Technische Mechanik: Band 4: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden, 6.Auflage

Springer-Lehrbuch Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross studierte Angewandte Mechanik und promovierte an der Universität Rostoc...

Author: Dietmar Gross | Werner Hauger | Peter Wriggers

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Springer-Lehrbuch

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross studierte Angewandte Mechanik und promovierte an der Universität Rostock. Er habilitierte an der Universität Stuttgart und ist seit 1976 Professor für Mechanik an der TU Darmstadt. Seine Arbeitsgebiete sind unter anderen die Festkörper- und Strukturmechanik sowie die Bruchmechanik. Hierbei ist er auch mit der Modellierung mikromechanischer Prozesse befasst. Er ist Mitherausgeber mehrerer internationaler Fachzeitschriften sowie Autor zahlreicher Lehrund Fachbücher. Prof. Dr. Werner Hauger studierte Angewandte Mathematik und Mechanik an der Universität Karlsruhe und promovierte an der Northwestern University in Evanston/Illinois. Er war mehrere Jahre in der Industrie tätig, hatte eine Professur an der Universität der Bundeswehr in Hamburg und wurde 1978 an die TU Darmstadt berufen. Sein Arbeitsgebiet ist die Festkörpermechanik mit den Schwerpunkten Stabilitätstheorie, Plastodynamik und Biomechanik. Er ist Autor von Lehrbüchern und Mitherausgeber internationaler Fachzeitschriften. Prof. Dr.-Ing. Peter Wriggers studierte Bauingenieur- und Vermessungswesen, promovierte 1980 an der Universität Hannover und habilitierte 1986 im Fach Mechanik. Er war Gastprofessor an der UC Berkeley, USA, Professor für Mechanik an der TH Darmstadt und Direktor des Darmstädter Zentrums für Wissenschaftliches Rechnen. Seit 1998 ist er Professor für Baumechanik und Numerische Mechanik sowie Direktor des Zentrums für Computational Engineering Sciences an der Universität Hannover. Er ist Mitherausgeber von 11 internationalen Journals und Editor-in- Chief der Zeitschrift Computational Mechanics.

Dietmar Gross · Werner Hauger Peter Wriggers

Technische Mechanik Band 4: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden 6., vollständig neu bearbeitete Auﬂage

Mit 213 Abbildungen

123

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross Prof. Dr. Werner Hauger Prof. Dr. rer. nat. Dr.-Ing. E.h. Walter Schnell † Institut für Mechanik Technische Universität Darmstadt Hochschulstraße 1 64289 Darmstadt

Prof. Dr.-Ing. Peter Wriggers Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik Universität Hannover Appelstraße 9a 30167 Hannover

Bisher erschienen unter ,,Gross, Hauger, Schnell, Wriggers: Technische Mechanik 4“ Bibliograﬁsche Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograﬁe; detaillierte bibliograﬁsche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN 978-3-540-70737-0 6. Auﬂ. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-22099-2 5. Auﬂ. Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverﬁlmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspﬂichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993, 1995, 1999, 2002, 2004 und 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empﬁehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlagen der Autoren Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

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Vorwort Der vorliegende vierte Band schließt das mehrb¨andige Lehrbuch der Technischen Mechanik ab. Behandelt werden in ihm die Grundlagen und wichtige Elemente der Hydromechanik, der Elastizit¨atstheorie, der Tragwerkslehre, der Schwingungen von Kontinua, der Stabilit¨ atstheorie, der Plastizit¨ at und Viskoelastizit¨at sowie der Numerischen Methoden in der Mechanik. Es handelt sich dabei um Gebiete, die vollst¨ andig oder einf¨ uhrend an vielen deutschsprachigen Hochschulen im Grundstudium gelehrt werden. Beispiele hierf¨ ur sind die Stromfadentheorie, spezielle Tragwerke wie das Seil und die Platte oder die Einf¨ uhrung in die Elastizit¨atstheorie und die Plastizit¨ at. In Teilen der einzelnen Kapitel schl¨agt der dargestellte Stoﬀ aber auch schon die Br¨ ucke zum Fachstudium. Dies triﬀt unter anderem auf die Schwingungen von Balken und Platten, auf die Stabilit¨ at von Tragwerken oder auf die Methode der Finiten Elemente zu. Das Buch wendet sich an Ingenieurstudenten aller Fachrichtungen, f¨ ur welche die genannten Gebiete gelehrt werden. Unser Ziel ist es, den Leser an die wesentlichen Grundlagen heranzuf¨ uhren und ein solides Fundament zu legen, das ein tieferes Eindringen in die einzelnen Fachdisziplinen erleichtert. Angesprochen ist auch der Praktiker in der Industrie, dem das Buch einen einfachen Einstieg in die entsprechenden Gebiete erm¨oglichen soll. Wie in den vorhergehenden B¨ anden haben wir uns um eine m¨ oglichst einfache aber pr¨ azise Darstellung des Stoﬀs bem¨ uht. Diesem Anliegen dienen auch die zahlreichen durchgerechneten Beispiele. Sie sollen das Verst¨ andnis unterst¨ utzen und eine Anleitung zur Behandlung ¨ ahnlicher Probleme bilden. Die freundliche Aufnahme des Werkes bei der Leserschaft macht diese Neuauﬂage erforderlich. Wir haben sie genutzt, um eine Reihe von Verbesserungen und Erg¨ anzungen vorzunehmen. Das Lehrbuch Technische Mechanik 4 geht zu einem guten Teil auf unseren verstorbenen Kollegen Prof. Dr. Dr.h.c. Walter Schnell zur¨ uck, der bis zur dritten Auﬂage Mitautor war. Seine Hand-

VI

¨ schrift ist in der vorliegenden Neuauﬂage trotz der Uberarbeitung immer noch deutlich zu erkennen. Wir danken dem Springer-Verlag f¨ ur das Eingehen auf unsere W¨ unsche und f¨ ur die ansprechende Ausstattung des Buches. Darmstadt und Hannover, im Januar 2007

D. Gross W. Hauger P. Wriggers

Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4

Hydromechanik Eigenschaften einer Fl¨ ussigkeit ............................... Hydrostatik....................................................... Druck in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit ......................... Auftrieb ........................................................... Der schwimmende K¨ orper..................................... Druckkr¨afte auf ebene Fl¨achen............................... Druckkr¨afte auf gekr¨ ummte Fl¨achen ........................ Hydrodynamik ................................................... Kinematische Grundlagen ..................................... Stromfadentheorie .............................................. Str¨ omung mit Energieverlusten .............................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

3 5 5 13 18 21 28 33 33 36 55 68

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3

Grundlagen der Elastizit¨ atstheorie Spannungszustand .............................................. Spannungsvektor, Spannungstensor, Indexschreibweise.. Koordinatentransformation.................................... Hauptspannungen, Invarianten, Mohrsche Kreise......... Hydrostatischer Spannungszustand, Deviator ............. Gleichgewichtsbedingungen ................................... Deformation und Verzerrung ................................. Allgemeines ...................................................... Inﬁnitesimaler Verzerrungstensor ............................ Kompatibilit¨atsbedingungen .................................. Elastizit¨atsgesetz ................................................ Hookesches Gesetz ............................................. Isotropie .......................................................... Form¨anderungsenergiedichte .................................. Temperaturdehnungen ......................................... Grundgleichungen ............................................... Ebene Probleme................................................. Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand . Spannungs-Diﬀerentialgleichungen, Spannungsfunktion. Anwendungsbeispiele ...........................................

71 71 76 79 85 87 92 92 94 99 102 102 104 107 111 113 115 115 118 121

VIII

2.5.4 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.8

Verschiebungs-Dgln., Rotationssymmetrie ................. Torsion ............................................................ Allgemeines ...................................................... Grundgleichungen ............................................... Verw¨ olbungsfunktion und Torsionsfunktion ................ Energieprinzipien ................................................ Arbeitssatz ....................................................... S¨atze von Clapeyron und von Betti ......................... Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen ......................... Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

127 130 130 130 132 141 142 146 147 153

3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.7

Statik spezieller Tragwerke Einleitung......................................................... Der Bogentr¨ager ................................................ Gleichgewichtsbedingungen ................................... Der momentenfreie Bogentr¨ager ............................. Das Seil ........................................................... Gleichung der Seillinie.......................................... Seil unter Einzelkr¨aften ........................................ Kettenlinie........................................................ Der Schubfeldtr¨ager ............................................ Kraftﬂuss am Paralleltr¨ager ................................... Grundgleichungen ............................................... Saite und Membran ............................................ Die Saite.......................................................... Die Membran .................................................... Membrantheorie d¨ unner Rotationsschalen ................. Die Platte ........................................................ Grundgleichungen der Platte ................................. Randbedingungen f¨ ur die schubstarre Platte .............. Die Kreisplatte .................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

157 158 158 162 164 164 168 169 172 172 173 181 181 185 187 192 192 199 204 208

4 4.1 4.2 4.2.1

Schwingungen kontinuierlicher Systeme Einleitung......................................................... 211 Die Saite.......................................................... 212 Wellengleichung ................................................. 212

IX

4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.7

d’Alembertsche L¨ osung, Wellen .............................. Bernoullische L¨ osung, Schwingungen ....................... Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen .. Freie Longitudinalschwingungen ............................. Erzwungene Longitudinalschwingungen .................... Torsionsschwingungen.......................................... Biegeschwingungen von Balken .............................. Grundgleichungen ............................................... Freie Schwingungen ............................................ Erzwungene Schwingungen ................................... Wellenausbreitung .............................................. Eigenschwingungen von Membranen und Platten ........ Membranschwingungen ........................................ Plattenschwingungen........................................... Energieprinzipien ................................................ Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

5 5.1 5.2 5.2.1

Stabilit¨ at elastischer Strukturen Allgemeines ...................................................... Beschreibung typischer Stabilit¨atsf¨alle ...................... Der elastisch eingespannte Druckstab als Beispiel f¨ ur ein Verzweigungsproblem .......................................... Der Einﬂuss von Imperfektionen ............................. Ein Beispiel f¨ ur ein Durchschlagproblem ................... Verallgemeinerung .............................................. Stabknicken ...................................................... Der elastische Druckstab mit großen Verschiebungen – Die Elastica.................................................... Ermittlung der Knickgleichung mit der Energiemethode Der imperfekte Druckstab..................................... Plattenbeulen .................................................... Die Beulgleichung............................................... Die Rechteckplatte unter einseitigem Druck............... Die Kreisplatte .................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

5.2.2 5.2.3 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.6

214 218 224 224 230 233 235 235 238 247 251 254 254 258 261 268

271 272 272 278 283 285 290 290 295 299 302 302 305 311 314

X

6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.4

Viskoelastizit¨ at und Plastizit¨ at Einf¨ uhrung ....................................................... Viskoelastizit¨at .................................................. Modellrheologie ................................................. Materialgesetz in integraler Form............................ Plastizit¨at ........................................................ Allgemeines ...................................................... Fachwerke ........................................................ Balken............................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

317 320 321 340 344 344 351 358 368

7 7.1 7.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.4 7.4.1 7.4.2 7.5 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 7.6.5 7.6.6 7.7

Numerische Methoden in der Mechanik Einleitung......................................................... Diﬀerentialgleichungen in der Mechanik.................... Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme........... Explizite Integrationsverfahren ............................... Implizite Integrationsverfahren ............................... Diﬀerenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme ............... Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen ........................ Partielle Diﬀerentialgleichungen.............................. Methode der gewichteten Residuen ......................... Vorbemerkungen ................................................ Kollokationsverfahren .......................................... Galerkin-Verfahren .............................................. Numerische Integration ........................................ Beispiele .......................................................... Verfahren von Ritz.............................................. Methode der ﬁniten Elemente ................................ Einf¨ uhrung ....................................................... Aufstellung der Gleichungssysteme .......................... Stabelement...................................................... Balkenelement ................................................... Element f¨ ur die Kreisplatte ................................... Finite Elemente f¨ ur zweidimensionale Probleme .......... Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

371 371 374 374 383 387 387 393 398 398 399 399 402 404 410 419 419 423 426 429 435 438 455

XI

Englische Fachausdr¨ ucke .............................................. 457 Sachverzeichnis .......................................................... 475

Kapitel 1 Hydromechanik

1

1 Hydromechanik 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4

Eigenschaften einer Fl¨ ussigkeit............................... Hydrostatik....................................................... Druck in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit ........................ Auftrieb ........................................................... Der schwimmende K¨ orper .................................... Druckkr¨afte auf ebene Fl¨achen .............................. Druckkr¨afte auf gekr¨ ummte Fl¨achen ....................... Hydrodynamik ................................................... Kinematische Grundlagen ..................................... Stromfadentheorie .............................................. Str¨ omung mit Energieverlusten .............................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

3 5 5 13 18 21 28 33 33 36 55 68

1.1

Eigenschaften einer Fl¨ ussigkeit

3

1.1

1.1 Eigenschaften einer Fl¨ ussigkeit Die Hydromechanik ist die Lehre vom Gleichgewicht und von der Bewegung der Fl¨ ussigkeiten. Nach der Erfahrung unterscheiden sich Fl¨ ussigkeiten – und auch Gase – von den festen K¨orpern haupts¨ achlich dadurch, dass sie Form¨ anderungen, die langsam und ohne Volumen¨ anderung vor sich gehen, nur sehr geringen Widerstand entgegensetzen. Eine solche Form¨ anderung erf¨ahrt zum Beispiel eine Fl¨ ussigkeit, die sich zwischen zwei Platten beﬁndet, an diesen haftet und einer scherenden Belastung unterworfen wird (Abb. 1.1a). Das Verschieben der Teilchen gegeneinander erfolgt unter dem Einﬂuss von Schubspannungen (Abb. 1.1b) und dauert an, solange die Schubspannungen wirken. Eine Fl¨ ussigkeit ist daher ein Stoﬀ, der einer scherenden Beanspruchung unbegrenzt nachgibt. Dies bedeutet insbesondere, dass in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit keine Schubspannungen auftreten k¨onnen. ¨ Die Schubspannungen h¨ angen von der zeitlichen Anderung γ˙ des Winkels γ ab: τ = f (γ). ˙ Dabei gilt f (0) = 0. Bei manchen Fl¨ ussigkeiten stellt man im Experiment einen linearen Zusammenhang τ = η γ˙

(1.1)

ussigkeiten. fest. Solche Fl¨ ussigkeiten nennt man Newtonsche Fl¨ Die Gr¨ oße η heisst dynamische Viskosit¨ at (dynamische Z¨ ahigkeit, Scherz¨ ahigkeit) und wird zum Beispiel in Ns/m2 angegeben. Sie ist ein Materialparameter und h¨ angt u.a. von der Temperatur der Fl¨ ussigkeit ab. Wenn man den Schubversuch nach Abb. 1.1a mit einem elastischen Festk¨ orper statt mit einer Fl¨ ussigkeit durchf¨ uhrt, dann stellt sich ein zeitunabh¨ angiger Winkel γ ein. Dabei gilt anstelle von (1.1) das Hookesche Gesetz (Band 2, Gl. (3.10)) τ = Gγ.

Abb. 1.1

4

1 Hydromechanik

In vielen F¨ allen ist es zul¨ assig, die bei der Bewegung einer Fl¨ ussigkeit auftretenden Schubspannungen zu vernachl¨assigen. Dies stellt eine Idealisierung der wirklichen Vorg¨ange dar und vereinfacht die Behandlung von praktischen Problemen betr¨achtlich. ussigkeit. Dagegen Man spricht dann von einer reibungsfreien Fl¨ nennt man eine Fl¨ ussigkeit, bei der die Schubspannungen ber¨ ucksichtigt werden, eine z¨ ahe (viskose) Fl¨ ussigkeit. Fl¨ ussigkeiten erfahren selbst unter hohem Druck nur eine sehr geringe Volumen¨ anderung. Man kann sie daher bei fast allen praktisch wichtigen Vorg¨ angen als inkompressibel betrachten. Dann ist die Dichte vom Druck unabh¨ angig; sie kann aber bei inhomogenen Fl¨ ussigkeiten vom Ort und von der Zeit abh¨ angen. F¨ ur homogene, inkompressible Fl¨ ussigkeiten ist die Dichte r¨ aumlich und zeitlich konstant: = const .

(1.2)

Eine reibungsfreie Fl¨ ussigkeit mit konstanter Dichte nennt man ideale Fl¨ ussigkeit. Wir wollen im folgenden immer voraussetzen, dass (1.2) gilt. Wie bereits erw¨ ahnt, setzen auch Gase einer scherenden Beanspruchung nur sehr geringen Widerstand entgegen. Im Gegensatz zu Fl¨ ussigkeiten besitzen Gase aber keine freie Oberﬂ¨ache. Sie f¨ ullen jeden ihnen zur Verf¨ ugung stehenden Raum – gegebenenfalls ¨ unter Anderung ihrer Dichte – vollst¨ andig aus. Die Dichte h¨angt dabei stark vom Druck und von der Temperatur ab. Die Erfahrung zeigt allerdings, dass die Dichte¨ anderung in Sonderf¨allen auch bei Gasen gering sein kann und dann vernachl¨ assigbar ist. Dies gilt zum Beispiel, wenn die Str¨ omungsgeschwindigkeit des Gases klein gegen die Schallgeschwindigkeit im Gas ist und wenn keine großen Druck- und Temperaturunterschiede vorhanden sind. Dann kann man auch bei einem Gas die Dichte als konstant ansehen und das Gas wie eine Fl¨ ussigkeit behandeln. Str¨ omungsvorg¨ange, die mit großen Volumen- bzw. Dichte¨ anderungen verbunden sind, werden in der Gasdynamik untersucht. Das Unterscheidungsmerkmal zwischen Fl¨ ussigkeiten und Gasen wird durch den Begriﬀ tropfbar cha-

1.2

Hydrostatik

5

rakterisiert. Als Oberbegriﬀ f¨ ur beide Aggregatzust¨ande hat sich urgert: tropfbare Fluide sind Fl¨ ussigdie Bezeichnung Fluid eingeb¨ keiten, nicht tropfbare Fluide sind Gase.

1.2 Hydrostatik Die Hydrostatik ist die Lehre vom Verhalten ruhender Fl¨ ussigkeiten. Von besonderem Interesse sind hierbei die Verteilung des Drucks in einer Fl¨ ussigkeit sowie die Kr¨ afte, die von einer Fl¨ ussigkeit auf in ihr schwimmende K¨ orper oder auf sie begrenzende Fl¨ achen ausge¨ ubt werden. Zu deren Ermittlung verwenden wir das Schnittprinzip (Band 1, Abschn. 1.4) sowie die Gleichgewichtsbedingungen. Beide gelten nicht nur bei festen, sondern auch bei ﬂ¨ ussigen Stoﬀen. Da die Schubspannungen in beliebigen ruhenden Fl¨ ussigkeiten ¨ Null sind, gelten die folgenden Uberlegungen gleichermaßen f¨ ur reibungsfreie und f¨ ur z¨ ahe Fl¨ ussigkeiten. 1.2.1 Druck in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit

Nach Abschnitt 1.1 treten in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit nur Normalspannungen auf. Bei Vorg¨ angen von technischer Bedeutung sind dies Druckspannungen. Sie k¨ onnen nach dem Schnittprinzip veranschaulicht und einer Berechnung zug¨ anglich gemacht werden. Wir wollen im folgenden zeigen, dass die Druckspannungen in einem beliebigen Punkt der Fl¨ ussigkeit unabh¨ angig von der Orientierung des Schnittes sind. Dazu denken wir uns dort einen kleinen Keil der Dicke Δz aus der Fl¨ ussigkeit geschnitten; er ist in Abb. 1.2 in der Seitenansicht dargestellt. Der Winkel α ist dabei beliebig gew¨ ahlt. Die auf die Schnittﬂ¨ achen wirkenden Spannungen sind im Bild als Druckspannungen eingezeichnet und mit p, px und py bezeichnet. Außerdem wird das Element durch eine Volumenkraft f mit den Komponenten fx , fy und fz belastet. Das Kr¨ aftegleichgewicht in x- und in y-Richtung liefert → : px ΔyΔz − pΔsΔz cos α + fx 21 ΔxΔyΔz = 0 , ↑ : py ΔxΔz − pΔsΔz sin α + fy 12 ΔxΔyΔz = 0 .

1.2

6

1 Hydromechanik

Abb. 1.2

Mit Δx = Δs sin α und Δy = Δs cos α folgt daraus px = p − fx Δx/2 , py = p − fy Δy/2 . Wir lassen nun das Volumen des Keils gegen Null gehen. Mit Δx → 0 und Δy → 0 erhalten wir dann px = py = p . Mit Hilfe eines Tetraeders (vgl. Abschnitt 2.1.1) l¨asst sich zeigen, dass insgesamt gilt: px = p y = p z = p .

(1.3)

Die Druckspannung p nennt man kurz den Druck. Nach (1.3) ist in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit der Druck in einem Punkt in allen Richtungen gleich. Diese Erkenntnis geht auf den Mathematiker und Physiker Blaise Pascal (1623–1662) zur¨ uck. Somit h¨angt der Druck nur vom Ort ab: p = p(x, y, z). Er hat die Dimension Kraft/Fl¨ache und wird in der nach Pascal benannten Einheit 1 Pa = 1 N/m2 oder in der Einheit 1 bar = 105 Pa angegeben (1 MPa = 1 N/mm2 ). Da in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit keine Schubspannungen auftreten und die Normalspannungen nach (1.3) gleich groß sind, ist der Spannungstensor durch ⎡ ⎤ −p 0 0 ⎢ ⎥ σ = ⎣ 0 −p 0 ⎦ (1.4) 0

0 −p

1.2

Hydrostatik

7

gegeben (vgl. Abschnitt 2.1.4). Ein solcher Spannungszustand heisst hydrostatischer Spannungszustand.

Abb. 1.3

Eine Fl¨ ussigkeit, auf die als einzige Volumenkraft die Schwerkraft wirkt, nennt man schwere Fl¨ ussigkeit. Um die Druckverteilung in einer schweren Fl¨ ussigkeit zu bestimmen, schneiden wir zun¨achst einen Zylinder (Querschnittsﬂ¨ ache ΔA) mit horizontaler Achse (Abb. 1.3a) aus der Fl¨ ussigkeit (die vertikalen Kr¨afte sind im Freik¨ orperbild nicht eingezeichnet). Aus der Gleichgewichtsbedingung p1 ΔA − p2 ΔA = 0 folgt, dass an den Stellen { und | in gleicher Tiefe der gleiche Druck herrscht. Der Druck kann daher nur von der Tiefe abh¨ angen. Um diese Abh¨ angigkeit zu ermitteln, betrachten wir eine vertikale Fl¨ ussigkeitss¨ aule (Querschnittsﬂ¨ache A) nach Abb. 1.3b (hier sind die horizontalen Kr¨ afte nicht eingezeichnet). Die Oberseite der S¨ aule beﬁndet sich an der Oberﬂ¨ache der Fl¨ ussigkeit. Dort herrscht der Luftdruck p0 . An der Unterseite, d.h. in der Tiefe z, gilt p = p(z). Mit dem Gewicht G = gAz der S¨ aule folgt somit aus dem Kr¨ aftegleichgewicht ↑: p(z)A − G − p0 A = 0 →

p(z) = p0 + gz .

(1.5)

In einer schweren Fl¨ ussigkeit w¨ achst demnach der Druck linear mit der Tiefe (Abb. 1.3c). Die Gleichung (1.5) kann auch dann zur Bestimmung der Druckverteilung verwendet werden, wenn mehrere Fl¨ ussigkeiten mit verschiedenen Dichten in horizontalen Schichten angeordnet sind. So herrscht zum Beispiel in der Trennﬂ¨ ache zwischen den beiden in Abb. 1.4 dargestellten Fl¨ ussigkeiten mit den Dichten 1 und 2 der Druck p1 = p0 +1 gh, und in der Tiefe z unterhalb der Trennﬂ¨ache lautet der Druck p(z) = p1 + 2 gz.

8

1 Hydromechanik

Abb. 1.4

Nach (1.5) ist der Druck in einer schweren Fl¨ ussigkeit an allen Stellen gleicher Tiefe gleich groß. Somit ist der Druck am Boden eines Gef¨ aßes unabh¨ angig von der Gef¨ aßform. Wenn die Bodenﬂ¨achen A verschiedener Gef¨ aße gleich groß sind (Abb. 1.5), dann wird – unabh¨ angig vom jeweiligen Gesamtgewicht der Fl¨ ussigkeit – jeweils die gleiche Kraft F von der Fl¨ ussigkeit auf den Boden ausge¨ ubt. Dies nennt man das Pascalsche oder hydrostatische Paradoxon.

Abb. 1.5

In den kommunizierenden R¨ ohren nach Abb. 1.6a ist der Druck an den Fl¨ ussigkeitsspiegeln gleich dem Umgebungsdruck p0 . Daher stehen die Fl¨ ussigkeitsspiegel in den beiden Schenkeln des Rohres gleich hoch. Wenn die beiden Schenkel dagegen zum Beispiel an Druckbeh¨ alter angeschlossen sind und unterschiedliche Dr¨ ucke p1 und p2 and den Fl¨ ussigkeitsspiegeln herrschen, dann stellt sich ein H¨ ohenunterschied Δh ein (Abb. 1.6b). Da der Druck im rechten Schenkel in der H¨ ohe des linken Fl¨ ussigkeitsspiegels ebenfalls gleich p1 ist, gilt nach (1.5) die Beziehung p1 = p2 + g Δh .

(1.6)

Danach kann zum Beispiel bei bekanntem Druck p2 der Druck p1 durch Messen des H¨ ohenunterschiedes Δh bestimmt werden. Dies wird bei Fl¨ ussigkeitsmanometern angewendet.

1.2

Hydrostatik

9

Mit einem Barometer misst man den Druck in der Erdatmosph¨are. Wenn der eine Schenkel abgeschlossen und die Luft oberhalb der Fl¨ ussigkeit entfernt worden ist (Abb. 1.6c), dann stellt sich nach (1.6) unter der Wirkung des Luftdrucks p0 ein H¨ohenunterschied p0 Δh = g ein. Der Druck p0 , der bei Verwendung von Quecksilber mit der Dichte = 13, 594 · 103 kg/m3 beim Normwert g = 9, 80665 m/s2 der Erdbeschleunigung zu einer H¨ ohendiﬀerenz von Δh = 760 mm f¨ uhrt, wird Normalluftdruck genannt. Er ergibt sich zu p0 = 1, 0132 bar = 1013, 2 mbar = 1013, 2 hPa (Hektopascal).

Abb. 1.6

In Wasser ( = 103 kg/m3 ) herrscht nach (1.5) in einer Tiefe von z = 10 m der Druck p = p0 + 0, 980665 bar ≈ 2 p0 . Er ist somit ungef¨ ahr doppelt so groß wie der Luftdruck. Bei einer hydraulischen Presse (Abb. 1.6d) wirken die Kr¨afte F1 und F2 auf die in die Schenkel eingepassten Kolben mit den afte erzeugen die Dr¨ ucke p1 und p2 Fl¨ achen A1 und A2 . Diese Kr¨ an den Kolben. Bei praktischen Anwendungen ist meist g Δh aherungsweise p1 , p2 , so dass aus (1.6) n¨ p1 = p2 →

F1 F2 = A1 A2

→

F1 A1 = F2 A2

folgt. W¨ ahlt man zum Beispiel A1 A2 , so gilt F1 F2 , d.h., man braucht nur eine sehr kleine Kraft F2 , um F1 das Gleichgewicht zu halten.

10

1 Hydromechanik

Wir betrachten nun eine Fl¨ ussigkeit, auf die eine beliebige Volumenkraft wirkt. Zwischen der Volumenkraft f und dem Druck p besteht ein Zusammenhang. Um ihn herzuleiten, denken wir uns den in Abb. 1.7 in der Seitenansicht dargestellten inﬁnitesimalen Quader (Kantenl¨ angen dx, dy, dz) aus der Fl¨ ussigkeit herausgeschnitten. Da der Druck vom Ort abh¨ angt, ist er auf gegen¨ uberliegenden Fl¨ achen i.a. nicht gleich groß. So wirkt auf der linken Schnittﬂ¨ ache der Druck p und auf der rechten Fl¨ache der inﬁni∂p dx. tesimal ge¨ anderte Druck p + ∂x

Abb. 1.7

Das Kr¨ aftegleichgewicht in x-Richtung liefert ∂p dx dydz = 0 → p dydz + fx dxdydz − p + ∂x

∂p = fx . ∂x

Wenn wir entsprechend auch das Kr¨ aftegleichgewicht in y- und in z-Richtung bilden, so erhalten wir insgesamt den gesuchten Zusammenhang ∂p = fx , ∂x

∂p = fy , ∂y

∂p = fz . ∂z

(1.7)

Mit Hilfe des Gradientenvektors (Band 3, Abschn. 1.2.7) kann (1.7) auch in der vektoriellen Form grad p = f

(1.8)

geschrieben werden. Die Punkte, in denen der gleiche Druck achen nennt. p = const herrscht, bilden Fl¨ achen, die man Niveauﬂ¨

1.2

Hydrostatik

11

Ein konservatives Kraftfeld ist aus einem Potential (potentielle Energie) Ep herleitbar: f = −grad Ep . Da f eine Volumenkraft ist, stellt Ep eine potentielle Energie pro Volumeneinheit dar. Durch Vergleich mit (1.8) erh¨ alt man einen Zusammenhang zwischen der potentiellen Energie der Volumenkraft und der Druckverteilung in der Fl¨ ussigkeit: p (x, y, z) = − Ep (x, y, z) + C .

(1.9)

Dabei ist C eine beliebig w¨ ahlbare Konstante. Demnach sind die Fl¨ achen gleichen Drucks (Niveauﬂ¨ achen) identisch mit den Fl¨achen ¨ gleichen Potentials (Aquipotentialﬂ¨achen). Da der Gradientenvek¨ tor (1.8) normal zur Niveauﬂ¨ ache steht, ist diese (bzw. die Aquipotentialﬂ¨ ache) in einem Punkt orthogonal zur Richtung der dort wirkenden Volumenkraft. Bei einer schweren Fl¨ ussigkeit stellen diese Fl¨ achen horizontale Ebenen dar. Beispiel 1.1 Ein oﬀenes U-Rohr enth¨ alt zwei sich nicht mischen-

B1.1

de Fl¨ ussigkeiten mit verschiedenen Dichten (Abb. 1.8a). Gegeben sind p0 , 1 , h2 und Δh. Man bestimme 2 .

Abb. 1.8

L¨ osung In der Fl¨ ussigkeit | ist der Druck an der Trennﬂ¨ache nach ussigkeit (1.5) durch p2 = p0 +2 g h2 gegeben. Der Druck in der Fl¨ { an der Trennﬂ¨ ache stimmt mit dem im linken Schenkel auf gleicher H¨ ohe herrschenden Druck p1 = p0 +1 g(h2 −Δh) u ¨berein (Abb. 1.8b). Gleichsetzen der Dr¨ ucke liefert

p 1 = p2

→

2 = (1 − Δh/h2 ) 1 .

Ein Beh¨ alter mit Fl¨ ussigkeit (Dichte ) rotiert als Ganzes mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine feste,

Beispiel 1.2

B1.2

12

1 Hydromechanik

vertikale Achse (Abb. 1.9a). Gesucht sind die Druckverteilung in der Fl¨ ussigkeit und die Form der freien Oberﬂ¨ ache.

Abb. 1.9

L¨ osung Wir f¨ uhren die Aufgabe auf ein statisches Problem zur¨ uck und bestimmen die Druckverteilung aus den Volumenkr¨aften nach (1.7). In radialer Richtung wirkt die d’Alembertsche Tr¨agheitskraft fr = r ω 2 (Band 3, Abschn. 4.1), in vertikaler Richtung wirkt die Gewichtskraft fz = g (Abb. 1.9b). Aus

∂p = fr ∂r

bzw.

∂p = fz ∂z

folgt durch Integration p (r, z) = 12 ω 2 r2 + ϕ(z)

bzw.

p (r, z) = gz + ψ(r) .

Dabei sind ϕ(z) bzw. ψ(r) zun¨ achst unbekannte Funktionen von z bzw. r. Durch Vergleich der beiden Ausdr¨ ucke f¨ ur p erkennt man, dass p (r, z) =

1 2

ω 2 r2 + gz + C

gilt, wobei C eine Konstante ist. Da bei dem gew¨ahlten Koordinatensystem (Abb. 1.9b) an der Stelle r = 0, z = 0 der Druck gleich dem Luftdruck p0 sein muss, folgt C = p0 . Die Druckverteilung in der Fl¨ ussigkeit ergibt sich damit zu p (r, z) = p0 + 12 ω 2 r2 + gz .

(a)

In vertikaler Richtung nimmt hiernach der Druck wie in einer nichtrotierenden Fl¨ ussigkeit linear mit der Tiefe zu, in horizontaler Richtung steigt er mit dem Quadrat der Entfernung von der Drehachse. An der freien Oberﬂ¨ ache gilt p = p0 . Damit erh¨alt man aus (a)

1.2

Hydrostatik

13

die Gleichung der Oberﬂ¨ ache: z=−

ω2 2 r . 2g

Die freie Oberﬂ¨ ache ist somit ein Rotationsparaboloid. 1.2.2 Auftrieb

Wenn man einen an eine Federwaage geh¨ angten K¨orper in eine ruhende Fl¨ ussigkeit eintaucht, stellt man an der Waage eine scheinbare Gewichtsverminderung fest. Sie entsteht dadurch, dass von der Fl¨ ussigkeit ﬂ¨ achenhaft verteilte Kr¨ afte auf den K¨orper ausge¨ ubt werden, deren Resultierende vertikal nach oben gerichtet ist. Diese resultierende Kraft nennt man Auftrieb.

Abb. 1.10

Um den Auftrieb zu bestimmen, betrachten wir einen beliebig geformten K¨ orper mit dem Volumen V , der zun¨achst vollst¨andig eingetaucht sein soll. Wir denken uns den K¨ orper aus vertikalen Elementarzylindern aufgebaut. Ein solcher Zylinder mit der Querschnittsﬂ¨ ache dA und der H¨ ohe h ist in Abb. 1.10a dargestellt. Auf seine schr¨ age Oberseite dA1 bzw. Unterseite dA2 wirken die Kr¨ afte p1 dA1 bzw. p2 dA2 . Mit den Winkeln α1 und α2 gilt nach Abb. 1.10b der Zusammenhang dA = dA1 cos α1 = dA2 cos α2 . Damit erhalten wir die Vertikalkomponente der resultierenden Kraft der Fl¨ ussigkeit auf den Elementarzylinder (positiv nach

14

1 Hydromechanik

oben gez¨ ahlt) zu dFA = p2 dA2 cos α2 − p1 dA1 cos α1 → dFA = (p2 − p1 )dA . Nach der hydrostatischen Druckgleichung (1.5) gilt p2 −p1 = g h, wobei die Dichte der Fl¨ ussigkeit ist. Mit dem Volumen dV = h dA des Zylinders ergibt sich daher dFA = g dV . Die gesamte resultierende Kraft nach oben – d.h. der Auftrieb – folgt durch Integration u orper: ¨ber den K¨

FA = g dV . V

Da und g konstant sind, erh¨ alt man daraus mit schließlich FA = gV .

dV = V

V

(1.10)

Der Auftrieb ist somit gleich dem Gewicht der verdr¨angten Fl¨ ussigkeitsmenge. Dieser Zusammenhang wurde bereits von Archimedes (287–212) gefunden und wird daher Archimedisches Prinzip genannt. Die Wirkungslinie des Auftriebs geht wie die Wirkungslinie der Gewichtskraft durch den Schwerpunkt SF der verdr¨angten Fl¨ ussigkeitsmenge. Um zu zeigen, dass die Horizontalkomponente der von der Fl¨ ussigkeit auf den K¨ orper ausge¨ ubten Kraft Null ist, denken wir uns den K¨ orper aus horizontalen Elementarzylindern aufgebaut. Die Endﬂ¨ achen eines Zylinders mit beliebiger Orientierung beﬁnden sich jeweils in gleicher Tiefe. Daher herrscht dort jeweils der gleiche Druck, und die in Richtung der Zylinderachse wirkenden Kraftkomponenten sind im Gleichgewicht. Somit ist auch die resultierende Kraft in beliebiger horizontaler Richtung Null. Der Auftrieb kann auch auf anschauliche Weise bestimmt werden. Dazu denkt man sich den K¨ orper aus der Fl¨ ussigkeit entfernt und den von ihm vorher eingenommenen Raum (Volumen

1.2

Hydrostatik

15

V , Oberﬂ¨ ache O) mit der Fl¨ ussigkeit selbst ausgef¨ ullt. Da die Fl¨ ussigkeit in Ruhe ist, m¨ ussen die an der Oberﬂ¨ ache O angreifenden Fl¨ achenkr¨ afte mit der Gewichtskraft G = g V , deren Wirkungslinie durch den Schwerpunkt geht, im Gleichgewicht sein. Die Resultierende aus den Fl¨ achenkr¨ aften – d.h. der Auftrieb – ist demnach dem Betrag nach gleich dem Gewicht der Fl¨ ussigkeitsmenge, geht durch deren Schwerpunkt SF und ist nach oben gerichtet. Da die an der Oberﬂ¨ ache O wirkenden Fl¨achenkr¨afte nicht davon abh¨ angen, welches Material sich im Innern von O beﬁndet, gilt diese Aussage auch f¨ ur einen eingetauchten K¨orper. Wenn der K¨ orper nicht vollst¨ andig, sondern nur teilweise eingetaucht ist, dann ist der Auftrieb ebenfalls gleich dem Gewicht der verdr¨ angten Fl¨ ussigkeitsmenge und geht durch deren Schwerpunkt. Beispiel 1.3 Eine unten oﬀene, zylindrische Taucherglocke (Querschnittsﬂ¨ ache A, H¨ohe h, Gewicht G) wird u ¨ber ein Seil in einen See langsam nach unten gelassen (Abb. 1.11a). Dabei ¨andern sich Druck und Volumen der Luft in der Glocke nach dem Gesetz pV = const. In welcher Tiefe t ist das Volumen der Luft auf die H¨alfte des urspr¨ unglichen Wertes abgesunken? Wie groß ist dann die Seilkraft?

Abb. 1.11

L¨ osung Wenn das Luftvolumen auf die H¨ alfte abgesunken ist, dann hat sich wegen pV = const der Druck verdoppelt, und die

B1.3

16

1 Hydromechanik

Taucherglocke hat sich bis zur H¨ alfte mit Wasser gef¨ ullt (Abb. 1.11b). Die Trennﬂ¨ ache zwischen der Luft und dem Wasser beﬁndet sich in der Tiefe t + h/2. Somit gilt p0 + g (t + h/2) = 2p0

→

t=

h p0 − . g 2

Aus der Gleichgewichtsbedingung ↑: S − G + FA = 0 folgt mit der Auftriebskraft FA = g A h/2 die Seilkraft zu S = G − g A h/2 . B1.4

Beispiel 1.4 Ein Tr¨ ager ruht nach Abb. 1.12a auf zwei gleichen

Schwimmern (Grundﬂ¨ ache A). Um welchen Winkel ist der Tr¨ager geneigt, wenn eine Last (Gewicht G) im Abstand a vom linken Ufer aufgebracht wird?

Abb. 1.12

L¨ osung Wenn die Last aufgebracht wird, sinken die Schwimmer im

Vergleich zur unbelasteten Ausgangslage tiefer ein. Wir betrachten im folgenden nur diese zus¨ atzlichen Eintauchtiefen sowie die

1.2

Hydrostatik

17

entsprechenden Kr¨ afte. Wir denken uns den Tr¨ ager von den Schwimmern getrennt. Die auf die Teilk¨ orper wirkenden Kr¨ afte sind im Freik¨orperbild Abb. 1.12b dargestellt. Aus den Gleichgewichtsbedingungen am Tr¨ager sowie an den Schwimmern folgt: B 2 : B1 l − G(l − a) = 0 B 1 : B2 l − Ga = 0 ↑ : ΔFA1 = B1 , ΔFA2

l−a G, l a → B2 = G , l = B2 . →

B1 =

Außerdem gilt nach der Archimedischen Auftriebsformel (1.10): ΔFA1 = g A Δt1 , ΔFA2 = g A Δt2 . Auﬂ¨ osen liefert die zus¨ atzlichen Eintauchtiefen Δt1 =

(l − a)G aG , Δt2 = . gAl gAl

Daraus folgt der Neigungswinkel α (Abb. 1.12c): sin α =

Δt1 − Δt2 l

→ sin α =

(l − 2a)G . g A l2

Beispiel 1.5 Ein homogener Stab (L¨ ange l, Querschnittsﬂ¨ache A, Dichte S ) ist an seinem Ende in B drehbar gelagert (Abb. 1.13a) und taucht mit dem anderen Ende in eine Fl¨ ussigkeit (Dichte F > S ). Gesucht sind die Eintauchl¨ ange x und der Neigungswinkel α.

Abb. 1.13

Auf den eingetauchten Stab wirken das Gewicht G = S g A l, der Auftrieb FA = F g Ax und die Lagerreaktion B

L¨ osung

B1.5

18

1 Hydromechanik

(Abb. 1.13b). Aus dem Momentengleichgewicht x l cos α = 0 B : G cos α − FA l − 2 2 ergibt sich eine quadratische Gleichung f¨ ur die Eintauchl¨ange: (+) S 2 S l − F x(2l − x) = 0 → x = l 1 − 1− . (a) F Das positive Vorzeichen vor der Wurzel ist wegen x < l auszuschließen. Der Neigungswinkel folgt aus der Geometrie: h h sin α = → sin α = . (b) l−x l 1 − / S

F

Im Fall h = l 1 − S /F nimmt der Stab eine vertikale Lage ein (sin α = 1). F¨ ur h > l 1 − S /F gilt ebenfalls α = π/2 (die Gleichungen (a) und (b) gelten dann nicht mehr).

1.2.3 Der schwimmende K¨ orper

Wir betrachten einen teilweise in eine Fl¨ ussigkeit eingetauchten, symmetrischen K¨ orper mit dem Gewicht G, der in Abb. 1.14a im Schnitt dargestellt ist. Die von der x, y-Ebene aus dem K¨orper geschnittene Fl¨ ache A heisst Schwimmﬂ¨ ache. Damit der K¨orper in der dargestellten Lage schwimmen kann, m¨ ussen sowohl das Kr¨ aftegleichgewicht als auch das Momentengleichgewicht erf¨ ullt

Abb. 1.14

1.2

Hydrostatik

19

sein. Das Kr¨ aftegleichgewicht lautet G − FA = 0 .

(1.11)

Der K¨ orper taucht daher so tief ein, bis das Gewicht der verdr¨angten Fl¨ ussigkeit gleich seinem eigenen Gewicht ist. Wegen der vorausgesetzten Symmetrie liegen der Schwerpunkt SK des K¨orpers angten Fl¨ ussigkeitsmenge auf und der Schwerpunkt SF der verdr¨ der z-Achse. Somit fallen die Wirkungslinien der beiden Kr¨afte G ullt. und FA zusammen, und das Momentengleichgewicht ist erf¨ Um die Stabilit¨ at der Gleichgewichtslage in Bezug auf eine Drehung um die x-Achse zu untersuchen, betrachten wir eine um einen kleinen Winkel Δα gedrehte benachbarte Lage (Abb. 1.14b). Wenn wir mit dA ein Fl¨ achenelement in der Schwimmﬂ¨ache mit ¨ dem Abstand y von der Drehachse bezeichnen, dann ist die Anderung ΔV des Volumens V der verdr¨ angten Fl¨ ussigkeit durch

ΔV = y Δα dA = Δα y dA gegeben. Dabei ist die Integration u ¨ber die gesamte Schwimmﬂ¨ache zu erstrecken. Da die x-Achse eine Schwerachse der Schwimmﬂ¨ ache ist, gilt ΔV = 0. Somit ¨ andert sich bei einer kleinen Drehung der Betrag der Auftriebskraft nicht. Dagegen verschiebt sich deren Wirkungslinie, da sich die Lage des Schwerpunkts der verdr¨ angten Fl¨ ussigkeitsmenge a ¨ndert: der Punkt SF geht in den aftepaar mit dem Punkt SF u ¨ber. Dann bilden G und FA ein Kr¨ Moment ΔM = ΔyFA .

(1.12)

Dieses Moment wird durch die verteilten Kr¨ afte in den schraﬃerten Bereichen erzeugt:

ΔM = y g dV . Mit dem Volumenelement dV = y Δα dA und dem Fl¨achentr¨agheits moment Ix = y 2 dA folgt ΔM = g Ix Δα .

20

1 Hydromechanik

Durch Vergleichen mit (1.12) erh¨ alt man daraus Δy FA = g Ix Δα .

(1.13)

Da zwischen dem Hebelarm Δy und dem Drehwinkel Δα nach Abb. 1.14c der Zusammenhang Δy = (e + hM )Δα besteht, ergibt sich mit FA = g V aus (1.13) hM =

Ix − e. V

(1.14)

Der Schnittpunkt der Wirkungslinie von FA mit der Geraden durch die Punkte SF und SK heisst Metazentrum M. Seine Lage wird durch die H¨ ohe hM bestimmt. Wenn das Metazentrum uckstelloberhalb von SK liegt (hM > 0), dann bildet ΔM ein R¨ moment, und die Gleichgewichtslage nach Abb. 1.14a ist stabil. Beﬁndet sich M dagegen unterhalb von SK (hM < 0), dann ist die Gleichgewichtslage instabil. Als einfaches Beispiel betrachten wir ein in einer Fl¨ ussigkeit (Dichte F ) schwimmendes, homogenes Brett (L¨ange l, Breite b, H¨ ohe h, Dichte B ), das die Eintauchtiefe t hat (Abb. 1.15). Mit dem Gewicht G = B g l b h des Bretts und dem Auftrieb FA = F g l b t folgt nach (1.11) t = B. h F Da t < h sein muss, kann das Brett somit nur dann schwimmen, wenn seine Dichte kleiner als die Dichte der Fl¨ ussigkeit ist. Mit

Abb. 1.15

1.2

Hydrostatik

21

Ix = l b3 /12, V = l b t und e = (h − t)/2 erh¨ alt man aus (1.14) hM =

1 b2 − (h − t) . 12 t 2

An der Stabilit¨ atsgrenze hM = 0 folgt daraus b2 = 6 t(h − t) . Bei vorgegebenen Werten von h und t ist die Gleichgewichtslage ur b2 < 6 t (h stabil f¨ ur b2 > 6 t (h − t) und instabil f¨ − t). Hieraus ur eine folgt zum Beispiel f¨ ur t = h/2 die Bedingung b > 3/2 h f¨ stabile Gleichgewichtslage. 1.2.4 Druckkr¨ afte auf ebene Fl¨ achen

F¨ ur viele praktische Anwendungen ist es erforderlich, die Kr¨afte zu bestimmen, die durch den hydrostatischen Druck auf Berandungen (Beh¨ alterw¨ ande, Staumauern, usw.) bzw. auf Teilﬂ¨achen der Berandung (Lukendeckel, Klappen, Schieber) hervorgerufen werden. Wir beschr¨ anken uns dabei zun¨ achst auf ebene Fl¨achen. Zu diesem Zweck betrachten wir eine nach Abb. 1.16a um den Winkel α geneigte, ebene Teilﬂ¨ ache A, die sich vollst¨andig unterhalb des Fl¨ ussigkeitsspiegels beﬁndet. F¨ ur die resultierende Druckkraft F gilt

F = p dA . (1.15) A

Abb. 1.16

22

1 Hydromechanik

Wir wollen zun¨ achst nur die von der Fl¨ ussigkeit allein erzeugte uhrenden Anteil Kraft ermitteln, d.h., den vom Luftdruck p0 herr¨ nicht ber¨ ucksichtigen. Dann gilt in der Tiefe z f¨ ur den Druck p = g z. Wenn wir ein x, y-Koordinatensystem gem¨aß Abb. 1.16a, b einf¨ uhren, dann l¨ asst sich dieser mit z = y sin α in der Form p = g y sin α schreiben. Einsetzen in (1.15) liefert

F = g sin α y dA . (1.16) Mit

A

y dA = yS A (Band 1, Gl. (4.11)) sowie yS sin α = zS folgt

A

daraus F = g zS A, und wegen pS = g zS ergibt sich schließlich F = pS A .

(1.17)

Die resultierende Kraft ist demnach gleich dem Produkt aus dem Druck im Fl¨ achenschwerpunkt und der Fl¨ ache. Die Wirkungslinie von F folgt aus der Bedingung, dass das Moment dieser Kraft bez¨ uglich jeder beliebigen Achse gleich dem entsprechenden resultierenden Moment der Fl¨ achenlast p sein muss. Wenn wir die x-Achse als Bezugsachse w¨ ahlen und den Abstand der Wirkungslinie von der x-Achse mit yD bezeichnen (Abb. 1.16), dann erhalten wir

F yD = y p dA = g sin α y 2 dA . A

A

Einsetzen von F nach (1.16) liefert 2 y dA . yD = y dA 2 F¨ uhren wir das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment Ix = A y dA und das statische Moment Sx = A y dA ein, so ergibt sich daraus yD =

Ix . Sx

(1.18)

1.2

Hydrostatik

23

Aus der Momentenbeziehung um die y-Achse F xD = A x p dA ﬁnden wir entsprechend den Abstand xD der Wirkungslinie von der y-Achse zu xD = −

Ixy . Sx

(1.19)

Dabei ist Ixy = − A x y dA das Deviationsmoment. Der Punkt D auf der Fl¨ ache mit den Koordinaten xD und yD heisst Druckmittelpunkt. Wenn die y-Achse eine Symmetrieachse der Fl¨ache darstellt, dann ist Ixy = 0, d.h., der Druckmittelpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Nach dem Satz von Steiner (Band 2, Abschn. 4.2.2) gilt Ix = IxS + yS2 A , achenmoment bez¨ uglich einer zur x-Achse pawobei IxS das Fl¨ rallelen Achse durch den Schwerpunkt S der Fl¨ache ist. Damit folgt aus (1.18) Ix + yS2 A Ix = yS + S . (1.20) yD = S yS A yS A Da IxS , yS und A positiv sind, gilt yD > yS . Der Druckmittelpunkt D liegt somit tiefer als der Schwerpunkt S. ucksichtigt, dann ergibt sich die Wenn man den Luftdruck p0 ber¨ resultierende Kraft weiterhin aus (1.17). F¨ ur pS muss in diesem Fall der Druck pS = p0 + g zS eingesetzt werden. Die Wirkungslinie geht durch den Kr¨ aftemittelpunkt der von der Fl¨ ussigkeit allein erzeugten Kraft und der vom Luftdruck herr¨ uhrenden Kraft p0 A. Die Wirkungslinie von p0 A geht dabei durch den Schwerpunkt S der Fl¨ ache A. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine rechteckige Fl¨ache (H¨ ohe a, Breite b), deren Oberkante nach Abb. 1.17a horizontal verl¨ auft. Mit dem Druck pS = g zS = g sin α (c + a/2) und der Fl¨ ache A = ab erh¨alt man aus (1.17) die resultierende Kraft der Fl¨ ussigkeit auf die Fl¨ ache zu F = 12 g sin α (2c + a)ab .

(1.21)

24

1 Hydromechanik

Abb. 1.17

Die Fl¨ achenmomente sind durch a 2 b a3 a ab + c+ a b , Sx = c + Ix = 12 2 2 gegeben. Damit folgt nach (1.18) die y-Koordinate des Druckmittelpunkts zu yD =

a2 + 3 (2c + a)2 . 6 (2c + a)

(1.22)

Die resultierende Kraft und die Lage ihrer Wirkungslinie k¨onnen auch durch die Dr¨ ucke p1 und p2 an der Ober- und der Unterkante des Rechtecks ausgedr¨ uckt werden. Die Kraft F ist das Produkt aus der Trapezﬂ¨ ache, welche den Druckverlauf charakterisiert, und der Breite b (Abb. 1.17b): F =

p1 + p2 ab. 2

(1.23)

Der Abstand d der Wirkungslinie von der unteren Kante ist durch den entsprechenden Schwerpunktabstand der Trapezﬂ¨ache (vgl. Band 1, Abschnitt 4.3, Tabelle 4.1) gegeben: d=

B1.6

a 2 p 1 + p2 . 3 p1 + p2

(1.24)

Beispiel 1.6 Man bestimme die resultierende Kraft und ihre Wir-

kungslinie auf eine kreisf¨ ormige Luke (Radius r) in einer vertikalen Wand eines oben oﬀenen Beh¨ alters (Abb. 1.18a). L¨ osung Da der Atmosph¨ arendruck sowohl von innen (¨ uber die Fl¨ ussigkeit) als auch von außen auf das Fenster wirkt, braucht

1.2

Hydrostatik

25

Abb. 1.18

er nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Mit dem Druck pS = g t im Schwerpunkt und der Kreisﬂ¨ ache A = π r2 erhalten wir nach (1.17) F = π g t r2 . Das Fl¨ achentr¨ agheitsmoment und das statische Moment bez¨ uglich der x-Achse sind durch Ix =

π r4 + π r2 t2 , Sx = yS A = π t r2 4

gegeben. Damit folgt aus (1.18) yD =

Ix r2 =t+ . Sx 4t

Der Druckmittelpunkt D liegt somit um e = r2 /(4 t) tiefer als der Schwerpunkt S (Abb. 1.18b). Beispiel 1.7 In einem oben oﬀenen Beh¨ alter der L¨ ange b wird durch

eine homogene, starre Platte (Gewicht G) eine Fl¨ ussigkeit (Dichte ) auf zwei unterschiedliche Spiegelh¨ ohen eingestellt (Abb. 1.19a). Die Platte ist l¨ angs ihrer Unterkante A gelenkig gelagert (abgedichtetes Scharniergelenk) und wird an der Oberkante durch ein horizontales Seil im Gleichgewicht gehalten. Man bestimme die Lagerreaktionen im Scharniergelenk und die Seilkraft. L¨ osung Wir schneiden die Platte frei. Die auf sie wirkenden Kr¨ afte

sind im Freik¨ orperbild Abb. 1.19b dargestellt. Der Atmosph¨arendruck p0 wirkt auf beiden Seiten der Platte und braucht daher

B1.7

26

1 Hydromechanik

Abb. 1.19

nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Die Dr¨ ucke fasst man zweckm¨aßigerweise zu ihren Resultierenden F1 = g h21 (h1 b) bzw. F2 = anden h1 /3 bzw. h2 /3 vom Scharnierge g h22 (h2 b) mit den Abst¨ lenk zusammen. Dann liefern die Gleichgewichtsbedingungen A : F1

gb 3 h1 h2 − F2 + Sh = 0 → S = (h − h31 ) , 3 3 6h 2

↑ : AV − G = 0

→ AV = G ,

→ : F1 − F2 + AH + S = 0 → AH =

gb [3h(h22 − h21 ) − (h32 − h31 )] . 6h

ange des Scharniers verteilt. Die Kr¨ afte AH und AV sind u ¨ber die L¨ B1.8

Beispiel 1.8 In Abb. 1.20a ist eine Vorrichtung zur Regelung des

Wasserstands im Beh¨ alter { skizziert. Sie besteht aus einer in C drehbar gelagerten quadratischen Platte BC, die u ¨ber den Hebel CD und ein Seil (L¨ ange l) mit einem zylindrischen Schwimmer (Grundﬂ¨ ache A, Gewicht G) verbunden ist. Die Gewichte von Klappe, Hebel und Seil werden vernachl¨ assigt. Bei welchem Wasserstand h = h1 ist das Seil gerade gespannt? F¨ ur welches h = h2 o ¨ﬀnet sich die Klappe? L¨ osung Wir bezeichnen die Eintauchtiefe des Schwimmers mit t (Abb. 1.20b). Das Seil ist dann gerade gespannt, wenn die geo-

1.2

Hydrostatik

27

Abb. 1.20

metrische Beziehung h=a+l+t

(a)

erf¨ ullt und die Seilkraft dabei Null ist. Bei verschwindender Seilkraft muss nach (1.11) die Gewichtskraft G mit der Auftriebskraft FA = g A t im Gleichgewicht sein: G . (b) → t= G − FA = 0 gA Einsetzen von (b) in (a) liefert den Wasserstand G h1 = a + l + . gA

(c)

Die auf den Schwimmer und auf die Klappe wirkenden Kr¨afte sind in Abb. 1.20b dargestellt. Die resultierende Druckkraft auf die Klappe ergibt sich aus der gleichf¨ ormigen Druckverteilung g(h − a) unter Beachtung der Tatsache, dass sich die linearen Anteile aufheben: F = g(h − a) a2 . Die Klappe ¨ oﬀnet sich, wenn die Lagerkraft B Null wird. Das Kr¨ aftegleichgewicht am Schwimmer und das Momentengleichgewicht bez¨ uglich C liefern dann ↓ : G + S − gAt = 0,

28

1 Hydromechanik 2 C : S a − g(h − a)a

a = 0. 2

Daraus folgt mit der auch hier geltenden geometrischen Beziehung ¨ (a) der zum Oﬀnen der Klappe erforderliche Wasserstand a3 1 G h2 = +a+l− . (d) 2A a2 g A 1− 2A Bei der Herleitung von (d) wurde vorausgesetzt, dass die Eintauchtiefe t des Schwimmers kleiner als seine H¨ohe ist. 1.2.5 Druckkr¨ afte auf gekr¨ ummte Fl¨ achen

Wir wollen nun die resultierende Kraft einer Fl¨ ussigkeit auf die gekr¨ ummte Fl¨ ache A nach Abb. 1.21a ermitteln. Dabei ist es zweckm¨ aßig, die Kraftkomponenten in vertikaler und in horizontaler Richtung getrennt zu bestimmen. Die auf ein Fl¨achenelement dA wirkenden Komponenten der Kraft dF = p dA sind unter Beachtung von p = g z und dA¯ = dA cos α bzw. dA∗ = dA sin α durch dFV = p dA cos α = g z dA¯ = g dV , dFH = p dA sin α = p dA∗ gegeben. Durch Integration erh¨ alt man daraus

FV = g dV → FV = gV ,

(1.25a)

Abb. 1.21

1.2

FH =

∗

p dA = g

z dA∗ = g zS ∗ A∗ →

Hydrostatik

29

FH = pS ∗ A∗ . (1.25b)

Die Vertikalkomponente FV ist demnach gleich dem Gewicht der Fl¨ ussigkeit oberhalb der Fl¨ ache A. Ihre Wirkungslinie geht durch den Schwerpunkt des Fl¨ ussigkeitsvolumens V . Die Horizontalkomponente FH ist das Produkt aus der projizierten Fl¨ache A∗ und ache. Sie stimmt mit dem Druck pS ∗ im Schwerpunkt S ∗ dieser Fl¨ der Kraft u ussigkeit auf die vertikale ebe¨berein, die von der Fl¨ ubt wird. Ihre Wirkungslinie kann daher nach ne Fl¨ ache A∗ ausge¨ Abschnitt 1.2.4 bestimmt werden. Die Gleichungen (1.25a) gelten sinngem¨ aß auch dann, wenn sich eine Fl¨ ussigkeit unterhalb einer gekr¨ ummten Fl¨ ache beﬁndet (Abb. 1.21b). In einem Anwendungsbeispiel bestimmen wir die resultierende Kraft, die vom Wasser im kreisf¨ ormigen Bereich BC auf eine Staumauer (L¨ ange l) ausge¨ ubt wird (Abb. 1.22a). Die Druckverteilung in der projizierten Ebene ist in Abb. 1.22b dargestellt. Mit alt man aus (1.25a) V = π r2 l/4, pS ∗ = g r/2 und A∗ = r l erh¨ die Kraftkomponenten zu FV =

π g r2 l , 4

FH =

1 g r2 l . 2

Die Wirkungslinie der Vertikalkomponente geht durch den Schwerpunkt der u ache (Abb. 1.22c). Sie ¨ber CB liegenden Viertelkreisﬂ¨ hat den Abstand cS = 4r/3π (Band 1, Abschnitt 4.3, Tabelle 4.1) vom Punkt C. Die Wirkungslinie der Horizontalkomponente verl¨ auft in der Tiefe 2r/3 (Abb. 1.22b).

Abb. 1.22

30

1 Hydromechanik

Die resultierende Kraft kann auch durch Integration ermittelt werden (Abb. 1.22d). Auf ein Fl¨ achenelement dA = r dϕ l wirkt die Kraft dF = p dA. Mit p = g r sin ϕ, dFV = p dA sin ϕ und alt man dFH = p dA cos ϕ erh¨

π/2 π sin2 ϕ dϕ → FV = g r 2 l , FV = g r 2 l 4 0

π/2 1 sin ϕ cos ϕ dϕ → FH = g r2 l . FH = g r 2 l 2 0 Da die Druckkr¨ afte auf allen Fl¨ achenelementen orthogonal zur Staumauer wirken und demnach durch den Mittelpunkt M des Kreises gehen, bilden sie ein zentrales Kr¨ aftesystem. Somit muss auch die Wirkungslinie der Resultierenden durch den Punkt M gehen. B1.9

Beispiel 1.9 Der Querschnitt des nach Abb. 1.23a unter dem Was-

serspiegel liegenden zylindrischen Wehrs AB (Breite b, Gewicht G) hat die Form eines Viertelkreises (Radius r). Das Wehr ist bei A gelenkig gelagert und liegt bei B auf. Gesucht sind die Lagerreaktionen in A und B.

Abb. 1.23

L¨ osung Die auf das Wehr wirkenden Kr¨ afte sind im Freik¨orper-

bild dargestellt (Abb. 1.23b). Abbildung 1.23c zeigt die Druckverteilung in der projizierten Ebene. Nach (1.25a) erh¨alt man die Komponenten der resultierenden Kraft F der Fl¨ ussigkeit auf das Wehr zu FV = g b (c + r) r − π4 r2 = g b r c + r − π4 r , FH = pS ∗ A∗ = 12 [ g c + g(c + r)] b r = 12 g b r(2c + r) .

1.2

Hydrostatik

31

Die Wirkungslinie der aus FH und FV resultierenden Kraft F geht durch den Kreismittelpunkt M . Daher lauten die Gleichgewichtsbedingungen M : − AH r + Ga − Br = 0 , → : − AH + FH = 0 , ↑ : AV − G + FV + B = 0 . Mit a = 2r/π (Band 1, Abschnitt 4.4) folgen daraus die Lagerreaktionen 1 AH = g b r(2c + r) , 2 1 2 G + (π − 2) g b r2 , AV = 1 − π 4 B=

1 2 G − g b r(2c + r) . π 2

Das Wehr ist nur f¨ ur B > 0 geschlossen. Beispiel 1.10 Ein zylindrisches Wehr (L¨ ange l, Gewicht G) taucht

nach Abb. 1.24a in eine Fl¨ ussigkeit { (Dichte 1 ) ein. Es verhindert, dass sich eine Fl¨ ussigkeit | (Schichtdicke r), deren Spiegel um r/2 oberhalb von A liegt, nach rechts ausbreitet. ussigkeit | . Wie groß sind Man bestimme die Dichte 2 der Fl¨ die Lagerreaktionen in A? L¨ osung In der Trennﬂ¨ ache zwischen den beiden Fl¨ ussigkeiten gilt

p1 = p2 → 1 g r/2 = 2 g r → 2 = 1 /2 . Damit sich die vorgegebene Schichtung einstellt, muss demnach die Dichte der Fl¨ ussigkeit | halb so groß wie die Dichte der Fl¨ ussigkeit { sein. Abbildung 1.24b zeigt die Druckverteilungen in den projizierten Ebenen. Aus dem Kr¨ aftegleichgewicht in horizontaler Richtung folgt:

B1.10

32

1 Hydromechanik

Abb. 1.24

→:

1 1 1 r 2 g r2 l + (2 g r + 1 g r) l − 1 g r2 l − AH = 0 2 2 2 2 → AH =

1 1 g r 2 l . 8

Die Vertikalkomponente der resultierenden Kraft auf das Wehr setzt sich gem¨ aß Abb. 1.24c aus zwei Anteilen zusammen. Mit den Volumina √ √ π 5π 1 1 3 3 − + r 2 l , V1 = π r 2 l − V 2 = r2 l V2 = 6 4 2 2 12 8 erh¨ alt man F1 = 1 g

√ √ 5π π 3 3 2 + − r l , F2 = 2 g r2 l . 12 8 6 4

Damit liefert das Kr¨ aftegleichgewicht in vertikaler Richtung: π ↑: F1 + F2 − G + AV = 0 → AV = G − 1 gr2 l . 2

1.3

Hydrodynamik

33

1.3 Hydrodynamik 1.3.1 Kinematische Grundlagen

Die Hydrodynamik ist die Lehre von der Bewegung von Fl¨ ussigkeiten unter der Wirkung von Kr¨ aften. Bevor wir uns allerdings dem Einﬂuss von Kr¨ aften auf die Bewegung widmen, befassen wir uns mit der Kinematik von Str¨ omungen. Hierzu f¨ uhren wir zun¨ achst einige Begriﬀe ein. Wir denken uns ein beliebiges Volumen in der Fl¨ ussigkeit durch eine geschlossene Fl¨ ache abgegrenzt. Durch diese Fl¨ ache soll Fl¨ ussigkeit weder in das Volumen einstr¨omen noch aus ihm ausstr¨ omen. Die Fl¨ ussigkeit ussigkeitsmenge innerhalb der Fl¨ ache heißt dann abgeschlossene Fl¨ oder materielles Fl¨ ussigkeitsvolumen. Ein materielles Fl¨ ussigkeitsvolumen mit inﬁnitesimaler Ausdehnung nennt man ein Fl¨ ussigkeitsteilchen. Geht seine Ausdehnung gegen Null, so spricht man von einem materiellen Punkt.

Abb. 1.25

Wir betrachten nun das Fl¨ ussigkeitsteilchen, das sich zur Zeit t am Ort x beﬁndet. Seine Geschwindigkeit bezeichnen wir mit v(x, t). Da der Vektor x einen beliebigen Ort in der Fl¨ ussigkeit kennzeichnet, gibt v(x, t) die Geschwindigkeiten der Fl¨ ussigkeitsteilchen an jedem Ort an. Man nennt v(x, t) das Geschwindigkeitsfeld; es beschreibt die Bewegung der gesamten Fl¨ ussigkeit. Abbildung 1.25a zeigt den Geschwindigkeitsvektor v an der Stelle x zum Zeitpunkt t = t1 . Zu dieser Zeit beﬁndet sich dort ateren Zeitpunkt t = das Fl¨ ussigkeitsteilchen dm1 . Zu einem sp¨ ussigkeitst2 beﬁndet sich an der gleichen Stelle ein anderes Fl¨ teilchen dm2 . Außerdem hat sich im allgemeinen die Geschwindigkeit ge¨ andert. Das Geschwindigkeitsfeld beschreibt also nicht

1.3

34

1 Hydromechanik

den zeitlichen Verlauf der Bewegungen der einzelnen Fl¨ ussigkeitsteilchen (der im allgemeinen ohnehin nicht interessiert), sondern es gibt an, welche Geschwindigkeit an jedem Ort zu jeder beliebigen Zeit vorliegt. Diese Betrachtungsweise, die typisch f¨ ur die Beschreibung der Bewegung von Fl¨ ussigkeiten ist, geht auf Leonhard Euler (1707–1783) zur¨ uck. Durch das Geschwindigkeitsfeld kann man jedem Raumpunkt x eine Richtung, n¨ amlich die Richtung v(x, t), zuordnen. Man erh¨ alt somit zu jedem Zeitpunkt ein Richtungsfeld (Abb. 1.25b); dieses kann sich im allgemeinen mit der Zeit ¨ andern. Kurven, deren Tangentenrichtung in jedem Punkt mit der Richtung von v u ¨bereinstimmt, nennt man Stromlinien. Auch sie sind im allgemeinen zeitabh¨ angig. Sie veranschaulichen in einfacher Weise das Gesamtbild der Str¨omung. Stromlinien k¨ onnen sich nicht schneiden und auch keinen Knick besitzen, da andernfalls an einer solchen Stelle zwei verschiedene Geschwindigkeiten existieren m¨ ußten. Außerdem kann kein Fl¨ ussigkeitstransport quer zu einer Stromlinie stattﬁnden. Bei manchen Str¨ omungen h¨ angt die Geschwindigkeit v nicht von der Zeit t, sondern nur vom Ort x ab. Dann sind das durch v(x) deﬁnierte Richtungsfeld und die Stromlinien zeitunabh¨angig. In diesem Fall nennt man die Str¨ omung station¨ ar. Andernfalls heißt sie instation¨ar. Wenn zum Beispiel eine Fl¨ ussigkeit einen in ihr ruhenden festen K¨ orper mit zeitlich konstanter Geschwindigkeit umstr¨omt (d.h., die Geschwindigkeit an einem beliebigen, festen Ort des Str¨omungsfeldes sich nicht ¨ andert), dann liegt eine station¨are Str¨omung vor. Bewegt man dagegen den K¨ orper mit konstanter Georten Zustand ruhende Fl¨ ussigschwindigkeit durch eine im ungest¨ keit, so ¨ andert sich die Geschwindigkeit in allen Raumpunkten mit der Zeit, und die Str¨ omung ist instation¨ ar. Von den Stromlinien m¨ ussen die Bahnlinien unterschieden werden. Dies sind die Kurven, die von den einzelnen Fl¨ ussigkeitsteilchen bei der Bewegung der Fl¨ ussigkeit durchlaufen werden. Bei station¨ aren Str¨ omungen fallen die Stromlinien und die Bahnlinien zusammen.

1.3

Hydrodynamik

35

Dem Geschwindigkeitsfeld v kann man ein anderes Vektorfeld gem¨aß ω = 12 rot v

(1.26)

zuordnen. Der Vektor ω heißt Wirbelvektor. Wenn ω = 0 ist, dann nennt man die Str¨ omung wirbelbehaftet. Ist dagegen in einem Bereich der Fl¨ ussigkeit ω = 0, so heißt dort die Str¨ omung wirbelfrei. In den technischen Anwendungen treten neben der allgemeinen dreidimensionalen Str¨ omung h¨ auﬁg einfachere Str¨omungsformen auf. Wenn sich zum Beispiel alle Fl¨ ussigkeitsteilchen in parallelen, festen Ebenen bewegen, so ist die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu diesen Ebenen Null. Man spricht dann von einer ebenen Str¨ omung. Bei der Bewegung von Fl¨ ussigkeiten in Rohren oder Gerinnen hat die Geschwindigkeit der Teilchen im wesentlichen die Richtung der Rohr- oder Gerinneachse. Vernachl¨assigt man die senkrecht zur Achse auftretenden Geschwindigkeitskomponenten, so gelangt man zu einer eindimensionalen Darstellung. Eine auf dieser vereinfachenden, eindimensionalen Betrachtungsweise aufbauende Theorie nennt man Hydraulik. Wir befassen uns im folgenden mit einer eindimensionalen Str¨omung, wie sie zum Beispiel in einem gekr¨ ummten Rohr auftritt. Als Koordinate w¨ ahlen wir die entlang der Achse gez¨ahlte Bogenl¨ ange s. Dann hat das Geschwindigkeitsfeld nur die Komponente v = v(s, t). Wir betrachten nun ein Fl¨ ussigkeitsteilchen, dessen Lage in Abh¨ angigkeit von der Zeit durch s(t) beschrieben wird. Seine Geschwindigkeit wird durch die Zeitableitung v = ds/dt de¨ ﬁniert. Die Anderung der Geschwindigkeit ist durch das totale Diﬀerential ∂v ∂v ds + dt (1.27) dv = ∂s ∂t gegeben. Die Beschleunigung a(s, t) des Fl¨ ussigkeitsteilchens ist ¨ die zeitliche Anderung seiner Geschwindigkeit: a = dv/dt. Damit erh¨alt man a=

∂v ∂v v+ . ∂s ∂t

(1.28)

36

1 Hydromechanik

Man nennt a = dv/dt die materielle (substantielle) Beschleunigung. Sie setzt sich additiv aus der konvektiven Beschleunigung (∂v/∂s)v und der lokalen Beschleunigung ∂v/∂t zusammen. Die ¨ lokale Beschleunigung gibt die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit v an einem beliebigen (festen) Ort im Str¨omungsfeld an. ¨ Dagegen stellt die konvektive Beschleunigung die Anderung von v dar, die dadurch entsteht, dass sich das Teilchen zu einer Stelle mit anderer Geschwindigkeit weiterbewegt. Bei einer station¨ aren Str¨ omung h¨ angt das Geschwindigkeitsfeld nicht von der Zeit ab: v = v(s). Dann ist wegen ∂v/∂t = 0 die lokale Beschleunigung Null, und die materielle Beschleunigung vereinfacht sich zu a=

dv v. ds

(1.29)

1.3.2 Stromfadentheorie 1.3.2.1 Allgemeines

Zur Beschreibung der Bewegung einer Fl¨ ussigkeit m¨ ussen neben kinematischen Gr¨ oßen auch Kraftgr¨ oßen – zum Beispiel der Druck – ber¨ ucksichtigt werden. Außerdem ben¨ otigt man Bewegungsgleichungen sowie ein Stoﬀgesetz zur Beschreibung des Materialverhaltens der Fl¨ ussigkeit. Wir beschr¨ anken uns im folgenden auf ideale Fl¨ ussigkeiten. Viele Str¨ omungsvorg¨ ange lassen sich exakt oder n¨aherungsweise als eindimensionale Str¨ omung beschreiben. Um zu einer solchen Darstellung zu gelangen, denken wir uns zun¨ achst im Innern der Fl¨ ussigkeit eine geschlossene Kurve C gekennzeichnet (Abb. 1.26). Die Stromlinien durch alle Punkte dieser Kurve bilden eine Stromussigkeit heißt Stromfaden. Wir nehr¨ ohre; die darin enthaltene Fl¨

Abb. 1.26

1.3

Hydrodynamik

37

men an, dass die Geschwindigkeit und der Druck als konstant u ¨ber den Querschnitt der Stromr¨ ohre angesehen werden k¨onnen, d.h., die Str¨ omung in einer Stromr¨ ohre wird durch ihr Verhalten auf einer beliebigen Stromlinie, der Leitstromlinie charakterisiert. Bei einer station¨ aren Str¨ omung ist die Stromr¨ ohre zeitlich unver¨anderlich, und die Fl¨ ussigkeit in ihr bewegt sich wie in einem Rohr mit fester Wand, w¨ ahrend sich bei einer instation¨aren Str¨omung die Stromr¨ ohre mit der Zeit ¨ andert. Das gesamte Str¨omungsgebiet kann man sich aus vielen Stromf¨ aden aufgebaut denken. Bei zahlreichen praktischen Anwendungen, zum Beispiel einer Rohrstr¨omung, l¨ asst sich das gesamte Str¨ omungsgebiet als ein einziger Stromfaden auﬀassen. Wir beschr¨ anken uns von nun an auf station¨are Str¨omungen. Dann h¨ angen die Geschwindigkeit und der Druck nur von der Bogenl¨ ange s entlang der Leitstromlinie ab: v = v(s) , p = p(s) .

(1.30)

F¨ ur die Beschleunigung gilt dann nach (1.29) a = dv ds v. Eine auf diesen Vereinfachungen aufgebaute Theorie nennt man Stromfadentheorie. 1.3.2.2 Kontinuit¨ atsgleichung

Wir betrachten eine Stromr¨ ohre mit variabler Querschnittsﬂ¨ache A(s) gem¨ aß Abb. 1.27. Die Querschnittsﬂ¨ achen an zwei beliebigen Stellen { bzw. | werden mit A1 bzw. A2 bezeichnet. An diesen Stellen haben die Fl¨ ussigkeitsteilchen die Geschwindigkeiten v1 bzw. v2 . Durch die Querschnitte bei { und | wird ein Gebiet des Stromfadens abgegrenzt. In der Zeit dt ﬂießt durch den

Abb. 1.27

38

1 Hydromechanik

Querschnitt A1 eine Fl¨ ussigkeitsmenge mit der Masse A1 v1 dt in dieses Gebiet ein. Durch den Querschnitt A2 ﬂießt in der gleichen Zeit die Masse A2 v2 dt aus. Da die Dichte konstant ist, kann sich dabei die Masse der Fl¨ ussigkeit im Gebiet nicht ¨andern (Massenerhaltung). Somit muss die an der Stelle | austretende Masse genau so groß sein wie die bei { eintretende Masse (durch die Stromr¨ ohre selbst kann keine Fl¨ ussigkeit ein- oder austreten): alt man A1 v1 dt = A2 v2 dt. Damit erh¨ A1 v1 = A2 v2

bzw.

A v = const .

(1.31)

Das Produkt Q = Av

(1.32)

heißt Volumenstrom und stellt das pro Zeiteinheit durch einen festen Querschnitt str¨ omende Volumen dar. Nach (1.31) ist der Volumenstrom an jeder Stelle s der Stromr¨ ohre gleich groß. Die Beziehung (1.31) nennt man Kontinuit¨atsgleichung. 1.3.2.3 Bernoullische Gleichung

In der Stromr¨ ohre nach Abb. 1.28a bewege sich eine Fl¨ ussigkeit. Zur Herleitung der Bewegungsgleichung schneiden wir aus dem Stromfaden l¨ angs der Leitstromlinie ein Element der L¨ange ds und der Querschnittsﬂ¨ ache dA heraus (Abb. 1.28b). An seiner linken Stirnﬂ¨ ache – an der Stelle s – herrscht der Druck p, an der Stelle s + ds der Druck p + dp. Auf die Stirnﬂ¨achen wirken somit die Druckkr¨ afte p dA bzw. (p + dp)dA. Das Gewicht des Massenelements ist durch dm g gegeben. Die auf den Zylindermantel

Abb. 1.28

1.3

Hydrodynamik

39

wirkenden Fl¨ achenkr¨ afte stehen senkrecht zur Zylinderachse (reibungsfreie Fl¨ ussigkeit!). Sie werden im folgenden nicht ben¨otigt und sind daher in Abb. 1.28b nicht eingezeichnet. Die Bewegungsgleichung in Richtung von s lautet dm a = p dA − (p + dp) dA − dm g sin ϕ .

(1.33)

Mit sin ϕ = dz/ds und dm = dA ds erh¨ alt man hieraus a +

dz dp + g = 0. ds ds

(1.34)

Die Beschleunigung a = (dv/ds) v des Massenelements l¨asst sich auch als a = d(v 2 /2)/ds schreiben. Damit wird aus (1.34) dp dz d v2 + + g = 0. (1.35) ds 2 ds ds Da diese Gleichung nur Ableitungen nach der Bogenl¨ange s enth¨alt, kann man sie l¨ angs der Stromlinie integrieren und erh¨alt die Bernoullische Gleichung (Daniel Bernoulli, 1700–1782)

v2 + p + g z = const . 2

(1.36)

Alle Terme in (1.36) haben die Dimension eines Drucks. Man bezeichnet p als statischen Druck, v 2 /2 als Staudruck (dynamischer atischen Druck. Nach (1.36) ist die SumDruck) und g z als geod¨ me aus dem statischen Druck, dem Staudruck und dem geod¨atischen Druck l¨ angs einer Stromlinie konstant. Die Summe aus dem statischen Druck und dem Staudruck nennt man Gesamtdruck. Die einzelnen Terme in der Bernoullischen Gleichung k¨onnen auch in anderer Weise gedeutet werden. Die Ausdr¨ ucke v 2 /2 bzw. g z stellen die auf das Volumen bezogene kinetische bzw. potentielle Energie eines Fl¨ ussigkeitsteilchens dar. Daher l¨asst sich auch p als eine auf das Volumen bezogene Energie deuten. Man nennt p dann Druckenergie (vgl. auch Abschn. 1.2.1). Bei dieser Betrachtungsweise bezeichnet man (1.36) als Energiegleichung der ur eine ideale Fl¨ ussigkeit station¨ aren Str¨ omung. Sie sagt aus, dass f¨ die Str¨ omungsenergie“ l¨ angs einer Stromlinie konstant ist. ”

40

1 Hydromechanik

Dividiert man (1.36) durch g, so erh¨ alt man 2 p v + + z = H = const . 2g g

(1.37)

Alle Terme haben nun die Dimension einer H¨ ohe. Man nennt v 2 /2g die Geschwindigkeitsh¨ohe, p/ g die Druckh¨ohe, z die Ortsh¨ohe und H die hydraulische H¨ohe. In einem Anwendungsbeispiel untersuchen wir den Ausﬂuss aus einem Gef¨ aß mit einer im Vergleich zur Spiegelﬂ¨ache AS klei¨ nen Oﬀnung A (Abb. 1.29a). Damit die Str¨ omung station¨ar ist, wird der Fl¨ ussigkeitsspiegel durch einen Zuﬂuss auf der konstan¨ ten H¨ ohe h u gehalten. Wir fassen das Gef¨aß mit ¨ber der Oﬀnung dem Ausﬂuss als Stromr¨ ohre auf und w¨ ahlen eine Leitstromlinie vom Spiegel bis zum Ausﬂuss. Z¨ ahlen wir z von der Ausﬂuss¨oﬀnung, so liefert die Bernoullische Gleichung f¨ ur die Punkte { und | 1 2 2 vs

+ p0 + g h = 12 v 2 + p0 + 0 .

(1.38)

Wenn der Spiegel auf konstanter H¨ ohe gehalten wird, gilt vs = 0. Damit folgt v=

2gh.

(1.39)

Diese Gleichung nennt man Torricellische Ausﬂussformel. Die Ausﬂussgeschwindigkeit v h¨ angt demnach nur von der H¨ohe h des ¨ Spiegels u ab. Sie ist gleich der Geschwindigkeit ¨ber der Oﬀnung eines Massenpunktes, der ohne Anfangsgeschwindigkeit auf einer beliebigen, reibungsfreien Bahn die gleiche H¨ohe h durchl¨auft (Energiesatz).

Abb. 1.29

1.3

Hydrodynamik

41

Experimente zeigen, dass die Ausﬂussgeschwindigkeit in Wirklichkeit etwas kleiner ist als die mit der Torricellischen Formel berechnete Geschwindigkeit. Dies ist auf die in der Fl¨ ussigkeit wirkende Reibung zur¨ uckzuf¨ uhren. Außerdem stellt man eine Ein¨ schn¨ urung des austretenden Fl¨ ussigkeitsstrahls fest, wenn die Oﬀnung nicht hinreichend abgerundet ist. Beide Eﬀekte k¨onnen mit Hilfe von Korrekturtermen ber¨ ucksichtigt werden. Wenn das Gef¨ aß keinen Zuﬂuss hat, sinkt der Fl¨ ussigkeitsspiegel im Lauf der Zeit. Die Str¨ omung ist dann instation¨ar. F¨ ur A/AS 1 ist die Geschwindigkeit vs , mit der sich der Spiegel absenkt, sehr klein im Vergleich zur Ausﬂussgeschwindigkeit v. In diesem Fall kann man die Str¨ omung in guter N¨aherung immer noch als station¨ ar betrachten und die Geschwindigkeit v nach ohe h(t) berechnen: v = (1.39) mit der augenblicklichen H¨ 2 g h(t). Damit l¨ asst sich die Zeit Δt ermitteln, in welcher der Spiegel von einer Anfangsh¨ ohe h0 auf eine Endh¨ohe h1 absinkt (Abb. 1.29b). Dabei wird im Beispiel der Einfachheit halber angenommen, dass die Spiegelﬂ¨ ache AS konstant ist. Die Geschwin¨ der H¨ohe h: digkeit vs ist deﬁniert als die zeitliche Anderung vs = −

dh dt

→

dh = − vs dt .

Das negative Vorzeichen zeigt an, dass h und vs entgegengesetzt gerichtet sind. Der Betrag von vs folgt aus der Kontinuit¨atsgleichung: A → vs = v. AS vs = A v AS Unter Ber¨ ucksichtigung von (1.39) erh¨ alt man somit dh = −

A A v dt = − 2 g h dt . AS AS

Trennen der Ver¨ anderlichen und Integration liefern die gesuchte Zeit:

Δt

h1 A dh √ 2g dt = − AS 0 h h0 2 AS ( h0 − h1 ) . (1.40) → Δt = g A

42

1 Hydromechanik

Wir betrachten nun die Str¨ omung in einem Rohr, das u ¨ber Zuleitungen mit einem Manometer verbunden ist (Abb. 1.30a). Das Manometer misst die Diﬀerenz der Dr¨ ucke pl bzw. pr auf der linken bzw. der rechten Seite. Da sich die Fl¨ ussigkeit in den Zuleitungen nicht bewegt, gilt nach der hydrostatischen Druckgleichung (1.5) pl = p1 + g z1 , pr = p2 + g z2 . Mit der Bernoullischen Gleichung f¨ ur eine Stromlinie von { nach | folgt daraus 1 1 2 v1 + p1 + g z1 = v22 + p2 + g z2 2 2 1 1 → pl − pr = v22 − v12 . 2 2

(1.41)

Das Manometer misst demnach die Diﬀerenz der Staudr¨ ucke v12 /2 2 omung (nicht die Diﬀerenz der statischen und v2 /2 in der Str¨ Dr¨ ucke p1 und p2 ).

Abb. 1.30

Ein Rohr, dessen Querschnittsﬂ¨ ache sich in einem Bereich { bis ungt und sich anschließend | vom Wert A1 auf den Wert A2 verj¨

1.3

Hydrodynamik

43

wieder auf den urspr¨ unglichen Wert erweitert, nennt man Venturirohr (Abb. 1.30b). Da der Volumenstrom Q im Rohr konstant ist, gilt nach der Kontinuit¨ atsgleichung v1 = Q/A1 , v2 = Q/A2 . Einsetzen in (1.41) liefert 2 A21 A22 (pl − pr ) . Q= (A21 − A22 )

(1.42)

Bei gegebenen Querschnittsabmessungen kann man somit aus der im Manometer gemessenen Druckdiﬀerenz den Volumenstrom im Rohr ermitteln. Die Geschwindigkeit v einer Str¨ omung kann mit einem PrandtlRohr (Abb. 1.30c) bestimmt werden. Beachtet man, dass die Geschwindigkeit im Punkt A Null ist, so erh¨ alt man aus (1.41) 1 2 (p − pr ) . p l − pr = v 2 → v = 2 l Den Punkt A nennt man Staupunkt. Aus der Bernoullischen Gleichung f¨ ur die Stromlinie, die in A m¨ undet (Staustromlinie), folgt mit vA = 0 der Druck im Punkt A zu pA = p + 12 v 2 . Gegen¨ uber dem ungest¨ orten statischen Druck p wirkt demnach im Staupunkt ein erh¨ ohter Druck. Der Druckanstieg ist gleich dem Staudruck v 2 /2. Die Messung des statischen Drucks p kann mit Hilfe eines URohres (Abb. 1.30d) erfolgen, in dem sich eine Messﬂ¨ ussigkeit mit der Dichte M beﬁndet. Der freie Schenkel des Rohres ist oben oﬀen. Nach (1.5) gilt dann p + g H = p0 + M g h → p = p0 + M g h − g H . (1.43) ussigkeit sehr viel gr¨oßer als die Wenn die Dichte M der Messﬂ¨ Dichte der str¨ omenden Fl¨ ussigkeit ist, dann kann man – bei nicht zu großem H – den Term g H in (1.43) vernachl¨assigen:

44

1 Hydromechanik

p = p0 + M g h . Bei vielen technisch wichtigen Str¨ omungsvorg¨angen gehen Druckunterschiede in verschiedenen Punkten einer Stromlinie im wesentlichen auf Geschwindigkeitsunterschiede und nicht auf H¨o¨ henunterschiede zur¨ uck. Vernachl¨ assigen wir die Anderung des geod¨ atischen Drucks in der Bernoullischen Gleichung, dann vereinfacht sie sich zu 1 2 2 v

+ p = const ,

d.h., der Gesamtdruck ist l¨ angs einer Stromlinie konstant. In einem Staupunkt A ist wegen vA = 0 der statische Druck pA gleich dem Gesamtdruck pG auf der Staustromlinie: pA = pG = 12 v 2 + p . Daher kann man den Gesamtdruck mit einem Staurohr (Pitotrohr) nach Abb. 1.30e bestimmen. Bei Vernachl¨ assigung des hydrostatischen Druckanstiegs im vertikalen Rohr kann man am Manometer die Diﬀerenz des Gesamtdrucks und des Luftdrucks p0 ablesen. B1.11

Beispiel 1.11 Aus einem Speicher, dessen Spiegel durch einen Zuﬂuss auf der konstanten H¨ ohe H gehalten wird, ﬂießt Wasser durch ein Rohr mit der Querschnittsﬂ¨ ache A2 . An der Stelle { wird der Querschnitt des Rohres mit einem Venturi-Einsatz auf A1 reduziert (Abb. 1.31). Von dieser Stelle f¨ uhrt ein vertikales Rohr in einen Beh¨ alter } , der ebenfalls Wasser enth¨alt. Sowohl das Venturi-Rohr als auch der Ausﬂuss | liegen auf der H¨ohe h. alter ein? Welcher Pegel hB stellt sich im Beh¨ L¨ osung Die Austrittsgeschwindigkeit v2 des Wassers an der Stelle

| ergibt sich nach (1.39) zu v2 = 2 g (H − h) . urten Querschnitt { folgt aus Die Geschwindigkeit v1 im eingeschn¨ der Kontinuit¨ atsgleichung: A2 2 g (H − h) . A1 v1 = A2 v2 → v1 = A1

1.3

Hydrodynamik

45

Abb. 1.31

Mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung f¨ ur die Punkte und urten { einer Stromlinie k¨onnen wir nun den Druck p1 im eingeschn¨ Querschnitt bestimmen: p0 + g H = 12 v12 + p1 + g h

2 → p1 = p0 − g (H − h) (A2 /A1 ) − 1 .

(a)

Wegen A2 > A1 und H > h ist der Druck p1 kleiner als der Atmosph¨ arendruck p0 . Falls das Rohr an der Stelle { ein Loch h¨ atte, w¨ urde dort kein Wasser austreten, sondern Luft in das Rohr gesaugt werden. Auf dieser Saugwirkung beruht das Prinzip der Wasserstrahlpumpe. alters } kann nach der hydroDer Druck pB am Boden des Beh¨ statischen Druckgleichung (1.5) einerseits durch p B = p0 + g h B

(b)

und andererseits durch pB = p 1 + g h

(c)

ausgedr¨ uckt werden. Durch Vergleich von (b) und (c) erhalten wir die gesuchte Spiegelh¨ ohe 1 hB = (p1 − p0 ) + h . g Einsetzen von (a) liefert schließlich 2

hB = H − (A2 /A1 ) (H − h) .

46

1 Hydromechanik

Im Sonderfall A2 /A1 = nach (a) p1 = p0 − g h. B1.12

H/(H − h) wird hB = 0. Dann ist

Beispiel 1.12 Aus einem Beh¨ alter (Abb. 1.32a) str¨omt Wasser rotationssymmetrisch und station¨ ar durch einen Spalt der H¨ohe h (h H). Man bestimme die Geschwindigkeitsverteilung v(r) und die Druckverteilung p(r) im Bereich ri ≤ r ≤ ra . Welche resultierende Druckkraft F u ¨bt das Wasser in diesem Bereich auf die kreisringf¨ ormige Platte P aus?

Abb. 1.32

L¨ osung Wir bestimmen zuerst die Ausﬂussgeschwindigkeit v2 mit

Hilfe der Bernoullischen Gleichung f¨ ur die Punkte Stromlinie (Abb. 1.32b): √ g H = 12 v22 → v2 = 2 g H .

und | einer

Die Geschwindigkeitsverteilung im Spalt folgt aus der Kontinuit¨atsgleichung. Mit der Querschnittsﬂ¨ ache A(r) = 2π r h ergibt sich (Abb. 1.32c) ra . 2π r h v(r) = 2π ra h v2 → v(r) = 2 g H r Die Druckverteilung erh¨ alt man aus der Bernoullischen Glei-

1.3

Hydrodynamik

47

chung f¨ ur die Punkte { und

einer Stromlinie (Abb. 1.32d): 2 ra 1 2 v (r) + p(r) = p0 + gH → p(r) = p0 − gH − 1 . 2 r2

Wegen r ≤ ra gilt p(r) ≤ p0 . Da der Druck nicht negativ sein kann (genauer: nicht kleiner als der Dampfdruck), sind die Ergebnisse nur f¨ ur ra2 p0 <1+ p(ri ) > 0 → ri2 gH physikalisch sinnvoll. Auf die Platte P wirkt von oben der Druck p(r) und von unten der Atmosph¨ arendruck p0 . Somit ergibt sich wegen p(r) ≤ p0 eine nach oben gerichtete resultierende Kraft (die Str¨omung versucht, die Platte anzusaugen!). Mit dA = 2πrdr erh¨ alt man

ra

F=

[p0 − p(r)]dA = 2π gH

ra2 − r dr r

ri

ra 1 2 2 2 = 2π gH ra ln − (ra − ri ) . ri 2

1.3.2.4 Impulssatz

Wenn man aus der Kontinuit¨ atsgleichung und der Bernoullischen Gleichung die Druckverteilung in einer str¨ omenden Fl¨ ussigkeit bestimmen kann, dann lassen sich daraus die Kr¨ afte berechnen, die von der Fl¨ ussigkeit auf die Berandungen ausge¨ ubt werden. In vielen F¨ allen ist die Ermittlung der Druckverteilung auf diesem Weg jedoch nicht m¨ oglich. Dann verwendet man zur Berechnung der Kr¨afte den Impulssatz (Band 3, Gl. (2.12)) F =

dp dt

(1.44)

(man verwechsle den Impuls p nicht mit dem Druck p!). Danach ¨ ist die zeitliche Anderung des Impulses gleich der Summe aller

48

1 Hydromechanik

afte, die auf einen materiellen K¨ orper wirken. Dies gilt ¨außeren Kr¨ unabh¨ angig davon, ob der K¨ orper fest oder ﬂ¨ ussig ist. Es wird sich zeigen, dass man mit Hilfe des Impulssatzes Aussagen u ¨ber die Zust¨ ande am Rand eines Bereichs einer str¨ omenden Fl¨ ussigkeit treﬀen kann, ohne Kenntnisse u altnisse (zum Beispiel ¨ber die Verh¨ die Geschwindigkeits- und die Druckverteilung) im Innern zu besitzen.

Abb. 1.33

Wir beschr¨ anken uns im folgenden auf station¨are Str¨omungen und betrachten eine abgeschlossene Fl¨ ussigkeitsmenge, die sich zum Zeitpunkt t im raumfesten Bereich abcd einer Stromr¨ohre beﬁndet (Abb. 1.33). Ein Fl¨ ussigkeitsteilchen mit der Masse dm = dV und der Geschwindigkeit v besitzt den Impuls dp = vdm = vdV . Wir denken uns die Fl¨ ussigkeit aus unendlich vielen Fl¨ ussigkeitsteilchen aufgebaut und erhalten so den Gesamtimpuls der abgeschlossenen Fl¨ ussigkeitsmenge durch Summation (= Integration) u ¨ber alle Teilchen:

vdV . (1.45) p(t) = abcd

Die abgeschlossene Fl¨ ussigkeitsmenge bewegt sich in der Stromr¨ ohre und beﬁndet sich zum Zeitpunkt t + dt im Bereich ef gh. Dann hat sie den Impuls

p(t + dt) = vdV . (1.46) ef gh

Zerlegt man die Volumenintegrale in (1.45) und (1.46) in je zwei Teilintegrale (Abb. 1.33), dann erh¨ alt man f¨ ur die Impuls¨anderung

1.3

Hydrodynamik

49

dp = p(t + dt) − p(t) = vdV + vdV − vdV + vdV . (1.47) ef cd

dcgh

abf e

ef cd

In den inﬁnitesimalen Bereichen abf e bzw. dcgh d¨ urfen die Geschwindigkeiten v 1 bzw. v 2 als konstant betrachtet werden. Somit gilt vdV = v 1 A1 v1 dt , vdV = v 2 A2 v2 dt . (1.48) abf e

dcgh

Da die Str¨ omung station¨ ar ist, sind wegen v(t + dt) = v(t) die ¨ Integrale u ¨ber den Bereich ef cd in (1.47) gleich. Die Anderung des Impulses im Zeitintervall dt ist daher durch dp = ( A2 v2 v 2 − A1 v1 v 1 )dt

(1.49)

gegeben. Das Produkt Av ist nach der Kontinuit¨atsgleichung (1.31) konstant. Es stellt den Massenstrom, d.h. die pro Zeiteinheit durch einen festen Querschnitt str¨ omende Masse dar. Mit der Bezeichnung m ˙ = Av = Q

(1.50)

(man beachte, dass der Punkt hier keine Zeitableitung kennzeichnet) erhalten wir dann aus (1.49) dp = Q(v 2 − v 1 ) = m(v ˙ 2 − v1 ) . dt Einsetzen in (1.44) liefert den Impulssatz F = m(v ˙ 2 − v1 ) .

(1.51)

Er lautet in Komponenten Fx = m(v ˙ 2x − v1x ) , ˙ 2y − v1y ) , Fy = m(v ˙ 2z − v1z ) . Fz = m(v

(1.52)

50

1 Hydromechanik

Die resultierende Kraft F auf die abgeschlossene Fl¨ ussigkeitsmenge bewirkt deren Impuls¨ anderung. Sie setzt sich aus den Volumenkr¨ aften und den an der Oberﬂ¨ ache angreifenden Druckkr¨aften zusammen. Bei der praktischen Anwendung des Impulssatzes w¨ahlt man ein raumfestes Kontrollvolumen (zum Beispiel das Volumen abcd in Abb. 1.33). Die Terme auf der rechten Seite von (1.51) lassen sich als der pro Zeiteinheit aus dem Kontrollvolumen ausﬂießende ˙ 2 bzw. der in das Kontrollvolumen einﬂießende Impuls Impuls mv mv ˙ 1 deuten. Demnach ist die resultierende Kraft F auf die im Kontrollvolumen enthaltene Fl¨ ussigkeit gleich der Diﬀerenz aus den ausﬂießenden bzw. einﬂießenden Impulsen. Wir wenden den Impulssatz auf die station¨are Str¨omung einer Fl¨ ussigkeit in einem Rohrkr¨ ummer an, der sich in einer horizontalen Ebene beﬁndet (Abb. 1.34a). Die Querschnittsﬂ¨ache des Rohres ver¨ andert sich vom Wert A1 an der Stelle { auf den Wert A2 an der Stelle | . Die Einstr¨ omgeschwindigkeit v1 und der statische Druck p1 sind gegeben. Wir wollen die Kraft bestimmen, die von der Fl¨ ussigkeit im Bereich { bis | auf den Kr¨ ummer ausge¨ ubt wird.

Abb. 1.34

Um diese Kraft zu bestimmen, w¨ ahlen wir ein Kontrollvolumen gem¨ aß Abb. 1.34b. Die Ausﬂussgeschwindigkeit v2 ergibt sich aus der Kontinuit¨ atsgleichung: v1 A1 = v2 A2 → v2 =

A1 v1 . A2

Der zugeh¨ orige statische Druck p2 folgt aus der Bernoullischen Gleichung:

1.3 1 2 2 v1

Hydrodynamik

51

+ p1 = 12 v22 + p2 → p2 = p1 + 12 (v12 − v22 ) .

Die resultierende Kraft auf die Fl¨ ussigkeit setzt sich aus den Druckkr¨ aften p1 A1 und p2 A2 in den Endquerschnitten sowie der vom Kr¨ ummer auf die Mantelﬂ¨ ache ausge¨ ubten Kraft K zusammen (Abb. 1.34b). Damit lautet der Impulssatz (1.51) ˙ (v2 − v1 cos β) , → : p1 A1 cos β − p2 A2 + Kx = m ↑ : − p1 A1 sin β + Ky = mv ˙ 1 sin β . Die gesuchte Kraft auf den Kr¨ ummer hat wegen actio = reactio den gleichen Betrag wie K, ist aber entgegengesetzt gerichtet. Wenn wir die Vorzeichen von Kx und Ky umdrehen, dann erhalten wir die Komponenten der Kraft auf den Kr¨ ummer. Mit m ˙ = A1 v1 ergibt sich Kx = p1 A1 cos β − p2 A2 − A1 v1 (v2 − v1 cos β) , Ky = − p1 A1 sin β − A1 v12 sin β . Im Sonderfall eines Halbkreiskr¨ ummers mit konstanter Querschnittsﬂ¨ ache A sind die Geschwindigkeit v und der Druck p konstant. Dann erh¨ alt man mit β = π: Kx = − 2A(p + v 2 ) ,

Ky = 0 .

Mit Hilfe des Impulssatzes kann man in einfacher Weise die Kraft ermitteln, die von einer nach Abb. 1.35a aus einem Beh¨alter ausstr¨ omenden Fl¨ ussigkeit (vgl. Abb. 1.29a) auf dessen W¨ande ausge¨ ubt wird. Mit dem Kontrollvolumen nach Abb. 1.35b folgt die Kraft F auf die Fl¨ ussigkeit aus dem Impulssatz in horizontaler

Abb. 1.35

52

1 Hydromechanik

Richtung: →: F = Av 2 . Die Kraft auf den Beh¨ alter ist entgegengesetzt gerichtet und ergibt sich mit v 2 = 2gh zu F = 2 ghA. Wenn der Beh¨alter auf einer glatten Unterlage steht, bewegt er sich unter der Wirkung dieser Kraft nach links. B1.13

Ein Wasserstrahl tritt mit der Geschwindigkeit v aus einer D¨ use (Querschnittsﬂ¨ ache A) und triﬀt auf eine Turbinenschaufel (Abb. 1.36a). Dort wird er symmetrisch geteilt und umgelenkt (ebenes Problem). Man bestimme die vom Strahl auf die ruhende Schaufel ausge¨ ubte Kraft. Wie groß ist die Kraft, wenn sich die Schaufel mit der Geschwindigkeit v0 nach rechts bewegt? Bei welcher Geschwindigkeit v0∗ wird die Leistung der Kraft maximal?

Beispiel 1.13

Abb. 1.36

L¨ osung Der Atmosph¨ arendruck p0 wirkt von allen Seiten und braucht daher nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Aus der Bernoullinach { (Abb. 1.36b) schen Gleichung f¨ ur die Stromlinie von ur die Geschwindigkeit im umgelenkten erhalten wir mit p1 = p0 f¨ atsgleichung A1 = A/2, Strahl v1 = v. Damit liefert die Kontinuit¨ und die Massenstr¨ ome in den Strahlen sind durch

m ˙ = Av , m ˙ 1 = A1 v1 = A v/2 gegeben. Die von der Schaufel auf das Wasser ausge¨ ubte Kraft F folgt mit dem Kontrollvolumen nach Abb. 1.36b aus dem Impulssatz:

1.3

→: − F = − 2m ˙ 1 v1 cos β − mv ˙ →

Hydrodynamik

53

F = (1 + cos β) Av 2 .

Die Kraft auf die Schaufel ist entgegengesetzt gleich groß. Wenn sich die Schaufel mit der Geschwindigkeit v0 nach rechts bewegt, dann betr¨ agt die Auftreﬀgeschwindigkeit des Strahls v − v0 , und die Kraft ergibt sich zu F = (1 + cos β) A(v − v0 )2 . Die Leistung dieser Kraft (vgl. Band 3, Gl. (1.72)) ist durch P = F v0 = (1 + cos β) A(v − v0 )2 v0 gegeben. Sie wird maximal f¨ ur dP =0 dv0

→

v0∗ =

v . 3

Beispiel 1.14 Ein horizontaler Wasserstrahl (Querschnittsﬂ¨ ache A)

triﬀt mit der Geschwindigkeit v auf eine Schneide S und teilt sich dort (Abb. 1.37a). Ein Teil des Strahls bewegt sich mit der Geschwindigkeit v2 entlang der Schneide, der andere Teil wird um den Winkel α abgelenkt und besitzt die Geschwindigkeit v1 . Wie groß ist das Verh¨ altnis μ = A1 /A? Welche Kraft wirkt auf die Schneide?

Abb. 1.37

L¨ osung Aus der Bernoullischen Gleichung f¨ ur die Stromlinien von

nach { bzw. von nach | (Abb. 1.37b) erhalten wir zun¨achst ur die Geschwindigkeiten mit p1 = p0 und p2 = p0 f¨ v1 = v 2 = v .

B1.14

54

1 Hydromechanik

Damit liefert die Kontinuit¨ atsgleichung A1 v1 + A2 v2 = Av → A1 + A2 = A . F¨ ur die Massenstr¨ ome in den Strahlen erh¨ alt man m ˙ = Av , ˙ , m ˙ 1 = A1 v1 = μm ˙ . m ˙ 2 = A2 v2 = (1 − μ)m Wir betrachten nun das Kontrollvolumen nach Abb. 1.37b. Unter Beachtung, dass von der Schneide keine Kraft in x-Richtung auf die Fl¨ ussigkeit ausge¨ ubt wird (reibungsfreie Fl¨ ussigkeit), lautet der Impulssatz →:

˙ 2 v2 = − [μ sin α − (1 − μ)]mv ˙ , 0 = −m ˙ 1 v1 sin α + m

↑ : F = −m ˙ 1 v1 cos α + mv ˙ = (1 − μ cos α)mv ˙ . Die erste Gleichung liefert das Teilungsverh¨ altnis μ: μ sin α − (1 − μ) = 0 → μ =

1 . 1 + sin α

Damit folgt aus der zweiten Gleichung die Kraft F = (1 − μ cos α) Av 2 = B1.15

1 + sin α − cos α Av 2 . 1 + sin α

Beispiel 1.15 Ein mit Fl¨ ussigkeit gef¨ ulltes, horizontales Rohr (Quer-

undet in einer D¨ use (Querschnittsﬂ¨ache A2 ). schnittsﬂ¨ ache A1 ) m¨ Es wird durch Hineinschieben eines Kolbens geleert (Abb. 1.38a). Welche Kolbenkraft FK ist erforderlich, um den Kolben mit konstanter Geschwindigkeit vK zu bewegen, und welche Lagerreaktionen treten dabei in B und C auf?

Abb. 1.38

1.3

Hydrodynamik

55

Der Atmosph¨ arendruck p0 wirkt von allen Seiten und braucht daher nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Die Kolbenkraft ist durch FK = p1 A1 bestimmt (Abb. 1.38b). Aus der Kontinuit¨atsgleichung und der Bernoullischen Gleichung f¨ ur eine Stromlinie von { nach | folgen A1 → v2 = v , A1 vK = A2 v2 A2 K 2 A1 1 2 1 2 1 2 v + p1 = v2 → p1 = vK −1 . 2 K 2 2 A2 L¨ osung

Damit wird FK

1 2 = p1 A1 = A1 vK 2

A1 A2

2

−1 .

