信

頼 限 界 は 広 が る.

本 の 大 き さ ｎ を大 き くす る と,x-mは

小 さ く な り,標

本 が大 きい ほ

ど標 本 平 均 が 母 平 均 に 近 づ く こ と に な り,上 記 の 中 央 極 限 定 理 の 成 り立 つ 場 合 に な っ て い る.   例 と し て,あ る と き,そ

る 工 場 の 製 品 の 大 き さ が σ=0.14cmの

れ の49個

に つ い て,大

た と す る.そ

の と き,そ

頼 度95%あ

る い は0.95の

推 定 さ れ る.す

確 率 で 考 え て,そ

なわ ち

と な る.こ

≦m

≦ 36.24

こ で,α=0.01と 36.15

≦m

の 平 均 値 が36.2cmで

の 製 品 の 大 き さ の 母 平 均 ｍ は α=0.05,す

したが って 36.16

き さ を 測 定 し,そ

正 規 分 布 を し て い る とす

≦ 36.25

す れ ば

の 信 頼 限 界m1,m2は

あっ

な わ ち,信 以 下 の よ うに

と な る.

  以 上 は,も

ち ろ ん,い ず れ も簡単 かつ 理 想 的 な 場 合 に つ い て,そ の原 理 を説 明

した の で あ っ て,実 際 上 は 点 ・区 間推 定 とも多 くの 複 雑 な 場 合 が あ りうる.そ れ は,σ 自体 の推 定,母 あ る.ま た,と

集 団 の違 い をそ の平 均 値 の 差 に よ り推 定 す る問 題,等

くに点 推 定 にお いて は,8.3節

々で

に お い て最 小 二 乗 法 と関 連 して 言

及 した最 尤推 定 法 が重 要 な 問題 で あ る. (ｂ) 統 計的 仮 説 の 検 定   標 本 に つ い て の 知 識 か ら,母 判 断,決

集 団 の 統 計 的 性 質 に つ い て の 仮 説 の 「正 し さ 」を

定 す る の が 検 定 の 問 題 で あ る.そ

れ は,た

と え ば,次

の よ うな 問 題 で あ

る.

「従 来 の製 造 過 程 で1/3の

不適格 が出ていた のが

,新

個 に つ い て 見 た と こ ろ,不 適 格 品 は ６個 であ った.新

しい 過 程 で の 製 品50 しい 過 程 は 従来 の もの

よ りす ぐれ て い る と判 断 で き るか」   こ の 場 合,そ らな い.そ

の 判 断 の 真 偽 は,母

れ を,あ

集 団 全 体 を 調 べ な い 限 り絶 対 的 な こ と は わ か

る 危 険 性 を も っ て,確

率 的 に 判 断 し よ う とい うわ け で あ る.

  そ の た めの 方 法 は,数 学 な どで使 わ れ る背理 法 と呼 ば れ る もの と同 じ精 神 で, そ れ に 確 率 の 考 え を加 味 した もの で,い わ ば確 率 的 背 理 法 とで もい うべ き もの で あ る.   背 理 法 で は,Ａ

で あ る こ と を証 明 す る た め に, Ａ で な い と仮 定 し,そ

っ て あ る 矛 盾 に 導 か れ る こ と を示 し,し 結 論 す る.場

合 に よ っ て は,Ａ

き は Ａ で あ る と仮 定 す る.こ で あ る か ら,こ

れ によ

た が っ て Ａ で な くて は な らな い こ と を

で な い こ と を証 明 し た い こ と も あ る が,そ の と き,こ

の 仮 説 は 矛 盾 を 導 き,否

の と

定 され る もの

れ を 帰 無 仮 説 と い う.

  確 率 的 背 理 法 で は,帰 無仮 説 を立 て るが,そ れ に よっ て,完 全 な矛 盾 では な い が 確 率 的 に見 て起 こ りそ う もな い こ とが 起 こ って い る,と い う矛 盾 的 な事 実 を導 き,結 果 と して帰 無 仮 説 を否 定 す るわ け で あ る.   簡 単 な 例 と し て,あ す る と,こ

る サ イ コ ロ を10回

投 げ た ら10回

れ は ち よ っ とお か しい と 考 え る だ ろ う.こ

と も 偶 数 の 目が 出 た と

の 判 断,す

な わ ち,こ

のサ

イ コ ロ は 正 し く な い と い う判 断 の 過 程 を,上

の 確 率 的 背 理 法 で 考 え て み よ う.ま

ず 帰 無 仮 説 と し て 「サ イ コ ロ は 正 し い 」 とす る.そ が 出 る こ と は ほ と ん ど 起 こ ら な い.事

実,そ

こ ろ が 現 実 に そ れ が 起 こ っ て い る.す

な わ ち,確

起 こ っ て い る.し

うす れ ば,10回

と も偶 数 の 目

の 確 率 は1/210=1/1024で

あ る.と

率 的 に 起 こ り そ う も な い こ とが

た が っ て,「 サ イ コ ロ は 正 しい 」 と い う仮 説 −

帰 無仮説−

を 否 定 し,サ

イ コ ロ は 正 し く な い と考 え る,と

い う こ と に な る.

  こ こ で,問

題 と な る の は,確

さ い と い うの を何 に 対 し て い うか

で あ る.こ

れ は,場

率 が 大 き い,小

合 に 応 じて 適 当 に 規 定 さ れ る べ き 性 質 の も の で,こ

有 意 水 準 あ る い は 危 険 率 と い う.普 こ と が 多 い.と %以

く に,薬

通 は0.05(5%)あ

の基 準 を

る い は0.01(1%)を

とる

の 効 用 とか 人 命 に 関 す る よ うな 仮 説 の 検 定 の 場 合 は １

下 に す る こ と が 多 い.

  こ れ と 関 連 し て,こ

の よ う な 判 断 に は 以 下 の よ う な 危 険 性 が あ る.

    第 一種 の 危 険:帰

無 仮 説 が 正 しい に も か か わ らず,こ

    第 二 種 の 危 険:帰

無 仮 説 が 正 し くな い に も か か わ らず,こ

れ を 否 定 す る 危 険. れ を否 定 しな い危

険.   こ れ ら は,判 の 例 で も,サ

断 が 確 率 と有 意 水 準 に 基 づ くた め 必 然 的 に 起 こ る わ け で あ る.上 イ コ ロ は 正 し く て も,た

り う る わ け で あ る か ら,確 た,逆

率 が 小 さ く て も,第

に サ イ コ ロ が 正 し く な い と き,す

有 意 水 準 が 非 常 に 小 さ くて1/10000で で あ る か ら,こ

の よ うに10回

な っ て 第 二 種 の 危 険,あ

と も偶 数 の 目 が 出 る こ と も あ

一 種 の 危 険 は あ る わ け で あ る.ま

な わ ち 帰 無 仮 説 が 正 し く な い と き で も, あ れ ば,確

率1/1024は

こ れ よ り大 き い の

と も偶 数 の 目 が 出 て も お か し く な い と い う判 断 に

る い は 誤 り を お か す こ と に な る.一

き くす る と 第 一 種 の 危 険 が,逆   こ こ で,冒

ま た ま10回

般 に,有

意 水 準 を大

に 小 さ く す る と第 二 種 の 危 険 が 大 き く な る.

頭 の 問 題 に 戻 っ て 「新 し い 過 程 が よ い 」 と い う こ と を 示 す た め,帰

無 仮 説 と し て 「新 し い 過 程 は 改 良 に な っ て い な い 」 と し て,そ

れ を 有 意 水 準 ５%

で 考 え て み よ う.   ま ず,仮 か ら,そ

説 に よ っ て,こ の50個

の 母 集 団 の 不 良 品 生 起 確 率 は 前 と 同 じ く1/3で

の 標 本 を50回

の 独 立 事 象 と す れ ば,そ

あ る

れ が ｘ 回 起 こ る 確 率 は,

前 出 の 二項 分布:

P(x)=(n x)px(1-p)n-x でn = 50, p = 1/3の

場 合 で 与 え られ,そ

≒0, P(5)=0.0001, 

P(6)=0.0004, 

６個 以 下 で あ る 確 率 は0.0005で,  は 否 定 さ れ る.す

の 値 はP(0),  P(1),  P(2),  P(3),  P(4)

P(7)=0.0012, 

… で あ る.し

こ れ は 有 意 水 準0.05に

た が っ て, ｘが

比 べ て小 さい の で仮 説

な わ ち, 新 しい 過 程 は 従 来 の も の よ り よ い と判 断 され る.

  こ こ で, 確 率 と し て は, ｘ が ち よ う ど ６ の 確 率P(6)で Σ6x=0P(x)を 用 い る の が 普 通 で あ る.そ

は な く, x≦6の

れ は, 連 続 分 布 で はP(x)に

は 常 に 零 で あ り, ま た,  も ち ろ んP(X)≦

ΣP(x)で

確率

相 当 す る もの

あ る か ら, ΣP(X)が

小 さけ

れ ば そ れ は 十 分 で あ る か ら で あ る.   連 続 分 布 の 例 と し て, 従 来 の 工 程 で は 平 均 値 ｍ, 標 準 偏 差 σ が 既 知 の 正 規 分 布N(m, 

σ2)を し て い る 母 集 団 に つ い て, 工 程 の 一 部 を 改 良 し て, で き た ｎ個 の

製 品 に つ い て の 平 均 値 ｘ の 値x0が

ｍ と 著 し く違 っ て い る と き, こ の 改 良 は よ か

っ た か ど うか を 判 定 す る 問 題 を考 え る .   まず

と お く と, ｚ は Ｎ(0, 1)の

標 準 正 規 分 布 を す る か ら,  ｜z｜ ≧ ｜Z0｜と な る 確 率

P(｜z｜ ≧ ｜z0｜)は

で あ る.こ

れ を有 意 水 準 の 値 と比 較 して 判 断 す る.

  た と え ば,  従 来 の 製 造 法 で 窒 素 の 含 有 量 の 平 均 値m=20.850%,  σ  = 0.100%で

あ っ た も の を, 工 程 の 一 部 を変 更 した あ と, 10回

し てx0 = 20.947%を とす る と

得 た.そ

標 準偏 差 の 測 定 の 平均 と

こ で, 帰 無 仮 説 と し て, 「改 良 の 影 響 は な か っ た 」

P(￨z￨  ≧  3.07)  = 0.002

と な っ て, 有 意 水 準 を0.05と

し て, 0.002は

小 さ い の で, 仮 説 を 否 定, 改 良 に

よ っ て 影 響 が あ っ た と判 断 され る.

(５) 相       関   多 くの 事 象 が あ る と き, そ れ ら は 全 く独 立 な の か, あ る い は そ の 間 に 多 少 と も 関 連 が あ る の か,  と い っ た 因 果 関 係 の 問 題 は, 複 雑 な 現 象 を考 え る場 合 の 解 析 の 出 発 点 で あ る.た

と え ば, 国 の ア ル コ ー ル ・た ば こ ・コ ー ヒ ー の 年 間 消 費 量, 平

均 賃 金, 年 間 婚 姻 数,  … と い っ た も の の 間 の 関 連, あ る い は, 入 学 試 験 の 国 語 ・ 英 語 ・数 学 ・理 科 ・社 会 の 点, 入 学 後 １年 目 の 成 績, … の 間 の 関 連 と い っ た も の で あ る.   こ うい っ た 関 連 性 に つ い て, た と え ば 図7 -  1に 表 さ れ て い る 電 線 に お け る 電 流 と 電 圧 の よ う に, は っ き り し た 関 係 が あ る も の も あ れ ば,風

が 吹 く こ と と桶 屋

の も う け と の 間 の 関 連 の よ う な ど うか と 思 わ れ る も の も あ る が, 一 般 に は 程 度 に よ っ て い ろ い ろ あ り う る わ け で あ る.   あ る 集 団 の 要 素i(i = 1,  2,  …,  n)の

二 つ の 性 質 ｘ,  ｙ に つ い て の デ ー タ(xi,  yi)を

基 に し て, ｘ,  ｙ の 間 の 関 連 性 を 考 え る.   ま ず,(xi, yi)をi  = 1,  2,  …,  nに

対 してxy平

面 に プ ロ ッ トした もの を相 関 図 と

い う.   具 体 的 な 例 と し て, 10人 期 の 成 績(ｙ)と

の 学 生(n=10)に

の 関 連 を考 え る.各

つ い て, そ の 前 期 の 成 績(ｘ)と

後

人 の 成 績 点(xi, yi)は

ｉ

  1 

2 

3 

4 

5 

6 

ｘ

  75 

55 

60 

50 

70 

ｙ   65 

65 

55 

65 

75 

7 

8 

9 

10

70 

55  40 

85 

60

60 

60  40 

90 

55

の と お り で, こ れ に 対 す る 相 関 図 は 図10 -  6の よ う に な る.   こ の 図 に よ っ て, ｘ,  ｙ が 大 体 ど の よ うな 関 係 に あ る の か が わ か る が,一

般的 に

図10-6 

相 関 図 と回 帰 直線

い っ て, そ れ らの 関 係 が 密 な ほ ど点 の 散 ら ば りは少 な く,図7  -  1に 見 られ る電 流-電 圧 の 場 合 の よ うに線 状 に 集 ま る.逆 に, 関 係 が薄 い ほ どそ れ は 散 ら ば る こ と にな る.   この よ うな状 況 を数 量 的 に表 す た め の量 が相 関 係 数, 回帰 直 線 な どで あ る. 相関係

γは

(10.23) で 定 義 さ れ る.   こ こ で, ｘ,  ｙ が 線 型 関 係, す な わ ちyi=axi+b(ａ,  10(13))と r  = 0で

な る が,  一 般 に は-1≦r≦1で

あ る.こ

の た め, 普 通￨r￨の

ば, 上 記 の 例 で はr=0.797で

あ る.

ｂ ：定 数)な

ら, ￨r￨  = 1(問 題

あ り,  と く に ｘ,ｙに 関 連 が な け れ ば 大 き さ で 関 連 の 度 合 の 目安 と す る.た

とえ

  回 帰 直 線 は,デ

ー タ(xi,yi),  i=1, 2,  …  ,nに 対 し て 最 小 二 乗 法(8.3節)に

よっ

て 定 め た 直 線 で あ り, そ れ は

(10.24) で 与 え られ る(問 題10(13)).上   と こ ろ で,上

記 の 例 の 回 帰 直 線 は 図10 -  6に 示 し て あ る.

の よ うな 解 析 は,(ｘ,ｙ)に

つ い て 母 集 団 か らの ｎ個 の見 本 につ い

て 行 っ た も の と解 釈 す べ き で あ っ て, 本 来 の 目的 は, 母 集 団 に お け る ｘ と ｙ と の 関 係 の 究 明 で あ る.し

た が っ て, そ れ は, 上 の よ う な 見 本 に つ い て の 値 か ら推 測

し た り, ま た そ の 値 の 精 度 の 検 定 も必 要 と な る.   さ ら に,一

般 に は,多

く の 事 象 が 関 連 し合 っ て い る わ け で あ る か ら,こ

多 変 量 に つ い て の 解 析 が 必 要 と な る.そ

の た め に は,各

く の 相 関 に つ い て の 考 察 が 必 要 で あ る.こ ど と呼 ば れ,心

理 学,社

れ らの

変 量相 互 間 そ れ ぞ れ の 多

の よ うな 分 野 は 因 子 分 析,相

関 分析 な

会 科 学 な ど複 雑 な 現 象 を考 え る分 野 で は基 本 的 に重 要 で

あ る.

10.4 

情

報

理

論

(１) 情報 理論 とは   情 報 とい う言 葉 は 現 在,新 聞,雑 誌,テ

レ ビは も と よ り,日 常 の会 話 で も ほ と

ん ど至 る と こ ろで 出 て く る.現 代 は,情 報 化 社 会,あ

るい は もっ と極 端 に は 高度

情 報 化 社 会 な ど と呼 ば れ る.   こ の よ うな情 報 につ い て の科 学 が 情報 科学,そ

れ を種 々 の実 際 の 問 題 に応 用 す

る の が情 報 工 学 と一 応 い え よ う.と くに,情 報 の発 生,伝 送,受 信 な どの様 相 を 数 量 化 し研 究 す る の が情 報 理 論 であ る.そ れ は,情 報 とい う現 象 を数学 化 して研 究 す る とい う意 味 で,ま さに 数理 科 学 の分 野 で あ る が,こ の情 報 科 学 は 従来 の 自 然 科 学 の よ うない わ ばエ ネ ル ギ ーや 物 質 に関 す る現 象 につ い て の 科学 に対 して, 情 報 とい うそ れ と全 く関 係 の な い現 象 につ い ての 新 しい科 学 であ る.そ のた め,

し ば し ば 情 報 革 命 な ど と い わ れ る.こ

れ は,18世

業 革 命 に 対 比 さ せ て い る わ け で あ る が,事

紀 末 か ら始 まっ た い わ ゆ る産

実 こ の 産 業 革 命 は,エ

ネ ル ギ ー関 係 の

科 学 の 発 達 に 基 づ い て い た とい え よ う.   情 報 理 論 は 近 年 の 通 信 手 段 の 発 達 に つ れ,そ 第 二 次 大 戦 前 後 に 発 生 し た が,と (Shannon)の

く に1948年

に 発 表 さ れ たC.E.シ

ャ ノ ン

画 期 的 な 論 文 「通 信 の 数 学 的 理 論 」 に よ っ て ほ と ん ど完 成 した 形 で

つ く り出 さ れ た.現

代 の 情 報 革 命 を推 進 し て い る 最 も 大 き な 原 動 力 が 電 子 計 算 機

の 発 達 で あ る こ と は 言 を ま た な い が,こ り,こ

の 効 率 向 上 の 問 題 な ど に 関 連 し,

れ は,過

れ の 理論 的支 柱 の ひ とつ が情 報 理 論 で あ

去 に お け る ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学,ニ

ュ ー ト ン力 学 の 出 現 と も対 比

さ れ る ほ ど大 き な 理 論 と 考 え ら れ て い る.   一 方,同

じ1948年

ク ス 」は,動

に 発 行 さ れ た Ｎ.ウ イ ナ ー(Wiener)の

著 書 「サ イ バ ネ テ ィ

物 と機 械 に お け る 通 信 と制 御 の 統 一 的 理 論 を展 開 した.こ

れ らの 二

つ の 理 論 は 広 く情 報 科 学 の 基 礎 と 考 え ら れ て い る.   情 報(information)と 応,定

は,そ

義 で き よ う.し

た が っ て,そ

て は じ め て 意 味 を も つ.す て い る.こ

こ で の 通 信 は,無

は も ち ろ ん 会 話,読   と こ ろ で,世

れ に よ っ て 何 か 知 ら な か っ た 知 識 を 得 る も の と一

書,絵

れ 自 身 で は あ ま り存 在 価 値 が な く,伝

な わ ち,通

信 とい うこ と とい わ ば表 裏一 体 の関 係 を し

線 通 信 と い っ た 狭 い 意 味 の も の か ら,テ 画,…,と

の 中 が 進 歩 し て,電

う.た

と え ば,手

信,電

る.し

紙 で拝 啓 と 書 く の な ど は そ う で あ る が,も

啓,な

力,無

っ と複 雑 な 例 で は,

れ だけ無 駄 があ るわ けで

ど は 無 作 法 で な い と い う情 報 を 与 え て い る と も い え

数 で 金 額 が 決 ま る 電 報 な ど で は,な

ク 」 と い っ た 風 に な る.同 で,極

れ に は無 駄 を省 くこ

の 場 合 の 無 駄 と は 相 手 に わ か っ て い る こ と を伝 え る こ と で あ ろ

っ と も,拝 か し,字

画

話 な ど の 通 信 量 が 多 く な る に つ れ て,

古 書 な ど多 少 の 虫 食 い な ど あ っ て も復 元 で き る の は,そ あ る.も

レ ビ,映

に か く何 か を伝 え る こ と を意 味 す る.

そ れ を効 率 的 に し よ う と す る要 求 が 出 る の は 当 然 で あ る.そ と に な る が,こ

達 され

じ よ う な 例 で,新

る べ く用 件 だ け の 「ア ス ユ

聞 の 広 告 な ど も費 用 との 兼 ね 合 い

駄 を 省 き,

    「… …104m2和8･6･4.5 

洋6 

LD  12 K 4  角 地 陽 秀 … … 」

の よ う に な る か ら,１

字 が 消 え る か 間 違 っ て も 内 容 が 伝 わ りに く い .

  こ の よ う な 用 件 だ け を 正 確 か つ 能 率 よ く伝 え る 方 法 と し て,符 が あ る.慶

号 化(coding)

弔 電 報 な ど全 文 で な く,「 ケ ３」 と い っ た 番 号 で 申 し込 み,送

る の は,

そ の 例 で あ る.そ

の 場 合 に 使 うモ ー ル ス 信 号 自 身 も そ の 典 型 的 な 例 で あ る が,こ

れ も 英 文 で は,効

率 を よ くす る た め,一

る.こ

れ に 対 し て 日本 文 の 場 合 は,単

い るの で あ ま り効 率 は よ くな い が,効 も よ か っ た.し

か し,通

番 多 く 使 う ｅ が 一 番 短 い 「・ 」に な っ て い に ａ,  ｂ,  ｃ,  … を ア,  イ, ウ,… に 対 応 さ せ て

率 が そ れ ほ ど 問 題 に な らな け れ ば,こ

信 量 が 多 く な っ て く る と,こ

れ で

の よ う な 無 駄 は 少 な く した

く な る.   効 率 的 で あ る た め に は,さ (capacity)が

ら に 通 信 の 速 度 の 問 題 が あ る.通

許 す 限 り速 い 方 が よ い,す

な わ ち,多

信 線 の容 量

くつ め こ ん だ 方 が よ い .書

や 本 で も １ ペ ー ジ あ た り許 す 限 り多 くの 字 を 入 れ た 方 が 効 率 が よ い.も あ ま り細 か す ぎ て は 逆 に 読 み に く くな る.ど

類

ち ろ ん,

の程 度 に す れ ば一 番 よい か が 問 題 で

あ る.   と こ ろ で,一 が あ る.そ

見 無 駄 に 見 え て も そ れ は 完 全 に は 無 駄 と は 限 ら な い,と

れ は,普

か(S/N比)が

通 の 通 信 に は 雑 音(noise)が

到 達 し な い か ら で あ る.こ

ざ わ し た 音 な ど の ほ か,活

あ っ て,信

の 場 合,雑

い う事 実

号(signal)の

音 と は,文

い くら

字 どお り,ざ

字 の ミ ス プ リ ン ト,画 面 の 乱 れ な ど広 い 意 味 で 信 号 を

妨 害 す る も の を 意 味 す る.し

た が っ て,完

全 に 無 駄 の な い も の を 送 れ ば,上

告 や 慶 弔 電 報 な ど の 例 か ら わ か る よ う に,ち る.逆

に,相

当 に 無 駄 が あ る か ら,が

り,虫

食 い 文 が 復 元 で き た りす る.も

宙 通 信 な ど で,同

の広

ょ っ との ミス で 意 味 が通 じな くな

や が や し て い る と こ ろ で も会 話 が通 じた っ と 積 極 的 に は,電

話 で 電 報 を送 る よ うな

場 合,「 カ ラ カ サ の カ 」 と い う 風 に 無 駄 を 入 れ て 間 違 い の な い よ う に す る.も と 極 端 な 例 で は,宇

わ

っ

じ 信 号 を繰 り返 し て 送 っ て 雑 音 に 打 ち 勝 つ

よ うに して い る.   正 確 な 知 識 を 効 率 よ く送 る と い う こ と は,こ す ま す 必 要 と な っ た が,情 も の と い え よ う.

