Taschenbuch der Mathematik und Physik, 5. Auflage

Ekbert Hering · Rolf Martin · Martin Stohrer† Taschenbuch der Mathematik und Physik

Ekbert Hering Rolf Martin Martin Stohrer†

Taschenbuch der Mathematik und Physik ., aktualisierte und erweiterte Auflage

123

Professor Dr. Dr. Ekbert Hering Hochschule Aalen

Professor Dr. rer. nat. Dr. h.c. Rolf Martin Hochschule Esslingen

Prof. Dr. rer. nat. Martin Stohrer†

Dieses Buch entstand unter Mitarbeit von: Professor Dr. Dirk Flottmann, Hochschule Aalen Professor Dr. Rainer Gräf, Hochschule Esslingen Professor Dr. Karlheinz Schüffler, Fachhochschule Niederrhein Dr. Wolfgang Schulz, Wave GmbH Stuttgart ISBN ---- e-ISBN ---- DOI ./---- Springer Dordrecht Heidelberg London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg , ,  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom . September  in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz und Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Vorwort zur fünften Auflage Die ersten vier Auflagen des Taschenbuchs der Mathematik und Physik wurden von unseren Lesern sehr gut aufgenommen. Diese haben uns auch ermuntert, die Struktur des Werkes beizubehalten und die Inhalte übersichtlich, strukturiert und kompakt darzustellen. So ist ein Werk entstanden, welches nicht nur die Mathematik und die Physik behandelt, sondern auch die Informatik und die Chemie. Ebenso ist je ein Kapitel der Umwelttechnik und der Energietechnik gewidmet, da die naturwissenschaftlichen Erkenntnisse auch in diesen technischen Disziplinen die Grundlage bilden. In der fünften Auflage wurden die erwähnten Merkmale der Strukturierung, der Klarheit und des Kompakten des Buches noch konsequenter umgesetzt, die Fehler verbessert und die neuesten Normen eingearbeitet. Ein sehr umfangreiches Sachwortverzeichnis hilft beim Auffinden der einzelnen Themen. Mit großer Erschütterung haben wir erleben müssen, dass unser Koautor Martin Stohrer durch einen tragischen Bergunfall tödlich verunglückt ist. Wir verlieren mit ihm einen exzellenten Fachmann insbesondere auf dem Gebiet der Akustik und der Wärme- und Stoffübertragung, einen maßgebenden Verfechter der Struktur dieses Werkes und einen liebenswerten Freund. Seine Verbesserungen in den von ihm konzipierten Kapiteln konnten wir noch einarbeiten. Möge dieses Werk in seiner fünften Auflage ihm ein ehrendes Andenken wahren. Wir wünschen uns, dass dieses vorliegende Nachschlagewerk nach wie vor von großem Nutzen für Studierende, Anwender und Praktiker ist. Wir freuen uns auf eine weitere kritische Begleitung sowie auf die Verbesserungsvorschläge und Wünsche unserer Leser. Heubach, Köngen März 

Ekbert Hering Rolf Martin

Vorwort zur vierten Auflage Die ersten drei Auflagen des Kompendiums der Mathematik und Physik fanden ein erfreuliches Echo. Dies ermunterte uns, den eingeschlagenen Weg, die Zusammenhänge in der Mathematik und der Physik in einem Werk komprimiert und kompetent darzustellen, konsequent fortzusetzen. So entstand die vierte Auflage des Werkes, in der im wesentlichen Fehler beseitigt, der Übersichtscharakter noch klarer strukturiert wurde, die Informatik komprimiert und die Chemie erweitert wurde. Wir wünschen uns, dass das Werk für alle Anwender, den Studierenden wie den Praktikern von großem Nutzen ist. Über Anregungen zur weiteren Verbesserung des Nachschlagewerkes und eine weitere kritische Begleitung durch unsere Leser würden wir uns freuen. Heubach, Esslingen, Stuttgart August 

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Vorwort zur zweiten Auflage Die erste Auflage dieses Werkes fand ein erfreulich großes Echo und machte bereits nach gut einem Jahr eine Neuauflage erforderlich. In dieser nun vorliegenden zweiten Auflage wurden Fehler berichtigt und geringfügige Ergänzungen vorgenommen. Möge das Werk vielen Nutzern bei der Alltagsarbeit helfen! Über Anregungen zur weiteren Verbesserung des Nachschlagewerkes würden wir uns sehr freuen. Heubach, Esslingen, Stuttgart Juli 

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Vorwort zur ersten Auflage Das Physikalisch-Technische Taschenbuch ist ein Kompendium und Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaftler in Studium und Berufspraxis. Das Werk fasst alle wichtigen Formeln der Mathematik, Physik und Technik in einem Band zusammen. Dabei sind neben klassischen Gebieten auch moderne Bereiche wie Optoelektronik, Nachrichtentechnik, Informatik und Umweltschutz berücksichtigt. Es ersetzt kein Lehrbuch, doch werden kompakt und handlich die wesentlichen Zusammenhänge erläutert. Häufig gebrauchte Stoffwerte, Konstanten und Umrechnungen von Einheiten sowie die Eigenschaften der chemischen Elemente sind in Tabellen zusammengestellt, um den schnellen Zugriff sicherzustellen. Der Inhalt umfasst im einzelnen: Mathematik – Fehlerrechnung – physikalische Grundlagen – Gravitation – Technische Mechanik – Hydro- und Aeromechanik – Festigkeitslehre – Wärmeund Stoffübertragung – Elektrotechnik und Elektronik – Magnetismus – Metalle und Halbleiter – Optoelektronik – Festkörperphysik – Nachrichtentechnik – Atom- und Kernphysik – Relativitätstheorie – Energietechnik – Eigenschaften der chemischen Elemente – Informatik und Umwelttechnik. Ein klar gegliedertes Inhaltsverzeichnis und ein ausführliches Sachwortverzeichnis erleichtern dem Leser das Auffinden der gesuchten Information. Autoren und Verlag wünschen ihren Lesern einen erfolgreichen Einsatz dieses Werkes und freuen sich auf konstruktive Kritik und Verbesserungsvorschläge. Heubach, Esslingen, Stuttgart Mai 

Ekbert Hering Rolf Martin Martin Stohrer

Inhaltsverzeichnis

A

Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



A.

Mathematische Zeichen und Normzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Mathematische Symbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Mathematische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Normzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reelle Zahlen (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Zahlen (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmus und Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächen und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizenrechnung und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen, Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewöhnliche Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Differenzialgleichung y  = f (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Lineare Differenzialgleichung . Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Separierbare Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Exakte Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Lineare Differenzialgleichung . Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Differenzialgleichungen . Ordnung und Energie-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Spezielle Differenzialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.. Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                               

B

Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



B. B.

Messgenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse statistischer Messwertverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A. A.

A.

viii

Inhaltsverzeichnis

B. B. B. B.

Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regression – Kurvenanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausgleichsgeradenkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C

Physikalische Größen und Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

C. C. C.

Physikalische Basisgrößen und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Umrechnungen gebräuchlicher Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

D

Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

D.

D.

Eindimensionale Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Kinematische Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreidimensionale Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Ortsvektor und Bahnkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Geschwindigkeitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Beschleunigungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Kreisbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.. Wurfbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E

Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

E.

Grundgesetze der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Die Newton’schen Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Wechselwirkungskräfte der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamik in bewegten Bezugssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Geradlinig bewegtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Gleichförmig rotierende Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeit, Leistung und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Arbeit W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Leistung P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Energie E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impuls und Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Systeme materieller Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Raketengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E.

E.

E.

   

          

             

Inhaltsverzeichnis

E.

E. E.

Drehbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Dynamisches Grundgesetz der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Arbeit, Leistung und Energie bei der Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erhaltungssätze der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mechanik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Freiheitsgrade und Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.. Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

         

F

Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

F. F. F. F. F. F. F.

Newton’sches Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gravitationsfeldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gravitations- oder Hubarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenzielle Energie der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gravitationspotenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planetenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwereeigenschaften der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G

Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

G. G. G. G.

G. G. G. G. G.

Spannung und Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verformungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zugversuch nach DIN EN   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Belastungsfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G.. Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G.. Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . G.. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruchmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingende Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitstandverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Härte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H

Hydro- und Aeromechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

H.

Ruhende Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Druck, Kompressibilität, Volumenausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Kolbendruck, Schweredruck und Seitendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

      

           

   

x

Inhaltsverzeichnis

H.. Bestimmung der Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Grenzflächeneffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. Ruhende Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Druck und Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. Strömende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Ideale (reibungsfreie) Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Strömungen realer Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H... Laminare Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H... Turbulente Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. Molekularbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.. Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

            

J

Schwingungen und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

J.

Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Freie ungedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Allgemeine Beschreibung durch eine Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . J... Schwingungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Gesamtenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Freie gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Erzwungene mechanische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Erzwungene elektrische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Überlagerung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Überlagerung in gleicher Raumrichtung und mit gleicher Frequenz . . . . . . . . . J... Überlagerung in gleicher Raumrichtung und mit geringen Frequenzunterschieden (Schwebung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Überlagerung in gleicher Raumrichtung und mit großen Frequenzunterschieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Überlagerung in gleicher Raumrichtung mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen (Fourier-Analyse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J... Überlagerung von Schwingungen mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen, die senkrecht aufeinander stehen (Lissajous-Figuren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Orts- und zeitabhängige Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Phasengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.. Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J.

                      

Inhaltsverzeichnis

J.. J..

xi

Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

K

Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

K.

Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallwellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallwiderstand (Schallkennimpedanz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schalldruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallschnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallintensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Dämpfungskoeffizient der Schallabsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schallwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Gesamtschallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallfrequenzspektrum, Bandfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schallwelle an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallreflexionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schalltransmissionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallabsorptionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schalldurchgang durch Trennwände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schalltransmissionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schalldämmmaß einer Trennwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Spuranpassungs-Schallwellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Spuranpassungsfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physiologische Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Lautstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Lautheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. A-bewerteter Schallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Äquivalenter Dauerschallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raumakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Äquivalente Absorptionsfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Schallleistungspegel des diffusen Schallfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Nachhallzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Hallradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Technische Akustik und Bauakustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Luftschall-Dämmmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Norm-Trittschallpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K.. Körperschall-Isolierungswirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K.

K.

K.

K.

K.

K.

                                     

xii

Inhaltsverzeichnis

K.

K.. Strömungsgeräusche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

L

Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

L.

Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Lichtstrahlen und Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Reflexion des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Reflexion an ebenen Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Reflexion an gekrümmten Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Brechung des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Lichtwellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Brechung an Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Brechung an Kugelflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Abbildung durch Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Dünne Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Dicke Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Linsensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Blenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Abbildungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Optische Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Das menschliche Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Vergrößerungsinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Fotoapparat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fotometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Strahlungsphysikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Lichttechnische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Interferenz und Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Interferenzen an dünnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Auflösungsvermögen optischer Instrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Spektralapparate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Röntgenbeugung an Kristallgittern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Holografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Polarisation des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Polarisationsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Erzeugung von polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L... Technische Anwendungen der Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L.

L.

                                     

Inhaltsverzeichnis

L.

M

L... Optische Aktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Lichtquanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.. Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii

    

Elektrizität und Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

M. Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrisches Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Materie im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Widerstand und Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Arbeit, elektrische Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ohm’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Elektrische Netze – Kirchhoff ’sche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Messung von Strom und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ausgewählte Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Ladungstransport in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Ladungstransport im Vakuum und in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ladungstransport im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Stromleitung im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Stromleitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Magnetische Flussdichte (Induktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Transformation von Wechselströmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ein- und Ausschalten einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Elektrische Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. Elektromagnetische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.. Gedämpfte elektromagnetische Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

                                 

xiv

Inhaltsverzeichnis

N

Nachrichtentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

N. N.

Informationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Signale und Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Pegel und Dämpfungsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nachrichtenübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Sender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Übertragungsmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.. Empfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N.

           

O

Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

O.

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Thermodynamische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Gasdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Thermische Energie und Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptsätze der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Erster Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Wärmekapazität idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Spezielle Zustandsänderungen idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Thermodynamische Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Dritter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Van-der-Waals’sche Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Gasverflüssigung (Joule-Thomson-Effekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Phasenumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O... Thermodynamisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O... Koexistenz dreier Phasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O.. Dämpfe und Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O.

O.

O.

                        

Inhaltsverzeichnis

xv

P

Wärme- und Stoffübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

P. P. P. P. P.

Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stoffübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q

Energietechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Q. Q. Q. Q.

Energieträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energiewandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energiespeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energieverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R

Umwelttechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

R.

Abwassertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Entstehung von schadstoffbelastetem Abwasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Verminderung der Ausschleppungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Standzeitverlängerung des Wirkbades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Spültechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Kreislaufführung des Spülwassers (Ionenaustauscher) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Abwasseraufbereitung (-behandlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reinhaltung der Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Entstehung von Luftverunreinigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Auswirkungen von Luftverunreinigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Primärmaßnahmen der Schadstoffbegrenzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Sekundärmaßnahmen der Schadstoffbegrenzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abfallwirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Entstehung von Abfällen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Grundsatz der Abfallwirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Primärmaßnahmen der Abfallvermeidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.. Sekundärmaßnahmen der Abfallvermeidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R.

R.

    

   

                

S

Atomphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

S. S.

Atombau und Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systematik des Atombaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Aufbau der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Atommasse und Anzahl der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S.

    

xvi

S.

Inhaltsverzeichnis

S.

Atomhülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Atommodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Wasserstoff-Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Molekülspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Rotations-Schwingungs-Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S.. Raman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quanten-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T

Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

T.

Radioaktiver Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Stabilität des Kerns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dosisgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strahlenschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Wechselwirkung von Strahlung mit Materie (Schwächung) . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Dosismessverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Biologische Wirkung der Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Schutz vor Strahlenbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Energetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementarteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Fundamentale Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T.. Einteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S.

T. T.

T.

T. T.

        

                

U

Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

U. U. U. U. U. U.

Relativität des Bezugssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativistische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativistische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativistische Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doppler-Effekt des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

Festkörperphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

V.

Arten der Kristallbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

     

Inhaltsverzeichnis

V.

V. V.

W

Kristalline Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Kristallsysteme und dichteste Kugelpackungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Richtungen und Ebenen im Kristallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Gitterfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Makromolekulare Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thermodynamik fester Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Schwingendes Gitter (Phononen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Molare und spezifische Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.. Wärmeleitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xvii

        

Metalle und Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

W. Energiebänder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W. Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Energiezustände und Besetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Elektrische Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W. Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Eigenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Störstellenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. pn-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W.. Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W... Bipolarer Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W... Feldeffekt-Transistor (FET) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W. Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

           

X

Optoelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

X.

X.

Halbleiter-Sender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Strahlungsemission aus Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Lumineszenzdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Laserdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Halbleiter-Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Strahlungsabsorption in Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Fotowiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Fotodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Solarzelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.. Fototransistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optokoppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y

Informatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Y.

Digitaltechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

X.

          

xviii

Inhaltsverzeichnis

Y. Y. Y.

Y.. Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Kodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Logische Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Digitale Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Schaltzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Speicherbauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Mikroprozessoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Leitungen digitaler Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. ASIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schnittstellen, Bussysteme und Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Bussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y.. Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Programmstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Datenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Z

Technische Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Z.

Atom und chemische Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Periodensystem der Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Basisgröße ,,Stoffmenge“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Edelgaskonfiguration und Atombindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Hybridisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Polare Atombindungen und Elektronegativität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Mehrfachbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Komplexbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Die Ionenbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Metallische Bindung und Metallstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wässrige Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Lösevorgänge und Konzentrationsangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Ionenprodukt des Wassers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Säuren und Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. pH-Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Redoxreaktionen in wässriger Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verbindungsklassen der organischen Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Alkane (gesättigte Kohlenwasserstoffe, Paraffine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Erdöl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Ungesättigte Kohlenwasserstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Benzol und Aromaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Weitere Verbindungsklassen der organischen Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrochemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Elektrolyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y.

Z.

Z.

Z.

               

                       

Inhaltsverzeichnis

Z.

Z.

Z.

Z.. Galvanische Zellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Die Spannungsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Die Nernst’sche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Elektrochemische pH-Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Elektrochemische Stromerzeugung (Batterien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Der Bleiakkumulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Industrielle anorganische Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Schwefelsäure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Ammoniak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Ammoniak-Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Verwendung von Ammoniak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Alkalichlorid-Elektrolyse – Erzeugung von Cl2 , NaOH und H2 . . . . . . . . . . . . . Z.. Gewinnung von Eisen und Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Industrielle organische Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Erdöl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Erdgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Kohle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Biomasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Olefine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Schmier- und Mineralöle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Tenside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z.. Polymere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z... Lineare Polyester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chemische Elemente und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xix

                        

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

A Mathematik A.1 Mathematische Zeichen und Normzahlen A.1.1 Mathematische Symbolik

Übersicht A-. Mathematische Zeichen. Standardzeichen =    <, , ,

= ċ,,

, /  Δ

n! n   k

 n log

d dx

Gleichheitszeichen ungefähr gleich; im Rahmen numerischer Vergleiche zweier Terme, Größen gebräuchlich zueinander kongruent proportional, also y  x, falls es ein k  R (reelle Zahlen) gibt mit y = k ċ x− Linearität Symbole für kleiner–größer Beziehungen reeller Zahlen häufig gebrauchtes Symbol für eine definitorische Festlegung innerhalb der Ebene von Formelausdrücken; so wird z. B. in „ejx = cos x+j sin x“ das Symbol ejx vermöge der bekannten rechten Seite, cos x + j sin x, als komplexe Zahl definiert. Multiplikationssymbole; das Zeichen kennzeichnet auch das Vektorprodukt in R3 . Divisionssymbole „entspricht der Aussage . . . “ allgemeingebräuchliches Differenzensymbol Δy y2 − y1 = Sekantensteigung, Differenzenquotient = Δx x 2 − x 1 Symbol für den Laplace-Operator n Fakultät, wobei n eine natürliche Zahl ist n! = 1 ċ 2 ċ 3  n n! n Binomialkoeffizienten: Für k, n  N, 0  k  n ist   = k k!(n − k)! Anwendungen: Kombinatorik, n n Binomialformel: (a + b)n =    a k b n−k k k=0 für k, n  N, a, b reelle (oder komplexe) Zahlen. n Ermittlung der  -Ausdrücke mittels Pascal’schem Dreieck. k n-te Wurzel: y = n x  x = y n (bei geradem n für x 0 definiert, bei ungeradem n in ganz R) Logarithmus-Symbol; für a  0 folgendermaßen definiert: y = loga (x)  x = a y Gebräuchlich sind: ln für den Fall a = e (Euler’sche Zahl, natürlicher Logarithmus) lg für a = 10, ld für a = 2. Differenziationssymbolik (wie üblich); df f (x + h) − f (x) (x) = lim h0 dx h Elementzeichen; Bedeutung: x  M  x gehört zur Menge M Beispiel: 2  N  Die Zahl  gehört zur Menge der natürlichen Zahlen 2  [3, 4]  Die Zahl  gehört nicht zum Intervall [3, 4] f  (x) =





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Zahlenbereiche N Z Q R C

Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der komplexen Zahlen

0, 1, 2, . . . 0, 1, 2, . . .  p q p, q  Z, q  0 x x rational oder x irrational z = x + iyx, y  R Mathematische Konstanten

  e

π

π ċα 180   2, 3

j(i)

neutrales Element der Addition in R und C neutrales Element der Multiplikation in R und C Symbol der sogenannten Euler’schen Zahl;  1 1 n = lim 1 +  = 2,718282. . . e=  n n k=0 k! e ist eine irrationale Zahl, transzendent Kreiszahl; π ist definierbar als Fläche des Kreises (Radius ), Länge des Halbkreisbogens (Radius ) π ist irrational, transzendent π = 3,14159. . . ; gute Näherung ist 22 7 Bogenmaß x eines im 0  α < 360 gemessenen Winkel α; numerisch: x  α ċ 0,017453. . .

Diese (und andere) in zahlreichen Formeln auftretenden Wurzeln belässt man möglichst in dieser Form – allenfalls in Endergebnissen könnten numerische Näherungen wie 1,41421. . . bzw. 1,73205. . . benutzt werden Symbol für die so genannte imaginäre Einheit; man definiert j als eine Lösung der Gleichung: x 2 + 1 = 0, d. h. j2 = −1

A.1.2 Mathematische Logik Mathematischen Aussagen (A, B, C . . .) werden so genannte „Wahrheitswerte“ W (wahr) oder F (falsch) zugeordnet mit folgenden Grundregeln und Aussageverbindungen. Grundregel : Eine Aussage A ist entweder wahr oder falsch (ausschließende Alternative) Grundregel : Die Verneinung (Negation) einer Aussage A – häufig mit A notiert – ist festgelegt durch A A W F F W

Grundregel : Zwei Aussagen A, B heißen äquivalent (in Zeichen A  B), wenn sie die gleichen Wahrheitswerte besitzen. Grundregel : Die Aussage „A und B“ (A  B), die Aussage „A oder B“ (A  B), die Aussage „Aus A folgt B“ (A  B, Implikation, Folgerung) sind gemäß nachstehender Tabelle festgesetzt. A W W F F

B W F W F

A B W F F F

A B W W W F

AB W F W W

AB W F F W

A. Mathematische Zeichen und Normzahlen

Man leitet hieraus logische Regeln ab, wie zum Beispiel ➀ [(A  B) und (B  A)]  [A  B] ➁ ➂ ➃

(A  B)  A  B  (A  B)  A  B [A  B] und [B  C]  [A  C],

➄

A  (B  C)  (A  B)  (A  C),

Verneinung von Und- und OderAussagen

Kettenschluss

Reihe

E 6 10

Stufensprung

[A  B]  [B  A], indirekter Beweis

Normzahlen (DIN ) Grundreihen

Genauwerte

R

R 

R

R

1,00

1,00

1,00

1,00 1,06 1,12 1,18 1,25 1,32 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,12 2,24 2,36 2,50 2,65 2,80 3,00 3,15 3,35 3,55 3,75 4,00 4,25 4,50 4,75 5,00 5,30 5,60 6,00 6,30 6,70 7,10 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50

1,0000 1,0593 1,1220 1,1885 1,2589 1,3335 1,4125 1,4962 1,5849 1,6788 1,7783 1,8836 1,9953 2,1135 2,2387 2,3714 2,5119 2,6607 2,8184 2,9854 3,1623 3,3497 3,5481 3,7584 3,9811 4,2170 4,4668 4,7315 5,0119 5,3088 5,6234 5,9566 6,3096 6,6834 7,0795 7,4989 7,9433 8,4140 8,9125 9,4409

0,0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15 0,175 0,2 0,225 0,25 0,275 0,3 0,325 0,35 0,375 0,4 0,425 0,45 0,475 0,5 0,525 0,55 0,575 0,6 0,625 0,65 0,675 0,7 0,725 0,75 0,775 0,8 0,825 0,85 0,875 0,9 0,925 0,95 0,975

10,0

10,0000

1,0

A.1.3 Normzahlen In der DIN-Verordnung  ist dieser – aus dem neunzehnten Jahrhundert stammende – Begriff noch anzutreffen. Bezogen auf den speziellen Vergrößerungsfaktor  lautet die Aufgabe („geometrische Progression“): Sei n 1, a 0 gegeben. Bestimme n + 1 Zahlen (sog. Stufen) x0 , x1 , x2 , . . . , x n mit ) a = x0 < x1 . . . < x n = 10a x k+1 ) = const (bezügl. k) xk Die Lösung ist – mit q = n 10 – die geok metrische Folge aq , und betrachtet man die komplette Skala aq k , k Z, so hat man eine feingliedrige Abstufung der Zehnerpotenzskala a10k , k Z. Speziell sind in früheren Zeiten die Abstufungen n = 5, n = 10, n = 20, n = 40 und n = 80 gewählt worden – entsprechend spricht man von den Grundreihen R, R usw. Diese „Reihen“ sind Auflistungen der Folgen n

k

 10 ,

1,12 1,25

1,25 1,40

1,60

1,60

1,60 1,80

2,00

2,00 2,24

2,50

2,50

2,50 2,80

3,15

3,15 3,55

4,00

4,00

4,00 4,50

5,00

k = 0, 1, . . . , n

(n = 510204080) und zwar in verschiedenen Näherungen und Genauigkeitsangaben hinsichtlich der numerischen Werte der Zahlen k  n 10 (deren Berechnung in früheren Zeiten verständlicherweise Probleme bereitete). Nennwerte elektrischer Bauelemente, wie Widerstände und Kondensatoren, werden nach E-Reihen gestuft:

E E 12 10 24 10

Übersicht A-. Normzahlen und E-Reihen.

Distribution

➅



5,00 5,60

6,30

6,30

6,30 7,10

8,00

8,00 9,00

10,0

10,0

10,0

lg



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). E-Reihen (DIN IEC ) E

E

E

1,0

1,0

1,0 1,1 1,2 1,3 1,5 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,3 4,7 5,1 5,6 6,2 6,8 7,5 8,2 9,1

1,2 1,5

1,5 1,8

2,2

2,2 2,7

3,3

3,3 3,9

4,7

4,7 5,6

6,8

6,8 8,2

10,0

10,0

10,0

A.2 Reelle Zahlen (R) Der Aufbau des Zahlensystems geschieht über den Prozess der Zahlbereichserweiterungen. Natürliche Zahlen: N = 1, 2, 3, . . ., die Menge der natürlichen Zahlen, kann als gegebene (abzählbare) Zahlenmenge vorliegen (aber auch aus abstrakten mengentheoretischen Axiomen gewonnen werden). In N gibt es die bekannte Addition und Ordnung (n < m  es gibt ein k N mit m = n+k). Die wesentlichste Eigenschaft in N ist das Prinzip der vollständigen Induktion:

Prinzip der vollständigen Induktion Für jedes n N seien A(n) (mathematische) Aussagen, für welche zunächst nicht bekannt ist, ob sie wahr oder falsch sind. Dann gilt: Ist erstens A(1) wahr und zweitens aus A(n) wahr folgt auch A(n + 1) wahr, so folgt: A(n) ist wahr für alle n N. Ganze Zahlen: Z = 0, 1, 2. . ., die Menge der ganzen Zahlen, wird aus N durch Hinzunahme der Lösungen der Gleichungen n + x = 0  x = −n gewonnen, wobei  als neutrales Element der Addition zu N hinzugenommen wird. Rationale Zahlen: Q =  p q p, q Z, q  0, die Menge der rationalen Zahlen (Brüche), wird aus Z gewonnen vermöge der Hinzunahme der Lösungen der Gleichungen qx = p  x = p q . Addition, Multiplikation und Ordnung werden von N bzw. Z auf Q übertragen (es entsteht die Bruchrechnung), so ist z. B. p p pq + p q = + q q qq  p p     pq < p q (für positive q und q ) < q q Eine einfache Überlegung zeigt den Zusammenhang zur Dezimaldarstellung: Jede rationale Zahl p q besitzt eine periodische Dezimaldarstellung, und umgekehrt kann jede periodische Dezimalzahl als Bruch geschrieben werden: Beispiele:

0,3 = 13 , 0,9 = 1(!), = 126 = 1,27 = 1 + 27 99 99

14 11

A. Reelle Zahlen (R)

Reelle Zahlen: R = Menge der rationalen und irrationalen Zahlen, wobei x irrational ist genau dann, wenn x eine nichtperiodische Dezimaldarstellung hat. Beispiele für Irrationalzahlen: 2, 3, 5 (allgemein: • alle Zahlen n, wenn n N und falls n nicht ganzzahlig ist) • 0,123456789101112. . . • π, e (so genannte transzendente Zahlen, das sind per Def. Zahlen, welche nicht Lösung einer polynomialen Gleichung a n x n + a n−1 x n−1 +  + a 0 = 0 mit a 0 , a 1 , . . . , a n Z sind (letztere – also Lösungen solcher Gleichungen – heißen algebraisch). Die meisten reellen Zahlen sind transzendent. Wurzelausdrücke (aus ganzen 3 2, 1 − 4 7 sind Zahlen), wie z. B. dagegen algebraisch. In R gibt es die Addition und Multiplikation sowie eine Totalordnung: Für je zwei reelle Zahlen gilt stets x < y oder x = y oder x y.

Dies gestattet die Konstruktion von Intervallen: [a, b] = x Ra  x  b, abgeschlossenes Intervall ]a, b[ = x Ra < x < b, offenes Intervall ]a, b] = x Ra < x  b halboffenes Intervall [a, [ = x Ra  x abgeschlossenes Intervall (!) Satz:

Die rationalen Zahlen Q liegen dicht in R; d. h. ) Zu je zwei reellen Zahlen a, b R (mit a < b) gibt es mindestens eine (sogar unendlich viele) rationale Zahl r mit a < r < b ) Sei a R, dann gibt es eine Folge rationaler Zahlen x1 , x2 , x3 , . . . mit x n  a bei n  

Schrankenbegriffe Sei M ⊂ R (eine Teilmenge von R). Jedes b R, für welches gilt [x  b für alle x M], heißt obere Schranke von M. Die kleinste obere Schranke einer Menge M heißt Supremum von M (sup M). Beispiel: M=− n1 n N, dann ist sup M = 0. Beachte, dass das Supremum einer Menge nicht selbst

Übersicht A-. Rechenregeln für Ungleichungen. Ungleichungen allgemein

Beispiele

) x < y  x + a < y + a (x, y, a  R) ) x < y und a  0  xa < ya ) x < y und a < 0  xa  ya ) x 2 < a 2  −a < x < a (für a  0) x 2  a 2  x < −a oder x  a (für a 0)

2x − 4 < 5x + 2  −6 < 3x  −2 < x

Beträge Für x  R definiert man x =  ) x + y  x + y ) ax = a ċ x ) x  a  −a < x < a

x, x 0 −x, x  0



x + 2  1  x + 2  1 oder (x + 2) < −1  x  −1 oder x < −3



A Mathematik

zur Menge gehören muss. Ein weiteres Beispiel ist M = arctan xx R  sup M = π2 . Dagegen gilt für das Maximum einer Menge die Forderung: a = max M  a ist obere Schranke von M und a M. Ähnlich sind Infimum (größte untere Schranke) und Minimum einer Menge definiert. Man nennt eine Menge M R beschränkt  es gibt a, b R mit M ⊂ [a, b]. Die fundamentalste Eigenschaft von R ist folgendes Theorem: Theorem (Supremumsaxiom und Vollständigkeit) ➀ Jede beschränkte Menge hat ein Supremum und ein Infimum ➁ R ist vollständig, d. h.: jede Cauchy-Folge besitzt einen Grenzwert Zusatz: Die Aussagen ➀ und ➁ sind äquivalent. Hierbei heißt eine Zahlenfolge (x n )nN Cauchy-Folge, wenn die Bedingung erfüllt ist: [Zu jedem ε 0 gibt es ein N mit der Eigenschaft, dass x m − x n  < ε ist, sobald n N und m N ist].

Mittelwerte Für x1 , x2 , . . . , x n definiert man ) das arithmetische Mittel: 1 A = (x1 +  + x n ) n ) das geometrische Mittel: G = n x1  x n ) das harmonische Mittel: 1 1 1 −1 H =   +  + ! n x1 xn ) das quadratische Mittel: " 1 2 Q = (x +  + x n2 ) n 1 Sie gehorchen folgendem Vergleich: HGAQ Anwendungen: A: gewöhnliche, arithmetische Durchschnitte G: Progressionen, Zuwachsfaktoren, Zinsrechnung H: Frequenzanalysen Q: Fehlerrechnung, Regression

A.3 Komplexe Zahlen (C) Übersicht A-. Komplexe Zahlen. Darstellungsformen und Rechenoperationen. Komplexe Zahlen



Komplexe Zahl Z Z = a + jb = Z(cos φ + j sin φ)  Imaginärteil Realteil

Euler’sche Formel ejφ = cos φ + j sin φ Z = Z ċ ejφ  j = −1 Z = a + jb komplexe Zahl Betrag Z = a 2 + b 2 b tan φ = Richtung a b a sin φ = ; cos φ = ! Z Z Z = a − jb

konjugiert-komplexe Zahl Z ċ Z = (a + jb)(a − jb) = a 2 + b 2 = Z2

A. Komplexe Zahlen (C)



Übersicht A-. (Fortsetzung). Darstellungsform

komplex

konjugiert-komplex

Real- und Imaginärteil trigonometrische Form

Z = a + jb Z = Z(cos φ + j sin φ)

Z = a − jb Z = Z(cos φ − j sin φ)

Euler’sche Formel ejφ = cos φ + j sin φ e−jφ = cos φ − j sin φ Exponential-Form

Z = Z ejφ

Z = Z e−jφ

Gleichungen

Gauß’sche Zahlenebene

Beispiel

Addition/Subraktion Z 1 + Z 2 = (a 1 + a 2 ) + j(b 1 + b 2 ) Z 1 − Z 2 = (a 1 − a 2 ) + j(b 1 − b 2 ) Real- und Imaginärteil müssen getrennt berechnet werden

Z 1 = 3 + 2j Z 2 = 1 + 1,2j Z 1 + Z 2 = 4 + 3,2j

Multiplikation/Division Z 1 Z 2 = Z 1 Z 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + j sin(φ 1 + φ 2 )) Z 1 Z 2 = Z 1 Z 2  ej(φ 1 +φ 2 ) " Z 1 Z 2  = (a 1 a 2 − b 1 b 2 )2 + (a 1 b 2 + b 1 a 2 )2 tan(φ 1 + φ 2 ) =

a1 b2 + a1 b2 a1 a2 − b1 b2

Z 1 Z 2 = Z 1  Z 2 (cos(φ 1 −φ 2 )+j sin(φ 1 −φ 2 )) Z 1 Z 2 = Z 1  Z 2  ej(φ 1 −φ 2 ) $ % a 12 + b 12 & Z 1  Z 2  = % ; a 22 + b 22 b1 a2 − a1 b2 tan(φ 1 − φ 2 ) = a1 a2 + b1 b2

Z 1 = 3 + 2j Z 2 = 1 + 1,2j # 9+4 Z 1  Z 2  = 1 + 1,44 = 2,3 tan(φ 1 − φ 2 ) 2 ċ 1 − 3 ċ 1,2 = −0,296 = 3 ċ 1 + 2 ċ 1,2 (φ 1 − φ 2 ) = −0,287 (Z 1 Z 2 ) = 2,3 ej(−0,287)



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Potenzieren/Wurzelziehen Z n = Z n (cos nφ + j sin nφ) Zn = Z n  ċ ejnφ n Z= " φ + k + 2π φ + k ċ 2π n ! + j sin !! Z cos n n (k = 0, 1, 2, . . . , (n − 1)) φ+kċ2π " j n = n Ze

 Z= 3 8  Radius Z = 3 8 = 2 k= 0 Z 0  = 3 8(cos(0) + j sin(0)) = +2 k=1 Z1 = 2π 2π 2 cos   + j sin   3  3 Z 1 = −1 + j 3 k=2 Z2 = 4π 4π 2 cos   + j sin   3  3 Z 2 = −1 − j 3

Differenziation (bzgl. Winkelvariablen) Z = 3 + 2j Z = 3,6 ej(1,57t+33,69) dZ = 1,57jZ dt

Z = Z ej(ωt+φ) dZ = jωZ ej(ωt+φ) dt dZ = jωZ dt Drehung um +90 , Streckung aufs ω-fache Integration (bzgl. Winkelvariablen) Z = Z ej(ωt+φ) j(ωt+φ) dt ' Z dt = ' Z e = Z ejφ ' ejωt dt j j(ωt+φ) +C ' Z dt = − Z e ω j =− ċZ+C ω

Z = 3 + 2j  Z = 13 ej(1,57t+arctan 2 3) Z = 3,6 ej(1,57t+33,69 j Z ' Z dt = − 1,57 = −0,64jZ



)

A. Logarithmus und Logarithmengesetze



A.4 Logarithmus und Logarithmengesetze Ist bei einer Potenzfunktion die Variable im Exponenten (Exponentialfunktion, Abschnitt A.), kann der Wert der Variablen

durch Logarithmieren (Logarithmusfunktion, Abschnitt A.) ermittelt werden.

Übersicht A-. Logarithmen. Definition Exponent

* bx  Basis 32

=

a  Potenzwert = 9

,

=

x  Exponent 2

=

logb  Basis log3

a  Potenzwert 9

(b  0; b  1; x beliebig, reell)

besondere Fälle allgemein

Beispiel

logb (b a ) = a logb b = 1 logb 1 = 0 b log b a = a eln a = a

log3 -32 . = 2 log3 3 = 1 -31 = 3. log3 1 = 0 -30 = 1. 3log3 4 = 4 eln 18 = 18 Logarithmensysteme

dekadische Logarithmen

natürliche Logarithmen

Basis 

Basis e e lim 1 + n

log 10 = lg 10 x = a x = lg a

1 n  n log e ex x

= 2,718281 . . . = ln =a = ln a

Umrechnungen lg a =

ln a  0,4329 ln a ln 10

ln a = lg a ln 10  2,30259 lg a allgemein: logb a =

logc a logc b

=

ln a ln b



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Logarithmengesetze allgemein logb (ca) c logb   a logb (a n )  logb - n a.

Beispiel = logb c + logb a

lg(10x) 20 ln   x lg -48 .  ln - 3 18.

= logb c − logb a = n logb a 1 = logb a n

= lg 10 + lg x = 1 + lg x = ln 20 − ln x = 8 ċ lg 4 1 = ln 18 3

A.5 Trigonometrische Funktionen Übersicht A-. Trigonometrische Funktionen. Definitionen

Rechtwinkliges Dreieck: Seitenverhältnisse Gegenkathete a = sin α = Hypotenuse c cos α =

b Ankathete = Hypotenuse c

tan α =

Gegenkathete a = Ankathete b

cot α =

b Ankathete = Gegenkathete a

Komplemente sin α =

Einheitskreis: Funktion der Bogenlänge x sin x: Ordinate von P cos x: Abszisse von P sin x tan x = cos x 1 cos x cot x = = tan x sin x 2π ċ α (0  x  2π) x = 360 x(0  x < 2π) ist das Bogenmaß des Winkels α im Gradsystem (0  α < 360 ). Dann ist sin x = sin α; cos x = cos α; tan x = tan α. Vorzeichen

cos(90

− α)



cos α = sin(90 − α) tan α = cot(90 − α) cot α = tan(90 − α)

A. Trigonometrische Funktionen



Übersicht A-. (Fortsetzung). Reduktionsformen Winkel

Verlauf 90 α

−α

Sinus und Kosinus

180 α 270 α 360 α

Funktion sin α

− sin α

+ cos α

sin α

− cos α

− sin α

cos α

+ cos α

sin α

− cos α

 sin α

+ cos α

tan α

− tan α

cot α

 tan α

cot α

− tan α

cot α

− cot α

tan α

 cot α

tan α

− cot α

periodisch in 2π (360 ) Tangens und Kotangens in πw(180 ) Polstellen für Tangens π +0 n 2 π −0 −n 2 Polstellen für Kotangens +0 +0, nπ −0 −0, −nπ

Übersicht A-. Zusammenhänge und Umwandlungen trigonometrischer Funktionen. Zusammenhänge zwischen trigonometrischen Funktionen sin α + cos α = 1 1 sin α = tan α = cos α cot α cos α 1 cot α = = sin α tan α 2

α 1 − tan2   2 cos α = α 2 1 + tan   2

tan α cot α = 1

2

1 cos2 α 1 1 + cot2 α = sin2 α

1 + tan 2 α =

Umwandlungen Funktion Funktion

sin α

cos α

tan α

sin α

−

  1 − cos2 α



cos α

  1 − sin2 α

−



tan α



cot α





sin α 1 − sin2 α 1 − sin2 α sin α



 1 − cos2 α cos α

cos α  1 − cos2 α

cot α tan α

1 + tan2 α 1 1 + tan2 α

 

1 1 + cot2 α cot α 1 + cot2 α

−

1 cot α

1 tan α

−



A Mathematik

Übersicht A-. Winkelbeziehungen trigonometrischer Funktionen. Addition/Subtraktion sin(α  β) = sin α cos β  cos α sin β cos(α  β) = cos α cos β 1 sin α sin β sin(α + β) sin(α − β) = cos2 β − cos2 α cos(α + β) cos(α − β) = cos2 β − sin2 α tan α  tan β 1 1 tan α tan β cot α cot β 1 1 cot(α  β) = cot β  cot α

tan(α  β) =

Summen und Differenzen αβ α1β ċ cos 2 2 α−β α+β ċ cos cos α + cos β = 2 cos 2 2 α−β α+β ċ sin cos α − cos β = −2 sin 2 2 sin(α  β) tan α  tan β = cos α ċ cos β sin(β  α) cot α  cot β = sin α ċ sin β

sin α  sin β = 2 sin

doppelte Winkel sin 2α = 2 sin α ċ cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α tan 2α = 2 (cot α − tan α) cot 2α = (cot α − tan α) 2 sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α halbe Winkel #

α sin =  2

#

1 − cos α 2

α 1 + cos α = 2 2 # α 1 − cos α 1 − cos α sin α tan =  = = 2 1 + cos α sin α 1 + cos α # 1 + cos α sin α 1 + cos α α = = cot =  2 1 − cos α sin α 1 − cos α

Übersicht A-. (Fortsetzung). Produkte 1 [cos(α − β) − cos(α + β)] 2 1 cos α cos β = [cos(α − β) + cos(α + β)] 2 1 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)] 2 1 cos α sin β = [sin(α + β) − sin(α + β)] 2 tan α + tan β tan α tan β = cot α + cot β cot α + cot β cot α cot β = tan α + tan β tan α + cot β tan α cot β = cot α + tan β cot α + tan β cot α tan β = tan α + cot β sin α sin β =

Potenzen 1 (1 − cos 2α) 2 1 sin3 α = (3 sin α − sin 3α) 4 1 cos2 α = (1 + cos 2α) 2 1 cos3 α = (3 cos α − cos 3α) 4 sin2 α =

Euler’sche Formel y =

ejφ

= cos φ  j sin φ

sin φ =

ejφ − e−jφ 2j

cos φ =

ejφ + e−jφ 2

cos

tan φ = − cot φ =

j -ejφ − e−jφ . ej φ + e−jφ

j - ejφ + e−jφ . ej φ − e−jφ

-j =



−1.

A. Analytische Geometrie der Ebene



Übersicht A-. (Fortsetzung). Näherungsformeln für kleine Winkel sin x  x − sin x  x cos x  1 − cos x  1

x3 6 2

x 2

(Fehler < 1%

für

α < 58 )

(Fehler < 1%

für

α < 14 )

(Fehler < 1%

für

α < 37 )

(Fehler < 1% für α < 8 ) x ċ 360 wobei α = 2π Winkeleinheiten

Einheit 

°





rad

gon

cgon

mgon

1 1 1

= = =

 0,016667 0,0002778

  0,016667

3600  

0,017453 − −

1,1111 0,018518 0,0003086

111,11 1,85185 0,030864

1111,11 18,5185 0,30864

1 rad 1 gon 1 cgon 1 mgon

= = = =

57,2958 0,9 0,009 0,0009

3437,75  0,54 0,054

206 265 3240 32,4 3,24

 0,015708 − −

63,662  0,01 0,001

6366,2   0,1

63 662 1000  

1 rad = 103 mrad = 106 μrad 1 rad =

π rad 200 1 Vollwinkel = 2π rad = 6,28318 rad = 360 = 400 gon

1 gon =



1 m Bogen 360 = = 57,296  57,3 1 m Radius 2π

A.6 Analytische Geometrie der Ebene Übersicht A-. Koordinatensysteme. schiefwinklig

ξ = η = φ1 φ2

−x sin φ 2 + y cos φ 2 sin(φ 1 − φ 2 ) x sin φ 1 − y cos φ 1 sin(φ 1 − φ 2 )

rechtwinklig

polar

x = ξ cos φ 1 + η cos φ 2

Zusammenhang zwischen rechtwinkligen und Polar-Koordinaten x = r cos φ y = r sin φ y tan φ = x " r = x 2 + y2

y = ξ sin φ 1 + η sin φ 2

Winkel zwischen x-Achse und ξ-Achse Winkel zwischen y-Achse und η-Achse



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Transformation rechtwinkliger Koordinaten Parallelverschiebung

Drehung

Parallelverschiebung und Drehung

x y x y

x y x y

x  y  x y

=x−a = y−b = x + a = y + b

= x cos φ + y sin φ = −x sin φ + y cos φ = x  cos φ − y  sin φ = x  sin φ + y  cos φ

Zylinderkoordinaten

= (x − a) cos φ + (y − b) sin φ = −(x − a) sin φ +(y−b) cos φ = x  cos φ − y  sin φ + a = x  sin φ − y  cos φ + b

Kugelkoordinaten

x = r sin β cos φ y = r sin β sin φ z = r cos β z cos β = ; r x cos φ = " x 2 + y2 " r = x 2 + y2 + z2

x = r cos φ y = r sin φ z=z y tan φ = x

Übersicht A-. Punkt, Strecke und Dreiecke in der Ebene. Strecke Steigung tan α = m =

y2 − y1 x2 − x1

Entfernung 2 P1 P2 = (x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2 2 P1 P2 = r 12 + r 22 − 2r 1 r 2 cos (φ 2 − φ 1 ) Teilpunkt P λ=

P1 P

PP2 0λ1

;

xP =

x 1 + λx 2 ; 1+λ

yP =

y 1 + λy 2 1+λ

xM =

x1 + x2 ; 2

yM =

y1 + y2 2

A. Analytische Geometrie der Ebene

Übersicht A-. (Fortsetzung). Dreieck Schwerpunkt xS = 13 (x 1 + x 2 + x 3 ) yS = 13 (y 1 + y 2 + y 3 ) Für Punktmassen m 1 , m 2 , m 3 m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 xS = m1 + m2 + m3 m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 yS = m1 + m2 + m3

Fläche A = 12 [x 1 (y 2 − y 3 ) + x 2 (y 3 − y 1 ) + x 3 (y 1 − y 2 )] ;

mit Determinantenrechnung:

333 x 1 y 1 1 333 3 3 1 3333 x y 1 3333 A = 333 2 2 333 3 2 333 333 x 3 y 3 1 33333

Übersicht A-. Punkt, Strecke und Dreiecke im Raum.

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Punkte und Strecken im Raum Entfernung 4P1 P2 4 (P1 (x 1 , y 1 , z 1 )) ; (P2 (x 2 , y 2 , z 2 )) 2 4P1 P2 4 = (x 1 − x 2 )2 + (y 1 − y 2 )2 + (z 1 − z 2 )2 Teilung von P1 P2 im Verhältnis λ xP = λ0 λ<0

x 1 + λx 2 y 1 + λy 2 z 1 + λz 2 ; yP = ; zP = ; 1+λ 1+λ 1+λ innerer Teilpunkt äußerer Teilpunkt

Mittelpunkt M x1 + x2 xM = ; 2

yM

y1 + y2 ; = 2

zM

z1 + z2 ; = 2

Dreiecke im Raum Schwerpunkt x1 + x2 + x3 ; xS = 3 z1 + z2 + z3 zS = 3

yS =

y1 + y2 + y3 ; 3

Dreiecke im Raum Für Punktmassen m 1 , m 2 , m 3 m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 xS = ; m1 + m2 + m3 m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 ; yS = m1 + m2 + m3 m1 z1 + m2 z2 + m3 z3 zS = m1 + m2 + m3 Fläche 2 A = A21 + A22 + A23 , 1 A1 = 2

333 y 1 z 1 1 333 3 333 33 y 2 z 2 1 3333 333 ; 333 3 33 333 y 3 z 3 1 3333 3 3

1 A3 = 2

33 x 1 y 1 1 33 333 3333 33 333 x 2 y 2 1 3333 3 33 333 x 3 y 3 1 3333 33 33

mit 1 A2 = 2

333 z 1 x 1 1 333 3 333 33 z 2 x 2 1 3333 333 333 3 33 333 z 3 x 3 1 3333 3 3





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Volumen des Tetraeders P1 , P2 , P3 , P4 (P1 Spitze)

V =

1 6

1 = 6

333 333 33 333 33 333 33 333 3 333 33 333 33 333 33 33

x 1 y 1 z 1 1 333 33 x 2 y 2 z 2 1 3333 33 x 3 y 3 z 3 1 3333 33 x 4 y 4 z 4 1 3333 3 (x 1 − x 2 ) (y 1 − y 2 ) (z 1 − z 2 ) 3333 33 (x 1 − x 3 ) (y 1 − y 3 ) (z 1 − z 3 ) 3333 33 (x 1 − x 4 ) (y 1 − y 4 ) (z 1 − z 4 ) 3333 3

Übersicht A-. Gerade in der Ebene.

Normalform y = mx + b m = tan φ

allgemeine Gleichung Ax + By + C = 0 (A, B, C sind Konstanten; A und B nicht gleichzeitig null) Hesse’sche Normalform

Zwei-Punkte-Form y − y1 y2 − y1 = ; x − x1 x2 − x1 33 x y 1 33 333 3333 33 333 x 1 y 1 1 3333 = 0 33 3 333 x 2 y 2 1 3333 33 33

x cos β + y sin β − p = 0 Ax + By + C =0   A2 + B 2 + für: C < 0 ; − für: C  0

Polarform

Punkt-Steigungs-Form y − y 1 = m (x − x 1) y = m(x − a) m = tan φ ; y2 − y1 m = x2 − x1

Achsenabschnitts-Form x y + =1 a b

p r= cos(α − φ)

Abstand d des Punktes P1 (x 1 , y 1 ) von der Geraden d = x 1 cos β + y 1 sin β − p d =

Ax 1 + By 1 + C   A2 + B 2

d =

y 1 − mx 1 − b  1 + m2

A. Analytische Geometrie der Ebene

Übersicht A-. (Fortsetzung).



Übersicht A-. Gerade im Raum.

Schnittwinkel β zweier Geraden

Zwei-Punkte-Form x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

m2 − m1 1 + m1 m2 A1 B 2 − A2 B 1 tan β = A1 A2 + B 1 B 2 tan β =

allgemeine Gleichung Schnitt zweier beliebiger Ebenen

m 1 = tan φ 1 ; m 2 = tan φ 2

A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

senkrechte Geraden:

m 1 m 2 = −1 A1 A2 + B 1 B 2 = 0

parallele Geraden:

m1 = m2 A1 A2 = B 1 B 2

Winkelhalbierende zweier Geraden A1 x + B 1 y + C 1 A2 x + B 2 y + C 2  =0 2 2  A21 + B 21  A22 + B 22

Winkel zwischen Gerade und Achsen 1 B1 C1 1 C 1 A1 E1 = 0 5 cos α = 6 ; cos β = 6 6 6 E2 = 0 N B2 C2 N C 2 A2 N: Normalenvektor cos γ =

1 A1 B 1 6 6 N A2 B 2

N2 = 6

B1 C1 2 C A 2 A B 2 6 +6 1 1 6 +6 1 1 6 B2 C2 C 2 A2 A2 B 2

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 Gerade durch Punkt P1 (x 1 , y 1 , z 1 ) x − x1 y − y1 z − z1 = = cos α cos β cos γ in Parameterform: Hesse’sche Normalform x (cos β 1  cos β 2 ) + y (sin β 1  sin β 2 ) − (p1  p2 ) = 0

x = x 1 + t cos α ; z = z 1 + t cos γ

y = y 1 + t cos β

Parameterdarstellung x = a1 t + a2 ;

y = b1 t + b2 ;

z = c1 t + c2

Schnittwinkel zweier Geraden cos β = cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2



A Mathematik

Übersicht A-. Ebene.

Übersicht A-. (Fortsetzung). Ebene durch drei Punkte 333x y z 1333 3 333 333x 1 y 1 z 1 133333 = 0 ; 333x 2 y 2 z 2 1333 3 33 333x 3 y 3 z 3 13333 33(x − x 1 ) (y − y 1 ) (z − z 1 ) 33 3 333 33(x 2 − x 1 ) (y 2 − y 1 ) (z 2 − z 1 )3333 = 0 3 333 33(x 3 − x 1 ) (y 3 − y 1 ) (z 3 − z 1 )3333 3 3 Abstand eines Punktes von der Ebene Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D   A2 + B 2 + C 2 d = x 1 cos α + y 1 cos β + z 1 cos γ − p d =

Achsenabschnitts-Form

Winkel δ zweier Ebenen

x y z + + =t a b c

cos δ = 2

Hesse’sche Normalform

Winkel zur x-, y-, z-Achse; Länge der Normalen durch den Nullpunkt

cos γ = 

A2 + B 2 + C 2 C

A2 + B 2 + C 2

A1 A2 = B 1 B 2 = C 1 C 2

oder

cos α 1 cos α 2 = cos β 1 cos β 2 = cos γ 1 cos γ 2

; cos β =  ; p= 

A1 A2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 parallel: zwei Ebenen 8

E Ax + By + Cz + D = 0 D D D a=− ; b=− ; c=− A B C cos α = 

orthogonal: zwei Ebenen 7 cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2 = 0

allgemeine Gleichung

A

A1 A2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 2 + B 21 + C 12 ċ A22 + B 22 + C 22

Orthogonalität und Parallelität

x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 α, β, γ p

A21

B A2 + B 2 + C 2 D

A2 + B 2 + C 2

<0

Ebene durch einen Punkt P1 (x 1 , y 1 , z 1 ) parallel zur Geraden

P1 (x 1 , y 1 , z 1 ) senkrecht zur Geraden

33x − x 1 y − y 1 z − z 1 33 333 33 3333cos α 1 cos β 1 cos γ 1 33333 = 0 333cos α 2 cos β 2 cos γ 2 333 3 3

(x − x 1 ) cos α + + (y − y 1 ) cos β + + (z − z 1 ) cos γ = 0

A. Analytische Geometrie der Ebene

Übersicht A-. Kreis.

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Mittelpunktgleichungen (x − xM )2 + (y − yM )2 = r 2

Schnittpunkte Gerade und Kreis Kreis: x 2 + y 2 = r 2 ;

Gerade y = mx + b

x 1 2 = " 1 9−mb  m 2 b 2 + (r 2 − b 2 ) (1 + m 2 ): 1 + m2 Diskriminante D = r 2 -1 + m 2 . − b 2 für

Mittelpunkt im Ursprung

D  0: D = 0: D < 0:

Scheitel-Gleichung

Tangente und Normale Kreis: Tangente:

x 2 + y2 = r2

 Schnittpunkte  Schnittpunkt kein Schnittpunkt

x 2 + y2 = r2 xxP + y yP = r 2

y 2 = 2rx − x 2 allgemeine Kreisgleichung

Ax + Ay + 2Dx + 2Ey + F = 0 2

2

Mittelpunkt M

Radius r

(−D A, −E A)

1 2 D + E 2 − AF r= A Parametergleichung

x = r cos t + xM y = r sin t + yM

xP yP r yP t=6 6 xP 2 y st = ; P ; xP

mt = −

Steigung: Länge: Subtangente: Normale yxP − x yP = 0 Steigung Subnormale

yP ; xP sn = xP

mn =

Länge n = r ;

Winkel im Kreis Mittelpunktwinkel  doppelter Umfangswinkel

Polarkoordinaten  − 20 cos (φ − φ 0 ) + 20 = r 2 2

α = 2γ 360 − α = 2δ Sehnentangentenwinkel  halbem Mittelpunktswinkel 1 α ; α = 2τ ; 2  360 − α = 2(180 − τ) τ=

Alle Umfangswinkel sind also gleich groß





A Mathematik

Übersicht A-. Ellipse, Hyperbel, Parabel. . Normallage

Ellipse M(0, 0)

Hyperbel M(0, 0)

Kurvengleichung

x 2 y2 + =1 a2 b2

Parametergleichungen

x = a cos t

Tangente mit Berührpunkt P1 (x 1 , y 1 )

y = b sin t x1 x y1 y t 2 + 2 = 1 a b

Asymptote

−

Tangentenbedingung (y = mx + c) (Ax + By + C = 0)

c 2 = a2 m2 + b 2

x 2 y2 − =1 a2 b2 a x= ; y = b tan t cos t x = a cosh t ; y = b sinh t x1 x y1 y t 2 − 2 = 1 a b b y= x a c 2 = a2 m2 − b 2

Schaubild

Normale im Kurvenpunkt P1 (x 1 , y 1 ) Exzentrizität numerische Exzentrizität Fläche Scheitelgleichung (Brennpunkt auf x-Achse)

a 2 A2 + b 2 B 2 − C 2 = 0 a 2 y1 n y − y 1 = − 2 (x − x 1 ) b x1  e = a2 − b2 e є= a A = abπ p y 2 = 2px − x 2 a

a 2 A2 − b 2 B 2 − C 2 = 0 a 2 y1 n y − y 1 = 2 (x − x 1 ) b x1  e = a2 + b2 − y 2 = 2px +

p 2 x a

. Achsen parallel zu Koordinatenachsen M(x 0 , y 0 ) Kurvengleichung Tangente mit Berührpunkt P1 (x 1 , y 1 )

Tangentenbedingung

(x − x 0 )2 (y − y 0 )2 + =1 a2 b2 (x − x 0 ) (x 1 − x 0 ) a2 (y − y 0 ) (y 1 − y 0 ) + =1 b2

(x − x 0 )2 (y − y 0 )2 − =1 a2 b2 (x − x 0 ) (x 1 − x 0 ) a2 (y − y 0 ) (y 1 − y 0 ) − =1 b2

Ax + By + C = 0 für: A2 a 2 + B 2 b 2 − (Ax 0 + By 0 + C)2 = 0

Ax + By + C = 0 für: A2 a 2 − B 2 b 2 − (Ax 0 + By 0 + C)2 = 0

A. Analytische Geometrie der Ebene

Übersicht A-. (Fortsetzung). Parabel mit S(0, 0) y = 2px ; y = −2px x 2 = 2py ; x 2 = −2py Tangente in P1 (für y 2 = 2px) y y 1 = p (x + x 1 ) 2

2

Tangentenbedingung für y = mx + c p = 2cm Parametergleichung x = t 2 ; y = ct Parabel mit S(xS , yS ) Parabelachse parallel x-Achse

Parabelachse parallel y-Achse

Kurvengleichung (y − yS )2 = 2p (x − xS )

(x − xS )2 = 2p (y − yS ) Tangente in P1 (x 1 , y 1 )

(y 1 − yS ) (y − yS ) = p (x + x 1 − 2xS )

(x 1 − xS ) (x − xS ) = p (y + y 1 − 2yS )

Tangentenbedingung: Ax + By + C = 0 für: pB 2 − 2A (AxS + ByS + C) = 0

für: pA2 − 2B (AxS + ByS + C) = 0

allgemeine Form der Kegelschnitt-Gleichungen Scheitelgleichung: Polargleichung: allgemeine Gleichung:

beliebige Lage:

y 2 = 2px − -1 − ε 2 . x 2 > ? ε < 1

? ? ? @ ε  1

p ? r = ? ε = 1

? ? 1 − ε cos φ A

Ellipse Hyperbel Parabel

Ax 2 + By 2 + Cx + D y + E = 0 Ellipse: AB  0 (A = B Kreis) Hyperbel: AB < 0 Parabel (Achse parallel x-Achse): A = 0 und BC  0 Parabel (Achse parallel y-Achse): B = 0 und AD  0 Ax 2 + 2Bx y + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 -A2 + B 2 + C 2  0. 2B Drehwinkel α: tan(2α) = (A  C) A−C





A Mathematik

A.7 Geometrische Sätze Übersicht A-. Sätze in der Geometrie. rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras

c2 = a2 + b2

Kathetensatz

a2 = c p b 2 = cq

Höhensatz

h 2 = pq

Strahlensätze wenn AB8A B , dann gilt

. SA SA = SB SB SA AA = SB BB . AB A B = SA SA

a, b c

Katheten Hypothenuse

A. Geometrische Sätze

Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemeine Dreiecke Sinussatz findet Anwendung, wenn eine Seite, der gegenüberliegende Winkel und eine zweite Seite oder ein zweiter Winkel gegeben sind

a sin α b sin β = ; = b sin β c sin γ a b c = sin α sin β sin γ

Kosinussatz

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

findet Anwendung, wenn drei Seiten bzw. zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

Geometrie am Kreis Sekanten-Tangenten-Satz

PA ċ PB = PA ċ PB = PT2

Sehnen-Halbsehnen-Satz

PA ċ PB = PA ċ PB = PS2





A Mathematik

A.8 Flächen und Körper Übersicht A-. Inhalt von Flächen. Art der Fläche

Flächeninhalt A

Dreieck

A=

ah 2

Trapez

A=

a+b h 2

Parallelogramm

A = ah = ab sin γ

Kreis

A=

πd 2 = πr 2 4

Umfang U = πd = 2πr Kreisring

A=

π π -D 2 − d 2 . = (D + d)b 4 2

πr 2 α (Gradmaß) 360 φ (Bogenmaß) A = r2 2 πrα (Gradmaß) Bogenlänge l = 180 l = rφ (Bogenmaß) A=

Kreisausschnitt

Kreisabschnitt

Sechseck

B 2E C2 r2 h F 1 (φ − sin φ)  hs C ! F C 3 + 2 F 2 C s F D G φ Sehnenlänge s = 2r sin 2 s φ φ φ Bogenhöhe h = r 1 − cos  = tan = 2r sin2 2 2 4 4  3 2 s A= 2 A=

2s Eckenmaß e =  3

A. Flächen und Körper



Übersicht A-. (Fortsetzung). Art der Fläche

Flächeninhalt A

Ellipse

A=

π Dċd = aċbċπ 4

 Umfang U  0,75π(D + d) − 0,5 π Dd . Guldin’sche Regel

Rotation der ebenen Kurve C um die x-Achse ergibt einen (räumlichen) Rotationskörper. Dessen Mantelfläche habe den Flächeninhalt A. Es sei L die Länge von C, und S  R2 sei der Schwerpunkt von C mit dem Abstand rs von der Drehachse. Dann ist A = 2πrs ċL. H Weg des Schwerpunktes bei Rotation

Übersicht A-. Inhalt und Oberfläche von Körpern. Art des Körpers

Inhalt V , Oberfläche S, Mantelfläche M

Kreiszylinder

V=

πd 2 h 4

M = πdh ;

S = πd(d 2 + h)

Pyramide

V=

1 Ah 3

Kreiskegel

V=

πd 2 h 12

M=

 πds = πrs = πr r 2 + h 2 2

πh -D 2 + Dd + d 2 . 12 # (D − d)2 π(D + d)s s= + h2 M= 2 4

Kegelstumpf

V=

Kugel

V=

πd 3 6

S = πd 2

Kugelabschnitt (Kalotte)

V=

πh πh 2 -3a 2 + h 2 . = (3r − h) 6 3

M = 2πrh = π -a 2 + h 2 .



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Art des Körpers

Inhalt V , Oberfläche S, Mantelfläche M

Kugelausschnitt (Kugelsektor)

V=

Kugelzone

V=

2πr 2 h 3 S = πr(2h + a) πh -3a 2 + 3b 2 + h 2 . 6

M = 2πrh

V=

zylindrischer Ring

π2 Dd 2 = 2πR ċ πr 2 4

S = π2 Dd = 2πR ċ 2πr Ellipsoid

d 1 , d 2 , d 3 Länge der Achsen

kreisrundes Fass

D d h

Durchmesser am Spund Durchmesser am Boden Abstand der Böden

. Guldin’sche Regel

V=

π d1 d2 d3 6

V

πh -2D 2 + d 2 . 12

Wird ein ebenes Flächenstück (Inhalt A) (welches in y  0 liegen möge) um die x-Achse rotiert, so entsteht ein Rotationskörper (Torus) reifenähnlicher Art. Sei S der Flächenschwerpunkt und rS dessen y-Koordinate (d. h. Abstand vom Flächenschwerpunkt zur Drehachse). Dann gilt für das Volumen V des Rotationskörpers V = 2πrS ċA H Weg des Schwerpunktes bei Rotation

A.9 Vektorrechnung Übersicht A-. Vektordarstellung und Gerade.

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Vektordarstellung r = x1 e x + y1 e y + z1 e z e Einheitsvektor x 1 , y 1 , z 1 Komponenten des Vektors

Vektordarstellung Schreibweise als Zeilen- oder Spaltenvektor: r = (x 1 , y 1 , z 1 ) Betrag Winkel

r =

2

I x1 L oder r = J y 1 M K z1 N

x 12 + y 12 + z 12 x1 y1 cos(r, x) = ; cos(r, y) = ; r r z1 ; cos(r, z) = r

cos2 (r, x) + cos2 (r, y) + cos2 (r, z) = 1

A. Vektorrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Winkel und Abhängigkeiten zwischen zwei Vektoren r 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) ; r 2 = (x 1 , y 2 , z 2 ) x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 cos φ = 2 2 2 x 1 + y 12 + z 12 ċ x 22 + y 22 + z 22 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0

orthogonal:

linear abhängig: ur 1 + r 2 = 0 oder ux 1 + x 2 = 0 ; uy 1 + y 2 = 0 ; uz 1 + z 2 = 0 (u,   0)



Gerade g Punkt-SteigungsForm: r = r 1 + λa Zwei-Punkte-Form: r = r 1 + λ (r 2 − r 1 )

Entfernung und Teilung Entfernung: d = r 2 − r 1 Länge: d = r 2 − r 1  " d = (r 2 − r 1 ) ċ (r 2 − r 1 )

Schnitt zweier Ebenen: A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0

und

A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Teilung im Verhältnis λ: r 1 + λr 2 rT = 1+λ λ = 1 Mittelpunkt der Strecke r1 + r2 rM = 2

Übersicht A-. Multiplikation von Vektoren. skalares Produkt

Vektorprodukt

Multiplikation zweier Vektoren, sodass Ergebnis ein Skalar.

Multiplikation zweier Vektoren, sodass Ergebnis ein Vektor. (Hinweis: dreidimensionaler Raum muss orientiert sein; Darstellung gilt für rechtshändige kartesische Orthogonalsysteme) r 1 r 2  = r 1  r 2  ċ sin (r 1 , r 2 )

r 1 r 2 = r 1  r 2  ċ cos (r 1 , r 2 )

Betrag:

Skalarprodukt = 0: orthogonal (r 1 r 2 ) = 0

Richtung: senkrecht zur Ebene, welche die Vektoren r 1 und r 2 aufspannen Vektorprodukt = 0: parallel r1 r2 = 0

x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Komponentendarstellung r 1 = x1 e x + y1 e y + z1 e z r 2 = x2 e x + y2 e y + z2 e z

(r 1 r 2 ) = x 1 x 2 e 2x + x 1 y 2 e x e y + x 1 z 2 e x e z + y 1 x 2 e y e x + y 1 y 2 e 2y + y 1 z 2 e y e x + z 1 x 2 e z e x + z 1 y 2 e z e y + z 1 z 2 e 2z

r1 r2 = x 1 x 2 [e x e x ] + x 1 y 2 Se x e y T + x 1 z 2 [e x e z ] OPP P P P P P P QP P P P P P P P R OPP P P P P P P QPP P P P P P P R OPP P P P P P P QPP P P P P P P R =0

ey

ez

+ y 1 x 2 Se y e x T + y 1 y 2 Se y e y T + y 1 z 2 Se y e z T OPP P P P P P P QPP P P P P P P R OPP P P P P P P QP P P P P P P P R OPP P P P P P P Q P P P P P P P R −e z

=0

−e x

alle e x e y , e x e z , e y e z = 0, da senkrecht aufeinander

+ z 1 x 2 [e z e x ] + z 1 y 2 Se z e y T + z 1 z 2 [e z e z ] OPP P P P P P P QPP P P P P P P R OPP P P P P P PQ P P P P P P P R OPP P P P P P P Q P P P P P P P R

(r 1 r 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

r1 r2 =

ey

−e x

(y 1 z 2 − z 1 y 2 ) ċ e x − (x 1 z 2 − z 1 x 2 ) ċ e y + (x 1 y 2 − y 1 x 2 ) ċ e z

Matrizen- und Determinantenschreibweise I x2 L r 1 r 2 = (x 1 y 1 z 1 ) J y 2 M K z2 N = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

333 e x e y e z 333 3 3 r 1 r 2 = 3333 x 1 y 1 z 1 3333 333 3 33 x 2 y 2 z 2 3333 = (y 1 z 2 − z 1 y 2 ) e x − (x 1 z 2 − z 1 x 2 ) e y + (x 1 y 2 − y 1 x 2 ) e z

=0

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Beispiele Arbeit W = Fs (konstante Kraft F) W = F 8 s cos(F , s) F = Fx e x + F y e y + Fz e z s = sx e x + s y e y + sz e z

Drehmoment M = r F M = r ċ F ċ sin(r, F) da r sin(r, F) = d M = Fd

I sx L Fs = -F x F y F z . J s y M K sz N

333 e x e y e z 333 3 3 M = 3333 r x r y r z 3333 333 3 F F F 33 x y z 3333 M = -r y F z − r z F y . e x

= Fx s x + F y s y + Fz s z

− (r x F z − r z F x ) e y + -r x F y − r y F x . e z r = (1, −1, 3) m F = (2, 3, −1) N

F = (3, −2, 4) N s = (1, 2, −3) m I 1L W = (3 − 2 4) N J 2 M m K −3 N

M =

= 3 N m − 4 N m − 12 N m W = −13 N m

ex e y ez 1 −1 3 m 2 3 −1 N

M = (1 Nm − 9 Nm)e x − (−1 N m − 6 N m)e y +(3 N m + 2 N m)e z M = −8e x N m + 7e y N m +5e z N m M = (−8, 7, 5) N m

A.10 Funktionen Übersicht A-. Übersicht über Funktionen. lineare Funktion y = a 1 x + a 0 : Geradengleichung a 0 Achsenabschnitt (y-Achse) a 1 Steigung; m = tan α a 1  0: positive Steigung a 1 < 0: negative Steigung





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). quadratische Funktion y = a2 x 2 + a1 x + a0 : quadratische Parabel a 2  0: nach oben offen (Achse parallel zur y-Achse) a 2 < 0: nach unten offen a 2  < 1: Parabel flach; a 2   1: Parabel steil; a 2  = 1: Normalparabel a2 a1 ; − 1 + a0 ! 2a 2 4a 2 y = x 2 + px + q: Normalform (a 2 = 1)

Scheitel S −

S −

p p 2 ; − U  − qV! 2 2 Funktion . Grades

y = a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0

Sonderfall: kubische Normalparabel y = x3 y = −x 3

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). gerade Potenzfunktionen mit positivem Exponenten y = x 2n (n  N) (nach oben geöffnet) y = −x 2n (n  N) (nach unten geöffnet)

gerade Potenzfunktionen mit negativem Exponenten y = x −2n (n  N) (. und . Quadrant) y = −x −2n (n  N) (. und . Quadrant)

ungerade Potenzfunktionen mit positivem Exponenten y = x 2n+1 (n  N) (. und . Quadrant) y = −x 2n+1 (n  N) (. und . Quadrant)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). ungerade Potenzfunktionen mit negativem Exponenten y = x −(2n+1) (n  N) (. und . Quadrant; symmetrisch zu ) y = −x −(2n+1) (n  N) (. und . Quadrant; symmetrisch zu )

Sonderfall: gleichseitige Hyperbel 1 y = = x −1 x

ungerade Wurzelfunktionen  y = 2n−1 x für x 0  2n−1 y=− −x für x < 0

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). gerade Wurzelfunktionen y=



2n

x

oder

 y = − 2n x

Exponentialfunktionen für a  1

y = ax (für a  0: alle Kurven durch P(,))

für 0 < a < 1





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Logarithmusfunktion y = loga (x) (für x  0 ; a  0 ; a  1: alle Kurven durch P(1, 0))

trigonometrische Funktionen y = sin x y = cos x

y = tan x y = cot x

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Arcusfunktionen

Zusammenhänge

Zusammenhang mit Logarithmus

arcsin(x) =

x π − arccos(x) = arctan  ! 2 1 − x2

arcsin(x) = −j ln 9xj +

arccos(x) =

π x ! − arcsin(x) = arccot  2 1 − x2

arccos(x) = −j ln 9x +

arctan(x) =

π x − arccot(x) = arcsin  ! 2 1 + x2

arctan(x) =

arccot(x) =

π x ! − arctan(x) = arccos  2 1 + x2

arccot(x) = −





1 − x2:

x 2 − 1:

1 1 + jx ln ! 2j 1 − jx 1 jx + 1 ln ! 2j jx − 1

Symmetrien arcsin(−x) = − arcsin(x) ; arccos(−x) = π − arccos(x) ; arctan(−x) = − arctan(x) ; arccot(−x) = π − arccot(x) Hyperbelfunktionen Umwandlungen sinh(x)  cosh(x) = e zx cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 ex − e−x sinh(x) = x cosh(x) e + e−x ex + e−x 1 = x coth(x) = tanh(x) e − e−x 1 1 − tanh 2 (x) = cosh2 (x)

tanh(x) =

y = sinh(x) y = cosh(x)

coth2 (x) − 1 =

sinh(0) = 0 cosh(0) = 1 tanh 0 = 0

coth(0) = 0

1 sinh2 (x)

y = tanh(x) y = coth(x)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Areafunktionen

Übersicht A-. Zusammenhänge bei Hyperbelfunktionen. Hyperbelfunktionen ex − e−x ; 2 ex − e−x tanh(x) = x ; e + e−x sinh(x) =

ex + e−x 2 ex + e−x coth(x) = x e − e−x

cosh(x) =

Symmetrien sinh(−x) = − sinh(x) ; cosh(−x) = cosh(x) tanh(−x) = − tanh(x) ; coth(−x) = − coth(x) Zusammenhänge sinh(x) − cosh(x) = − e−x

sinh(x) + cosh(x) = ex ; cosh (x) − sinh (x) = 1 2

2

tanh(x) =

sinh(x) ; cosh(x)

1 coth(x) = ; tanh(x) 1 − tanh 2 (x) =

coth(x) =

cosh(x) sinh(x)

x 1 + tanh   2 e = x 1 − tanh   2 x

1 cosh2 (x)

;

coth2 (x) − 1 =

1 sinh2 (x)

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Umrechnungen Funktion Funktion

sinh(x) −

sinh(x) 2 cosh(x)

cosh(x)

tanh(x)

2  cosh2 (x) − 1

2

−

2

sinh2 (x) + 1 2

tanh(x)

2 2

coth(x)

sinh(x) sinh (x) + 1 sinh2 (x) + 1 sinh(x)

tanh(x) 2

1 − tanh (x) 1

2

cosh2 (x) − 1

cosh(x) cosh2 (x) − 1

1 tanh(x)

−

(x 1)

x < 1 x  1

Symmetrien arsinh(−x) = −arsinh(x) artanh(−x) = −artanh(x) arcoth(−x) = −arcoth(x)

coth(x) 2 coth 2 (x) − 1 1 coth(x)

Beziehungen zum Logarithmus

arsinh(−x) = −arsinh(x) 1+x 1  artanh(x) = ln  2 1−x x +1 1  arcoth(x) = ln  2 x −1

1 2 2 coth (x) − 1

−

Übersicht A-. Zusammenhänge bei Areafunktionen. arsinh(−x) = −arsinh(x)  arcosh(x) = ln 9x  x 2 − 1:

2

1 − tanh (x)

cosh(x)

2

coth(x)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Umrechnungen arsinh(x) arsinh(x) arcosh(x) xW1

arcosh(x)

artanh(x)

−

 arcosh 9 x 2 + 1:

 arsinh 9 x 2 − 1:

−

x ! x2 + 1  I x2 − 1 L artanh K x N

artanh(x) x < 1

arsinh 

arcoth(x) x  1

arsinh 

x 1 − x2 1 x2 − 1

! arcosh  ! arcosh 

1 1 − x2 x x2 − 1

artanh 

!

−

1 ! artanh   x

arcoth(x)  I x2 + 1 L arcoth K N x arcoth 

x x2 − 1

!

1 arcoth   x −

Die oberen Vorzeichen gelten für x  0, die unteren für x < 0. Summen und Differenzen "  arsinhx  arsinhy = arsinh 9x 1 + y 2  y 1 + x 2 : " arcoshx  arcoshy = arcosh 9x y  (x 2 − 1) (y 2 − 1): artanhx  artanhy = artanh arcothx  arcothy = arcoth

xy 1  xy

1  xy xy

Übersicht A-. Ebene Kurven. Kreisevolvente Abwicklung eines gespannten Fadens von einem gegebenen Kreis (Radius a) x = a(cos t + t sin t) y = a(sin t − t cos t) Polarkoordinaten: a a r = =  cos α 1 + t2 tan t − t φ = tan α − α = 1 + t ċ tan t a Kreisradius t Wälzwinkel

A. Funktionen



Übersicht A-. (Fortsetzung). Zykloide (Radkurve) gewöhnliche Zykloide

Punkt eines Kreises mit Radius a, der auf einer Geraden abrollt (ohne zu gleiten) x = a(t − sin t) ; y = a(1 − cos t) " a−y  − y(2a − y) (Periode 2πa) x = a arccos  a X = 8a sin2 (t 4) OP voller Zykloidenbogen: l = 8a Fläche unter Zykloidenbogen: A = 3πa 2

verlängerte Zykloide (Trochoide)

erzeugender Punkt liegt im Abstand c vom Mittelpunkt entfernt (c  a) x = at − c sin t y = a − c cos t

verkürzte Zykloide (Trochoide)

erzeugender Punkt liegt im Abstand c innerhalb des Rollkreises (c < a) x = at − c sin t y = a − c cos t

Epizykloide Epizykloide

a b t φ

Radius des festen Kreises Radius des rollenden Kreises Wälzwinkel Drehwinkel

Kreis mit Radius b rollt auf der Außenseite eines Kreises b a+b x = (a + b) cos t! − b cos t! a a b a+b y = (a + b) sin t! − b sin t! a a oder a+b φ! x = (a + b) cos φ − b cos a a+b φ! y = (a + b) sin φ − b sin a 8(a + b) Bogenlänge l 1 = m voller Bogen l = 8(a + b) (a b ganzzahlig) Fläche unter vollem Bogen A=

πb 2 (3a + 2b) a



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Epizykloide Kardioide (Herzkurve)

a =b x = a(2 cos t − cos(2t)) y = a(2 sin t − sin(2t)) 2

-x 2 + y 2 − a 2 . = 4a 2 -(x − a)2 + y 2 . r = 2a(1 − cos φ) (Pol bei (x; y) = (a; 0))

Hypozykloide normale Hypozykloide

Punkt rollt auf der Innenseite eines Kreises b a−b t! + b cos t! a a b a−b y = (a − b) sin t! − b sin t! a a

x = (a − b) cos

a b t

Radius des festen Kreises Radius des rollenden Kreises Wälzwinkel; φ Drehwinkel

Astroide (Sternlinie)

oder

a−b φ! b a−b φ! y = (a − b) sin φ − b sin b 1 b = a 4 1 x = a cos3  t 4 x = (a − b) cos φ + b cos

1 y = a sin3  t 4 oder x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 a für b = eine Geradführung 2 (Umwandlung einer Drehbewegung in eine Hinund Herbewegung) Länge L des Zweiges L = 24a

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Spiralen logarithmische Spirale

r = α ekφ

(k  0)

schneidet alle Ursprungsgeraden unter dem gleichen Winkel α cot α = k r2 − r1 Länge des Bogens: P1 P2 = cos α

Archimedi’sche Spirale

Punkt bewegt sich auf einem Leitstrahl mit konstanter Geschwindigkeit; der Leitstrahl dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Pol. r = aφ

(φ = φ 2 − φ 1 )

Länge des Bogens a " P1 P2 = 9φ φ 2 + 1 + arsinh φ: 2 Fläche des Sektors P1 OP2 a2 -φ 32 − φ 31 . A= 6 Kettenlinie an zwei Punkten aufgehängte Kette (Seil) a x y = - ex a + e−x a . = a cosh   2 a Am tiefsten Punkt Näherungsformel 1 2 (Parabel): y = x +a 2a x Länge des Bogens: l = a sinh   a Neil’sche Parabel (semikubische Parabel) y 3 = ax 2





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Schleppkurve (Traktrix) " a ! 1 a2 − y2 y Ein Fadenende wird längs einer Geraden bewegt. Der Massepunkt am anderen Fadenende verläuft auf der Schleppkurve. x = a arcosh

Zissoide OM = PQ y 2 (a − x) = x 3 oder r = a sin φ tan φ

Strophoide M1 P = PM2 = OP (a − x)y 2 = (a + x)x 2 oder −a cos 2φ r= cos φ

Cartesisches Blatt x 3 + y 3 = 3ax y oder 3a sin φ cos φ r= sin3 φ + cos3 φ

A. Funktionen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Konchoide des Nikomedes (x − a)2 -x 2 + y 2 . = b 2 x 2 oder r=

a b cos φ

Cassini’sche Kurven F1 P ċ F2 P = a 2 . 2

-x 2 + y 2 . − 2e 2 -x 2 − y 2 . = a 4 − e 4 (F1 , F2 (e; 0) oder F1 F2 = 2e) " r 2 = e 2 cos(φ2)  e 4 cos2 (φ2) + a 4 − e 4

a 2 2e 2

a 2 < 2e 2 a2  e2

a2 < e2

a2 = e2 Lemniskate 2 -x 2 + y 2 . = 2a 2 -x 2 − y 2 . F1 P ċ F2 P = r=a

F1 F 2 ! 2

" 2 cos(2φ)

2





A Mathematik

A.11 Algebraische Gleichungen Übersicht A-. Arten algebraischer Gleichungen. Übersicht A-. (Fortsetzung). Gleichung . Grades Rückführung auf quadratische Gleichung

lineare Gleichung (Gleichung . Grades) a1 x + a0 = 0

(a 1  0) a0 Lösung: x = − a1 quadratische Gleichung (Gleichung . Grades) a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (a 2  0) a1 a0 x2 + 2 x + = x 2 + px + q = 0 a a2 Diskriminante D = a 12 − 4a 0 a 2 = Fallunterscheidungen D  0

x 1 2 =

(reell)

D = 0

(zusammenfallend) D < 0

(komplex)

x 1 2

−a 1 

2

p2 −q 4 a 12 − 4a 0 a 2

2a 2 # p p2 =−  −q 2 4 −a 1 x1 = x2 = 2a 2 2 −a 1  j 4a 0 a 2 − a 12 = 2a 2 $ 2 p % &;q − p ; = −  j% 2 4

Beziehungen zwischen x 1 und x 2 (Vieta’sche Wurzelsätze) x 1 + x 2 = −p x1 ċ x2 = q Kubische Gleichung Rückführung auf quadratische Gleichung symmetrische Gleichung . Grades a3 x 3 + a2 x 2 + a2 x + a3 = 0 Lösung:

x 1 = −1 a 3 x 2 + (a 2 − a 3 ) x + a 3 = 0 (quadratische Gleichung)

symmetrische Gleichung . Grades a4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a3 x + a4 = 0 1 1 a 4 x 2 + 2  + a 3 x +  + a 2 = 0 x x 1 1 für u = x + und u − 2 = x 2 + 2 : x x a 4 u 2 + a 3 u + (a 2 − 2a 4 ) = 0 (quadratische Gleichung) biquadratische Gleichung a4 x 4 + a2 x 2 + a0 = 0 u = x2:

für

a4 u + a2 u + a0 = 0 2

(quadratische Gleichung)

kubische Gleichung (Gleichung . Grades) a3 x + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0 a2 Substitution: x = u − 3a 3 u 3 + pu + q = 0 p 3 q 2 Diskriminante: D =   +   2 3 Fallunterscheidungen 3

D0

u1 = w + z w+z w −z u 2 3 = − 3 j 2 2 $ # % q q 2 p 3 3 % & w = − −   +  2 2 3 $ # % q q 2 p 3 3 % & z = − +   +  2 2 3 Y q D=0 u1 = 2 3 − 2 Y q 3 u 2 3 = − − 2

A. Algebraische Gleichungen

Übersicht A-. (Fortsetzung).

Übersicht A-. (Fortsetzung).

#

D<0

φ p cos   3 3 # φ π p cos  −  u 2 = −2 3 3 3 # φ π p cos  +  u 3 = −2 3 $3 3 I I % p 3 LL q & Jcos φ = −  Z J% ! MM 2 3 NN K K

Gleichung n-ten Grades

u1 = 2

Gleichung n-ten Grades a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + . . . + a 0 = 0 x n + b n−1 x n−1 + b n−2 x n−2 + . . . + b 0 = 0 Produktdarstellung

x 1 , x 2 . . . x n : Wurzeln der Gleichung (Nullstellen) Wurzelsatz von Vieta: x1 + x2 + x3 + . . . + x n

x n + b n−1 x n−1 + b n−2 x n−2 + . . . + b 0 = (x − x 1 ) (x − x 2 ) . . . (x − x n ) mit komplexen x 1 , x 2 , . . . x n (im Allgemeinen)

Übersicht A-. Numerische Nullstellenbestimmung. lineare Interpolation (Regula falsi) Kurve wird durch Sehne durch P1 und P2 ersetzt. Start: (x 2 − x 1 ) f (x 1 ) x3 = x1 − f (x 2 ) − f (x 1 ) Iteration: (x n+1 − x n ) f (x n ) x n+2 = x n − f (x n+1 ) − f (x n ) führt (bei z. B. streng monotonem Verlauf durch die Nullstelle) zur Konvergenz, x 1 \ x 0 Tangentennäherung (Newton’sches Verfahren) Kurve wird durch Tangente durch P1 ersetzt. Start: f (x 1 ) x2 = x1 −  ( f  (x 1 )  0) f (x 1 ) Iteration: f (x n ) x n+1 = x n −  f (x n ) f (x) f  (x) ;<1 führt (unter der Bedingung ; ( f  (x))2 in der Umgebung der Nullstelle x 0 ) zur Konvergenz, x n \ x 0

= −b n−1

x1 x2 + x1 x3 + . . . + x1 x n > ? ? ? ? + x2 x3 + . . . + x2 x n ? @ = b n−2 ... ? ? ? ? + x n−1 x n ? A x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + x1 x2 x n > ? ? ? ? x1 x3 x4 + . . . + x1 x3 x n ? @ = −b n−3 ... ? ? ? ? + x n−2 x n−1 x n ? A ... x1 ċ x2 ċ x3 ċ . . . ċ x n = (−1)n b 0





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Iterationsverfahren Die Gleichung f (x) = 0 wird umgeformt zu φ(x) = x, wobei φ so zu wählen ist, dass φ (x) < 1 ist in der Nähe einer zu bestimmenden Nullstelle x 0 (deren ungefähre Lage durch Schätzung ermittelt wird). Ist dann x 1 ein Näherungswert von φ(x) = x bei x 0 , so führt die Iterationsfolge x n+1 = φ(x n ) ,

n  N,

x1

Startwert

zur Lösung, x n \ x 0 . graphische Lösung Beispiel: Die Gleichung x 3 − 3x − 1 = 0 ist gleichwertig zu x 3 = 3x + 1. Man zeichnet y 1 (x) = x 3 und y 2 (x) = 3x + 1 und bestimmt die Schnittpunkte, was graphisch die Näherungslösungen x 1  − 1,5 ; ergibt.

x 2  − 0,35 ;

x 3  1,9

A. Algebraische Gleichungen



Übersicht A-. Lineare Gleichungssysteme. Eigenwerte, Eigenvektoren allgemein

Beispiel

Sei A eine (n, n)-Matrix. Ein Vektor x  R n , x  0, heißt Eigenvektor zu A, wenn es ein λ  R gibt mit Ax = λx, also

a 11 x 1 +  + a 1n x n = λx 1 ^ ^ ^ a n1 x 1 +  + a nn x n = λx n

Man nennt ein solches λ auch Eigenwert (mit Eigenvektor x) a 1n L I a 11 − λ a 12 x J a 21 a 22 − λ a 2n MI ^1 L MJ M = 0 (A − λE)(x) = J J ^ ^ ^ MK N x K a n1 a n2 a nn − λN n

A=

12 1−λ 2  (A − λE) =   43 4 3−λ

p(λ) = (1 − λ)(3 − λ) − 8 = λ 2 − 4λ − 5  λ 1,2 = 2  4 + 5 = 5 oder − 1 (A − λ 1 E) (x) = _

−4x 1 + 2x 2 = 0 `  x = α(1, 2), 4x 1 − 2x 2 = 0 αR

x = (1, 2) (und alle Vielfachen hiervon) ist Eigenvektor zu λ 1 = 5. (A − λ 2 E) (x) = _

2x 1 + 2x 2 = 0 `  x = α(1, −1), 4x 1 + 4x 2 = 0 αR

x = (1, −1) (und alle Vielfachen hiervon) ist EigenFür die Existenz und Bestimmung eines solchen Ei- vektor zu λ 2 = −1. genwertes λ ist dann hinreichend und notwendig, dass p(λ) = det(A − λE) = 0 ist. p(λ) ist ein Polynom n-ten Grades in λ (charakteristisches Polynom von A). Ist λ Nullstelle von p(λ), so findet man alle Eigenvektoren zu λ, indem man das homogene Gleichungssystem (A − λE)(x) = 0 löst. allgemein

Beispiel Darstellung des Gleichungssystems

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2 ^ ^ ^ ^ a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n = b n

x 1 − x 2 + 2x 3 = 7 3x 1 − 3x 2 + 5x 3 = 17 3x 1 − 2x 2 − x 3 = 12



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Matrizenform

I a 11 a 12  a 1n L I x 1 L I b 1 L J a 21 a 22  a 2n M J x 2 M J b 2 M J MJ M = J M J ^ ^ ^ MJ ^ M J ^ M K a n1 a n2  a nn N K x n N K b n N OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PQ P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R OPP P Q P P R OPP P Q P P R A

x

I 1 −1 2 L I x 1 L I 7 L J 3 −3 5 M J x 2 M = J 17 M K 3 −2 −1 N K x 3 N K 12 N

b

Koeffizientenmatrix A−1 Ax = A−1 b x = A−1 b −1 (A inverse Matrix; existiert nur, wenn det A  0)

Lösung:

Lösung nach Cramer’scher Regel Bedingung: Determinante der Koeffizientenmatrix  0: det A  0

333 1 −1 2 333 3 3 det A = 3333 3 −3 5 3333 = 1 ċ (3 + 10) + 1 ċ (−3 − 15) 333 3 33 3 −2 −1 3333 +2 ċ (−6 + 9) = 1

. Berechnung der Determinanten 33 a 11 a 12  a 1n 33 333 3 3 a a  a 2n 3333 33 det A = 33333 21 22 ^ ^ 3333 3333 ^ 3 a  a a nn 333 33 n1 n2 . Determinanten für die Variablen



Dx1

Dx2

Dxn

3 333 333 b 1 a 12  a 1n 33333 333 b 2 a 22  a 2n 333 = 333 3 ^ ^ ^ 3333 33 ^ 333 b a n2  a nn 3333 n 33 

 3 333 3 33 a 11 b 1  a 1n 3333 333 a 333 b  a 21 2 2n = 3333 3333 ^ ^ ^ 333 33 333 a n1 b n  a nn 3333 3 3   333 33 333 a 11 a 12  b 1 3333 3 a a  b 2 33 33 = 33333 21 22 ^ ^ 3333 333 ^ 333 a n1 a n2  b n 3333 3 3 

.

Dx1

Dx2

Dx3

3 333  2 3333 333 7 −1 3 3 3 5 33 = 18 = 33 17 −3 333 12 −2 − 1 33333 333 333   333 3 7 2 3333 333 1 3 3 3 5 33 = 19 = 33 3 17 333 3 12 −1 33333 333  333  3 33 333 1 −1 7 3333 3 33 = 333 3 −3 17 3333 = 4 33 3 −2 12 33 333 333  3 3

A. Algebraische Gleichungen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Lösung nach Cramer’scher Regel . Lösungen Dx1 ; x1 = det A Dxn xn = det A

. x2 =

Dx2  det A

18 = 18 1 19 x2 = = 19 1 4 x3 = = 4 1 x1 =

Lösung nach Gauß’schem Eliminationsverfahren () a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 6 −

a 21 a 31 6 −  a 11 a 11

+(2)

() a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2  ^

^

^

+(3)

^



(n) a n1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n = b n



()

a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2n x n = b 2 +

a 33 x 3

+

a n3 x 3

+...+

a 3n x n

+...+

a nn x n

+

() 3x 1 − 3x 2 + 5x 3 = 17  +

() 3x 1 − 2x 2 − x 3 = 12 

=

b 3

=

b n

333 a 33 333 − 32 33 a 22 3 

(a) −3x 1 + 3x 2 − 6x 3 = −21 ()

3x 1 − 3x 2 + 5x 3 = 17 0

0

− x 3 = −4  x3 = 4

^ a n2 x 2

= 7 (−3) (−3)

+(n)

a

a 32 x 2

() x 1 − x 2 + 2x 3

a a  33 x 3

(a) −3x 1 + 3x 2 − 6x 3 = −21 ()

+... +

a  3n x n

=

b 3

^ (n−1)

a nn

3x 1 − 3x 2 + x 3 = 12 0

x 2 − 7x 3 = −9 

(n−1)

xn = bn

stufenweise Reduzierung der Gleichung durch Elimination von x 1 , x 2 . . . x n−1 .

4 x 1 − 19 + 8 = 7  x 1 = 18

 x 2 = 19

(in ()):





A Mathematik

A.12 Matrizenrechnung und Determinanten Übersicht A-. Übersicht Matrizen. allgemein

Beispiel Definition ,-Matrix:  Zeilen,  Spalten

Matrix: rechteckige Anordnung von Zahlen in m Zeilen und n Spalten. I a 11 J a 21 J ^ J A=J J a i1 J J ^ K a m1 aik

a 12 a 22 ^ a i2 ^ a m2

I2 3 5 6L A = J 4 9 12 1 M K 3 2 −4 7 N

 a 1k  a 1n L  a 2k  a 2n M ^ ^ M M M  aik  ain M M  Zeile i ^ ^ M  a mk  a mn N  Spalte k

Koeffizienten der Matrix spezielle Matrizen

quadratische Matrix: Anzahl m Zeilen = Anzahl n Spalten a 11 , a 22 , a 33 , . . .a nn

Hauptdiagonale

a 1n , a 2n−1 , a 3n−2 , . . .

Nebendiagonale

I a 11 a 12  a 1n L J a a  a 2n M A = J 21 22 M J ^ ^ ^ M K a n1 a n2  a nn N

--Matrix I 2 3 5L M J M A=J J 4 9 12 M M J K 3 2 7N Hauptdiagonale a 11 = 2 ; a 22 = 9 ;

a 33 = 7

I1 0 0L E = J0 1 0M K0 0 1N

Einheitsmatrix E: Hauptdiagonale:  andere Elemente:  neutrales Element der Matrix-Multiplikation EċA= A transponierte Matrix: Vertauschen von Zeilen und Spalten B = AT (b ki = a i k )

1im;

I1 2 3 A = J5 6 7 K 9 10 11

4L 8M 12 N

1kn

quadratische Matrix: AT entsteht durch Spiegelung der Elemente an der Hauptdiagonalen symmetrische, quadratische Matrix: A = AT a i k = a ki 1  i , k  n

I 1 −3 5 L AT = J −3 2 8 M = A K 5 8 3N

I1 J2 AT = J J3 K4

5 6 7 8

9L 10 M M 11 M 12 N

A. Matrizenrechnung und Determinanten

Übersicht A-. (Fortsetzung). schiefsymmetrische, quadratische Matrix: Elemente der Hauptdiagonale sind null; gespiegelte haben umgekehrtes Vorzeichen A = −AT

a i k = −a ki

I 0 −3 5 L A= J 3 0 8M K −5 −8 0 N

a kk = 0

konjugiert-komplexe Matrix: A¯ = (a¯ i k )

A =

1 + 2j 4 − 3j  2+j −4

1 − 2j 4 + 3j  A¯ =  2−j −4

Eine Matrix heißt – hermitesch  A = A¯T (a i k = a¯ ki ) – schiefhermitesch  A = −A¯T (a i k = −a¯ ki ) – orthogonal  AT = A−1 – unitär  A−T = A−1

A =

1 2+j  2−j 3

A =

j 3−j  −3 − j 2j

Matrizengesetze Addition A + B = (a i k + b i k ) (Addition der entsprechenden Koeffizienten) Kommutativgesetz: A+B = B + A Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C) Multiplikation mit reeller Zahl λA = (λa i k ) = Aλ Distributivgesetz: Assoziativgesetz:

λ(A + B) = λA + λB μ(λA) = (μλ)A = μλA

I1 3 J7 4 K6 8

5L I3 2 2M+J2 0 9N K8 6

1L I 4 5 6L 5M = J 9 4 7M 3 N K 14 14 12 N

I1 3 5L I 3 9 15 L J 21 12 6 M = 3 J 7 4 2 M K6 8 9N K 18 24 27 N

Differenzieren und Integrieren Koeffizienten werden einzeln differenziert bzw. integriert d d A(t) =  a i k (t) dt dt b

b

' A(t) dt = ' a i k (t) dt! a

a

(a i k differenzierbar bzw. integrierbar)

d 3t  dt 2 b 3 ' 0 a

3 8t 4t 2 =  0 5 5t + 1 8t  dt = 5

3(b − a) 0

4 -b 2 − a 2 . ! 5(b − a)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Matrizenprodukt Falk’sches Schema A(m, n)-Matrix B(n, p)-Matrix AB = C(m, p)-Matrix n

cik = b ai l bik i=1

(1  i  m , 1  k  p) Koeffizienten c i k der Matrix C = AB stehen im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile der Matrix A und der k-ten Spalte der Matrix B Multiplikation von drei Matrizen A(m, n); B(n, p); C(p, q) (AB)C = A(BC) = ABC Beachte: AB  BA (auch für quadratische Matrizen gilt im Allgemeinen nicht AB = BA)

Übersicht A-. Matrix-Invertierung. Sei A eine quadratische (n, n)-Matrix. Wann gibt es eine (n, n)-Matrix B mit BA = E = AB? Antwort: Genau dann, wenn die Determinante von A (Bezeichnung det A oder A) nicht null ist. Diese Bedingung hat zahlreiche gleichwertige Kriterien: Theorem: Für eine (n, n)-Matrix A sind äquivalent () det A  0 () die Zeilen von A sind linear unabhängig () die Spalten von A sind linear unabhängig () das homogene Gleichungssystem B a 11 x 1 + a 12 x 2 +  + a 1n x n = 0 E C F F ^ ^ Ax = 0, also C C ^ F C a n1 x 1 + a n2 x 2 +  + a nn x n = 0 F D G hat nur die Lösung x = (0, . . . , 0)

() Für jedes b  R n ist das inhomogene lineare Gleichungssystem a x +  + a 1n x n = b 1 ` Ax = b, also _ 11 1 a n1 x 1 +  + a nn x n = b n eindeutig lösbar. Ist eine – und damit jede andere dieser Bedingungen – erfüllt, so gibt es eine solche Matrix B − man schreibt dann B = A−1 , Ax = b  x = A−1 b Man erhält mit A−1 z. B. a) mittels Gauß’schem Alogrithmus b) mittels der Formel 1 U, A−1 = det A wobei U die „Adjunkten-Matrix“ ist (Matrix der Unterdeterminanten).

A. Matrizenrechnung und Determinanten



Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Bildung der Inversen (Fall n = 3) I 2 1 −2 L A= J3 2 2M K5 4 3N

I a 11 a 12 a 13 L A = J a 21 a 22 a 23 M K a 31 a 32 a 33 N a 22 a 23 a a 6 − a 12 6 21 23 6 a 32 a 33 a 31 a 33 a a +a 13 6 21 22 6 a 31 a 32

det A = a 11 6

2 2 3 2 3 2 6 − 16 6 − 26 6 4 3 5 3 5 4 = 2 ċ (−2) − 1 ċ (−1) − 2 ċ 2 = −7

det A = 2 6

(Entwicklung nach der . Zeile) α β 6 = αδ − γβ mit 6 γ δ Bestimmungen der Matrix U der Unterdeterminanten I+ 6 a 22 J a 32 J J J a U = J− 6 12 J a 32 J J J a 12 K+ 6 a 22

a a a a a 23 6 − 6 21 23 6 + 6 21 22 6 L a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 M M M M a a a a a 13 6 + 6 11 13 6 − 6 11 12 6 M a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 M M M M a 13 a a a a 6 − 6 11 13 6 + 6 11 12 6 N a 23 a 21 a 23 a 21 a 22

I+ 6 2 2 6 − 6 3 2 6 + 6 3 5 3 5 J 4 3 J J J 1 −2 2 −2 2 U = J− 6 J 4 36+65 36−65 J J J 1 −2 2 −2 2 K+ 6 2 2 6 − 6 3 2 6 + 6 3

2 L 6 4 M M M 1 M 6M 4 M M M 1 M 6N 2

1 2L I −2 = J −11 16 −3 M K 6 −10 1 N Bildung der Transponierten U T I U 11 U 12cU 13 L U = J U 21 U 22 U 23 M ; K U 31cU 32 U 33 N

I U 11 U 21 U 31 L U T = J U 12 U 22 U 32 M K U 13 U 23 U 33 N

6L I −2 −11 U T = J 1 16 −10 M K 2 −3 1N

U T Vertauschen von Spalten und Zeilen Inverse berechnen

A−1 =

1 UT det A

A−1

11 7 16 − 7 3 − 7

6 − L 7M M 10 M M M 7 M M 1M − N 7

2 −2 L I J 7 MJ MJ 2 J 2M MJ− MJ 7 MJ J 2 3NK− 7

11 7 16 − 7 3 − 7

I 2 J 7 J J 1 =J J− J 7 J J 2 K− 7

Kontrolle

A ċ A−1 = E

I2 1 J J J3 2 J J J K5 4

6 − L I1 0 7M M J J 10 M M = J0 1 M J J 7 M M J 1M K 0 0 − N 7

0L M M 0M M M M 1N



A Mathematik

Übersicht A-. Determinantenrechnung. Sei A eine (n, n)-Matrix (n n-Matrix) I a 11  a 1n L ^ M A= J^ K a n1  a nn N dann ist für ein beliebiges j  1, . . . , n n

det A = b (−1)k+ j a jk det A jk k=1

wobei A jk diejenige (n − 1, n − 1)-Matrix ist, die dadurch entsteht, dass in der Matrix A die j-te Zeile und die k-te Spalte herausgenommen werden (solche Matrizen heißen „Adjunkten“, und die n nMatrix, welche an der Stelle ( j, k) die Determinante von A jk stehen hat, heißt Adjunkten-Matrix). Diese Formel heißt Laplace’sche Entwicklungsformel – und zwar Entwicklung nach der j-ten Zeile. Die Berechnung der Determinanten der Matrizen A j1 , . . . , A jn wird nun ebenso durchgeführt – also zurückgeführt auf Determinanten von (n − 2), (n − 2)-Matrizen usw. bis man schließlich auf (2, 2) – oder auch (3, 3)-Matrizen stößt, bei denen die Determinantenberechnung auf einem einfachen Schema beruht.

I1 J4 A= J J0 K4

2 1 2 8

I1 2 A23 = J 0 2 K4 8

3 2 3 1

0L 3M M 1M 6N

0L 1M 6N

Entwicklung nach der . Zeile: 333 4 2 3333 1 2 3 3333 3 det A = 1 ċ 33333 2 3 1 33333 − 2 ċ 33333 0 3 333 8 1 6 333 333 4 1 3 3 3 333 4 1 3 333 333 4 3 3 3 3 3 +3 ċ 3333 0 2 1 3333 − 0 ċ 33333 0 333 4 333 4 8 6 333 3 3 3

= 1 ċ (18 + 16 + 6 − 1 − 24 − 72) −2 ċ (72 + 8 + 0 − 4 − 0 − 36) +3 ċ (48 + 4 + 0 − 32 − 0 − 24) = −57 − 80 − 12 = −149

Wert einer zweireihigen Determinante det A = ;

a 11 a 12  ; = a 11 a 22 − a 21 a 12 \\ a 21  a 22

det A = 6

2 5

3 6 = 12 − 15 = −3 6

Wert einer dreireihigen Determinante (Sarrus)

Die ersten beiden Spalten werden nochmals hingeschrieben. Summe der Produkte parallel der Hauptdiagonalen (positiv) und parallel der Nebendiagonalen (negativ) det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 − a 31 a 22 a 13 −a 32 a 23 a 11 − a 33 a 21 a 12

3 3333 1 3333 3 6 3333 1 2 3333 2 3 3333 3 8 1 3333

= 3+2ċ5ċ6+3ċ4ċ2 −6 ċ 3 ċ 3 − 2 ċ 5 ċ 1 − 1 ċ 4 ċ 2 = 3 + 60 + 24 − 54 − 10 − 8 = 15

A. Matrizenrechnung und Determinanten



Übersicht A-. (Fortsetzung). Satz (Determinantenregeln) allgemein

Beispiel

() det A = det A () Vertauscht man in A zwei Zeilen oder zwei Spalten, so ändert sich das Vorzeichen von det. Das heißt: Ist A˜ diejenige Matrix, welche aus A entsteht, indem man zwei Zeilen (oder Spalten) vertauscht, so gilt det A˜ = − det A

I 2 1 0L I 3 4 1L det J3 4 1M = 1 = − det J2 1 0M K 0 2 1N K 0 2 1N

() Addiert man zu einer Zeile von A (bzw. Spalte von A) beliebige Vielfache anderer Zeilen von A (bzw. Spalten von A), so ändert sich die Determinante nicht.

I 1 2 3L A = J 0 2 1M , K 3 1 4N

T

() det A = 0  Zeilen von A (bzw. Spalten von A) sind linear abhängig, d. h. es gibt eine Zeile (bzw. Spalte) von A, welche sich als Summe von Vielfachen anderer Zeilen (bzw. Spalten) darstellen lässt. () Ist A eine n n-Matrix, so ist det(λA) = λ n det A I λa 11 . . . λa 1n L ^ M = λ n det A det J ^ Kλa n1 . . . λa n1 N Wird aber nur eine einzige Zeile (bzw. Spalte) mit einem Faktor λ  C multipliziert, so erhält man λ det A, I a 11 . . . a 1n L ^ M J ^ I a 11 . . . a 1n L J M ^ M det Jλa j1 . . . λa jn M = λ det J ^ J M K a n1 . . . a n1 N J ^ ^ M K a n1 . . . a nn N

() Multiplikationssatz: Seien A und B n n-Matrizen. Dann ist das Matrixprodukt A ċ B ebenfalls eine n n-Matrix, und es gilt die wichtige Formel det(A ċ B) = det A ċ det B

I1 2 3 L A˜ = J0 2 1 M K5 7 11N

 det A = det A˜ = −5 ˜ Addieren von 2 1. Zeile + 1 2. Zeile von A A: zur . Zeile I1 2 0 J2 1 3 A=J J0 4 −1 K0 15 −6  det A = 0

A=

4L 8M M 1M 3N  2 1. Zeile − 1 2. Zeile +3 3. Zeile

23   det A = 4 − 3 = 1 12

14 21 A˜ =    det A˜ = 196 − 147 = 40 7 14 = 72 ċ det A 14 21   det A˜ = 28 − 21 = 7 = 7 ċ det A A˜ =  1 2 A=

21 ; 34

1 −1 20 B=   AB =   0 2 35

det(AB) = 10 = det A ċ det B = 5 ċ 2



A Mathematik

A.13 Differenzialrechnung Übersicht A-. Differenzen- und Differenzialquotient. Differenzenquotient: Steigung der Sekante P0 P Δy f (x) − f (x 0 ) f (x 0 + Δx) − f (x 0 ) = = Δx x − x0 Δx Δy = tan β Δx Differenzialquotient: Steigung der Tangente im Punkt P0 dy = f  (x) dx dy = f  (x) Funktion y = f (x) \ Ableitung y  = dx In der Physik wird die zeitliche Ableitung mit einem ˙ gekennzeichnet: dy = f˙(t) y = f (t); Ableitung y˙ = dt

Übersicht A-. Differenziationsregeln. Potenzregel 

y(x) = x (n  N) \ y (x) = nx y(x) = x −n (n  N) \ y  (x) = −nx −n−1 y(x) = x s (s  R) \ y  (x) = sx s−1 n

n−1

(für Exponenten s < 1 existiert die Ableitung nur in Rd0)

y(x) = 3x 2 \ y  (x) = 6x 1 4 y(x) = 4 \ y  (x) = − 5 x x  2 1 3 y(x) = x 2 = x 2 3 \ y  (x) =  3 3 x

 \ y  (x) = 2x 2−1 y(x) = x 2 Summenregel

( f + g) (x) = f  (x) + g  (x) (a f ) (x) = a f  (x) (a  R)

1 1 \ y  (x) = 5x 4 − 2 x x y(x) = 5x + 6x 7 + 2 \ y  (x) = 5 + 42x 6

y(x) = x 5 +

falls F, y differenzierbar sind Merke: Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten. Produktregel y = u y  = u   + u y = uw y  = u  w + u w + uw 

y = (x + 3) (x 2 + 4) OPP P P PQ P P P P R OPP P P P P PQP P P P P P R u   y = 1(x 2 + 4) + 2x(x + 3) = 3x 2 + 6x + 4 y = (x 2 + 2x)(x 3 + 1)(x − 5) y  = (2x +2)(x 3 +1)(x −5)+(x 2 +2x)(3x 2 )(x −5) + (x 2 + 2x)(x 3 + 1) ċ 1

A. Differenzialrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Quotientenregel x 2 − 3x 5x − 1 (5x − 1)(2x − 3) − 5(x 2 − 3x) 5x 2 − 2x + 3  y = = (5x − 1)2 (5x − 1)2

u  u  − u  y = 2

y=

y=

Kettenregel y = f (φ(x))

y = (x 2 − 3x)3

d f dφ dy = ċ dx dφ dx e e \ äußere Ableitung innere Ableitung y =

y  = 3(x 2 − 3x)2 (2x − 3)

\

Logarithmusfunktion y = ln x 1 y = x y = ln( f (x)) y =

y = ln(3x) 3 1 y = = 3x x

f  (x) f (x)

allgemeiner Logarithmus y = logc x . Umschreiben auf ln y = logc x =

ln x ln c

. Ableiten 1 y = x ln c

y = log10 (3x) 1 . y = ln(3x) ln 10

. y =

1 x ln 10

Beachten der Logarithmengesetze y = logc x m = m logc x

2 ln x y = log3 x 2 = 2 log3 x = ln 3 2 y = x ln 3

y = logc (ax) = logc a + logc x

y = log4 (3x) = log4 3 + log4 x 1 ln x y = log4 3 + ln 4 1 y = x ln 4



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Logarithmusfunktion

a y = logc   = logc a − logc x x

4x  = log5 (4x) − log5 (3x 2 + 1) 3x 2 + 1 1 1 ln(4x) − ln(3x 2 + 1) y= ln 5 ln 5 1 1 1 − ċ ċ (6x) y = x ln 5 ln 5 (3x 2 + 1) y = log5 

Exponentialfunktion 2

y = c ċ a f (x)

y = konst ċ BasisExponent OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P QPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R alte Funktion

y  = alte Funktion ċ ln Basis y  = y ċ ln a ċ f  (x) ċ Ableitung des Exponenten

y = 3 ċ 10 x +4 2 y  = 3 ċ 10 x +4 ċ ln 10 ċ 2x y = ex 

y  = ex ċ ln e ċ 1 = e x   e 1

trigonometrische Funktion y = sin x \ y  = cos x y = cos x \ y  = − sin x 1 = 1 + tan2 x y = tan x \ y  = cos2 x 1 y = cot x \ y  = − 2 = −1(1 + cot2 x) sin x

Übersicht A-. Wichtige Ableitungen.

y y y y

= sin(2x) \ y  = 2 cos(2x) = cos(2x) \ y  = −2 sin(2x) = tan(x 2 ) \ y  = 2x(1 + tan2 (x 2 )) = cot(4x) \ y  = −4(1 + cot2 (4x))

Übersicht A-. (Fortsetzung).

y

y

y

const



x



xn  x

nx n−1 1  2 x

1 x sin x

1 x2 cos x

cos x

ex

ex

− sin x 1 cos2 x 1 − 2 sin x cos x − 2 sin x sin x cos2 x

y

a

x

ln x loga x

a x ln a 1 x 1 x ln a

tan x cot x 1 sin x 1 cos x

−

A. Differenzialrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). y

y

Übersicht A-. (Fortsetzung).



y

ln(sin x)

cot x

ln(cos x)

− tan x 2 sin(2x) 2 − sin(2x)

ln(tan x) ln(cot x)

arccos x arctan x arccot x

sinh x

cosh x

arsinh x

cosh x

sinh x 1

arcosh x

tanh x coth x arcsin x



cosh2 x 1 − sinh 2 x 1  1 − x2

artanh x arcoth x

y 1 − 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2 1  x2 + 1 1  x2 − 1 1 1 − x2 1 x2 − 1

Übersicht A-. Ableitung spezieller Funktionen. allgemein

Beispiel implizite Funktionen

∂f fx dy = − ∂x = − y = ∂f dx fy ∂y 2 f x x f y2 − 2 f x y f x f y + f y y f x2 d y y  = = − dx 2 f y3 

y  = −

f (x; y) = 3x 3 + x 2 y − y 3 = 0 ∂f ∂f = f x = 9x 2 + 2x y; = f y = x 2 − 3y 2 ∂x ∂y f x x = 18x + 2y; f y y = −6y f x y = 2x = f yx Eingesetzt ergibt sich 9x 2 + 2x y y = − 2 x − 3y 2

(18x + 2y)(x 2 − 3y 2 )2 − 4x(9x 2 + 2x y)(x 2 − 3y 2 ) − 6y(9x 2 + 2x y)2 (x 2 − 3y 2 )3



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). allgemein

Beispiel Funktionen in Polarkoordinaten

r = r(φ) dr = r cot ε dφ

ε

r = 1 + 2 sin φ dr = 2 cos φ dφ 2 cos φ sin φ + r cos φ y = 2 cos2 φ − r sin φ sin 2φ + r cos φ y = 2 cos2 φ − r sin φ

Winkel zwischen P und Tangente in P

Zusammenhang mit kartesischem Koordinatensystem: x = r cos φ;

y = r sin φ dr sin φ + r cos φ dy dφ dφ y = = dr dx dφ cos φ − r sin φ dφ Funktionen in Parameterform

x = φ(t);

y

y = ψ(t)

dy ψt = dt = dx φt dt

y = ψ(t) = 1 − ln t

1 φ t = 2t; ψ t = − t

(φ t  0)

ψ tt φ t − φ tt ψ t Y = = (φ t )3 

x = φ(t) = 1 + t 2 ;

φ tt = 2; ψ tt = dy  dx ċ dt dt dx

d

1 t2

1 1 y = t =− 2 2t 2t 1 1 4 ċ 2t − 2 ċ −  2 1 t t  y = = t 3 = 4 (2t)3 (2t) 2t d dt 1 1 1 1 y  = ċ − 2  ċ = = dt 2t dx t 3 2t 2t 4 

−

A. Differenzialrechnung

Übersicht A-. Ableitungsbegriffe bei Funktionen mehrerer Veränderlicher. allgemein

Beispiel

y = f (x 1 , . . . , x n ) = f (x), x  R n Für den Fall n = 2 ∂y f (x 1 + h, x 2 . . . , x n ) − f (x 1 , . . . , x n ) y = f (x, z) = x sin(z 2 ) (x) = lim h0 ∂x 1 h ∂y ∂y = sin(z 2 ) , 2  k  n definiert analog sind ∂x k ∂x ∂y ∂y = 2xz cos(z 2 ) heißt k-te partielle Ableitung von f ∂x k ∂z Der Vektor, gebildet aus den partiellen Ableitungen, grad y = (sin(z 2 ), 2xz cos(z 2 )) heißt Gradient von f , Ist h = (3, 4) eine Richtung, so ist ∂y ∂y ∂y

= 3 sin(z 2 ) + 8xz cos(z 2 ) (x), . . . , (x)! grad f (x) = ∂x 1 ∂x n ∂h (grad f (x), h) (Skalarprodukt in R n ) = ∂y ∂y (x) +  + h n (x) h1 ∂x 1 ∂x n heißt Richtungsableitung von f im Punkt x  R n in Richtung h  R n und ist definitionsgemäß gleich f (x + th) − f (x) t ∂y Die Funktionen , 1  k  n, sind selber wieder ∂x k Funktionen der Variablen x 1 , . . . , x n . Falls diese partiell differenzierbar sind, erhält man die n nMatrix der . Ableitungen – kurz Hessematrix von f , lim

t0

2 2 I ∂ f , ..., ∂ f J ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1 ∂x n J ^ ^ H f (x) = J J J J ∂2 f ∂2 f , ..., K ∂x n ∂x 1 ∂x n ∂x n ∂2 f ∂ ∂f mit = ! f fx j x i ∂x i ∂x j ∂x i ∂x j

L M M M M M M N

Falls diese . partiellen Ableitungen alle stetig sind, ist die Hessematrix symmetrisch, d. h. ∂2 f ∂2 f = (1  i, j  n) ∂x i ∂x j ∂x j ∂x i

yx x = 0 y x z = 2z cos(z 2 ) y zx = 2z cos(z 2 ) y zz = 2x cos(z 2 ) − 4xz 2 sin(z 2 ) H f (x) =

0 2z cos(z 2 ) ! 2z cos(z 2 ) 2x cos(z 2 ) − 4xz 2 sin(z)





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). ∂y ∂y dx 1 +  + dx n heißt totales Differenzial von y und seine Bedeutung ist diese: ∂x 1 ∂x n Ist x  R n ein Arbeitspunkt (Messdatensatz) und ist h = (h 1 , . . . , h n ) eine Störung von x (was bedeutet: Bestimmung von x k möge nur in den Toleranzen [x k −h k , x k +h k ] möglich sein), so ist der mögliche Fehler der Messgröße y = y(x 1 , . . . , x) im Punkte x in „erster Näherung“ durch ∂y ∂y ∂y h1 +  + hn = f (x + h) − f (x)  d f (x)(h) = ∂x 1 ∂x n ∂h gegeben. Eine verfeinerte Darstellung der Differenzen f (x + h) − f (x) benutzt die . Ableitungen und man hat 1 f (x + h) − f (x)  d f (x)(h) + (h, H f (x)(h))  Skalarprodukt in R n 2 n ∂2 f mit (h, H f (x)(h)) = b hi h j i , j=1 ∂x i ∂x j

Der Ausdruck dy =

Übersicht A-. Hauptsätze der Differenzialrechnung. Voraussetzungen: Sei f [a, b] \ R stetig und im Innern, also in a < y < b, differenzierbar Monotonie-Satz:

f  (x)  0 in ]a, b[ f streng monoton wachsend f  (x) < 0 in ]a, b[ f streng monoton fallend schwächer: f  (x) 0( 0)  f monoton wachsend (fallend) Das Beispiel f (x) = x 3 zeigt, dass nicht gilt: [ f streng monoton wachsend  f  (x)  0 für alle x]. Dabei heißt f monoton wachsend (streng monoton wachsend)  [x 1 < x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) (bzw. f (x 1 ) < f (x 2 ))] Der Monotonie-Satz ist ein Spezialfall des Schranken-Satzes und ist zu diesem gleichwertig.

Schranken-Satz:

Gilt m < f  (x) < M für alle x ]a, b[, so ist m(x 2 − x 1 )  f (x 2 ) − f (x 1 ) < M(x 2 − x 1 ) für a  x 1 < x 2  b

Mittelwert-Satz:

Zu a  x 1 < x 2  b gibt es ein x 0 mit x 1 < x 0 < x 2 , so dass f (x 2 ) − f (x 1 ) = f  (x 0 ); geometrisch: Zu jeder Sekante gibt es eine parallele Tangente. x2 − x1 Ist f (b) = f (a), so gibt es ein x 0 mit a < x 0 < b, so dass f  (x 0 ) = 0 ist. (Dies ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes, welcher äquivalent zu ihm ist.)

Satz von Rolle:

Verallgemeinerter Ist g [a, b] \ R stetig und in a < x < b differenzierbar mit g  (x)  0 für alle x, Mittelwert-Satz: so gilt: Ist a  x 1 < x 2  b, so gibt es ein x 0 mit x 1 < x 0 < x 2 , so dass f  (x 0 ) f (x 2 ) − f (x 1 ) =  g(x 2 ) − g(x 1 ) g (x 0 ) Der verallgemeinerte MWS ist äquivalent zum MWS, welcher wiederum ein Spezialfall ist (mit y(x) = x) Anwendung:

Die Hauptsätze der Differenzialrechnung sind die Grundlage der Analysis schlechthin. Insbesondere finden sie unmittelbar Anwendung bei Kurvendiskussionen, Extremwertbestimmungen, Ungleichungen und Grenzwertbestimmungen.

A. Differenzialrechnung



Übersicht A-. Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben, Ungleichungen und Grenzwertrechnung. Kurvendiskussion Ist eine Funktion f (x) vermöge Funktionsvorschrift (Formel) gegeben, so sind gefragt: () Definitionsgebiet und gegebenenfalls Symmetrien, Nullstellen () Pole (Unstetigkeits- oder Unendlichkeitsstellen) () kritische Punkte (= f  (x) = -Stellen, waagerechte Tangenten) Extremstellen (= lokale Maximum- oder Minimumstellen) sind kritische Stellen (aber nicht umgekehrt – siehe f (x) = x 3 für x = 0!). Satz (Extremstellen-Test) f  (x 0 ) = 0 und f  hat Vorzeichenwechsel ( 1 Muster)  f hat in x 0 ein lokales <Maximum Minimum . Die Bedingung f  (x 0 )  0 bzw. f  (x 0 ) < 0 impliziert dagegen nur, dass ein lokales Minimum bzw. Maximum vorliegt, nicht umgekehrt. (Beispiel f (x) = x 4  x 0 ist Minimum, aber f  (0) = 0) () Konvexität – Konkavität: f  (x)  0(< 0) in ]a, b[ f konvex (konkav) (linksgekrümmt bzw. rechtsgekrümmt). Punkte x 0 , in denen sich die Krümmung ändert (konvex , konkav) heißen Wendepunkte. Satz (Wendepunkt-Test) f  (x 0 ) = 0 und f  hat Vorzeichenwechsel in x 0 (was zum Beispiel bei f  (x 0 )  0 eintritt) mit Muster ( 1)  x 0 ist Wendepunkt (mit konvexkonkav ). Das Beispiel y = x 4 (überall konvex) zeigt, konkavkonvex

dass x = 0 kein Wendepunkt ist (obwohl y  (0) = 0 ist)!

() Grenzwerte, Asymptoten (meist für x \ 0) () Skizze der Funktion y = f (x) anhand der Daten aus () bis (). x Beispiel: f (x) = 2 x −1 Definitionsbereich: R ohne 1, wo Polstellen sind. Da x 2 − 1 = (x − 1)(x + 1), sind x 1 = 1 und x 2 = −1 Nullstellen des Nenners mit Vorzeichenwechsel; sie sind daher Polstellen von f mit entgegenzeigenden Ästen. x2 + 1 f (−x) = − f (x) und 0 ist einzige Nullstelle. Es ist f  (x) = − 2 < 0 in Def( f ), lim f (x) = 0. x (x − 1)2 x2 + 3 f ist stets monoton fallend (was wegen der Polstellen möglich ist). Desweiteren ist f  (x) = 2x 2 mit (x − 1)3 Wendestelle x = 0 (da einfache Nullstelle von f  – also mit Vorzeichenwechsel; das Vorzeichen von f  kann leicht abgelesen werden – also konvex–konkav-Bestimmung möglich). Tabelle

Extremwertaufgaben sind Textaufgaben Umsetzung in mathematische Formulierung führt auf die Aufgabe, Maxima/Minima in einem gegebenen Bereich zu bestimmen.



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Ungleichungen Ungleichungen können bei folgenden Voraussetzungen (und Differenzierbarkeitsvoraussetzungen) so behandelt werden: Ist f  (x) < g  (x) für a < x und ist f (a)  g(a)  f (x) < g(x) für a < x 1 < 1 = g  (x) (x  0), f (0) = arctan 0 Beispiel: f (x) = arctan x, g(x) = x f  (x) = 1 + x2 = 0 = g(a) also f (x) = arctan x < x = g(x) für x  0 Grenzwertrechnung Grenzwertrechnung bei unbestimmten Ausdrücken: Hier dient die Regel von l’Hospital: Gilt f (x) \ f (x 0 ) = 0(0), g(x) \ g(x 0 ) = 0(0) bei x \ 0, so gilt: f  (x) f (x) Ist a = lim  so ist a = lim . x0 g (x) x0 g(x) 0 sin x cos x = lim = 1  -Form Beispiel: lim x0 x x0 1 0 Andere unbestimmte Ausdrücke – wie 0 ċ 0 (Bsp. x ċ cot x) oder 00 (wie x sin x ) oder 0 − 0 wie 

8 0 0 1 −  können durch Manipulation oder algebraische Umformung auf - oder x − 2 x 2 + 4x − 12 0 0

Form gebracht werden, denn nur dort kann man l’Hospitals Regel anwenden. Beispiel: lim x sin x = lim ( eln x )sin x = lim esin x ln x = lim ex ln xċ x0

x0

x0

sin x x

.

sin x \ 1 bei x \ 0, ist nur lim x ln x(0 ċ 0) zu berechnen. x0 x ln x 1 x = lim Man schreibt lim x ln x = lim = − lim x = 0, x0 x0 1 x x0 −1 x 2 x0 also lim x sin x = e0 = 1. Da

x0

Man sagt dann, dass F(x) eine Stammfunktion von f (x) ist.

A.14 Integralrechnung Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten zu sagen, was ,,das“ Integral einer Funktion f (x), a  x  b, ist: – Einerseits soll dies – bei positivem f (x) die Flächeninhaltsfunktion sein (vgl. nebenstehende Figur) F(x) = #

x a

f (t) dt = Flächeninhalt unter Graph f (x)

– Andererseits soll dies eine Funktion f sein, deren Ableitung gerade die gegebene Funktion f (x) ist, also F  (x) = f (x), a  x  b.

A. Integralrechnung

Die Flächeninhaltsfunktion F(x) wird hierbei als Grenzwert ermittelt: Indem das Intervall [a, x] in n gleichbreite Rechtecke unterteilt wird, erhält man gemäß Skizze eine Annäherung zum gesuchten Flächeninhalt, i. e.: F(x) = lim

n

mit x k = a + k

x−a ċ f (x k )' n k=0 Riemann’sche Summen

Funktion f (x), so ist F(x) − G(x) = const. Sie unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante. F(x) = G(x) + C , F(x) und G(x) sind Stammfunktionen zu f (x)

n−1



%$x−a , k = 0, . . ., n − 1 n

Folgerung: Sind F(x) und G(x) zwei Stammfunktionen zu f (x), so ist F(x2 ) − F(x1 ) = G(x2 ) − G(x1 ) x

Theorem (Hauptsatz der Differenzialund Integralrechnung) Die vorstehende ,,Flächeninhaltsfunktion“ F(x) ist eine Stammfunktion von f (x). Es gibt im Wesentlichen nur ,,eine“ Stammfunktion zu einer Funktion f (x): Sind nämlich F(x) und G(x) Stammfunktionen zu ein und derselben

Folgerung: * x 12 f (t) dt = F(x2 ) − F(x1 ) , F(x)xx 21 wobei F(x) irgendeine Stammfunktion von f (x) ist. Während die Integration als Grenzwert Riemann’scher Summen technisch kaum durchführbar ist (von einfachsten Fällen abgesehen), so gibt es dagegen zur Ermittlung von Stammfunktionen einige weit reichende Methoden und Regeln:

Übersicht A-. Rechenregeln für Integrale. Im Folgenden steht das Symbol ' f (t) dt für a) Stammfunktion von f b) unbestimmte Integrale, also F(x) = ' f (t) dt c) bestimmte Integrale, also ' ab f (t) dt = F(b) − F(a)

wobei F(x) irgendeine Stammfunktion zu f (x) ist. Alle Funktionen seien stetig. allgemein

Beispiel

' [ f (x) + g(x)]dx = ' f (x) dx  ' g(x) dx ' c f (x) dx = c ' f (x) dx b 'a a 'b

f (x) dx =

c 'a

für c  R

f (x) dx + 'cb f (x) dx



1 3 x + cos x 3 1 3 4 1 '0 20x dx = [5x ]0 = 5

2 ' (x − sin x) dx =

(a < c < b)

f (x) dx = − ' ab f (x) dx

d x ' f (t) dt = f (x) dx a d b(x) f (t) dt = f (b(x))b  (x) − f (a(x))a  (x) ' dx a(x)

d sin x t e dt = esin x cos x ' dx 0



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Mittelwertsatz der Integralrechnung Es gibt ein ξ, a < ξ < b mit f (ξ) =

b 1 g f (t) dt b−a a

Für f 0 in [a, b]: Umwandlung der Fläche in gleichgroßes Rechteck b ' a f (t) dt ist der Flächeninhalt unter dem Funktionsgraph gemäß Skizze Merkregel: Nur für f (x) 0 ist ' ab f (x) dx der Flächeninhalt unterhalb des Graphen! Die Interpretation als Flächeninhalt – bzw. die Näherung mittels Riemann’scher Summen – führt zu zahlreichen numerischen Integrationsmethoden – Rechteckformel g

b a

f (x) dx 

b−a (y a + y 1 + y 2 + . . . + y n−1 ) n

n Anzahl gleich großer Intervalle – Trapezformel g

b a

f (x) dx 

b−a (y a + 2y 1 + 2y 2 + . . . 2n +2y n−1 + y b )

– Tangentenformel g

b a

f (x) dx 

2(b − a) (y 1 + y 3 + y 5 + . . . + y n−1 ) n

n gerade – Simpson’sche Regel g

b a

f (x) dx 

b−a (y a + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 3n 2y 4 + . . . + 2y n−2 + 4y n−1 + y b )

– Reihenentwicklung 

Sei f (x) = b a k (x − x 0 )k die analytische Entk=0

wicklung einer Funktion f (x) (sofern möglich), welche im Intervall ]x 0 − R, x 0 + R[ konvergieren möge. Sind dann a, b aus diesem Intervall, so gilt: g

b a



f (x) dx =  a k g k=0 

=  ak k=0

b a

(x − x 0 )k dx



2

ex = b

n=0

ist g

b

1 (x − x 0 )k+1 6 k+1 a

x 0

x 2n , konvergiert in ganz R, also n! 

2

et dt =  n=0 2

x 2n+1 (2n + 1)n!

Es gibt zu ex keine elementare Stammfunktion.

A. Integralrechnung



Übersicht A-. Uneigentliches Integral. allgemein

Beispiel

Integrale mit unendlichen Grenzen oder Integrale von Funktionen, deren Funktionswerte im Integrationsintervall unendlich werden oder allgemein von Funktionen, welche Unstetigkeitsstellen aufweisen. g



g g

b

a

f (x) dx = lim g a−

a

− +

−

b

f (x) dx = lim g b+

a

b

f (x) dx = lim g a−

f (x) dx

 1

1 1 b 1 dt = lim _− ` = lim 1 −  = 1 b t2 t 1 b b

f (x) dx b

a

g

f (x) dx

b+

Ist f (x) stetig in ]a, b], aber vielleicht nicht in a, so ist g

b 0

f (t) dt = lim g ε0

b a+ε

f (t) dt

g

1 0

 1 1  dt = lim S2 tT ε = 2 ε0 t

Übersicht A-. Grundintegrale. unbestimmte Grundintegrale f (x)

' f (x) dx (Stammfunktion) x n+1 (n  −1) n+1 x a = a x loga e ln a ex

xn ax ex 1 x

ln x

1 1 + x2 1 1 − x2

arctan x = −arccot x 1 1+x ln 2 1−x (x < 1)

artanh x =

1 x+1 ln 2 x−1 (x  1)

arcoth x =

1 x2 − 1



1 x2 + 1

1 x−1 ln 2 x+1 (x  1)

−arcoth x =

arsinh x = ln(x +



x 2 + 1)



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). unbestimmte Grundintegrale f (x) 

1 x2

' f (x) dx (Stammfunktion) arcosh x = ln(x +

−1

sin x cos x

− cos x sin x

1 sin2 x 1 cos2 x sinh x

− cot x



x 2 − 1)

tan x cosh x

cosh x

sinh x

1

− coth x

sinh2 x 1

tanh x

cosh2 x

bestimmte Grundintegrale, uneigentliche Integrale b 'a +1 x '−1 a dx 

e−x dx



e−x x n dx

'0 '0

2



'0

ex

x dx +1

x dx −1 1  dx '0 x 2 + a2 1 a dx '0 2 x − a2 1 a dx '0  2 a − x2 1 b dx 'a " (x − a)(b − x) 1 1 dx '0  1 − x2 

'0

ex

f (x) dx

Wert a2 − 1 a ln a 1 π 2 n! π2 12 π2 6 π 2a −0 π 2 π π 2

A. Integralrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). bestimmte Grundintegrale, uneigentliche Integrale b 'a f (x) dx (Stammfunktion)

f (x) 1

'0 

dx 1 − x2 1  dx (1 − x) x



'0

a

'0  1 '0

x

x2

ax − x 2 ln x dx x +1

1 0 3πa 2 8

dx

−

π2 12

ln x dx x −1

π2 6

ln x dx x2 − 1  sin(ax) dx '0 x

π2 8 π : 2 π − : 2

1

'0

1

'0

cos(ax) dx x



'0

1 − cos(aπ) a sin(aπ) a

π '0 cos(ax) dx π 2



'0

1 dx 1 + cos x sin x  cos x  dx = '0  dx x x

π 4

'0

a<0

0

π '0 sin(ax) dx

'0

a0

1 Y

π 2

1 ln 2 2

tan x dx

Übersicht A-. Integrationstechniken. partielle Integration (Produktintegration) allgemein 



' u dx = u − ' u dx

Beispiel u = x;  = sin x u  = 1;  = − cos x = −x cos x − ' 1 ċ (− cos x) dx = −x cos x + sin x

' x sin x dx





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Substitution Ist F(u) eine Stammfunktion von f (u), so ist G(x) = F(u(x)) eine Stammfunktion von f (u(x))u  (x) und umgekehrt. u −1 (b) 'u −1 (a)

b f (u(x))u  (x) dx 'a f (u) du = Zur Anwendung kommt die Substitutionsregel zumeist in der Situation, dass die Funktion f (x) von der Struktur f (x) = g(u(x)) ist. Indem man u = u(x) als neue Variable einführt, also x = x(u) (umstellen), dx = x  (u) du, gelangt man zum Integral  ' g(u)x (u) du Gesetzt der Fall, letzteres wäre lösbar und die Stammfunktion wäre G(u), so ist F(x) = G(u(x)) die gesuchte Stammfunktion zu f (x). Sehr oft allerdings wendet man Substitutionsformen an, die im algebraischen Ausdruck für f (x) nicht vorliegen.

Spezialfall: Ist F(u) Stammfunktion zu f (u) (Variable: u), so offenbar auch F(ax + b) zu a f (ax + b) (Variable: x) Häufig kann folgende Struktur des Integranden erkannt bzw. manipulativ eingerichtet werden: f (x) = g(u(x))u  (x) Ist dann G(u) Stammfunktion von g(u), so ist F(x) = G(u(x)) das gewünschte Integral. u  (x) durch u(x) ln u(x) + c gegeben, was bei Differenzialgleichungen häufig vorkommt.

