Technische Mechanik 3: Kinetik (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Springer-Lehrbuch

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross studierte Angewandte Mechanik und promovierte an der Universität Rostock. Er habilitierte an der Universität Stuttgart und ist seit 1976 Professor für Mechanik an der TU Darmstadt. Seine Arbeitsgebiete sind unter anderem die Festkörper- und Strukturmechanik sowie die Bruchmechanik. Hierbei ist er auch mit der Modellierung mikromechanischer Prozesse befasst. Er ist Mitherausgeber mehrerer internationaler Fachzeitschriften sowie Autor zahlreicher Lehr- und Fachbücher.

Prof. Dr. Werner Hauger studierte Angewandte Mathematik und Mechanik an der Universität Karlsruhe und promovierte an der Northwestern University in Evanston/Illinois. Er war mehrere Jahre in der Industrie tätig, hatte eine Professur an der Helmut-Schmidt Universität in Hamburg und wurde 1978 an die TU Darmstadt berufen. Sein Arbeitsgebiet ist die Festkörpermechanik mit den Schwerpunkten Stabilitätstheorie, Plastodynamik und Biomechanik. Er ist Autor von Lehrbüchern und Mitherausgeber internationaler Fachzeitschriften.

Prof. Dr.-Ing. Jörg Schröder studierte Bauingenieurwesen, promovierte an der Universität Hannover und habilitierte an der Universität Stuttgart. Nach einer Professur für Mechanik an der TU Darmstadt ist er seit 2001 Professor für Mechanik an der Universität Duisburg-Essen. Seine Arbeitsgebiete sind unter anderem die theoretische und die computerorientierte Kontinuumsmechanik sowie die phänomenologische Materialtheorie mit Schwerpunkten auf der Formulierung anisotroper Materialgleichungen und der Weiterentwicklung der Finite-Elemente-Methode. Prof. Dr.-Ing. Wolfgang A. Wall studierte Bauingenieurwesen an der Universität Innsbruck und promovierte an der Universität Stuttgart. Seit 2003 leitet er den Lehrstuhl für Numerische Mechanik an der Fakultät Maschinenwesen der TU München. Seine Arbeitsgebiete sind unter anderem die numerische Strömungs- und Strukturmechanik. Schwerpunkte dabei sind gekoppelte Mehrfeld- und Mehrskalenprobleme mit Anwendungen, die sich von der Aeroelastik bis zur Biomechanik erstrecken.

Dietmar Gross • Werner Hauger Jörg Schröder • Wolfgang A.Wall

Technische Mechanik Band 3: Kinetik 11. neu bearbeitete Auflage

1C

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross Prof. Dr. Werner Hauger Prof. Dr. rer.nat. Dr.-Ing. E.h. Walter Schnell † Institut Mechanik Technische Universität Darmstadt Hochschulstraße 1 64289 Darmstadt Prof. Dr.-Ing. Jörg Schröder Institut Mechanik Universität Duisburg-Essen Campus Essen Universitätsstraße 15 45117 Essen

Prof. Dr.-Ing. Wolfgang A. Wall Lehrstuhl für Numerische Mechanik Technische Universität München Boltzmannstraße 15 85747 Garching

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-11263-8 e-ISBN 978-3-642-11264-5 DOI 10.1007/978-3-642-11264-5 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983, 1989, 1990, 1993, 1995, 1999, 2002, 2004, 2006, 2008, 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer. com)

Vorwort

Die Kinetik setzt das mehrb¨ andige Lehrbuch der Technischen Mechanik fort. W¨ ahrend in den ersten beiden B¨ anden – der Statik und der Elastostatik – ausschließlich statische Probleme behandelt werden, besch¨ aftigt sich der vorliegende Band mit den Bewegungen von K¨ orpern unter dem Einfluss von Kr¨ aften. Das Buch ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die von den Verfassern f¨ ur Studierende aller Ingenieur-Fachrichtungen gehalten wurden. Sein Ziel ist es, an das Verstehen der wesentlichen Grundgesetze und Methoden der Mechanik heranzuf¨ uhren. Dabei soll ein tragf¨ ahiges Fundament gelegt werden, das in den Ingenieurf¨ achern genutzt werden kann und das ein tieferes Eindringen in weitergehende Gebiete der Mechanik erm¨ oglicht. Der dargestellte Stoff orientiert sich im Umfang an den Mechanik-Kursen deutschsprachiger Hochschulen. Die Erfahrung zeigt, dass die Kinetik sowohl an das mechanische Verst¨ andnis als auch an die mathematischen Kenntnisse h¨ ohere Anforderungen stellt als die Statik. Wir haben uns deshalb um eine ausf¨ uhrliche und m¨ oglichst einfache Darstellung bem¨ uht und uns auf die notwendigen Grundlagen beschr¨ankt. Zu einem echten Verst¨ andnis und zur F¨ ahigkeit, die dargestellten Gesetzm¨ aßigkeiten sachgerecht anzuwenden, kann der Leser allerdings nur dann gelangen, wenn er nicht nur die Theorie nachvollzieht, sondern auch selbst¨ andig Aufgaben l¨ ost. Die durchgerechneten Beispiele am Ende der Abschnitte sollen ihm hierf¨ ur eine Anleitung geben. Die freundliche Aufnahme, welche dieses Buch gefunden hat, macht eine Neuauflage erforderlich. Wir haben sie genutzt, um eine Reihe von Verbesserungen und Erg¨ anzungen vorzunehmen.

VI

Herzlich gedankt sei an dieser Stelle Frau Veronika Jorisch, die mit großer Sorgfalt die Zeichnungen anfertigte, und Herrn Dr.Ing. Holger Romanowski sowie Frau Dipl.-Ing. Vera Ebbing f¨ ur ihre gewissenhaften Kontrollrechnungen der numerischen Beispiele in Kapitel 7. Unser Dank gilt auch Herrn Dipl.-Ing. Wolfgang Moritz Bloßfeld und Herrn Milan Pereira, B.E., welche die ersten TM-Tools f¨ ur die Technische Mechanik 3 erstellt haben. Schließlich danken wir dem Springer-Verlag f¨ ur das Eingehen auf unsere W¨ unsche und f¨ ur die ansprechende Ausstattung des Buches. Darmstadt, Essen und M¨ unchen, im Dezember 2009

D. Gross W. Hauger J. Schr¨oder W.A. Wall

Inhaltsverzeichnis Einf¨ uhrung.................................................................

1

1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.3

Bewegung eines Massenpunktes Kinematik ........................................................ Geschwindigkeit und Beschleunigung ....................... Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten ...................................................... Geradlinige Bewegung.......................................... Ebene Bewegung, Polarkoordinaten ......................... R¨aumliche Bewegung, nat¨ urliche Koordinaten ............ Kinetik ............................................................ Grundgesetze .................................................... Freie Bewegung, Wurf ......................................... Gef¨ uhrte Bewegung............................................. Widerstandskr¨afte .............................................. Impulssatz, Stoß ................................................ Momentensatz ................................................... Arbeitssatz, potentielle Energie, Energiesatz .............. Gravitationsgesetz, Planeten- und Satellitenbewegung .. Zusammenfassung ..............................................

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Kinetik eines Systems von Massenpunkten Grundlagen ....................................................... 83 Schwerpunktsatz ................................................ 88 Momentensatz ................................................... 91 Arbeitssatz und Energiesatz .................................. 95 Zentrischer Stoß ................................................ 98 K¨ orper mit ver¨anderlicher Masse ............................ 109 Zusammenfassung .............................................. 117

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3

Bewegung eines starren K¨ orpers Kinematik ........................................................ Translation ....................................................... Rotation .......................................................... Allgemeine Bewegung ..........................................

1 1.1 1.1.1 1.1.2

5 5 7 7 23 30 36 36 38 43 46 53 59 64 73 79

121 121 121 125

VIII

3.1.4 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5

Momentanpol .................................................... Kinetik der Rotation um eine feste Achse.................. Momentensatz ................................................... Massentr¨agheitsmoment ....................................... Arbeit, Energie, Leistung ...................................... Kinetik der ebenen Bewegung ................................ Kr¨aftesatz und Momentensatz ............................... Impulssatz, Arbeitssatz und Energiesatz ................... Exzentrischer Stoß .............................................. Kinetik der r¨aumlichen Bewegung ........................... Kr¨aftesatz und Momentensatz ............................... Drehimpuls, Tr¨agheitstensor, Eulersche Gleichungen .... Lagerreaktionen bei ebener Bewegung...................... Der momentenfreie Kreisel .................................... Zusammenfassung ..............................................

133 139 139 140 145 150 150 161 166 174 174 177 186 190 192

4 4.1 4.2 4.3 4.4

Prinzipien der Mechanik Formale R¨ uckf¨ uhrung der Kinetik auf die Statik.......... Prinzip von d’Alembert ........................................ Lagrangesche Gleichungen 2. Art ............................ Zusammenfassung ..............................................

195 200 204 215

5 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.4.1 5.4.2 5.5

Schwingungen Grundbegriffe .................................................... Freie Schwingungen ............................................ Unged¨ampfte freie Schwingungen ........................... Federzahlen elastischer Systeme ............................. Ged¨ampfte freie Schwingungen .............................. Erzwungene Schwingungen ................................... Unged¨ampfte Schwingungen.................................. Ged¨ampfte Schwingungen ..................................... Systeme mit zwei Freiheitsgraden ........................... Freie Schwingungen ............................................ Erzwungene Schwingungen ................................... Zusammenfassung ..............................................

219 222 222 228 236 246 246 251 259 259 268 272

IX

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.2 6.3

Relativbewegung des Massenpunktes Kinematik der Relativbewegung.............................. Translation des Bezugssystems............................... Translation und Rotation des Bezugssystems ............. Kinetik der Relativbewegung ................................. Zusammenfassung ..............................................

275 275 276 281 288

7 7.1 7.2 7.3 7.4

Numerische Simulation Einf¨ uhrung ....................................................... Anfangswertprobleme 1. Ordnung ........................... Anfangswertprobleme 2. Ordnung ........................... Zusammenfassung ..............................................

291 291 302 317

A

Integrationsverfahren ........................................ 320

Englische Fachausdr¨ ucke .............................................. 323 Sachverzeichnis .......................................................... 335

Einf¨ uhrung Die Aufgabe der Mechanik ist die Beschreibung und Vorherbestimmung der Bewegungen von K¨ orpern sowie der Kr¨afte, die mit diesen Bewegungen im Zusammenhang stehen. Man kann die Mechanik in Kinematik und Dynamik unterteilen. Die Kinematik ist dabei die Lehre vom geometrischen und zeitlichen Bewegungsablauf, ohne dass auf Kr¨ afte als Ursache oder Wirkung der Bewegung eingegangen wird. Die Dynamik befasst sich dagegen mit dem Zusammenspiel von Kr¨ aften und Bewegungen. Sie wird wiederum in die Statik und die Kinetik unterteilt. Die Statik besch¨ aftigt sich mit den Kr¨ aften an ruhenden K¨ orpern (Gleichgewicht), w¨ ahrend die Kinetik tats¨ achliche Bewegungen unter der Wirkung von Kr¨ aften untersucht. Der Ursprung der Statik liegt in der Antike. Die Kinetik ist dagegen eine sehr viel j¨ ungere Wissenschaft. Die ersten systematischen Untersuchungen wurden von Galileo Galilei (1564–1642) durchgef¨ uhrt. Er fand mit Hilfe von genialen Experimenten die Fall- und die Wurfgesetze und formulierte 1638 das Tr¨agheitsgesetz. Zur W¨ urdigung der Leistung von Galilei bedenke man, dass Differential- und Integralrechnung damals noch unbekannt waren und es noch kein Ger¨ at zur pr¨ azisen Messung der Zeit gab. Ihre wissenschaftliche Begr¨ undung fand die Kinetik durch Isaac Newton (1643–1727), der 1687 die erste Formulierung der Bewegungsgesetze gab. Die Newtonschen Grundgesetze sind eine Zusammenfassung aller experimentellen Erfahrungen; alle Folgerungen, die aus ihnen gezogen werden, stimmen mit der Erfahrung u ¨ berein. Wir sehen diese Gesetze – ohne sie beweisen zu k¨onnen – als richtig an: sie haben axiomatischen Charakter. Bevor wir uns mit dem Zusammenspiel von Kr¨aften und Bewegungen befassen k¨ onnen, ist es erforderlich, Bewegungen zun¨achst rein geometrisch (kinematisch) darzustellen. Dabei werden die Begriffe Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung behandelt. Je nach Art der Bewegung (z.B. geradlinig, eben, r¨ aumlich) beschreibt man diese Gr¨ oßen in einem geeigneten Koordinatensystem. Aus¨ gangspunkt aller dann folgenden Uberlegungen der Kinetik sind die Newtonschen Grundgleichungen. Wir beschr¨ anken uns hier auf

2

Einf¨ uhrung

die Behandlung der Bewegungen von Massenpunkten bzw. von starren K¨ orpern. Mit Hilfe dieser Idealisierungen lassen sich sehr viele technisch wichtige Probleme beschreiben und einer L¨osung zuf¨ uhren. Die Newtonschen Grundgesetze gelten nur in einem Inertialsystem. Oft ist es jedoch vorteilhaft, die Bewegung eines K¨orpers in Bezug auf ein bewegtes System zu beschreiben. Daher werden wir kurz auf Relativbewegungen eingehen. Den Newtonschen Axiomen gleichwertig sind Grundgesetze, die Prinzipien der Mechanik heißen. Bei der Behandlung von Probleaßig, diese Prinzipien anzuwenden. men ist es manchmal zweckm¨ Wir beschr¨ anken uns hier auf die Darstellung des Prinzips von d’Alembert und der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art. In der Kinetik werden viele der in der Statik eingef¨ uhrten Begriffe (z.B. Raum, Masse, Kraft, Moment) und Idealisierungen (z.B. Massenpunkt, starrer K¨ orper, Einzelkraft) weiter verwendet. Dort bereits erl¨ auterte Grundgesetze (z.B. Schnittprinzip, Wechselwirkungsgesetz, Satz vom Parallelogramm der Kr¨afte) gelten auch hier. Bei der L¨ osung konkreter Probleme haben Freik¨orperbilder eine gleich große Bedeutung wie in der Statik. Zur Beschreibung von Bewegungen muss nun als neue Grundgr¨oße die Zeit eingef¨ uhrt werden, welche in der Statik nicht ben¨otigt wird. Damit lassen sich weitere Begriffe (z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, kinetische Energie) definieren und neue Gesetzm¨aßigkeiten (z.B. Impulssatz, Energiesatz) angeben, mit denen wir uns im folgenden befassen werden.

Kapitel 1 Bewegung eines Massenpunktes

1

1 Bewegung eines Massenpunktes 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7 1.2.8 1.3

Kinematik ........................................................ Geschwindigkeit und Beschleunigung ....................... Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten ...................................................... Geradlinige Bewegung ......................................... Ebene Bewegung, Polarkoordinaten ........................ R¨aumliche Bewegung, nat¨ urliche Koordinaten ........... Kinetik ............................................................ Grundgesetze .................................................... Freie Bewegung, Wurf ......................................... Gef¨ uhrte Bewegung ............................................ Widerstandskr¨afte .............................................. Impulssatz, Stoß ................................................ Momentensatz ................................................... Arbeitssatz, potentielle Energie, Energiesatz.............. Gravitationsgesetz, Planeten- und Satellitenbewegung . Zusammenfassung ..............................................

5 5 7 7 23 30 36 36 38 43 46 53 59 64 73 79

Lernziele: Wir lernen zun¨ achst, wie die Bewegung eines Punktes durch seinen Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben wird und wie diese Gr¨ oßen berechnet werden k¨ onnen. Anschließend befassen wir uns mit dem Bewegungsgesetz, welches den Zusammenhang zwischen den Kr¨ aften und der Bewegung herstellt. Eine wichtige Rolle spielt dabei wieder das Freik¨ orperbild, mit dessen Hilfe eine korrekte Aufstellung der Bewegungsgleichungen m¨oglich ist. Im weiteren werden wichtige Gesetzm¨ aßigkeiten wie Impuls-, Drehimpuls- und Arbeitssatz sowie deren Anwendung diskutiert.

1.1

Kinematik

5

1.1

1.1 Kinematik 1.1.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die Bewegung eines Punktes im Raum wird durch die Kinematik beschrieben. Die Kinematik kann als Geometrie der Bewegung aufgefasst werden, wobei nach den Ursachen dieser Bewegung nicht gefragt wird. Der Ort eines Punktes P im Raum wird durch den Ortsvektor r eindeutig festgelegt (Abb. 1.1a). Dieser zeigt von einem raum¨ festen Bezugspunkt 0 zur augenblicklichen Lage von P . Andert sich die Lage von P mit der Zeit t, so beschreibt r(t) die Bahn des Punktes P . Δv v(t+Δt)

v(t+Δt) Bahn

r(t+Δt)

P

r ez ex 0 x

v(t)

v(t)

Δr

P

P

r(t)

z

z

P

P

s

z

ey y

0

y

0 x

x

a

b

y

c

Abb. 1.1

Betrachten wir nun zwei benachbarte Lagen P und P  eines Punktes zu zwei Zeitpunkten t und t + Δt (Abb. 1.1b). Dann ist ¨ die Anderung des Ortsvektors w¨ ahrend der Zeit Δt durch Δr = r(t + Δt) − r(t) gegeben. Die Geschwindigkeit von P ist definiert ¨ als Grenzwert der zeitlichen Anderung des Ortsvektors: r(t + Δt) − r(t) Δr dr = lim = = r˙ . Δt→0 Δt→0 Δt Δt dt

v = lim

(1.1)

Die Geschwindigkeit v ist demnach gleich der zeitlichen Ableitung des Ortsvektors r. Ableitungen nach der Zeit wollen wir meist durch einen u oße gesetzten Punkt kenn¨ber die betreffende Gr¨ zeichnen. ¨ Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Da die Anderung Δr des

6

1 Bewegung eines Massenpunktes

Ortsvektors im Grenzfall Δt → 0 in Richtung der Tangente an die Bahn im Punkt P zeigt, ist auch die Geschwindigkeit stets tangential zur Bahn gerichtet. Der Richtungssinn der Geschwindigkeit stimmt mit dem Durchlaufsinn der Bahn u ¨ berein. Um den Betrag des Geschwindigkeitsvektors angeben zu k¨onnen, f¨ uhren wir als Maß f¨ ur den zur¨ uckgelegten Weg die von einem beliebigen Punkt auf der Bahn aus gez¨ ahlte Bogenl¨ange s ein. Der Punkt hat bis zur Lage P einen Weg s und bis P  einen Weg s+Δs zur¨ uckgelegt. Mit |Δr| = Δs erh¨ alt man aus (1.1) die Bahngeschwindigkeit Δs ds = = s˙ . (1.2) |v| = v = lim Δt→0 Δt dt Die Geschwindigkeit hat die Dimension L¨ ange/Zeit und wird in Vielfachen der Einheit m/s gemessen. Mit der Einheit km/h, die z.B. im Straßenverkehr verwendet wird, besteht der Zusammen1 hang 1 km/h = 1000 3600 m/s = 3,6 m/s oder 1 m/s = 3,6 km/h. Im allgemeinen h¨ angt auch die Geschwindigkeit von der Zeit ab. In den benachbarten Lagen P und P  (Abb. 1.1c) hat der betrachtete Punkt die Geschwindigkeiten v(t) und v(t + Δt). Dann ist ¨ die Anderung des Geschwindigkeitsvektors durch Δv = v(t + Δt) − v(t) gegeben. Die Beschleunigung ist definiert als Grenzwert der Geschwindigkeits¨ anderung: a = lim

Δt→0

v(t + Δt) − v(t) Δv dv = lim = = v˙ = r¨ . (1.3) Δt→0 Δt Δt dt

Die Beschleunigung a ist somit gleich der ersten Ableitung von v bzw. der zweiten Ableitung von r. Auch die Beschleunigung ist ein Vektor. Da aber Δv nach Abb. 1.1c in keinem erkennbaren Zusammenhang mit der Bahn steht, k¨ onnen wir u ¨ ber Richtung und Gr¨ oße der Beschleunigung zun¨ achst keine weiteren Aussagen machen. Die Beschleunigung hat die Dimension L¨ange/Zeit2 und wird in Vielfachen der Einheit m/s2 gemessen. Geschwindigkeit und Beschleunigung wurden zun¨achst ohne Verwendung spezieller Koordinaten eingef¨ uhrt. Zur L¨osung konkreter Aufgaben ist es jedoch zweckm¨ aßig, sich eines geeigneten Koordinatensystems zu bedienen. Im folgenden wollen wir die drei wichtigsten F¨ alle betrachten.

1.1

Kinematik

7

1.1.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten

Wenn wir eine Bewegung speziell in kartesischen Koordinaten beschreiben wollen, so w¨ ahlen wir 0 als Ursprung eines raumfesten Systems x, y, z. Mit den Einheitsvektoren (= Basisvektoren) ex , ey , ez in den drei Koordinatenrichtungen (Abb. 1.1a) lautet der Ortsvektor r(t) = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez .

(1.4)

Dies ist eine Parameterdarstellung der Bahn mit t als Parameter. Wenn man aus den drei Komponentengleichungen von (1.4) die Zeit t eliminieren kann, erh¨ alt man die zeitfreie geometrische Beschreibung der r¨ aumlichen Bahnkurve (vgl. z.B. Abschnitt 1.2.2). Nach (1.1) ergibt sich die Geschwindigkeit durch Differenzieren (die Basisvektoren h¨ angen nicht von der Zeit ab) zu v = r˙ = x˙ ex + y˙ ey + z˙ ez .

(1.5)

Nochmaliges Differenzieren liefert die Beschleunigung a = v˙ = r¨ = x¨ ex + y¨ ey + z¨ ez .

(1.6)

Die Komponenten von Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten lauten daher vx = x, ˙

vy = y, ˙

vz = z, ˙

¨, ax = v˙ x = x

ay = v˙ y = y¨,

az = v˙ z = z¨.

Die Betr¨ age folgen zu   ¨2 + y¨2 + z¨2 . v = x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 und a = x

(1.7)

(1.8)

1.1.3 Geradlinige Bewegung

Die geradlinige Bewegung ist die einfachste Form einer Bewegung.

8

1 Bewegung eines Massenpunktes

Sie hat zugleich große praktische Bedeutung. So sind z.B. der freie Fall eines K¨ orpers im Erdschwerefeld oder die Fahrt einer Eisenbahn u ucke geradlinige Bewegungen. ¨ ber eine Br¨ Bewegt sich ein Punkt P auf einer Geraden, so k¨onnen wir die xAchse mit dieser Geraden zusammenfallen lassen (Abb. 1.2). Dann hat nach (1.4) der Ortsvektor r nur eine x-Komponente, und die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a zeigen nach (1.5) und (1.6) ebenfalls in x-Richtung. Daher k¨ onnen wir auf den Vektorcharakter von Geschwindigkeit und Beschleunigung verzichten und erhalten aus (1.7) v = x, ˙

a = v˙ = x ¨.

(1.9)

Falls v bzw. a negativ sind, bedeutet dies, dass die Geschwindigkeit bzw. die Beschleunigung gegen die positive x-Richtung zeigen. Eine Beschleunigung, die eine Verringerung der Geschwindigkeit zur Folge hat, nennt man im technischen Sprachgebrauch eine Verz¨ ogerung “. ” P 0

x

x

Abb. 1.2

Wenn bei einer geradlinigen Bewegung der Ort x in Abh¨angigkeit von der Zeit t bekannt ist, k¨ onnen Geschwindigkeit und Beschleunigung nach (1.9) durch Differenzieren berechnet werden. H¨ aufig gibt es jedoch Problemstellungen, bei denen die Beschleunigung gegeben ist und Geschwindigkeit und Weg gesucht sind. Dann sind Integrationen auszuf¨ uhren, die im allgemeinen mathematisch schwieriger sind als Differentiationen. Die Bestimmung kinematischer Gr¨ oßen aus anderen, gegebenen kinematischen Gr¨oßen nennt man kinematische Grundaufgaben. Wir wollen uns im weiteren mit diesen Aufgaben besch¨ aftigen, wobei wir uns auf den wichtigen Sonderfall beschr¨ anken, dass die gegebene Gr¨oße jeweils nur von einer anderen kinematischen Gr¨ oße abh¨angt. Wenn wir die Beschleunigung als die gegebene Gr¨ oße betrachten, gibt es f¨ unf Grundaufgaben, die wir alle vorstellen wollen. 1. a = 0 Ist die Beschleunigung gleich Null, so gilt nach (1.9) a = v˙ = dv/dt = 0. Integration liefert die konstante Geschwindig-

1.1

Kinematik

9

keit v = const = v0 . Man nennt eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit eine gleichf¨ormige Bewegung. Den Ort x erh¨ alt man aus v = v0 = dx/dt durch Integration. Dabei muss eine Aussage u ¨ ber den Anfang der Bewegung, eine Anfangsbedingung, eingearbeitet werden. Kennzeichnen wir Anfangswerte durch einen Index 0, so ist zur Zeit t = t0 der Ort durch x = x0 festgelegt. Bei der Integration kann man zwei Wege beschreiten: a) Unbestimmte Integration. Nach Trennung der Ver¨anderlichen uhrt eine unbestimmte Integration auf dx = v0 dt f¨   dx = v0 dt → x = v0 t + C1 . Die Integrationskonstante C1 folgt durch Einsetzen der Anfangswerte: x0 = v0 t0 + C1

→

C1 = x0 − v0 t0 .

Damit erhalten wir den gesuchten Ort x = x0 + v0 (t − t0 ) . b) Bestimmte Integration. Nach Trennung der Ver¨anderlichen uhrt eine bestimmte Integration (die unteren Grenzen dx = v0 dt f¨ der Integrale entsprechen den Anfangswerten t0 , x0 ) auf x

t v0 dt¯

d¯ x= x0

→

x − x0 = v0 (t − t0 )

t0

oder x = x0 + v0 (t − t0 ) . Dabei wurden die Variablen unter den Integralen jeweils mit einem Querstrich versehen, damit keine Verwechslung mit den oberen Grenzen der Integrale auftreten kann.

10

1 Bewegung eines Massenpunktes

Im folgenden werden wir abwechselnd die eine oder die andere M¨ oglichkeit der Integration verwenden. Die Anfangsbedingungen gehen dabei entweder u ¨ ber die Integrationskonstanten oder u ¨ ber die dem Anfang der Bewegung zugeordneten unteren Integrationsgrenzen in die Rechnung ein. 2. a = a0 Eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung heißt gleichm¨aßig beschleunigte Bewegung. Wir beginnen die Zeitz¨ahlung ur die Geschwinmit t0 = 0 und geben je eine Anfangsbedingung f¨ digkeit und f¨ ur den Weg vor: x(0) ˙ = v0 ,

x(0) = x0 .

Dann folgen aus (1.9) durch Integration die Geschwindigkeit v dv = a0 dt

→

t a0 dt¯

d¯ v= v0

0

x

t

→

v = v0 + a0 t

und der Weg dx = v dt

→ x0

→

(v0 + a0 t¯) dt¯

d¯ x= 0

x = x0 + v0 t + a0

t2 . 2

In Abb. 1.3 sind Beschleunigung a, Geschwindigkeit v und Weg x in Abh¨ angigkeit von der Zeit aufgetragen. Man erkennt anschaulich aus den einzelnen Anteilen der Funktionsverl¨aufe, dass eine konstante Beschleunigung a0 auf eine lineare Geschwindigkeit a0 t uhrt. und auf eine quadratische Weg-Zeit-Abh¨ angigkeit a0 t2 /2 f¨ Gleichm¨ aßig beschleunigte Bewegungen treten in der Natur z.B. beim freien Fall und beim senkrechten Wurf im Erdschwerefeld auf. Galilei (1564–1642) hat 1638 erkannt, dass alle K¨orper (bei Vernachl¨ assigung des Luftwiderstandes) mit der gleichen konstanten Beschleunigung fallen. Diese Beschleunigung nennt man Erdbeschleunigung g. Sie betr¨ agt an der Erdoberfl¨ache g = 9, 81 m/s2 . Ihre geringe Abh¨ angigkeit von der geographischen Breite wollen wir vernachl¨ assigen.

1.1 a

v

a0

v0

x a0 t

t BeschleunigungsZeit-Diagramm

x0

Kinematik a0 t2 /2 v0 t

v0

x0

t

t

GeschwindigkeitsZeit-Diagramm

11

Weg-Zeit-Diagramm

Abb. 1.3

Im folgenden sollen der freie Fall und der senkrechte Wurf eines K¨ orpers K untersucht werden. Z¨ ahlen wir nach Abb. 1.4a eine Koordinate z von der Erdoberfl¨ ache senkrecht nach oben, so folgen bei zun¨ achst beliebigen Anfangsbedingungen z(0) ˙ = v0 ,

z(0) = z0

unter Beachtung des Vorzeichens der Erdbeschleunigung (gegen die positive z-Richtung) z¨ = a = − g, z˙ = v = − g t + v0 , g t2 + v0 t + z0 . z=− 2

(1.10)

Wir betrachten zun¨ achst den freien Fall. Der K¨orper werde aus einer H¨ ohe z0 = H ohne Anfangsgeschwindigkeit (v0 = 0) fallen gelassen. Dann folgen aus (1.10) g t2 +H. a = − g, v = − g t, z=− 2 Wenn wir die Zeit T berechnen wollen, die der K¨ orper zum Durchfallen der H¨ ohe H ben¨ otigt (Fallzeit), m¨ ussen wir den Ort z = 0 des Auftreffens einsetzen:  2H g T2 z=0=− +H → T = . 2 g Setzen wir diese Zeit in die Gleichung f¨ ur die Geschwindigkeit ein, so finden wir die Auftreffgeschwindigkeit   2H = − 2 gH . vA = v(T ) = − g T = − g g

12

1 Bewegung eines Massenpunktes

Das Minuszeichen deutet an, dass die Geschwindigkeit gegen die Koordinate z gerichtet ist. In Abb. 1.4b ist die Abh¨angigkeit des Ortes von der Zeit aufgetragen. z

z K

K

H

H

g H

H

11111 00000 00000 11111 z

a

T

t

b

v0

11111 00000 00000 11111 c

T d

t Abb. 1.4

Wir untersuchen nun einen senkrechten Wurf, bei dem ein K¨orper (Abb. 1.4c) zur Zeit t = 0 von der Erdoberfl¨ache (z0 = 0) mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 abgeworfen wird. Aus (1.10) folgen dann a = − g,

v = − g t + v0 ,

z=−

g t2 + v0 t . 2

Der K¨ orper erreicht seinen h¨ ochsten Punkt (Steigh¨ohe H), wenn die Geschwindigkeit gleich Null wird. Die hierzu erforderliche Zeit (Steigzeit T ) folgt daher aus v = 0 = − g T + v0

→

T =

v0 . g

Setzt man diese Zeit in die Gleichung f¨ ur den Weg ein, so erh¨alt man die Steigh¨ ohe H = z(T ) = −

g T2 v0 v02 g v02 + v0 T = − = . + v 0 2 2 g2 g 2g

In Abb. 1.4d ist das Weg-Zeit-Diagramm des senkrechten Wurfes dargestellt. Ein Vergleich der Ergebnisse von freiem Fall und senkrechtem Wurf zeigt die enge Verwandtschaft beider Bewegungen: ein K¨ orper, der aus einer H¨ ohe H f¨allt, trifft mit einer √ Geschwindigkeit |vA | = 2 g H auf den Boden auf, w¨ahrend ein K¨ orper, der mit einer Geschwindigkeit v0 abgeworfen wird, eine H¨ ohe H = v02 /2 g erreicht.

1.1

Kinematik

13

3. a = a(t) In diesem Fall k¨ onnen die Geschwindigkeit v und der Weg x durch zwei aufeinanderfolgende Integrationen von (1.9) u ¨ ber die Zeit unmittelbar ermittelt werden. Mit den Anfangsbealt man dingungen v(t0 ) = v0 , x(t0 ) = x0 erh¨ t dv = a(t) dt

→

v = v0 +

a(t¯) dt¯,

(1.11)

v(t¯) dt¯.

(1.12)

t0

t

dx = v(t) dt

→

x = x0 + t0

4. a = a(v) Ist die Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit gegeben, so ergibt sich aus (1.9) durch Trennung der Vera ¨nderlichen a(v) =

dv dt

→

dt =

dv . a(v)

Bestimmte Integration (der unteren Zeitgrenze t0 entspricht die Anfangsgeschwindigkeit v0 ) liefert t

v dt¯ =

t0

d¯ v a(¯ v)

v →

t = t0 +

v0

d¯ v = f (v) . a(¯ v)

(1.13)

v0

Damit ist zun¨ achst die Zeit t in Abh¨ angigkeit von der Geschwindigkeit v bekannt. Wenn man diese Gleichung nach v = F (t) aufl¨ osen kann (Bilden der Umkehrfunktion F ), so folgt der Weg nach (1.12) zu t F (t¯) dt¯.

x = x0 +

(1.14)

t0

Damit ist der Weg x als Funktion der Zeit t bekannt. Man kann aus a(v) den Weg x in Abh¨ angigkeit von v unmittelbar gewinnen. Unter Anwendung der Kettenregel a=

dv dx dv dv = = v dt dx dt dx

14

1 Bewegung eines Massenpunktes

ergibt die Trennung der Ver¨ anderlichen v dx = dv . a Bestimmte Integration unter Einarbeitung der Anfangswerte v0 und x0 liefert v x = x0 +

v¯ d¯ v. a(¯ v)

(1.15)

v0

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir die Bewegung eines Punktes, der eine Beschleunigung a = −kv hat; dabei ist k eine Konstante. Solche Beschleunigungen treten z.B. bei Bewegungen von K¨ orpern in reibungsbehafteten Fl¨ ussigkeiten auf (vgl. Abschnitt 1.2.4). Als Anfangsbedingungen seien x(0) = x0 und v(0) = v0 gegeben. Aus (1.13) folgt dann v t= v0

v d¯ v 1 v 1  = − ln v¯ = − ln = f (v) . −k¯ v k k v0 v0

Aufl¨ osen nach v (Bilden der Umkehrfunktion) ergibt v = v0 e−kt = F (t). Nach (1.14) wird damit t x = x(t) = x0 +

t  v  ¯ ¯ 0 e−kt  v0 e−kt dt¯ = x0 + − k 0

0

= x0 +

v0 (1 − e−kt ) . k

Verwenden wir dagegen (1.15), so folgt v x = x(v) = x0 + v0

v¯ 1 d¯ v = x0 − (v − v0 ) . −k¯ v k

Setzen wir hierin die Geschwindigkeit v = v0 e−kt ein, so erhalten wir wieder die zuvor ermittelte Weg-Zeit-Abh¨angigkeit:

1.1

x = x0 −

Kinematik

15

1 v0 (v0 e−kt − v0 ) = x0 + (1 − e−kt ) = x(t) . k k x

v

v0 k

v0 x0

x0 t

t

Abb. 1.5

Abb. 1.5 veranschaulicht das Ergebnis: da die Beschleunigung a proportional zu −v ist, wird der Punkt st¨ andig verz¨ogert. Die Geschwindigkeit v nimmt daher st¨ andig ab, wobei mit kleiner wer¨ dendem v die Verz¨ ogerung und damit die Anderung von v immer kleiner werden. Erst im Grenzfall t → ∞ wird die Geschwindigkeit gleich Null. Der Punkt bewegt sich dabei gegen den endlichen ur t → ∞ oder Wert x0 + v0 /k. Dieser Grenzwert folgt aus x(t) f¨ aus x(v) f¨ ur v → 0. 5. a = a(x) Wir verwenden wiederum die Kettenregel a=

dv dx dv dv = = v dt dx dt dx

und trennen die Ver¨ anderlichen: v dv = a dx.

(1.16)

Integration mit den Anfangsbedingungen v(t0 ) = v0 , x(t0 ) = x0 ergibt x  1 2 1 2 v = v0 + a(¯ x) d¯ x = f (x) → v = 2 f (x) . (1.17) 2 2 x0

Damit ist die Geschwindigkeit v in Abh¨ angigkeit vom Weg x bekannt. Aus v = dx/dt findet man nach Trennung der Ver¨anderlichen und Integration x d¯ x dx dx  =  → t = t0 + = g(x) . (1.18) dt = v 2 f (x) 2 f (¯ x) x0

16

1 Bewegung eines Massenpunktes

Die Zeit t ist hiermit als Funktion des Weges x bekannt. Wenn man zu t = g(x) die Umkehrfunktion x = G(t) bilden kann, so erh¨ alt man den Weg in Abh¨ angigkeit von der Zeit. Als Anwendungsbeispiel untersuchen wir eine Bewegung mit einem Beschleunigungsgesetz a = −ω 2 x. Hierin ist ω 2 eine Konstante. Zur Zeit t0 = 0 seien x(0) = x0 und v(0) = v0 = 0. Einsetzen in (1.17) ergibt  2 x x20 ω2 2 1 2 x 2 2 v = (−ω x − = (x − x2 ) = f (x) ¯) d¯ x = −ω 2 2 2 2 0 x0

→ v = ± ω x20 − x2 . Nach (1.18) erh¨ alt man f¨ ur den Zeitverlauf x d¯ x x ¯ x 1  arcsin t = t(x) = ± = ±  ω x0 x0 ω x20 − x ¯2 x0

=±

1 ω

 x 1 x π arcsin = ± arccos − . x0 2 ω x0

Bildet man die Umkehrfunktion, so folgt die Weg-Zeit-Abh¨angigkeit x = x0 cos ωt. Diese Bewegung ist eine harmonische Schwingung (vgl. Kapitel 5). Durch Differenzieren erh¨ alt man f¨ ur die Geschwindigkeit und f¨ ur die Beschleunigung a(t) = x ¨ = −ω 2 x0 cos ωt = −ω 2 x(t) .

v(t) = x˙ = −ωx0 sin ωt,

Abb. 1.6a zeigt Weg und Geschwindigkeit als Funktionen der Zeit. x x˙

v

x = x0 cos ωt t = ωπ π

a

2π

ωt

x˙ = −ω x0 sin ωt

b

3π t = 2ω

ωx0 x0 π t = 2ω

t = T = 2π ω x t=0 Abb. 1.6

1.1

Kinematik

17

H¨aufig interessiert auch die Abh¨ angigkeit der Geschwindigkeit vom Ort. Geometrisch l¨ asst sich dieser Zusammenhang in einem x, v-Diagramm durch eine Kurve, die sogenannte Phasenkurve, darstellen.  Im Beispiel der Schwingung gilt v = ± ω x20 − x2 . Hieraus folgt 2  2  x v + = 1. v 2 = ω 2 (x20 − x2 ) → x0 ωx0 Die Phasenkurve ist hier eine Ellipse mit den Halbachsen x0 und ωx0 (Abb. 1.6b). Jedem Wertepaar x, v ist ein bestimmter Zeitpunkt t zugeordnet: die Zeit ist Parameter. Da hier die Kurve geschlossen ist, beginnt die Bewegung nach jedem Durchlaufen der Kurve wieder von vorn (Schwingung = periodischer Vorgang). Im Bild sind einige Zeitmarken und der Umlaufsinn eingetragen. Die Zeit T = 2 π/ω, die f¨ ur einen Umlauf ben¨ otigt wird, heißt Schwingungsdauer (vgl. Kapitel 5). Falls bei anderen Beispielen Geschwindigkeit und Weg als Funktionen der Zeit bekannt sind, muss man zur Ermittlung der Phasenkurve aus x(t) ˙ und x(t) die Zeit eliminieren. Zum Abschluss dieses Abschnittes sind in Tabelle 1.1 die wichtigsten Formeln der kinematischen Grundaufgaben zusammengestellt. Tabelle 1.1

Geg. a(t)

Gesucht v = v0 +

t

a(t¯) dt¯

x = x0 +

t0

t = t0 +

a(x)

v 2 = v02 + 2

v(t¯) dt¯

t0

v d¯ v v) v0 a(¯

a(v)

t

x x0

a(¯ x) d¯ x

x = x0 +

t = t0 +

v v¯ d¯ v v) v0 a(¯

x x0



dˆ x

v02 + 2

xˆ x0

a(¯ x) d¯ x

18

B1.1

1 Bewegung eines Massenpunktes

Beispiel 1.1 Ein Kraftfahrzeug auf gerader Bahn hat zur Zeit t0 = 0 die Geschwindigkeit v0 = 40 m/s. Es erf¨ahrt zun¨achst eine linear abnehmende Beschleunigung vom Anfangswert a0 = 5 ur t = 6 s. Anschließend legt es den m/s2 bis zum Wert a = 0 f¨ ormig zur¨ uck und wird in einem dritten Weg s2 = 550 m gleichf¨ Bewegungsabschnitt mit a3 = 11 m/s2 abgebremst. Nach welcher Zeit und an welcher Stelle kommt das Fahrzeug zum Stillstand? Man zeichne das Beschleunigungs-, das Geschwindigkeits- und das Weg-Zeit-Diagramm. L¨ osung Wir beginnen in jedem der drei Bewegungsabschnitte je-

weils mit einer neuen Zeitz¨ ahlung (Abb. 1.7a). Gr¨oßen am Ende eines Zeitabschnittes kennzeichnen wir mit einem Stern. Der Weg ahlt. x wird vom Ort zur Zeit t0 = 0 aus gez¨ 1. Linear beschleunigte Bewegung (0  t1  t∗1 ). Der Beschleunigungsverlauf wird durch a1 = a0 (1−t1/t∗1 ) beschrieben. Unter Beachtung der Anfangsbedingungen x1 (t1 = 0) = 0 und alt man nach (1.11) und (1.12) die Geschwinv1 (t1 = 0) = v0 erh¨ digkeit t1 v1 = v0 + 0

  t¯1 t21 ¯ a0 1 − ∗ dt1 = v0 + a0 t1 − ∗ t1 2 t1

und den Weg 

t1 v1 dt¯1 = v0 t1 + a0

x1 = 0

t3 t21 − 1∗ 2 6 t1

.