の よ うに世 の 中 の 進 歩 と と もに ま

報 理 論 は そ の よ う な 要 求 に 対 して つ く ら れ,発

達 した

(２) 情  報  量   情 報 は,文

字 で も 言 葉 で も,ま

で あ る が,そ

れ の 量 と は 何 で あ ろ うか.同

た 絵 で も,と

に か く何 か あ る知 識 を与 え る も の

じ本 で も,内

で な い 人 に 対 し て は 与 え る量 は 同 じ で は な い.知 い る 人 よ り も 大 き い は ず で あ る.す ュ ー ス ・バ リ ュ ー のvalueに さ が こ のvalueの

らな い 人 の 得 る情 報 量 は 知 っ て 報 に は 大 小 が あ る .こ

れ は,ニ

あ た る わ け で ,と

くに 新 聞 で は,見

出 しな どの大 き

大 小 に 従 っ て つ い て い る.よ

くい う よ うに,犬

が 人 をか ん で も

ニ ュ ー ス に な ら な い が,人 い う の は,普

な わ ち,情

容 を知 っ て い る 人 と そ う

が 犬 を か め ば そ れ は ニ ュ ー ス とな る .人

通 は 起 こ ら な い,あ

が犬 をか む と

る い は 起 こ る 可 能 性 が 小 さ い.そ

の で 大 き な 情 報 と な っ た .可 能 性,す

な わ ち,起

と そ の 情 報 が 大 き く 思 え る わ け で あ る.こ

れ が起 こ った

こ る確 率 が 小 さい こ とが起 こ る

の こ と か ら,「 確 率 の 逆 数 」で 情 報 量

の 大 き さ を決 め るわ け で あ る.   正 確 に は,生

起 確 率 が ｐ の 事 象 が 起 き た と き の 情 報 量 はShannonが

文 に お い てHartleyの

上 記 の論

説 を採 用 し て

log2(1/p) と 定 義 し,そ

の 単 位 を ビ ッ ト(bit, binary digit)と

  こ こ で,1/p自

身 で な く,そ

し た.

の 対 数 を と る の は,人

間 の 感 覚 で は刺 激 が指 数 関

数 的 に 増 大 し て は じ め て 一 様 に 増 大 す る よ うに 感 じ る と い う心 理 学 の 法 則(ウ ェ ー バ ー の 法 則)に

対 応 して い る .他

を 測 る の に 使 う デ シ ベ ル は,音

の 例 で も,騒

音 規 制 な ど で よ く聞 く,音

圧 Ａ の 対 数20log10Aで

あ る .す

量

な わ ち, A2に

な っ て 耳 で は ２倍 に 感 じ る か ら で あ る.   さ ら に,対

数 の 底 が ２ で あ る こ と は,１(ビ

に 一 つ の 確 率 の も の,あ 意 味 す る.こ

れ は,普

通 の 通 信 で は,た

ュ ー タ な ど,on-offの る.こ

の 場 合,Ｎ

る い はyesかnoの

な わ ち,二

つ

質 問 に 対 応 す る情 報 量 で あ る こ と を と え ば テ レ タ イ プ,テ

レ ビ,ま

たコ ンピ

組 み 合 わ せ で送 る機 構 に な って い る こ とに も関 連 し てい

個 のon-offか

そ の 情 報 量 は 単 に Ｎ(ビ

ッ ト)がp=1/2,す

ら で き て い れ ば 可 能 性 の 数 は2Nで

ッ ト)と な る.昔,ラ

ジ オ の 人 気 番 組 で20回

あ る か ら, の質問 と

そ のyesかnoの

答 に よ っ て 内 容 を 当 て る も の が あ っ た が,こ

れ は 正 に20(ビ

ッ

ト)以 内 の 情 報 に よ っ て 当 て る わ け で あ る.   い ま64台

の 同 種 の 車 が あ り,そ

れ16台,一

方,そ

の1/4が4-doorで

が 白 い と わ か っ た ら,そ に あ た る.そ 4-doorと

32

で,そ

れ が4-doorと

1

=1

/4

/8

×

の 情 報 量 は ３(ビ

で あ る.こ

が 白 色,ま

あ る とす る.こ

の 確 率 は32/64で

た 赤 と水 色 が そ れ ぞ

の 種 の 車 が通 っ て そ の 色

あ る か ら,こ

知 っ た ら 確 率1/4で

両 方 わ か れ ば,そ

/64

の うち32台

れ は １(ビ ッ ト)の 情 報

２(ビ

ッ ト),そ

れ が 白い

の確率は

ッ ト)と な る が,そ

の よ う に 対 数 を 使 う こ と は,掛

れ は 上 の １(ビ ッ ト)+２(ビ

ッ ト)

け 算 で な く加 え 算 に な る の で 直 観 的 に

わ か りや す い.   情 報 の エ ン トロ ピ ー     上 の 例 で は,64台

の 車 の 種 類 は み な 同 じ,す

そ れ ら の 出 現 確 率 は 等 し い と考 え て い る が,出

な わ ち,

現 の 確 率 が 違 う場 合 に つ い て,そ

の 情 報 量 を考 え る.   簡 単 な 例 と し て,ａ,ｂ つ い て 見 る.確

の二 つ の 野 球 チ ー ムの 試 合 の 結 果 を聞 い て 得 る情報 量 に

率 が 同 じ,す

な わ ち1/2,あ

力 に つ い て 何 の 知 識 も な け れ ば,そ しか し,極

端 な 場 合 で,ａ

も な い,す

な わ ち,情

割 で あ る と す る.こ

る い は 聞 く 人 が そ れ らの チ ー ム の 実

の 情 報 量 は 上 の こ と か ら １(ビ ッ ト)で あ る.

が プ ロ チ ー ム, ｂ が 高 校 チ ー ム な ら,結

報 量 は ０ で あ る.そ

れ ほ ど で な く て,ａ の 勝 つ 見 込 み が ８

の と き,

ａ が 勝 つ と す れ ば,そ

れ に よ る 情 報 量 は   log2(1/0.8)

ｂ が 勝 つ と す れ ば,そ

れ に よ る情 報 量 は   log2(1/0.2)

で あ る が,ａ,ｂ

が 勝 つ 確 率 は そ れ ぞ れ0.8,0.2で

わ け で あ る か ら,そ

の ど ち らに な る と し て も,そ

あ り,そ

は,そ

の 値 は 当 然,１

よ り小 さ い.そ

のいずれ かが起 こる

れ に よ る情 報 量 の 期 待値 は

0.8×log2(1/0.8)+0.2×log2(1/0.2)≒0.72(ビ

で あ る.こ

果 は 聞 くま で

ッ ト)

れ は,８

れ だ け 結 果 に つ い て 知 っ て い る わ け で,情

割 勝 つ 見 込 み だ とい うこ と

報 量 と は 知 らな さ の 度 合 の こ と

で あ る こ と に 対 応 し て い る こ と を示 し て い る.   ａ が 勝 つ 確 率 が ｐ の と き は,上

の式 は

plog2(1/p)+(1-p)log2{1/(1-p)} と な る が,一

般 に,ｎ

個 の 可 能 性 が あ る と き,そ

れ らの 生 起 確 率 を

と した と き,そ の どれ か に決 ま る と きの 情報 量 Ｈ は

と な る.   Ｈ を エ ン ト ロ ピー,あ   Ｈ は,統

る い は 平 均 情 報 量 と い う.

計 力 学 で い うBoltzmannの

エ ン トロ ピ ー と 同 じ 形 を し て い る の で,

そ の 名 が つ け ら れ て い る.

(３) 情 報 源,符 号 化   情 報 を送 る た め の 媒 体 と し て,た う な も の を抽 象 化 し て,い あ る と し て,こ

くつ か の 文 字a1, a2,…,anを

れ か ら の 文 字 の 系 列x=x1,…,xNを

mation  source)と … な ど の48文

と え ば テ レ ビ で は 絵 と 言 葉 で あ る が,こ

い う.言

含 む ア ル フ ァベ ッ トＡ が

出 力 す る も の を情 報 源(infor-

葉 な どは 正 に こ れ で,た

字 が Ａ と い え よ う .そ

の よ

と え ば 日本 語 は,イ,ロ,ハ,

の ほ か 音 楽 な ど も,い

ろい ろ の音 の系 列

と 考 え られ よ う.   こ れ ら の う ち,た

と え ば 普 通 の 言 語(自

い 文 が 判 読 で き る の は そ の た め で あ る が,そ

然 言 語)に

り,そ

れ が 文 字 に よ っ て 違 う.英

ら,何

も見 な い で も,ｅ が 出 て い る と い え ば,そ

た る 確 率 が は る か に 高 い.す 減 る.ま

た,あ

こ と が 多 い.し

食

ず 字 に は 使 う頻 度 が あ

語 の 場 合 で い え ば,ｅ の 字 の 頻 度 が 一 番 多 い か

な わ ち,そ

れ は ｑの 字 が あ る とい うよ り当

れ だ け 知 っ て い る わ け で あ り,情 報 量 は

る 字 は 前 の 字 と関 連 が あ り,た た が っ て,あ

は 相 当 の 無 駄 が あ る.虫

の 理 由 は,ま

と え ばthと

続 け ば次 は ｅ と くる

る 信 号 の エ ン ト ロ ピ ー を求 め る に は,１

字 の 頻 度,

２字 が 続 く 頻 度,３

字 が 続 く 頻 度,…

実 測 に 基 づ く統 計 を 用 い て,情   た と え ば 英 語 で は,１ と こ ろ で,英

1/26に

れ らの 頻 度 の

報 源 の エ ン ト ロ ピー が 逐 次 近 似 的 に 求 め られ る.

字 あ た りの 平 均 情 報 量 Ｈ は １ ビ ッ ト強 で あ る と い う.

語 の ア ル フ ァ ベ ッ ト26文

情 報 量Hmは,文

を 考 慮 す る 必 要 が あ る.こ

字 に よ っ て 得 る 最 大 の １字 あ た り の 平 均

字 が 関 連 な く 同 じ頻 度 で 用 い られ る場 合,す

な わ ち,確

率 が

対 応 す る エ ン トロ ピー で あ っ て Hm  = -log2  (1/26)  ≒  4.75  ビ ッ ト

で 与 え られ る.   Ｈ のHmに

対 す る 割 合H/Hmを

度(redundancy)と

情 報 源 の 相 対 エ ン トロ ピ ー,1-H/Hmを

冗長

呼 ぶ.

  上 の英 語 の 例 では H/H  m ≒  1/4.75  ≒  0.79,    1-  H /  H m ≒  0.81 

で あ っ て,約80%が

無 駄 と い う こ と に な る が,あ

と し て 決 ま っ て し ま っ て い る と も い え る.し 20%で

/4で

た が っ て,英

言 葉 の構 造

語 を 使 う と き,残

りの

字 の 必 要 は な い わ け で あ る.す

なわ

情 報 を伝 え る わ け で あ る.

  こ れ を 効 率 よ く 伝 え る に は,実 ち,１

る い は,80%は

字 あ た り １ ビ ッ ト強,か あ る か ら,最

は26文

りに こ れ を ２ と して も,頻

も 有 効 に,独

度 確 率 で い っ て1/22=1

立 で 同 じ 頻 度 で 使 う と し て,４

文 字 あれ ば十 分

と い う こ と に な る.   で は,こ

の ４文 字 を ど うつ く る か とい う こ と が 符 号 化(coding)の

こ れ は,大

体 に お い て,出

現 頻 度 の 高 い 字 を 短 く,逆

符 号 を割 り当 て る こ と に よ っ て 得 られ る.こ い わ け で あ る.実 て る な ど,こ 号 は,単

際,英

文 の モ ー ル ス 符 号 は,一

の よ う な 精 神 で 構 成 さ れ て い る.こ

に ア,イ,ウ,エ,オ,…

で に 述 べ た.い

れ は,そ

ず れ に し て も,モ

に,頻

問 題 で あ る.

度 の 低 い もの に長 い

れ ぞれ の文 字 が独 立 な らよ

番 頻 度 の 高 い ｅ に 「・ 」 を 割 り当 れ に 対 し て,日

本 の モ ー ル ス符

をそ の ま ま ａ,ｂ,ｃ,…に 対 応 さ せ て あ る こ と は す ー ル ス 符 号 の 導 入 が,情

以 前 の こ と で あ る の は 興 味 が あ る が,こ て は 複 雑 か つ 処 理 時 間 が か か る の で,実

報 理 論 が で き る は るか

の よ うな 可 変 長 の 符 号 化 は 計 算 機 に 対 し 用 的 に は 固 定 長 符 号 化 を使 うこ と が 多 い.

  符 号 化 の 問 題 は,通

信 を 送 る 通 信 路(channel)が

単 位 時 間 に何 字 送 れ るか とい

う 通 信 路 の 容 量 Ｃ(ビ ッ ト/時 間)と 関 連 して い る.こ ら 単 位 時 間 あ た り Ｈ ビ ッ トの 情 報 を 送 り 出 し,そ 達 す る と き,単

号/時 間)の

る情 報 源 か

れ を容 量 Ｃ を も つ 通 信 路 で 伝

位 時 間 あ た り の 伝 達 す る 文 字 の 量 は,理

に よ っ てC/H(符   次 に,(１)項

れ に つ い て,あ

論 的 に は,適

当 な符 号 化

平 均 速 度 に い く ら で も 近 づ け る こ と が で き る.

で も 述 べ た よ う に,通

信 路 に は 雑 音 が 入 る の が 普 通 で あ る が,こ

の 場 合 に い か に し て 正 確 な 情 報 を伝 達 す る か が 問 題 で あ る .こ

れ に は,上

に述べ

た 「カ ラ カ サ の カ 」 と い っ た 方 法 が 自然 に 考 え ら れ て い た わ け で あ る が,こ は 無 駄 が 多 い.こ

れで

れ を 効 率 よ くす る こ と が 必 要 と な る.

  通 信 に 雑 音 が あ れ ば,受 違 っ て い な け れ ば,送

け 取 っ た 信 号 は 送 っ た もの とは 違 っ て く る が,完

受 信 の 信 号 の 間 に あ る 関 連 を利 用 し て,そ

け の 情 報 を 得 る こ と は で き る.し

た が っ て,そ

全に

れに見合っただ

の 雑 音 分 だ け余 分 に 送 れ ば よ い こ

と に な る.   一 般 に,ｘ,ｙ と い う二 つ の 現 象 が あ っ た と き, ｙ を知 る こ と に よ っ て 得 られ る ｘ に つ い て の 情 報 の 量 を 条 件 付 き エ ン トロ ピー とい い,Hy(x)と      

Hy(x)=H(x, 

と 書 け る.こ

書 く と,

y)-H(y)

こ で,H(x,y)は

ｘ,ｙに つ い て 何 も 知 らな い と き の エ ン ト ロ ピー,

H(y)は

ｙ に つ い て の 情 報 量 で あ る.す

H(y)だ

け 減 少 し た こ と を表 す 式 で あ る.

な わ ち,H(x,y)が

ｙ につ い て わ か った

  こ こ で,ｘ,ｙ を そ れ ぞ れ 送 ・受 信 側 とす る と,雑

音 の あ る通 信 で受 信 した 情 報

量 だ け 知 ら な い こ と が 減 っ た こ と に な っ て い る.同

様 に して

          Hx(y)

= H(x, y) - H(x)

が 成 り立 つ が,こ

れ は,H(x)を

送 れ ば ｙ で は ど れ だ け わ か る か を示 す.

 そ こで           R = H(x)

- Hy(x)

な る 量 を 考 え る.Hy(x)は,雑 は 知 りた いH(x)に           R = H(x)

音 が あ っ て も と に か く わ か っ た 量 で あ る か ら, Ｒ

つ い て ま だ わ か ら な い 量 を表 し て い る.こ + H(y)

- H(x,y)

れ は上 式 か ら

と も 書 け る.   Ｒ は 雑 音 に よ り 妨 害 さ れ た 量 と も考 え ら れ る か ら,こ て や れ ば よ い こ と に な る,精

確 に は,ｘ

の 分 だ け余 分 に 通 信 し

で用 い る情 報 源 に つ い て の Ｒ の 最 大 値

Ｃ: C = m a  x (  H  (  x  )  - H y (  x  )  ) 

を 容量 とす る通 信 路 に 対 して H≦Cな

ら,い

く ら で も小 さい 誤 字 率 で 送 れ る.

H＞Cな

ら,大

体 に お い て そ れ はH-Cよ

り小 さ く で き な い.

と い うこ とが 示 され て い る.   情 報 理 論 は 情 報 科 学 の基 礎 と して現 代 の情 報 化 時 代 の 大 き な支 え とな って い る が,そ れ は,大

きな学 問 の分 野 と して ます ます 発 展 して い る.上 の 記 述 は,そ の

ほ ん の初 歩 的 な 一 部 にす ぎな い.し 概 念,あ

か し,「 情 報 」とい う一 見 と ら え よ う もな い

るい は現 象 が,ど の よ うに して定 量 化 され,数 学 モ デル 化 され るか とい

う過 程 に つ い て は,十 分 に理 解 され る と思 う.こ の数 学 モ デル は,強 い て 分類 す れ ば 確 率 モ デ ル で あ る が,完 全 にそ れ と も言 い 切 れ な い.そ れ は,数 理 科 学 の ひ とつ の大 きな系 譜 とい え よ う.

10.5 

線 型 計 画 法

(１) 線 型 計 画 法 とは   た と え ば,毎

日,何

百 と い う ジ ェ ッ ト機 を,何

百 と い う都 市 間 に,何

千 とい う

従 業 員 に よ っ て 運 航 し て い る航 空 会 社 に と っ て,そ

の 円 滑 で 効率 の よい 運 営 は 大

き な 問 題 で あ る.ま

地 に あ る工 場 か らの 製 品 を,

た,あ

る 製 造 会 社 に と っ て,各

こ れ も 各 地 に あ る 倉 庫 に 配 送 す る の に,毎 す れ ば 最 も 効 率 が よ い か,と に,い

日の 需 要 と 合 わ せ て,ど

い っ た 問 題 を,下

の よ うに配 送

の 簡 単 な 例 で 示 され て い る よ う

く つ か の １次 方 程 式 や １次 不 等 式 に よ っ て モ デ ル 化 し,そ

の 条 件 の 下 で,

変 数 の １次 式 の 値 の 最 大 あ る い は 最 小 を 求 め る こ と に 帰 着 させ る.

  こ の よ うな 方 法 を 線 型 計 画 法(Linear 

Programming:LP)と

戦 中 に 軍 事 目的 の た め 考 え 出 さ れ た と い わ れ て い る が,そ 機 の 発 達 と関 連 し て 大 き く進 展 し,今 社 の 運 営,工

  こ の 方 法 は,も

学 や 産 業 に お け る さま ざま の

る状 況 下 で の最 適 値 を求 め る方 法 の一 種 で あ

適 を 求 め る と い う様 相 の 数 学 モ デ ル 化 と い う意 味 で,最

(オ ペ レ ー シ ョ ン ズ ・リ サ ー チ),ダ

  と こ ろ で,こ

適 制 御,OR

イ ナ ミ ッ ク ・プ ロ グ ラ ミ ン グ,…

といった

理 科 学 の 新 しい 大 き な 分 野 の ひ と つ で あ る.

の 方 法 自 体 の 原 理 は 上 の よ う に 簡 単 な も の で あ る が,実

で は 変 数 や 方 程 式 の 数 が 多 い の で,そ る.そ

の 後 は と くに 電 子計 算

くて は な らな い も の と な っ て き て い る.

っ と 一 般 的 に,あ

も の の 一 種 と して,数

の た め に は,線

二次大

記 の よ うな 問 題 を 例 と し て,会

場 の 生 産 計 画 や 環 境 保 護 計 画 な ど,科

問 題 を処 理 す る 上 で,な

っ て,最

日 で は,上

い い,第

際の問題

れ か ら解 を具 体 的 に 求 め る こ と が 問 題 と な

型 計 画 法 の 創 始 者 と い わ れ る ス タ ン フ ォ ー ド大 学 の Ｇ.ダ

ン ツ ィ ク 教 授 に よ っ て1947年 る.こ

れ に よ っ て 現 在 で は,大

個,変

数 に い た っ て は100万

に 開 発 さ れ た 単 体 法(simplex  型 コ ン ピ ュ ー タ を 使 い,方

method)が 程 式,不

等 式 は数 万

個 く ら い の も の ま で 解 け る と い わ れ る.し

複 雑 な 問 題 に 対 して は こ れ で も 不 十 分 で あ っ て,も

使 われ

か し,

っ と能 率 の よい 方 法 を 目 ざ し

て 研 究 が 行 わ れ て い る.   以 下,線

型 計 画 法 の 内 容 に つ い て,簡

単 な 例 に よ っ て 説 明 し,さ

らに単 体法 に

つ い て 簡 単 な 解 説 を 行 う.

(２) 簡 単 な例:幾 何 学 的 解 法   あ る 洋 裁 店 に,綿

地 が80m2,ウ

と ド レ ス をつ くっ て 売 りた い が,そ 純 化 し て,ス 地,ウ

ー ツ １着 に は １m2の

ー ル 地 と も ２m2必

とす る.こ

の と き,問

ー ル 地120m2の

在 庫 が あ る.こ

の も う け を最 大 に した い.そ 綿 地 と ３m2の

要 で あ り,１

ウ ー ル 地 が,ド

れ でスーツ

こ で,問

題 を単

レ ス １着 に は 綿

着 あ た りの も う け は と も に ２万 円 で あ る

題 は ス ー ツ と ドレ ス を何 着 ず つ つ く れ ば よ い か と い う こ と

に 帰 着 す る.   そ こ で,ス

ー ツ の 数 をx1着,ド

レ ス の 数 をx2着

とす る と,以

下 が 成 り立 つ.

綿 地 が80m2で x1+2x2 

あ るか ら

(10.25)

≦  80

ウ ー ル 地 が120m2で 3x1+2x2 

あ るか ら

(10.26)

≦ 120

さ ら に,

(10.27)

x1 ≧  0,    x2 ≧  0 が 成 り 立 つ.   一 方,ス

ー ツ,ド

レ ス がx1,x2着

の ときの も うけ ｆは  (10.28)

f = 2  x1+2  x2

で あ る か ら,問

題 は,上

の 四 つ の 不 等 式 の 条 件 下 で のx1,x2に

2x2が 最 大 と な る よ う にx1,x2を

定 め る こ と に な る.

  こ の よ う な 不 等 式 を制 約 条 件(constraints),式(10.28)を tive  function),制

約 条 件 を満 た す(x1,x2)を

solution)な

目 的 関 数(objec-

適 合 解(feasible  solution),求

解 す な わ ち 適 合 解 の 中 で 目 的 関 数 の 値 を最 大(あ 解(optimum 

対 し て, f  = 2x1+

める

る い は 最 小)に す る も の を最 適

ど と い う.

  上 の 問 題 の 最 適 解(ｘ,ｙ)は,図10-7(ａ)に

示 され る よ うな幾 何 学 的 方 法 に よっ

て 求 め られ る.   ま ず,制

約 条 件 は 式(10.25)∼(10.27)に x1+2x2  3x1+2x2 

｛

よ っ て 表 さ れ る ４直 線:

= 80

(10.29)

= 120

x1 = 0,   x2 = 0

に よ っ て 囲 ま れ る 四 辺 形 を 表 し,し

た が っ て,適

合 解 は そ の 四 辺 形(OABC)の

点 の 集 ま り で あ る.   次 に,目

的 関 数f=2x1+2x2は, 

値 に 対 し て,そ

れ らは 図10-7(ａ)の

右 に ず れ る.し

た が っ て,適

点 Ｂ を通 る と き で あ る.と 根 であ って

ｆの 値 を 与 え た と き 直 線 を 表 す が, ｆの 異 な る よ う に 互 い に 平 行 で あ り,ｆ が 大 き い ほ ど,

合 解 の 中 で ｆ が 最 大 と な る の は,そ

の直線がその端

こ ろ で Ｂ 点 の 座 標(ｘ,ｙ)は 式(10.29)の

上 の ２式 の

(ａ)

(ｂ)

図10-7  x1=20, 

で 与 え られ る.し

線 型 計 画 法 の幾 何 学 的 解 法

(10.30)

  x2=30

た が っ て,そ

の と きの ｆの値 は

f=2×20+2×30=100 と な る.

  こ こ で 注 目 す べ き こ と は,ｆ の 最 大 ・最 小 値 は 四 辺 形 の 端 点 で 起 こ る こ と で あ る.し

た が っ て,そ

る.実

際,A,B,C,Oの (0,40), 

れ ら は 端 点A,B,C,Oで 座 標 は,そ   (20,30), 

の ｆ の 値 を調 べ れ ば よ い こ と に な

れ ぞれ   (40,0), 

  (0,0)

で あ るか ら,そ れ らに 対 応 す る ｆの 値 は,そ れ ぞれ 80,    100,    80,    ０

と な っ て,そ

の 最 大 ・最 小 は 明 らか で あ る.