Insbesondere ist die Stammfunktion von

'

dx 3x − 1

u = 3x − 1 du = 3 dx

dx =

1 du 3

1 1 du 1 = ln u = ln 3x − 1 ' 3 u 3 3 ' 1− x 2 dx: x = cos t, dx = − sin t dt, \ ' 1 − cos2 t ċ (− sin t) dt = − ' sin2 t dt Die Stammfunktion von sin2 t wird partiell ermittelt, also: 2 ' sin t sin t dt = − sin t cos t + ' cos t dt h 1 − sin2 t 2 = − sin t cos t + t − ' sin t dt, also 1 2 sin t dt = t − sin t cos t und die ' 2 Rücksubstitution (t = arccos x) ergibt   1 ' 1 − x 2 dx = − (arccos x − x 1 − x 2 ) 2 1 1 ' 2 du = F(u) = − , also u u 1 1 1 dx = − ċ ' (ax + b)2 a ax + b du x dx u = a 2 − x 2 , dx = − , '  2 2x a − x2 1 x 1 \ '  ċ −  du = − ' u −1 2 du 2x 2 u  = −u 1 2 = − a 2 − x 2 1 2x 1 x dx = ' 2 dx = ln(x 2 + 3) ' 2 x +3 2 x +3 2 (cos x) sin x dx = ' − dx ' tan x dx = ' cos x cos x = − ln  cos x

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Partialbruchzerlegung Es ist P(x) Q(x) zu integrieren; P, Q Polynome. Durch Abspalten (Polynomdivision) muss zunächst gewährleistet sein, dass Grad P < Grad Q ist (sowie keine gemeinsamen Nullstellen). Die weitere Vorgehensweise ist abhängig von der Nullstellenstruktur des Nenners. Es sei Grad Q = n. . Fall: Q hat genau n (einfache), verschiedene, reelle Nullstellen Q(x) = (x − x 1 )(x − x 2 ). . .(x − x n ) i Es gibt Konstanten A1 , A2 , . . ., A n mit A1 A2 An P(x) = + +...+ Q(x) x − x 1 x − x 2 x − xn . Fall: Q hat mit Vielfachheiten genau n reelle Nullstellen (manche also vielleicht mehrfach), also Q(x) = (x − x 1 )n 1 (x − x 2 )n 2 . . .(x − x m )n m (n 1 + n 2 + . . . + n m = n) i Dann ist nur folgender Ansatz erfolgreich A11 A12 A1n 1 P(x) = + +...+ Q(x) x − x 1 (x − x 1 )2 (x − x 1 )n 1 A21 A22 A2n 2 + + +...+ x − x 2 (x − x 2 )2 (x − x 2 )n 2 A m1 A mn m + +... + (x − x m ) (x − x m )n m . Fall: Q hat auch komplexe Nullstellen (welche allerdings konjungiert auftreten: Ist z 1,2 = α  iβ eine solche Nullstelle, so ist (z − z 1 )(z − z 2 ) = (z − z 1 )(z − z¯1 ) = z 2 − 2αz + z 1 2 ein quadratischer Faktor von Q) und Q ist von der Form Q(x) = (x − x 1 )n 1 . . .(x − x r )n r ċ OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P QPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R reelle Nullstellen m

P(x) x2 + 4 = (x − 1)2 (x 2 + 2x + 4) Q(x)

x 2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 nullstellenfrei in R, also PBZ-Ansatz

m

ċ -x 2 − 2α 1 x +-α 12 + β 12 .. 1 . . . -x 2 − 2α s x +-α 2s + β 2s .. s OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P QP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R konjungiert komplexe Nullstellen i Der Partialbruchansatz lautet r I nk Ak j L P(x) = b b Q(x) k=1 K j=1 (x − x k ) j N L s I mk Bk j x + Ck j M + b Jb j k=1 K j=1 Sx 2 − 2α k x + -α 2 + β 2 .T N k k

x2 + 4 (x − 1)2 (x 2 + 2x + 4) =

A1 A2 Bx + C + + x − 1 (x − 1)2 x 2 + 2x + 4



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Partialbruchzerlegung Die Bestimmung der Koeffizienten A k j , B k j , C k j erfolgt so: – Multiplikation des PBZ-Ansatzes mit Nenner Q \ Polynomgleichheit, dann – Berechnung der A, B, C-Konstanten durch a) Nullstellen einsetzen b) Koeffizientenvergleich c) Differenzieren, erneut vergleichen (bei mehrfachen Nullstellen geeignet)

x 2 + 4 = A1 (x − 1)(x 2 + 2x + 4) + A(x 2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x − 1)2 (Polynomgleichheit) x = 1 ergibt: 5 = A2 ċ 7, A2 =

5 7

Koeff. verg. (x 3 ): 0 = A1 + B Koeff. verg. (x 0 ): 4 = −4A1 + 4A2 + C Differenzieren ergibt für x = 1 2 = A1 (7) + A2 (2 ċ 1 + 2) + 0 6 32 6 ,C = folgt. woraus A1 = − , B = 49 49 49 x2 + 4 dx = ' (x − 1)2 (x 2 + 2x + 4) 5 1 3 6 + Uln(x 2 + 2x + 4) − ln x − 1 − ċ 49 7 x − 1 49 26  x +1 + 3 arctan  V 9 3

Übersicht A-. Wichtige Integrale. rationale Funktionen f (x)

' f (x) dx + C (ax + b) a(n + 1)

n+1

(ax + b)n

(n  −1)

(ax + b)n+2 b(ax + b)n+1 − a 2 (n + 2) a 2 (n + 1) (n  −2; n  −1)

x(ax + b)n

1 ax + b

1 ln ax + b a

x (ax + b)2 x (ax + b)n

1 b ln ax + b + ! a2 ax + b a(1 − n)x − b a 2 (n − 1)(n − 2)(ax + b)n−1 (n  1; n  2)

1 x(ax + b) 1 x 2 + a2

(für b  0)

1 ax + b − ln ; ; b x x 1 arctan   a a

A. Integralrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). irrationale Funktionen 

x

a2 − x 2





 

x

a2 − x 2

a2 − x 2 x 1 a2 − x 2

x 2 + a2





  

x 2 + a2

x 2 + a2 x 1 x 2 + a2 x x 2 + a2 x2 x2

+

a2

1  x 2 x 2 + a2  x 2 − a2   

1 x 2 − a2 x x 2 − a2 x2 x 2 − a2

x 1  2 x a − x 2 + a 2 arcsin  (x < a) 2 a 1" 2 2 3 − (a − x ) 3  333 3  a + a 2 − x 2 3333 a 2 − x 2 − a ln 33333 333 x 333 333 x arcsin a x 1  2 x x + a 2 + a 2 arsinh  2 a 1" 2 2 3 (x + a ) 3  333 3  a + x 2 + a 2 3333 x 2 + a 2 − a ln 33333 333 333 333 x  x 2 2 arsinh = ln jx + x + a j a  2 x + a2 x a2 x 2 arsinh x + a2 − 2 2 a  x 2 + a2 − a2 x 1  2 x x x − a 2 − a 2 arcosh  2 a  333 3 2 x 3 x + x − a 2 3333 arcosh = ln 3333 333 a a 333 333  x 2 − a2 x a2 x 2 arcosh x − a2 + 2 2 a





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). trigonometrische Funktionen sin(cx) x sin(cx) sin(cx) x 1 sin(cx) 1 1 + sin(cx) 1 1 − sin(cx) cos(cx) x cos(cx) cos(cx) x 1 cos(cx) 1 1 + cos(cx) 1 1 − cos(cx) tan(cx) 1 tan(cx) + 1 1 tan(cx) − 1 cot(cx)

1 − cos(cx) c sin(cx) x cos(cx) − x2 c (cx)3 (cx)5 + − +. . . 3 ċ 3! 5 ċ 5! cx ln 6tan  6 2 cx π tan  −  2 4 cx π tan  +  2 4

cx −

1 c 1 c 1 c 1 sin(cx) c cos(cx) x sin(cx) + c2 c

(cx)2 (cx)4 + − +. . . 2 ċ 2! 4 ċ 4! 1 cx π ln 6tan  + 6 c 2 4 1 cx tan   c 2 1 cx − cot   c 2 1 − ln  cos(cx) c x 1 + ln  sin(cx) + cos(cx) 2 2c x 1 − + ln  sin(cx) − cos(cx) 2 2c 1 ln  sin(cx) c

ln cx −

A. Integralrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). Hyperbelfunktionen sinh(cx) x sinh(cx) sinh 2 (cx) cosh(cx) x cosh(cx) cosh2 (cx) tanh(cx) coth(cx)

1 cosh(cx) c 1 1 x cosh(cx) − 2 sinh(cx) c c 1 x sinh(2cx) − 4c 2 1 sinh(cx) c 1 1 x sinh(cx) − 2 cosh(cx) c c 1 x sinh(2cx) + 4c 2 1 ln  cosh(cx) c 1 ln  sinh(cx) c Arcusfunktionen

x arcsin   c x arccos   c x arctan   c x arccot   c

 x x arcsin   + c 2 − x 2 c  x x arccos   − c 2 − x 2 c x c x arctan   − ln(c 2 + x 2 ) c 2 x c x arccot   + ln(c 2 + x 2 ) c 2 Areafunktionen

x arsinh   c x arcosh   c x artanh   c x arcoth   c

 x x arsinh   − x 2 + c 2 c  x x arcosh   − x 2 − c 2 c x c x artanh   + ln c 2 − x 2  (x < c) c 2 x c x arcoth   + ln x 2 − c 2  (x  c) c 2





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Exponentialfunktionen 1 cx e c ecx (cx − 1) c2

ecx x ecx ecx x

ln x +

cx (cx)2 + +... 1 ċ 1! 2 ċ 2!

ecx (c sin(bx) − b cos(bx)) c2 + b2 cx e (c cos(bx) + b sin(bx)) c2 + b2

ecx sin(bx) ecx cos(bx)

Logarithmusfunktionen x ln x − x

ln x (ln x)

x(ln x)2 − 2x ln x + 2x

2

1 ln x 1 x ln x

ln  ln x + ln x +

(ln x)2 (ln x)3 + +... 2 ċ 2! 3 ċ 3!

ln  ln x x [sin(ln x) − cos(ln x)] 2 x [sin(ln x) + cos(ln x)] 2

sin(ln x) cos(ln x)

Übersicht A-. Anwendungen der Integralrechnung in der Geometrie. Flächenberechnung allgemein Funktion positiv

Funktion negativ

Beispiel Flächen zwischen zwei Kurven

π 2

0

=0+1 =1

b

A = g f (x) dx a

b

A = − g f (x) dx a

b

A = g  f (x) − g(x) dx a

π 2

A = g sin x dx = [− cos x]0

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Flächenberechnung allgemein Parameterdarstellung

Beispiel

x = φ(t); y = ψ(t) y2

t2

x = φ(t) = 1 + t 2 ; t 1 = 0,5, t 2 = 2 y = ψ(t) = 3t; ψ  (t) = 3 2

2

0,5

0,5

A = ' x dy = ' φ(t)ψ  (t) dt

A = ' (1 + t 2 ); 3 dt = 3 ' (1 + t 2 )

1 t2 A = ' (x y  − yx  ) dt 2 t1

A = 3 _t +

y1

t1

1 3 2 t ` = 12,375 3 0,5

Für geschlossene Randlinie 1 A = k (x y  − yx  ) dt 2 (Leibniz’sche Sektorenformel) Polarkoordinaten r 1 = f (φ 1 ); r 2 = f (φ 2 ) 1 φ2 A = ' r 2 dφ 2 φ1

r = 1 + 2 sin φ; φ 1 = 0, φ 2 = π 2 1 π 2 A = ' (1 + 2 sin φ)2 dφ 2 0 1 π 2 2 ' (1 + 4 sin φ + 4 sin φ) dφ 2 0 π 2 1 1 A = _φ − 4 cos φ + 2 φ − sin 2φ` 2 2 0 3 A= π+2 4 =

Bogenlängen (Rektifikation) für y = f (x) x2 " s = ' 1 + y 2 dx x1 # y2 dx s=' 1 +   dy dy y1

Zykloide von t 1 = 0 bis t 2 = π x = φ(t) = r(t − sin t); φ˙ = r(1 − cos t) y = ψ(t) = r(1 − cos t); ψ˙ = r sin t π" s = ' r 2 (1 − cos t)2 + r 2 sin2 t dt 0

 π s = r 2 ' 1 − cos t dt 0

Parameterform: x = φ(t); y = ψ(t) t2 " s = ' φ˙ 2 + ψ˙ 2 dt t1

Polarkoordinaten: r = f (φ) # # r2 dr 2 dφ 2  dφ = '  dr s = k φφ12 r2 +  1 + r2  dφ dr r1

t Benutze cos t = 1 − 2 sin2   2 π t t π s = 2r ' sin   dt = _−4r cos  ` 2 2 0 0 s = 4r



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Mantelflächen von Rotationskörpern (Komplanation) um x-Achse

y = 3x + 5

um y-Achse

Kurve y = f (x)

x 1 = 0, x 2 = 3



x = g(y)

y =3 3  M x = 2π ' (3x + 5) 1 + 32 dx 0

 3 M x = 2π 10 ' (3x + 5) dx 0

3  3 M x = 2π 10 _ x 2 + 5x` = 367,6 2 0 x2

M x = 2π ' y

" 1 + y 2 dx

x1

y2

M y = 2π ' x

# 1+

y1

dx 2  dy dy

Parameterform x = φ(t); y = ψ(t) t2

t2

M x = 2π ' ψ "

t1

φ˙ 2 + ψ˙ 2 dt

ċ

"

φ 1 = 0, φ 2 = π

dr = cos φ dφ

M y = 2π ' φ

t1

ċ

r = sin φ

π " M x = 2π ' r sin φ sin2 φ + cos2 φ dφ

φ˙ 2 + ψ˙ 2 dt

0

Polarkoortdinaten r = f (φ) φ2

M y = 2π ' r cos φ

φ1

ċ

r2 + 

π

φ2

M x = 2π ' r sin φ #

=1

φ1

2

dr  dφ dφ

# ċ

r2 + 

π

M x = 2π ' r sin φ dφ = 2π ' sin2 φ dφ 0

0

= π[φ − sin φ cos φ]π0 = π2

2

dr  dφ dφ

Volumen von Rotationskörpern (Kubatur) um x-Achse

um y-Achse

y = 3x + 5; x 1 = 0, x 2 = 3

Kurve y = f (x)

x = g(y)

um y-Achse

x2

Vx = π ' y 2 dx x1

y2

Vy = π ' (g(y)2 ) dy y1 x2

Vy = π ' x 2 y  dx x1

1 (y − 5); y  = 3 3 π 3 π 3 Vy = ' (y − 5)2 ċ 3 dx = ' (3x)2 dx g 0 3 0 x=

3

Vy = 3π ' x 2 dx = π[x 3 ]30 = 27π 0

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Parameterform x = φ(t); y = ψ(t) t2

˙ dt Vx = π ' ψ 2 φ t1

t2

˙ dt Vy = π ' φ 2 ψ t1

x = φ(t) =

1 ; t 1 = 1, t 2 = 2 t

1 ; y = ψ(t) = 1 + t t2 2 2 1 1 2 Vx = π ' (1 + t)2 ċ 2 = π '  2 + + 1 dt t t t 1 1 2 2 1 Vx = π _− 3 + 2 + t` = 5,5π t t 1 φ˙ =

Polarkoordinaten r = f (φ)

r = const = R, 0  φ < π

x-Achse:

Vx = πR 2 ' sin3 φR dφ = πR 3 ' sin3 φ dφ =

π

φ2

dr cos φ − r sin φ; dφ Vx = π ' r 2 sin2 φ ; dφ φ1 y-Achse φ2

Vy = π ' r 2 cos2 φ ; φ1

dr sin φ − r cos φ; dφ dφ

π

0

0

4π 3 R 3

wobei φ

φ

3 2 ' sin t dt = ' sin t(1 − cos t) dt 0

0

= − cos φ +

2 1 cos3 φ + 3 3

Übersicht A-. Anwendung der Integralrechnung in der Physik. allgemein

Beispiel Arbeit

W = ' F(s) ds

Federkraft F F = ks s2

W = ' ks ds s1

W=

1 k(s 22 − s 12 ) 2

Impuls Δp = ' F(t) dt

Kraftverlauf eines Schlägers auf einen Golfball

4 ms

Δp = ' F(t) dt = 0

1 − 200 N ċ 4 ċ 10 ċ 103 s = 0,4 Ns 2



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). statische Momente, Schwerpunkte homogenes, ebenes Kurvenstück, y = f (x) Gesamtlänge ( Gesamtmasse, da  f const): b"

L='

1 + ( f  (x))2 dx

a

Schwerpunkt ζ = (x s , y s ) ist gegeben durch " 1 1 x s = ' x 1 + ( f  (x))2 dx = ċ M y La L b

 y(x) = r 2 + x 2 , 0  x  r, (Graphenform)

" 1 b 1 ' f (x) 1 + ( f  (x))2 dx = ċ M x La L

ys =

M x und M y heißen statische Momente der Kurve; aus M x = L ċ y s , M y = L ċ x s ergibt sich ihre Interpretation als gemittelte Drehmomente. Ist allgemeiner das Kurvenstück in Parameterform (x, y) = (φ(t), ψ(t)), t 1  t  t 2 , gegeben, so ist t2 "

L='

φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt,

t1

xs =

" 1 t2 ' φ(t) φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt, L t1

ys =

" 1 t2 ' ψ(t) φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt. L t1

Der Spezialfall Polarkoordinaten: x = r cos φ, y = r sin φ und r = r(φ), φ 1  φ  φ 2 ist enthalten, und man hat in dieser allgemeinen Parameterform φ2 "

L='

r 2 (φ) + r˙2 (φ) dφ

φ1

xs =

" 1 φ2 ' r(φ) cos φ r 2 (φ) + r˙2 (φ) dφ L φ1

ys =

" 1 φ2 ' r(φ) sin φ r 2 (φ) + r˙2 (φ) dφ L φ1

"

#

x2 dx − x2 0 0 r 1 x r π =r'  dx = _r ċ arcsin ` = r 2 2 r 0 2 r −x 0 r  r x My = r '  dx = l−r r 2 − x 2 m = r 2 0 r2 − x 2 0 # r r x2 Mx = ' r 2 − x 2 ċ 1 + 2 dx = ' r dx = r 2 2 r −x 0 0 r

L='

r

1 + (y  (x))2 dx = '

1+

r2

2r r2 = y s (also etwa 0,63 r) xs = π = π r 2

A. Integralrechnung

Übersicht A-. (Fortsetzung). homogenes, ebenes Flächenstück Sei y = f (x) 0 und F sei die Fläche unterhalb des Graphen gemäß Skizze. Dann sind b

A = ' f (x) dx (Flächeninhalt) a

b

M y = ' x f (x) dx, M = a

1 b 2 ' f (x) dx 2a (statische Momente)

My

M x (Koordinaten des und y s = Flächenschwerpunktes) A A Ist F von zwei Funktionsgraphen begrenzt (gemäß Skizze), so sind xs =

f 1 (x) = x 2 , f 2 (x) = 4, F = (x, y)0  x  2, x 2  y  4

b

A = ' ( f 2 (x) − f 1 (x)) dx a

Mx =

1 b 2 2 ' ( f (x) − f 1 (x)) dx 2a 2 b

M y = ' x( f 2 (x) − f 1 (x)) dx a

2 2 1 16 A = ' (4 − x 2 ) dx = _4x − x 3 ` = 3 3 0 0

Mx =

1 2 1 5 2 4 ' (16 − x ) dx = _8x − x ` = 12,8 20 10 0 2

M y = ' x(4 − x 2 ) dx = _2x 2 − 0

1 4 2 x ` =4 4 0

4 12,8 12 3 xs = = , ys = = 16 16 4 5 3 3 Trägheitsmomente allgemeine physikalische Definition, Massenträgheitsmoment J = ' r 2 dm

dm = d(V ) =  dV für  = const dV = Volumenelement r = Abstand von dm zur Drehachse Das Trägheitsmoment eines Massenpunktes m bezüglich der Rotation um einen Punkt, Abstand r beträgt •m ċ r J = m ċ r2 Drehpunkt Hieraus erhält man durch Aufsummieren die wichtige Formel 1 JScheibe = MR 2 (Trägheitsmoment einer Scheibe, Masse M, Radius R bzg. 2 Rotation um Scheibenachse) Vol





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Trägheitsmoment eines Kurvenbogens Bei Rotation des ,,Drahtes“ (x, f (x))a  x  b um die x-Achse bzw. y-Achse b b " I x = ' y 2 (x) ds(x) = ' y 2 (x) 1 + (y  (x))2 dx a b

I y = ' x 2 ds(x) a

a b

= ' x2

" 1 + (y  (x))2 dx

a

In Parameterform (x, y) = (φ(t), ψ(t)) ergibt sich t2 " I x = ' ψ 2 (t) φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt t1 t2

" I y = ' φ 2 (t) φ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt t1

Trägheitsmoment einer Fläche äquatoriales Trägheitsmoment der Fläche A allgemein I x = ' y 2 dA; I y = ' x 2 dA A

A

( dA Flächenelement) Satz von Steiner I D = I D S + Aa 2 I D S = Trägheitsmoment bezüglich der durch den Schwerpunkt S parallel verschobenen Drehachse (D S ) A = Flächeninhalt a = Abstand Schwerpunkt-Drehachse (D) Ix =

1 x2 3 3 ' ( f (x) − f 1 (x)) dx 3 x1 2

f (x) = b b

I x = ' y 2 dA = ' y 2 a dy = a U A

0

a

I y = ' x 2 dA = ' x 2 b dx = b U A

I p = Ix + I y =

0

ab 3 + a 3 b 3

x2

I y = ' x 2 ( f 2 (x) − f 1 (x)) dx x1

1 x2 I x = ' ( f (x))3 dx 3 x1 x2

I y = ' x 2 f (x) dx x1

polares Trägheitsmoment (Ursprung) I p = ' r 2 dA = I x + I y A

zentrifugales Trägheitsmoment I x y = ' x y dA A

Bezug auf den Schwerpunkt 1 3 ab Ix = 12 1 3 a b Iy = 12

b

y3 ab 3 V = 3 0 3 a

x3 a3b V = 3 0 3

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Trägheitsmoment eines Rotationskörpers Der Rotationskörper K entstehe durch Rotation der Fläche (x, y)a  x  b, 0  y  f (x) um die x-Achse. Dann ist das Trägheitsmoment von K gleich Ix =

π b 4 ' ( f (x)) dx 2 a

Übersicht A-. Kurvenintegrale. Sei C eine parametrisierte Kurve (x(t), y(t)), a  t  b, gegeben seien ferner zwei auf C stetige Funktionen P (x, y) und Q (x, y) (Vektorfeld). Dann heißt das Integral ' P dx + Q dy

C

Linien- oder Kurvenintegral (längs C), und es wird wie folgt berechnet: b

  ' P dx + Q dy = ' (P(x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)) dt. a

C

Dabei ist das Integral unabhängig bezüglich der speziellen Wahl der Parametrisierung von C – im Allgemeinen ist das Integral aber abhängig vom Verlauf von C. Das heißt: Ist C eine andere Kurve mit gleichen Endpunkten A und B, so ist im Allgemeinen ' P dx + Q dy  ' P dx + Q dy

C˜

(Wegabhängigkeit)

C

Ist A = B, so spricht man von geschlossenen Integralen. Ein Kurvenintegral ist offenbar wegunabhängig, wenn alle entsprechenden Integrale des ,,Vektorfeldes“ (P(x, y), Q(x, y)) längs geschlossener Wege verschwinden. Es gilt folgendes Fundamentalkriterium (Satz von Poincaré): Satz (Exaktheit und Wegunabhängigkeit) Seien P(x, y) und Q(x, y) differenzierbare Funktionen in einem Gebiet Ω ⊂ R2 , welches keine Löcher haben darf! Dann sind äquivalent: () ' P dx + Q dy

hängt nur von den Endpunkten A, B der Kurve C ⊂ Ω ab

() k C P dx + Q dy = 0 ∂P ∂Q () (x, y) = (x, y) ∂y ∂x

für alle geschlossenen Kurven C in Ω

C

(Exaktheitsbedingung)



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). () Es gibt eine sogenannte Potenzialfunktion f (x, y) des Vektorfeldes P, Q, das heißt: Es gibt eine Funktion f ∂f ∂f (x, y) und Q(x, y) = (x, y) auf Ω mit P(x, y) = ∂x ∂y Beispiel: P(x, y) = 2x y 2 + x y, Q(x, y) = 2x y, C = (x, y)x = t, y = t 2 , 0  t  1 Endpunkte von C sind (0, 0) und (1, 1). Dann ist mit dx = dt, dy = 2t dt = 2x dx 1

4 2 ' P dx + Q dy = ' 2xx + xx dx + 2xx 2x dx 0

C

1

= ' (2x 5 + x 3 + 4x 4 ) dx = 0

1 1 4 83 + + = 3 4 5 60

Ist jetzt C˜ parallel zu den Achsen – auch A mit B verbindend –, C˜ = (x, 0)0  x  1 o (1, y)0  y  1, so ist ' P dx + Q dy C˜

1

1

= ' 0 dx + ' 2 ċ 1 ċ y dy = 1. 0

0

Beide Werte sind verschieden – die Exaktheitsbedingung ist schließlich verletzt: ∂P ∂Q = 4x y + x  = 2y . ∂y ∂x Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion f (x, y), welche auf einer Kurve C ⊂ R2 stetig ist, C = (x(t), y(t))t  [a, b] lautet b " ' f ds = ' f (x(t), y(t)) x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) dt. C

a

Dies ist ein Spezialfall des Kurvenintegrals zuvor, nämlich f (x(t), y(t))x˙ (t) P(x(t), y(t)) = " , x˙ 2 (t) + y˙2 (t)

f (x(t), y(t)) y˙ (t) Q(x(t), y(t)) = " x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t)

Übersicht A-. Mehrfachintegrale. Doppelintegrale Sei R = [a, b] [c, d] ein Rechteck b d

b

' f dy dx = ' ' f (x, y) dy dx = ' R

a c

a

in R2

und f stetig auf R. Dann ist

d

' f (x, y) dy! dx, c

OPP P P P P P P P P P P P P P P P P PQ P P P P P P P P P P P P P P P P P P R Funktion von x das Integral wird also iteriert berechnet. Ist nun ein Gebiet A (krumme Begrenzungen) gegeben, so führt ein Ausschöpfungsprozess mittels Rechtecke und anschließender Grenzwertbildung zum Integral ' f (x, y) dx dy A

Bedeutung: ) f f 1  ' dy dx = A f Flächeninhalt von A A

) f  0  ' f (x, y) dy dx f Inhalt des säulenartigen Körpers A

K = (x, y, z)  R3 (x, y)  A, 0  z  f (x, y)

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Doppelintegrale Ist die Fläche A in der Form A = (x, y)a  x  b, g 1 (x)  y  g 2 (x) durch zwei Begrenzungsfunktionen g 1 (x), g 2 (x) gegeben (Skizze), so gilt: b I g 2 (x)

' f (x, y) dx dy = ' a

A

L ' f (x, y) dy dx. Kg 1 (x) N

f (x, y) = x 2 + 2x y g 1 (x) =  x2 g 2 (x) = x

Beispiel:

und A soll der durch g 1 (x) und g 2 (x) begrenzte Bereich sein, also

A = (x, y)0  x  1, x 2  y 

1



x

x

2 ' f (x, y) dx dy = ' ' (x + 2x y) dy dx 0 x2

A

1

x

1

= ' [x 2 y + x y 2 ]x 2 dx = ' (x 2 0 1



x + x ċ x − x 4 − xx 4 ) dx

0

1 5 2 7 1 1 1 = ' (x 2 + x 2 − x 4 − x 5 ) dx = _ x 2 + x 3 − x 5 − x 6 ` 7 3 5 6 0 0 53 2 1 1 1 = + − − = 7 3 5 6 210 Die Substitutionsregel (Koordinaten-Transformation) lautet (x = x(u, ), y = y(u, )):

' f (x, y) dx dy = ' f (x(u, ), y(u, )) ċ J(u, ) du d A˜

A

wobei J(u, ) die Determinante der sogenannten Jacobi’schen Matrix ist, I ∂x ∂x L J ∂u ∂ M J M f Jakobi’sche Matrix der Koordinaten-Transformation J ∂y ∂y M K N ∂u ∂ ˜ und A ist das durch (u, ) beschriebene Gebiet A, d. h. (u, )  A˜  (x(u, ), y(u, ))  A. Für Polarkoordinaten (x = r cos φ, y = r sin φ) ist die Jakobi-Determinante gerade gleich r, also ' f (x, y) dx dy = ' f˜(r, φ)r dr dφ A˜

A

mit f˜(r, φ) = f (r cos φ, r sin φ). Anwendungen: Sei A eine Fläche in R2 (begrenzt durch x = a, x = b, y = g 1 (x), y = g 2 (x)) I x = ' y 2 dx dy

Axiales Flächenträgheitsmoment

I y = ' x dx dy

Axiales Flächenträgheitsmoment

I p = ' (x 2 + y 2 ) dx dy A OPP P P P P P P P Q P P P P P P P P R r2

Polares Flächenträgheitsmoment

A

2

A



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Dreifach-Integrale, Volumen-Integrale Es sei: V ⊂ R3 eine offene Menge und f : V \ R eine stetige Funktion dreier Variablen x, y, z. Dann ist das Volumen-Integral ' f (x, y, z) dV = ' f (x, y, z) dx dy dz

V

V

erklärbar als (additive) Zusammensetzung von Integralen über Würfel (welche als Grenzwert die Menge V ausschöpfen). Ist W der Würfel a 1  x  b 1 , a 2  y  b 2 , a 3  z  b 3 , so ist b3 I b2 I b1

' f dV = '

W

a3

L L ' ' f (x, y, z) dx dy dz Ka2 Ka1 N N OPP P P P P P P P P P P P P P P P PQ P P P P P P P P P P P P P P P P P R Funktion von x , y

OPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P QPP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P R Funktion von z

Beispiel: f (x, y, z) = x 2 − 2yz + 1

' f dV = '

W

0

1

=' 0

1

' 0

1

2 ' x − 2yz + 0

1 , W = [0, 1]3 z+2 1 1 1 1 x 1  dx! dy! dz = ' ' _ x 3 − 2x yz + ` dy! dz z+2 z+2 0 0 0 3

1 1 1 y 1 1  dy! dz = ' _ y − zy 2 + ` dz '  − 2yz + 3 z + 2 3 z + 2 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1  dz = _ z − z 2 + log z + 2` ='  −z+ 3 z+2 3 2 0 0 1 1 3 3 1 = − + log = log − 3 2 2 2 6

Der häufig auftretende Fall, dass über einen ,,Säulenkörper“ integriert wird, sei an einem Beispiel durchgeführt. Beispiel: Es sei V definiert durch die Bedingungen a  x  b, g 1 (x)  y  g 2 (x), f 1 (x, y)  z  f 2 (x, y) Dann ist b I g 2 (x)I f 2 (x , y)

' f dV = '

V

a

L L f (x, y, z) dz dy dx ' ' Kg 1 (x) Kf 1 (x ,z) N N

A. Integralrechnung



Übersicht A-. (Fortsetzung). Dreifach-Integrale und für a = 0, b = 2, g 1 (x) = f (x, y, z) = 1 ist

 1 x, g 2 (x) = x, f 1 (x, y) = 0, f 2 (x, y) = 1 + x 2 − y 2 , 2



2 2 L L L 2 I x I 1+x +y 2I x 1 dz M dy M dz = ' J ' -1 + x 2 + y 2 . dy M dx ' f dV = ' J ' J ' 1 1 0 K x K 0 0 K x V N N N 2 2

2

= ' _y + yx 2 + 0

2 1 5 1 1 3 x 1 3 1 1 y ` dx = ' x 2 + x 2 + x 2 − x − x 3 − x 3  dx 1 3 3 2 2 24 x 0 2

2 2 5 1 1 1 2 32 7 = _ x 2 x 2 + x 2 − x 2 − x 4 − x 4` 3 7 15 4 8 96 0  2 2 2 1 436  19 ċ 4 − 1 − 2 − = ċ 2− = 2 ċ 2 + ċ 8 + 3 7 15 6 105 6

Bedeutung: Wird die Funktion f (x, y, z) f 1 über einen Bereich V ⊂ R3 integriert, so folgt g 1 dV = g dx dy dz = Vol (V ) (Volumen). V

V

Transformationsformel: Bei Einführung neuer Koordinaten muss die Determinante der Jacobi-Matrix berechnet und miteinbezogen werden, analog zum -dimensionalen Fall. Im Fall der häufig vorkommenden Kugelkoordinaten ist x = r sin β cos φ y = r sin β sin φ z = r cos β z cos β = ; r x cos φ = " x 2 + y2 " r = x 2 + y2 + z2

I ∂x ∂x ∂x L Isin β cos φ r cos β cos φ −r sin β sin φL J ∂r ∂β ∂φ M J M J M J M J ∂y ∂y ∂y M J M J M J M sin β sin φ r cos β sin φ r sin β cos φ J=J = M J M ∂r ∂β ∂φ J M J M J ∂z ∂z ∂z M J M J M J cos β M −r sin β 0 K ∂r ∂β ∂φ N K N det J = r 2 sin β



A Mathematik

A.15 Summen, Folgen und Reihen Übersicht A-. Summen, Folgen und Reihen. Summen Unter Summen versteht man gewöhnlich die Addition endlich vieler Zahlen a 1 , . . ., a n  C n

 a k = a1 + a2 + . . . + a n ; k=1

unter Reihen dagegen die Addition unendlich vieler Summanden – letzteres wird über eine Grenzwertbetrachtung geführt. Summen oder Reihen heißen alternierend, falls die Summanden abwechselnd verschiedene Vorzeichen haben. Beispiele für Summen: n−1

n (n − 1)d 2 (diese Summe heißt arithmetische Summe; die Differenz aufeinander folgender Glieder ist konstant (d)) n 1 1 + 2 + 3 + . . . + n = b k = n(n + 1) (ein Spezialfall von ()) 2 k=1 1 1 ċ 2 + 2 ċ 3 + . . . + (n − 1)n = (n − 1)n(n + 1) 3 1 12 + 32 + . . . + (2n − 1)2 = n(2n − 1)(2n + 1) 3 1 12 + 22 + 32 + . . . + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 1 13 + 23 + 33 + . . . + n 3 = n 2 (n + 1)2 4 Die geometrische Summe ist dadurch gekennzeichnet, dass der Quotient aufeinander folgender Glieder konstant ist. Das heißt:

() a + (a + d) + (a + 2d) + . . . + (a + (n − 1)d) = b (a + kd) = n ċ a + k=0

() () () () () ()

a 1 = a 0 ċ q, a 2 = a 1 ċ q = a 0 ċ q 2 , . . . , a n = a 0 ċ q n 1 − q n+1 . 1−q k=0 k=0 Die geometrische Summe – ebenso wie die geometrische Reihe – hat eine außerordentliche, anwendungsbezogene Bedeutung: Prozentuale Zuwächse, progressive Vorgänge werden durch Zahlenfolgen n

n

b = a 0 b q k = a 0 (1 + q + q 2 + . . . + q n ) = a 0

a, aq, aq 2 , . . . beschrieben, wie z. B. die Zinsrechnung im Finanzwesen: Vorgang : Ein Kapital (K 0 ) wird n Jahre mit Zinseszins verzinst. p Zinssatz i = (p heißt Zinsfuß) 100 Auf-, Abzinsfaktor q+ = 1 + i bzw. q− = 1 − i K n bezeichnet das Kapital am Ende der n-ten Zinsperiode (i. d. R. ein Jahr) K n = K 0 q+n = K 0 1 +

p n  100

A. Summen, Folgen und Reihen



Übersicht A-. (Fortsetzung). Vorgang : Es werden während der Zinsperioden regelmäßige Einzahlungen konstanten Betrages (E) getätigt, welche mit p% – innerhalb der Zinsperiode linear – desweiteren mit Zinseszins verzinst werden. (z. B. monatliche Einzahlungen von  € auf ein Sparbuch, Jahreszins %). Nach Ablauf von n Jahren beträgt das angesparte Kapital K n (bei vorschüssigem Einzahlungsmodus) K n = m ċ E 1 +

m + 1 p qn − 1 ċ  2m 100 q − 1 Folgen

Eine Folge (a n )nN (mit a i  R oder C) heißt konvergent, wenn es eine Zahl a  R (C) gibt mit folgender Eigenschaft: Für jedes ε  0 gibt es ein N, sodass für n N gilt a n − a < ε. Man sagt dann: a n \ a, a = lim a n n n Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Regeln: ) a n \ a, b n \ b  a n + b n \ a + b ) a n \ a, b n \ b  a n ċ b n \ a ċ b a an ) a n \ a, b n \ b \ 5 und b  0 bn b ) a n \ a  a n − a \ 0 n

) Sei 0  b n  a n . Ist dann a n \ 0, so gilt auch b n \ 0. Eine Funktion f (x) heißt stetig in x 0 , falls gilt: x n \ x 0  f (x n ) \ f (x 0 ) n

n

Der Ausdruck lim f (x) = a bedeutet: nx 0

Für jede Folge (x n )nN mit x n \ a gilt lim f (x n ) = a. n

1 Beispiele:   \ 0 n 1 n (Euler’sche Zahl) 1 +  \ e n n \ 0  x < 1 x (sin n)nN ist divergent n ((−1) )nN ist divergent Wichtiger Satz (Bolzano-Weierstraß) Ist (a n )nN eine Folge (in R C), welche beschränkt ist – d. h. es gibt eine Konstante K  0 mit a n   K für alle n – so gibt es eine unendliche Teilauswahl der a n (,,Teilfolge“), welche konvergent ist.



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Reihen Gegeben ist eine Folge von Summanden a 1 , a 2 , . . . Man setzt n

S n = b a k

(n-te ,,Partialsumme“)

k=1

Dann: Die Reihe der a k heißt konvergent  die Folge (S n )nN ist konvergent 

und b a k = lim

n

k=1

n

b a k ! = lim S n = S

k=1

n

Falls nicht konvergent: Reihe divergent Beispiele:

konvergente Reihen



 1 1 1 1 1 = b (−1)n = 1− + − + −... e n=0 n! 1! 2! 3!  π 1 1 1 1 = b (−1)n+1 = 1− + − + −... 4 n=1 2n − 1 3 5 7  1 1 1 1 π2 = b 2 = 2 + 2 − 2 +... 6 1 2 3 n=1 n  1 1 1 1 π2 = 2 + 2 + 2 +... = b 8 1 3 5 n=0 (2n + 1)2  π2 1 1 1 1 = b (−1)n+1 2 = 2 − 2 + 2 − + . . . 12 n=1 n 1 2 3

1 1 1 1 = + + +... n(n + 1) 1 ċ 2 2 ċ 3 3 ċ 4 1 1 1 1 1 = b = + + +... 2 n=1 (2n − 1)(2n + 1) 1 ċ 3 3 ċ 5 5 ċ 7  1 1 1 1 = b = + +... 4 n=1 n(n + 1)(n + 2) 1 ċ 2 ċ 3 2 ċ 3 ċ 4  1 1 1 1 2 = b n = 1+ + + +... 2 4 8 n=0 2  1 1 1 1 ln 2 = b (−1)n+1 = 1 − + − + − . . . n 2 3 4 n=1  1 1 1 = 1+ + +... e= b 1! 2! n=0 n!

1= b

n=1 





k=0

k=0

b q k = 1 + q + q 2 + . . . konvergent  q < 1 und b q k =

1 1−q

divergente Reihen 



1 1 1 = 1+ + +... n 2 3 (harmonische Reihe)

b (−1)n

b

n=0

n=1

(= 0)

Wichtige Konvergenz-Tests: 

① ; b an ; < 0  an \ 0 n=1

(aber nicht ,,p“) 

② a n \ 0 mit 0 < a n+1 < a n  b (−1)n a n n=0

③ Gilt 6



a n+1 6  q < 1 für alle n n 0 , so ist b a n an n=1

konvergent (Leibniz) konvergent (Quotientenkriterium)

A. Summen, Folgen und Reihen



Übersicht A-. Reihenentwicklung von Funktionen. Potenzreihen Satz von Taylor: Ist f (x) im Intervall a < x < b (n + 1)-mal differenzierbar, ist x 0  ]a, b[, so ist h  h n (n) f (x 0 ) + . . . + f (x 0 ) + R n q Taylor-Formel 1! n! h n+1 (n+1) wobei R n = R n (x 0 , h) = (x 0 + δh) mit einem gewissen 0  δ  1 das f (n + 1)! sogenannte Lagrange-Restglied ist.

q f (x 0 + h) = f (x 0 ) +

Falls nun f (x) beliebig oft differenzierbar ist, falls ferner R n \ 0 (was leider nicht immer gilt), so gen

winnt man aus der Taylor-Formel die Taylor-Reihe/McLaurin’sche Reihe/analytische Entwicklung der Funktion f (um x 0 ). Im Folgenden einige Spezialfälle. Binomische Reihen m(m − 1) ċ . . . ċ (m − n + 1) m  = n n! n n n x  1 (1  x)n = 1    x +   x 2    x 3 +  . . . 1 2 3 1 1 1 3 5 4 7 5 21 6 1 2 x  x − x ... (1  x) 2 = 1  x − x  x − 2 8 16 128 256 1024 Exponentialfunktionen x2

 xi

x + +... = b x < 0 1! 2! i=0 i! 2 2 x ln a x ln a a x = ex ln a = 1 + + +... x < 0 1! 2! a0 ex = 1 +

Logarithmusfunktionen (x − 1) x − 1 (x − 1) − + − +... 0<x2 1 3 3 x2 x3 x4 ln(1 + x) = x − + − + −... −1 < x  1 2 3 4 2 3 x x ln(1 − x) = − x + + + . . .! −1 < x < 1 2 3 (1 + x) x3 x5 ln = 2 artanh x = 2 x + + + . . .! x < 1 (1 − x) 3 5 (x + 1) 1 1 1 ln = 2 arcoth x = 2  + 3 + 5 + . . . x  1 (x − 1) x 3x 5x ln x =

2

3

x  1



A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). trigonometrische Funktionen x3 x5 x7 + − + −... x < 0 3! 5! 7! 2 4 6 x x x cos x = 1 − + − + −... x < 0 2! 4! 6! 2 17 7 π 1 x < x +... tan x = x + x 3 + x 5 + 3 15 315 2 1 1 2 5 1 cot x = − x − x 3 − 0 < x < π x −... x 3 45 945

sin x = x −

zyklometrische Funktionen 1ċ3 x 1 ċ 3 ċ 5 x7 1x + + +... x < 1 2 3 2ċ4 5 2ċ4ċ6 7 π 1 x3 1 ċ 3 x5 1 ċ 3 ċ 5 x7 arccos x = − x − − − +... x < 1 2 2 3 2ċ4 5 2ċ4ċ6 7 3 5 7 x x x arctan x = x − + − + −... x < 1 3 5 7 3 5 7 π x x x arccot x = − x + − + − +... x < 1 2 3 5 7

arcsin x = x +

3

5

Hyperbelfunktionen 1 3 1 5 1 7 x + x + x +... x < 0 3! 5! 7! 1 1 1 x < 0 cosh x = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . 2! 4! 6! 2 17 7 π 1 x + −... x < tanh x = x − x 3 + x 5 − 3 15 315 2 1 x x 3 2x 5 + − +... 0 < x < π coth x = + − x 3 45 945

sinh x = x +

Areafunktionen 1 x3 1 ċ 3 x5 1 ċ 3 ċ 5 x7 + − +... x < 1 2 3 2ċ4 5 2ċ4ċ6 7 1ċ3 1 1ċ3ċ5 1 1 1 − 5 arcosh x =  ln(2x) − ċ 2 − ċ ċ 2 2x 2 ċ 4 4x 4 2 ċ 4 ċ 6 6x 6 3 5 7 x x x artanh x = x + + + +... x < 1 3 5 7 1 1 1 1 1 x  1 arcoth x = + ċ 3 + ċ 5 + . . . x 3 x 5 x

arsinh x = x −

x1

A. Fourier-Reihen

Übersicht A-. (Fortsetzung). Näherungen (ε sehr klein) (1  ε)n  1  nε

ε ll 1 ε n n (a  ε)n  a  a 1  n  a  1 1ε  1 ε 2   ε a  ε  a 1   2a 1 11ε 1ε 1 1 ε  1 1  aε a a 1 1  11 ε  2 1ε ε 1 1    1 1  a 2a aε " q p (1 + ε)q  1  ε p

" p

1 (1  ε)q

eε  1 + ε;

 11

q ε p

a ε  1 + ε ln a

ln(1 + ε)  ε 1+ε   2ε; ln  1−ε

ln(ε +



ε 2 + 1)  ε

1 cos ε  1 − ε 2 2 1 tan ε  ε; cot ε  ε arcsin ε  ε; arctan ε  ε ε2 sinh ε  ε; cosh ε  1 + 2 1 tanh ε  ε; coth ε  ε arsinh ε  ε; artanh ε  ε sin ε  ε;

allgemein: f (ε)  f (0) + ε f  (0)

Diese Entwicklungen können für Näherungen verwendet werden, sowie die Taylorentwicklung selbst: f (h) = f (0) + h ċ f  (0) + R 2 mit R 2  h 2

A.16 Fourier-Reihen Übersicht A-. Fourier-Reihen. Kurvenform

Fourier-Reihe

Rechteckimpulse f (x) =

cos 3b 4a cos b s sin x + sin(3x)+ π 1 3 cos 5b + sin(5x) + . . .t 5

f (x) =

cos(2b) 2a b sin b s + cos x + cos(2x)+ π 2 1 2 sin(3b) + cos(3x) + . . .t 3





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Kurvenform

Fourier-Reihe

Rechteckkurve f (x) =

cos(3x) cos(5x) 4a scos x − + − + . . .t π 3 5

f (x) =

4a sin(3x) sin(5x) ssin x − + − + . . .t π 3 5

Dreieckimpuls f (x) =

ab 2a (1 − cos b) 1 − cos(2b) s cos x + cos(2x) + 2π π2 12 22 1 − cos(3b) cos(3x) + . . .t + 32

f (x) =

8 cos(3x) cos(5x) a s1 + 2 cos x + + + . . .!t 2 π 32 52

f (x) =

a 8 cos(3x) cos(5x) s1 − 2 cos x + + + . . .!t 2 π 32 52

f (x) =

8a sin x sin(3x) sin(5x) s 2 − + − + . . .t π2 1 32 52

f (x) =

8a cos x cos(3x) cos(5x) s 2 − + − + . . .t π2 1 32 52

Dreieckkurve

A. Fourier-Reihen



Übersicht A-. (Fortsetzung). Kurvenform

Fourier-Reihe

Sägezahnkurve f (x) = −

sin(2x) sin(3x) 2a ssin x + + + . . .t π 2 3

f (x) =

2a sin x sin(2x) sin(3x) s − + − + . . .t π 1 2 3

f (x) =

a 2 s1 − 2 π

gleichgerichteter Wechselstrom (Einweggleichrichtung) f (x) =

gleichgerichteter Wechselstrom (Zweiweggleichrichtung) f (x) =

sin x sin(2x) sin(3x) + + + . . .!t 1 2 3

π 2 a 1 + cos x + cos(2x)− π 2 1ċ3 2 2 − cos(4x) + cos(6x) − + . . .5 3ċ5 5ċ7

2a 2 2 1 + cos(2x) − cos(4x)+ π 1ċ3 3ċ5 2 cos(6x) − + . . .5 + 5ċ7



A Mathematik

A.17 Fourier-Transformation Übersicht A-. Fourier-Transformation. Lösungsansatz

Zeitfunktion: zeitlicher Verlauf des Signals Frequenzfunktion: Frequenzen, Amplituden und Phasen Eigenschaft der Verschiebung Verschiebung des Spektrums um ω 0 Zeitfunktion amplitudenmodulierte Kosinusfunktion

Frequenzfunktion Spektrum ist um ω 0 verschoben

Eigenschaft der Ähnlichkeit reziprokes Verhalten der Breite der Zeitfunktion Δt und der Breite der Frequenzfunktion Δω. Δt ċ Δω = 1 Unschärferelation Physik: Δx ċ Δp x h Δx Ortsschärfe; Δp x Impulsschärfe in x-Richtung; h Planck’sches Wirkungsquantum; h = 6,626 ċ 10−34 J ċ s Nachrichtentechnik: T ċ 2B = 1 Shannon’sches Abtasttheorem T Abtastintervall; B Bandbreite

A. Fourier-Transformation

Übersicht A-. (Fortsetzung). Eigenschaft der Ähnlichkeit Zeitfunktion

Frequenzfunktion

breite Zeitfunktion

schmale Frequenzfunktion

schmale Zeitfunktion

breite Frequenzfunktion

Fourier-Transformation Zeitfunktion

Frequenzfunktion

F(ω) = Rechteckimpuls 1 1 4 f (t) = sin(t) + sin(3t) + sin(5t) + . . . π 3 5

Dreieckimpuls 4 1 1 1 f (t) = + 2  2 cos(t) + 2 cos(3t) 2 π 1 3 1 + 2 cos(5t) + . . . 5

F(ω) =

2 sin(ωT) ω

4 sin2 (ωT 2) Tω 2





A Mathematik

Übersicht A-. (Fortsetzung). Fourier-Transformation Zeitfunktion

Frequenzfunktion

2

Impuls einer cos -Funktion π ċ t f (t) = cos2  2T

Impuls einer Gauß-Funktion 2 2 f (t) = e−t 2T

F(ω) =

F(ω) =

sin(ωT) ċ ωT



T 1 + jωT

F(ω) =

Einheitsimpuls (Dirac-Impuls) f (t) = δt

F(ω) = 1

1

2π ċ T ċ e− 2 (ωT)

Exponentialimpuls f (t) = e−t T

T ωT 2  1− π

2

A. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

A.18 Gewöhnliche Differenzialgleichungen Differenzialgleichungen sind Gleichungen, bei welchen als Lösungen Funktionen gesucht sind. Handelt es sich bei diesen gesuchten Funktionen um solche einer einzigen Variablen, so spricht man von gewöhnlichen Differenzialgleichungen – ansonsten von ,,partiellen Differenzialgleichungen“. Die allgemeine (oder implizite) Form einer gewöhnlichen Differenzialgleichung lautet 

F(x, y, y , . . . , y

(n)

) = 0,

und man nennt die höchste in der Gleichung auftretende Ableitungsordnung der zu suchenden Funktion y(x), die – in F(x, y, y  , . . . , y (n) ) = 0 eingesetzt – der Gleichung genügt, die Ordnung der Differenzialgleichung. Kann die Gleichung F(x, y, y  , . . . , y (n) ) = 0 explizit nach y (n) aufgelöst werden, so liegt mit y

(n)

= f (x, y, . . . , y

(n−1)

)

die allgemeine, explizite Form einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung vor. z. B.: x ċ e

y y 

−1 =1y = ln x . y 

Bei mehreren, gekoppelten Gleichungen für mehrere (ebenso viele) gesuchte Funktionen spricht man von Differenzialgleichungssystemen; Differenzialgleichungen höherer Ordnung können in der Regel in Systeme . Ordnung überführt werden. In Physik und Technik sind insbesondere die beiden (expliziten) Grundtypen wichtig: 

y = f (x, y)

(Differenzialgleichung . Ordnung)





y = f (x, y, y )



A.18.1 Differenzialgleichung y  = f (x, y) Es sei f : IxM  R eine stetige Funktion; I und M seien Intervalle in R. Gesucht ist eine Funktion y I˜  R, welche differenzierbar ist und für die die Wohldefiniertheitsbedingung I˜ ⊂ I und ˜ ⊂ M gilt, sodass y(I) 

y (x) = f (x, y(x))

für alle

x I˜

identisch erfüllt ist. Solche Differenzialgleichungen haben i. Allg. viele Lösungen, nämlich a) eine Funktionsschar y k (x), (die ,,allgemeine Lösung“) abhängig von einem reellen Parameter λ R b) sogenannte ,,singuläre Lösungen“, das sind solche, die in der allgemeinen Lösung nicht vorkommen Beispiel: Für die Differenzialgleichung y  = x(y − 2)2 hat man die Lösungen y λ (x) =

2 λ − x2

(λ R)

und y = const = 2 Zentrale Bedeutung für die gesamte Theorie und Praxis der Differenzialgleichungen hat der Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Theorem (Existenz- und Eindeutigkeitssatz) Es sei f : IxM stetig und sei x0 I. Dann hat für jedes y 0 M das sogenannte Anfangswertproblem (AWP) 

(Differenzialgleichung

y = f (x, y)

. Ordnung)

y(x0 ) = y 0



A Mathematik

mindestens eine Lösung. Ist die Funktion f sogar noch differenzierbar auf IxM (allgemeiner: lokal gleichmäßig lipschitzstetig bzgl. y), so hat das Anfangswertproblem genau eine Lösung. (Die Vorgabe von y 0 kann also als Parameter λ der allgemeinen Lösung (lokal um x0 ) dienen).

bekommt man durch Zeichnen des Richtungsfeldes: Ist nämlich y(x) eine Lösung, so ist y  (x) einerseits die Steigung an diese Kurve in x und andererseits gleich dem Wert f (x, y(x)). Durch Zeichnen vieler kleiner Steigungsgeraden erhält man das Richtungsfeld und durch glattes Verbinden gelangt man zu den Lösungskurven. A.18.2 Lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung Sie lautet: 

y + g(x)y = h(x)

Eine geometrische Vorstellung der Lösungsschar der Differenzialgleichung y  = f (x, y)

mit stetigen Funktionen g und h auf einem Intervall I. Die Gleichung heißt homogen  h(x) = 0, sonst inhomogen. Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:

allgemein

Beispiel

Methode  (Lösung nach Formel): y(x) löst die gegebene Differenzialgleichung  x

t

x

y(x) = Uk + ' Sh(t) e

g(s) ds T

−  g(s) ds

dtV e

x0

x0

Hierbei ist k  R beliebig, x 0  I beliebig. Offenbar gilt dann auch y(x 0 ) = k

y  + 2y = 3x 2 + 1 x

y(x) = Uk + ' ((3t 2 + 1) e2t ) dtV e−2x 0

−2x

= ke

= k e−2x

1 x2 x 1 − + ! + t e−2 2 2 4 2 3 3 5 + x2 − x + (k  R) 2 2 4 + s3 e2x

Methode  (Variation der Konstanten): Dies ist eine spezielle Form eines Ansatzverfahrens, welches in  Schritten verläuft: .

Lösung der homogenen Gleichung:

x

G(x) = ' 2 ds = 2x x0

x

 y(x) = k e−2x ,

x0

Ansatz: y(x) = k(x) e−2x

Ist G(x) = ' g(s) ds irgendeine Stammfunktion von g(x), so ist die Gesamtheit aller Lösungen von y  + g(x)y = 0 durch y(x) = k e−G(x) , kR gegeben. .

y  + 2y = 3x 2 + 1

,,Variation der Konstanten“: Der spezielle Ansatz y(x) = k(x) e−G(x) führt auf die Bedingung k  (x) e−G(x) = h(x), also k(x) = x

G(t) T dt in Übereinstimmung mit der ' Sh(t) e

x0

angegebenen Formel.

kR

x

k(x) = ' S(3t 2 + 1) e2t T dt x0

5 3 3 =  x 2 − x +  e2x + C 2 2 4 3 3 5  y(x) = C ċ e−2x + x 2 − x + , 2 2 4

CR

A. Gewöhnliche Differenzialgleichungen allgemein



Beispiel

Methode  (Spezielle Ansatzmethode) Ist die Inhomogenität h(x) von einem bestimmten Funktionstyp (z. B. ein Polynom) und ist der Zuwachsfaktor g(x) ähnlichen Typs, so sind auch oftmals Lösungsansätze erfolgreich, bei der eine Lösung y(x) ebenfalls von diesem Typ ist, dargestellt durch unbekannte Parameter, welche durch Einsetzen in die Differenzialgleichung bestimmt werden. Hat man auf diese Weise eine Lösung y der inhomogenen Differenzialgleichung gefunden, so lautet die allgemeine Lösung y(x) = y 0 (x) + y s p (x) mit y 0 + g(x)y 0 = 0 .

A.18.3 Separierbare Differenzialgleichungen Eine Differenzialgleichung ist von separierter Form, falls y  = h(x)g(y) , dy = h(x) dx (die g(y) Variablen x und y erscheinen auf getrennten Seiten der Gleichung). sodass man auch schreibt:

y  + 2y = 3x 2 + 1 y 0 (x) = k e−2x ist die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung. Für eine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung macht man den Ansatz y(x) = αx 2 + βx + γ y  + 2y = 2αx + β + 2αx 2 + 2βx + 2γ = 3x 2 + 1 Koeffizientenvergleich ergibt: 3 5 3 α= , β=− , γ= 2 2 4 5 3 3  y(x) = k e−2x + x 2 − x + , 2 2 4

kR

Eine Differenzialgleichung heißt separierbar, falls man sie durch Umformungen auf separierte Form bringen kann. Besonders wichtige Beispiele für separierte Differenzialgleichungen liefern die sogenannten ,,homogenen“ Differenzialgleichungen (nicht zu verwechseln mit den ,,homogenen linearen“ Differenzialgleichungen). Historisch bedingt, heißt eine Differenzialgleichung der Form y y = f  x

allgemein

Beispiel

Lösung der separierten Differenzialgleichung

y  = k(a − y)n

y  = h(x)g(y).

(chemische Reaktionsgleichung n-ter Ordnung) Singuläre Lösung: y f a Allgemeine Lösung: y =k (a − y)n 1  (a − y)1−n = kx + c 1−n

Zunächst Achtung: Jede Nullstelle von g(y) liefert eine konstante, singuläre Lösung: g(y 0 ) = 0  y(x) = y 0

ist eine Lösung.

Allgemeine Lösungen lassen sich nur in Intervallen I angeben, in denen g(y) nullstellenfrei ist. Vorgehensweise:

1

. Integriere

y 1 1 bzgl. y, also G(y) = ' dt g(y) g(t) x

. Integriere h(x) bzgl. x, also H(x) = ' h(t) dt

 y(x) = a − ((1 − n)kx + c) 1−n , y  = ky(a − y)

CR

(logistische Differenzialgleichung)



A Mathematik

homogen. Geometrisch bedeutet dies, dass das Richtungsfeld auf allen Halbstrahlen y = αx konstant ist.

allgemein . Die implizite Darstellung der allgemeinen Lösung lautet G(y) = H(x) + C, C  R. Umstellen nach y (sofern möglich) liefert die explizite Lösung y(x).

Beispiel Singuläre Lösungen y f 0 oder y f a Allgemeine Lösung: y =k y(a − y) 

1 1 1 s + t y = k a y a−y

 ln y − ln(a − y) = akx + c y  = k eakx , k0 a−y a  y(x) = a − 1 + k eakx

logistische Gleichung für k  0

allgemein Die Differenzialgleichung ist separierbar: y Man setzt u = , also x y(x) = xu(x)  y  (x) = u(x) + xu  (x) f (u) − u x Dies ist eine separierte Differenzialgleichung für u. Ist u(x) bekannt, so erhält man die Lösung y(x) der ursprünglichen Differenzialgleichung aus dem Transformationsansatz,  u  (x) = (y  (x) − u(x)) x =

y(x) = x ċ u(x).

Beispiel 

"

x y = y + x 2 + y 2 , also # y y 2 y = + 1 +   ; x x y erhalten wir eine Differenzialgleichung mit u = x für u, nämlich  u + 1 + u2 − u 1  u = = 1 + u2 x x u 1   = 1 + u2 x  arsinh u = ln x + c  2u = 2 sinh(ln x + c) = e(ln x+c) − e−(ln x+c) 1 (k  0) = kx − kx 1 1  y = kx 2 − (k  R) 2 2k

A. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

A.18.4 Exakte Differenzialgleichungen

(b) Die Integrabilitätsbedingung ∂g ∂h (x, y) = (x, y) ∂y ∂x ist überall erfüllt.

Symbolisch kann die Differenzialgleichung y  = f (x, y) auch so geschrieben werden: dy − f (x, y) dx = 0 ,

(x , y)

sodass man mit einer zunächst willkürlichen g(x, y) Aufspaltung f (x, y) = auf die Form h(x, y) g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 kommt. Angenommen, es gäbe eine Funktion V (x, y) (,,Potenzial“) mit ∂V (x, y) = g(x, y) ∂x und ∂V (x, y) = h(x, y) , ∂y



(c)

Das Kurvenintegral

*

(x 0 , y 0 )

g dx + h dy ist

wegunabhängig. Folgerung: Ist eine Differenzialgleichung in der Form g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 gegeben, so prüft man mittels Integrabilitätsbedingung (b), ob die Gleichung exakt ist. Ist dies der Fall, so lässt sich die Potenzialfunktion V (x, y) als Kurvenintegral finden, x,y

V (x, y) = #

g dx + h dy

(x 0 , y 0 )

dann wird durch die Gleichung V (x, y) = const eine implizit gegebene Abhängigkeit zwischen x und y erzwungen, lokal ist y = y(x), und man hat ∂V ∂V dy d V (x, y(x)) = 0 = + . dx ∂x ∂y dx Das bedeutet: Die Gleichung y(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 ist erfüllt. Die Theorie ist in folgendem Theorem zusammengefasst, welches sagt, wann eine solche Potenzialfunktion existiert und wie man sie berechnet.

b

= # g(x(t), y(t))x  (t) dt a

+ h(x(t), y(t))y  (t) dt , wobei [a, b] - t  (x(t), y(t)) R2 eine Parametrisierung eines Weges von (x0 , y 0 ) nach (x, y) ist. Eine für viele Fälle praktische Methode besteht in folgender achsenparalleler Integration: Setze x

V (x, y) = # g(t, y) dt + C(y) x0

Theorem (Exakte Differenzialgleichungen) Gegeben ist eine Differenzialgleichung in der Form g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0, wobei g und h stetige Funktionen sind auf einem dimensionalen Bereich, welcher keine Löcher hat (,,einfach zusammenhängendes Gebiet“). Dann sind äquivalent (a)

Die Differenzialgleichung ist exakt – d. h. per definitionem: Es gibt eine Potenzialfunktion V (x, y) mit ∂V =g ∂x

und

∂V =h ∂y

y

V (x, y) = # h(x, t) dt + D(x) y0

und bestimme C und D durch Vergleich. Beispiel: 2x dx + 4y dy = 0 Die Integrabilitätsbedingung (b) ist erfüllt. Dann ist x

V (x, y) = # 2t dt + C(y) = x 2 + C(y) y 2

V (x, y) = # 4t dt + D(x) = 2y + D(x) ;



A Mathematik

also ist D(x) = x 2 + C und C(y) = 2y 2 − C, man hat

y  + ay  + by = 0 ;

dies ist eine von  reellen Parametern abhängende Funktionsschar. (II) Man versucht irgendwie, eine (einzige) Löund die Gleichung sung y s p der inhomogenen Gleichung zu 2 2 2 x + 2y = const = r ermitteln. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung lautet dann liefert Ellipsen als Lösungskurven der Differenzialgleichung. y(x) = y s p (x) + y 0 (x) , V (x, y) = x 2 + 2y 2 + C ,

Methode des ,,integrierenden Faktors“:

wobei y 0 die Gesamtheit der Lösungen der homogenen Gleichung durchläuft.

Die Differenzialgleichung g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 ist gleichwertig zu derjenigen, wenn man sie mit einer beliebigen Funktion μ(x, y) multipliziert (μ  0) μ(x, y)g(x, y) dx + μ(x, y)h(x, y) dy = 0 .// / / / / / / / / / / / / / / / / 0 / / / / / / / / / / / / / / / / / 1 .// / / / / / / / / / / / / / / / / 0// / / / / / / / / / / / / / / / / 1 ˜ g˜(x, y) h(x, y) Ist nun die Integrabilitätsbedingung (b) für die Differenzialgleichung g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0 verletzt, so versucht man durch geschickte Wahl eines sogenannten integrierenden Faktors μ(x, y), dass die neue Differenzialgleichung μ(x, y)g(x, y) dx + μ(x, y)h(x, y) dy = 0 diese Bedingung erfüllt.

Methode zu I: Universelle Methode liefert der Ansatz y 0 (x) = e λx mit unbekanntem λ C. Dann ist y 0 (x) + ay 0 (x) + by 0 (x) = 0  λ 2 + aλ + b = 0 mit den beiden Nullstellen λ 1 , λ 2 C. Aus dem Lösungscharakter dieser quadratischen Gleichung ergeben sich  Fälle: ① λ 1 , λ 2 R und λ 1  λ 2 : Dann sind alle Lösungen der homogenen Differenzialgleichung von der Form y 0 (x) = c 1 e λ 1 x + c 2 e λ 2 x mit

A.18.5 Lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung Grundlegend für alle Schwingungsprobleme der Mechanik wie auch der Elektrotechnik ist die Differenzialgleichung 



y + ay + by = h(x) mit konstanten Koeffizienten a, b R und einer – bis auf eventuelle Sprungstellen – stetigen Inhomogenität h(x). Aufgrund der Linearität der Gleichung ist die Vorgehensweise so: (I) Man ermittelt die Gesamtheit aller Lösungen y 0 der homogenen Differenzialgleichung,

c1 , c2 R

② λ 1 , λ 2 R und λ 1 = λ 2 : Dann sind alle Lösungen der homogenen Differenzialgleichung von der Form y 0 (x) = e λ 1 x (c 1 + c 2 x) mit

c1 , c2 R

③ λ 1 und λ 2 sind komplex (dann ist automatisch λ 2 = λ 1 ): Dann sind die Lösungen der homogenen Differenzialgleichung von der Form y 0 (x) = e α x (c 1 cos ωx + c 2 sin ωx) mit

c1 , c2 R

und

λ 1 = α + jω, λ 2 = α − jω

A. Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Methoden zu II: ) Geeignete Ansätze vom Typ der Inhomogenität h(x) ) Grundlösungsverfahren, Faltungsintegral: Man wählt die Parameter c 1 , c 2 so, dass die Lösung y 0 der homogenen Gleichung zusätzlich die Bedingungen y 0 (x0 ) = 0,



y 0 (x0 ) = 1

erfüllt (wobei x0 fixiert ist). Dann ist x

y s p (x) = # h(t)y 0 (x0 + x − t) dt x0

A.18.6 Differenzialgleichungen 2. Ordnung und Energie-Satz Fehlt in der Differenzialgleichung y  + ay  + by = 0 der ,,Reibungsterm“ ay  (d. h. ist a = 0), so liegt ein Sonderfall der allgemeinen Form einer expliziten Differenzialgleichung . Ordnung vor: y  = f (y) . Diese Gleichung kann man sofort einmal integrieren – mittels beidseitiger Multiplikation mit y  erhält man y  y  = y  f (y) .

eine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung. ) Variation der Konstanten (der Lösungsschar der homogenen Differenzialgleichung).

Ist nun F(y) = * f (y) dy, so ist

Beispiel:

also

y  + 2y  + 2y = x 2 + x − 1 Mit e λx löst man die homogene Gleichung, λ 2 + 2λ + 2 = 0  λ 1,2 = −1  j −x

 y 0 (x) = e c 1 cos x + c 2 sin x ; die inhomogene Gleichung löst man durch Ansatz: y(x) = ax 2 + bx + c mit unbekannten a, b, c R 2a + 22ax + b + 2ax 2 + bx + c = x2 + x − 1  2ax 2 + x4a + 2b + 2a + 2b + 2c = x2 + x − 1



y

d d  2 (y ) = 2y  y  und F(y) = f (y) ċ y  , dx dx



y = f (y) 

1  2 (y ) − F(y) = const , 2

was gewöhnlich als Energiesatz bezeichnet wird. A.18.7 Spezielle Differenzialgleichungen höherer Ordnung Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten, y (n) + a n−1 y (n−1) + . . . + a 0 y = h(x) , $y (k) =

dk y' dx k

 2a = 1, 4a + 2b = 1

mit a k R und gegebener Inhomogenität h(x) werden so behandelt:

und 2a + 2b + 2c = −1 1 1 1 a= , b=− , c=− 2 2 2  y(x) = e−x c 1 cos x + c 2 sin x 1 2 + (x − x − 1) 2

Erstens bestimmt man die Gesamtheit V0 aller Lösungen der homogenen Gleichung (h(x) = 0). Diese Gesamtheit ist ein reell n-dimensionaler Raum und man erhält ihn so: Mit dem Ansatz y(x) = e λx mit unbekanntem λ C erhält man die Gleichwertigkeit



A Mathematik

von Differenzialgleichung und polynomialer Gleichung, nämlich y

(n)

+ a n−1 y n

(n−1)

 λ + a n−1 λ

n−1

+ a n−2 y

(n−2)

+ a n−2 λ

n−2

+ . . . + a0 y = 0 ,

+ . . . + a0 λ = 0 ,

(charakteristische Gleichung) In C besitzt diese charakteristische Gleichung mit Vielfachheiten genau n Lösungen. Weil die Koeffizienten a k reell sind, ist mit jeder Wurzel λ C auch λ eine Lösung der charakteristischen Gleichung gleicher Vielfachheit, sodass sich folgende allgemeine Vorgehensweise ergibt: – Es seien λ 1 , . . . , λ r die reellen (paarweise verschiedenen) Nullstellen mit Vielfachheiten n 1 , . . . , n r – Es seien α 1  jβ 1 , . . . , α s + jβ s die (konjungiert) komplexen Nullstellen mit Vielfachheiten m 1 , . . ., m s

allgemein y(x) = y s p (x) + y 0 (x)

mit y 0 (x)  V0

Dann ist der Lösungsraum V0 gegeben durch y V0  y(x) hat folgende Darstellung y(x) = e λ 1 x P1 (x) + . . . + e λ r x Pr (x) +e

α1 x

Q 1 (x) cos β 1 x + R 1 (x) sin β 1 x

+ . . . + e α s x Q s (x) cos β s x + R s (x) sin β s x Hierbei ist Pk ein beliebiges Polynom vom Grad < n k (k = 1, . . . , r), Q k und R k sind beliebige Polynome vom Grad < m k (k = 1, . . . , s). Zweitens sucht man irgendeine Lösung y s p der inhomogenen Differenzialgleichung, wobei geeignete Ansätze für y s p vorteilhaft sind. Rechnerische Methoden liefern die Laplace-Transformation sowie die Variation aller Konstanten, welche bei der Lösung der homogenen Gleichung auftreten. Die allgemeine Lösung ergibt sich dann aus Gründen der Linearität der Differenzialgleichung zu

Beispiel y (4) + 2y (2) + 8y  + 5y = 5x 2 + 26x + 5 Lösung der homogenen Gleichung mit e2x ,und die charakteristische Gleichung lautet P(λ) = λ 4 + 2λ 2 + 8λ + 5 = 0, es gilt: P(λ) = [(λ − 2)2 + 1][λ + 1]2 mit den Nullstellen λ 1 = −1 (Vielfachheit ) und λ 2 = 2  j (Vielfachheit ) y 0 (x) = e−x a 1 + b 1 x + e2x a 2 cos x + b 2 sin x ist die allgemeine Darstellung der reellen Lösungen der homogenen Gleichung mit den  freien Parametern a 1 , b 1 , a 2 , b 2  R. Für die inhomogene Gleichung macht man einen Polynomansatz gleichen Grades wie die vorliegende Inhomogenität: y s p (x) = ax 2 + bx + c  y (4) = 0, y (2) = 2a, y  = 2ax + b, also 2 ċ 2a + 8(2ax + b) + 5(ax 2 + bx + c) = 5x 2 + 26x + 5  5ax 2 + x16a + 5b + 4a + 8b + 5c = 5x 2 + 26x + 5  5a = 5, 5b + 16a = 26, 4a + 8b + 5c = 5  a = 1, b = 2, c = −3

A. Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

A.19 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

Permutation:

A.19.1 Kombinatorik

(a) eine bijektive Abbildung φ M  M

Die Kombinatorik befasst sich mit Anzahlproblemen endlicher Mengen (das sind Mengen mit endlich vielen Elementen). Eine typische Fragestellung lautet etwa: Auf wie viele Weisen kann man bei einer Menge mit n Elementen Teilmengen mit k Elementen entnehmen (wobei noch gewisse Bedingungen – wie die Reihenfolge der Elemente u. a. – eine Rolle spielen können). Diese Anzahlprobleme lassen sich strukturieren in die Prozesse: Permutationen, Kombinationen (mit und ohne Wiederholungen) und Variationen (mit und ohne Wiederholungen). Bezeichnungen: Ist M eine Menge mit n Elementen, M = a 1 , . . . , a n , so schreibt man M = n (manchmal auch #M = n). Für n N ist n! = 1 ċ 2  n, 0! = 1 und für 0  k  n ist n! n $ '= k k!(n − k)!

(Binomialkoeffizient)

Grundregeln für Anzahlen bei endlichen Mengen: () M 1 2 M 2 = 0  M 1 3 M 2  = M 1  + M 2  () M 1 4 M 2  = M 1 M 2 ; allgemein M 1 4 M 2 4 . . . 4 M k  = M 1 M 2  . . . M k  () P(M) = 2M (P(M) = NN ist Teilmenge von M) () M 1  = M 2   es gibt eine umkehrbar eindeutige (bijektive) Abbildung φ  M1  M2



Sei M = n. Unter einer Permutation von M versteht man

(b) eine bijektive Abbildung φ 1, . . . , n  M (c) ein – hinsichtlich der Aufreihung – modifiziertes Anordnen (Aufschreiben) aller Elemente von M Beispiel: Alle Permutationen der  elementigen Menge M = a, b, c sind: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Eine Permutation von M ist eine Anordnung der Elemente von M. Satz (Permutationen) M = n  Es gibt n! Permutationen von M Ist M = a 1 , . . . , a n , also M = n, so kann man auf folgende  unterschiedliche Weisen sogenannte ,,k-Proben“ von Elementen von M bilden, das heißt ,,k-Plätze mit Elementen aus M belegen“; hierbei sei k N I

Es kommt auf die Reihenfolge an; Wiederholungen sind erlaubt II Es kommt auf die Reihenfolge an; Wiederholungen sind nicht erlaubt III Die Reihenfolge spielt keine Rolle; Wiederholungen sind erlaubt IV Die Reihenfolge spielt keine Rolle; Wiederholungen sind nicht erlaubt I und II nennt man Variationen mit/ohne Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse. III und IV nennt man Kombinationen mit/ohne Wiederholung von n Elementen zur k-ten Klasse. ,,Wiederholung“ bedeutet, dass in einem kTupel ein Element von M mehrmals auftreten kann. Beispiel: Sei M = 4, M = a, b, c, d und k = 2



A Mathematik

zu I:

zu II:

(a, a), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (b, b), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (c, c), (c, d), (d, c) und (d, d) (das sind 16 = 42 Möglichkeiten) (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (c, d) und (d, c) 4! = 4ċ3 Möglichkeiten' $das sind 12 = 2!

zu III: (a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d), (c, e), (c, d) und (d, d) 4+2−1 $das sind 10 = $ ' Möglich2 keiten' zu IV: (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (d, b) und (c, d) 4 $das sind 6 = $ ' Möglichkeiten' 2 Satz (Grundformeln der Kombinatorik) Es bezeichne a n,k (x) die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer n-elementigen Menge k-Proben zu entnehmen (mit x entweder Typ I, II, III oder IV) a n,k (I) = n k (geordnet, mit Wiederholung)

A.19.2 Wahrscheinlichkeiten Das zugrunde liegende Konzept kann am besten im Falle eines endlichen ,,Ereignisraumes E“ entwickelt werden: Es sei E = w 1 , . . . , w n  eine endliche Menge mit n Elementen. Jedes Element w k stellt – als Teilmenge w k  ⊂ E – ein sogenanntes Elementarereignis dar. Der Raum aller Ereignisse aus E ist nichts anderes als P(E) = AA ist Teilmenge von E, und ein Wahrscheinlichkeitsmaß p auf E ist eine Funktion p  P(E)  [0, 1] mit folgenden Eigenschaften: () p(E) = 1 (E heißt ,,sicheres Ereignis“) () p(0) = 0 (die leere Menge 0 ist das ,,unmögliche Ereignis“) () p(A 3 B) = p(A) + p(B) für A 2 B =0 (A ⊂ E mit 0 < p(A) < 1 heißt ,,zufälliges Ereignis“) Aus diesen definierenden Eigenschaften leiten sich folgende Rechenregeln ab: () p(E5A) = 1 − p(A) (E5A = w Ew  A () p(B)  p(A) für B 6 A () p(A 3 B) = p(A) + p(B) − p(A 2 B) () Ist A = w i i I ⊂ 1, . . . , n, so ist p(A) = 7 p(w i ) iI

Eine Menge E mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß p heißt Wahrscheinlichkeitsraum (E, p). n Wichtiger Spezialfall: a n,k (II) = $ ' k! = n ċ (n − 1)  (n − k + 1) k Gleichverteilung: (geordnet, ohne Wiederholung) 1 k = 1, . . . , n p(w k ) = n+k−1 n a n,k (III) = $ ' k (alle Elementarereignisse, w k , sind ,,gleich(ungeordnet, mit Wiederholung) wahrscheinlich“, Laplace’scher W-Raum) Ist (E, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum, so n ist die ,,bedingte“ Wahrscheinlichkeit p(BA) a n,k (IV) = $ ' k (B ⊂ E, A ⊂ E) diejenige Wahrscheinlichkeit (ungeordnet, ohne Wiederholung) für das Eintreten des Ereignisses B unter der

A. Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

Voraussetzung, dass das Ereignis A schon eingetreten ist; es gilt definitionsgemäß 8 9 9 p(B 2 A)p(A) p(BA) = : 9 9 ;0

(für p(A)  0) (für p(A) = 0)

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn p(AB) = p(A)

und

p(BA) = p(B)

gilt. Folgender Satz liefert die grundlegendsten Formeln: Theorem (Bedingte Wahrscheinlichkeit) ① Ist p(A 1 2 A 2 2 . . . 2 A k+1 )  0, so ist p(A 1 2A 2 2. . .2A k+1 ) = p(A 1 )ċ p(A 2 A 1 )ċ p(A 3 A 1 2 A 2 ) . . . p(A k+1 A 1 2 . . . 2 A k ) ② Sind p(A)  0 und p(B)  0, so gilt: A und B unabhängig  p(A 2 B) = p(A) ċ p(B) ③ Sind B 1 , . . . , B k E mit



A.19.3 Verteilungsfunktionen Es sei p: P(M)  [0, 1] eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (additive auf disjunkten Teilmengen, p(M) = 1, p(0) = 0); dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit folgendermaßen für eine ,,Zufallsvariable X“ definieren: Sei M eine Menge und X M  R eine (messbare) Funktion. Dann ist F(a) = p(X  a),

F R  [0, 1]

die Wahrscheinlichkeitsverteilung (bezüglich des Maßes p) der Zufallsvariablen X. Berechnung: F(a) ist die p-Wahrscheinlichkeit, dass die Größe X Werte zwischen − und a annimmt. In der Regel wird nun das Maß p durch eine ,,Dichtefunktion“ f dargestellt, – das heißt: Es gibt eine (o. E.) stetige Funktion f (x), f 0, mit 

# f (t) dt = 1

(a) p(B i )  0 (i = 1, . . . , k) (b) B i 2 B j  0 (i, j 1, . . . , k, i  j) (c) E = B 1 3 . . . 3 B k

mit

− a

F(a) = # f (t) dt

so heißt B 1 , . . . , B k  ein (für (E, p)) vollständiges Ereignissystem.

−

.// / / / / / / / / 0 / / / / / / / / / /1

Inhalt der Fläche gemäß Skizze

Satz über die vollständige Wahrscheinlichkeit: Es sei B 1 , . . . , B k  ein vollständiges Ereignissystem für den W-Raum (E, p). Dann gilt für A ⊂ E: k

p(A) = % p(AB j )p(B j ) j=1

④ Formel von Bayes Es sei B 1 , . . . , B k  ein vollständiges Ereignissystem für den W-Raum (E, p). Dann gilt für A ⊂ E: p(B j A) =

p(AB j )p(B j ) k

7 p(AB i )p(B i )

i=1

Mit Hilfe der Dichtefunktion lassen sich Quantile, Erwartungswerte, Standardabweichungen u. a. wie folgt beschreiben: 

– * f (t) dt = p(X a) = a-Quantil a

– Ist φ: R  R eine Funktion, so ist mit X auch φ(X) eine messbare Funktion auf M und 

E(φ(X)) = # φ(t) f (t) dt −



A Mathematik

heißt Erwartungswert von φ(X) – also 

E(X) = # t f (t) dt = μ −

ist Erwartungswert der Zufallsvariablen X.

−(t−μ)2 1 ċ e 2σ2 f (t) = 2πσ

ist die Dichte der sogenannten Normalverteilung mit den Parametern (μ, σ) – und die Zufallsvariable X mit a

2

(t − μ) f (t) dt = σ

2

heißt Varianz = (Standardabweichung)2 von X. Normalverteilung: Die Funktion

−(t−μ)2 1 p(X < a) = # e 2σ2 dt 2πσ −

ist dann normal (μ, σ)-verteilt. Die Parameter μ und σ 2 sind hierbei Erwartungswert und Varianz von X.

B Fehlerrechnung

Tabelle B-. Wichtige Normen. Norm

Bezeichnung

DIN  DIN   DIN  

Grundbegriffe der Messtechnik Stochastik Qualitätssicherung und Statistik

B.1 Messgenauigkeit In der Regel weisen die Wiederholungsmessungen einer physikalischen Größe G Abweichungen auf, die kennzeichnend für die Messgenauigkeit sind. Dabei ist zwischen den systematischen, für das Messverfahren charakteristischen Abweichungen und den zufälligen oder statistischen, vom Experimentator abhängigen Abweichungen zu unterscheiden. Zur grafischen Analyse der Messwertschwankungen dient das Histogramm (Bild B-). In dieses wird balkenförmig über dem Messwert x j die relative Häufigkeit h j des Messwerts aufgetragen: hj =

Nj ; N

(B–)

h j relative Häufigkeit des Messwertes x j , N Gesamtanzahl der Messungen der Größe x, N j Anzahl der Messungen mit dem Messwert x j . Bei statistischen Messabweichungen ist die Häufigkeitsverteilung symmetrisch zu einem häufigsten Wert, dem Erwartungswert μ. Starke Asymmetrien im Histogramm sind im Allgemeinen ein Hinweis auf systematische Abweichungen.

Bild B-. Histogramm der Verteilungsdichte h j (T) bei einer Schwingungsdauermessung sowie die Normalverteilungskurve nach Gl. (B–) für μ = T und σ 2 = s 2T mit T = 1,2116 s und s T = 0,0172 s.

B.2 Analyse statistischer Messwertverteilungen Bei statistischen Abweichungen der Messwerte geht die Häufigkeitsverteilung h(x j ) in eine glockenförmige Normalverteilung der Messwerte über, wenn die Anzahl der Wiederholungsmessungen stark erhöht wird. Im Grenzfall N   liegen die Werte des Histogramms auf der von C. F. Gauss aufgestellten Verteilungsfunktion h(x): h(x) =

1 2πσ 2

e

−

(x−μ)2 2σ 2

;

(B–)

h(x) Wahrscheinlichkeitsdichte für die Messung des Messwerts x, Varianz der Normalverteilung, σ2 μ Erwartungswert der Normalverteilung bzw. Messgröße x mit der höchsten Messwahrscheinlichkeit.



B Fehlerrechnung

Die Funktion h(x) ist zum Erwartungswert μ symmetrisch und durch den Faktor 1 2πσ 2 auf die Wahrscheinlichkeit  so normiert, dass gilt: 

# h(x)dx = 1 .

(B–)

−

Die Varianz σ 2 ist ein Maß für die Breite der Verteilungsfunktion h(x): 68,3% der Messwerte liegen im Bereich x = μ σ und 95,4% im Bereich x = μ2σ. Die Varianz σ 2 lässt sich aus der Halbwertsbreite b 1 2 , d. h. der Breite der Glockenkurve in halber Höhe des Maximums h(μ) der Normalverteilung, bestimmen:

σ2 =

2 b 1 2

8 ln 2

2 . = 0, 18 b 1 2

(B–)

Bei einer endlichen Anzahl N von Messungen der m diskreten Messwerte x1 , x2 , . . . , x m las-

sen sich für den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 aus der Häufigkeitsverteilung h(x j ) nach der Theorie der Beobachtungsfehler von Gauss Schätzwerte berechnen. Demnach ist der beste Schätzwert für μ der arithmetische Mittelwert x nach Gl. (B−5) in Tabelle B-. Für x ist die Fehlersumme FS [FS = 2 7(x i − x) mit i = 1, . . . , N] minimal und lässt sich nach Gl. (B−6) berechnen. Mit der auf die Anzahl der Wiederholungsmessungen N −1 normierten minimalen Fehlersumme FS min errechnet sich nach Gl. (B−7) die Standardabweichung s, deren Quadrat der beste Schätzwert für σ 2 ist. Eine Erhöhung der Anzahl N der Messungen vermindert nicht die Standardabweichung s, welche die Breite der Häufigkeitsverteilung bestimmt und damit die Genauigkeit des verwendeten Messverfahrens beschreibt. Dagegen erhöhen Wiederholungsmessungen die Genauigkeit, sodass der berechnete arithmetische Mittelwert x mit dem Erwartungswert μ der Messgröße übereinstimmt. Glei-

Tabelle B-. Beziehungen zur Berechnung der Kennwerte der Fehlerrechnung. Kennwerte der Fehlerrechnung

Beziehungen

x¯

arithmetischer Mittelwert; Schätzwert für den Erwartungswert

x¯ =

FS min

minimale Fehlersumme einer Anzahl von N Messwerten

¯ 2 FS min = b (x i − x)

1 N b xi N i =1

(B−5)

N

i=1 N

= b x i2 − N x¯ 2 (B−6) #

s

Standardabweichung des Messwerts bzw. Messverfahrens; Schätzwert für die Varianz

srel

relative Standardabweichung des Messwerts bzw. Messverfahrens

Δx¯

Standardabweichung des arithmetischen Mittelwerts

Δx¯rel

relative Standardabweichung des arithmetischen Mittelwerts

uz

Zufallskomponente der Messunsicherheit mit tP -Faktor der Student-Verteilung

i =1

FS min N −1 s srel = x¯ s Δx¯ =  N Δx¯ Δx¯rel = x¯ s=

¯P uz = Δxt

(B−7) (B−8) (B−9) (B−10) (B−11)

B. Analyse statistischer Messwertverteilungen

chung (B−9) in Tabelle B- für die Standardabweichung Δx des arithmetischen Mittelwerts ist das Maß für die nach N Messungen bestehende Abweichung des Schätzwerts x zum wahren Wert μ. Bei einer geringen Anzahl von Wiederholungsmessungen ist das arithmetische Mittel x als Schätzwert für μ sehr ungenau. Charakteristischer für die Genauigkeit der Bestimmung des Erwartungswerts μ ist in diesem Fall der Vertrauensbereich x − u bis x + u um den arithmetischen Mittelwert, in dem der Erwartungswert μ der Messgröße mit einer vorzugebenden Wahrscheinlichkeit, der statistischen Sicherheit P, liegt. Die Grenzen des Vertrauensbereichs um den arithmetischen Mittelwert werden durch die Messunsicherheit u = uz + us angegeben, welche sich aus dem Anteil der statistischen Messunsicherheit uz und der systematischen Messunsicherheit us zusammensetzt. Die systematische Messunsicherheit us muss geschätzt werden. Die statistische Messunsicherheit uz wird nach Gl. (B−11) in Tabelle B- mit Hilfe der Standardabweichung Δx des arithmetischen Mittelwerts berechnet und mit dem tP -Faktor der Student-Verteilung nach Tabelle B- gewichtet. Je nach gewählter statistischer Sicherheit P ist dieser unterschiedlich. In der physikalischen Messtechnik rechnet man mit der statistischen Sicherheit P = 68,3%. In der Industrie ist ein Wert P = 95,4% üblich. Das Ergebnis von N Messungen der Messgröße x mit einem Messverfahren, dessen Messgenauigkeit durch die Standardabweichung s und den Vertrauensbereich uz mit der statistischen Sicherheit P gekennzeichnet ist, wird in folgender Form angegeben: s xP = x  u z = x  t P ; N

(B–)



xP Ergebnis der Messwertanalyse der Messwerte x, x wahrscheinlichster Wert für die Messgröße x, uz Grenzwert des Vertrauensbereichs mit der statistischen Sicherheit P, tP Student-Faktor nach Tabelle B-, s Standardabweichung nach Gl. (B−7), N Gesamtanzahl der Messungen der Messgröße x.

Tabelle B-. Zahlenwerte nach DIN  und Anpassungspolynom des t-Faktors der Vertrauensgrenzen für verschiedene statistische Sicherheiten. Anzahl der Wiederholungsmessungen nw = N − k

statistische Sicherheit P 68,3% t 0,68

95,4% t 0,95

1      10   100  100

1,84 1,32 1,20 1,15 1,11 1,08 1,06 1,03 1,01 1,00 1,00

12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,37 2,25 2,09 2,01 1,98 1,96

Anpassungspolynom

t 0,68 = 1

t 0,95 = 1,96

+

0,584 nw

+

3,012 nw

−

0,032 nw2

−

1,273 nw2

+

0,288 nw3

+

8,992 nw3



B Fehlerrechnung

B.3 Fehlerfortpflanzung Tabelle B-. Beziehungen für die Kennwerte der Fehlerrechnung indirekt gemessener physikalischer Größen. Kennwerte der Fehlerfortpflanzung der Fehlerrechnung

Beziehungen

f

wahrscheinlichster Wert der indirekt gemessenen physikalischen Größe f

f = f (x, y, z, . . .)

sf

Standardabweichung der Größe f bzw. des indirekten Messverfahrens für f

Δf

absoluter Größtfehler der Größe f bzw. des Messverfahrens für f

Δ frel

relativer Größtfehler der Größe f bzw. des Messverfahrens für f

Δ frel, PP relativer Größtfehler eines Potenzprodukts f = x k ym zn

$ 2 2 % ∂f 2 ∂f ∂f & sf = % ! s 2x + ! s 2y + ! s 2z + . . . ∂x ∂y ∂z (B−14) ∂f ∂f ∂f Δ f = ; ; Δx + ; ; Δy + ; ; Δz + . . . (B−15) ∂x ∂y ∂z Δ frel =

Δf

(B−16)

f

Δ frel, PP = ;k

Δy Δz Δx ; + ;m ; + ;n ; x y z

x, y, z, . . . sx , s y , sz , . . .

arithmetische Mittelwerte der Teilmessgrößen x, y, z, . . . Standardabweichungen der Teilmessgrößen x, y, z, . . .

∂f ∂f ∂f , , ,... ∂x ∂y ∂z

partielle Ableitungen der Funktion f (x, y, z, . . .) nach den Teilgrößen x, y, z, . . . an der Stelle x, y, z, . . .

B.4 Regression – Kurvenanpassung Die Regressionsmethode lässt sich dazu verwenden, Theorien von Naturvorgängen messtechnisch zu überprüfen und die Parameter a 1 , a 2 , a 3 , . . . solcher Theorien zu bestimmen. Dazu werden für die in i = 1, 2, . . .N Messreihen verschieden eingestellten Messvariablen x1i , x2i , x3i , . . . (auch Beobachtungen genannt), die durch das experimentelle Vorgehen festgelegt werden, die Messwerte f i der Größe f gemessen, mit den aus der Theorie ermittelten Werten f (x1i , x2i , x3i , . . . ; a 1 , a 2 , a 3 , . . .) verglichen und die Theorieparameter a 1, a 2 , a 3 , . . . so gewählt, dass die theoretischen Werte der physikalischen Größe f im Rahmen der Mess-

(B−13)

(B−17)

genauigkeit mit den Messwerten möglichst gut übereinstimmen. Ist die Anzahl N der Messreihen gerade so groß wie die Anzahl der zu bestimmenden Theorieparameter, dann lassen diese sich aus den N Bestimmungsgleichungen ausrechnen. Mit der Methode der Fehlerfortpflanzung können dann die Standardabweichungen der Theorieparameter aus den Messfehlern der Messvariablen x i und der Messwerte f i bestimmt werden. Dieses Vorgehen hat aber das Risiko, dass schon bei einer Fehlmessung der Messvariablen oder Messwerte die ermittelten Regressionsparameter vollkommen falsch sind. In der Messpraxis führt man daher in der Regel weit mehr Messreihen aus, als Theorieparameter zu bestimmen sind. Dadurch entstehen unterschiedliche Wertesätze für die Theorie-

B. Regression – Kurvenanpassung

parameter, welche die Messungenauigkeit der Messvariablen und Messwerte widerspiegeln. Wird davon ausgegangen, dass die Messfehler zufällig und voneinander unabhängig sind, dann sollte sich ein Wertesatz für die Theorieparameter ergeben, der bei der Analyse der Messreihen gehäuft auftritt, der also mit größter Wahrscheinlichkeit bei einer weiteren Messreihe zu erwarten ist. Ziel der Ausgleichsrechnung oder Regression ist es, aus der Ausgleichung der Differenzen zwischen gemessener und theoretischer Größe f diesen wahrscheinlichsten Satz für die Theorieparameter a als Regressionsparameter zu bestimmen. Nach der Theorie der Beobachtungsfehler von Gauss sind die Theorieparameter a 1 , a 2 , . . . am wahrscheinlichsten und damit die zu bestimmenden Regressionsparameter, für die bei N Messreihen die Fehlersumme FS, d. h. die Summe der Quadrate der Abweichungen zwischen dem Messwert f i und dem theoretischem Wert f (x1i , x2i , . . . ; a 1 , a 2 , . . .), ein Minimum ist: N

FS = % g i [ f i − f (x1i , x2i , x3i , . . . ; i=1



N

−2 % g i [ f i − f (x1i , x2i , . . . ; a 1 , a 2 , . . .)] i=1

ċ

∂f =0; ∂a 2

(B–b)

gi Gewicht der Messung i, Messwert der Messung i, fi x1i , x2i , . . . Werte der Messvariablen x1 , x2 , . . . bei der Messung i, a 1 , a 2 , . . . anzupassende Regressionsparameter. Für Linearkombinationen der Regressionsparameter a 1 , a 2 , . . . ist das Normalgleichungssystem linear und geschlossen lösbar; im anderen Fall müssen in der Fachliteratur behandelte Reihenentwicklungen angewendet werden. Manchmal kann durch eine Koordinatentransformation  = ( f ) ein lineares Normalgleichungssystem für die Regressionsparameter erreicht werden; dadurch entsteht jedoch in der Regel eine andere Gewichtung der Messreihen. Ist die Standardabweichung s f für alle Messwerte f i gleich und kann der Messfehler der Messvariablen x1i , x2i , . . . vernachlässigt werden, dann ergeben sich die Gewichte g i aus

2

[a 1 , a 2 , a 3 , . . .)]  Minimum . (B–) Durch die Gewichte g i können die Beiträge einzelner Messreihen i zur Fehlersumme unterschiedlich gewichtet werden. Die Forderung dieser Regressionsmethode der kleinsten Quadrate führt auf ein System von Normalgleichungen für die Regressionsparameter a 1 , a 2 , . . .: N

−2 % g i [ f i − f (x1i , x2i , . . . ; a 1 , a 2 , . . .)] i =1

ċ

∂f = 0 ,n ∂a 1

(B–a)

gi =

1 2

∂( f i ) $ ' s 2f ∂ fi

.

(B–)

Übersicht B- vermittelt einen Überblick über die Regression verschiedener Funktionen mit linearen Normalgleichungen. Die Mittelwerte der M Regressionsparameter a 1 , a 2 , . . . , a M folgen direkt aus der Lösung des Normalgleichungssystems; die Standardabweichungen sa1 , sa2 , . . . folgen aus dem Wert des Minimums der Fehlersumme FS min , der Anzahl der Wiederholungsmessungen n w = N − M und den Gewichten g i der Messreihen. Spezialfälle der Regression mit zwei Regressionsparametern a 0 und a 1 sind die lineare

Übersicht B-. Funktionen mit einem linearen Normalgleichungssystem für die Parameter der Kurvenanpassung.

 B Fehlerrechnung

B. Regression – Kurvenanpassung



Übersicht B-. Kurvenanpassung durch lineare, logarithmische und exponentielle Regression. Einlesen Anzahl Messpunkte N Messwerte x i y i Regressionsfall logarithmische

lineare

exponentielle

i = y i u i = ln x i gi = 1

i = y i ui = xi gi = 1

 i = ln y i ui = xi g i = y 2i

N

A = b gi i=1 N

B = b gi ui i =1 N

C = b g i u 2i i =1

N

D = b g i i i =1 N

E = b g i u i i i =1 N

F = b g i 2i i =1

a0 =

CD − BE AC − B 2

sa0 =

a1 =

AE − BD AC − B 2

sa1 =

(F − 2a 0 D − 2a 1 E + 2a 1 a 0 B + a 02 A + a 12 C)C (N − 2)(AC − B 2 )

1 2

!

(F − 2a 0 D − 2a 1 E + 2a 1 a 0 B + a 02 A + a 12 C)A ! (N − 2)(AC − B 2 )

1 2

Ausgabefall logarithmische Regression

lineare Regression

exponentielle Regression

Ansatz: y = c 0 + c 1 ln x Anpassung: c 0 = a 0 s c0 c 1 = a 1 s c1 = s a1

Ansatz: y = c 0 + c 1 x Anpassung: c 0 = a 0 s c0 = s a0 c 1 = a 1 s c1 = s a1

Ansatz: y = c 0 ec 1 x Anpassung: c 0 = ea 0 s c0 = s a0 ea 0 c1 = a1 s c1 = s a1

Regression (Geradenanpassung) und die logarithmische und exponentielle Regression, die sich beide durch eine Koordinatentransformation  = (y) und u = u(x) in eine Geradendarstellung  = a 0 + a 1 u bringen lassen, wobei sich zum Teil die Gewichte g i ändern (Übersicht B-). Die Regressionsparameter Achsenabschnitt a 0 und Steigung a 1 der Regressionsgeraden lassen sich entweder grafisch durch eine Ausgleichsgerade oder rechnerisch aus den Normalgleichungen der Fehlersumme FS ermitteln:

N

FS = % g i [ i − a 0 − a 1 u i ]2 ;

(B–)

i =1

g i Gewicht der Messung i nach Gl. (B–),  i Messwert i des Ordinatenwerts der Regressionsgeraden, u i Messwert i des Abszissenwerts der Regressionsgeraden, a 0 Regressionsparameter Achsenabschnitt, a 1 Regressionsparameter Steigung der Regressionsgeraden.



B Fehlerrechnung

Übersicht B-. Matrizenmethode der polylinearen Regression. Bezeichnungen fi Messwerte (i = 1 . . . N) f 1 = a 1 x 11 + a 2 x 21 + . . . + am x M1 f 2 = a 1 x 12 + a 2 x 22 + . . . + am x M2 ^ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċċ ^ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċ ċċ f N = a 1 x 1N + a 2 x 2N + . . . + am x M N aj Regressionsparameter ( j = 1 . . . M) x ji Messvariable Beobachtungen ( j = 1 . . . M; i = 1 . . . N) gi Gewichte der Messwerte f i (i = 1 . . . N) (alle Gewichte gleich: g i = 1)

(B−22)

Sonderfälle x 1i = 1 j−1 x ji = x i j−1 x ji = x i

multilineare Regression polynome Regression lineare Regression mit M = 2

Beispiel:

Bestimmung der Abhängigkeit der Nußelt-Zahl Nu von der Prandtl-Zahl Pr und der Reynolds-Zahl Re bei der Wärmeübertragung an einem geraden Wärmeübertragerrohr entsprechend dem theoretischen Ansatz: Nu = kPr m Re n . k, m, n sind Wärmeübertrager-Kennwerte, die aus Messungen von Nu bei definierten Werten für Pr und Re bestimmt werden sollen. Durch Logarithmieren kann die Bestimmungsgleichung zu einem Problem der multilinearen Regression gemacht werden: ln Nu = ln k + m ln Pr + n ln Re mit  i = ln f i = ln Nu i , x 1i = 1, x 2i = ln Pr i , x 3i = ln Re i und den Regressionsparametern a 1 = ln k, a 2 = m sowie a 3 = n.

Gewichte:

Durch die Transformation verändern sich die Gewichte g i der Messungen. Wegen ( f i ) = 2 ln f i gilt ∂ ∂ f i = f i−1 = Nu −1 i . Nach Gl. (B–) sind demnach g i = (Nu i s Nu ) . Um bei der EDV-Anwendung Rundungsproblemen entgegenzuwirken, wird der konstante Faktor sNu = 100 gesetzt; dadurch liegen die Gewichte g i in der rechentechnisch günstigen Größenordnung von ungefähr eins.

In der Übersicht B- sind die Algorithmen zur Berechnung der Mittelwerte der Regressionsparameter mit den zugehörigen Standardabweichungen zusammengestellt. Mit Hilfe von Computern lassen sich die umfangreichen Regressionsrechnungen wesentlich einfacher und mit weniger Rechenfehlern ausführen. Dazu eignet sich jedoch die Fehlerrechnung in Matrizenschreibweise

wesentlich besser. In der Übersicht B- ist die Vorgehensweise für die Programmierung der polylinearen Regression zusammengestellt. Die Mittelwerte a 1 , a 2 , . . . a M der M Regressionsparameter ergeben sich als Elemente des Regressionsparametervektors a von Gl. (B−25), deren Standardabweichungen sa1 , sa2 , . . . saM als Quadratwurzeln aus den Elementen des Vektors s a2 von Gl. (B−28).

B. Regression – Kurvenanpassung



Übersicht B-. (Fortsetzung). Wertetabelle:

 Messungen entsprechend Gl. (B−22)

Nu

Nu 2

fi ln Nu

x 1i

i     

101 113 137 154 200

10 201 12 769 18 769 23 716 40 000

4,615 4,727 4,920 5,037 5,298

    

Pr

x 2i ln Pr

Re

x 3i ln Re

7,00 3,57 4,33 2,56 3,00

1,946 1,273 1,466 0,940 1,099

16 000 26 000 30 000 45 000 58 000

9,680 10,166 10,309 10,714 10,968

Aufstellen der Regressionsmatrizen

Aufstellen der Regressionsmatrizen

A

Koeffizienten- oder Modellmatrix der Beobachtungen (N,M-Rechenmatrix) B x 11 x 12 x 13 . . . x 1M E C F C F C x 21 x 22 x 23 . . . x 2M F C F Cx x x . . . x F A = C 31 32 33 3M F C F C ^ ^ ^ ^ F C F C F Cx x x F D N1 N2 N3 ^ x N M G

A

f

Messwert-Vektor (,N-Matrix) B f1 E C F C F C f2 F C F C F f = C f3 F C F C ^ F C F C F Cf F D NG

f

g

Gewichtsmatrix der Messwerte (N,N-Diagonalmatrix) Bg1 0 0 . . . 0 E F C F C C 0 g2 0 . . . 0 F F C F g =C C 0 0 g3 . . . 0 F F C F C^ ^ ^ ^ F C C 0 0 0 . . . gN F G D für g i = 1 q = E E Einheitsmatrix

g

Die polylineare Regression enthält als Spezialfälle die multilineare und polynome Regression sowie die lineare Regression der Geradenanpassung. Die Vertrauensgrenzen uz , welche die statistische Messungenauigkeit begrenzen, ergeben sich je nach geforderter statistischer Si-

cherheit P aus dem Faktor t(n W ) von Tabelle B-; n W = N − M 0 ist dabei die Anzahl der Wiederholungsmessungen, die sich aus der Anzahl N der Messreihen und der Anzahl M der Regressionsparameter ergibt. Das Ergebnis der Kurvenanpassung liefert als ermittelte wahrscheinlichste Regressionsparameter ein-

Koeffizienten- oder Modellmatrix der Beobachtungen (,-Rechenmatrix) B1 1.946 9.680E C F C F C1 1.273 10.166F C F C1 1.466 10.309F A=C F C F C1 0.940 10.714F C F C F C1 1.099 10.968F D G Messwert-Vektor (,-Matrix) B4. 615E C F C F C4. 727F C F C4. 920F F f =C C F C5. 037F C F C F C5. 298F D G Gewichtsmatrix der Messwerte (,-Diagonalmatrix) B1.0201 0 0 0 0 E C F C F C 0 1.2769 0 0 0 F C F C 0 0 1.8769 0 0 F g =C F C F C 0 0 0 2.3716 0 F C F C F C 0 0 0 0 4.0000F D G



B Fehlerrechnung

Übersicht B-. (Fortsetzung). Matrizenoperationen

Matrizenoperationen

AT

AT

transponierte Koeffizienten- oder Modellmatrix (Spiegelung von A an Hauptdiagonale zur (M,N)-Matrix) B x 11 x 21 x 31 . . . x N1 E F C F C C x 12 x 22 x 32 . . . x N2 F F C F C AT = C x 13 x 23 x 33 . . . x N3 F F C F C ^ ^ ^ ^ F C F C F Cx x x ^ x D 1M 2M 3M NM G N Normalgleichungsmatrix (symmetrische M,M-Matrix) B n 11 n 12 n 13 . . . n 1M E F C F C C n 21 n 22 n 23 . . . n 2M F F C F Cn N = C 31 n 32 n 33 . . . n 3M F = AT q A (B−23) F C C ^ ^ ^ ^ F F C F C F Cn D M1 n M2 n M3 ^ n M M G Q inverse Normalgleichungsmatrix (symmetrische M, M-Matrix) (Berechnung der Matrixelemente q über N Q = E Einheitsvektor mit Computerroutine) B q 11 q 12 q 13 . . . q 1M E C F C F C q 21 q 22 q 23 . . . q 2M F C F Cq F Q = C 31 q 32 q 33 . . . q 3M F C F C ^ ^ ^ ^ F C F C F Cq F D M1 q M2 q M3 ^ q M M G (B−24) = N −1 = (AT q A)−1 c Absolutgliedvektor B c1 E C F C F C c2 F C F C F c = C c 3 F = AT q f C F C ^ F C F C F Cc F D MG Spur Q Spurvektor der inversen Normalgleichungsmatrix Q B q 11 E C F C F C q 22 F C F C c F F Spur Q = C C 33 F C ^ F C F C F Cq F D MM G

transponierte Koeffizienten- oder Modellmatrix (Spiegelung von A an Hauptdiagonale zur (,)-Matrix)

B 1 1 1 1 1 E C F C F C A = C1.946 1.273 1.466 0.940 1.099 F F C F C9.680 10.166 10.309 10.714 10.968F D G T

N

Normalgleichungsmatrix (symmetrische ,-Matrix)

B 10.5455 12.9874 111.486E C F C F F N =C C 12.9874 16.8927 136.206F C F C111.486 136.207 1180.44 F D G Q

inverse Normalgleichungsmatrix (symmetrische ,-Matrix) (Berechnung der Matrixelemente q über N Q = E Einheitsvektor z. B. mit Computerroutine)

B 302.830801 −31.7898600 −24.9325887 E C F C F F Q =C C−31.7898600 4.18716644 2.51923616F C F C−24.9325887 2.51923616 2.06490758F D G

c

Absolutgliedvektor (,-Matrix)

B 53.116E C F C F F c =C C 64.901F C F C562.55 F D G Spurvektor der inversen Normalgleichungsmatrix Q (,-Matrix) B302.830801 E C F C F F Spur Q = C C 4.18716644F C F C 2.06490758F D G Spur Q

B. Regression – Kurvenanpassung



Übersicht B-. (Fortsetzung). Regressionsergebnis

Regressionsergebnis

a) Mittelwerte der angepassten Regressionsparameter a 1 , . . . a M

a) Mittelwerte der angepassten Regressionsparameter a 1 , a 2 , a 3

Regressionsparameter der Mittelwerte B a1 E C F C F C a2 F C F C F a = C a 3 F = N −1 c = (AT q A)−1 (AT q f ) C F C ^ F C F C F (B − 25) Ca M F D G b) Standardabweichung der Regressionsparameter sa1 , . . ., saM

Regressionsparameter der Mittelwerte (,-Matrix) B−3.9307585E k = ea1 = 0.01963 C F C F a = C 0.4050047F m = a 2 = 0.40500 C F C 0.8010658F n = a 3 = 0.80107 D G

a

b) Standardabweichung der Regressionsparameter sa1 , sa2 , sa3




Vektor der Abweichungen


=


=


T

 i = f i − f (x 1i , . . ., x M i ; a i , , . . .am ) B 1 E C F C F C 2 F C F C F C 3F= f −A a (B−26) C F C ^ F C F C F CN F D G transponierter Vektor der Abweichungen


T

[1 2 3 . . . n ]


T




FS min Wert der Fehlersumme im Minimum (Skalar) FS min =
T q
s a2

s a2 =

(B−27)

B s2 E C a1 F C 2 F C sa2 F C F C 2 F = FS min Spur Q C sa3 F C F N−M C ^ F C2 F Cs F D aM G

sa a P = a  tP (n W ) ; N


T

(B−28)

(B–)

Mittelwert des Regressionsparameters,

Vektor der Abweichungen (,-Matrix)  i = f i − f (x 1i , . . ., x M i ; a i , . . ., a m ) B 0.0033027E C F C F C−0.0014471F C F C−0.0011654F C F C F C 0.0044354F C F C F C−0.0024310F D G transponierter Vektor der Abweichungen (,-Matrix) [0.0033027 −0.0014471 −0.0011654 0.0044354 −0.0024310]

FS min Wert der Fehlersumme im Minimum (Skalar) FS min = 0.00050655 s a2

Vektor der quadratischen Standardabweichungen

schließlich Vertrauensgrenzen:

a

a

s a2 =

Vektor der quadratischen Standardabweichungen (,-Matrix) Es gilt: N − M = 5 − 3 = 2 δa 1 = k −1 δk 2 2 = 0.00544 B0.07670006E sk = k sa1 C F C F 2 C0.00106051F 2 = 0.0326 C F sm = sa2 C F C F 2 C0.00052299F 2 = 0.0229 D G sn = sa3

tP (n W ) t-Faktor nach Tabelle B- bei n W Wiederholungsmessungen und der statistischen Sicherheit P, Standardabweichung des Regressionssa parameters a, N Anzahl der Messreihen der Regressionsanalyse.



B Fehlerrechnung

B.5 Ausgleichsgeradenkonstruktion Die zeichnerische Darstellung der Messpunkte in einem Diagramm eignet sich besonders gut für die Analyse, ob die theoretische Kurve im Rahmen der Messgenauigkeit mit den Messwerten übereinstimmt. Wird ein linearer Zusammenhang f = a 1 + a 2 x zwischen der Messvariablen x und dem Messwert f erwartet, so kann im Messdiagramm die Ausgleichsgerade auch grafisch durch die Messwerte gezogen und a 1 aus dem Achsenabschnitt sowie a 2 aus der Steigung bestimmt werden (Bild B-). Als Maß für den Messfehler der Ausgleichsgeradenkonstruktion werden die Standardabweichungen Δa 1 und Δa 2 der Geradenparameter genommen, welche sich aus den beiden Grenzgeraden I und II an die Messwerte abschätzen lassen. Diese müssen durch die in den Gln. (B−30) und (B−31) in Tabelle B- angegebenen Koordinaten ( fS , xS ) des Schwerpunkts der Messwerte gezogen werden. Aus den der Zeichnung entnommenen Werten a I1 , a I2 II sowie a II 1 und a 2 der Grenzgeraden werden mit Hilfe der Gl. (B−32) die Standardabweichung Δa 1 des Achsenabschnitts und mit Gl. (B−33) Δa 2 der Geradensteigung errechnet.

Bild B-. Grafische Kurvenanpassung für das Thermoelement Cu-CuNi an die Eichkurve nach DIN EN  .

Dabei ist Δ fS die geschätzte Standardabweichung der Ordinate fS des Schwerpunkts der Messwerte.

B.6 Korrelationsanalyse Die Methode der Ausgleichsgeraden wird in der Messwertanalyse benutzt, um zu untersuchen, ob zwischen den N Messwerten x i und y i ein linearer Zusammenhang besteht. Dazu werden die Messwerte y i über den Messvariablen x i in einem Diagramm aufgetragen und durch

Tabelle B-. Schwerpunkt und Standardabweichung der Ausgleichsgeradenkonstruktion. Kennwerte der Konstruktion der Grenzgeraden fS , xS Koordinaten des Schwerpunkts S der N Messwerte

Beziehungen fS =

1 N b fi N i=1

(B−30)

xS =

1 N b xi N i=1

(B−31)

Δa 1

Standardabweichung des Achsenabschnitts der Ausgleichsgerade aus den Grenzgeraden I und II

Δa 1 =  ;

Δa 1

Standardabweichung des Steigungsparameters der Ausgleichsgerade aus den Grenzgeraden I und II

Δa 2 =  ;

a 1I − a 2II ; + Δ fS ! 2

a 2I − a 2II ; 2

(B−32)

(B−33)

B. Korrelationsanalyse



Tabelle B-. Kennwerte der Korrelationsanalyse. Kennwerte und Betrag des Korrelationskoeffizienten

Beziehungen

x

Mittelwert der Merkmale x i

x=

y

Mittelwert der Merkmale y i

1 N b xi N i =1 1 N y= b yi N i=1

(B−34) (B−35)

N

b (x i y i − Nx y)

mr

Steigung der Regressionsgeraden

mr =

i =1 N

(B−36)

2 b (x i2 − Nx )

i =1

r

Korrelationskoeffizient

eine Ausgleichsgerade analysiert. Liegen die Merkmale y i mehr oder weniger auf einer Regressionsgeraden, so ist von einer Korrelation der Merkmale x i und y i auszugehen. Die Regressionsgerade geht durch den Schwerpunkt S der Merkmale x i und y i nach den Gln. (B−34) und (B−35); die Steigung ergibt sich rechnerisch aus der Gl. (B−36) der Tabelle B-. Quantitativ ist der Korrelationskoeffizient r ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen den Merkmalen x i und y i eine Ab-

333 333 N 333 333 333 333 b (x i − x)(y i − y) 333 333 i=1 r = 33 $ 33 333 333 % N N 33 33 % & 2 2 (x − x) (y − y) 333 333 b i b i 33 33 i=1 i =1 $ 33 33 % N 3 333 % 33 % b (x i2 − Nx 2 ) 3333 333 333 % i = 1 r = 333mr % 3333 N 333 % % & 2 3 b (y 2i − N y ) 3333 3333 333 i =1 33

(B−37)

(B−38)

hängigkeit besteht, sie also eventuell korreliert sind. Mit Hilfe von Gl. (B−37) oder Gl. (B−38) der Tabelle B- lässt sich der Korrelationskoeffizient r der Merkmale x i und y i berechnen. Liegt der Korrelationskoeffizient nahe bei r = 1 (also 0,8 < r > 1), dann besteht mit großer bis bestimmter Wahrscheinlichkeit eine Korrelation zwischen den Merkmalen. Ein linearer Zusammenhang ist unwahrscheinlich bis ausgeschlossen, wenn der Korrelationskoeffizient 0 > r < 0,5 beträgt.

C Physikalische Größen und Konstanten

C.1 Physikalische Basisgrößen und Definitionen Eine physikalische Größe kennzeichnet Eigenschaften und beschreibt Zustände sowie Zustandsänderungen von Objekten der Umwelt. Eine physikalische Größe G besteht immer aus einer quantitativen Aussage (ausgedrückt durch den Zahlenwert) und einer qualitativen Aussage (ausgedrückt durch die Einheit). Für die physikalischen Größen dürfen nur noch die SIEinheiten (Système International d’Unités) verwendet werden. Durch Vorsätze oder Präfixe können dezimale Vielfache oder Teile der Maßeinheiten angegeben werden (Tabelle C-).

Tabelle C-. Bezeichnung der dezimalen Vielfachen und Teile von Einheiten. Zehnerpotenz

Vorsilbe

Kurzzeichen

Beispiel

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka

Y Z E P T G M k h da

YΩ Z s−1 Em, EJ Pm, PJ Tm, TJ Gm, GJ Mm, MJ km, kJ hPa, hJ dag, daJ

10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24

Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Atto Zepto Yocto

d c m μ n p f a z y

dm, dJ cm, cJ mm, mJ μm, μJ nm, nJ pm, pJ fm, fJ am, aJ zm ym

Die Einheiten aller physikalischen Größen können auf sieben Basisgrößen zurückgeführt werden (Tabelle C-).

C.2 Umrechnungen gebräuchlicher Größen In Tabelle C- sind die wichtigsten physikalischen Größen und ihre Einheiten zusammengestellt. Die weiteren Tabellen zeigen die Umrechnungen der Längen- (Tabelle C-), der Flächen- (Tabelle C-) und der Volumeneinheiten (Tabelle C-) sowie der Kraft (Tabelle C-), des Drucks (Tabelle C-), der Energie (Tabelle C-), der Leistung (Tabelle C-), der Zeit (Tabelle C-) und der Geschwindigkeit (Tabelle C-).

C.3 Naturkonstanten In den physikalischen Gesetzen befinden sich universelle Naturkonstanten. Die wichtigsten sind in Tabelle C- zusammengestellt.



C Physikalische Größen und Konstanten

Tabelle C-. Basisgrößen, Basiseinheiten und Definitionen im SI-Maßsystem. Basisgröße

Basiseinheit

Symbol

Definition

relative Unsicherheit

Zeit

Sekunde

s

 Sekunde ist das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung.

10−14

Länge

Meter

m

 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von     Sekunden durchläuft.

10−14

Masse

Kilogramm

kg

 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps.

10−9

elektrische Stromstärke

Ampere

A

 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen Stroms, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von  Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je  Meter Leiterlänge die Kraft 2 ċ 10−7 Newton hervorruft.

10−6

Temperatur

Kelvin

K

 Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.

10−6

Lichtstärke

Candela

cd

 Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 THz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1 683 W sr beträgt.

5 ċ 10−3

Stoffmenge

Mol

mol

 Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso viel Einzelteilchen besteht, wie Atome in  1000 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids 12 C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen des Systems spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.

10−6

C. Naturkonstanten

Tabelle C-. Wichtigste physikalische Größen und ihre Einheiten. Größe und Formelzeichen

gesetzliche Einheiten SI

weitere

Beziehung Name

. Länge, Fläche, Volumen Länge

l

m

Meter sm

Fläche

Volumen

A

V

m2

Seemeile

1 sm = 1852 m

Quadratmeter a

Ar

1 a = 100 m2

ha

Hektar

1 ha = 100 a = 104 m2

m3

Kubikmeter Liter

1 l = 1 dm3

Radiant

1 rad =



Grad



Minute



Sekunde

1 rad = 180 π = 57,296  57,3 1 = 0,017453 rad 1 = 60 = 3600 1 gon = (π 200) rad

gon

Gon

l . Winkel (ebener) Winkel

Raumwinkel

α, β usw.

rad

Ω

sr

Steradiant

m

kg

Kilogramm

1 sr =

1 m Bogen 1 m Radius

1 m2 Kugeloberfläche 1 m2 Kugelradius

. Masse Masse

Dichte



g

Gramm

t

Tonne

1 t = 1 Mg = 103 kg

Kt

metr. Karat

1 Kt = 0,2 g

kg m3 kg cm3

1 kg dm3 = 1 kg l = 1 g dm3 = 1000 kg m3

kg l g cm3 Trägheitsmoment J (Massenträgheitsmoment, Massenmoment . Grades)

kg ċ m2

J = m ċ i2 i = Trägheitsmoment





C Physikalische Größen und Konstanten

Tabelle C-. (Fortsetzung). Größe und Formelzeichen

gesetzliche Einheiten SI

weitere

Beziehung Name

. Zeitgrößen Zeit, Zeitdauer, Zeitspanne

t

s

Frequenz

f

Hz

Drehzahl, (Umdrehungsfrequenz)

n

s−1

Kreisfrequenz ω = 2π f

ω

s−1

Geschwindigkeit



m s

Sekunde min

Minute

1 min = 60 s

h

Stunde

1 h = 60 min

d

Tag

1 d = 24 h

a

Jahr

1 a = 365,25 d = 8766 h

Hertz

1 Hz = 1 s 1 s−1 = 1 s

min−1 1 min

1 min−1 = 1 min = (1 60) s−1

km h

1 km h = (1 3, 6) m s

kn

Knoten

1 kn = 1,852 km h

2

Beschleunigung

a

m s

Winkelgeschwindigkeit

ω

rad s

Winkelbeschleunigung

α

rad s2

. Kraft, Energie, Leistung Kraft Gewichtskraft

F G

N N

Newton

1 N = 1 kg ċ m s2

Druck, allg.

p

Pa

Pascal

1 Pa = 1 N m2

absoluter Druck

pabs

Bar

Atmosphärendruck

pamb

1 bar = 105 Pa = 10 N cm2 1 μbar = 0,1 Pa 1 mbar = 1 hPa

Überdruck pe = pabs − pamb

pe

bar

Überdruck usw. wird nicht mehr beim Einheitenzeichen angegeben, sondern beim Formelzeichen. Unterdruck wird als negativer Überdruck angegeben. Beispiele: bisher jetzt 3 atü, pe = 2,94 bar  3 bar 10 ata, pabs = 9,81 bar  10 bar 0,4 atu, pe = −0,39 bar  −0,4 bar .

C. Naturkonstanten



Tabelle C-. (Fortsetzung). Größe und Formelzeichen

gesetzliche Einheiten SI

mechanische Spannung

σ, τ

weitere

Beziehung Name 1 N m2 = 1 Pa

N m2 N mm

1 N mm2 = 1 MPa

2

Als Einheit bei Brinell- und Vickershärte wird nicht mehr kp mm2 angegeben. Statt dessen wird hinter den bisherigen Zahlenwert das Kurzzeichen der betr. Härte (gebenenfalls mit Angabe der Prüfkraft usw.) als Einheit geschrieben.

Härte

Energie, Arbeit

E, W

J

Joule [dschul]

Wärme, Wärmemenge

Q

Wċs

Wattsekunde

1J =1Nċm =1Wċs = 1 kg ċ m2 s2

kW ċ h

Kilowattstunde

1 kW ċ h = 3,6 MJ

eV

Elektronenvolt

1 eV = 1,60218 ċ 10−19 J

Drehmoment

M

Nċm

Newtonmeter

Leistung Wärmestrom

P ˙ Φ Q,

W

Watt

1 W = 1 J s = 1 N ċ m s

Pascalsekunde

1 Pa ċ s = 1 N ċ s m2 = 1 kg (s ċ m)

. Viskosimetrische Größen dynamische Viskosität

η

Pa ċ s

kinematische Viskosität

ν

m2 s

1 m2 s = 1 Pa ċ s -kg m3 .

. Temperatur und Wärme Temperatur

T

K C

t, ϑ Temperaturdifferenz

ΔT

Kelvin

K

Grad Celsius Kelvin

C

Δt, Δϑ

t = (T − 273,15 K)

C

K

1 K = 1 C

Grad Celsius

Temperaturdifferenzen bei zusammengesetzten Einheiten in K angeben, z. B. kJ (m ċ h ċ K); Schreibweise bei Toleranzangaben für Celsiustemperaturen z. B. t = (40  2)  C oder t = 40  C  2  C oder t = 40  C  2 K. Wärmemenge und Wärmestrom siehe unter . spezifische Wärmekapazität (spez. Wärme)

c

J kg ċ K

molare Wärmekapazität

Cm

J mol ċ K



C Physikalische Größen und Konstanten

Tabelle C-. (Fortsetzung). Größe und Formelzeichen

Wärmeleitfähigkeit

λ

gesetzliche Einheiten SI

weitere

W mċK

kJ mċhċK

Beziehung Name 1 W (m ċ K) = 3,6 kJ (M ċ h ċ K)

. Elektrische Größen elektrische Stromstärke

I

A

Ampere

elektrische Spannung

U

V

Volt

1 V = 1 W A

elektrischer Leitwert

G

S

Siemens

1 S = 1 A V = 1 Ω

elektrischer Widerstand

R

Ω

Ohm

1 Ω = 1 S = 1 V A

Elektrizitätsmenge

Q

C

Coulomb

1C=1Aċs

Amperestunde

1 A ċ h = 3600 C

Farad

1 F = 1 C V

Aċh elektrische Kapazität

C

F

elektrische Flussdichte, Verschiebung

D

C m2

elektrische Feldstärke

E

V m

1 V m = 1 N C

. Magnetische Größen magnetischer Fluss

Φ

Wb

Weber

1 Wb = 1 V ċ s

magnetische Flussdichte, Induktion

B

T

Tesla

1 T = 1 Wb m2

Induktivität

L

H

Henry

1 H = 1 Wb A

magnetische Feldstärke

H

A m

. Lichttechnische Größen Lichtstärke

I

cd

Candela

Leuchtdichte

L

cd m2

Lichtstrom

Φ

lm

Lumen

1 lm = 1 cd ċ sr (sr = Steradiant)

Beleuchtungsstärke

E

lx

Lux

1 lx = 1 lm m2

C. Naturkonstanten



Tabelle C-. (Fortsetzung). Größe und Formelzeichen

gesetzliche Einheiten SI

Beziehung

weitere

Name

eV

Elektronenvolt

1 eV = 1,60218 ċ 10−19 J 1 MeV = 106 eV

. Atomphysikalische u. a. Größen Energie

W

Aktivität einer radioaktiven Substanz

A

Bq

Becquerel

1 Bq = 1 s−1

Energiedosis

D

Gy

Gray

1 Gy = 1 J kg

Energiedosisrate

D˙

W kg

Ionendosis

I

C kg

Röntgen

1 R = 2,580 ċ 10−4 C kg

Ionendosisrate

I˙

A kg

Äquivalentdosis

H

Sv

R

1 A kg = 1 C (kg s) Sievert rem

Äquivalentdosisrate

H˙

Sv s

Stoffmenge

n, ν

mol

1 Sv = 1 J kg 1 rem = 0,01 J kg 1 Sv s = 1 W kg

Mol

Tabelle C-. Umrechnung der Längeneinheiten. Einheit 1 nm 1 μm 1 mm 1 cm 1 dm 1m 1 km

= = = = = = =

Einheit

pm

nm

μm

mm

cm

dm

m

km

103 106 109 1010 1011 1012 1015

1 103 106 107 108 109 1012

10−3 1 103 104 105 106 109

10−6 10−3 1 10 102 103 106

10−7 10−4 10−1 1 10 102 105

10−8 10−5 10−2 10−1 1 10 104

10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 1 103

10−12 10−9 10−6 10−5 10−4 10−3 1

in

ft

yd

mile

n mile

mm

m

km

   63 360 72 913

0,08333   5280 6076,1

0,02778 0,33333  1760 2025,4

– – –  1,1508

– – – 0,86898 

25,4 304,8 914,4 – –

0,0254 0,3048 0,9144 1609,34 1852

– – – 1,609 1,852

– – 0,53996

 1000 106

0,001  

10−6 0,001 

1 in 1 ft 1 yd 1 mile 1 n mile

= = = = =

1 mm 1m 1 km

= 0,03937 = 39,3701 = 39 370

3,281 ċ 10−3 1,094 ċ 10−3 – 3,2808 1,0936 – 3280,8 1093,6 0,62137

in = inch, ft = foot, y = yard, mile = statute mile, n mile = nautical mile



C Physikalische Größen und Konstanten

Weitere anglo-amerikanische Einheiten: 1 μin (microinch) = 0,0254 μm 1 mil (milliinch) = 0,0254 mm 1 link = 201,17 mm 1 rod = 1 pole = 1 perch = 5,5 yd = 5,0292 m 1 chain = 22 yd = 20,1168 m 1 furlong = 220 yd = 201,168 m 1 fathom = 2 yd = 1,8288 m

Astronomische Einheiten: 1 Lj (Lichtjahr) = 9,46053 ċ 1015 m (von elektromagnetischen Wellen in  Jahr zurückgelegte Strecke) 1 AE (astronomische Einheit) = 1,496 ċ 1011 m (mittlere Entfernung Erde–Sonne) 1 pc (Parsec, Parallaxensekunde) = 206 265 AE = 3,0857 ċ 1016 m (Entfernung, von der aus die AE unter einem Winkel von  Sekunde erscheint)

Tabelle C-. Umrechnung der Flächeneinheiten. Einheit

in2

ft2

yd2

mile2

cm2

dm2

m2

a

ha

km2

1 in2 1 ft2 1 yd2 1 mile2

= = = =

  1296 –

–   –

– 0,1111  –

– – – 

6,4516  8361 –

0,06452 9,29 83,61 –

– 0,0929 0,8361 –

– – – –

– – – 

– – – 2,59

1 cm2 1 dm2 1 m2 1a 1 ha 1 km2

= = = = = =

0,155 15,5 1550 – – –

– 0,1076 10,76 1076 – –

– 0,01196 1,196 119,6 – –

– – – – – 0,3861

  10 000 – – –

0,01   10 000 – –

– 0,01   10 000 –

– – 0,01   10 000

– – – 0,01  

– – – – 0,01 

in2 = square inch (sq in), yd2 = square yard (sq yd), ft2 = square foot (sq ft), mile2 = square mile (sq mile) Weitere anglo-amerikanische Einheiten:

Papierformate: (DIN 476)

1 mil2 (square mil) = 10−6 in2 = 0,0006452 mm2 π 1 cir mil (circular mil) = mil2 = 0,0005067 mm2 4 (Kreisfläche mit Durchmesser 1 mil) π 2 1 cir in (circular inch) = in = 5,067 cm2 4 (Kreisfläche mit Durchmesser 1 in) 2 1 line (square line) = 0,01 in2 = 6,452 mm2 1 rod2 (square rod) = 1 pole2 (square pole) = 1 perch2 (square perch) = 25,29 m2 1 chain2 (square chain) = 16 rod2 = 404,684 m2 1 rood = 40 rod2 = 1011,71 m2 1 acre = 4840 yd2 = 4046,86 m2 = 40,4686 a 1 section (US) = 1 mile2 = 2,59 km2 1 township (US) = 36 mile2 = 93,24 km2

Maße in mm A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

841 1189 594 841 420 594 297 420 210 297 148 210 105 148 74 105 52 74 37 52 26 37

C. Naturkonstanten



Tabelle C-. Umrechnung der Volumeneinheiten. Einheit 1 in3 1 ft3 1 yd3 1 gal (GB) 1 gal (US)

= = = = =

in3

ft3

yd3

gal (GB)

gal (US)

cm3

dm3 (l)

m3

 1728 46 656 277,42 

–   0,16054 0,13368

– 0,03704  – –

– 6,229 168,18  0,83267

– 7,481 201,97 1,20095 

16,3871 – – 4546,09 3785,41

0,01639 28,3168 764,555 4,54609 3,78541

– 0,02832 0,76456 – –

– 0,03531 35,315

– 0,00131 1,30795

– 0,21997 219,969

– 0,26417 264,172

 1000 106

0,001  1000

– 0,001 

1 cm3 = 0,06102 1 dm3 (l) = 61,0236 = 61 023,6 1 m3

in3 = cubic inch (cu in), yd3 = cubic yard (cu yd), ft3 = cubic foot (cu ft), gal = gallon Weitere Volumeneinheiten Schiffsvolumen 1 RT (Registerton) = 100 ft3 = 2,832 m3 ; BRT (Brutto-RT) = gesamter Schiffsinnenraum, Netto-Registerton = Laderaum eines Schiffes. BRZ = (Bruttoraumzahl) = gesamter Schiffsraum (Außenhaut) in m3 . 1 ocean ton = 40 ft3 = 1,1327 m3 . Großbritannien (GB) 1 min (minim) = 0,059194 cm3 1 fluid drachm = 60 min = 3,5516 cm3 1 fl oz (fluid ounce) = 8 fl drachm = 0,028413 l 1 gill = 5 fl oz = 0,14207 l 1 pt (pint) = 4 gills = 0,56826 l 1 qt (quart) = 2 pt = 1,13652 l 1 gal (gallon) = 4 qt = 4,5461 l 1 bbl (barrel) = 36 gal = 163,6 l für Trockengüter: 1 pk (peck) = 2 gal = 9,0922 l 1 bu (bushel) = 8 gal = 36,369 l 1 qr (quarter) = 8 bu = 290,95 l

Tabelle C-. Umrechnung der Krafteinheiten. Einheit 1 N (Newton) 1 lbf (pound-force)

= =

N

lbf

 4,44822

0,224809 

Vereinigte Staaten (US) 1 min (minim) = 0,061612 cm3 1 fluid dram = 60 min = 3,6967 cm3 1 fl oz (fluid ounce) = 8 fl dram = 0,029574 l 1 gill = 4 fl oz = 0,11829 l 1 liq pt (liquid pint) = 4 gills = 0,47318 l 1 liq quart = 2 liq pt = 0,94635 l 1 gal (Gallon) = 231 in3 = 4 liq quarts = 3,7854 l 1 liq bbl (liquid barrel) = 119,24 l 1 barrel petroleum = 42 gal = 158,99 l für Trockengüter: 1 dry pint = 0,55061 dm3 1 dry quart = 2 dry pints = 1,1012 dm3 1 peck = 8 dry quarts = 8,8098 dm3 1 bushel = 4 pecks = 35,239 dm3 1 dry bbl (dry barrel) = 7056 in3 = 115,63 dm3



C Physikalische Größen und Konstanten

Tabelle C-. Umrechnung der Druckeinheiten. Einheit

Pa

μbar

1 Pa = 1 N m2 =   1 μbar = 0,1  1 hPa = 1 mbar =  1000 1 bar = 105 106 1 N mm2 = 106 107 Anglo-amerikanische Einheiten 1 lbf in2 = 6894,76 68 948 1 lbf ft2 = 47,8803 478,8 1 tonf in2 = – –

hPa

bar

N mm2 at

lbf in2

lbf ft2

tonf in2

0,01 0,001  1000 10 000

10−5 10−6 0,001  

10−6 10−7 0,0001 0,1 

– – 0,0145 14,5037 145,037

– – 2,0886 2088,6 20 886

– – – – 0,06475

68,948 0,4788 –

0,0689 0,00689 0,07031  – – – – 154,443 15,4443 157,488 2240

  –

– – 

– – – 1,0197 10,197

lbf in2 = pound-force per square inch (psi), lbf ft2 = pound-force per square foot (psf), tonf in2 = ton-force (UK) per square inch, 1 pdl ft2 (poundal per square foot) = 1,48816 Pa, 1 barye = 1 μbar; 1 pz (pièce) = 1 sn m2 (sthène m2 ) = 103 Pa.

Tabelle C-. Umrechnung der Energieeinheiten. Einheit 1J 1 kW ċ h

= =

Anglo-amerikanische Einheiten 1 ft ċ lbf = 1 Btu =

J

kW ċ h

ft ċ lbf

Btu

 3,6 ċ 106

277,8 ċ 10−9 

0,73756 2,6552 ċ 106

947,8 ċ 10−6 3412,13

1,35582 1055,06

376,6 ċ 10−9 293,1 ċ 10−6

 778,17

1,285 ċ 10−3 

ft lbf = foot pound-force, Btu = British thermal unit 1 in ozf (inch ounce-force) = 0,007062 J 1 in lbf (inch pound-force) = 0,112985 J 1 ft pdl (foot poundal) = 0,04214 J 1 hph (horsepower hour) = 2,685 ċ 106 J = 0,7457 kW ċ h 1 thermie (franz.) = 1000 frigories (franz.) = 4,1868 MJ 1 kg SKE (Steinkohleneinheiten) = 29,3076 MJ = 8,141 kWh 1 t SKE (Steinkohleneinheiten) = 29,3076 GJ = 8,141 MWh 1 kcal = 4,1868 kJ

Tabelle C-. Umrechnung der Leistungseinheiten. Einheit

W

kW

hp

Btu s

1W = 1 kW = Anglo-amerikanische Einheiten 1 hp = 1 Btu s =

 1000

0,001 

1,341 ċ 10−3 1,34102

947,8 ċ 10−6 947,8 ċ 10−3

745,70 1055,06

0,74570 1,05506

 1,4149

0,70678 

hp = horsepower 1 ft ċ lbf s = 1,35582 W 1 ch (cheval vapeur) (franz.) = 0,7355 kW 1 poncelet (franz.) = 0,981 kW menschliche Dauerleistung  0,1 kW

C. Naturkonstanten



Tabelle C-. Umrechnung der Zeiteinheiten. Einheit 1 s (Sekunde) 1 min (Minute) 1 h (Stunde) 1 d (Tag)

= = = =

s

min

h

d

  3600 86 400

0,01667   1440

0,2778 ċ 10−3 0,01667  

11,574 ċ 10−6 0,6944 ċ 10−3 0,041667 

 bürgerliches Jahr =  (bzw. ) Tage = 8760 (8784) Stunden (für Zinsberechnungen im Bankwesen  Jahr =  Tage)  Sonnenjahr = 365,2422 mittlere Sonnentage = 365 d, 5 h, 48 min, 46 s  Sternenjahr = 365,2564 mittlere Sonnentage

Tabelle C-. Umrechnung der Geschwindigkeitseinheiten. 1 km h = 0,27778 m s 1 mile h = 1,60934 km h 1 kn (Knoten) = 1,852 km h 1 ft min = 0,3048 m min 3600 60 min km = s km x km h =ˆ x x 3600 km h x s km = x

1 m s 1 km h 1 km h 1 m min

= = = =

3,6 km h 0,62137 mile h 0,53996 kn 3,28084 ft min 37,2824 2236,9 x mile h =ˆ min km = s km x x

Tabelle C-. Wichtige Naturkonstanten (CODATA-Werte von ). Bezeichnung

Symbol

Wert

Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

c

2,99792458 ċ 108

Gravitationskonstante

G

Avogadro-Konstante

NA

m s N ċ m2 6,67428 ċ 10−11 kg2 6,02214179 ċ 1023 mol−1

e

1,602176487 ċ 10−19

Ruhemasse des Elektrons

m 0e

9,10938215 ċ 10−31

Ruhemasse des Protons

m 0p

1,672621637 ċ 10−27 kg

Elementarladung

Planck’sches Wirkungsquantum

h

relative Unsicherheit

6,62606896 ċ 10

−34

kg Jċs

−3

Sommerfeld’sche Feinstrukturkonstante

α

7,2973525376 ċ 10

elektrische Feldkonstante

ε0

8,854187817 ċ 10−12

magnetische Feldkonstante

μ0

4π ċ 10−7

Faraday-Konstante

F

universelle Gaskonstante

Rm

Boltzmann-Konstante

k

Stefan-Boltzmann-Konstante

σ

Vċs Aċm

Aċs

 1,0 ċ 10−4 5 ċ 10−8 2,5 ċ 10−8 5 ċ 10−8 5 ċ 10−8 5 ċ 10−8 6,8 ċ 10−10

Aċs Vċm

Aċs 9,648533399 ċ 104 mol J 8,314472 mol ċ K J 1,3806504 ċ 10−23 K W 5,670400 ċ 10−8 2 4 m ċK

  2,5 ċ 10−8 1,7 ċ 10−6 1,7 ċ 10−6 7 ċ 10−6

D Kinematik

In der Kinematik wird die Bewegung materieller Körper und Systeme untersucht, ohne die verursachenden Kräfte zu betrachten. In diesem Abschnitt wird lediglich die Kinematik des Punktes behandelt. Auf die Besonderheiten der Kinematik starrer Körper wird im Abschnitt E. eingegangen.

D.1 Eindimensionale Kinematik Bei geführter Bewegung längs einer vorgegebenen Bahn, z. B. Gerade, Kreis, Achterbahn, hat ein Punkt nur einen Freiheitsgrad. Zur Beschreibung des Ortes des Punktes genügt eine Koordinate. D.1.1 Geschwindigkeit Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Punktes und dem längs der Bahn vom Anfangspunkt A aus gemessenen Weg geht aus der Übersicht D- hervor. Bei Kreisbewegungen ist es sinnvoll, die Lage eines Punktes durch einen Winkel zu beschreiben und anstatt der Bahngeschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit zu benutzen. D.1.2 Beschleunigung Eine beschleunigte Bewegung liegt vor, wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist (Übersicht D-). D.1.3 Kinematische Diagramme In einer Darstellung der Beträge des Weges (Winkels), der Geschwindigkeit (Winkelgeschwindigkeit) und der Beschleunigung (Winkelbeschleunigung) über der Zeit (Bild D-) gilt: • Die Geschwindigkeit ist die Steigung der Kurve im Weg-Zeit-Diagramm,

Bild D-. Kinematische Diagramme. a) Weg-Zeit-Diagramm, b) Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, c) Beschleunigung-Zeit-Diagramm.



D Kinematik

Übersicht D-. Geschwindigkeiten. Bahngeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit

mittlere Geschwindigkeit

mittlere Winkelgeschwindigkeit

s(t + Δt) − s(t) Δs m = = (t + Δt) − t Δt

(D−1)

Momentangeschwindigkeit ds Δs  = lim = = s˙ Δt0 Δt dt [] = 1 m s

ωm =

φ(t + Δt) − φ(t) Δφ = (t + Δt) − t Δt

(D−2)

momentane Winkelgeschwindigkeit (D−3)

Weg

dφ Δφ = = φ˙ Δt dt −1 [ω] = 1 rad s = 1 s ω = lim

Δt0

(D−4)

Winkel t1

s(t 1 ) = s 0 + ' (t) dt

t1

(D−5)

t0

φ(t 1 ) = φ 0 + ' ω(t) dt

(D−6)

t0

Verknüpfungen für Kreisbewegung φ = s r

(D−7) ω = 2πn = 2π T

ω =  r

(D−9)

s(t 1 )

Weg zur Zeit t 1

φ(t 1 )

Winkel zur Zeit t 1

s0

Weg s(t 0 ) zur Zeit t 0

φ0

Winkel φ(t 0 ) zur Zeit t 0

n

Drehzahl, -frequenz

T

Periodendauer

• die Beschleunigung ist die Steigung der Kurve im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, • der Wegzuwachs ist die Fläche unter der Kurve im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, • der Geschwindigkeitszuwachs ist die Fläche unter der Kurve im Beschleunigung-ZeitDiagramm.

(D−8)

D.1.4 Spezialfälle Die kinematischen Beziehungen für die Spezialfälle gleichmäßige Geschwindigkeit sowie gleichmäßige Beschleunigung sind mit den zugehörigen Diagrammen in der Übersicht D- zusammengestellt.

D. Eindimensionale Kinematik



Übersicht D-. Beschleunigungen. Bahnbeschleunigung

Winkelbeschleunigung

mittlere Beschleunigung

mittlere Winkelbeschleunigung

am =

(t + Δt) − (t) Δ = (t + Δt) − t Δt

(D−10)

Momentanbeschleunigung

αm =

ω(t + Δt) − ω(t) Δω = (t + Δt) − t Δt

(D−11)

momentane Winkelbeschleunigung

Δ d d2 s a = lim = = ˙ = 2 = s¨ Δt0 Δt dt dt [a] = 1 m s2

(D−12)

Geschwindigkeit

Δω dω d2 φ = φ¨ = = ω˙ = Δt0 Δt dt dt 2 [α] = 1 rad s2 = 1 s−2 α = lim

(D−13)

Winkelgeschwindigkeit

t1

t1

(t 1 ) = 0 + ' a(t) dt

(D−14)

t0

ω(t 1 ) = ω 0 + ' α(t) dt

(D−15)

t0

Verknüpfung für Kreisbewegung α = a r Δ Δt (t 1 ) 0

(D−16) Geschwindigkeitsänderung Zeitspanne Geschwindigkeit zur Zeit t 1 Geschwindigkeit (t 0 ) zur Zeit t 0

Δω ω(t 1 ) ω0

Änderung der Winkelgeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit zur Zeit t 1 Winkelgeschwindigkeit ω(t 0 ) zur Zeit t 0

Übersicht D-. Spezielle Bewegungsformen. gleichmäßige Geschwindigkeit  = 0 Beschleunigung

a=0

Geschwindigkeit

 = 0

(D−17)

Weg Anfangsbedingung: s(0) = 0

s = 0 t

(D−18)

s = 0 t + s 0

(D−19)

s(0) = s 0



D Kinematik

Übersicht D-. (Fortsetzung). gleichmäßige Beschleunigung a = a 0 Beschleunigung

a = a0

Geschwindigkeit Anfangsbedingung: (0) = 0

 = a0 t =



2a 0 s

(D−20)

s(0) = 0

m = a 0 t 2 = s t

(0) = 0

 = a 0 t + 0 =

s(0) = s 0

m = 0 + a 0 t 2 = (s − s 0 ) t

Weg Anfangsbedingung: (0) = 0

2

20 + 2a 0 (s − s 0 )

(D−21)

s = 12 a 0 t 2

(D−22)

s = 12 a 0 t 2 + 0 t + s 0

(D−23)

s(0) = 0

(0) = 0 s(0) = s 0

D.2 Dreidimensionale Kinematik
=

D.2.1 Ortsvektor und Bahnkurve Bei einer allgemeinen Bewegung hat ein Punkt drei Freiheitsgrade. Zur eindeutigen Lagebeschreibung sind drei Koordinaten erforderlich. Dies sind die Komponenten des Ortsvektors r, der in kartesischen Koordinaten lautet: ? x(t)B r(t) = @ y(t)C . A z(t) D

(D–)

? x˙ B dr = r˙ = @ y˙C . dt A z˙ D

(D–)

Der Vektor
der Geschwindigkeit liegt stets tangential zur Bahnkurve. Ist e tan der Einheitsvektor in Richtung der Tangente an die Bahnkurve, dann gilt
=  ċ e tan

(D–)

 = 
 = ds dt ist der Betrag der Geschwindigkeit.

D.2.2 Geschwindigkeitsvektor Der Vektor
der Geschwindigkeit ergibt sich durch Differenziation des Ortsvektors r(t) nach der Zeit.

D.2.3 Beschleunigungsvektor Der Vektor a der Beschleunigung ist als Ableitung des Geschwindigkeitsvektors
nach der

D. Dreidimensionale Kinematik

Zeit t definiert:

D.2.4 Kreisbewegungen

?˙x B ? x¨B d
a= =
˙ = @˙ y C = @ y¨C . dt A ˙z D A z¨D

(D–)

Im Allgemeinen steht der Beschleunigungsvektor a schief zur Bahnkurve und kann in zwei Komponenten zerlegt werden (Bild D-): a = a tan + anorm a tan =

d e tan dt

a tan a norm e tan , e norm  R



mit und

anorm =

2 e norm ; R (D–)

Tangentialkomponente der Beschleunigung, Normalkomponente der Beschleunigung, Einheitsvektoren tangential und normal zur Bahnkurve, Momentangeschwindigkeit, Krümmungsradius der Bahnkurve.

Bei Kreisbewegungen weist die Normalbeschleunigung stets zum Kreismittelpunkt und wird als Zentripetalbeschleunigung a zp bezeichnet: a zp = 2 r = rω 2 = ω ;

(D–)

 Bahngeschwindigkeit, ω Winkelgeschwindigkeit, r Kreisradius. Die Übersicht D- enthält die vektorielle Beschreibung der Winkelgeschwindigkeit und beschleunigung. D.2.5 Wurfbewegungen Beim Wurf im Schwerefeld der Erde (Übersicht D-) gilt unter Vernachlässigung des Luftwiderstands für die Beschleunigung

a=$

0 ' ; −g

(D–)

g = 9,81 ms2 Erdbeschleunigung.

Bild D-. Tangential- und Normalkomponente des Beschleunigungsvektors.

Durch zweimalige Integration in x- und y-Richtung ergeben sich der Geschwindigkeitsvektor
und der Ortsvektor r sowie die Bahnkurve.



D Kinematik

Übersicht D-. Vektoren der Kreisbewegung. perspektivische Darstellung

Verknüpfungen
= ω r a tan = α r
ω r azp a tan

Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Ortsvektor Zentripetalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung

ebene Darstellung

(D−30) (D−32)

azp = ω
= −ω 2 r

(D−31)

Bahngleichung

. Wege

Grundgleichungen . Geschwindigkeiten

Berechnungen

Wurfarten

2

2x 1 + 2y1

g y = 0 t sin β − t 2 2 g y = tan βx − 2 x2 20 cos2 β

x = 0 t cos β

1  =

(4)

(3) g y = 0 t − t 2 2

x=0

x = 0  y = 0 − g t

x = 0 cos β  y = 0 sin β − g t

(1) (2)

senkrechter Wurf β = 90 —————

schiefer Wurf β beliebig ———————

Übersicht D-. Wurfbewegungen.

A y

g y = − t2 2 g y = − 2 x2 20

x = 0 t

Ax 2 2 + 2 A  = Ax Ay

tan γ =

 x = 0  y = −g t

waagerechter Wurf β = 0 

(a)

Grafik

D. Dreidimensionale Kinematik 

Wurfweite W

(y = 0)

Auftreffzeit TA

( y = 0)

Wurfhöhe

( y = 0)

Spezialfälle: Steigzeit TS

Berechnungen

Wurfarten

0 sin β g

2g

20

sin2 β

g

220

sin β = 2TS

g

sin 2β

Wmax für β = 45

W=

20

aus (3): W = 0 TA cos β

TA =

(4) = 0 und t 1 = 0

H=

(4) und (5)

TS =

(2) = 0

schiefer Wurf β beliebig ———————

Übersicht D-. (Fortsetzung).

(5)

g

220

2g

20

0 g

W =0

TA =

H=

TS =

= 2TS

senkrechter Wurf β = 90 —————

xW

g 2 x 220 W $ % 2h & = W = 0 % g −y = h =

aus (a):

TS = 0

h=0

TS = 0

waagerechter Wurf β = 0 

Achtung! Bei allen Gleichungen liegt der Koordinatenursprung im Abwurfpunkt.

Erdbeschleunigung (g = 9,81 m s2 ) h Höhe beim waagerechten Wurf H Wurfhöhe (schiefer und senkrechter Wurf) 0 Anfangsgeschwindigkeit x Geschwindigkeit in x-Richtung  y Geschwindigkeit in y-Richtung TA Auftreffzeit TS Steigzeit W Wurfweite (schiefer Wurf) xW Wurfweite (waagerechter Wurf) β Abwurfwinkel

g

 D Kinematik

E Dynamik

Die Dynamik untersucht die Ursachen für die Bewegung eines Körpers. Dieser hat eine Masse und eine geometrische Ausdehnung, d. h. ein Volumen. Bei der Modellvorstellung des materiellen Punktes ist die Masse des Körpers in einem Punkt ohne räumliche Ausdehnung vereinigt, der nicht rotieren und sich verformen kann und somit eine mathematisch einfachere Beschreibung seiner Reaktionen auf Einwirkungen von außen erlaubt. Wie materielle Punkte lassen sich Körper behandeln, deren Volumen klein ist im Vergleich zu den Dimensionen (Abmessungen, Abstände), in denen er sich bewegt. Aus materiellen Punkten bauen sich im Allgemeinen Systeme materieller Punkte auf; sind die Abstände der materiellen Punkte in Systemen konstant, dann werden diese Körper als starre Körper bezeichnet.

E.1 Grundgesetze der klassischen Mechanik

Dichte  Die Masse m und das Volumen V der Körper sind über eine materialspezifische Größe, die Dichte , definiert: =

m V

Die Dichte fester, flüssiger oder gasförmiger Körper (Tabelle E-) ist mehr oder minder stark temperatur- und druckabhängig. Bei Gasen ist die Dichte im Vergleich zu Festkörpern und Flüssigkeiten etwa tausendmal kleiner und ändert sich besonders stark mit der Temperatur und dem Gasdruck. Die mittlere Dichte m , von Körpern mit einem Gesamtvolumen V , das sich aus unterschiedlichen Materialien zusammensetzt, wie z. B. bei Lochsteinen oder Verbundwerkstoffen, errechnet sich folgendermaßen: m =

E.1.1 Die Newton’schen Axiome Die von I. Newton im Jahre  veröffentlichten Grundprinzipien der Dynamik sind in Tabelle E- zusammengestellt. Als Grundgesetze der klassischen Mechanik beschreiben sie die dynamischen Vorgänge exakt; sie versagen, wenn die Geschwindigkeiten nicht mehr erheblich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind (Relativitätstheorie) oder bei Wechselwirkungen in der mikroskopischen Welt (Quantentheorie).

(E–)

1 V1 + 2 V2 + . . . ; V

(E–)

1 , 2 , . . . Dichte der Körperanteile, V1 , V2 , . . . Teilvolumina der Körperanteile, V Gesamtvolumen des Körpers (V = V1 + V2 + . . .) . Kraft Das zweite Newton’sche Axiom definiert die Kraft F als Ursache einer Bewegungsänderung und stellt den Zusammenhang zwischen



E Dynamik

Tabelle E-. Die Newton’schen Axiome. Newton’sche Axiome

Formulierung

Beziehung

. Axiom Trägheitsgesetz

Jeder Körper behält seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung so lange bei, wie er nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern.

. Axiom Aktionsgesetz Grundgesetz der Mechanik

Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße des Schwerpunktes, des Impulses p = m
, ist gleich der resultierenden Kraft F. Um eine konstante Masse zu beschleunigen, ist eine Kraft F erforderlich, die gleich dem Produkt aus Masse m und Beschleunigung a des Schwerpunktes ist.

. Axiom Wechselwirkungsgesetz actio = reactio

Wirkt ein Körper  auf einen Körper  mit der Kraft F 12 , so wirkt der Körper  auf den Körper  mit der Kraft F 21 ; beide Kräfte haben den gleichen Betrag, aber entgegengesetzte Richtungen.

allgemein: d F = (m
) dt speziell: F = ma F 12 = −F 21

Tabelle E-. Dichten von Materialien in kgm 3 beim Normdruck  Pa. Festkörper

Gase (0  C)

Flüssigkeiten

Platin Gold Blei Kupfer

21 400 19 290 11 340 8930

Messing Stahl Eisen Marmor Glas Normalbeton PVC-Kunststoff Eis Fichtenholz

 8500  7800  7500  2700  2500  2400 1400 920  700

Quecksilber Schwefelsäure Glycerin Schweres Wasser D2 O Wasser H2 O

Petroleum Alkohol (100%) Kfz-Benzin Leichtbenzin

der Bewegungsgröße eines Körpers, also dessen Impuls, und der Einwirkung von Kräften als Ursache der Bewegungsänderung her: d d d
dm F= p = (m
) = m +
; (E–) dt dt dt dt

13 546 1834 1260 1105 0 C 4 C 20  C 60  C 100  C 20  C 20  C

999,84 999,97 998,21 983,21 958,35 810 790 780 700

Xenon Chlor CO2 Sauerstoff

5,90 3,21 1,98 1,43

Stickstoff Luft 0 C −100  C +100  C +1000  C Ammoniak Methan Helium Wasserstoff

1,25 1,29 2,04 0,95 0,28 0,77 0,72 0,18 0,09

dem zweiten Newton’schen Axiom das Newton’sche Grundgesetz der Mechanik: F=m

d
= ma ; dt

(E–)

a Beschleunigung des Körpers. F p
m

Kraft auf den Körper, Impuls des Körpers (p = m
), Momentangeschwindigkeit des Körpers, Masse des Körpers.

Bleiben die Massen bei den dynamischen Vorgängen konstant (dmdt = 0), dann folgt aus

Die Kraft F ist eine vektorielle Größe, deren Richtung parallel zur Beschleunigung a und deren Betrag F = ma ist. Die Einheit für die Kraft ist [F] = 1 N (Newton) = 1 kg ċ ms2 . Für die Addition von Kräften und die Zerlegung einer Kraft in verschiedene Kraftrichtun-

E. Grundgesetze der klassischen Mechanik



Tabelle E-. Kräftediagramm und Kraftzerlegung. F= F1 + F2

Kräfteparallelogramm

Kräfte

Richtungswinkel

Kräfteaddition; gegeben F1 , F2 , α, β

Fx = F1 cos α + F2 cos β Fy = F2 1 sin α + F2 sin β F = Fx2 + Fy2 2 F = F12 + F22 + 2F1 F2 cos(β − α)

Kräftezerlegung; gegeben F, γ, α, β oder F, γ, F1 , F 2

F1 = F

sin(β − γ) sin(β − α) sin(γ − α) F2 = F sin(β − α)

gen gelten die Regeln der Vektorrechnung (Tabelle E-). Kräftegleichgewicht Das dritte Newton’sche Axiom beschreibt die Wechselwirkungen zwischen Körpern über Kräfte und sagt aus, dass es eine einzelne isolierte Kraft nicht gibt. Wird eine Systemgrenze vorgegeben, dann kann zwischen äußeren Kräften, die von einem Körper außerhalb der Systemgrenzen herrühren, und inneren Kräften, die nur innerhalb des Systems wirken, unterschieden und die Beschreibung dynamischer Vorgänge wesentlich vereinfacht werden (Abschnitt E..). Ist die nach dem Newton’schen Aktionsprinzip resultierende Kraft auf den Körper null, dann ist auch nach Gl. (E–) die Beschleunigung des Körpers a = 0 und er verharrt in seinem Bewegungszustand; war er also vorher in Ruhe, dann bleibt er in Ruhe. Dies ist die Bedingung des statischen Kräftegleichgewichts:

γ= arctan

F1 sin α + F2 sin β F1 cos α + F2 cos β

F 2 + F12 − F22 2FF1 F 2 + F22 − F12 β = γ + arccos 2FF2

α = γ − arccos

E.1.2 Wechselwirkungskräfte der Mechanik Schwer- oder Gewichtskraft FG Auf der Erdoberfläche fallen im freien Fall alle Körper konstanter Masse mit der konstanten Fallbeschleunigung g, wenn andere Wechselwirkungen, z. B. die Luftreibung, vernachlässigbar sind. Die Ursache dieser gleichmäßig beschleunigten Fallbewegung ist die Schwer- oder Gewichtskraft F G auf die Masse m des Körpers: FG = mg ;

(E–)

g Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche (in Paris: g = 9,81 ms2 ). Die Schwerkraft ist, wie die Fallbeschleunigung, zum Erdmittelpunkt hin gerichtet. Ursache der Schwerkraft ist die Gravitationskraft zwischen der Erd- und der Körpermasse (Abschnitt F). Hangabtriebskraft F H

N

% Fi = F1 + F2 + . . . = 0 . i=1

(E–)

Die Schwerkraft führt, wie Bild E- zeigt, bei Körpern auf einer schiefen Ebene zu einer hangabwärts, parallel zur schiefen Ebene gerichteten



E Dynamik

Die Zentripetalkraft ist antiparallel zum Radiusvektor r, d. h. zum Mittelpunkt der Kreisbahn hin gerichtet. Elastische oder Federkraft F el

Bild E-. Kräfte auf schiefer Ebene mit Neigungswinkel ε.

gleichmäßig beschleunigenden Kraft, der Hangabtriebskraft FH , mit dem Betrag FH = mg sin ε ;

(E–)

Kräfte verursachen nicht nur beschleunigte Bewegungen (dynamische Kraftwirkung), sondern ändern auch die geometrische Form von Körpern (Deformationswirkung). Umgekehrt üben daher deformierte Körper Kräfte aus, die elastischen oder Federkräfte F el . Nach dem dritten Newton’schen Axiom sind die elastischen Kräfte F el entgegengesetzt gleich der von außen wirkenden deformierenden Kraft F a . Alle Festkörper zeigen innerhalb maximaler Deformationsgrenzen ein elastisches Verhalten (Abschnitt G). Nach dem Hooke’schen Gesetz ist die Längenänderung s (Bild E-) der elastischen Deformation ein Maß für die elastische Kraft F el :

ε Neigungswinkel der schiefen Ebene. Senkrecht zur schiefen Ebene entsteht durch die Gewichtskraft die Normalkraft FN mit dem Betrag FN = mg cos ε .

(E–)

F el = −ks ;

(E–)

s Längenänderung des elastischen Körpers (s E F el ), k Richtgröße oder Federkonstante.

Zentripetalkraft F zp Nach dem Newton’schen Grundgesetz ist die Kraft, die einen Körper bei der gleichförmigen Kreisbewegung (Abschnitt D..) auf der Kreisbahn hält, die Zentripetalkraft F zp : F zp = mazp = −mω 2 r ;

(E–)

m Masse des Körpers, azp Zentripetalbeschleunigung nach Gl. (D–), ω Winkelgeschwindigkeit des Körpers auf der Kreisbahn, r Radiusvektor (Ortsvektor) der Kreisbahn.

Bild E-. Elastische Deformation. a) äußere Kraft Fa und elastische Rückstellkraft Fel b) Federkostante k.

E. Grundgesetze der klassischen Mechanik



Tabelle E-. Resultierende Federkonstante. Federkopplung

Resultierende Federkonstante

Parallelkopplung

kres = k 1 + k 2 + k 3 + . . .

(E–)

Serienkopplung kres =

1 1 1 1 + + +... k1 k2 k3

kres =

1 1 + 1 1 1 1 + + k1 k2 k3 k4

(E–)

Zwischenkopplung (E–)

Tabelle E-. Reibungskräfte. äußere Reibung Festkörperreibung (Newton’sche Reibung)

innere Reibung Flüssigkeitsreibung (Stokes’sche Reibung)

turbulente Reibung Luftreibung (Coulomb’sche Reibung)

Reibungskraft

Ansatz

FR = μFN

(E–)

FR = d

(E–)

FR = b2

(E–)

Proportionalitätsfaktor

μ: Reibungszahl μ ist unabhängig von der Kontaktfläche zwischen Körper und Unterlage; hängt ab von der Kontaktgeometrie und den Materialien von Körper und Unterlage.

d: Zähigkeitskoeffizient d hängt von der Form des Körpers und der Viskosität der Flüssigkeit ab. Es wird laminare Strömung vorausgesetzt.

b Luftreibungskoeffizient b hängt von der Anströmfläche und der Oberflächenbeschaffenheit des Körpers sowie von der Dichte und Art des strömenden Mediums ab.

Spezialfälle

μ R Rollreibung μ G Gleitreibung μ H Haftreibung

d = 6πηr laminare Umströmung einer Kugel vom Radius r in einem Medium mit der Zähigkeit η.

b = 12 cw A Körper mit Anströmfläche A und dem Widerstandsbeiwert cw im Medium der Dichte .



E Dynamik

Tabelle E- zeigt die resultierende Federkonstante kres für gekoppelte Federn. Reibungskraft F R Durch Reibung an der Unterlage (Festkörperreibung), an der Grenzschicht zur umgebenden Flüssigkeit (Flüssigkeitsreibung) oder dem umgebenden Gas (Luftreibung) wird die Bewegung von Körpern verlangsamt. Die Ursache der Bewegungsänderung ist die Reibungskraft F R ; sie ist der Richtung der Momentangeschwindigkeit
des Körpers stets entgegengerichtet: F R E
. Der Betrag von F R setzt sich je nach Situation in unterschiedlicher Weise aus den drei Grenzfällen in Tabelle E- zusammen. Die Festkörperreibung hängt von der Oberflächenbeschaffenheit der beiden reibenden Körper ab. Die Haft- und Gleitreibungszahlen unterscheiden sich stark (Tabelle E-). Bei niedrigen Geschwindigkeiten ist auch die Rollreibung noch näherungsweise proportional zur Normalkraft des Rades auf die Unterlage. In diesem Fall lässt sich die Rollreibungszahl μR , definieren; sie ist abhängig

Tabelle E-. Haft-, Gleit- und Rollreibungszahlen. Stoffpaar

μH

μG

μR

Stahl auf Stahl Stahl auf Holz Stahl auf Eis Holz auf Holz Holz auf Leder Gummi auf Asphalt Gummi auf Beton Gummi auf Eis

,

,

,

, bis ,

, bis ,

,

,

,

, bis ,

,

,

,

,

,

,

,

,

vom Radius R der aufeinander abrollenden Körper. Beispielsweise gilt für das Abrollen von Kugeln auf einer ebenen Unterlage μR = f R wobei der Faktor f vom Material und von der Oberflächenbeschaffenheit abhängt. So gilt für Stahlkugeln auf einer ebenen Kunststoffunterlage f = 0,0013 cm. In Tabelle E- sind die Werte von μR für Eisenbahn- und Autoräder angegeben. Nur Bewegungen mit Festkörperreibung verlaufen gleichmäßig beschleunigt oder verzögert; bei den anderen Reibungsarten sind die Bewegungsgesetze kompliziert.

E.2 Dynamik in bewegten Bezugssystemen E.2.1 Geradlinig bewegtes Bezugssystem Für den Fall geradlinig gleichmäßig gegeneinander beschleunigter Bezugssysteme sind im Bild E- die Vektoren für die Beschreibung der Bahnkurve eines Punktes P aufgezeichnet und die Transformationsgleichungen für die Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren angegeben, welche sich zwischen dem ruhenden System S (x, y, z) und dem sich gegenüber S mit der Beschleunigung a S bewegenden Bezugssystem S (x  , y  , z  ) ergeben. Dabei ist die für Geschwindigkeiten klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit zulässige Transformationsbedingung einer absoluten Zeit, also einer von den Koordinatensystemen unabhängigen Zeitkoordinate t = t  , angewandt worden (Galilei-Transformation); der Fall hoher Relativgeschwindigkeiten wird in Abschnitt U (Relativitätstheorie) beschrieben.

, bis ,

Trägheitskraft F t Wird in jedem der beiden Bezugssysteme S und S die gemessene Beschleunigung auf die Wirkung einer beschleunigenden Kraft zurückge-

E. Dynamik in bewegten Bezugssystemen

r = r + r s = r  +

r  = r − rs = r −

Geschwindigkeitsvektoren

1 2 as t ; 2
=
 +
s =
 + a s t;

Beschleunigungsvektoren

a = a  + as ;

a = a − as

Ortsvektoren



1 2 as t 2
 =
−
s =
− a s t

Bild E-. Galilei-Transformation in gleichmäßig gegeneinander beschleunigten Bezugssystemen.

führt, so ergibt sich im ruhenden System S die Kraft F = ma, und in S die Kraft F  = ma  = ma − maS . Die Differenz ist die nur im bewegten Bezugssystem als Scheinkraft auftretende Trägheitskraft F t : F t = −maS ;

(E–)

kraft F t zu der resultierenden Kraft F res aus den Wechselwirkungskräften vektoriell zu addieren. Demnach ist in bewegten Bezugssystemen S ein Körper im Gleichgewicht (a = 0), wenn das dynamische Kräftegleichgewicht erfüllt ist: N

F res + F t = % F i − ma S = 0 ;

(E–)

i=1

a S Beschleunigung des bewegten Koordinatensystems S in Bezug auf das ruhende System S: aS E F t . Die Trägheitskraft wirkt im beschleunigten Bezugssystem auf alle Massen. Durch Messung der Trägheitskraft auf einen Körper im beschleunigten Bezugssystem S lässt sich somit a s bestimmen. Prinzip von d’Alembert Nach dem Prinzip von d’Alembert ( bis ) ist in einem, geradlinig gleichmäßig beschleunigten Bezugssystem die Trägheits-

aS Beschleunigung des bewegten Bezugssystems, F i Wechselwirkungskräfte auf den Körper mit der Masse m im bewegten Bezugssystem.

E.2.2 Gleichförmig rotierende Bezugssysteme In rotierenden Bezugssystemen treten wegen der beschleunigten Bewegung ebenfalls Scheinkräfte auf, die nur der mitbewegte Beobachter wahrnimmt. Zum einen verspürt der bewegte



E Dynamik

Beobachter eine Kraft, die ihn von der Drehachse wegtreibt, die Zentrifugalkraft; zum anderen eine weitere, bei allen nicht mit der Drehachse von S übereinstimmenden Geschwindigkeitsrichtungen im bewegten System S wirkende abtreibende Kraft, die Coriolis-Kraft. Es besteht der Zusammenhang:
 =
− ω 4 r ;

(E–)


Geschwindigkeit im ruhenden Koordinatensystem S,
 Geschwindigkeit im bewegten Koordinatensystem S , ω Winkelgeschwindigkeit des um die z-Achse rotierenden Koordinatensystems S . 

a = a − 2ω 4
 − ω 4 (ω 4 r) ;

a = d
dt Beschleunigung im rotierenden Bezugssystem, a = d
dt Beschleunigung im ruhenden Bezugssystem. Ist R die Komponente des Ortsvektors r, die senkrecht zur Winkelgeschwindigkeit ω steht, dann geht Gl. (E–) über in 



Zentrifugalkraft F zf Im gleichförmig rotierenden Bezugssystem tritt eine Trägheitskraft auf, die Zentrifugalkraft F zf . Sie ist senkrecht zur Drehachsenrichtung und entgegengesetzt der Zentripetalkraft F zp radial nach außen gerichtet. F zf = +mω 2 r ;

2

m r ω

(E–)

 

a=a

Im rotierenden Bezugssystem wirken also zwei weitere Beschleunigungen, die vom Standpunkt des ruhenden Beobachters aus für bewegte Bezugssysteme Scheinkräfte sind.

 

Für die Beschleunigung a = d
dt im rotierenden Bezugssystem S ergibt sich aus Gl. (E–) folgende Verknüpfung:




 Bahngeschwindigkeit im rotierenden Koordinatensystem, R Abstand des Körpers von der Drehachse.

− 2
4 ω

−ω R ;

CoriolisBeschleunigung

ZentripetalBeschleunigung

(E–)

Masse des Körpers, Ortsvektor des Körpers auf der Kreisbahn, Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung.

Die Beträge von Zentrifugal- und Zentripetalkraft sind gleich, die Richtungen jedoch entgegengesetzt: F zf E F zp . Coriolis-Kraft FC Verläuft in einem rotierenden Bezugssystem der vom mitbewegten Beobachter gemessene Geschwindigkeitsvektor nicht parallel zur Drehachse, dann erfährt der bewegte Körper der Masse m eine weitere Trägheitskraft, die Coriolis-Kraft FC : F C = +2m(
 4 ω) ;

(E–)



Beschleunigung im rotierenden Koordinatensystem, a Beschleunigung im ruhenden Koordinatensystem, ω Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Koordinatensystems a

(E–)

m
 ω

Masse des Körpers, Bahngeschwindigkeit des Körpers im bewegten System S , Winkelgeschwindigkeit des bewegten Bezugssystems um die Drehachse.

E. Arbeit, Leistung und Energie

Die Coriolis-Kraft hat den Betrag FC = 2m ω ċ sin(
 , ω) und ist senkrecht zur Drehachsenrichtung ω und senkrecht zur Geschwindigkeit
 gerichtet.