Insbesondere werden am Ende des ersten Abschnittes (t1 = t∗1 = 6 s) v1∗ = v0 + a0

t∗1 m = 40 + 5 · 3 = 55 , 2 s

x∗1 = v0 t∗1 + a0

t∗2 62 1 = 40 · 6 + 5 · = 300 m . 3 3

2. Gleichf¨ ormige Bewegung (0  t2  t∗2 ). Im zweiten Abschnitt hat die Geschwindigkeit den konstanten

1.1

Kinematik

19

Wert v2 = v1∗ = 55 m/s. Damit wird der Weg x2 = x∗1 + v2 t2 . Zur Zeit t∗2 hat das Fahrzeug den Gesamtweg x∗2 = x∗1 + s2 = 300 + 550 = 850 m zur¨ uckgelegt. Aus s2 = v2 t∗2 = 550 m folgt die Zeit t∗2 =

s2 550 = 10 s . = v2 55 t1

t∗1

t3

0

t2

t∗2

v

t∗3 tGes t

a

50 m s

c

a

0

6

16

21 s

t

x

m s2 5

xGes 16

0

21 s

6

t

500 m

tGes 0

b

6

16

21 s

t

d

Abb. 1.7

3. Gleichm¨ aßig verz¨ ogerte Bewegung (0  t3  t∗3 ). Die Endwerte des zweiten Abschnitts (x∗2 , v2∗ = v2 ) sind die Anfangswerte des dritten Abschnitts. Wir finden daher (a3 ist der Betrag einer Verz¨ ogerung) v3 = v2∗ − a3 t3 , x3 = x∗2 + v2∗ t3 − a3

t23 . 2

20

1 Bewegung eines Massenpunktes

Die Zeit bis zum Stillstand folgt aus v3∗ = v2∗ − a3 t∗3 = 0

→

t∗3 =

v2∗ 55 = 5s, = a3 11

und der Gesamtweg wird xGes = x∗3 = x∗2 + v2∗ t∗3 − a3 = 850 + 55 · 5 − 11 ·

t∗2 3 2

52 = 987, 5 m . 2

Die Gesamtzeit betr¨ agt tGes = t∗1 + t∗2 + t∗3 = 6 + 10 + 5 = 21 s . In den Abbildungen 1.7b-d sind die Beschleunigungs-, Geschwindigkeits- und Weg-Zeit-Diagramme dargestellt. An der Stelle, an der die Beschleunigung einen Sprung hat, tritt bei der Geschwindigkeit ein Knick auf. Im Weg-Zeit-Verlauf gibt es keinen Knick, da das Fahrzeug keinen Geschwindigkeitssprung erf¨ahrt (Spr¨ unge in v treten nur bei Stoßvorg¨ angen auf, vgl. Abschnitt 2.5). B1.2

Beispiel 1.2 Ein Punkt P bewegt sich nach Abb. 1.8a l¨ angs einer Geraden. Das Quadrat seiner Geschwindigkeit nimmt linear mit x ab. Er durchl¨ auft den Ort x = 0 zur Zeit t = 0 mit einer Geschwindigkeit v0 und hat am Ort x = x1 die Geschwindigkeit v1 = 0. Wann erreicht der Punkt die Lage x1 , und wie groß ist seine Beschleunigung a? v v0

P 0 a

t=0

t = t1

x1

x1

x b

x Abb. 1.8

1.1

Kinematik

21

L¨ osung Wir m¨ ussen zun¨ achst den Geschwindigkeitsverlauf beschreiben. Die lineare Beziehung zwischen v 2 und x ist allgemein durch den Ansatz v 2 = b x + c gegeben. Die Konstanten b und c folgen durch Anpassen an die gegebenen Werte:

v(x = 0) = v0 → c = v02 ,

v(x = x1 ) = 0 → b = −

c v2 =− 0 . x1 x1

Damit wird

x v = v(x) = v0 1 − . x1

Abbildung 1.8b zeigt v(x) in der Phasenebene. Aus v = dx/dt folgt nach Trennung der Ver¨ anderlichen durch unbestimmte Integration  x1 x dx

= −2 1− + C. t= v0 x1 v0 1 − xx1 Die Integrationskonstante C wird aus der Anfangsbedingung x(0) = 0 berechnet: x1 √ x1 0 = −2 1+C → C =2 . v0 v0 Damit ergibt sich die Zeit t1 , zu welcher der Punkt die Stelle x = x1 erreicht: x1 t1 = t(x1 ) = C = 2 . v0 Die Beschleunigung finden wir unter Anwendung der Kettenregel: 1 v0 dv dv dx dv x v2 = = v=− v0 1 − =− 0 . a= x dt dx dt dx 2 x1 x1 2 x1 1− x1 Wegen a = const ist die Bewegung gleichm¨ aßig beschleunigt. Zur Probe berechnen wir durch Integration der nun bekannten Beschleunigung die Geschwindigkeit und den Weg: v = a t + v0 = −

v02 t + v0 , 2 x1

22

1 Bewegung eines Massenpunktes

x=−

v02 2 t + v0 t. 4 x1

Elimination von t f¨ uhrt wieder auf das gegebene GeschwindigkeitsWeg-Gesetz. B1.3

Beispiel 1.3 Ein Punkt P bewegt sich nach Abb. 1.9 l¨ angs der

√ x-Achse mit einer Beschleunigung a = k v. Dabei hat die Konstante k den Zahlenwert k = 2 (m/s3 )1/2 . Zur Zeit t = 0 durchl¨auft P die Stelle x0 = 1/3 m mit der Geschwindigkeit v0 = 1 m/s. An welcher Stelle x1 befindet sich der Punkt zur Zeit t1 = 2 s? Welche Geschwindigkeit und welche Beschleunigung hat er dann? P 0

x0

x1

x

Abb. 1.9

L¨ osung Die Beschleunigung ist als Funktion der Geschwindigkeit gegeben. Nach (1.13) wird daher 2  v √ d¯ v 2 √ kt √ √ = ( v − v0 ) → v = v(t) = + v0 . t= k 2 k v¯ v0

Unbestimmte Integration von v liefert  3  1 2 kt √ + v0 + C . x= v dt = 3k 2 Die Integrationskonstante C folgt aus der Anfangsbedingung x(0) = x0 . Einsetzen der Zahlenwerte ergibt 1 12 √ 3 = ( 1) + C → C = 0 . 3 32 Damit erhalten wir endg¨ ultig  3 2 kt √ + v0 , x= 3k 2 2  kt √ + v0 , v = x˙ = 2  kt √ + v0 . a = v˙ = x ¨=k 2

1.1

Kinematik

23

Zur Zeit t = t1 folgen daraus  3 2·2 √ 2 + 1 = 9 m, x1 = x (t1 ) = 3·2 2  2 m 2·2 √ v1 = v (t1 ) = + 1 =9 , 2 s  √ 2·2 m + 1 =6 2. a1 = a (t1 ) = 2 2 s Zur Probe stellen wir fest, dass die Ergebnisse dem gegebenen √ Beschleunigungsgesetz gen¨ ugen: a = k v. 1.1.4 Ebene Bewegung, Polarkoordinaten

Bewegt sich ein Punkt P in einer Ebene (z.B. in der x, y-Ebene), so entf¨allt bei einer Darstellung der Bewegung in kartesischen Koordinaten nach (1.4) bis (1.8) die Komponente senkrecht zur Ebene. H¨aufig ist es jedoch zweckm¨ aßig, die ebene Bewegung in Polarkoordinaten r, ϕ nach Abb. 1.10a zu beschreiben. Wir f¨ uhren dazu orthogonale Basisvektoren er und eϕ so ein, dass er immer vom festen Punkt 0 auf P zeigt. Dann lautet der Ortsvektor r = r er .

(1.19)

Zur Ermittlung von Geschwindigkeit und Beschleunigung muss der Ortsvektor nach der Zeit abgeleitet werden. Da sich die Lage des Punktes P mit der Zeit ¨ andert, sind auch die Richtungen von angig. Im Unterschied zu den raumfesten Baer und eϕ zeitabh¨ sisvektoren bei einem kartesischen Koordinatensystem m¨ ussen die y Bahn

deϕ

P r

a

dϕ

ϕ

0

der er

er

eϕ

Abb. 1.10

eϕ

r

x b

dϕ

24

1 Bewegung eines Massenpunktes

Basisvektoren bei Polarkoordinaten daher mitdifferenziert werden. Der Basisvektor er hat als Einheitsvektor den Betrag Eins. ¨ Seine Anderung bei einer infinitesimalen Drehung dϕ in der Zeit dt ergibt nach Abb. 1.10b einen Vektor der , der auf er senkrecht steht (d.h. in Richtung von eϕ zeigt) und den Betrag 1 · dϕ hat. Daher ist der = dϕ eϕ

→

e˙ r =

dϕ der = eϕ = ϕ˙ eϕ . dt dt

¨ Entsprechend findet man nach Abb. 1.10b f¨ ur die Anderung des Basisvektors eϕ : deϕ = − dϕ er

→

e˙ ϕ =

dϕ deϕ =− er = − ϕ˙ er . dt dt

Aus (1.19) folgt dann die Geschwindigkeit v = r˙ = r˙ er + r e˙ r = r˙ er + rϕ˙ eϕ .

(1.20)

Sie hat die radiale Komponente vr = r˙ und die zirkulare Kompo˙ Letztere steht senkrecht auf r und ist daher im nente vϕ = r ϕ. allgemeinen nicht tangential zur Bahn. Differenzieren von (1.20) f¨ uhrt auf die Beschleunigung a = v˙ = r¨ er + r˙ e˙r + r˙ ϕ˙ eϕ + rϕ¨ eϕ + rϕ˙ e˙ϕ = (¨ r − rϕ˙ 2 ) er + (rϕ¨ + 2 r˙ ϕ) ˙ eϕ .

(1.21)

Sie hat die radiale Komponente ar = r¨ − rϕ˙ 2 und die zirkulare ˙ Auch aϕ ist im allgemeinen nicht Komponente aϕ = rϕ¨ + 2 r˙ ϕ. tangential zur Bahn gerichtet. Zusammenfassend gilt f¨ ur die ebene Bewegung in Polarkoordinaten: r = r er , v = vr er + vϕ eϕ = r˙ er + rϕ˙ eϕ , a = ar er + aϕ eϕ = (¨ r − rϕ˙ 2 ) er + (rϕ¨ + 2 r˙ ϕ) ˙ eϕ .

(1.22)

1.1

Kinematik

25

In der Zeit dt u ¨ berstreicht der Ortsvektor einen Winkel dϕ. Die auf die Zeit bezogene Winkel¨ anderung ϕ˙ = dϕ/dt nennt man Winkelgeschwindigkeit. Sie wird h¨ aufig mit dem Buchstaben ω gekennzeichnet: ω = ϕ˙ .

(1.23)

Die Winkelgeschwindigkeit hat die Dimension 1/Zeit. Differenzieren von ω f¨ uhrt auf die Winkelbeschleunigung ω˙ = ϕ¨ .

(1.24)

Wir wollen f¨ ur diese Gr¨ oße, welche die Dimension 1/Zeit2 hat, keinen eigenen Buchstaben einf¨ uhren. Ein Sonderfall der ebenen Bewegung ist die Kreisbewegung (Abb. 1.11a). Hier hat eϕ stets die Richtung der Bahntangente in P . Mit r = const werden v = rω eϕ ,

r = r er ,

a = − rω 2 er + rω˙ eϕ .

(1.25)

Die Geschwindigkeit hat nur die zirkulare Komponente v = vϕ = rω,

(1.26)

die in Richtung der Tangente an die Kreisbahn zeigt (Abb. 1.11b). y er

eϕ 0

aϕ = r ω˙

v = rω

ϕ

a

P

P

r

| ar |= rω 2

r x

0

b

P

0

c

Abb. 1.11

Die Beschleunigung hat die Komponente in Tangentialrichtung aϕ = rω˙

(1.27)

und die Komponente in radialer Richtung (senkrecht zur Bahn) ar = − rω 2

(1.28)

26

1 Bewegung eines Massenpunktes

(Abb. 1.11c). Das Minuszeichen zeigt an, dass die radiale Komponente nach innen – zum Zentrum hin – gerichtet ist. Sie heißt daher auch Zentripetalbeschleunigung. Im Sonderfall konstanter Winkelgeschwindigkeit ω hat die Geschwindigkeit l¨ angs der Kreisbahn den konstanten Betrag rω, und die Tangentialbeschleunigung ist Null. Trotzdem tritt eine Beschleunigung, die Radialbeschleunigung rω 2 auf. Sie bewirkt die ¨ Anderung der Richtung der Geschwindigkeit. Bahn rdϕ dA P

r Z

a

dϕ

Abb. 1.12

Ein weiterer Sonderfall der ebenen Bewegung ist die Zentralbewegung. Bei ihr ist der Beschleunigungsvektor stets auf einen Punkt, das Zentrum Z, hin gerichtet (Abb. 1.12). Dies trifft zum Beispiel f¨ ur die Bewegung der Planeten zu, wobei die Sonne das Zentrum ist. Bei einer Zentralbewegung verschwindet die zirkulare Komponente, wenn wir den Koordinatenursprung in das Zentrum legen: ˙ = aϕ = 0 → rω˙ + 2 rω

1 d 2 (r ω) = 0 → r2 ω = const . (1.29a) r dt

Wir k¨ onnen diesem Ergebnis eine anschauliche Deutung geben. Nach Abb. 1.12 u ¨ berstreicht der Fahrstrahl r in der Zeit dt die 1 Fl¨ ache dA = 2 rrdϕ. Den Differentialquotienten dA 1 dϕ 1 = r2 = r2 ω dt 2 dt 2

(1.29b)

nennt man die Fl¨achengeschwindigkeit. Ein Vergleich mit (1.29b) zeigt, dass die Fl¨ achengeschwindigkeit bei Zentralbewegungen konstant ist. Man nennt diese Aussage den Fl¨achensatz. Er entspricht dem 2. Keplerschen Gesetz (Friedrich Johannes Kepler, 1571-1630) f¨ ur die Planetenbewegung: die Verbindungslinie von

1.1

Kinematik

27

der Sonne zu einem Planeten u ¨berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl¨ achen. Beispiel 1.4 Ein Schiff S f¨ ahrt nach Abb. 1.13a mit einer konstan-

ten Geschwindigkeit v so, dass der Kurswinkel α gegen¨ uber der Verbindungslinie zum Leuchtturm L konstant bleibt. Wie groß ist die Beschleunigung und auf welcher Bahn f¨ahrt das Schiff? v v vϕ

α

α

y

vr

S r L Abb. 1.13

L

a

b

ϕ r0

x

L¨ osung Wir legen den Koordinatenursprung in L und beschreiben

die Bewegung in Polarkoordinaten (Abb. 1.13b). Die Geschwindigkeit hat dann die beiden konstanten Komponenten vr = v cos α,

vϕ = v sin α .

Mit vr = r˙ und vϕ = rϕ˙ (vgl. (1.22)) folgen hieraus r˙ = v cos α,

ϕ˙ =

v sin α . r

Durch Differenzieren ergeben sich r¨ = 0,

ϕ¨ =

v sin α dϕ˙ v 2 sin α cos α r˙ = − v cos α = − . dr r2 r2

Damit erhalten wir f¨ ur die Beschleunigungskomponenten v 2 sin2 α , r 2 v sin α v sin α cos α aϕ = rϕ¨ + 2 r˙ ϕ˙ = − + 2 v cos α r r ar = r¨ − rϕ˙ 2 = −

B1.4

28

1 Bewegung eines Massenpunktes

=

v 2 sin α cos α . r

Der Betrag der Beschleunigung wird somit

v 2 sin α  2 v 2 sin α a = a2r + a2ϕ = sin α + cos2 α = . r r Die gesuchte Bahnkurve folgt aus r˙ = v cos α → rϕ˙ = v sin α

dr = v cos α dt,

→ rdϕ = v sin α dt

durch Eliminieren von dt und Trennen der Ver¨anderlichen: dr dϕ = . r tan α Unbestimmte Integration f¨ uhrt auf ϕ ln r = +C. tan α Hat das Schiff f¨ ur ϕ = 0 den Abstand r0 vom Koordinatenursprung, so wird C = ln r0 . Einsetzen liefert ϕ r ϕ + ln r0 → ln ln r = = tan α r0 tan α oder ϕ

r = r0 e tan α . Dies ist die Gleichung einer logarithmischen Spirale. B1.5

Beispiel 1.5 Ein Schwungrad (Durchmesser d = 60 cm) wird aus

der Ruhelage gleichm¨ aßig beschleunigt und hat nach t1 = 20 s eine Drehzahl von n = 1000 min−1 erreicht. a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung ω˙ des Rades? b) Wie viele Umdrehungen N macht das Rad in der Zeit t1 ? c) Wie groß sind Geschwindigkeit und Beschleunigung auf einem Punkt des Umfanges zur Zeit t2 = 1 s nach dem Anlaufen? L¨ osung a) Bei einer gleichm¨ aßig beschleunigten Kreisbewegung

1.1

Kinematik

29

ist die Winkelbeschleunigung ω˙ = ω˙ 0 = const. Daher gilt unter Beachtung der Anfangsbedingung ω(0) = 0 f¨ ur die Winkelgeschwindigkeit ω = ω˙ 0 t. Mit ω(t1 ) = ω1 folgt daraus ω˙ 0 =

ω1 . t1

Winkelgeschwindigkeit ω und Drehzahl n (Umdrehungen pro Minute) lassen sich ineinander u uhren: bei einer Drehzahl n wird ¨ berf¨ in einer Minute ein Winkel von n·2 π u ¨ berstrichen. Soll die Winkelgeschwindigkeit in Vielfachen der Einheit 1/s angegeben werden, so gilt demnach ω=

n· 2π . 60

Mit den gegebenen Zahlenwerten folgt ω˙ 0 =

1000 · 2 π = 5, 24 s−2 . 60 · 20

uhrt mit ϕ(0) = 0 auf den Winkel b) Die Integration von ω = ω˙ 0 t f¨ ϕ=

1 ω˙ 0 t2 . 2

Mit den Zahlenwerten wird f¨ ur t = t1 der Winkel (im Bogenmaß) ϕ1 = ϕ(t1 ) =

1 · 5, 24 · 400 = 1048 . 2

Damit ergibt sich f¨ ur die Zahl der Umdrehungen ϕ1 N= = 166 . 2π c) Nach (1.26) ist die Geschwindigkeit v = rω = rω˙ 0 t . Die Beschleunigung hat nach (1.27) und (1.28) die zwei Komponenten aϕ = rω˙ 0 ,

ar = − rω 2 = − r(ω˙ 0 t)2 .

30

1 Bewegung eines Massenpunktes

Mit den gegebenen Zahlenwerten werden f¨ ur t = t2 v = rω˙ 0 t2 = 30 · 5, 24 · 1 = 157, 2 cm/s, 2

aϕ = 30 · 5, 24 = 157, 2 cm/s , ar = − 30 · (5, 24 · 1)2 = − 823, 7 cm/s2 und a=

2 a2ϕ + a2r = 838, 6 cm/s .

Die zum Mittelpunkt gerichtete Zentripetalbeschleunigung ar w¨ achst quadratisch mit t und ist daher im Beispiel bereits kurz nach dem Anfahren wesentlich gr¨ oßer als die zeitunabh¨angige Zirkularbeschleunigung aϕ . 1.1.5 R¨ aumliche Bewegung, nat¨ urliche Koordinaten

Die Bewegung eines Punktes auf einer r¨ aumlichen Kurve k¨onnen wir mit den bisher bereitgestellten Formeln entweder durch kartesische Koordinaten x, y, z oder durch Zylinderkoordinaten r, ϕ, z beschreiben. Dabei sind Zylinderkoordinaten eine r¨aumliche z

P

r ez

eϕ ϕ

x

er

Bahn

z y

r Abb. 1.14

Verallgemeinerung der Polarkoordinaten (Abb. 1.14). Da sich der andert, gilt mit (1.22) Basisvektor ez mit der Zeit nicht ¨ f¨ ur Zylinderkoordinaten:

1.1

Kinematik

31

r = r e r + z ez , v = r˙ er + rϕ˙ eϕ + z˙ ez ,

(1.30)

˙ eϕ + z¨ ez . a = (¨ r − rϕ˙ 2 ) er + (rϕ¨ + 2 r˙ ϕ) Dabei ist zu beachten, dass r nicht der Betrag des Vektors r ist, sondern dessen Projektion in die x, y-Ebene angibt. In manchen F¨ allen ist es zweckm¨ aßig, sich einer dritten M¨oglichkeit zur Beschreibung einer Bewegung zu bedienen. Dazu f¨ uhren wir ein Koordinatensystem ein, das sich mit dem Punkt P l¨ angs seiner Bahn bewegt. Dieses nat¨ urliche Koordinatensystem wird nach Abb. 1.15a durch die orthogonalen Einheitsvektoren et in Tangentenrichtung, en in Richtung der Hauptnormalen und eb in Richtung der Binormalen gebildet (begleitendes Dreibein). Die Vektoren et , en und eb bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Die Tangente und die Hauptnormale liegen in der sogenannten Schmiegungsebene, die der Kurve in jedem Punkt zuummungsmitgeordnet ist. Der Vektor en zeigt zum lokalen Kr¨ telpunkt M . Die Kurve kann in P lokal durch einen Kreis, den Kr¨ ummungskreis, angen¨ ahert werden. Sein Radius ρ (Strecke MP ) heißt Kr¨ ummungsradius. s

eb P

Bahn

et et + det

ds

en z

P

P

et



r

et

 x

0

y

a

dϕ M

M

dϕ

b

Abb. 1.15

Mit der Bogenl¨ ange s(t) folgt aus dem Ortsvektor r = r(s(t))

et + det

det

32

1 Bewegung eines Massenpunktes

der Geschwindigkeitsvektor v = r˙ =

dr ds dr = . dt ds dt

Da dr in Richtung der Tangente zeigt und |dr| = ds ist, wird dr = ds et . Mit der Bahngeschwindigkeit (vgl. (1.2)) v = |v| =

ds = s˙ dt

(1.31)

ergibt sich daher v = v et .

(1.32)

Differentiation von (1.32) liefert die Beschleunigung a = v˙ = v˙ et + v e˙ t . ¨ Die zeitliche Anderung e˙ t des Tangentenvektors berechnen wir analog zum Abschnitt 1.1.4. Der Einheitsvektor et ¨andert zwischen zwei benachbarten Punkten P und P  der Bahn seine Rich¨ tung um einen Winkel dϕ (Abb. 1.15b). Die Anderung det zeigt zum Kr¨ ummungsmittelpunkt M hin und hat den Betrag 1 · dϕ. Da der Zuwachs ds der Bogenl¨ ange zwischen P und P  durch den Winkel dϕ und den Kr¨ ummungsradius ρ ausgedr¨ uckt werden kann (ds = ρ dϕ), wird det = 1 · dϕ en =

ds en ρ

→

e˙ t =

1 ds det v = en = en . dt ρ dt ρ

Einsetzen ergibt den Beschleunigungsvektor in nat¨ urlichen Koordinaten: a = at et + an en = v˙ et +

v2 en . ρ

(1.33)

Die Bahnbeschleunigung at = v˙ zeigt in Richtung der Tangente, die Normalbeschleunigung an = v 2 /ρ ist in Richtung der Hauptnormalen auf M gerichtet.

1.1

Kinematik

33

Im Sonderfall der Kreisbewegung werden mit ρ = r = const, s = rϕ und ϕ˙ = ω die Geschwindigkeit und die Beschleunigung v = s˙ = rω,

˙ at = v˙ = rω,

an =

v2 = rω 2 . r

(1.34)

Man erkennt, dass dieses Ergebnis mit (1.25) u ¨bereinstimmt, wenn man beachtet, dass der Richtungssinn des Normaleneinheitsvektors en entgegengesetzt zu dem von er ist. Zwischen den kinematischen Gr¨ oßen bei geradliniger Bewegung und den entsprechenden Gr¨ oßen in nat¨ urlichen Koordinaten bei r¨ aumlicher Bewegung besteht folgende Analogie: Geradlinige Bewegung

R¨aumliche Bewegung

x

s

v = x˙

v = s˙

a = v˙ = x ¨

at = v˙ = s¨

Daher lassen sich alle Formeln der geradlinigen Bewegung nach Abschnitt 1.1.3 auch auf entsprechende Gr¨ oßen der r¨aumlichen Bewegung anwenden. So folgt zum Beispiel aus Tabelle 1.1, dass ange s nach f¨ ur gegebenes at (v) die Bogenl¨ v s = s0 +

v¯ d¯ v at (¯ v)

v0

berechnet werden kann. Nat¨ urliche Koordinaten sind selbstverst¨ andlich auch auf Bewegungen in einer Ebene anwendbar. Abb. 1.16 soll am Beispiel des Geschwindigkeitsvektors v f¨ ur den Sonderfall der ebenen Bewegung die m¨ oglichen Darstellungen veranschaulichen: a)

Kartesische Koordinaten

v = x˙ ex + y˙ ey ,

b)

Polarkoordinaten

v = r˙ er + rϕ˙ eϕ ,

c)

Nat¨ urliche Koordinaten

v = v et .

34

1 Bewegung eines Massenpunktes

vϕ = r ϕ˙ v

vy = y˙

et

vr = r˙ P

vx = x˙ y

ey

er

eϕ

ϕ ex

B1.6

Bahn

r

x

Abb. 1.16

Beispiel 1.6 Ein Punkt P bewegt sich in der x, y-Ebene auf der

Bahnkurve y = (α/2) x2 mit der konstanten Geschwindigkeit v0 (Abb. 1.17). Man ermittle seine Beschleunigung. y Bahn

P

v0

x

Abb. 1.17

L¨ osung Nach (1.33) ist bei konstanter Geschwindigkeit die Tan-

gentialbeschleunigung gleich Null: at = 0. In der Aufgabe stimmen daher Normalbeschleunigung an und Beschleunigung a u ¨ berein. Zur Berechnung der Normalbeschleunigung ben¨otigen wir den Kr¨ ummungsradius ρ, der sich wie folgt berechnen l¨asst: d2 y 1 dx2 = .  2 3/2 ρ dy 1+ dx Im Beispiel wird

1.1

Kinematik

35

1 α = , ρ [1 + (αx)2 ]3/2 und damit erhalten wir αv02 v2 = . ρ [1 + (αx)2 ]3/2

a = an =

Zur Probe wollen wir die Aufgabe auch in kartesischen Koordinaten l¨ osen. Aus der Bahngleichung folgt durch Differenzieren nach der Zeit y˙ = αx x˙ . Zwischen den Geschwindigkeitskomponenten besteht außerdem der Zusammenhang x˙ 2 + y˙ 2 = v02 . Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir durch Aufl¨osen x˙ 2 =

v02 , 1 + (αx)2

y˙ 2 =

(αx)2 v02 . 1 + (αx)2

Nochmaliges Differenzieren liefert 2 x˙ x ¨=−

2 y˙ y¨ =

v02 2 α2 x x˙ [1 + (α x)2 ]2

2 α2 x v02 x˙ [1 + (α x)2 ]2

→

y¨ =

→

x ¨=−

α2 x v02 , [1 + (α x)2 ]2

α v02 α2 x v02 x˙ = . 2 2 [1 + (α x) ] y˙ [1 + (α x)2 ]2

Damit erhalten wir das schon bekannte Ergebnis   [(α x)2 + 1]α2 v04 α v02 a= x ¨2 + y¨2 = = . [1 + (α x)2 ]4 [1 + (α x)2 ]3/2 Die Beschleunigung nimmt an der Stelle x = 0 ihren Gr¨oßtwert an.

36

1.2

1 Bewegung eines Massenpunktes

1.2 Kinetik 1.2.1 Grundgesetze

Bisher haben wir bei einer Bewegung nur kinematische Gr¨oßen (Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung) betrachtet. Wir wissen aber aus Erfahrung, dass bei Bewegungen von K¨orpern i.a. auch Kr¨ afte wirken. Den Kraftbegriff haben wir bereits in der Statik ausf¨ uhrlich kennen gelernt (vgl. Band 1). Es gilt nun, die Kraft mit kinematischen Gr¨ oßen zu verkn¨ upfen. Dabei beschr¨anken wir uns im ersten Kapitel auf die Bewegung eines Massenpunktes. orper, dessen Abmessungen auf Hierunter verstehen wir einen K¨ den Ablauf der Bewegung keinen Einfluss haben. Wir k¨onnen den K¨ orper als einen Punkt betrachten, der mit einer konstanten Masse m behaftet ist. Im weiteren werden wir ihn meist kurz als Mas” se m“ bezeichnen. Ihre Begr¨ undung fand die Kinetik durch die drei Newtonschen Grundgesetze (1687). Sie sind eine Zusammenfassung aller experimentellen Erfahrungen, und alle Folgerungen, die aus ihnen gezogen werden, stimmen mit der Erfahrung u ¨ berein. Wir sehen diese Gesetze – ohne sie beweisen zu k¨ onnen – als richtig an: sie haben axiomatischen Charakter. 1. Newtonsches Gesetz Wenn auf einen Massenpunkt keine Kraft wirkt, so ist der Impuls konstant. Dabei versteht man unter Impuls oder Bewegungsgr¨oße p das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit v: p = mv.

(1.35)

Der Impuls ist ein Vektor, der in Richtung der Geschwindigkeit zeigt. Das erste Grundgesetz lautet damit: p = m v = const .

(1.36)

1.2

Kinetik

37

Es sagt aus, dass ein Massenpunkt eine geradlinige, gleichf¨ormige Bewegung ausf¨ uhrt, solange keine resultierende Kraft wirkt. Galilei hat diesen Sachverhalt bereits 1638 als Tr¨agheitsgesetz (v = const) formuliert. Mit v = 0 (der K¨ orper bleibt f¨ ur alle Zeiten in Ruhe) ist der Sonderfall der Statik im 1. Newtonschen Gesetz enthalten. 2. Newtonsches Gesetz ¨ Die zeitliche Anderung des Impulses ist gleich der auf den Massenpunkt wirkenden Kraft. Dieses Gesetz lautet als Formel: dp d(m v) = =F. dt dt

(1.37)

Da die Masse w¨ ahrend der Bewegung konstant bleibt, kann (1.37) auch geschrieben werden als m

dv = ma = F . dt

(1.38)

Wir werden bei der Kinetik des Massenpunktes meist diese Form des Grundgesetzes, d.h. in Worten Masse × Beschleunigung = Kraft, verwenden. Die Beschleunigung a hat dieselbe Richtung wie die Kraft F . Wenn die resultierende ¨ außere Kraft Null ist, folgt aus (1.37) das erste Grundgesetz (1.36). Dieses ist daher als Sonderfall im zweiten Grundgesetz enthalten. Nur aus historischen Gr¨ unden beh¨ alt man heute noch beide Formulierungen bei. Das Newtonsche Gesetz unterliegt zwei Einschr¨ankungen: a) Das Gesetz gilt in der Form (1.38) nur f¨ ur ein ruhendes Bezugssystem (Inertialsystem). F¨ ur die meisten technischen Anwendungen kann die Erde n¨ aherungsweise als ruhendes Bezugssystem angesehen werden. Wie man das Newtonsche Gesetz anwenden muss, wenn kein Inertialsystem vorliegt, d.h. wenn sich das Bezugssystem beschleunigt bewegt, wird in Kapitel 6 erl¨autert.

38

1 Bewegung eines Massenpunktes

b) Wenn die Geschwindigkeit so groß wird, dass sie in die N¨ahe der Lichtgeschwindigkeit (c ≈ 300 000 km/s) kommt, m¨ ussen die Gesetze der Relativit¨ atstheorie beachtet werden. Im Bereich der Technik tritt dieser Fall im allgemeinen nicht ein. ¨ Uberl¨ asst man einen K¨ orper in der N¨ ahe der Erdoberfl¨ache sich selbst, so bewegt er sich mit der Erdbeschleunigung g in Richtung auf den Erdmittelpunkt (g = 9, 81m/s2). Setzen wir g in (1.38) ein und beachten, dass beim freien Fall die einzig wirkende Kraft das Gewicht G ist, so gilt G = mg.

(1.39)

Eine Masse m hat im Erdschwerefeld das Gewicht G = mg. Fasst man Masse, Weg und Zeit als Grundgr¨oßen auf, so ist die Kraft wegen (1.38) eine abgeleitete Gr¨ oße (vgl. Band 1, Abschnitt 1.6). Ihre Einheit ist das Newton “ (1 N = 1 kg ms−2 ). ” 3. Newtonsches Gesetz Zu jeder Kraft gibt es stets eine entgegengesetzt gerichtete, gleich große Gegenkraft: actio = reactio. Das Wechselwirkungsgesetz (vgl. Band 1, Abschnitt 1.5) er¨ m¨ oglicht sp¨ ater auch den Ubergang vom einzelnen Massenpunkt auf ein System von Massenpunkten und damit letztlich auf den K¨ orper beliebiger Ausdehnung. Neben den Grundgesetzen verwenden wir in der Kinetik weiterhin alle Aussagen u afte (z.B. Kr¨ afteparallelogramm, Schnitt¨ ber Kr¨ prinzip, Freik¨ orperbild), die wir bereits aus der Statik kennen. 1.2.2 Freie Bewegung, Wurf

Entsprechend seinen drei Bewegungsm¨ oglichkeiten im Raum hat ein Massenpunkt drei Freiheitsgrade. Wenn die Bewegung in keiner Richtung behindert wird, spricht man von einer freien Bewegung. Sie wird durch die drei Komponenten der Vektorgleichung (1.38) beschrieben. Dabei kann man zwei Fragestellungen unterscheiden:

1.2

Kinetik

39

a) Wie groß sind die zur Bewegung notwendigen Kr¨afte, wenn der Ablauf der Bewegung bekannt ist? Die L¨ osung ergibt sich unmittelbar aus (1.38). b) Wie verl¨ auft die Bewegung, wenn die Kr¨afte vorgegeben sind? Bei technischen Problemen tritt meistens dieser Fall auf. Nach (1.38) folgt aus gegebenen Kr¨ aften unmittelbar nur die Beschleunigung. Wenn wir Geschwindigkeit und Weg ermitteln wollen, m¨ ussen wir die Gleichung zweimal integrieren. Bei komplizierten Kraftgesetzen kann die Integration der Bewegungsgleichung erhebliche mathematische Schwierigkeiten bereiten. z

z m

v0 α

G

α

zh xh

xw

a

x

α

xw xw max x

α b

Abb. 1.18

Als einfaches Anwendungsbeispiel betrachten wir den schiefen Wurf. Ein Massenpunkt mit der Masse m wird zur Zeit t = 0 unter einem Winkel α zur x-Achse mit einer Geschwindigkeit v0 abgeworfen (Abb. 1.18a). Wenn wir den Luftwiderstand vernachl¨ assigen, wirkt als einzige Kraft das Gewicht G in negativer z-Richtung. Die Bewegungsgleichung (1.38) lautet daher in kartesischen Koordinaten m¨ x = 0,

m¨ y = 0,

m¨ z = − G = − mg .

Zweifache Integration f¨ uhrt nach K¨ urzen von m auf x˙ = C1 ,

y˙ = C3 ,

z˙ = − g t + C5 ,

x = C1 t + C2 , y = C3 t + C4 , z = − g

t2 + C5 t + C6 . 2

Entsprechend den drei Differentialgleichungen zweiter Ordnung treten bei der Integration 3 · 2 = 6 Integrationskonstanten auf. Sie folgen aus den 6 Anfangsbedingungen:

40

1 Bewegung eines Massenpunktes

x(0) ˙ = v0 cos α → C1 = v0 cos α,

x(0) = 0 →

C2 = 0,

y(0) ˙ =0

→ C3 = 0,

y(0) = 0 →

C4 = 0,

z(0) ˙ = v0 sin α

→ C5 = v0 sin α,

z(0) = 0 →

C6 = 0 .

Einsetzen liefert die L¨ osung in Parameterdarstellung (Parameter t): y˙ = 0, z˙ = − g t + v0 sin α, t2 x = v0 cos α · t, y = 0, z = − g + v0 sin α · t . 2

x˙ = v0 cos α,

(1.40)

Hiernach bleibt der Massenpunkt, der in der x, z-Ebene abgeworfen wurde, f¨ ur alle Zeiten in dieser Ebene (y ≡ 0). Dies h¨atte man gleich ber¨ ucksichtigen k¨ onnen: der Punkt kann sich nicht in yRichtung bewegen, wenn in dieser Richtung keine Kraft wirkt und die Anfangsgeschwindigkeit y(0) ˙ Null ist. Weiterhin ist erw¨ahnenswert, dass die Bewegung unabh¨ angig von der Gr¨oße der Masse m ist. Durch Elimination der Zeit t erh¨ alt man aus (1.40) die Gleichung der Bahnkurve g x2 + tan α · x . (1.41) z(x) = − 2 2 v0 cos2 α Dies ist eine quadratische Parabel: der Massenpunkt bewegt sich beim schiefen Wurf entlang der Wurfparabel . Die Wurfweite xw folgt aus (1.41) mit der Bedingung z(xw ) = 0 zu v2 2 v 2 cos2 α = 0 sin 2 α . (1.42a) xw = tan α 0 g g Wegen sin 2 α = sin(π − 2 α) = sin 2 (π/2 − α) wird f¨ ur die zwei  Winkel α und α = π/2 − α bei gleicher Abwurfgeschwindigkeit v0 dieselbe Wurfweite xw erreicht (Flach- und Steilwurf nach Abb. 1.18b). Die gr¨ oßte Wurfweite ergibt sich f¨ ur α = π/4, und sie betr¨ agt xw max =

v02 . g

(1.42b)

1.2

Kinetik

41

Die Wurfzeit tw folgt durch Einsetzen der Wurfweite xw in (1.40) zu tw =

v0 xw =2 sin α . v0 cos α g

(1.43)

Vergleicht man Flach- und Steilwurf, so kann man aus (1.43) ablesen, dass die Wurfzeit beim Steilwurf gr¨ oßer ist. Die Wurfh¨ ohe zh erhalten wir aus der Bedingung, dass die Tangente an die Wurfparabel im Scheitel waagerecht verl¨auft (Abb. 1.18a): g dz =− 2 x + tan α = 0 dx v0 cos2 α →

zh = z(xh ) =

→

xh =

1 v02 sin 2α 2 g

1 (v0 sin α)2 . 2g

(1.44)

Wegen der Symmetrie der Wurfparabel ist xh = 12 xw . Die Wurfh¨ ohe h¨ angt nur von der z-Komponente z(0) ˙ = v0 sin α der Anfangsgeschwindigkeit ab. Beispiel 1.7 Von der Spitze eines Turmes (Abb. 1.19a) wird eine

Masse mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 unter einem Winkel α gegen die Horizontale abgeworfen. Sie trifft im Abstand L vom Fuß des Turmes auf. a) Welche H¨ ohe H hat der Turm? b) Wie lange fliegt der K¨ orper? c) Mit welcher Geschwindigkeit schl¨ agt er auf? z

v0

v0

α α

x

H

Abb. 1.19

a

111 000

b

L

L¨ osung a) Wir legen den Koordinatenursprung in die Turmspitze

(Abb. 1.19b). Der Auftreffpunkt hat dann die Koordinaten x = L

B1.7

42

1 Bewegung eines Massenpunktes

und z = −H. Einsetzen in die Bahngleichung (1.41) liefert H=

g L2 − L tan α . 2 v02 cos2 α

b) Da Auftreff- und Abwurfpunkt nicht auf gleicher H¨ohe sind, k¨ onnen wir die Wurfzeit nicht nach (1.43) berechnen. Wir erhalten sie aus der Parameterdarstellung (1.40) mit x = L und t = T zu L . T = v0 cos α c) Die Geschwindigkeit im Zeitpunkt t = T des Auftreffens hat nach (1.40) die beiden Komponenten x˙ = v0 cos α,

z˙ = − g T + v0 sin α

und daher den Betrag    v = x˙ 2 + z˙ 2 = v02 cos2 α + v0 sin α − g  =

v02 − 2 g L tan α + g 2

L2 = 2 v0 cos2 α

L v0 cos α

2

v02 + 2 g H .

Die Gr¨ oße der Auftreffgeschwindigkeit h¨ angt nicht vom Abwurfwinkel α ab.

Viele weitere Beispiele zum schiefen Wurf k¨onnen Sie auch mit dem TM-Tool Schiefer Wurf“ bearbeiten (siehe Screenshot). Es ” steht Ihnen zusammen mit einer Reihe weiterer TM-Tools unter der auf dem Umschlag angegebenen Adresse frei zur Verf¨ ugung.

1.2

Kinetik

43

1.2.3 Gef¨ uhrte Bewegung

Wenn ein Massenpunkt gezwungen ist, sich auf einer vorgegebenen Fl¨ache oder Kurve zu bewegen, so spricht man von einer gef¨ uhrten oder gebundenen Bewegung. Dann verringert sich die Zahl seiner Freiheitsgrade gegen¨ uber den drei Freiheitsgraden der freien Bewegung im Raum. Die Zahl der Freiheitsgrade ist gleich der Zahl der Koordinaten, die notwendig sind, um die jeweilige Lage des Massenpunktes eindeutig zu beschreiben. Bewegt sich daher ein Massenpunkt auf einer vorgegebenen Fl¨ ache, so hat er nur zwei Freiheitsgrade, da jeder Punkt einer Fl¨ ache durch zwei Koordinaten (Gaußsche

44

1 Bewegung eines Massenpunktes

Fl¨ achenparameter) festgelegt wird. Eine Bewegung senkrecht zur Fl¨ ache wird durch die Bindung verhindert. Wird der Punkt gezwungen, sich auf einer Raumkurve zu bewegen, so hat er nur noch einen Freiheitsgrad, da seine Lage durch eine Koordinate (Bogenl¨ ange s) gegeben ist. Neben den eingepr¨ agten Kr¨ aften F (e) (wie z.B. dem Gewicht), die unabh¨ angig von der F¨ uhrung sind, treten nun F¨ uhrungskr¨afte oder Zwangskr¨afte F (z) auf, welche gerade die geforderte Bindung an eine Fl¨ ache oder Kurve bewirken. Diese Zwangskr¨afte sind Reaktionskr¨ afte, die senkrecht zur Bahn stehen. Sie k¨onnen im Freik¨ orperbild sichtbar und dadurch einer Berechnung zug¨anglich gemacht werden. Mit den auf die Masse wirkenden Kr¨aften F (e) und F (z) l¨ asst sich das dynamische Grundgesetz (1.38) wie folgt schreiben: ma = F (e) + F (z) .

111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111

(1.45)

m

ϕ

r

N

glatt

a

G

b

Abb. 1.20

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir die Bewegung einer Masse m auf einer glatten Halbkreisbahn vom Radius r (Abb. 1.20a). Sie wird ohne Anfangsgeschwindigkeit aus ihrer Lage im h¨ ochsten Punkt losgelassen. Da sich die Masse l¨angs einer vorgegebenen Kurve (Kreis) bewegt, hat sie nur einen Freiheitsgrad. Als Koordinate w¨ ahlen wir den Winkel ϕ gegen die Horizontale (Abb. 1.20b). In das Freik¨ orperbild werden die eingepr¨ agte Kraft G = mg und die F¨ uhrungskraft N eingezeichnet. Beschreiben wir die Bewegung in nat¨ urlichen Koordinaten, so lautet (1.45) in Komponenten (Zwangskr¨ afte haben keine Tangentialkomponenten) man = Fn(e) + Fn(z) ,

(e)

mat = Ft

.

1.2

Kinetik

45

Wir wollen von nun an die Richtung, f¨ ur die wir eine Bewegungsgleichung anschreiben, durch einen entsprechend gerichteten Pfeil (↑ :) kennzeichnen. Im Beispiel gilt mit an = rϕ˙ 2 und at = rϕ¨ in Normalen- und Tangentenrichtung: : :

m rϕ˙ 2 = N − G sin ϕ, m rϕ¨ = G cos ϕ .

Dies sind zwei Gleichungen f¨ ur die Unbekannten ϕ und N . Aus der ϕ˙ dϕ ϕ˙ ˙ ddϕ nach Trennung der zweiten Gleichung folgt mit ϕ¨ = ddϕ dt = ϕ Ver¨ anderlichen: ϕ˙ dϕ˙ = gr cos ϕ dϕ (vgl. Abschnitt 1.1.3). Durch Integration unter Beachtung der Anfangsbedingung ϕ(ϕ ˙ = 0) = 0 erh¨ alt man daraus ϕ˙ 2 g = sin ϕ . 2 r

√ Die Geschwindigkeit wird dann v = rϕ˙ = 2 gr sin ϕ; sie nimmt √ ihren gr¨ oßten Wert vmax = 2 gr im tiefsten Punkt ϕ = π/2 der Bahn an. Wenn man den Weg ϕ(t) ermitteln will, wird man nach nochmaliger Trennung der Ver¨ anderlichen auf das Integral  dϕ √ gef¨ uhrt, das nicht mehr elementar l¨ osbar ist. sin ϕ Die F¨ uhrungskraft l¨ asst sich aus der ersten Bewegungsgleichung durch Einsetzen von ϕ˙ 2 berechnen: g N = mr 2 sin ϕ + G sin ϕ = 3 G sin ϕ . r Im tiefsten Punkt der Bahn ist die Zwangskraft bei der Bewegung dreimal so groß wie im statischen Fall. Eine Kreisscheibe dreht sich in einer horizontalen Ebene mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω0 um 0 (Abb. 1.21a). In einer glatten F¨ uhrungsschiene bewegt sich eine Punktmasse m in radialer Richtung. Die Masse soll dabei relativ zur Scheibe eine konstante Geschwindigkeit v0 besitzen. Welche Kr¨ afte wirken auf die Masse?

Beispiel 1.8

L¨ osung Wir zeichnen das Freik¨ orperbild (Abb. 1.21b) und tra-

B1.8

46

1 Bewegung eines Massenpunktes

Kr m

v0 N1

0

r

ω0 ϕ 0 a

b

Abb. 1.21

gen die in der Ebene wirkenden Kr¨ afte ein: die Kraft Kr (sie ist notwendig, um die konstante Geschwindigkeit v0 zu erzwingen) alt die Masse in der F¨ uhrungsschiene). In und die Kraft N1 (sie h¨ Polarkoordinaten ergeben sich damit aus (1.45) die Bewegungsgleichungen  : mar = Kr ,

: maϕ = N1 .

Aus (1.22) erhalten wir mit ϕ˙ = ω0

→

ϕ¨ = 0,

r˙ = v0

→

r¨ = 0

die Beschleunigungskomponenten ar = − rω02 ,

aϕ = 2 v0 ω0 .

Einsetzen in die Bewegungsgleichungen liefert die gesuchten Kr¨afte Kr = − m r ω02 ,

N1 = 2 m v0 ω0 .

Das Minuszeichen bei Kr zeigt an, dass diese Kraft nach innen zeigen muss. Der Vollst¨ andigkeit halber sei noch erw¨ahnt, dass senkrecht zur Scheibe eine weitere Kraft N2 wirkt, welche dem Gewicht G der Masse das Gleichgewicht h¨ alt: N2 = G. 1.2.4 Widerstandskr¨ afte

Besondere technische Bedeutung haben Widerstandskr¨afte. Es sind dies eingepr¨ agte Kr¨ afte, die erst durch die Bewegung entstehen und die auch von der Bewegung abh¨ angen k¨onnen. Wider-

1.2

Kinetik

47

standskr¨ afte sind stets tangential zur Bahn und der Bewegung entgegen gerichtet. Beispiele sind die Reibung zwischen einem K¨orper und seiner Unterlage oder der Luftwiderstand. Wir wollen zun¨ achst die trockene Reibung betrachten. Das Coulombsche Reibungsgesetz R = μN

(1.46)

haben wir bereits in Band 1 behandelt. Darin sind N die Normalkraft und μ der Reibungskoeffizient. Die Reibungskraft R ist unabh¨ angig von der Gr¨ oße der Geschwindigkeit.