  こ の こ と は,適 多 角 形 な ら,変   し か し,た

合 解 の 全 体:適

合 域(feasible  region)が

この 例 の よ うに 凸 な

数 が 多 い 場 合 で も成 り立 っ て い る. と え ば,上

x1+2x2≧80, 

な ら,図10-7(ｂ)で

の例 の条 件 が   3x1+2x2≧120, 

見 る よ うに,適

  x1,x2≧0

合 域 が 上 に 開 い て い て,最

大 の ｆの 値 は な い

こ と が わ か る.   一 方,変 ら に,そ ば,変

数 や 条 件 式 が 多 く な る と,端 れ が 求 ま っ た と し て も,変

数 の 数40で

れ る.そ

制 約 条 件 が20個

れ か ら,ど

点 を ど う し て 求 め る か が 問 題 と な る.さ

数 が 多 い と,そ の と き,そ

れ は 非 常 に 多 く な る.た

れ は1000億

とえ

以 上 に もな る とい わ

うや っ て 最 大 の もの を組 織 的 に 探 す か が 問 題 で あ る.そ

の方

法 の ひ とつ が 単 体 法 で あ る.   こ れ ら の 問 題 点 に つ い て 次 節 に 述 べ る.

(３) 標 準 型,適 合 解,単 体 法   線 型 計 画 法 の 問 題 は,一 xj, j=1,2,…,ｎ

般 的 に 次 の 標 準 型 で 表 され る.す

な わ ち,ｎ 個 の 変 数

に 対 す る制 約 条 件:

(10.31) xj≧0, 

の 下 で,目

j=1,2,…,n 

(10.32)

(非 負 条 件)

的 関 数 ｆ:

(10.33)

cj： 定 数

が 最 大 値 を と る場 合 を 求 め る.   こ の 理 由 と し て,ま る こ と が 多 い が,次

ず,制

約 条 件 は 普 通 は 前節 の例 の よ うに不 等 式 で与 え られ

の よ う に し て 式(10.31)の

等 式 の 形 に 導 け る.

  不 等 号 の 部 分 が ≧ の 形 の と き は,そ に お い て,非

負 の 変 数xk(ス

の 両 辺 に-1を

掛 け て ≦ に す る.こ

ラ ッ ク 変 数, slack  variable)を

不 等式 の数 だけ 追 加

し て そ の そ れ ぞ れ の 左 辺 に 加 え る(以 下 の 実 例 参 照).こ (10.33)で

の ス ラ ッ ク 変 数xkに

  も し,問

対 応 し た 係 数ck=0と

題 が ｆの 最 小 値 を 求 め る と き は,目

の形

の と き,目

的 関 数

考 え る.

的 関 数 ｆ を-f′

と置 き 換 え れ ば,

f′の 最 大 値 を 求 め る 問 題 と で き る. 例 と して,前

項 の 問 題 を 標 準 型 に 直 し て み る.

条 件(10.25)：x1+2x2≦80は,ス

ラ ッ ク 変 数x3(≧0)を

用いて

(10.34)

x1+2x2+x3=80 同 様 に,条

件(10.26)は

ス ラ ッ ク 変 数x4(≧0)を

用いて

3x1+2x2+x4=120 と 書 け,非

(10.35)

負 条 件 は 式(10.27)にx3,x4≧0を

加 えて

(10.36)

x1,x2,x3,x4≧0

と な る.ま

た,目

的 関 数(10.28)は

(10.37)

f=2x1+2x2+0・x3+0・x4 と 書 け,変

数x1,x2,x3,x4に

対 す る 標 準 型 と な っ た.

上 の 標 準 型(10.31)∼(10.33)は,ま

た ベ ク ト ル 記 号:

(10.38)

を 用 い て,Rn空

間 にお い て

Ax=b,  f=ctx 

と表 せ る.以

下,こ

つ い て 考 え る.

  x≧0 

(10.39)

(x1,x2,…,xn≧0)

(ct=(c1,c2,…,cn))が

最 大 値 を と る.

の 問 題 の 解 が あ る た め の 条 件,お

よ び,そ

(10.40) れ を求 め る方 法 に

ま ず,Rnの

部 分 集 合 Ｘ に つ い て,そ x=tx1+(1-t)x2 

を つ く っ た と き,ｘ こ の と き,上

の 任 意 の 二 つ の 要 素x1,x2を

た だ し   0≦t≦1

も Ｘ の 要 素 で あ る な ら ば, Ｘ は 凸(convex)で

の 式(10.39)を

満 足 す る ｘ の 集 合,す

の 集 合 で あ る 適 合 域 は 凸 で あ る.な Ax1=b, 

と っ て,

あ る と い う.

な わ ち 式(10.39)の

適合解

ぜ な ら ば,

Ax2=b

と し た と き,

さ ら に, x1, x2≧0 

な ら ばx=tx1+(1-t)x2≧0

で あ る か ら で あ る.   次 に,Ｘ

の 要 素x0が, 

Ｘ のx0以

外 の ど ん な 要 素x1, x2を 用 い て も

     xo=1/2(x1+x2) と表 せ な い と き,x0は

Ｘ の 端 点 あ る い は 頂 点(vertex)と

い う.さ

ら に, Ｘ が,

そ の 任 意 の 要 素 に 対 し て,そ

の 要 素 を 中 心 と す る 円 に よ っ て 囲 ま れ る と き,Ｘ

は 有 界(bounded)と

こ で 次 の こ と が い え る.

    「式(10.39)の

い う.そ

 

適 合 域 が 空 で な く,有

界 で あ る と き,式(10.40)の

目的 関 数

ｆは 適 合域 の 頂 点 で 最 大値 を とる」

  二 次 元(n=2)の 10-7(ａ))で る.一

と き,凸

な 適 合 域 は 前 項 の 例 に 見 られ る よ う な 凸 多 角 形(図

あ り,ｆ の 最 大 値 が そ の 頂 点 で 起 こ る こ と も,そ

般 の 場 合 の 証 明 も そ の よ う な 考 え で 行 え る.

  簡 単 な例 と して x1+x2≦1, 

  x1,x2≧0

の 場 合 を考 え る.こ れ は 標 準 型 化 して x1+x2+x3=1, 

 

x1,x2,  x3≧0

こ で 見 た とお り で あ

図10-8 

と な る が,こ

れ の 適 合 域 は 図10-8の

く,有

界 な 凸 集 合 で あ る.そ

る.し

た が っ て,目

  と こ ろ で,変 は 難 し い.た 易 で は な い.こ い られ る.こ x1,x2,…,xnの m-n個

適 合 域 ：△ABC

よ うな 三 角 形ABCで

あ る.こ

の 端 点 はA(1,0,0),B(0,1,0), 

れ は空 でな

C(0,0,1)で

あ

的 関 数 の 最 大 値 は こ れ ら で 起 こ る こ と に な る.

数 の 数 が 多 い 一 般 の 場 合 に,端

点 を こ の よ うな 方 法 で 求 め る こ と

と え ば 上 の 式(10.34)∼(10.36)の れ に 対 処 す る た め,方 こ で 基 本 解 と は,n＞m, 

よ うな簡 単 な 場 合 で もす で に容

程 式Ax=bの

基 本 解(basic  solution)が

Ａ は ｍ 個 の １次 独 立 の 列 を もつ,と

用

して,

う ち ｍ 個 は Ａ の １次 独 立 な 列 ベ ク トル に 対 応 す る 解,残

りの

は ０ と し た 解 で あ る.

  基 本 解 の う ち 適 合 解 と な っ て い る も の,す

な わ ちx≧0と

な る も の を基 本 適 合

解 と い う が,そ

れ が 適 合 域 の 頂 点 を 与 え る こ と が 示 さ れ る.し

求 め る に は,適

合 解 を 求 め,そ

  例 と し て,上

の 式(10.34)∼(10.36)を

の うちx≧0の

た が っ て,頂

も の を 選 べ ば よ い こ と に な る.

考 え る.ま

ず,そ

で あ り,Ａ の １次 独 立 な列 ベ ク トル に対 応 す る方 程 式 は

の Ａ,ｂ は

点 を

で あ っ て,こ

と な る.基

れ らの 解 は

本 解x=(x1,x2,x3, 

で 与 え られ る.こ

x4)+は,こ

の う ちx≧0の

が 基 本 適 合 解 で あ り,こ

れ ら の 解 で 残 り を ０ と お い て,

も の:

れ ら が 端 点 を 与 え る.事

実,こ

れ らの(x1,x2)成

の 幾 何 学 的 解 に お け る Ｂ,Ｃ,Ａ,Ｏ の 座 標 と 一 致 して い る .ま れ ぞ れ の 点 で の 値 も,c3=c4=0で   単 体 法 で は,こ

た,目

分は上

的 関 数 ｆの そ

あ る か ら上 の 値 に 一 致 す る .

の よ う な 端 点 の ひ と つ か ら 出 発 し て,目

な い よ う に 隣 の 端 点 へ と 移 動 し て い っ て,そ

的 関 数 の値 を減少 させ

の 値 が 最 大 に な る ま で 続 け る .こ

の

と き,隣 接 す る端 点 を     「基 本 変 数 ｍ に 対 し て,m-1個 と して 定 義 す る.上

が 共 通 して い る もの」

の 例 で 見 る と,m=2,m-1=1で

あ る が,た

とえ ば Ｂ 点 と

Ｃ 点 で は 最 後 の ０ が 共 通 で あ る か ら, こ れ ら は 隣 点, Ｂ 点 と Ａ 点 で も 第 ３番 目 の ０ が 共 通 で 隣 点,  し か し, Ｂ 点 と Ｏ 点 は 共 通 点 が な い の で 隣 点 で な い,な

ど

が わ か る.   さ て, い ま Ｏ 点 か ら 出 発 す る とす る 。 Ｏ の 隣 点 は Ａ と Ｃ で,  目 的 関 数 ｆ(式 (10.28))  の Ｏ,Ａ,Ｃ 点 で の 値 は,  そ れ ぞ れ ０,80,80  で あ る.そ Ａ 点 に 移 る(こ の と き,Ｃ

点 に 移 っ て も 同 じ).次

り,ｆ の Ｂ 点 で の 値 は100で で の 値 は80で

こ で,Ｏ

点 か ら

に Ａ 点の隣接点は Ｏ とＢ であ

あ る か ら, Ｂ に 移 る. Ｂ の 隣 点 は Ａ と Ｃ で,ｆ の Ｃ

あ っ た か ら,Ｂ

点 が 最 大 を与 え て い る こ と に な る.

  ｍ の 値 が 大 き な 一 般 の 場 合 で も, こ の よ うな 手 続 き で 最 大 の ｆ を 組 織 的 に 求 め る こ と が で き る.た

だ し,特

異 な 場 合,た

っ て し ま う よ うな こ と も あ り う る が,そ な い.ま

た,実

際 の 計 算 で は,い

とえ ば移 動 してい くと も との 点 に戻

の よ うな こ と は実 際 上 は ほ とん ど起 こ ら

ろ い ろ な 工 夫 を し て 機 械 的 に 結 果 が 出 る よ うな

方 式 が 考 え られ て い る.

10.6 

グ ラフ 理論 の 応 用

(１) グ ラ フ理 論 とは   グ ラ フ 理 論 は,あ 合,そ 10-9の

る 集 合 に つ い て,そ

の 要 素 の 間 に 何 ら か の 「関 係 」が あ る 場

の 集 合 の 構 造 な ど の 性 質 を 研 究 す る 現 代 数 学 の 一 分 野 で あ る.そ よ う に 点 と 線 で 図 示 さ れ る.こ

こ で,点

ぶ ２ 個 の 点 の 間 の 「関 係 」に 対 応 し て い る.ま で,こ でP1か

の よ う な 場 合 を 無 向 グ ラ フ と い い,一 らP2と

は 集 合 の 要 素 に,線

れ は,図

はそれが結

た 図(ａ)で は 関 係 は ２点 間 の も の 方,関

係 が 一 方 的,た

と え ば 図(ｂ)

い う よ う な 場 合 に そ の 向 き に 矢 印 を つ け, 有 向 グ ラ フ と い う.

ち な み に 図(ｂ)で,P3,P4に

矢 印 が 両 向 き に あ る の は, P3か

らP4とP4か

らP3

の 両 方 の 関 係 が あ る こ と を示 し て い る.

  とこ ろ で,集 合 でそ の要 素 の 間 に何 らか の 関 係 が あ り,そ の構 造 の解 明 が必 要 と され る もの が実 際 上, 数 多 くあ る わ け であ る.た とえ ば,人 間 の集 団 にお け る

(ａ) 無 向 グ ラフ

(ｂ) 有 向 グ ラ フ 図10-9 

人 間 関 係 が あ る.そ

れ は,Ａ

は Ａ が 好 き で は な い,な 食 料 に,Ｂ

グ ラ フ の 図示

は Ｂ に 影 響 力 が あ る,Ａ

ど が あ る.ま

た,野

種 は ま た Ｃ 種 を 食 べ て い る,と

は Ｂ が 好 き だ,し

生 動 物 の 集 団 で も,Ａ

町 と Ｂ 町 は バ ス 路 線 で 結 ば れ る が,Ａ

と い っ た 関 係 も 考 え られ る.そ

こ で,た

人 の 影 響 力 は ど こ ま で あ る か,Ａ

種 は Ｂ種 を

い っ た 関 係 が あ る だ ろ う し,学

集 ま り で も Ａ 校 の ラ ン ク は Ｂ 校 よ り上 と い っ た こ と が あ る.ま 町 々 に つ い て,Ａ

か し Ｂ

た,あ

る地 方 の

町 か ら Ｃ 町 に は な い,

と え ば 上 の 例 で,あ

る人 間 の集 団 で あ る

町 と Ｃ 町 と は 直 接 の バ ス 路 線 は な い が,Ｂ

ま で 行 っ て 乗 り換 え れ ば 行 け な い か,と

校 の

町

い っ た 集 団 の 内 部 関 係 の 構 造 を調 べ る こ

と が 必 要 と な る.

  この よ うな,集 団 の 内 部 関 係 とい う 「現 象 」の解 明 の た め の 有 用 な 手 段 が,グ ラ フ理 論 であ る.す な わ ち,こ の よ うな現 象 をグ ラ フ理 論 に よっ て数 学 モ デル 化 して 研 究 す るわ け で あ る.こ の意 味 で,典 型 的 な数 理 科 学 とい え よ う.   グ ラ フ理 論 は,ケ ー ニ ヒスベ ル グ の橋 の問 題

四 色 問 題 とい っ た,い わ ば数 学

的 興 味 に よ る問 題 に端 を発 し,そ の後,電 気 回路 網 の 理 論,有 機化 合物 の構 造 決 定 の 問題 な どに応 用 されつ つ あ った が,こ こ で も電 子 計 算 機 の 発展 に よ っ てそ の 応 用 範 囲 が 一 気 に広 が り,上 記 の よ うな 社 会 的 な問 題 をは じめ,通 信 ・情 報 網 の 理 論,一 般 的 に は シ ス テ ム論 な ど,科 学,工 学 の 広 い 分 野 で 応 用 され て い る.こ の た め,数 学 理 論 自体 だ け で な く,そ の 応 用 とい う面 か ら も重要 な分 野 で あ る.   以 下 で は,そ

の よ う な 応 用 の 一 端 と し て,と

常 的 な 簡 単 な 場 合 を考 え る.な よ う な の で,こ

お,グ

く に 有 向 グ ラ フ に つ い て,そ

の 日

ラ フ理 論 の 用 語 は 完 全 に統 一 され て い な い

こ に 使 用 す る も の も 本 に よ っ て は 全 く違 う こ と が 多 い こ とに 注 意

す べ き で あ る[12]*.

(２) 有 向 グ ラフ   有 向 グ ラ フ は 第 ７章 で も 説 明 し た よ う に,「 有 限 個 の 要 素P1,P2,…,Pnか

らな

る 集 合 と い く つ か の 順 序 対(Pi, Pj)の 組 で あ る.た

だ し, Pi〓Pjか

つ順序対は重

複 を許 さ な い 」 と 定 義 さ れ る が,順

要 素PiとPjと

の 間 に 「関 係 」

序 対(Pi,Pj)が

が あ る こ と に 対 応 し,順

序 対 で あ る こ と は,そ

る こ と を 表 し て い る.こ

の こ と をPi→Pjと

  有 向 グ ラ フ は,上 一方

,行

述 の 図10-9(ｂ)の

列 に よ っ て も 表 現 さ れ る.す

グ ラ フ は,n×n行

列M=(mij),た 1 

mij=

{

(Pi→Pjの

れ にPiか

らPjと

い った 方 向 が あ

表 す.

よ う に,平

面 上 の 点 と 線 で 図 示 さ れ る が,

な わ ち,一

般 に,ｎ

個 の 要 素 か らな る 有 向

だ し, と き)

0  (そ う で な い と き)

で 表 さ れ る.Ｍ ま た,逆

に,こ

の 要 素 は １か ０ で あ る が,と

くに そ の 対 角 要 素 は 常 に 零 で あ る.

の よ うな 行 列 は あ る 有 向 グ ラ フ を表 し て い る こ と に な る.た

ば, 上 の 図10-9(ｂ)の

有 向 グ ラ フ の Ｍ は,次

とえ

の よ う に 表 せ る.

0  1 0  0  0   0  0  1 0  0

M=[

(10.41)

  0 0  0  1  0   0 0  1  0  1   0 0  1  0 0]

こ の よ う な 行 列 を も と の グ ラ フ の 頂 点 行 列 と い う. (ａ)  ｒ−関

係

  グ ラ フ は 要 素 間 の 関 係 を表 し て い る. こ の 関 係 は ２ 要 素 間 の 直 接 の 関 係 だ け で な く間 接 的 な も の も考 え られ る.た

と え ば,図10-9(ｂ)で

グ ラ フ でP1,P3  間 の 関 係 を 見 る と, P1か

らP3へ

表 され て い る よ うな

の 直 接 の 関 係 は な い が, P1か

*  巻 末 の参 考 図 書[12] 参 照,以 下[]  内 の数 字 は 同様 であ る.

らP2を

通 し て な ら 関 係 が あ る こ と が わ か る.こ

書 き,P1か

らP3へ

の ２-関 係 と呼 ぶ.ま

関 係,P1→P2→P3→P4を

３-関 係,一

の よ う な 状 況 をP1→P2→P3と

た,P1→P2な

ど の 本 来 の 順 序 対 を １-

般 に γ個 の 順 序 対 を 経 る 場 合 を ｒ-関 係 と

呼 ぶ.   任 意 の 有 向 グ ラ フ に お け る ｒ-関 係 に つ い て,そ

の 頂 点 行 列 Ｍ と し て,Mrの

(i,j)成 分 をmij(ｒ)と す る と,mij(ｒ)はPiか

の ｒ-関 係 の 個 数 に 等 し い こ と

らPjへ

が 成 り 立 つ. そ の 理 由 は,ま

ず ｒ=2と

す る と

で あ る が,Pi→Pk,Pk→Pjあ で はmikmkj=0で r＞2の

る い はPi→Pk→Pjの

あ る か ら,mij(２)の

値 はPi→Pk→Pjの

と きmikmkj=1で,そ

成 り 立 つ ｋ の 数 に な る,

場 合 も 同 様 で あ る.

た と え ば,上

の 式(10.41)で

は

と な り,こ

れ ら の 要 素 の 値 が 関 係 の 数 を 表 して い る こ と は,図

わ か る.た

だ し,P3,P3の

て い る か ら で,こ

の よ う な 例 はP4→P3→P4→P5の

３-関 係 な ど ほ か に も あ る.

例 で 構 成 員(P1,P2,P3,P4,P5)の

こ の よ う な 関 係 を 表 し て い る と す る.そ い わ せ れ ば 間 接 的 で あ る がP3に

の と き,P1はP2を

通 し て,す

間で なわち

い うこ と を 聞 か せ る こ とが で き る わ け で

成 員 が 多 くて 複 雑 な と き で も,上

か に な る.

往復 し

と え ば Ａ,Ｂ 間 で 「Ｂ は Ａ の い う こ と は 聞 く」

と い うの を 関 係 Ａ → Ｂ と し,図10-9(ｂ)の

あ る.構

と対 照 す れ ば よ く

２-関 係 が １個 あ る と い う の は,P3→P4→P3と

  こ の よ う な 関 係 の 例 と し て,た

P2に

れ 以 外

の 性 質 を利 用 す れ ば関 係 の様 相 が 明 ら

(ｂ)  ク リ ー ク   有 向 グ ラ フ は 構 成 要 素 間 の 関 係 を 表 し て い る.そ る よ うな 部 分 を ク リー ク と い う.も い てPi〓Pjが で は,互

こ で,互

っ と精 確 に は,そ

成 り立 つ 最 大 の も の,た

だ し,構

い の 関 係 が完 全 で あ

こ の 任 意 の 要 素Pi, Pjに つ

成 要 素 は ３個 以 上 とす る.そ

い に 完 全 な コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン が 成 り立 っ て い る.図10-9(ｂ)の

フ に は そ の よ う な も の は な い が,図10-10を

見 る と{P1,P2,P4}が

こ グラ

ク リ ー ク をつ

く っ て い る こ と が わ か る.   こ の よ う な ク リ ー ク を 組 織 的 に 見 い 出 す た め に,以   ま ず,与

え られ た 有 向 グ ラ フ に 対 して,行 1 

Sij=

{

(Pi〓Pjの

下 の 性 質 が 有 効 で あ る.

列S={Sij}を

考 え る.こ

こで

と き)

0  (それ 以 外 の と き)

で あ る.す あ る.そ

な わ ち Ｓ は も と の 頂 点 行 列 Ｍ か らPi〓Pjで

の と き,S3の(i,j)成

在 す る こ と はSii(3)〓0と

分 をsij(３)とす る と,頂

同 等 で あ る.そ

体 も頂 点 行 列 と 考 え ら れ る か ら,上

の 理 由 は,ま

Ｓ の 性 質 か らPi〓Pj〓Pk〓Piと

な る.し

と な っ て い る. 逆 に,sii(3)〓0で

  例 と し て, 図10-10の

点Piを

含 む ク リー ク が 存

ずsii(3)〓0と

の ｒ-関 係 の 性 質 か ら,Piか

係 が 少 な く と も一 つ 存 在 し て い る こ と に な る.そ

へ の ３-関 係 は 存 在 せ ず,し

な い もの を除 い た もの で

な い,す

た が っ てPiは

な わ ち, Sii(3)=0と

の ３-関 す る と,

ク リー ク の 一 部

す る と, Piか

ど の ク リー ク に も含 ま れ な い .

有 向 グ ラ フ に つ い て 考 え る.そ

図10-10 

らPiへ

れ をPi→Pj→Pk→Piと

た が っ て{Pi, Pj,  Pk}は

す る と, Ｓ 自

ク リー ク

こで

らPi

とな るが s11(3)=2, 

で あ る か ら,P1,P2,P3を に{P1,P2,P3}が

s22(3)=2, 

s33(3)=0, 

s44(3)=2, 

含 む ク リ ー ク が 存 在 す る は ず で,事

s55(3)=0

実,上

で見た よう

そ の ク リー ク と な っ て い る.

  グ ラ フ理 論 は,組 合 せ 数 学 な どと も関連 した現 代 数 学 の分 野 で,そ の 内 容 も多 岐 に わ た る.し か し,そ の応 用 とい う面 で は,情 報 科 学 を支 え る基 礎 数 学 の ひ と つ と して 欠 くこ と の で き な い もの で あ る.そ の実 際 は上 の例 の よ うな人 間 関 係 な どに 対 す る も の の ほ か,(１)項 で も述 べ た よ うな 多種 多 様 の 応 用 を含 ん で い る. 本節 は そ の 考 え方 を見 るた めの ほん の 一端 を示 した にす ぎ ない.

問   題   10

(１) 式 （10.3）′を導 け. (２) 式 （10.6） を導 け. (３) 式 （10.8） お よ び 式 （10.9） か ら式 （10.10） お よ び 式 （10.11） を 導 け. (４) 式 （10.16） を 出 せ.  (以 下 に 答 を示 す)

(５)近

似 解(10.10)を

解(10.8)か

(６)式(10.10)か

ら 式(10.11)を

(７)式(10.12)を

導 け.