E.3 Arbeit, Leistung und Energie E.3.1 Arbeit W Wirkt eine Kraft F auf einen Körper und verschiebt ihn dabei um ein Wegelement Δs, so ist durch die Wirkung dieser Kraft der Zustand des Körpers verändert worden; die Kraft hat an dem Körper Arbeit verrichtet. Die mechanische Arbeit dW auf dem Weg ds ist durch das Skalarprodukt zwischen der Kraft F und dem Wegelement ds definiert (Bild E-): dW = F ċ ds = Fds cos (F, ds) ;

(E–)

Ist der Weg von s 1 nach s 2 gekrümmt oder die Kraft F(r, t) nicht konstant, dann ergibt sich die Arbeit aus der Integration der Einzelbeiträge dW auf dem Wegelement ds: s2

s1

W12

Eine Kraft F, die senkrecht auf das Wegelement ds wirkt, verrichtet keine Arbeit, dW ist null. In Tabelle E- ist die Arbeit W12 zusammengestellt, welche gegen die im erdnahen Gravitationsfeld näherungsweise konstante Schwerkraft F G und die von ihr verursachte Hangabtriebskraft FH sowie die auf dem Verschiebungsweg konstante Festkörper-Reibungskraft FR aufzuwenden ist. Mit aufgenommen ist die Beschleunigungsarbeit gegen die Trägheitskraft Ft der beschleunigten Masse, welche nur von der Differenz der Quadrate der Geschwindigkeiten zu Beschleunigungsbeginn und Beschleunigungsende abhängt. Die Verformungsarbeit beim Dehnen und Stauchen von elastischen Körpern und die Hubarbeit gegen die Gravitationskraft werden gegen ortsabhängige Kräfte verrichtet; Tabelle E- enthält die für diese Fälle sich ergebenden Arbeiten W12 . E.3.2 Leistung P Die Leistung P ist das Maß dafür, in welcher Zeitspanne Δt die Arbeit ΔW verrichtet wird:

s2

W12 = # dW = # F ċ ds .

(E–)

P=

s1

mechanische Arbeit für die Verschiebung des Körpers vom Wegpunkt s 1 nach dem Wegpunkt s 2 .

ΔW . Δt

(E–)

Die Einheit der Leistung ist [P] = 1 N ċ ms = 1 Js = 1 W (Watt). Die Momentanleistung P zu einem Zeitpunkt t ergibt sich aus Gl. (E–) für ein unendlich kurzes Zeitintervall dt: P= dW F

Bild E-. Zur Definition der Arbeit.



s


dW Fds = = F ċ
; dt dt

(E–)

Arbeit im Zeitintervall dt, momentan wirkende Kraft, mit der Arbeit verrichtet wird, Ortsvektor des Körpers, Momentangeschwindigkeit des Körpers.



E Dynamik

Tabelle E-. Arbeit gegen ortsunabhängige Kräfte. Geometrie

erforderliche konstante Kraft

Weg

verrichtete Arbeit

Hubarbeit gegen Gewichtskraft FG

F = mg

s = h2 − h1 = h

W12 = mg h nur abhängig von der Höhendifferenz (E–)

Arbeit auf reibungsfreier schiefer Ebene gegen Hangabtriebskraft FH

F = mg sin α

Festkörperreibungsarbeit gegen Reibungskraft FR

F = μFN = μmg

Beschleunigungsarbeit ohne Reibung gegen Trägheitskraft Ft

F = ma

s=

W12 = mg h nur abhängig von der Höhendifferenz (E–)

h sin α

s = s2 − s1

s=

22 − 21 2a

W12 = μmgs Reibungszahl μ auf Weg konstant (E–) W12 = 12 m(22 − 21 ) nur abhängig von Anfangs- und Endgeschwindigkeit (E–)

Tabelle E-. Arbeit gegen ortsabhängige Kräfte. System

Kraftgesetz

Verformungsarbeit

Feder-Masse-System

Frück = −kx

Hubarbeit gegen die Gravitationskraft

Zentralgestirn und Satellit

Arbeit W12 = 12 k -x 22 − x 12 . (E–) normiert: W = 0 für x 1 = 0

FG = −G

mM r r2 r

1 1 −  r1 r2 (E–) normiert: W = 0 für r 2 \ 0 W12 = G Mm 

E. Arbeit, Leistung und Energie

Die mittlere Leistung Pm im Zeitraum tg ergibt sich wie folgt: Pm =

tg Wg

Wg ; tg

(E–)

Zeitraum für die mittlere Leistungsbestimmung, gesamte, in der Zeit tg verrichtete Arbeit.

Aus der in der Zeitspanne tg in messbare Reibungsarbeit bzw. Reibungswärme umgewandelten Arbeit lassen sich Leistungen von Antrieben bestimmen. Wirkungsgrad Der mechanische Wirkungsgrad η eines Antriebs oder eines mechanischen Wandlers ist t 1

η=

Wab = Wzu

* Peff dt

t 0

t1

;

PV

PN

Wab PN Peff

ηges = η 1 ċ η 2 ċ η 3 . . .

Körper und Systeme aus materiellen Punkten unterscheiden sich in ihrem physikalischen Zustand dadurch, in welchem Maße ihnen mechanische Arbeit zugeführt oder entnommen wurde. Das Maß hierfür ist die Körpereigenschaft Energie E. Die Änderung der Energie durch Zufuhr oder Abfuhr von Arbeit W wird durch den Energiesatz der Mechanik beschrieben:

(E–) ΔE = Enachher − Evorher = W .

zugeführte Arbeit im Zeitraum Δt = t 1 − t 0 , abgeführte Nutzarbeit im Zeitraum Δt  = t 1 − t 0 , momentan zugeführte Nennleistung, effektive momentane Leistungsabgabe.

Peff PV =1− ; PN PN

(E–)

E.3.3 Energie E

* PN dt

Der Wirkungsgrad ist dimensionslos, der Wertebereich 0 > η > 1. Stimmen bei Leistungswandlern die Zeitintervalle der zugeführten Nennleistung PN und der abgegebenen effektiven Leistung Peff überein, dann ergibt sich als Wirkungsgrad η: η=

Leistungsverluste durch Reibung oder andere Verlustmechanismen wie beispielsweise Abstrahlung von Wärme (PV = PN − Peff ), momentane zugeführte Nennleistung.

Werden mehrere Antriebe und Wandler hintereinandergeschaltet, dann ist der Gesamtwirkungsgrad ηges der Anlage:

t0

Wzu



(E–)

(E–)

Ein Körper besitzt demnach die mechanische Energie: Emech = Ekin + Epot = 12 m2 + ( 12 ks 2 + mgh) ; m k  s h

(E–)

Masse des Körpers, Federkonstante oder Richtgröße des Körpers, Momentangeschwindigkeit des Körpers, Weg der elastischen Verformung, Höhe der Lage des Körpers.

Die Energieanteile des Körpers hängen davon ab, wo das Bezugsniveau h = 0 und der verformungsfreie Ausgangszustand s = 0 liegen



E Dynamik

und auf welches Bezugssystem die Geschwindigkeit  bezogen ist. Die Reibungsarbeit kann im Gegensatz zu den anderen mechanischen Arbeitsformen nicht vollständig in die anderen Arbeitsarten übergeführt werden; die Reibungsarbeit verändert den Wärmezustand des Körpers. Die mechanische Energie eines Körpers umfasst nur Energieanteile, die vollständig ineinander umwandelbar sind.

Sind die Voraussetzungen des Energieerhaltungssatzes der Mechanik erfüllt, dann ergibt sich für zwei Zeitpunkte t und t  die folgende Gleichung, ohne dass der zeitliche Verlauf der einzelnen Geschwindigkeiten und Koordinaten dazwischen bekannt sein muss: 2 2 1 1 m (2 − 2 1 ) + 2 m 2 (2 − 2 ) + . . . 2 1 1 2 2 1 1 k (s 2 − s 2 1 ) + 2 k 2 (s 2 − s 2 ) + . . . 2 1 1   m 1 g(h 1 − h 1 ) + m 2 g(h 2 − h 2 ) + . . .

=0 (E–)

Energieerhaltungssatz In einem abgeschlossenen System, also einem System aus Körpern, in das weder ein Massenstrom fließt noch Arbeit zu- oder abgeführt wird, gehorchen alle Naturerscheinungen einem fundamentalen Gesetz, dem Satz von der Erhaltung der Energie: In einem abgeschlossenen System bleibt der Energieinhalt konstant. Energie kann weder vernichtet werden noch aus nichts entstehen; sie kann sich in verschiedene Formen umwandeln oder zwischen Teilen des Systems ausgetauscht werden.

E.4 Impuls und Stoßprozesse Nach dem zweiten Newton’schen Axiom haben Körper eine Bewegungsgröße als Körpereigenschaft, den Impuls p; dieser ist definiert als p = m
; m


(E–)

Masse des bewegten Körpers, Momentangeschwindigkeit des Körpers.

Nach allen Erfahrungen mit Energieumwandlungsprozessen gibt es kein perpetuum mobile erster Art. Es ist also unmöglich, eine Maschine zu bauen, die dauernd Arbeit verrichtet, ohne dass ihr von außerhalb des Maschinensystems ein Energiebetrag zugeführt wird. Ist ein mechanisches System abgeschlossen, wird also keine äußere Arbeit verrichtet (W = 0), und sind die Verluste durch Reibungsarbeit vernachlässigbar, dann gilt für die kinetische und potenzielle Energie des Systems materieller Punkte bzw. Körper der Energieerhaltungssatz der Mechanik:

Der Impuls hat die Einheit [p] = 1 kg ċ ms = 1 N ċ s. Nach dem Newton’schen Grundgesetz der Mechanik ändert sich nach Gl. (E–) der Impuls p unter dem Einfluss einer Kraft F gemäß F = dpdt. Die Wirkung einer Kraft F im Zeitintervall Δt = t 2 − t 1 wird als Kraftstoß bezeichnet; durch ihn ändert sich der Impuls eines Körpers um Δp:

Ekin + Epot = (räumlich und zeitlich) konstant . (E–)

Im Allgemeinen hängt die wirkende Kraft von der Zeit ab, wie Bild E-a zum Ausdruck bringt. Ist die Kraft während der Kontaktzeit Δt des

t2

Δp = p(t 1 ) − p(t 2 ) = # F(t)dt .

(E–)

t1

E. Impuls und Stoßprozesse

p N



Gesamtimpuls des Systems, Gesamtanzahl der materiellen Punkte des Systems.

In den Bewegungsgleichungen nach Gl. (E–) für die N materiellen Punkte unter den inneren Wechselwirkungskräften F i, jk und den äußeren Kräften F ak im Bild E- kompensieren sich nämlich nach dem dritten Newton’schen Axiom gerade die inneren Kräfte: N

F i, jk = 0 .

%

k, j=1 (k j)

Bild E-. Kraftstöße mit a) zeitabhängigem Kraftverlauf und b) zeitlich konstanter Kraft.

Kraftstoßes konstant, wie im Bild E-b, dann vereinfacht sich Gl. (E–) zu Δp = F 0 Δt = F(t 2 − t 1 ) .

Als Wechselwirkungskraft auf das System materieller Punkte bleibt also nur die Summe der äußeren Kräfte F a auf die einzelnen Massen m k übrig. Der Impulssatz für ein System materieller Punkte stimmt formal mit dem Newton’schen Grundgesetz Gl. (E–) für einen einzelnen Massenpunkt überein, wenn der Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt S eingeführt wird, dessen Ortsvektor r S folgendermaßen definiert ist:

(E–) N

r S (t) =

E.4.1 Systeme materieller Punkte

7 m k r k (t)

k=1

;

m

(E–)

N

Der Gesamtimpuls p = 7 pk von Systemen aus k=1

mehreren materiellen Punkten der Masse m k und mit dem Einzelimpuls p k , wie beispielsweise die N Kügelchen einer abgeschossenen Schrotladung oder die N beteiligten Körper bei Stoßprozessen, gehorcht einem mit dem zweiten Newton’schen Axiom vergleichbaren Impulssatz für ein System materieller Punkte: N

F a = % F ak = k=1

F ak pk

d N dp ; % pk = dt k=1 dt

m

Gesamtmasse des Systems materieller N

Punkte $m = 7 m k ' k=1

(E–)

äußere Kraft auf den materiellen Punkt k, Impuls des materiellen Punkts k,

Bild E-. Kräfte auf Punkt k in einem System materieller Punkte.



E Dynamik

mk Masse des k-ten materiellen Punkts, r k (t) momentaner Ortsvektor des materiellen Punkts. Weisen Systeme von Massenpunkten mit gleichen Massen eine Symmetrieachse auf, dann liegt der Schwerpunkt S auf dieser Achse. Die Schwerpunktsgeschwindigkeit
S (t) ergibt sich aus der Differenziation von Gl. (E–): N

dr S (t)
S (t) = = dt

7 mk

k=1

d r k (t) dt m

N

= p m

7 pk (t)

k=1

m

=

p ; m

um starre Körper; auch für diese gelten der beschriebene Impuls- und Schwerpunktssatz nach Gl. (E–) und Gl. (E–). Wegen ihrer großen Bedeutung in der Praxis wird die Dynamik der starren Körper im Abschnitt E. beschrieben. Wirkt auf ein System materieller Punkte oder starrer Körper keine resultierende äußere Kraft, ist also F a = 0 und damit dpdt = 0, dann ist der Gesamtimpuls p konstant. Für die Einzelimpulse des Systems gilt der Impulserhaltungssatz: p1 + p2 + . . . + p N = p

(E–)

Gesamtimpuls der N materiellen Punkte, Gesamtmasse der N materiellen Punkte.

Mit der Schwerpunktsbeschleunigung a S = d
S dt und dem Impulssatz von Gl. (E–) folgt für ein System materieller Punkte der Schwerpunktssatz:

= (zeitlich) konstant.

(E–)

Bei einem Stoßprozess erlaubt der Impulserhaltungssatz auch ohne die genaue zeitliche Beschreibung des Stoßvorgangs die Berechnung der Impulsänderungen pk − pk der beteiligten Körper: m 1
1 + m 2
2 + . . . + m N
N

Der Schwerpunkt S eines Systems materieller Punkte bewegt sich so, als sei im Schwerpunkt die Gesamtmasse m des Körpers vereinigt, und als würden alle äußeren Kräfte im Schwerpunkt angreifen. Mit dem Schwerpunktssatz lautet das Newton’sche Grundgesetz für die Bewegung von Systemen materieller Punkte unter der Wirkung äußerer Kräfte F a : F a = maS ; Fa m aS

(E–)

Summe der äußeren Kräfte auf das System, Gesamtmasse der materiellen Punkte, Beschleunigung des Schwerpunkts S des Systems materieller Punkte.

Sind die Abstände der materiellen Punkte in den Systemen konstant, dann handelt es sich

= m 1
1 + m 2
2 + . . . + m N
N ; m1 , m2 , . . . m N
1 ,
2 , . . .
N
1 ,
2 , . . .
N

(E–)

Massen der am Stoß beteiligten Körper, Geschwindigkeiten der Körper vor dem Stoß, Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß.

Gl. (E–) gilt auch eingeschränkt auf die Zeitpunkte kurz vor und kurz nach dem Stoß, wenn äußere Kräfte wirken. E.4.2 Stoßprozesse Bei einem Stoßprozess berühren sich die Stoßpartner kurzzeitig mit kleinen Stoßzeiten und ändern ihre jeweiligen Bewegungszustände. Bei Stoßvorgängen wird prinzipiell zwischen Stößen ohne Energieverlust in der Stoßzeit, den

E. Impuls und Stoßprozesse



Tabelle E-. Klassifikation der Stoßprozesse. Stoßart

Bild

Charakteristika

gerade

Die Geschwindigkeitsvektoren liegen auf einer Geraden.

schief

Die Geschwindigkeitsvektoren liegen in einer Ebene und schließen einen Winkel ein.

zentral

Die Schwerpunkte der Stoßpartner liegen auf der Normalen zur Berührungsebene durch den Berührungspunkt (Stoßnormale).

exzentrisch

Die Schwerpunkte liegen nicht auf der Stoßnormalen. Es tritt Rotation auf.

elastischen Stößen, und jenen mit Energieumwandlungen, den inelastischen Stößen, unterschieden. Dazu kommt noch die Unterscheidung der Stoßarten nach der Stoßgeometrie, wie diese in Tabelle E- klassifiziert sind. Die Geschwindigkeitsvektoren
1 und
2 zweier Stoßpartner vor dem Stoß spannen die Stoßebene auf. Bis auf den exzentrischen Stoß verlaufen die Bahnen der Stoßpartner auch nach dem Stoß in der Stoßebene. Im x, y-Koordinatensystem der Stoßebene gelten dann der Impulserhaltungssatz nach Gl. (E–): 



m 1
1x + m 2
2x = m 1
1x + m 2
2x , m 1
1y + m 2
2y =

m 1
1y

+

m 2
2y

,

ΔW

m1 , m2
1x ,
2x
1y ,
2y
1x ,
2x
1y ,
2y

Energieverlust beim Stoß durch inelastische Verformungsarbeit und dissipative Reibungsvorgänge, Massen der am Stoß beteiligten Körper, Geschwindigkeitskomponenten der Körper in x-Richtung vor dem Stoß, Geschwindigkeitskomponenten der Körper in y-Richtung vor dem Stoß, Geschwindigkeitskomponenten der Körper in x-Richtung nach dem Stoß, Geschwindigkeitskomponenten der Körper in y-Richtung nach dem Stoß.

(E–) (E–)

Nach dem Energiesatz der Mechanik von Gl. (E–) ist für den Energieaustausch anzusetzen: 1 m (
2 +
21y ) + 12 m 2 (
22x +
22y ) 2 1 1x 2 2 2 1 = 12 m 1 (
2 1x +
1y ) + 2 m 2 (
2x +
2y ) + ΔW

(E–)

;

Zur Beschreibung der inelastischen Stöße genügen die Gln. (E–) bis (E–) nicht; dazu sind zusätzlich im Fall des zentralen Stoßes noch eine weitere Randbedingung und beim schiefen Stoß sogar zwei weitere Angaben bezüglich der Energieumwandlung oder der Geschwindigkeiten nach dem Stoß notwendig. In Tabelle E- sind die Stoßverläufe und die Stoßgleichungen der Stöße zusammengestellt, für die einfache Beziehungen aus den Gln. (E–) bis (E–) folgen.

gerade zentral inelastisch

vor dem Stoß

gerade zentral elastisch

nach dem Stoß

vor dem Stoß

nach dem Stoß

Stoßverlauf

Stoßart


1 8
2 ΔW gegeben


1 8
2 ΔW = 0

Randbedingung

2 =

1 =

2 =

1 =

m 2 (1 − 2 ) m1 + m2

+

m 1 (1 − 2 ) m1 + m2

m 1 1 + m 2 2 m1 + m2

−

# 1−2

# 1−2

m1 + m2 ΔW m 1 m 2 (1 − 2 )2 (E–)

m1 + m2 ΔW m 1 m 2 (1 − 2 )2 (E–)

(E–)

2m 1 1 + (m 2 − m 1 )2 m1 + m2

m 1 1 + m 2 2 m1 + m2

(E–)

(m 1 − m 2 )1 + 2m 2 2 m1 + m2

Stoßgleichungen

Tabelle E-. Stoßgleichungen zentraler, gerader und schiefer Stöße.

Sind der relative Stoßenergieverlust ξ bzw. der relative Stoßenergieübertrag η = 1 − ξ bekannt, so errechnet sich der Energieverlust daraus zu ΔW = 12 ξ(m 1 21 + m 2 22 ).

Spezialfälle sind der Stoß gleichgroßer Massen (m 1 = m 2 ), bei dem
1 =
2 und
2 =
1 wird und die Stoßpartner die Geschwindigkeit, den Impuls und die kinetische Energie nur austauschen, sowie der Stoß gegen eine feste Wand (m 2 u m 1 ) bei dem die stoßende Masse mit
1 = −
1 direkt reflektiert wird.

Anmerkungen

 E Dynamik

schief zentral elastisch 1x = 1x ;

m 2 2x = m 2 2x ΔW = 0 1y =

2y =

m1 + m2

(E–)

(E–)

(m 1 − m 2 )1y + 2m 2 2y

m1 + m2

2m 1 1y + (m 2 − m 1 )2y

(E–)

1 m1 m2 (1 − 2 )2 2 m1 + m2

ΔWunelast =

2x = 2x ;

(E–)

m 1 1 + m 2 2 m1 + m2

 = 1 = 2

Stoßgleichungen

m 1 1x = m 1 1x


1 8
2
1 =
2 Stoß mit Kopplung

vor dem Stoß

gerade zentral unelastisch

nach dem Stoß

Randbedingung

Stoßverlauf

Stoßart

Tabelle E-. (Fortsetzung).

Sind die Massen der Stoßpartner gleich (m 1 = m 2 ), und ist der gestoßene Körper vor dem Stoß in Ruhe (2 = 0), dann folgt im elastischen Fall (ΔW = 0) aus 2 Gl. (E–) 21 = 2 1 + 2 . Nach dem schiefen, zentralen, elastischen Stoß stehen also die Geschwindigkeitsrichtungen senkrecht aufeinander: <(
1 ,
2 ) = β 1 + β 2 = 90 . Erfolgt der schiefe Stoß eines Körpers gegen eine Wand (m 2 u m 1 ), dann folgt aus Gl. (E–) die Beziehung 1y = −1y und damit β 1 = tan(1y 1x ) = tan(1y 1x ) = β 1 . Die Bahn eines elastisch gegen eine Wand geworfenen Körpers gehorcht also dem Reflexionsgesetz: Der Ausfallswinkel ist gleich dem Einfallswinkel.

Stößt ein Körper der Masse m 1 einen ruhenden Körper (2 = 0) gleicher Masse (m 2 = m 1 ) unelastisch, so geht nach Gl. (E–) genau die Hälfte der kinetischen Energie als Verformungs- und Reibungsarbeit verloren.

Anmerkungen

E. Impuls und Stoßprozesse 



E Dynamik

Bei den geraden, zentralen Stößen bewegen sich die Stoßpartner nach dem Stoß auf derselben Stoßlinie wie vor dem Stoß. Wird daher die xAchse in diese Stoßlinie gelegt, dann sind die yKomponenten in Gl. (E–) null. Ohne spezielle, problemabhängige Angaben zum Energieübertrag während des Stoßzeitpunkts lassen sich die Stoßgleichungen schiefer Stöße nicht angeben. In die Tabelle E- aufgenommen ist der schiefe, zentrale, elastische Stoß. Ohne Verformungsarbeit wirken keine Reibungskräfte, welche eine Kraft senkrecht zur Stoßgeraden des schiefen Stoßes, also der x-Richtung, übertragen können. Damit ist die Impulsänderung der x-Komponenten der Stoßpartner nach dem Impulssatz Gl. (E–) null, und es gilt p1x = p1x und p2x = p2x . E.4.3 Raketengleichung Bei einer Rakete ist bei der Bewegungsänderung die Masse des Körpers nicht konstant, der Raketenimpuls also p = m(t)
(t); durch den Massenausstoß heißer Gase gemäß Bild E- wird die Schubkraft der Rakete

erzeugt. Der Impulssatz nach Gl. (E–) für die Raketenbewegung lautet Fa =

dp dm d
= m −
rel = ma − F schub ; dt dt dt (E–)

äußere Gesamtkraft, z. B. Gravitation, Reibung, F schub Schubkraft (F schub =
rel dmdt),
(t) Momentangeschwindigkeit der Rakete, Absolutgeschwindigkeit der Treibgase,
T Strahlgeschwindigkeit der
rel Treibgase bezüglich der Rakete [
rel =
T − (
+ d
)]. Die Schubkraft ist dabei der Relativgeschwindigkeit
rel der ausströmenden Gase entgegengesetzt. Die in der Tabelle E- zusammengestellten Bewegungsgleichungen der Rakete ergeben sich, wenn Gl. (E–) unter den folgenden Randbedingungen integriert wird: Fa

– Der Treibstoff wird im Zeitintervall 0 > t > tB bis zur Brennschlusszeit tB ausgestoßen;

Tabelle E-. Raketengleichungen nach K. Ziolkowskij. Bahnparameter

zum Zeitpunkt t nach Zündung mit Anfangsgeschwindigkeit 0

RaketenBeschleunigung

a(t) =

RaketenGeschwindigkeit

(t) = rel ln 

Φm rel − g 0 m 0 − Φm t m0  − g 0 t + 0 m 0 − Φm t

bei Brennschluss tB nach Start von Erdoberfläche 0 = 0 Φm rel − g 0 mleer

(E–)

a(tB ) =

(E–)

(tB ) = rel ln

m0 ! − g 0 tB mleer (E–)

RaketenSteighöhe

rel (m 0 − Φm t) Φm m0 m0 _ − 1 − ln  ` m 0 − Φm t m 0 − Φm t

h(t) =

− 12 g 0 t 2 + 0 t (E–)

rel mleer Φm m0 m0 U − 1 − ln !V mleer mleer

h(tB ) =

− 12 g 0 tB2 (E–)

E. Drehbewegungen



ment M definiert die Wirkung einer Kraft bezüglich eines Punktes; es ist als Vektorprodukt definiert: M =r4F ; Bild E-. Massen und Geschwindigkeiten von Rakete und Treibstoff zur Zeit t + dt.

– die Strahlgeschwindigkeit rel ist während der Brennzeit konstant; – der Massenstrom dmdt ist konstant und ergibt sich aus der Differenz der Anfangsmasse m 0 der mit Treibstoff beladenen Rakete und der Masse mleer der bis zur Brennschlusszeit tB ausgebrannten Rakete zu dmdt = −Φm = −(m 0 − mleer )tB ; – die Zeitabhängigkeit der Raketenmasse ist linear entsprechend m(t) = m 0 − Φm t; – der Luftwiderstand ist vernachlässigbar; – die Erdbeschleunigung g(h) wird näherungsweise als konstant angenommen und damit die Schwerkraft auf die Rakete mit F G (t) = m(t)g 0 angesetzt.

F r M

(E–)

Kraftvektor, Ortsvektor zum Angriffspunkt der Kraft, Drehmoment der Kraft F bezüglich des Koordinatennullpunkts.

Das Drehmoment hat die Einheit [M] = 1 N ċ m und den Betrag M = rF sin(r, F) = rF sin β, der Drehmomentvektor steht senkrecht auf der Ebene, die von r und F aufgespannt wird (Bild E-). E.5.2 Drehimpuls Ein materieller Punkt m führt am Ort r auf einer Bahnkurve (Bild E-), mit der Momen-

Mit der Geschwindigkeit (tB ) nach Gl. (E–) erreicht die Rakete nach Brennschluss in der Höhe h(tB ) noch eine zusätzliche Steighöhe von hzusätzlich = 2 (tB )(2g 0 ).

E.5 Drehbewegungen Drehbewegungen von Systemen (insbesondere starrer Körper) werden durch Gleichungen beschrieben, die strukturell gleich gebaut sind wie jene der Translation (Tabelle E-), wenn die folgenden charakteristischen Größen der Rotation definiert werden.

Bild E-. Zur Definition des Drehmoments M.

E.5.1 Drehmoment Um einen Körper in Rotation um eine vorgegebene Drehachse zu versetzen, muss ein Drehmoment auf ihn ausgeübt werden. Das Drehmo-

Bild E-. Zur Definition des Drehimpulses L.



E Dynamik

Tabelle E-. Analogie Translation und Rotation. Translation

Rotation

Größe, Formelzeichen

Einheit

Größe, Formelzeichen

Einheit

Weg s, ds

m

Winkel φ, dφ

rad = 1

Geschwindigkeit ds
= dt

m s

Winkelgeschwindigkeit dφ ω= dt

rad s = 1 s

Beschleunigung d
d2 s = a= dt dt 2

m s2

Winkelbeschleunigung dω d2 φ = 2 α= dt dt

rad s2 = 1 s2

Masse m

kg

Massenträgheitsmoment J = b Δmi ri2

kg ċ m2

kg ċ m s2 = N

Drehmoment dL M = Jα = dt

Nċm

Impuls p = m


kg ċ m s = N ċ s

Drehimpuls L = Jω

kg ċ m2 s = N ċ m ċ s

Kraftkonstante F k=6 6 s

N m

Winkelrichtgröße M kt = ; ; φ

N ċ m rad = N ċ m

Arbeit dW = Fds

Nċm=J =Wċs

Arbeit dW = Mdφ

Nċm =J=Wċs

Spannarbeit W = 12 ks 2

J=Nċm

Spannarbeit W = 12 kt φ 2

N ċ m ċ rad2 = J

kinetische Energie trans Ekin = 12 m2

J=Nċm

kinetische Energie rot Ekin = 12 Jω 2

J =Nċm

Leistung dW P= = F
dt

W = J/s

Leistung dW P= = Mω dt

W = J/s

i

Kraft F = ma =

dp dt

tangeschwindigkeit
eine Drehbewegung aus, wenn sein Impuls p eine Komponente senkrecht zum Ortsvektor r hat, das Vektorprodukt r 4 p also nicht verschwindet. Diese für die Drehbewegung charakteristische Bewegungsgröße wird als Drehimpuls L definiert:

L=r4p;

(E–)

r Ortsvektor des Körpers, p Impuls des Körpers auf der Bahnkurve (p = m
).

E. Drehbewegungen

Der Drehimpuls hat die Einheit [L] = 1 Nċmċs. L steht senkrecht auf den Richtungen des Ortsvektors r und der Momentangeschwindigkeit
. Bei Bewegung in einer Ebene zeigt der Drehimpuls L in Richtung der Drehachse der Drehbewegung und ist L = Jω ;

Unter Berücksichtigung der verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten ω k der Systemteile ist der Gesamtdrehimpuls L eines Systems materieller Punkte (Bild E-)

rk

Durch Einsetzen von
= ω 4 r aus Übersicht D- in Gl. (E–) lässt sich für die Drehbewegung eines materiellen Punkts dessen Massenträgheitsmoment J herleiten:

Jk

2

J = mr ; m r

N

k=1

k=1

(E–)

(E–)

Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung des Körpers, Massenträgheitsmoment.

J

N

L = % m k r 2k ω k = % J k ω k ; mk

ω



ωk

Masse des k-ten von N materiellen Punkten, Abstand des k-ten materiellen Punkts von der Drehachse, Winkelgeschwindigkeit des k-ten materiellen Punkts, Massenträgheitsmoment des k-ten materiellen Punkts.

Die zeitliche Differenziation der Gl. (E–) liefert den Drehimpulssatz der Rotation:

(E–) Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment der äußeren Kräfte auf den Körper.

Masse des materiellen Punkts, Abstand des materiellen Punkts von der Drehachse.

Für starre Körper, bei denen alle materiellen Punkte mit derselben Winkelgeschwindigkeit ω rotieren, lässt sich ebenfalls über J = 7 m k r 2k ein Massenträgheitsmoment definieren, wie Gl. (E–) zeigt, für Systeme materieller Punkte dagegen ist dies nicht sinnvoll.

dL =M; dt L

(E–)

Drehimpuls des Körpers oder Gesamtdrehimpuls des Systems materieller Punkte mit Einzeldrehimpulsen L k N

$L = 7 L k ' , k=1

M

Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte auf den Körper oder das System materieller Punkte N

$M = 7 M k ' k=1

Bild E-. System aus drei materiellen Punkten.

Der Drehimpulssatz der Rotation für ein System materieller Punkte (Bild E-) entspricht Gl. (E–) völlig; in diesem Fall ist der Gesamtdrehimpuls L der Drehimpulse L k der einzelnen materiellen Punkte und das Gesamtdrehmoment M der am System angreifenden



E Dynamik

äußeren Drehmomente M a, k einzusetzen. Die Drehmomente der inneren Kräfte F i, jk kompensieren sich wegen des dritten Newton’schen Axioms. Zentralkräfte, z. B. die Gravitationskraft (Abschnitt F), die entgegengesetzt zum Radiusvektor r(F E r) des materiellen Punkts gerichtet sind, üben auf diesen wegen r 4 F = 0 kein Drehmoment aus; der Bahndrehimpuls L der Körper ist konstant. Die Integration von Gl. (E–) ergibt die als Drehmomentenstoß bezeichnete Drehimpulsänderung ΔL: t2

ΔL = L(t 2 ) − L(t 1 ) = # Mdt .

(E–)

t1

Bei einem konstanten äußeren Drehmoment M 0 ist der Drehmomentenstoß, also die Drehimpulsänderung, ΔL = M 0 Δt. Drehimpulserhaltungssatz Wirken auf ein System von materiellen Punkten oder starren Körpern keine äußeren Drehmomente oder kompensieren sich die Drehmomente äußerer Kräfte, sodass das Gesamtdrehmoment M = 0 ist, dann ist nach dem Drehimpulssatz und der Gl. (E–) die Drehimpulsänderung dLdt = 0 und somit der Gesamtdrehimpuls L konstant. Für das System aus N starren Körpern folgt dann für zwei beliebige Zeitpunkte t 1 und t 2 aus Gl. (E–) der Drehimpulserhaltungssatz J 1 ω 1 (t 1 ) + J 2 ω 2 (t 1 ) + . . . + J N ω N (t 1 ) = J 1 ω 1 (t 2 ) + J 2 ω 2 (t 2 ) + . . . + J N ω N (t 2 ) ; (E–) J1 , J2 , . . . J N ω1 , ω 2 , . . . ω N

Massenträgheitsmoment der N Körper, Winkelgeschwindigkeiten der N Körper.

E.5.3 Dynamisches Grundgesetz der Rotation Mit der Gl. (E–) lässt sich Gl. (E–) umschreiben in eine der Newton’schen Grundgleichung vergleichbare Differenzialgleichung für die Drehbewegung: M = Jα + ω α ω φ M J

dJ ; dt

(E–)

Winkelbeschleunigung der Drehbewegung (α = dωdt = d2 φdt 2 ), Winkelgeschwindigkeit (ω = dφdt), Drehwinkel, Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, Massenträgheitsmoment.

Ist das Massenträgheitsmoment von Körpern konstant, wie beispielsweise bei einem starren Körper oder einem Massenpunkt auf einer Kreisbahn, dann geht Gl. (E–) über in das dynamische Grundgesetz der Rotation für den Drehwinkel φ der Rotationsbewegung: M = Jα = J

d2 φ dω =J 2 . dt dt

(E–)

E.5.4 Arbeit, Leistung und Energie bei der Drehbewegung Arbeit Ein Drehmoment M(φ), das einen Körper um eine Drehachse in eine Drehbewegung versetzt, verrichtet die Arbeit Wrot der Rotationsbewegung: s1

φ1

Wrot = # F(s)ds = # M(φ)dφ ; (E–) s0

M(φ)

φ0

Drehmoment auf den Körper mit Drehbewegung [M(φ) = r 4 F(φ)],

E. Drehbewegungen

dφ ds

Drehwinkeländerung, Wegelement auf der Bahnkurve im Abstand r von der Drehachse (ds = dφ 4 r).

Für ein konstantes Drehmoment M 0 parallel zur Winkeländerung dφ gilt Wrot = M 0 (φ 1 − φ 0 ). Zur Torsion von Körpern im elastischen Bereich oder bei Torsionsfedern ist ein Drehmoment aufzuwenden, das proportional zum Drehwinkel φ ansteigt: M = kt φ. Analog zum Hooke’schen Gesetz wird die Proportionalitätskonstante kt mit der Einheit [kt ] = 1 N ċ m als Richtmoment oder Drehfederkonstante bezeichnet. Aus der Integration der Gl. (E–) für das Drehmoment der Torsion ergibt sich als Torsionsarbeit WTorsion : WTorsion = 12 kt (φ 21 − φ 20 ) ; φ kt

(E–)

Leistung Aus Gl. (E–) folgt die momentane Leistung P der Kraft, welche das Drehmoment und die Drehbewegung bewirkt: Prot = M ω W

φ1 2

2

Wrot = # Jαdφ = 12 J(ω 1 − ω 0 ) ;

dW = Mω ; dt

(E–)

wirkendes momentanes Gesamtdrehmoment auf den Körper, momentane Winkelgeschwindigkeit des Körpers, Dreharbeit.

Energie Die Zufuhr oder Entnahme von Torsionsarbeit WTorsion ändert die potenzielle Energie Epot, rot der Torsionskörper:

Drehwinkel der Torsion, Richtmoment der elastischen Torsion oder der Torsionsfeder.

Die Beschleunigungsarbeit Wrot , welche gegen das Drehmoment der Trägheitskraft zur Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit ω eines Körpers zu verrichten ist, ergibt sich für Körper mit einem konstanten Massenträgheitsmoment J, wenn in Gl. (E–) die Gl. (E–) des dynamischen Grundgesetzes der Rotation und dφ = ωdt eingesetzt wird, zu



2

Epot, rot = 12 kt φ ; kt φ

(E–)

Drehfederkonstante des elastisch verdrehten Körpers, Drehwinkel der elastischen Torsion.

Die Beschleunigungsarbeit Wrot , welche die Geschwindigkeit der rotierenden Körper verändert, erhöht als Rotationsanteil die kinetische Energie der Körper, welche um eine Drehachse rotieren. Ein rotierender Körper besitzt demnach die kinetische Rotationsenergie E kin, rot :

(E–) 2

Ekin, rot = 12 Jω ;

φ0

φ 0 , φ 1 Ausgangs- und Enddrehwinkel der Drehbeschleunigung, J Massenträgheitsmoment des rotierenden Körpers, ω 0 , ω 1 momentane Winkelgeschwindigkeit des Körpers zu den Zeitpunkten t 0 und t 1 bei den Drehwinkeln φ 0 und φ 1 .

J ω

(E–)

Massenträgheitsmoment des rotierenden Körpers, Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Körpers.

Im allgemeinen Bewegungsfall müssen im Energiesatz der Mechanik nach Gl. (E–)



E Dynamik

die rotatorischen Energieanteile zu E kin und Epot dazu genommen werden. Für reine Rotationsbewegungen ohne Arbeitszufuhr oder -abfuhr durch äußere Drehmomente, wie beispielsweise bei freien Drehschwingungen von Torsionskörpern, lässt sich ein Energieerhaltungssatz der Rotation formulieren: 1 Jω 2 2

+ 12 kt φ 2 = 12 Jω 2 + 12 kt φ2

= konstant ; kt J φ φ ω ω

(E–)

Drehfedersteifigkeit der Torsionsfeder, Massenträgheitsmoment des Torsionskörpers, Drehwinkel der Torsionsfeder zum Zeitpunkt t, Drehwinkel der Torsionsfeder zum Zeitpunkt t  , Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t bei φ, Winkelgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t  bei φ .

E.6 Erhaltungssätze der Mechanik Mit den Erhaltungssätzen für die mechanischen Größen Energie, Impuls und Drehimpuls lassen sich viele Probleme auf elegante Art und Weise lösen. In Tabelle E- sind die Erhaltungssätze und die Voraussetzungen für ihre Anwendbarkeit dargestellt.

E.7 Mechanik starrer Körper Der starre Körper ist ein makroskopisches System von Massenpunkten, die starr miteinander verbunden sind. Unabhängig von der Beanspruchung durch äußere Kräfte behält der starre Körper seine Form bei.

Tabelle E-. Erhaltungssätze der Mechanik. Energieerhaltungssatz In einem abgeschlossenen System, in dem nur konservative Kräfte wirksam sind, bleibt die Gesamtenergie konstant: Ekin + Epot = const, dEkin = −dEpot . Ein abgeschlossenes System nimmt weder von der Umgebung Arbeit auf, noch gibt es Arbeit nach außen ab. Impulserhaltungssatz Haben die auf ein System einwirkenden äußeren Kräfte keine Resultierende, dann bleibt der Gesamtimpuls des Systems konstant: p = b pk = const, oder dp = 0, falls F res, a = b F k, a = 0. Ist die Resultierende der äußeren Kräfte null, dann ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts konstant:
s = const, falls F res, a = 0. Drehimpulserhaltungssatz Ist die Vektorsumme aller an einem System angreifenden äußeren Drehmomente null, dann bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant: L = b L k = const, oder dL = 0, falls M res, a = 0 . In einem Zentralkraftsystem bleibt die Flächengeschwindigkeit konstant (Flächensatz, . Kepler’sches Gesetz).

E.7.1 Freiheitsgrade und Kinematik Ein starrer Körper benötigt zur vollständigen Beschreibung seiner Lage im Raum sechs Koordinaten; er hat sechs Freiheitsgrade, die in je drei Freiheitsgrade der Translation und der Rotation zerlegt werden können (Bild E-).

E.7.2 Statik Aus der Voraussetzung der Formstabilität starrer Körper folgt, dass Kräfte, die am starren

E. Mechanik starrer Körper



Bild E- zeigt die zeichnerische Konstruktion der resultierenden Kraft, wenn an einem starren Körper zwei Kräfte, die in einer Ebene verlaufen, an verschiedenen Punkten angreifen. Die Reduktion einer ebenen Kräftegruppe mit mehrere Kräften kann grafisch mit Hilfe des Seileckverfahrens durchgeführt werden (Bild E-). Betrag und Richtung der resultierenden Kraft F R werden grafisch im Kräfteplan ermittelt. Die Polstrahlen R, , ,  und R zu einem beliebig wählbaren Pol P werden parallel verschoben in den Lageplan. Durch den Schnittpunkt der Geraden R und R ist die Lage der Resultierenden F R festgelegt. Kräftepaar Zwei gleich große antiparallele Kräfte F = −F  , die nicht auf einer Wirkungslinie liegen, werden als Kräftepaar bezeichnet (Bild E-). Ihre Resultierende ist null (F + F  = 0); sie

Bild E-. Bewegung eines starren Körpers. a) Translation, b) Rotation, c) zusammengesetzte Bewegung.

Bild E-. Konstruktion der Resultierenden.

Körper angreifen, längs ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben werden können: Kräfte am starren Körper sind linienflüchtig.

Bild E-. Kraft- und Seileck. a) Lageplan, Seileck, b) Kräfteplan, Krafteck.



E Dynamik

Freimachen eines Körpers

Bild E-. Kräftepaar.

können daher keine Translationsbeschleunigung hervorrufen. Ein Kräftepaar übt auf den Körper ein Drehmoment aus vom Betrag M = Fs ; M F s

(E–)

Drehmoment, Betrag einer Kraft, Abstand der beiden Kräfte.

Der Vektor M steht senkrecht auf der von F und F  aufgespannten Ebene (Drehsinn nach Rechtsschraubenregel, Bild E-). Als freier Vektor ist M beliebig parallel verschiebbar. Durch ein Kräftepaar erfährt ein starrer Körper eine Winkelbeschleunigung. Gleichgewichtsbedingungen der Statik Ein starrer Körper ist im statischen Gleichgewicht, wenn die Vektorsummen aller an ihm angreifenden äußeren Kräfte und Drehmomente null sind:

Der Körper wird als losgelöst von der Umgebung betrachtet. Anstelle der mechanischen Verbindungs- oder Berührungsstellen werden die Kräfte eingesetzt, die von der Umgebung auf den Körper ausgeübt werden. Auf den frei gemachten Körper werden die Gleichgewichtsbedingungen der Statik angewandt. Die Kraftrichtungen der Wechselwirkungskräfte hängen von der Art der Kontaktstellen zur Umgebung ab. Schwerpunkt, potenzielle Energie, Standsicherheit Ein Körper ist in jeder beliebigen Lage im statischen Gleichgewicht, wenn er im Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt unterstützt wird (Tabelle E-). Die potenzielle Energie eines starren Körpers im Schwerefeld der Erde ist N

Epot = % m k gz k = mgzS ;

(E–)

k=1

Epot mk g zk m zS

potenzielle Energie, Masse des Massenpunkts k, Erdbeschleunigung, Höhenkoordinate des Punkts k, Gesamtmasse des Körpers, Höhenkoordinate des Schwerpunkts.

Tabelle E-. Schwerpunktskoordinaten. N

% Fa = 0 , % Ma = 0 .

(E–) (E–)

Bei der ebenen Kräftegruppe sind die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt, wenn Kraft- und Seileck geschlossen sind. Greifen nur drei Kräfte am starren Körper an, dann müssen die Wirkungslinien aller drei Kräfte durch einen Punkt gehen, und das Krafteck muss geschlossen sein.

b mk r k

N diskrete Punktmassen

rS =

homogene Dichte

rS =

k=1

m 1 v r dV V Vol

rS rk mk m

Ortsvektor des Schwerpunkts Ortsvektor des Punktes k Masse des Punktes k Gesamtmasse

(E–)

(E–)

E. Mechanik starrer Körper

Abhängig davon, ob bei einer Auslenkung des Körpers aus seiner Ruhelage die Höhenkoordinate zS des Schwerpunkts steigt, fällt oder konstant bleibt, unterscheidet man die Gleichgewichtsfälle stabil, labil und indifferent.

E.7.3 Dynamik Kinetische Energie Eine beliebige Bewegung eines starren Körpers ist darstellbar als Überlagerung der Translationsbewegung des Schwerpunkts S und der Rotation aller Teile um S. Entsprechend lässt sich die kinetische Energie als Summe von Translations- und Rotationsenergie berechnen (Tabelle E-).

Tabelle E-. Drehimpuls des starren Körpers. Gesamtdrehimpuls

Lges = LS + L

(E–)

Bahndrehimpuls

LS = mr S
S

(E–)

Eigendrehimpuls bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt

L =  m k r Sk (ω r Sk )

m rS
S mk r Sk ω

Drehimpuls



JS

k

= JS ω (E–)

Masse des Körpers Ortsvektor des Schwerpunkts Geschwindigkeit des Schwerpunkts Masse des Massenpunkts k Ortsvektor vom Schwerpunkt zum Massenpunkt k in einem körperfesten Koordinatensystem Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Körpers Massenträgheitsrnoment (Trägheitstensor)

Der Drehimpuls eines starren Körpers setzt sich aus einem Bahndrehimpuls und einem Eigendrehimpuls zusammen (Tabelle E-). Massenträgheitsmoment Tabelle E-. Kinetische Energie des starren Körpers. ges

Gesamtenergie

trans rot Ekin = Ekin + Ekin

Translationsenergie

trans Ekin =

Rotationsenergie

rot = Ekin

m S mk rSk ω JS

1 2 m 2 S

(E–)

(E–)

1I 1 2 L 2 2  m k rSk ω = JS ω N 2Kk 2 (E–)

Masse des Körpers Geschwindigkeit des Schwerpunkts Masse des Massenpunkts k Abstand des Massenpunkts k von der Drehachse durch den Schwerpunkt Winkelgeschwindigkeit der Rotation Massenträgheitsmoment bezüglich der Drehachse durch den Schwerpunkt

Das Massenträgheitsmoment eines Körpers berechnet sich als Summe aller Punktmassen, multipliziert mit dem Quadrat ihres Abstands von einer Bezugsachse (Tabellen E- und E-). Trägheitstensor Bei der Rotation eines beliebig geformten Körpers um eine in beliebiger Richtung durch den Schwerpunkt gehende Achse ist im Allgemeinen die Richtung des Drehimpulses L nicht parallel zum Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω. Gleichung (E–) zur Berechnung des Drehimpulses ist nur richtig, wenn J als Tensor definiert wird: ?Jx x Jx y Jx z B C J =@ @ J yx J y y J yz C A J zx J z y J zz D



E Dynamik

J zx = J x z = − # zxdV

Tabelle E-. Massenträgheitsmoment. diskrete Massenverteilung

2 JP =  m k + rPk

(E–)

k

kontinuierliche Massenverteilung

Vol

(E–)

Vol

JP =  g r 2 dV

homogene Dichte

(E–)

Vol

"

JP m

Trägheitsradius

i=

Steiner’scher Satz

2 JP = JS + mrSP

JP mk rPk r  m JS rSP

(E–) (E–)

Massenträgheitsmoment bezüglich einer Achse durch P Masse des Massenpunkts k Abstand des Massenpunkts k von der Bezugsachse durch P Abstand des Volumelements dV von der Bezugsachse Dichte Masse des Körpers Massenträgheitsmoment bezüglich Schwerpunktsachse Abstand von zwei parallelen Achsen durch S bzw. P

mit den Trägheitsmomenten J x x = # (y 2 + z 2 )dV Vol

J y y = # (z 2 + x 2 )dV Vol

J zz = # (x 2 + y 2 )dV Vol

und den Deviations- oder Zentrifugalmomenten J x y = J yx = − # x ydV Vol

J yz = J z y = − # yzdV Vol

Für den Vektor L des Drehimpulses gilt dann nach den Regeln der Matrizenmultiplikation: L= Jċω .

JP = g r 2 dm = g (r)r 2 dV

Vol

Ein Körper kann nur dann ohne dynamische Lagerkräfte um eine Achse rotieren, wenn bezüglich dieser Achse die Deviationsmomente verschwinden. Eine solche Achse wird als freie Achse oder Hauptträgheitsachse bezeichnet. Jeder Körper hat drei senkrecht aufeinander stehende Hauptträgheitsachsen. Die zugehörigen Massenträgheitsmomente JI , JII und JIII heißen Hauptträgheitsmomente. Das kleinste und das größte Massenträgheitsmoment eines Körpers (jeweils bezüglich Schwerpunktsachsen) bilden zwei der Hauptträgheitsmomente. Trägheitsellipsoid Bestimmt man die Massenträgheitsmomente eines Körpers um verschiedene Schwerpunktachsen und trägt in Polarkoordinaten jeweils in Achsenrichtung die Länge R = const J ab, so liegen alle Endpunkte auf einem Ellipsoid (Poinsot-Konstruktion). Die Hauptachsen des Ellipsoids werden durch die Hauptträgheitsachsen gebildet. Aus dem Trägheitsellipsoid kann das Massenträgheitsmoment bezüglich willkürlicher Schwerpunktsachsen grafisch oder analytisch bestimmt werden. Bei rotationssymmetrischen Körpern ist das Trägheitsellipsoid ein Rotationsellipsoid, bei hochsymmetrischen Körpern wie Kugel, Würfel, Tetraeder usw. bekommt es Kugelform. Diese Körper besitzen keine Deviationsmomente. Kreisel Ein schnell rotierender starrer Körper wird als Kreisel bezeichnet. Ein konstantes Drehmoment M, das senkrecht zur Kreiselachse steht, verursacht eine Präzession, wobei der Vektor L versucht, sich auf dem kürzesten Weg parallel zu M einzustellen (Bild E-, Tabelle E-).

E. Mechanik starrer Körper



Tabelle E-. Massenträgheitsmomente ausgewählter Körper. Hohlzylinder

J x = 12 m(ra2 − ri2 ) J y = J z = 14 m(ra2 − ri2 + 13 l 2 )

dünnwandiger Hohlzylinder

J x = mr 2 J y = J z = 14 m(2r 2 + 13 l 2 )

Vollzylinder

J x = 12 mr 2 J y = J z = 14 mr 2 +

1 ml 2 12

dünne Scheibe (l ll r)

J x = 12 mr 2 J y = J z = 14 mr 2

dünner Stab (l u r) unabhängig von der Form des Querschnitts

J x = 12 mr 2 1 J y = J z = 12 ml 2

dünner Ring

J x = mr 2 J y = J z = 12 mr 2

Kugel, massiv

J x = J y = J z = 25 mr 2

dünne Kugelschale

J x = J y = J z = 23 mr 2

Quader

Jx = Jy = Jz =

1 m(b 2 + h 2 ) 12 1 m(l 2 + h 2 ) 12 1 m(l 2 + b 2 ) 12



E Dynamik

Tabelle E-. Kreiselpräzession. Ursache

Auswirkung

Zusammenhang

Drehmoment

Präzession

ωP =

ωP = Zwangsdrehung ωP M L J ω M ωP

Drehmoment

M M = L Jω (E–) L M L2

M = L ωP (E–)

Winkelgeschwindigkeit der Präzession Drehmomente senkrecht zur Kreiselachse Drehimpuls Massenträgheitsmoment des Kreisels Winkelgeschwindigkeit des Kreisels vom Kreisel auf die Umgebung ausgeübtes Moment Winkelgeschwindigkeit der Zwangsdrehung

Bild E-. Präzession eines einseitig aufgehängten Kreisels. M Drehmoment aus Gewichtskraft F G und Stützkraft −F G im Punkt A.

F Gravitation

Die Gravitation bezeichnet die gegenseitige Anziehung von Körpern i = 1, 2, 3 . . . mit den jeweiligen Massen m i (Massenanziehung). Die physikalische Beschreibung dieser Kraftwirkung zwischen einer Masse und anderen Massen wurde von Isaac Newton aus den in Tabelle F- dargestellten, von Johannes Kepler empirisch aus astronomischen Beobachtungen abgeleiteten Gesetzmäßigkeiten der Planetenbewegung aufgestellt.

Abstandsvektor der Körper  und , Gravitationskonstante

r 12 G

Die Gravitationskonstante G hat als Proportionalitätskonstante des Gravitationsgesetzes den experimentell mit der Gravitationsdrehwaage bestimmten Wert G = (6,6742  0,0007) ċ 10−11

F.2 Gravitationsfeldstärke

F.1 Newton’sches Gravitationsgesetz Zwischen zwei Körpern mit den Massen m 1 und m 2 wirkt eine anziehende Kraft, die Gravitationskraft FG ; sie ist dem Abstandsvektor r 12 der Massenschwerpunkte S1 und S2 der beiden Körper entgegengerichtet (Bild F-), und hat den Betrag

Die Massenanziehungskräfte F i0 verschiedener Körper i = 1, 2, . . . summieren sich am Ort r 0 eines Körpers mit der Masse m 0 vektoriell. Nach dem Gravitationsgesetz ergibt sich für die resultierende Kraft F G0 auf den Probekörper mit der Masse m 0 : m1 r 210 m2 −m 0 G 2 r 20

F G0 = −m 0 G F G  = G

m1 m2 ; r 212

FG Gravitationskraft, m 1 , m 2 Massen der Körper  und ,

(F–)

F G0 m1 , m2 r 10 , r 20 G

Bild F-. Massenanziehung, Gravitation.

m3 . kg ċ s2

r 10 r 10  r 20 −... ; r 20 

(F–)

resultierende Kraft auf den Körper mit der Masse m 0 , Massen der Körper, welche auf m 0 eine Massenanziehung ausüben, Abstandsvektoren von den Körpern  bzw.  zum Körper der Masse m 0 , Gravitationskonstante.

Das Minuszeichen berücksichtigt, dass die Gravitationskräfte F G und die Abstandsvektoren r antiparallel gerichtet sind. Die Gravitationsfeldstärke g(r) am Ort r = r 0 fasst die Wirkung der Massenanziehungen der umgebenden Körper i = 1 . . . N ortsbezo-



F Gravitation

Tabelle F-. Die Kepler’schen Gesetze. . Kepler’sches Gesetz (Astronomia nova )

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht.

. Kepler’sches Gesetz (Astronomia nova )

Der von der Sonne zum Planeten gezogene Radiusvektor r überstreicht in gleichen Zeiten Δt gleiche Flächen ΔA: ΔA = konstant. Δt

. Kepler’sches Gesetz (Harmonices mundi )

Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 , T2 zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen a 1 und a 2 : a3 T12 = 13 . 2 T2 a2

gen, aber unabhängig von der Masse m 0 des Probekörpers zusammen:

g(r) =

N F G0 m i r i0 = −G % 2 ; m0 i = 1 r i0 r i0 

Coriolis- oder Reibungskräfte vernachlässigbar, dann ist die Fallbeschleunigung gleich der Gravitationsfeldstärke g. Auf der Erdoberfläche beträgt die Gravitationsfeldstärke der Erdmasse

(F–)

m i Masse des i-ten Körpers, welche auf den Probekörper mit der Masse m 0 eine Massenanziehung ausübt, r i0 Abstandsvektor vom i-ten Körper zum Probekörper mit m 0 , G Gravitationskonstante. Durch Messung der Gravitationskraft F(r) am Ort r auf eine Probemasse m 0 lässt sich die Gravitationsfeldstärke g(r) experimentell bestimmen. Fallen Körper nur unter dem Einfluss der Gravitationskraft bzw. sind andere Kräfte wie

gE = G

mE ; rE2

(F–)

mE Erdmasse (mE = 5,972 ċ 1024 kg), rE Erdradius (rE = 6370 km). Wegen der Geoidform der Erde ist die Gravitationsfeldstärke bzw. die Fallbeschleunigung abhängig von der geografischen Breite φ; es gilt gE (φ) = (9,832 − 0,052 cos2 φ) ms2 . Der Normwert der Fallbeschleunigung gE, Norm = 9,80665 ms2 gilt für Meereshöhe in etwa 45 geografischer Breite. In der Technik wird im Allgemeinen mit einer mittleren Fallbeschleunigung gE, m = 9,81 ms2 gerechnet.

F. Gravitationspotenzial

F.3 Gravitations- oder Hubarbeit Wird ein Körper der Masse m 2 von einem Körper der Masse m 1 wegtransportiert oder angehoben, so ist gegen (deshalb Minuszeichen) die Gravitationskraft F G zwischen den beiden Körpern Gravitations- oder Hubarbeit W12 zu verrichten. Da nur Kraftkomponenten in Wegrichtung dr zur Hubarbeit beitragen, ergibt sich r2

r2

r1

r1

W12 = − F F G ċ dr = + F G

r1 r2 r 12 m1 , m2 G

m1 m2 dr 12 ; r 12 (F–)

Ortsvektor des Körpers mit der Masse m 2 in der Ausgangslage, Ortsvektor des Körpers mit der Masse m 2 in der Endlage, Abstand der beiden Körper mit den Massen m 1 und m 2 , Massen der Körper  und , Gravitationskonstante.

Unabhängig vom Weg, auf dem der Körper mit der Masse m 2 gegen den Körper mit der Masse m 1 angehoben wird, ergibt sich als Gravitations- oder Hubarbeit W12 : W12 = Gm 1 m 2  r1 r2 m1 , m2 G

1 1 − r1 r2

;

(F–)

Abstand der beiden Körper in der Ausgangslage, Abstand der beiden Körper in der Endlage nach der Hubarbeit, Massen der Körper  und , Gravitationskonstante.



bezogen auf den Körper m 1 , gespeichert. Die potenzielle Energie der Gravitation ist so normiert, dass für einen unendlich großen Abstand der beiden Körper E pot = 0 ist. Wird von dieser Ausgangslage der Körper mit der Masse m 2 auf den Körper mit der Masse m 1 zu bewegt, dann wird Arbeit frei, und es vermindert sich mit dem Massenschwerpunktsabstand die potenzielle Energie E pot des Körpers mit der Masse m 2 auf: Epot = −G

m1 m2 ; r

(F–)

m 1 , m 2 Massen der Körper  und , r Abstand des Massenschwerpunkts des Körpers  von demjenigen des Körpers , G Gravitationskonstante.

F.5 Gravitationspotenzial Die potenzielle Energie eines Körpers mit der Masse m 0 , der von mehreren Körpern 1 . . . N angezogen wird, setzt sich additiv aus den potenziellen Energien zusammen, die er bezüglich der umgebenden Körper im Abstand r 1 bis rN zu ihm hat. Das Gravitationspotenzial φG (r) fasst, bezogen auf den Ort r des Probekörpers und dessen Probemasse m 0 , die Beiträge der umgebenden Körper zusammen: N

φG = − % G k =1

mk ; rk

(F–)

F.4 Potenzielle Energie der Gravitation

m k k-ter Körper mit der Masse m k , r k Abstand des k-ten Körpers zum Probekörper mit der Masse m 0 , G Gravitationskonstante.

Die Gravitationsarbeit wird als potenzielle Energie Epot des Körpers mit der Masse m 2 ,

Äquipotenzialflächen sind Flächen im Raum, auf denen das Gravitationspotenzial einer räumlichen Massenverteilung konstant ist.



F Gravitation

Ist der Gravitationspotenzialverlauf φG im Raum bekannt, so ergibt sich die potenzielle Energie Epot zu: Epot (r) = m 0 φG (r) ;

(F–)

m0 Masse eines Körpers am Ort r, φG (r) Gravitationspotenzial der räumlichen Massenverteilung am Ort r. Aus dem Gradienten des Gravitationspotenzials berechnet sich die Gravitationskraft F G (r): F G (r) = −m 0 $

r(φ) =

∂φG ∂φG ∂φG , , ' ∂x ∂y ∂z

= −m 0 grad φG (r) ;

(F–)

m0

Masse eines Probekörpers am Ort r, grad φG (r) Gradient des Gravitationspotenzials φG (r) am Ort r.

F.6 Planetenbewegung Die Bahnkurve der Planeten mit der Masse m im Gravitationsfeld einer großen Sonnenmasse M mit der Gravitationskraft als Zentralkraft ist eben und daher am besten in Polarkoordinaten zu beschreiben. Die Bahngleichung lässt sich aus folgenden Erhaltungssätzen der Mechanik herleiten: Energiesatz: mM 1 2 mM 1 2 m − G = m0 − G 2 r 2 r0 Drehimpulssatz: L = m Grx = m2C .

dA = (12)r(r dφ) ist die Fläche, die der Ortsvektor r der Bahnkurve bei einer Drehung um dφ überstreicht. C = dA dt = 12r 2 (dφ dt)= (12)r 2 ω = (12)r entspricht also gerade der Flächengeschwindigkeit ΔAΔt in Tabelle F-. Der Drehimpulserhaltungssatz bestätigt somit das . Kepler’sche Gesetz. Mit den Beziehungen 2 = ( dr dt)2 + r 2 ( dφ dt)2 und dr dt = ( dr dφ)( dφ dt) lassen sich die obigen Gleichungen integrieren; als Bahnkurve ergibt sich die Polargleichung der Kegelschnitte, in Übereinstimmung mit dem . Kepler’schen Gesetz:

dr 2 dφ G = mr = konstant dt dt

r(φ) φ p ε

p 1 − ε cos φ

(F–)

Betrag des Planeten-Radiusvektors, Polwinkel des Planetenorts, Kegelschnitt-Parameter, numerische Exzentrizität.

Die Parameter der Bahngleichung der Planetenbewegung sind p= ε=

4C 2 GM 2C GM

(F–) " 20 −

2GM G 2 M 2 + ; r0 4C 2

(F–)

p Kegelschnitt-Parameter, C Flächengeschwindigkeit C = L(2m) der Bewegung des Planeten mit der Masse m und dem Drehimpuls L, M Masse des Zentralkörpers der Planetenbahn (Sonnenmasse), 0 Geschwindigkeit des Planeten am Ort r 0 , z. B. im Bahnscheitel, ε numerische Exzentrizität der Bahnkurve, G Gravitationskonstante. Das Verhältnis der kinetischen Energie Ekin = 12m20 eines Planeten, Satelliten oder ballistischen (antriebslosen) Flugkörpers der Masse m und der Bahngeschwindigkeit 0 in

F. Planetenbewegung

der Entfernung r 0 von der Zentralmasse M zur potenziellen Energie der Gravitation Epot = GmMr 0 an diesem Bahnpunkt bestimmt die Bahnkurve (Tabelle F-). Körper mit einer Geschwindigkeit kleiner als die . kosmische Geschwindigkeit k1 fallen wieder auf den Zentralkörper, beispielsweise die Erde oder Sonne, zurück; genau genommen sind damit alle Wurfbahnen auf der Erde elliptische Bahnkurven und nicht Wurfparabeln, wie in der Näherung einer konstanten Gravitationskraft hergeleitet wird. Für Bahngeschwindigkeiten zwischen den beiden kosmischen Geschwindigkeiten k1 und k2 sind die Umlaufbahnen elliptisch, eingeschlossen der Spezialfall der Kreisbahn. Ab der . kosmischen Geschwindigkeit ist die Bahngeschwindigkeit ausreichend, um das Gravitationsfeld einer Zentralmasse auf einer parabel- oder hyperbelförmigen Bahnkurve zu verlassen. Für Ellipsenbahnen mit der großen Halbachse a gilt p = a(1 − ε 2 ) bzw. 1 − ε 2 − pa. Demnach beträgt unter Berücksichtigung der Gl. (F–) der Flächeninhalt A der Bahnellipse A = πa 2 1 − ε 2 = πa 2 2C GMa. Dieser ist andererseits aber nach dem Flächensatz über A = CT mit der Umlaufdauer T auf der El-



lipsenbahn verknüpft. Die Gleichsetzung ergibt das . Kepler’sche Gesetz für Planetenbahnen: 4π2 T2 = = kZ ; a 3 GM

(F–)

T a p M

Umlaufdauer auf der Ellipsenbahn, große Halbachse der Ellipsenbahn, Ellipsenparameter, Masse des Zentralkörpers der Ellipsenbahn (Sonnenmasse), kZ Zentralkörperkonstante (kZ, Erde = 1,01 ċ 1013 m3 s2 ; kZ, Sonne = 3,36 ċ 1018 m3 s2 ), G Gravitationskonstante. Durch Einsetzen von Gl. (F–) und Gl. (F–) in die Ellipsenbeziehung p = a(1 − ε 2 ) lässt sich die Gesamtenergie E ges der Planetenbewegung auf der Ellipsenbahn berechnen: Eges =

1 2 mM mM = −G m0 − G ; 2 r0 2a

(F–)

m Masse des Planeten bzw. Satelliten, M Masse des Zentralkörpers (Sonnenmasse), a große Halbachse der Ellipsenbahn,

Tabelle F-. Bahnkurven um Zentralkörper. Bahnkurven

numerische Exzentrizität

Energiebilanz

Bahngeschwindigkeit

Kreis

ε=0

1 2 1 mM m = G 2 0 2 r0

0 =

# M G = k1 r0

(F−14)

Ellipse

ε<1

1 2 mM m < G 2 0 r0

Parabel

ε=1

1 2 mM m = G 2 0 r0

. kosmische Geschwindigkeit # M 0 < 2G r0 # M 0 = 2G = k2 (F−15) r0

ε1

1 2 mM m  G 2 0 r0

. kosmische Geschwindigkeit # M 0  2G r0

Hyperbel



F Gravitation

0 Bahngeschwindigkeit des Planeten oder Satelliten am Bahnort r 0 , z. B. im Ellipsenscheitel, G Gravitationskonstante. Auf Ellipsenbahnen, zu denen auch die Kreisbahn zählt, ist die Gesamtenergie nur von der großen Halbachse a der Bahnkurve, der Zentralmasse m und der Masse m des Umlaufkörpers abhängig. Eine Übersicht über die Daten der Planeten des Sonnensystems gibt die Tabelle F-.

F.7 Schwereeigenschaften der Erde Mit der Erdmasse mE = 5,972 ċ 1024 kg als Zentralmasse und dem Erdradius rE = 6,371 ċ 106 m ergeben sich die speziellen Beziehungen der Tabelle F- für die Gravitationswirkungen der Erde. Zum Teil sind diese auf die Höhe h der Körper über der Erdoberfläche umgerechnet. Daten der Erde, des Monds und der Mondbahn sind in Tabelle F- zusammengestellt.

Tabelle F-. Planetendaten des Sonnensystems. Sonnenmasse mS = 1,989 ċ 1030 kg Sonnenradius rS = 6,96 ċ 105 km mittlere Sonnendichte S = 1410 kgm3 Planet

große Umlauf- numeBahnhalb- zeit T in s rische achse a in Exzenm trizität der Ellipsenbahn ε

Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun

5,79 ċ 1010 1,08 ċ 1011 1,50 ċ 1011 2,28 ċ 1011 7,78 ċ 1011 1,43 ċ 1012 2,87 ċ 1012 4,50 ċ 1012

7,60 ċ 106 1,94 ċ 107 3,16 ċ 107 5,93 ċ 107 3,74 ċ 108 9,29 ċ 108 2,64 ċ 109 5,17 ċ 109

Masse Radius Erdradius Erdmasse

mittlere Fallbe- Rotations- Anzahl Dichte  schleu- dauer in s der in kg m−3 nigung Monde Erdradius Erdmasse g Äquator rE = 6,371 mE = 5,972 in m s2 ċ 106 m ċ 1024 m

0,206 0,383 0,00677 0,950 0,0167 1,00 0,0934 0,532 0,0484 10,97 0,0542 9,14 0,0472 3,98 0,00859 3,87

0,055 0,815 1,00 0,107 317,8 95,2 14,5 17,1

5,4 ċ 103 3,7 5,2 ċ 103 8,9 5,5 ċ 103 9,78 3,9 ċ 103 3,7 1,3 ċ 103  0,69 ċ 103 8,7 1,3 ċ 103 8,6 1,6 ċ 103 11

5,07 ċ 106 2,10 ċ 107 8,62 ċ 104 8,86 ċ 104 3,57 ċ 104 3,84 ċ 104 6,21 ċ 104 5,80 ċ 104

  1  17 18 20 

F. Schwereeigenschaften der Erde



Tabelle F-. Satellitendaten bei Erdgravitation. physikalische Größe

Beziehung

Gravitationsfeldstärke, Erdbeschleunigung g ME m = 9,81 2 rE2 s

auf der Erdoberfläche

g0 = G

in der Höhe h

g(h) = g 0 1 +

Umlaufdauer T eines Erdsatelliten auf einer Kreisbahn in der Höhe h

h ! rE

−2

r=

r E2 g 0 4π2

T2

= 2,16 ċ 104 Bahngeschwindigkeit  eines Erdsatelliten in der Höhe h

(h) =

m 2 3 T s2 3

# rE g 0

= 1,36 ċ 105

Höhe eines Erd-Synchronsatelliten über der Erdoberfläche

hS =

m (1 + h rE )−1 2 s

g 0 rE2 TE2 ! 4π2

m ċ T −1 3 s2 3



. kosmische Geschwindigkeit k2 (Erdoberfläche)

k2

(F−23)

1 3

− rE

m s  3 m = k1 2 = 11,2 ċ 10 s

k1 =

(F−22)

−1 3

= 35 800 km 1. kosmische Geschwindigkeit k1 (Erdoberfläche)

(F−21)

1 1 + h rE

2πrE2 g 0 ! T

(T) =

(F−20)

1 3

= 7,91 ċ 103 mit der Umlaufdauer T

(F−19)

$ 3 % rE h & T(h) = 2π% 1+ ! g0 rE = 5060 s(1 + h rE )3 2

Bahnradius r eines Erdsatelliten mit der Umlaufdauer T

(F−18)

rE g 0 = 7,91 ċ 103

(F−24) (F−25) (F−26)



F Gravitation

Tabelle F-. Daten der Erde und des Erdmonds. Parameter

Erde

Erdmond

Masse

mE = 5,972 ċ 1024 kg

mM = 0,0549 mE = 7,352 ċ 1022 kg

Radius im Mittel

rE, m = 6371 km

Äquatorradius

rE, Ä = 6378,160 km

Polradius

rE, P = 6356,775 km

rM = 0,273 rE = 1738 km

mittlere Dichte

E = 5514 kg m3

M = 0,61 E = 3342 kg m3

Fallbeschleunigung auf der Oberfläche

g E = 9,80665 m s2

g M = 0,166g E = 1,63 m s2

Rotationsdauer

TR, E = 23 h, 56 min, 3,95 s = 8,616395 ċ 10 s 4

TR, M = 2,36 ċ 106 s = TU, M (gebundene Rotation)

große Bahnhalbachse (Kreisbahnradius)

aE = 1,496 ċ 10 km

aM = 3,844 ċ 105 km

Ellipsenparameter

pE = 1,496 ċ 108 km

pM = 3,832 ċ 105 km

numerische Exzentrizität der Ellipsenbahn

εE = 0,017

εE = 0,0549

Umlaufdauer (siderische Umlaufzeit)

TU, E = 365 d, 5 h, 48 min, 46 s = 3,1556926 ċ 107 s

TU, M = 27 d, 7 h, 43 min = 2,360580 ċ 106 s

8

G Festigkeitslehre

Unter dem Einfluss von Kräften und Momenten treten Form- oder Gestaltänderungen auf, die beim praktischen Einsatz von Werkstoffen und geometrisch geformten Werkstücken von

Bedeutung sind. Bei den elastischen Formänderungen gehen die Verformungen nach Ende der Belastung wieder vollständig zurück; bei den plastischen Formänderungen nicht.

Tabelle G-. Wichtigste DIN-Normen. Norm

Nummer

Bezeichung

DIN EN DIN DIN DIN DIN DIN EN ISO DIN EN ISO DIN EN ISO DIN EN ISO DIN EN ISO

10 002 13 316 51 200 50 115 50 125 6506 6507 6508 7438 14 577

Metallische Werkstoffe; Zugversuch Mechanik ideal elastischer Körper Werkstoffprüfmaschinen Prüfung metallischer Werkstoffe; Kerbschlagbiegeversuch Prüfung metallischer Werkstoffe; Zugproben Metallische Werkstoffe – Härteprüfung nach Brinell Metallische Werkstoffe – Härteprüfung nach Vickers Metallische Werkstoffe – Härteprüfung nach Rockwell Metallische Werkstoffe – Biegeversuch Metallische Werkstoffe, Instrumentierte Eindringprüfung zur Bestimmung der Härte und anderer Werkstoffparameter

G.1 Spannung und Spannungszustand Übersicht G-. Spannung und Spannungszustand für isotrope Materialien. Spannung S =

dF dA

(G−1)

I σx τ x y τ x z L Spannungstensor Jτ yx σ y τ yz M K τ zx τ z y σ z N Normalspannungen σ dFn σ= (G−2) dA (drei Normalspannungen: σ x , σ y , σ z ) Schubspannungen τ dFt (G−3) τ= dA (sechs Schubspannungen: τ x y , τ x z , τ yx , τ x z , τ zx , τ z y )



G Festigkeitslehre

Übersicht G-. (Fortsetzung). Einachsiger Spannungszustand Beanspruchung nur mit Zugkraft F x σx =

dF ; dA

σ y = σz = 0

τ x y = τ x z = τ yz = 0 Für die Fläche A+ unter Winkel φ gilt: σφ =

FN F = cos2 φ = σ x cos2 φ A+ A

oder

(G−4)

σx σφ = [1 + cos(2φ)] 2 Ft F τ φ = + = sin φ cos φ A A σx τ φ = − sin(2φ) 2 Mohr’scher Spannungskreis:

σ φ −

σx 2 σx 2  + τ 2φ =   2 2

Mittelpunkt M  dA A+ dF Fn

Flächenelement Fläche unter Winkel φ Kraftelement Normalkraft

(G−5)

Ft σ x , y, z τi, k

(G−6)

2 σx σx w 0 ; Radius r = 2 2

Tangentialkraft Normalspannungen in x-, y-, z-Richtung Schubspannungen in i-, k-Richtung

G.2 Verformungsarten Tabelle G-. Verformungsarten. Verformungsart

Kenngröße Dehnung ε Δl ε= l0 (Formänderung und Volumenänderung)

Gesetzmäßigkeit

Δl F Elastizitätsmodul E =E (G−9) allgemein: A l dσ (G−10) (G−7) σ = Eε Eσ , t = dε (Hooke’sches Gesetz) Hooke’sches Gesetz: σl Δl = σ (G−11) E= (G−8) E ε

Zusammenhang

G. Verformungsarten



Tabelle G-. (Fortsetzung). Verformungsart

Kenngröße

Gesetzmäßigkeit

Zusammenhang

Δd Δl Querdehnungszahl μ Quer− εq = = −μ dehnung εq (Poisson-Zahl) d l εq Δd (G−13) μ=− (G−12) εq = ε d εq = −με (G−14) (FormΔV = ε(1 − 2μ) änderung V und (G−15) Volumenänderung) 0 < μ < 0,5 allseitige Kompression (nur Volumenänderung)

Kompressionsmodul K Kompressibilität ϰ

E ΔV K= = 3ε(1 − 2μ) 3(1 − 2μ) V (G−16) (G−20) ΔpV K=− (G−17) ΔV 1 =ϰ (G−18) K 1 ΔV = − V Δp K = −ϰV Δp(G−19)

E Ft Scherung Schubmodul τ= = Gγ (G−23) G = (nur Form- (Torsionsmodul) G 2(1 + μ) A änderung) allgemein: (G−24) dτ E E G τ, t = (G−21)
Fläche Dicke, Dickenunterschied Elastizitätsmodul Kraft Schubmodul Kompressionsmodul Ausgangslänge Länge nach Dehnung, Längenunterschied

Δp V , ΔV ε εq σ μ γ τ

Druckunterschied Volumen, Volumenänderung Dehnung Querdehnung Spannung Querdehnungszahl, Poisson-Zahl Scherwinkel Schubspannung



G Festigkeitslehre

Tabelle G-. Elastische Kenngrößen einiger Werkstoffe. Werkstoff

Eis Blei Al (rein) Glas Gold Messing (kaltverf.) Kupfer (kaltverf.) VA-Stahl

Elastizitätsmodul E GN m2

Querdehnungszahl μ

Kompressionsmodul K GN m2

Schubmodul

Bruchdehnung Rm

G GN m2

9,9 17    100

0,33 0,44 0,34 0,17 0,42 0,38

10    180 125

3,7 5,5 bis 7,5    

0,5 0,05

0,014 0,013 0,09 0,14 0,55

126

0,35

140



0,02

0,45

195

0,28

170



0,45

0,7

0,5

Zug- bzw. Druckfestigkeit σB GN m2

Tabelle G-. Räumliche Spannungszustände. Normalspannung σ

Dehnung ε

Schubspannung τ

Schiebung γ

x-Komponente

σx =

E με εx + ! 1+μ 1 − 2μ

εx =

1 [σ x − μ(σ y + σ z )] E

τ x y = Gγ x y

γx y =

1 τx y G

y-Komponente

σy =

E με εy + ! 1+μ 1 − 2μ

εy =

1 [σ y − μ(σ z + σ x )] E

τ x z = Gγ x z

γx z =

1 τx z G

z-Komponente

σz =

E με εz + ! 1+μ 1 − 2μ

εz =

1 [σ z − μ(σ x + σ y )] E

τ yz = Gγ yz

γ yz =

1 τ yz G

G.3 Zugversuch nach DIN EN 10 002 Zur Bestimmung von Zug und Druck wird häufig die Flächenpressung p = FA angegeben. Sie ist bestimmt durch die Druckbeanspruchung in der Berührungsfläche (Bild G-). Im Zugversuch nach DIN EN 10 002 wird der Spannungs-Dehnungs-Verlauf verschiedener Werkstoffe untersucht. Üblicherweise wird die 0,2%-Dehngrenze R p0.2 ermittelt. Beim nicht stetigen Übergang wird eine obere

Streckgrenze R eH und eine untere Streckgrenze R eL unterschieden. Eine weitere wichtige Werkstoffkenngröße ist die Bruchdehnung εB , bei der das Material bricht (Bild (G-).

Bild G-. Flächenpressung p.

G. Elementare Belastungsfälle



Bild G-. Zugversuch und Spannungs-Dehnungs-Verläufe. a) Spannungs-Dehnungsdiagramm b) Spannungs-Dehnungsdiagramm für Federstahl c) stetiger Übergang elastisch-plastisch d) unstetiger Übergang elastisch-plastisch.

G.4 Elementare Belastungsfälle Tabelle G-. Elementare Belastungsfälle. Skizze

Bemerkung

Normalspannung σ

Kraft F y greift im Flächenschwerpunkt S des Querschnitts A an.

σy =

Schubspannung τ

Dehnung ε

0

εy =

Schiebung γ

Beispiele

0

Seile, Ketten, Zugstäbe, Stützen, Kolbenstangen, Druckspindeln

Zug bzw. Druck Fy A

σx = σz = 0

σy

E εx = εz = −μ

σy E



G Festigkeitslehre

Tabelle G-. (Fortsetzung). Skizze

Bemerkung

Normalspannung σ

Schubspannung τ

Meist tritt Scherung in Verbindung mit Biegung auf

0

τ yz = −

reines Biegemoment Mb = M x

σ y(z) = Mx − z Jx

Dehnung ε

Schiebung γ

0

γ yz =

Beispiele

Scherung

τz y =

Fz A

τ yz G

sonst

Fz A

Scherglieder, Nieten

γ=0

sonst τ = 0

Biegung 0

ε y(z) = σ y(z)

0

Kragbalken, Achsen

E ε x(z) = ε z(z)

sonst σ = 0

= −μ

σ y(z) E

Torsion reines Torsionsmoment Mt = M y

0

τx y = My z − Jy

0

γx y = sonst γ=0

τ yx = My − z Jy sonst τ = 0

A F b h d

Querschnittsfläche Kraft Breite Höhe Durchmesser

E G J M σ

Elastizitätsmodul (E = σ ε) Schubmodul (G = γ τ) Flächenträgheitsmoment Drehmoment Normalspannung

τ ε γ μ

Schubspannung Dehnung Scherung Querdrehzahl

τx y G

Torsionsstäbe

G. Elementare Belastungsfälle



G.4.1 Biegung Wird ein Bauteil um die x-Achse auf Biegung beansprucht, dann wächst das Biegemo-

ment Mb vom Lastangriffspunkt (Mb = 0) bis zum höchsten Wert an der Einspannstelle.

Übersicht G-. Belastungsfälle bei Biegung.

Maximale Biegespannung (Randspannung) Mb σb = Wb Biegemoment Mb Mb = x σ(y) dAy

(G−27)

Ix Ix x dAy 2 x dAy 2 Mb = σ z = σd = σz = σd = σ z Wx z − σd Wxd ez ed ez ed

(G−28)

FA = F Mb max = l F FA =

b F; l

Mb max =

FB = ab F l

s=

l3 F ċ 3 EIa

s=

a2b2 F ċ 3l EIa

s=

l3 F ċ 8 EIa

s

l3 F ċ 77 EIa

a F l

FA = F Mb max =

l F 2

F 2 l = F 8

FA = FB = Mb max Flächenträgheitsmoment I axiale Flächenträgheitsmomente Ia I x = x dAy 2 ;

I y = x dAx 2

(G−29)

polare Flächenträgheitsmomente Ip Ip = x r 2 dA = x(x 2 + y 2 ) dA = I y + I x

(G−30) Steiner’scher Satz bei paralleler Achse nicht durch den Schwerpunkt S: IB = I x + Ad 2

(G−31)

Widerstandsmoment Wb Wx z =

Ix ; ez

Wxd =

Ix ed

(G−32)



G Festigkeitslehre

Übersicht G-. (Fortsetzung). A, dA a, b e z , ed F E I W

Fläche, Flächenelement Abstand von den Aufhängepunkten Abstand der äußersten Faser auf der Zug- bzw. Druckseite Kraft Elastizitätsmodul Flächenträgheitsmoment Widerstandsmoment

x, y s l d r σ z, d

Koordinatenachsen maximale Durchbiegung Länge Abstand vom Schwerpunkt Radius Zug- bzw. Druckspannung

Tabelle G-. Widerstandsmomente und Flächenträgheitsmomente einiger Geometrien. NL = „Neutrale Faser“ Widerstandsmoment

Flächenträgheitsmoment

Wb bei Biegung Wt bei Torsion

Ia axial, bezogen auf NL Ip , polar, bezogen auf den Schwerpunkt

Wb = 0,098 d 3

Ia = 0,049 d 4

Wt = 0,196 d 3

Ip = 0,098yd 4

Wb = 0,098 -d 4 − d 04 . d

Ia = 0,049 -d 4 − d 04 .

Wt = 0,196 -d 4 − d 04 . d

Ip = 0,098 -d 4 − d 04 . d

Wb = 0,098 a 2 b

Ia = 0,049 d 3 b

Wt = 0,196 ab 2

Ip = 0,196

Wb = 0,098 -a 3 b − a 03 b 0 . a

Ia = 0,049 -a 3 b − a 03 b 0 .

Wt = 0,196 -ab 3 − a 0 b 03 . b

Ip = 0,196

Wb = 0,118 a 3

Ia = 0,083 a 4

Wt = 0,208 a

Ip = 0,140 a 4

3

a3 b3 a2 + b2

n 3 -b 4 − b 04 .

Wb = 0,167 bh 2

Ia = 0,083bh 3

Wt = xb 2 h

Ip = ηb 3 h

Wb = 0,104 d 3

Ia = 0,060 d 4

Wt = 0,188 d

Ip = 0,115 d 4

3

n2 + 1

G. Elementare Belastungsfälle

Tabelle G-. (Fortsetzung). Widerstandsmoment

Flächenträgheitsmoment

Wb bei Biegung Wt bei Torsion

Ia axial, bezogen auf NL Ip , polar, bezogen auf den Schwerpunkt

Wb = 0,120 d 2

Ia = 0,060 d 4

Wt = 0,188 d 2

Ip = 0,115 d 4

Wb =

Wb =

Wb =

h 2 (a 2 + 4ab + b 2 ) 12(2a + b)

bh 3 − b 0 h 03

Ia =

6h

bh 3 + b 0 h 03

G.4.2 Knickung Um ein seitliches Ausknicken eines gedrückten Stabes zu vermeiden, muss die Druckspannung σ = FA stets kleiner sein als die zulässige Knickspannung σk, zul . Die zulässige Knickspannung σk, zul wird aus der Knickspannung σk berechnet, unter Berücksichtigung eines Sicherheitsfaktors S (je nach Angriffspunkt der Kraft zwischen  und ). Für die Berechnungen wird

Ia =

Ia =

6h

h 3 (a 2 + 4ab + b 2 ) 36(a + b)

bh 3 − b 0 h 03 12

bh 3 + b 0 h 03 12

Übersicht G-. (Fortsetzung). Knickfälle

Übersicht G-. Knickung und Knickfälle. Knickung σk S" λ = lk Ia A

σk, zul =

für schlanke Stäbe gilt σk = π 2

E EIa  10 2 λ2 lk A

A E Ia lk S λ σk σk, zul

Querschnittsfläche Elastizitätsmodul axiales Flächenträgheitsmoment Knicklänge Sicherheitsfaktor Schlankheitsgrad Knickspannung zulässige Knickspannung





G Festigkeitslehre

Tabelle G-. Näherungsformeln für die KnickSpannungen σ k .

G.5 Bruchmechanik

Werkstoff

Für glatte Stäbe gelten je nach Beanspruchungsfall verschiedene Nennspannungen σn . Kerben (z. B. Rillen und Bohrungen) und Querschnittsänderungen (z. B. Absätze und Kröpfungen) er

schlanke Stäbe (λ groß) EIa σk  10 2 lk A

nicht schlanke Stäbe (λ kleiner)

Stahl St  Stahl St  Grauguss GG 

λW" 100 λ W E Re λ W 80

σk = 284 − 0,8λ σk = 578 − 3,74λ σk = 760 − 12λ

Nadelholz

λ W 100

+ 0,05λ 2 σk = 29 − 0,19λ

σk in N mm2

der Schlankheitsgrad λ eingeführt, der mit der freien Knicklänge l k zusammenhängt.

(G−39)

(G−40)

Torsionsspannung τ Mt τ= Wt Drehfedersteifigkeit kt kt = kt G Ip M l r Wt φ τ

πGr 4 2l Drehfedersteifigkeit Schubmodul polares Flächenträgheitsmoment Drehmoment Länge des Körpers Radius des Zylinders Widerstandsmoment bei Torsion Drehwinkel Torsionsspannung

Zug: σn = F A Biegung: σn = Mb Wb Torsion: τn = Mt Wt maximale Spannung σmax σmax = αk σn

σn , τ n σmax αk

Übersicht G-. Torsionsbeanspruchung.

zylindrischer Stab 2l M φ= = kt M πGr 4

Nennspannungen σn

A F Mb , Mt Wb Wt

G.4.3 Torsion

Drehwinkel lWt τ lM = φ= GIp GIp

Übersicht G-. Formzahlen α k verschiedener Geometrien und Kerbformen.

(G−41)

t (G−40)

(G−41)

Querschnittsfläche Kraft Drehmoment der Biegung bzw. Torsion Widerstandsmoment der Biegung bzw. Torsion Nennspannung Maximalspannung Formzahl

Formzahlen αk für Flachstäbe

G. Schwingende Beanspruchung

Übersicht G-. (Fortsetzung).



zeugen höhere Spannungen σ max , die mittels Formzahlen αk berücksichtigt werden. Um ein Versagen des Werkstoffes durch Verformung oder Bruch zu verhindern, dürfen die Grenzspannungen σgr bzw. τgr in der Praxis nicht erreicht werden. Dazu wird ein Sicherheitsfaktor S eingeführt, mit dem die zulässige Spannung σzul bzw. τzul berechnet wird (σzul = σgr S bzw. τzul = τgr S). Es gilt für zähe Werkstoffe S = 1,2 bis  und für spröde Werkstoffe S = 2 bis .

Formzahlen αk für Flachstäbe

G.6 Schwingende Beanspruchung Wenn die Beanspruchung zwischen zwei Spannungen, dem oberen Spannungswert σo und dem unteren σu , schwankt, dann treten geringere Grenzspannungen σgr auf. Die größte um eine gegebene Mittelspannung schwingende Spannung, bei der gerade noch kein Bruch oder keine Verformung auftritt, wird Dauerschwingfestigkeit σD genannt. Schwankt die Spannung zwischen zwei entgegengesetzt gleich großen Grenzwerten (Mittelspannung σm = 0), dann spricht man von Wechselfestigkeit σW . Zwischen der Wechselfestigkeit σW und der statischen Bruchfestigkeit σB bestehen folgende Zusammenhänge: Stahl (Zug-Druck) Stahl (Biegung)

σW = (0,30 bis 0,45)σB , σW = (0,40 bis 0,45)σB ,

Tabelle G-. Relaxation verschiedener Werkstoffe. Werkstoff

Z Al Cu Mg Al Zn

Bauteil

Gewinde

σB N mm2

Anfangsspannung N mm2

Temperatur

Zeit

Relaxation



h

%

280

150

20

500

30

157

60

150

500

63

207

60

150

500

C

Al Si (Cu)

Druckprobe

Cq

Schraube

800

540

160

500

11

Cr Mo V

Zugstab

850

372

300

1000

12

3,3



G Festigkeitslehre

Nichteisenmetalle (Zug-Druck) Nichteisenmetalle (Zug-Druck)

σW = (0,20 bis 0,40)σB , σW = 0,30 bis 0,50 σB .

G.7 Zeitstandverhalten Werden Werkstoffe über lange Zeit erhöhten Temperaturen oder hohen Spannungen ausgesetzt, dann kann Kriechen oder Relaxation einsetzen. Dabei ist Kriechen eine gleichbleibende Verformung bei gleicher Belastung und gleicher Spannung. Bei der Relaxation lassen die Spannungen bei der konstanten Verformung nach.

G.8 Energie Übersicht G-. Elastische und plastische Energie sowie mechanische Hysterese. Elastische Energie Verformungsenergie für die Längen- bzw. Volumenänderung von Körpern W = x σAl dε = V x σ dε

(G−42)

Plastische Verformungsenergie mechanische Hysterese eines Spannungs-DehnungsZyklus

Arbeit, die im Körper verbleibt: Q

P

P

Q

W = V x σ dε + x σ dε! = V x dε (G−43) Verlustdichte w = W V entspricht der Fläche der Hysteresekurve W = x σ dε (G−44) w= V A l V W w σ ε

Querschnittsfläche Länge des Körpers Volumen Arbeit Verlustdichte Spannung Dehnung

G. Härte



G.9 Härte Tabelle G-. Härteprüfverfahren. Bezeichnung

Brinell-Verfahren DIN EN ISO 

Vickers-Verfahren DIN EN ISO 

Rockwell-Verfahren DIN EN ISO 

Messprinzip

Berechnung

HB = 0,102

F A

=

0,102 ċ 2F  πD(D − D 2 − d 2 )

HV = 0,102

F A

Rockwell-B (HRB)

Rockwell-C (HRC)

= 0,189

F d2

F0 = 98 N 2 μm je Härteeinheit F1 = 883 N Prüfkörper: Stahlkugel 1  (D = 16  1,5875 mm)

F0 = 98 N 2 μm je Härteeinheit F1 = 1373 N Prüfkörper: Diamantkegel Kegelwinkel 120 Bezugshärtewert 100

700 HV 50 30 50 N F= = 490 N, 0,102 t = 30 s

−

vergleichbare Härtewerte für 0,2D < d < 0,7D

HB  0,95 HV für F  49 N und Belastungsgrad F (Brinell) 0,102 2 von D 30 bis 4070 HV

automatische Härtemessung

weiche Werkstoffe (max. 450 HB)

weiche Werkstoffe (1,96 < F < 49 N), z. B. Blei  HV harte Werkstoffe (49 < F < 980 N), z. B. Hartmetall 1500 HV

mittelharte Werkstoffe (zwischen 35 HRB und 100 HRB)

Angabe der Prüfbedingung

280 HB 2,3 160 20

Bemerkung

Anwendungsgebiete

D = 2,3 mm, 160 N = 1568 N, F= 0,102 t = 20 s

gehärtete und angelassene Stähle (zwischen 20 HRC und 70 HRC)

H Hydro- und Aeromechanik

Die Hydro- und Aeromechanik beschreibt Zustände und Bewegungen von Flüssigkeiten und Gasen. Flüssigkeiten sind kaum zusammendrückbar (inkompressibel), aber ihre Moleküle lassen sich leicht gegeneinander bewegen (unbestimmte Gestalt). Gase haben dagegen weder eine bestimmte Gestalt, noch ein bestimmtes Volumen (kompressibel). Sind die Flüssigkeiten oder Gase in Ruhe, so gelten die Gesetze der Hydro- und Aerostatik. Bewegen sich Flüssigkeiten oder Gase, gelten die Gleichungen der Hydro- und Aerodynamik. In der Hydrostatik sind der Kolbendruck, der Schweredruck und der Auftrieb von Bedeutung, in der Aerostatik der Zusammenhang zwischen Druck und Volumen (Boyle-Mariotte’sches Gesetz) sowie die Abhängigkeit des Drucks von der Höhe (Barometrische Höhenformel).

In der Hydro- und Aerodynamik unterscheidet man ideal-reibungsfreie, laminare und turbulente Strömungen. Ihnen liegen die Newton’schen Gesetze der Flüssigkeitsbewegungen zugrunde, die in den Navier-Stokes-Gleichungen zusammengefasst sind. Bei den ideal-reibungsfreien Flüssigkeiten und Gasen gilt die Bernoulli’sche Gleichung, bei den laminaren Strömungen sind die Strömungsverhältnisse für Rohre, Kugeln und Platten von Bedeutung. Bei den turbulenten Strömungen treten Wirbel auf, die zum Strömungswiderstand führen und eine Strömungsleistung erfordern. Der Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung wird durch die Reynolds-Zahl bestimmt, die aus Ähnlichkeitsgesetzen berechnet wird. Übersicht H-. Übersicht über die wichtigsten DIN-Normen. DIN 1304- DIN 1314 DIN 4044 DIN 4320 DIN 24 312 DIN ISO 3019 DIN ISO 4391

Formelzeichen für die Strömungsmechanik Druck; Grundbegriffe, Einheiten Hydromechanik im Wasserbau; Begriffe Wasserturbinen; Benennungen nach der Wirkungsweise und nach der Bauweise Fluidtechnik; Druck; Werte; Begriffe Fluidtechnik – Hydraulik; Hydropumpen und -motoren Fluidtechnik – Hydraulik; Pumpen, Motoren und Kompaktgetriebe

Übersicht H-. Übersicht über Hydro- und Aeromechanik.

 H Hydro- und Aeromechanik

H. Ruhende Flüssigkeiten

H.1 Ruhende Flüssigkeiten Flüssigkeiten haben keine Gestalt, sondern nehmen die des Gefäßes an. Unter dem Einfluss einer Kraft stehen die Oberflächen der Flüssigkeiten immer senkrecht zur wirkenden Kraft. Deshalb gilt: Unter dem Einfluss der Schwerkraft ist der Flüssigkeitsspiegel, unabhängig von der Gefäßform, stets waagrecht und bei verbundenen Gefäßen gleich hoch.



H.1.1 Druck, Kompressibilität, Volumenausdehnung An jeder Stelle der Flüssigkeit wirkt ein Druck p.

Übersicht H-. Druck, Kompressibilität und Volumenausdehnungskoeffizient. Druck p dF (H−1) dA 2 Maßeinheit: N m = Pa 1 bar = 105 Pa p=

Kompressibilität ϰ

Tabelle H-. Kompressibilität ϰ einiger Flüssigkeiten bei einer Temperatur von 20  C. Flüssigkeit

Kompressibilität ϰ 1 (106 Pa)

Aceton Benzol Brom Chloroform Essigsäure Ethanol Glyzerin Methanol Nitrobenzol Olivenöl Paraffin Pentan Petroleum Quecksilber Rizinusöl Schwefelsäure Terpentinöl Tetrachlorkohlenstoff Toluol Wasser Xylol

1,28 0,87 0,67 1,16 0,83 1,18 0,21 1,21 0,45 0,63 0,85 1,45 0,83 0,039 0,48 2,85 0,83 1,15 0,91 0,47 0,87

Verhältnis der relativen Volumenänderung ΔV V zur erforderlichen Druckänderung Δp Δ ΔV = (H−2) ϰ=− V ċ Δp  ċ Δp ΔV = −ϰΔpV (H−3) dV = −ϰ dpV Volumenausdehnungskoeffizient γ Relative Volumenänderung ΔV V ist proportional zur Temperaturänderung Δϑ ΔV = γΔϑ (H−4) V0 (wegen 0 = m V0 und ΔV = V0 (1 + γΔϑ)) m 0 = = (H−5) V 1 + γΔϑ Flüssigkeiten: γ klein ideale Gase: γ = 1 Tn = 1 273,15 K−1 = 0,00366 K−1 dA dF m ΔV V Δp V0 Tn γ Δϑ Δ  ϰ

Flächenelement Kraftelement Masse relative Volumenänderung Druckänderung Volumen bei 0  C Normal-Temperatur (Tn = 273,15 K) Volumenausdehnungskoeffizient Temperaturdifferenz relative Dichteänderung Kompressibilität



H Hydro- und Aeromechanik

H.1.2 Kolbendruck, Schweredruck und Seitendruck In Gefäßen eingeschlossene Flüssigkeiten haben überall den gleichen Druck, wenn der Schweredruck vernachlässigbar ist. Bei unterschiedlichen Kolbenflächen A werden deshalb verschiedene Kräfte F wirksam. Angewandt wird dieser Zusammenhang bei hydraulischen

Pressen, wie beispielsweise Hebebühnen, Wagenhebern, Druckwandlern und hydraulischen Bremsen. H.1.3 Auftrieb Der Schweredruck von Flüssigkeiten und Gasen ist dafür verantwortlich, dass alle in Flüssigkeiten oder Gasen eingetauchte Körper

Übersicht H-. Kolbendruck, Schweredruck und Seitendruck. Kolbendruck F1 F2 = A1 A2 F1 A1 d 12 = = F2 A2 d 22

p=

(H−6.1) (H−6.2)

Schweredruck ps Entspricht der Gewichtskraft einer Flüssigkeitssäule FG bezogen auf die Fläche A ps = g h

(H−7.1)

Druck ist unabhängig von der Gefäßform: nur die Füllhöhe ist entscheidend (hydrostatisches Paradoxon) Hydrostatischer Druck phydr = statischer Druck pa + Schweredruck ps phydr = pa + g h

(H−7.2)

Seitendruck Seitenkraft FS h2

h2

h1

h1

FS = x g h dA = g x h dA = g h S AS h2 gI ; I = x h 2 dA a h1 I I a= = h S AS MS

FS =

A AS dA a F FS g

Fläche Seitenfläche Flächenelement Druckmittelpunktsabstand Kraft Seitenkraft Erdbeschleunigung (g = 9,81 m s2 )

h hS I MS 

(H−8.1) (H−8.2)

Höhe Höhe bis zum Flächenschwerpunkt S Flächenträgheitsmoment statisches Moment (MS = h S AS ) Dichte

H. Ruhende Flüssigkeiten

leichter sind als außerhalb dieser Medien. Die Kraft, die den scheinbaren Gewichtsverlust ermöglicht, wird Auftriebskraft FA genannt. Sie errechnet sich aus der Differenz aus den unterschiedlichen Druckkräften auf der Unterseite (F2 ) und der Oberseite (F1 ) des Körpers.



Bild H-. Kräfte auf einen eingetauchten Körper.

FA = F2 − F1 = A(p2 − p1 ) = Afl g(h 2 − h 1 ) .

(H–)

Da A(h 2 − h 1 ) das Volumen des Körpers bzw. das durch den eingetauchten Körper verdrängte Flüssigkeitsvolumen Vverd ist, gilt: FA = fl gVverd = mverd g = FG, verd ; fl g Vverd mverd FG, verd

(H–)

Dichte der Flüssigkeit, Erdbeschleunigung (g = 9,81 ms2 ), Verdrängtes Flüssigkeitsvolumen, Masse der verdrängten Flüssigkeit, Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.

Die Auftriebskraft FA ist demnach die Gewichtskraft des verdrängten Flüssigkeits- bzw. Gasvolumens. Je nach dem Gewicht FG des eingetauchten Körpers sind drei Fälle zu unterscheiden: FG < FA  Der Körper schwimmt. FG = FA  Der Körper schwebt. FG FA  Der Körper sinkt. Beim Schwimmen können Stabilitätsprobleme auftreten, weil die Auftriebskraft FA im Schwerpunkt Sfl der verdrängten Flüssigkeitsmenge angreift, und die Gewichtskraft FG im Schwerpunkt SK des Körpers.



H Hydro- und Aeromechanik

H.1.4 Bestimmung der Dichte Übersicht H-. Bestimmung der Dichte fester Körper und der Dichte von Flüssigkeiten. Hydrostatische Waage Ermitteln der Auftriebskraft FA aus dem Gewichtsunterschied zwischen dem Körper in Luft FG, L und inder Flüssigkeit FG, E

FG, L − FG, E = FA = fl V g = fl

fl m g= FG, L K K

(H−11)

Dichte fester Körper K FG, L fl K = fl = FG, L − FG, E 1 − (FG, E FG, L )

(H−12)

Dichte von Flüssigkeiten fl fl = K (1 − FG, E FG, L ) Eintauchen in Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte fl und fl FG, L − FG, E1 fl = fl FG, L − FG, E2 FA FG, L FG, E m g V fl fl

(H−13)

(H−14)

Auftriebskraft Gewicht des Körpers in Luft Gewicht des Körpers in Flüssigkeit eingetaucht Masse des Körpers Erdbeschleunigung (g = 9,81 m s2 ) Volumen des Körpers Dichte der Flüssigkeit Dichte des Körpers

H.1.5 Grenzflächeneffekte Kohäsion und Adhäsion Anziehende Kräfte, die zwischen gleichartigen Atomen oder Molekülen eines Stoffes wirken, werden Kohäsionskräfte (Zusammenhangskräfte) genannt. Die auch als van-der-Waals’sche Kräfte bezeichneten zwischenmolekularen Kräfte haben elektrischen Ursprung. Während bei Festkörpern und Flüssigkeiten starke Kohäsionskräfte auftreten, sind sie bei Gasen relativ klein und nur bei tiefen Temperaturen (nahe der Kondensationstemperatur) feststellbar; sie

verursachen Abweichungen vom idealen Gasverhalten. Anziehungskräfte, die zwischen den Molekülen zweier verschiedener Stoffe wirken, werden Adhäsionskräfte genannt. Sie können zwischen festen Körpern, zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten sowie zwischen Flüssigkeiten und Gasen wirken. Oberflächenspannung Im Inneren einer Flüssigkeit heben sich die Kohäsionskräfte auf. An der Oberfläche dagegen fehlen die nach außen gerichteten Kräfte.

H. Ruhende Flüssigkeiten



Es gilt: σ=

(H–)

F Zugkraft am Bügel, 2l gesamte Randlänge der Flüssigkeitshaut (Vorder- und Rückseite), Δs Abstand zwischen Flüssigkeitsoberfläche im Bügel und in der Umgebung.

Bild H-. Oberflächenspannung.

Deshalb entsteht eine ins Innere der Flüssigkeit gerichtete resultierende Kraft Fres . Um ein Molekül an die Oberfläche zu bringen, muss deshalb gegen diese Kraft Arbeit verrichtet werden, weshalb die Moleküle an der Oberfläche eine Oberflächenenergie (potenzielle Energie) aufweisen. Wird die Arbeit dW zur Oberflächenvergrößerung auf die Oberflächenänderung dA bezogen, dann ergibt sich die Oberflächenspannung σ: σ = dW dA ;

ΔW FΔs F = = ; ΔA 2lΔs 2l

(H–)

Weil in der Physik das Gesetz der Minimierung der potenziellen Energie gilt, sind Flüssigkeitsoberflächen stets Minimalflächen. Zur Messung der Oberflächenspannung σ wird die Drahtbügelmethode nach Bild H- herangezogen.

Aus Gl. (H–) lässt sich der Druck p in einer Flüssigkeitskugel mit dem Radius r ermitteln: p=

2σ . r

(H–)

Der Druck ist umso größer, je kleiner der Radius der Kugel ist. Kapillarität Bei der Berührung von Flüssigkeitstropfen mit einer festen Unterlage kommt es, je nach Überwiegen der Adhäsions- über die Kohäsionskräfte, zu einer Benetzung oder nicht. Von besonderer Bedeutung ist die Kapillarwirkung in engen Röhren. Es gilt für die kapillare Steighöhe hsteig : hsteig =

2σ 12 cos α ; gr

(H–)

σ 12 Oberflächenspannung zwischen gasförmiger und flüssiger Phase, α Winkel zwischen fester Phase und Flüssigkeitsoberfläche,  Dichte der Flüssigkeit, g Erdbeschleunigung (g = 9,81 ms2 ), r Radius des Rohres.

Bild H-. Drahtbügelmethode zum Messen der Oberflächenspannung.

Wie Gl. (H–) zeigt, hängt die Steighöhe hsteig neben Materialkonstanten nur vom Radius r ab: Je kleiner der Radius, desto höher die Steighöhe: hsteig H 1r.



H Hydro- und Aeromechanik

Tabelle H-. Kapillarität und Benetzung. Benetzungsform

Benetzung

keine Benetzung

Ursache

Adhäsionskräfte  Kohäsionskräfte

Adhäsionskräfte < Kohäsionskräfte

Wirkung

Ausbreitung der Flüssigkeit auf der Oberfläche des festen Körpers

Flüssigkeit zieht sich tropfenförmig zusammen

Skizze

σ12 cos α = σ13 − σ23

Gleichung Randwinkel

0yαy

π <αyπ 2

π 2

Kapillarität

H.2 Ruhende Gase Bei Gasen sind die Kohäsionskräfte vernachlässigbar klein. Deshalb sind sie unbestimmt in Gestalt und Volumen. H.2.1 Druck und Volumen Sind Temperatur T und Stoffmenge ν konstant, dann gilt das Boyle-Mariott’ssche Gesetz, nach dem das Produkt von Druck p und Volumen V konstant ist: p1 V1 pV = konstant oder = ; p2 V2

(H–)

p1 , p2 Anfangs- bzw. Enddruck des Gases, V1 , V2 Anfangs- bzw. Endvolumen des Gases.

Der Gasdruck wird häufig als Überdruck pü (Differenz zwischen Innendruck p und äußerem Luftdruck pL = 105 Pa) angegeben: pü = p − pL .

(H–)

Ist der Luftdruck pL größer als der Gasdruck, dann existiert ein Unterdruck. H.2.2 Schweredruck Der Schweredruck p (Druck der über der Bezugsebene stehenden Gassäule) eines Gases fällt mit zunehmender Höhe h (bei gleicher Temperatur) exponentiell (barometrische Höhenformel).

H. Ruhende Gase



Übersicht H-. Barometrische und internationale Höhenformel. Barometrische Höhenformel  T gh − 0p 0T 0

p = p0 e p p0 0 g h T, T0

(H–)

Luftdruck in Höhe h Luftdruck an der Erdoberfläche Dichte der Luft an der Erdoberfläche (0 = 1,293 kg m3 ) Erdbeschleunigung (g = 9,81 m s2 ) Höhe über der Erdoberfläche Temperatur, T0 = 273,15 K

Alle 8 m verringert sich an der Erdoberfläche der Luftdruck um 100 Pa. In 5,4 km Höhe ist der Luftdruck halb so groß wie an der Erdoberfläche. Für p0 = 1,01325 ċ 105 Pa und ϑ = 0  C gilt: p = p0 e−h 7, 99 km

(H–)

oder h = 18,4 km lg

p0 ! p

Internationale Höhenformel Berücksichtigt die Temperaturabnahme mit steigender Höhe. Gilt bis zur Tropopause (11 km). p = 1,013 ċ 105 Pa 1 −

5,255 6,5 ċ h 288 km

(H–)

pn Normdruck (entspricht dem Jahresmitteldruck auf Meereshöhe) pn = 101 325 Pa (1013,25 hPa) Der tatsächliche Luftdruck ist von der Temperatur, dem Ort und dem Wetter abhängig. Dichteverlauf  = 1,2255 kg m3 1 −

4,255 6,5 ċ h 288

(H–)



H Hydro- und Aeromechanik

H.3 Strömende Flüssigkeiten und Gase In der Strömungsmechanik wird der Transport von Massen (Flüssigkeiten oder Gasen) beschrieben, der wegen der Schwerkraft oder aufgrund von Druckdifferenzen unter Berücksichtigung der Reibungskräfte zustandekommt. Nach dem Newton’schen Gesetz treten Beschleunigungen (Summe der Kräfte dividiert durch die Masse) auf, wenn die Summe dieser drei Kräfte nicht null wird. Wird die Bewegungsgleichung auf Kraftdichten (Kraft pro Volumen) umgerechnet, dann ergibt sich als Bewegungsgleichung die Navier-Stokes’sche Gleichung für inkompressible Medien (Übersicht H): 

d = dt

Kraftdichte

KV I äußere Kraft pro Volumen

− grad p + J Druckkraftdichte

ηΔ; K

Reibungskraftdichte

(H–)  Dichte der Flüssigkeit (des Gases), d dt Beschleunigung des Teilchens am Ort des Teilvolumens, äußere Kraft pro Volumeneinheit, KV

grad p Gradient des Druckes, η dynamische Viskosität, Δ Laplace-Operator $Δ =

∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2' 2 ∂x ∂y ∂z

Wie Übersicht H zeigt, können die Strömungen in reibungsfreie, laminare und turbulente eingeteilt werden, für die entsprechende Teile der Navier-Stokes-Gleichungen gelten. H.3.1 Ideale (reibungsfreie) Strömungen Die Strömung idealer Flüssigkeiten und Gase ist reibungsfrei. Hierbei gilt der in Übersicht H dargestellte Teil der Navier-Stokes-Gleichung. Für die idealen Strömungen gelten zwei Gleichungen: 1. Massen-Erhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung) 2. Energie-Erhaltungssatz (Bernoulli-Gleichung) Für diesen Fall lassen sich analoge Gesetzmäßigkeiten auch auf die Wärmelehre (Transport von Wärme) und die Elektrizitätslehre (Transport von Ladungen) übertragen. Dabei können mit Hilfe der Potenzialtheorie und mit komplexen Funktionen strömungstechnische Probleme gelöst werden.

Laplace-Gleichung

Zusammenhang zwischen Feldstärke und Transportflussdichte

Kontinuitätsgleichung

∂EH x ∂EH y ∂EH z + + = ∂x ∂y ∂z

∂EW y ∂EW z ∂EW x + + =0 ∂x ∂y ∂z

ΔT = div grad T = − div E W = 0 ∂2 T ∂2 T ∂T + + 2 =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z

∂2 U ∂2 U ∂2 U + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

1 E W = λE W T (T : spez. Wärmedurchlaßwiderstand, λ: Wärmeleitfähigkeit) jW =

div E W =

ΔU = div grad U = − div E H = 0

(H : Dichte)

jH = H E H = H


0

div E H =

E W = − grad T


= E H = − grad U

Transportfeldstärke E

Wärmemenge =q Zeit ċ Fläche

Gradient der Temperatur T

jW =

Gradient des Geschwindigkeitspotenzials U

Transportgröße Φ Zeit ċ Fläche

Wärme ΦW

Die Wärmeleitfähigkeit des Materials ist isotrop und konstant. Wärmequelle und -senke liegen außerhalb des betrachteten Raumes.

Wärmelehre

Ursache:

j=

Masse = H  Zeit ċ Fläche

Masse ΦH

Transportgröße Φ

jH =

Strömung ist inkompressibel und quellen- und senkenfrei.

Voraussetzungen

Transportflussdichte

Hydrodynamik

Gebiet

Tabelle H-. Analogie der Felder in der Hydrodynamik, der Wärmelehre und der Elektrizitätslehre.

Ladung Zeit ċ Fläche

∂x

∂Eel x

+

∂y

∂Eel y

+

∂z

∂Eel z

=0

∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ + 2 + 2 =0 ∂x 2 ∂y ∂z

Δφ = div grad U = − div E el = 0

1 E el = ϰE el  el (el : spez. elektrischer Widerstand, ϰ: elektrische Leitfähigkeit) jel =

div E el =

E el = − grad φ

Gradient des elektrischen Potenzials φ (Spannung)

jel =

Ladung Φel

Die elektrische Leitfähigkeit des Materials ist isotrop und konstant. Quellen und Senken (felderzeugende Ladungen) liegen außerhalb des betrachteten Raumes.

Elektrizitätslehre

H. Strömende Flüssigkeiten und Gase 



H Hydro- und Aeromechanik

Übersicht H-. Massen- und Energie-Erhaltungssatz. Massen-Erhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung) dm ˙ = konstant =m dt Für inkompressible Flüssigkeiten gilt (da  konstant): dV Volumenstrom = V˙ = konstant dt (kleine Flächen, hohe Durchflussgeschwindigkeiten und umgekehrt)

Massenstrom

dm dt = 1 1 A1 = 2 2 A2 = A = konstant

(.)

dV dt = ( dm dt)  = A = konstant

(.)

Energie-Erhaltungssatz (Bernoulli-Gleichung) 1 2 m p + m + mg h = konstant  2 Druckenergie + kinetische Energie + potenzielle Energie = konst. Auf den Druck p umgerechnet, ergibt sich die Bernoulli-Gleichung

(H–)

H. Strömende Flüssigkeiten und Gase



Übersicht H-. (Fortsetzung). p1 + 12 21 + g h 1 = p2 + 12 22 + g h 2 = konstant

(H–)

oder 1 2 + g h = konstant  2 statischer + dynamischer Druck + Schweredruck = konstant Druck (Staudruck) (geodätischer Druck) +

p

A dm dt dV dt  g

Durchflussfläche des strömenden Mediums Massenstrom Volumenstrom Geschwindigkeit der Strömung Erdbeschleunigung (g = 9,81 m s2 )

p h m 

Druck Höhe Masse Dichte des strömenden Mediums

Tabelle H-. Druckmessung in Strömungen. Bezeichnung

Drucksonde

Pitot-Rohr

Prandtl’sches Staurohr

Messgröße

statischer Druck

statischer Druck und Staudruck

Staudruck, Strömungsgeschwindigkeit

BerechnungsFormel

p = pstat

pges = pstat +

Skizze

2 2

pdyn + # =

2 2 2pdyn 



H Hydro- und Aeromechanik

Übersicht H-. Volumenstrommessung durch Drosselgeräte nach DIN EN ISO . Venturi-Düse

Einlaufdüse

Blende

Berücksichtigung der Reibungsarbeit WR und des Kompressionsverlustes WK am Drosselgerät: 1 1 WR WK p1 + 1 21 = p2 + 2 22 + + 2 2 ΔV ΔV

(H–)

Die Verlustanteile werden auf die kinetische Energie der Strömung bezogen und als Expansionszahl ε (Kompressionsverlust) oder als Durchflusszahl α (Reibungsverlust) berücksichtigt: $ % &1 − WK ΔV ε=% 1  2 2 2 2

(H–)

$ % &1 − WR ΔV α=% 1  2 2 2 2

(H–)

Strömungsgeschwindigkeit 2 an der Drosselstelle: $ % 2(p1 − p2 ) 2 = αε% % 2 % % & 2 1 − 2 ċ A 2 α 2 ε 2 ! 1 A21

(H–)

Volumenstrom dV dt = A2 2

$ % 2(p1 − p2 ) dV dt = αεA2 % % 2 % % & 2 1 − 2 ċ A 2 α 2 ε 2 ! 1 A21

(H–)

Das Korrekturfaktorprodukt αε ist von der Bauweise des Drosselgerätes abhängig (für Normdrosseln in DIN EN ISO  tabelliert). Für Venturi-Rohre, die häufig zur Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeiten eingesetzt werden, ist αε = 1. A1 , A2 1 , 2 p1 , p2

Fläche der Eintrittstelle, Austrittstelle (Drosselstelle) Geschwindigkeit an der Eintrittstelle, Drosselstelle Druck an der Eintrittstelle, Drosselstelle

ΔV WR , WK 1 , 2 α ε

Volumenelement Reibungsarbeit, Kompressionsverlust Dichte an der Eingangstelle, Drosselstelle Durchflusszahl (Reibungsverlust) Expansionszahl (Kompressionsverlust)

H. Strömende Flüssigkeiten und Gase



Übersicht H-. Ausfließen von Flüssigkeiten. kleine Bodenöffnung =μ

" 2g h

" dV = μA 2g h dt μ = φα φ α kleine Seitenöffnung =μ

(H−34)

Ausflusszahl Geschwindigkeitsziffer (Wasser: φ = 0,97) Kontraktionszahl (Ausflussform; scharfkantig: α  0,61)

" 2g h

" dV = μA 2g h dt  s = 2μ hh 2

(H−35)

große Seitenöffnung 2 " dV 3 2 3 2 = μ b 2g 9h u − h o : dt 3

Druck pa auf Flüssigkeitsspiegel

# pa 2 g h +   # pa dV = μA 2 g h +   dt

(H−36)

=μ

Druck pa an der Ausflussstelle

(H−37)

#

2pa  # dV 2pa = μA dt 

=μ

(H−38)



H Hydro- und Aeromechanik

Übersicht H-. Saugeffekte durch Erhöhen der Strömungsgeschwindigkeit. Mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit nimmt der Betriebsdruck p ab. Es entstehen Saugeffekte.

Effekt p +

 2  = konst. 2

Beschreibung

Zerstäuber

Punkt A: Strömungsgeschwindigkeit  nimmt zu; dadurch wird der Betriebsdruck p kleiner. Der Luftdruck p0 lässt die Flüssigkeit im Steigrohr steigen, so dass sie zerstäubt.

Wasserstrahlpumpe

Punkt A: Höhere Strömungsgeschwindigkeit ; dadurch nimmt Umgebungsdruck p ab, Luft wird angesaugt und ein Rezipient leergepumpt.

Aerodynamisches Paradoxon

Platten: Hohe Strömungsgeschwindigkeit zwischen den Platten; dadurch nimmt der statische Druck p ab; der Luftdruck p0 drückt die Platten aneinander.

Magnus-Effekt

Oberfläche: Durch Rotation des Zylinders nimmt die Strömungsgeschwindigkeit  an der Oberseite zu; dadurch nimmt der statische Druck p ab, so dass eine Querkraft F (Magnuskraft) entsteht.

H. Strömende Flüssigkeiten und Gase

H.3.2 Strömungen realer Flüssigkeiten und Gase H.3.2.1 Laminare Strömung Laminare Strömungen sind, wie Übersicht H anhand der Navier-Stokes’schen Gleichung zeigt, Strömungen mit innerer Reibung. Dabei gleiten die einzelnen Flüssigkeitsschichten (Laminate) mit verschiedenen Geschwindigkeiten übereinander, ohne sich zu vermischen. Es entsteht ein Geschwindigkeitsgefälle ddx.

Übersicht H-. Laminare Strömung.

Reibungskraft

FR = ηA

d dx

d FR =η A dx Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität η

Schubspannung

τ=

η = B eb T " Gase η = η 0 T T0 (nicht druckabhängig, wenn mittlere freie Weglänge der Moleküle wesentlich kleiner als Gefäßdimensionen) 1 Fluidität φ= η η kinematische Viskosität ν = 

Flüssigkeiten

A B, b FR T, T0 d dx η, η 0 

(H−39) (H−40)

(H−41.1) (H−41.2)

(H−42) (H−43)

Berührungsfläche empirisch ermittelte Konstanten Reibungskraft Temperatur, Bezugstemperatur Geschwindigkeitsgefälle dyn. Viskosität, dyn. Viskosität bei T0 Dichte



Tabelle H-. Dynamische Viskosität η und kinematische Viskosität ν einiger Flüssigkeiten (bei  °C) und Gase (bei  °C). Flüssigkeit

dynamische Viskosität η 10−3 Pa ċ s

kinematische Viskosität ν mm2 s

Aceton Ameisensäure Benzol Chloroform Essigsäure Ethanol Glyzerin Methanol Nitrobenzol Olivenöl Pentan Quecksilber Rizinusöl Schwefelsäure Terpentinöl Tetrachlorkohlenstoff Toluol Wasser Xylol

0,33 1,80 0,65 0,58 1,23 1,21 1485 0,59 2,0 81 0,23 1,56 985 30 1,47 0,98 0,59 1 0,59

0,41 1,45 0,74 0,37 1,17 1,50 1175 0,75 1,68 88 0,37 0,12 1932 15 1,72 0,62 0,68 1 0,70

Gas

dynamische Viskosität η 10−6 Pa ċ s

kinematische Viskosität ν mm2 s

Chlorwasserstoff Ethan Ethylen Helium Kohlendioxid Kohlenmonoxid Krypton Luft Methan Neon Propan Sauerstoff Schwefeldioxid Schwefelwasserstoff Stickoxid Stickstoff Wasserstoff Xenon

13,0 8,7 9,3 18,9 13,8 16,7 23,5 17,4 10,1 30,1 7,7 19,5 11,7 11,7 18,1 16,4 8,4 21,2

8,1 6,4 7,5 104,5 7,0 13,5 6,3 13,5 14,3 33,3 3,8 13,5 4,0 7,5 13,3 13,3 94,1 3,6



H Hydro- und Aeromechanik

Bernoulli-Gleichung bei Reibung Die Reibungskraft FR verursacht in einer Strömungsröhre (Übersicht H-) einen Druckverlust pv und vermindert dadurch die Druckdifferenz p1 − p2 . Es gilt: 1 gh 1 + 21 + p1 = gh 2 + 12 22 + p2 + pv ; 2 (H–)  g h1 h2 1 2 p1 p2 pv

Dichte des Mediums, Erdbeschleunigung (g = 9,81 ms2 ), Höhe an der Stelle , Höhe an der Stelle , Geschwindigkeit an der Stelle , Geschwindigkeit an der Stelle , Druck an der Stelle , Druck an der Stelle , Druckverlust infolge der Reibung.

In der Praxis wird der Druckverlust oft als Verlusthöhe hv angegeben. Sie entspricht derjenigen Höhe, um die der Zufluss angehoben werden muss, um am Ausfluss denselben Druck wie im reibungsfreien Fall zu erreichen. Es gilt: pv = ghv .

(H–)

Für die Verlusthöhe hv in geraden Rohrleitungen mit konstantem Querschnitt gilt: hv = λ λ l  d g

l2 ; 2d g

(H–)

Rohrreibungszahl (dimensionslos), Länge der Rohrleitung, Strömungsgeschwindigkeit, Durchmesser des Rohres, Erdbeschleunigung (g = 9,81 ms2 ).

Übersicht H-. Laminare Strömungen in einem Rohr (Hagen-Poiseuille’sches Gesetz), um eine Kugel (Stokes’sches Reibungsgesetz) und zwischen Platten. Rohr

Kugel

p1 − p2 2 (R − r 2 ) 4ηl πR 4 (p1 − p2 ) dV = dt 8ηl dm πR 4 (p1 − p2 ) = dt 8ηl FR = 8πηlm dV dt m = = (0) 2 πR 2 R Rohrradius (r) =

=

2gr 2 (K − Fl ) 9η

FR = 6πηr η=

2gr 2 (K − Fl ) 9

Strömungsgeschwindigkeit Volumenstrom Massenstrom Reibungskraft mittlere Geschwindigkeit

Sinkgeschwindigkeit einer fallenden Kugel Reibungskraft Viskosität aus Kugelfallgeschwindigkeit

(K Dichte des Körpers, Fl Dichte der Flüssigkeit)

H. Strömende Flüssigkeiten und Gase



Übersicht H-. (Fortsetzung). (x) =

Platte

p1 − p2 2 (a − x 2 ) 2ηl

2b(p1 − p2 )a 3 dV = dt 3ηl dm 2b(p1 − p2 )a 3 = dt 3ηl 6ηlbm FR = a dV d t m = 2ab

H.3.2.2 Turbulente Strömung Bei der turbulenten Strömung entstehen Wirbel und damit eine Widerstandskraft FW . Sie setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, der Reibungskraft FR an der Körperoberfläche und der Kraft der Druckdifferenz vor und hinter dem umströmten Körper.

Strömungsgeschwindigkeit (Profil) Volumenstrom Massenstrom Reibungskraft mittlere Geschwindigkeit

Grenzschicht Bei der Umströmung von Körpern bildet sich eine Grenzschicht der Dicke D aus, innerhalb der die Strömungsgeschwindigkeit von  = 0 ms auf den vollen Wert ansteigt. Es wird zunächst eine laminare und später eine turbulente Grenzschicht gebildet.

Übersicht H-. Strömungswiderstand und Strömungsleistung. reiner Reibungswiderstand

reiner Druckwiderstand

Reibungs- und Druckwiderstand

längs überströmte Platte

quer angeströmte Platte

überströmte Kugel

Widerstandskraft Strömungsleistung A FW P cW  

 FW = cW A2 2  P = cW A3 2

gegen die Strömung stehender Querschnitt (Schattenfläche) Widerstandskraft Strömungsleistung Widerstandsbeiwert (dimensionlos) Relativgeschwindigkeit zwischen Körper und Medium Dichte des strömenden Mediums

(H−47) (H−48)



H Hydro- und Aeromechanik

Tabelle H-. Widerstandsbeiwert einiger Körper.

Tabelle H-. (Fortsetzung).

Körper

Körper

Widerstandsbeiwert cW

Widerstandsbeiwert cW

1,1 bis 1,3

mit Boden ohne Boden

Re  5 ċ 105 cW = 0,35 5 ċ 102 < Re  5 ċ 105 cW = 1,2

0,16 bis 0,2

0,07 bis 0,09

Re  106 cW = 0,18 103 < Re < 105 cW = 0,45 mit Boden ohne Boden

1,2 1,3

0,055 0,4 0,34

Übersicht H-. Laminare und turbulente Grenzschichten.

laminare Grenzschicht

turbulente Grenzschicht

Geschwindigkeitsverteilung

# Grenzschicht D

D 1 = 3,46



l ν

# Dt = 0,37

5

ν

l4 ν

ν kinematische Viskosität

H. Strömende Flüssigkeiten und Gase

Ähnlichkeitsgesetze Um Strömungsvorgänge im Labor studieren zu können, werden sie in ähnlichen Modellen abgebildet. Dabei unterscheidet man zwischen geometrischer und hydromechanischer Ähnlichkeit. Reynolds-Zahl Re Wirken äußere Druck- und Reibungskräfte, so ist für die hydromechanische Ähnlichkeit die Reynolds-Zahl Re maßgebend. Die Variable L ist eine charakteristische Länge. Sie wird durch den Versuchsaufbau bestimmt, mit dem die Reynolds-Zahl gemessen wird (z. B. ein Rohroder Kugeldurchmesser oder die Länge einer Platte). Re =

L L = ; η ν

(H–)



 Dichte des strömenden Mediums,  Relativgeschwindigkeit zwischen Körper und Medium, η dynamische Viskosität, ν kinematische Viskosität.

Tabelle H-. Kritische Reynolds-Zahl Re krit sowie Rohrreibungszahl λ bzw. Widerstandsbeiwert c W (bei Re < Re krit ) für verschiedene Strömungsgeometrien. Rekrit kreisrundes Rohr 

λ; cW λ=

64 Re

Kugel

1,7 ċ 105 bis 4 ċ 105 cW =

Platte

3,2 ċ 105 bis 106

12 Re

1,328 cW =  Re

Tabelle H-. Rohrreibungszahl λ und Widerstandsbeiwert c W für Rohre mit dem Durchmesser D und Platten mit der Länge l in Abhängigkeit von der Rauigkeit k und der Reynolds-Zahl. laminare turbulente Grenzschicht Grenzschicht hydraulisch glatt hydraulisch rau Rohre 64 λ= Re

Übergangsgebiet

Blasius

Nikuradse

0,3164 λ=  4 Re

1 1 D 2,5 l k  = 2 lg   + 1,14  = −2 lg  + 0,27 ! k D λ λ Re λ

Colebrook

(2320 < Re < 105 ) Prandtl Karman  1 Re λ !  = 2 lg 2, 3l λ 0,0309 cW  lg(Re 7)2 Platten

Voraussetzung: 1, 328 cW =  Re

0, 0745 cW =  5 Re

k 100 l 0, 418 cW = l 2 + lg !! k

Re

cW aus empirischen Tabellenwerken



H Hydro- und Aeromechanik

Reynolds-Zahlen, oberhalb derer die Strömung turbulent wird, werden kritische ReynoldsZahlen genannt. In der Praxis ist man auf empirische Messungen angewiesen, die laminare und turbulente Bereiche beschreiben. Froude-Zahl Fr Sie beschreibt die Ähnlichkeit von Strömungen, wenn vor allem die Schwerkraft FG von Bedeutung ist (z. B. beim Fördern von Sand oder Bewegen von Schiffen in Gewässern). Ihre Gleichung lautet:

 Fr =  ; Lg

(H–)

 Relativgeschwindigkeit zwischen Körper und Medium, L charakteristische Länge des Körpers (z. B. Rohrdurchmesser, Kugeldurchmesser, Plattenlänge), g Erdbeschleunigung (g = 9,81 ms2 ). Auftrieb bei umströmten Körpern Treten bei der Umströmung von Körpern an der Oberseite höhere Geschwindigkeiten als an

Übersicht H-. Dynamischer Auftrieb an umströmten Körpern.

Auftriebskraft Widerstandskraft Drehmoment

Gleitzahl cA , cW cM A FA , FW M l r α ε 

 FA = cA A2 2  FW = cW A2 2 1 M = A2 r(cA cos α + cW sin α) 2 1 = cM A2 l 2 FW cW ε= = FA cA

Auftriebsbeiwert, Widerstandsbeiwert Momentenbeiwert (cM l = r(cA cos α + cW sin α)) Flügelfläche Auftriebskraft, Widerstandskraft Drehmoment Flügellänge Abstand zum Schwerpunkt Anstellwinkel Gleitzahl Dichte

(H−51) (H−52)

(H−53)

H. Strömende Flüssigkeiten und Gase

der Unterseite auf, dann entsteht an der Oberseite ein Gebiet des Unterdrucks und auf der Unterseite ein Gebiet des Überdrucks, und daraus eine Auftriebskraft FA . Zusammen mit der Widerstandskraft FW entsteht eine resultierende Kraft F0 . Sie greift am Druckpunkt P an.



Übersicht H-. Bernoulli-Gleichung für kompressible Medien. Allgemeine Bernoulli-Gleichung 2 dp +x = konstant 2 

(H−54)

Adiabatische Strömungen idealer Gase: p ϰ = konstant

Bernoulli-Gleichung für kompressible Medien Gase zeigen bei hohen Strömungsgeschwindigkeiten ( 0,3c; c: Schallgeschwindigkeit) nicht vernachlässigbare Dichteänderungen.

ϰ p 2 + = konstant 2 ϰ−1  Ideale Gase: ϰ = cp (cp − Ri ) 2 + cp T = konstant 2 cp , cv

Pumpen Pumpen sind Arbeitsmaschinen zum Fördern flüssiger Medien von einem niedrigen Energieniveau he zu einem höheren ha . Pumpenkennlinien zeigen die Förderhöhe HA in Abhängigkeit

(H−55)

p Ri T  ϰ

(H−56)

spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, Volumen Druck individuelle Gaskonstante Temperatur Geschwindigkeit Isentropenexponent (ϰ = cp cv )

Übersicht H-. Pumpe und Pumpenkennlinie.

Förderhöhe

ha , he , hv Aa , Ae g pa , pe Q a , e HA 

pa − pe a2 − e2 + + hv g 2g pa − pe Q 2 A2a − Q 2 A2e HA = (h a − h e ) + + + hv g 2g

HA = (h a − h e ) +

Austrittshöhe, Eintrittshöhe, Verlusthöhe Austrittsfläche, Eintrittsfläche Erdbeschleunigung (g = 9,81 m s2 ) Austrittsdruck, Eintrittsdruck Förderstrom (Q = A ċ ) Austrittsgeschwindigkeit, Eintrittsgeschwindigkeit Förderhöhe Dichte des zu fördernden Mediums

(H−57)



H Hydro- und Aeromechanik

vom Förderstrom Q(Q = A). Die Kennlinie zeigt einen statischen Anteil, der vom Förderstrom unabhängig ist und einen dynamischen Anteil, der eine Funktion des Förderstroms Q ist. Bild H-. Osmotischer Druck.

H.4 Molekularbewegungen Während die Atome in Festkörpern um einen festen Punkt im Kristallgitter schwingen, bewegen sich die Moleküle in Flüssigkeiten um eine veränderliche augenblickliche Lage. Bei Gasen fehlt die Kohäsionskraft weitgehend, weshalb sich dort die Moleküle mit relativ hohen Geschwindigkeiten bewegen können. Die regellose Bewegung in Flüssigkeiten und Gasen wird Brown’sche Molekularbewegung genannt. H.4.1 Diffusion Unter Diffusion versteht man die Mischung zweier Stoffe (meist von Flüssigkeiten und Gasen) ohne Einwirkung von äußeren Kräften. Der Massenstrom dm dt folgt dabei dem Konzentrationsgefälle, das durch den Dichteunterschied d dx beschrieben wird (Fick’sches Gesetz): dm d = −DA ; dt dx

(H–)

Diffusionskoeffizient (Einheit: z. B. m2 s), d dx Dichtegefälle in x-Richtung, A senkrecht durchströmte Fläche.

keiten statt, die durch eine semipermeable Scheidewand getrennt sind. In diesem Fall können nur die Moleküle einer Sorte durchdiffundieren, weil die Poren so groß sind, dass nur die Moleküle der einen Sorte durchgehen. Dadurch entsteht in dem einen Raum ein Überdruck, der osmotische Druck. Die Osmose ist dann beendet, wenn der osmotische Druck posm so groß ist, dass ebenso viele Moleküle wieder durch die semipermeable Wand zurückgedrückt werden, wie hineindiffundieren. Der osmotische Druck posm gehorcht dem Gasgesetz (Abschn. O..): posm =

νRm T ; V

(H–)

v Stoffmenge, Rm molare Gaskonstante (R m = 8,314 J(mol ċ K)), T absolute Temperatur, V Gesamtvolumen der Lösung.

D

Osmose Unter Osmose versteht man eine Diffusion in nur einer Richtung. Häufig findet sie bei Flüssig-

H.4.2 Lösungen Wenn Teile eines Stoffes gleichmäßig in einem andern verteilt sind, spricht man von dispersen Lösungen. Je nach Aggregatzustand des gelösten Stoffes in der Lösung sind andere Bezeichnungen üblich.

H. Molekularbewegungen

Tabelle H-. Bezeichungen von Lösungen. gelöster Stoff

fest

flüssig

gasförmig

fest

festes Sol (Glas)

feste Emulsion, Gel

poröser Körper

flüssig

Suspension dispers (Gleichverteilung) molekular-dispers (Teilchen in Molekülgröße) kolloid-dispers (sehr kleine Stoffteile: 10−4 mm bis 10−8 mm)

Emulsion

Schaum

gasförmig

Rauch, Aerosol

Aerosol, Nebel

Lösung



J Schwingungen und Wellen

Übersicht J-. Wichtige Normen. DIN  Blatt 

Schwingungslehre Kinematische Begriffe

DIN  Blatt 

Schwingungslehre Einfache Schwinger

DIN  Blatt 

Schwingungslehre Schwingungssysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden Schwingungslehre Schwingende Kontinua, Wellen

DIN  Blatt 

Bei Schwingungen und Wellen finden periodische Zustandsänderungen statt. In mechanischen Systemen (im festen, flüssigen und gasförmigen Zustand) werden die potenzielle und kinetische Energie periodisch bewegt, und in elektromagnetischen Systemen betrifft dies die elektrische und die magnetische Feldenergie. Die Periodizität des Energieaustausches wird beschrieben durch die Schwingungsdauer T für einen Energieaustauschzyklus

Tabelle J-. Einteilung der harmonischen Schwingungen. freie Schwingung

erzwungene Schwingung

einmalige Auslenkung

periodische Erregung von außen

ungedämpft

zeitlich konstante Amplitude: yˆ1 = yˆ2 = yˆ3 = yˆ4 gedämpft

zeitlich abnehmende Amplitude: yˆ1  yˆ2  yˆ3  yˆ4



J Schwingungen und Wellen

bzw. durch die Frequenz f , die die Anzahl der Zyklen je Zeiteinheit angibt: f = 1T .

(J–)

J.1 Schwingungen Bei freien Schwingungen wird ein Schwinger einmalig aus seiner Ruhelage entfernt und sich selbst überlassen. Er schwingt im ungedämpften

Fall mit einer konstanten Eigenfrequenz f 0 , und seine Auslenkung y(t) schwankt zwischen zwei konstanten Maximalwerten (Amplituden yˆ). Bei gedämpften freien Schwingungen nimmt die Amplitude im zeitlichen Verlauf ab. Ferner ist die Frequenz der gedämpften Schwingung fd kleiner als die Eigenfrequenz f 0 der ungedämpften freien Schwingung. Wird einem schwingungsfähigen System (Oszillator) durch einen Erreger eine Erregerfrequenz fE aufgezwungen, so werden erzwungene Schwingungen stattfinden. Ist die

Tabelle J-. Charakteristische Kenngrößen ungedämpfter Schwingungen. Kenngröße

Bedeutung Periodizität

Periodendauer T Frequenz f

Zeitspanne zwischen zwei aufeinander folgenden, gleichen Schwingungszuständen (z. B. zeitlicher Abstand zwischen zwei Maxima oder Minima) Anzahl der Schwingungen je Zeit f =

Kreisfrequenz ω

1 T

1 Hz = 1 s−1

ω = 2π f =

2π T

s−1 Auslenkungen

Augenblickswert y(t) Amplitude yˆ

momentane Auslenkung zur Zeit t maximaler Wert der Auslenkung (für sin(ωt + φ 0 ) oder cos(ωt + φ 0 ) = 1) Phasenwinkel

Nullphasenwinkel φ 0 (Anfangsphase)

Anfangslage des schwingenden Systems zur Zeit t = 0. Er folgt aus y(t) = yˆ cos(ωt + φ 0 )

y(0) yˆ φ 0  0: voreilend φ 0 < 0: nacheilend φ 0 = arccos

allgemeiner Phasenwinkel φ

φ = ωt + φ 0 Summe der Phasenlage eines Punktes zur Zeit t(ωt) und des Nullphasenwinkels φ 0 Phase

Phase

augenblicklicher Zustand einer Schwingung (bestimmt durch zwei Schwingungsgrößen, z. B. Weg und Zeit)

J. Schwingungen

Erregerfrequenz fE gleich der Eigenfrequenz f 0 des Oszillators, dann tritt Resonanz ein. Im ungedämpften Fall wächst die Amplitude auf einen unendlich großen Wert an (Resonanzkatastrophe); im gedämpften Fall erreicht die Amplitude einen endlichen Maximalwert.

Übersicht J-. Mathematische Beschreibung harmonischer Schwingungen. Cosinus-Schwingung

J.1.1 Freie ungedämpfte Schwingung J.1.1.1 Grundlagen Die wichtigste Eigenschaft aller Schwingungen ist die Periodizität, d. h., bestimmte Zustände kehren in konstanten Zeitabständen wieder. Dies wird mathematisch durch die harmonischen Funktionen Sinus bzw. Kosinus beschrieben. J.1.1.2 Allgemeine Beschreibung durch eine Differenzialgleichung Differenzialgleichungen der harmonischen Schwingung werden mit dem in der Übersicht J- zusammengestellten Ansatz gelöst. Dabei ergeben sich auch die Verläufe des Weg-ZeitGesetzes, des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes und des Beschleunigungs-Zeit-Gesetzes mit ihren maximalen Werten für die Auslenkung, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung. J.1.1.3 Schwingungssysteme Für das mathematische Pendel (punktförmige Masse an einem unelastischen Faden aufgehängt) gelten die Angaben nur für kleine Winkel β. Tabelle J- zeigt den Korrekturfaktor der Schwingungsdauer T0 für größere Auslenkungen. Mit dem Torsionspendel können Massenträgheitsmomente J A um den Drehpunkt A experimentell ermittelt werden. J.1.1.4 Gesamtenergie Für Schwingungen gilt zu jedem Zeitpunkt der Energieerhaltungssatz. Die Gesamtenergie Eges ist proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude yˆ2 bzw. der Maximalgeschwindigkeit ˆ2 .

Sinus-Schwingung

Phasenverschobene Schwingung

y(t) yˆ ω0 t φ0

Auslenkung, Amplitude, Kreisfrequenz, Zeit, Nullphasenwinkel.





J Schwingungen und Wellen

Übersicht J-. Ansatz zur Lösung der Differenzialgleichung; zeitlicher Verlauf von Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Gleichungen Weg-Zeit-Gleichung:

y(t) = yˆ cos(ω 0 t + φ 0 )

Geschwindigkeit-Zeit-Gleichung:

(t) = − yˆ ω 0 sin(ω 0 t + φ 0 )

Beschleunigungs-Zeit-Gleichung:

a(t) = − yˆω 20 cos(ω 0 t + φ 0 )

Schwingungsverlauf

Periodische Funktionen der Auslenkung y, der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung a

y(t) yˆ  max a

Auslenkung, Amplitude, Geschwindigkeit, maximale Geschwindigkeit, Beschleunigung,

amax ω0 φ0 t

maximale Beschleunigung, Kreisfrequenz, Nullphasenwinkel, Zeit.

J. Schwingungen



Tabelle J-. Schwingungssysteme, ihre Differenzialgleichungen und Lösungen. Schwingungssystem

Kraft-Momentenansatz Differenzialgleichung

Feder-Masse-System

F = ma −ky = m y¨ k y¨ + y = 0 m

mathematisches Pendel

F = ma

ω 0 = 2π f 0 2π = T0 # k m Y

−mgβ = ml β¨ g β¨ + β = 0 l #

M = JA α

Torsionspendel

−kt β = mJA β¨ kt β¨ + β=0 JA #

M = JA α

physikalisches Pendel

mgrβ = JA β¨ mgr β=0 β¨ + JA

−2Ag y = mges y¨ 2Ag y=0 y¨ + mges 2g y=0 y¨ + l elektromagnetischer Schwingkreis

uC − uL = uL = −L

U0

A a k C kt g l

UC

C

UL

L

Querschnitt, Beschleunigung, Federkonstante, Kapazität, Drehfedersteife, Erdbeschleunigung, Pendellänge, Länge des Wassers,

1 2π

kt JA

1 2π

mgr JA

1 2π

2

d q dt 2

#

#

1 2π

g l

#

F = ma

Flüssigkeitspendel

f0

T0

#

Y

#

#

2Ag mges

1 2π

2g l

1 2π

1 LC

1 2π

2π

g l

2π

kt JA

2π

mgr JA

2π

# #

#

Y

k m

#

#

#

2π

2g l

2π

JA kt

JA mgr

#

2Ag mges l 2g

 2π LC

1 q C 1 q¨ + q=0 LC

uC =

q L F M JA y α

l g

#

2Ag mges

1 LC

m k

Ladung, Induktivität, Kraft, Drehmoment, Massenträgheitsmoment um die Drehachse A, Auslenkung, Winkelbeschleunigung,



J Schwingungen und Wellen

Tabelle J-. (Fortsetzung). r m uL uC

Abstand vom Aufhängepunkt zum Schwerpunkt, Masse, Spannung an der Spule, Spannung am Kondensator,

β 

Winkel, Dichte, d2 β d2 y y¨ = 2 ; β¨ = 2 ; dt dt

q¨ =

d2 q dt 2

Übersicht J-. Energieverlauf und Energieerhaltungssatz für den ungedämpften Einmassenschwinger. Energie-Erhaltungssatz Eges = Epot (t) + Ekin (t) = const Eges =

1 2 1 1 k yˆ = mω 20 yˆ 2 = mˆ2 \ ω 0 = 2 2 2

k Eges Ekin Epot m

Federkonstante, Gesamtenergie, kinetische Energie, potenzielle Energie, Masse,

#

k m

ˆ yˆ t ω0

Tabelle J-. Korrekturfaktoren für T0 für größere Winkel des mathematischen und physikalischen Pendels. Winkel

Korrekturfaktor

1 5 10 30 45

1,00002 1,00048 1,00191 1,01741 1,03997

J.1.2 Freie gedämpfte Schwingung Reibungskräfte FR bringen eine freie Schwingung im Laufe der Zeit zur Ruhe (Tabelle J-). Je nach Ansatz für die Reibungskraft FR entstehen unterschiedliche Differenzialgleichungen.

maximale Geschwindigkeit, Amplitude, Zeit, Kreisfrequenz.

Im Folgenden wird die geschwindigkeitsproportionale Reibung untersucht, bei der die Reibungskraft FR proportional zur Geschwindigkeit zunimmt (Newton’sches Reibungsgesetz). Tabelle J- zeigt die drei möglichen Fälle: den Schwingfall, den Kriechfall und den aperiodischen Grenzfall. Schwingfall für ω 0 δ(ϑ < 1) Wie die Lösung nach Tabelle J- und der Kurvenverlauf zeigen, ist die Kreisfrequenz ω d der gedämpften Schwingung kleiner als die der ungedämpften ω 0 (ω d < ω 0 ). Entsprechend gilt: Td T0 . Wie die Lösungsgleichung nach Tabelle J- ferner zeigt, nehmen die Amplituden entsprechend der Exponentialfunktion e−δt ab. Das bedeutet, dass die Amplitudenverhältnisse

J. Schwingungen



Tabelle J-. Unterschiedliche Reibungskräfte und Differenzialgleichungen für das Feder-MasseSystem. Reibungskraft

geschwindigkeitsunabhängige Reibungskraft FR = μFN

geschwindigkeitsabhängige viskose Reibungskraft FR = d

geschwindigkeitsabhängige Luftreibungskraft FR = b2

Differenzialgleichung des Feder-Masse-Systems

m y¨  μFN + ky = 0

m y¨ + d y˙ + ky = 0

m y¨ + b y˙ 2 + ky = 0

Substitution: μFN y0 = k s = y  y0

y¨ +

d k y˙ + y = 0 m m

y¨ +

b 2 k y˙ + y = 0 m m

s¨ = y¨ s¨ =

k s=0 m

Übersicht J-. Gedämpfte Schwingung.

Übersicht J-. (Fortsetzung).

Geschwindigkeitsproportionale Reibung

d k m c yˆ i yˆ i+1  Td

FR = −d Differenzialgleichung y¨ +

k d y˙ + y = 0 m m

y¨ + 2ϑω 0 y˙ + ω 20 y = 0 Abklingkoeffizient Dämpfungsgrad Verlustfaktor Güte

Amplitudenverhältnis n-te Amplitude logarithmisches Dekrement

δ=

d Λ ln( yˆ i yˆ i+1 ) = = 2m Td Td

δ d d = =  ω 0 2mω 0 2 mk d d d  = 2ϑ = =  mω 0 mk mω 0 1 1 = Q=  = d 2ϑ d  mk = d yˆ i = eδTd = c yˆ i+1

Λ ω0

Dämpfungskoeffizient, Federkonstante, Masse, Amplitudenverhältnis, Amplitude i, Amplitude i + 1, Geschwindigkeit, Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung, logarithmisches Dekrement, Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung.

ϑ=

yˆ i = cn yˆ i+n Λ = ln

yˆ i ! = ln(c) = δTd yˆ i+1

gleich sind (Amplitudenverhältnis c). Zur Bestimmung des Abklingkoeffizienten δ wird dieses logarithmiert und das logarithmische Dekrement Λ gebildet (Übersicht J-). Kriechfall für ω 0 < δ(ϑ 1) Wie Tabelle J- zeigt, tritt keine Schwingung auf; die Amplitude nimmt monoton ab. Die Anfangsbedingungen für y(0) und y˙(0) bestimmen die beiden Integrationskonstanten yˆ1 und yˆ2 .



J Schwingungen und Wellen

Tabelle J-. Lösungen für die drei Fälle der gedämpften Schwingung.

Lösung

Schwingfall

aperiodischer Grenzfall

ϑ<1

ϑ1

ϑ=1

ω0  δ

ω0 < δ

ω0 = δ

y(t) = yˆ0 e−δt cos(ωd t + φ 0 ) # ωd = ωd =

2

k d2 − m 4m 2

ω 20 − δ 2  ωd = ω 0 1 − ϑ 2 ωd < ω 0



yˆ1 e(−δ+

δ 2 −ω 20 )t  (−δ− δ 2 −ω 20 )t

y(t) =

+ yˆ2 e y(t) =

y(t) = ( yˆ1 + yˆ1 δt) e−δt y(t) = ( yˆ1 + yˆ1 δt) e−ω 0 ϑ t

ϑ −1)t yˆ1 e−ω 0 (ϑ− 2 + yˆ2 e−ω 0 (ϑ+ ϑ −1)t 2

ωd = 0

ωd imaginär

Graph der Funktion

Bedingung

Kriechfall

d k ϑ Td T0 y(t) yˆ δ ω0 ωd t

Dämpfungskoeffizient, Federkonstante, Dämpfungsgrad (ϑ = δ ω 0 ), Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung, Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung, Auslenkung, Amplitude, Abklingkoeffizient (δ = ω 0 ϑ) Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung, Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung, Zeit.

Aperiodischer Grenzfall für ω 0 = δ(ϑ = 1) In diesem Fall tritt gerade eben keine Schwingung mehr auf. Der aperiodische Grenzfall spielt für viele Messgeräte eine wichtige Rolle, wenn Schwingungen vermieden und

die Messwerte möglichst schnell angezeigt werden sollen. Die Lösung ist in Tabelle J- zu erkennen. Die beiden Integrationskonstanten werden aus den Anfangsbedingungen y(0) und y˙(0) ermittelt.

J. Schwingungen

Mechanische und elektromagnetische gedämpfte Schwingungen Übersicht J-. Vergleich mechanischer und elektromagnetischer gedämpfter Schwingungen. mechanisch

elektromagnetisch L u0

C R

k d dy d2 y + y=0 + dt 2 m dt m Masse m Dämpfungskonstante d

d2 i R di 1 + i=0 + dt 2 L dt LC Induktivität der Spule L Widerstand R

Federkonstante k

Kehrwert der Kapazität

Auslenkung y

Ladung q

Geschwindigkeit 

Strom i

Federkraft F = ky

Kondensatorspannung u c =

potenzielle Energie Epot = 12 ky 2

elektrische Energie Eel =

kinetische Energie Ekin = 12 m2

ω0 =

#

k m

ω0 =

1 LC

Dämpfungsfrequenz ωd # ωd =

k d 2 −  m 2m

# ωd =

R 2 1 −  LC 2L

Abklingkoeffizient δ δ=

d 2m

δ=

R 2L

Dämpfungsgrad D ϑ=

δ d = ω0 2

#

1 mk

D=

δ R = ω0 2

#

C L

Güte Q 1 = Q= 2ϑ



mk d

1 q C

1 2 q 2C magnetische Energie Emagn = 12 Li 2 ungedämpfte Kreisfrequenz ω 0

#

1 C

1 1 Q= = 2ϑ R

#

L C





J Schwingungen und Wellen

J.1.3 Erzwungene Schwingung Bei einer erzwungenen Schwingung wird einem mechanischen (oder elektrischen) System (dem Resonator) von einem äußeren Erreger eine periodische Kraft (oder Spannung) aufgezwungen.

Nach der Einschwingdauer schwingt das System mit der Frequenz des Erregers Ω. J.1.3.1 Erzwungene mechanische Schwingung Übersicht J- zeigt als Resonator ein schwingungsfähiges Feder-Masse-System, auf das ein

Übersicht J-. Erzwungene Schwingung. Erzwungene Schwingung

Differenzialgleichung FˆE d k cos(Ωt) y˙ + y = m m m FˆE cos(Ωt) y¨ + 2ϑω 0 y˙ + ω 20 y = m

y¨ +

Schwingungsverhalten des Systems

J. Schwingungen



Übersicht J-. (Fortsetzung). Kraft als komplexer Zeiger

Amplituden-Resonanzfunktion yˆ =

2 m

FˆE (ω 20

− Ω 2 )2

+ (2ϑω 0 Ω)2

FˆE

yˆ = " k (1 − η 2 )2 + (2ϑη)2 (η = Ω ω 0 )

Resonanzamplitude FˆE yˆstat yˆRes = =   k2ϑ 1 − ϑ 2 2ϑ 1 − ϑ 2

Resonanzfrequenz ωR  ηR = = 1 − 2ϑ 2 ω0

Güte des Schwingkreises 1 yˆRes Q= = 2ϑ yˆstat

Erreger mit der Kreisfrequenz Ω periodisch einwirkt. Dabei wirken drei Kräfte: – Federkraft FFed = −ky, dy dt – Erregende Kraft FE = FˆE cos(Ωt). – Reibungskraft FR = −d

Wie Übersicht J- zeigt, findet eine Überlagerung der Schwingungen des gedämpften Systems (mit der Kreisfrequenz ω d ) mit den

Schwingungen des erregenden Systems (Kreisfrequenz der erregenden Schwingung ω E ) statt. Nach der Einschwingdauer schwingt das gesamte System mit der Kreisfrequenz der erregenden Schwingung ω E . Die erregende Kraft FE ist ein komplexer Zeiger FˆE ej(Ωt) , der mit der erregenden Kreisfrequenz Ω schwingt. Die Auslenkung des Schwingers yˆ ej(Ωt−γ) rotiert als Zeiger mit derselben Frequenz Ω, jedoch um die Phasenverschiebung γ verzögert. Die



J Schwingungen und Wellen

Übersicht J-. (Fortsetzung). Phasen-Resonanzfunktion tan γ =

2ϑη 2ϑΩω 0 = (ω 20 − Ω 2 ) (1 − η 2 )

γ = arctan =

d k ϑ FFed , FR , FE j y yˆres yˆstat t Q δ ω0 , Ω γ η

2ϑη 1 − η2

π 2ϑ − arctan 2 2 η −1

η<1 η1

Dämpfungskoeffizient (d = 2mδ), Federkonstante, Dämpfungsgrad (ϑ = δ ω 0 ), Federkraft, Reibungskraft,  erregende Kraft, imaginäre Einheit (j = −1), Auslenkung des Schwingers, Amplitude im Resonanzfall, Amplitude bei quasistatischer Anregung, Zeit, Güte, d !, Abklingkoeffizient δ = ϑω 0 = 2m Kreisfrequenz des ungedämpften Systems, des Erregers, Phasenverschiebung zwischen schwingendem System und Erreger, Frequenzverhältnis (η = Ω ω 0 ; normierte Frequenz).