111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111

y t=0

m

x

μ

α

a

xE

R N

h G

b

t = tE

α c

Abb. 1.22

Betrachten wir als Anwendungsbeispiel einen Klotz der Masse m, der nach Abb. 1.22a auf einer rauhen schiefen Ebene (Neigungswinkel α) rutscht. Wir zeichnen im Freik¨ orperbild (Abbildung 1.22b) alle wirkenden Kr¨ afte ein: Gewicht G, Normalkraft N und Reibungskraft R. Die Bewegungsgleichungen in tangentialer Richtung x und in normaler Richtung y lauten: : m¨ x = mg sin α − R,

 : m¨ y = N − mg cos α .

Mit y¨ = 0 (der K¨ orper ist an die Ebene gebunden) folgt aus der zweiten Gleichung N = mg cos α. Einsetzen des Reibungsgesetzes (1.46) in die erste Gleichung liefert damit die Beschleunigung x ¨ = g (sin α − μ cos α) = const . Hieraus lassen sich Geschwindigkeit und Weg unmittelbar durch Integration u ¨ ber die Zeit ermitteln. Geben wir noch die Anfangs-

48

1 Bewegung eines Massenpunktes

bedingungen x(0) ˙ = 0, x(0) = 0 vor, so werden x˙ = g (sin α − μ cos α) t ,

x = g (sin α − μ cos α)

t2 . 2

Wird der Klotz nach Abb. 1.22c aus einer H¨ohe h losgelassen, so legt er die Strecke xE = h/ sin α in der Zeit   2 xE 2h = tE = t(xE ) = g (sin α − μ cos α) g sin α(sin α − μ cos α) zur¨ uck und hat dann die Geschwindigkeit ˙ E ) = g (sin α − μ cos α) tE = vE = x(t

2 gh (sin α − μ cos α) . sin α

F¨ ur α = 90◦ (senkrechte Wand, freier Fall) wird N = 0. Es kann dann keine Reibung auftreten, und vE wird gleich der Auftreffge√ schwindigkeit vE = 2 gh nach Abschnitt 1.1.3. Bei der Bewegung eines festen K¨ orpers in fl¨ ussigen oder gasf¨ormigen Medien treten ebenfalls Widerstandskr¨afte auf. Wir wollen von den verschiedenen Widerstandsgesetzen, die man aus Experimenten ableiten kann, nur zwei idealisierte Sonderf¨alle betrachten. Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Str¨omung laminar. Die Widerstandskraft Fw ist in diesem Falle proportional zur Geschwindigkeit: Fw = kv.

(1.47a)

Dabei h¨ angt die Konstante k von der Geometrie des umstr¨omten K¨ orpers und der dynamischen Z¨ ahigkeit η der Fl¨ ussigkeit ab. George Gabriel Stokes (1819-1903) hat 1854 das Gesetz f¨ ur die Widerstandskraft auf eine Kugel vom Radius r, die mit einer Geschwindigkeit v angestr¨ omt wird (oder sich mit v durch eine ruhende Fl¨ ussigkeit bewegt) mit Fw = 6 π η r v

(1.47b)

angegeben. Ein linearer Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Widerstandskraft wird h¨ aufig auch bei ged¨ampften Schwingungen angenommen (Kapitel 5).

1.2

Kinetik

49

Bei gr¨ oßeren Geschwindigkeiten wird die Str¨ omung turbulent. Das Widerstandsgesetz kann man in diesem Fall n¨aherungsweise durch Fw = kv 2

(1.48a)

beschreiben, wobei die Konstante k von der Geometrie des K¨orpers und von der Dichte ρ des umstr¨ omenden Mediums abh¨angt. Man schreibt dieses Gesetz h¨ aufig in der Form ρ (1.48b) Fw = cw As v 2 . 2 Dabei ist As die Projektion des K¨ orpers auf eine Ebene senkrecht zur Anstr¨ omrichtung, und der Widerstandsbeiwert cw erfasst alle weiteren Parameter. Er ist z.B. bei einem modernen Pkw kleiner als 0,3. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den Geschwindigkeitsverlauf beim freien Fall mit Luftwiderstand. Ein K¨orper vom Gewicht G soll in einer beliebigen H¨ ohe ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen werden. Das Widerstandsgesetz sei durch (1.48a) gegeben. Mit den Bezeichnungen nach Abb. 1.23a lautet das Bewegungsgesetz ↓ : m¨ x = G − Fw = mg − k x˙ 2 . Wenn wir mit κ2 = mg/k eine neue, zweckm¨aßige Konstante einf¨ uhren, so wird  x˙ 2 (a) x¨ = g 1 − 2 . κ Trennung der Ver¨ anderlichen und Integration liefern dx˙ = dt  x˙ 2 g 1− 2 κ

→

t=

x˙ κ artanh + C . g κ

Da zur Zeit t = 0 die Geschwindigkeit x(0) ˙ = 0 ist, wird C = 0. Aufl¨ osen nach x˙ ergibt den Geschwindigkeitsverlauf x˙ = κ tanh

gt . κ

50

1 Bewegung eines Massenpunktes

F¨ ur wachsende t n¨ ahert sich die Geschwindigkeit asymptotisch dem Grenzwert x˙ G = κ, da der Hyperbeltangens gegen Eins geht. Die Bewegung wird dann gleichf¨ ormig. Wir k¨ onnen die Grenzge¨ = 0 schwindigkeit x˙ G daher auch aus (a) mit der Bedingung x unmittelbar zu x˙ G = κ ablesen. x˙ x˙ G

x G

Fw

α

a

t

b

Abb. 1.23

In Abb. 1.23b ist der Geschwindigkeitsverlauf aufgetragen. Zu Beginn der Bewegung ist die Geschwindigkeit Null und deshalb nach (a) die Beschleunigung x ¨ = g: die Anfangssteigung dx/dt ˙ (bzw. der Winkel α) ist durch die Erdbeschleunigung gegeben. F¨ ur wachsende t n¨ ahert sich die Geschwindigkeit x˙ asymptotisch dem Grenzwert x˙ G , den sie allerdings erst in unendlicher Zeit erreicht. B1.9

Beispiel 1.9 Ein F¨ orderband bewegt sich mit der konstanten Ge-

schwindigkeit vF = 3 m/s. Zur Zeit t = 0 wird nach Abb. 1.24a an der Stelle A eine Kiste (Reibungskoeffizient μ = 0,2) vom Gewicht G = mg mit der horizontalen Geschwindigkeit v0 = 0,5 m/s aufgesetzt. Wie lange rutscht die Kiste? Welchen Abstand hat die Kiste nach Beendigung des Rutschens von der Aufsetzstelle auf dem F¨ orderband? sK v0 A b

s∗K

A

R

s∗F

b

A∗

s

N a

t∗

t=0

G

vF

c

Abb. 1.24

1.2

Kinetik

51

L¨ osung Wegen vF > v0 wirkt auf die Kiste zun¨ achst eine Rei-

bungskraft R nach rechts (Abb. 1.24b). Aus der Bewegungsgleichung f¨ ur die Kiste →: m¨ sK = R folgt mit N = mg und mit dem Reibungsgesetz R = μ N = μ mg die Beschleunigung s¨K = μg. Mit den Anfangsbedingungen s˙K (0) = v0 und sK (0) = 0 finden wir durch Integration s˙ K = vK = μg t + v0 ,

sK = μg

t2 + v0 t . 2

Das Rutschen endet zu der Zeit t∗ , wenn die Kiste die Geschwinorderbandes erreicht hat: digkeit vF des F¨ vK = vF

→

μ g t∗ + v0 = vF .

Hieraus folgt mit den gegebenen Zahlenwerten die Zeit f¨ ur den Rutschvorgang t∗ =

3 − 0, 5 vF − v0 = = 1, 27 s . μg 0, 2 · 9, 81

Die Kiste hat bis zur Zeit t∗ den Weg s∗K = sK (t∗ ) = μg = 0, 2 · 9, 81 ·

t∗2 + v0 t∗ 2

1, 272 + 0, 5 · 1, 27 = 2, 2 m 2

zur¨ uckgelegt. In der gleichen Zeit hat sich die Stelle A des F¨orderbandes um die Strecke s∗F = sF (t∗ ) = vF t∗ = 3 · 1, 27 = 3, 8 m

52

1 Bewegung eines Massenpunktes

nach A∗ verschoben (Abb. 1.24c). Der Abstand b der Kiste vom urspr¨ unglichen Aufsetzpunkt betr¨ agt demnach b = s∗F − s∗K = 3, 8 − 2, 2 = 1, 6 m . B1.10

Beispiel 1.10 Eine Kugel (Masse m, Radius r) f¨ allt in einem mit Fl¨ ussigkeit gef¨ ullten Beh¨ alter (Abb. 1.25a). Man untersuche die Bewegung unter der Annahme, dass das Stokessche Widerstandsgesetz gilt und der Auftrieb vernachl¨assigbar ist. z˙ G z m a

z

z˙G

Fw b

t

c

1/k

t Abb. 1.25

L¨ osung Wir z¨ ahlen nach Abb. 1.25b die Koordinate z positiv nach

unten. Mit (1.47b) wird dann die Bewegung durch die Gleichung ↓ : m¨ z = G − Fw = mg − 6 π η r z˙ beschrieben. Unter Verwendung der Abk¨ urzung

6πηr = k wird m

z¨ = g − k z˙ . Trennung der Ver¨ anderlichen und Integration f¨ uhren auf  dz˙ 1 k z˙ = t + C1 . = dt → − ln 1 − g − k z˙ k g Wenn wir als Anfangsbedingung z(0) ˙ = 0 annehmen, so wird C1 = 0. Nach Bilden der Umkehrfunktion erh¨alt man die Geschwindigkeit g z˙ = (1 − e−kt ) . k Hieraus ergibt sich durch eine weitere Integration der Weg

1.2

z=

g k

Kinetik

53

 1 t + e−kt + C2 . k

Mit der Anfangsbedingung z(0) = 0 wird C2 = −1/k und daher   1 g −kt t − (1 − e ) . z= k k F¨ ur kt → ∞ (große Zeit) strebt z˙ gegen den Grenzwert z˙G =

g = const . k

Der Weg verl¨ auft dann linear mit der Zeit. F¨ ur große k, z.B. bei großer Z¨ ahigkeit η, wird dieser Grenzzustand praktisch rasch erreicht. Eine Messung der dann konstanten Geschwindigkeit z˙G kann zur Ermittlung von η dienen. Abb. 1.25c zeigt die Verl¨aufe von Geschwindigkeit und Weg. 1.2.5 Impulssatz, Stoß

Integriert man das Newtonsche Grundgesetz d (m v) = F dt u alt man den Impulssatz ¨ ber die Zeit, so erh¨ t m v − m v0 =

F dt¯.

(1.49)

t0

¨ Hiernach ist die Anderung des Impulses p = m v zwischen dem Zeitpunkt t0 und einer beliebigen Zeit t gleich dem Zeitintegral u ahrend dieser Zeitspanne Null ist, bleibt ¨ ber die Kraft. Wenn F w¨ der Impuls unge¨ andert (Impulserhaltung): p = m v = m v0 = const . H¨ aufig wird der Impulssatz bei Stoßvorg¨ angen angewendet. Ein Stoß ist dadurch gekennzeichnet, dass eine sehr große Kraft u ¨ber einen sehr kurzen Zeitraum (die Stoßdauer ts ) wirkt. Dabei erf¨ahrt

54

1 Bewegung eines Massenpunktes

die Masse eine pl¨ otzliche Geschwindigkeits¨ anderung; die Lage¨anderung ist vernachl¨ assigbar. Der genaue Verlauf von F w¨ahrend des Stoßes ist meist unbekannt. Um dennoch die Geschwindigkeit nach dem Stoß berechnen zu k¨ onnen, f¨ uhren wir die u ¨ber die Stoßdauer integrierte Kraft, die Stoßkraft (Kraftstoß) Fˆ ein: ts Fˆ =

F dt .

(1.50)

0

Damit folgt aus (1.49) f¨ ur Stoßvorg¨ ange m v − m v0 = Fˆ .

(1.51)

Wir betrachten nun einen Massenpunkt, der nach Abb. 1.26a schr¨ ag auf eine Wand auftrifft. Im weiteren wollen wir die Geschwindigkeit vor dem Stoß mit v und die Geschwindigkeit nach dem Stoß mit v¯ bezeichnen. Mit dem verwendeten Koordinatensystem lautet (1.51) in Komponenten →: m v¯x − m vx = Fˆx ,

↑: m v¯y − m vy = Fˆy .

(1.52)

Dabei sollen die Pfeile (z.B. → :) kennzeichnen, in welcher Richtung der Impulssatz angeschrieben wird. Aus Abb. 1.26a lesen wir ab:

0110 1010 1010 1010

vx = − v cos α,

vy = v sin α,

v¯x = v¯ cos α ¯,

v¯y = v¯ sin α ¯.

v¯

y

a

F

y α ¯ α

x

v

m

Fmax

F x FˆK FˆR ts b

t

c

Abb. 1.26

1.2

Kinetik

55

Im weiteren nehmen wir an, dass die Wand glatt ist. Dann kann sie in y-Richtung keine Kraft auf die Masse aus¨ uben, und mit Fˆy = 0 folgt aus (1.52) v¯y = vy .

(1.53)

Die Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung ¨andert sich beim Stoß nicht. ¨ Um die Anderung der x-Komponente der Geschwindigkeit zu ermitteln, teilen wir zun¨ achst den Stoß in zwei Zeitabschnitte auf: die Kompressionsperiode, in welcher der K¨ orper zusammengedr¨ uckt wird, und die Restitutionsperiode, w¨ ahrend der er sich ganz oder teilweise zur¨ uckbildet. Die Kraft Fx = F , die w¨ahrend des Stoßvorganges auf die Masse wirkt (Abb. 1.26b), w¨achst in der Kompressionsperiode bis zu ihrem Gr¨ oßtwert Fmax und f¨allt in der Restitutionsperiode wieder auf Null ab (Abb. 1.26c). Wir schreiben den Impulssatz in x-Richtung f¨ ur beide Abschnitte getrennt an (im Augenblick der gr¨ oßten Zusammendr¨ uckung ist die Geschwindigkeit Null): Kompressionsperiode:

m · 0 − m vx = FˆK ,

Restitutionsperiode:

m v¯x − m · 0 = FˆR .

(1.54)

Die zwei Gleichungen (1.54) enthalten drei Unbekannte: die Geafte FˆK und FˆR . Eine weischwindigkeit v¯x und die beiden Stoßkr¨ tere Gleichung erhalten wir durch eine Hypothese u ¨ ber das Verformungsverhalten w¨ ahrend der Restitution. Dabei wollen wir drei F¨ alle unterscheiden: a) Ideal-elastischer Stoß Wir nehmen an, dass Verformungen und Kr¨ afte in der Kompressions- und der Restitutionsperiode spiegelbildlich verlaufen. Dann nimmt die Masse nach dem Stoßende wieder ihre urspr¨ ungliche Form an, und die Stoßkr¨ afte in beiden Abschnitten sind gleich. Aus FˆR = FˆK folgt m v¯x = − m vx

→

v¯x = − vx ,

56

1 Bewegung eines Massenpunktes

und mit (1.53) werden daher v¯ = v

und

α ¯ = α.

Beim ideal-elastischen Stoß (Abb. 1.27a) sind die Winkel und die Geschwindigkeiten beim Auftreffen und beim Abprallen jeweils gleich (vgl. Reflexionsgesetz der Optik). v¯ v¯y

v¯ v¯

y

a

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

α ¯=α α v

y

x

e=1

b

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

y

v¯x α ¯ α vy

v

vx 0<e<1

x

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 c

α ¯=

π 2

α

x v

e=0 Abb. 1.27

b) Ideal-plastischer Stoß Die gesamte Verformung, welche der K¨ orper w¨ahrend der Kompression erfahren hat, bleibt erhalten. Die Stoßkraft in der Restitutionsperiode verschwindet (FˆR = 0), und mit (1.54) folgt v¯x = v¯ cos α ¯=0

→

α ¯=

π . 2

Der K¨ orper rutscht mit v¯ = v¯y = vy = v sin α an der glatten Wand entlang (Abb. 1.27c). c) Teilelastischer Stoß Ein realer K¨ orper wird nur teilweise zur¨ uckverformt. Man beschreibt dieses Verhalten, indem man die Stoßkr¨afte in beiden Abschnitten mit Hilfe einer Stoßzahl e verkn¨ upft: FˆR = e FˆK .

(1.55)

In den Grenzf¨ allen a) bzw. b) ist e = 1 (ideal-elastischer Stoß)

1.2

Kinetik

57

bzw. e = 0 (ideal-plastischer Stoß). Beim teilelastischen Stoß liegt die Stoßzahl zwischen diesen Grenzwerten. Damit gilt: 0  e  1.

(1.56)

Einsetzen von (1.54) in (1.55) liefert m v¯x = e (−m vx )

→

v¯x = − e vx .

(1.57)

v¯y vy 1 = = tan α. Wegen v¯x −evx e e < 1 ist beim teilelastischen Stoß tan α ¯ > tan α und damit α ¯ > α. Man kann nach (1.57) die Stoßzahl auch als Verh¨altnis der Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Wand nach und vor dem Stoß definieren: v¯x e=− . (1.58) vx Nach Abb. 1.27b wird tan α ¯ =

Das Minuszeichen tritt auf, weil beide Geschwindigkeiten in derselben Richtung positiv gez¨ ahlt werden. Im Beispiel ist vx negativ und e damit positiv. Die Stoßzahl e kann experimentell wie folgt ermittelt werden. L¨ asst man eine Masse aus einer H¨ ohe h1 auf eine waagerechte Unterlage fallen, so ist die (nach unten gerichtete) Auftreffgeschwindigkeit nach Abschnitt 1.1.3  v = 2 g h1 . Nach dem Stoß hat der K¨ orper die nach oben gerichtete Abprallgeschwindigkeit v¯. Er erreicht damit eine H¨ ohe h2 =

v¯2 2g

→

v¯ =

 2 g h2 .

Unter Beachtung der Richtungen folgt hieraus mit (1.58) √ 2 g h2 h2 v¯ e=− = √ → e= . (1.59) v h1 2 g h1 Damit kann die Stoßzahl unmittelbar aus den H¨ ohen vor und nach dem Stoß ermittelt werden. Beim ideal-elastischen Stoß ist h2 = h1

58

1 Bewegung eines Massenpunktes

und damit e = 1; beim ideal-plastischen Stoß ist h2 = 0 und damit e = 0. B1.11

Beispiel 1.11 Ein Mann (Gewicht G1 = m1 g) steht auf den Ku-

fen eines Lastschlittens (Gewicht G2 = m2 g) und st¨oßt sich in gleichen Zeitabst¨ anden Δt am Boden (Reibungskoeffizient μ) ab, wodurch der am Anfang ruhende Schlitten in Bewegung kommt (Abb. 1.28a). Es sei zur Vereinfachung angenommen, dass bei jedem Abstoßen w¨ ahrend einer kurzen Zeit ts eine konstante horizontale Kraft P aufgebracht werde (ts Δt). Wie groß ist die Geschwindigkeit v unmittelbar nach dem n-ten Abstoßen? G1 +G2 (P )

G1

m1 +m2

G2 R N

b

a

Abb. 1.28

L¨ osung Wir k¨ onnen uns das System (Schlitten und Mann) durch

einen Massenpunkt ersetzt denken (Abb. 1.28b). Auf ihn wirken in horizontaler Richtung die Kraft P (jeweils w¨ahrend der St¨oße in den Zeiten ts ) und die Reibungskraft R = μN (w¨ahrend der ganzen Zeit). Bis zum n-ten Abstoßen ist eine Zeit T = (n − 1)Δt vergangen. Mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 zur Zeit t0 = 0 erhalten wir damit aus dem Impulssatz (1.49) f¨ ur die Gesamtmasse T ts T ←: (m1 + m2 ) v =

P dt −

F dt = n 0

0

μ(G1 + G2 ) dt 0

die gesuchte Geschwindigkeit nach dem n-ten Abstoßen zu n P ts − μ g (n − 1) Δt . v= m1 + m2

1.2

Kinetik

59

Beispiel 1.12 Ein Eishockeypuck trifft mit einer Geschwindigkeit

v unter dem Winkel α = 45◦ auf eine glatte Bande und wird unter β = 30◦ reflektiert (Abb. 1.29). Wie groß sind die Geschwindigkeit v¯ nach dem Stoß und die Stoßzahl e? x v¯ v β

11111111111 00000000000 α

Abb. 1.29

L¨ osung Bei glatter Wand muss der Impuls in Richtung der Wand erhalten bleiben:

→: m v¯ cos β = m v cos α . Hieraus folgt die Geschwindigkeit nach dem Stoß zu 2 cos α = v. v¯ = v cos β 3 In der Richtung senkrecht zur Wand erfolgt der Stoß mit der Stoßzahl e. Aus (1.58) findet man mit vx = − v sin α,

v¯x = v¯ sin β

die Stoßzahl zu v¯ sin β = e=− − v sin α



2 3

√ 1 3 2 √ = . 1 3 2 2

1.2.6 Momentensatz

In der Statik (vgl. Band 1) haben wir f¨ ur das Moment einer Kraft bez¨ uglich eines Punktes 0 den Momentenvektor M (0) = r × F

(1.60)

B1.12

60

1 Bewegung eines Massenpunktes

eingef¨ uhrt. Eine analoge kinetische Gr¨ oße ist das Impulsmoment L(0) . Es ist definiert als Vektorprodukt aus r und p: L(0) = r × p = r × m v .

(1.61)

Den Vektor L(0) nennt man auch Drehimpuls- oder Drallvektor. Er steht senkrecht auf der Ebene, die vom Ortsvektor r (vom festen Punkt 0 zum bewegten Massenpunkt) und dem Geschwindigkeitsvektor v aufgespannt wird (Abb. 1.30a). Sein Betrag ergibt sich aus dem senkrechten Abstand r⊥ und dem Impuls mv zu L(0) = r⊥ mv. Bahn

z

Bahn

dr

v

dA m

dA

L(0)

r r

0 r⊥ a

m 0

y

x

b

Abb. 1.30

Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Moment herleiten. Hierzu multiplizieren wir das Newtonsche Grundgesetz (1.38) vektoriell mit dem Ortsvektor:  dv = r × F. (1.62) r× m dt Die rechte Seite ist das Moment nach (1.60). Die linke Seite formen wir mit Hilfe von d dv (r × m v) = r˙ × m v + r × m dt dt um. Da der erste Summand auf der rechten Seite wegen r˙ = v verschwindet, gilt r×m

d dL(0) dv = (r × m v) = . dt dt dt

1.2

Kinetik

61

Damit l¨ asst sich (1.62) schreiben als dL(0) = M (0) . dt

(1.63)

Dies ist der Momentensatz (Drehimpulssatz, Drallsatz): die zeitliche Ableitung des Drehimpulses in Bezug auf einen beliebigen raumfesten Punkt 0 ist gleich dem Moment der am Massenpunkt angreifenden Kraft bez¨ uglich desselben Punktes 0. Wenn das Moment M (0) verschwindet, bleibt der Drehimpuls unver¨ andert (Drehimpulserhaltung): L(0) = r × m v = const . Eine anschauliche Deutung des Dralls kann man aus Abb. 1.30b gewinnen. Im Zeitabschnitt dt u ¨ berstreicht der Ortsvektor r eine uhrt man einen zugeordneten Fl¨ ache vom Betrag dA = 12 |r×dr|. F¨ Vektor 1 1 dA = (r × dr) = (r × v dt) 2 2 ein, so wird die vektorielle Fl¨achengeschwindigkeit dA 1 = (r × v) . dt 2 Einsetzen in (1.61) liefert L(0) = 2 m

dA . dt

(1.64)

Der Drall ist somit proportional zur Fl¨ achengeschwindigkeit. y vy

x

v v

m

m vx

r

y 0 r⊥ Abb. 1.31

0 ω x Abb. 1.32

ϕ

62

1 Bewegung eines Massenpunktes

Zeigt bei einer Bewegung der Kraftvektor stets zu einem Zentrum 0 hin, so verschwindet das Moment bez¨ uglich 0. Der Drall und damit nach (1.64) auch die Fl¨ achengeschwindigkeit sind dann konstant. Bei der Planetenbewegung entspricht dies dem 2. Keplerschen Gesetz: ein Fahrstrahl von der Sonne zu einem Planeten u achen (vgl. Abschnitt ¨berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl¨ 1.1.4). Bewegt sich eine Masse in der x, y-Ebene (Abb. 1.31), so haben der Drehimpulsvektor und der Momentenvektor nur z-Komponenten. Vom Momentensatz (1.63) bleibt dann nur die eine Komponente (0)

dLz dt

= Mz(0) .

(1.65)

Auf den Index z k¨ onnen wir im weiteren verzichten. Das Impulsmoment kann – analog zum Moment – entweder mit Hilfe des senkrechten Abstandes r⊥ der Geschwindigkeit v vom Bezugspunkt oder durch die Momente“ der Komponenten vx und vy ” ausgedr¨ uckt werden: L(0) = r⊥ m v

bzw. L(0) = m(x vy − y vx ) .

(1.66)

Im Sonderfall der Kreisbewegung (Abb. 1.32) erhalten wir mit v = r ω f¨ ur den Drehimpuls L(0) = m r v = m r2 ω . F¨ uhrt man f¨ ur die Gr¨ oße mr2 die Bezeichnung Massentr¨agheits(0) moment Θ ein, so wird der Drehimpuls L(0) = Θ(0) ω, und der Momentensatz (1.65) l¨ asst sich mit ω = ϕ˙ darstellen als Θ(0) ϕ¨ = M (0) .

(1.67)

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir die Bewegung eines Punktpendels nach Abb. 1.33a. Auf die Masse m wirken in einer beliebigen Lage die Kraft S (zum Punkt A gerichtet) und das Gewicht G = mg (Abb. 1.33b). F¨ uhren wir eine positive Drehrichtung durch den Winkel ϕ ein, so lauten das Impulsmoment

1.2

011000 11 1010

11 00

63

A

ϕ

l G Abb. 1.33

Kinetik

S m

G = mg

a

b

und das Moment bez¨ uglich des festen Punktes A: M (A) = − mg l sin ϕ .

L(A) = l m v = l m lϕ˙ = ml2 ϕ, ˙

Der Momentensatz (1.65) liefert damit die Bewegungsgleichung ml2 ϕ¨ = − mg l sin ϕ

→

ϕ¨ +

g sin ϕ = 0. l

F¨ ur kleine Ausschl¨age (sin ϕ ≈ ϕ) folgt hieraus die Gleichung g ϕ¨ + ϕ = 0 (harmonische Schwingungen des mathematischen l Pendels, vgl. Kapitel 5). Mit Θ(A) = ml2 kann man die Bewegungsgleichung auch aus (1.67) gewinnen. Beispiel 1.13 Eine Masse m, die von einem Faden gehalten wird,

bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω0 auf einer glatten, waagerechten Kreisbahn vom Radius r0 (Abb. 1.34a, b). Der Faden wird durch ein Loch A in der Mitte der Kreisbahn gef¨ uhrt. a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω, wenn der Faden so angezogen wird, dass sich die Masse im Abstand r bewegt? b) Wie a ¨ndert sich hierbei die Fadenkraft? m

m

r0

A

r0 ω0

00000 11111 0000 1111 00000 11111

ω0

A

S0 Abb. 1.34

a

b

c

A

S0

B1.13

64

1 Bewegung eines Massenpunktes

a) Im Faden wirkt im Ausgangszustand die Kraft S0 (Abb. 1.34c); sie hat kein Moment um A. Daher muss nach (1.65) der Drall erhalten bleiben. Der Drehimpuls um A ist in der Ausgangslage L¨ osung

(A)

L0

= r0 (m r0 ω0 ) = m r02 ω0

und in der Endlage L(A) = r(m rω) = m r2 ω . Gleichsetzen liefert  r 2 0 ω= ω0 . r Die Winkelgeschwindigkeit w¨ achst demnach mit dem Quadrat des Radienverh¨ altnisses. b) Mit der Zentripetalbeschleunigung an = v 2 /r = rω 2 liefert das Bewegungsgesetz in der Ausgangslage (Abb. 1.34c)  : m an = S0

→

S0 = m r0 ω02 .

Analog ergibt sich f¨ ur die Endlage  r 4  r 3  r 3 0 0 0 S = m r ω2 = m r ω02 = m r0 ω02 = S0 . r r r Die Fadenkraft steigt mit der dritten Potenz des Radienverh¨altnisses.

1.2.7 Arbeitssatz, potentielle Energie, Energiesatz

Wenn wir das Newtonsche Grundgesetz (1.38) skalar mit dr multiplizieren, so erhalten wir m

dv · dr = F · dr . dt

Setzt man dr = v dt ein und integriert zwischen zwei Bahnpunkten r0 und r1 , in denen die Masse die Geschwindigkeiten v0 und

1.2

Kinetik

65

v1 hat, so ergibt sich v1

r1 m v · dv =

v0

F · dr r0

→

mv12 mv02 − = 2 2

r1 F · dr . (1.68) r0

Die rechte Seite stellt dabei die Arbeit W der Kraft F dar (vgl. Band 1, Kapitel 8). Die skalare Gr¨ oße 12 m v 2 = 12 m v 2 wird kinetische Energie Ek genannt: Ek =

mv 2 . 2

(1.69)

Wir erhalten damit aus (1.68) den Arbeitssatz Ek1 − Ek0 = W .

(1.70)

Die Arbeit, welche die Kr¨ afte zwischen zwei Bahnpunkten verrich¨ ten, ist gleich der Anderung der kinetischen Energie. Wie die Arbeit W hat die kinetische Energie Ek die Dimension Kraft × Weg. Sie wird in Vielfachen der Einheit Joule (James Prescott Joule, 1818-1889) angegeben (1 J = 1 Nm). Die am Massenpunkt angreifenden Kr¨ afte setzen sich aus eingeaften (Reaktionskr¨aften) F (z) pr¨ agten Kr¨ aften F (e) und Zwangskr¨ zusammen. Da die Reaktionskr¨ afte stets senkrecht zur Bahn stehen, verrichten sie keine Arbeit. Damit lautet das Arbeitsintegral: r1 F (e) · dr .

W =

(1.71)

r0

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir einen Klotz, der eine rauhe schiefe Ebene hinunterrutscht (Abb. 1.35a). Auf den Klotz wirken als eingepr¨ agte Kr¨ afte das Gewicht G = mg und die Reibungskraft R = μN , als Zwangskraft die Normalkraft N (Abb. 1.35b). Bei der Bewegung aus der Lage 0 in die Lage 1 verrichten das Gewicht und die Reibungskraft die Arbeiten WG = mg sin α x,

WR = − Rx = − μN x = − μmg cos α x

66

1 Bewegung eines Massenpunktes

111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 0

x

h

μ

R 1

N

G

α

a

b

Abb. 1.35

(die Reaktionskraft N verrichtet keine Arbeit). Wird der Klotz in der Lage 0 ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen, dann lautet der Arbeitssatz (1.70) m

v12 = mg sin α x − mg μ cos α x . 2

F¨ uhrt man die H¨ ohe h = x sin α ein, so wird die Geschwindigkeit in der Lage 1  v1 = 2 gh(1 − μ cot α) . Das Ergebnis zeigt, dass nur f¨ ur μ cot α < 1, d.h. μ < tan α eine Bewegung m¨ oglich ist. Die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit dW/dt heißt Leistung P . Mit dW = F · dr gilt P = F ·v.

(1.72)

Die Einheit der Leistung ist das Watt (James Watt, 1736-1819): 1W=1

Nm s

(man verwechsle die Abk¨ urzung W f¨ ur Watt nicht mit dem Symbol W f¨ ur die Arbeit!). Mit der fr¨ uher verwendeten Leistungseinheit PS besteht der Zusammenhang 1 PS = 0, 735 kW,

1 kW = 1, 36 PS .

Da die Zwangskr¨ afte F (z) senkrecht zur Geschwindigkeit v stehen,

1.2

Kinetik

67

ist ihre Leistung stets Null. Bei allen Maschinen treten in Lagern und F¨ uhrungen Energieverluste infolge Reibung auf. Ein Teil der aufgewendeten Arbeit geht daher verloren. Man bezeichnet das Verh¨ altnis von Nutzarbeit WN zu aufgewendeter Arbeit WA als Wirkungsgrad η: η=

WN . WA

(1.73)

Bezieht man auf die Zeiteinheit, so erh¨ alt man den augenblicklichen Wirkungsgrad aus dem Quotienten der entsprechenden Leistungen: η=

PN . PA

(1.74)

Wegen der stets auftretenden Verluste ist η < 1. Als Anwendungsbeispiel berechnen wir die Antriebskraft F eines Pkw, wenn er sich bei einer Motorleistung von PA = 30 kW mit der Geschwindigkeit v = 60 km/h auf ebener Straße bewegt. Der Wirkungsgrad betrage η = 0, 8. Mit der Nutzleistung PN = F v erhalten wir aus (1.74) η=

Fv PA

→

F =

30 · 0, 8 PA η = = 1, 44 kN . v 60/3, 6

Eine besonders einfache Form nimmt der Arbeitssatz (1.70) an, wenn die eingepr¨ agten Kr¨ afte ein Potential besitzen. Solche Kr¨afte nennt man konservativ. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre Arbeit zwischen zwei festen Punkten 0 und 1 (Abb. 1.36) unabh¨ angig vom Weg zwischen diesen Punkten ist (vgl. Band 1, Kapitel 8). Mit F = Fx ex + Fy ey + Fz ez und dr = dx ex + dy ey + dz ez lautet die Arbeit 1

1 F · dr =

W = 0

{Fx dx + Fy dy + Fz dz} .

(1.75)

0

Das Integral ist nur dann wegunabh¨angig, wenn der Integrand ein vollst¨andiges Differential ist, das wir mit −dEp bezeichnen:

68

1 Bewegung eines Massenpunktes 1

Weg I Weg II

z 0 y x

Abb. 1.36

− dEp = Fx dx + Fy dy + Fz dz .

(1.76)

Die hier eingef¨ uhrte Funktion Ep (x, y, z) heißt Potential der Kraft F oder potentielle Energie; das Minuszeichen wird aus Zweckm¨ aßigkeitsgr¨ unden hinzugef¨ ugt. In Band 1 wurde die potentielle Energie mit Π bezeichnet. Ein Vergleich des totalen Differentials dEp =

∂Ep ∂Ep ∂Ep dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

mit (1.76) liefert Fx = −

∂Ep , ∂x

Fy = −

∂Ep , ∂y

Fz = −

∂Ep . ∂z

(1.77)

Wenn wir den Gradienten grad Ep =

∂Ep ∂Ep ∂Ep ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

einf¨ uhren, dann lautet (1.77) in vektorieller Form F = − grad Ep .

(1.78)

Leiten wir in (1.77) die erste Gleichung nach y und die zweite Gleichung nach x ab, so sind die rechten Seiten gleich, und daher gilt ∂Fx /∂y = ∂Fy /∂x. Zyklisches Vertauschen der Koordinaten liefert insgesamt ∂Fx ∂Fy = , ∂y ∂x

∂Fy ∂Fz = , ∂z ∂y

∂Fz ∂Fx = . ∂x ∂z

(1.79)

1.2

Kinetik

69

Mit diesen Gleichungen kann man u ufen, ob eine Kraft ¨berpr¨ F (x, y, z) aus einem Potential abgeleitet werden kann. Wenn wir die Rotation der Kraft F mit    e  x ey ez       ∂Fz ∂Fy ∂ ∂   ∂ − ex rot F =  =  ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z      Fx Fy Fz   +

∂Fx ∂Fz − ∂z ∂x



 ey +

∂Fy ∂Fx − ∂x ∂y

ez

einf¨ uhren, so lassen sich die Bedingungen (1.79) in der Vektorform rot F = 0

(1.80)

zusammenfassen (wirbelfreies Kraftfeld). Besitzen die Kr¨ afte ein Potential, so gilt nach (1.75) und (1.76) dW = − dEp ,

(1.81)

und es folgt f¨ ur die Arbeit 1

1 dW = −

W = 0

dEp = −(Ep1 − Ep0 ) . 0

Die potentielle Energie h¨ angt zwar vom Bezugssystem ab, ihre Differenz zwischen zwei Lagen 0 und 1 ist aber hiervon unabh¨angig. Einsetzen von W in (1.70) f¨ uhrt auf den Energiesatz Ek1 − Ek0 = Ep0 − Ep1 oder Ek1 + Ep1 = Ek0 + Ep0 = const .

(1.82)

Wenn die eingepr¨ agten Kr¨ afte ein Potential besitzen, so bleibt bei

70

1 Bewegung eines Massenpunktes

der Bewegung die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant. Wir wollen hier noch drei Potentiale angeben, die wir bereits in Band 1 betrachtet haben. a) Potential der Gewichtskraft G im Abstand z von der Erdoberfl¨ ache (Gravitationspotential in der N¨ ahe der Erdoberfl¨ache): Ep = Gz .

(1.83)

b) Potential einer Federkraft (Federkonstante c) bei einer Auslenkung x bzw. eines Drehfedermoments (Federkonstante cT ) bei einer Auslenkung ϕ: Ep =

1 2 cx , 2

Ep =

1 c ϕ2 . 2 T

(1.84)

Im Unterschied zum Gewicht und zur Federkraft hat die Reibungskraft kein Potential. Sie ist nicht-konservativ; die von ihr verrichtete Arbeit h¨ angt vom Weg ab. Bei der Bewegung wird mechanische Energie in W¨ arme umgesetzt. Man nennt solche Kr¨afte daher auch dissipativ (Energie-zerstreuend). Der Energiesatz gilt dann nicht. Man muss in diesem Fall den Arbeitssatz (1.70) anwenden und dort die Arbeit der Reibungskr¨ afte in W ber¨ ucksichtigen. Die Anwendung des Energie- bzw. des Arbeitssatzes empfiehlt sich, wenn die Geschwindigkeit in Abh¨ angigkeit vom Weg (oder umgekehrt) gesucht ist. B1.14

Beispiel 1.14 Ein Massenpunkt rutscht aus seiner Ruhelage in A

eine rauhe schiefe Ebene herab (Reibungskoeffizient μ), die nach Abb. 1.37a tangential in eine glatte Kreisbahn einm¨ undet. In welcher H¨ ohe h u ¨ ber dem Scheitel B der Kreisbahn muss die Bewegung beginnen, damit der Massenpunkt in B die Bahn nicht verl¨ asst? L¨ osung Der Massenpunkt bleibt in B gerade noch auf der Bahn, wenn die Normalkraft N dort Null wird. Aus der Bewegungsgleichung in radialer Richtung (vgl. Abb. 1.37b)

1.2

1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 00000 0000000 11111 1111111 00000 11111 0000000 1111111 00000 0000000 11111 1111111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

Kinetik

71

A

N

h

rauh

B

l

α

Abb. 1.37 a

↓ : m an = m

r

B mg

glatt

α

b

2 vB = mg + N r

folgt mit N = 0 die erforderliche Geschwindigkeit: 2 vB = rg .

(a)

Den Zusammenhang zwischen vB und der erforderlichen H¨ohe h liefert der Arbeitssatz. Das Gewicht verrichtet zwischen A und B die Arbeit W1 = Gh. Die Reibungskraft, die gegen den Weg gerichtet ist, verrichtet die Arbeit W2 = −Rl. Mit R = μN = μ mg cos α und l = (h+r+r cos α)/ sin α wird W2 = −mgμ cot α(h+ r + r cos α). Die kinetische Energie in der Ausgangslage A ist Null, 2 . Einsetzen in (1.70) ergibt an der Stelle B gilt EkB = 12 mvB 1 2 mvB = mgh − mgμ cot α (h + r + r cos α) . 2 Mit (a) erhalten wir die gesuchte H¨ ohe: 1 mrg = mgh (1 − μ cot α) − mgμr cot α (1 + cos α) 2 →

h=r

1 2

+ μ (1 + cos α) cot α . 1 − μ cot α

(b)

Wenn auch die schiefe Ebene glatt ist (μ = 0), k¨onnen wir den Energiesatz (1.82) anwenden. Mit EkA = 0,

EkB =

1 2 mvB , 2

EpA = mgh,

EpB = 0

72

1 Bewegung eines Massenpunktes

2 folgt 12 mvB = mgh und hieraus mit der Bedingung (a)

1 mrg = mgh 2

→

h=

1 r. 2

Dasselbe Ergebnis erh¨ alt man aus (b), wenn man dort den Reibungskoeffizienten Null setzt. B1.15

Beispiel 1.15 Im Abstand h u ¨ ber dem Ende einer ungespannten

Feder befindet sich nach (Abb. 1.38) eine Masse m. Sie wird mit eiuhrung ner vertikalen Anfangsgeschwindigkeit v0 in einer glatten F¨ auf die Feder (Federkonstante c) geworfen. Wie groß ist die maximale Zusammendr¨ uckung der Feder? m 0 v0

h x

11111 00000 00000 11111 L¨ osung Da f¨ ur Gewicht und Federkraft Potentiale existieren, k¨onc

1

Abb. 1.38

nen wir den Energiesatz (1.82) anwenden. In der Ausgangslage 0 hat die Masse die kinetische Energie Ek0 = mv02 /2 und die potentielle Energie Ep0 = mgh (Nullniveau am Ende der entspannten Feder). Bei der gr¨ oßten Zusammendr¨ uckung xmax der Feder in der Lage 1 ist die kinetische Energie Ek1 = 0. Die potentielle Energie setzt sich dann aus der Federenergie 12 c x2max und dem Potential der Gewichtskraft −mg xmax zusammen: Ep1 =

1 2 cx − mg xmax . 2 max

Daher lautet der Energiesatz 1 1 mv02 + mgh = 0 + c x2max − mg xmax . 2 2 Aufl¨ osen der quadratischen Gleichung liefert

1.2

xmax

Kinetik

73

⎡ ⎤  mg ⎣ cv02 2 hc ⎦ = + . 1 (±) 1 + c mg 2 mg

Im Sonderfall h = 0 und v0 = 0 folgt hieraus xmax = 2 G/c. L¨asst man also eine Masse, die unmittelbar u ¨ ber einer entspannten Feder gehalten wird, pl¨ otzlich fallen, so ist die maximale Federzusammendr¨ uckung doppelt so groß wie die statische Absenkung xstat = G/c bei langsamem Aufbringen des Gewichts. 1.2.8 Gravitationsgesetz, Planeten- und Satellitenbewegung

Neben den drei Grundgesetzen (vgl. Abschnitt 1.2.1) hat Newton auch das Gravitationsgesetz formuliert. Danach ist die Kraft, die zwei beliebige Massen m und M aufeinander aus¨ uben (Abb. 1.39a), gegeben durch F =f

Mm . r2

(1.85)

Hierin sind f die universelle Gravitationskonstante f = 6, 673 · 10−11

m3 kg s2

und r der Abstand zwischen den Massen. Man kann zeigen, dass die Gravitationskraft aus einem Potential abgeleitet werden kann. Es ergibt sich mit (1.81) zu (F ist gegen dr gerichtet)  Mm +C. (1.86) Ep = − (−F ) dr = − f r Setzt man das Potential im Unendlichen (r → ∞) gleich Null, so wird C = 0 und damit Ep = − f

Mm . r

(1.87)

Im Spezialfall der Erde betrachten wir M als die Erdmasse. An der Erdoberfl¨ ache erf¨ ahrt dann eine Masse m die Anziehungskraft

74

1 Bewegung eines Massenpunktes

(Gewicht) F = mg. Mit dem Erdradius R folgt damit aus (1.85) mg = f

Mm R2

→

g=

fM . R2

Eliminieren wir hiermit f im Gravitationsgesetz, so erhalten wir die Gewichtskraft als Funktion des Abstandes vom Erdmittelpunkt:  2 R F = mg . (1.88) r F¨ ur das Potential gilt dann nach (1.86) Ep = − mg

R2 +C. r

Setzt man diesmal das Potential an der Erdoberfl¨ache r = R gleich Null, so wird C = mg R, und mit r = R + z (Abb. 1.39b) folgt Ep = − mg

mg R2 + mg R = Rz . R+z R+z

(1.89)

In der N¨ ahe der Erdoberfl¨ ache (z R) ergibt sich damit das Potential des Erdschwerefeldes (vgl. (1.83)): Ep = mgz = Gz . m m z

F

F

F M

a

r

Erde

b

R

Abb. 1.39

Mit dem Gravitationsgesetz k¨ onnen wir die Bewegungen von Planeten und Satelliten beschreiben. Diese K¨orper d¨ urfen dabei als Massenpunkte betrachtet werden, da ihre Abmessungen im Vergleich zu den zur¨ uckgelegten Wegen klein sind. Wir bezeichnen die Masse eines Planeten (bzw. Satelliten) mit m und die

1.2

Kinetik

75

Masse der Sonne (bzw. Erde) mit M und sehen M als ruhend an. Da die Bewegung von m auf einer ebenen Bahn erfolgt, verwenden wir zweckm¨aßigerweise Polarkoordinaten. Dann liefert das dynamische Grundgesetz (1.38) mit (1.22) und (1.85) in radialer Richtung m (¨ r − rϕ˙ 2 ) = − f

mM r2

(1.90)

und in zirkularer Richtung m (rϕ¨ + 2 r˙ ϕ) ˙ =0

→

m

1 d 2 (r ϕ) ˙ = 0. r dt

Die zweite Gleichung dr¨ uckt das 2. Keplersche Gesetz aus (vgl. (1.29a)), wonach die Fl¨achengeschwindigkeit konstant ist: r2 ϕ˙ = C .