Der Impulssatz f¨ ur das Kontrollvolumen nach Abb. 1.38b lieussigkeit ausge¨ ubte fert mit m ˙ = A1 vK die vom Rohr auf die Fl¨ Kraft FR : 2 A1 1 2 →: p1 A1 − FR = m(v ˙ 2 − vK ) → FR = A1 vK −1 . 2 A2 Die entgegengesetzt gleich große Kraft u ussigkeit auf das ¨bt die Fl¨ Rohr aus (Abb. 1.38c). Damit folgt aus Symmetriegr¨ unden 2 A1 1 1 2 −1 . B = C = FR = A1 vK 2 4 A2

1.3.3 Str¨ omung mit Energieverlusten 1.3.3.1 Allgemeines

In einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit wirken zwischen den sich bewegenden Fl¨ ussigkeitsteilchen Tangentialkr¨ afte, die Reibungswiderst¨ande ¨ darstellen. Ihre Gr¨ oße h¨ angt von der Anderung der Geschwindigkeit der str¨ omenden Fl¨ ussigkeit normal zur Bewegungsrichtung ab. Um dies zu zeigen, betrachten wir den Scherversuch nach Abb. 1.39 f¨ ur eine Newtonsche Fl¨ ussigkeit. Eine z¨ahe Fl¨ ussigkeit

56

1 Hydromechanik

Abb. 1.39

haftet an den Berandungen. Sie besitzt also an der bewegten Berandung die Geschwindigkeit v0 und ist an der festen Berandung in Ruhe. Dazwischen hat die Geschwindigkeit v bei einer einfachen Scherstr¨ omung u ¨berall die gleiche Richtung wie v0 und ist u ¨ber den Abstand h linear verteilt: z v(z) = v0 . h Im Zeitintervall dt bewegt sich die obere Platte um den Weg v0 dt nach rechts. Aus dem zugeh¨ origen Winkel dγ = v0 dt/h ergibt sich die Schergeschwindigkeit γ˙ = dγ/dt = v0 /h. Wegen dv/dz = v0 /h gilt auch γ˙ = dv/dz, und aus (1.1) folgt damit schließlich τ =η

dv . dz

(1.53)

Somit ist bei einer Newtonschen Fl¨ ussigkeit die Schubspannung proportional zur Geschwindigkeits¨ anderung normal zur Bewegungsrichtung. Bei einer reibungsfreien Str¨ omung werden die Schubspannungen vernachl¨ assigt, und man nimmt an, dass die Fl¨ ussigkeit mit endlicher Geschwindigkeit tangential an einer sie begrenzenden Wand entlangstr¨omt (Abb. 1.40a). Bei einer realen Str¨omung tritt dagegen immer innere Reibung auf. Da die Fl¨ ussigkeit an der Wand haftet, sinkt die Geschwindigkeit innerhalb eines gewissen Bereichs auf den Wert Null ab (Abb. 1.40b). Dieser Bereich heißt

Abb. 1.40

1.3

Hydrodynamik

57

Grenzschicht. Dies bedeutet, dass die Idealisierung der reibungsfreien Str¨ omung nur dann zul¨ assig ist, wenn die Dicke der Grenzschicht sehr klein gegen die u ¨brigen Abmessungen des Str¨omungsfeldes ist. Bei der Bewegung einer viskosen Fl¨ ussigkeit treten wegen der inneren Reibung Energieverluste auf, so dass zur Aufrechterhaltung der Str¨ omung eine Energiezufuhr (z.B. durch einen H¨ohenunterschied oder einen Druckgradienten) erforderlich ist. Beispiele daf¨ ur sind die Bewegungen von Fl¨ ussigkeiten in Rohren oder Gerinnen (Kan¨ alen, Fl¨ ussen). Entsprechend muss auch bei der Bewegung eines festen K¨ orpers in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit Energie aufgewendet werden, damit dieser nicht zum Stillstand kommt. 1.3.3.2 Verallgemeinerte Bernoullische Gleichung

Nach der Bernoullischen Gleichung (1.36) ist f¨ ur eine reibungsfreie Fl¨ ussigkeit die Str¨ omungsenergie“ l¨ angs einer beliebigen Strom” linie konstant. Bei realen (z¨ ahen) Fl¨ ussigkeiten wird allerdings ein Teil dieser Energie durch innere Reibung in andere Energieformen (z.B. W¨ arme) umgewandelt. Daher ist f¨ ur z¨ahe Fl¨ ussigkeiten die Summe aus kinetischer, potentieller und Druckenergie nicht konstant, sondern sie nimmt in Str¨ omungsrichtung ab. Man kann dies in der Bernoullischen Gleichung dadurch ber¨ ucksichtiuhrt, der den Energiegen, dass man einen positiven Term Δpv einf¨ verlust darstellt (dieser h¨ angt im allgemeinen vom Abstand der Bezugspunkte auf der Leitstromlinie ab). Damit erh¨alt man die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung 1 2 2 v1

+ gz1 + p1 = 12 v22 + gz2 + p2 + Δpv .

(1.54)

Da man die auf das Volumen bezogene Energie als Druck deuten kann (vgl. Abschn. 1.2.1 und 1.3.2.3), nennt man Δpv auch Druckasst sich durch die dimensionslose Druckverlustzahl ζ verlust. Er l¨ charakterisieren. Man erh¨ alt sie dadurch, dass man den Druckverlust auf den Staudruck – zum Beispiel an der Stelle { – bezieht: Δpv . (1.55) ζ= v12 /2

58

1 Hydromechanik

In einem Anwendungsbeispiel betrachten wir die Str¨omung einer Fl¨ ussigkeit in einem horizontalen Rohr, dessen Querschnittsﬂ¨ ache sich nach Abb. 1.41 pl¨ otzlich von A1 auf A2 vergr¨oßert. Vor der Querschnitts¨ anderung sind die Geschwindigkeit bzw. der ussigkeit str¨omt in Form eiDruck durch v1 bzw. p1 gegeben. Die Fl¨ nes Strahls in den Bereich mit dem gr¨ oßeren Querschnitt ein. Wir nehmen an, dass die Fl¨ ussigkeit seitlich vom Strahl ruht. Dann herrscht dort der gleiche Druck wie im Strahl, n¨ amlich p1 . Stromab von der Erweiterung vermischt sich der Strahl aufgrund der inneren Reibung unter starker Wirbelbildung mit der ihn umgebenden ¨ Fl¨ ussigkeit. Erst am Ende eines Ubergangsgebietes stellt sich wieder eine nahezu gleichf¨ ormige Str¨ omung mit der Geschwindigkeit ussigv2 und dem Druck p2 ein. Da bei einer reibungsbehafteten Fl¨ keit die Teilchen an der Rohrwand haften, sind v1 bzw. v2 hier die Mittelwerte der Geschwindigkeitsverteilungen in den Querschnitten. Wir wollen im folgenden v2 und p2 sowie die Druckverlustzahl ζ bestimmen.

Abb. 1.41

Die Geschwindigkeit v2 folgt aus der Kontinuit¨atsgleichung v1 A1 = v2 A2 zu v2 =

A1 v1 . A2

(1.56)

Durch die Wirbelbildung geht Str¨ omungsenergie verloren. Daher darf die Bernoullische Gleichung (1.36) nicht angewendet werden. onnen wir den Impulssatz auf das Zur Ermittlung des Drucks p2 k¨ Kontrollvolumen nach Abb. 1.41 anwenden. Dabei vernachl¨assigen wir die resultierende Kraft der an der Mantelﬂ¨ ache des Kontrollvolumens angreifenden Schubspannungen. Dann lautet der Impulssatz →: p1 A2 − p2 A2 = A2 v22 − A1 v12 .

(1.57)

1.3

Hydrodynamik

59

Einsetzen von (1.56) liefert p2 = p1 + v2 (v1 − v2 ) = p1 +

A1 v12 A2

A1 1− A2

.

(1.58)

Wenn man nun v2 und p2 nach (1.56) und (1.58) in die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung (1.54) einsetzt, erh¨alt man mit z1 = z 2 2 A1 Δpv = (v12 − v22 ) − (p2 − p1 ) = v12 1 − . (1.59) 2 2 A2 Dieser Druckverlust wird auch als Carnotscher Stoßverlust bezeichnet. Die Druckverlustzahl ergibt sich nach (1.55) zu 2 A1 ζ = 1− . (1.60) A2 Bei pl¨ otzlicher Verengung des Rohrquerschnitts tritt ebenfalls ein Verlust an Str¨ omungsenergie auf. Dieser ist jedoch kleiner als der Verlust bei der pl¨ otzlichen Erweiterung. Durch allm¨ahliche Querschnitts¨ anderung k¨ onnen die Verluste stark herabgesetzt werden. Beispiel 1.16 In einem Kanal mit der Querschnittsﬂ¨ ache A be-

ﬁndet sich ein keilf¨ ormiger K¨ orper (Abb. 1.42a). Die str¨omende Fl¨ ussigkeit hat vor dem Keil die Geschwindigkeit v. Welche Kraft wird von der Fl¨ ussigkeit auf den Keil ausge¨ ubt?

Abb. 1.42

Aus der Kontinuit¨ atsgleichung und der Bernoullischen nach { (Abb. 1.42b) folgen Gleichung f¨ ur eine Stromlinie von

L¨ osung

1 2 2 v

Av = 23 Av1

→

v1 = 32 v ,

+ p = 12 v12 + p1

→

p − p1 = 58 v 2 .

B1.16

60

1 Hydromechanik

Unmittelbar hinter dem Keil ruht die Fl¨ ussigkeit. Daher herrscht ussigkeit ausdort ebenfalls der Druck p1 . Die vom Keil auf die Fl¨ ge¨ ubte Kraft folgt aus dem Impulssatz. Die Kraft auf den Keil ist entgegengesetzt gleich groß. Wenn wir die Reibung an den Kanalw¨ anden und am Keil vernachl¨ assigen, gilt mit dem Kontrollvolumen nach Abb. 1.42b f¨ ur diese Kraft →: − F + (p − p1 )A = Av(v1 − v) →

F = 81 Av 2 .

1.3.3.3 Str¨ omung in einem kreiszylindrischen Rohr

Wir betrachten nun die station¨ are Str¨ omung einer Newtonschen Fl¨ ussigkeit in einem horizontalen, zylindrischen Rohr mit Kreisquerschnitt (Radius R). Dabei nehmen wir an, dass die Stromlinien parallel zur Zylinderachse sind und die Geschwindigkeit v nur vom Abstand r abh¨ angt (Abb. 1.43a). Die Fl¨ ussigkeitsteilchen bewegen sich dann in Schichten, die sich nicht vermischen. omung oder Eine Str¨ omung dieses Typs nennt man Schichtenstr¨ laminare Str¨omung. Zur Bestimmung des Geschwindigkeitsproﬁls v(r) denken wir uns einen koaxialen Fl¨ ussigkeitszylinder mit der endlichen L¨ange Δl und dem Radius r aus der Fl¨ ussigkeit geschnitten (Abb. 1.43b). An den Stirnﬂ¨ achen wirken die Dr¨ ucke p1 bzw. p2 . Auf der Mantelﬂ¨ ache des Zylinders wirkt die Schubspannung τ . Sie ist f¨ ur eine Newtonsche Fl¨ ussigkeit entsprechend (1.53) durch dv τ (r) = η (1.61) dr gegeben. Die Schubspannung ist demnach in der Mantelﬂ¨ache des Zylinders konstant und liefert die resultierende Kraft dv T = 2πrΔlτ = 2πηΔlr . (1.62) dr

Abb. 1.43

1.3

Hydrodynamik

61

Bei station¨ arer Str¨ omung tritt keine Beschleunigung auf. Daher ist die Summe der am Zylinder angreifenden Kr¨ afte Null: πr2 p1 + T − πr2 p2 = 0

→

p1 − p 2 dv =− r. dr 2ηΔl

(1.63)

Die Geschwindigkeit folgt mit Δp = p1 − p2 durch Integration zu v(r) = −

Δp 2 r +C. 4ηΔl

(1.64)

Die Integrationskonstante C bestimmen wir aus der Bedingung, dass die Fl¨ ussigkeit an der Rohrwand haftet: v(R) = 0

→

C=

Δp 2 R . 4ηΔl

Damit ergibt sich das gesuchte Geschwindigkeitsproﬁl zu r 2 R2 Δp 1− . v(r) = 4ηΔl R

(1.65)

(1.66)

Die Geschwindigkeitsverteilung hat somit die Form eines Rotationsparaboloids. Die maximale Geschwindigkeit tritt in der Rohrachse (r = 0) auf: vmax =

R2 Δp . 4ηΔl

(1.67)

Da die Geschwindigkeit von innen nach außen abnimmt, ist dv/dr < 0. Somit f¨allt nach (1.63) der Druck in Str¨omungsrichtung: p2 < p1 . Dieses Druckgef¨ alle ist zur Aufrechterhaltung der Str¨ omung erforderlich. Ebenfalls wegen v (r) < 0 ist nach (1.62) T < 0. Daher wirkt die Schubspannung τ in Wirklichkeit entgegen der in Abb. 1.43b angenommenen Richtung. Dies ist auch anschaulich klar, da die langsameren ¨ außeren Fl¨ ussigkeitsteilchen die schnelleren inneren Teilchen durch die Reibung verz¨ogern. Wir wollen nun noch den Volumenstrom Q bestimmen. Das pro Zeiteinheit durch einen inﬁnitesimalen Kreisring mit dem Radius r und der Dicke dr str¨ omende Volumen ist durch dQ = 2πrdrv(r) gegeben. Den gesamten Volumenstrom erh¨ alt man durch Integration:

62

1 Hydromechanik

R

Q=

2πrv(r)dr

→

0

Q=

πR4 Δp . 8ηΔl

(1.68)

Diese Beziehung nennt man das Gesetz von Hagen-Poiseuille (Gotthilf Hagen, 1797–1884; Jean Louis Marie Poiseuille, 1799–1869). Nach (1.68) ist der Volumenstrom proportional zur vierten Potenz des Rohrradius. Daher wird zum Beispiel bei einer Verdoppelung des Radius die Durchﬂussmenge sechzehnmal so groß. F¨ ur praktische Rechnungen bei Rohrstr¨ omungen ist es zweckuhren, mit deren Hilfe man m¨ aßig, eine Widerstandszahl λ einzuf¨ den Druckabfall im Rohr quantitativ erfasst. Sie wird durch Δp = λ

Δl 2 v¯ d 2

(1.69)

deﬁniert. Dabei sind d der Durchmesser des Rohres und v¯ =

1 Q R2 Δp = vmax = 2 πR 8ηΔl 2

(1.70)

die mittlere Geschwindigkeit. Die Widerstandszahl stellt somit einen Proportionalit¨ atsfaktor dar f¨ ur den Zusammenhang zwischen dem Druckabfall Δp l¨ angs einer Strecke Δl, dem Rohrdurchmesser d und dem mit der mittleren Geschwindigkeit v¯ gebildeten Staudruck. Die Widerstandszahl λ h¨ angt mit der entsprechend (1.55) gebildeten Druckverlustzahl ζ = Δp/( v¯2 /2) gem¨aß Δl (1.71) ζ=λ d zusammen. Wenn man (1.69) in (1.70) einsetzt und nach λ auﬂ¨ost, so erh¨ alt man 64η λ= . (1.72) v¯d Da λ dimensionslos ist, muss auch die Gr¨ oße Re =

v¯d η

(1.73)

dimensionslos sein. Man nennt Re die Reynoldszahl (Osborne Reynolds, 1842–1912). Damit folgt f¨ ur die Widerstandszahl

1.3

λ=

64 . Re

Hydrodynamik

63

(1.74)

Die Erfahrung zeigt, dass dieser Zusammenhang nur unterhalb einer bestimmten kritischen Reynoldszahl (also zum Beispiel bei hinreichend kleiner Str¨ omungsgeschwindigkeit) gilt. Bei gr¨oßeren Reynoldszahlen ist die Widerstandszahl gr¨ oßer als die nach (1.74) berechnete. Dabei a¨ndert sich die Str¨ omungsform: die laminare Str¨ omung schl¨ agt in turbulente Str¨ omung um. W¨ahrend sich bei laminarer Str¨ omung alle Fl¨ ussigkeitsteilchen mit konstanter Geschwindigkeit auf achsparallelen Geraden bewegen, vermischen sich bei turbulenter Str¨ omung die nebeneinanderﬂießenden Schichten st¨ andig. 1.3.3.4 Str¨ omung in oﬀenen Gerinnen

Bei der Str¨ omung in einem Rohr ist die Fl¨ ussigkeit u ¨berall von einer festen Rohrwand umgeben. Im Gegensatz dazu tritt bei der Str¨ omung in oﬀenen Gerinnen, wie zum Beispiel Fl¨ ussen oder Kan¨ alen, eine freie Oberﬂ¨ ache auf. Sie stellt in den meisten praktisch wichtigen F¨ allen die Trennﬂ¨ ache zwischen Luft und Wasser dar. An ihr herrscht somit der Atmosph¨ arendruck p0 .

Abb. 1.44

Die Str¨ omung in einem oﬀenen Gerinne wird meist durch ein Gef¨ alle verursacht. Beim Abw¨ artsﬂießen wird die potentielle Energie der h¨ oher liegenden Fl¨ ussigkeitsteilchen in kinetische Energie ¨ umgewandelt bzw. zur Uberwindung der inneren Reibung aufgewendet. Wir wollen im folgenden voraussetzen, dass die Str¨omung station¨ ar ist. Dann h¨ angt auch der Volumenstrom Q f¨ ur einen beliebigen Querschnitt nicht von der Zeit ab. Man nennt eine station¨ are Str¨ omung gleichf¨ ormig, wenn die Geschwindigkeit in Str¨omungsrichtung konstant ist (v2 = v1 ). Dagegen heißt sie be-

64

1 Hydromechanik

schleunigt, wenn die Geschwindigkeit zunimmt (v2 > v1 ) bzw. verz¨ ogert, wenn sie abnimmt (v2 < v1 ). Nach der Kontinuit¨atsgleichung ist bei einer gleichf¨ ormigen Str¨ omung der Querschnitt konstant, w¨ ahrend er bei einer beschleunigten (verz¨ogerten) Str¨omung abnimmt (zunimmt), vgl. Abb. 1.44. Wir wollen uns im folgenden mit der gleichf¨ormigen Str¨omung in einem rechteckigen oﬀenen Gerinne der Breite b befassen. Das Gerinne habe ein konstantes schwaches Gef¨ alle, das durch den Winkel α 1 gegeben ist (Abb. 1.45a). Die konstante Wassertiefe sei t. Weiterhin sei v die mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt. Wir w¨ ahlen nun diejenige Stromlinie als Leitstromlinie, auf der die Geschwindigkeit der Teilchen gerade die mittlere Geschwindigkeit v ist. Wenn wir ber¨ ucksichtigen, dass bei gleichf¨ ormiger Str¨ omung die Geschwindigkeit konstant ist, dann erhalten wir aus der verallgemeinerten Bernoullischen Gleichung (1.54) f¨ ur zwei Punkte { und | auf der Leitstromlinie zun¨achst gz1 + p1 = gz2 + p2 + Δpv .

(1.75)

Wir nehmen nun an, dass die Druckverteilung im Querschnitt durch die statische Druckverteilung nach (1.5) gegeben ist. Dann gilt auf der Leitstromlinie p = p 1 = p2 = p 0 + g t ∗ .

(1.76)

Ein Druckgef¨ alle in Str¨ omungsrichtung ist somit nicht vorhanden. Durch Einsetzen in (1.75) k¨ onnen wir den Energieverlust (= Druckverlust) bestimmen: Δpv = g(z1 − z2 ) = gΔl sin α .

(1.77)

Abb. 1.45

1.3

Hydrodynamik

65

Nach (1.37) stellt H=

p v2 + +z 2g g

(1.78)

die hydraulische H¨ ohe dar. Mit p nach (1.76) und z = t − t∗ folgt daraus H=

p0 v2 + + t. 2g g

(1.79)

Da der Atmosph¨ arendruck p0 an jeder Stelle gleich ist, braucht er beim Vergleich der hydraulischen H¨ ohen verschiedener Querschnitte nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Somit vereinfacht sich (1.79) zu H = v 2 /2g + t . Bei gleichf¨ ormiger Str¨ omung sind die Geschwindigkeit v und die Tiefe t unabh¨ angig vom Ort. Daher ist in diesem Fall die hydraulische H¨ ohe konstant: H=

v2 + t = const . 2g

(1.80)

Die Geschwindigkeit v l¨ asst sich durch den Volumenstrom Q ausdr¨ ucken: Q = b t cos α v ≈ b t v

→

v = Q/(b t) .

(1.81)

Durch Einsetzen in (1.80) erh¨ alt man schließlich t3 − Ht2 + k = 0

mit

k = Q2 /(2g b2 ) .

(1.82)

Diese Beziehung muss bei gleichf¨ ormiger Str¨ omung zwischen den Parametern b, t, Q und H erf¨ ullt sein. Bei gegebenen Werten von b, t und Q k¨ onnen die Geschwindigkeit v aus (1.81) und die hydraulische H¨ ohe H aus (1.80) bestimmt werden. Sind dagegen b, Q und H gegeben, so stellt (1.82) eine kubische Gleichung f¨ ur die Wassertiefe t dar. Um zu untersuchen, f¨ ur welche Parameterwerte die Gleichung (1.82) positive reelle L¨ osungen t besitzt, skizzieren wir die Funk-

66

1 Hydromechanik

tion y = t3 − Ht2 + k

(1.83)

f¨ ur verschiedene Werte von H (Abb. 1.45b). Die Funktion y(t) hat an der Stelle t = 2H/3 das Minimum ymin = −

Q2 4H 3 + 27 2g b2

(1.84)

und bei t = 0 das Maximum ymax = k. Damit positive Werte f¨ ur die Wassertiefe existieren, muss ymin ≤ 0 gelten. Daher folgt nach (1.84) f¨ ur die hydraulische H¨ ohe Q2 3 3 Q2 4H 3 + ≤0 → H ≥ H0 = . (1.85) − 27 2g b2 2 g b2 Die hydraulische H¨ ohe, d.h. die Str¨ omungsenergie, muss somit einen Mindestwert H0 erreichen, damit eine gleichf¨ormige Str¨omung m¨ oglich ist. Die zugeh¨ origen Werte f¨ ur die Grenztiefe“ t0 ” und die Grenzgeschwindigkeit“ v0 ergeben sich zu ” 2 Q2 → t0 = 3 , (1.86) t0 = H0 3 g b2 √ Q 1 = g b2 t30 → v0 = g t 0 . (1.87) v0 = b t0 b t0 Ist H > H0 , so existieren zu einer gegebenen Str¨omungsenergie zwei verschiedene Wassertiefen t1 und t2 (Abb. 1.45b). Entweder ﬂießt das Wasser bei einer kleinen Tiefe t1 < t0 mit großer Geschwindigkeit v1 > v0 , oder es ﬂießt bei einer großen Tiefe t2 > t0 mit kleiner Geschwindigkeit v2 < v0 . Im ersten Fall spricht ache), im zweiten Fall von man von schießendem Abﬂuss (Wildb¨ str¨ omendem Abﬂuss (Fl¨ usse). In der Natur treten h¨ auﬁg St¨ orungen der gleichf¨ormigen Bewegung auf. So kann zum Beispiel ein kleiner Knick in der Sohle eine nahezu pl¨ otzliche Erhebung des Wasserspiegels verursachen (Abb. 1.46a). Diese Erscheinung wird als Wassersprung bezeichnet. Zur Untersuchung des Wassersprungs wenden wir den Im-

1.3

Hydrodynamik

67

Abb. 1.46

pulssatz auf das in Abb. 1.46b dargestellte Kontrollvolumen an. Dabei nehmen wir wieder an, dass die Druckverteilung im Querschnitt durch die statische Druckverteilung nach (1.5) gegeben ist. Außerdem vernachl¨ assigen wir die in Str¨ omungsrichtung zeigende Komponente der Gewichtskraft (geringe Neigung!) sowie die Schubspannungen an den Berandungen des Kontrollvolumens. Dann lautet der Impulssatz: 1 2 2 g t1 b

− 12 g t22 b = v1 b t1 (v2 − v1 ) .

(1.88)

Wenn wir die Geschwindigkeit v2 mit Hilfe der Kontinuit¨atsgleichung v 1 t 1 b = v 2 t 2 b → v2 =

t1 v1 t2

eliminieren, so erhalten wir daraus t1 1 g(t1 + t2 )(t1 − t2 ) = v12 (t1 − t2 ) 2 t2 → t22 + t1 t2 −

2t1 v12 = 0. g

(1.89)

Durch Auﬂ¨ osen dieser quadratischen Gleichung folgt f¨ ur die Tiefe t2 hinter dem Wassersprung 2t1 v12 t1 + t21 + . (1.90) t2 = − (−) 2 4 g Da t2 positiv sein muss, ist nur das Pluszeichen vor der Wurzel physikalisch sinnvoll. Vor dem Wassersprung ﬂießt das Wasser bei der kleineren Tiefe oßeren Geschwindigkeit v1 > v2 . Daher tritt ein t1 < t2 mit der gr¨ Wassersprung nur bei einem schießenden Abﬂuss auf.

68

1.4

1 Hydromechanik

1.4 Weiterf¨ uhrende Literatur Becker, E., Technische Str¨ omungslehre, Teubner, Stuttgart 1977 ¨ Becker, E., Piltz, E., Ubungen zur Technischen Str¨ omungsmechanik, Teubner, Stuttgart 1971 Batchelor, G.K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press 1967 Bollrich, G., Technische Hydromechanik 1, Verlag f¨ ur Bauwesen, Berlin 2000 Guyon, E., Hulin, J.P., Petit, L., Hydrodynamik, Vieweg, Wiesbaden 1994 Oertl, H., Str¨ omungsmechanik, Springer, Berlin 1995 ¨ Oertl, H. et al., Ubungsbuch Str¨ omungsmechanik, Vieweg, Wiesbaden 1998 Pnueli, D., Gutfinger, C., Fluid Mechanics, Cambridge University Press 1997 Schr¨ oder, R., Technische Hydraulik, Springer, Berlin 1994 Schr¨ oder, W., Fluidmechanik, Wissenschaftsverlag, Aachen 2004 Spurk, J., Str¨ omungslehre, Springer, Berlin 1996 Spurk, J., Aufgaben zur Str¨ omungslehre, Springer, Berlin 1996 Zierep, J., Grundz¨ uge der Str¨ omungsmechanik, Springer, Berlin 1997

Kapitel 2 Grundlagen der Elastizit¨ atstheorie

2

2 Grundlagen der Elastizit¨ atstheorie 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.8

Spannungszustand .............................................. Spannungsvektor, Spannungstensor, Indexschreibweise . Koordinatentransformation.................................... Hauptspannungen, Invarianten, Mohrsche Kreise ........ Hydrostatischer Spannungszustand, Deviator ............. Gleichgewichtsbedingungen ................................... Deformation und Verzerrung ................................. Allgemeines ...................................................... Inﬁnitesimaler Verzerrungstensor ............................ Kompatibilit¨atsbedingungen .................................. Elastizit¨atsgesetz ................................................ Hookesches Gesetz ............................................. Isotropie .......................................................... Form¨anderungsenergiedichte .................................. Temperaturdehnungen ......................................... Grundgleichungen ............................................... Ebene Probleme ................................................ Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand Spannungs-Diﬀerentialgleichungen, Spannungsfunktion Anwendungsbeispiele ........................................... Verschiebungs-Dgln., Rotationssymmetrie ................. Torsion ............................................................ Allgemeines ...................................................... Grundgleichungen ............................................... Verw¨ olbungsfunktion und Torsionsfunktion ............... Energieprinzipien ................................................ Arbeitssatz ....................................................... S¨atze von Clapeyron und von Betti ........................ Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen ........................ Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

71 71 76 79 85 87 92 92 94 99 102 102 104 107 111 113 115 115 118 121 127 130 130 130 132 141 142 146 147 153

2.1

Spannungszustand

71

Einleitung In Band 2 haben wir uns schon mit Problemen der Elastostatik befasst, wobei wir uns dort im wesentlichen auf die Untersuchung von St¨ aben und Balken beschr¨ ankt haben. Um weitergehende Fragen behandeln zu k¨ onnen, sollen hier die Grundlagen der linearen Elastizit¨ atstheorie zusammengestellt werden. Das Beiwort line” ar“ deutet dabei an, dass sich diese Theorie auf das linear-elastische Stoﬀgesetz sowie auf kleine (inﬁnitesimale) Verzerrungen beschr¨ ankt. Hinsichtlich der praktischen Anwendung wird hierdurch ein großer Bereich von Ingenieurproblemen abgedeckt.

2.1

2.1 Spannungszustand 2.1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor, Indexschreibweise

Den Spannungsvektor und den Spannungstensor haben wir in Band 2, Abschnitt 2.1 schon kennengelernt. Der Spannungsvektor im Punkt P eines Schnittes ist deﬁniert als t = lim

ΔA→0

dF ΔF = , ΔA dA

(2.1)

wobei ΔF die Kraft ist, welche auf die Fl¨ ache ΔA wirkt (Abb.

Abb. 2.1

72

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

2.1a). Er h¨ angt von der Orientierung des Schnittes durch P ab, die durch den Normaleneinheitsvektor n charakterisiert ist: t = t(n). Man kann t zerlegen in eine Komponente σ senkrecht (normal) zur Schnittﬂ¨ ache und in eine tangentiale Komponente τ , die in der Schnittﬂ¨ ache wirkt. Die erste heißt Normalspannung, die zweite nennt man Schubspannung. Der Spannungstensor σ ist durch die Spannungsvektoren in drei senkrecht aufeinanderstehenden Schnitten festgelegt. W¨ahlen wir nach Abb. 2.1b die Schnitte senkrecht zu den Achsen eines x, y, z-Koordinatensystems und zerlegen wir die zugeh¨origen Spannungsvektoren in ihre kartesischen Komponenten, so kann er in folgender Matrixform dargestellt werden: ⎤ ⎡ τxz σxx τxy ⎥ ⎢ σ = ⎣ τyx σyy τyz ⎦ . (2.2) τzx

τzy

σzz

Dabei werden die Normalspannungen σxx , σyy , σzz oft kurz mit σx , σy , σz bezeichnet. Aufgrund des Momentengleichgewichts ist der Spannungstensor symmetrisch: τxy = τyx , τyz = τzy , τzx = ur die Spannungskomponenten wollen wir dieselbe Vorzeiτxz . F¨ chenkonvention wie bisher verwenden (Band 2, Abschn. 2.1). F¨ ur das weitere ist es zweckm¨ aßig, die Indexnotation einzuf¨ uhren. Sie erm¨ oglicht eine kompakte Schreibweise vieler Formeln. Hierbei werden die kartesischen Koordinaten an Stelle von x, y, z durch x1 , x2 , x3 gekennzeichnet; d.h. die drei Richtungen sind durch die Indizes 1, 2, 3 festgelegt (Abb. 2.1b,c). Entsprechendes gilt f¨ ur die Komponenten eines Vektors. Zum Beispiel lauten die Komponenten des Spannungsvektors t dann t1 , t2 , t3 oder allgemein ti mit i = 1, 2, 3. Damit gilt ⎡ ⎤ t1 ⎢ ⎥ oder t = [ti ] = ⎣ t2 ⎦ . t = t1 e1 + t2 e2 + t3 e3 (2.3) t3 asentiert werden, kann dieDa durch ti alle drei Komponenten repr¨ se Gr¨ oße auch als Symbol f¨ ur den Vektor selbst verwendet werden. ¨ Ahnlich l¨ asst sich der Normaleneinheitsvektor n mit den Kompo-

2.1

Spannungszustand

73

nenten n1 = cos α1 , n2 = cos α2 , n3 = cos α3 (Abb. 2.1c) kurz durch ni beschreiben: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ n1 cos α1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ n = [ni ] = ⎣ n2 ⎦ = ⎣ cos α2 ⎦ . (2.4) n3

cos α3

Analoges gilt f¨ ur den Spannungstensor. Seine Komponenten nennen wir nun σ11 , σ12 , σ13 usw. (Abb. 2.1b) oder allgemein σij mit i, j = 1, 2, 3: ⎡ ⎤ σ11 σ12 σ13 ⎢ ⎥ σ = [σij ] = ⎣ σ21 σ22 σ23 ⎦ . (2.5) σ31

σ32

σ33

Dabei zeigen jetzt allein die Indizes an, ob es sich um eine Normalspannung oder um eine Schubspannung handelt. Gleiche Indizes kennzeichnen Normalspannungen, ungleiche Indizes Schubasentiert wieder alle Spannungsspannungen. Die Gr¨ oße σij repr¨ komponenten und kann deshalb als Symbol f¨ ur den Spannungstensor selbst angesehen werden. Mit Hilfe der Indexnotation l¨asst sich die Symmetrie des Spannungstensors einfach durch σij = σji

(2.6)

ausdr¨ ucken. Eine besondere Bedeutung gewinnt die Indexnotation im Zusammenhang mit der Summationskonvention. Danach wollen wir vereinbaren, dass zu summieren ist, wenn in einem Term der gleiche Index doppelt auftritt. Der Index durchl¨ auft dabei der Reihe nach die Werte 1, 2, 3. Dementsprechend bedeutet zum Beispiel σji nj wegen des doppelt vorkommenden Index j“ ausgeschrieben ” 3 σji nj = σ1i n1 + σ2i n2 + σ3i n3 . (2.7) σji nj = j=1

Dabei kann der Summationsindex j“ durch einen beliebigen an” deren Index (zum Beispiel k“) ausgetauscht werden: σki nk = ” σji nj . Andere Beispiele zur Anwendung der Summationskonven-

74

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

tion sind σii = tk nk =

3 i=1 3

σii = σ11 + σ22 + σ33 , (2.8) tk nk = t1 n1 + t2 n2 + t3 n3 .

k=1

Letzteres stellt das Skalarprodukt der Vektoren tk und nk dar: t · n = tk nk . In Verbindung mit der Indexnotation ben¨ otigt man manchmal das Kronecker-Symbol. Es ist deﬁniert als 1 f¨ ur i = j , (2.9) δij = 0 f¨ ur i = j . Damit gelten zum Beispiel δii = δ11 + δ22 + δ33 = 3

und

δij nj = ni .

(2.10)

Abb. 2.2

Wir wollen nun zeigen, dass bei Kenntnis des Spannungstensors der Spannungsvektor f¨ ur jede beliebige Schnittrichtung ermittelt werden kann. Hierzu betrachten wir das Gleichgewicht am inﬁnitesimalen Tetraeder nach Abb. 2.2, dessen Fl¨ ache dA eine beliebige, ur die u durch ni gegebene Orientierung hat. F¨ ¨brigen Tetraederﬂ¨ achen erh¨ alt man mit (2.4) durch Projektion von dA auf die Koordinatenebenen dA1 = dA n1 , dA2 = dA n2 , dA3 = dA n3 oder allgemein

2.1

dAi = dA ni .

Spannungszustand

75

(2.11)

Die Gleichgewichtsbedingungen in x1 -, x2 - und x3 -Richtung t1 dA = σ11 dA1 + σ21 dA2 + σ31 dA3 , t2 dA = σ12 dA1 + σ22 dA2 + σ32 dA3 , t3 dA = σ13 dA1 + σ23 dA2 + σ33 dA3 liefern damit t1 = σ11 n1 + σ21 n2 + σ31 n3 , t2 = σ12 n1 + σ22 n2 + σ32 n3 ,

(2.12a)

t3 = σ13 n1 + σ23 n2 + σ33 n3 . Diese Gleichungen lassen sich unter Verwendung der Indexschreibweise und der Summationskonvention kompakt in der Form ti = σji nj

(2.12b)

darstellen, wobei wegen (2.6) die Indizes von σji auch vertauscht werden k¨ onnen: ti = σij nj . Diese Beziehung wird h¨auﬁg als Cauchysche Formel bezeichnet (A.L. Cauchy, 1789–1857). Danach ist bei gegebenem Spannungstensor σij jedem Normalenvektor ni ein Spannungsvektor ti zugeordnet, d.h. der Spannungszustand ist achlich vollst¨ andig bestimmt. Durch (2.12b) wird eidurch σij tats¨ ne lineare Beziehung (Abbildung) zwischen den Vektoren nj und oße, welche eine solche Abbildung vermittj beschrieben. Eine Gr¨ telt, nennt man einen Tensor 2. Stufe. Die lineare Vektorfunktion (2.12b) kennzeichnet σij dementsprechend als Tensor 2. Stufe. Angemerkt sei noch, dass die Cauchysche Formel mit (2.3) bis (2.5) auch in der symbolischen Schreibweise t = σT n

(2.12c)

angegeben werden kann. Wegen der Symmetrie des Spannungstensors (σ T = σ) kann dabei σ T durch σ ersetzt werden: t = σ n.

76

B2.1

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Beispiel 2.1 Der Spannungszustand in einem Punkt eines K¨ orpers

sei durch

⎡

36 −27

0

⎢ [σij ] = ⎣ −27 −36

⎤

⎥ 0 ⎦ MPa

0 0 18 gegeben. F¨ ur einen Schnitt mit dem Normalenvektor [ni ] = 13 [2, −2, 1]T sollen der Spannungsvektor sowie seine normale bzw. tangentiale Komponente bestimmt werden. L¨ osung Nach (2.12a) erh¨ alt man f¨ ur die Komponenten des Spannungsvektors

t1 = σj1 nj = 36 ·

2 3

+ 27 ·

2 3

t2 = σj2 nj = −27 ·

2 3

t3 = σj3 nj = 18 ·

= 6 MPa .

1 3

+ 36 ·

= 24 + 18 = 42 MPa , = −18 + 24 = 6 MPa ,

2 3

Sein Betrag ergibt sich daraus zu t = |t| = t21 + t22 + t23 = 42,8 MPa . Die Normalspannung σ errechnet sich aus dem Skalarprodukt von t und n: σ = t · n = ti ni = 42 ·

2 3

−6·

2 3

+6·

1 3

= 26 MPa .

F¨ ur den Betrag der Schubspannung folgt damit τ = t2 − σ 2 = 34,1 MPa . 2.1.2 Koordinatentransformation

Wie sich die Komponenten des Spannungstensors bei einer Drehung des Koordinatensystems transformieren, wurde f¨ ur den zweiachsigen Fall in Band 2, Abschnitt 2.2.1 behandelt. Hier sollen nun die entsprechenden Beziehungen f¨ ur den dreiachsigen Zustand hergeleitet werden. Wir gehen davon aus, dass die Spannungskompouglich des Koordinatensystems x1 , x2 , x3 bekannt nenten σij bez¨

2.1

Spannungszustand

77

Abb. 2.3 sind. Aus ihnen sollen die Spannungskomponenten σkl bez¨ uglich des gedrehten Koordinatensystems x1 , x2 , x3 ermittelt werden (Abb. 2.3a). Die Richtungen der neuen Achsen werden durch die Einheitsvektoren ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ a11 a21 a31 ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ e1 = ⎣ a12 ⎦, e2 = ⎣ a22 ⎦, e3 = ⎣ a32 ⎦ (2.13) a13 a23 a33

festgelegt, wobei die Transformationskoeﬃzienten akl = cos(xk , xl ) die Richtungskosinus (= Kosinus des Winkels zwischen den entsprechenden Achsen) sind. Wir betrachten nun das Tetraeder nach Abb. 2.3b, dessen geneigte Fl¨ ache senkrecht zu x1 steht. Ihr Nor malenvektor f¨ allt mit e1 zusammen: nk = a1 k . Damit liefert die Cauchysche Formel f¨ ur die Komponenten des Spannungsvektors (bzgl. des x1 , x2 , x3 -Systems) tl = σkl nk = σkl a1k . Seine Komponenten bez¨ uglich des x1 , x2 , x3 -Systems lauten = t · e1 = t1 a11 + t2 a12 + t3 a13 = tl a1l = σkl a1k a1l , σ11 = t · e2 = t1 a21 + t2 a22 + t3 a23 = tl a2l = σkl a1k a2l , σ12 = t · e3 = t1 a31 + t2 a32 + t3 a33 = tl a3l = σkl a1k a3l . σ13

Entsprechende Beziehungen ergeben sich f¨ ur die Schnittﬂ¨achen senkrecht zur x2 - bzw. zur x3 -Achse. Insgesamt erh¨alt man daher die Transformationsbeziehungen σij = σkl aik ajl .

(2.14)

78

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Da auf der rechten Seite k und l doppelt vorkommen, muss u ¨ber beide Indizes summiert werden. Ausgeschrieben ergibt sich danach : zum Beispiel f¨ ur σ22 = σ11 a221 + σ12 a21 a22 + σ13 a21 a23 σ22

+σ21 a22 a21 + σ22 a222 + σ23 a22 a23 +σ31 a23 a21 + σ32 a23 a22 + σ33 a223 = σ11 a221 + σ22 a222 + σ33 a223 +2σ12 a21 a22 + 2σ23 a22 a23 + 2σ31 a23 a21 . Als Sonderfall sind in (2.14) die Transformationsbeziehungen f¨ ur den ebenen Fall (vgl. Band 2, Gl. (2.5)) enthalten, bei dem eine Drehung um die x3 -Achse erfolgt (Abb. 2.4). Mit x3 = x3 und dem Drehwinkel ϕ gelten a11 = a22 = cos ϕ ,

a12 = cos (π/2 − ϕ) = sin ϕ ,

a21 = cos (π/2 + ϕ) = − sin ϕ ,

a13 = a31 = a23 = a32 = 0 ,

und man erh¨ alt unter Verwendung der Achsenbezeichnungen x1 = ξ und x2 = η = σ11 cos2 ϕ + σ22 sin2 ϕ + 2σ12 sin ϕ cos ϕ , σξ = σ11 = σ11 sin2 ϕ + σ22 cos2 ϕ − 2σ12 sin ϕ cos ϕ , ση = σ22

τξη =

σ12

(2.15)

= −(σ11 − σ22 ) sin ϕ cos ϕ + σ12 (cos ϕ − sin ϕ) . 2

2

Abb. 2.4

Angemerkt sei an dieser Stelle noch, dass die Transformations¨ beziehung (2.14) lediglich die Anderung der kartesischen Komponenten des Spannungstensors infolge einer Koordinatendrehung ausdr¨ uckt. Die Beziehung (2.14) gilt deshalb genauso f¨ ur alle anderen Tensoren 2. Stufe (vgl. zum Beispiel Tr¨ agheitstensor, Band 3,

2.1

Spannungszustand

79

Gl. (3.54)). Im Unterschied dazu transformiert sich ein Tensor 1. Stufe tk (= Vektor) nach der Beziehung ti = tk aik . 2.1.3 Hauptspannungen, Invarianten, Mohrsche Kreise

Der Spannungstensor kann nach (2.14) in Bezug auf beliebig viele Achsensysteme angegeben werden. Unter ihnen gibt es ein ausgezeichnetes Koordinatensystem, das als Hauptachsensystem bezeichnet wird. In den zugeh¨ origen Schnitten hat der Spannungsvektor die Richtung des Normalenvektors. Das heißt, es wirken nur Normalspannungen – man nennt sie Hauptspannungen –, und die Schubspannungen sind Null. Kennzeichnet der Normalenvektor ni eine Hauptachsenrichtung (Hauptrichtung), so l¨asst sich der ucken, wobei σ die entspreSpannungsvektor durch ti = σ ni ausdr¨ chende Hauptspannung ist. Nach der Cauchyschen Formel (2.12b) gilt allgemein ti = σij nj . Durch Gleichsetzen erhalten wir σij nj = σ ni

bzw.

σij nj − σ ni = 0 .

Mit ni = δij nj (vgl. (2.10)) ergibt sich daraus (σij − σ δij )nj = 0

(2.16)

oder ausgeschrieben (σ11 − σ) n1 + σ12 n2 + σ13 n3 = 0 , σ21 n1 + (σ22 − σ) n2 + σ23 n3 = 0 ,

(2.17)

σ31 n1 + σ32 n2 + (σ33 − σ) n3 = 0 . Dieses homogene Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale L¨osungen f¨ ur n1 , n2 , n3 , wenn die Koeﬃzientendeterminante verschwindet: σ11 − σ

σ12

σ13

σ21

σ22 − σ

σ23

σ31

σ32

σ33 − σ

= 0.

(2.18)

Hieraus folgt die kubische Gleichung σ 3 − I1 σ 2 − I2 σ − I3 = 0 .

(2.19)

80

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Darin sind I1 = σii = σ11 + σ22 + σ33 , I2 = 12 (σij σij − σii σjj ) 2 2 2 + σ23 + σ31 , = −(σ11 σ22 + σ22 σ33 + σ33 σ11 ) + σ12

σ11

σ12

σ13

I3 = det[σij ] = σ21

σ22

σ23 .

σ31

σ32

σ33

(2.20)

Da die L¨ osungen von (2.19) unabh¨ angig von der Wahl des Koordinatensystems sind, triﬀt dies auch auf I1 , I2 und I3 zu. Man bezeichnet diese Gr¨ oßen deshalb als Invarianten. Man kann zeigen, dass (2.19) drei reelle L¨osungen σ1 , σ2 , σ3 f¨ ur die Hauptspannungen liefert. Diese sind Station¨arwerte der Normalspannung: eine Hauptspannung ist die maximale Normalspannung, eine andere ist die minimale Normalspannung, und die dritte ist ein dazwischenliegender Station¨ arwert. Der zu eiorige Normalenvektor ner Hauptspannung, zum Beispiel zu σ2 , geh¨ kann aus zwei beliebigen Gleichungen von (2.17) unter Beachtung ur die von n21 + n22 + n23 = 1 ermittelt werden. Entsprechendes gilt f¨ beiden anderen Hauptspannungen. Damit liegen die Richtungen der Hauptachsen fest. Diese stehen senkrecht aufeinander. Die Bestimmung der Hauptachsenrichtungen sowie der Hauptspannungen nennt man Hauptachsentransformation. Im Hauptachsensystem nimmt der Spannungstensor die Diagonalform ⎤ ⎡ 0 0 σ1 ⎥ ⎢ σ=⎣ 0 (2.21) 0 ⎦ σ2 0

0

σ3

an. Die Invarianten k¨ onnen dann durch die Hauptspannungen ausgedr¨ uckt werden: I1 = σ1 + σ2 + σ3 , I2 = −(σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1 ) , I3 = σ 1 σ 2 σ 3 .

(2.22)

2.1

Spannungszustand

81

Mit den Hauptachsen und den Hauptspannungen liegen gleichzeitig die extremalen Schubspannungen sowie die Schnittﬂ¨achen, in denen sie auftreten, fest. Man erh¨ alt f¨ ur die sogenannten Hauptschubspannungen τ1 = 12 |σ2 − σ3 | , τ2 = 12 |σ3 − σ1 | , τ3 = 12 |σ1 − σ2 | .

(2.23)

Sie wirken in Fl¨ achen, deren Normale jeweils senkrecht auf einer Hauptachse steht und mit den beiden anderen einen Winkel von 45◦ einschließt. Die Normalspannung ist in diesen Schnitten nicht Null. So geh¨ ort zur Hauptschubspannung τ1 die Normalspannung ur die anderen Hauptσ(τ1 ) = (σ2 + σ3 )/2. Entsprechendes gilt f¨ schubspannungen. Ordnet man die Hauptspannungen nach ihrer Gr¨oße und bezeichnet die gr¨ oßte mit σ1 , die kleinste mit σ3 (d.h. σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ), so ist die maximale Schubspannung τmax = 12 (σ1 − σ3 ) .

(2.24)

Ein zweiachsiger Spannungszustand kann graﬁsch in einem σ, τ Diagramm durch einen Mohrschen Spannungskreis dargestellt werden (Band 2, Abschn. 2.2.2). Die graﬁsche Veranschaulichung eines dreiachsigen Spannungszustandes erfolgt dagegen mit drei Mohrschen Kreisen (Abb. 2.5). Es l¨ asst sich zeigen, dass die Normalspannung σ und die zugeh¨ orige Schubspannung τ in einem beliebigen Schnitt nur im dunkel gekennzeichneten Gebiet liegen kann, das von den Kreisen begrenzt wird. Letztere sind durch die Hauptspannungen eindeutig bestimmt. Die Kreise selbst kennzeichnen dabei Schnitte, deren Normale jeweils senkrecht auf einer der drei Hauptachsen steht.

Abb. 2.5

82

B2.2

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Beispiel 2.2 Der Spannungszustand in einem Punkt sei im x1 , x2 , x3 -Koordinatensystem gegeben durch ⎡ ⎤ 1 1 3 ⎢ ⎥ [σij ] = ⎣ 1 5 1 ⎦ · 102 MPa .

3

1

1

Man bestimme die Hauptspannungen, die maximale Schubspannung, die Hauptrichtungen und zeichne die Mohrschen Kreise. L¨ osung Nach (2.19), (2.20) errechnen sich die Hauptspannungen

aus σ 3 − I1 σ 2 − I2 σ − I3 = 0 mit den Invarianten I1 = σ11 + σ22 + σ33 = 7 · 102 MPa , 2 2 2 + σ23 + σ31 I2 = −(σ11 σ22 + σ22 σ33 + σ33 σ11 ) + σ12

= [−(5 + 5 + 1) + 12 + 12 + 32 ] · 104 = 0 , I3 = det[σij ] = [(5 + 3 + 3) − (45 + 1 + 1)] · 106 = −36 · 106 MPa3 . Als L¨ osungen der kubischen Gleichung erh¨ alt man (geordnet nach der Gr¨ oße) σ1 = 6 · 102 MPa , σ2 = 3 · 102 MPa , σ3 = −2 · 102 MPa . F¨ ur die maximale Schubspannung folgt daraus τmax = 12 (σ1 − σ3 ) = 4 · 102 MPa . Damit l¨ asst sich der Spannungszustand durch die Mohrschen Kreise nach Abb. 2.6 darstellen. Zur Bestimmung der Richtung der Hauptspannung σ1 verwenden wir zun¨ achst die ersten beiden Gleichungen von (2.17): (1 − 6)n1 + n2 + 3n3 = 0 , n1 + (5 − 6)n2 + n3 = 0 ,

→

−5n1 /n3 + n2 /n3 = −3 , n1 /n3 − n2 /n3 = −1 .

2.1

Spannungszustand

83

Abb. 2.6

Hieraus ergeben sich die Verh¨ altnisse n1 /n3 = 1, n2 /n3 = 2. Unter Beachtung der Bedingung, dass der Richtungsvektor den Betrag 1 haben soll, folgt damit ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ n1 /n3 1 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ → n(σ1 ) = √ ⎣ 2 ⎦ . n(σ1 ) = λ⎣ n2 /n3 ⎦ = λ⎣ 2 ⎦ 6 n3 /n3 1 1 Dabei wurde der Normierungsfaktor λ gerade so gew¨ahlt, dass sich (wie gefordert) ein Einheitsvektor ergibt. Analog erh¨alt man f¨ ur die Richtungen von σ2 und σ3 ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 1 1 1 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ n(σ2 ) = √ ⎣ −1 ⎦ , n(σ3 ) = √ ⎣ 0 ⎦ . 3 2 1 −1 Da die Hauptachsenrichtungen senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt zweier verschiedener Richtungsvektoren verschwinden. Zur Probe bilden wir 1 1 n(σ1 ) · n(σ2 ) = √ √ (1 − 2 + 1) = 0 . 6 3 Beispiel 2.3 Die Scheibe (Dicke t) nach Abb. 2.7a ist durch eine

Einzelkraft F senkrecht zum Rand belastet. Hierdurch werden in der Umgebung der Kraftangriﬀsstelle die Spannungen σ11 = −

F sin ϕ cos2 ϕ , 2πt r

σ22 = −

F sin3 ϕ , 2πt r

B2.3

84

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

σ12 = −

F sin2 ϕ cos ϕ 2πt r

hervorgerufen. Alle anderen Spannungskomponenten sind Null. Man bestimme die Spannungskomponenten f¨ ur das Koordinatensystem ξ, η sowie die Hauptspannungen und deren Richtungen.

Abb. 2.7

L¨ osung Es liegt ein ebener Spannungszustand vor, f¨ ur den die

Transformationsbeziehungen (2.15) zutreﬀen. Danach ergibt sich σ ξ = σ11 cos2 ϕ + σ22 sin2 ϕ + 2σ12 sin ϕ cos ϕ =−

F sin ϕ F (sin ϕ cos4 ϕ + sin5 ϕ + 2 sin3 ϕ cos2 ϕ) = − , 2πtr 2πt r

σ η = σ11 sin2 ϕ + σ22 cos2 ϕ − 2σ12 sin ϕ cos ϕ F (sin3 ϕ cos2 ϕ + sin3 ϕ cos2 ϕ − 2 sin3 ϕ cos2 ϕ) = 0 , 2πtr = −(σ11 − σ22 ) sin ϕ cos ϕ + σ12 (cos2 ϕ − sin2 ϕ) =−

τ ξη

=−

F [−(sin ϕ cos2 ϕ − sin3 ϕ) sin ϕ cos ϕ 2πtr + sin2 ϕ cos ϕ(cos2 ϕ − sin2 ϕ)] = 0 .

Da die Schubspannung τξη verschwindet, sind σξ und ση Hauptspannungen (Abb. 2.7b): σ 1 = ση = 0 ,

σ 2 = σξ = −

F sin ϕ . 2πt r

Hiernach sind die Hauptachsen an jeder Stelle radial vom Kraftangriﬀspunkt bzw. senkrecht dazu gerichtet. In radialen Schnitten ist die Spannung Null, in Schnitten senkrecht dazu betragsm¨aßig am gr¨ oßten. F¨ ur r → 0 wachsen die Spannungen σξ unbeschr¨ankt an (Spannungssingularit¨ at).

2.1

Spannungszustand

85

2.1.4 Hydrostatischer Spannungszustand, Deviator

Einen Spannungszustand der Art ⎡ ⎤ σ0 0 0 ⎢ ⎥ σ = ⎣ 0 σ0 0 ⎦ bzw. σkl = σ0 δkl

(2.25)

0 0 σ0 nennt man hydrostatischen Spannungszustand. In diesem Fall sind die drei Normalspannungen gleich und zugleich Hauptspannungen. Aus (2.14) mit (2.13) erh¨ alt man dann = σkl aik ajl = σ0 δkl aik ajl σij

= σ0 ail ajl = σ0 ei · ej = σ0 δij . Dies bedeutet, dass die Normalspannungen unabh¨angig von der Achsenrichtung immer die gleiche Gr¨ oße σ0 haben, w¨ahrend die Schubspannungen in jedem Schnitt verschwinden. Demzufolge existiert hier kein ausgezeichnetes Achsensystem; vielmehr ist jedes beliebige System ein Hauptachsensystem. Im weiteren wollen wir einen beliebigen Spannungstensor σij additiv zerlegen. Zu diesem Zweck f¨ uhren wir mit σm = 13 (σ11 + σ22 + σ33 ) =

1 3

σkk

(2.26)

asst sich der Spannungsdie mittlere Normalspannung ein. Damit l¨ tensor folgendermaßen aufspalten: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ σ12 σ13 σ11 σ12 σ13 σm 0 0 σ11 − σm ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ σ21 σ22 σ23 ⎦ = ⎣ 0 σm 0 ⎦ + ⎣ σ21 σ22 − σm σ23 ⎦ σ31 σ32 σ33 σ31 σ32 σ33 − σm 0 0 σm ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ σm 0 0 s11 s12 s13 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎣ 0 σm 0 ⎦ + ⎣ s21 s22 s23 ⎦. (2.27) 0

0 σm

s31 s32 s33

Dies l¨ asst sich mit (2.26) kurz schreiben als σij =

1 σkk δij + sij . 3

(2.28)

86

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Der erste Anteil beschreibt einen hydrostatischen Spannungszuahrend der zweite die stand infolge der mittleren Spannung σm , w¨ Abweichung“ hiervon darstellt. Man nennt σm δij den Kugelten” sor und sij = σij − σm δij den Spannungsdeviator. Der Deviator sij ist wie der Spannungstensor σij ein symmetrischer Tensor 2. Stufe.Wir k¨ onnen deshalb alle Eigenschaften, die aß auf sij u wir bei σij kennengelernt haben, sinngem¨ ¨bertragen. So existiert f¨ ur den Deviator ein Hauptachsensystem. Dieses stimmt mit demjenigen des Spannungstensors σij u ¨berein, da der hydrostatische Spannungszustand u ¨ber keine ausgezeichneten Richtungen verf¨ ugt. Daneben hat der Deviator Invarianten, die wir mit alt zum Beispiel f¨ ur die 1. und die J1 , J2 , J3 bezeichnen. Man erh¨ 2. Invariante des Deviators (vgl. (2.20)) J1 = sii = (σ11 − σm ) + (σ22 − σm ) + (σ33 − σm ) = 0 , 1 J2 = sij sij 2 1 (σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ33 − σ11 )2 (2.29) = 6 2 2 2 + σ12 + σ23 + σ31 1 (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 . = 6 Letztere spielt eine besondere Rolle bei der Formulierung von Stoﬀgesetzen in der Plastomechanik. B2.4

Beispiel 2.4 F¨ ur den Spannungszustand des Beispiels 2.2 bestimme

man den Spannungsdeviator und dessen 2. Invariante. L¨ osung Mit der mittleren Spannung

σm =

1+5+1 σ11 + σ22 + σ33 7 = · 102 = · 102 MPa 3 3 3

ergibt sich f¨ ur den Spannungsdeviator ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ σ11 − σm σ12 σ13 −4/3 1 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 [sij ]=⎣ σ21 σ22 − σm σ23 ⎦=⎣ 1 8/3 1 ⎦· 10 MPa. σ31 σ32 σ33 − σm 3 1 −4/3

2.1

Spannungszustand

87

Die Invariante J2 berechnen wir nach (2.29) zweckm¨aßig mit Hilfe der in Beispiel 2.2 ermittelten Hauptspannungen: 1 (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 6 1 49 · 104 MPa2. (6 − 3)2 + (3 + 2)2 + (−2 − 6)2 · 104 = = 6 3

J2 =

2.1.5 Gleichgewichtsbedingungen

Die Gleichgewichtsbedingungen wurden f¨ ur einen r¨aumlichen Spannungszustand schon in Band 2, Abschnitt 2.3 angegeben, wobei dort auf eine Herleitung verzichtet wurde. Diese kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Eine M¨ oglichkeit besteht in der Gleichgewichtsbetrachtung an einem inﬁnitesimalen Element (vgl. Band 2, Abschn. 2.3). Ein anderer m¨ oglicher Ausgangspunkt ist die Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur ein beliebiges, aus dem K¨ orper geschnittenes endliches Teilvolumen V mit der Oberﬂ¨ ache A (Abb. 2.8a). Dieses ist durch eine Volumenkraft achenbelastung (Spannungsvektor) ti belastet. fi und eine Oberﬂ¨ Damit der K¨ orper im Gleichgewicht ist, muss die Summe der ¨außeren Kr¨ afte verschwinden:

ti dA + fi dV = 0 . A

V

Mit der Cauchyschen Formel (2.12b) folgt daraus zun¨achst

σji nj dA + fi dV = 0 . A

Abb. 2.8

V

88

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Das Oberﬂ¨ achenintegral k¨ onnen wir mit dem Gaußschen Satz in ein Volumenintegral umformen. Dabei wollen wir von nun an die partielle Ableitung einer Funktion, z.B. g(x1 , x2 , x3 ), nach xi symbolisch durch den Index i“ hinter einem Komma kennzeichnen: ” ∂g/∂xi = g,i . Damit gilt

∂σji σji nj dA = dV bzw. σji nj dA = σji,j dV . ∂xj A

V

A

V

Fassen wir noch die Volumenintegrale zusammen, so erhalten wir schließlich

(σji,j + fi ) dV = 0 . V

Diese Beziehung kann f¨ ur ein beliebiges Volumen V nur dann erf¨ ullt sein, wenn der Integrand verschwindet: σji,j + fi = 0 .

(2.30a)

Dies sind die Gleichgewichtsbedingungen; ausgeschrieben lauten sie ∂σ21 ∂σ31 ∂σ11 + + + f1 = 0 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ12 ∂σ22 ∂σ32 + + + f2 = 0 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ13 ∂σ23 ∂σ33 + + + f3 = 0 . ∂x1 ∂x2 ∂x3

(2.30b)

Mit (2.30) stehen drei Gleichungen zur Verf¨ ugung, aus denen die sechs unabh¨ angigen Spannungskomponenten σij im allgemeinen nicht bestimmt werden k¨ onnen: das Problem ist statisch unbestimmt. Die Gleichgewichtsbedingungen gelten f¨ ur jeden Punkt im Innern des K¨ orpers. Entlang der Oberﬂ¨ ache (Rand) ist h¨auﬁg die außere Belastung durch eine gegebene Fl¨ achenlast t∗i vorgeschrie¨ ullt sein. Mit der ben. Dort muss die Randbedingung ti = t∗i erf¨ Cauchyschen Formel (2.12b) erh¨ alt man daraus

2.1

σji nj = t∗i

Spannungszustand

89

(2.31a)

bzw. ausgeschrieben σ11 n1 + σ21 n2 + σ31 n3 = t∗1 , σ12 n1 + σ22 n2 + σ32 n3 = t∗2 , σ13 n1 + σ23 n2 + σ33 n3 =

t∗3

(2.31b)

.

Darin beschreibt der nach außen weisende Normalenvektor nj die Orientierung der Berandung (Abb. 2.8b). Da durch diese Gleichungen Spannungen am Rand festgelegt werden, bezeichnet man sie auch als Spannungsrandbedingungen. Es ist nicht immer zweckm¨ aßig, die Gleichgewichtsbedingungen in der Formulierung (2.30b) mittels kartesischer Koordinaten zu verwenden. Vielmehr ist es bei verschiedenen Problemen sinnvoll, ein anderes – z.B. der K¨ orperform angepasstes – Koordinatensystem zu benutzen. Als Beispiel hierf¨ ur wollen wir die Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur den ebenen Fall in Polarkoordinaten herleiten. Entsprechend den Koordinaten r, ϕ bezeichnen wir dabei die Spannungskomponenten mit σr , σϕ , τrϕ (Abb. 2.9a). Man nennt σr die Radialspannung und σϕ die Umfangsspannung. Im weiteren betrachten wir das inﬁnitesimale Element der Dicke t nach Abb. 2.9b, an dessen Seitenﬂ¨ achen die Spannungen und ihre Zuw¨ achse wirken. Beachtet man, dass Glieder h¨oherer Ordnung in der Grenze verschwinden, so erh¨ alt man mit sin dϕ → dϕ, cos dϕ → 1 aus der Kr¨ aftegleichgewichtsbedingung in radialer Richtung (siehe auch Abb. 2.9c)

Abb. 2.9

90

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

∂σr dr t (r + dr) dϕ − τrϕ t dr −σr t r dϕ + σr + ∂r

∂τrϕ dϕ t dr − (σϕ dϕ) t dr + fr t r dϕ dr = 0 + τrϕ + ∂ϕ bzw. 1 ∂τrϕ 1 ∂σr + + (σr − σϕ ) + fr = 0 . ∂r r ∂ϕ r

(2.32a)

Entsprechend liefert das Kr¨ aftegleichgewicht in Umfangsrichtung 1 ∂σϕ 2 ∂τrϕ + + τrϕ + fϕ = 0 . ∂r r ∂ϕ r

(2.32b)

Als Anwendungsfall betrachten wir noch einmal die Spannungen nach Beispiel 2.3. Da die Richtungen von ξ und η mit den entsprechenden Richtungen in Polarkoordinaten (r, ϕ) u ¨bereinstimmen, gilt σr = −

F sin ϕ , 2πt r

σϕ = 0 ,

τrϕ = 0 .

(2.33)

Sie erf¨ ullen mit fr = fϕ = 0 die Gleichgewichtsbedingungen (2.32) identisch. Wir wollen noch die Randbedingungen entlang des geraden Randes u ufen. Da dieser mit Ausnahme der Lastan¨berpr¨ griﬀsstelle (r = 0) unbelastet ist, lauten sie f¨ ur r = 0 σϕ |ϕ=0,π = 0 ,

τrϕ |ϕ=0,π = 0 .

Man erkennt, dass sie durch die Spannungen (2.33) ebenfalls befriedigt werden. B2.5

Die Wand eines Staudamms mit dreiecksf¨ormigem Querschnitt ist durch den Wasserdruck (p = pu x2 /h) und durch das Eigengewicht (Volumenkraft f2 = g) belastet (Abb. 2.10). Dabei treten in der Wand die folgenden Spannungen auf: pu x2 , σ11 = − h g p

2pu u − σ22 = + x − g x2 , 1 tan α h tan3 α h tan2 α Beispiel 2.5

2.1

σ33 = ν(σ11 + σ22 ) , pu x1 , σ12 = − h tan2 α

Spannungszustand

91

σ23 = σ31 = 0 .

Man u ufe, dass die Gleichgewichtsbedingungen sowie die ¨berpr¨ ullt sind. Randbedingungen entlang der R¨ ander AB und AC erf¨

Abb. 2.10

L¨ osung Mit f1 = f3 = 0 sind die erste und die dritte Gleichge-

wichtsbedingung (2.30b) identisch erf¨ ullt, da die entsprechenden Ableitungen alle Null sind. Die zweite Gleichgewichtsbedingung liefert p

pu u + − g + 0 + g = 0 ; − h tan2 α h tan2 α sie ist also ebenfalls erf¨ ullt. Der Rand AB ist unbelastet: t∗1 = t∗2 = t∗3 = 0. Er wird durch die Geradengleichung x2 = x1 cot α beschrieben, und die Komponenten des nach außen weisenden Normalenvektors lauten n1 = cos α , n2 = cos(90◦ + α) = − sin α , n3 = 0 . Damit ist die dritte Gleichung (2.31b) identisch erf¨ ullt. Die ersten beiden liefern die Randbedingungen σ11 cos α − σ21 sin α = 0 , σ12 cos α − σ22 sin α = 0 . Durch Einsetzen erh¨ alt man daraus pu pu x1 cot α cos α + x1 sin α = 0 , − h h tan2 α g 2pu pu − − cos α − x x1 1 tan α h tan3 α h tan2 α p

u + cot α sin α = 0 . − g x 1 h tan2 α

92

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Diese Randbedingungen werden also ebenfalls befriedigt. außere Last t∗1 = p, Der Rand AC (x1 = 0) ist durch die ¨ ∗ ∗ ur ihn gilt n1 = −1, n2 = n3 = 0. Dat2 = t3 = 0 belastet. F¨ mit lauten die Randbedingungen dort σ11 = − p ,

σ12 = 0 ,

σ13 = 0 .

Sie werden durch die gegebenen Spannungen erf¨ ullt. Es sei angemerkt, dass die gegebenen Spannungen einen ebenen Verzerrungszustand beschreiben (vgl. Abschn. 2.5.1). Die Konstante ν ist die Querkontraktionszahl. 2.2

2.2 Deformation und Verzerrung Aus Band 2, Abschnitt 3.1 wissen wir, dass die Kinematik eines deformierbaren Festk¨ orpers durch die Verschiebungen und die Verzerrungen beschrieben werden kann. Wir wollen hier auf diese Gr¨ oßen n¨ aher eingehen und sie auf den dreidimensionalen Fall erweitern. 2.2.1 Allgemeines

Wir betrachten nach Abb. 2.11 einen K¨ orper K zun¨achst in seinem undeformierten Ausgangszustand. Einen beliebigen materiellen Punkt (Partikel) P kennzeichnen wir durch den Ortsvektor X. Da hierdurch jeder materielle Punkt durch seine Koordinaten Xi im Ausgangszustand festgelegt ist, nennt man die Xi materielle Koordinaten. Bei einer Deformation geht der undeformierte K¨ orper K in den deformierten K¨ orper K u ¨ber. Dabei erf¨ahrt ein Partikel P eine Verschiebung u und beﬁndet sich dann, im deformierten Zustand, am Ort P . Dieser ist durch den Ortsvektor x bzw. die Ortskoordinaten xi festgelegt. Damit gilt allgemein x−X =u

bzw.

xi − X i = u i .

(2.34)

Die Beschreibung der Lage¨ anderung kann nun auf zwei verschiedene Arten erfolgen. In der Lagrangeschen Beschreibung (Joseph Louis Lagrange, 1736–1813) wird die Bewegung“ (Lage¨anderung) ” eines materiellen Teilchens X verfolgt. Sein Ort im deformierten

2.2

Deformation und Verzerrung

93

Abb. 2.11

Zustand und seine Verschiebung sind gegeben durch x = x(X) , u = u(X) bzw. xi = xi (Xj ) , ui = ui (Xj ) . (2.35) Als unabh¨ angige Ver¨ anderliche treten hier die materiellen Koordinaten X1 , X2 , X3 auf. In der Eulerschen Beschreibung wird dagegen der Zustand“ in einem Raumpunkt x betrachtet. In der ” deformierten Lage beﬁndet sich dort ein bestimmtes Partikel, das eine bestimmte Verschiebung erfahren hat: X = X(x) , u = u(x) bzw. Xi = Xi (xj ) , ui = ui (xj ) . (2.36) Die unabh¨ angigen Variablen sind in diesem Fall die Ortskoordinaten x1 , x2 , x3 . W¨ ahrend die Eulersche Darstellung insbesondere in der Str¨ omungsmechanik Verwendung ﬁndet (vgl. Abschn. 1.3.1), wird die Lagrangesche Darstellung in der Elastomechanik bevorzugt. Wir werden deshalb hier von der Lagrangeschen Beschreibung (2.35) ausgehen. Im weiteren betrachten wir nach Abb. 2.11 ein materielles Linienelement P Q, das im undeformierten Ausgangszustand durch den Vektor dX beschrieben wird. Dieses geht bei der Deformation durch Streckung und Drehung in das Element P Q u ¨ber, das ¨ durch den Vektor dx gekennzeichnet ist. Die Anderung dx − dX des Elementes ist durch die Verschiebungsdiﬀerenz du der Punkte P und Q gegeben: dx − dX = du

bzw.

dxi − dXi = dui .

Letztere kann mit (2.35) in Indexschreibweise durch

(2.37)

94

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

dui =

∂ui ∂ui ∂ui ∂ui dX1 + dX2 + dX3 = dXj = Hij dXj ∂X1 ∂X2 ∂X3 ∂Xj

(2.38)

ausgedr¨ uckt werden (vollst¨ andiges Diﬀerential). Darin ist ∂ui Hij = (2.39) ∂Xj der Verschiebungsgradient. Bezieht man die Verschiebungs¨andeange dS = |dX|, so erh¨alt man mit rung dui auf die Ausgangsl¨ nj = dXj /dS schließlich dui = Hij nj . (2.40) dS Die auf die Ausgangsl¨ ange bezogene Relativverschiebung benachbarter Punkte wird danach vollst¨ andig durch den Verschiebungsgradienten beschrieben. Die linearen Vektorgleichungen (2.38) bzw. (2.40) kennzeichnen Hij als Tensor 2. Stufe. Wie schon erw¨ ahnt, werden durch dui und folglich durch den Verschiebungsgradienten die L¨ angen¨ anderung (Streckung) und die Drehung eines Linienelementes beschrieben. Mit Hij steht damit ugung, das es erm¨oglicht, den Deforein Verzerrungsmaß zur Verf¨ mationszustand zu charakterisieren. Eine andere M¨oglichkeit, ein Verzerrungsmaß einzuf¨ uhren, besteht darin, anstelle von (2.37) die Diﬀerenz der L¨ angenquadrate ds2 − dS 2 zu betrachten. Dies kann insbesondere bei großen Deformationen zweckm¨aßig sein. Hierauf sei jedoch nicht n¨ aher eingegangen. 2.2.2 Inﬁnitesimaler Verzerrungstensor

Nach (2.35) werden die Veschiebungen als Funktionen der materiellen Koordinaten ausgedr¨ uckt: ui = ui (Xj ). Dies kann auch in der impliziten Form ui = ui (xk (Xj )) mit xk = Xk + uk erfolgen. F¨ ur den Verschiebungsgradienten erh¨ alt man damit ∂ui ∂ui ∂xk ∂ui ∂uk Hij = δkj + . (2.41) = = ∂Xj ∂xk ∂Xj ∂xk ∂Xj F¨ ur sehr viele technische Anwendungen kann man den Verschiebungsgradienten als klein voraussetzen: ∂uk /∂Xj 1. Der zweite Ausdruck in der runden Klammer ist dann vernachl¨assigbar, und es ergibt sich

2.2

Deformation und Verzerrung

95

∂ui ∂ui = . (2.42) ∂Xj ∂xj In diesem Fall brauchen wir nicht zwischen materiellen Koordinaten und Raumkoordinaten zu unterscheiden. Da wir uns auf diesen Fall beschr¨ anken, fassen wir deshalb von nun an die Verschiebungen (wie schon in Band 2) als Funktionen der Koordinaten x1 , x2 , x3 auf: ui = ui (xj ). Der Verschiebungsgradient ist damit durch Hij = ui,j gegeben, wobei der Index j “ nach dem Komma wie” der die Ableitung nach xj symbolisiert. F¨ ur das weitere ist es zweckm¨ aßig, Hij folgendermaßen in zwei Anteile zu zerlegen: Hij =

Hij = ui,j = 12 (ui,j + uj,i ) + 12 (ui,j − uj,i ) = εij + ωij . ! "# $ ! "# $ εij

(2.43)

ωij

Der zweite Anteil ωij = (ui,j − uj,i )/2 ist antisymmetrisch (ωij = −ωji ) und wird als inﬁnitesimaler Drehtensor bezeichnet. Seine Matrixdarstellung lautet ⎤ ⎡ 0 ω12 ω13 ⎥ ⎢ ω = ⎣ ω21 (2.44) 0 ω23 ⎦ ω31 mit

ω32

0

1 ∂u1 ∂u2 , − 2 ∂x2 ∂x1

1 ∂u2 ∂u3 , = − 2 ∂x3 ∂x2

1 ∂u3 ∂u1 . = − 2 ∂x1 ∂x3

ω12 = − ω21 = ω23 = − ω32 ω31 = − ω13

(2.45)

Die Komponenten dieses Tensors beschreiben die Drehung eines Elements. Man kann dies am Beispiel des Elements nach Abb. 2.12a erkennen. Hierf¨ ur liest man unter Beachtung kleiner Deformationen ab: α = ∂u2 /∂x1 , β = −∂u1 /∂x2 . F¨ ur den Drehwinkel alt man damit der Diagonale um die x3 -Achse erh¨ 1 ∂u2 1 ∂u1 . ω21 = (α + β) = − 2 2 ∂x1 ∂x2 Entsprechend werden durch ω23 bzw. ω31 die Drehungen um die

96

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Abb. 2.12

x1 - bzw. die x2 -Achse beschrieben. Da die Drehungen keine Verzerrungen des Elementes bewirken, werden durch sie auch keine Spannungen hervorgerufen. Die Drehkomponenten ωij tauchen dementsprechend im Elastizit¨ atsgesetz nicht auf. Wir werden sie deshalb nicht weiter betrachten. Der erste Anteil in (2.43) εij = 12 (ui,j + uj,i )

(2.46)

ist symmetrisch (εij = εji ) und heißt inﬁnitesimaler Verzerrungstensor. Verwenden wir alternativ die beiden Bezeichnungen x1 = ur die Achsen und u1 = u, u2 = v, u3 = w x, x2 = y, x3 = z f¨ f¨ ur die Verschiebungskomponenten, so kann er in der Matrixform (vgl. Band 2, Abschnitt 3.1) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 1 γ γ ε11 ε12 ε13 εx xy xz 2 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ε = ⎢ ε21 ε22 ε23 ⎥ = ⎢ 12 γyx (2.47) ⎥ εy γ 2 yz ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 1 1 ε31 ε32 ε33 εz 2 γzx 2 γzy dargestellt werden. Darin sind ∂u1 ∂u2 , ε22 = , ∂x1 ∂x2 die Dehnungen und ε11 =

∂u1 ∂u2 + , ∂x2 ∂x1 ∂u3 ∂u1 = + ∂x1 ∂x3

2ε12 = 2ε31

2ε23 =

ε33 =

∂u3 ∂x3

∂u2 ∂u3 + , ∂x3 ∂x2

(2.48a)

(2.48b)

2.2

Deformation und Verzerrung

97

¨ die Gleitungen (Winkel¨ anderungen). Aquivalent hierzu sind die Darstellungen ∂u ∂v ∂w , εy = , εz = , εx = ∂x ∂y ∂z (2.48c) ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w ∂u γxy = + , γyz = + , γzx = + . ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z Als Beispiele sind die Verformungen eines Elements aufgrund einer Dehnung ε11 bzw. einer Winkel¨ anderung 2ε12 in den Abb. 2.12b,c veranschaulicht. Die Dehnungen und die Winkel¨anderungen bezeichnet man auch als Verzerrungen. Sie sind im Elastizit¨atsgesetz mit den Spannungen verkn¨ upft. Wie der Spannungstensor ist auch der Verzerrungstensor ein symmetrischer Tensor 2. Stufe. Wir k¨ onnen deshalb alle Eigenschaften, die wir vom Spannungstensor kennen, sinngem¨aß auf den Verzerrungstensor u ¨bertragen. Dabei brauchen wir nur die Spannungen σij durch die Verzerrungen εij zu ersetzen. So lautet zum Beispiel die Transformationsbeziehung (vgl. (2.14)) εij = εkl aik ajl .

(2.49)

Weiterhin existieren drei Invarianten sowie ein Hauptachsensystem mit den zugeh¨ origen Hauptdehnungen ε1 , ε2 , ε3 . Dehnungen f¨ uhren im allgemeinen zu Volumen¨anderungen. Um sie zu bestimmen, betrachten wir das quaderf¨ ormige Element nach Abb. 2.13, das im undeformierten Zustand das Volumen dV = dx1 dx2 dx3 hat. Infolge der Dehnungen erfahren seine Kanten die L¨angen¨ande-

Abb. 2.13

98

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

rungen ε11 dx1 , ε22 dx2 , ε33 dx3 , so dass das Volumen im deformierten Zustand gegeben ist durch dV + ΔdV = (1 + ε11 )dx1 (1 + ε22 )dx2 (1 + ε33 )dx3 . Bezieht man die Volumen¨ anderung ΔdV auf das Ausgangsvolumen dV , so erh¨ alt man die Volumendehnung (Dilatation) εv =

ΔdV = ε11 + ε22 + ε33 = εkk . dV

(2.50)

Dabei konnten wir wegen εij 1 die Produkte der Dehnungen als von h¨ oherer Ordnung klein gegen¨ uber den Dehnungen vernachl¨ assigen. In Abschnitt 2.1.4 haben wir den Spannungstensor additiv in zwei Teile aufgespalten. Dies ist auch beim Verzerrungstensor in manchen F¨ allen n¨ utzlich. Zu diesem Zweck f¨ uhren wir mit εm = 13 εv = 13 (ε11 + ε22 + ε33 ) = 13 εkk

(2.51)

die mittlere Dehnung ein. Damit gilt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ε12 ε11 ε12 ε13 εm 0 0 ε11 − εm ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε = ⎣ ε21 ε22 ε23 ⎦=⎣ 0 εm 0 ⎦+⎣ ε21 ε22 − εm ε31 ε32 ε33

⎡

0

0 εm

⎤ ⎡

ε31

ε32 ⎤

εm 0 0 e11 e12 e13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ =⎣ 0 εm 0 ⎦+⎣ e21 e22 e23 ⎦ 0 oder kurz εkk δij + eij . εij = 3

0 εm

ε13 ε23

⎤ ⎥ ⎦

ε33 − εm (2.52)

e31 e32 e33 (2.53)

Der erste Anteil εkk δij /3 (= Kugeltensor) beschreibt eine reine Volumendehnung. Der zweite Anteil eij (= Deviator) charakterisiert die Verzerrungen bei konstantem Volumen; er beschreibt die Gestalt¨ anderung. Schon bei den Gleichgewichtsbedingungen (Abschn. 2.1.5) haben wir darauf hingewiesen, dass es zweckm¨ aßig sein kann, anstelle von kartesischen Koordinaten andere Koordinaten zu verwenden.

2.2

Deformation und Verzerrung

99

Als Beispiel hierf¨ ur wollen wir die kinematischen Beziehungen f¨ ur den ebenen Fall in Polarkoordinaten r, ϕ angeben: εr =

1 ∂uϕ ∂uϕ uϕ ∂ur ur 1 ∂ur , εϕ = + , γrϕ = + − .(2.54) ∂r r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r r

Darin sind ur bzw. uϕ die Verschiebungskomponenten in radialer Richtung bzw. in Umfangsrichtung. 2.2.3 Kompatibilit¨ atsbedingungen

Sind die drei Komponenten ui des Verschiebungsfeldes bekannt, so lassen sich aus ihnen die 6 Verzerrungen nach (2.48a,b) durch Diﬀerenzieren bestimmen. Sind umgekehrt die Verzerrungen gegeben, so stehen mit (2.48a,b) 6 Gleichungen f¨ ur die 3 unbekannten Verschiebungskomponenten zur Verf¨ ugung. Sollen die Verschiebungen eindeutig sein, so k¨ onnen demnach die Verzerrungen nicht unabh¨ angig voneinander sein. Man erkennt den Zusammenhang, indem man mit (2.46) (nach zweimaliger Diﬀerentiation) zum Beispiel die Ausdr¨ ucke 2ε12,12 = u1,212 + u2,112 , 2(ε12,13 + ε13,12 ) = u1,213 + u2,113 + u1,312 + u3,112 bildet. Die Verschiebungsableitungen auf den rechten Seiten kann man nun wieder mit (2.46) durch die Verzerrungen ersetzen. So gilt f¨ ur die erste Gleichung u1,212 + u2,112 = (u1,1 ),22 + (u2,2 ),11 = ε11,22 + ε22,11 . Sie nimmt damit die Form 2ε12,12 = ε11,22 + ε22,11 bzw. ∂ 2 ε22 ∂ 2 ε12 ∂ 2 ε11 + =2 2 2 ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 an. Analog folgt aus der zweiten Gleichung (− ε23,1 + ε13,2 + ε12,3 ),1 = ε11,23 .

(2.55)

100

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Durch zyklische Vertauschung der Indizes lassen sich daraus je zwei weitere Gleichungen gewinnen; insgesamt erh¨alt man also ε11,22 + ε22,11 = 2ε12,12 , (− ε23,1 + ε13,2 + ε12,3 ),1 = ε11,23 , ε22,33 + ε33,22 = 2ε23,23 , (− ε31,2 + ε21,3 + ε23,1 ),2 = ε22,31 , (2.56) ε33,11 + ε11,33 = 2ε31,31 , (− ε12,3 + ε32,1 + ε31,2 ),3 = ε33,12 .

Man nennt diese Beziehungen zwischen den Verzerrungen Kompaaglichkeitsbedingungen. Man kann tibilit¨ atsbedingungen oder Vertr¨ zeigen, dass sie erf¨ ullt sein m¨ ussen, damit die Verzerrungen ein eindeutiges Verschiebungsfeld liefern. Im ebenen Verzerrungszustand verschwinden die Verzerrungskomponenten ε13 , ε23 , ε33 sowie die Ableitungen nach x3 . Dann verbleibt als Kompatibilit¨ atsbedingung nur noch die Beziehung (2.55). B2.6

Beispiel 2.6 Ein Balken mit Kreisquerschnitt ist bei x = 0 gelagert

und wird durch ein Moment M0 auf reine Biegung beansprucht (Abb. 2.14). Dabei treten die Verschiebungen u = − κB xz , v = κB νyz , w = 12 κB [x2 + ν(z 2 − y 2 )] auf, wobei κB und ν Konstanten sind. Man bestimme die Verzerrungen und pr¨ ufe, ob die Kompatibilit¨ atsbedingungen erf¨ ullt sind. Wie ist der Balken gelagert?

Abb. 2.14

L¨ osung Nach (2.48a,b) erh¨ alt man die Verzerrungen

ε x = − κB z ,

εy = κ B ν z = − ν ε x ,

ε z = κB ν z = − ν ε x ,

γxy = γyz = γzx = 0 .

Die Kompatibilit¨atsbedingungen (2.56) enthalten ausschließlich 2. Ableitungen der Verzerrungen. Da diese hier alle verschwinden, sind sie erf¨ ullt.

2.2

Deformation und Verzerrung

101

An der Stelle x = 0 gilt u = 0 , v = κB ν y z , w =

κB ∂w ν(z 2 − y 2 ) , w = = 0. 2 ∂x

Danach ist der Balken an dieser Stelle so eingespannt“, dass ” zwar u und w verschwinden, aber die Verschiebungen v, w in y, zRichtung nicht behindert sind. Es sei angemerkt, dass ν die Querkontraktionszahl ist. Die Bedeutung von κB kann man aus der Durchbiegung w = κB x2 /2 der Balkenachse (y = z = 0) bzw. aus ihrer zweiten Ableitung ummung w = κB = const erkennen. Danach beschreibt κB die Kr¨ der Balkenachse (vgl. Band 2, Gl. (4.32)). Beispiel 2.7 F¨ ur einen ebenen Verzerrungszustand lauten die Ver-

zerrungen ε11 = a x21 x2 − b x22 ,

ε22 = b x1 x2 ,

ε12 = c x1 x2 ,

wobei a und b bekannt sind. Man bestimme c so, dass die Kompatibilit¨ atsbedingung erf¨ ullt ist. Wie groß sind dann die Verschiebungen? L¨ osung Einsetzen der Verzerrungen in die Kompatibilit¨ atsbedin-

gung (2.55) liefert die gesuchte Konstante c: ∂ 2 ε22 ∂ 2 ε12 ∂ 2 ε11 + = 2 ∂x22 ∂x21 ∂x1 ∂x2

→ − 2b = 2c → c = − b .

F¨ ur die Verschiebungen ergibt sich durch Integration zun¨achst a u1,1 = ε11 → u1 = x31 x2 − b x1 x22 + f (x2 ) , 3 b u2,2 = ε22 → u2 = x1 x22 + g(x1 ) . 2 Dabei sind f bzw. g beliebige Funktionen von x2 bzw. von x1 . Einsetzen in die Beziehung f¨ ur ε12 nach (2.48b) liefert b a u1,2 + u2,1 = 2 ε12 → x31 − 2bx1 x2 + f,2 + x22 + g,1 = −2bx1 x2 3 2

b a 3 x1 + g,1 = − x22 + f,2 . → 3 2

B2.7

102

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Da die linke Seite nur von x1 und die rechte nur von x2 abh¨angt, kann diese Gleichung nur dann erf¨ ullt sein, wenn beide Seiten gleich einer Konstanten sind, die wir mit C1 bezeichnen: a 3 x + g,1 = C1 , 3 1

b − x22 − f,2 = C1 . 2

Durch Umformung und anschließende Integration erh¨alt man daraus a a g,1 = − x31 + C1 → g = − x41 + C1 x1 + C2 , 3 12 b b f,2 = − x22 − C1 → f = − x32 − C1 x2 + C3 . 2 6 Damit folgen die Verschiebungen u1 =

a 3 b x1 x2 − b x1 x22 − x32 − C1 x2 + C3 , 3 6

u2 =

b a x1 x22 − x41 + C1 x1 + C2 . 2 12

¨ ugt werden Uber die Konstanten C1 , C2 , C3 kann noch frei verf¨ (Randbedingungen).

2.3

2.3 Elastizit¨ atsgesetz 2.3.1 Hookesches Gesetz

Das mechanische Verhalten eines Materials wird durch ein Stoﬀgesetz beschrieben. Durch dieses werden die Spannungen mit den Verzerrungen verkn¨ upft. Das Stoﬀgesetz kann nur mit Hilfe von Experimenten (z.B. im Zugversuch) gewonnen werden. Verh¨alt sich dabei ein Material in allen Punkten gleich, so nennt man es homogen, anderenfalls inhomogen. Sind die Materialeigenschaften von der Richtung unabh¨ angig, so bezeichnet man den Werkstoﬀ als isotrop. Dagegen sind die Eigenschaften beim anisotropen Material abh¨ angig von der Richtung (z.B. bei faserverst¨arkten Kunststoﬀen).

2.3

Elastizit¨atsgesetz

103

F¨ ur viele Werkstoﬀe stellt man im langsamen (quasistatischen) einachsigen Zugversuch fest, dass einer Dehnung ε eindeutig eine Spannung σ zugeordnet ist: σ = σ(ε) (Band 2, Abschn. 1.3). Diese ist unabh¨ angig davon, ob die betreﬀende Dehnung durch monoton zunehmende Belastung oder durch Entlastung etwa nach einer gr¨ oßeren Deformation erreicht wird, d.h., die Spannung ist unabh¨ angig von der Deformationsgeschichte. Sie ist außerdem unabh¨ angig von der Zeit. Ein solches Verhalten nennt man elasti¨ agt man dies auf den dreiachsigen sches Materialverhalten. Ubertr¨ Fall, so ist bei elastischem Verhalten einem Verzerrungszustand eindeutig ein Spannungszustand zugeordnet: σij = σij (εkl ). H¨ auﬁg besteht ein linearer Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen. Dieser wird im einachsigen Fall durch das Hookesche Gesetz σ =Eε

(2.57)

beschrieben, wobei E der Elastizit¨ atsmodul ist. Im dreiachsigen Fall kann die lineare Beziehung zwischen den Spannungs- und den Verzerrungskomponenten durch σij = Eijkl εkl

(2.58)

ausgedr¨ uckt werden. Danach gilt zum Beispiel f¨ ur die Spannungskomponente σ11 ausgeschrieben σ11 = E1111 ε11 + E1112 ε12 + E1113 ε13 + E1121 ε21 + E1122 ε22 + E1123 ε23 + E1131 ε31 + E1132 ε32 + E1133 ε33 . Die Gleichung (2.58) stellt eine lineare Beziehung (Abbildung) zwischen zwei Tensoren 2. Stufe (σij und εkl ) dar. Hierdurch ist Eijkl als Tensor 4. Stufe gekennzeichnet; er hat 34 = 81 Komatstensor und seiponenten. Man bezeichnet Eijkl als Elastizit¨ atskonstanten. Wegen der Symmene Komponenten als Elastizit¨ urfen auch bei Eijkl die Indizes i, j bzw. trie von σij und εkl d¨ k, l vertauscht werden: Eijkl = Ejikl = Eijlk = Ejilk . Dement-

104

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

sprechend besitzt der Elastizit¨ atstensor nur 36 voneinander unabh¨ angige Konstanten. Letzteres erkennt man besonders einfach, wenn man die Spannungs-Verzerrungs-Beziehung in der Form σ11 = a11 ε11 + a12 ε22 + a13 ε33 + 2a14 ε23 + 2a15 ε31 + 2a16 ε12 , σ22 = a21 ε11 + a22 ε22 + . . . ... bzw. in der Matrizenform ⎤ ⎡ ⎡ σ11 a11 a12 a13 a14 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ σ22 ⎥ ⎢ a21 a22 a23 a24 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ σ33 ⎥ ⎢ a31 a32 a33 a34 ⎥=⎢ ⎢ ⎢ σ23 ⎥ ⎢ a41 a42 a43 a44 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ σ31 ⎦ ⎣ a51 a52 a53 a54 σ12 a61 a62 a63 a64

a15 a16

⎤⎡

ε11

⎤

⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ a25 a26 ⎥ ⎥ ⎢ ε22 ⎥ ⎥⎢ ⎥ a35 a36 ⎥ ⎢ ε33 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ a45 a46 ⎥ ⎥ ⎢ 2ε23 ⎥ ⎥⎢ ⎥ a55 a56 ⎦ ⎣ 2ε31 ⎦ a65 a66 2ε12

(2.59)

schreibt. Die Elastizit¨ atskonstanten aij und Eijkl lassen sich durch Vergleich ineinander u uhren. So gelten zum Beispiel a11 = ¨berf¨ E1111 , a12 = E1122 oder a16 = (E1112 + E1121 )/2 = E1112 . In Abschnitt 2.3.3 werden wir zeigen, dass die Matrix aij symmetrisch ist: aij = aji . Damit gibt es im allgemeinen Fall der Anisotropie 21 unabh¨ angige Elastizit¨ atskonstanten. 2.3.2 Isotropie

Ein isotropes Material verh¨ alt sich in allen Richtungen gleich. Dies bedeutet, dass sich die Komponenten des Elastizit¨atstensors Eijkl bei einer Drehung des Koordinatensystems nicht a¨ndern d¨ urfen. Man kann zeigen, dass der einzige Tensor 4. Stufe, der diese Eigenschaft besitzt, durch Eijkl = λ δij δkl + μ(δik δjl + δil δjk ) + κ(δik δjl − δil δjk ) (2.60) gegeben ist, wobei λ, μ, κ Konstanten sind. Ber¨ ucksichtigt man, dass die Indizes i, j bzw. k, l vertauschbar sind, so f¨allt der zweite Klammerausdruck weg, und es bleibt Eijkl = λ δij δkl + μ(δik δjl + δil δjk ) .

(2.61)

2.3

Elastizit¨atsgesetz

105

Danach sind die Komponenten des Elastizit¨ atstensors durch die zwei unabh¨ angigen elastischen Konstanten λ und μ bestimmt. Einsetzen von (2.61) in (2.58) liefert das Elastizit¨atsgesetz σij = λ δij δkl εkl + μ (δik δjl εkl + δil δjk εkl ) = λ εkk δij + μ (εij + εji )

→ σij = λ εkk δij + 2μ εij .

(2.62)

Unter Verwendung der Achsenbezeichnungen x, y, z und der Notation σx , τxy , εx , γxy /2 etc. an Stelle von σ11 , σ12 , ε11 , ε12 etc. lautet es ausgeschrieben σx = λ(εx + εy + εz ) + 2μ εx , τxy = μγxy , σy = λ(εx + εy + εz ) + 2μ εy ,

τyz = μγyz ,

σz = λ(εx + εy + εz ) + 2μ εz ,

τzx = μγzx .

(2.63)

Die Elastizit¨ atskonstanten λ und μ heißen nach Gabriel Lam´e (1795–1870) Lam´esche Konstanten. Durch Vergleich mit dem Elastizit¨ atsgesetz f¨ ur die Schubspannung τxy = Gγxy nach Band 2, Abschnitt 3.2 stellt man fest, dass μ gleich dem Schubmodul G ist: μ = G. L¨ ost man (2.63) nach den Verzerrungen auf, so ergibt sich (Band 2, Abschnitt 3.2) 1 2(1 + ν) 1 [σx − ν(σy + σz )] , γxy = τxy = τxy , E E G 1 2(1 + ν) 1 τyz = τyz , εy = [σy − ν(σz + σx )] , γyz = E E G 1 2(1 + ν) 1 τzx = τzx , εz = [σz − ν(σx + σy )] , γzx = E E G

εx =

(2.64)

atsmodul und ν = wobei E = μ(3λ + 2μ)/(λ + μ) der Elastizit¨ λ/2(λ + μ) die Querkontraktionszahl (Poissonsche Zahl) sind. In Indexschreibweise l¨ asst sich (2.64) in kompakter Form schreiben: εij =

1+ν ν σij − σkk δij E E

(2.65)

106

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Es gibt noch eine weitere M¨ oglichkeit, das Elastizit¨atsgesetz f¨ ur ein isotropes Material zu formulieren. Hierzu bilden wir zun¨achst durch Gleichsetzen der Indizes i“ und j“ in (2.62) die Span” ” nungssumme: σii = λ εkk 3 + 2 μ εii → σkk = (3λ + 2μ)εkk .

(2.66)

Dies stellt wegen σkk /3 = σm und εkk = εv (vgl. (2.26), (2.51)) eine Beziehung zwischen der mittleren Spannung und der Volumendehnung dar: σm = Kεv

bzw.

σkk = 3Kεkk .

(2.67)

Die Konstante K = (3λ + 2μ)/3 nennt man Kompressionsmodul. Wir bilden nun unter Verwendung von (2.62), (2.66) und (2.53) die Deviatorspannungen nach (2.28): sij = σij − 13 σkk δij = λ εkk δij + 2 μ εij − λ + 23 μ εkk δij = 2μ 13 εkk δij + eij − 23 μ εkk δij →

sij = 2μeij .

(2.68)

Die Deviatorspannungen sind danach proportional zu den entsprechenden Deviatorverzerrungen. Mit (2.67) und (2.68) liegt das Elastizit¨ atsgesetz getrennt f¨ ur die Volumen¨ anderung und f¨ ur die Gestalt¨ anderung vor. Aus der direkten Proportionalit¨ at von sij und eij nach (2.68) folgt, dass die Hauptachsen von sij und eij u ¨bereinstimmen. Dies triﬀt dann auch f¨ ur σij und εij zu, da deren Hauptachsen mit denen ihrer Deviatoren zusammenfallen. Damit kann man (2.64) auch im (gemeinsamen) Hauptachsensystem schreiben: E ε1 = σ1 − ν(σ2 + σ3 ) , E ε3 = σ3 − ν(σ1 + σ2 ) .

E ε2 = σ2 − ν(σ3 + σ1 ) ,

(2.69)

Zum Abschluss seien im folgenden einige Beziehungen zwischen den verschiedenen Elastizit¨ atskonstanten zusammengestellt:

2.3

Elastizit¨atsgesetz

107

λ E μ(3λ + 2μ) , ν= , G=μ= , λ+μ 2(λ + μ) 2(1 + ν) (2.70) E νE 2 , λ= . K =λ+ μ= 3 3(1 − 2ν) (1 + ν)(1 − 2ν)

E=

Beispiel 2.8 F¨ ur das Beispiel 2.5 sind die Verzerrungen im Punkt C zu bestimmen. Wie groß ist dort die Volumendehnung? L¨ osung Im Punkt C (x1 = 0, x2 = h) lauten die Spannungen

pu − gh , tan2 α = σ23 = σ31 = 0 .

σ11 = − pu ,

σ22 =

σ33 = ν(σ11 + σ22 ) ,

σ12

Nach (2.64) erh¨ alt man damit f¨ ur die Verzerrungen ν 1+ν −pu 1 − ν + + νgh , ε11 = E tan2 α

1+ν 1−ν −pu + ν − (1 − ν)gh , ε22 = E tan2 α ε33 = ε12 = ε23 = ε31 = 0 . Die Volumendehnung folgt daraus zu εv = ε11 + ε22 + ε33 =

1 (1 + ν)(1 − 2ν) − pu 1 − − gh . E tan2 α

Dieses Ergebnis kann man auch nach (2.67) mit σ33 = ν(σ11 +σ22 ) unmittelbar aus den Spannungen erhalten: 1+ν σkk = (σ11 + σ22 ) 3K 3K 1 (1 + ν)(1 − 2ν) − pu 1 − = − gh . 2 E tan α

εv =

2.3.3 Form¨ anderungsenergiedichte

Bei der Deformation eines elastischen K¨ orpers verrichten die inneren Kr¨ afte (Spannungen) eine Arbeit. Um sie zu bestimmen, betrachten wir das Volumenelement nach Abb. 2.15, bei dem der

B2.8

108

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

¨ Ubersichtlichkeit halber nur die Belastung durch die Spannung σ11 dargestellt ist. Eine inﬁnitesimale Dehnungs¨anderung dε11 f¨ uhrt zu einer Verl¨ angerung dε11 dx1 der Elementl¨ange in x1 Richtung. Da man die Kraft σ11 dx2 dx3 bei dieser inﬁnitesimalen Verr¨ uckung als konstant ansehen kann, verrichtet sie dabei die Arbeit σ11 dε11 dx1 dx2 dx3 . Entsprechende Arbeitsanteile werden von den anderen Spannungskomponenten bei den zugeh¨origen Verzerrungs¨ anderungen geleistet. Bezieht man diese Arbeit auf das Voalt man lumen dx1 dx2 dx3 , so erh¨ dW = σ11 dε11 + σ12 dε12 + σ13 dε13 + σ21 dε21 + · · · = σij dεij .

(2.71)

Die gesamte Arbeit (pro Volumeneinheit), die bei einer Deformation von einem verzerrungslosen Ausgangszustand bis zu einem Verzerrungszustand εij verrichtet wird, ergibt sich hieraus durch Integration:

εij εij . (2.72) W = σij d¯ 0

Man nennt W die speziﬁsche Form¨ anderungsarbeit. Von einem elastischen K¨ orper fordert man, dass W nur vom akangt, also unabh¨angig davon tuellen Verzerrungszustand εij abh¨ ist, auf welchem Weg (z.B. durch monoton zunehmende Deformation oder durch Entlastung nach gr¨ oßerer Deformation) dieser erreicht wurde. Dies ist nur dann m¨ oglich, wenn im Arbeitsinteandiges Diﬀerential ist: gral (2.72) der Ausdruck σij dεij ein vollst¨ σij dεij = dU . In diesem Fall folgt aus (2.72) – wie gefordert –

Abb. 2.15

2.3

W =

εij 0

Elastizit¨atsgesetz

109

dU = U (εij ). Mit

σij dεij = dU =

∂U dεij ∂εij

ergibt sich dann σij =

∂U . ∂εij

(2.73)

Analog zu einer konservativen Kraft lassen sich danach die Spannungen im elastischen Fall aus einem Potential (Energie) ableiten (vgl. Band 1, Abschn. 8.1 und Band 3, Abschn. 1.2.7). Dementanderungssprechend bezeichnet man U (εij ) als speziﬁsche Form¨ energie oder speziﬁsches elastisches Potential. Aufgrund von (2.73) reduziert sich beim linear elastischen Material die Zahl der Elastizit¨ atskonstanten. Bildet man n¨amlich die zweite Ableitung der Form¨ anderungsenergie und ber¨ ucksichtigt, dass die Reihenfolge der Diﬀerentiationen vertauschbar ist, so ergibt sich ∂2U ∂2U = ∂εij ∂εkl ∂εkl ∂εij

→

∂σij ∂σkl = . ∂εkl ∂εij

Hieraus folgt mit (2.58) bzw. mit (2.59) Eijkl = Eklij

bzw.

aij = aji ,

(2.74)

d.h. die Elastizit¨ atsmatrix aij ist, wie schon in Abschnitt 2.3.1 erw¨ ahnt, symmetrisch. Die Form¨ anderungsenergie f¨ ur das linear elastische Material l¨ asst sich bestimmen, indem man (2.58) in (2.72) einsetzt. Die Integration liefert als Ergebnis f¨ ur U eine homogene quadratische Form in den Verzerrungen:

εij 1 εij → U = Eijkl εkl εij . (2.75a) U = Eijkl ε¯kl d¯ 2 0

Die Richtigkeit dieses Ergebnisses kann man unter Verwendung von (2.74) durch Ableiten pr¨ ufen:

110

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

∂U = 12 Eijkl (δrk δsl εij + εkl δri δsj ) ∂εrs = 12 (Eijrs εij + Erskl εkl )

σrs =

= 12 (Ersij εij + Ersij εij ) = Ersij εij . Setzt man (2.58) in (2.75a) ein, so l¨ asst sich die Form¨anderungsenergie auch schreiben als U=

1 σij εij . 2

(2.75b)

Spaltet man den Spannungs- und den Verzerrungstensor gem¨aß (2.28), (2.53) auf, so ergibt sich daraus (beachte: δij δij = δii = 3) U = 12 13 σkk δij + sij 13 εll δij + eij = 16 σkk εll + 12 sij eij = Uv + Ug .

(2.75c)

andeDer erste Anteil Uv = σkk εll /6 = σm εv /2 heißt Volumen¨ anderungsrungsenergie, der zweite Anteil Ug = sij eij /2 Gestalt¨ alt man mit (2.67), (2.50), (2.68) energie. Im isotropen Fall erh¨ und (2.70) f¨ ur diese Gr¨ oßen Uv =

1 2

K εkk εll =

1 2

K ε2v ,

Ug = Geij eij .

(2.76)

Man kann zeigen, dass die Form¨ anderungsenergie (2.75a) positiv deﬁnit ist. Das heißt, dass U f¨ ur jeden beliebigen Verzerrungsoßer als Null ist: U (εij ) > 0. F¨ ur beliebige zustand εij = 0 gr¨ Verzerrungen ist dies nur m¨ oglich, wenn sowohl Uv > 0 als auch Ug > 0 sind. Aus (2.76) ergeben sich damit die folgenden Einschr¨ ankungen f¨ ur die elastischen Konstanten: G=

E > 0, 2(1 + ν)

⎫ ⎪ ⎪ ⎬

⎪ E ⎭ K= > 0⎪ 3(1 − 2ν)

→ E > 0, −1 ≤ ν ≤

1 . 2

(2.77)

Danach sind negative Querkontraktionszahlen durchaus zul¨assig; sie treten zum Beispiel bei bestimmten Schaumstoﬀen auf. Bei den

2.3

Elastizit¨atsgesetz

111

meisten Werkstoﬀen ist ν allerdings positiv. F¨ ur ν = 1/2 ergibt sich K → ∞, d.h. das Material ist dann inkompressibel. Wir kommen nun nochmals auf das Elastizit¨atsgesetz in der Form (2.59) zur¨ uck, wobei wir beachten, dass die Elastizit¨atsmatrix symmetrisch ist: aij = aji . In der praktischen Anwendung hat man es bei anisotropem Materialverhalten meist mit Sonderf¨allen zu tun, bei denen sich die Zahl der Elastizit¨ atskonstanten weiter verringert. Ein wichtiges Beispiel hierzu ist die Orthotropie (orthogonal anisotropes Verhalten), welche durch drei senkrecht aufeinander stehende Vorzugsrichtungen ausgezeichnet ist. L¨asst man die Koordinatenachsen mit den Vorzugsachsen zusammenfallen, so lautet das Elastizit¨ atsgesetz in diesem Fall ⎛

σ11

⎞

⎛

a11 a12 a13 0

0

a22 a23 0

0

⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ22 ⎟ ⎜ a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ33 ⎟ ⎜ a13 ⎜ ⎟=⎜ ⎜ σ23 ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ σ31 ⎠ ⎝ 0

0

⎞⎛

ε11

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ε22 ⎟ ⎟⎜ ⎟ a23 a33 0 0 0 ⎟ ⎜ ε33 ⎟ ⎟⎜ ⎟. ⎟ ⎜ 0 0 a44 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ 2ε23 ⎟ ⎟⎜ ⎟ 0 0 0 a55 0 ⎠ ⎝ 2ε31 ⎠ 2ε12 0 0 0 0 0 a66

σ12

(2.78)

Hier treten 9 unabh¨ angige Elastizit¨ atskonstanten auf. Ein anderes Beispiel ist das Elastizit¨ atsgesetz f¨ ur das sogenannte monokline Material, bei dem 13 unabh¨ angige Konstanten auftreten: ⎛

σ11

⎞

⎛

a11 a12 a13 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ22 ⎟ ⎜ a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ33 ⎟ ⎜ a13 ⎜ ⎟=⎜ ⎜ σ23 ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ σ31 ⎠ ⎝ 0 σ12

a16

0 a16

⎞⎛

ε11

⎞

⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 a26 ⎟ ⎟ ⎜ ε22 ⎟ ⎟⎜ ⎟ a23 a33 0 0 a36 ⎟ ⎜ ε33 ⎟ ⎟⎜ ⎟. ⎟ ⎜ 0 0 a44 a45 0 ⎟ ⎟ ⎜ 2ε23 ⎟ ⎟⎜ ⎟ 0 0 a45 a55 0 ⎠ ⎝ 2ε31 ⎠ a26 a36 0 0 a66 2ε12 a22 a23 0

(2.79)

Anwendung ﬁnden beide Stoﬀgesetze insbesondere bei faserverst¨ arkten Kunststoﬀen und bei Laminaten. 2.3.4 Temperaturdehnungen

Erf¨ahrt ein unbelasteter K¨ orper eine Temperatur¨anderung ΔT , so f¨ uhrt dies bei einem isotropen Material zu keinen Winkel¨ande-

112

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

rungen sondern nur zu allseitig gleichen Dehnungen, die in erster N¨ aherung proportional zu ΔT sind (vgl. Band 2, Abschn. 3.2): εT11 = εT22 = εT33 = αT ΔT

bzw.