Phasenverschiebung hängt von der Kreisfrequenz des Erregers Ω, der Eigenfrequenz des Resonators ω 0 und der Dämpfung ϑ ab. Folgende Fälle treten auf: Quasistatische Anregung (η ll 1) Als Amplitude ergibt sich: ystat = FˆE k (statische Auslenkung aufgrund der Federkraft). Zwischen Erreger und Resonator ist die Phasenverschiebung gleich null, weil die erregende Kraft sich so langsam ändert, dass der Schwinger folgen kann. Resonanzfall ohne Dämpfung (η = 1; ϑ = 0) Es tritt ein Phasensprung von  auf π auf. Die Amplitude wird unendlich groß (Übersicht J-).

Es kommt zur Resonanzkatastrophe. Sie kann verhindert werden durch: – Vermeidung periodischer Kraftwirkungen, – Einbau geeigneter Dämpfungsglieder, – großen Unterschied zwischen der Eigenfrequenz des schwingungsfahigen Systems ω 0 und der Erregerfrequenz Ω. Resonanzfall mit Dämpfung (η < 1; ϑ 0) Mit steigendem Dämpfungsgrad nehmen die Amplituden bis zur Grenzdämpfung ϑGr = 1 2 ab. Wird die Grenzdämpfung überschritten, dann tritt keine Resonanzüberhöhung mehr ein. Die Güte Q eines Schwingkreises wird näherungsweise durch das Verhältnis der Amplitude Resonanzfall

J. Schwingungen



Tabelle J-. Amplituden- und Phasenverlauf einer erzwungenen Schwingung für verschiedene Dämpfungsgrade und unterschiedliche Kreisfrequenzen. Dämpfung ϑ

ohne Dämpfung ϑ=0

geringe Dämpfung ϑ y 0, 1

KreisfrequenzVerhältnis η quasistatische Anregung η  0 (Ω ll ω 0 )

Ampilitude yˆ =

überkritische Dämpfung  ϑ W 12 2

FˆE k

bis η  1 zunehmend

mit η  0 abnehmend

Phasenverschiebung γ = 0 Resonanz η  1

Amplitude

Amplitude

(Ω  ω 0 )

yˆ \ 0

yˆ \ Maximum

Phasenverschiebung γ =

Amplitude FˆE yˆ < k

π 2

Amplitude yˆ \ 0

hochfrequente Anregung η u 1 (Ω u ω 0 )

Phasenverschiebung γ=π

yˆRes und der Amplitude im statischen Fall yˆstat bestimmt (Q = 1(2ϑ) = yˆRes  yˆstat ). Wichtige Anwendungsgebiete sind die (mechanischen) Frequenzfilter in der Nachrichtentechnik. Hochfrequente Anregung (η M 1) Der Erreger und der Resonator schwingen annähernd gegenphasig (für η   ist γ = π), und zwar um so genauer, je geringer die Dämpfung ϑ ist. Unabhängig vom Dämpfungsgrad ϑ geht die Amplitude der erzwungenen Schwin-

Phasenverschiebung γ \ π (abhängig von ϑ)

gung gegen null ( yˆ N 0). In der Praxis wird damit die Übertragung von Eigenschwingungen vermieden. J.1.3.2 Erzwungene elektrische Schwingung Der elektrische Reihenschwingkreis wird mit einer Wechselspannung u 0 = uˆ 0 cos(Ωt) der Kreisfrequenz Ω angeregt (Übersicht J-). Es ist für die Bauteile zu beachten: Bei Schwingkreisen mit hoher Güte Q liegt im Resonanzfall an Kondensator und Spule das Q-fache der Generatorspannung an.

Übersicht J-. Erzwungene elektrische Schwingung. Elektromagnetischer Schwingkreis R u0

L

C

Differenzialgleichung 1 uˆ 0 Ω d2 i R di + i=− sin(Ωt) + dt 2 L dt LC L 2 d i uˆ 0 Ω di + ω 20 i = − sin(Ωt) + 2ϑω 0 dt 2 dt L



J Schwingungen und Wellen

Übersicht J-. (Fortsetzung). Stromamplitude iˆ = " iˆ =

uˆ 0 R 2 + (ΩL − 1 (ΩC))2

uˆ 0 η " ω 0 L (2ϑη)2 + (η 2 − 1)2

uˆ 0 uˆ 0 η = iˆRes = " R ω 0 L (1 − η 2 )2 + (2ϑη)2

Spannungsverlauf ˆ Spannung am Widerstand: uR = iR = uˆ R cos(Ωt − γ); uˆ R = iR uR, Res = uˆ 0

(wie Stromamplitude)

Spannung am Kondensator uˆ C = "

uˆ 0 (2ϑη)2 + (η 2 − 1)2

uˆ 0 = " (1 − η 2 )2 + (2ϑη)2

uˆ 0  2ϑ 1 − ϑ 2 # R C ϑ= 2 L

uˆ C, Res =

1 1 uˆ C, Res =   =Q uˆ 0 2ϑ 1 − ϑ 2 2ϑ Spannung an der Spule uˆ L = "

uˆ 0 η 2 (2ϑη)2 + (η 2 )2 − 1

uˆ 0  2ϑ 1 − ϑ 2 # R C ϑ= 2 L

uˆ L, Res =

= "

uˆ 0 η 2 (1 − η 2 )2 + (2ϑη)2

J. Schwingungen



Übersicht J-. (Fortsetzung). Phasenwinkel γ zwischen Erregerspannung und Strom u 0 (t) = uˆ 0 cos Ωt i(t) = iˆ cos(Ωt − γ)

tan γ =

Ω 2 − ω 20

Ω ċ R L η2 − 1 tan γ = 2ϑη

C ϑ L i R uˆ R , uˆ C , uˆ L uˆ 0 γ Ω ω0 η

Kapazität, Dämpfungsgrad, Induktivität, elektrischer Strom, Ohm’scher Widerstand, Amplitude der Spannung am Widerstand, am Kondensator, an der Spule, Amplitude der äußeren Wechselspannung, Phasenwinkel zwischen erregender Spannung und Strom im Schwingkreis, Kreisfrequenz der erregenden Spannung, Eigen-Kreisfrequenz des Schwingkreises, Verhältnis der Kreisfrequenzen (η = Ω ω 0 ).

J.1.4 Überlagerung von Schwingungen Schwingungen überlagern sich innerhalb des elastischen Bereichs ungestört (Superpositionsprinzip). Tabelle J- zeigt die verschiedenen Möglichkeiten, wenn sich die Frequenzen ändern und die Bewegimgsrichtungen parallel verlaufen oder aufeinander senkrecht stehen.

Tabelle J-. Resultierende Schwingung bei Schwingungsüberlagerung. Frequenzart

Bewegungsrichtungen parallel

Bewegungsrichtungen senkrecht

gleiche Frequenzen

Schwingung gleicher Frequenz, verschiedener Amplitude und/oder Phase

verschiedene Ellipsen, je nach Amplitude und Phasenlage

unterschiedliche Frequenzen

Schwebungen FourierSynthese

ganzzahlige FrequenzVerhältnisse LissajousFiguren



J Schwingungen und Wellen

J.1.4.1 Überlagerung in gleicher Raumrichtung und mit gleicher Frequenz Übersicht J-. Überlagerung von Schwingungen. Ausgangsschwingungen y 1 (t) = yˆ1 cos(ωt + φ 01 ); y 2 (t) = yˆ2 cos(ωt + φ 02 ) Neue Schwingung yneu = y 1 (t) + y 2 (t) = yˆneu cos(ωt + φneu ) Phasenverschiebung Δφ = φ 01 − φ 02

Zeiger-Darstellung

Neue Amplitude 2 yˆneu = yˆ12 + 2 yˆ1 yˆ2 cos(φ 01 − φ 02 ) + yˆ22 tan φneu =

yˆ1 sin φ 01 + yˆ2 sin φ 02 yˆ1 cos φ 01 + yˆ2 cos φ 02 Für yˆ1 = yˆ2 = yˆ φ 01 − φ 02  yˆneu = 2 yˆ cos  2 φ 01 − φ 02 φneu = 2

Δφ = 0 yˆneu =

2

yˆ12 + 2 yˆ1 yˆ2 + yˆ22

Für yˆ1 = yˆ2 = yˆ yˆneu = 2 yˆ

J. Schwingungen

Übersicht J-. (Fortsetzung).

y1 , y2 yˆneu φ 01 , φ 02 φneu ω

Schwingung , Schwingung , Amplitude der neuen Schwingung, Phasenverschiebung Schwingung , Schwingung , Phasenverschiebung der neuen Schwingung, Kreisfrequenz.

J.1.4.2 Überlagerung in gleicher Raumrichtung und mit geringen Frequenzunterschieden (Schwebung) Übersicht J-. Schwebungen. Für gleiche Phase (φ 01 = φ 02 ) und gleiche Amplitude ( yˆ1 = yˆ2 ) gilt: yneu (t) = y 1 (t) + y 2 (t) = yˆ cos(ω 1 t) + yˆ cos(ω 2 t) yneu (t) = 2 yˆ cos 

ω1 + ω2 ω1 − ω2 t cos  t 2 2

Für geringe Frequenzunterschiede: Schwebung

Schwebungsdauer TS =

T1 T2 T2 − T1

Schwebungsfrequenz fS = f 1 − f 2





J Schwingungen und Wellen

Übersicht J-. (Fortsetzung). Neue Schwingung: TS =

T1 T2 T2 − T1

fneu =

f 1 , f 2 , fneu T1 , T2 , Tneu ω1 , ω2 y 1 , y 2 , yneu TS fS

f1 + f2 2

Frequenz . Schwingung, . Schwingung, neue Schwingung, Schwingungsdauer . Schwingung, . Schwingung, neue Schwingung, Kreisfrequenz . Schwingung, . Schwingung, Auslenkung . Schwingung, . Schwingung, neue Schwingung, Schwebungsdauer, Schwebungsfrequenz.

J.1.4.3 Überlagerung in gleicher Raumrichtung und mit großen Frequenzunterschieden Wie Bild J- zeigt, schwingt die schnellere Schwingung um die periodische Achse der langsameren Schwingung. J.1.4.4 Überlagerung in gleicher Raumrichtung mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen (Fourier-Analyse)

Bild J-. Schwingungsüberlagerung bei großen Frequenzunterschieden.

Ein periodisch wiederkehrendes Muster kann in eine Reihe von elementaren Sinusund Kosinus-Schwingungen zerlegt werden (Fourier-Analyse). Die Fourier-Koeffizienten a k (für die Kosinusfunktion) und b k (für die Sinusfunktion) geben an, wie stark die einzelnen Anteile vertreten sind. Übersicht J- zeigt dies für Kreisfrequenzen mit ω, 3 ω und 5 ω. Durch Überlagerung bestimmter Sinus- und Kosinusfunktionen (Fourier-Synthese) können auch beliebige Kurvenformen erzeugt werden (Abschnitt A, Übersicht A-).

J. Schwingungen



Übersicht J-. Fourier-Analyse. Periodische Wechselgröße y(t) =

 a0 + b (a k cos(kωt)) 2 k=1 

+ b (b k sin(kωt)) k=1

Fourier-Koeffizienten

Fourier-Zerlegung am Beispiel

a0 =

2 T ' y(t) dt , T 0

ak =

2 T ' y(t) cos(kωt) dt , T 0

bk =

2 T ' y(t) sin(kωt) dt (für k = 1, 2, 3, . . .) T 0



J Schwingungen und Wellen

Übersicht J-. (Fortsetzung).

ak bk k−1 y(t) t ω

Fourier-Koeffizienten für die Cosinusfunktionen, Fourier-Koeffizienten für die Sinusfunktionen, Anzahl der Oberschwingungen, periodische Wechselgröße, Zeit, Kreisfrequenz der Schwingung.

J.1.4.5 Überlagerung von Schwingungen mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen, die senkrecht aufeinander stehen (Lissajous-Figuren) Schwingungen mit gleicher Kreisfrequenz Übersicht J-. Senkrechte Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen.

Ausgangsschwingungen x(t) = xˆ sin(ωt) y(t) = yˆ sin(ωt + φ) Daraus wird Ellipsen-Gleichung y 2 x 2 2yx + − cos φ = sin2 φ yˆ 2 xˆ 2 yˆxˆ Berechnung der Phasenverschiebung y(0) x(0) sin φ = + yˆ xˆ

Schwingungen mit ungleicher Frequenz Für ganzzahlige Frequenzverhältnisse ergeben sich geschlossene Kurven. Aus der Anzahl k der senkrechten Maxima und der Anzahl l der waagrechten Maxima können die Frequenzverhältnisse festgestellt werden.

J. Schwingungen

Bild J-. Lissajous-Figuren.





J Schwingungen und Wellen

J.1.5 Gekoppelte Schwingungen Zwei Schwinger, die miteinander elastisch, über Reibung oder aufgrund der Trägheit gekoppelt sind, tauschen über diese Kopplung Energie aus. Die Geschwindigkeit des Energieaustausches ist vom Kopplungsgrad κ abhängig. Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf gekoppelte Pendel gleicher Masse m, gleicher Federkonstante k und gleicher Eigenfrequenz ω 0 . Die beiden Schwingungszustände, in denen keine Energie übertragen wird, werden Fundamentalschwingungen genannt. Sie entstehen bei einer gegenphasigen und einer gleichphasigen Schwingung. Im allgemeinen Fall sind n Schwinger miteinander gekoppelt; sie besitzen n Fundamentalschwingungen. Solche Systeme sind in der Molekül- und Festkörperphysik von Bedeutung.

Übersicht J-. (Fortsetzung). Allgemeiner Fall fS = f 2 − f 1

Kopplungsgrad

Übersicht J-. Elastisch gekoppelte Feder-MasseSchwinger. Gekoppelte Pendel

κ=

T 2 − T22 f 2 − f 12 k 12 = 1 = 22 k + k 12 T12 + T22 f 1 + f 22

k k 12 f0 f1 f2 fS κ T1 , T2

Gleichphasige Schwingung Koppelglied nicht wirksam # 1 k f1 = f0 = 2π m Gegenphasige Schwingung Kopplungsfeder bleibt in der Mitte in Ruhe kges = k + 2k 12 # k + 2k 12 1 f2 = 2π m

Federkonstante der einzelnen Feder, Federkonstante der Kopplungsfeder, Frequenz der ungedämpften harmonischen Schwingung, Eigenfrequenz bei gleichphasiger Schwingung, Eigenfrequenz bei gegenphasiger Schwingung, Schwebungsfrequenz, Kopplungsgrad, ., . Schwingungsdauer.

J.1.6 Orts- und zeitabhängige Schwinger In Tabelle J- sind die Differenzialgleichungen für die orts- und zeitabhängigen Schwingungen zusammengestellt. Bei den parametrischen Schwingungen hängen die Systemparameter (z. B. die Eigenfrequenz) von der Zeit ab. Dem Schwinger kann zusätzlich Energie zugeführt werden, wenn dem Schwingungssystem während des

J. Wellen



Tabelle J-. Orts- und zeitabhängige Schwingungen. zeitabhängig

sklero- (nicht parametrisch)

rheo- (parametrisch)

linear

d2 y + ω 20 y = 0 dt 2

d2 y + ω 20 (t)y = 0 dt 2

nichtlinear

d2 y + ω 20 (y)y = 0 dt 2

d2 y + ω 20 (y, t)y = 0 dt 2

ortsabhängig

Schwingens eine parametrische Erregung mit der doppelten Eigenfrequenz zugeführt wird (z. B. Pendel mit periodisch bewegtem Aufhängepunkt).

Die Begriffsbestimmungen zur Beschreibung schwingender Kontinua und Wellen sind in DIN , Blatt  definiert. J.2.1 Harmonische Wellen

J.2 Wellen Eine Welle ist ein sich räumlich ausbreitender Erregungszustand, bei dem Energie weitergeleitet wird. Zur Ausbreitung elastischer Wellen ist es erforderlich, dass schwingungsfähige Systeme gekoppelt sind. Elektromagnetische Wellen brauchen kein Übertragungsmedium, sie breiten sich auch im Vakuum aus (zur Einteilung der elektromagnetischen Wellen in verschiedene Spektralgebiete s. Tabelle L-). Die Merkmale der fundamentalen Wellentypen sind in Tabelle J- zusammengestellt (weitere Details zur Polarisation s. Tabelle L-).

Bei harmonischen Wellen ist die räumliche und zeitliche Abhängigkeit der schwingenden Größe durch harmonische Funktionen gegeben (Tabelle J-, Bild J-). J.2.2 Energietransport In einem Medium, in dem eine Welle läuft, ist Energie gespeichert. Die wichtigsten Gleichungen zum Energietransport bringt Tabelle J-. Wellenamplitude Während bei der ebenen Welle die Energiedichte w und damit die Amplitude in Ausbreitungs-

Tabelle J-. Wellentypen. Wellentyp

Merkmale

Beispiele

Transversaloder Querwellen

Schwingungsrichtung steht senkrecht auf Ausbreitungsrichtung. Bei räumlich und zeitlich definierter Schwingungsrichtung ist die Welle polarisiert.

Elastische Wellen in Festkörpern (Torsionsund Biegewellen). Elektromagnetische Wellen. Oberflächenwellen an Grenzflächen (z. B.: Wasser–Luft: Wasserwellen).

Longitudinaloder Längswellen

Schwingungsrichtung ist parallel zur Ausbreitungsrichtung.

Elastische Wellen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern (Schallwellen).



J Schwingungen und Wellen

Tabelle J-. Harmonische Wellen. Größe

Funktion

In x-Richtung laufende Welle

y(x, t) = yˆ cos _2π 

Gegen die x-Richtung laufende Welle

y(x, t) = yˆ cos(ωt + kx + φ 0 )

Phasengeschwindigkeit

c = λ T = λ f = ω k

Wellenzahl

k = 2π λ

Schnelle

=

y x t yˆ T

Auslenkung (Elongation), Ort, Zeit, Amplitude, Periodendauer,

x t −  + φ0 ` T λ y(x, t) = yˆ cos(ωt − kx + φ 0 )

f λ φ0 ω ˆ

∂y = − yˆω sin(ωt − kx + φ 0 ) = −ˆ sin(ωt − kx + φ 0 ) ∂t

Frequenz, Wellenlänge, Nullphasenwinkel, Kreisfrequenz, Schnelleamplitude.

muss sich bei anderen Wellenformen die Energie auf immer größere Flächen verteilen, wodurch die Amplitude abnimmt (Tabelle J-). Wellenwiderstand Der Wellenwiderstand, charakterisiert die Übertragungseigenschaften eines Mediums. Bei elektromagnetischen Wellen werden Spannung (elektrische Feldstärke) und Strom (magnetische Feldstärke) in Analogie zum Ohm’schen Gesetz durch den Wellenwiderstand Z verknüpft. Tabelle J- gibt eine Übersicht. Bei Schallwellen werden Schallwechseldruck (Abschnitt K..) und Schallschnelle verknüpft: Z=

Bild J-. Momentbilder einer laufenden Transversalwelle. Der Pfeil markiert einen Wellenberg.

richtung konstant bleibt (abgesehen von Absorptionsverlusten im Übertragungsmedium),

pˆ ˆ  c

pˆ = c ; ˆ

(J–)

Amplitude des Schallwechseldrucks, Amplitude der Schallschnelle, Dichte des Übertragungsmediums, Schallgeschwindigkeit.

J. Wellen



Tabelle J-. Energietransport. Elastische Wellen dE 1 1 =  yˆ2 ω 2 = ˆ2 dV 2 2

Energiedichte

w=

Intensität oder Energiestromdichte

I = wc =

1 2 ˆ c 2

Energiedichte (Energie pro Volumen, J m3 ), Intensität (Leistung pro Fläche, W m2 ), Dichte des Übertragungsmediums, Schwingungsamplitude, Kreisfrequenz, Schnelleamplitude, Phasengeschwindigkeit, relative Permittivität,

ε0

w I  yˆ ω ˆ c εr

Elektromagnetische Wellen

μr μ0 Eˆ Hˆ

1 1 εr ε 0 Eˆ 2 = μ r μ 0 Hˆ 2 2 2 # # εr ε 0 ˆ 2 1 μr μ 0 ˆ 2 1 E = H I= 2 μr μ 0 2 εr ε 0

w=

elektrische Feldkonstante, (ε 0 = 8,854 ċ 10−12 As Vm), relative Permeabilität, magnetische Feldkonstante (μ 0 = 4π ċ 10−7 Vs Am), Amplitude der elektrischen Feldstärke, Amplitude der magnetischen Feldstärke.

Tabelle J-. Energiedichte und Amplitude verschiedener Wellen.

Übersicht J-. Reflexion und Transmission von Wellen: Intensitäten.

Wellenfläche

Energiedichte

Amplitude

Energieerhaltung

Ie = Ir + It

eben

w = konst. 1 w r 1 w 2 r

yˆ = konst. 1 yˆ   r 1 yˆ  r

Reflexionsgrad

=

Zylinder Kugel r

Abstand von der Quelle.

Reflexion und Transmission Wenn an der Grenzfläche zweier Medien oder Leitungen der Wellenwiderstand eine Änderung erfährt, dann wird ein Teil der Welle reflektiert. Reflexions- und Transmissionsgrad der Intensität bei senkrechtem Einfall zeigt Übersicht J-, den Reflexions- und Transmissionsfaktor der Amplitude Tabelle J-.

Transmissionsgrad Ie Ir It Z1 Z2

Ir Z1 − Z2 2 =  Ie Z1 + Z2 It 4Z 1 Z 2 τ =1−= = Ie (Z 1 + Z 2 )2

einfallende Intensität, reflektierte Intensität, transmittierte Intensität, Wellenwiderstand im Medium , Wellenwiderstand im Medium .



J Schwingungen und Wellen

Tabelle J-. Wellenwiderstand elektromagnetischer Wellen im freien Raum und auf Leitungen. Leitungen U I #

freier Raum E H

Definition

ZL =

verlustbehaftet

ZL =

ZL =

verlustlos

Z L

ZF =

Z Z U I R  = R l G  = G l L = L l C  = C l E H μr μ0 εr ε0 κ ω

R  + jωL G  + jωC  # L = C

ZF =

#

μr μ 0 εr ε 0 − jκ ω

#

μ0 = 376,7 Ω ε0

Wellenwiderstand (reell), Wellenwiderstand (komplex, frequenzabhängig), komplexe Spannung, komplexer Strom, > Widerstand pro Länge, ? ? ? ? Ableitung (Querleitwert) pro Länge,? @ Beläge (Tabelle J-) Induktivität pro Länge, ? ? ? ? ? Kapazität pro Länge, A komplexe elektrische Feldstärke, komplexe magnetische Feldstärke, relative Permeabilität, magnetische Feldkonstante, relative Permittivität, elektrische Feldkonstante, elektrische Leitfähigkeit, Kreisfrequenz.

Tabelle J-. Reflexion und Transmission von Wellen: Amplituden. Elastische Wellen

Elektromagnetische Wellen elektrische Feldstärke

magnetische Feldstärke

r=

yˆr Z1 − Z2 = Z1 + Z2 yˆe

re =

Eˆr Z2 − Z1 n1 − n2 = = Z1 + Z2 n1 + n2 Eˆe

rm =

Hˆ r Z1 − Z2 n2 − n1 = = Z1 + Z2 n1 + n2 Hˆ e

t=

yˆt 2Z 1 = Z1 + Z2 yˆe

te =

Eˆt 2Z 2 2n 1 = = Z1 + Z2 n1 + n2 Eˆe

tm =

Hˆ t 2Z 1 2n 2 = = Z1 + Z2 n1 + n2 Hˆ e

r t yˆe , Eˆe , Hˆ e yˆr , Eˆr , Hˆ r yˆt , Eˆt , Hˆ t Z1 , Z2 n1 , n2

Reflexionsfaktor, Transmissionsfaktor, Amplituden der einfallenden Wellen, Amplituden der reflektierten Wellen, Amplituden der transmittierten Wellen, Wellenzahl im Medium  bzw. , Brechungsindex im Medium  bzw.  (Abschnitt L..).

J. Wellen

J.2.3 Phasengeschwindigkeit Die Phasengeschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Zustand konstanter Phase (ωt − kx +φ 0 = konst.) ausbreitet. Sie tritt

Tabelle J-. Phasengeschwindigkeiten verschiedener Wellentypen. Wellentyp Longitudinalwellen in Gasen Longitudinalwellen in Flüssigkeiten Longitudinalwellen in Stäben Torsionswellen in Rundstäben Transversalwellen auf Saiten Elektromagnetische Wellen im Vakuum Elektromagnetische Wellen in Materie Elektromagnetische Wellen auf Leitungen

Phasengeschwindigkeit # ϰp c=  # K c=  # E c=  # G c=  # F c= A 1 c0 =  ε0 μ0 1 c=  εr ε 0 μ r μ 0 1 c=  C  L

als Konstante in der Wellengleichung auf, die für die Ausbreitung von Wellen charakteristisch ist: Δy −

Δ=

1 ∂2 y =0; c 2 ∂t 2

∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z

μ0 εr μr C L

Isentropenexponent, Druck, Dichte, Kompressionsmodul, Elastizitätsmodul, Schubmodul, Spannkraft, Saitenquerschnitt, elektrische Feldkonstante (ε 0 = 8,854 ċ 10−12 As (Vm)), magnetische Feldkonstante (μ 0 = 4π ċ 10−7 Vs (Am)), relative Permittivität, relative Permeabilität, längenbezogene Kapazität, längenbezogene Induktivität.

(J–)

Laplace-Operator.

Für eindimensionale Wellen gilt: 2 ∂2 y 2∂ y = c . ∂t 2 ∂x 2

(J–)

In Tabelle J- sind Formeln für die Phasengeschwindigkeit verschiedener Wellen zusammengestellt. Die Beläge C  und L  von Leitungen hängen von der Leitergeometrie ab. Tabelle J- zeigt zwei Beispiele.

Tabelle J-. Beläge für lange Leitungen. Leitungstyp

ϰ p  K E G F A ε0



Kapazität pro Länge

Induktivität pro Länge

Doppelleitung C  =

εr ε 0 π ln(a r)

Koaxialleitung C  =

2εr ε 0 π μr μ 0 L = ln(D d) ln(D d) 2π

L =

μr μ 0 ln(a r) π



J Schwingungen und Wellen

J.2.4 Gruppengeschwindigkeit

Tabelle J-. Dispersionsarten.

Als Gruppengeschwindigkeit wird die Geschwindigkeit bezeichnet, mit der die Einhüllende eines Wellenpaketes (Bild J-) läuft und somit auch die Energie bzw. Information. Die Gruppengeschwindigkeit ist in Medien mit Dispersion nicht identisch mit der Phasengeschwindigkeit. Bild J- zeigt ein Beispiel. Für die Gruppengeschwindigkeit gilt:

c gr =

c gr ω k c λ

dω dc =c−λ ; dk dλ

(J–)

Gruppengeschwindigkeit, Kreisfrequenz, Wellenzahl, Phasengeschwindigkeit, Wellenlänge.

Bild J-. Wellenpaket endlicher Länge.

Bild J-. Zustände einer Wellengruppe an zwei verschiedenen Zeitpunkten. Der Pfeil kennzeichnet das Maximum der Gruppe, der kleine Kreis einen Zustand konstanter Phase.

dc dλ

Ausbreitungsgeschwindigkeit

Bezeichnung

0

cgr < c

normale Dispersion

=0

cgr = c

keine Dispersion

<0

cgr  c

anomale Dispersion

Je nach Übertragungsmedium können die in Tabelle J- dargestellten Fälle unterschieden werden. Zur Dispersion in der Optik und Definition des Gruppenindex s. Abschnitt L.... J.2.5 Doppler-Effekt Schallwellen Sind eine Schallquelle und/oder ein Beobachter in Bewegung (relativ zum Übertragungsmedium Luft), dann weicht die Frequenz fB , die der Beobachter wahrnimmt, von der Frequenz fQ der Quelle ab. Je nach Bewegungszustand sind verschiedene Fälle unterscheidbar, die in Tabelle J- zusammengestellt sind. Bewegt sich die Quelle mit Überschallgeschwindigkeit, dann bilden alle von der Quelle ausgesandten Kugelwellen einen Kegel. Bild J- zeigt ein Momentbild dieses Mach’schen Kegels.

Bild J-. Mach’scher Kegel beim Überschallflug.

J. Wellen

Tabelle J-. Doppler-Effekt. Die verschiedenen Bewegungsmöglichkeiten von Quelle und Beobachter sind durch Pfeile angedeutet. Quelle •

Beobachter

beobachtete Frequenz

•

fB = fQ 1 +

•

•\

fB =

•\

•

fB =

•

fB =

•

fB =

• •\ •

•\

•

•

•\ fB fQ B Q c

•\

fB = fB = fB =

B  c B fQ 1 −  c fQ Q 1− c fQ Q 1+ c c + B fQ c − Q c − B fQ c + Q c + B fQ c + Q c − B fQ c − Q

Frequenz beim Beobachter, Frequenz der Quelle, Betrag der Beobachtergeschwindigkeit relativ zur Luft, Betrag der Quellengeschwindigkeit relativ zur Luft, Schallgeschwindigkeit.



Elektromagnetische Wellen Für die Frequenzverschiebung von elektromagnetischen Wellen ist lediglich die Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle (Sender) und Beobachter (Empfänger) maßgebend: P Q 1 + β bei c+ R = fQ Q Annäherung fB = fQ c− 1−β (J–) P O Q 1 − β bei c− R fB = fQ = fQ Q Entfernung; c+ 1+β O

fB fQ c  β=

 c

Frequenz beim Beobachter, Frequenz der Quelle, Lichtgeschwindigkeit, Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter, bezogene Relativgeschwindigkeit.

J.2.6 Interferenz Bei der Überlagerung von Wellen treten Interferenzerscheinungen auf. Im Allgemeinen ist das Prinzip der ungestörten Superposition gültig. Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge

An der Spitze des Kegels befindet sich die Quelle Q, die sich mit Q c bewegt. Der halbe Öffnungswinkel des Kegels ist der Mach’sche Winkel. Er beträgt

sin α =

α c Q Ma

c 1 = ; Q Ma

Mach’scher Winkel, Schallgeschwindigkeit, Geschwindigkeit der Quelle, Mach-Zahl.

Gegeben seien zwei Wellen mit gleicher Amplitude, die in dieselbe Richtung laufen: y 1 = yˆ cos(ωt − kx)

und

y 2 = yˆ cos(ωt − kx + φ) = yˆ cos ωt − kx + 2π

(J–)

Δ λ

.

Die zweite Welle weist gegenüber der ersten einen Gangunterschied Δ auf, der mit der Phasenverschiebung φ verknüpft ist: Δ=

φ λ. 2π

(J–)



J Schwingungen und Wellen

Die Überlagerung ergibt: y(x, t) = 2 yˆ cos 

Tabelle J-. Konstruktive und destruktive Interferenz (Ordnungszahl m = , , , . . .).

φ 2

ċ cos ωt − kx + = 2 yˆ cos π

φ 2

Δ λ

Δ ċ cos ωt − kx + π λ

.

Bedingung für

konstruktive Interferenz

destruktive Interferenz

Gangunterschied

Δ = mλ

Δ = (2m +1)

Phasenverschiebung

φ = m2π

φ = (2m + 1)π

λ 2

(J–)

Die Summenwelle ist wieder eine Welle mit gleicher Frequenz und Wellenlänge, deren Amplitude je nach Gangunterschied Werte zwischen 0 und 2 yˆ annehmen kann (Tabelle J-). Stehende Wellen Gegeben seien zwei Wellen mit gleicher Frequenz, Wellenlänge und Amplitude, die sich entgegen laufen: y 1 = yˆ cos(ωt − kx)

und

y 2 = yˆ cos(ωt + kx + φ) = yˆ cos ωt + kx + 2π

Δ λ

Bei der Überlagerung entsteht eine stehende Welle: y(x, t) = 2 yˆ cos ωt + ċ cos kx +

φ 2

φ 2

Δ λ Δ . ċ cos kx + π λ

= 2 yˆ cos ωt + π

(J–)

Bild J- zeigt Momentbilder von stehenden Wellen. Jeweils im Abstand von λ2 entstehen ortsfeste Schwingungsknoten und -bäuche. Bei einer Reflexion an einem dichteren

Bild J-. Ausbildung einer stehenden Welle durch Reflexion am a) dichteren, b) dünneren Medium.

J. Wellen

Medium (größerer Wellenwiderstand Z) tritt an der Grenzfläche ein Phasensprung (φ = π, Δ = λ2) auf, und es entsteht ein Schwingungsknoten (Bild J-a, Tabelle J-). Bei einer Reflexion an einem dünneren Medium tritt kein Phasensprung auf, es entsteht ein Schwingungsbauch (Bild J-b, Tabelle J-). Stehende Wellen können auch als Eigenschwingungen eines Kontinuums mit charakteristischen Eigenfrequenzen aufgefasst werden. Beispielsweise sind die möglichen Eigenfre-



quenzen einer schwingenden Saite f n = (n + 1) f 0 , mit f0 fn c l

f 0 = c2l ,

n = 0, 1, 2, . . . ; (J–)

Frequenz der Grundschwingung, Frequenz der n-ten Oberschwingung, Phasengeschwindigkeit, Saitenlänge.

K Akustik

Übersicht K-. Normen und Richtlinien. DIN 1320 DIN 4109 DIN 18 005 DIN 18 041 DIN 45 635 DIN 45 641

Akustik, Grundbegriffe Schallschutz im Hochbau Schallschutz im Städtebau Hörsamkeit in Räumen Geräuschmessung an Maschinen Beurteilungspegel zeitlich schwankender Schallvorgänge DIN 45 642 Messung von Verkehrsgeräuschen DIN 45 687 Schallausbreitung im Freien DIN 52 210- Bauakustische Prüfungen, Luft- und Trittschalldämmung DIN 52 221 Körperschallmessungen bei haustechnischen Anlagen DIN EN 61 260 Elektroakustik – Bandfilter für Oktaven und Oktavbruchteile DIN EN 61 672 Elektroakustik – Schallpegelmesser DIN EN ISO 354 Bauakustische Prüfungen; Schallabsorptionsgrad DIN EN ISO 1683 Bezugswerte für akustische Pegel DIN EN ISO 3382 Bauakustische Prüfungen; Nachhallzeit in Zuhörerräumen ARS  (RLS-) Richtlinien für den Lärmschutz an Straßen TALärm Technische Anleitung zum Schutz gegen Lärm VDI 2058 Bl.  Beurteilung von Arbeitslärm VDI 2569 Schallschutz und akustische Gestaltung im Büro

Die Akustik beschäftigt sich mit der Ausbreitung von longitudinalen Kompressionsund Dilatationswellen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern. Von besonderer Bedeutung sind dabei die Schallausbreitung in Luft, der Schalldurchgang durch Bauteile und die Schallempfindung des Menschen (Hörsamkeit und akustische Behaglichkeit).

dabei die Dichteänderungen in den Ausbreitungsmedien und die Geschwindigkeiten der Molekülbewegungen nicht so hoch, dass nichtlineare Wechselwirkungen auftreten, wie sie bei Stoßwellenexperimenten beobachtet werden. Die folgenden Beziehungen der Akustik gelten für den Fall, dass sich die Schalldrücke verschiedener Schallquellen am Ort des Schallfeldes additiv überlagern (Superpositionsprinzip) und das zeitliche Produkt der verschiedenen Schallwechselamplituden verschwindet (nichtkohärente Schallquellen). K.1.1 Schallfrequenz Die Frequenz f der periodischen Erregung von Druckstörungen (z. B. durch eine Lautsprechermembran) bestimmt die Frequenz der lokalen Druckschwankung und damit die Schallfrequenz f . Entsprechend der Schallfrequenzempfindlichkeit des menschlichen Ohres werden verschiedene Schallbereiche definiert (Tabelle K-). K.1.2 Schallgeschwindigkeit Die Schallgeschwindigkeit c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) der Druckstörungen in einem kompressiblen Medium. Für die Schallgeschwindigkeit c in Flüssigkeiten und Gasen gilt: " c=

K ; 

K.1 Schallausbreitung Schall ist die Ausbreitung lokaler Druckschwankungen in Medien. In der Akustik sind

c Schallgeschwindigkeit, K Kompressionsmodul,  Dichte.

(K–)



K Akustik

Tabelle K-. Schallbereiche. Schallbereich

Infraschall

Hörbereich

Ultraschall

Hyperschall

Frequenzbereich 0 Hz bis 15 Hz

16 Hz bis 20 kHz

20 kHz bis 10 GHz

10 GHz bis 10 THz

Schallgeber

mechanisch: Pfeifen, Sirenen, Musikinstrumente; elektroakustisch: elektrodynamische und elektromagnetische Lautsprecher

mechanisch: Pfeifen, Sirenen, Pneumatik; elektroakustisch: elektrostriktive, piezoelektrische, elektrostatische Lautsprecher

Josephson-Kontakte, piezoelektrisch gekoppelte Mikrowellen-Resonatoren

mechanische Rüttler (Shaker)

Schallaufnehmer piezoelektrische Aufnehmer, Dehnungsmessstreifen

Kondensatormikrofon, Kondensatormikrofon, Josephson-Kontakte, elektrodynamische, piezoelektrische piezoelektrisch piezoelektrische, Mikrofone gekoppelte Mikropiezoresistive wellen-Resonatoren Mikrofone

Anwendungspraxis

Phonotechnik, Schall- und Lärmschutz, Raumakustik, Schwingungsisolierung

Lagerschwingungen, Körperschall, Bauwerksschwingungsanalyse, Erdbebenwellen

Reinigung, Entgasen, Dispergieren, Emulgieren, Polymerisationssteuerung, Ultraschallbearbeitung (Bohren, Schneiden), Werkstoffprüfung, Ultraschalldiagnostik, Modellakustik

Grundlagenphysik, Photonenspektroskopie, Molekularkinetik

Tabelle K-. Dichte, Schallgeschwindigkeit und Schallkennimpedanz einiger Stoffe beim Normdruck pn = 1013 hPa. Dichte  Luft −20  C trocken Luft 0  C trocken Luft 20  C trocken Luft 100  C trocken Wasserstoff 0  C Wasserdampf 130  C Wasser 0  C 20  C Glyzerin Eis Holz Glas Beton Stahl

kg m3

1,396 1,293 1,21 0,947 0,090 0,54 1000 998 1260 920 600 2500 2100 7700

Schallgeschwindigkeit c 319 331 344 387 1260 450 1400 1480 1950 3200 4500 5300 4000 5050

m s

Schallkennimpedanz Z 0 445 427 416 366 113 243 1,40 ċ 106 1,48 ċ 106 2,46 ċ 106 2,94 ċ 106 2,70 ċ 106 13,0 ċ 106 8,4 ċ 106 39 ċ 106

kg m2 ċ s

K. Schallausbreitung

In Gasen ergibt sich bei isentroper Schallausbreitung die Schallgeschwindigkeit zu: " " cp p p c= κ = ċ ;  cV  κ cp cV  p

(K–)

Isentropenexponent (κ = c p c V ), isobare spezifische Wärmekapazität, isochore spezifische Wärmekapazität, Dichte des Gases, Gasdruck.

Die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen ist:

c=

κR i T =

"

cp ċ Ri T ; cV

(K–)

R i individuelle Gaskonstante (R i = Rm M), R m universelle molare Gaskonstante (R m = 8,314 J(mol ċ K)), M Molmasse des Gases, T absolute Gastemperatur.

K.1.3 Schallwellenlänge Die Schallwellenlänge λ ist der räumliche Abstand zweier benachbarter Stellen mit gleicher Druckphase (z. B. Druckmaximum, Druckminimum). Zwischen der Schallwellenlänge und der Schallfrequenz gilt die allgemeine Wellenbeziehung: c = fλ ;

c L = 331,5 ms

1+

ϑ 273,15  C

(K–)

N (331,5 + 0,6 ϑ C) ms ; ϑ Lufttemperatur. Für die Schallgeschwindigkeit in dünnen, stabförmigen Festkörpern gilt: " c=

E ; 

E Elastizitätsmodul,  Dichte.

(K–)

(K–)

c Schallgeschwindigkeit, f Schallfrequenz, λ Schallwellenlänge. K.1.4 Schallwiderstand (Schallkennimpedanz) Der Schallwiderstand Z ist ein Maß für die Geschwindigkeit, mit der die Moleküle eines Mediums auf eine Druckstörung reagieren; für ebene Wellen gilt:

Eine Näherung für die Schallgeschwindigkeit in Luft im meterologischen Temperaturbereich von −20  C bis +50  C ist: "



Z= Z pˆ ˆ  c

pˆ = c ; ˆ

(K–)

Schallwiderstand, Schalldruckamplitude, Schallschnelleamplitude, Dichte, Schallgeschwindigkeit im Medium.

Schallkennimpedanzen einiger Stoffe sind in Tabelle K- aufgeführt. Sie hängen über die Dichte  und die Schallgeschwindigkeit c vom statischen Druck ps und der Temperatur T des Mediums ab. K.1.5 Schalldruck Der Schalldruck p ist die Druckänderung in einem homogenen kompressiblen Medium durch Kompression oder Dilatation der Moleküle. Auf die Begrenzungsflächenbereiche des Wellenträ-



K Akustik

Tabelle K-. Schallquellengeometrie. ebene Schallquelle

linienförmige Schallquelle

Schallwechseldruckamplitude

pˆ = pˆ 0

Y r0 pˆ = pˆ(r 0 ) r

spezifische Schallleistung

PA in

Schallintensität

I = PA

I=

Schallpegeldifferenz

L1 − L2 = 0

L 1 − L 2 = 10 lg

Schallpegeldifferenz für r 2 = 2r 1

ΔL = 0

ΔL = 3 dB

punktförmige, kugelförmige Schallquelle

Geometrie

W m2

Pl in

gers übt der Schalldruck eine Normalkraft aus. Es gilt: p=

Fn ; S

(K–)

Fn Normalkraft auf die Begrenzungsfläche, S Flächenelement der Begrenzungsfläche. Die Wellengleichung der Schalldruckausbreitung an einem Ort r zum Zeitpunkt t unter der Annahme kleiner Dichtegradienten- und Schnelleänderungen für ein Medium mit der Schallgeschwindigkeit c ist: ∂ 2 p(r, t) ∂2 ∂2 ∂2 2 = c $ + + ' p(r, t) . ∂t 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 (K–) Die eindimensionale Lösung der Wellengleichung bei sinusförmiger Erregung mit der Erregerfrequenz f ist:

pˆ = pˆ(r 0 ) ċ

W m

r0 r

P in W

Pl 2πr

I= r2 r1

P 4πr 2

L 1 − L 2 = 20 lg

r2 r1

ΔL = 6 dB

p(x, t) = ps + pˆ cos2π f (t − xc) ; (K–) p(x, t) ps pˆ f c

Schallwechseldruck, statischer Gasdruck, Schalldruckamplitude, Schallfrequenz des Erregers (z. B. Lautsprecher), Schallgeschwindigkeit.

Lösungen für linienförmige und kugelförmige Schallwellen enthält Tabelle K-. Der Effektivwert peff des Schallwechseldrucks ist der Messwert des Schallwechseldrucks einer Schallaufnehmers, integriert über die Messgeräte-Integrationszeit τ:

peff

P Q1 τ Q R # p2 (r, t) dt . =Q τ 0

(K–)

K. Schallausbreitung

Daraus ergibt sich der Effektivwert des Schalldrucks harmonischer Schallwellen bei sinusförmiger Erregung: pˆ peff = ; 2

(K–)

pˆ Schalldruckamplitude, f Schallfrequenz. Der Effektivwert eff der Schallschnelle und der über die Integrationszeit τ gemittelte Wert der Schallschnelle einer ebenen harmonischen Schallwelle sind:

pˆ Schalldruckamplitude. eff K.1.6 Schallschnelle Die Schallschnelle  ist die Auslenkungsgeschwindigkeit der Moleküle unter der Wirkung der Kompressions- und Dilatationskräfte der Druckstörung ∂ p. Zwischen der Schallschnelle  und dem Schalldruck p gilt das hydrodynamische Grundgesetz:

P Q1 τ ˆ Q R # 2 (r, t) dt = . =Q τ 2 0

Für die Energiedichte w einer harmonischen Schallwelle gilt:

(K–)

 Dichte des Mediums. Die Schallschnelle  ist mit dem Schallwechseldruck p über den Schallwiderstand (Schallkennimpedanz) Z verknüpft: (x, t) =

1 1 p(x, t) = p(x, t) ; Z c

(K–)

 Dichte des Ausbreitungsmediums, c Schallgeschwindigkeit im Ausbreitungsmedium. Die Schallschnelle einer ebenen, eindimensionalen, harmonischen Schallwelle mit sinusförmiger Schallerregung ist: 1 x (x, t) = pˆ cos S2π f t −  ; (K–) c c  Dichte des Schallmediums, c Schallgeschwindigkeit im Medium,

(K–)

K.1.7 Energiedichte

w = dE dV = 1 ∂ p(x, t) ∂(x, t) =− ; ∂t  ∂x



= w yˆ pˆ ˆ f c

1 1 (2π f yˆ)2 = ˆ2 2 2 1 pˆ2 ; 2 c 2

(K–)

Energiedichte der Schallwelle, Elongationsamplitude, Schalldruckamplitude, Schnelleamplitude, Schallfrequenz, Schallgeschwindigkeit.

K.1.8 Schallintensität Die Schallintensität I einer harmonischen Schallwelle beträgt: I= =

1 dE dt = wc A p2 1 ˆ pˆ = eff peff = eff ; 2 Z

I Schallintensität, ˆ Schnelleamplitude, pˆ Schalldruckamplitude,

(K–)



K Akustik

Z Schallwiderstand, w Energiedichte, c Schallgeschwindigkeit.

I(r) = I(r 0 ) e

K.1.9 Schallleistung Die Schallleistung P einer Schallquelle ist, wenn auf ein Flächenelement dA die Schallintensität I einfällt, P = # I dA ;

(K–)

A

P Schallleistung, I Schallintensität, dA Flächenelement senkrecht zum Schalleinfall.

K.1.10 Dämpfungskoeffizient der Schallabsorption Durch innere Reibung und unvollständige isentrope Kompression (Dissipation) sowie über die Anregung innerer Molekülfreiheitsgrade (Relaxation) auf der Strecke zwischen den Orten r 0 und r wird Schallenergie absorbiert, die Schalldruckamplitude gedämpft und ein Schallintensitätsabfall von I(r 0 ) auf I(r) verursacht, für den gilt:

−α(r−r 0 )

;

(K–)

I Schallintensität, r, r 0 Entfernungen von der Quelle, α Dämpfungskoeffizient der Schallabsorption.

K.2 Schallwandler Die Schalldrücke überspannen in der Technik einen Wertebereich von mehr als sechs Zehnerpotenzen. Schallempfänger oder Mikrofone und Schallgeber oder Lautsprecher müssen also in diesem großen Wertebereich den Schallwechseldruck oder die damit verknüpfte Schallschnelle über ein mechanisches Schwingungssystem (Membran) in eine elektrische Spannung bzw. Strom umwandeln. Die gebräuchlichen elektroakustischen Wandlerprinzipien zeigt Tabelle K-. K.2.1 Schallpegel Um handliche Zahlenwerte für den großen Wertebereich der Schalldruckamplituden zu erhalten, werden diese in einem relativen logarithmischen Maßstab angegeben, dem Schallpegel. Entsprechend den verschiedenen physikalischen Größen der Schallwelle ergeben

Tabelle K-. Elektroakustische Wandler. Elektroakustische Wandler

technische Ausführungen

Anwendungsbereich

Kondensatormikrofon (mit äußerer Polarisationsspannung an der Mikrofonkapsel)

Schallpegelmesser Studiomikrofon Ansteckmikrofon Tieftonmikrofon Handmikrofon Umhängemikrofon

Elektretmikrofon (permanente elektrische Polarisation an der Mikrofonmembran) Speziallautsprecher

extrem breitbandige Kopfhörer

K. Schallwandler



Tabelle K-. (Fortsetzung). Elektroakustische Wandler

technische Ausführungen

Anwendungsbereich

Tauchspulenmikrofon

Studiorichtmikrofon Handmikrofon Umhängemikrofon Normalschallquellen Beschallungsanlagen Kopfhörer

Lautsprecher

Bändchenmikrofon

Studiomikrofon für höchste Lautstärkepegel Vokalmikrofon Blechbläsermikrofon

Lautsprecher

Telefonhörer Hörgeräte

Kristallmikrofon Keramikmikrofon Piezopolymer-Mikrofon

Körperschallmikrofon Wasserschallmikrofon Beschleunigungsaufnehmer

Kohlemikrofon

Fernsehapparat



K Akustik

Tabelle K-. Schallpegel. Schallpegel

Definition

Schalldruckpegel

L p = 20 lg

Schallschnellepegel

eff L = 20 lg dB eff,0

Schallintensitätspegel

Schallleistungspegel

L I = 10 lg

Bezugsgröße peff dB peff,0

eff,0 = 5 ċ 10 I 0 = 10−12

P dB P0

sich über die Beziehungen zwischen den Größen unterschiedliche Schallpegel, die jeweils auf eigene Norm-Bezugsgrößen bezogen sind (Tabelle K-). K.2.2 Gesamtschallpegel Der Gesamtschallpegel L ges von n Schallquellen mit den Schallintensitätspegeln L I,i ergibt sich aus der energetischen Addition der Schallintensitäten zu: n

L ges = 10 lg $% 100,1L I, i ' dB .

peff,0 = 2 ċ 10−5 Pa

I dB I0

L W = 10 lg

(K–)

i=1

In der Praxis führt man die Pegeladdition sukzessive für jeweils zwei Pegel mit Hilfe der Schallpegel-Additionstabelle K- aus; zum größeren Pegel L 1 wird der Pegelzuschlag L z addiert, der entsprechend der Pegeldifferenz ΔL = L 1 − L 2 der Tabelle K- entnommen wird.

Beziehungen

−8

peff = Zeff

m s

I=

W m2



Z

P=S

P0 = 10−12 W

fm =

p2eff

fo ċ fu .

p2eff Z

(K–)

Tabelle K- enthält die obere und die untere Grenzfrequenz sowie die Bandmittenfrequenzen des Terzfilter fo  fu = 21 3 und des Oktavfilters fo  fu = 2.

K.3 Schallwelle an Grenzflächen An der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlicher Schallkennimpedanz Z wird die einfallende Schallwelle (pe , Ie ) zum Teil reflektiert (pr , Ir ), zum Teil dringt sie als transmittierte Schallwelle (pt , It ) in das Medium II ein, (Bild K-). Die folgenden Beziehungen basieren auf der Voraussetzung, dass für die Schallenergie an der Grenzfläche der EnergieerhaltungsTabelle K-. Schallpegel-Additionstabelle (ΔL Pegeldifferenz, L z Pegelzuschlag).

K.2.3 Schallfrequenzspektrum, Bandfilter

ΔL dB

Lz dB

ΔL dB

Lz dB

ΔL dB

Lz dB

Zur Bestimmung der Frequenzabhängigkeit des Schallpegels, des Schallfrequenzspektrums, wird das Spannungssignal des elektroakustischen Schallwandlers durch elektrische Filter nur in einem Frequenzintervall zwischen der oberen fo und der unteren Grenzfrequenz fu um die Bandmittenfrequenz fm des Filters verstärkt.

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , W

, , , , , , ,

K. Schallwelle an Grenzflächen



Tabelle K-. Terz und Oktavfilter ( f u , f o untere bzw. obere Frequenzgrenze, ΔA Schallpegelabschwächung bei A-Bewertung). Oktave fu Hz

Terz fo Hz

ΔA dB

fm Hz

11

22

16

−56,7

22

44

31,5

−39,2

44

88

63

−26,2

88

177

125

−16,1

177

355

250

−8,6

355

710

500

−3,2

710

1420

1000

0

1420

2840

2000

+1,2

2840

5680

4000

+1,0

5680

11 360

8000

−1,1

11 360

22 720

16 000

−6,6

satz gültig ist und die Schallenergieumwandlungen in den Medien stattfinden.

fu Hz

fo Hz

fm Hz

14,1 17,8 22,4 28,2 35,5 44,7 56,2 70,7 89,1 112 141 178 224 282 355 447 562 708 891 1122 1413 1778 239 2818 3548 4467 5623 7079 8913 11 220 14 130 17 780

17,8 22,4 28,2 35,5 44,7 56,2 70,7 89,1 112 141 178 224 282 355 447 562 708 891 1122 1413 1778 2239 2818 3548 4467 5623 7079 8913 11 220 14 130 17 780 22 390

16 20 25 31,5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 6300 8000 10 000 12 500 16 000 20 000

S =

Ir . Ie

ΔA dB −56,7 −50,5 −44,7 −39,4 −34,6 −30,2 −26,2 −22,5 −19,1 −16,1 −13,4 −10,9 −8,6 −6,6 −4,8 −3,2 −1,9 −0,8 0 +0,6 +1,0 +1,2 +1,3 +1,2 +1,0 +0,5 −0,1 −1,1 −2,5 −4,3 −6,6 −9,3

(K–)

K.3.1 Schallreflexionsgrad Durch den Bezug der reflektierten Schallintensität Ir auf die einfallende Ie ergibt sich eine dimensionslose Größe, der Schallreflexionsgrad S mit dem Wertebereich zwischen  und 100%:

Für den Schallreflexionsgrad einer Grenzfläche zwischen einem Medium I mit der Schallkennimpedanz Z 1 und einem Medium II mit der Schallkennimpedanz Z 2 gilt bei senkrechtem Einfall:



K Akustik

wird, auf die einfallende Schallintensität Ie ergibt sich der Schallabsorptionsgrad αS :

αS =

Ia . Ie

(K–)

Wird die gesamte transmittierte Strahlungsleistung im Medium II absorbiert, so ergibt sich mit Gl. (K–):

Bild K-. Schall an einer Grenzfläche.

α S = τ S = 1 − S ; S = 

Z2 − Z1 Z2 + Z1

.

(K–)

K.3.2 Schalltransmissionsgrad Durch den Bezug der transmittierten Schallintensität It auf die einfallende Intensität Ie ergibt sich der Schalltransmissionsgrad τS : τS =

(K–)

2

It 4Z 1 Z 2 = ; Ie (Z 1 + Z 2 )2

(K–)

Z 1 , Z 2 Schallkennimpedanzen der Medien I und II. An der Grenzfläche gilt wegen des Energieerhaltungssatzes der folgende Zusammenhang zwischen dem Reflexions- und Transmissionsgrad, wenn die Schallabsorption vernachlässigbar ist: S + τ S = 1 .

(K–)

K.3.3 Schallabsorptionsgrad Durch Bezug der Schallintensität Ia , die im Medium II absorbiert und in Wärme umgewandelt

αS Schallabsorptionsgrad, τS Schalltransmissionsgrad, S Schallreflexionsgrad. Mit Gl. (K–) folgt damit für den Schallabsorptionsgrad durch ein Medium II, das die transmittierte Schallwelle vollständig absorbiert: αS = 1 − 

Z2 − Z1 Z2 + Z1

2

;

(K–)

αS Schallabsorptionsgrad, Z 1 Schallkennimpedanz des Mediums I, Z 2 Schallkennimpedanz des Mediums II.

Der Schallabsorptionsgrad von Schallabsorbern ist abhängig von der Schallfrequenz; in der Praxis absorbieren alle SchallabsorberKonstruktionen nur in einem mehr oder minder breiten Schallfrequenzbereich die Schallenergie, weil sie als Resonanzabsorber nach dem Prinzip der erzwungenen Schwingung eines Masse-Feder-Systems aufgebaut sind, und daher nur im Bereich der Resonanzfrequenz große Schallenergien aufnehmen und absorbieren. Einen Überblick über die Bauprinzipien von Schallabsorbern gibt Tabelle K-.

K. Schallwelle an Grenzflächen



Tabelle K-. Schallabsorber. Plattenschwinger

Helmholtz-Resonator

poröser Schallabsorber

ohne Zusatzdämpfung

ohne Zusatzdämpfung

selbsttragendes Dämpfungsmaterial

mit Zusatzdämpfung

mit Zusatzdämpfung

abgehängtes Dämpfungsmaterial

Richtgröße der ,,Feder“ schwingende ,,Masse“

Befestigung + Luftschicht d

Hohlraumvolumen V

Luftschicht d + Abhängung

Dissipation der Schallenergie

innere Reibung in Platte und Luftschicht, äußere Reibung an Befestigung, viskose Strömungsverluste in Zusatzdämpfungsmaterial

nicht adiabatische Kompression des Hohlraumvolumens, Reibungsverluste im Resonatorhals, viskose Strömungsverluste in Zusatzdämpfungsmaterial

viskose Strömungsverluste durch äußere Reibung an Dämpfungsmaterial, Energieverlust durch innere Reibung bei Faserdeformation

Resonatorcharakteristik

schmalbandiger Resonanzabsorber

besonders schmalbandiger Resonanzabsorber

breitbandiger Absorber

charakteristische Absorberfrequenz

f0 =

Prinzip des Masse-FederSystems

Einsatzbereiche

Flächenmasse m

1 2π

#

κ p0 dm

Tiefenschlucker in Raumakustik, Luftschalldämmung (leichte Vorsatzschale)

Halsvolumen AH leff L

Abdeckung (vernachlässigbar)

f0 =

c 2π

#

AH V leff

selektive Schallabsorption (Maschinenlärm, Raumakustik), Schalldämmung von Fugen (Tür, Fenster)

f0 

c 4d

Schallpegelminderung, Änderung der Nachhallzeit



K Akustik

K.4 Schalldurchgang durch Trennwände Die Schalltransmission durch Trennwände lässt sich berechnen, wenn • das Resonanzverhalten nur durch die Massenträgheit der Trennwand bestimmt ist, • der Einfluss der Elastizität und anderer nichtlinearer oder frequenzabhängiger Effekte sowie • die Schallenergieverluste in der Trennwand vernachlässigbar sind und • die Grenzfläche der Trennwand biegeweich ist. Die Schallschnelle und der Schalldruck der auf der Wandrückseite abgestrahlten Schallwelle sind unter diesen Annahmen genauso groß wie bei der in die Trennwand eindringenden Schallwelle (Bild K-).

Bild K-. Schalldurchgang durch eine dünne Wand.

Schallschutz-Trennwände der räumlich gemittelte Schalltransmissionsgrad aus: 2

τS,mittel = 2 $

Z ' . πm f

(K–)

K.4.1 Schalltransmissionsgrad

K.4.2 Schalldämmmaß einer Trennwand

Die Winkelabhängigkeit des Schalltransmissionsgrades τS (δ) ist:

Der Schallschutz einer Trennwand wird durch das logarithmische Schalldämmmaß R definiert, das durch den Schalltransmissionsgrad τS,mittel nach Gl. (K–) im diffusen Schallfeld bestimmt wird:

τS (δ) =

1 πm f cos δ 1+$ ' Z

2

;

(K–)

f Schallfrequenz, m flächenbezogene Masse der Trennwand (m = s), δ Einfallwinkel der Schallwelle, s Dicke der Trennwand, Z Schallkennimpedanz der Luft (Z = 410 kg(m2 ċ s)). Wenn durch Vielfachreflexion die Schalleinstrahlung gleichmäßig über alle Einfallswinkel verteilt, also diffus ist, gilt (cos2 δ)mittel = 0,5. Für senkrechten Einfall δ = 0 und mit der Näherung (πm f Z) M 1 ergibt sich dann für

R = 10 lg 

1 τS,mittel

dB .

(K–)

Das Massengesetz für das Schalldämmmaß einer biegeweichen Trennwand im diffusen Schallfeld beträgt demnach: R = 20 lg $

π f m ' dB − 3 dB ; Z

f Schallfrequenz, m flächenbezogene Masse, Z Schallkennimpedanz der Luft (Z = 410 kg(m2 ċ s)).

(K–)

K. Schalldurchgang durch Trennwände



K.4.3 Spuranpassungs-Schallwellenlänge Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Biegewellen auf Platten ist frequenzabhängig (anomale Dispersion):

cB = T

4π2 f 2 B U m

1 4

;

(K–)

c B BiegewellenAusbreitungsgeschwindigkeit, f Schallfrequenz, B Biegesteifigkeit (B = Es 3 [12(1 − μ 2 )]), s Dicke der Platte, E Elastizitätsmodul der Platte, μ Querkontraktionszahl der Platte, m flächenbezogene Masse. Biegewellen werden von einer auftreffenden Schallwelle der Wellenlänge λL resonant erregt, wenn die Wellenlängenkomponente der Schallwelle parallel zur Plattenebene λS = λL  sin δ (Bild K-) mit der Wellenlänge λB = c B  f der Biegewelle übereinstimmt (Spuranpassung). Daraus ergibt sich die Spuranpassungs-Schallwellenlänge zu:

λS =

f B m cB

cB 4π2 B = T 2 U f f m

1 4

;

(K–)

Schallfrequenz, Biegesteifigkeit der Trennwand, flächenbezogene Masse der Trennwand, Biegewellen-Ausbreitungsgeschwindigkeit nach Gl. (K–).

K.4.4 Spuranpassungsfrequenz Bei einem Einfallswinkel δ tritt bei der Schallfrequenz fS = c L λL = c L (λS sin δ) Spuranpassung auf; die Spuranpassungsfrequenz fS hat also den Wertebereich:

Bild K-. Biegewellen durch Spuranpassung.

fS = cL B m δ

c L2 2π sin2 δ

"

m ; B

(K–)

Schallgeschwindigkeit, Biegesteifigkeit der Trennwand, flächenbezogene Masse der Trennwand, Einfallswinkel der Schallwelle.

Demnach ist die untere Grenzfrequenz fS,g der Spuranpassung, wenn δ = 90 gilt. Im diffusen Schallfeld setzt bei Schallfrequenzen f fS,g die erhöhte, durch den Spuranpassungseffekt verursachte Schalltransmission ein, und das Schalldämmmaß weicht vom theoretischen Massengesetz (Bild K–) ab:

fS,g =

c L2 2π

"

m ; B

(K–)

c L Schallgeschwindigkeit, B Biegesteifigkeit der Trennwand, m flächenbezogene Masse der Trennwand. Die Grenzfrequenz fg,hom der Spuranpassung homogener Platten ist:



K Akustik

s Dicke der Trennwand, E Elastizitätsmodul des Trennwandmaterials,  Dichte des Trennwandmaterials.

K.5 Physiologische Akustik

Bild K-. Luftschall-Dämmmaß R einer  mm dicken Gipsplattenwand, beidseitig verspachtelt. z—z—z Messkurve nach DIN  ; Massengesetz nach Gl. (K–) mit m = 80 kg m2 , E = 6 ċ 109 N m2 , Z = 2, 6 ċ 106 kg(m2 ċ s); fg Grenzfrequenz nach Gl. (K–).

fg,hom = cL s E  μ

c L2 2πs

"

12(1 − μ 2 ) ; E

(K–)

Schallgeschwindigkeit in Luft, Dicke der Platte, Elastizitätsmodul der Platte, Dichte der Platte, Querkontraktionszahl des Plattenmaterials.

1 s

O

K.5.1 Lautstärke Gleiche Schallpegel unterschiedlicher Schallfrequenz bewirken eine unterschiedliche Schallempfindung. Die Lautstärke L S ist der Maßstab für das Lautheitsempfinden des Gehörorgans; sie wird in phon gemessen. Die Lautstärke L S ist so definiert, dass bei der Schallfrequenz f = 1 kHz der Zahlenwert in Phon gleich dem Zahlenwert des Schalldruckpegels ist: L S (1000 Hz) = 20 lg

Bei Luftschallanregung c L = 340 ms und unter Vernachlässigung von μ gilt für homogene Platten folgende Zahlenwertgleichung für die Spuranpassungs-Grenzfrequenz: fg,hom,Luft = 6,4 ċ 104 (ms)2

Das menschliche Ohr löst erst dann im Bewusstsein eine Schallempfindung aus, wenn die Frequenz der Schallwelle im Bereich f = 16 Hz bis 20 kHz und der Effektivwert des Schalldrucks über ca. peff = 20 μPa liegt, wobei die obere Grenzfrequenz des Hörbereichs mit zunehmenden Alter erheblich sinkt. Bei Schalldrücken oberhalb peff = 20 Pa oder Schallpegeln höher als L = 120 dB empfindet der Mensch nur noch Schmerz (akustische Schmerzgrenze).

 ; E (K–)

peff (1000 Hz)

peff (1000 Hz) phon ; 20 μPa (K–)

effektiver Schalldruck bei 1000 Hz.

Die Lautstärke L S ( f ) bei einer Schallfrequenz f wird durch einen Hörvergleich bestimmt. Der Lautstärkepegel wird subjektiv mit dem Standardschall verglichen, dem Schalldruckpegel L p (1000 Hz) einer akustisch gleich laut empfundenen -Hz-Vergleichsschallquelle. Der

K. Physiologische Akustik



K.5.3 A-bewerteter Schallpegel

Bild K-. Kurven gleicher Lautstärke LS .

Zahlenwert des Schalldruckpegels in dB ist dann der phon-Wert für die Lautstärke L S ( f ). Im Bild K- ist dargestellt, welcher Schalldruckpegel L p ( f ) bei einer Schallfrequenz f die gleiche Schallempfindung auslöst wie der Schalldruckpegel L p (1000 Hz) des ebenen -kHz-Vergleichsschalls. Die Kurven gleicher Lautstärke L S sind in -Phon-Stufen dargestellt. Die Wahrnehmungsauflösung des menschlichen Ohres liegt bei etwa ΔL S = 1 phon, die Hörschwelle bei einem Wert von L S = 4 phon, die Schmerzgrenze bei L S = 120 phon.

Der A-bewertete Schallpegel L A ist eine messtechnische Näherung für die Lautstärkeempfindung des menschlichen Ohres, welche die komplizierte Phon-Messung vermeidet. Die Bewertungskurve A bildet die Frequenzabhängigkeit der Lautstärkeempfindlichkeit des menschlichen Ohres im Bereich unterhalb 90 phon nach; die Lärmempfindung über 100 phon wird mit der C-Kurve genähert. Mit Hilfe der Bewertungskurven der gemessenen Schallpegel L p ist auch eine, der menschlichen Schallempfindung vergleichbare Messung von Schall mit einem Schallfrequenzspektrum möglich. Die bewerteten Schallpegel L A bzw. L C werden berechnet, indem zu den terz- oder oktavweise gemessenen Schallpegeln L i ein frequenzabhängiger Bewertungsfaktor Δi addiert wird. Die Bewertungskurven zeigt Bild K-, die Zahlenwerte der A-Bewertungsfaktoren ΔA sind in Tabelle K- aufgeführt. Der A-bewertete Schallpegel L A eines Schallfrequenzspektrums berechnet sich wie folgt: n

L A = 10 lg T% 10

0,1(L i +Δ A, i )

U dB (A) ;

i=1

(K–)

K.5.2 Lautheit Die Lautheit S ist ein Maßstab für die Schallempfindung des menschlichen Ohres, der proportional zur Stärke der Schallempfindung ansteigt. Die Zahlenwerte der Lautheit werden durch den Zusatz sone gekennzeichnet. S=2

0,1(L S −40 phon)

sone ;

(K–)

L S Lautstärke in phon. Der Lautheit S = 1 sone entspricht also definitionsgemäß die Lautstärke L S = 40 phon.

Bild K-. Bewertungskurven A, B, C nach DIN EN  .



Li ΔA,i

K Akustik

gemessener Schallpegel in Terzen oder Oktaven, A-Bewertungsfaktor.

K.5.4 Äquivalenter Dauerschallpegel Der äquivalente Dauerschallpegel L eq ist das Maß für die Belastung des Gehörs durch die Schallenergie von Geräuschimmissionen in einem Bezugszeitraum tB , beispielsweise tB = 8 h für die Gehörbelastung an einem Arbeitstag,

L eq = 10 lg T

1 n 0,1L ,i % Vt i ċ 10 A WU dB (A) ; tB i=1 (K–)

ti Zeitintervall i des Bezugszeitraums, L A,i A-bewerteter Schallpegel im Zeitintervall t i , tB Bezugszeitraum (tB = t 1 + t 2 + . . . + t n ).

K.6 Raumakustik Die akustische Behaglichkeit in einem Raum wird zum einen vom Schallleistungspegel L diffus des diffusen Schallfeldes und zum anderen von der Hörsamkeit im Raum bestimmt. Die Hörsamkeit hängt vom Verhältnis der Schallintensitäten und der Laufzeiten des geradlinig einfallenden Schalls (Direktschall) zu denjenigen des gestreuten Schalls (indirektem Schall) sowie von der Zeitspanne ab, in der die Schallenergie nach einem Schallpegelsprung abnimmt (Nachhall). K.6.1 Äquivalente Absorptionsfläche Die äquivalente Absorptionsfläche ist charakteristisch für die Schallabsorptionseigenschaften eines Raumes. Sie beeinflusst sowohl den Schallleistungspegel in einem Raum, als auch den Nachhallverlauf und ergibt sich aus

A = % S i α¯ i .

(K–)

Der mittlere Schallabsorptionsgrad α¯ i ist definiert als: π 2

α¯ i = 2 # α i (δ) cos δ sin δ dδ ;

(K–)

0

A Si α¯ i

äquivalente Absorptionsfläche, Oberfläche i im Raum, mittlerer Schallabsorptionsgrad der Oberfläche i, α i (δ) Schallabsorptionsgrad unter dem Einfallswinkel δ, δ Schalleinfallswinkel. Die gesamte absorbierte Schallleistung Pges hängt von der Schallintensität Idiffus des diffusen Schallfeldes im Raum ab: Pges =

1 Idiffus A ; 4

(K–)

Idiffus Schallintensität des diffusen Schallfeldes, A äquivalente Absorptionsfläche. K.6.2 Schallleistungspegel des diffusen Schallfeldes Der Schallleistungspegel des diffusen Schallfeldes L diffus wird durch den Schallleistungspegel der Schallquelle und die äquivalente Absorptionsfläche bestimmt. L diffus = L W − 10 lg

A dB ; 4S 0

(K–)

L W Schallleistungspegel, A äquivalente Schallabsorptionsfläche, S 0 Norm-Bezugsfläche der Luftschallabsorption (S 0 = 1 m2 ).

K. Technische Akustik und Bauakustik

K.6.3 Nachhallzeit Wird eine Schallquelle in einem Raum mit dem Raumvolumen V und der äquivalenten Absorptionsfläche A ausgeschaltet, dann nimmt die Schallenergie E(t) vom Ausgangswert E(0) exponentiell ab: cA

E(t) = E(0) e− 4V t ;

(K–)

A äquivalente Schallabsorptionsfläche, c Schallgeschwindigkeit, V Raumvolumen. Die Nachhallzeit T ist eine für den Abfall der Schallenergie charakteristische Zeitkonstante und durch die Zeitspanne definiert, in der der Schallpegel L diffus des diffusen Schallfeldes um ΔL = 60 dB abnimmt: T=

24 ln 10 V s V = 0,163 ; c A mA

(K–)

A äquivalente Schallabsorptionsfläche, c Schallgeschwindigkeit, V Raumvolumen. Die Zahlenwertgleichung ergibt sich, wenn für Luftschall die mittlere Schallgeschwindigkeit zu c = 340 ms angesetzt wird. K.6.4 Hallradius Das Schallfeld punkt- oder kugelförmiger Schallquellen wird in Räumen durch die Vielfach-Schallreflexionen an den Wänden in ein diffuses Schallfeld umgewandelt. Nur im Nahfeld der Schallquelle überwiegt der Direktschall und damit der Schallintensitätsverlauf wie in einem freien Schallfeld, bei dem die Verdopplung des Abstands zur Schallquelle bei einer Kugel-Schallquelle eine Schallintensitätsabnahme von ΔL 1 = 6 dB und bei einer Zylinder-Schallquelle von ΔL 1 = 3 dB bewirkt. Der Hallradius R H ist der Abstand von einer Schallquelle im Raum, innerhalb dessen die



Tabelle K-. Hallradiusfaktor k H von Rechteckräumen. Aufstellungsort Schallquelle

KugelSchallquelle

im Raumzentrum Wand-/Deckenmitte Wand-/Deckenkante dreidim. Raumecke

 

2  2 2

ZylinderSchallquelle  2  2 2 –

Schallintensität wie bei der Ausbreitung im freien Schallfeld abnimmt und durch Vergrößerung des Abstands zur Lärmquelle eine Lärmminderung möglich ist. Der Hallradius R H ist:

1 RH = kH 4

"

A ; π

(K–)

A äquivalente Absorptionsoberfläche, kH Hallradiusfaktor. Der Hallradiusfaktor kH berücksichtigt den Einfluss der Symmetrie der Schallquelle, der Raumgeometrie und des Aufstellorts des Schallsenders im Raum. Für Rechteckräume sind kH -Werte in Tabelle K- zusammengestellt.

K.7 Technische Akustik und Bauakustik Zur akustischen Behaglichkeit von Räumen gehört es, dass die Räume gegen den Schall aus Nachbarräumen geschützt sind. Dabei wird zwischen der Anregung der Trennflächen über Luftschall (Luftschalldämmung) und derjenigen über direkte Bauteilanregung (Trittschalldämmung) unterschieden. K.7.1 Luftschall-Dämmmaß Das Luftschall-Dämmmaß R wird über den mittleren Luftschall-Transmissionsgrad τS , das



K Akustik

ist das Verhältnis zwischen der Schallleistung P2 im Empfangsraum und der Schallleistung P1 im Senderaum, definiert: R = 10 lg

1 P1 dB = 10 lg dB . τS P2

(K–)

Die Schallleistung P2 und auch der Schallpegel L 2 im Empfangsraum hängen von der Trennfläche zwischen Sende- und Empfangsraum, von der äquivalenten Absorptionsfläche des Empfangsraums sowie vom Schallpegel im Senderaum ab (Bild K-). Es gilt: R = L 1 − L 2 + 10 lg A S L1 L2

S dB ; A

(K–)

äquivalente Absorptionsfläche, Trennfläche zwischen Sende- und Empfangsraum, Schallpegel im Senderaum, Schallpegel im Empfangsraum.

Mit Gl. (K–) kann in der Baupraxis das Schalldämmmaß einer Trennwand oder -decke gemessen werden. K.7.2 Norm-Trittschallpegel Begehen, Hüpfen, Stühlerücken u. ä. regen den Fußboden direkt zu Schwingungen an. Dieser

Bild K-. Luftschallanregung und -abstrahlung einer Trennwand. S schallabstrahlende Oberfläche im Empfangsraum mit der äquivalenten Schallabsorptionsfläche A.

Trittschall wird über die Decke und mit der Decke verbundene Bauteile in andere, insbesondere in darunterliegende Räume geleitet. Die Trittschallübertragung wird nach DIN 52 210 gemessen, indem ein Norm-Hammerwerk mit einer Schlagfrequenz von  Schlägen je Sekunde auf dem Fußboden aufgestellt wird und im Empfangsraum der Trittschallpegel L gem terzweise registriert wird. Ein Korrekturglied berücksichtigt die aus einer Nachhallzeitmessung ermittelte Schallabsorption im Empfangsraum. Bauakustischen Anforderungen nach DIN 4109 unterliegt der so bestimmte Norm-Trittschallpegel L n der Decke: L n = L gem + 10 lg

AE dB . S0

(K–)

L gem gemessener Trittschallpegel im Empfangsraum, AE äquivalente Absorptionsfläche des Empfangsraums, Norm-Bezugsfläche der S0 Trittschallabsorption (S 0 = 10 m2 ). K.7.3 KörperschallIsolierungswirkungsgrad Körperschall ist die Ausbreitung von Schall im Inneren oder auf der Oberfläche von Festkörpern mit Schallfrequenzen im Hörbereich f 15 Hz. Maßnahmen zur Körperschalldämmung führt Tabelle K- auf. Die elastische Lagerung eines Schallgebers, also die Erzeugung eines schwingungsfähigen Masse-Feder-Systems aus der Körperschallgebermasse m und der Federkonstante k der Körperschall-Isolierschicht nach Bild K-, vermindert die Amplitude der Körperschallwelle, wenn die Resonanzoder Abstimm Kreisfrequenz ω 0 = km weit unterhalb der erregenden Körperschall-Kreisfrequenz Ω liegt. Der Körperschall-Isolierwirkungsgrad η ist ein Maß für die Verminderung der Kraftamplitude FˆL , die, in die Bodenplatte eingeleitet,

K. Technische Akustik und Bauakustik



Tabelle K-. Körperschalldämmung. Effekt

Maßnahme

Körperschallreflexion

Grenzflächen mit hohen Schallkennimpedanzunterschieden: – Luftschichten in mehrschaligen Trennbauteilen – schwere Sperrmassen, Bleischicht – Federelemente – Gummiplatten

geometrische Körperschalldämmung

Verminderung der Körperschalldichte: – Vergrößerung der Laufstrecke zwischen Körperschallquelle und Empfangsraum – Verkleinerung der körperschallabstrahlenden Fläche

Körperschall-Dissipation

Vernichtung der Körperschallenergie durch innere Reibung und Stoßstellen-Dämmung: – Entdröhnmaterialien wie Sand oder Hochpolymere – Nagelverbindungen, viskoelastische Unterlagen

Abstrahlgrad-Reduktion

Verminderung der Luftschallabstrahlung körperschallangeregter Flächen durch Flächenverminderung und Schallinterferenz-Auslöschung – kleinflächige Unterteilung, Lochung, Aussteifung – gegenphasige Anregung benachbarter Abstrahlflächen

den Körperschall verursacht, bezogen auf die Amplitude FˆE der erregenden Kraft des Schallgebers. Für das in Bild K- gezeigte Einmassensystem mit dem viskoelastischen Dämpfungsgrad ϑ ist der Isolierwirkungsgrad O 1 + 4ϑ 2  ωΩ0 

η =1− " 1

−  ωΩ0

2 2

!

2

+ 4ϑ 2

.  ωΩ0



2

(K–)

Bild K-. Körper schalldämmende elastische Maschinenlagerung.

Bild K- zeigt die Resonanzkurven eines Einmassensystems für verschiedene Dämpfungsgrade. Eingezeichnet ist der dämpfungsfreie Isolierwirkungsgrad 2

η(ϑ = 0) =

 ωΩ0  − 2 2

 ωΩ0  − 1

;

(K–) Bild K-. Viskoelastisches Einmassensystem.



K Akustik

Resonanzfrequenz der Lagerung auf weniger als ein Viertel der Erregerfrequenz abgestimmt wird. Eine doppelelastische Maschinenaufstellung hat im Vergleich hierzu einen erheblich größeren Isolierungswirkungsgrad; sie ist technisch jedoch wesentlich aufwändiger. K.7.4 Strömungsgeräusche

Bild K-. Resonanzkurve eines Einmassensystems mit Verlauf des Isolierwirkungsgrades η (für ϑ = 0).

Ω Körperschall-Erregerkreisfrequenz, ω 0 Resonanz-Kreisfrequenz des Masse-Feder-Systems. Demnach werden bei der einfachelastischen Lagerung von Körperschallerregern Isolierwirkungsgrade über 90% nur erreicht, wenn die

Bild K-. Wechseldruckerzeugende Wirbel um den turbulenten Freistrahl einer Düse.

Strömungsgeräusche entstehen, wenn in Maschinen und Geräten Strömungsenergie in Schallenergie im Hörfrequenzbereich umgewandelt wird (Tabelle K-). Eine ausgeprägte Richtcharakteristik in Ausströmrichtung hat das Freistrahlgeräusch; es entsteht durch Wirbelablösung in der Mischzone zwischen dem hochbeschleunigten Freistrahl und dem ruhenden Gas, in das der Freistrahl einströmt (Bild K-). Wird die Strömungsgeschwindigkeit an umströmten Profilen oder Strömungskanten sehr hoch, sodass der statische Druck in der strömenden Flüssigkeit niedriger als der Sättigungsdampfdruck der Flüssigkeit wird, dann tritt in der Strömung Kavitation auf (Bild K-). An Keimen entstehen Dampfblasen, die wieder schlagartig kondensieren, wenn der Druck nach der Strömungskante wieder ansteigt. Dabei entsteht das prasselnde, breitbandige Kavitationsgeräusch.

Tabelle K-. Strömungsgeräuscharten. Strömungsgeräusch

Frequenzspektrum

Ursache

Strömungsrauschen

breitbandig

Freistrahlgeräusch

Hiebtöne

sehr breitbandig in Ausströmrichtung Richtcharakteristik schmalbandig

Kavitationsgeräusch

breitbandig

Druckschwankungen im abströmseitigen Wirbelfeld eines umströmten Körpers (Zylinder, Ventil usw.) oder im Turbulenzbereich einer Rohrströmung Wirbelbildung in der Reibungszone zwischen hochbeschleunigtem Freistrahl von Düsenöffungen und dem ruhenden Gas, in das der Freistrahl ausströmt (Bild K-) asymmetrische Wirbelablösung umströmter Körper, aufgeprägte Periodizität von Ventilatoren oder Propellern Druckschwankungen durch die Implosion von KavitationsDampfblasen, entstanden an Strömungsengpässen, wo der dynamische Strömungsdruck niedriger als der Sättigungsdampfdruck der Flüssigkeit ist (Bild K-)

K. Ultraschall



K.8 Ultraschall

Bild K-. Entstehung und Implosion von Kavitationsblasen,  Strömungsgeschwindigkeit.

Ultraschall ist Schall mit Schallfrequenzen oberhalb des Hörbereichs von etwa 20 kHz bis 10 GHz. Die Erzeugungsmethoden führt Tabelle K- auf, die Eigenschaften und Anwendungen die Tabelle K-. Zum Nachweis von Ultraschall werden piezoelektrische Mikrofone verwendet. Ultraschall lässt sich auch visuell mit phosphoreszierenden Leuchtschirmen nachweisen; die Ultraschallanregung bewirkt bei den mit Lichtenergie aufgeladenen Phosphoren eine beschleunigte Lichtaussendung, sodass die Stellen mit Ultraschalleinwirkung auf den Phosphor-Leuchtschirmen schneller dunkel erscheinen.

Tabelle K-. Ultraschallerzeugung. Ultraschallerzeugung

Frequenzbereich

physikalischer Effekt

mechanisch

bis 200 kHz

magneto-restriktiv

bis 50 kHz

elektro-restriktiv

bis 10 MHz

MikrowellenResonatorankopplung

bis 10 GHz

elastische Schwingungen, resonante Turbulenzwirbelabstrahlung an bewegten Löchern (Sirene), stehende Welle in Pfeifen resonante Längenänderung eines ferromagnetischen Stabs (Ni, Fe o. a.) im magnetischen Wechselfeld einer Hochfrequenzspule resonante Dickenschwingungen einer Quarzkristall- oder Bariumtitanat-Platte bei angelegter hochfrequenter Wechselspannung (inverser piezoelektrischer Effekt) resonante Ankopplung eines heliumgekühlten Quarzstabs an Mikrowellen-Koaxialresonatoren

Tabelle K-. Ultraschalleigenschaften und -anwendungen. Eigenschaften

Anwendungen

kurze UltraschallWellenlänge in Luft (λ < 1,5 cm); geradlinige, geometrische Schallausbreitung mit vernachlässigbarer Beugung

Bündelung von Ultraschall-Richtstrahlen zur Ortung von Hindernissen (Ultraschall-Echolot-Verfahren); Reflexionen an Grenzschichten mit Änderung der Schallkennimpedanz, wie bei Luftschichten in Festkörper-Rissen, Lunkern in Gussteilen oder Blechaufdopplungen (Ultraschall-Werkstoffprüfung) und wie beim Übergang Muskelgewebe zu Gewebeflüssigkeit (Ultraschall-Diagnostik); Ultraschall-Kommunikation unter Wasser (SONAR-Prinzip) Kavitation an Festkörper-Grenzflächen bewirken Materialabtrag (Ultraschall-Reinigung, Ultraschall-Bohren, Ultraschall-Schneiden); resonante Anregung von Zellen (Ultraschall-Massage), von Gasblasen (Entgasung von Schmelzen) und von Tröpfchen (Emulgieren von Öl in Wasser)

hohe Ultraschall-Intensität wegen I  ω 2 bei hohen Ultraschall-Kreisfrequenzen (ω  100 kHz)

L Optik

Tabelle L-. Frequenzen f und Wellenlängen λ elektromagnetischer Wellen.

In der Optik werden Phänomene untersucht, die mit der Ausbreitung des Lichts in Zusammenhang stehen. Licht ist eine transversale elektromagnetische Welle. Im gesamten Spektrum der elektromagnetischen Wellen ist das sichtbare Licht ein schmaler Bereich im Wellenlängenintervall von λ = 380 nm bis 780 nm, in dem das menschliche Auge empfindlich ist (Tabelle L).

L.1 Geometrische Optik Sind die Dimensionen der Gegenstände groß gegen die Wellenlänge des Lichts, dann ist die Lichtausbreitung mit Hilfe von Lichtstrahlen beschreibbar. In der geometrischen Optik wurden Methoden entwickelt, mit denen der Lichtweg in optischen Systemen berechnet werden kann.

Übersicht L-. DIN-Normen zur geometrischen Optik einschließlich optischer Instrumente. DIN 

Geometrische Optik – Bezeichnungen und Definitionen DIN  Durchgang optischer Strahlung durch Medien DIN  Aufnahmeobjektive DIN 18 718 Geodätische Instrumente DIN 58 140 Faseroptik DIN 58 170 Maß- und Toleranzangaben für optische Systeme DIN 58 172 Prüfung von optischen Systemen DIN 58 186 Qualitätsbewertung optischer Systeme – Bestimmung des Falschlichts DIN 58 187 Qualitätsbewertung optischer Systeme – Bestimmung der radialen Verzeichnung DIN 58 189 Grundnormen der Optik DIN 58 208 Augenoptik – Begriffe und Zeichen bei Brillengläsern in Verbindung mit dem menschlichen Auge DIN 58 926 Presslinge für Optikeinzelteile DIN EN 60 793 Lichtwellenleiter



L Optik

Übersicht L-. (Fortsetzung). DIN EN 60 794 Lichtwellenleiterkabel DIN EN ISO  Optik und optische Instrumente – Bezugswellenlängen DIN ISO  Optik und optische Instrumente – Mikroskope – Anschlussmaße DIN ISO 10 110 Optik und optische Instrumente – Erstellung von Zeichnungen DIN ISO 14 133 Optik und optische Instrumente – Anforderungen an Fernrohre DIN ISO 14 135 Optik und optische Instrumente – Anforderungen an Zielfernrohre DIN ISO 14 490 Optik und optische Instrumente – Prüfverfahren für Fernrohre DIN ISO 15 795 Optik und Photonik – Beurteilung der Qualität optischer Systeme

L.1.1 Lichtstrahlen und Abbildung Eine Lichtquelle sendet Strahlen aus, die sich in einem homogenen Medium geradlinig ausbreiten und senkrecht zu den Wellenflächen der elektromagnetischen Welle stehen. Lichtstrahlen, die sich durchkreuzen, beeinflussen sich gegenseitig nicht. Wird ein von einem Gegenstandspunkt O ausgesandtes homozentrisches Strahlenbündel durch ein optisches System so verändert, dass sich alle Strahlen wieder in einem Bildpunkt O schneiden, entsteht also wieder ein homozentrisches Bündel, dann liegt eine Abbildung vor (Bild L-).

Bild L-. Optische Abbildung.

Abbildung Nach Bild L-b scheint für einen Beobachter jeder Lichtstrahl, der von O aus in den Spiegel fällt, von dem Bildpunkt O  herzukommen. Gegenstandspunkt O und Bildpunkt O liegen völlig symmetrisch zum Spiegel auf einer Normalen zur Spiegelfläche. Der ebene Spiegel erzeugt virtuelle Bilder; Gegenstand und Bild liegen symmetrisch zum Spiegel.

L.1.2 Reflexion des Lichts L.1.2.1 Reflexion an ebenen Flächen Bei der Reflexion eines Lichtstrahls an einer spiegelnden Fläche (Bild L-) gilt das Reflexionsgesetz: Einfallender Strahl, reflektierter Strahl und Einfallslot liegen in einer Ebene; der Einfallswinkel ε und der Reflexionswinkel εr sind gleich. Bild L-. Reflexion an ebener Fläche.

L. Geometrische Optik

Übersicht L-. Brennpunkt des Hohlspiegels.



Übersicht L-. Abbildung durch einen Hohlspiegel.

Brennweite f = r 2 C F S r

Mittelpunkt der Kugel, Brennpunkt, Scheitel, Kugelradius.

L.1.2.2 Reflexion an gekrümmten Flächen Hohlspiegel Der Hohl- oder Konkavspiegel ist eine innen verspiegelte Kugelkalotte. Parallel zur optischen Achse CS einfallende Strahlen, die nahe bei der optischen Achse verlaufen (paraxiale Strahlen), treffen sich im Brennpunkt (Übersicht L-). Bei einem Parabolspiegel gehen alle achsenparallele Strahlen durch den Brennpunkt, unabhängig vom Abstand, den sie von der Symmetrieachse haben. Abbildung beim Hohlspiegel Übersicht L- zeigt die Abbildung eines Gegenstandes OP durch einen Hohlspiegel. Die Lage des Bildpunktes P wird durch den Schnittpunkt zweier ausgezeichneter Strahlen festgelegt.

Abbildungsgleichung für paraxiale Strahlen

1 1 1 = + a a f

Abbildungsmaßstab

β =

a a f

a y =− y a

Gegenstandsweite, Bildweite, Brennweite.

Tabelle L- zeigt eine Zusammenstellung der Abbildungsverhältnisse beim Hohlspiegel für verschiedene Gegenstandsweiten a. Wölbspiegel Beim sphärischen Wölb- oder Konvexspiegel ist die Außenseite einer Kugelkalotte verspiegelt. Die Gleichungen in Übersicht L- gelten unverändert auch für den Wölbspiegel, lediglich die Brennweite ist negativ: f = −r2

(L–)

Tabelle L-. Abbildungsverhältnisse beim Hohlspiegel. Gegenstandsweite a  2f a = 2f 2f  a  f a= f a< f

Bildweite 

f < a < 2f a = 2 f a  2 f a = 0 a < 0

Abbildungsmaßstab

Bildart

−β  

umgekehrt, reell umgekehrt, reell umgekehrt, reell kein Bild im Endlichen aufrecht, virtuell

<1 −β = 1 −β   1 β = 0 β  1



L Optik

L.1.3 Brechung des Lichts L.1.3.1 Brechungsgesetz Fällt ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen Stoffen, so wird ein Teil des Strahls reflektiert, der andere Teil durchquert die Grenzfläche mit geänderter Richtung – er wird gebrochen (Übersicht L-, Tabelle L-).

Bild L-. Bildkonstruktion beim Wölbspiegel.

Bild L- zeigt die Bildkonstruktion beim Wölbspiegel. Das Bild ist immer virtuell, aufrecht und verkleinert.

Übersicht L-. Lichtbrechung.

Totalreflexion Ein Strahl, der in einem optisch dichten Medium läuft, wird an der Grenzfläche zu einem optisch dünnen Medium total reflektiert, falls der Einfallswinkel größer ist als der Grenzwinkel der Totalreflexion (Übersicht L-). L.1.3.2 Lichtwellenleiter Ein Lichtwellenleiter besteht aus einem Kern, der von einem Mantel mit kleinerem Brechungsindex umgeben ist (Übersicht L-). Die Führung des Lichts in einem Lichtwellenleiter beruht auf der Totalreflexion. Übersicht L-. Totalreflexion.

Snellius’sches Brechungsgesetz

n sin ε = n sin ε

Brechungsindex

n = cLuft c  c 0 c

Abbe-Zahlen als Maß für die Dispersion

ne − 1 n F − n C  nd − 1 νd = nF − nC

Gruppenindex

ngr = c 0 cgr = n − λ

c cLuft c0 cgr λ

νe =

dn dλ

Lichtgeschwindigkeit im Material, Lichtgeschwindigkeit in Luft, Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, Gruppengeschwindigkeit im Material, Wellenlänge

Wellenlängen einiger Frauenhoferlinien: λF = 486,1 nm, λF = 480,0 nm, λe = 546,1 nm, λd = 587,6 nm, λD = 589,3 nm, λC = 643,8 nm, λC = 656,3 nm

Grenzwinkel der Totalreflexion

sin εg = n n

Grenzwinkel gegen Luft

sin εg = 1 n

n n

Brechzahl des optisch dünneren Mediums, Brechzahl des optisch dichteren Mediums.

L. Geometrische Optik

Übersicht L-. Lichtwellenleiter. a) Stufenindexfaser

b) Gradientenfaser

Numerische Apertur

AN = sin θ max =

Bedingung für das Auftreten nur einer Mode

2,405 a y λ 2πAN

a n1 n2

Kernradius, Brechzahl des Kerns, Brechzahl des Mantels,

λ θ max

2

n 21 − n 22

Wellenlänge, Akzeptanzwinkel.

Tabelle L-. Brechzahlen n und Abbezahlen v einiger Stoffe. Die Werte beziehen sich auf feuchte Normalluft von 20  C und 1013 hPa. Stoff

ne

nd

nD

νe

νd

1,43496 1,4601

1,433872 1,4585

1,51872 1,54740

1,51680 1,54437

1,62408 1,79180

1,62004 1,78470

1,433830 1,4584 1,491 1,51673 1,544258 1,588 1,61989 1,78444 2,4173

94,7 68,4  64,2 42,5  36,1 25,9

95,4 67,7  64,0 43,2  36,4 26,1

1,334467 1,3635 1,50545 1,63560

1,333041 1,3618 1,50155 1,62804

1,332988 1,3617 1,50140 1,62774

55,8 56,8 30,1 18,3

55,6 55,8 30,1 18,4

Festkörper Flussspat CaF2 Quarzglas SiO2 Plexiglas M  Borkronglas BK Steinsalz NaCl Polystyrol Flintglas F Schwerflintglas SF 5,6 Diamant C Flüssigkeiten Wasser H2 O Ethylalkohol C2 H5 OH Benzol C6 H6 Schwefelkohlenstoff CS2





L Optik

L.1.3.3 Brechung an Prismen Ein Prisma ist ein meist dreikantiger Glaskörper (Übersicht L-). Die zur brechenden Kante K senkrecht verlaufende Zeichenebene ist der Hauptschnitt. Prismen sind optische Bauelemente mit vielfältigen Anwendungen. Tabelle L- zeigt einige Prismenformen. Bei den Umlenkprismen bleibt der Ablenkungswinkel beim Pentagonalprisma und beim Bauernfeind’schen Prisma konstant. Die Umlenkprismen die-

Übersicht L-. Strahlenverlauf im Hauptschnitt eines Prismas.

nen zur Bildumkehr in optischen Systemen. Beim einfachen rechtwinkligen Prisma und beim geradsichtigen Wendeprisma tritt lediglich eine Seitenumkehr ein (z. B. links mit rechts vertauscht). Für eine vollständige Bildumkehr muss auch noch oben und unten vertauscht werden. Beim Porro’schen Prismensatz wird dies durch ein zweites Prisma erreicht, dessen Hauptschnitt um 90 gegenüber dem ersten gedreht ist. Diese Art der Bildumkehr wird bei Prismenfeldstechern eingesetzt. Eine vollständige Bildumkehr wird auch beim Dachkantprisma erreicht, dessen Hypothenusenfläche Dachform besitzt. Vollständige Bildumkehr ohne Strahlversatz bieten die Prismensysteme nach Schmidt-Pechan sowie Uppendahl. Beide benutzen je ein Dachkantprisma.

L.1.3.4 Brechung an Kugelflächen Vorzeichenkonvention Zwei Medien mit den Brechzahlen n und n  sind nach Übersicht L- durch eine Kugelfläche voneinander getrennt. Im Folgenden werden für alle Strecken und Winkel Vorzeichen verwendet, wie sie in der technischen Optik gebräuchlich und durch DIN  festgelegt Ablenkungswinkel

# B C n 2 δ = ε1 − α + arc sin C sin α    − sin2 ε1 C n C D E F − cos α sin ε1 F F F G

Übersicht L-. Lichtbrechung an einer Kugelfläche.

minimaler Ablenkwinkel bei symmetrischem Durchgang n α δ min = 2 arc sin   sin  − α n 2 Näherung für kleine brechende Winkel n δ min  α   − 1 n n n α ε1

Brechzahl des Prismas, Brechzahl des umgebenden Mediums (meist Luft, n = 1), brechender Winkel, Einfallswinkel.

Schnittweitengleichung (Abbe’sche Invariante) n n

1 1 1 1 n  −  = n  −   r s r s

Brechzahl im Gegenstandsraum, Brechzahl im Bildraum.

L. Geometrische Optik



Tabelle L-. Prismen und Prismensysteme. Umlenkprismen

Umkehrprismen

rechtwinkliges Umlenkprisma

rechtwinkliges Umkehrprisma

Dachkantprisma

Pentagonalprisma für konstante Ablenkung

geradsichtiges Wendeprisma (Amici)

Schmidt-Pechan-Prisma

Bauernfeind’sches Prisma für konstante Ablenkung

Porro-Prismen

Uppendahl-Prisma

sind. Die Achse durch den Kugelmittelpunkt C ist die optische Achse und zugleich die zAchse des Koordinatensystems. Die positive z-Richtung wird durch die Laufrichtung des Lichts bestimmt und geht im Allgemeinen von links nach rechts. Die y-Achse steht senkrecht auf der z-Achse und weist von unten nach oben. Der Durchstoßpunkt der optischen

Achse durch die Kugelfläche ist der Scheitel S. Der Radius der Kugel ist positiv, wenn der Mittelpunkt C rechts vom Scheitel liegt und negativ, falls C links von S liegt. Sämtliche Strecken, die vom Bezugspunkt S aus nach links gemessen werden, erhalten ein negatives Vorzeichen. Strecken, die nach rechts gemessen werden sind positiv.



L Optik

L.1.4 Abbildung durch Linsen In den meisten optischen Geräten werden Linsen mit kugelförmigen Flächen verwendet. L.1.4.1 Dünne Linsen Tabelle L- zeigt verschiedene Linsenformen. Konvexlinsen (Sammellinsen) sind in der Mitte dicker als am Rand, bei Konkavlinsen (Zerstreuungslinsen) ist es umgekehrt. Alle achsennahen Strahlen eines parallel zur optischen Achse einfallenden Bündels treffen sich im bildseitigen Brennpunkt F . Die relevanten Gleichungen für dünne Linsen, die beiderseits von Luft umgeben sind, sind in Übersicht L- zusammengestellt. Bildkonstruktion Bild L- erläutert die zeichnerische Konstruktion einer Abbildung mit einer dünnen Linse anhand von drei ausgezeichneten Strahlen:

Bild L-. Bildkonstruktion bei dünnen Linsen.

Der achsenparallele Strahl  geht hinter der Linse durch den bildseitigen Brennpunkt F . Der Übersicht L-. Linsen- und Abbildungsgleichun- Mittelpunktstrahl  wird nicht gebrochen. Der Strahl  durch den gegenstandseitigen Brenngen für dünne Linsen. punkt F verlässt die Linse achsenparallel. Der 1 1 1 bildseitige = D  = (nL − 1)  −  Schnittpunkt der drei Strahlen definiert den Brennweite f r1 r2 Bildpunkt. Bei einer Zerstreungslinse ist das gegenstandseitige f = −f Bild immer aufrecht, verkleinert und virtuell. Brennweite Abbildungsgleichung Abbildungsmaßstab Newton’sche Abbildungsgleichung D nL r1 r2 a a y y z z

1 1 1 − =  a a f y a = β = y a z z = − f  2

Brechkraft, [D  ] = 1 m−1 = 1 dpt (Dioptrie), Brechzahl der Linse, Krümmungsradius der linken Fläche, Krümmungsradius der rechten Fläche, Gegenstandsweite, Bildweite, Gegenstandsgröße, Bildgröße, Abstand Gegenstand – gegenseitiger Brennpunkt, Abstand Bild – bildseitiger Brennpunkt (Bild L-).

L.1.4.2 Dicke Linsen Der Strahlengang ausgewählter Strahlen durch eine dicke Linse ist in Bild L- dargestellt. Die ausgezogenen Strahlen innerhalb der Linse können durch die gestrichelten ersetzt werden. So wird beispielsweise der von links kommende Strahl bis zum Schnittpunkt Q mit der Hauptebene H durchgezogen und geht von dort durch den Brennpunkt F . Die charakteristischen Größen sind in Übersicht L- zusammengestellt. Bild L- zeigt die Konstruktion der Abbildung eines Gegenstandes durch eine Sammellinse. Werden die Gegenstandsweite a und die Bildweite a  als Abstand vor der jeweils zugeordneten Hauptebene definiert, dann behalten

L. Geometrische Optik



Tabelle L-. Linsenformen. Linsenform

Bezeichnung

bikonvex

plankonvex

konkavkonvex

bikonkav

plankonkav

konvexkonkav

Radien

r1  0 r2 < 0

r1 = 0 r2 < 0

r1 < r2 < 0

r1 < 0 r2  0

r1 = 0 r2  0

r2 < r1 < 0

Brennweite

f  0

f  0

f  0

f < 0

f < 0

f < 0

Sammellinsen

Zerstreuungslinsen

die Abbildungsgleichung und die Gleichung für den Abbildungsmaßstab aus Übersicht L- ihre Gültigkeit. Übersicht L-. Linsengleichungen für dicke Linsen.

L.1.4.3 Linsensysteme

Brennweite und Brechkraft

1 1 1 Systeme aus mehreren Linsen können wie ei= D  = (nL − 1)  −  f r 1 r 2 ne dicke Einzellinse beschrieben werden, wenn die Lage der Hauptebenen sowie die Brenn(nL − 1)2 d + weite des Systems bekannt ist (Bild L-, ÜbernL r1 r2

Abstände der Brennpunkte von den Scheiteln

sF  = f  1 −

nL − 1 d ! nL r 1

nL − 1 d ! nL r 2 nL − 1 d = −f nL r 1  nL − 1 d = −f nL r 2

sF = − f  1 + Abstände der Hauptebenen von den Scheiteln

 sH 

sH D d nL r1 r2

Brechkraft, Linsendicke, Brechzahl der Linse, Krümmungsradius der linken Fläche, Krümmungsradius der rechten Fläche.

sicht L-). L.1.5 Blenden In jedem optischen System gibt es Blenden, die den Querschnitt der das System durchlaufenden Strahlen begrenzen (Bild L-). Die als Eintrittspupille EP bezeichnete Blende definiert den objektseitigen Aperturwinkel σ. Das Bild der Eintrittspupille ist die Austrittspupille AP. Lage und Größe der Austrittspupille bestimmt den bildseitigen Aperturwinkel σ  . Durch die Größe der Pupillen und der Aperturwinkel wird die Helligkeit der Abbildung bestimmt.



L Optik

Bild L-. Dicke Sammellinse mit Hauptebenen.

Bild L-. Bildkonstruktion bei einer dicken Sammellinse.

Übersicht L-. Linsensysteme. Abstände der Brennpunkte von den Scheiteln

1 1 1 =  +  sF  f2 f1 − e

Brennweite

f = −f =

Brechkraft

D  = D 1 + D 2 − eD 1 D 2

Brechkraft bei geringem Abstand

D  = D 1 + D 2

e f 1 , f 2

Bild L-. Lage der Hauptebenen bei einem System von Sammellinsen.

1 1 1 =  +  sF f1 f2 − e f 1

f 1 f 2 + f 2 − e

Abstand der Linsen, Brennweite von Linse L1 bzw. L2 .

Bild L-. Strahlbegrenzung durch eine Blende.

L. Geometrische Optik

L.1.6 Abbildungsfehler Sind bei einer optischen Abbildung nicht nur paraxiale Strahlen beteiligt, dann treten Abbildungsfehler auf, die nur mit großem Aufwand korrigiert werden können (Tabelle L-). L.1.7 Optische Instrumente L.1.7.1 Das menschliche Auge Bei einem normalsichtigen Auge wird ein paralleles Strahlenbündel, das von einem unendlich



weit entfernten Gegenstandspunkt kommt, auf einen Punkt der lichtempfindlichen Netzhaut fokussiert. Die Fähigkeit des Auges, durch Veränderung der Krümmung der Augenlinse verschieden weit entfernte Gegenstände auf der Netzhaut scharf abzubilden, wird als Akkomodation bezeichnet. Der nächstgelegene Punkt, den man eben noch scharf sehen kann, ist der Nahpunkt. Er liegt bei Jugendlichen bei etwa 10 cm und nimmt mit dem Alter zu. Der Fernpunkt liegt beim normalsichtigen Auge im

Tabelle L-. Abbildungsfehler. Bezeichnung

Ursache und Auswirkung

Beseitigung

sphärische Abberration (Öffnungsfehler)

Ein Objektpunkt auf der optischen Achse wird, falls nur achsennahe Strahlen an der Abbildung beteiligt sind, weiter von einer Sammellinse entfernt abgebildet als bei der ausschließlichen Verwendung achsenferner Strahlen. Daher wird ein Punkt durch weit geöffnete Strahlenbündel nicht als Punkt, sondern als Zerstreuungsscheibchen abgebildet.

Kombinationen mehrerer Linsen verschiedener Brennweite (z. B. Sammellinse und Zerstreuungslinse); Variation der Linsenform. Ein korrigiertes System wird als Aplanat bezeichnet.

Astigmatismus und Bildfeldwölbung

Ausgedehnte ebene Objekte werden nicht in einer Ebene, sondern auf zwei gekrümmten Bildschalen, die sich auf der optischen Achse berühren, abgebildet. Deshalb entsteht bei der Abbildung eines Punktes, der außerhalb der optischen Achse liegt, auch bei der Verwendung schlanker Strahlenbündel kein Bildpunkt, sondern zwei zueinander senkrecht verlaufende Bildstriche auf den beiden Bildschalen in verschiedenen Abständen von der Linse.

Kombination mehrerer Linsen aus geeigneten Gläsern; Veränderung der Blendenlage. Ein korrigiertes System ist ein Anastigmat.

Koma

Strahlenbündel großer Öffnung bilden einen Punkt, der außerhalb der optischen Achse liegt, nicht als Punkt, sondern als ovale Figur mit kometenhaftem Schweif ab.

Abblenden; Fehler ist stark abhängig von der Blendenlage.

Verzeichnung

Bei falscher Blendenlage sind Bild und Objekt nicht geometrisch ähnlich. Liegt die Blende zu weit im Gegenstandsraum, wird ein Quadrat tonnenförmig verzeichnet, liegt sie zu weit im Bildraum, resultiert eine kissenförmige Verzeichnung.

Blende bzw. Pupille sollte in der Linsenebene liegen. Verwirklicht im orthoskopischen Objektiv.

chromatische Aberration

Farbfehler, der aufgrund der Dispersion des Linsenmaterials entsteht, wenn zur Abbildung kein monochromatisches Licht verwendet wird. Das Bild wird unscharf und erhält farbige Ränder.

Kombination von Sammellinse aus Kronglas und Zerstreuungslinse aus Flintglas; korrigiertes Objektiv ist ein Achromat.



L Optik

Unendlichen. Als Bezugsweite oder deutliche Sehweite gilt der Abstand a B = −25 cm, bei dem der normalsichtige Mensch Gegenstände ohne Anstrengung betrachten kann. Sehfehler Bei einem kurzsichtigen Auge vereinigen sich die Strahlen schon vor der Netzhaut. Der Kurzsichtige kann deshalb unendlich weit entfernte Gegenstände nicht scharf sehen; sein Fernpunkt liegt im Endlichen. Zur Korrektur wird eine Brille mit Zerstreuungslinse verwandt. Beim übersichtigen (weitsichtigen) Auge liegt der Brennpunkt hinter der Netzhaut. Zur Korrektur tragen Übersichtige eine Brille mit Sammellinsen. L.1.7.2 Vergrößerungsinstrumente Vergrößerung Von einem ausgedehnten Gegenstand entsteht auf der Netzhaut des Auges ein umgekehrtes reelles Bild (Bild L-). Die Größe des Netzhautbildes ist abhängig vom Sehwinkel σ, unter dem das Objekt erscheint. Die Aufgabe der optischen Instrumente Lupe, Mikroskop und Fernrohr ist es, diesen Sehwinkel und damit das Netzhautbild zu vergrößern. Als Vergrößerung Γ  eines optischen Instruments wird definiert: Γ =

tan σ  σ  N ; tan σ σ

(L–)

σ  Sehwinkel mit Instrument, σ Sehwinkel ohne Instrument. Tabelle L- zeigt eine Zusammenstellung der optischen Instrumente, mit denen eine Vergrößerung erzielt wird. Lupe Für die Normalvergrößerung der Lupe wird festgelegt, dass der Gegenstand in der Brennebene der Lupe steht und das Auge auf Unendlich

Bild L-. Definition des Sehwinkels σ.

entspannt ist. Wird der Abstand zwischen Linse und Objekt verkleinert, entsteht ein vergrößertes virtuelles Bild, das mit dem akkomodierten Auge betrachtet werden kann. Für die Lupenvergrößerung bei Akkomodation wird angenommen, dass sich das Auge direkt hinter der Linse befindet und dass das virtuelle Bild in der Bezugssehweite a B entsteht. Mikroskop Beim Mikroskop entwirft das Objektiv Ob vom Gegenstand G ein vergrößertes reelles Zwischenbild ZB, das mit Hilfe des Okulars betrachtet wird. Die Mikroskopvergrößerung lässt sich als Produkt des Abbildungsmaß des Objektivs und der Lupenverstabs βOb  des Okulars darstellen. Sie größerung βOb ist abhängig von der optischen Tubuslänge t (meist 160 mm). Normwerte für Objektiv- und Okularvergrößerungen sind in DIN ISO 8039 festgelegt. Das Objektiv ist die Eintrittspupille EP des Systems. An der Stelle der Austrittspupille AP sollte sich die Pupille des beobachtenden Auges befinden. Fernrohr Beim Fernrohr werden zwei Grundtypen unterschieden: Das Kepler’sche oder astronomische Fernrohr und das Galilei’sche oder holländische Fernrohr. Das Verhältnis der Neigungswinkel σ  und σ paralleler Strahlenbündel ergibt die Vergrößerung des Fernrohrs. Sie ist beim holländischen Fernrohr positiv, beim astronomischen negativ. Im terrestrischen Fernrohr wird das Kopf stehende Bild umgedreht. Dies

L. Fotometrie



Tabelle L-. Vergrößerungsinstrumente. Strahlengang

Vergrößerung

a) Lupe

Normalvergrößerung aB ΓL = −  f Vergrößerung bei Akkomodation: ΓL, A = ΓL + 1

b) Mikroskop

   = β Ob ΓOk ΓM  ΓM =

geschieht beispielsweise dadurch, dass das reelle Zwischenbild mit Hilfe einer Umkehrlinse umgedreht wird. Beim Prismenfeldstecher wird zur Bildumkehr der Porro’sche Prismensatz (Tabelle L-) eingesetzt. L.1.7.3 Fotoapparat Beim Fotoapparat entwirft das Objektiv ein Bild eines Gegenstandes auf einem lichtempfindlichen Film oder einem CCD-Chip (Übersicht L-). Der Lichtstrom wird mit einer Irisblende geregelt, die als Eintrittspupille EP wirkt. Ein Maß für den einfallenden Lichtstrom ist nach DIN ISO 517 die relative Öffnung DEP  f  (Kehrwert der Blendenzahl k).

t aB ċ   fOb ΓOk

L.2 Fotometrie Radiometrische oder strahlungsphysikalische Größen beschreiben die Eigenschaften eines Strahlungssenders bzw. -empfängers. Sie werden mit objektiven Messgeräten bestimmt; ihre Formelbuchstaben erhalten nach DIN  den Index „e“ (energetisch). Wird der Eindruck einer Strahlung auf das menschliche Auge mit seiner charakteristischen wellenlängenabhängigen Empfindlichkeit beschrieben, dann spricht man von fotometrischen oder lichttechnischen Größen. Die Formelbuchstaben dieser Größen erhalten den Index „v“ (visuell).



L Optik

Tabelle L-. (Fortsetzung). Strahlengang

Vergrößerung

c) Fernrohr

ΓF = −

L.2.1 Strahlungsphysikalische Größen Die in DIN  definierten radiometrischen Größen sind in Tabelle L- zusammengestellt. Einige der angegebenen Beziehungen gelten nur für den Fall, dass der Abstand zwischen Sender und Empfänger größer ist als die fotometrische Grenzentfernung. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, müssen die Beziehungen differenziell formuliert und dann über Senderund Empfängerfläche integriert werden.

 fOb

 fOk

Nach DIN  gilt für einen kreisförmigen LambertStrahler und für einen kosinusgetreu bewertenden Empfänger als fotometrische Grenzentfernung ein Abstand, der -mal so groß ist wie die größte Ausdehnung von Sender bzw. Empfänger, wenn der Fehler kleiner als 0,25% sein soll.

Übersicht L- enthält die wichtigsten Beziehungen zwischen strahlungsphysikalischen Größen.

L. Fotometrie



Übersicht L-. Fotoapparat.

k=

Blendenzahl

Bild L-. Zur Definition des Raumwinkels.

f DEP

av =

a f 2 f  2 − u  k(a + f  ) a f 2

Schärfentiefe vordere und hintere Gegenstandsweite

ah =

zulässige Unschärfe

Formatdiagonale u = 1000

f  2 + u  k(a + f  )

Auszug aus der Hauptreihe der Blendenzahlen (DIN ISO ): 1 1,4 2,8 4 5,6 8 11 16 22 a f DEP

Übersicht L-. Beziehungen zwischen strahlungsphysikalischen Größen. Fotometrisches Grundgesetz Fotometrisches Entfernungsgesetz Strahlstärke beim Lambert-Strahler Definition des Raumwinkels (Bild L-)

A1 cos ε 1 A2 cos ε 2 Ω0 r2 Ie (ε 1 ) cos ε 2 Ω 0 Ee = r2 Ie (ε 1 ) = Ie (0) cos ε 1 Φe = Le

Ω=

A Ω0 r2

nominelle Gegenstandsweite, Brennweite des Objektivs, Durchmesser der Eintrittspupille.

Übersicht L-. DIN-Normen zur Fotometrie. DIN  DIN  DIN  DIN  DIN  DIN  DIN 

Spektrale Strahlungsmessung Strahlungsphysik im optischen Bereich und Lichttechnik Lichtmessung Licht, Lampen, Leuchten Innenraumbeleuchtung mit künstlichem Licht Farbmessung DIN-Farbenkarte

Spektrale Größen Die Abhängigkeit der strahlungsphysikalischen Größen von der Wellenlänge wird durch spektrale Größen beschrieben. Für jede in Tabelle L- angegebene Größe Xe ist eine spektrale Größe Xe,λ definiert:

Xe,λ = dXe  dλ .

(L–)

Beispiel: Le,λ = dLe dλ ist die spektrale Strahldichte mit der Maßeinheit W (m2 ċ sr ċ nm).

Spektrale Größen werden experimentell mit Hilfe eines Spektrometers bestimmt. Aus dem gemessenen Verlauf der spektralen Größe Xe,λ (λ) kann die zugeordnete Größe Xe durch Integration über den Wellenlängenbereich, in dem die Strahlung auftritt, berechnet werden: λ2

Xe = # Xe,λ (λ) dλ . λ1

(L–)



L Optik

Übersicht L-. (Fortsetzung). A1 A2 Ee

Senderfläche, Empfängerfläche, Bestrahlungsstärke auf der Empfängeroberfläche, Ie Strahlstärke, Strahldichte des Senders, Le r Abstand zwischen Sender und Empfänger, ε1 Winkel zwischen Strahlrichtung und Sendernormale, Winkel zwischen Strahlrichtung und ε2 Empfängernormale, Φe Strahlungsleistung, die vom Sender auf den Empfänger trifft (Bild L-), Ω 0 = 1 sr (Steradiant). Bild L-. Spektrale Strahldichte eines schwarzen Strahlers.

obachters wurde von der Comission International d’Eclairage (CIE) aufgenommen und ist in DIN  in Schritten von 1 nm tabelliert (Tabelle L-, Bild L-). Der Lichtstrom Φv ist ein Maß für die Helligkeitsempfindung. Für monochromatisches Licht gilt bei Tagessehen: Bild L-. Strahlenkegel, der vom Sender auf den Empfänger fällt.

Temperaturstrahler Jeder Körper sendet elektromagnetische Strahlung aus, deren Intensität und Farbe von der Temperatur des Körpers abhängt. Der spektrale Verlauf der Strahlung ist für den schwarzen Strahler berechenbar (Übersicht L-, Bild L-). Der schwarze Strahler besitzt kein Reflexionsvermögen und wird technisch durch den Hohlraumstrahler realisiert.

Φv = Km Φe V (λ) .

(L–)

Die Konstante Km wird als Maximalwert des fotometrischen Strahlungsäquivalents bezeichnet. Sie ist eng verknüpft mit der SI-Basiseinheit für die Lichtstärke, der Candela, und beträgt Km = 683 lmW (Lumen/Watt). Bei  = 1699 lmW. Nachtsehen gilt Km Ist die Strahlung nicht monochromatisch, sondern spektral breitbandig, dann muss für die Berechnung des Lichtstromes über das sichtbare Spektrum integriert werden:

L.2.2 Lichttechnische Größen 780 nm

Das menschliche Auge ist nicht für alle Lichtwellenlängen gleich empfindlich. Der Hellempfindlichkeitsgrad V (λ) eines Standardbe-

Φv = Km # 380 nm

Φe,λ (λ)V (λ) dλ .

(L–)

L. Fotometrie



Tabelle L-. Definitionen der strahlungsphysikalischen Größen. Größe

Symbol

Einheit

Beziehung

Erklärung

Strahlungsenergie bzw. -menge

Qe

Wċs =J

Qe = ' Φe dt

durch elektromagnetische Strahlung übertragene Energie

Strahlungsleistung bzw. -fluss

Φe

W

Φe = dQe dt

mit der Strahlung übertragene Leistung

Spezifische Ausstrahlung

Me

W m2

Me = Φe A1

auf die Senderfläche bezogene Strahlungsleistung des Senders

Strahlstärke

Ie

W sr

Ie = Φe Ω

Quotient aus dem in einer bestimmten Richtung vom Sender ausgehenden Strahlungsfluss und dem durchstrahlten Raumwinkel

Strahldichte

Le

W (m2 ċ sr)

senderseitige Größen

Le =

Ie A1 cos ε 1

Quotient aus Strahlstärke und Projektion der Senderfläche auf eine Ebene senkrecht zur betrachteten Richtung

empfängerseitige Größen Bestrahlungsstärke

Ee

W m2

Ee = Φe A2

auf einen Empfänger fallende Strahlungsleistung bezogen auf die Empfängerfläche

Bestrahlung

He

W ċ s m2

He = ' Ee dt

Quotient aus auftreffender Strahlungsenergie und Empfängerfläche

Übersicht L-. Eigenschaften des schwarzen Strahlers. c1 1 1 λ 5 ec 2 (λT) − 1 Ω 0

spektrale Strahldichte (planck)

Le,λ (λ, T) =

Verschiebungsgesetz (wien)

λ max T = konstant = 2998 μm ċ K

spezifische Ausstrahlung (stefan-boltzmann)

Me (T) = σT 4

c Vakuumlichtgeschwindigkeit, h Planck’sches Wirkungsquantum, k Boltzmann-Konstante, T absolute Temperatur, λ Wellenlänge, λ max Wellenlänge maximaler spektraler Strahldichte, Ω0 1 sr, c 1 = 2hc 2 = 1,191 ċ 10−16 W ċ m2 , c 2 = hc k = 1,439 ċ 10−2 K ċ m, σ=

2π5 k 4 = 5,670 ċ 10−8 W -m2 ċ K4 .. 15h 3 c 2



L Optik

Tabelle L-. Spektraler Hellempfindlichkeitsgrad V (λ) für Tagessehen. Wellenlänge λ nm

V (λ)

Wellenlänge λ nm

V (λ)

                    

3,900 ċ 10−5 1,200 ċ 10−4 3,960 ċ 10−4 1,210 ċ 10−3 4,000 ċ 10−3 1,160 ċ 10−2 2,300 ċ 10−2 3,800 ċ 10−2 6,000 ċ 10−2 9,098 ċ 10−2 0,139020 0,208020 0,323000 0,503000 0,710000 0,862000 0,954000 0,994950 1,000000 0,995000 0,952000

                    

0,870000 0,757000 0,631000 0,503000 0,381000 0,265000 0,175000 0,107000 6,100 ċ 10−2 3,200 ċ 10−2 1,700 ċ 10−2 8,210 ċ 10−3 4,102 ċ 10−3 2,091 ċ 10−3 1,047 ċ 10−3 5,200 ċ 10−4 2,492 ċ 10−4 1,200 ċ 10−4 6,000 ċ 10−5 3,000 ċ 10−5 1,499 ċ 10−5

Nach dem Muster der Berechnung des Lichtstroms Φv aus dem Strahlungsfluss Φe kann für jede andere radiometrische Größe Xe , die in Tabelle L- definiert ist, die zugeordnete fotometrische Größe berechnet werden (Tabelle L-).

Tabelle L-. Lichttechnische Größen. Benennung

Zeichen

Maßeinheit

Lichtmenge Lichtstrom spezifische Lichtausstrahlung Lichtstärke Leuchtdichte Beleuchtungsstärke Belichtung

Qv Φv Mv

lm ċ s lm lm m2

Iv Lv Ev Hv

cd = lm sr cd m2 lx = lm m2 lx ċ s

Bild L-. Hellempfindlichkeitsgrad des Standardbeobachters. V (λ) Tagessehen (°-Gesichtsfeld); V  (λ) Nachtsehen (°-Gesichtsfeld).

L. Wellenoptik



L.3 Wellenoptik

Übersicht L-. DIN-Normen zur Wellenoptik.

L.3.1 Interferenz und Beugung

DIN  DIN 58 196 DIN 58 197

Bei der Überlagerung von Wellen gleicher Wellenlänge kommt es zur Auslöschung (destruktive Interferenz), falls der Gangunterschied Δ der Wellen ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge λ beträgt (Abschnitt J..): Δ = (2m + 1)λ2 ; m = 0, 1, 2 . . . Es kommt zur Verstärkung (konstruktive Interferenz) für Δ = mλ . L.3.1.1 Kohärenz Interferenz ist nur beobachtbar, wenn die Lichtwellen kohärent sind. Dazu muss eine feste Phasenbeziehung zwischen den überlagerten Wellen vorliegen. Der größte Gangunterschied zweier Wellen, bei denen Interferenz beobachtet wird, ist die Kohärenzlänge l (mittlere Länge der einzelnen Wellenzüge). Nach fourier gilt (Tabelle L-): l N cτ N cΔ f ;

(L–)

c Lichtgeschwindigkeit, τ Lebensdauer angeregter atomarer Zustände, Δ f spektrale Breite der Strahlung. Wird Strahlung einer ausgedehnten Lichtquelle für Interferenzversuche verwendet, so muss die Kohärenzbedingung erfüllt sein: 2b sin σ ll λ ;

(L–)

Spektrale Strahlungsmessung Dünne Schichten für die Optik Dünne Schichten für die Optik; Mindestanforderungen für reflexionsmindernde Schichten und Spiegelschichten DIN 58 960 Fotometer für analytische Untersuchungen DIN EN  Filter und Augenschutz gegen Laserstrahlung DIN EN 11 145 Optik und Photonik – Laser und Laseranlagen DIN EN 60 825 Sicherheit von Lasereinrichtungen DIN EN ISO 15 902 Optik und Photonik – Diffraktive Optik – Begriffe VDE/VDI  Oberflächen-Messverfahren; Rauigkeitsuntersuchungen mittels Interferenzmikroskopie

Tabelle L-. Kohärenzeigenschaften verschiedener Lichtquellen. Lichtquelle

Frequenzbandbreite Δf

Kohärenz-

weißes Licht

 200 THz

 1,5 μm

Spektrallampe, Raumtemperatur

1,5 GHz

20 cm

Kr-Spektrallampe, auf T = 77 K gekühlt

375 MHz

80 cm

Halbleiterlaser GaAlAs

2 MHz

150 m

HeNe-Laser, frequenzstabilisiert

150 kHz

2 km

länge l

L.3.1.2 Interferenzen an dünnen Schichten Interferenzen gleicher Neigung

b Größe der Strahlungsquelle, σ halber Öffnungswinkel der Strahlung, λ Wellenlänge.

Durch Vielfachreflexionen von Lichtwellen an planparallelen Platten kommt es zu Interferenzerscheinungen (Übersicht L-).



L Optik

Übersicht L-. Interferenzen an planparalleler Platte.

Übersicht L-. Reflexionsvermindernde Schicht.

Bedingung für Reflexminderung

Spiegelung d n1 < n2 < n3 λ

Bedingung für Helligkeit in F , Dunkelheit in F Dunkelheit in F , Helligkeit in F d n ε λ

λ (2m − 1) ; 4n 2 m = 1, 2, 3, . . . λ d= m 2n 2 d=

Dicke der Vergütungsschicht, Brechungsindizes, Wellenlänge.

Interferenzen gleicher Dicke 

1 2d n 2 − sin2 ε = m +  λ ; Fällt Licht nach Bild L- auf einen Keil, dann 2 entstehen helle und dunkle Interferenzstreifen m = 0, 1, 2, . . . (Fizeau-Streifen) für verschiedene Dicken. Al 2d n 2 − sin2 ε = (m + 1)λ ; le Orte mit gleicher Dicke d liegen auf einem m = 0, 1, 2, . . .

Plattendicke, Brechungsindex der Platte, Einfallswinkel, Lichtwellenlänge.

Streifen, der hier parallel zur Keilkante liegt. Entsteht der Keil (Luftkeil) beispielsweise dadurch, dass eine kugelförmige Glasplatte auf einer ebenen Platte aufliegt, dann sind die Interferenzlinien gleicher Dicke Kreise, die als Newton’sche Ringe bezeichnet werden.

Farben dünner Blättchen Dünne Schichten, wie Seifenhäute, Ölfilme, Aufdampfschichten und Oxidschichten, zeigen Interferenzfarben. Diese entstehen bei Beleuchtung mit Weißlicht, wenn bestimmte Wellenlängen und damit Farben ausgelöscht werden. Reflexmindernde Schichten und dielektrische Spiegel Dielektrische Schichten können optische Bauteile entspiegeln oder zu Spiegeln machen (Übersicht L-).

Bild L-. Interferenzen an einem Keil.

L. Wellenoptik

Oberflächenprüfung Wird ein Optikteil auf eine exakt ebene Platte gelegt, dann entstehen Fizeau-Streifen, sobald die Oberfläche des Optikteils von der ebenen Form abweicht. Unregelmäßigkeiten im System der Fizeau-Streifen lassen auf Oberflächenfehler (Passfehler) schließen. Da der Abstand zweier Streifen einer Höhendifferenz des Luftkeils von λ2 entspricht, können Oberflächenfehler (Rauigkeiten) im Bereich von Bruchteilen der Lichtwellenlänge vermessen werden. In DIN ISO -, sind verschiedene Interferenzmuster, die bei der Oberflächenprüfung auftreten, zusammengestellt. L.3.1.3 Interferometer Mit Interferometern können Längen, Winkel, Brechzahlen oder Wellenlängen sehr präzise gemessen werden. Der Grundtyp ist das Michelson-Interferometer (Bild L-). Hier wird das Licht der Lichtquelle L durch den Strahlteiler T in zwei Teilstrahlen zerlegt und nach der Reflexion an den Spiegeln S1 und S2 wieder überlagert (Strahlen 1 und 2 ). S2 ist das virtuelle Bild des Spiegels S2 . Mit dem Fernrohr F beobachtet man Interferenzen gleicher Neigung (Haidinger’sche Ringe) an der „Platte“ S1 S2 mit der Dicke d. Wird ein Spiegel leicht gekippt, entstehen Fizeau-Streifen am Keil. Bei der Verschiebung eines Spiegels um λ2 wandert jeweils ein neuer Interferenzstreifen durch das Bild, sodass man Längenverschiebungen auf Bruchteile der Lichtwellenlänge genau messen kann. Im Interferenzmikroskop wird die Oberfläche eines Prüflings mit Fizeau-Streifen überlagert, aus deren Form Unebenheiten im Bereich von Bruchteilen der Lichtwellenlänge bestimmt werden können. L.3.1.4 Beugung am Spalt Fällt eine ebene Welle auf einen engen Spalt, dann entstehen auf einer weit entfernten Wand (Fraunhofer’sche Betrachtungsweise) helle und



Bild L-. Michelson-Interferometer.

dunkle Streifen, die parallel zum Spalt verlaufen (Übersicht L-). Bei der Beugung an einer Lochblende entsteht eine rotationssymmetrische Figur. Das helle zentrale Airy’sche Beugungsscheibchen ist von dunklen und hellen Ringen umgeben. Die dunklen Ringe treten auf unter den Winkeln

sin αm = km

λ ; d

(L–)

d Durchmesser der Lochblende, k 1 = 1,22 ; k 2 = 2,232; k 3 = 3,238 usw. Vom gesamten Lichtstrom, der durch die Lochblende geht, trifft 83,8% in das AiryScheibchen. L.3.1.5 Auflösungsvermögen optischer Instrumente Durch Beugungserscheinungen an Blenden und Linsenfassungen wird das Auflösungsvermögen optischer Instrumente begrenzt. Mit einem Fernrohr werden zwei strahlende Punkte dann getrennt, wenn die beiden Punkte



L Optik

Übersicht L-. Beugung am Spalt. a) Beugungsbild

b) Intensitätsverlauf

Intensität in Richtung α sin2 I α = I0

πb sin α! λ

πb sin α! λ

2

Winkel der Nullstellen sin α m = m b I0 m λ

λ ; m = 1, 2, 3, . . . b

Spaltbreite, Intensität in Vorwärtsrichtung (α = 0), Ordnungszahl, Wellenlänge.

unter dem Winkel δ erscheinen, für den gilt (Rayleigh-Kriterium): δ 1,22 λd ; λ Lichtwellenlänge, d Objektivdurchmesser.

(L–)

Beim Mikroskop werden zwei Objektpunkte getrennt, falls für ihren Abstand y gilt: y 0,61 λAN ; AN = n sin σ numerische Apertur des Objektivs, σ halber Öffnungswinkel.

(L–)

L. Wellenoptik

Bei nicht selbstleuchtenden durchstrahlten Objekten ist nach einer Theorie von abbe y λAN . Durch die modernen Rastermikroskope (z. B. Rastertunnelmikroskop) lassen sich die oben angegebenen Grenzen des Auflösungsvermögens überwinden.

Tabelle L-. Spektralapparate.

L.3.1.6 Beugung am Gitter Wird ein Gitter mit parallelem Licht beleuchtet, so beobachtet man in großem Abstand helle und dunkle Streifen, die parallel zu den Spalten verlaufen (Übersicht L-). Die Intensitätsmaxima sind umso schärfer, je größer die Zahl der interferierenden Lichtwellen (Spalte) ist. L.3.1.7 Spektralapparate Zur Bestimmung von Spektren wurden verschiedene Spektralapparate entwickelt (Tabelle L-). Als dispersives Element dient entweder ein Gitter oder ein Prisma (Übersicht L-). L.3.1.8 Röntgenbeugung an Kristallgittern An den regelmäßig angeordneten dreidimensionalen Kristallgittern werden Röntgenstrahlen gebeugt. Nach Bild L- kommt es zu konstruktiver Interferenz an den Netzebenen eines Kristalls (Abschnitt V) wenn die Bragg’sche Bedingung erfüllt ist: 2d sin θ = mλ ;

m = 1, 2, 3, . . .



Benennung

Anwendung

Spektroskop

Beobachtung eines Spektrums mit dem Auge. Häufig als Tascheninstrument in der analytischen Chemie eingesetzt.

Spektrograf

Komplettes Spektrum wird auf Fotoplatte registriert. Vergleich mit Eichspektrum bekannter Spektrallinien liefert die Wellenlänge. Schwärzung ist Maß für die Lichtintensität.

Spektrometer

Wellenlängenbestimmung einzelner Spektrallinien anhand einer geeichten Wellenlängenskala über Winkelmessung.

Monochromator

Ausblenden eines schmalbandigen Wellenlängenbereichs aus einem angebotenen Spektrum.

Spektralfotometer

Kombination von Monochromator und fotoelektrischem Empfänger (Fotomultiplier) zur Bestimmung spektraler Stoffdaten, z. B. Absorptionsgrad und Transmissionsgrad.

(L–)

d Netzebenenabstand, θ Glanzwinkel, λ Wellenlänge der Röntgenstrahlung. L.3.1.9 Holografie Zur Aufnahme eines Hologramms wird das Licht eines Lasers in einem Strahlteiler in zwei Teilstrahlen zerlegt (Bild L-), von denen einer das Objekt O beleuchtet. Die vom Objekt reflektierten Wellen interferieren mit dem zweiten Teilstrahl des Lasers (Referenzstrahl)

Bild L-. Reflexion von Röntgenstrahlen an einer Netzebenenschar.

und bilden auf der Fotoplatte F ein Interferenzmuster, das alle Informationen über die Form des Objekts enthält. Zur Wiedergabe wird das Hologramm nur noch mit der Referenzwelle beleuchtet. Für das Auge A entsteht ein dreidi-



L Optik

Übersicht L-. Beugung am Gitter (Beugungsbild für gb = 6, p = 10). a) Beugungsbild

b) Intensitätsverlauf

Intensität in Richtung α Iα = I0

πb sin α! sin2 p πg sin α λ λ ċ 2 2  πg sin α πb sin sin α! λ λ

sin2

Winkel für Intensitätsmaxima sin α m = m b g I0 p λ

λ ; m = 0, 1, 2, . . . g

Spaltbreite, Gitterkonstante, Intensität in Vorwärtsrichtung (α = 0), Zahl der interferierenden Spalte, Wellenlänge.

mensionales Bild B an der Stelle, wo vorher das Objekt stand. Tabelle L- gibt einen Überblick über die wichtigsten technischen Anwendungen der Holografie.

(Produkt aus Spaltbeugungsfunktion und Interferenzfunktion des Gitters)

L. Wellenoptik



Tabelle L-. Technische Anwendung der Holografie. Speicherung von Informationen

holografische Korrelation

Interferenzholografie

Herstellung optischer Bauteile

Archivierung von – dreidimensionalen Bildern, z. B. Werkstücke, Modelle, Kunstwerke, – zweidimensionalen Bildern, wie Ätzmasken für Halbleiterfertigung, digitale optische Datenspeicher

Vergleich eines Werkstückes mit einem holografisch fixierten Muster, automatische Formerkennung, Erkennung von Formfehlern an Werkstücken und Werkzeugen

Zerstörungsfreie Werkstoffprüfung, Vermessen von Bewegungen und Verformungen aufgrund mechanischer oder thermischer Belastung, Schwingungsanalyse

Ersatz von lichtbrechenden optischen Bauteilen, wie Linsen, Spiegel, Prismen, Strahlteiler, durch Hologramme. Holografische Herstellung von Beugungsgittern

Übersicht L-. Spektrometer.

Übersicht L-. (Fortsetzung).

a) Gitterspektrometer

B m p dλ dn dλ λ

durchstrahlte Basisbreite des Gitters, Beugungsordnung, Strichzahl des Gitters, kleinstes trennbares Wellenlängenintervall, Dispersion des Prismenglases, Wellenlänge.

L.3.2 Polarisation des Lichts L.3.2.1 Polarisationsformen b) Prismenspektrometer

Auflösungsvermögen eines Gitters

λ = mp dλ

nutzbarer Wellenlängenbereich

Δλ = λ m

Auflösungsvermögen eines Prismas

dn λ =B dλ dλ

Bei Lichtwellen schwingen der elektrische und der magnetische Feldvektor transversal zur Ausbreitungsrichtung (E X H). Bei natürlichem Licht nehmen die Feldvektoren in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung regellos jede Richtung ein. Wird eine bestimmte Schwingungsrichtung bevorzugt, so ist das Licht polarisiert. Tabelle L- zeigt die möglichen Fälle. Linear polarisiertes Licht wird mit Hilfe eines Polarisators (Analysator), der nur eine bestimmte Schwingungsrichtung durchlässt, als solches erkannt. Ist die Analysatorrichtung um den Winkel φ gegen die Schwingungsrichtung des Lichts verdreht, dann ist die Intensität I des durchgelassenen Lichts durch das Gesetz von Malus gegeben:



L Optik

Tabelle L-. Polarisationsformen des Lichts. Polarisationsart

Merkmale

linear polarisiertes Licht

E-Vektor und Ausbreitungsrichtung spannen eine raumfeste Ebene auf (die Schwingungsebene)

zirkular (elliptisch) polarisiertes Licht

Der E-Vektor läuft auf einer Schraubenlinie um die Ausbreitungsachse. In einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung läuft der E-Vektor auf einem Kreis (Ellipse).

rechts (links) zirkular bzw. elliptisch

Bei Blickrichtung gegen die Strahlrichtung erfolgt der Umlauf im Uhrzeigersinn (Gegenuhrzeigersinn).

Der zugehörige Einfallswinkel αP wird als Polarisationswinkel oder Brewster-Winkel bezeichnet: αP = arc tan n ;

(L–)

n Brechzahl des Glases. Bild L-. Holografie-Apparatur für a) Aufnahme, b) Wiedergabe. A: Auge, B: Bild, F: Fotoplatte, H: Hologramm, L: Laser, O: Objekt, S: Spiegel, T: Strahlteiler.

I = I 0 cos2 φ ;

(L–)

I 0 Intensität des auftreffenden Lichts. L.3.2.2 Erzeugung von polarisiertem Licht Reflexion und Brechung Nach der Reflexion an einer Glasoberfläche schwingt der E-Vektor der Lichtwelle vorwiegend senkrecht zur Einfallsebene. Vollständige Polarisation wird erreicht, wenn der reflektierte Strahl senkrecht auf dem gebrochenen steht.

Doppelbrechung Natürliches Licht wird in einem doppelbrechenden Kristall in zwei senkrecht zueinander polarisierte Teilstrahlen zerlegt, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten (ordentlicher n o und außerordentlicher n e Brechungsindex). Im Allgemeinen haben ordentlicher und außerordentlicher Strahl in einem Kalkspat nicht die gleiche Richtung (Doppelbrechung). Wird einer der beiden Strahlen beseitigt, bleibt der andere, und damit linear polarisiertes Licht, übrig. Dichroismus Dichroitische Substanzen absorbieren den ordentlichen und den außerordentlichen Strahl, d. h. die zwei zueinander senkrecht stehenden Schwingungsrichtungen, verschieden stark.

L. Wellenoptik

Bei genügender Dicke ist das durchgehende Licht praktisch vollständig linear polarisiert. Moderne Polarisationsfolien werden aus Kunststoffen gefertigt, die mit dichroitischen Farbstoffen eingefärbt sind und deren Makromoleküle durch mechanisches Recken parallel ausgerichtet sind. λ4-Platten Wird ein doppelbrechender Kristall so geschliffen, dass ordentlicher und außerordentlicher Strahl parallel verlaufen, dann besteht nach Durchlaufen des Kristalls zwischen den beiden senkrecht zueinander polarisierten Teilstrahlen der Gangunterschied Δ = d (n o − n e ). Falls die Amplituden der elektrischen Feldvektoren gleich sind und der Gangunterscheid ein ungeradzahliges Vielfaches von λ4 beträgt, entsteht hinter dem Kristall zirkular polarisiertes Licht. Ein λ4-Plättchen hat also die Dicke d=

λ (2k + 1) ; 4 (n o − n e )

k = 0, 1, 2 . . . ; (L–)

λ Lichtwellenlänge, n o , n e ordentlicher bzw. außerordentlicher Brechungsindex. Ist der Gangunterschied Δ = λ2, so entsteht wieder linear polarisiertes Licht, dessen Schwingungsebene aber gegenüber der Ausgangsrichtung um 90 gedreht ist. Bei beliebigem Gangunterschied entsteht elliptisch polarisiertes Licht. L.3.2.3 Technische Anwendungen der Doppelbrechung Spannungsdoppelbrechung Optisch isotrope Gläser und Kunststoffe werden unter mechanischer Spannung doppelbrechend. Bei Betrachtung solcher Bauteile zwischen gekreuzten Polarisationen wird das an sich schwarze Gesichtsfeld durch das entstehende elliptisch polarisierte Licht



aufgehellt. Punkte gleicher Hauptspannung liegen auf schwarzen Linien, den Isoklinen. Bei Verwendung von weißem Licht entstehen farbige Isochromaten, die alle Orte gleicher Hauptspannungsdifferenz σ 1 − σ 2 oder Hauptschubspannung τ max verbinden. Elektrische Lichtschalter Elektrische Felder können in isotropen Substanzen Doppelbrechung hervorrufen. Ist eine solche Substanz zwischen gekreuzten Polarisatoren angeordnet, dann lässt sich mit Hilfe einer angelegten Spannung der Lichtdurchgang steuern. Im spannungslosen Fall wird kein Licht durchgelassen. Wird eine Spannung angelegt, sodass der Gangunterschied zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl Δ = λ2 beträgt, dann wird die Polarisationsebene um 90 gedreht und das Licht vom zweiten Polarisator durchgelassen (Tabelle L-). L.3.2.4 Optische Aktivität In einer optisch aktiven Substanz dreht sich die Schwingungsebene von linear polarisiertem Licht. Verschiedene Kristalle und Flüssigkeiten zeigen diesen Effekt, wobei es rechts- und linksdrehende Stoffe gibt. Bei Lösungen mit inaktiven Lösungsmitteln (z. B. Wasser) ist der Drehwinkel zur Konzentration des gelösten Stoffes proportional. Flüssigkristallanzeigen Die Drehung der Polarisationsebene von linear polarisiertem Licht wird auch bei der Flüssigkristallanzeige eingesetzt. Bei der Drehzelle nach Schadt-Helfrich befindet sich zwischen zwei verdrehten transparenten Elektroden ein nematischer Flüssigkristall (Bild L-). In der verdrillten nematischen Phase (TN-Zelle: Twisted Nematic) dreht sich der E-Vektor um 90 , sodass Licht von der Zelle durchgelassen wird. Im Fall einer angelegten Spannung richten sich die Moleküle in Längsrichtung aus. Dadurch wird die Schwingungsebene des Lichts nicht



L Optik

Tabelle L-. Elektrooptische Effekte. Kerr-Effekt (J. Kerr, )

Pockels-Effekt (F. C. Pockels, )

Erklärung

optisch isotropes Material wird im transversalen elektrischen Feld doppelbrechend.

piezoelektrische Kristalle ohne Symmetriezentrum werden im elektrischen Feld doppelbrechend.

Feldabhängigkeit

n 0 − ne   E 2

n 0 − ne   E

Gangunterschied nach Durchlaufen der Länge l

Δ = λl KE ; K Kerr-Konstante, z. B. K = 2,48 ċ 10−12 mV−2 für Nitrobenzol bei λ = 589 nm.

Δ = ln 30 r 63 E für longitudinale Zelle; r 63 elektrooptische Konstante, z. B. r 63 = 24 ċ 10−12 mV−1 , n 0 = 1,5 für KD*P

Geometrie

elektrisches Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichtes

Feld meist in longitudinaler Richtung, auch transversal möglich

Materialien

Nitrobenzol, Nitrotoluol, Schwefelkohlenstoff, Benzol; in Festkörpern um eine Zehnerpotenz, in Gasen um drei Zehnerpotenzen kleinerer Effekt

ADP (Ammoniumdihydrogenphosphat), KDP (Kaliumdihydrogenphosphat), KD*P (deuteriertes KDP), Lithiumniobat

typische Feldstärke für Gangunterschied Δ = λ 2

E  106 V m

Halbwellenspannung bei longitudinaler Zelle mit KD*P, U  4 kV

Modulationsfrequenz

modulierbar bis etwa 200 MHz

modulierbar über 1 GHz

2

mehr gedreht und die Zelle sperrt (Dunkelheit). Je nach Form der Elektroden lassen sich beliebige Symbole darstellen (z. B. Sieben-SegmentAnzeigen). Faraday-Effekt Eine Drehung der Polarisationsebene erfolgt auch, wenn eine Substanz in einem longitudinalen Magnetfeld durchstrahlt wird. Diese Magnetorotation wird als Faraday-Effekt bezeichnet. Der Drehwinkel α beträgt α = VdH ;

(L–)

V Verdet’sche Konstante (Materialkonstante), d Dicke der Substanz, H Magnetfeldstärke.

Bild L-. Flüssigkristallanzeige. a) spannungslos, b) mit angelegter Spannung.

Modulatoren, die den Faraday-Effekt ausnutzen, lassen eine Modulation des Lichts mit Frequenzen von über 200 MHz zu.

L. Quantenoptik

L.4 Quantenoptik

Übersicht L-. Photonen. Photonenenergie

L.4.1 Lichtquanten Photonenenergie Eine Lichtquelle transportiert Energie in wohldefinierten Energiepaketen. Von Einstein wurde deshalb in seiner Lichtquantenhypothese Licht als ein Strom von Lichtquanten oder Photonen interpretiert (Übersicht L-). Dualismus Welle – Teilchen Licht hat sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften. Die Übersichten L- und L- zeigen sowohl die statistische Schwärzung einer Fotoplatte durch auftreffende Photonen, als auch die klassische Beugungsfunktion, d. h. die Intensitätsverteilung des gebeugten Lichts an einer Wand. Der Vergleich zeigt: Die klassische Wellenfunktion ist proportional zur Photonendichte.



Eph = h f hc 1,24 μm ċ eV = λ λ hf h = = c λ

Eph = Photonenimpuls h f c λ

pph

Planck-Konstante (Planck’sches Wirkungsquantum), h = 6,626 ċ 10−34 J ċ s = 4,136 ċ 10−15 eV ċ s, Frequenz der Welle, Lichtgeschwindigkeit, Wellenlänge.

Bild L-. Aufbau eines optisch gepumpten Lasers.

der Lichtquelle: LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation).

L.4.2 Laser

Laserbedingung

Photonen können mit Atomen auf drei verschiedene Arten in Wechselwirkung treten: Absorption: Ein Photon der Energie E ph = E 2 − E 1 wird vernichtet und dafür beispielsweise ein Elektron vom Energiezustand E 1 auf den höheren Wert E 2 gehoben. Spontane Emission: Das Atom kehrt vom angeregten Zustand in den Grundzustand zurück unter Aussendung eines Photons der Energie Eph = E 2 − E 1 . Stimulierte Emission: Nach Einstein wird durch ein bereits vorhandenes Photon der Energie Eph = E 2 − E 1 ein Übergang vom angeregten in das tiefer liegende Niveau induziert, wonach zwei Photonen mit jeweils derselben Energie vorliegen. Die auslösende Lichtwelle wird bei diesem Prozess phasenrichtig verstärkt; es entsteht eine kohärente Welle. Die Lichtverstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung führte zum Namen

In einem System aus vielen Atomen sind die relativen Besetzungszahlen N 1 und N 2 der Energieniveaus E 1 und E 2 gegeben durch den Boltzmann-Faktor: E −E N2 − 2 1 = e kT ; N1

(L–)

k Boltzmann-Konstante, T absolute Temperatur. Es ist also stets N 2 < N 1 . Um eine kräftige stimulierte Emission zu erhalten, muss aber N 2

N 1 sein (erste Laserbedingung). Eine solche Besetzungsinversion wird bei den Festkörperlasern durch optisches Pumpen mit Hilfe einer Lampe bewirkt (Bild L-). Bei Gaslasern läuft der Pumpmechanismus über Stöße in einer Gasentladung. Bei Halbleiterlasern wird in einem p,nÜbergang eine Besetzungsinversion erreicht.



L Optik

Damit im Lasermedium eine Oszillation einsetzt, bedarf es der Rückkopplung (zweite Laserbedingung). Die erzeugten Photonen durchlaufen das gepumpte Gebiet mehrmals, wenn das aktive Material in einen optischen Resonator eingebaut wird (Spiegel S1 und S2 in Bild L-). Die hin- und herlaufenden Wellen bilden stehende Wellen im Resonator. Einer der Spiegel ist nicht vollständig verspiegelt, sodass hier die Lichtwelle ausgekoppelt wird. Q-switching Laserimpulse hoher Leistung erhält man durch Q-switching. Während des Pumpens wird die Resonatorgüte Q künstlich niedrig gehalten, damit der Laser nicht anschwingt und eine hohe Besetzungsinversion entsteht. Wird die Resonatorgüte erhöht, entlädt sich die im Resonator gespeicherte Energie in einem kurzen leistungsstarken Lichtblitz. Riesenimpulslaser haben Pulse von etwa 1 ns Dauer bei einer Leistung von etwa 10 GW. Tabelle L- zeigt eine Zusammenstellung von Daten der wichtigsten Laser. Von der Vielzahl der Anwendungen des Lasers zeigt Tabelle L- eine Auswahl. L.4.3 Materiewellen So wie einer Lichtquelle nach Einstein ein Strom von Photonen zugeordnet werden kann,

wurde von De Broglie einem Strom materieller Teilchen Welleneigenschaften zugeordnet (Übersicht L-). Die Welleneigenschaften materieller Teilchen treten bei Beugungsexperimenten zutage. Sämtliche mit Photonen durchführbaren Beugungsexperimente wurden auch mit Teilchen, wie Elektronen, Protonen und Neutronen, nachgewiesen. Elektronenmikroskope benutzen zur Abbildung eines Objektes einen Elektronenstrahl. Sie zeigen ein wesentlich besseres Auflösungsvermögen als Lichtmikroskope, da die Wellenlänge der Elektronen, die das Auflösungsvermögen begrenzt, kleiner gemacht werden kann als die Lichtwellenlänge (Übersicht L-). Wellenfunktion Alle Mikroteilchen besitzen Welleneigenschaften (Welle-Teilchen-Dualismus). Materiewellen werden durch eine Wellenfunktion Ψ(x, y, z, t) beschrieben, deren Wellenlänge durch die DeBroglie-Beziehung (Übersicht L-) gegeben ist. Das Quadrat der Wellenfunktion Ψ(x, y, z, t)2 dV gibt die Wahrscheinlichkeit an, im Volumenelement dV am Ort (x, y, z) ein Teilchen anzutreffen.

Tabelle L-. Anwendungen des Lasers. Optische Messtechnik

Materialbearbeitung

Nachrichtentechnik

Medizin und Biologie

Interferometrie, Holografie, Spektroskopie, Entfernungsmessung über Laufzeit von Laserpulsen, Laser-Radar, Leitstrahl beim Tunnel-, Straßenund Brückenbau.

Bohren, Schweißen, Schneiden, Aufdampfen; Auswuchten und Abgleichen von rotierenden und schwingenden Teilen; Trimmen von Widerständen.

optische Nachrichtenübertragung durch modulierte Lichtpulse. Signale von Halbleiterlasern werden in Glasfasern geführt. – Optische Datenspeicherung und -wiedergabe, Beispiel: Tonwiedergabe von digitaler Schallplatte, Compact-Disc.

Anheften der Netzhaut bei Ablösung; Durchbohren verschlossener Blutgefäße; Zerstörung von Krebszellen; Schneiden von Gewebe; Zahnbehandlung.