(1.91)

Zur L¨ osung der ersten Gleichung f¨ uhren wir die neue Variable u = 1/r ein. Mit (1.91) und r˙ = (dr/dϕ)ϕ˙ werden dann  C du dr C d 1 ϕ˙ = 2 = Cu2 , r˙ = = −C . = − C r dϕ r2 dϕ r dϕ Nochmaliges Differenzieren ergibt r¨ = − C

2 d2 u 2 2d u ϕ ˙ = − C u . dϕ2 dϕ2

Einsetzen in (1.90) liefert − C 2 u2

d2 u 1 − C 2 u 4 = − f M u2 dϕ2 u

bzw. nach Umformung d2 u fM +u= 2 . 2 dϕ C Diese inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die allgemeine L¨ osung (vgl. Kapitel 5) u = B cos (ϕ − α) +

fM . C2

76

1 Bewegung eines Massenpunktes

Der Abstand r muss daher der folgenden Gleichung gen¨ ugen: r=

1 = u

1 fM B cos (ϕ − α) + 2 C

.

Hierbei sind B und α Integrationskonstanten. Z¨ahlt man ϕ von der Stelle der Bahn, an der r˙ verschwindet, so ist α = 0, und man erh¨ alt die Bahngleichung r=

p 1 + ε cos ϕ

(1.92a)

mit C2 BC 2 , ε= . (1.92b) fM fM Gleichung (1.92a) ist die Brennpunktgleichung von Kegelschnitten, deren Art von der Exzentrizit¨ at ε abh¨ angt. F¨ ur ε < 1 ist die Bahn eine Ellipse. Dies entspricht dem 1. Keplerschen Gesetz: Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt (Abstand e vom Mittelpunkt) die Sonne steht (Abb. 1.40). p=

m e M

a b

a

r ϕ

e = εa =

√ a2 − b2

p Abb. 1.40

Aus der Konstanz der Fl¨ achengeschwindigkeit (1.91) kann man mit der Fl¨ ache einer Ellipse A = π ab (a, b = Halbachsen) die Umlaufzeit T berechnen: 1 dA C = r2 ϕ˙ = dt 2 2

→

A=

C T 2

→

T =

2A 2 π ab = . C C

Mit dem Bewegungsgesetz (1.90) und dem Ellipsenparameter p = b2 /a wird unter Beachtung von (1.92b) r − rϕ˙ 2 | = |ar | = |¨

fM C2 4 π 2 a2 b 2 4 π 2 a3 = = = 2 r2 pr2 r2 T 2 b T 2 r2 a

1.2

Kinetik

77

und hieraus T2 =

(2 π)2 a3 . fM

(1.93)

Dies ist das 3. Keplersche Gesetz: die Quadrate der Umlaufzeiten T der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Umlaufbahnen. F¨ ur ε = 1 bewegt sich ein K¨ orper in einem Gravitationsfeld nach (1.92a) auf einer Parabel, f¨ ur ε > 1 auf einer Hyperbel. Bei der Berechnung von Satellitenbahnen m¨ ussen unter Umst¨anden die Gravitationsfelder von mehreren Himmelsk¨ orpern ber¨ ucksichtigt werden (Mehrk¨orperproblem). Beispiel 1.16 Welche Energie ist mindestens erforderlich, um einen

Satelliten der Masse m in eine Kreisbahn im Abstand h von der Erdober߬ ache zu bringen? v

1

m F 0

r h

R

Abb. 1.41

Erde

Nach dem Gravitationsgesetz (1.88) wirkt auf den Satelliten (Abb. 1.41) eine Kraft F = mg (R2 /r2 ). Wenn sich der Satellit auf einer Kreisbahn im Abstand r = R + h vom Erdmittelpunkt bewegt, hat er eine Geschwindigkeit v, die sich aus dem Bewegungsgesetz in radialer Richtung ergibt: L¨ osung

m an = F

→

m

R2 v2 = mg 2 r r

→

v2 = g

R2 . R+h

Mit dem Potential des Gravitationsfeldes nach (1.89) ist die potentielle Energie an der Erdober߬ ache bzw. auf der Umlaufbahn Ep0 = 0 bzw.

Ep1 = mg

R h. R+h

B1.16

78

1 Bewegung eines Massenpunktes

Die entsprechenden kinetischen Energien sind Ek0 = 0 bzw.

Ek1 =

R2 mv 2 = mg . 2 2 (R + h)

Damit folgt die beim Abschuss mindestens notwendige Energie ΔE zu ΔE = E1 − E0 = (Ek1 + Ep1 ) − (Ek0 + Ep0 )  = mg R

h R + 2 (R + h) R + h

=

mg R 2



R +2h R+h

.

1.3

Zusammenfassung

79 1.3

1.3 Zusammenfassung • Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Ortsvek˙ Sie ist tangential zur Bahn gerichtet. tors: v = r. • Die Beschleunigung ist die zeitliche Ableitung des Geschwin˙ digkeitsvektors: a = v. • Bei einer Kreisbewegung sind Geschwindigkeit, Tangential- und Normalbeschleunigung gegeben durch v = r ϕ˙ ,

at = r ϕ¨ ,

an = r ϕ˙ 2 = v 2 /r .

• 2. Newtonsches Gesetz: m a = F . • Zur Ermittlung der Bewegung eines Massenpunktes sind in der Regel folgende Schritte erforderlich:  Freischneiden des Massenpunktes und Skizzieren des Freik¨orperbildes.  Wahl eines geeigneten Koordinatensystems.  Aufstellen der Bewegungsgleichungen.  Integration der Bewegungsgleichungen und Einarbeiten der Anfangsbedingungen. t ˆ, • Impulssatz: m v − m v 0 = F (t¯)dt¯ = F p = mv

t0

Impuls.

• Drehimpulssatz:

˙ (0) = M (0) , L

L(0) = r × p = r × m v r

Ortsvektor von 0 zum Massenpunkt.

• Arbeitssatz: W

Drehimpuls bez¨ uglich 0.

Ek1 − Ek0 = W ,

Arbeit der Kr¨ afte zwischen den Bahnpunkten 0 und 1 ,

Ek = m v 2 /2 kinetische Energie. • Energiesatz: Ep

Ek + Ep =const,

potentielle Energie (z.B. mgz, cx2 /2, cT ϕ2 /2).

Beachte: alle Kr¨ afte besitzen ein Potential (konservatives System).

Kapitel 2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

2

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Grundlagen ....................................................... 83 Schwerpunktsatz ................................................ 88 Momentensatz ................................................... 91 Arbeitssatz und Energiesatz .................................. 95 Zentrischer Stoß ................................................ 98 K¨ orper mit ver¨anderlicher Masse ............................ 109 Zusammenfassung .............................................. 117

Lernziele: Bisher haben wir uns nur mit der Bewegung eines einzelnen Massenpunktes befasst. Wir wollen nun die im 1. Kapitel hergeleiteten Begriffe und Gesetzm¨aßigkeiten wie zum Beispiel Impuls, Drehimpuls, Momentensatz, Energiesatz auf die Bewegung eines Systems von Massenpunkten erweitern. Die Studierenden sollen lernen, wie man die Bewegung solcher Systeme untersucht und wie man die Gesetzm¨ aßigkeiten bei konkreten Aufgaben formuliert.

2.1

Grundlagen

83

2.1

2.1 Grundlagen Haben wir uns bisher nur mit dem einzelnen Massenpunkt befasst, so wollen wir in diesem Kapitel die Bewegung von Massenpunktsystemen untersuchen. Man versteht unter einem Massenpunktsystem eine endliche Zahl von Punktmassen, die untereinander in Verbindung stehen. Die Untersuchung von Massenpunktsystemen ist wichtig, weil es viele Bewegungsvorg¨ ange in Natur und Technik gibt, an denen mehrere K¨ orper beteiligt sind, wobei die K¨orper jeweils als Massenpunkte idealisiert werden k¨ onnen. Bei anderen Problemen kann man sich einen einzelnen K¨ orper selbst wiederum aus einer Anzahl von Massenpunkten zusammengesetzt vorstellen. In dieser Hinsicht stellt das Massenpunktsystem dann die Vorstufe f¨ ur den kontinuierlich mit Masse behafteten K¨ orper dar. Je nachdem wie die Massen eines Systems untereinander in Verbindung stehen, unterscheidet man zwischen kinematischen Bindungen und physikalischen Bindungen. Bei kinematischen Bindungen bestehen zwischen den Koordinaten der Massenpunkte geometrische Beziehungen, die durch sogenannte Bindungsgleichungen ausgedr¨ uckt werden. Ein einfaches Beispiel hierf¨ ur ist das System in Abb. 2.1a, bei dem zwei Massen durch ein dehnstarres, masseloses Seil verbunden sind. Bezeichnet man die vertikalen Auslenkungen aus einer beliebigen Ausgangslage mit x1 bzw. x2 (horizontale Bewegungen seien ausgeschlossen), so gilt die kinematische Beziehung x1 = x2 . Wenn sich die Abst¨ ande zwischen den einzelnen Punkten nicht andern, so spricht man von einer starren Bindung. Als einfaches ¨ Beispiel betrachten wir die Hantel“ in Abb. 2.1b, bei der die ” Punktmassen m1 und m2 durch eine starre, masselose Stange verbunden sind. Der konstante Abstand l zwischen den Massen l¨asst sich durch die geometrische Beziehung (Bindungsgleichung) (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 = l2

(2.1)

ausdr¨ ucken. Durch die Zahl der Massen und die Zahl der kinematischen Bin-

84

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

1111 0000

m2

m2 z

m1

m1

m1

z

l

z1

x1

y

x2 x m2

a

y1

b

y

x

x1

m3

c Mond

F F

m2

m1 c

Erde d

e

Abb. 2.1

dungen ist die Zahl f der Freiheitsgrade eines Systems bestimmt. Letztere geben an, wie viele unabh¨ angige Koordinaten n¨otig sind, um die Lage eines Systems (d.h. jedes einzelnen Massenpunktes) eindeutig festzulegen. Im Beispiel nach Abb. 2.1a ist von den zwei Koordinaten x1 und x2 , welche die Lagen der beiden Massen beschreiben, nur eine frei w¨ ahlbar, w¨ ahrend die zweite durch die Bindungsgleichung x1 = x2 festgelegt ist. Das System hat dementsprechend nur einen Freiheitsgrad. Im Beispiel aus Abb. 2.1b sind von den 2 · 3 = 6 Koordinaten (je drei f¨ ur einen Massenpunkt im Raum) nur f¨ unf voneinander unabh¨ angig, w¨ahrend die sechste durch die Bindungsgleichung (2.1) festgelegt ist. Das System hat also f = 2 · 3 − 1 = 5 Freiheitsgrade. Ihnen entsprechen als unabh¨ angige Bewegungsm¨ oglichkeiten drei Translationen (in x-, in y- und in z-Richtung) und je eine Rotation um zwei verschiedene Achsen, deren Richtungen nicht mit der Richtung der Verbindungsstange zusammenfallen. Eine Rotation um die Verbindungsstange selbst f¨ uhrt zu keiner Lage¨ anderung der Punktmassen und ist daher kein weiterer Freiheitsgrad. Allgemein ist die Zahl f der Freiheitsgrade eines Systems aus n Massenpunkten im Raum gegeben durch die 3 n Koordinaten der Massenpunkte abz¨ uglich der Zahl r der kinematischen Bindungen:

2.1

f = 3n−r.

Grundlagen

85

(2.2)

Danach besitzt zum Beispiel das 3-Massensystem in Abb. 2.1c mit drei starren Bindungen f = 3 · 3 − 3 = 6 Freiheitsgrade. Jeder zus¨atzliche Massenpunkt, der an dieses System starr angeschlossen wird, erh¨ oht die Zahl der Freiheitsgrade nicht mehr, da keine zus¨atzliche Bewegungsm¨ oglichkeit geschaffen wird. Demnach hat auch der starre K¨orper, den man als System von unendlich vielen Massenpunkten auffassen kann, im Raum sechs Freiheitsgrade. F¨ ur Massenpunktsysteme in der Ebene gilt f = 2n−r.

(2.3)

Hier hat zum Beispiel ein 3-Massensystem mit drei starren Bindungen f = 2 · 3 − 3 = 3 Freiheitsgrade. Entsprechend hat auch ein starrer K¨ orper bei einer ebenen Bewegung drei Freiheitsgrade. Im Gegensatz zur kinematischen Bindung besteht bei der physikalischen Bindung zwischen dem Abstand der Massen und den Kr¨ aften ein physikalischer Zusammenhang. Beispiele sind das Feder-Masse-System (Abb. 2.1d) und das System Erde-Mond (Abb. 2.1e). Die Kr¨ afte h¨ angen hier u ¨ ber das Federgesetz bzw. u ¨ ber das Gravitationsgesetz vom Abstand ab. Im weiteren betrachten wir ein System aus n Massen mi (i = 1, ..., n) im Raum mit beliebigen Bindungen (Abb. 2.2). Die zum System geh¨ origen Massenpunkte seien durch eine gedachte Systemgrenze von K¨ orpern außerhalb des Systems abgegrenzt. Man kann sich diese Grenze als eine Fl¨ ache denken, welche alle n Massenpunkte einschließt. außere als auch innere Kr¨afte. Auf die Massen mi wirken sowohl ¨ Die ¨außeren Kr¨afte Fi haben ihre Ursache außerhalb des Systems und k¨ onnen entweder eingepr¨ agte Kr¨ afte (z.B. Gewichte) oder Reaktionskr¨ afte (z.B. Lager- oder Zwangskr¨ afte) sein. Der Index i deutet an, dass Fi an der Masse mi angreift. Die inneren Kr¨afte Fij wirken zwischen den Massenpunkten; man kann sie durch

86

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten mj

Systemgrenze

S

Fj Fji

Fij

z rs ri

0

y x

mi

Fi Abb. 2.2

L¨osen der Bindungen sichtbar machen. Die Indizes bei Fij sollen anzeigen, dass diese Kraft von der Masse mj auf die Masse mi ausge¨ ubt wird. Umgekehrt ist Fji die Kraft, die von mi auf mj wirkt. Die Wirkungslinien der inneren Kr¨ afte fallen mit den Verbindungsgeraden zwischen den Massen zusammen. Wegen actio ” = reactio “ sind Fij und Fji entgegengesetzt gleich groß: Fji = −Fij .

(2.4)

Der Bewegungszustand der Massen des Systems l¨asst sich bestimmen, indem auf jede Masse mi das dynamische Grundgesetz (1.38) angewendet wird. Mit den Ortsvektoren ri gilt dann  mi r¨i = Fi + Fij , (i = 1, . . . , n) . (2.5) j

Die Summation u ¨ ber j erfasst dabei alle inneren Kr¨afte, die auf mi wirken. Hinzu kommen noch die kinematischen oder/und die physikalischen Gleichungen, durch welche die Bindungen zwischen den Massenpunkten ausgedr¨ uckt werden. B2.1

Beispiel 2.1 Beim System nach Abb. 2.3a sind zwei Gewichte G1 =

m1 g und G2 = m2 g durch ein masseloses Seil verbunden, das u ¨ ber masselose Rollen l¨ auft. Wie groß sind die Beschleunigungen der Massen und die Seilkr¨ afte, wenn das System sich selbst u ¨ berlassen wird? L¨ osung Wir trennen das System und tragen in das Freik¨ orperbild

afte Si ein (Abb. 2.3b). die ¨ außeren Kr¨ afte Gi und die Schnittkr¨ Nehmen wir an, dass sich G2 nach unten bewegt, so bewegt sich

2.1

111111 000000

Grundlagen

87

1111111 0000000 S1 S2

S3 x2

G2 G1 x1 Abb. 2.3

a

m2 g m1 g

b

G1 nach oben. Wir z¨ ahlen daher die Lagekoordinaten x1 und x2 der Massen von den Ausgangslagen aus in unterschiedliche Richtungen. Dann lauten die Bewegungsgleichungen (2.5) f¨ ur m1 und afte entsprechen den Bindungskr¨ aften): m2 (die Seilkr¨ m1 x ¨1 = − m1 g + S1 + S2 ,

m2 x ¨ 2 = m 2 g − S3 .

Wegen der masselosen Rollen gilt S1 = S2 = S3 = S. Dann folgen m1 x ¨1 = − m1 g + 2S,

m2 x ¨ 2 = m2 g − S .

(a)

Die Koordinaten x1 und x2 sind nicht voneinander unabh¨angig: das System hat einen Freiheitsgrad. Verschiebt sich m2 um die Strecke x2 nach unten, so verschiebt sich m1 um die halbe Strecke nach oben (Flaschenzug). Demnach gilt der kinematische Zusammenhang (Bindungsgleichung) 1 1 1 ¨2 . ¨1 = x (b) x1 = x2 → x˙ 1 = x˙ 2 → x 2 2 2 Mit (a) und (b) stehen drei Gleichungen zur Bestimmung der drei ¨2 und S zur Verf¨ ugung. Aufl¨ osen liefert Unbekannten x ¨1 , x x¨1 =

1 2 m 2 − m1 x ¨2 = g , 2 m1 + 4 m2

S=

3 m 1 m2 g . m1 + 4 m2

¨1 = x¨2 = 0 und S = G2 (Gleichgewicht). F¨ ur G1 = 2 G2 sind x

88

2.2

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

2.2 Schwerpunktsatz Aus dem Bewegungsgesetz (2.5)  mi r¨i = Fi + Fij j

f¨ ur die einzelnen Massenpunkte eines Systems (vgl. Abb. 2.2) lassen sich Gesetzm¨ aßigkeiten herleiten, die f¨ ur das System als Ganzes gelten. Mit ihnen wollen wir uns in den folgenden Abschnitten befassen. Summiert man das Bewegungsgesetz u ¨ ber alle n Massen, so folgt    mi r¨i = Fi + Fij . (2.6) i

i

i

j

Darin bedeutet die Doppelsumme auf der rechten Seite, dass u ¨ ber alle inneren Kr¨afte zu summieren ist, die auf die Massenpunkte wirken. Da diese Kr¨ afte jedoch paarweise entgegengesetzt gleich groß sind (Fij = − Fji ), ist die Doppelsumme Null. Danach gilt  mi r¨i = F , (2.7) i

wobei F =



Fi die Resultierende aller auf das System wirkenden

i

a afte ist. ¨ußeren Kr¨ Um die linke Seite von (2.7) umzuformen, f¨ uhren wir durch   1 rs = mi ri → mrs = m i ri (2.8) m i i den Ortsvektor rs des Massenmittelpunktes oder Schwerpunktes  mi S des Systems ein (vgl. Band 1, Kapitel 4). Darin ist m = i

die Gesamtmasse. Leiten wir (2.8) zweimal nach der Zeit ab, so folgen mit v = r˙ und a = v˙ = r¨ die Beziehungen   mi vi und m as = mi r¨i . (2.9) m vs = i

i

Einsetzen in (2.7) liefert dann das Bewegungsgesetz f¨ ur den Schwerpunkt:

2.2

Schwerpunktsatz

m as = F .

89

(2.10)

Es hat die gleiche Form wie das Bewegungsgesetz (1.38) f¨ ur den einzelnen Massenpunkt. Man kann (2.10) in Worten daher folgendermaßen ausdr¨ ucken: Der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm vereinigt w¨ are und alle a ußeren Kr¨ a fte an ihm angriffen. ¨ Das Bewegungsgesetz (2.10) bezeichnet man als Schwerpunktsatz. afte haben auf die Bewegung des Schwerpunktes Die inneren Kr¨ keinen Einfluss. Der Vektorgleichung (2.10) entsprechen drei skalare Gleichungen f¨ ur die Komponenten. Zum Beispiel gilt in kartesischen Koordinaten mx ¨s = Fx ,

m y¨s = Fy , m z¨s = Fz .   Der Gesamtimpuls p = pi = mi vi des Massenpunktsysi

i

tems l¨ asst sich unter Verwendung von (2.9) in der Form p = m vs

(2.11)

schreiben. Er ist demnach gegeben durch das Produkt aus der Gesamtmasse m und der Schwerpunktsgeschwindigkeit vs . Leiten wir (2.11) nach der Zeit ab und setzen in (2.10) ein, so ergibt sich p˙ = F .

(2.12)

¨ In Worten: die zeitliche Anderung des Gesamtimpulses ist gleich der Resultierenden der ¨ außeren Kr¨ afte. Integriert man (2.12) u ¨ber die Zeit, so folgt mit p0 = p (t0 ) der Impulssatz

90

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

t F dt¯ = Fˆ .

p − p0 =

(2.13)

t0

Die Differenz der Impulse zwischen zwei Zeitpunkten ist demnach gleich dem Zeitintegral Fˆ der ¨ außeren Kr¨ afte. Im Sonderfall, dass die Resultierende der ¨außeren Kr¨afte Null ist (F = 0), liefert (2.13) p = m vs = p0 = const .

(2.14)

Der Impuls des Systems bleibt dann konstant (Impulserhaltung). Der Schwerpunkt bewegt sich somit geradlinig und gleichf¨ormig. Die Gesetzm¨ aßigkeit (2.14) nennt man Impulserhaltungssatz. B2.2

Beispiel 2.2 Eine Masse m, die sich im schwerelosen Raum mit der Geschwindigkeit v unter dem Winkel α = 30◦ zur Horizontalen bewegt, zerspringt pl¨ otzlich in drei gleiche Teile m1 = m2 = m3 = m/3 (Abb. 2.4). Nach dem Zerspringen bewegen sich die Massen m1 bzw. m2 unter den Winkeln β1 = 60◦ bzw. β2 = 90◦ weiter, w¨ ahrend die Masse m3 liegen bleibt. Wie groß sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 ? v1 m1 m3 β1 α β2 m

m2 v v2

Abb. 2.4

L¨ osung Wir betrachten die Masse m bzw. die Teilmassen m1 , m2

und m3 nach dem Zerspringen als das System. W¨ahrend des Zerspringens wirken nur innere Kr¨ afte, die nach (2.14) den Impuls des Systems nicht ¨ andern (Impuls vor dem Zerspringen = Impuls

2.3

Momentensatz

91

nach dem Zerspringen). In horizontaler bzw. vertikaler Richtung liefert daher der Impulserhaltungssatz →: ↑:

m v cos α = m1 v1 cos β1 , m v sin α = m1 v1 sin β1 − m2 v2 sin β2 .

Damit stehen zwei Gleichungen f¨ ur die zwei Unbekannten v1 und ugung. Aufl¨ osen ergibt v2 zur Verf¨ √ m cos α v1 = v = 3 3 v, m1 cos β1 v2 =

m1 v1 sin β1 − m v sin α = 3v. m2 sin β2

2.3

2.3 Momentensatz Nach (1.63) gilt f¨ ur eine Masse mi des Systems der Momentensatz (0) (0) ˙ Li = Mi . Unter Beachtung, dass auf mi ¨ außere Kr¨afte Fi und innere Kr¨ afte Fij wirken (vgl. Abb. 2.2), erhalten wir  (ri × mi vi ) = ri × Fi + ri × Fij . j

Summation u ¨ ber alle n Massen liefert    (ri × mi vi ) = ri × Fi + ri × Fij . i

i

i

(2.15)

j

Die linke Seite stellt die zeitliche Ableitung des Gesamtdrehimpulses  (0)  L(0) = Li = (ri × mi vi ) (2.16) i

i

bez¨ uglich des festen Punktes 0 dar. Auf der rechten Seite von (2.15) heben sich wegen Fij = −Fji die Momente der inneren Kr¨ afte paarweise auf. Die Doppelsumme ist demnach Null, und es bleibt nur die Summe der Momente der ¨ außeren Kr¨afte:

92

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

M (0) =



(0)

Mi

=



i

ri × Fi .

(2.17)

i

Damit folgt aus (2.15) der Momentensatz (Drallsatz oder Drehimpulssatz) f¨ ur das System: L˙ (0) = M (0) .

(2.18)

¨ Die zeitliche Anderung des gesamten Drehimpulses bez¨ uglich eines festen Punktes 0 ist hiernach gleich dem resultierenden Moment der ¨ außeren Kr¨ afte bez¨ uglich desselben Punktes. Ist das resultierende Moment Null (M (0) = 0), so wird auch L˙ (0) = 0. Der Drehimpuls ist in diesem Fall konstant (Drehimpulserhaltung). Als Sonderfall wollen wir noch die Drehung eines Massenpunktsystems um eine feste Achse behandeln, wenn alle Massen mit der Achse starr verbunden sind. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit legen wir den Koordinatenursprung 0 auf die Drehachse und lassen die z-Achse mit der Drehachse a-a zusammenfallen (Abb. 2.5). Dann gilt nach Abschnitt 1.2.6 f¨ ur die z-Komponente des Drehimpulses f¨ ur eine Masse mi Liz = Lia = mi ri2 ϕ˙ .

(2.19)

Darin ist ri der senkrechte Abstand der Masse mi von der Drehachse. Bei der Komponente Liz bzw. Lia wurde die Angabe des Bezugspunktes mit einem oberen Index durch die Angabe der Bezugsachse (hier z bzw. a-a) mit einem unteren Index ersetzt. Wir werden diese Schreibweise, die sinngem¨ aß auch f¨ ur Komponenten von Momenten zutrifft, im weiteren h¨ aufig verwenden. Da sich alle Massen mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ bewegen, ergibt die Summation von (2.19) u ¨ ber alle Massen   Lia = mi ri2 ϕ˙ = Θa ϕ˙ . (2.20) Lz = L a = i

Die Gr¨ oße

i

2.3

Momentensatz a

93

Drehachse

11 00 10 00 11 1010 00 11 00 11 00 11 ri mi

ω = ϕ˙

0110 101010

rj mj

z

0

x Abb. 2.5

Θa =



mi ri2

y

a

(2.21)

i

bezeichnet man als Massentr¨agheitsmoment des Systems bez¨ uglich der Drehachse a-a. Leitet man (2.20) unter Beachtung von Θa = const (starre Bindungen) nach der Zeit ab, so folgt mit (2.18) Θa ϕ¨ = Ma .

(2.22)

Dieses Bewegungsgesetz f¨ ur die Drehung eines starren Systems um eine feste Achse ist analog zum Bewegungsgesetz f¨ ur die Translation einer Masse m (z.B. m¨ x = Fx ). An die Stelle der Masse tritt bei einer Drehung das Massentr¨ agheitsmoment, an die Stelle der Beschleunigung die Winkelbeschleunigung und an die Stelle der Kraft das Moment (vgl. auch Tabelle 3.1). Bei der Anwendung von (2.22) ist darauf zu achten, dass durch die Festlegung einer positiven Drehrichtung ϕ auch der positive Drehsinn des Moments festgelegt ist: wird zum Beispiel der

94

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

Winkel ϕ rechts herum positiv gez¨ ahlt, so ist ein Moment positiv (negativ), wenn es rechts (links) herum dreht. B2.3

Beispiel 2.3 Das in A aufgeh¨ angte Pendel besteht aus einer star-

ren, masselosen Stange, an der die Massen m1 und m2 angebracht sind (Abb. 2.6a). Wird es aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann losgelassen, so bewegt es sich unter der Wirkung der Erdschwere in der Zeichenebene. Es ist die Bewegungsgleichung aufzustellen. A

A l

ϕ m1

m1 l

m1 g

m2

m2

l sinϕ

m2 g b

a

2l sinϕ

Abb. 2.6

Da das System nur eine reine Drehbewegung um eine Achse a durch den festen Punkt A ausf¨ uhren kann, ist es zweckm¨ aßig, den Drehimpulssatz zur Aufstellung der Bewegungsgleichung anzuwenden. Den Winkel ϕ z¨ ahlen wir dabei von der Gleichgewichtslage (vertikale Lage) aus entgegen dem Uhrzeigersinn positiv (Abb. 2.6b). Mit dem Massentr¨ agheitsmoment L¨ osung

Θa = m1 l2 + m2 (2 l)2 = (m1 + 4 m2 ) l2 und dem Moment der ¨ außeren Kr¨ afte (hier Gewichte) um die Achse a (positiven Drehsinn beachten!) Ma = − m1 gl sin ϕ − m2 g(2 l sin ϕ) = − lg(m1 + 2 m2 ) sin ϕ erh¨ alt man durch Einsetzen in (2.22) (m1 + 4 m2 )l2 ϕ¨ = − lg(m1 + 2 m2 ) sin ϕ

2.4

→

ϕ¨ +

Arbeitssatz und Energiesatz

95

g m1 + 2 m2 sin ϕ = 0 . l m1 + 4 m2

F¨ ur kleine Winkel (sin ϕ ≈ ϕ) wird durch diese Gleichung eine harmonische Schwingung (vgl. Kapitel 5) beschrieben.

2.4

2.4 Arbeitssatz und Energiesatz Nach Abschnitt 1.2.7 lautet der Arbeitssatz f¨ ur einen Massenpunkt mi des Massenpunktsystems Eki − Ek0i = Wi .

(2.23)

Darin sind Eki = mi vi2 /2 die kinetische Energie von mi zur Zeit t und Ek0i die kinetische Energie im Ausgangszustand zur Zeit afte zwischen den t0 ; Wi ist die Arbeit der auf mi wirkenden Kr¨ beiden Lagen, die t und t0 zugeordnet sind. Mit der ¨außeren Kraft aften Fij l¨ asst sich letztere schreiben als Fi und den inneren Kr¨ ri   (a) (i) Fi + Fij · dri = Wi + Wi , Wi = roi

(2.24)

j

 (a) (i) außeren Kraft und Wi = wobei   Wi = Fi · dri die Arbeit der ¨ afte sind. Fij · dri die Arbeit der inneren Kr¨ Summiert man (2.23) u ber alle n Massen, so erh¨alt man mit ¨   Eki den Arbeitssatz f¨ ur ein MassenW = Wi und Ek = punktsystem: Ek − Ek0 = W (a) + W (i) = W .

(2.25)

Die Summe der Arbeiten aller ¨ außeren und aller inneren Kr¨afte ist ¨ demnach gleich der Anderung der gesamten kinetischen Energie des Systems. F¨ ur starre Bindungen ist die Arbeit W (i) der inneren Kr¨afte

96

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

drij dri

drj

z mi

Fji

Fij

dri

mj

y

x

Abb. 2.7

Null. Um dies zu zeigen, betrachten wir die auf mi und mj wirur die infikenden Gegenkr¨ afte Fij und Fji = −Fij (Abb. 2.7). F¨ nitesimalen Verschiebungen dri und drj gilt drj = dri + drij , wobei drij bei konstantem Abstand der Massen senkrecht auf der Verbindungsgeraden zwischen mi und mj und damit senkrecht auf (i) afte ergibt sich also zu Fji steht. Die Arbeit dWij beider Kr¨ (i)

dWij = Fij · dri + Fji · drj = Fji · drij = 0 .  (i) (i) Die Arbeit Wij = dWij bei einer endlichen Verschiebung ist dann ebenfalls Null; dies trifft auch f¨ ur die Arbeit aller weiteren inneren Kr¨ afte des Systems zu. F¨ ur starre Bindungen lautet demnach der Arbeitssatz Ek − Ek0 = W (a) = W .

(2.26)

Sind die ¨ außeren und die inneren Kr¨ afte konservative Kr¨afte, (a) (i) d.h. sind sie aus je einem Potential Ep und einem Potential Ep ableitbar (z.B. Gewichtskraft, Federkraft), so ist die Arbeit gleich der negativen Potentialdifferenz: (a)

W (a) = − (Ep(a) − Ep0 ),

(i)

W (i) = − (Ep(i) − Ep0 ) .

Einsetzen in (2.25) liefert den Energiesatz (a)

(i)

Ek + Ep(a) + Ep(i) = Ek0 + Ep0 + Ep0 = const .

(2.27)

Die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie ist

2.4

Arbeitssatz und Energiesatz

97

demnach bei der Bewegung des Systems konstant. Man spricht in diesem Fall von einem konservativen System. Leisten die inneren (i) Kr¨ afte keine Arbeit (starre Bindungen), so gilt W (i) = −(Ep − (i) Ep0 ) = 0, und aus (2.27) wird (a)

Ek + Ep(a) = Ek0 + Ep0 = const .

(2.28)

Beispiel 2.4 Das System in Abb. 2.8a (vgl. Beispiel 2.1) wird aus

der Ruhe losgelassen. Die Rollen und das undehnbare Seil seien masselos. Es ist der Geschwindigkeitsverlauf der Masse m1 in Abh¨angigkeit vom Weg zu bestimmen.

1111111 0000000 0000000 1111111

111111 000000

x2 G2 G1

m2 g

x1 Abb. 2.8

a

b

m1 g

L¨ osung Da nur konservative ¨ außere Kr¨ afte (Gewichte) wirken und

die inneren Kr¨ afte keine Arbeit leisten (undehnbares Seil), gehen wir vom Energiesatz (2.28) aus. Wir z¨ ahlen die Koordinaten x1 und x2 (Abb. 2.8b) von der Ausgangslage aus und betrachten diese Lage als den Zustand mit dem Potential Null. Unter Ber¨ ucksichtigung des kinematischen Zusammenhangs x2 = 2 x1

→

x˙ 2 = 2 x˙ 1

werden dann (a)

Ep0 = 0, Ek0 = 0,

Ep(a) = m1 g x1 − m2 g x2 = (m1 − 2 m2 ) g x1 , 1 1 1 Ek = m1 x˙ 21 + m2 x˙ 22 = (m1 + 4 m2 ) x˙ 21 . 2 2 2

B2.4

98

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

Einsetzen in (2.28) liefert die Geschwindigkeit x˙ 1 in Abh¨angigkeit vom Weg x1 : 1 (m1 + 4 m2 ) x˙ 21 + (m1 − 2 m2 ) g x1 = 0 2 2 m 2 − m1 g x1 . → x˙ 1 = ± 2 m 1 + 4 m2 Da der Radikand positiv sein muss, ist f¨ ur 2 m2 > m1 auch x1 positiv (m1 bewegt sich nach oben). Hierzu geh¨ort das positive Vorzeichen der Wurzel. F¨ ur 2 m2 < m1 ist x1 negativ, und es gilt dann das negative Vorzeichen (x˙ 1 < 0).

2.5

2.5 Zentrischer Stoß Als Stoß bezeichnet man das pl¨ otzliche Aufeinandertreffen zweier K¨ orper und die dadurch hervorgerufene Bewegungs¨anderung. Dabei u orper w¨ ahrend eines kurzen Zeitraumes große ¨ ben die K¨ Kr¨ afte aufeinander aus. Dies f¨ uhrt in der Umgebung der Ber¨ uhrungsstelle zu zeitabh¨ angigen Deformationen, wodurch eine genaue Behandlung des Stoßproblems kompliziert ist. Trotzdem kann mit ¨ Hilfe von Idealisierungen die Anderung des Bewegungszustandes beim Stoß beschrieben werden. Wir treffen dazu folgende Annahmen: a) Die Stoßdauer ts des Stoßvorganges ist so klein, dass die Lage¨ anderungen der beteiligten K¨ orper w¨ ahrend ts vernachl¨assigt werden k¨ onnen. b) Die an der Ber¨ uhrstelle der K¨ orper auftretenden Kr¨afte sind afte im Vergleich zu ihnen so groß, dass w¨ ahrend ts alle anderen Kr¨ vernachl¨ assigt werden k¨ onnen. c) Die Deformationen der K¨ orper sind so klein, dass sie hinsichtlich der Bewegung der K¨ orper als Ganzes vernachl¨assigt werden k¨ onnen (d.h. die K¨ orper werden in den Bewegungsgesetzen als starr angesehen). In Abb. 2.9a sind zwei K¨ orper w¨ ahrend eines Stoßes darge-

2.5

Zentrischer Stoß

Ber¨ uhrungsebene

99

zentrischer Stoß

S2 Stoßnormale

S1

P

S2

S1 b

a

Abb. 2.9

stellt. Der Stoßpunkt P liegt in der Ber¨ uhrungsebene. Die Gerade senkrecht zu ihr durch P bezeichnet man als Stoßnormale. Haben uhrpunkte beider K¨orper unmitteldie Geschwindigkeiten der Ber¨ bar vor dem Stoß die Richtung der Stoßnormalen, so spricht man von einem geraden Stoß. Im anderen Fall heißt der Stoß schief. orperschwerpunkte, so nennt Geht die Stoßnormale durch beide K¨ man den Stoß zentrisch, andernfalls exzentrisch. Wir wollen uns in diesem Abschnitt nur mit dem zentrischen Stoß besch¨aftigen, wie er zum Beispiel beim Zusammenprall zweier Kugeln auftritt (Abb. 2.9b). vor dem Stoß

m1 v1

m2

w¨ahrend des Stoßes

m1 v¯1

v2 m1

a

F

F

FˆK FˆR b

t∗

nach dem Stoß

F (t)

c

F

elastischer Stoß

t∗

v¯2

m2

plastischer Stoß

FˆK FˆR = 0

FˆK = FˆR ts t

m2

ts

t

d

t∗ = ts

t

Abb. 2.10

Wir beschr¨ anken uns zun¨ achst auf den geraden Stoß und betrachten zwei Massen m1 und m2 , die sich mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 (v1 > v2 ) entlang einer Geraden bewegen (Abb. 2.10a). Zum Zeitpunkt t = 0 erfahren sie die erste Ber¨ uhrung. Die Kraft F (t), die von den Massen aufeinander ausge¨ ubt

100

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

wird, steigt dann zun¨ achst mit t an (Abb. 2.10b) und erreicht bei t = t∗ ihr Maximum. Diesen Zeitraum, bei dem die Massen in der Umgebung der Ber¨ uhrstelle zunehmend zusammengedr¨ uckt werden, nennt man erste Stoßperiode oder Kompressionsperiode. An oßte Zusammendr¨ uckung) besitzen beide Massen ihrem Ende (gr¨ die gleiche Geschwindigkeit v ∗ . In der zweiten Stoßperiode oder Restitutionsperiode gehen die uck, was mit Deformationen wieder teilweise oder vollkommen zur¨ einer Abnahme der Kontaktkraft F einhergeht. Nach der Zeit ts ist der Stoßvorgang abgeschlossen; die Kontaktkraft F ist dann Null, und die beiden Massen bewegen sich unabh¨ angig voneinander mit den Geschwindigkeiten v¯1 und v¯2 (Abb. 2.10a). Durch die jeweiligen Fl¨ achen unterhalb des Kraftverlaufes F (t) in Abb. 2.10b werden die Stoßkr¨ afte in der Kompressions- und in der Restitutionsperiode beschrieben (vgl. Abschnitt 1.2.5): ∗

t FˆK =

ts F (t) dt,

FˆR =

F (t) dt .

(2.29)

t∗

0

Die gesamte Stoßkraft ist demnach ts F (t) dt = FˆK + FˆR .

Fˆ =

(2.30)

0

Sind die stoßenden K¨ orper vollkommen elastisch so werden die Stoßkr¨ afte der Kompressionsperiode und der Restitutionsperiode gleich sein: FˆK = FˆR (Abb. 2.10c). Sind die K¨orper dagegen vollkommen plastisch, so bleiben die Deformationen am Ende der Kompressionsperiode erhalten. Die Kraft F verschwindet dann schlagartig (Abb. 2.10d), und es gilt FˆR = 0. Beide Massen bewegen sich in diesem Fall nach dem Stoß mit der gemeinsamen Geschwindigkeit v ∗ . Der allgemeine Fall, bei dem die K¨orper teilelastisch sind, kann durch FˆR = e FˆK

mit

0e1

(2.31)

beschrieben werden. Den Faktor e bezeichnet man als die Stoßzahl.

2.5

Zentrischer Stoß

101

Tabelle 2.1

Material

Stoßzahl e

Holz/Holz

≈ 0, 5

Stahl/Stahl

0, 6 . . . 0, 8

Glas/Glas

0, 94

Kork/Kork

0, 5 . . . 0, 6

Sie h¨ angt von der Materialbeschaffenheit, der Form und in gewissem Maße auch von der Geschwindigkeit der stoßenden K¨orper ab und kann durch Messungen bestimmt werden. Ein Stoß mit der Stoßzahl e = 1 ist ideal-elastisch, einer mit e = 0 ideal plastisch und einer mit 0 < e < 1 teilelastisch. In Tabelle 2.1 sind einige Stoßzahlen f¨ ur Kugeln aus jeweils gleichem Material zusammengestellt. Infolge des Stoßes erfahren die Massen m1 und m2 Geschwindigkeits¨ anderungen. Diese kann man bestimmen, indem man auf die beiden Massen jeweils den Impulssatz anwendet. Dabei ber¨ ucksichtigen wir, dass wegen actio = reactio nicht nur die auf m1 und m2 wirkenden Kr¨ afte, sondern auch die jeweiligen Stoßkr¨afte entgegengesetzt gleich groß sind. Damit gilt nach (1.51) f¨ ur die Kompressionsperiode m1 (v ∗ − v1 ) = − FˆK , m2 (v ∗ − v2 ) = + FˆK

(2.32)

und f¨ ur die Restitutionsperiode v1 − v ∗ ) = − FˆR , m1 (¯ v2 − v ∗ ) = + FˆR . m2 (¯

(2.33)

Mit (2.31) bis (2.33) stehen f¨ unf Gleichungen f¨ ur die f¨ unf Unbeugung. Aufl¨osen liefert die kannten v¯1 , v¯2 , v ∗ , FˆK und FˆR zur Verf¨ Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

102

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

m1 v1 + m2 v2 − e m2 (v1 − v2 ) , m1 + m2 m1 v1 + m2 v2 + e m1 (v1 − v2 ) v¯2 = . m1 + m2

v¯1 =

(2.34)

Ist der Stoß ideal-plastisch (e = 0), so erh¨ alt man aus (2.34) v¯1 = v¯2 =

m1 v1 + m2 v2 . m1 + m2

Diese Geschwindigkeit ist gleich der gemeinsamen Geschwindigkeit v ∗ am Ende der Kompressionsperiode. F¨ ur einen ideal-elastischen Stoß (e = 1) folgen v¯1 =

2 m2 v2 + (m1 − m2 )v1 , m1 + m2

v¯2 =

2 m1 v1 + (m2 − m1 )v2 . m1 + m2

Sind dabei die Massen gleich (m1 = m2 = m), so werden v¯1 = v2 ,

v¯2 = v1 .

In diesem Fall findet ein Geschwindigkeitsaustausch (Impulsaustausch) statt. Ist zum Beispiel die Masse m2 vor dem Stoß in Ruhe, so hat sie nach dem Stoß die urspr¨ ungliche Geschwindigkeit von ahrend m1 nun in Ruhe ist. m1 , w¨ Unabh¨ angig von der Art des Stoßes bleibt der Impuls des Gesamtsystems (Massen m1 und m2 ) erhalten: m1 v¯1 + m2 v¯2 =

1 [m2 v1 + m1 m2 v2 − e m1 m2 (v1 − v2 ) m1 + m2 1 + m1 m2 v1 + m22 v2 + e m1 m2 (v1 − v2 )]

= m1 v1 + m2 v2 . Bildet man die Geschwindigkeitsdifferenz v¯2 − v¯1 der Massen nach dem Stoß, so erh¨ alt man v¯2 − v¯1 =

e (v1 − v2 )(m1 + m2 ) = e (v1 − v2 ) . m1 + m2

Darin stellen (v1 − v2 ) die relative Ann¨ aherungsgeschwindigkeit der Massen vor dem Stoß und (¯ v2 − v¯1 ) die relative Trennungsge-

2.5

Zentrischer Stoß

103

schwindigkeit der Massen nach dem Stoß dar. Demnach gilt der Zusammenhang e=−

v¯1 − v¯2 . v1 − v2

(2.35)

Die Stoßzahl e ist hiernach gleich dem Verh¨ altnis von relativer Trennungsgeschwindigkeit zu relativer Ann¨ aherungsgeschwindigkeit. Man bezeichnet diese Beziehung auch als Stoßbedingung. Wir werden meist diese Bedingung an Stelle von (2.31) anwenden. Der Verlust des Systems an mechanischer Energie beim Stoß (plastische Deformation, Erw¨ armung) errechnet sich aus der Differenz ΔEk der kinetischen Energie vor und nach dem Stoß. Mit (2.34) erh¨ alt man   m1 v12 m2 v22 m1 v¯12 m2 v¯22 + − + ΔEk = 2 2 2 2 (2.36) 1 − e 2 m1 m2 2 = (v1 − v2 ) . 2 m1 + m2 Beim elastischen Stoß (e = 1) tritt kein Energieverlust auf, w¨ahoßten ist. rend ΔEk beim plastischen Stoß (e = 0) am gr¨ Bei manchen Stoßvorg¨ angen in der Technik, wie zum Beispiel beim Schmieden oder beim Einrammen eines Pfahles, ist die Masse m2 vor dem Stoß in Ruhe (v2 = 0). Definiert man den Umformwirkungsgrad η als das Verh¨ altnis von Verlustenergie ΔEk (= f¨ ur die Deformation aufgewendete Arbeit) zu eingesetzter Energie Ek = 12 m1 v12 , so wird mit (2.36) η=

m2 1 ΔEk = (1 − e2 ) = (1 − e2 ) m1 . Ek m1 + m2 1+ m2

(2.37)

Beim Schmieden, bei dem man K¨ orper plastisch deformieren will, soll η m¨ oglichst groß sein. Dies erreicht man mit einem m¨oglichst kleinen Massenverh¨ altnis m1 /m2 (große Amboßmasse m2 einschließlich Werkst¨ uck). Das Eintreiben eines Pfahles oder Nagels soll dagegen mit m¨ oglichst geringer Verformung des Pfahles oder Nagels verbunden sein (kleines η). Hier muss m1 /m2 m¨oglichst groß sein (große Hammermasse m1 ).