εTij = αT ΔT δij .

(2.80)

Darin ist αT der thermische Ausdehnungskoeﬃzient. Unterliegt das Material zus¨ atzlich einer mechanischen Beanspruchung durch Spannungen, so folgt die Gesamtverzerrung aus der Summe des mechanischen und des thermischen Anteils. Mit (2.65) lautet dann das Elastizit¨ atsgesetz εij =

1+ν ν σij − σkk δij + αT ΔT δij E E

(2.81a)

bzw. ausgeschrieben 1 2(1 + ν) [σx − ν(σy + σz )] + αT ΔT , γxy = τxy = E E 1 2(1 + ν) τyz = εy = [σy − ν(σz + σx )] + αT ΔT , γyz = E E 1 2(1 + ν) τzx = εz = [σz − ν(σx + σy )] + αT ΔT , γzx = E E

εx =

1 τxy , G 1 τyz , (2.81b) G 1 τzx . G

Wenn das Material anisotrop ist, dann gilt f¨ ur die Temperaturdehnungen allgemein T ΔT . εTij = αij

(2.82)

T Komponenten eines Tensors, die Hier sind die Koeﬃzienten αij T ur die drei senkrecht aufaus den drei Hauptwerten α1 , α2T , α3T f¨ einander stehenden Hauptrichtungen bestimmbar sind (vgl. auch Hauptspannungen).

B2.9

Beispiel 2.9 Wie groß sind die Spannungen bzw. die Dehnungen in einem isotropen K¨ orper, der eine Temperatur¨anderung ΔT erf¨ ahrt, f¨ ur die F¨ alle a) εx = εy = εz = 0, b) εx = εy = 0, σz = 0, c) εx = 0, σy = σz = 0? L¨ osung Die gesuchten Spannungen und Dehnungen folgen aus dem Elastizit¨ atsgesetz (2.81b):

2.4

Grundgleichungen

113

a)

⎫ σx − ν(σy + σz ) = − EαT ΔT ⎪ ⎬ σy − ν(σz + σx ) = − EαT ΔT σz − ν(σx + σy ) = − EαT ΔT

⎪ ⎭

b)

⎫ ⎪ ⎬

σx − νσy = − EαT ΔT σy − νσx = − EαT ΔT εz = − ν(σx + σy )/E + αT ΔT

c) εy = − νσx /E + αT ΔT

/

εz = − νσx /E + αT ΔT

⎪ ⎭

→ σx = σy = σz = −

→ σx = σ y = − εz =

EαT ΔT . 1 − 2ν

EαT ΔT , 1−ν

1+ν α ΔT . 1−ν T

σx = − EαT ΔT , → εy = εz = (1 + ν)αT ΔT .

F¨ ur ν > 0 tritt die gr¨ oßte Spannung im Fall a) und die gr¨oßte Dehnung im Fall b) auf. 2.4

2.4 Grundgleichungen Wir wollen an dieser Stelle die Grundgleichungen der linearen Elastizit¨ atstheorie zusammenfassen. Sie bestehen aus den Gleichgewichtsbedingungen (2.30a) σij,j + fi = 0 ,

(2.83a)

dem Elastizit¨ atsgesetz (hier f¨ ur isotropes Material in der Form von Gleichung (2.62)) σij = λ εkk δij + 2μ εij

(2.83b)

und den kinematischen Beziehungen (2.46) εij = 12 (ui,j + uj,i ) .

(2.83c)

Letztere k¨ onnen auch durch die Kompatibilit¨ atsbedingungen nach Abschnitt 2.2.3 ersetzt werden. Mit (2.83a-c) stehen 15 Gleichun-

114

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

gen f¨ ur die 15 Unbekannten (6 Spannungen, 6 Verzerrungen, 3 Verschiebungen) zur Verf¨ ugung. Hinzu kommen die Randbedingungen. Diese k¨ onnen als Spannungsrandbedingungen (2.31a) σij nj = t∗i auf At

(2.84a)

oder als Verschiebungsrandbedingungen ui = u∗i auf Au

(2.84b)

gegeben sein. Dabei kennzeichnen der Stern die gegebene Gr¨oße und At bzw. Au den Rand, entlang dessen die entsprechende Gr¨oße vorgegeben ist. In verschiedenen F¨ allen ist es vorteilhaft, die Grundgleichungen entweder nach den Verschiebungen oder nach den Spannungen aufzul¨ osen. So lassen sich durch Einsetzen von (2.83b) und (2.83c) in (2.83a) die Spannungen und die Verzerrungen eliminieren. Man erh¨ alt dann die Verschiebungsdiﬀerentialgleichungen (λ + μ)uj,ji + μ ui,jj + fi = 0 .

(2.85)

Sie werden auch Naviersche oder Lam´esche Gleichungen genannt (Claude-Louis Navier, 1785–1836). Damit ist das Problem auf 3 Gleichungen f¨ ur die 3 Verschiebungen reduziert. Die Diﬀerentialgleichungen (2.85) sind daf¨ ur aber von h¨ oherer Ordnung. Sollen die Grundgleichungen nach den Spannungen aufgel¨ost werden, so muss man anstelle von (2.83c) die Kompatibilit¨atsbedingungen benutzen. Die sich in diesem Fall ergebenden Gleichungen bezeichnet man als Spannungsdiﬀerentialgleichungen oder als BeltramiMichell-Gleichungen (Eugenio Beltrami, 1835–1900; John Henry Michell, 1863–1940). Auf ihre Angabe wollen wir hier verzichten. Die L¨ osung eines dreidimensionalen Problems der Elastizit¨atstheorie ist nur in wenigen Sonderf¨ allen in analytischer Form m¨oglich. Meist k¨ onnen L¨ osungen nur mit Hilfe numerischer Methoden erzielt werden. Viele technische Aufgabenstellungen lassen sich allerdings als ebene Probleme behandeln. Dann kann eine analytische L¨ osung noch in vielen F¨ allen gewonnen werden. Da die Gleichungen (2.83) linear sind, gilt das Superpositi-

2.5 (1)

(1)

(1)

Ebene Probleme (2)

(2)

115 (2)

onsprinzip. Sind danach σij , εij , ui und σij , εij , ui jeweils L¨ osungen von (2.83), so ist auch jede Linearkombination (1) (2) (1) (2) (1) (2) a σij + b σij , a εij + b εij , a ui + b ui mit beliebigen Konstanten a und b eine L¨ osung. Dies kann man in vielen F¨allen bei der Behandlung von Problemen ausnutzen.

2.5 Ebene Probleme Wir wollen uns hier mit einigen ebenen Problemen befassen. Dabei beschr¨ anken wir uns auf isotropes Material bei konstanter Temperatur. 2.5.1 Ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand

Ein ebenes Bauteil, dessen Dicke t klein ist gegen¨ uber seinen Abmessungen in der Ebene und das nur durch Kr¨ afte in der Ebene belastet wird, nennt man eine Scheibe (Abb. 2.16a). Verwenden wir die in der Abbildung eingezeichneten Koordinaten, so gilt an der unbelasteten oberen bzw. unteren Deckﬂ¨ ache σz = τzx = τzy = 0. Von diesen Spannungskomponenten k¨ onnen wir in guter N¨aherung annehmen, dass sie auch im Innern u ¨berall klein und vernachl¨ assigbar im Vergleich zu den anderen Spannungskomponenten sind. Wir setzen dementsprechend in der gesamten Scheibe σz = τxz = τyz = 0. Es bleiben dann nur die Spannungskompoangen nur von x und y ab. Man nenten σx , σy und τxy . Diese h¨ spricht in diesem Fall von einem ebenen Spannungszustand (ESZ).

Abb. 2.16

Die Grundgleichungen des ESZ k¨ onnen wir aus den Gleichungen des dreiachsigen Falles erhalten. So folgen aus (2.64) das Elastizit¨ atsgesetz εx =

1 1 2(1 + ν) (σx − νσy ) , εy = (σy − νσx ) , γxy = τxy (2.86a) E E E

2.5

116

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

ν sowie γxz = γyz = 0 und εz = −ν(σx + σy )/E = − 1−ν (εx + εy ). Letzteres zeigt, dass im ESZ zwar eine Querdehnung εz auftritt, die aber durch εx , εy festgelegt ist. Das Elastizit¨atsgesetz (2.86a) kann man auch in anderer Form schreiben. L¨ost man nach den Spannungen auf, dann erh¨ alt man

E E (εx + ν εy ) , σy = (εy + ν εx ) , 1 − ν2 1 − ν2 E γxy . = 2(1 + ν)

σx = τxy

(2.86b)

Von den kinematischen Beziehungen (2.48c) werden nur die Gleichungen εx =

∂u , ∂x

εy =

∂v , ∂y

γxy =

∂u ∂v + ∂y ∂x

(2.87)

ben¨ otigt. Die Gleichgewichtsbedingungen (2.30b) vereinfachen sich mit fz = 0 zu ∂τxy ∂σx + + fx = 0 , ∂x ∂y

∂σy ∂τxy + + fy = 0 , ∂x ∂y

(2.88)

und die Kompatibilit¨ atsbedingung lautet (vgl. Abschn. 2.2.3) ∂ 2 εy ∂ 2 γxy ∂ 2 εx . + = 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y

(2.89)

Ein ebener Verzerrungszustand (EVZ) liegt vor, wenn die Verschiebungskomponente w in z-Richtung u ¨berall Null ist und die beiden anderen Komponenten u, v nicht von z abh¨angen: w = 0 , u = u(x, y) , v = v(x, y) .

(2.90)

Ein solcher Zustand tritt in Bauteilen auf, deren Form und Belastung sich in z-Richtung nicht ¨ andert und bei denen eine L¨angen¨anderung in z-Richtung durch eine geeignete Lagerung verhindert ist. Ein Beispiel hierf¨ ur ist das dickwandige Rohr unter Innendruck p nach Abb. 2.16b, das sich in L¨ angsrichtung nicht ausdehnen kann. Nach (2.48c) werden im EVZ εz = γxz = γyz = 0, und f¨ ur die verbleibenden Verzerrungen εx , εy , γxy gelten die kinematischen Beziehungen (2.87). Damit liefert (2.64) zun¨achst

2.5

Ebene Probleme

117

τxz = τyz = 0 und σz = ν(σx + σy ). Im EVZ tritt zwar eine Spannung σz auf, die aber durch σx , σy bestimmt ist. Eliminiert man σz aus den verbleibenden Gleichungen in (2.64), so ergibt sich das Elastizit¨ atsgesetz zu 1 − ν2 ν 1 − ν2 ν σx − σy , εy = σy − σx , εx = E 1−ν E 1−ν 2(1 + ν) τxy . (2.91a) γxy = E Wenn man die Bezeichnungen E = E/(1−ν 2 ) und ν = ν/(1−ν) einf¨ uhrt, dann kann es auch analog zu (2.86a) in der Form εx =

1 1 2(1+ν ) (σ −ν σ ) , ε = (σ −ν σ ) , γ = τxy (2.91b) x y y y x xy E E E

geschrieben werden. Da die Verschiebungen nicht von z abh¨angen, h¨ angen auch alle auftretenden Verzerrungen und Spannungen nur von x und y ab. Damit gelten wie im ESZ die Gleichgewichtsbedingungen (2.88). Auch die Kompatibilit¨ atsbedingung ist im EVZ genau wie im ESZ durch (2.89) gegeben. Der einzige Unterschied zwischen den Grundgleichungen des ESZ und des EVZ besteht daher in den Konstanten, welche in den Elastizit¨ atsgesetzen (2.86a) und (2.91b) auftreten. Demnach kann man aus der L¨osung eines Problems des ESZ die L¨ osung f¨ ur das entsprechende Problem des EVZ erhalten, indem man den Elastizit¨ atsmodul E durch E und die Querdehnzahl ν durch ν ersetzt. Aus diesem Grund k¨onnen wir uns auf die Behandlung des ebenen Spannungszustandes beschr¨ anken. Mit (2.86), (2.87) und (2.88) stehen 8 Gleichungen f¨ ur die 8 Unbekannten (2 Verschiebungen, 3 Verzerrungen, 3 Spannungen) zur Verf¨ ugung. Eliminiert man die Verzerrungen und die Spannungen, indem man (2.86b) mit (2.87) in (2.88) einsetzt, so erh¨alt man 2 Gleichungen, die nur noch die Verschiebungen u, v enthalten. Dies sind die Verschiebungsdiﬀerentialgleichungen f¨ ur das ebene Problem (vgl. auch (2.85)). Eine andere M¨oglichkeit das Problem zu formulieren, besteht darin, die Grundgleichungen nach den Spannungen aufzul¨ osen. Dies gelingt, wenn man anstelle der kinematischen Beziehungen (2.87) die Kompatibilit¨atsbedingung

118

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

(2.89) verwendet. Man erh¨ alt dann die Spannungsdiﬀerentialgleichungen. Diese Formulierung ist insbesondere dann zweckm¨aßig, wenn man nur an den Spannungen interessiert ist und wenn ausschließlich Spannungsrandbedingungen vorliegen. 2.5.2 Spannungs-Diﬀerentialgleichungen, Spannungsfunktion

F¨ ur das weitere wollen wir voraussetzen, dass die Volumenkr¨afte orper nur durch Randlasten belasfx , fy Null sind, d.h. dass der K¨ tet ist. Als kinematische Beziehung verwenden wir die Kompatibilit¨ atsbedingung (2.89). Eliminiert man aus ihr die Verzerrungen mit Hilfe des Elastizit¨ atsgesetzes (2.86a), so erh¨alt man zun¨achst ∂ 2 σy ∂ 2 σy ∂ 2 σx ∂ 2 τxy ∂ 2 σx . −ν + −ν = 2(1 + ν) 2 2 2 2 ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x∂y Es ist zweckm¨ aßig, diese Gleichung in eine andere Form zu bringen. Dazu diﬀerenzieren wir in (2.88) unter Beachtung von fx = fy = 0 die erste Gleichgewichtsbedingung nach x, die zweite Gleichgewichtsbedingung nach y und addieren anschließend: ∂ 2 τxy ∂ 2 σx ∂ 2 σy ∂ 2 τxy ∂ 2 σy ∂ 2 σx =0 → 2 =− + +2 − . 2 2 2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 Damit kann die Kompatibilit¨ atsbedingung in der Form ∂ 2 σx ∂ 2 σy ∂ 2 σy ∂ 2 σx + + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 bzw. Δ(σx + σy ) = 0

(2.92)

geschrieben werden, wobei Δ=

∂2 ∂2 + 2 2 ∂x ∂y

(2.93)

der (ebene) Laplace-Operator ist. Eine Gleichung vom Typ Δ(.) = 0 heißt Potentialgleichung. Nach (2.92) erf¨ ullt also die Spannungssumme σx + σy die Potentialgleichung. Die Gleichung (2.92) bildet zusammen mit den Gleichgewichtsbedingungen (2.88)

2.5

Ebene Probleme

119

ein System von 3 Gleichungen f¨ ur die drei Spannungskomponenten σx , σy , τxy . Die Zahl der Gleichungen l¨ asst sich weiter reduzieren, wenn man eine Funktion F (x, y) einf¨ uhrt, aus der sich die Spannungen nach folgender Vorschrift berechnen lassen: σx =

∂2F , ∂y 2

σy =

∂2F , ∂x2

τxy = −

∂2F . ∂x∂y

(2.94)

Dann werden die Gleichgewichtsbedingungen (2.88) f¨ ur fx = ullt. Die Kompatibilit¨ atsbedingung (2.92) erh¨alt fy = 0 identisch erf¨ mit σx + σy = ΔF die Form ΔΔF = 0

(2.95)

bzw. mit (2.93) ∂4F ∂4F ∂4F +2 2 2 + = 0. 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 4

(2.96)

Damit ist das ebene Problem auf eine einzige partielle Diﬀerentialgleichung vierter Ordnung zur¨ uckgef¨ uhrt, die man als Bipotentialgleichung oder als Scheibengleichung bezeichnet. Die Funktion F (x, y) nennt man nach George Biddell Airy (1801–1892) die Airysche Spannungsfunktion. Die Bipotentialgleichung (2.95) ist unabh¨ angig vom speziellen Koordinatensystem g¨ ultig. Verwendet man zum Beispiel Polarkoordinaten, so hat man dann den Laplace-Operator in Polarkoordinaten Δ=

∂2 1 ∂2 1 ∂ + 2 + 2 ∂r r ∂ϕ2 r ∂r

(2.97)

zu benutzen. In diesem Fall lassen sich die Spannungskomponenten folgendermaßen aus der Spannungsfunktion F (r, ϕ) herleiten: 1 ∂ 2 F 1 ∂F ∂2F ∂ 1 ∂F , σ . (2.98) σr = 2 + = , τ = − ϕ rϕ r ∂ϕ2 r ∂r ∂r2 ∂r r ∂ϕ Durch Einsetzen kann man sich davon u ¨berzeugen, dass hiermit

120

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

die Gleichgewichtsbedingungen (2.32a,b) f¨ ur fr = fϕ = 0 identisch erf¨ ullt werden. Eine allgemeine L¨ osung der Bipotentialgleichung ist nicht bekannt. Es ist jedoch m¨ oglich, spezielle L¨ osungen herzuleiten; in Tabelle 2.1 sind einige L¨ osungen zusammengestellt. Erf¨ ullen diese die Randbedingungen, so ist das entsprechende ebene Problem bez¨ uglich der Spannungen gel¨ ost. Wenn man auch an den Verschiebungen interessiert ist, so m¨ ussen diese in Verbindung mit dem Elastizit¨ atsgesetz aus den Verzerrungen durch Integration gewonnen werden. Tabelle 2.1 L¨ osungen von ΔΔF = 0

Koord.

F

x, y

1, x, x2 , x3 , xy, x2 y, x3 y, x4 y − x2 y 3 , x4 − 3 x2 y 2 , x5 − 5 x3 y 2 ,

x5 y − (5/3) x3 y 3 , x6 − 10 x4 y 2 + 5 x2 y 4

e±λy cos λ x, xe±λy cos λx, ln (x2 + y 2 ), x ln (x2 + y 2 ), x ↔ y vertauschbar, r, ϕ

cos(.) ↔ sin(.) austauschbar

1, r2 , ln r, r2 ln r, ϕ, ϕ2 , ϕ3 , r2 ϕ, ϕ ln r, r2 ϕ ln r, r ln r cos ϕ, (An rn + Bn r−n + Cn rn+2 + Dn r−n+2 ) cos n ϕ (n = 1, 2, 3, . . .)

cos(.) ↔ sin(.) austauschbar

Wir betrachten noch den Sonderfall, dass die Spannungsfunktion in Polarkoordinaten unabh¨ angig vom Winkel ϕ ist (Rotationssymmetrie): F = F (r). Dann vereinfacht sich der Laplaced2 1 d Operator zu Δ = dr 2 + r dr , und die Scheibengleichung nimmt die Form einer Eulerschen Diﬀerentialgleichung 2 d3 F 1 d2 F 1 dF d4 F =0 + − + 3 4 3 2 2 dr r dr r dr r dr

(2.99)

2.5

Ebene Probleme

121

an. Ihre allgemeine L¨ osung lautet F = C0 + C1 lnr + C2 r2 + C3 r2 lnr .

(2.100)

Hieraus folgen mit (2.98) die Spannungen C1 + 2C2 + C3 (1 + 2 lnr) , r2 C1 σϕ = − 2 + 2C2 + C3 (3 + 2 lnr) , r σr =

(2.101)

τrϕ = 0 . 2.5.3 Anwendungsbeispiele 2.5.3.1 Einfache Spannungszust¨ ande

a) Ein einachsiger Zug σ0 in x-Richtung (Abb. 2.17a) wird durch amlich nach (2.94) F = σ0 y 2 beschrieben. Hieraus folgen n¨ σx = σ 0 ,

σy = τxy = 0 .

b) Aus der Funktion F = Cy 3 /6 ergeben sich die Spannungen σx = Cy ,

σy = τxy = 0 .

Solch eine lineare Verteilung von σx tritt zum Beispiel bei der reinen Biegung eines Balkens auf (Abb. 2.17b). uhrt mit (2.100) und c) Die Spannungsfunktion F = C1 ln r f¨ (2.101) auf C1 τrϕ = 0 . σ r = − σϕ = 2 , r Hiermit l¨ asst sich die L¨ osung f¨ ur ein Kreisloch im unendlichen Gebiet unter dem Innendruck p0 (Abb. 2.17c) sofort angeben. Aus

Abb. 2.17

122

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

der Randbedingung σr (a) = −p0 folgt n¨ amlich C1 = −p0 a2 und damit f¨ ur die Spannungen a2 , τrϕ = 0 . r2 Die Spannungen klingen hiernach mit wachsendem r sehr schnell ab; sie betragen bei r = 10 a nur noch ein Hundertstel des Randwertes. Aus diesem Grund kann man in guter N¨aherung annehmen, dass die Spannungen in hinreichender Entfernung vom Loch (z.B. 5-facher Lochdurchmesser) vernachl¨ assigbar sind. Dementsprechend kann diese L¨ osung auch f¨ ur ein endliches Gebiet verwendet werden, sofern die Berandung nur hinreichend weit vom Loch entfernt ist. σ r = − σ ϕ = − p0

d) Aus der Funktion F = Cϕ ergibt sich nach (2.98) f¨ ur die Spannungen C τrϕ = 2 . σr = σϕ = 0 , r Analog zum vorhergehenden Beispiel erh¨ alt man nun mit der Randbedingung τrϕ (a) = τ0 die L¨ osung a2 r2 f¨ ur ein Kreisloch in der Ebene unter konstanter Randschubspannung τ0 (Abb. 2.17d). Diese bewirkt ein resultierendes Moment der Gr¨ oße M = 2πa2 tτ0 , wobei t die Dicke der Scheibe ist. σr = σ ϕ = 0 ,

τrϕ = τ0

2.5.3.2 Balken unter konstanter Belastung

Wir betrachten nun den Balken“ mit Rechteckquerschnitt unter ” konstanter Belastung p nach Abb. 2.18a. Aufgrund der vorhandenen Symmetrie w¨ ahlen wir f¨ ur F einen Ansatz, der symmetrisch

Abb. 2.18

2.5

Ebene Probleme

123

in x und nichtsymmetrisch in y ist und der die Scheibengleichung erf¨ ullt (vgl. Tabelle 2.1): F (x, y) = C1 x2 + C2 x2 y + C3 y 3 + C4 (x4 y − x2 y 3 ) + C5 (y 5 − 5 y 3 x2 ) . Hieraus folgen mit (2.94) die Spannungen σx = 6 C3 y − 6 C4 x2 y + C5 (20 y 3 − 30 y x2 ) , σy = 2 C1 + 2 C2 y + C4 (12 x2 y − 2 y 3 ) − 10 C5 y 3 , τxy = − 2 C2 x − C4 (4 x3 − 6 x y 2 ) + 30 C5 y 2 x . Die Konstanten Ci werden aus den Randbedingungen berechnet. Dabei verlangen wir, dass diese am oberen bzw. am unteren Rand exakt erf¨ ullt werden. Am rechten bzw. am linken Balkenende k¨ onnen wir die Randbedingungen mit dem gew¨ahlten Ansatz nicht exakt erf¨ ullen. Wir begn¨ ugen uns daher damit, sie in integraler Form (im Mittel) zu erf¨ ullen. Wir fordern, dass dort jeweils die Querkraft gleich der Lagerkraft sein muss und dass das Biegemoment sowie die Normalkraft verschwinden: σy (x, b) = −p :

2C1 + 2C2 b + C4 (12x2 b − 2b3 ) − 10C5 b3 = −p → C4 = 0,

σy (x, −b) = 0 :

2C1 − 2C2 b + 10C5 b3 = 0 ,

τxy (x, ±b) = 0 : +b

Q=t

−4C2 ab + 20C5 b3 a = pa ,

τxy (a, y)dy = pat :

−b +b

M =t N =t

−2C2 x + 30C5 b2 x = 0 ,

−b +b

yσx (a, y)dy = 0 :

2C3 b3 + C5 (4b5 − 10b3 a2 ) = 0 ,

σx dy = 0 :

−b

p → C1 = − , 4

C2 = 15C5 b2 = −

3p , 8b

C3 · 0 + C5 · 0 = 0 p 2 C3 = − 3 a2 − b2 . 8b 5

Die Ermittlung der 5 Konstanten Ci aus den 6 Randbedingungen war m¨ oglich, weil die Schubspannung τxy symmetrisch in y ist ur die und σx antimetrisch in y ist (N = 0). Damit erh¨alt man f¨

124

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Spannungskomponenten im Balken x2 3pa2 y 2 y2 2 b2 1− 2 + , − σx = − 3 2 4b a 3a 5 a2 1 3 y 1 y3 + − , σy = − p 2 4b 4 b3 y2 3px 1− 2 . τxy = 4b b Sie sind in Abb. 2.18b dargestellt. Diese Ergebnisse sind exakt, wenn die Lagerkr¨ afte an den Balkenenden durch verteilte Randlasten so aufgebracht werden, dass sie den errechneten Spannungen τxy (y) und σx (y) and den Stellen x = ±a entsprechen. Ist dies orungen auf, nicht der Fall, so treten an den Balkenenden Randst¨ die aber schnell abklingen. Die Gr¨ oße einer solchen Randst¨orzone entspricht dann ungef¨ ahr der H¨ ohe des Balkens. Die Maximalbetr¨ age der Spannungen ergeben sich zu 4 b2 3 a2 3a max , |σymax | = p . , τxy =p σxmax = p 2 1 + 4b 15 a2 4b max F¨ ur schlanke Balken (b a) folgt daraus σxmax τxy |σymax |, d.h. die Annahme σy ≈ 0 in der Balkentheorie ist dann gerechtfertigt. Zum Vergleich werden hier noch die Resultate der Balkentheorie f¨ ur diesen Fall angegeben (vgl. auch Band 2, Abschn. 4.4 und 4.6.1): y2 x2 3pa2 y 3px B 1− 2 . 1− 2 , σyB = 0 , τxy = σxB = − 3 4b a 4b b

Die Abweichung zwischen Balkentheorie und Scheibentheorie ist bei der Spannung σx von der Gr¨ oßenordnung (b/a)2 , w¨ahrend τxy exakt ist. 2.5.3.3 Kreisbogenscheibe unter reiner Biegung

Wir wollen nun die Spannungen in einer Kreisbogenscheibe mit ¨ beliebigem Oﬀnungswinkel α bestimmen, die nach Abb. 2.19a durch zwei entgegengesetzte Momente M0 belastet ist. Dabei gehen wir davon aus, dass der Spannungszustand unabh¨angig von ϕ ist und durch (2.101) beschrieben wird. Die Integrationskonstan-

2.5

Ebene Probleme

125

Abb. 2.19

ten C1 , C2 , C3 bestimmen wir aus den Randbedingungen, wobei wir die Randbedingungen an den Seitenﬂ¨ achen wieder in integraler Form schreiben:

b

b σr (a) = 0 , σr (b) = 0 , t rσϕ dr = M0 , σϕ dr = 0 . a

a

Hieraus folgen 4M0 2 2 b a b ln , κ a M0 2 b − a2 + 2(b2 ln b − a2 ln a) , C2 = − κ 2M0 2 (b − a2 ) C3 = κ C1 =

mit

b 2 κ = t (b2 − a2 )2 − 4a2 b2 ln a

und damit die Spannungen 4M0 r r a2 b2 b 2 2 − a ln + b ln + 2 ln , σr = κ a b r a (2.102) 4M0 r r a2 b2 b 2 2 2 2 (b − a ) − a ln + b ln − 2 ln . σϕ = κ a b r a Sie sind in Abb. 2.19b f¨ ur das Radienverh¨ altnis b/a = 3/2 dargestellt. Wie schon im vorhergehenden Beispiel sind diese Ergebnisse nur dann exakt, wenn das Moment M0 an den Seitenﬂ¨achen durch verteilte Randlasten entsprechend der errechneten Spannungsverteilung σϕ (r) aufgebracht wird.

126

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

2.5.3.4 Die Scheibe mit Kreisloch unter Zugbelastung

In einem letzten Beispiel bestimmen wir die Spannungen in einer unendlich ausgedehnten Scheibe mit Kreisloch, bei der im Unendlichen eine Zugspannung σ0 in x-Richtung wirkt (Abb. 2.20a). Die L¨ osung hierf¨ ur ist durch die Spannungsfunktion (r2 − a2 )2 σ0 2 r − 2a2 ln r − cos 2ϕ F (r, ϕ) = 4 r2 gegeben. Sie gen¨ ugt der Scheibengleichung (vgl. Tabelle 2.1). Die sich aus ihr ergebenen Spannungen a2 σ0 a2 a4 σr = 1 − 2 + 1 − 4 2 + 3 4 cos 2ϕ , 2 r r r 2 4 a σ0 a 1 + 2 − 1 + 3 4 cos 2ϕ , (2.103) σϕ = 2 r r a2 σ0 a4 −1 − 2 2 + 3 4 sin 2ϕ τrϕ = 2 r r erf¨ ullen die Randbedingungen σr (a, ϕ) = 0, τrϕ (a, ϕ) = 0 am Loch. F¨ ur r → ∞ ergibt sich aus ihnen σ0 σr = σ0 (1 + cos 2ϕ) , σϕ = σ0 (1 − cos 2ϕ) , τrϕ = − sin 2ϕ . 2 Mit Hilfe der Transformationsbeziehungen folgt daraus die geforderte Zugbeanspruchung σx = σ0 , σy = τxy = 0.

Abb. 2.20

Die Umfangsspannung am Lochrand σϕ (a, ϕ) = σ0 (1−2 cos 2ϕ) ist bei ϕ = ±π/2 am gr¨ oßten. Sie betr¨ agt dort σϕmax = 3σ0 . Diese Spannungserh¨ ohung um den Faktor 3 ist auf die St¨orung“ des ” homogenen Spannungszustandes durch das Loch zur¨ uckzuf¨ uhren.

2.5

Ebene Probleme

127

Man bezeichnet diesen Eﬀekt als Spannungskonzentration. Die Spannungsverteilung ist in Abb. 2.20b l¨ angs der x- bzw. l¨angs der y-Achse dargestellt. Dort ist die Schubspannung Null (Symmetrie). Es ist zu erkennen, dass die St¨ orung des homogenen Spannungszustandes durch das Loch sehr schnell abklingt. Aus diesem Grund kann man diese L¨ osung mit guter N¨ aherung auch f¨ ur eine endliche Scheibe verwenden, sofern die R¨ ander hinreichend weit (z.B. f¨ unﬀacher Lochdurchmesser) vom Loch entfernt sind. 2.5.4 Verschiebungs-Diﬀerentialgleichungen, Rotationssymmetrie

Wir beschr¨ anken uns auf den Sonderfall der Rotationssymmetrie und setzen voraus, dass keine Volumenkr¨ afte wirken. Hierf¨ ur nehmen die Grundgleichungen des ESZ in Polarkoordinaten eine besonders einfache Form an. Mit fr = fϕ = 0 und ∂(.)/∂ϕ = 0 folgen dann aus (2.32a,b) die Gleichgewichtsbedingungen 1 dσr + (σr − σϕ ) = 0 , dr r

2 dτrϕ + τrϕ = 0 . dr r

(2.104)

Aus (2.54) erh¨ alt man die kinematischen Beziehungen εr =

dur , dr

εϕ =

ur , r

γrϕ =

uϕ duϕ − , dr r

(2.105)

und das Elastizit¨ atsgesetz lautet analog zu (2.86b) σr =

E E (εr +νεϕ ), σϕ = (εϕ +νεr ), τrϕ = Gγrϕ . (2.106) 1−ν 2 1−ν 2

Diese Gleichungen sind in dem Sinne entkoppelt“, dass sie nun” mehr zwei voneinander unabh¨ angige Gleichungssysteme bilden: a) 5 Gleichungen f¨ ur das Problem der Radialverschiebung mit den ur das Problem Gr¨ oßen ur , εr , εϕ , σr , σϕ und b) 3 Gleichungen f¨ der Umfangsverschiebungen mit den Gr¨ oßen uϕ , γrϕ , τrϕ . Wir betrachten zun¨ achst den Fall der Radialverschiebung. Eliminiert man die Verzerrungen und die Spannungen, so erh¨alt man aus (2.104) bis (2.106) die Verschiebungs-Diﬀerentialgleichung ur 1 dur d2 ur − 2 = 0. + dr2 r dr r

(2.107)

128

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Aus ihrer allgemeinen L¨ osung ur = C1 r +

C2 r

folgen die Spannungen E C2 σr = (1 + ν)C1 − (1 − ν) 2 , 1 − ν2 r E C2 (1 + ν)C . + (1 − ν) σϕ = 1 1 − ν2 r2

(2.108)

(2.109)

In gleicher Weise l¨ asst sich der Fall der Umfangsverschiebung behandeln. Hierbei erh¨ alt man f¨ ur uϕ dieselbe Diﬀerentialgleichung wie f¨ ur ur (Gl. (2.107)). Damit folgt die L¨osung C4 2C4 , τrϕ = − G 2 . (2.110) uϕ = C3 r + r r Als Anwendungsbeispiel betrachten wir das dickwandige Rohr unter Innendruck im EVZ nach Abb. 2.21a. Die L¨osung f¨ ur diesen Belastungsfall ist im ESZ durch (2.108) und (2.109) gegeben. Die Konstanten C1 , C2 bestimmen wir aus den Randbedingungen σr (b) = 0 und σr (a) = −p zu p 1 − ν 2 a2 p 1 − ν 2 a2 b2 , C = . 2 E 1 + ν b2 − a2 E 1 − ν b2 − a2 Damit folgt f¨ ur die Radialverschiebung und f¨ ur die Spannungen b2 p a2 (1 − ν) + 2 (1 + ν) r , ur = 2 2 E b −a r 2 b2 b a2 a2 σr = − p 2 − 1 , σ = p + 1 . ϕ b − a2 r2 b2 − a2 r2 C1 =

Abb. 2.21

2.5

Ebene Probleme

129

Um vom ESZ zum EVZ zu gelangen, m¨ ussen wir die Elastizit¨ atskonstanten gem¨ aß Abschnitt 2.5.1 ersetzen: E → E =

E , 1 − ν2

ν → ν =

ν . 1−ν

Die Spannungen bleiben davon unber¨ uhrt. Dagegen ¨andert sich ur , und man erh¨ alt p a2 b2 EVZ = (1 + ν) (1 − 2ν) + 2 r . ur E b2 − a2 r F¨ ur das Radienverh¨ altnis b/a = 2 ergibt sich damit an den R¨andern 5 pa p , ur = (5 − 2ν)(1 + ν) , 3 3E 2 pa 4(1 − ν 2 ) . σ ϕ = p , ur = 3 3E

r = a : σr = − p , σϕ = r = b : σr = 0 ,

Die Verl¨ aufe von σr , σϕ und ur sind f¨ ur b/a = 2 und ν = 0, 3 in Abb. 2.21b dargestellt. Beispiel 2.10 Eine Kreisringscheibe ist am Innenrand unverschieb-

lich gelagert und am Außenrand durch τ0 belastet (Abb. 2.22). Man bestimme die Spannungs- und die Verschiebungsverteilung in der Scheibe.

Abb. 2.22

L¨ osung Es liegt eine rotationssymmetrische Umfangsbelastung vor, f¨ ur welche die L¨ osung durch (2.110) gegeben ist. Die Konstanten k¨ onnen aus den Randbedingungen bestimmt werden: ⎫ C4 τ0 b2 ⎬ = 0⎪ C3 = , uϕ (a) = 0 : C3 a + a 2G a2 → 2 2C4 ⎪ τ0 b τrϕ (b) = τ0 : τ0 = − G 2 ⎭ . C4 = − b 2G

Damit ergeben sich f¨ ur die Spannungs- und f¨ ur die Verschiebungs-

B2.10

130

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

verteilung τrϕ = τ0

b2 , r2

uϕ =

a τ 0 b2 r − . 2Ga a r

Die gr¨ oßte Schubspannung tritt am Innenrand auf: max = τrϕ (a) = τ0 b/a2 . τrϕ

2.6

2.6 Torsion 2.6.1 Allgemeines

In Band 2 haben wir uns mit der Torsion von St¨aben ausgew¨ahlter Querschnittsformen (Kreisquerschnitt, d¨ unnwandige Querschnitte) befasst, wobei wir uns einfacher (und f¨ ur diese F¨alle zutreﬀender) Hypothesen bedienten. So konnten wir zum Beispiel bei der kreiszylindrischen Welle annehmen, dass die Querschnittsﬂ¨ache bei der Verdrehung eben bleibt und sich nicht etwa verw¨olbt. Dies triﬀt bei anderen Querschnittsformen aber nicht zu. In diesem Abschnitt wollen wir nun die Torsion von St¨aben beliebigen Querschnittes mit den Mitteln der Elastizit¨atstheorie behandeln. Dabei beschr¨ anken wir uns auf die reine Torsion durch ein konstantes Torsionsmoment MT und auf prismatische St¨abe mit konstantem Vollquerschnitt (Abb. 2.23a). Eine m¨ogliche Querschnittsverw¨ olbung sei nicht behindert, sondern soll sich frei einstellen k¨ onnen. Da dieses Problem zuerst von de Saint Venant (1797–1886) gel¨ ost wurde, nennt man die entsprechende Theorie die St. Venantsche Torsionstheorie. 2.6.2 Grundgleichungen

Wir betrachten den Stab der L¨ ange l nach Abb. 2.23a, dessen linkes Ende festgehalten ist und dessen rechter Endquerschnitt sich unter dem Moment MT um den Winkel ϑl verdreht. Da das Torsionsmoment und der Querschnitt sich l¨ angs x nicht ¨andern, ist ¨ auch die Anderung des Drehwinkels ϑ pro L¨ angeneinheit (Verwin-

2.6

Torsion

131

Abb. 2.23

dung) konstant: κT = dϑ/dx = ϑl /l. Der Drehwinkel an der Stelle x ist dann ϑ = κT x. Bei der Formulierung der Grundgleichungen gehen wir von den folgenden kinematischen Annahmen aus (vgl. Band 2, Abschn. 5.2): a) die auf die y, z-Ebene projizierten Querschnitte drehen sich wie starre Scheiben um die x-Achse (Querschnittsgestalt bleibt erhalten), b) die Verschiebung u der Querschnittspunkte in x-Richtung und eine damit verbundene Verw¨ olbung ist nicht behindert. Sie ist unabh¨ angig von der Stelle x des Querschnittes: u = u(y, z). Infolge einer Drehung um ϑ erf¨ ahrt ein Querschnittspunkt P mit den Koordinaten y = r cos ϕ, z = r sin ϕ die Verschiebungen v, w ur sie gelten dann mit den Bezeichnungen nach P (Abb. 2.23b). F¨ der Abbildung die Beziehungen y + v = r cos(ϕ + ϑ) ,

z + w = r sin(ϕ + ϑ) .

Hieraus erh¨ alt man mit den Additionstheoremen unter der Annahme kleiner Drehwinkel (cos ϑ → 1, sin ϑ → ϑ) die Ergebnisse v = −ϑz und w = ϑy, wobei wir mit Hilfe von ϑ = κT x den Drehwinkel noch eliminieren k¨ onnen. Schreiben wir schließlich die uhren die Verschiebung u(y, z) in der Form u = κT U (y, z), so f¨ Annahmen von de Saint Venant auf folgende Ans¨ atze f¨ ur die Verschiebungen: u = κT U (y, z) ,

v = − κT xz ,

w = κT xy .

(2.111)

Die Funktion U (y, z) nennt man Verw¨olbungsfunktion; sie hat die Dimension (L¨ ange)2 .

132

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Setzt man (2.111) in (2.48c) ein, so werden εx = εy = εz = ur die Spannungen σx = γyz = 0. Damit folgt aus (2.63) auch f¨ σy = σz = τyz = 0. Es verbleiben dann als Grundgleichungen nur die kinematischen Beziehungen

∂U ∂U − z , γxz = κT +y , (2.112) γxy = κT ∂y ∂z das Elastizit¨ atsgesetz τxy = Gγxy ,

τxz = Gγxz

(2.113)

und nach (2.30b) mit fi = 0 die Gleichgewichtsbedingung ∂τxz ∂τxy + = 0. ∂y ∂z

(2.114)

Man beachte, dass die Verzerrungen und die Spannungen unabh¨ angig von x sind. Anstelle der kinematischen Beziehungen (2.112) kann man auch die Kompatibilit¨ atsbedingung verwenden. Diese erh¨ alt man aus (2.112), indem man die Verw¨olbungsfunktion eliminiert: ∂γxy ∂γxz − = 2κT . ∂y ∂z

(2.115)

Zu diesen Gleichungen kommt noch die Randbedingung. Da die Mantelﬂ¨ ache des Stabes unbelastet ist, muss am Rand C des Querschnittes die Schubspannungskomponente senkrecht zum Rand verschwinden (zugeordnete Schubspannungen). Die Schubspannung ist entlang C also tangential gerichtet (Abb. 2.23c): τxz dz = dy τxy

→

τxz dy − τxy dz = 0 auf C .

(2.116a)

¨ Aquivalent hierzu ist die Bedingung τxy ny + τxz nz = 0

auf C ,

(2.116b)

welche sich mit t∗x = 0 aus (2.31b) ergibt. 2.6.3 Verw¨ olbungsfunktion und Torsionsfunktion

Setzt man der Reihe nach die Gleichungen (2.112), (2.113) und (2.114) ineinander ein, so erh¨ alt man

2.6

∂2U ∂2U + =0 ∂y 2 ∂z 2

bzw.

ΔU = 0 .

Torsion

133

(2.117)

Danach muss die Verw¨ olbungsfunktion einer Potentialgleichung gen¨ ugen (vgl. (2.92), (2.93)). Nach (2.116b) mit (2.113) und (2.112) hat sie dabei die Randbedingung

∂U ∂U − z ny + + y nz = 0 auf C ∂y ∂z zu erf¨ ullen. Diese kann unter Beachtung von (vgl. auch Abb. 2.24) ∂U ∂U ∂U = n · grad U = ny + nz , ∂n ∂y ∂z z = r sin ϕ , y = r cos ϕ , ny = sin(α − ϕ) , nz = cos(α − ϕ) alternativ auch in den Formen ∂U ∂U = z ny − y n z = − r cos α auf C (2.118) bzw. ∂n ∂n geschrieben werden. Darin ist ∂U/∂n die Ableitung in Normalenrichtung. Damit ist das Torsionsproblem auf die Bestimmung der L¨osung der Potentialgleichung zur¨ uckgef¨ uhrt, welche die Randbedingung (2.118) erf¨ ullt. Wie bei der Bipotentialgleichung (2.96) ist auch bei der Potentialgleichung eine allgemeine L¨ osung nicht bekannt. Man kann allerdings spezielle L¨ osungen von ΔU = 0 ﬁnden; diese nennt man harmonische Funktionen. In Tabelle 2.2 sind einige L¨osungen in kartesischen Koordinaten zusammengestellt. Im allgemeinen ist aber eine L¨ osung des Randwertproblems nur bei einfachen Querschnittsformen mit analytischen Mitteln m¨ oglich. Man ist deshalb

Abb. 2.24

134

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

h¨auﬁg auf numerische Methoden angewiesen (vgl. Kap. 7). Es sei angemerkt, dass man ein Problem, f¨ ur das die L¨osung der Potentialgleichung (2.117) bei entlang des Randes vorgegebener Ableitung gesucht ist, mathematisch als ein Neumann-Problem bezeichnet. Tabelle 2.2 L¨ osungen von ΔU = 0

U 1, y, yz, y 2 − z 2 , e±λz cos λ y, ln (y 2 + z 2 ) y ↔ z vertauschbar, cos(.) ↔ sin(.) austauschbar Als Beispiel betrachten wir den Torsionsstab mit Kreisquerschnitt (Abb. 2.25). Aufgrund der Rotationssymmetrie vereinfachen sich die Potentialgleichung (2.117) und die Randbedingung (2.118) in diesem Fall zu 1 dU d2 U =0 + dr2 r dr

mit

dU dr

= 0. r=a

Aus der allgemeinen L¨ osung U = C1 + C2 ln r erh¨alt man nach Einarbeitung der Randbedingung (C2 = 0) das Ergebnis U = C1 = const. Das bedeutet, dass der Querschnitt tats¨achlich, wie in Band 2 vorausgesetzt, eben bleibt. F¨ ur die Schubspannungen folgt aus (2.112) und (2.113) τxy = − GκT z ,

τxz = GκT y .

Mit y = r cos ϕ, z = r sin ϕ (Abb. 2.25) und τ = ergibt sich daraus τ = GκT r (vgl. Band 2, Gl. (5.2)).

Abb. 2.25

2 + τ2 τxy xz

2.6

Torsion

135

Eine andere, meist g¨ unstigere M¨ oglichkeit der Behandlung des Torsionsproblems besteht in der Auﬂ¨ osung der Grundgleichungen nach den Spannungen. Hierbei ist es zweckm¨ aßig, eine Spannungsfunktion Φ(y, z) so einzuf¨ uhren, dass f¨ ur die Spannungen gilt: τxy = − 2GκT

∂Φ , ∂z

τxz = − 2GκT

∂Φ . ∂y

(2.119)

Die Funktion Φ nennt man Torsionsfunktion. Mit (2.119) ist die Gleichgewichtsbedingung (2.114) identisch erf¨ ullt, und die Kompatibilit¨ atsbedingung (2.115) nimmt unter Beachtung von (2.113) die Form ∂2Φ ∂2Φ + =1 ∂y 2 ∂z 2

bzw.

ΔΦ = 1

(2.120)

an. Dies ist eine Poissonsche Diﬀerentialgleichung. Schließlich erh¨ alt man aus (2.116a) noch die Randbedingung ∂Φ ∂Φ dy + dz = dΦ = 0 → Φ = const auf C . ∂y ∂z

(2.121)

Die Konstante darf bei Vollquerschnitten (einfach zusammenh¨angende Querschnitte) ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit zu Null gesetzt werden. Die Randbedingung lautet in diesem Fall also Φ=0

auf C .

(2.122)

Es sei angemerkt, dass dies bei Hohlquerschnitten (mehrfach zusammenh¨ angende Querschnitte) nicht zutriﬀt; dort nimmt Φ an jedem Rand einen unterschiedlichen konstanten Wert an. Daneben sei darauf hingewiesen, dass zur L¨ osung von (2.120) die Lage des Koordinatensystems y, z beliebig w¨ ahlbar ist, d.h. der Ursprung muss nicht im Fl¨ achenschwerpunkt liegen. Mit (2.120) und (2.122) ist das Torsionsproblem bei dieser Formulierung auf die Bestimmung einer Torsionsfunktion Φ reduziert, welche die Poissonsche Diﬀerentialgleichung erf¨ ullt und die am Rand Null ist. Ist Φ bekannt, so liegen nach (2.119) die Schubspannungskomponenten fest. F¨ ur den Betrag der resultierenden

136

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Schubspannung folgt damit 2 ∂Φ ∂Φ 2 2 +τ 2 = 2Gκ τ = τxy + = 2GκT |grad Φ|. (2.123) xz T ∂z ∂y Außerdem erh¨ alt man den aus Band 2, Kapitel 5 bekannten Zusammenhang zwischen Torsionsmoment und Verwindung

MT dϑ = MT = (τxz y − τxy z)dA = GIT κT → κT = , (2.124) dx GIT A

wobei

IT = 2

∂Φ ∂Φ y+ z dA . ∂y ∂z

(2.125)

A

Die Beziehung (2.125) f¨ ur das Torsionstr¨agheitsmoment IT kann man noch vereinfachen. Dazu wenden wir zun¨achst die partielle Integration auf den ersten Teil des Integrals an. Mit den Bezeichnungen aus Abb. 2.26 gilt unter Beachtung, dass Φ am Rand Null ist + +

z y 2 (z)

z

y2

∂Φ ∂Φ y2 y dA = y dy dz = Φ y y − Φ dy dz ∂y ∂y ! "# 1$ y1 A z − y1 (z) z− =0

= − Φ dA . A

Das gleiche Ergebnis liefert der zweite Teil des Integrals. Damit erh¨ alt man insgesamt

IT = −4 Φ dA . (2.126) A

Abb. 2.26

2.6

Torsion

137

Fasst man danach die Torsionsfunktion als eine Fl¨ache auf, die u ¨ber dem Querschnitt aufgespannt ist, so ist das Torsionstr¨agheitsmoment proportional zum Volumen unter dieser Fl¨ache. Wie in Abschnitt 3.5.2 gezeigt wird, gen¨ ugt die Auslenkung einer u ¨ber einen Rand gespannten Membran unter Druckbelastung ebenfalls der Poissonschen Diﬀerentialgleichung. Hierauf beruht die Prandtlsche Seifenhautanalogie (Ludwig Prandtl, 1875–1953). Wird danach eine Membran (Seifenhaut), die u ¨ber die Kontur des Querschnittes gespannt ist, durch Druck belastet, dann entspricht ihre deformierte Form gerade der Form der Torsionsfunktion u ¨ber dem Querschnitt. Das Volumen unter der deformierten Membran ist folglich proportional zum Torsionstr¨ agheitsmoment, und die Neigung (Betrag des Gradienten) ist ein Maß f¨ ur die Gr¨oße der Schubspannung.

Abb. 2.27

Als erstes Anwendungsbeispiel wollen wir den elliptischen Querschnitt nach Abb. 2.27a untersuchen. F¨ ur diesen Fall erf¨ ullt die Funktion 2 y a2 b2 z2 Φ= + − 1 (2.127) 2(a2 + b2 ) a2 b2 sowohl die Diﬀerentialgleichung (2.120) als auch die Randbedingung (2.122). Das Torsionstr¨ agheitsmoment ergibt sich nach (2.126) mit der Fl¨ache A = πab und den Fl¨ achentr¨agheitsmomenten Iy = πab3 /4, Iz = πa3 b/4 (Band 2, Tabelle 4.1) zu

1 πa3 b3 2a2 b2 1 2 2 = y dA + z dA − dA . IT = − 2 a + b2 a2 b2 a2 + b2 A A A ! "# $ ! "# $ ! "# $ Iz Iy A (2.128)

138

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Die Spannungskomponenten folgen aus (2.119) mit (2.124) und dem nunmehr bekannten IT : 2MT 2MT MT ∂Φ MT ∂Φ =− = y . (2.129) z , τxz = 2 IT ∂z πab3 IT ∂y πa3 b 2 + τ 2 im QuerHieraus l¨ asst sich die Schubspannung τ = τxy xz schnitt ermitteln. Die gr¨ oßte Spannung tritt an den Randpunkten B (Enden des kleinen Durchmessers) auf: τmax = |τxy (±b)| = alt man daraus WT = πab2 /2 2MT /πab2 . Mit τmax = MT /WT erh¨ (vgl. Band 2, Tabelle 5.1). Mit den Spannungen nach (2.129) k¨ onnen wir nun auch die Verw¨ olbung des Querschnittes bestimmen. Nach (2.113) und (2.112) gilt τxz = GκT ( ∂U ∂z + y). Gleichsetzen mit τxz aus (2.129) liefert mit (2.124), (2.128) und nachfolgender Integration 2MT ∂U a2 − b2 ∂U + y = y → =− 2 y GκT 3 ∂z πa b ∂z a + b2 a2 − b2 yz . → U =− 2 a + b2 τxy = −2

Die Integrationskonstante wurde dabei so gew¨ahlt, dass die Verschiebung im Koordinatenursprung verschwindet. Die Verschieache; mit zunehmenden bung u = κT U bildet danach eine Sattelﬂ¨ x und y w¨ achst sie betragsm¨ aßig an. In Abb. 2.27b sind die Linien konstanter Verschiebung und ihr Vorzeichen dargestellt. In einem zweiten Beispiel untersuchen wir den Rechteckquerschnitt nach Abb. 2.28a. Als Ansatz f¨ ur die Torsionsfunktion w¨ahlen wir dabei zweckm¨ aßig die Darstellung von Φ als doppelte Sinus-Fourierreihe, wobei wir das im Bild eingezeichnete Koordinatensystem verwenden:

Abb. 2.28

2.6

Φ(y, z) =

∞ ∞

φmn sin

m=1 n=1

Torsion

139

nπz mπy sin . b h

Dieser Ansatz hat den Vorteil, dass durch ihn die Randbedingung (2.122) automatisch erf¨ ullt wird. In Abschnitt 3.6.3 wird gezeigt, dass man eine Konstante im Rechteckgebiet ebenfalls durch eine doppelte Fourierreihe darstellen kann. Ist diese Konstante gleich 1 (rechte Seite von (2.120)), so gilt insbesondere: ∞ ∞ nπz mπy 16 sin , m, n = 1, 3, 5, . . . . 1= sin 2 mnπ b h m=1 n=1 Setzt man beide Ausdr¨ ucke in (2.120) ein, dann erh¨alt man φmn =

16 b2 h2 , mnπ 4 (m2 h2 + n2 b2 )

m, n = 1, 3, 5, . . . ,

womit die Torsionsfunktion festliegt. F¨ ur das Torsionstr¨agheitsmoment ergibt sich daraus nach (2.126)

h b ∞ ∞ nπz mπy sin dydz IT = − 4 φmn sin b h m=1 n=1 0

0

∞ ∞ 162 b3 h3 1 = , m, n = 1, 3, 5, . . . . 6 2 2 2 π m n (m h2 + n2 b2 ) m=1 n=1

Diese Reihe konvergiert sehr rasch, d.h. man ben¨otigt nur wenige Glieder, um eine gute Genauigkeit zu erzielen. In Tabelle 2.3 sind einige Ergebnisse f¨ ur unterschiedliche Seitenverh¨altnisse zusammengestellt. Aus der Torsionsfunktion kann man dann auch die Schubspannungen ermitteln. Die gr¨ oßte Schubspannung tritt in der Mitte Tabelle 2.3 IT und WT f¨ ur Rechteckquerschnitt

h/b

1

2

3

4

5

6

8

10

IT hb3 /3

0,42

0,69

0,79

0,84

0,87

0,89

0,92

0,94

WT hb2 /3

0,64

0,76

0,82

0,87

0,90

0,92

0,95

0,97

140

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

der l¨ angeren Rechteckseite auf. Aus τmax = τxz (0, h/2) = MT /WT folgt mit (2.119) und (2.124) f¨ ur das Torsionswiderstandsmoment WT =

IT MT = = τxz (0, h/2) 2∂Φ/∂y|0,h/2

IT

. nπ mπ sin b 2 m=1 n=1 Ergebnisse f¨ ur verschiedene Seitenverh¨ altnisse ﬁnden sich in Tabelle 2.3. F¨ ur den d¨ unnwandigen Rechteckquerschnitt (b h) nach Abb. 2.28b l¨ asst sich eine einfache N¨ aherungsl¨ osung herleiten. In diesem Fall kann man in guter N¨ aherung annehmen, dass die Torsionsfunktion unabh¨ angig von z ist: Φ = Φ(y). Dann erh¨alt man aus (2.120) und (2.122) die L¨ osung Φ(y) = y 2 /2 − b2 /8. Diese erf¨ ullt nun allerdings nur entlang der großen Seitenl¨ angen des Rechtecks die Randbedingung. F¨ ur das Torsionstr¨ agheitsmoment ergibt sich daraus (vgl. Band 2, Abschn. 5.3)

b/2 IT = − 4h

b2 y2 − 2 8

dy =

2

∞ ∞ 0 0

φmn

h b3 . 3

−b/2

Durch Vergleich mit Tabelle 2.3 erkennt man, dass sich dieses Ergebnis f¨ ur h/b = 10 nur um 6% vom exakten Wert unterscheidet. B2.11

F¨ ur den Querschnitt in Form eines gleichseitigen Dreiecks (Abb. 2.29) u ufe man, ob die Torsionsfunktion ¨berpr¨ 4 1 z 3 − h z 2 − 3 y 2 z − h y 2 + h3 Φ=− 4h 27

Beispiel 2.11

die Diﬀerentialgleichung (2.120) und die Randbedingung (2.122) erf¨ ullt. Dabei beﬁndet sich der Koordinatenursprung im Schwerpunkt. Wie groß ist IT ?

Abb. 2.29

2.7

Energieprinzipien

141

L¨ osung Aus Φ erh¨ alt man durch zweifache Ableitung

∂2Φ 1 1 ∂2Φ (− 6z − 2h) , = − = − (6z − 2h) 2 2 ∂y 4h ∂z 4h ∂2Φ ∂2Φ 1 → + = − (− 6z − 2h + 6z − 2h) = 1 . ∂y 2 ∂z 2 4h Die Funktion Φ erf¨ ullt also die Poissonsche Diﬀerentialgleichung. Am Rand 1 ist z1 = −h/3 und folglich h3 1 h3 4 − − + h y 2 − h y 2 + h3 = 0 . Φ(z1 ) = − 4h 27 9 27 √ Die Gleichung des Randes 2 bzw. 3 lautet z2,3 = ∓ 3 y + 2h/3. Einsetzen in Φ liefert 1 √ 3 4√ 8 Φ(z2,3 ) = − ∓3 3 y + 6 y 2 h ∓ 3 y h2 + h3 4h 3 27 4√ 4 2 2 3yh + h −h 3y ∓ 3 9 √ 2 4 2 − 3 y ∓ 3 y + h − h y 2 + h3 3 27 1 √ 3 2 ∓3 3 y [1 − 1] + y h[6 − 3 − 2 − 1] =− 4h

h3 4√ ∓ y h2 3[1 − 1] + [8 − 12 + 4] = 0 . 3 27 √ F¨ ur das Torsionstr¨ agheitsmoment erh¨ alt man mit h = 3 a/2 unter Ausnutzung der Symmetrie z a −√ + 2h/3 √

3 3 3 4 a . Φ dy dz = IT = − 2 · 4 80 −h/3

0

2.7 Energieprinzipien In Band 2, Kapitel 6 haben wir den Arbeitsbegriﬀ bei der L¨osung von Stab- und von Balkenproblemen angewendet. Wir wollen nun Energieprinzipien herleiten, die f¨ ur beliebige elastische K¨orper gelten. Diese Prinzipien erweisen sich als n¨ utzlich bei der Formulie-

2.7

142

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

rung und L¨ osung von Gleichgewichtsproblemen. Sie bilden aber gleichzeitig auch die Grundlage f¨ ur verschiedene analytische N¨aherungsverfahren und numerische Methoden. 2.7.1 Arbeitssatz

Wir betrachten einen K¨ orper, der sich im Gleichgewicht beﬁndet und entlang dessen Rand die Belastung bzw. die Verschiebung vorgegeben ist. Auf Volumenkr¨ afte wollen wir zun¨achst der Einfachheit halber verzichten. Hierf¨ ur lauten dann nach Abschnitt 2.4 die statischen und die kinematischen Grundgleichungen in V ,

σij nj = t∗i

auf At ,

εij = 12 (ui,j + uj,i ) in V ,

ui = u∗i

auf Au .

σij,j = 0

(2.130)

osung des Randwertproblems, d.h. die aktuellen (wirklich) Die L¨ auftretenden Spannungen, Verzerrungen und Verschiebungen, erf¨ ullt alle Gleichungen identisch. Nehmen wir dagegen allein die statischen Gleichungen (Gleichgewichtsbedingungen, Spannungsrandbedingungen), so werden diese nicht nur vom aktuellen Spannungsfeld, sondern in der Regel auch noch von vielen anderen Spannungsfeldern erf¨ ullt. Ein solches Feld nennt man ein sta(1) tisch zul¨ assiges Spannungsfeld; wir wollen es mit σij bezeichnen. (2) Analog bezeichnet man ein Verschiebungsfeld ui bzw. Verzer(2) rungsfeld εij als kinematisch zul¨ assig, wenn hierdurch die kinematischen Gleichungen (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen, Verschiebungsrandbedingungen) erf¨ ullt werden. Dieser Bedingung gen¨ ugen nicht nur die aktuellen Verschiebungen und Verzerrungen, sondern meist viele andere Felder. Im weiteren bringen wir die Gleichgewichtsbedingung f¨ ur ein (1) statisch zul¨ assiges Spannungsfeld σij in eine andere Form. Dazu multiplizieren wir sie mit kinematisch zul¨ assigen Verschiebungen (2) orpers: ui und integrieren u ¨ber das Volumen des K¨

(1) (2) σij,j ui dV = 0 . V

Mit der Umformung (beachte: σij = σji )

2.7 (1)

(2)

σij,j ui

(1) (2)

Energieprinzipien

143

(1) (2)

= (σij ui ),j − σij ui,j (1) (2)

(1) (2)

(1) (2)

= (σij ui ),j − 12 σij ui,j − 12 σji uj,i (1) (2)

(1) (2)

= (σij ui ),j − σij εij

wird daraus

(1) (2) (1) (2) σij εij dV = (σij ui ),j dV . V

V

Wendet man auf das rechte Integral den Gaußschen Satz

(.),j dV = (.)nj dA V

A

an, so folgt mit der Cauchyschen Formel (2.12b)

(1) (2) (1) (2) σij εij dV = ti ui dA . V

(2.131)

A

Teilt man noch die Oberﬂ¨ ache A des K¨ orpers auf in den Teil At , (1) auf dem Spannungsrandbedingungen (ti = t∗i ) vorliegen und in (2) den Teil Au , auf dem Verschiebungsrandbedingungen (ui = u∗i ) vorgeschrieben sind, so l¨ asst sich (2.131) in der Form

(1) (2) (1) ∗ (2) σij εij dV = ti ui dA + ti u∗i dA (2.132) V

At

Au

schreiben. Die auftretenden Integrale haben die Dimension einer Arbeit. Das linke Integral enh¨ alt dabei die inneren Kr¨afte (Spannungen), in den beiden Integralen auf der rechten Seite treten dagegen ¨ außere Kr¨afte auf. Man bezeichnet (2.132) h¨auﬁg als allgemeinen oder verallgemeinerten Arbeitssatz. Deutlich sei an dieser Stelle aber darauf hingewiesen, dass es sich bei den auftretenden Gr¨ oßen nicht um die aktuellen Spannungen, Verzerrungen und Verschiebungen handeln muss, sondern dass diese nur statisch bzw. kinematisch zul¨ assig sein m¨ ussen. Dementsprechend beschreiben die Integrale nicht notwendigerweise die von den aktuellen Gr¨ oßen verrichtete Arbeit. Betont sei auch, dass bis zu dieser Stelle kein Gebrauch vom Elastizit¨ atsgesetz gemacht wurde; (2.132) gilt also unabh¨ angig vom Stoﬀverhalten.

144

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Der allgemeine Arbeitssatz ist aus der Gleichgewichtsbedingung (2) in (2.130) hervorgegangen, indem wir mit ui multiplizierten und dann integrierten. Man bezeichnet (2.132) auch als eine schwache Form der Gleichgewichtsbedingung. Der Grund hierf¨ ur ist, dass die Spannungen hier direkt und nicht als Ableitungen auftreten; achere“ Diﬀerenzierbarkeitsbedingungen d.h. an σij werden schw¨ ” (2) gestellt. Die Funktion ui nennt man in der Variationsrechnung eine Testfunktion oder Vergleichsfunktion. Sie muss die kinematischen Randbedingungen erf¨ ullen. Diese nennt man auch nat¨ urliche oder wesentliche Randbedingungen. Aus (2.131) bzw. aus (2.132) lassen sich durch Spezialisierung verschiedene Gesetzm¨ aßigkeiten herleiten. Wenn man bei den statischen und den kinematischen Gr¨ oßen die aktuellen (wirklichen) Spannungen σij , Verzerrungen εij und Verschiebungen ui einsetzt, dann liefert (2.131)

σij εij dV = ti ui dA . (2.133) V

A

Diese Beziehung gilt unabh¨ angig vom Stoﬀgesetz, sie kann aber insbesondere bei elastischen K¨ orpern zweckm¨aßig eingesetzt werden (vgl. Abschn. 2.7.2). Eine andere M¨oglichkeit besteht darin, in (2.131) die wirklichen statischen Gr¨ oßen und die wirklichen Verzerrungsinkremente dεij bzw. Verschiebungsinkremente dui einzusetzen, die bei einer Deformations¨ anderung (z.B. infolge einer Laststeigerung) auftreten. In diesem Fall folgt

σij dεij dV = ti dui dA bzw. dWi = dWa . (2.134) ! "# $ V

dW

A

Darin ist dWi das Arbeitsinkrement der inneren Kr¨afte (σij ) im gesamten K¨ orper (= Form¨ anderungsarbeit, vgl. Abschn. 2.3.3), außeren Kr¨afte (ti ) kennw¨ ahrend dWa das Arbeitsinkrement der ¨ zeichnet. Durch Integration vom undeformierten Ausgangszustand bis zum aktuellen Zustand erh¨ alt man daraus

ui

εij σij d¯ εij dV = ti d¯ ui dA bzw. Wi = Wa . (2.135) V

0

A

0

2.7

Energieprinzipien

145

Die linke Seite beschreibt nun wegen (2.72) die gesamte im K¨orper geleistete Form¨ anderungsarbeit: Wi = V W dV . Die rechte Seite ist die gesamte bis zum aktuellen Zustand geleistete Arbeit der außeren Kr¨ afte. Die Arbeit der inneren Kr¨ afte und die Arbeit der ¨ außeren Kr¨ afte sind also gleich. Dies gilt unabh¨ angig davon, ob der ¨ K¨ orper sich elastisch oder inelastisch (z.B. plastisch) verh¨alt. Wirken auf den K¨ orper neben den Oberﬂ¨ achenlasten auch noch Volumenkr¨ afte, dann muss Wa um die Arbeit dieser Kr¨afte erg¨anzt werden. Bei einem elastischen K¨ orper besitzen die inneren Kr¨afte (Spannungen) ein Potential; wir k¨ onnen dann die speziﬁsche Form¨anderungsarbeit W durch die Form¨ anderungsenergiedichte U (εij ) ersetzen (vgl. Abschn. 2.3.3). Bezeichnen wir die gesamte im K¨orper enthaltene Form¨ anderungsenergie mit

Πi = U dV , (2.136) V

so folgt aus (2.135) der Arbeitssatz (vgl. Band 2, Abschn. 6.1) Π i = Wa ,

(2.137)

d.h. in Worten: die Arbeit der ¨ außeren Kr¨ afte ist gleich der gespeicherten Form¨ anderungsenergie. Als Anwendungsbeispiel hierzu betrachten wir das Kreisloch im unendlichen Gebiet unter Innendruck, f¨ ur das wir in Abschnitt 2.5.3.1,c die Spannungen ermittelt haben (vgl. Abb. 2.17c). Legt man den ESZ zugrunde, dann kann man die speziﬁsche Form¨anderungsenergie nach (2.75b) unter Beachtung von (2.86a) zun¨achst allgemein in der Form 1 2 (σ 2 + σy2 − 2νσx σy + 2(1 + ν)τxy ) 2E x 1 2 (σ 2 + σϕ2 − 2νσr σϕ + 2(1 + ν)τrϕ ) = 2E r

U =

(2.138)

darstellen. Mit den Spannungen σr = −σϕ = −p0 a2 /r2 , τrϕ = 0 folgen damit f¨ ur unser Beispiel (dV = 2 π r t dr)

146

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

U = p20

1 + ν a4 , E r4 U dV = p20

Πi =

1+ν 4 a t2π E

∞

r dr 1+ν 2 a t2π. = p20 r4 E

a

V

Darin ist t die Dicke der Scheibe. Die Arbeit der ¨außeren Belastung p0 bei einer Laststeigerung von Null auf den Endwert p0 ist durch Wa = 12 p0 ur (a) 2 π a t = p0 ur (a) π a t gegeben, wobei ur (a) die noch unbekannte Radialverschiebung am Lochrand ist. Sie l¨ asst sich nach (2.137) durch Gleichsetzen von Πi und Wa bestimmen: p20

2(1 + ν) 1+ν 2 a t 2π = p0 ur (a) π a t → ur (a) = p0 a . E E

2.7.2 S¨ atze von Clapeyron und von Betti

In einer weiteren Spezialisierung wollen wir nun den K¨orper als linear elastisch voraussetzen. Hierf¨ ur ist die Form¨anderungsenergiedichte nach (2.75b) durch U = 12 σij εij gegeben. Die linke Seite von (2.133) kann dann mit (2.136) durch 2Πi ersetzt werden. Zus¨ atzlich nehmen wir an, dass die ¨ außeren Kr¨afte (ti ) Totlasten sind. Hierunter versteht man Kr¨ afte, die von der Deformation unabh¨ angig sind. Ein Beispiel hierf¨ ur ist die Gewichtskraft. Solche Kr¨ afte sind ein Sonderfall der konservativen Kr¨afte, welche sich gem¨ aß ti = −

ˆa ∂Π ∂ui

(2.139)

ˆ a (ui ) (= potentielle Energie pro Fl¨acheneinaus einem Potential Π ˆ a = −ti ui heit) herleiten lassen. F¨ ur Totlasten ist dieses durch Π gegeben. Bezeichnen wir mit

ˆ Πa = Πa dA = − ti ui dA (2.140) A

A

das Potential der ¨ außeren Totlasten, dann f¨ uhrt (2.133) auf

2.7

Energieprinzipien

2Πi + Πa = 0 .

147

(2.141)

Nach Benoit-Paul-Emile Clapeyron (1799–1864) nennt man diesen Zusammenhang den Satz von Clapeyron. Die Summe aus der doppelten Form¨ anderungsenergie und dem Potential der Totlasten ist also gerade Null. Letzteres entspricht nach (2.140) gerade der negativen Arbeit der Totlasten. Dementsprechend kann man (2.141) auch so ausdr¨ ucken: die doppelte Form¨ anderungsenergie ist gleich der Arbeit der Totlasten. Im weiteren betrachten wir einen linear elastischen K¨orper, bei dem zwei unterschiedlichen aktuellen Belastungszust¨anden (1) bzw. (2) je ein aktueller Deformationszustand (1) bzw. (2) zugeordnet ist. Dann gilt mit dem Elastizit¨ atsgesetz (2.58) unter Beachtung der Symmetrie des Elastizit¨ atstensors (vgl. (2.74)) die Umformung (1) (2)

(1) (2)

(1)

(2)

(1) (2)

(2) (1)

σij εij = Eijkl εkl εij = εkl Eklij εij = εkl σkl = σij εij . Dies bedeutet, dass man in (2.131) nicht nur auf der linken Seite die Ziﬀern (Zust¨ ande) vertauschen kann, sondern auch auf der rechten Seite, d.h. es wird

(1) (2) ti ui dA

A

(2) (1)

=

ti ui dA .

(2.142)

A (1)

(2)

Danach verrichten die Kr¨ afte ti an den Verschiebungen ui die (2) (1) gleiche Arbeit wie die Kr¨ afte ti an den Verschiebungen ui . Dies ist der Satz von Betti (vgl. Band 2, Abschn. 6.3). Er hat eine besondere Bedeutung als Ausgangspunkt f¨ ur die Methode der Randelemente. 2.7.3 Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen

Wir betrachten einen Gleichgewichtszustand mit den aktuellen Spannungen und Deformationen. Zus¨ atzlich zu den aktuellen Veruhren wir nun virtuelle Verschiebungen δui ein, schiebungen ui f¨ durch die sich das System aus der Gleichgewichtslage ui in die

148

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Nachbarlage ui + δui begibt. Unter diesen virtuellen Verschiebungen wollen wir Funktionen vom Ort xi verstehen, die a) inﬁnitesimal, b) gedacht, d.h. nicht wirklich vorhanden, und die c) kinematisch zul¨ assig sind. Letzteres bedeutet, dass entlang des Randes Au , an dem die Verschiebungen vorgegeben sind, die virtuellen Verschiebungen verschwinden: δui |Au = 0. Um die einschr¨ ankenden Bedingungen deutlich zu machen, denen virtuelle Verr¨ uckungen unterliegen, wird f¨ ur sie das Variationssymbol δui anstelle von dui verwendet. Mathematisch darf aber wie mit einem Verschiebungsinkrement bzw. wie mit einem Diﬀerential gerechnet werden. So gilt zum Beispiel allgemein die Vertauschungsregel δ(ui,j ) = (δui ),j . Aufgrund der virtuellen Verschiebungen δui kommt es zu den virtuellen Verzerrungen δεij = 12 δ(ui,j + uj,i ) = 12 [(δui ),j + (δuj ),i ] . Setzen wir in Gleichung (2.132) f¨ ur die statischen Gr¨oßen die ur die kinematischen Gr¨oßen die aktuellen Spannungen σij und f¨ virtuellen Verschiebungen δui bzw. die Verzerrungen δεij ein, so folgt als schwache Form der Gleichgewichtsbedingungen

σij δεij dV =

V

At

t∗i δui dA

bzw. δWi = δWa .

(2.143)

Darin sind δWi = V σij δεij dV die Arbeitder inneren Kr¨afte bei einer virtuellen Verr¨ uckung und δWa = At t∗i δui dA die entsprechende Arbeit der ¨ außeren, eingepr¨ agten Kr¨afte. Beide Arbeiten sind bei einem K¨ orper, der sich im Gleichgewicht beﬁndet, also gleich. Man kann dies auch so ausdr¨ ucken: ein deformierbarer K¨ orper beﬁndet sich dann im Gleichgewicht, wenn die Arbeiten der inneren und der ¨ außeren Kr¨ afte bei einer virtuellen Verr¨ uckung gleich sind. Diese Aussage wird als Prinzip der virtuellen Verr¨ uckungen oder als Prinzip der virtuellen Arbeiten bezeichnet. Es ist unabh¨ angig vom speziellen Stoﬀverhalten des K¨orpers g¨ ultig. Man beachte, dass bei den ¨ außeren Kr¨ aften nur die eingepr¨ agten Kr¨ afte auftreten; die Reaktionskr¨ afte verrichten bei einer virtuellen Verr¨ uckung keine Arbeit! Wenn neben den Oberﬂ¨achen-

2.7

Energieprinzipien

149

lasten auch noch Volumenkr¨ afte vorhanden sind, so muss deren ucksichtigt werden. An dieser Stelle sei noch Arbeit in δWa mitber¨ angemerkt, dass man aus (2.132) bzw. aus den Grundgleichungen (2.130) auch noch andere Prinzipien herleiten kann. Ohne n¨aher darauf einzugehen, seien die sogenannten erweiterten Prinzipien und das Prinzip der virtuellen Kr¨ afte erw¨ ahnt. Bei einem elastischen K¨ orper kann die virtuelle Arbeit der in∂U δεij = δU (εij ) durch neren Kr¨ afte mit (2.136) und σij δεij = ∂ε

ij δWi = σij δεij dV = δU dV = δ U dV = δΠi (2.144) V

V

V

ausgedr¨ uckt werden. Besitzen die ¨ außeren Kr¨ afte ein Potential, dann gilt mit (2.139) außerdem

∗ ˆ a dA = − δΠa , (2.145) δWa = ti δui dV = − δ Π At

At

ˆ a = ∂ Πˆ a δui = t∗ δui . F¨ wobei δ Π uhren wir noch mit Π = Πi + Πa i ∂ui das Gesamtpotential ein, so liefert (2.143) das Prinzip vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials δΠ = δ(Πi + Πa ) = 0

bzw. Π = Πi + Πa = station¨ ar . (2.146)

Danach nimmt das Gesamtpotential in der Gleichgewichtslage einen Station¨ arwert (Extremum) an. F¨ ur den linear elastischen K¨orper l¨ asst sich zeigen, dass Π in der Gleichgewichtslage minimal ist: Π = Πi + Πa = Minimum .

(2.147)

In Worten l¨ asst sich dies folgendermaßen formulieren: unter allen kinematisch zul¨assigen Vergleichsfunktionen machen diejenigen Π zu einem Extremum (Minimum), f¨ ur die sich der K¨orper in der Gleichgewichtslage beﬁndet. Auf dieser Tatsache beruhen verschiedene N¨ aherungsverfahren wie zum Beispiel das Verfahren von Ritz (vgl. Abschn. 7.5.6). Wir haben das Prinzip vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials ausgehend von den Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet.

150

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Die kinematischen Gleichungen (Verzerrungs-Verschiebungs-Gleichungen, Verschiebungsrandbedingungen) gingen dabei als Nebenbedingungen ein, denen die virtuellen Verr¨ uckungen gen¨ ugen m¨ ussen. Geht man umgekehrt vom Prinzip (2.147) aus und wendet es auf einen elastischen K¨ orper an, so folgen aus ihm die Gleichgewichtsbedingungen sowie die statischen Randbedingungen. Dies triﬀt sinngem¨ aß nat¨ urlich auch auf spezielle Tragwerke, wie St¨abe, Balken, Platten oder Schalen zu.

Abb. 2.30

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den Stab nach Abb. 2.30, der durch eine verteilte Last n(x) sowie durch eine Randkraft F belastet ist. Wenn die ¨ außeren Belastungen Totlasten sind, dann lautet mit ε = du/dx = u das Potential der inneren bzw. der außeren Kr¨ afte (vgl. auch Band 2, Tabelle 6.2) ¨ Πi =

l

1 2

EA ε2 dx = 0 l

Πa = −

1 2

l

EA u 2 dx ,

0

n u dx − F u(l) . 0

Damit liefert das Prinzip vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials achst δ(Πi + Πa ) = 0 mit δ(u 2 ) = 2u δu zun¨ l 0=δ

/ 1 EA u 2 − n u dx − F u(l) 2

0

l = 0

EA u δu −n δu dx − F δu(l) . ! "# $ !"#$ v

w

Den ersten k¨ onnen wir mittels partieller Inte l Teil des Integrals l gration 0 vw dx = − 0 v wdx + vw|l0 und dem Elastizit¨atsgesetz N = EA u umformen. Damit wird aus obiger Gleichung

2.7

Energieprinzipien

151

l (EA u ) δu +n δu dx + !EA 0=− δu |l0 − F δu(l) "#u$ !"#$ ! "# $ !"#$ v

0

l =−

w

v

w

[N + n]δu dx + [(N − F )δu]x=l − [N δu]x=0 .

0

F¨ ur ein beliebiges (kinematisch zul¨ assiges) δu ist diese Gleichung nur dann erf¨ ullt, wenn gilt: N + n = 0 ,

[(N − F )δu]x=l = 0 .

[N δu]x=0 = 0 ,

Die linke Gleichung ist die Gleichgewichtsbedingung (Band 2, Gl. (1.13)), die beiden rechten Beziehungen liefern die Randbedingungen. Im Beispiel ist der Rand x = 0 unverschieblich gelagert (= kinematische Randbedingung), d.h. dort ist δu = 0. Am Rand x = l ist dagegen δu beliebig; demnach muss dort die Bedingung N = F erf¨ ullt sein. Beispiel 2.12 Der schubstarre Balken nach Abb. 2.31 wird durch

eine Streckenlast q(x) und eine Einzellast F belastet. Es sollen die Diﬀerentialgleichung der Biegelinie und die Randbedingungen mit Hilfe des Prinzips vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials hergeleitet werden.

Abb. 2.31

L¨ osung Die Potentiale der inneren Kr¨ afte bzw. der ¨außeren Kr¨afte

lauten (vgl. Band 2, Tabelle 6.2)

l

l 1 2 EIw dx , Πa = − q wdx − F w(0) . Πi = 2 0

0

Damit liefert die Bedingung δ(Πi + Πa ) = 0 zun¨achst

l 0= 0

(EIw δw − q δw)dx − F δw(0) .

B2.12

152

2 Grundlagen der Elastizit¨atstheorie

Wenden wir zweimal die partielle Integration an, so wird daraus

l 0=

[− (EIw ) δw − q δw]dx + EIw δw |l0 − F δw(0)

0

l =

[(EIw ) δw − q δw]dx + EIw δw |l0

0

− (EIw ) δw|l0 − F δw(0)

l = [(EIw ) − q]δw dx + EIw δw |l0 0

− (EIw ) δw|l0 − F δw(0) . Diese Gleichung wird f¨ ur eine beliebige zul¨ assige (virtuelle) Verr¨ uckung nur dann erf¨ ullt, wenn die eckige Klammer im Integral und alle Randterme f¨ ur sich verschwinden. Hiermit erh¨alt man aus dem Integral die Diﬀerentialgleichung der Biegelinie (EIw ) − q = 0 . Wenn man das Elastizit¨ atsgesetz f¨ ur das Biegemoment EIw = −M einsetzt, dann erkennt man, dass dies die Gleichgewichtsbedingung M = −q darstellt. Aus den restlichen Termen folgen die Randbedingungen. Am rechten Rand (x = l) ist der Balken eingespannt. Dort sind δw = 0 und δw = 0, und damit verschwinden die entsprechenden Randterme. Am linken Rand (x = 0) sind ur die Randdagegen δw und δw beliebig. Damit ergibt sich dort f¨ bedingungen − EIw δw = 0 →

M δw = 0 → M = 0 ,

[(EIw ) − F ]δw = 0 → −(Q + F )δw = 0 → Q = −F .

2.8

Weiterf¨ uhrende Literatur

153

2.8 Weiterf¨ uhrende Literatur Eschenauer, H., Schnell, W., Elastizit¨ atstheorie, Bibliographisches Institut, 1993 Eschenauer, H., Schnell, W., Elastizit¨ atstheorie, Formel- und Aufgabensammlung, Bibliographisches Institut, 1994 Becker, W., Gross, D., Mechanik elastischer K¨ orper und Strukturen, Springer, Berlin 2002 Green, A.E., Zerna, W., Theoretical Elasticity, Clarendon Press, Oxford 1968 Hahn, H.G., Elastizit¨ atstheorie, Teubner, Stuttgart 1985 Leipholz, H., Theory of Elasticity, Nordhoﬀ, Leyden 1974 Mal, A., Singh, S.J., Deformation of Elastic Solids, Prentice Hall, New York 1991 Ogden, R.W., Nonlinear Elasticity: Theory and Applications, Cambridge University Press, 2001 Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York 1970 Ting, T.C.T., Anisotropic Elasticity, Theory and Applications, Oxford University Press, 1996 Washizu, K., Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, Oxford 1982

2.8

Kapitel 3 Statik spezieller Tragwerke

3

3 Statik spezieller Tragwerke 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.7

Einleitung......................................................... Der Bogentr¨ager ................................................ Gleichgewichtsbedingungen ................................... Der momentenfreie Bogentr¨ager ............................ Das Seil........................................................... Gleichung der Seillinie ......................................... Seil unter Einzelkr¨aften ....................................... Kettenlinie........................................................ Der Schubfeldtr¨ager ............................................ Kraftﬂuss am Paralleltr¨ager .................................. Grundgleichungen ............................................... Saite und Membran ............................................ Die Saite ......................................................... Die Membran .................................................... Membrantheorie d¨ unner Rotationsschalen ................. Die Platte ........................................................ Grundgleichungen der Platte ................................. Randbedingungen f¨ ur die schubstarre Platte ............. Die Kreisplatte .................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

157 158 158 162 164 164 168 169 172 172 173 181 181 185 187 192 192 199 204 208

3.1

Einleitung

157

3.1 Einleitung Tragwerke sind K¨ orper mit Abmessungen in allen drei Raumrichtungen. Bei zahlreichen Bauteilen sind jedoch die Abmessungen der Querschnitte klein gegen die L¨ ange. Sie k¨ onnen dann h¨auﬁg n¨ aherungsweise als linienhafte K¨ orper betrachtet werden. Ihre Gestalt wird durch die Angabe der Verbindungslinie der Schwerpunkte aller Querschnitte (Achse) und der Querschnitte beschrieben. Je nach Form der Achse und nach Art der Belastung unterscheidet man folgende Linientragwerke: a) St¨abe (gerade Achse, Last in Richtung der Stabachse, vgl. Band 1, Kap. 6), b) Seile (gekr¨ ummte Achse, nehmen nur Zugkr¨afte auf), c) Balken (gerade Achse, Last senkrecht zur Balkenachse, vgl. Band 1, Kap. 7), d) B¨ogen (gekr¨ ummte Achse, Last beliebig). Weiterhin gibt es Tragwerke, bei denen eine Abmessung (z.B. die Dicke) klein ist gegen¨ uber den anderen Abmessungen. Diese ﬂ¨achenhaften K¨ orper k¨ onnen wir durch Angabe der Mittelﬂ¨ache und der Dicke t beschreiben. Dabei setzen wir t als klein voraus. Je nach Form der Mittelﬂ¨ ache und nach der Art der Belastung achentragwerke: unterscheidet man folgende Fl¨ a) Scheiben (ebene Mittelﬂ¨ ache, Last in der Mittelﬂ¨ache, vgl. Abschnitt 2.5), b) Platten (ebene Mittelﬂ¨ ache, Last senkrecht zur Mittelﬂ¨ache), ummte Mittelﬂ¨ ache, Last beliebig). c) Schalen (gekr¨ Bei allen genannten Tragwerken liegen genau genommen r¨aumliche Spannungszust¨ ande vor, die von allen drei Koordinaten des Raums abh¨ angen. Unter gewissen Voraussetzungen k¨onnen diese dreidimensionalen Probleme in guter N¨ aherung bei Linientragwerken auf eindimensionale, bei Fl¨ achentragwerken auf zweidimensionale Probleme zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Wir werden in den folgenden Abschnitten zeigen, wie man hierzu bei den verschiedenen Tragwerken vorgehen kann.

3.1

158

3.2

3 Statik spezieller Tragwerke

3.2 Der Bogentr¨ ager 3.2.1 Gleichgewichtsbedingungen

Einen gekr¨ ummten Balken nennt man einen Bogen. Wir wollen uns im folgenden auf die Ermittlung der Schnittkr¨afte im Bogen beschr¨ anken. Auf die Verformungen werden wir nicht eingehen. Ein Bogen nach Abb. 3.1a sei durch Einzellasten Fi , Momente Mk und Streckenlasten q bzw. n belastet. Dabei wirkt q stets normal und n stets tangential zur Bogenachse. Wir f¨ uhren als Koordinate die Bogenl¨ ange s ein. Weiterhin ist r der Kr¨ ummungsradius an einer beliebigen Stelle s. Er soll groß sein gegen die Querschnittsabmessungen des Bogens. In Band 1, Abschnitt 7.3 wurden die Schnittgr¨oßen an einem Bogen nur aus dem Gleichgewicht an freigeschnittenen Bogentei¨ len ermittelt. Ahnlich wie beim geraden Balken (vgl. Band 1, Abschn. 7.2.2) kann man auch f¨ ur den gekr¨ ummten Tr¨ager die Gleichgewichtsbedingungen am diﬀerentiell kleinen Element aufstellen und aus ihnen dann die Schnittgr¨ oßen durch Integration bestimmen. Hierzu betrachten wir nach Abb. 3.1b ein Element der L¨ange ds mit den Schnittgr¨ oßen und den Lasten q und n. Zu beachten ist, dass beim gekr¨ ummten Balken unter beliebiger Last neben der Querkraft Q und dem Moment M auch stets eine Normalkraft N auftritt. F¨ ur die weitere Rechnung ist es zweckm¨aßig, die Bogenl¨ ange ds mit Hilfe des Kr¨ ummungsradius r durch den Winkel dϕ auszudr¨ ucken, den zwei inﬁnitesimal benachbarte Querschnitte miteinander bilden: ds = rdϕ.

Abb. 3.1

Das Gleichgewicht in Radialrichtung bzw. in Tangentialrichtung ergibt

3.2

↑:

→:

Der Bogentr¨ager

159

dϕ dϕ − (Q + dQ) cos 2 2 dϕ dϕ − (N + dN ) sin − q ds = 0 , − N sin 2 2 dϕ dϕ (N + dN ) cos − N cos 2 2 dϕ dϕ − Q sin + n ds = 0 . − (Q + dQ) sin 2 2

Q cos

dϕ dϕ Da dϕ inﬁnitesimal klein ist, gelten sin dϕ 2 → 2 und cos 2 → 1. Weiterhin fallen Produkte von Zuw¨ achsen als klein von h¨oherer Ordnung heraus, und es folgt dann

− dQ − N dϕ − q ds = 0 ,

dN − Q dϕ + n ds = 0 .

Mit dϕ = ds/r wird daraus dQ 1 + N + q = 0, ds r 1 dN − Q + n = 0. ds r

(3.1) (3.2)

Schließlich ergibt das Momentengleichgewicht bez¨ uglich C Q

ds ds + (Q + dQ) + M − (M + dM ) = 0 → dM − Q ds = 0 2 2

oder dM − Q = 0. ds

(3.3)

Die Gleichgewichtsbedingungen (3.1) bis (3.3) bilden ein System von 3 gekoppelten Diﬀerentialgleichungen, aus denen bei gegebenen Belastungen q und n die 3 Schnittgr¨ oßen berechnet werden k¨ onnen. Im Sonderfall M = const ist nach (3.3) die Querkraft gleich Null. Im Sonderfall des Kreisbogentr¨ agers mit dem Radius r = a kann die L¨ osung f¨ ur n = q = 0 unmittelbar angegeben werden. Mit ds = a dϕ folgt durch Elimination von N aus (3.1) und (3.2)

160

3 Statik spezieller Tragwerke

d2 Q + Q = 0. dϕ2 Diese Schwingungsgleichung“ (vgl. Band 3, Gl. (5.3)) hat die ” L¨osung Q = A cos ϕ + B sin ϕ .

(3.4)

Aus (3.1) bzw. (3.3) ergeben sich damit N =−

dQ dϕ

dM = aQ dϕ

→ N = A sin ϕ − B cos ϕ ,

(3.5)

→ M = (A sin ϕ − B cos ϕ)a + C .

(3.6)

Die drei Integrationskonstanten A bis C folgen aus den Randbedingungen. Im Sonderfall des geraden Tr¨ agers folgen aus (3.1) bis (3.3) mit r → ∞ und ds = dx die Gleichgewichtsbedingungen des Stabes dN/dx = −n und des Balkens dQ/dx = −q, dM/dx = Q (vgl. Band 2, Gl. (1.13) bzw. Band 1, Gln. (7.6), (7.7)). Die Gleichungen der Stabtheorie und der Balkentheorie sind danach entkoppelt. Eine besonders einfache L¨ osung ﬁndet man f¨ ur den geschlossenen Kreisring vom Radius a, wenn nur eine konstante radiale Belastung q0 wirkt. Dann h¨ angen die Schnittkr¨afte nicht von s ab, und wir erhalten N = − q0 a ,

Q = 0,

M = 0.

(3.7)

Diese Beziehung f¨ ur N entspricht der Kesselformel beim Zylinder. Auf einen Streifen der Breite b wirkt dort ein Innendruck“ p = ” −q0 /b, d.h., es wird N = p b a. Mit der Wandst¨arke t folgt damit die Umfangsspannung (vgl. Band 2, Gl. (2.19)) σ=

B3.1

a N =p . bt t

Beispiel 3.1 Der Kreisbogentr¨ ager nach Abb. 3.2a wird durch eine

Einzelkraft F belastet. Gesucht sind die Schnittgr¨oßen.

3.2

Der Bogentr¨ager

161

Abb. 3.2

L¨ osung An der Kraftangriﬀsstelle ϕ = 30◦ tritt eine Unstetigkeit

auf. Wir m¨ ussen daher in 2 Bereichen integrieren und f¨ uhren hierzu zweckm¨ aßig einen zweiten Winkel ψ nach Abb. 3.2b ein. Es wird dann nach (3.4) bis (3.6) I: 0 ≤ ϕ ≤ 30◦

II: 0 ≤ ψ ≤ 150◦

QI = A cos ϕ + B sin ϕ ,

QII = D cos ψ + E sin ψ ,

NI = A sin ϕ − B cos ϕ ,

NII = D sin ψ − E cos ψ ,

MI = (A sin ϕ − B cos ϕ) a + C ,

MII = (D sin ψ − E cos ψ) a + G .

Die sechs Integrationskonstanten folgen aus drei Randbedingungen MI (0) = 0 : a B = C , MII (0) = 0 : a E = G ,

QII (0) = 0 : D = 0

¨ und drei Ubergangsbedingungen (Abb. 3.2c) (Vorzeichen von QII beachten!) NII (150◦ ) + F sin 30◦ − NI (30◦ ) = 0 : √ √ F A D 3 3 + E+ − + B = 0, 2 2 2 2 2 QII (150◦ ) − F cos 30◦ − QI (30◦ ) = 0 : √ √ √ E B 3 3 3 D+ − F+ A+ = 0, − 2 2 2 2 2 MI (30◦ ) = MII (150◦ ) : √ √ 3 3 D A − B a+C = + E a + G. 2 2 2 2 Durch Auﬂ¨ osen ergibt sich

162

3 Statik spezieller Tragwerke

A=F, B=−

F F F F , C = − a, D = 0, E = , G = a 4 4 4 4

und damit NI = sin ϕ + 14 cos ϕ F , NII = − 14 F cos ψ , QII = 14 F sin ψ , QI = cos ϕ − 14 sin ϕ F , MI = sin ϕ + 14 cos ϕ − 14 aF , MII = 14 (1 − cos ψ) aF . Diese L¨ osung stimmt mit den Ergebnissen zu Beispiel 7.11 in Band 1 u aufe der Schnittgr¨oßen aufge¨berein, wo auch die Verl¨ tragen sind (dort wird der Radius mit r bezeichnet). 3.2.2 Der momentenfreie Bogentr¨ ager

Es gibt spezielle Belastungen, f¨ ur die in einem Bogentr¨ager gegebener Form nur L¨ angskr¨ afte und keine Biegemomente und Querkr¨afte auftreten (vgl. z.B. (3.7)). Wir wollen nun umgekehrt fragen, welche Form ein Bogentr¨ ager besitzen muss, damit er eine gegebene Belastung momentenfrei u ¨bertragen kann. Wegen (3.3) ist dann auch die Querkraft Null. Man nennt diese Form utzlinie. Die Rechnung wird einfacher, wenn in der Baustatik St¨ man statt der Koordinaten r, s kartesische Koordinaten verwendet. Wir beschr¨ anken uns jetzt auf eine rein vertikale Belastung q(x) und beschreiben die gesuchte Form des Tr¨agers durch eine Funktion y(x) (Abb. 3.3a). Damit bei diesem Tr¨ager kein Moment auftritt, muss die L¨ angskraft – jetzt als Druckkraft D positiv eingef¨ uhrt – durch eine querkraftfreie Lagerung am Ende aufgenommen werden k¨ onnen. Nach Abb. 3.3b folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen (wir zerlegen die einzig wirkende Schnittkraft D in die Horizontalkomponente H und die Vertikalkomponente V ) →: dH = 0 ↓: dV + q(x)dx = 0

→

H = const , dV = − q(x) . → dx

F¨ ur die Kraftkomponenten gilt ferner (D wirkt tangential): V /H = tan α = dy/dx . Diﬀerenzieren wir diese Gleichung und setzen die

3.2

Der Bogentr¨ager

163

Abb. 3.3

Gleichgewichtsbedingungen ein, dann erhalten wir die Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Form des momentenfreien Tr¨ agers: q(x) d2 y . =− dx2 H

(3.8)

Die zwei Integrationskonstanten in der L¨ osung von (3.8) und der noch unbekannte Horizontaldruck H folgen aus zwei Randbedingungen und einer zus¨ atzlichen Aussage, z.B. u ¨ber die Stichh¨ohe f . Die Druckkraft im Bogen l¨ asst sich bei bekanntem y(x) mit (·) = d(·)/dx aus D = H 2 + V 2 = H 1 + y 2 (3.9) ermitteln. Im Spezialfall einer konstanten Belastung q(x) = q0 ergibt zweimalige Integration von (3.8) eine quadratische Parabel: y=−

q0 2 x + C1 x + C2 . 2H

Liegen nach Abb. 3.3c die Lager auf gleicher H¨ ohe, so liefern die Randbedingungen q0 y(0) = 0 → C2 = 0 , l. y(l) = 0 → C1 = 2H Damit ist die Form des Bogentr¨ agers durch

2 2 q0 l x x y= − 2H l l bestimmt. Wenn wir die Stichh¨ ohe f = y(l/2) vorgeben, so wird 2 2 1 1 q0 l q0 l − . (3.10) = H= 2f 2 4 8f

164

3 Statik spezieller Tragwerke

Die Druckkraft D folgt aus (3.9). Da im Scheitel die Neigung y verschwindet, ist dort D = H. Zu den Lagern hin nimmt D zu 2 2 und erreicht mit y 2 (0) = y 2 (l) = (q0 l) / (2H) den Gr¨oßtwert q0 l 2 16f 2 DA = DB = 1+ 2 . 8f l Die Vertikalkomponente am linken Lager wird VA = Hy (0) = q0 l/2, was sich aus dem Gleichgewicht am gesamten Bogen u ¨berpr¨ ufen l¨ asst: ↑: VA = VB = 12 q0 l . 3.3

3.3 Das Seil 3.3.1 Gleichung der Seillinie

Seile (und Ketten) haben bei Tragwerken einen breiten Anwen¨ dungsbereich, z.B. bei H¨ angebr¨ ucken, Seilbahnen oder Uberlandleitungen. Wir wollen annehmen, dass das Seil undehnbar ist und nur Zugkr¨ afte u ¨bertragen kann. Es kann daher keine Biegemomente oder Querkr¨ afte aufnehmen. Man nennt solch ein Tragwerk biegeschlaﬀ. W¨ ahrend man beim Bogen jede beliebige Form vorgeben kann, stellt sich beim Seil passend zur Belastung jeweils eine Gleichgewichtsform ein, die erst ermittelt werden muss. Wir beschr¨ anken uns wieder auf vertikale Lasten q(x). Diese denken wir uns durch viele gewichtslose Seile auf das eigentliche Tragseil u ucke ¨bertragen, so wie z.B. die Fahrbahn einer H¨angebr¨ am Tragseil aufgeh¨ angt ist (Abb. 3.4a). Wir k¨ onnen dann die Gleichung (3.8) des momentenfreien Tr¨ agers f¨ ur das Seil u ¨bernehmen, wenn wir noch beachten, dass beim Seil nur Zugkr¨afte auftreten. Daher z¨ ahlen wir jetzt H als Horizontalzug positiv, und mit der Vorzeichenumkehr von H folgt aus (3.8) die Diﬀerentialgleichung der Seillinie q(x) d2 y . = 2 dx H

(3.11)

3.3

Das Seil

Die Seilkraft S ergibt sich analog zu (3.9) aus S = H 2 + V 2 = H 1 + y 2 .

165

(3.12)

Im allgemeinen ist die Konstante H noch unbekannt. Beim Bogen konnten wir sie z.B. durch Vorgabe der Stichh¨ ohe f ermitteln. Beim Seil ist aber f meistens unbekannt, und nur die Seill¨ange L ist gegeben. Wir m¨ ussen daher den Zusammenhang zwischen L und y(x) formulieren, um H zu bestimmen. Wegen ds = dx2 + dy 2 = dx 1 + y 2 gilt

L=

ds =

l

1 + y 2 dx .

(3.13)

0

Hierin ist die L¨ osung von (3.11) einzusetzen. Eine analytische Berechnung des Integrals ist f¨ ur beliebige q(x) i.a. nicht m¨oglich.

Abb. 3.4

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir das Tragseil nach Abb. 3.4b, das bei gegebener Seill¨ ange L zwischen A und B eine konstante Streckenlast q(x) = q0 aufnehmen soll. Der Abstand l ist gegeben, der Durchhang f ist unbekannt. Gleichung (3.11) liefert f¨ ur y(x) eine quadratische Parabel: y =

q0 x + C1 , H

y=

q0 x2 + C1 x + C2 . 2H

Aus den Randbedingungen ergeben sich die Integrationskonstanten: y(0) = 0 → C2 = 0 ,

y(l) = 0 → C1 = −

q0 l . 2H

166

3 Statik spezieller Tragwerke

Das Seil nimmt daher die Form q0 l2 x 2 x y= − 2H l l an, wobei H noch unbekannt ist. Wir greifen auf (3.13) zur¨ uck:

l

2 q0 l x L= 2 −1 1+ dx . 2H l 0

q0 l x 2 −1 = Dieses Integral l¨ asst sich mit der Substitution 2H l sinh u l¨ osen: L=

H [u + sinh u cosh u]uuB . A 2q0

Bei gegebenem L kann man hieraus H numerisch ermitteln. Man erh¨ alt dann den gesuchten Durchhang f = − y(l/2) =

q0 l2 . 8H

Beim ﬂach gespannten Seil (|y | 1) kann man mit |y |max = aherungsweise analytisch beq0 l/(2H) 1 den Durchhang f n¨ stimmen. Eine Reihenentwicklung des Integranden in der Gleichung f¨ ur L ergibt

2

2 q l x 1 q0 l 2 x 0 2 −1 2 −1 1+ ≈ 1+ 2H l 2 2H l

2 f 2 x 2 −1 , = 1+8 l l und damit folgt nach Integration und Einsetzen der Grenzen 3 8 f2 → f= (L − l)l . L=l+ 3 l 8 Um eine Vorstellung von der Gr¨ oßenordnung des Durchhangs zu erhalten, betrachten wir ein Zahlenbeispiel: f¨ ur l = 100 m und L = 102 m wird f = 8, 7 m. B3.2

Beispiel 3.2 Auf ein Kabel wirkt eine Dreieckslast so, dass ein Durchhang h auftritt (Abb. 3.5).

3.3

Das Seil

167

Wie lautet die Gleichung der Seillinie? Wie groß sind die maximale Seilkraft und die Seilkraft in der Mitte des Kabels?

Abb. 3.5

L¨ osung Wir legen den Koordinatenursprung ins linke Lager und nutzen die Symmetrie aus. F¨ ur 0 ≤ x ≤ l/2 gilt q(x) = q0 2x/l. Mit (3.11) folgt

q0 H q0 y = H q0 y= H

y =

2

x , l

x2 + C1 , l x3 + C1 x + C2 . 3l

Aus den Randbedingungen und aus der Symmetriebedingung ergeben sich y(0) = 0

→ C2 = 0 ,

⎫ q0 l2 l⎪ ⎬ + C1 ⎪ H 24 2 → ⎪ q0 l ⎪ ⎭ → C1 = − 4H

y(l/2) = −h → −h = y (l/2) = 0

3h , l q0 l2 H= . 12h

C1 = −

Das Seil nimmt f¨ ur x ≤ l/2 folgende Form an: 3 h q0 x x x 3 −3 x=h 4 . −3 y= H 3l l l l Die Seilkraft folgt aus (3.12). Ihr gr¨ oßter Wert tritt an den R¨andern auf: 2 2 q h l 0 2 Smax = H 1 + y (0) = 1+9 . 12h l

168

3 Statik spezieller Tragwerke

Die Seilkraft in der Mitte ist gleich dem Horizontalzug H: Smitte = H

1 + y 2 (l/2) = H =

q0 l 2 . 12h

3.3.2 Seil unter Einzelkr¨ aften

Eine Einzelkraft F bewirkt einen Knick im Seil (Abb. 3.6a). Die Vertikalkomponente V und die Horizontalkomponente H der Seilkraft S erfahren an der Kraftangriﬀsstelle C jeweils einen Sprung in Gr¨ oße der jeweiligen Komponente von F . Wenn wir die Kr¨afte links von C mit einem Index L und die Kr¨ afte rechts von C mit R kennzeichnen, folgt aus dem Gleichgewicht (Abb. 3.6b) ↓: VR = VL − FV ,

→: HR = HL − FH .

Die Winkel¨ anderung in C ergibt sich aus FV 1− VR VL − F V VL VL = = . tan αR = FH HR HL − F H HL !"#$ 1 − HL tan αL ¨ Ahnlich wie im Knotenpunktverfahren beim Fachwerk (vgl. Band 1, Abschn. 6.3.1) liefern die Gleichgewichtsbedingungen an jeder Lastangriﬀsstelle zusammen mit den Randbedingungen den Verlauf der Seilkraft und die jeweilige Neigung des Seiles zwischen zwei Kr¨ aften. Die Seillinie, die sich bei gegebenen Kr¨aften und gegebener Seill¨ ange einstellt, entspricht dem Seileck, das in Band 1, Abschnitt 3.1.5 als Hilfskonstruktion bei der Zusammensetzung von Kr¨ aften eingef¨ uhrt wurde. Entsprechend der Analogie zwischen (3.8) und (3.11) beschreiben St¨ utz- und Seillinie jeweils die

Abb. 3.6

3.3

Das Seil

169

Form momentenfreier Tragwerke. Diese Analogie war in fr¨ uheren Jahrhunderten beim Mauerwerksbau großer B¨ ogen und Kuppeln von Bedeutung. Da vom Mauerwerk nur Druckkr¨afte aufgenommen werden k¨ onnen, gab man den Tragwerken die Form einer St¨ utzlinie. Diese Form wurde z.B. von G. Poleni (1748) mittels eines durch Gewichte beschwerten Seiles experimentell ermittelt. 3.3.3 Kettenlinie

Bisher haben wir eine Belastung q(x) betrachtet, die auf die Horizontalprojektion des Seiles bezogen war. Wir suchen jetzt nach der Form eines Seiles oder einer Kette unter Eigengewicht, das konstant u ange des Seiles verteilt ist. Um die Ergebnisse ¨ber die L¨ des vorangegangenen Abschnitts verwenden zu k¨onnen, projizieangeneinheit des Seiles) ren wir die Streckenlast q0 (Gewicht pro L¨ nach Abb. 3.7a auf die Horizontale. Da die gleiche Vertikalkraft u ¨bertragen werden muss, gilt q0 ds = q(x)dx. Auﬂ¨osen ergibt mit ur das projizierte Eigengewicht ds2 = dx2 + dy 2 f¨ ds = q0 1 + y 2 . q(x) = q0 dx Man erkennt hieran, dass q(x) mit x ver¨ anderlich ist, obwohl q0 konstant ist. Einsetzen in (3.11) liefert q0 y = 1 + y 2 . H Zur L¨ osung dieser nichtlinearen Diﬀerentialgleichung substituie√ ren wir y = u, y = u und k¨ onnen dann in u = (qo /H) 1 + u2 die Variablen trennen: du q0 dx = √ . H 1 + u2

Abb. 3.7

170

3 Statik spezieller Tragwerke

Die Integration f¨ uhrt auf (q0 /H)(x − x0 ) = arsinh u, d.h. q q H 0 0 (x − x0 ) → y − y0 = (x − x0 ) . cosh u = y = sinh H q0 H Wenn man ein neues Koordinatensystem x ¯, y¯ so einf¨ uhrt, dass die y¯-Achse durch die tiefste Stelle des Seiles geht und die x ¯-Achse den Abstand H/q0 von dort hat (Abb. 3.7b), vereinfacht sich das Ergebnis f¨ ur die Seilform zu y¯ =

H q0 ¯. cosh x q0 H

(3.14)

Man nennt diese Kurve die Kettenlinie. Mit (3.12) und (3.14) ﬁndet man die Seilkraft q0 q0 2 ¯ = H cosh x ¯ = q0 y¯ . (3.15) S = H 1 + y¯ = H 1 + sinh2 x H H Die L¨ ange des Seiles ergibt sich nach (3.13) aus

x¯B

x¯B H q0 q0 2 ¯ d¯ x= ¯ 1 + y¯ d¯ x = cosh x sinh x L= H q0 H x ¯A

x ¯A

x ¯B

.