L. Quantenoptik



Tabelle L-. Daten wichtiger LASER. cw: Dauerstrichbetrieb (continuous wave), p: Pulsbetrieb. Lasermedium

Wellenlänge

max. Leistung

Anwendungen

gasförmig

Helium – Neon

543,5 . . . , . . . 3391 nm

cw: 50 mW

Messtechnik, Justierlaser Holografie

Krypton

350,7 . . . , . . . 869,0 nm

cw: 10 W

Fotolithografie Spektroskopie Pumpen von Farbstofflasern

Argon

457,9 . . . , . . . 1092 nm

cw: 100 W

Holografie, Spektroskopie Pumpen von Farbstofflasern

Helium – Cadmium

325,0 . . . 441,6 nm

cw: 50 mW

Fotolithografie Spektroskopie

Kohlendioxid

10,6 μm

cw: 100 kW p: 1 TW

Materialbearbeitung Lidar

Stickstoff

337,1 nm

p: 5 kW

Spektroskopie, Pumpen von Farbstofflasern

Excimer

Ar*F: 193 nm Kr*F: 248 nm Xe*F: 350 nm

p: 20 MW

Fotochemie Spektroskopie Medizin

flüssig

Farbstoffe

 . . . 1300 nm

cw: 10 W p: 1 MW

Spektroskopie

fest

Rubin

694,3 nm

cw: 1 W p: 1 GW

Materialbearbeitung Lidar

Nd-YAG

1,064 μm

cw: 100 W p: 1 GW

Materialbearbeitung Spektroskopie

Halbleiter

600 nm . . . 40 μm

cw: 100 mW p: 10 kW

optische Datenübertragung, optische Datenspeicher, Umweltmesstechnik



L Optik

Übersicht L-. Materiewellenlänge. Materiewellenlänge (De-Broglie-Beziehung)

λ = h p

beschleunigte Ladungsträger: klassische Rechnung

λ= 

relativistische Rechnung

λ=

Grenzfall sehr großer Spannung e c h m0 p U

Elementarladung, Lichtgeschwindigkeit, Planck-Konstante, Masse der Ladungsträger, Impuls des Teilchens, Beschleunigungsspannung,

λC

Compton-Wellenlänge, λC =

h 2eUm 0

I

eU L 1+ K m0 c 2 N

λC 2$

1 % %1 − % I % eU L % & 1+ K m0 c 2 N

λ = hc eU

h = 2,426 ċ 10−12 m (für Elektron). m0 c

M Elektrizität und Magnetismus

Tabelle M-1. Normen in der Elektrizitätslehre und im Magnetismus. Norm DIN 1324 DIN 5483 DIN 5487

Bezeichnung

Elektromagnetisches Feld Zeitabhängige Größen Fourier-, Laplace- und Z-Transformation DIN 13 321 Elektrische Energietechnik; Komponenten in Drehstromnetzen, Begriffe, Größen, Formelzeichen DIN 13 322 Elektrische Netze; Berechnungsgrundlagen DIN 40 108 Elektrische Energietechnik; Stromsysteme DIN 40 110 Wechselstromgrößen DIN 40 148 Übertragungssysteme und Zweitore DIN 40 150 Begriffe zur Ordnung von Funktions- und Baueinheiten DIN 40 763 Nickel-CadmiumAkkumulatoren DIN 41 307 Kleintransformatoren, Übertrager und Drosseln DIN 50 460 Magnetische Eigenschaften von weichmagnetischen Werkstoffen DIN 50 472 Prüfung von Dauermagneten DIN EN 10 330 Magnetische Werkstoffe – Verfahren zur Messung der Koerzivität DIN EN 60 027-1 Formelzeichen für die Elektrotechnik DIN EN 60 375 Vereinbarungen für Stromkreise und magnetische Kreise DIN EN 60 404-1 Magnetische Werkstoffe DIN EN 60 617 Grafische Symbole für Schaltungsunterlagen DIN EN 61 082-1 Schaltungsunterlagen; Re VDE 004-1 geln für Stromlaufpläne der Elektrotechnik DIN EN 62 044 Kerne aus weichmagnetischen Werkstoffen DIN ISO/IEC Größen und Einheiten – 80 000-6 Elektromagnetismus

Für alle Erscheinungen der Elektrizität und des Magnetismus ist die Ladung Q maßgebend. Ihre Einheit ist Coulomb (C) oder Ampere mal Sekunde: 1 C = 1 A ċ s. Die Eigenschaften gehen aus Tabelle M- hervor.

Tabelle M-. Ladung und ihre Eigenschaften. Eigenschaft der Ladung

Bemerkungen

quantisiert

nur Vielfache der Elementarladung e (e = 1,6022 ċ 1019 A ċ s)

gebunden an Materie

Ladung kommt nicht für sich allein vor, sondern ist immer an Materie gebunden

Ladungserhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System bleibt die Nettoladung (Differenz der positiven und negativen Ladungen) konstant

Ladungstransport

Elektronen oder Ionen (elektrisch geladene Atome oder Moleküle) tragen die Ladung



M Elektrizität und Magnetismus

Bild M-. Bildzeichen der ISO  für die Elektrotechnik (DIN 40 101).

M. Elektrisches Feld



Bild M-. (Fortsetzung).

M.1 Elektrisches Feld Ladungen spannen ein elektrisches Feld auf, das durch elektrische Feldlinien veranschaulicht wird (Bild M-). Die elektrischen Feldlinien beschreiben die Kräfte, die auf eine positive Probeladung im Raum wirken. Je nach Verlauf der Feldlinien gibt es homogene (parallele Feldlinien, Bild M-d) und inhomogene Felder. Ein besonders wichtiger Typ eines inhomogenen Feldes ist das radiale Feld einer Punktladung. Weitere Eigenschaften der Feldlinien sind, wie Bild M- zeigt: – Pfeilrichtung von positiver zu negativer Ladung. – Auf Leitern stehen die Feldlinien immer senkrecht. – Bei Leitern verschieben sich die Ladungen auf der Oberfläche, bis das Innere feldfrei ist (Faraday’scher Käfig, Bild M-f). – Feldlinien schneiden sich nicht.

Bild M-. Elektrisches Feld verschiedener Ladungsgeometrien.



M Elektrizität und Magnetismus

M.1.1 Elektrische Feldstärke Die elektrische Feldstärke wird bestimmt durch die Kraft F, die eine Ladung Q im elektrischen Feld erfährt. Weitere Zusammenhänge gehen aus Übersicht M- hervor. Übersicht M- zeigt, dass die elektrische Feldstärke aus der Ladungsverteilung errechnet werden kann. Für verschiedene Geometrien stehen die Ergebnisse in Tabelle M-. Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht auf den Äquipotenziallinien bzw. -flächen. Deshalb können aus den Äquipotenziallinien (Linien gleichen Potenzials, bzw. gleicher Spannung) die elektrischen Feldlinien, d. h. die elektrischen Felder, bestimmt werden (Bild M-).

Übersicht M-. Elektrische Feldstärke. elektrische Feldstärke F E= Q In inhomogenen Feldern ist die elektrische Feldstärke räumlich nicht konstant. elektrische Feldstärke zwischen den Platten eines Plattenkondensators E = U d elektrische Feldstärke und elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte D) D = εE elektrische Feldstärke und Ladungsverteilung { E dA = (1 ε 0 )  Qi elektrische Feldstärke und Potenzial E = − dφ ds E = −grad φ D d E k E dA b Qi

Bild M-. Äquipotenziallinien und elektrische Feldlinien.

ds grad

U ε

φ

elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte) Plattenabstand elektrische Feldstärke Oberflächenintegral über eine geschlossene Fläche Summe aller Ladungen innerhalb der Fläche Wegelement Gradient (∇) (grad = (∂ ∂x)i + (∂ ∂y) j + (∂ ∂z)k; i, j, k Einheitsvektoren in x-, y- und z-Richtung) Spannung Permittivität (ε = ε 0 εr ); ε 0 elektrische Feldkonstante ε 0 = 8,854 ċ 10−12 C2 (N ċ m2 ) εr Permittivitätszahl elektrisches Potenzial

M. Elektrisches Feld

Tabelle M-. Feldstärken unterschiedlicher geometrischer Ladungsverteilungen. Körper Massivkugel

Geometrie

Ort r

elektrische Feldstärke

innen

E=

außen

1 4πε 0 1 E= 4πε 0

Q r r3 Q r2

innen

E=0

außen

E=

1 Q 4πε 0 r 2

Stab

außen

E=

1 λ 2πε 0 r

Zylinder

innen

E=

1 λ r 2πε 0 R 2

dünne Platte

beide Seiten

E=

1 σ 2ε 0

zwei dünne Platten

zwischen den Platten

E=

1 σ ε0

dicke Platte

Abstand x von der Mittellinie

E=

1 x ε0

Leiter

Oberfläche

E=

1 σ ε0

Hohlkugel





M Elektrizität und Magnetismus

M.1.2 Elektrische Kraft Übersicht M-. Vergleich der Kraft im elektrischen und im magnetischen Feld. Kraft im elektrischen Feld

Übersicht M-. (Fortsetzung). Kraft im magnetischen Feld Lorentz-Kraft

Coulomb-Kraft

immer wirksam Kraft in Richtung des elektrischen Feldes

nur bei bewegter Ladung wirksam Kraft senkrecht zur Geschwindigkeit
und zur magnetischen Flussdichte B elektrische Feldstärke Kraft magnetische Flussdichte Ladung Geschwindigkeit

E F B Q


Übersicht M-. Elektrische Kräfte zwischen Punktladungen und Platten. elektrische Kräfte zwischen Punktladungen (Coulomb’sches Gesetz)

F=

1 Q1 Q2 ; ċ 4πε r2

Q 1 , Q 2 . bzw. . Punktladung, ε Permittivität (ε = ε 0 εr ) ε0 elektrische Feldkonstante ε 0 = 8,854 ċ 10−12 C2 (N ċ m2 ) εr Permittivitätszahl, werkstoffabhängig, 1 = 8,988 ċ 109 m F, 4πε 0 r Abstand der Punktladungen. Hinweise: – Gilt auch für Kugeln, wenn Abstand r u Kugelradius R. – Bei mehreren Ladungen: Kräfteaddition.

elektrische Kräfte zwischen Platten

F=

εAU 2 ; 2d 2

A Plattenfläche, U Spannung zwischen den Platten, d Plattenabstand oder F=

εE 2 A ; d

E elektrische Feldstärke oder F=

EDA QE = ; 2 2

D elektrische Flussdichte, Q elektrische Ladung.

M. Elektrisches Feld



M.1.3 Elektrisches Potenzial

M.1.4 Materie im elektrischen Feld

Übersicht M-. Definition des elektrischen Potenzials.

Befindet sich Materie im elektrischen Feld, dann wirkt auf alle Ladungen in dieser Materie eine elektrische Kraft. Im Leiter erfolgt eine Ladungsverschiebung (Influenz) der positiven und negativen Ladungen, während im Nichtleiter die Ladungen nur geringfügig verschoben werden können (Polarisation).

Wird eine Ladung Q im elektrischen Feld E von einem Punkt  zu einem Punkt A verschoben, dann ist dazu die Arbeit WA gegen die elektrische Kraft F = QE erforderlich: A

A

WA = g F ds = −Q g E ds . 0

0

Elektrisches Potenzial ist der Quotient aus der Verschiebungsarbeit WA und der verschobenen Ladung Q: A

φA =

WA = − g E ds . Q 0

– Bezugspunkt für Potenzial prinzipiell willkürlich, häufig aber unendlich ferner Punkt (positive Ladung erhält positives Potenzial) oder die Leiteroberfläche. – Bei Bewegung der Ladung Q von A nach B ändert sich das Potenzial von φA auf φB B

U AB = φA − φB = g E ds . A

Die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten ist eine Spannung. E F Q ds U AB WA φA , φB

elektrische Feldstärke elektrische Kraft Ladung Wegelement Spannung zwischen den Punkten A und B Verschiebungsarbeit von  nach A Potenzial am Punkt A bzw. B

Flächenladungsdichte σ und elektrische Flussdichte D In einem Leiter sind die Ladungen frei verschiebbar. Deshalb ist das Leitungsinnere immer feldfrei, und die nicht kompensierten Ladungen befinden sich auf der Oberfläche des Leiters. Die Flächenladungsdichte gibt an, wie viel Ladung Q je Fläche A vorhanden ist (Einheit Cm2 ): σ = QA bzw.

σ = dQ dA ;

(M–)

Q Ladung auf der Oberfläche eines Leiters, A Oberfläche des Leiters. Tabelle M-. Permittivitätszahl einiger Werkstoffe. Werkstoffe

Permittivitätszahl εr

Paraffin Polypropylen Polystyrol Polycarbonat Polyester Kondensatorpapier Zellulose Al2 O3 Ta2 O5 Wasser Keramik (NDK) Keramik (HDK)

, , , , ,  bis  ,     bis  103 bis 104



M Elektrizität und Magnetismus

Die elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte) D ist ein Vektor mit dem Betrag der Flächenladungsdichte σ und der Richtung der Flächennormalen (Richtung von der positiven zur negativen Ladung). Der Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke E und elektrischer Flussdichte D lautet: D = εE

(M–)

ε Permittivität (ε = ε 0 εr ) (ε 0 elektrische Feldkonstante, εr Permittivitätszahl oder relative Permittivität, werkstoffabhängige Größe (Tabelle M-)), E elektrische Feldstärke.

Permittivität ε ε = DE ε = ε 0 εr ε 0 = 1(μ 0 c 2 ) = 8,854 ċ 10−12 C2 (N ċ m2 ) ε 0 elektrische Feldkonstante εr Permittivitätszahl oder relative Permittivität, temperatur-, frequenz- und werkstoffabhängige Größe, (Tabelle M-). Je nachdem, ob die wahren Ladungen konstant sind (elektrische Flussdichte D invariant), oder ob die Spannung konstant ist (elektrische Feldstärke E invariant), ändert sich die elektrische

Tabelle M-. Materie im elektrischen Feld. Wahre Ladungen konstant \ elektrische Flussdichte D invariant

Spannung konstant \ elektrische Feldstärke E invariant

D = ε0 E 0

D 0 = ε0 E

D 0 = εr ε 0 E = εE

D 0 = εr ε 0 E

Permittivitätszahl

Permittivitätszahl

εr = E 0 E

εr = D D 0

elektrische Polarisation P

elektrische Polarisation P

P ε 0 = E 0 − E

P = D − D0

P = ε0 E 0 − ε0 E

P = (εr − 1)ε 0 E = χe ε 0 E OPP P P P PQ P P P P P R

= (εr − 1)ε 0 E = χe ε 0 E OPP P P P PQ P P P P P R χe

χe

P = D − ε0 E

P = D − ε0 E

D = ε 0 E + P = ε 0 (E + P ε 0 )

D = ε 0 E + P = ε 0 (E + P ε 0 )

D, D 0 E, E 0 P ε0 εr χe

(M–)

elektrische Flussdichte in Materie bzw. im Vakuum, elektrische Feldstärke in Materie bzw. im Vakuum, elektrische Polarisation, elektrische Feldkonstante (ε 0 = 8,854 ċ 10−12 C2 (N ċ m2 )), Permittivitätszahl, elektrische Suszeptibilität (χe = εr − 1)

M. Elektrisches Feld

Feldstärke E oder die elektrische Flussdichte D (Tabelle M-). Kristalle haben anisotrope Eigenschaften. Hier hat im Allgemeinen der E-Vektor eine andere Richtung als der D-Vektor. Besonders bemerkbar ist dieser Effekt bei höheren Frequenzen. In solchen Substanzen tritt anstelle einer Zahl ein Tensor (M–). D x yz = εr ε 0 E x yz ?ε x x ε x y ε x z B C εr = @ @ε yx ε y y ε yz C A ε zx ε z y ε zz D

Übersicht M-. Kapazität. Schaltzeichen

(M–) D dA C= k ' E ds

(M–)

Kondensatoren und Kapazität Kondensatoren sind Bauelemente, die zur Speicherung von elektrischer Energie und elektrischer Ladung dienen. Sie bestehen aus zwei Körpern mit verschiedenen Ladungen Q, zwischen denen eine Spannung herrscht (Übersicht M-). Die Geometrie und der Abstand der Leiteroberflächen bestimmen die Ladungstrennarbeit und die Spannung. Die Kapazität C gibt an, wie viel Ladung Q je Spannungseinheit 1 V gespeichert werden kann.



C = Q U

Die Einheit der Kapazität C ist F (= Aċs V). In der Praxis gebräuchlich: mF = 10−3 F, μF = 10−6 F nF = 10−9 F, pF = 10−12 F D dA E Q ds U

elektrische Flussdichte Flächenelement elektrische Feldstärke Ladung Wegelement Spannung



M Elektrizität und Magnetismus

Tabelle M-. Kapazitäten verschiedener Leitergeometrien. Körper

Geometrie

Kapazität εA d

Platten

C=

Kugel Gegenelektrode im Unendlichen

C = 4πεr

zwei Hohlkugeln

r2 C = 4πε rr 1−r

zwei gleiche Kugeln

C = 2πεr U1 +

Zylinder

C=

2πεl ln(r 2 r 1 )

Doppelleitung

C=

πεl ln(d r)

2

1

r(a 2 − r 2 ) V a(a 2 − ar − r 2 )

M. Elektrisches Feld

Tabelle M-. Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren. Schaltungsart

Parallelschaltung

Reihenschaltung

konstante Größe

Spannung U = konstant

Ladung Q = konstant

Addition

Gesamtladung QGes = Q 1 + Q 2 + . . . + Q n

Gesamtspannung U Ges = U 1 + U 2 + . . . + U n

Ersatzkapazität

CGes U = C 1 U + C 2 U + . . . + C n U

Q Q Q Q = + +...+ CGes C 1 C 2 Cn

Anordnung

CGes = C 1 + C 2 + . . . + C n

1 1 1 1 = + +...+ CGes C1 C2 Cn

n

CGes = b C i i=1

CGes =

n

b

i=1

1 ! Ci

−1





M Elektrizität und Magnetismus

Übersicht M-. Kondensatoren als elektronische Bauelemente.

M. Elektrisches Feld

Übersicht M-. (Fortsetzung).





M Elektrizität und Magnetismus

Energie und Energiedichte

Übersicht M-. Stromstärke und Stromdichte. elektrische Stromstärke I

Übersicht M-. Energie und Energiedichte im elektrischen Feld.

I=

Elektrische Energie eines Kondensators Q 2 QU CU 2 = = W= 2C 2 2 Energie des elektrischen Feldes W=

1 1 1 εAdE 2 = εE 2 V = DEV 2 2 2

Energiedichte w=

W 1 1 = εE 2 = DE V 2 2

A C d D E Q U V W w ε

Plattenfläche Kapazität Plattenabstand elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte) elektrische Feldstärke Ladung Spannung Volumen Arbeit Energiedichte Permittivität (ε = ε 0 εr ) ε 0 elektrische Feldkonstante ε 0 = 8,854 ċ 10−12 C2 (N ċ m2 ) εr Permittivitätszahl

M.2 Gleichstromkreis

dQ ; dt

t2

Q = g I(t) dt t1

Gleichstrom I=

Q ; t

Q = It

elektrische Stromdichte j j = κE ; A E I j Q dQ t dt κ

j=

I A

Querschnittsfläche elektrische Feldstärke elektrische Stromstärke elektrische Stromdichte Ladung Ladungselement Zeit Zeitintervall elektrische Leitfähigkeit

Der Strom fließt beim Verbraucher vom Pluszum Minuspol, in Spannungsquellen vom Minus- zum Pluspol.

M.2.1 Stromstärke

M.2.2 Elektrische Spannung

Die Stromstärke I (oder der elektrische Strom) ist eine Basisgröße und wird in Ampere (A) gemessen:

Elektrische Spannung entsteht, wenn elektrische Ladungen durch Zuführung von elektrischer Arbeit W getrennt werden. Die elektrische Spannung U ist der Quotient aus der Arbeit W, die zur Verschiebung einer Ladung Q notwendig ist, und dieser Ladung Q. Die Einheit ist Volt (V).

1 A ist die Stärke eines zeitlich unveränderten Stroms, der durch zwei geradlinige parallele Leiter (durch Vakuum getrennt) im Abstand von 1 m fließt und der zwischen diesen Leitern je 1 m Leiterlänge die Kraft F = 2 ċ 10−7 N hervorruft.

U = WQ .

(M–)

M. Gleichstromkreis



Bild M-. Zusammenhang zwischen elektrischem Potenzial und Spannung.

Zwischen der elektrischen Spannung und dem Potenzial besteht folgender Zusammenhang: Die Potenzialdifferenz Δφ zwischen zwei Punkten P1 und P2 entspricht der Spannung zwischen diesen beiden Punkten (Bild M-).

Bild M-. Vor Zeichenregelung für Strom und Spanung nach DIN EN 60 375.

U 12 = φ 1 − φ 2 . In der Technik sind Spannungspfeile üblich, die von Plus nach Minus weisen, d. h. von hohem Potenzial zu niedrigem Potenzial. Die Spannung zeigt von Plus nach Minus, wenn φ 1 φ 2 ist. Bild M- zeigt die Vorzeichenregelung für Strom und Spannung. M.2.3 Widerstand und Leitwert Widerstand R Der elektrische Widerstand ist ein Maß für die Hemmung des Ladungstransports und ist folgendermaßen definiert: Der elektrische Widerstand R beträgt 1 Ohm, wenn zwischen zwei Punkten eines Leiters bei einer Spannung von 1 V ein Strom von genau 1 A fließt. Die Einheit ist 1 VA = 1 Ω (Ohm).

Durch den von von Klitzing entdeckten Quanten-Hall-Effekt lässt sich das Ohm unabhängig von der Geometrie und den Werkstoffeigenschaften festlegen. Ein Widerstandsnormal beträgt 25 812,8 Ω. Dieser Wert errechnet sich folgendermaßen aus Naturkonstanten: he 2 = 25 812,8 Ω (h Planck’sches Wirkungsquantum: h = 6,626176 ċ 10−34 J ċ s; e Elementarladung: e = 1,602 ċ 10−19 C). Leitwert G Der elektrische Leitwert ist der Kehrwert des elektrischen Widerstandes: G = 1R .

(M–)

Seine Einheit ist S (Siemens), Ω−1 oder mho (,,Ohm rückwärts“, im englischsprachigen Raum verwendet).



M Elektrizität und Magnetismus

Übersicht M-. Widerstände als elektronische Bauelemente.

Widerstand eines metallischen Leiters

Übersicht M-. (Fortsetzung).

Übersicht M-. Widerstand, spezifischer Widerstand und elektrische Leitfähigkeit eines metallischen Leiters.

– Temperaturabhängigkeit des Widerstandes bei Metallen R(ϑ)  R 20 [1 + α(ϑ − 20  C)] (ϑ)  20 [1 + α(ϑ − 20  C)] – für hohe Temperaturen R = R 20 (1 + αΔT + βΔT 2 )

Widerstand R R = l A;

Einheit Ω

spezifischer elektrischer Widerstand  (Resistivität)  = (RA) l;

Einheit (Ω ċ mm2 ) m = 10−6 Ω ċ m

elektrische Leitfähigkeit κ κ = 1  = l (RA) Temperaturabhängigkeit – Temperaturkoeffizient α α = ΔR (RΔT) = Δ (ΔT)

A I R ΔR R 20 ΔT a β ϑ κ 

Querschnittsfläche des Leiters Länge des Leiters Widerstand Widerstandsänderung Widerstand bei 20  C Temperaturdifferenz Temperaturkoeffizient zweiter Temperaturkoeffizient Temperatur in  C elektrische Leitfähigkeit spezifischer elektrischer Widerstand

M. Gleichstromkreis

Übersicht M-. (Fortsetzung).





M Elektrizität und Magnetismus

M.2.4 Elektrische Arbeit, elektrische Leistung und Wirkungsgrad Um eine Ladung Q von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 zu bewegen, zwischen denen eine Spannung U liegt, ist eine elektrische Arbeit W erforderlich. Die Leistung P ist die je Zeiteinheit dt erbrachte Arbeit dW. Der elektrische Wirkungsgrad η errechnet sich als Quotient aus abgegebener Pab und zugeführten Leistung Pzu (Übersicht M-). M.2.5 Ohm’sches Gesetz In einem metallischen Leiter nimmt bei konstanter Temperatur der Strom I proportional zur angelegten Spannung U zu. Die charakteristische Kennlinie des Ohm’schen Widerstandes ist eine Gerade, deren Steigung der elektrische Leitwert G ist (Übersicht M-). Viele elektronische Bauelemente zeigen einen nichtlinearen Verlauf der Kennlinie (Bild M-).

Übersicht M-. Elektrische Arbeit, elektrische Leistung und Wirkungsgrad. elektrische Arbeit W W = QU – für zeitabhängige Ströme und Spannungen W = g u(t)i(t) dt = g P(t) dt – für Gleichstrom W = Pt = U It = I 2 Rt = U 2 t R Einheit: W ċ s, J oder kWh, 1 kWh = 3,6 ċ 106 W ċ s elektrische Leistung P P(t) = dW dt – für zeitlich konstanten Strom P = W t = U I = U 2 R = I 2 R Einheit: 1 W = 1 J s Wirkungsgrad η elektrischer Maschinen η = Pab Pzu = Wab Wzu Wirkungsgrad η eines elektrischen Verbrauchers η = Pn (Pn − Pv ) I R t P U W Pab Pzu Wab Wzu Pn Pv

Bild M-. Kennlinien verschiedener elektronischer Bauelemente.

elektrische Stromstärke elektrischer Widerstand Zeit elektrische Leistung Spannung elektrische Arbeit abgegebene Leistung zugeführte Leistung abgegebene Arbeit zugeführte Arbeit Nutzleistung Leistungsverlust

M. Gleichstromkreis

Übersicht M-. Ohm’sches Gesetz. I I U R

= GU = U R " = P U; I = P R = R I ; U = I G ; U = P I; = U I ; R = U 2 P ; R = P I 2

G I R P U

elektrischer Leitwert elektrischer Strom Widerstand Leistung Spannung

Differenzieller Widerstand Sind die Kennlinien nicht linear, dann hat der Widerstand in jedem Punkt der Kennlinie einen anderen Wert. Es wird dann der differenzielle Widerstand r angegeben (Bild M-).

M.2.6 Elektrische Netze – Kirchhoff’sche Regeln Ein Netzwerk ist aus Knoten und Maschen aufgebaut. Ein Knoten ist ein Punkt, an dem sich die Ströme I verzweigen, und eine Masche beschreibt einen geschlossenen Umlauf innerhalb des Netzwerkes (Bild M-). Knotenregel (1. Kirchhoff ’sches Gesetz) In einem Stromknoten kann keine Ladung entstehen oder verschwinden (Ladungserhaltungssatz). Deshalb gilt, wie Bild M- zeigt: Die Summe aller Ströme eines Stromknotens ist null: 7 I i = 0. Die zuströmenden Ströme sind positiv, die abfließenden negativ zu nehmen.

Bild M-. Differenzieller Widerstand.

Richtungssinn Das Ohm’sche Gesetz gilt nur, wenn die Spannung U und der Strom I dieselbe Richtung aufweisen (sonst müssen Minuszeichen verwendet werden). Die Regeln für die Vorzeichen und Richtungen des elektrischen Stroms I und der elektrischen Spannung U sind Übereinkünfte und in DIN EN 60 375 genormt (Bild M-). Beim positiven Strom ist der Minuspol an der Pfeilspitze. Bei einer Indizierung wird dringend empfohlen, dass der Pfeil vom Index  auf den Index  zeigt. Doppelpfeile müssen unter allen Umständen vermieden werden, da in solchen Fällen das Vorzeichen der Spannung unbestimmt ist.



Bild M-. Elektrisches Netz: Knoten und Maschen.

Bild M-. Ströme im Stromknoten.



M Elektrizität und Magnetismus

Tabelle M-. Spezifischer elektrischer Widerstand, elektrische Leitfähigkeit und Temperaturkoeffizient ausgewählter Leiterwerkstoffe (bei   C). Werkstoff

Spezifischer Elektrische Temperatur- Werkstoff Elektrischer Leitfähig- koeffizient α Widerstand keit κ  2 Sċm 10−2 Ωċmm 10−4 K−1 m mm 2

Aluminium 2,65 AlMgSi 3 Al-Bronze 13 (Cu90 Al10 ) Blei 19 Bronze 18 CrAl  137 (Heizleiterlegierung) CrAl  144 (Heizleiterlegierung) Dynamoblech 13 Eisen 8,9 Gold 2,04 Grafit 800 Grauguss 80 Indium 8,4 Iridium 5,3 Konstantan 50 Kupfer 1,56 Magnesium 4,6 Manganin 43 Messing 7

37,7 32 8

42,9 36 32

5,3 5,6 0,7

42 5 0,5

0,7

0,1

8 11,2 49 0,13 1,2 11,9 18,9  64,1 22 2,3 14,3

45 65 40 −2 19 49 39 0,1 43 38 0,1 13

Stromverhältnis In einer Parallelschaltung nach Bild M- verhalten sich die Teilströme wie die Teilleitwerte G und umgekehrt wie die Teilwiderstände R: Maschenregel (2. Kirchhoff ’sches Gesetz) Bei einem kompletten Umlauf einer Ladung in einer Masche ist die zugeführte und die abgeführte elektrische Arbeit gleich groß. Deshalb gilt: Die Summe aller Spannungen eines Stromkreises (Masche) ist null: 7 U i = 0.

Spezifischer Elektrische Temperaturelektrischer Leitfähig- koeffizient α Widerstand keit κ  2 Sċm 10−2 Ωċmm 10−4 K−1 m mm 2

Monel 42 Neusilber 30 Ni60 Cr15 Fe 110 Nickel 6,84 Nickelin 43 Palladium 10 Platin 10 Platin32 Iridium Platin20 Rhodium Quecksilber 95 Silber 1,51 Stahl 13 (0,1% C; 0,5% Mn) Stahl 18 (0,25%C; 0,3% Si) Tantal 16 Wismut 120 Wolfram 4,9 Zink 5,5 Zinn 10,4

2,8 3,3 1 14,6 2,32 10 10,2 3,1

2 32 1,3 68 38 39,2

5 1 66,2 7

1 41 45

5,5

45

6,2 0,8 20,4 18,2 9,6

35 45 48 42 46

Der gewählte Umlaufsinn ist beliebig. Die in Zählrichtung zeigenden Spannungen werden positiv, die gegen die Zählrichtung laufenden werden negativ eingesetzt (Bild M-). Spannungsverhältnis In einer Reihenschaltung nach Bild M- verhalten sich die Teilspannungen wie die Teilwiderstände R.

M. Gleichstromkreis



Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen Übersicht M-. Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen. a) Reihenschaltung

Bild M-. Stromverhältnisse bei Parallelschaltung.

b) Parallelschaltung

Bild M-. Beispiel einer Masche.

1 1 1 1 1 = + + +... Rges R1 R2 R3 Rn

n

Gges = G 1 + G 2 + G 3 + . . . G n = b G i i=1

Gesamtleitwert = Summe Teilleitwerte Gm R Im = + k Ik Gk Rm

(m, k = 1, 2, 3 . . . n)

Teilströme verhalten sich wie Teilleitwerte oder umgekehrt wie Teilwiderstände.

Bild M-. Spannungsverhältnisse bei Reihenschaltung.



M Elektrizität und Magnetismus

Übersicht M-. (Fortsetzung). Parallelschaltung von zwei Widerständen Schaltung

Formeln Rges =

Grundstromkreis mit Spannungsquelle

R1 R2 R1 + R2

Widerstände gleich groß Rges =

R 2

Parallelschaltung von drei Widerständen Schaltung

Formeln Rges =

R1 R2 R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3

Widerstände gleich groß Rges =

zurechnen (oder umgekehrt). Die Widerstände zwischen den Anschlussklemmen ,  und  bleiben dabei erhalten (Übersicht M-).

R 3

Übersicht M- zeigt den Grundstromkreis, dargestellt mit einer realen Spannungsquelle (Teilbild a) oder mit einer realen Stromquelle (Teilbild b). Ein Stromkreis besteht im einfachsten Fall aus einer Spannungsquelle, die den Strom I liefert, der durch den äußeren Widerstand Ra fließt. Wie das Teilbild a) in der Übersicht M- zeigt, hat die Spannungsquelle selbst einen inneren Widerstand Ri (z. B. der Elektrolyt eines galvanischen Elements). Der Spannungsabfall am Innenwiderstand ist nach dem Ohm’schen Gesetz Ui = R i I von der Stromstärke I abhängig. Grundstromkreis mit Stromquelle

Dreieck-Stern-Umwandlung In Widerstandsnetzen ist es häufig sinnvoll, eine Dreieckschaltung in eine Sternschaltung um-

Der Stromkreis kann auch aus einer Stromquelle bestehen, zu der parallel ein innerer Leitwert Gi liegt (Übersicht M-, Teilbild b).

Übersicht M-. Stern-Dreieck-Umwandlung. a) Sternschaltung

b) Dreieckschaltung

c) gleiche Widerstände

RS =

RD RD RD + RD + RD

RD = RS + RS +

RS RS RS

RS =

RS =

RD RD RD + RD + RD

RD = RS + RS +

RS RS RS

RD = 3RS

RS =

RD RD RD + RD + RD

RD = RS + RS +

RS RS RS

RD 3

M. Gleichstromkreis

Übersicht M-. Grundstromkreis mit realer Spannungs- bzw. Stromquelle. reale Spannungsquelle Ri

reale Stromquelle 1

I

I

1

Ii

Ui Uq

U12

Ra

Iq

U12

Gi =1/Ri

2

Ra

2

Strom im Außenkreis I=

Uq Ri + Ra

I = Iq − Ii = Iq −

U 12 = Iq − U 12 Gi Ri

Klemmenspannung U 12 = IRa = U q − IRi = U q

Ra Ri + Ra

U 12 =

Iq Iq = 1 1 Ga + Gi + Ra Ri

Leerlaufspannung (offene Klemmen) UL = Uq

U L = Iq Ri = Iq Gi

Kurzschlussstrom (U 12 = 0) IK =

Uq UL = Ri Ri

IK = Iq

Leistungen Pe = Pi + Pa Pa =

Ra U q2 (Ri + Ra )2

Pe = Pi + Pa =

U q2 Ri

ċ

 (1 + )2

Pa =

Ga Iq2 (Gi + Ga )2

= Iq2 Ri ċ

 (1 + )2





M Elektrizität und Magnetismus

Übersicht M-. (Fortsetzung). reale Spannungsquelle

reale Stromquelle

Leistungsanpassung (maximale Leistungsentnahme) bei Ra = Ri , Pa,max = Ii , Iq Ra , Ri Ga , Gi Pe , Pa , Pi U 12 U q 

=1 2 1 Uq 4 Ri

Pa,max =

1 2 I q Ri 4

Strom durch Innenwiderstand, Quellenstrom Außen-, Innenwiderstand Leitwert außen, innen elektrische Leistung, äußere, innere Leistung Klemmenspannung zwischen  und , Quellenspannung Widerstandsverhältnis,  = Ra Ri

Lineare Überlagerung (Helmholtz’sches Superpositionsprinzip) Es gilt der Überlagerungssatz: Jede Stromstärke Im in einem Stromzweig m errechnet sich aus der Summe aller durch diesen Zweig fließenden Teilströme Im1 bis Imn , die durch die einzelnen Quellenspannungen verursacht werden.

M.2.7 Messung von Strom und Spannung Strommessung Der Strommesser muss im Stromkreis liegen (Hauptschluss). Bei der Messbereichserweiterung muss der überschüssige Stromanteil durch einen parallelen Widerstand (Shunt) R p am Messgerät vorbeigeleitet werden (Bild M-). Spannungsmessung

Bild M- zeigt die Berechnungen. Der Strom I 2 soll berechnet werden. Er wird durch die beiden Quellenspannungen U 01 und U 02 erzeugt. Deshalb gilt I 2 = k 1 U 01 + k 3 U 03 . Zur Berechnung von I 2 = k 1 U 01 wird die Spannungsquelle U 03 kurzgeschlossen (U 01 = 0), und zur Berechnung von I 2 = k 3 U 03 wird die Spannungsquelle U 01 kurzgeschlossen. Die Summe beider Beiträge ergibt die gesuchte Stromstärke. Allgemein gilt für die Stromstärke Im im Zweig m:

Der Spannungsmesser liegt parallel zum zu messenden Spannungsabfall (Nebenschluss). Sein Innenwiderstand R i muss möglichst groß sein, damit der Strom möglichst ganz durch den Außenwiderstand fließt. Bei einer Messbereichserweiterung muss der überschüssige Spannungsanteil an einem Vorwiderstand R v abfallen (Bild M-).

M.2.8 Ausgewählte Messverfahren Spannungsteiler

Im = k 1 U 01 + k 2 U 02 + k 3 U 03 + . . . + k n U 0n ; Im = Im1 + Im2 + Im3 + . . . + Imn .

Mit Hilfe dieser Schaltung ist eine Aufteilung einer Gesamtspannung in kleinere Einzelspannungen möglich. Bild M- zeigt den Unterschied zwischen einem unbelasteten und einem belastetem Spannungsteiler.

M. Gleichstromkreis



Bild M-. Berechnung der Teilströme mit dem Überlagerungssatz.

Bild M-. Messbereichserweiterung von Strommessern.

Bild M-. Messbereichserweiterung von Spannungsmessern.



M Elektrizität und Magnetismus

M.3 Ladungstransport in Flüssigkeiten

Bild M-. Spannungsteiler.

Brückenschaltungen Brückenschaltungen dienen zum Messen von Widerständen. Üblicherweise verwendet man die Wheatstone’sche Brücke nach Bild M-a. Bei sehr kleinen Widerständen (R x < 0,1 Ω) machen sich die Widerstände in den Zuleitungen störend bemerkbar. In diesen Fällen misst man mit einer Thomson-Brücke nach Bild M-b.

Der elektrische Strom in Flüssigkeiten wird von geladenen Atomen oder Molekülen, den Ionen, getragen. Diese Ladungsträger entstehen dadurch, dass sich Salze, Säuren oder Laugen beim Eintragen in Lösungsmittel in positiv und negativ geladene Moleküle bzw. Atome aufspalten, sie dissoziieren. Die positiven Ionen werden Kationen genannt, weil sie zur Katode wandern (negative Elektrode) und die negativen Ionen nennt man Anionen, weil sie zur Anode wandern (positive Elektrode). Elektrisch leitende Flüssigkeiten, die aus Kationen und Anionen bestehen, werden Elektrolyte genannt. Werden zwei Elektroden (Katode und Anode) in einen Elektrolyten getaucht und an eine Spannungsquelle angeschlossen, dann findet eine elektrolytische Stromleitung statt, in der der Elektrolyt zersetzt wird. An der Katode (Minuspol) scheidet sich stets Metall oder Wasserstoff ab, an der Anode (Pluspol) der Molekülrest (Anionen), wie Bild M- zeigt.

Bild M-. Wheatstone-Brücke (a) und Thomson-Brücke (b).

M. Ladungstransport in Flüssigkeiten



Die Elektrolyse spielt in der Technik vor allem beim Aufbringen von Metallüberzügen (Galvanisieren) eine wichtige Rolle. Die häufigsten Metallüberzüge bestehen aus Chrom, Nickel, Gold und Silber. 1. Faraday’sches Gesetz Die Masse m des abgeschiedenen Stoffes ist nur der transportierten Ladungsmenge Q = It proportional. Sie hängt weder von der Geometrie noch von der Konzentration des Elektrolyten ab.

Bild M-. Elektrolyse.

Übersicht M-. Faraday’sches Gesetz. m = νM =

M M It = It = ÄIt = ÄQ zNA e zF

elektrochemisches Äquivalent Ä Ä=

m M = zF Q

2. Faraday’sches Gesetz

Faraday-Konstante F 4

F = NA e = 9,648 ċ 10 A ċ s mol e I M m NA ν Q t z

Mit dem . Faraday’schen Gesetz ist es möglich, aus den abgeschiedenen Massen den Strom oder die Ladung zu messen, oder aus Strom und Ladung die abgeschiedenen Stoffmengen zu bestimmen. Das elektrochemische Äquivalent Ä gibt an, wie viel Masse (in kg) eines Stoffes bei einer Stromstärke von 1 A in der Zeit von 1 s abgeschieden wird. Das Produkt aus Avogadro-Konstante N A und Elementarladung e wird Faraday-Konstante F genannt (F = 9,648 ċ 104 (As ċ s)mol).

Elementarladung (e = 1,602 ċ 10−19 A ċ s) elektrischer Strom Molmasse abgeschiedene Masse Avogadro-Konstante (NA = 6,022 ċ 1023 mol−1 ) Stoffmenge (Molzahl) Ladung Zeit Wertigkeit

Die von gleichen Elektrizitätsmengen abgeschiedenen Massen (elektrochemische Äquivalente) verhalten sich wie die Molmassen je Wertigkeit.

Elektrochemische Spannungsreihe Wird ein Metall in einen Elektrolyten getaucht, dann stellt sich gegen eine Vergleichselektrode eine Spannung ein, die vom Material abhängig ist. Wird das Potenzial gegen eine Standardwasserstoff-Elektrode gemessen, dann ergibt sich die elektrochemische Spannungsreihe (Tabelle M-).



M Elektrizität und Magnetismus

Übersicht M-. . Faraday’sches Gesetz. m1 M 1 M 2 Ä1 =

= m2 z1 z2 Ä2 m1 , m2 M1 , M2 z1 , z2 Ä1 , Ä2

abgeschiedene Massen Molmassen  und  Wertigkeit  und  elektrochemische Äquivalente  und  Elektrochemische Daten einiger Elemente

Element

Wasserstoff Sauerstoff Aluminium Eisen Nickel Kupfer Zink Silber Zinn Platin

Wertigkeit

         

g mol

Molmasse Wertigkeit g mol

, , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , ,

Molmasse

elektrochemisches Äquivalent 10−3

Faraday-Konstante Aċs mol

g Aċs

, , , , , , , , , ,

96 364 96 486 96 489 96 441 96 515 96 433 96 487 96 470 96 482 96 412

Tabelle M-. Elektrochemische Spannungsreihe der Metalle.

Tabelle M-. (Fortsetzung).

Metall

Spannung U in V

Metall

Spannung U in V

−, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −,

Sn/Sn2+ Pb/Pb2+ H/H+ Cu/Cu2+ Cu/Cu+ Hg/Hg2+ Ag/Ag+ Hg/Hg2+ Pt/Pt2+ Au/Au+ Au/Au3+

−, −, 0 +, +, +, +, +, +, +, +,

+

Li/Li Cs/Cs + K/K + Ca/Ca2+ Na/Na+ Mg/Mg2+ Al/Al3+ Mn/Mn2+ Zn/Zn2+ Fe/Fe2+ Cd/Cd2+ Ni/Ni2+

Galvanische Elemente Galvanische Elemente wandeln chemische Energie in elektrische Energie um. Findet keine Rückumwandlung statt, dann spricht man von

Primärelementen. Kann die elektrische Energie wieder in chemische rückverwandelt werden (z. B. bei wieder aufladbaren Batterien), dann handelt es sich um Sekundärelemente.

M. Ladungstransport im Vakuum und in Gasen

M.4 Ladungstransport im Vakuum und in Gasen

Ekin =

M.4.1 Ladungstransport im Vakuum Für einen Ladungsträgertransport im Vakuum müssen freie Ladungsträger erzeugt werden. Von großer Wichtigkeit ist die Elektronenemission. Elektronen sind im Metallverbund zwar leicht beweglich, doch werden sie an der Oberfläche wegen der Anziehungskräfte der zurückbleibenden Atomrümpfe am Verlassen gehindert. Es ist notwendig, Energie in Höhe der Austrittsarbeit WA zuzuführen. Thermische Emission Durch Erwärmen der Glühkatode entsteht eine Stromdichte j, die der Richardson’schen Gleichung gehorcht: j = AT 2 e−WA kT ; A

T WA k

Hinweis: Die Austrittsarbeit WA wird meist in eV angegeben. Für die Umrechnung in J gilt: −19

(M–)

me Masse des Elektrons (me = 9,109 ċ 10−31 kg),  Geschwindigkeit des freigesetzten Elektrons, h Planck’sches Wirkungsquantum (h = 6,626 ċ 10−34 J ċ s), f Frequenz der auftreffenden Photonen, WA Austrittsarbeit. Je höher die Lichtfrequenz f , um so höher ist die kinetische Energie der freigesetzten Elektronen. Je höher die Lichtintensität (Photonenstrom), um so mehr Elektronen werden je Zeiteinheit freigesetzt. Die Mindestfrequenz (Grenzfrequenz) fg , bei der die Freisetzung erfolgen kann, ist

(M–)

Richardson-Konstante [liegt zwischen 106 A(m2 ċ K2 ) für Wolfram und 102 A(m2 ċ K2 ) für Metalloxide], Temperatur der Katode, Austrittsarbeit des Katodenmaterials, Boltzmann-Konstante (k = 1,380ċ10−23 JK = 8,617ċ10−5 eVK).

1 eV = 1,602 ċ 10

m e 2 = h f − WA ; 2



J.

(M–)

Fotoemission Treffen Lichtquanten (Abschn. L.) mit der Energie E = h f auf eine Metalloberfläche, dann lösen sich Elektronen aus dem Metallverbund, wenn die Energie der Photonen größer als die Austrittsarbeit WA ist. Die kinetische Energie der freigesetzten Elektronen Ekin errechnet sich aus

fg = WA h .

(M–)

Daraus errechnet sich die maximale Wellenlänge λg des Lichts zu λg =

ch 1240 = nm ; WA WA eV

(M–)

c Vakuumlichtgeschwindigkeit (c = 2,9979 ċ 108 ms), h Planck’sches Wirkungsquantum (h = 6,626 ċ 10−34 Js). Sekundärelektronenemission Wird Materie mit schnellen Elektronen beschossen, so kann die kinetische Energie der Elektronen wiederum die Austrittsarbeit WA überwinden und nochmals Elektronen freisetzen (Sekundärelektronen). Der Sekundäremissionsfaktor gibt an, wie viele Sekundärelektronen im Verhältnis zu den Primärelektronen emit-



M Elektrizität und Magnetismus

Tabelle M-. Primärelemente. Bezeichnung positive Elektrode

Zink/Braunstein (Leclanché)

Zink/Braunstein (alkalisch)

Zink/Luft (alkalisch)

Zink/Luft (sauer)

− − − + MnO 2 + e− + NH+ 4 MnO 2 + e + H 2 O O 2 +  e + H 2 O O 2 + e + H 4     MnOOH + OH− OH− MnOOH + NH 3 OH− + NH 3

Zink/ Silberoxid Ag 2 O +  e− + H 2 O  Ag + OH−

Zn + OH− Zn + OH− Zn    − − ZnO + H 2 O +  e ZnO + H 2 O +  e Zn 2+ +  e−

Zn + OH−  ZnO + H 2 O +  e−

Zn + MnO 2 + NH 4 Cl  MnOOH + Zn(NH 3 ) 2 Cl 2

Zn + MnO 2 + H2 O  MnOOH + ZnO

Zn + O 2 + H 2 O Zn + O 2 +  NH 4 Cl Zn(OH) 2  H 2 O + Zn(NH 3 )Cl 2

Zn + Ag 2 O  ZnO + Ag

Energiedichte in Whl

 bis 

 bis 

 bis 

 bis 

 bis 

Energiedichte in Whkg

 bis 

 bis 

 bis 

 bis 

 bis 

Nennspannung , in V

,

,

,

,

Strombelastung  in mAcm 2









Einsatzgebiete

Konsumtechnik: Taschenlampen, Messgeräte, Spielzeug, Radio, Tonband, Haushalt

Hörgeräte, Nachrichtengeräte (Sender), Rechner, Großuhren, Messgeräte

LangzeitanwenLangzeitanwendungen, Hörgerä- dungen Fernte meldegeräte, Baustellenbeleuchtung, Weidezaun

Bezeichnung

Cadmium/ Quecksilber

Zink/ Quecksilber

Lithium/ Braunstein

positive Elektrode

HgO +  e− + H 2 O HgO +  e− + H 2 O MnO 2 + e− + Li+ SOCl 2 +  e−     Hg + OH− Hg + OH− MnO 2 (Li+ ) SO 2 + S + Cl−

negative Elektrode

Cd + OH− Zn + OH− Li    CdO + H 2 O +  e− ZnO + H 2 O +  e− Li+ + e−

Li

Zellenreaktion

Cd + HgO  Hg + CdO

Zn + HgO  Hg + ZnO

Li + MnO 2  MnO 2 (Li+ )

Li + SOCl 2  LiCl + SO 2 + S

Energiedichte in Whl

 bis 

 bis 

 bis 

 bis 

Energiedichte in Whkg

 bis 

 bis 

 bis 

 bis 

Nennspannung , in V

,

, bis ,

,

Strombelastung  in mA/cm 2



,

,

Einsatzgebiete

Fotos, Blitzgeräte, Hörgeräte, Belichtungsmesser, Uhren

Konsumtechnik: Fotos, Blitzgeräte, Computer, Notstrom, Medizintechnik

Herzschrittmacher, Bojenbeleuchtung

negative Elektrode

Zn

Zellenreaktion

 Zn 2 +  e−

militärische Anwendungen

Lithium Thionylchlorid

 Li+ + e−

Armbanduhren, Hörgeräte

M. Ladungstransport im Vakuum und in Gasen



Tabelle M-. Sekundärelemente. Batterietypen

Eigenpositive schaften negative Elektrode Elektrolyt Reaktion

Blei

Nickel/Cadmium Nickel/Eisen

Lithium

PbO2

NiOOH

NiOOH

LiCoO2 , LiMN2 O4

Pb

Cd

Fe

Li, in Grafit

H2 SO4 + H2 O

KOH + H2 O

–

organisch

PbSO4 + H2 O

Cd(OH)2 + Ni(OH)2

Fe(OH)2 + Ni(OH)2

LiC6 + MnO2

Laden

    \ 

Laden

Laden

Laden

           \ 

    \ 

    \ 

Cd + NiOOH + H2 O

Fe + NiOOH + H2 O

Kapazität in Ah  bis 

10−2 bis 

bis 

, bis 

Energiedichte in Wh l

 bis 

 bis 

 bis 

 bis 

Energiedichte in Wh kg

 bis 

 bis 

 bis 

 bis 

Zellspannung in V



,

,

 bis ,

Strombelastung  bis  in A

2 ċ 10−3 bis 

bis 

bis 

Lade-/Entlade-  bis  zyklen

bis 

bis 

bis 1000

Normen

DIN EN 61 951- DIN EN 61 959 DIN EN 62 133 DIN EN 62 259

DIN EN 61 951- DIN EN 61 960 DIN EN 61 959 DIN EN 61 233 DIN EN 62 133

Konsumelektronik Hörgeräte Kameras Datensicherung

Schienenfahrzeuge Schiffe

Entladen

PbO2 + H2 SO4 + Pb

DIN EN 60 254 DIN EN 60 896 DIN EN 61 056

Einsatzbereiche Notstrom Starter Antriebe

Entladen

Entladen

Entladen (vereinfacht)

C + LiMn2 O4

Tragbare elektronische Geräte, Handy, Notebook, Personal Digital Assistant (PDA)



M Elektrizität und Magnetismus

tiert werden. Er liegt bei reinen Metallen bei  und für Halbleiter zwischen  und . Im FotoMultiplier (Sekundärelektronenvervielfacher, SEV) wird der Effekt zur Messung sehr kleiner Lichtintensitäten angewandt. Feldemission Die Kraft des elektrischen Feldes reicht ab einer elektrischen Feldstärke von E = 109 Vm aus, um Elektronen freizusetzen. Auf diesem Effekt beruht das Feldelektronenmikroskop, mit dem atomare Strukturen sichtbar gemacht werden können.

Übersicht M-. (Fortsetzung). Geschwindigkeit  # =

2QU m

Für Elektronen (me = 9,109 ċ 10−31 kg; e = 1,602 ċ 10−19 A ċ s) ist # 2eU = 5,931 ċ 105 U V m s . = me Hinweis: Für sehr schnelle Teilchen (  10% der Vakuumlichtgeschwindigkeit) muss der relativistische Massenzuwachs berücksichtigt werden: m= 2

M.4.2 Stromleitung im Vakuum Kinetische Energie und Geschwindigkeit Ein elektrisch geladenes Teilchen wird im elektrischen Feld der Feldstärke E wegen der elektrischen Kraft F el = QE in Feldrichtung mit der Beschleunigung a beschleunigt (Übersicht M-).

Übersicht M-. Kinetische Energie und Geschwindigkeit geladener Teilchen im elektrischen Feld. Beschleunigung a a=

Q E m

kinetische Energie Ekin Ekin =

1 2 m = QU 2

Energien werden in der Atom- und Kernphysik üblicherweise in Elektronenvolt (eV) gemessen. Das ist diejenige Energie, die ein Elektron mit der Elementarladung e = 1,602 ċ 10−19 A ċ s beim Durchlaufen der Spannung U = 1 V erhält. 1 eV = 1,602 ċ 10−19 J 1 J = 6,2415 ċ 1018 eV

m0 1−

2 c2

Geschwindigkeit  $ %  = c% % &1 −

1 9 mQUc 2 0

+ 1:

Für Elektronen ist #  = 2,998 ċ 108 1 − a c E Ekin e m, m 0 me Q U 

2

1 m s . (1 + 1,957 ċ 10−6 U V)2

Beschleunigung Vakuumlichtgeschwindigkeit (c = 2,9979 ċ 108 m s) elektrische Feldstärke kinetische Energie Elementarladung (e = 1,602 ċ 10−19 A ċ s) Masse, Ruhemasse Masse eines Elektrons (me = 9,109 ċ 10−31 kg) Ladung Spannung Geschwindigkeit

Bewegung eines Elektrons senkrecht zum elektrischen Feld Die Bewegung entspricht, wie Übersicht M- zeigt, einem waagerechten Wurf : In x-Richtung bewegt sich das Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit v 0x , und in y-Richtung ist die Beschleunigung a = eEm wirksam.

M. Ladungstransport im Vakuum und in Gasen

Übersicht M-. Flugbahn eines Elektrons quer zum elektrischen Feld.



Übersicht M-. Bewegung eines Ladungsträgers parallel zum elektrischen Feld.

Geschwindigkeit 

Bahngleichung y = f (x) y=

U Kond 2 eE x2 = x 2me 20x 4dU a

=

 y eE eEl lU Kond t= = 0x me 0x me 20x 2dU a

Ablenkung b am Schirm b=

eEls eU Kond ls lsU Kond = = me 20x me d20x 2dU a

ay b d e E l me s t U Kond Ua 0x φ

Beschleunigung in y-Richtung Ablenkung am Schirm Plattenabstand Elementarladung (e = 1,602 ċ 10−19 A ċ s) elektrische Feldstärke Plattenlänge Masse eines Elektrons (me = 9,109 ċ 10−31 kg) Abstand Plattenmitte–Schirm Zeit Spannung zwischen den Kondensatorplatten Anodenspannung (Beschleunigungsspannung) Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung Ablenkwinkel

Bewegung eines Ladungsträgers parallel zum elektrischen Feld Ein geladenes Teilchen wird, wie Übersicht M- zeigt, parallel zum elektrischen Feld beschleunigt.

#

2QE y m

Weg in y-Richtung y=

QE 2 t 2m

Q E F el m  y

Ladung elektrische Feldstärke elektrische Kraft (F el = QE) Masse des Teilchens Geschwindigkeit y-Koordinate

Ablenkwinkel φ tan φ =

QE t= m

M.4.3 Stromleitung in Gasen Gase sind gewöhnlich Nichtleiter. Um sie elektrisch leitend zu machen, müssen entweder Ladungsträger eingebracht (Ladungsträgerinjektion) oder die Gase ionisiert werden. Unselbständige Gasentladung Hierbei befinden sich ionisierte Gase zwischen zwei Elektroden der Spannung U. Bild M- zeigt den Strom-Spannungs-Verlauf. Im Bereich I gilt das Ohm’sche Gesetz: Die Gasionen stoßen auf dem Weg zur gegenpoligen Elektrode auf den Widerstand anderer Gasatome und rekombinieren, falls sie auf entgegengesetzte Ladungen treffen (Rekombinationsbereich). Steigt die Spannung weiter, dann fließen die Gasionen so schnell zur entgegengesetzten Elektrode ab, dass keine Rekombinationen stattfinden können. Es



M Elektrizität und Magnetismus

Bild M-. Strom-Spannung-Verlauf einer unselbständigen Gasentladung.

stellt sich ein Sättigungsstrom ein. Werden die Elektronen so stark beschleunigt, dass ihre kinetische Energie neutrale Gasatome zu ionisieren vermag, kommt es zur Sekundärionisation. Diese Sekundärionen tragen zur weiteren Stromzunahme bei (Bereich III). Selbständige Gasentladung Diese Entladung heißt selbständig, weil sie ohne ständige Zufuhr von Ionen abläuft. Die kinetische Energie der Ionen ist so hoch, dass diese weitere neutrale Gasatome ionisieren können. Für die Ionisationsenergie gilt WH

eE ; p

(M–)

Katodenstrahlen Wird in einer Gasentladungsröhre der Druck auf 10 Pa bis 1 Pa verringert, so ist die Wahrscheinlichkeit für Stoßprozesse gering. Deshalb können die Elektronen aus der Katode das Feld mit hoher und unverminderter Geschwindigkeit durchlaufen (Katodenstrahlen). Die Katodenstrahlen können fotografische Schichten schwärzen oder bestimmte Stoffe zum Leuchten bringen. Ferner werden sie durch magnetische und elektrische Felder abgelenkt. Sie werden zur Bilderzeugung in Fernsehröhren eingesetzt.

M.5 Magnetisches Feld M.5.1 Beschreibung

e elektrische Elementarladung (e = 1,602 ċ 10−19 A ċ s), E elektrische Feldstärke, p Gasdruck. Der Ionisierungskoeffizient s gibt an, wie viel Ionen je Wegstrecke zusätzlich erzeugt werden und ist eine Funktion von Ep, sodass gilt s = f (Ep) .

Glimmentladung Wird der Gasdruck stark verringert, dann entstehen Leuchtbereiche. In der Nähe der Katode entsteht das Licht durch die Rekombination der auftreffenden positiven Ionen. Hier findet auch der größte Spannungsabfall statt. Die Glimmentladung spielt in der Lichttechnik eine bedeutende Rolle: Leuchtröhren und Leuchtstoffröhren, Glimmlampen, Elektronenblitzröhren und Quecksilberdampflampen.

(M–)

Mit der Zunahme des Stroms steigt die Anzahl der Ladungsträger. Deshalb müssen selbständige Gasentladungen mit einem strombegrenzenden Vorwiderstand (Drossel) betrieben werden.

Stromdurchflossene Leiter und Werkstoffe mit nicht gesättigten Spinmomenten bilden die Magnete. Die Richtung der im Raum wirkenden magnetischen Kräfte (Unterschied zur elektrischen Kraft, s. Übersicht M-) lassen sich durch die Kraftwirkung auf einen kleinen Probemagneten bestimmen. Das magnetische Feld ist ein Vektorfeld: Das magnetische Feld rührt von elektrischen Strömen her und beschreibt die Wirkungslinien der magnetischen Kräfte in Betrag und Richtung.

M. Magnetisches Feld

Bild M- zeigt das Magnetfeld eines Stabmagneten und eines geraden, stromdurchflossenen Leiters. Allen Magneten ist Folgendes gemeinsam: – Ein Magnet besitzt zwei Pole: den Nord- und den Südpol. Es gibt keine magnetischen Monopole. – Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. – Außerhalb des Magneten verlaufen die magnetischen Feldlinien vom Nord- zum Südpol (positive Feldrichtung). – Die magnetischen Feldlinien sind (im Gegensatz zu den elektrischen Feldlinien) in sich geschlossen, d. h., sie weisen weder eine Quelle noch eine Senke auf (Fortsetzung der Feldlinien im Innern des Magneten). – Die Tangente an die magnetischen Feldlinien gibt die Kraftrichtung an. Die Richtung der Kraft ist eindeutig. Erdmagnetfeld Der magnetische Südpol der Erde liegt in der Nähe des geografischen Nordpols (74 nördlicher Breite und 100 westlicher Länge auf der Halbinsel Boothia im Norden Kanadas). Der magnetische Nordpol befindet sich in der Nähe des geografischen Südpols (72 südlicher Breite und 155 östlicher Länge in der Antarktis). Die Magnetpole der Erde sind nicht stabil; sie wandern geringfügig.

Bild M-. Magnetfelder a) Stabmagnet, b) gerader, stromdurchflossener Leiter.



Deklination ist die Abweichung des Erdmagnetfeldes von der geografischen Nord-SüdRichtung (für Deutschland etwa 2 westlich). Inklination ist die Abweichung von der Horizontalen. Elektromagnetismus Ein stromdurchflossener Leiter ist immer von einem Magnetfeld umgeben. Ein stromdurchflossener, gerader Leiter weist ein Magnetfeld auf, das aus konzentrischen Kreisen besteht (Bild M-b). M.5.2 Magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) Der elektrische Strom I und das Magnetfeld bilden ein Rechtssystem, das man sich gut mit der Rechten Hand-Regel merken kann: Der Daumen der rechten Hand zeigt in Stromrichtung, und die gekrümmten Finger weisen in Feldrichtung. Das Durchflutungsgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Stromdichte j und der magnetischen Feldstärke (magnetischen Erregung) H: Θ = Y H ds = Y j dA = % Ii .

(M–)

A

Das Integral der magnetischen Feldstärke längs einer geschlossenen Umlauflinie ist gleich dem gesamten durch diese Fläche hindurchfließenden Strom I, der Durchflutung Θ. Bild M- zeigt die Durchflutung als Summe aller Ströme (Vorzeichen beachten), die eine geschlossene Kurve (bzw. eine abgegrenzte Fläche) durchströmen. Einheit der magnetischen Feldstärke H ist 1 Am. Analog zur elektrischen Spannung * E ds wird * H ds als magnetische Spannung V bezeichnet. Für eine Zylinderspule und eine Ringspule ergibt sich



M Elektrizität und Magnetismus

Bild M-. Durchflutungsgesetz.

V = Hl = IN ;

H l I N

Bild M-. Zum Biot-Savart’schen Gesetz.

(M–)

magnetische Feldstärke, Länge der Zylinderspule, Stromstärke, Windungszahl.

Ist die magnetische Feldstärke entlang des Weges unterschiedlich groß, dann werden die magnetischen Teilspannungen aufsummiert: V = H1 l 1 + H2 l 2 + H3 l 3 + . . . + H n l n = % H i l i = # H ds .

(M–)

Mit dem Biot-Savart’schen Gesetz können die magnetischen Feldstärken beliebiger Leitergeometrien berechnet werden. Ein kleines Leiterstück ds liefert in einem Punkt P in der Entfernung r einen Beitrag dH zum magnetischen Feld (Bild M-):

dH =

I ds sin φ ; 4πr 2

(M–)

I elektrische Stromstärke, r Abstand vom stromdurchflossenen Leiter, φ Winkel zwischen Abstandsvektor zum Raumpunkt P und stromdurchflossenen Leiter.

M.5.3 Magnetische Flussdichte (Induktion) Kraft auf bewegte Ladungsträger im Magnetfeld Werden Kräfte im Magnetfeld betrachtet, dann wird dazu die magnetische Induktion B benötigt. Sie hängt mit der magnetischen Feldstärke H über die magnetische Feldkonstante μ 0 zusammen (gilt nur für Vakuum): B = μ0 H ;

(M–)

μ 0 magnetische Feldkonstante [μ 0 = 4πċ10−7 = 1,257 ċ 10−6 Vċs(A ċ m)], H magnetische Feldstärke. Bewegt sich eine Ladung Q mit der Geschwindigkeit
durch ein Magnetfeld der magnetischen Induktion B, so wirkt auf die Ladung die Lorentz-Kraft F: F = Q(
4 B) ; F = QB sin(
, B) ;

(M–)

Q Ladung,
Geschwindigkeit des geladenen Teilchens, B magnetische Induktion. Die Einheit der magnetischen Induktion ist 1 V ċ sm2 = 1 T (Tesla). Die Lorentz-Kraft wirkt senkrecht zur Fläche, die
und B aufspannen (Kreuzprodukt). Bei einer negativen Ladung wirkt die Kraft entgegengesetzt.

M. Magnetisches Feld

Tabelle M-. Magnetische Feldstärke unterschiedlicher Leiteranordnungen. Leitergeometrie

Bezugspunkt

Formel

kreisförmiger Leiter

Mittelpunkt

H=

I 2r

langer, gerader Leiter

im Abstand r 0

H=

I 2πr 0

Ringspule (Toroid)

im Abstand R

H=

NI 2πR

Zylinderspule (Solenoid)

Achsmittelpunkt im Inneren (Länge l)

H= 

Mittelpunkt der Endflächen

IN H= 2 2 2 l + (d 2)2

im Inneren (Spule sehr lang; l u d)

H=

IN l

Abstand x von der Achse

H=

Ix 2πr 2

voller zylindrischer Leiter

IN l2

+ d2





M Elektrizität und Magnetismus

Für die spezifische Ladung Qm ergibt sich Q  = . m rB

(M–)

Die spezifische Ladung eines Elektrons beträgt −e = −1,76 ċ 1011 Ckg ; mel e mel

Bild M-. Lorentz-Kraft.

Da die Lorentz-Kraft – analog zur Zentripetalkraft einer Kreisbewegung in der Mechanik – senkrecht zur Bahngeschwindigkeit
wirkt, führen die geladenen Teilchen im homogenen Magnetfeld eine Kreisbewegung aus. Für den Radius gilt r=

m  Q B

m ; QB

(M–)

Masse des geladenen Teilchens, Geschwindigkeit des geladenen Teilchens, Ladung des Teilchens, magnetische Induktion.

Bild M-. Kraftwirkung auf stromdurchflossenen Leiter.

(M–)

Elementarladung (e = 1,602 ċ 10−19 A ċ s), Masse des Elektrons (mel = 9,109 ċ 10−31 kg).

Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld Auf einen stromdurchflossenen geraden Leiter wirkt im Magnetfeld folgende Kraft (Bild M-): F = l(I 4 B) , F = Il B sin(l , B) ; (M–) I Strom, l Länge des Drahtes. Die Richtungen werden durch die RechteHand-Regel veranschaulicht: Daumen in Stromrichtung, Zeigefinger in magnetischer Feldrichtung. Dann zeigt Mittelfinger in Kraftrichtung.

M. Magnetisches Feld



Folgende Gleichung erklärt die magnetische Induktion B: B=

F . Il

(M–)

Die magnetische Induktion B gibt an, wie groß die Kraft F ist, die auf einen mit dem Strom I durchflossenen Leiter der Länge l wirkt, der senkrecht zu den Feldlinien steht. Kraft zwischen zwei parallelen, stromdurchflossenen Leitern Befinden sich zwei stromdurchflossene Leiter im Abstand d voneinander, so spürt der Leiter  das Magnetfeld des Leiters  (und umgekehrt). Die magnetische Feldstärke des Leiters  am Ort des Leiters  ist nach Tabelle M-: H=

I2 . 2πd

(M–)

Daraus lässt sich die magnetische Induktion B wegen B = μ 0 H errechnen. Man erhält für die Kraft F12 zwischen zwei parallelen, stromdurchflossenen Leitern: F12 =

μ0 I1 I2 l . 2πd

Bild M-. Kraft zwischen parallelen, stromdarchflossenen Leitern.

(M–)

Die Basiseinheit der elektrischen Stromstärke I, das Ampere, ist mit der Kraftwirkung festgelegt: Auf zwei parallele, stromfließende Leiter im Abstand von 1 m wirkt die Kraft 2 ċ 10−7 N pro Meter Leiterlänge, wenn ein Strom von 1 A fließt. Wie Bild M- zeigt, ziehen sich parallele Leiter mit gleicher Stromrichtung an, mit entgegengesetzter Stromrichtung stoßen sie sich ab. Hall-Effekt Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, dessen Feldrichtung senkrecht zur Stromrichtung steht, dann werden die

Bild M-. Hall-Effekt.

Ladungen senkrecht zur Strom- und Magnetfeldrichtung abgelenkt. Dadurch entsteht in dieser Richtung ein elektrisches Feld und folglich auch eine Spannung, die Hall-Spannung UH genannt wird (Bild M-):



M Elektrizität und Magnetismus

U H = B z x b = = AH Bz x b AH n e jx Ix d

Tabelle M-. Hall-Koeffizient verschiedener Werkstoffe.

1 j x B z b = AH j x B z b ne

Ix Bz ; d

(M–)

magnetische Induktion in z-Richtung, Geschwindigkeit der Ladungsträger in x-Richtung, Breite der Platte, Hall-Koeffizient [AH = 1(ne)], Elektronendichte (Anzahl der Elektronen je Volumen), Elementarladung (e = 1,602 ċ 10−19 A ċ s), Stromdichte in x-Richtung, Stromstärke, Dicke der Platte.

Die Hall-Spannung ist proportional zur magnetischen Induktion. Deshalb werden Hall-Sonden zur Messung von Magnetfeldern verwendet. In Hall-Generatoren werden zwei elektrische Größen multipliziert (I x B z ). Der Hall-Koeffizient AH ist bestimmt durch AH = 1(ne) .

(M–)

Durch seine Messung können folgende Größen bestimmt werden: – Vorzeichen der Ladungsträger, – Ladungsträgerkonzentration n, – räumliche Ladungsdichte QV = ne = 1AH , – Beweglichkeit der Ladungsträger μ = κAH (κ elektrische Leitfähigkeit). Magnetisches Moment Während das elektrische Feld E als Kraft F je Ladung Q definiert werden kann, wird (wegen des Fehlens von Monopolen, die der Ladung entsprechend würden) die magnetische Induktion B durch ein Drehmoment M beschrieben (Bild M-a). Die stromdurchflossene Leiterschleife besitzt ein magnetisches Mo-

Werkstoff

AH 10−11 m3 C

Elektronenleitung Kupfer Gold Natrium Caesium

Cu Au Na Cs

−5,5 −7,5 −25 −28

Cd Sn Be

+6 +14 +24,4

Löcherleitung Cadmium Zinn Beryllium Halbleiter Wismut Indium-Arsenid

Bi InAs

−5 ċ 104 −107

ment m, dessen Vektor senkrecht auf der Fläche der Leiterschleife steht. Das magnetische Moment m kann analog zum elektrischen Feld (elektrisches Dipolmoment) als magnetisches Dipolmoment interpretiert werden (Bild M-). Man unterscheidet das Ampère’sche magnetische Moment mA (äußeres Magnetfeld wird durch die magnetische Induktion B bestimmt) und das Coulomb’sche magnetische Moment mC (äußeres Magnetfeld wird durch die magnetische Feldstärke H bestimmt). Magnetische Induktion Die magnetische Induktion B kann auch über den magnetischen Fluss definiert werden; denn beim Ändern des magnetischen Flusses Φ durch eine Leiterschleife entsteht ein Spannungsstoß * U(t) dt: U(t) dt ΔΦ = * ; N

(M–)

M. Magnetisches Feld a)

d

Q p +

-F

zur Flächennormalen geneigt, dann ergibt sich (Bild M-).

F E

ϕ

p=Qd

Φ = # B dA = B cos φ dA .

Q

b)

B

Streufluss Bei Luftzwischenräumen im Magneten befindet sich ein Teil des Flusses ΦS außerhalb der betrachteten Fläche. Er wird Streufluss ΦS genannt. Der Nutzfluss ΦN ergibt sich als Differenz des Gesamtflusses Φges und des Streuflusses ΦS :

A m=IA

M



I

Bild M-. Drehmoment eines elektrischen Dipols (a) und einer Leiterschleife (b)

ΦN = Φges − ΦS .

(M–)

Als Streufaktor σ bezeichnet man das Verhältnis von Streufluss ΦS zum Nutzfluss ΦN :

M = p E (elektrischer Dipol) M = m B (magnetischer Dipol) A Fläche der Leiterschleife (Vektor steht senkrecht auf der Fläche) B magnetische Flussdichte E elektrische Feldstärke m magnetisches Moment (m = AI) P elektrisches Dipolmoment (p = Qd)

σ = ΦS ΦN .

(M–)

M.5.4 Materie im Magnetfeld

* U(t) dt Spannungsstoß, N Windungszahl der Schleife.

Wird Materie in ein magnetisches Feld gebracht, so ändert sich die magnetische Induktion von B 0 (magnetische Induktion ohne Materie) auf B (magnetische Indukti-

Einheit des Flusses ist 1 V ċ s = 1 Wb (Weber). Die magnetische Flussdichte (Induktion) B beschreibt den magnetischen Fluss je Flächeneinheit: B=

dΦ . dA

(M–)

Die Einheit ist 1 V ċ sm2 = 1 T (Tesla). Für den Spannungsstoß ist nur die Flussdichte senkrecht zur Fläche von Bedeutung. Sind die magnetischen Feldlinien im Winkel φ

Bild M-. Beliebig orientierte Schleife im Magnetfeld.



M Elektrizität und Magnetismus

on mit Materie), während die magnetische Feldstärke H invariant ist, da der eingeprägte Strom konstant ist (Übersicht M-). Durch die magnetische Polarisation J bzw. die Magnetisierung M ändert sich die magnetische Flussdichte B. Werkstoffe werden entsprechend ihrem Verhalten im Magnetfeld nach Tabelle M- eingeordnet.

Ferromagnetismus Der Ferromagnetismus ist technisch sehr bedeutend. Die magnetische Wirkung rührt von unaufgefüllten inneren Elektronenschalen her, wie dies vor allem bei Übergangsmetallen zu finden ist (Fe, Ni, Co, Gd, Er). Es existieren ganze Kristallbereiche gleicher Magnetisierung (Weiß’sche Bezirke). Die magnetischen Eigenschaften verschwinden oberhalb der Curie-Temperatur (Tabelle M-). Tabelle M-. Einteilung der magnetischen Werkstoffe.

Übersicht M-. Materie im Magnetfeld.

μ r (χm )

eingeprägter Strom \ magnetische Feldstärke H invariant

μ r  1 (χm  0)

B0 = μ0 H B = μ r μ 0 H = μH relative Permeabilitätszahl μ r μr =

B B0

magnetische Polarisation J (Änderung der Flussdichte) J = B − B0 = B − μ0 H J = (μ r − 1) μ 0 H = χm μ 0 H OPP P P P P QP P P P P PR χm

Magnetisierung M (scheinbare Änderung der magnetischen Feldstärke) M = J μ 0 = (μ r − 1)H = χm H M = B μ 0 − H B = μ 0 H + J = μ 0 (H + J μ 0 ) = μ 0 (H + M) B B0 H J M μ μ0 μr χm

magnetische Induktion in Materie magnetische Induktion ohne Materie magnetische Feldstärke magnetische Polarisation Magnetisierung Permeabilität (μ = μ 0 μ r ) magnetische Feldkonstante [μ 0 = 4π ċ 10−7 = 1,2566 ċ 10−6 V ċ s (A ċ m)] relative Permeabilitätszahl magnetische Suszeptibilität (χm = μ r − 1)

 μ r = 1 (χm = 0) * μ r < 1 (χm < 0)

ferromagnetisch μ r u 1; χm u 0 (Fe, Ni, Co) paramagnetisch 10−6 < χm < 10−2 (Al, Pt, Ta) diamagnetisch −10−4 < χm < 10−9 (Cu, Bi, Pb)

Werkstoff

magnetische Suszeptibilität χm

Ferromagnetika Mu-Metall ( Ni-Fe) Fe (rein) Fe-Si Ferrite (weich) AlNiCo Ferrite (hart)

bis 9 ċ 104 104 6 ċ 103 1 ċ 103  ,

Paramagnetika O2 (flüssig) Pt Al O2 (gasförmig)

3,6 ċ 10−3 2,5 ċ 10−4 2,4 ċ 10−5 1,5 ċ 10−6

Diamagnetika N2 (gasförmig) Bi Au Cu H2 O

−6,75 ċ 10−9 −1,5 ċ 10−4 −2,9 ċ 10−5 −1 ċ 10−5 −7 ċ 10−6

M. Magnetisches Feld



Bild M-. Hystereseschleife.

Tabelle M-. Curie-Temperatur einiger ferromagnetischer Werkstoffe. Werkstoff Dy Gd Cu2 MnAl Ni Fe Co

ferromagnetische Curie-Temperatur TC K 87 289 603 631 1042 1400

Hysteresekurve Die Hysteresekurve kommt folgendermaßen zustande:

Wie Bild M- zeigt, ist die Permeabilitätszahl μr bzw. die magnetische Suszeptibilität χm eine komplizierte Funktion der magnetischen Feldstärke H. Typisch ist auch der Hystereseverlauf, der die Abhängigkeit der magnetischen Induktion B von der magnetischen Feldstärke H beschreibt. Bei einem zylindrischen Probekörper wird durch die entmagnetisierende Wirkung der Enden die magnetische Feldstärke H im Innern geschwächt: H = Ha − N M

Wird bei einer Messung der Hysteresekurve B(Ha ) aufgezeichnet, so entsteht eine gescherte Kurve. Durch Anwendung von Gl. (M–) kann sie in die Form B(H) übergeführt werden (Zurückscheren).

(M–)

Ha außen anliegende Feldstärke, N Entmagnetisierungsfaktor (Tabelle M-), M Magnetisierung (M = χm H = Jμ 0 ).

– Neukurve Sie wird bei völlig unmagnetischem Material durchlaufen. Bereich I: Die magnetischen Wandverschiebungen (Vergrößerung von magnetischen Bereichen in Feldrichtung) sind reversibel. Bereich II: Die magnetischen Wandverschiebungen sind nicht mehr reversibel. Bereich III: Hier finden Drehprozesse statt; die magnetischen Bereiche werden vollends in die Richtung des äußeren Feldes gedreht. – Sättigungsmagnetisierung Ab einer bestimmten äußeren Feldstärke kann die Magnetisierung nicht weiter gesteigert (Sättigungsmagnetisierung MS ) werden, da alle magnetischen Bereiche bereits in Vorzugsrichtung liegen.

kJ m3

Bemerkungen

gute Formbarkeit; teuer; kleines (BH)max





(BH)max in 106

,

kA −Hc in m

64% Fe

36% Co

BR in T

Werkstoffe

abschreckungsgehärteter Stahl

gute magnetische Stabilität





AlNiCo (Al Ni Co Cu) CuNiCo (Cu Ni Co) CoFe (Co Fe V) FeMo (Fe Mo  Co) ,

ausscheidungsgehärteter Stahl

Anwendung: Drähte zur Tonaufzeichnung







CuNiFe (Cu Ni Fe) CoV (Co V Fe)

kaltbearbeitete Legierung

Tabelle M-. Technische Daten wichtiger Hartmagnetwerkstoffe.

beliebig formbar; sehr hart





,

Sr-Ferrit

Ba-Ferrit

Pulvermagnete

teuer; Spezialmagnete





,

FePt

CoPt

Legierungen mit Ordnungsstruktur

teuer; Spezialmagnete

; 

; 

,; ,

(SE: Sm, Ce) NdFeB

SECo5

Seltene Erden (SE)

 M Elektrizität und Magnetismus

M. Magnetisches Feld



– Entmagnetisierungskurve Remanenzflussdichte BR Beim Abschalten des Feldes (H = 0) ist das Material nicht wieder völlig unmagnetisch, sondern besitzt eine magnetische Restinduktion, die man als Remanenzflussdichte BR bezeichnet. Koerzitivfeldstärke HC Mit der Gegenfeldstärke HC gelingt es, das Material wieder unmagnetisch zu machen (B = 0).

Zur Berechnung eines Dauermagnetsystems sind folgende Gleichungen von Bedeutung:

Berechnung von Dauermagnetsystemen Ein Dauermagnetsystem nach Bild M- besteht aus einem Dauermagneten und zwei weichmagnetischen Polschuhen, die den magnetischen Fluss verlustarm zum Luftspalt leiten. Dort wird die magnetische Energie genutzt. Von Bedeutung ist deshalb der . Quadrant der Hysteresekurve. Die maximal nutzbare Energie je Volumen beträgt (BH)max .

Hm , Hl magnetische Feldstärke im Magneten bzw. im Luftspalt, Länge des Magneten bzw. des lm , ll Luftspalts, γ Spannungsfaktor (γ 1). Er berücksichtigt unmagnetische Bereiche, z. B. die unmagnetischen Zwischenräume von Klebeschichten (in der Praxis γ = 1 bis ,).

– Durchflutungsgesetz für Θ = 0 allgemein: Y H ds = 0 . Magnetkreis (Bild M-): Hm l m = −γHl l l ;

(M–)

– Erhaltung des magnetischen Flusses (Flussgleichung) allgemein: Y B dA = konstant Magnetkreis (Bild M-): Bm Am = σBl Al ;

Bild M-. Dauermagnetsystem.

Tabelle M-. Entmagnetisierungsfaktoren. Geometrie

Magnetisierung

Entmagnetisierungsfaktor N

dünne Platte

in Plattenebene senkrecht zur Plattenebene

 

sehr langer Stab

in Längsrichtung in Querrichtung

  

Kugel

 

(M–)

Bm Bl magnetische Induktion im Magneten bzw. im Luftspalt, Am Al Querschnittsfläche des Magneten bzw. des Luftspalts, σ Streufaktor. Er berücksichtigt die magnetische Induktion, die nicht durch den Luftspalt geht (in der Praxis zwischen  und ;  bedeutet, dass nur 10% des magnetischen Flusses des Dauermagneten als Nutzfluss im Luftspalt zur Verfügung steht). Bild M- zeigt die Entmagnetisierungskurve (. Quadrant) und den Arbeitspunkt A



M Elektrizität und Magnetismus

[maximaler Energiewert: (BH)max ]. Der Arbeitspunkt A hat die Koordinaten (−Hm , Bm ). Die Scherungsgerade ist die Gerade vom Nullpunkt () zum Arbeitspunkt A. Sie hat die Steigung s: s=

−Bm . Hm

(M–)

Wird für −Bm die Gleichung zur Flusserhaltung und für Hm das Durchflutungsgesetz eingesetzt, dann ergibt sich für die Gleichung der Scherungsgeraden:

Energie wird (BH) mit dem Volumen des Luftspaltes multipliziert, und man erhält 2

(Bm Hm )Vm = Bl Hl Vl γσ = μ 0 γσHl Vl . (M–) Nach Bl aufgelöst, ergibt sich " Bl =

μ 0 Vm (BH)m ; γδVl

(M–)

Bm , Bl

σAl l m −Bm = +sHm = μ 0 Hm . γAm l l

(M–)

Hieraus ist erkennbar, dass die Scherungsgerade nur von der Geometrie des Magneten, nicht aber vom Werkstoff abhängt. Der Ausdruck N=

γAm l l σAl l m

(M–)

wird als Entmagnetisierungsfaktor bezeichnet. Damit wird die Scherungsgerade Bm = −

μ0 Hm . N

Das Produkt (BH) stellt die gespeicherte magnetische Energie je Volumen dar. Zur Berechnung der im Luftspalt zur Verfügung stehenden

magnetische Induktion im Magneten bzw. Luftspalt, Hm , Hl magnetische Feldstärke im Magneten bzw. im Luftspalt, Vm , Vl Volumen des Magneten bzw. des Luftspalts, (BH) magnetische Energie je Volumen, magnetische Feldkonstante μ0 [μ 0 = 4π ċ 10−7 V ċ s(A ċ m)], γ Spannungsfaktor (unmagnetische Bereiche), σ Streufaktor (Verlustinduktion im Luftspalt). Das bedeutet: Die im Luftspalt zur Verfügung stehende magnetische Induktion Bl ist proportional zum Magnetvolumen Vm und zum (BH)m -Wert. Um das Magnetvolumen möglichst klein zu halten, muss also der (BH)max -Wert eingestellt werden. Energie des magnetischen Feldes Im Magnetfeld ist die Arbeit Wmagn gespeichert. Diese wird zum Aufbau des Magnetfeldes benötigt und beim Abbau des Feldes wieder frei. Elektromagnetische Induktion

Bild M-. Scherungsgerade und Arbeitspunkt eines Dauermagneten.

Das Induktionsgesetz zeigt den Zusammenhang zwischen elektrischem und magnetischem Feld. Es besagt, dass jede zeitliche Änderung des magnetischen Flusses dΦ dt eine elektrische Spannung uind induziert:

M. Magnetisches Feld

uind = −N

dΦ dAn dB = −N  An + B ; dt dt dt (M–)

Übersicht M-. Magnetische Energie, Energiedichte und Tragkraft eines Elektromagneten. magnetische Energie allgemein t

N dΦ dt dB An

Windungszahl, Änderung des magnetischen Flusses, Zeitintervall, Änderung der magnetischen Induktion, Fläche senkrecht zu den magnetischen Feldlinien.

Aus dieser Gleichung geht hervor, dass es gleichgültig ist, ob sich • das Magnetfeld ändert ( dB dt) bei konstanter Fläche An (Transformatorprinzip) oder • bei gleichbleibender magnetischer Induktion B sich die senkrecht zum Magnetfeld stehende Fläche ändert ( dAn  dt) (Generatorprinzip). Wirbelströme Werden leitende Körper in einem Magnetfeld bewegt oder sind sie ruhend wechselnden Magnetfeldern ausgesetzt, dann werden in dem Leiter Ströme induziert. Man nennt sie Wirbelströme, weil die Induktionsstromlinien wie Wirbel in sich geschlossen sind (Bild M-). Wirbelströme erzeugen wiederum Magnetfelder, die das ursprüngliche magnetische Feld schwächen (Gegenfeld nach der Lenz’schen Regel).

Bild M-. Prinzip der Wirbelstromentstehung.



Wmagn = g uind i dt = 0

1 2 LI 2

magnetische Energie eines inhomogenen Magnetfeldes 1 1 Wmagn = g BH dV = μ g H 2 dV 2 2 Feldenergie einer Spule 1 1 1 μH 2 Al = LI 2 = μH 2 V 2 2 2 1 1 = BHV = INΦ 2 2 Energiedichte (Energie je Volumen) w Wmagn =

Wmagn

1 = BH V 2 Tragkraft eines Magneten Fmagn

w=

Fmagn =

A B H I, i L Fmagn l N uind V Wmagn w μ μ0 μr Φ

μH 2 A BHA B 2 A = = 2 2 2μ

Fläche, durch die das Magnetfeld dringt magnetische Induktion magnetische Feldstärke Stromstärke Selbstinduktivität magnetische Kraft Länge der Spule Windungszahl induzierte Spannung Volumen des Magnetfeldes magnetische Energie Energiedichte Permeabilität (μ = μ 0 μ r ) magnetische Feldkonstante [μ 0 = 4π ċ 10−7 V ċ s (A ċ m)] Permeabilitätszahl magnetischer Fluss



M Elektrizität und Magnetismus

Übersicht M-. Induktionsgesetz für bewegte Leiter im Magnetfeld und Flächenrotation mit konstanter Drehzahl. bewegter Leiter im Magnetfeld

Flächenrotation mit konstanter Drehzahl

Skineffekt In einem von Wechselstrom durchflossenen geraden Leiter treten Wirbelströme in der Weise auf, dass diese im Innern entgegen dem Wechselstrom und im Äußeren in Stromrichtung fließen. Bei hohen Frequenzen ( f 107 Hz) führt nur noch die Außenhaut des Leiters Strom (Skineffekt: Hauteffekt, Bild M-). In der Hochfrequenztechnik werden deshalb entweder viele dünne Drähte zu einem Kabel verdrillt, oder es werden Hohlleiter verwendet. Die Eindringtiefe δ beschreibt die Entfernung von der Leiteroberfläche bis zu der Stelle im Leiterinnern, bei welcher der elektrische Strom auf den e-ten Teil (37%) abgesunken ist. Sie berechnet sich nach δ=

A B l N uind  ω

rotierende Fläche magnetische Induktion Länge des Leiters Windungszahl (in den Bildern ist N = 1) induzierte Spannung Geschwindigkeit des Leiters, senkrecht zum Magnetfeld Kreisfrequenz

Der Wirbelstrom Iw kann folgendermaßen abgeschätzt werden: Iw N U(2R) ;

 2(κμω) ;

κ elektrische Leitfähigkeit, μ Permeabilität (μ = μ 0 μr ), ω Kreisfrequenz. Selbstinduktion Bei der Änderung des magnetischen Flusses wird nicht nur in räumlich getrennten Leitern eine Spannung induziert, sondern auch in der magnetfelderzeugenden Spule selbst. Diese Erscheinung nennt man Selbstinduktion. Der dann fließende Induktionsstrom

(M–)

U induzierte Spannung, R Widerstand des im Magnetfeld liegenden Leiters. Beispiele für technische Anwendungen sind Drehzahlmesser, Wirbelstrombremsen oder Messgeräte für elektrische Energie (kWh-Zähler).

(M–)

Bild M-. Skin-Effekt.

M. Magnetisches Feld

Übersicht M-. Sinusförmiger Wechselstrom und sinusförmige Wechselspannung.

Übersicht M-. Selbstinduktion. induzierte Spannung uind uind = −NAn μ



NΦ di di dH =− = −L dt I dt dt

a) periodischer Verlauf

Induktivität L L=

NΦ I

Einheit 1 H = 1 V ċ s A

Definition: Wenn bei der Änderung der Stromstärke I um 1 A innerhalb von 1 s eine Spannung U von 1 V induziert wird, dann beträgt die Induktivität L = 1 H.

b) Zeigerdiagramm

Reihenschaltung von Induktivitäten n

LR ges = L 1 + L 2 + L 3 + . . . + L n =  L i i=1

Parallelschaltung von Induktivitäten 1 LR ges

=

n 1 1 1 1 1 + + +...+ = L1 L2 L3 L n i=1 L i

An Fläche senkrecht zum Magnetfeld f Spulenformfaktor, beschreibt die Streuverluste (0 < f < 1) I, i Stromstärke H magnetische Feldstärke N Windungszahl L Induktivität l Spulenlänge Φ magnetischer Fluss μ Permeabilität (μ = μ 0 μ r ) μ 0 magnetische Feldkonstante [μ 0 = 4π ċ 10−7 V ċ s (A ċ m)] μ r Permeabilitätszahl

ist dem vorhandenen Strom entgegengesetzt gerichtet (Lenz’sche Regel; Übersicht M-, Tabelle M-). Analogie elektrisches und magnetisches Feld In Tabelle M- sind die entsprechenden Größen für das elektrische und das magnetische Feld zusammengestellt.

φ u  φ i : Die Spannung eilt dem Strom voraus φ u < φ i : Die Spannung eilt dem Strom nach Die Phasenverschiebung hängt von der Induktivität L einer Spule und der Kapazität C eines Kondensators im Stromkreis ab. c) Gleichungen u(t) = uˆ ej(ωt+φ u ) f i iˆ T t uˆ u j φi φu ω

i(t) = iˆej(ωt+φ i )

Frequenz komplexer Strom Amplitude des Stroms Periodendauer (T = 1 f ) Zeit Amplitude der Spannung komplexe Spannung  imaginäre Einheit (j = −1) Nullphasenwinkel der Spannung Nullphasenwinkel des Stroms Kreisfrequenz (ω = 2π f = 2π T)



M Elektrizität und Magnetismus

Tabelle M-. Induktivitäten verschiedener Leitergeometrien (NF: Niederfrequenz; HF: Hochfrequenz). Spulengeometrie Ringspule

Formel L=

μAn l

Bemerkung N2

μ An N l

Permeabilität (μ = μ 0 μ r ) Spulenfläche Windungsanzahl mittlerer Spulenumfang oder Spulenlänge

sehr lange Zylinderspule

kurze Spule, einlagig

L= f

μAn N 2 l

f Formfaktor 1 f  1 + d 2l für l d W 0,3 d Spulendurchmesser l Spulenlänge

kurze Spule, mehrlagig

L=

R n 21μN 2 R   NF 4π l+h

R Spulenradius h Höhe der Wicklung R < 1, n = 0,75, wenn  l+h n = 0,5, wenn _1 < 

einfacher Ring

R L = μR _ln   + 0,25` NF r R L = μR ln   HF r

R Ringradius r Leiterradius

dünnwandiges Rohr

R L = μR _ln   + 1,5` NF l

R Rohrradius l Rohrlänge

R L = μR ln   l

HF

R  y 3` l+h

M. Magnetisches Feld



Tabelle M-. (Fortsetzung). Spulengeometrie

Formel

Bemerkung

Einfachleitung

L=

2l μl Uln ! − 0,75V NF 2π r

L=

2l μl ln ! 2π r

l r

Leiterlänge Leiterradius

HF

L=

a μl _ln   + 0,25` NF π r μl a L= ln   HF π r

l Leiterlänge a Leiterabstand r Leiterradius

ra μl _ln   + 0,25` NF 2π ri ra μl ln   HF L= 2π ri

l Leiterlänge ra Radius des Außenleiters ri Radius des Innenleiters

Doppelleitung

Koaxialkabel

L=

Tabelle M-. Analogie des elektrischen und des magnetischen Feldes. elektrisches Feld

Einheit

magnetisches Feld

Einheit

V

magnetische Urspannung (Durchflutung) Θ = NI

A

elektrische Urspannung U0 elektrische Feldstärke dU E=− ds elektrische Spannung U = ' E(s) ds elektrische Stromstärke dQ I= dt elektrische Ladung (Verschiebungsfluss) Q = ' I(t) dt Verschiebungsdichte D = εE elektrische Feldkonstante 1 ε0 = μ0 c2 Dielektrizitätszahl εr Permittivität (Dielektrizitätskonstante) ε = ε 0 εr

V m V

A Aċs Aċs m2 Aċs Vċm Aċs Vċm

magnetische Feldstärke dI H= dl magnetische Spannung Θ = ' H(l) dl induzierte Spannung dΦ U = −N dt magnetischer Fluss Φ = BA magnetische Flussdichte (Induktion) B= μċH magnetische Feldkonstante 1 μ0 = ε0 c 2 Permeabilitätszahl μ r Permeabilität μ = μ 0 μr

A m A

V Vċs Vċs m2 Vċs Aċm Vċs Aċm



M Elektrizität und Magnetismus

Tabelle M-. (Fortsetzung). elektrisches Feld elektrischer Widerstand eines homogenen Drahtes 1 l Rel = κA elektrische Stromstärke U0 I= = Q˙ Rel elektrischer Spannungsabfall U = RI Kapazität Q C= U Kapazität eines Plattenkondensators A C=ε d elektrische Kraft F el = QE elektrisches Dipolmoment M = Ql p= E elektrische Energie des Kondensators 1 WC = CU 2 2 elektrische Energiedichte 1 1 wel = εE 2 = DE 2 2

Einheit

Ω A V

F

F N Aċsċm

Wċs =J J Wċs = 3 m3 m

M.6 Wechselstromkreis M.6.1 Wechselspannung und Wechselstrom Im Wechselstromkreis findet ein periodischer Verlauf der Spannung u(t) und des Stromes i(t) statt. Die folgenden Bezeichnungen orientieren sich an DIN 40 110 (Wechselstromgrößen). M.6.2 Wechselstromkreis Zur Beschreibung der Verhältnisse in einem Wechselstromkreis mit sinus- bzw. cosinus-

magnetisches Feld magnetischer Widerstand eines homogenen Magnetkerns 1 l Rm = μA magnetischer Fluss Θ Φ= Rm magnetischer Spannungsabfall Θ = ΦRm = Hl Induktivität Φ L= I Induktivität einer Ringspule AN 2 l magnetische Kraft F m = Q
B L=μ

magnetisches Dipolmoment M m= = AI B magnetische Energie einer Spule 1 2 LI 2 magnetische Energiedichte 1 1 wm = μH 2 = BH 2 2 WL =

Einheit

A Wb Vċs A

H

H N A ċ m2

Wċs =J J Wċs = 3 m3 m

förmigen Wechselgrößen wird die komplexe Rechnung herangezogen (s. Abschnitt A, Übersicht A-). Zeigerdarstellung komplexer Größen und Ohm’sches Gesetz Wechselgrößen gleicher Frequenz werden in der Gauß’schen Zahlenebene als komplexe Zeiger Z dargestellt (Tabelle M-). Der Realteil ist der Wirkanteil, der Imaginärteil der Blindanteil der Wechselstromgröße. Beide zusammen ergeben als komplexen Zeiger die Scheingröße Z.

M. Wechselstromkreis

Übersicht M-. Kenngrößen des Wechselstromkreises.

Übersicht M-. (Fortsetzung). Scheitelfaktor (Crestfaktor) ks Scheitelwert der Wechselgröße iˆ = Effektivwert der Wechselgröße I  für Sinus bzw. Cosinus ks = 2  1,414 für Dreieck ks = 1,73 ks =

Formfaktor kf Effektivwert kf = Halbschwingungsmittelwert

Effektivwert Der Effektivwert ist diejenige Gleichstromgröße, die dieselbe Leistung erzeugt wie die Wechselstromgröße. Der Effektivwert ist der zeitlich quadratische Mittelwert der entsprechenden elektrischen Größe. $ %1 τ % & g i 2 dt I=% T 0

Effektivwert für sinusförmigen Verlauf des Stroms iˆ I =   0,707 iˆ 2 Spannung uˆ U =   0,707 uˆ 2 Halbschwingungsmittelwert Der arithmetische Mittelwert über einer ganzen Periode wird Gleichwert genannt; er ist bei einem reinen Wechselstrom gleich null. Deshalb wird häufig der größte Wert des arithmetischen Mittelwerts über einer halben Periode der Wechselgröße ermittelt, welcher Halbschwingungsmittelwert genannt wird. Er entspricht der Höhe eines Rechtecks, dessen Flächeninhalt gleich dem einer Halbwelle ist. Für sinusförmigen Verlauf gilt 3π 2

Ih =

1 iˆ 3π 2 g iˆ cos φ dφ = [sin φ]π 2 π π π 2

2 iˆ =  0,637 iˆ π

=

I (1 < kf < 0) Ih

für Sinus bzw. Cosinus kf = I iˆ Ih kf ks T U uˆ φ

2

π

2

 1,111 . . .

Effektivwert des Stroms Amplitude des Stroms Halbschwingungsmittelwert des Stroms Formfaktor Scheitelfaktor Periodendauer Effektivwert der Spannung Amplitude der Spannung Phasenwinkel





M Elektrizität und Magnetismus

Tabelle M-. Komplexe Rechnung mit Effektivwerten im Wechselstromkreis. Komplexer Widerstand Z

Komplexer Leitwert Y U = U ej(ωt+φ u ) = U ejωt ejφ u

Wechselspannung

I = I ej(ωt+φ i ) = I ejωt ejφ i

Wechselstrom Ohm’sches Gesetz

Z=

U I

Y=

I U

Z=

U j(φ u −φ i ) U jφ = e e I I

Y=

I j(φ i −φ u ) I = e ċ e−jφ U U

Zeiger-Diagramm

Z = R + jX = Z ejφ

Y = G + jB = Y e−jφ Y=

Scheinanteil

Scheinwiderstand Z = Z cos φ (Impedanz) Z=

Wirkanteil

Blindanteil

U I

1 Z

Scheinleitwert Y (Admittanz) Y=

1 Z R = Z2

Wirkwiderstand R = Z cos φ (Resistanz)

Wirkleitwert G = Y cos φ =

Blindwiderstand X = Z sin φ (Reaktanz)

Blindleitwert B = Y sin(−φ) = −

X=

 

Z 2 − R2

Absolutbetrag

Z=

R2 + X 2

Phasenwinkel

φ = φu − φi tan φ =

X R

R (Konduktanz) R2 + X 2

X (Suszeptanz) R2 + X 2  B = − Y 2 − G2  Y = G 2 + B2 −

φ = φu − φi tan φ = −

B G

X = Z2

M. Wechselstromkreis



Verhalten der Bauelemente im Wechselstromkreis

Tabelle M-. Bauelemente ohm’scher Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C im Wechselstromkreis. Bauelement und Symbol

Ohm’scher Widerstand

Induktivität (Spule)

R

Kapazität (Kondensator)

L

C

(Wirkwiderstand)

(induktiver Blindwiderstand)

(kapazitiver Blindwiderstand)

Ausgangsgröße

I R = IR ej(ωt+φ)

I L = IL ej(ωt+φ)

I C = IC ej(ωt+φ)

Gesetz

Ohm’sches Gesetz

Induktionsgesetz

U R = RI R

UL = L ċ

dI L dt

U L = jωLI L

1 g I C dt C j I UC = − ωC C

UC =

Zeigerdiagramm

Spannung U R und Strom I R in Phase (φu − φi = 0).

Spannung U L eilt Strom I L Strom I C eilt Spannung U C um π 2 voraus um π 2 voraus (φu − φi = π 2). (φi − φu = π 2).

Zeitlicher Verlauf

Komplexer Widerstand

ZR =

UR IR

=R

ZL =

UL IL

= jωL = jXL

ZC =

UC IC

=

1 = +jXC jωC

(reelle Achse)

(positive imaginäre Achse)

(negative imaginäre Achse)

keine Frequenzabhängigkeit

XL  ω

XC  

Frequenzabhängigkeit

1 ω



M Elektrizität und Magnetismus

Reihenschaltung der Bauelemente Tabelle M-. Reihenschaltung der Bauelemente. Schaltung

UR

UL

R

L

UC

UR

I

UR

UL

R

L

I C

R U

U

UC I C

U

Zeigerdiagramm

Maschenregel

U = UR + UL

U = UR + UC

U = UR + UL + UC

U = I(R + jXL )

U = I(R + jXC ) j U = I R −  ωC

U = I[R + j(XL + XC )]

U = I(R + jωL) Komplexer Widerstand Spezieller komplexer Widerstand

Z = Z ejφ ; Z=

U = R + jXL I

Z = R + jωL Z =

"

R 2 + (ωL)2

ωL tan φ = R

Z =

" Real(Z)2 + Im(Z)2 ; U = R + jXC I 1 Z = R−j ωC # Z=

Z =

1 2  ωC

tan φ =

1 ` ωC

Im(Z) Real(Z)

U = R + j(XL + XC ) I 1  Z = R + j ωL − ωC # 1 2 Z = R 2 + ωL −  ωC Z=

ωL −

1 ωC

1 tan φ = − RωC

tan φ =

–

1 ωL = ωC 1 ωres =  LC 1 fres =  2π LC

Resonanz –

R 2 + −

U = I _R + j ωL −

R

Resonanz

spezieller komplexer Leitwert

Komplexer Leitwert

Knotenregel

Zeigerdiagramm

Schaltung

IR

R

IL

L

–

Y =

G 2 + −

1 2  ωL R BL =− tan φ = G ωL

I = G + jBL U 1 Y =G−j ωL #

Y=

I ges = U(G + jBL )

I ges

U U + = R jXL

I ges = I R + I L

U

I ges

IR

I ges R

–

G 2 + (ωC)2

BC = ωCR G

2

tan φ =

Y =

C

" Real(Y )2 + Im(Y )2 ;

I = G + jBC U Y = G + jωC

Y=

Y  =

I ges = U (G + jBC )

I ges = U

IC

1 1 ! + R jXC

I ges = I R + I C

U

Y = Y ejφ ;

Tabelle M-. Parallelschaltung der Bauelemente.

tan φ =

IR R

IC

IL

1 1 1 + ! + R jXL jXC

C L

1 ωC 1 ωres =  LC 1 fres =  2π LC ωL =

I = G + j(BC + BL ) U 1  Y = G + j ωC − ωL # 1 2  G 2 + ωC − Y = ωL 1 BC + BL = R ωC −  tan φ = G ωL Y=

Im(Y ) Real(Y )

I ges = U [G + j (BC + BL )]

I ges = U

I ges = I R + I L + I C

U

I ges

M. Wechselstromkreis 



M Elektrizität und Magnetismus

Äquivalente Umwandlungen (Parallel- in Reihenschaltung und umgekehrt) Bei gleicher Frequenz f (bzw. Kreisfrequenz ω) lässt sich jede Reihenschaltung von komplexen Widerständen in eine äquivalente Parallelschaltung verwandeln und umgekehrt (Übersicht M-). Bild M-. Strom, Spannung und Momentanleistung.

Übersicht M-. Äquivalente Umwandlungen. a) Parallelschaltung Rp

b) Reihenschaltung I

Xr

Rr

I

U

Xp

i(t) = iˆ cos(ωt + φi ) = I 2 cos(ωt + φi ) ergibt sich

U

Rr =

Xr =

Rp Xp2 Rp2

+

Xp2

Rp2 Xp Rp2

+

Xp2

Rp =

Rr2 + Xr2 Rr

Xp =

Rr2 + Xr2 Xr

Rr , Rp Ohm’scher Widerstand der Reihenschaltung bzw. Parallelschaltung Xr , Xp Blindwiderstand der Reihenschaltung bzw. Parallelschaltung

M.6.3 Arbeit und Leistung Momentanleistung Die Momentanleistung p(t) ist das Produkt aus Spannung u(t) und Strom i(t) zu jeder Zeit: p(t) = u(t)i(t) . Mit u(t) = uˆ cos(ωt + φu ) = U 2 cos(ωt + φu ) und

(M–)

p(t) = U I cos φ + U I cos(2ωt + φu + φi ) ; (M–) U Effektivwert der Spannung, I Effektivwert des Stroms, φ Phasenverschiebung zwischen Wechselspannung und Wechselstrom, ω Kreisfrequenz des Stroms (ω = 2π f ), φu Phasenwinkel der Spannung, φi Phasenwinkel des Stroms. Wie Bild M- zeigt, schwingt die Momentanleistung mit der doppelten Frequenz der Wechselspannung. In der Übersicht M-a ist zu erkennen, dass der Durchschnittswert, um den die Momentanleistung mit der doppelten Strom- bzw. Spannungsfrequenz schwingt, der Wirkleistung P entspricht. In Übersicht M-b ist zu sehen, wie sich daraus die Blindleistung Q und die Scheinleistung S errechnen. M.6.4 Transformation von Wechselströmen Mit einem Transformator können Spannungen transformiert werden. Er besteht aus zwei induktiv gekoppelten Spulen, deren Windungszahlen unterschiedlich sind (Übersicht M-).

M. Wechselstromkreis

Tabelle M-. Ein- und Ausschalten eines Kondensators. Ladevorgang

Entladevorgang

Differenzialgleichung

1 U dQ + Q− =0 dt RC R

dQ 1 + Q=0 dt RC

Lösungen

QC = CU 91 − e− RC t :

Schaltung

1

1

U C = U 91 − e− RC t : 1 U I = e− RC t R Verlauf der Spannung

Verlauf der Stromstärke

1

QC = Q 0 e− RC t 1 U C = U e− RC t 1 U I = e− RC t R





M Elektrizität und Magnetismus

Übersicht M-. Momentanleistung, Wirk-, Blind- und Scheinleistung sowie Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte.

Übersicht M-. (Fortsetzung). Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

a) Momentanleistung

b) Schein-, Wirk- und Blindleistung E

Wirkleistung P P = U I cos φ = S cos φ = Q tan φ =

"

S2 − Q2

Blindleistung Q Q = U I sin φ = S sin φ = P tan φ =



S 2 − P2

Scheinleistung S S = U I = P cos φ = Q sin φ =

"

Widerstand

Leitwert

Wirkanteil

R = P I Resistanz

G = P U 2 Konduktanz

Blindanteil

X = Q I 2 Reaktanz

B = Q U 2 Suszeptanz

Scheinanteil

Z = U I Impedanz

Y = I U Admittanz

B I G P Q R S U X Y Z cos φ sin φ tan φ

Suszeptanz Effektivwert des elektrischen Stroms Konduktanz Wirkleistung Blindleistung Widerstand Scheinleistung Effektivwert der elektrischen Spannung Reaktanz Admittanz Impedanz Leistungsfaktor Blindfaktor Verlustfaktor

Übersicht M-. Transformator. P2 + Q 2

a) Schaltzeichen

Leistungsfaktor cos φ cos φ =

Wirkleistung P = Scheinleistung S

Verlustfaktor tan φ tan φ =

Blindleistung Q = Wirkleistung P

Blindfaktor sin φ sin φ =

2

Blindleistung Q " = = (1 − cos2 φ) Scheinleistung S

Um den Wechselstrom möglichst vollständig nutzen zu können, sollte der Verlustfaktor tan φ möglichst klein gehalten werden und der Leistungsfaktor cos φ möglichst groß werden.

b) Aufbau

M. Elektrische Maschinen

Übersicht M-. (Fortsetzung).



M.7 Elektrische Maschinen

idealer, unbelasteter Transformator

In elektrischen Maschinen wird mechanische Energie in elektrische umgewandelt (Generatoren) oder elektrische Energie in mechanische (Elektromotoren).

u1 N1 = =ü u2 N2 belasteter Transformator (vernachlässigbare Verluste) u1 i 2 N1 = =ü u2 i 1 N2 i1 , i2 Ströme in der Primär- bzw. Sekundärseite N 1 , N 2 Windungszahl der Primär- bzw. Sekundärspule u 1 , u 2 Spannung an der Primär- bzw. Sekundärspule ü Übertragungsverhältnis (Verhältnis der Windungszahlen)

Wechselstromgenerator Bei einem Generator rotiert eine Leiterschleife mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω (Übersicht M-). Bei Wechselstromwiderständen kann eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom auftreten. Der Wechselstromgenerator besteht aus einem Rotor oder Läufer (rotierendes Teil) und einem Stator (stehendes Teil). In Generatoren kleiner Leistung dient als Rotor eine Spule und als Stator ein Magnet (Elektromagnet oder Dauermagnet). Für Generatoren großer

M.6.5 Ein- und Ausschalten einer Spule Tabelle M-. Ein- und Ausschalten einer Spule. Einschaltvorgang Schaltung

Ausschaltvorgang R

t=0

U

L I

Differenzialgleichung

U dI R + I− =0 dt L L

Lösung

I=

Verlauf der Stromstärke

R U 91 − e− L t : R

R

t=0

U

L I

A

dI R + I=0 dt L R

I = I 0 e− L t

A



M Elektrizität und Magnetismus

Übersicht M-. Wechselstrom- und Gleichstromgenerator. Wechselstromgenerator

Gleichstromgenerator

uind = NBAω sin(ωt) uind = uˆ sin(ωt) i(t) = iˆ sin(ωt)

Durch zwei isolierte Halbringe wird die Spannung umgepolt. Es entsteht eine pulsierende Wechselspannung.

Prinzip

Spannung

A B i iˆ N uind uˆ ω

rotierende Fläche magnetische Induktion elektrischer Strom Amplitude des elektrischen Stroms Windungszahl induzierte Spannung Amplitude der Spannung (uˆ = NBAω) Kreisfrequenz

Leistung (Innenpolmaschine) wird als Rotor ein Magnet und als Stator eine Spule verwendet. Über die Schleifringe wird dann nur die kleine Leistung des Feldmagneten übertragen. Gleichstromgenerator Der Gleichstromgenerator besitzt, wie die Übersicht M- zeigt, zwei isolierte Halbringe, die bei Richtungsänderung der Spannung diese umpolen. So entsteht eine pulsierende Wechselspannung, die durch entsprechende Beschaltungen geglättet werden kann. Drehstromgenerator Drehströme sind drei, um einen Phasenwinkel von 120 verschobene, sinusförmige

Bild M-. Drehstrom.

M. Elektromagnetische Schwingungen



Tabelle M-. Dreieck- und Sternschaltung. Leiterstrom IR = IS = IT =  I = 3 ċ IΔ

Dreieckschaltung T

Leiterspannung 

3 ċ Strangstrom

U RS = U RT = U ST = Strangspannung UΔ = U

L2

L3 R

S

L1

IR = IS = IT = Strangstrom

Sternschaltung R

L3 L1

T

I = IY

N

U RS = U RT = U ST  = 3 ċ Strangspannung  U = 3 ċ UY

L2

(Mittelpunktstrom = null) S

Wechselspannungen (Bild M-). Die sechs Spulenendpunkte können durch eine Dreieckbzw. Sternschaltung auf maximal drei begrenzt werden. Tabelle M- zeigt die entsprechenden Strangströme bzw. Strangspannungen (bei gleicher Belastung aller drei Stränge). Im öffentlichen Netz ist die Strangspannung 230 V und die Leiterspannung 3 ċ 230 V = 400 V.

M.8 Elektromagnetische Schwingungen Bei elektromagnetischen Schwingungen werden im Wechselstromkreis zwischen Kondensator und Spule elektrische und magnetische Energie periodisch ausgetauscht. Fehlt im Stromkreis der Ohm’sche Widerstand, dann werden ungedämpfte Schwingungen ausgeführt (die Scheitelwerte von Strom und Spannung sind immer gleich groß). Bei Anwesenheit eines Ohm’schen Widerstandes werden gedämpfte Schwingungen ausgeführt (die Scheitelwerte von Strom und Spannung

Strangspannung U RN = U SN = U TN

nehmen ab). Die Schwingungen werden ausführlich im Abschnitt J. behandelt. M.8.1 Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung Übersicht M- zeigt einen elektromagnetischen Schwingkreis, der eine ungedämpfte Schwingung hervorruft, wobei sich Spannung und Strom periodisch ändern. M.8.2 Gedämpfte elektromagnetische Schwingung Bei gedämpften Schwingungen ist ein Ohm’scher Widerstand vorhanden (Abschn. J.., Übersicht J-). Auch in diesem Fall müssen nach der Maschenregel die Summe aller Spannungen null ergeben: uL + uC + uR = 0 .



M Elektrizität und Magnetismus

Übersicht M-. Elektromagnetischer Schwingkreis. Schaltung

C

U0

L

t= 0 Strom- und Spannungsverlauf

Differenzialgleichung und Lösungen

C i, iˆ L q, qˆ uC , uL φ ω0

Kapazität Strom, Amplitude des Stroms Induktivität Ladung, Amplitude der Ladung Spannung am Kondensator, an der Spule Phasenwinkel Kreisfrequenz

N Nachrichtentechnik

Die Nachrichtentechnik befasst sich mit der Übertragung, Vermittlung und Verarbeitung von Nachrichten. Wichtige Normen sind in Tabelle N- zusammengestellt.

Tabelle N-. Wichtige Normen der Nachrichtentechnik. Norm

Bezeichnung

DIN  DIN  DIN 

Elektromagnetisches Feld Zeitabhängige Größen Fourier-, Laplace- und Z-Transformation Logarithmierte Größenverhältnisse Wechselstromgrößen Begriffe der Nachrichtenübertragung Übertragungssysteme Informationstheorie Formelzeichen für die Elektrotechnik – Teil : Telekommunikation und Elektronik Elektromagnetische Verträglichkeit

DIN  DIN   DIN   DIN   DIN   DIN EN 60 027-

DIN EN  

N.1 Informationstheorie Die wichtigsten Beziehungen der Informationstheorie sind in Tabelle N- (s. S. ) zusammengestellt. Die verwendete Einheit für I, H, H 0 und R ist das Bit (Einheitensymbol: bit, binary digit). Der Logarithmus zur Basis  (ld x = log2 x) hängt mit dem Zehnerlogarithmus lg x folgendermaßen zusammen: ld x =

lg x lg x = . ld 2 0,301

(N–)

N.2 Signale und Systeme N.2.1 Zeit- und Frequenzbereich Zeitlich periodische Signale mit der Grundfrequenz f 0 können nach Fourier als Reihe von harmonischen Schwingungen dargestellt werden. Die Frequenzen der Oberschwingungen sind ganze Vielfache der Grundfrequenz. Bei nicht periodischen Vorgängen geht die FourierReihe in das Fourier-Integral über und das diskrete Linienspektrum in ein kontinuierliches Spektrum (Bild N-). Weitere Einzelheiten zur Fourier-Analyse bzw. Fourier-Transformation sind in den Abschnitten J... bzw. A. und A. dargestellt. Bandbreite Die Frequenzen, die im Spektrum eines Signals enthalten sind, bestimmen seine Bandbreite B. Sie ist das Frequenzintervall zwischen oberer und unterer Grenzfrequenz: B = fo − fu .

(N–)

Die obere und untere Grenzfrequenz ist nicht eindeutig festgelegt. In der Praxis wird häufig davon ausgegangen, dass Frequenzanteile, deren Amplituden kleiner sind als % der Maximalamplitude, vernachlässigbar sind. Für das Beispiel des Rechteckpulses im Bild N- gilt, wenn als obere Grenzfrequenz der Nulldurchgang der Spektraldichte f 0 = 1Ti festgelegt wird: B = 1Ti

bzw.

BTi = 1 .

(N–)

Zeitfunktion s(t) und Spektralfunktion S( f ) sind immer folgendermaßen korreliert:



N Nachrichtentechnik

Bild N-. Korrespondenz zwischen Zeit- und Frequenzbereich.

Die Zeitdauer eines Vorgangs und seine spektrale Breite stehen in einem reziproken Verhältnis. Bei Netzwerken (Übertragungseinrichtungen) wird meist die -dB-Bandbreite benutzt. Sie gibt den Frequenzbereich an, in dem die Übertragungsfunktion H( f )

H( f ) =

U2 ( f ) ; U1 ( f )

(N–)

um weniger als den Faktor 1 2 = 0,707 von ihrem Maximalwert abweicht. Für das Fernsprechen wurde von CCITT (Comité Consultatif International Télégraphique et Téléfonique) das Frequenzband von fu = 300 Hz bis fo = 3,4 kHz (B = 3,1 kHz, Tabelle N-) festgelegt. Die in Tabelle N- definierte Kanalkapazität C hängt von der Bandbreite B des Kanals, der Signalleistung Ps und der Rauschleistung Pn (Abschnitt N..) ab (Tabelle N-). Nach Shannon gilt C = B ld 1 +

U 1 ( f ) Eingangsspannung, U 2 ( f ) Ausgangsspannung,

Ps Pn

N

B Ps 10 lg 1 + 3 Pn

. (N–)

N. Signale und Systeme



Tabelle N-. Informationstheoretische Begriffe. Die Beispiele der letzten Spalte beziehen sich auf ein System mit n = 4 Zeichen, die mit den Wahrscheinlichkeiten %, %, % und % auftreten. Definitionen

Gleichungen

Beispiel

Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Nachricht x i (Zeichen, Symbol)

p(x i )

p(x 1 ) = 0,4 p(x 2 ) = 0,3 p(x 3 ) = 0,2 p(x 4 ) = 0,1

Informationsgehalt der Nachricht xi

I(xi ) = ld U

Entropie: mittlerer Informationsgehalt einer Nachricht aus n Elementen x 1 . . .xn

H = b p(xi )I(xi )bit

H = 1,85 bit

Entscheidungsgehalt: maximaler Informationsgehalt einer Menge von n Zeichen

H 0 = ldn bit

H 0 = 2 bit

Redundanz: Differenz zwischen maximal möglichem Informationsgehalt und tatsächlich ausgenutztem

R = (H 0 − H) bit

R = 0,15 bit

relative Redundanz

r=

Informationsfluss (Tm ist die mittlere Zeit für die Übertragung eines Nachrichtenelements)

F = H Tm bit/s

Kanalkapazität: maximaler Informationsfluss, der fehlerfrei über einen Kanal übertragen werden kann

C = Fmax = _

n

i=1

Tabelle N-. Kanalkapazitäten.

H0 − H H0

I(x 1 ) = 1,32 bit I(x 2 ) = 1,74 bit I(x 3 ) = 2,32 bit I(x 4 ) = 3,32 bit

r = 0,077

H ` bit s Tm max

N.2.2 Abtasttheorem

Kanal

B kHz

S dB

C bit/s

Fernsprechen UKW-Rundfunk Fernsehen

,  

  

4,1 ċ 104 3 ċ 105 7,5 ċ 107

Häufig ist Ps M Pn , sodass gilt B B C N 10 lg(Ps Pn ) = S . 3 3 S

1 V bit p(xi )

Störabstand in dB (Übersicht N-).

(N–)

Zur Digitalübertragung müssen zeitkontinuierliche Signale durch Abtastung in diskrete Signale umgewandelt werden (Bild N-). Nach Shannon wird eine Zeitfunktion s(t), deren Spektrum durch die Bandbreite B begrenzt ist, durch Abtasten eindeutig beschrieben, wenn gilt: TA >

1 ; 2B

fA Z 2 B;

TA Abtastintervall, fA Abtastfrequenz.

(N–)



N Nachrichtentechnik

Gleichungen in Übersicht N- entsteht symmetrisch zur Trägerfrequenz fT eine obere und eine untere Seitenbandfrequenz fT + fM bzw. fT − fM (Bild N-). Sind in einem Signal FourierKoeffizienten im Frequenzbereich von f 1 bis f 2 enthalten, so entsteht ein oberes und ein unteres Seitenband mit Frequenzen von fT + f 1 bis fT + f 2 bzw. fT − f 2 bis fT − f 1 . Mit einer einfachen Gleichrichterschaltung lässt sich das AM-Signal demodulieren.

Bild N-. Abzutastendes Signal s(t) und Spektraldichte S( f ).

N.2.3 Modulation Nach NTG  ist die Modulation die Veränderung von Signalparametern eines Trägers in Abhängigkeit von einem modulierenden Signal (Basisbandsignal). Nach Übertragung des modulierten Signals wird durch Demodulation das Basisbandsignal wieder gewonnen (Bild N-). Von den in Tabelle N- dargestellten Modulationsverfahren sollen im Folgenden einige genauer dargestellt werden. Amplitudenmodulation AM Bei der AM wird die Amplitude eines Trägers durch das Basisbandsignal moduliert. Nach den

Bild N-. Modulationsprinzip.

Einseitenbandmodulation EM Da bei der AM jedes Seitenband die volle Information des modulierenden Signals trägt, ist eine Übertragung mit nur einem Band (mit und ohne Träger) möglich. In der Regel wird das obere Seitenband übertragen. Die erforderliche Bandbreite ist nur halb so groß wie bei der AM. Frequenzmodulation FM Bei der FM wird die Momentanfrequenz Ω(t) des Trägers durch das zu übertragende Signal moduliert (Bild N-, Übersicht N-). Es entstehen symmetrisch zur Trägerfrequenz fT Seitenbanden im Abstand n fM (n = 1, ,  . . . ), deren Amplituden durch Besselfunktionen Jn (η) bestimmt werden. Bei bestimmten Modulationsindizes (z. B. η = 2,405; , usw.) sind Nullstellen der Bessel-Funktionen, was zur Folge hat, dass der Träger bzw. bestimmte Seitenbänder verschwinden (Bild N-). Die FM benötigt bei großem Modulationsindex η eine wesentlich größere Bandbreite als die AM, wes-

N. Signale und Systeme



Tabelle N-. Modulationsverfahren. Sinusträger

modulierendes Signal analog Amplitudenmodulation AM amplitude modulation Einseitenbandmodulation single sideband modulation Restseitenbandmodulation vestigial sideband modulation Frequenzmodulation frequency modulation Phasenmodulation phase modulation

Pulsträger

digital AM EM SSB RM VSB FM PM

Pulsamplitudenmodulation pulse amplitude modulation Pulsdauermodulation pulse duration modulation Pulsfrequenzmodulation pulse frequency modulation Pulsphasenmodulation pulse phase modulation

Frequenzumtastung frequency shift keying Phasenumtastung phase shift keying

FSK PSK

kodiert PAM

Träger modulierendes Basisbandsignal Zeitfunktion

Modulationsgrad benötigte Bandbreite

Pulskodemodulation pulse code modulation

PCM

PDM PFM PPM

Übersicht N-. Amplitudenmodulation.

BNF

ASK

modulierendes Signal unkodiert

sˆT , ωT sˆM , ωM

Amplitudenumtastung amplitude shift keying

sT (t) = sˆT cos ωT t sM (t) = sˆM cos ωM t sAM (t) = (ˆsT + sˆM cos ωM t) cos ωT t = sˆT [cos ωT t + m2 ċ cos(ωT + ωM )t + m2 ċ cos(ωT − ωM )t] m = sˆM ˆsT BAM  2BNF

Amplitude und Kreisfrequenz des Trägers Amplitude und Kreisfrequenz des modulierenden Signals Bandbreite des niederfrequenten Basisbandsignals

halb sie nur im UKW-Bereich und noch höheren Frequenzen angewendet wird. Phasenmodulation PM Bei der PM wird der Phasenwinkel des Trägers durch das Basisbandsignal moduliert. Bei einem nur mit einer Sinusschwingung modulierten Träger sind PM und FM identisch. Beide werden unter dem Begriff Winkelmodulation zusammengefasst. Pulsmodulation Bild N- verschafft einen Überblick über die verschiedenen Pulsmodulationsverfahren. Bei den gezeigten Methoden entstehen zwar zeitdiskrete, aber wertkontinuierliche Signale. Pulskodemodulation PCM Durch Quantisierung wertkontinuierlicher Signale (z. B. der PAM) entstehen wertdiskrete Si-



N Nachrichtentechnik

Bild N-. Amplitudenmodulation.

gnale. Bild N- zeigt ein Beispiel mit acht Amplitudenstufen (-bit-Kode). Anstelle des gezeigten Dualkodes werden meist andere Kodes mit geringerer Störanfälligkeit zur Übertragung verwendet (z. B. Gray-Kode, Abschn. Y..). Dem Vorteil der hohen Störsicherheit bei der digitalen Übertragung steht der Nachteil gegenüber, dass eine große Bandbreite benötigt wird. In der Praxis rechnet man mit einer erforderlichen Bandbreite von B N 0,75 fA N ;

(N–)

fA Abtastfrequenz, Schrittgeschwindigkeit, N Anzahl der Quantisierungs-Bits.

Bild N-. Frequenzmodulation.

So wird beispielsweise bei der PCM-Fernsprechübertragung mit fA = 8 kHz (TA = 125 μs) abgetastet und die Messwerte mit  bit quantisiert ( Amplitudenstufen). Für die Übertragung dieses -kbits-Signals ist also eine Bandbreite von B = 48 kHz erforderlich, während die Analogübertragung mit nur , kHz auskommt.

N. Signale und Systeme

Der große Vorteil der PCM besteht darin, dass in der Zeit zwischen den einzelnen Abtastpulsen andere Signale abgetastet und übertragen werden können (Zeitmultiplex). Bei dem in Europa eingeführten PCM-Grundsystem (PCM ) werden innerhalb des Zeitrahmens von TA = 125 μs  Kanäle übertragen, davon sind  für Sprache oder Daten ausnutz-



bar. Insgesamt werden also 32 ċ 64 kbits = 2,048 Mbits übertragen.

N.2.4 Pegel und Dämpfungsmaß In der Nachrichtentechnik treten Signalamplituden auf, die viele Größenordnungen überstreichen (z. B. Signalleistung am Anfang und Ende einer Leitung, Spannungsamplituden am Ein- und Ausgang eines Verstärkers). Deshalb werden Größenverhältnisse häufig logarithmiert und in dB angegeben (Tabelle N-). Neben dem in Tabelle N- definierten (absoluten) Pegel ist der relative Pegel gebräuchlich, bei dem der Bezugswert eines bestimmten Bezugspunkts (z. B. Eingang, Ausgang) zum Vergleich herangezogen wird. Der Bezugspunkt hat den relativen Pegel null. Die relativen Pegel werden mit dem Hinweiszeichen dBr angegeben. Ist das Dämpfungsmaß negativ, dann liegt Verstärkung (Gewinn, gain) vor.

Übersicht N-. Frequenzmodulation. Augenblicksfrequenz des Trägers modulierendes Basisbandsignal Zeitfunktion Modulationsindex Fourier-Reihe

Ω(t) = ωT + ΔΩ cos ωM t sM (t) = sˆM cos ωM t sFM (t) = sˆT cos(ωT t +η sin ωM t) η = ΔΩ ωM = ΔF fM sFM (t) n=+

= sˆT b Jn (η) cos(ωT +nωM )t n=−

benötigte Bandbreite

Bild N-. Pulsmodulationsverfahren, s M (t) ist das modulierende Signal.

(ΔΩ)ΔF ωM ωT Jn (η) BNF

BFM  2(ΔF + BNF ) = 2(η fM + BNF ) (Kreis) Frequenzhub Modulationskreisfrequenz Trägerkreisfrequenz Besselfunktionen . Art, n-ter Ordnung Bandbreite des niederfrequenten Basisbandsignals



N Nachrichtentechnik

Tabelle N-. Logarithmierte Größenverhältnisse. Pegel (absoluter Pegel) Bezugsgröße ist ein festgelegter Wert Beispiel

Leistungspegel

Definition

Bezugsgröße P dB P0

L P = 10 lg

U dB U0

Spannungspegel

L U = 20 lg

Strompegel

I L I = 20 lg dB I0

Einheitszeichen IEC

UIT

P0 = 1 mW

dB(mW)

dBm

P0 = 1 W

dB(W)

dBW

U 0 = 0,775 V

dB(, V)

–

U0 = 1 V

dB(V)

dBV

I 0 = 1 mA

dB(mA)

–

Dämpfungsmaß Leistungsdämpfungsmaß

a P = 10 lg

P1 dB = L P1 − L P2 P2

Spannungsdämpfungsmaß

a U = 20 lg

U1 dB = L U1 − L U2 U2



, V entspricht am Bezugswiderstand  Ω von Fernsprecheinrichtungen einer Leistung von  mW

Bild N-. Quantisierung und Kodierung.

N.2.5 Verzerrungen Lineare Verzerrungen entstehen beispielsweise während einer Übertragung dadurch, dass die verschiedenen Fourier-Komponenten eines Signals verschieden stark gedämpft werden (Amplitudenverzerrungen) oder unterschiedliche Laufzeiten aufweisen (Laufzeitverzerrun-

gen). In beiden Fällen weicht das übertragene Signal vom Ausgangssignal ab. Bei den linearen Verzerrungen ändern sich im Fourier-Spektrum lediglich die Amplituden bzw. Phasen, es entstehen aber keine neuen Frequenzanteile. Nichtlineare Verzerrungen entstehen bei der Aussteuerung eines Senders oder Netzwerks mit einer gekrümmten Kennlinie. Bild N- zeigt die gekrümmte Kennlinie eines Halbleiterlasers (Abschnitt X..) als Sender für die optische Nachrichtenübertragung und die entstehende Verzerrung eines sinusförmigen Modulationssignals. Eine nichtlineare Kennlinie kann mathematisch durch eine Taylor-Reihe beschrieben werden (Übersicht N-). Bei der Aussteuerung entstehen neue Harmonische zur Grundfrequenz (Harmonic Distortion, HD). Ein Maß für die Verzerrung ist der Klirrfaktor k (Übersicht N-). Bei der Aussteuerung einer nichtlinearen Kennlinie mit einem Frequenzgemisch

N. Signale und Systeme



Übersicht N-. Nichtlineare Verzerrungen. y = ax + bx 2 + cx 3 + dx 4

Modulation mit einem Signal: x(t) = xˆ cos ωt y(t) = 12 b xˆ 2 + 38 d xˆ 4

Konstante

+ -a xˆ + 34 c xˆ 3 . cos ωt

Grundfrequenz

+ - 12 b xˆ 2 + 12 d xˆ 4 . cos 2 ωt zweite Harmonische ( HD) + 14 c xˆ 3 cos 3 ωt

dritte Harmonische ( HD)

1 d xˆ 4 8

vierte Harmonische (HD)

cos 4 ωt

Spektrum der relativen Spannungspegel für a xˆ b xˆ 2 c xˆ 3 d xˆ 4 = 1 10−1 10−2 10−3

Bild N-. Aussteuerung einer nichtlinearen Laserkennlinie.

Übersicht N-. Verzerrungsfaktoren. Klirrfaktor (Gesamtklirrfaktor)

$ %  2 % b Un # %  % n=2 k=% b k 2n %  2 = n=2 % &bU i i=1

Modulation mit zwei Signalen: ˆ x(t) = x(cos ω 1 t + cos ω 2 t) Spektrum der relativen Spannungspegel (s. o.)

Klirrfaktor n-ter Ordnung (Teilklirrfaktor)

$ % U n2 kn = % % &  U2

Klirrdämpfungsmaß

1 a k = 20 lg dB k

Klirrdämpfungsmaß n-ter Ordnung

a k n = 20 lg k1 dB

Intermodulationsfaktor Un

entstehen Summen- und Differenzfrequenzen (Intermodulation). Übersicht N- zeigt die Intermodulationsprodukte von zwei Frequenzen f 1 und f 2 . Zur Beurteilung der Intermodulati-

i=1

n = 2, , 

i

n

m=

  nmax    U n=1

f 2 −n f 1 +U f 2 +n f 1

Uf

2

2

Effektivwert der Spannung der n-ten Harmonischen

onsleistung gibt es verschiedene Definitionen (DIN  , Blatt ). Der in der Elektroakustik übliche Intermodulationsfaktor m ist in Übersicht N- angegeben. Der Intermodula-



N Nachrichtentechnik

tionsfaktor und der Klirrfaktor werden durch Ausmessen eines Zweitonspektrums mit einem Spektrumanalysator bestimmt.

− Modulationsrauschen (1 f -Rauschen modulierter Halbleiter), − Antennenrauschen (Einfangen atmosphärischer Störungen).

N.2.6 Rauschen

Nach der Frequenzabhängigkeit der spektralen Rauschleistungsdichte werden unterschieden:

Die wichtigste Störung bei der Übertragung eines Nachrichtensignals ist das Rauschen (Noise). Folgende Rauscharten werden unterschieden: − Widerstandsrauschen (thermisches Rauschen eines Widerstands), − Generations-Rekombinationsrauschen (Schwankungen der Ladungsträgerdichte in einem Halbleiter), − Schrotrauschen (statistisch regelloses Überqueren einer Sperrschicht durch Ladungsträger),

 U n = 4kTRB

Nach DIN   besteht ein Nachrichtenübertragungssystem aus Sender, Übertragungskanal und Empfänger.

verfügbare Rauschleistung bei Anpassung

Pn = kTB

Rauschtemperatur

Tn = Pn (kB)

Rauschzahl eines Vierpols

F=

Rauschmaß

F  = 10 lgF dB

Störabstand

S = 10 lg(Ps Pn ) dB

B e, a GL k Pn , Ps Tn, q , Tn, v

(Ps Pn )e (Ps Pn )a

In Übersicht N- sind die wichtigsten Beziehungen zusammengestellt.

N.3 Nachrichtenübertragung

Übersicht N-. Rauschen. effektive Rauschspannung eines Wirkwiderstands R

− weißes Rauschen (frequenzunabhängige Leistungsdichte), − breitbandiges Rauschen (Leistungsdichte ist frequenzunabhängig bis zu einer oberen (-dB-)Grenzfrequenz), − farbiges Rauschen (entsteht durch Filterung aus breitbandigem Rauschen), − rosa Rauschen (Leistungsdichte ist umgekehrt proportional zur Frequenz).

N.3.1 Sender

=1+

Pn, v G L Pn, e

=1+

Bandbreite Eingang, Ausgang Leistungsverstärkung Boltzmann-Konstante Rausch-, Signalleistung Rauschtemperatur von Signalquelle und Vierpol

Tn, v Tn, q

Signale der Nachrichtenquelle werden vom Sender so aufbereitet, dass sie für die Übertragung im Übertragungskanal geeignet sind und am Empfängereingang noch einen ausreichenden Pegel (Störabstand) aufweisen. Die zunächst in beliebiger Form vorliegende Nachricht wird mit Hilfe des Aufnahmewandlers in ein meist elektrisches Signal überführt. Die Signale werden meist nicht in ihrer Originalfrequenzlage (NF) übertragen, sondern als modulierte HF-Signale. Die Modulation (Abschnitt N..) eines hochfrequenten Trägers gehört deshalb mit zu den Aufgaben des Senders.

N. Nachrichtenübertragung



Übersicht N-. Leitungsgleichungen. R'

L' C'

G'

Ersatzschaltbild

Differenzialgleichung der ortsabhängigen komplexen Spannung Ausbreitungskonstante Für verlustarme Leitungen (ωL u R  und ωC  u G  ) gilt: Dämpfungskonstante (längenbezogene Dämpfung von U) Phasenkonstante (längenbezogene Phasendrehung von U) C G L R ω

längenbezogene Kapazität längenbezogener Querleitwert längenbezogene Induktivität längenbezogener Widerstand Kreisfrequenz

d2 U(x)  (R + jωL )(G  + jωC  )U(x) dx 2 " γ = α + jβ = (R  + jωL )(G  + jωC  ) # # L L 1 I  C  R + G α=  2K L C N  β = ω L C 

> ? ? ? ? @ Beläge ? ? ? ? A

N.3.2 Übertragungsmedium Die wichtigsten Übertragungsmedien sind − − − −

Leitungen (Drähte, Koaxialkabel), Hohlleiter, Lichtwellenleiter (Abschnitt L...), freier Raum.

Die wichtigsten Leitungsgleichungen sind in Übersicht N- zusammengestellt. Informationen zum Wellenwiderstand sowie der Reflexion und Transmission von Wellen an Stoßstellen sind im Abschnitt J.. zu finden. Bei der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen im freien Raum treten verschiedene Wellentypen auf (Bild N-). Bodenwellen sind vor allem für Wellenlängen über  m von Bedeutung (Tabelle N-). Raumwellen sind bei hohen Frequenzen (ab UKW) praktisch nur innerhalb optischer Sichtverbindung einsetzbar. Im Bereich der Kurz-, Mittelund Langwellen ist die an der Ionosphäre reflektierte Raumwelle von großer Bedeutung. Bei Mittelwellen kann es zu Interferenzerschei-

Bild N-. Ausbreitungswege elektromagnetischer Wellen. . Bodenwelle, an Grenzfläche Erde–Luft geführt, . Raumwelle, an Erdoberfläche reflektiert, . Raumwelle, optische Sichtverbindung, . Raumwelle, an Ionosphäre reflektiert.

nungen zwischen der Bodenwelle und der am Erdboden reflektierten Raum welle kommen. Durch zeitlich wechselnde Ausbreitungsbedingungen kommt es zu Schwund (Fading). Übersicht N- enthält Antennengleichungen für Freiraumübertragung (λ < 3 m).



N Nachrichtentechnik

Tabelle N-. Elektromagnetische Wellen.

Übersicht N-. Antennengleichungen. wirksame Antennenfläche 3λ 2 8π λ2 = 4π

– Hertz’scher Elementardipol

Aw, Hz =

– Kugelstrahler

Aw, K

aufgenommene Leistung der Empfangsantenne

Pe = Ps U

Antennengewinn

G = Aw Aw, K

Antennengewinnmaß

aG = 10 lgG

Freiraumdämpfungsmaß

a 0 = 10 lg(Ps Pe ) dB    d = 2R  - h s + h e .

2

Reichweite (quasioptische Sichtweite) Aw Ge , Gs he , hs Ps r R λ

wirksame Antennenfläche Gewinn Empfangs-, Sendeantenne Höhe Empfangs-, Sendeantenne Sendeleistung Abstand zwischen Sende- und Empfangsantenne effektiver Erdradius,  km Wellenlänge

λ V Ge Gs 4πr

dB

N. Nachrichtenübertragung

N.3.3 Empfänger Der Empfänger nimmt das übertragene Signal auf und verstärkt es. Nach Demodulation wird die Nachricht über einen Wiedergabewandler der Senke zugeführt. Erfolgt die Übertragung in der Originalfrequenzlage, wird zur Verstärkung ein Geradeausempfänger eingesetzt, der auf die Si-

Bild N-. Überlagerungsempfänger.



gnalfrequenz abgestimmt ist. Bei der Übertragung mit Hilfe eines modulierten hochfrequenten Trägers wird meist ein Überlagerungsempfänger (Heterodyn-Empfang, Superhet) benutzt. Durch Mischung des HF-Signals mit der Schwingung eines lokalen Oszillators wird das Signal in eine niedrigere Zwischenfrequenz (ZF) umgesetzt und in der ZF-Lage weiter verarbeitet (Bild N-).

O Thermodynamik

Tabelle O-. Wichtige Normen und Richtlinien.

Tabelle O-. Thermodynamische Systeme.

Norm

Bezeichnung Druck; Grundbegriffe, Einheiten Referenzzustand, Normzustand, Normvolumen Thermodynamik; Formelzeichen, Einheiten Stoffübertragung; Diffusion und Stoffübergang, Grundbegriffe, Größen, Formelzeichen, Kenngrößen Thermodynamik und Kinetik chemischer Reaktionen Elektrische Thermometer Technische Temperaturmessungen

Kennzeichen der Systemgrenzen

Beispiele

DIN  DIN 

Bezeichnung des Systems offen

durchlässig für Materie und Energie

Wärmeübertrager, Gasturbine

geschlossen

durchlässig für Energie, undurchlässig für Materie

geschlossener Kühlschrank, Warmwasserheizung, Heißluftmotor

abgeschlossen

undurchlässig für Energie und Materie

verschlossenes Thermosgefäß

adiabat

undurchlässig für Materie und Wärme, durchlässig für mechanische Arbeit

rasche Kompression in einem Gasmotor

DIN  DIN 

DIN   DIN   VDE/VDI 

Die Thermodynamik befasst sich mit Energieumwandlungen unter besonderer Berücksichtigung von Wärmeerscheinungen. In der phänomenologischen Thermodynamik wird ein System durch makroskopische Variable beschrieben, während in der statistischen Thermodynamik eine mikroskopische Betrachtungsweise angewendet wird. Die wichtigsten Erkenntnisse der Thermodynamik sind in drei Hauptsätzen zusammengefasst.

O.1 Grundlagen O.1.1 Thermodynamische Grundbegriffe Systeme Nach Art der Systemgrenzen werden verschiedenartige Systeme unterschieden (Tabelle O-). Zustand, Zustandsgrößen Der Zustand eines Systems wird durch Zustandsgrößen beschrieben (Tabelle O-).

Tabelle O-. Beispiele für Zustandsgrößen. thermische Zustandsgrößen Druck Volumen Temperatur

kalorische Zustandsgrößen p V T

innere Energie Enthalpie Entropie

U H S

Befindet sich ein System in einem Gleichgewichtszustand, dann nehmen die Zustandsgrößen Z konstante Werte an. Wird von einem Ausgangszustand 1 das System in den neuen Zustand 2 überführt, dann ist die Änderung der Zustandsgröße 2

ΔZ = # dZ = Z 2 − Z 1 1

(O–)



O Thermodynamik

unabhängig von der Art der Prozessführung; sie hängt nur vom Anfangs- und Endzustand ab. Wird ein Kreisprozess durchlaufen, sodass nach einer Folge von Zustandsänderungen der Anfangszustand wieder vorliegt, dann gilt Y dZ = 0 ; dZ

(O–)

totales Differenzial der Zustandsgröße Z.

Im Gegensatz zu den wegunabhängigen Zustandsgrößen sind Wärme und Arbeit wegabhängige, d. h. von der Art der Prozessführung abhängige Prozessgrößen. Differenziell kleine Größen von Prozessgrößen, die nicht als totales Differenzial schreibbar sind, werden im Folgenden mit δ gekennzeichnet, also z. B. δQ und δW.

Thermodynamische Größen, die von der Substanzmenge abhängen, werden als extensive Größen (Quantitätsgrößen) bezeichnet (z. B. Volumen, innere Energie). Intensive Größen (Qualitätsgrößen) hängen nicht von der Substanzmenge ab, behalten also bei einer Zerlegung des Systems in Teilsysteme ihren Wert bei (z. B. Druck, Temperatur). Wird eine

Tabelle O-. Spezifische und molare Größen. extensive Größe

intensive Größen molar

spezifisch

X

Xm = X ν (O–)

x = X m (O–)

Zusammenhang: Masse des Systems Stoff- oder Teilchenmenge Molmasse

Die Masse eines Atoms mA oder Moleküls mM ist m A = Ar u ,

m M = Mr u ;

(O–)

relative Atommasse (angegeben z. B. im Periodensystem), Mr relative Molekülmasse (Summe der relativen Atommassen), u atomare Masseneinheit, 1 1u = mA (12 C) = 1,66055 ċ 10−27 kg. 12 Für die Gesamtmasse m eines Einstoffsystems gilt m = NmM = νM ;

Spezifische und molare Größen

m ν M

Atom- und Molekülmassen

Ar

Prozessgrößen

Xm = x(m ν) = x M

extensive Größe X durch die Substanzmenge dividiert, ergibt sich eine intensive Größe (Tabelle O-).

(O–)

N ν M

(O–)

Zahl der Teilchen (Moleküle, Atome) eines Systems, Stoffmenge, Molmasse.

Die Stoffmenge (Teilchenmenge) ν wird gemessen in mol. Die SI-Basiseinheit 1 mol ist die Menge eines Stoffs, der genau so viel Teilchen enthält, wie Atome in 12,000 g 12 C enthalten sind. Diese Zahl ist die Avogadro’sche Konstante N A = 6,022 ċ 1023 mol−1 . Für die Stoffmenge ν gilt ν = NN A = mM ; N NA m M

(O–)

Teilchenzahl des Systems, Avogadro’sche Konstante, Masse des Systems, Molmasse, d. h. Masse von ν = 1 mol des Stoffes.

O. Grundlagen

Die Molmasse M bestimmt sich aus der relativen Atommasse Ar bzw. Molekülmasse Mr gemäß M = Ar gmol

bzw.

M = Mr gmol . (O–)

O.1.2 Temperatur Befinden sich zwei Körper auf verschiedenen Temperaturen, dann findet bei Kontakt der Körper ein Temperaturausgleich statt. Im nullten Hauptsatz der Thermodynamik wird formuliert: Im thermodynamischen Gleichgewicht haben alle Bestandteile eines Systems dieselbe Temperatur. Die physikalische Bedeutung der Temperatur wird im Abschnitt O.. beschrieben; die exakte Definition der thermodynamischen Temperatur erfolgt im Abschnitt O... Zur Definition einer Temperaturskala sind zwei Fixpunkte erforderlich. Ein Fixpunkt ist der absolute Temperaturnullpunkt, der nicht unterschritten werden kann. Als zweiter Fixpunkt wurde der Tripelpunkt (Abschnitt O...) des Wassers zu 273,16 K festgelegt. Daraus folgt für die SI-Basiseinheit der Temperatur: 1 Kelvin (1 K) ist der ,te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts von Wasser. Die Kelvin-Skala hat dieselbe Teilung wie die ältere Celsius-Skala, deren Fixpunkte Schmelzund Siedepunkte von Wasser (0  C bzw. 100  C) beim Normdruck pn = 101 325 Pa sind. Es gilt folgender Zusammenhang: ϑ C

=

T − 273,15 ; K

(O–)

ϑ T



Celsius-Temperatur, Kelvin-Temperatur.

Für Temperaturdifferenzen gilt Δϑ = ΔT .

(O–)

Hinweise zur Temperaturmessung sowie eine Zusammenstellung der relevanten DIN-Normen finden sich in der VDE/VDI-Richtlinie .

O.1.3 Thermische Ausdehnung Festkörper Die meisten Festkörper dehnen sich bei Erwärmung aus (Übersicht O-). Der lineare Ausdehnungskoeffizient α ist nur näherungsweise konstant. Bei großen Temperaturdifferenzen werden Mittelwerte gebildet (Tabelle O-).

Übersicht O-. Thermische Ausdehnung. relative Längenänderung

Δl = αΔT l

(O–)

absolute Länge

l 2 = l 1 [1 + α(T2 − Tl )]

(O–)

relative Volumenänderung

ΔV = γΔT, mit γ = 3α V

(O–)

absolutes Volumen Dichte

V2 = V1 [1 + γ(T2 − T1 )]

(O–)

α γ ΔT l1 , l2 V1 , V2 (ϑ) 0

(ϑ) =

0  0 (1 − γϑ) 1 + γϑ

(O–)

Längenausdehnungskoeffizient Raumausdehungskoeffizient Temperaturänderung Länge bei der Temperatur T1 bzw. T2 Volumen bei der Temperatur T1 bzw. T2 Dichte bei der Temperatur ϑ Dichte bei der Temperatur ϑ 0 = 0  C



O Thermodynamik

Tabelle O-. Mittlerer linearer Längenausdehnungskoeffizient α einiger Festkörper in verschiedenen Temperaturbereichen. 106 α K−1

106 α K−1

Temperaturbereich

0 C y ϑ y 100  C

0 C y ϑ y 500  C

Aluminium Kupfer Stahl C rostfreier Stahl Invarstahl Quarzglas gewöhnliches Glas

23,8 16,4 11,1 16,4 , , 

27,4 17,9 13,9 18,2 , 10,2

Tabelle O-. Raumausdehnungskoeffizient γ einiger Flüssigkeiten bei der Temperatur ϑ = 20  C. Stoff

103 γ in K−1

Wasser Quecksilber Pentan Ethylalkohol Heizöl

0,208 0,182 1,58 1,10 0,9 bis 1,0

Mit der absoluten Temperatur T gilt V (T) = V0

Flüssigkeiten

V (T)

T bzw. V T = konst. , (O–) T0

Volumen bei der absoluten Temperatur T, Volumen bei der absoluten Temperatur T0 = 273,15 K.

Die Gln. (O-) bis (O-) in Übersicht O- gelten auch für Flüssigkeiten. Zahlenwerte des kubischen Ausdehnungskoeffizienten sind in Tabelle O- angegeben.

V0

Gase

O.1.4 Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase

Bei einem Gas unter konstantem Druck existiert ein linearer Zusammenhang zwischen Volumen und Temperatur (Gay-Lussac’sches Gesetz):

Beim idealen Gas wird das Eigenvolumen der Gasmoleküle sowie deren Wechselwirkungen vernachlässigt. Die Zustandsgrößen p, V und T eines idealen Gases gehorchen der Beziehung

V (ϑ) = V0 (1 + γϑ) ; V (ϑ) V0 γ

(O–)

Volumen bei der Temperatur ϑ, Volumen bei der Temperatur ϑ 0 = 0  C, Raumausdehnungskoeffizient.

Für alle Gase ist der Volumenausdehnungskoeffizient bei kleinem Druck (p  0) γ = 0,003661 K−1 =

1 . 273,15 K

Ein Gas in diesem Zustand wird als ideales Gas bezeichnet.

p p T V

V = konst. ; T

(O–)

Druck, absolute Temperatur, Volumen des Gases.

Die Konstante auf der rechten Seite der Zustandsgleichung kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden (Übersicht O-). Die in Übersicht O-aufgeführten Konstanten sind: – individuelle (spezifische, spezielle) Gaskonstante Ri

O. Kinetische Gastheorie



Übersicht O-. Zustandsgleichung idealer Gase. Gasgleichung in Verbindung mit der Masse extensiv

intensiv

p V  Vm Ri Rm k

pV = mRi T

pV = νRm T pV = N kT

(O–)

(O–) (O–)

p = Ri T

(O–)

pVm = Rm T

(O–)

p = Ri T

(O–)

p = nkT

(O–)

Gasdruck Volumen spezifisches Volumen ( = V m) Molvolumen (Vm = V ν) individuelle Gaskonstante allgemeine Gaskonstante Boltzmann-Konstante

pn ; Tn n

Ri =

Stoffmenge

m  ν N n T

(O–)

Masse Dichte ( = m V ) Stoffmenge Teilchenzahl Teilchenzahldichte (n = N V ) absolute Temperatur

O.2 Kinetische Gastheorie O.2.1 Gasdruck

pn Tn n

Normdruck (pn = 101 325 Pa), Normtemperatur (Tn = 273,15 K), Dichte des Gases im Normzustand.

Jedes Gas hat eine individuelle Gaskonstante, die sich von der anderer Gase unterscheidet. – allgemeine (molare, universelle) Gaskonstante R m

Die Moleküle eines Gases sind in ständiger Bewegung. Bei jedem Stoß auf die Gefäßwände wird eine Kraft auf die Wand ausgeübt. Der dadurch entstehende Druck kann für ideale Gase berechnet werden (Grundgleichung der kinetischen Gastheorie): p=

Rm = Vmn

pn Vmn J = 8,3145 ; Tn mol ċ K

Molvolumen eines idealen Gases im Normzustand (Vmn = 22,414 dm3 mol).

– Boltzmann-Konstante k Rm = 1,3807 ċ 10−23 JK ; NA

(O–)

(O–)

Die allgemeine Gaskonstante hat für alle idealen Gase denselben Wert.

k=

1N 1 1 mM 2 = nmM 2 = 2 ; 3V 3 3

p N n V mM  2

Druck, Teilchenzahl, Teilchenzahldichte (n = NV ), Volumen, Masse eines Moleküls, Dichte, Mittelwert der Geschwindigkeitsquadrate.

Für die mittlere Geschwindigkeit m gilt (O–) M =

NA

Avogadro’sche Konstante.

  2 = 3p .

(O–)



O Thermodynamik

O.2.2 Thermische Energie und Temperatur

O.2.3 Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen

Für die Temperaturabhängigkeit der mittleren Geschwindigkeit m gilt

In einem Gas ändern sich infolge von Stößen ständig die Geschwindigkeiten der einzelnen Gasmoleküle. Dennoch wird im zeitlichen Mittel ein konstanter Bruchteil f () d der Gasmoleküle Geschwindigkeiten zwischen  und + d annehmen. Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung gibt dieses Verhältnis an:

m =

k Rm mM M T



2 =

  3kTmM = 3R m TM ; (O–)

Boltzmann-Konstante, allgemeine Gaskonstante, Masse eines Moleküls, Molmasse, absolute Temperatur.

2

f () d = 4 π 

1 3 mM 2 = kT . 2 2

(O–)

Diese Gleichung gilt für punktförmige Moleküle, bei denen die kinetische Energie gleichmäßig auf die drei Freiheitsgrade der Translation ( f = 3) verteilt ist. Mit der mittleren Energie je Freiheitsgrad

f () d

mM T k

e

mM  − 2k T

d ;

Wahrscheinlichkeit, mit der Geschwindigkeiten zwischen  und  + d auftreten, Masse eines Moleküls, absolute Temperatur, Boltzmann-Konstante.