104

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

Wir gehen nun vom geraden zum schiefen zentrischen Stoß u ¨ber. Dabei betrachten wir der Einfachheit halber den Stoß zweier Massen in einer Ebene (Abb. 2.11a). Setzen wir voraus, dass die Oberfl¨ achen der Massen glatt sind (rauhe Oberfl¨achen: siehe Abschnitt 3.3.3), so wirken die Kontaktkraft F (t) und damit auch die Stoßkraft Fˆ immer in Richtung der Stoßnormalen (Abb. 2.11b). v¯1 v¯2

v¯2y

y

v¯2x Stoßnormale

Fˆ

x

m1

v2

v1

m2

x

v1y m2 m1 a

v1x

Ber¨ uhrungsebene

b

Abb. 2.11

Mit dem Koordinatensystem nach Abb. 2.11a liefert dann der Impulssatz in y-Richtung m1 v¯1y − m1 v1y = 0

→

v¯1y = v1y ,

m2 v¯2y − m2 v2y = 0

→

v¯2y = v2y .

(2.38)

Die Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Stoßnormalen bleiben demnach bei glatten Oberfl¨ achen unge¨andert. In Richtung der Stoßnormalen (x-Richtung) lauten die Gleichungen genau wie beim geraden Stoß. Zu beachten ist nur, dass den Geschwindigkeiten beim geraden Stoß nun die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung der Stoßnormalen entsprechen. Hierauf ist insbesondere bei der Stoßbedingung (2.35) zu achten. Wir wollen die Gleichungen hier nochmals angeben, wobei wir jetzt jedoch die Impulss¨ atze u ¨ ber die gesamte Stoßzeit ts anschreiben: m1 v¯1x − m1 v1x = − Fˆ , (2.39) m2 v¯2x − m2 v2x = + Fˆ .

2.5

Zentrischer Stoß

105

Mit der Stoßbedingung entsprechend (2.35) e=−

v¯1x − v¯2x v1x − v2x

(2.40)

stehen damit drei Gleichungen f¨ ur die drei Unbekannten v¯1x , v¯2x ˆ und F zur Verf¨ ugung. Aufl¨ osen liefert f¨ ur v¯1x und v¯2x die schon bekannten Ergebnisse (2.34). Beispiel 2.5 Zwei Massen (m1 = m, m2 = 2 m) stoßen auf einer

geraden Bahn gegeneinander (Abb. 2.12). Die Geschwindigkeit v1 der Masse m1 sei gegeben. Wie groß muss v2 sein, damit m1 nach dem Stoß (Stoßzahl e) ruht, und wie groß ist dann die Geschwindigkeit von m2 nach dem Stoß? m1

Abb. 2.12

v1

v2

m2

11111111111111 00000000000000

L¨ osung Beim geraden zentrischen Stoß sind die Geschwindigkeiten nach dem Stoß durch (2.34) gegeben. Z¨ ahlen wir Geschwindigkeiten positiv nach rechts, so gilt (Richtung von v2 beachten!)

v¯1 =

m1 v1 − m2 v2 − e m2 (v1 + v2 ) , m1 + m2

m1 v1 − m2 v2 + e m1 (v1 + v2 ) . m1 + m2 Aus der Bedingung v¯1 = 0 folgt v¯2 =

m1 v1 − m2 v2 − e m2 (v1 + v2 ) = 0 →

v2 = v1

m1 − e m2 1−2e = v1 . m2 (1 + e) 2 (1 + e)

Einsetzen von v2 in v¯2 liefert    1−2e 1−2e 1 mv1 − 2 mv1 + e m v1 + v1 v¯2 = 3m 2 (1 + e) 2 (1 + e)

B2.5

106

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

= v1

3e . 2 (1 + e)

F¨ ur e = 1/2 muss die Masse m2 vor dem Stoß ruhen. F¨ ur e > 1/2 dreht sich die Richtung von v2 um; die Masse m2 muss sich in diesem Fall vor dem Stoß nach rechts bewegen. B2.6

Beispiel 2.6 Eine Masse m1 rutscht aus der Ausgangslage A ohne Anfangsgeschwindigkeit eine glatte Bahn hinab und st¨oßt in B horizontal gegen eine ruhende Masse m2 = 3 m1 (Abb. 2.13). F¨ ur welche Stoßzahlen e bewegt sich die Masse m1 nach dem ur e = 1/2, Stoß wieder aufw¨ arts? Welche H¨ ohe h∗ erreicht m1 f¨ und wie groß ist dann die Flugweite w von m2 ? A h

111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 0 0000001 111111 0 1 0000000 1111111 0 1 0000000 1111111 0 1 m1

m2

h∗

h

B

w

Abb. 2.13

L¨ osung Die Geschwindigkeiten von m1 und m2 unmittelbar vor

√ dem Stoß sind v1 = 2 gh (Energiesatz) und v2 = 0. Damit werden nach (2.34) die Geschwindigkeiten nach dem Stoß m1 − e m2 1−3e  v1 = 2 gh, v¯1 = m1 + m2 4

m1 (1 + e) 1+e  v1 = 2 gh . m1 + m2 4 uckbewegen soll, muss v¯1 negativ sein. Die StoßWenn sich m1 zur¨ zahl muss somit folgender Bedingung gen¨ ugen: 1 1−3e < 0 → e > . 3 v¯2 =

F¨ ur e = 1/2 werden die Geschwindigkeiten nach dem Stoß 1 3 v¯1 = − 2 gh, v¯2 = 2 gh . 8 8

2.5

Zentrischer Stoß

107

Die H¨ ohe h∗ ermitteln wir aus dem Energiesatz: 1 m1 v¯12 = m1 gh∗ 2

h∗ =

→

h v¯12 = . 2g 64

Die Flugweite w von m2 ergibt sich aus (1.41) mit α = 0 und z(x = w) = −h zu  2h 3 = h. w = v¯2 g 4 Beispiel 2.7 Eine Masse m1 trifft mit einer Geschwindigkeit v1 so ◦

uhrungsebene unter 45 auf eine ruhende Masse m2 , dass die Ber¨ zu v1 geneigt ist (Abb. 2.14a). Die Oberfl¨ achen der K¨orper seien glatt. Es sind die Geschwindigkeiten beider Massen nach dem Stoß (Stoßzahl e) zu bestimmen. y m1

m1

v1 45

v¯1

v1

◦

v1x

m2

m1

v¯1y

v1y

m2

45

◦

α ¯1

v¯1x

Fˆ m2 x

v¯2 a

b

x

c

Abb. 2.14

L¨ osung Wir w¨ ahlen ein Koordinatensystem nach Abb. 2.14b, bei dem die x-Achse mit der Stoßnormalen zusammenf¨allt. Da die Oberfl¨ achen glatt sind, wirkt die Stoßkraft Fˆ in Richtung der Stoßnormalen (Abb. 2.14c). Dann lauten die Impulss¨atze f¨ ur m1 und m2 sowie die Stoßbedingung: m1 (¯ v1x − v1x ) = − Fˆ , m1 (¯ v1y − v1y ) = 0,

v2x − v2x ) = + Fˆ , m2 (¯ e=−

v¯1x − v¯2x . v1x − v2x

m2 (¯ v2y − v2y ) = 0,

B2.7

108

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

Daraus erh¨ alt man mit √ 2 v1 , v2x = v2y = 0 v1x = v1y = 2 die Geschwindigkeitskomponenten nach dem Stoß: √ √ 2 m1 − e m2 2 v1 v1 , v¯1x = , v¯1y = 2 m1 + m2 2

v¯2x

√ 2 m1 (1 + e) v1 = , 2 m1 + m2

v¯2y = 0 .

Die Masse m2 bewegt sich demnach mit der Geschwindigkeit v¯2 = ur die Geschwinv¯2x in Richtung der Stoßnormalen (Abb. 2.14b). F¨ ¯1 erhalten wir digkeit v¯1 und den Richtungswinkel α

v1 1 2 2 v¯1 = v¯1x + v¯1y = m21 + (1 − e)m1 m2 + (1 + e2 ) m22 , m1 + m2 2 tan α ¯1 =

v¯1y m1 + m2 = . v¯1x m1 − e m2

Das vorangegangene Beispiel sowie weitere Problemstellungen zum zentrischen Stoß k¨ onnen Sie auch mit dem TM-Tool Stoß“ ” bearbeiten (siehe Screenshot). Hier ist neben den Massen der beiden K¨ orper, den Auftreffgeschwindigkeiten und der Stoßzahl die Richtung der Stoßnormalen durch einen Winkel vorzugeben. Neben diesem Tool stehen Ihnen eine Reihe weiterer TM-Tools unter der auf dem Umschlag angegebenen Adresse frei zur Verf¨ ugung.

2.6

K¨ orper mit ver¨anderlicher Masse

109

2.6 K¨ orper mit ver¨ anderlicher Masse Bisher haben wir immer angenommen, dass die Masse eines Systems unver¨ anderlich ist. Wir wollen nun von dieser Annahme abgehen und die Bewegung eines K¨ orpers mit ver¨ anderlicher Masse untersuchen. Ein technisches Beispiel hierf¨ ur ist die Rakete, deren Masse beim Flug abnimmt. Als einfachen Fall betrachten wir zun¨ achst einen K¨orper K, der anfangs die Masse m0 hat und der sich mit der Geschwindigkeit v0 bewegt (Abb. 2.15). Nun werde von K eine Masse Δm mit der Ausstoßgeschwindigkeit w abgestoßen. Nach dem Abstoßen hat dann der K¨ orper die ge¨ anderte Masse m0 − Δm und die ge¨anderte Geschwindigkeit v1 = v0 + Δv. Die Ausstoßgeschwindigkeit w ist

2.6

110

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

nach Abstoßung

v 1 +w

w vor Abstoßung

Δm v0 K

K

m0

v1 v 1 = v 0 + Δv

m0 −Δm

Abb. 2.15

die Geschwindigkeit von Δm relativ zum K¨ orper nach dem Abstoßen. Die Masse Δm hat demnach die Absolutgeschwindigkeit v1 + w (vgl. Kapitel 6). Fassen wir beide Teilmassen als zu einem System geh¨ orig auf, so wirken beim Abstoßen nur innere Kr¨afte. Der Impuls vor dem Abstoßen p0 = m0 v0 und der Impuls nach dem Abstoßen p1 = (m0 − Δm)v1 + Δm(v1 + w) m¨ ussen dann wegen (2.14) gleich sein: p0 = p1 . Einsetzen liefert die Geschwindigkeits¨ anderung des K¨ orpers K infolge des Abstoßens: Δv = v1 − v0 = −

Δm w. m0

(2.41)

Sie ist um so gr¨ oßer, je gr¨ oßer die ausgestoßene Masse Δm und je gr¨ oßer die Ausstoßgeschwindigkeit w sind. Das negative Vorzeichen in (2.41) zeigt an, dass Δv und w entgegengesetzt gerichtet sind. Wird vom K¨ orper keine Masse ausgestoßen, sondern trifft Δm mit der Relativgeschwindigkeit w auf den K¨orper und vereinigt sich mit ihm, so kehrt sich das Vorzeichen in (2.41) um. Wir untersuchen nun einen K¨ orper K, der kontinuierlich Masse ausst¨ oßt und auf den eine ¨ außere Kraft F wirkt (Abb. 2.16). Der K¨ orper habe zum Zeitpunkt t die Masse m und die Geschwindigkeit v. W¨ ahrend des Zeitintervalls dt st¨ oßt er eine Masse dm∗ mit der Ausstoßgeschwindigkeit w aus. Zum Zeitpunkt t + dt be-

2.6

K¨ orper mit ver¨anderlicher Masse

v+dv+w

dm∗ F +dF

111

v+dv K

F K

Bahn von K

m Abb. 2.16

m − dm∗

v

Zeitpunkt t+dt

Zeitpunkt t

tr¨agt demnach seine Masse m − dm∗ ; seine Geschwindigkeit hat sich um dv ge¨ andert. Der Impuls des Gesamtsystems betr¨agt somit zum Zeitpunkt t p(t) = m v und zum Zeitpunkt t + dt p(t + dt) = (m − dm∗ )(v + dv) + dm∗ (v + dv + w) = m v + m dv + dm∗ w = p(t) + dp . Dann liefert (2.12) dv dm∗ dp =m + w=F. dt dt dt

(2.42)

Darin ist dm∗ /dt = μ die pro Zeiteinheit ausgestoßene Masse (Massenausstoß). Die Massen¨anderung dm/dt des K¨orpers ist durch −dm∗ /dt gegeben (Massenabnahme): dm∗ dm =− = −μ. dt dt

(2.43)

F¨ uhren wir mit S = − μw

(2.44)

eine Schubkraft S ein, so l¨ asst sich (2.42) in der Form m

dv =F +S dt

(2.45)

112

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

schreiben. Diese Gleichung hat formal die gleiche Gestalt wie das Newtonsche Bewegungsgesetz. Es ist jedoch zu beachten, dass nun die Masse des K¨ orpers zeitlich ver¨ anderlich ist: m = m(t). Außerdem tritt hier zu der a ußeren Kraft F noch der Schub S, der ¨ die kinetische Wirkung des Massenausstoßes auf den K¨orper beschreibt. Der Schub ist dabei direkt proportional zum Massenausstoß μ und zur Ausstoßgeschwindigkeit w; er wirkt entgegengesetzt zu w auf den K¨ orper. St¨ oßt zum Beispiel eine Rakete Masse nach hinten aus, so wirkt der Schub auf die Rakete nach vorne. Er ist bei gleichem Massenausstoß um so gr¨oßer, je gr¨oßer die Ausstoßgeschwindigkeit ist. v m(t) m(t)g

mA S

1111111 0000000 0000000 1111111 a

b

Abb. 2.17

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Rakete der Anfangsmasse mA (einschließlich Treibstoff), die mit konstantem Schub bei konstantem Massendurchsatz von der Erdoberfl¨ache vertikal nach oben gestartet wird (Abb. 2.17a). Auf die Rakete wirken dann der Schub S entgegen der Richtung des Massenausstoßes und das zeitabh¨ angige Gewicht m(t) g (Abb. 2.17b). Vernachl¨ assigen wir den Luftwiderstand und nehmen wir die Erdbeschleunigung g als konstant an, so wird nach (2.45) die Bewegung der Rakete durch m(t) v˙ = − m(t) g + S mit

2.6

K¨ orper mit ver¨anderlicher Masse

113

S = μw = − mw ˙ beschrieben. (Damit die Rakete abhebt (v(0) ˙ > 0), muss f¨ ur den Schub S > mA g gelten.) Einsetzen liefert 1 dm dv = −g − w, dt m dt woraus man durch Integration (wegen S = const und μ = const gilt auch w = const) unter Ber¨ ucksichtigung der Anfangsbedingung v(0) = 0 den Geschwindigkeitsverlauf erh¨ alt: m(t) 

v(t) = − gt − w

dm ¯ m(t) mA = − gt − w ln − gt . = w ln m ¯ mA m(t)

mA

Aus m ˙ = − μ folgt m(t) = mA − μt, und damit wird v(t) = w ln

mA − gt. mA − μt

Die gr¨ oßte Geschwindigkeit ergibt sich bei Brennschluß t = T mit m(T ) = mE zu vmax = w ln

mA − gT. mE

Sie ist um so gr¨ oßer, je gr¨ oßer w und je gr¨ oßer das Massenverh¨altnis mA /mE sind. Beispiel 2.8 Aus einem ruhenden Boot (Gesamtmasse m0 ), von

dem angenommen wird, dass es reibungsfrei im Wasser gleiten kann, werden zwei Massen m1 und m2 mit der Abwurfgeschwindigkeit w horizontal nach hinten geworfen. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Bootes nach dem Abwerfen, wenn a) die beiden Massen gleichzeitig und b) zuerst die Masse m1 und dann die Masse m2 geworfen werden? L¨ osung In Abb. 2.18a sind f¨ ur den Fall a) die Bewegungszust¨ande

vor und nach dem Ausstoßen der Massen dargestellt. Nach dem Werfen bewegt sich die ausgestoßene Masse m1 + m2 in Bezug

B2.8

114

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

m1 +m2 va

w−va m0 −(m1 +m2 )

m0 , v0 = 0

a

m1

m0 , v0 = 0

vb∗

m2 vb

w−vb

m0 −m1

(m0 −m1 )−m2

b

Abb. 2.18

auf das Boot mit der Geschwindigkeit w nach hinten. Bewegt sich dann das Boot mit der Geschwindigkeit va nach vorne, so hat m1 + m2 die Absolutgeschwindigkeit w − va nach hinten. Da der ur Anfangsimpuls Null ist (v0 = 0), lautet somit der Impulssatz f¨ das Gesamtsystem (m0 − m1 − m2 ) va − (m1 + m2 )(w − va ) = 0 . Aufl¨ osen liefert die Geschwindigkeit va des Bootes nach dem Abwerfen: m 1 + m2 w. va = m0 Analog erh¨ alt man im Fall b) die Geschwindigkeit vb∗ des Bootes nach dem Ausstoß der ersten Masse (Abb. 2.18b): (m0 − m1 ) vb∗ − m1 (w − vb∗ ) = 0

→

vb∗ =

m1 w. m0

Nochmaliges Anwenden des Impulssatzes auf das Teilsystem (m0 − m1 ) vor und nach dem Abstoßen der zweiten Masse liefert schließlich (m0 − m1 ) vb∗ = (m0 − m1 − m2 ) vb − m2 (w − vb )  m2 m1 w. → vb = + m0 m0 − m1 Nach Umformung l¨ asst sich vb auch folgendermaßen schreiben:

2.6

 vb =

K¨ orper mit ver¨anderlicher Masse

m 1 + m2 m1 m2 + m0 m0 (m0 − m1 )

w = va +

115

m1 m2 w. m0 (m0 − m1 )

Wegen m0 > m1 ist die Geschwindigkeit des Bootes demnach im Fall b) gr¨ oßer als im Fall a). atte man auch durch wiederholte Die Ergebnisse f¨ ur va und vb h¨ Anwendung der Gleichung (2.41) gewinnen k¨ onnen. Beispiel 2.9 Das Ende einer Kette der Masse m0 und der L¨ ange l wird mit der konstanten Beschleunigung a0 vertikal nach oben gezogen (Abb. 2.19a). Wie groß ist die dazu erforderliche Kraft H? a0

H

z

Abb. 2.19

a

1111 0000 0000 1111

b

m(t)g

11 00 000 00111 11 000 111 S

L¨ osung Wir fassen den bereits hochgezogenen Teil der Kette als K¨orper auf, dessen Masse laufend zunimmt. Auf den K¨orper wirken dann die Kraft H, das ver¨ anderliche Gewicht m(t) g und der Schub“ S, den wir nach oben gerichtet annehmen (Abb. 2.19b). ” Z¨ ahlen wir die Koordinate z des Kraftangriffspunktes positiv nach oben, dann gilt nach (2.45)

m(t)¨ z = H − m(t) g + S,

(a)

wobei der Schub nach (2.43) und (2.44) durch S=m ˙ w

(b)

gegeben ist. Bez¨ uglich des mit der Geschwindigkeit z˙ nach oben bewegten Kettenteils bewegen“ sich die noch ruhenden Ketten” teile in negative z-Richtung. Demnach gilt

B2.9

116

2 Kinetik eines Systems von Massenpunkten

w = − z˙ .

(c)

Aus der vorgegebenen Beschleunigung a0 erhalten wir mit den Anfangsbedingungen z(0) ˙ = 0 und z(0) = 0 die Geschwindigkeit und den Weg (= L¨ ange des nach oben gezogenen Kettenteiles): 1 (d) z¨ = a0 , z˙ = a0 t, z = a0 t2 . 2 Damit folgen f¨ ur die Masse und f¨ ur die Massen¨anderung des K¨orpers m 0 a0 2 z t , m = m0 = (e) l 2l m0 a0 t. (f) l Einsetzen von (b) bis (f) in (a) und Aufl¨ osen nach H liefert schließlich m ˙ =

H=

z m0 a0 (3 a0 + g) 2 t = m0 (3 a0 + g) . 2l l

Dieses Ergebnis ist nur g¨ ultig, solange sich die Masse des K¨orpers andert (z < l). ¨

2.7

Zusammenfassung

117 2.7

2.7 Zusammenfassung • Die Bewegungen der einzelnen Massenpunkte kann man wie folgt ermitteln:  Aufstellen der Bewegungsgleichungen f¨ ur jeden (freigeschnittenen) Massenpunkt mi .  Formulierung der kinematischen Beziehungen (Bindungsgleichungen). • Schwerpunktsatz: as

m as = F ,

Beschleunigung des Schwerpunkts des Systems,

F

Summe der am System angreifenden ¨ außeren Kr¨afte.  • Impulserhaltungssatz: p = m v s = i mi v i = const, vs

Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Systems.

Beachte: es wirken keine ¨ außeren Kr¨ afte auf das System. ˙ (0) = M (0) , • Drehimpulssatz: L  L(0) = i (r i × mi v i ) Drehimpuls bez¨ uglich 0. • Arbeitssatz:

Ek − Ek0 = W (a) + W (i) ,

bei starren Bindungen gilt W (i) = 0 . • Energiesatz:

(a)

(i)

Ek + Ep + Ep = const,

bei starren Bindungen gilt Ek + Ep(a) = const. • Stoßvorg¨ ange k¨onnen wie folgt behandelt werden:  Festlegung des Koordinatensytems durch Stoßnormale (x) und Tangente (y).  Aufstellen der Impulss¨ atze f¨ ur jeden Massenpunkt. v¯1x − v¯2x  Anwendung der Stoßbedingung e = − . v1x − v2x • Bewegungsgesetz bei ver¨ anderlicher Masse: m a = F + S, S = −μ w = m ˙ w w

Schubkraft,

Ausstoßgeschwindigkeit.

Kapitel 3 Bewegung eines starren K¨ orpers

3

3 Bewegung eines starren K¨ orpers 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5

Kinematik ........................................................ Translation ....................................................... Rotation .......................................................... Allgemeine Bewegung.......................................... Momentanpol .................................................... Kinetik der Rotation um eine feste Achse ................ Momentensatz ................................................... Massentr¨agheitsmoment ....................................... Arbeit, Energie, Leistung ..................................... Kinetik der ebenen Bewegung ............................... Kr¨aftesatz und Momentensatz ............................... Impulssatz, Arbeitssatz und Energiesatz ................... Exzentrischer Stoß.............................................. Kinetik der r¨aumlichen Bewegung .......................... Kr¨aftesatz und Momentensatz ............................... Drehimpuls, Tr¨agheitstensor, Eulersche Gleichungen .... Lagerreaktionen bei ebener Bewegung ..................... Der momentenfreie Kreisel ................................... Zusammenfassung ..............................................

121 121 121 125 133 139 139 140 145 150 150 161 166 174 174 177 186 190 192

Lernziele: Ein starrer K¨ orper kann als ein System von unendlich vielen Massenpunkten aufgefasst werden, deren gegenseitige Abst¨ ande sich bei Belastung nicht ¨ andern. Wie in Abschnitt 2.1 erl¨ autert wurde, besitzt ein solcher K¨orper im Raum sechs Freiheitsgrade, denen als Bewegungsm¨ oglichkeiten drei Translationen (je eine in x-, in y- und in z-Richtung) und drei Rotationen (je eine um die x-, um die y- und um die z-Achse) entsprechen. Wir werden in den folgenden Abschnitten zeigen, durch welche Gesetze die Bewegung eines solchen K¨orpers beschrieben wird und wie diese sachgerecht angewendet werden. Dabei konzentrieren wir uns insbesondere auf die ebene Bewegung.

3.1

Kinematik

121

3.1

3.1 Kinematik Ein starrer K¨orper kann als ein System von unendlich vielen Massenpunkten aufgefasst werden, deren gegenseitige Abst¨ande sich nicht ¨ andern. Wie in Abschnitt 2.1 erl¨ autert wurde, besitzt ein solcher K¨ orper im Raum sechs Freiheitsgrade, denen als Bewegungsm¨ oglichkeiten drei Translationen (je eine in x-, in y- und in z-Richtung) und drei Rotationen (je eine um die x-, um die y- und um die z-Achse) entsprechen. In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, wie sich die allgemeine Bewegung des starren K¨orpers aus Translation und Rotation zusammensetzen l¨ asst. 3.1.1 Translation

Translation nennt man eine Bewegung, bei der die Verbindungsstrecke zwischen zwei beliebigen Punkten A und P eines K¨orpers ihre Richtung nicht ¨ andert (Abb. 3.1). Alle Punkte erfahren dann in der Zeit dt die gleiche Verschiebung dr. Damit sind auch die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen f¨ ur alle Punkte des K¨orpers gleich: v=

dr , dt

a=

dv d2 r = 2 . dt dt

(3.1)

P

r

P dr A

z

Bahn von P

A Bahn von A

Abb. 3.1

x

y

Die Bahnkurven, die von verschiedenen K¨ orperpunkten durchlaufen werden, haben alle die gleiche Form. Bei der Translation ist demnach die Bewegung eines beliebigen K¨ orperpunktes repr¨asentativ f¨ ur die Bewegung des ganzen K¨ orpers. 3.1.2 Rotation

Bei einer Rotation bewegen sich alle Punkte des K¨orpers um

122

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

eine gemeinsame Drehachse. Ist die Lage dieser Achse im Raum unver¨ anderlich, so spricht man von einer Rotation um eine feste Achse. Geht die Drehachse dagegen nur durch einen raumfesten Punkt und ver¨ andert ihre Richtung mit der Zeit, so bezeichnet man dies als eine Rotation um einen Fixpunkt (Kreiselbewegung).

feste Drehachse

1 0 01010 1 r

P

er

1 0 0 01 1 0 1

eϕ

·

ϕ, ω, ω Abb. 3.2

Wir betrachten zun¨ achst die Rotation eines K¨orpers um eine feste Achse (Abb. 3.2). In diesem Fall bewegen sich die Punkte auf Kreisbahnen, deren Ebenen jeweils senkrecht zur Drehachse stehen. Die Fahrstrahlen zu allen K¨ orperpunkten u ¨ berstreichen in gleichen Zeiten den gleichen Drehwinkel ϕ. Demnach sind auch die Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ˙ und die Winkelbeschleunigung ω˙ = ϕ¨ f¨ ur alle Punkte gleich. F¨ ur die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines beliebigen Punktes P mit dem senkrechten Abstand r von der Drehachse gilt dann nach den Gleichungen (1.25) bis (1.28) f¨ ur die Kreisbewegung vP = vϕ eϕ ,

a P = a r er + a ϕ eϕ

(3.2a)

mit vϕ = rω,

ar = − rω 2 ,

aϕ = rω˙ .

(3.2b)

Wir wenden uns nun der Rotation um einen raumfesten Punkt A zu (Abb. 3.3). Die momentane Lage der Drehachse sei durch den Einheitsvektor eω gekennzeichnet. F¨ uhrt der K¨orper in der

3.1

Kinematik

123

dϕ r

P P

rP z

x

rA

rAP

dr P

eω A fester Punkt

y

Abb. 3.3

augenblickliche Drehachse

Zeit dt eine Drehung mit dem Drehwinkel dϕ um die augenblickliche Drehachse aus, so bewegen sich alle K¨ orperpunkte momentan auf Kreisbahnen. F¨ ur die Verschiebung drP eines beliebigen Punktes P gilt dann mit den Bezeichnungen nach Abb. 3.3 drP = (eω × rAP ) dϕ .

(3.3)

Darin ist eω × rAP ein Vektor, der senkrecht auf eω und rAP steht und dessen Betrag gleich dem senkrechten Abstand r des Punktes P von der augenblicklichen Drehachse ist. F¨ uhrt man mit dϕ = dϕ eω

und ω =

dϕ = ϕ˙ eω = ω eω dt

(3.4)

den infinitesimalen Drehvektor dϕ sowie den Winkelgeschwindigkeitsvektor ω ein, so erh¨ alt man aus (3.3) f¨ ur die Geschwindigkeit vP = drP /dt von P vP = ω × rAP .

(3.5)

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass zwar die infinitesimale Drehung dϕ und damit auch die Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ/dt, aber nicht eine endliche Drehung Vektorcharakter haben. Letzteres erkennt man, wenn man einen K¨orper aus einer

124

3 Bewegung eines starren K¨ orpers z z

z ϕy =

ϕx = x

π 2

x

x

Ausgangslage

y

y

y

π 2

a

Endlage

z z z

ϕy =

π 2 y

y x

x

ϕx =

y

π 2 Endlage

x Ausgangslage

Abb. 3.4

b

Ausgangslage endliche Drehungen um verschiedene Achsen ausf¨ uhren l¨ asst. Drehen wir z.B. den Quader in Abb. 3.4 zuerst mit dem Winkel ϕx = π/2 um die x-Achse und dann mit dem Winkel ϕy = π/2 um die y-Achse, so erhalten wir die Endlage nach Abb. 3.4a. Dreht man dagegen zuerst mit ϕy = π/2 um die yAchse und dann mit ϕx = π/2 um die x-Achse, so ergibt sich eine andere Endlage (Abb. 3.4b). Da aber nach den Gesetzen der Vektoralgebra die Reihenfolge der Addition von Vektoren keinen Einfluss auf das Ergebnis haben darf, k¨ onnen endliche Drehwinkel keinen Vektorcharakter haben. Die Beschleunigung von P erhalten wir durch zeitliche Ableitung von (3.5): aP =

dvP = ω˙ × rAP + ω × r˙AP . dt

Da A ein fester Punkt ist (r˙A = 0), gilt r˙AP = r˙ P = vP = ω×rAP .

3.1

Kinematik

125

Hiermit folgt aP = ω˙ × rAP + ω × (ω × rAP ) .

(3.6)

Die Beziehungen (3.5) und (3.6) f¨ ur Geschwindigkeit und Beschleunigung gehen im Sonderfall der Rotation um eine feste Achse u ¨ber in (3.2a, b). 3.1.3 Allgemeine Bewegung

Die allgemeine Bewegung eines starren K¨ orpers l¨asst sich aus Translation und Rotation zusammensetzen. Um dies zu erkennen, betrachten wir zun¨ achst die ebene Bewegung eines K¨orpers ur die Ortsvektoren zu den beliebigen k¨orperfes(Abb. 3.5a). F¨ uhren wir die ten Punkten P und A gilt dann rP = rA + rAP . F¨ y rAP

yP

P

er eϕ

yA

der

r

er

A

rP

deϕ

eϕ

dϕ

rA ϕ xA xP

x b

a

vAP = rω ϕ

rω cosϕ P

rω sinϕ r y

A

Abb. 3.5 c

vA

y˙A

y

ϕ = r ω˙ aAP ϕ r ω˙ sinϕ rω 2 cosϕ r aAP = rω 2

r ω˙ cosϕ P rω 2 sinϕ ϕ

aA

y¨A A

x˙A ϕ

x¨A ϕ

x

d

x

126

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Einheitsvektoren er (von A nach P gerichtet) und eϕ (senkrecht orper mitbewegen, so k¨onnen wir zu rAP ) ein, die sich mit dem K¨ wegen rAP = r er schreiben: rP = rA + r er . Unter Beachtung von r = const liefert Differenzieren r˙ P = r˙A + ¨ re˙ r . Die Zeitableitung e˙ r ergibt sich aus folgender Uberlegung: andert rAP in der Zeit dt seine Richtung um den Winkel dϕ, ¨ anderungen um dϕ. Nach so erfahren auch er und eϕ Richtungs¨ Abb. 3.5b folgt dann der = dϕ eϕ , und es wird e˙ r = der /dt = alt man e˙ ϕ = −ϕ˙ er (vgl. auch Abschnitt 1.1.4). ϕ˙ eϕ . Analog erh¨ Mit ω = ϕ˙ lautet daher die Geschwindigkeit von P r˙ P = r˙A + r ω eϕ . F¨ ur die Beschleunigung ergibt sich daraus r¨P = r¨A + r ω˙ eϕ + r ω e˙ ϕ = r¨A + r ω˙ eϕ − rω 2 er . Zusammenfassend gilt rP = rA + rAP , vP = vA + vAP ,

(3.7a)

ϕ r aP = aA + aAP + aAP

mit rAP = r er ,

vAP = r ω eϕ ,

r aAP = − rω 2 er ,

ϕ aAP = r ω˙ eϕ .

(3.7b)

Die Beziehungen (3.7a) bestehen aus zwei Anteilen. W¨ahrend orpers ausdr¨ ucken, wird durch rA , vA und aA die Translation des K¨ die weiteren Glieder (3.7b) nach (3.2a, b) eine Rotation des K¨orpers um den Punkt A beschrieben (Kreisbewegung von P ). Die ϕ stehen senkrecht auf rAP ; dagegen ist Vektoren vAP und aAP r aAP von P nach A gerichtet (Zentripetalbeschleunigung). Die

3.1

Kinematik

127

Geschwindigkeit (Beschleunigung) eines beliebigen Punktes P ist demnach gleich der Geschwindigkeit (Beschleunigung) des Punktes A plus der Geschwindigkeit (Beschleunigung) des Punktes P infolge der Rotation um A. In vielen F¨ allen ist es erforderlich, Geschwindigkeit und Beschleunigung von P in kartesischen Koordinaten anzugeben. Wir gehen direkt von den Koordinaten des Punktes P aus (Abb. 3.5a): xP = xA + r cos ϕ,

yP = yA + r sin ϕ .

Durch zweimaliges Differenzieren (ϕ = ϕ(t); Kettenregel!) folgt dann mit ϕ˙ = ω f¨ ur die Geschwindigkeits- und die Beschleunigungskomponenten vP x = x˙ P = x˙A − rω sin ϕ, vP y = y˙ P = y˙A + rω cos ϕ, ¨P = x¨A − rω˙ sin ϕ − rω 2 cos ϕ, aP x = x aP y = y¨P = y¨A + rω˙ cos ϕ − rω 2 sin ϕ . Die Bedeutung der einzelnen Glieder kann aus den Abb. 3.5c, d entnommen werden. Die Vektorgleichungen (3.7a, b) k¨ onnen dazu benutzt werden, um die Geschwindigkeit (Beschleunigung) eines K¨orperpunktes P zu einem beliebigen Zeitpunkt mittels eines Geschwindigkeitsplanes (Beschleunigungsplanes) grafisch zu ermitteln. Die Richtungen der einzelnen Geschwindigkeits- bzw. Beschleunigungsvektoren sind dabei dem Lageplan zu entnehmen, der die kinematischen (geometrischen) Gegebenheiten beschreibt. Sind zum Beiur spiel beim K¨ orper nach Abb. 3.6a die Gr¨ oßen vA , aA , ω und ω˙ f¨ die augenblickliche Lage bekannt, so l¨ asst sich die Geschwindigkeit vP nach (3.7a, b) aus der Vektorsumme von vA und vAP konstruieren (Abb. 3.6b). Dabei hat vAP den Betrag vAP = rω (Maßstab festlegen!) und steht senkrecht zu AP . Analog ergibt sich die r Beschleunigung aP nach Abb. 3.6c als Summe aus aA , aus aAP ϕ ϕ r (aAP = rω 2 , von P nach A gerichtet) und aus aAP (aAP = rω, ˙ ugt es, die senkrecht zu AP ). Arbeitet man grafoanalytisch, so gen¨ entsprechenden Pl¨ ane zu skizzieren und daraus mit Hilfe geome-

128

3 Bewegung eines starren K¨ orpers Lageplan

Geschwindigkeitsplan

P r A

ω, ω˙ vA

vAP = rω

vP

aP

aA

vA ϕ aAP = r ω˙

aA a

Beschleunigungsplan

b

c

r aAP = rω 2

Abb. 3.6

trischer Beziehungen die gesuchten Gr¨ oßen zu bestimmen. Als illustratives Beispiel untersuchen wir die Bewegung des oberen Endpunktes B einer Stange, deren unterer Endpunkt A horizontal mit der Geschwindigkeit vA und der Beschleunigung aA gef¨ uhrt wird (Abb. 3.7a). Wir l¨ osen die Aufgabe zun¨achst analytisch. Dazu w¨ ahlen wir ein Koordinatensystem und z¨ahlen den Drehwinkel ϕ von der vertikalen Lage aus (Abb. 3.7b). Unter Beachtung, dass B keine Horizontalverschiebung erf¨ahrt, folgen dann aus xB = xA − l sin ϕ = 0,

yB = l cos ϕ

durch Differenzieren mit x˙A = vA : x˙ B = vA − lϕ˙ cos ϕ = 0

→

ϕ˙ = ω =

vA , l cos ϕ

vB = y˙ B = − lω sin ϕ = − vA tan ϕ . Nochmalige Ableitung nach der Zeit f¨ uhrt mit v˙A = aA auf x ¨B = aA − lω˙ cos ϕ + lω 2 sin ϕ = 0 v 2 sin ϕ aA + 2A 3 , → ω˙ = l cos ϕ l cos ϕ aB = y¨B = − lω˙ sin ϕ − lω 2 cos ϕ = − aA tan ϕ −

2 vA . l cos3 ϕ

Die gleichen Ergebnisse kann man unter Verwendung von (3.7a, b) auch grafoanalytisch erhalten. F¨ ur den Geschwindigkeitsplan (Abb. 3.7c) sind bekannt: vA nach Gr¨ oße und Richtung (horizon-

3.1

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 111111 000000 B

Kinematik

y yB B ϕ

l

l

A

a

vA , aA

A xA x

b

vA

aA ϕ

ϕ vB

129

ϕ

r aAB = lω 2

vAB = lω aB ϕ aAB = lω˙

c d

Abb. 3.7

tal), vAB = lω nach der Richtung (senkrecht zu AB) und vB ebenfalls nach der Richtung (vertikal). Damit l¨ asst sich das Dreieck skizzieren, und wir lesen f¨ ur die Betr¨ age der Geschwindigkeiten ab: vA , vB = vA tan ϕ . lω = cos ϕ Analog erh¨ alt man den Beschleunigungsplan (Abb. 3.7d). Bekannt r sind hier aA (horizontal), aAB = lω 2 (von B nach A gerichtet) soϕ wie die Richtungen von aAB (senkrecht zu AB) und aB (vertikal). Mit diesen Angaben l¨ asst sich das Viereck zeichnen, aus dem man dann zum Beispiel f¨ ur den Betrag von aB abliest: aB = aA tan ϕ +

lω 2 . cos ϕ

Einsetzen von ω (aus dem Geschwindigkeitsplan bestimmt) liefert das schon ermittelte Ergebnis f¨ ur aB . Auch die allgemeine r¨aumliche Bewegung eines starren K¨orpers setzt sich aus Translation und Rotation zusammen. Um dies zu zeigen, f¨ uhren wir nach Abb. 3.8 ein Koordinatensystem x ¯, y¯, z¯ ein, das sich mit dem K¨ orperpunkt A translatorisch mitbewegt

130

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

(Achsrichtungen unver¨ anderlich). Bez¨ uglich eines Beobachters im Ursprung A dieses Systems f¨ uhrt der K¨ orper eine Rotation aus; ihr sind f¨ ur den Punkt P eine Geschwindigkeit und eine Beschleunigung nach (3.5) und (3.6) zugeordnet. Hinzu kommen nun noch die Geschwindigkeit vA und die Beschleunigung aA des Punktes A (d.h. des translatorisch bewegten Systems x ¯, y¯, z¯) bez¨ uglich des festen Systems, x, y, z. Damit gilt f¨ ur die allgemeine r¨aumliche Bewegung rP = rA + rAP , vP = vA + ω × rAP ,

(3.8)

aP = aA + ω˙ × rAP + ω × (ω × rAP ).

P z¯ rAP A y¯

rP rA

z

x¯

y x

Abb. 3.8

Die Beziehungen (3.8) sind nat¨ urlich auch im Fall der ebenen Bewegung eines starren K¨ orpers g¨ ultig. Nehmen wir die x, yEbene als Bewegungsebene an (vgl. auch Abb. 3.5a), so erhalten wir durch Einsetzen von ω = ω ez ,

ω˙ = ω˙ ez ,

rAP = r er

in (3.8) die Gleichungen (3.7a, b) f¨ ur Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung von P : rP = rA + r er , vP = vA + ω ez × r er = vA + rω eϕ ,

3.1

Kinematik

131

aP = aA + ω˙ ez × r er + ω ez × (ω ez × r er ) = aA + rω˙ eϕ + ω ez × rω eϕ = aA + rω˙ eϕ − rω 2 er . Bei dem Kurbeltrieb nach Abb. 3.9 dreht sich die Kurbel 0A mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω0 . Wie groß sind Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung des Pleuels AK sowie Geschwindigkeit und Beschleunigung des Kolbens K in einer beliebigen Lage? Beispiel 3.1

A ω0

r

y l

00000 11111 00000 11111 00000 11111

0

0

K

a

A r

l α = ω0 t

b

111 000 000 111 111 000 ϕ

K

x

Abb. 3.9

L¨ osung Wir w¨ ahlen ein Koordinatensystem und z¨ahlen die Dreh-

winkel α und ϕ von Kurbel und Pleuel von der Horizontalen aus (Abb. 3.9b). Da der Kolben horizontal gef¨ uhrt wird, ist seine Vertikalverschiebung Null: yK = r sin α − l sin ϕ = 0 .

(a)

Hieraus folgt der Zusammenhang zwischen den Winkeln ϕ und α: r r2 sin ϕ = sin α, cos ϕ = 1 − 2 sin2 α . (b) l l ur Aus (a) erhalten wir durch Differenzieren (α˙ = ω0 = const) f¨ die Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ und die Winkelbeschleunigung ϕ¨ des Pleuels y˙ K = rω0 cos α − lϕ˙ cos ϕ = 0 r cos α , → ϕ˙ = ω0 l cos ϕ y¨K = − rω02 sin α + lϕ˙ 2 sin ϕ − lϕ ¨ cos ϕ = 0 →

ϕ¨ = − ω02

r sin α sin ϕ + ϕ˙ 2 l cos ϕ cos ϕ

B3.1

132

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

=

  r sin α r cos2 α sin ϕ − + . l cos ϕ l cos3 ϕ

ω02

Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung des Kolbens ergeben sich damit unter Verwendung von (b) zu xK = r cos α + l cos ϕ,

  r cos α , x˙ K = − rω0 sin α − lϕ˙ sin ϕ = − rω0 sin α 1 + l cos ϕ x ¨K = − rω02 cos α − lϕ˙ 2 cos ϕ − lϕ¨ sin ϕ  =

− rω02

r cos α − l



sin2 α cos2 α − cos ϕ cos3 ϕ

 .

Die Winkelfunktionen sin ϕ und cos ϕ k¨ onnen dabei noch nach (b) durch den Winkel α ausgedr¨ uckt werden. Sollen die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nicht in Abh¨ angigkeit von α, sondern von der Zeit angegeben werden, so hat man α durch α = ω0 t zu ersetzen, wenn die Zeitz¨ ahlung bei α = 0 beginnt. B3.2

Beispiel 3.2 Beim System nach Abb. 3.10a drehen sich eine Kurbel und eine Scheibe mit den konstanten Winkelgeschwindigkeiten ω1 und ω2 . Zu bestimmen sind Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes P in Abh¨ angigkeit vom Winkel ψ. vAP = rω2

P ψ

r

ω1

ψ

A

vA = lω1 vP

ω2

0

l

a

aA = lω12

ψ

aP aAP = rω22

b

c

Abb. 3.10

L¨ osung Wir l¨ osen die Aufgabe grafoanalytisch. Der Scheibenmit-

telpunkt A f¨ uhrt eine Kreisbewegung um 0 aus. Hierf¨ ur gilt:

3.1

Kinematik

vA = lω1

(senkrecht zu 0A) ,

aA = lω12

(von A nach 0 gerichtet, da ω˙ 1 = 0) .