(3.16)

x ¯A

¯)/H 1, folgt F¨ ur eine ﬂach durchh¨ angende Kette, d.h. (q0 x aus der Reihenentwicklung von (3.14) 1 q0 x H q0 2 H ¯ 2 x ¯ . 1+ + ... ≈ + y¯(x) = q0 2! H q0 2H Dies ist eine quadratische Parabel, wie wir sie beim Seil unter konur ﬂachen Durchhang stantem q(x) = q0 kennengelernt haben. F¨ kann man demnach die Kettenlinie durch eine Parabel ann¨ahern. Dabei ist ein ﬂacher Durchhang immer mit einem sehr großen Horizontalzug verbunden (qo l/H 1 bedeutet H q0 l). B3.3

Beispiel 3.3 Ein Kabel (q0 = 120 N/m) soll nach Abb. 3.8a zwi-

schen zwei Masten im Abstand l = 300 m so aufgeh¨angt werden, dass der Durchhang f = 60 m betr¨ agt. Wie groß sind die maximale ange L? Seilkraft Smax und die Seill¨

3.3

Das Seil

171

Abb. 3.8

L¨ osung Wir m¨ ussen die Gleichung der Kettenlinie nach (3.14) der

Randbedingung anpassen: y¯(l/2) =

H +f q0

→ f=

H q0

cosh

q0 l −1 2H

.

Dies ist ein transzendenter Zusammenhang zwischen f und H, aus dem sich H bei gegebenem f nur numerisch oder graphisch ermitteln l¨ asst. Wir setzen hierzu (q0 l)/(2H) = u; dann wird cosh u = (2f /l)u + 1. Mit den gegebenen Abmessungen folgt cosh u = (2/5)u + 1 (Abb. 3.8b). Hieraus ergibt sich u∗ = 0, 762. Damit wird der Horizontalzug H=

q0 l 0, 12 · 300 = 23, 6 kN . = 2u∗ 2 · 0, 762

Die maximale Seilkraft folgt aus (3.15) zu H Smax = q0 y¯(l/2) = q0 + f = 30, 8 kN . q0 l Schließlich erhalten wir f¨ ur die Seill¨ ange nach (3.16) mit x ¯B = 2 unter Beachtung der Symmetrie L=2

47200 H q0 l = sinh 0, 762 = 330 m . sinh q0 H2 120

ur ein Seil mit Nach der N¨ aherungsformel L = l + (8f 2 )/(3l) f¨ ﬂachem Durchhang (vgl. Abschn. 3.3.1) h¨ atten wir im Zahlenbei8·602 = 332 m erhalten. Dieser Wert spiel eine Seill¨ ange L = 300 + 3·300 weicht vom exakten Ergebnis nur um 1% ab, obwohl der f¨ ur die

172

3 Statik spezieller Tragwerke

N¨ aherung maßgebende Parameter (q0 l)/(2H) = u∗ = 0, 762 keineswegs sehr klein gegen Eins ist.

3.4

3.4 Der Schubfeldtr¨ ager 3.4.1 Kraftﬂuss am Paralleltr¨ ager

Im Ingenieurwesen werden unterschiedliche Tragwerke verwendet. In den B¨ anden 1 und 2 haben wir bereits das Fachwerk und den Balken kennengelernt. Eine Verbindung zwischen beiden Tragwerager her, ken stellt in gewisser Weise der sogenannte Schubfeldtr¨ den wir nun untersuchen wollen. Dabei beschr¨anken wir uns auf die Berechnung von Schnittgr¨ oßen in statisch bestimmten Systemen. Zur Vorbereitung betrachten wir zun¨ achst einen Tr¨ager mit parallelem Ober- und Untergurt (Paralleltr¨ ager) in klassischer Fachwerkbauweise (Abb. 3.9a). Nach Ermittlung der Lagerkraft A k¨ onnen wir mit einem Ritterschen Schnitt (Band 1, Abschn. 6.3.3) z.B. die Stabkr¨ afte S6 bis S8 ermitteln. Sie sind in Abb. 3.9b so eingetragen, wie sie auf den Schnitt wirken (vgl. Band 1, Beispiel 6.1).

Abb. 3.9

Zerlegen wir die Kraft S7 im Diagonalstab in ihre horizontale Komponente 23 F und ihre vertikale Komponente 13 F , so werden nach Abb. 3.9c im betrachteten Schnitt des Tr¨agers insge-

3.4

Der Schubfeldtr¨ager

173

samt eine Querkraft Q = 13 F und ein Biegemoment (Kr¨aftepaar) abe haben danach unterM = 23 F l u ¨bertragen. Die Fachwerkst¨ schiedliche Aufgaben: Ober- und Untergurt u ¨bertragen das Moment, die Diagonalst¨ abe die Querkraft. Die Pfosten leiten zum einen o ¨rtlich Einzellasten ein, zum anderen verhindern sie – wie Nullst¨ abe im Fachwerk – eine Beweglichkeit des Systems. Die Flugzeugbauer, die ja besonders um niedriges Gewicht bem¨ uht sein m¨ ussen (Leichtbau), haben zuerst bemerkt, dass man die gerade beschriebene unterschiedliche Funktion von Teilen einer Konstruktion besser ausnutzen kann, wenn man statt der Diagonalst¨ abe d¨ unne Bleche einf¨ ugt. Da die Bleche, die l¨angs ihrer R¨ ander mit den St¨ aben kontinuierlich verbunden sind, den Schub (Querkraft) u ¨bertragen sollen, nennt man diese Konstruktion Schubfeldtr¨ ager (Abb. 3.9d). 3.4.2 Grundgleichungen

Wir wollen nun die Schnittkr¨ afte (und hieraus die Spannungen) in einem Schubfeldtr¨ ager ermitteln. Um diese Konstruktion einer einfachen Berechnung zug¨ anglich zu machen, treﬀen wir folgende Annahmen: 1) Gurte und Pfosten sind gelenkig verbundene St¨abe; eine Biegung der St¨ abe wird vernachl¨ assigt. ¨ 2) Außere Lasten greifen nur als Einzelkr¨ afte an den Knoten an. 3) Die Bleche konstanter Dicke u ¨bertragen nur Schubspannungen. Diese sind u ander gleichf¨ ormig verteilt (Abb. 3.10a). ¨ber die R¨ Nach Band 2, Gleichung (2.3) sind zugeordnete Schubspannungen gleich: τxz = τzx .

(3.17)

Daher herrscht im Schubblech ein reiner Schubspannungszustand mit gleichen Spannungen an allen R¨ andern. Wir k¨onnen deshalb die Indizes bei den Schubspannungen in (3.17) weglassen. Das Blech ist unter den Spannungen τ im Gleichgewicht. Zweckm¨aßig f¨ uhrt man noch f¨ ur ein Blech der Dicke t den Schubﬂuss T =τt

(3.18)

174

3 Statik spezieller Tragwerke

Abb. 3.10

ein (Dimension Kraft/L¨ ange). An einem Blechrand der L¨ange l wirkt dann insgesamt eine Kraft T l. Wir nehmen nun an, dass l¨ angs des Tr¨ agers die Querkraft Q und das Biegemoment M bekannt sind. Zur Berechnung der Stabkr¨afte und der Schubﬂ¨ usse schneiden wir aus dem Schubfeldtr¨ager ein beliebiges Feld mit allen benachbarten St¨ aben heraus (Abb. 3.10b) und stellen an jedem einzelnen Bauelement Gleichgewicht her. Wenn im Schnitt i (am rechten Rand des Feldes i) eine Querkraft Qi u ur den Schubﬂuss und f¨ ur die ¨bertragen wird, so folgen f¨ Schubspannung: Qi = Ti h →

Ti =

Qi , h

τi =

Ti ti

→ τi =

Qi . h ti

(3.19)

Aus dem Biegemoment Mi im betrachteten Schnitt ergeben sich in Analogie zum Ritterschen Schnittverfahren (Band 1, Abschnitt 6.3.3) die Stabkr¨ afte in den Gurten: Mi = Si+1 h →

Si+1 =

Mi . h

(3.20)

Schließlich erh¨ alt man aus dem Gleichgewicht am Pfosten den Zusammenhang zwischen den Schubﬂ¨ ussen in benachbarten Feldern: ↑: Ti h − Ti+1 h − Fi+1 = 0 → Ti+1 = Ti −

Fi+1 . h

(3.21)

3.4

Der Schubfeldtr¨ager

175

Falls im (i+1)-ten Pfosten keine Kraft Fi+1 angreift, wird hiernach der Schubﬂuss unver¨ andert vom i-ten Blech auf das (i+1)-te Blech u ¨bertragen. Die Schubﬂ¨ usse verursachen in den Randst¨ aben L¨angskr¨afte. Um ihren Verlauf zu ermitteln, betrachten wir nach Abb. 3.10c einen Teilstab der L¨ ange x. Wenn am linken Rand eine Stabkraft angs des Stabes ein konstanter Schubﬂuss T wirken, so S0 und l¨ folgt aus dem Gleichgewicht die Stabkraft S(x) an beliebiger Stelle zu →: S(x) = S0 + T x .

(3.22)

Hiernach verl¨ auft die Stabkraft zwischen zwei Knoten linear. Zwischen den Kr¨ aften an den Stabenden folgt der Zusammenhang Si+1 = Si + Ti l .

(3.23)

Mit den Formeln (3.19) bis (3.23) k¨ onnen in einem Schubfeldtr¨ager mit parallelen Gurten alle Schubﬂ¨ usse und alle Stabkraftverl¨aufe berechnet werden. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den Tr¨ager nach Abb. 3.9d. Er ist in Abb. 3.11a nochmals dargestellt, wobei die Bleche und die St¨ abe numeriert wurden. Querkraft- und Momentenverlauf sind in Abb. 3.11b dargestellt. Aus der Querkraft k¨onnen wir

Abb. 3.11

176

3 Statik spezieller Tragwerke

mit (3.19) die Schubﬂ¨ usse berechnen: 1F 2F , T3 = − . T 1 = T2 = 3 l 3 l Hiernach tritt der gr¨ oßte Schubﬂuss im Blech } auf. Wenn dieses Blech die Dicke t3 hat, wirkt dort die Schubspannung τ = usse mit den Rich2F/(3 l t3 ). In Abb. 3.10b hatten wir die Schubﬂ¨ tungen, mit denen sie auf das Blech und auf die St¨abe wirken, eingetragen. In der praktischen Anwendung der Berechnungsmethode werden Blech und St¨ abe jedoch nicht getrennt. Wir wollen dann den in jedem Feld konstanten Schubﬂuss in das Blech so eintragen, wie er auf die St¨ abe wirkt (Abb. 3.11c). Aus (3.20) k¨ onnen die Gurtkr¨ afte berechnet werden. So ist z.B. am rechten Ende des Stabes 5 die Stabkraft S5r = 43 F l/l = 43 F . Die Stabkr¨ afte in den Gurten entsprechen dem Verlauf der Momentenlinie und unterscheiden sich f¨ ur Ober- und f¨ ur Untergurt nur durch die Vorzeichen. In Abb. 3.11c sind die Stabkr¨afte mit ihren Vorzeichen senkrecht zu den Gurten aufgetragen. Schließlich ﬁnden wir aus (3.22) die Stabkr¨afte in den Pfosten. So wird z.B. im Pfosten 1 die Lagerkraft A = 13 F u ¨ber den Schub T1 = F/(3 l) linear auf den Wert Null am oberen Knoten abgebaut“ (Abb. 3.11c). Der Stab 4 ist ein Nullstab, da beide ” Stabenden unbelastet sind. Die Kraft im Stab 7 ist der besseren ¨ Ubersichtlichkeit halber getrennt dargestellt. Die gr¨ oßte Stabkraft tritt am rechten Rand der St¨abe 5 und 6 (bzw. am linken Rand der St¨ abe 8 und 9) auf. Wenn z.B. der Stab 6 eine Querschnittsﬂ¨ ache A6 hat, so wird dort σ = 4F/3A6 . Die unmittelbare Berechnung der Schubﬂ¨ usse aus der Querkraft und der Stabkr¨ afte aus dem Moment ist nur bei Paralleltr¨ agern mit rein vertikaler Belastung m¨ oglich. F¨ ur komplizierter aus Rechteckelementen aufgebaute Tragwerkstrukturen gelten jedoch weiterhin die Grundgleichungen des Schubfeldschemas: 1) In jedem Rechteckfeld i herrscht ein reiner Schubspannungszustand, d.h. Ti = const .

(3.24)

3.4

Der Schubfeldtr¨ager

177

2) In jedem Stab j, auf den ein Schubﬂuss Tk wirkt, verl¨auft die Stabkraft linear, d.h. Sj (x) = Sj (0) + Tk x .

(3.25)

Zur Ermittlung aller Stabkr¨ afte und aller Schubﬂ¨ usse muss man an jedem Knoten und an jedem Stab der Struktur Gleichgewicht herstellen. Dieses Vorgehen entspricht dem Knotenpunktverfahren beim Fachwerk nach Band 1, Abschnitt 6.3.1. Die Berechnung einer Schubfeldstruktur ist allein mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen nur dann m¨ oglich, wenn das System statisch bestimmt ist. Bei einer ebenen Struktur mit k Knoten, s St¨ aben, f Blechen und r Lagerreaktionen stehen 2k Gleichgewichtsbedingungen an den Knoten und s Gleichgewichtsbedingungen an den St¨aben zur Verf¨ ugung. Unbekannt sind die 2s Endwerte der St¨ abe, die f Schubﬂ¨ usse in den Feldern und die r Lagerreaktionen. Damit die Lagerkr¨ afte und alle Schnittkr¨afte ermittelt werden k¨onnen, muss daher die notwendige Bedingung 2k + s = 2s + f + r oder 2k = s + f + r

(3.26)

erf¨ ullt sein. Dieselbe Beziehung erh¨ alt man auch unmittelbar aus Band 1, Gleichung (6.1), wenn man dort die Zahl der Diagonalst¨abe, die durch Bleche ersetzt wurden, mit f bezeichnet. Es sei ausdr¨ ucklich vermerkt, dass die Grundgleichungen (3.24) und (3.25) nur f¨ ur Rechteckfelder gelten. Bei z.B. Parallelogrammoder Trapezfeldern werden die Beziehungen komplizierter. Wir wollen nun die Spannungen in einem Balken vergleichen, wenn dieser zum einen nach der klassischen Balkentheorie und zum anderen nach der Schubfeldtheorie behandelt wird. Als Beispiel w¨ ahlen wir einen Balken, dessen Querschnitt ein d¨ unnwandiges I-Proﬁl der H¨ ohe h ist (Abb. 3.12a). Nach der Balkentheorie sind die L¨ angsspannungen linear und die Schubspannungen quadratisch u ber die Stegh¨ ohe verteilt (Abb. ¨

178

3 Statik spezieller Tragwerke

Abb. 3.12

3.12b). Der Gr¨ oßtwert der Biegespannung ist (Band 2, Gl. (4.4)) σmax =

Mh , I 2

(3.27)

w¨ ahrend zur parabolisch verteilten Schubspannung (Band 2, Gl. (4.40)) der Gr¨ oßtwert in der Mitte Smax τmax = Q (3.28) I tS geh¨ ort. Wir berechnen zun¨ achst die Querschnittsgr¨oßen I und ur das gegebene Proﬁl und f¨ uhren dabei die Gurtﬂ¨ache Smax f¨ ache AS = h tS ein. Dann werden das AG = b tG und die Stegﬂ¨ Tr¨ agheitsmoment h 2 h 2 1 AS 1 1+ I = 2AG + tS h3 = 2AG 2 12 2 6 AG und das statische Moment Smax = AG

1 AS h 1 h + tS h2 = AG 1 + . 2 8 2 4 AG

Damit erhalten wir aus (3.27) und (3.28) die Maximalspannungen 1 AS 1+ M Q 1 4 AG σmax = , τmax = . (3.29) 1 AS 1 AS h AG AS 1+ 1+ 6 AG 6 AG Nun berechnen wir den Tr¨ ager nach dem Schubfeldschema. Dabei fassen wir den Steg als Schubfeld und die Gurte als St¨abe“ auf. ” Dann werden alle L¨ angsspannungen nur von den Gurten u ¨bertragen, und im Steg wirkt eine konstante Schubspannung (Abb. 3.12c): σ∗ =

S M = , AG hAG

τ∗ =

Q . AS

(3.30)

3.4

Der Schubfeldtr¨ager

179

Vergleicht man (3.30) mit (3.29), so erkennt man, dass es nur vom Verh¨ altnis der Fl¨ achen abh¨ angt, ob man die Spannungen im Balken (bei d¨ unnwandigen Stegen!) n¨ aherungsweise nach dem einfacheren Schubfeldschema berechnen darf. So unterscheiden sich zum Beispiel f¨ ur AS /AG = 1/4 die Spannungen im Schubfeldtr¨ager nur um wenige Prozent von den Gr¨ oßtwerten nach der Biegetheorie: 1 AS 1+ 1 AS τ∗ σ∗ 6 AG =1+ = 1, 04 , = = 0, 98 . 1 AS σmax 6 AG τmax 1+ 4 AG Der Unterschied wird um so kleiner, je kleiner die Stegﬂ¨ache im Verh¨ altnis zur Gurtﬂ¨ ache ist. Beispiel 3.4 Gegeben ist ein Tragwerk, das aus St¨ aben und Blechen aufgebaut ist (Abb. 3.13a). Man ermittle die Schubﬂ¨ usse und die Stabkr¨ afte. L¨ osung Wir zeichnen zun¨ achst das Freik¨ orperbild und numerieren

alle St¨ abe, Knoten und Bleche (Abb. 3.13b). Mit k = 12, s = 16, f = 5 und r = 3 ist das Tragwerk nach (3.26) statisch bestimmt: 2 · 12 = 16 + 5 + 3. Die Lagerreaktionen k¨ onnen aus dem Gleichgewicht am Gesamtsystem berechnet werden: A = 2F ,

BH = F ,

BV = 3F .

Nun stellen wir f¨ ur jeden Knoten zwei und f¨ ur jeden Stab eine Gleichgewichtsbedingung auf. Wir kennzeichnen die Stabkr¨afte am linken bzw. am rechten Stabende mit den Indizes l bzw. r, am oberen bzw. am unteren mit o bzw. u. Wir beginnen an einem Knoten mit nur zwei Unbekannten, z.B. Knoten I (Abb. 3.13c): →: S2l = 0 ,

↓: S1o = 0 .

(a)

Mit (a) erhalten wir aus dem Gleichgewicht am Stab 1: ↑: 2F − T1 a = 0 → T1 =

2F . a

Den Schubﬂuss im ersten Feld u ¨bertragen wir mit den Richtungen,

B3.4

180

3 Statik spezieller Tragwerke

Abb. 3.13

wie er auf die St¨ abe wirkt, in das Bild der Schubﬂ¨ usse (Abb. 3.13d). Damit ist der Stabkraftverlauf in Stab 1 bekannt, und wir k¨onnen diesen in die Abb. 3.13e u ¨bertragen. Nach diesem Schema werden nun jeder Knoten und jeder Stab betrachtet, wobei wir alle jeweils bereits bekannten Schnittkr¨ afte mit ihrem wirklichen Richtungssinn in die Freik¨ orperbilder u ¨bernehmen. Alle Ergebnisse werden unmittelbar in Abb. 3.13e eingetragen, wobei der ¨ besseren Ubersichtlichkeit wegen die Kr¨ afte in waagerechten und die Kr¨ afte in senkrechten St¨ aben in getrennten Bildern dargestellt werden. Wir erhalten so der Reihe nach: Stab 2: →:

S2r + 2(F/a)a = 0 → S2r = − 2F ,

Stab 3: →:

S3r − 2(F/a)a = 0 → S3r = 2F ,

3.5

Saite und Membran

181

Knoten II: →:

S5l + 2F = 0 → S5l = − 2F ,

↓:

4F + S4o = 0 → S4o = − 4F ,

Stab 5: →:

4F − T2 a = 0 →

T2 = 4F/a,

Stab 4: ↓: S4u + 4F − 2(F/a)a − 4(F/a)a = 0 → S4u = 2F . In gleicher Weise werden die restlichen Stabkr¨afte und Schubﬂ¨ usse berechnet und in die Schaubilder eingetragen. Dabei muss man das Gleichgewicht stets an solchen Knoten bzw. St¨aben aufstellen, an denen h¨ ochstens zwei bzw. eine Unbekannte auftreten. Da die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht an der Gesamtstruktur ermittelt wurden, dienen die letzten drei Gleichungen zur Kontrolle.

3.5 Saite und Membran In Abschnitt 3.2 haben wir mit dem Seil ein Tragwerk kennengelernt, bei dem unter Querbelastungen nur Zugkr¨ afte auftreten. Ein vorgespanntes biegeschlaﬀes Seil nennt man Saite. Auf Grund der Vorspannung kann auch sie Querlasten aufnehmen. Es gibt zweidimensionale Tragwerke mit gleicher Eigenschaft. Man nennt sie Membranen. Zur Vorbereitung auf die zweidimensionale Theorie wollen wir zun¨ achst die Saite betrachten. 3.5.1 Die Saite

Eine Saite sei durch eine Zugkraft (Spannkraft) S vorgespannt und werde zus¨ atzlich durch Strecken- und Einzellasten belastet (Abb. 3.14a). Die Saite kann diese Belastung in ihrer horizontalen Ausgangslage nicht aufnehmen: sie wird eine Auslenkung w erfahren. Wir setzen voraus, dass der Neigungswinkel α in der ausgelenkten Lage klein ist: α 1 (Abb. 3.14b). Dann gilt cos α → 1, sin α ≈ tan α = w , wobei ( ) die Ableitung nach x kennzeichnet. Das Gleichgewicht in horizontaler Richtung am verformten

3.5

182

3 Statik spezieller Tragwerke

Abb. 3.14

Element liefert →: − S + S + dS = 0 → dS = 0 → S = const . Die Seilkraft ist hiernach auch im ausgelenkten Zustand konstant und gleich der Spannkraft S. In vertikaler Richtung folgt mit sin(α +dα) → w +dw = w +w dx die Gleichgewichtsbedingung ↑: Sw − S(w + w dx) − q dx = 0 →

q d2 w =− . dx2 S

(3.31)

Diese Gleichung beschreibt die Auslenkung w einer vorgespannten Saite unter gegebener Last q(x). Formal stimmt (3.31) mit (3.8) u ollig anderen physikalischen Inhalt. ¨berein, hat aber einen v¨ In (3.8) beschreibt y die Lage des Seils (Gleichgewicht am unverformten System), w¨ ahrend w in (3.31) die Verformung der Saite gegen¨ uber der waagerechten Ausgangslage angibt (Gleichgewicht am verformten System). Wir wollen nun die Auslenkung einer Saite ermitteln, wenn an der festen Stelle ξ eine Einzelkraft wirkt (Abb. 3.15a). Am Lastangriﬀspunkt tritt ein Knick auf. Zur Ermittlung der Auslenkung w(x) integrieren wir die dann homogene Gleichung (3.31) in zwei

Abb. 3.15

3.5

Saite und Membran

183

Bereichen: I: 0 ≤ x ≤ ξ

II:

wI = C1 , wI = C1 x + C2 ,

ξ≤x≤l wII = C3 , wII = C3 x + C4 .

Die Integrationskonstanten folgen aus den Randbedingungen wI (0) ¨ wI (ξ) = wII (ξ) und dem = 0, wII (l) = 0, der Ubergangsbedingung Gleichgewicht (Abb. 3.15b) an der Lastangriﬀsstelle (|w | 1) (ξ) = F . SwI (ξ) − SwII

Aus diesen vier Gleichungen erh¨ alt man die vier Konstanten C1 =

F l−ξ , S l

C2 = 0 ,

C3 = −

Fξ , S l

C4 =

F ξ. S

Damit werden die Absenkungen in den beiden Bereichen wI =

F l−ξ x, S l

wII =

F l−x ξ. S l

(3.32a)

Wir betrachten nun speziell die Einheitslast F = 1. F¨ ugt man im Argument von w zu der laufenden Koordinate x noch den Abstand ξ zum Lastangriﬀspunkt als Parameter hinzu, so kann man (3.32a) wie folgt schreiben: ⎧ 1 l−ξ ⎪ ⎪ x f¨ ur x ≤ ξ , ⎨ S l (3.32b) w(x, ξ) = G(x, ξ) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 l − x ξ f¨ ur x ≥ ξ . S l Man nennt G(x, ξ) eine Greensche Funktion (George Green, 1793– 1841). Sie gibt an, wie groß die Auslenkung an der laufenden Stelle x infolge einer Last an der festen Stelle ξ ist. Man kann mit dieser Funktion bei mehreren Lasten Fi an den Stellen ξi die Gesamtauslenkung w durch Superposition der zugeh¨ origen Auslenkun0 gen wi (x, ξi ) erhalten: w = i wi (x, ξi ) . Es sei angemerkt, dass die Greensche Funktion f¨ ur einen Balken durch die Einﬂusszahlen (Band 2, Abschn. 6.3) gegeben ist. Mit der Greenschen Funktion l¨ asst sich auch die Auslenkung bei einer Streckenlast q(x) ermitteln. Zu diesem Zweck fassen wir

184

3 Statik spezieller Tragwerke

die Belastung als Summe (Integral) von Einzellasten q(ξ) dξ auf (Abb. 3.15c) und erhalten dann

l w(x) =

G(x, ξ) q (ξ) dξ .

(3.33)

0

Damit ist die Bestimmung der Auslenkung bei beliebiger Belastung q auf die Auswertung eines einzigen Integrals zur¨ uckgef¨ uhrt. alt man aus (3.33) Im Sonderfall q(ξ) = q0 = const erh¨

x

l q0 x q0 (l − x) ξ dξ + (l − ξ) dξ Sl Sl x 0 q0 l 2 x x 2 − . = 2S l l

w(x) =

Das gleiche Ergebnis ﬁndet man auch aus (3.31) durch zweifache Integration unter Beachtung der Randbedingungen. B3.5

Beispiel 3.5 Eine Saite der L¨ ange l wird durch eine Kraft S vor-

gespannt. Sie wird durch eine parabelf¨ ormig verteilte Streckenlast mit dem Gr¨ oßtwert q0 in der Mitte beansprucht (Abb. 3.16). Wie groß ist die maximale Absenkung?

Abb. 3.16

L¨ osung Die Belastung wird durch q(x) = 4q0 [(x/l) − (x/l)2 ] be-

schrieben. Setzt man dies in (3.31) ein und integriert zweimal, so erh¨ alt man x4 q0 x3 − + C1 x + C2 . w = −4 S 6l 12 l2 Aus den Randbedingungen folgen die Integrationskonstanten: w(0) = 0 → C2 = 0 ,

w(l) = 0 → C1 = 13 (q0 l/S) .

3.5

Saite und Membran

185

Damit werden die Absenkung x 3 x 4 q0 l 2 x −2 + w= 3S l l l und ihr gr¨ oßter Wert wmax = w(l/2) =

5 q0 l 2 . 48 S

3.5.2 Die Membran

Das zweidimensionale Analogon zur Saite ist die Membran. Unter einer Membran versteht man ein vorgespanntes, d¨ unnwandiges, ebenes Tragwerk konstanter Dicke t, das keine Biegemomente aufnehmen kann. Die Membran sei l¨ angs ihres Randes gelagert und werde durch eine l¨ angs des Randes verteilte Spannung σ0 so vorgespannt, dass in ihr ein homogener Spannungszustand herrscht (Abb. 3.17a). Bringt man nun senkrecht zur Membran eine Fl¨ achenlast p(x, y) auf, so ist – wie bei der Saite – nur in einer ausgelenkten Lage w(x, y) Gleichgewicht m¨oglich. Wir setzen voraus, dass sich die Vorspannung in der Membran bei der Auslenkung nicht ¨ andert. Weiterhin seien die Neigungen der ausgelenkten Membran sehr klein.

Abb. 3.17

Zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen schneiden wir aus der Membran ein rechteckiges Element und tragen die Schnittkr¨ afte am verformten Element auf (Abb. 3.17b). Aus der Summe aller vertikalen Kr¨ afte folgt unter Beachtung, dass die Winkel klein sind: ∂ϕ ∂ψ dy dx + p dx dy = 0 . ↓: σ0 t dx dy + σ0 t ∂x ∂y

186

3 Statik spezieller Tragwerke

Mit den Winkeln ϕ = ∂w/∂x und ψ = ∂w/∂y (kleine Neigungen) ergibt sich hieraus 2 ∂ w ∂2w = −p. + σ0 t ∂x2 ∂y 2 Somit erh¨ alt man f¨ ur die Auslenkung w mit dem Laplace-Operator Δ die Membrangleichung Δw = −

p . σ0 t

(3.34)

Dies ist eine Poissonsche Diﬀerentialgleichung (vgl. (2.120)). Aus den vielen m¨ oglichen L¨ osungen dieser inhomogenen Diﬀerentialgleichung m¨ ussen diejenigen ausgew¨ ahlt werden, welche die Randbedingungen erf¨ ullen. Ist zum Beispiel der gesamte Membranrand unverschieblich gelagert, so gilt w|Rand = 0. Im Sonderfall einer Kreismembran unter rotationssymmetrischer Last kann man eine L¨ osung von (3.34) unmittelbar angeben. Setzt man (vgl. (2.97)) 1 d d 1 d d2 = r Δ= 2 + dr r dr r dr dr in (3.34) ein, so folgt dw p(r) 1 d r =− . r dr dr σ0 t

(3.35)

Die L¨ osung dieser gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichung lautet w = wh + wp , wobei die L¨ osung der homogenen Diﬀerentialgleichung durch wh = C1 ln r + C2

(3.36)

gegeben ist. B3.6

Beispiel 3.6 Eine l¨ angs des Randes gelagerte kreisf¨ormige Mem-

bran (Dicke t, Radius R) sei durch eine Spannung σ0 vorgespannt und werde durch einen konstanten Druck p0 belastet (Abb. 3.18). Wie groß ist die Absenkung in der Mitte?

3.5

Saite und Membran

187

Abb. 3.18

L¨ osung Da eine rotationssymmetrische Belastung vorliegt, ergibt

sich das Partikularintegral mit p(r) = p0 aus (3.35) zu wp = −

p0 r 2 , 4 σ0 t

und die vollst¨ andige L¨ osung lautet mit (3.36) w = wp + wh = −

p0 r 2 + C1 ln r + C2 . 4 σ0 t

Da die Auslenkung in der Mitte (r = 0) endlich sein muss, ist C1 = 0. Aus der Randbedingung w(R) = 0 folgt C2 = (p0 R2 )/(4σ0 t) und damit p0 (R2 − r2 ) . w= 4 σ0 t Die gr¨ oßte Absenkung tritt in der Mitte auf und hat den Wert wmax =

p0 R 2 . 4 σ0 t

Sie w¨ achst quadratisch mit dem Radius R und ist umgekehrt proportional zur Vorspannung σ0 und zur Dicke t. 3.5.3 Membrantheorie d¨ unner Rotationsschalen

Schalen sind gekr¨ ummte Fl¨ achentragwerke, die vielseitig Anwendung in der Technik ﬁnden (Hallend¨ acher, Kugeltanks, Raumfahrtkapseln etc.). Ihre allgemeine Behandlung geht u ¨ber den Stoﬀ eines Grundkurses in Technischer Mechanik weit hinaus. Wir beschr¨ anken uns daher hier auf einen Sonderfall, bei dem man mit vereinfachenden Annahmen zu technisch brauchbaren L¨osungen kommen kann. Eine Schale wird begrenzt durch zwei gekr¨ ummte Fl¨achen, deren Abstand, die Schalendicke t, klein ist gegen die anderen Ab-

188

3 Statik spezieller Tragwerke

messungen. Diejenige Fl¨ ache, die u ¨berall die Schalendicke halbiert, ache. Bei d¨ unnen Schalen kann man in ersheißt Schalenmittelﬂ¨ ter N¨ aherung die Biegesteiﬁgkeit der Schalenwand vernachl¨assigen. Dann werden keine Schnittmomente u ¨bertragen (biegeschlaﬀe Schale), und die Spannungen sind gleichm¨ aßig u ¨ber die Wandst¨arke verteilt. In der Schale herrscht dann ein Membranspannungszustand. Dabei muss man beachten, dass die Schale im Gegensatz zur Membran (vgl. Abschn. 3.5.2) Zug-, Druck- und i.a. auch Schubkr¨ afte aufnehmen kann. Auch bei biegesteifen Schalen spielt der Membranspannungszustand oft eine wichtige Rolle. Nur an R¨ andern oder an Unstetigkeitsstellen treten i.a. Abweichungen von ihm auf; dort muss ein Biegespannungszustand u ¨berlagert werden. Wir gehen beim Membranspannungszustand von folgenden Voraussetzungen aus: a) die Wandst¨ arke t sei konstant, b) alle Belastungen seien ﬂ¨ achenhaft verteilt, c) die Verformungen sind so klein, dass wir die Gleichgewichtsbedingungen an der unverformten Schale aufstellen k¨onnen, d) die Lagerung erfolgt so, dass am Rand keine Querkr¨afte und Momente auftreten. Zus¨ atzlich wollen wir uns in diesem Abschnitt auf Rotationsschaanken. Zu diesem Schalentyp geh¨ oren u.a. Kugel-, Kegellen beschr¨ und Zylinderschalen, die f¨ ur den Kuppel- und den Beh¨alterbau große technische Bedeutung haben. Die Mittelﬂ¨ache einer Rotationsschale entsteht nach Abb. 3.19a durch die Drehung einer ebenen Kurve (des Meridians) um eine in ihrer Ebene liegende Gerade (Kuppel- bzw. Beh¨ alterachse). Wir f¨ uhren zun¨ achst die Koordinaten ϕ und z ein. Die Kurven ϕ = const beschreiben Meridiane, die Kurven z = const Breitenkreise. Zus¨ atzlich f¨ uhren wir den Abstand r sowie den Winkel ϑ ein, den eine im Punkt P auf die Fl¨ ache errichtete Normale mit der Rotationsachse einschließt. Falls der Meridian einen Wendepunkt hat, ist ϑ nicht mehr eindeutig. Man verwendet dann zweckm¨aßig die vom Scheitel l¨ angs des Meridians gez¨ ahlte Bogenl¨ange s als Koordinate.

3.5

Saite und Membran

189

Abb. 3.19

Von hier ab wollen wir annehmen, dass auch die Belastung rotationssymmetrisch ist und dass keine Belastung in Umfangsrichtung auftritt. Auf die Schale wirken dann nur eine Fl¨achenlast pϑ in Richtung des Meridians und ein Normaldruck pn , positiv nach angig vom Winkel ϕ. außen gez¨ ahlt (pϕ = 0). Diese sind unabh¨ Zur Ermittlung der Gleichgewichtsbedingungen schneiden wir ein inﬁnitesimal kleines Element aus der Schalenwand heraus, dessen Lage durch ϕ und ϑ bestimmt ist und das zwischen zwei benachbarten Meridianen bzw. Breitenkreisen liegt (Abb. 3.19b). In diesen Schnitten treten keine Schubspannungen auf, und die Normalspannungen h¨ angen nicht von ϕ ab. Es bleiben die Umfangsspannungen σϕ , die sich wegen der Rotationssymmetrie am Element nicht a ¨ndern, und die Meridianspannungen σϑ , die am uhren wir an Stelle von σϕ Element einen Zuwachs dσϑ erfahren. F¨ bzw. σϑ die Umfangskraft Nϕ = σϕ t bzw. die Meridiankraft Nϑ = ange), so wirken auf das Element die σϑ t ein (Dimension Kraft/L¨ in Abb. 3.19b eingezeichneten Lasten und Schnittkr¨afte. Abbildung 3.19c zeigt das Schalenelement in der Meridianschnittebene. ummungsradius im Meridianschnitt, der zuDabei ist rϑ der Kr¨ gleich Hauptkr¨ ummungsradius ist. Der zweite Hauptkr¨ ummungs-

190

3 Statik spezieller Tragwerke

radius rϕ liegt in einer Schnittebene, deren Normale in Meridianrichtung zeigt. Der zugeh¨ orige Kr¨ ummungsmittelpunkt liegt auf der Rotationsachse. Es gilt daher nach Abb. 3.19a r = rϕ sin ϑ .

(3.37)

angs der Elementseite rϑ dϑ, die MeDie Umfangskraft Nϕ wirkt l¨ angs r dϕ. ridiankraft Nϑ l¨ Abbildung 3.19d zeigt die Breitenkreisebene mit den am Element angreifenden Kr¨ aften Nϕ . Da Nϕ in Richtung des Breitenkreises wirkt, geht in die Normalenrichtung die Komponente aftegleichgewicht in Normalenrichtung lieNϕ dϕ sin ϑ ein. Das Kr¨ fert dann pn dA − [Nϑ r dϕ + (Nϑ + dNϑ )r dϕ]

dϑ − Nϕ dϕ sin ϑ rϑ dϑ = 0 . 2

Mit dA = rϑ dϑ t dϕ und nach Weglassen des Gliedes, das von h¨ oherer Ordnung klein ist, folgt hieraus Nϑ Nϕ + = pn . rϕ rϑ

(3.38)

Eine zweite Gleichung zur Ermittlung von Nϕ und Nϑ erh¨alt man am einfachsten, indem man die Schale l¨ angs des Breitenkreises ϑ = const (bzw. s = const) schneidet und das Gleichgewicht in z-Richtung an der Teilschale aufstellt (Abb. 3.19e). Bezeichnen wir den laufenden Winkel mit α, dann gilt

s s = 0. Nϑ 2 π r sin ϑ + (pϑ sin α − pn cos α)2 π r d¯ 0

Mit d¯ s = rϑ dα folgt 1 Nϑ = − r sin ϑ

ϑ (pϑ sin α − pn cos α)r rϑ dα .

(3.39)

0

Bei gegebener Belastung pϑ , pn kann hieraus Nϑ und damit aus (3.38) auch Nϕ berechnet werden. Man beachte, dass der Buchstabe r in (3.39) im Nenner den festen Wert an der festen Stelle ϑ

3.5

Saite und Membran

191

darstellt, w¨ ahrend r unter dem Integral den mit α ver¨anderlichen Radius bezeichnet. In Sonderf¨ allen kann man auch schon aus (3.38) allein Schnittkr¨ afte berechnen. So folgen bei der Kugelschale vom Radius a unter Innendruck pn = p wegen rϕ = rϑ = a und Nϑ = Nϕ = N direkt die Schnittkr¨ afte und damit die Spannungen (Band 2, Gl. (2.20)): pa N = . σϕ = σϑ = t 2t Bei der Zylinderschale vom Radius a unter Innendruck pn = p wird mit rϕ = a und rϑ → ∞ die Umfangsspannung (Band 2, Gl. (2.19)) σϕ =

a Nϕ =p . t t

Beispiel 3.7 F¨ ur eine Kugelschale unter Eigengewicht ist die Fl¨achenlast in z-Richtung durch p0 = g t gegeben (Abb. 3.20a). Es sind die Schnittkr¨ afte gesucht.

Abb. 3.20

L¨ osung Bei der Kugelschale sind rϕ = rϑ = r0 und r = r0 sin α. Das Eigengewicht wird zerlegt in pn = −p0 cos α und pϑ = p0 sin α. Damit folgt aus (3.39)

ϑ 1 Nϑ = − p0 (sin2 α + cos2 α)r02 sin α dα r0 sin2 ϑ 0

p0 r0 p0 r0 =− 2 (1 − cos ϑ) = − 1 + cos ϑ . sin ϑ Einsetzen in (3.38) liefert die Umfangskraft

B3.7

192

3 Statik spezieller Tragwerke

Nϕ =

p0 r0 1 − cos ϑ − cos2 ϑ − p0 r0 cos ϑ = p0 r0 . 1 + cos ϑ 1 + cos ϑ

Dabei muss die Schale so gelagert sein, dass am gelenkigen Rand nur eine L¨ angskraft aufgenommen werden kann (Abb. 3.20a). Bei anderer St¨ utzung treten am Rand Querkr¨ afte und Biegemomente auf, die nach einer Schalenbiegetheorie berechnet werden m¨ ussen. Die zugeh¨ origen Biegespannungen klingen meist rasch ab, jedoch k¨ onnen am Lager große Spannungsspitzen auftreten. Bei einer Halbkugel (0 ≤ ϑ ≤ π/2) ist die Meridiankraft Nϑ stets eine Druckkraft, w¨ ahrend die Umfangskraft Nϕ bei ϑ = 51, 8◦ ihr Vorzeichen wechselt und an der Lagerung den Wert Nϕ ( π2 ) = p0 r0 = −Nϑ ( π2 ) annimmt. In Abb. 3.20b sind die Schnittkraftverl¨ aufe dargestellt.

3.6

3.6 Die Platte Eine Platte ist ein ebenes Fl¨ achentragwerk, bei dem nur Belastungen senkrecht zur Oberﬂ¨ ache bzw. Momente am Rand auftreten (Abb. 3.21a). Die Plattendicke t wird als klein im Vergleich zu den Abmessungen in der Plattenebene und im folgenden auch als konstant vorausgesetzt. 3.6.1 Grundgleichungen der Platte

Wir wollen die Gleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem ableiten, wobei die Achsen x und y in der Mittelebene der unverformten Platte liegen (alle Plattenpunkte haben dann eine zKoordinate zwischen −t/2 und t/2). Dazu schneiden wir aus der Platte einen Quader der H¨ ohe t und zeichnen an den positiven Schnittufern die positiven Spannungen ein, die im Abstand z von der Mittelebene wirken (Abb. 3.21b). Man f¨ uhrt nun ¨ahnlich wie beim Balken (vgl. Band 2, Gl. (4.19)) Spannungsresultierende ein. Allerdings integriert man bei der Platte nur u ¨ber die Plattendicke. Damit haben diese Schnittgr¨ oßen die Dimension Kraft/L¨ange bzw. Moment/L¨ ange.

3.6

Die Platte

193

Abb. 3.21

Die Integrale u ¨ber σx , σy und τxy = τyx verschwinden bei der Platte, da nach Voraussetzung keine Lasten in Richtung der Plattenebene wirken. Es bleiben nur:

Querkr¨ afte Qx = τxz dz , Qy = τyz dz ,

My = σy z dz , (3.40) Biegemomente Mx = σx z dz ,

Torsionsmomente Mxy = Myx = τxy z dz . Dabei zeigen die Indizes bei den Momenten an, aus welchen Spannungen sie gebildet werden, z.B. Mx aus σx (in Band 1 bzw. 2 geben die Indizes dagegen an, um welche Achsen die Momente jeweils drehen). Zur Ableitung der Gleichgewichtsbedingungen betrachten wir ein Plattenelement mit allen daran angreifenden Lasten und Schnittgr¨ oßen (Abb. 3.22). Dabei zeigen positive Querkr¨afte am positiven Schnittufer in positive z-Richtung. Der Drehsinnn positiver Momente ergibt sich nach (3.40) aus dem Drehsinn der Spannungen. Aus dem Kr¨ aftegleichgewicht in z-Richtung erhal-

Abb. 3.22

194

3 Statik spezieller Tragwerke

ten wir

∂Qy ∂Qx dy dx + Qx + dx dy p dx dy + Qy + ∂y ∂x − Qy dx − Qx dy = 0 → ∂Qy ∂Qx + = −p. ∂x ∂y

(3.41a)

Entsprechend folgt aus dem Momentengleichgewicht um die ybzw. um die x-Achse ∂Myx ∂Mx + = Qx , ∂x ∂y ∂My ∂Mxy + = Qy . ∂x ∂y

(3.41b) (3.41c)

Die analogen Gleichungen beim Balken sind dQ/dx = −q und dM/dx = Q (vgl. Band 1, Gln. (7.6) und (7.7)). Diﬀerenziert man (3.41b) nach x bzw. (3.41c) nach y und setzt diese Gleichungen dann in (3.41a) ein, so werden die Querkr¨afte alt man eliminiert, und mit Mxy = Myx erh¨ ∂ 2 My ∂ 2 Mxy ∂ 2 Mx + +2 = −p. 2 ∂x ∂x ∂y ∂y 2

(3.42)

Diese Beziehung entspricht der Gleichung d2 M/dx2 = −q beim Balken (vgl. Band 1, Gl. (7.8)). Im Unterschied zum Balken kann man aber bei gegebenem p aus den Gleichgewichtsbedingungen allein die Schnittgr¨ oßen nicht ermitteln: die Platte ist innerlich statisch unbestimmt. Wir m¨ ussen daher die Verformungen in die Rechnung einbeziehen. In Analogie zum Balken (vgl. Band 2, Gl. (4.22)) treﬀen wir folgende Annahmen u ¨ber die Verschiebungen der Punkte an einer beliebigen Stelle x, y: a) Die Verschiebung w ist unabh¨ angig von z, d.h., w = w(x, y) .

(3.43a)

Alle Punkte auf einer Normalen zur Mittelﬂ¨ ache erfahren hiernach

3.6

Die Platte

195

Abb. 3.23

die gleiche Verschiebung (Durchbiegung) in z-Richtung; die Plattendicke ¨ andert sich bei der Verformung nicht (εz = ∂w/∂z = 0). b) Die Punkte P auf einer Normalen zur Mittelebene der Platte bleiben nach der Verformung auf einer Geraden. In Abb. 3.23 sind die Verformungen infolge dieser Annahmen in zwei Schnitten dargestellt. Die Normale ¨ andert bei der Verformung ihre Richtung. Die Neigungen der Normalen gegen¨ uber ihrer urspr¨ unglichen Richtung bezeichnen wir mit ψx bzw. ψy . Dabei kennzeichnen die Indizes die Richtungen der Verschiebungen, die durch die entsprechenden Drehungen zustande kommen und nicht die Drehachsen (so dreht zum Beispiel ψx um die y-Achse). Ein Punkt P im Abstand z von der Mittelebene erf¨ahrt infolge der Drehungen die Verschiebungen u(x, y, z) = z ψx (x, y) ,

v(x, y, z) = z ψy (x, y) .

(3.43b)

Mit den kinematischen Beziehungen (2.48c) erhalten wir hieraus ∂ψx ∂ψy ∂u ∂v =z , εy = =z , ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ψx ∂ψy ∂u ∂v + =z + , = ∂y ∂x ∂y ∂x ∂u ∂w ∂w + = ψx + , = ∂z ∂x ∂x ∂v ∂w ∂w + = ψy + . = ∂z ∂y ∂y

εx = γxy γxz γyz

εz = 0 ,

(3.44)

Wir m¨ ussen jetzt noch den Zusammenhang zwischen den Schnittgr¨ oßen und den kinematischen Gr¨ oßen herstellen. Dabei treﬀen wir eine weitere Vereinfachung. Wenn die Belastung p(x, y)

196

3 Statik spezieller Tragwerke

nur an der Oberﬂ¨ ache z = −t/2 angreift, so muss die Spannung σz im Innern der Platte Werte zwischen −p(x, y) und Null (f¨ ur z = + t/2) annehmen. Im allgemeinen ist der Gr¨oßtwert uber den Randwerten der Biegespannungen: von σz klein gegen¨ onnen daher in guter N¨aherung σz ver|σz | |σx |, |σy |. Wir k¨ nachl¨ assigen und f¨ ur die Normalspannungen das Hookesche Gesetz (2.86) des ebenen Spannungszustandes u ¨bernehmen: σx =

E (εx + ν εy ) , 1 − ν2

σy =

E (εy + ν εx ) . 1 − ν2

(3.45a)

F¨ ur die Schubspannungen gilt τxy = Gγxy ,

τyz = Gγyz ,

τzx = Gγzx .

(3.45b)

Dabei sei darauf hingewiesen, dass die gleichzeitige Annahme von σz = 0 und εz = 0 nicht widerspruchsfrei ist. Alle Vergleiche mit Versuchsergebnissen zeigen jedoch, dass bei d¨ unnen Platten die N¨ aherungstheorie, die auf beiden Annahmen basiert, sehr gute Ergebnisse liefert. Setzt man (3.44) in (3.45a,b) ein, so werden ∂ψy ∂ψx E ∂ψy E ∂ψx + ν z , σ + ν z, = σx = y 1 − ν 2 ∂x ∂y 1 − ν 2 ∂y ∂x ∂ψ ∂ψy x + z, τxy = G (3.46) ∂y ∂x

∂w ∂w , τxz = G ψx + . τyx = G ψy + ∂y ∂x Hiernach verlaufen die Spannungen σx , σy und τxy linear u ¨ber die Plattendicke, w¨ ahrend τxz und τyz konstant u ¨ber die Dicke sind. Da an den Deckﬂ¨ achen z = ± t/2 keine Schubspannunaußere Belastung in xgen τxz oder τyz wirken (es gibt keine ¨ oder in y-Richtung), m¨ ussen die Schubspannungen dort in zur Oberﬂ¨ ache senkrechten Schnitten auch verschwinden (zugeordnete Schubspannungen). Sie k¨ onnen daher u ¨ber die Dicke nicht konstant sein. Derselbe Widerspruch trat bereits beim Balken auf, und die in Wirklichkeit ver¨ anderliche Schubspannung in zRichtung wurde dort durch einen Schubkorrekturfaktor ber¨ ucksichtigt (vgl. Band 2, Gl. (4.45)).

3.6

Die Platte

197

Wenn man (3.46) in (3.40) einsetzt, so erh¨ alt man die Elastizit¨atsgesetze f¨ ur die Schnittgr¨ oßen. So wird zum Beispiel +t/2

t/2 ∂ψy ∂ψx E + ν Mx = σx z dz = z 2 dz 2 1 − ν ∂x ∂y −t/2 −t/2 ∂ψx ∂ψy E t3 +ν . = 12(1 − ν 2 ) ∂x ∂y Der Vorfaktor K=

E t3 12(1 − ν 2 )

(3.47)

wird Plattensteiﬁgkeit genannt (vgl. die Biegesteiﬁgkeit EI beim Balken, Band 2, Gl. (4.24)). Damit erhalten wir folgende Elastizit¨ atsgesetze f¨ ur die Schnittgr¨ oßen: ∂ψ ∂ψ ∂ψy ∂ψx x y +ν , My = K +ν , Mx = K ∂x ∂y ∂y ∂x (3.48a)

∂ψy 1−ν ∂ψx Mxy = Myx = K + , 2 ∂y ∂x ∂w ∂w Qx = G t S ψ x + , Qy = G tS ψy + . (3.48b) ∂x ∂y Dabei wurde bei den Querkr¨ aften eine Schubdicke tS < t eingef¨ uhrt, welche die u ormige Verteilung von ¨ber die Dicke ungleichf¨ ucksichtigt. Man nennt G tS die Schubsteiﬁgkeit. τxz und τyz ber¨ Die Gleichungen (3.48a,b) sind die zweidimensionale Erweiterung der Elastizit¨ atsgesetze M = EIψ und Q = GAS (ψ + w ) beim Balken. Mit den drei Gleichgewichtsbedingungen (3.41) und den f¨ unf Elastizit¨ atsgesetzen (3.48a,b) stehen acht Gleichungen f¨ ur die acht Unbekannten (f¨ unf Schnittgr¨ oßen und drei kinematische Gr¨oßen ugung. Die hierauf aufbauende Plattenw, ψx und ψy ) zur Verf¨ theorie wird nach Eric Reissner (1913–1996) und Raymond David Mindlin (1906–1987) benannt. Man kann aus den entsprechenden Gleichungen einzelne Unbekannte eliminieren und stellt dann fest, dass die Grundgleichungen der schubelastischen Platte insgesamt von 6. Ordnung bez¨ uglich x und y sind. Daher k¨onnen an jedem Rand drei Randbedingungen vorgegeben werden. So m¨ ussen z.B.

198

3 Statik spezieller Tragwerke

an einem freien Rand x = const die Querkraft Qx , das Biegemoment Mx und das Torsionsmoment Mxy verschwinden. Da die partiellen Diﬀerentialgleichungen unter Beachtung der Randbedingungen i.a. schwierig zu l¨ osen sind, wollen wir eine zus¨ atzliche Vereinfachung treﬀen. Hierzu setzen wir – wieder in Analogie zum Balken (vgl. Band 2, Abschn. 4.5.1) – voraus, dass die Schubsteiﬁgkeit G tS sehr groß ist (G tS → ∞). Da die Querkr¨ afte endlich bleiben, folgt damit aus (3.48b) mit (3.44) γxz = ψx +

∂w = 0, ∂x

γyz = ψy +

∂w = 0. ∂y

(3.49)

Eine Normale zur unverformten Mittelﬂ¨ ache steht in diesem Fall auch senkrecht auf der verformten Mittelﬂ¨ ache. Eine solche Platte nennt man schubstarr. Die zugeh¨ orige Theorie geht auf Gustav Kirchhoﬀ (1824–1887) zur¨ uck. Aus (3.49) folgen die Biegewinkel ψx = −∂w/∂x und ψy = −∂w/∂y. Einsetzen in (3.48a) liefert die Elastizit¨ atsgesetze f¨ ur die Momente Mx = −K

∂2w ∂2w ∂2w , My = −K +ν 2 , 2 2 ∂y ∂y ∂x (3.50) ∂2w . = −K(1 − ν) ∂x ∂y

∂2w

Mxy = Myx

∂x2

+ν

F¨ ur die Querkr¨ afte gibt es in dieser Theorie kein Elastizit¨atsgesetz. Sie k¨ onnen aus den Gleichgewichtsbedingungen (3.41b,c) ermittelt werden. Unter Verwendung von (3.50) ﬁndet man dann (die Terme mit ν fallen heraus) 3 ∂Mxy ∂ w ∂ ∂Mx ∂3w + = −K = −K Δw , + Qx = 3 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x (3.51) 3 ∂Mxy ∂ w ∂ ∂My ∂3w Qy = + = −K = −K Δw . + ∂y ∂x ∂y 3 ∂x2 ∂y ∂y Mit (3.42) und (3.50) stehen vier Gleichungen zur Ermittlung der vier Unbekannten (drei Schnittmomente und die Durchbiegung w) zur Verf¨ ugung. Setzt man (3.50) in (3.42) ein, so fallen alle mit ν behafteten Glieder heraus, und man erh¨alt

3.6

K

∂4w ∂4w ∂4w +2 2 2 + 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 4

Die Platte

199

=p

oder mit dem Laplace-Operator ΔΔw =

p . K

(3.52)

Diese sogenannte Kirchhoﬀsche Plattengleichung ist das zweidimensionale Analogon zur Diﬀerentialgleichung der Biegelinie EIwIV = q des Balkens (vgl. Band 2, Gl. (4.34)). Sie ist eine inhomogene Bipotentialgleichung (vgl. Gl. (2.95)). Zur Ermittlung von L¨ osungen der homogenen Gleichung (p = 0) k¨onnen die in Tabelle 2.1 zusammengestellten Bipotentialfunktionen verwendet werden. 3.6.2 Randbedingungen f¨ ur die schubstarre Platte

Die Plattengleichung (3.52) ist von 4. Ordnung in beiden Ver¨anderlichen. Es k¨ onnen daher im Unterschied zur schubelastischen Theorie jetzt an den R¨ andern nur jeweils zwei Randbedingungen erf¨ ullt werden. Im folgenden wollen wir die wichtigsten Randbedingungen behandeln. Wir betrachten hierzu einen Rand x = const; f¨ ur einen Rand y = const gilt entsprechendes. L¨ angs eines gelenkig gelagerten Randes m¨ ussen die Durchbiegung w und das Biegemoment Mx verschwinden: w = 0,

Mx = 0 →

∂2w ∂2w + ν = 0. ∂x2 ∂y 2

(3.53a)

Wenn l¨ angs des Randes w = 0 ist, verschwinden dort alle Ableitungen bez¨ uglich y. Daher k¨ onnen wir die zweite Bedingung von (3.53a) auch durch Δw = 0 ersetzen und erhalten dann w = 0,

Δw = 0 .

(3.53b)

Diese Bedingungen heißen Naviersche Randbedingungen. Wenn die Platte am Rand starr eingespannt ist, m¨ ussen dort die Durchbiegung und die Neigung verschwinden: ∂w = 0. (3.54) w = 0, ∂x

200

3 Statik spezieller Tragwerke

An einem freien Rand m¨ ussen drei Schnittgr¨oßen (Biegemoment, Torsionsmoment und Querkraft) verschwinden. Wegen der Vereinfachung bei der Theorie der schubstarren Platte k¨onnen aber nur zwei Randbedingungen erf¨ ullt werden. Man umgeht diese Schwierigkeit, indem man zun¨ achst die Torsionsmomente Mxy am Rand x = const durch statisch gleichwertige, stetig verteilte Kr¨ aftepaare ersetzt (Abb. 3.24a). An der Grenze zweier benachbarter Randelemente heben sich die Kr¨ afte Mxy heraus, und es bleibt nur der Zuwachs dMxy = (∂Mxy /∂y)dy . Anstatt zu fordern, dass Torsionsmoment und Querkraft einzeln verschwinden, setzt man die Summe aus der Querkraft Qx und der Ersatzkraft“ ” ∂Mxy /∂y gleich Null. Am freien Rand gilt dann Mx = 0

∂2w ∂2w + ν = 0, ∂x2 ∂y 2 (3.55) ∂ ∂2w ∂2w =0 → = 0 . + (2 − ν) ∂x ∂x2 ∂y 2 →

¯ x = Qx + ∂Mxy Q ∂y ¯ x die Ersatzquerkraft. Man nennt Q

Abb. 3.24

In der Tabelle 3.1 sind die wichtigsten Randbedingungen f¨ ur den Rand x = const zusammengestellt (f¨ ur y = const gelten analoge Aussagen). Beim Bilden der Ersatzquerkr¨ afte tritt eine Besonderheit an den Plattenecken auf. Ersetzen wir n¨ amlich auf beiden R¨andern die Torsionsmomente durch Kr¨ aftepaare, so bleibt an der rechtwinkligen Ecke (Abb. 3.24b) eine Einzelkraft (Eckkraft) der Gr¨oße A = Mxy + Myx , die sich mit Mxy = Myx auch

3.6

Die Platte

201

Tabelle 3.1 Randbedingungen bei der schubstarren Platte

Lager

Randbedingungen

Gelenkig gelagerter Rand w = 0, Mx = 0 → Freier Rand

Eingespannter Rand

A = 2Mxy

∂2w ∂2w +ν 2 =0 2 ∂x ∂y

∂2w ∂2w +ν 2 =0 2 ∂x ∂y 2 ∂ ∂2w w ∂ ¯ Qx = 0 → + (2 − ν) 2 = 0 ∂x ∂x2 ∂y Mx = 0 →

w = 0,

∂w =0 ∂x

(3.56)

schreiben l¨ asst. An einer freien Ecke k¨ onnen keine Kr¨ afte auftreten. Dementsprechend m¨ ussen wir fordern, dass dann die Eckkraft verschwindet: A = 2Mxy = 0. Ist die Ecke dagegen frei drehbar gelagert, so kann vom Lager eine Kraft aufgenommen werden. Bei einem positiven Torsionsmoment wirkt dann eine Zugkraft, und die Platte hat das Bestreben, im Bereich der Ecke von der Unterlage abzuheben. Sie muss daher dort so gelagert werden, dass die Eckkraft A aufgenommen werden kann. Sind die an eine Ecke anschließenden Plattenr¨ ander eingespannt, so verschwinden l¨ angs der R¨ander die Torsionsmomente, und es tritt daher dann auch keine Eckkraft auf. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine allseits gelenkig gelagerte Platte mit den Seitenl¨ angen a, b unter einer beliebigen Belastung p(x, y) (Abb. 3.25). Als Ansatz f¨ ur die Durchbiegung w(x, y) w¨ ahlen wir zweckm¨ aßig die doppelte Fourierreihe nπy mπx sin , wmn sin w(x, y) = a b (3.57) m n m, n = 1, 2, 3 . . . . Durch diesen Ansatz werden die Randbedingungen (3.53b) streng erf¨ ullt. Um die Plattengleichung (3.52) zu erf¨ ullen, stellen wir auch die Belastung p(x, y) durch die doppelte Fourierreihe

202

3 Statik spezieller Tragwerke

Abb. 3.25

p(x, y) =

m

n

pmn sin

nπy mπx sin , a b

dar, wobei die Fourier-Koeﬃzienten durch

a b nπy 4 mπx sin dx dy , p(x, y) sin pmn = ab a b 0 0 m, n = 1, 2, 3, . . .

(3.58a)

(3.58b)

gegeben sind. Setzt man nun (3.57) und (3.58a) in die Plattengleichung (3.52) ein, so erh¨ alt man aus einem Koeﬃzientenvergleich die Fourier-Koeﬃzienten der Durchbiegung zu pmn wmn = (3.59) 2 . m 2 n 2 4 Kπ + a b Aus der damit bekannten Durchbiegung (3.57) lassen sich dann nach (3.50), (3.51) auch die Schnittgr¨ oßen ermitteln. B3.8

Beispiel 3.8 Die allseits gelenkig gelagerte Platte nach Abb. 3.26

wird in einem Rechteckbereich durch eine gleichf¨ormig verteilte Last p0 belastet.

Abb. 3.26

Gesucht ist die Durchbiegung. Weiterhin ermittle man im Son-

3.6

Die Platte

203

derfall einer quadratischen Platte (b = a) die gr¨ oßte Durchbiegung unter einer Vollast p0 bzw. unter einer Einzellast F in der Mitte. L¨ osung Die allgemeine L¨ osung f¨ ur die allseits gelenkig gelager-

te Platte ist durch (3.57) bis (3.59) gegeben. Aus (3.58b) erhalten wir unter Beachtung, dass nur in dem Rechteck mit den Seitenl¨ angen 2

204

3 Statik spezieller Tragwerke

samer konvergiert, da dort (nach zweimaliger Diﬀerentiation von w) kleinere Potenzen von m und n im Nenner auftreten. F¨ ur eine Einzellast F im Punkt u, v gehen c und d gegen Null und 4 c d p0 → F . Mit sin(m π c)/a → (m π c)/a , . . . folgen dann aus (a) die Fourier-Koeﬃzienten pmn =

nπv 4F mπu sin , sin 2 a a a

m, n = 1, 2, 3, . . . .

Wenn F speziell in der Mitte der Platte angreift, wird pmn =

nπ 4F mπ sin , sin a2 2 2

m, n = 1, 3, 5, . . . ,

und wir erhalten mit (c) die gr¨ oßte Durchbiegung unter der Last zu m−1 n−1 4F a2 F a2 1 wmax = (−1) 2 (−1) 2 ≈ 0, 93 . 4 2 2 2 Kπ m n (m + n ) Kπ 4

3.6.3 Die Kreisplatte

Bei einer Kreisplatte verwendet man zweckm¨aßigerweise Polarkoordinaten. Beschr¨ anken wir uns auf rotationssymmetrische Belastungen und Deformationen (keine Abh¨ angigkeit vom Umfangsd2 1 d + , und wir erhalten aus (3.52) winkel!) dann wird Δ = dr 2 r dr die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung (vgl. (2.99)) p 1 d2 w 1 dw d4 w 2 d3 w = . + − + 3 4 3 2 2 dr r dr r dr r dr K

(3.60)

Man kann zeigen, dass f¨ ur die Schnittgr¨ oßen in Polarkoordinaten folgende Elastizit¨ atsgesetze gelten (das Torsionsmoment verschwindet wegen der Symmetrie): 2 2 d w ν dw d w 1 dw , Mϕ = −K ν 2 + , + Mr = −K dr2 r dr dr r dr (3.61) d Qr = −K (Δw) . dr Die Gleichung (3.60) ist vom Eulerschen Typ. Ein Ansatz ur die homogene L¨ osung f¨ uhrt auf die charakteriswh = Crλ f¨

3.6

Die Platte

205

tische Gleichung λ2 (λ − 2)2 = 0. Mit den Doppelwurzeln λ1,2 = 0, osung (vgl. (2.100)) λ3,4 = 2 lautet die allgemeine L¨ w = wp + wh = wp + C0 + C1 ln

r r + C2 r2 + C3 r2 ln . (3.62) r0 r0

Hierin sind wp die Partikularl¨ osung und r0 ein Bezugsradius. Die vier Integrationskonstanten folgen bei der Kreisringplatte aus den jeweils zwei Randbedingungen am Innen- und am Außenrand. Bei der Vollplatte treten neben die zwei Bedingungen am Rand noch zwei Regularit¨ atsbedingungen in der Plattenmitte (z.B. w(0) muss endlich bleiben).

Abb. 3.27

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Kreisplatte vom aßig verteilter Belastung p = p0 (Abb. Radius r0 unter gleichm¨ 3.27). In der allgemeinen L¨ osung (3.62) muss C1 verschwinden, damit die Durchbiegung w(0) endlich bleibt. Außerdem muss C3 Null sein, damit auch die Querkraft Qr (0) beschr¨ ankt ist. Das Partikularintegral folgt aus (3.60) zu wp = p0 r4 /(64K), und damit lautet die L¨ osung w=

p0 r4 + C0 + C2 r2 . 64K

Wir wollen im weiteren zwei Lagerf¨ alle betrachten: 1) Gelenkige Lagerung am Rand r = r0 (Abb. 3.27a). Aus den Randbedingungen p0 r04 + C0 + C2 r02 = 0 , 64K

3 p r2 p r2 0 0 0 0 Mr (r0 ) = 0 → − K + 2C2 + ν + 2C2 = 0 16 K 16K w(r0 ) = 0 →

folgen die Integrationskonstanten C0 =

5 + ν p0 r04 , 1 + ν 64K

C2 = −

3 + ν p0 r02 . 1 + ν 32K

206

3 Statik spezieller Tragwerke

Damit erhalten wir die Durchbiegung 3 + ν r2 r4 p0 r04 5 + ν −2 + w= 64K 1 + ν 1 + ν r02 r04 mit dem Gr¨ oßtwert wmax = w(0) =

5 + ν p0 r04 . 1 + ν 64K

2) Starre Einspannung bei r = r0 (Abb. 3.27b). Aus den Randbedingungen p0 r04 + C0 + C2 r02 = 0 , w(r0 ) = 0 → 64K p0 r03 dw(r0 ) =0 → + 2 C2 r0 = 0 dr 16K folgen jetzt C0 =

p0 r04 , 64K

C2 = −

p0 r02 32K

und damit die Durchbiegung und ihr Gr¨ oßtwert

4 2 2 p0 r0 p0 r04 r w= 1− . → wmax = 64K r0 64K Letzterer betr¨ agt f¨ ur ν = 0, 3 nur ungef¨ ahr ein Viertel des Wertes bei gelenkiger Lagerung. B3.9

Beispiel 3.9 Eine gelenkig gelagerte Kreisplatte (Radius a) wird durch eine Einzelkraft F in der Mitte belastet (Abb. 3.28). Gesucht sind die maximale Durchsenkung und das Biegemoment Mr (r).

Abb. 3.28

L¨ osung In der allgemeinen L¨ osung (3.62) verschwindet wegen p = 0 das Partikularintegral. Da die Absenkung bei r = 0 endlich ist, muss C1 = 0 sein. Es bleibt dann nur (wir setzen r0 = a)

w = C0 + C2 r2 + C3 r2 ln

r . a

(a)

3.6

Die Platte

207

Zur Ermittlung der Integrationskonstanten bilden wir zun¨achst die Ableitungen

r dw = 2 C2 r + C3 2 r ln + r , dr a

d3 w r 2 d2 w + 3 , 2 ln = 2 C + C = C3 . 2 3 2 3 dr a dr r Einsetzen in die Randbedingungen ergibt mit (3.61) w(a) = 0 → C0 + C2 a2 = 0 , Mr (a) = 0 → 2 C2 (1 + ν) + C3 (3 + ν) = 0 . Eine dritte Bedingung folgt aus der Forderung, dass die Querkraft Qr in beliebigem Abstand r die gegebene Last F u ¨bertragen muss:

K 2 π rQr (r) + F = 0 → 2 π r − 4 C3 + F = 0 . r Damit erhalten wir die drei Konstanten C3 =

F , 8πK

C2 = −

F 3+ν , 16 π K 1 + ν

C0 =

F a2 3 + ν . 16 π K 1 + ν

Einsetzen in (a) ergibt die Durchbiegung r2 r2 a F a2 3 + ν 1 − 2 − 2 2 ln w= 16 πK 1 + ν a a r mit dem Gr¨ oßtwert wmax = w(0) =

3 + ν a2 F. 16(1 + ν) πK

Das Biegemoment wird 2 (1 + ν)F a d w ν dw = ln . Mr (r) = − K + dr2 r dr 4π r

(b)

Danach wird das Moment bei r = 0 unendlich groß. In Wirklichkeit gibt es jedoch keine Punktlast. Außerdem hatten wir bei der Ableitung der Plattengleichung ﬂ¨ achenhaft verteilte Lasten vorausgesetzt, da sonst σz nicht vernachl¨ assigt werden darf. Die Gleichung (b) bleibt jedoch in einiger“ Entfernung von der Last” angriﬀsstelle g¨ ultig.

208

3.7

3 Statik spezieller Tragwerke

3.7 Weiterf¨ uhrende Literatur Basar, Y., Kr¨ atzig, W.B., Mechanik der Fl¨ achentragwerke, Vieweg, Wiesbaden 1984 Becker, W., Gross, D., Mechanik elastischer K¨ orper und Strukturen, Springer, Berlin 2002 Eschenauer, H., Schnell, W., Elastizit¨ atstheorie, Bibliographisches Institut, Mannheim 1993 Naghdi, P., Foundations of Elastic Shell Theory, in ’Progress in Solid Mechanics, vol. IV’, Sneddon, I.N. and Hill, R. (eds.), NorthHolland, Amsterdam 1963 Szillard, R., Theory and Analysis of Plates, Prentice Hall, New Jersey 1974 Timoshenko, S.P., Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells, McGraw Hill, New York 1970 Wempner, G., Talaslidis, T., Mechanics of Solids and Shells: Theories and Approximations, CRC Press, Boca Raton 2003 Wlassow, W.S., Allgemeine Schalentheorie und ihre Anwendung in der Technik, Akademie Verlag, Berlin 1958

Kapitel 4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

4

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.7

Einleitung......................................................... Die Saite ......................................................... Wellengleichung ................................................. d’Alembertsche L¨ osung, Wellen ............................. Bernoullische L¨ osung, Schwingungen ....................... Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen .. Freie Longitudinalschwingungen ............................. Erzwungene Longitudinalschwingungen .................... Torsionsschwingungen.......................................... Biegeschwingungen von Balken.............................. Grundgleichungen ............................................... Freie Schwingungen ............................................ Erzwungene Schwingungen ................................... Wellenausbreitung .............................................. Eigenschwingungen von Membranen und Platten ....... Membranschwingungen ........................................ Plattenschwingungen........................................... Energieprinzipien ................................................ Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

211 212 212 214 218 224 224 230 233 235 235 238 247 251 254 254 258 261 268

4.1

Einleitung

211

4.1 Einleitung In Band 3 haben wir freie und erzwungene Schwingungen von mechanischen Systemen mit einem bzw. mit zwei Freiheitsgraden behandelt. Solche Systeme mit endlicher Zahl von Freiheitsgraden nennt man auch diskrete Systeme. Die Beschreibung ihrer Schwingungsbewegung f¨ uhrt auf gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen. In diesem Kapitel wollen wir nun Schwingungen kontinuierlicher Systeme untersuchen. Hierzu geh¨ oren unter anderem die Saite, der Balken und die Platte. Bei ihnen sind die f¨ ur die Schwingung maßgeblichen physikalischen Gr¨ oßen, wie die Masse und die Steiﬁgkeit, kontinuierlich verteilt. Man kann solche Systeme auch als Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden auﬀassen. Ihre Bewegung wird mittels partieller Diﬀerentialgleichungen beschrieben. Die mathematische Beschreibung der Schwingungen eines mechanischen Systems kann (je nach Art der Modellierung) entweder durch ein diskretes oder durch ein kontinuierliches System erfolgen. So l¨ asst sich ein eingespannter Balken mit einer Endmasse als ein Feder-Masse-System auﬀassen, sofern die Endmasse groß im Vergleich zur Balkenmasse ist und wenn man nur an der Grundschwingung interessiert ist. Sind die Massen dagegen von gleicher Gr¨oßenordnung oder sollen auch h¨ ohere“ Schwingungsformen be” trachtet werden, so ist es zweckm¨ aßig, den Balken als Kontinuum anzusehen. Was die physikalischen Schwingungsph¨anomene betriﬀt, so k¨ onnen wir erwarten, dass sich kontinuierliche Systeme von diskreten Systemen nicht grunds¨ atzlich unterscheiden. Letztere f¨ uhren bei den freien Schwingungen auf eine endliche Zahl von Eigenfrequenzen und zugeh¨ origen Eigenformen, welche in der Regel der Zahl der Freiheitsgrade entspricht. Entsprechend werden bei kontinuierlichen Systemen unendlich viele Eigenfrequenzen und Eigenformen auftreten.

4.1

212

4.2

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

4.2 Die Saite Eine Saite ist ein vorgespanntes fadenf¨ ormiges Kontinuum, das keine Biegesteiﬁgkeit besitzt (vgl. Abschn. 3.5.1). Aus technischer Sicht haben Schwingungserscheinungen solcher K¨orper keine große Bedeutung. Die Saite stellt aber das einfachste kontinuierliche System dar, an dem sich wesentliche Erscheinungen relativ einfach studieren lassen. Wir beschr¨ anken uns bei ihr auf die Untersuchung freier Schwingungen.

4.2.1 Wellengleichung

Wir betrachten eine Saite mit der konstanten Massebelegung μ (Masse pro L¨ angeneinheit), die durch die Zugkraft S gespannt ist (Abb. 4.1a). Wird die Saite ausgelenkt und dann sich selbst u ¨berlassen, so f¨ uhrt sie eine freie Schwingung aus. Ihre Auslenkung w aus der Ruhelage ist dabei im allgemeinen vom Ort x und von der Zeit t abh¨ angig: w = w(x, t). Die Verschiebung u in x-Richtung kann vernachl¨ assigt werden, sofern w und die Neigung tan α = ∂w/∂x = w als klein vorausgesetzt werden. Die Bewegungsgleichungen formulieren wir am Element nach Abb. 4.1b (vgl. Abschn. 3.5.1). Hierbei gelten wegen w 1 die Vereinfachungen α ≈ sin α ≈ w , (α + dα) ≈ sin(α + dα) ≈ w + w dx, cos α ≈ 1, cos (α + dα) ≈ 1 und ds ≈ dx. Damit und mit dm = μ ds ≈ μ dx erh¨ alt man ∂S ∂S dx → = 0 → S = const, → : 0 = −S + S + ∂x ∂x ∂S dx (w + w dx) . ↓ : μ dx w ¨ = − S w + S + ∂x

Abb. 4.1

4.2

Die Saite

213

Darin ist w ¨ = ∂ 2 w/∂t2 die Beschleunigung in z-Richtung. Setzen wir ∂S/∂x = 0 in die zweite Gleichung ein, so folgt μ w ¨ = S w bzw. 1 ∂2w ∂2w = 2 2 2 ∂x c ∂t

mit c2 =

S . μ

(4.1)

Man bezeichnet diese Diﬀerentialgleichung als eindimensionale Wellengleichung. Die Konstante c hat die Dimension einer Geschwindigkeit und heißt Wellenfortpﬂanzungsgeschwindigkeit. Wenn wir die Massebelegung bzw. die Spannkraft durch μ = A bzw. S = σ A ausdr¨ ucken, wobei A die Querschnittsﬂ¨ache, die Dichte und σ die Spannung der Saite sind, dann gilt f¨ ur c die Beziehung c = σ/. Die Bewegungsgleichung (4.1) f¨ ur die freie Schwingung einer Saite k¨ onnen wir auch erhalten, indem wir von der Gleichgewichtsbedingung (3.31) ausgehen. Dann muss man dort als ¨außere Be” lastung“ q(x) die d’Alembertsche Tr¨ agheitskraft −μ w ¨ einf¨ uhren: q = −μ w. ¨ Um die L¨ osung der Wellengleichung in einem konkreten Fall angeben zu k¨ onnen, ben¨ otigt man noch die Anfangsbedingungen und die Randbedingungen. Durch die Anfangsbedingungen sind die Auslenkung und die Geschwindigkeit der Saite zu Beginn der Bewegung (Zustand zum Zeitpunkt t = 0) festgelegt: w(x, 0) = w0 (x),

w(x, ˙ 0) = v0 (x).

(4.2)

Die Randbedingungen sind Aussagen u ¨ber die Deformations- bzw. die Kraftgr¨ oßen an den R¨ andern. Ist die Saite dort zum Beispiel wie in Abb. 4.1a in z-Richtung unverschieblich gelagert ( fester ” Rand“), so gelten w(0, t) = 0 und w(l, t) = 0. Wenn sich ein Saitenende dagegen in vertikaler Richtung unbehindert verschieben kann ( freier Rand“), so verschwindet dort die Vertikalkomponen” te S w der Kraft, d.h. wegen S = 0 gilt dann w |Rand = 0. Ganz allgemein bezeichnet man ein Problem, das durch eine Bewegungsgleichung sowie durch Anfangs- und durch Randbedingungen beschrieben wird, als Anfangs-Randwertproblem.

214

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

4.2.2 d’Alembertsche L¨ osung, Wellen

Die allgemeine L¨ osung der Wellengleichung (4.1) kann man durch Integration erhalten. Dazu ist es zweckm¨ aßig, zun¨achst die Variablen x und t durch die neuen Variablen ξ = x − c t und η = x + c t

(4.3)

zu ersetzen (Transformation). Mit ∂ ∂x ∂2 ∂x2 ∂ ∂t ∂2 ∂t2

∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂ + = + , ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η ∂2 ∂2 ∂2 + 2, = 2 +2 ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η ∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ = + =c − + , ∂ξ ∂t ∂η ∂t ∂ξ ∂η ∂2 ∂2 ∂2 + = c2 − 2 ∂ξ 2 ∂ξ ∂η ∂η 2

=

folgt dann aus (4.1) 4

∂2 w = 0. ∂ξ ∂η

Diese Gleichung l¨ asst sich einfach integrieren. Man erh¨alt die allgemeine L¨ osung w(ξ, η) = f1 (ξ) + f2 (η),

(4.4)

wobei f1 und f2 beliebige Funktionen sind. Mit (4.3) l¨asst sie sich in der Form w(x, t) = f1 (x − c t) + f2 (x + c t)

(4.5)

schreiben. Darin sind nun x − c t bzw. x + c t die Argumente der osung (4.5) wird nach d’Alembert Funktionen f1 bzw. f2 . Die L¨ auch die d’Alembertsche L¨osung der Wellengleichung genannt. Ersetzt man in der Funktion f1 die Zeit t durch t∗ = t + τ und andert sich das Argument nicht, den Ort x durch x∗ = x + c τ , so ¨ und es gilt daher f1 (x, t) = f1 (x∗ , t∗ ) (Abb. 4.2). Die Funktion f1 (x−c t) beschreibt somit eine Welle, die sich mit der konstanten

4.2

Die Saite

215

Abb. 4.2

¨ Geschwindigkeit c ohne Anderung ihres Proﬁls (ihrer Form) in positive x-Richtung fortpﬂanzt (Abb. 4.2). Analog stellt f2 (x+c t) eine Welle dar, die sich mit der Geschwindigkeit c in negative x-Richtung ausbreitet. Die Bewegung einer Saite kann also als Superposition zweier gegenl¨ auﬁger Wellen angesehen werden. Die Funktionen f1 und f2 lassen sich aus den Anfangsbedingungen (4.2) bestimmen. Mit (4.5) lauten diese f1 (x) + f2 (x) = w0 (x), − c f1 (x) + c f2 (x) = v0 (x) . Die zweite Gleichung kann nach Integration in der Form

x 1 v0 (¯ x)d¯ x − f1 (x0 ) + f2 (x0 ) − f1 (x) + f2 (x) = c x0

geschrieben werden. Da wir x0 beliebig w¨ ahlen k¨onnen, ist die urlich. Wir k¨ onnen sie deshalb ohne Diﬀerenz f1 (x0 ) − f2 (x0 ) willk¨ Beschr¨ ankung der Allgemeinheit auch zu Null setzen. Mit der ersur f2 durch Subtraktion ten Gleichung folgen damit f¨ ur f1 bzw. f¨ bzw. durch Addition

x 1 1 w0 (x) ∓ f1,2 (x) = v0 (¯ x)d¯ x . (4.6) 2 c x0

Setzt man diese Ergebnisse in (4.5) ein, so erh¨ alt man x−c

t 1 1 w(x, t) = w0 (x − c t) − v0 (¯ x)d¯ x 2 c

1 1 w0 (x + c t) + + 2 c

x0 x+c

t

v0 (¯ x)d¯ x . x0

216

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Fassen wir nun noch die beiden Integrale zusammen, dann lautet die L¨ osung der Wellengleichung x+c

t 1 1 w(x, t) = w0 (x − c t) + w0 (x + c t) + v0 (¯ x)d¯ x . (4.7) 2 c x−c t

Sie wird besonders einfach, wenn die Anfangsgeschwindigkeit Null ist: v0 (x) = 0. In diesem Fall folgen aus (4.6) und (4.7) f1 (x) = f2 (x) = 12 w0 (x), w(x, t) = 12 [w0 (x − c t) + w0 (x + c t)].

(4.8)

Das Proﬁl der gegenl¨ auﬁgen Wellen f1 und f2 ist dann durch die halbe Anfangsauslenkung gegeben. Als Beispiel hierzu ist in Abb. 4.3 f¨ ur eine dreiecksf¨ ormige Anfangsauslenkung die L¨osung w(x, t) zu verschiedenen Zeitpunkten dargestellt.

Abb. 4.3

Die L¨ osung (4.7) bzw. (4.8) beschreibt die Auslenkung der Saite richtig, solange die Wellen auf keine R¨ ander treﬀen. Hat die Saite eine endliche L¨ ange, so m¨ ussen an den R¨andern die Randbedingungen erf¨ ullt werden. Wir betrachten zun¨achst eine Welle, die auf einen festen Rand triﬀt (Abb. 4.4a). Die Randbedingung w = 0 wird erf¨ ullt, wenn man dieser einfallenden Welle eine reﬂektierte Welle gleicher Form aber mit umgekehrtem Vorzeichen ¨ und entgegengesetzter Laufrichtung u sind die ¨berlagert. Ahnlich Verh¨ altnisse an einem freien Rand (Abb. 4.4b). Damit die Beullt ist, muss in diesem Fall der dingung w = 0 am Rand erf¨ einfallenden Welle eine reﬂektierte Welle mit nunmehr gleichem Vorzeichen aber entgegengesetzter Laufrichtung u ¨berlagert wer-

4.2

Die Saite

217

Abb. 4.4

den. In beiden F¨ allen wird also eine einfallende Welle am Rand ¨ ohne Anderung ihrer Form reﬂektiert: am festen Rand mit Vorzeichenwechsel, am freien Rand ohne Vorzeichenwechsel. Hiermit kann man die L¨ osung f¨ ur eine Saite endlicher L¨ ange konstruieren. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Saite mit festen R¨ andern und dreiecksf¨ ormiger Anfangsauslenkung. Abb. 4.5 zeigt die L¨ osung zu verschiedenen Zeitpunkten. Die anfangs nach rechts bzw. nach links laufenden Wellen werden an den R¨andern reﬂektiert, wobei eine Vorzeichenumkehr stattﬁndet. Die r¨ ucklau-

Abb. 4.5

218

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

fenden Wellen werden dann abermals an den gegen¨ uberliegenden R¨andern reﬂektiert. Nach der Zeit T = 2l/c, welche eine Welle ben¨ otigt, um die Strecke 2l (doppelte Saitenl¨ange) zur¨ uckzulegen, ist gerade wieder der Ausgangszustand erreicht. Der Vorgang wiederholt sich danach periodisch: die Saite schwingt mit einer Schwingungsdauer T = 2l/c. 4.2.3 Bernoullische L¨ osung, Schwingungen

Wie wir gesehen haben, k¨ onnen die Schwingungen einer Saite endlicher L¨ ange mit Hilfe der allgemeinen L¨ osung nach d’Alembert beschrieben werden. Zweckm¨ aßiger ist es aber meist, mit Hilfe des Produktansatzes w(x, t) = W (x) T (t)

(4.9)

spezielle L¨ osungen von (4.1) zu suchen. Dieser L¨osungsansatz geht auf Daniel Bernoulli (1700–1782) zur¨ uck und beschreibt eine Bewegung, bei welcher sich alle Punkte der Saite nach dem gleichen Zeitgesetz (synchron) bewegen. Mit (4.9) ergibt sich aus (4.1) T¨(t) 1 W (x) = . → c2 W (x) T (t) = 2 W (x) T¨(t) c W (x) T (t) In der rechten Gleichung sind die Variablen getrennt: die linke Seite h¨ angt nur von x, die rechte Seite nur von t ab. F¨ ur alle x und t kann diese Gleichung nur dann erf¨ ullt sein, wenn beide Seiten einer Konstanten gleich sind, die wir zweckm¨aßig mit −ω 2 bezeichnen: c2

T¨(t) W (x) = = − ω2 . W (x) T (t)

Hieraus folgen die beiden gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen ω 2 W = 0, T¨ + ω 2 T = 0 . (4.10) W + c Ihre allgemeinen L¨ osungen lauten (vgl. Band 3, Abschn. 5.2.1) W (x) = A cos

ω ω x + B sin x, c c

T (t) = C cos ωt + D sin ωt, (4.11)

4.2

Die Saite

219

wobei A, B, C, D und ω noch unbestimmt sind. Der Zeitverlauf T (t) beschreibt danach eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω. Der zugeh¨ orige Ortsverlauf W (x) ist ebenfalls harmonisch und in seiner Periode durch ω/c festgelegt. Die Produktl¨ osung (4.9) kann damit in der Form ω ω w(x, t) = A cos x + B sin x (C cos ωt + D sin ωt) (4.12a) c c geschrieben werden. Gleichwertig hierzu ist wegen C cos ω t + D sin ω t = C ∗ cos (ω t − α) (vgl. Band 3, Abschn. 5.1) die Darstellung

ω ¯ sin ω x cos (ω t − α), w(x, t) = A¯ cos x + B c c

(4.12b)

wobei wir die Produkte AC ∗ , BC ∗ durch die neuen Konstanten ¯ B ¯ ersetzt haben. A, Im weiteren wollen wir zeigen, dass durch diese L¨osung die Rand- und die Anfangsbedingungen erf¨ ullt werden k¨onnen. Zu diesem Zweck betrachten wir als Anwendungsbeispiel die Saite mit festen R¨ andern nach Abb. 4.6a, die wir im vorhergehenden Abschnitt schon einmal untersucht haben. Die Randbedingungen liefern: w(0, t) = 0 → W (0) = 0 : w(l, t) = 0 → W (l) = 0 :

Abb. 4.6

A = 0, ω B sin l = 0. c

(4.13)

220

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Wenn wir die triviale L¨ osung W (x) ≡ 0 ausschließen, dann muss B = 0 sein, und es folgt ω c ω l = k π → ωk = k π , k = 1, 2, ... . (4.14) sin l = 0 → c c l Die Gleichung sin(ωl/c) = 0 bezeichnet man als charakteristische Gleichung. Durch sie sind die Eigenfrequenzen (Eigenwerte) ωk festgelegt. Dabei haben wir hier den trivialen Fall ω0 = 0 ur k = und die physikalisch uninteressanten L¨ osungen ωk < 0 f¨ −1, −2, . . . gleich weggelassen. oren eine Eigenfunktion (EigenZu jeder Eigenfrequenz ωk geh¨ schwingungsform) Wk (x) = Bk sin

ωk kπx x = Bk sin c l

(4.15)

und damit nach (4.12a) eine L¨ osung wk (x, t) = Wk (x) Tk (t) = sin

kπ x (Ck cos ωk t + Dk sin ωk t).(4.16) l

Dabei wurde ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit Bk = 1 gesetzt. Durch (4.16) wird eine Eigenschwingung mit der Eigenfrequenz ωk und der Eigenschwingungsform Wk (x) beschrieben. Aus (4.14) geht hervor, dass es unendlich viele Eigenschwingungen gibt (k = 1, 2, . . .). Die zu k = 1 geh¨ orige kleinste Frequenz ω1 nennt man Grundfrequenz, die entsprechende Schwingung heißt Grundschwingung. Ihre Schwingungsdauer betr¨ agt T1 = 2π/ω1 = 2l/c (vgl. die L¨ osung nach d’Alembert). Die Frequenzen ω2 , ω3 , . . . bezeichnet origen Schwingungen als man als Oberfrequenzen und die zugeh¨ Oberschwingungen. In Abb. 4.6b sind die Eigenschwingungsformen f¨ ur die Grundschwingung sowie f¨ ur die 1. und die 2. Oberschwingung dargestellt. Diese sind durch (4.15) bis auf jeweils die beliebige Konstante Bk bestimmt. Die Stellen W = 0 werden als Knoten bezeichnet; die Saite erf¨ ahrt dort bei der Schwingung keine Auslenkung. Schwingt die Saite in der Grundfrequenz, dann gibt es (abgesehen von den festen Enden) keinen Knoten. Bei der 1. Oberschwingung tritt ein Knoten, bei der 2. Oberschwingung treten zwei Knoten auf.

4.2

Die Saite

221

Die Eigenschwingungen (4.16) sind spezielle L¨ osungen von (4.1), welche die Randbedingungen erf¨ ullen. Da die Diﬀerentialgleichung (4.1) linear ist, stellt die Summe von Eigenschwingungen ebenfalls eine L¨ osung dar, die den Randbedingungen gen¨ ugt (Superpositi¨ on). Uberlagern wir alle Eigenschwingungen, dann erhalten wir die allgemeine L¨ osung“ ” ∞ ∞ kπx (Ck cos ωk t + Dk sin ωk t). (4.17) w(x, t) = wk = sin l k=1

k=1

Diese k¨ onnen wir auﬀassen als die Darstellung der Auslenkung w(x) zu jedem Zeitpunkt t durch eine Fourierreihe. Dabei sind die Tk (t) die Fourierkoeﬃzienten zum Zeitpunkt t. Da eine beliebige beschr¨ ankte Funktion im endlichen Intervall immer durch eine Fourierreihe dargestellt werden kann, ist die Bernoullische L¨osung (4.17) somit a osung nach d’Alembert. ¨quivalent zur allgemeinen L¨ Gehen wir mit (4.17) in die Anfangsbedingungen (4.2), so erhalten wir Wk (x)

w(x, 0) = w0 (x) :

∞ k=1

w(x, ˙ 0) = v0 (x) :

∞

k=1

# $! " kπx = w0 (x), Ck sin l

(4.18)

kπx Dk ωk sin = v0 (x). ! "# l $ Wk (x)

Hieraus lassen sich die Konstanten Ck und Dk bestimmen. Dazu multiplizieren wir die Gleichungen mit Wi (x) = sin(iπx/l) und integrieren

222

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Damit ist die L¨ osung (4.17) eindeutig bestimmt. Sie vereinfacht sich, wenn die Anfangsgeschwindigkeit v0 verschwindet; in diesem Fall gilt Dk = 0. atsrelation der EiDie Beziehung (4.19) wird als Orthogonalit¨ genfunktionen bezeichnet. Damit sie eine besonders einfache Gestalt bekommt, normiert man die Eigenfunktionen h¨auﬁg gerade so, dass f¨ ur i = k auf der rechten Seite 1“ steht (anstelle von l/2 ” in unserem Fall). Dies ist m¨ oglich, da die Eigenfunktionen durch (4.15) nur bis auf einen beliebig w¨ ahlbaren Faktor bestimmt sind. Wir wollen nun noch f¨ ur den Fall einer dreiecksf¨ormigen Anfangsauslenkung nach Abb. 4.6a und v0 (x) = 0 die L¨osung vollst¨ andig angeben. Hierf¨ ur liefert (4.20) Dk = 0, und Ck errechnet ur 0 ≤ x ≤ l/2 sowie w0 = 2 f (1 − x/l) f¨ ur sich mit w0 = 2 f x/l f¨ l/2 ≤ x ≤ l zu l/2

l

kπx kπx 4f x x sin dx − − 1 sin dx Ck = l l l l l 0

l/2

8f kπ . = 2 2 sin k π 2 Damit folgt aus (4.17) schließlich kπ ∞ 8 sin 2 kπx w(x, t) = f 2 cos ωk t. sin π k2 l

(4.21)

(4.22)

k=1

¨ Die L¨ osung wird hierdurch als Uberlagerung der Grundschwingung (k = 1) mit unendlich vielen Oberschwingungen (k = 2, 3, . . .) dargestellt. An dieser Stelle sei angemerkt, dass es bei vielen praktischen Problemen ausreicht, die Eigenfrequenzen und die Eigenschwingungsformen zu bestimmen. Dies triﬀt zum Beispiel zu, wenn die Anfangsbedingungen unbekannt sind. Dies triﬀt aber auch zu, wenn erzwungene Schwingungen vorliegen, bei denen Resonanz vermieden werden soll. Wie bei diskreten Systemen kommt es n¨ amlich auch bei kontinuierlichen Systemen zur Resonanz, wenn die Erregerfrequenz gleich einer Eigenfrequenz ist (vgl. Abschnitt 4.3.2).

4.2

Die Saite

223

In realen Systemen werden die Schwingungen ged¨ampft. Die D¨ampfung ist dabei meist umso gr¨ oßer, je h¨ oher die Frequenz ist. Dies hat zur Folge, dass die Oberschwingungen umso schw¨acher ” angeregt“ werden bzw. umso schneller abklingen, je h¨oher ihre Ordnung ist. Deshalb sind in der Regel nur die Grundschwingung und die ersten Oberschwingungen von besonderer Bedeutung. Beispiel 4.1 Es sind die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen

f¨ ur eine Saite zu bestimmen, bei der ein Rand fest und der andere Rand frei ist (Abb. 4.7a). Wie ¨ andert sich die Grundfrequenz, wenn die Spannkraft S in der Saite verdoppelt wird?

Abb. 4.7

L¨ osung Nach (4.11) lautet die allgemeine L¨ osung f¨ ur die Orts-

funktion ω ω x + B sin x. c c

W (x) = A cos

Die Randbedingungen liefern W (0) = 0 : W (l) = 0 :

A = 0, ω ω B cos l = 0. c c

Aus der zweiten Gleichung folgen mit B = 0 und ω > 0 (nichttriviale L¨ osung!) die charakteristische Gleichung cos

ω l=0 c

und damit die Eigenfrequenzen: 2k − 1 ω l= π c 2

→

ωk =

2k − 1 πc , k = 1, 2, . . . . 2 l

B4.1

224

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Durch Einsetzen von ωk erh¨ alt man die Eigenfunktionen 2k − 1 π x Wk (x) = Bk sin , k = 1, 2, . . . . 2 l F¨ ur die Grundschwingung und die 1. Oberschwingung ergeben sich zum Beispiel πc πx , W1 = B1 sin , ω1 = 2l 2l 3π c 3π x ω2 = , W2 = B2 sin . 2l 2l Die entsprechenden Eigenschwingungsformen sind in Abb. 4.7b dargestellt. Die Grundfrequenz kann man mit der Wellenfortpﬂanzungsgeschwindigkeit c = S/μ nach (4.1) auch in der Form π S ω1 = 2 μ l2 darstellen. Wird oht sich die Frequenz um √ S verdoppelt, dann erh¨ den Faktor 2. Dies triﬀt auch auf die Oberfrequenzen zu.

4.3

4.3 Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen von St¨ aben 4.3.1 Freie Longitudinalschwingungen

Wir betrachten einen homogenen Stab mit der Dichte und der konstanten Querschnittsﬂ¨ ache A, welcher freie Longitudinalschwingungen (L¨ angsschwingungen, Dehnschwingungen) ausf¨ uhrt (Abb. 4.8a). Dabei erfahren die Querschnitte eine Verschiebung u(x, t) in Richtung der Stabachse. Dann lautet das Bewegungsgesetz f¨ ur ein Element (Abb. 4.8b) ∂N dx → Au ¨ = N . (4.23) A dx u ¨ = −N + N + ∂x

4.3

Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen

225

Abb. 4.8

Mit dem Elastizit¨ atsgesetz (Band 2, Gl. (1.14)) N = EA u

(4.24)

erh¨ alt man daraus u ¨ = E u bzw. 1 ∂2u ∂2u = 2 2 2 ∂x c ∂t

mit c2 =

E .

(4.25)

Die Dehnschwingungen eines Stabes werden danach wie die Schwingungen einer Saite durch die eindimensionale Wellengleichung beschrieben. Die Wellenfortpﬂanzungsgeschwindigkeit c h¨angt nun im Gegensatz zur Saite nur von den Materialkennwerten E und ab. F¨ ur Stahl mit E = 2, 1 · 105 N/mm2 und = 7, 8 g/cm3 betr¨agt sie c = 5190 m/s (vgl. cLuft ≈ 330 m/s). Die L¨ osung der Wellengleichung haben wir in Abschnitt 4.1 diskutiert. Da wir uns hier auf die Eigenschwingungen endlicher St¨ abe beschr¨ anken, ist es zweckm¨ aßig, die Bernoullische L¨osung zu verwenden (vgl. (4.12b)). Wir wollen sie hier nochmals kurz herleiten. Dazu machen wir den Ansatz u(x, t) = U (x) cos(ωt − α) ,

(4.26)

in welchem von vornherein ein zeitharmonisches Verhalten vorausgesetzt ist. Einsetzen in (4.25) liefert die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung d2 U ω 2 + U =0 (4.27) dx2 c mit der allgemeinen L¨ osung ω ω U (x) = A∗ cos x + B sin x. c c

(4.28)

226

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Die Konstante A∗ wurde dabei mit einem Stern gekennzeichnet, um eine Verwechslung mit der Querschnittsﬂ¨ ache A zu vermeiden. Aus (4.26) wird damit u(x, t) = U (x) cos(ωt − α) ω ω = A∗ cos x + B sin x cos(ωt − α) . c c

(4.29)

Als Anwendungsbeispiel bestimmen wir f¨ ur einen Stab die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen bei verschiedenen Randbedingungen. Ist der Stab links fest gelagert und rechts frei (Abb. 4.9a), dann liefern die Randbedingungen A∗ = 0, ω ω N (l, t) = EA u (l, t) = 0 → U (l) = 0 → B cos l = 0. c c →

u(0, t) = 0

U (0) = 0 →

Mit B = 0 , ω > 0 folgt hieraus die charakteristische Gleichung ω (4.30a) cos l = 0 . c Unter Verwendung von c = E/ ergeben sich damit (vgl. Beispiel 4.1) 2k − 1 π E/l2 , ωk = 2 (4.30b) 2k − 1 πx , k = 1, 2, . . . . Uk (x) = Bk sin 2 l Entsprechend folgen f¨ ur den beidseitig gelagerten Stab (Abb. 4.9b) mit den Randbedingungen U (0) = 0 → A∗ = 0,

U (l) = 0 → sin

ω l=0 c

die Ergebnisse ωk = k π

E/l2 ,

Uk (x) = Bk sin

kπx . l

(4.30c)

Abb. 4.9

4.3

Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen

227

Beim beidseitig freien Stab nach Abb. 4.9c gelten die Randbedingungen ω U (l) = 0 → sin l = 0 , U (0) = 0 → B = 0 , c und man erh¨ alt ωk = k π E/l2 ,

Uk (x) = A∗k cos

kπx . l

(4.30d)

Man beachte, dass die Eigenfrequenzen in den beiden F¨allen fest– ” fest“ und frei–frei“ gleich sind, die Eigenfunktionen sich aber ” unterscheiden.

Abb. 4.10

In einem weiteren Anwendungsbeispiel wollen wir die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen des Stabes mit einer Endmasse nach Abb. 4.10a bestimmen. Die Randbedingung am linken Ende liefert u(0, t) = 0

→ U (0) = 0 : A∗ = 0.

Um die Bedingung am rechten Stabende zu formulieren, trennen wir dort die Masse vom Stab (Abb. 4.10b). Das Bewegungsgesetz f¨ ur die Masse liefert dann mit (4.24) zun¨ achst mu ¨(l, t) = − N (l, t) = − EA u (l, t) → − m ω 2 U (l) = − EA U (l) ω ω ω → m ω 2 B sin l = EA B cos l. c c c Hieraus ergibt sich mit c2 = E/ sowie den Abk¨ urzungen λ = ω l/c und ε = m/( A l) (= Massenverh¨ altnis: Endmasse/Stab-

228

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

masse) die charakteristische Gleichung ελ = cot λ .

(4.31)

Die Wurzeln dieser transzendenten Gleichung kann man zum Beispiel graﬁsch bestimmen (Abb. 4.10c). Man erkennt, dass es unendlich viele Eigenwerte λk gibt. Aus ihnen folgen die Eigenfrequenzen zu c (4.32a) ωk = λk = λk E/l2 , k = 1, 2, . . . . l Die zugeh¨ origen Eigenfunktionen sind durch x Uk (x) = Bk sin λk l

(4.32b)

gegeben. W¨ ahlen wir das Massenverh¨ altnis ε = 1, so liefert die Auswertung der charakteristischen Gleichung f¨ ur die Grundfrequenz und f¨ ur die 1. Oberfrequenz c λ1 = 0, 860 → ω1 = λ1 = 0, 860 E/l2 , l c λ2 = 3, 425 → ω2 = λ2 = 3, 425 E/l2 . l Im Sonderfall ε = 0 (keine Endmasse) vereinfacht sich die charakteristische Gleichung (4.31) zu cot λ = 0, und man erh¨alt die Eigenwerte λk = (2 k−1)π/2. Dann folgen f¨ ur die Eigenfrequenzen und f¨ ur die Eigenfunktionen die Ergebnisse (4.30b). Ein anderer Sonderfall ist ε 1. In diesem Fall wird λ1 1 (Abb. 4.10c), und man kann cot λ1 = 1/ tan λ1 ≈ 1/λ1 setzen. Die charakteristische Gleichung liefert dann λ 21 = 1/ε bzw. ω 12 = c2 /(ε l2 ) = EA/(m l). Dies entspricht genau der Frequenz, die man erh¨ alt, falls man den Stab als reine Feder mit der Steiﬁgkeit EA/l ansieht und seine Masse vernachl¨ assigt (vgl. Band 3, Abschn. 5.2.2). F¨ ur die h¨ oheren Eigenwerte liest man aus Abb. 4.10c die Beziehung λ ≈ k π bzw. ω ≈ k π E/ l2 ab. Dies sind gerade die Eigenfrequenzen, die sich f¨ ur den beidseitig fest gelagerten Stab ergeben (vgl. (4.30c)). Aufgrund der hohen Frequenz wirkt die tr¨ age Masse m dann wie ein unverschiebliches Lager.

4.3

Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen

229

Die Grundfrequenz eines einseitig fest gelagerten Stabes oh uhren wir ne Endmasse betr¨ agt nach (4.30b) ω1 = π2 E/ l2 . F¨ mit m0 = A l die Gesamtmasse des Stabes ein, dann gilt ω1 = π EA/m0 l. Die Eigenfrequenz eines 2 masselosen Stabes mit einer Endmasse m betr¨ agt dagegen ω = EA/m l. Beide Frequenzen stimmen dann u ¨berein, wenn die Masse m so gew¨ahlt wird, dass 2 2 m = mred = ( π ) m0 gilt. Man bezeichnet mred als die reduzierte Masse. Danach kann man die Grundfrequenz eines homogenen Stabes der Masse m0 berechnen, indem man seine reduzierte Masse am freien Ende konzentriert und den Stab selbst als elastisch (Steiﬁgkeit EA) und als masselos auﬀasst. Der Stab nach Abb. 4.11a ist links an eine Feder angeschlossen und rechts eingespannt. Wie groß ist die Eigenfrequenz der Grundschwingung, wenn die Federkonstante durch c∗ = 2EA/l gegeben ist?

Beispiel 4.2

Abb. 4.11

L¨ osung Die Randbedingungen liefern mit (4.29) und Abb. 4.11b

N (0, t) = c∗ u(0, t) → c∗ U (0) − EA U (0) = 0 : ω = 0, c ω ω A∗ cos l + B sin l = 0 . c c A∗ c∗ − B EA

u(l, t) = 0 → U (l) = 0 :

Das homogene Gleichungssystem f¨ ur A∗ und B hat nichttriviale L¨ osungen, wenn seine Koeﬃzientendeterminante verschwindet. Dies liefert mit der Abk¨ urzung λ = ω l/c und dem gegebenen Wert f¨ ur c∗ die charakteristische Gleichung c∗ sin

ω ω λ ω l + EA cos l = 0 → tan λ + = 0 . c c c 2

B4.2

230

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Die Auswertung dieser transzendenten Gleichung kann numerisch oder graﬁsch erfolgen (Abb. 4.11c). F¨ ur den kleinsten Eigenwert ur die Frequenz der Grundschwingung ergeben sich λ1 und damit f¨ c → ω 1 = λ1 = 2, 29 E/l2 . λ1 = 2, 29 l 4.3.2 Erzwungene Longitudinalschwingungen

Bisher haben wir nur freie Schwingungen betrachtet. Wir wollen nun untersuchen, wie sich ein kontinuierliches System verh¨alt, das durch eine ¨ außere Kraft zu Schwingungen angeregt wird. Dazu betrachten wir als Beispiel den Stab nach Abb. 4.12a, an dessen rechtem Ende eine mit der Erregerfrequenz Ω harmonisch ver¨ anderliche Kraft wirkt.