Bild O- zeigt die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung bei verschiedenen Temperaturen. Das Maximum der Funktion definiert die wahrscheinlichste Geschwindigkeit w : w =

1 E f = kT 2

2

3 2

(O–)

Die mittlere kinetische Energie eines Moleküls ist E kin =

mM 2πkT

  2kTmM = 23 m .

(O–)

(O–)

folgt für ein Gas, dessen Moleküle f Freiheitsgrade haben:

E kin = E kin f k T

f kT ; 2

(O–)

mittlere kinetische Energie eines Moleküls, Zahl der Freiheitsgrade, Boltzmann-Konstante, absolute Temperatur.

Bild O-. Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung für Stickstoffmoleküle.

O. Hauptsätze der Thermodynamik

Die durchschnittliche Geschwindigkeit ¯ ist " ¯ =

8kT = πmM

"

8 m . 3π

(O–)

O.3 Hauptsätze der Thermodynamik O.3.1 Wärme Die Temperatur eines Körpers (Systems) ist ein Maß für die kinetische Energie, die in der ungeordneten Bewegung seiner Moleküle steckt (Abschnitt O..). Die Temperatur kann demnach nur dadurch erhöht werden, dass dem Körper Energie zugeführt wird. Die erforderliche Energie kann auf verschiedene Arten zugeführt werden, beispielsweise in Form mechanischer, elektrischer oder elektromagnetischer Arbeit. Eine spezielle Form der Energieübertragung tritt auf, wenn zwei Körper in Kontakt gebracht werden, die sich auf verschiedenen Temperaturen befinden: Energie, die aufgrund eines Temperaturunterschieds zwischen zwei Systemen ausgetauscht wird, wird als Wärme bezeichnet. Die Wärme fließt stets vom System mit der höheren zum System mit der niedrigeren Temperatur. Falls keine Phasenübergänge (Absch. O.) stattfinden, ist mit einer Wärmeübertragung stets auch eine Temperaturänderung verknüpft (Übersicht O-). Molare Wärmekapazitäten von Gasen sind in den Tabellen O- und O- zusammengestellt. Weitere Werte finden sich in Tabelle P-. Die spezifische bzw. molare Wärmekapazität von Gasen hängt von der Prozessführung ab. Für zwei spezielle Randbedingungen, die



leicht realisierbar sind, werden Wärmekapazitäten definiert: – C V , CmV , c V isochore Wärmekapazität für Wärmeumsatz bei konstantem Volumen, isobare Wärmekapazität – C p , Cm p , c p für Wärmeumsatz bei konstantem Druck. Wärmekapazitäten werden mit Kalorimetern gemessen. Beim Mischungskalorimeter befindet sich im Innern eines wärmeisolierten Dewar-Gefäßes eine Flüssigkeit (meist Wasser) der Masse m 1 und der spezifischen Wärmekapazität c 1 bei der Temperatur T1 . Wird ein Körper der Masse m 2 und der Temperatur T2 eingetaucht, so kann aus der Mischungstemperatur Tm und der Wärmekapazität CK des

Übersicht O-. Wärmekapazitäten. Wärme für infinitesimal kleine Temperaturänderung: δQ = C dT

(O–)

spezifische Wärmekapazität c = C m

(O–)

molare Wärmekapazität Cm = C ν

(O–)

Wärme für endliche Temperaturänderung: T2

T2

Q 12 = m g c(T) dT = ν g Cm (T) dT T1

Q 12 = m c¯(T2 − T1 ) = νC m (T2 − T1 ) C c Cm c¯ Cm m ν T

(O–)

T1

(O–)

Wärmekapazität, [C] = 1 J K spezifische Wärmekapazität, [c] = 1 J (kg ċ K) molare Wärmekapazität, [Cm ] = 1 J (mol ċ K) mittlere spezifische Wärmekapazität mittlere molare Wärmekapazität Masse des Systems Stoffmenge des Systems Temperatur



O Thermodynamik

Übersicht O-. Erster Hauptsatz der Thermodynamik. differenziell:

dU = δQ + δW

integriert:

ΔU = U 2 − U 1 = Q 12 + W12 (O–)

dU, ΔU δQ, Q 12 δW, W12

(O–)

Änderung der inneren Energie umgesetzte Wärme übertragene Arbeit

Vorzeichenregel: Wärme und Arbeit, die dem System zugeführt werden, erhalten ein positives Vorzeichen. Vom System nach außen abgegebene Energie ist negativ.

Kalorimeters die spezifische Wärmekapazität c 2 des Körpers bestimmt werden: c2 =

(m 1 c 1 + CK )(Tm − T1 ) . m 2 (T2 − Tm )

(O–)

O.3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik Die kinetische Energie, die in der ungeordneten Bewegung der Moleküle eines Systems steckt, sowie die potenzielle Energie der gegenseitigen Wechselwirkungen der Teilchen wird zusammengefasst zur inneren Energie eines Systems. In einem abgeschlossenen System bleibt die innere Energie eines Systems konstant; es gibt kein perpetuum mobile erster Art. Die innere Energie U erfährt eine Änderung dU, wenn das System mit der Umgebung Energie austauscht; dabei ist es unerheblich, ob die Energie in Form von Wärme oder Arbeit übertragen wird. Der erste Hauptsatz bilanziert die Änderung der inneren Energie durch zu- oder abgeführte Wärme und Arbeit (Übersicht O-). Die innere Energie ist eine Zustandsgröße (Abschnitt O..). Sie hängt nur vom augenblicklichen Zustand ab, nicht aber davon, wie das System in diesen Zustand gelangt ist.

Beim idealen Gas besteht die innere Energie nur in der kinetischen Energie der Molekülbewegung. Nach Abschnitt O.. gilt f f f U = N E kin = N kT = ν Rm T = m R i ; 2 2 2 (O–) U N ν m f E kin Rm Ri k T

innere Energie eines idealen Gases, Teilchenzahl, Teilchenmenge, Masse, Zahl der Freiheitsgrade, mittlere kinetische Energie je Molekül, allgemeine Gaskonstante, individuelle Gaskonstante, Boltzmann-Konstante, absolute Temperatur.

Für beliebige Zustandsänderungen ist die Änderung dU der inneren Energie U eines idealen Gases dU = νCmV dT = mc V dT ; CmV cV dT

(O–)

isochore molare Wärmekapazität, isochore spezifische Wärmekapazität, differenzielle Temperaturänderung.

Volumenänderungsarbeit Wird in einem geschlossenen System das Volumen eines Gases verändert (Bild O-), dann ist das Differenzial der Arbeit dW = F ds ausdrückbar als δW = −p dV .

(O–)

Bei einer Volumenänderung von V1 auf V2 gilt V2

W12 = − # p(V ) dV ; V1

(O–)

O. Hauptsätze der Thermodynamik

Cm p , c p

isobare molare und spezifische Wärmekapazität, Stoffmenge, Masse, Temperaturänderung.

ν m dT Bild O-. Zur Bestimmung der Volumenänderungsarbeit. A Kolbenfläche; F Kraft; p Druck; ds Wegelement.

W12 p(V )

Volumenänderungsarbeit, Druck in Abhängigkeit vom Volumen.

Die Volumenänderungsarbeit entspricht der Fläche unter der Kurve der Zustandsänderung im p,V -Diagramm.



O.3.3 Wärmekapazität idealer Gase Die Wärmekapazitäten idealer Gase gehorchen einfachen Gesetzmäßigkeiten (Übersicht O-). Tabelle O- zeigt eine Zusammenstellung der berechneten molaren Wärmekapazitäten sowie des Isentropenexponenten für verschiedene Molekülformen und mögliche Freiheitsgrade. Experimentelle Ergebnisse sind in Tabelle O- angegeben. Hinweise zur Berechnung der Wärmekapazität idealer Gase mit komplizierten

Enthalpie Im Gegensatz zur inneren Energie benutzt man bei Vorgängen mit isobarer Zustandsänderung (z. B. bei offenen Systemen) die Enthalpie H. H = U + pV ; H U p V

(O–)

Enthalpie, innere Energie, Druck, Volumen.

Bei einer isobaren Zustandsänderung (p = konst.) ist das totale Differenzial der Enthalpie dH = dU + p dV . Mit dem ersten Hauptsatz ergibt sich dH p=konst. = δQ p=konst. = νCm p dT = mc p dT ; dH p=konst. δQ p=konst.

(O–)

Enthalpieänderung bei konstantem Druck, Wärmeumsatz bei konstantem Druck,

Übersicht O-. Wärmekapazitäten idealer Gase. isobare und isochore Wärmekapazitäten isochore Wärmekapazitäten Einfluss der Freiheitsgrade der Gasmoleküle

Cm p − CmV = Rm

CmV =

1 dU 1 dU , cV = ν dT m dT (O–)

CmV =

f Rm , C m p = 2

cV =

Isentropenexponent, Adiabatenexponent Rm , Ri ν m U f

(O–)

c p − c V = Ri

ϰ=

f Ri , c p = 2

Cm p CmV

=

cp cV

f + 1! Rm 2 (O–)

f + 1! Ri 2 (O–)

=1+

2 f

(O–)

allgemeine bzw. individuelle Gaskonstante Stoffmenge Masse innere Energie Zahl der Freiheitsgrade eines Moleküls



O Thermodynamik

Tabelle O-. Freiheitsgrade, molare Wärmekapazitäten C m und Isentropenexponent ϰ für verschiedene Molekülformen. Molekülform

Symbol

Freiheitsgrade

CmV J mol ċ K

Cm p J mol ċ K

ϰ

Translation

Rotation

Oszillation

gesamt

punktförmig



–

–



,

,

,

starre Hantel





–



,

,

,

schwingende Hantel









,

,

,

mehratomig, starr





–



,

,

,

Tabelle O-. Gemessene molare Wärmekapazitäten C m einiger Gase beim Normdruck pn = 1013 hPa und der Temperatur ϑ = 20  C. Gas

CmV J mol ċ K

Cm p J mol ċ K

ϰ

Helium Argon

He Ar

12,47 12,47

20,80 20,80

1,67 1,67

Wasserstoff Sauerstoff Stickstoff Luft Chlor

H2 O2 N2 Cl2

20,43 21,06 20,76 20,77 25,74

28,76 29,43 29,09 29,10 34,70

1,41 1,40 1,40 1,40 1,35

Kohlendioxid Schwefeldioxid Methan Ethan Ammoniak

CO2 SO2 CH4 C2 H 6 NH3

28,46 31,40 26,19 43,12 27,84

36,96 40,39 34,59 51,70 36,84

1,30 1,29 1,32 1,20 1,31

Molekülformen finden sich beispielsweise im VDI-Wärmeatlas, Abschnitt Da. .. Die Außenseiterrolle von Cl2 bei den zweiatomigen Molekülen (Tabelle O-) kommt daher, dass in Chlor bei 20  C etwa die Hälfte der Moleküle sich wie starre Hanteln und die andere Hälfte wie schwingende Hanteln verhält. Während alle Moleküle die Freiheitsgrade der Translation ( f = 3) besitzen, werden die Frei-

heitsgrade der Rotation und der Oszillation mit steigender Temperatur sukzessive angeregt. In einem Festkörper schwingen die Atome um ihre Ruhelagen in drei Raumrichtungen. Mit f = 6 Schwingungsfreiheitsgraden je Atom folgt CmV = 3Rm = 24,9 J(mol ċ K). Dieses Ergebnis, als Dulong-Petit’sches Gesetz bekannt, gilt bei hohen Temperaturen. Mit abnehmender Temperatur geht die Wärmekapazität gegen null. In der Nähe des absoluten Temperaturnullpunkts gilt CmV H T 3 (Debye, Abschnitt V). O.3.4 Spezielle Zustandsänderungen idealer Gase Die wichtigsten Formeln für Zustandsänderungen idealer Gase sind in Tabelle O- zusammengestellt. Die Zustandsänderungen werden mit konstanter Stoffmenge ν bzw. Masse m durchgeführt (geschlossenes System). Das Gas ist in einem Zylinder mit reibungsfrei verschiebbarem Kolben eingeschlossen (Bild O-). Zu jeder Zeit sollen Druck und Temperatur des Gases mit der Umgebung im Gleichgewicht sein. Derartig kontrollierte Prozesse sind reversibel (Abschnitt O..). Die in Tabelle O- angegebenen Beziehungen zwischen den thermischen Zustandsgrößen p, V und T bei der polytropen Zustandsänderung können als Verallgemeinerung der Be-

polytrop

isentrop

isobar

isochor

isotherm

S = konstant

dS = 0 δQ = 0

p = konstant

dp = 0

V = konstant

dV = 0

T = konstant

dT = 0

Zustands- Bedingung änderung

p, V -Diagramm

= konstant

p1−n T n = konstant

TV n−1 = konstant

pV n

p1−ϰ T ϰ = konstant

pV ϰ = konstant TV ϰ−1 = konstant

V = konstant T Gay-Lussac

p = konstant T Charles

Boyle-Mariotte

pV = konstant

thermische Zustandsgrößen

Tabelle O-. Spezielle Zustandsänderungen idealer Gase.

U 2 − U 1 = Q 12 + W12

dU = δQ + δW

dU = δW U 2 − U 1 = W12

U 2 − U 1 = Q 12 + W12

dU = δQ + δW

U 2 − U 1 = Q 12

dU = δQ

Q 12 + W12 = 0

δQ + δW = 0

erster Hauptsatz

ċ

1 1 −  ϰ−1 n−1

Q 12 = νRm (T2 − T1 )

δQ = dU − δW

δQ = 0 Q 12 = 0

= mc p (T2 − T1 )

Q 12 = nCm p (T2 − T1 )

δQ = nCm p dT

= mc V (T2 − T1 )

Q 12 = nCmV (T2 − T1 )

δQ = nCmV dT

Q 12

V2 = νRm T ln V1 V2 = mRi T ln V1

δQ = −δW

Wärme

p2 V2 − p1 V1 ϰ−1

W12 =

νRm (T2 − T1 ) n−1 p2 V2 − p1 V1 = n−1

δW = −p dV

=

δW = νCmV dT W12 = νCmV (T2 − T1 )

W12 = p(V1 − V2 )

δW = −p dV

W12 = 0

δW = 0

V1 V2 V1 = mRi T ln V2 W12 = νRm T ln

δW = −p dV

Volumenänderungsarbeit

O. Hauptsätze der Thermodynamik 



O Thermodynamik

ziehungen bei den anderen Zustandsänderungen aufgefasst werden. Je nach Wahl des Polytropenexponenten n ergeben sich die Spezialfälle – – – –

Isotherme Isochore Isobare Isentrope

(n = 1), (n = ), (n = 0), (n = ϰ).

O.3.5 Kreisprozesse Durchläuft ein System eine Folge von Zustandsänderungen, sodass der Endzustand wieder mit dem Anfangszustand übereinstimmt, dann liegt ein Kreisprozess vor. Je nach Umlaufsinn im p, V -Diagramm unterscheidet man rechts- und linksläufige Kreisprozesse (Tabelle O-). Da die innere Energie U als Zustandsgröße bei einem vollständigen Umlauf keine Änderung erfährt, lautet der erste Hauptsatz bei Kreisprozessen: Y dU = 0 = Y δW + Y δQ = W + Q ; (O–) W Q

je Zyklus umgesetzte Arbeit, je Zyklus umgesetzte Wärme.

Bild O-. Rechtsläufiger Kreisprozess. helle Graufläche: zugeführte Volumenänderungsarbeit, gesamte Graufläche: abgegebene Volumenänderungsarbeit, umfahrene Fläche: Nutzarbeit.

Tabelle O-. Eigenschaften von Kreisprozessen. Umlaufsinn

rechtsläufig

linksläufig

Bezeichnung Kraftmaschinenprozess

Arbeitsmaschinenprozess

Wärmefluss

Wärme wird bei hoher Temperatur aufgenommen und bei tiefer Temperatur abgegeben.

Wärme wird bei tiefer Temperatur aufgenommen und bei hoher Temperatur abgegeben.

mechanische Differenz von zuArbeit und abgeführter Wärme wird als mechanische Nutzarbeit abgegeben.

Differenz von abund zugeführter Wärme wird als mechanische Arbeit zugeführt.

Beispiele

Kältemaschine, Wärmepumpe

Verbrennungsmotor, Wärmekraftmaschine

Die umgesetzten Energiebeträge treten im p, V -Diagramm (Bild O-) als Fläche der umfahrenen Figur auf. Rechtsläufiger Carnot-Prozess Der Carnot’sche Kreisprozess (Bild O-) verläuft zwischen zwei Isothermen und zwei Isentropen. Er hat große theoretische Bedeutung, weil er den größten thermischen Wirkungsgrad besitzt, mit dem Wärme in mechanische Arbeit umgewandelt werden kann. Die Energieumsätze auf den einzelnen Teilschritten sind in Tabelle O- zusammengestellt. Die auftretenden Energieströme sind im Bild O- anschaulich dargestellt. Dem System wird bei der hohen Temperatur T3 Wärme zugeführt (Qzu = Q 34 ); bei der tiefen Temperatur T1 gibt das System Wärme an die Umgebung ab (Qab = Q 12 ). Je Umlauf wird die Nutzarbeit W abgegeben. Das Verhältnis von betragsmäßig abgegebener Nutzarbeit W und zugeführter Wärme Qzu

O. Hauptsätze der Thermodynamik



Bild O-. Carnot’scher Kreisprozess.

Tabelle O-. Energieumsätze beim CarnotProzess. Prozessschritt

Arbeit

Wärme

1 \ 2: isotherme Kompression

W12 = νRm T1 ċ ċ ln(V1 V2 ) zugeführt

Q 12 = −νRm ċ ċT1 ln(V1 V2 ) abgegeben

2 \ 3: isentrope Kompression

W23 = νCmV (T3 − T1 ) zugeführt

–

3 \ 4: isotherme Expansion

W34 = −νRm ċ ċT3 ln(V4 V3 ) abgegeben

Q 34 = νRm ċ ċT3 ln(V4 V3 ) zugeführt

4 \ 1: isentrope Expansion

W41 = −νCmV ċ ċ(T3 − T1 ) abgegeben

–

W = W12 + W23 + W34 + W41 V4 = −νRm ln (T3 − T1 ) . V3 Mit der Wärme Qzu = Q 34 wird der thermische Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses ηth, C =

T3 T1

wird als thermischer Wirkungsgrad ηth einer Wärmekraftmaschine bezeichnet: W ηth = . Qzu

Mit den Gleichungen von Tabelle O- ergibt sich für die Nutzarbeit je Zyklus

(O–)

T3 − T1 T1 =1− ; T3 T3

(O–)

Temperatur der Wärmequelle, Temperatur der Wärmesenke.

Thermodynamische Temperatur Der thermische Wirkungsgrad des CarnotProzesses hängt nur von den Temperaturen der beteiligten Wärmebäder ab, nicht aber vom Arbeitsmedium. Dadurch wird es möglich, die



O Thermodynamik

Bild O-. Energieflussdiagramm beim rechtsläufigen Carnot-Prozess.

Bild O-. Energieflussdiagramm beim linksläufigen Carnot-Prozess.

thermodynamische Temperatur stoffunabhängig zu definieren. Die Temperaturen zweier Wärmebäder lassen sich also (im Prinzip) dadurch vergleichen, dass der Wirkungsgrad eines Carnot-Prozesses bestimmt wird, der zwischen den Wärmebädern betrieben wird.

ne und Wärmepumpe. Die Leistungszahlen für diese Arbeitsmaschinenprozesse sind in Übersicht O- zusammengestellt.

Linksläufiger Carnot-Prozess Beim linksläufigen Kreisprozess treten Energieströme auf, die im Bild O- dargestellt sind. Es sind zwei Betriebsweisen möglich: Kältemaschi-

Technische Kreisprozesse Kreisprozesse, die in realen Maschinen ablaufen, können durch idealisierte Vergleichsprozesse angenähert werden (Tabelle O-). Die Pfeile im p,V -Diagramm zeigen an, bei welchen Zustandsänderungen Wärme übertragen wird; die schraffierten Flächen stellen die Nutzarbeit dar.

Übersicht O-. Leistungsziffer von Kältemaschine und Wärmepumpe. Kältemaschine Definition der Leistungsziffer ε

εK =

Leistungsziffer des Carnot-Prozesses

εK, C =

Wärmepumpe Qab  Q˙ ab  = W P

Qzu Q˙ zu = W P

(O–)

εW =

T1 T3 − T1

(O–)

εW, C =

Q˙ zu zugeführter Wärmestrom (dem kalten Wärmebad entzogen) P zugeführte Leistung Q˙ ab  abgegebener Wärmestrom (an das Wärmebad hoher Temperatur)

T3 1 = T3 − T1 ηth, C

(O–)

(O–)

O. Hauptsätze der Thermodynamik



Tabelle O-. Technische Kreisprozesse.

KolbenVerbrenmaschinen nungsmotoren

Heißluftmotor

Bezeich- p, V -Diagramm nung

Einzelprozesse

SeiligerProzess

T5 − T1  Isentropen, ηth = 1 −  Isochoren, T3 − T2 + ϰ(T4 − T3 )  Isobare

OttoProzess

 Isentropen, ηth = 1 −  Isochoren

1 V1 ϰ−1   V2

DieselProzess

 Isentropen,  Isochoren, ηth = 1 −  Isobare

V3 ϰ  −1 V2 V3 V1 ϰ−1 ϰ − 1   V2 V2

StirlingProzess

T1  Isothermen, ηth = 1 − = ηth, C  Isochoren T3

Strömungs- offene Joulemaschinen Gasturbine Prozess

thermischer Wirkungsgrad



 Isentropen, T1  Isobaren ηth = 1 − =1− T2

p1 ! p2

ϰ−1 ϰ



O Thermodynamik

Tabelle O-. (Fortsetzung). Bezeich- p, V -Diagramm nung

Einzelprozesse

thermischer Wirkungsgrad

geschlossene EricssonGasturbine Prozess

T1  Isothermen, ηth = 1 − = ηth, C  Isobaren T3

Dampfkraft- Clausiusanlagen RankineProzess

h3 − h4 h4  Isentropen, 1− ηth =  Isobaren h3 − h1 h3

O.3.6 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Reversible und irreversible Prozesse Zustandsänderungen eines Systems können reversibel (umkehrbar) oder irreversibel (nicht umkehrbar) sein.

Beispiele für irreversible Zustandsänderungen sind – – – –

Diffusion, Überströmprozesse (freie Expansion), Wärmeübergang, gedämpfte Schwingungen.

Formulierungen des zweiten Hauptsatzes Ein Prozess ist reversibel, wenn bei seiner Umkehr der Ausgangszustand wieder erreicht werden kann, ohne dass eine Änderung in der Umgebung zurückbleibt; ist dies nicht möglich, dann ist der Prozess irreversibel. Bei genauer Untersuchung zeigt es sich, dass alle natürlich ablaufenden Vorgänge irreversibel sind. Reversible Prozesse sind nur idealisierte Grenzfälle. Reversible Zustandsänderungen von Gasen (z. B. isotherme Expansion) sind denkbar, wenn die Prozessführung quasistatisch, d. h. über Gleichgewichtszustände, verläuft und wenn keine Reibung auftritt.

Es sind viele Prozesse in Übereinstimmung mit dem ersten Hauptsatz denkbar, die aber nicht realisierbar sind; sie verstoßen gegen den zweiten Hauptsatz. Eine klassische Formulierung lautet: Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die Wärme aus einer Wärmequelle entnimmt und vollständig in mechanische Arbeit umwandelt. Eine Maschine, die dies könnte, wird als perpetuum mobile . Art bezeichnet. Die linksläufigen Kreisprozesse zeigen, dass es unter Arbeitsaufwand möglich ist, Wärme ei-

O. Hauptsätze der Thermodynamik

nem kalten Körper zu entziehen und bei einer höheren Temperatur wieder abzugeben (Wärmepumpe). Dagegen gilt: Wärme geht nicht von selbst von einem kalten auf einen warmen Körper über.

Entropie Mit Hilfe des Entropiebegriffs ist es möglich, den zweiten Hauptsatz mathematisch darzustellen. Für den reversibel geführten Carnot’schen Kreisprozess lässt sich zeigen, dass die Summe von zu- und abgeführter Wärme, jeweils dividiert durch die Temperatur, bei der die Wärme umgesetzt wird, null ergibt: Q 12 Q 34 + =0. T1 T3 Diese Beziehung gilt etwas modifiziert für beliebige Kreisprozesse bei reversibler Führung:

Y

δQrev =0. T



Übersicht O-. Entropie. Differenzial der Entropie

dS =

Entropiedifferenz zwischen zwei Zuständen

δQrev T

(O–) 2

ΔS = S 2 − S 1 = g 1

Entropiedifferenz bei idealen Gasen

ΔS = ν UCmV ln = ν UCm p ln

δQrev T

(O–)

T2 V2 + Rm ln V T1 V1 T2 p2 + Rm ln V T1 p1 (O–)

S Entropie, SI-Einheit [S] = 1 J K δQrev reversibel umgesetzte Wärme T1 , T2 Temperatur > ? ? ? p1 , p2 Druck @ von Zustand  und  ? ? Volumen V1 , V2 ? A ν Stoffmenge allgemeine Gaskonstante Rm Cm p , CmV isobare bzw. isochore molare Wärmekapazität

(O–)

Die Größe δQrev T ist nach Gl. O– das Differenzial einer Zustandsgröße, die als Entropie S bezeichnet wird (Übersicht O-). Der Nullpunkt der Entropie ist im Prinzip frei wählbar. Häufig wird in der Technik die Entropie eines Systems bei ϑ = 0  C null gesetzt. Der dritte Hauptsatz zeigt, dass die Entropie reiner Stoffe am absoluten Temperaturnullpunkt null ist.

In adiabaten geschlossenen Systemen sind nur solche Vorgänge möglich, bei denen die Entropie zunimmt:

abgeschlossenen Systemen verlaufen alle Prozesse bei konstanter innerer Energie und ansteigender Entropie. Wenn die Entropie ein Maximum erreicht hat, liegt der Gleichgewichtszustand vor (Abschnitt O..). Aus der Definitionsgleichung für die Entropie folgt, dass in einem T, S-Diagramm die reversibel übertragene Wärme als Fläche unter der Kurve der Zustandsänderung abgelesen werden kann. Mit δQrev = T dS ergibt sich 2

Q, rev = # T dS .

(O–)

1

dS Z 0 .

(O–)

Das Gleichheitszeichen gilt für reversible, das Größer-als-Zeichen für irreversible Prozesse. In

Bild O- zeigt das Wärmeschaubild des Carnot-Prozesses. Die zugeführte Wärme Q 34 entspricht der Fläche unter der Geraden –, die abgegebene Wärme Q 12 ist die Fläche unter



O Thermodynamik

der Entropie als auch einer Abnahme des Ordnungsgrades verknüpft sind (z. B. Mischung zweier vorher getrennter Gase), gilt: Die Entropie ist ein Maß für den Grad der Unordnung in einem System.

Bild O-. T, S-Diagramm des rechtsläufigen CarnotProzesses. W Arbeit;  bis  Zustandspunkte.

der Geraden –. Die Nutzarbeit entspricht wie beim p,V -Diagramm dem Flächeninhalt der umfahrenen Figur –––. Der thermische Wirkungsgrad ist das Verhältnis zwischen der umfahrenen Fläche und der Gesamtfläche. Statistische Deutung der Entropie Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Entropie eines Systems in einem bestimmten Zustand und der Wahrscheinlichkeit der Realisierung dieses Zustandes. Nach Boltzmann gilt S = k ln W ; S k W

(O–)

Entropie eines Systems, Boltzmann-Konstante, thermodynamische Wahrscheinlichkeit des Zustandes.

Der Entropieunterschied zweier Zustände  und  ist ΔS = S 2 − S 1 = k ln(W2 W1 ) .

(O–)

Da in abgeschlossenen Systemen natürlich ablaufende Prozesse sowohl mit einem Anstieg

Exergie und Anergie Die Erfahrung zeigt, dass nicht jede Energie in beliebige andere Energieformen umwandelbar ist. Während sich z. B. die mechanische Energie (kinetische und potenzielle) und die elektrische Energie praktisch unbeschränkt in andere Energieformen umwandeln lassen, ist die Umwandlung der inneren Energie oder der Wärme in andere Energieformen durch den zweiten Hauptsatz begrenzt. Der Anteil einer Energie, der unter Mitwirkung der Umgebung in jede andere Energieform umwandelbar ist, wird als Exergie, der nicht umwandelbare Anteil als Anergie bezeichnet. Es gilt folgende Beziehung: Energie = Exergie + Anergie . Jede Energie lässt sich aufspalten in Exergie und Anergie, wobei ein Anteil auch null sein kann. Als Beispiel soll die Exergie und Anergie der Wärme betrachtet werden. Die Exergie der Wärme ist jener Anteil, der sich in einem rechtsläufigen, reversibel geführten Kreisprozess mit der Umgebung als Wärmesenke in Nutzarbeit verwandeln lässt. Die Anergie ist die Abwärme des Kreisprozesses. Die Exergie E Q einer bestimmten Wärmemenge Q bei der Temperatur T ergibt sich aus Nutzarbeit eines Carnot-Prozesses, der zwischen der Temperatur T und der Umgebungstemperatur Tu abläuft (Bild O-): E Q = ηC Q .

(O–)

O. Hauptsätze der Thermodynamik

ζ = WE Q, zu ; ζ W E Q, zu



(O–)

exergetischer Wirkungsgrad, Betrag der abgegebenen Nutzarbeit, Exergie der zugeführten Wärme Q zu

Nach Baehr lässt sich der zweite Hauptsatz folgendermaßen formulieren: – Bei allen irreversiblen Prozessen verwandelt sich Exergie in Anergie. – Nur bei reversiblen Prozessen bleibt die Exergie konstant. – Es ist unmöglich, Anergie in Exergie zu verwandeln.

Bild O-. Exergie und Anergie der Wärme Q(t) bei der Umgebungstemperatur Tu . a) Wärmeschaubild; b) Carnot-Faktor η C für die Umgebungstemperatur ϑ u = 20  C.

ηC ist der als Carnot-Faktor bezeichnete thermische Wirkungsgrad des betrachteten CarnotProzesses: ηC = 1 − Tu T .

(O–)

Die Anergie A Q der Wärme Q beträgt A Q = Q(1 − ηC ) .

(O–)

Wie Bild O- zeigt, ist die Exergie der Wärme umso größer, je höher die Temperatur T und je niedriger die Umgebungstemperatur Tu ist. Zur Abschätzung der sinnvollen Ausnutzung von Primärenergie ist der exergetische Wirkungsgrad besser geeignet als der thermische:

O.3.7 Thermodynamische Potenziale Durch Kombination von bereits bekannten Zustandsgrößen lassen sich neue gewinnen. Von besonderer Bedeutung sind die thermodynamischen Potenziale (Tabelle O-). Die Potenziale geben die Richtung an, in der spontane Prozesse (z. B. chemische Reaktionen) in isothermen Systemen verlaufen. Für das Gleichgewicht thermodynamischer Systeme sind die Minimalbedingungen entscheidend (Abschnitt O..).

O.3.8 Dritter Hauptsatz der Thermodynamik Entropieunterschiede verschiedener Phasen eines Stoffes verschwinden bei Annäherung an den absoluten Temperaturnullpunkt: lim ΔS = 0 .

T0

(O–)

Dieses Nernst’sche Wärmetheorem wurde von Planck erweitert:



O Thermodynamik

Tabelle O-. Thermodynamische Potenziale. thermodynamisches Potenzial

F = U − TS freie Energie

Richtung spontaner Prozesse

isotherm-isochores System: irr

(O–)

G = H −T S = U + pV −T S (O–) freie Enthalpie isotherm-isobares System: irr

dF y 0

dG y 0

Gleichgewichtsbedingung

F = Min!

G = Min!

Differenzialquotienten

p = −(∂F ∂V )T S = −(∂F ∂T)V

V = (∂G ∂p)T S = −(∂G ∂T) p

rev

lim S = 0 .

T0

(O–)

Die Entropie reiner Stoffe ist am absoluten Temperaturnullpunkt null. Eine Konsequenz aus dieser Festlegung ist: Der absolute Temperaturnullpunkt ist nicht erreichbar.

O.4 Reale Gase Sind die Wechselwirkungen zwischen den Gasmolekülen nicht mehr zu vernachlässigen, so handelt es sich um reale Gase. Die spezifische Gaskonstante R i wird mit dem Realgasfaktor Z korrigiert, um diese Wechselwirkungen zu beschreiben (Übersicht O-). O.4.1 Van-der-Waals’sche Zustandsgleichung Die Zustandsgleichung pVm = Rm T (Übersicht O-) ist bei realen Gasen um folgende zwei Korrekturglieder zu ergänzen: – Binnendruck (aVm2 ). Er trägt den Anziehungskräften (Kohäsion) zwischen den Gasmolekülen Rechnung. – Kovolumen (b). Es beschreibt das Eigenvolumen der Gasmoleküle.

rev

Übersicht O- zeigt den Verlauf von Isothermen der van-der-Waals’schen-Zustandsgleichung (für CO2 ). Die schraffierten Teile sind nicht realistisch. Im ganzen grau unterlegten Gebiet (Koexistenzgebiet) sind die gasförmige und die flüssige Phase gleichzeitig vorhanden. Der höchste Punkt des Koexistenzgebietes ist der kritische Punkt mit der kritischen Temperatur Tk , dem kritischen Druck pk und dem kritischen Volumen Vmk . Gase lassen sich durch Druck nur unterhalb der kritischen Temperatur Tk verflüssigen (Tabelle O-). O.4.2 Gasverflüssigung (Joule-Thomson-Effekt) Bei einem realen Gas ist wegen der zwischenmolekularen Wechselwirkungen (Kohäsionskräfte) und des Eigenvolumens der Moleküle die innere Energie U volumen- und druckabhängig. Wird deshalb ein reales Gas ohne Wärmeübertragung (adiabat) und ohne Arbeitsverrichtung (Drosselung) entspannt, dann kühlt es sich ab (Joule-Thomson-Effekt). Zur Überwindung der zwischenmolekularen Anziehungskräfte muss Energie aufgewendet werden, die aus dem Vorrat der inneren Energie genommen wird. Die druckbezogenen Temperaturdifferenzen betragen für Luft ΔTΔp = 2,5 KMPa und für Kohlendioxid ΔTΔp = 7,5 KMPa. Eine Abkühlung tritt nur ein, wenn die Anfangstemperatur unterhalb der

O. Reale Gase



Übersicht O-. Dichte realer Gase und Realgasfaktor.

Übersicht O-. Van-der-Waals’sche Zustandsgleichung, Verlauf im p, V -Diagramm für CO2 .

Dichte idealer Gase p = Ri T

van-der-Waals’sche Zustandsgleichung

Dichte realer Gase p = ZRi T

Verlauf des Realgasfaktors von Luft

p+

a ! (Vm − b) = Rm T Vm2

Isothermen für CO2 im p, V -Diagramm

kritische Werte Dichte eines Gasgemisches G =

b  i Vi V

p Ri T V Vi Z  G

Druck individuelle Gaskonstante Temperatur Volumen Volumen des i-ten Gases Realgasfaktor Dichte Dichte eines Gasgemisches

Inversionstemperatur Ti ist (Luft: 490  C, Wasserstoff: −80  C). Die Inversionstemperatur lässt sich aus der van-der-Waals’schenZustandsgleichung berechnen: Ti N 2a(Rm b) .

8a a ; pk = 27bRm 27b 2 pk Vmk 3 pk Vmk 3 = Rm ; Z k = = Tk 8 Rm Tk 8 Vmk 2 a = 3pk Vmk ; b = 3

Vmk = 3b ;

a, b p, pk Rm T, Tk Vm Vmk Zk

Tk =

van-der-Waals’sche Konstante Druck bzw. kritischer Druck allgemeine Gaskonstante Temperatur bzw. kritische Temperatur molares Volumen kritisches molares Volumen Realgasfaktor am kritischen Punkt



O Thermodynamik

Tabelle O-. Kritische Temperatur Tk , kritischer Druck pk sowie van-der-Waals’sche Kostanten a und b verschiedener Stoffe. Stoff

Tk

pk

a

b

K

MPa

N ċ m4 10 kmol2

Wasserstoff (H2 ) Helium (He) Stickstoff (N2 ) Sauerstoff (O2 )

33,240 5,2010 126,20 154,576

1,296 0,2275 3,400 5,043

0,2486 0,0347 1,366 1,382

2,666 2,376 3,858 3,186

Luft

132,507

3,766

1,360

3,657

417 647,30 405,6 304,2

7,70 22,120 11,30 7,3825

6,59 5,5242 4,246 3,656

5,63 3,041 3,730 4,282

190,56 370 425,18

4,5950 4,26 3,796

2,3047 9,37 13,89

4,310 9,03 11,64

5

10−2

m3 kmol

Elemente

anorganische Verbindungen Chlor (Cl2 ) Wasser (H2 O) Ammoniak (NH3 ) Kohlendioxid (CO2 ) organische Verbindungen Methan (CH4 ) Propan (C3 H8 ) Butan (C4 H10 )

In der Praxis wird in einer Kältemaschine nach dem Linde-Verfahren Luft mit 20 MPa über ein Drosselventil auf etwa 2 MPa entspannt. Dabei entsteht eine Abkühlung von

(20 MPa − 2 MPa) ċ 2,5 KMPa = 18 MPa ċ 2,5 KMPa = 45 K. Anschließend wird die Luft in einem Kompressor wieder auf 20 MPa verdichtet, und der Prozess läuft erneut ab.

Übersicht O-. Technisch bedeutsame Temperaturen.

O. Reale Gase



Übersicht O-. Phasenübergänge und spezifische Enthalpie als Funktion der Temperatur. Phasenübergänge und Enthalpien nach

fest

flüssig

gasförmig

fest

Modifikationsänderung (Modifikationsenthalpie ΔHM )

Schmelzen (Schmelzenthalpie ΔHS )

Sublimieren (Sublimationsenthalpie ΔHsub = ΔHS + ΔHV )

flüssig

Erstarren (Erstarrungsenthalpie −ΔHS )

–

Sieden (Verdampfungsenthalpie ΔHV )

gasförmig

Desublimieren (Desublimationsenthalpie −ΔHSub = −ΔHS − ΔHV )

Kondensieren (Kondensationsenthalpie −ΔHV )

–

von

Temperaturverlauf der spezifischen Enthalpie (Wasser)

Um zu tieferen Temperaturen zu gelangen, als es der Joule-Thomson-Prozess ermöglicht, müssen magnetische Effekte herangezogen werden (adiabate Entmagnetisierung von Molekülen, Atomen oder Atomkernen). In ihnen werden geordnete Strukturen (magnetische Bereiche) in ungeordnete überführt. Dadurch wird dem Stoff Wärme entzogen. O.4.3 Phasenumwandlungen Eine Phase ist ein räumlich abgegrenztes Gebiet mit gleichen physikalischen Eigenschaften. Die Phasen fest, flüssig und gasförmig

werden auch Aggregatzustände genannt. Allen Phasenübergängen ist gemeinsam, dass Wärme zu- oder abgeführt werden muss (latente Wärme), ohne dass sich die Temperatur ändert (z. B. dient die Energiezufuhr bei der Umwandlung der festen in die flüssige Phase dazu, das Festkörpergitter aufzubrechen). Die bei konstantem Druck und konstanter Temperatur zugeführte Wärme erhöht die Enthalpie der Substanz: Hflüssig = Hfest + ΔHS . ΔHS wird als Schmelzenthalpie bezeichnet. Wird ein fester Körper in einer Flüssigkeit gelöst, dann wird die dazu benötigte Wärmemenge der Flüssigkeit entzogen; sie



O Thermodynamik

Tabelle O-. Schmelz- und Verdampfungstemperaturen sowie spezifische Schmelzenthalpie Δh S und spezifische Verdampfungsenthalpie Δh V verschiedener Stoffe beim Normdruck pn = 1013 hPa. Stoff

Schmelzen ϑ  C

Verdampfen Δh S kJ kg

ϑ C



Δh V kJ kg

Elemente Wasserstoff (H2 ) Helium (He) Stickstoff (N2 ) Sauerstoff (O2 )

−259,15 −270,7 −209,85 −218,75

Luft

−213

58,6 3,52 25,75 13,82

−252,75 −268,94 −195,75 −182,95

461 20,9 201 214

−192,3

197

anorganische Verbindungen Chlor (Cl2 ) Wasser (H2 O) Ammoniak (NH3 ) Kohlendioxid (CO2 )

−100,95 0,00 −80 −56,55

90,4   184

−34,45 100,00 −33,45 −78,45

289 2257 1369 574

−182,45 −187,65 −138,35

58,6 80,0 77,5

−161,45 −42,05 −0,65

510 426 386

organische Verbindungen Methan (CH4 ) Propan (C3 H8 ) Butan (C4 H10 )

kühlt ab. Damit können tiefere Temperaturen (Kältemischungen) oder niedrigere Erstarrungspunkte (z. B. von Wasser) erreicht werden (Tabelle O-). O.4.3.1 Thermodynamisches Gleichgewicht Gleichgewicht herrscht in einem System, wenn der physikalische Zustand des Systems gleichbleibt. Ein stabiles Gleichgewicht liegt vor, wenn die treibenden Kräfte verschwinden (z. B. Minimum der potenziellen Energie in der Mechanik). Je nach Systemzustand treten in der Thermodynamik fünf Gleichgewichtszustände auf (Tabelle O-). Bei den Übergängen gasförmig-flüssig und flüssig-fest sind die Drücke von der Temperatur abhängig. Sie werden durch Dampfdruckkurven bzw. Schmelzdruckkurven beschrieben (Übersicht O-). Wie beispielsweise die

Tabelle O-. In der Technik gebräuchliche Kältemischungen. Kältemischung

100 g Wasser + 23 g Ammoniumchlorid 100 g Wasser + 143 g Calciumchlorid 100 g Wasser + 84 g Magnesiumchlorid 100 g Wasser + 31 g Natriumchlorid

Erstarrungstemperatur ϑ  C −16 −55 −34 −21

Dampfdruckkurve zeigt, steigt der Siedepunkt mit zunehmendem Druck. Der Siedepunkt eines Lösungsmittels steigt um die Siedepunktserhöhung Δϑ wenn in ihm ein Stoff gelöst wird.

O. Reale Gase

Tabelle O-. Gleichgewichtsbedingungen. isobar dp = 0

isochor dV = 0

isotherm dT = 0

dU = 0

adiabat δQ = 0

Maximum der Entropie dS W 0 Minimum der freien Enthalpie dG y 0 Minimum der freien Energie dF y 0 Minimum der Enthalpie dH y 0 Minimum der inneren Energie dU y 0 Enthalpie H freie Enthalpie

G

=

U + pV − T S freie Energie F

freie Energie (F = U − T S) freie Enthalpie (G = U + pV − T S) Enthalpie (H = U + pV ) Druck

F G H p

Δϑ = E E m, mfl Mr

T S U V

m ; mfl Mr ebullioskopische Konstante (Tabelle O-), Masse der gelösten Substanz bzw. des Lösungsmittels, relative Molekülmasse der gelösten Substanz.

Temperatur Entropie innere Energie Volumen

Tabelle O-. Ebullioskopische Konstanten. Lösungsmittel

ebullioskopische Konstante E 103 K

Ammoniak Wasser Ethanol Diethylether Schwefelkohlenstoff Benzol Essigsäure Chloroform Tetrachlorkohlenstoff

0,34 0,52 1,07 1,83 2,29 2,64 3,07 3,80 4,88





O Thermodynamik

Übersicht O-. Dampfdruck- und Schmelzdruckkurve. Gleichgewicht flüssig – gasförmig

Steigung der Dampfdruckkurve dps ΔHmv = dT (VmD − VmFl )T ln

ΔHmv ps +c !=− ps  Rm T

O.4.3.2 Koexistenz dreier Phasen Die Phasengrenzen zwischen den Aggregatzuständen fest, flüssig und gasförmig sind vom Druck p, der Temperatur T und vom Volumen V abhängig. Dies beschreibt ein Zustandsdiagramm, wie es Bild O- zeigt. Die grauen Gebiete sind Gleichgewichtsgebiete zwischen Festkörper und Flüssigkeit (), Flüssigkeit und Gas () sowie Festkörper und Gas (). Im Tripelpunkt TTr stehen die feste, die flüssige und die gasförmige Phase im Gleichgewicht. Der Tripelpunkt des Wassers dient zur Festlegung der Temperatureinheit Kelvin (TTr = 273,16 K; pTr = 612 Pa). Die Gibbs’sche Phasenregel beschreibt die Anzahl der physikalischen Größen (z. B. Druck p und Temperatur T), die frei variierbar sind, um einen bestimmten Zustand einzustellen: f = k+2−P ;

Dampfdruckkurve vieler Substanzen ln ps 

ps a ! = − − b ln(T T0 ) + c ps  T ΔH ms − e Rm T

Gleichgewicht fest – flüssig Steigung der Schmelzdruckkurve ΔHms dpf = dT (VmFl − VmFest )T Der Kurvenverlauf ist ähnlich dem bei flüssig-gasförmig, aber steiler, da Volumenänderung VmFl −VmFest kleiner. a, b, c ΔHms ΔHmv pf ps ps  Rm T VmD VmFl VmFest

substanzabhängige Konstanten molare Schmelzenthalpie molare Verdampfungsenthalpie Schmelzdruck Sättigungsdampfdruck Sättigungsdampfdruck bei T0 molare Gaskonstante Rm = 8,314 J (mol ċ K) Temperatur molares Volumen Dampf molares Volumen Flüssigkeit molares Volumen fest

f k P

Anzahl der Freiheitsgrade, Anzahl der unabhängigen chemischen Komponenten, Anzahl der Phasen.

O.4.4 Dämpfe und Luftfeuchtigkeit In der Klimatechnik werden vor allem LuftWasserdampf-Gemische berechnet und die Anlagen entsprechend ausgelegt. Dabei werden vor allem Luftmassen befeuchtet oder getrocknet (Übersicht O-). Für klimatechnische Berechnungen werden Mollier-Diagramme verwendet (Bild O-).

O. Reale Gase

Bild O-. Zustandsdiagramm (a) und p, T-Diagramm (b) für CO2 .





O Thermodynamik

Bild O-. h, x-Diagramm nach Mollier für feuchte Luft bei p = 1013 hPa (VDI-Richtlinie , Blatt ).

Übersicht O-. Aufgaben der Klimatechnik und ihre physikalischen Größen. Aufgaben

Befeuchten

Trocknen

technische Lösung

Übersicht O-. (Fortsetzung). Dichte der feuchten Luft FL FL = TL + D FL =

1 T

pD pFL − pD + ! RiTL RiD

Mischung von Luftmassen

Zufuhr feuchter Luft

Zufuhr trockener Luft

spezifische Enthalpie feuchter Luft h FL

Wärmezu- bzw. -abfuhr

Temperaturabsenkung

Temperaturerhöhung

h D , h FL , h TL

Wasserzu- bzw. -abfuhr

Wasserzufuhr Wasserentzug m , m D TL (durch Ein(durch Absprühen) kühlen unter p , p , p D FL TL Taupunkt)

Druck der feuchten Luft pFl pFl = pTL + pD absolute Luftfeuchtigkeit φa φa = mD VFL relative Luftfeuchtigkeit φ φ = pD pS Feuchtegrad x x = mD mTL

h FL = h TL + xh D

ps RiD , RiTL T VFL x φ, φa D , FL , TL

spezifische Enthalpie des Wasserdampfs, der feuchten Luft, der trockenen Luft Masse des Wasserdampfs bzw. der trockenen Luft Druck des Wasserdampfs, der feuchten Luft, der trockenen Luft Sättigungsdampfdruck individuelle Gaskonstante des Wasserdampfs bzw. der trockenen Luft absolute Temperatur Volumen der feuchten Luft Feuchtegrad relative bzw. absolute Luftfeuchtigkeit Dichte des Wasserdampfs, der feuchten Luft, der trockenen Luft

P Wärme- und Stoffübertragung

Die Wärmeübertragung befasst sich mit dem Übergang der Wärmeenergie von Fluiden auf feste Trennbauteile oder zwischen unterschiedlichen Bereichen in Fluiden oder Festkörpern sowie dem Wärmetransport durch Festkörper, stehende Flüssigkeiten und Gase, wenn räumliche Temperaturunterschiede vorhanden sind. Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung sind die Mechanismen der Wärmeübertragung (Übersicht P-). Charakteristisch ist dabei der jeweilige Wärmeübergangskoeffizient für die Wärmeübertragungssituation; im Allgemeinen hängt dieser sowohl von der Zeit, aber auch von den äußeren Einflussgrößen, wie z. B. von Geometrie, Stoffwerten und Temperatur, ab. Die Stoffübertragung umfasst das Gebiet des Stofftransports in Fluiden unter dem Einfluss von Dichteunterschieden oder Druckgradienten. Diffusion bezeichnet dabei den Stofftransport einer Stoffkomponente in einem Fluidgemisch, wenn örtliche Konzentrationsunterschiede vorhanden sind. Konvektion

wiederum ist ein Stofftransport im Fluid, der mit einer gleichzeitigen Wärmeübertragung verknüpft ist.

P.1 Wärmeleitung Das Fourier’sche Grundgesetz des Wärmetransports beschreibt den Zusammenhang zwischen der Ursache eines Wärmetransports, einem räumlichen Temperaturgefälle in einer Raumrichtung und dem dadurch bewirkten Wärmestrom durch eine Grenzfläche senkrecht zur Temperaturgradientenrichtung: j q = −λ

∂ϑ ; ∂n

(P–)

jq Wärmestromdichte, λ Wärmeleitfähigkeit, n Raumrichtung, ∂ϑ∂n Temperaturgradient in Raumrichtung n.

Übersicht P-. Wärmeübertragungsmechanismen. Wärmeübertragung Wärmeleitung

Konvektion

Wärmestrahlung

Energieübertragung gekoppelter Gitterschwingungen (Phononentransport) und durch bewegliche Ladungsträger (freie Elektronenbewegung)

Wärmeübertragung durch die freie oder erzwungene Strömung von Materie (Massentransport)

Wärmeübertragung durch elektromagnetische Strahlung (Photonentransport)



P Wärme- und Stoffübertragung

Tabelle P-. Wärmetechnische Stoffwerte. Stoff



ϑ 

C

kg 10 m3 3

cp

λ

a

J kg ċ K

W mċK

106

221 67 ca. 50 46 314 393 0,5 2,1R 0,22R 0,5R 2,2 0,11 0,13R 0,17

88,89 18,33 ca. 13 12,78 130,57 113,34 0,35 1,0 0,5 0,5 1,25 0,53 0,11 0,125

m2 s

Festkörper Aluminium Eisen Grauguss Stahl . C Gold Kupfer Schamottestein Normalbeton Gasbeton Ziegelstein Eis Schnee Fichtenholz Polystyrol fest Glas Schaumglas Mineralfaser Kies

20 20 20 20 20 20 100 10 10 10 0 0 10 20 20 10 10 20

2,70 7,86 ca. 7,2 7,84 19,30 8,90 1,7 2,4 0,5 1,2 0,92 0,1 0,6 1,05 2,5 0,1 0,2 1,8

920 465 545 460 125 390 835 880 850 835 1930 2090 2000 1300 800 800 800 840

0,8 0,045R 0,04R 0,64

0,4 0,6 0,3 0,42

Flüssigkeiten Wasser Wärmeträgeröl Kältemittel R Ethanol Heizöl Quecksilber

20 20 −20

0,998 0,87 1,46

4182 1830 900

0,600 0,134 0,086

0,144 0,084 0,065

20 20 0

0,789 0,92 13,55

2400 1670 138

0,173 0,12 0,143

0,091 0,078 5,62

1007 827 2320 5200 14 050

0,026 0,015 0,031 0,143 0,171

Gase Luft Kohlendioxid Wasserdampf Helium Wasserstoff ϑ  cp

20 0 150 0 0

0,00119 0,00195 0,00255 0,00018 0,00009

21,8 9,08 5,21 153 135

Temperatur λ Wärmeleitfähigkeit (R: Rechenwert DIN V-, DIN EN  ) Dichte a Temperaturleitfähigkeit spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck

Die Wärmeleitfähigkeit ist eine Stoffkonstante des Wärmekontakts zwischen den Bereichen unterschiedlicher Temperatur. Die Werte der

Wärmeleitfähigkeit sind sehr unterschiedlich; bei ruhenden Gasen besonders niedrig, bei elektrisch gut leitenden Metallen besonders

P. Wärmeleitung

hoch (Tabelle P-). Wärmedämmstoffe sind porosierte, luft- oder schwergasgeschäumte sowie faserartige Stoffe mit einer Wärmeleitfähigkeit λ < 0,1 W(m ċ K). Die Wärmeleitfähigkeit ist abhängig von der Dichte, der elektrischen Leitfähigkeit, der Temperatur und dem Feuchtegehalt des Materials. Zur Beurteilung des Wärmeschutzes im Hochbau dürfen daher nur Rechenwerte der Wärmeleitfähigkeit λR benutzt werden, welche entsprechende Zuschläge zu den experimentell im trockenen Zustand bei 10  C bestimmten Werten enthalten. Für einige Abhängigkeiten der Wärmeleitfähigkeit lassen sich Näherungsgleichungen angeben (Tabelle P-). Der Wärmetransport durch Wärmeleitung in Festkörpern, stehenden Flüssigkeiten und ruhenden Gasen beschreibt die Fourier’sche

Tabelle P-. Abhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit. Stoffgruppe Metalle

Isolatoren

lufttrockene porosierte Baustoffe (400 kg m3 y  y 2500 kg m3 ) T ϰ  c cs lPh TD

Wärmeleitfähigkeitsabhängigkeit V2 Tϰ K2 Wiedemann-Franz’sches Gesetz λ = 2,45 ċ 10−8

1 ccs lPh 3 λ  T −3 (T ll TD ) λ  T −1 (T u TD ) λ=

λ = a eb a = 0,072 W (m ċ K) b = 1,16 ċ 10−3 m3 kg

absolute Temperatur elektrische Leitfähigkeit Dichte spezifische Wärmekapazität Schallgeschwindigkeit freie Phonon-Weglänge Debye-Temperatur



Differenzialgleichung für die Wärmeleitung und das Temperaturfeld im Wärmeleiter: Wärmestromdichte c

∂ j qx ∂ j q y ∂ j qz ∂ϑ ˙ = f −$ + + ' ∂t ∂x ∂y ∂z

Temperaturfeld ∂ϑ ˙ ∂2 ϑ ∂2 ϑ ∂2 ϑ = f − λ$ 2 + 2 + 2 ' ∂t ∂x ∂y ∂z stationär ∂ϑ∂t = 0 wärmequellenfrei f˙ = 0 c

(Laplace-Gleichung) ∂2 ϑ ∂2 ϑ ∂2 ϑ + + =0; ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(P–)

∂ϑ∂t zeitliche Änderung der Temperatur, ∂ 2 ϑ∂x 2 , ∂ 2 ϑ∂y 2 , ∂ 2 ϑ∂z 2 räumlicher Differenzialquotient des Temperaturfeldes ϑ(x, y, z, t), ∂ j qx ∂x, ∂ j q y ∂y, ∂ j qz ∂z räumliche Gradienten der Wärmestromdichte, f˙ Energiedichte der internen Wärmequellen und Wärmesenken, c spezifische Wärmekapazität,  Dichte, λ Wärmeleitfähigkeit. Rand- und Anfangsbedingungen bestimmen die Lösungen dieser partiellen Differenzialgleichungen der Wärmeleitung. Lösungen der stationären, wärmequellenfreien Laplace-Gleichung sind für die einfachen Geometrien der Platte, des Zylinders und der Kugel geschlossen angebbar (Tabelle P-). Für die wärmetechnische Planung von wärmegedämmten Bauteilen im Hochbau ist besonders der Spezialfall der ebenen ausgedehnten Platte von Bedeutung (Tabellen P- und P-). Die Lösungen der instationären FourierDifferenzialgleichung sind selbst in geometrisch einfachen Fällen mathematisch kompliziert

T1 − T2 j qx = s s2 s3 1 + + λ1 λ2 λ3

Wärmestrom mehrschichtige Trennwand

λ (T1 − T2 ) s

j qx =

T = T1 −

T1 − T2 x s

dT dx

Q˙ = j qx A

j qx = −λ

planparallele Platte (eindimensionaler Fall)

Wärmestrom, einschichtige Trennwand

Temperaturprofil

FourierGrundgleichung

Geometrie

dT dr

λ 1 (T1 − T2 ) r ln r 2 r1

r r − T2 ln r2 r1 r1 ln r2

Q˙ 2π(T1 − T2 ) = 1 r2 1 r3 1 r4 h ln + ln + ln λ1 r1 λ2 r2 λ3 r3

Q˙ 2πλ = r 2 (T1 − T2 ) h ln r1

j qr =

T=

T1 ln

Q˙ = j qr 2πrh

j qr = −λ

zylindrisches Rohr (zweidimensionaler Fall)

Tabelle P-. Stationäre Wärmeübertragung durch Wärmeleitung.

dT dr

Q˙ =

Q˙ =

4π(T1 − T2 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1  − +  − +  −  λ1 r1 r2 λ2 r2 r3 λ3 r3 r4

4πλ (T1 − T2 ) 1 1 − r1 r2

λ r1 r2 (T1 − T2 ) r 2 r1 − r2

(r 2 T2 − r 1 T1 ) r 1 r 2 (T2 − T1 ) 1 + r2 − r1 (r 2 − r 1 ) r

j qr =

T=

Q˙ = j qr 4πr 2

j qr = −λ

Hohlkugel (dreidimensionaler Fall)

 P Wärme- und Stoffübertragung

P. Wärmeleitung

Tabelle P-. Temperaturverlauf in einer mehrschichtigen Wand im Beharrungszustand. Modell

(Tabelle P-). Charakteristische Kenngrößen für instationäre Wärmeleitungsvorgänge sind: Kenngröße Wärmeeindringkoeffizient Temperaturleitfähigkeit b a cp λ 

Wärmestromdichte

j q = U(ϑLi − ϑLa )

Wärmedurchgangswiderstand

RT = Rsi +

Temperaturverlauf

ϑsi = ϑi − Rsi j q

U s λ Rsi Rsa ϑi ϑe ϑse ϑsi ϑ1 , ϑ2 , ϑ3



Definition " b = λcp 

a=

λ cp

Wärmeübertragungsart Aufheizen, Abkühlen, Kontakttemperatur Temperaturzyklen, schnelle Änderungen

Wärmeeindringkoeffizient, Temperaturleitfähigkeit, spezifische Wärmekapazität, Wärmeleitfähigkeit, Dichte.

Die Kontakttemperatur, die sich beim Berühren zweier Halbkörper mit unterschiedlicher Temperatur einstellt, hängt von den Wärmeein-

s1 s2 s3 s4 + + + + Rse λ1 λ2 λ3 λ4

Tabelle P-. Eindimensionaler Wärmetransport durch ein- und mehrschichtige Bauteile.

ϑ = ϑsi −

s1 jq λ1

Größe

Beziehung

ϑ = ϑ −

s2 jq λ2

Wärmedurchlasswiderstand R

einschichtig

ϑ = ϑ −

s3 jq λ3

ϑse = ϑ −

s4 j q = ϑe + Rse j q λ4

Wärmedurchgangskoeffizient Schichtdicke Wärmeleitfähigkeit Wärmeübergangswiderstand, innen Wärmeübergangswiderstand, außen Innentemperatur Außentemperatur Oberflächentemperatur, außen Oberflächentemperatur, innen Schichttemperaturen

Wärmedurchgangswiderstand RT Wärmedurchgangskoeffizient U s λ Rsi Rsa

s 1 =R= Λ λ

s1 s2 mehrschichtig R = + + λ1 λ2 s3 +... λ3 RT = Rsi + R + Rse U=

1 RT

Schichtdicke Wärmeleitfähigkeit Wärmeübergangswiderstand innen Wärmeübergangswiderstand außen



P Wärme- und Stoffübertragung

Tabelle P-. Instationäre Wärmeleitungsvorgänge, Näherungen für kurze Aufheiz- oder Abkühlzeiten. ebene Platte

dünner Draht

2q 0  ϑsi (t) = ϑsi (0) +  ċ t b π

ϑo (t) = ϑo (0) +

Modellfall

Aufheizverlauf

ϑsi q0 Q1 cp λ

Oberflächentemperatur Wärmestromdichte längenbezogene Heizleistung spezifische Wärmekapazität Wärmeleitfähigkeit

 b r a t

Dichte " Wärmeeindringkoeffizient (b = λc p ) Drahtradius Temperaturleitfähigkeit Zeit

dringkoeffizienten der sich berührenden Körper ab: ϑ0 = ϑ1 , ϑ2 ϑ0 b1 , b2

b1 ϑ1 + b2 ϑ2 ; b1 + b2

(t u 0)

4at Q1 ln 2πλ 1,781r 2

(P–)

Temperaturen der Körper  und , Kontakttemperatur der Berührungsfläche, Wärmeeindringkoeffizienten der sich berührenden Körper  und .

Temperaturen charakteristisch, wie es beispielsweise beim Wärmeübergang von einem Fluid, einer strömenden Flüssigkeit oder einem Gas, auf eine Wand der Fall ist (Bild P-). Zwei Konvektionsarten werden unterschieden: – Freie Konvektion Die Strömung des Fluids wird durch ein temperaturabhängiges Dichtegefälle im

Berührt die menschliche Haut einen anderen Körper, so ist die Kontakttemperatur die subjektiv empfundene Temperatur am Anfang der Berührung.

P.2 Konvektion Für die konvektive Wärmeübertragung ist die Relativbewegung der beiden thermodynamischen Systeme mit unterschiedlichen

Bild P-. Konvektiver Wärmeübergang mit Grenzschicht vor der wärmeübertragenden Wand.

P. Konvektion

Fluid und die daraus resultierenden Auftriebskräfte verursacht. – Erzwungene Konvektion Die gerichtete Zwangsströmung im Fluid wird durch äußere Kräfte, z. B. die Antriebskräfte von Pumpen und Ventilatoren, oder auch von Winddrücken erzwungen. Die Wärmestromdichte zwischen Fluid und Wand ergibt sich aus folgenden Beziehungen: Fourier’sches Gesetz der Grenzschicht∂ϑ Wärmeleitung j q,K = −λ  ∂n Wärmeübergangsgleichung

j q,K λ hc ϑF ϑW (∂ϑ∂n)Gr

Gr



j q,K = hc (ϑF − ϑW ) ; (P–)

Wärmestromdichte der konvektiven Wärmeübertragung, Wärmeleitfähigkeit des ruhenden Fluids, Wärmeübergangskoeffizient, konvektiv, Fluidtemperatur, Oberflächentemperatur der Wand, Temperaturgradient in der FluidGrenzschicht.

Der Zahlenwert für den konvektiven Wärmeübergangskoeffizienten hc hängt entscheidend von der Festlegung der Fluidtemperatur ϑF ab. Diese ist bei inhomogenen Temperaturen im Fluid, besonders bei der freien Konvektion, nicht einfach und von der experimentellen Messanordnung im Modellversuch abhängig. Die Bestimmung des Temperaturgradienten in der Grenzschicht ist messtechnisch aufwändig. Die Grundgleichungen der konvektiven Wärmeübertragung (Tabelle P-) sind wegen der räumlichen Mitführung des Temperaturfeldes mit der Fluidbewegung extrem kompliziert.



Die Lösungsfamilien dieser gekoppelten partiellen Differenzialgleichungen liegen zwischen den Lösungsfamilien für die Grenzfälle: – Laminare Strömung Die Stromfäden der Fluidströmung verlaufen parallel zur Wand; keine konvektive Wärmeübertragung in Richtung auf die parallele Wand, sondern Wärmetransport durch Wärmeleitung senkrecht zu den Stromfäden. Strenge mathematische Lösungen für einfache laminare Strömungen sind vorhanden. – Turbulente Strömung Ungeordnete Querbewegungen durch sog. Turbulenzballen in der Fluidbewegung sorgen für ein gleichmäßiges Strömungsprofil in der turbulenten Kernströmung und beeinflussen durch ihr Eindringen in die laminare Grenzschichtströmung deren Strömungsform. Mathematische Lösungen für die turbulente Strömung fehlen; zur Beschreibung dienen Näherungsgleichungen für empirische Beobachtungen und Messungen.

Nahezu alle praktisch interessanten konvektiven Wärmeübergänge haben turbulente Strömungsprofile; laminare Strömungsformen schlagen durch Störungen (Anströmkanten, Rauigkeit, Temperaturinhomogenitäten usw.) leicht in turbulente Zustände um. Deshalb muss in der Praxis der konvektive Wärmeübergangskoeffizient aus Modellversuchen ermittelt werden. Die Versuchsergebnisse lassen sich auf andere konvektive Wärmeübertragungsverhältnisse anwenden, wenn diese geometrisch und hydrodynamisch ähnlich sind. Damit die Lösungen eines Modellfalls übertragen werden können, müssen die Maßstabsfaktoren, die dimensionslosen Ähnlichkeitskenngrößen der Wärmeübertragung (Tabelle P-), des Anwendungs- und des Modellfalls übereinstimmen. Die in die Kenngrößen eingehenden Stoffwerte der Fluide sind z. T. stark temperaturabhängig (Tabelle P-); zur Bildung der Ähnlichkeitskenngrößen sind die Stoffwerte der Mitteltemperatur des Fluids einzusetzen. Die Kenngröße für die konvektive Wärmeübertragung ist die Nußelt-Zahl Nu. Aus der Nußelt-Zahl des zugeordneten Modellfalls lässt



P Wärme- und Stoffübertragung

Tabelle P-. Grundgleichungen der konvektiven Wärmeübertragung. Beziehungen ∂2 ϑ ∂2 ϑ ∂2 ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ + x + y + z !V = λ + + 2! ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z

Wärmeleitungsgleichung (Energiesatz)

cp U

λ = konst.

Fourier-Gleichung

Bewegungsgleichung der Hydromechanik (Impulssatz)

x

∂ y ∂x ∂z 1 ∂p ∂ 2 x ∂ 2 x ∂ 2 x + y + z =− +ν + + ! ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 +

ν ∂ 3 ∂x

∂x ∂ y ∂z + + ! + γgΔT ∂x ∂y ∂z

(x-Komponente)  = konst.

x

∂ y ∂x ∂z 1 ∂p ∂ 2 x ∂ 2 x ∂ 2 x + + ! + y + z =− +ν ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

Navier-Stokes-Gleichung (x-Komponente)  = konst. ν=0

x

inkompressible Fluide

Euler-Gleichung für ideale Fluide (x-Komponente)

Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungssatz)

∂ ∂ ∂ ∂ ∂x ∂ y ∂z + + + ! + x + y + z ! = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

 = konst.

∂x ∂ y ∂z + + =0 ∂x ∂y ∂z

cp  λ ν γ

∂x ∂x ∂x 1 ∂p + y + z =− ∂x ∂y ∂z  ∂x

spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck Dichte Wärmeleitfähigkeit kinematische Viskosität thermischer Ausdehnungskoeffizient

ϑ x ,  y , z g ΔT

Temperatur Komponenten der Strömungsgeschwindigkeit Fallbeschleunigung Temperaturgefälle für den thermischen Auftrieb

Tabelle P-. Dimensionslose Kenngrößen der Wärmeübertragung. Zeichen

Kenngrößen

Definition

Problembereich

Bi

Biot-Zahl

Bi =

he L λi

Wärmeübertragung Festkörper/Fluid

Fo

Fourier-Zahl

Fo =

at L2

instationäre Wärmeleitung

Fr

Froude-Zahl

Fr =

2 gL

Strömungen unter Schwerkrafteinfluss

P. Konvektion



Tabelle P-. (Fortsetzung). Zeichen

Kenngrößen

Definition

Ga

Galilei-Zahl

Ga =

gL 3 Re2 = ν2 Fr

Auftrieb in Fluiden

Gr

Grashof-Zahl

Gr =

gβΔTL 3 ν2

freie Konvektion bei Temperaturgradient

Gz

Graetz-Zahl

Gz =

L2 = Fo−1 atv

stationäre Strömungen mit konstanten Verweilzeiten in Rohrstücken

Ka

Kapitza-Zahl

Ka =

gη 4 We3 = 3 σ Fr Re4

Filmströmungen und Fluidfilm-Kondensation

Le

Lewis-Zahl

Le =

a Sc = δ Pr

Trocknung und Verdunstungskühlung

Nu

Nußelt-Zahl

Nu =

h c L λ

stationärer konvektiver Wärmeübergang

Pe

Péclet-Zahl

Pr

Prandtl-Zahl

Ra

Rayleigh-Zahl

Ra =

gβΔTL 3 = Re Pr νa

Re

Reynolds-Zahl

Re =

L L = η ν

Sc

Schmidt-Zahl

Sc =

ν = Le Pr δ

Kopplungskennwert Wärmetransport mit Diffusion

St

Stanton-Zahl

St =

Nu h c = c p  Pe

Wärmeübergang bei erzwungener instationärer Konvektion

We

Weber-Zahl

We =

a cp g L t tV ΔT  h c

L = Re Pr a ν νc p Pr = = a λ Pe =

2 L = (Ka Fr Re4 )(1 3) σ

Temperaturleitfähigkeit spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck Fallbeschleunigung charakteristische Länge charakteristische Zeit Verweilzeit Temperaturunterschied Strömungsgeschwindigkeit Wärmeübergangskoeffizient (convection)

Problembereich

erzwungene instationäre Konvektion Wärmeübertragungskennwert des Fluids freie Konvektion im Temperaturgradienten Strömungen unter Reibungseinfluss

Strömungsvorgänge mit freien Oberflächen, Zerstäubung von Flüssigkeiten he β δ η λ λi ν  σ

Wärmeübergangskoeffizient, außen Wärmeausdehnungskoeffizient Diffusionskoeffizient dynamische Viskosität Wärmeleitfähigkeit Wärmeleitfähigkeit des Innenkörpers kinematische Zähigkeit Dichte Oberflächenspannung



P Wärme- und Stoffübertragung

Tabelle P-. Wärmetechnische Stoffwerte von Wasser und trockener Luft beim Druck p = 1 bar (aus VDI-Wärmeatlas, . Aufl. ).  cp γ kg m3 kJ (kg ċ K) 10−3 K

ϑ C



λ η ν a Pr 10−3 W (m ċ K) 10−6 kg (m ċ s) 10−6 m2 s 10−6 m2 s

Wasser 0,01 10 20 30 40 60 80 100 120 150 200 250 300

999,8 999,7 998,3 995,7 992,2 983,1 971,6 958,1 942,8 916,8 864,7 799,2 712,2

4,217 4,193 4,182 4,179 4,179 4,185 4,197 4,216 4,245 4,310 4,497 4,869 5,773

− 0,0852 0,0821 0,2066 0,3056 0,3890 0,5288 0,6473 0,7547 0,8590 1,0237 1,3721 1,9552 3,2932

562 582 600 615 629 651 667 677 683 684 663 618 545

1791,4 1307,7 1002,7 797,7 653,1 466,8 355,0 282,2 232,1 181,9 133,6 105,8 85,8

1,792 1,308 1,004 0,801 0,658 0,475 0,365 0,294 0,246 0,198 0,154 0,132 0,120

0,1333 0,1388 0,1436 0,1478 0,1516 0,1582 0,1635 0,1677 0,1707 0,1730 0,1706 0,1589 0,1325

13,44 9,42 6,99 5,42 4,34 3,00 2,23 1,76 1,44 1,15 0,91 0,83 0,91

1,011 1,007 1,007 1,006 1,006 1,007 1,007 1,007 1,009 1,012 1,016 1,026 1,046 1,093 1,185

5,852 4,313 3,968 3,815 3,674 3,543 3,421 3,307 3,007 2,683 2,422 2,115 1,745 1,293 0,7853

16,02 21,04 22,63 23,41 24,18 24,94 25,69 26,43 28,60 31,39 34,08 37,95 44,09 55,64 80,77

11,77 15,16 16,22 16,74 17,24 17,74 18,24 18,72 20,14 21,94 23,65 26,09 29,86 36,62 50,82

5,829 10,14 11,78 12,64 13,52 14,42 15,35 16,30 19,27 23,51 28,07 35,47 49,18 81,35 1859

7,851 13,97 16,33 17,57 18,83 20,14 21,47 22,84 27,13 33,26 39,80 50,30 69,43 113,1 249,2

0,7423 0,7258 0,7215 0,7196 0,7179 0,7163 0,7148 0,7134 0,7100 0,7070 0,7054 0,7051 0,7083 0,7194 0,7458

trockene Luft −100 −40 −20 −10 0 10 20 30 60 100 140 200 300 500 1000 ϑ  cp

2,019 1,495 1,377 1,324 1,275 1,230 1,188 1,149 1,045 0,9329 0,8425 0,7356 0,6072 0,4502 0,2734

Celsius-Temperatur Dichte spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck Wärmeausdehnungskoeffizient

γ

λ η ν a Pr

Wärmeleitfähigkeit dynamische Viskosität kinematische Viskosität Temperaturleitfähigkeit Prandtl-Zahl

sich der konvektive Wärmeübergangskoeffizient für das Wärmeübertragungsproblem angeben: 

hc =

Nu λ ; L

(P–)

hc Nu λ L

Wärmeübergangskoeffizient, Nußelt-Zahl, Wärmeleitfähigkeit des Fluids, charakteristische Länge.

Die charakteristische Länge ist entsprechend dem Modellfall anzusetzen (Tabelle P-). Im

P. Wärmestrahlung



Tabelle P-. Modellfälle konvektiver Wärmeübergänge (nach VDI-Wärmeatlas). Strömungs- laminarer Bereich modell

turbulenter Bereich

erzwungene Nu = 0,664 Re 12 Pr 13 Konvektion längs einer Platte

erzwungene d i 12 13 Strömung Nu = 0,664 Re L  Pr im Rohrinneren  freie Kon     vektion an     vertikaler Nu =  0,825  Wand oder      um ein      senkrechtes Rohr

Hinweise

Nu =

0,037 Re 0,8 Pr 1 + 2,443 Re −0,1 (Pr 23 − 1)

Nu =

0,125ξ(Re − 1000)Pr  1 + 4,49 ξ(Pr 23 − 1)

 23  d Innendurch 1 +  d i  i messer Rohr L

L Rohrlänge

ξ = (1,82 lg Re − 1,64)−2

ϑm =

15               GrPr   Nu = 0,15    1120 2011    0,322      1 +         Pr  

L

2          + 827   0,492 916    1 +      Pr 

Nu = 0,766

2               0,387GrPr   1 5 >  Nu = 0,825 + ? ?  ?   0,492 916 827  ?   ?   ?   1 +      ?   ? Pr   @

} ? ? ? ? ? ? ? GrPr ? ċ~ 20 11 ? ? ? ? 0,322 11 20 ? ? ? ? ? ? U1 +   V ? ? ? ? ? ? Pr  A

Übergangsbereich von laminarer zu turbulenter Strömung gilt mit für technische Zwecke ausreichender Genauigkeit: hc =

\

hc,2lam + hc,2turb .

1 (ϑE + ϑA ) 2

Höhe der vertikalen Wand oder des Rohres bzw. kurze Seitenlänge der horizontalen Platte

ΔT = (ϑ 0 − ϑ  )

0,387GrPr

freie Konvektion längs einer horizontalen Platte (nach oben)

L Plattenlängen in Strömungsrichtung ϑm = 12 (ϑE + ϑA ) ϑE Eintrittstemperatur ϑA Ausströmtemperatur

(P–)

ϑ 0 Oberflächentemperatur in Flächenmitte ϑ Fluidtemperatur außerhalb Grenzschicht ϑ m = 12 (ϑ 0 + ϑ  )

P.3 Wärmestrahlung Die Wärmeübertragung durch Wärmestrahlung ist im Vakuum der einzige Wärmetransportmechanismus; in Gasen kommt der Wärmeübergang durch Wärmestrahlung additiv zu demjenigen der Wärmekonvektion hinzu. Die spezifische Ausstrahlung eines Temperaturstrahlers hängt nur von dessen absoluter



P Wärme- und Stoffübertragung

Tabelle P-. Emissionsgrade für Gesamtstrahlung ε und in Richtung der Flächennormalen ε n einiger Metalle und Nichtmetalle (nach VDIWärmeatlas). Oberfläche

ϑ C



εn

ε

Me, s Ma Ma, s

Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ist die spezifische Abstrahlung eines grauen Körpers

Metalle Aluminium walzblank oxidiert Chrom poliert Gold poliert Eisen poliert angerostet verzinkt Messing nicht oxidiert oxidiert

20 20 150 230 100 20 25

0,04 0,20 0,058 0,018 0,17 0,65 0,25

25 200

0,035 0,61

0,05

Beton Dachpappe Glas Holz Mauerwerk Kunststoffe Lacke, Farben Wasser

20 20 20 25 20 20 100 20

4

Me = εσT ;

(P–)

0,071

T Me (T) ε σ

Nichtmetalle 0,94 0,91 0,94 0,94 0,92 bis 0,95

0,90 0,93 0,90 0,97

Temperatur und seiner elektronischen Oberflächenstruktur ab. Die höchste Wärmestrahlungsdichte emittiert ein schwarzer Körper; dieser absorbiert andererseits auch die gesamte auffallende Strahlungsenergie. Auf den schwarzen Körper sind daher das Emissionsund Absorptionsvermögen der anderen grauen Körper bezogen (Tabelle P-): Emissionszahl

ε = Me Me, s

Absorptionszahl

α = Ma Ma, s

Kirchhoff ’sches Gesetz

ε=α;

Q˙ 12 = C 12 A 1 T14 − T24  ε 1 ε 2 σφ 12 C 12 = , A1 1 − (1 − ε 1 )(1 − ε 2 ) φ 212 A2 für ε Z 0,9 ist C 12 = ε 1 ε 2 σφ 12 φ 12 =

cos β 1 cos β 2 1 dA 1 dA 2 ; πA 1 # # r2 A1

A2

(P–) Q˙ 12

C 12 φ 12

(P–)

spezifische Abstrahlung des grauen Körpers,

absolute Temperatur des Strahlers, spezifische Ausstrahlung, Emissionszahl, Stefan-Boltzmann-Konstante [σ = 5,670 ċ 10−8 W(m2 ċ K4 )]

Temperaturstrahler emittieren nicht nur Wärmestrahlung, sie empfangen auch vom kälteren Strahlungsleistung; für die Wärmestrahlungsübertragung vom wärmeren Körper  an den kälteren Körper  gilt

A1 , A2 Me

spezifische Abstrahlung des schwarzen Körpers, absorbierte Strahlungsleistung des grauen Körpers, absorbierte Strahlungsleistung des schwarzen Körpers.

T1 , T2

Wärmestrom durch Wärmeübertragung durch Strahlung von Körper  nach Körper , Strahlungsaustauschkoeffizient, Einstrahlzahl zwischen den Flächen A 1 und A 2 , abstrahlende Fläche der Körper  bzw. , Oberflächentemperatur der Körper  bzw. ,

P. Wärmedurchgang

ε1 , ε2 β1 , β2

σ

Emissionszahl des Körpers  bzw. , Richtungswinkel zwischen der Strahlungsrichtung und den Flächennormalen von A 1 und A 2 , Stefan-Boltzmann-Konstante [σ = 5,670 ċ 10−8 W(m2 ċ K4 )].

Die Strahlungsaustauschkoeffizienten berücksichtigen die geometrische Situation der Wärmeübertragung durch Wärmestrahlung (Tabelle P-). Die Wärmestromdichte der Wärmeübertragung durch Wärmestrahlung der Oberfläche des Körpers  an den Körper  ist über den Wärmeübergangskoeffizienten hr mit der Oberflächentemperaturdifferenz der beiden Körper verknüpft: j q,S =

j q,S Q˙ 12

C 12 A1 T1 , T2 ϑ1 , ϑ2 hr

Q˙ 12 = hr (ϑ 1 − ϑ 2 ) = hr (T1 − T2 ) A1  2 2 hr = C 12 T1 + T2  (T1 + T2 ) ; (P–) Wärmestromdichte der Wärmestrahlungsemission des Körpers , Wärmestrom durch Wärmeübertragung durch Strahlung von Körper  nach Körper , Strahlungsaustauschkoeffizient, abstrahlende Fläche des Körpers , Oberflächentemperatur der Körper  bzw.  in K, Oberflächentemperatur der Körper  bzw.  in  C, Wärmeübergangskoeffizient für Wärmestrahlung, (r = radiation).

Tabelle P-. Strahlungsaustauschkoeffizienten. Geometrie

Strahlungsaustauschkoeffizienten C 12 =

σ 1 1 + −1 ε1 ε2

C 12 =

σ A1 1 1 +  − 1 ε1 A2 ε2

parallele Flächen

konvexe Fläche A1 von konkaver Fläche A2 umschlossen C 12 =

ε1 ε2 σ 1 1 − (1 − ε 1 )(1 − ε 2 ) 2

Halbraum A2 über ebener Fläche A1 C 12 = σε 1 ε 2 ċ 

1 2π

b a2 + b2

ċ arctan  Rechteckfläche parallel zum Flächenelement ΔA1

+

c

c a2 + b2

a2 + c2

ċ arctan  C 12 = σε 1 ε 2 −

P.4 Wärmedurchgang Beim Wärmedurchgang wird durch konvektive Wärmeübertragung Wärme des Fluids  und durch Wärmestrahlungsabgabe Strahlungswärme der Umgebungsflächen  von der wärmeren



a

!

b 1 arctan 2π a

a2 + c2

ċ arctan  Rechteckfläche senkrecht zum Flächenelement ΔA1

b a2 + c2

b a2 + c2

!



P Wärme- und Stoffübertragung

Seite  auf eine Trennwand übertragen, durch Wärmeleitung an die Oberfläche der kalten Seite  transportiert und dort konvektiv an das kältere Fluid  und die kalten Umgebungsflächen  abgegeben (Bild P-). Im Beharrungszustand der Wärmeübertragung addieren sich die Wärmeströme der Konvektion und der Wärmestrahlung auf die Trennwand, und der Transmissionswärmestrom Q˙ T durch die Trennwand hängt vom Wärmedurchgangskoeffizient U der Trennwand ab: Q˙ T = UA(ϑäq,  − ϑäq,  ) ϑäq,  = ϑäq,  =

hc,  ϑF,  + hr,  ϑU,  h 1 hc,  ϑF, 

+ h 2

Bild P-. Wärmedurchgang durch eine mehrschichtige Trennwand.

hr,  ϑU, 

h 1 = hc,  + hr,  





h 2 = hc,  + hr,  ; Q˙ T A U ϑäq,  , ϑäq,  ϑF,  , ϑF,  ϑU,  , ϑU,  h , h hc,  , hc,  hr,  , hr, 

(P–)

Transmissionswärmestrom durch die Trennwand, Wärmedurchgangsfläche innen oder außen, Wärmedurchgangskoeffizient, äquivalente Temperatur der Seite  bzw. , Fluidtemperatur auf der Seite  bzw. , mittlere Oberflächentemperatur der Umgebungsflächen auf der Seite  bzw. , Wärmeübergangskoeffizient auf den Fluidseiten  bzw. , Wärmeübergangskoeffizient für Konvektion auf der Seite  bzw. , Wärmeübergangskoeffizient für Wärmestrahlung auf der Seite  bzw. .

Bei gekrümmten wärmeübertragenden Trennwandflächen wird der Wärmedurchgangskoeffizient U auf die Innenoberfläche A 1 oder die Außenoberfläche A 2 bezogen. In der Praxis wird häufig angesetzt, dass die Umschließungsflächentemperaturen und die Fluidtemperaturen näherungsweise gleich sind und ϑäq = ϑF ist. Der Wärmedurchgangskoeffizient einer ebenen planparallelen Trennwand aus mehreren Schichten (Bild P-) ist: U=

1 ; s1 s2 s3 R s + + + + Rs λ1 λ2 λ3

s1 , s2 , . . . λ1 , λ2 , . . . Rs =

1 1 , R s =  h 1 h2

(P–)

Dicke der Bauteilschichten, Wärmeleitfähigkeit der Bauteilschichten, Wärmeübergangswiderstand auf der Seite  bzw. .

P. Stoffübertragung

P.5 Stoffübertragung Die Grundgleichungen der Stoffübertragung sind die Fick’schen Gesetze (Tabelle P-). Sie sind vom mathematischen Aufbau her identisch mit den Fourier’schen Gesetzen der Wärmeleitung. So lassen sich vergleichbare Modellergebnisse bei Wärmeleitungsvorgängen auch für vergleichbare Stoffübertragungen übernehmen. Im Allgemeinen müssen bei Stoffübertragungen, genauso wie bei der Wärmeübertragung durch Konvektion, Versuchsergebnisse von Modellversuchen auf den Anwendungsfall übernommen werden, wobei im Fall der Stoffübertragung die dimensionslosen Kenngrößen der Stoffübertragung von Modellversuchen und Anwendungsfall übereinstimmen müssen. Die Sherwood-Zahl Sh ist, vergleichbar mit der Nußelt-Zahl, die Kenngröße für den Stoffübergangskoeffizienten β:

β= β D s Sh

D Sh s



(P–)

Stoffübergangskoeffizient, Diffusionskoeffizient, charakteristische Diffusionslänge, Sherwood-Zahl.

Für einzelne Anwendungsfälle gibt es Beziehungen Sh = Sh (Re, Sc, . . .) zwischen der Sherwood-Zahl Sh und den anderen Kenngrößen der Stoffübertragung. Ein Spezialfall der Stoffübertragung ist die Dampfdiffusion, insbesondere die Wasserdampfdiffusion, durch feste Bauteile. Für diesen Fall ist die Analogie zwischen der Dampfdiffusion und der Wärmeübertragung durch Wärmeleitung vollständig (Tabelle P-). In der Regel sind dabei die Wasserdampfübergangswiderstände 1β vernachlässigbar klein gegenüber dem Wasserdampfdurchlasswiderstand 1Δ.

Tabelle P-. Fick’sche Gesetze. allgemein

ideale Gase p Rm T =  M

∂ ! ∂n

DM Rm T

∂p ! ∂n

. Fick’sches Gesetz

i = −D

. Fick’sches Gesetz

∂i x ∂i y ∂i z ∂ =− + + ! ∂t ∂x ∂y ∂z

∂p Rm T =− ∂t M

ideales Fluid η=0

∂2  ∂2  ∂2  ∂ = −D + + ! ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

∂2 p ∂2 p ∂2 p ∂p = −D + + 2! ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z

 (∂ ∂n) p (∂p ∂n) D i

Dichte Dichtegradient in n-Richtung Druck im Fluid Druckgradient in n-Richtung Diffusionskoeffizient, [D] = 1 m2 s Massenstromdichte [i] = 1 kg (m2 ċ s)

i=−

Rm T M t x, y, z

∂i x ∂i y ∂i z + + ! ∂x ∂y ∂z

universelle Gaskonstante [R = 8,3144 J (mol ċ K)] absolute Temperatur im Fluid Molmasse Zeit Ortskoordinaten



P Wärme- und Stoffübertragung

Tabelle P-. Analogie von Wärmeübertragung und Dampfdiffusion. Wärmetransport

Dampfdiffusion

Ursache

Temperaturgefälle ΔT = ϑ 1 − ϑ 2

Dampfdruckgefälle Δp = p1 − p2

Wirkung

Wärmestrom

Diffusionsstrom

j q = U(ϑ 1 − ϑ 2 ) 1 U= 1 1 1 + + h1 Λ h2 1 s2 s3 s1 + + = Λ λ1 λ2 λ3

i = kD (p1 − p2 ) 1 kD = 1 1 1 + + β1 Δ β2 1 s2 s3 s1 + + = Δ δ1 δ2 δ3

Modell

Transportgrößen

ϑ jq p i U λ s

Temperatur Wärmestromdichte Dampfdruck Dampfdiffusionsstromdichte Wärmedurchgangskoeffizient Wärmeleitfähigkeit Schichtdicke

h Λ−1 kD δ β Δ−1

Wärmeübergangskoeffizient Wärmedurchlasswiderstand Diffusionsdurchgangskoeffizient Dampfleitfähigkeit Dampfübergangskoeffizient Dampfdurchlasswiderstand

Q Energietechnik

Die physikalischen Grundlagen der Energietechnik finden sich zum großen Teil in den Abschnitten M Elektrizität und Magnetismus, O Thermodynamik, P Energie- und Stoffübertragung, T Kernphysik und W Metallund Halbleiterphysik. Die Energietechnik sichert durch ihre ingenieurmäßige Anwendung die Strom- und Wärmeversorgung zum Lebenserhalt und zum menschlichen Komfort. Das Gebiet der Energietechnik reicht von der Primärenergiegewinnung bis zur Energiedienstleistung und der Entsorgung des Energieabfalls (Übersicht Q-).

Q.1 Energieträger Die Energieträger werden eingeteilt in Primärenergien, also energetisch nutzbare Stoffe aus Lagerstätten, Natur- oder Sonnenenergie, und Sekundärenergien, also für die Energienutzung im Energiewandler im Allgemeinen verlustbehaftet aufbereitete und veredelte Energieträger und Brennstoffe (Übersicht Q-). Der Verbrauch an Primärenergie steigt seit der Industrialisierung, insbesondere in den Industrieländern der nördlichen Hemisphäre, stark;

Tabelle Q-. Energieeinheiten. Einheit

Umrechnung in SI-Einheit Joule

Kilowattstunde Terawattjahr

1 kWh = 3,6 ċ 106 J 1 TWa = 8,76 ċ 1012 kWh = 3,15 ċ 1019 J 1 tSKE = 9,3 ċ 10−10 TWa = 29,3 ċ 109 J 1 btu = 1,055 ċ 103 J

Tonne-Steinkohleneinheit British thermal unit

 betrug der Welt-Primärenergieverbrauch etwa 11 TWa, was 12 ċ 109 tSKE entspricht. Nach wie vor steigt der Weltenergieverbrauch, wobei die Verbrauchszunahme aufgrund des Bevölkerungswachstums die Ergebnisse von Anstrengungen zur Energieeinsparung bei weitem übertrifft (Bild Q-). Dem stehen die wirtschaftlich gewinnbaren fossilen Energiereserven (Tabelle Q-) gegenüber; die Reichweite der fossilen Reserven würde bei einem auf den Wert von  von 14 TWa eingefrorenem Primärenergieverbrauch noch  Jahre betragen. Angesichts dieser historisch kurzen Zeitspanne setzt man zum einen auf Energieeinsparung durch rationelle Energieverwendung und zum anderen auf die Nutzung der regenerativen Energieträger (Tabelle Q-), die theoretisch

Tabelle Q-. Wirtschaftlich gewinnbare fossile Energievorräte (Stand ). Region

Kohle Erdöl Erdgas gesamt Anteil TWa TWa TWa TWa %

GUS 151,8 20,1 Nordamerika 204,2 9,3 Naher Osten 0,3 132,8 Afrika 38,2 19,4 Asien/ 228,1 8,0 Australien Europa 23,6 3,7 Mittel- und 13,1 18,6 Südamerika Welt absolut Welt anteilig in %

56,8 7,4 72,8 14,2 13,0

228,7 220,9 205,9 71,8 249,1

21,8 21,1 19,6 6,8 23,8

6,2 7,1

33,5 38,8

3,2 3,7

659,3 211,9 177,5 62,9

20,2

16,9

1048,7 100,0 100,0

Übersicht Q-. Energiefluss.

 Q Energietechnik

Q. Energieträger



Bild Q-. Historischer und prognostizierter Weltenergieverbrauch, mittlere Entwicklung (– Prognose , - - Prognose ), ( Verbrauchswert  von  EJ, Verbrauchswert  von  EJ).

Tabelle Q-. Potenzial regenerativer Primärenergien. Energieart

geschätzte technisch Verhältnis Primärnutzbares von technisch energie Potenzial nutzbarem Potenzial zum Weltprimärenergieverbrauch  TWa a TWa a (14 TWa a)

um den Faktor  größer sind als  der Primärenergieverbrauch in der Welt. Der Energieinhalt der für die Energiebereitstellung wichtigen Sekundärenergieträger wird gekennzeichnet durch den oberen Heizwert Hs , Tabelle Q-. Heizwerte von Sekundärenergieträgern. Brennstoffe

Solar25 000 strahlung auf Kontinente Windenergie 350 Biomasse 100 Wasserkraft 5 Geothermie 35 Meeres20 energie 25 510

19

135 %

unterer Heizwert Hi kJ kg

fest 1,0 2,1 1,5 0,6 0,5

7% 15 % 11 % 4% 4%

24,7

176 %

Kohlenstoff (rein) Steinkohle Pechkohle Braunkohlenbrikett Braunkohle (roh) Torf Holz

33 820 31 500 22 900 19 000 ) 9 600 ) 13 800 ) 14 600 )

kJ m3n



Q Energietechnik

Q.2 Energiewandler

Tabelle Q-. (Fortsetzung). Brennstoffe

unterer Heizwert Hi kJ m3n

kJ kg flüssig Methanol Ethanol/Alkohol Benzol Benzin Heizöl EL Heizöl S

19 510 29 960 40 230 42 500 42 000 39 500

E = Ex + An

gasförmig Wasserstoff Methan Propan Butan Erdgas L Erdgas H Stadtgas 

Die Sekundärenergien werden in Energiewandlern in Nutzenergien umgewandelt. Der Energieinhalt der Brennstoffe kann insbesondere bei thermischen Umwandlungsprozessen nicht vollständig umgewandelt werden. In der Energietechnik wird deshalb die Energie aufgeteilt in die Exergie und die Anergie (Tabelle Q-, Abschnitt O..)

119 970 50 010 46 350 45 720 39 600 46 900 24 800

10 780 35 880 93 210 123 800 32 800 37 000 16 120

) stark schwankend je nach Lagerstätte und Wassergehalt

welcher die chemische Reaktionsenthalpie einschließlich der Verdampfungswärme der Verbrennungsgase darstellt, und den unteren Heizwert Hi (Tabelle Q-). Beim unteren Heizwert ist von der Reaktionsenthalpie die Verdampfungswärme der Brenngase abgezogen, welche bis auf Ausnahmen (Kondensationskraftwerk, Brennwertkessel) in der Regel in der Energieumwandlung energetisch nicht nutzbar ist.

Ex

An

(Q–)

Exergie; dieser Energieanteil lässt sich vollständig in andere Energieformen umwandeln, Anergie, der in der Energieumwandlung nicht nutzbare Energieanteil.

Abhängig von der Art des verarbeiteten Primär- bzw. Sekundärenergieträgers sind die Energieumwandlungsprozesse und ihre technische Realisierung sehr unterschiedlich. Sie lassen sich durch Gütegrade des Umwandlungsprozesses und Wirkungsgrade für die Nutzenergieerzeugung charakterisieren. Beim Gütegrad beziehen sich die Umwandlungsverluste auf die eingesetzten Energien oder Exergien; der Wirkungsgrad bezieht sich auf die tatsächlich erwünschte Nutzenergie im Verhältnis zur eingesetzten Energie oder Exergie (Übersicht Q-). Die Unterschiede zwischen den energetischen und den exergetischen Wirkungsgraden

Tabelle Q-. Energie, Exergie, Anergie. Energieart

Energieinhalt

kinetische Energie

Ekin

potenzielle Energie

Epot

1 = m(v 12 − v 22 ) 2 1 = k(s 12 − s 22 ) 2 + mg(h 1 − h 2 )

Exergie

Anergie

Ex = Ekin

An = 0

Ex = Epot

An = 0

Q. Energiewandler



Tabelle Q-. (Fortsetzung). Energieart

Energieinhalt

Exergie

Anergie

elektrische Energie

Eel = ' ui dt

Ex = Eel

An = 0

W12 = − ' p dV

Ex = W12 − pU (V1 − V2 )

An = pU (V1 − V2 )

ΔU = c V m(T1 − T2 )

Ex = ΔU − c V (TU − T2 )

An = c V (TU − T2 )

t2

t1

V2

Volumenänderungsarbeit

V1

innere Energie

− TU (S 1 − SU ) T1

Wärme

Q 1 = ' cm dT TU

Reaktionsenergie c cV k g h HR i m p

ER = −(HR,  − HR,  )

spezifische Wärmekapazität spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen Federsteife des elastischen Körpers Fallbeschleunigung Höhe Reaktionsenthalpie elektrischer Strom Masse Druck

T1 − TU T1 Ex = ER − TU (S 1 − SU )

+ TU (S 1 − SU )

Ex = Q 1

TU T1 An = TU (S 1 − S )

pU s S SU t T TU u  V

Umgebungsdruck Lage des elastischen Körpers Entropie Entropie bei Umgebungsbedingungen Zeit Temperatur Umgebungstemperatur elektrische Spannung Geschwindigkeit Volumen

An = Q 1

Übersicht Q-. Güte- und Wirkungsgrade der Energieumwandlung. Energiefluss

energetischer Gütegrad η Q˙ V η =1− ˙ HE + Q˙ E + PE thermischer Wirkungsgrad von Kreisprozessen ηth PA  ηth = Q˙ E

Exergiefluss

exergetischer Gütegrad ζ ΔE˙V ζ =1− ˙ E + PE E˙E + Ex exergetischer Wirkungsgrad ζEx PA  ζEx = ˙ E Ex

E˙A = b j E˙A, j E˙E = b i E˙E,i ˙ A = b j Ex ˙ A, j Ex ˙ E,i ˙ E = b i Ex Ex H˙ A = b j H˙ A, j H˙ E = b i H˙ E,i

austretende Energieströme eintretende Energieströme austretende Exergieströme eintretende Exergieströme austretende Enthalpieströme eintretende Enthalpieströme

PA = b j PA, j PE = b i PE,i Q˙ A = b j Q˙ A, j Q˙ E = b i Q˙ E,i Q˙ V = bk Q˙ V,k ΔE˙V = bk ΔE˙V,k

abgegebene mechanische Leistungen zugeführte mechanische Leistungen ausströmende Wärmeströme einströmende Wärmeströme Wärmeverluste Energieumwandlungsverluste



Q Energietechnik

Tabelle Q-. Energiewandler-Wirkungsgrade. Energiewandler

energetischer Wirkungsgrad ηth

exergetischer Wirkungsgrad ζEx

Wärmeerzeugung Elektro-Heizung (Kraftwerk η = 0,33) Öl/Gas-Heizung Elektro-Wärmepumpe ElektroWarmwasserbereitung Heizöl/GasWarmwasserbereitung SolarWarmwasserbereitung

Tabelle Q-. Energetische Amortisationszeit, Erntefaktor. Kenngröße

Definition

energetische Amortisationszeit

τE =

Energie-Erntefaktor

fE =

0,9

0,035

0,6  bis 

0,07 0,1 bis 0,2

0,75

0,016

Einv

0,50

0,032

E˙a, el, N E˙a, B

0,6

0,04

Pel, N ta τL

Einv Einv = E˙a, el, N Pel, N ta

τL ċ E˙a, el, N Einv + τL E˙a, B τL ċ E˙a, el, N = ˙ τE ċ Ea, el, N + τL ċ E˙a, B

benötigte Energieinvestition zur Herstellung des Kraftwerks elektrische Nettoenergieerzeugung pro Jahr energetische Aufwendungen zum Kraftwerksbetrieb pro Jahr elektrische Netto-Kraftwerksleistung Jahres-Betriebsstunden Lebensdauer des Kraftwerks

Stromerzeugung Dampfkraftwerk Wasserkraftwerk Windenergiekraftwerk

0,33 0,8 0,3

Antriebsenergieerzeugung Ottomotor Dieselmotor Elektroantrieb Elektromotor Dampfmaschine Wasserturbine

0,5

0,1 0,15 0,1 bis 0,15 0,6 bis 0,9 0,8 0,8

Derzeit werden für Kernkraft-, Kohlekraft-, Wasser- und Windkraftanlagen zur Stromerzeugung Amortisationszeiten von weniger als einem Jahr und Erntefaktoren von deutlich über  angegeben, bei Photovoltaikanlagen dagegen liegen die Werte bei τE N 20 a bzw. fE N 1. Diese Angaben sind jedoch insbesondere hinsichtlich der energetischen Beurteilung des Entsorgungsaufwands und der Umweltbelastung umstritten.

Q.3 Energiespeicher sind besonders groß, wenn, wie bei der Wärmeerzeugung, das Nutzwärmeniveau durch die Umgebungstemperatur bzw. die minimale Abgastemperatur begrenzt ist (Tabelle Q-). Die Energiewandler lassen sich in stromerzeugende, wärmeerzeugende und kombinierte (Kraft-Wärme-Kopplung) Anlagen einteilen. Durch die energetische Amortisationszeit τE und den Erntefaktor fE kann die Energiebereitstellungsqualität der verschiedenen Kraftwerksarten beurteilt werden (Tabelle Q-).

Diskrepanzen im Energieverbrauch sowohl im Tagesgang als auch im Jahresverlauf erfordern zur rationellen Energienutzung wirksame Kurzzeit- und Langzeit-Energiespeicher. Insbesondere ist dies für eine optimale Sonnenenergienutzung und Nutzung von GrundlastKraftwerken notwendig. Im Bereich der Stromspeicherung dominieren Pumpspeicherund Staustufenspeicherwerke. Elektrochemische Batteriespeicher eignen sich nur für die niederenergetische Kurzzeitspeicherung. Unter

Q. Energiespeicher



Tabelle Q-. Möglichkeiten der Energiespeicherung. Speicherprinzip

Speicherenergie

Energiespeicher

Reaktionswärme

ESp = mHu ESp = Δmc 2 ESp = c p mΔT

Brennstoffspeicher, Bunker, Tanks, Druckgasspeicher, H2 -Hydritspeicher für Nuklearbrennstoff Heißwasserspeicher, Stein-, Fels-, Erdspeicher, Aquiferspeicher Eis-, Salz-Latentwärmespeicher, Ruths-Dampfspeicher

innere Energie Phasenumwandlung Latente Wärme mechanische Energie elektrische Energie

c cp C ESp g h Hi I J

ESp = mΛ ESp = mgΔh = V Δp =1 2 J(Δω)2 ESp = ΔQU =1 2 CU 2 =1 2 LI 2

Pumpspeicher, Druckluftspeicher, Schwungradspeicher Batterien, Kondensatoren, Magnetfeldspulen

Lichtgeschwindigkeit (c = 3 ċ 108 m s) spezifische Wärmekapazität Kapazität Speicherenergie Fallbeschleunigung Höhe unterer Heizwert elektrischer Strom Massenträgheitsmoment

L m p Q T U V Λ

den verschiedenen Speicherprinzipien (Tabelle Q-) dominieren sowohl im Heizwärmeund Strombereich als auch unangefochten im Verkehrsbereich die Brennstoffspeicher nach dem Reaktionswärmeprinzip. Energiespeicher werden nach der massenbezogenen und der volumenbezogenen Energiedichte charakterisiert: σ = ESp m , ESp m V σ σ



σ = ESp V ;

Induktivität Speichermasse Gasdruck elektrische Ladung Temperatur elektrische Spannung Speichervolumen spezifische Phasenumwandlungswärme

hinzuzurechnen. Unter diesen Gesichtspunkten ist die Energiespeicherung in Heizöl oder in den Kraftstoffen Benzin und Dieselöl unübertroffen (Tabelle Q-). Deshalb haben bisher elektrische oder mit Wasserstoff angetriebene Fahrzeuge geringe Marktchancen; die geringe Energiedichte und der hohe Reinheitsgrad der Wasserstoffspeicherung sind neben

(Q–)

gespeicherte Energie, Masse des Energiespeichers, Volumen des Energiespeichers, massenbezogene Speicherdichte, volumenbezogene Speicherdichte.

Der Brennwert je 1 kg oder 1 m3 Brennstoff ist für die Praxis von untergeordneter Bedeutung. Zur Masse oder dem Volumen des Brennstoffs ist die Masse und das Raumvolumen der Speicherbehälter und Speichermaterialien

Tabelle Q-. Speicherdichten von Fahrzeugspeichern. Fahrzeugspeicher

Speicherdichte W h kg

Benzintank Dieseltank Methanoltank Flüssig-Wasserstoffspeicher TiFe-Hydritspeicher Hochdruck-Wasserstoffspeicher Silber-Zink-Batterie Blei-Akku-Traktionsbatterie

9700 10 100 4400 5000 400 300 120 35



Q Energietechnik

technischen Problemen Haupthindernisse für die Einführung von NiedertemperaturBrennstoffzellen-Antrieben. Günstiger ist die Situation im Heizwärmebereich, wo die kritische massenbezogene Speicherdichte keine Rolle spielt.

Q.4 Energieverbrauch Die Sekundärenergie wird in der Industrie, im Verkehr, in den Haushalten und im Kleinverbrauch als Nutzenergie verbraucht (Bild Q-). Letztendlich wird in einem hochentwickelten Land wie der Bundesrepublik Deutschland nur

etwas mehr als ein Viertel der Primärenergie zu Nutzenergie. Ins Auge springt insbesondere der niedrige Nutzungsgrad im Verkehrsbereich; dies ist jedoch vor den im Vergleich zum stationären Einsatz hohen Anforderungen an den Energieeinsatz im Fahrzeug (minimale Energiespeicherdichte, Start- und Fahrdynamik, Unfall- und Tanksicherheit) zu verstehen. Nachdem bisher die wirtschaftliche Bereitstellung von Nutzenergie zum Energieverbrauch dominierte und Erntefaktoren sowie Kapitalrückflusszeiten im Vordergrund der energietechnischen Anstrengungen standen, hat sich der Schwerpunkt energietechnischer Beurteilung spätestens seit Tschernobyl bei

Bild Q-. Energieumwandlung und Energieverbrauch in der Bundesrepublik Deutschland  (Primärenergieverbrauch 0,439 TWa = 100%).

Q. Energieverbrauch



Tabelle Q-. Umweltbelastungen. Schadstoff

Verursacher

Belastung

Stäube, Ruß

Kraftwerke, Verkehr, industrielle Prozesse

Atemwegserkrankung, Korrosion, Verschmutzung

Abwässer, Aerosole

Rauchgaskondensation, Tankleckagen

Klärstörung, Trinkwasserverunreinigung, Hautallergie, Gewässerschaden

SO2 , NO x , Kraftstoffadditive, Spurenstoffe

Verkehr, Kraftwerke, industrielle Prozesse

Atemwegserkrankung, Bodenversäuerung, Gewässerkippen, Waldschäden

Kohlendioxid CO2

Kraftwerke, Haushalt, Verkehr, industrielle Prozesse

Klimaveränderung (Treibhauseffekt)

Methan CH4

Tierhaltung, Erdölgewinnung, Reisanbau

Treibhauseffekt

Fluor-Chlor-Kohlenwasserstoffe (FCKW)

industrielle Herstellung, Entfettung, Privateinsatz

Störung der Erdatmosphäre (Ozonloch)

radioaktive Stoffe

Kernkraftwerke, fossile Kraftwerke

Genmutationen, Krebserkrankung

Tabelle Q-. Energiekennzahlen. Kennzahl

Beziehung flächenbezogen

Beziehung volumenbezogen

Wohngebäude: Qp AN

Spezifischer Primärenergiebedarf Gebäude

Qp =

Energie-Kennzahl Heizwärme

EKZW, F =

Energie-Kennzahl Elektrizität Nutzungsgrad Heizanlage

Qh AN

EKZW, V =

Qel AN Qh + QWW ηh = EW EKZ el =

Industriebau: Energie-Kennzahl Produktivität AN EW EV PE Qp Qel Qh QWW V

EKZ p =

EV PE

Energiebezugsfläche (Stockwerksfläche, Putzfläche, Nutzfläche usw.) Heizenergiebedarf Heizanlage Energieverbrauch Produktionseinheit (z. B. je 1 kg Mehlverbrauch, je Pkw) Jahres-Primärenergiebedarf Elektroenergiebedarf Jahres-Heizwärmebedarf Heizwärmebedarf Warmwasserbereitung Gebäudevolumen (z. B. innerhalb der wärmeübertragenden Hüllfläche)

Qh V



Q Energietechnik

Tabelle Q-. Berechnung des mittleren Heizungs-Wirkungsgrads bzw. der Energieaufwandszahl für die Heizwärme. Größe

Beziehung

Heizungs-Wirkungsgrad ηth

ηth =

Qh + QWW + Qt, h + Qt, WW QE

Heizwärme-Energieaufwandszahl eh

eh = 1 ηth

Warmwasser-Energiebedarf QWW

QWW = cW mW P(ϑW − ϑK )td

Techn. Energieverluste Raumheizung Qt, h

Qt, h = Qg, B + Qg, S + Qd + Qce

Techn. Energieverluste Warmwasser Qt, WW

Qt, WW = QWW, s + QWW, d

cw QE mW P Qh Qt, gB Qt, gS Qt, d Qt, ce QWW, s QWW, d td ϑW ϑK

spezifische Wärmekapazität von Wasser [cw = 1,16 W h (kg K)] Energiebedarf des Heizungssystems Warmwasserverbrauch pro Person und Tag Personenzahl der Warmwassernutzung Heizwärmebedarf Technische Wärmeverluste des Wärmeerzeugers im Betrieb Technische Wärmeverluste des Wärmeerzeugers im Stillstand Technische Wärmeverluste der Heizwärmeverteilung Technische Wärmeverlust der Heizwärmeübergabe Wärmeverlust des Warmwasserspeichers Wärmeverlust der Warmwasser-Zirkulationsleitung und der Stichleitungs-Unterverteilung des Warmwassernetzes Warmwasser-Bereitstellungszeit (i. Allg. td = 365 d) mittlere Warmwassertemperatur an der Entnahmestelle Kaltwassertemperatur

den Kernkraftwerken und der Weltenergiekonferenz  in Montreal bei den fossilen Energieumwandlern zu den Belastungen der Umwelt (Tabelle Q-) durch die Energieverwendung und den ökologischen Wirkungen des Nutzenergieeinsatzes verlagert. Die ökologisch-ökonomische Bilanzierung der Umweltbelastung der Energienutzung im Spannungsfeld Ökonomie – Energietechnik – Ökologie ist in Teilen gegeben. Derzeitiger Stand sind die rationelle Energieumwandlung und -nutzung und die Förderung der Energiegewinnung aus regenerativen Energiequellen. Für die Beurteilung der Planung von energetischen Maßnahmen und der Sanierung von Energieumwandlern hinsichtlich ihres Energiebedarfs sind Energiekennzahlen (Tabelle Q-) hilfreich.

Der Heizwärmebedarf von Gebäuden mit Abwärmenutzung wird nach DIN EN  und DIN  unter Berücksichtigung der solaren Wärmegewinne durch die Verglasungen und der internen Wärmequellen (Personenwärme, Stromverbrauch) berechnet. Der Jahres-Energienutzungsgrad des Heizsystems berücksichtigt zusätzlich zum Heizwärmebedarf den Wärmebedarf der Warmwasserbereitung und die Anlagenverluste der Heizung und der Heizungsverteilung (Tabelle Q-). Als Zielwerte für eine energiesparende Bauplanung sind derzeit eine HeizwärmeKennzahl von EKZW, F > 60 kWh(m2 ċ a) und ein Jahresprimärenergiebedarf Qp = 70 bis 120 kWh(m2 ċ a) (Energieeinspar-Verordnung EnEV ).

R Umwelttechnik

Die Umwelttechnik ist die Anwendung technischer Lösungen zur Vermeidung der Bildung von Schadstoffen (Primärmaßnahmen) und zur Abreinigung gebildeter Schadstoffe (Se-

kundärmaßnahmen). Emissionen entstehen durch nicht geschlossene Stoffströme; das Ziel umwelttechnischer Anwendungen ist deshalb die Bildung von Stoffkreisläufen.

Tabelle R-. Gesetze, Verordnungen, Verwaltungsvorschriften, Normen. Gesetz, Norm

Inhalt

Wasserhaushaltsgesetz (WHG, , geändert )

Stand der Technik (§a) Umgang mit wassergefährdenden Stoffen (§§g bis l) Genehmigungspflicht für Abwasseranlagenbetrieb

Landwassergesetz (WG, z. B. B.-W., ..) Abwasserverordnung und Anhänge (z. B. Anhang , ) Indirekteinleiter-Verordnung (Bayern, NRW: VGS; Baden-Württ. ..) Verordnung über Anlagen zum Umgang mit Wasser gefährdenden Stoffen und Fachbetrieben (VAWS, .., zuletzt geändert ..) DIN  -D bis H Bundesimmissionsschutzgesetz (BImSchG, , geändert )

. Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV)

Grenzwerte für Abwasserableitung Pflichten der Produktion DIN-Normen der Analytik Schwellenwerte für die Genehmigungspflicht der Abwasserableitung Lagern, Abfüllen und Umschlagen von Chemikalien, Einsatz von Chemikalien in der Produktion Abwasseranalytik Regelung (allgemein) des – anlagenbezogenen, – produktbezogenen und – gebietbezogenen Immissionsschutzes. Kleinfeuerungsanlagen Emissionsbegrenzung von leichtflüchtigen Halogenkohlenwasserstoffen Schwefelgehalt von leichtem Heizöl und Dieselkraftstoff Genehmigungsbedürftige Anlagen Immissionsschutzbeauftragte Auswurfbegrenzung von Holzstaub Grundsätze des Genehmigungsverfahrens



R Umwelttechnik

Tabelle R-. (Fortsetzung). Gesetz, Norm

Inhalt

. Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV)

Beschränkungen von PCB, PCT und VC (Polychlorierte Biphenyle, -Terphenyle und Vinylchlorid) Emissionserklärung

. Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Bundesimmissionsschutz-Verordnung (. BImSchV) . Allgemeine Verwaltungsvorschrift zum BImSchG (. BImSchVwV) . Allgemeine Verwaltungsvorschrift zum BImSchG (. BImSchVwV) BMU-Richtlinie vom .. VDI-Richtlinie  Kreislaufwirtschafts- und Abfallgesetz (, geändert )

Landesabfallgesetze Verordnung über das Europäische Abfallverzeichnis (AVV, , geändert ) Verordnung über die Verwertung von Abfällen auf Deponien über Tage (Deponieverwertungsverordnung, DepVerwV, ) Verordnung über die umweltverträgliche Ablagerung von Siedlungsabfällen (Abfallablagerungsverordnung, AbfAblV, , geändert ) Verpackungs-Verordnung (VerpackV, , geändert ) Altöl-Verordnung (AltölV, , , geändert )

Störfallverordnung Großfeuerungsanlagen (z. B. Kraftwerke) Abfallverbrennungsanlagen Begrenzung der Emission flüchtiger organischer Verbindungen (VOC) Technische Anleitung zur Reinhaltung der Luft (TA Luft) Technische Anleitung zum Schutz gegen Lärm (TA Lärm) Richtlinie über die Eignungsprüfung von Messund Auswerteeinrichtungen Maximale Immissionskonzentrationen (MIK-Werte) zum Schutz des Menschen Definitionen, Grundsätze und allgemeine Pflichten der Bereiche – Abfalleinsammeln/-befördern – Abfallentsorgung – Abfallklassen – Abfallverbringung (Ausland) – Betriebsbeauftragter für Abfall – Rücknahmepflichten, Pfandsysteme Detailregelung der Andienungspflichten Europäisch genormte Abfallschlüssel für Transport und Entsorgung Bestimmungen zur Verwertung von Abfällen auf Deponien Zuordnung von Abfällen zu Deponieklassen, Abfall-Zuordnungskriterien Pflichten der Wieder- oder Weiterverwertung von – Verkaufsverpackungen, – Transportverpackungen, – Umverpackungen Klassifizierung der Altöle in – rückgewinnbare Öle – verwertbare Öle – zu entsorgende Öle Vermischungsverbot, Pflichten für Rückstellproben/Analysen

R. Abwassertechnik



Tabelle R-. (Fortsetzung). Gesetz, Norm

Inhalt

Verordnung über Stoffe, die die Ozonschicht schädigen (Chemikalien-Ozonschichtverordnung, ChemOzon-SchichtV, ) TA Abfall (. Allgemeine Verwaltungsvorschrift zum AbfG, )

Ersatz der FCKW-Verbotsverordnung, formuliert Stoffverbote (Einsatzverbote)

R.1 Abwassertechnik

R.1.2 Verminderung der Ausschleppungen

R.1.1 Entstehung von schadstoffbelastetem Abwasser

Die Ausschleppungen werden von der Oberflächengeometrie der Werkstücke stark beeinflusst. Dennoch gibt es allgemein gültige Ansätze zur Ausschleppungsverminderung, die sich in chemische und mechanische Maßnahmen unterteilen (Tabelle R-).

Die Oberflächenbehandlung (z. B. Galvanik, Härterei, Lackierbetrieb, mechanische Fertigung) besteht in der Regel aus einer Abfolge von Wirkbädern (Wirkschritte, z. B. Entfetten, Beizen, Entrosten, Phosphatieren, Brünieren, Metallisieren), zwischen denen Spülschritte angeordnet sind. Abwasser- und Schadstoffemission finden statt, sobald der Wirkstoff (Elektrolyt) das Wirkbad verlässt. Abwasser- und Schadstoffemissionen entstehen durch Verwerfen und Ausschleppen des Wirkstoffes aus dem Wirkbad. Das Wirkbad wird verworfen, weil Verunreinigungen seine Wirkung zu stark abgeschwächt haben. Ausgeschleppt wird der Elektrolyt durch Werkstücke und Werkstückträger. Die Ausschleppungen müssen anschließend von den Werkstücken abgespült werden. Verwerfen des Wirkbades: geringe Abwassermenge, hohe Schadstofffracht. Ausschleppen von Wirkstoff: hohe Abwassermenge, geringe Schadstoffmenge.

Detailregelung der Abfallentsorgung, u. a. – Zuordnung der Abfälle zu Entsorgungsverfahren – Aufbauorganisation von Entsorgungsanlagen – Betriebsorganisation von Entsorgungsanlagen

R.1.3 Standzeitverlängerung des Wirkbades Je länger die Standzeit eines Wirkbades (weniger häufiges Verwerfen), desto geringer die emittierte Schadstofffracht. Standzeitverlängerung durch – Vorreinigung der Einschleppungen (Verunreinigung von außen); – Nachreinigung der prozessbedingten Verunreinigungen (Abbauprodukte). Demzufolge untergliedern sich die Maßnahmen zur Standzeitverlängerung in Vorreinigung der Werkstücke und Nachreinigung der Wirkbadlösung (Tabelle R-). R.1.4 Spültechnik Die Spültechnik hat die Aufgabe, − ausgeschleppte Wirkstoffe vom Werkstück zu entfernen,



R Umwelttechnik

Tabelle R-. Maßnahmen zur Ausschleppungsverringerung.

Tabelle R-. Maßnahmen zur Standzeitverlängerung.

Maßnahme

Vorreinigungsverfahren

mehrstufige Spültechnik vorgeschaltete Reinigungsstufen, z. B. Entölen, mechanisches Reinigen Wirkbadkaskade

Nachreinigungsverfahren

Entschlammung Ionenaustausch Dialyse/Elektrodialyse

Praxisbeispiel

a) chemisch Oberflächenhydrophobierung

wässrige Reinigung vor Härten, Lackieren, Prüfen

Verringerung der Wirkstoffkonzentration

Nachschärfen anstelle Wochenbedarfsansatz

Elektrolyse

Senkung des Lösungsmittelanteils im Lacksystem

thermische Behandlung (Kristallisation, Eindampfen) Membranabtrennung (Ultra- und Mikrofiltration, Umkehrosmose)

b) mechanisch Overspray vermindern

Drehscheibe hinter zu lackierendem Teil (Overspray-Recycling) Airless-Verfahren elektrostatisch lackieren

Anlagenbedienung und -steuerung

Abtropfzeiten, Warenbewegung, Teilepositionierung

Anlagentechnik

Abblasen, Abquetschen, Absprühen Kaskadenführung, Badkombinationen

− die Reaktion der Werkstückoberfläche mit dem Wirkstoff abzubrechen, − Einschleppungen in das folgende Wirkbad zu unterbinden. Gesetzesforderung ist die Einrichtung einer mehrstufigen Spültechnik (in der Regel drei Spülstufen), die als Voraussetzung für minimierten Abwasser- und Schadstoffanfall gilt. Als einzelne Spülstufe gilt auch eine Spritzeinrichtung über einem Spülbad (Spülbad + Spritzeinrichtung = zweistufiges System). Unterschieden wird zwischen Standspülen (nicht durchflossen) und Fließspülen (kontinu˙ Die Bilder R-, ierlicher Wasserdurchsatz Q).

R- und R- zeigen Beispiele verschiedener dreifacher Spülstufen nach dem Wirkbad. Die Effektivität des Spülvorgangs wird ausgedrückt durch das Spülkriterium Sk, das als Quotient der Wirkbadkonzentration in Gramm/Liter oder val/Liter und der Restkonzentration im letzten Spülbad n definiert ist: Sk = c 0 c n ;

(R–)

c 0 Elektrolytkonzentration im Wirkbad, c n Elektrolytkonzentration im n-ten Spülbad nach dem Wirkbad. Spülkriterien liegen üblicherweise zwischen 3 und 7 .

Bild R-. Dreistufige Spültechnik als Dreifachkaskade.

R. Abwassertechnik



Tabelle R-. Vergleich benötigter Spülwassermengen in Liter je Stunde für c 0 = 10 vall, Sk = 104 , V˙ = 10 lh, Standspülwechsel in  h, Badvolumen VB = 1000 l.

Bild R-. Dreistufige Spültechnik als Standspüle und Zweifachkaskade.

Bild R-. Dreistufige Spültechnik als Vorspülkaskade und Fließspüle.

Die Konzentration eines Standspülbades nach der Betriebszeit t beträgt c t = c 0 ^1 −  t c0 ct V VB

VB VB + V

t

_ ;

Die Gleichgewichtskonzentrationen von Einzelfließspülen und Fließspülkaskaden betragen ˙ (Voraussetzung: V˙ ll Q)

c0 cn V˙ Q˙

benötigte Spülwassermenge l h

erzeugte Abwassermenge l h

 Fließspüle

 

 

 Standspüle und  Fließspüle





Zweifachkaskade





 Standspüle und Zweifachkaskade





Dreifachkaskade





Zweifachkaskade und  Fließspüle

50 + 4000 100 + 1000 200 + 250

  



Bei direkter Rückführung ins Wirkbad ist die Dreifachkaskade vorteilhaft, bei Kreislaufführung des Spülwassers (Ionenaustauscher) das System Vorspülkaskade und Schlussspüle.

(R–)

Betriebsdauer in Stunden, Elektrolytkonzentration im Wirkbad, Elektrolytkonzentration im Standspülbad nach t Stunden Betriebszeit, Verschleppungsvolumen, normiert auf  h, Volumen des Spülbades.

˙ n; c n = c 0 (V˙ Q)

Spülsystem

(R–)

Elektrolytkonzentration im Wirkbad, Elektrolytkonzentration im n-ten Spülbad nach dem Wirkbad, Ausschleppungsvolumen, Spülwasserdurchsatz.

Mit Hilfe dieser Formeln lassen sich vergleichende Betrachtungen des notwendigen Wassereinsatzes unterschiedlicher Spülsysteme durchführen und lässt sich der jeweils resultierende Abwasseranfall berechnen (Tabelle R-).

R.1.5 Kreislaufführung des Spülwassers (Ionenaustauscher) Ionenaustauscher sind organische Polymerharze mit funktionellen Gruppen. Die Vollentsalzung des Wassers geschieht in hintereinandergeschalteten Kationen- und Anionenaustauscherharzen (Tabelle R-). Voraussetzung für den sinnvollen Einsatz von Ionenaustauschern ist ein geringer Salzgehalt (= Elektrolytgehalt) im kreislaufgeführten Wasser. Es gibt unterschiedliche verfahrenstechnische Schaltungsmöglichkeiten der Ionen-



R Umwelttechnik

Tabelle R-. Ionenaustauscherharze. Harztyp

funktionelle Austauschergruppe

Reaktion

stark saures Kationenaustauscherharz

Sulfonsäuregruppe (−SO3 H)

Kation , H+

schwach saures Kationenaustauscherharz

Carbonsäuregruppe (−COOH)

Kation , H+

schwach alkalisches Anionenaustauscherharz

tertiäre Ammoniumgruppe (−R2 NHOH)

Anion , OH−

stark alkalisches Anionenaustauscherharz

quartäre Ammoniumgruppe (−R3 NOH)

Anion , OH−

Bild R-. Ionenaustauscheranlage in Straßenschaltung.

Bild R-. Ionenaustauscheranlage in Reihenschaltung.

Tabelle R-. Begriffserläuterungen. Luftverunreinigung

alle Stoffe, die die natürliche Zusammensetzung der Luft verändern

Emission

an die Umwelt abgegebene Luftverunreinigung die Einwirkung der Luftverunreinigungen auf die Umwelt

Immission Transmission

Ausbreitung der Luftverunreinigung (zwischen Emissionsquelle und Immissionseinwirkung)

Smog

hohe Immissionskonzentrationen von Schadstoffen in Verbindung mit Nebel (Kombination von „smoke“ und „fog“)

Abgas

an die Umwelt abgegebenes Gas

Rauchgas

Abgas von Feuerungsanlagen

Abluft

Abgas, dessen Trägergas Luft ist

austauscheranlagen (Straßen- und Reihenschaltung, Bilder R- und R-). Abwasser (Regenerat, Eluat) entsteht bei der Regeneration der beladenen Harze. Kationen-

harze werden mit Säure (%), Anionenharze mit Lauge (%) regeneriert. Je  val Salz Beladung auf die Austauscheranlage entstehen etwa  l Abwasser bei der Regeneration.

R.1.6 Abwasseraufbereitung (-behandlung) Der Grundsatz lautet: Unnötige Mischungen vermeiden. Die Verfahrensstufen (Bild R-) sind − − − − − − − −

Cyanidoxidation, Nitritoxidation oder -reduktion, Chromatreduktion, Neutralisation, Flockung, Sedimentation, Schlammentwässerung, Schlussfiltration.

R. Reinhaltung der Luft



Bild R-. Blockschema einer Abwasseraufbereitungsanlage.

Probleme entstehen − durch Bildung von (an Aktivkohle adsorbierbaren) Halogenkohlenwasserstoffen [AOX] bei der Oxidation mit Bleichlauge (NaOCl), − bei der Entsorgung des anfallenden schwermetallhaltigen Galvanikschlamms (Sondermüll, Abschnitt R.).

R.2 Reinhaltung der Luft R.2.1 Entstehung von Luftverunreinigungen Die natürliche Zusammensetzung der Luft ist − − − − −

,%, Stickstoff (N2 ) ,%, Sauerstoff (O2 ) Argon (Ar) ,% Kohlendioxid (CO2 ) ,%, Spuren • andere Edelgase • Methan • Wasserstoff.



R Umwelttechnik

Hauptquellen der Luftverunreinigungen sind Energieerzeugung (Kraftwerke), Hausheizungen, Verkehr und Industrie. Hauptsächlich werden folgende Luftverunreinigungen emittiert: − − − − − −

Kohlendioxid (CO2 ), Stickoxide (NO und NO2 ), Schwefeldioxid (SO2 ), Kohlenwasserstoffe (C m Hn ), Kohlenmonoxid (CO), Ruß und Staub.

R.2.2 Auswirkungen von Luftverunreinigungen Die hauptsächlichen Auswirkungen der Luftverunreinigungen sind Tabelle R- zu entnehmen. Bei der Beurteilung der Auswirkungen von Luftverunreinigungen ist stets die Transmission der Stoffe und ihre chemische Umwandlung zu anderen Produkten mit zu betrachten.

Tabelle R-. Auswirkungen von Luftverunreinigungen. Schadensart

Verursacher (Leitstoff)

Auswirkungen

Ozonloch

Fluorchlorkohlenwasserstoffe (FCKW)

Zerstörung der Ozonschicht in der Stratosphäre: härtere Strahlung gelangt auf Erdoberfläche

hoher Ozongehalt in der Atemluft

Stickoxide und Licht

Herz-/ Kreislaufbeschwerden

Treibhauseffekt

IR-aktive Gase (z. B. CO2 , CH4 )

Erwärmung der Erdoberfläche: Klimastörungen

Waldsterben

vermutete Synergie aller Luftverunreinigungen

Änderung von Klima, Flora und Fauna

Smog

Nebel und austauscharme Wetterlagen

Erkrankung von Atemwegen und -organen, Herz-/KreislaufSchwäche

fotochemischer Smog

Stickoxide, Licht und Kohlenwasserstoffe

Erkrankung von Atemwegen und -Organen, Herz-/KreislaufSchwäche

saurer Regen

Stickoxide, Schwefeldioxid

Schädigung der Pflanzenwurzeln, Korrosion an Metallen/Baustoffen

R.2.3 Primärmaßnahmen der Schadstoffbegrenzung Schwefeldioxid  Entschwefelung der Brennstoffe Stickoxide  mehrstufige Verbrennung  Abgasrückführung Kohlenwasserstoffe, Ruß, Kohlenmonoxid  vollständige Verbrennung, dabei − ausreichender Luftüberschuss (λ 1), − hohe Verbrennungstemperaturen, − lange Verweilzeit des Brennstoffes in Zonen hoher Temperatur, − gute Durchmischung von Luft und Brennstoff. R.2.4 Sekundärmaßnahmen der Schadstoffbegrenzung Unter Sekundärmaßnahmen sind Abreinigungsverfahren zu verstehen.

Ruß und Staub  Staubabscheidung Maßgebend für die Abscheidefähigkeit eines Staubes ist die Sinkgeschwindigkeit s der Partikeln aus dem Gasstrom, die sich für das Modell kugelförmiger Partikeln wie folgt ergibt:

R. Reinhaltung der Luft

s = s d P G g ηG

d 2 (P − G )g ; 18ηG



(R–)

Sinkgeschwindigkeit der Staubpartikeln, Staubpartikeldurchmesser, Dichte der Staubpartikeln, Dichte des Abgases, Erdbeschleunigung, Viskosität des Abgases.

Alle Faktoren, die die Sinkgeschwindigkeit erhöhen, tragen zur Verbesserung der Abscheideleistung bei: − Vergrößerung von Dichte und Partikeldurchmesser im Nassabscheider • • •

Wirbelwäscher, Venturiwäscher, Rotationswäscher;

− Erhöhung der Beschleunigung im • •

Elektrofilter, Zyklon.

Elektrofilter und Zyklone sind typische Vertreter der Querstromfiltration (Partikeln werden quer zur Gasströmung abgeschieden); Tuchfilter und Filterkerzen, die eine Sekundärfilterschicht durch abgeschiedene Staubteilchen ausbilden, sind typische Beispiele für die Hauptstromfiltration (Partikeln- und Gasbewegung in gleicher Richtung, Bild R-). Schwefeldioxid − (Rauchgas-)Entschwefelung Trockenes, halbtrockenes und nasses Verfahren. Unter Zugabe von Kalk (Kalkmilch) und mit Hilfe von Luftsauerstoff wird Gips gebildet (CaSO4 ċH2 O; Abfallproblematik). Stickoxide − Oxidationsverfahren (selten angewendet) Oxidation der Stickoxide zu Stickstoffdi-

Bild R-. Hauptstromfiltration (a) und Querstromfiltration (b).

oxid mit Hilfe von Ozon und Abreinigung durch Bildung von Salpetersäure. − Reduktionsverfahren (katalytisch: SCRVerfahren; nicht katalytisch: SNCR-Verfahren ). Durch Eindüsung von Ammoniak werden Stickoxide zu Stickstoff reduziert, was einer Rückbildung des Ausgangsstoffes (Luft-N2 ) entspricht. Kohlenwasserstoffe − Nachverbrennung (thermisch: TNV; katalytisch: KNV). Nachgeschaltete Verbrennung bei hohen Temperaturen, Einsatz von Katalysatoren und allen Bedingungen vollständiger Verbrennung. − Adsorption Aktivkohlefiltration. Probleme der anschließenden Regeneration der beladenen Aktivkohle: Dampf gelangt in das Abwasser, Heißgas erfordert Energieaufwand. Bei Verwerfen der beladenen Aktivkohle entsteht Abfallproblematik.



SCR: selective catalytic reduction, SNCR: selective non catalytic reduction.



R Umwelttechnik

− Kondensation „Ausfrieren“ der Kohlenwasserstoffe in Kältefallen. Energieaufwändig, für einzuhaltende Grenzwerte nicht ausreichend, nur für schwerer flüchtige Kohlenwasserstoffe. Wird in der Regel als Abreinigungsvorstufe benutzt. − Membrantrennung und biologische Abreinigung Verfahren z. Zt. in der Markteinführung; Einzelfallbetrachtung des Einsatzes notwendig. Kfz-Katalysator Der Dreiwege-Katalysator dient zur Umsetzung der drei Schadstoffe Kohlenmonoxid, Kohlenwasserstoffe und Stickoxide. − Katalysatoraufbau Platin (Oxidationsprozesse) und Rhodium (Reduktionsvorgänge) als Katalysatormetalle, die auf Träger Aluminiumoxid („washcoat“, hohe Oberfläche) aufgebracht sind, das auf Keramikkörper oder Metallträger aufgetragen wird. − Betriebsbedingungen Der optimale Temperaturbereich liegt zwischen  und   C. Luftregelung mittels Lambda-Sonde auf λ  1 (stöchiometrischer Lufteinsatz, kein Luftüberschuss). − Reaktionen •

• •

Lambda-Sonde Notwendiges Aggregat, um Luftüberschusszahl gegen  zu regeln (Voraussetzung für Funktion des Dreiwege-Katalysators). − Aufbau Fingerhutförmig angeordnete Zirkondioxid-Membran, auf deren Innenseite sich Luft befindet. An der Außenseite werden Abgase vorbeigeführt. Beide Seiten der Membran sind mit einem Platingitter versehen, das als Ableitungselektrode dient. − Messprinzip Potenziometrisches Messprinzip. In Abhängigkeit vom jeweiligen Sauertoffpartialdruck (Innen- und Außenseite der Membran) bilden sich – bedingt durch Diffusion von Sauerstoff-Ionen in Fehlstellen des Zirkondioxidgitters – unterschiedliche Potenziale aus. Die Potenzialdifferenz kann als Membranspannung U abgegriffen werden (Nernst’sches Gesetz). Zur Bildung der Sauerstoffionen werden Temperaturen 400  C benötigt (Betriebstemperatur der Sonde). U=

Rm T z F

pO2 (Luft) Rm T ; ln zF pO2 (Abgas) molare Gaskonstante [R m = 8,3145 J/(K ċ mol)], absolute Temperatur, Anzahl Elementarladungen, Faraday-Konstante (F = 96 486 A ċ smol), Sauerstoffpartialdruck.

(R–)

Kohlenwasserstoffe und Kohlenmon- pO2 oxid oxidieren an Platin zu Kohlendioxid (= Endprodukt vollständiger Ver- − Mess- und Regeltechnik brennung). Je geringer der Sauerstoffanteil im Abgas, Stickoxide (überwiegend NO) werden desto höher die abgegriffene Spannung. an Rhodium zu Stickstoff reduziert. Die Sonde regelt die Begrenzung der Unerwünschte Nebenreaktionen (LuftLuftzufuhr so weit, bis steiler Spannungsüberschuss, Luftmangel, ungünstige anstieg eintritt. Die Regelung erfolgt also Temperaturen) führen zur Bildung von nicht durch exakte Sauerstoffmessung, Schwefeltrioxid, Schwefelwasserstoff sondern das Luft-Kraftstoff-Verhältnis wird und Ammoniak. so geregelt, dass der Sauerstoffanteil an

R. Abfallwirtschaft

der Abgasseite der Sonde gegen null geht (steiler Spannungsanstieg).

R.3 Abfallwirtschaft Tabelle R-. Begriffserläuterungen. Abfall

bewegliche Sache, derer sich der Besitzer entledigen will oder deren geordnete Entsorgung zur Wahrung des Wohls der Allgemeinheit geboten ist

Reststoff

bewegliche Sache, derer sich der Besitzer entledigen will und die einer stofflichen oder sonstigen Verwertung zugeführt wird

besonders überwachungsbedürftiger Abfall/Reststoff (“Sonderabfall”)

Abfälle/Reststoffe, die aufgrund ihrer Eigenschaften ein besonderes Gefahrenpotenzial aufweisen (z. B. giftig, erbgutschädigend)

Entsorgungsanlage

Anlage zum Verwerten, Behandeln, Lagern und Entsorgen von Abfällen/Reststoffen

R.3.1 Entstehung von Abfällen Abfälle entstehen durch Vermischung und daraus folgender Feinverteilung von Wertstoffen. Abfalldeponie: Wertstoffe in feinverteilter Form. Rohstofflager: Wertstoffe in konzentrierter Form. R.3.2 Grundsatz der Abfallwirtschaft Der Grundsatz des Umgangs mit Abfall ist allgemein gültig im Abfallgesetz definiert: Vermeiden vor Verwerten vor Entsorgen. Voraussetzung ist die Einbindung dieses Aspekts in die Fertigungsplanung, durch Schaffen



eines Versorgungs- und Entsorgungskonzeptes, das die notwendigen Vorbereitungen zur Abfallvermeidung und -verwertung enthält. Abfallvermeidung kann durch gezielte Einwirkung auf zwei Planungsbereiche unterstützt werden: Abfallvermeidung durch – Vermeidung des Entstehens von Reststoffen (Primärmaßnahmen), – Schaffen von Stoffkreisläufen angefallener Reststoffe (Sekundärmaßnahmen).

R.3.3 Primärmaßnahmen der Abfallvermeidung Ersatz abfallproblematischer Einsatzstoffe (Beispiele) − Umstellung der CKW-Reinigung (Chlorkohlenwasserstoffe) auf wässrige Reinigungssysteme, − Asbestersatz in der Baustoffindustrie, − Ersatz cyanidischer Wirkbäder in der Oberflächenbehandlung, − Umstellung cadmium- und bleichromathaltiger Lacke auf organische Pigmente, − Ersatz von Quecksilber und Cadmium bei der Batterieherstellung. Umstellung des Fertigungsverfahrens und der Produkte (Beispiele) − Umstellung lösemittelhaltiger Lacke auf Wasserlacksysteme, − Erhöhung des Auftragwirkungsgrades, − Einsatz von NC-Bearbeitungsautomaten und CNC-Fertigungs-„poolcentern“ mit optimierter Materialausnutzung, − verringerter Materialeinsatz (Hausgeräte, Verpackung), − längere Produktlebensdauer.



R Umwelttechnik

Bild R-. Trennverfahren für Mischabfall.

R.3.4 Sekundärmaßnahmen der Abfallvermeidung Die Weiterverwertung von Reststoffen (Schaffung von Stoffkreisläufen) setzt in der Regel unvermischte Reststoffe voraus.

fehlende Kapazitäten zur Aufnahme der abgetrennten Fraktionen. Nachträgliche Sortierung des angefallenen Mischabfalls ist die ungünstigere Alternative der Abfallverwertung.

Sortierung anfallender Abfallgemische Das Sortieren des Mischabfalls dient der Auftrennung eines Stoffgemisches in Einzelfraktionen mit dem Ziel der weiteren stofflichen Nutzung. Die einzelnen Trennverfahren unterscheiden sich dabei weniger im Prinzip der Auftrennung als in der Reihenfolge der einzelnen Trennschritte. Bild R- zeigt den Aufbau eines Abfalltrennverfahrens. Die finanziellen Aufwendungen für Investition und Betrieb der vorhandenen Anlagen sind bislang schwer zu amortisieren. Weitere Probleme der Abfallsortierung entstehen durch

Getrennte Sammlung und Verwertung von Abfällen Die getrennte Erfassung der unvermischten Reststoffe ist Voraussetzung für ihre sinnvolle Verwertung. Besonders effizient ist eine Rückführung der Fertigungsreststoffe in denselben Prozess (Abfallvermeidung und Einsparung von Reststoffen). Recycling während des Produktgebrauchs wird vornehmlich im Maschinenbau prakti-

R. Abfallwirtschaft

ziert. Die Austauscherzeugnis-Fertigung setzt sich zusammen aus den Fertigungsschritten − − − − −

Demontage, Reinigung, Prüfung/Sortierung, Aufarbeitung und Wiedermontage.



Altstoffrecycling nach Produktgebrauch ist vor allem beim Schrottrecycling bekannt. So werden Kraftfahrzeuge in einer Hammermühle (Shredder) zerkleinert und anschließend einer Stofftrennung mit Hilfe von Magnetabscheidern, Windsichtern und anderen Dichtetrennanlagen unterzogen. Zurzeit wird allerdings nur der Metallanteil zurückgewonnen.

S Atomphysik

S.1 Atombau und Spektren

Ein Atom wird folgendermaßen gekennzeichnet:

Die Untersuchung von optischen Spektren liefert Informationen über den Aufbau von Atomen und Molekülen. Diese Teilchen können mit elektromagnetischer Strahlung in Wechselwirkung treten (Emission und Absorption).

A ZX

X A

Elementsymbol Massenzahl (Anzahl der Protonen und Neutronen; A = Z + N) Ordnungszahl (Anzahl der Protonen im Kern = Anzahl der Elektronen in der Hülle = Kernladungszahl; Z = A − N)

Z

S.2 Systematik des Atombaus S.2.1 Aufbau der Atome Ein Atom besteht aus dem Atomkern und der Atomhülle. Die Atomhülle besteht meist aus Elektronen und der Atomkern, sehr einfach gesagt, aus den Nukleonen: Protonen und Neutronen. In Tabelle S- sind die entsprechenden Größen zusammengestellt.

Beispiele sind 147 N; 238 92 U, Z kann auch weggelassen werden. Tabelle S- zeigt die Unterschiede verschiedener Kernarten (Nuklide).

Tabelle S-. Eigenschaften des Atomkerns und der Atomhülle. Atom

Atomkern

Atomhülle

Proton p 1,6021 ċ 10

Ladung q

C

−27

Ruhemasse

Radius

−19

# mA ; rA  0,5 3 q

Elektron e



−1,6021 ċ 10−19 C −27

1,67 ċ 10 kg (1836 mel ) rK  1,4 ċ 10−15

Neutron n 1,675 ċ 10 (1839 mel )  3

A

9,11 ċ 10−31 kg (mel )

kg

rK  1,4 ċ 10−15

 3

A

re =

μ0 e 2 4πme = 2,818 ċ 10−15 m; e = −1,6 ċ 10−19 C, me = 9,11 ċ 10−31 kg, μ 0 = 1,257 ċ 10−6 H/m, ε 0 = 8,85 ċ 10−12 F/m, c = 2,998 ċ 108 m/s =

mA Atommasse,  Dichte

in m; A Massenzahl (Nukleonenzahl) des Atomkerns

in m; A Massenzahl (Nukleonenzahl) des Atomkerns

e2 4πme ε 0 c 2



S Atomphysik

Es gelten folgende Zusammenhänge:

Tabelle S-. Isotope, Isobare und Isotone. isotopes Nuklid

isobares Nuklid

isotones Nuklid

Ordnungszahl Z (Protonenzahl; Zahl der Elektronen)

gleich

ungleich

ungleich

1u = 1(gmol)N A , wobei 23 −1 N A = 6,0221 ċ 10 mol

(S–)

Massenzahl A (Anzahl der Nukleonen: Protonen und Neutronen; A = Z + N)

ungleich

gleich

ungleich

1u = 112m 12 C = 1,660 ċ 10−27 kg .

(S–)

Neutronenzahl N (N = A − Z)

ungleich

Beispiele

234 U, 235

26

1 kg = 6,0221 ċ 10 u .

U, 238 U

ungleich

gleich

204 Pb,

39 K,

204

40

Hg

(S–)

Ca

Für die Massen mA eines Atoms (bzw. Moleküls) ergibt sich mA = Ar ċ u = Ar ċ 1,660 ċ 10−27 kg ; (S–) Ar relative Atommasse.

S.2.2 Atommasse und Anzahl der Atome Die Masse von Atomen und Molekülen wird in atomaren Masseneinheiten u gemessen. Die Definition lautet atomare Masseneinheit u = 112 der Masse des Kohlenstoffatoms 12 C.

Die Anzahl der Atome eines Körpers der Masse m lässt sich aus der Masse eines Atoms mA berechnen: N=

Ar m mA

m m m = = ; mA Ar ċ u Ar ċ 1,660 ċ 10−27 kg (S–) relative Atommasse eines Stoffes, Masse des Körpers, Masse eines Atoms.

Übersicht S-. Gesetze der Quantentheorie. Quantisierung der Energie E = hν ; h Planck’sches Wirkungsquantum ν Frequenz der Strahlung

Masse als Energieform E = mc 2 ; m Masse, c Lichtgeschwindigkeit Photon (Energiequant)

Masse

Impuls hν h hν h = pph = = c2 cλ c λ Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit. Die Ruhemasse ist . mph =

S. Systematik des Atombaus

Übersicht S-. (Fortsetzung). Compton-Effect Streuung eines Photons an einem Elektron Energieerhaltungssatz hν + m 0 c 2 = hν  + mc 2 Impulserhaltung – x-Richtung hν hν  = cos ϑ + m cos φ c c – y-Richtung hν  sin ϑ − m sin φ 0= c Verschiebung der Wellenlänge h (1 − cos ϑ) Δλ = λ − λ = m0 c Compton-Wellenlänge h = 2,426 ċ 10−12 m λc = m0 c Dualismus Teilchen – Welle Energiestrahlung hat Teilchen- und Wellencharakter. Wellenlängen sind in Tabelle L- angegeben. Unschärfe-Relation Ort x und Impuls p eines Teilchens können nicht beliebig genau ermittelt werden. ΔxΔp x W h





S Atomphysik

Übersicht S-. (Fortsetzung). Schrödinger-Gleichung Ein Teilchen entspricht einer Welle Ψ mit dem Wellenvektor k = p ħ und einer Kreisfrequenz ω: j

Ψ(x, t) = a e(jk x x−jωt) = a e ħ (p x x−E t) ;  E = ħω, p x = ħk x , j = −1 . Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Teilchens am Ort (x, y, z) im Volumen dV ist Ψ(x, y, z)2 dV . Bestimmung von Ψ durch die Schrödinger-Gleichung – zeitabhängig ∂ ħ2 Δ + V (r)V Ψ(r, t) = jħ Ψ(r, t) ; 2m ∂t V (r) potenzielle Energie, Δ Laplace-Operator – zeitunabhängig U−

U−

ħ2 Δ + V (r)V Ψ(r) = EΨ(r) 2m

c h ħ k m m0 p V (r)
Δx λ Ψ(x, t) Δ

Lichtgeschwindigkeit (c = 2,99792458 ċ 108 m s) Planck’sches Wirkungsquantum (h = 6,6261 ċ 10−34 J ċ s) h 2π Wellenzahl Masse Ruhemasse Impuls potenzielle Energie Geschwindigkeit Spaltbreite Wellenlänge Wellenfunktion ∂2 ∂2 ∂ Laplace-Operator 9Δ = ∂x 2 + ∂ y2 + ∂2 z2 :

S.3 Quantentheorie

S.4 Atomhülle

Für die Erklärung der Phänomene in der Mikrophysik werden die Erkenntnisse der Quantentheorie benötigt. Es sind dies (Übersicht S-):

S.4.1 Atommodelle

− Quantisierung der Energie, − Energiequant (Photon) hat eine Masse und einen Impuls, − Dualismus Teilchen – Welle (jedes Teilchen hat auch Wellencharakter, und jeder Welle kann ein Teilchen zugeordnet werden).

Zur Erklärung wurden folgende Modelle verwendet: 1. Rutherford Die positive Ladung und fast die gesamte Masse des Atoms ist in einem Atomkern (Durchmesser etwa −15 m) konzentriert. Er ist von einer Elektronenhülle umgeben (Durchmesser et-

S. Atomhülle



Übersicht S-. Wasserstoff-Atommodell. Bahnradius Kreisfrequenz

rn =

n 2 ħ 2 4πε 0 = n 2 ċ 5,29177 ċ 10−11 m e 2 m0 e 4 m0 4,13413 ċ 1016 −1 = s 2 3 3 (4πε 0 ) ħ n n3

ωn =

n =

Bahngeschwindigkeit

e2 2,18769 ċ 106 = m/s 2n h ε 0 n

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

rn 10−11 m

,

,

,

,

,

,

ωn 1016 s−1

,

,

,

,

,

,

n 106 m s

,

,

,

,

,

,

Bohr’scher Radius r 1 = 5,29177 ċ 10−11 m Gesamtenergie E = −

Z 2 e 4 m0 1 ċ 32π2 ε 20 ħ 2 n 2

Termschema:

wa −10 m). Die Elektronen kreisen dabei um den Atomkern wie Planeten um die Sonne. Die Zentrifugalkraft der Kreisbewegung ist gleich der Coulomb’schen Anziehungskraft zwischen den positiven Protonen des Atomkerns und den negativen Elektronen der Hülle. Dieses Modell kann aber den Atombau nicht erklären: Die um den Kern umlaufenden Elektronen stellen eine beschleunigte Ladung dar, die Energie abstrahlt. Damit verlieren die Elektronen Energie und müssten mit der Zeit in den Kern fallen.

2. Bohr’sche Postulate Die drei Bohr’schen Postulate lauten: . Elektronen können nur auf ganz bestimmten (diskreten) Bahnen umlaufen. . Die diskreten Bahnen werden durch die Quantelung des Bahndrehimpulses des Elektrons bestimmt. . Die Bewegung auf diesen Bahnen erfolgt strahlungslos. Der Übergang von einer Bahn zur anderen erfolgt sprunghaft unter Aussendung eines Strahlungsquants. Die Übergangsfrequenzen sind typisch für die Atomart.



S Atomphysik

Übersicht S-. (Fortsetzung). Wellenzahl

ν=

E 1 1 1 = = RH  2 − 2  λ hc n n

n < n

Frequenz

f =

c 1 1 = cRH  2 − 2  λ n n

RH Rydberg-Konstante



Serien des Emissionsspektrums n

n

Wellenlänge λ nm

Lymann-Serie (ultraviolett)



   

   

Balmer-Serie (sichtbar)



    

    

Paschen-Serie (infrarot)



   

   

Brackett-Serie (infrarot)



  

  

Pfundt-Serie (infrarot)



 

 

Mit diesen Postulaten können Bahngeschwindigkeit, Kreisfrequenz, Bahnradius und Energieniveaus der Elektronen berechnet werden (Übersicht S-). S.4.2 Wasserstoff-Atommodell Die Berechnungen aus dem Bohr’schen Atommodell sind für das Wasserstoffatom besonders einfach, weil nur ein Elektron den Kern umkreist. Die Ergebnisse sind in Übersicht S- zusammengestellt. S.4.3 Quantenzahlen Die Quantenzahlen gestatten, die umlaufenden Elektronen und die Eigenrotation des Kerns genau zu kennzeichnen. In Übersicht S- sind die

Quantenzahlen und ihre Beziehungen untereinander zusammengestellt. Für den Aufbau der Elektronenhülle sind folgende Quantenzahlen maßgebend: − − − −

Hauptquantenzahl n (beschreibt die Zahl der Kreisbahn), Bahndrehimpulsquantenzahl ℓ = 0,1, 2, . . ., n − 1, magnetische Quantenzahl m ℓ = , , , . . ., ℓ magnetische Quantenzahl des Elektronenspins ms = 12.

Folgende zwei Gesetzmäßigkeiten sind dabei zu beachten: . Elektronen nehmen die geringstmögliche Energie ein.

S. Atomhülle



Übersicht S-. (Fortsetzung).

c e h ħ m0 n RH rn n Z ε0 λ

Lichtgeschwindigkeit (c = 2,99792458 ċ 108 m s) Elementarladung (e = 1,6022 ċ 10−19 A ċ s) Planck’sches Wirkungsquantum (h = 6,6261 ċ 10−34 J ċ s) Planck’sches Drehimpulsquantum (ħ = h 2π = 1,0546 ċ 10−34 J ċ s) Ruhemasse des Elektrons (m 0 = 9,1094 ċ 10−31 kg) Hauptquantenzahl, Schalennummer Rydberg-Konstante (RH = 1,0968 ċ 107 m−1 ) Radius der n-ten Bahn Geschwindigkeit des Elektrons auf der n-ten Bahn Kernladungszahl elektrische Feldkonstante [ε 0 = 8,5419 ċ 10−12 As (Vm)] Wellenlänge

ν ωn

Wellenzahl (ν = 1 λ) Kreisfrequenz des Elektrons auf der n-ten Bahn





. Zwei Elektronen eines Atoms müssen sich in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden (Pauli-Prinzip). Für die Elektronenanordnung (ElektronenKonfiguration) gilt folgende Symbolik: (Hauptquantenzahl) ċ (Bahndrehimpuls)(Anzahl der Elektronen) .

Die maximal mögliche Anzahl z der Elektronen auf einer Schale beträgt z = 2n 2

(S–)

In Übersicht S- sind Elektronen-Konfiguration und das Energiediagramm zu sehen.