133

Die Bewegung des Punktes P um A ist ebenfalls eine Kreisbewegung: vAP = rω2

(senkrecht zu AP ) ,

aAP = rω22

(von P nach A gerichtet, da ω˙ 2 = 0) .

Damit lassen sich der Geschwindigkeits- und der Beschleunigungsplan skizzieren (Abb. 3.10b, c). Hieraus lesen wir mit dem Kosinussatz ab vP2 = (lω1 )2 + (rω2 )2 − 2 lrω1 ω2 cos(π − ψ)  → vP = (lω1 )2 + (rω2 )2 + 2 lrω1 ω2 cos ψ und analog

aP = (lω12 )2 + (rω22 )2 + 2 lrω12 ω22 cos ψ . Maximale (minimale) Werte ergeben sich f¨ ur ψ = 0 (ψ = π). So folgt zum Beispiel f¨ ur die maximale Beschleunigung aPmax = lω12 + rω22 .

3.1.4 Momentanpol

Nach Abschnitt 3.1.3 setzt sich die ebene Bewegung eines starren K¨orpers aus Translation und Rotation zusammen. Sie l¨asst sich jedoch zu jedem Zeitpunkt auch als reine Drehbewegung um einen augenblicklichen (momentanen) Drehpunkt Π auffassen. Man bezeichnet diesen Drehpunkt als Momentanpol oder Momentanzentrum. Den Nachweis f¨ ur diese Aussage f¨ uhren wir, indem wir zeigen, dass es immer einen Punkt A (= Momentanzentrum Π) gibt, f¨ ur

134

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

den die augenblickliche Geschwindigkeit Null ist. Mit vA = 0 f¨ uhrt (3.8) dann f¨ ur einen beliebigen Punkt P auf die Geschwindigkeit (3.5) infolge reiner Rotation um A: vP = ω × rAP . Wir k¨ onnen diese Gleichung nach rAP aufl¨ osen, indem wir sie mit ω vektoriell multiplizieren sowie die Gr¨ oßen vP = vP eϕ , rAP = rP er und ω = ω ez (ez steht senkrecht auf er und eϕ ) einsetzen: 0 = ω × (ω × rAP ) − ω × vP = ω 2 rP ez × (ez × er ) − ω vP (ez × eϕ ) = − ω 2 rP er − ω vP (ez × eϕ ) →

rAP = rP er = −

vP (ez × eϕ ) . ω

Danach steht rAP senkrecht auf der Geschwindigkeit vP (Abb. 3.11) und hat den Betrag rP = vP /ω. Der Momentanpol Π ist damit eindeutig festgelegt. Die augenblickliche Bewegung des K¨orpers ist also tats¨ achlich als reine Drehung um den Pol Π darstellbar. vQ

vP P

Q

rAP αP

rP rQ

ω αQ = αP A=Π

Abb. 3.11

Mit dem Betrag ω der Winkelgeschwindigkeit und den Abst¨anur die Geschwindigkeiten von zwei den rP und rQ gilt demnach f¨ Punkten P und Q (Kreisbewegung) vP = rP ω,

vQ = rQ ω .

(3.9)

Sie stehen senkrecht auf den jeweiligen Verbindungsgeraden zum

3.1

Kinematik

135

Pol Π (Abb. 3.11). Damit l¨ asst sich die Lage von Π auch bestimmen, wenn die Geschwindigkeitsrichtungen zweier K¨orperpunkte bekannt sind: man errichtet in beiden Punkten die Senkrechten zu den jeweiligen Geschwindigkeiten und bringt sie zum Schnitt. Der Schnittpunkt ist dann der Momentanpol Π; er kann außerhalb des K¨ orpers liegen. Ist insbesondere die momentane Geschwindigkeit eines K¨ orperpunktes Null, so ist dieser Punkt der Momentanpol. Eliminiert man in (3.9) die Winkelgeschwindigkeit ω, so folgt vP /rP = vQ /rQ , d.h. die Winkel αP und αQ sind gleich (Abb. 3.11). Dies macht man sich bei der L¨ osung von kinematischen Problemen mit Hilfe des Momentanzentrums zunutze (bei grafischer L¨ osung Maßstab beachten). Ausdr¨ ucklich sei noch darauf hingewiesen, dass das Momentanzentrum kein fester Punkt ist, sondern sich selbst bewegt.

11 00 00 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 000000 111111 000 111 0 1 000000 000 111 111111111 111111 111111111000000000 000000000 Rastpolbahn

x

B

S

S

r

A

rB

B

P

ϕ

S

vB

Π

vB

ϕ

vP vS

rA

l

rP r

A

A

vA

Π

a

b

c

l

Abb. 3.12

Als einfaches Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Kreisscheibe, die sich auf einer horizontalen Unterlage bewegt und deren Mittelpunkt S die Geschwindigkeit vS hat (Abb. 3.12a). Wenn die Scheibe rollt (kein Rutschen im Auflagepunkt A) und S dabei die Strecke x zur¨ ucklegt, so bewegt sich A nach A . Die Scheibe erf¨ ahrt dabei eine Drehung um den Winkel ϕ. Da die abgerollte Bogenl¨ ange rϕ und der zur¨ uckgelegte Weg x gleich sein m¨ ussen, gilt x = rϕ. Daraus folgt durch Ableitung mit x˙ = vS und ϕ˙ = ω der Zusammenhang

136

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

vS = r ω .

(3.10)

Der K¨ orperpunkt der Scheibe, welcher die Unterlage ber¨ uhrt, ist im Moment der Ber¨ uhrung in Ruhe (kein Schlupf!). Er stellt demnach das Momentanzentrum Π dar (Abb. 3.12b). Die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P hat dann nach (3.9) mit (3.10) den Betrag vP = rP ω = vS

rP . r

Sie steht senkrecht auf der Geraden ΠP . Die gr¨oßte Geschwindigkeit hat somit der Punkt B (rB = 2 r) mit vB = 2 vS . Wir wenden uns nun noch einmal dem Anwendungsbeispiel aus Abschnitt 3.1.3 (vgl. Abb. 3.7a) zu. Die Geschwindigkeit vA ist hier horizontal, die Geschwindigkeit vB vertikal (Abb. 3.12c). Das Momentanzentrum ergibt sich dann als Schnittpunkt der jeweiligen Senkrechten zu vA und vB . Mit gegebenem vA folgt nach (3.9) die Winkelgeschwindigkeit der Stange: vA = rA ω = lω cos ϕ

→

ω=

vA . l cos ϕ

F¨ ur die Geschwindigkeit von B ergibt sich damit vB = rB ω = lω sin ϕ = vA tan ϕ . Je nach Lage der Stange befindet sich der Momentanpol Π an einer anderen Stelle. Den geometrischen Ort aller Punkte, die ein Momentanpol durchl¨ auft, bezeichnet man als Rastpolbahn. Sie ist im Beispiel ein Kreisbogen mit dem Radius l. B3.3

Beispiel 3.3 Das System nach Abb. 3.13a besteht aus zwei gelagerten Rollen 1 und 2 sowie einer Rolle 3 , die von einem Seil gef¨ uhrt wird. Die Rollen 1 und 2 drehen sich mit den Winkelgeschwindigkeiten ω1 bzw. ω2 . Wie groß sind die Geschwindigkeit von C und die Winkelgeschwindigkeit der Rolle 3 , wenn das Seil an keiner Stelle rutscht?

3.1

1

ω1

ω2

r1

r2

2

Kinematik

137

vB 

B

A

vA αB

r3 3

A

C

C

vC

Π

vB = vB = r2 ω2 B

αA

vA = vA = r1 ω1 rA Abb. 3.13 a

b

L¨ osung Die Geschwindigkeiten der Punkte A und B  der Rollen

(Abb. 3.13b) sind vA = r1 ω1 ,

vB  = r2 ω2 .

Da das Seil nicht rutscht, stimmt die Geschwindigkeit von A mit der von A und die von B mit der von B  u ¨ berein: vA = vA ,

vB = vB  .

Das Momentanzentrum Π der Rolle 3 finden wir dann durch Schnitt der Senkrechten zu vA und vB mit der Verbindungsgeraden der Pfeilspitzen von vA und vB (es muss αA = αB sein). F¨ ur die Strecke rA folgt mit dem Strahlensatz rA 2 r3 − rA = r1 ω1 r2 ω2

→

rA = 2 r3

r1 ω1 . r1 ω1 + r2 ω2

Die Winkelgeschwindigkeit ω3 der Rolle vA = rA ω3

→

ω3 =

3

erhalten wir nach (3.9):

vA r1 ω1 + r2 ω2 = . rA 2 r3

Die Geschwindigkeit von C ergibt sich zu vC = (rA − r3 )ω3 =

1 (r1 ω1 − r2 ω2 ) . 2

uhrt die Rolle F¨ ur r1 ω1 = r2 ω2 f¨ (vC = 0).

3

eine reine Rotation aus

138

B3.4

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Beispiel 3.4 Beim Mechanismus nach Abb. 3.14a dreht sich der Hebel 1 mit der Winkelgeschwindigkeit ω1 . Wie groß sind die Geschwindigkeiten von A und von B sowie die Winkelgeschwindigkeiten der Hebel 2 und 3 in der dargestellten Lage? D = Π3

ω3 3

a

a

2 B

a

vA

vB

A

A B

ω1

ω1

a

1

α a

a

a

2a

C = Π1 ω2

√ Π2

2a Abb. 3.14

b

a

√

α

L¨ osung Die Hebel 1 bzw. 3 drehen sich um die Punkte C bzw. D (Abb. 3.14b). Diese Punkte sind daher die Momentanpole Π1 bzw. Π3 der entsprechenden Hebel. Somit sind die Richtungen der Geschwindigkeiten von A und B bekannt. Die Punkte A und B geh¨ oren auch dem Hebel 2 an. Seinen Momentanpol Π2 finden wir durch Schnitt der Senkrechten zu vA und vB . Aus den Drehungen der einzelnen Hebel um ihre Momentanpole folgen dann mit den Abst¨ anden nach Abb. 3.14b: √ Π1 : vA = 2 aω1 ,

√ Π2 : vA = 2 2 aω2 vB = 2 aω2 Π3 : vB = aω3

ω1 , 2

→

ω2 =

→

vB = aω1 ,

→

ω3 = ω1 .

3.2

Kinetik der Rotation um eine feste Achse

139

3.2 Kinetik der Rotation um eine feste Achse Wir betrachten in den folgenden Abschnitten den Zusammenhang zwischen Kr¨ aften und Bewegungen von starren K¨orpern. Dabei beschr¨ anken wir uns zun¨ achst auf die Drehung eines K¨orpers um eine feste Achse. 3.2.1 Momentensatz

Der K¨ orper nach Abb. 3.15 dreht sich um die feste Achse a-a. Dabei f¨ uhrt jeder Punkt des K¨ orpers eine Kreisbewegung aus. Mit ϕ¨ = ω˙ lautet dann nach (1.67) der Momentensatz (Drallsatz) f¨ ur ein Massenelement dm des K¨ orpers dΘa ω˙ = dMa .

(3.11)

11 00 0 1 00 11 0 1 a

r

(a) (i) dm dF +dF

1 0 00 11 0 001 11 0 1

ω, ω˙

Abb. 3.15

a

Darin sind dΘa = r2 dm das Massentr¨agheitsmoment von dm und außeren und der inneren Kr¨afte (dF (a) und dMa das Moment der ¨ (i) uglich der Drehachse. Den oberen Index (Bezugspunkt) dF ) bez¨ bei Moment und Massentr¨ agheitsmoment in (1.67) haben wir dabei durch einen unteren Index ersetzt, der die Bezugsachse a-a kennzeichnet. Integriert man u ¨ ber den gesamten K¨orper, so heben sich die Momente der inneren Kr¨ afte gegenseitig auf (vgl. Abschnitt 2.3), und wir erhalten den Momentensatz

3.2

140

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Θa ω˙ = Ma .

(3.12)

Dabei sind  Θa = r2 dm

(3.13)

das Massentr¨ agheitsmoment des K¨ orpers und Ma das Moment der außeren Kr¨ afte bez¨ uglich der Achse a-a. ¨ ur ein MassenAus dem Drehimpuls dLa = rv dm = r2 ω dm f¨ element dm (vgl. Abschnitt 1.2.6) ergibt sich der Drehimpuls des rotierenden K¨ orpers bez¨ uglich der Drehachse a-a zu   (3.14) La = dLa = ω r2 dm → La = Θa ω . Damit l¨ asst sich (3.12) auch in der Form L˙ a = Ma

(3.15)

schreiben. Integration u ¨ ber das Zeitintervall t0 bis t liefert dann t La (t) − La (t0 ) =

t Ma dt¯

t0

→

Θa (ω − ω0 ) =

Ma dt¯. (3.16) t0

¨ Die Anderung des Drehimpulses ist somit gleich dem Zeitintegral des Moments. Wenn das Moment Ma Null ist, bleibt der Drehimandert (Drehimpulserhaltung). puls La = Θa ω unver¨ Die Bewegungsgesetze (3.12), (3.15) und (3.16) sind analog zu den Bewegungsgesetzen (1.38), (1.37) und (1.49) f¨ ur den Massenpunkt bzw. f¨ ur die Translation eines K¨ orpers. Um die entsprechenden Gesetze f¨ ur die Rotation um eine feste Achse zu erhalten, m¨ ussen nur die Masse durch das Massentr¨ agheitsmoment, die Geschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit, die Kraft durch das Moment und der Impuls durch den Drehimpuls ersetzt werden. Man spricht daher von einer Analogie zwischen Translation und Rotation (vgl. Abschnitt 3.2.3).

3.2

Kinetik der Rotation um eine feste Achse

141

3.2.2 Massentr¨ agheitsmoment

Das Massentr¨ agheitsmoment Θa ist nach (3.13) definiert durch  Θa =

r2 dm ,

(3.17)

wobei r der senkrechte Abstand von dm zur Achse a-a ist. Da es auf eine Achse bezogen ist, bezeichnet man es auch als axiales Massentr¨agheitsmoment. F¨ ur manche F¨ alle ist es zweckm¨ aßig, mit Θa = i2a m

(3.18)

einen Tr¨agheitsradius ia einzuf¨ uhren. Er gibt an, in welchem Abstand ia von der Drehachse man sich die Gesamtmasse m konzentriert denken muss, damit sie das gleiche Tr¨ agheitsmoment hat wie der K¨ orper selbst. Wenn die Dichte ρ des K¨ orpers konstant ist, so folgt mit dm = ρ dV aus (3.17)  (3.19a) Θa = ρ r2 dV . Ist zudem noch die Querschnittsform u ¨ ber die L¨ange unver¨anderlich, wie es zum Beispiel bei einer zylindrischen Welle der Fall ist (Abb. 3.16a), so erhalten wir mit dV = l dA  (3.19b) Θa = ρl r2 dA = ρl Ip . Dabei ist Ip das polare Fl¨achentr¨agheitsmoment (vgl. Band 2). Analog zu den Fl¨ achentr¨ agheitsmomenten gilt auch beim Massentr¨ agheitsmoment der Satz von Steiner. Um dies zu zeigen, leorper eine Achse s-s durch den Schwerpunkt gen wir in den K¨ S (Schwerachse) und eine Achse a-a parallel dazu (Abb. 3.16b). ¯ und y = ys + y¯ (Abb. 3.16c) Dann erh¨ alt man mit x = xs + x    2 2 2 2 2 Θa = r dm = (x + y ) dm = (xs + ys ) dm    + 2 xs x ¯ dm + 2 ys y¯ dm + (¯ x2 + y¯2 ) dm .

142

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

  Da die statischen Momente x ¯ dm und y¯ dm bez¨ uglich der Schwerachsen Null sind, folgt mit s

y

a

dm

r¯ S yx A z

a

r dA

y¯

y

r

a

y¯

dm r

S x¯ rs xs x

ys rs

l

A

s

r¯ x¯ x

a a

b



 r¯2 dm =

Θs =

Abb. 3.16

c

 (¯ x2 + y¯2 ) dm,

x2s + ys2 = rs2 ,

m=

dm

der Satz von Steiner Θa = Θs + rs2 m .

(3.20)

Mit (3.18) gilt danach f¨ ur die Tr¨ agheitsradien i2a = i2s + rs2 . A

t s

r l

S

dr

m

R

r

dm dA

dr a

s

Abb. 3.17

b

Als Anwendungsbeispiel berechnen wir das Tr¨agheitsmoment eines schlanken, homogenen Stabes der Masse m (Abb. 3.17a). Bez¨ uglich einer zum Stab senkrechten Achse durch den Punkt A erhalten wir dann mit dm/m = dr/l l  m ml2 2 . (3.21a) r2 dr = ΘA = r dm = l 3 0

3.2

Kinetik der Rotation um eine feste Achse

143

Dabei haben wir den Index a (Bezugsachse) durch den Index A (Bezugspunkt) ersetzt. Wir werden im folgenden beide Schreibweisen verwenden. W¨ ahlt man eine Bezugsachse durch den Schwerpunkt S, so folgt nach (3.20)  2 l ml2 . (3.21b) m= ΘS = ΘA − 2 12 Wir bestimmen noch das Massentr¨ agheitsmoment einer homogenen Kreisscheibe der Masse m vom Radius R bez¨ uglich einer zur Scheibe senkrechten Achse s-s durch den Mittelpunkt (Abb. 3.17b). Mit dA = 2 πr dr und der Scheibendicke t ergibt sich  Θs =

R

 2

r dm = ρt

2

r3 dr =

r dA = 2 πρt

π mR2 ρtR4 = . 2 2

0

(3.22) Da Θs nur von der Masse und vom Radius, aber nicht von der Dicke t abh¨ angt, gilt (3.22) auch f¨ ur eine homogene Kreiszylinderwelle beliebiger L¨ ange. Beispiel 3.5 Es ist das Massentr¨ agheitsmoment einer homogenen Kugel (Masse m, Radius R) bez¨ uglich einer Achse durch den Schwerpunkt zu bestimmen. R r s

S dz

s

Abb. 3.18

z

L¨ osung Wir setzen die Kugel nach Abb. 3.18 aus Kreisscheiben

infinitesimaler Dicke dz zusammen. Dann gilt nach (3.22) f¨ ur das √ Tr¨ agheitsmoment einer Scheibe mit dem Radius r = R2 − z 2 in Bezug auf die Achse s-s: dΘs =

1 1 π dm r2 = (ρr2 π dz) r2 = (R2 − z 2 )2 dz . 2 2 2

B3.5

144

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Damit folgt f¨ ur den Gesamtk¨ orper  Θs =

π dΘs = ρ 2

+R 8 πρ R5 . (R2 − z 2 )2 dz = 15

−R

Mit m = ρV und dem Kugelvolumen V = Θs = B3.6

4 3

π R3 ergibt sich

2 m R2 . 5

Beispiel 3.6 Eine homogene Quadratscheibe vom Gewicht G = mg

ist in A mittels einer Achse drehbar gelagert, die senkrecht zur Scheibe steht (Abb. 3.19a). Das System wird aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und dann sich selbst u ¨ berlassen. Es ist die Bewegungsgleichung aufzustellen. y

A a

a

ϕ

√ 2 a 2

a

S

G

x

mg

r A

a

b

√ 2 a 2

sinϕ

c

dx dy a y x Abb. 3.19

L¨ osung Da die Scheibe nur eine Drehung um die Achse durch

A ausf¨ uhren kann, wenden wir den Momentensatz bez¨ uglich A an. Z¨ ahlen wir den Drehwinkel ϕ von der Gleichgewichtslage aus (Abb. 3.19b), so gilt A: ΘA ϕ¨ = MA

(a)

mit

√ 2 a sin ϕ . MA = − mg 2

(b)

Das Symbol A: kennzeichnet dabei den Bezugspunkt beim Dreh-

3.2

Kinetik der Rotation um eine feste Achse

145

impulssatz sowie den gew¨ ahlten positiven Drehsinn. Das Massentr¨ agheitsmoment berechnen wir nach (3.17) und den Bezeichnungen aus Abb. 3.19c. Mit der Scheibendicke t und m = ρa2 t,

dm = ρ dV = ρt dx dy,

r2 = x2 + y 2

erhalten wir a a  2 2 2 ΘA = r dm = ρt (x2 + y 2 ) dx dy = ρta4 = ma2 . 3 3 0

0

Damit folgt aus (a) und (b) die Bewegungsgleichung √ √ 2 3 2 g 2 2 ma ϕ¨ = − mg a sin ϕ → ϕ¨ + sin ϕ = 0 . 3 2 4 a

3.2.3 Arbeit, Energie, Leistung

Die kinetische Energie Ek eines um die Achse a-a rotierenden K¨ orpers ergibt sich mit (1.69) und v = rω zu   1 1 2 2 v dm = ω Ek = r2 dm 2 2 oder Ek =

1 Θa ω 2 . 2

(3.23)

Bei einer infinitesimalen Drehung des K¨ orpers um den Winkel dϕ verrichtet das Moment Ma der ¨ außeren Kr¨afte die Arbeit ur die Arbeit bei einer endlichen dW = Ma dϕ. Damit folgen f¨ Drehung von ϕ0 nach ϕ ϕ W =

Ma dϕ¯ ϕ0

und f¨ ur die Leistung

(3.24)

146

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

P =

dW = Ma ω . dt

(3.25)

Integriert man den Momentensatz (3.12) u ¨ ber den Winkel ϕ, so ergibt sich mit dϕ = ωdt und ωω ˙ = ( 12 ω 2 ) der Arbeitssatz ϕ Θa

ϕ Ma dϕ¯ → Θa

ωd ˙ ϕ¯ = ϕ0

t

ϕ0

1 1 ωωd ˙ t¯ = Θa ω 2 − Θa ω02 = 2 2

t0

ϕ Ma dϕ¯ ϕ0

oder Ek − Ek0 = W .

(3.26)

Ist das Moment Ma aus einem Potential Ep herleitbar, so erhalten wir mit W = − (Ep − Ep0 ) den Energiesatz Ek + Ep = Ek0 + Ep0 = const .

(3.27)

Tabelle 3.1

Translation

Rotation um feste Achse a-a

s

Weg

Winkel

ϕ

v = s˙

Geschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit

ω = ϕ˙

a = v˙ = s¨

Beschleunigung

Winkelbeschleunigung

ω˙ = ϕ¨

m

Masse

Massentr¨agheitsmoment

Θa

F

Kraft

Moment (um a-a)

Ma

(in Wegrichtung) p = mv

Impuls

Drehimpuls

La = Θa ω

ma = F

Kr¨aftesatz

Momentensatz

Θa ω˙ = Ma

Ek = 12 mv 2  W = F ds P = Fv

kinetische Energie Arbeit Leistung

Ek = 12 Θa ω 2  W = Ma dϕ P = Ma ω

In Abschnitt 3.2.1 wurde schon auf die Analogie zwischen der

3.2

Kinetik der Rotation um eine feste Achse

147

Rotation eines K¨ orpers um eine feste Achse und der Translation eines Massenpunktes (K¨ orpers) hingewiesen. Danach folgen die Gleichungen der Rotation aus denen der Translation, indem die Masse durch das Massentr¨ agheitsmoment, die Geschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit, die Kraft durch das Moment usw. ersetzt werden. Dies trifft auch f¨ ur die in diesem Abschnitt hergeleiteten Gr¨ oßen (Arbeit, Energie, Leistung) und Gesetzm¨ aßigkeiten (z.B. Energiesatz) zu. Tabelle 3.1 zeigt die einander zugeordneten Gr¨ oßen. Beispiel 3.7 Eine Trommel (Massentr¨ agheitsmoment ΘA ), die sich anfangs mit der Winkelgeschwindigkeit ω0 dreht, soll durch einen Bremshebel (Reibungszahl μ) zum Stillstand gebracht werden (Abb. 3.20a). Wie viele Umdrehungen macht die Trommel w¨ahrend des Bremsvorgangs, wenn die Bremskraft F konstant ist? l

F

a

F R N

ΘA

Abb. 3.20

ω0 A

a

μ

N R

r

r A

ϕ

b

L¨ osung Wir trennen das System (Abb. 3.20b) und erhalten aus

der Gleichgewichtsbedingung f¨ ur den Hebel die Normalkraft N=

l F. a

Wenden wir auf die Trommel den Momentensatz (3.12) an, so gilt A : ΘA ϕ¨ = − rR. l uhrt auf Einsetzen des Reibungsgesetzes R = μN = μ F f¨ a ϕ¨ = − κ,

B3.7

148

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

rμlF eingef¨ uhrt haben. Mit den aΘA Anfangsbedingungen ϕ(0) ˙ = ω0 , ϕ(0) = 0 erhalten wir durch zweimalige Integration

wobei wir die Abk¨ urzung κ =

ϕ˙ = − κt + ω0 ,

ϕ=−

1 2 κt + ω0 t . 2

Aus der Bedingung ϕ˙ = 0 f¨ ur den Stillstand folgen dann die Zeit ts , der Drehwinkel ϕs und die Anzahl der Umdrehungen ns bis zum Stillstand: ts =

ω0 , κ

ϕs = ϕ (ts ) =

ω02 , 2κ

ns =

ω2 ϕs = 0 . 2π 4 πκ

Die L¨ osung der Aufgabe kann auch mit dem Arbeitssatz erfolgen. Die kinetische Energie der Trommel betr¨agt im Anfangszustand 0 (ϕ = 0) Ek0 =

1 Θ ω2 2 A 0

und im Endzustand

1

(Stillstand, ϕ = ϕs )

Ek1 = 0. F¨ ur die Arbeit der ¨ außeren Kr¨ afte zwischen beiden Zust¨anden erhalten wir ϕs ϕs W = MA dϕ = − r R dϕ = − r R ϕs . 0

0

Einsetzen in (3.26) liefert − B3.8

1 Θ ω 2 = − r R ϕs 2 A 0

→

ns =

Θ ω2 ω2 ϕs = A 0 = 0 . 2π 4πrR 4πκ

Beispiel 3.8 Auf eine homogene, zylindrische Walze (Masse m2 ,

Radius r) ist nach Abb. 3.21a das linke Ende eines Seiles aufgewickelt. An dem Seil h¨ angt u ¨ ber eine masselose Rolle R ein Gewicht G = m1 g.

3.2

Kinetik der Rotation um eine feste Achse

149

Wie groß ist die Geschwindigkeit von m1 in Abh¨angigkeit vom Weg, wenn das System ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird?

11 00

111 000

r A

m2

ϕ˙

ϕ

r r ϕ˙ Rolle R (vergr¨oßert)

R G = m1 g

x˙

x a

c

b

ΠR

r ϕ˙

Abb. 3.21

L¨ osung Da nur eine konservative ¨ außere Kraft wirkt (Gewicht)

und die Geschwindigkeit in Abh¨ angigkeit vom Weg bestimmt werden soll, bietet sich der Energiesatz Ek + Ep = Ek0 + Ep0 zur L¨ osung an. Bezeichnen wir mit x den Weg von m1 und mit ϕ die Drehung der Walze aus dem Ausgangszustand (Abb. 3.21b), so gelten f¨ ur die Anfangslage Ek0 = 0,

Ep0 = 0

und f¨ ur die ausgelenkte Lage Ek =

1 1 m1 x˙ 2 + ΘA ϕ˙ 2 , 2 2

Ep = − m1 gx.

Dabei setzt sich die kinetische Energie Ek aus der Translationsenergie der Masse m1 und der Rotationsenergie der Walze zusammen. Mit dem kinematischen Zusammenhang (die Rolle R rollt am ruhenden rechten Seilst¨ uck ab, Abb. 3.21c) x˙ =

1 r ϕ˙ 2

→

ϕ˙ = 2

x˙ r

und mit dem Tr¨ agheitsmoment ΘA = (3.22) erhalten wir

1 2 2 m2 r

der Walze nach

150



3 Bewegung eines starren K¨ orpers

→



 2  1 x˙ m2 r 2 4 2 − m1 gx = 0 2 r 2 m1 gx . v = x˙ = (±) m 1 + 2 m2

1 1 m1 x˙ 2 + 2 2

F¨ ur eine sehr kleine Trommelmasse (m2 m1 ) folgt daraus die √ ur den freien Fall. Geschwindigkeit v = 2 gx f¨

3.3

3.3 Kinetik der ebenen Bewegung 3.3.1 Kr¨ aftesatz und Momentensatz

Wir betrachten einen starren K¨ orper, dessen Punkte sich in der x, y-Ebene oder in einer dazu parallelen Ebene bewegen (Abb. 3.22). Die an einem Massenelement dm angreifende ¨außere Kraft dF hat die Komponenten dFx und dFy . Innere Kr¨afte brauchen nicht ber¨ ucksichtigt zu werden, da der K¨ orper starr ist (vgl. Kapitel 2). Ist A ein beliebiger k¨ orperfester Punkt, so lassen sich mit ξ = r cos ϕ,

η = r sin ϕ

(3.28)

die Ortskoordinaten von dm darstellen als x = xA + ξ = xA + r cos ϕ,

y = yA + η = yA + r sin ϕ .

Zeitableitung liefert mit ϕ˙ = ω und (3.28) f¨ ur die Geschwindigkeits- und die Beschleunigungskomponenten x˙ = x˙A − rω sin ϕ = x˙A − ωη,

y˙ = y˙A + rω cos ϕ = y˙A + ωξ, (3.29a)

x ¨=x ¨A − rω˙ sin ϕ − rω 2 cos ϕ =x ¨A − ωη ˙ − ω 2 ξ,

y¨ = y¨A + rω˙ cos ϕ − rω 2 sin ϕ = y¨A + ωξ ˙ − ω2η .

(3.29b)

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

151

y dF dFy y dm r

S yA

A

Abb. 3.22

dFx

η

ϕ ξ

xA

x

x

Damit lautet das Bewegungsgesetz f¨ ur dm in Komponenten x¨ dm = x¨A dm − ω˙ η dm − ω 2 ξ dm = dFx , y¨ dm = y¨A dm + ω˙ ξ dm − ω 2 η dm = dFy . Durch Integration gewinnen wir die Kraftkomponenten Fx und Fy sowie das Moment MA bez¨ uglich des Punktes A (positive Drehrichtung beachten!):     ¨A dm − ω˙ η dm − ω 2 ξ dm, Fx = d Fx = x (3.30a)     Fy = d Fy = y¨A dm + ω˙ ξ dm − ω 2 η dm, MA =

   ξ dFy − η dFx = y¨A ξ dm + ω˙ ξ 2 dm (3.30b)     ¨A η dm + ω˙ η 2 dm + ω 2 ξη dm . − ω 2 ξη dm − x



W¨ ahlt man nun den Punkt A so, dass er mit dem Massenmittelpunkt S (= Schwerpunkt) des K¨ orpers zusammenf¨allt, so sind   die statischenMomente ξ dm und η dm gleich Null. Mit m = dm und ΘS = r2 dm = (ξ 2 + η 2 )dm vereinfachen sich dann die Gleichungen (3.30a,b) zu m¨ xs = Fx , ΘS ϕ¨ = MS .

m¨ ys = Fy ,

(3.31a) (3.31b)

152

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Darin sind Fx und Fy die resultierenden ¨ außeren Kr¨afte in xaußere Moment bez¨ uglich bzw. in y-Richtung, und MS ist das ¨ des Schwerpunktes S. Die Gleichungen (3.31a), durch welche die Bewegung des Schwerpunktes beschrieben wird, haben die gleiche Form wie das Bewegungsgesetz (1.38) f¨ ur den Massenpunkt. Wir bezeichnen sie als Schwerpunktsatz oder als Kr¨aftesatz. Die Gleichung (3.31b), welche die Drehung um den Schwerpunkt beschreibt, nennen wir Drallsatz oder Momentensatz. Als Bezugspunkt darf dabei zun¨ achst nur der Schwerpunkt S verwendet werden. Durch den Kr¨ aftesatz und den Momentensatz wird die allgemeine ebene Bewegung eines K¨ orpers beschrieben. F¨ ur den Fall, dass der K¨ orper in Ruhe ist (¨ xs = 0, y¨s = 0, ϕ¨ = 0), folgen aus (3.31a, b) die Gleichgewichtsbedingungen der Statik. Im Sonderfall der Translation (ϕ˙ = 0, ϕ¨ = 0) ergibt sich aus (3.31b) die Bedingung MS = 0 .

(3.32a)

Danach d¨ urfen bei reiner Translation die ¨ außeren Kr¨afte kein Moment bez¨ uglich des Schwerpunktes haben. Die Bewegung von S und damit von jedem anderen K¨ orperpunkt (vgl. Abschnitt 3.1.1) wird dann allein durch m¨ xs = Fx ,

m¨ ys = Fy

(3.32b)

beschrieben. Wenn der K¨ orper eine reine ebene Drehbewegung um einen ruhenden K¨ o rperpunkt A ausf¨ uhrt, so erh¨ alt man mit x ¨A = y¨A = 0  2 2 und (ξ + η )dm = ΘA aus (3.30b) ΘA ϕ¨ = MA .

(3.33)

Dies ist genau das Ergebnis, das wir bereits bei der Rotation um eine feste Achse (vgl. Abschnitt 3.2.1) gewonnen hatten. Diese Achse steht hier senkrecht auf der x, y-Ebene und geht durch den Punkt A. In diesem Sonderfall darf der Bezugspunkt im Momentensatz (3.31b) entweder der Schwerpunkt S oder der feste Punkt A sein. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine homogene Kugel, die sich auf einer rauhen schiefen Ebene abw¨arts bewegt (Abb.

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

153

y G = mg

1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111

ϕ

x

r

α H

μ0 , μ

S mg

N

α

Abb. 3.23

a

b

3.23a). Dabei wollen wir zun¨ achst annehmen, dass die Kugel rollt. Das Freik¨ orperbild Abb. 3.23b zeigt die auf die Kugel wirkenden Kr¨ afte und die gew¨ ahlten Koordinaten (Schwerpunktlage xs , afte- und Momentensatz Drehwinkel ϕ). Mit y¨s = 0 liefern Kr¨ (3.31a, b) : m¨ xs = mg sin α − H,  : 0 = N − mg cos α

(a)

→

N = mg cos α,

(b)

: ΘS ϕ¨ = r H,

(c) 2 5

wobei das Massentr¨ agheitsmoment der Kugel durch ΘS = mr2 gegeben ist (vgl. Beispiel 3.5). Wenn die Kugel rollt, gilt nach (3.10) der kinematische Zusammenhang x ¨s . (d) x˙ s = rϕ˙ → ϕ¨ = r Damit folgt aus (a) und (c) die Schwerpunktsbeschleunigung: m¨ xs = mg sin α −

ΘS x ¨s r2

→

x ¨s =

g sin α 5 = g sin α . ΘS 7 1+ 2 mr

F¨ ur die Haftungskraft H erhalten wir aus (a) H = m(g sin α − x ¨s ) =

2 mg sin α . 7

Daraus l¨ asst sich bestimmen, f¨ ur welche Haftungskoeffizienten μ0

154

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Rollen m¨ oglich ist: →

H  μ0 N

2 mg sin α 2 H = 7 = tan α . N mg cos α 7

μ0 

Wenn μ0 diese Bedingung nicht erf¨ ullt, so wird die Kugel an der Ber¨ uhrungsstelle rutschen. In diesem Fall muss in Abb. 3.23b und in (a) und (c) die Haftungskraft H durch die Reibungskraft R (entgegen der Relativgeschwindigkeit) ersetzt werden: m¨ xs = mg sin α − R,

N = mg cos α,

ΘS ϕ¨ = r R .

(e)

Zu diesen drei Gleichungen kommt außerdem noch das Reibungsgesetz R = μN .

(f)

Einen kinematischen Zusammenhang zwischen x˙ s und ϕ˙ gibt es beim Rutschen nicht; beide Gr¨ oßen sind unabh¨angig voneinander. Aus (e) und (f) erhalten wir x ¨s = g(sin α − μ cos α), B3.9

ϕ¨ =

5 μg cos α . 2r

Beispiel 3.9 Ein Fahrzeug vom Gewicht G = mg sei vereinfacht

als starrer K¨ orper mit masselosen R¨ adern angesehen (Abb. 3.24a). Der Schwerpunkt S liege in der Mitte zwischen der Vorder- und der Hinterachse. Wie groß ist die maximale Beschleunigung auf horizontaler, rauher Fahrbahn (Haftungskoeffizient μ0 ), wenn der Antrieb a) u ¨ ber die Hinterr¨ ader oder b) u ber die Vorderr¨ a der erfolgt? ¨ a/2

a/2

G

S

111111111 000000000 000000000 111111111

x

x S

S

h

μ0

a

N1 b

mg

mg

H

N2

N1

H N2

c

Abb. 3.24

L¨ osung a) Abb. 3.24b zeigt das Freik¨ orperbild f¨ ur den Fall, dass der Antrieb u ber die Hinterr¨ a der erfolgt. Da eine reine Translation ¨

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

155

in horizontaler Richtung vorliegt, m¨ ussen die Kr¨afte in vertikaler Richtung und die Momente bez¨ uglich des Schwerpunktes im Gleichgewicht sein. Kr¨ afte- und Momentensatz liefern dann: → : m¨ x = H, ↑ : 0 = N1 + N2 − mg, : 0=

a a N1 − N2 − hH . 2 2

Hieraus folgen N1 =

mg h + H, 2 a

N2 =

mg h − H. 2 a

Damit das Antriebsrad gerade noch nicht rutscht (durchdreht), muss die Haftgrenzbedingung Hmax = μ0 N1 erf¨ ullt sein. Einsetzen von N1 liefert   mg h + Hmax → Hmax = μ0 2 a

Hmax =

mg 2

μ0 1 − μ0

h a

.

ur die maximale BeschleuniWegen m¨ xmax = Hmax ergibt sich f¨ gung g μ0 . x ¨max = h 2 1 − μ0 a Dieses Ergebnis ist richtig, solange N2 > 0 ist (sonst Abheben der Vorderr¨ ader). b) Erfolgt der Antrieb u ader (Abb. 3.24c), so ¨ber die Vorderr¨ a ndern sich Kr¨ a fteund Momentensatz nicht. Die Haftgrenzbe¨ dingung lautet dagegen nun Hmax = μ0 N2 . Daraus erhalten wir eine maximale Beschleunigung von

156

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

x ¨max =

g 2

μ0 h 1 + μ0 a

.

Sie ist f¨ ur dieses Beispiel geringer als diejenige beim Antrieb u ¨ ber die Hinterr¨ ader. B3.10

Beispiel 3.10 Eine Stufenrolle (Gewicht G = mg, Massentr¨ agheits-

moment ΘS ) rollt auf einer horizontalen Schiene (Abb. 3.25a). Auf der Trommel ist ein masseloses Seil aufgewickelt, an dem mit der konstanten Kraft F gezogen wird. Wie groß sind die Beschleunigung des Schwerpunktes und die Kontaktkr¨ afte mit der Schiene? Bewegungsrichtung

c>b

ΘS , G = mg mg

b S

c

ϕ

xs

111111111 000000000

F S

x H

F

Bewegungsrichtung N F

c
b

c

Abb. 3.25

L¨ osung Das Freik¨ orperbild (Abb. 3.25b) zeigt die auf den K¨orper

wirkenden Kr¨ afte, wobei N und H die Kontaktkr¨afte mit der Schiene sind. Mit den gew¨ ahlten Koordinaten x und ϕ lauten Kr¨ afte- und Momentensatz → : m¨ xs = F − H, ↑ : 0 = N − mg, : ΘS ϕ¨ = bH − cF . Hinzu kommt die kinematische Beziehung zwischen x˙ s und ϕ˙ (reines Rollen):

3.3

x˙ s = b ϕ˙

→

ϕ¨ =

Kinetik der ebenen Bewegung

157

x ¨s . b

Damit stehen vier Gleichungen f¨ ur die vier Unbekannten N, H, x ¨s und ϕ¨ zur Verf¨ ugung. Aufl¨ osen liefert f¨ ur die Beschleunigung des Schwerpunktes  c −1 F . x ¨s = −  b ΘS m 1+ mb2 Sie ist f¨ ur c > b negativ (Bewegung nach links) und f¨ ur c < b positiv (Bewegung nach rechts). Die Bewegungsrichtungen sind in Abb. 3.25c veranschaulicht. Die Kontaktkr¨ afte ergeben sich zu mb2 c ΘS b H=F . mb2 1+ ΘS 1+

N = mg,

Ein homogener Stab vom Gewicht G = mg, der in A drehbar gelagert ist, wird aus der horizontalen Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen (Abb. 3.26a). Es sind die Winkelbeschleunigung, die Winkelgeschwindigkeit und die Lagerreaktionen in Abh¨ angigkeit von der Lage des Stabes zu bestimmen.

Beispiel 3.11

y AV

A

A

AH

ψ S

l

mg

G Abb. 3.26

a

x

b

l cos 2

ψ

l sin 2

ψ

B3.11

158

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

L¨ osung Da sich der Stab um den festen Punkt A dreht, wenden wir zur Bestimmung der Winkelbeschleunigung den Momentensatz (3.12) bez¨ uglich A an. Z¨ ahlen wir den Winkel ψ von der Horizontalen aus (Abb. 3.26b), so gilt

l : ΘA ψ¨ = mg cos ψ . 2 Hieraus folgt f¨ ur die Winkelbeschleunigung mit ΘA =

ml2 : 3

3g ψ¨ = cos ψ . 2l Die Winkelgeschwindigkeit erhalten wir unter Verwendung der dψ˙ ˙ ψ durch Integration: Umformung ψ¨ = dψ  ψ˙ 2 3g = ψ¨ dψ = sin ψ + C . 2 2l Die Integrationskonstante C ergibt sich wegen der Anfangsbedin˙ = 0) = 0 zu Null, und damit wird gung ψ(ψ g ˙ ψ = ± 3 sin ψ . l Die Lagerreaktionen k¨ onnen wir mit dem Kr¨aftesatz →: m¨ xs = AH ,

↑: m¨ ys = AV − mg

bestimmen. Aus den Koordinaten des Schwerpunktes (vgl. Abb. 3.26b) erh¨ alt man durch Differenzieren unter Verwendung von ψ˙ ¨ und ψ die Schwerpunktsbeschleunigung: l cos ψ, 2 l x˙ s = − ψ˙ sin ψ, 2 l l x ¨s = − ψ¨ sin ψ − ψ˙ 2 cos ψ 2 2 9 = − g sin 2 ψ, 8 xs =

l sin ψ, 2 l y˙ s = − ψ˙ cos ψ, 2 l l y¨s = − ψ¨ cos ψ + ψ˙ 2 sin ψ 2 2 3 = g(1 − 3 cos 2 ψ) . 8 ys = −

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

159

Einsetzen liefert xs = − AH = m¨

9 G sin 2 ψ, 8

AV = mg + m¨ ys = G (

11 9 − cos 2 ψ) . 8 8

In der horizontalen Lage (ψ = 0) werden danach AH = 0 und ahrend sich in der vertikalen Lage (ψ = π/2) die AV = G/4, w¨ Kr¨afte AH = 0 und AV = 5G/2 ergeben. Beispiel 3.12 An einem Klotz (Masse m1 ), der nach Abb. 3.27a

reibungsfrei horizontal gleiten kann, ist ein Stab vom Gewicht G = m2 g gelenkig angeschlossen. Der Stab werde aus der Ruhelage ausgelenkt und dann sich selbst u ¨ berlassen. Gesucht sind die Bewegungsgleichungen f¨ ur den Fall m1 = m2 . −x1

11111 00000 00000 11111 m1

y

1 x

Ay

ϕ

x

a cos ϕ

S

m2 g

G = m2 g a

Ay Ax

Ax N

2a

m1 g

x1 a sin ϕ

b

111111 000000 S

a/2

∗

ϕ

2 c

Abb. 3.27

L¨ osung Wir trennen die K¨ orper und w¨ ahlen ein Koordinatensys-

tem x, y sowie einen Drehwinkel ϕ (Abb. 3.27b). Dann gelten f¨ ur den Klotz 1 →: ↑:

m1 x ¨1 = − Ax ,

und f¨ ur die Stange →: ↑:

(a)

0 = N − m1 g − Ay 2

m2 x ¨s = Ax ,

(b)

m2 y¨s = Ay − m2 g,

(c)

B3.12

160

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

:

ΘS ϕ¨ = − a cos ϕ Ax − a sin ϕ Ay

(d)

mit ΘS =

m2 a2 m2 (2 a)2 = . 12 3

Zwischen den Bewegungen von Klotz und Stange besteht der kinematische Zusammenhang xs = x1 + a sin ϕ,

ys = − a cos ϕ,

x˙ s = x˙ 1 + a ϕ˙ cos ϕ,

y˙ s = aϕ˙ sin ϕ,

x ¨s = x¨1 + a ϕ¨ cos ϕ − aϕ˙ 2 sin ϕ,

y¨s = a ϕ¨ sin ϕ + aϕ˙ 2 cos ϕ .