Abb. 4.12

Die Bewegung des Stabes wird wie bisher durch die Wellengleichung (4.25) 1 ∂2u ∂2u = ∂x2 c2 ∂t2

(4.33)

beschrieben, und die Randbedingungen lauten nun u(0, t) = 0,

N (l, t) = EA u (l, t) = F0 cos Ωt .

(4.34)

Im Unterschied zu den freien Schwingungen ist hier bei einer Randbedingung die rechte Seite nicht Null, sondern durch F0 cos Ωt vorgegeben: es liegt eine inhomogene Randbedingung vor. Die allgemeine L¨ osung solch eines inhomogenen Problems setzt sich aus der allgemeinen L¨ osung uh (x, t) des homogenen Problems (= freie Schwingung, homogene Randbedingungen) und einer L¨osung

4.3

Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen

231

up (x, t) des inhomogenen Problems zusammen: u(x, t) = uh (x, t) + up (x, t) .

(4.35)

onnen wir in der Form Die L¨ osung uh des homogenen Problems k¨ uh (x, t) =

∞

Uk (x)(Ck cos ωk t + Dk sin ωk t)

(4.36)

k=1

schreiben, wobei ωk die Eigenfrequenzen und Uk die Eigenfunktionen sind. Diese sind f¨ ur unser Beispiel durch (4.30b) gegeben. F¨ ur die Eigenfrequenzen gilt dabei nach (4.30a) die charakteristische Gleichung cos(ωl/c) = 0. F¨ ur die Partikularl¨ osung machen wir den Ansatz vom Typ der ” rechten Seite“ up (x, t) = Up (x) cos Ωt .

(4.37)

Setzen wir ihn in (4.33) ein, so erhalten wir die gew¨ohnliche Differentialgleichung Ω2 d2 Up + 2 Up = 0 . 2 dx c

(4.38)

Mit ihrer allgemeinen L¨ osung Up (x) = B1 cos

Ω Ω x + B2 sin x c c

(4.39)

wird also

Ω Ω up (x, t) = B1 cos x + B2 sin x cos Ωt . c c

(4.40)

Die Konstanten B1 und B2 bestimmen wir aus den Randbedingungen (4.34): up (0, t) = 0 : EA up (l, t) = F0 cos Ωt :

B1 = 0 , Ω Ω cos l = F0 c c F0 . → B2 = Ω Ω EA cos l c c EA B2

(4.41)

232

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Die Partikularl¨ osung lautet folglich Ω F0 l sin c x up (x, t) = Up (x) cos Ωt = cos Ωt. Ω EA Ω l cos l c c

(4.42)

Die allgemeine L¨ osung (4.35) ist damit durch (4.36) und (4.42) gegeben. Die noch freien Konstanten Ck und Dk in (4.36) k¨onnen aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Bei realen Systemen klingt die L¨ osung des homogenen Problems, d.h. die freie Schwingung, wegen der stets vorhandenen D¨ ampfung mit der Zeit ab (vgl. Band 3, Abschn. 5.2.3). Nach hinreichend großer Zeit (Einschwingvorgang) kann sie vernachl¨assigt werden, und die L¨ osung ist dann allein durch die Partikularl¨osung (4.42) gegeben: u(x, t) = up (x, t). ur das In Abb. 4.12b ist die Verschiebungsamplitude“ Up f¨ ” Stabende (x = l) in Abh¨ angigkeit von der Erregerfrequenz Ω dargestellt. F¨ ur Ω → 0 ergibt sich mit sin(Ωl/c) → Ωl/c und cos(Ωl/c) → 1 eine Stabverl¨ angerung wie bei einer statischen stat Belastung: Up (l) → Up (l) = F0 l/EA. Wenn die Erregerfrequenz gegen eine Nullstelle von cos(Ωl/c) geht (Nenner von Up ), w¨ achst die Amplitude unbeschr¨ ankt an (Resonanz). Da durch cos(ωl/c) = 0 aber die Eigenfrequenzen bestimmt sind, ist dies gerade dann der Fall, wenn die Erregerfrequenz gegen die Eigenfrequenz geht (Ω → ωk ). Der Vorzeichenwechsel von Up an den Resonanzstellen zeigt an, dass dort jeweils ein Phasensprung stattﬁndet. So ist zum Beispiel der Ausschlag f¨ ur Ω < ω1 mit der Erregung in Phase, w¨ ahrend er f¨ ur ω1 < Ω < π c/l (Nullstelle von Up (l)) mit der Erregung in Gegenphase ist. Die L¨ osung (4.37) vom Typ der rechten Seite des inhomogenen Problems gilt nur, wenn keine Resonanz vorliegt. Wie bei einem diskreten System muss man im Resonanzfall (Ω = ωk ) vom Ansatz up (x, t) = Up (x) t sin Ωt

(4.43)

ausgehen (vgl. Band 3, Abschn. 5.3.1). Er beschreibt eine Schwingung mit zeitlich linear zunehmender Amplitude.

4.3

Longitudinalschwingungen und Torsionsschwingungen

233

Bei dem eben behandelten Beispiel wird das System durch eine Kraft am Rand erregt. Dies f¨ uhrt bei der Beschreibung der erzwungenen Schwingung auf eine homogene Diﬀerentialgleichung und auf eine inhomogene Randbedingung. Wenn der Stab durch Kr¨afte erregt wird, die u ange verteilt sind, dann wird ¨ber seine L¨ die Diﬀerentialgleichung inhomogen, w¨ ahrend die Randbedingungen homogen bleiben. Die Vorgehensweise bei der L¨osung ¨andert sich dadurch aber nicht grunds¨ atzlich. Wir werden diesen Fall bei den Balkenschwingungen (Abschnitt 4.4) untersuchen. 4.3.3 Torsionsschwingungen

Betrachtet wird nun ein homogener Stab mit konstanter Querschnittsﬂ¨ ache, der ohne W¨ olbbehinderung eine freie Torsionsschwingung (Drehschwingung) ausf¨ uhrt (Abb. 4.13a). Dabei erfahren die Querschnitte eine Drehung ϑ(x, t) um die x-Achse, f¨ ur die wir hier die Schwerachse w¨ ahlen. Die Bewegungsgleichung stellen wir wieder am Stabelement auf (Abb. 4.13b). Mit dem Masuglich der sentr¨ agheitsmoment dΘ = Ip dx des Elements bez¨ Schwerachse liefert der Drallsatz ∂MT dx → Ip ϑ¨ = MT . dΘ ϑ¨ = −MT + MT + ∂x Darin ist Ip das polare Fl¨ achentr¨ agheitsmoment der Querschnittsatsgesetzes (Band ﬂ¨ ache. Eliminiert man MT mit Hilfe des Elastizit¨ 2, Gl. (5.5.)) MT = GIT ϑ ,

(4.44)

so erh¨ alt man Ip ϑ¨ = GIT ϑ bzw. 1 ∂2ϑ ∂2ϑ = ∂x2 c2 ∂t2

Abb. 4.13

mit c2 =

GIT . Ip

(4.45)

234

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Dies ist wiederum die eindimensionale Wellengleichung, deren L¨osung wir schon kennen. Beschr¨ anken wir uns auf Eigenschwingungen, dann ist es zweckm¨ aßig, mit der Bernoullischen L¨osung ϑ(x, t) = θ(x) cos(ωt − α) ω ω = A cos x + B sin x cos(ωt − α) c c

(4.46)

zu arbeiten (vgl. (4.29)). Im Sonderfall einer kreiszylindrischen Welle ist das Torsionstr¨ agheitsmoment gleich dem polaren Fl¨ achentr¨agheitsmoment: IT = Ip . Dann ist die Wellenfortpﬂanzungsgeschwindigkeit durch alt man zum Beispiel f¨ ur Stahl c = G/ gegeben. Daraus erh¨ den Wert c = 3220 m/s. Die Geschwindigkeit von Torsionswellen (Scherwellen) ist demnach rund halb so groß wie die Geschwindigkeit von Longitudinalwellen. B4.3

Beispiel 4.3 Die homogene, abgesetzte kreiszylindrische Welle nach

Abb. 4.14a ist an beiden Seiten frei drehbar gelagert. Wie groß ist die Frequenz der Grundschwingung f¨ ur den Fall Ip1 /Ip2 = 1/2?

Abb. 4.14

L¨ osung Wenn wir in den beiden Abschnitten der Welle die unterschiedlichen Koordinaten x1 und x2 verwenden, dann gilt ω ω θ1 (x1 ) = A1 cos x1 + B1 sin x1 , c c ω ω θ2 (x2 ) = A2 cos x2 + B2 sin x2 . c c

¨ Die Rand- und die Ubergangsbedingungen liefern MT 1 (0, t) = 0 → θ1 (0) = 0 :

B1 = 0 ,

4.4

Biegeschwingungen von Balken

235

MT 2 (2a, t) = 0 → θ2 (2a) = 0 : ω ω ω ω − A2 sin 2a + B2 cos 2a = 0, c c c c ω ϑ1 (a, t) = ϑ2 (0, t) → θ1 (a) = θ2 (0) : A1 cos a = A2 , c MT 1 (a, t) = MT 2 (0, t) → G Ip1 θ1 (a) = G Ip2 θ2 (0) : ω ω ω − Ip1 A1 sin a = Ip2 B2 . c c c Durch Einsetzen der letzten beiden Gleichungen in die zweite Gleichung ergibt sich mit der Abk¨ urzung λ = ω a/c und dem gegebenen Verh¨ altnis der polaren Fl¨ achentr¨ agheitsmomente die charakteristische Gleichung cos λ sin 2λ +

1 2

sin λ cos 2λ = 0 .

Sie l¨asst sich unter Verwendung der Beziehung 2 sin α cos β = sin(α − β) + sin(α + β) auch in der Form sin λ + 3 sin 3λ = 0 schreiben. Die Auswertung dieser transzendenten Gleichung liefert f¨ ur den kleinsten Eigenwert bzw. f¨ ur die Kreisfrequenz der Grundschwingung (Abb. 4.14b) c λ1 = 1, 15 → ω 1 = λ1 = 1, 15 G/a2 . a Um einen Eindruck von ihrer Gr¨ oße zu bekommen, setzen wir 5 2 die Werte G = 0, 81 · 10 N/mm , = 7, 8 g/cm3 f¨ ur Stahl und eine L¨ ange a = 2m ein. Hierf¨ ur ergeben sich die Kreisfrequenz ω1 = 1853 s−1 und daraus die Frequenz f1 = ω1 /(2π) = 295 s−1 .

4.4 Biegeschwingungen von Balken 4.4.1 Grundgleichungen

Betrachtet wird ein homogener Balken, der freie bzw. erzwungene Schwingungen ausf¨ uhrt (Abb. 4.15a). Um zun¨achst noch

4.4

236

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Abb. 4.15

m¨oglichst allgemein zu bleiben, wollen wir annehmen, dass der Balken schubelastisch ist und sich seine Querschnittsﬂ¨ache u ¨ber die L¨ ange ¨ andern kann. Bei der Bewegung erf¨ahrt ein Balkenquerschnitt eine Verschiebung w(x, t) in z-Richtung sowie eine Drehung ψ(x, t) um die y-Achse (Abb. 4.15b). Dementsprechend formulieren wir f¨ ur das Balkenelement den Schwerpunktsatz in zRichtung und den Drallsatz bez¨ uglich der zur y-Achse parallelen Achse durch den Schwerpunkt (Abb. 4.15c). Mit dm = Adx und dΘy = Idx liefert dies unter Beachtung, dass beim Drallsatz das Moment des Zuwachses (∂Q/∂x)dx von h¨ oherer Ordnung klein ist

∂Q dx + q dx → A w ¨ = Q + q , (4.47) dm w ¨ = −Q + Q + ∂x ∂M dx − Q dx → I ψ¨ = M − Q . (4.48) dΘy ψ¨ = −M + M + ∂x

Außerdem ben¨ otigen wir die Elastizit¨ atsgesetze f¨ ur das Biegemoment (Band 2, Gl. (4.24)) M = EI ψ

(4.49)

und f¨ ur die Querkraft (Band 2, Gl. (4.25)) Q = GAS (w + ψ) .

(4.50)

Damit stehen vier Diﬀerentialgleichungen f¨ ur die vier unbekannten Gr¨ oßen M, Q, w, ψ zur Verf¨ ugung. Durch sie werden neben der Biegung sowohl der Einﬂuss der Schubdeformation als auch die Drehtr¨ agheit“ ber¨ ucksichtigt. Man bezeichnet die auf die” sen Gleichungen aufbauende Theorie als Timoshenkosche Balkentheorie (St.P. Timoshenko, 1878–1972). Eliminiert man M und Q

4.4

Biegeschwingungen von Balken

237

mit Hilfe der Elastizit¨ atsgesetze aus den ersten beiden Gleichungen, so kann diese Theorie durch die zwei gekoppelten partiellen Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung Aw ¨ − [GAS (w + ψ)] = q,

(4.51)

I ψ¨ − [EI ψ ] + G AS (w + ψ) = 0 beschrieben werden. Hinzu kommen die Randbedingungen und die Anfangsbedingungen. Aus (4.47) bis (4.50) lassen sich durch Spezialisierung verschiedene Sonderf¨ alle herleiten. So k¨ onnen diese Gleichungen einfach zusammengefasst werden, wenn der Balken einen konstanten Querschnitt hat. Zu diesem Zweck schreiben wir (4.49) und (4.48) zun¨ achst in der Form M = EI(w + ψ) − EI w , ¨ − M + Q = 0. I(w + ψ)¨ − I w Wir leiten nun die zweite Gleichung nach x ab. Anschließend kann man aus ihr schrittweise durch Einsetzen der ersten Gleichung das Biegemoment M , der Gleichung (4.50) die Gr¨ oße (w + ψ) und der Gleichung (4.47) die Querkraft Q eliminieren. Auf diese Weise erh¨ alt man EA I ¨ w ¨ + A ¨ − I 1 + w ¨ EI wIV + A w GAS GAS =q+

I EI q¨ − q . (4.52) GAS GAS

Ein anderer Sonderfall ergibt sich, wenn angenommen wird, dass der Balken schubstarr ist und dass die Rotationstr¨agheit vernachl¨ assigbar ist (GAS → ∞, I → 0). In diesem Fall vereinfachen sich (4.48) zur Gleichgewichtsbedingung M − Q = 0 und (4.50) zur Bernoullischen Hypothese w + ψ = 0 (Band 2, Gl. (4.29)). Die vier Balkengleichungen“ lauten dann ” A w ¨ = Q + q,

M = Q,

EIψ = M,

w = − ψ .

(4.53)

238

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Da sie auf den klassischen Annahmen von L. Euler und J. Bernoulli basieren, bezeichnet man die entsprechende Theorie als EulerBernoullische Balkentheorie. Eliminieren wir ψ, M und Q, indem wir die Gleichungen ineinander einsetzen, so erhalten wir die Bewegungsgleichung ¨ = q. (EI w ) + A w

(4.54)

Sie vereinfacht sich f¨ ur EI = const zu ¨ = q. EI wIV + A w

(4.55)

4.4.2 Freie Schwingungen 4.4.2.1 Euler-Bernoulli-Balken

Die freien Schwingungen gleichf¨ ormiger Balken (EI = const) werden nach (4.55) mit q = 0 durch die Bewegungsgleichung ∂4w A ∂2w + =0 ∂x4 EI ∂t2

(4.56)

beschrieben. Eine allgemeine L¨ osung von (4.56) analog zur d’Alembertschen L¨ osung (4.5) der eindimensionalen Wellengleichung ist nicht bekannt. Aus diesem Grund suchen wir von vornherein nach speziellen L¨ osungen der Art w(x, t) = W (x) cos(ωt − α) ,

(4.57)

durch welche harmonische Schwingungen ausgedr¨ uckt werden. Mit diesem Ansatz folgt aus (4.56) die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung d4 W − κ4 W = 0 dx4

mit

κ4 = ω 2

A . EI

(4.58)

Sie hat die allgemeine L¨ osung W (x) = A cos κx + B sin κx + C cosh κx + D sinh κx , und damit wird nach (4.57)

(4.59)

4.4

Biegeschwingungen von Balken

239

w(x, t) = (A cos κx + B sin κx + C cosh κx + D sinh κx) × cos(ωt − α).

(4.60)

Die Behandlung des Eigenschwingungsproblems erfolgt im weiteren analog zur Vorgehensweise bei der Saite und beim Stab. Allerdings treten beim Balken 4 Randbedingungen auf. Sie liefern die charakteristische Gleichung, aus der die Eigenfrequenzen ωk folgen. Damit sind dann die Eigenfunktionen Wk bis auf einen Faktor festgelegt. Eine Eigenschwingung mit der Frequenz ωk wird somit durch wk (x, t) = Wk (x) cos(ωk t − αk ) = Wk (x)(Ek cos ωk t + Fk sin ωk t)

(4.61)

beschrieben. Die L¨osung f¨ ur ein beliebiges Anfangswertproblem ¨ erhalten wir durch Uberlagerung aller Eigenschwingungen: ∞ Wk (x)(Ek cos ωk t + Fk sin ωk t) . (4.62) w(x, t) = k=1

Die noch unbekannten Konstanten Ek und Fk lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Dabei muss Verwendung von der Orthogonalit¨ atsrelation der Eigenfunktionen gemacht werden, die hier ohne Herleitung angegeben werden soll (vgl. (4.19)):

l Wi (x)Wk (x)dx = 0

f¨ ur i = k .

(4.63)

0

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den beidseitig frei drehbar gelagerten Balken nach Abb. 4.16a. Bei ihm m¨ ussen an den R¨ andern x = 0 und x = l die Verschiebung w und das Moment M = −EI w verschwinden. Dies f¨ uhrt mit (4.57), (4.59) und κ = 0 (nichttriviale L¨ osung!) auf die vier Beziehungen W (0) = 0 :

A + C = 0,

W (l) = 0 :

A cos κl + B sin κl + C cosh κl + D sinh κl = 0 ,

W (0) = 0 :

−A + C = 0 ,

W (l) = 0 : −A cos κ l − B sin κ l + C cosh κ l + D sinh κ l = 0 .

240

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Abb. 4.16

Daraus ergeben sich wegen sinh κl = 0 die Konstanten A = C = D = 0, und man erh¨ alt unter Beachtung von B = 0 die charakteristische Gleichung sin κ l = 0 .

(4.64a)

F¨ ur die Eigenwerte bzw. f¨ ur die Eigenkreisfrequenzen folgt damit EI EI = k2 π2 κk l = kπ → ωk = κ2k , k = 1, 2, . . . , (4.64b) A Al4 und die Eigenfunktionen werden Wk (x) = Bk sin κk x = Bk sin

kπx . l

(4.64c)

Die Eigenfrequenzen nehmen danach quadratisch mit der Ordnung k der Schwingung zu. Die Eigenschwingungsform der Grundschwingung ist eine halbe Sinuswelle, die der 1. Oberschwingung eine volle Sinuswelle mit einem Knoten usw. (Abb. 4.16b). Speziell f¨ ur die Grundschwingung und f¨ ur die erste Oberschwingung ergibt sich πx EI 2 , , W1 (x) = B1 sin ω1 = π Al4 l (4.64d) 2π x EI . , W2 (x) = B2 sin ω2 = 4π 2 Al4 l Wenn noch die Anfangsbedingungen eingearbeitet werden sollen, dann m¨ ussen wir nach (4.62) von der L¨ osung

4.4

w(x, t) =

∞

sin

k=1

Biegeschwingungen von Balken

kπx (Ek cos ωk t + Fk sin ωk t) l

241

(4.64e)

ausgehen, wobei Bk = 1 gesetzt wurde. Durch Einsetzen in ˙ 0) = v0 (x) erhalten wir w(x, 0) = w0 (x) und w(x, ∞

Ek sin

k=1

kπx = w0 (x) , l

∞

Fk ωk sin

k=1

kπx = v0 (x). (4.64f) l

Mit der Orthogonalit¨ atsrelation (4.63) folgt daraus (vgl. (4.19)) Ek =

2 l

l w0 (x) sin 0

kπx dx, l

Fk =

2 ωk l

l v0 (x) sin

kπx dx. l

(4.64g)

0

In einem weiteren Anwendungsbeispiel bestimmen wir die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen f¨ ur die Grundschwingung und f¨ ur die erste Oberschwingung des Tr¨ agers nach Abb. 4.17a. F¨ ur ihn lauten die Randbedingungen w(0, t) = 0,

M (l, t) = −EI w (l, t) = 0,

w (0, t) = 0,

Q(l, t) = −EI w (l, t) = 0.

Mit (4.57) und (4.59) liefern sie unter Beachtung von κ = 0 das homogene Gleichungssystem W (0) = 0 :

A + C = 0,

W (0) = 0 :

B + D = 0,

W (l) = 0 :

− A cos κ l − B sin κ l + C cosh κ l + D sinh κ l = 0,

W (l) = 0 :

A sin κ l − B cos κ l + C sinh κ l + D cosh κ l = 0.

Eliminieren wir mit Hilfe der ersten beiden Gleichungen C und D aus den letzten beiden Gleichungen, so wird daraus A(cos κ l + cosh κ l) + B(sin κ l + sinh κ l) = 0, A(sin κ l + sinh κ l) − B(cos κ l + cosh κ l) = 0. Sollen nichttriviale L¨ osungen existieren, so muss die Koeﬃzien-

242

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Abb. 4.17

tendeterminante verschwinden. Damit ergibt sich mit cosh2 κ l − sinh2 κ l = 1 die charakteristische Gleichung cosh κ l cos κ l + 1 = 0 bzw. cos κ l = −

1 . cosh κ l

(4.65a)

Die Auswertung dieser Beziehung liefert die gesuchten Eigenfrequenzen (Abb. 4.17b): EI EI 2 = 3, 516 κ1 l = 1, 875 → ω1 = κ1 , A A l4 (4.65b) EI EI = 22, 034 . κ2 l = 4, 694 → ω2 = κ22 A A l4 Um die Integrationskonstanten in (4.59) bis auf einen beliebigen Faktor zu bestimmen, k¨ onnen wir die ersten drei Gleichungen des homogenen Gleichungssystems verwenden; sie liefern C = − A,

B = −D = −A

cos κ l + cosh κ l . sin κ l + sinh κ l

Damit folgt f¨ ur die k-te Eigenschwingungsform 4 Wk (x) = Ak cos κk x − cosh κk x −

5 cos κk l + cosh κk l (sin κk x − sinh κk x) . sin κk l + sinh κk l

(4.65c)

In Abb. 4.17c sind die gesuchten Eigenfunktionen dargestellt. Analog zu den vorhergehenden Beispielen kann man auch f¨ ur andere Lagerungsarten eines Balkens die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen bestimmen. In der Tabelle 4.1 sind f¨ ur einige

4.4

Biegeschwingungen von Balken

243

Tabelle 4.1 Eigenwerte f¨ ur verschiedene Lagerungen

Lagerung

charakt. Gleichung

gelenkig–gelenkig

sin κ l = 0

eingespannt–frei

cosh κ l cos k l + 1 = 0

eingespannt–gelenkig

tan κ l − tanh k l = 0

eingespannt–eingespannt

cosh κ l cos k l − 1 = 0

frei–frei

cosh κ l cos k l − 1 = 0

Tabelle 4.1 Eigenwerte f¨ ur verschiedene Lagerungen (Fortsetzung)

Lagerung

κ1 l

κ2 l

κ3 l

κk l (k > 3)

gelenkig–gelenkig

π

2π

3π

kπ

eingespannt–frei

1,875

4,694

7,854

≈ (2k − 1) π2

eingespannt–gelenkig

3,927

7,069

10,210

≈ (4k + 1) π4

eingespannt–eingespannt

4,730

7,853

10,996

≈ (2k + 1) π2

frei–frei

4,730

7,853

10,996

≈ (2k + 1) π2

F¨ alle die charakteristischen Gleichungen sowie die Eigenwerte zusammengestellt. Es sei darauf hingewiesen, dass in den letzten beiden F¨ allen die Eigenfrequenzen zwar u ¨bereinstimmen, die zugeh¨ origen Eigenformen jedoch unterschiedlich sind. So hat zum Beispiel die Grundschwingung des frei-freien Balkens zwei Knoten, w¨ ahrend diejenige des eingespannt-eingespannten Balkens knotenfrei ist. Beispiel 4.4 Der Balken nach Abb. 4.18a ist links eingespannt und

tr¨agt rechts eine Masse m. Wie groß sind die Eigenfrequenzen der Grundschwingung und der 1. Oberschwingung f¨ ur ein Massenverh¨ altnis ε = m/(Al) = 3/4? L¨ osung Drei Randbedingungen k¨ onnen wir aus dem letzten Anwendungsbeispiel u ¨bernehmen:

B4.4

244

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Abb. 4.18

w(0, t) = 0,

w (0, t) = 0,

M (l, t) = − EI w (l, t) = 0.

Um die vierte Randbedingung zu formulieren, trennen wir die Masse m vom Balken (Abb. 4.18b). Das Bewegungsgesetz f¨ ur die Masse liefert dann ¨ t) = 0. m w(l, ¨ t) = − Q(l, t) → EI w (l, t) − m w(l, Setzt man die L¨osung (4.57), (4.59) in die Randbedingungen ein, so ergibt sich mit κ nach (4.58) und dem Massenverh¨altnis ε = m/(Al) das homogene Gleichungssystem A + C = 0, B + D = 0, − A cos κ l − B sin κ l + C cosh κ l + D sinh κ l = 0, A sin κ l − B cos κ l + C sinh κ l + D cosh κ l + ε κ l(A cos κ l + B sin κ l + C cosh κ l + D sinh κ l) = 0. Indem wir die Koeﬃzientendeterminante zu Null setzen, erhalten wir die charakteristische Gleichung 1 + cosh κl cos κl + εκl(sinh κl cos κl − cosh κl sin κl) = 0. Ihre Auswertung f¨ ur den gegebenen Wert ε = 3/4 liefert EI EI 2 = 1, 742 , κ1 l = 1, 320 → ω 1 = κ1 A A l4 κ2 l = 4, 060 → ω 2 =

κ22

EI EI = 16, 48 . A A l4

Ein Vergleich mit den Ergebnissen (4.65b) des Balkens ohne

4.4

Biegeschwingungen von Balken

245

Endmasse zeigt, dass durch die Zusatzmasse m beide Frequenzen betr¨ achtlich abgesenkt werden. F¨ ur ε = 0 folgt aus der charakteristischen Gleichung als Sonderfall die Eigenwertgleichung (4.65a) des Balkens ohne Endmasse. Dagegen erh¨ alt man f¨ ur ε → ∞ die Eigenwertgleichung des Balkens, der links eingespannt und rechts gelenkig gelagert ist (vgl. Tabelle 4.1): sinh κl cos κl − cosh κl sin κl = 0 →

tan κl − tanh κl = 0.

Die Endmasse wirkt in diesem Fall aufgrund ihrer Tr¨agheit wie ein unverschiebliches Lager. 4.4.2.2 Timoshenko-Balken

Die freien Schwingungen eines Timoshenko-Balkens werden nach (4.52) mit q = 0 durch die Bewegungsgleichung EI

∂4w ∂2w EA ∂ 4 w I ∂ 4 w + A − I 1 + + A =0 ∂x4 ∂t2 GAS ∂x2 ∂t2 GAS ∂t4

(4.66) beschrieben. Mit dem Ansatz f¨ ur harmonische Schwingungen w(x, t) = W (x) cos(ωt − α) und mit den Abk¨ urzungen I A κ4 = ω 2 , i2 = , EI A

(4.67)

α=

EA GAS

(4.68)

(i = Tr¨ agheitsradius, vgl. Band 2, Gl. (4.7)) ergibt sich daraus die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung d2 W d4 W + κ4 i2 (1 + α) − κ4 (1 − κ4 i4 α)W = 0. 4 dx dx2

(4.69)

Wir wollen hier nicht die allgemeine L¨ osung dieser Gleichung diskutieren, sondern als Beispiel nur den beidseitig frei drehbar gelagerten Balken behandeln (Abb. 4.16a). Hierf¨ ur ist die L¨osung von (4.69), welche auch die Randbedingungen erf¨ ullt, durch kπx , k = 1, 2, . . . (4.70) Wk (x) = Bk sin l

246

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

gegeben. Die Eigenfunktionen Wk (x) unterscheiden sich in diesem speziellen Fall also nicht von denen der Euler-Bernoulli-Theorie nach (4.64c). Dies triﬀt aber nicht auf die Eigenwerte κk zu. Wir k¨ onnen sie bestimmen, indem wir (4.70) in (4.69) einsetzen: k π 4 k π 2 − κ4 i2 (1 + α) − κ4 (1 − κ4 i4 α) = 0. l l Diese quadratische Gleichung in κ4 hat die L¨ osungen

1 A kπi 2 = 4 1 + (1 + α) κ4k1,2 = ωk21,2 EI 2i α l kπi 4 kπi 2 2 . ± 1 + 2(1 + α) + (1 − α) l l

(4.71)

Im Gegensatz zur Euler-Bernoulli-Theorie sind nun jedem k zwei unterschiedliche Eigenwerte κk1 > κk2 zugeordnet, d.h. zu jeder oren zwei Eigenfrequenzen ωk1 > ωk2 . Eigenfunktion Wk (x) geh¨ Der Grund hierf¨ ur liegt darin, dass in der Timoshenko-Theorie jeder Querschnitt mit w(x) und ψ(x) zwei voneinander unabh¨angige Bewegungsm¨ oglichkeiten (Freiheitsgrade) hat. Beim Euler-Bernoulli-Balken liegt wegen w = −ψ (vgl. (4.53)) dagegen nur eine unabh¨ angige Bewegungsm¨ oglichkeit vor. Aus technischer Sicht sind die hohen Frequenzen (Pluszeichen vor der Wurzel) von untergeordneter Bedeutung, weshalb wir sie auch nicht weiter betrachten. Wir beschr¨ anken uns vielmehr auf Schwingungen, f¨ ur welche kπi/l 1 gilt. In diesem Fall l¨asst sich unter Verwendung der Potenzreihenentwicklung √

1+u=1+

u3 u u2 − + − ··· 2 8 16

f¨ ur | u |≤ 1

(4.72)

eine N¨ aherung f¨ ur die Wurzel in (4.71) angeben: kπi 2 kπi 2 kπi 4 √ 1 − 2(1 + α) +··· . · = 1 + (1 + α) − 2α l l l Damit erh¨ alt man unter nochmaliger Anwendung von (4.72) f¨ ur die Eigenfrequenzen die N¨ aherung

4.4

Biegeschwingungen von Balken

k π i 2 ωk = k π 1 − (1 + α) l 2

2

247

EI . Al4

(4.73)

Der zweite Summand in der eckigen Klammer kennzeichnet die Abweichung der Timoshenko-Theorie von der Euler-BernoulliTheorie (vgl. (4.64b)). Seine Gr¨ oße h¨ angt ab vom Schlankheitsgrad λ = l/i des Balkens, vom Schwingungsgrad k und vom Faktor 1 + α. F¨ ur einen Rechteckquerschnitt der H¨ ohe h nimmt der Summand mit AS = (5/6)A und E/G = 8/3 (f¨ ur ν = 1/3) den Wert 3,45 (k h/l)2 an. Nehmen wir einen Balken mit l/h = 10 an, so betr¨ agt danach die Abweichung in der Grundfrequenz (k = 1) nur 3 Prozent, in der 1. Oberfrequenz (k = 2) aber schon 14 Prozent. Als Faustregel kann man sagen, dass die Euler-Bernoullische Theorie technisch befriedigende Ergebnisse liefert, solange die charakteristische Wellenl¨ ange“ l/k gr¨ oßer als die f¨ unﬀache H¨ohe des ” Balkens ist. Die Timoshenkosche Theorie gilt dagegen bis l/k ∼ >h. 4.4.3 Erzwungene Schwingungen

In diesem Abschnitt wollen wir die erzwungenen Schwingungen des Euler-Bernoulli-Balkens mit konstantem Querschnitt untersuchen. Diese werden nach (4.55) durch die Bewegungsgleichung EI

∂4w ∂2w + A =q ∂x4 ∂t2

(4.74)

beschrieben. Setzen wir eine zeitlich harmonische Belastung durch eine Streckenlast q(x, t) = q ∗ (x) cos Ωt

(4.75)

voraus, dann k¨ onnen wir im eingeschwungenen Zustand eine L¨osung vom Typ der rechten Seite (Partikularl¨ osung) erwarten: w(x, t) = W (x) cos Ωt .

(4.76)

Damit erh¨ alt man aus (4.74) die gew¨ ohnliche inhomogene Diﬀerentialgleichung EI

d4 W − A Ω2 W = q ∗ . dx4

(4.77)

248

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Ihre L¨ osung erfolgt zweckm¨ aßig, indem man q ∗ (x) und W (x) mit Hilfe der Eigenfunktionen Wk (x) des entsprechenden Eigenwertproblems folgendermaßen darstellt (Entwicklung nach Eigenfunktionen): q ∗ (x) =

∞

pk Wk (x),

W (x) =

k=1

∞

ηk Wk (x).

(4.78)

k=1

Diese Darstellung ist m¨ oglich, weil die Eigenfunktionen Wk (x) ein linear unabh¨ angiges (orthogonales), vollst¨ andiges Funktionensystem (= Basis) bilden. Die Koeﬃzienten pk k¨onnen wir als bekannt ansehen; sie lassen sich aus der gegebenen Belastung q ∗ (x) unter Verwendung der Orthogonalit¨ atsrelation der Eigenfunktionen (4.63) bestimmen: l pk =

0 l

q ∗ (x)Wk (x)dx .

(4.79)

Wk (x)Wk (x)dx

0

Unbekannt sind an dieser Stelle noch die Koeﬃzienten ηk . Um sie zu ermitteln, setzen wir (4.78) in (4.77) ein. Beachten wir dabei, dass die Eigenfunktionen nach (4.58) die Beziehung EI

d4 Wk − A ωk2 Wk = 0 dx4

erf¨ ullen m¨ ussen, dann ergibt sich ∞

ηk A(ωk2 − Ω2 )Wk (x) =

k=1

∞

pk Wk (x) → ηk =

k=1

Damit lautet die L¨ osung insgesamt w(x, t) =

∞ k=1

pk Wk (x) cos Ωt. A(ωk2 − Ω2 )

pk . A(ωk2 − Ω2 )

(4.80)

(4.81)

Man erkennt, dass eine unbeschr¨ ankte Amplitude (Resonanz) immer dann auftritt, wenn die Erregerfrequenz Ω gegen eine Eigenfrequenz ωk geht.

4.4

Biegeschwingungen von Balken

249

In manchen F¨ allen erfolgt die harmonische Belastung durch Einzelkr¨ afte. Diese lassen sich dann zweckm¨ aßig mit Hilfe der Diracschen Delta-Funktion darstellen. Sie ist deﬁniert durch δ(x − a) = 0 f¨ ur x = a und Hieraus folgt die Eigenschaft +∞

f (x) δ(x − a)dx = f (a).

+∞

δ(x − a)dx = 1 .

(4.82)

−∞

(4.83)

−∞

Danach gilt f¨ ur eine Einzelkraft F0 an der Stelle x = a die Darstellung q ∗ (x) = F0 δ(x − a) .

(4.84)

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den beidseitig gelenkig gelagerten Balken nach Abb. 4.19, der durch die Einzelkraft F0 harmonisch erregt wird. F¨ ur ihn sind die Eigenfunktionen und die Eigenfrequenzen nach (4.64c) und (4.64b) durch kπx EI 2 2 , ωk = k π (4.85a) Wk = Bk sin l A l4 gegeben. Mit der Darstellung der Belastung q ∗ (x) = F0 δ(x − l/2)

(4.85b)

folgen die Koeﬃzienten pk aus (4.79) zu Bk p k = F0

l

kπx δ(x − l/2)dx l kπ 2 F0 0 sin . = 2 Bk l 2 l kπx 2 sin Bk dx l 0 sin

Abb. 4.19

(4.85c)

250

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Die L¨ osung (4.81) wird dementsprechend kπx kπ ∞ 2 F0 sin 2 sin l cos Ωt. w(x, t) = Al (ωk2 − Ω2 )

(4.85d)

k=1

Man beachte, dass in diesem Fall alle Glieder mit geradzahligem k verschwinden. Die zugeh¨ origen Eigenschwingungen werden durch die in der Mitte angreifende Kraft nicht angeregt. Wenn die harmonische Erregung nicht durch eine Streckenlast (bzw. Einzelkraft), sondern durch Randkr¨ afte oder durch Randverschiebungen erfolgt, dann k¨ onnen wir anders vorgehen (vgl. Abschnitt 4.3.2). Mit q = 0 bzw. q ∗ = 0 folgt in diesem Fall aus (4.77) die homogene Diﬀerentialgleichung d4 W −κ ¯4 W = 0 dx4

mit κ ¯ 4 = Ω2

A . EI

(4.86)

Sie unterscheidet sich von der Diﬀerentialgleichung (4.58) f¨ ur freie Schwingungen nur dadurch, dass nun κ ¯ vorgegeben ist. Die L¨osung von (4.86) lautet (vgl. (4.59)) W (x) = A cos κ ¯ x + B sin κ ¯ x + C cosh κ ¯ x + D sinh κ ¯ x,

(4.87)

und damit wird w(x, t) = (A cos κ ¯ x + B sin κ ¯ x + C cosh κ ¯ x + D sinh κ ¯ x) cos Ωt. (4.88) Die Konstanten A, B, C, D k¨ onnen aus den Randbedingungen bestimmt werden, die in diesem Fall ein inhomogenes Gleichungssystem bilden. B4.5

Beispiel 4.5 Der Kragtr¨ ager nach Abb. 4.20 wird durch eine Einzelkraft harmonisch erregt. Wie groß ist die Schwingungsamplitude am rechten Balkenende?

Abb. 4.20

4.4

Biegeschwingungen von Balken

251

L¨ osung Da eine Erregung durch eine Randlast vorliegt, k¨ onnen wir von der L¨ osung (4.87) bzw. (4.88) ausgehen. Die Randbedingungen lauten

w(0, t) = 0,

M (l, t) = − EI w (l, t) = 0,

w (0, t) = 0,

Q(l, t) = − EI w (l, t) = F0 cos Ωt.

Dies f¨ uhrt auf das Gleichungssystem W (0) = 0 :

A + C = 0,

W (0) = 0 :

B + D = 0,

W (l) = 0 : − A cos κ ¯ l − B sin κ ¯ l + C cosh κ ¯ l + D sinh κ ¯ l = 0, F 0 W (l) = − : EI F0 l3 A sin κ ¯ l − B cos κ ¯ l + C sinh κ ¯ l + D cosh κ ¯l = − . EI(¯ κl)3 Hieraus ergeben sich die Konstanten zu A = −C = − B = −D =

sin κ ¯ l + sinh κ ¯l F0 l 3 , 2EI(¯ κl)3 1 + cos κ ¯ l cosh κ ¯l

F0 l3 cos κ ¯ l + cosh κ ¯l . 3 2EI(¯ κl) 1 + cos κ ¯ l cosh κ ¯l

Einsetzen in (4.87) liefert die gesuchte Schwingungsamplitude am rechten Balkenende: W (l) =

F0 l3 sin κ ¯ l cosh κ ¯ l − cos κ ¯ l sinh κ ¯l . EI(¯ κl)3 1 + cos κ ¯ l cosh κ ¯l

Durch die Nullstellen des Nenners sind die Eigenfrequenzen des Kragtr¨ agers festgelegt (vgl. (4.65a)). Geht danach die Erregerfrequenz gegen eine Eigenfrequenz, dann kommt es zur Resonanz, d.h. die Amplitude w¨ achst unbegrenzt an. 4.4.4 Wellenausbreitung

Bei der Saite sowie dem Dehn- und dem Torsionsstab kann nach ¨ d’Alembert die L¨ osung der Bewegungsgleichung als Uberlagerung zweier gegenl¨ auﬁger Wellen dargestellt werden (vgl. (4.5)). Wir

252

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

wollen nun untersuchen, ob es auch beim Balken L¨osungen gibt, durch die eine Wellenausbreitung beschrieben wird. Dabei beschr¨ anken wir uns auf Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit c in positive x-Richtung fortpﬂanzen: w = f (x − ct).

(4.89)

Wir betrachten zun¨ achst den Euler-Bernoulli-Balken. Setzen wir (4.89) in die Bewegungsgleichung (4.56) ein, so folgt die gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichung f IV + k 2 f = 0

mit k 2 = c2

A , EI

(4.90)

wobei f und f IV die Ableitungen nach dem Argument (x − ct) kennzeichnen. Ihre L¨ osung lautet f = C cos[k(x − ct) − γ] + C1 (x − ct) + C2 .

(4.91)

Darin charakterisieren die letzten beiden Glieder eine Starrk¨orperbewegung des Balkens (keine Biegung!). Eine Biegung wird allein durch das erste Glied ausgedr¨ uckt. Die einzig m¨oglichen Biegewellen sind also harmonische Wellen. Setzen wir die Phasenverschiebung γ durch geeignete Wahl des Koordinatenursprungs zu Null, dann k¨ onnen sie durch w(x, t) = C cos k(x − c t) = C cos(k x − ω t)

mit ω = k c

(4.92)

ausgedr¨ uckt werden. Die Gr¨ oße k bezeichnet man als Wellenzahl. Zwischen ihr und der Wellenl¨ ange lw besteht die Beziehung (vgl.

Abb. 4.21

4.4

Biegeschwingungen von Balken

253

Abb. 4.21a) lw =

2π . k

(4.93)

Die Fortpﬂanzungsgeschwindigkeit c der harmonischen Wellen nennt man auch Phasengeschwindigkeit. Sehen wir die Wellenzahl k (und damit die Wellenl¨ ange lw ) als gegeben an, so ergibt sie sich 2 nach (4.90) mit i = I/A zu 2π EI E E = ki = . (4.94) i cB = k A lw Dabei zeigt der Index ,B’ an, dass es sich um den Euler-BernoulliBalken handelt. Die Phasengeschwindigkeit w¨ achst danach linear mit der Wellenzahl an (Abb. 4.21b). Im Gegensatz zur Saite bzw. zum Stab ist c beim Balken also nicht konstant, sondern h¨angt von der Wellenzahl bzw. von der Wellenl¨ ange ab: c = c(lw ). Man nennt ein solches Verhalten Dispersion. Wenn man die gleiche Betrachtung f¨ ur den Timoshenko-Balken durchf¨ uhrt, dann erh¨ alt man auch f¨ ur ihn als einzig m¨ogliche Wellenl¨ osung die harmonische Welle (4.92). F¨ ur die Phasengeschwindigkeit ergibt sich mit den Bezeichnungen nach (4.68) in diesem Fall 6 7 1 2 E/ 7 1 8 cT = + 1 + α ± + 1 + α − 4α. (4.95) 2α (ki)2 (ki)2 Der Index ,T ’ deutet dabei den Timoshenko-Balken an. Bei ihm gibt es nach (4.95) f¨ ur ein und dieselbe Wellenzahl k zwei verschiedene Phasengeschwindigkeiten. Von ihnen geh¨ort die gr¨oßere allerdings zu Wellen von untergeordneter technischer Bedeutung. Wir beschr¨ anken uns daher hier auf die kleinere Phasengeschwindigkeit. Das Ergebnis ist in Abb. 4.21b dargestellt. F¨ ur kleine Wellenzahlen (= große Wellenl¨ angen) steigt die Phasengeschwindigkeit wie beim Euler-Bernoulli-Balken anf¨ anglich linear mit k an. Mit wachsender Wellenzahl strebt sie dann aber einem Grenz wert zu, der durch c∗T = GAS /(A) gegeben ist.

254

4.5

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

4.5 Eigenschwingungen von Membranen und Platten 4.5.1 Membranschwingungen

Die Auslenkung w einer vorgespannten Membran unter einer statischen Belastung p wird nach (3.34) durch die Gleichung Δw = −

p σ 0 tm

beschrieben, wobei Δ der Laplace-Operator, σ0 die Spannung in der Membran und tm deren Dicke ist. Hieraus k¨onnen wir die Gleichung einer frei schwingenden Membran erhalten, indem wir die d’Alembertsche Tr¨ agheitskraft als ¨ außere Belastung einf¨ uhren (vgl. Band 3, Abschnitt 4.1): p = − tm

∂2w . ∂t2

Damit ergibt sich die Bewegungsgleichung Δw =

1 ∂2w c2 ∂t2

mit c2 =

σ0 .

(4.96a)

Man bezeichnet diese als zweidimensionale Wellengleichung. In kartesischen Koordinaten nimmt sie mit Δ = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 die Form 1 ∂2w ∂2w ∂2w + = ∂x2 ∂y 2 c2 ∂t2

(4.96b)

an. Im Unterschied zur eindimensionalen Wellengleichung (4.1) kann f¨ ur (4.96a) keine allgemeine L¨ osung angegeben werden. Im weiteren beschr¨ anken wir uns auf die Untersuchung harmonischer Eigenschwingungen. Hierf¨ ur machen wir den Ansatz w(x, y, t) = W (x, y) cos ωt .

(4.97)

Setzen wir ihn in (4.96a) ein, dann folgt ΔW + κ2 W = 0

mit κ =

ω . c

(4.98)

4.5

Eigenschwingungen von Membranen und Platten

255

Nach Hermann Helmholtz (1821–1894) wird diese Gleichung auch Helmholtzsche Wellengleichung genannt. Ben¨ otigt werden nun noch die Randbedingungen. Ist die Membran fest gelagert, so gilt W |Rand = 0. An einem freien Rand verschwindet dagegen die Ableitung normal zum Rand: ∂W/∂n|Rand = 0. Die unbekannten Eigenwerte κ bzw. die Eigenkreisfrequenzen ω folgen dann aus der L¨ osung des Randwertproblems. Man kann sie in vielen F¨allen (z.B. bei komplizierten R¨ andern) nur mit Hilfe numerischer Methoden bestimmen. Als erstes Beispiel, f¨ ur das eine analytische L¨ osung gelingt, wollen wir die Rechteckmembran behandeln (Abb. 4.22a). Bei ihr gehen wir von der Schwingungsgleichung (4.98) in kartesischen Koordinaten aus: ∂2W ∂2W + + κ2 W = 0. ∂x2 ∂y 2

(4.99)

Machen wir nun f¨ ur die Verschiebung W (x, y) den Produktansatz (Separationsansatz) W (x, y) = X(x) Y (y) ,

(4.100)

dann ergibt sich d2 Y d2 X Y + X 2 + κ2 XY = 0 → 2 dx dy

1 d2 X 1 d2 Y =− − κ2 . 2 X dx Y dy 2

In der rechten Gleichung sind die Variablen getrennt. Sie kann also nur dann erf¨ ullt sein, wenn beide Seiten einer Konstanten gleich sind, die wir mit −α2 bezeichnen (vgl. auch Abschnitt 4.2.3). Dies

Abb. 4.22

256

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

f¨ uhrt auf die beiden Diﬀerentialgleichungen d2 X + α2 X = 0, dx2

d2 Y + β2Y = 0 dy 2

mit α2 + β 2 = κ2 ,

deren L¨ osungen durch X = A cos αx + B sin αx, Y = C cos βy + D sin βy gegeben sind. Damit wird die Produktl¨ osung (4.100) W (x, y) = (A cos αx + B sin αx)(C cos βy + D sin βy). (4.101) Wenn die Rechteckmembran an allen vier R¨andern fest (unverschieblich) gelagert ist, dann liefern die Randbedingungen W (0, y) = 0 → X(0) = 0 :

A = 0,

W (a, y) = 0 → X(a) = 0 :

B sin α a = 0,

W (x, 0) = 0 → Y (0) = 0 :

C = 0,

W (x, b) = 0 → Y (b) = 0 :

D sin β b = 0.

osung!) folgen daraus Wegen B = 0 und D = 0 (nichttriviale L¨ sin αa = 0 → αm = mπ/a, m = 1, 2, . . . , sin βb = 0 → βn = nπ/b,

n = 1, 2, . . . .

Damit erh¨ alt man f¨ ur die Eigenfrequenzen m π 2 n π 2 σ0 2 2 (4.102) + ωmn = c κmn = c αm + βn = a b und f¨ ur die zugeh¨ origen Eigenfunktionen nπy mπx sin . Wmn = Fmn sin a b

(4.103)

Dabei haben wir das Produkt BD durch die Konstante F ersetzt. Zu jedem Wertepaar m, n geh¨ oren nach (4.102) und (4.103) eine Eigenfrequenz ωmn und eine zugeordnete Eigenfunktion Wmn .

4.5

Eigenschwingungen von Membranen und Platten

257

Die tiefste Frequenz (Grundfrequenz) tritt bei m = n = 1 auf. Die zugeh¨ orige Eigenschwingungsform ist nach (4.103) durch je eine halbe Sinuswelle in x- und in y-Richtung gegeben. F¨ ur die Oberschwingung mit m = 2 und n = 1 tritt dagegen in x-Richtung eine ganze Sinuswelle und in y-Richtung eine halbe Sinuswelle auf. In diesem Fall verschwindet die Auslenkung W nicht nur an den R¨ andern, sondern auch entlang der Geraden x = a/2. Man ur die bezeichnet diese Linie als Knotenlinie. Entsprechendes gilt f¨ weiteren Oberschwingungen. Abbildung 4.22b zeigt die Knotenlinien f¨ ur einige F¨alle. Es sei angemerkt, dass unterschiedliche Wertepaare m, n die gleichen Eigenfrequenzen liefern k¨onnen; die zugeh¨ origen Eigenfunktionen sind dabei verschieden. Als weiteres Beispiel betrachten wir die rotationssymmetrischen Eigenschwingungen einer Kreismembran (Abb. 4.23a). Mit dem d2 1 d alt Laplace-Operator (Rotationssymmetrie!) Δ = dr 2 + r dr erh¨ man in diesem Fall aus (4.98) die Besselsche Diﬀerentialgleichung 1 dW d2 W + κ2 W = 0. + dr2 r dr

(4.104)

Ihre allgemeine L¨ osung lautet W (r) = A J0 (κ r) + B Y0 (κ r) ,

(4.105)

wobei J0 (κr) bzw. Y0 (κr) die Besselschen Funktionen (Zylinderfunktionen) erster bzw. zweiter Gattung und 0-ter Ordnung sind. Man beachte, dass diese L¨ osung nicht nur f¨ ur eine Vollmembran, sondern auch f¨ ur eine Kreisringmembran gilt. Um die Eigenfrequenzen zu bestimmen, m¨ ussen wir die Randbedingungen formulieren. Hierzu wollen wir annehmen, dass eine

Abb. 4.23

258

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Vollmembran vorliegt, die am Rand r = a unverschieblich gelagert ist. Bei ihr muss die Auslenkung in der Mitte (r = 0) beschr¨ankt sein. Ber¨ ucksichtigt man, dass f¨ ur r → 0 die Funktion Y0 → −∞ geht, so ergibt sich mit A = 0 (nichttriviale L¨ osung!) W (0) = ∞ : W (a) = 0 :

B = 0, (4.106) J0 (κ a) = 0.

Die zweite Beziehung ist die charakteristische Gleichung. Sie hat unendlich viele Wurzeln κk a, denen die Eigenfunktionen Wk = ur die kleinsten beiden Eigenwerte Ak J0 (κk r) zugeordnet sind. F¨ erh¨ alt man: σ0 κ1 a = 2, 41 → ω1 = κ1 c = 2, 41 , a2 (4.107) σ0 κ2 a = 5, 52 → ω2 = κ2 c = 5, 52 . a2 Die zugeordneten Eigenfunktionen sind in Abb. 4.23b f¨ ur A k = 1 dargestellt. Wir haben hier der Einfachheit halber nur die rotationssymmetrischen Eigenschwingungen betrachtet. Neben diesen existieren aber auch noch Eigenschwingungen, die nicht rotationssymmetrisch sind. Auf sie wollen wir hier nicht n¨ aher eingehen. Erw¨ahnt sei nur, dass ihre Eigenfrequenzen alle u ¨ber ω1 liegen, so dass man diese Frequenz als Grundfrequenz bezeichnen kann. 4.5.2 Plattenschwingungen

Um die Bewegungsgleichung der frei schwingenden Platte aufzustellen, gehen wir genauso vor wie bei der Membran. Die Durchbiegung einer Platte unter statischer Belastung p wird durch die Plattengleichung p ΔΔw = K beschrieben (vgl. (3.52)). F¨ uhren wir nun als ¨ außere Belastung die d’Alembertsche Tr¨ agheitskraft p = −tp ∂ 2 w/∂t2 ein, wobei tp die

4.5

Eigenschwingungen von Membranen und Platten

259

Dicke der Platte ist, dann erhalten wir die Bewegungsgleichung ΔΔw +

tp ∂ 2 w = 0. K ∂t2

(4.108)

F¨ ur die harmonischen Eigenschwingungen machen wir wieder den Ansatz w(x, y, t) = W (x, y) cos ωt.

(4.109)

Damit ergibt sich aus (4.108) die Schwingungsgleichung ΔΔW − κ4 W = (Δ − κ2 )(Δ + κ2 )W = 0 mit κ4 =

(4.110)

tp ω 2 . K

Zur vollst¨ andigen Formulierung des Eigenwertproblems geh¨oren noch die Randbedingungen. Ist die Platte zum Beispiel am Rand frei drehbar gelagert, dann gelten dort die Navierschen Randbedingungen W |Rand = 0 und ΔW |Rand = 0 (vgl. (3.53b)). Als erstes Anwendungsbeispiel betrachten wir die allseitig frei drehbar gelagerte Rechteckplatte nach Abb. 4.24a. Ausgangspunkt ist die Schwingungsgleichung (4.110) in kartesischen Koordinaten: ∂4W ∂4W ∂4W +2 2 2 + − κ4 W = 0. 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 4

(4.111)

Wir verzichten in diesem Fall auf den allgemeinen Separationsansatz (4.100) und verwenden direkt den Ansatz W (x, y) = F sin αx sin βy.

Abb. 4.24

(4.112)

260

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

Dieser erf¨ ullt mit αm = m π/a, m = 1, 2, . . . , βn = n π/b, n = 1, 2, . . .

(4.113)

die Navierschen Randbedingungen W = 0 und ΔW = 0 an allen vier R¨ andern. Setzen wir (4.112) in (4.111) ein, so folgt α4 + 2α2 β 2 + β 4 − κ4 = 0 → α2 + β 2 = κ2 . F¨ ur die Eigenfrequenzen und die Eigenfunktionen erhalten wir damit mπ 2 nπ 2 K K K 2 2 2 = (αm + βn ) = + , ωmn = κmn tp tp a b tp Wmn = Fmn sin

nπy mπx sin . a b

(4.114)

Die Eigenfunktionen der Rechteckplatte sind danach genau die gleichen wie die der Rechteckmembran (vgl. (4.103)). Ein Vergleich der Eigenfrequenzen zeigt, dass diese bei der Platte mit zunehmendem m bzw. n schneller wachsen als bei der Membran. Als zweites Beispiel wollen wir noch die rotationssymmetrischen Eigenschwingungen der frei drehbar gelagerten Vollkreisplatte untersuchen (Abb. 4.24b). Zu diesem Zweck schreiben wir die Schwingungsgleichung (4.110) mit dem Laplace-Operator Δ = d2 1 d dr 2 + r dr in der Form 2 2 d d W 1 d 1 dW 2 2 −κ + κ W = 0. + + (4.115) dr2 r dr dr2 r dr Eine L¨ osung dieser Gleichung erh¨ alt man, wenn man den rechten Klammerausdruck f¨ ur sich zu Null setzt: ΔW + κ2 W =

d2 W 1 dW + κ2 W = 0. + dr2 r dr

(4.116)

Dies ist die Besselsche Diﬀerentialgleichung (vgl. (4.104)), deren L¨ osung durch (4.105) gegeben ist. In unserem Fall (Vollplatte) ist die Auslenkung in der Mitte beschr¨ ankt. Wegen Y0 (r → 0) → −∞ muss also B = 0 sein. Durch die verbleibende L¨osung W (r) = ullen: A J0 (κ r) lassen sich die Navierschen Randbedingungen erf¨

4.6

Energieprinzipien

261

nach (4.116) hat n¨ amlich W = 0 auch ΔW = 0 zur Folge. Damit liefert die Randbedingung W (a) = 0 die gleiche charakteristische Gleichung wie bei der Membran (vgl. (4.106)): J0 (κa) = 0.

(4.117)

Folglich entsprechen auch die Eigenwerte κk a und die Eigenfunkur tionen Wk genau denen der Membran. Dies triﬀt aber nicht f¨ die Eigenfrequenzen zu! F¨ ur die ersten beiden erhalten wir K K 2 = 5, 78 , κ1 a = 2, 41 → ω1 = κ1 t t a4 (4.118) K K = 30, 47 . κ2 a = 5, 52 → ω2 = κ22 t t a4 Angemerkt sei, dass es bei der Platte wie bei der Membran neben den rotationssymmetrischen Eigenschwingungen auch nicht rotationssymmetrische Eigenschwingungen gibt. Die Grundschwingung ist allerdings durch den hier behandelten Fall k = 1 gegeben.

4.6 Energieprinzipien Wir wollen uns in diesem Abschnitt auf die Eigenschwingungen von elastischen K¨ orpern beschr¨ anken. F¨ ur diese lassen sich Energieprinzipien analog zu denen der Elastostatik herleiten (vgl. Abschnitt 2.7). Um dies zu zeigen, betrachten wir als einfaches Beispiel den Stab nach Abb. 4.25. Seine dynamischen Grundgleichun¨ = 0 (vgl. (4.23)) gen bestehen aus dem Bewegungsgesetz N −A u und der Randbedingung N (l, t) = 0 am freien Ende. Die einzige kinematische Gleichung ist die Randbedingung u(0, t) = 0. Im Fall von harmonischen Schwingungen a ¨ndern sich u und N zeitharmonisch mit der Kreisfrequenz ω: u(x, t) = U (x) cos ωt,

Abb. 4.25

4.6

262

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

ˆ (x) cos ωt. Setzen wir in u ¨(x, t) = −ω 2 U (x) cos ωt, N (x, t) = N die Grundgleichungen ein, so f¨ allt der Faktor cos ωt heraus, und ˆ (x). Wenn man erh¨ alt Gleichungen f¨ ur die Amplituden U (x) und N wir letztere von nun an wieder mit den urspr¨ unglichen Buchstaˆ (x) → N (x)) bezeichnen, dann lauten die ben (U (x) → u(x), N Grundgleichungen: N + ω 2 A u = 0,

Dynamik:

N (l) = 0, (4.119)

Kinematik:

u(0) = 0.

Im weiteren gehen wir genauso vor wie in Abschnitt 2.7.1. Mit N (1) , u(1) kennzeichnen wir (dynamisch zul¨ assige) Gr¨oßen, welche die dynamischen Gleichungen erf¨ ullen und mit u(2) (kinematisch zul¨ assige) Gr¨ oßen, welche die kinematischen Gleichungen (hier nur die Randbedingung u(0) = 0) erf¨ ullen. Nun multiplizieren wir die Bewegungsgleichung f¨ ur die dynamisch zul¨ assigen Gr¨oßen mit einer kinematisch zul¨ assigen Verschiebung u(2) (= Testfunktion) und integrieren u ange: ¨ber die Stabl¨

l

dN (1) (2) u dx + ω 2 dx

0

l Au(1) u(2) dx = 0 . 0

Durch partielle Integration folgt daraus

l

l

N

(1)

u

−

(2) 0

N

(1) du

l

(2)

dx

dx + ω

0

2

A u(1) u(2) dx = 0, 0

bzw. mit N (1) (l) = 0 und u(2) (0) = 0 sowie dem Elastizit¨atsgesetz N = EAu

l − 0

du(1) du(2) dx + ω 2 EA dx dx

l A u(1) u(2) dx = 0.

(4.120)

0

Dies ist der verallgemeinerte Arbeitssatz bzw. eine schwache Formulierung f¨ ur die freie Schwingung eines elastischen Stabes. Aus (4.120) lassen sich durch Spezialisierung verschiedene Gesetzm¨ aßigkeiten herleiten. Wenn man f¨ ur u(1) und u(2) die aktuelle

4.6

Energieprinzipien

263

(wirkliche) Verschiebung u(x) einsetzt, dann erh¨ alt man l l

EA u 2 (x) dx = ω 2 A u2 (x)dx. (4.121) 0

0

Darin beschreiben die beiden Ausdr¨ ucke bis auf den Faktor 1/2 ˆk der potenˆp und E gerade die Maximalwerte ( Amplituden“) E ” tiellen Energie Ep (hier das elastische Potential Πi ) und der kinetischen Energie Ek . Mit u(x, t) = u(x) cos ωt gilt n¨amlich l

l 1 1 2 2 EA u (x, t)dx = EA u (x)dx cos2 ωt Ep (t) = 2 2 0

0

ˆp cos2 ωt, =E 1 Ek (t) = 2

(4.122a)

l 2

EA u˙ (x, t)dx = 0

ω2 2

l

A u (x)dx sin2 ωt 2

0

ˆ ∗ sin2 ωt. = ω2 E ! "# k$

(4.122b)

ˆk E

Danach kann man (4.121) auch in der Form ˆp = E ˆk E

ˆk∗ ˆp = ω 2 E E

bzw.

(4.123)

schreiben. Hierdurch wird der Energiesatz f¨ ur ein konservatives schwingendes System ausgedr¨ uckt (vgl. Band 3, Abschnitt 5.2.1). L¨ osen wir (4.123) nach der Kreisfrequenz auf, dann ergibt sich ω2 =

ˆp E . ˆ E∗

(4.124)

k

Mit den Energieausdr¨ ucken (4.122a,b) folgt l 2

ω =

EA u2 (x)dx

0

l 0

.

(4.125)

A u2 (x)dx

Man nennt (4.124) bzw. (4.125) den Rayleigh-Quotienten (Lord Rayleigh, 1842–1919). Setzt man f¨ ur u(x) eine exakte Eigenfunk-

264

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

tion ein, so liefert er die zugeh¨ orige Eigenfrequenz ω. Verwendet man dagegen f¨ ur u eine N¨ aherung der Eigenfunktion, so folgt aus dem Rayleigh-Quotienten eine N¨ aherung f¨ ur die Eigenfrequenz (vgl. Abschnitt 7.5.6). Als weitere Spezialisierung von (4.120) setzen wir f¨ ur u(1) die (2) aktuelle (wirkliche) Verschiebung u(x) und f¨ ur u eine virtuelle Verr¨ uckung δu aus der aktuellen Lage ein. Damit folgt nach Multiplikation mit 1/2 sowie unter Beachtung von δ(u 2 /2) = u δu und δ(u2 /2) = u δu zun¨ achst ω2 2

l

1 A u δu dx − 2

0

1 =δ 2

l

l

EA u δu dx

0

(ω 2 A u2 − EA u 2 )dx = 0.

(4.126)

0

ˆp kann man ˆ=E ˆk − E Mit (4.122a,b) und der Lagrange-Funktion L (4.126) alternativ auch in den Formen ˆ = δ(E ˆk − E ˆp ) = δ(ω 2 E ˆp ) = 0 , ˆk∗ − E δL ˆp = ω 2 E ˆp = station¨ ˆ∗ − E ˆ=E ˆk − E ar L k

(4.127) (4.128)

schreiben. Wir bezeichnen dies als Prinzip vom Station¨ arwert der Lagrange-Funktion. Unter allen kinematisch zul¨assigen Vergleichsfunktionen machen danach die aktuellen (wirklichen) Verschieˆ zu einem Extremum. bungen L Wir haben (4.124) und (4.127) bzw. (4.128) am Beispiel des Stabes hergeleitet. Diese Beziehungen gelten aber allgemein f¨ ur linear elastische Systeme. So lautet zum Beispiel der RayleighQuotient f¨ ur den Balken l ω2 =

EI w 2 (x)dx

0

l 0

. A w2 (x)dx

(4.129)

4.6

Energieprinzipien

265

Sie treﬀen auch zu, wenn am schwingenden K¨orper zus¨atzliche Einzelmassen bzw. Einzelfedern befestigt sind. Man muss dann nur die entsprechenden Energieanteile in der kinetischen und in der potentiellen Energie ber¨ ucksichtigen. Die Prinzipien (4.127) bzw. (4.128) kann man einerseits verwenden, um Schwingungsgleichungen sowie die zugeh¨ origen Randbedingungen herzuleiten. Andererseits stellen sie einen Ausgangspunkt f¨ ur N¨aherungsverfahren dar (vgl. Verfahren von Ritz, Abschnitt 7.5.6). Beispiel 4.6 F¨ ur den elastisch gelagerten Stab mit einer Zusatz-

masse m nach Abb. 4.26 soll die Schwingungsgleichung mit Hilfe des Prinzips vom Station¨ arwert der Lagrange-Funktion hergeleitet werden.

Abb. 4.26

L¨ osung Wir stellen zun¨ achst die Energien auf. Dabei ber¨ ucksich-

tigen wir bei der kinetischen Energie sofort, dass eine harmonische Schwingung vorliegt (u˙ 2 → ω 2 u2 ): ˆp = 1 E 2

l 0 2

ˆk = ω E 2

1 EA u 2 dx + c u2 (l), 2

l A u2 dx +

ω2 m u2 (l). 2

0

Damit liefert (4.127) zun¨ achst 1 0=δ 2

l =

l

(ω 2 A u2 − EA u 2 ) dx + δ

ω2 c m u2 (l) − u2 (l) 2 2

0

(ω 2 A u δu − EA u δu ) dx + [ω 2 m u(l) − c u(l)] δu(l).

0

Den zweiten Teil des Integrals k¨ onnen wir mit partieller Integra-

B4.6

266

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

tion und mit dem Elastizit¨ atsgesetz N = EA u umformen. Man erh¨ alt auf diese Weise unter Beachtung von δu(0) = 0

l 0=

[ω 2 A u + (EA u ) ] δu dx − N (l) δu(l) + N (0) δu(0)

0

+ [ω 2 m u(l) − c u(l)] δu(l)

l =

[ω 2 A u + (EA u ) ] δu dx

0

+ [ω 2 m u(l) − c u(l) − N (l)] δu(l) .

F¨ ur ein beliebiges kinematisch zul¨ assiges δu ist diese Gleichung nur dann erf¨ ullt, wenn gilt: ω 2 A u + (EA u ) = 0 ,

N (l) = [ω 2 m − c] u(l) .

Die erste Gleichung ist die gesuchte Schwingungsgleichung des Stabes. Durch die zweite Gleichung wird die Randbedingung am rechten Stabende ausgedr¨ uckt. B4.7

Beispiel 4.7 F¨ ur den Stab aus Beispiel 4.6 soll mit dem Rayleigh-

Quotienten eine N¨ aherung f¨ ur die Grundfrequenz ermittelt werden. L¨ osung Als einfachste N¨ aherung f¨ ur die Eigenfunktion verwenden wir den Ansatz u ˜ = x. Er erf¨ ullt die kinematische Randbedingung u ˜(0) = 0. Damit ergibt sich (vgl. Beispiel 4.6)

ˆp = 1 EA E 2

l

1 1 2 1 ˜ (l) = EA l + c l2 , u ˜ 2 dx + c u 2 2 2

0

ˆ∗ = 1 A E k 2

l

1 1 1 ˜2 (l) = A l3 + m l2 , u ˜2 dx + m u 2 6 2

0

und es folgt nach (4.124) f¨ ur die Eigenfrequenz ω2 ≈

3EA + 3c l . A l2 + 3m l

4.6

Energieprinzipien

267

W¨ ahlen wir speziell c = 0 und m = Al, dann erh¨alt man daraus 3 E 3EA E 2 = → ω ≈ 0, 866 . ω ≈ 2 2 A l (1 + 3) 4 l l2 Die Abweichung vom exakten Wert ω1 = 0, 860 E/l2 ist kleiner als 1 Prozent (vgl. Abschnitt 4.2.1). Wenn wir m = 0 und c = c∗ = 2EA/l setzen, dann ergibt sich 3EA + 6EA E E 2 =9 2 → ω≈3 . ω ≈ A l2 l l2 Die exakte L¨ osung ist in diesem Fall durch ω1 = 2, 29 E/ l2 gegeben (vgl. Beispiel 4.2); der Fehler betr¨ agt hier ungef¨ahr 30 Prozent. Der gew¨ ahlte N¨ aherungsansatz beschreibt nun die wirkliche Bewegung nicht gut genug.

268

4.7

4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme

4.7 Weiterf¨ uhrende Literatur Bishop, R.E.D., Johnson, D.C., The Mechanics of Vibration, Cambridge University Press 1979 Fryba, L., Vibration of Solid Structures under Moving Loads, Telford, London 1999 Hagedorn, P., Kelkel, K., Technische Schwingungslehre II: Lineare Schwingungen kontinuierlicher mechanischer Systeme, Springer, Berlin 1989 Le, K.C., Vibrations of Shells and Rods, Springer, Berlin 1999 Magrab, E.B., Vibrations of Elastic Structural Members, Sijthoﬀ Noordhoﬀ, 1979 Natke, H.G., Baudynamik, Teubner, Stuttgart 1989 Rao, J.S., Advanced Theory of Vibrations, Wiley, New York 1993 Soedel, W., Vibrations of Shells and Plates, Dekker, New York 2004 Yu, Y.Y., Vibrations of Elastic Plates, Springer, Berlin 1998

Kapitel 5 Stabilit¨ at elastischer Strukturen

5

5 Stabilit¨ at elastischer Strukturen 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.6

Allgemeines ...................................................... 271 Beschreibung typischer Stabilit¨atsf¨alle ..................... 272 Der elastisch eingespannte Druckstab als Beispiel f¨ ur ein Verzweigungsproblem .......................................... 272 Der Einﬂuss von Imperfektionen ............................ 278 Ein Beispiel f¨ ur ein Durchschlagproblem .................. 283 Verallgemeinerung .............................................. 285 Stabknicken ...................................................... 290 Der elastische Druckstab mit großen Verschiebungen – Die Elastica ................................................... 290 Ermittlung der Knickgleichung mit der Energiemethode 295 Der imperfekte Druckstab .................................... 299 Plattenbeulen .................................................... 302 Die Beulgleichung .............................................. 302 Die Rechteckplatte unter einseitigem Druck.............. 305 Die Kreisplatte .................................................. 311 Weiterf¨ uhrende Literatur ...................................... 314

5.1

Allgemeines

271

5.1 Allgemeines Der Begriﬀ der Stabilit¨ at wird im allt¨ aglichen und im technischen Sprachgebrauch vielf¨ altig verwendet. Man muss daher stets genau angeben, um welches spezielle Stabilit¨ atsproblem es sich im konkreten Fall handelt. Wir besch¨ aftigen uns in diesem Kapitel ausschließlich mit der statischen Stabilit¨ at elastischer Tragwerke. Hierunter wollen wir die Untersuchung von Gleichgewichtslagen auf deren Stabilit¨ at verstehen (vgl. Band 1, Abschnitt 8.5). Wir werden die Betrachtungen zun¨ achst an einfachen Stab-FederModellen durchf¨ uhren. An ihnen kann man alle wesentlichen Ph¨anomene erkennen, welche das Stabilit¨ atsverhalten von Tragwerken beschreiben. In Band 2, Abschnitt 7.1 haben wir bereits gezeigt, dass beim Druckstab unter einer Last F eine Verzweigung der Gleichgewichtslagen auftreten kann. Die zugeh¨orige Last heißt ur F < Fkrit kritische Last. Wir wollen sie mit Fkrit bezeichnen. F¨ bleibt der Stab in seiner urspr¨ unglichen Lage. F¨ ur F > Fkrit wird das Problem mehrdeutig: neben der Ausgangslage existieren weitere Gleichgewichtslagen, die mit seitlichen Auslenkungen verbunden sind. Die Berechnung kritischer Lasten ist das Hauptanliegen der klassischen Stabilit¨ atstheorie. Wir werden zeigen, dass bei bestimmten Strukturen auch Gleichgewichtslagen f¨ ur F > Fkrit ermittelt und auf ihre Stabilit¨ at hin untersucht werden m¨ ussen. Wir werden anschließend die L¨ osungsmethoden, die wir bei den Modellen kennengelernt haben, auf elastische Kontinua u ¨bertragen. Dabei beschr¨ anken wir uns auf St¨ abe und Platten. Beim Stab nennt man das seitliche Ausweichen oberhalb der kritischen Last Knicken, bei der Platte (und der Schale) heißt es Beulen. Wir setzen beim Kontinuum stets ein ideal-elastisches Materialverhalten voraus. Außerdem sollen alle Kr¨ afte ein Potential besitzen, d.h. konservativ sein. Nicht behandeln werden wir hier das weite Feld der Stabilit¨at der Bewegung von diskreten bzw. von kontinuierlichen Systemen. Diese haben z.B. in der Raumfahrt, im Maschinenbau oder in der Str¨ omungsmechanik eine große Bedeutung.

5.1

272

5.2

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

5.2 Beschreibung typischer Stabilit¨ atsf¨ alle 5.2.1 Der elastisch eingespannte Druckstab als Beispiel f¨ ur ein Verzweigungsproblem

Wir betrachten einen starren Stab der L¨ ange l, der an seinem Fußpunkt durch eine lineare Drehfeder mit der Steiﬁgkeit cT gehalten und durch eine richtungstreue Druckkraft F belastet wird (Abb. 5.1a). Die betrachtete Ausgangslage des Stabes ist oﬀensichtlich eine Gleichgewichtslage. Wir suchen nun die Lasten, unter denen neben dieser Lage weitere Gleichgewichtslagen auftreten und die mit einer seitlichen Auslenkung des Stabes verbunden sind. Falls solche Lagen existieren, ist die Ausgangslage f¨ ur die zugeh¨ origen Lasten m¨ oglicherweise instabil. Zur L¨osung dieses Stabilit¨ atsproblems wollen wir zwei Verfahren vorstellen. 1) Gleichgewichtsmethode. Wir denken uns bei dieser Methode den Stab um einen Winkel ϕ ausgelenkt (Abb. 5.1b) und stellen das Gleichgewicht am so verformten System auf. Aus dem Momentengleichgewicht bez¨ uglich A folgt F l sin ϕ − cT ϕ = 0 .

(5.1)

Danach kann es f¨ ur einen Wert von F neben der Ausgangslage ϕ = 0 noch weitere Gleichgewichtslagen geben. Unter welchen Bedingungen dies auftritt erkennt man, wenn man (5.1) umschreibt: Fl ϕ = . sin ϕ cT

(5.2)

Abb. 5.1

5.2

Beschreibung typischer Stabilit¨atsf¨alle

273

Da stets sin ϕ ≤ ϕ ist, existieren L¨ osungen ϕ = 0 nur f¨ ur F > cT /l. F¨ ur F < cT /l gibt es nur die lotrechte Gleichgewichtslage ϕ = 0 ¨ (1. L¨ osungsast). Mit Steigerung von F treten nach Uberschreiten von F = cT /l zwei weitere Gleichgewichtslagen ±ϕ∗ auf, die aus (5.1) bzw. (5.2) ermittelt werden k¨ onnen (2. L¨ osungsast). Die zugeh¨ orige Last-Verformungskurve F (ϕ) ist in Abb. 5.1c dargestellt. Der Schnittpunkt dieser Kurve mit der Geraden ϕ = 0 kennzeichnet den Verzweigungspunkt, die zugeh¨ orige Last heißt kritische ur F > Fkrit als Nachknickkurve Last Fkrit . Wir wollen F (ϕ) f¨ ¨ bezeichnen. Uber die Stabilit¨ at von Gleichgewichtslagen, die den Punkten auf dieser Kurve entsprechen, k¨ onnen wir mit der Gleichgewichtsmethode nichts aussagen. In vielen F¨ allen reicht es aus, nur die kritische Last zu ermitteln; sie ist durch den Verzweigungspunkt festgelegt. In der Umgebung des Verzweigungspunktes sind die zus¨ atzlichen Gleichgewichtslagen benachbart zur Lage ϕ = 0. Wir k¨ onnen daher die kritische Last aus der Gleichgewichtsbedingung (5.1) direkt erhalten, wenn wir sie f¨ ur kleine ϕ linearisieren, d.h. sin ϕ ≈ ϕ setzen. Es entsteht dann die lineare homogene Gleichung (F l − cT ) ϕ = 0 .

(5.3)

Sie ist erf¨ ullt f¨ ur ϕ = 0 (triviale L¨ osung) oder f¨ ur F = Fkrit =

cT . l

(5.4)

Man nennt Fkrit den Eigenwert des hier vorliegenden Eigenwertproblems. Die L¨ osung von (5.3) ist in Abb. 5.1d dargestellt: bei angigkeit F (ϕ) f¨ ur F = Fkrit erfolgt die Verzweigung. Die Abh¨ ϕ > 0 l¨ asst sich aus der linearen Theorie nicht ermitteln. 2) Energiemethode. Wir wollen nun dasselbe Problem auf einem zweiten Weg l¨ osen. Bei einer Auslenkung ϕ wird in der Feder eine Form¨ anderungsenergie Πi = 12 cT ϕ2 gespeichert. Da die Druckkraft richtungstreu sein soll, ist ihr Potential Πa = F l cos ϕ (Nullniveau in H¨ ohe des Lagers). Damit wird das Gesamtpotential 1 Π = Πa + Πi = F l cos ϕ + cT ϕ2 . 2

274

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

Die Gleichgewichtslagen folgen nach Band 1, Gleichung (8.11) aus dΠ =0 dϕ

→ − F l sin ϕ + cT ϕ = 0.

¨ Hieraus ergeben sich die Lage ϕ = 0 und in Ubereinstimmung mit (5.2) die Bestimmungsgleichung Fl ϕ = sin ϕ cT f¨ ur weitere Gleichgewichtslagen. Zus¨ atzlich k¨ onnen wir jetzt Aussagen u at dieser Lagen treﬀen (vgl. Band 1, Gl. ¨ber die Stabilit¨ (8.13)). Hierzu bilden wir die zweite Ableitung des Potentials d2 Π = − F l cos ϕ + cT . dϕ2 Wir setzen zun¨ achst ϕ = 0 in (5.5) ein und erhalten mit (·) c c Π < 0 f¨ Π > 0 f¨ ur F < T , ur F > T . l l

(5.5) d dϕ (·)

=

Die Lage ϕ = 0 ist hiernach nur bis zur kritischen Last Fkrit = cT /l (vgl. (5.4)) stabil. F¨ ur Lasten oberhalb des Verzweigungspunktes ist diese Lage instabil (vgl. Abb. 5.1c). Setzen wir den Winkel ϕ der weiteren Gleichgewichtslagen nach (5.2) in (5.5) ein, so wird ϕ . Π = − F l cos ϕ + cT = cT 1 − tan ϕ Wegen ϕ/ tan ϕ < 1 (f¨ ur | ϕ |≤ π/2) ist Π > 0: alle Gleichgewichtslagen auf dem L¨ osungsast ϕ = 0 sind stabil (vgl. Abb. 5.1c). Schließlich soll noch erw¨ ahnt werden, dass man die Frage nach der Stabilit¨ at einer Gleichgewichtslage nicht nur mit der Energiemethode, sondern auch mit Hilfe einer kinetischen Methode beantworten kann. Jede Gleichgewichtslage ist ja dadurch gekennzeichnet, dass sich das betrachtete System in ihr in Ruhe beﬁndet. St¨ ort man diese Lage, indem man eine kleine Auslenkung (oder eine kleine Geschwindigkeit) aufzwingt, so wird sich das System i.a. bewegen. Man nennt eine Lage stabil, wenn kleine St¨orun-

5.2

Beschreibung typischer Stabilit¨atsf¨alle

275

gen nur kleine Abweichungen des Systems von der betrachteten Gleichgewichtslage bewirken. Die Lage heißt instabil, wenn sich das System nach Aufbringen der kleinen St¨ orung aus der betrachteten Gleichgewichtslage weiter entfernt. Wir wollen das Vorgehen am Modell nach Abb. 5.1a f¨ ur die Lage ϕ = 0 erl¨ autern. Der Stab kann eine Rotation um das Lager A ausf¨ uhren. Wir denken uns daher den Stab (Tr¨agheitsmoment ΘA ) aus der Gleichgewichtslage ϕ = 0 um einen kleinen Winkel ϕ0 ausgelenkt und untersuchen die Bewegung, wenn er aus dieser gest¨ orten Lage ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird. Als Bewegungsgleichung k¨ onnen wir den Drallsatz (vgl. Band 3, Gl. (3.12)) um A aufstellen, wobei wir kleine Winkel voraussetzen: ΘA ϕ¨ = MA = (F l − cT )ϕ

→

ϕ¨ +

cT − F l ϕ = 0. ΘA

(5.6)

Mit den Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ0 und ϕ(0) ˙ = 0 hat diese Schwingungsgleichung die L¨ osung ϕ = ϕ0 cos ω t. Die Frequenz (vgl. Band 3, Abschn. 5.2.1) cT − F l (5.7) ω= ΘA h¨ angt von der Druckkraft F ab. F¨ ur F l < cT schwingt das gest¨orte ungliche Lage System mit der kleinen Amplitude ϕ0 um seine urspr¨ ϕ = 0. Die Lage ist daher stabil. Wegen einer stets vorhandenen D¨ ampfung geht in Wirklichkeit das schwingende System mit wachsender Zeit gegen die Ruhelage. Ist dagegen F l > cT , so hat (5.6) die L¨ osung F l − cT mit λ= . ϕ = ϕ0 cosh λt ΘA Das bei ϕ = 0 gest¨ orte System entfernt sich dann mit zunehmender Zeit t immer weiter von der Ausgangslage: diese ist instabil. Besonders wichtig ist der Grenzfall F = Fkrit = cT /l. Dann geht die Frequenz nach (5.7) gegen Null. Dieses Ergebnis kann verallgemeinert werden: bei einem schwingungsf¨ ahigen System, bei dem

276

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

eine Verzweigung des Gleichgewichts auftritt, strebt die Frequenz bei Ann¨ aherung an den Verzweigungspunkt gegen Null. Bisher haben wir bei allen L¨ osungsmethoden eine lineare Federkennlinie angenommen. Wir wollen zum Abschluss dieses Abschnitts am gleichen Modell noch den Einﬂuss einer nichtlinearen Federcharakteristik auf das Stabilit¨ atsverhalten untersuchen. Hierzu nehmen wir einen kubischen Verlauf f¨ ur das Federmoment M (ϕ) an: M (ϕ) = cT ϕ(1 + a ϕ + b ϕ2 ) .

(5.8)

In Abb. 5.2a sind die Kennlinien f¨ ur einige Sonderf¨alle der Federparameter aufgetragen.

Abb. 5.2

Zur Ermittlung der Gleichgewichtslagen und deren Stabilit¨at wenden wir die Energiemethode an. Das Potential der ¨außeren Last bleibt unver¨ andert Πa = F l cos ϕ. Das Federpotential folgt mit (5.8) aus Πi = M (ϕ) dϕ zu 2 ϕ3 ϕ4 ϕ +a +b . Πi = cT 2 3 4

5.2

Beschreibung typischer Stabilit¨atsf¨alle

277

Aus dΠ /dϕ = 0 ergeben sich die Bedingungen f¨ ur das Gleichgewicht: Π = cT ϕ(1 + a ϕ + b ϕ2 ) − F l sin ϕ = 0 →

a) ϕ = 0 b) F = Fkrit

c ϕ + a ϕ2 + b ϕ3 mit Fkrit = T . sin ϕ l

(5.9)

Aussagen u at dieser Lagen erhalten wir aus der ¨ber die Stabilit¨ zweiten Ableitung: Π = cT (1 + 2 a ϕ + 3 b ϕ2 ) − F l cos ϕ. F¨ ur die Lage ϕ = 0 folgt Π (0) = cT − F l →

⎧ ⎨ F < Fkrit : stabil, ⎩

F > Fkrit : instabil.

F¨ ur die Lagen oberhalb des Verzweigungspunktes Fkrit wird mit (5.9) Π = cT (1 + 2 a ϕ + 3 b ϕ2 ) − cT (1 + a ϕ + b ϕ2 )

ϕ cos ϕ . (5.10) sin ϕ

Diese Gleichung kann f¨ ur gegebene a und b numerisch ausgewertet werden. Wenn wir die Stabilit¨ at nur in der Umgebung des Verzweigungspunktes untersuchen wollen, k¨ onnen wir (5.10) f¨ ur kleine ϕ entwickeln und erhalten 1 Π = cT a ϕ + 2 b + ϕ2 , ϕ 1 . (5.11) 3 Dieser Ausdruck kann je nach Wahl von a und von b positive bzw. negative Werte annehmen. Die zugeh¨ origen Gleichgewichtslagen sind dann stabil bzw. instabil. ur einiIn Abb. 5.2b ist die auf Fkrit bezogene Last nach (5.9) f¨ ge Federparameter aufgetragen. Die Abbildungen zeigen folgende Ergebnisse: ur 1) Die Lage ϕ = 0 ist bei allen Federn f¨ ur F/Fkrit < 1 stabil, f¨ F/Fkrit > 1 instabil.

278

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

2) F¨ ur a = b = 0 ist die Feder linear. Die Abbildung stimmt daher mit Abb. 5.1c u ¨berein. 3) F¨ ur a = 0, b = 1 (¨ uberlineare Feder) ¨ ahnelt F (ϕ) der vorangegangenen Abbildung. Nach (5.11) sind die Lagen in der Umgebung des Verzweigungspunktes stabil. Da keine weitere Verzweigung von dieser Kurve erfolgt, ist der gesamte Nachknickbereich stabil. 4) F¨ ur a = 0, b = −1 (unterlineare Feder) gibt es keine Lagen ϕ = 0 f¨ ur F/Fkrit > 1. Die Nachknickkurve ist nach (5.11) stets instabil. 5) F¨ ur a = 1, b = 1 ist die Nachknickkurve unsymmetrisch zum Verzweigungspunkt. Aus (5.11) k¨ onnen wir schließen: ur ϕ > 0 und f¨ ur ϕ < − 3/7 , Π > 0 f¨ ur − 3/7 < ϕ < 0 . Π < 0 f¨ ¨ Zu den Asten ϕ > 0 und ϕ < ϕ∗ = −3/7 geh¨oren stabile Gleichgewichtslagen, zum Bereich dazwischen instabile Gleichgewichtslagen. Man kann zeigen, dass die Stabilit¨ atsgrenze ϕ∗ zum Minimum der Kurve F (ϕ) geh¨ ort. Dabei ist ϕ∗ = −3/7 = −0, 429 nicht der exakte Wert f¨ ur die Stabilit¨ atsgrenze, da er aus der N¨ aherung (5.11) ermittelt wurde. Aus dF/dϕ = 0 folgt vielmehr ϕ∗ = −0, 443. Zusammenfassend ﬁndet man, dass die Last-Verformungskurven in nichtlinearen Systemen sehr unterschiedlich verlaufen k¨onnen. Hieraus resultiert auch das sehr unterschiedliche Stabilit¨atsverhalten von Systemen mit nichtlinearer Federcharakteristik. 5.2.2 Der Einﬂuss von Imperfektionen

Bisher hatten wir angenommen, dass der Stab f¨ ur F = 0 lotrecht steht und die Druckkraft mittig angreift. Wenn diese Idealisierungen erf¨ ullt sind, sprechen wir von einem perfekten Stab. In der realen Struktur treten aber meistens schon im unbelasteten Zustand Verformungen auf. Wir bezeichnen diese als Vorverformungen oder Imperfektionen. Außerdem greifen h¨auﬁg die Lasten exzentrisch an. Diese beiden Abweichungen von der idealisierten Struktur zeigen ¨ ahnlichen Einﬂuss auf das Stabilit¨atsverhalten.

5.2

Beschreibung typischer Stabilit¨atsf¨alle

279

Einen Stab mit einer Vorverformung (oder einer außermittigen Last) wollen wir imperfekt nennen. Als Beispiel f¨ ur einen imperfekten Stab betrachten wir wieder das in Abschnitt 5.2.1 behandelte Modell, wobei der Stab im unbelasteten Zustand nun um einen Winkel ϕ0 ausgelenkt ist (Abb. 5.3a). Wir wenden die Energiemethode an und z¨ahlen ϕ von der Lage im unbelasteten Zustand aus. Die Kraft hat dann bei einer zus¨ atzlichen Auslenkung das Potential Πa = F l cos(ϕ + ϕ0 ). Die Feder soll die nichtlineare Kennlinie M (ϕ) = cT (1+a ϕ+b ϕ2 ) wie in (5.8) haben. Dann k¨ onnen wir das Gesamtpotential und die ersten beiden Ableitungen anschreiben: Π = cT ( 12 ϕ2 + a 13 ϕ3 + b 14 ϕ4 ) + F l cos(ϕ + ϕ0 ) ,

Π = cT (ϕ + a ϕ2 + b ϕ3 ) − F l sin(ϕ + ϕ0 ) ,

Π = cT (1 + 2 a ϕ + 3 b ϕ2 ) − F l cos(ϕ + ϕ0 ) . Die Gleichgewichtsbedingung Π = 0 liefert F = Fkrit

Abb. 5.3

ϕ + a ϕ2 + b ϕ3 sin(ϕ + ϕ0 )

mit

Fkrit = cT /l .

(5.12)

280

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

Hier gibt es f¨ ur positive ϕ jetzt nur noch einen L¨osungsast. Beim imperfekten Stab ﬁndet keine Verzweigung statt: das Knickproblem wird zum Biegeproblem. Die Stabilit¨ at der Gleichgewichtslagen folgt aus dem Vorzeichen von ϕ . (5.13) Π = cT (1 + 2aϕ + 3bϕ2 ) − cT (1 + aϕ + bϕ2 ) tan(ϕ + ϕ0 ) In Abb. 5.3b sind die Ergebnisse der numerischen Auswertung von (5.12) und (5.13) f¨ ur vier verschiedene F¨alle (Federparameter) dargestellt. Wir beschr¨ anken uns dabei auf eine positive Vorverformung und w¨ ahlen ϕ0 = 0, 05. Zum Vergleich sind die Ergebnisse des perfekten Stabes nach Abb. 5.2b mit eingetragen. Man erkennt, dass in allen vier F¨ allen F (ϕ) f¨ ur kleine ϕ zun¨achst ann¨ ahernd linear verl¨ auft. Mit wachsender Last macht sich die Nichtlinearit¨ at von F (ϕ) zunehmend bemerkbar. In den F¨allen I, II und IV treten in der N¨ ahe der kritischen Last Fkrit bei der imperfekten Struktur große Verformungen auf. F¨ ur F > Fkrit schmiegen sich diese L¨ osungen an die Verzweigungs¨aste der perfekten St¨ abe an. Mit (5.13) kann man zeigen, dass alle Lagen ϕ > 0 f¨ ur diese drei imperfekten St¨ abe stabil sind. Es sei angemerkt, dass die Lasten in Wirklichkeit nicht beliebig anwachsen k¨onnen, da Grenzen f¨ ur die Belastbarkeit durch zul¨ assige Spannungen bzw. zul¨ assige Verformungen vorgegeben sind. Ein v¨ ollig anderes Verhalten zeigt dagegen die L¨osung im Fall III. Hier erreicht F (ϕ) im Punkt Fm , der unterhalb von Fkrit liegt, ein Maximum. Damit ist bereits f¨ ur F = Fm < Fkrit die Grenze der Tragf¨ ahigkeit der Struktur erreicht. Bei einer Laststeigeurde der Stab durchschlagen“ (vgl. Abrung u ¨ber Fm hinaus w¨ ” schnitt 5.2.3). Je gr¨ oßer die Vorverformung ϕ0 wird, desto kleiner wird Fm . Ein System mit einer Federkennlinie nach III nennt man daher besonders empﬁndlich“ gegen Imperfektionen. ” In allen vier F¨ allen gibt es nach (5.12) weitere L¨osungs¨aste f¨ ur negative ϕ, die teils stabil, teils instabil sind. Sie sind in Abb. 5.3b ebenfalls eingetragen, haben aber keine praktische Bedeutung, da man diese Lagen bei quasistatischer Laststeigerung von F = 0 aus nie erreicht. Man k¨ onnte diese L¨ osungen nur veriﬁzieren, indem man das System durch geeignete Manipulationen in Lagen mit

5.2

Beschreibung typischer Stabilit¨atsf¨alle

281

¨ ϕ < 0 zwingt und dann die Lasten aufbringt, die zu diesen Asten geh¨ oren. Es sei angemerkt, dass die Asymptote beim imperfekten System nicht bei ϕ = 0 sondern bei ϕ = −ϕ0 liegt. Dies ist wegen ϕ0 1 in den Abbildungen nicht zu erkennen. Beispiel 5.1 Ein gelenkig gelagerter Stab wird seitlich durch eine Feder (Steiﬁgkeit c) gehalten. Die Feder wird so gef¨ uhrt, dass sie in jeder Lage waagerecht ist. Die Kraft F greift mit einer Exzentrizit¨at e an (Abb. 5.4a). Gesucht ist die Grenzlast, die das System aufnehmen kann.

Abb. 5.4

L¨ osung Wir wenden die Energiemethode an. Wenn wir das Nullni-

veau des Potentials von F in der H¨ ohe l w¨ ahlen, so gilt (Abb. 5.4b)

e Πa = − F l 1 − cos ϕ + sin ϕ . l Mit der Federenergie Πi = 12 cx2 = 12 c(a sin ϕ)2 wird das Gesamtpotential Π = 12 c (a sin ϕ)2 − F l 1 − cos ϕ + el sin ϕ . Die Gleichgewichtslagen folgen aus

e (a) Π = 0 → c a2 sin ϕ cos ϕ − F l sin ϕ + cos ϕ = 0 . l Wenn wir die bezogene Last F¯ = F l/c a2 einf¨ uhren, dann erhalten wir hieraus f¨ ur die Last-Verformungskurve

B5.1

282

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

F¯ =

sin ϕ

(b) e . l Sie ist in Abb. 5.4c f¨ ur e/l = 0, 05 dargestellt. Um die Stabilit¨ at der Lagen zu untersuchen, bilden wir die zweite Ableitung des Potentials:

e Π = cos 2ϕ − F¯ cos ϕ − sin ϕ c a2 . (c) l Setzen wir (b) ein, so ﬁnden wir nach einigen trigonometrischen Umformungen

cos2 ϕ e 3 − tan ϕ c a2 . Π = e l tan ϕ + l Hiernach sind die Lagen mit tan3 ϕ < e/l stabil und solche mit tan3 ϕ > e/l instabil. Im Grenzfall tan3 ϕ = e/l wird dF¯ /dϕ = 0. Die Last-Verformungskurve des imperfekten Stabes hat dort ihr Maximum F¯m (vgl. Fall III in Abb. 5.3b). Der Stab kann keine gr¨oßere Last aufnehmen. Setzt man tan3 ϕ = e/l in (b) ein, so erh¨ alt man – wiederum nach elementaren Rechnungen mit trigonometrischen Beziehungen – f¨ ur die gesuchte Grenzlast e 2/3 −3/2 . (d) F¯m = 1 + l tan ϕ +

Im Zahlenbeispiel liegt der Gr¨ oßtwert der Last bei ϕ∗ = 0, 35 und ¯ ur kleinere Exzentrizit¨aten (e/l 1) hat den Wert Fm = 0, 82. F¨ kann man Gleichung (d) entwickeln und ﬁndet dann n¨aherungsweise 3 e 2/3 F¯m ≈ 1 − . (e) 2 l Aus dieser N¨ aherung folgt im Zahlenbeispiel die Grenzlast F¯m ≈ 0, 86. Die kritische Last nimmt mit wachsendem e ab: die Struktur ist empﬁndlich gegen Imperfektionen. F¨ ur e = 0 folgt aus (d) die kritische Last des perfekten Stabes zu a2 . (f) F¯krit = 1 → Fkrit = c l

5.2

Beschreibung typischer Stabilit¨atsf¨alle

283

Die Nachknickkurve f¨ ur e = 0 ist ein Kosinus (vgl. (b)). Dieser Ast ist nach (c) instabil. F¨ ur F¯ > F¯krit = 1 existiert dann nach (a) zus¨ atzlich die Gleichgewichtslage ϕ = 0. Sie ist nach (c) ebenfalls instabil (Abb. 5.4c).

5.2.3 Ein Beispiel f¨ ur ein Durchschlagproblem

Wir betrachten zwei gelenkig verbundene, starre St¨abe, die mit einem festen Lager bzw. mit einem elastisch abgest¨ utzten Rollenlager verbunden sind (Abb. 5.5a). Im unbelasteten Zustand sei die Feder entspannt, und jeder Stab hat einen Winkel α gegen¨ uber der Horizontalen. Wird das System durch eine vertikale Kraft F belastet, so wird die Feder zusammengedr¨ uckt, und die St¨abe bilden einen Winkel ϕ mit der Horizontalen (Abb. 5.5b). Wir wollen die Gleichgewichtslagen bei quasistatischer Steigerung der Last ermitteln und deren Stabilit¨ at untersuchen. Dabei wenden wir die Energiemethode an. Das Gesamtpotential des Systems lautet Π = − F l(sin α − sin ϕ) + 12 c (2l)2 (cos ϕ − cos α)2 . Setzen wir die erste Ableitung dΠ = F l cos ϕ + 4 c l2 (cos ϕ − cos α)(− sin ϕ) dϕ

Abb. 5.5

284

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

zu Null, so folgt f¨ ur die Gleichgewichtslagen F = sin ϕ − cos α tan ϕ . 4cl

(5.14)

Diese Gleichung, die f¨ ur −π/2 < ϕ ≤ α < π/2 gilt, stellt einen nichtlinearen Kraft-Verformungs-Zusammenhang F (ϕ) dar. Er ist in Abb. 5.5c dargestellt. Die Kurve beginnt im Punkt I bei ϕ = α. Bei quasistatischer Laststeigerung wird in II ein Punkt erreicht, bei dem zun¨ achst keine gr¨ oßere Last aufgebracht werden kann. Bei weiterer Laststeigerung ist Gleichgewicht nur auf dem Ast oberhalb von IV m¨ oglich, d.h. der Stabzweischlag schl¨agt in diese Lage mit großem negativem ϕ durch. In II ist dF /dϕ = 0. Daraus folgt der kritische Winkel ϕD f¨ ur den Durchschlag: cos α dF = 0 = cos ϕD − dϕ cos2 ϕD

→ cos ϕD =

√ 3

cos α .

(5.15)

Hiermit ﬁndet man die Durchschlaglast FD : FD = sin ϕD − cos α tan ϕD 4cl = sin ϕD − cos3 ϕD tan ϕD = sin3 ϕD .

(5.16)

Eine Aussage u ¨ber die Art des Gleichgewichts l¨angs der Kurve erhalten wir aus der zweiten Ableitung des Potentials: d2 Π = −F l sin ϕ + 4 c l2 (cos ϕ − cos α)(− cos ϕ) + 4c l2 sin2 ϕ . dϕ2 Sie l¨ asst sich mit (5.14) auch in folgender Form darstellen:

d2 Π 2 cos α 2 − cos = 4 c l ϕ . (5.17) dϕ2 cos ϕ Im Bereich − cos α < cos3 ϕ < cos α ist die zweite Ableitung positiv, und damit liegt dort stabiles Gleichgewicht vor. In Abb. 5.5c sind dies mit (5.15) der Ast von I bis II und der Ast von III u ¨ber IV hinaus. Alle Gleichgewichtslagen zwischen II und III sind dagegen instabil. Anschaulich kann man dies z.B. an der Lage ϕ = 0 erkennen. Dort ist die Feder gespannt, ohne dass eine ¨außere Last F wirkt. Schon bei einer kleinen St¨ orung wird der Stabzweischlag

5.3

Verallgemeinerung

285

aus dieser instabilen Lage in eine der stabilen Lagen ±α u ¨bergehen.

5.3

5.3 Verallgemeinerung Die Methoden, die wir bei den Modellen mit einem Freiheitsgrad angewendet haben, k¨ onnen wir auf diskrete Systeme mit mehreren Freiheitsgraden und auf kontinuierliche Systeme verallgemeinern. Wenn f¨ ur eine Struktur ein Verzweigungspunkt existiert, liefern Gleichgewichts- und Energiemethode dieselben Gleichgewichtslagen. Allerdings erh¨ alt man mit der Gleichgewichtsmethode nur die Lagen, w¨ ahrend die Energiemethode zus¨ atzlich Aussagen u ¨ber deren Stabilit¨ at erm¨ oglicht. Bei einem diskreten System (aus starren K¨ orpern und Federn) mit n Freiheitsgraden muss man zur Anwendung der Gleichgewichtsmethode ein System von n Gleichgewichtsbedingungen aufstellen und l¨ osen. Sucht man eine L¨ osung mit Hilfe der Energiemethode, so gehen jetzt in die Federenergie die Anteile aller in dem System vorhandenen Federn ein (vgl. Beispiel 5.2). Wir beschreiben die ausgelenkte Lage durch die verallgemeinerten Koordinaten qi (Verschiebungen, Winkel, vgl. Band 3, Abschnitt 4.3). Das Gesamtpotential ist dann durch Π = Π(qi ) gegeben. Damit Gleichgewicht herrscht, muss die Bedingung ∂Π δΠ = 0 → δΠ = δqi = 0 ∂qi erf¨ ullt sein. Da die δqi beliebig sind, erhalten wir daraus die n Gleichgewichtsbedingungen ∂Π = 0, ∂q1

∂Π = 0, ∂q2

...,

∂Π = 0. ∂qn

(5.18)

Eine Gleichgewichtslage ist stabil, wenn das Potential dort ein Minimum hat. Um hier¨ uber eine Aussage treﬀen zu k¨onnen, muss die folgende Determinante aus allen zweiten Ableitungen des Potentials gebildet werden:

286

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

D1 .. ∂2Π ∂2Π . 2 ∂q1 ∂q1 ∂q2 ··· ∂2Π ∂2Π Dn = ∂q2 ∂q1 ∂q22 ··· ··· ··· .. .. . . 2 2 ∂ Π ∂ Π ∂qn ∂q1 ∂qn ∂q2

D2 .. . ···

Dn ∂2Π ∂q1 ∂qn

.. . ···

···

.

∂2Π ∂qn2

Man kann zeigen, dass eine Gleichgewichtslage stabil ist, wenn angs der Hauptdiagonale Dn und alle Unterdeterminanten, die l¨ gebildet werden k¨ onnen, positiv sind: D1 > 0, D2 > 0, . . . , Dn > 0 . Ein Verzweigungspunkt liegt vor, wenn die Bedingungen ∂Π = 0, i = 1, 2, . . . , n ∂qi

und

Dn = 0

erf¨ ullt sind. Beim elastischen Kontinuum m¨ ussen bei Anwendung der Gleichgewichtsmethode neben den Gleichgewichtsbedingungen (am verformten System) konstitutive Gleichungen aufgestellt werden. Diese stellen einen Zusammenhang zwischen den Schnittgr¨oßen und den kinematischen Gr¨ oßen her (sie treten an die Stelle der Federgesetze beim Mehrk¨ orpersystem). Bei der Energiemethode geht in das Gesamtpotential Π die Form¨ anderungsenergie Πi des betrachteten elastischen K¨ orpers ein. Die Ermittlung von Gleichgewichtslagen erfolgt wie bei diskreten Systemen aus δΠ = 0. Diese Bedingung muss nun wie in Abschnitt 2.7.3 behandelt werden. Eine Gleichgewichtslage ist stabil, wenn die Gesamtenergie in dieser Lage ein Minimum hat. Es muss daher δ 2 Π > 0 gelten. Will man nur die kritische Last ermitteln, so kann man sich auf kleine (inﬁnitesimale) Auslenkungen gegen¨ uber der Ausgangslage beschr¨ anken. Beim diskreten System erh¨ alt man dann (nach

5.3

Verallgemeinerung

287

beiden Methoden) n lineare homogene algebraische Gleichungen. Eine nichttriviale L¨ osung folgt aus dem Nullsetzen der Koeﬃzientendeterminante. Dies liefert i.a. n verschiedene Eigenwerte. Setzt man diese in das Gleichungssystem ein, so kann man zu jedem Eigenwert die zugeh¨ orige Eigenform bestimmen. Beim elastischen Kontinuum f¨ uhrt die Linearisierung auf lineare homogene Diﬀerentialgleichungen, die man unter Beachtung der (homogenen) Randbedingungen l¨ osen muss.

Abb. 5.6

¨ Will man die Stabilit¨ at von Gleichgewichtslagen nach Uberschreiten der kritischen Last untersuchen, muss man stets große Verformungen ber¨ ucksichtigen. Alle Gleichungen werden dann nichtlinear und sind nur in Sonderf¨ allen analytisch l¨osbar. Die Berechnung der Nachknickkurven hat eine große Bedeutung darin, dass man absch¨ atzen kann, welchen Einﬂuss die stets vorhandenen Imperfektionen auf die kritische Last haben (vgl. Abb. 5.3b). In Abbildung 5.6 sind typische Kraft-Verschiebungsverl¨aufe qualitativ f¨ ur einen Stab, eine Platte und eine Schale dargestellt. Dabei ist f die Verschiebung unter der Last. Der lineare Verlauf unterhalb der kritischen Last beschreibt die Verk¨ urzung infolge L¨angsdehnung. Die Abbildung zeigt, dass Stab und Platte unempﬁndlich gegen Imperfektionen sind, w¨ ahrend Imperfektionen bei Schalen eine erhebliche Minderung der kritischen Last (ND < Nkrit ) verursachen.

288

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

Schließlich wollen wir noch festhalten, dass man bei Strukturen, die durchschlagen k¨ onnen, stets große Deformationen ber¨ ucksichtigen muss. B5.2

Beispiel 5.2 F¨ ur das System aus starren St¨ aben und Federn nach

Abb. 5.7a ermittle man die Knicklasten und die Knickformen. St¨abe und Federn werden als gewichtslos angesehen.

Abb. 5.7

L¨ osung Es liegt ein Verzweigungsproblem vor. Zur Ermittlung der

Knicklasten gen¨ ugt es, sich auf die Umgebung der Verzweigung zu beschr¨ anken. Wir wollen zun¨ achst die Gleichgewichtsmethode anwenden und betrachten hierzu eine beliebige kleine Auslenkung aus der Ausgangslage (Abb. 5.7b). Sie kann bei dem hier vorliegenden System von 2 Freiheitsgraden durch die 2 Winkel ϕ und ψ beschrieben werden. Mit den kinematischen Beziehungen w1 = l ϕ alt man die Federkr¨afte und w2 = l ψ (kleine Winkel) erh¨ Fc1 = c l ϕ ,

Fc2 = c l ψ .