S Atomphysik

Übersicht S-. Quantenzahlen und ihre Beziehungen. Modell Bahn

Bahnmagnetismus

Quantenzahl Hauptquantenzahl n (Zahl der Kreisbahn) n = 1, , , . . ., maßgebend für die Energie E n

Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn

Bahndrehimpuls-Quantenzahl ℓ (auf Ellipsen bewegen sich Elektronen unterschiedlich schnell)

magnetische Quantenzahl m ℓ (räumliche Lage der Ebene der Elektronenbahn)

cos γ =

ℓ mℓ



mℓ ℓ(ℓ+1)

Bahndrehimpulsquantenzahl magnetische Quantenzahl (des Bahndrehimpulses)

Nur solche Einstellungen von l sind erlaubt, für die die Projektion in z-Richtung ein ganzzahliges Vielfaches von ħ beträgt.

S. Atomhülle

Übersicht S-. (Fortsetzung). Modell Spinmagnetismus

Quantenzahl

Elektron dreht sich um seine eigene Achse

ms s s

Kernspinmagnetismus

magnetische Quantenzahl (des Spins) Spinquantenzahl kann sich nicht parallel zur z-Richtung einstellen und präzediert wie l um die z-Achse

Atomkern dreht sich um seine eigene Achse

I Kernspinquantenzahl I kann ganz- und halbzahlige Werte annehmen m I magnetische Quantenzahl des Kernspins

Übersicht S-. Elektronen-Konfiguration und Energie-Termschema. n

l





mℓ



Bezeichnung

Anzahl Elektronen Z N

1 2

 s2





1 2 1 2

2

s  p6

 





 



  

 ,,−1 ,,,−1,−2

1 2 1 2 1 2

 s2  p6  d10

  



   

 ,,−1 ,,,−1,−2 ,,,,−1,−2,−3

1 2 1 2 1 2 1 2

 s2  p6  d10  f14

   





 ,,−1

ms





S Atomphysik

Übersicht S-. (Fortsetzung).

Übersicht S-. Röntgenstrahlen.

Energiediagramm der besetzten Elektronenschalen

Röntgenröhre

Röntgenspektren

S.4.4 Röntgenstrahlung Bei einer Röntgenröhre werden Elektronen aus einer beheizten Katode emittiert und durch Anlegen einer Spannung U 0 von etwa  kV bis  kV auf die Anode (Anti-Katode) beschleunigt (Übersicht S-). Die in das Material eindringenden Elektronen werden durch das Feld der positiv geladenen Atomkerne abgelenkt und abgebremst, wodurch eine Strahlung entsteht, die Röntgenbremsstrahlung genannt wird. Diese Bremsstrahlung besitzt ein kontinuierliches Spektrum mit der oberen Grenzfrequenz fmax , (Übersicht S-). Wenn die auftreffenden Elektronen Elektronen aus den inneren Schalen entfernen, dann füllen Elektronen aus den oberen Schalen die entstandenen Lücken auf, und es entsteht die charakteristische Röntgenstrahlung mit einem Linienspektrum (Übersicht S-). Die Bezeichnung der Strahlung erfolgt durch folgende zwei Größen:

S. Molekülspektren



Übersicht S-5. (Fortsetzung). Grenzfrequenz bzw. Grenzwellenlänge der Bremsstrahlung e U0 h ch 1,239842 ċ 10−6 V ċ m = = e U0 U0 Elementarladung Lichtgeschwindigkeit Grenzfrequenz Planck’sches Wirkungsquantum beschleunigende Spannung Grenzwellenlänge

fmax = λmin e c fmax h U0 λmin

Tabelle S-3. Ionisierungsenergien innerer Elektronen. Element

Ordnungszahl

EK keV

ELIII keV

Aluminium Kupfer Silber Wolfram Gold

13 29 47 74 79

1,560 8,979 25,514 69,525 80,725

0,073 0,931 3,351 12,207 11,919

. Schalenbezeichnung des Endzustands des Elektrons (K, L, M, . . .), . Schalenbezeichnung des Anfangzustandes (α, β, γ, . . .). Beide Spektren, die kontinuierliche Bremsstrahlung und das diskrete Linienspektrum, überlagern sich (Übersicht S-). Wenn die inneren Elektronen entfernt werden, werden die Atome ionisiert. Tabelle S- zeigt die Ionisierungsenergien für das Elektron der K- und L-Schale EK bzw. EL .

S.5 Molekülspektren Atome können kovalente Bindungen eingehen. Wird der Abstand r zwischen zwei Atomen A und B verringert, dann tritt eine Kraftwirkung FAB (r) auf. Diese kann, wie Bild S- am Beispiel des Moleküls H+2 zeigt, entweder bindend oder

Bild S-. Potenzialkurve eines bindenden und eines nicht bindenden Molekülorbitals.

abstoßend sein. Im Fall der Bindung zeigt die Potenzialkurve beim Gleichgewichtsabstand re ein Minimum, d. h., eine weitere Annäherung beider Atome führt zu einer abstoßenden Coulomb-Kraft. Das klassische Modell eines zweiatomigen Moleküls kann durch zwei Massen mA und mB beschrieben werden, die im Abstand re mit einer Feder verbunden sind. Ubersicht S- zeigt die Schwingungsmöglichkeiten für ein n-atomiges Molekül mit f Freiheitsgraden und als Beispiel die Schwingungsmöglichkeiten eines dreiatomigen Moleküls, das linear (z. B. CO2 ) bzw. nicht linear ist (z. B. H2 O). S.5.1 Rotations-Schwingungs-Spektren Die Schwingungs- und Rotationszustände sind gequantelt, d. h., das Molekül kann nur mit ganz bestimmten, mit der Schrödinger-Gleichung



S Atomphysik

Übersicht S-. Bewegungsmöglichkeiten und Schwingungen eines dreiatomigen Moleküls.

Übersicht S-. (Fortsetzung).

Bewegungsmöglichkeiten

lineares Molekül

nichtlineares Molekül

• Schwingung der Kerne gegeneinander (Schwerpunkt des Moleküls bewegt sich nicht)

CO2 (Kohlendioxid) fschw = 3 ċ 3 − 5 = 4

H2 O (Wasser) fschw = 3 ċ 3 − 6 = 3

Beispiel

3n − 5 lineares Molekül 3n − 6 nichtlineares Molekül • Rotation um den Schwerpunkt fschw = s

2 lineares Molekül 3 nichtlineares Molekül • Translation des Schwerpunktes ftrans = 3 . frot = s

berechenbaren Frequenzen schwingen. Werden Moleküle mit Infrarotstrahlung bestrahlt, so finden Schwingungs- und Rotationsübergänge gleichzeitig statt, die von den Auswahlregeln für die Schwingungsquantenzahl  und die Rotationsquantenzahl ℓ bestimmt wird. Bild S- zeigt das Infrarotspektrum von Chlorwasserstoff und Polystyrol.

S.5.2 Raman-Effekt Bei den Rotations-Schwingungs-Spektren ändert sich das Dipolmoment. Bei unpolaren Molekülen (z. B. O2 ) gibt es kein Dipolmoment und damit auch keine Schwingungen

Bild S-. Infrarotspektrum von Chlorwasserstoff (a) und Polystyrol (b).

S. Quanten-Hall-Effekt



Bild S-. b.

(IR-inaktiv). Durch Messung des gestreuten Lichtes (Raman-Effekt) können auch die nicht IR-aktiven Schwingungen untersucht werden.

S.6 Quanten-Hall-Effekt Durch Anlegen einer Spannung U an den Leiter (dreidimensionales Elektronengas) fließt ein Strom I in x-Richtung, wie Bild S- zeigt. Durch die magnetische Induktion B in z-Richtung entsteht senkrecht zum Strom I und zum Magnetfeld B eine Spannung, die Hall-Spannung: UH = R H I. R H wird analog zum Ohm’schen Gesetz (U = RI) als HallWiderstand bezeichnet, für den sich im klassischen Fall ergibt (Abschnitt M.., Bild M-): R H = Bz (nde) ; Bz n e d

(S–)

magnetische Induktion in z-Richtung, Anzahldichte der Ladungsträger, Elementarladung (e = 1,6022 ċ 10−19 A ċ s), Dicke des Plättchens.

Wird ein zweidimensionales Elektronengas (DEG) verwendet, wie dies bei einem MOSFET-Transistor unterhalb der SiO2 Schicht des Tores der Fall ist, dann ergeben sich die im Bild S- zusammengestellten Befunde. Es ist an der Abhängigkeit der Hall-Spannung UH von der magnetischen Induktion B zu sehen, dass Plateaus auftreten, bei denen der Hall-Widerstand H konstant wird (bzw. die Hall-Spannung UH null ist). Der Hall-Widerstand R H ist quantisiert, weil er nur folgende diskrete Werte annimmt: R H = H =

h e i

h 25 813 N Ω(i = 1, ,  . . .). ie 2 i (S–)

Planck’sches Wirkungsquantum (h = 6,6261 ċ 10−34 J ċ s), Elementarladung (e = 1,6022 ċ 10−19 A ċ s), ganze Zahl.

Weil der Hall-Widerstand R H sehr genau messbar (Genauigkeit 10−8 ) und unabhängig vom



S Atomphysik Bild S-. Quanten-Hall-Effekt. (a) zweidimensionales Elektronengas im MOSFET-Transistor, (b) Hall-Spannung UH in Abhängigkeit von der GateSpannung UG , (c) Abhängigkeit der Widerstände H und  von der Magnetfeldstärke B.

Material und dessen Reinheit ist, eignet er sich hervorragend als Widerstandsnormal. Zusätzlich ist der Hall-Widerstand mit der Lichtgeschwindigkeit c und der Sommerfeld’schen Feinstrukturkonstanten α verknüpft, und es gilt

R H (i = 1) = c α μ0

μ0 c ; 2α

(S–)

Vakuumlichtgeschwindigkeit (c = 2,99792458 ċ 108 ms), Sommerfeld’sche Feinstrukturkostante (α = 7,29735 ċ 10−3 ), magnetische Feldkonstante μ 0 = 4π ċ 107 (A ċ s)(V ċ m).

T Kernphysik

Im einfachen Kernmodell vereinigt der Atomkern den Hauptanteil der Masse eines Atoms; er besteht aus Protonen und Neutronen, die auch Nukleonen genannt werden. Die Nukleonen werden durch Kernkräfte kurzer Reichweite zusammengehalten.

Als Einheit für die Masse wird die atomare Masseneinheit u verwendet (Abschnitt S..). Die Beziehungen und Werte für einige Teilchenbzw. Nuklidmassen sind in Übersicht T- zusammengestellt.

Übersicht T-1. Beziehungen zwischen Teilchen- und Nuklidmassen. atomare Masseneinheit mu 1 1 12 ċ 10−3 kg/mol ma (12 C) = ċ = 1,6605 ċ 10−27 kg. 12 12 NA Für die relative Atommasse Ar bzw. Molekülmasse Mr gilt ma mm Ar = , Mr = . mu mu Für die Molmasse M (Masse eines Mols von Atomen bzw. Molekülen) gilt mu = 1u =

M = Ar NA mu = Ar ċ 1 g/mol,

M = Mr NA mu = Mr ċ 1g mol.

In der Kernphysik ist es üblich, die Masse über die Beziehung m = E c 2 als äquivalente Energie anzugeben. Dann ist mu = 1u = 931,49 MeV c 2 . (Häufig wird c 2 weggelassen). Ar M Mr mA mm mu NA

relative Atommasse (Ar = ma mu ), Molmasse (M = Ar NA mu bzw. Mr NA mu ), relative Molekülmasse (Mr = mm mu ), Atommasse, Molekülmasse, atomare Masseneinheit (mu = u) (u = 1,6605 ċ 10−27 kg = 931,49 MeV c 2 ) Avogadro-Konstante (Anzahl der Teilchen je mol) (NA = 6,0221 ċ 1023 mol−1 )

Teilchen bzw. Nuklid Elektron Proton Neutron 1 H 2 H 4 He 9 Be 12 C

Masse u −4

5,48580 ċ 10 1,00727647 1,008664967 1,007825037 2,014101787 4,00260325 9,0121825 12,00000000

Teilchen bzw. Nuklid

Masse u

14

14,003074008 16,9991306 26,9815413 29,9737717 29,9783098 163,929183 164,931712

N O 27 Al 30 Si 30 P 164 Dy 165 Dy 17



T Kernphysik

Bild T-. Tal der β-Stabilität.

T.1 Radioaktiver Zerfall T.1.1 Stabilität des Kerns Für die Stabilität der Atomkerne gilt folgende Formel: Z0 = A N Z Z0

A ; 1,98 + 0,015 A2 3

Massenzahl (A = N + Z), Neutronenzahl, Ordnungszahl (Zahl der Protonen bzw. Elektronen), Stabilitätslinie.

Im Bild T- sind die Linien gleicher Bindungsenergie EB je Nukleon (EB A) zu sehen. Man erhält eine Parabel, welche ein Tal der β-Stabilität beschreibt, das bei kleinen N,Z-Werten sehr stark abfällt (eng ist) und bei großen N,ZWerten sich öffnet. Die im linken Parabelast liegenden Nuklide wandeln sich durch β − -Zerfall (n  p + e− + ν e ), die rechts liegenden durch

β + -Zerfall (p  n + e+ + ν e ) um. Ein Schnitt durch das Tal der β-Stabilität für konstante Nukleonenzahl A zeigt Bild T- rechts unten. Im Bild T- rechts oben ist die Stabilitätslinie Z 0 aufgetragen. Man erkennt, dass zur Energieerzeugung folgende beiden Kernprozesse herangezogen werden können: – –

Kernspaltung (Energiegewinn etwa  MeV), Kernfusion (Kernverschmelzung: Energiegewinn etwa  MeV).

Besonders viele stabile Isotope (Nuklide mit gleicher Protonenzahl) gibt es bei den magischen Zahlen für Neutronen bzw. Protonen: , , , , , , . Insgesamt sind  stabile Nuklide bekannt, und zwar  g, g-Kerne  g, u-Kerne  u, g-Kerne  u, u-Kerne

Z gerade Z gerade Z ungerade Z ungerade

N N N N

gerade ungerade gerade ungerade.

T. Radioaktiver Zerfall



Zerfallsart

Tabelle T-. Radioaktive Zerfallsreaktionen.

β − ( e− ) Elektronen

α-Zerfall α

A ZK

A ZK

90 38 Sr

β-Zerfall β + ( e+ ) Positronen

1 1p

0 − −1 β

\ \

1n 0

\ 42 α +

0 − −1 β

\

+

+

0 − −1 β

−ma (K )

206 Pb 82

A  Z+1 K

+ ν¯e

+

90 39 Y + ν¯e

A  Z−1 K

+ νe

\ 01 β + + 10 n + ν e \

0 + 1β

A 0 Z K + −1 e

+

\

T = 70,6 s

A  Z−1 K

+ νe

\ 10 n + ν e

Hülle K-Schale \

ΔE = ma (K) − ma (K ) c2 −2m e 14

O

14 7 N + νe

1 0 − 1 p(Kern) + −1 e

40 0 19 K + −1 e

ΔE = ma (K) − ma (K ) c2

1 p + ν¯ e 1

\ 01 β + +

14 8O

Energieverteilung

ΔE = ma (K) − ma (α) c2

A−4  Z−2 K

\ 42 α +

210 Po 84

A ZK

Elektroneneinfang (EC)

ΔE-Wert Zerfallsschema

Zerfallsgleichung

40 18 Ar + ν e

ΔE = ma (K) − ma (K ) c2

Bemerkungen

Dieser Zerfall tritt nur bei Ordnungszahlen größer als  auf.

Nuklide mit relativem Neutronenüberschuss (unterhalb der Linie der β-Stabilität).

Dieser Prozeß kommt natürlich aufgrund der kurzen Halbwertszeit nicht vor (oberhalb der Linie der β-Stabilität).

Der Zerfall tritt immer auf bei ma (K)  ma (K ).



T Kernphysik

Isomere Umwandlung (I. U.)

γ-Zerfall elektromagnetische Strahlung

Tabelle T-. (Fortsetzung.)

νe

A  ZK

\

A ZK + γ

137 55 Cs

\

0 −1 β

Am  Z K

\

A ZK

Neutrino;

+

137 56 Ba

+γ

ΔE = c2 ma (K)

ma (K ) −

Begleiterscheinung der anderen Zerfallsarten.

verzögerte Abgabe von γ-Quanten.

ν¯e

Anti-Neutrino

T.1.2 Zerfall In Tabelle T- sind die Zerfallsarten und die Zerfallsreaktionen zusammengestellt, in Übersicht T- die wichtigsten Gleichungen. Tabelle T- sind die Werte der natürlichen Radioaktivität einiger Stoffe aus der Natur zu entnehmen. Liegen mehrere Radionuklide vor, so muss man zwischen unabhängigem (genetisch nicht verknüpftem) und abhängigem (genetisch verknüpftem oder Mutter-Tochter-System) unterscheiden. Die Zerfallskurven und die Einzelbzw. Gesamtaktivitäten sind in Tabelle T- zusammengestellt. Bild T- zeigt die drei natürlich vorkommenden Zerfallsreihen. Radioaktive Stoffe werden, wie Tabelle T- zeigt, vor allem in der Medizin und in der Chemie eingesetzt.

Tabelle T-. Natürliche Radioaktivität. Gegenstand

Radionuklid

Grundwasser

3

H

40 K 238 U

Oberflächengewässer Trinkwasser

Milch Rindfleisch Hering

3H 40

K 238 U 3 H 40 K 238 U 40

K

Konzentration mBq l  bis   bis   bis   bis   bis  bis zu   bis   ,  Bq kg  Bq kg  Bq kg

T. Radioaktiver Zerfall

Übersicht T-. Radioaktiver Zerfall. Radioaktive Zerfallskonstante l ambda beschreibt das Verhältnis der im Moment zerfallenden Kerne (− dN dt) zur Gesamtzahl vorhandener instabiler Kerne N: λ=

− dN dt N

;

Aktivität A (Anzahl der Zerfälle je Zeiteinheit): A=

dN ln 2 ċ N m a NA = λN = in Bq ; =λ dt T1 2 M

Zerfallsgesetz (Integration der Formel für die Aktivität): ln 2 − t N0 T N = N 0 e−λt = N 0 e 1 2 = t T ; 2 12 spezifische Aktivität α (Aktivität A bezogen auf die Masse m): α=

Aktivität A in Bq g ; Masse m

Halbwertszeit T1 2 (Zeit, in der die Hälfte aller Kerne zerfallen ist) ln 2 0,69315 T1 2 = = ; λ λ mittlere Lebensdauer τ T1 2 1 T1 2 τ= = = . λ ln 2 0,69315 A A0 ma M N N0

Aktivität zur Zeit t Aktivität am Beginn (t = 0) Atommasse Molmasse Anzahl der zerfallsfähigen Kerne Anzahl der Kerne zu Beginn

NA dN dt T1 2 t α λ

Avogadro-Konstante (NA = 6,0221367 ċ 1023 mol−1 ) Anzahl Zerfälle je Zeiteinheit Halbwertszeit Zeit spezifische Aktivität Zerfallskonstante



abhängiger Zerfall, genetisch verknüpft

unabhängiger Zerfall, genetisch nicht verknüpft

allgemein a \ b \ c \ ..., z

c stabiler Kern Mutter-TochterSystem

a \ b \ c

Aa = λ a N a Ab = λ b N a Gesamtaktivität

a \ c b \ d (c, d stabile Kerne)

dNb = − λ b Nb + λ a Na dt h h Zerfall Nachbildung von b aus a von b

Ta Aa,o ln 2 Tt − ln 2 Tt b  a − e e Ta − Tb

Ab =

im Gleichgewicht

(kann nach einer gewissen Zeit vernachlässigt werden)

I − ln 2 T1 − T1 t L Ta a b Aa 1 − e K N Ta − Tb

Tb Aa = 1− Ab Ta

Ab =

Ta , Tb Halbwertszeit von Kern a bzw. b Gleichgewichtseinstellung

λb Aa,o ( e−λaċt − e−λbċt ) λb − λa

Ab =

Na = Na,o e−λaċt

Ab =

i

AG = b A i

n

allgemein

AG = Aa + Ab

Aktivitätsgleichung

Zerfallsschema

Tabelle T-. Radioaktiver Zerfall mehrerer Radionuklide. Zerfallskurven

b

− ln 2 T1

Nachbildungsgleichung von b Ab = Aa 1 − e

a Zerfallskurve von a b Zerfallskurve von b c Gesamtaktivität d Ab Aktivität von b , wenn anfänglich nur a -Aktivität vorliegt Aa = Ab

Ta u Tb

a Zerfallskurve von a b Zerfallskurve von b c Gesamtaktivität d Ab Aktivität von b , wenn anfänglich nur a -Aktivität vorliegt

Ta < Tb

a Zerfallskurve von a b Zerfallskurve von b c Gesamtaktivität



 T Kernphysik

T. Radioaktiver Zerfall

Bild T-. Natürliche Zerfallsreihen.





T Kernphysik

Bild T-. Dosisgrößen der Radioaktivität.

T. Radioaktiver Zerfall



Tabelle T-. Anwendungsgebiete radioaktiver Nuklide. Bereiche

Anwendungsfelder

Bereiche

Anwendungsfelder

umschlossene Strahlungsquellen

offene Strahlungsquellen

Medizin Strahlenchemie

Medizin

chemische Analytik

Strahlentherapie Sterilisierung medizinischer Produkte (z. B. Einwegspritzen); Konservierung von Nahrungsmitteln; Abwasserbehandlung Röntgenfluoreszenz-Analyse; Elektroneneinfangdetektor zum Spurennachweis halogenierter Kohlenwasserstoffe

Durchstrahl- und RückstrahlVerfahren mit β- und γ-Quellen (z. B. Messung der Füllhöhe, der Dichte und der Dicke) EnergieUmwandlung der Zerfallsenergie in umwandlung Wärme; weitere Umwandlung der Wärme (Seebeck-Effekt) in elektrische Energie; Radionuklid-Batterien

chemische Analytik Ökotoxikologie

Messtechnik

Bild T-. Zusammenhänge im Strahlenschutz.

Prozessanalyse

Verschleißmessungen

Organ-Funktionsdiagnostik (Leberund Nierendiagnostik); Lokalisationsdiagnostik (Anreicherung im Gewebe); Szintigraphen Bestimmung des Schilddrüsenhormons Bestimmung der Anreicherung von Umweltchemikalien in Organen und Geweben von Tieren durch radioaktive Markierung quantitative Verfolgung des StoffTransports in verfahrenstechnischen Anlagen durch Zusatz radioaktiver Indikatoren Abriebmessung von 10−3 μm bis 10−4 μm



T Kernphysik

T.2 Dosisgrößen Bild T- zeigt die Dosisgrößen, deren Einteilung und Zusammenhänge. Man unterscheidet grob zwischen – – –

Ionendosis I (erzeugte Ladung dQ je Masseneinheit dm: I = dQ dm), Energiedosis D (absorbierter Energiebetrag dE je Masseneinheit dm: D = dE dm), Äquivalentdosis H (Beurteilung der biologischen Wirkung einer Strahlung durch den Strahlungswichtungsfaktor WR : H = DWR ).

T.3.3 Biologische Wirkung der Strahlung Durch Ionisation und Anregung können sich chemisch sehr aktive Molekülbruchstücke (Radikale) bilden, die die chemischen Reaktionen stark beeinflussen. Besonders schwerwiegend wirken sich Veränderung der Erbanlagen der Zellen aus, insbesondere bei Keimzellen oder während des frühen Wachstums eines Organismus. Deshalb sind Gewebe mit hohen Zellteilungsraten (z. B. Knochenmark und Haut) stärker gefährdet als Zellen, die sich weniger häufig teilen (z. B. Nerven, Bindegewebe und Muskeln). Hinsichtlich der Wirkung der Schädigung unterscheidet man

T.3 Strahlenschutz

–

In vielen wissenschaftlichen und technischen Bereichen wird mit Substanzen und Apparaturen gearbeitet, die direkt oder indirekt ionisierende Strahlung emittieren. Bild T- zeigt die Zusammenhänge.

–

T.3.1 Wechselwirkung von Strahlung mit Materie (Schwächung) Durch die Prozesse der Wechselwirkung der verschiedenen Strahlungsarten mit der Materie wird die Flussdichte der Strahlung und deren Energie gemindert. Die Abhängigkeit der Flussdichte von der Schichtdicke des Absorbermaterials wird Absorptionskurve genannt. Für die einzelnen Strahlungsarten sind die Wechselwirkungsprozesse, die Energiebilanz und die Absorptionskurve in Tabelle T- zusammengestellt. Tabelle T- zeigt die Massen-Reichweiten der einzelnen Strahlungsarten. Die maximale Reichweite ist die zur vollständigen Absorption notwendige Flächenmasse. T.3.2 Dosismessverfahren Tabelle T- zeigt die Dosismessverfahren.

somatische Strahlenschäden (Schäden in Körperzellen), genetische Strahlenschäden (Schäden am Erbgut).

Tabelle T- zeigt die somatischen Strahlenwirkungen. Die natürliche und die zivilisatorische Strahlenbelastung der deutschen Bevölkerung geht aus Übersicht T- hervor. T.3.4 Schutz vor Strahlenbelastung In Tabelle T- sind die in der Strahlenschutzverordnung festgelegten Dosisgrenzwerte zusammengestellt, und in Tabelle T- ist ein Beispiel zur Berechnung der Strahlenbelastung aufgeführt. In Übersicht T- ist die Gleichung für die Äquivalentdosisleistung hinter einer Abschirmung zu sehen. Die Werte für μ und B sind den entsprechenden Grafiken zu entnehmen. Zur Beurteilung der Schädlichkeit (Toxizität) von Radionukliden ist außer der physikalischen auch die biologische Halbwertszeit wichtig. Sie gibt die Zeit an, in der eine im Körper vorhandene Aktivität durch Ausscheidung auf die Hälfte vermindert wurde. Tabelle T- zeigt die Toxizität einiger Nuklide in den Toxizitätsklassen  bis .

T. Strahlenschutz



Tabelle T-. Verhalten der verschiedenen Strahlungsarten. Strahlenart α

Wechselwirkungsprozesse

Energiebilanz

Absorptionskurve

EB

Rm Rex

mittlere Reichweite extrapolierte Reichweite

Rm Rex

mittlere Reichweite extrapolierte Reichweite

μm

Massenabsorptionskoeffizient (μ m = μ  in cm2 /mg) Flächenmasse in mg/cm2 (d = x) Dichte

Bindungsenergie des Elektrons

E α = E 0 − E e − EB

direkt ionisierende Strahlung

ES = EM − EN

Protonen p

Ep = E 0 − E e − EB ES = EM − EN

Elektronen e β−, β+ E β = E 0 − (EK −EM ) ES = EL − EK

E β = E 0 − EB − E e

E β = E 0 − EBrems

d

E γ = me c 2





T Kernphysik

Tabelle T-. (Fortsetzung.) Strahlenart γ

Wechselwirkungsprozesse

Energiebilanz

Absorptionskurve

E e = E γ − EB

ES = EL − EK

E e = E γ − E γ

indirekt ionisierende Strahlung

E γ =

Eγ

1 + Eγ q 1 − cos φ q= m e c2

E e = E γ − 2m e c 2

ERöntgen Neutronen n

En = E 0 − ER ER = En cos2 φ für Protonen

Φ = Φ 0 e−μx μ = μ Photo + μ c + μ Paar

T. Strahlenschutz

Tabelle T-. Wechselwirkungen der verschiedenen Strahlungsarten. Strahlenart α

Energie- und Materialabhängigkeit der Wechselwirkungprozesse

direkt ionisierende Strahlung

Protonen p

Elektronen e β+, β−

β-Strahler 0,05 MeV < Emax < 5 MeV Emax = " 2 1,92 Rmax + 0,22Rmax Rmax = maximale Reichweite in g/cm2 Emax β-MaximalEnergie in MeV dE  = KZ 2 (E + m e c 2 ) dx Str Energieverlust durch Bremsstrahlung p = 0,33 ċ 10−3 ZEmax p Anteil der β-Energie, der in Bremsstrahlung umgewandelt wird −

Emax in MeV





T Kernphysik

Tabelle T-. (Fortsetzung.) Strahlenart

Energie- und Materialabhängigkeit der Wechselwirkungprozesse

γ μ Foto 

Z4 E γ3

indirekt ionisierende Strahlung

μ C = μ C Absorption + μ C Streuung  μC  Eγ μ Paar  Z ln E γ

μ Rayleigh im Bereich < 10 keV wichtig

Neutronen n

Bemerkungen

Energieabhängigkeit

Messbereich

Messprinzip

Personendosimetrie: Auswertung durch amtliche Messstellen in vorgegebenen Zeiträumen; universell einsetzbar

Personendosimeter zur Bestimmung der Personendosis; schnelle und genaue Information

Ablesung sofort und jederzeit möglich; Warnmöglichkeiten bei Dosisüberschreitung; auch als Personendosimeter

, mGy bis  kGy Belichtungszeit: μs bis mehrere Monate bestrahlte Fläche:  μm2 bis  m2

Proportionalzählrohr 1 < Ag < 104 (Geiger-Müller-Zählrohr)

, μGy bis 103 Gy , μGy h−1 bis 106 μGy h−1 je nach Gasvolumen  mm3 bis  dm3

Ionisationskammer Gasverstärkung Ag = 1

Tabelle T-. Verfahren zur Dosismessung.

Personendosimetrie

CdSO4 (Mn): 10−5 C kg−1 bis  C kg−1 CaF2 : 10−6 C kg−1 bis , C kg−1 (Photonen)

10−8 C kg−1 bis  C kg−1 (Photonen)

Personendosimetrie: Messwertspeicherung, daher beliebig oft auswertbar

Thermolumineszenz

Radiofotolumineszenz

T. Strahlenschutz 



T Kernphysik

Tabelle T-. Strahlenwirkungen bei kurzzeitiger Ganzkörperbestrahlung mit γ-Strahlung. Dosis

. Woche

. Woche

Schwellendosis , Sv

keine subjektiven Symptome, Absinken der Anzahl von Lymphozyten im Verlauf von zwei Tagen

Blutbild wird rasch wieder normal.

. Woche

. Woche

subletale Dosis  Sv

Blutbild wird rasch wieder normal.

keine deutlichen subjektiven Symptome.

Unwohlsein, Mattigkeit, Appetitmangel; Haarausfall, wunder Rachen.

Spermienproduktion lässt vorübergehend nach. Kräfteverfall, Erholung wahrscheinlich.

mittlere letale Dosis Sv

am ersten Tag Erbrechen und Übelkeit, Absinken der Anzahl der Lymphozyten auf /mm3 innerhalb von zwei Tagen

keine deutlichen Symptome

Unwohlsein, Mattigkeit, Appetitlosigkeit; Haarausfall, Entzündungen im Rachenraum und Dünndarm

längere bis lebenslange Sterilität bei Männern; Kräfteverfall, % Todesfälle

letale Dosis Sv

nach  bis  h Erbrechen und Übelkeit. Nach zwei Tagen keine Lymphozyten mehr.

Mattigkeit, Appetitlosigkeit, Entzündungen im Mund- und Rachenraum, innere Blutungen, hohes Fieber.

Übersicht T-. Strahlenbelastung der Menschen in Deutschland.

T. Strahlenschutz 



T Kernphysik

Tabelle T-. Grenzwerte der Strahlendosis. Körperbereich

allgemeines Staatsgebiet, natürliche Strahlenbelastung

außerbetrieblicher Überwachungsbereich

betrieblicher Überwachungsbereich

Kontrollbereich (Aufenthalt  h Woche)

Sperrbereich

, mSv/a

, mSv/a

 mSv/a

 mSv/a

 mSv/h

Hände, Unterarme, Füße, Knöchel

, mSv/a

 mSv/a

 mSv/a

Haut, Knochen, Schilddrüse

,mSv/a

 mSv/a

 mSv/a

andere Organe

, mSv/a

 mSv/a

 mSv/a

Ganzkörper, Knochenmark, Gonaden, Uterus

Strahlenschutzbereiche, Dosisgrenzwerte an den Bereichsgrenzen

Überwachungsmaßnahmen gemäß Strahlenschutzverordnung Messung der Ortsdosis und Ortsdosisleistung

•

Kontaminationsüberwachung

•

•

•

•

•

•

ärztliche Überwachung

•

•

Messung der Körperdosis bzw. Personendosis

•

•

Grenzwerte der Körperdosen für beruflich strahlenexponierte Personen Körperbereich

Ganzkörper, Knochenmark, Gonaden, Uterus

beruflich strahlenexponierte Personen der Kategorie A mSv/a

beruflich strahlenexponierte Personen der Kategorie B mSv/a





Hände, Unterarme, Füße, Unterschenkel, Knöchel





Knochen, Schilddrüse





andere Organe





T. Strahlenschutz



Übersicht T-. Absorption radioaktiver Strahlung. A H˙ = ΓH 2 e −μx B(x, E) ; r h OPP PQ P P R OPP P P P Q P P P P PR Dosis ohne Abschirmung

B x μx A r ΓH μ

Schwä- Aufbauchungs- faktor faktor

Dosisaufbaufaktor Weglänge Relaxationslänge Aktivität der Quelle Abstand von der Quelle Dosiskonstante Schwächungskoeffizient

Radionuklid

Dosiskonstante ΓH Sv m2 h−1 Bq−1

24

4,72 ċ 10−13 3,36 ċ 10−13 5,45 ċ 10−14 7,70 ċ 10−14 2,14 ċ 10−13

Na Co 131 I 137 Cs 226 Ra 60



T Kernphysik

Tabelle T-. Beispiel zur Strahlenbelastung. radioaktives Präparat: 137 Cs Dosiskonstante: , μSv h−2 m2 MBq−1 Aktivität:  MBq

Abstand r m

Äquivalentdosisleistung H μSv/h

direktes Greifen des radioaktiven Präparats, Armlänge , m

, ,

7,7 ċ 103 Finger , Körper

Verwendung einer Zange zum Greifen (, m)

, ,

, Finger , Körper

,

,

,

, μ = 1,2 cm−1 ; B = 2

Abschirmung  cm Blei

Tabelle T-. Toxizität von Radionukliden. Radiotoxizitätsklasse

Nuklid

 Freigrenze , kBq

210

 Freigrenze  kBq

137

Halbwertszeit Tphys

90

, a  a  d 1,63 ċ 105 a

 a  d  d  d

Knochen Knochen Milz Knochen

22

, a , a  d , d

 d  d  d  d

gesamter Körper Muskel Knochen Schilddrüse

 a  h , d , a

 a  d  d  d

Fett gesamter Körper Nieren Leber

 d  a  d

gesamter Körper Knochen Nieren

14

 Freigrenze  kBq

C Na 105 Rh 109 Cd

 Freigrenze , MBq

H Sr 238 U

34

3

, a  min 4,5 ċ 109 a

85

T.4 Kernreaktionen T.4.1 Energetik Eine Kernreaktion kann folgendermaßen geschrieben werden: A

+

a

=

B

oder A (a, b) B .

+

kritisches Organ

Sr Pb 210 Po 233 U Na Cs 144 Ce 131 I

Target Projektil Produktkern

Halbwertszeit Tbiol

b

Produktteilchen

+

ΔE

Energiedifferenz

Die bei der Kernreaktion freiwerdende Energie ΔE (freiwerdend bzw. exoergisch oder benötigt bzw. endoergisch) berechnet sich aus der Massendifferenz des Ausgangszustandes (A+a) und des Endzustandes (B + b): ΔE = [ma (A) + ma (a)]− [ma (B) + ma (b)] c 2 . Übersicht T- zeigt das Energiediagramm einer Kernreaktion und eine mögliche Spaltkette von 235 U. Es ist ersichtlich, dass aus dem Target und

T. Kernreaktionen

dem Projektil (A + a) zunächst ein sehr kurzlebiger Compoundkern (<10−16 s) entsteht, der in den neuen Zustand (B + b) zerfällt. Tabelle T- zeigt die möglichen Kernreaktionen. Es ist darauf hinzuweisen, dass verschiedene Spaltketten möglich sind. Bild T- zeigt die Häufigkeit der Spaltprodukte für 235 U. Es ist zu erkennen, dass bevorzugt eine asymmetrische Spaltung auftritt, d. h., das Atom spaltet sich in einen kleineren (Massenzahlen  bis ) und einen größeren (Massenzahlen  bis ) Kern auf.

Übersicht T-. Reaktionen der Kernspaltung. a) Energiediagramm

b) Verlauf einer Kernspaltung



Die bei der Spaltung freiwerdende Energie ΔE kann aus der Kurve rechts oben in Bild T- ermittelt werden. Sie beträgt für 235 U , MeV je Nukleon, d. h.  MeV je Spaltung. Bild T- zeigt die Verteilung der Spaltenergie. Aus den % kinetischer Energie kann durch Umwandlung in Wärme mittels einer Dampfturbine elektrische Energie erzeugt werden (Kernenergie).



T Kernphysik

Übersicht T-. (Fortsetzung.) c) Spaltkette von

235

U

Tabelle T-. Arten von Kernreaktionen. Bezeichnung

Beschreibung

Austauschreaktion

Ein Teilchen gelangt in den Kern, ein anderes wird dafür emittiert. (p, n); (d, p); (α, p)

Einfangsreaktion

Das einfallende Teilchen verbleibt im Kern. Die Anregungsenergie wird durch Emission von γQuanten frei, (n, γ).

elastische Streuung

Das einfallende Teilchen wird, ohne den Kern anzuregen, wieder emittiert. (n, n) Das Teilchen gibt einen Teil seiner Energie als Anregungsenergie an den Kern. (n, n )

inelastische Streuung

inelastische Stöße

Teilchen werden aus dem Kern durch energiereiche Teilchen herausgeschlagen. (n, n); (d, n)

Kernspaltung

Der Kern zerfällt beim Beschuss in zwei oder mehrere Bruchstücke. (n, f); (γ, f)

T.4.2 Wirkungsquerschnitt Der Wirkungsquerschnitt σ gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Kernreaktion stattfindet. Wie Übersicht T- zeigt, sind die Atomkerne kleine Zielscheiben mit bestimmter Fläche, die mit Projektilen a beschossen werden. Eine Kernreaktion wird immer dann ablaufen, wenn ein Projektil die Zielscheibe trifft. Die Einheit des Wirkungsquerschnitts ist das barn ( barn = 10−28 m2 ) und entspricht etwa der Kernquerschnittsfläche. Jedem Reaktionstyp eines bestimmten Kernes A mit einem Projektil (z. B. Neutronen n) muss ein Wirkungsquerschnitt zugeordnet werden. Der Gesamt-Wirkungsquerschnitt σiA ergibt sich durch Addition der partiellen Wirkungsquerschnitte: σiA = σ(n,n)A + σ(n,γ)A + σ(n,n)A + σ(n,α) + . . .

Bild T-. Häufigkeit der Zerfallsprodukte bei der Spaltung von 235 U.

T. Elementarteilchen

Übersicht T-. Wirkungsquerschnitt.

Übersicht T-. Mögliche Fusionsreaktionen.

Trefferzahl und Wirkungsquerschnitt

Deuterium-Zyklus

Trefferzahl

1 1p 1 1D 3 2 He

Zeit

dN dt

= =

Projektilteilchen a Wahrscheinlichkeit ċ des Treffers Fläche ċ Zeit

Φ

ċ NAT σ.

+ 11 p + +

1 1p 3 2 He

\ 21 D + e+ + νe

(langsam)

\ 32 He + γ

(rasch)

\ 42 He + 2 11 p

(rasch)



Bruttoreaktion 411 p \ 42 He + 2 e− + 2ν e + ΔE Kohlenstoffzyklus 12 6C + 13 6C + 14 7N + 15 7N +

1 1p 1 1p 1 1p 1 1p

\ \ \ \

13 13 + 7N \ 6C + e + νe 14 7N + γ 15 15 + 8O \ 7 N + e + νe 12 4 6 C + 2H

Bruttoreaktion 411 p \ 42 He + 2 e− + 2ν e + ΔE Kernreaktionen bei der Bestrahlung von 27 13 Al mit Neutronen

NAT dN dt σ Φ

Anzahl der Kerne A im Target Trefferanzahl je Zeit Wirkungsquerschnitt Projektilflussdichte

T.5 Kernfusion Fusionsreaktionen, bei denen eine Kernverschmelzung stattfindet, können zu einem Energiegewinn führen (z. B. Fusion von Wasserstoff zu Helium, wie es in der Sonne stattfindet). In Übersicht T- sind der Deuterium- und der Kohlenstoff-Stickstoff-Zyklus mit den Reaktionsgleichungen zusammengestellt, ferner

2 1D 2 1D 2 1D 2 1D 1 1p

+ 31 T

\ 42 He

+ 10 n

+ 17,61 MeV

+ 21 D

\ 32 He

+ 10 n

+ 3,27 MeV

1 1p 1 1p

+ 4,03 MeV

+ + +

2 1D 3 2 He 11 5 B

\ \ \

3 1T 4 2 He 3 42 He

+ +

+ 18,35 MeV + 8,7 MeV

die Fusionsreaktionen, die für die technische Nutzung in Frage kommen konnten, und die Abhängigkeit des Wirkungsquerschnitts von der Deuteronenenergie. Die Fusion ist nur möglich, wenn zwei Voraussetzungen gegeben sind: . Temperatur T 108 K. . Einschlussparameter (Anzahl der Teilchen je Kubikzentimeter, multipliziert mit der Einschlusszeit t) von etwa 1014 scm3 . Bild T- zeigt die derzeitigen Versuche zur Fusion.

T.6 Elementarteilchen T.6.1 Fundamentale Wechselwirkungen Es gibt vier fundamentale Wechselwirkungen, die durch bestimmte Austauschteilchen beschrieben werden (Tabelle T-):



T Kernphysik

Bild T-. Energieausbeute bei der Kernspaltung.

. starke Kernkraft, welche die Kernteile zusammenhält, deren Teilchen die Hadronen sind, . die schwache Kernkraft, die für die Radioaktivität zuständig ist mit den intermediären Vektorbosonen (Weakonen) als Austauschteilchen.

T.6.2 Erhaltungssätze In Tabelle T- sind die für die Elementarteilchen wichtigen Erhaltungssätze zusammengestellt. T.6.3 Einteilung

Bild T-. Temperatur und Einschlussparameter einiger Kernfusionsprojekte.

. die Kräfte zwischen den materiellen Körpern, denen das Graviton zugeordnet ist, . die Kräfte zwischen Ladungen, die vom Photon vermittelt werden,

Bild T- zeigt die Einteilung der Elementarteilchen. Zu jedem Teilchen existiert ein Antiteilchen mit entgegengesetzter Ladung und entgegengesetzten Werten aller ladungsartigen Quantenzahlen (z. B. B, S, C, I3 ). Wenn beide zusammentreffen, dann lösen sie sich auf, und es entsteht Strahlung. Die kleinsten Elementarteilchen sind die Quarks. Sie haben sechs Unterscheidungsmerkmale (up, down, charm, strange, top, bottom).

T. Elementarteilchen



Tabelle T-. Vier fundamentale Wechselwirkungen. Gravitation

elektromagnetische Wechselwirkung

starke Wechselwirkung

schwache Wechselwirkung

Reichweite

0

0

10−15 m bis 10−16 m

ll 10−16 m

Beispiel

Kräfte zwischen Himmelskörpern

Kräfte zwischen Ladungen, z. B. Atom

Zusammenhalt der Atomkerne

Betazerfall der Atomkerne

Stärke (relative)

10−41

10−2



10−14

betroffene Teilchen

alle

geladene Teilchen

Hadronen

Hadronen und Leptonen

Austauschteilchen

Graviton

Photon

Hadronen Gluon

Intermediäre Vektorbosonen

Masse





,

GeV c2 π+ , π− , π 0

mW = 82 GeV c 2 mZ = 93 GeV c 2 W+ , W− , Z0

Q

+

+

+

+

Baryonenzahl B

+

+

+

+

Leptonenzahl L

+

+

+

+

Spin

J

+

+

+

+

Seltsamkeit

S

−

+

+

−

Isospin

I

−

−

+

−

I3

−

+

+

−

Feynmandiagramm

Erhaltung Ladung

Jede dieser Varianten kommt in drei Farben vor (dies sind keine sichtbaren Farben, sondern nur Bezeichnungen). So besteht beispielsweise ein Proton oder ein Neutron aus drei Quarks, eines von jeder Farbe (weitere Quantenzahlen sind in Tabelle T- zu finden). Bei den Elementarteilchen unterscheidet man zwischen Teilchen mit schwacher Wechselwirkung (Leptonen) und solchen mit starker

Wechselwirkung (Hadronen). Zu den Hadronen zählen die Baryonen (Spin J halbzahlig) und die Mesonen (Spin J ganzzahlig). Die Baryonen zerfallen stets in Nukleonen (Protonen oder Neutronen). Baryonen können, wie bereits in Tabelle T- bei den Erhaltungssätzen aufgestellt, weder erzeugt werden noch verschwinden. Die Mesonen zerfallen in Photonen, Elektronen und Neutrinos.



T Kernphysik

Tabelle T-. Erhaltungssätze bei Elementarteilchen. Erhaltungssatz

Beschreibung

Beispiel

Elektrische Ladung Q

Die elektrische Ladung eines abgeschlossenen Systems bleibt erhalten.

π− \ μ − + ν¯μ Q: −1 = −1 + 0 Das Pion π− und das Muon μ − müssen dieselbe Ladung haben, da Neutrinos ν¯μ elektrisch neutral sind.

Leptonenzahl L

Insgesamt gibt es sechs Leptonen (Tabelle T-) mit dem Spin   und einer elektromagnetisch schwachen Wechselwirkung. Die Leptonenzahl L bleibt bei einer Reaktion erhalten.

μ + \ e+ + ν¯μ + ν e L: −1 = (−1) + (−1) + (+1)

Baryonenzahl B

Baryonen (Spin  ) zerfallen in ein Proton. Die Baryonenzahl bleibt erhalten.

p + p \ p + n + π+ B: 1 + 1 = 1 + 1 + 0 (π+ : π+ -Meson)

Seltsamkeit S

Für Reaktionen mit starker und elektromagnetischer Wechselwirkung bleibt sie erhalten.

Charme C, Bottom B

Bleiben bei elektromagnetischer und starker Wechselwirkung erhalten.

Isospin I

Isospin ist ein Vektor mit drei Komponenten. Die dritte Komponente I 3 liefert eine Aussage über die Ladung (Proton I 3 = +1 2, Neutron I 3 = −1 2). Bei der starken Wechselwirkung bleibt der Isospin erhalten, bei der elektromagnetischen nur die dritte Komponente I 3 .

Spin J, Parität P

Der Spin ergibt sich durch Kombination der Quarkspins und des Bahndreh impulses. Die Wellenfunktion Ψ darf nur ihr Vorzeichen ändern.

Ψ(−x, −y, −z) = Ψ(x, y, z) Parität P = 1 (gerade) Ψ(−x, −y, −z) = −Ψ(x, y, z) Parität P = −1 (ungerade)

Tabelle T-. Quantenzahlen von Protonen und Neutronen. Proton p +u

Neutron n +d

u

+d

+d

Quarkkombination

u

Ladung Q

2 3 + 2 3 − 1 3 = +1

2 3 − 1 3 − 1 3 = 0

Baryonenzahl B

1 3 + 1 3 + 1 3 = +1

1 3 + 1 3 + 1 3 = 1

Isospin I 3

1 2 + 1 2 − 1 2 = 1 2

1 2 − 1 2 − 1 2 = −1 2

T. Elementarteilchen

Bild T-. Einteilung der Elementarteilchen.



U Relativitätstheorie

U.1 Relativität des Bezugssystems Übersicht U-. Lorentz-Transformation. Die Gesetze der klassischen Mechanik gelten in Inertialsystemen, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit  ll c bewegen. Es gibt kein bevorzugtes Bezugssystem und keine Möglichkeit, eine Geschwindigkeit absolut zu messen. In jedem Inertialsystem breitet sich Licht unabhängig von der Relativbewegung zwischen Lichtquelle und Beobachter nach allen Richtungen mit derselben Geschwindigkeit, der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c (c = 2,99792458 ċ 108 m/s) aus.

System S (x  , y  , z  ) bewegt sich mit Geschwindigkeit  in x-Richtung relativ zum System S (x, y, z) Ls Lichtsekunden

U.2 Lorentz-Transformation Weil die Lichtgeschwindigkeit konstant ist, müssen die Orts- und Zeitkoordinaten der zwei sich relativ zueinander bewegenden Systeme S und S umgerechnet werden (Lorentz-Transformation in Übersicht U-).

Umrechnung der Orts- und Zeitkoordinaten System S

System S 



x = γ(x + t ) y = y z = z  t = γ t  + 2 x   c

x  = γ(x − t) y = y z = z  t  = γ t − 2 x. c

relativistischer Faktor 1 γ= " 1 − ( c)2 c t t  x, y, z x  , y , z γ

Lichtgeschwindigkeit Zeit im System S Zeit im System S Relativgeschwindigkeit in x-Richtung zwischen S und S Ortskoordinaten des Systems S Ortskoordinaten des Systems S relativistischer Faktor



U Relativitätstheorie

Übersicht U-. Relativistische Effekte.

Übersicht U-. (Fortsetzung). c ux , u y , uz u x , u y , u z  γ

Lichtgeschwindigkeit (c = 2,99792458 ċ 108 m s) Geschwindigkeiten im System S Geschwindigkeiten im System S Relativgeschwindigkeit relativistischer Faktor " 9γ = 1 1 − ( c)2 :

U.3 Relativistische Effekte Es treten folgende Effekte auf (Übersicht U-): Längenkontraktion " 1 l  = l = 1 − ( c)2 l . γ Für alle Körper, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit  relativ zueinander bewegen, verkürzen sich die Längen des " anderen Körpers in dieser Richtung um den Faktor 1 − ( c)2 . Senkrecht zur Bewegungsrichtung liegende Strecken erscheinen nicht verkürzt. Zeitdilatation Δt . 1 − ( c)2 Bewegen sich zwei Beobachter mit einer konstanten Geschwindigkeit  relativ zueinander, dann erscheint das Zeitintervall Δt  des Systems S vom System S aus betrachtet größer zu sein und umgekehrt. Δt  = γΔt = "

relativistische Addition der Geschwindigkeiten System S

System S u x +  ux =  1 + 2 u x c u y uy =  γ 1 + 2 u x  c uz =

u z

 γ 1 + 2 u z  c

ux −   1 − 2 ux c uy u y =  γ 1 − 2 u x  c

u x =

u z =

uz γ 1 −

 uz  c2

–

–

–

Längenkontraktion. Ein relativ zu einem Beobachter sich bewegender Körper erscheint verkürzt. Zeitdilatation. Die Zeit läuft in einem System, das relativ zu einem Beobachter bewegt wird, langsamer. Additionstheorem der Geschwindigkeiten. Bei Geschwindigkeitsüberlagerungen darf die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten werden.

U.4 Relativistische Dynamik In der relativistischen Dynamik nimmt die Masse mit steigender Relativgeschwindigkeit zu. Dies hat Auswirkungen auf den Impuls (p = m) und die Kraft (F = ma), wie Übersicht U- zeigt.

U. Relativistische Elektrodynamik

Übersicht U-. Relativistische Dynamik.

Übersicht U-. (Fortsetzung).

relativistische Massenzunahme

relativistischer Impuls p = m()
= p2 =

2

E c2



m0 1−( c)2




= γm 0
.

− m 20 c 2

relativistische Kraft F=

d dt

_

m0
1−( c)2

`

für Relativgeschwindigkeit in x-Richtung Fx =

m0 ax [1−( c)2 ]32

Fy =



Fz =



m0 a y 1−( c)2

m0 az 1−( c)2

ax , a y , az c m() =



m0 1−( c)2

= γm 0 .

Ein Körper mit der Ruhemasse m 0 , der sich mit der Geschwindigkeit  relativ zu einem Inertialsystem bewegt, erfährt einen relativistischen Massenzuwachs. relativistische Energie E = m c2 .

E F m, m 0 p γ

= m0 γ3 ax

= m 0 γa y = m 0 γa z

Beschleunigung in x-, y-, z-Richtung Lichtgeschwindigkeit (c = 2,99792458 ċ 108 m s) Energie Kraft Masse, Ruhemasse Impuls relativistischer Faktor " 9γ = 1 1 − ( c)2 :

U.5 Relativistische Elektrodynamik Die Relativitätstheorie macht deutlich, dass ein rein elektrisches Feld durch Wechsel in ein bewegtes Koordinatensystem zusätzlich ein magnetisches Feld erhält und ein rein magnetisches Feld ein elektrisches. Das bedeutet: Elektrische und magnetische Kräfte sind verschiedene Ausprägungen desselben physikalischen Phänomens: der elektromagnetischen Wechselwirkung. Übersicht U- links zeigt ein System S. In ihm ist der Draht in Ruhe, die Elektronen fließen mit der Geschwindigkeit u nach rechts (die konventionelle Stromrichtung geht nach links). Die Ladung Q bewegt sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit u nach rechts. Der Draht ist insgesamt elektrisch neutral. Das Magnetfeld des

Stroms erzeugt eine Lorentz-Kraft, welches die Ladung Q vom Draht abstößt. In Übersicht U- rechts bewegt sich das System mit der Geschwindigkeit u nach rechts. Im System S ruhen die Ladung Q und die Elektronen des Leiters. Die positiven Ionen laufen dafür nach links mit der Geschwindigkeit u  = −u. Das System S ist aber nicht neutral: Wegen der Längenkontraktion ist der Abstand zwischen den positiven Ionen kleiner und der Abstand zwischen den Elektronen größer als im System S. Dadurch entsteht eine positive Ladungsdichte. Zusätzlich zum Magnetfeld entsteht so ein radial nach außen gerichtetes elektrisches Feld, das die ruhende Ladung Q abstößt.



U Relativitätstheorie

Übersicht U-. Elektrodynamische Kräfte. System S (Laborsystem)

System S

Geometrie

ρ+ = −ρ−

Ladungsdichte im Leiter

F el = γF magn ; A B c

c2 =

1 ε0 μ0



 ρ+

ρ = ρ+ + ρ− = 0

ρ =

positiv geladen

.

Querschnittsfläche magnetische Induktion Lichtgeschwindigkeit (c = 2,99792458 ċ 108 m s) E elektrische Feldstärke F el elektrische Kraft magnetische Kraft F magn Q Ladung r Abstand der Ladung Q zur Leitermitte
Geschwindigkeit γ relativistischer Faktor " 9γ = 1 1 − ( c)2 : ρ Ladungsdichte elektrische Feldkonstante ε0 -ε 0 = 8,854 ċ 10−12 A ċ s (V ċ m). μ0 magnetische Feldkonstante -μ 0 = 4π ċ 10−7 A ċ s (V ċ m). Die mit  bezeichneten Größen gelten für das bewegte System.

+

 ρ−

elektrisch neutral Feld und Kraft auf Ladung Q

ρ− γ

  ρ+ = ρ+ γ  ρ+ , ρ− =

=

2

ρ+ γ uc 2

< ρ−

U. Doppler-Effekt des Lichtes

U.6 Doppler-Effekt des Lichtes Wenn Sender und Empfänger elektromagnetischer Wellen sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit  bewegen, ist die Frequenz der empfangenen Strahlung verschieden von der Senderfrequenz (Übersicht U-). Während beim Doppler-Effekt der Schallwellen (Abschnitt J..) unterschieden werden muss, ob sich die Quelle oder der Beobachter relativ zum Übertragungsmedium Luft bewegen, ist beim Doppler-Effekt des Lichtes nur die Relativbewegung zwischen Quelle und Beobachter relevant (elektromagnetische Wellen benötigen kein Übertragungsmedium).



Übersicht U-. Doppler-Effekt des Lichts. longitudinaler Doppler-Effekt (Beobachter bewegt sich längs der Lichtstrahlen) Beobachter entfernt sich Beobachter nähert sich von der Quelle der Quelle # # c −  c+ f = f f = f c+ c− transversaler Doppler-Effekt (Beobachter bewegt sich senkrecht zum Lichtstrahl) " f  = f 1 − ( c)2 = f γ c f f  γ

Lichtgeschwindigkeit (c = 2,99792458 ċ 108 m s) Frequenz im ruhenden System Frequenz im bewegten System Relativgeschwindigkeit relativistischer Faktor " 9γ = 1 1 − ( c)2 :

V Festkörperphysik

V.1 Arten der Kristallbindung Zwischen Atomen bzw. Molekülen fester Körper wirken ausschließlich elektrostatische Kräfte der Anziehung und Abstoßung. Dies führt zu verschiedenen Bindungsarten (Tabelle V-).

Tabelle V-. Bindungsarten. Bindungsart

Kraftwirkungen

Bindungsenergie eV/Atom

van der Waals

Zwischen zwei isolierten Atomen 1 EB  6 mit permanentem oder r induziertem Dipolmoment 10−2 bis 10−1

kovalent Elektronenpaarbindung (homöopolar)

Ionen zwischen zwei verschieden (heteropolar) geladenen Ionen

 bis 

EB =

Q2 ċ α 4πε 0 r

(α  1,75)  bis 

metallisch

EB Q

zwischen festen Atomrümpfen und frei beweglichen Elektronen

Bindungsenergie Ladung

r α ε0

 bis 

Beispiele

Eigenschaften

Edelgaskristalle, H2 , O2 , Molekülkristalle, Polymere

Isolator, leicht komprimierbar, niedriger Schmelzpunkt, durchlässig für Licht im fernen UV

viele organische Stoffe, Elemente der Vierergruppe, C, Si, InSb

Isolator oder Halbleiter, sehr schwer verformbar, hoher Schmelzpunkt

Salze (NaCl, KCl) BaF2

Isolator bei niedrigen Temperaturen, Ionenleitung bei hohen Temperaturen, plastisch verformbar

Metalle, Legierungen

elektrischer Leiter, guter Wärmeleiter, plastisch verformbar, reflektiert im IR, reflektiert Licht (durchlässig im UV)

Abstand der Atome Madelung-Konstante elektrische Feldkonstante -ε 0 = 8,8542 ċ 10−12 A ċ s (V ċ m).



V Festkörperphysik

V.2 Kristalline Strukturen V.2.1 Kristallsysteme und dichteste Kugelpackungen In einem Kristall befinden sich die Atome in jeder Raumrichtung in gleichmäßigen Abständen an den Kreuzungspunkten eines räumlichen Gitters, dessen kleinstes Element die Elementarzelle ist. Sie wird beschrieben durch die Atomabstände entlang den Koordi-

natenachsen (x-Achse: a; y-Achse: b; z-Achse: c) und den Winkeln α, β und γ zwischen den Kristallachsen. Die sieben Kristallsysteme mit ihren Varianten ergeben die  Bravais-Gitter (Tabelle V-). Die Atome liegen besonders dicht beieinander, wenn aufeinander folgende Kugelebenen die Lücken der Ausgangsebenen besetzen. Es gibt drei unterschiedliche Anordnungen dichtester Kugelpackungen (Tabelle V-).

Tabelle V-. Bravais-Gitter. primitiv kubisch a=b=c α = β = γ = 90 tetragonal a=bc α = β = γ = 90 orthorhombisch abc α = β = γ = 90 hexagonal a=bc α = β = 90 γ = 120 rhomboedrisch a=b=c α = β = γ  90 monoklin abc α = γ = 90 β  90 triklin abc α  β  γ  90 ;  120

flächenzentriert

basiszentriert

raumzentriert

Bild V-. Gitterfehler.

V. Kristalline Strukturen





V Festkörperphysik

Tabelle V-. Atomare Konstanten einiger Metalle mit kubisch-flächenzentrierter und kubischraumzentrierter Struktur. kubischraumzentriert

Dichte  g cm3

Gitterkonstante a −10 m

Abstand zweier nächster Nachbarn −10 m

Cs K Ba Na Zr Li W Fe

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

kubischflächenzentriert

Dichte  g cm3

Gitterkonstante a −10 m

Abstand zweier nächster Nachbarn −10 m

Ce Pb Ag Au Al Pt Cu Ni

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

Tabelle V-. Gittertypen dichtester Kugelpackungen. Gittertypen Eigenschaften

kubischflächenzentriert

hexagonal dichteste Kugelpackung

kubischraumzentriert

Packungsdichte

%

%

%

Atomanzahl je Zelle







Koordinationszahl







dichtest gepackte Richtung

Flächendiagonale

Sechseckseite

Raumdiagonale

Elementarzelle

Kugelmodell

V.2.2 Richtungen und Ebenen im Kristallgitter

Übersicht V-. Indizierung der Kristallrichtungen und Kristallebenen (Miller’sche Indizes).

Kristallrichtungen und Richtungen von Ebenen werden durch Miller’sche Indizes angegeben. Sie sind die reziproken Werte der Achsenabschnitte der Kristallrichtungen (Übersicht V-).

Indizierung der Kristallrichtung und Kristallebene

V.2.3 Gitterfehler Der periodisch regelmäßige Kristallaufbau kann Fehler aufweisen (Gitterfehler), die zu veränderten Materialeigenschaften führen. Mit absichtlich eingebauten Fehlern können die Werkstoffeigenschaften gezielt verändert werden (Bild V-).

V. Makromolekulare Festkörper

Übersicht V-. (Fortsetzung).



V.3 Makromolekulare Festkörper

Beispiele für Kristallrichtungen und Kristallebenen

Makromolekulare Festkörper sind aus sehr langen Molekülen aufgebaut. Sie bestehen entweder aus einem Riesenmolekül oder aus vielen kleinen Molekülen, die durch homöopolare Elektronenpaarbindung zusammengehalten werden. So entstehen Faden-, Schicht- und Raumnetzstrukturen. Das Verformungsverhalten kann durch eine Kombination des elastischen Verhaltens (Federgesetz nach Hooke) mit einem viskosen Verhalten (Dämpfungsglied nach Newton) erklärt werden. In der Rheologie wird die Verformung auch durch andere Modelle beschrieben (Tabelle V-).

Tabelle V-. Einteilung der Kunststoffe (Polymerwerkstoffe). Thermoplaste

Elastomere

Duromere

Schmelzverhalten

schmelzbar

nicht schmelzbar

nicht schmelzbar

Quellverhalten

quellbar

quellbar

nicht quellbar

Löslichkeit

löslich

nicht löslich

nicht löslich

Struktur

Molekülknäuel, unvernetzt, amorph, teilkristallin

weitmaschig vernetzt, amorph, teilkristallin

engmaschig vernetzt

Umweltfreundlichkeit

wiederverwendbar (  C)

nicht wiederverwendbar (pyrolisierbar)

Charakteristik

PolymerWerkstoff



V Festkörperphysik

Tabelle V-. (Fortsetzung). Thermoplaste

Elastomere

Duromere

Verarbeitung

alle Verfahren

alle Verfahren, Formgebung vor oder während der Vernetzung („Vulkanisieren“)

Pressen, Spritzgießen, Formgebung während der Vernetzung („Härtung“)

Beispiele

Polyethylen (PE), Polyvinylchlorid (PVC), Polystyrol (PS), Polyamid (Nylon, Perlon), Polyester (Trevira), Polyacrylnitril (Dralon), Polycarbonat (Macrolon)

Buna, Kautschuk, Silicon Rubber (SIR), Polychloropren (CR), Neopren

Phenolformaldehyd, Melaminformaldehyd, Harnstoffformaldehyd, (ungesättigter Polyester) (UP), Epoxidharz (EP)

Charakteristik

PolymerWerkstoff

Tabelle V-. Verformungsmodelle von Kunststoffen. Modell

Verhalten Feder: Elastisches Verhalten (Hooke) σ = E 0 εel Dämpfungsglied: Viskoses oder plastisches Verhalten (Newton) σ = η 0 ε˙v Maxwell-Modell: (Feder und Dämpfer in Reihe) Elastisch-viskoses (plastisches) Verhalten σ˙ σ + ε = εel + εv \ ε˙ = ε˙el + ε˙v = E 0 η0 1 σ0 η0 ε(t) = 1 +  u(t) τ0 = τ0 E 0 E0 Voigt-Kelvin-Modell: (Feder und Dämpfer parallel) Viskoelastisches Verhalten (relaxierendes Verhalten) σ = σ1 + σ2 = Er εr + ηr ε˙r 1 εr σ ηr εr (t) = (1 − e−t τ )σˆ u(t) ε˙r + = τr = Er τr ηr Er

V. Thermodynamik fester Körper



Tabelle V-. (Fortsezung). Modell

Verhalten Burger-Modell: ε = ε (Maxwell) + ε (Voigt-Kelvin) 1 t 1 ε(t) = U + + (1 − e−t τ )V σˆ u(t) E 0 η0 Er

E t u(t) ε εel

Elastizitätsmodul Zeit Springfunktion Dehnung elastische Dehnung

εr σ η0 ηr τ

Relaxationsdehnung Spannung statische Viskosität dynamische Viskosität der Relaxation Relaxationszeit

V.4 Thermodynamik fester Körper Diese Gitterschwingungen sind gequantelt; ihre Die regelmäßig angeordneten Atome eines Kristallgitters führen Schwingungen um ihre Ruhelagen aus, wenn sie von außen angeregt werden.

Quanten heißen Phononen (Übersicht V-). Gitterschwingungen können demnach beschrieben werden, als ob Teilchen sich mit der Schallgeschwindigkeit c s durch den Kristall bewegen, mit anderen Teilchen zusammenstoßen

Übersicht V-. Transversale Gitterwellen und Phononen.

Übersicht V-. Gitterwellen einer linearen Atomkette.

transversale Gitterwellen

lineare Atomkette

V.4.1 Schwingendes Gitter (Phononen)

Dispersion # # 2kF 4kF ka (1 − cos k a) = sin ω m m 2 EPhonon = h f = ħω pPhonon = h λ = ħk a E f h ħ k p λ ω

Gitterkonstante (Atomabstand) Energie Frequenz Planck’sches Wirkungsquantum (h = 6,626 ċ 10−34 J ċ s) Planck’sche Konstante (ħ = h 2π) Wellenzahl Impuls Wellenlänge Kreisfrequenz

maximale Wellenzahl minimale Wellenzahl

kmax = π a λmin = 2a



V Festkörperphysik

Übersicht V-. (Fortsetzung). lineare Atomkette

Gruppen- und Phasengeschwindigkeit

#

sin ka kF  2m 1 − cos ka #  2kF 1 − cos ka cph = m k maximale Schallgeschwindigkeit cs, max " " cs, max = a 3 E m = E  " ωmax = 2 kF m 1" aE m fmax = π cgr = a

a kF cgr cph cs E f k m  ω λ

Gitterkonstante Federkonstante Gruppengeschwindigkeit Phasengeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Elastizitätsmodul Frequenz Wellenzahl (k = 2π λ) Masse Dichte Kreisfrequenz Wellenlänge

und Energie und Impuls austauschen. Eine lineare Atomkette zeigt als gekoppeltes Schwingungssystem die in Übersicht V- zusammengestellten Abhängigkeiten. Wie Übersicht V- deutlich zeigt, ergibt sich ein Phononenspektrum, in dem die Frequenz f von der Wellenlänge λ bzw. von der Wellenzahl k abhängt (Dispersion). Alle vorkommen-

Bild V-. Dispersion von Germanium (a), akustische (b) und optische Phononen (c).

den Wellenzahlen liegen innerhalb der ersten Brillouin-Zone (− πa  k  πa ). Sind zwei oder mehr Atome in einer Elementarzelle, dann ergeben sich je nach Schwingungstyp verschiedene Dispersionsrelationen, die in akustische (TA: transversal akustisch und LA: longitudinal akustisch) und optische Dispersionsrelationen (TO: transversal optisch und LO: longitudinal optisch) eingeteilt werden (Bild V-). V.4.2 Molare und spezifische Wärmekapazität Ein schwingungsfähiges System besitzt eine Schwingungsenergie, die sich gleichmäßig auf die potenzielle und kinetische Energie aufteilt. Aufgrund der drei Freiheitsgrade eines Gitterbausteins gilt die Dulong-Petit’sche Regel. Die tatsächlich gemessenen molaren Wärmekapazitäten weichen, vor allem bei tiefen Temperaturen, festen Gitterbindungen und leichten Atomen, sehr stark von diesem Wert ab. Deshalb schlug Einstein eine Quantelung der Schwingungsenergie vor, und

V. Thermodynamik fester Körper



Übersicht V-. Innere Energie und molare Wärmekapazität der Festkörper nach Dulong-Petit, Einstein und Debye.

Boltzmann-Verteilung U =3 e

hf kT

Debye zD

z 3 dz T3 g z TD3 e −1 0 z = (h f ) (kT) und zD = TD T

Nh f

U = 9N kT

−1

Einstein-Temperatur TE = h f k

Debye-Temperatur TD = h fgr k

T u TE und T u T0 : U  3N kT = 3νRm T und Cm = 3Rm (Dulong-Petit) T ll TE hf

− kT

U = 3N h f e

2

Cm = 3Rm Cm f fgr h k ν

hf hf ! e− k T kT

molare Wärmekapazität Frequenz Grenzfrequenz Planck’sches Wirkungsquantum (h = 6,626 ċ 10−34 J ċ s) Wellenzahl Stoffmenge (Anzahl Mol)

T ll TD 3 T3 U = π4 N kT 3 5 TD 12 4 T3 π Rm 3 Cm = 5 TD N Rm T TD TE U

Anzahl der schwingenden Punkte molare Gaskonstante Temperatur Debye-Temperatur Einstein-Temperatur innere Energie



V Festkörperphysik

Übersicht V-. Wärmeleitung im Isolator und im Metall.

jq = λ

Isolator

λ = 12 nph kcs lph λ = 13 ccs lph Metall λel = 13 π2 mn k 2 τT Bei konstanter Temperatur ist für alle Metalle die Wärmeleitfähigkeit λ proportional der elektrischen Leitfähigkeit ϰ: λ = L Tϰ.

lph m n nph T ΔT Δx λ ϰ τ

TD inK

Stoff

TD in K

Pb Na Ag NaCl Cu

    

Mg Al LiF Diamant

   

V.4.3 Wärmeleitfähigkeit

j q = 12 nph kcs lph ΔT Δx

L

Stoff

Debye ging davon aus, dass der Energieinhalt eines festen Körpers in den stehenden Wellen der N Gitterschwingungen gespeichert ist (Übersicht V-).

ΔT Δx

c cs jq k

Tabelle V-. Debye-Temperatur TD einiger Stoffe.

spezifische Wärmekapazität Schallgeschwindigkeit der Phononen Wärmestromdichte Boltzmann-Konstante (k = 1,38 ċ 10−23 J K) Lorenz’sche Zahl (L = 2,45 ċ 10−8 V2 K2 ) mittlere freie Phononenweglänge Masse Dichte der Elektronen Dichte der Phononen (nph = Nph V ; Nph Anzahl der Phononen; V Volumen) Temperatur Temperaturgefälle in x-Richtung Wärmeleitfähigkeit elektrische Leitfähigkeit Relaxationszeit

Zwar breiten sich die Phononen im Festkörper mit Schallgeschwindigkeit aus, doch der Wärmetransport ist bedeutend langsamer. Bei den Metallen wird Wärme nicht nur durch die Phononen, sondern auch durch die freien Elektronen übertragen (Übersicht V-). Es gilt für Metalle, dass gute elektrische Leiter auch gute Wärmeleiter sind (und umgekehrt).

W Metalle und Halbleiter

Anhand des spezifischen elektrischen Widerstandes (Resistivität)  wird eingeteilt in (Bild W-): – Leiter  < 10−5 Ω ċ m, – Halbleiter 10−5 <  < 107 Ω ċ m, – Isolatoren  107 Ω ċ m.

W.1 Energiebänder Die scharfen Energieniveaus der Elektronen in einzelnen Atomen werden durch Wechselwirkung mit Nachbarn verbreitert, sodass in Festkörpern die Elektronen Energien innerhalb mehr oder weniger breiter Bänder annehmen können.

Elektronen halten sich in Festkörpern innerhalb erlaubter Energiebänder auf, die durch verbotene Zonen voneinander getrennt sind. Fließt in einem Festkörper ein elektrischer Strom, dann erhöht sich die Energie der Elektronen um die kinetische Energie der Driftbewegung. Sie werden dadurch auf höhere Energiezustände gehoben. Dies ist nur möglich, wenn das höchste mit Elektronen besetzte Band nicht voll besetzt ist. Dieses Band wird als Leitungsband (LB im Bild W-) bezeichnet. Hat das oberste mit Elektronen besetzte Band keine freien Energiezustände, dann ist der Festkörper ein Isolator bzw. Halbleiter. Dieses Band wird als Valenzband (VB im Bild W-) bezeichnet. Anhand der Breite E g (energy gap)

Bild W-. Spezifischer elektrischer Widerstand (Resistivität) und Bändermodell von Festkörpern. Die mit Elektronen besetzten Zustände sind grau gekennzeichnet.



W Metalle und Halbleiter

der verbotenen Zone (VZ) wird in Halbleiter und Isolatoren eingeteilt (Bild W-).

Übersicht W-. Zustandsdichte und FermiDirac-Verteilungsfunktion.

W.2 Metalle

Zustandsdichte D(E) 2m 3 2 1 D(E) = 2  2  E 1 2 2π ħ Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion f (E)

Im Modell des freien Elektronengases können sich die Leitungselektronen innerhalb des Kristalls frei bewegen (Tabelle W-).

1

f (E) = e

E−E F kT

+1

Tabelle W-. Modell des freien Elektronengases. p2 ħ2 k2 = 2m 2m

kinetische Energie der Leitungselektronen Impuls und Materiewellenlänge der Elektronen

E=

Fermi-Energie; höchstes mit Elektronen gefülltes Energieniveau

EF =

Wellenzahl des FermiNiveaus

kF = (3π2 n)1 3

Fermi-Geschwindigkeitw

F =

E EF ħ k m n p λ

p = h λ = ħk ħ2 (3π2 n)2 3 2m

ħ (3π2 n)1 3 m

kinetische Energie Fermi-Energie Planck’sche Konstante (ħ = h 2π) Wellenzahl (k = 2π λ) Elektronenmasse Teilchenzahldichte (n = N V ) Impuls Wellenlänge der Materiewelle

W.2.1 Energiezustände und Besetzung Die möglichen Energiezustände der Elektronen im Leitungsband sind nicht gleichmäßig auf der Energieleiter angeordnet, sondern werden mit zunehmender Energie immer dichter. Die Zustandsdichte D(E) gibt die Zahl der Energiezustände je Energieintervall dE und Volumeneinheit an (Übersicht W-). Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Energiezustand E besetzt ist, wird durch die Fermi-

EF E D(E) ħ k m T

Fermi-Energie Energie im Leitungsband Zustandsdichte (übliche Einheit eV−1 cm−3 ) Planck’sche Konstante (ħ = h 2π = 6,5821 ċ 10−16 eV ċ s) Boltzmann-Konstante (k = 8,6173 ċ 10−5 eV K) Masse der Elektronen absolute Temperatur

Tabelle W-. Ohm’sches Gesetz. Differenzialgleichung der Elektronenbeschleunigung stationäre Driftgeschwindigkeit bei konstanter Feldstärke

d
d dt

= − emE −


d,0 = − me τE 0 = −μE 0

elektrische Stromdichte (Ohm’sches Gesetz)

j = −en
d,0

elektrische Leitfähigkeit

ϰ = enμ

E e m n
d ϰ μ τ

elektrische Feldstärke Elementarladung Elektronenmasse Elektronenzahldichte Driftgeschwindigkeit elektrische Leitfähigkeit Beweglichkeit Relaxationszeit


d τ

=

e2 m

nτE 0

W. Halbleiter

f (E) beschrieben

Dirac-Verteilungsfunktion (Übersicht W-).

W.2.2 Elektrische Leitung In einem elektrischen Feld werden die Elektronen beschleunigt und zugleich durch Stoßprozesse im Kristall abgebremst. Bei konstanter Feldstärke folgt das Ohm’sche Gesetz (Tabelle W-).



W.3 Halbleiter Halbleiter haben bei tiefen Temperaturen ein mit Elektronen gefülltes Valenzband, welches durch eine verbotene Zone (Energielücke; energy gap) vom leeren Leitungsband getrennt ist (Bild W-). Tabelle W- zeigt einige halbleitende Substanzen; Daten von Ge, Si und GaAs sind in Tabelle W- enthalten. W.3.1 Eigenleitung

Tabelle W-. Halbleitende Verbindungen. Gruppen des Periodensystems zur Kombination der Elemente

Beispiele

IV IV–IV III–V II–VI

Si, Ge, Sn (grau) SiC GaAs, InSb ZnTe, CdSe, HgS

Bei T = 0 K ist die Leitfähigkeit eines Halbleiters null. Mit steigender Temperatur werden durch die Gitterschwingungen Bindungen zwischen benachbarten Atomen aufgerissen, sodass frei bewegliche Elektronen erzeugt werden. Im Bändermodell entspricht dies einer Anhebung von Elektronen vom Valenzband

Tabelle W-. Daten der Halbleiter Ge, Si und GaAs. Die Zahlenwerte gelten für T = 300 K. Kristallstruktur Gitterkonstante a in 10−10 m linearer Ausdehnungskoeffizient α

in 10−6

K−1

Ge

Si

GaAs

Diamant

Diamant

Zinkblende

,

,

,

,

,

,

spezifische Wärmekapazität c in kJ (kgċK)

,

,

,

Wärmeleitfähigkeit λ in W (mċK)









Schmelzpunkt ϑs in C







Atomdichte N V in 22 cm−3

,

,

,

Dichte  in kg m

3

 ,

 

 

,

,

,

,

,

,

2,33 ċ 1013

1,02 ċ 1010

2,00 ċ 106

Effektive Zustandsdichte im Leitungsband NL in cm−3 im Valenzband Nv in cm−3

1,24 ċ 1019 5,35 ċ 1018

2,85 ċ 1019 1,62 ċ 1019

4,55 ċ 1017 9,32 ċ 1018

Beweglichkeit μ n in cm2 (Vċs) μ p in cm2 /(Vċs)

   

  

  

relative Dielektrizitätszahl εr



,

,

Molmasse M in g mol Bandgap Eg in eV intrinsische Trägerdichte ni in

cm−3



W Metalle und Halbleiter

Tabelle W-. Leitungsmechanismen in Halbleitern. Eigenleitung

Elemente

Störstellenleitung

Gruppe IV vier Valenzelektronen: C, Si, Ge, Sn

n-dotiert (Elektronenleitung)

p-dotiert (Löcherleitung)

Gruppe V fünf Valenzelektronen: N, P, As, Sb (Donatoren)

Gruppe III drei Valenzelektronen: B, Al, Ga, In (Akzeptoren)

Kristallgitter

BänderModell

Tabelle W-. Gleichungen zur Eigenleitung.

Tabelle W-. Eigenschaften von Dotierstoffen.

ϰ = e(nμ n + pμ p ) Eg  Eigenleitungsdichte (int- ni (T) = NL Nv e− 2k T Eg rinsische Ladungsträger= ni,2  T 3 2 e− 2k T dichte) elektrische Leitfähigkeit

Eg

2 3 −kT Produkt von Elektronen- n ċ p = ni2 = ni T e und Löcherdichte (unabhängig von Dotierung)

Beweglichkeit

μ(T) = μ 0 (T T0 )−3 2

Ohm’scher Widerstand eines Halbleiters

R(T)  R 0 e 2k T

Eg

Eg e k NL NV n p T ϰ μn μp

Energielücke (band gap) Elementarladung Boltzmann-Konstante effektive Zustandsdichte des Leitungsbandes effektive Zustandsdichte des Valenzbandes Elektronendichte Löcherdichte absolute Temperatur Leitfähigkeit Elektronenbeweglichkeit Löcherbeweglichkeit

Platz des Dotierstoffs im Periodensystem Gruppe III

Gruppe V

Bezeichnung

Akzeptor

Donator

Anzahl der Valenzelektronen





Majoritäten

Löcher

Elektronen

Minoritäten

Elektronen

Löcher

Leitungsmechanismus

Löcherleitung p-Typ

Elektronenleitung n-Typ

> ? ? ? ? ? @ Tabelle W- ? ? ? ? ? A

über die Energielücke ins Leitungsband (Tabelle W-). Die im Valenzband zurückbleibenden Löcher verhalten sich wie positive Teilchen und tragen wie die Elektronen zum elektrischen Strom bei (Tabelle W-).

W. Halbleiter

Übersicht W-. Dichte der freien Elektronen in n-Si in Abhängigkeit von der Temperatur.



Übersicht W-. (Fortsetzung). EA ED k NL NV n nA nD p T

Akzeptorbindungsenergie Donatorbindungsenergie Boltzmann-Konstante effektive Zustandsdichte im Leitungsband effektive Zustandsdichte im Valenzband Elektronendichte Akzeptorendichte Donatorendichte Löcherdichte absolute Temperatur Störstellenerschöpfung

In der Nähe der Raumtemperatur sind alle Störstellen ionisiert. n-Typ Majoritätsdichte n = nD elektrische Leitfähigkeit

Störstellenreserve

nA , nD μn , μp e

ϰ = e nD μn

p-Typ p = nA ϰ = e nA μp

Akzeptoren- bzw. Donatorendichte Elektronen- bzw. Löcherbeweglichkeit Elementarladung Eigenleitung

Trägerdichte hängt exponentiell von der Temperatur ab (tiefe Temperaturen). n(T) = p(T) =

2 2

ED

nD NL 2

e− 2k T ,

nA NV 2

e− 2k T ,

EA

Bei hohen Temperaturen liegt Eigenleitung vor (Tabelle W-).

n-Typ p-Typ

W.3.2 Störstellenleitung Der spezifische Widerstand eines Halbleiters ändert sich drastisch bei Dotierung mit Fremdstoffen. Je nach Dotierstoff beruht die Leitung entweder auf Elektronen- oder Löcherleitung (Tabelle W-). Übersicht W- zeigt die Abhängigkeit der Elektronendichte eines n-Leiters von der Temperatur sowie die drei Bereiche Störstellenreserve, Störstellenerschöpfung und Eigenleitung.

W.3.3 pn-Übergang Die meisten Halbleiterbauelemente besitzen einen oder mehrere pn-Übergänge. Bild W- zeigt Diagramme für einen abrupten unsymmetrischen pn-Übergang in Silicium. Typische Werte des Sperrsättigungsstroms liegen im Bereich von pA bei Si und von μA bei Ge (Tabelle W-). W.3.4 Transistor Transistoren dienen zum Verstärken von elektrischen Signalen und zählen deshalb zu den aktiven Bauelementen (Tabelle W-).



W Metalle und Halbleiter

Tabelle W-. Gleichungen des pn-Übergangs. Diffusionsspannung

Breite der Raumladungszone (RLZ)

 Bild W-. Diodenkennlinie nach der ShockleyGleichung. a) Koordinatenursprung vergrößert, b) Gleichrichterverhalten bei größeren Spannungen und Strömen.

eU

Diodenkennline nach Shockley

I = IS 9e k T − 1:

Temperaturabhängigkeit des Sperrsättigungsstroms

IS  T 3 e−E g k T

Eg e I IS k nA nD ni T U Ud UT ε0 εr

Bild W-. pn-Übergang. a) p- und n-leitendes Silicium in Kontakt, b) Störstellenkonzentrationen, c) Konzentrationen der beweglichen Ladungsträger, d) Raumladungsdichte, e) elektrische Feldstärke, f) Potenzialverlauf.

nA nD kT ln e ni2 nA nD = U T ln ni2 # 2εr ε 0 U d nA + nD d= ċ e nA nD Ud =

Energielücke Elementarladung Strom Sperrsättigungsstrom Boltzmann-Konstante Akzeptorenkonzentration im p-Gebiet Donatorenkonzentration im n-Gebiet intrinsische Trägerdichte absolute Temperatur Spannung Diffusionsspannung Temperaturspannung (U T = kT e) elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl

Ventilwirkung

Schaltdiode

pn Silicium (Germanium) Frequenzbereich Gleichstrom Niederfrequenz Hochfrequenz besondere schnell, klein, kleiEigenschaften ner Sperrstrom, kleiner Durchlasswiderstand, preisgünstig Anwendungsbereich Universaldiode zum Schalten, zum Begrenzen, zum Entkoppeln, für Logikschaltungen

innerer Aufbau

genutzter Effekt

Nutzkennline, (schematisch)

Gleichstromkennlinie

Schaltzeichen

Diodentyp

Tabelle W-. Übersicht über Dioden.

Gleichstrom Netzfrequenz Niederfrequenz hohe Sperrspannung, hoher Durchlassstrom, niederohmig, preisgünstig Gleichrichter bei Netzfrequenz für kleine und große Spannungen und Ströme, auch für Schaltregler bei höheren Frequenzen

Gleichstrom bis Höchstfrequenz

Hochfrequenzgleichrichter, Gleichrichter mit kleiner Schleusenspannung, schnelle Logikschaltungen

sehr schnell, klein, kleine Durchlassspannung

pn Silicium

Ventilwirkung

Gleichrichterdiode

Metall-n Silicium

Ventilwirkung

Schottky-Diode

Zener- oder Lawinendurchbruch pn Silicium

Zenerdiode

sehr schnell, kleine Sperrspannung, hoher Durchlassstrom, kleine Verluste Gleichrichter bei hohen Frequenzen, hohen Strömen, aber kleinen Spannungen, Freilaufdiode

Spannungsstabilisierung, Spitzenspannungsbegrenzung

kontrollierter Durchbruch in Sperrrichtung

Gleichstrom bis Gleichstrom mittlere Frequenzen Niederfrequenzen

Metall-n Silicium

Ventilwirkung

SchottkyLeistungsdiode

Triggerdiode zur sicheren Zündung bei einfachen Triacschaltungen zur Phasenanschnittsteuerung

Kennlinie mit Bereichen negativen Widerstandes

Netzfrequenz

pnp Silicium

kontrollierter Durchbruch

Diac

W. Halbleiter 

Fotodiode

lichtstärkeabhängiger Sperrstrom innerer Aufbau pn, pin Metall-n Silicium Frequenzbereich Gleichstrom bis Hochfrequenz besondere EigenSperrstrom abschaften hängig von der Beleuchtung der Sperrschicht Avalanche-Effekt bei APD Anwendungsbereich Messung der Lichtstärke in einem großen Dynamikbereich, Datenempfänger am Ende einer Glasfaserstrecke

genutzter Effekt

Nutzkennlinie, schematisch

Gleichstromkennlinie

Schaltzeichen

Diodentyp

Tabelle W-. (Fortsetzung).

pn Germanium hoch dotiert

pn Silicium

Frequenzvervielfacher bis in den GHz-Bereich mit sehr geringem Aufwand

sehr schnelle Triggerdiode, Entdämpfung von Schwingkreisen, Höchstfrequenzoszillator

stromgesteuerte analoge Dämpfungsglieder für Hochfrequenz, stromgesteuerte Schalter für Hochfrequenz

spannungsgesteuerte Abstimmung von Schwingkreisen für Frequenzfilter, Synthesizer, Phasenschieber

Hochfrequenz

Tunneleffekt

Tunneldiode

der Sperrstrom endet abrupt

Step-RecoveryDiode

Kennlinie mit negativem differenziellen Widerstandsbereich

stromabhängiger Durchlasswiderstand pin Silicium

pin-Diode

Sperrschichtkapazität Durchlasswiderstand abrupt endende ist spannungsabhän- ist stromabhängig, Sperrverzögerung, gig, hohe Güte hohe Güte Sperrverzögerungszeit, typenabhängig

spannungsabhängige Sperrschichtkapazität pn Silicium Galliumarseid

Kapazitätsdiode

Gleichrichter für sehr kleine Hochfrequenzspannungen

keine Schleusenspannung, sehr kleine Sperrspannung

pn Germanium hoch dotiert

Ventilwirkung

Backward-Diode

 W Metalle und Halbleiter

Eigenschaften Bemerkungen

Kennlinie

Schaltzeichen

prinzipieller Aufbau

Typ

pnp Transistor

U CE positiv U CE negativ stromgesteuert lange genutzte Technologie für alle Anwendungsgebiete

npn Transistor

Bipolare Transistoren

p-Kanal FET

n-Kanal MOSFET

p-Kanal MOSFET

Anreicherungstyp ((Enhancment))

U DS positiv U DS negativ spannungsgesteuert sperrt bei U GS = 0, selbstsperrend jüngere und sehr vielseitig anwendbare Technologie

p-Kanal MOSFET

U DS positiv U DS negativ spannungsgesteuert leitet bei U GS = 0, selbstleitend

n-Kanal MOSFET

Verarmungstyp (Depletion)

Insulated Gate FET (MOSFET)

Unipolare Transistoren = Feld-Effekt-Transistoren

U DS positiv U DS negativ spannungsgesteuert leitet bei U GS = 0, selbstleitend lange genutzte Technologie für Kleinsignaltransistoren

n-Kanal FET

Sperrschicht FET (Junction FET)

Tabelle W-. Übersicht über die verschiedenen Transistoren.

W. Halbleiter 



W Metalle und Halbleiter

Bild W-. Betriebsbereiche eines Transistors. . aktiver Bereich, . Übersteuerungsereich, . Versagensbereich, . Durchbruchbereich, . Sperrbereich. Bild W-. Aufbau und Schaltung eines bipolaren Transistors mit Kollektorwiderstand R C . B Basis C Kollektor E Emitter I BE Basis-Emitter-Strom I B Basisstrom I C Kollektorstrom R C Kollektorwiderstand U BE Basis-Emitter-Spannung U S Versorgungsspannung.

Die bipolaren Transistoren werden in der Schaltungstechnik eingesetzt. Die Bedeutung der Feldeffekttransistoren (FET) für diskrete und integrierte Schaltungen ist erheblich gewachsen. W.3.4.1 Bipolarer Transistor Der am häufigsten vorkommende npn-Transistor besteht aus drei Elektroden; dem negativ dotierten Emitter (n), der positiv dotierten Basiszone (p) und dem negativ dotierten Kollektor (n) (Bild W-). Die bipolaren Transistoren arbeiten folgendermaßen: Der Basisstrom IB (abhängig von der Basis-Emitter-Spannung UBE und

der Schichttemperatur Tj ) bringt Ladungsträger in die in Sperrrichtung betriebene und deshalb isolierende Basis-Kollektor-Diode (Basis-Kollektor-Übergang) und macht diese leitfähig. Der Basisstrom IB erzeugt einen wesentlich größeren Kollektorstrom IC , der von der Kollektor-Emitter-Spannung UCE nur wenig abhängt. Dieser Kollektorstrom IC fließt über die Basis zum Emitter. Die Arbeitsbereiche eines Transistors werden deutlich, wenn man den Kollektorstrom IC in Abhängigkeit von der Kollektorspannung UC aufzeichnet (Bild W-). Die Transistoren werden für bestimmte Anwendungen in verschiedenen Grundschaltungen angeboten (Tabelle W-). W.3.4.2 Feldeffekt-Transistor (FET) Im Unterschied zum bipolaren Transistor sind beim FET nur Ladungsträger einer Sorte (Elektronen oder Löcher) beteiligt. Beim Sperrschicht-FET (Bild W-) liegt an einem nleitenden Bereich eine Gleichspannung, sodass die Elektronen von der Quelle (source) zur Senke (drain) fließen. Die Breite des Kanals wird

W. Halbleiter



Tabelle W-. Wichtige Kennwerte von Transistoren. Basisstrom IB IB = I 0 ( eUBE UTj − 1) Basis-Emitter in Durchlassrichtung geschaltet IB = I 0 eUBE UT Temperaturspannung U T U T = k T e differenzieller Eingangswiderstand rBE rBE = U T IB Gleichstromverstärkung B B = IC IB differenzielle Stromverstärkung β β = dIC dIB differenzieller Ausgangsleitwert g a g a = dIC dU CE Spannungsrückwirkung D D = dU CE dU BE Rauschleistung PR PR = 4 k TΔ f Rauschspannung "U R  U R = PR R = 4 k TΔ f R Rauschzahl F und Rauschmaß F  F = PRT PR , F  = 10 lg(PRT PR ) dB B D F F ga Δf IB I0 k PR PRT R U BE U CE UR UT β

Gleichstromverstärkung Spannungsrückwirkung Rauschzahl Rauschmaß Ausgangsleitwert Frequenzbandbreite Basisstrom Reststrom Boltzmann-Konstante (k = 1,380658 ċ 10−23 J K) Rauschleistung Rauschleistung im Transistor Widerstand Basis-Emitter-Spannung Kollektor-Emitter-Spannung Rauschspannung Temperaturspannung differenzielle Stromverstärkung

von den beiden oben und unten liegenden pZonen und der anliegenden sperrenden Steuerspannung (Gatespannung UG ) gesteuert. Wird

Bild W-. Aufbau und Arbeitsweise des SperrschichtFET. a) Aufbau, b) Potenzialverlauf entlang dem Kanal, c) Querschnitt mit verschieden großen Raumladungszonen.

die Steuerspannung erhöht, dann werden die Raumladungszonen breiter und verengen die Strombahn. Den FET kann man somit als steuerbaren Widerstand ansehen, dessen Wert von der Gate-Source-Spannung UGS und von der Drain-Source-Spannung UDS bestimmt wird. Der Arbeitsbereich eines FET lässt sich nach Bild W- in vier Bereiche unterteilen: –

Ohm’scher Bereich. Bei kleinen Spannungen UDS und kleinen Drainströmen ID ver-

Emitterschaltung

Grundschaltung

ic ib

β e = 100

βe =

Stromverstärkung des Transistors Vi

Vu =

Ua = 125 Uc Re = 800 Ω

Re =

UT iB 40 mV Re = 50 μA

Re = rBE

Re

Vu Ua R β = U e rBE Ua R ċ Ie = Ue UT U a 1 kΩ ċ 5 mA = Ue 40 mV

Eingangswiderstand

Spannungsverstärkung des Transistors

Ra  0,95 kΩ

1 h 22 R Ra = 1 + R ċ h 22 1 kΩ Ra = 1 + 1 kΩ ċ 50μS Ra = Rjj

Ra

Ausgangswiderstand

Frequenzgang

– häufigste Verstärkerschaltung – Strom- und Spannungsverstärkung gut – durch Gegenkopplung und Beschaltung gut variierbar

Bemerkungen und Anwendungen

Tabelle W-. Grundschaltungen von Transistoren und ihre wichtigsten Eigenschaften. Die Zahlenwerte gelten für einen Kleinsignaltransistor mit folgenden Daten: β e = 100, fT = 300 MHz, UT = 40 mV, rBE = 800 Ω.

 W Metalle und Halbleiter

Basisschaltung

Kollektorschaltung

Grundschaltung

Tabelle W-. (Fortsetzung).

ic ie

ic 1 ie

α1

α = βc 1 + βc

α=

Vu

Re

Vu = 125

U a 1 kΩ ċ 100 = Ue 800 Ω

Ua R ċ β = Ue rBE rBE βc

Re = 8 Ω

Re =

Re = UT Iu ċ βe

Re  1000 kΩ

Re  β e R

+(1 + β e )R

Re = rBE

Ua 1 Ue

RG + rBE β

RG + r B jjR β

1 h 22

Ra = 1 kΩ

Ra − Rc

Ra = Rc jj

Ra  18 Ω

+(1 + β e )R Ra 

Ua = 0,99 Ue

Ra =

Ra

SpannungsEingangs- Ausgangsverstärkung des Tran- widerstand widerstand sistors

ic U a rBE + (1 + β)R UT Re = +1 = ib Ue (1 + β)R IB

β c = 101

βc =

Stromverstärkung des Transistors Vi

Frequenzgang

– Impedanzwandler von niederohmig auf hochohmig – Hochfrequenzverstärker mit gutem Frequenzgang – niedrige Bedämpfung des Ausgangskreises durch sehr kleinen Ausgangsleitwert h 22

– Impedanzwandler von hochohmig auf niederohmig – Eingangsstufe für hochohmige Quellen – Ausgangstransistor in Leistungsverstärkern – Leistungstransistor in längsgeregelten Netzgeräten

Bemerkungen und Anwendungen

W. Halbleiter 



W Metalle und Halbleiter

Bild W-. Kennlinien und Arbeitsbereiche des n-Kanal-Sperrschicht-FET.

Tabelle W-. Grundschaltungen des FET. Sourceschaltung

Drainschaltung

Gateschaltung

Verstärkung

Spannungsverstärkung  1

Spannungsverstärkung < 1

Spannungsverstärkung  1 Stromverstärkung Vi = 1

Eingangswiderstand

sehr groß

sehr groß, mit der Bootstrapschaltung extrem groß

klein!

Anwendungsbereich

Gleichspannung, NF, HF

Gleichspannung, NF, HF

wenig benutzt, nur bei HF

Besondere Vorteile

gute Spannungsverstärkung hoher Eingangswiderstand und geringes Rauschen

hoher Eingangswiderstand und geringes Rauschen eigenstabile Schaltung

sehr geringe Spannungsrückwirkung vom Ausgang auf den Eingang

Entsprechende Schaltung bei bipolaren Transistoren siehe Tabelle W-

Emitterschaltung

Kollektorschaltung

Basisschaltung

Grundschaltung

W. Supraleitung

–

–

–



hält sich der FET wie ein Ohm’scher Widerstand. Triodenbereich. Die Steigung der Kennlinie geht vom Ohm’schen Bereich in eine flache Steigung über, die dem kleinen Ausgangsleitwert des Abschnürbereichs entspricht. Abschnürbereich. Hier liegt der meistgenutzte Arbeitsbereich. Die Gatespannung UGS steuert den Drainstrom ID . Durchbruchbereich. Dieser Bereich muss vermieden werden; denn ein Spannungsdurchbruch zwischen Gate und Drain zerstört den Transistor.

Ein besonders wichtiger Transistortyp ist der MOSFET (metal oxide semiconductor-FET), der Doppelgate-MOSFET und der MOSFETLeistungstransistor für Schalter (Bild W-). Die MOSFETs eignen sich besonders für digitale integrierte und hochintegrierte Schaltungen, da sich sehr schnelle Schaltkreise mit geringem Stromverbrauch auf kleinster Fläche herstellen lassen. Beim MOSFET beeinflusst die Steuerspannung die Leitfähigkeit einer dünnen Oberflächenschicht im Halbleiterkristall. Der Strom kann im Kanal verstärkt werden. Der Doppelgate-MOSFET besitzt zwei Gates. Er wird als regelbarer Verstärker häufig in Hochfrequenzschaltungen eingesetzt. Für hohe Ströme werden die MOSFET-Leistungstransistoren eingesetzt.

W.4 Supraleitung Ein Supraleiter besitzt zwei Eigenschaften: Unterhalb der Sprungtemperatur Tc findet eine widerstandslose Leitung statt, und der Supraleiter verhält sich als idealer Diamagnet (Meißner-Ochsenfeld-Effekt: völlige

‚ Bild W-. MOSFET (a), Doppelgate-MOSFET (b) und MOSFET-Leistungstransistor (c).



W Metalle und Halbleiter

Tabelle W-. Kritische Temperatur TC und kritische Flussdichte B C supraleitender Elemente und Verbindungen. Element

TC in K

BC (, K) in T

, , , , , , ,

, , , , , , ,

Supraleiter erster Art Bild W-. Supraleiter. a) widerstandsloser Leiter, b) idealer Diamagnet.

Al Hg In Pb Sn Th Tl

Supraleiter zweiter Art = 0,27 T = 0,18 T = 0,34 T = 0,0053 T

Nb Ta V Zn

, , , ,

BC BC BC BC

Verbindung

TC in K

BC (, K) in T

Supraleiter zweiter Art Bi3 Ba Bi3 Sr Mo3 Re Nb3 Au NbSn2

, , ,  ,

, , , – ,

Supraleiter dritter Art Bild W-. Abhängigkeit der kritischen Flussdichte von der Sprungtemperatur. B 0 kritische Flussdichte für T = 0 K B c kritische Flussdichte T Temperatur Tc kritische Temperatur.

MoRe Nb3 Al Nb3 Ge Nb3 Sn NbTi NbZr PbMo6 S8 V3 Ga V3 Si

,    , ,  , ,

   ,    

Hochtemperatur-Supraleiter YBa2 Cu3 O7−x Bi2 Sr2 CaCu2 O8+x Bi2 Sr2 Ca2 Cu3 O10 Te2 Ca2 Ba2 Cu3 O x

Bild W-. Supraleitender Bereich.

   

 bis   bis   bis   bis 

W. Supraleitung

Bild W-. Supraleiter erster, zweiter und dritter Art sowie Hochtemperatur-Supraleiter.





W Metalle und Halbleiter

Verdrängung des Magnetfeldes aufgrund starker Oberflächenströme; Bild W-). Der supraleitende Zustand wird oberhalb einer kritischen magnetischen Flussdichte BC zerstört (Bild W-). Die Supraleitung hängt von drei kritischen Größen ab: der Sprungtemperatur TC , der kritischen magnetischen Induktion BC und der Stromdichte jC . Bild W- zeigt den Bereich, in dem Supraleitung möglich ist. Die Supraleiter werden in folgende vier Kategorien eingeteilt (Bild W-): –

–

Supraleiter erster Art Der Übergang von der Normalleitung zur Supraleitung erfolgt sprunghaft; sie ist nur bei Elementen zu finden, und ihre kritische Flussdichte BC ist sehr gering. Supraleiter zweiter Art Der Übergang von der normalleitenden zur supraleitenden Phase erfolgt allmäh-

–

–

lich durch Eindringen normalleitender Flussschläuche. Die kritische Flussdichte BC ist gering. Supraleiter dritter Art Bei einem Stromfluss durch den Supraleiter tritt eine Lorentz-Kraft auf, die die Flussschläuche in Bewegung versetzt. Dadurch entsteht Reibungswärme, und der supraleitende Zustand wird zerstört. Werden Versetzungen eingebracht, so hindern diese die Flussschläuche an der Bewegung (Pinnen der Flussschläuche). Dadurch können die Supraleiter höhere Ströme leiten. Technisch angewendet werden die Legierungen NbTi und Nb3 Sn. Hochtemperatur-Supraleiter Bei Keramiken mit Perowskit-Struktur wurden Sprungtemperaturen mit über  K gefunden, sodass bereits mit flüssigem Stickstoff die supraleitenden Effekte ausgenutzt werden können (Tabelle W-).

X Optoelektronik

X.1 Halbleiter-Sender Übersicht X-. Wichtige Normen. DIN - DIN 44 030 DIN 58 002 DIN 67 527- DIN EN 113 001 DIN EN 114 000 DIN EN 114 001 DIN EN 120 001 DIN EN 120 003 DIN EN 120 005 DIN EN 120 006 DIN EN 120 008 DIN EN 50 461 DIN EN 60 904 DIN EN 60 904 DIN EN 61 315 DIN EN 61 751 DIN EN ISO 11 807 DIN IEC 60 747- DIN IEC 60 749 DIN IEC 60 793 VDE  DIN IEC 62 031 DIN IEC 62 047 DIN IEC 62 088 DIN IEC 62 341 PAS 

Sachmerkmal-Leisten für optoelektronische Halbleiterbauelemente Leittechnik; Lichtschranken und Lichttaster Integrierte Optik – Nahfeldmessverfahren für einmodige optische Chipkomponenten Lichttechnische Eigenschaften von Signallichtern im Verkehr – Teil : Ortsfeste Signallichter im Straßenverkehr Vordruck für Bauartspezifikation: Bildaufnahmeröhren Fachgrundspezifikation – Fotovervielfacherröhren Vordruck für Bauartspezifikation – Fotovervielfacherröhren Vordruck für Bauartspezifikation: Leuchtdioden, Leuchtdiodenzeilen und Leuchtdioden-Anzeigen (-Displays) ohne interne Logik und Widerstand Vordruck für Bauartspezifikation – Fototransistoren, Foto-Darlington-Transistoren, Fototransistorzeilen Vordruck für Bauartspezifikation – Fotodioden, Fotodioden-Zeilen Vordruck für Bauartspezifikation – Fotodioden, Fotodioden-Zeilen Vordruck für Bauartspezifikation: Leuchtdioden und infrarot emittierende Dioden für faseroptische Systeme und Untersysteme Solarzellen – Datenblattangaben und Angaben zum Produkt für kristalline SiliziumSolarzellen Vordruck für Bauartspezifikation – Fototransistoren, Foto-Darlington-Transistoren, Fototransistorzeilen Fotovoltaische Einrichtungen Kalibrierung von Lichtwellenleiter-Leistungsmessern Lasermodule für Telekommunikationsanwendungen – Zuverlässigkeitsbewertung Integrierte Optik – Begriffe Halbleiterbauelemente – Einzel-Halbleiterbauelemente – Optoelektronische Bauelemente Halbleiterbauelemente – Mechanische und klimatische Prüfverfahren Lichtwellenleiter LED-Module für Allgemeinbeleuchtung – Sicherheitsanforderungen Halbleiterbauelemente – Bauelemente der Mikrosystemtechnik Vordruck für Bauartspezifikation – Fotodioden, Fotodioden-Zeilen Anzeigen mit organischen lichtemittierenden Dioden Messung der Lichtstärken an Signallichtern in Leuchtdioden (LED) – Technik



X Optoelektronik

Bild X-. Bänderschema einer in Flussrichtung betriebenen Leuchtdiode.

Bild X-. Rekombinationsprozesse in Halbleitern. Strahlende Übergänge: a) Band – Band, b) Donator – Valenzband, c) Leitungsband – Akzeptor, d) Paar – Übergang; nicht strahlende Übergänge: e) über tiefe Störstellen, f) Auger-Effekt.

X.1.1 Strahlungsemission aus Halbleitern Elektromagnetische Strahlung entsteht bei der Rekombination eines Elektrons aus dem Leitungsband (Abschnitt W) mit einem Loch aus dem Valenzband (Bild X-). In allen Fällen der strahlenden Rekombination entspricht die Energie Eph der ausgesandten Photonen näherungsweise der Breite Eg der verbotenen Zone: Eph N EL − EV = Eg .

(X–)

X.1.2 Lumineszenzdiode Lumineszenz- oder Leuchtdioden (LED, Light Emitting Diode) emittieren Licht, wenn ihr pnÜbergang (Abschnitt W..) in Flussrichtung betrieben wird (Bild X-). Die Farbe des Rekombinationslichts wird durch das Halbleitermaterial bestimmt. Von besonderem Interesse sind Mischkristalle, die durch die Wahl des Mischungsverhältnisses eine freie Einstellung des Energiegaps E g und damit der Photonenenergie innerhalb gewisser Grenzen zulassen. Tabelle X- zeigt die Zusammensetzung gängiger LEDs.

Tabelle X-. Daten verschiedener Lumineszenzdioden. Material: Dotierstoff

Farbe

Wellenlänge λ nm

Flussspannung U F V

GaAs: Si GaP: Zn,  GaAs, P, GaAs, P, : N GaAs, P, : N GaP: N, InGaN InGaN AIGaN GaN: Zn

IR rot rot orange gelb grün blau blau

       

, , , , , ,  ,

Typische Kennlinien der Strahlungsleistung Φe bzw. des Lichtstroms Φv in Abhängigkeit vom Flussstrom IF sind im Bild X- dargestellt. Bild X- zeigt LED-Spektren; die Linienbreite (auf halber Höhe gemessen) liegt bei Δλ = 40 nm. X.1.3 Laserdiode Die Laserdiode ist ein hoch dotierter pnÜbergang. Bei einer bestimmten Flussspannung (Bild X-) entsteht im Übergangsbereich zwischen p- und n-Material, der aktiven Zone, eine Besetzungsinversion (. Laserbedingung, Abschnitt L..). Die Rückkopplung (. Laserbedingung) der Laserwelle mit dem aktiven Medium geschieht beim Fabry-Perot-Laser durch Reflexion an den spiegelnden Endflächen (Spaltflächen) des Kristalls (Bild X-). Beim

X. Halbleiter-Sender



Bild X-. Bänderschema einer Laserdiode bei Betrieb in Flussrichtung. Die schraffierten Gebiete sind mit Elektronen besetzt.

Bild X-. Strahlungsleistung und Lichtstrom von Leuchtdioden in Abhängigkeit vom Flussstrom. Bild X-. Aufbau einer Laserdiode.

ab. Tabelle X- zeigt eine Zusammenstellung häufig verwendeter Lasermaterialien. Das Spektrum eines Fabry-Perot-Lasers (Bild X-) besteht aus mehreren sehr scharfen Linien, den longitudinalen Schwingungsmoden des Lasers. Im Laserresonator bauen sich stehende Wellen auf (Abschnitt J.), für die gilt nL = m Bild X-. Spektren verschiedener Lumineszenzdioden.

DFB-Laser (Distributed Feedback Laser) sorgt ein senkrecht zur Längsrichtung eingeätztes Gitter für verteilte Rückkopplung. Die Kennlinie des Lasers (Bild X-) zeigt, dass erst oberhalb eines Schwellenstroms Ith der Laserbetrieb einsetzt. Die Wellenlänge der Laserstrahlung hängt wie bei der LED von der Größe des Bandgaps E g

n L m λ

λ ; 2

(X–)

Brechungsindex des Kristalls, Länge des Resonators, Ordnungszahl, m = 1, 2, 3, . . ., Wellenlänge der Strahlung.

Spezielle Bauformen des Fabry-Perot-Lasers und insbesondere der DFB-Laser begünstigen Einmodenlaser (Single-Mode-Laser, Abschn. L..). Die Linienbreite der einzelnen Moden ist typischerweise Δ f N 20 MHz bzw. Δλ N 0,11 pm.



X Optoelektronik

X.2 Halbleiter-Detektoren X.2.1 Strahlungsabsorption in Halbleitern Wird ein Halbleiter mit Licht bestrahlt, dann geben die Photonen ihre Energie an Valenzelektronen ab, die aus ihrer Bindung gerissen werden und sich dann frei im Kristall bewegen können. Im Bändermodell werden Elektronen aus dem Valenzband ins Leitungsband hochgehoben. Damit dieser Vorgang ablaufen kann, muss folgende Bedingung erfüllt sein: Eph Eg

Bild X-. Kennlinie eines Halbleiterlasers aus InGaAsP (λ = , μm).

oder

hc 1,24 μm ċ eV = ; λ  λg = Eg Eg

(X–)

Tabelle X-. Materialien für Halbleiter-Laser. Material

Wellenlängenbereich in μm

Anwendungen

ternäre Mischkristalle Gax Al1−x As

, bis ,

optische Datenspeicher, optischeNachrichtentechnik, Materialbearbeitung

quaternäre , bis Mischkristalle , Inx Ga1−x As y P1−y

optische Nachrichtentechnik

Bleisalze, z. B. Pb x Sn1−x Se

Umweltmesstechnik, Absorptionsmessungen im mittleren IR

 bis 

Eph Eg λ λg h c

Photonenenergie, Bandabstand, Wellenlänge, Grenzwellenlänge, Planck’sche Konstante (h = 6,626 ċ 10−34 J ċ s), Lichtgeschwindigkeit (c = 2,9979 ċ 10−8 ms).

Fällt elektromagnetische Strahlung mit der Strahlungsleistung Φ 0 auf einen Kristall, dann ist die Leistung Φ der Strahlung, die den Kristall durchdringt, Φ = Φ 0 e−α d ; α d

(X–)

Absorptionskoeffizient, Kristalldicke.

Bild X- zeigt die Absorptionskoeffizienten einiger Halbleiter in Abhängigkeit von der Wellenlänge der Strahlung. X.2.2 Fotowiderstand

Bild X-. Emissionsspektrum eines InGaAsP-FabryPerot-Lasers.

Der Fotowiderstand (Light Dependent Resistor, LDR) oder Fotoleiter ist ein passives Bauelement, dessen elektrischer Widerstand sich bei Bestrahlung verringert. Der Zusammenhang

X. Halbleiter-Detektoren



Bild X-. Bänderschema einer Fotodiode ohne äußere Spannung. Bild X-. Absorptionskoeffizienten verschiedener Halbleiter.

Übersicht X-. Fotodiode. Fotostrom (Kurzschluss) Leerlaufspannung Kennlinie Iph Φe h f e η(λ) UL k T IS

Bild X-. Zusammenhang zwischen Widerstand und Beleuchtungsstärke (Lichtquelle mit Farbtemperatur TF =  K) eines CdS-Fotowiderstands.

zwischen Widerstand und Beleuchtungsstärke kann näherungsweise durch ein Potenzgesetz beschrieben werden (Bild X-): R H Ev−γ ; R Ev γ

(X–)

Widerstand, Beleuchtungsstärke, Steilheit (γ N 1).

Φe eη(λ) hf Iph kT ln + 1! UL = e IS I = IS - eeU kT − 1. − Iph Iph =

Fotostrom, absorbierte Strahlungsleistung, Planck’sche Konstante, Lichtfrequenz, Elementarladung, Quantenausbeute (η < 1), Leerlaufspannung, Boltzmann-Konstante, absolute Temperatur, Sperrsättigungsstrom.

tovoltaischer Effekt) bzw. einen Fotostrom abgibt. Durch die Absorption eines Photons in einem pn-Übergang (Bild X-) wird ein freies Elektron-Loch-Paar erzeugt. Infolge des eingebauten elektrischen Feldes (Diffusionsspannung Ud ) werden die beiden Ladungsträger getrennt. Im Leerlaufbetrieb ist an den Enden die Leerlaufspannung abgreifbar. Im Kurzschlussbetrieb fließt im äußeren Stromkreis in Sperrichtung der Fotostrom (Kurzschlussstrom) (Übersicht X-, Bild X-). X.2.4 Solarzelle

X.2.3 Fotodiode Die Fotodiode ist ein aktives Bauelement, das bei Bestrahlung eine elektrische Spannung (fo-

Die Solarzelle wandelt mit Hilfe eines großflächigen pn-Übergangs Sonnenenergie in elektrische Energie um. Bild X- zeigt eine



X Optoelektronik

Bild X-. Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom einer Si-Fotodiode.

Bild X-. Strom-Spannungs-Charakteristik einer SiSolarzelle.

Übersicht X-. Solarzelle. Füllfaktor (typisch % bis %)

FF =

Wirkungsgrad

η=

FF Im Um Pm IK UL Ee A

Im Um Pm = IK UL IK UL

Pm IK U L FF = Φe Ee A

Füllfaktor (Kurvenfaktor), Strom bei maximaler Leistung, Spannung bei maximaler Leistung, maximale Leistung, Kurzschlussstrom, Leerlaufspannung, Bestrahlungsstärke, Fläche.

Bild X-. Bipolarer Fototransistor.

nommen wird, den Maximalwert erreicht hat (Übersicht X-). X.2.5 Fototransistor

Strom-Spannungs-Kennlinie. Der Schnittpunkt der Widerstandsgeraden I = UR L mit der Kennlinie bestimmt den Arbeitspunkt A. Der optimale Lastwiderstand liegt vor, wenn die Leistung Pm = Im Um , die der Zelle ent-

Der Fototransistor (Bild X-) ist ein Detektor mit innerer Verstärkung. Durch Photonenabsorption erzeugte freie ElektronLoch-Paare werden im elektrischen Feld

X. Optokoppler

der Basis-Kollektor-Diode getrennt. Für den Kollektorstrom ergibt sich IC = (B + 1)(Iph + ICB,d ) N BIph ; Ic B Iph ICB,d

(X–)

Kollektorstrom, Stromverstärkungsfaktor in Emitterschaltung, Fotostrom, Dunkelstrom der Basis-Kollektor-Diode, Kollektorstrom.

Typische Werte für die Stromverstärkung liegen bei B = 100 bis .

X.3 Optokoppler Der Optokoppler oder Optoisolator verbindet zwei galvanisch vollständig getrennte Stromkreise miteinander. Die Kopplung erfolgt durch

Bild X-. Optokoppler mit verschiedenen Empfängern.



Infrarotstrahlung, die meist von einer GaAsIRED ausgesandt und von einem Si-Detektor empfangen wird (Bild X-). Eine der wichtigsten Kenngrößen eines Optokopplers ist das Stromübertragungsverhältnis CTR (Current Transfer Ratio, auch Koppelfaktor genannt) zwischen Ausgangsstrom IC und Eingangsstrom IF (Tabelle X-): CTR = IC IF .

(X–)

Tabelle X-. Stromübertragungsverhältnis und Grenzfrequenz verschiedener Optokoppler. Empfänger

CTR

fgr

Fotodiode Diode und Transistor Fototransistor Fotodarlington

, bis , , bis ,

 bis 30 Mhz  bis 9 MHz

, bis   bis 

 bis 500 kHz  bis 30 kHz

Y Informatik

Y.1 Digitaltechnik Y.1.1 Zahlensysteme Übersicht Y-. Zahlensysteme. Aufbau von Zahlensystemen Z = b X i Y i (i  Z; 0  X < Y) Z = . . . + X 3 Y 3 + X 2 Y 2 + X 1 Y 1 + X 0 Y 0 + X−1 Y −1 +...

Z

Zahl,

X

Argument, (0  X  Y) Basis, Stellenwert

Y i Zahlensysteme Wertigkeit der Argumente X i allgemeine Darstellung Zahlensysteme: Dezimalzahl Wert dezimal

Y3

Y2

Summengleichung Y1

Y0

b Xi Y i i

3 Wert 

2 Wert 

1 Wert 

0 Wert 

b X i 10 i i

Dualzahl Wert dezimal dual

3 Wert D 

2 Wert D 

1 Wert D 

0 Wert D 

b X i 2i

Oktalzahl Wert oktal dezimal

3 Wert O 

2 Wert O 

1 Wert O 

0 Wert O 

b X i 8i

Hexadezimal Wert hex. dezimal

3 Wert H 

2 Wert H 

1 Wert H 

0 Wert H 

b X i 16 i

für alle oben dargestellten Zahlen gilt: X i = 1

i

i

i



Y Informatik

Y.1.2 Kodes Unter Kodes versteht man die Zuordnung zwischen zwei Zeichenvorräten bzw. die Abbildung zwischen Mengen von Wörtern, die sich aus diesen Zeichenvorräten bilden lassen. Die Kodierungsregeln legen fest, wie diese Zuordnung stattfindet. Nicht redundante Kodes nutzen den ganzen Darstellungsbereich des Zahlensystems aus; redundante Kodes dagegen nicht. Deshalb gibt es bei redundanten Kodes Kodewörter, die nicht benutzt sind und zur Fehlererkennung dienen.

Bild Y-. Übersicht über die wichtigsten Kodes.

Für die Datenübertragung, zum Erstellen standardisierter Arbeitsdateien und zur Kopplung digitaler Geräte dient der ASCII-Kode (American Standard Code for Information Interchange). Der Gray-Kode ist ein Zahlenkode, der zur Maschinensteuerung eingesetzt wird. Er ist ein einschrittiger Kode, da sich beim Übergang benachbarter Zahlen nur ein Bit ändert. Er vermeidet den Nachteil der Dualzahlen, dass sich beim Übergang benachbarter Zahlen mehrere Bits ändern können (z. B. ändern sich beim Übergang der Dualzahl  (Dezimal ) auf  (Dezimal ) insgesamt  Bits).

Y. Digitaltechnik



Tabelle Y-. ASCII-Tabelle (Standard von  bis ; ASCII-Werte bis F werden in der Regel als Steuerzeichen genutzt).



Y Informatik

Übersicht Y-. Boole’sche Gesetze der Schaltalgebra. Kommutativgesetz Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge der Variablen vertauscht werden kann. Es gilt: A + B = B + A und AċB = B ċA . Assoziativgesetz Beim Assoziativgesetz führen die beiden möglichen Beklammerungen auf dasselbe Ergebnis: A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) A ċ B ċ C = (A ċ B) ċ C

Übersicht Y-. (Fortsetzung). Absorptionsgesetze Die Absorptionsgesetze sind das wichtigste Mittel bei der Vereinfachung von Gleichungen (siehe Distributivgesetz). Durch sie ist festgeschrieben, unter welchen Bedingungen Variable zu Konstanten werden, sich auslöschen oder sich selbst wiedergeben: A A A A A

+ + ċ ċ ċ

0 1 0 1 A

= = = = =

A 1 0 A A

A A A A A A

+ + ċ + ċ +

A= A A¯ = 1 A¯ = 0 (A ċ B) = A (A + B) = A A¯ ċ B =A+ B

Doppelte Negierung und

= A ċ (B ċ C) .

Wird eine Variable zweifach negiert, so heben sich die Negierungen auf. Somit gilt: A¯ = A .

Distributivgesetz Das Distributivgesetz ermöglicht das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken. Dabei ist auf die Rangfolge der Operatoren zu achten. Es gilt: A ċ (B + C) = A ċ B + A ċ C

Dies gilt auch dann, wenn die Variable mehrfach negiert ist. Beispielsweise reduziert sich eine dreifache Negierung der Variablen A auf eine einfache Negierung.

oder

(A + B) ċ C = A ċ C + B ċ C .

Y.1.3 Logische Verknüpfungen

Übersicht Y-. Gesetze von De Morgan.

Mit den beiden binären Elementarzuständen ,,“ (wahr) und ,,“ (nicht wahr) können nach Boole logische Aussagen und logische Funktionen beschrieben werden, wie sie in der digitalen Schaltungstechnik von Bedeutung sind. Die Boole’schen Gesetze beschreiben die Verknüpfungen logischer Strukturen und dienen zur Entwicklung elektronischer Schaltungen. In den Gesetzen von De Morgan wird über die Negation eine Beziehung zwischen ODERund UND-Funktion hergestellt. Mit den Gesetzen ist man in der Lage, logische Gleichungen mit vielen Negationen zu vereinfachen.

Erstes Gesetz von De Morgan Negiert man eine ODER-Verknüpfung, so ist dies einer UND-Verknüpfung gleich, bei der die einzelnen Elemente negiert sind. A + B + C + . . . = A¯ ċ B¯ ċ C¯ ċ . . . . Zweites Gesetz von De Morgan Negiert man eine UND-Verknüpfung, so ist dies einer ODER-Verknüpfung gleich, bei der die einzelnen Elemente negiert sind. A ċ B ċ C ċ . . . = A¯ + B¯ + C¯ + . . . .

Y. Digitaltechnik



Y.1.4 Digitale Bauelemente Digitale Bauelemente sind Schaltkreise, die auf der Grundlage der Boole’schen Schaltungen

entwickelt werden. Dazu bedient man sich sogenannter Logikfamilien.

Übersicht Y-. Logikfamilien und ihre Eigenschaften. Logikfamilie

CMOS

TTL

LSTTL

HC(T)

STTL

FAST

ECL

Schaltzeit

35 ns

10 ns

8 ns

8 ns

4 ns

3 ns

1 ns

Flip-Flop-Taktfrequenz

7 MHz

15 MHz

30 MHz

50 MHz

75 MHz

100 MHz

500 MHz

Leistungsaufnahme

10 nW

10 mW

2 mW

25 nW

20 mW

4 mW

25 mW

Eigenschaften

AC/ACT AS CMOS ECL FAST HC(MOS) HCT LSTTL MOS STTL TTL

Advanced HC/HCT Advanced STTL Complementary MOS Emitter-Coupled-Logic Fairchild-Advanced-Schottky-TTL High-Speed-CMOS TTL kompatible HC-Bausteine Low-Power-Schottky-TTL Metal-Oxide-Semiconductor Schottky-TTL Transistor-Transistor-Logik.



Y Informatik

Y.1.5 Schaltzeichen Tabelle Y-. Schaltzeichen der Gatterfunktionen. Funktion

Schaltzeichen DIN/IEC

logische Verknüpfung

Wahrheitstabelle

amerikanisch

Inverter

Y = A, A = Y

A  

AND

Y = AċB

A    

B    

Y    

NAND

Y = AċB

A    

B    

Y    

OR

Y = A+B

A    

B    

Y    

NOR

Y = A+B

A    

B    

Y    

EXOR

Y = Aƒ B

A    

B    

Y    

-fach AND

Y = AċB ċC

A        

B        

C        

Y        

-fach OR

Y = A+B +C

A        

B        

C        

Y        

Y  

Y. Digitaltechnik



Y.1.6 Speicherbauelemente Flüchtige Speicherbauelemente verlieren ihren Inhalt, wenn die Versorgungsspannung abge-

Bild Y-. Speicherfamilien.

schaltet wird, nicht flüchtige behalten dagegen den gespeicherten Inhalt.



Y Informatik

Y.1.7 Mikroprozessoren Als Maß für die Beurteilung von Rechenleistungen dienen die Anzahl der pro Sekunde bearbeitbaren Maschinenbefehle in MIPS (Million Instructions Per Second) oder die Anzahl der Gleitkommaoperationen in FLOPS (Floatingpoint Operations Per Second).

Zur Optimierung der Rechenleistungen werden Transputer eingesetzt. Diese lassen sich nach bestimmten Vernetzungs-Topologien vernetzen (Bild Y-).

Übersicht Y-. Prozessrechner-Bausteine und Begriffe.

Größen für die Rechenleistung

Begriffe

1 MIPS =  Million Befehle in der Sekunde 1 GIPS = 1000 MIPS 1 kFLOPS = 1000 FLOPS 1 MegaFLOPS (MFLOPS) = 1 000 000 FLOPS 1 GigaFLOPS (GFLOPS) = 1000 MegaFLOPS

ALU CPU DMA MIMD SIMD I/O

Arithmetik Logic Unit Central Processing Unit Direct Memory Access Multiple Instruction Multiple Data Single Instruction Multiple Data Input/Output.

Y. Digitaltechnik



Tabelle Y-. Bausteine der Rechner-Peripherie. dynamische Speicher RAM

statische Speicher bipolare Speicher

Speicher

EPROM ROM

EEPROM Mask-ROM

Sonstige

Mehrtor-Speicher Non Volatile RAM

StandardI/O

parallel seriell

Centronics RS  C, RS  A Ethernet, LAN

direkt LeistungsI/O

parallele I/O-Ports Transistorausgangsstufen

entkoppelt

Relais Optokoppler Numerik-Prozessor

Prozessunterstützung Systembausteine

DMA-Controller Interrupt-Controller Timer-Bausteine Spannungswächter Watchdog

Bild Y-. Topologien zur Transputer- Vernetzung.

Grafik-Interface BenutzerKeyboard-Controller schnittstellen Drucker-Interface



Y Informatik

Y.1.8 Leitungen digitaler Signale Tabelle Y-. Leitungen für digitale Signale und ihr Wellenwiderstand. Leitung

Geometrie

Wellenwiderstand Z

Bemerkungen

frei verdrahtete Leitung über einer Massefläche (“Wire over Ground”)

60Ω 4h Z =  ln ! εr d

gilt für h u d

Koaxial-Kabel

60Ω D Z =  ln   εr d

Der Wellenwiderstand koaxialer Kabel wird meist von den Herstellern bereits festgelegt.

verdrillte Leitung (Twisted Pair-Leitung)

120Ω 2D Z   ln   εr d

neben den geometrischen Bedingungen hängt Z auch von der Anzahl Schleifen pro cm ab.

Flachbandkabel

Streifenleiter (Microstrip-Leitung)

Wechseln sich Masseund Signalleitungen ab, existiert ein bestimmter Wellenwiderstand. Dieser ist von der Geometrie und dem Material abhängig. Z= 

zweiseitig geschirmter Streifenleiter (Strip-Leitung oder TriplateStreifenleiter)

87Ω 5,98h ! ln 0,8w + d εr + 1,41

Z= 4b 60Ω I  ln εr K 0,67wπ -0,8 +

Am meisten verwendete Technik. Gilt auch für MehrlagenLeiterplatten (Multi-Layer).

Wird nur in besondeL ren Fällen verwendet, wie beispielsweise in d N . der HF-Technik. w

Y. Schnittstellen, Bussysteme und Netzwerke



Y.2 Schnittstellen, Bussysteme und Netzwerke ASIC (Application Specific Integrated Circuit) Y.1.9 ASIC

sind kundenspezifische Schaltkreise, die den Einsatz individueller Digital- und Analogbausteine ermöglichen. Bei Halbkunden-ASIC werden Bausteine mit vorgefertigter Struktur verwendet, die kundenspezifsch verknüpft werden. Hierzu zählen die PAL (Programmable Array Logic) und die Gate-Array (eine Matrix aus sehr vielen UND-Gattern). Bei den Kunden-ASIC wird der ganze Chip nach Kundenwunsch angefertigt. Bei den Standardzellen greift man auf standardisierte Schaltungen (Makros) zurück, während beim VollkundenASIC alle Funktionen nach Kundenwunsch erstellt werden.

Unter Schnittstellen versteht man die Verbindungsstellen zwischen zwei Systemen, die über Schnittstellenleitungen miteinander verbunden sind. Busse sind Verbindungssysteme zwischen Teilnehmern. Alle Datenleitungen gehen an alle Teilnehmer und werden von allen Teilnehmern gemeinsam benutzt. Netze sind ein gekoppeltes System, an dem viele einzelne, räumlich getrennte Rechner angeschlossen sind. Die Kommunikation erfolgt durch den Austausch von Informationen unter Beachtung bestimmter Regeln (Bild Y-).



Y Informatik

Bild Y-. Schnittstelle, Bussystem und Netz.

Y. Schnittstellen, Bussysteme und Netzwerke



Y.2.1 Schnittstellen

Bild Y-. Übersicht der Schnittstellen.

Übersicht Y-. Schnittstellen-Belegungen. Centronics

IEC-Bus nach IEEE-

a) Amphenolstecker Typ -

a) Belegung

b) Belegung -poliger Stecker

-poliger Stecker (IBM-PC) Pin Signal Pin Signal  −STROBE  −STROBE  DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   DATA   −ACK  −ACK  BUSY  BUSY  PAPER END  PAPER END  +SELECT  +SELECT  −AUTO FEED  −AUTO FEED  −FAULT  −ERROR  −INIT(PRIME)  −INIT  −SELECT IN  −SELECT IN –, – GND – GND

Stift Nr.:                         

IEEE- D D D D EOI DAV NRFD NDAC IFC SRQ ATN Abschirmung D D D D REN Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd

IEC- D D D D REN EOI DAV NRFD NDAC IFC SRQ ATN Abschirmung D D D D Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd Gnd



Y Informatik

Übersicht Y-. (Fortsetzung). Centronics

IEC-Bus nach IEEE-

c) Anschlussnummerierung

b) Stecker

V.

X.

DEE DÜE

Datenendeinrichtung Datenübertragungseinrichtung

Y. Schnittstellen, Bussysteme und Netzwerke

Y.2.2 Bussysteme Über Busse werden Daten aus unterschiedlichen Systemen ausgetauscht.

Bild Y-. Bussysteme.





Y Informatik

Y.2.3 Netze Über Netze werden unabhängige Rechnersysteme miteinander verbunden. Um über unterschiedliche Rechner digitale Daten austauschen zu können, sind die Aufgaben und die Anforderungen an  Schichten festgelegt worden. Von Schicht zu Schicht ist eine klare Übergabeschnittstelle vorhanden. Die Kommunikation zwischen verschiedenen Stationen, die sowohl Sender als auch Empfänger darstellen, findet nach verschiedenen Prinzipien statt: Beim Token-Passing-Verfahren gibt es eine Sendeberechtigungsmarke (Token), die von Station zu Station weitergereicht wird. Beim Token-Bus liegt eine

Busstruktur vor. Die einzelnen Stationen sind nur logisch verkettet. Beim Token-Ring sind die Teilnehmer physikalisch und logisch in einem Ring verbunden. Beim Slotted-RingVerfahren laufen Nachrichtencontainer um, die beim Vorbeikommen an den Stationen mit Nachrichten gefüllt und entleert werden können. Das QPSX/DQDB-Konzept (Queued Packet and Synchronous Switch/Distributed Queue Dual Bus) benutzt zwei Bussysteme. Auf ihnen werden durch einen Rahmengenerator Pulse erzeugt, die für eine synchrone oder asynchrone Übertragung verantwortlich sind. Die umlaufenden Nachrichtencontainer können mit Nachrichten gefüllt und entleert werden. Beim Ausfall eines Teilsystems über-

transportorientierte Schichten

anwendungsorientierte Schichten

Tabelle Y-. OSI-Modell mit  Schichten. Bezeichnung

Bedeutung

Beispiel

 Application layer Anwendungsschicht

Anwenderschnittstelle, Informationsverarbeitung

Chef

 Presentation layer Darstellungsschicht

Anpassung von Datenformaten

Übersetzer

 Session layer Kommunikationssteuerungsschicht

Darstellung der Verbindung als virtuelle Einheit

Sekretärin

 Transport layer Transportschicht

Umsetzen von Namen in Telefonvermittlung Netzwerkadressen, Teilnehmerverbindungen

 Network layer Vermittlungsschicht

Wegefindung, Endsystemverbindungen

Nebenstellenanlage, Vermittlung

Zugriffssteuerung, Systemverbindungen, Prüfsummenbildung, Versenden und Empfangen von Datenpaketen

Telefonanlage, SatellitenRichtfunkstation

Erzeugen der elektrischen Signale

Modem, Akustikkoppler, Telefonapparat

 Data Link Layer Sicherungsschicht  Physical Layer Bitübertragungsschicht

Y. Schnittstellen, Bussysteme und Netzwerke

Bild Y-. Netze.





Y Informatik

Tabelle Y-. Zugriffsverfahren bei Netzen. Bezeichnung

Verfahren

Normen

Übertragungsgeschwindigkeit Mbit s

kollisionsbehaftet

CSMA/CD CSMA/CA

Mithören und Senden bei freier Leitung

ISO / –

 bis   bis 

Sendeberechtigungsmarke

Token-Bus Token-Ring Slotted-Ring FDDI-I QPSX/DQDB

beide Richtungen nur eine Richtung Nachrichtencontainer Token-Ring mit Glasfaser Doppelbus

ISO / ISO / ISO / ANSI xT ISO 

,  und  ,   

CSMA/CD CSMA/CA FDDI QPSX/DQDB

Carrier Sense Multiple Access with Collision Detection, Carrier Sense Multiple Access with Collision Avoidance, Fiber Distributed Data Interface, Queued Packet and Synchronous Switch/Distributed Queue Dual Bus.

Übersicht Y-. MAP- und MMS-Dienste.

Y. Schnittstellen, Bussysteme und Netzwerke

Bild Y-. Koppelbauteile für Netze.





Y Informatik

nimmt das andere Bussystem die Funktionen (Sicherheit). Zur Automatisierung der Fertigung wurde ein MAP-Standard (Manufactoring Automation Protocol) entwickelt. Als Sprache dient MMS (Manufacturing Message Specification). Zur Kommunikation zwischen technischen und kaufmännischen Abteilungen dient der TOP-Standard (Technical and Office Protocol). Beide Kommunikations-Standards bauen auf dem -Schichten-OSI-Modell auf. Werden unterschiedliche Netzwerke zusammengestellt, dann müssen für eine sichere

Kommunikation Koppelbausteine eingesetzt werden.

Y.3 Programmstrukturen Programmabläufe können, unabhängig von der gewählten Programmiersprache, grafisch durch Programmablaufpläne (DIN 66 001) oder Struktogramme nach Nassi/Shneiderman (DIN 66 261) entworfen werden. Die Programmstrukturen Folge, Auswahl und Wiederholung sind in entsprechenden Symbolen dargestellt.

Programm-Ablaufplan

Struktogramm

 Anweisung   Anweisung  ^  weitere Anweisungen

BASIC

 IF Bed. erf. THEN   Anweisung  Nein-Teil ^  weitere Anweisungen

IF Bedingung THEN BEGIN Anweisung ; Anweisung ; ELSE Anweisung  END;

 IF Bed. erf. THEN   Anweisung(en) Nein-Teil ^  GO TO   Anweisung(en) Ja-Teil ^  weitere Anweisungen

Alternative Auswahl (IF THEN . . . ELSE . . . ENDIF)

Auswahl-Struktur

IF Bedingung  THEN BEGIN Anweisung ; ^ END;

Bedingte Auswahl (IF Then . . . ENDIF)

Auswahl-Struktur

BEGIN Anweisung ; Anweisung ; END.

Folge-Struktur

PASCAL

IF (Bed. erf.) GO TO  Anweisung(en) Nein-Teil GO TO   Anweisung(en) Ja-Teil ^  weitere Anweisungen

IF (Bed. erf.) GO TO lβ Anweisung  Nein-Teil ^  weitere Anweisungen

Anweisung  Anweisung  ^ weitere Anweisungen

FORTRAN

Tabelle Y-. Programmstrukturen bei Programm-Ablaufplänen (DIN  ) und Struktogrammen (DIN  ) sowie deren sprachliche Umsetzung.

Y. Programmstrukturen 

Programm-Ablaufplan

Tabelle Y-. (Fortsetzung). PASCAL

BASIC

 ON N GO TO , ,   Anweisung Fall  ^  GO TO   Anweisung Fall  ^  GO TO   Anweisung Fall  ^   weitere Anweisung

CASE Auswahl OF : Fall ; : Fall ; ^ n: Fall n; ELSE Anweisung k; END;

 IF N >  THEN   ON N GO TO , ,  Fall  ^  GO TO   Fall  ^  GO TO   Fall   GO TO   Fehlerbehandlung ^  weitere Anweisungen

Fallunterscheidung (mit Fehlerausgang) (CASE OF . . . OTHERCASE . . . ENDCASE)

CASE Auswahl OF : Fall ; : Fall ; ^ n: Fall n; END;

Fallunterscheidung (ohne Fehlerausgang) (CASE OF . . . ENDCASE)

Struktogramm

IF (N.GT. ) GO TO  GO TO (, , ), N  FALL  ^ GO TO   FALL  ^ GO TO   Fall  GO TO   Fehlerbehandlung ^  weitere Anweisungen

GO TO (, , ), N  Anweisung Fall  GO TO   Anweisung Fall  GO TO   Anweisung Fall   weitere Anweisungen

FORTRAN

 Y Informatik

Programm-Ablaufplan

Tabelle Y-. (Fortsetzung).

Struktogramm

 FOR I = Start TO END STEP S  Anweisung  ^  NEXT I  weitere Anweisungen

BASIC

 IF Bei nicht erfüllt THEN  erfüllt  Anweisung  ^  GO TO   weitere Anweisungen

REPEAT Anweisung ; Anweisung ; UNTIL Bedingung;

 Anweisung   ^  IF Abbruch der Bed. THEN  erfüllt  weitere Anweisungen

nicht abweisende Schleife (DO UNTIL . . . ENDDO)

WHILE Bedingung DO BEGIN Anweisung ; ^ END;

abweisende Schleife (DO WHILE . . . ENDDO)

FOR I: = Startwert TO Endwert DO BEGIN Anweisung ; Anweisung ; END;

Zählschleife

Wiederholungs-Struktur

PASCAL

 Anweisung  ^ IF (Abbruch der Bed. erf.) GO TO  weitere Anweisungen

 IF (Bed. nicht erfüllt) GO TO  Anweisung  ^ GO TO   weitere Anweisungen

DO  I = Start, N, S Anweisung  ^  CONTINUE weitere Anweisungen

FORTRAN

Y. Programmstrukturen 



Y Informatik

Y.4 Datenstrukturen Die Daten werden in Programmen verarbeitet. Eine Datei besteht aus einer Anzahl von Datensätzen. Diese bestehen aus einzelnen Datenfeldern, in denen bestimmte Informationen abgelegt sind. Alle Dateien zusammen sind die Datenbasis und können in einer Datenbank verwaltet werden. Während des Programmlaufs ändern sich die Daten ständig. Datenflusspläne zeigen die

Bearbeitungsvorgänge (z. B. Sortieren), die Datenträger, die zur Ausführung der Bearbeitungsvorgänge benutzt werden, und die Stationen und Wege, über die die Daten das Programm durchlaufen. Daten können sich je nach Verlauf des Programmes verschieden verhalten (dynamische Daten) und werden dann unterschiedlich organisiert.

Tabelle Y-. Sinnbilder für Datenflussplan (DIN  ). Sinnbild

Benennung

Erläuterungen zur Anwendung Flusslinien

Flusslinie (flow line)

Am Ende der Flusslinie muss immer ein Pfeil sein. Vorzugsrichtungen: von oben nach unten, von links nach rechts.

Transport der Datenträger

Zur besonderen Kennzeichnung eines Transportes der Datenträger unter Angabe des Absenders oder Empfängers.

Datenübertragung (communication line)

Häufig verwendet bei Datenübertragung (z. B. über Telex, Fax oder Telefon). Bearbeitungsvorgänge

Bearbeiten, Operationen, allgemein (process)

Alle Bearbeitungsvorgänge sind mit diesem Sinnbild darzustellen, vor allem aber solche, die nicht weiter klassifiziert werden.

Eingabe von Hand (manual input)

Darstellung der Dateneingabe von Hand (z. B. von Steuer-, Kontroll- oder Korrekturdaten über Tastatur).

Mischen (merge) Trennen (extract) Mischen mit gleichzeitigem Trennen (collate)

Sortieren (sort)

Y. Datenstrukturen



Tabelle Y-. (Fortsetzung). Sinnbild

Benennung

Erläuterungen zur Anwendung Datenträger

Datenträger allgemein (input/output)

Steht der Datenträger noch nicht fest oder ist er nicht durch die folgenden Sinnbilder darstellbar, wird dieses Sinnbild verwendet.

Datenträger vom Leitwerk gesteuert Im Sinnbild ist die Speicherart (online storage) (z. B. Magnetplatte) anzugeben. Schriftstück (document)

Darunter fallen u. a. maschinenlesbare Vordrucke oder Listenausdrucke.

Lochkarte (punched card)

Es empfiehlt sich, die Kartenart anzugeben (z. B. Lagerentnahmekarte).

Lochstreifen (punched tape) Magnetband (magnetic tape)

Es ist sinnvoll, die Dateinummer mit anzugeben oder bei Ausgabeänderungen Sperrfristen einzutragen. Zugriffsart: sequenziell

Plattenspeicher (magnetic disk)

Daten auf Speicher mit Direktzugriff

Anzeige (display)

Die Anzeige erfolgt in optischer (z. B. Bildschirm oder Plotter) oder akustischer Form (z. B. Summer). Daten im Zentralspeicher



Y Informatik

Bild Y-. Daten, Dateien und Datenstrukturen.

Y. Sprachen

Y.5 Sprachen Übersicht Y-. Einteilung der Programmiersprachen.

Nach ADA Auguste Byron benannt, ALGOrithmic Language, A Programming Language, Automatic Programming for Tools, Beginners All Purpose Symbolic Instruction Code, C, C++ C-te (.) Programmiersprache (nach A und B) COBOL COmmon Business Language, DYNAMO DYNAMische PrOgrammierung, EXAPT EXpanded Applied Programming of Tools,

ADA ALGOL APL APT BASIC

FORTH FORTRAN GPSS JAVA LIDIA LISP PASCAL PL/ PROLOG SIMSCRIPT SIMULA SQL

für FOuRTH generation, FORmula TRANslation, General Purpose Systems Simulator, objektorientiert, Lernen Im DIAlog, LISt Processing language, Nach PASCAL benannt, Programming Language , PROgramming LOGik, SIMulation DeSCRIPTion, SIMULAtion language, Structured Querry Language.



Z Technische Chemie

Z.1 Atom und chemische Bindung Z.1.1 Periodensystem der Elemente Kurz nach  wurde eine naturwissenschaftliche Atomtheorie aufgestellt (aus chemischen Experimenten abgeleitet), in der formuliert wurde: Ein Element besteht aus gleichartigen Atomen. Als man die Atomsorten (Elemente) untereinander verglich, stellte man sowohl große Ähnlichkeiten als auch starke Unterschiedlichkeiten fest. Wenn man eine Anordnung der Elemente nach ihrer Ordnungszahl, also ein ganz einfaches Durchnummerieren, vornimmt, so stellt man fest, dass sich gewisse Elementeigenschaften immer nach  Elementen wiederholen. Man weiß heute, dass die sich ähnelnden Elemente in ihrer äußersten Schale dieselbe Elektronenkonfiguration besitzen, so gilt: Nr.  Nr.  Nr.  Nr.  Nr.  Nr. 

(Fluor) (Chlor) (Neon) (Argon) (Natrium) (Kalium)

s2 s2 s2 s2 s2 s2

s2 s2 s2 s2 s2 s2

p5 p6 p6 p6 p6 p6

s2 p5 s2 p6 s1 s2 p6 - -s1

Die letzte Schale, erkennbar an der Hauptquantenzahl n, zeigt bei den sich ähnelnden Elementen dieselbe Elektronenbesetzung. Sich ähnelnde Elemente haben dieselbe Anzahl von Außenelektronen (auch sog. „Valenzelektronen“). Ihre Elektronenkonfiguration unterscheidet sich nur in der Hauptquantenzahl n.

Somit bestimmen die Elektronen der äußersten Schale den Elementcharakter. Das Periodensystem liefert also folgende Basisinformationen: – Man erkennt, welche Elemente vergleichbare Reaktionen eingehen, weil das chemische Geschehen eine Art Wechselspiel der Außenelektronen ist. Im Periodensystem stehen diese Elemente untereinander, also z. B. Li, Na, K, Rb und Cs. – An der Gruppennummer erkennt man die Anzahl der zur Verfügung stehenden Valenzelektronen. Z.1.2 Basisgröße ,,Stoffmenge“ Es ist eine internationale Definition, als Bezugsmenge für chemisches Arbeiten so viele Teilchen zu betrachten, wie Atome in 12,00 g des Kohlenstoffisotops C() enthalten sind (Element Nr. ). Diese Bezugsmenge ergibt sich, wenn man die 12 g durch die Masse eines einzelnen C-Atoms dividiert; sie wird Mol genannt und mit dem Einheitenzeichen mol angegeben. Unter 1 mol versteht man eine Menge von 6,02209 ċ 1023 Teilchen, ganz gleich, welcher Art und wie groß diese Teilchen sind. Teilchen sind hierbei nicht nur Atome, sondern auch alle zusammenhaltenden Atomgruppierungen. Man nennt diese Menge international „AvogadroKonstante N A “, in Deutschland allerdings häufig „Loschmidt’sche Zahl“. Nach DIN 1304- gibt man die Stoffmenge in der Form n(X) oder ν(X) an, wobei X für die betrachteten Teilchen steht, also z. B.: n(HCl) = 0,1 mol

oder

n(Na) = 0,15 mol .



Z Technische Chemie

Die Masse eines Mols (also von etwa 6 ċ 1023 Teilchen) wird als „molare Masse“ bezeichnet und in der Form M(X) angegeben. Die Einheit lautet gmol. Andere Bezeichnungen wie etwa „Atommasse“ oder „Atomgewicht“ entsprechen nicht der Norm. Z.1.3 Edelgaskonfiguration und Atombindung Da die Edelgaskonfiguration s2 p6 (also abgeschlossene s- und p-Orbitale) der Grund für große Stabilität ist, versteht man, dass auch andere Atome diese Konfiguration anstreben. Die Art und Weise, wie dieses zustande kommt, wird mit dem Begriff „Chemische Bindung“ beschrieben; eine dieser Arten nennt man Atombindung. Der einfachste Fall, der auftreten kann, ist die Bildung eines H2 -Moleküls aus zwei H-Atomen, da jedes H-Atom nur ein einziges Elektron in einem s-Orbital besitzt. Dies lässt sich wie folgt wiedergeben: Hċ + ċH  H ċċ H

oder H–H

Man erkennt: Jedes H-Atom erhält auf diese Weise quasi zwei Elektronen, d. h. die abgeschlossene Schale des Heliums (hier nur s2 ). Dass tatsächlich ein Bindeeffekt zustande gekommen ist, sieht man am kleinen Abstand zwischen den H-Atomen im H2 -Molekül. Er beträgt 74,14 pm (Picometer; 1 pm = 10−12 m), während für den Radius eines H-Atoms 52,8 pm gilt. Um zur Edelgasschale s2 p6 zu gelangen, muss man Elemente der . Achterperiode betrachten, also Atome, deren zweite Hauptquantenbahn im Aufbau ist. Das Fluor ist ein Beispiel, weil hier s2 p5 vorliegt, d. h. eines der p-Orbitale nur halbbesetzt ist. Überträgt

man diese Vorstellungen auf die Bildung eines F2 -Moleküls, so gilt: .. .. .. F ..ċ + ċF ..  F ..ċ ċF .. oder

F − F

Man stellt fest, dass man zweierlei Elektronenpaare unterscheiden muss: Bindungselektronenpaare zwischen den Atomen. Diese gehören den Atomen gemeinsam. So genannte „freie Elektronenpaare“, die frei von Bindung sind und nur einem Atom angehören. Die Strichformel, die dabei entstanden ist, wird Lewis-Strukturformel genannt. Sie sammelt um ein Atomsymbol alle vorhandenen Elektronen. Das Oktett ergibt sich aus der Summe von bindenden und freien Elektronenpaaren (also Strichen, wobei jeder Strich für  Elektronen steht). Z.1.3.1 Hybridisierung Für alle Hydrogenhalogenide HF, HCl, HBr und HI gilt dasselbe, aber auch für den elementaren Zustand der Halogene F2 , Cl2 , Br2 und I2 . Alle entstandenen Gebilde sind zweiatomige Moleküle. Geht man von der Gruppe  (Halogene) nach links, so kommt man zu s2 p4 (Chalkogene), s2 p3 (Stickstoff-Gruppe) und s2 p2 (Kohlenstoff-Gruppe). Das KästchenSchema für Sauerstoff, Stickstoff und Kohlenstoff hat folgendes Aussehen: Man erkennt:

Bild Z-. Kästchen-Schema für Sauerstoff, Stickstoff und Kohlenstoff.

Z. Atom und chemische Bindung

– Das O-Atom besitzt zwei einfach besetzte pOrbitale, aber außerdem noch zwei voll besetzte Orbitale. Wenn O und H miteinander reagieren, sind für die Erreichung des Oktetts am Sauerstoff zwei H-Atome erforderlich, d. h., es resultiert die Formel des Wassers H2 O. Da p-Orbitale senkrecht zueinander stehen, ist ein gewinkeltes Molekül zu erwarten. – Stickstoff benötigt drei H-Atome, um ein Oktett auszubilden; ein freies Elektronenpaar bleibt übrig. Die entstehende Verbindung hat die Formel NH3 (Ammoniak). Die räumliche Anordnung des Moleküls ist pyramidal. – Das C-Atom ist O-Atom ähnlich, weil zwei einfach besetzte p-Orbitale vorliegen. Man erwartet ein gewinkeltes Molekül CH2 , welches aber die wichtige Forderung des Oktetts am Kohlenstoff nicht erfüllt. Die LewisStrukturformeln für diese drei Fälle lauten:

Bild Z-. Die Lewis-Strukturformeln für Wasser, Ammoniak und Carben.

Z.1.3.2 Polare Atombindungen und Elektronegativität Vergleicht man unter Zugrundelegung des Periodensystems die Eigenschaften der Elemente von s1 (Alkalimetalle) bis s2 p5 (Halogene), so fällt eine allmähliche Abnahme des metallischen Charakters auf. Die Gruppen  bis  (Übergangsmetalle) bleiben bei diesem Vergleich unberücksichtigt. Man findet, dass mit fortschreitender Besetzung der p-Orbitale die Elemente nichtmetallischer werden. Das hat Auswirkungen auf das Bindungselektronenpaar einer Atombindung.



Je näher ein Element dem Schalenabschluss s2 p6 ist, desto stärker zieht es das Bindungselektronenpaar zu sich herüber. Nur zwei identische Atomsorten besitzen in einer Atombindung ein symmetrisch angeordnetes Bindungselektronenpaar; in allen anderen Fällen ist das Bindungselektronenpaar zum nichtmetallischeren Partner hin verschoben. Für die Tendenz, das Bindungselektronenpaar anzuziehen wurde der Begriff Elektronegativität eingeführt und auch eine Elektronegativitätsskala abgeleitet, in der den einzelnen Elementen Elektronegativitätswerte zugeordnet wurden. Diese Elektronegativitätswerte wurden den einzelnen Elementen nicht ohne physikalischchemische Messmethoden zugeordnet, sondern die bekannten Bindungsenergien dienten als Grundlage für die Skala. Unter Bindungsenergie versteht man die bei der Verbindungsbildung aus Atomen frei werdende Energie. Fluor erhielt den Wert ,; die niedrigsten Elektronegativitätswerte liegen knapp unter ,. Im Periodensystem nimmt die Elektronegativität für Elemente, deren Valenzelektronen s-und p-Orbitale besetzen, ausgehend von Fluor (,) sowohl von oben nach unten, als auch von rechts nach links ab. Sie erreicht links unten beim Alkalimetall Cäsium den tiefsten Wert von etwa , bis ,. Der Elektronegativitätswert lässt sich neben anderen Eigenschaften heranziehen, um Nichtmetalle von Metallen abzugrenzen. Da die Übergänge im Periodensystem jedoch fließend sind, kommt man mit einer Einteilung in Nichtmetalle und Metalle nicht aus. Für die Gruppen , , , , ,  und  (s1 bis s2 p5 )



Z Technische Chemie

lassen sich die Elemente je nach Elektronegativität wie folgt unterscheiden: Nichtmetalle mit Werten von , bis etwa ,. Halbmetalle mit Werten von etwa , bis ca. ,. Metametalle mit Werten von etwa , bis ca. ,. Echte Metalle mit Werten von ca. , bis ,. Da nach dieser Vorstellung das F-Atom im HFMolekül mehr vom Bindungselektronenpaar erhält als das H-Atom, wird ersteres ein wenig negativer, letzteres um den gleichen Betrag positiver. Man spricht von Teilladung.