(８)母

ら ｋ が 小 さ い と し て 導 け. 導 け.

集 団 と そ の 標 本 の 例 を 考 え よ.

(９)式(10.20)を

導 け.ま

た,

42   47   52   57   62   67

資 料xi

2 

度 数fi

8 

6 

5 

3 

1

の 平 均 お よ び 標 準 偏 差 を求 め よ.   (10)母 平 均 ｍ,母 標 準 偏 差 σ の 母 集 団 か ら 大 き さ ｎ の 標 本 を 抽 出 す る と き の 標 本 平 均 ｘ の 平 均 は ｍ に等 し く,標 準 偏 差 は σ/√nに 等 しい こ と を示 せ.   (11)あ る 地 域 の17歳 に 抽 出 して,そ

の 女 子 の 平 均 身 長 ｍ を 推 定 す る の に,大

x-0.5＜m＜x+0.5が

成 り立 つ 確 率 を0.95で

し て 調 べ れ ば よ い か.た

だ し,こ

の 正 規 分 布 に 従 う とす る.(答   (12)あ

る工 場 で,従

の 女 子 の 身 長 は,母

標 準 偏 差 ６cm

あ っ た.い

本 平 均 と して0.60gが

の 母 標 準 偏 差 は従 来 の0.025gで

し い 機 械 に よ っ て 重 さ に 変 化 が あ っ た か ど うか を,有

ま,新

得 られ た.製

しい 機 品の

変 わ らな い も の と

意 水 準5％

で考 え て判

  重 さに 変 化 が あ っ た と は い え な い)

  (13)式(10.23)で (10.24)を

よ そ 何 人 を抽 出

  554人)

来 の 製 品 の 重 さ の 平 均 値 は0.58gで

重 さ の 分 布 は 正 規 分 布 に 従 い,そ し,新

あ る よ うに した い.お

の 地 域 の17歳

械 で つ く っ た 製 品 ５個 の 重 さ を測 っ て,標

定 せ よ.(答

き さ ｎ の 標 本 を任 意

の 身 長 の 標 本 平 均 ｘ を求 め る.こ の と き,身 長 の 母 平 均 ｍ に つ い て,

ｘ,ｙが 線 型 関 係 に あ れ ば｜r｜=1と

な る こ と を 示 せ.ま

た式

導 け.

  (14)現 象 を数 学 化 し研 究 す る とい う数 理 科 学 の 立 場 か ら,数 理 統 計 学 の 性 格 を考 え よ.   (15)情 報 理 論 の 数 理 科 学 と して の 特 質 を考 え よ.   (16)あ るバ ス 会 社 の バ ス は Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ 型 で,そ

で あ る.そ

型

ABCD

台数

41  42  43  42

れぞ れの 台数 は

の バ ス に 忘 れ 物 を した と し て,「 そ れ は Ｂ 型 だ っ た 」 と記 憶 し て い た とす

る と,そ の 情 報 の 情 報 量 は い く らか.(答   (17)あ る 製 品 の 不 良 率 が ６%と の63%,製

  ２ ビ ッ ト)

す る.そ

造 工 程 に お け る ミ ス25%,お

の 原 因 は 大 別 し て,材 よ び,そ

の 他12%と

料 の不 良に よ る も な っ て い る.次

の通

報 の 情 報 量 は い く らか.   ａ)「 製 造 工 程 の ミス に よ る 不 良 品 が 出 た 」   ｂ)不

良 品 に つ い て 調 べ た ら 「製 造 工 程 の ミス が 原 因 だ 」(注 ：不 良 品 が 出 た こ

と は知 っ て の 上 の こ と に な る) (答   ａ)6.04ビ

ッ ト,ｂ)４

ビ ッ ト)

(18)線 型 計 画 法 の 数 理 科 学 と して の 特 質 を考 え よ. (19)変 数(ｘ,ｙ)に つ い て 制 約 条 件: x+2y≦4, 

の 下 で の適 合 域,目

  x-y≦4, 

  x≧1,    y≧-1

的 関 数f=2x+5yの

最 大 値 お よ び最 小 値 に対 応 す る最 適 解 を 出 せ.

  (20)問 題(19)に つ い て, (ａ)標 準 型 に 変 換 せ よ. (ｂ)基 本 解 の す べ て を求 め よ. (ｃ)標 準 型 の 基 本 適 合 解 をす べ て 求 め よ. (ｄ)標 準 型 の 最 適 解 と 目的 関 数 の 最 大 値 を求 め よ. (ｅ)標 準 型 の 基 本 適 合 解 を グ ラ フ で 図 示 し,隣 接 す る も の を線 で 結 べ. 0 1 1 1 

[] 1 0 0  0 

(21) M=

に つ い て,

0  1 0 1

  0  1 1 0

(ａ)も (ｂ)P1か

と の 有 向 グ ラ フ を 図 示 せ よ. らP2へ

の ｒ-関 係(r=1,２,３)を

[0  1 0  1 1  1 0 0  1 0

(22)M=

  1  1 0  1 0

に つ い て,

  1  1 0  0 0   1 0 0  1 0] (ａ)も

と の 有 向 グ ラ フ を 図 示 せ よ.

(ｂ)ク

リ ー ク を 求 め よ.

列 挙 せ よ.

11. 非 自然科 学 における数理科 学

  人文 科学,あ

るい は も っ と精確 に は非 自然 科 学 と で もい うべ き で あ ろ うが,そ

の よ うな 分 野 での 数 学 の応 用 は 以前 は非 常 に限 られ て い た.そ れ は第 ５章 「人 文 科 学 と 自然 科 学 」で も述 べ た よ うに,人 文 系 の 学 問 の 起 源 は 近 代 的 自然 科 学 の 発 生 の は る か 以前 で あ り,そ れ らの学 問 は本 質 に お い て 自然 科 学 とは異 質 の 部分 が 多 い.ま た,そ れ に使 われ る方 法 も種 々 で,自 然 科 学 に お け る方 法 が 「科 学 の方 法 」だけ で あ るの と は大 い に 異 な る.   しか し,あ る部 分 で は,自 然 科 学 の 方法 の適 用 が可 能 であ り,そ の よ うな部 門 に つ い て は 数 学 化 され うる場 合 もあ るわ け で あ る.そ の よ うな傾 向 は,と

くに,

自然科 学 の 目覚 ま しい 発 展 に よっ て,ま た近 年 は 電 子 計 算機 の 発 達 に よっ て著 し く促進 され た.   こ の た め,こ の 分 野 にお け る数 理 科 学 は,数 理 文 学,文 学,は

章 数 理 学,数 理 政 治

て は数 理 絵 画 論 な どの極 端 な例 をふ くめ 数 限 りな い ほ どで あ る.た だ,人

文 科 学 の 物 理 学 とい われ る経 済 学 や 心 理学 の一 部 を除 い て,そ れ らの そ れ ぞ れ の 学 問 分 野 での 役 割 は,そ れ ほ ど大 き くな っ て は い ない と思 わ れ る.し か し,今 後 の 発 展 は 大 い に 期 待 され る.   この 分野 で の 数理 科 学 は 大 き く分 け て,現 象 に つ い て の 数 量 的 分 析 と現 象 の数 理 化 に よ る理 論 構 成 とに な る.前 者 は主 と して 統 計 的 方 法 に よ る もの で,こ れ は 確 率 モ デル 化 して い る とい え るが,こ の 例 と して,計 量経 済学,計 量 心 理 学,計 量 政 治 学,計 量 社 会 学,文

体 測 定 学,…

が あ る.こ れ に対 して 後 者 は現 象 そ の

も の を確 定 モ デ ル 化 す る.こ の 例 と して,狭 い 意 味 で の 数 理 経 済 学,数 理 心 理 学,数 理 政 治 理 論,…

な どが考 え られ る.

と こ ろ で,人 文 科 学 で の 現 象 は 因 果 関 係 が複 雑 に か らみ 合 っ て い る こ と が多

い.し た が って,そ

こで は そ の 因 果 関 係 の解 明 と樹 立 が 第 一 の課 題 とな る.こ の

場 合,自 然 科 学 に お け る有 力 な手 段 で あ る実 験 に も対 比 され るべ き もの が 因子 分 析 の方 法 で あ る.さ らに,大 体 に お い て,数 量 分 析 の 結 果 が 積み 上 げ られ,そ れ を基 に 数 学 化 が 導 入 さ れ る こ とが 多 い.し

か し,そ の逆 で あ る こ と も多 く,ま

た,理 論 モ デル の結 果 が 概 して 定 性 的 であ るの に対 して,数 量 モ デ ル は定 量 的 で あ り,そ の意 味 で有 用 で あ る こ と が多 い.   した が っ て,同

じ分 野 の 学 問 の 数 学 化 に お い て,上 の二 つ の 異 な っ た部 門 が現

れ る こ とが 多 い.た と え ば,経 済 学 の 分 野 で の 数理 経 済 学 と計 量経 済学,言 語 学 で の言 語理 論 と文 体 測 定 学 な どで あ る.   一 般 的 に い っ て,人 構 成 に お い て は,心 ず,数

文 科 学 で の 対 象 に は 人 間 が 関 係 す る現 象 が 多 い の で,そ

理 学 的 な 要 素 が 基 本 と な っ て い る こ と が 多 い.以

理 心 理 学 ［21］,［22］,［23］

11.1 

と く に 測 定 論 に つ い て 考 え る.

学 の 一 部 門 的 な 面 と と も に,実

的 な 部 門 を も っ て い る.と

る が,そ

下 で は,ま

数 理 心 理 学

  心 理 学 は,哲

が 多 い.こ

の

く に,後

者 で は,数

の よ う な 分 野 の 始 ま り は,今

験 心 理 と呼 ば れ る よ うな経 験 科 学 理 的 な 取 り扱 い が 可 能 で あ る こ と

世 紀 は じめか ら徐 々に進 ん だ とされ てい

れ ら の 多 く は デ ー タ を 処 理 す る た め の 統 計 学 の 応 用 が 主 で あ っ た.こ

に 対 し て,心

理 現 象 そ の も の の 数 学 モ デ ル 化 に よ る 研 究 は,G.T.Fechnerの

“Elemente  der Psychophyik”(1860)な の"Handbook 

of  Mathematical 

“J ournal of  Mathematical    た と え ば,刺

れ

どに さか の ぼれ るわ け で あ る が Psychology"の

Psychology”

第 １巻 の 出 現 や,そ

,1963年 の翌年 の

の 出 版 な どに よ っ て 情 勢 は 一 変 して き た.

激 に つ い て の 有 名 なFechnerの

法 則,す

な わ ち,刺

激 Ｓ に対 す

る感 覚 Ｒ は,ａ,ｂ を適 当 な 定 数 と し て R=alogS+b

の よ うに表 され る.こ れ は,物 理 的 入 力 と感 覚 の 間 の 関 係 を数 学 的 に 表 す とい う 試 み の一 端 で あ り,こ の 場 合,刺 激 を ２倍,４ 倍 とい うよ うに指 数 関 数 的 に増 し

て い っ て,感 る.し

覚 はや っ と一 様 に 増 え る とい う日常 的 経 験 に た しか に 対 応 して い

か し,一

般 的 に い っ て,こ

の よ うな 心 理 的 な 量,た

と え ば幸 福 感 とい っ た

も の を測 定 して 数 量 化 す る こ と が で き る の か と い う 問 題 が 出 て く る.   そ こ で,「 測 定 」 と い う も の を 定 義 あ る い は 公 理 化 し,そ 尺 度 と い っ た も の を 数 学 モ デ ル 化 す る.ま

た,物

れ に 基 づ い て 測 定,

事 を 「判 断 」,「決 定 」す る と い

った 過 程 をゲ ー ム の理 論 な ど を用 い て の 数 学 モ デル 化

,「 学 習 」す る 過 程,グ

フ 理 論 に よ る 「人 間 関 係 」な ど の 数 学 モ デ ル 化 な ど が あ る .こ 部 門 を,計

量 心 理 学(psychometrics)と

呼 ぶ こ と も あ る.心

ラ

の よ うな 心 理 学 の

理学研究法の重要な

部 分 を な す 測 定 法 お よ び 数 量 化 の 基 礎 を研 究 す る.   一 方,感

覚,記

憶 と い っ た 現 象 の 生 物 学 的 機 構 に つ い て,現

デ ル 化 す る こ と も 行 わ れ て い る.神 が,こ

経 系 に 関 す るモ デ ル は そ の代 表 的 例 で あ る

れ は し ば し ば 数 理 神 経 生 物 学 の 一 部 と も考 え られ,必

分 野 と な っ て い る.ま

た,視

象 を直 接 に 数 学 モ

覚 に つ い て も,光

然 的 に境 界 領 域 的 な

化 学 反 応 に関 す る部 分 に つ い て は

生 化 学 の 分 野 と 大 き く 関 連 す る.   以 下,こ

の よ う な 分 野 の 例 に つ い て そ の 一 端 を説 明 し た い.

(１) 心 理 学 的 測 定   こ の 分 野 は 計 量 心 理 学 の 主 要 課 題 で あ る.長 定 と は,対 ま ず,測

象 の あ る 属 性 の 特 徴 を数 量 的 に 表 す こ と と い え よ う.こ

定 さ れ る べ き 属 性 に つ い て,対

が あ る が,そ

の た め に は,

象 が 何 ら か の 意 味 で 順 序 づ け られ る 必 要

れ が 可 能 か ど う か が 問 題 で あ る.

  た と え ば,美

人 コ ン ク ー ル の 審 査 で,10人

さ れ た とす る.こ

の と き,10人

構 成 さ れ て い た ら,こ 10人

さ や 重 さ の 測 定 な ど を含 め て,測

の 女 性 に順 位 をつ け る こ と が要 求

が 小 学 生 か ら80歳

の 人 ま で老 若 い ろ い ろ の 人 で

れ に 順 位 を つ け る の は 困 っ て し ま うだ ろ う.こ

の 事 情 は,

が 同 じ よ う な 若 い 美 人 の と き で も あ ま り変 わ ら な い .

  い ず れ に し て も,何

か あ る 基 準 に つ い て 順 序 が つ け ら れ る と い う の は,た

ば 以 下 の よ う な 順 序 関 係 が 成 り立 っ て い る こ と で あ る.   す な わ ち,集

合 Ｘ の 任 意 の 元 ｘ,ｙの 間 の 関 係xRyに

つ いて

とえ

１.  xRxが ２.  xRy, 

あ る(反 yRxな

らx=y(反

３.  xRy,yRzな

が 成 立 す る.こ

射 律).

らxRzが

対 称 律). あ る(推

こ でxRyは,た

移 律).

と え ば ｘ は ｙ と 同 じか,そ

れ よ り大 き い と い っ

た 関 係 を表 す.   上 の 例 で も,同

じ よ うに 美 しい か,一

上 の 公 理 が 満 足 さ れ れ ば,た 合 も あ る だ ろ う.た

い,す

し か に 順 位 は つ け られ る.し

と え ば,Ａ

が ま さ る と し て も,改

方 が よ り美 し い,と

い った 関 係 につ い て

か し,そ

れ が 難 しい 場

と Ｂ を 比 べ て Ｂ が よ り美 し い,Ｂ

と Ｃ とで は Ｃ

め て Ａ と Ｃ を比 べ て み る と Ａ が Ｃ よ り劣 る と も 見 え な

な わ ち ３ の 推 移 律 が 成 り立 っ て い な い,と

い っ た こ とが あ り う る.こ

別 な 例 で も,Ａ

と Ｂ の 音 を 耳 で 聞 い て Ｂ の 方 が 高 く,Ｂ

聞 こ え る が,Ａ

と Ｃ を 聞 い て み る と ど ち ら が 高 い と も い え な い,と

れ は

と Ｃでは Ｃの方が高 く いった こと

が あ る.

  い ずれ に して も,測 定 が 可 能 な た め に は,何

らか の意 味 での 順 序 がつ け られ る

こ とが必 要 で あ る.こ の よ うな 測定 可能 な量 をい か に構 成 す るか が心 理 学 にお け る数 量 化 の基 礎 で あ り,心 理学 的 測 定 法,心 理 尺 度 構 成 法 な ど と呼 ばれ る大 き な 分 野 で あ る.   以上 の よ うに して,測 定 が 可 能 な 量 に つ い て は それ を基 に して 数学 モ デ ル がつ く られ る.上 記 のFechnerの

法 則 な どは そ の 始 ま りと考 え られ る が,普 通 は こ

の た め線 型 モ デル が使 わ れ るこ とが 多 い.こ れ は,変 化 が 小 さけ れ ば大 体 にお い て線 型 で近 似 され うる とい う事 実 に 基 づ くが,実 際 に お い て,Fechnerの

法則で

も刺 激 Ｓの 変 化 が小 さけれ ば Ｒ は Ｓの １次 式 で十 分 で あ る.し か し,現 象 に よ っ て は,も ち ろん,そ の よ うな考 え 自体 と異 な るモ デ ル の 構 成 が必 要 で あ る.そ の例 と して,両 眼 視 空 間 の 幾何 学 モ デ ル につ い て考 え る.   (２) 両 眼 視 空 間 の幾 何 学 モデ ル  平 行 な 線 が 平 行 に 見 え な い とか,地 平 線 近 くで月 が大 き く見 え る とい った 現 象 が あ る.い わ ゆ る錯 覚 とい われ る もの もそ うで あ る が,こ れ に 限 らず,人 間 は 眼

で 見 た もの を通 して外 界 の 立 体 構 造 を知 覚 して い るの で あ る か ら,こ れ は 当 然, 本 来 の空 間 とは異 な る もの を構 成 して い る.こ れ に対 す る幾 何 学 的表 現 を考 え る こ とが視 空 間 の モ デ ル の 構 成 であ る.   そ の 要 点 は,物 理 空 間 で の あ る場 所 の あ る形 の もの を知 覚 した とき,視 空 間 で は どの 場 所 に どの よ うな形 に な るか とい う対 応 関 係 の 数 学 的記 述 に あ る.た ば,Luneburg 

とえ

(1947)の 数 学 モ デ ル で は,物 理 空 間 に お け る視 覚 γ を視 空 間 で

の極 座 標 で の 動径 ρ: ρ  = 2e  - σγ

(こ こ で,σ

は 個 々 に よ っ て 決 ま る 奥 行 係 数)と

対 応 さ せ る.し

空 間 で の 無 限 遠 で あ る 視 覚 零 す な わ ち γ=0が,視 対 応 し,無

た が っ て,物

理

空 間 で は 有 限 の 距 離 ρ=2に

限 遠 は 半 径 ２ の 球 面 を な し て い る こ と に な り,普

通,遠

方 ほ ど大 体 同

じ く ら い の と こ ろ に 見 え る こ と に 対 応 し て い る.   一 方,統

計 学 に お け る 因 子 分 析 法 が 知 能 の 分 析 に 適 用 さ れ,さ

く 人 間 の 性 格 の 研 究 に 応 用 さ れ,知

能,性

格,学

力,適

ら に,そ

れ が広

性 な どの分 析 に 不 可 欠 と

な っ て い る.

11.2 

数 理 経 済 学

  経 済 学 は,そ

の 名 の 由 来 と い わ れ る 「経 世 済 俗 」あ る い は 「経 世 済 民 」 と い う語

の 示 す よ うに,ま

た,か

の 内 容 に は 倫 理 的,政 の 相 当 な 部 分 は,社 に,そ

れ は,上

な わ ち,物

つ て は"political  economy"と

治 的 な 面 も 大 い に あ る .し

呼 ば れ て い た ご と く ,そ

か し,経

済 理 論 と呼 ばれ る分 野

会 科 学 の 一 分 野 と し て 近 代 的 科 学 の 様 相 を 示 し て い る .と

く

述 の よ うに 「人 文 科 学 に お け る 物 理 学 」 と よ くい わ れ て い る .す

理 学 が 自 然 科 学 の ひ と つ の 典 型 で あ る こ と に 対 応 し て ,経

科 学 の 中 で 最 も 自然 科 学 的 要 素 が 大 き い と い っ た 意 味 で あ る.し 数 学 化 の 程 度 も 大 き く,事

実,今

済学 は人 文

た が っ て,そ

の

日の 経 済 学 の 書 物 で 数 式 の な い もの は む し ろ ま

れ で あ る と い わ れ て い る.   経 済 学 は,人

間 の 社 会 生 活 に お け る 経 済 的 な 面,す

な わ ち,資

源 配 分,所

得分

配,資 本 蓄 積,経 済 成 長 な どの 問題 を考 え る.こ れ らは多 数 の 要 因 が か らみ 合 う 結 果 の総 合的 な 効 果 を表 してい る.し か し,そ の複 雑 性 の 中に 潜 む法 則 性 が見 い 出 され な い わ け では ない.と くに,そ れ が数学 的 性 質 を もて ば,数 理 科学 とな る.   経 済 学 に こ の よ うな数 学 的 方 法 が組 織 的 に 導 入 され た の は,Ａ.Ａ. Cournotの 「富 の 理 論 の 数 学 的 原 理 の研 究 」(1833)に 始 ま る と され る.さ

らに,L.Walras

の 「純 粋 経 済 学 要 論 」(1874)に お け る一 般 均 衡 論 に よ っ て,経 済 理 論 の基 本 的 方 法 の ひ とつ と して 確 立 され た.こ の 系 譜 は,現 在 に お い て は狭 い意 味 の 数理 経 済 学 あ るい は 理 論 経 済 学 と呼 ば れ る分 野 で あ り,経 済 の 事 象 を数 学 的 に表 示 してい るが,そ れ に よ って 事 象 の 一般 的性 質 を研 究 す る.し た が って,そ れ は,定 性 的 性 質 の 追 求 と もい え る.こ れ に 対 して,特 定 の経 済 現 象 を現 実 の統 計 資 料 な どに よ って 数 量 的 にモ デル 化 し,そ れ を用 い て必 要 な量 を具 体 的 に 数値 と して表 す, い わ ば 定 量 的 方 法 に 基 づ くも の が計 量 経 済 学(econometrics)と

呼 ば れ る分 野 で

あ る.こ の分 野 の発 生 は比 較 的 新 し く,と くに,そ れ は電 子 計 算 機 の発 達 と深 く 関 連 して い る.   以 上 の よ うな理 論 経 済 学 の 数 理 的 方 法 と計 量経 済学 の計 量 的 方 法 は現 代 の経 済 分 析 の ２本 の 中心 的柱 とい え よ うが,こ れ らの境 界 が は っ き り して い るわ け で は な く,そ れ らは 定性 的 お よ び定 量 的 分 析 の 分 野 をそ れ ぞ れ 分担 して い る と もい え る.   以 下,そ

れ ぞ れ の 分 野 を簡 単 な 例 に つ い て 述 べ る.そ

学 を 代 表 す る も の と い う わ け で は な い.し た も の で は な く,そ

た が っ て,数

れ ら は,と

くに 数 理 経 済

理 経 済 学 を組 織 的 に 述 べ

の 考 え方 の 一 端 を示 した も の で あ る[30],[31],[32].

(１) 理 論 経 済 学   (ａ) 有 効 需 要 の理 論   理 論 経 済 学 の考 え方 の 例 と して,ま ず ケイ ンズの 理 論 で簡 単 な 乗 数 モ デル の場 合 につ い て考 え る[30].   Ｊ.Ｍ.ケ イ ンズ は,世 界 大不 況 に あ る経 済 を立 て直 す に は,余 っ た供 給 力 の は け 口 とな る有 効 需 要 をつ く り出す こ とが 大 切 で あ る と考 え,有 効 需 要 の 理論 をつ

く り出 した.そ れ に よ り,投 資 を増 大 す る と,乗 数 過 程 に よ り有 効 需 要 が創 出 さ れ る と提 言 した.   国民 所 得 を Ｙ,個 人消 費 支 出 を Ｃ と し,Ｚ を消費 的 支 出 とす る と, Y = C + Z と 書 け る.Ｚ は政 府 消 費(Z1),固 な ど の 和 と考 え ら れ る が,こ れ に せ よ,こ

定 資 本 形 成(Z2),在 こ でZ3は

庫 増 減(Z3),純

負 に も な り う る し, Z4は

れ ら は Ｙ と は あ ま り関 係 な く,ま

租 税(Z4),  … 負 で あ る.い

た そ の 多 く は 政 策 的,人

ず

為 的に

決 め や す い.   一 方,Ｃ る.こ

は Ｙ に 大 い に 関 係 し,普

こ でf(Y)は

ａ,ｂ：定 数,と

通 は Ｙ の み の 関 数 と 考 え, C=f(Y)と

消 費 関 数 と 呼 ば れ る が,最

仮 定 さ れ る.こ

す

も 簡 単 に は １次 式f(Y)  = a  + bY,

こ で 所 得 以 上 の 消 費 は な い か らb＜1,ま

たb≧0

で あ る.   こ の と き,Ｙ

について解いて

が 得 ら れ る.こ

こ で,1/(1-b)を

れ ば,そ

れ が こ の 乗 数(＞1)倍

  一 方,Ｚ

投 資 乗 数 と い う.し

も,た

れ ら のZ1,Z2,…

れ を利 用 し て Ｙ を増 や し た り,あ

な ど は 増 減 させ て も Ｙ は 安 定 させ て お く,な   も っ と も,上

に変化があ

で 増 幅 し た 変 化 が Ｙ に 現 れ る こ と に な る.