Damit folgt aus dem Momentengleichgewicht am Gesamtsystem bzw. am linken und am rechten Teilsystem B : 3lAV + 2c l2 ϕ + c l2 ψ = 0,

A : 3lB + 2c l2 ψ + c l2 ϕ = 0,

G1 : lAV + lϕF = 0,

G2 : lB + lψF = 0.

Die Elimination der Lagerkr¨ afte AV und B ergibt das folgende System von zwei linearen homogenen algebraischen Gleichungen:

5.3

Verallgemeinerung

289

(−3F + 2cl)ϕ + clψ = 0 ,

(a)

c l ϕ + (−3F + 2c l)ψ = 0 .

(b)

Damit nichttriviale L¨ osungen existieren, muss die Koeﬃzientendeterminante verschwinden: −3 F + 2c l

cl

cl

−3 F + 2 c l

= 0.

Hieraus folgt die charakteristische Gleichung (−3 F + 2 c l)2 − (c l)2 = 0

1 4 → F 2 − c l F + c2 l2 = 0 , 3 3

aus der man die Eigenwerte F1 =

1 c l, 3

F2 = c l .

erh¨ alt. Der kleinere Wert ergibt die kritische Last Fkrit = F1 = c l/3. Setzt man die Eigenwerte in (a) oder (b) ein, so erh¨alt man die folgenden Eigenformen: zur kritischen Last Fkrit geh¨ort die antisymmetrische Knickform ψ1 = −ϕ1 (Abb. 5.7c), zur h¨oherort die symmetrische Knickform ψ2 = ϕ2 en Knicklast F2 geh¨ (Abb. 5.7d). Einen zweiten L¨ osungsweg bietet die Energiemethode. Das Potential der ¨ außeren Kraft folgt aus der Arbeit W = F δ. Dabei hat die Lagerverschiebung δ drei Anteile (Abb. 5.7b). Aus der Drehung des linken bzw. des rechten Stabes folgen δ1 = l(1 − cos ϕ) bzw. δ2 = l(1 − cos ψ). Der Drehwinkel γ des mittleren Stabes ergibt sich f¨ ur kleine Winkel aus γ l = w2 − w1 zu γ = ψ − ϕ. Sein Anteil zur Lagerverschiebung betr¨ agt daher δ3 = l(1−cos (ψ−ϕ)). Somit erh¨ alt man das Potential Πa = −F (δ1 + δ2 + δ3 ) zu Πa = − F l[(1 − cos ϕ) + (1 − cos ψ) + (1 − cos (ψ − ϕ))]. Wegen cos α ≈ 1 −

α2 (kleine Winkel) vereinfacht sich dies zu 2

Πa = − F l(ϕ2 + ψ 2 − ψ ϕ) .

290

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

Mit der Federenergie Πi = 12 c w12 + 12 c w22 = 12 c l2 ϕ2 + 12 c l2 ψ 2 wird das Gesamtpotential Π = Πi + Πa = 12 c l2 (ϕ2 + ψ 2 ) − F l(ϕ2 + ψ 2 − ψ ϕ) . Hieraus folgen mit (5.18) die Gleichgewichtsbedingungen in der ausgelenkten Lage: ∂Π = 0 : (− 2F l + c l2 )ϕ + F l ψ = 0, ∂ϕ ∂Π = 0 : (− 2F l + c l2 )ψ + F l ϕ = 0. ∂ψ Die nichttrivialen L¨ osungen F1 = c l/3 und F2 = c l dieses homogenen Gleichungssystems sind dieselben wie bei dem ersten L¨ osungsweg.

5.4

5.4 Stabknicken 5.4.1 Der elastische Druckstab mit großen Verschiebungen – Die Elastica

In Band 2, Abschnitt 7.2 wurde gezeigt, dass bei einem elastischen Stab bei Erreichen der kritischen Last Fkrit benachbarte Gleichgewichtslagen m¨ oglich sind (Verzweigung). Diese Last folgt aus der Diﬀerentialgleichung f¨ ur das Knickproblem EI wIV + F w = 0, welche aber nur f¨ ur kleine (inﬁnitesimale) Verschiebungen w(x) gilt. Sie erm¨ oglicht es nicht, Durchbiegungen f¨ ur F > Fkrit zu ermitteln. Wir suchen nun die Durchbiegung w f¨ ur Gleichgewichtslagen oberhalb Fkrit . Hierzu betrachten wir als Beispiel einen beiderseits gelenkig gelagerten Stab der L¨ ange l, der nach Abb. 5.8a durch eine Druckkraft F belastet wird. Der Stab sei ideal gerade; die Druckkraft greife im Schwerpunkt des Querschnitts an. Weiterhin wollen wir die L¨ angen¨ anderung des Stabes vernachl¨assigen.

5.4

Stabknicken

291

Abb. 5.8

Als Koordinate verwenden wir die Bogenl¨ ange s l¨angs des verformten Stabes. F¨ ur F > Fkrit formulieren wir das Gleichgewicht am verformten Stab (Abb. 5.8b): P: M − F w = 0.

(5.19)

Mit der Kr¨ ummung κB = dϕ/ds der Stabachse lautet das Elastizit¨ atsgesetz M = − EI

dϕ . ds

(5.20)

Es ist in dieser Form f¨ ur beliebig große Auslenkungen g¨ ultig. Nach Abb. 5.8c ist dw = sin ϕ ds. Damit folgt aus (5.19) und (5.20) durch Diﬀerentiation nach s die Diﬀerentialgleichung der Biegelinie f¨ ur große Deformationen zu EI

d2 ϕ + F sin ϕ = 0 . ds2

Mit λ2 = F/EI kann man sie in folgender Form schreiben: d2 ϕ + λ2 sin ϕ = 0 . ds2

(5.21)

Eine triviale“ L¨ osung dieser Gleichung ist ϕ(s) ≡ 0. Sie ist f¨ ur ” F < Fkrit die einzige L¨ osung.

292

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

Um zu der L¨ osung ϕ(s) f¨ ur F > Fkrit zu gelangen, formen wir d2 ϕ d dϕ dϕ (5.21) mit ds2 = [ dϕ ( ds )] ds um und ﬁnden nach Integration 1 2

dϕ ds

2 = λ2 cos ϕ + C1 .

Mit der Randbedingung →

M (0) = 0

dϕ ds

=0 s=0

und der Bezeichnung ϕ(0) = ϕA folgt dann C1 = −λ2 cos ϕA und damit dϕ = ± 2λ2 (cos ϕ − cos ϕA ) . ds Trennung der Variablen und nochmalige Integration u uhrt ¨ber ϕ f¨ auf

ϕ s=± ϕA

dϕ¯

.

(5.22)

2λ2 (cos ϕ¯ − cos ϕA )

Die Vorzeichen ±“ zeigen an, dass der Stab nach beiden Sei” ten ausknicken kann. Wir beschr¨ anken uns im weiteren auf das Minuszeichen. Mit (5.22) kennen wir zwar theoretisch den Winkel ϕ an jeder onnten wir dann mit Stelle s bei gegebenem ϕA . Aus ϕ(s) k¨ dw = sin ϕ ds

(5.23)

auch die Durchbiegung w(s) berechnen; solche Kurven heißen nach Euler Elastica. Praktisch ist das Integral in (5.22) jedoch nicht elementar l¨ osbar. Wir m¨ ussen daher auf N¨ aherungsverfahren zur¨ uckgreifen. In Abb. 5.8d ist eine Kraft-Verschiebungskurve aufgetragen, die durch numerische Integration gefunden wurde (vgl. Abb. 7.13b). Wenn wir weitere Vereinfachungen treﬀen, k¨onnen wir (5.22) n¨ aherungsweise auch noch analytisch auswerten. Hierzu beschr¨an-

5.4

Stabknicken

293

ken wir uns zun¨ achst auf kleine Winkel ϕ. Mit cos ϕ ≈ 1 − ϕ2 /2 folgt aus (5.22)

ϕ

s=− ϕA

λ ϕA

dϕ¯

=

1 − (ϕ/ϕ ¯ A )2

1 λ

+ arccos

ϕ ϕA

→ ϕ = ϕA cos λs . Wenn wir annehmen, dass die Knickform symmetrisch zur Mitte s = l/2 ist, muss ϕ(l/2) = 0 sein, und daher wird cos λ

l π l =0 → λ = 2 2 2

→

F =

π 2 EI . l2

(5.24)

Dies ist genau die kritische Last, bei der Knicken (Eulerfall II) beginnt (vgl. Band 2, Abb. 7.5). F¨ ur die Durchbiegung ergibt sich dann aus der N¨ aherung von (5.23) f¨ ur kleine Winkel dw/ds ≈ ϕ durch Integration w=

ϕA sin λs . λ

(5.25)

Da ϕA unbekannt ist, erhalten wir mit dieser 1. N¨aherung f¨ ur w keine Lastkurve F (w). Um in einer 2. (verbesserten) N¨aherung zumindest den Anfang der Nachknickkurve analytisch zu ermitteln, formen wir (5.22) mit der Substitution sin(ϕ/2) = sin(ϕA /2) sin t um. Wir erhalten dann mit cos(ϕ/2)dϕ = 2 sin(ϕA /2) cos t dt und cos ϕ = 1−2 sin2 (ϕ/2) sowie unter Beachtung der Grenzen zun¨achst

t 1 dt¯ . s=− λ 2 ϕA 2¯ π/2 sin t 1 − sin 2 Mit sin(ϕA /2) = k und Vertauschen der Grenzen folgt daraus 1 s= λ

π/2 t

dt¯ 1 − k 2 sin2 t¯

.

(5.26)

Wenn wir weiterhin Symmetrie der Nachknickform annehmen, so muss ϕ(l/2) = 0 gelten, d.h. f¨ ur s = l/2 ist t = 0. Damit wird

294

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

1 l = 2 λ

π/2 0

dt 1 − k 2 sin2 t

.

(5.27)

Auf der rechten Seite steht ein vollst¨ andiges elliptisches Integral erster Gattung, das sich als folgende Reihe darstellen l¨asst:

π/2 0

dt 1 − k 2 sin2 t

=

1 2 1 · 3 2 π 1+ k2 + k 4 + . . . . (5.28) 2 2 2·4

F¨ ur kleine ϕ ist k klein (k ≈ ϕA /2), und es folgt daher aus (5.27) mit (5.28) 1π 1 ϕ2A l ≈ 1+ . 2 λ2 4 4 Wenn wir nun noch λ = F/EI einf¨ uhren und die Kraft F auf die Eulerlast Fkrit = π 2 EI/l2 beziehen, erhalten wir hieraus nach Quadrieren F 2 −1 . (5.29) ϕA ≈ 8 Fkrit Man erkennt, wie mit steigender Last F > Fkrit die Anfangsneigung (und damit auch die Durchbiegung) rasch anw¨achst. Die Lastkurve F (ϕA ) = Fkrit (1 + ϕ2A /8) zeigt einen quadratischen Zusammenhang zwischen Last und Winkel. Wir wollen im weiteren noch einen Zusammenhang zwischen F und der Lagerverschiebung f herleiten. Hierzu m¨ ussen wir zun¨achst f durch w ausdr¨ ucken. Nach Abb. 5.8c ist → ds = 1 + (dw/dx)2 dx . ds2 = dx2 + dw2 Daher wird mit (·) = d(·)/dx und unter Beachtung von w 2 1

l f= 0

l

l 1 2 (ds − dx) = ( 1 + w − 1)dx ≈ w 2 dx . (5.30) 2 0

0

Mit der L¨ osung (5.25) (f¨ ur kleine w ist dx ≈ ds) folgt

5.4

f=

1 2

l ϕ2A cos2 λx dx =

Stabknicken

295

1 2 1 ϕ l, 2 A2

0

und mit (5.29) ergibt sich hieraus F

F 1f f =2 . −1 l bzw. =1+ Fkrit Fkrit 2l Der Verlauf F (f ) ist in Abb. 5.8e qualitativ dargestellt: in 2. N¨aherung w¨ achst die Last F linear mit f . Ein Zahlenbeispiel soll das Ergebnis verdeutlichen: f¨ ur ¨ F = 1, 05 Fkrit wird f = 0, 1 l. Eine Uberschreitung der Knicklast um nur 5% f¨ uhrt danach bereits auf eine Lagerverschiebung von ¨ 10% der Stabl¨ ange. Zu kleinen Uberschreitungen der kritischen Last geh¨ oren also große Verformungen. Da solche Verformungen technisch meistens nicht zul¨ assig sind, beschr¨ anken wir uns im folgenden auf die Ermittlung der kritischen Lasten. 5.4.2 Ermittlung der Knickgleichung mit der Energiemethode

Um die kritischen Lasten von St¨ aben f¨ ur beliebige Lagerungen ermitteln zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir eine allgemeine Knickgleichung. Wir haben diese in Band 2, Abschnitt 7.2 mit der Gleichgewichtsmethode gefunden. Nun wollen wir die Energiemethode anwenden, wobei der Stab durch eine Einzelkraft F und zus¨ atzlich durch sein gleichm¨ aßig verteiltes Eigengewicht μg = G/l belastet sein soll (μ = Masse/L¨ angeneinheit), vgl. Abb. 5.9a. Wir nehmen den Stab wieder als dehnstarr an. Da wir uns bei der Ermittlung der kritischen Last auf kleine Auslenkungen beschr¨ anken d¨ urfen, brauchen

Abb. 5.9

296

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

wir zwischen der Koordinate x im unverformten Zustand und der Bogenl¨ ange s l¨ angs der verformten Balkenachse (Abb. 5.9b) nicht zu unterscheiden. Daher wird die Form¨ anderungsenergie (vgl. Beispiel 2.12)

l 1 Πi = EI w 2 dx. 2 0

Bei der Aufstellung des Potentials des Eigengewichts m¨ ussen wir sorgf¨ altig zwischen einer laufenden Koordinate ξ und einer festen Stelle x unterscheiden. Das Eigengewicht eines Elementes dx an der Stelle x hat das Potential −μ g dx f (x), wobei f (x) = 1 x 2 dξ die Vertikalverschiebung an der Stelle x ist (vgl. (5.30)). 2 0 w Daher wird das Gesamtpotential infolge Eigengewicht

l x 1 2 w dξ dx . Πa1 = − μ g 2 0

0

Durch partielle Integration kann man sich davon u ¨berzeugen, dass allgemein gilt:

l x

l f (ξ)dξ 0

(l − x)f (x)dx .

dx =

0

0

Damit l¨ asst sich die doppelte Integration in Πa1 auf ein Einfachintegral zur¨ uckf¨ uhren, und man erh¨ alt f¨ ur das Gesamtpotential infolge Last F und infolge Eigengewicht μg 1 Πa = − F 2

l

1 w dx − μ g 2 2

0

l

(l − x) w 2 dx .

0

Die gesuchte Gleichgewichtslage folgt aus δ(Πi + Πa ) = 0, d.h.

EI δ 2

l w 0

2

F dx − 2

l 0

μg w dx − 2 2

l

2

(l − x) w dx = 0. (5.31) 0

Es sei angemerkt, dass diese Gleichung als Ausgangsgleichung f¨ ur N¨ aherungsmethoden verwendet werden kann.

5.4

Stabknicken

297

Mit δw 2 = 2 w δw etc. folgt aus (5.31) zun¨ achst

l

l

w δw dx − F

EI 0

l

w δw dx − μ g 0

(l − x) w δw dx = 0 .

0

Zweimalige Teilintegration liefert

l 0

[EI wIV + F w + μ g(l − x) w − μ g w ]δw dx

:l l 9 + EI w δw 0 − EI w + F w + μ g(l − x) w δw 0 = 0 .

Da die Verr¨ uckungen δw beliebig sind, m¨ ussen die drei Terme einzeln verschwinden. Aus dem Integral ergibt sich daher zum einen die Knickgleichung EI wIV + F w + μ g(l − x) w − μ g w = 0 .

(5.32)

Zum anderen m¨ ussen an den R¨ andern entweder die kinematischen Randbedingungen w = 0,

w = 0

oder (dort wo δw, δw nicht verschwinden) die mechanischen (statischen) Randbedingungen M = − EI w = 0,

Q = − EI w = F w + μ g(l − x) w

erf¨ ullt werden. Die zweite Gleichung ber¨ ucksichtigt, dass an R¨anaußeren Kr¨ afte eine Komponente dern, an denen w = 0 ist, die ¨ quer zur Balkenachse haben. Im Spezialfall μg = 0 ergibt sich aus (5.32) die Knickgleichung EI wIV + F w = 0 ,

(5.33)

die bereits in Band 2, Abschnitt 7.2 abgeleitet wurde. Wird der Stab dagegen allein durch sein Eigengewicht belastet, so folgt EI wIV + μ g(l − x) w − μ g w = 0 .

(5.34)

298

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

Diese Diﬀerentialgleichung hat ver¨ anderliche Koeﬃzienten und ist daher nicht elementar zu l¨ osen. In Abschnitt 7.5.5 wird gezeigt, wie man die kritische Last (μg)krit mit einer N¨aherungsmethode numerisch ermitteln kann. Wir wollen hier nur noch erw¨ ahnen, dass man (5.34) durch geeignete Substitution neuer Variablen auf eine Besselsche Differentialgleichung der Ordnung n = 1/3 u uhren kann. Unter ¨berf¨ Beachtung der Randbedingungen ﬁndet man dann f¨ ur den Stab mit einer Lagerung nach Abb. 5.9a die kritische Last (μ g l)krit = 0, 795

π 2 EI . l2

(5.35)

Wenn das Gesamtgewicht als Einzelkraft F = μ g l am freien Ende eines dann gewichtslosen Stabes angebracht wird, ist nach dem ersten Eulerfall Fkrit = π 2 EI/(4 l2 ) (vgl. Band 2, Abb. 7.5). Bei gleichm¨ aßig verteiltem Gewicht ist also die kritische Last mehr als dreimal so groß. B5.3

Beispiel 5.3 Ein Druckstab ist am linken Ende gelenkig und am rechten Ende elastisch (Federsteiﬁgkeit c) gelagert (Abb. 5.10 a). Man ermittle die kritische Last und diskutiere ihre Abh¨angigkeit von der Federsteiﬁgkeit.

Abb. 5.10

L¨ osung Zur Ermittlung der kritischen Last k¨ onnen wir auf die Knickgleichung (5.33) zur¨ uckgreifen. Diese Diﬀerentialgleichung vierter Ordnung hat mit λ2 = F/EI die allgemeine L¨osung (vgl. Band 2, Gl. (7.14))

w = A cos λx + B sin λx + Cλx + D .

(a)

Mit M = −EI w und Q = −EI w folgt aus den Randbedingungen:

5.4

Stabknicken

299

w(0) = 0

→

M (0) = 0

→

M (l) = 0

→ λ A cos λl + λ B sin λl = 0 ,

A + D = 0, A = 0, 2

Q(l) = F w (l) − c w(l)

2

→

− c A cos λl − c B sin λl + (F λ − c λ l)C − c D = 0 . Wegen A = D = 0 reduziert sich dieses homogene Gleichungssystem auf (F − c l)C = 0 .

B sin λl = 0,

F¨ ur B = 0 und C = 0 folgt der kleinste Eigenwert aus sin λl = 0 zu F1 =

π 2 EI . l2

F¨ ur C = 0 und B = 0 ergibt sich F2 = c l . F¨ ur kleine Werte von c ist F2 < F1 , und damit wird Fkrit = F2 . Mit wachsendem c steigt F2 an, bis es den Wert F1 erreicht. Aus orige Federsteiﬁgkeit F1 = F2 folgt die zugeh¨ c∗ =

π 2 EI . l3

Man nennt diesen Wert die Mindeststeiﬁgkeit. F¨ ur alle c > c∗ kann die Knicklast nicht weiter erh¨ oht werden, und der Stab knickt wie ein beiderseits gelenkig gelagerter Stab mit Fkrit = F1 = π 2 EI/l2 (vgl. Band 2, Abb. 7.5 Eulerfall II). Zusammenfassend gilt daher f¨ ur die kritische Last (Abb. 5.10b): Fkrit = c l

f¨ ur

c ≤ c∗ ,

Fkrit =

π 2 EI l2

f¨ ur c ≥ c∗ .

5.4.3 Der imperfekte Druckstab

Verzweigungsprobleme gibt es nur beim perfekt geraden, zentrisch gedr¨ uckten Stab. Sobald Imperfektionen vorhanden sind, treten

300

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

schon bei kleinen Kr¨ aften Auslenkungen auf. An Hand eines Beispiels wollen wir den Kraft-Ver formungsverlauf f¨ ur den imperfekten Stab mit Hilfe der Gleichgewichtsmethode ermitteln. Hierzu betrachten wir den beiderseits gelenkig gelagerten Stab nach Abb. 5.11a, der im unbelasteten Zustand (F = 0) bereits eine (spannungslose) Vorverformung w0 (x) besitzt. Der Stab sei durch eine Kraft F belastet, die mit einer Exzentrizit¨at e gegen¨ uber der Schwerachse wirkt. Außerdem setzen wir kleine Verschiebungen w(x) und Neigungen w (x) voraus. Dann ergibt sich aus dem Gleichgewicht am verformten System das Moment M (x) = F [w0 (x) + e + w(x)] . Aufgrund der Annahme kleiner Deformationen k¨onnen wir das Elastizit¨ atsgesetz in der unge¨ anderten Form M = −EI w (Band 2, Gl. (4.31)) f¨ ur den deformierten Stab u ¨bernehmen. Einsetzen liefert damit die inhomogene Diﬀerentialgleichung EI w + F w = − F [w0 (x) + e] .

(5.36)

Abb. 5.11

Als Vorverformung w¨ ahlen wir im folgenden die Sinushalbwelle πx . w0 (x) = a0 sin l Sie wird den Einﬂuss einer Vorbeule besonders deutlich machen, da sie der Knickform des perfekten Stabes (Eulerfall II) entspricht. Mit λ2 = F/EI erh¨ alt man damit aus (5.36) die Gleichung

πx +e . w + λ2 w = − λ2 a0 sin l Sie hat die allgemeine L¨ osung

5.4

w = A cos λx + B sin λx +

Stabknicken

301

πx a0 sin − e. 2 (π/λl) − 1 l

Aus den Randbedingungen w(0) = 0 und w(l) = 0 folgen die Konstanten A = e,

B=e

1 − cos λ l sin(λ l/2) =e . sin λ l cos(λ l/2)

Damit lautet die L¨ osung (nach geeigneter Zusammenfassung der Kreisfunktionen) πx cos(λ l/2 − λ x) a0 w= sin + e − 1 . (π/λ l)2 − 1 l cos(λ l/2) Die gr¨ oßte Durchbiegung tritt in der Mitte auf (x = l/2): 1 a0 + e − 1 . (5.37) wmax = (π/λ l)2 − 1 cos(λ l/2) Sie l¨ asst sich mit F = λ2 EI, der Eulerlast Fkrit = π 2 EI/l2 und (π/λ l)2 = Fkrit /F auch in folgender Form schreiben: ⎡ ⎤ 1 a0 − 1⎦ . +e ⎣ wmax = (5.38) Fkrit /F − 1 cos π F/F krit 2 Man erkennt am Ergebnis, dass f¨ ur F → Fkrit sowohl das erste als auch das zweite Glied sehr große Werte annehmen. Abb. 5.11b ur F = zeigt qualitativ den Verlauf von F (wmax ). So ergibt sich f¨ 0, 1Fkrit eine Durchbiegung wmax = 0, 11 a0 + 0, 14 e, w¨ahrend f¨ ur F = 0, 95Fkrit die Auslenkung u ¨berproportional auf wmax = achst. Dabei muss allerdings beachtet werden, 13 a0 + 24, 1 e anw¨ dass wir kleine Deformationen vorausgesetzt haben. Deshalb gilt (5.38) nur f¨ ur hinreichend kleine wmax . Will man die Durchbiegung w(x) f¨ ur gr¨ oßere F bzw. bei großen Deformationen bestimmen, dann muss man die Gleichungen, die zur Ermittlung der Elastica verwendet wurden, entsprechend verur große Verformungen allgemeinern. In Abb. 5.11c ist F (wmax ) f¨ schematisch dargestellt (vgl. auch Abb. 5.6).

302

5.5

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

5.5 Plattenbeulen In Abschnitt 3.6 wurde die Durchbiegung einer Platte unter Querlast untersucht. Ein ebenes Fl¨ achentragwerk kann aber auch allein unter Druck- bzw. Schubkr¨ aften, die in der Ebene wirken, seitlich ausweichen, wenn die Belastungen kritische Werte u ¨berschreiten. Man spricht dann von Plattenbeulen, obwohl der Spannungszustand unterhalb der kritischen Lasten dem einer Scheibe entspricht. Wir wollen hier die kritische Last mit der Gleichgewichtsmethode bestimmen und beschr¨ anken uns dabei auf Rechteck- und Kreisplatten. 5.5.1 Die Beulgleichung

Eine rechteckige Platte (Scheibe) sei am Rand durch Druck- und Schubspannungen belastet, die gleichm¨ aßig u ¨ber die konstante Dicke t verteilt sind. Analog zu den Querkr¨ aften und den Momenten (vgl. 3.40) f¨ uhren wir Normal- und Schubkr¨ afte als Spannungsresultierende ein, wobei wir hier Druckkr¨ afte zweckm¨aßig positiv z¨ ahlen und auch beim Schub das Vorzeichen umdrehen:

Nx = − σx dz = − σx t , Ny = − σy dz = − σy t , (5.39)

Nxy = − τxy dz = − τxy t , Nyx = − τyx dz = − τyx t . Die Platte sei nach Abb. 5.12a durch die Randkr¨afte Nx∗ , Ny∗ und ∗ ∗ = Nyx belastet. Nxy Solange die Randbelastung unterhalb eines kritischen Wertes ist, bleibt das Tragwerk eben. Daher gelten f¨ ur die Schnittkr¨afte die Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Elastizit¨atstheorie (vgl. Abschnitt 2.5) ∂Nyx ∂Nx + = 0, ∂x ∂y

∂Nxy ∂Ny + = 0. ∂x ∂y

(5.40)

Sie folgen aus (2.93), wenn man dort die Volumenkr¨afte zu Null setzt und die Spannungen mit der Plattendicke t multipliziert. Man nennt den Spannungszustand vor dem Beulen den Grundspannungszustand.

5.5

Plattenbeulen

303

Abb. 5.12

¨ Uberschreitet die Randbelastung einen kritischen Wert, so k¨onnen Auslenkungen aus der Plattenebene auftreten. Wir m¨ ussen dann das Gleichgewicht am verformten System aufstellen, wobei zur Ermittlung der kritischen Lasten die Verformungen noch als klein angenommen werden k¨ onnen. Abb. 5.12b zeigt ein Plattenelement mit den angreifenden L¨ angs- und Schubkr¨aften sowie seine Deformation in der x, z-Ebene im Schnitt. Aufgrund der angenommenen kleinen Deformationen ¨ andern sich die Randlasten bei der Auslenkung nicht. Damit bleibt auch der durch (5.40) bestimmte Grundspannungszustand erhalten, d.h., die Gleichgewichtsbedingungen in x- und in y-Richtung sind auch am verformten Element erf¨ ullt. Im Unterschied zur Scheibe gehen jetzt aber diese L¨ angs- und Schubkr¨ afte auch in die Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung ein. Infolge der unterschiedlichen Neigungen an den Stellen x und x+dx erhalten wir (bei kleinen Winkeln) aus der L¨ angskraft Nx eine resultierende Kraft in z-Richtung von der Gr¨ oße ∂w ∂Nx ∂w ∂ 2 w − Nx + dx + dx dy . Nx dy ∂x ∂x ∂x ∂x2

304

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

Nach Weglassen des Gliedes, das von h¨ oherer Ordnung klein ist, bleibt ∂ 2 w ∂Nx ∂w dx dy . − Nx 2 − ∂x ∂x ∂x Analog liefert die Normalkraft Ny eine Kraftkomponente in zRichtung ∂ 2 w ∂Ny ∂w dx dy . − Ny 2 − ∂y ∂y ∂y Zur Bestimmung der z-Komponenten der Schubkr¨afte Nxy und Nyx , betrachten wir das verformte Element nach Abb. 5.12c. Dabei ergeben sich die Kr¨ afte 2 ∂Nxy ∂w ∂ w − dx dy , − Nxy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂Nyx ∂w ∂2w − Nyx − dx dy . ∂x ∂y ∂y ∂x Wir ber¨ ucksichtigen nun diese vier Anteile in der Gleichgewichtsbedingung (3.41a) der Platte, wobei jetzt keine Querbelastung vorliegt: p = 0. Aufgrund von (5.40) fallen dabei alle ersten Ableitungen der Normal- und der Schubkr¨ afte heraus, und man erh¨alt mit Nxy = Nyx ∂ Qy ∂ Qx ∂2w ∂2w ∂2w + − Nx 2 − 2Nxy − Ny 2 = 0 . ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y

(5.41)

Eliminieren wir mit (3.41b,c) die Querkr¨ afte, so folgt statt (3.42) nun ∂ 2 My ∂ 2 Mxy ∂ 2 Mx ∂2w ∂2w ∂2w + − N + 2 − N − 2N = 0. x xy y ∂x2 ∂x ∂y ∂y 2 ∂x2 ∂x ∂y ∂y 2 (5.42)

Mit dem (f¨ ur kleine Verformungen unver¨ andert g¨ ultigen) Elastizit¨ atsgesetz (3.50) folgt nach Zusammenfassen mit dem LaplaceOperator KΔΔ w + Nx

∂2w ∂2w ∂2w + Ny 2 = 0 . + 2Nxy 2 ∂x ∂x ∂y ∂y

(5.43)

5.5

Plattenbeulen

305

Die Randbedingungen (3.53) und (3.54) bleiben unver¨andert. Nur am freien Rand m¨ ussen zur Ersatzquerkraft nach (3.55) noch die Kraftkomponenten Nx∗

∂w ∗ ∂w + Nxy ∂x ∂y

bzw.

Ny∗

∂w ∗ ∂w + Nxy ∂y ∂x

ugt in Analogie zu F w beim Stab (vgl. Abschn. 5.4.2) hinzugef¨ werden. Aus (5.43) kann man eine kritische Last berechnen, wenn die Schnittkr¨ afte durch einen einzigen Lastparameter bestimmt sind. Dies ist z.B. der Fall f¨ ur Nx = N0 , Ny = Nxy = 0. 5.5.2 Die Rechteckplatte unter einseitigem Druck

Eine L¨ osung der Gleichung (5.43), welche die Randbedingungen erf¨ ullt, kann nur in Sonderf¨ allen in geschlossener Form gefunden werden. Als Beispiel betrachten wir die allseits gelenkig gelagerte Platte nach Abb. 5.13a unter einseitig konstantem Druck Nx∗ = N . Dann sind in der gesamten Platte Nx = N , Ny = Nxy = 0, und (5.43) vereinfacht sich zu KΔ Δ w + N

∂2w = 0. ∂x2

(5.44)

Um die kritische Last zu bestimmen, w¨ ahlen wir den Doppelreihenansatz w=

∞ ∞ m=1 n=1

wmn sin

nπy mπx sin , a b

m, n = 1, 2, . . . , (5.45)

der alle Randbedingungen identisch erf¨ ullt: w(0, y) =

w(a, y) = 0,

Mx (0, y) = Mx (a, y) = 0,

w(x, 0) =

w(x, b) = 0 ,

My (x, 0) = My (x, b) = 0 .

alt man Setzt man (5.45) in (5.44) ein, so erh¨ ∞ ∞ 4 mπ 2 5 nπy mπx mπ 2 nπ 2 2 sin = 0. K wmn sin + −N a b a a b m=1 n=1

Diese Gleichung ist f¨ ur alle x, y und f¨ ur wenigstens einen von Null

306

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

Abb. 5.13

verschiedenen Koeﬃzient wmn nur dann erf¨ ullbar, wenn die geschweifte Klammer verschwindet. Hieraus folgt f¨ ur die Druckkraft: 2 m π 2 n π 2 + K a b . N= m π 2 a Wir m¨ ussen nun die m, n-Kombination suchen, f¨ ur die N den kleinsten (kritischen) Wert annimmt. Man erkennt ohne weitere Rechnung, dass n = 1 (eine Halbwelle in y-Richtung) f¨ ur alle Seitenverh¨ altnisse α = a/b zum kleinsten Wert f¨ uhrt. Damit wird α 2 π2 K π2 K m + = k(m, α) 2 (5.46a) N= 2 b α m b mit m α 2 + . (5.46b) k= α m Der Beulwert (Beulfaktor) k h¨ angt von den Parametern m und α

5.5

Plattenbeulen

307

ab. Abb. 5.13b zeigt den Beulwert in Abh¨ angigkeit von α f¨ ur un√ terschiedliche m. F¨ ur α < 2 liefert m = 1 die kleinsten k-Werte. Damit gilt 2 π2 K 1 π2 K +α =k 2 . (5.47) Nkrit = 2 b α b Wenn wir bei konstanter Plattenbreite b die L¨ ange a ¨andern, so nimmt k den kleinsten Wert f¨ ur α = 1 mit k = 4 an: Nkrit = 4

π2 K . b2

(5.48)

Unter dieser Last beult eine quadratische Platte (α = 1). Abb. 5.13c zeigt die zugeh¨ orige Beulﬂ¨ ache. Sie wird beschrieben durch πy πx sin . w = w11 sin a a Diese Eigenfunktion, welche der kritischen Last zugeordnet ist, stimmt mit der Eigenfunktion f¨ ur die Grundschwingung einer Rechteckplatte nach (4.103) u ¨berein. Abbildung 5.13b zeigt, dass f¨ ur gr¨ oßer werdende α die Kurve f¨ ur m = 2 zu kleineren Beulwerten k f¨ uhrt als die Kurve f¨ ur m = 1. F¨ ur m = 2 gilt nach (5.46b) 2 α 2 + k= . (5.49) α 2 Dieser Beulwert hat das Minimum k = 4 bei α = 2, d.h., die Platte beult dann in quadratischen Feldern (Abb. 5.13c). Analoges gilt f¨ ur alle m = 3, 4, . . . . Alle Kurven haben bei α = m ein Minimum mit dem Wert k = 4. Die Aneinanderreihung der jeweils maßgebenden kleinsten Werte von k(α) nennt man Gir∗ zweier ussen nun noch den Schnittpunkt αm landenkurve. Wir m¨ benachbarter Kurven m und m + 1 suchen, um zu beurteilen, wie weit k zwischen den Minima ansteigen kann. Aus k(m) = k(m+1) folgt m/α + α/m = (m + 1)/α + α/(m + 1) . Daraus erh¨alt man f¨ ur das Seitenverh¨ altnis ∗ = m(m + 1) . (5.50) αm

308

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

√ F¨ ur m = 1 wird α1∗ = 2 und damit k(α1∗ ) = 4, 5. Dieser Wert liegt um ca. 10% h¨ oher als das Minimum. Mit wachsenden m ∗ gekennzeichneten Girn¨ ahern sich die Werte an den durch αm landenecken immer mehr dem Wert k = 4 von oben. Man ist daher auf der sicheren Seite, wenn man beim Stabilit¨atsnachweis die kleine Zunahme von k zwischen zwei Minima vernachl¨assigt und f¨ ur alle α > 1 unabh¨ angig vom Seitenverh¨altnis stets k = 4 setzt (vgl. (5.48)), d.h. Nkrit = 4

π2 K . b2

¨ Ahnliche Ergebnisse erh¨ alt man f¨ ur andere Randbedingungen, wobei man jedoch den Beulwert h¨ auﬁg nur numerisch ermitteln kann. In Abb. 5.13d sind einige Zahlenwerte von k f¨ ur die quadra∗ ∗ tische Platte unter beidseitigem Druck Nx = Ny = N angegeben. asst sich die Beulgleichung (5.43) Mit Nx = Ny = N und Nxy = 0 l¨ dann wie folgt schreiben: KΔ Δw + N Δw = 0 .

(5.51)

Man sieht in der Abbildung, wie mit zunehmender Anzahl der eingespannten Seiten der Beulwert von k = 2 bei der allseits gelenkig gelagerten Platte bis zum Wert k = 5, 33 bei der allseits eingespannten Platte ansteigt. Wir wollen nun noch den Fall einer Platte untersuchen, die an zwei gegen¨ uberliegenden R¨ andern gelenkig und an den beiden anderen R¨ andern beliebig gelagert ist. In diesem Fall kann man die Berechnung des Beulwertes noch ein großes St¨ uck analytisch vorantreiben. Als Beispiel w¨ ahlen wir eine Rechteckplatte mit dem Seitenverh¨ altnis α = a/b unter einseitigem Druck Nx∗ = N , die an

Abb. 5.14

5.5

Plattenbeulen

309

den drei R¨ andern x = 0, x = a und y = 0 gelenkig gelagert ist, w¨ahrend der Rand y = b frei ist (Abb. 5.14). Wir erhalten die kritische Last Nkrit aus der Beulgleichung (5.44). Zu ihrer L¨osung w¨ ahlen wir den Produktansatz (Separationsansatz) w=

∞

Wm (y) sin

m=1

mπx . a

(5.52)

Er erf¨ ullt die Randbedingungen w = 0 und Mx = 0 l¨angs der gegen¨ uberliegenden R¨ ander x = 0 und x = a (vgl. Tabelle 3.1). Einsetzen in (5.44) f¨ uhrt auf ∞ 4 mπ 2 d2 W d4 Wm mπ 4 m K Wm − 2 + a a dy 2 dy 4 m=1 5 mπ 2 mπ x = 0. Wm sin −N a a Da der Sinus f¨ ur beliebige x im allgemeinen von Null verschieden ist, muss die geschweifte Klammer f¨ ur jedes m gleich Null sein. Wir k¨ onnen dann bei Wm auf den Index verzichten und erhalten mit der Abk¨ urzung μ = m π/a die gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung mit konstanten Koeﬃzienten 2 d4 W N 2 2d W 4 μ W = 0. (5.53) − 2μ + μ − dy 4 dy 2 K Zu ihrer L¨ osung machen wir den Ansatz W (y) = C eλy .

(5.54)

Einsetzen in (5.53) ergibt die charakteristische Gleichung N 2 μ = 0. λ4 − 2μ2 λ2 + μ4 − K Wenn wir annehmen, dass N > Kμ2 ist (vgl. (5.46)), dann hat sie die L¨ osungen N N 2 μ2 = ±β , λ3,4 = ±i −μ2 + μ = ±iγ . λ1,2 = ± μ2 + K K Setzt man diese Wurzeln in (5.54) ein, so kann man die Exponential-

310

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

funktionen mit reellen Exponenten zu Hyperbelfunktionen und die mit imagin¨ aren Exponenten zu Kreisfunktionen zusammenfassen und erh¨ alt damit W (y) = C1 cosh βy + C2 sinh βy + C3 cos γy + C4 sin γy.

(5.55)

Die vier Konstanten Ci folgen aus den Randbedingungen. Am gelenkig gelagerten Rand (y = 0) ergibt sich w=0

→

C1 + C3 = 0 ,

My = 0

→

(β 2 − ν μ2 ) C1 + (γ 2 + ν μ2 ) C3 = 0 .

Hieraus folgt C1 = C3 = 0, und von (5.55) bleibt nur W (y) = C2 sinh β y + C4 sin γ y → w(x, y) = (C2 sinh β y + C4 sin γ y) sin μ x . Aus den Bedingungen f¨ ur den freien Rand (y = b) erh¨alt man (vgl. Tabelle 3.1): My = 0 →

∂2w ∂2w + ν =0 → ∂y 2 ∂x2

β 2 C2 sinh βb − γ 2 C4 sin γb − ν μ2 (C2 sinh βb + C4 sin γb) = 0 , ∂ ∂2w ∂2w ¯ Qy = 0 → + (2 − ν) 2 = 0 → ∂y ∂y 2 ∂x β 3 C2 cosh βb − γ 3 C4 cos γb − (2 − ν)μ2 (β C2 cosh βb + γ C4 cos γb) = 0 .

Eine nichttriviale L¨ osung f¨ ur dieses homogene Gleichungssystem folgt aus dem Verschwinden der Koeﬃzientendeterminante: (β 2 − ν μ2 ) sinh β b

−(γ 2 + ν μ2 ) sin γ b

β[β 2 − (2 − ν)μ2 ] cosh β b

−γ[γ 2 + (2 − ν)μ2 ] cos γ b

= 0.

Da die gesuchte Beullast Nkrit in β und γ enthalten ist, ist ihre Ermittlung nur numerisch m¨ oglich. Dabei zeigen die Ergebnisse, dass in diesem Beispiel die kleinste Beullast stets f¨ ur m = 1 auftritt: die Beulform hat nur eine Halbwelle in x-Richtung. Setzen

5.5

Plattenbeulen

311

wir wieder Nkrit = k π 2 K/b2 , so h¨ angt der Beulwert k nur vom Seitenverh¨ altnis α ab. In der Tabelle 5.1 sind einige Zahlenwerte f¨ ur die betrachteten Randbedingungen angegeben. Zum Vergleich wurden die Beulwerte f¨ ur eine Platte, die bei y = 0 eingespannt ist, in die Tabelle zus¨ atzlich aufgenommen. Man erkennt, dass die Einspannung (nur an einem von 4 R¨ andern) den Beulwert gegen¨ uber dem Wert bei gelenkiger Lagerung erheblich erh¨oht. Tabelle 5.1 Beulwerte k

Seitenverh¨altnis α

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

1,44

1,14

0,95

0,84

0,76

0,70

1,70

1,47

1,36

1,33

1,34

1,38

Randbedingungen y = 0: gelenkig gelagert y = b: frei y = 0: eingespannt y = b: frei

5.5.3 Die Kreisplatte

Wir wollen nun noch kritische Lasten f¨ ur eine Kreisplatte ermitteln. Die Platte vom Radius R sei durch eine l¨angs des Randes gleichf¨ ormig verteilte Druckspannung σ0 belastet: N ∗ = σ0 t (Abb. 5.15a). Wegen der symmetrischen Randlast ist auch der Spannungszustand in der Scheibe (vor dem Beulen) rotationssymmetrisch. Mit ∂(·)/∂ϕ = 0 und τrϕ = 0 folgt aus (2.35) σr = σϕ = σ0

Abb. 5.15

→

Nr = Nϕ = N = σ0 t .

312

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

Wir k¨ onnen f¨ ur diesen homogenen Zustand die Beulgleichung in der Form (5.51) verwenden: N w = 0. (5.56) KΔ Δ w + N Δw = 0 → Δ Δ+ K Man kann zeigen, dass die L¨ osung dieser Diﬀerentialgleichung sich aus den L¨ osungen der beiden Diﬀerentialgleichungen Δw = 0

und

Δw +

N w=0 K

zusammensetzt. Nimmt man weiterhin an, dass neben der Belastung auch die Beulform, die sich f¨ ur N = Nkrit einstellt, rotationssymmetrisch ist (Abb. 5.15b), so vereinfacht sich der LaplaceOperator und man erh¨ alt die beiden gew¨ ohnlichen Diﬀerentialgleichungen d2 w 1 dw =0 + dr2 r dr

und

d2 w 1 dw N + w = 0 . (5.57) + dr2 r dr K

Die erste Gleichung ist vom Eulerschen, die zweite vom Besselschen Typ. Die Superposition der L¨ osungen dieser beiden Gleichungen ergibt mit N/K = β 2 r + C3 I0 (β r) + C4 N0 (β r) . w = C1 + C2 ln R Hierin sind I0 bzw. N0 die Besselsche bzw. die Neumannsche Funktion nullter Ordnung. Die Erf¨ ullung der Randbedingungen f¨ ur eine gelenkig gelagerte Platte w(R) = 0 und Mr (R) = 0 bzw. f¨ ur eine eingespannte Platte w(R) = 0 und

dw dr

=0 r=R

uhrt auf sowie der Bedingungen dw/dr|r=0 = 0 und w(0) = ∞ f¨ die Eigenwertgleichungen β R I0 (β r) − (1 − ν) I1 (β r) = 0

bzw.

I1 (β r) = 0 .

5.5

Plattenbeulen

313

Dabei ist I1 die Besselsche Funktion erster Ordnung, wobei die Beziehung I1 (ξ) = −dI0 (ξ)/dξ besteht. Die numerische Auswertung ergibt mit ν = 0, 3 die kritischen Lasten Nkrit = 4, 20 Nkrit

K R2

K = 14, 67 2 R

gelenkige Lagerung , (5.58) Einspannung .

Es soll abschließend erw¨ ahnt werden, dass die Platte trotz rotationssymmetrischer Belastung und Lagerung auch nichtsymmetrisch beulen kann. Man ﬁndet aber, daß die dann auftretenden Eigenwerte gr¨ oßer sind als diejenigen, die zu (5.58) f¨ uhren.

314

5.6

5 Stabilit¨at elastischer Strukturen

5.6 Weiterf¨ uhrende Literatur Baˇ zant, Z.P., Cedolin, L., Stability of Structures, Oxford University Press, 1991 Dym, C.L., Stability Theory and its Application to Structural Mechanics, Dover Publications, 2002 Leipholz, H., Stabilit¨ atstheorie, Teubner, Stuttgart 1968 Pfl¨ uger, A., Stabilit¨ atsprobleme der Elastostatik, Springer, Berlin 1975 Thompson, J.M.D., Hunt, G.W., A General Theory of Elastic Stability, Wiley, New York 1973 Timoshenko, S.P., Gere, J.M., Theory of Elastic Stability, McGraw Hill, New York 1965 Troger, H., Steindl, A., Nonlinear Stability and Bifurcation Theory, Springer, Berlin 1991 Ziegler, H., Principles of Structural Stability, Birkh¨auser, Basel 1977

Kapitel 6 Viskoelastizit¨ at und Plastizit¨ at

6

6 Viskoelastizit¨ at und Plastizit¨ at 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.4

Einf¨ uhrung ....................................................... Viskoelastizit¨at .................................................. Modellrheologie ................................................. Materialgesetz in integraler Form ........................... Plastizit¨at ........................................................ Allgemeines ...................................................... Fachwerke ........................................................ Balken............................................................. Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

317 320 321 340 344 344 351 358 368

6.1

Einf¨ uhrung

317

6.1

6.1 Einf¨ uhrung Bisher haben wir bei der Untersuchung des Verhaltens von festen K¨ orpern immer angenommen, dass der Werkstoﬀ elastisch ist. Dann besteht zum Beispiel bei einem Zugversuch (Abb. 6.1a) ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung: σ = σ(ε) (Abb. 6.1b). Dieser Zusammenhang ist zeitunabh¨ angig, d. h., bei einer Belastung des Stabes stellt sich die zugeh¨ orige Dehnung sofort ein. Wenn man den Stab anschließend vollst¨ andig entlastet, so nimmt er seine urspr¨ ungliche L¨ange wieder an: die Dehnung geht auf den Wert Null zur¨ uck. Dabei fallen die Belastungs- und die Entlastungskurve zusammen. F¨ ur Spannungen oberhalb der Proportionalit¨ atsgrenze σP (vgl. Band 2, Abschnitt 1.3) ist die Funktion σ = σ(ε) nichtlinear. F¨ ur σ < σP ist das Materialverhalten linear-elastisch, und es gilt das Hookesche Gesetz σ = E ε.

(6.1)

Da diese Beziehung analog zum linearen Federgesetz F = c x ist, l¨ asst sich das linear-elastische Materialverhalten durch eine Feder mit der Federkonstanten“ E veranschaulichen (Abb. 6.1c). ” Ein K¨ orper, dessen Stoﬀverhalten bei einem einachsigen Vorgang durch (6.1) beschrieben werden kann, wird als Hookescher K¨ orper bezeichnet. Dabei ist (6.1) repr¨ asentativ f¨ ur alle linearen Beziehungen bei elastischen K¨ orpern (z.B. τ = Gγ oder σm = Kεv ). Viele Materialien zeigen bei hohen Spannungen plastisches Verhalten. Dies gilt insbesondere f¨ ur Metalle bei nicht zu hohen Tem-

Abb. 6.1

318

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

peraturen. Bei Erreichen der Fließspannung (Streckgrenze) σF im Zugversuch nimmt die Dehnung bei praktisch gleichbleibender Spannung zu: das Material beginnt zu ﬂießen (Abb. 6.2a). Es sei angemerkt, dass viele Werkstoﬀe keine ausgepr¨agte Streckgrenze besitzen. Mit zunehmender Deformation steigt die Kurve bei vielen Metallen (zum Beispiel bei Stahl) wieder an, d. h., der Werkstoﬀ kann eine weitere Belastung aufnehmen. Diesen Bereich nennt man Verfestigungsbereich (vgl. Band 2, Abschnitt 1.3). Abbildung 6.2a zeigt das Spannungs-Dehnungs-Diagramm schematisch (nicht maßst¨ ablich) f¨ ur Stahl und f¨ ur gegl¨ uhtes Aluminium.

Abb. 6.2

Wenn man den Stab u ¨ber die Fließspannung σF hinaus belastet und anschließend entlastet, so verl¨ auft die Entlastungslinie im wesentlichen parallel zur Geraden im linear-elastischen Bereich (Abb. 6.2a). Bei v¨ olliger Entlastung geht die Dehnung dann nicht auf Null zur¨ uck, sondern es bleibt eine plastische Dehnung εpl erhalten. Es besteht dementsprechend kein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung: die im Stab wirkende Spannung ist abh¨ angig von der Deformationsgeschichte“. ” Sie stellt sich bei vielen Materialien wie im elastischen Bereich sofort ein, d. h., auch plastisches Verhalten ist zeitunabh¨angig. In manchen F¨ allen kann man das Materialverhalten durch ein idealisiertes Spannungs-Dehnungs-Diagramm nach Abb. 6.2b n¨aherungsweise beschreiben (vgl. Abschnitt 6.3.1). Dieses Materialverhalten l¨ asst sich mit Hilfe der Coulombschen Reibung veranschaulichen, wobei hier der Haftungskoeﬃzient μ0 und der Reibungskoeﬃzient μ gleich sein sollen: μ0 = μ. Die Fließspannung σF des Reibelements“ nach Abb. 6.2c entspricht der Grenzhaf”

6.1

Einf¨ uhrung

319

tungskraft H0 = μ0 N . Das Reibelement symbolisiert daher die Eigenschaften eines Werkstoﬀs nach Abb. 6.2b: f¨ ur σ < σF gilt ε = 0 (entspricht Haften), f¨ ur σ = σF ist ε = 0 (entspricht Gleiten). Eine Verfestigung kann man mit diesem einfachen Modell nicht beschreiben. Bei vielen Werkstoﬀen – zum Beispiel Polymeren, aber auch Metallen bei hohen Temperaturen – stellt sich unter einer festen Spannung keine konstante Dehnung ein, sondern die Dehnung ist zeitabh¨ angig (Abb. 6.3a). Diese Werkstoﬀe besitzen Eigenschaften sowohl eines elastischen Festk¨ orpers als auch einer viskosen Fl¨ ussigkeit. Daher bezeichnet man ein solches Verhalten als viskoelastisch. Auch hier besteht kein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung.

Abb. 6.3

Das Verhalten einer viskosen Fl¨ ussigkeit kann durch eine Stoﬀgleichung σ = f (ε) ˙ beschrieben werden (vgl. Abschnitt 1.1). Dabei ist ε˙ die Dehngeschwindigkeit (Dehnungsrate). Die Grundgleichung f¨ ur ein linear-viskoses Materialverhalten (Abb. 6.3b) ist durch σ = η ε˙

(6.2)

gegeben. Sie ist analog zur Stoﬀgleichung (1.1) der Newtonschen Fl¨ ussigkeit. Ein Material, dessen Verhalten durch (6.2) beschrieorper. Als Moben wird, nennt man daher einen Newtonschen K¨ dell daf¨ ur dient ein D¨ ampfer (vgl. Band 3, Abschnitt 5.2.3) mit der D¨ ampfungskonstanten η (Abb. 6.3c). Reale Werkstoﬀe besitzen immer elastische, plastische und viskose Eigenschaften. Unterschiedliche Bedingungen lassen jedoch

320

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

die eine oder andere Eigenschaft st¨ arker hervortreten. So sind zum Beispiel plastisches Fließen und viskoelastisches Verhalten stark von der Temperatur abh¨ angig. Wir wollen uns im folgenden mit dem viskoelastischen bzw. mit dem plastischen Verhalten befassen. Dabei beschr¨ anken wir uns auf einachsige Zust¨ande, da man bereits damit die wesentlichen Ph¨ anomene beschreiben kann. 6.2

6.2 Viskoelastizit¨ at Das Verhalten eines elastischen Materials wird durch seine Elastizit¨ atskonstanten charakterisiert. Diese werden mit Hilfe von Experimenten gewonnen. Viskoelastische Werkstoﬀe besitzen sowohl elastische als auch viskose Eigenschaften. Ihr Verhalten wird durch charakteristische Materialfunktionen“ festgelegt, die ebenfalls aus ” Experimenten bestimmt werden m¨ ussen. Wir wollen hier zwei typische Versuche betrachten.

Abb. 6.4

Beim Kriechversuch belastet man einen Stab mit einer Zugkraft, die zum Zeitpunkt t = 0 aufgebracht und dann auf dem konstanten Wert F0 gehalten wird (Abb. 6.4a). Das Zeitintervall Δt, in dem die Belastung aufgebracht wird, sei klein im Vergleich zu der Zeit, in der man die Dehnung beobachtet. Dann kann man die Spannung im Stab durch den stufenf¨ ormigen Verlauf nach Abb. 6.4b idealisieren. Die zugeh¨ orige Dehnung ε(t) – bezogen auf den Wert σ0 – nennt man Kriechfunktion oder Retardationsfunktion: J(t) =

ε(t) . σ0

(6.3)

6.2

Viskoelastizit¨at

321

Sie ist in Abb. 6.4c schematisch dargestellt. Ihr Wert J(0) zum Zeitpunkt t = 0 heißt momentane Nachgiebigkeit. H¨auﬁg geht die Kriechfunktion f¨ ur t → ∞ gegen einen festen Wert J(∞). Er wird als Gleichgewichtsnachgiebigkeit bezeichnet. Beim Relaxationsversuch bringt man dagegen zum Zeitpunkt t = 0 sprunghaft eine Dehnung auf, die dann konstant gehalten orige, auf den Wert ε0 bezowird: ε = ε0 (Abb. 6.5a). Die zugeh¨ gene Spannung heißt Relaxationsfunktion (Abb. 6.5b): G(t) =

σ(t) . ε0

(6.4)

atsmodul und G(∞) Man nennt G(0) den momentanen Elastizit¨ den Gleichgewichtsmodul.

Abb. 6.5

Die Retardationsfunktion beschreibt, wie sich die Dehnung zeitverz¨ogert (retardierend) einstellt. Die Relaxationsfunktion zeigt das zeitliche Abklingen der Spannung (Spannungsrelaxation). Beide Funktionen charakterisieren das Verhalten eines linear-viskoelastischen Materials. 6.2.1 Modellrheologie

Mit dem Begriﬀ Rheologie bezeichnet man die Lehre vom Verformungs- und Fließverhalten von K¨ orpern. Sie wurde als selbst¨andige wissenschaftliche Disziplin von E.C. Bingham (1878–1945) und M. Reiner (1886–1964) begr¨ undet. Die auf den Grundmodellen Feder, D¨ ampfer und Reibelement aufbauende Theorie nennt man Modellrheologie. Modelle, die zum Beispiel gleichzeitig elastische und viskose Eigenschaften besitzen, werden dabei dadurch erzeugt, dass man Federn und D¨ ampfer geeignet kombiniert. Diese

322

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Modelle sind insbesondere zur qualitativen Beschreibung der Ph¨anomene geeignet; sie besitzen den Vorteil großer Anschaulichkeit. Wir beschr¨ anken uns hier auf eine Theorie, bei der ein linearer Zusammenhang zwischen Kraft- und Deformationsgr¨oßen besteht. 6.2.1.1 Kelvin-Voigt-K¨ orper

¨ Ahnlich wie man in der Elektrotechnik Schaltbilder verwendet, kann man die Kombination der Grundelemente Feder und D¨ampfer durch rheologische Schaltbilder symbolisieren. Als erste m¨ogliche Kombination betrachten wir eine Parallelschaltung gem¨aß Abb. orper (Lord Kelvin, 6.6a. Dieses Modell wird als Kelvin-Voigt-K¨ 1824–1907; Woldemar Voigt, 1850–1919) bezeichnet.

Abb. 6.6

Unter der Wirkung einer Spannung σ(t) erf¨ahrt der K¨orper eine Dehnung ε(t). Der Zusammenhang zwischen σ und ε wird durch das Stoﬀgesetz beschrieben. Aus dem Schaltbild (Abb. 6.6a) kann man unmittelbar ablesen, dass die Dehnungen von Feder und D¨ ampfer gleich groß sind – n¨ amlich ε – und die Spannung σ die Summe der Spannungen σH = E ε in der Feder (Hookeampfer (Newtonscher K¨orper) scher K¨ orper) und σN = η ε˙ im D¨ ist. Damit folgt das Stoﬀgesetz f¨ ur den Kelvin-Voigt-K¨orper durch Superposition der Spannungen: σ = σH + σN , d.h. σ = E(ε + τ ε) ˙ .

(6.5)

Die Konstante τ = η/E hat die Dimension einer Zeit; sie heißt ¨ Retardationszeit (Ubergangszeit). Um die Kriechfunktion f¨ ur den Kelvin-Voigt-K¨orper zu bestimmen, geben wir die Belastung durch eine zur Zeit t = 0 aufgebrach-

6.2

Viskoelastizit¨at

323

te Spannung σ0 nach Abb. 6.4b vor. Den Verlauf von σ(t) beschreiben wir zweckm¨ aßigerweise mit Hilfe der Heaviside-Funktion. Sie ist deﬁniert durch ⎧ ⎨0 f¨ ur t < 0 (6.6) H(t) = ⎩1 f¨ ur t > 0 und entspricht dem F¨ oppl-Symbol t − t0 0 (vgl. Band 1, Abur die Spannung nach schnitt 7.2.5) mit t0 = 0. Mit (6.6) gilt f¨ Abb. 6.4b σ(t) = σ0 H(t) .

(6.7)

Damit liefert das Stoﬀgesetz (6.5) f¨ ur t > 0 die gew¨ohnliche Differentialgleichung 1. Ordnung σ0 ε + τ ε˙ = E f¨ ur die Dehnung ε(t). Ihre allgemeine L¨ osung setzt sich aus der L¨ osung εh = Ce−t/τ der homogenen Diﬀerentialgleichung und der Partikularl¨ osung εp = σ0 /E der inhomogenen Diﬀerentialgleichung zusammen: σ0 . (6.8) ε(t) = Ce−t/τ + E Mit der Anfangsbedingung ε(0) = 0 ergibt sich die Integrationskonstante in (6.8) zu C = −σ0 /E, und wir erhalten ε(t) =

σ0 (1 − e−t/τ ) . E

(6.9)

Nach (6.3) lautet somit die Kriechfunktion f¨ ur den Kelvin-VoigtK¨ orper J(t) =

1 (1 − e−t/τ ) . E

(6.10)

Sie ist in Abb. 6.6b dargestellt. Ein Sprung in der Spannung σ verursacht einen Sprung in der Dehngeschwindigkeit ε. ˙ Daher hat die Kurve J(t) an der Stelle t = 0 einen Knick. Die Dehngeschwindigkeit ist f¨ ur t > 0 durch ε(t) ˙ = (1/η) e−t/τ gegeben.

324

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Bei einem Newtonschen K¨ orper (σ = η ε) ˙ f¨ uhrt ein Spannungssprung der Gr¨ oße “1“ zur Zeit t = 0 auf den linearen Dehnungsverlauf ε(t) = t/η. Dieser Verlauf wird durch die Tangente im Punkt t = 0 an die Kriechfunktion nach Abb. 6.6b dargestellt. Bei einem Hookeschen K¨ orper (σ = E ε) stellt sich dagegen sofort eine konstante Dehnung ε = 1/E ein. Der Kelvin-VoigtK¨orper besitzt somit ein ﬂ¨ ussigkeitsartiges Anfangsverhalten und ein festk¨ orperartiges Endverhalten. Da die Dehnung ε einem endlichen Wert zustrebt (Gleichgewichtsnachgiebigkeit J(∞) = 1/E), ist der Kelvin-Voigt-K¨ orper im wesentlichen ein Festk¨orper. Die Tangente im Punkt t = 0 an die Kriechfunktion schneidet deren Asymptote J(∞) = 1/E an der Stelle t = τ (Abb. 6.6b). Zu diesem Zeitpunkt besitzt die Kriechfunktion den Wert J(τ ) = (1−1/e)/E. Sie hat damit bereits 63, 2% des Wertes der Asymptote erreicht (1/e = 0, 368). Die Retardationszeit τ stellt eine charakteristische Zeit f¨ ur das Verhalten des Materials dar. F¨ ur Zeiten ˙ ≈ 0, oßer sind als die Retardationszeit, gilt J(t) t, die deutlich gr¨ so dass dann praktisch station¨ are Verh¨ altnisse vorliegen. Beim Kelvin-Voigt-K¨ orper kann ein Dehnungssprung ε0 mit einer endlichen Spannung nicht aufgebracht werden. Außerdem zeigt der Kelvin-Voigt-K¨ orper keine Spannungsrelaxation bei festgehaltener Dehnung. In einem Anwendungsbeispiel wollen wir zeigen, wie man die Durchbiegung eines viskoelastischen Balkens ermitteln kann. Wir betrachten dazu einen einseitig eingespannten Balken aus KelvinVoigt-Material, der durch eine Kraft F = F0 H(t) belastet wird (Abb. 6.7). Als Grundgleichungen verwenden wir die statische Beziehung M = z σ dA, die kinematische Beziehung ε = −w z (vgl. Band 2, Kap. 4) sowie das Stoﬀgesetz (6.5) σ = E ε + η ε. ˙ Aus der Kinematik und dem Stoﬀgesetz erhalten wir zun¨achst σ = −E w z − η w˙ z. Nach Multiplikation mit z und Integration

Abb. 6.7

6.2

Viskoelastizit¨at

325

u ache A folgt daraus ¨ber die Querschnittsﬂ¨ z σ dA = − E w z 2 dA − η w˙ z 2 dA oder EI w + η I w˙ = − M .

(6.11)

Diese Beziehung ist die Diﬀerentialgleichung der Biegelinie f¨ ur einen Balken aus Kelvin-Voigt-Material. ur t > 0 folgt aus (6.11) Mit M (x) = −F0 (l − x) f¨ (EIw + η I w) ˙ = F0 (l − x) .

(6.12)

Zweimalige Integration u uhrt auf ¨ber x f¨ 2 x + f (t) , (EIw + η I w) ˙ = F0 lx − 2 x2 x3 EIw + η I w˙ = F0 l − + f (t) x + g(t) . 2 6 Dabei sind f (t) bzw. g(t) noch zu bestimmende Funktionen der Zeit t. Die Randbedingungen an der Einspannung liefern: w(0, t) = w(0, ˙ t) = 0 → g(t) = 0 ,

(6.13)

w (0, t) = w˙ (0, t) = 0 → f (t) = 0 . Somit bleibt w + τ w˙ =

F0 l3 x2 x3 3 2 − 3 6 EI l l

mit

τ=

η . E

(6.14)

Die allgemeine L¨ osung dieser Diﬀerentialgleichung ist durch F0 l3 x2 x3 3 2 − 3 w = wh + wp → w(x, t) = C e−t/τ + 6 EI l l gegeben. Da ein Sprung in der Belastung beim Kelvin-Voigt-K¨orper keinen Sprung in der Durchbiegung hervorruft (momentane Nachgiebigkeit gleich Null), erhalten wir mit der Anfangsbedingung w(x, 0) = 0 schließlich x3 F0 l3 x2 3 2 − 3 (1 − e−t/τ ) . (6.15) w(x, t) = 6 EI l l

326

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Die Durchbiegung des Balkens aus Kelvin-Voigt-Material geht demnach asymptotisch in die Durchbiegung des elastischen Balkens (Band 2, Abschnitt 4.5.2) u ¨ber. B6.1

Beispiel 6.1 Ein Stab aus Kelvin-Voigt-Material wird sprunghaft

zum Zeitpunkt t = 0 belastet und zum Zeitpunkt t = T wieder entlastet (Abb. 6.8a). Man bestimme den zeitlichen Verlauf der Dehnung.

Abb. 6.8

L¨ osung Der Spannungsverlauf wird durch

σ(t) = σ0 [H(t) − H(t − T )] beschrieben. Die dadurch hervorgerufene Dehnung folgt nach (6.5) aus der Diﬀerentialgleichung ε + τ ε˙ =

σ0 [H(t) − H(t − T )] . E

(a)

Mit Hilfe der Kriechfunktion kann die L¨ osung unmittelbar angegeben werden (Superposition der Kriechfunktionen f¨ ur die Spr¨ unge bei t = 0 und t = T ): ε(t) = σ0 [J(t) − J(t − T )] . Durch Einsetzen von (6.10) erh¨ alt man daraus ε(t) =

σ0 (1 − e−t/τ ) , E

0≤t≤T

(b)

sowie σ0 σ0 (1 − e−t/τ ) − (1 − e−(t−T )/τ ) E E σ0 T /τ (e − 1)e−t/τ , t≥T. = E

ε(t) =

(c)

6.2

Viskoelastizit¨at

327

Der Verlauf der Kriech-Erholungs-Kurve“ ist in Abb. 6.8b dar” gestellt. Man erkennt, dass beim Kelvin-Voigt-K¨orper nach der Entlastung keine bleibende Deformation auftritt: ε(t → ∞) = 0. Beispiel 6.2 Ein Stab aus Kelvin-Voigt-Material wird durch eine

Kraft F = F0 cos Ωt belastet (Abb. 6.9a). Die Erregerfrequenz Ω sei dabei wesentlich kleiner als die erste Eigenfrequenz der Longitudinalschwingungen des Stabes (Abschnitt 4.2.1). Man bestimme die Dehnung ε(t) f¨ ur t τ .

Abb. 6.9

L¨ osung F¨ ur kleine Erregerfrequenzen k¨ onnen wir die Tr¨agheitskr¨ afte vernachl¨ assigen (quasistatistische Verh¨ altnisse) und die Dehnung aus dem Stoﬀgesetz (6.5) bestimmen. Dabei ist die Spannung durch σ = (F0 /A) cos Ωt gegeben:

ε + τ ε˙ =

F0 cos Ωt . EA

(a)

Die L¨ osung εh = C e−t/τ der homogenen Gleichung klingt mit der Zeit ab und kann f¨ ur hinreichend große Zeit (t τ ) vernachl¨assigt werden. Uns interessiert deshalb nur die Partikularl¨osung. Wir machen f¨ ur sie einen Ansatz vom Typ der rechten Seite: ε(t) =

F0 V cos(Ωt − ϕ) . EA

(b)

Wenn wir F0 V (cos Ωt cos ϕ + sin Ωt sin ϕ) , EA F0 ε˙ = V Ω(− sin Ωt cos ϕ + cos Ωt sin ϕ) EA

ε=

in (a) einsetzen und ordnen, so folgt nach Division durch F0 /EA

B6.2

328

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

(V cos ϕ + V Ωτ sin ϕ − 1) cos Ωt + V (sin ϕ − Ωτ cos ϕ) sin Ωt = 0 . Diese Gleichung ist f¨ ur alle t nur dann erf¨ ullt, wenn beide Klammerausdr¨ ucke verschwinden. Aus der zweiten Klammer ergibt sich die Phasenverschiebung ϕ: tan ϕ = Ωτ .

(c)

Die erste Klammer liefert dann mit (c) und der trigonometrischen oßerungsfunktion V : Beziehung cos ϕ = 1/ 1 + tan2 ϕ die Vergr¨ V (cos ϕ + Ωτ sin ϕ) = V

1 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = 1 cos ϕ

→ V =

1 1 + (Ωτ )2

.

(d)

Der Verlauf der Dehnung nach (b) ist in Abb. 6.9b dargestellt. Abb. 6.9c zeigt die Vergr¨ oßerungsfunktion (d) in Abh¨angigkeit von der Frequenz. Je gr¨ oßer Ω ist, umso kleiner wird die Amplitude der Dehnung. 6.2.1.2 Maxwell-K¨ orper

Das rheologische Modell, das man durch eine Reihenschaltung von Feder und D¨ ampfer erh¨ alt (Abb. 6.10a), heißt Maxwell-K¨orper (J.C. Maxwell, 1831–1879). Um sein Stoﬀgesetz herzuleiten, beachten wir, dass in der Feder und im D¨ ampfer die gleiche Span-

Abb. 6.10

6.2

Viskoelastizit¨at

329

nung – n¨ amlich σ – wirkt und die gesamte Dehnung ε die Summe der Dehnungen εH und εN der beiden Grundelemente ist. Da im Stoﬀgesetz (6.2) des Newtonschen K¨ orpers nicht die Dehnung εN , sondern die Dehngeschwindigkeit ε˙N auftritt, addieren wir ˙ und statt der Dehnungen die Dehngeschwindigkeiten ε˙H = σ/E alt man das Stoﬀgesetz ε˙N = σ/η. Mit ε˙ = ε˙H + ε˙N erh¨ σ + τ¯ σ˙ = η ε˙ .

(6.16)

Dabei ist τ¯ = η/E die sogenannte Relaxationszeit. Um die Kriechfunktion des Maxwell-K¨ orpers zu bestimmen, geben wir die Spannung mit σ(t) = σ0 H(t) vor. Dann folgt wegen σ(t) ˙ = 0 f¨ ur t > 0 aus (6.16) ε˙ =

σ0 . η

(6.17)

Die Dehnung erhalten wir durch Integration: σ0 t+C. ε(t) = η Aus dem Anfangssprung ε(0) = σ0 /E ergibt sich die Integrationskonstante zu C = σ0 /E: 1 t + . (6.18) ε(t) = σ0 E η Die Kriechfunktion J(t) = ε(t)/σ0 folgt damit zu J(t) =

t 1 + . E η

(6.19)

Sie ist in Abb. 6.10b dargestellt. Man sieht, dass die Spannung zur Zeit t = 0 eine sprungartige Dehnung (der Feder) erzeugt. Anschließend dehnt“ sich nur noch der D¨ ampfer. Der Maxwell” K¨ orper hat somit ein festk¨ orperartiges Anfangsverhalten (momentane Nachgiebigkeit J(0) = 1/E) und ein ﬂ¨ ussigkeitsartiges Endverhalten: er ist im wesentlichen eine Fl¨ ussigkeit. Zur Bestimmung der Relaxationsfunktion geben wir die Dehnung mit ε(t) = ε0 H(t) vor. Dann folgt wegen ε(t) ˙ = 0 f¨ ur t > 0

330

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

aus (6.16) σ + τ¯ σ˙ = 0 .

(6.20)

Die allgemeine L¨ osung dieser homogenen Diﬀerentialgleichung lautet σ(t) = C e−t/¯τ . Aus der Anfangsbedingung σ(0) = E ε0 erhalten wir die Integrationskonstante zu C = E ε0 : σ(t) = ε0 E e−t/¯τ .

(6.21)

Die Relaxationsfunktion G(t) = σ(t)/ε0 ergibt sich zu (Abb. 6.10c) G(t) = E e−t/¯τ .

(6.22)

Der Dehnungssprung, der zur Zeit t = 0 allein von der Feder erbracht wird, erfordert einen Spannungssprung. Anschließend dehnt sich der D¨ ampfer bei einem gleichzeitigen Zusammenziehen der Feder. Damit wird die Spannung, die zur Aufrechterhaltung der Gesamtdehnung erforderlich ist, immer kleiner: das System entspannt sich. Diesen Vorgang bezeichnet man als Relaxation. Die Tangente im Punkt t = 0 an die Relaxationsfunktion schneidet die Abszisse an der Stelle t = τ¯ (vgl. Abb. 6.6b). Zu diesem Zeitpunkt besitzt die Relaxationsfunktion den Wert G(¯ τ ) = E/e. Die Spannung ist dann auf 36, 8 % ihres Anfangswertes gesunken. B6.3

Beispiel 6.3 Man bestimme die Spannung σ(t) in einem Stab aus Maxwell-Material, wenn die Dehnung ε(t) den in Abb. 6.11a dargestellten Verlauf hat. L¨ osung Aus der gegebenen Dehnung ε(t) erh¨ alt man einen Verlauf

der Dehngeschwindigkeit ε(t) ˙ nach Abb. 6.11b, wobei ε˙0 = εT /T ist. Damit folgt aus dem Stoﬀgesetz (6.16) σ˙ σ + = ε˙0 [H(t) − H(t − T )] . η E

6.2

Viskoelastizit¨at

331

Abb. 6.11

Diese Gleichung ist analog zur Diﬀerentialgleichung (a) f¨ ur die Kriech-Erholungs-Kurve beim Kelvin-Voigt-K¨ orper (Beispiel 6.1). Die Spannung σ(t) folgt daher aus Beispiel 6.1, indem man dort in (b) und (c) die Gr¨ oßen folgendermaßen austauscht: ε → σ, alt dann mit τ¯ = η/E: σ0 → ε˙0 , 1/E → η. Man erh¨ σ(t) = η ε˙0 (1 − e−t/¯τ ),

0≤t≤T,

σ(t) = η ε˙0 (eT /¯τ − 1)e−t/¯τ ) ,

t≥T.

Der Verlauf der Spannung ist in Abb. 6.11c dargestellt (vgl. auch Abb. 6.8b). 6.2.1.3 Linearer Standardk¨ orper und 3-Element-Fl¨ ussigkeit

Die bisher diskutierten sehr einfachen Modelle sind im allgemeinen nicht in der Lage, das Verhalten von viskoelastischen Materialien hinreichend genau zu beschreiben. Zu allgemeineren Modellen gelangt man, indem man mehrere Federn und D¨ampfer geeignet kombiniert. Zu diesem Zweck betrachten wir die in den Abb. 6.12a, b dargestellten Schaltbilder von zwei Federn und einem D¨ ampfer. Man kann sie als eine Reihenschaltung eines Hookeschen K¨ orpers mit einem Kelvin-Voigt-K¨ orper bzw. als eine Parallelschaltung eines Hookeschen K¨ orpers mit einem Maxwell-K¨orper auﬀassen. Es wird sich zeigen, dass beide Modelle gleichwertig sind. Der K¨ orper, dessen Verhalten sie beschreiben, heißt linearer Standardk¨ orper. Er wird auch nach J.H. Poynting (1852–1914) und J.J. Thomson (1856–1940) benannt. Der lineare Standardk¨orper wurde erstmals zur Untersuchung des Verhaltens von Venen und von Glasﬁbern verwendet.

332

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Abb. 6.12

Wir wollen zuerst das Stoﬀgesetz f¨ ur das Modell nach Abb. 6.12a herleiten. Die Superposition der Dehnungen der beiden Teilk¨ orper liefert die gesamte Dehnung ε = εH + εKV .

(6.23)

Dabei gilt nach (6.1) und (6.5) σ = E0 εH ,

σ = E1 εKV + η1 ε˙KV .

(6.24)

Wenn man aus diesen drei Gleichungen die Gr¨oßen εH , εKV und alt man ε˙KV eliminiert, so erh¨ η1 E 0 + E1 σ+ σ˙ = E1 ε + η1 ε˙ . E0 E0

(6.25)

F¨ ur das Modell nach Abb. 6.12b folgt das Stoﬀgesetz durch Superposition der Spannungen zu ¯∞ ¯1 + E ¯∞ 1 E E 1 σ + ¯ σ˙ = ε+ ε˙ . ¯ η¯1 η¯1 E1 E1

(6.26)

Mit der Substitution ¯1 = E

E02 ¯∞ = E0 E1 , η¯1 = , E E0 + E 1 E0 + E 1

6.2

Viskoelastizit¨at

2

E0 E0 + E 1

η1

333

(6.27)

kann (6.26) in (6.25) u uhrt werden. Die beiden Materialge¨bergef¨ setze, die sich allgemein in der Form p0 σ + p1 σ˙ = q0 ε + q1 ε˙

(6.28)

schreiben lassen, beinhalten somit lediglich eine verschiedene Interpretation der Parameter. Daher sind die beiden Modelle nach Abb. 6.12a,b gleichwertig. Die Kriechfunktion des linearen Standardk¨ orpers l¨asst sich am einfachsten mit der Darstellung nach Abb. 6.12a bestimmen. Da man dabei nur die Dehnungen des Hookeschen K¨orpers und des Kelvin-Voigt-K¨ orpers superponieren muss, erh¨ alt man mit (6.1) und (6.10) unmittelbar (Abb. 6.12c) J(t) =

1 1 + (1 − e−t/τ ) E0 E1

(6.29)

mit der Retardationszeit τ = η1 /E1 . Man sieht, dass der lineare Standardk¨ orper sowohl eine momentane Elastizit¨at (momentane Nachgiebigkeit J(0) = 1/E0 ) als auch eine Endelastizit¨at (Gleichgewichtsnachgiebigkeit J(∞) = 1/E0 + 1/E1 ) besitzt. Dementsprechend ist der lineare Standardk¨ orper ein Festk¨orper. An den Schaltbildern erkennt man dies u ¨brigens daran, dass es einen Weg zwischen den Endpunkten des Modells gibt, der nur u ¨ber Federn f¨ uhrt. Die in Abb. 6.12c gestrichelt eingezeichnete KriechErholungs-Kurve deutet an, dass nach einer Entlastung zum Zeitpunkt t = T die Dehnung asymptotisch auf Null zur¨ uckgeht. Zur Bestimmung der Relaxationsfunktion verwenden wir zweckm¨ aßigerweise die Schaltung nach Abb. 6.12b. Dann m¨ ussen wir die Spannungen in den beiden K¨ orpern superponieren und erhalten mit (6.22) (Abb. 6.12d) ¯1 e−t/¯τ ¯∞ + E G(t) = E

(6.30)

334

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

¯1 . Man sieht, dass beim 3-Elemit der Relaxationszeit τ¯ = η¯1 /E ment-Festk¨ orper keine vollst¨ andige Spannungsrelaxation stattﬁndet. F¨ ur t → ∞ wird die Spannung nur noch vom Hookeschen Teilk¨ orper aufgenommen. Er bestimmt die Endelastizit¨at (Gleich¯∞ ). gewichtsmodul G(∞) = E Mit Hilfe von (6.27) kann man zeigen, dass η1 E1 η¯1 = τ τ¯ = ¯ = E0 + E 1 E0 + E 1 E1 gilt. Somit ist beim linearen Standardk¨ orper die Relaxationszeit τ¯ kleiner als die Retardationszeit τ . Es sei angemerkt, dass ein Hookescher K¨ orper in Parallelschaltung mit einem Kelvin-Voigt-K¨ orper oder in Reihenschaltung mit einem Maxwell-K¨ orper keine neuen Modelle erzeugt, da dann die beiden Federn jeweils durch eine einzige Feder ersetzt werden k¨ onnen. Wir wollen im weiteren die m¨ oglichen Kombinationen von einer Feder mit zwei D¨ampfern untersuchen (Abb. 6.13a, b). Diese Modelle wurden erstmals zur Untersuchung des Verhaltens von Blut bzw. der Erdkruste verwendet. Die Herleitung der Stoﬀgleichungen erfolgt wie beim linearen Standardk¨ orper. F¨ ur beide Modelle erh¨ alt man nun p0 σ + p1 σ˙ = q1 ε˙ + q2 ε¨

(6.31)

mit p0 =

E1 , η∞

p1 =

η1 + η∞ , η∞

q1 = E1 ,

q2 = η1

f¨ ur das Modell nach Abb. 6.13a bzw. mit p0 =

1 , η¯1

1 p1 = ¯ , E1

q1 =

η¯0 + η¯1 , η¯1

η¯0 q2 = ¯ E1

f¨ ur das Modell nach Abb. 6.13b. Da das Stoﬀgesetz f¨ ur beide Modelle durch (6.31) gegeben wird, charakterisieren die Abb. 6.13a bzw. 6.13b das gleiche Materialverhalten. Zur Ermittlung der Kriechfunktion ist die Schaltung nach Abb. 6.13a besonders geeignet. Durch Superposition der Dehnungen

6.2

Viskoelastizit¨at

335

Abb. 6.13

(Superposition der Kriechfunktionen des Newtonschen und des Kelvin-Voigt-K¨ orpers) erhalten wir J(t) =

1 t + (1 − e−t/τ ) η∞ E1

(6.32)

mit der Retardationszeit τ = η1 /E1 . Die Kriechfunktion (Abb. 6.13c) zeigt, dass sich f¨ ur t → ∞ keine endliche Dehnung einstellt; das Material kriecht (ﬂießt) unbeschr¨ ankt. Das Stoﬀgesetz (6.31) usbeschreibt daher das Verhalten einer Fl¨ ussigkeit (3-Element-Fl¨ sigkeit). Man erkennt dies am Stoﬀgesetz daran, dass nur Ableitungen von ε auftreten, nicht aber ε selbst. An den Schaltbildern kann man den Fl¨ ussigkeitscharakter daran erkennen, dass es keinen Weg zwischen den Endpunkten der Modelle gibt, der nur u ¨ber Federn f¨ uhrt. Aus der in Abb. 6.13c gestrichelt eingezeichneten Kriech-Erholungs-Kurve ersieht man, dass nach einer Entlastung zum Zeitpunkt t = T die Dehnung nicht auf Null zur¨ uckgeht. Die Relaxationsfunktion erhalten wir am einfachsten aus der ¨ Darstellung nach Abb. 6.13b. Durch Uberlagerung der Spannun-

336

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

gen infolge einer pl¨ otzlich aufgebrachten Dehnung folgt ¯1 e−t/¯τ + η¯0 δ(t) G(t) = E

(6.33)

¯1 . Darin ber¨ ucksichtigt der Term mit der Relaxationszeit τ¯ = η¯1 /E ampfer (¯ η0 ) eine unη¯0 δ(t), dass der Dehnungssprung im Einzeld¨ ” endlich große“ Kraft bewirkt. Die Relaxationsfunktion ist in Abb. 6.13d dargestellt. Man kann zeigen, dass im Gegensatz zum linearen Standardk¨ orper bei der 3-Element-Fl¨ ussigkeit die Retardationszeit τ kleiner als die Relaxationszeit τ¯ ist. B6.4

Beispiel 6.4 F¨ ur den linearen Standardk¨ orper bestimme man die Spannung σ(t), wenn die Dehngeschwindigkeit ε(t) ˙ den in Abb. 6.14a dargestellten Verlauf hat und der Ausgangszustand dehnungslos war.

Abb. 6.14

L¨ osung Wir ermitteln zun¨ achst aus der Dehngeschwindigkeit ε(t) ˙ durch Integration die Dehnung ε(t) (Abb. 6.14b). Durch Einsetzen von ε˙ und ε in das Stoﬀgesetz (6.28) erh¨ alt man eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Spannung σ(t). Nach bereichsweiser Integration (t < T bzw. t > T ) und Ber¨ ucksichtigung der jeweiligen Anfangsbedingung folgt daraus der gesuchte Spannungsverlauf. Wir k¨ onnen die Spannung auch auf eine einfachere Weise bestimmen. W¨ ahlen wir das Modell nach Abb. 6.12b, so ergibt sie sich n¨ amlich durch die Superposition der Spannungen im Hookeschen K¨ orper und im Maxwell-K¨ orper. Die Spannung im Hooke¯ schen K¨ orper lautet σH (t) = E∞ ε(t). Die Spannung im MaxwellK¨ orper kann aus Beispiel 6.3 entnommen werden. Man erh¨alt somit insgesamt

¯∞ t + η¯1 (1 − e−t/¯τ )] , σ(t) = ε˙0 [E

0
6.2

¯∞ T + η¯1 (eT /¯τ − 1)e−t/¯τ ] , σ(t) = ε˙0 [E

Viskoelastizit¨at

337

t≥T.

¯1 die Relaxationszeit. Abbildung 6.14c zeigt Dabei ist τ¯ = η¯1 /E den Spannungsverlauf. Er ist analog zur Kriech-Erholungs-Kurve bei der 3-Element-Fl¨ ussigkeit (Abb. 6.13c). 6.2.1.4 Verallgemeinerte Modelle

Wir betrachten zun¨ achst eine Reihenschaltung von einem Hookeschen K¨ orper, einem Newtonschen K¨ orper und n Kelvin-VoigtK¨ orpern (Abb. 6.15a). Dieser N-Element-K¨ orper (N = 2n + 2), usden man auch als Kelvin-Voigt-Gruppe bezeichnet, stellt eine Fl¨ sigkeit dar. Wenn der Einzeld¨ ampfer nicht vorhanden ist (η∞ → ∞), dann repr¨ asentiert das entsprechende Modell mit N = 2n + 1 Elementen einen Festk¨ orper.

Abb. 6.15

Bei einer Parallelschaltung aller Elemente zu einer Maxwellorper. Falls dabei die Gruppe (Abb. 6.15b) ergibt sich ein Festk¨ ¯∞ = 0), stellt die MaxwellEinzelfeder nicht vorhanden ist (E Gruppe eine Fl¨ ussigkeit dar. Die in Abschnitt 6.2.1.3 behandelten 3-Element-K¨ orper lassen sich als Sonderf¨ alle dieser beiden verallgemeinerten Modelle auﬀassen. Man kann zeigen, dass es zu jedem K¨ orper der Kelvin-VoigtGruppe einen gleichwertigen K¨ orper der Maxwell-Gruppe gibt. So sind zum Beispiel die beiden Darstellungen nach Abb. 6.12a,b

338

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Abb. 6.16

f¨ ur den linearen Standardk¨ orper sowie die beiden Darstellungen nach Abb. 6.13a,b f¨ ur die 3-Element-Fl¨ ussigkeit ¨aquivalent. Weitere Beispiele sind der 4-Element-Festk¨ orper (Abb. 6.16a,b), dessen Stoﬀgleichung vom Typ p0 σ + p1 σ˙ = q0 ε + q1 ε˙ + q2 ε¨

(6.34)

ist sowie die 4-Element-Fl¨ ussigkeit (Abb. 6.17a, b) mit der Stoﬀgleichung ¨ = q1 ε˙ + q2 ε¨ . p0 σ + p1 σ˙ + p2 σ

(6.35)

Es sei angemerkt, dass das Stoﬀgesetz f¨ ur einen N -Element-K¨orper allgemein durch eine Gleichung der Form j

pj

∂j σ ∂kε = qk k ∂tj ∂t

(6.36)

k

gegeben ist.

Abb. 6.17

Zur Ermittlung der Kriechfunktion eines N -Element-K¨orper ist das Kelvin-Voigt-Modell (Abb. 6.15a) besonders geeignet. Durch

6.2

Viskoelastizit¨at

339

die Superposition der Dehnungen (Kriechfunktionen) erhalten wir unmittelbar (vgl. (6.29) und (6.32)) 1 t 1 + + (1 − e−t/τj ) , E0 η∞ j=1 Ej n

J(t) =

τj =

ηj . Ej

(6.37a)

Mit den Nachgiebigkeiten Jj = 1/Ej kann man die Gesamtheit der Wertepaare (Jj , τj ) zur Kennzeichnung der Summe in (6.37a) verwenden und in einem diskreten Retardationsspektrum veranschaulichen (Abb. 6.18a).

Abb. 6.18

Wenn man zu einer Kelvin-Voigt-Kette mit unendlich vielen Elementen und inﬁnitesimal benachbarten Retardationszeiten τj u ¨bergeht (n → ∞), dann wird aus dem diskreten Spektrum ein kontinuierliches Spektrum f1 (τ ) (Abb. 6.18b). Die Kriechfunktion (6.37a) geht dabei in t J(t) = J0 + + η∞

∞

f1 (τ )(1 − e−t/τ )dτ

(6.37b)

τ =0

u ¨ber. Sie ist dann durch die Anfangsnachgiebigkeit J0 , die Endviskosit¨ at η∞ sowie das Retardationsspektrum

340

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

(beim Aufbringen eines Dehnungssprungs der Gr¨oße “1“ tritt im Einzeld¨ ampfer eine unendlich große“ Kraft η¯0 δ(t) auf). Die Ge” ¯j , τ¯j ) wird zur Kennzeichnung der samtheit der Wertepaare (E Summe in (6.38a) verwendet und in einem diskreten Relaxations¨ spektrum veranschaulicht. Beim Ubergang zu unendlich vielen Elementen (n → ∞) wird daraus ein kontinuierliches Relaxationsτ ), und die Relaxationsfunktion (6.38a) geht in spektrum f2 (¯

∞ ¯∞ + η¯0 δ(t) + f2 (¯ τ ) e−t/¯τ d¯ τ (6.38b) G(t) = E τ¯=0

¯∞ , die Anfangsviskou at E ¨ber. Sie ist also durch die Endelastizit¨ τ ) gekennzeichnet. sit¨ at η¯0 und das Relaxationsspektrum f2 (¯ 6.2.2 Materialgesetz in integraler Form

Bisher haben wir den Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung auf der Basis von Feder-D¨ ampfer-Modellen untersucht. Das Stoﬀgesetz besteht dann aus einer Gleichung, in der die Spannung und die Dehnung sowie Ableitungen dieser Gr¨oßen auftreten (vgl. zum Beispiel (6.28)). Es stellt somit einen diﬀerentiellen Zusammenhang zwischen σ und ε dar. In diesem Abschnitt wollen wir das Materialverhalten nicht mit Hilfe von Modellen beschreiben, sondern nur die Kenntnis der Kriechfunktion J(t) sowie der Relaxationsfunktion G(t) zugrunde legen. Außerdem setzen wir wie bisher voraus, dass das Superpositionsprinzip gilt. Dann kann man das Materialgesetz auch in integraler Form angeben. Zur Herleitung gehen wir von einem Spannungsverlauf σ(t) nach Abb. 6.19a aus. Wir n¨ ahern zun¨ achst den kontinuierlichen Verlauf durch einen stufenf¨ ormigen Verlauf an: Δσj H(t − ϑj ) . σ(t) ≈ j

Dabei stellt Δσj den Spannungssprung an der Stelle ϑj dar. Dieser hat eine Dehnung ε(t) = Δσj J(t − ϑj ) zur Folge. Die Superposition aller Spannungsspr¨ unge liefert damit f¨ ur die Dehnung ε(t) ≈ Δσj J(t − ϑj ) . j

6.2

Viskoelastizit¨at

341

Abb. 6.19

Dabei sind alle Spannungsspr¨ unge vom Belastungsbeginn (t = 0) ¨ bis zum aktuellen Zeitpunkt t aufzusummieren. Durch den Uber gang zum stetigen Verlauf σ(t) wird daraus (Σ → , Δσj → dσ)

ε(t) = J(t − ϑ)dσ . Mit dσ = (dσ/dϑ)dϑ folgt

t J(t − ϑ)

ε(t) =

dσ dϑ . dϑ

(6.39)

0

Hieraus kann bei bekannter Kriechfunktion J(t) und gegebenem Spannungsverlauf σ(t) nach Abb. t6.19a die Dehnung ε(t) bestimmt werden. Ein Integral der Form 0 f (t − ϑ)g (ϑ)dϑ nennt man Faltungsintegral. Falls die Spannung zum Zeitpunkt t = 0 auf den Wert σ(0) = σ0 springt (Abb. 6.19b), m¨ ussen wir diesen Sprung mitber¨ ucksichtigen und erhalten dann

t J(t − ϑ)

ε(t) = σ(0) J(t) +

dσ dϑ . dϑ

(6.40)

0

Dabei ist als untere Grenze des Integrals der Wert t = 0+ (unmittelbar nach dem Anfangssprung) zu w¨ ahlen. Man kann ε(t) auch in anderer Form darstellen. Dazu integrieren wir (6.40) zun¨ achst partiell. Dies liefert t ε(t) = σ(0) J(t) + J(t − ϑ) σ(ϑ) 0 −

t 0

dJ(t − ϑ) σ(ϑ) dϑ dϑ

342

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

bzw.

t

ε(t) = J(0) σ(t) −

dJ(t − ϑ) σ(ϑ) dϑ . dϑ

0

Mit der Substitution t − ϑ = s erhalten wir daraus

t ε(t) = J(0) σ(t) +

dJ σ(t − s) ds . ds

(6.41)

0

Damit l¨ asst sich das Stoﬀgesetz alternativ wie folgt darstellen:

t ε(t) = σ(0) J(t) +

dσ J(t − ϑ) dϑ , dϑ

(6.42a)

dJ ds . ds

(6.42b)

0

t σ(t − s)

ε(t) = σ(t) J (0) + 0

In entsprechender Weise kann man bei vorgegebener Dehnung ε(t) und bekannter Relaxationsfunktion G(t) die Spannung σ(t) bestimmen:

t σ(t) = ε(0) G(t) +

dε G(t − ϑ) dϑ , dϑ

(6.43a)

0

t ε(t − s)

σ(t) = ε(t) G(0) +

dG ds . ds

(6.43b)

0

Die Kriechfunktion J(t) und die Relaxationsfunktion G(t) sind nicht unabh¨ angig voneinander. Zwischen ihnen besteht der Zusammenhang d dt

t J(t − ϑ) G(ϑ)dϑ = H(t) .

(6.44)

0

Dies l¨ asst sich folgendermaßen zeigen. Nach der Leibnizschen Differentiationsregel f¨ ur Parameterintegrale mit ver¨anderlichen Inte-

6.2

Viskoelastizit¨at

343

grationsgrenzen folgt zun¨ achst d dt

t

t J(t − ϑ) G(ϑ) dϑ =

0

dJ(t − ϑ) G(ϑ) dϑ + J(0) G(t) . dt

0

Wegen dJ(t − ϑ)/dt = −dJ(t − ϑ)/dϑ erh¨ alt man daraus d dt

t

t J(t − ϑ) G(ϑ) dϑ = −

0

dJ(t − ϑ) G(ϑ) dϑ + J(0) G(t) . dϑ

0

Mit der Substitution t − ϑ = s im Integral auf der rechten Seite ergibt sich schließlich d dt

t

t J(t − ϑ) G(ϑ) dϑ =

0

dJ G(t − s) ds + J(0) G(t) . (6.45) ds

0

Die Relaxationsfunktion G(t) stellt den Spannungsverlauf σ(t) bei einer Dehnung ε(t) = H(t) dar. Durch den Vergleich von (6.45) mit (6.42b) erh¨ alt man somit (6.44). Beispiel 6.5 Ein Stab besteht aus einem Material, dessen Kriech−t/τ

) gegeben ist. Man bestimfunktion durch J(t) = (1/E)(1 − e me die Dehnung ε(t) f¨ ur einen Spannungsverlauf nach Abb. 6.20a.

Abb. 6.20

L¨ osung Zur Bestimmung von ε(t) verwenden wir (6.42a). Mit σ(0) = 0 und dσ/dϑ = a erhalten wir

a ε(t) = E

t

(1 − e−(t−ϑ)/τ ) dϑ =

a (t − τ + τ e−t/τ ) . E

0

Der Verlauf von ε ist in Abb. 6.20b dargestellt. Der Anstieg der Asymptote ist durch a/E gegeben.

B6.5

344

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Es sei angemerkt, dass die gegebene Funktion J(t) die Kriechfunktion eines Kelvin-Voigt-K¨ orpers ist. B6.6

Beispiel 6.6 Ein Stab besteht aus einem Material, dessen Relaxa-

tionsfunktion durch G(t) = E∞ + E1 e−t/¯τ mit τ¯ = η1 /E1 gegeτ )e−t/¯τ gemessen ben ist. Am Stab wird die Dehnung ε(t) = ε0 (t/¯ (Abb. 6.21a). Welche Spannung wirkt im Stab?

Abb. 6.21

L¨ osung Wir bestimmen die Spannung mit Hilfe von (6.43b). Mit

G(0) = E1 + E∞ ,

E1 −s/¯τ dG(s) =− e ds τ¯

erhalten wir

t t E1 σ(t) = ε0 (E1 + E∞ ) e−t/¯τ − ε0 2 (t − s)e−(t−s)/¯τ e−s/¯τ ds τ¯ τ¯ 0 E1 t2 −t/¯τ t e . = ε0 (E1 + E∞ ) − τ¯ 2 τ¯2 Der Spannungsverlauf ist in Abb. 6.21b dargestellt. Man erkennt, dass die Spannung f¨ ur t/¯ τ > 2(1 + E∞ /E1 ) negativ wird, obwohl die Dehnung positiv ist.

6.3

6.3 Plastizit¨ at 6.3.1 Allgemeines

Wir betrachten nun noch einmal den Zugversuch und diskutieren ihn ausf¨ uhrlicher als in Abschnitt 6.1. Ein zylindrischer Probestab mit der Ausgangsl¨ ange l0 und der Ausgangsquerschnittsufmaschine gedehnt, wobei die Zugﬂ¨ ache A0 wird in einer Pr¨

6.3

Plastizit¨at

345

kraft F gemessen wird. Dabei nimmt er die aktuelle L¨ange l an. Im Spannungs-Dehnungs-Diagramm werden h¨ auﬁg die nominelle (konventionelle) Spannung σ = F/A0 und die konventionelle Dehnung ε = Δl/l0 = (l − l0 )/l0 aufgetragen. Abbildung 6.22a zeigt das Diagramm schematisch f¨ ur Stahl. Der Verlauf der Kurve ist bis zur Proportionalit¨ atsgrenze σP linear. Bei einer Erh¨ohung der Belastung wird der Zusammenhang zwischen σ und ε nichtlinear. Das Werkstoﬀverhalten ist dabei (f¨ ur σ < σF ) noch elastisch, d.h., bei einer vollst¨ andigen Entlastung geht die Dehnung entlang der Belastungskurve auf den Wert Null zur¨ uck. Es sei angemerkt, dass der nichtlinear-elastische Bereich f¨ ur viele Metalle sehr klein und h¨ auﬁg vernachl¨ assigbar ist.

Abb. 6.22

Nach dem Erreichen der Fließspannung σF setzt eine plastische Deformation ein. Zun¨ achst kann die Dehnung bei praktisch gleichbleibender Spannung zunehmen. Anschließend erfordert eine zus¨ atzliche Dehnung eine Erh¨ ohung der Belastung. Diesen Bereich nennt man Verfestigungsbereich. Der Kurvenverlauf wird dabei deutlich ﬂacher als im elastischen Bereich. Schließlich wird als Maximum der Spannung die Zugfestigkeit σB erreicht (der maximalen Spannung entspricht ein Maximalwert Fmax = σB A0 der Zugkraft). Mit zunehmender Dehnung f¨ allt die Kraft F dann aufgrund von starken Einschn¨ urungen des Stabquerschnitts ab, und der Stab reißt bei der Bruchspannung σZ . Wenn man nach Erreichen eines beliebigen Punktes P im Verfestigungsbereich entlastet (Abb. 6.22a), so verl¨auft die Entlas-

346

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

tungskurve parallel zur Geraden im linear-elastischen Bereich, und man erh¨ alt eine bleibende (plastische) Dehnung εpl . Eine Wiederbelastung vom Punkt Q aus ﬁndet entlang der Geraden QP statt (in Wirklichkeit tritt zwar eine schmale Hystereseschleife auf; diese wird aber meist vernachl¨ assigt). Plastisches Fließen setzt dann erst wieder im Punkt P ein. Die entsprechende Spannung kann daher als neue Fließspannung f¨ ur das bereits plastisch deformierte Material betrachtet werden. Bei einer weiteren Erh¨ohung der Belastung wird die Kurve u ¨ber den Punkt P hinaus so durchlaufen, als ob keine Entlastung stattgefunden h¨ atte. Nach Abb. 6.22a kann man die Dehnung im Punkt P als die Summe der elastischen Dehnung εel und der plastischen Dehnung εpl auﬀassen: ε = εel + εpl

bzw.

ε = σ/E + εpl .

(6.46)

Bei vielen Metallen ist die Streckgrenze σF so schwach ausgepr¨ agt, dass man sie nicht genau erkennen kann. Man w¨ahlt als Materialkennwert dann eine Spannung, die zu einem bestimmten Wert der plastischen Dehnung geh¨ ort. So ist zum Beispiel σ0,2 die Spannung, die zur plastischen Dehnung εpl = 0, 2% geh¨ort. In Wirklichkeit beh¨ alt die Querschnittsﬂ¨ ache bei einem Zugversuch nicht den Wert A0 , sondern sie nimmt wegen der Querkontraktion mit wachsender Dehnung ab. Dementsprechend wirkt im Stabquerschnitt nicht die konventionelle Spannung σ = F/A0 , sondern die wirkliche (physikalische) Spannung σw = F/A, wobei A die aktuelle Querschnittsﬂ¨ ache ist. Die plastische Dehnung (εpl ) ist bei vielen Werkstoﬀen mit keiner Volumen¨anderung verbunden; diese ist dann nur auf die elastischen Dehnungen (εel ) zur¨ uckzuf¨ uhren. Vernachl¨ assigt man die elastische Volumen¨anderung beim Zugversuch, dann kann man mit A l = A0 l0 den Zusammenhang zwischen der konventionellen Spannung σ und der wirklichen Spannung σw angeben: σw =

Fl F l = = σ = σ(1 + ε) . A A0 l0 l0

(6.47)

F¨ ur kleine Dehnungen (|ε| 1) sind σ und σw n¨aherungsweise gleich groß.

6.3

Plastizit¨at

347

Um auch die Deﬁnition der Dehnung dem physikalischen Verhalten besser anzupassen, beziehen wir nun die L¨angen¨anderung des Stabes nicht auf die Ausgangsl¨ ange l0 , sondern auf die aktuelle L¨ ange l. Dann ist ein Inkrement der Dehnung durch dε = dl/l ¨ gegeben. Die gesamte Dehnung bei einer Anderung der L¨ange von l0 bis l folgt durch Integration:

l ¯ dl εl = ¯l = ln l/l0 .

(6.48)

l0

Die so deﬁnierte Dehnung wird als logarithmische (nat¨ urliche) Dehnung bezeichnet. Ihr Zusammenhang mit der konventionellen Dehnung ε ist wegen l/l0 = 1 + ε durch εl = ln(1 + ε)

(6.49)

gegeben. F¨ ur kleine Dehnungen (|ε| 1) gilt εl ≈ ε. Tr¨ agt man im Spannungs-Dehnungs-Diagramm die wirkliche Spannung σw und die logarithmische Dehnung εl auf (Abb. 6.22b), dann stimmt der Verlauf mit demjenigen nach Abb. 6.22a f¨ ur Dehnungen ε 0,05 im wesentlichen u ¨berein. Anschließend weichen die Kurvenverl¨ aufe aber deutlich voneinander ab. Die wirkliche Spannung ist nach (6.47) stets gr¨ oßer als die konventionelle Spannung, und sie w¨ achst – auch im Bereich der starken Einschn¨ urung, in dem die Kraft F abnimmt – bis zum Reißen der Probe an. Der Anstieg T = dσ/dε der Kurve heißt Tangentenmodul. Es sei angemerkt, dass man in Spannungs-Dehnungs-Diagrammen als Abszisse statt der Gesamtdehnung ε (bzw. εl ) die plastische Dehnung (vgl. 6.46) εpl = ε − εel verwenden kann. Dann nennt man die entsprechende Steigung dσ/dεpl den plastischen Tangentenmodul. Wenn man die Kurve des σw , εl -Diagramms in einem doppeltlogarithmischen Maßstab auftr¨ agt, so stellt man fest, dass sie – abgesehen von den Bereichen sehr kleiner bzw. sehr großer Dehnung – f¨ ur viele Metalle n¨ aherungsweise gerade verl¨auft. Dies bedeutet, dass sie in einem großen Bereich durch ein Potenzgesetz der Form σ = C εn ,

0≤n<1

(6.50a)

348

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

angen¨ ahert werden kann (dabei haben wir auf die Indizes w und l verzichtet). Die Parameter C und n werden so gew¨ahlt, dass der experimentell ermittelte Verlauf m¨ oglichst gut approximiert wird. Die Beziehung (6.50a) wurde 1909 von P. Ludwik vorgeschlagen. Der Wert des Exponenten n in (6.50a) liegt im allgemeinen zwischen Null und 0,5. Daher ist die Steigung der Kurve σ = σ(ε) f¨ ur ε = 0 unendlich groß (im Sonderfall n = 0 erh¨alt man ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm wie in Abb. 6.2b). Aus diesem Grund wird die Beziehung (6.50a) dann verwendet, wenn die elastische Dehnung vernachl¨ assigbar ist. Sind dagegen die elastischen und die plastischen Dehnungen von gleicher Gr¨oßenordnung, so ucksichtigt werden. Dies wird zum Beispiel muss εel = σ/E ber¨ mit dem verallgemeinerten Potenzgesetz m m−1 σ0 σ σ σ σ +α 1+α (6.50b) = ε= E E σ0 E σ0 nach W. Ramberg und W.R. Osgood erreicht. Dabei sind α und m = 1/n > 1 dimensionslose Konstanten, und σ0 ist eine Bezugsspannung. Hier hat die Spannungs-Dehnungs-Kurve im Ursprung den Anstieg E. Das Gesetz (6.50a) ist in (6.50b) bei vernachl¨assigbarer elastischer Dehnung als Sonderfall enthalten. Wir betrachten nun statt eines Zugversuchs einen Druckversuch. Wenn man daf¨ ur den Zusammenhang zwischen der konventionellen Spannung und der konventionellen Dehnung auftr¨agt, erh¨ alt man eine Kurve, die anders verl¨ auft als die des Zugversuchs. Dagegen ergeben sich im Zug- und im Druckversuch praktisch identische Verl¨ aufe, wenn man die physikalische Spannung und die logarithmische Dehnung benutzt. Insbesondere sind dann auch die Fließspannungen bei Zug bzw. bei Druck dem Betrag nach gleich groß. Belastet man dagegen eine Probe zuerst auf Zug, entlastet wieder und belastet anschließend auf Druck, so stellt man im Experiment fest, dass der Betrag der Fließspannung auf Druck nunmehr merklich gegen¨ uber dem urspr¨ unglichen Wert herabgesetzt ist. Dieses Ph¨ anomen nennt man Bauschinger-Eﬀekt (J. Bauschinger, 1833–1893). Er spielt bei zyklischer Belastung eine wichtige Rolle.