Bild Z-. Überlappung zweier pz -Orbitale außerhalb der Atomverbindungslinie (gestrichelt). Die Überlappungsbereiche oberhalb und unterhalb der Ebene sind hervorgehoben.

Z.1.3.3 Mehrfachbindungen Die Atombindung (die auch als kovalente Bindung bezeichnet wird) ist noch nicht vollständig beschrieben, da auch mehr als ein Elektronenpaar für die Bindung zwischen zwei Atomen beitragen kann. Es gibt Doppelbindungen ( Striche), Dreifachbindungen ( Striche), aber auch alle Zwischenzustände. So besitzt das Stickstoff-Atom infolge der Elektronenkonfiguration s2 p3 drei einfach besetzte p-Orbitale:

Bild Z-. Elektronenkonfiguration des Stickstoffs.

Die rotationssymmetrische Bindung in der Atomverbindungslinie heißt σ-Bindung. Die beiden anderen Überlappungen der pz - (und beim N2 zusätzlich der p y -) Orbitale führen zu sog. π-Bindungen, die keine Rotationssymmetrie, sondern Spiegelbildsymmetrie zeigen. Insgesamt ergibt sich in diesem Modell eine Dreifachbindung für N2 , die aus einer σ-Bindung und zwei π-Bindungen besteht. Bei einer Doppelbindung kommt die Bindung nur durch eine σ-Bindung und eine π-Bindung zustande. Z.1.3.4 Komplexbindungen

Zur Erklärung der Bindung im N2 -Molekül, müssen die Modellvorstellungen erweitert werden. Es erfolgt nur eine einzige Überlappung zweier p-Orbitale in der Atomverbindungslinie (analog zur Bildung des F2 -Moleküls). Weitere Überlappungsbereiche der anderen p-Orbitale treten außerhalb der Atomverbindungslinie auf. Diese bestehen aus zwei Anteilen.

Verbindungen, die gesättigt und in sich abgeschlossen sind, können noch weiter reagieren. Das ist mit der üblichen „Valenzlehre“ (Valenz = Wertigkeit) nicht vereinbar, da diese einem bestimmten Atom eine maximale Anzahl von Bindungen (Valenzen) zuordnet. Entsprechend der Theorie ist nicht einzusehen, warum so stabile Verbindungen wie AlF3 (Aluminiumfluo-

Z. Atom und chemische Bindung

rid) und KF (Kaliumfluorid) miteinander reagieren. Die neuen Verbindungen bezeichnet man als Komplex oder Koordinationsverbindung. In der heutigen Schreibweise lauten entsprechende Reaktionsgleichungen: AlF3 + 3 KF  K3 [AlF6 ] COCl3 + 6 NH3  [Co(NH3 )6 ]Cl3 . Der eigentliche Komplex ist jeweils das in eckiger Klammer geschriebene Ion [AlF6 ]3− und [Co(NH3 )6 ]3+ . Es lässt sich zusammenfassen: Ein Komplex ist ein „kompliziert gebautes Gebilde“, in dessen Zentrum das sog. Zentralatom sitzt. Um dieses Zentralatom herum ordnen sich Ionen oder Moleküle an, die Liganden genannt werden. Zwischen Zentralatom und Liganden bestehen Atombindungen. Die Anzahl der Bindungen, die das Zentralatom betätigt, nennt man Koordinationszahl (übliche Abkürzung: KZ).

Z.1.4 Die Ionenbindung Edelgase sind deshalb so stabil und reaktionsträge, weil sie ihre s- und p-Orbitale voll besetzt haben. Atome wie H, F, Cl, N hatten nur eine einzige Möglichkeit, um auch zu dieser Besetzung zu gelangen: sie mussten Elektronen miteinander teilen (Lewis). Dies rührt dann zu einer „vorgetäuschten“ Vollbesetzung, da in Wirklichkeit die Summe der Elektronen nicht zugenommen hat. Um wirklich eine vollbesetzte Außenschale zu erhalten, muss das Fluoratom ein Elektron einfangen. Da am Anfang des Periodensystems (Gruppe  und ) Elemente stehen, die ein oder zwei Elektronen



Tabelle Z-. Oxidation und Reduktion. Oxidation = Elektronenabgabe Oxidationszahl positiv Beispiel: K \ K+ + e− Das Ion heißt Kation

Reduktion = Elektronenaufnahme Oxidationszahl negativ Beispiel: Br + e \ Br− Das Ion heißt Anion

über einer abgeschlossenen Schale besitzen, wird ein Elektronenaustausch vorgenommen. Alkali- und Erdalkalimetalle besitzen nur ein bzw. zwei Elektronen über einer vollbesetzten Schale. Wenn ein Elektronen aufnehmender Partner anwesend ist, können diese Elektronen abgespalten und übertragen werden. +

Na  Na + e

−

Ca  Ca2+ + 2 e− Positive Ionen wie Na+ und Ca2+ nennt man Kationen. Die zur Abspaltung erforderliche Energie heißt Ionisierungsenergie. Der Vorgang der Elektronenabgabe wird als Oxidation bezeichnet, die Anzahl der abgegebenen Elektronen als Oxidationszahl (hier +II, wobei römische Zahlenangabe üblich ist). Das Kation Ca2+ besitzt jetzt dieselbe Außenschale wie das Edelgas Argon (Nr. ). Reaktionspartner für Alkali- und Erdalkalimetalle findet man insbesondere unter den Halogenen und Chalkogenen, da diese durch Elektronenaufnahme von ein oder zwei Elektronen zur Vollbesetzung gelangen. Der Vorgang der Elektronenaufnahme heißt Reduktion. Auch hier wird die Anzahl der aufgenommenen Elektronen Oxidationszahl genannt, allerdings mit negativem Vorzeichen. Die gebildeten Ionen ordnen sich räumlich zu „Ionengittern“ an (s. Kapitel V). Z.1.5 Metallische Bindung und Metallstrukturen Wenn man die Möglichkeiten berücksichtigt, eine chemische Bindung einzugehen, so gilt:



Z Technische Chemie

Zwei „hinreichend“ elektronegative Elemente (bzw. zwei Nichtmetalle) gehen eine Atombindung ein, die je nach Elektronegativitätsunterschied mehr oder weniger polar ist. Zwei in Bezug auf die Elektronegativität unterschiedliche Elemente (bzw. ein Nichtmetall und ein Metall) gehen eine Ionenbindung ein. Es fehlt noch der Fall, dass Metalle (also Elemente mit niedriger Elektronegativität) untereinander Bindungen eingehen. Metalle neigen nicht zur Elektronenaufnahme (Reduktion), sondern zur Elektronenabgabe (Oxidation). Metallatome geben ihre Valenzelektronen an ein Elektronenreservoir ab, das allen gemeinsam ist. Es verbleiben positive Metallionen, die sich im „Meer von Elektronen“ (auch Elektronengas genannt) nach räumlichen Gesichtspunkten anordnen. Da sich die Metallatome als Kationen in diesem Elektronengas aufhalten und von diesem ganz umhüllt werden, entwickeln sich ungerichtete Anziehungskräfte wie bei einer Ionenbindung. Die Atome ordnen sich nach geometrischen Gesichtspunkten so dicht wie möglich an; man spricht von einer dichtesten Kugelpackung.

Z.2 Wässrige Lösungen Z.2.1 Lösevorgänge und Konzentrationsangaben Wasser ist ein ideales Lösungsmittel für Stoffe, die ebenfalls polare Bindungen oder ionogenen Aufbau zeigen, also etwa für Alkohole wie Methanol CH3 OH und Ethanol C2 H5 OH einerseits oder Salze wie NaCl (Natriumchlo-

Bild Z-. Lösevorgang bei NaCl.

rid), KNO3 (Kaliumnitrat) oder Na2 SO4 (Natriumsulfat) andererseits. Die Ion-Dipol-Wechselwirkungen können zur Auflösung eines Kristalls führen, wenn die energetische Bilanz stimmt. Für den Löseprozess (d. h. Überwindung der Gitterkräfte bzw. Gitterenergie) spielt außer der Temperatur die sog. Hydrationsenthalpie als Energiefaktor eine Rolle. Darunter versteht man die Energie, die frei wird, wenn sich 1 mol Ionen mit H2 O-Dipolen umgibt. Aufgrund der Ion-Dipol-Wechselwirkungen wird ein Kation H2 O-Dipole immer in der Weise um sich anordnen, dass das O-Atom des Wassers auf das Kation zuzeigt. Für Anionen ist es die andere Seite des H2 O-Moleküls. Man kann das Auflösen von Kochsalz wie folgt in einer Gleichung wiedergeben: NaCl + (x + y)H2 O  [Na(OH2 )x ]+ + [Cl(H2 O) y ]− .

Z. Wässrige Lösungen

In der Lösung befinden sich dann solvatisierte, in diesem Falle hydratisierte Ionen, d. h. Ionen, die von einer Hülle aus Lösungsmittelmolekülen umgeben sind. Liegt dann eine Lösung vor, so ist es notwendig, diese zu charakterisieren. Hierzu dienen verschiedene Konzentrationsangaben, die auf unterschiedlichen Definitionen basieren. Eine Lösung ist x%ig, wenn sie in 100 g Lösung x g des gelösten Stoffes enthält. In der Chemie hat eine andere Konzentrationsangabe Vorrang, die sich auf die Teilchenzahl des gelösten Stoffes bezieht. Teilchenzahl bedeutet Stoffmenge; folglich spricht man von Stoffmengenkonzentration (englisch: amountof-substance concentration). Hierzu gilt die Norm DIN 4896. Eine Lösung hat die Stoffmengenkonzentration c(X) = y moll, wenn sich in 1 l Lösung y mol des gelösten Stoffes befinden. Da die Stoffmengenkonzentration auf das Volumen, die Prozentangabe jedoch auf die Masse der Lösung bezogen ist, lässt sich jede der Konzentrationsangaben nur dann in die andere umrechnen, wenn die Dichte bekannt ist.

Z.2.2 Ionenprodukt des Wassers Reinstes Wasser zeigt eine geringe elektrische Leitfähigkeit von ca. 5,5 ċ 10−8 S ċ cm−1 bei 25  C, d. h. Wasser verfügt auch im allerreinsten Zustand über Ladungsträger, ohne die eine elektrische Leitfähigkeit nicht möglich wäre. Diese Ladungsträger sind die Ionen H3 O+ (Hydronium-Ion) und OH− (Hydroxid-Ion). Sie entstehen durch sog. Eigendissoziation des Wassers (auch „Autoprotolyse“): H2 O + H2 O  H3 O+ + OH−



Wendet man auf dieses Gleichgewicht das MWG (Massenwirkungsgesetz) an, so ergibt sich mit den Aktivitäten a: K=

a(H3 O+ ) ċ a(OH) a(H2 O)

Da durch Definition a(H2 O) = 1, 0 ohne Einheit ist (reine Flüssigkeit), vereinfacht sich die Gleichung zu: K = a(H3 O+ ) ċ a(OH− )

Einheit: (moll)2

Diese MWG-Gleichung wird als „Ionenprodukt des Wassers“ und die Konstante K als Kw bezeichnet. Der Kw -Wert ist eine temperaturabhängige Größe, die über Leitfähigkeitsmessungen zugänglich ist, z. B. Bei

5 C 10  C 25  C

Kw

= 0,1846 ċ 10−14 (moll)2 = 0,2920 ċ 10−14 (moll)2 = 1,008 ċ 10−14 (moll)2

Dem Kw -Wert bei 25  C kommt eine besondere Bedeutung in der Chemie zu, da er praktisch 1,00 ċ 10−14 (moll)2 entspricht. Bei allen anderen Temperaturen kommt es zu mehr oder weniger starken Abweichungen, da die Eigendissoziation des Wassers mit der Temperatur zunimmt. Da es nur sehr wenige Ionen sind, die in reinstem Wasser vorliegen, rechnet man wie folgt: Es gilt, dass in dieser extrem verdünnten Lösung der Ionen H3 O+ und OH− in Wasser kaum interionische Wechselwirkungen vorliegen, sodass man a(H3 O+ ) = c(H3 O+ ) setzen kann, d. h. bei 25  C: +

−

c(H3 O ) ċ c(OH ) = 10

−14

(moll)

2

Nach der Dissoziationsgleichung entstehen die Ionen im Verhältnis :, deshalb gilt (bei 25  C): c(H3 O+ ) = c(OH− ) = 10−7 moll Da 1 l Wasser bei 25  C eine Masse von 997,1 g besitzt, liegen insgesamt pro Liter



Z Technische Chemie

997,118 = 55,394 mol H2 O vor. Die errechneten 10−7 moll sind hiervon nur ca. 1,8 ċ 10−7 %! Z.2.3 Säuren und Basen Nach Brönsted gelten folgende Bezeichnungen: Brönsted-Säure: Protonendonator, d. h.

Brönsted-Base: Protonenakzeptor, d. h.

A–H  H+ + A (A steht für acid = Säure, A ist dann das Anion der Säure) B + H+  [B–H]+ oder B− + H+  B–H

Eine Verbindung kann sich als Säure verhalten, wenn sie auf eine Base trifft, die das Proton auch aufnimmt, andernfalls bleibt diese Verbindung eine Wasserstoffverbindung, die ein Proton abgeben könnte. Für eine Base gilt das entsprechende, sodass beides unzertrennliche Begriffe sind. Daher spricht man immer von SäureBase-Reaktionen. Da eine Base nach Brönsted ein freies Elektronenpaar zur Bindung des Protons mitbringen muss und alle Anionen über mindestens ein derartiges verfügen, sind alle Anionen Basen. Sie sind also als Protonenakzeptor oder aber als Elektronenpaardonator zu bezeichnen. Dieses führt zu einer anderen Säure-BaseDefinition, die von G.N. Lewis stammt. Säuren sind als Elektronenpaarakzeptoren, Basen als Elektronenpaardonatoren zu betrachten. Diese zweite Säure-Base-Definition setzt die erste nicht außer Kraft, sondern ergänzt sie. Nach Lewis ist es nicht mehr nötig, dass eine Säure eine Wasserstoffverbindung ist; sie muss

lediglich die Möglichkeit haben, mit einem Elektronenpaar einer Base reagieren zu können. Die Säuren der Praxis gehören in erster Linie der anorganischen Chemie an. So ist Schwefelsäure in der Industrie mengenmäßig die am meisten hergestellte Verbindung überhaupt. Anorganische Säuren nennt man auch Mineralsäuren, weil ihre Salze bisweilen sehr wichtige Minerale der Natur darstellen (Steinsalz NaCl, Gips CaSO4 ċ 2 H2 O, Salpeter NaNO3 oder die komplizierter aufgebauten Phosphate). – Salzsäure: Die einfachste Mineralsäure ist die Salzsäure, eine wässrige Lösung von Hydrogenchlorid, das extrem gut wasserlöslich ist. Die gesättigte Lösung bei 20  C ist ca. 40,4%ig und enthält etwa 485 g HCl pro Liter: HCl(g) + H2 O  H3 O+ + Cl− . Das Gleichgewicht der Säure-Base-Reaktion mit Wasser liegt praktisch vollkommen auf der rechten Seite der Reaktionsgleichung, sodass ein Pfeil von links nach rechts die Verhältnisse am besten beschreibt. – Salpetersäure: Mit Salpeter bezeichnet man i. d. R. Natriumnitrat NaNO3 , daneben aber auch KNO3 , NH4 NO3 oder Ca(NO3 )2 . Zur Unterscheidung spricht man deshalb von Natron-, Kali-, Ammon- oder Kalk-Salpeter. Reine HNO3 ist kein Gas, sondern eine Flüssigkeit mit Kochpunkt (Kp.) 82,6  C, die durch die Reaktion mit Wasser zur eigentlichen Salpetersäure wird: HNO3 + H2 O  H3 O+ + NO−3 . Die Verhältnisse sind mit Salzsäure vergleichbar, d. h., auch hier liegt eine starke Säure vor. Wie HCl-Gas, so dissoziiert auch HNO3 in Wasser praktisch vollständig, sodass c(HNO3 ) = c(H3 O) gilt. – Schwefelsäure: Reine H2 SO4 ist ein farbloses Öl mit Kp. 280  C. Die Reaktion mit Wasser ist dermaßen exotherm, dass die Mischung zum Sieden kommt. Es ist daher nicht un-

Z. Wässrige Lösungen

gefährlich, reine H2 SO4 (oder auch konzentrierte H2 SO4 ) zu verdünnen. Beim Verdünnen kommt es zur Säure-Base-Reaktion mit Wasser. Diesmal liegt eine zweiprotonige Säure vor, d. h., ein Molekül, das zwei Protonen abspalten kann. Man spricht von  Stufen, weil dies hintereinander geschieht. Allerdings ist nur die erste Dissoziationsstufe eine praktisch vollkommen nach rechts ablaufende Reaktion: H2 SO4 + H2 O  H3 O+ + HSO−4 . Es entsteht das Hydrogensulfat-Ion HSO−4 , das ein Ampholyt ist. Die Weiterreaktion mit Wasser ist eine Gleichgewichtsreaktion mit der Konstanten K = 1,3 ċ 10−2 moll: HSO−4 + H2 O  H3 O+ + SO2− 4 . Wasser ist als Base zu schwach, um das HSO−4 -Ion nennenswert dissoziieren zu lassen. Die wesentlich stärkere Base OH− (Hydroxid-Ion), lässt folgende Reaktion ablaufen: HSO−4 + OH−  H2 O + SO2− 4 . Eine Säure und ihr durch die Protonenabspaltung entstehendes Anion (das eine Base ist) nennt man „korrespondierendes SäureBase-Paar“. Für Schwefelsäure gibt es zwei derartige Paare: H2 SO4 HSO−4

und

HSO−4 SO2− 4

.

In Schwefelsäure-Lösungen, die stärker konzentriert als 10%ig sind, kann man die zweite Dissoziationsstufe fast vernachlässigen. In einer 10%igen H2 SO4 sind nur etwa 1,3% der H2 SO4 -Moleküle bis zu Sulfat-Ionen SO2− 4 dissoziiert. – Phosphorsäure: Phosphorsäure ist eine sehr wichtige Säure, da ihre Derivate (Abkömmlinge) im Tier- und Pflanzenreich eine bedeutende Rolle spielen. Spricht man von Phosphorsäure, so ist die Ortho-



phosphorsäure H3 PO4 , eine dreiprotonige Säure, gemeint. Unter einer „Orthosäure“ (d. h. richtige Säure) versteht man die Verbindung mit der maximalen Zahl an OH-Gruppen. Säuren, die mehr als eine OH-Gruppe besitzen, können unter bestimmten Bedingungen H2 O abspalten und ohne Änderung der Oxidationszahl in eine andere Form übergehen. Diese neue Form heißt Metasäure. Eine Ortho-Salpetersäure H3 NO4 kennt man nicht. Während HNO3 ein kleines Molekül ist, liegt HPO3 polymer vor (d. h. vervielfacht). Alle drei H-Atome sind über Sauerstoffatome gebunden und können abgespalten werden. Aus diesem Grunde kennt man drei verschiedene Salze: Dihydrogenphosphate, Hydrogenphosphate und Phosphate. Man bezeichnet sie oft als primäres, sekundäres und tertiäres Phosphat. . Stufe: H3 PO4 + H2 O  H3 O+ + H2 PO−4 K 1 = 1,1 ċ 10−2 moll . Stufe: H2 PO−4 + H2 O  H3 O+ + HPO2− 4 K 2 = 7,6 ċ 10

−8

moll

. Stufe: 2−

+

3−

HPO4 + H2 O  H3 O + PO4 K 3 = 4,7 ċ 1013 moll .

Z.2.4 pH-Wert Zur Charakterisierung der Säure-Base-Eigenschaften wässriger Lösungen wird eine Größe herangezogen, die im physikalischen Sinne gar keine Größe ist. Es handelt sich um die Benennung „pH-Wert“; definitionsgemäß ist dafür keine Einheit vorgesehen.



Z Technische Chemie

Der negative dekadische Logarithmus des Zahlenwerts der H3 O+ -Konzentration wird als pH bezeichnet. Dies bedeutet etwa „Menge an H3 O+ -Ionen“. Um mathematisch exakt zu sein (weil sich eine Einheit nicht logarithmieren lässt), muss man den pH-Wert wie folgt definieren: pH = − lg

c(H3 O+ ) . 1 moll

Zur Definition des pH-Werts und der sog. pHSkala gehört, dass das Ionenprodukt des Wassers (Kw ) nicht nur für reinstes Wasser gilt, sondern auch für verdünnte wässrige Lösungen. Voraussetzung ist allerdings, dass diese einfach zusammengesetzt sind und die Konzentrationen c(X) = 0,1 moll nicht überschreiten. Für den Fall, dass diese Voraussetzungen nicht erfüllt sind, ist mit Abweichungen vom theoretischen Kw -Wert zu rechnen. Somit erhält eine pH-Skala einen Anfang und ein Ende; denn die größte noch exakte Konzentration c(H3 O+ ) ist dann 10−1 moll (pH = 1), die kleinste 10−13 moll (pH = 13), weil dann c(OH− ) den Grenzwert von 10−1 moll einnimmt. Es gilt also: c(H3 O+ ) ċ c(OH− ) = 10−1 ċ 10−13 (moll)2 aber nicht mehr: 10+1 ċ 10−15 (moll)2 , obwohl die zweite Gleichung aus mathematischer Sicht gültig ist.

wie folgt ausdrücken: die pH-Skala liegt zwischen  und . + Da neutrales Wasser die H3 O -Konzentra+ tion c(H3 O ) = Kw hat, gilt bei 25  C: pH = 7 (neutral), pH < 7 (sauer), pH 7 (basisch).

Z.2.5 Redoxreaktionen in wässriger Lösung – Oxidation (Elektronenabgabe): Bei jeder Oxidation steigt die Oxidationszahl. Den Unterschied der Oxidationszahlen zwischen rechts und links muss man als Elektronen auf die Seite der höheren Oxidationszahl schreiben: SO2  HSO−4 + 2 e− . Für den nächsten Schritt benötigt man die wässrige Lösung, d. h., die immer vorhandenen H3 O+ -Ionen. Diese sind in die Reaktionsgleichung mit einzubeziehen, wobei man zur Vereinfachung nur H+ schreibt. Es gilt: Auf die Seite der Elektronen werden so viele H+ -Ionen zugefügt, bis dieselbe Gesamtladung (nicht Oxidationszahl) wie auf der gegenüberliegenden resultiert. Die linke Seite der Reaktion (nur SO2 ) enthält überhaupt keine Ladungen, die rechte dagegen drei negative. Folglich sind rechts  H+ anzuschreiben, damit die Bilanz der Ladungen stimmt: −

Die pH-Skala liegt zwischen pH = 1,0, d. h. c(H3 O+ ) = 10−1 moll und pH = 13,0, d. h. c(H3 O+ ) = 10−13 moll. In diesem Falle betrachtet man den theoretischen Kw -Wert als gültig. Man kann dies auch

−

+

SO2  HSO4 + 2 e + 3 H . Man erkennt, dass immer mit H2 O-Molekülen auf der den H+ -Ionen gegenüberliegenden Seite ausgeglichen werden kann. Es fehlen somit links  H2 O: −

−

+

SO2 + 2 H2 O  HSO4 + 2 e + 3 H .

Z. Verbindungsklassen der organischen Chemie

– Reduktion (Elektronenaufnahme) Bei einer Reduktion wird die Oxidationszahl des beteiligten Elements erniedrigt. Das Permanganat-Ion MnO−4 nimmt  Elektronen auf und geht von der Oxidationszahl +VII in +II über: −

−

MnO4 + 5 e  Mn

2+

.

Der Ausgleich mit H+ -Ionen fordert links (immer auf der Seite der Elektronen)  H+ . Rechts müssen  H2 O angeschrieben werden: MnO−4 + 5 e− + 8 H+  Mn2+ + 4 H2 O . Die Vereinigung beider Teilreaktionen erfolgt in der Weise, dass jeweils dieselbe Anzahl von Elektronen umgesetzt wird. Da die Oxidation nur 2 mol Elektronen liefert, die Reduktion jedoch 5 mol benötigt, wird erst addiert, wenn die Oxidation mit  und die Reduktion mit  multipliziert wurde, d. h.: 5 SO2 +10 H2 O  5 HSO−4 +10 e− +15 H+ −

−

+

2 MnO4 + 10 e + 16 H

 2 Mn2+ + 8 H2 O . Die Zahl der Elektronen entfällt bei der Addition der beiden linken und der beiden rechten Seiten: 5 SO2 + 10 H2 O + 2 MnO−4 + 16 H+ −

+



vorliegen können, einer hohen, einer mittleren und einer niedrigen. Die mittlere Oxidationszahl muss nicht dem Mittelwert der anderen beiden Stufen entsprechen.

Z.3 Verbindungsklassen der organischen Chemie Z.3.1 Alkane (gesättigte Kohlenwasserstoffe, Paraffine) Die einfachste Verbindungsklasse der Organischen Chemie besteht aus den Elementen C und H und baut auf der (sp3 )-Hybridisierung des Kohlenstoffs auf. Die von der Summenformel her noch einfacher erscheinenden Oxide Kohlenmonoxid CO und Kohlendioxid CO2 werden genauso wie das Element C (und seine Modifikationen) sowie die Carbonate (Anion CO2− 3 ) der Anorganischen Chemie zugeordnet. Methan CH4 ist das Grundglied einer großen Zahl von Verbindungen, die entweder existieren oder aber zumindest vorstellbar sind. An die Stelle einer C–H-Bindung tritt eine C–C-Bindung, sodass nach Substitution (Ersatz) eines H-Atoms durch CH3 immer mehr Verbindungen entstehen.

2+

 5 HSO4 +15 H +2 Mn +8 H2 O . Die Gleichung vereinfacht sich weiter zu: −

5 SO2 + 2 H2 O + 2 MnO4 + H

+

 5 HSO−4 + 2 Mn2+ . Spezialfälle von Redoxreaktionen, die mit ein und demselben Element ablaufen, werden als Komproportionierung oder Disproportionierung bezeichnet. Das betreffende Element muss dann in mindestens drei verschiedenen Oxidationszahlen

Die Verbindungsklasse der Summenformel C n H2n+2 , also CH4 (Methan), C2 H6 (Ethan), C3 H8 (Propan), C4 H10 (Butan) usw., wird als Alkane bezeichnet.

Z.3.2 Erdöl Ausgangsmaterial für Erdöl ist das Plankton das, einmal abgestorben, von Bakterien am Meeresboden unter Luftausschluss verarbeitet wurde. Somit enthält Erdöl Verbindungen, die all diejenigen Elemente aufweisen, die auch



Z Technische Chemie

sonst im Tier- und Pflanzenreich gefunden werden, in erster Linie C, H, O, N und S. Hauptbestandteil des Erdöls sind Kohlenwasserstoffe (KW), wobei man zwischen paraffinbasischen (reich an kettenförmigen Alkanen) und naphthenbasischen (reich an Cycloalkanen) unterscheidet. Erdölanalysen erbringen folgende Durchschnittswerte: ca. 85% C, ca. 12% H, ca. 1% N, ca. 0,5% O, Rest Schwefel (da Eiweißstoffe Sund N-haltig sind) und einige Metallspuren. Kerosin ist eine Sammelbezeichnung für KW im Bereich zwischen C10 und C16 mit Kp. zwischen  und 300  C. Es wird u. a. als Treibstoff für Düsenflugzeuge verwendet, wobei es verschiedene Qualitäten gibt. Kraftstoffe für Otto- und Dieselmotoren genügen unterschiedlichen Anforderungen, welche durch unterschiedliche KW (Kohlenwasserstoffe) erfüllt werden: – Kleinere und verzweigte Alkane, aber auch Aromaten eignen sich als Otto-Kraftstoff, wobei das sog. Isooctan (exakter: ,,-Trimethylpentan) als besonders günstig und daher als Standard eingestuft wurde. – Längere und unverzweigte Alkane sind gut als Diesel-Kraftstoff geeignet. Auch hier hat man eine Standardsubstanz im nHexadecan C16 H34 gefunden, das allerdings als Cetan bezeichnet wird. Ein weiterer großer Verwendungsbereich nach Heizölen und Kraftstoffen ist der Einsatz für sog. petrochemische Produkte. Unter der Bezeichnung Petrochemikalien werden alle Substanzen zusammengefasst, die man aus Erdöl oder Erdgas auf verschiedenste Weise herstellen kann.

Z.3.3 Ungesättigte Kohlenwasserstoffe Kohlenwasserstoffe werden als ungesättigt bezeichnet, wenn sie nicht die maximal mögliche Anzahl von H-Atomen gebunden enthalten. Das bedeutendste Alken ist das Ethen, das als Ethylen bezeichnet wird. Da innerhalb eines Moleküls mehrere Hybridisierungsarten vorkommen können, ist eine unüberschaubare Anzahl kettenförmiger oder cyclischer Verbindungen mit einer oder mehreren Doppelbindungen möglich. Bei der Benennung wird die Lage der Doppelbindung(en) durch eine Nummerierung der C-Atome angegeben, z. B.: H2 C=CH–CH2 –CH3 H3 C–CH=CH–CH3 H2 C=CH–CH=CH2 H2 C=CH–C(CH3 )=CH2

-Buten -Buten , Butadien -Methyl-,-butadien oder Isopren Neben der IUPAC-Bezeichnung Alken findet man auch noch den historischen Namen Olefin, der Ölbildner bedeutet. Das einfachste Alkin ist das Ethin mit dem traditionellen Namen Acetylen und der Summenformel C2 H2 . Das geruchlose Gas ist im Gemisch mit Luft in weiten Bereichen (etwa von - bis 70% Volumenanteile) explosiv. Die Verbrennung, die mit reinem Sauerstoff Temperaturen oberhalb von 2500  C erreicht, wird zum Schweißen genutzt.

Z.3.4 Benzol und Aromaten Benzol ist eine farblose, charakteristisch riechende Flüssigkeit (Kp. 80,1  C; F. 5,5  C), die ein starkes Gift und eine krebserregende Substanz darstellt.

Z. Verbindungsklassen der organischen Chemie



Benzol hat eine ebene Ringstruktur, in der sechs (sp2 )-hybridisierte C-Atome ein Sechseck bilden. Jedes C-Ätom bindet über s-Bindungen ein HAtom und zwei benachbarte C-Atome und besitzt weiterhin noch ein einfach besetztes pOrbital. Über dieses können nach beiden Seiten hin π-Bindungen ausgebildet werden.

Bild Z-. Links: s-Bindungen im Benzolring. Rechts: Veranschaulichung der n-Bindungen im Benzolring durch die hervorgehobenen (aber verkleinerten) p-Orbitale.

Benzol ist der Grundkörper der sog. aromatischen Verbindungen. Das Benzolmolekül lässt sich auf zwei verschiedene Weisen erweitern, ohne dass das Gebiet der Kohlenwasserstoffe verlassen wird:

– Substitution von H-Atomen durch Alkyloder Alkenylgruppen – Anreihung mehrerer Ringe zu aromatischen Polycyclen (Anellierung).

Tabelle Z-. Einfache Benzolderivate (Kohlenwasserstoffe). Formel der Verbindung

Name

Eigenschaften

Toluol (Methylbenzol)

Aromatisch riechende Flüssigkeit, Kp. 111  C, FP. etwa 5  C; Name vom Tolubaum, aus dessen Harz (Tolubalsam) es erstmals gewonnen wurde. Weniger giftig als Benzol; Lösungsmittel, Benzinbestandteil (hohe Octanzahl)

Styrol (Vinylbenzol)

Farblose Flüssigkeit, die aus dem Harz des Styraxbaumes gewonnen wurde; Kp. 146  C, FP. 32  C; Monomeres des Polystyrols (PS)

o-Xylol

Nach dem griechischen Wort für Holz (xylo) benannt. Die Orthoverbindung hat Kp. 144  C. Technisches Xylol ist eine Mischung aus o-, m- und p-Xylol; Lösungsmittel

m-Xylol

Kp. 139  C

p-Xylol

Kp. 138  C Ausgangsstoff für Polyester

Biphenyl

Farblose Blättchen, dient zur Behandlung der Schalen von Zitrusfrüchten (E , je kg ganzer Frucht maximal 70 mg)



Z Technische Chemie

– Bild Z-. Mögliche Strukturformeln für Benzol.

Der erste Fall liegt vor bei Verbindungen wie Toluol und Styrol (ein einziger Substituent) oder bei den Xylolen (zwei Substituenten). Bei der Substitution von zwei H-Atomen können drei unterschiedliche Verbindungen entstehen, die mit ortho-, meta- und para- gekennzeichnet werden. Polycyclische aromatische KW entstehen durch sog. Anellierung von Benzolringen, d. h. eine Aneinanderreihung über gemeinsame Kanten. Man spricht dann von kondensierten Ringsystemen. Das einfachste System mit zwei Ringen ist Naphthalin (F. 80  C). Da diese Substanz früher gegen Motten eingesetzt wurde, bringt man ihren Geruch mit „Mottenpulver“, in Verbindung. Z.3.5 Weitere Verbindungsklassen der organischen Chemie Zahlreiche Verbindungen der organischen Chemie lassen sich zu charakteristischen Klassen zusammenfassen. Es werden nur die allerwichtigsten erwähnt. – Alkohole (funktionelle Gruppe: –OH): Die einfachen Verbindungen haben die Formel R–OH wie Methanol CH3 OH oder Ethanol C2 H5 OH. Kompliziertere Alkohole besitzen an verschiedenen C-Atomen OH-Gruppen („mehrwertige Alkohole“) wie etwa Glykol HO–CH2 –CH2 –OH oder Glycerin HO–CH2 –CH(OH)–CH2 –OH. Mehr als eine OH-Gruppe lässt sich i. d. R. nicht

–

–

–

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–

–

–

an ein C-Atom binden (sog. ErlenmeyerRegel). Ether (funktionelle Gruppe: –O–): Der übliche Ether ist der Diethylether C2 H5 –O– C2 H5 , also R–O–R, wobei alle denkbaren Reste möglich sind. Cyclische Ether tragen die Gruppe im Ring. Carbonsäuren (organische Säuren): Die funktionelle Gruppe ist –CO–OH, wobei das H als H+ abgespalten werden kann. Typische Beispiele sind Ameisensäure H–COOH und Essigsäure CH3 –COOH. Ester (funktionelle Gruppe: –CO–OR): Dieser Name für Verbindungen der Formel R–CO–OR wurde durch Zusammenziehen der Worte Essig und Ether gebildet, wobei das h entfiel. Aldehyde (funktionelle Gruppe: –CO–H): Auch dieser Name ist durch eine Zusammenziehung entstanden, und zwar aus „alcohol dehydrogenatus“, d. h. oxidierter Alkohol. Die Verbindungsklasse R–CO–H erhält im Namen die Endung -al, z. B. Ethanal CH3 –CO–H. Ketone (funktionelle Gruppe: –CO–): Ein wichtiges Beispiel ist Aceton, nach dem die Gruppe benannt wurde: (A)-ceton. Es handelt sich um die feuergefährliche Flüssigkeit CH3 –CO–CH3 (Kp. 56  C). Amine (funktionelle Gruppe: –NH2 ): Es handelt sich um Ammoniakderivate wie Methylamin CH3 –NH2 (Gas, Kp. −6,3  C). Säureamide R–CO–NH2 : Hierin ist die saure OH-Gruppe der Carbonsäuren durch –NH2 ersetzt. Die ersten beiden Verbindungen sind Formamid H–CO–NH2 und Acet-amid CH3 –CO–NH2 . Aminosäuren R–CH(NH2 )–COOH. Diese große Familie hat in den α-Aminosäuren ihre bedeutendsten Vertreter, weil sie am Aufbau der Proteine (Eiweißstoffe) beteiligt sind, α bedeutet, dass die NH2 -Gruppe am ersten C-Atom nach der COOH-Gruppe sitzt.

Z. Elektrochemie

Z.4 Elektrochemie Z.4.1 Elektrolyse Als Elektrolyse wird ein chemischer Vorgang bezeichnet, der unter dem Einfluss einer elektrischen Spannung erfolgt, wenn diese von der Spannungsquelle in eine ionenhaltige Flüssigkeit übertragen wird. Zu den wichtigsten Elektrolysen gehören diejenigen, die in wässriger Lösung ablaufen. Da Wasser schon von sich aus Ionen enthält (H3 O+ und OH− ), stehen nach Auflösung eines Ionengitters A+ B− der Kathode die Ionen H3 O+ und A+ für eine Reduktion, der Anode OH− und B− für eine Oxidation zur Verfügung. Es wird jeweils der energetisch günstigere Prozess ablaufen, wobei die Verhältnisse sowohl von thermodynamischen als auch kinetischen Gesichtspunkten entschieden werden. Vergleicht man wässrige Lösungen von NaCl, Na2 SO4 , H2 SO4 , CuSO4 und CuCl2 hinsichtlich der Elektrodenprodukte an PlatinElektroden, so erhält man die in Tabelle Z- zusammengefassten Ergebnisse. Es gilt: – Aus wässriger Lösung werden keine Alkaliund Erdalkali-Ionen kathodisch reduziert – Chlorid-, Bromid- und Iodid-Ionen lassen sich aus wässriger Lösung anodisch oxidieren



Tabelle Z-. Elektrodenprodukte bei Elektrolysen wässriger Lösungen (Platinelektroden). Elektrolyt (wässrige Lösung)

Kathodenreaktion

Anodenreaktion

NaCl Na2 SO4 H2 SO4 CuSO4 CuCl2

H2 -Entwicklung H2 -Entwicklung H2 -Entwicklung Cu-Abscheidung Cu-Abscheidung

Cl2 -Entwicklung O2 -Entwicklung O2 -Entwicklung O2 -Entwicklung Cl2 -Entwicklung

– Sulfat-Ionen SO2− 4 reagieren i. d. R. an der Anode nicht, sondern nur in Ausnahmefällen. Da Wasser ein extrem schwacher Elektrolyt mit einer äußerst niedrigen Leitfähigkeit ist, setzt man für eine Elektrolyse des Wassers eine geeignete Ionenverbindung zu, die nicht reagiert, aber den Strom leitet (z. B. Na2 SO4 ). Die eingebrachten Ionen sind dann nur zur Erhöhung der Leitfähigkeit vorhanden, ohne dass die Elektrodenreaktionen verändert werden: Anode: Kathode:

2 OH−  12 O2 + H2 O + 2 e− H 3 O+ + 2 e −  H 2 + H 2 O

Z.4.2 Galvanische Zellen Jeder galvanischen Zelle liegt eine freiwillig ablaufende Redoxreaktion zugrunde. Beim Eintauchen eines Zink- oder Eisenstabes in eine wässrige Lösung von Kupfersulfat CuSO4 erfolgt eine Verkupferung des eingetauchten Stabes. Eine äquivalente Menge Zink geht dafür in Lösung. Es läuft folgende Reaktion freiwillig ab:

Bild Z-. Prinzip einer elektrolytischen Zelle. Über die Art des Elektrolyten sind keine näheren Aussagen gemacht.

Reduktion:

Cu2+ + 2 e−

 Cu

Oxidation:

Zn

 Zn

Summe:

Cu2+ + Zn

 Zn2+ + Cu

2+

+2e

−



Z Technische Chemie

Wenn in einer galvanischen Zelle nur die Reaktion an einer der beiden Halbzellen interessiert, dann bezeichnet man die nicht interessierende zweite Halbzelle als „Bezugselektrode“. Das Messergebnis bezieht sich auf diese zusätzliche Halbzelle. Hätte man eine andere Bezugselektrode ausgewählt, so wäre auch eine andere Spannung gemessen worden. Die gemessene Spannung U einer galvanischen Zelle setzt sich immer aus der Differenz zweier Potenziale E zusammen. Es wurde festgelegt: Spannung U = E(Kathode) − E(Anode) Einheit: V Bild Z-. Aufbau-Prinzip einer galvanischen Zelle am Beispiel der Daniell-Zelle.

Elementares Zink ist hierbei durch Abgabe von 2 mol Elektronen pro mol Zink ohne äußeren Einfluss in Zn2+ übergegangen. Die Cu2+ -Ionen haben pro mol 2 mol Elektronen aufgenommen und elementares Kupfer gebildet, das den Zinkstab überzieht. Dieselbe Reaktion lässt sich in einer galvanischen Zelle durchführen, wobei verhindert wird, dass Elektronen vom Zink direkt zum Cu2+ -Ion übergehen, indem beide nicht in unmittelbarem Kontakt stehen. Jede galvanische Zelle besteht aus zwei sog. Halbzellen. In der Daniell-Zelle sind die Halbzellen Cu/Cu2+ und Zn/Zn2+ beteiligt. Die Bezeichnung „Halbzelle“ drückt aus, dass ein in seine Ionenlösung eintauchendes Metall (also M/M+ ) nur eine halbe Anordnung darstellt. Erst durch die Kombination zweier Halbzellen entsteht die eigentliche Zelle.

Hierin haben die Halbzellen für die Spannung den Buchstaben E erhalten, die gesamte galvanische Zelle dagegen U. Als geeignetste Bezugselektrode wurde die Wasserstoffelektrode gewählt, ein System, das von den üblichen abweicht, denn Wasserstoffgas H2 übernimmt die Rolle des Metalls, d. h. der reduzierten Stufe. Es wurde international festgelegt, dass diese Halbzelle unter ganz bestimmten Konzentrations- und Druckbedingungen als „Standardbezugselektrode“ für alle anderen Halbzellen dienen soll. Man spricht von Standardwasserstoffelektrode (abgekürzt: SWE, englisch: SHE). Ein platinierter Platindraht, der in eine Lösung der H3 O+ -Aktivität , eintaucht und von reinstem Wasserstoff mit Druck 1013,25 hPa umspült wird, wird zur Festlegung der sog. Spannungsreihe als Bezugselektrode herangezogen. Diese Halbzelle erhält bei allen Temperaturen das Potenzial E = 0,00 V. Durch diese Null-Definition entfällt in der Gleichung U = E(Kathode) − E(Anode) eine

Z. Elektrochemie

Halbzellenspannung, so dass das Messergebnis direkt E entspricht. Es ist ein „relatives E“, bezogen auf die Standardwasserstoffelektrode (SWE) als Bezugselektrode. Außerdem muss nicht nur die SWE im Standardzustand (d. h. Aktivitäten ,) vorliegen, sondern auch das interessierende Redoxsystem Metall/MetallIon. Das Messergebnis wird Standardpotenzial E 0 genannt. Z.4.2.1 Die Spannungsreihe Wenn alle interessierenden Redoxsysteme (soweit sie einer Messung zugänglich sind) gegen die SWE vermessen werden, erhält man eine Liste von Standardpotenzialen, die von etwa −3 V bis ca. +3 V reicht. Diese Liste wird als Spannungsreihe bezeichnet (s. Tabelle Z-). Z.4.2.2 Die Nernst’sche Gleichung Standardpotenziale beziehen sich immer nur auf den Standardzustand, d. h. auf die Aktivität a(X) = 1,00 moll. Sobald andere Konzentrationsverhältnisse vorliegen – und das ist gewöhnlich immer der Fall – ist dies auch zu berücksichtigen. W.H. Nernst hat eine Gleichung abgeleitet, die für Abweichungen vom Standardzustand herangezogen werden muss. Sie lautet: E = E 0 (red/ox) +

FN a(ox) ċ lg n a(red)

Einheit: V Das Standardpotenzial E 0 wird durch einen Summanden korrigiert, der die vorliegende Aktivität in logarithmischer Form enthält. Bei Vorliegen aller Aktivitäten von , resultiert E = E 0 (weil lg 1 = 0). Es bedeuten: FN

sog. Nernst-Faktor (auch Nernstspannung UN ). Da als Variable die Temperatur enthalten ist, muss bei Berechnungen auf die Temperatur geachtet werden (25  C: 0,0591 V; 50  C: 0,0641 V).



Tabelle Z-. Einige Standardpotenziale E 0 (red/ox) in V bei  C bezogen auf E 0 (H2 H3 O+ ) = 0,0 V . Negative Systeme

E0 in V

Positive Systeme

E0 in V

Li/Li+ Na/Na+ Mg/Mg2+ Al/Al3+ Zn/Zn(OH)2− 4 Mn/Mn2+ 2+ Zn/Zn Cr/Cr3+ Fe/Fe2+ Cd/Cd2+ Pb/PbSO4(s) Co/Co2+ Ni/Ni2+ Pb/Pb2+

−, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −, −,

SO2 /HSO− 4 Cu/CuCl− 2 2+ Cu/Cu I− /I2 Ag/Ag+ NO/HNO3 Br− /Br2 Pt/Pt2+ Cl− /Cl2 Au/Au3+ Mn2+ /MnO− 4 PbSO4(s) /PbO2(s) 2− SO2− 4 /S2 O8 F− /F2

+, +, +, +, +, +, +, +, +, +, +, +, +, +,

n

Änderung der Oxidationszahl bzw. Unterschied der Oxidationszahlen für red/ox. a(ox) steht immer im Zähler und entspricht dem Produkt der Aktivitäten aller Partner der oxidierten Seite der Reaktionsgleichung. a(red) steht immer im Nenner und entspricht analog zu a(ox) dem Produkt der Aktivitäten aller Partner der reduzierten Seite der Gleichung. Reine Metalle befinden sich im Standardzustand a(M) = 1,00 ohne Einheit.

Z.4.3 Elektrochemische pH-Messung Die praktische pH-Skala beruht auf elektrochemisch gemessenen pH-Werten, wobei eine Wasserstoffelektrode als Indikatorelektrode eingesetzt wird. Die Wasserstoffelektrode stellt in ihrer Form als SWE (alle Aktivitäten a(X) = 1,00) eine Bezugselektrode dar. Sobald aber a(H3 O+ ) von 1,0 moll abweicht, beträgt der E-Wert nicht mehr 0,00 V, sondern wird durch die neue Aktivität bestimmt. Für einen



Z Technische Chemie

H2 -Druck von 1013 hPa nimmt die Nernst’sche Gleichung der Wasserstoffelektrode folgende Form an: E = −FN ċ pH

Einheit: V .

Die Potenzialdifferenz E ist somit eine Funktion des pH-Wertes, so dass man aus E auf den pH-Wert rückschließen kann. Damit nimmt aber die Wasserstoffelektrode nicht mehr die Stelle einer Bezugselektrode ein. Eine Halbzelle, deren von der Aktivität abhängige Potenzialdifferenz für Aktivitätsermittlungen ausgenutzt wird, nennt man Indikatorelektrode. Alle Halbzellen, die aus analytischen Gründen eingesetzt werden, sind derartige Indikatorelektroden, denn sie zeigen eine bestimmte Ionenaktivität a(X) an. Für den Aufbau einer galvanischen Zelle zur pH-Ermittlung ist eine zweite Halbzelle als Bezugselektrode erforderlich. Eine SWE wäre hierfür prinzipiell geeignet, aber die Handhabung einer SWE ist u. a. so umständlich und empfindlich, dass man in der Praxis immer auf andere Bezugselektroden ausweicht. Eine der geeignetsten Bezugselektroden der Praxis ist die Silber-Silberchlorid-Elektrode Ag/AgCl (hier liegt Ag+ in Form des schwer löslichen AgCl vor). Z.4.4 Elektrochemische Stromerzeugung (Batterien) Elektrochemische Stromquellen (Batterien) sind Energiespeicher, die in einer exergonischen Reaktion ihre Energie abgeben. Sobald der Gleichgewichtszustand (Abschn. O...) erreicht ist (ΔG = 0), hat eine derartige Stromquelle „ihr Lebensende“ erreicht. In einigen Fällen ist allerdings eine Reaktionsumkehr möglich, ein sog. Auflade-

prozess, der wieder Energie verbraucht. Daher unterscheidet man zwei Fälle: – Primärzellen (Tabelle M-), d. h. „EinmalZellen“, die keine Wiederaufladung vertragen. Nach Reaktionsende werden sie zu Sondermüll. – Sekundärzellen oder Akkumulatoren (Tabelle M-). Das sind Zellen, die über längere Zeit hinweg einen Ladeprozess zulassen, der die Ausgangsstoffe wieder aufbaut. Hier kommt es zu einem ständigen Wechsel zwischen galvanischer und elektrolytischer Zelle. Aber auch diese Zellen werden eines Tages zu Sondermüll. Z.4.4.1 Der Bleiakkumulator Bei den im Bleiakkumulator ablaufenden Reaktionen handelt sich um eine Komproportionierung zwischen elementarem Blei und Blei(IV)oxid PbO2 , wobei Schwefelsäure Elektrolyt ist. Die Dichte der H2 SO4 liegt für einen vollgeladenen Akkumulator mindestens bei 1,27 gcm3 ; dies entspricht einer Konzentration von ca. 35%, bzw. c(H2 SO4 ) = ca. 4,5 moll. In einer derartig hohen Konzentration spielt die . Dissoziationsstufe der H2 SO4 praktisch keine Rolle, sondern nur: H2 SO4 + H2 O  H3 O+ + HSO−4 . Die ablaufenden Reaktionen sind daher mit Hydrogensulfat-Ionen wie folgt zu formulieren: Anode: Pb(s) + HSO−4  PbSO4(s) + H+ + 2 e− Kathode: PbO2(s) + HSO−4 + 3 H+ + 2 e−  PbSO 4(s) + 2 H2 O Die Summierung ergibt folgende Gesamtgleichung: Pb(s) + PbO2(s) + 2 HSO−4 + 2 H+  2 PbSO4(s) + 2 H2 O

Z. Elektrochemie



Somit lauten die jeweiligen Ausdrücke für die Nernst’schen Gleichungen: E(Anode) = −0,303 V +

a(H+ ) FN ċ lg 2 a(HSO−4 )

a(H+ ) steht vereinfacht für a(H3 O+ ). Die Aktivitäten der reinen Festkörper betragen ,. E(Kathode) = +1,627 V+ Bild Z-. Aufbauprinzip einer Batterie. Erläuterungen: () Anode, d. h. Elektrode, an der die Oxidation stattfindet; hier die negative Elektrode. Es handelt sich um ein Metall (Zn, Pb, Li), das oxidiert wird (zu Zn2+ , Pb2+ , Li+ ). () Kathode, d. h. Elektrode, an der die Reduktion stattfindet; hier die positive Elektrode. Als Oxidationsmittel kommen z. B. MnO2 , PbO2 , Ag2 O u. a. in Frage. () Elektrolyt, eine ionenhaltige wässrige oder nichtwässrige Lösung (eventuell eingedickt). Lithiumbatterien vertragen keine wässrigen Lösungen! () Separator genannte Trennschicht, die als Diaphragma dient. Sie verhindert unerwünschte Berührungen und Vermischungen. () Behälter oder Gehäuse. () Stromableitende Kontakte. +

oder (wenn statt HSO4− +H Schwefelsäure geschrieben wird): Pb(s) + PbO2(s) + 2 H2 SO4 Entladung

a`` ``` `` `` ``` 2 PbSO4(s) + 2 H2 O . Ladeprozess

Da die Standardpotenziale sowohl der anodischen Oxidation als auch der kathodischen Reduktion bekannt sind, lässt sich die Urspannung der Zelle näherungsweise berechnen. Es gelten:

FN a(HSO−4 ) ċ a 3 (H+ ) ċlg . 2 a 2 (H2 O)

Da eine 35%ige H2 SO4 nicht als verdünnte wässrige Lösung angesehen werden kann, muss für eine exakte Berechnung die Aktivität des Wassers mit einbezogen werden. Die Urspannung ergibt sich durch die Differenz U = E(Kathode) − E(Anode),

d. h.

U = 1,627 V − (−0,303 V) +

a(HSO−4 ) ċ a 3 (H+ ) ċ a(HSO−4 ) FN ċ lg 2 a 2 (H2 O) ċ a(H+ )

= 1,93 V + FN ċ lg

a(HSO−4 ) ċ a(H+ ) . a(H2 O)

Da die Aktivitäten nicht bekannt sind, setzt man für eine Berechnung an: – statt a(X) die Konzentration c(X) – für a(H2 O) = 1,00, als ob eine verdünnte wässrige Lösung vorliegen würde – und vernachlässigt die . Dissoziationsstufe der Schwefelsäure; dann gilt c(H+ ) = c(HSO−4 ) = c(H2 SO4 ). Aus der Gleichung wird somit: U = 1,93 V + FN ċ lg c 2 (H2 SO4 ) . Für 25  C und c(H2 SO4 ) = 4,5 moll resultiert:

E 0 (PbPbSO4 ) = −0,303 V ;

U = 1,93 V + 2 ċ 0,0591 V ċ lg 4,5

E 0 (PbSO4 PbO2 ) = +1,627 V .

U = 2,006 V .



Z Technische Chemie

Z.5 Industrielle anorganische Chemie Z.5.1 Schwefelsäure Mit etwa  Millionen jato (d. h. Tonnen pro Jahr) ist H2 SO4 mengenmäßig die wichtigste Chemikalie, von der der größte Anteil in der Düngemittelindustrie verbraucht wird. Sie wird durch katalytische Oxidation von SO2 zu SO3 und anschließende Umsetzung mit Wasser hergestellt. Am Ende vieler Verfahren hat man daher eine verunreinigte und verdünnte Schwefelsäure vorliegen, die früher als „Abfall“ betrachtet, mit Sonderschiffen aufs Meer transportiert und dort durch einfaches Ablassen (Verklappen) entsorgt wurde. Diese sog. „Dünnsäure“ wird heute rezykliert, wobei die Verfahren hierzu immer mehr verbessert wurden. Man konzentriert die Dünnsäure auf ca. 65%ig und sprüht sie in eine 1000  C heiße Flamme, wobei organische Verunreinigungen zerstört und die Schwefelsäure zersetzt werden (sog. Spaltverfahren):

450  C

SO2 + V2 O5 ``` SO3 + 2 VO2 zurück

2 VO2 + 12 O2 ``` V2 O5 . Z.5.2 Ammoniak Z.5.2.1 Ammoniak-Synthese Die Reaktionsgleichung des Verfahrens lautet: N2 + 3 H2  2 NH3

ΔHR = −45,6 kJmol .

Die exotherme und unter Volumenverminderung ablaufende Reaktion sollte bei möglichst tiefen Temperaturen und hohen Drücken durchgeführt werden, damit ein guter Umsatz erzielt wird.

bei 1000  C

H2 SO4 (H2 O) ````` SO2 + 12 O2 + H2 O . Die Reaktionsgleichungen für das Herstellungsverfahren lauten: Verbrennung

S(1) + O2 `````` SO2 ΔHR = −297 kJmol Rösten

2 PbS + 3 O2 ``` 2 PbO + 2 SO2 1000  C

2 H2 SO4 ```` 2 SO2 + O2 + 2 H2 O Schwefel kann zwar problemlos zu SO2 verbrannt werden, aber nicht ohne weiteres zu SO3 . Hierzu ist eine katalytische Oxidation erforderlich. Unter Einbeziehung des V2 O5 lässt sich diese Reaktionsgleichung wie folgt schreiben:

Bild Z-. NH -Ausbeute in Abhängigkeit von Druck und Temperatur.

Bei tieferen Temperaturen ist der NH3 Anteil im Gleichgewicht größer als bei höheren, weil die Reaktion exotherm abläuft; ebenso steigt der NH3 -Anteil mit dem Druck an, weil aus 4 mol Gas 2 mol werden. Da die Reaktionsgeschwindigkeit aber bei niedriger Temperatur zu gering ist, arbeitet man bei Temperaturen zwischen  und 500  C (Druck zwischen 105 und 3 ċ 105 hPa). Außerdem wird die NH3 Synthese an einem Katalysator durchgeführt, der in diesem Falle die Aktivierungsenergie auf etwa ein Drittel erniedrigt.

Z. Industrielle anorganische Chemie

Z.5.2.2 Verwendung von Ammoniak Die größte Menge des Ammoniaks wird zu Düngemitteln verarbeitet. Die Ammoniaksynthese ist auch der Eingangsprozess zur Herstellung von Salpetersäure. Durch Ammoniakverbrennung (Ostwald-Verfahren) wird in einem großtechnischen katalytischen Prozess NO gewonnen, aus dem durch weitere Oxidation und Umsetzung mit H2 O Salpetersäure hergestellt wird. Diese NH3 Verbrennung an einem Pt-Rh-Netzkatalysator (ca. 10% Rh) mit sehr kurzen Verweilzeiten

Z.5.3 Alkalichlorid-Elektrolyse – Erzeugung von Cl2 , NaOH und H2

Chlor und Natronlauge werden überwiegend durch Elektrolyse einer wässrigen NaCl-Lösung gewonnen. Der dabei ebenfalls anfallende Wasserstoff (Verwendung als Heizgas, Synthesegas, Ballonfüllung) spielt mengenmäßig keine Rolle im Vergleich zur Wasserstoffproduktion aus Erdgas und Erdöl (partielle Oxidation, SteamReforming, Reforming).



(nur ca. 10−5 s) bedarf ganz bestimmter Reaktionsbedingungen, da mehrere miteinander konkurrierende Reaktionen möglich sind. Erwünscht ist die Reaktion: 4 NH3 + 5 O2  4 NO + 6 H2 O ΔHR = −906 kJmol . Es schließen sich an: 2 NO + O2  2 NO2 2 NO2 + H2 O + 12 O2  2 HNO3 . Die wichtigste Verwendung von NH3 ist in folgender Übersicht enthalten:

Das Ausgangsmaterial der Elektrolyse (Steinsalz, Kochsalz) steht in ausreichender Menge zu Verfügung. Vor der Elektrolyse muss die Sole durch Ausfällen von Ionen wie SO2− 4 , Mg2+ , Ca2+ und Fe3+ gereinigt werden. Die Alkalichlorid-Elektrolyse kann nach drei Verfahren durchgeführt werden: – Diaphragmaverfahren – Amalgamverfahren – Membranverfahren. Die Verwendung von Natronlauge und Chlor wird durch die folgende Zusammenfassung verdeutlicht:



Z Technische Chemie

Tabelle Z-. Vergleich der drei Elektrolyse-Verfahren. Diaphragma-Verfahren

Amalgam-Verfahren

Membran-Verfahren

Vorteile

Nur 3 V Zellspannung, kein Quecksilber

50%ige chloridfreie NaOH

Weitgehend reine NaOH, nur 3,15 V Spannung, kein Quecksilber

Nachteile

NaOH deutlich Cl− -haltig; Kosten für Eindampfen höher als bei Membranverfahren

4,2 V Spannung, d. h. 3300 kW h pro t Chlor; Hg-Emissionen, teurer Umweltschutz

NaOH nur ca. 35%ig, Membrankosten

Z.5.4 Gewinnung von Eisen und Stahl Für die Gewinnung von Eisen werden die folgenden Eisenerze verwendet: – Hämatit oder Roteisenstein Fe2 O3 , – Limonit oder Brauneisenstein Fe2 O3 ċn H2 O, – Magnetit Fe3 O4 , – Siderit FeCO3 . Die Reduktion der Eisenoxide erfolgt in etwa 30–40 m hohen Hochöfen, die abwechselnd mit Koks und einer Mischung aus angereichertem

Erz und sog. Zuschlägen beschickt werden. Aus Zuschlägen (Kalkstein, Dolomit) und Begleitmaterial des Erzes (insbesondere SiO2 ) bildet sich eine Schlacke, die im Wesentlichen aus Calciumsilicat besteht. Die Schlackebildung lässt sich vereinfacht wie folgt zusammenfassen: SiO2 + CaCO3  CaSiO3 + CO2 . Die Beschickung des Hochofens erfolgt über Glockenverschlüsse, die verhindern, dass

Z. Industrielle anorganische Chemie

Bild Z-. Reaktionszonen und Temperaturverlauf im Hochofen (Höhe ca. 40 m, Gestelldurchmesser ca. 11 m).

Gichtgas aus dem Hochofen entweicht (Gicht wird der obere Teil genannt). In den unteren Bereich des Hochofens bläst man über eine Ringleitung heiße Luft (Heißwind) von  bis 1300  C, sodass der Koks verbrennt und die erforderliche Temperatur erzeugt wird. Die Reduktion der Eisenoxide erfolgt nur in den sehr heißen unteren Bereichen direkt durch Kohlenstoff, zum größeren Teil jedoch durch CO. Da unterschiedliche Eisenoxide mit den Oxidationszahlen + und + beteiligt sind, schreibt man vereinfacht Fe(O) – ein 100%ig reines FeO ist nicht bekannt: Fe(O) + CO  Fe + CO2 . Das gebildete CO2 reagiert mit Kohlenstoff in einer als Boudouard-Gleichgewicht bezeichneten Reaktion zu CO: CO2 + C  2 CO ΔHR = +172,4 kJ . Die Produkte des Hochofenprozesses sind: – Roheisen; es enthält 3,2–4% C, 0,2–3% Si, 0,5–5% Mn, 0,08–2,5% P und weniger als 0,04% S



– Schlacke; sie setzt sich etwa zusammen aus 35% SiO2 , 40% CaO, 10% Al2 O3 , weiterhin MgO, FeO und CaS. Man verarbeitet sie für Produkte der Bauindustrie (Hochofenzement, Hüttensand). – Gichtgas; das  bis 400  C heiße Gas enthält noch etwa 30% CO. Es wird nach Reinigung zum Betrieb der Winderhitzer und der Gebläse für den Heißwind benutzt. Winderhitzer sind regenerative Wärmeaustauscher, die mit feuerfesten Steinen ausgekleidet sind. Sie werden durch Abgase (aus der Verbrennung von Gichtgas) erwärmt und geben die aufgenommene Wärme an den eingeblasenen Kaltwind ab, der dann als Heißwind dem Hochofen zugeführt wird. Etwa 90% des Roheisens werden in Stahl übergeführt, der Rest wird zu Gusseisen verarbeitet. Härtender Bestandteil ist in erster Linie der Kohlenstoff, dessen Verhalten gegenüber Eisen die Vielfalt dieses Werkstoffs bewirkt. Die folgende Einteilung gibt einen Überblick:

Zur Herstellung von Stahl muss der Kohlenstoffgehalt des Roheisens stark gesenkt (bei Baustählen z. B. auf , bis 0,25%), andere Begleitstoffe müssen weitgehend entfernt werden. Erst dann lässt sich die Eisenlegierung (also Stahl) schmieden und walzen. Der Raffinationsprozess umfasst das Frischen, also das Oxidieren der gelösten Bestandteile (wie z. B. C, Si, Mn, P), die Entschwefelung (z. B. mit CaO) und eine als Desoxidation bezeichnete Nachbehandlung; das ist die Entfernung



Z Technische Chemie

des in der Stahlschmelze gelösten Sauerstoffs durch Desoxidationsmittel, wie z. B. Ferrosilicium, CaSi oder Al. Die überwiegende Menge des Stahls wird heute durch das Sauerstoffaufblasverfahren (LD-Verfahren) erzeugt, nach dem weit mehr als  Stahlwerke in der Welt arbeiten. Hierbei werden Roheisen, Stahlschrott und Kalk in einen Konverter eingebracht und über eine Lanze reiner Sauerstoff mit 5 ċ 103 bis 104 hPa auf die Schmelze geblasen.

– Trocknung in Absorberkolonnen – Abtrennung von H2 S und COS (Kohlensulfidoxid) durch Absorption. Aus Erdgas wird durch Umsetzen mit Wasserdampf (steam-reforming) katalytisch eine Mischung CO + H2 (sog. Synthesegas) gewonnen, aus dem eine Reihe wichtiger Grundchemikalien hergestellt werden kann (Methanol, Ammoniak, Aldehyde). Z.6.3 Kohle

Legierte Stähle stellt man meistens durch das Elektrostahlverfahren her. Hierbei erfolgt die Beheizung durch Lichtbogen, die zwischen Elektroden aus Graphit und der Schmelze brennen (heute mit Zusatzheizung). Die gewünschten Legierungszusätze werden als Ferrolegierung eingebracht (Legierung zwischen Eisen und dem Legierungsbestandteil, z. B. Ferrochrom, Ferromangan usw.) oder in Form reiner Legierungsmetalle.

Kohle ist wie Erdöl ein fossiler Brennstoff. Im Laufe des Inkohlungsprozesses wurden die Produkte immer C-reicher: Cellulose  Torf  Braunkohle  Steinkohle  Anthrazit  Graphit. Kohle hat eine komplexe Struktur, die vom Inkohlungsgrad abhängt. Aus Kohle lassen sich zahlreiche wichtige Verbindungen herstellen:

Z.6 Industrielle organische Chemie Z.6.1 Erdöl In den Raffinerien erfolgt eine Auftrennung des Rohöls in sog. Siedeschnitte. Je nach Zielrichtung werden die Raffinerien in Heizöl-, Kraftstoff- und petrochemische Raffinerien unterschieden. Z.6.2 Erdgas Man unterscheidet „trockenes“ und „nasses“ Erdgas. Das trockene Erdgas enthält einen sehr hohen Anteil an CH4 (ca. 80%) neben CO2 , H2 S und N2 , nasses Erdgas dagegen hat eine Zusammensetzung von ca. 60% CH4 , 15% C2 H6 , 10% C3 H8 . Vor der Einspeisung in Pipelines muss Erdgas aufbereitet werden:

Die Kohlevergasung ist eine Reaktion der Kohle mit H2 O-Dampf und Luft (oder O2 ) zu CO und H2 (Synthesegas): C + 12 O2  CO C + H2 O  CO + H2

ΔHR = −111 kJmol ΔHR = +118 kJmol

Z.6.4 Biomasse Während Erdöl und Kohle in Jahrmillionen gebildet wurden, ist Biomasse (die durch Assimilation von CO2 entsteht) eine sich rasch erneuernde Rohstoffquelle. Die Industrie verwendet Biomasse folgender Art:

Z. Industrielle organische Chemie

– Cellulose aus Holz in der Papier- und Textilindustrie (z. B. Viskoseseide) – Naturkautschuk – Fette und fette Öle (Fettsäureglycerinester) nicht nur als Nahrungsmittel, sondern auch für Biodiesel, Lacke und in der Tensid-Herstellung.



Z.6.5 Olefine Ethen ist die zurzeit mengenmäßig wichtigste Grundchemikalie der industriellen organischen Chemie, gefolgt von Propen, den C4 Alkenen, Benzol und Toluol. Schwefelsäure und Ammoniak werden jedoch in noch größeren Mengen produziert. Über die Verwendung von Ethen, Propen und Buten informieren folgende Übersichten:



Z Technische Chemie

Tabelle Z-. Substanzgruppen. Gruppenname

Siedebereich

C-Anzahl

Gasförmige Verbindungen Otto-Kraftstoff (Rohbenzin) Naphta (Chemiebenzin) Düsentreibstoff oder Kerosin Diesel-Kraftstoff und leichtes Heizöl (Mitteldestilat) Schweres Heizöl Schmieröle Bitumen (Rückstand der Vakuumdestillation; abgeleitet vom lat. Wort für Erdharz)

bis ca. 0  C bis 150–200  C bis 200  C 200–250  C 200–350  C Oberhalb 350  C 350–550  C Oberhalb 550  C

bis C4 (Butan) bis etwa  bis etwa   bis   bis  oberhalb   bis   bis 

Z.6.6 Schmier- und Mineralöle Unter dem Begriff „Schmiermittel“ werden Schmieröle, Schmierfette und feste Schmierstoffe (Graphit und Molybdänsulfid MoS2 ) zusammengefasst. Schmieröle werden in Mineralöle und synthetische Öle unterteilt. – Mineralöle Mineralöle teilt man in paraffinbasische (Hauptbestandteil: Paraffine) und naphthen-basische (Hauptbestandteil: Cycloalkane und Aromaten) Grundöle ein. Sie fallen als Rohprodukte bei der Erdölraffination an. – Synthetische Schmieröle Extreme Anforderungen an Schmieröle (z. B. in Flugmotoren) können mit natürlichen Kohlenwasserstoffen nur schwer erfüllt werden. Seit etwa  werden daher synthetische Schmieröle produziert, die im allgemeinen Gemische von Verbindungen darstellen. Hierzu gehören: – Polyether z. B. Polyethylenglykole mit dem allgemeinen Aufbau H–[–O–CH2 –CH2 –]n –OH – Carbonsäureester (Esteröle) Es handelt sich mengenmäßig um die wichtigsten Syntheseöle. Das Veresterungsprodukt zwischen Adipinsäure (Hexandicar-

bonsäure) und -Ethylhexanol ist ein Beispiel; – Siliconöle Diese Öle besitzen eine geringe Neigung zur Schaumbildung und ein gutes VT-Verhalten. Sie sind besonders gut als Schmiermittel für Lager und Getriebe mit rollender Reibung geeignet. – Halogenkohlenwasserstoffe Einsatz finden z. B. Polychlorparaffine oder Chlortrifluorethylen-Polymere. Die Verbindungen sind nicht brennbar, oxidationsbeständig und benetzen Metalloberflächen gut.

Z.6.7 Tenside Mit der Entwicklung der Textilindustrie nahm die Bedeutung der Seife als Waschmittel zu. Heute werden Fette mit überhitztem Wasserdampf bei 105 hPa (Katalysator: CaO, MgO) gespalten. Das entstehende Fettsäuregemisch wird destillativ getrennt. Seifen gehören zu den oberflächenaktiven Substanzen, den sog. Tensiden.

Z. Industrielle organische Chemie

Aufgrund dieser Struktur nehmen Tenside an der Wasseroberfläche eine Orientierung ein, in der die hydrophile Gruppierung ins Wasser taucht, der hydrophobe Rest aber in die Luft ragt:

Diese Anordnung erniedrigt die hohe Oberflächenspannung des Wassers und erleichtert den BenetzungsVorgang (d. i. die Ausbreitung des Wassers auf der Faseroberfläche). – Anionische Tenside Hierzu gehören die Seifen, Sulfate und Sulfonate. Es handelt sich um die bedeutendste Gruppe von Tensiden, deren wichtigste Untergruppe die Alkylbenzolsulfonate darstellen. – Kationische Tenside Diese Gruppe spielt in Waschmitteln keine Rolle, da der hydrophile Charakter bei Anwesenheit von anionischen Tensiden verloren geht (es bilden sich schwer lösliche Salze). In sog. quartären Ammonium Verbindungen NR+4 X− bewirkt die positive Ladung am N-Atom die hydrophile Eigenschaft. Derartige Tenside spielen in der Textilverarbeitung eine Rolle (sie verleihen den Textilien einen weichen Griff und verringern die elektrostatische Aufladung). – Nichtionische Tenside Diese Tenside werden als Waschmittel für stark öl- und fetthaltige Substrate verwendet. Sie enthalten im hydrophilen Rest eine Hydroxylgruppe –OH und mehrere Ethersauerstoffatome. Z.6.8 Polymere Z.6.8.1 Allgemeines Polymere können natürliche oder aber synthetisch hergestellte Makromoleküle sein. Zu den Polymeren der Natur zählen bei-



spielsweise Cellulose, Stärke, Eiweißkörper oder Kautschuk. Synthetische Polymere nennt man in der Regel Kunststoffe. Der detaillierte Aufbau eines Polymeren kann sehr unterschiedlich ausfallen. Je nachdem, wie die beiden Monomereinheiten eines Copolymeren miteinander verbunden sind, unterscheidet man: alternierende Polymere statistische Polymere Blockpolymere

X-Y-X-Y-X-Y-X-Y-X-Y-X X-Y-X-X-X-Y-X-Y-Y-X-Y X-X-X-Y-Y-Y-Y-X-X-X-X

Pfropfpolymere

X-X-X-X-X-X-X-X-X-X-X    Y Y Y    Y Y Y Die Anordnung der Substituenten (Konfiguration) einer polymeren Kette charakterisiert man durch die sog. Taktizität. Isotaktische und ataktische Polymere unterscheiden sich in physikalischen Eigenschaften. Es erweicht beispielsweise ataktisches Polystyrol bereit bei 100  C, während isotaktisches bis ca. 230  C stabil bleibt. Alle Aufbaureaktionen für Polymere nennt man zusammenfassend Polymerisationen wobei in Additionspolymerisationen und Kondensationspolymerisationen unterteilt wird. Die klassische Unterteilung in Polymerisation, Polykondensation und Polyaddition entspricht nicht mehr der heutigen IUPAC-Nomenklatur. Zur prägnanten Charakterisierung eines Kunststoffes wurden Kurzzeichen eingeführt, die in der Norm DIN  zusammengestellt sind. Eine Vielzahl von Kurzbezeichnungen be-



Z Technische Chemie

Z.6.8.2 Lineare Polyester Zu den bedeutendsten Kunststoffen dieser Art gehört Poly(ethylenterephthalat) PETP, bekannt als Kunstfaser für Kleidungsstücke unter Bezeichnungen wie Diolen oder Trevira. Er wird aber auch als Formmasse für Haushaltsgeräte, für Flaschen oder Folien verwendet. Die Ausgangssubstanzen sind: Bild Z-. Isotaktische, syndiotaktische und ataktische Polymere (H-Atome nicht gezeichnet).

ginnt mit dem Buchstaben P für „Poly“ und bezieht sich immer auf Homopolymerisate, z. B.: PE PA PC PB

Polyethylen PAN Poly(acrylnitril) Polyamid PVC Poly(vinylchlorid) Polycarbonat PVAC Poly(vinylacetat) Polybuten-

– Ethylenglykol HO–CH2 –CH2 –OH – Terephthalsäure (,-Benzoldicarbonsäure)

Durch Veresterung (H2 O-Abspaltung nach beiden Seiten) erhält man das lineare Polymere

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften

Z.7 Chemische Elemente und ihre Eigenschaften Im folgenden Abschnitt werden die chemischen und physikalischen Eigenschaften der chemischen Elemente zusammengestellt. Die alphabetische Reihenfolge der Elemente



ermöglicht einen schnellen Zugriff auf diese Informationen. Die Eigenschaften sind umfangreicher und vollständiger als in der gewöhnlichen Übersicht im Periodensystem der Elemente. Diese tabellarische Zusammenstellung erlaubt, auf einen Blick die für technische Prozesse und Ingenieuranwendungen benötigten Werte und Informationen zu entnehmen.



Z Technische Chemie

Symbol des Elements Element

Ac Actinium

Al Aluminium

 (,) [Rn]  d 1  s 2  ,–,   (+) , 6,1 ċ e−14 – kubisch flächenzentriert ,

 , [Ne]  s 2  p 1  ,–,–,   (+) , , sauer/basisch kubisch flächenzentriert ,

     – , – – – –

 ,    ,  , , () , ()

– –

+, RT ,

At Astat

Ba Barium  , [Xe]  s 2

Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 () [Xe]  f 14  d 10  s2  p5 , , ,  –  (+) , 3 ċ e−24 – –

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in %

     –  , – – – –

/, /, /, /, /, /,   ,  , – –  ()  ()

– –

+, RT p  . . . ,

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck) Symbol des Elements Element chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration



Schmelztemperatur in C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

 ,–,   (+) , , stark basisch kubisch raumzentriert ,

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften



Am Americum

Sb Antimon

Ar Argon

As Arsen

 (,) [Rn]  f 7  d 0  s 2 , , ,     (+)  (+) , – – hexagonal ,

 , [Kr]  d 10  s 2  p 3 ,  ,––,   (+)  (+) , , schwach sauer rhomboedrisch ,

 , [Ne]  s 2  p 6 – ,–,–,  – , – kubisch flächenzentriert , ()

 , [Ar]  d 10  s 2  p 3 ,  ,–,–,   (+)  (+) , , schwach sauer kubisch raumzentriert ,/,

       , – – – –

/, /, ,  ,  ,  , , ()  ()

/, /, /, −, −, , , , , – – –

/    – , – , , () –

+ RT 

−, () p ,

−, RT –

−, () p , . . . ,

Bk Berkelium

Be Beryllium

Bi Bismut

Pb Blei

 (,) [Rn]  f  d  s

 ,  s2  s2

 , [Xe]  f 14  d 10  s 2  p 2

,  –  (+) , – – –

 ,–,–   (+) , , sauer/basisch hexagonal ,

 , [Xe]  f 14  d 10  s 2  p ,  ,–,–,   (+)  (+) , , schwach sauer rhomboedrisch ,

–

/

/

– – – – – – – – –

    ,   , ()  ()

,    ,  , , ()  ()

/, /, /, /, ,  ,  ,  , , ()  ()

– –

−, RT ,

−, RT p  ... 

−, () ,

,  ,–,–,   (+)  (+) , , sauer/basisch kubisch flächenzentriert ,



Z Technische Chemie

Symbol des Elements Element

B Bor

Br Brom

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 ,  s2  s2  p1  ,–,–,   (+) , , schwach sauer rhomboedrisch ,

 , [Ar]  d 10  s 2  p 5 ,  ,–,–   (−) , , stark sauer orthorhombisch ,

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in %

/, /,

/, /,

    ,  , 1,8 ċ 10 12 –

−, , ,  , – – – –

−, RT –

−, –

Ce Cer

Cl Chlor

 , [Xe]  f 5  d 5 0  s 5 2 ,  ,–,–   (+)  (+) , , schwach basisch kubisch flächenzentriert ,

 , [Ne]  s 2  p 5 , , ,  ,–,–,   (−) , , stark sauer orthorhombisch , ()

/, /, /, /,     ,  ,  ()  ()

/, /,

+ () p , . . . ,

−, () –

Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck) Symbol des Elements Element chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % 

Schmelztemperatur in C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

− −, , , , , – – –

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften



Cd Cadmium

Ca Calcium

Cf Californium

Cs Cäsium

 , [Kr]  d 10  s 2  ,–,–,   (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 , [Ar]  s 2  ,–,–,   (+)  , stark basisch kubisch flächenzentriert ,

 (,) [Rn]  f 10  d 0  s 2  –  (+) , – – –

 , [Xe]  s 1  ,–,   (+) , , stark basisch kubisch raumzentriert ,

/, /, /, /, /, /, ,  ,  ,  , , ()  ()

/, /, /, /, /, /,

–

/

    ,  , , ()  ()

– – – – – – – – –

, , ,  , –   ()  ()

−, RT ,

+, RT –

– –

+, RT p ,

Cr Chrom

Co Cobalt

Cm Curium

Dy Dysprosium

 , [Ar]  d 5  s 1 , ,  ,–,–   (+)  (+) , , stark sauer kubisch raumzentriert ,

 , [Ar]  d 7  s 2 ,  ,–,–,   (+)  (+) , , sauer/basisch hexagonal ,

 (,) [Rn]  f 7  d 1  s 2  –  (+) , – – – ,

 , [Xe]  f 10  d 0  s 2  ,–,   (+) , , schwach basisch hexagonal ,

/, /, /, /,     ,  , , () , ()

/

–

  ,  ,  , , () , ()

 – – – – – – – –

/, /, /, /, /, /,     ,  ,  () , ()

+ () –

ferro  –

– –

ferro  –



Z Technische Chemie

Symbol des Elements Element

Es Einsteinium

Fe Eisen

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 (,) [Rn]  f 11  d 0  s 2 – – – , – – ––

 , [Ar]  d 6  s 2 , ,–,–,   (+)  (+) , , sauer/basisch kubisch raumzentriert ,

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in %

–

/, /, /, /,

– – – – – – – – –

    ,  , , ()  ()

– –

ferro  –

Fr Francium

Gd Gadolinium

 (,) [Rn]  s 1  –  (+) , , ċ e−21 stark basisch kubisch raumzentriert

 , [Xe]  f 7  d 1  s 2  ,–   (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 () ()   , – – – –

/, /, /, /, /, /,   ,  ,  , , () , ()

– –

ferro  –

Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck) Symbol des Elements Element chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften



Er Erbium

Eu Europium

Fm Fermium

F Fluor

 , [Xe]  f 12  d 0  s 2  ,–,   (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 , [Xe]  f 7  d 0  s 2 ,  ,–,   (+)  (+) , , schwach basisch kubisch raumzentriert ,

 (,) [Rn]  f 12  d 0  s 2 – – – , – – –

 ,  s2  s2  p5  ,–,–,   (−) , , – kubisch , ()

/, /, /, /, /, /,    s ,  ,  () , ()

/, /,

–

/

  ,  , – –  () –

– – – – – – – – –

− −, , , , – – – –

ferro   –

+  () –

– –

– –

Ga Gallium

Ge Germanium

Au Gold

Hf Hafnium

 , [Ar]  d 10  s 2  p 1  –,–,   (+) , , sauer/basisch orthorhombisch ,

 , [Ar]  d 10  s 2  p 2  ,–,–,   (+)  (+) , , sauer/basisch Diamant ,

 , [Xe]  f 14  d 10  s 1 ,  ,–,   (+)  (+) , , sauer/basisch kubisch flächenzentriert ,

 , [Xe]  f 14  d 2  s 2  –,–,   (+) , , sauer/basisch hexagonal ,

/, /,

/, /, /, /, /,

/

/, /, /, /, /, /,

,  ,  ,   , () –

,    ,  ,  ċ e 6 () –

  ,  ,  , , ()  ()

    ,  , , () , ()

−, () ,

−, () p ,

−, () –

+, () ,



Z Technische Chemie

Symbol des Elements Element

Ha Hahnium

He Helium

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 () [Rn]  f 14  d 3  s 2 – – – – – – ––

 ,  s2 – ,–,  – , – hexagonal , ()

– – – – – – – – – –

  −, −, , , , , – – –

– –

−, RT –

K Kalium

C Kohlenstoff

 , [Ar]  s 1  ,–,–,   (+) , , stark basisch kubisch raumzentriert ,

 ,  s2  s2  p2 ,  ,–,–,   (+) , , schwach sauer hexagonal/Diamant ,/,

/, /, /,

/, /, 

,  ,  ,   ,() ()

  – – ,  G ,–, () –

+, RT –

−, RT –

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck) Symbol des Elements Element chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften Ho Holmium

In Indium

I Iod

Ir Iridium

 , [Xe]  f 11  d 0  s 2  ,–,   (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 , [Kr]  d 10  s 2  p 1  ,–,–,   (+) , , sauer/basisch tetragonal ,

 , [Kr]  d 10  s 2  p 5 , ,  ,–,–   (−) , , stark sauer orthorhombisch ,

 , [Xe]  f 14  d 7  s 2 , , ,  ,   (+) , , schwach basisch kubisch flächenzentriert

/     , – ,  () , ()

/, /, ,  ,  ,   , ()  ()

/ , , ,  , ,  , ċ e () –

/, /,     ,  , , ()  ()

ferro   –

−, RT ,

−, RT –

+, () ,

Kr Krypton

Cu Kupfer

Ku/Rf Kurchatovium/ Rutherfordium

La Lanthan

 , [Ar]  d 10  s 2  p 6 – –,–  – , ċ e−8 – kubisch flächenzentriert , ()

 , [Ar]  d 10  s 1 ,  ,–,–,   (+)  (+) , , schwach/basisch kubisch flächenzentriert ,

 () [Rn]  f 14  d 2  s 2 – – – – – – ––

 , [Xe]  d 1  s 2  ,–,–,   (+) , , stark basisch hexagonal ,

/, /, /, /, /, /, −, −, ,  , , – – –

/, /,

–

/, /,

    ,  , , ()  ()

– – – – – – – – –

    ,  ,  () , ()

−, –

−, () –

– –

+, RT ,α ,β





Z Technische Chemie

Symbol des Elements Element

Lr Lawrencium

Li Lithum

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 () [Rn]  f 14  d 1  s 2 – – – – – –

 ,  s2  s1  ,–,–   (+) , , stark basisch kubisch raumzentriert ,

– – – – – – – – –

/, /, ,  ,  ,   , () , ()

– –

+, RT –

Mo Molybdän

Na Natrium

 , [Kr]  d 5  s 1 , , , ,  ,–,–,   (+)  (+) , , stark sauer kubisch raumzentriert ,

 , [Ne]  s 1  ,–,–,   (+) , , stark basisch kubisch raumzentriert ,

/, /, /, /, /, /,

/

    ,  , , () , ()

, , ,  ,   , ()  ()

+, () ,

+, RT –

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck) Symbol des Elements Element chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften Lu Lutetium

Mg Magnesium

Mn Mangan

Md Mendelevium

 , [Xe]  f 14  d 1  s 2  ,–,   (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 , [Ne]  s 2  ,–,–,   (+) , , stark basisch hexagonal ,

 , [Ar]  d 5  s 2 , , , ,  ,–,–,   (+)  (+) , , stark sauer kubisch raumzentriert ,

 () [Rn]  f 13  d 0  s 2 – – – , – – ––

/, /,     , – ,  () , ()

/, /, /, ,    ,  , , () , ()

/     , ,  α ()  ()

– – – – – – – – – –

 RT , . . . ,

+, RT –

+α () –

–

Nd Neodym

Ne Neon

Np Neptunium

Ni Nickel

 , [Xe]  f 4  d 0  s 2  ,–,   (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 ,  s2  s2  p6 – ,–,–,  – , – kubisch flächenzentriert , ()

 (,) [Rn]  f 4  d 1  s 2 , , ,  –   (+)  (+) ,  ċ e−17 sauer/basisch orthorhombisch ,

 , [Ar]  d 8  s 2 ,  ,–,–,   (+) , , schwach basisch kubisch flächenzentriert ,

/, /, /, /, /, /,     ,  ,   () , ()

/, /, /,

   

/, /, /, /, /,

−, − , , , , – – –

   – – – – – –

    ,  , , ()  ()

+ () –

−, RT –

– –

ferro  –





Z Technische Chemie

Symbol des Elements Element

Nb Niob

No Nobelium

 , [Kr]  d 4  s 1 ,  ,–,–,   (+) , , schwach sauer kubisch raumzentriert ,

 () [Rn]  f 14  d 0  s 2 – –  (+) , – – –

/

–

    ,  , , () , ()

– – – – – – – – –

+, () ,

– –

Symbol des Elements Element

Pu Plutonium

Po Polonium

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 (,) [Rn]  f 6  d 0  s 2 , , ,  ,   (+)  (+) ,  ċ e−19 sauer/basisch monoklin ,

 () [Xe]  f 14  d 10  s 2  p 4 ,  ,   (+)  , ċ e−14 sauer/basisch monoklin ,

        – – –    () − ()

          , – – – –

+ RT –

– –

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % 

Schmelztemperatur in C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften



Os Osmium

Pd Palladium

P Phosphor

Pt Platin

 , [Xe]  f 14  d 6  s 2 , , , ,  ,   (+) , , schwach sauer hexagonal ,

 , [Kr]  d 10  s 0 ,  ,–,–,   (+) , , schwach basisch kubisch flächenzentriert ,

 , [Ne]  s 2  p 3 , ,  ,–,–,   (+)  (+) , , schwach sauer kubisch , w/, r

 , [Xe]  f 14  d 9  s 1 ,  ,–,   (+) , , schwach basisch kubisch flächenzentriert ,

/, /, /, /, /, /,     ,  , , ()  ()

/, /, /, /, /, /,     ,  , , ()  ()

/

/, /, /, /, /, /,

, w  w ,  , w –   ċ e 17 w() –

    ,  , , () , ()

+, RT ,

+, () –

−, r p ,

+, () –

Pr Praseodym

Pm Promethium

Pa Protactinium

Hg Quecksilber

 , [Xe]  f 3  d 0  s 2 ,  ,–,–,   (+)  (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 , [Xe]  f 5  d 0  s 2  ,–,  (+) ,  ċ e−19 schwach basisch hexagonal ,

 , [Rn]  f 2  d 1  s 2 ,  –   (+)  (+) , , ċ e−11 schwach basisch orthorhombisch ,

 , [Xe]  f 14  d 10  s 2 ,  ,–,–,   (+)  (+)  , schwach sauer rhomboedrisch ,

/

   

 

    ,  ,  () , ()

    , – – – –

< –   , – – – –

/, /, /, /, /, /, −, , ,  , , – , () –

+ () –

– –

– ,

−, () , ,



Z Technische Chemie

Symbol des Elements Element

Ra Radium

Rn Radon

 (,) [Rn]  s 2  ,–,  (+) , , ċ e−11 stark basisch kubisch raumzentriert 

 (,) [Xe]  f 14  d 10  s 2  p 6 – , – – , ċ e−16 – kubisch flächenzentriert , ()

   

   

    , – – – –

− −, ,  , – – – –

– –

– –

Symbol des Elements Element

Sm Samarium

O Sauerstoff

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 , [Xe]  f 6  d 0  s 2 ,  ,–,   (+) , , schwach basisch rhomboedrisch ,

 ,  s2  s2  p4  ,–,–,   (−) , , – kubisch , ()

/, /, /, /, /, /,   ,  , – –  () , ()

/, /, /, −, − , , , , – – –

+ () –

+ () –

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften



Re Rhenium

Rh Rhodium

Rb Rubidium

Ru Ruthenium

 , [Xe]  f 14  d 5  s 2 , , , ,  ,–,   (+)  (+) , , schwach sauer hexagonal ,

 , [Kr]  d 8  s 1 , ,  ,–,–,   (+) , , sauer/basisch kubisch flächenzentriert ,

 , [Kr]  s 1  ,–,–   (+) , , stark basisch kubisch raumzentriert ,

 , [Kr]  d 7  s 1 , , , ,  ,–,–,   (+) , , schwach sauer hexagonal ,

/, /,

/

/, /,

  ,  ,  , , ()  ()

    ,  , , ()  ()

,  ,  ,   , ()  ()

/, /, /, /, /, /,     ,  , , ()  ()

+, () ,

+, () –

+, () –

+, () ,

Sc Scandium

S Schwefel

Se Selen

Ag Silber

 , [Ar]  d 1  s 2  ,–,–,   (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 , [Ne]  s 2  p 4 , ,  ,–,–,   (−)  (+) , , stark sauer orthorhombisch/ monoklin , r/, m

 , [Ar]  d 10  s 2  p 4 , , ,–,–,   (−)  (+) , , stark sauer hexagonal [Se] , g/, r

 , [Kr]  d 10  s 1  ,–,–,   (+) , , sauer/basisch kubisch flächenzentriert ,

/

/, /, /, /,

/, /, /, /, /, /,

/, /,

    ,    () , ()

r , , , , r , r –  ċ e 23 () –

  ,  , , g   () –

,    ,  , , ()  ()

+ () –

−,r RT –

−, RT p ,

−, () –



Z Technische Chemie

Symbol des Elements Element

Si Silicium

N Stickstoff

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 , [Ne]  s 2  p 2  ,–,–,   (+) , , sauer/basisch Diamant ,

 ,  s2  s2  p3 , , ,  ,–,–,   (−)  (+) , , stark sauer hexagonal , ()

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in %

/, /, /,

/, /,

    ,  ,  ċ e−10 () –

−, −, , , , , – – –

−, RT p , . . . ,

−, RT –

Symbol des Elements Element

Tb Terbium

Tl Thallium

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 , [Xe]  f 9  d 0  s 2 ,  ,–,  (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 , [Xe]  f 14  d 10  s 2  p 1 ,  ,–,–,  (+) (+) , , schwach basisch hexagonal ,

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in %

/

/, /,

    , –  () –

,  ,  ,  , ,() ()

ferro  –

−, RT ,



Schmelztemperatur in C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften



Sr Strontium

Ta Tantal

Tc Technetium

Te Tellur

 , [Kr]  s 2  ,–,–,  (+) , , stark basisch kubisch flächenzentriert ,

 , [Xe]  f 14  d 3  s 2  ,–,  (+) , , schwach sauer kubisch raumzentriert ,

 , [Kr]  d 5  s 2  ,–,–,  , – stark sauer hexagonal ,

 , [Kr]  d 10  s 2  p 4 , ,  ,–,–,  (−) (+) , , schwach sauer hexagonal ,

/, /, /, /,     , – –  ()  ()

/, /,

  

    ,  , , ()  ()

    , – – – –

/, /, /, /, /, /, ,    , , , , ċ e () –

+, RT

+ () ,

+, () ,

−, RT p , . . . ,

Th Thorium

Tm Thulium

Ti Titan

U Uran

 , [Rn]  f 0  d 2  s 2  ,–,–,   (+) , , schwach basisch kubisch flächenzentriert ,

 , [Xe]  f 13  d 0  s 2  ,–,–,  (+) , , schwach basisch hexagonal ,

 , [Ar]  d 2  s 2 ,  ,–,–,  (+) (+) , , sauer/basisch hexagonal ,

 , [Rn]  f 3  d 1  s 2 , , ,  ,  (+) (+) , , sauer/basisch orthorhombisch ,

/

/

/, /, /,

    ,  , ,()  ()

    , – ,  ()  ()

/, /, /, /, /,   ,  ,  , ()  ()

    ,  , α ()  ()

+, () ,

+  () –

+ () ,

+α () p , . . . ,



Z Technische Chemie

Symbol des Elements Element

V Vanadium

H Wasserstoff

 , [Ar]  d 3  s 2 , , ,  ,–,–,   (+)  (+) , , sauer/basisch kubisch raumzentriert ,

 ,  s1  ,   (−) , , sauer/basisch hexagonal , ()

/, /,

/, /,

    ,  ,()  () + ()

−, −, , , , , – – –

, –

−, –

Symbol des Elements Element

Zn Zink

Sn Zinn

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte

 , [Ar]  d 10  s 2  ,–,–,   (+) , , sauer/basisch hexagonal ,

 , [Kr] d 10  s 2  p 2 ,  ,–,–,   (+)  (+) , , sauer/basisch tetragonal/Diamant ,w/,g

/, /, /, /, /, ,  ,  ,  , , ()  ()

/, /, /, /, /, /,   ,  , w  w  , ()  ()

−, RT ,

+, w RT ,

chemische Eigenschaften Ordnungszahl relative Atommasse Elektronenkonfiguration Wertigkeit(en) Ionisierungsenergien in eV (I, II, III) Atom- bzw. Ionenradius in pm (Ladung des Ions) Elektronegativität Häufigkeit in der Erdkruste in % Säure-Base-Verhalten des Oxids Struktur/Dichte physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % Schmelztemperatur in  C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

physikalische Eigenschaften Isotope/Häufigkeit der Isotope in % 

Schmelztemperatur in C Siedetemperatur in  C molare Schmelzwärme in kJ ċ mol−1 molare Verdampfungswärme in kJ ċ mol−1 spezifische Wärmekapazität in J ċ K−1 ċ g −1 Wärmeleitfähigkeit bei 20  C in W ċ m−1 ċ K−1 linearer Ausdehnungskoeffizient in 10−6 K−1 spezifischer elektrischer Widerstand in 10−6 Ω ċ cm Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes in 10−4 K−1 (0  C bis 100  C) magnetische Suszeptibilität 10−6 Supraleiter-Übergangstemperatur in K (p: unter Druck)

Z. Chemische Elemente und ihre Eigenschaften W Wolfram

Xe Xenon

Yb Ytterbium

Y Yttrium

 , [Xe]  f 14  d 4  s 2 , , , ,  ,   (+)  (+) , , schwach sauer kubisch raumzentriert ,

 , [Kr]  d 10  s 2  p 6 – ,–,–,  – , ċ e−9 – kubisch flächenzentriert , ()

 , [Xe]  f 14  d 0  s 2 ,  ,–,–,   (+) , , schwach basisch kubisch flächenzentriert ,

 , [Kr]  d 1  s 2  ,–,–,   (+) , , schwach basisch hexagonal ,

/, /, /, /, /,     ,  , ,  ()

/, /, /, /, /, /, −, −, , , , , – – –

/, /, /, /, /, /,     , – –  ()  ()

/     ,  ,  () , ()

+, () ,

−, RT –

+ () –

+, () p , . . . ,

Zr Zirkonium

Sg Seaborgium

Ns Nielsbohrium

Hs Hassium

Mt Meitnerium

 , [Kr]  d 2  s 2  ,–,–,   (+) , , sauer/basisch hexagonal ,

 () [Rn]  f 14  d 4  s 2 – – – – – – ––

 () – – – – – – – ––

 () – – – – – – – ––

 () – – – – – – – ––

/, /, /, /, /,     ,  ,  ()  ()

–

–

–

–

– – – – – – – – –

– – – – – – – – –

– – – – – – – – –

– – – – – – – – –

+, () ,

– –

– –

– –

– –



Sachverzeichnis

A Abbe-Zahl  Abbildung  Abbildungsfehler  Aberration, chromatische  Aberration, sphärische  Abfallwirtschaft  Abgas  Abklingkoeffizient ,  Abkühlzeit  Ableitung – Abluft  Abreinigungsverfahren  Abschnürbereich  Absorption  Absorptionsfläche äquivalente  Absorptionsgesetz  Absorptionsgrad Schall-  Absorptionskoeffizient  Absorptionskurve ,  Absorptionszahl  Abtasttheorem, Shannon’sches ,  Abwassertechnik ,  Ac  AC/ACT  Acetylen  Actinium  ADA  Adhäsion  adiabat  adiabatische Strömung  Admittanz  aerodynamisches Paradoxon  Aeromechanik  ff. Aerostatik ,  Ag  Aggregatzustand  Ähnlichkeit  Ähnlichkeitsgesetz , ,  Airy’sche Beugungsscheibchen  Akkomodation  Akkumulator  Aktionsgesetz  Aktivität ,  optische  Akustik  ff.

Bau-  Raum-  technische  Akzeptanzwinkel  Al  Aldehyd  algebraische Gleichung  ALGOL  Alkalichlorid-Elektrolyse  Alkalimetall ,  Alkane  Alken  Alkohol  allgemeine Gaskonstante  allgemeine Zustandsgleichung ,  ALU  Aluminium  AM ,  Am  Amalgam-Verfahren  Americum  Amine  Aminosäuren  Ammoniak  Amortisationszeit, energetische  Ampere  Amplitude  Wellen-  Amplituden-Resonanzfunktion  Amplitudenmodulation ,  Amplitudenumtastung  Amplitudenverhältnis ,  AND  Änderung Form-  Gestalt-  Anergie ,  Anion ,  Anode ,  Anregung hochfrequente  Luftschall-  quasistatische ,  Antennengleichung  Antimon  aperiodischer Grenzfall  Apertur, numerische  APL  APT 



Sachverzeichnis

Äquipotenzialfläche  Äquipotenziallinie  Äquivalent elektrochemisches  Äquivalentdosis ,  äquivalente Absorptionsfläche  äquivalenter Dauerschallpegel  Ar  Arbeit , ,  Beschleunigungs-  elektrische  Gravitations-  Rotations-  Torsions-  Verschiebungs-  Volumenänderungs-  Arcusfunktion  Areafunktion ,  Argon  arithmetische Reihe  arithmetischer Mittelwert  Aromate  ARRAY ,  Arsen  AS  As  ASCII-Kode ,  ASIC  ASK  Assembler  Assoziativgesetz  Astat  Astigmatismus  At  Atomabstand  atomare Masseneinheit ,  Atombau  Atombindung  Atomhülle ,  Atomkern  Atommasse ,  relative , Kap. Z. Atommodell ,  Atomphysik  ff. Atomradius , Kap. Z. Au  Aufbereitung, Abwasser  Aufenthaltswahrscheinlichkeit  Aufheizzeit  Auflösungsvermögen  Aufnehmer Schall-  Auftrieb , , ,  Auge  Augenblickswert 

Ausbreitung Schall-  Ausbreitungskonstante  Ausdehnung thermische  Ausdruck unbestimmter  Ausfließen  Ausgleichsgerade  Ausschaltvorgang ,  Ausschleppen  äußere Kraft  Austauschteilchen  Austrittsarbeit  Austrittspupille  Avogadro-Konstante , ,  Axiom, Newton’sches  ff. B B  Ba  Backward-Diode  Bahnbeschleunigung  Bahndrehimpulsquantenzahl  Bahngeschwindigkeit  Bahnkurve  Bahnmagnetismus  Balmer-Serie  Bandbreite ,  Bändermodell  Bandfilter  Bandmittenfrequenz  Barium  barometrische Höhenformel ,  Baryon ,  Basen , Kap. Z. BASIC –,  Basisgröße ,  Basisschaltung  Batterie , ,  Bauakustik  Bauch Schwingungs-  Bauelement digitales  Wechselstromkreis – Bauelemente, Bildzeichen elektrischer  Bauernfeind’sches Prisma  Be  Bedingung Gleichgewichts-  Begrenzung Schadstoff-  Belag  Belastung

Sachverzeichnis Strahlen- , ,  Belastungsfall  Beleuchtungsstärke  Belichtung  Benzol  Beobachtungsfehler  Berkelium  Bernoulli-Gleichung , –, ,  Beryllium  Beschleunigung  Bahn-  Schwerpunkts-  Schwingung  Winkel-  Beschleunigungsarbeit  Beschleunigungsvektor  Besetzungsinversion  bestimmtes Integral ,  Bestrahlungsstärke  Beugung , , ,  Bewertung biologische  Bewertungsfaktor ,  Bewertungskurve Schall-  Bezugselektrode  Bezugssystem bewegtes  Bezugsweite  Bi  Biegemoment  Biegung ,  Bilanz ökologische  Bild  Bildpunkt  Bildzeichen elektrischer Bauelemente  Bindung, kovalente  Bindungsarten  Bindungselektronenpaar ,  Binnendruck  binomische Reihe  biologische Bewertung  biologische Halbwertszeit  Biot-Savart’sches Gesetz  Biot-Zahl  Biphenyl  bipolarer Transistor ,  Bismut  Bitumen  Bk  Blatt Cartesisches  Blei  Bleiakkumulator 

Blende  Blendenzahl  Blindanteil  Blindfaktor  Blindleistung  Bodenwelle  Bohr’sches Postulat  Boltzmann-Konstante  Boole’sches Gesetz  Bor  Bottom  Boyle-Mariotte’sches Gesetz , , ,  Br  Brackett-Serie  Bravais-Gitter  Brechung  Brechungsgesetz, Snellius’sches  Brechungsindex  Brechzahl  Bremsstrahlung  Brennpunkt  Brennwert  Brewster-Winkel  Bridge  Brillouin-Zone ,  Brinell-Härteprüfung  Brom  Brönsted-Base  Brönsted-Säure  Bruchdehnung  Bruchmechanik  Brücke Thomson-  Wheatstone-  Brückenschaltung  Burger-Modell  Bussystem , ,  C C ,  Ca  Cadmium  Calcium  Californium  Candela  Carbonsäureester  Carbonsäuren  Carnot-Faktor  Carnot-Prozess ,  Cartesisches Blatt  Cäsium  Cassini’sche Kurve  Cd  Ce 





Sachverzeichnis

Celsius  Centronics-Schnittstelle ,  Cer  Cf  Charakteristik, Resonator-  Charles-Gesetz  Charme  chemisches Element  ff. Chlor  Chrom  chromatische Aberration  CIM  CISC-Rechner  Cl  Clausius-Rankine-Prozess  Cm  CMOS  Co  Cobalt  COBOL  Compoundkern  Coriolis-Kraft  Coulombkraft  CPU  Cr  Cramer’sche Regel ,  Crestfaktor  Cs  CSMA/CA ,  CSMA/CD ,  CTR (Current Transfer Ratio)  Cu  Curie-Temperatur  Curium  cyclischer Verbindung  D d’Alembert’sches Prinzip  Dachkantprisma  Dämmmaß Luftschall-  Dampf ,  Dampfdiffusion  Dampfdruckkurve , ,  Dampfkraftanlage  Dampfübergangswiderstand  Dämpfungsfrequenz  Dämpfungsgrad ,  Dämpfungskoeffizient Schallabsorption  Dämpfungsmaß , ,  Daniell-Zelle  database  Datei 

Dateityp  Daten Mond-  Planeten-  Satelliten-  Datenbanktyp  Datenfeld  Datenflussplan  Datenstruktur ,  Datenträger ,  Datentyp  DATEX-L  DATEX-P  Dauer Einschwing-  Dauermagnetsystem  Dauerschallpegel äquivalenter  Dauerschwingfestigkeit  de-Broglie-Wellenlänge ,  de-Morgan-Gesetz  Debye-Temperatur , ,  Dehnung ,  Deklination  Dekrement, logarithmisches  Demodulation  Deponie Abfall-  desublimieren  Detektor Halbleiter-  Determinante –, ,  Deuterium-Zyklus  Dezimalzahl  Diac  diamagnetisch  Diaphragma-Verfahren  Dichroismus  Dichte ,  Strahl-  dichteste Kugelpackung ,  dicke Linse  Diesel-Kraftstoff  Diesel-Prozess  Differenzialgleichung  ff. exakte  gewöhnliche  ff. lineare ,  separierbare  ungedämpfte harmonische Schwingung  Differenzialquotient  Differenzialrechnung  ff. Differenziation mehrere Variable  Differenziationsregel –

,

Sachverzeichnis differenzieller Widerstand  Diffusion ,  Diffusionsspannung  digitales Bauelement  Digitaltechnik  ff. Diode ,  Laser-  Lumineszenz-  Diodenkennlinie  Dipolmoment, magnetisches  Dispersion ,  Disproportionierung  Dissipation  Dissoziationsgleichung  Distributivgesetz  DMA  Doppelbrechung  Spannungs-  doppelelastische Lagerung  Doppelintegral ,  Doppler-Effekt  Doppler-Effekt des Lichtes  Dosisgröße  ff. Dosiskonstante  Dosismessverfahren ,  Dotierstoffe  Drain  Drainschaltung  Drehbewegung  ff. Drehfederkonstante  Drehimpuls ,  Drehimpulserhaltungssatz  Drehmoment  Drehmomentenstoß  Dreieck-Sternschaltung  Dreieck-Stern-Umwandlung  Drosselgerät  Druck ,  Binnen-  dynamischer ,  Gas-  geodätischer ,  hydrostatischer  Kolben- , ,  kritischer  osmotischer  Schall-  Schwere- , , ,  statischer ,  Druckeinheit  Druckenergie  Drucksonde  Dual-Port-RAM  Dualismus Teilchen–Welle ,  Dualkode 

Dualzahl  Dulong-Petit’sche Regel ,  Dulong-Petit’sches Gesetz  dünne Linse  Durchbruchbereich  Durchflusszahl  Durchflutungsgesetz ,  Durchgang Schall-  Duromer  Dy  Dynamik  ff. dynamische Viskosität  dynamischer Druck ,  dynamisches Kräftegleichgewicht  DYNAMO  Dysprosium  E E-Reihen  Ebene  ff. ebullioskopische Konstante  ECL  Edelgaskonfiguration  EEPROM  Effekt elektrooptischer  Faraday-  Kerr-  Pockels-  Skin-  effektive Leistung  Effektivwert  Eigenfrequenz  Eigenleitung  Eigenschwingung  Eindringtiefe  einfachelastische Lagerung  Einlagerung  Einmal-Zelle  Einmassensystem viskoelastisches  Einmoden-Laser  Einsatz Energie-  Einschaltvorgang ,  Einschlussparameter  Einschwingdauer  Einseitenbandmodulation ,  Einstein-Temperatur ,  Einsteinium  Einstrahlzahl  Eintrittspupille  Eisen , 





Sachverzeichnis

elastische Energie  elastische Kraft  elastische Lagerung  elastische Welle ,  elastischer Stoß , ,  Elastizitätsmodul  Elastomer  elektrische Arbeit  elektrische Energiedichte  elektrische Feldkonstante  elektrische Feldlinien  elektrische Feldstärke ,  elektrische Flussdichte ,  elektrische Kraft  elektrische Leistung  elektrische Momentanleistung  elektrische Polarisation  elektrische Spannung  elektrische Stromstärke, Definition  elektrischer Widerstand, spezifischer ,  elektrisches Feld  elektrisches Netzwerk  elektrisches Potenzial ,  Elektro-Stahlverfahren  elektroakustische Wandler  Elektrochemie  elektrochemische pH-Messung  elektrochemische Spannungsreihe ,  elektrochemisches Äquivalent  Elektrode, Standardwasserstoff-  Elektrodynamik, relativistische ,  Elektrofilter  Elektrolyse ,  Elektrolyt ,  Elektrolytkonzentration  Elektromagnet, Tragkraft  elektromagnetische Schwingung , ,  elektromagnetische Welle , ,  elektromagnetischer Schwingkreis  Elektromagnetismus  Elektromotor  Elektron  Elektronegativität , , Kap. Z. Elektronen-Konfiguration ,  Elektronenabgabe  Elektronenaufnahme  Elektroneneinfang (EC)  Elektronenemission  Elektronengas  freies  zweidimensionales  Elektronenkonfiguration  Elektronenmikroskop  Elektronenpaar-Akzeptor  Elektronenpaar-Donator 

elektrooptischer Effekt  Elementarteilchen  ff. Elementarzelle  Ellipse  Eluat  EM ,  Emission  Feld-  Foto-  Sekundärelektronen-  spontane  stimulierte  Strahlungs-  thermische  Emissionsgrad  Emissionszahl  Emitterschaltung  Empfang Heterodyn-  Empfänger ,  Geradeaus-  Überlagerungs-  Empfindung Schall- ,  energetische Amortisationszeit  Energie ,  Druck-  elastische  Fermi-  fossile  innere  Ionisations- ,  Kern-  Nutz-  Oberflächen-  Photonen-  plastische Verformungs-  potenzielle , ,  Primär-  regenerative  Rotations-, kinetische ,  Schwingungs-  Sekundär-  Strahlungs-  thermische  Energieband  Energiediagramm – Energiedichte ,  elektrische  magnetische  Schallwelle  Energiedosis ,  Energieeinheit  Energieeinsatz  Energiefluss 

Sachverzeichnis Energiekennzahlen  Energiequant  Energierisiko  Energiesatz der Mechanik  ff.,  Energiespeicher ,  Energietechnik  ff. Energieträger  Energieumwandlung  Energieverbrauch , ,  Energieveredlung  Energievorrat  Energiewandler  Enthalpie , ,  Entmagnetisierungsfaktor ,  Entmagnetisierungskurve  Entropie ,  Nachricht  Entsorgen  EOR  Epizykloide  EPROM  Er  Erbium  Erdalkalimetall  Erdbeschleunigung  Erdgas  Erdmagnetfeld  Erdöl ,  Erhaltungssatz Drehimpuls- ,  Elementarteilchen  Energie- ,  Impuls- ,  Massen-  Ericsson-Prozess  Erntefaktor  Erreger  Erregung, magnetische  ff. erstarren  Erwartungswert ,  erzwungene elektrische Schwingung  Es  Ester  Ether  Ethernet  Eu  Euler-Gleichung  Europium  eV  Evolvente Kreis-  EXAPT  exergetischer Wirkungsgrad  Exergie ,  EXOR 

Expansionszahl  Exponentialfunktion  extensive Größe  Extremwert Funktion  F F  Fabry-Perot-Interferometer  Fading  Faktor Bewertungs-  Hallradius-  relativistischer  Fallbeschleunigung  Faraday-Effekt  Faraday’sches Gesetz  Farben dünner Plättchen  FAST  FDD ,  Fe  Feder-Masse-System  Federkonstante  Federkraft ,  Fehler Abbildungs-  Größt-  Fehlerfortpflanzung  Fehlerrechnung  ff. Fehlersumme  Feld elektrisches  magnetisches  ff. Feldeffekt-Transistor  Feldemission  Feldkonstante elektrische  magnetische  Feldlinien, elektrische ,  Feldstärke Gravitations-  magnetische  Transport-  Feldstecher  Fermi-Dirac-Verteilung  Fermi-Energie  Fermi-Geschwindigkeit  Fermium  Fernpunkt  Fernrohr  Fernsehröhre  Fernsprechen  ferromagnetisch  Ferromagnetismus  Festigkeit





Sachverzeichnis

Wechsel-  Festkörper makromolekularer  Festkörperphysik  ff. Festkörperreibung  FET-Transistor  Feuchtegrad  Fibernet  Fick’sches Gesetz  file  Filter, Elektro-  Filtration  Fizeau-Streifen  Flachbandkabel  Flächeneinheit  Flächenfehler  Flächengeschwindigkeit  Flächeninhalt  Flächenpressung  Flächenträgheitsmoment , , – Fließspülen  FLOPS  Fluor  Flussdichte elektrische ,  magnetische  Transport-  Flussgleichung  Flüssigkeitspendel  Flüssigkeitsreibung  Flüssigkristall  FM ,  Fm  Formänderung  Formfaktor  Formzahl  FORTH  FORTRAN –,  fossile Energie  Foto-Darlington  Foto-Diode ,  Foto-Multiplier  Foto-Schmitt-Trigger  Foto-Thyristor  Foto-Transistor  Foto-Triac  Fotoapparat  Fotoemission  Fotometrie  ff. Fotostrom  Fotowiderstand ,  Fourier-Analyse ,  Fourier-Gesetz des Wärmetransports , ,  Fourier-Integral  Fourier-Koeffizienten , 

Fourier-Reihe  ff. Fourier-Synthese  Fourier-Transformation  ff.,  Fourier-Zahl  Fr  Francium  Fraunhoferlinie  freie Knicklänge  freies Elektronengas  freies Elektronenpaar  Freiheitsgrad , , ,  Freimachen von Körpern  Freiraumdämpfungsmaß  Freistrahlgeräusch  Fremdstörstellen  Frenkel-Paar  Frequenz  Bandmitten-  Dämpfungs-  Eigen-  Grenz- ,  Schall-  Spuranpassungs-  Frequenzfunktion  ff. Frequenzmodulation ,  Frequenzumtastung  Froude-Zahl ,  FSK  FTAM  Fundamentalschwingung  Funktion . Grades  Arcus-  Area- ,  Exponential-  Extremwert  Frequenz-  ff. ganze rationale  gebrochen rationale  Hyperbel-  implizite  lineare  Logarithmus-  Parameterform  Polarkoordinaten  Potenz- ,  quadratische  trigonometrische  ff.,  Übertragungs-  Verteilungs-  Wurzel- ,  Zeit  ff. zyklometrische  Fusion 

Sachverzeichnis G Ga  Gadolinium  Galilei-Transformation  Galilei-Zahl  Gallium  galvanische Elemente  galvanische Zelle  Galvanisieren  GAN  Gangunterschied ,  ganze rationale Funktion  ganze Zahl  Gas ideales  reales  ff. Gasdruck  Gasentladung  Gaskonstante  Gastheorie, kinetische  ff. Gasturbine ,  Gasverflüssigung  Gate-Array  Gateschaltung  Gateway  Gauß’sches Verfahren  Gauß-Verteilung  Gay-Lussac’sches Gesetz ,  Gd  Ge  gebrochen rationale Funktion  gedämpfte elektromagnetische Schwingung  Gegenstandspunkt  gekoppelte Schwingung  Generator  geodätischer Druck ,  geometrische Reihe  Gerade ,  Geradeausempfänger  Geräusch, Strömungs-  Germanium  gesättigte Kohlenwasserstoffe  Geschwindigkeit  Bahn-  Gruppen-  kosmische  Phasen-  Schall- ,  Schwerpunkts-  Schwingung  Winkel-  Geschwindigkeitseinheit  Geschwindigkeitsvektor  Geschwindigkeitsverteilung, Maxwell’sche 

Gesetz Ähnlichkeits- , ,  Biot-Savart’sches  Boole’sches  Boyle-Mariotte , , ,  Charles-  de Morgan  Dulong-Petit’sches  Durchflutungs- ,  Faraday’sches  Fick’sches  Fourier’sches des Wärmetransports , ,  Gay-Lussac’sches ,  Gravitations-  Hooke’sches  Induktions-  Kepler’sches ,  Kirchhoff ’sches  Ohm’sches  Stefan-Boltzmann-  Wiedemann-Franz’sches  Gesetz von actio und reactio  Gesetz von Malus  Gestaltänderung  Gewichtskraft ,  Gibbs’sche Phasenregel  Gichtgas  GIPS  Gitter  Gitterfehler ,  Gitterwelle  Gleichgewicht, thermodynamisches ,  Gleichgewichtsbedingung  Gleichgewichtsfall  Gleichgewichtszustand  Gleichrichter-Diode  Gleichstromkreis  ff. Gleichung algebraische  Bernoulli , –, ,  Kontinuitäts- – kubische  Navier-Stokes ,  quadratische  Richardson’sche  Gleichung n-ten Grades  Gleichungssystem, lineares – Gleichwert  Gleitreibung  Glimmentladung  Gluon  Gold  GPSS  Gradient 





Sachverzeichnis

Gradientenfaser  Graetz-Zahl  Grashof-Zahl  grauer Körper  Gravitation  ff. Gravitationsgesetz  Graviton  Gray  Gray-Kode ,  Grenzfall, aperiodischer  Grenzfrequenz , ,  Spuranpassungs-  Grenzschicht  Grenzspannung  Grenzwinkel der Totalreflexion  Größe extensive  intensive  molare  physikalische  ff. spektrale  spezifische  strahlungsphysikalische  Größtfehler  Grundgesetz der Mechanik Rotation  Translation  Grundgesetz, hydrodynamisches  Grundintegral  ff. Grundstromkreis ,  Gruppengeschwindigkeit ,  Gruppenindex  Güte ,  Gütegrad  H H  Hadron ,  Hadruon  Hafnium  Haftreibung  Hagen-Poiseuille’sches Gesetz  Hahnium/Nielsborium  Halbleiter  ff. Halbleiter-Detektor  Halbleiter-Laser  Halbleiter-Sender  ff. Halbmetall  Halbschwingungsmittelwert  Halbwertsbreite  Halbwertszeit  biologische  Halbzelle  Hall-Effekt 

Quanten-  Hall-Generator  Hall-Koeffizient  Hall-Sonde  Hall-Spannung ,  Hall-Widerstand  Hallradius, Schall-  Hallradiusfaktor  Halogen  Halogenwasserstoff  Hangabtriebskraft  HaNs  harmonische Welle  Härteprüfung  Häufigkeit relative  Hauptebene  Hauptquantenzahl  Hauptsatz der Thermodynamik ,  Hauptschluss  Hauptstromfiltration  HC(T)  He  Heißleiter  Heißluftmotor  Heizungs-Wirkungsgrad  Heizwärme  Heizwärmebedarf  Heizwert  Helium  Hellempfindlichkeitsgrad  Helmholtz-Resonator  Heterodyn-Empfang  heteropolare Bindung  Hexadezimalzahl  hexagonales Gitter  Hf  Hg  Hiebton  Histogramm  Ho  hochfrequente Anregung  Hochofen  Höhenformel barometrische ,  Höhensatz  Hohlraumstrahler  Hohlspiegel  Holmium  Holografie ,  Hooke’sches Gesetz ,  Hörbereich  hybrider Speicher  Hybridisierung  hydraulische Presse 

Sachverzeichnis hydrodynamisches Grundgesetz Hydromechanik  ff. Hydrostatik ,  hydrostatische Waage  hydrostatischer Druck  Hyperbel , ,  Hyperschall  Hypozykloide  Hysterese magnetische  mechanische 



I I  I/O  ideale Gase  IEC-Bus ,  IEEE-  imaginäre Zahl ,  Immission  Impedanz  implizite Funktion  Impuls  ff. Dreh- ,  Impulserhaltungssatz ,  Impulssatz  In  indifferentes Gleichgewicht  Indikatorelektrode  Indium  individuelle Gaskonstante  Induktion magnetische ,  Sättigungs-  Induktionsgesetz  Induktivität  industrielle Chemie anorganisch  industrielle Chemie organisch  inelastischer Stoß – Inertialsystem  Influenz  Informatik  ff. Informationsfluss  Informationstheorie  Infrarotspektrum  Infraschall  Inklination  Innenpolmaschine  innere Energie  innere Kraft  innerer Leitwert  innerer Widerstand  Integral, bestimmtes  -, Partialbruchzerlegung 



-, Substitution  Doppel- ,  Grund- – Linien-  uneigentliches  Integralrechnung  ff. Integration, Produkt-  Integrationsregel  ff. Intensität  Schall- ,  Intensitätsverlauf  intensive Größe  Interferenz ,  Interferenzen gleicher Dicke  Interferenzmikroskop  Interferometer  Intermodulation  Inverse  Inversionstemperatur  Inverter  Iod  Ion  Ionenaustauscher  Ionenbindung ,  Ionendosis ,  Ionengitter  Ionisationsenergie , , Kap. Z. Ionisierungskoeffizient  Ir  Iridium  irrationale Zahl  irreversibler Prozess  Isentrope  isentrope Schallausbreitung  Isentropenexponent ,  Isobare ,  isobare Wärmekapazität  Isochore  isochore Wärmekapazität  Isokline  Isolator  Isolierwirkungsgrad  isomere Umwandlung  Isospin ,  Isotherme  Isoton  Isotop , Kap. Z. Iterationsverfahren (Nullstelle)  J Jackson Strukturierte Programmierung Joule-Prozess  Joule-Thomson-Effekt 





Sachverzeichnis

K K  Kw -Wert  Kabel Flachband-  Koaxial-  Kalium  Kältemaschine  Kältemischung  Kaltleiter  Kanalkapazität  Kapazität  ff. Kapazitätsdiode  Kapillarwirkung ,  Kapitza-Zahl  Kaskadenspülung  Katalysator  Kathetensatz  Kathode  Kation ,  Katode  Katodenstrahlen  Kavitation  Kegel Mach’scher  Kegelschnitt, Polargleichung  Kelvin  Kennzahlen, Energie-  Kepler’sches Gesetz ,  Kernart  Kernenergie  Kernfusion  Kernphysik  ff. Kernreaktion ,  Kernspaltung ,  Kernspinmagnetismus  Kerosin ,  Kerr-Effekt  Keton  kettenförmige Verbindung  Kettenlinie  Kettenregel  Kinematik  ff. kinematische Viskosität  kinetische Gastheorie  ff. kinetische Rotationsenergie ,  Kirchhoff ’sche Regel  ff. Kirchhoff ’sches Gesetz  klassische Mechanik  ff. Klimatechnik  Klirrfaktor  Knicklänge freie  Knickspannung , 

Knickung  Knoten Schwingungs-  Knotenregel  Koaxialkabel  Kode  ff. Dual-  Gray-  Koeffizient Fourier- ,  Hall-  Ionisierungs-  Längenausdehnungs-  Raumausdehnungs-  Volumenausdehnungs-  Wärmeeindring-  Koexistenzgebiet , ,  Kohärenz  Kohärenzlänge  Kohäsion  Kohlenstoff  Kohlenstoff-Stickstoff-Zyklus  Kohlenwasserstoff , ,  Kohlevergasung  Kohleverkokung  Kolbendruck , ,  Kollektorschaltung  Koma  Kombinatorik  ff. Kommutativgesetz  Komplexbindung  komplexe Spannung  Zahl  ff. komplexer Leitwert  komplexer Strom  komplexer Widerstand  komplexer Zeiger  Kompressibilität ,  Kompression  Kompressionsmodul  Kompressionsverlust  Komproportionierung  Konchoide des Nikomedes  Kondensation  Kondensator  ff. kondensieren  Konduktanz  Konkavlinse  Konkavspiegel  Konstante Boltzmann-  ebullioskopische  Richardson-  Verdet’sche  Kontakttemperatur 

Sachverzeichnis Kontinuitätsgleichung –,  Konvektion ,  ff. konvergente Reihe  Konvexlinse  Konvexspiegel  Konzentration Elektrolyt-  Koordinaten Schwerpunkts-  Koordinatensystem ,  Koordinationsverbindung  Koordinationszahl  Koppelbaustein  Korngrenze  Körper freimachen  starrer ,  ff. Körperschall  Körperschall-Isolierwirkungsgrad  Korrelationsanalyse ,  Kosinussatz  kosmische Geschwindigkeit  kovalente Bindung ,  Kovolumen  Kr  Kraft  äußere  Coriolis-  Coulomb-  elastische  elektrische  Feder- ,  Gewichts- ,  Gravitations-  Hangabtriebs-  innere  Lorentz- ,  magnetische ,  Normal-  Reibungs- , ,  Schwer- ,  Trägheits-  Zentrifugal-  Zentripetal-  Kraft-Wärme-Kopplung  Kraftdichte  Kräftediagramm  Kräftegleichgewicht ,  Krafteinheit  Kräftepaar  Kräftezerlegung  Kraftstoff  Kreis  Kreisbewegung  Kreisel 

Kreiselpräzession  Kreisevolvente  Kreisfrequenz  Kreisprozess ,  ff. Kriechen  Kriechfall  Kristallbindung  Kristallrichtung  Kristallstrukturen  Kristallsystem  kritische magnetische Flussdichte  kritische Stromdichte  kritische Temperatur ,  kritischer Druck  kritischer Punkt  Krypton  Kubatur  kubische Gleichung  kubisches Gitter  Kugelkoordinaten  Kugelpackung, dichteste ,  Kunststoff  Kupfer  Kurchatovium/Rutherfordium  KuRf  Kurvenanpassung  ff. kurzsichtig  L La  labiles Gleichgewicht  Ladeprozess  Ladung  spezifische  Ladungsträgerinjektion  Ladungstransport im Vakuum  ff. in Gasen ,  ff. Ladungsverschiebung  Lageplan  Lagerung, elastische ,  Lambda-Sonde  Lambert-Strahler  laminare Grenzschicht  laminare Strömung ,  LAN  Länge, Definition  Längenausdehnungskoeffizient Längeneinheit  Längenkontraktion ,  Längswelle  Lanthan  Laplace-Gleichung ,  Laser ,  ff.







Sachverzeichnis

Laserbedingung  Laserdiode  Lautheit  Lautsprecher  Lautstärke  Lawrencium  LDR ,  Lebensdauer, mittlere  LED  Leerlaufspannung  Leerstellen  Leistung , ,  Blind-  effektive  elektrische  Nenn-  Rausch- ,  Schall- ,  Schein-  Signal-  Strahlungs-  Strömungs- ,  Wirk-  Leistungseinheit  Leistungsfaktor  Leistungspegel  Leistungsziffer  Leitungsband  Leitungsgleichung  Leitwert  innerer  komplexer  Lepton ,  Leuchtbereich  Leuchtdichte  Lewis-Strukturformel  Lewis-Zahl  Li  Lichtausstrahlung, spezifische Lichtmenge  Lichtquant ,  Lichtstärke ,  Definition  Lichtstrahl ,  Lichtstrom ,  Lichtwellenleiter  LIDIA  Ligand  Linde-Verfahren  lineare Funktion  lineare Polyester  Linienfehler  Linienintegral  Linse  Linsensystem 

LISP  Lissajous-Figur ,  Lithium  Lochblende  logarithmisches Dekrement  Logarithmus ,  Logarithmusfunktion  Logik, mathematische  ff. Logikfamilie  logische Verknüpfung  logischer Operator  logisches Schaltzeichen  Longitudinalwelle  Lorentz-Kraft ,  Lorentz-Transformation  Loschmidt’sche Zahl  Löseprozess  Lösevorgänge  Lösung  Lr  LSTTL  Lu  Luft, Reinhaltung ,  Luftfeuchtigkeit ,  Luftreibung  Luftschall-Dämmmaß  Luftschallanregung  Lumineszenzdiode  Lutetium  Lyman-Serie  M



Mach’scher Kegel  MacLaurin’sche Reihe  magische Zahl  Magnesium  Magnetfeld Erd-  magnetische Energiedichte  magnetische Erregung  ff. magnetische Feldkonstante  magnetische Feldstärke ,  ff. magnetische Flussdichte  kritische  magnetische Hysterese  magnetische Induktion ,  magnetische Kraft ,  magnetische Polarisation  magnetische Polstärke  magnetische Quantenzahl  magnetische Spannung  magnetische Suszeptibilität  magnetischer Nordpol  magnetisches Dipolmoment 

Sachverzeichnis magnetisches Feld  ff. magnetisches Moment  Magnetisierung  Magnetismus Bahn-  Elektro-  Kernspin-  Spin-  Magnetorotation  Magnetwerkstoff  Magnus-Effekt  makromolekularer Festkörper  Mangan  MAP ,  Maschenregel  Maschine Innenpol-  Masse Atom- ,  Definition  Molekül-  Masseneinheit, atomare ,  Massenerhaltungssatz  Massenmittelpunkt  Massenstrom  Massenträgheitsmoment , , , ,  Massentransport  Massenwirkungsgesetz  Massenzahl  Massenzuwachs, relativistischer  Materiewelle  mathematisches Pendel ,  Zeichen ,  Matrix  Matrizenrechnung  ff. maximale Reichweite  Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung  Maxwell-Modell  Md  Mechanik Bruch-  klassische  ff. Strömungs-  mechanische Hysterese  mehrere Variable, Differenziation  Mehrfachbindung  Meißner-Ochsenfeld-Effekt  Membran-Verfahren  Membrantrennung  Mendelevium  Meson ,  Messbereichserweiterung ,  Messung Spannungs- ,  Strom- , 

Messunsicherheit  Metall  ff.,  metallische Bindung ,  Metametall  Methan  Mg  Microstrip-Leitung  Mikrofon  Mikroprozessor  Mikroskop  Elektronen-  Interferenz-  Miller’scher Index  MIMD  Mindestfrequenz  Mineralöl  Mineralsäure  MIPS  Mittelwertsatz  mittlere Lebensdauer  MMS ,  Mn  Mo  Mode  Modulation ,  Mohr’scher Spannungskreis  Mol  molare Größe  molare Wärmekapazität ,  Molekülmasse  Molekülspektrum  Mollier-Diagramm ,  Molmasse  Molybdän  Moment Dreh-  magnetisches  statisches  Momentanleistung , ,  Monddaten  Monochromator  monoklines Gitter  Monotonie  MOSFET-Transistor ,  Multiplex, Zeit-  N N  Na  Nachhallzeit  Nachrichtentechnik Nahpunkt  NAND  Naphta 

 ff.





Sachverzeichnis

Naphthalin  Natrium  Naturkonstante  natürliche Radioaktivität  Navier-Stokes-Gleichung , ,  Nb  Nd  Ne  Negation  Negierung  Neil’sche Parabel  Nennleistung  Neodym  Neon  Neptunium  Nernst’sche Gleichung  Nernst’sches Wärmetheorem  Nernst-Faktor  Netz  Netzwerk , ,  elektrisches  Neukurve  Neutron ,  Newton’scher Ring  Newton’sches Axiom  ff. Newton’sches Verfahren  Ni  nichtkohärente Schallquelle  Nichtmetall  Nickel  Niob  No  Nobelium  NOR  Nordpol magnetischer  Norm-Trittschallpegel  Normalgleichung – Normalkraft  Normalspannung ,  Normalverteilung  Normzahl  Np  NTC  Nukleon ,  Nuklid , ,  Nullphasenwinkel  Spannung  Strom  Nullstelle  numerische Apertur  Reihe  ff. Nußelt-Zahl  Nutzenergie  NV-RAM 

O O  Oberflächenenergie  Oberflächenprüfung  Oberflächenspannung  Öffnung, relative  Ohm’sches Gesetz ,  ökologische Bilanz  Oktalzahl  Olefin ,  Operator, logischer  Optik  ff. Quanten-  optische Aktivität  Optoelektronik  Optokoppler  OR  Ordnungszahl  orthorhombisches Gitter  orts- und zeitabhängige Schwingung Ortsvektor  Os  OSI-Modell  Osmium  Osmose  osmotischer Druck  Otto-Kraftstoff  Otto-Prozess  Oxidation ,  Ozonloch  P P  Pa  Paar Kräfte-  Palladium  PAM  Parabel  Neil’sche  semikubische  Parabolspiegel  Paradoxon aerodynamisches  Paraffine  Parallelschaltung ,  Wechselstrom  paramagnetisch  Parameterform Funktion  parametrische Schwingung  Parität  Partialbruchzerlegung Integral 



Sachverzeichnis PASCAL –,  Paschen-Serie  Passfehler  Pauli-Prinzip  Pb  PCM  Pd  PDM  Péclet-Zahl  Pegel  Leistungs-  Schall-  Spannungs-  Strom-  Pendel Flüssigkeits-  mathematisches ,  physikalisches  Torsions- ,  Pentagonalprisma  Periodendauer  Periodensystem ,  ff. Periodizität ,  Permeabilität  Permeabilitätszahl  Permittivität  Permittivitätszahl  Permutation  ff. perpetuum mobile erster Art  zweiter Art  Petrochemikalie  PFM  Pfundt-Serie  pH-Wert  Phase  Phasen-Resonanzfunktion  Phasengeschwindigkeit ,  Phasenmodulation  Phasenübergang  Phasenumtastung  Phasenumwandlung  Phasenverschiebung  Phasenwinkel ,  phon  Phonon  Phononentransport  Phosphor  Phosphorsäure  Photon ,  Photonenenergie  Photonentransport  physikalische Größe  ff. physikalisches Pendel  Pi-Bindung 

pin-Diode  Pitot-Rohr  PL/  Planetenbewegung  Planetendaten  plastische Verformungsenergie  Plateau  Platin  Platin-Elektrode  λ 4-Platte  Plattenschwinger  Plutonium  PM  Pm  pn-Übergang ,  Po  Pockels-Effekt  Poisson-Zahl  polare Atombindung  Polargleichung der Kegelschnitte  Polarisation  elektrische  magnetische  Polarisationsfolie  Polarisationswinkel  Polarisator  Polarkoordinaten  Funktion  Polonium  Polstärke, magnetische  Polstrahl  polycyclische aromatische Kohlenwasserstoffe Polyether  Polymere  Polymerisation  Polymerwerkstoff  Polytrope  Polytropenexponent  poröser Schallabsorber  Porro’sches Prisma  Potenzfunktion ,  Potenzial elektrisches ,  Gravitations-  thermodynamisches  potenzielle Energie , ,  Potenzregel  PPM  Pr  Prandtl’sches Staurohr  Prandtl-Zahl  Praseodym  Präzession Kreisel-  Presse







Sachverzeichnis

hydraulische  Primärelement  Primärenergie  Primärzelle  Prinzip von d’Alembert  Prisma  Bauernfeind’sches  Dachkant-  Pentagonal-  Schmidt-Pechan  Umkehr-  Uppendahl-  Wende-  Prismensystem  Produktintegration  Produktregel  Programm  ff. Programmablaufplan – Programmiersprache  PROLOG  PROM  Promethium  Protactinium  Proton ,  Prozess irreversibler  reversibler  Prozessgröße  PSK  Pt  PTC  Pu  Pulsamplitudenmodulation  Pulsdauermodulation  Pulsfrequenzmodulation  Pulskodemodulation  Pulsphasenmodulation  Pumpe  Punktfehler  Pupille Eintritts-  Pythagoras, Satz des  Q Q-switching  QPSX/DQDB-Verfahren – quadratische Funktion  quadratische Gleichung  Quanten-Hall-Effekt , ,  Quantenoptik  Quantentheorie  ff. Quantenzahl  Quark  quasistatische Anregung , 

Quecksilber  Quelle  Querdehnung  Querstromfiltration  Querwelle  Quotientenregel  R Ra  Rad  Radikal  radioaktiver Zerfall ,  Radioaktivität natürliche  Radium  Radkurve  Radon  Raketengleichung  RAM ,  Raman-Effekt ,  rationale Zahl  Rauchgas  Raum  Raumakustik  Raumausdehnungskoeffizient  Rauminhalt  räumlicher Spannungszustand  Raumwelle  Raumwinkel  Rauschen  Rauschleistung ,  Rauschmaß  Rauschspannung  Rauschzahl  Rayleigh-Kriterium  Rayleigh-Zahl  Rb  Re  Reaktanz  reale Spannungsquelle  reale Stromquelle  reales Gas  ff. Realgasfaktor ,  RECORD  Recycling  Redoxreaktion  Reduktion ,  Redundanz Nachricht  Reflexion , , ,  Total-  Reflexionsgrad Schall-  reflexvermindernde Schichten 

Sachverzeichnis Regen, saurer  Regenerat  regenerative Energie  Regression  ff. Regressionsparameter – Reibung äußere  Festkörper  Flüssigkeit  Gleit-  Haft-  innere  Luft-  Roll-  turbulente  Reibungskraft , ,  Reichweite  maximale  Reihe arithmetische  binomische  Fourier-  ff. geometrische  konvergente  MacLaurin’sche  Taylor’sche  Reihenentwicklung  ff. Reihenschaltung  Wechselstrom  Reinhaltung, Luft ,  Rekombination  Rekombinationsbereich  Rektifikation  relative Atommasse  relative Häufigkeit  relative Öffnung  relativistische Elektrodynamik ,  relativistischer Faktor  relativistischer Massenzuwachs  Relativitätstheorie  Relaxation ,  Rem  Repeater  Resistanz  Resistivität  Resonanz  Resonanzabsorber  Resonanzfall ,  Resonanzfunktion Amplituden-  Phasen-  Resonanzkatastrophe  Resonator  Helmholtz-  Resonator-Charakteristik 

Reststoff  reversibler Prozess  Reynolds-Zahl , , ,  Rh  Rhenium  Rheologie  Rhodium  rhomboedrisches Gitter  Richardson-Konstante  Richardson’sche Gleichung  Richtgröße  Richtmoment  Riesenimpulslaser  RISC  Risiko, Energie  Rn  Rockwell-Härteprüfung  Roheisen  Rohr Pitot-  Venturi-  Rohrreibungszahl  Rohstofflager  Rollreibung  ROM  Röntgen  Röntgenbeugung  Röntgenstrahlung  Rotations-Schwingungs-Spektrum  Rotationsarbeit  Rotationsenergie, kinetische ,  Router  RS , ,  Ru  Rubidium  Rückkopplung  Ruß  Ruthenium  Rutherford  S S  Salpetersäure  Salzsäure  Samarium  Sammellinse  Sarrus’sche Regel  Satellitendaten  Sättigungsmagnetisierung  Sättigungsstrom  Satz des Pythagoras  Satz von Rolle  Sauerstoff  Sauerstoff-Aufblasverfahren 





Sachverzeichnis

Saugeffekt  Säure-Base-Reaktion  Säureamide  Säuren , Kap. Z. saurer Regen  Sb  Sc  Scandium  Schaden, Strahlen-  Schädlichkeit, Strahlen-  Schadstoff  Schadstoffbegrenzung  Schadstoffbelastung  Schadt-Helfrich-Drehzelle  Schall Hyper-  Infra-  Körper-  Luft-  Tritt-  Ultra- ,  Schallabsorber  Schallabsorption, Dämpfungskoeffizient Schallabsorptionsgrad  Schallaufnehmer  Schallausbreitung  isentrope  Schallbewertungskurve  Schalldämmmaß  Schalldruck  Schalldruckpegel ,  Schalldurchgang  Schallempfindung ,  Schallfrequenz  Schallfrequenzspektrum  Schallgeber  Schallgeschwindigkeit ,  Schallintensität ,  Schallintensitätspegel  Schallkennimpedanz  Schallleistung ,  Schallleistungspegel  Schallpegel  Schallpegeldifferenz  Schallquelle, nichtkohärente  Schallreflexionsgrad  Schallschnelle ,  Schallschnellepegel  Schalltransmissionsgrad ,  Schallwandler  Schallwechseldruck  Schallwelle  Schallwellenlänge  Schallwiderstand  Schaltdiode 



Schaltzeichen, logisches  Schärfentiefe  Schätzwert  Scheinanteil  Scheingröße  Scheinleistung  Scheitelfaktor  Scherung ,  Scherungsgerade  Schichten, reflexvermindernde  Schiebung  schiefer Wurf ,  Schlacke  Schlankheitsgrad  Schleppkurve  Schmelzdruckkurve , ,  schmelzen  Schmelzenthalpie  Schmelzpunkt  Schmerzgrenze  Schmidt-Pechan-Prisma  Schmidt-Zahl  Schmieröl  Schnelle Schall-  Schnittstelle – Schottky-Diode  Schottky-Fehlordnung  Schranke  Schrödinger-Gleichung  Schubmodul  Schubspannung ,  Schwächung der Strahlung  schwarzer Körper  schwarzer Strahler  Schweben  Schwebung  Schwefel  Schwefeldioxid ,  Schwefelsäure ,  Schweredruck , , ,  Schwerkraft ,  Schwerpunkt , , ,  Schwerpunkt eines Messwerts  Schwerpunktsbeschleunigung  Schwerpunktsgeschwindigkeit  Schwerpunktskoordinaten  Schwerpunktssatz  Schwimmen  Schwinger Platten-  Schwingfall  Schwingfestigkeit Dauer-  Schwingkreis, elektromagnetischer , 

Sachverzeichnis Schwingung ,  ff.,  Eigen-  elektromagnetische  gedämpfte ,  freie  Fundamental-  gekoppelte  orts- und zeitabhängig  parametrische  Überlagerung  Schwingungsbauch  Schwingungsdauer ,  Schwingungsknoten  Schwingungsmode  Schwingungssystem ,  Schwund  SCR (selective catalytic reduction)  Se  Sehfehler  Sehnen-Halbsehnen-Satz  Sehweite  Sehwinkel  Seileckverfahren  Seiliger-Prozess  Sekanten-Tangenten-Satz  Sekundärelektronenemission  Sekundärelement  Sekundärenergie  Sekundärion  Sekundärzelle  Selbstinduktion  Selen  Seltsamkeit ,  semikubische Parabel  Sender  Halbleiter-  Senke  senkrechter Wurf ,  Separator  Shannon’sches Abtasttheorem ,  Sherwood-Zahl  Shredder  Si  SI-Maßsystem  Sicherheit statistische  Siedepunkt  Sievert  Sigma-Bindung  Signal  Signalleistung  Silber  Silicium  Siliconöl  SIMD 

SIMSCRIPT  SIMULA  Single-Mode-Laser  Sinken  Sinkgeschwindigkeit  Sinussatz  skalares Produkt – Skineffekt  Slotted-Ring-Verfahren – Sm  Smog ,  Sn  SNCR (selective non catalytic reduction)  Snellius’sches Brechungsgesetz  Solarzelle ,  Sommerfeld’sche Feinstrukturkostante  Sortierung, Abfall-  Source  Sourceschaltung  Spannung ,  elektrische  Grenz-  Hall- ,  Knick- ,  komplexe  magnetische  Normal- ,  Oberflächen-  Rausch-  Schub- ,  Wechsel-  Spannungsdoppelbrechung  Spannungsfaktor  Spannungskreis, Mohr’scher  Spannungsmessung ,  Spannungspegel  Spannungspfeil ,  Spannungsquelle reale  Spannungsreihe  Spannungsreihe, elektrochemische ,  Spannungsteiler ,  Spannungsverhältnis  Spannungszustand ,  Speicher Energie- ,  hybrider  Speicherbaustein  Spektralapparat  spektrale Größe  Strahldichte  Spektralfotometer  Spektralfunktion  Spektrograf  Spektrometer , 





Sachverzeichnis

Spektroskop  Spektrum ,  Schallfrequenz-  Sperrschicht-FET ,  spezifische Aktivität  spezifische Ausstrahlung  spezifische Enthalpie  spezifische Größe  spezifische Ladung  spezifische Lichtausstrahlung  spezifische Wärmekapazität  spezifischer elektrischer Widerstand ,  sphärische Aberration  Spiegel  Spin ,  Spinmagnetismus  Spirale  spontane Emission  Sprungtemperatur  Spültechnik  Spuranpassung  Spuranpassungsfrequenz  SQL  Sr  stabiles Gleichgewicht  Stabilität  Stahl  Standard-Bezugselektrode  Standard-Wasserstoffelektrode ,  Standardabweichung , ,  Standsicherheit  Standspülen  Standzeitverlängerung  Stanton-Zahl  Stapelfehler  starrer Körper ,  ff. statischer Druck ,  statisches Moment  statistische Sicherheit  Staub  Staudruck  Staurohr, Prandtl’sches  Stefan-Boltzmann-Gesetz  stehende Welle  Step-Recovery-Diode  Stern-Dreieck-Umwandlung  steuerbarer Widerstand  Stickoxid ,  Stickstoff  stimulierte Emission  Stirling-Prozess  Stoffmenge ,  Definition  Stoffmengenkonzentration  Stoffübergangskoeffizient 

Stoffübertragung ,  ff. Störabstand  Störstellenleitung  Störstellenreserve  Stoß elastischer , ,  inelastischer – Stoßprozess  Strahldichte  spektrale  Strahlenbelastung , ,  Strahlendosis  Strahlenkegel  Strahlensatz  Strahlenschaden  Strahlenschädlichkeit  Strahlenschutz  ff. Strahler  Strahlstärke  Strahlung, Schwächung  Strahlungsäquivalent  Strahlungsart  ff. Strahlungsaustauschkoeffizient  Strahlungsemission  Strahlungsenergie  Strahlungsfluss  Strahlungsleistung  strahlungsphysikalische Größe  Streckgrenze  Streifenleiter  Streufaktor ,  Streufluss  Strip-Leitung  Strom  komplexer  Licht-  Sättigungs-  Wechsel-  Stromdichte  kritische  Strommessung  Strompegel ,  Strompfeil ,  Stromquelle reale  Stromstärke  Definition  Stromübertragungsverhältnis  Strömung  adiabatische  laminare  turbulente  Strömungsgeräusch  Strömungsleistung ,  Strömungsmaschine , 

Sachverzeichnis Strömungsmechanik  Strömungswiderstand ,  Stromverhältnis  Strontium  Strophoide  Struktogramm  ff. STTL  Student-Faktor  Stufenindexfaser  Styrol  sublimieren ,  Substitution  Integral  Summenregel  Superhet  Superpositionsprinzip , ,  Supraleitung  ff. kritische Temperatur , Kap. Z. Supremum  Suszeptanz  Suszeptibilität magnetische  System Dauermagnet-  Feder-Masse  Linsen-  Schwingungs- ,  thermodynamisches  T Ta  Taktizität  Tantal  Taylor’sche Reihe  Tb  Tc  Te  Technetium  Technische Akustik  Tellur  Temperatur  ff. Debye- , ,  Definition  Einstein- ,  Kontakt-  kritische ,  thermodynamische  Temperaturkoeffizient, elektrischer Widerstand , Kap. Z. Temperaturstrahler ,  Tenside  Tensor der Permittivitätszahl  Terbium  Tesla 

tetragonales Gitter  Th  Thallium  Theorieparameter  thermische Ausdehnung  thermische Emission  thermische Energie  thermischer Wirkungsgrad  Thermodynamik  ff. thermodynamische Temperatur  thermodynamisches Gleichgewicht  thermodynamisches Potenzial  thermodynamisches System  Thermoplast  Thomson-Brücke  Thorium  Thulium  Ti  Titan  Tl  Tm  Token-Bus  Token-Passing-Verfahren ,  Token-Ring-Verfahren – Toluol  Ton Hieb-  TOP  Topologie, Vernetzungs- ,  Torsion ,  Torsionsarbeit  Torsionsmodul  Torsionspendel ,  Totalreflexion  Toxizität ,  Trägheitsgesetz  Trägheitskraft  Trägheitsmoment Flächen- , , – Massen- ,  Tragkraft eines Elektromagneten  Transformation Fourier-  ff. Galilei-  Transformator  Transistor ,  Transmission , ,  Transmissionsgrad Schall- ,  Transmissionswärmestrom  transponierte Matrix  Transportfeldstärke  Transportflussdichte  Transportgröße  Transputer , 





Sachverzeichnis

Transversalwelle  transzendente Zahl  Treibhauseffekt  Trennung, Membran-  Trennverfahren  trigonometrische Funktion  ff., , , ,  triklines Gitter  Triodenbereich  Tripelpunkt ,  Trittschallpegel Norm-  TTL  TTY  Tunnel-Diode  turbulente Grenzschicht  turbulente Strömung ,  U U  Überdruck  Übergangsmetall  Überlagerung von Schwingungen  Überlagerungsempfänger  Überströmprozess  Übertragung  Übertragungskanal  Übertragungsmedium  Übertragungsverhältnis, Strom-  Ultraschall ,  Umkehrprisma  Umwandlung Energie  isomere  Umwelttechnik  ff. unbestimmter Ausdruck ,  uneigentliches Integral ,  ungedämpfter elektromagnetischer Schwingkreis  ungesättigte Kohlenwasserstoffe  unipolarer Transistor  Unschärfe  Unschärfe-Relation  Unterdeterminante  Uppendahl-Prisma  Uran  Urspannung  V V  V. ,  Valenz  Valenzband  Valenzelektron 

van-der-Waals’sche Bindung  van-der-Waals’sche Zustandsgleichung  Vanadium  Varianz ,  Varistor  VDR  Vektor, Geschwindigkeit  Vektorboson  Vektorrechnung  ff. Venturi-Rohr  Verarbeitung  Verbindungsklassen  verbotene Zone  Verbrauch, Energie , ,  Verbrennungsmotoren  Verdampfungsenthalpie  Verdet’sche Konstante  Veredlung, Energie  Verfahren Abreinigungs-  Gauß’sches  Verformungsart ,  Vergrößerung  Verknüpfung, logische  Verlängerung, Standzeit  Verlust Kompressions-  Verlustdichte  Verlustfaktor  Vermittlung  Vernetzungstopologie ,  Verschiebung, Ladungs-  Verschiebungsarbeit  Verschiebungsdichte ,  Verschiebungsgesetz, Wien’sches  Versetzung  Verstärker  Verteilungsfunktion  Vertrauensbereich  Verwerfen  Verzeichnung  Verzerrung  Verzerrungsfaktor  Vickers-Härteprüfung  viskoelastisches Einmassensystem  viskoses Verhalten  Viskosität  Voigt-Kelvin-Modell  Volumen  Zylinder-  Volumenänderungsarbeit  Volumenausdehnungskoeffizient  Volumeneinheit  Volumenstrom  Vorgang

Sachverzeichnis Ausschalt- ,  Einschalt- ,  Vorrat, Energie  Vorwiderstand  W W  Waage hydrostatische  waagerechter Wurf ,  Wahrheitswert  Wahrscheinlichkeit Theorie  ff. Wahrscheinlichkeit, Aufenthalts-  Waldsterben  WAN  Wandler elektroakustischer  Energie-  Schall-  Wiedergabe-  Wärme  Wärmedämmstoff  Wärmedurchgang  Wärmeeindringkoeffizient  Wärmekapazität ,  Wärmeleitfähigkeit , ,  Wärmeleitung ,  Wärmeleitungsgleichung  Wärmepumpe  Wärmeschaubild  Wärmestrahlung ,  ff. Wärmestromdichte , ,  Wärmetheorem, Nernst’sches  Wärmetransport, Fourier-Gesetz , ,  Wärmeübergang ,  Wärmeübergangskoeffizient  Wärmeübertragung  ff. Wasserdampfdurchlasswiderstand  Wasserdampfübergangswiderstand  Wasserstoff  Wasserstoff-Atommodell  Wasserstrahlpumpe  Wässrige Lösungen  Weber-Zahl  Wechselfestigkeit  Wechselspannung  Wechselstrom  Wechselstromkreis  ff. Wechselstromkreis, Bauelemente – Wechselwirkung  fundamentale  Wechselwirkung zwischen Körpern  Weiß’scher Bezirk 

weitsichtig  Welle ,  ff. Boden-  elastische ,  elektromagnetische , ,  harmonische  Longitudinal-  Materie-  Raum-  Schall-  stehende  Transversal-  Wellenamplitude  Wellenfunktion  Wellengleichung  Wellenlänge Materie-  Schall-  Wellenoptik  ff. Wellenwiderstand – Wellenzahl  Wendeprisma  Wertigkeit Kap. Z. Wheatstone’sche Brücke  Widerstand – Dampfübergangs-  differenzieller  Foto-  Hall-  innerer  komplexer  Schall-  spezifischer elektrischer ,  steuerbarer  Strömungs- ,  Wasserdampfdurchlass  Wasserdampfübergangs-  Wellen- – Widerstandsbeiwert ,  Widerstandsmoment – Widerstandsnormal ,  Wiedemann-Franz’sches Gesetz  Wiedergabewandler  Wien’sches Verschiebungsgesetz  Winkelbeschleunigung  Winkelbeziehung ,  Winkelgeschwindigkeit  Wirbelstrom  Wirkanteil  Wirkbad  Wirkleistung  Wirkungsgrad ,  elektrischer Maschinen  exergetischer  Heizungs- 





Sachverzeichnis

thermischer  Wirkungslinie  Wirkungsquerschnitt  Wölbspiegel  Wolfram  Wurfbewegung , ,  Wurzel, Bestimmung einer  Wurzelfunktion ,  X Xe  Xenon  Xylol  Y Y  Yb  Ytterbium  Yttrium  Z Zahl ganze  imaginäre  irrationale  komplexe  magische  rationale  transzendente  Zahlensystem  Zeiger, komplexer  Zeiger-Diagramm  Zeit Definition  Zeitdilatation  Zeiteinheit  Zeitfunktion 

Zeitmultiplex  Zeitstandverhalten  Zener-Diode  Zentrifugalkraft  Zentripetalkraft  Zerfall, radioaktiver ,  α-Zerfall  β-Zerfall  γ-Zerfall  Zerfallskurve ,  Zerfallsprodukt  Zerfallsreaktion  Zerfallsreihe  Zerfallsschema  Zerstäuber  Zerstreuungslinse  Zink  Zinn  Ziolkowski’sche Raketengleichung Zirkonium  Zissoide  Zn  Zr  Zugversuch  Zustand  Gleichgewichts-  Spannungs- ,  Zustandsdiagramm  Zustandsdichte  Zustandsgleichung allgemeine ,  van-der-Waals’sche  Zustandsgröße ,  zweidimensionales Elektronengas Zwischengitteratom  Zykloide  zyklometrische Funktion  Zyklon  Zylinderkoordinaten  Zylindervolumen 