(e)

Hiermit stehen gen¨ ugend Gleichungen zur Bestimmung der Unbekannten zur Verf¨ ugung. Durch geeignetes Eliminieren k¨onnen wir hieraus eine Bewegungsgleichung f¨ ur den Drehwinkel ϕ(t) gewinnen. Aus (b) und (c) erhalten wir zun¨ achst unter Verwendung von (e) und (a) mit m1 = m2 = m ma (ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ 2 sin ϕ), 2 Ay = mg + ma(ϕ¨ sin ϕ + ϕ˙ 2 cos ϕ) .

Ax =

(f)

Einsetzen in (d) f¨ uhrt schließlich auf ϕ(8 ¨ − 3 cos2 ϕ) + 3ϕ˙ 2 sin ϕ cos ϕ + 6

g sin ϕ = 0 . a

Wenn man eine L¨ osung dieser nichtlinearen Differentialgleichung hat, kann man mit (f) und (a) auch x1 ermitteln. Der Zusammenhang zwischen x1 und ϕ kann in diesem Beispiel auch auf anderem Weg gewonnen werden: da auf das Gesamtsystem keine ¨ außeren Kr¨ afte in horizontaler Richtung wirken, erf¨ahrt der Gesamtschwerpunkt S ∗ (Abb. 3.27c) keine Horizontalverschiebung, sofern er anfangs in Ruhe war. Z¨ ahlen wir jetzt x vom ∗ Schwerpunkt S (Abstand a/2) aus, so besteht zwischen x1 und ϕ der Zusammenhang x1 = −a/2 sin ϕ. Die Bewegung des Systems mit zwei Freiheitsgraden kann daher in diesem Sonderfall letztlich allein durch ϕ oder allein durch x1 beschrieben werden.

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

161

3.3.2 Impulssatz, Arbeitssatz und Energiesatz

Integrieren wir den Schwerpunktsatz und den Momentensatz (3.31a, b) u ¨ ber das Zeitintervall Δt = t − t0 , so erhalten wir mit den Bezeichnungen xs0 = xs (t0 ) usw. den Impulssatz und den Drehimpulssatz mx˙ s − mx˙ s0 = Fˆx ,

my˙ s − my˙ s0 = Fˆy ,

ˆ . ΘS ϕ˙ − ΘS ϕ˙ 0 = M S

(3.34a) (3.34b)

Darin stellen die Gr¨ oßen mit dem Dach“ die Zeitintegrale von ” Kraft bzw. Moment dar, also zum Beispiel t Fˆx =

Fx dt¯. t0

Bei der Rotation eines K¨ orpers um einen festen Punkt kann der Drehimpulssatz (3.34b) auch bez¨ uglich des festen Punktes angeschrieben werden. Die Impulss¨ atze werden unter anderem bei der Beschreibung von Stoßvorg¨ angen angewendet (vgl. Abschnitt 3.3.3). Wir wollen nun die kinetische Energie Ek eines K¨orpers berechnen. Mit dem Schwerpunkt S als Bezugspunkt k¨onnen die Geschwindigkeitskomponenten eines K¨ orperpunktes nach (3.29a) uckt werden. Damit durch x˙ = x˙ s − ωη und y˙ = y˙ s + ωξ ausgedr¨ wird   1 1 v 2 dm = (x˙ 2 + y˙ 2 ) dm Ek = 2 2    1 (x˙ 2s + y˙ s2 ) dm − 2 x˙ s ω η dm = 2    + 2 y˙ s ω ξ dm + ω 2 (ξ 2 + η 2 ) dm .   Da die statischen Momente ξ dm und η dm bez¨ uglich des Schwerpunktes S verschwinden, ergibt sich mit x˙ 2s + y˙ s2 = vs2 und

162



3 Bewegung eines starren K¨ orpers

(ξ 2 + η 2 ) dm = ΘS die kinetische Energie zu Ek =

1 1 m vs2 + ΘS ω 2 . 2 2

(3.35)

Sie setzt sich hiernach bei der ebenen Bewegung eines starren K¨ orpers aus zwei Anteilen zusammen: der Translationsenergie m vs2 /2 und der Rotationsenergie ΘS ω 2 /2. In Analogie zum Arbeitssatz bei Punktmasse und Massenpunktsystem kann man auch f¨ ur die ebene Bewegung eines starren K¨ orpers den Arbeitssatz Ek − Ek0 = W

(3.36)

herleiten. Darin ist W die Arbeit der a ¨ußeren Kr¨afte (Momente) bei der Bewegung des K¨ orpers aus einer Lage 0 in eine beliebige Lage. Sind die ¨ außeren Kr¨ afte (Momente) aus einem Potential Ep herleitbar, so folgt aus (3.36) wegen W = −(Ep − Ep0 ) der Energiesatz Ek + Ep = Ek0 + Ep0 = const .

B3.13

(3.37)

Beispiel 3.13 Ein homogener Stab trifft mit der Geschwindigkeit

v ohne Drehung auf ein gelenkiges Lager A und wird dort im Moment des Auftreffens eingeklinkt (Abb. 3.28a). Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Stabes unmittelbar nach dem Einklinken, und wie groß ist der Energieverlust? l

l/6

l/3

A v a

A

m b

Fˆ

ϕ¯˙

S v¯

Abb. 3.28

¨ L¨ osung Die Anderung des Geschwindigkeitszustandes beim Ein-

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

163

klinken wird durch die Impulss¨ atze beschrieben. Vor dem Einklinken hat der Schwerpunkt die Geschwindigkeit v in vertikaler Richtung; die Winkelgeschwindigkeit ist Null. Unmittelbar nach dem Einklinken treten die vertikale Schwerpunktsgeschwindigkeit v¯ und die Winkelgeschwindigkeit ϕ¯˙ auf. Horizontalkomponenten von Geschwindigkeit und Kraft existieren nicht. Dann gilt mit den Bezeichnungen nach Abb. 3.28b ↓ : m v¯ − m v = − Fˆ , l ˆ F. 6 Unmittelbar nach dem Einklinken ist der Stab noch horizontal. Der kinematische Zusammenhang zwischen ϕ¯˙ und v¯ lautet daher (Rotation um A) : ΘS ϕ¯˙ =

v¯ =

l ϕ¯˙ . 6

ml2 die WinkelAufl¨osen der drei Gleichungen liefert mit ΘS = 12 geschwindigkeit ϕ¯˙ =

3v . 2l

Man kann ϕ¯˙ auch durch Anwendung des Drehimpulssatzes bez¨ uglich des festen Punktes A aus einer einzigen Gleichung gewinnen. Da um A kein Moment wirkt (Gewicht beim Stoß vernachl¨ assigbar), muss der Drehimpuls (Impulsmoment) erhalten bleiben: :

l lmv mv = ΘA ϕ¯˙ → ϕ¯˙ = = 6 6 ΘA

3v  2  = 2 l . l ml +m 6 12 6

lmv

2

Der Energieverlust ergibt sich aus der Differenz der kinetischen Energie vor dem Einklinken (reine Translation) und derjenigen nach dem Einklinken (reine Rotation um A) zu ΔEk = Ek0 − Ek =

1 1 mv 2 − ΘA ϕ¯˙2 2 2

164

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

 2  2 ml l 9 v2 1 1 3 3 +m = mv 2 − = mv 2 = Ek0 . 2 2 12 6 4 l2 8 4 B3.14

Beispiel 3.14 Eine homogene, zylindrische Walze (Masse m, Radius r) rollt eine geneigte Bahn abw¨ arts (Abb. 3.29). Ihr Schwerpunkt S hat in der Ausgangslage die Geschwindigkeit v0 . Wie groß ist die Geschwindigkeit v, wenn der Schwerpunkt die H¨ ohendifferenz h zur¨ uckgelegt hat? m S r

h

111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 v0

v

Abb. 3.29

L¨ osung Da nur eine konservative ¨ außere Kraft wirkt (Gewicht),

f¨ uhrt der Energiesatz unmittelbar auf die L¨ osung. Im Ausgangszustand gilt mit v0 = rω0 (Walze rollt) und ΘS = 12 mr2 : Ep0 = 0,

Ek0 =

1 1 3 mv02 + ΘS ω02 = mv02 . 2 2 4

Nach Durchlaufen der H¨ ohe h erhalten wir die Energien Ep = − mgh,

Ek =

3 mv 2 . 4

Einsetzen in den Energiesatz (3.37) liefert 4 gh + v02 . v= 3 B3.15

Beispiel 3.15 Beim System in Abb. 3.30a ist ein Klotz (Gewicht

G = m1 g) durch ein Seil mit einer Walze (Masse m2 , Massentr¨ agheitsmoment ΘS ) verbunden, die auf einer horizontalen Ebene rollt. Seil und Umlenkrolle seien masselos. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Gewichtes G in Abh¨angigkeit vom Weg, wenn das System bei entspannter Feder aus der

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

165

Ruhe losgelassen wird?

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 111111111 000000000

xs ϕ

m2 , ΘS

r

c

Abb. 3.30

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 000000000 111111111 0 1 000000000 111111111 x˙ s

x˙ 1

S

S

G = m1 g

x1

b

a

L¨ osung Z¨ ahlen wir nach Abb. 3.30b die Koordinaten x1 , xs und

ϕ von der Ausgangslage (entspannte Feder) aus, so gelten die kinematischen Beziehungen xs = rϕ,

x1 = 2 xs

→

x˙ s = rϕ, ˙

x˙ 1 = 2 x˙ s .

Damit werden die potentielle und die kinetische Energie in der Ausgangslage Ep0 = 0,

Ek0 = 0

und in einer ausgelenkten Lage c c Ep = − m1 g x1 + x2s = − m1 g x1 + x21 , 2 8  1 1 1 m2 x˙ 2s + ΘS ϕ˙ 2 Ek = m1 x˙ 21 + 2 2 2  1 Θ m2 = x˙ 21 m1 + + S2 . 2 4 4r Einsetzen in den Energiesatz Ek + Ep = Ek0 + Ep0 und Aufl¨osen uhrt auf das Ergebnis nach x˙ 1 f¨    2 m1 g x1 − c x2  4 1 . x˙ 1 = ±  Θ m2 + S2 m1 + 4 4r Verschwindet der Z¨ ahler unter der Wurzel (x1 = 0 oder x1 =

166

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

8 m1 g/c), so wird x˙ 1 Null. Die Geschwindigkeit kehrt in den entsprechenden Punkten ihre Richtung um. 3.3.3 Exzentrischer Stoß

Mußten wir uns in Abschnitt 2.5 auf den zentrischen Stoß beschr¨ anken, so k¨onnen wir nun mit (3.34a, b) auch den exzentrischen Stoß behandeln (Abb. 3.31a). Bei ihm liegt zumindest ein Schwerpunkt der aufeinanderprallenden K¨orper nicht auf der Stoßnormalen (hier die x-Achse). y v1P P v1x

v2P P P v2x

x

S2

S1

2

1 a

Fˆy Fˆx

Fˆx Fˆx

Fˆx Fˆy 2

1 b

glatt

2

1 c

rauh (Haftung)

Abb. 3.31

Wir bezeichnen einen Stoß als gerade, wenn die Geschwindiguhrungspunkte P beider K¨orper unmitkeiten v1P und v2P der Ber¨ telbar vor dem Stoß die Richtung der Stoßnormalen haben. Im anderen Fall ist der Stoß schief. Sind die K¨orper ideal glatt, so hat die Kontaktkraft w¨ ahrend des Stoßes und damit auch die Stoßkraft die Richtung der Stoßnormalen (Abb. 3.31b). Sind die K¨ orper dagegen hinreichend rauh, so dass beim Stoß Haftung angenommen werden kann, dann hat die Stoßkraft beim schiefen Stoß auch Komponenten senkrecht zur Stoßnormalen (Abb. 3.31c). Die Vorgehensweise bei der L¨ osung ist analog zu derjenigen

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

167

beim zentrischen Stoß. Auf die K¨ orper werden jeweils die Impulss¨ atze (3.34a, b) angewendet. Hinzu kommt die Stoßhypothese (2.40), die wir formal auf den exzentrischen Stoß u ¨ bertragen: e=−

P P − v¯2x v¯1x . P P v1x − v2x

(3.38)

Die Querstriche kennzeichnen dabei wieder die Geschwindigkeitskomponenten unmittelbar nach dem Stoß. Nach (3.38) entspricht die Stoßzahl e dem Verh¨ altnis von relativer Trennungsgeschwindigkeit zu relativer Ann¨ aherungsgeschwindigkeit der Stoßpunkte P. Wenn rauhe K¨ orper beim Stoß haften, so gilt eine zus¨atzliche Bedingung. In diesem Fall sind die Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Stoßnormalen am Ber¨ uhrungspunkt P w¨ahrend des Stoßes und damit auch unmittelbar nach dem Stoß gleich: P P = v¯2y . v¯1y

(3.39)

Wir betrachten nun einen exzentrischen, schiefen Stoß zweier glatter K¨ orper 1 und 2 mit den Massen m1 , m2 und den Massentr¨ agheitsmomenten ΘS1 , ΘS2 (Abb. 3.32a). Ihre Schwerpunktsund Winkelgeschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß seien v1x , v1y , ω1 und v2x , v2y , ω2 (positive Drehrichtung entgegen Uhrzeigersinn). Bei glatten Oberfl¨ achen haben die Stoßkr¨afte immer die Richtung der Stoßnormalen. Mit den Bezeichnungen nach Abb. 3.32b lauten daher die Impulss¨ atze f¨ ur den K¨ orper 1 → : m1 (¯ v1x − v1x ) = − Fˆx , ↑ : m1 (¯ v1y − v1y ) = 0, 1

(3.40a)

: ΘS1 (¯ ω1 − ω1 ) = a1 Fˆx

und f¨ ur den K¨ orper

2

→ : m2 (¯ v2x − v2x ) = Fˆx , ↑ : m2 (¯ v2y − v2y ) = 0, 2

: ΘS2 (¯ ω2 − ω2 ) = − a2 Fˆx .

(3.40b)

168

3 Bewegung eines starren K¨ orpers y

m1 , ΘS1

m2 , ΘS2

Fˆx

x

P

a1

S2

S1

2

1

Fˆx

S1

2

1 b

a

a2

S2

Abb. 3.32

Um die Stoßbedingung e=−

P P − v¯2x v¯1x P − vP v1x 2x

anwenden zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir noch die Geschwindigkeitskomponenten von P in Richtung der Stoßnormalen vor und nach dem Stoß (vgl. (3.29a)): P = v1x − a1 ω1 , v1x

P v2x = v2x − a2 ω2 ,

P = v¯1x − a1 ω ¯1, v¯1x

P v¯2x = v¯2x − a2 ω ¯2 .

Bei bekannter Stoßzahl e stehen damit 9 Gleichungen f¨ ur 9 Unbekannte zur Verf¨ ugung. Aufl¨ osen nach Fˆx liefert v1x − a1 ω1 − (v2x − a2 ω2 ) Fˆx = (1 + e) , 1 1 a2 a2 + + 1 + 2 m1 m2 Θ S1 Θ S2 womit nach (3.40a, b) die Schwerpunkts- und die Winkelgeschwindigkeiten nach dem Stoß festliegen: v¯1x = v1x −

Fˆx , m1

v¯1y = v1y ,

ω ¯ 1 = ω1 +

a1 Fˆx , Θ S1

Fˆx a2 Fˆx , v¯2y = v2y , ω ¯ 2 = ω2 − . m2 Θ S2 Wir wollen jetzt den Stoß auf einen gelagerten K¨orper untersuchen. Dabei treten nicht nur am Stoßpunkt, sondern auch am Lager Stoßkr¨ afte auf. Wir betrachten diesen Fall an Hand eines v¯2x = v2x +

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

Aˆy A

d

m, ΘA

Stoßmittelpunkt

Aˆx

Π

c

c=

b y

169

ΘA mb

S

S x

Fˆ Abb. 3.33

Fˆ

Fˆ a

b

c

K¨orpers, der in A drehbar gelagert ist und auf den infolge eines Stoßes die Stoßkraft Fˆ wirkt (Abb. 3.33a). Das Freik¨orperbild Abb. 3.33b zeigt alle auf den K¨ orper wirkenden Stoßkr¨afte (Eigengewicht vernachl¨ assigbar). Wir nehmen an, dass der K¨orper vor dem Stoß ruht. Dann lauten die Impulss¨ atze in x- und in y- Richtung sowie der Drehimpulssatz bez¨ uglich des festen Punktes A:  : m v¯x = Fˆ − Aˆx ,

: m v¯y = − Aˆy ,

: ΘA ω ¯ = b Fˆ . Mit den Schwerpunktsgeschwindigkeiten v¯x = c ω ¯ und v¯y = −d ω ¯ (Drehung um A) erhalten wir daraus   mcb mdb , Aˆy = Fˆ . Aˆx = Fˆ 1 − ΘA ΘA Die Lagerreaktionen verschwinden, wenn wir den Ort des Lagers gerade so w¨ ahlen, dass gilt

c=

i2 ΘA = A, mb b

d = 0.

(3.41)

Dabei ist iA der Tr¨ agheitsradius nach (3.18). Den hiermit festgelegten Punkt Π bezeichnet man als Stoßmittelpunkt. Er liegt auf der zur Stoßkraft Fˆ senkrechten Geraden durch S im Abstand c vom Schwerpunkt (Abb. 3.33c). Wird ein K¨orper in diesem Punkt gelagert, so treten beim Stoß keine Lagerreaktionen

170

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

auf. Man macht sich dies unter anderem beim Hammer oder beim Tennisschl¨ ager zunutze. Bei ihnen wird die Griffl¨ange gerade so gew¨ ahlt, dass beim Schlagen keine oder nur geringe Stoßkr¨afte auf die Hand wirken. Es sei angemerkt, dass der Stoßmittelpunkt der Momentanpol der freien Bewegung (K¨ orper nicht gelagert) unmittelbar nach dem Stoß ist. ω< y

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

m, ΘS

r S

vy

v vx

a

P

ω

ω ¯

Fˆy

rauh

Fˆx

r x

S

P

ω ¯ ω>

b

c

5 vy 2 r

5 vy 2 r

y

01 1010 1010 1010

x

Abb. 3.34

Wir untersuchen nun noch ein Stoßproblem bei einem rauhen K¨ orper. Hierzu betrachten wir eine homogene Kugel, die schief gegen eine rauhe Wand st¨ oßt, wobei wir voraussetzen wollen, dass beim Stoß Haftung auftritt (Abb. 3.34a). Mit den Schwerpunktsund den Winkelgeschwindigkeiten vx , vy , ω vor dem Stoß und v¯x , ¯ nach dem Stoß sowie den Bezeichnungen nach Abb. 3.34b v¯y , ω lauten dann die Impulss¨ atze → : m (¯ vx − vx ) = − Fˆx , ↑ : m (¯ vy − vy ) = − Fˆy , : ΘS (¯ ω − ω) = − r Fˆy . Wegen vxP = vx und v¯xP = v¯x wird die Stoßbedingung (3.38) e=−

v¯x v¯xP =− . vxP vx

¯ gilt W¨ ahrend des Stoßes haftet die Kugel in P . Mit v¯yP = v¯y + rω daher

3.3

v¯yP = 0

→

ω ¯=−

171

v¯y + rω ¯ = 0.

Aufl¨ osen liefert mit ΘS = dem Stoß v¯x = − e vx ,

Kinetik der ebenen Bewegung

2 2 5 mr

f¨ ur die Geschwindigkeiten nach

ΘS r2 m = 5 v − 2 rω, y ΘS 7 7 1+ 2 r m

vy − rω v¯y =

v¯y 2 5 vy = ω− . r 7 7 r

5 vy die Geschwindigkeit v¯y negativ 2 r 5 vy ist, so ¨andert sich die wird (Abb. 3.34c). Wenn dagegen ω < 2 r Drehrichtung beim Stoß (¯ ω < 0). Man erkennt, dass f¨ ur ω >

Beispiel 3.16 Eine Punktmasse m1 = m st¨ oßt mit der Geschwin-

digkeit v gegen einen ruhenden, gelenkig gelagerten Stab der Masse m2 = 2 m (Abb. 3.35a). Wie groß sind bei gegebener Stoßzahl e die Geschwindigkeit der Punktmasse und die Winkelgeschwindigkeit des Stabes unmittelbar nach dem Stoß? A m2

2 l 3

ω ¯ l

m1

Fˆ

v Fˆ

Abb. 3.35

a

b

L¨ osung Es handelt sich um einen geraden Stoß: die Stoßkraft wirkt in Richtung der Stoßnormalen (Abb. 3.35b). Dann lauten der Impulssatz f¨ ur die Punktmasse

v − v) = − Fˆ → : m1 (¯ und der Drehimpulssatz f¨ ur den Stab (ω = 0)

B3.16

172

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

: ΘA ω ¯=

2 ˆ lF . 3

Mit der Geschwindigkeit 23 lω ¯ des Stoßpunktes am Stab nach dem Stoß wird die Stoßbedingung (3.38) e=−

v¯ − 23 l¯ ω . v

Hiermit stehen drei Gleichungen f¨ ur die drei Unbekannten Fˆ , v¯ m2 l 2 und ω ¯ zur Verf¨ ugung. Aufl¨ osen liefert mit ΘA = und den 3 gegebenen Massen die Geschwindigkeiten v¯ =

v (2 − 3 e), 5

ω ¯=

3v (1 + e) . 5l

F¨ ur e = 0 (plastischer Stoß) folgen daraus v¯ = 25 v und ω ¯ = 35 v/l.

F¨ ur e = 1 (elastischer Stoß) werden v¯ = −v/5 und ω ¯ = Beim elastischen Stoß geht keine Energie verloren: Ek = v 2 + 12 ΘA ω ¯ 2 = 12 mv 2 . E¯k = 12 m¯ B3.17

6 5 v/l. 1 2 2 mv ,

Beispiel 3.17 In welcher H¨ ohe h muss eine homogene Billardkugel horizontal angestoßen werden (Abb. 3.36a), damit sie auf glatter Bahn nach dem Stoß sofort rollt? Fˆ S r

h a

1111111 0000000

b

A

h Abb. 3.36

L¨ osung Damit die Kugel auf glatter Bahn unmittelbar nach dem Stoß rollt, muss der Auflagepunkt A (= Momentanpol) der Stoßmittelpunkt (keine horizontale Stoßkraft in A!) sein. Nach (3.41) muss dann mit c = r und b = h (Abb. 3.36b) gelten

r=

ΘA . mh

Mit ΘA = ΘS + mr2 =

2 7 mr2 + mr2 = mr2 5 5

3.3

Kinetik der ebenen Bewegung

173

folgt daraus der gesuchte Abstand h=

7 ΘA = r. mr 5

Beispiel 3.18 Ein homogener Stab trifft mit der Geschwindigkeit v unter dem Winkel von 45◦ auf eine rauhe Unterlage (Abb. 3.37a). Es sind die Schwerpunkts- und die Winkelgeschwindigkeit nach einem ideal-elastischen Stoß zu bestimmen, wenn angenommen wird, dass beim Stoß Haftung eintritt. √ 2 l 4

m

l

√

2 l 4

S ω

P Fˆx

v

Fˆy

y

45◦

a

111111111111 000000000000

b

x

rauh

Abb. 3.37

L¨ osung Da Haftung angenommen wird, treten Stoßkr¨ afte in xund in y-Richtung auf (Abb.√3.37b). Mit den Schwerpunktsgeschwindigkeiten vx = vy = v/ 2 und mit ω = 0 lauten dann die Impulss¨ atze  v ↓ : m v¯x − √ = − Fˆx , (a) 2  v → : m v¯y − √ = − Fˆy , (b) 2 √ 2 ˆ l (Fx − Fˆy ) . : ΘS ω ¯= (c) 4 Die Geschwindigkeiten des Stoßpunktes P in x-Richtung (Stoßnormale) vor und nach dem Stoß sind gegeben durch √ v 2 P P √ lω ¯. , v ¯ = v = = v ¯ − vx x x x 4 2

B3.18

174

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Damit folgt aus der Stoßbedingung (elastischer Stoß) √ 2 lω ¯ v¯x − v¯xP 4 =1 e=− P =− v vx √ 2 die Beziehung √ 2 v lω ¯=−√ . v¯x − 4 2

(d)

Die Haftbedingung liefert √ 2 P lω ¯ = 0. (e) v¯y = 0 → v¯y + 4 Durch Aufl¨ osen von (a) bis (e) erh¨ alt man unter Verwendung von ml2 ΘS = die Geschwindigkeiten 12 √ √ 5 2 3 2 3v v, v¯y = − v, ω v¯x = − ¯= . 16 16 4l

3.4

3.4 Kinetik der r¨ aumlichen Bewegung In diesem Abschnitt soll ein Einblick in die r¨ aumliche Kinetik des starren K¨ orpers gegeben werden. Die Vorgehensweise ist dabei analog zu derjenigen bei der ebenen Bewegung: durch geeignete Integration des Bewegungsgesetzes f¨ ur den Massenpunkt erhalten wir den Kr¨afte- und den Momentensatz. Die inneren Kr¨afte brauchen dabei nicht ber¨ ucksichtigt zu werden, da sie sich bei der Integration gegenseitig aufheben (vgl. Kapitel 2). 3.4.1 Kr¨ aftesatz und Momentensatz

Wir betrachten einen starren K¨ orper der Masse m, den wir uns aus infinitesimalen Massenelementen dm zusammengesetzt denken (Abb. 3.38). Auf die Massenelemente wirken die ¨außeren Kr¨afte dF . F¨ ur die Lage des Schwerpunktes S in Bezug auf ein raumfestes Koordinatensystem x, y, z gilt (vgl. Band 1)

3.4

Kinetik der r¨aumlichen Bewegung

175

A

S

rA

r 0

rAP

rSP

rS

z

rAS

dF dm

P

y

x

Abb. 3.38

 m rs =

r dm .

Leitet man zweimal nach der Zeit ab, so folgen daraus  m r˙ s = r˙ dm,

(3.42)

 m r¨s =

r¨ dm .

(3.43)

Die rechte Seite von (3.42) ist der Impuls p des Gesamtk¨orpers (Summation der infinitesimalen Impulse). Demnach gilt (vgl. auch Abschnitt 2.2) p = m vs .

(3.44)

¨ Die  rechte Seite von (3.43) stellt wegen r dm = dF und F = dF die Resultierende der ¨ außeren Kr¨ afte dar. Damit lautet der Kr¨aftesatz m r¨s = F

oder

p˙ = F .

(3.45)

Der Schwerpunkt eines starren K¨ orpers bewegt sich danach so, als ob alle Kr¨ afte in ihm angriffen und die gesamte Masse in ihm vereinigt w¨ are. Den Momentensatz wollen wir hier nur bez¨ uglich eines k¨orperfesten Punktes A (Abb. 3.38) aufstellen. Multipliziert man das

176

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Bewegungsgesetz v˙ dm = dF vektoriell mit rAP und integriert u orper, so ergibt sich ¨ber den K¨   (3.46) rAP × v˙ dm = rAP × dF . Die rechte Seite stellt das Moment M (A) der ¨außeren Kr¨afte bez¨ uglich A dar. Die linke Seite formen wir noch unter Verwendung der Identit¨at rAP × v˙ = (rAP × v)· − r˙AP × v geeignet um. Letztere l¨ asst sich mit (vgl. Abschnitt 3.1.3) v = vA + vAP ,

vAP = r˙AP = ω × rAP

und (ω × rAP ) × (ω × rAP ) = 0,

rAP = rAS + rSP

auch folgendermaßen schreiben: rAP × v˙ = (rAP × v) − (ω × rAP ) × [vA + (ω × rAP )] = (rAP × v) − (ω × rAP ) × vA = (rAP × v) − [ω × (rAS + rSP )] × vA = (rAP × v) − (ω × rAS ) × vA − (ω × rSP ) × vA . F¨ uhren wir den Drehimpuls (Summation der infinitesimalen Impulsmomente) in Bezug auf A  (A) L = rAP × v dm (3.47)  ein, so erhalten  wir unter Beachtung von rSP dm = 0 (Schwerpunkt) und dm = m f¨ ur die linke Seite von (3.46)    d (rAP × v) dm − (ω × rAS ) × vA dm rAP × v˙ dm = dt  − (ω × rSP dm) × vA

3.4

=

Kinetik der r¨aumlichen Bewegung

177

dL(A) − (ω × rAS ) × vA m . dt

Einsetzen in (3.46) liefert schließlich den Drehimpulssatz oder Momentensatz in allgemeiner Form: L˙ (A) − (ω × rAS ) × vA m = M (A) .

(3.48)

Eine einfachere Gestalt nimmt (3.48) an, wenn wir als Bezugspunkt A entweder den Schwerpunkt S w¨ ahlen (rAS = 0), oder wenn der k¨ orperfeste Punkt A gleichzeitig ein raumfester Punkt allen verschwindet das zweite Glied in ist (vA = 0). In diesen F¨ (3.48), und der Momentensatz lautet dann (S) (S) =M L˙

(A) (A) oder L˙ = M , A fest .

(3.49)

¨ In Worten: die zeitliche Anderung des Drehimpulses ist gleich dem Moment der a ußeren Kr¨ a fte. ¨ 3.4.2 Drehimpuls, Tr¨ agheitstensor, Eulersche Gleichungen

Setzt man in (3.47) die Geschwindigkeit v = vA + ω × rAP ein, so erh¨ alt man   L(A) = rAP dm × vA + rAP × (ω × rAP ) dm . W¨ ahlen wir als Bezugspunkt A wieder den Schwerpunkt oder einen raumfesten Punkt, so verschwindet das erste Glied auf der rechten Seite, und der Drehimpuls wird  (3.50) L(A) = rAP × (ω × rAP ) dm . Soll L(A) explizit angegeben werden, so ist es meist zweckm¨aßig, sich eines mit dem K¨ orper fest verbundenen Koordinatensystems x, y, z zu bedienen (Abb. 3.39). Mit ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x ωx ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (3.51) rAP = ⎣ y ⎦ , ω = ⎣ ωy ⎦ z

ωz

178

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

P

dm rAP

z A

y x

k¨ orperfestes Koordinatensystem

Abb. 3.39

ergibt sich dann aus (3.50) nach Ausf¨ uhren der Vektorprodukte ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ (A) Θx ωx + Θxy ωy + Θxz ωz Lx ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (3.52) L(A) = ⎢ Ly(A) ⎥ = ⎢ Θyx ωx + Θy ωy + Θyz ωz ⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (A) Lz Θzx ωx + Θzy ωy + Θz ωz Darin sind  Θx = (y 2 + z 2 ) dm,  Θy = (z 2 + x2 ) dm,  Θz = (x2 + y 2 ) dm,

Θxy = Θyx = − Θyz = Θzy = − Θzx = Θxz = −

  

xy dm, yz dm,

(3.53)

zx dm .

Die Gr¨ oßen Θx , Θy , Θz sind die Massentr¨agheitsmomente bez¨ uglich der x-, der y- und der z-Achse. Sie stimmen mit den in Abschnitt 3.2.2 betrachteten axialen Massentr¨agheitsmomenten u oßen Θxy , Θyz und Θzx nennt man Deviations¨berein. Die Gr¨ momente oder Zentrifugalmomente. Axiale Tr¨ agheitsmomente und Deviationsmomente sind Komponenten des Tr¨agheitstensors Θ(A) . Man kann sie in der folgenden Matrix anordnen: ⎡ ⎤ Θx Θxy Θxz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Θyx Θy Θyz ⎥ . (3.54) Θ(A) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Θzx Θzy Θz Wegen Θxy = Θyx usw. ist der Tr¨ agheitstensor symmetrisch zur

3.4

Kinetik der r¨aumlichen Bewegung

179

Hauptdiagonalen. Durch Θ(A) werden die Tr¨ agheitseigenschaften des starren K¨ orpers bez¨ uglich des Punktes A eindeutig beschrieben. Die Tr¨ agheits- und die Deviationsmomente (3.53) und damit auch der Tr¨ agheitstensor (3.54) h¨ angen sowohl vom gew¨ahlten Bezugspunkt A als auch von der Orientierung der Achsen x, y und z ab. Ohne auf die Herleitung einzugehen, sei darauf hingewiesen, dass es f¨ ur jeden Bezugspunkt ein ausgezeichnetes Achsensystem mit drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen 1, 2 und 3 gibt, f¨ ur das alle Deviationsmomente Null sind. Dieses Achsensystem nennt man Hauptachsensystem. Die zugeh¨ origen axialen Massentr¨ agheitsmomente nehmen Extremwerte an; sie werden als Haupttr¨agheitsmomente bezeichnet. F¨ ur ein Hauptachsensystem nimmt der Tr¨ agheitstensor eine besonders einfache Form an: ⎡ ⎤ Θ1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 Θ2 0 ⎥ . (3.55) Θ(A) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 Θ3 Darin sind Θ1 , Θ2 und Θ3 die Haupttr¨ agheitsmomente; alle Glieder außerhalb der Hauptdiagonale sind Null. Bei homogenen, symmetrischen K¨ orpern sind die Symmetrieachsen immer Hauptachsen. Als Beispiel hierzu sind in Abb. 3.40a die Hauptachsen eines Quaders bez¨ uglich des Schwerpunktes dargestellt. Bei rotationssymmetrischen K¨ orpern sind die Symmetrieachse und jede dazu senkrechte Achse Hauptachsen (Abb. 3.40b). 3

1

3

1

S

2

2

dA

A 2

1 1

3 a

b

y

z

2

x

3

t c

Abb. 3.40

Im Sonderfall eines homogenen K¨ orpers, der die Form einer

180

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

d¨ unnen Scheibe hat (Abb. 3.40c), gilt dm = t dA. Da z im Vergleich zu x und y klein ist, kann es bei der Integration vernachl¨ assigt werden (z ≈ 0). Dann folgt aus (3.53) f¨ ur das Massentr¨ agheitsmoment bez¨ uglich der x-Achse  Θx = ρ t y 2 dA = ρ t Ix . Darin ist Ix das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment bez¨ uglich der x-Achse (vgl. Band 2). F¨ uhrt man diese Prozedur f¨ ur alle Massentr¨agheitsmomente durch, so erh¨ alt man Θx = ρ t Ix ,

Θy = ρ t Iy ,

Θz = ρ t (Ix + Iy ) = ρ t Ip ,

Θxy = ρ t Ixy ,

(3.56)

Θxz = Θyz = 0 .

In diesem Fall besteht also ein direkter Zusammenhang zwischen den Massentr¨ agheitsmomenten und den Fl¨ achentr¨agheitsmomenten. Da die x, y-Ebene hier Symmetrieebene ist, steht eine Hauptachse senkrecht zu dieser Ebene. Die zwei weiteren Hauptachsen liegen in der x, y-Ebene. Sie lassen sich nach der Methode bestimmen, die man bei Fl¨ achentr¨ agheitsmomenten anwendet. Wir kommen nun auf den Drehimpuls zur¨ uck. Mit dem Tr¨agheitstensor (3.54) und dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit nach (3.51) l¨ asst sich (3.52) als Matrizenprodukt darstellen: L(A) = Θ(A) · ω .

(3.57)

Diese Gleichung stellt die r¨ aumliche Verallgemeinerung von (3.14) dar. Man sagt: der Drehimpuls ist eine lineare Vektorfunktion der Winkelgeschwindigkeit. Man kann (3.57) auch als Abbildung des Vektors ω auf den Vektor L(A) deuten. Der Drehimpuls L(A) und die Winkelgeschwindigkeit ω des K¨ orpers haben im allgemeinen nicht die gleiche Richtung. Dies kann man aus der Darstellung (3.52) erkennen. Wenn wir zum Beispiel annehmen, dass ω die Richtung der x-Achse hat, so sind die Komponenten ωy und ωz Null. Dagegen sind die y- und zKomponenten des Drehimpulses nur dann Null, wenn die Devia-

3.4

Kinetik der r¨aumlichen Bewegung

181

tionsmomente verschwinden. Dies bedeutet, dass L(A) und ω nur dann gleichgerichtet sind, wenn die Drehung um eine Hauptachse erfolgt. Wir wollen nun den Drehimpuls (3.57) in den Momentensatz (3.49) einsetzen. Dabei ist zu beachten, dass in (3.49) eine Zeitableitung bez¨ uglich eines raumfesten (unbewegten) Systems steht, w¨ ahrend wir den Drehimpuls bez¨ uglich eines k¨orperfesten (bewegten) Systems angegeben haben. In Kapitel 6 wird gezeigt, dass zwischen der Zeitableitung d/dt eines Vektors L bez¨ uglich eines uglich eines raumfesten Systems und der Zeitableitung d∗ /dt bez¨ bewegten Systems der Zusammenhang dL d∗ L = +ω×L dt dt

(3.58)

besteht. Darin ist ω die Winkelgeschwindigkeit dieses Systems. Unter Beachtung von (3.58) folgt aus (3.49) und (3.57) Θ(A) · ω˙ + ω × (Θ(A) · ω) = M (A) .

(3.59)

Dabei kann A der Schwerpunkt oder ein raumfester Punkt sein. Setzen wir ein Hauptachsensystem voraus, bei dem der Tr¨agheitstensor die Form (3.55) annimmt, so lautet (3.59) in Komponenten Θ1 ω˙ 1 − (Θ2 − Θ3 ) ω2 ω3 = M1 , Θ2 ω˙ 2 − (Θ3 − Θ1 ) ω3 ω1 = M2 ,

(3.60)

Θ3 ω˙ 3 − (Θ1 − Θ2 ) ω1 ω2 = M3 . Darin sind M1 , M2 und M3 die Momente um die entsprechenden Hauptachsen. Die Gleichungen (3.60) werden nach Leonhard Euler (1707–1783) als Eulersche Gleichungen bezeichnet. Durch dieses System gekoppelter, nichtlinearer Differentialgleichungen wird der Momentensatz bez¨ uglich eines k¨ orperfesten Hauptachsensystems dargestellt.

182

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Die L¨ osung der Eulerschen Gleichungen kann sich mathematisch schwierig gestalten, wenn die Bewegung des k¨orperfesten Achsensystems nicht von vornherein bekannt ist (z.B. Kreisel).

11 00 00 11 0 1 00 011 1 0000000 1111111 0000000 1111111

ω0

ω0

α

ω1

r

1

111111 000000 000000 111111

3

R

a

2

b

M R α

M3

α

1111111 0000000 0000000 1111111

M

00 11 00 11 1 0 00 011 1

2

M2

c

3

G N d

Abb. 3.41

Als Anwendungsbeispiel, bei dem diese Schwierigkeit nicht auftritt, betrachten wir die Rollbewegung des Rades einer Kollerm¨ uhle, welche sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω0 um eine vertikale Achse dreht (Abb. 3.41a). Dabei wollen wir die Tr¨ agheitsmomente bez¨ uglich des mit dem Rad fest verbundenen, sich mitdrehenden Hauptachsensystems nach Abb. 3.41b als bekannt voraussetzen; außerdem soll Θ2 = Θ3 sein (Rotationssymmetrie). Dann gilt R ω0 , ω˙ 1 = 0, r ω˙ 2 = − ω0 α˙ sin α = ω1 ω3 , ω2 = ω0 cos α,

ω1 = α˙ =

ω3 = − ω0 sin α, ω˙ 3 = − ω0 α˙ cos α = − ω1 ω2 . Die Eulerschen Gleichungen (3.60) f¨ uhren damit auf M1 = 0,

3.4

Kinetik der r¨aumlichen Bewegung

183

R sin α, r R M3 = (−Θ3 − Θ1 + Θ2 ) ω1 ω2 = − Θ1 ω02 cos α . r M2 = (Θ2 − Θ3 + Θ1 ) ω1 ω3

= − Θ1 ω02

Auf das Rad wird dementsprechend ein Moment (Kr¨aftepaar) der Gr¨ oße

R M = M22 + M32 = Θ1 ω02 r ausge¨ ubt, das horizontal und senkrecht zur Radachse gerichtet ist (vgl. Abb. 3.41c). Die Druckkraft N zwischen Rad und Unterlage nach Abb. 3.41d setzt sich danach aus dem Gewicht G des Rades und dem Kreisel“-Anteil M/R zusammen: ” Θ1 ω02 M =G+ . N =G+ R r Hiernach kann durch Erh¨ ohung von ω0 die Druckkraft erheblich gesteigert werden. Beispiel 3.19 F¨ ur den homogenen Quader nach Abb. 3.42 sind die Tr¨ agheits- und die Deviationsmomente bez¨ uglich der Achsen x ¯, y¯, z¯ und x, y, z zu bestimmen. z

y¯

z¯

y c

S b

A

x

a Abb. 3.42

x¯

L¨ osung F¨ ur das System x ¯, y¯, z¯ erhalten wir mit dm = d¯ x d¯ y d¯ z

und m = abc f¨ ur Θx¯ und Θx¯y¯  c b a 2 m 2 (b + c2 ), Θx¯ = (¯ y 2 + z¯2 ) dm = ρ (¯ y + z¯2 ) d¯ x d¯ y d¯ z= 3 0 0 0

B3.19

184

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

 Θx¯y¯ = −

x ¯y¯ dm = − ρ

c b a

x ¯y¯ d¯ x d¯ y d¯ z=−

0 0 0

mab . 4

Analog folgen Θy¯ =

m 2 m mbc mca (c + a2 ), Θz¯ = (a2 + b2 ), Θy¯z¯ = − , Θz¯x¯ = − . 3 3 4 4

Die Achsen x, y, z sind Symmetrieachsen und stellen daher ein Hauptachsensystem dar. Die Deviationsmomente Θxy , Θyz , Θzx sind Null. Die Haupttr¨ agheitsmomente ergeben sich zu Θ1 = Θx = 8 ρ

c/2  b/2  a/2 

(y 2 + z 2 ) dx dy dz =

0

Θ2 = Θy =

0

0

m 2 (c + a2 ), 12

Θ3 = Θz =

m 2 (b + c2 ), 12

m 2 (a + b2 ) . 12

F¨ ur c < a < b ist Θ2 < Θ1 < Θ3 ; f¨ ur a = b = c (W¨ urfel) gilt Θ1 = Θ2 = Θ3 = ma2 /6. B3.20

Beispiel 3.20 F¨ ur eine homogene Kreiszylinderwelle vom Radius

r, der L¨ ange l und der Masse m sind die Haupttr¨agheitsmomente bez¨ uglich Achsen durch den Schwerpunkt zu ermitteln. z, 3

z dx

S

r

x, 1

y

dm l 2

y, 2

x l 2

Abb. 3.43

L¨ osung Wegen der Rotationssymmetrie sind die x-, die y- und die

z-Achse in Abb. 3.43 die Hauptachsen 1, 2 und 3. Das Tr¨agheitsmoment bez¨ uglich der x-Achse haben wir schon in Abschnitt 3.2.2 berechnet: mr2 . Θx = Θ1 = 2

3.4

Kinetik der r¨aumlichen Bewegung

185

Die Tr¨ agheitsmomente bez¨ uglich y und z sind gleich (Symmetrie). Zu ihrer Bestimmung betrachten wir zun¨ achst das Tr¨agheitsmoment einer Kreisscheibe der Masse dm und der Dicke dx (Abb. ur 3.43). Mit den Fl¨ achentr¨ agheitsmomenten Iy = Iz = πr4 /4 f¨ die Kreisfl¨ ache (vgl. Band 2) wird dann dΘy = dΘz = ρ dx Iy = ρ

πr4 dx . 4

Unter Verwendung von dm = ρπr2 dx, m = ρπr2 l und des Satzes von Steiner (3.20) erh¨ alt man  Θy = Θz = Θ2 = Θ3 = [dΘy + x2 dm] +l/2  

=

 1 m ρπr4 dx + x2 ρπr2 dx = (3 r2 + l2 ) . 4 12

−l/2

Beispiel 3.21 Ein homogener Kreiszylinder (Masse m, Radius r,

L¨ ange l) dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine feste Achse, die unter dem Winkel α zur Zylinderachse geneigt ist (Abb. 3.44a). Der Schwerpunkt S befindet sich auf der Drehachse. Es sind die Lagerreaktionen zu bestimmen. a

a

11 00 00 11 00 11 ω

a

A

S α r

l

11 00 1 0 00 11

3

B

b

a

a

2

B

α ω

1

3 A c

Abb. 3.44

L¨ osung Der Schwerpunkt S des Zylinders ist in Ruhe (¨ rs = 0).