は 上 述 の よ う にZ = Z1 + Z2 + … で,こ

策 的 に 管 理 しや す い 量 な の で,こ

た が っ て,Ｚ

は 比 較 的,政 る い はZ1,…

どの 政 策 が 考 え ら れ る.

式 は 静 的 な 均 衡 し た 場 合 の 関 係 で あ っ て,急

だ ち に Ｙ が 上 式 を 満 足 す る わ け で は な い.そ

に Ｚ を変 化 させ て

の 変 化 に よ っ て,結

局,上

の Ｙ に 均 衡 す る か ど うか に は 以 下 の よ う な 動 的 モ デ ル で の 検 討 が 必 要 で あ る.

(ｂ) 生

長

論

  理 論 経 済 学 の考 え方 の 例 と して,「 新 古 典 派 生 長 論 」 とい わ れ る もの の 簡 単 な 場 合 に つ い て,そ の 一 端 を見 る ［30］.そ こ で は,資 本 が 時 間 と と もに どの よ う に 消 長 す るか を問題 と し,そ れ を以 下 の よ うな 微分 方 程 式 に よ って モ デ ル化 して 考 え る.ま ず,資 本 量 を Ｋ と し,そ れ を時 間 ｔの 関数K(t)と

す る.μ を資 本 の

減 耗 率,Ｙ

を(粗)国

民 所 得, ｓ を そ の 貯 蓄 率(貯

蓄 性 向)と す る と次 の 式 が 成 り

立 つ. d  K

 = - μ  K + s  Y

 (11.1) 

 /  d   t す な わ ち,資

本 の 増 大 は,主

に 所 得 の う ち 貯 蓄 に ま わ る も の に よ っ て 起 こ る が,

そ れ か ら 資 本 自 体 の 減 耗 分 を 引 い た もの に な る わ け で あ る.も の 要 因 の 影 響 も あ り う る が,簡

単 化 し て こ の よ うに モ デ ル 化 す る.ち

の よ う に 時 間 を 連 続 的 に と り,し (動 的 モ デ ル),こ

れ に 対 し て,時

ち ろ ん,実

際は他

な み に,こ

た が っ て 微 分 方 程 式 な ど で の モ デ ル 化 を動 学 間 を １年 間 な ど に 区 切 っ て 年 度 ご と の 変 化 を 見

る方 式 を静 学 な ど と い う.   さ て,上

の よ う な 簡 単 な モ デ ル で は,μ,ｓ

0＜ μK＜K,0＜sY＜Yと   さ て,Ｙ

は,一

考 え られ る か ら,0＜

は 定 数 と 仮 定 で き る が,一 μ,s＜1と

般 に

仮 定 す る.

般 に は Ｋ と 労 働 量 Ｌ と に 関 係 し,生 産 関 数F(K,L)を

用 いて

Y = F (K ,  L )

 (11.2) 

と表 され る.   関 数 Ｆ の 性 質 は,た の と き,資

本 Ｋ の 増 大 に 伴 っ て ０ か ら 単 調 に 増 大 す る が,そ

減 少 し,図11-1の 同 様 で,ま

と え ば 一 定 の 労 働 量 に 対 し て 考 え る,す

た,図

よ う に な る は ず で あ る.こ

な わ ち,Ｌ=一

の増大率 は単調に

の 傾 向 は 異 な る Ｌ の 値 に 対 して も

に 見 られ る よ う に 異 な る 五 に 対 し て 相 似 的 に な る.さ

が 一 定 の と き も Ｌ の 増 大 に 対 し て 同 じ よ う な 傾 向 が 考 え ら れ る.こ 実 をモ デ ル 化 し て,普

通F(K,L)に

１次 同 次,す

ら に,Ｋ

の よ うな 事

なわち

F  (  λ  K ,  λ  L ) = λ  F (  K, L )  (λ  ≧  0)

が 仮 定 さ れ る.こ

定

の モ デ ル は 簡 単 で あ る だ け で な く,こ

 (11.3)

れ に よ っ て解 の 性 質 が 出

しや す い.   式(11.1)∼(11.3)で が,そ

表 され るモ デル に よ っ て資 本 の 消長 を考 え るわ け で あ る

れ は こ の 方 程 式 の 解 の 性 質 を 調 べ る問 題 と な る.

  ま ず,簡 (11.1)の

単 の た め,L=L0(一 定 常 解,す

定)の

な わ ちdK/dt=0と

場 合 を 考 え る.こ お い た 式:

の と き,定

常状態 は式

図11-1 

生産関数

- μ  K + s  Y = 0 

あ る い は 式(11.2)を

用いた

(11.4) 

を 満 足 す る Ｋ に よ っ て 与 え られ る が,こ

の よ うな状 態 は 経 済 の成 長 あ るい は逆

に 衰 退 が 止 ま っ て あ る停 滞 し た 状 態 に あ る こ と を表 し て い る.   さ て,こ

の よ う な Ｋ は 式(11.4)の

と く に そ のK=0で

方 程 式 の 根 で あ る.こ

の 傾 き の 大 き さ に よ っ て 変 わ る.ま

の 根 は,Ｆ

の 性 質,

ず

(11.5) と す る と,図11-2(a)で K=0,K=Kで

見 ら れ る よ う に,曲

交 わ り,こ

れ ら が 式(11.4)の

線(s/μ)F(K,L0)は 根 で あ り,定

直 線 Ｋ と

常 解 で あ る.一

方

(11.6) と す る と,図11-2(b)で

見 ら れ る よ う に,根

  し た が っ て,式(11.5)の の と き はK=0,す

場 合 に はK〓0で

はK=0の

み と な る.

の 状 態 が あ り う る が,式(11.6)

な わ ち 全 く無 一 文 の 状 態 し か な い こ と に な る.と

こ ろ で,実

(ａ)  定 常 状 態 ｋ,0

(ｂ) 定 常 状 態0 図11-2定

際 は 完 全 に 停 滞 し て は い な い で,少 見 よ う.そ

の た め,Ｋ

た とす る と,図11-2(ａ)か

で あ る か ら,Ｋ   逆 に,Ｋ

ず,式(11.5)の

=μ

(

s/

F-K

μ

うな る か を 次 に

場 合 で,kが0
)

＞0

は 時 間 と と も に 増 大 して Ｋ に 近 づ く.

がK＜Kで

の と き,ど

ら わ か る よ う に,式(11.1),(11.2)を

=-μK+sY

dt

し は 変 動 す る.そ

が あ る 時 刻 に こ れ ら の 定 常 解 以 外 の 値 に あ る と し て,そ

れ 以 後 の Ｋ の 挙 動 を 見 よ う.ま

dK/

常状態

あ った とす る と

であっ 用 い て,

d  K

  = μ

で あ っ て,Ｋ

  s /

 ( μ  F - K ) ＜ 0 

 /  d  t

は 時 間 と と も に 減 少 し て,こ

Ｋ は 安 定 な 状 態 で あ っ て,何

れ も Ｋ に 近 づ く.す

な わ ち,定

常解

ら か の 原 因 で Ｋ の 値 が Ｋ か らず れ て い て も

ば ら くす る と Ｋ に 戻 る こ と に な る.一

方,K=0は

もず れ れ ば,ま

た が っ て,こ

す ま す ず れ て し ま う.し

は す ぐに 抜 け 出 せ る わ け で,敗

不 安 定 で,こ

,し

れ か ら少 し で

の 場 合 はK=0の

状態 か ら

戦 の 無 一 物 の 状 態 か らの 復 興 が 可 能 な 状 況 に た と

え ら れ よ う.   こ の こ と は,第 あ る.も

二 の 場 合 で あ る 式(11.6)の

っ と も,こ

と き も 同 じ で,K=0は

の 式 の 場 合 は 普 通 は 起 き な い の で,む

不 安定 で

しろ

(11.7) と 仮 定 さ れ る の が 普 通 で あ る.   労 働 量 Ｌ が 一 定 で な く 時 間 ｔの 関 数 の 場 合,た す な わ ちt=0でL=L0と

と え ば 成 長 率 ｎ で 増 大 す る,

して

L  (t) = L 0  e n  t

で あ る と す る.こ

 (11.8) 

の と き,労

を 導 入 し,式(11.3)で

働 １単 位 あ た りの 資 本 量 ｋ:

λ=L-1と

す る と,式(11.1)は

d  k  = -  (  n + μ  )  k + s  F (  k  ,  1  )  /  d  t

 (11.9) 

と な る. 式(11.9)の

定 常 解 は,上

k  =

と同 じく

 s  F (  k  ,  1  )  /  n + μ

の 根 に よ っ て 与 え られ る が,仮 常 解k=k(定

常,＞0)が

定(11.7)を

用 い れ ば ,上

存 在 す る こ と が わ か る.

と同 じよ うに安 定 な定

  こ の 解 で は,資 本 Ｋ が労 働 Ｌ と均 斉 を保 っ て 同 一 の 成 長 率 で成 長 して い る こ とに な る.   以上 は,多 岐 にわ た る数 理 経 済 学 の 考 え 方 の一 端 を,し か も簡 単 化 した例 に つ い て示 した にす ぎな い.

  数 理 経 済 学 は上 に そ の 一 端 を見 た よ うに,経 済 現 象 の数 学 モ デル 化 が 一般 的 で あ り,そ の モ デ ル は い わ ば8.4節

で述 べ た 基 礎 方 程 式 に あた る もの で あ る が,

さ らに それ に基 づ く議 論 もそ の 一 般 的 性 質 を追 求 す るこ とが多 い.し た が っ て, そ の分 析 は しば しば定 性 的 とい わ れ るゆ え ん で あ る. (２) 計 量 経 済 学  上 に対 して,計 量 経 済 学 では,同 デ ー タ に基 づ き具 体 的 に,8.3節

じよ うに 数学 モ デ ル化 す るが,そ れ は 実 際 の

で述 べ た 経 験 式 あ るい は 実験 式 に 相 当 す る もの

を求 め,そ れ に基 づ い て 予 想 な ど を定 量 的 に 行 う[31]. (ａ) 計 量 経 済 モ デ ル の 例   た と え ば,式(11.2)の る よ う な 性 質,お

生 産 関 数F(Ｋ,Ｌ)に

よ び 式(11.3),(11.7)な

つ い て も,図11-2に ど の 条 件 を考 慮 し て,具

表 され て い 体 的 に,た

とえ ば Y = AKαLβ

と設 定 され る(コ

  (α, β＞0,

α+β = 1,  A＞0)

ブ ・ダ グ ラ ス 型 の 生 産 関 数)(蓑

谷 千 凰:計

量 経 済 学,東

洋経済

新 報 社).   さ ら に,定

数 Ａ,α,β の 値 は,実

か ら推 定 す る(10.3節).具

際 の あ る特 定 の場 合 に つ い て の 統 計 的 デ ー タ

体 的 に は,両

log  Y = y, 

log K = x, 

辺 の 対 数 を と り,

log L = z, 

log A = a

と お い た 式: y = a+αx+ 

に つ い て,あ て,ａ,α

(1-α)  z

る特 定 な 現 実 の 場 合 に つ い て の デ ー タ(yi,xi,  zi), i=1,2,…

の 値 を最 尤 法,具

体 的 に は 最 小 二 乗 法(8.3節)に

に よっ

よ っ て 定 め る.ま

た,

そ の 精 度 も数 理 統 計 学 の方 法 に よ っ て検 定 でき るわ け で あ る.   別 の例 と して,実 質家 計 可 処 分 所 得(ｘ)と 実 質 家 計 消 費 支 出(ｙ)の 関 係 を考 え るに,絶 対 所 得 仮 説 に よれ ば,ｘ とｙの関 係 は,一 般 的 に y=α+βx, 

(11.10)

α,β ：定 数

と定 式 化 さ れ る とい う.   と こ ろ で,わ 和57年 ち,簡

が 国 に つ い て は,た

と え ば 経 済 企 画 庁 「国 民 経 済 計 算 年 報 」の 昭

版 に よ れ ば,ｘ,ｙ お よ び そ の 関 連 デ ー タ が 年 次 ご と に 出 し て あ る.そ 単 の た め,昭

和40,45,50お

よ び55年

の う

度 の も の を見 る と次 表 の よ うに な

る.

年度

 ｘ(兆 円)  ｙ(兆 円)

昭 和40

  48.6

  41.0

45

  77.8

  63.6

50

  107.8 

84.0

124.7 

100.5

55 

  こ れ らの 値 を用 い て,上 な わ ち,上

の 式(11.10)の

の デ ー タ を(xi,  yi)と

対 応 さ せ れ ば,8.3節

α,βを 最 小 二 乗 法 に よ っ て 定 め る.す

し, i=1,2,3,4を

そ れ ぞ れ 昭 和40,45,50,55に

に よ って

4α +  (Σxi)β = Σyi (Σxi)α  + (ΣXi2)β  = ΣxiYi

と な る が,上

の 表 か ら Σxi, … を 計 算 し,α,β

を求 め る と

α  = 3.626,      β  = 0.765

と な り,式(11.10)は,わ

が 国 の こ の時 代 につ い て

y = 3.626  + 0.765x

と具 体 的 に 表 さ れ る こ と に な る.   実 際 の 問 題 と して は,も

ち ろ ん デ ー タ の 数 も変 数 も 大 き く,大

型 計算 機 に よ る

こ と に な る.   一 方,も る か,と

っ と 根 本 的 に,こ

の よ うな現 象 で はそ れ が 主 に何 に よ っ て起 こ っ てい

い う 因 果 関 係 の 確 立 こ そ が 大 事 で あ り,そ

の 分 析 が 主 要 な 課 題 で あ る.

  (ｂ)  投 入, 産 出 分 析   多 くの 産 業 か ら な る シ ス テ ム,た は,そ

とえ ば一 国 の 産 業 全 体 の よ うな経 済 シ ス テ ム

れ ぞ れ の 産 業 が 他 産 業 か ら の 製 品(商

つ く っ て い る.し 費 さ れ,そ

た が っ て,こ

の シ ス テ ム の 全 生 産 の あ る部 分 は シ ス テ ム 内 で 消

の 残 りが 外 部 へ の 需 要 に 応 え る た め の 支 出 に な っ て い る.こ

産 業 別 の 生 産 額 な ど を 決 定 す る た め,生 を モ デ ル 化 して 考 え る.こ   そ の た め,Xi, 

産 額,需

i = 1,  2,  …,  k,の

に 提 供 す る と 仮 定 す る.そ ど)で,そ

つ い て 支 出 合 計 をXi,外 支 出xjを

業Xiか

な わ ち,産

ら の 支 出 分 を 表 す.す

よ び 消 費 行 列: C={eij}を

と え ば １年,１

四半 期 な

部 の 需要 に 応 ず る支 出 を

生産 す るに 必 要 な 各産 業 の 支 出 の うち産 業Xiか

支 出 を 生 産 す る の に 必 要 な 支 出 率 とす る.こ

れ は,生

こ

の 上 での 余 分 の商 品や サ ー ビス を外部

る 一 定 の 期 間(た

diと し, eijはeijxjが 産 業Xjの

る い は,こ

格 な どの 間 の 相 互 作 用

産 業 部 門 か ら な る 経 済 シ ス テ ム を考 え,そ

の と き,あ

れ ぞ れ の 産 業Xiに

が 成 り 立 つ.あ

要 額,価

の と き,

れ は レ オ ンチ ェ フ ・モ デ ル な ど と呼 ば れ る[12],  [32].

で の 互 い の 作 用 は 完 全 に 維 持 す る と し,そ

{di},お

品 や サ ー ビ ス な ど)を 用 い て 製 品 を

ら産 業Xjへ

の,単

位 あ た りの

の と き,

産 ベ ク トル: X = {Xi},需

要 ベ ク トル:

d=

用 いれ ば

x - Cx = d  す な わ ち   (1 - C) x = d と 書 け る.   こ れ を 開 モ デ ル と い う こ と が あ る.こ に 対 応 す る 場 合 を閉 モ デ ル と い い,生

れ に 対 し て,d

産,消

= 0(di = 0, i = 1,…,k)

費 が シ ス テ ム 内部 だけ で行 われ てい

る 場 合 で あ る.   さ て,上 x-Cxは

式 は,ｘ

が 全 生 産 を, Cxが

そ の 残 り を 表 し,そ

に 示 し て い る.問

題 は,こ

そ の う ち の 内 部 消 費 分 を,し

た が って

れ が 需 要 に対 す る支 出 ｄ に な っ て い るこ と を簡 明

れ が 成 り立 つ ｘ は ど うな る か と い う こ と で あ る.

  そ の た め に は,ま

ず,与

え ら れ たd ≧ 0(di ≧ 0)に

け れ ば な ら な い.す

な わ ち,行

列I - Cの

対 し て上 式 が解 ｘ を もた な

逆 行 列(I - C) - 1が 存 在 し な け れ ば な

い.そ

の とき

          x=(I-C)-1d と な る が,こ

の ｘ の 成 分xiは

な わ ちx≧0で

支 出,あ

な け れ ば い け な い.こ

が こ の 条 件:(I-C)-1の 的 で あ る と い う.こ   こ の と き,以

存 在,お の と き,d≧0に

る い はXiの れ は,消

生 産 額 で あ る か ら,xi≧0す

費 行 列 Ｃ の 性 質 に よ る.い

よ び(I-C)-1≧0を

満 足 す る と き,Ｃ

対 し て 常 にx≧0と

ま,Ｃ は生 産

な る.

下 が 成 り立 つ.

    「Ｃ が 生 産 的 で あ る こ と と,x＞Cxの

よ う なx≧0が

存 在 す る こ と と は 同値

であ る」   した が っ て,た

と え ば Ｃ の そ れ ぞ れ の 行 の 成 分 の 和 が １ よ り小 さ け れ ば,xi=1

の よ う な ｘ に つ い てx＞Cxが (I-C)-1d≧0と   普 通,こ

な り,解

成 り立 つ か ら,こ

上 記 の よ う な 条 件 を満 足 す る よ う に つ く られ る.

と え ば 国 の よ う な 大 き な シ ス テ ム で は,産

て も よ い ほ ど 多 い か ら,こ

く に,長

業 の 数 は 無 限 とい っ

れ を適 当 な 部 門 に 分 類 しな け れ ば な ら な い.さ

上 で Ｃ は ｘ に 無 関 係 と し て い る(線 型 モ デ ル)が,こ く る.と

の とき

が 求 ま る こ と に な る.

の Ｃ(投 入 係 数)は

ま た 現 実 に は,た

の Ｃ は 生 産 的 で あ り,こ

ら に,

の 仮 定 に は 無 理 な 点 も出 て

期 に わ た る 予 想 を考 え る よ うな と き に は 非 現 実 的 な こ と も 多 い.

  あ る経 済 現 象 を数 学 モ デル 化 す るた めに 重 要 な こ とは,そ の現 象 の 要 因 とな る 現 象 を求 め る こ と で あ る.こ の こ とは も ち ろん,現 象 の数 学 モ デル 化 には 常 に 必 要 で あ る.し か し,自 然 現 象 では,こ の よ うな 要 因 は単 純 で 自明な こ とが 多 い の に 比 べ て,非 自然 科 学 的 現 象 では,そ れ は 多 数 が複 雑 に か らみ 合 って い る こ とが 多 い.し た が って,こ れ らの 要 因 を特 定 す るた め,統 計 学 でい う多 変 量解 析 が 大 き な課 題 とな る.

11.3 

社 会 科 学 に お け る数 量 分 析

社 会 科 学 の 研 究 に お け る実 証 的方 法 の一 端 と して登 場 して きた の が,数 量 的 あ

る い は 統 計 的 方 法 に よ っ て 理 論 や 仮 説 を 検 定 す る 行 き方 で あ る.こ 米 国 に お い て,世

論 調 査 の 結 果 の 分 析 な ど と の 関 連 で 発 達 し て き た.す

結 果 の デ ー タ な ど を単 に 数 値 的 に 表 す に と ど ま ら ず,そ な ど の 統 計 学 の 方 法 を 適 用 し,選

わ ば確 率 モ デ ル に 基 づ い て 研 究 す る.さ

学,経

済 学,政

治 学,歴

な わ ち,世

る わ け で あ る が,そ

くに

な わ ち,

れ に 因 子 分 析,相

関分 析

挙 の 予 想 とか 世 論 の 動 向 の推 測 とい った もの

を,い

で あ る.す

れ は,と

ら に,こ

の 方 法 そ の も の を,社

史 学 な ど の 社 会 科 学 一 般 の 研 究 に 応 用,発

会

展 させ る も の

論 調 査 で は 実 際 に ア ン ケ ー トな ど に よ っ て デ ー タ を収 集 す

れ に 相 当 す る こ と を,対

象 とす る 現 象 に つ い て の 事 実 に 基 づ

い て 行 う わ け で あ る.   た と え ば,あ

る 時 代 の 政 治 エ リ ー トの 社 会 的 背 景 を 調 べ る と し て,対

人 々 の そ れ ぞ れ に つ い て,出

身 階 級,出

身 地,学

ケ ー ト を と る の と 同 じ よ う に 調 査 す る.そ は 何 人 と い っ た 数 量 で 表 され る か ら,こ

歴,経

の 結 果 は,た

歴 な ど を,あ

象 とす る

た か もア ン

と え ば あ る階 級 出 身 の 人

れ を用 い て 上 の 世論 調 査 の分 析 と同 じ よ

う に 分 析 を 行 う わ け で あ る[25].   こ の よ う な 分 野 は,計

量 政 治 学,計

量 社 会 学,数

理 歴 史 学 な ど と して,と

くに

電 算 機 の 発 達 に よ っ で 次 第 に 盛 ん に な っ て き た.   一 方,こ

の よ う な 計 量 的 方 法 に 対 し て,現

ら れ て い る.た 1967)は,前

と え ば,Ｗ.ラ

象 そ の も の を数 学 化 す る こ と も試 み

イ カ ー ：政 治 的 連 合 の 理 論(エ

提 や 仮 定 を 明 らか に し,そ

の 上 に 立 っ て,論

ー ル 大 学 出 版,

理 的 に 導 か れ る命 題 か

ら 政 治 現 象 を 解 明 す る こ と を 目標 とす る 数 理 政 治 理 論 の 先 駆 の ひ と つ で あ り,さ ら に,政

党,選

挙,投

票,ゲ

ー ム,集

団 行 動,企

業 行 動,政

策 形 成,交

渉 な どに

つ い て 多 く の 数 理 政 治 理 論 が 生 ま れ て い る とい う[８] .

計 量 法 律 学, そ の 他   法 律 はそ の構 成 に お い て最 も論 理 的 であ るべ きな の で,一 見,数 学 モ デル の導 入 は容 易 で あ る よ うに 思 われ る.事 実,そ れ を記 号論 理学 の適 用 に よ って 構 成 し よ うとす る試 み は考 え られ る.し か し,現 実 に お い て は,法 律 は人 間社 会 の 複雑 な 関 係 の 反 映 で あ っ て,そ

う簡 単 に モ デ ル化 が で き るわ け で は な い.し か し,相

な 部 分 に つ い て は 可 能 な こ と も あ ろ う.た て,そ

れ に よ る 「判 決 」 を 参 考 に す る,判

例,法

こ れ だ け で は 数 理 科 学 とは い え な い が,さ れ に よ っ て 法 律 を構 成 す る,な   ち な み に,こ

は こ う,反

療 に お け る 診 断 理 論 の 考 え 方 は,上 通,医

者 の 症 状 を基 に,ど

者 は,患

者 に 対 す る 体 温,心

こ が悪 い か とい っ た病 状 に対 す る

う い う病 気 で は 体 温 は どの く ら い,自

と い っ た 知 識 と,当

て 診 断 し て い る わ け で あ る.し さ せ,さ

な わ ち,普

の 判 断 で は,こ

応 は こ う,…

っ と も,

ど で あ る.