6.3

Plastizit¨at

349

Der Verlauf der Kurven im Spannungs-Dehnungs-Diagramm ˙ ab. Dieser Einﬂuss h¨ angt von der Dehngeschwindigkeit ε˙l = l/l ist allerdings bei nicht zu großer Geschwindigkeit vernachl¨assigbar (geschwindigkeitsunabh¨ angige Plastizit¨ at). Bei hohen Geschwindigkeiten (Plastodynamik) erh¨ oht sich im allgemeinen die Fließspannung. Dabei kann sich auch die Steigung der Kurve im Verfestigungsbereich ¨ andern. Die Temperatur hat ebenfalls einen Einﬂuss auf die Eigenschaften von Metallen. So k¨ onnen Metalle zum Beispiel bei sehr niedrigen Temperaturen ihre F¨ ahigkeit, plastisch zu ﬂießen (duktiles Verhalten) verlieren. Sie verhalten sich dann bis zum Bruch elastisch. Solche Materialien nennt man spr¨ode. Bei sehr hohen Temperaturen tritt dagegen Kriechen auf (vgl. Abschn. 6.1). Bei praktischen Anwendungen ist es h¨ auﬁg zul¨ assig, den gesamten elastischen Bereich als linear aufzufassen und den plastischen Bereich ebenfalls durch eine Gerade anzun¨ ahern. Man beschreibt dann das elastisch-plastische Materialverhalten statt durch die wirkliche Kurve durch eine bilineare N¨ aherung (Abb. 6.23a). Wenn man den Anstieg der Kurve im plastischen Bereich – d.h. die Verfestigung – nicht ber¨ ucksichtigt (Abb. 6.23b), so spricht man von einem elastisch-ideal plastischen Materialverhalten. Nehmen wir an, dass der Betrag der Fließspannung f¨ ur Zug und Druck gleich ist, so lautet in diesem Fall das Stoﬀgesetz: ⎧ ⎪ ⎨E ε , |ε| ≤ εF (|σ| ≤ σF ) , (6.51) σ= ⎪ ⎩σ , |ε| ≥ ε = σ /E . F F F Wird die elastische Dehnung im Vergleich zur plastischen Dehnung vernachl¨ assigt (E → ∞), so heißt das Verhalten starr-plastisch. Eine Idealisierung des Stoﬀverhaltens nach Abb. 6.2b wird starrideal plastisch genannt. Nach Abschnitt 6.1 l¨ asst sich das starr-ideal plastische Materialverhalten durch ein Reibelement (Abb. 6.2c) veranschaulichen. Modelle f¨ ur die in den Abb. 6.23a, b dargestellten Stoﬀgesetze erh¨ alt man durch geeignete Kombinationen des Reibelements mit Federn. Eine Reihenschaltung nach Abb. 6.23d l¨asst auch f¨ ur

350

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Abb. 6.23

σ < σF eine Dehnung zu und beschreibt somit ein elastisch-ideal plastisches Verhalten. Elastisch-plastisches Materialverhalten mit Verfestigung wird durch die Schaltung nach Abb. 6.23c modelliert. Durch zus¨ atzliches Einbeziehen von D¨ ampfern kann man Modelle erzeugen, die viskoses Verhalten einschließen. Der in Abb. 6.24a dargestellte K¨ orper wird Bingham-K¨orper (E. C. Bingham, 1878–1945) genannt. Er ist ein Modell f¨ ur visko-plastisches Materialverhalten (z.B. Zahnpasta). Um das Stoﬀgesetz f¨ ur den BinghamK¨ orper zu bestimmen, treﬀen wir drei Fallunterscheidungen. Zuerst sei |σ| < σF . Dann verhindert das Reibelement eine Dehnung, und es gilt ε = 0. Wenn dagegen die aufgebrachte Zugspannung σ die Fließspannung σF u ¨berschreitet (σ > σF ), dann wird das Modell auseinandergezogen. Dabei gilt (vgl. Abb. 6.24b): σ = η ε˙ + σF (Superposition der Spannungen). Ist schließlich bei einem Druckversuch der Betrag der Spannung σ gr¨ oßer als die Fließspannung

Abb. 6.24

6.3

Plastizit¨at

351

(|σ| > σF → σ < −σF ), dann wird das Modell zusammengeschoben, und der Spannungs-Dehnungs-Zusammenhang lautet σ = η ε˙ − σF (beim Zusammenschieben muss die Spannung im Reibelement in entgegengesetzter Richtung angesetzt werden). Zusammenfassen der drei F¨ alle liefert das Stoﬀgesetz: ⎧ 1 ⎪ ⎪ (σ + σF ) , σ < − σF , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ η (6.52) ε˙ = 0 , − σF < σ < σ F , ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ (σ − σF ) , σ > σF . η Der Bingham-K¨ orper verh¨ alt sich f¨ ur Spannungen unterhalb der Fließgrenze wie ein starrer K¨ orper und oberhalb der Fließgrenze wie eine Newtonsche Fl¨ ussigkeit. 6.3.2 Fachwerke

Bei einem statisch bestimmten Fachwerk kann man die Stabkr¨afte allein aus den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln. Ist das Fachwerk dagegen statisch unbestimmt, so m¨ ussen zur Ermittlung der Stabkr¨ afte auch das Stoﬀgesetz und die Verformung (Kompatibilit¨at) einbezogen werden. In der Elastostatik wird dabei vorausgesetzt, dass alle St¨ abe des Fachwerks nur elastisch gedehnt werden. Wir wollen in diesem Abschnitt das Verhalten von Fachwerken untersuchen, wenn in einem oder in mehreren St¨aben die Fließspannung erreicht wird. Von großer praktischer Bedeutung ist dabei zum Beispiel die Bestimmung der Belastung, bei der die Tragf¨ ahigkeit des Fachwerks verloren geht. Diese Belastung anken uns auf elastischbezeichnet man als Traglast. Wir beschr¨ ideal plastisches Materialverhalten nach (6.51) (vgl. Abb. 6.23b). Instabilit¨ aten (elastisches bzw. plastisches Knicken) werden ausgeschlossen. Wir betrachten als einfaches Beispiel f¨ ur ein statisch bestimmtes Fachwerk den Stabzweischlag nach Abb. 6.25a, der durch die abe bestehen aus Kr¨ afte FH und FV belastet ist. Die beiden St¨

352

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Abb. 6.25

dem gleichen Material (Fließspannung √ σF ) und haben die Querschnittsﬂ¨ achen A1 = A und A2 = 2A. Wir wollen untersuchen, bei welcher Belastung plastisches Fließen auftritt. Zun¨ achst bestimmen wir die Stabkr¨ afte. Das Gleichgewicht am Knoten liefert √ √ 2 2 (FV + FH ) , (FV − FH ) . S1 = S2 = 2 2 Wenn die Spannungen in beiden St¨ aben dem Betrag nach kleiner als die Fließspannung sind, dann kann plastisches Fließen nicht auftreten. In diesem Fall sind die Ungleichungen |σj | < σF

→ − σ F < σj < σF ,

j = 1, 2

(6.53)

erf¨ ullt. Mit σ1 = S1 /A1 und σ2 = S2 /A2 folgen daraus √ F V − FH 2(FV + FH ) < 1, −1 < < 1. −1 < 2A σF 2A σF Wir f¨ uhren nun die Normalkraft Npl = σF A sowie die dimensionslosen Lastparameter fH = FH /Npl und fV = FV /Npl ein. Damit werden √ 1 2 (fV + fH ) < 1 , −1 < − 1 < (fV − fH ) < 1 . (6.54) 2 2 Wenn wir diese Ungleichungen durch die entsprechenden Gleichungen ersetzen, so werden dadurch in der Ebene der Lastparameter vier Geraden beschrieben (Abb. 6.25b). Die Ungleichun-

6.3

Plastizit¨at

353

gen legen den von den Geraden eingeschlossenen Bereich fest. Da wir vorausgesetzt haben, dass die Fließspannungen f¨ ur Zug bzw. Druck betragsm¨ aßig gleich sind, ist dieser Bereich punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Wenn die Kr¨ afte FH und FV so groß sind, dass sie einem Punkt P im Innern des Bereichs entsprechen, dann ist die Spannung in beiden St¨ aben kleiner als die Fließspannung. Entspricht die Belastung dagegen einem Punkt P ∗ auf einer Geraden, die den Bereich begrenzt, so wird im zugeordneten Stab die Fließspannung erreicht, und√ der Stab ﬂießt. Zum Beispiel f¨ uhrt eine Belastung mit fH = fV = 2/2 zum Fließen des Stabes 1 unter Zug. Dies ist in Abb. 6.25b durch das Symbol 1 Z an der entsprechenden Geraden angedeutet. Damit wird das Fachwerk beweglich (kinematisch unbestimmt), und seine Tragf¨ahigkeit geht verloren. Bei einer Belastung, die einem Punkt P ∗∗ außerhalb des Bereichs entspricht, w¨ urden aus den Gleichgewichtsbedingungen am Knoten Spannungen folgen, die gr¨ oßer als die Fließspannung σF sind. Eine solche Belastung ist bei elastisch-ideal plastischem Materialverhalten nicht m¨ oglich (unzul¨ assig). Aus diesem Grund nennt man den durch die Zul¨ assigkeitsbedingungen |σj | ≤ σF

(6.55)

assigkeitsbereich. gegebenen abgeschlossenen Bereich den Zul¨ ¨ Die Uberlegungen, die wir f¨ ur den Stabzweischlag durchgef¨ uhrt haben, k¨ onnen verallgemeinert werden. F¨ ur ein Fachwerk mit n St¨ aben erh¨ alt man n Ungleichungen |σj | ≤ σF . Bei zwei unabh¨ angigen Lastparametern wird dann aus dem Fließviereck“ ” nach Abb. 6.25b ein Fließpolygon“. Wenn mehr als zwei un” abh¨ angige Lastparameter existieren, dann wird aus dem Fließpolygon ein Fließpolyeder“ (Fließﬂ¨ ache) in einem mehrdimensio” nalen Lastraum. Wir betrachten nun das statisch unbestimmte Fachwerk nach Abb. 6.26a. Es besteht aus drei St¨ aben gleichen Materials (Fließache A. Wir wollen auch spannung σF ) und gleicher Querschnittsﬂ¨ hier untersuchen, wann plastisches Fließen auftritt. Wenn die Kraft F hinreichend klein ist, werden alle drei St¨abe rein elastisch gedehnt. Dann kann man die Stabkr¨afte zu

354

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Abb. 6.26

S1 = S3 =

1 √ F, 2+ 2

S2 =

2 √ F 2+ 2

(6.56)

bestimmen (Band 2, Abschnitt 1.6). Die Spannung σ2 = S2 /A im Stab 2 ist gr¨ oßer als die Spannungen σ1 = σ3 = S1 /A in den St¨ aben 1 und 3. Daher wird bei einer Erh¨ ohung der Belastung die Fließspannung zuerst im Stab 2 erreicht: √ σ2 = σF → Fel = (1 + 2/2) σF A . (6.57) Wir bezeichnen die Kraft F = Fel als elastische Grenzlast. Bei eiahigkeit des Stabes 2 ersch¨opft. ner Belastung durch Fel ist die Tragf¨ Im Gegensatz zu einem statisch bestimmten Fachwerk muss allerdings bei einem statisch unbestimmten Fachwerk das Erreichen der Fließspannung in einem Stab nicht zum Verlust der Tragf¨ahigkeit f¨ uhren. Die Spannungen in den St¨ aben 1 und 3 haben f¨ ur amlich erst den Wert F = Fel n¨ σ1 = σ3 = σF /2

(6.58)

erreicht. Daher ﬂießen diese St¨ abe unter der Wirkung der Kraft Fel noch nicht, und das Gesamtfachwerk ist weiterhin unbeweglich (kinematisch bestimmt). Somit ist es m¨ oglich, die Belastung u ¨ber den Wert Fel hinaus zu steigern. Dabei kann die Spannung σ2 die Fließspannung nicht u ¨berschreiten: σ2 = σF . Aus dem Gleichgewicht am Knoten (Abb. 6.26b) folgen nun die Spannungen in den St¨ aben 1 und 3: √ 1√ 2 F − σF . ↑: 2σ1 A 2 + σF A − F = 0 → σ1 = σ3 = 2 2 A

6.3

Sie erreichen die Fließspannung f¨ ur die Traglast √ FT = (1 + 2) σF A .

Plastizit¨at

355

(6.59)

Unter ihrer Wirkung ﬂießen alle drei St¨ abe, und das Fachwerk verliert seine Tragf¨ahigkeit. Durch Vergleich mit (6.57) erkennt man, dass die zum endg¨ ultigen Versagen f¨ uhrende Traglast FT deutlich u ¨ber der elastischen Grenzlast liegt. Wir wollen abschließend noch die Absenkung v des Knotens unter der Wirkung der Kraft F ermitteln. F¨ ur F ≤ Fel gilt v=

2 S2 l Fl √ = . EA 2 + 2 EA

Mit F = Fel nach (6.57) ergibt sich daraus vel = σF l/E. F¨ ur Fel ≤ alt man F < FT erh¨ √ √ Δl1 σ1 l 2l F = 2 ε1 l1 = 2 = − σF . v= cos(π/4) E E A Dies liefert v = 2σF l/E = 2vel f¨ ur die Traglast FT . Der Zusammenhang zwischen der Last F und der Absenkung v ist in Abb. 6.26c dargestellt.

Abb. 6.27

Bei einem statisch bestimmten Fachwerk f¨ uhrt das Erreichen der Fließspannung in einem der St¨ abe – ideal-plastisches Materialverhalten vorausgesetzt – immer zu kinematischer Unbestimmtheit und damit zum Verlust der Tragf¨ ahigkeit. Ein statisch unbestimmtes Fachwerk kann beim Erreichen der Fließspannung in einem Stab in Sonderf¨ allen ebenfalls beweglich werden. Ein Beispiel daf¨ ur zeigt Abb. 6.27: wenn der Stab 1 plastisch ﬂießt, kann sich das restliche Fachwerk um das Lager A drehen. Man muss daher bei einem Fachwerk, bei dem einzelne St¨ abe plastizieren, immer u ufen, ob es noch kinematisch bestimmt ist. ¨berpr¨

356

B6.7

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Beispiel 6.7 Das Fachwerk nach Abb. 6.28a besteht aus f¨ unf St¨aben

(Querschnittsﬂ¨ ache A, Fließspannung σF ). Es wird durch die Kr¨afte F1 und F2 belastet. Man bestimme das Fließpolygon. In welchem Stab wird f¨ ur F1 = F2 die Fließspannung bei einer Laststeigerung zuerst erreicht? Wie groß sind dann die Kr¨ afte?

Abb. 6.28

L¨ osung Das Fachwerk ist statisch bestimmt. Die Stabkr¨ afte k¨on-

nen zum Beispiel mit Hilfe des Knotenpunktverfahrens bestimmt werden. Man erh¨ alt

√ 2 S2 = F 1 + F 2 , S3 = − 2 F1 + F2 , S 1 = F2 , 3 √ √ 2 5 5 S4 = F1 , F1 . S5 = − 3 3 Mit Npl = σF A und den dimensionslosen Lastparametern f1 = F1 /Npl und f2 = F2 /Npl lauten daher die Zul¨assigkeitsbedingungen (6.55) − 1 ≤ f2 ≤ 1 , − 1 ≤ f1 + f2 ≤ 1 ,

√ 2 − 1 ≤ − 2 f1 + f2 ≤ 1 , 3 √ √ 2 5 5 −1 ≤ f1 ≤ 1 , f1 ≤ 1 . −1≤− 3 3

6.3

Plastizit¨at

357

Das den zul¨ assigen Bereich begrenzende Fließpolygon ist in Abb. 6.28b dargestellt. Da der Rand des Bereichs nur von denjenigen Geraden gebildet wird, die zu den St¨ aben 1, 3 und 5 geh¨oren, kann die Fließspannung auch nur in diesen St¨ aben erreicht werden. Abbildung 6.28b zeigt, dass sie f¨ ur F1 = F2 zuerst in Stab 3 erreicht wird (P ∗ ). Dann gilt √ 3 2 σ A. → F 1 = F2 = S3 = − σF A 10 F Beispiel 6.8 Man bestimme die elastische Grenzlast und die Trag-

last f¨ ur das aus f¨ unf gleichen St¨ aben bestehende Fachwerk nach Abb. 6.29a.

Abb. 6.29

L¨ osung Das Fachwerk ist einfach statisch unbestimmt. F¨ ur F ≤

afte zum Beispiel mit Hilfe des Prinzips der Fel k¨onnen die Stabkr¨ virtuellen Kr¨ afte (Band 2, Abschn. 6.2) bestimmt werden: S1 = S2 = − 35 F ,

S3 = S4 = 25 F ,

S5 = − 25 F .

Da die Spannung in den St¨ aben 1 und 2 gr¨ oßer ist als diejenige in den anderen St¨ aben, wird die Fließspannung zuerst in diesen beiden St¨ aben erreicht: S 1 = S2 = − σ F A . Die elastische Grenzlast Fel lautet somit − 35 Fel = − σF A

→

Fel = 53 σF A .

B6.8

358

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Bei einer Laststeigerung erh¨ alt man mit S1 = S2 = −σF A und S3 = S4 aus den Gleichgewichtsbedingungen an den Knoten (Abb. 6.29b) ↓: − 2σF A 12 + S5 + F = 0

→

S5 = σF A − F ,

↑:

→

S3 = S 4 = − S 5 .

2S3 12 + S5 = 0

Die Traglast ist erreicht, wenn das Fachwerk kinematisch unbestimmt wird. Im Beispiel gilt dann σ3 = σ4 = − σ5 = σF

→

FT = 2σF A .

6.3.3 Balken

In der Elastostatik haben wir uns mit der Biegung von Balken bei elastischer Deformation befasst (Band 2, Kap. 4). Wir wollen nun die Spannungsverteilung und die Durchbiegung bestimmen, wenn der Balken auch plastisch verformt wird. Dabei setzen wir wie in der Elastostatik voraus, dass Querschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Balkenachse standen, bei der Deformation eben bleiben und auch danach senkrecht auf der deformierten Balkenachse stehen (Annahmen von Bernoulli f¨ ur schlanke Balken). Das Materialverhalten f¨ ur die Normalspannungen wird als elastisch-ideal plastisch angenommen; die Fließspannungen f¨ ur Zug- bzw. Druckbelastung sollen dem Betrag nach gleich sein (vgl. (6.51)). Da die Schubspannungen in vielen F¨ allen klein sind, werden sie hier nicht ber¨ ucksichtigt. Schließlich setzen wir noch voraus, dass die Normalkraft im Balken Null ist. 6.3.3.1 Spannungsverteilung

Wir beschr¨ anken uns im folgenden auf Balken mit Querschnitten, die symmetrisch zur z-Achse sind (Abb. 6.30). Wegen der Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte ist die Dehnung linear von z abh¨ angig: ε = c z. Dabei ist c ein noch unbestimmter Parameter. Bei einer Belastung des Balkens, die nur elastische Dehnungen hervorruft (|ε| < εF , vgl. Abb. 6.23b), ist nach dem Hookeschen Gesetz die Spannungsverteilung ebenfalls linear, und

6.3

Plastizit¨at

359

Abb. 6.30

es gilt |σ| = E |ε| < σF . Wenn man die Belastung erh¨oht, dann erreichen die Dehnung bzw. die Spannung in einer Randfaser die orige Biegemoment Werte εF bzw. σF . Wir bezeichnen das zugeh¨ Mel als elastisches Grenzmoment. Es ist durch σF =

Mel W

→

Mel = W σF

(6.60)

gegeben, wobei W das Widerstandsmoment darstellt (Band 2, Gln. (4.27) und (4.28)). Bei einer zus¨ atzlichen Steigerung der Belastung ist zwar die Dehnung wegen des Ebenbleibens der Querschnitte weiterhin linear verteilt, es ¨ andert sich jedoch die Spannungsverteilung. Zun¨achst von einem und dann auch vom anderen Rand her breitet sich je eine Zone aus, in der gilt: |ε| > εF , |σ| = σF (bei elastisch-ideal plastischem Materialverhalten kann die Fließspannung σF nicht u ¨berschritten werden). In diesen Zonen treten demnach plastische Dehnungen auf. Schließlich wird ein Zustand erreicht, bei dem die Spannung im gesamten Querschnitt gleich der Fließspannung ist. Man nennt dies den vollplastischen Zustand. Eine weitere Laststeigerung ist dann nicht mehr m¨ oglich.

360

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Bei diesem Vorgang verschiebt sich die neutrale Faser. Ihre Lage kann aus der Bedingung N = 0 ermittelt werden. Im vollplastischen Zustand des Querschnitts folgt daraus mit den Teilﬂ¨achen Ao und Au (Abb. 6.30) σF Ao − σF Au = 0

→

Ao = Au = A/2 .

Die Nullinie des Querschnitts teilt dann die Fl¨ache in zwei gleich große Teile. Das zugeh¨ orige Biegemoment Mpl heißt vollplastisches Moment. Es ergibt sich als Resultierende der Spannungsverteilung zu A Mpl = σF (zo + zu ) = Wpl σF . (6.61) 2 Dabei sind zo bzw. zu die Abst¨ ande der Schwerpunkte der oberen bzw. der unteren Teilﬂ¨ ache von der Nullinie. Die Gr¨oße Wpl =

A (zo + zu ) 2

(6.62)

heißt plastisches Widerstandsmoment. Das Verh¨altnis α=

Mpl Wpl = Mel W

(6.63)

h¨angt nur von der Geometrie des Querschnitts ab und wird daher als Formfaktor bezeichnet. Bei einem Rechteckquerschnitt (Breite b, H¨ ohe h) ergibt sich wegen zo = zu = h/4 das plastische Widerstandsmoment zu Wpl = b h2 /4, und mit W = b h2 /6 erhalten wir den Formfaktor zu α = 3/2. Im Falle eines Kreisquerschnitts achst Wpl = 4r3 /3, und (Radius r) folgt mit zo = zu = 4r/3π zun¨ 3 mit W = π r /4 ergibt sich α = 16/3 π = 1, 70. Wenn das Biegemoment in einem Querschnitt das elastische Grenzmoment Mel u ¨bersteigt, tritt zwar plastisches Fließen auf, die Tragf¨ ahigkeit des Balkens geht dabei jedoch noch nicht verloren. Erst wenn das vollplastische Moment Mpl erreicht wird, d. h., der gesamte Querschnitt plastiziert ist, wird an dieser Stelle im Balken die Grenze der Tragf¨ ahigkeit erreicht. Dann wirkt der Querschnitt wie ein Gelenk“, welches das Moment Mpl u ¨bertr¨agt. ” Ein statisch bestimmt gelagerter Balken wird dann kinematisch unbestimmt. Man bezeichnet dieses Gelenk als Fließgelenk, und

6.3

Plastizit¨at

361

die Belastung, bei der der Balken kinematisch unbestimmt wird, heißt Traglast. Bei einem statisch unbestimmt gelagerten Balken f¨ uhrt die Ausbildung eines Fließgelenks im allgemeinen noch nicht zum Verlust der Tragf¨ ahigkeit. Als illustratives Beispiel betrachten wir den statisch bestimmt gelagerten Balken nach Abb. 6.31. Das maximale Biegemoment Mmax = F l/4 tritt in der Balkenmitte auf. Wenn F = Fel = 4 Mel /l = 4 W σF /l ist, dann beginnt dort in einer Randfaser das plastische Fließen. Bei der Traglast F = FT = 4 Mpl /l = 4 Wpl σF /l ist der Querschnitt in der Balkenmitte vollst¨andig plastiziert, und die Tragf¨ ahigkeit ist damit ersch¨ opft.

Abb. 6.31

Wir wollen nun untersuchen, wie weit sich in einem Balken mit Rechteckquerschnitt bei einem gegebenen Biegemoment M > Mel die plastische Zone im Querschnitt ausbreitet. Bei einem Rechteckquerschnitt geht die neutrale Faser auch bei plastischer Verformung durch den Fl¨ achenschwerpunkt, und die Spannungsverteilung ist punktsymmetrisch (Abb. 6.32). Kennzeichnen wir die Grenze zwischen dem elastischen und dem plastischen Bereich onnen wir mit σ = E ε und ε = c z durch den Abstand zF , so k¨ die Spannungsverteilung im Bereich z > 0 schreiben als σ = E ε = E cz,

z < zF

(elastischer Bereich) ,

σ = σF = E c zF , zF < z < h/2 (plastischer Bereich) .

Abb. 6.32

362

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

Das Biegemoment folgt durch Integration (Band 2, Gl. (4.19a)) zu

zF

σ z dA = 2 b

M = A

= 2 b E c zF

h/2 E c z dz + 2 b E c zF z dz 2

0

zF

h2 z2 z2 − F = b σF − F . 8 6 4 3

h2

Durch Auﬂ¨ osen erhalten wir daraus mit (6.60) und W = b h2 /6 h M zF = 3−2 . (6.64) 2 Mel F¨ ur M = Mel ergibt sich zF = h/2 (Fließen in beiden Randfasern), f¨ ur M/Mel = 3/2 folgt zF = 0 (vollplastischer Zustand). Bei reiner Biegung ist das Biegemoment unabh¨angig von der L¨ angskoordinate x. Dann h¨ angt auch zF nicht von x ab, d. h., die plastische Zone hat dann entlang der Balkenachse eine konstante Dicke. Wenn sich dagegen das Biegemoment mit dem Ort andert, dann ¨ andert sich auch die Dicke der plastischen Zone. Als ¨ Beispiel daf¨ ur betrachten wir den Balken nach Abb. 6.33a unter einer Gleichstreckenlast. Wenn wir die x-Koordinate von der Balkenmitte z¨ ahlen, dann ist das Biegemoment durch x 2 q0 l2 1−4 M (x) = 8 l gegeben. Das elastische Grenzmoment Mel wird zuerst in der Balkenmitte erreicht. Die entsprechende Belastung bezeichnen wir mit qel . Mit Mel = qel l2 /8 sowie den dimensionslosen Gr¨oßen uhrt dann (6.64) auf ξ = x/l und ζ = 2zF /h f¨

Abb. 6.33

6.3

ζ2 = 3 − 2

Plastizit¨at

363

q0 q0 2 3 qel − 2 q0 (1 − 4 ξ 2 ) → ζ 2 − 8 ξ = . (6.65) qel qel qel

Demnach verl¨ auft hier die Grenze zwischen dem elastischen und dem plastischen Bereich hyperbelf¨ ormig (Abb. 6.33b). F¨ ur q0 = qel folgt aus (6.65) ζ 2 − 8 ξ 2 = 1. Da |ζ| ≤ 1 sein muss, ist dies nur f¨ ur ζ = ±1, ξ = 0 erf¨ ullt (Fließen in den Randfasern). Der vollplastische Zustand wird f¨ ur die Traglast q0 = qT = 3 qel /2 erreicht. Dann geht (6.65) in √ → ζ = ±2 3 ξ ζ 2 − 12 ξ 2 = 0 u ur ¨ber. Hierdurch sind die √ Asymptoten der Hyperbel festgelegt. F¨ ζ = ±1 wird ξ = ± 3/6. Die Ausdehnung des plastischen Bereichs entlang der Balkenachse beim Entstehen des √ Fließgelenks (vollplastischer Zustand) ist damit durch lpl = 3 l/3 = 0, 58 l gegeben. Bei dem beidseitig gelenkig gelagerten Balken unter der Einzelkraft F nach Abb. 6.34a lautet der Momentenverlauf ⎧ x Fl ⎪ ⎪ 1−2 , x > 0, ⎨ 4 l M (x) = ⎪ x Fl ⎪ ⎩ 1+2 , x < 0. 4 l Mit Mel = Fel l/4 f¨ uhrt (6.64) hier auf die Gleichung einer Parabel: F (1 ± 2 ξ) . (6.66) ζ2 = 3 − 2 Fel Die parabelf¨ ormigen Grenzkurven sind in Abb. 6.34b dargestellt. F¨ ur die Traglast F = FT = 3Fel /2 wird aus (6.66) ζ 2 = ±6 ξ. Mit

Abb. 6.34

364

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

ζ = ±1 erh¨ alt man daraus im vollplastischen Zustand ξ = ±1/6. Die Ausdehnung des plastischen Bereichs in Balkenl¨angsrichtung ist dann durch lpl = l/3 gegeben. B6.9

Beispiel 6.9 Man bestimme die Formfaktoren f¨ ur einen d¨ unnwandigen T-Querschnitt und f¨ ur einen Dreieckquerschnitt nach Abb. 6.35a.

Abb. 6.35

L¨ osung Wir bestimmen zun¨ achst das Widerstandsmoment W f¨ ur

den T-Querschnitt. Mit dem Fl¨ achentr¨ agheitsmoment

3 th 5 h 2 h 2 + t h3 th + th = Iy = 12 4 4 24 bez¨ uglich der y-Achse (Abb. 6.35b) und dem Randfaserabstand |z|max = 3h/4 erhalten wir (Band 2, Gl. (4.27)) W =

Iy 5 t h2 . = |z|max 18

(a)

Das plastische Widerstandsmoment Wpl folgt aus (6.62) mit A/2 = t h, zo = t/2 ≈ 0 und zu = h/2 zu Wpl = 12 A(zo + zu ) =

1 2

t h2 .

(b)

Nach (6.63) mit (a) und (b) erh¨ alt man somit f¨ ur den Formfaktor des d¨ unnwandigen T-Querschnitts α=

Wpl = 1, 8 . W

F¨ ur den Dreieckquerschnitt lautet das Fl¨ achentr¨agheitsmoment (Band 2, Tab. 4.1) Iy = b h3 /36, und wegen |z|max = 2h/3 erh¨alt

6.3

Plastizit¨at

365

man das Widerstandsmoment zu W = b h2 /24 .

(c)

Aus der Dreiecksﬂ¨ache Ao = b h/4 = c ho /2, der Trapezﬂ¨ache /2 sowie ho + hu = h folgen Au =√b h/4 = (b + c)hu√ √ die H¨ohen ho = 2 h/2, hu = (2 − 2)h/2 und die Breite c = 2 b/2 (Abb. 6.35b). Die Schwerpunkte So bzw. Su werden durch √ √ 8−5 5 hu 2 b + c = h zu = zo = ho /3 = 2 h/6 , 3 b+c 6 festgelegt. Damit gilt nach (6.62) √ 2− 2 2 Wpl = bh , 6 und der Formfaktor ergibt sich zu α=

(d)

√ Wpl = 4(2 − 2) = 2, 34 . W

6.3.3.2 Biegelinie

Die Diﬀerentialgleichung der Biegelinie f¨ ur einen Balken, der rein elastisch verformt wird, lautet w = −

M . EI

(6.67)

Wir wollen zun¨ achst diese Gleichung in eine Form bringen, die zum Vergleich mit der – noch herzuleitenden – Diﬀerentialgleichung der Biegelinie f¨ ur einen Balken mit plastischen Zonen besser geeignet ist. Dabei beschr¨ anken wir uns auf Balken mit Rechteckquerschnitt. Mit M (x) = Mel m(x), Mel = b h2 σF /6 gem¨aß (6.60) und I = b h3 /12 wird aus (6.67) w (x) = −

2σF m(x) . Eh

(6.68)

Da diese Gleichung nur bei elastischer Verformung gilt, unterliegt sie der Bedingung |m(x)| ≤ 1. Wir nehmen nun an, dass im Balken plastische Verzerrungen auftreten. Wegen der Bernoullischen Annahmen gelten auch hier

366

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

die kinematischen Beziehungen ε = u = ψ z und ψ = −w , d. h. w = −ε/z (Band 2, Gln. (4.22b) und (4.30)). Betrachten wir im Querschnitt die Grenze der plastischen Zone (z = zF ), so folgt darachst die Beziehung w = −σF /EzF . aus mit ε = εF = σF /E zun¨ ur Setzen wir noch zF nach (6.64) ein, so erhalten wir schließlich f¨ 1 ≤ |m(x)| < 3/2 (Rechteckquerschnitt) die Diﬀerentialgleichung w = −

2σF 1 . Eh 3 − 2m(x)

(6.69)

Die Diﬀerentialgleichungen (6.68) und (6.69) stellen wegen κ ≈ w (Band 2, Gl. (4.32b)) Beziehungen zwischen der Kr¨ ummung κ des Balkens und dem Biegemoment dar. Mit der Kr¨ ummung κel = 2σF /Eh beim Einsetzen des plastischen Fließens (|m| = 1) folgt bei elastischer Verformung aus (6.68) |κ| |M | = , Mel κel und beim Auftreten von plastischen Zonen erh¨alt man aus (6.69) 1 κel 2 3 |M | 1− . = Mel 2 3 κ Der Zusammenhang zwischen dem Biegemoment und der Kr¨ ummung ist im elastischen Fall linear, w¨ ahrend im plastischen Fall eine nichtlineare Abh¨ angigkeit besteht und die Kr¨ ummung f¨ ur |M |/Mel → 3/2 gegen Unendlich geht (Abb. 6.36).

Abb. 6.36

B6.10

Beispiel 6.10 Ein beidseitig gelenkig gelagerter Balken mit Recht-

eckquerschnitt wird durch zwei Momente M0 belastet (Abb. 6.37a). Man bestimme die Biegelinie bei elastischer und bei plastischer Verformung.

6.3

Plastizit¨at

367

Abb. 6.37

L¨ osung Das Biegemoment im Balken ist konstant: m0 = M0 /Mel .

Bei elastischer Verformung gilt 0 < m0 ≤ 1. Aus (6.68) erh¨alt man mit κel = 2σF /(Eh) durch Integration w = − κel m0 x + C1 , w = − κel m0 x2 /2 + C1 x + C2 . Aus den Randbedingungen folgen die Integrationskonstanten: w (0) = 0 → C1 = 0 , w(l/2) = 0 → C2 = κel m0 l2 /8 . Damit lautet die Biegelinie bei elastischer Deformation x 2 κel m0 l2 1−4 , 0 < m0 ≤ 1 . w(x) = 8 l Bei plastischer Verformung gilt 1 ≤ m0 < 3/2. Dann erh¨alt man durch Integration von (6.69) w = −

κel

x + C3 , 3 − 2m0 κel x2 + C3 x + C4 , w=− 3 − 2m0 2

und die Integrationskonstanten folgen zu C3 = 0 ,

κel l2 C4 = . 8 3 − 2m0

Daher lautet die Biegelinie bei plastischer Verformung

368

6 Viskoelastizit¨at und Plastizit¨at

x 2 κel l2 1−4 , w= l 8 3 − 2m0

1 ≤ m0 < 3/2 .

Sie unterscheidet sich bis auf den Vorfaktor nicht von der elastischen Verformung. Die Durchbiegung w(0) in der Balkenmitte ist achst sie unbeschr¨ankt in Abb. 6.37b dargestellt. F¨ ur m0 → 3/2 w¨ an.

6.4

6.4 Weiterf¨ uhrende Literatur Betten, J., Kontinuumsmechanik, Springer, Berlin 2001 Betten, J., Creep Mechanics, Springer, Berlin 2002 Chakrabarty, J., Theory of Plasticity, McGraw-Hill, 1987 Christensen, R.M., Theory of Viscoelasticity, Dover, New York 2003 Kreissig, R., Einf¨ uhrung in die Plastizit¨ atstheorie, Fachbuchverlag, Leipzig 1992 Lemaitre, J., Chaboche, J.L., Mechanics of Solid Materials, Cambridge University Press 1990 Lubliner, J., Plasticity Theory, McMillan, New York 1990

Kapitel 7 Numerische Methoden in der Mechanik

7

7 Numerische Methoden in der Mechanik 7.1 7.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.4 7.4.1 7.4.2 7.5 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.6.4 7.6.5 7.6.6 7.7

Einleitung......................................................... Diﬀerentialgleichungen in der Mechanik ................... Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme .......... Explizite Integrationsverfahren ............................... Implizite Integrationsverfahren ............................... Diﬀerenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme............... Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen ........................ Partielle Diﬀerentialgleichungen ............................. Methode der gewichteten Residuen......................... Vorbemerkungen ................................................ Kollokationsverfahren .......................................... Galerkin-Verfahren .............................................. Numerische Integration ........................................ Beispiele .......................................................... Verfahren von Ritz ............................................. Methode der ﬁniten Elemente ............................... Einf¨ uhrung ....................................................... Aufstellung der Gleichungssysteme.......................... Stabelement...................................................... Balkenelement ................................................... Element f¨ ur die Kreisplatte................................... Finite Elemente f¨ ur zweidimensionale Probleme ......... Weiterf¨ uhrende Literatur ......................................

371 371 374 374 383 387 387 393 398 398 399 399 402 404 410 419 419 423 426 429 435 438 455

7.1

Einleitung

371

7.1 Einleitung

7.1

Die mathematische Formulierung mechanischer Probleme f¨ uhrt auf Gleichungen, die f¨ ur konkrete Aufgabenstellungen gel¨ost werden m¨ ussen. Diese Gleichungen k¨ onnen je nach Fragestellung von ganz unterschiedlichem Typ sein. Sie schließen algebraische Beziehungen, Diﬀerentialgleichungen oder Variationsgleichungen ein. Beispiele daf¨ ur ﬁnden sich in den B¨ anden 1 – 3 der Lehrbuchreihe und in den vorangegangenen Kapiteln dieses Buches. Algebraische Gleichungen sind zum Beispiel die Gleichgewichtsbedingungen in der Statik starrer K¨ orper, w¨ ahrend die Gleichung der Biegelinie eines Balkens eine gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung ist. In der Kinetik wird die Bewegung des Massenpunktes durch gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen beschrieben. Die Gleichungen f¨ ur die Scheibe in Kapitel 2 oder f¨ ur die Membran in Kapitel 3 stellen dagegen partielle Diﬀerentialgleichungen dar. Variationsgleichungen f¨ ur den Stab und den Balken sind in Abschnitt 2.7.3 angegeben. In diesem Kapitel wollen wir uns auf die L¨ osung von Diﬀerential- und Variationsgleichungen beschr¨ anken und daf¨ ur numerische N¨ aherungsmethoden verwenden. In den vorangegangenen Abschnitten wurden die entsprechenden Gleichungen mittels analytischer Verfahren gel¨ ost, was aber oft nur f¨ ur spezielle Geometrien und Randbedingungen gelingt. Da bei vielen praktischen Problemstellungen entweder komplizierte Geometrien oder z.B. auch Diﬀerentialgleichungen mit ver¨ anderlichen Koeﬃzienten vorliegen, ist ein rein analytisches Vorgehen h¨ auﬁg nicht m¨ oglich. Dies gilt sowohl f¨ ur lineare als auch in besonderem Maße f¨ ur nichtlineare Diﬀerentialgleichungen, bei denen geschlossene L¨ osungen nur selten auﬃndbar sind. Dann wird zur Bestimmung der L¨osung bzw. zur guten Approximation der L¨ osung der Einsatz von numerischen Verfahren erforderlich. Entsprechende Methoden sollen in den folgenden Abschnitten vorgestellt werden.

7.2 Diﬀerentialgleichungen in der Mechanik Am Beispiel von Aufgaben aus der Mechanik wollen wir unterschiedliche Problemtypen von Diﬀerentialgleichungen klassiﬁzie-

7.2

372

7 Numerische Methoden in der Mechanik

ren. Dabei beschr¨ anken wir uns hier auf gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen. Die Unterscheidungen gelten dann sinngem¨aß auch f¨ ur partielle Diﬀerentialgleichungen. Eine gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung ist eine gegebene Beziehung der Form (7.1) F x, y(x), y (x), . . . , y (n) (x) = r(x) zwischen der Funktion y(x) und deren Ableitung bis zur n-ten Ordnung. Bei den Aufgabenstellungen, die auf gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen f¨ uhren, unterscheiden wir die folgenden Typen. Bei Anfangswertaufgaben sind diejenigen L¨osungen zu ermitteln, f¨ ur die an einer Stelle n Anfangsbedingungen f¨ ur den Funktionswert und f¨ ur seine Ableitungen bis zur Ordnung n − 1 gegeben sind. Als Beispiel sei die Diﬀerentialgleichung der erzwungenen, ged¨ ampften Schwingung einer Punktmasse (Band 3, Abschnitt 5.3.2) y¨(t) +

c 1 d y(t) ˙ + y(t) = F (t) m m m

mit den Anfangswerten zur Zeit t0 y(t0 ) = y0

und

y˙ (t0 ) = v0

angegeben, wobei y˙ = dy/dt ist. Bei Randwertaufgaben handelt es sich um Problemstellungen, bei denen die n zus¨ atzlichen Bedingungen, welche die L¨osung festlegen, als Randbedingungen f¨ ur die Funktionswerte bzw. die Ableitungen an zwei Stellen (x1 und x2 ) gegeben sind. Ein Beispiel ist die Diﬀerentialgleichung der Biegelinie (Band 2, Gl. (4.34a)) (EI w ) = q mit den Randbedingungen (Kragtr¨ ager) w(0) = 0 w (l) = 0

und und

w (0) = 0 , w (l) = 0 .

Bei Eigenwertaufgaben handelt es sich um homogene Randwertprobleme, die von einem reellen Parameter λ abh¨angen. Man in-

7.2

Diﬀerentialgleichungen in der Mechanik

373

teressiert sich dabei f¨ ur die F¨ alle, in denen die Aufgabenstellung nicht eindeutig l¨ osbar ist, d.h. wenn neben der trivialen L¨osung noch weitere L¨ osungen existieren. Dies ist nur f¨ ur bestimmte Eioglich. Als Beispiel nehmen wir die Diﬀerentialgleigenwerte λ m¨ chung der Stabknickung f¨ ur EI = const (Band 2, Abschn. 7.2) wIV + λ2 w = 0,

λ2 =

F EI

mit den Randbedingungen (Euler-Fall III) w(0) = 0

und

w (0) = 0,

w(l) = 0

und

w (l) = 0.

Hierin bestimmt der auftretende Parameter λ die nichttrivialen L¨ osungen. Die zum Eigenwert λ geh¨ orige L¨ osung heißt Eigenfunktion. Analog k¨ onnen wir auch Aufgabenstellungen, denen partielle Diﬀerentialgleichungen zugrunde liegen, klassiﬁzieren. Ein Randwertproblem ist z.B. durch die Gleichung der vorgespannten Membran (3.34) und die zugeh¨ origen Randbedingungen deﬁniert. Zus¨ atzlich gibt es bei partiellen Diﬀerentialgleichungen aber auch ur eine Ver¨anderliche noch Anfangsrandwertprobleme, bei denen f¨ (z.B. die Zeit) Anfangswerte und f¨ ur die andere Ver¨anderliche (z.B. die Ortskoordinate) Randbedingungen vorgegeben werden. Zu diesen Aufgabenstellungen geh¨ oren z.B. die Schwingungsgleichungen in Kapitel 4. F¨ ur diese unterschiedlichen Aufgabentypen sollen nun numerische Methoden zur Approximation der L¨ osung angegeben werden. Wir unterscheiden dabei Verfahren, die direkt auf die Diﬀerentialgleichungen angewandt werden und Verfahren, die auf Arbeitsoder Energieprinzipien beruhen. So kann man, wie in Kapitel 2 gezeigt wurde, anstelle von der Diﬀerentialgleichung der Biegelinie auch von der zugeh¨ origen Variationsformulierung (Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials)

l 1 EIw 2 − 2 q w dx → Minimum Π (w) = 2 0

374

7 Numerische Methoden in der Mechanik

ausgehen und hierf¨ ur numerische Methoden entwickeln. Direkt auf die Diﬀerentialgleichung werden bei Anfangswertproblemen z.B. sogenannte Ein- oder Mehrschrittverfahren oder bei Randwertproblemen das Diﬀerenzenverfahren angewendet. Weitere Verfahren f¨ ur Randwertaufgaben, wie das von Galerkin oder die Fehlerquadratmethode basieren auf der Minimierung des Fehlers (Defektes), der beim Einsetzen einer N¨aherungsl¨osung in die Diﬀerentialgleichung entsteht. Sie erfordern – wie oben angesprochen – eine Umformulierung der Aufgabenstellung. Basierend auf Variations- oder Arbeitsprinzipien kann dann das Ritzsche Verfahren angegeben werden, das neben dem Galerkinschen Verfahren die Grundlage der heute weitverbreiteten Methode der ﬁniten Elemente bildet.

7.3

7.3 Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme Wir wollen in diesem Abschnitt die L¨ osung von Anfangswertproblemen mittels numerischer Integrationsverfahren behandeln. Dabei beschr¨ anken wir uns auf die Behandlung gew¨ohnlicher Diﬀerentialgleichungen in Form der Bewegungsgleichungen der Dynamik: y¨ = f t, y (t), y˙ (t) . (7.2) Zur n¨ aherungsweisen L¨ osung dieser Probleme unterscheidet man explizite und implizite Integrationsverfahren. Aufgrund ihrer Konstruktion verhalten sich diese Verfahren grunds¨atzlich unterschiedlich. In den folgenden Abschnitten werden Vertreter dieser beiden Methoden behandelt. 7.3.1 Explizite Integrationsverfahren

Bevor wir verschiedene Integrationsverfahren betrachten, wollen wir noch eine Umformung der Diﬀerentialgleichung (7.1) vornehmen, die in vielen F¨ allen Vorteile in der Formulierung bringt. Allgemein k¨ onnen wir jede Diﬀerentialgleichung n-ter Ordnung

7.3

Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme

y (n) (x) = f x, y(x), y (x), . . . , y (n−1) (x)

375

(7.3)

auf ein Diﬀerentialgleichungssystem erster Ordnung mit n Diﬀerentialgleichungen transformieren. Das hat den Vorteil, dass die numerischen Verfahren nur f¨ ur Diﬀerentialgleichungen 1-ter Ordnung entwickelt werden m¨ ussen. Wir erhalten dann mit den Hilfsfunktionen z1 (x) = y(x) z2 (x) = y (x) ...

= ...

zn (x) = y (n−1) (x) anstelle von (7.3) das ¨ aquivalente Diﬀerentialgleichungssystem ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ z1 z2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢ ⎥ z3 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ z =⎢ ⎥=⎢ (7.4) ⎥. ⎢. . .⎥ ⎢ ⎥ ... ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ zn

f (x, z1 , z2 , . . . , zn )

Als Beispiel sei die Diﬀerentialgleichung EA u (x) = −n(x) des Stabes umgeformt (vgl. Band 2, Gl. (1.20b)). Sie ist zweiter Ordnung und liefert mit z1 (x) = u(x) und z2 (x) = u (x) die zwei Diﬀerentialgleichungen erster Ordnung z1 (x) = z2 (x), z2 (x) = −

n(x) . EA

Nat¨ urlich k¨ onnen auch zeitabh¨ angige Diﬀerentialgleichungen in gleicher Weise in Form von (7.4) umgeschrieben werden. So liefert (7.2) mit z1 = y und z2 = y˙ das ¨ aquivalente Diﬀerentialgleichungssystem 1. Ordnung z˙1 (t) = z2 (t) , z˙2 (t) = f [t, z1 (t), z2 (t)] .

(7.5)

376

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Um das Prinzip eines expliziten Integrationsverfahrens zu erl¨ autern, betrachten wir zun¨ achst nur die Gleichung z˙ = f t, z(t) . (7.6) Das einfachste Verfahren wird Eulersches Polygonzugverfahren genannt. F¨ ur seine Herleitung entwickeln wir die Funktion z(t) in eine Taylorreihe: z(t + Δt) = z(t) + z(t)Δt ˙ + O (Δt)2 . Mit der Beziehung (7.6) erhalten wir dann z(t + Δt) = z(t) + f [t, z(t)]Δt + O (Δt)2 .

(7.7)

Wenn wir den Fehlerterm vernachl¨ assigen, so k¨onnen wir aus (7.7) ein Verfahren ableiten, bei dem aus der N¨ aherungsl¨osung z˜k zu osung zum Zeitpunkt einem Zeitpunkt tk = t0 + kΔt die neue L¨ tk+1 = tk + Δt jeweils nach derselben Formel in einem Schritt berechnet wird (N¨ aherungen werden im weiteren durch Tilden gekennzeichnet). Man nennt diese Methode Einschrittverfahren. Die hierzu geh¨ orige Rekursionsformel lautet z˜k+1 = z˜k + f (tk , z˜k )Δt .

(7.8)

Beginnend mit dem Anfangswert z˜0 = z(t0 ) kann man die L¨osunur k = 1, 2, . . . bestimmen gen zu den Zeitpunkten tk sukzessive f¨ (Polygonzug). Man nennt dieses Verfahren explizit, weil die neue L¨ osung z˜k+1 direkt aus den bekannten Werten z˜k folgt. F¨ ur das System von Diﬀerentialgleichungen (7.5) k¨onnen wir sinngem¨ aß die gleiche Approximation machen. Dies f¨ uhrt auf die Rekursionsgleichungen z˜1k+1 = z˜1k + z˜2k Δt ,

(7.9)

z˜2k+1 = z˜2k + f (tk , z˜1k , z˜2k )Δt . Als Anwendungsbeispiel betrachten wir einen Massenpunkt, der unter einem Winkel von α0 = 50◦ mit der Geschwindigkeit v0 = 15 m/s von der Position x0 = 0, z0 = 5 m abgeworfen wird. Der

7.3

Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme

377

Abb. 7.1

Luftwiderstand soll durch das Gesetz Fw = κ v 2 (vgl. Band 3, Gl. (1.48a)) beschrieben werden. Wir wollen die Rekursionsgleichungen f¨ ur das Eulersche Polygonzugverfahren aufstellen und sie f¨ ur die Parameter m = 1 kg, κ = 0,04 kg/m auswerten. Abbildung 7.1 zeigt die auf den Massenpunkt wirkenden Kr¨afte. Die Widerstandskraft Fw ist der Bewegung entgegengerichtet (tangential zur Bahn). Damit lauten die Bewegungsgleichungen mx ¨ = − κ v 2 cos α, m z¨ = − m g − κ v 2 sin α. Mit x˙ = v cos α, z˙ = v sin α und v 2 = x˙ 2 + z˙ 2 erhalten wir das folgende System zweier gekoppelter nichtlinearer Diﬀerentialgleichungen: κ x ¨ = − x˙ x˙ 2 + z˙ 2 , m κ z¨ = − g − z˙ x˙ 2 + z˙ 2 . m Die Anfangsbedingungen sind durch den Abwurf (t = 0) festgelegt: x(0) = 0,

z(0) = z0 ,

x(0) ˙ = v0 cos α0 ,

z(0) ˙ = v0 sin α0 .

Die Transformation des Systems von zwei Diﬀerentialgleichungen 2. Ordnung auf vier Diﬀerentialgleichungen 1. Ordnung erfolgt durch Einf¨ uhrung der Hilfsvariablen u = x˙ und w = z: ˙ x˙ = u ,

378

7 Numerische Methoden in der Mechanik

κ 2 u u + w2 , m z˙ = w , κ w˙ = − g − w u2 + w2 . m u˙ = −

Damit erhalten wir analog zur Vorgehensweise in (7.9) die Rekursionsgleichungen x ˜k+1 = x ˜k + Δt u ˜k , κ u ˜k u u ˜k+1 = u ˜k − Δt ˜2k + w ˜k2 , m ˜k , z˜k+1 = z˜k + Δt w κ w ˜k u w ˜k+1 = w ˜k − Δt g + ˜2k + w ˜k2 . m Sie k¨ onnen beginnend mit den Anfangswerten (˜ x0 = 0, z˜0 = z0 , ˜0 = v0 sin α0 ) sukzessive ausgewertet weru ˜0 = v0 cos α0 und w den. Dies liefert N¨ aherungsl¨ osungen f¨ ur die Bahnkoordinaten x ˜k , ˜k , w ˜k zu den Zeitpunkz˜k und die Geschwindigkeitskomponenten u ten tk = t0 + k Δt. Die Rekursionsformeln lassen sich leicht auf einem PC programmieren. F¨ ur die gegebenen Werte erh¨alt man mit dem Zeitschritt Δt = 0, 01 s die in Abb. 7.2 dargestellte Bahnkurve des Massenpunktes; hierf¨ ur werden 250 Zeitschritte ben¨otigt. Die L¨ osung des schiefen Wurfes ohne Luftwiderstand ist zum Vergleich gestrichelt eingezeichnet.

Abb. 7.2

7.3

Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme

379

Rechenzeit kann dadurch gespart werden, dass man einen gr¨oßeren Zeitschritt verwendet. Vom Zeitschritt Δt h¨angt jedoch die G¨ ute der Approximation der Ableitung und damit die Genauigkeit der N¨ aherungsl¨ osung ab. Dies dokumentiert die folgende Tabelle, in der die maximal erreichte H¨ ohe des Massenpunktes, z˜max , und angigkeit vom gew¨ ahlten Zeitschritt seine Wurfweite, x ˜max , in Abh¨ aufgetragen sind. F¨ ur Δt < 0, 031 s ¨ andert sich die L¨osung nicht mehr: sie konvergiert.

Δt

0,500

0,250

0,125

0,063

0,031

0,010

z˜max

12,2

11,1

10,4

10,2

10,0

10,0

x ˜max

16,5

16,1

15,9

15,7

15,6

15,6

Das Eulersche Polygonzugverfahren zeichnet sich durch seine Einfachheit aus. Es hat jedoch nur eine Genauigkeit von der Ordnung der Schrittweite Δt, d.h. der Fehler des Verfahrens geht mit O(Δt) gegen Null, wenn Δt gegen Null geht. Praktisch bedeutet dies beim Polygonzugverfahren, dass f¨ ur eine gute N¨aherungsl¨ osung eine große Anzahl von Zeitschritten notwendig ist. Will man zur Steigerung der Eﬃzienz gr¨ oßere Zeitschritte bei gleicher Genauigkeit verwenden, so ben¨ otigt man Verfahren h¨oherer Genauigkeit. Aus der großen Anzahl der m¨ oglichen Einschrittverfahren sei hier das Runge-Kutta-Verfahren herausgegriﬀen, das aufgrund seiner hohen Genauigkeit h¨ auﬁg bei der numerischen L¨osung von Anfangswertproblemen eingesetzt wird. Ihm liegt die Idee zugrunde, innerhalb der Taylorreihenentwicklung (7.7) noch weitere Glieder mitzunehmen und durch geeignetes Umformen den Abbruchfehler um mehrere Gr¨ oßenordnungen zu verkleinern, so dass sich eine Fehlerordnung von (Δt)4 ergibt. Dabei sind dann die Funktionsauswertungen nicht mehr nur am Anfang oder am Ende eines Zeitschrittes Δt durchzuf¨ uhren, sondern auch innerhalb dieses Intervalls. F¨ ur die Gleichung (7.6) erh¨ alt man die Iterationsvorschrift

380

7 Numerische Methoden in der Mechanik

z˜k+1 = z˜k + k(tk , z˜k )Δt mit

(7.10a)

k(tk , z˜k ) = 16 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )

und den Koeﬃzienten k1 = f (tk , z˜k ), Δt , z˜k + k2 = f tk + 2 Δt k3 = f tk + , z˜k + 2

1 k1 , 2 1 k2 , 2

(7.10b)

k4 = f (tk + Δt, z˜k + k3 ). aß auf Systeme von DiﬀerentiDie Beziehung (7.10a) ist sinngem¨ algleichungen erster Ordnung (7.9) anzuwenden. Das Runge-Kutta-Verfahren ist wie das Eulersche Polygonzugverfahren einfach zu programmieren. Es erfordert jedoch in jedem Zeitschritt Δt vier Funktionsauswertungen von f anstatt der einen Auswertung beim Polygonzugverfahren. Dieser Nachteil wird aber dadurch aufgewogen, dass nun ein erheblich gr¨oßerer Zeitschritt verwendet werden kann, da das Verfahren genauer ist. B7.1

Der in Abb. 7.3a dargestellte masselose Balken agt an seinem Ende eine Punkt(EI = 83, 33 kNm2 , l = 5 m) tr¨ masse (m = 103 kg). Er wird durch den dreiecksf¨ormigen Kraftverlauf nach Abb. 7.3b belastet. Es sollen die Verschiebung der Masse als Funktion der Zeit und das maximale Biegemoment unter Verwendung des Runge-KuttaVerfahrens bestimmt werden. Beispiel 7.1

L¨ osung Da der Balken als masselos angenommen wird, kann er

durch eine Feder ersetzt werden (Abb. 7.3c). Die Federsteiﬁgkeit berechnet sich mit den gegebenen Parametern zu c = 3EI/l3 = 2 kN/m (vgl. Band 3, Gl. (5.25)). Damit kann die Bewegung der Masse nun durch die Diﬀerentialgleichung des Einmassenschwingers m x ¨ + c x = F (t) beschrieben werden (Band 3, Abschn. 5.3.1). Diese f¨ uhren wir mit x = z1 und x˙ = z2 analog zu (7.5) auf zwei Diﬀerentialgleichungen erster Ordnung zur¨ uck:

7.3

Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme

381

Abb. 7.3

z˙1 = z2 , z˙2 =

1 [F (t) − c z1 ]. m

Auf dieses System kann sinngem¨ aß (7.10a) angewendet werden, und wir erhalten 1 z˜1k+1 = z˜1k + (k11 + 2 k12 + 2 k13 + k14 )Δt, 6 1 z˜2k+1 = z˜2k + (k21 + 2 k22 + 2 k23 + k24 )Δt 6 mit den Koeﬃzienten k11 = z˜2k ,

k21 = [F (tk ) − c z˜1k ]/m,

k12 = z˜2k + k21 /2,

k22 = [F (tk + Δt/2) − c(˜ z1k + k11 /2)]/m,

k13 = z˜2k + k22 /2,

k23 = [F (tk + Δt/2) − c(˜ z1k + k12 /2)]/m,

k14 = z˜2k + k23 ,

k24 = [F (tk + Δt) − c(˜ z1k + k13 )]/m.

Damit kann f¨ ur die gegebenen Gr¨ oßen und die Anfangswerte osung numerisch bestimmt x0=0, x˙ 0 = 0 der zeitliche Verlauf der L¨ werden. Er ist in Abb. 7.4a dargestellt, wobei mit einer Schrittweite von Δt = 0,1 s gerechnet wurde. Diese L¨osung weist gegen¨ uber der exakten L¨ osung keine sichtbare Abweichung auf. Die maximale Durchbiegung z1max = 0,034 m wird zur Zeit T = 1,7 s erreicht, also wenn die Kraft bereits wieder Null ist. F¨ ur den masselosen Balken sind die Biegelinie und der Momentenverlauf

382

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Abb. 7.4

durch die Verschiebung z1 des Balkenendes unter der am Ende angreifenden Kraft festgelegt. Man erh¨ alt f¨ ur die Auslenkung ur das zugeh¨ orige maximale Biegemoment z1max = F l3 /3EI und f¨ | M |= F l = 3EI z1max /l2 = 0,34 kNm (vgl. Band 2, Tabelle 4.3). Eine Konvergenzstudie zeigt, dass selbst bei einer Schrittweite von Δt = 0, 5 s (vier Zeitschritte w¨ ahrend des gesamten zeit-

7.3

Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme

383

lichen Belastungsverlaufes) nur eine geringf¨ ugige Abweichung in den L¨ osungspunkten von der L¨ osung im betrachteten Zeitraum auftritt (Abb. 7.4b). Verfolgt man allerdings mit dieser Schrittweite den L¨ osungsverlauf weiter, so nimmt die Amplitude ab, obwohl im mechanischen Modell keine D¨ ampfung enthalten ist. Man nennt diesen Eﬀekt numerische D¨ ampfung. Wendet man das Eulersche Polygonzugverfahren mit der Schrittweite Δt = 0,1 s auf diese Aufgabe an, so sieht man in Abb. 7.4c, dass diese Methode divergiert. Hier muss also ein kleinerer Zeitschritt gew¨ ahlt werden. F¨ ur Δt = 0,001 s erhalten wir im gezeigten L¨ osungsbereich keine sichtbaren Abweichungen mehr von der L¨ osung des Runge-Kutta-Verfahrens. Dennoch f¨ uhrt dieser Zeitschritt bei einer Betrachtung langer Zeitr¨aume zu Abweichungen von der exakten L¨ osung. In Abb. 7.4c erkennen wir, dass mit wachsender Zeit auch die L¨ osung anw¨ achst. Da die Abweichung nur durch das numerische Integrationsverfahren bedingt at bezeichnet. ist, wird dieses Ph¨ anomen als numerische Instabilit¨ Erst ein 200-fach kleinerer Zeitschritt (Δt = 0,0005 s) im Vergleich zum Runge-Kutta-Verfahren bringt eine zu diesem Verfahren gleich gute L¨ osung. Vergleicht man den numerischen Aufwand beider Methoden, dann stehen beim Runge-Kutta-Verfahren zwar vier Funktionsauswertungen einer einzigen Funktionsauswertung beim Euler-Verfahren gegen¨ uber, daf¨ ur ist aber bei diesem Beispiel ein Zeitschritt von 200-facher Gr¨ oße m¨ oglich. Damit ist das Runge-Kutta-Verfahren erheblich eﬃzienter. 7.3.2 Implizite Integrationsverfahren

Als weitere M¨ oglichkeit zur Integration von Bewegungsgleichungen betrachten wir nun implizite Integrationsverfahren. Dabei beschr¨ anken wir uns exemplarisch auf die Bewegungsgleichung der Form u ¨(t) +

c 1 d u(t) ˙ + u(t) − F (t) = 0 . m m m

(7.11)

Im Unterschied zu den expliziten Methoden beruhen diese Verfahren darauf, dass die Bewegungsgleichung nicht zum Zeitpunkt

384

7 Numerische Methoden in der Mechanik

tk , sondern im zun¨ achst noch unbekannten Zustand zur Zeit tk+1 ausgewertet wird. Daneben wird im Zeitintervall Δt je ein Ansatz f¨ ur die unbekannte Geschwindigkeit bzw. die Verschiebung in Abh¨ angigkeit von der Beschleunigung gemacht. Je nach Ansatz erhalten wir unterschiedliche Methoden – wie z.B. das Wilson-θ-, das Houbolt- oder das Newmark-Verfahren. Wir wollen hier stellvertretend f¨ ur die genannten Verfahren das Newmark-Verfahren vorstellen. Bei ihm werden folgende Ans¨atze f¨ ur den unbekannten Geschwindigkeits- und den unbekannten Verschiebungsverlauf innerhalb eines Zeitschrittes gemacht: uk + δ u ¨k+1 ]Δt, u˙ k+1 = u˙ k + [(1 − δ)¨

(7.12)

uk+1 = uk + u˙ k Δt + [(0, 5 − β)¨ uk + β u ¨k+1 ](Δt) . 2

Darin sind β und δ zun¨ achst noch freie Konstanten. W¨ahlt man 1 die Parameter β = 4 und δ = 12 , so entspricht dies einer konstanten Beschleunigung im Zeitintervall Δt. Ein linearer Beschleunigungsverlauf kann dagegen durch die Parameterwahl β = 16 und ucksichtigt werden. Nehmen wir an, dass der Zustand δ = 12 ber¨ ¨k zum Zeitpunkt tk bekannt ist, dann treten in (7.12) insuk , u˙ k , u ¨k+1 . Als dritte gesamt drei unbekannte Gr¨ oßen auf: uk+1 , u˙ k+1 , u Gleichung wird die Bewegungsgleichung (7.11) herangezogen und zur Zeit tk+1 angeschrieben: mu ¨k+1 + d u˙ k+1 + c uk+1 = F (tk+1 ) .

(7.13)

Diese drei Gleichungen lassen sich nach jeder der drei Unbekannten auﬂ¨ osen. Wir wollen hier eine Gleichung f¨ ur die Beschleunigung herleiten. Dazu schreiben wir (7.12) folgendermaßen um: ¨k+1 mit u˙ k+1 = v¯k+1 + δ Δt u ¨k , v¯k+1 = u˙ k + (1 − δ)Δt u ¯k+1 + β(Δt)2 u ¨k+1 mit uk+1 = u ¨k . u ¯k+1 = uk + u˙ k Δt + (0, 5 − β)(Δt)2 u Das Einsetzen dieser Gleichungen in (7.13) liefert dann

7.3

Integrationsverfahren f¨ ur Anfangswertprobleme

385

[m + δ Δt d + β(Δt)2 c] u ¨k+1 = F (tk+1 ) − d v¯k+1 − c u ¯k+1 . (7.14) Aus dieser Beziehung kann die Beschleunigung berechnet werden, und damit sind nach (7.12) auch die Geschwindigkeit und die Verschiebung zum Zeitpunkt tk+1 bekannt. Man kann zeigen, dass das Newmark-Verfahren f¨ ur δ ≥ 0,5 2 und β ≥ 0,25(δ + 0,5) unbedingt stabil ist. Das bedeutet, dass die L¨ osung f¨ ur beliebige Zeitschritte beschr¨ ankt bleibt. Je nach Wahl der Parameter δ und β wird allerdings eine numerische D¨ampfung in das System eingebracht, was zu einer Abnahme der Amplitude f¨ uhrt. Dieser oft unerw¨ unschte Eﬀekt kann jedoch durch die Wahl der Parameter δ = 0,5 und β = 0,25 (= ; konstanter Beschleunigung) vermieden werden, die gerade auf der Stabilit¨atsgrenze liegen. Beispiel 7.2 Der in Beispiel 7.1 gesuchte zeitliche Verlauf der Aus-

lenkung soll mittels des impliziten Newmark-Verfahrens berechnet werden. Man werte die entsprechenden Rekursionsgleichungen f¨ ur die Parameterpaare β = 0,25, δ = 0,5 und β = 0,31, δ = 0,6 aus. L¨ osung Vereinbaren wir im weiteren f¨ ur alle L¨ angen, Kr¨afte und

Zeiten die Einheiten m, kN, s, dann lautet die Bewegungsgleichung mit den Zahlenwerten nach Beispiel 7.1: x ¨ + 2 x = F (t). Damit ergibt sich nach (7.14) die Beziehung ¨k+1 = F (tk+1 ) − 2 u ¯k+1 , [1 + 2 β (Δt)2 ] u aus der die Beschleunigungen berechnet werden k¨onnen. Die Verschiebungen und die Geschwindigkeiten folgen dann aus (7.12). In der nachstehenden Tabelle sind die Ergebnisse f¨ ur eine Schrittweite von Δt = 0, 2s und die Parameter β = 0,25, δ = 0,5 zusammengestellt. Die L¨ osung ist in Abb. 7.5a dargestellt. Man sieht, dass sie zwar stabil ist, aber von der exakten L¨ osung abweicht. Keine erkennbaren Abweichungen liefert das Newmark-Verfahren erst mit dem Zeitschritt Δt = 0,1 s. Da das Parameterpaar δ und β direkt auf der Stabilit¨ atsgrenze liegt, ist keine numerische D¨ampfung vorhanden. Die Parameter β = 0,31, δ = 0,6 f¨ uhren mit dem

B7.2

386

7 Numerische Methoden in der Mechanik

t

u

u˙

u ¨

u ¯

v¯

0,0

,0000

,0000

,0000

,0000

,0000

0,2

,0004

,0039

,0392

,0000

,0000

0,4

,0023

,0154

,0754

,0016

,0078

0,6

,0068

,0296

,0664

,0062

,0229

0,8

,0135

,0375

,0130

,0134

,0362

1,0

,0207

,0346

-,0415

,0211

,0388

1,2

,0267

,0251

-,0534

,0272

,0305

1,4

,0306

,0137

-,0612

,0312

,0198

1,6

,0321

,0012

-,0642

,0327

,0076

1,8

,0310

-,0115

-,0621

,0317

-,0053

Zeitschritt Δt = 0, 2 s auf die in Abb. 7.5b angegebene L¨osung. Man erkennt eine numerische D¨ ampfung, die sich in der Abnahme der Amplitude widerspiegelt. Diese numerische D¨ampfung ¨andert

Abb. 7.5

7.4

Diﬀerenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme

387

sich auch bei dem Zeitschritt Δt = 0,1 s nicht. Beide L¨osungen bleiben allerdings stabil, weil die Parameter β = 0,31, δ = 0,6 die oben genannte Stabilit¨ atsbedingung erf¨ ullen. Bei einem Vergleich expliziter und impliziter Integrationsverfahren k¨ onnen wir jetzt folgendes feststellen. Explizite Verfahren sind bedingt stabil, d.h. f¨ ur zu große Zeitschritte kann die L¨osung exponentiell anwachsen und damit unbrauchbar werden. Daf¨ ur sind diese Verfahren einfach anwendbar und erfordern mit der Auswertung der rechten Seite von (7.4) nur wenige Rechenoperationen pro Zeitschritt. Implizite Verfahren k¨ onnen hingegen so konstruiert werden, dass sie unbedingt stabil sind. Damit ist es m¨ oglich, erheblich gr¨ oßere Zeitschritte als bei expliziten Verfahren zu w¨ ahlen. Der Nachteil besteht darin, dass Gleichung (7.14) gel¨ ost werden muss. Dies kann bei großen Diﬀerentialgleichungssystemen sehr aufwendig sein, da dann ein großes algebraisches Gleichungssystem zu l¨ osen ist.

7.4 Diﬀerenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme Wir wollen nun zeigen, wie man Randwertprobleme mittels Differenzenverfahren l¨osen kann. Dabei behandeln wir zun¨achst gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen. Danach wird dann das prinzipielle Vorgehen bei partiellen Diﬀerentialgleichungen erl¨autert. 7.4.1 Gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichungen

Die Idee des Diﬀerenzenverfahrens (Methode der ﬁniten Diﬀerenzen) ist, den Diﬀerentialquotienten direkt durch einen Diﬀerenzenquotienten zu approximieren. Um die Vorgehensweise zu erl¨autern, betrachten wir eine Funktion y(x) und suchen N¨ aherungen f¨ ur die Ableitungen dy/dx, d2 y/dx2 , ... . Dazu bietet sich eine Taylorentwicklung an: y(xl+1 ) = y (xl + Δx) = y(xl ) +

dy dx

Δx + xl

d2 y dx2

d3 y (Δx)2 + 3 2 dx xl

(7.15) (Δx)3 + ... . 6 xl

7.4

388

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Wenn wir nur die ersten zwei Terme in dieser Reihe mitnehmen, so k¨ onnen wir nach dem gesuchten Diﬀerentialquotienten auﬂ¨ osen und erhalten mit den Bezeichnungen yl = y (xl ) und aherung yl+1 = y (xl+1 ) die N¨ dy dx

xl

≈

yl+1 − yl . Δx

(7.16)

Man kann zeigen, dass der hierbei entstehende Fehler von der Ordnung Δx ist. Da hier die Werte an der Stelle xl+1 auftreten, nennt man diesen Quotienten auch vorderen Diﬀerenzenquotienten (v). Analog kann man die Taylorreihenentwicklung verwenden, um nach hinten“ zu schauen: ” y(xl−1 ) = y(xl − Δx) = y(xl ) −

dy dx

Δx + xl

d2 y dx2

d3 y (Δx)2 − 3 2 dx xl

(7.17) (Δx)3 + ... 6 xl

Dies liefert dann den hinteren Diﬀerenzenquotienten (h) dy dx

xl

≈

yl − yl−1 . Δx

(7.18)

Auch hier ist der Fehler in der Approximation der wirklichen Ableitung von der Ordnung Δx. Eine h¨ ohere Genauigkeit der N¨aherung kann durch die Mitnahme von weiteren Gliedern der Taylorreihe erreicht werden. Bei der Subtraktion der Gleichungen (7.15) und (7.17) f¨ allt der Term mit den zweiten Ableitungen heraus. Vernachl¨ assigen wir hier die Terme dritter Ordnung, so f¨ uhrt dies zu einer Fehlerordnung von (Δx)2 . Dieses Vorgehen liefert den f¨ ur praktische Anwendungen des Diﬀerenzenverfahrens wichtigen zentralen Diﬀerenzenquotienten (z): dy dx

xl

≈

yl+1 − yl−1 . 2 Δx

(7.19)

Die drei Diﬀerenzenquotienten sind in Abb. 7.6 veranschaulicht. H¨ ohere Ableitungen lassen sich ebenfalls durch Diﬀerenzenquotienten approximieren. Wenn man (7.15) und (7.17) addiert, dann erh¨ alt man unter Vernachl¨ assigung der Terme dritter und h¨oherer

7.4

Diﬀerenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme

389

Abb. 7.6

Ordnung eine N¨ aherung f¨ ur die zweite Ableitung: d2 y dx2

xl

≈

yl+1 − 2 yl + yl−1 . (Δx)2

(7.20)

Diese Beziehung hat die Fehlerordnung (Δx)2 . Man kann allerdings die Fehlerordnung noch durch Hinzunahme von Termen h¨ oherer Ordnung in (7.15) oder (7.17) verbessern. Es gibt auch die M¨ oglichkeit, weitere St¨ utzstellen“ einzuf¨ uhren; dies f¨ uhrt dann ” zu einem Mehrstellenverfahren. Es sei hier noch angemerkt, dass sich explizite Integrationsverfahren, wie wir sie im Abschnitt 7.3 betrachtet haben, auch aus den hier angegebenen Diﬀerenzenformeln herleiten lassen. Dies wollen wir am Eulerschen Polygonzugverfahren erl¨autern. Dazu betrachten wir Gleichung (7.6) und ersetzen die Zeitableitung z˙ durch den vorderen Diﬀerenzenquotienten (7.16): zl+1 − zl = f (t, zl ). Δt Dies f¨ uhrt dann direkt auf die Rekursionsgleichung (7.8). Um die mit dem Diﬀerenzenverfahren verbundene Vorgehensweise zu veranschaulichen, wollen wir diese Methode in einem Anwendungsbeispiel auf den Stab nach Abb. 7.7 anwenden. Seine Deformation wird durch die Diﬀerentialgleichung EA u = −n mit den Randbedingungen u(0) = u(l) = 0 beschrieben. Mit (7.20) gilt dann die Beziehung ˜l + u ˜l−1 u ˜l+1 − 2 u = − nl . (7.21) EA 2 (Δx) z˙ ≈

390

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Abb. 7.7

Wir teilen nun den Stab in N Abschnitte mit N + 1 Gitterpunk” ten“ und wenden (7.21) auf jeden inneren Gitterpunkt an. Damit ergibt sich das Gleichungssystem (Δx)2 n2 , EA (Δx)2 n3 , −u ˜2 + 2 u ˜3 − u ˜4 = EA ˜2 − u ˜3 = −u ˜1 + 2 u

... ... ... = ... , (Δx)2 −u ˜N −1 + 2 u n . ˜N − u ˜N +1 = EA N Hinzu kommen die Randbedingungen u ˜1 = 0 und u ˜N +1 = 0. Damit fallen diese Unbekannten aus dem Gleichungssystem heraus. ˜N . Dies liefert N − 1 Gleichungen f¨ ur N − 1 Unbekannten u ˜2 , . . . , u Das Gleichungssystem l¨ asst sich u ¨bersichtlicher und vorteilhafter f¨ ur eine numerische Behandlung in Matrizenschreibweise angeben: ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ u ˜2 n2 2 −1 0 0 ... 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ u˜ ⎥ ⎢ ⎢−1 2 −1 0 ... 0 0 0⎥ 3 ⎥ ⎢ n3 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ n4 ⎥ ⎢ 0 −1 2 − 1 . . . ⎥⎢ u ˜ ⎥ 0 0 0 4 ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎢ . ⎥⎢ . . . ⎥ ⎢ . . . ⎥ . . . . . . − 1 0 0 ⎥(Δx)2 ⎥=⎢ ⎢ ⎥⎢ . ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ EA ⎢ . ... ⎥ . . . ... . . . ⎥⎢ . . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ . . . ... 2 −1 0 ⎥⎢ ⎢ . ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ . ⎥ ⎣nN −1 ⎥ u ˜ . . . ... − 1 2 − 1⎥ ⎦ N −1 ⎣ ⎦⎢ ⎣ ⎦ u ˜N nN . . . . ... 0 −1 2 (7.22) Gleichung (7.22) liefert die Verschiebungen u ˜l an den diskreten Gitterpunkten xl , aber nicht an beliebigen Stellen x.

7.4

Diﬀerenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme

391

F¨ ur N = 4 und n = const erhalten wir mit Δx = l/4 und dem Faktor γ = n l2 /(16 EA) ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ u ˜2 2 −1 0 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 2 − 1⎦⎣u ˜3 ⎦ = γ ⎣ 1 ⎥ ⎦. ⎣ 0 −1 2 1 u ˜4 Dieses Gleichungssystem hat die L¨ osung u ˜2 = 1,5γ, u ˜3 = 2γ, u ˜4 = 1,5γ. Das Diﬀerenzenverfahren liefert hier in den Gitterpunkten die exakte L¨ osung. Man beachte, dass damit aber nicht der Verlauf der L¨ osung als Funktion von x bekannt ist. Will man diesen genauer bestimmen, so sind mehr Abschnitte zu w¨ahlen. Beispiel 7.3 Gegeben ist ein durch eine Kraft F = 50 kN belasteter Pfahl (l = 20 m, EA = 10 000 kN), der elastisch im Boden (Federkonstante pro L¨ angeneinheit k = 100 kN/m2 ) gebettet ist (Abb. 7.8a). Das Eigengewicht des Pfahles kann vernachl¨assigt werden. Mittels des Diﬀerenzenverfahrens soll eine N¨ aherungsl¨osung f¨ ur die Verschiebung ermittelt werden. Man vergleiche die N¨aherungsl¨ osung bei einer Unterteilung in 4, 8 bzw. 16 gleich große Abschnitte mit der exakten L¨ osung F cosh λ(l − x) , λ = k/EA . u= λ EA sinh λl

Abb. 7.8

L¨ osung Die Gleichgewichtsbedingung formulieren wir am Element

nach Abb. 7.8b:

B7.3

392

7 Numerische Methoden in der Mechanik

N + dN − N − k u dx = 0

→

dN/dx − k u = 0 .

ur die L¨angsMit dem Stoﬀgesetz N = EA u ergibt sich dann f¨ verschiebung u die Diﬀerentialgleichung EA u − k u = 0 . Hinzu kommen die Randbedingungen N (0) = EA u (0) = − F,

N (l) = EA u (l) = 0 .

Die Anwendung des Diﬀerenzenschemas (7.20) liefert f¨ ur den Gitterpunkt i EA

˜i + u ˜i−1 u ˜i+1 − 2 u −ku ˜i = 0 2 (Δx) k(Δx)2 u ˜i − u → −u ˜i+1 + 2 + ˜i−1 = 0 . EA

Wir wollen hier nur das Gleichungssystem f¨ ur 4 Abschnitte angeben (Abb. 7.8c). Mit Δx = l/4 und den gegebenen Zahlenwerten erh¨ alt man ˜i − u ˜i−1 = 0 . −u ˜i+1 + 2, 25 u Diese Gleichung gilt an den inneren Gitterpunkten i = 2, 3, 4. In die Randbedingungen gehen die Ableitungen von u ein; daher muss man eine Approximation f¨ ur u einsetzen. Wir w¨ahlen zu diesem Zweck f¨ ur den Punkt i = 1 den vorderen Diﬀerenzenquotienten (7.16) und erhalten EA

u ˜2 − u ˜1 = −F l/4

→

u ˜1 − u ˜2 = 0, 025.

F¨ ur den Punkt 5 nehmen wir den hinteren Diﬀerenzenquotienten (7.18): EA

u ˜5 − u ˜4 =0 l/4

→

−˜ u4 + u ˜5 = 0.

Bei dieser Wahl der Diﬀerenzenquotienten f¨ ur die Randbedingungen geht eine Ordnung in der Genauigkeit verloren. Dies k¨onnte

7.4

Diﬀerenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme

393

durch die Verwendung des zentralen Diﬀerenzenquotienten verhindert werden. Dann erh¨ alt man aber eine unsymmetrische Koeﬃzientenmatrix des Gleichungssystems f¨ ur u ˜i , was bei vielen Unbekannten einen erheblichen Mehraufwand bei der L¨osung mit sich bringt. Die Gleichungen f¨ ur die inneren Gitterpunkte und die Randpunkte lassen sich jetzt in Matrizenschreibweise zusammenfassen: ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 −1 0 0 0 0, 025 u ˜1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 2,25 ˜ ⎥ ⎢ 0 ⎥ −1 0 0⎥⎢u ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −1 2, 25 ⎢˜ ⎥ = ⎢ 0 ⎥ . −1 0⎥ 3⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢u ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ˜4 ⎦ ⎣ 0 ⎦ 0 −1 2, 25 −1 ⎦ ⎣ u 0

0

0

−1

1

u ˜5

0

Die L¨ osung des Gleichungssystems liefert die unbekannten Ver˜5 . Analog l¨ asst sich das Gleichungssystem schiebungen u ˜1 , . . . , u f¨ ur 8 bzw. 16 Abschnitte darstellen und l¨ osen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle den exakten Werten gegen¨ ubergestellt. x

4 Abschnitte

8 Abschnitte

16 Abschnitte

exakt

0

0,0696

0,0598

0,0556

0,0537

l/4

0,0446

0,0378

0,0349

0,0324

l/2

0,0308

0,0253

0,0231

0,0213

3 l/4

0,0246

0,0198

0,0173

0,0155

l

0,0246

0,0181

0,0158

0,0138

Dem Vergleich der L¨ osungen entnehmen wir, dass sich mit zunehmender Anzahl der Abschnitte die N¨ aherungsl¨ osung der exakten L¨ osung immer mehr ann¨ ahert. Dies l¨ asst auf die Konvergenz des Verfahrens schließen. 7.4.2 Partielle Diﬀerentialgleichungen

Randwertprobleme mit partiellen Diﬀerentialgleichungen treten in der Mechanik h¨ auﬁg auf. Beispiele hierf¨ ur ﬁnden sich u.a. in Kapitel 2 (Scheibengleichung, Torsion, usw.) oder in Kapitel 3 (Platte,

394

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Membran, usw.). Diesen Gleichungen ist gemeinsam, dass Funktionen von mehreren Ver¨ anderlichen und deren (partielle) Ableitungen wie z.B. u(x, y), ∂u/∂x und ∂ 2 u/∂x2 auftreten. Partielle Diﬀerentialgleichungen k¨ onnen ebenfalls mittels des Verfahrens der ﬁniten Diﬀerenzen numerisch gel¨ ost werden. Die Vorgehensweise a hnelt der bei den gew¨ o hnlichen Diﬀerentialgleichungen an¨ gewandten Methodik: man ersetzt die (jetzt partiellen) Ableitungen durch entsprechende Diﬀerenzenquotienten. Zun¨ achst wollen wir die Diﬀerenzenquotienten f¨ ur die partiellen Ableitungen angeben. Da bei einer partiellen Ableitung nach einer Ver¨ anderlichen jeweils die andere Ver¨ anderliche festgehalten wird, k¨ onnen wir auf die im vorigen Abschnitt hergeleiteten Formeln zur¨ uckgreifen. Indem wir z.B. die Variable y festhalten und f¨ ur ¨ die Anderung bez¨ uglich x die Taylorreihe u(x + Δx, y) = u(x, y) +

∂ 2 u(x, y) (Δx)2 ∂u(x, y) Δx + + ... ∂x ∂x2 2

anschreiben, erhalten wir den vorderen Diﬀerenzenquotienten u(x + hx , y) − u(x, y) ∂u(x, y) ≈ ∂x hx

(7.23a)

und analog u(x, y + hy ) − u(x, y) ∂u(x, y) ≈ , ∂y hy

(7.23b)

worin hx = Δx und hy = Δy die Schrittweiten in x- bzw. yRichtung darstellen. Entsprechend folgen die zentralen Diﬀerenzenquotienten (vgl. (7.19)) u(x + hx , y) − u(x − hx , y) ∂u(x, y) ≈ , ∂x 2 hx u(x, y + hy ) − u(x, y − hy ) ∂u(x, y) ≈ . ∂y 2 hy

(7.24)

Bei der n¨ aherungsweisen L¨ osung von Randwertproblemen betrachten wir der Einfachheit halber im weiteren nur rechteckige Gebiete (Abb. 7.9). Damit haben wir die M¨ oglichkeit, ein kantenparalleles Netz von Gitterpunkten zu erzeugen. Um die Schreib-

7.4

Diﬀerenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme

395

Abb. 7.9

weise zu vereinfachen, wollen wir im weiteren einen Punkt (x0 + k hx , y0 + l hy ) durch (k, l) bezeichnen. Dann vereinfachen sich die Ausdr¨ ucke f¨ ur die zentralen Diﬀerenzenquotienten in folgender Weise: 1 ∂u ≈ (uk+1,l − uk−1,l ), ∂x 2 hx 1 ∂u ≈ (uk,l+1 − uk,l−1 ). ∂y 2 hy

(7.25)

F¨ ur die zweiten partiellen Ableitungen nach x bzw. y erhalten wir analog zum zentralen Diﬀerenzenquotienten (vgl. (7.20)) 1 ∂2u ≈ 2 (uk+1,l − 2 uk,l + uk−1,l ), ∂x2 hx 1 ∂2u ≈ 2 (uk,l+1 − 2 uk,l + uk,l−1 ). ∂y 2 hy

(7.26)

Entsprechende Diﬀerenzenquotienten lassen sich auch f¨ ur h¨ohere Ableitungen bzw. f¨ ur gemischte Ableitungen gewinnen. In einem Anwendungsbeispiel wollen wir die partielle Diﬀerentialgleichung des Torsionsproblems (2.120) ΔΦ =

∂ 2 Φ(x, y) ∂ 2 Φ(x, y) + =1 ∂x2 ∂y 2

mit der Randbedingung Φ = 0 f¨ ur einen Rechteckquerschnitt n¨ aherungsweise l¨ osen. F¨ ur einen Gitterpunkt des Gebietes liefern hier die zentralen Diﬀerenzenquotienten (7.26) 1 1 (Φk+1,l − 2 Φk,l + Φk−1,l ) + 2 (Φk,l+1 − 2 Φk,l + Φk,l−1 ) = 1. (7.27) h2x hy

396

7 Numerische Methoden in der Mechanik

W¨ ahlen wir in x- und in y-Richtung die gleiche Schrittweite h = hx = hy , dann folgt daraus 1 (4 Φk, l − Φk+1, l − Φk−1, l − Φk, l+1 − Φk, l−1 ) = −1. (7.28) h2 Da dieser Ausdruck f¨ ur den Diﬀerenzenquotienten des Δ-Operators jetzt Diﬀerenzen von Φ sowohl in x- als auch in y-Richtung hat, spricht man auch von einem Diﬀerenzenstern. Er wird h¨auﬁg in Matrixform angegeben: ⎡ ⎤ 0 −1 0 1 ⎢ ⎥ (7.29) ⎣ −1 4 −1 ⎦ . h2 0 −1 0 Im weiteren wollen wir (7.28) auf den in Abb. 7.10a gegebenen quadratischen Querschnitt mit dem dargestellten Gitter anwenden. Unter Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen erhalten wir folgendes Gleichungssystem in Matrixform: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎡ 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 1 Φ11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ Φ21 ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 ⎥ ⎢ Φ31 ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 ⎥ ⎢ Φ12 ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 ⎥ ⎢ Φ22 ⎥ = − ⎢ 1 ⎥ h2 . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 ⎥ ⎢ Φ ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 32 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 ⎥ ⎢ Φ13 ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 ⎥ ⎢ Φ ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ 23 ⎦ Φ33 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 1 (7.30)

Abb. 7.10

7.4

Diﬀerenzenverfahren f¨ ur Randwertprobleme

397

Dieses Gleichungssystem kann nach den unbekannten Knotenost werden. Die Koeﬃzientenmatrix l¨asst sich gr¨oßen Φik aufgel¨ auch als ⎡

K −I

O

⎡

⎤

⎢ ⎥ ⎢ −I K −I ⎥ ⎣ ⎦ O −I K

⎢

4 −1

0

⎤

⎡

1 0 0

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 −1 ⎥ ⎦, I = ⎣ 0 1 0 ⎦ (7.31) 0 −1 4 0 0 1

mit K = ⎢ ⎣ −1

schreiben. Wir erkennen, dass die Dimension der Untermatrizen genau der Anzahl der Knoten pro Reihe entspricht. Auch ein Gitter mit gr¨ oßerer Knotenzahl liefert dieselbe Struktur wie (7.31). Lediglich die Untermatrizen K und I a ¨ndern dann ihre Dimension entsprechend der Zahl der Knoten pro Reihe. Da der quadratische Querschnitt doppeltsymmetrisch ist, sollte man zweckm¨ aßig diese Symmetrie ausnutzen. Wir erzielen das gleiche Ergebnis wie mit (7.30), wenn wir nur ein Viertel des Querschnitts betrachten (Abb. 7.10b). In das zugeh¨ orige Gleichungssystem sind hier allerdings die Symmetriebedingungen einzuarbeiten. Wir erhalten ⎡

⎤

⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎢ −2 4 0 −1 ⎥ ⎢ Φ21 ⎥ ⎢1⎥ 2 ⎢ ⎥ = −⎢ ⎥h . ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣ −2 0 4 −1 ⎦ ⎣ Φ12 ⎦ ⎣1⎦ Φ22 0 −2 −2 4 1 4 −1 −1

0

⎤⎡

Φ11

Hieraus ergibt sich die L¨ osung ⎡

Φ11

⎤

⎡

0,6875

⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Φ21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ 0,8750 ⎥ h2 . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Φ12 ⎦ ⎣ 0,8750 ⎦ Φ22 1,1250

Damit ist die Torsionsfunktion Φ in den Gitterpunkten bekannt. Nach (2.119) folgt die Spannung τyz aus τyz = −2 G κT ∂Φ/∂x. Der Diﬀerentialquotient l¨ asst sich hierin durch den vorderen Differenzenquotienten ersetzen, und wir erhalten f¨ ur die maximale Randspannung (x = 0, y = a/2): Φ12 − Φ02 0,8750 − 0 2 G κT = 2 G κT h2 = 0,438 G κT a . τyz = h h

398

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Diese Spannung ist erheblich geringer als die exakte Randspannung τyz = 0,675 G κT a nach Abschnitt 2.1.3. Das Ergebnis l¨asst sich verbessern, wenn man eine Interpolation der Funktion Φ in x-Richtung bei festgehaltenem y = a/2 durchf¨ uhrt. Dies soll hier jedoch nicht weiter ausgef¨ uhrt werden.

7.5

7.5 Methode der gewichteten Residuen 7.5.1 Vorbemerkungen

Bisher sind wir bei der Konstruktion von numerischen Methoden direkt von den gew¨ ohnlichen oder partiellen Diﬀerentialgleichungen ausgegangen, die dem zu behandelnden mechanischen Problem zugrunde lagen. In diesem Abschnitt wollen wir dagegen Formulierungen verwenden, bei denen der Fehler, der durch das Einsetzen einer N¨ aherungsl¨ osung in die Diﬀerentialgleichung entsteht, minimiert wird. Dabei gibt es unterschiedliche Vorgehensweisen, die in den folgenden Abschnitten erl¨ autert werden. Setzen wir in die Diﬀerentialgleichung (7.1) eine N¨aherungsl¨osung y˜ ein, so wird der Fehler R(˜ y ) = F (x, y˜, y˜ , . . . , y˜(n) ) − r = 0

(7.32)

auftreten. Diesen Fehler bezeichnet man auch als Residuum. Analog erhalten wir einen Fehler in den Randbedingungen, die im allgemeinen von der N¨ aherungsl¨ osung y˜ ebenfalls nicht exakt erf¨ ullt y ) = 0. werden: Rr (˜ Die L¨ osung y(x) der Diﬀerentialgleichung k¨ onnen wir im allgemeinen durch ein vollst¨ andiges Funktionensystem aus linear unabh¨ angigen Funktionen Φk (x) darstellen: ∞ y(x) = ak Φk (x). k=1

Brechen wir die Reihe bei n ab, so ist die entstehende N¨aherung y˜(x) bis zur Ordnung n vollst¨ andig: n ak Φk (x). (7.33) y˜(x) = k=1

7.5

Methode der gewichteten Residuen

399

Dabei setzen wir voraus, dass die Funktionen Φk hinreichend stetig sind und die homogenen Randbedingungen erf¨ ullen. Zur Bestimmung der unbekannten Koeﬃzienten ak wollen wir im folgenden die Kollokationsmethode, die Methode der gewichteten Residuen und das Galerkinsche Verfahren n¨ aher betrachten. 7.5.2 Kollokationsverfahren

Bei dieser Methode werden die Koeﬃzienten ak aus der Forderung berechnet, dass das Residuum an bestimmten Punkten, den sogenannten Kollokationspunkten, verschwindet (R = 0). Hierbei w¨ ahlen wir die Ansatzfunktionen Φk so, dass sie alle Randbedingungen erf¨ ullen. Die ak bestimmen wir dann durch die Wahl von n Kollokationspunkten x1 , x2 , . . . , xn , wobei wir (7.33) in (7.32) einsetzen und an den Kollokationspunkten auswerten: R[˜ y (x1 )] = F [x1 , R[˜ y (x2 )] = F [x2 ,

0 0

ak Φk (x1 ), ak Φk (x2 ),

0 0

ak Φk (x1 ), . . .] − r(x1 ) = 0, ak Φk (x2 ), . . .] − r(x2 ) = 0,

(7.34)

... = ... R[˜ y (xn )] = F [xn ,

0

ak Φk (xn ),

0

ak Φk (xn ), . . .] − r(xn ) = 0.

Dies ist ein System von n Gleichungen f¨ ur die n Unbekannten ak . 7.5.3 Galerkin-Verfahren

Eine andere Vorgehensweise bei der Konstruktion von N¨aherungsl¨ osungen besteht in der Idee, dass der Fehler – im Gegensatz zur Kollokationsmethode – nicht in ausgew¨ ahlten Punkten, sondern im Mittel u ¨ber das gesamte Gebiet zu Null gesetzt wird: R(˜ y ) dx = 0. Noch allgemeiner k¨ onnen wir fordern, dass das Residuum in einem gewichteten Mittel Null ist: R(˜ y ) η dx = 0 (Methode der gewichteten Residuen). Es ist dabei zweckm¨aßig, die Wichtungsfunktion η (x) mit Hilfe eines zweiten Satzes linear unabh¨ angiger Funktionen Ψj (x) darzustellen: η(x) =

n j=1

bj Ψj (x).

(7.35)

400

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Wir wollen im weiteren voraussetzen, dass die Ψj die homogenen Randbedingungen erf¨ ullen. Dies ist nicht unbedingt notwendig, vereinfacht aber die Schreibweise. Mit der zus¨atzlichen Annahme, ullen, erdass die Ansatzfunktionen Φk alle Randbedingungen erf¨ halten wir

l R[˜ y (x)]

n

bj Ψj (x) dx = 0 .

(7.36)

j=1

0

Da die Faktoren bj beliebig und die Funktionen Ψj (x) linear unabh¨ angig voneinander sind, folgen aus (7.36) n Gleichungen f¨ ur die n unbekannten Koeﬃzienten ak im Ansatz (7.33):

l R[˜ y (x)] Ψj (x) dx = 0,

j = 1, . . . , n .

(7.37)

0

Dieses allgemeine Vorgehen ist die Grundlage vieler Methoden. Selbst das Kollokationsverfahren kann hieraus hergeleitet werden, wenn als Funktionen Ψj Diracsche Delta-Funktionen gew¨ahlt werden. Im folgenden wollen wir das Galerkin-Verfahren n¨aher betrachten, bei dem als Besonderheit derselbe Ansatz f¨ ur die N¨aherungsfunktion y˜ und die Wichtungsfunktion η gew¨ ahlt wird. Aus (7.37) erh¨ alt man dann mit (7.33)

l R 0

n

ai Φi (x) Φj (x) dx = 0 .

(7.38)

i=1

Damit die Methode funktioniert, muss der N¨aherungsansatz y˜ alle Randbedingungen erf¨ ullen. Weiterhin muss die N¨aherungsl¨osung f¨ ur eine Diﬀerentialgleichung 2m-ter Ordnung (2m − 1)-mal stetig diﬀerenzierbar sein. Am Beispiel des eingespannten Balkens unter einer Endlast F und einem Endmoment M0 wollen wir dies veranschaulichen. Mit der Diﬀerentialgleichung der Bie˜i (x) gelinie EI wIV − q = 0 und den Ansatzfunktionen Φi (x) = w liefert (7.38)

7.5 n

Methode der gewichteten Residuen

401

l

[EI ai w ˜iIV − q] w ˜j dx = 0 .

(7.39)

i=1 0

Dabei m¨ ussen die Ansatzfunktionen die kinematischen Randbedingungen w(0) = 0, w (0) = 0 (wesentliche Randbedingungen) und die dynamischen Randbedingungen EIw (l) = −M0 und ullen. Die DiﬀeEIw (l) = −F (restliche Randbedingungen) erf¨ rentialgleichung hat die Ordnung 2m = 4, so dass die Ansatzfunktionen ( 2m − 1) = 3-mal stetig diﬀerenzierbar sein m¨ ussen (man ullen). sagt auch, w ˜ muss die Bedingung der C 3 -Stetigkeit erf¨ Diese strengen Bedingungen an die Stetigkeit und an die Randbedingungen erschweren oft die Wahl der Ansatzfunktionen. Um hier Abhilfe zu schaﬀen, wendet man die partielle Integration auf (7.38) an und ber¨ ucksichtigt dabei die dynamischen Randbedingungen. Dann sind vom N¨ aherungsansatz nur noch die wesentlichen Randbedingungen zu erf¨ ullen. Weiterhin muss dieser jetzt nur noch (m−1)-mal stetig diﬀerenzierbar sein (C m−1 -Stetigkeit). Am Beispiel des Balkens wollen wir die Umformung erl¨autern. Fordern wir, dass der N¨ aherungsansatz die wesentlichen, nicht aber die restlichen Randbedingungen erf¨ ullt, so liefert dies die Fehler ˜ (l) + M0 , R2 = EI w ˜ (l) + F. R = EI w ˜ IV − q, R1 = EI w Wir multiplizieren die Fehler mit der Gewichtsfunktion η. Da R1 und R2 nur an der Stelle l deﬁniert sind, werden sie mit den Gewichten η1 und η2 versehen. Durch Aufsummieren der Fehler erhalten wir

l

(EI w ˜ IV − q) η dx + [EI w ˜ (l) + M0 ] η1 + [EI w ˜ (l) + F ] η2 = 0.

0

Zweimalige partielle Integration liefert

l 0

l l (EI w ˜ η − q η) dx + EI w ˜ η 0 − EI w ˜ η 0 + EI w ˜ (l) + M0 η1 + EI w ˜ (l) + F η2 = 0.

402

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Da die Gewichtsfunktion η voraussetzungsgem¨aß die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullt, gilt η(0) = η (0) = 0. Es folgt damit

l

(EI w ˜ η − q η) dx + EI w ˜ (l)[η(l) + η2 ] + η2 F − EI w ˜ (l)[η (l) − η1 ] + η1 M0 = 0.

0

W¨ ahlen wir η1 = η (l) und η2 = −η(l), so verschwinden die eckigen Klammern:

l

(EI w ˜ η − q η) dx − η(l) F + η (l) M0 = 0.

(7.40)

0

Damit haben wir (7.39) so umgeformt, dass der N¨aherungsansatz nur die wesentlichen Randbedingungen zu erf¨ ullen hat. Hierbei m¨ ussen w ˜ und η nur (m − 1) = 1-mal stetig diﬀerenzierbar sein (C 1 -Stetigkeit). Beide Formen, (7.39) und (7.40), werden als Galerkin-Verfahren bezeichnet. W¨ ahlt man in (7.40) f¨ ur η und w ˜ jedoch unterschiedliche Ansatzfunktionen, so spricht man vom Petrov-Galerkin-Verfahren. 7.5.4 Numerische Integration

Wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben, sind bei der Anwendung des Galerkinschen Verfahrens Integrale auszuwerten. Diese k¨onnen in manchen F¨ allen noch analytisch berechnet werden. Oft ist dies aber nicht m¨ oglich, so dass dann eine numerische Integration zu erfolgen hat. Außerdem ist es h¨ auﬁg konsistenter und auch eﬃzienter, wenn man schon numerisch rechnet, dann auch die Integration numerisch durchzuf¨ uhren, selbst wenn diese analytisch vorgenommen werden k¨ onnte. In diesem Abschnitt sollen zwei gebr¨ auchliche Verfahren zur numerischen Integration angegeben werden. Dabei beschr¨ anken wir uns auf Einfachintegrale der Form

l f (x)dx. 0

7.5

Methode der gewichteten Residuen

403

Um die Integrationsformeln einfacher schreiben zu k¨onnen, transformieren wir den Integrationsbereich auf ein Intervall der L¨ange 2. Mit x = x(ξ) = (ξ + 1)l/2 erhalten wir

+1 −1

dx dξ = f [x(ξ)] dξ

+1 g(ξ)dξ. −1

Man kann zeigen, dass sich dieses Integral n¨ aherungsweise aus einer Summe berechnen l¨ asst, indem man den Integranden g(ξ) an vorgegebenen St¨ utzstellen ξp auswertet und dort mit Wichtungsfaktoren wp multipliziert:

+1 g(ξ) dξ ≈

n

g(ξp )wp .

(7.41)

p=1

−1

Die Wahl dieser St¨ utzstellen und der Wichtungsfaktoren erfor¨ dert zus¨ atzliche mathematische Uberlegungen, auf die wir hier verzichten. Wir wollen an dieser Stelle nur die St¨ utzstellen und die Wichtungsfaktoren f¨ ur zwei Methoden angeben. Wegen ihrer hohen Genauigkeit ist die sogenannte Gauß-Integration von großer Bedeutung. Durch sie werden Polynome vom Grad q ≤ 2n − 1 exakt integriert. Die Tabelle 7.1 enh¨alt f¨ ur n = ; Gaußpunkte) und die 1, 2, 3 die Werte f¨ ur die St¨ utzstellen ξp (= Wichtungsfaktoren wp . Man erkennt, dass die Gaußpunkte innerhalb des Integrationsgebiets liegen und nicht ¨ aquidistant verteilt sind. Tabelle 7.1 Gauß-Integration

n

ξp

wp

exakt f¨ ur q

1

0 √ ±1/ 3 0 ± 3/5

2

1

1

3

8/9 5/9

5

2 3

404

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Manche Probleme erfordern Integrationsverfahren, bei denen die Randpunkte mit in die Berechnung eingehen. Dann kann man z.B. die Methode von Newton-Cotes w¨ ahlen, die in gleicher Weise wie die Gauß-Integration angewendet werden kann. Das Verfahren bleibt dabei gleich, nur die St¨ utzstellen und die Wichtungsfaktoren in (7.41) sind ge¨ andert. Sie sind in der Tabelle 7.2 zusammengefasst. Man erkennt, dass die Newton-Cotes-Integration eine erheblich geringere Genauigkeit aufweist. So integriert die Gaußsche Regel mit 3 Punkten ein Polynom bis zum Grad 5 exakt, w¨ ahrend die Newton-Cotes-Regel mit gleicher Punktzahl ein exaktes Ergebnis nur f¨ ur ein Polynom bis zum Grad 3 liefert. Die sich bei der Verwendung von drei Punkten ergebende NewtonCotes-Formel ist auch unter dem Namen Simpson-Regel bekannt. Tabelle 7.2 Newton-Cotes-Integration

n

ξp

wp

exakt f¨ ur q

2

±1 < 0 ±1 0 ±1/2 ±1

1

1

4/3 1/3

3

12/45 32/45 7/45

5

3

5

7.5.5 Beispiele

In diesem Abschnitt werden wir die Methoden der vorhergehenden Abschnitte auf Aufgabenstellungen aus der Mechanik anwenden. Als erstes Beispiel sei der beidseits gelenkig gelagerte Balken unter linear ver¨ anderlicher Streckenlast q(x) = q0 x/l gew¨ahlt (Abb. 7.11). Die Diﬀerentialgleichung der Biegelinie lautet EI wIV −q = 0. Mit den Randbedingungen w(0) = w(l) = M (0) = M (l) = 0 k¨ onnen wir in diesem Fall die exakte L¨ osung angeben (Band 2, Tabelle 4.3). Eine einfache N¨ aherungsl¨ osung l¨asst sich mit dem Kollokationsverfahren nach Abschnitt 7.5.2 gewinnen. Wir w¨ahlen

7.5

Methode der gewichteten Residuen

405

Abb. 7.11

zu diesem Zweck einen zweigliedrigen N¨ aherungsansatz, der die Randbedingungen erf¨ ullt (Rr = 0): w ˜ = a1 sin

πx 2πx + a2 sin . l l

Um die unbekannten Koeﬃzienten a1 und a2 zu bestimmen, bilden wir mit dem Ansatz das Residuum: R = EI w ˜ IV − q π4 πx 2 π x π4 x − q0 . + 16 a2 4 sin = EI a1 4 sin l l l l l Mit der Kollokation an den zwei Stellen x = l/2 und x = 3l/4 folgt das Gleichungssystem π4

l π π4 1 = EI a1 4 sin + 16 a2 4 sin π − q0 = 0, R w ˜ 2 l 2 l 2 3 l π4 3π 3π π4 3 R w ˜ = EI a1 4 sin − q0 = 0. + 16 a2 4 sin 4 l 4 l 2 4 Hieraus ergeben sich die Koeﬃzienten a1 =

√ q0 l 4 q0 l 4 , a2 = − (3 − 2) , 4 4 2 EI π 64 EI π

und damit lautet die N¨ aherungsl¨ osung √ πx 3− 2 2 π x q0 l 4 1 . sin − sin w ˜= 4 π EI 2 l 64 l Im Kollokationspunkt x = 3l/4 weicht die N¨aherungsl¨osung w(3l/4) ˜ = 0, 00388 q0 l4 /EI von der exakten L¨osung w(3l/4) = 0, 00484 q0 l4 /EI um -19,8 % ab (man beachte, dass im Kollokationspunkt zwar das Residuum der Diﬀerentialgleichung gleich Null ist, nicht aber der Fehler der N¨ aherungsl¨ osung w). ˜ Eine Verbesserung der N¨ aherungsl¨ osung kann man durch Hinzunahme weiterer Terme (z.B. a3 sin 3 π x/l) oder durch die Wahl anderer Ansatz-

406

7 Numerische Methoden in der Mechanik

funktionen (z.B. Polynome) erzielen. Als zweites Anwendungsbeispiel betrachten wir den am Fußpunkt eingespannten Stab nach Abb. 7.12, der durch sein Eigengewicht μ g (Gewicht pro L¨ angeneinheit) belastet ist. Wir wollen mit Hilfe des Galerkin-Verfahrens die Knicklast bestimmen. Nach (5.32) lautet die Diﬀerentialgleichung f¨ ur dieses Knickproblem EI wIV + μ g(l − x)w − μ g w = 0. Im konkreten Fall liegen die Randbedingungen w(0) = w (0) = 0, Q(l) = −EI w (l) = 0 und M (l) = −EI w (l) = 0 vor. Die L¨ osung wird mittels einer N¨ aherungsfunktion w ˜ approximiert und der gewichtete Fehler gem¨ aß (7.36) zu Null gesetzt:

l

[EI w ˜ IV + μ g(l − x)w ˜ − μ g w ˜ ] η dx = 0 .