Nach (3.45) muss daher die Resultierende der Lagerkr¨afte verschwinden. Mit Hilfe der Eulerschen Gleichungen (3.60) bestimmen wir das Moment der Lagerkr¨ afte. Dazu f¨ uhren wir nach Abb. 3.44b die Hauptachsen 1 und 2 (in der Zeichenebene) sowie 3 (zeigt aus der Zeichenebene heraus) ein. Die zugeh¨ origen Haupttr¨agheitsmomen-

B3.21

186

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

te wurden in Beispiel 3.20 berechnet: Θ1 =

mr2 , 2

Θ2 = Θ3 =

m 2 (l + 3 r2 ) . 12

Mit den Komponenten des Winkelgeschwindigkeitsvektors (bez¨ uglich der Hauptachsen) ω1 = ω cos α,

ω2 = − ω sin α,

ω3 = 0

und ω˙ 1 = ω˙ 2 = ω˙ 3 = 0 folgen dann aus (3.60) M1 = 0, M2 = 0,

m  m 2 r2 − (l + 3 r2 ) ω 2 sin α cos α M3 = −(Θ1 − Θ2 ) ω1 ω2 = 2 12 m = − (l2 − 3 r2 ) ω 2 sin 2 α . 24 Die Lagerkr¨ afte haben danach nur ein Moment M3 um die Hauptachse 3. Mit den Bezeichnungen nach Abb. 3.44c und B = A (keine resultierende Kraft) erhalten wir daher die Lagerkr¨afte: M3 = − a A − a B = − 2 a A → A = B =

m (l2 − 3 r3 ) ω 2 sin 2 α . 48 a

3.4.3 Lagerreaktionen bei ebener Bewegung

In Abschnitt 3.3 haben wir die ebene Bewegung eines starren K¨ orpers behandelt. Wir wollen jetzt noch untersuchen, unter welchen Bedingungen eine solche Bewegung erfolgt. Wenn wir als Bewegungsebene die x, y-Ebene w¨ ahlen, so zeigt der Vektor der Winkelgeschwindigkeit in z-Richtung: ω = ω ez . Daher gilt ωx = 0,

ωy = 0,

ωz = ω.

In diesem Fall erhalten wir mit (3.45) aus (3.59) den Momentensatz in Komponenten:

3.4

Kinetik der r¨aumlichen Bewegung

187

Θxz ω˙ − Θyz ω 2 = Mx , Θyz ω˙ + Θxz ω 2 = My ,

(3.61)

Θz ω˙ = Mz . Der obere Index A f¨ ur den Bezugspunkt (Schwerpunkt oder fester Punkt) wurde dabei weggelassen. Die dritte Gleichung in (3.61) entspricht dem Momentensatz, den wir schon in Abschnitt 3.3.1 hergeleitet haben. Die ersten beiden Gleichungen in (3.61) zeigen, dass Momente Mx , My senkrecht zur z-Achse wirken m¨ ussen, sofern die Deviationsmomente Θxz , Θyz von Null verschieden sind. Wegen actio = reactio wirken entgegengesetzte Momente auf die Lagerung. Ein wichtiger Anwendungsfall ist die Drehung eines K¨orpers um eine feste Achse. Die Momente (Kr¨ aftepaare), die dann in den Lagern technischer Systeme (Rotor, Rad) auftreten, sind h¨aufig unerw¨ unscht. Der rotierende K¨ orper wird dann als nicht ausgewuchtet bezeichnet. Die Momente senkrecht zur Drehachse sind nur dann Null, wenn die Deviationsmomente verschwinden, die Drehung also um eine Hauptachse erfolgt. Beim dynamischen Auswuchten versucht man, durch geeignetes Anbringen von Zusatzmassen die Deviationsmomente zu Null zu machen. Ein K¨orper heißt statisch ausgewuchtet, wenn sein Schwerpunkt auf der Drehachse liegt. Beispiel 3.22 Eine d¨ unne, homogene Dreieckscheibe der Masse m

ist nach Abb. 3.45a in A und B drehbar gelagert. Sie wird durch ein Moment M0 angetrieben. Es sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen und die Lagerreaktionen zu ermitteln. L¨ osung Zur Beschreibung der Bewegung alleine w¨ are die Anwendung des Momentensatzes um die Drehachse hinreichend. Zur Ermittlung der Lagerkr¨ afte sind jedoch noch die Momentens¨atze bez¨ uglich der Achsen senkrecht zur Drehachse sowie der Kr¨aftesatz erforderlich.

B3.22

188

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

0 1 11 00 0 00 1 11 B

A

c c 3

By

m

b

1 0 0 1 0 1 0 01 1

z

z Bx

c

x

dA = dx dz

S

t

c x= z b

b y

Ax A

x

x

M0

Ay

M0

z

ω, ω˙

a

c

b

Abb. 3.45

Wir befreien die Scheibe von den Lagern und w¨ahlen ein mitdrehendes Koordinatensystem x, y, z, dessen Ursprung A sich nicht bewegt. Der Schwerpunkt S f¨ uhrt eine Kreisbewegung aus (Abb. 3.45b). Mit der Zentripetalbeschleunigung asx = −c ω 2 /3 und der ˙ lauten dann die KompoTangentialbeschleunigung asy = c ω/3 nenten des Kr¨ aftesatzes in x-Richtung und in y-Richtung: m asx = Ax + Bx

→

−

mc ω 2 = Ax + Bx , 3

(a)

mc ω˙ = Ay + By . (b) 3 F¨ ur die Momentens¨ atze werden Tr¨ agheits- und Deviationsmomente ben¨ otigt. Mit dm = ρ t dA und m = 12 ρ t c b erhalten wir (vgl. Abb. 3.45c)   b cz/b  2  2 mc2 , x dx dz = Θz = ρ t x dA = ρ t 6 0 0    b cz/b  mcb , Θxz = − ρ t xz dA = − ρ t x dx z dz = − 4 0 0 m asy = Ay + By

→

Θyz = 0 . Damit folgen aus (3.61) Mx = Θxz ω˙

→

− b By = −

ωmcb ˙ , 4

(c)

3.4

My = Θxz ω 2 →

Kinetik der r¨aumlichen Bewegung

b Bx = −

ω 2 mcb , 4

189

(d)

2 ωmc ˙ . (e) 6 Die letzte Gleichung stellt die Bewegungsgleichung dar. Wenn wir als Anfangsbedingung ω(0) = 0 annehmen, so ergibt sich daraus

→

Mz = Θz ω˙

ω˙ =

6 M0 mc2

→

M0 =

ω=

6 M0 t. mc2

Einsetzen in (a) bis (d) liefert schließlich Ax = −

ω 2 mc , 12

Ay =

M0 , 2c

Bx = −

ω 2 mc , 4

By =

3 M0 . 2c

Beispiel 3.23 An einem Autorad (Drehachse z) befindet sich nach

Abb. 3.46 eine Unwucht mit der Masse m0 . ussen an den Stellen Welche Massen m1 und m2 m¨ angebracht werden, damit das Rad ausgewuchtet ist? y

e0

1

und

2

y

e2 2

m0

m0 r0

r2

r1 z

m2 m1

x

1 e1 Abb. 3.46

L¨ osung Das Rad ist ausgewuchtet, wenn der Schwerpunkt auf der

Drehachse liegt und wenn die Deviationsmomente verschwinden. Mit den Bezeichnungen nach Abb. 3.46 m¨ ussen also die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sein: m0 r0 + m2 r2 = m1 r1 ,

B3.23

190

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

Θzy = − m0 r0 e0 + m1 r1 e1 + m2 r2 e2 = 0 . Aufl¨ osen liefert die gesuchten Massen m 1 = m0

r0 e0 + e2 , r1 e1 + e2

m2 = m 0

r0 e0 − e1 . r2 e1 + e2

3.4.4 Der momentenfreie Kreisel

Einen starren K¨ orper, der beliebige Drehbewegungen um den Schwerpunkt S oder um einen raumfesten Punkt A (z.B. ein Lager) ausf¨ uhrt, bezeichnet man als Kreisel. Von einem momentenfreien Kreisel spricht man, wenn das Moment der ¨außeren Kr¨afte um den Bezugspunkt S bzw. A verschwindet. Dies trifft zum Beispiel auf Drehbewegungen von Satelliten zu. Mit M (S) = 0 bzw. M (A) = 0 folgt dann aus (3.49) die Drehimpulserhaltung: L(S) = const

oder L(A) = const .

(3.62)

Die Eulerschen Gleichungen (3.60) f¨ uhren in diesem Fall mit Mi = 0 auf Θ1 ω˙ 1 − (Θ2 − Θ3 ) ω2 ω3 = 0, Θ2 ω˙ 2 − (Θ3 − Θ1 ) ω3 ω1 = 0,

(3.63)

Θ3 ω˙ 3 − (Θ1 − Θ2 ) ω1 ω2 = 0 . Eine spezielle L¨ osung von (3.63) ist der Fall einer Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω0 um eine der Hauptachsen, ur folgt z.B. um die 1-Achse: ω1 = ω0 = const, ω2 = ω3 = 0. Hierf¨ ω˙ 2 = ω˙ 3 = 0, d.h. die 1-Achse ist auch raumfest. Von praktischem Interesse ist nun die Frage, wie das System auf eine kleine St¨orung reagiert. Hierzu betrachten wir einen Nachbarzustand, der vom urspr¨ unglichen Bewegungszustand nur wenig “ ” abweicht: ω1 ≈ ω0 , ω2 ω1 , ω3 ω1 . Vernachl¨assigt man das oherer Ordnung klein, dann ist die ersProdukt ω2 ω3 als von h¨ te Gleichung von (3.63) n¨ aherungsweise erf¨ ullt. Aus den letzten beiden folgt

3.4

Kinetik der r¨aumlichen Bewegung

191

Θ2 ω˙ 2 − (Θ3 − Θ1 ) ω0 ω3 = 0, Θ3 ω˙ 3 − (Θ1 − Θ2 ) ω0 ω2 = 0 . Eliminiert man daraus z.B. ω3 , so erh¨ alt man eine Gleichung f¨ ur ω2 : ω ¨ 2 + λ2 ω2 = 0

mit λ2 = ω02

(Θ1 − Θ2 )(Θ1 − Θ3 ) . Θ2 Θ3

Ihre L¨ osung lautet (vgl. auch Abschnitt 5.2.1) ⎧ ⎨ A1 cos λ t + B1 sin λ t f¨ ur λ2 > 0, ω2 (t) = ∗ ∗ ⎩ f¨ ur λ2 = −λ∗2 < 0 . A2 eλ t + B2 e−λ t F¨ ur λ2 > 0 a ¨ndert sich ω2 (und damit auch ω3 ) periodisch; die St¨ orung bleibt aber beschr¨ ankt. Wir bezeichnen eine solche Drehung als stabil. Dagegen w¨ achst f¨ ur λ2 < 0 die St¨orung ω2 exponentiell mit der Zeit an. Die Bewegung entfernt sich dann immer mehr vom Ausgangszustand; dieser ist instabil. Eine stabile Drehung um die Hauptachse 1 tritt danach f¨ ur (Θ1 − Θ2 )(Θ1 − Θ3 ) > 0 auf, d.h. wenn die Drehachse diejenige des gr¨ oßten Haupttr¨agheitsmomentes (Θ1 > Θ2 , Θ3 ) oder diejenige des kleinsten Haupttr¨ agheitsmomentes (Θ1 < Θ2 , Θ3 ) ist. Eine stabile Drehung um die Achse des mittleren Haupttr¨ agheitsmomentes (Θ2 < Θ1 < Θ3 ) ist nicht m¨ oglich. Als Spezialfall betrachten wir noch den Kugelkreisel (Θ1 = ur folgt direkt aus (3.63) das Ergebnis ω˙ 1 = ω˙ 2 = Θ2 = Θ3 ). Hierf¨ ω˙ 3 = 0; d.h. die Drehung ist immer stabil.

192

3.5

3 Bewegung eines starren K¨ orpers

3.5 Zusammenfassung • Die Bewegung eines starren K¨ orpers l¨ asst sich aus Translation und Rotation zusammensetzen; z.B. gilt f¨ ur die Geschwindigkeit eines K¨ orperpunktes P : v P = v A + ω × r AP . Man kann die ebene Bewegung zu jedem Zeitpunkt auch als reine Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Momentanpol Π auffassen. • Bei der Rotation um eine feste Achse f¨ uhren alle Punkte eine Kreisbewegung mit der selben Winkelgeschwindigekeit ω = ϕ˙ und der Winkelbeschleunigung ϕ¨ aus. • Unter der Wirkung von Kr¨ aften f¨ uhrt der starre K¨orper eine Bewegung aus, die durch den Kr¨ aftesatz (Schwerpunktsatz) und den Momentensatz (Drehimpulssatz) beschrieben wird: ¨s = F , mr

˙ (A) = M (A) L

(A = S oder fest).

Im ebenen Fall bleiben die drei Komponenten mx ¨s = Fx ,

m y¨s = Fy ,

ΘA ϕ¨s = MA .

• Die kinetische Energie setzt sich beim starren K¨orper aus Translations- und Rotationsenergie zusammen. Im ebenen Fall gilt Ek = 12 m vs2 + 12 ΘS ω 2 . • Impulssatz, Arbeitssatz und Energiesatz sind analog zu denen beim Massenpunkt bzw. beim Massenpunktsystem. • Bei der L¨ osung von Problemen der Starrk¨orperbewegung sind in der Regel folgende Schritte durchzuf¨ uhren:  Skizze des Freik¨ orperbildes mit allen Kr¨aften.  Wahl eines Koordinatensystems.  Aufstellen der Bewegungsgleichungen. Bezugspunkt beim Momentensatz ist dabei Schwerpunkt oder fester Punkt!  Bei Stoßproblemen Aufstellen der Impulss¨atze f¨ ur die beteiligten K¨ orper und der Stoßbedingung.  Formulierung ben¨ otigter kinematischer Beziehungen.  Abh¨ angig vom Problem kann es zweckm¨aßig sein, den Arbeits- oder den Energiesatz anzuwenden.

Kapitel 4 Prinzipien der Mechanik

4

4 Prinzipien der Mechanik 4.1 4.2 4.3 4.4

Formale R¨ uckf¨ uhrung der Kinetik auf die Statik ........ Prinzip von d’Alembert........................................ Lagrangesche Gleichungen 2. Art ........................... Zusammenfassung ..............................................

195 200 204 215

Lernziele: Bisher haben wir zur Beschreibung der Bewegung von K¨ orpern die Newtonschen Axiome angewendet. Ihnen gleichwertig sind andere Grundgesetze, die Prinzipien der Mechanik genannt werden. H¨ aufig ist es vorteilhaft, anstelle der Newtonschen Gesetze diese Prinzipien bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen zu verwenden. Mit einigen von ihnen wollen wir uns in diesem Kapitel besch¨ aftigen und lernen, wie man sie anwendet.

4.1

Formale R¨ uckf¨ uhrung der Kinetik auf die Statik

195

4.1

4.1 Formale R¨ uckf¨ uhrung der Kinetik auf die Statik Die Bewegung eines Massenpunktes kann nach Abschnitt 1.2.1 durch das Newtonsche Bewegungsgesetz ma = F

(4.1)

beschrieben werden. Dabei ist F die Resultierende aller am Massenpunkt angreifenden Kr¨ afte. Wir schreiben (4.1) nun in der Form F − ma = 0

(4.2)

und fassen das negative Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung a formal als eine Kraft auf, die wir nach Jean Lerond d’Alembert (1717–1783) die d’Alembertsche Tr¨agheitskraft FT nennen: FT = − ma .

(4.3)

Diese Kraft ist keine Kraft im Newtonschen Sinne, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (sie verletzt das Axiom actio = reactio!); wir bezeichnen sie daher als Scheinkraft. Sie ist entgegengesetzt zur Beschleunigung a gerichtet. Mit (4.3) erhalten wir aus (4.2) das Bewegungsgesetz in der Form F + FT = 0 .

(4.4)

Hiernach bewegt sich ein Massenpunkt so, dass die Resultierende F der an ihm angreifenden Kr¨ afte und die d’Alembertsche kraft FT im Gleichgewicht“ sind. Da der Massenpunkt jedoch ” nicht in Ruhe ist, sondern sich bewegt, bezeichnet man dies als dynamisches Gleichgewicht“. ” Durch das Einf¨ uhren der Tr¨ agheitskraft (4.3) wurde das Bewegungsgesetz (4.1) formal auf die Gleichgewichtsbedingung (4.4) zur¨ uckgef¨ uhrt. Dieses Vorgehen kann beim Aufstellen der Bewegungsgleichungen vorteilhaft sein. Will man eine Aufgabe nach

196

4 Prinzipien der Mechanik

dieser Methode l¨ osen, so muss man im Freik¨orperbild neben den wirklichen Kr¨ aften zus¨ atzlich die Tr¨ agheitskraft FT einzeichnen. Die Bewegungsgleichungen folgen dann aus der Bedingung Sum” me aller Kr¨ afte gleich Null“. Die ebene Bewegung eines starren K¨orpers wird nach (3.31a, b) durch die Gleichungen m¨ xs = Fx ,

m¨ ys = Fy ,

ΘS ϕ¨ = MS

(4.5)

beschrieben. F¨ uhrt man analog zu (4.3) die Scheinkr¨afte FTx = − m¨ xs ,

FTy = − m¨ ys

(4.6)

und das Scheinmoment MTS = − ΘS ϕ¨

(4.7)

ein, so erh¨ alt man die dynamischen Gleichgewichtsbedingungen Fx + FTx = 0,

Fy + FTy = 0,

MS + MTS = 0 .

(4.8)

Bei reiner Rotation des starren K¨ orpers kann man als Bezugspunkt in der dritten Gleichung von (4.8) statt des Schwerpunkts S auch den festen Drehpunkt A w¨ ahlen (vgl. (3.33)). Will man die Bewegung eines Systems von starren K¨orpern mit dieser Methode beschreiben, so zerlegt man das System in einzelne Teilk¨ orper. F¨ ur jeden dieser Teilk¨ orper k¨ onnen dann die dynamischen Gleichgewichtsbedingungen (4.4) bzw. (4.8) angeschrieben werden. B4.1

Beispiel 4.1 Ein Schiff (Masse m) hat beim Abschalten des Motors die Geschwindigkeit v0 (Abb. 4.1a). Die Widerstandskraft beim √ Gleiten im Wasser sei durch Fw = k v gegeben. Gesucht ist der Geschwindigkeitsverlauf bei geradliniger Fahrt. x m

m¨ x

√ Fw = k v

v0 a

b

Abb. 4.1

4.1

Formale R¨ uckf¨ uhrung der Kinetik auf die Statik

197

L¨ osung Wir z¨ ahlen nach Abb. 4.1b die Koordinate x in Bewe-

gungsrichtung. In entgegengesetzter Richtung wirkt die Widerstandskraft Fw auf das Schiff (in vertikaler Richtung halten sich Gewicht und Auftrieb das Gleichgewicht). Entsprechend der xKoordinate zeigt eine positive Beschleunigung x¨ nach rechts. Die Tr¨agheitskraft ist ihr entgegen gerichtet (nach links) und hat den Betrag m¨ x. Das Kr¨ aftegleichgewicht in x-Richtung liefert dann mit x ¨ = v˙ die Bewegungsgleichung √ ← : mv˙ + k v = 0 . Trennen der Variablen und Integration f¨ uhren mit der Anfangsbedingung v(0) = v0 auf v

d¯ v k √ =− m v¯

v0

t dt¯

√ √ k 2( v − v0 ) = − t . m

→

0

Hieraus folgt die Geschwindigkeit zu  2 √ k v= t . v0 − 2m

Beispiel 4.2 Ein Massenpunkt vom Gewicht G = mg rutscht rei-

bungsfrei auf einer Halbkugel (Radius r) herunter (Abb. 4.2a). Die Bewegung beginnt mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 im h¨ ochsten Punkt. An welcher Stelle hebt der Massenpunkt von der Unterlage ab? mr ϕ¨ v0

1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 G

m at = r ϕ¨ an = r ϕ˙ 2

r

a

Abb. 4.2

mr ϕ˙ 2

N ϕ

ϕ b

0

c

G

B4.2

198

4 Prinzipien der Mechanik

L¨ osung Die Masse durchl¨ auft bis zum Abheben eine Kreisbahn;

wir beschreiben die Lage von m durch die Koordinate ϕ (Abb. 4.2b). Auf den K¨ orper wirken als eingepr¨ agte Kraft das Gewicht G und als Zwangskraft die Normalkraft N . Mit der Tangentialbeschleunigung at = rϕ¨ (in positiver ϕ-Richtung) und der Normalbeschleunigung an = rϕ˙ 2 (nach 0 gerichtet) lassen sich die Tr¨ agheitskr¨ afte vom Betrag mat (entgegengesetzt zu at ) und vom Betrag man (entgegengesetzt zu an ) in das Freik¨orperbild (Abb. 4.2c) eintragen. Kr¨ aftegleichgewicht nach (4.4) in normaler und in tangentialer Richtung liefert die Bewegungsgleichungen  : N − mg cos ϕ + mrϕ˙ 2 = 0,

(a)

: mg sin ϕ − mrϕ¨ = 0 .

(b)

Aus (b) folgt durch Multiplikation mit ϕ˙ und Integration ϕ˙ ϕ¨ =

g sin ϕ ϕ˙ r

→

1 2 g ϕ˙ = − cos ϕ + C . 2 r

Die Integrationskonstante C l¨ asst sich mit v = rϕ˙ aus der Anfangsbedingung v(ϕ = 0) = v0 bestimmen: 1 v02 g =− +C 2 r2 r

→

C=

1 v02 g + . 2 r2 r

Somit wird ϕ˙ 2 = −

v2 2g v2 2g 2g cos ϕ + 02 + = (1 − cos ϕ) + 02 . r r r r r

Einsetzen in (a) liefert die auf den Massenpunkt wirkende Normalkraft N in Abh¨ angigkeit vom Winkel ϕ: N = mg cos ϕ − mrϕ˙ 2 = mg(3 cos ϕ − 2) − m

v02 . r

Die Stelle des Abhebens des Massenpunkts ist dadurch gekennzeichnet, dass dort die Normalkraft verschwindet: N =0

→

mg (3 cos ϕ − 2) − m

v02 = 0. r

4.1

Formale R¨ uckf¨ uhrung der Kinetik auf die Statik

199

Daraus folgt f¨ ur den Winkel ϕ∗ , bei dem m abhebt: cos ϕ∗ =

v2 2 + 0 . 3 3 gr

√ √ ur v0  gr l¨ost sich die Wegen cos ϕ  1 muss v0  gr sein. F¨ Masse bereits im h¨ ochsten Punkt von der Unterlage. Beispiel 4.3 Ein Klotz (Masse m1 ) h¨ angt nach Abb. 4.3a an einem

Seil, das u uhrt und auf einer Trommel ¨ ber eine masselose Rolle gef¨ agheitsmoment ΘS ) aufgewickelt ist. (Masse m2 , Tr¨ Es ist die Bewegungsgleichung f¨ ur die Trommel aufzustellen, wobei angenommen werden soll, dass sie rollt. m2 , ΘS S

ri

ra

11111111 00000000 a

m1 g

x

ϕ F

ΘS ϕ¨ A S

m2 x¨s

A

F

S

G2 = m2 g

F F

H

c

N

x˙A x˙ s ϕ˙

1111111 0000000 0000000 1111111 Π

m1 y¨ b

y

Abb. 4.3

G1 = m1 g

L¨ osung Wir zerlegen das System in die einzelnen K¨ orper (Abb.

4.3b). Zur Beschreibung der Bewegung f¨ uhren wir die Koordinaten x, ϕ (f¨ ur die Trommel) und y (f¨ ur den Klotz) ein. An der Trommel greifen das Gewicht G2 = m2 g, die Normalkraft N , die ¨s Haftungskraft H sowie die Seilkraft F an. Die Tr¨ agheitskraft m2 x

B4.3

200

4 Prinzipien der Mechanik

wirkt in negativer x-Richtung und das Scheinmoment ΘS ϕ¨ in negativer ϕ-Richtung (da sich der Schwerpunkt S nur in x-Richtung bewegt, tritt keine Tr¨ agheitskraft in y-Richtung auf). Am Klotz wirken das Gewicht G1 = m1 g und die Seilkraft F (Umlenkrolle masselos!). Die Tr¨ agheitskraft m1 y¨ zeigt in negative y-Richtung. Das dynamische Gleichgewicht liefert f¨ ur die Trommel ¨s = 0 , → : F − H − m2 x ↑ : N − m2 g = 0 , : ri F + ra H − ΘS ϕ¨ = 0 und f¨ ur den Klotz ↓ : m1 g − F − m1 y¨ = 0 . Da die Trommel rollt (Drehung um den Momentanpol Π) gilt nach (3.10) der kinematische Zusammenhang (vgl. Abb. 4.3c) x˙ s = ra ϕ˙

→

x ¨s = ra ϕ¨ .

Bei einem undehnbaren Seil ist die Geschwindigkeit des Klotzes gleich der Geschwindigkeit des Punktes A: y˙ = x˙A . Mit x˙A = (ri + ra )ϕ˙ folgt daraus die weitere kinematische Beziehung y˙ = (ri + ra )ϕ˙

→

y¨ = (ri + ra )ϕ¨ .

Durch Aufl¨ osen der Gleichungen findet man f¨ ur die Schwerpunktsbeschleunigung x ¨s =

4.2

m1 ra (ri + ra ) g. m1 (ri + ra )2 + m2 ra2 + ΘS

4.2 Prinzip von d’Alembert Bei der Untersuchung von Bewegungen mit Hilfe des Newtonschen Bewegungsgesetzes oder des dynamischen Gleichgewichts erh¨alt

4.2

Prinzip von d’Alembert

201

man immer Bewegungsgleichungen, in denen alle an den K¨orpern angreifenden Kr¨ afte (einschließlich der Zwangskr¨afte) auftreten. Dieses Vorgehen kann bei Systemen von Massenpunkten oder von K¨ orpern aufwendig werden. Wir wollen daher in diesem Abschnitt ein Prinzip vorstellen, das auf Bewegungsgleichungen f¨ uhrt, welche die Zwangskr¨ afte nicht enthalten. Diese Methode l¨asst sich insbesondere dann vorteilhaft anwenden, wenn die Zwangskr¨afte nicht gesucht sind. Wir wollen uns hier auf Bewegungen beschr¨anken, bei denen keine trockene Reibung auftritt. Der Einfachheit halber betrachten wir zun¨ achst die Bewegung eines Massenpunkts auf einer vorgegebenen Bahn (gebundene Bewegung). Nach (1.45) lautet dann das Newtonsche Grundgesetz ma = F (e) + F (z)

(4.9)

mit den eingepr¨ agten Kr¨ aften F (e) und den Zwangskr¨aften F (z) . Um zu einer Formulierung zu gelangen, welche die Zwangskr¨ afte nicht mehr enth¨ alt, verwenden wir den Begriff der virtuellen uckungen. Darunter versteht man (vgl. Band 1, Abschnitt 8.2) Verr¨ gedachte, infinitesimale Verschiebungen, die mit den Bindungen des Systems vertr¨ aglich sind. Da die Zwangskr¨afte F (z) normal zur Bahn und damit auch normal zu virtuellen Verr¨ uckungen δr stehen, verschwindet ihre virtuelle Arbeit: F (z) · δr = 0 .

(4.10)

Diese Aussage nennt man das Prinzip von d’Alembert. Es lautet in Worten: Ein Massenpunkt bewegt sich so, dass die virtuelle Arbeit der Zwangskr¨ afte zu jedem Zeitpunkt verschwindet. Mit (4.9) wird aus (4.10) (F (e) − ma) · δr = 0 .

(4.11)

F¨ uhren wir die virtuellen Arbeiten δW = F (e) ·δr der eingepr¨agten Kr¨ afte F (e) und δWT = FT · δr = − ma · δr der d’Alembertschen onnen wir (4.11) in folgender Form Tr¨ agheitskraft FT ein, so k¨ schreiben:

202

4 Prinzipien der Mechanik

δW + δWT = 0 .

(4.12)

Man bezeichnet dies auch als Prinzip der virtuellen Arbeiten: Ein Massenpunkt bewegt sich so, dass bei einer virtuellen Verr¨ uckung die Summe der virtuellen Arbeiten der eingepr¨ agten Kr¨ afte und der d’Alembertschen Tr¨ agheitskraft zu jedem Zeitpunkt verschwindet. In (4.12) sind die Zwangskr¨ afte nicht mehr enthalten. Bei einem System von Massenpunkten mit starren Bindungen ist das Prinzip der virtuellen Arbeiten (4.12) ebenfalls g¨ ultig. Um dies zu zeigen, schreiben wir die Newtonschen Bewegungsgleichungen f¨ ur ein System von n Massenpunkten in Analogie zu (4.9) in der Form (vgl. auch Kapitel 2) (e)

mi r¨i = Fi

(z)

+ Fi ,

i = 1, . . . , n .

(4.13)

Bei einer virtuellen Verr¨ uckung des Systems verschwindet die gesamte virtuelle Arbeit der Zwangskr¨ afte:  (z) Fi · δri = 0 . (4.14) i

Wenn wir die Bewegungsgleichungen (4.13) mit δri multiplizieren und u ¨ ber alle Massenpunkte summieren, so ergibt sich mit (4.14) die zu (4.11) analoge Beziehung  (e) (Fi − mi r¨i ) · δri = 0 . (4.15) i

Mit

 i

(e)

Fi

· δri = δW und

 i

(−mi r¨i ) · δri = δWT erh¨alt man

daraus wieder (4.12). Das Prinzip der virtuellen Arbeiten (4.12) gilt sinngem¨ aß auch f¨ ur starre K¨orper. Hat ein System mehrere Freiheitsgrade, so ist die Anzahl der voneinander unabh¨ angigen virtuellen Verr¨ uckungen gleich der An-

4.2

Prinzip von d’Alembert

203

zahl der Freiheitsgrade. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten liefert dann gerade so viele Bewegungsgleichungen, wie Freiheitsgrade vorliegen. Beispiel 4.4 Das Beispiel 4.3 soll mit Hilfe des Prinzips der virtu-

ellen Arbeiten gel¨ ost werden. x ϕ ΘS ϕ¨ A

A S

S

m2 x¨s

δxA

11111111 00000000 00000000 11111111

δxs

11111111 00000000 00000000 11111111 δϕ

G2 = m2 g

ri ra

Π

m1 y¨

b

y Abb. 4.4

a

G1 = m1 g

L¨ osung Da die Zwangskr¨ afte (Normalkraft und Haftungskraft an

der Walze, Seilkraft) nicht gesucht sind, ist die Behandlung der Aufgabe mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeiten zweckm¨aßiger als die in Beispiel 4.3 durchgef¨ uhrte L¨ osung: das Freischneiden des Systems ist dann nicht n¨ otig! Zur Beschreibung der Bewegung f¨ uhren wir wieder die Koordinaten x und ϕ f¨ ur die Trommel sowie y f¨ ur den Klotz ein. An der Trommel greifen die eingepr¨ agte Kraft G2 = m2 g, die Tr¨agheits¨s und das Scheinmoment ΘS ϕ¨ an. Am Klotz wirken das kraft m2 x agheitskraft m1 y¨ (Abb. 4.4a). Gewicht G1 = m1 g und die Tr¨ Das System hat einen Freiheitsgrad. Bei einer virtuellen Verr¨ uckung (vgl. Abb. 4.4b) gelten die kinematischen Beziehungen δxs = ra δϕ,

δy = δxA = (ri + ra ) δϕ .

(a)

Entsprechend erhalten wir (vgl. Beispiel 4.3) x˙ s = ra ϕ, ˙

y˙ = x˙A = (ri + ra ) ϕ˙ .

(b)

Die virtuellen Arbeiten der eingepr¨ agten Kr¨ afte und der Scheinkr¨ afte lauten (vgl. Abb. 4.4a)

B4.4

204

4 Prinzipien der Mechanik

δW = G1 δy = m1 g δy,

(c)

¨s δxs − ΘS ϕ¨ δϕ . δWT = − m1 y¨ δy − m2 x Ersetzen wir die Variablen xs und y in (c) mit Hilfe von (a) und (b) durch ϕ, so folgen δW = m1 g (ri + ra ) δϕ, δWT = − m1 (ri + ra )2 ϕ¨ δϕ − m2 ra2 ϕ¨ δϕ − ΘS ϕ¨ δϕ . Einsetzen in das Prinzip der virtuellen Arbeiten δW + δWT = 0 liefert ¨ δϕ = 0 . {m1 g (ri + ra ) − [m1 (ri + ra )2 + m2 ra2 + ΘS ]ϕ} Wegen δϕ = 0 ergibt sich daraus [m1 (ri + ra )2 + m2 ra2 + ΘS ]ϕ¨ = m1 g (ri + ra ) →

ϕ¨ =

m1 (ri + ra ) g. m1 (ri + ra )2 + m2 ra2 + ΘS

alt man wieder das Ergebnis von Beispiel 4.3. Mit x ¨s = ra ϕ¨ erh¨

4.3

4.3 Lagrangesche Gleichungen 2. Art Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen f¨ ur ein Massenpunktsystem kann oft vereinfacht werden, wenn man spezielle Koordinaten verwendet. Durch geeignetes Umformen des Prinzips der virtuellen Arbeiten (4.15) erh¨ alt man dann die sogenannten Lagrangeschen Gleichungen 2. Art. Diese Gleichungen wollen wir im folgenden herleiten. Dabei beschr¨ anken wir uns auf Systeme, bei denen entweder die Bindungen starr sind oder die inneren Kr¨afte ein Potential haben (z.B. Federkr¨ afte). Nach (2.2) ist die Anzahl f der Freiheitsgrade eines Systems von n Massenpunkten im Raum, das r kinematischen Bindungen unterworfen ist, gegeben durch

4.3

Lagrangesche Gleichungen 2. Art

f = 3n−r

205

(4.16)

(in der Ebene gilt f = 2 n − r). Die Lage des Systems kann daher eindeutig angegeben werden entweder durch 3 n (z.B. kartesische) Koordinaten, die jedoch durch r Bindungsgleichungen (Zwangsbedingungen) verkn¨ upft sind, oder durch f voneinander unabh¨angige Koordinaten. Diese unabh¨ angigen Koordinaten nennt man verallgemeinerte oder generalisierte Koordinaten. Als Beispiel betrachten wir das ebene mathematische Pendel nach Abb. 4.5. Die Lage der Masse m k¨ onnen wir einerseits durch die kartesischen Koordinaten x und z angeben. Diese Koordinaten sind aber nicht unabh¨ angig voneinander, sondern durch upft. Andererseits kann die Zwangsbedingung x2 + z 2 = l2 verkn¨ die Lage entsprechend des einen Freiheitsgrads des Pendels auch durch die eine Koordinate ϕ (= verallgemeinerte Koordinate) festgelegt werden. Zwischen den kartesischen Koordinaten und der verallgemeinerten Koordinate besteht im Beispiel der Zusammenhang x = l sin ϕ,

z = l cos ϕ . x ϕ

l

x Abb. 4.5

z

m

z

Bei einem System von n Massenpunkten wird die Lage der einzelnen Massen durch die Ortsvektoren ri beschrieben. Zwischen den n Ortsvektoren ri und den f verallgemeinerten Koordinaten – die wir mit qj bezeichnen wollen – besteht dann der Zusammenhang ri = ri (qj ),

i = 1, . . . , n;

j = 1, . . . , f .

(4.17)

206

4 Prinzipien der Mechanik

Zur Herleitung der Lagrangeschen Gleichungen aus (4.15) werotigt. Die n Ortsvektoren den die virtuellen Verr¨ uckungen δri ben¨ angen nach (4.17) von den f verallgemeinerten Koordinaten qj ri h¨ ab. Die virtuellen Verr¨ uckungen δri lassen sich daher analog zum totalen Differential einer Funktion von mehreren Ver¨anderlichen wie folgt berechnen:  ∂ri ∂ri ∂ri δq1 + . . . + δqf = δqj . (4.18) δri = ∂q1 ∂qf ∂qj j Einsetzen in (4.15) liefert ⎛ ⎡ ⎞⎤   ∂r i ⎣(Fi(e) − mi r¨i ) · ⎝ δqj ⎠⎦ = 0 ∂q j i j →

 i

⎛ ⎛ ⎞ ⎞    ∂ri ∂ri (e) Fi · ⎝ δqj ⎠ − mi r¨i · ⎝ δqj ⎠ = 0 . ∂q ∂qj j j i j (4.19)

Durch Vertauschen der Reihenfolge der Summationen ergibt sich    (e) ∂ri ∂ri Fi · δqj − mi r¨i · δqj = 0 . (4.20) ∂qj ∂qj j i j i Wir formen nun den zweiten Term in (4.20) um. Dazu benutzen wir die Identit¨ at   ∂ri d ∂ri ∂ r˙ i mi r˙ i · − mi r˙ i · = . (4.21) mi r¨i · ∂qj dt ∂qj ∂qj Die Richtigkeit dieser Beziehung kann durch Ausdifferenzieren der eckigen Klammer nachgepr¨ uft werden. Aus (4.17) folgt durch Zeitableitung  ∂ri ∂ri ∂ri ∂ri r˙ i = q˙1 + . . . + q˙j + . . . + q˙f = q˙j . (4.22) ∂q1 ∂qj ∂qf ∂qj j Differenziert man nun nach q˙j , so bleibt von der Summe nur ein Term u ¨ brig: ∂ r˙ i ∂ri = . ∂ q˙j ∂qj

(4.23)

4.3

Lagrangesche Gleichungen 2. Art

207

Damit wird aus (4.21)   ∂ri d ∂ r˙ i ∂ r˙ i mi r˙ i · − mi r˙ i · mi r¨i · = ∂qj dt ∂ q˙j ∂qj     ∂ 1 ∂ 1 d 2 2 mi r˙ i mi r˙ i . − = dt ∂ q˙j 2 ∂qj 2 Die kinetische Energie des Systems ist durch  1 Ek = mi r˙ i2 2 i gegeben. F¨ uhren wir noch die Abk¨ urzung  (e) ∂ri Fi · Qj = ∂qj i

(4.24)

(4.25)

(4.26)

ein, so erhalten wir aus (4.20) unter Verwendung von (4.24)–(4.26)    ∂Ek d ∂Ek Qj − + δqj = 0 . (4.27) dt ∂ q˙j ∂qj j Da die verallgemeinerten Koordinaten qj unabh¨ angig voneinander sind, sind es auch die virtuellen Verr¨ uckungen δqj ; sie k¨onnen daher beliebig gew¨ ahlt werden. Die Summe (4.27) ist daher nur dann Null, wenn jeder einzelne Summand verschwindet: d dt



∂Ek ∂ q˙j

−

∂Ek = Qj , ∂qj

j = 1, . . . , f .

(4.28)

Die Gleichungen (4.28) heißen nach Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Lagrangesche Gleichungen 2. Art. Es sind f Gleichungen f¨ ur die f verallgemeinerten Koordinaten qj . Im Gegensatz hierzu erh¨ alt man z.B. bei Verwendung von kartesischen Koordinaten und der Newtonschen Grundgesetze 3 n Bewegungsgleichungen und r Zwangsbedingungen, also insgesamt 3 n+r Gleichungen. (e) Die gesamte virtuelle Arbeit der eingepr¨ agten Kr¨afte Fi ist durch  (e) Fi · δri (4.29) δW = i

208

4 Prinzipien der Mechanik

gegeben. Ersetzt man darin die virtuellen Verr¨ uckungen δri nach (4.18) und verwendet die Abk¨ urzung (4.26), so erh¨alt man ⎛ ⎞  (e)  ∂ri  (e) Fi · δri = Fi · ⎝ δqj ⎠ δW = ∂q j i i j =

 j

i

(e)

Fi

·

 ∂ri δqj = Qj δqj . ∂qj j

(4.30)

Die virtuelle Arbeit der eingepr¨ agten Kr¨ afte kann demnach auch uckungen δqj der durch die Gr¨ oßen Qj und die virtuellen Verr¨ verallgemeinerten Koordinaten ausgedr¨ uckt werden. Aus diesem Grund nennt man Qj verallgemeinerte Kr¨afte. (e) Wenn die eingepr¨ agten Kr¨ afte Fi ein Potential Ep besitzen, kann man die Lagrangeschen Gleichungen (4.28) noch vereinfachen. Dann gilt (vgl. (1.81)) δW = − δEp .

(4.31)

¨ Die virtuelle Anderung δEp der potentiellen Energie berechnet man analog zum totalen Differential einer Funktion von mehreren Ver¨ anderlichen:  ∂Ep ∂Ep ∂Ep δq1 + . . . + δqf = δqj . (4.32) δEp (qj ) = ∂q1 ∂qf ∂qj j Durch Vergleich von (4.30) und (4.32) ergibt sich dann Qj = −

∂Ep . ∂qj

Einsetzen in (4.28) liefert  ∂Ek d ∂Ek ∂Ep − + = 0. dt ∂ q˙j ∂qj ∂qj

(4.33)

(4.34)

Die potentielle Energie Ep h¨ angt nicht von q˙j ab. F¨ uhrt man mit L = Ek − Ep

(4.35)

die Lagrangesche Funktion L ein, so erh¨ alt man daher wegen

4.3

Lagrangesche Gleichungen 2. Art

209

∂Ep /∂ q˙j = 0 aus (4.34) d dt



∂L ∂ q˙j

−

∂L = 0, ∂qj

j = 1, . . . , f .

(4.36)

Dies sind die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art f¨ ur konservative Systeme. Sie wurden hier nur f¨ ur Massenpunktsysteme hergeleitet, gelten aber sinngem¨ aß auch f¨ ur starre K¨ orper. Sie haben den Vorteil, dass zur Ermittlung von Bewegungsgleichungen nur die kinetische und die potentielle Energie aufgestellt werden m¨ ussen. Die Bewegungsgleichungen folgen dann formal durch Differenzieren. Beispiel 4.5 Ein Massenpunkt bewegt sich unter der Wirkung der Erdschwere reibungsfrei auf einer Bahn, welche die Form einer quadratischen Parabel hat (Abb. 4.6a) Man bestimme die Bewegungsgleichung.

111 000

111 000

y y = cx2

m

a

Abb. 4.6

b

0

x

L¨ osung Im kartesischen Koordinatensystem nach Abb. 4.6b lautet

die Gleichung der Parabel y = c x2 . Die eingepr¨ agte Kraft (Gewicht) ist konservativ. Das System hat einen Freiheitsgrad; als verallgemeinerte Koordinate q w¨ahlen wir die kartesische Koordinate x. Die kinetische Energie des Massenpunkts ist 1 1 Ek = mv 2 = m (x˙ 2 + y˙ 2 ) . 2 2 Mit y = c x2 wird daraus

→

y˙ = 2 c x x˙

B4.5

210

4 Prinzipien der Mechanik

Ek =

1 m (x˙ 2 + 4 c2 x2 x˙ 2 ) . 2

Wenn wir das Nullniveau der potentiellen Energie in den Scheitel legen, so erhalten wir Ep = mg y = mgc x2 . Damit lautet die Lagrangesche Funktion (4.35) L = Ek − Ep =

1 m (x˙ 2 + 4 c2 x2 x˙ 2 ) − mgc x2 . 2

Bilden der Ableitungen ∂L = mx˙ + 4 m c2 x2 x, ˙ ∂ x˙  d ∂L = m¨ x + 8 m c2 x x˙ 2 + 4 m c2 x2 x ¨, dt ∂ x˙ ∂L = 4 m c2 x x˙ 2 − 2mgc x ∂x und Einsetzen in die Lagrangesche Gleichung (4.36)  ∂L d ∂L − =0 dt ∂ x˙ ∂x liefert x ¨ (1 + 4 c2 x2 ) + 4 c2 x x˙ 2 + 2 gc x = 0 . B4.6

Beispiel 4.6 Ein mathematisches Pendel (L¨ ange l, Masse m2 ) ist

nach Abb. 4.7a an einem Klotz (Masse m1 ) befestigt. Der Klotz ist u ¨ ber eine Feder (Federkonstante c) mit der Wand verbunden und kann reibungsfrei auf seiner Unterlage gleiten. Man bestimme die Bewegungsgleichungen des Systems. L¨ osung Das System ist konservativ. Seine Lage ist eindeutig durch

die Auslenkung x des Klotzes aus der Ruhelage (entspannte Feder) und den Winkel ϕ festgelegt (Abb. 4.7b): es hat somit zwei

4.3

Lagrangesche Gleichungen 2. Art

x

1 0 0 1 000000000 111111111 0 1 000000000 111111111 m1

c

v1 = x˙

l

ϕ

lϕ˙

m2 b

a

Abb. 4.7

211

ϕ

v2 x˙

Freiheitsgrade. Als verallgemeinerte Koordinaten w¨ahlen wir q1 = x,

q2 = ϕ .

Die kinetische Energie lautet Ek =

1 1 m1 v12 + m2 v22 . 2 2

F¨ ur die Geschwindigkeit der Masse m1 gilt v1 = x. ˙ Die Geschwindigkeit der Masse m2 ist durch die Translation der Masse m1 und die u ¨ berlagerte Rotation des Pendels bestimmt. Daraus folgt nach ˙ ϕ˙ cos ϕ)2 +(lϕ˙ sin ϕ)2 . Abb. 4.7b f¨ ur die Geschwindigkeit v22 = (x+l Damit wird die kinetische Energie 1 1 (a) Ek = m1 x˙ 2 + m2 [(x˙ + lϕ˙ cos ϕ)2 + (lϕ˙ sin ϕ)2 ] . 2 2 Wenn wir das Nullniveau des Potentials der Gewichtskraft auf die H¨ ohe des Klotzes legen, so erhalten wir f¨ ur die gesamte potentielle Energie des Systems 1