の 場 合 と ほ と ん ど 同 じ で あ る.す

診 断 を し て い る.こ

律 の 情 報 検 索 を行 う.も

ら に 記 号 論 理 学 を 法 律 学 に 適 用 し,そ

れ は 人 文 科 学 で は な い が,医

音 な どの 検 査 を含 め て,患

と え ば,「 判 断 」 を 数 学 モ デ ル 化 し

た が っ て,各

覚症状

面 す る 患 者 の 状 況 を照 ら し 合 わ せ 病 気 に つ い て の 症 状 を電 算 機 に 記 憶

ら に 上 と 同 じ よ う に 「判 断 」の 数 学 モ デ ル を作 成 す れ ば,ど

の病 気 か と

い う一 応 の 可 能 性 は 打 ち 出 せ る で あ ろ う.   し か し,い

ず れ に せ よ,事

態 は そ う簡 単 で は な い.ま

ず,法

律 に せ よ,症

状に

せ よ,原

理 的 に い っ て そ れ をす べ て 満 足 で き る ほ ど詳 し く 記 憶 で き る か が 問 題 で

あ る.次

に,人

間 の 判 断 は 効 率 よ く で き て い る の で,可

て い く直 観 と い っ た も の が 働 く こ と が 多 い.あ と き の 第 一 印 象 が 大 事 で あ る,と

能 性 の 高 い も の か ら調 べ

る 医 者 は,患

い っ て い た が,そ

者 さん が入 って く る

うい う こ と が 大 切 で あ ろ う.

  こ の よ うな 研 究 は も っ と一 般 的 に 知 識 工 学[33]と

し て 発 展 しつ つ あ る.

  こ れ と 関 連 し て,決

る い は 統 計 的 決 定 理 論 は,

定 理 論(decision 

上 の よ う な 分 野 も 含 め て,一 っ て い る .こ

れ は,作

making)あ

般 に 行 動 科 学,経

営 科 学 の 領域 で は大 きな 分 野 とな

戦 な どの モ デ ル 化 と も 関 連 し て 起 こ っ た が,経

で 絶 え ず 必 要 に な る決 定 と い う過 程 を モ デ ル 化 し て,合

営戦略な ど

理 的 に進 め よ う とい う 目

的 で あ る.

11.4 

言語の数理科学

  日常 の会 話,演 説 な どでの 言葉,新

聞 記 事,手 紙,文 書 は ては 文学 作 品 な どで

の 文 章 とい っ た,い わ ゆ る言 語 とそ の 表 現 に は,そ れ ぞれ あ る種 の 規 則 が あ る こ

と は 明 ら か で あ る.こ

の よ う な 規 則 性 は,言

語 と い っ た 異 な る 言 葉 に よ る違 い,極

語 一 般 に つ い て も,ま

た 日本 語,英

端 に は 各 個 人 に よ る個 別 性 ま で,一

般 的,

個 別 的 に さ ま ざ ま で あ る.   言 語 に つ い て の 学 問 が 言 語 学 で あ ろ うが,こ ば 言 語 の 科 学 の 中 で も,そ こ れ に つ い て は,大 学,文

章 心 理 学,も

わ れ る 分 野 で,文

の よ うな 規 則 性 に つ い て の,い

れ が 数 学 性 を も つ 場 合 が 言 語 の 数 理 科 学 と い え よ う.

き く分 け て 大 体 二 つ の 分 野 が あ る.そ っ と極 端 に は 数 理 文 学,ま

と え ば,一

喩 」の 出 現 回 数 の 統 計 を と る と,ポ

般 的 に い っ て,一

章 の科

るい は個 別 的 な 規 則

定 量 の 文 章 中 に 現 れ る 「比

ア ソ ン分 布 に な っ て い る と い う.

  計 量 言 語 学 の 分 野 に つ い て は,[27]に に 紀 元 前 ３∼ ４ 世 紀 ご ろ,ア

の 第 一 は,文

た一 般 的 に は 計量 言 語 学 な どとい

章 あ る い は 文 の 内 容 に つ い て の 一 般 的,あ

性 を見 る も の で あ る.た

わ

詳 し い.そ

の 起 源 は 案 外 に 古 く,す

で

レ キ サ ン ド リア の 学 者 た ち は ホ メ ロ ス の 詩 に 一 度 だ

け 現 れ る 言 葉 の 数 を 数 え た と い う が,さ

らに,19世

紀 に い た っ て は,プ

ラ トン

の 諸 著 作 に つ い て そ の 文 体 特 徴 の 統 計 的 研 究 か ら執 筆 年 代 と順 序 を推 定 す る こ と が 多 くの 人 に よ り行 わ れ,こ   こ の よ う に,こ

れ が 文 体 測 定 学 の 最 初 の 大 き な 運 動 と な っ た.

の 分 野 で の 方 法 は 主 に 統 計 的 方 法 で あ っ て,そ

デ ル 化 し て い る と い え る.こ

の 場 合,文

の意 味 で確 率 モ

学 作 品 な ど は 個 別 的 な もの で あ る が,そ

れ で も 上 記 の よ う な 法 則 が か な り普 遍 的 に 成 り立 つ わ け で あ る.も は,ま

れ に 起 こ る 現 象 の 統 計 を と る と ポ ア ソ ン 分 布 に な る と い う,い

数 の 法 則 」 と い う一 般 的 性 質 の 現 れ と も考 え られ る.す 量 の 文 章 と し て,た る,２

度 あ る,…

と え ば １ペ ー ジ 分 を と り,そ

な わ ち,こ

こ で 「比 喩 」 が,な

の そ れ ぞ れ の ペ ー ジ 数 を 見 る わ け で あ る.普

喩 」は そ れ ほ ど 多 く な く,な る.ま

っ と も,こ

れ

わ ゆ る 「小

の 場 合,一 い,１

定 度あ

通 の 作 品 で は 「比

い ペ ー ジ が 一 番 多 い だ ろ う と い う こ と が 考 え られ

た,「 一 定 量 の 文 章 中 に 現 れ る 名 詞,動

規 分 布 に 近 い 」 こ と が 示 さ れ て い る が,こ

詞,句

点,読

点 の個 数 の 分布 は正

れ も 一 般 的 な 「大 数 の 法 則 」 に よ っ て

説 明 され る と 思 わ れ る.   こ の よ う な 普 遍 的 性 質 に 対 し て,個 し よ う とす る こ と が 考 え ら れ る.そ

別 的 な性 質 に よ って 文 体 の 特 徴 を明 らか に の 主 な 方 法 は,因

子 分 析 法 な どの 統 計 学 の 手

法 に よ って,作 家 の 作 品 の 用 語 や 文章 の特 徴 を抽 出す る こ と に あ る.た とえ ば, セ ンテ ンス の平 均 的 な 長 さ,一 定 量 の 文 章 の 中 で 用 い られ る名 詞 の 数,… っ た 項 目に つ い て,多

とい

くの 作 家 の 作 品 につ い て調 べ,こ れ らの 項 目の 間 の相 関 係

数 を算 出 し,そ れ に 基 づ い て文 章 性 格 の因 子 分 析 を行 い,取

り出 した い くつ か の

因子 につ い て 作 品 を分 類 す る.こ れ に よ り作 家 の 特 徴 が分 類 で き るわ け であ る. これ らの 結 果 は,文 学 史上 の通 例 の分 類 とか な りよ く一 致 して い る とい う[１].   第 二 の 分 野 は,言 語 自体 の構 造 につ い ての 規 則 性 に 関 す る もの で あ る.い わ ゆ る文 法 は,と

り もな お さず こ の よ うな規 則 性 の 一 端 を示 す もの で あ る が,そ れ の

数 学 的 構 造 を見 るの が新 しい傾 向 で あ る.一 般 的 に い っ て 言語 理 論,も

っ と狭 く

は 数 理 言 語 学 な ど と呼 ばれ る.こ れ は,さ らに そ の研 究対 象 に よっ て大 き く分 け られ る.す な わ ち,日 本語,英 語 な どの い わ ゆ る 自然 言 語 を対 象 にす る もの と, 計 算 機 の た め の言 語 の よ うな形 式 言 語 に つ い て考 え る もの とあ る.も ち ろん,こ れ ら は本 質 的 に は 同 じはず であ るか ら,こ れ ら を統 一 的 に取 り扱 うこ と も行 われ て い る.

11.5 

芸 術 の 数 理

  芸 術 の 本 質 は 何 か とい うの は 難 しい問 題 で あ ろ うが,そ れ は 美 を対 象 と し,音 楽,絵

画,彫 刻 な どの 芸 術 作 品 もこれ を創 造 して い る とい え よ う.

  とこ ろ で,こ の よ うな 芸 術作 品 に は明 らか な数 学 的 要 素 が 現 れ て い るこ と があ る.た

とえ ば,よ

く知 られ た よ うに,音 階 は 音 の振 動 数 の 比 が 整 数 に な っ て い

る.す な わ ち,同 時 音 の振 動 数 の比 が簡 単 な 有 理 数 で あ る と き,こ れ らの 音 は 快 く協 和 す る と感 ず る.ま た,絵 画 で よ く現 れ る幾 何学 的 図 形 な どで あ る.こ の よ うな 数 学 的 要 素 は,人 間 に美 的 感 覚 を与 えて い るわ け で あ る.   一 方,芸 術 作 品 を創 造 す る とい う技 術 的 な 点 に お い て は,そ れ は科 学 に 類 す る 要 素 が あ る こ とは 古 来 か ら指 摘 され て い る こ と で あ る[３].こ れ に 関 連 して,上 の 例 の よ うに 人 間 に美 的 感 覚 を与 え るよ うな 数学 的要 素 につ い て は,そ の 数学 的 性 質 を芸 術 的 創 作 に利 用 す る こ とは 技術 的 に 見 て効 率 が よ い こ とに な る.こ の よ

うな 目的 の た め に,芸 術 に お け る数学 性 を考 え る こ とは,と

りもな お さず,芸 術

に お け る数理 科 学 とい え よ う.   この こ とは,実 は,古 来 か ら行 わ れ て き た わ け で あ る.た と え ば,上 の 協和 音 につ い て も,使 用 す る音 が す べ て 協 和 す るた め に協 和 音 程 が必 要 とな る.こ れ を 楽 器 な どで完 全 に 実 現 す る こ とは 難 しい が,近 似 的 に満 足 させ る音 階 の 簡 単 な 例 が ピ タ ゴ ラ ス音 階 で,N0を

標 準 振 動 数,ｎ,ｐ をあ る範 囲 で の 正,負

の整 数 と し

て,振 動 数 Ｎ を      

N=N0･2n･3p

とす る.こ の よ うな Ｎ を用 い れ ば,標 準 音 に対 して ２倍(第

８度)お よ び ３倍

(第 ５度)の 多様 性 を もつ 音 を包 含 で き るわ け で あ る.こ れ は,完 全 に 協 和 す る 自然 音 階 に対 す る ひ とつ の 数学 モ デ ル とい え よ う.   また,絵 画 に お い て 立 体 的 な 効 果 を与 え る透 視 図 法 も,あ る幾 何学 的 な 数学 モ デル を利 用 して い る とい え る.こ の 図法 はル ネ ッサ ン ス時 代 に 開 発 され た とい わ れ る が,こ れ な し では 立 体 の 表 現 は 限 られ て くる.逆 に,こ れ を用 い れ ば,素 人 で も労 せ ず して 立 体 を浮 か び上 が らせ る こ とが で き る.   黄 金 分 割 とい うよ うな もの も この よ うな例 のひ とつ で あ る.こ の よ うな 例 は 他 に も数 多 くあ げ られ る.極 端 な 例 では,コ

ン ピュ ー タ に よ る作 曲 とか,似 顔 絵 を

描 く ロボ ッ トとか が あ る.こ れ らは,い わ ば 数学 的性 質 だ け に よ っ て創 作 され た もの で あ る.こ の よ うな もの が芸 術 であ るか ど うか は大 い に問 題 で あ る が,単 に 似顔 絵 を描 く とい うこ とに対 して は,十 分 とは い え な い が相 当 な 目的 を果 た して い る.必 要 な ら,こ れ を基 本 に して専 門 家 が 適 当 に 直 す.こ れ は,コ

ン ピュ ー タ

作 曲 につ い て も同 じで あ る.つ ま り,人 の顔 を上 手 に 描 く こ とは,素 人 に は簡 単 に は で き な い.画 家 で も,そ れ に は相 当 の 習 練 が 必 要 とさ れ るの が 普 通 で あ る が,そ こに あ る数 学 性 を利 用 す れ ば,そ の相 当部 分 が 機 械 的 に でき る とい う事 実 があ る,   さ らに,芸 術 に つ い て の 現 在 の よ うな理 解 は,驚 う[26].す

な わ ち,割

くほ ど最 近 の概 念 で あ る とい

と最 近 ま で は芸 術 は 実 際 的 な問 題 の表 現 で あ っ た.こ の

こ とは数 学 が 何 千 年 の 歴 史 を もつ こ と と大 き く対 比 され る.し た が って,芸 術 の

以 前 の よ う な 目 的 に 対 し て は,コ

ン ピ ュ ー タ 作 曲 で も十 分 役 に 立 っ て い た か も し

れ な い.   しか し,い

ず れ に し て も,芸

れ た も の で あ っ て,コ

術 の も つ 数 学 性 は,全

体 か ら見 れ ば は な は だ 限 ら

ン ピ ュ ー タ が い く ら進 歩 し て も,そ

れ に よ っ て 創 造 され る

芸 術 が そ れ ほ ど 大 き く な る と は 考 え に く い.   し か し,こ

の よ うな 芸 術 の も つ 数 学 性 自 身 が 芸 術 で あ る と い う考 え も成 り 立

つ.コ

ン ピ ュ ー タ ・グ ラ フ ィ ッ ク ス に よ る 種 々 の 映 像 の 創 作 な ど が そ の 現 れ で あ

り,近

年 は こ の 方 面 の 国 際 シ ン ポ ジ ウ ム な ど も 開 催 さ れ て い る.

12. 複雑 な現 象へ の応用

  自 然 科 学 は,元

来 は,複

雑 な 現 象 に 存 在 す る 簡 単 な 関 係 を法 則 と し て 見 い 出 し

て い く こ と で 大 き な 発 展 を遂 げ た.し 地 震 予 知,環

境 問 題 な ど,本

必 要 と な っ て い る.こ

在 は,そ

口動 態(population 

の 記 述 統 計 学 の 時 代 に お い て,す

ら に,生

Ｗ.Ｓ.Gosset,  と は10.3節

Ｒ.Ａ.Fisherに

でに 統 計学 の大 き な分 野 で あ った

始 ま る近 代 的 数 理 統 計 学 の 発 生 の 契 機 と な っ た こ

ど と 呼 ば れ て い る.さ

ら に,生

実,こ

の 分 野 は 生 物 統 計 学(biosta-

物 学 に 関 連 し た 他 の 分 野,た

とえ ば 医

学 な ど で も広 く行 わ れ て い る. 験 の デ ー タ処 理 とい っ た い わ ば間 接 的 な 応 用 が 主 で あ る

れ に 対 し て 生 物 現 象 そ の もの を 数 学 モ デ ル 化 し て 研 究 す る こ と も 次 第 に 盛

ん に な っ て き て い る.た

と え ば,遺

の 統 計 学 的 応 用 と もい え る が,現 る.ま

の よ う

「数 理 統 計 学 」に お い て も 述 べ た と お り で あ る.

  こ の よ う な 応 用 は,実 が,こ

理 統 計 学 で あ る.こ

物 学 研 究 の 特 徴 と して の 少 数 例 の 場 合 に対 処 す る こ とが

  こ の 分 野 は 現 在 に お い て も 盛 ん で あ り,事

学,農

dynamics),

数 理 生 物 学,  数 理 生 態 学

な 応 用 は,昔

tistics)な

気 予 報,

ど に つ い て 考 え る.

  生 物 現 象 に 対 す る 数 学 の 応 用 の ひ と つ の 分 野 は,数

が,さ

れ に 加 え て,天

質 的 に 複 雑 な 現 象 の 解 明 と い う異 質 な 問 題 の 解 決 が

れ ら の 分 野 の 例 と して,人

交 通 問 題(traffic flow)な

12.1 

か し,現

た,生

伝 学 に お け る そ れ は,あ

る意 味 に お い て は 上

象 そ の も の を確 率 モ デ ル 化 し て い る と 考 え ら れ

物 体 の 構 造 と 機 能 に つ い て,た

的 に 解 析 す る とい っ た 例 が あ る が,最

とえ ば動 物 の 跳 躍 とい う現 象 を数学

近 で は 神 経 系,と

くに脳 の 統 合 機 構 の 数学

モ デ ル 化 は,人

間 の 精 神 活 動 の 解 明 と も か ら ん で 大 き な 課 題 で あ っ て,数

生 物 学(mathematical  射 線 生 物 学,発

neurobiology)と

し て 大 き な 分 野 と な っ て い る.ま

生 学 に お け る 例 が あ る が,さ

き た 生 態 学 に お け る 応 用 は,数

理神経

ら に は,近

理 生 態 学(mathematical 

年,大

た,放

きな 分 野 とな っ て

ecology)と

して大 き く

発 展 し て い る.   以 下 に お い て は,生

物 体 の 機 構 に つ い て の 簡 単 な 例 と,数

理 生 態 学 の 一 端 につ

い て 述 べ る[20].

(１) 数 理 神 経 生 物 学   神 経 系 な ど の 生 体 を 数 学 モ デ ル 化 し て 研 究 し よ う と い う 端 緒 は,Wienerの イ バ ネ テ ィ ク ス(1948)の 自 動 制 御 理 論 の 発 達 と,一 た,人

提 唱 に あ っ た と い わ れ て い る.そ

の 後 は,情

サ

報 理 論,

方 に お け る 電 子 計 算 機 の 急 速 な 進 歩 と 相 ま っ て,ま

間 に か わ っ て い ろ い ろ な 情 報 処 理 を行 う機 械 の 開 発 と 関 連 し て 発 展 し て き

た.   そ こ で は,と ろ で,脳

く に 脳 の 活 動 に つ い て の 数 学 モ デ ル 化 が 大 き な 問 題 と な る.と

の 情 報 処 理 を に な う基 礎 は1010個

も の 神 経 細 胞(neuron)で,こ

1014個

も の 内 部 結 合 を も つ 神 経 回 路 網(nervenet)か

る.こ

れ は き わ め て 複 雑 で,し

っ て,そ

れ らは

ら成 り 立 っ て い る と い わ れ

か も こ れ に 対 す る 数 量 的 デ ー タ は 少 な い.し

の 数 学 モ デ ル 化 と し て は,そ

こ

たが

の どの よ うな様 相 を どこ ま でモ デル 化 す る

か が 問 題 で あ る.   こ の よ う な モ デ ル 化 と し て,神

経 線 維 内 の 興 奮 伝 導 や,細

胞 体 の膜 の生 理 作 用

と い っ た 神 経 系 の 局 所 的 な 現 象 に つ い て の モ デ ル 化 が あ る ． と く に,神

経 線維 に

お け る 興 奮 と そ の 伝 導 の 現 象 を ヤ リイ カ の 巨 大 神 経 線 維 を 用 い て 定 量 的 に 研 究 し,そ

れ を 電 気 回 路 で 表 現 し,微

Hodgkin-Huxleyの   そ こ で は,神

イ オ ン説(1952)は

分 方 程 式(H-H式)に 有 名 で あ る.

経 細 胞 の 細 胞 膜 の 透 過 性 が 変 化 し,そ

イ オ ン が 内 に,逆

よ っ て モ デ ル 化 した

れ に よっ て 外 の ナ トリウ ム

に 細 胞 内 の カ リウムイ オ ンは外 に 流 れ 出 す とい う移 動 の ずれ か

ら ス パ イ ク 状 の 電 位 が 生 じ,こ

れ が 隣 接 の 細 胞 膜 に 同 様 の 変 化 を 引 き 起 こ し,伝

播 す る.上 の 微 分 方 程式 の解 は こ の よ うな 様 相 を よ く説 明 し,こ の 現 象 の 解 明 に 大 きな 進 歩 を もた ら した.   一方,神 経 回 路網 に基 づ く現 象 につ い て,そ れ を適 当 な回 路 網 に よっ て モ デル 化 す る とい う こ と も広 く行 わ れ て い る.こ の よ うな モ デ ル化 は,数 理 心 理 学 の 問 題 と も大 き く関連 してい る. (２) 数 理 生 態 学   あ る 池 で 魚 は い つ も 同 じ く ら い い る の が 普 通 だ っ た の に,あ ら に,気 は,魚

が つ い て み る と い な く な っ て い る,と

の 生 息 条 件 が,魚

ら で あ る.こ

  さ て,こ

dynamics)と

の 現 象 は,共

れ

ャ ー レ の 中 の バ ク テ リア の 数,は

境 問 題 と も 密 接 に 関 連 し て い る .ま

ては た,

呼 ば れ る 分 野 で も あ る.

存 す る 多 数 の 動 植 物 や バ ク テ リア な ど と そ れ ら を と り ま

く 環 境 と が 互 い に 影 響 し,ほ し,そ

の 木,シ

い っ た 例 で も 見 られ,環

人 口 動 態(population 

い っ た こ と が 経 験 さ れ る.こ

自身 とそ れ を と り ま く生 活 環 境 の 影 響 で 変 化 し て く る か

の よ う な 現 象 は,森

世 界 の 人 口,と

る 年 急 に 増 え,さ

と ん ど無 限 に近 い 因 子 が互 い に か らみ 合 っ て 作 用

の 構 造 は き わ め て 複 雑 で あ る.こ

の 様 相 の 数 学 モ デ ル 化 と い っ て も,ニ

ュ ー トン の 式 と い っ た そ の 根 本 を支 配 す る 原 理 式 が あ る わ け で は な い .   そ こ で,そ

の よ う な 複 雑 さ の 中 で も,何

か あ る要 因 の 影 響 が本 質 的 であ る よ う

な 様 相 に つ い て 単 純 化 し て 考 え る わ け で あ る.以

下,そ

の よ う な も の の 中 で,と

く に 簡 単 な ２,３の 場 合 に つ い て 考 え る[10],[19].   ま ず,上

の よ う に 動 物 の 数 が 変 動 す る 様 相 に つ い て,最

類 とす る.し

か も,そ

の 一 生 を 単 純 化 し,夏

し,ま

た,お

物 は １種

の 間 に １回 の 繁 殖 期 を も ち,そ

生 ま れ て 成 熟 し た も の の 一生 は 翌 年 の 夏 ま で とす る.そ 最 初 で の 雌 の 数 をXnと

も簡 単 に,動

こで

こ で,ｎ 年 目の 繁 殖 期 の

の お の の雌 は翌 年 の 繁 殖 期 ま で生 き延 び て

子 を産 む よ うな 雌 の 子 を 平 均 し て Ｒ 匹 産 む もの と す る.そ

の と き,明

Xn +  1  = RXn

らか に,

(12.1)

が 成 り立 つ.   こ こ で,出

生 率 Ｒ は,一

般 的 に はX(…,  Xn-1, Xn, Xn+1な

ど)に 依 存 す る.

図12-1 

簡 単 にXnだ

け に つ い て 見 る と,大

出生 率 Ｒ

体,図12-1の

よ う に な る で あ ろ う.す

ち,Ｘ

が 大 き い と 込 み 合 っ て 環 境 が 悪 くな る か ら,出

る.一

方,Ｘ

生 率 Ｒ は 当 然 に 小 さ くな

が あ ま り に 小 さ い と き は 全 体 と し て 個 体 数 は ま ば ら で,雄,雌

出 会 う機 会 も少 な く な る か ら Ｒ は こ れ ま た 小 さ い だ ろ う,と   さ て,こ

こ でR=1の

少 す る.こ

の こ と は 式(12.1)で

る か ら,個

体 数 は 年 々 一 定 で,い

ら,子

ｎ と と も に 増 大 し, R＜1な

も 明 ら か で あ る.R=1の

か し,そ

供 の数 ら逆 に 減

と き はXn+1=Xnで

わ ば 平 衡 状 態 に あ る,図

水 準 と の 交 点 Ａ,Ｂ が そ れ に あ た る.し

の

い う わ け で あ る.

水 準 は 特 別 の 意 味 を も っ て い る.R＞1な

が 自 分 自 身 よ り多 い わ け で あ る か ら,Xnは

R=1の

なわ

で は,Ｒ

あ

の 曲線 と

の 平 衡 の 様 相 は Ａ,Ｂ で

大 い に 異 な る.   ま ず,Ａ

点 で は,状

れ た と す る と,そ 変 化 す る.一 く.す

こ で はR＜1で

方,右

な わ ち,Ａ

態 が そ れ か ら少 し だ け ず れ た と す る.た

に ず れ る とR＞1と

  ま ず,Ｂ

は 増 大 し て,や

は り離 れ て い

の よ うな 状 況 は 長 続 き せ ず,動

に 動 い て Ｂ 点 の 方 に 近 づ い て い く.Ｂ

下 の よ う に 式(12.1)に

にず

は 減 少 し て, Ａ 点 か ら 離 れ る 方 に

な り,Ｘ

点 で の 平 衡 は 不 安 定 で,こ

は 左 に 動 い て 絶 滅 す る か,右 ど うな る か は,以

あ る か ら,Ｘ

と え ば,左

物

点 の 近 くで

基 づ い て 考 え て み よ う.

点 の 近 く だ け 考 え る の で あ る か ら, Ｂ 点 に 対 応 す る Ｘ の 値 をXBと

し,

Xn = XB + xn とお い てxnは

小 さ い とす る.こ

の と き, Ｒ は

R = 1-bxn た だ し,

と 仮 定 で き る.す

な わ ち,曲

緑 Ｒ を Ｂ 点 の 近 く で,そ

の 点 での 接 線 で近 似 す る

わ け で あ る.   上 のXnと

Ｒ を式(12.1)に

代入す ると

XB + xn + 1= (1 - bxn)(XB + xn) と な る が,こ

こ でxn2は

小 さ い か ら,こ

れ をxnに

対 して 無 視 す れ ば

xn + 1= (1 - bXB)xn

(12.2)

と な る.   こ の 方 程 式 の 解 は,代

入 し て み れ ば わ か る よ うに

xn = x1(1 - bXB)n-1 で 与 え ら れ る が,こ

れ に よ るxnの

様 子 はbXBの

大 き さ に よ っ て,以

下 の よ うに

い ろ い ろ な 違 い が あ る.   (ａ) 0 ＜bXB ＜ 1の と き   0 ＜ 1 - bXB ＜ 1で あ る か ら, xnは の こ と はx1の

に 近 づ く.こ

正 負 に 関 係 しな い.

  (ｂ) 1 ＜ bXB ＜2の   -1

ｎ と と も に 単 調 に 減 少 し て,零

とき

＜ 1 - bXB ＜0で あ る か ら, xn+1はxnと

大 と と も にxnは

正,負

符 号 が 変 わ る.し

の 値 を と り振 動 す る が,｜1

た が っ て, ｎ の 増

- bXB｜ ＜ 1で あ る か ら,そ

値 は 次 第 に 減 少 し て 零 と な る.   (ｃ) bXB ＞ 2の   1 - bXB ＜ -1で

とき あ る か ら,(ｂ)の 場 合 と 同 じ く,xnは

の 振 幅 は 増 大 し て い く.

正,負

で 振 動 す る が,そ

の

  (ａ),(ｂ)の場 合 は, Ｂ か ら 多 少 ず れ て も も と に 戻 る の で, Ｂ 点 は 安 定 で あ る. た と え ば,上

の 例 で,池

し て い る.一

方,(ｃ)の

に な る が,そ

れ が あ ま り に 大 き い と,xnが

で,式(12.2)の

の 魚 の 数 が 大 体 い つ も 同 じ く らい だ と い っ た 状 況 に 対 応 よ う な 場 合 は,し

ば ら く は そ の 数 が 激 し く変 化 す る こ と 小 さ い と い う仮 定 が 成 り立 た な い の

よ うな モ デ ル が 不 適 当 と い う こ と に な る.

  そ の 修 正 の た め に は,式(12.1)に

戻 っ て,か

な る.さ

な ど に 対 す る依 存 性,す

らに は,Ｒ

のXn-1,,Xn-2,…

け る 状 況 に よ る 影 響 を考 え る 必 要 が あ る.そ 多 け れ ば そ れ だ け 食 料 を消 費 し,ま

た,環

つ,Ｒ

れ は,た

の 関 数形 の 詳 細 が 必 要 と な わ ち,過

と え ば,あ

去にお

る年 に個 体 数 が

境 も荒 れ て 次 年 度 の 繁 殖 に 悪 い 影 響 を

及 ぼ す は ず で あ る こ と な ど の 理 由 で あ る.   ま た,環

境 と い っ て も,そ

長 す る わ け で あ る か ら,こ

れ は 他 の 種 類 の 生 物 で あ る こ と が 多 く,そ

れ ら も消

れ ら を関 連 さ せ た 多 種 類 の 生 物 の 相 互 作 用 を 考 え な け

れ ば い け な い こ と が 多 い.   こ れ の 簡 単 な 面 白 い 例 と して,ア 労 に 戻 っ て み る と,予

ド リア 海 の 魚 獲 に つ い て,第

想 に 反 して 魚 が さ っ ぱ りい な か っ た と い う話 が あ る.

  こ の こ と は,１

種 類 に つ い て の 上 の 理 論 だ け で は,そ

な い.そ

え られ る 種 類 と し て サ メ,魚,プ

こ で,考

は 魚 を,魚

の原 因 につ い て説 明 で き

ラ ン ク トン の ３種 と し,サ

は プ ラ ン ク トン を そ れ ぞ れ 餌 と し て い る と す る.そ

は 人 間 が 魚 を と っ て,そ

れ で 一 応 バ ラ ン ス,す

や め た の で 魚 が 増 え た.が,そ

れ を 食 べ る サ メ も増 え,こ

局,魚

細 に つ い て は,モ

デ ル 式 を 作 っ て 考 え る 必 要 が あ る.

交

通

メ

戦 前まで れ を

の 増 えた サ メ は余 分 の

も サ メ も 減 少 し た の だ ろ う と 思 わ れ る.し

  こ の よ うに い ろ い ろ な 場 合 に つ い て 考 え られ て い る が,全

12.2 

こ で,大

な わ ち 平 衡 点 に あ っ た が,そ

魚 を 必 要 と し,結

複 雑 な 系 で あ っ て,そ

一 次 大 戦 後,魚

か し,そ

の詳

体 と して は き わ め て

の 満 足 す べ き 解 明 は 今 後 の 大 き な 問 題 で あ ろ う.

問

題

道 路 の 渋 滞 な どの 交 通 問 題 は 昔 で も問 題 で,た

と え ば 江 戸 の 町 で も,そ の た

め,大 八 車 や 牛 車 な どの 通 行 や 駐 車 に つ い て た び た び お 触 れ が 出 た とい う(大 石 慎 三 郎:江

戸時 代,中 公 新 書).と

問 題 で あ る.そ れ は 具 体 的 に は,た に す る こ とに よ る 得 失 の 判 定,…

くに 現 代 の ク ル マ 社 会 に とっ て は,そ れ は 大 とえ ば交 通 信 号 の 設 置 場 所 の 選定,一 方 通 行 とい っ た 問 題 を,結 果 的 に 渋滞 を減 ら し,交

通 量 を最 大 に し,も ち ろ ん事 故 は な くす る,と い った 目標 を,場 合 に よ っ ては 地 下 鉄 や バ ス を走 らせ る とい っ た こ と も含 め て,達 成 す る こ と を考 え る.こ の よ う な 現 象(traffic flow)の 問題 を数 学 モ デル 化 して 研 究 し,利 用 し よ う とい うの が 目的 で あ る.   も と よ り,こ の 現 象 は 多 くの原 因 が重 な り合 い 複 雑 で あ り,し か も,そ の 原 因 の 小 さな変 化 が 結 果 と して 大 き な変 化 をもた ら しが ちで あ る.日 常 の経 験 で も, 延 々 と した 渋 滞 をや っ と出 て ス ム ー ズ に走 れ る と こ ろま で き てみ る と,渋 滞 の 原 因 は ち よっ と した 事 故 で 車線 が少 し狭 くな った だけ で あ っ た り,い つ も渋 滞 す る 交 差 点 で信 号 の長 さが ち よっ と変 わ った だけ で 車 の 流 れ が 大 変 よ くな って い る, とい っ た こ とが よ くあ る.   こ の よ うな複 雑 な 現 象 を全 般 的 にモ デル 化 す るこ とは 困難 で あ る.し か し,あ る局 面 につ い て部 分 的 に あ る様 相 を数 学 化 す る こ とは場 合 に よ り可 能 であ り,こ れ は一 般 的 に い っ て複 雑 な現 象 に対 処 す るひ とつ の方 法 で あ る.た と えば,割

と

空 い た道 を走 っ て き て,前 方 に急 に渋 滞 が 現れ るの は よ く経 験 され る が,こ の様 相 は非 線 型 波 動 の理 論 で モ デル 化 され る.ま た,交 差 点 で の信 号 待 ちの 回 数 な ど も,特 性 曲線 論 の応 用 に よ るモ デ ル 化 で研 究 され る.   この よ うな数 学 モ デ ル化 に は,大 き く分 け て,二 つ の種 類 が あ る.そ の 第一 は そ れ ぞ れ の 車 の 行 動 を質 点 の 運 動 の よ うに と らえ,そ の 多 くの集 ま りの 集 団 と し て の 統 計 的 性 質 を,あ た か も物 理 学 に お け る気 体 運 動 論 の よ うに粒 子 の 運動 か ら 導 く.こ れ に対 して,第 二 の 方 法 は,道 で の車 の流 れ を文 字 どお り流 体 の 流 れの よ うに 見 て,す

なわ ち,個 々の 車 の運 動 で な くそ れ ら を連 続 体 の 運 動 と考 え,そ

の 速 度,密 度 な どの 場 所 お よ び時 間 に よる変 動 の様 子 を見 る.こ の 場 合,た と え ば あ る 場 所,時 に は,割

間 で 密 度 が 小 さ く 速 度 が 大 き い とい う こ とは,そ

と 空 い て い て 車 は 全 体 と し て 速 く走 っ て い る,と

こ で,そ

の とき

い う こ と を表 す わ け で

あ る.

  以 下 で は,と

く に 第 二 の 場 合 で,し

か も一 本 道 の よ う な 簡 単 な 場 合 に つ い て,

こ の 問 題 の 一 端 を 見 よ う[10].

(１) 車 の流 れ の一 次 元 モ デ ル   分 岐 な ど の な い 一 車 線 を 走 る 車 の 流 れ を考 え,あ そ の 流 れ の 速 さ を ｕ(ｘ,ｔ),密 度 を ρ(ｘ,ｔ)とし,ま q(x,t) 

(12.3) す る.

  こ こ で,ｕ(ｘ,ｔ)は(ｘ,ｔ)で

時 間,た

た,

= ρu

を 交 通 量(traffic  flow)と

と え ば １kmあ

る 点 ｘ,あ る 時 刻 ｔに お け る

の 車 の 速 さ で も あ り,ρ(ｘ,ｔ)は 道 の 単 位 距 離,た

た りの 車 の 台 数, ｑ(ｘ,ｔ)はあ る 場 所 ｘ,あ る 時 刻 ｔに お い て 単 位

と え ば １分 間 に 通 過 す る車 の 台 数 で あ る.

  こ の と き,次

の 式 が 成 り立 つ.

(8.13),    (12.4)

  こ れ は,道

路 に 沿 っ て の ｑ の 変 化,す

れ か ら 出 る 車 の 数 の 差 だ け,そ う 事 実 を表 し て い る(8.4節   と こ ろ で,ｕ

の 区 間 に お け る車 の 数 す な わ ち 密度 が変 わ る とい

参 照).

と ρ と は 独 立 で な く,互

空 い て い れ ば(ρ:小)速 小 と な ら ざ る を え な い.も

な わ ち,ｘ の あ る 区 間 に 入 る 車 の 数 と そ

い に 関 連 し て い る.そ

く走 れ る(ｕ:大)で ち ろ ん,ｕ

あ り,一

方,ρ:大

の と き,明

な ら 自 然 に ｕ:

か し,こ

くら

こ で は,簡

なわち

u = u(ρ)

と 仮 定 す る.こ

と え ば,

は ρ 以 外 の 他 の 原 因 に も 関 係 す る.い

空 い て い て も 相 変 わ らず ゆ っ く り走 る 車 も あ る だ ろ う.し の た め 単 純 化 し,ｕ は ρだ け に よ る,す

れ は,た

(12.5) ら か に 以 下 が 成 り立 つ.

(12.6)

単

こ こ で, umお が, umは

よ び ρmは,そ

れ ぞ れ そ の 道 路 で の 最 高 速 度 お よ び 最 高 密 度 を表 す

普 通 は そ の 道 路 で の 制 限 速 度 な ど で あ る.ま

ん で 止 ま っ て い る 状 態 に 対 応 し て い る か ら,車 の 条 件du

/ dρ ≦ 0は,も

ち ろ ん,込

た,ρmは

車 が ぎ っ し り並

の 長 さ な ど で 決 ま っ て く る.最

後

め ば ス ピー ドを 落 と さ ざ る を え な い こ と を示

し て い る(図12-2).   さ て,ｕ(ρ)の

関 数 関 係 と して,最

も簡 単 に

u = A + Bρ の よ うな 線 型 関 係 を 仮 定 す れ ば,定

数 Ａ,Ｂ は 上 の 式(12.6)か

ら 定 ま り,

(12.7) と な る (図12

- 2参

照).

  こ の と き,  q = ρuは

と な る が,こ あ る.し

れ は ρ= ρm / 2で 極 大 値q = qm ≡ ρmum / 4を

た が っ て,ρ = ρm/ 2し

た が っ てu = um /2の

図 12-2 ｕ(ρ)

と る 放 物 線(図12

と き,す

な わ ち,車

- 3)で が最高

図 12-3 

速 度 の 半 分 で 走 れ ば,交

q=pu(e)

通 量 ｑ は 最 大 で,道

路 と し て は 最 も 効 率 が よ く,こ

れ以

下 で も こ れ 以 上 で も そ の 交 通 量 は 落 ち る こ と に な る.   も ち ろ ん,こ

れ は 最 も単 純 な 仮 定 の 下 で の 話 で あ っ て,実

要 素 の た め 変 わ っ て く る こ と は 当 然 で あ る.そ ｕ(ρ)の 関 係 を,単

際 上 は,い

ろいろな

の よ う な 精 密 化 の ひ と つ と して,

な る 直 線 (12.7)  よ り も っ と 現 実 的 な 関 係 を 用 い る こ と が 考

え られ る.   い ず れ に し て も, 式 (12.4)  に 式 (12.3),  (12.5)  を組 み 合 わ せ て,ρ(ｘ,ｔ)を 定 め る 方 程 式:

(12.8) が 得 られ,こ   以 下,こ

の ρ か ら ｕ,ｑが 導 け る. の 方 程 式 に 基 づ い て 現 象 を 研 究 す る.

(２) 一 様 な流 れ 車 が 一 様 に 流 れ て い る場 合 を 考 え る.こ

した が っ て

の と き,密

度 は 変 わ ら な い,す

なわち

ρu(ρ) = q0  と な る.こ

こ で,ｕ(ρ)と

と な り,こ

れか ら

と な る.こ

こ で,±

(一 定) し て,た

は,同

と え ば 式(12.7)を

じ 交 通 量q0を

に そ れ ぞ れ 対 応 す る(図12-3参

用 い る と

もつ 込 ん でい る場 合 と空 い て い る場 合

照)が,こ

れ らに 対 応 す る 車 の 速 さ ｕ は

で与 え られ る．   こ こ で 注 意 す る こ と は,空 ∂ρ/∂t=0の

と き ρu=q0が

気 の よ う な 圧 縮 性 流 体 の 流 れ で も,定

成 立 す る(式(8.4)参

よ うに ρ と は 直 接 の 関 係 は な い の で,ρ=一

照)が,こ

定,し

常流 すなわち

の 場 合 の ｕ は,上

た が っ てu=一

定

の

とは な らな

い で,ρ,ｕ は 一 般 に は ｘに よ っ て 変 わ り う る こ と で あ る.

(３) 密

度

波

  車 が 上 の よ う に 一 様 に 流 れ て い る と き,あ と い っ た 擾 乱 が 発 生 した と し て,そ え る.こ

の た め,基

礎 方 程 式(12.8)を

る 車 が 急 に ス ピー ドを 少 し落 と し た

れ が 流 れ に ど う影 響 す る か,と

い う問 題 を 考

変 形 して,

(12.9) と す る.こ

こで

で あ る.   こ こ で,現

象 を簡 単 化 し て,擾

乱 は 小 さ い,す

な わ ち,一

様 な 密 度 を ρ0と し,

       

ρ(x,t)

= ρ0+ ρ1(x,t)

と お い た と き,ρ1(x,t)≪

ρ0と 仮 定 す る.こ

の と き,

で あ る が,           c=q′(ρ)=q′(ρ0+ρ1)≒q′(ρ0)≡C0 

(一 定)

と 近 似 で き,

(12.10) と な る.こ

の 式 の 一 般 解 は,任

意 関 数 ｆに よ って

          ρ1(x,t)=f(x-c0t) と 与 え ら れ る こ と は,上 ら れ る.い

ま,t=0で

(12.11)

式 を 式(12.10)に

擾 乱f0(x)が

代 入 す る こ とに よ りた だ ち に確 か め

起 こ っ た とす る,す

な わ ち,

          ρ1(x,0) = f0(x) とす る と,式(12.11)か

らf(x)=f0(x)と

定 ま り,

          ρ1(x,t)=f0(x-c0t) 

(12.12)

と な り,           ρ(x,t) = ρ0+ f0(x-c0t) と な る.   式(12.12)は

波 の 伝 播 を表 す が,と

くに,

    c0＞0の

と き は, ｘ の 正 の 方 向 に 伝 わ る 波

    c0＜0の

と き は, ｘ の 負 の 方 向 に 伝 わ る 波

を表 す.   と こ ろ で,c0=q′(ρ0)で q(ρ)が

ρ=ρ0で 増 加,減

あ る か ら, c0〓0はq′(ρ0)〓0で,こ 少 す る こ と を表 す.こ

れ を 図12-3の

れ はそ れ ぞれ 場 合 で 見 る と,

ρ＜ρm/2の 空 い て い る 側 と ρ＞ρm/2の 込 ん で い る 側 に 対 応 し て い る こ と が わ か る.し

た が っ て,空

い て い る と こ ろ で は 擾 乱 は 前 方 に,込

方 に 伝 わ る こ と に な る.こ

の こ と は,た

と え ば,空

ん で い る と こ ろで は 後

い て い る と き な ら後 ろ か ら 多

少 せ ま っ て き て も前 に 少 し急 げ る が,込 分 も下 が る ほ か な い,

ん でい る とき前 の車 が 下 が っ て き た ら 自

と い っ た こ とに 対 応 す る だ ろ う.

(４) 特 性 曲 線   大 き な 擾 乱,

た と え ば 信 号 が 赤 か ら青 に 変 わ り,ぎ

車 の 列(ρ=ρm)が

先 頭 の 車(ρ=0)か

ら走 り 出 す よ う な と き は,式(12.9)の

は 一 定 で な く,ρ の 関 数 ｃ(ρ)で あ る.し 動 き な が ら観 察 す る と,す

で あ る か ら,ρ=一

定

          x=c(ρ)t+x0(た と な る.こ

の と き の 流 れ をc(ρ)の

ｃ 速 さで

移 動 す る と,

の ρ が 変 わ らず に 見 え る.こ だ しt=0でx=x0と

の と き,ｘ,ｔ の 関 係 は

す る)

れ を特 性 曲 線 と い う.

  上 の 例 で は,x=0を ρm; x = 0で

ρ=0で

交 差 点 と し, x＞0の あ る か ら,こ

          x = c(0)t  上 で,そ

か し,こ

な わ ちdx/dt=c(ρ)で

で,そ

っ し り並 ん で 止 ま っ て い た

け ず,x=0で

ρ=

れ ら に 対 応 す る 特 性 曲 線:

お よ び  x = c(ρm)t + x0(x0＜0)

れ ぞ れ ρ=0お

  と こ ろ で,t＜0

方 向 に 流 れ る と す る と, x＜0で

よ び ρmと な っ て い る.

で x=x0の

と こ ろ に い た 車 はx = c(ρm)t+x0＜0で

動 き 出 す か ら,そ

れ ま で の 時 間(待

ち 時 間)Ｔ

あ る限 り動

は

          T = -x0/c(ρm) で 与 え ら れ る こ と に な る.

問  題   12

(１)解(12.11)を   (２)u

= a+bρ,

確 か め よ. um = 60 km/h,

の と き の ρ,ｕ,ｑを 求 め よ.

ρm= 100台/km,

と し て ａ,  ｂ を 定 め,流

れq=ρuが

最大

参

考

書

  本 書 の 目的 は 数 理 科 学 とい う学 問 の概 観 を得 る こ と で あ る.し た が っ て,以 下 の 参 考 書 も あ く ま でそ の 目的 に 沿 っ た もの を リス トア ッ プ した もの で,そ れ ぞ れ の 分 野 で の 専 門 的 な もの をあ げ て い る わ け で は な い.   ま ず,全 般 的 な も の と して は,以 前 か ら   [１]  赤  攝 也,他:  数学 講 座17,  数理 科 学 の諸 問 題(筑 摩 書 房) が あ るが,そ れ 以 外 に は 現在 ま で 見 あ た らな い.た だ,月 刊雑 誌 の   [２]  数 理 科 学 社 編:数 理 科 学(サ イ エ ン ス社) は,毎 号 に つ い て 見 れ ば特 集 記 事 の た め特 殊 でか な り専 門 的 で あ る が,各 号 を通 じて 見 れ ば 数理 科 学 の全 般 につ い て最 新 の記 述 にな って い る.   次 に,科 学 そ の もの の基 礎 につ い て は,哲 学 概 論,た

とえ ば

  [３]  西 田幾 多 郎:哲 学 概 論(岩 波 書 店) な ど を もと に,直 接 に は   [４]  Ｃ.Ｇ.ヘ ンペ ル 著,黒 崎   宏 訳:自 然 科学 の哲 学(培 風 館)   [５]  大 学 自然 科 学 教 育 研 究 会編:科 学 概 論 と 自然科 学 史(東 京 教 学 社) な どが あ る.   科 学 の 方 法 に つ い て,原 理 的 な もの は   [６]  中 谷 宇 吉 郎:科 学 の 方 法(岩 波 新 書)   [７]  大 塚 久 雄:社 会 科 学 の 方 法(岩 波 新 書)   [８]  猪 口  孝:社 会 科 学 入 門(中 公 新 書) な どがあ る.数 学 モ デ ル 化 に つ い て は   [９]  近 藤 次郎: 数 学 モ デ ル(丸 善)   [10]  R.Haberman:Mathematical

Models(Prentice-Hall,INC)

な どがあ る.さ らに,数 学 モ デ ル 化 の 実 際 と して,解 析 的 な もの と して は   [11]  高 橋秀 俊 監修: 現 象 の 数 学− Ⅰ,Ⅱ(ア

グネ 社)

代 数 的 な もの に対 して は   [12]  Ｃ.ロー レ ン ス,Ｈ.ア

ン トン著,山 下 純 一 訳: や さ しい線 型 代数 の 応用(現 代 数 学

社) 統 計 的方 法 につ い て は   [13]  Ｒ.Ｅ.ウ ォ ル ポ ー ル 著,高 木秀 玄 訳:統 計 学 初 歩(ミ ネ ル ヴ ァ 書房)

と くに,人 文 系 科 学 や 複雑 な現 象 の解 析 に必 要 な 多変 量 分 析 に つ い て   [14]  木下 栄 藏:多 変 量 解 析 入 門(啓 学 出 版) な どが あ る.   次 に,個 別 的 分野 の 数理 科 学 に つ い て あ げ る が,こ こ で も主 に 入 門的,初 歩 的 な もの に と ど め る.ち な み に,本 文 で も述 べ た よ うに,各 専 門分 野 で の数 理 科 学 はそ れ らの分 野 自 体 と深 く結 び つ い て お り,そ の深 い 理 解 な しに は 進 展 は 期 しが た い.   まず,数 理 物 理学 に つ い て は[11]が

そ の 考 え方 の 入 門 に な っ て い る.と ころ で,物 理 学

は そ れ 自体 の 大 部 分 が数 理 的 に構 成 さ れ て い る.い わ ゆ る理 論 物 理 学 とい わ れ る もの がそ れ であ るが,そ れ に対 す る平 易 で全 般 的 な 入 門 と して   [15]  カ ンパ ニ エ ー ツ著,高 見 穎 郎 監 修:理 論 物 理 学 講 義(東 京 図書) が あ る.情 報 科 学 につ い て,そ の基 礎 をな す 情 報 理 論 と して は,そ の 始 ま りで あ る本 文 中 に 述 べ たShannonの

著作 が,い ぜ ん名 著 で あ る.そ れ 以 外 の こ と も含 め て 全般 的 な概 論 と

して は   [16]  小 川厚 夫,川

口正 昭,山 本 健 三:情 報 科 学概 論(培 風 館)

な どが あ る.  線 形 計 画 法 や グ ラ フ理 論 の 一 応 の 入 門 は[12]に

あ るが,も っ と詳 細 に つ い て は,た と え

ば   [17]  今野   浩:線 形 計 画 法(日 科 技 連)   [18]  フ ラ ンク ・ハ ラ リイ 著,池 田 貞雄 訳:グ

ラフ理 論(共 立 出 版)

な とが あ る.  数 理 生 物 学 につ い て は[１]と[10]に

もあ る が,さ

らに

  [19]  Ｍ.ス ミ ス著,押 田 勇雄 訳:数 理 生 物 学 序 説(み す ず 書 房)   [20]  Ｊ.Ｓ.グリフ ィス 著,塚 原仲 晃 ・佐 藤 俊 輔 訳:数 理 神 経 生物 学(産 業 図 書) な どが あ る.   次 に,人 文 科 学 系 の 数 理 科学 につ い て,全 般 的 な もの として,文 献[１]の :人 文 科 学 と数 学,が あ るが,個 別 的 に は,ま ず 数 理 心 理 学 と して   [21]  Ｊ.Ａ.キー ツ著,島 津 一 夫・ 石 井   巌 訳:計 量 心理 学(誠 信 書 房)  [22]  印 東 太 郎 編:数 理 心 理 学(東 京 大 学 出版 会)  [23]  八 木   冕 編:計 量心 理 学(東 京 大 学 出版 会) な どが あ る.  社 会 学,政 治 学,文 学 な どにつ い て は[１],[８]  に もあ るが,さ  [24]  西 田 春 彦:計 量 社 会学 入門(森 北 出版)  [25]  高 根 正 昭:日 本 の政 治 エ リー ト(中 公 新 書)

らに,

中の安本美典

な どが あ り,ま た,芸 術 に 対 して は[３]な

どが 参考 に な る が,具 体 的 に は

  [26]  Ｍ.ホ ル ト著,西 田   稔 訳:芸 術 に お け る数 学(紀 伊 国 屋書 店) が あ る.   言語 の数 理 につ い て,ま ず 文 章 心 理 学 の 分 野 で は[１]に

お け る もの の ほ か,

  [27]  安 本 美 典:文 章 心 理 学 入 門(誠 信書 房) が あ る が,言 語 そ の もの の 数 学 的 構 造 につ い て   [28]  水 谷 静 夫:言 語 と数 学(森 北 出版) が あ る.一 方,こ れ は 人 文 系 とは い え な い か も しれ な い が,コ ン ピュ ー タ言 語 な ど と関 連 した言 語 理 論 に つ い て   [29]  Ｊ.Ｅ.ホ ッ プ ク ロ フ ト, Ｊ.Ｄ.ウ ル マ ン著,野

崎 昭 弘 ・木 村   泉 訳:言 語 理 論 と

オ ー トマ トン(サ イ エ ンス 社) が あ る.   数 理 経 済 学 で は その ２つ の 分 野 に対 応 して,   [30]  二 階堂 副 包:数 理 経 済 学 入 門(日 本 評 論 社)   [31]  石 川俊 作:計 量 経 済 学 のす す め(毎 日新 聞 社) な どが あ るが,本 文 に も述 べ た よ うに,経 済 学 自体 が 「人 文 科 学 の 物 理学 」 と呼 ばれ る よ う に 数 理 的要 素 が多 い.こ の よ うな 内 容 を知 るた め に は,経 済 学 原 論,た

とえ ば,

  [32]  栗 村 雄 吉:経 済 学 原 論(東 洋 経 済新 報 社) な どが考 え られ る. 知 識 工 学 と して は,   [33]  上 野 晴 樹:エ キ ス パ ー トシ ス テ ム(オ ー ム社) が わ か りや す い.   な お,複 雑 な 現 象 に 対 す る数 理 科 学 の 例 と して あ げた 人 口動 態 の 解 析,交 通 問 題 な どに つ い て の 入 門 は,[10],[19]な

どに 見 られ る.

■ あ行

引

索

仮定 され た命 題   12 仮 定 の検 定   106

ｒ-関 係   １,  33, 134

環 境 問題   162

１-関係   134

観 測   14

医 学   160

簡 単 化   63

遺 伝 学   160

簡 単 化 しす ぎ   50

関 係  142

因 子 分 析   114, 140 因 子 分 析 法   143

幾 何 学 的 方 法   124 危 険 率   108, 110

エ ン ト ロ ピー   119

記 述 統 計   97

演繹的  ７

気 象学   82 基 礎   174

OR 

79

基 礎 方 程 式   35, 45

応 用 数 学   66

気 体 の 拡 散 の 方 程 式   49

奥 行 係 数   143

期 待 値   102

■か行

帰納 ８ 基 本 解   129

ガ ウス の 分 析   106

基 本 適 合 解   129

カ オ ス  96

帰 無 仮 説   109

階段   99

近 似   36, 63

回 帰 直 線   113

近 似 解 法   63

解 析 的   174 開 モ デ ル   152

グ ラ フ 理 論   79, 131, 175

海 洋学   82

ク リー ク  136

角運 動 量 の 法 則   64

区 間 推 定   107

確 定 的 法 則  14

車 の 流 れ の 方 程 式   49

確 定 モ デ ル   32 確 立 的 背理 法  109

経 営 学   78

確 率 分 布   97,101,102

経 営 科 学   155

確 率 変 数   102

経 済 学   139

確 率 モ デ ル   32, 98

経 験 科 学   ７,  ８

確 率 論    ５,  33, 96

経 験 式   39

確 率 密 度 関数   104

形 式 化   35

拡 張   16

計 算 機 シ ュ ミ レー シ ョ ン  34

仮 説 の 検 定   97

形式科学  ７

形 式 言 語   157

次 元   44

計 述統 計   99

地震 学  82

計 量経 済学   139, 144

自然 言語   119, 157

計 量経 済 モ デ ル の例   150

自然 哲学   12

計 量言 語 学   156

実験   13

計 量心 理 学   141

実験 式  39

計 量政 治 学   154

実数   31

計 量社 会 学   154

質 点 の運 動 方 程 式   46

計 量法 律 学   154

社 会学   175

決 定 理 論   155

終 端 速 度   54

言 語 の 科 学   156

需 要 ベ ク トル   152

言 語 の 数 理   176

順 序 関係   141

言 語 の 数 理 科 学   156

小 標 本の 理 論   96

言 語 理 論   157

初 期 条件   54

現 象の 数 学 モ デ ル 化   83

条件 付 きエ ン トロ ピー  121

減 衰 率   53

小 数 の法 則   104

検 証   12

消 費 関 数   145 消 費 行 列   152

工学  ７

情 報   114, 115

格 子 点   73

情 報 科 学   78,114

交 通 問 題   160

情 報 学   175

交 通 量   167

情 報 革 命   115

高 度 情報 化 社 会  114

情 報 化 社 会   114

行 動 科学   155

情 報 源   119

国勢学 ５

情 報 工学   78,  114

固 体 の 熱伝 導   90

情 報 の エ ン トロ ピー  118

古 典 的統 計 学   96

情 報 理 論   79,  114

個 別性   20

冗 長 度  120

■ さ行

人 口動態  160, 162 人 文 科学   20

３-関係   134

人文 科学 系   175

サ ンプ リン グ  97

診 断理 論   155

最 適 解   124

信頼 限界   108

最 適 値   123

信 頼度   108

最 尤 推 定 法   109

心 理 学   139

最 尤 法   43 雑 音  116, 121

推 定   43, 79,  106 数学  ７

シ ュ レー デ ィ ン ガー の 波動 方 程 式   49

数 学 モ デル   4,  30

視 覚   143

数 学 モ デル 化   174

視 空 間   143

数 式   31

数 式表 現   25

相 関   97

数 式 モ デ ル   34

相 関 係 数   113

数 理絵 画 論   139

相 関 図   112

数 理科 学   ２

相 関 分 析   114

数 理 経 済 学   176

相 対 エ ン トロ ピー  120

数 理 言 語 学   78,  157

相 対 性 理 論17

数 理 神経 生物 学   161

相 対 度 数   99

数 理心 理 学   78,  140, 175

測 定 論   140

数理 政 治 学   139

測 度 に 基 づ く確 立 の定 義  96

数 理 政 治 理論   154

素 粒 子   81

数 理 生 態 学   161 数 理生 物 学   82, 175

■ た行

数 理 統 計 学   79

第 一 種 の 危 険   110

数 理 統 計 学 の 応 用 範 囲   96

第 二 種 の 危 険   110

数 理 物 理 学   175

大 数 の 法 則   98

数理 文 学   139, 156

代 表 的   174

数 理 歴 史 学   79,  154

多 変 量 解 析   153

数 理 計 画  79

単 純 化   17, 35

数 量化   31

弾 性 体 の 方 程 式   47

数 量経 済 学  78

単 振 動   52

数 量 モ デ ル   31

単 体 法   123, 130 端 点   128

静 学   146 正 規分 布   43, 105

知 識 工 学   154

正 規方 程 式   42

中 央 極 限 定 理   106

生 産 的   153

中 心 差 分 式   71

生 産 関 数   146

抽 出   97

生 産 ベ ク トル   152

頂 点   128

政 治学   175

頂 点 行 列   133

政 治算 術学 派   96

逐 次 近 似 法   68, 70

生 長 論   145 生 物 科 学   82

通 信   115

生 物 統 計学   160

通 信 路   121

制 約 条 件   124 整 理   16

定 性 的 法 則 と定 量 的 法 則  24

摂 動 法   68

適 合 解   124

線 形 計 画 法   79,  123, 175

電 磁 誘 導 の 法 則  48

線 形 モ デ ル   34

電 流 の 磁 気 作 用 の 法 則  48

全 数 調 査   98

点 推 定   107

全 般 的   174

天 文 学   82

ドイ ツ 国勢 学   96 統計学 ５

ビ ッ ト  117 美  157

統 計 学 の起 源   96

非数 式 モ デル   34

統 計 の 目的   97

非 数 量 モ デル   31

統 計 的 仮 説 の 検 定   109

非 線 形 モ デル   34

統 計 的 決 定 理 論   155

非 自然 科 学   20

統 計 的 推 測   106

標 準 型   126

統 計 的 方 法   174

標 準 正 規 分 布   106

統 計 的 法 則   14, 97

標 準 偏 差    99, 102

統 計 万 能 時 代   96

標 本 平 均   100

統 計物 理学   81

標 本 分 散   101

統 計 力 学   81

標 本 分 布   106

統 合   16

標 準 偏 差   101

動 学   146 動 径   143

フ ック の 法則   51

洞 察   11

符 号 化   116, 120

投 入 係 数   153

物 理 的科 学   82

投 入   152

文学   175

投 資 乗 数   145

文 章心 理 学   156

度 数   99

文 章数 理 学   139

度 数 分 布   99

文章 の科 学   156

度 数 分 布 表   99

文体 測 定 学   156

特 殊 化   46

文法   157

特 性 曲 線   172

分散  99, 101

■な行

ベ ク トル 場 の 演 算記 号   47

２-関数   134

平均   99, 100

二 項 分布   102

平均 情 報 量   119

任 意   13

閉モ デ ル   152 変化 電 流   48

熱 伝 導 の法 則   49 熱 伝 導 の 方 程 式   49

ポア ソ ン分 布   103 法則   11

農 学   160

方程 式 の形   63 方法   174

■は行

放物 体 の運 動   83 母数   107

パ イ 定 理   45

母集 団   97

背 理 法   109

母集 団 と標 本   97

判 定   90

母集 団 の 大 き さ  97

有 向 グ ラ フ  131 ■ ま行 マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式   48 マ ク ロモ デ ル   34

有 効 需 要 の 理 論   144 世 論 調 査   21 ■ ら行

ミ ク ロ モ デ ル   34

無 向 グ ラ フ  131 無 次 元 数   45 モ デ ル の 精 密 化   85 目的 関 数   124 ■や行 有 意 水 準   110 有 界   128

離 散 分 布   101 流 体 運 動 の オイ ラ ー式  47 量 子 力学   17,81 理 論 経 済 学   144 隣 接 す る端 点   130 レ オ ン チ ェ フ ・モ デ ル   152 連 続 分 布   104

論理学  ７

-＜ 著 者 紹 介 ＞-

桜      

井 明 1944年 東京大学理学部 物理学 科卒業 1955年 理学博士 現 在 東京電機大学理工学部数理学科教授

数理科学概論

〓Akira 

昭 和62年 ６月20日   第 １版 １刷 発 行

著

桜

者

発行者

Sakurai  1987

井

  明

学校法人 東 京 電 機 大 学 代表者 廣 川 利 男

発行所 東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101

著者承認

東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2-2 振

検 印省略

替

電    

組版(株)に

ゅ うぷ らん社

印刷(株)秀 好堂印刷

口

座

東

京6-71715

話03(294)1551(代) Printed  in Japan

製本(株)徳 住製本所

*  本 書 の 内 容 の 一 部 あ る い は 全 部 を無 断 で 複 写 複 製(コ

ピー)す

る こ と は,法 律 で認 め られ た 場 合 を除 き,著 作 権 お よ び 出版 権 の 侵 害 とな りま す の で ご注 意 下 さ い. *  落 丁 ・乱 丁 本 は お取 替 えい た し ます . ISBN 

4 -  501 -  51210  - 5

情 報 処 理 ・コ ン ピ ュ ー タ 実例による マ イ コ ン の

あな た な ら わ か る

図解 マ イ コ ンの 基 礎

プ ログ ラ ミ ン グ

吉本久泰

著

若山芳三郎 AB判176頁

                      A5判172頁 マイ コ ンに 対 す る コ ンプ レ ック ス を取 り除 き

100本

興味 を も って 取 り組 め る よ うに,基 礎,構

BASIC文

と動 作,プ

造

ロ グ ラ ム に つ い て や さ し く解 説.

で,プ

を こ え るプ ロ グ ラ ム例 と カ ラ ー写 真 で 法 を学 び,さ ら に数 多 くの練 習 問 題 ロ グ ラ ミ ング テ ク ニ ック を修 得 す る.

応 用MSX

入 門MSX 若山芳三郎

若山芳三郎 著 A5判   206頁

著

A5判200頁 話 題 のMSX入 門 の 決 定 版, MSXで もパ ソ コ ン本 来 の 楽 しみ を理 解 で き る よ うに 基本 を

パ ソ コ ン ミュー ジ ック,パ ク,フ

ソ コ ング ラ フ ィ ッ

ァイル 処 理 等,MSXで

最 大 限 楽 しめ

て い ね い に解 説 した.

る よ うに や さ し く解 説 した.

FMシ

プ ログ ラ ム例 に よ る

リー ズ

BASICプ

ログ ラ ムの 急 所 高宮英郎

BASICの

中 心 モ デ ル にキ ー ボー ドで の入 力か

ら グ ラ フの 作成,プ

ロ グ ラ ム例,ミ

ス の発 見

まで 急 所 を カ ラー 刷 で見 や す く解 説.

パーソナルコンピュータ 操 作 法 と

豊富 なプ ログラム例 によ り解説 する. BASICの 基礎/算 術式/入 出力文/制 御文/ ル ープ(繰 り返 し)/配 列/サ ブプ ログ ラム

スプライ ン関数 入門 情 報 処 理 の新 しい 手法

プ ログ ラ ミン グの 基 礎 大 井/笠

原/安

田/脇

とそ の応 用/デ

基 本文 法/統

計処 理 の基 礎

ー タ フ ァ イル の 取 扱 い/グ

フ ィ ック処 理/シ

桜井明 編 著 A5判184頁

著

A5判240頁 操 作 法/BASICの

入 門 高 宮 英 郎/黒 田正 文 著 A5判208頁

著

カ ラ ー 版AB判204頁 FM-7を

著

ラ

定義 と基本的性質/最 も滑 らか な補間 の問題 /線 形汎関数の近似/差 分商 とＢ-スプ ライ ン /自 然 スプ ライ ンと平滑化 スプ ライ ン/応 用

ミュ レー シ ョ ン

ハ イテ ク選 書 わ か る ニ ュ ー フ ァ ク シ ミ リ 藤本功 著 B6判140頁 ハ イテ クノロジー,ニ ュー メデ ィアの最新情 報 をや さし く,わ か りやす く解説 するシ リー ズの第一弾. *定 価,図

ハ イ テ ク選 書

ニ ュー メデ ィアの 世 界 INS-VAN三

谷政昭

著

B6判114頁 今 や 日常 語 と も な った ニ ュー メデ ィア の 数 々 を整 理 し,手 軽 に読 めて わ か る よ うに イ ラス トと写 真 で 解 説 した.

書 目録 のお 問 い合 わせ ・ご要 望 は出 版 局 ま で お願 い致 しま す.

Ⅰ-3

応用電子工学教科書 ・参考書 入 門 テ レ ビ 放 送 装 置1/2

入門 カ ラ ー テ レ ビ

テ レビ 放送 シ ス テ ム や カ ラー テ レ ビの基 本 的 仕 組 み,各

入 門VTR

衛星通信

これか らVTR技

術 を修得 しようとする人 の

ための入門書 として,必 要 な基本的事項 か ら 各種VTRの 具体例 までをやさ しく解 説 した

著

A5判234頁

工高 ・高専の学生やテ レビ技術者 を対象 に, テ レビの原理,放 送局,撮 像装置,中 継局, ア ンテナ,衛 星放送な どをや さし く解 説.

横川幸太郎 著 A5判   258頁

６訂版 直川一也

倉 石/荒 木/近 藤 著 A5判  〓272頁〓200頁

ブ ロ ック の働 きか ら,最 新 の音 声

多重 放 送 や 通信 衛 星 まで を解 説 した 入 門書.

最 新 衛 星/デ

ィジ タル 通信/将

来の 展 望

   宮 内一 洋/更 田 博 昭/山 本 平 一 著                  A5判176頁 NTTの 研 究担当最高スタ ッフが,基 礎か ら 将来の展望 まで を最新の情報に基づ いて,図 と写真で わか りやす く解説 した.

情報通信 とシステム   

レー ザ 工 学 浅見義弘 監修 A5判   340頁

          松 崎 武 夫/坂 井 隆 明 著

緒 論/レ ーザ発振の原理 と装置/レ ーザ応用 計測/レ ーザ通信/レ ーザ加工/電 離 と破壊 /ホ ログ ラフィ/光 情報処理/非 線形光学

                  A5判320頁 情報通信 とシステムの概要/情 報 伝送 と交 換 /情 報 通信 回線 とシステム構成/情 報通信 シ ステムの設計/情 報通信 システムの応用例

電気回路のための

電 子 ・通 信 工 学 の た め の

数学と例解

確率論序説

齋 藤 嘉 博/安 達弘 之 著 A5判272頁

P.Z.ピ ー ブル ズ著   平 野 信 夫 訳

高校数学 の復習か ら微分方 程式,ラ プ ラス変 換,フ ー リエ級数 までを,電 気 回路 を取 り扱 う立場か ら解説 した.

確 率/確 率変数/期 待値/複 数個の確率変数 と演算/確 率過程 とスペ ク トル的特性/不 規 則 入力の線形 システム/最 適線形 システム

電磁妨害と防止対策

新訂版ME(医

荒木庸夫 著 A5判258頁 電磁妨害 の発 生源/誘 導/伝 搬/電 源妨害 と 防止対策/遮 へい/接 地/電 子機器のグ ラン ド/高 周波雑音源 の妨 害防止/雑 音の測定法

*定 価,図

A5判352頁

用工学)入 門

阪本捷房 監修

保坂栄弘 著 A5判278頁

神経 ・筋 ・循環 器 ・呼吸器 ・生体機能 のME /人 工臓器/患 者監視装置/放 射線医学/超 音波医学/ME機 器/医 療 の システム化

書 目録 の お 問 い 合 わ せ ・ご要 望 は 出版 局 ま で お願 い致 しま す.

G-2

理工学講座 【本講 座 の 特 徴 】 本 講 座 は 大 学 理 工 学 部 の講 義 テ キス トと して 編集 した も の で,最 新 の 情 報 に基 づ き,新

しい 理 工 学 の視 点 か ら従

来 の 教 科 書 には ない 新 技 術 ・新 知 識 も解 説 した.ま た 基 本 の 理解 に重 点 をお き,巻 に よ って は 正確 さ,理 解 しや す さか ら ２色 刷 を と り入 れ て い る.

電磁気学

制御工学 深海 登 世 司/藤 巻忠 雄 監 修

東京 電機 大 学 編 A5判266頁 電 磁気学のベ ク トル解 析/真 空中の静電界/ 誘電体 中の電 界/電 流/真 空中の磁気現象/ 磁 性体 中の磁 気現象/電 磁誘導/電 磁界

A5判270頁

２色 刷

序 論/制 御 系の構成 とブ ロック線 図/制 御系 の特性/フ ィー ドバ ック制御系 の安定判 別/ 設計/サ ンプル値制 御/シ ーケ ンス制 御

電気通信概論

電 子 工 学 概 論 倉 石 源三 郎/丹 野 頼 元 監 修 A5判260頁 電子 回路の基礎/構 成 部品/ダ イオー ドと ト ランジスタ/集 積回路/基 本電子回路/電 子 計算機/電 気通信/電 子計測器/応 用分野

A5判154頁

荒谷孝 夫 著 ２色 刷

通信 システムの概要/伝 送媒体/信 号の処理 /信 号の伝 送/信 号の交換/環 境別各種伝送 方式/情 報別各種通信方式

半導体工学

例 題演習

マイ ク ロ波 回 路

基 礎 か らデ バ イ ス まで 倉 石源三郎

青 野 朋 義/本 間和 明 他 著

著

A5判310頁 伝 送 線 路/電 ル タ/MICと

続刊

磁 波/導 波 管/共 振 回 路 とフ ィ ス ト リ ップ 線 路/フ ェ ラ イ トと

マ イ ク ロ波/マ

イ ク ロ波 電 子 回 路

基礎/ダ イオー ドとバ イポー ラ トランジス タ /電 界効果 トランジス タ/集 積回路/各 種半 導体 デバイ ス/製 造技術/他

物理学

放電 プラズマ工学 井関昇 他著 続刊

青野朋義 監修 B5判336頁

基礎過程/電 離 と励起/拡 散 と移動/再 結合 /付 着及び離脱/金 属か らの電子放 出/暗 流

質点の運動/仕 事 とエネルギー/力 学/固 体 の弾性/流 体の運動/振 動/光 学/熱 力学/

/各 種放電/プ ラズ マ/測 定/レ ーザ/他

静電気/電 流 と磁場/電 磁誘導/電 磁波

*定 価,図

書 目録 のお 問 い合 わ せ ・ご要 望 は 出 版 局 まで お 願 い 致 しま す.

D-5