0

Wir formen die Gleichung durch partielle Integration wie in Abschnitt 7.5.3 um. Damit sind dann von den Ansatzfunktionen nur noch die wesentlichen Randbedingungen zu erf¨ ulllen. Die Umformung des ersten Terms und die Einarbeitung der dynamischen Randbedingungen wurden in Abschnitt 7.5.3 schon beschrieben. Wir beschr¨ anken uns daher auf die Umformung der letzten beiden Terme. Mit

l

μ g(l − x)w ˜ η dx

l

0

=− 0

l w ˜ μ g(l − x)η − μ g η dx + w ˜ μ g(l − x)η 0 ! "# $ =0

Abb. 7.12

7.5

Methode der gewichteten Residuen

407

folgt f¨ ur die endg¨ ultige Form l

l EI w ˜ η dx − μ g(l − x) w ˜ η dx = 0. 0

0

Wir w¨ ahlen jetzt f¨ ur w ˜ und η einen eingliedrigen Ansatz, der die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullt. Die Eigenform f¨ ur die Knicklast des eingespannten Balkens unter Einzellast ist durch w(x) = a[1 − cos(πx/2l)] gegeben. Es liegt nahe, diese Funktion f¨ ur die N¨ aherung w ˜ bzw. η anzusetzen. Das Einsetzen liefert

l

l π 4 π 2 πx 2 πx dx − μ g(l − x) dx = 0. EI cos sin2 2l 2l 2l 2l 0

0

In diesem Fall k¨ onnen die Integrale analytisch ausgewertet werden. Damit erh¨ alt man π 4 l π 2 l2 l2 EI − μg − 2 =0 2l 2 2l 4 π EI → (μ g l)krit = 0, 841 π 2 2 . l Der Vergleich mit der exakten L¨ osung der Diﬀerentialgleichung 2 (5.32) (μ g l)krit = 0, 795 π EI/l2 (vgl. (5.35)) zeigt, dass die N¨ aherungsl¨ osung einen um 5,5% zu großen Wert liefert. Sie ist damit f¨ ur viele praktische Belange ausreichend genau. Wir wollen an dieser Stelle noch die numerische Integration mittels der Gaußschen Formel (7.41) anwenden und beispielhaft das zweite Integral auswerten. Dazu transformieren wir das Integral mit x = (ξ + 1)l/2 und erhalten mit dx = dξ l/2

l

+1 l2 π 2 πx dx = I2 = (l − x) sin (1 − ξ) sin2 (ξ + 1) dξ. 2l 4 4 0

−1

Zur Auswertung verwenden wir die 3-Punkt-Formel (Tabelle 7.1): 4 I2 = 14 l2 1 + 3/5 sin2 π4 − 3/5 + 1 59 + 1 − 3/5 sin2 π4 3/5 + 1 59 5 +(1 − 0) sin2 π4 (0 + 1) 89 = 0, 1491 l2 .

408

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Wir erkennen durch Vergleich mit dem exakten Wert I2 = 0, 1487 l2 des Integrals, dass die numerische Integration trotz der geringen St¨ utzstellenzahl sehr genau ist. In einem dritten Anwendungsbeispiel wollen wir f¨ ur den Balken in Abb. 7.13a die Auslenkung wmax oberhalb der kritischen Last mit Hilfe des Galerkinschen Verfahrens berechnen.

Abb. 7.13

Die Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Elastica lautet nach (5.21) d2 ϕ/ds2 + λ2 sin ϕ = 0 mit λ2 = F/EI. Da sie in dieser Form zur direkten Bestimmung der Durchbiegung nicht geeignet ist, leiten wir zun¨ achst eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur w her. Zwischen der Durchbiegung w und dem Winkel ϕ besteht nach (5.23) der Zusammenhang dw = sin ϕ. (a) ds Aus der Gleichgewichtsbedingung (5.19) und dem Elastizit¨atsgesetz (5.20) folgt dϕ + λ2 w = 0. ds Die Diﬀerentiation von (a) liefert d2 w/ds2 = cos ϕ dϕ/ds, womit in der vorangegangenen Gleichung dϕ/ds eliminiert werden kann: d2 w + λ2 w cos ϕ = 0. ds2 asst sich die Gleichung der Mit cos ϕ = 1 − sin2 ϕ und (a) l¨ Elastica in der Form

7.5

Methode der gewichteten Residuen

409

dw 2 d2 w 2 + λ w 1 − = 0. (b) ds2 ds schreiben. Unter der Voraussetzung |dw/ds| ≤ 1 k¨onnen wir den Wurzelausdruck in eine Potenzreihe entwickeln und f¨ ur kleine dw/ds n¨ aherungsweise nach dem zweiten Term abbrechen. Damit lautet die gen¨ aherte Diﬀerentialgleichung der Elastica (f¨ ur nicht zu große Auslenkungen) 1 2 dw 2 d2 w 2 λ + λ w − w = 0. ds2 2 ds Wenden wir auf diese nichtlineare Diﬀerentialgleichung das Galerkin-Verfahren an, so liefert (7.38)

l 2 1 2 dw ˜ d w ˜ 2 2 λ + λ w ˜ − w ˜ η ds = 0. (c) ds2 2 ds 0

F¨ ur w und η w¨ ahlen wir einen eingliedrigen Ansatz, welcher die Randbedingungen erf¨ ullt. Dabei verwenden wir die Knickﬁgur des linearisierten Problems (vgl. Band 2, Abschnitt 7.2): w(s) ˜ = a1 sin

πs , l

η(s) = b1 sin

πs . l

Einsetzen in (c) ergibt

l −

a1 b1

π 2 l

πs ds + λ2 cos l

l a1 b1 sin2

2

0

λ2 − 2

πs ds l

0

l a31 b1

π 2 l

cos2

πs πs sin2 ds = 0 . l l

0

Dies f¨ uhrt auf eine nichtlineare algebraische Gleichung f¨ ur a1 :

l π 2 l π 2 l + λ2 − λ2 a21 =0 a1 − l 2 2 l 16 2 π 2 1 l → a21 = 8 λ2 − . π l λ2 Eine elementare Umformung liefert mit der kritischen Last des

410

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Eulerfalles Fkrit = EI(π/l)2 die gesuchte Auslenkung: Fkrit 8 a21 = 2 l2 1 − π F √ l Fkrit 8 = a1 = l 1− . ˜ → w ˜max = w 2 π F F¨ ur F < Fkrit wird die Wurzel imagin¨ ar; dann tritt kein Ausknicken auf. Auch bei der Knicklast F = Fkrit verschwindet die Durchbiegung. F¨ ur einige Lastparameter ist das Ergebnis in der folgenden Tabelle angegeben und in Abb. 7.13b dargestellt. Zum Vergleich der G¨ ute der N¨ aherung sind zus¨ atzlich die Werte angegeben, die auf einer exakten L¨ osung der Diﬀerentialgleichung (b) beruhen. F/Fkrit

1,001

1,005

1,01

1,02

1,05

1,10

1,20

w(l/2)/l ˜

0,029

0,064

0,090

0,126

0,197

0,272

0,368

w(l/2)/l

0,029

0,064

0,090

0,125

0,195

0,258

0,327

¨ Man sieht, dass schon f¨ ur sehr kleine Uberschreitungen der kritischen Last große Durchbiegungen auftreten. Weiterhin erkennen ¨ wir, dass bis zum Lastparameter 1,05 eine sehr gute Ubereinstimmung zwischen der N¨ aherungsl¨ osung und der exakten L¨osung von (b) vorliegt. Dies ist umso erstaunlicher, als dann am Lager bereits eine Neigung dw/ds|s=0 = a1 π/l = 0,61 vorliegt, die eigentlich das Abbrechen der Potenzreihe f¨ ur den Wurzelausdruck in (b) nicht rechtfertigt. 7.5.6 Verfahren von Ritz

Dem Ritzschen Verfahren (W. Ritz, 1878–1909) liegen Energieprinzipien wie z.B. das Prinzip vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials zugrunde, die wir allgemein als

l Π (y) =

F (x, y, y , y )dx → station¨ ar

(7.42)

0

schreiben k¨ onnen. Einige Beispiele f¨ ur das Gesamtpotential (Funk-

7.5

Methode der gewichteten Residuen

411

tional) aus der Mechanik sind in Tabelle 7.3 angegeben (vgl. Abschnitte 2.7.3 und 4.5). Tabelle 7.3 Diﬀerentialgleichungen und zugeh¨ orige Funktionale

Problem

Diﬀerentialgleichung

Funktional

Stab

(EA u ) + n = 0

1 2

(EI w ) − q = 0

Balken Stabknicken Balkenschwingung

(EI w ) + F w = 0 (E I w ) − ω 2 A w = 0

1 2 1 2 1 2

l 0 l 0 l

(EA u 2 − 2 n u)dx (EI w 2 − 2 q w)dx (EI w 2 − F w 2 )dx

0

l

(E I w 2 − ω 2 A w2 )dx

0

Wie schon beim Galerkinschen Verfahren wird eine N¨aherung f¨ ur die gesuchte Funktion u oder w angesetzt. Der Unterschied zum Galerkinschen Verfahren besteht darin, dass wir hier nicht von der Diﬀerentialgleichung ausgehen, sondern die Variationsfunktionale, wie sie z.B. in Tabelle 7.3 angegeben sind, zugrunde legen. Die Freiwerte der N¨ aherungsfunktion bestimmen wir hier aus der Forderung, dass das Funktional extremal werden muss. Wir machen also wie beim Galerkinschen Verfahren einen vollst¨ andigen N¨ aherungsansatz n φi (x)ai , (7.43) y˜(x) = i=1

wobei die φi nun nur die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullen m¨ ussen (um diesen Unterschied deutlich zu machen, verwenden wir im weiteren das Symbol φi anstelle von Φi ). Diesen setzen wir in das Funktional (7.42) ein und erhalten

l Π (˜ y) =

F (x, y˜, y˜ , y˜ )dx → stat.

(7.44)

0

Da die Ansatzfunktionen φi in (7.43) gegebene Funktionen von x sind, k¨ onnen wir die Integration ausf¨ uhren. Damit ist Π jetzt

412

7 Numerische Methoden in der Mechanik

nur noch eine Funktion der unbekannten Freiwerte ai des N¨aheur die rungsansatzes: Π (˜ y ) → Π (ai ). Die notwendige Bedingung f¨ Annahme eines Extremums von Π (ai ) ist dann ∂Π = 0, ∂ai

i = 1, . . . , n .

(7.45)

Dies liefert n Gleichungen f¨ ur die n unbekannten Koeﬃzienten ai . Wir wollen nun die Vorgehensweise des Ritzschen Verfahrens bei Randwert- bzw. Eigenwertproblemen beispielhaft f¨ ur einen Balken darstellen. Bei einem Randwertproblem gehen wir vom Prinzip des Station¨ arwertes der potentiellen Energie 1 Π (w) = 2

l

(EI w 2 − 2 q w)dx → stat.

(7.46)

0

aus (vgl. Beispiel 2.12). F¨ ur w wird ein vollst¨andiger Ansatz w(x) ˜ =

n

φi (x) wi

(7.47)

i=1

ahlt. Hierin haben die mit den unbekannten Koeﬃzienten wi gew¨ ulAnsatzfunktionen φi die wesentlichen Randbedingungen zu erf¨ len. Damit erhalten wir aus (7.46) 1 Π (w) ˜ = 2

l EI

n i=1

0

φi wi

2

−2q

n

φi wi

dx → stat. (7.48)

i=1

Die Freiwerte wi bestimmen wir aus der Extremalbedingung (7.45): ∂Π = ∂wk

l EI 0

n

φi wi φk − q φk dx = 0, k = 1, 2, . . . , n. (7.49)

i=1

Dies stellt ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die n unbekannten uhrung von Koeﬃzienten wi dar, das sich mit der Einf¨

l

l EI φi φk dx, Pk = q φk dx (7.50) kik = kki = 0

0

7.5

Methode der gewichteten Residuen

413

in folgende Form bringen l¨ asst: ⎡

k11 k12 k13 . . . k1n

⎢ ⎢ k21 ⎢ ⎢ ⎢ k31 ⎢ ⎢ . ⎢ ⎢ ⎣ .

kn1

⎤⎡

w1

⎤

⎡

P1

⎤

⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ k22 k23 . . . k2n ⎥ ⎥ ⎢ w2 ⎥ ⎢ P2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ k32 k33 . . . k3n ⎥ ⎢ w3 ⎥ ⎢ P3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . . ... . ⎥ ⎥⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . ... . ⎦⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ wn Pn kn2 kn3 . . . knn

(7.51)

Diese Gleichung kann auch in der symbolischen Matrixnotation Kw =P

(7.52)

geschrieben werden. Ihre L¨ osung lautet: w = K −1 P . Dazu ist es notwendig, dass die Inverse von K existiert. Dies ist immer dann gegeben, wenn die Ansatzfunktionen φi keine linearen Abh¨angigkeiten aufweisen (vollst¨ andiger Ansatz). Mit den Koeﬃzienten w ist dann die N¨ aherungsfunktion (7.47) vollst¨ andig bestimmt. Haben wir einen Ansatz mit nur einem Koeﬃzienten w1 gemacht, so ergibt sich dieser einfach zu w1 = P1 /k11 . Um die N¨ aherungsl¨ osung mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens f¨ ur den zweiten Aufgabentyp – das Eigenwertproblem – zu veranschaulichen, wollen wir als Beispiel die Balkeneigenschwingung betrachten. Nach Tabelle 7.3 lautet hierf¨ ur (7.42) (vgl. auch Abschnitt 4.5)

1 l (EI w 2 − ω 2 A w2 )dx → stat. (7.53) Π (w) = 2 0 Darin ist ω die gesuchte Eigenkreisfrequenz. Dieses Funktional kann auch noch f¨ ur nE Einzelfedern (cj ) bzw. -massen (Mj ), die an den Stellen xj angebracht sind, erweitert werden. Dann sind die jeweiligen Energieanteile zu ber¨ ucksichtigen, was auf

14 l (EI w 2 − ω 2 A w2 )dx Π (w) = 2 0 +

nE 5 cj w(xj )2 − ω 2 Mj w(xj )2 → stat. j=1

(7.54)

414

7 Numerische Methoden in der Mechanik

f¨ uhrt. Diese zus¨ atzlichen Anteile werden zur Vereinfachung der Schreibweise zun¨ achst nicht weiter mitgef¨ uhrt. F¨ ur w wird nun der vollst¨ andige Ansatz nach (7.47) gew¨ ahlt. Das Einsetzen in (7.53) liefert

l n n

2 1 2 EI dx → stat., (7.55) Π (w) ˜ = φi wi − ω ˜ 2 A φi wi 2 i=1 i=1 0

wobei ω ˜ die N¨ aherung f¨ ur die Eigenkreisfrequenz ist. Die Freiwerte wi bestimmen wir wieder aus der Extremalforderung: ∂Π = ∂wk

l EI

n

n

φi wi φk − ω ˜2 A φi wi φk dx = 0,

i=1

0

i=1

(7.56)

k = 1, 2, . . . , n. Im Gegensatz zu (7.49) stellt (7.56) ein homogenes Gleichungssystem f¨ ur die Unbekannten wi dar, das sich mit der Einf¨ uhrung von

l kik = kki =

EI φi φk dx,

l mik = mki =

0

A φi φk dx

(7.57)

0

folgendermaßen schreiben l¨ asst: ⎛⎡

k11 k12 . . . k1n

⎤

⎡

⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎜⎢ k21 k22 . . . k2n ⎥ ⎢ m21 m22 ⎜⎢ ⎥ ⎢ 2⎢ ⎜⎢ . . . . . . ⎥ − ω ˜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ . ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎣ . ⎝⎣ . . . . . . ⎦ kn1 kn2 . . . knn

⎤⎞ ⎡

⎤

⎡ ⎤ 0 ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . . . m2n ⎥⎟ ⎢ w2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎟ ⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥. (7.58) ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎠ ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦

m11 m12 . . . m1n

mn1 mn2 . . . mnn

w1

wn

0

In symbolischer Matrixnotation f¨ uhrt dies auf ˜ = 0. (K − ω ˜ 2 M )w

(7.59)

Gleichung (7.58) bzw. (7.59) beschreibt das Eigenwertproblem f¨ ur die unbekannten Eigenwerte ω ˜ und die zugeh¨ origen Eigenvektoren w. ˜ Durch letztere lassen sich mit (7.47) die Eigenfunktionen n¨aherungsweise bestimmen. Man erh¨ alt im Gegensatz zu der analytischen Vorgehensweise in Abschnitt 4.3.2.1 nicht unendlich viele, sondern nur n Eigenwerte und -funktionen. Diese nichttrivialen

7.5

Methode der gewichteten Residuen

415

L¨ osungen bestimmt man durch Nullsetzen der Determinante der Koeﬃzientenmatrix: det(K − ω ˜ 2 M ) = 0. Deren Berechnung ist bei großen Gleichungssystemen (viele Ansatzfunktionen) sehr aufwendig, was dann die Anwendung spezieller Techniken erfordert. Wird nur ein eingliedriger N¨ aherungsansatz w ˜ = φ1 (x) w1 gew¨ ahlt, dann k¨ onnen wir den zugeh¨ origen Eigenwert direkt angeben. Wir erhalten ω ˜ 2 = k11 /m11 , oder mit φ = φ1 ausgeschrieben: l 2

ω ˜ =

EI φ 2 dx

0

l

. A φ2

(7.60)

dx

0

Man nennt diesen Quotienten auch Rayleigh-Quotient (vgl. (4.129)). Wenn zus¨ atzlich Federn oder Punktmassen zu ber¨ ucksichtigen sind, dann sind Z¨ ahler oder Nenner sinngem¨aß nach (7.54) zu erweitern. Der Rayleigh-Quotient l¨ asst sich auch f¨ ur andere Eigenwertaufgaben angeben. F¨ ur das Knickproblem des Stabes lautet er l F˜krit =

0

EI φ 2 dx l

. φ 2

(7.61)

dx

0

Wenn dem zugeh¨ origen Funktional ein Minimalprinzip (Π → Minimum) zugrundeliegt, so kann gezeigt werden, dass f¨ ur die Eigenwerte folgende Ungleichung besteht: ω ˜ 2 ≥ ω2 ,

F˜krit ≥ Fkrit .

(7.62)

Hierin sind ω bzw. Fkrit die exakten Eigenwerte; sie stellen eine untere Schranke f¨ ur die N¨ aherungsl¨ osung dar. Das Gleichheitszeichen gilt dann, wenn in den Rayleigh-Quotienten die exakte Eigenfunktion eingesetzt wird. Zusammenfassend stellen wir fest, dass man mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens recht einfach N¨ aherungsl¨ osungen bestimmen kann, die auch noch Schrankeneigenschaften aufweisen. Ein Nachteil dieser Methode liegt jedoch darin begr¨ undet, dass der N¨ahe-

416

7 Numerische Methoden in der Mechanik

rungsansatz f¨ ur jedes neue Problem den entsprechenden Randbedingungen angepasst werden muss, was eine vollst¨andig neue Aufbereitung bedeutet. Zum anderen werden die Koeﬃzientenmatrizen in (7.51) und (7.58) in der Regel vollbesetzt sein, was uhrt. Abhilfe bei vielen Freiwerten wi zu hohem Rechenaufwand f¨ schaﬀen hier Methoden, die von bereichsweisen Ans¨atzen ausgehen. Sie werden im n¨ achsten Abschnitt besprochen. B7.4

Beispiel 7.4 Der Balken nach Abb. 7.14 ist durch eine konstante

Linienlast q0 belastet. Man bestimme n¨ aherungsweise die Biegelinie mit einem dreigliedrigen Ansatz und werte sie an der Stelle x = l/2 aus.

Abb. 7.14

L¨ osung Der N¨ aherungsansatz muss die wesentlichen Randbedingungen erf¨ ullen. Wir w¨ ahlen einen vollst¨ andigen Poynomansatz der Form x 2 x 2 x x x 2 x 1− 1− 1− w(x) ˜ = w1 + w2 + w3 . (a) l $ !l "# l $ !l "# !l "# l $ φ1

φ2

φ3

Die unbekannten Freiwerte wi folgen aus dem Gleichungssystem (7.51). Wir erhalten mit x 2 x x 2 1 2 w2 + 2 1 − 6 + 6 w3 w ˜ = − 2 w1 + 2 2 − 6 l l l l l l die Koeﬃzienten kik des Gleichungssystems und die Komponenten Pk des Lastvektors:

l 2 2 4 EI k11 = EI − 2 dx = 3 , l l 0

l 2 2 EI x dx = 3 , EI − 4 2 − 6 k12 = k21 = l l l 0

l

x 2 1 4 EI EI 4 2 − 6 dx = 3 , k22 = l l l 0

7.5

Methode der gewichteten Residuen

417

x 2 2 2 x 1−6 +6 dx = 0, EI − 2 l l l 0

l x 2 x x 2 1−6 +6 dx = 0, EI 4 2 − 6 k23 = k32 = l l l l 0

l x 2 2 2 2 x 4 EI 1−6 +6 EI 2 dx = , k33 = l l l 5 l3 0

l q0 l x x 2 − , dx = q0 P1 = l l 6 0

l 2 q0 l x x dx = , 1− q0 P2 = l l 12 0

l 2 x 2 q0 l x P3 = . 1− dx = q0 l l 30 0 l

k13 = k31 =

Damit ergibt sich das Gleichungssystem ⎡ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ⎤ 20 10 0 10 w1 EI ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ q0 l ⎢ ⎥ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ w2 10 20 0 5 ⎦. 5 l3 60 w3 0 0 4 2 Es liefert die L¨ osung w1 = w3 =

q0 l 4 , w2 = 0. 24 EI

Wir erkennen, dass sich der Freiwert w2 zu Null ergibt, d.h. die bez¨ uglich der Balkenmitte unsymmetrischen Anteile fallen aus der L¨ osung heraus. Mit den Koeﬃzienten wi ist die N¨aherungsfunktion w(x) ˜ f¨ ur die Biegelinie bekannt. An der Stelle x = l/2 erhalten wir l 1 5 q0 l 4 q0 l 4 1 w ˜ + = = . 2 24 EI 4 16 384 EI Dies stimmt mit dem exakten Ergebnis u ur ¨berein. Der Grund hierf¨ ist, dass der vollst¨ andige Ansatz (a) f¨ ur diese Belastung die Diﬀerentialgleichung erf¨ ullt. H¨ atte man einen eingliedrigen Ansatz mit nur dem ersten Glied in (a) gew¨ ahlt, so w¨ are das Resultat mit

418

w ˜

7 Numerische Methoden in der Mechanik

l 2

=

5 q0 l 4 480 EI

eine echte N¨ aherung gewesen. B7.5

Beispiel 7.5 Der in Abb. 7.15 dargestellte Balken ist links einge-

spannt und rechts gelenkig gelagert. An der Stelle x = 2l/3 ist eine Einzelmasse der Gr¨ oße M = Al/2 angebracht. Man bestimme mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten eine N¨aherung ω ˜ f¨ ur die Grundfrequenz.

Abb. 7.15

L¨ osung Zur Anwendung des Rayleigh-Quotienten m¨ ussen wir einen N¨ aherungsansatz f¨ ur die unbekannte Eigenfunktion φ w¨ahlen, ˜ =0 der die wesentlichen Randbedingungen w(0) ˜ =w ˜ (0) = w(l) erf¨ ullt. Damit der Ansatz die Eigenschwingungsform der Grundschwingung (knotenfrei) m¨ oglichst gut ann¨ ahert, setzen wir

x 2 x w1 1− w(x) ˜ = φ(x) w1 = l l

und erhalten mit φ = 2(1−3x/l)/l2 f¨ ur den Rayleigh-Quotienten x 2 dx l 0 2 ω ˜ = l x 2 2 2 . x 2 l 1− A dx + M φ l l 3 0 l

EI

2 l2

1−3

Die Auswertung liefert 4 EI EI l3 ω ˜2 = = 195,1 A l4 8Al Al + 105 729

→

ω ˜ = 14,0

EI/( A l4 ).

Der Einﬂuss der Einzelmasse ist in diesem Beispiel recht groß. Ist sie nicht vorhanden, so ergibt sich die Grundfrequenz zu

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

419

ω ˜ = 20,5 EI/( A l4 ). Der exakte Wert betr¨ agt in diesem Fall ω = 15,4 EI/( A l4 ) (vgl. Tabelle 4.1).

7.6 Methode der ﬁniten Elemente 7.6.1 Einf¨ uhrung

Nachdem wir in den vorausgegangenen Abschnitten das Ritzsche und das Galerkinsche Verfahren zur L¨ osung von Randwertproblemen kennengelernt haben, ist die Ableitung der Methode der oglich. Die wesentliﬁniten Elemente (FEM) auf einfache Weise m¨ che Idee beruht darauf, anstelle eines N¨ aherungsansatzes f¨ ur das gesamte Gebiet nun N¨ aherungsans¨ atze zu w¨ ahlen, die nur auf Teilbereichen von Null verschieden sind. Dies wurde zuerst von dem Mathematiker Richard Courant (1888–1972) vorgeschlagen. Am Beispiel des Stabes soll die grunds¨ atzliche Vorgehensweise erl¨ autert werden. Wir teilen gem¨ aß Abb. 7.16a den zu approximierenden Bereich (0 ≤ x ≤ l) in n Teilbereiche – die ﬁniten Elemente – auf. Der Einfachheit halber werden zun¨ achst N¨aherungsans¨atze gem¨aß Abb. 7.16b deﬁniert. Damit l¨ asst sich die N¨aherungsfunktion u ˜ f¨ ur die Verschiebung als Polygonzug mit n + 1 zun¨achst noch unbekannten Knotenverschiebungen ui angeben:

Abb. 7.16

7.6

420

7 Numerische Methoden in der Mechanik

u ˜(x) =

n+1

Ni (x) ui .

(7.63)

i=1

Dabei stellen die Funktionen Ni (x) die Ansatzfunktionen dar, die abschnittsweise deﬁniert sind: xi − x , xi − hi−1 ≤ x ≤ xi , Ni (x) = 1 − hi−1 (7.64) x − xi , xi ≤ x ≤ xi + hi . Ni (x) = 1 − hi Die Ansatzfunktionen N1 bzw. Nn+1 (R¨ ander) sind nur f¨ ur x ≥ 0 bzw. x ≤ l deﬁniert. F¨ ur die Ableitung u ˜ (x) erh¨alt man aus (7.63) u ˜ (x) =

n+1

Ni (x) ui

mit

i=1

1 , hi−1 1 Ni (x) = − , hi

Ni (x) =

xi − hi−1 ≤ x ≤ xi ,

(7.65)

xi ≤ x ≤ xi + hi .

Im Potential des Stabes nach Tabelle 7.3 treten nur erste Ab¨ leitungen auf. Da dann die wesentlichen Rand- und Ubergangsbedingungen nur Aussagen f¨ ur die Funktion selbst sind, gen¨ ugt der Ansatz (7.64) den zugeh¨ origen Stetigkeitsanforderungen (C 0 Stetigkeit), siehe auch Abschnitt 7.5.3. Setzen wir (7.63) und (7.66) in das Potential ein, so ergibt sich

l

2

2 n+1 n+1 1 l Π (˜ u) = EA Ni (x) ui dx − n(x) Ni (x) ui dx. 2 0 0 i=1 i=1 (7.66) Die Gleichgewichtsbedingungen folgen aus δΠ = 0 (Abschnitt 2.7.3), wobei die Variation bez¨ uglich der freien Parameter ui durchzuf¨ uhren ist. Sie liefert

l

n+1

n+1 EA Ni (x) ui Nk (x) δuk dx δΠ (˜ u) = 0

−

l

i=1 n+1

n(x) 0

k=1

k=1

Nk (x) δuk dx = 0

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

421

oder, wenn wir δuk ausklammern

l n+1 l

n+1 δuk EA Nk (x) Ni (x) ui dx − n(x)Nk (x)dx = 0. 0

k=1

0

i=1

(7.67)

ur jedes Da die virtuellen Verschiebungen δuk beliebig sind, muss f¨ k der eckige Klammerausdruck zu Null werden. Dies liefert n + 1 Gleichungen f¨ ur die Unbekannten u1 , u2 , . . . , un+1 :

l n+1 l EA Nk (x)Ni (x)dx ui − n(x)Nk (x)dx = 0, i=1

0

0

k = 1, 2, . . . , n + 1.

(7.68)

Man beachte, dass aufgrund der Deﬁnition der Ansatzfunktionen die Integration bereichsweise stattzuﬁnden hat.

Abb. 7.17

Als Anwendungsbeispiel betrachten wir den gleichf¨ormig belasteten Stab nach Abb. 7.17a. F¨ ur eine Unterteilung in zwei ﬁnite Elemente der Elementl¨ angen h1 und h2 wollen wir das Gleichungssystem f¨ ur die unbekannten Knotenverschiebungen bestimmen. Gem¨ aß der in Abb. 7.17b deﬁnierten Ansatzfunktionen kann der N¨ aherungsansatz (7.63) als u ˜(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2 + N3 (x) u3

(a)

geschrieben werden. Als Unbekannte treten die drei Knotenver-

422

7 Numerische Methoden in der Mechanik

schiebungen u1 , u2 und u3 auf. F¨ ur die Ableitungen Ni (x) ergibt sich nach (7.66): Bereich 1: Bereich 2:

1 , h1 1 N2 = − , h2 N1 = −

1 , h1 1 N3 = . h2 N2 =

Das Einsetzen dieser Beziehungen in (7.68) liefert nach Integration f¨ ur k = 1: n0 EA h1 = 0. (u1 − u2 ) − h1 2

(b)

Analog verfahren wir f¨ ur k = 2 und k = 3, was auf die Gleichungen EA n0 EA (h1 + h2 ) = 0, (− u1 + u2 ) + (u2 − u3 ) − h1 h2 2 EA n0 h2 = 0 (− u2 + u3 ) − h2 2 f¨ uhrt. Dieses Gleichungssystem l¨ asst sich in der Matrixform ⎡ 1 ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ 1 − 0 h1 u1 ⎢ h1 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ h1 ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ n0 ⎢ ⎥ 1 1 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ + − ⎥ ⎢ u2 ⎥ = h1 +h2 ⎥ EA ⎢ − ⎢ ⎥ h2 ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎢ h1 h1 h2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎦ ⎣ 1 1 0 − u3 h2 h2 h2

(c)

zusammenfassen. Man sieht, dass sich die Koeﬃzientenmatrix aus den zwei Untermatrizen EA EA 1 −1 1 −1 , h1 −1 h2 −1 1 1 zusammensetzt, die jeweils nur von der Geometrie und der Steiﬁgkeit des Teilbereiches 1 bzw. 2 abh¨ angen. Da diese Untermatrizen den einzelnen Teilbereichen oder Elementen direkt zugeordnet sind, nennen wir sie Elementmatrizen (Steiﬁgkeitsmatrizen); wir werden sie im folgenden mit dem Buchstaben ke bezeichnen.

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

423

Die Eintr¨ age dieser beiden Matrizen werden dort addiert, wo die Kompatibilit¨ atsbedingung erf¨ ullt werden muss (Verschiebung ur eiu2 links = u2 rechts am Knoten 2). Diese Tatsache nutzt man f¨ ne allgemeine, problemunabh¨ angige Vorgehensweise zur Formulierung der Koeﬃzientenmatrix aus, wie wir im n¨ achsten Abschnitt sehen werden. Im obigen Gleichungssystem ist in diesem Beispiel nun noch die Randbedingung u(0) = 0 zu ber¨ ucksichtigen, was gleichbedeutend asst sich die erste Spalte im mit u1 = 0 ist. Mit dieser Bedingung l¨ allt die Gleichung Gleichungssystem streichen. Wegen δu1 = 0 entf¨ (b) und damit die erste Zeile in (c). Dies f¨ uhrt auf das reduzierte Gleichungssystem ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 1 1 ⎡ ⎤ 1 + − +h h u 2 2 ⎢ h1 h2 h2 ⎥ ⎥ n0 ⎢ 1 ⎥ ⎥⎢ EA ⎢ ⎣ ⎦. ⎣ ⎦= ⎦ ⎣ 1 1 2 − u3 h2 h2 h2 Hieraus erhalten wir die zwei unbekannten Knotenverschiebungen, deren Einsetzen in den Ansatz (a) die N¨ aherungsl¨osung im gesamten Gebiet des Stabes liefert. Im Spezialfall h1 = h2 = l/2 lautet die L¨ osung u2 =

3 n0 l2 , 8 EA

u3 =

1 n0 l2 . 2 EA

Diese Verschiebungen stimmen mit der exakten L¨osung (Band 2, Abschnitt 1.4) u ¨berein. Man kann zeigen, dass beim Stab unter der Voraussetzung EA = const auch f¨ ur allgemeine Belastungen die mit der FEM ermittelten Knotenverschiebungen exakt sind. 7.6.2 Aufstellung der Gleichungssysteme

¨ Ublicherweise geht man bei der Methode der ﬁniten Elemente nicht so vor wie im vorangegangenen Beispiel, sondern man berechnet zun¨ achst die zu einem Element geh¨ origen Matrizen. Diese baut man dann so zu einem globalen Gleichungssystem zusammen, dass die Kompatibilit¨ at (geometrische Vertr¨aglichkeit) u ¨ber ein Element hinweg gew¨ ahrleistet ist. Die Vorgehensweise ist im folgenden Ablauf zusammengestellt:

424

7 Numerische Methoden in der Mechanik

1. Wahl von Ansatzfunktionen f¨ ur ein Element, die den Stetigkeitsanforderungen der Variationsaufgabe gen¨ ugen, 2. Berechnung der zum mechanischen Problem geh¨orenden Elementmatrizen mit den gew¨ ahlten Ans¨ atzen, 3. Zusammenbau der Matrizen unter Beachtung der Kompatibilit¨ at, 4. L¨ osung des Gleichungssystems. Die ersten beiden Punkte h¨ angen direkt mit dem mechanischen Problem zusammen. Die Punkte 3 und 4 k¨ onnen vollst¨andig von der speziellen Aufgabe getrennt werden. Daher werden in FEProgrammen die Punkte 3 und 4 durch Programmteile realisiert, die unabh¨ angig von der eigentlichen mechanischen Problemstellung sind. Wir wollen zun¨ achst Punkt 3 – Aufstellung der Koeﬃzientenmatrix des Gesamtgleichungssystems (= Zusammenbau) – genauer erl¨ autern. Wenn wir z.B. einen Stab durch mehrere ﬁnite Elemente diskretisieren, so k¨ onnen wir durch den Zusammenbau aus den einur den zelnen Elementmatrizen ke das gesamte Gleichungssystem f¨ unbekannten Verschiebungsvektor V (Verschiebungen aller Knoten = globale Verschiebungen) aufbauen. Diesem Vorgang liegt die Erf¨ ullung der Kompatibilit¨ at zugrunde, die ja bedeutet, dass die Verschiebungen an den Elementgrenzen stetig sein m¨ ussen. Hierzu f¨ uhren wir Boolesche Matrizen be ein, die es erm¨oglichen, aus dem globalen Unbekanntenvektor V die zu einem bestimmten Element e geh¨ orenden Knotenverschiebungen v e (= lokale Verschiebungen) herauszuﬁnden. Damit haben wir folgenden Zusammenhang in Matrizenform: v e = be V .

(7.69)

Zum Beispiel ist die Boolesche Matrix f¨ ur das Element 2 des vorherigen Anwendungsbeispiels durch folgende Beziehung festgelegt: ⎡ ⎤ u1 0 1 0 ⎢ ⎥ u2 = v2 = ⎣ u2 ⎦ = b2 V . u3 0 0 1 u3

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

425

Benutzen wir diese Art der Zuordnung zur Beschreibung der Gesamtenergie, so erhalten wir f¨ ur die Energie eines Elementes (Teilbereich der L¨ ange le )

le

le 1 1 EA u 2 dx − n u dx = v Te ke v e − v Te pe Πe = 2 0 2 0 (vgl. auch Abschnitt 7.6.3). Die Summation u ¨ber alle ne Elemente liefert ne ne 1 Π (˜ u) = Πe = V T [bTe ke be V − 2bTe pe ] 2 e=1 e=1 =

1 2

V T KV − V T P .

(7.70)

Hierin stellen K=

ne

bTe ke be

e=1

und

P =

ne

bTe pe

(7.71)

e=1

die globale Steiﬁgkeitsmatrix K und den globalen Lastvektor P dar. Die Gr¨ oßen ke und pe sind die entsprechenden Elementmatrizen und -lastvektoren, die wir in den folgenden Abschnitten f¨ ur unterschiedliche Problemstellungen angeben werden. Die Variation des Gesamtpotentials liefert (weil K symmetrisch ist, gilt: V T K δV = δV T K V ) δΠ = 12 δV T K V + 12 V T K δV −δV T P = δV T [K V −P ] = 0. Da δV beliebig ist, folgt hieraus das lineare Gleichungssystem KV =P .

(7.72)

Dieses erm¨ oglicht bei bekanntem Lastvektor P und bekannter Steiﬁgkeitsmatrix K die Ermittlung der Knotenverschiebungen V . In den folgenden Abschnitten werden wir f¨ ur verschiedene Bauteile die Elementmatrizen ke und die Elementlastvektoren pe herleiten, mit denen K und P nach (7.71) bestimmt werden k¨onnen. F¨ ur ein Element hat die Boolesche Matrix be die Gr¨oße m × n, wobei m die Anzahl der unbekannten Knotengr¨ oßen am Element

426

7 Numerische Methoden in der Mechanik

und n die Anzahl der globalen Unbekannten ist. Da diese Matrix f¨ ur jedes Element nur m von Null verschiedene Eintr¨age hat, ist es nicht sinnvoll, sie u uhrt ¨berhaupt im Rechner aufzubauen. Man f¨ vielmehr f¨ ur die Prozedur des Zusammenbaus ein sogenanntes Indexfeld ein, das die Zuordnung zwischen den lokalen Knoten der einzelnen Elemente und den globalen Knotennummern herstellt. F¨ ur das Anwendungsbeispiel in Abb. 7.17a w¨ urde diese Zuordnung wie folgt lauten: Elementnummer

Knotenlinks

Knotenrechts

1

1

2

2

2

3

Damit hat z.B. der rechte lokale Knoten des Elementes 1 die globale Knotennummer 2. Ein solches Indexfeld ist ausreichend, um den in (7.71) beschriebenen Zusammenbau zur Gesamtmatrix K programmtechnisch zu realisieren. Wegen der Allgemeinheit dieser Prozedur erhalten wir immer ein Gleichungssystem der Form (7.72). Wir gehen im folgenden davon aus, dass ein Algorithmus zur L¨ osung dieses Gleichungssystems vorhanden ist. Da die Eﬃzienz der Methode der ﬁniten Elemente wesentlich vom L¨osungsalgorithmus abh¨angt, existieren eine große Anzahl von speziellen Techniken, deren Beschreibung den Rahmen dieses Buches sprengen w¨ urde. 7.6.3 Stabelement

Um die Elementmatrix eines Stabes herzuleiten, stellen wir uns ein Element der L¨ ange h vor, f¨ ur das wir die variierte Form des Potentials nach Tabelle 7.3 anschreiben:

h {δu (x) EA(x) u (x) − δu(x) n(x)} dx . (7.73) δΠe (u) = 0

Nun w¨ ahlen wir den linearen Verschiebungsansatz x x u1 + u2 u ˜(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2 = 1 − h h

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

427

Abb. 7.18

(Abb. 7.18), den wir in Matrizenform als x x u1 , 1− u ˜(x) = = N ve h h u2

(7.74)

schreiben k¨ onnen. Darin enth¨ alt die Matrix N die Ansatzfunktionen und die Spaltenmatrix v e die unbekannten Knotenverschiebungen. F¨ ur die virtuelle Verschiebung gilt danach δ u ˜(x) = N δv e . In (7.73) ben¨ otigen wir noch die Ableitungen der Ansatzfunktionen, die sich in entsprechender Weise darstellen lassen: 1 1 u1 = B ve , δu ˜ (x) = B δv e . (7.75) u ˜ (x) = − , h h u2 Dabei enth¨ alt die Matrix B die Ableitungen der Ansatzfunktionen Ni . Setzen wir diese Matrizenbeziehungen in (7.73) ein, so folgt h

h u) = δv Te B T EA(x) B dx v e − N T n(x) dx . (7.76) δΠe (˜ "# $ "# $ !0 !0 pe ke Nach Ausmultiplizieren der Matrizen in dieser Gleichung und anschließender Integration k¨ onnen die Elementmatrizen angegeben werden. Dabei ist zu beachten, dass beim Integrieren von Matrizen jedes einzelne Matrixelement zu integrieren ist. F¨ ur EA = const und n = const erhalten wir

h EA 1 − 1 , (7.77) ke = EA B T B dx = h −1 1 0

h nh 1 T . (7.78) pe = n N dx = 2 1 0

428

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Abb. 7.19

Bei einem Fachwerk werden die St¨ abe beliebig im Raum oder in der Ebene angeordnet (Abb. 7.19a). Bisher haben wir das Stabelement durch eine in Achsrichtung verlaufende Koordinate (lokale Koordinate) beschrieben, die wir hier mit x ¯ bezeichnen. Bei einer allgemeinen Anordnung des Elementes in der Ebene beziehen wir uns auf ein globales kartesisches Koordinatensystem nach Abb. 7.19b. Die Knotenverschiebung ui muss dann in diesem Koordinatensystem ausgedr¨ uckt werden. Nach Abb. 7.19b gilt f¨ ur die Transformation ui = uix cos α + uiy sin α . Da das Element gerade ist, sind die Winkel an beiden Knoten gleich. Damit k¨ onnen wir die Transformationsbeziehung f¨ ur beide Knotenverschiebungen zusammenfassen: ⎤ ⎡ u 1x ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ cos α sin α 0 0 ⎢ u1y ⎥ u1 ⎥ = T v. (7.79) ⎢ ⎣ ⎦ = ve = ⎥ ⎢ u2 u ⎦ ⎣ 2x 0 0 cos α sin α u2y Sie stellt den Zusammenhang zwischen den zwei Knotenverschiebungen im lokalen und im globalen Koordinatensystem dar. Setzen wir diese Transformationsbeziehung, die auch f¨ ur die virtuellen Verschiebungen gilt (δv e = T δv), in (7.76) ein, so erhalten wir

h h u) = δv T T T B T EA(¯ x) B d¯ xT v − TT N T n(¯ x) d¯ x δΠe (˜ 0

0

ˆe v − p ˆe) . = δv (T ke T v − T pe ) = δv (k T

T

T

T

(7.80)

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

429

Die Auswertung dieser Beziehung liefert mit EA = const und n = const die Elementsteiﬁgkeitsmatrix und den Lastvektor des Stabes f¨ ur ebene Fachwerke ⎡

a

b −a −b

⎤

⎡

cos α

⎤

⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ nh ⎢ sin α ⎥ ˆ e = EA ⎢ b c −b −c ⎥, p ⎢ ⎥, (7.81) ˆ = k e ⎥ ⎥ h ⎢ 2 ⎢ ⎣ −a −b a b ⎦ ⎣ cos α ⎦ −b −c b c sin α wobei die Abk¨ urzungen c = sin2 α,

a = cos2 α,

b = cos α sin α

verwandt wurden. 7.6.4 Balkenelement

Analog zum Stab gehen wir beim Balken vom Potential der Balkenbiegung (Tabelle 7.3) aus, dessen variierte Form wir f¨ ur ein einzelnes Element der L¨ ange h anschreiben:

h (δw EI w − δw q) dx. (7.82) δΠe (w) = 0

Hierin treten zweifache Ableitungen der Durchbiegung w nach x auf. Beim Balken sind daher die wesentlichen Randbedingungen f¨ ur die Durchbiegungen und f¨ ur die Neigungen zu formulie¨ ren. Demnach m¨ ussen die Ansatzfunktionen Ubergangsbedingun ullen, d.h. sie m¨ ussen stetig bez¨ uglich der gen f¨ ur w und w erf¨ Funktion und ihrer ersten Ableitung sein (C 1 -Stetigkeit). In dieser Forderung besteht ein Unterschied zu dem vorher behandelten Fachwerkstab, bei dem die Ansatzfunktionen nur die C 0 -Stetigkeit zu erf¨ ullen hatten. ¨ Um die geforderten Ubergangsbedingungen erf¨ ullen zu k¨onnen, m¨ ussen wir f¨ ur ein Balkenelement mit zwei Knoten vier unbekannte Knotengr¨ oßen (zwei Verschiebungen und zwei Neigungen) einf¨ uhren. Der niedrigst m¨ ogliche Polynomansatz besteht daher aus einem kubischen Polynom, das durch vier Konstanten vollst¨andig beschrieben wird. Wir wollen hier die Hermiteschen Polynome

430

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Abb. 7.20

dritter Ordnung verwenden, die in Abb. 7.20 dargestellt sind. Mit der Einf¨ uhrung einer Koordinate −1 ≤ ξ ≤ 1 (es gilt die Transformation x ¯ = (ξ + 1)h/2) lauten die Polynome H1 = 14 (2 − 3 ξ + ξ 3 ),

¯ 1 = 1 (1 − ξ − ξ 2 + ξ 3 ), H 4

H2 = 14 (2 + 3 ξ − ξ 3 ),

¯ 2 = 1 (−1 − ξ + ξ 2 + ξ 3 ). H 4

(7.83)

Aus Abb. 7.20 entnehmen wir, dass H1 bzw. H2 mit den Durch¯1 biegungen an den Knoten 1 bzw. 2 verkn¨ upft sind, w¨ahrend H ¯ bzw. H2 den Knotenverdrehungen an den Knoten 1 bzw. 2 zugeordnet sind. Die Hermite-Funktionen besitzen die Eigenschaften ¯ 1 (−1) = H2 (−1) = H ¯ 2 (−1) = 0, H ¯ (−1) = 1, H1 (−1) = 1, H 1 ¯ (−1) = 0 usw.. Danach besitzt die FunkH (−1) = H (−1) = H 1

2

2

tion H1 am linken Knoten ξ = −1 den Wert 1, w¨ahrend alle anderen Funktionen dort Null sind. Dies gilt sinngem¨aß auch f¨ ur die weiteren Funktionen. Damit k¨ onnen wir die Ansatzfunktion als Funktion von ξ angeben:

¯ 1 (ξ) dw + H2 (ξ) w2 + H ¯ 2 (ξ) dw . w(ξ) ˜ = H1 (ξ) w1 + H dξ 1 dξ 2 Hierin ist die Knotenneigung noch auf x zu transformieren. Mit d¯ x = (h/2)dξ erhalten wir dw/dξ ˜ = dw/d¯ ˜ x(d¯ x/dξ) = w ˜ h/2 und damit in Matrixform ⎡ ⎤ w1 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ¯ 1 (ξ) h , H2 (ξ), H ¯ 2 (ξ) h ⎢ w1 ⎥ = N (ξ)we . (7.84) w(ξ) ˜ = H1 (ξ), H ⎢ 2 2 ⎣ w2 ⎥ ⎦ w2 Von dieser Gleichung haben wir nun die zweite Ableitung nach x ¯ zu bilden:

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

⎡

w ˜ =

w1

431

⎤

⎥ ⎢ ⎢ w1 ⎥ 1 4 d2 w ˜ ⎢ ⎥ = B(ξ)w e . 6 ξ, h(3 ξ − 1), −6 ξ, h(3 ξ + 1) = ⎢ ⎥ h2 dξ 2 h2 ⎣ w2 ⎦ w2 (7.85)

Setzen wir diese Beziehung in (7.82) ein, so erhalten wir

δΠe (w) ˜ =

δwTe

+1 4 +1 h h 5 T B (ξ) EI(ξ) B(ξ) dξ we − N T (ξ) q(ξ) dξ . 2 2 −1 −1 ! ! "# $ "# $ pe ke (7.86)

Die beiden Integrale k¨ onnen bei ver¨ anderlichem EI(ξ) bzw. q(ξ) durch numerische Integration berechnet werden. F¨ ur EI = const treten im ersten Integral nur Polynome bis zur Ordnung 2 auf. Dann ist eine Gauß-Integration mit 2 St¨ utzstellen exakt, siehe Abschnitt 7.5.4. In diesem Fall l¨ asst sich die Integration aber auch leicht analytisch durchf¨ uhren. So erh¨ alt man z.B. f¨ ur den Term k23 in der Steiﬁgkeitsmatrix

+1 6 ξ h EI 1 dξ = −6 2 . EI (3 ξ − 1) − 2 k23 = h h 2 h −1 Entsprechend ergeben sich die weiteren Terme der Elementsteiﬁgur q = const: keitsmatrix ke bzw. des Lastvektors pe f¨ ⎡

12

6h −12

6h

⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2⎥ ⎢ −6h 2h 6h 4h EI ⎢ ⎥ ke = 3 ⎢ ⎥, ⎥ h ⎢ ⎢ −12 −6h 12 −6h ⎥ ⎣ ⎦ 6h 2h2 −6h 4h2

⎡

1

⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ h/6 qh ⎢ ⎥ pe = ⎢ ⎥. ⎥ 2 ⎢ ⎢ 1 ⎥ ⎣ ⎦ −h/6

(7.87)

Bei ebenen Rahmentragwerken treten im allgemeinen sowohl Verschiebungen infolge L¨ angskraft als auch Durchbiegungen infolge Querbelastung auf. Zus¨ atzlich k¨ onnen die Tragwerksteile beliebig zu einem kartesischen Koordinatensystem x, y geneigt sein (Abb. 7.21a). Das zugeh¨ orige Tragverhalten kann im Rahmen

432

7 Numerische Methoden in der Mechanik

der ﬁniten Elemente erfasst werden, indem man das Stabelement (7.77) mit dem Balkenelement (7.87) koppelt.

Abb. 7.21

Bez¨ uglich des Lagewinkels α = 0 sind die Deformationen von Stab und Balken entkoppelt. Wir k¨ onnen dann die erweiterte Steiﬁgkeitsmatrix und den zugeh¨ origen Lastvektor direkt angeben: ⎡

A

0

0 −A

⎢ ⎢ ⎢ 0 12I/h2 6I/h ⎢ ⎢ ⎢ 6I/h 4I E⎢ 0 ke = ⎢ h⎢ ⎢ −A 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 −12I/h2 −6I/h ⎣ 0 6I/h 2I ⎡ ⎤ n ⎢ ⎥ ⎢ q ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ h⎢ ⎢ q h/6 ⎥ pe = ⎢ ⎥. 2⎢ n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ q ⎦ −q h/6

0

0

⎤

⎥ ⎥ 6I/h ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ −6I/h 2I ⎥ ⎥, ⎥ 0 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 12I/h2 −6I/h ⎥ ⎦ −6I/h 4I

0 −12I/h2 0 A 0 0

(7.88)

Die erste und die vierte Zeile bzw. Spalte entsprechen hier dem Stabelement, w¨ ahrend die restlichen Spalten und Zeilen dem Balkenelement zugeordnet sind. F¨ ur eine allgemeine Lage dieses Rahmenelementes (α = 0) ist nach Abb. 7.21b noch eine ebene Transformation der auf die Ele-

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

433

mentachse (¯ x, z¯-Koordinatensystem) bezogenen Verschiebungen ui und wi auf die Verschiebungen uix und uiy im x, y-Koordinatensystem durchzuf¨ uhren. Mit der ebenen Transformation f¨ ur die Verschiebungen und Verdrehungen am Knoten i ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤⎡ ui cos α sin α 0 uix ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ v e = ⎣ wi ⎦ = ⎣ sin α − cos α 0 ⎦ ⎣ uiy ⎦ = t v i wi

0

0

1

wi

kann dann die Transformationsmatrix f¨ ur das Rahmenelement mit zwei Knoten aufgestellt werden: t 0 . (7.89) T = 0 t Analog zur Steiﬁgkeitsmatrix f¨ ur das Fachwerkelement erhalten wir nun mit (7.88) und (7.89) f¨ ur das Rahmenelement in allgemeiner Lage die Elementsteiﬁgkeitsmatrix und den Elementlastvektor ˆ e = T T ke T , k

ˆ e = T T pe . p

(7.90)

Beispiel 7.6 Der in Abb. 7.22a dargestellte Balken besteht aus zwei unterschiedlichen I-Proﬁlen, die in der Balkenmitte zusammengeschweißt sind. Das Verh¨ altnis der Steiﬁgkeiten betr¨agt I2 = 4 I1 . Folgende Zahlenwerte sind gegeben: E = 210 000 MPa, I1 = 318 cm4 und l = 300 cm. Es sind die Gesamtsteiﬁgkeitsmatrix und der Gesamtlastvektor aufzustellen und die Durchbiegung und das Biegemoment an der

Abb. 7.22

B7.6

434

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Angriﬀsstelle der Einzellast F = 5 kN zu bestimmen. L¨ osung Wir teilen den Balken nach Abb. 7.22b in zwei Elemente

ein. Mit (7.87) k¨onnen wir die Elementsteiﬁgkeitsmatrizen f¨ ur die beiden Elemente aufstellen. Diese liefern dann unter Beachtung der Kompatibilit¨ atsbedingung w2 l = w2 r und w2 l = w2 r (vgl. Abschnitt 7.6.1) das Gleichungssystem ⎡

12

6l

−12

6l

0

0

24 l

8 l2

0

0

⎤⎡

w1

⎤ ⎡

0

⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 l 4 l2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −6 l 2 l2 0 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ w1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ EI1 ⎢ −12 −6 l 12 + 48 −6 l + 24 l −48 24 l ⎥⎢ ⎢ w2 ⎥ ⎢ F ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. 3 2 2 2 2 l ⎢ 6 l 2 l −6 l + 24 l 4 l + 16 l −24 l 8 l ⎥⎢ w2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 −48 −24 l 48 −24 l ⎦⎣ w3 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 −24 l 16 l2

w3

0

Da auf den Knoten 2 eine Einzelkraft wirkt, muss diese in der entsprechenden Zeile ber¨ ucksichtigt werden. In das Gleichungssystem sind jetzt die Randbedingungen w(0) = w (0) = w(2 l) = 0 einzubauen. Dies ist gleichbedeutend mit w1 = w1 = w3 = 0. Damit k¨ onnen wir im obigen Gleichungssystem die ersten beiden Zeilen und Spalten sowie die f¨ unfte Zeile und Spalte streichen. Das so reduzierte Gleichungssystem entspricht dem globalen Gleichungssystem (7.72); es lautet: ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 60 18 l 24 l F w2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎢ l ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥. ⎢ 18 l 20 l2 8 l2 ⎥ ⎢ w2 ⎥ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ EI1 ⎣ ⎦ 24 l 8 l2 16 l2 w3 0 Nach Einsetzen der tems erhalten wir ⎡ ⎤ ⎡ 9,29 w2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ w2 ⎥ = ⎢ −1,16 ⎣ ⎦ ⎣ w3 −4,06

Zahlenwerte und L¨ osung des Gleichungssys· 10−1

⎤

⎥ ⎥ · 10−3 ⎥ ⎦ · 10−3

→

w2 = 0,929 cm.

Man beachte, dass hier die Verschiebung w2 die Einheit cm besitzt, w¨ ahrend die Neigungen w2 und w3 dimensionslos sind.

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

435

Zur Bestimmung des Biegemoments in Balkenmitte gehen wir ummung w k¨onnen wir vom Stoﬀgesetz M = −EI w aus. Die Kr¨ mittels Gleichung (7.85) f¨ ur das Element 1 an der Stelle ξ = +1 berechnen: ⎡ ⎤ w1 ⎢ ⎥ ⎢ w1 ⎥ 1 ⎥ w ˜ (1) = 2 6, 2l, −6, 4 l ⎢ ⎢ ⎥. l ⎣ w2 ⎦ w2 Mit dem Stoﬀgesetz und den Zahlenwerten erhalten wir 21 000 · 318 [−6 (9,29 · 10−1 ) 3002 +1200 (−1,16 · 10−3 )] = 517 kNcm.

˜ = − M2 = −EI1 w

Die gewonnene L¨ osung ist an den Knotenpunkten exakt. Dies liegt daran, dass beim Balkenelement der N¨ aherungsansatz (7.84) die homogene Diﬀerentialgleichung erf¨ ullt. 7.6.5 Element f¨ ur die Kreisplatte

Im Abschnitt 3.5.4 wurde die Kreisplatte unter rotationssymmetrischer Belastung behandelt. Wir wollen hier das zugeh¨orige ﬁnite Kreisringelement herleiten. Dazu gehen wir in diesem Fall vom Prinzip der virtuellen Arbeiten f¨ ur eine Kreisplatte aus (Abb. 7.23):

b

b (Mr δκr + Mϕ δκϕ ) r dr − 2π p δw r dr = 0 δW = 2π a

bzw.

b

δκT M r dr − 2π

δW = 2π a

Abb. 7.23

a b

δw p r dr = 0 . a

(7.91)

436

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Darin werden durch M=

Mr , Mϕ

κ=

κr κϕ

⎡

⎤ d2 w − ⎢ dr2 ⎥ ⎥ =⎢ ⎣ ⎦ 1 dw − r dr

(7.92)

die Momente bzw. die Verkr¨ ummungen beschrieben. Das Elastizit¨ atsgesetz f¨ ur die Schnittmomente lautet (vgl. auch (3.61)) κr 1 ν E t2 Mr = = C κ. (7.93) M= 2 Mϕ 12(1 − ν ) ν 1 κϕ Im Rahmen der Methode der ﬁniten Elemente w¨ahlen wir einen Ansatz f¨ ur die unbekannte Verschiebung w. Wie schon beim Balken treten in (7.91) zwei Ableitungen der Durchbiegung w auf. Dies erfordert einen Ansatz, der die C 1 -Stetigkeit erf¨ ullt. Wir wenden deshalb wieder kubische Hermitesche Polynome an. Mit der Umformung 2 dw dw dξ dw = w = = , dr dξ dr h dξ

h = ri+1 − ri

k¨onnen wir direkt die Gleichung (7.84) benutzen. Wir haben dabei nur die Transformation x ¯ → ξ durch r → ξ ersetzt (Abb. 7.23). ummung κϕ Hiermit berechnet sich κr wie beim Balken. Die Verkr¨ enth¨ alt nur erste Ableitungen. Nach Einsetzen des N¨aherungsansatzes in (7.92) k¨ onnen wir die Ableitungsmatrix B f¨ ur die Verkr¨ ummungen angeben: ⎡

⎤ ⎡

wi

⎤

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 1 1 ⎢ −6ξ ⎥ ⎢ (1 − 3 ξ) ξ − (3 ξ + 1) ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ w ⎥ h2 h h2 h ⎥ ⎢ ⎢ i ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ κ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎢wi+1 ⎥ 1 3 1 2 2 2 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (1 − ξ (1 + 2ξ − 3ξ (ξ (1 − 2ξ − 3ξ ) ) − 1) ) ⎦ ⎣2hr ⎦ ⎣ 4r 2hr 4r wi+1

= B(ξ)we .

(7.94)

Man beachte, dass sowohl in (7.94) als auch in (7.91) die Koordinate r auftritt. Wir m¨ ussen also noch r durch die Koordinate

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

437

des Anfangsknotens ri und die Koordinate des Endknotens ri+1 ausdr¨ ucken: r = 12 (1 + ξ) ri+1 + 12 (1 − ξ) ri .

(7.95)

Hiermit gilt dann dr = 12 (ri+1 − ri )dξ = 12 h dξ. Mit (7.95) k¨onnen wir nun die Koordinate r in (7.94) als Funktion von ξ angeben. Die Matrixelemente stellen dann im Gegensatz zu (7.85) kein Polynom in ξ dar. Die Elementsteiﬁgkeitsmatrix erhalten wir durch Einsetzen von (7.94) und (7.93) in das erste Integral von (7.91) mit a = ri und b = ri+1 :

+1 h ke = 2π B T(ξ) C B(ξ) 12 (1 + ξ)ri+1 + 12 (1 − ξ)ri dξ. (7.96) 2 −1 Da eine analytische Bestimmung dieses Integrals aufwendig ist, benutzen wir die numerische Integration nach Abschnitt 7.5.4: h T B (ξp ) C B(ξp )[(1 + ξp ) ri+1 + (1 − ξp ) ri ] wp . (7.97) 2 p=1 n

ke ≈ π

Es zeigt sich, dass eine Drei-Punkt Gauß-Integration ausreichend genau ist. Analog verfahren wir mit dem Lastvektor, der sich aus

+1

ri+1 π 2π δw p rdr = δwTe N T(ξ) p (ξ)[(1 + ξ)ri+1 + (1 − ξ)ri ]h dξ 2 ri −1 (7.98) berechnet. Im Sonderfall p = const ist die h¨ ochste in diesem Integral vorkommende Polynomordnung vom Grad vier. Dann ist eine Drei-Punkt Gauß-Integration exakt: ph T N (ξp )[(1 + ξp ) ri+1 + (1 − ξp )ri ] wp . 2 p=1 3

pe = π

(7.99)

Die entsprechenden Gaußpunktkoordinaten ξp und Wichtungen wp ﬁnden sich in Abschnitt 7.5.4. Beispiel 7.7 In Abb. 7.24a ist eine gelenkig gelagerte Kreisplatte dargestellt (E = 200 000 MPa, ν = 0,3, a = 100 mm, t = 1 mm),

B7.7

438

7 Numerische Methoden in der Mechanik

die durch eine Einzellast F = 10 N belastet ist. Man berechne die Absenkung in der Plattenmitte f¨ ur 2, 4 (Abb. 7.24b), 8 und 16 Elemente und vergleiche mit der analytischen L¨osung nach Abschnitt 3.6.3.

Abb. 7.24

Die Verschiebung unter der Last wurde mittels eines FE-Programmes berechnet, da eine Handrechnung bei der hier ben¨ otigten numerischen Integration mit 3 Gauß-Punkten zu umfangreich ist. Als Ergebnis erhalten wir:

L¨ osung

Elementanzahl ne Absenkung w ˜ in [mm]

2

4

8

16

0,2727

0,2750

0,2755

0,2757

Aus dem Vergleich mit der analytischen L¨ osung w = 0,2757 mm erkennt man, dass die Verschiebung schon bei nur zwei Elementen sehr gut approximiert wird und die N¨ aherungsl¨osung w ˜ schnell konvergiert. Es sei angemerkt, dass die Angabe von 4 Nachkommastellen technisch unsinnig ist. Sie wurde hier nur verwendet, um die Konvergenz des Verfahrens zu zeigen. 7.6.6 Finite Elemente f¨ ur zweidimensionale Probleme

Die L¨ osung von ebenen bzw. r¨ aumlichen Problemen der Festk¨orpermechanik gelingt nur in wenigen F¨ allen mit analytischen Methoden. Besonders wenn kompliziert berandete Gebiete vorliegen, sind N¨ aherungsverfahren oft das einzige Werkzeug des Berechnungsingenieurs, um Einsicht in das Tragverhalten der Bauteile zu bekommen.

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

439

In der Regel werden ebene bzw. r¨ aumliche Probleme der Festk¨orpermechanik durch partielle Diﬀerentialgleichungen beschrieben. Beispiele hierf¨ ur sind die Bipotentialgleichung f¨ ur die Spannungsfunktion ΔΔF = 0 (Abschnitt 2.5.2) oder die Membrangleichung Δw = −p/(σ0 t) (Abschnitt 3.5.2). Die Methode der ﬁniten Elemente basiert allerdings nicht auf Diﬀerentialgleichungen, sondern auf der zugeh¨origen Variationsformulierung bzw. auf einer schwachen Formulierung. Wir wollen sie im folgenden beispielhaft auf die Membran und die Scheibe anwenden. 7.6.6.1 Membranelement

Die Absenkung einer Membran wird durch die Poissongleichung (3.34) beschrieben. Dieser partiellen Diﬀerentialgleichung liegen eine ganze Reihe weiterer mechanischer und physikalischer Problemstellungen zugrunde. Ein Beispiel hierf¨ ur ist die St. Venantsche Torsion, vgl. Abschnitt 2.6.3. Zu nennen sind aber auch noch die W¨ armeleitung oder die Potentialstr¨ omung. Daher k¨onnen mit einer f¨ ur diese Gleichung entwickelten numerischen Methode eine große Anzahl von physikalischen Problemen gel¨ ost werden.

Abb. 7.25

Wir betrachten eine beliebig berandete Membran mit dem Gebiet Ω und dem Rand Γ . Das Gebiet Ω wird in ne ﬁnite Elemente Ωe eingeteilt und damit geometrisch approximiert (Abb. 7.25). Wir wollen dies durch die mathematische Symbolik ˜ = Ω ≈Ω

ne =

Ωe

(7.100)

e=1

darstellen, welche die Vereinigung aller Elementﬂ¨achen Ωe zum ˜ bedeutet. Bei diesem Diskretisierungsprozess k¨onGesamtgebiet Ω

440

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Abb. 7.26

nen unterschiedliche Elementformen verwendet werden. Wir unterscheiden Dreiecks- und Viereckselemente mit geraden oder krummen R¨ andern (Abb. 7.26). Die Anzahl der Knoten in einem Element h¨ angt vom gew¨ ahlten Ansatz ab. So entstehen 3und 6-knotige Dreiecks- oder 4-, 8- und 9-knotige Viereckselemente. Je nach Problemstellung sind f¨ ur diese geometrischen Formen unterschiedliche Ansatzfunktionen zu w¨ ahlen, die von den Stetigkeitsanforderungen der Ausgangsgleichung (schwache Formulierung, Variationsprinzip) abh¨ angen. Die Diﬀerentialgleichung der vorgespannten Membran lautet gem¨ aß (3.34) ∂2w ∂2w + = − p¯ ∂x2 ∂y 2

mit

p¯ =

p . σ0 t

(7.101)

Darin sind w die Durchsenkung, σ0 die Vorspannung, t die Dicke und p die Querlast. Wir wollen jetzt die schwache Formulierung dieser partiellen Diﬀerentialgleichung herleiten. Dazu wird (7.101) mit einer Wichtungsfunktion η(x, y) multipliziert, die so gew¨ahlt ist, dass auf dem Rand, auf dem die Durchsenkung w vorgegeben ist, η = 0 gilt. Wir integrieren dann u ¨ber das Gebiet Ω und erhalten

2 ∂ w ∂2w + p ¯ η dΩ = 0. (7.102) + ∂x2 ∂y 2 Ω

Die Anwendung des Gaußschen Integralsatzes liefert

∂w ∂η ∂w ∂w ∂η ∂w − p¯ η dΩ − + nx + ny η dΓ = 0. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y (7.103) Ω Γ

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

441

Wenn wir annehmen, dass die Absenkung w auf dem gesamten Rand der Membran vorgegeben ist, entf¨ allt wegen η = 0 das Randintegral. Die reduzierte Form

∂w ∂η ∂w ∂η + − p¯ η dΩ = 0 (7.104) ∂x ∂x ∂y ∂y Ω

legen wir der Diskretisierung mittels ﬁniter Elemente zugrunde. Wir w¨ ahlen nun f¨ ur ein Element mit n Knoten Ans¨atze gleicher Form f¨ ur die unbekannte Verschiebung und f¨ ur die Wichtungsfunktion: w ˜=

n

Ni (x, y) wi ,

i=1

η˜ =

n

Ni (x, y) ηi .

(7.105)

i=1

Darin sind wi die Knotenverschiebungen und ηi die Knotengr¨oßen der Wichtungsfunktion. Die Ansatzfunktionen Ni sind zun¨achst noch beliebig. Sie h¨ angen von der Elementgeometrie und von der Anzahl der Knoten am Element ab. Die Ans¨ atze Ni werden h¨auﬁg in einer Matrix N = [N1 , N2 , . . . , Nn ] zusammengefasst, so dass sich dann mit we = [w1 , w2 , . . . , wn ]T und η e = [η1 , η2 , . . . , ηn ]T auch die Matrixschreibweise w ˜ = N (x, y) we ,

η˜ = N (x, y) η e

(7.106)

einf¨ uhren l¨ asst. Da in der schwachen Formulierung (7.104) nur erste Ableitungen auftreten, gen¨ ugt es, wenn die Funktion w ˜ stetig u ¨ber die Ele0 mentgrenzen hinweg verl¨ auft (C -Stetigkeit). Mit (7.105) k¨onnen die ben¨ otigten Ableitungen berechnet werden: ∂Ni ∂w ˜ = wi , ∂x ∂x i=1

∂w ˜ ∂Ni = wi , ∂y ∂y i=1

∂ η˜ ∂Ni = ηi , ∂x ∂x i=1

∂ η˜ ∂Ni = ηi . ∂y ∂y i=1

n

n

n

n

(7.107)

Zum Einsetzen in (7.104) ist es n¨ utzlich, wieder eine B-Matrix einzuf¨ uhren, die sich aus den einzelnen – an jedem Knoten i deﬁ-

442

7 Numerische Methoden in der Mechanik

nierten – Matrizen B i zusammensetzt:

⎡ ∂N ⎤ i

B = [B 1 , B 2 , . . . , B n ]

⎢ ∂x ⎥ ⎥ Bi = ⎢ ⎣ ∂N ⎦ .

mit

(7.108)

i

∂y Nun kann die schwache Formulierung approximiert werden. Unter Verwendung der Symbolik f¨ ur die Vereinigung der Elemente zum Gesamtgebiet, die auch den geometrischen Zusammenbau enthalten soll, k¨ onnen wir eine Matrizendarstellung von (7.104) angeben:

ne

= (7.109) η Te B T B dΩ we − N T p¯ dΩ = 0 . Ωe Ωe e=1 "# $ "# $ ! ! pe ke Damit ist die Formulierung f¨ ur die Methode der ﬁniten Elemente vorbereitet. Wir m¨ ussen jetzt noch geeignete Ansatzfunktionen w¨ ahlen, um ein spezielles ﬁnites Element explizit herzuleiten. Die einfachste Diskretisierung mittels ﬁniter Elemente basiert auf einem Dreieckselement mit drei Knoten nach Abb. 7.27. F¨ ur die Durchsenkung w der Membran machen wir den N¨aherungsansatz ⎡ ⎤ c1 ⎢ ⎥ w ˜ = c1 + c2 x + c3 y = [1, x, y] ⎣ c2 ⎦ = p(x, y) c , (7.110) c3 worin p (x, y) ein lineares Polynom in x und y darstellt. Da wir ur die unbekannten Knotenin (7.105) die Ansatzfunktionen Ni f¨

Abb. 7.27

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

443

absenkungen wi ben¨ otigen, m¨ ussen wir (7.110) noch umformen. Dazu setzen wir die Koordinaten der drei Knoten ein und erhalten ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ w1 1 x1 y1 c1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢w ⎥ = ⎢1 x y ⎥⎢c ⎥ (7.111) → we = H c . 2 2⎦⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ w3 1 x3 y3 c3 Wenn die drei Knoten nicht auf einer Geraden liegen, ist H nichtsingul¨ ar, und wir k¨ onnen nach c auﬂ¨ osen: c = H −1 we . Mit (7.110) ergibt sich dann die gesuchte Form (7.106): w ˜ = p(x, y)H −1 we = N (x, y)we .

(7.112)

Damit ist der Ansatz N explizit bestimmt. Die Ausrechnung liefert mit 2Ωe = det H N (x, y) =

1 {b0 + bx x + by y} 2 Ωe

(7.113)

mit den Matrizen ⎡ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ x2 y3 − x3 y2 y2 − y3 x3 − x2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ b0 = ⎣ x3 y1 − x1 y3 ⎦, bx = ⎣ y3 − y1 ⎦, by = ⎣ x1 − x3 ⎦. (7.114) x1 y2 − x2 y1 y 1 − y2 x2 − x1 Damit k¨ onnen jetzt auch die Ableitungen der Ansatzfunktion nach x und y angegeben werden: 1 ∂N = bx , ∂x 2 Ωe

1 ∂N = by . ∂y 2 Ωe

Wir erhalten f¨ ur die B-Matrix ⎡ ⎤ T 1 ⎢ bx ⎥ B= ⎣ ⎦. 2 Ωe bTy

(7.115)

(7.116)

F¨ ur die Elementsteiﬁgkeitsmatrix folgt damit nach (7.109)

1 (bx bTx + by bTy ) dΩ . (7.117) ke = B T B dΩ = 4 Ωe2 Ωe

Ωe

444

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Da sowohl bx als auch by konstant sind, ist die Integration elementar. Sie liefert f¨ ur das dreiknotige Membranelement die Steiﬁgkeitsmatrix 1 (bx bTx + by bTy ) . (7.118) 4 Ωe onnen wir f¨ ur p¯ = const Auch den Lastvektor pe = N T p¯ dΩ k¨ exakt integrieren und erhalten mit (7.113) ke =

⎡ ⎤ 1 p¯ Ωe ⎢ ⎥ pe = ⎣1⎦. 3 1

(7.119)

In einem Anwendungsbeispiel berechnen wir im folgenden die Absenkung einer L-f¨ ormigen Membran (Dicke t = 0,01 m) unter einer gleichf¨ ormigen Fl¨ achenpressung p = 0,1 kPa (Abb. 7.28a). Sie ist am gesamten Rand unverschieblich gelagert. Die konstante Vorspannung in der Membran betr¨ agt σ0 = 5 kPa. Wir w¨ ahlen unterschiedliche Elementaufteilungen und diskutieren die zugeh¨ origen numerischen Ergebnisse. Dabei soll auch die Konvergenz der Methode betrachtet werden. Dazu l¨osen wir das Problem f¨ ur die in den Abbildungen 7.28b–f gegebenen Netze. Die Durchsenkung wurde mittels eines Finite-Element-Programms berechnet, in dem das vorgestellte Element implementiert ist. Die Diskretisierungen in Abb. 7.28b (Typ A) und Abb. 7.28c (Typ B) unterscheiden sich weder in der Element- noch in der Knotenanzahl, sondern nur in der Art der Aufteilung. Die L-f¨ormige Membran ist aus vier Quadraten der Kantenl¨ ange 5 m zusammengesetzt. Als Verfeinerungsparameter ist die Anzahl N der Elementseiten pro Kante eines Quadrats verwendet worden. In Tabelle 7.4 ist die maximale Absenkung w f¨ ur die unterschiedlichen Netze angegeben. Dabei wurde jeweils eine Verdoppelung der Elementanzahl pro Kante gew¨ ahlt, um sicherzustellen, dass die L¨osung mit geringerer Elementanzahl im Ansatzraum des verfeinerten Netzes enthalten ist. Man sieht, dass die Dreieckselemente trotz gleicher Elementanzahl bei Typ A und B unterschiedliche Ergebnisse

7.6

Abb. 7.28

Methode der ﬁniten Elemente

445

446

7 Numerische Methoden in der Mechanik Tabelle 7.4 Maximale Durchsenkung der L-f¨ ormigen Membran

Verfeinerungsparameter N

Typ A

Typ B

max w [m]

max w [m]

2

6,87 ·10−1

6,19 ·10−1

4

7,15 ·10−1

7,01 ·10−1

8

7,45 ·10−1

7,42 ·10−1

16

7,52 ·10−1

7,52 ·10−1

liefern. Die L¨ osung h¨ angt also von der Orientierung der Dreieckselemente im Netz ab. Dieses Verhalten korrigiert sich erst mit wachsender Elementanzahl, bei der dann die L¨osung gegen einen Endwert konvergiert. Damit stellen wir fest, dass die Methode zwar unabh¨ angig von der Diskretisierung konvergiert, aber f¨ ur geringere Elementanzahl eine Abh¨ angigkeit der L¨osung von der Orientierung vorhanden ist. Abbildung 7.28g zeigt die L¨ osung auf der Basis des feinsten achen gleicher Durchsenkung Netzes als Konturplot, bei dem Fl¨ mit gleichen Graut¨ onen gef¨ arbt sind. Damit kann man sich den Verlauf der Durchsenkung im gesamten Gebiet der Membran veranschaulichen. Es soll noch angemerkt werden, dass die Berechnung der Durchsenkung auch beim feinsten Netz (2048 Elemente, 945 Unbekannte) nur wenige Sekunden dauert.

7.6.6.2 Finite Elemente in der Elastizit¨ atstheorie

In diesem Abschnitt wird die FE-Formulierung f¨ ur Randwertprobleme der Elastostatik beschrieben, deren theoretischer Hintergrund im Kapitel 2 behandelt wurde. Wir beschr¨anken uns hier der Einfachheit halber auf den ebenen Spannungszustand und isotropes Materialverhalten.

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

447

Bevor wir mit der FE-Formulierung beginnen, wollen wir hier noch einmal die Gleichungen der linearen Elastizit¨atstheorie zusammenstellen, die in die FEM eingehen. Neben der kinematischen Beziehung (2.46) εij = 12 (ui,j + uj,i )

(7.120)

ben¨ otigen wir das Elastizit¨ atsgesetz (2.58) σij = Eijkl εkl

(7.121)

und die schwache Formulierung des Gleichgewichts (vgl. (2.143))

δΠ = δεij σij dΩ − δui fi dΩ − δui t∗i dΓ = 0 . (7.122) Ω

Ω

Γ

Hinzu kommen noch die Randbedingungen f¨ ur die Verschiebungen ∗ ui = ui , falls diese auf Teilen des Randes vorgegeben sind. F¨ ur die FE-Formulierung ist es zweckm¨ aßig, diese Gleichungen in Matrixform zu schreiben. Wir erhalten dann f¨ ur die kinematische Beziehung (2.87) ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ∂u/∂x εxx ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε = ⎣ εyy ⎦ = ⎢ (7.123) ⎥ ∂v/∂y ⎣ ⎦ γxy ∂u/∂y + ∂v/∂x und f¨ ur das Elastizit¨ atsgesetz (2.86b) ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ 1 ν 0 σxx ⎥ E ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ν 1 0 ⎥ ⎣ σyy ⎦ = ⎣ ⎦ → 2 1−ν 1−ν 0 0 τxy

σ = E ε.

(7.124)

2

Mit dem Verschiebungsvektor u = [u, v]T , den Volumenkr¨aften achenbelastungen t∗ = [t∗x , t∗y ]T lauf = [fx , fy ]T und den Oberﬂ¨ tet dann die schwache Form des Gleichgewichts

δΠ = δεT σ dΩ − δuT f dΩ − δuT t∗ dΓ = 0 . (7.125) Ω

Ω

Γ

448

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Wir gehen wieder davon aus, dass das der Aufgabenstellung zugrunde liegende Gebiet Ω durch ne ﬁnite Elemente der Fl¨ache Ωe diskretisiert wird: ˜ = Ω ≈Ω

ne =

Ωe .

(7.126)

e=1

Da in (7.125) nur erste Ableitungen der Verschiebungen auftreten, haben wir die gleichen Stetigkeitsanforderungen an die Ansatzfunktionen wie bei der Membrangleichung. Die C 0 -Stetigkeit erlaubt uns als niedrigste Ansatzordnung die Wahl von Polynomen, die linear in x und y sind. Wir k¨ onnten als einfachstes Element wieder das Dreieckselement mit drei Knoten verwenden. Da es sich jedoch herausgestellt hat, dass dieses Element nur sehr schlechte N¨ aherungen liefert, wollen wir diese M¨ oglichkeit nicht betrachten. Wir wollen hier vielmehr ein allgemeines Viereckselement herleiten, welches in der Lage ist, beliebige Geometrien zu approximieren. Dies ist m¨ oglich, wenn man das sogenannte isoparametrische Konzept zugrunde legt. Hierbei werden alle Feldgr¨oßen und die ¯ mit dem loGeometrie auf ein quadratisches Referenzelement Ω kalen ξ, η-Koordinatensystem abgebildet (Abb. 7.29a). Es werden sowohl die Geometrie als auch das Verschiebungsfeld durch gleiche Ans¨ atze approximiert: 4 4 Ni (ξ, η) xi , u ˜= Ni (ξ, η) v i . (7.127) x ˜= i=1

i=1

Darin sind xi die Ortskoordinaten der Knotenpunkte und v i die Knotenverschiebungen. Die Funktionen Ni sind Ansatzfunktio¯ deﬁniert sind. nen, die auf dem Referenzelement Ω

Abb. 7.29

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

449

Unter den verschiedenen M¨ oglichkeiten, isoparametrische Ansatzfunktionen einzuf¨ uhren, wird hier die bilineare Ansatzfunktion Ni = 14 (1 + ξi ξ)(1 + ηi η),

i = 1, 2, 3, 4

(7.128)

angegeben. Darin sind ξi , ηi die Knotenkoordinaten im Referenzelement. Die Ansatzfunktion N1 = 14 (1−ξ)(1−η) ist exemplarisch in Abb. 7.29b dargestellt. Eine Transformation zwischen dem Koordinatensystem ξ, η und dem Koordinatensystem x, y, in dem die Theorie formuliert wurde, kann mittels (7.127) durchgef¨ uhrt werden (siehe Abb. 7.29a). In (7.125) werden f¨ ur ε die Ableitungen des Verschiebungsfeldes ben¨ otigt. Innerhalb des isoparametrischen Konzeptes kann z.B. ∂u ˜ ∂Ni (ξ, η) = vi ∂x ∂x i=1 4

(7.129)

jedoch nicht direkt berechnet werden, da Ni eine Funktion von ξ = [ξ, η], aber nicht von x = [x, y] ist. Man wendet daher die Kettenregel an, um die partiellen Ableitungen von Ni nach x oder y zu bestimmen. Es gilt zun¨ achst ⎫ ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y ⎪ ∂Ni ⎪ = + ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ⎬ ∂Ni ∂Ni =J . → ∂ξ ∂x ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y ⎪ ∂Ni ⎪ ⎭ = + ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η Da die Ableitungen nach x und nach y gesucht sind, m¨ ussen wir diese Beziehung invertieren. Dies liefert ∂Ni ∂Ni = J −1 ∂x ∂ξ ⎡ ∂N ⎤ i

→

⎡

∂y ∂η

⎢ ∂x ⎥ 1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ∂N ⎦ = det J ⎣ ∂x i − ∂y ∂η

−

∂y ⎤⎡ ∂Ni ⎤ ∂ξ ⎥⎢ ∂ξ ⎥ ⎥⎢ ⎥, (7.130) ∂x ⎦⎣ ∂Ni ⎦ ∂ξ ∂η

wobei J die Jacobimatrix der Transformation zwischen den Linienelementen dξ, dη und dx, dy in den beiden Koordinatensystemen ist. F¨ ur das Fl¨ achenelement gilt dx dy = det J dξ dη. Man

450

7 Numerische Methoden in der Mechanik

beachte, dass die Ableitungen z.B. von x nach ξ in (7.130) berechenbar sind, da wir f¨ ur die Koordinate x im Element Ωe den Ansatz (7.127) gew¨ ahlt haben: ∂x ∂Ni (ξ, η) = xi . ∂ξ ∂ξ i=1 4

Hiermit und mit (7.127) und (7.130) k¨ onnen wir ε nach (7.123) approximieren: ⎤ ⎡ ∂Ni 0 ⎥ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ 4 ⎢ ∂N i ⎥ ⎥. ˜= 0 B i vi mit Bi = ⎢ (7.131) ε ⎢ ∂y ⎥ ⎥ ⎢ i=1 ⎣ ∂Ni ∂Ni ⎦ ∂y ∂x Analog erh¨ alt man f¨ ur die virtuellen Verzerrungen δ ε˜ =

4

B i δv i .

(7.132)

i=1

Mit der Einf¨ uhrung der Matrix B = [B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ] und der Matrix der Knotenverschiebungen am Element v e = [u1 , v1 , u2 , v2 , u3 , v3 , u4 , v4 ]T l¨ asst sich (7.132) auch als δ ε˜ = B δv e

(7.133)

schreiben. Ebenso k¨ onnen die Ansatzfunktionen in der Matrix ⎤ ⎡ N1 0 N2 0 N3 0 N4 0 ⎦ N =⎣ 0 N1 0 N2 0 N3 0 N4 zusammengefasst werden. Damit kann die Approximation (7.127) der Verschiebungen im Element kurz durch u ˜ = N ve

(7.134)

7.6

Methode der ﬁniten Elemente

451

ausgedr¨ uckt werden. Das Einsetzen von (7.133) und (7.134) in (7.125) liefert mit (7.126)

/

ne = T T T ∗ T δv e B σ dΩ − N f dΩ − N t dΓ = 0 . (7.135) e=1

Ωe

Ωe

Γe

In dieser Gleichung kann σ mit dem Elastizit¨atsgesetz (7.124) durch ε ausgedr¨ uckt werden. Dann ergibt das erste Integral in (7.135) die Elementsteiﬁgkeitsmatrix:

ke = B T E B dΩ . (7.136) Ωe

Die letzten beiden Terme in (7.135) stellen den Elementlastvektor dar:

T pe = N f dΩ + N T t∗ dΓ . (7.137) Ωe

Γe

Die Integration in (7.136) l¨ asst sich nur noch f¨ ur Rechteckelemente analytisch durchf¨ uhren. Aus diesem Grund wird in der Regel die numerische Integration zur Berechnung der Steiﬁgkeitsmatrix und des Lastvektors angewandt. Wegen ihrer hohen Genauigkeit verwendet man die Gauß-Integration (Abschnitt 7.5.4), die sich auf zweidimensionale Integrale erweitern l¨asst:

+1 +1 np nq g(ξ, η) dξ dη = g(ξp , ηq ) wp wq . −1

−1

p=1 q=1

Hierin sind np bzw. nq die Zahl der Gauß-Punkte in ξ- bzw. ηRichtung. Fehlerbetrachtungen zeigen, dass f¨ ur die bilinearen isoparametrischen Vierknotenelemente eine 2 × 2 Integration ausreicht, so √dass die Steiﬁgkeitsmatrix an den vier Gauß-Punkten √ ξp = ±1/ 3 und ηq = ±1/ 3 mit wp = wq = 1 auszuwerten ist. Mit dΩ = dx dy = det J dξ dη erhalten wir zun¨achst aus (7.136)

+1 +1 B T (ξ, η) E B(ξ, η) det J (ξ, η) dξ dη. ke = −1

−1

452

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Hieraus folgt durch numerische Integration die Elementsteiﬁgkeitsmatrix: ke ≈

2 2

B T (ξp , ηq ) E B(ξp , ηq ) det J (ξp , ηq ) .

(7.138)

p=1 q=1

In gleicher Weise k¨ onnen wir beim Elementlastvektor vorgehen. Wenn wir ein Scheibenproblem mit dieser Elementformulierung l¨ osen wollen, so wird zun¨ achst die zu berechnende Struktur diskretisiert. Der anschließende Zusammenbau der Elementsteiﬁgkeitsmatrizen und -lastvektoren nach (7.71) liefert dann das Gleichungssystem (7.72) f¨ ur die unbekannten Verschiebungen. In den meisten F¨ allen ist der Ingenieur jedoch mehr an den Spannungen als an den Verschiebungen interessiert. Die Spannungen lassen sich mittels (7.131) und (7.124) aus der Knotenverschiebung bestimmen (R¨ uckrechnung): σ(ξ, η) = E B(ξ, η) v e .

(7.139)

Untersuchungen haben gezeigt, dass es hinsichtlich der Genauigkeit optimale Punkte zur Auswertung der Spannungen innerhalb eines Elementes gibt. Im Falle des Vierknotenelementes ist dies der Mittelpunkt: σ(0, 0) = E B(0, 0) v e . In einem Anwendungsbeispiel wollen wir die gelochte Scheibe unter Zugbeanspruchung nach Abb. 7.30a behandeln. Es sollen die maximale Verschiebung in y-Richtung und die maximale Spannung σyy bestimmt werden. Als Materialkonstanten werden E = 21 000 MPa und ν = 0,3 gew¨ ahlt. Da die Geometrie doppelte Symmetrie aufweist, brauchen wir nur ein Viertel der Scheibe zu diskretisieren. Dabei m¨ ussen allerdings die sich aus der Symmetrie ergebenden Randbedingungen (u(0, y) = 0 und v(x, 0) = 0) beachtet werden. Aus der analytischen L¨ osung f¨ ur die unendlich ausgedehnte Scheibe mit Loch wissen wir, dass in der N¨ ahe des Loches die gr¨oßten Spannungen auftreten (Abschn. 2.5.3.4). Da sich die Spannungen in diesem

7.6

y

Abb. 7.30

6 -

x

Methode der ﬁniten Elemente

453

454

7 Numerische Methoden in der Mechanik

Bereich außerdem stark ¨ andern, ist es sinnvoll, in der N¨ahe des Loches eine feinere Elementaufteilung zu w¨ ahlen. Dies liefert dann eine bessere N¨ aherungsl¨ osung. Wir wollen f¨ unf verschiedene FE-L¨ osungen vergleichen, die sich aus einer regelm¨ aßigen Verfeinerung des Netzes ergeben. Dazu unterteilen wir die Viertelscheibe in 8, 32 (Abb. 7.30b), 128 (Abb. 7.30c), 512 und 2048 ﬁnite Elemente. Die verformte Scheibe ist f¨ ur die Elementeinteilung mit 128 Elementen in Abb. 7.30d dargestellt, wobei die Verschiebungen stark vergr¨ oßert sind. Man sieht, dass aufgrund der Querkontraktion die Verschiebung u rechts von der vertikalen Symmetrieachse u ¨berall negativ ist und sich das Loch ovalisiert. Die maximale Verschiebung v tritt in der Mitte des oberen (unteren) Scheibenrandes auf. Abb. 7.30e zeigt einen Konturplot der Spannung σyy und die Konzentration der Spannung am Loch. Die maximale Spannung tritt am Lochrand auf. Die Ergebnisse f¨ ur die unterschiedlichen Netze sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Elemente

max v [mm]

max σyy [MPa]

8

5,60 ·10−4

1,59

32

−4

2,23

5,81 ·10

−4

2,78

5,83 ·10

−4

3,09

−4

3,25

128 512 2048

5,74 ·10

5,83 ·10

Die Verschiebungen konvergieren schnell zu einem Endwert. Die Spannungen hingegen konvergieren viel langsamer. Der Grund hierf¨ ur liegt darin, dass die Spannungen aus den Ableitungen der Ansatzfunktionen bestimmt und damit schlechter approximiert werden. Die Konvergenzstudie zeigt, dass bei einer ingenieurpraktischen Anwendung, bei der ein Fehler von ≈ 10% zugelassen wird, nur 8 Elemente ausreichen, um die Verschiebungen zu approximieren, w¨ ahrend man bei den Spannungen mindestens 128 Elemente ben¨ otigt.

7.7

Weiterf¨ uhrende Literatur

455

7.7 Weiterf¨ uhrende Literatur Bathe, K.J., Finite-Elemente-Methoden, Springer, Berlin 2002 Hughes, T.R.J., The Finite Element Method, Prentice Hall, New York 2000 Knothe, K., Wessels, H., Finite Elemente, Springer, Berlin 1991 Kr¨ atzig, W.B., Basar, Y., Tragwerke 3, Theorie und Anwendung der Finiten Elemente, Springer, Berlin 1997 Meis, T., Markowitz, U., Numerische Behandlung partieller Diﬀerentialgleichungen, Springer, Berlin 1978 Schwetlick, H., Kretschmar, H., Numerische Verfahren f¨ ur Naturwissenschaftler und Ingenieure, Fachbuchverlag, Leipzig 1991 Stoer, J., Bulirsch, R., Numerische Mathematik, Springer, Berlin 1990 Wriggers, P., Nichtlineare Finite Elemente, Springer, Berlin 2001

7.7

Englische Fachausdr¨ ucke Englisch

Deutsch

acceleration accuracy anisotropy approximate solution approximating interpolation arch Archimedes’ principle area axisymmetric

Beschleunigung Genauigkeit Anisotropie N¨ aherungsl¨ osung N¨ aherungsansatz Bogen Archimedisches Prinzip Fl¨ ache rotationssymmetrisch

backward diﬀerences bar barometer basic equations beam beam element beam theory bending stiﬀness of a plate Bernoulli’s equation bifurcation bifurcation point biharmonic equation body force boundary conditions boundary layer boundary value problem branching branching point brittle buckling buckling load buoyant force

hinterer Diﬀerenzenquotient Stab Barometer Grundgleichungen Balken Balkenelement Balkentheorie Plattensteiﬁgkeit Bernoullische Gleichung Verzweigung Verzweigungspunkt Bipotentialgleichung Volumenkraft Randbedingungen Grenzschicht Randwertproblem Verzweigung Verzweigungspunkt spr¨ ode Beulen, Knicken Beulwert, Knicklast Auftrieb

cable Carnot’s shock loss

Seil, Kabel Carnotscher Stoßverlust

458

Englische Fachausdr¨ ucke

catenary center of pressure central diﬀerences chain rule circular frequency circular plate circumferential stress collocation method collocation point column compatibility condition compliance constitutive law continuity continuity equation continuous system control volume convective acceleration conventional strain convergence convolution integral creep creep function critical load curved beam

Kettenlinie Druckmittelpunkt zentraler Diﬀerenzenquotient Kettenregel Kreisfrequenz Kreisplatte Umfangsspannung Kollokationsverfahren St¨ utzstelle Druckstab Kompatibilit¨ atsbedingung, Vertr¨ aglichkeitsbedingung Nachgiebigkeit Materialgesetz, Stoﬀgesetz Stetigkeit Kontinuit¨ atsgleichung kontinuierliches System Kontrollvolumen konvektive Beschleunigung konventionelle Dehnung Konvergenz Faltungsintegral Kriechen Kriechfunktion kritische Last, Beulwert Bogen

deformation degree of freedom density derivative determinant deviator diﬀerence approximation dilatation discrete system discretization dispersion

Deformation Freiheitsgrad Dichte Ableitung Determinante Deviator Diﬀerenzenquotient Volumendehnung diskretes System Elementaufteilung Dispersion

Englische Fachausdr¨ ucke

displacement displacement element displacement gradient distorsion ductile dynamic pressure dynamic viscosity

Verschiebung Verschiebungselement Verschiebungsgradient Verw¨ olbung duktil, z¨ ah dynamischer Druck dynamische Viskosit¨ at, dynamische Z¨ ahigkeit

eﬀective shear force eigenfrequency eigenfunction eigenvalue eigenvalue problem elastic elastic constants elastic potential elastica elasticity tensor element stiﬀness matrix elliptic integral energy energy conservation energy method energy principles engineering strain equation system equilibrium conditions equilibrium method equilibrium modulus equipotential surface Euler load excentricity excitation frequency

Ersatzquerkraft Eigenfrequenz Eigenform Eigenwert Eigenwertproblem elastisch Elastizit¨ atskonstanten elastisches Potential Elastica Elastizit¨ atstensor Elementsteiﬁgkeitsmatrix elliptisches Integral Energie Energieerhaltung Energiemethode Energieprinzipien konventionelle Dehnung Gleichungssystem Gleichgewichtsbedingungen Gleichgewichtsmethode Gleichgewichtsmodul ¨ Aquipotentialﬂ¨ ache Eulerlast Exzentrizit¨ at Erregerfrequenz

ﬁnite elements ﬂexural vibration ﬂow ﬂuid

ﬁnite Elemente Biegeschwingung Str¨ omung Fluid, Fl¨ ussigkeit

459

460

Englische Fachausdr¨ ucke

ﬂuid element ﬂuid particle forced vibrations forward diﬀerences frame of reference free vibrations friction factor

Fl¨ ussigkeitsteilchen Fl¨ ussigkeitsteilchen erzwungene Schwingungen vorderer Diﬀerenzenquotient Bezugssystem freie Schwingungen Widerstandszahl

Gauß quadrature global Green’s function grid point

Gauß-Integration global Greensche Funktion Gitterpunkt

harmonic equation harmonic operator harmonic waves heat conduction hereditary integral homogeneous Hooke’s law hoop stress hydraulic jump hydraulics hydrodynamics hydrostatic stress state hydrostatics

Potentialgleichung Laplace Operator harmonische Wellen W¨ armeleitung Faltungsintegral homogen Hookesches Gesetz Umfangsspannung Wassersprung Hydraulik Hydrodynamik hydrostatischer Spannungszustand Hydrostatik

ideal ﬂuid imperfection imperfection method incident wave incompressible index notation inertia force inhomogeneous initial condition initial value problem integration by parts integration method

ideale Fl¨ ussigkeit Imperfektion Imperfektionsmethode einfallende Welle inkompressibel Indexnotation Tr¨ agheitskraft inhomogen Anfangsbedingung Anfangswertproblem partielle Integration Integrationsverfahren

Englische Fachausdr¨ ucke

461

interpolation function invariants inviscid ﬂuid irrotational ﬂow isoparametric element isoparametric shape functions isotropy

Ansatzfunktion Invarianten reibungsfreie Fl¨ ussigkeit wirbelfreie Str¨ omung isoparametrisches Element isoparametrische Ansatzfunktionen Isotropie

kinematic relation kinematically admissible kinematics kinetic energy kinetic method

kinematische Beziehung kinematisch zul¨ assig Kinematik kinetische Energie kinetische Methode

laminar ﬂow Laplace’s operator limit load liquid load vector load-deﬂection curve local logarithmic strain

laminare Str¨ omung Laplace Operator Grenzlast, Traglast Fl¨ ussigkeit Lastvektor Last-Verformungskurve lokal logarithmische Dehnung, nat¨ urliche Dehnung Longitudinalschwingung

longitudinal vibration mapping mass ﬂux material acceleration material coordinate material point matrix membrane membrane stress metacenter Mohr’s circle momentum multi-step method

Abbildung Massenstrom materielle Beschleunigung, substantielle Bescheunigung materielle Koordinate materieller Punkt Matrix Membran Membranspannung Metazentrum Mohrscher Kreis Impuls Mehrschrittverfahren

natural frequency

Eigenfrequenz

462

Englische Fachausdr¨ ucke

natural strain

nonlinear normal stress numerical damping numerical integration

nat¨ urliche Dehnung, logarithmische Dehnung Newtonsche Fl¨ ussigkeit Knotenverschiebungen Knotenverdrehung Knotenfreiwert Knoten nominelle Spannung, konventionelle Spannung nichtlinear Normalspannung numerische D¨ ampfung numerische Integration

one-step method open channel ordinary diﬀerential equation orthogonal relation orthotropy oscillation

Einschrittverfahren Gerinne gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung Orthogonalit¨ atsrelation Orthotropie Schwingung

partial diﬀerential equation Pascal’s paradox pathline period phase velocity plane strain plane stress plastic ﬂow plastic hinge plastic moment plastic strain plastic tangent modulus plasticity plate plate element Poisson’s equation Poisson’s ratio

partielle Diﬀerentialgleichung hydrostatisches Paradoxon Bahnlinie Periode, Schwingungsdauer Phasengeschwindigkeit ebener Verzerrungszustand ebener Spannungszustand plastisches Fließen Fließgelenk vollplastisches Moment plastische Dehnung plastischer Tangentenmodul Plastizit¨ at Platte Plattenelement, Scheibenelement Poissonsche Diﬀerentialgleichung Querkontraktionszahl

Newtonian ﬂuid nodal displacements nodal rotation nodal value node nominal stress

Englische Fachausdr¨ ucke

postbuckling behaviour potential energy pressure pressure loss principal axis principal axis transformation principal strain principal stress principle of energy principle of linear momentum principle of work and energy

Nachbeulverhalten, Nachknickverhalten potentielle Energie Druck Druckverlust Hauptachse Hauptachsentransformation Hauptdehnung Hauptspannung Energiesatz Impulssatz Arbeitssatz

quadrilateral element

Viereckselement

reﬂected wave relaxation function relaxation spectrum relaxation time resonance retardation function retardation spectrum retardation time Reynolds number rope rotation tensor rotational ﬂow

reﬂektierte Welle Relaxationsfunktion Relaxationsspektrum Relaxationszeit Resonanz Retardationsfunktion Retardationsspektrum Retardationszeit Reynoldszahl Seil Drehtensor wirbelbehaftete Str¨ omung

shape function shear ﬂow shear stiﬀness shear stress shear viscosity shell shock loss sign convention snap-through snap-through buckling solution

Ansatzfunktion Scherstr¨ omung, Schubﬂuß Schubsteiﬁgkeit Schubspannung Scherz¨ ahigkeit Schale Stoßverlust Vorzeichenkonvention Durchschlagen Durchschlagproblem L¨ osung

463

464

Englische Fachausdr¨ ucke

stability stable stagnation point stagnation pressure standard linear solid static pressure statically admissible steady ﬂow stiﬀness stiﬀness matrix strain strain energy strain hardening strain rate strain tensor stream ﬁlament streamline streamtube stress components stress function stress state stress tensor stress vector string summation convention surface traction system of equations

Stabilit¨ at stabil Staupunkt Staudruck, Gesamtdruck linearer Standardk¨ orper statischer Druck statisch zul¨ assig station¨ are Str¨ omung Steiﬁgkeit Steiﬁgkeitsmatrix Dehnung Form¨ anderungsenergie Verfestigung Dehnungsgeschwindigkeit Verzerrungstensor Stromfaden Stromlinie Stromr¨ ohre Spannungskomponenten Spannungsfunktion Spannungszustand Spannungstensor Spannungsvektor Saite Summationskonvention Oberﬂ¨ achenbelastung Gleichungssystem

tangent modulus Taylor series tension test thermal strains thermal stresses three-parameter solid time step torsion torsional vibration triangular element

Tangentenmodul Taylorreihe Zugversuch Temperaturdehnungen Temperaturspannungen linearer Standardk¨ orper Zeitschritt Torsion Torsionsschwingung Dreieckselement

Englische Fachausdr¨ ucke

465

truss element turbulent ﬂow

Stabelement turbulente Str¨ omung

unconditional stable method unidirectional ﬂow unit vector unstable unsteady ﬂow

unbedingt stabiles Verfahren Schichtenstr¨ omung Einheitsvektor instabil instation¨ are Str¨ omung

variational formulation velocity velocity ﬁeld vibration vibration period virtual displacement virtual work viscoelastic viscosity viscous ﬂuid volume ﬂux volume strain vorticity vector

Variationsformulierung Geschwindigkeit Geschwindigkeitsfeld Schwingung Schwingungsdauer virtuelle Verschiebung virtuelle Arbeit viskoelastisch Viskosit¨ at, Z¨ ahigkeit z¨ ahe Fl¨ ussigkeit Volumenstrom Volumendehnung Wirbelvektor

warping wave wave equation wave length wave velocity weighted residuals weighting function work work hardening

Verw¨ olbung Welle Wellengleichung Wellenl¨ ange Wellenfortpﬂanzungsgeschwindigkeit gewichtete Residuen Wichtungsfunktion Arbeit Verfestigung

yield stress yield surface Young’s modulus

Fließspannung Fließﬂ¨ ache Elastizit¨ atsmodul

466

Englische Fachausdr¨ ucke

Deutsch

Englisch

Abbildung Ableitung Anfangsbedingung Anfangswertproblem Anisotropie Ansatzfunktion ¨ Aquipotentialﬂ¨ ache Arbeit Arbeitssatz Archimedisches Prinzip Auftrieb

mapping derivative initial condition initial value problem anisotropy interpolation function, shape function equipotential surface work principle of work and energy Archimedes’ principle buoyant force

Bahnlinie Balken Balkenelement Balkentheorie Barometer Bernoullische Gleichung Beschleunigung Beulen Beulwert Bezugssystem Biegeschwingung Bipotentialgleichung Bogen

pathline beam beam element beam theory barometer Bernoulli’s equation acceleration buckling buckling load, critical load frame of reference ﬂexural vibration biharmonic equation curved beam, arch

Carnotscher Stoßverlust

Carnot’s shock loss

Deformation Dehnung Dehnungsgeschwindigkeit Determinante Deviator Dichte Diﬀerenzenquotient diskretes System Dispersion

deformation strain strain rate determinant deviator density diﬀerence approximation discrete system dispersion

Englische Fachausdr¨ ucke

467

Drehtensor Dreieckselement Druck Druckmittelpunkt Druckstab Druckverlust duktil Durchschlagen Durchschlagproblem dynamische Viskosit¨ at dynamische Z¨ ahigkeit dynamischer Druck

rotation tensor triangular element pressure center of pressure column pressure loss ductile snap-through snap-through buckling dynamic viscosity dynamic viscosity dynamic pressure

ebener Spannungszustand ebener Verzerrungszustand Eigenform Eigenfrequenz Eigenfunktion Eigenwert Eigenwertproblem einfallende Welle Einheitsvektor Einschrittverfahren Elastica elastisch elastisches Potential Elastizit¨ atskonstanten Elastizit¨ atsmodul Elastizit¨ atstensor Elementaufteilung Elementsteiﬁgkeitsmatrix elliptisches Integral Energie Energieerhaltung Energiemethode Energieprinzipien Energiesatz Erregerfrequenz

plane stress plane strain eigenfunction natural frequency, eigenfrequency eigenfunction eigenvalue eigenvalue problem incident wave unit vector one-step method elastica elastic elastic potential elastic constants Young’s modulus elasticity tensor discretization element stiﬀness matrix elliptic integral energy energy conservation energy method energy principles principle of energy excitation frequency

468

Englische Fachausdr¨ ucke

Ersatzquerkraft erzwungene Schwingungen Eulerlast Exzentrizit¨ at

eﬀective shear force forced vibrations Euler load excentricity

Faltungsintegral

convolution integral, hereditary integral ﬁnite elements area yield surface plastic hinge yield stress ﬂuid ﬂuid, liquid ﬂuid particle, ﬂuid element strain energy free vibrations degree of freedom

ﬁnite Elemente Fl¨ ache Fließﬂ¨ ache Fließgelenk Fließspannung Fluid Fl¨ ussigkeit Fl¨ ussigkeitsteilchen Form¨ anderungsenergie freie Schwingungen Freiheitsgrad Gauß-Integration Genauigkeit Gerinne Gesamtdruck Geschwindigkeit Geschwindigkeitsfeld gewichtete Residuen gew¨ ohnliche Diﬀerentialgleichung Gitterpunkt Gleichgewichtsbedingungen Gleichgewichtsmethode Gleichgewichtsmodul Gleichungssystem global Greensche Funktion Grenzlast Grenzschicht Grundgleichungen

Gauß quadrature accuracy open channel stagnation pressure velocity velocity ﬁeld weighted residuals ordinary diﬀerential equation grid point equilibrium conditions equilibrium method equilibrium modulus equation system, system of equations global Green’s function limit load boundary layer basic equations

Englische Fachausdr¨ ucke

harmonische Wellen Hauptachse Hauptachsentransformation Hauptdehnung Hauptspannung hinterer Diﬀerenzenquotient homogen Hookesches Gesetz Hydraulik Hydrodynamik Hydrostatik hydrostatischer Spannungszustand hydrostatisches Paradoxon

harmonic waves principal axis principal axis transformation principal strain principal stress backward diﬀerences homogeneous Hooke’s law hydraulics hydrodynamics hydrostatics hydrostatic stress state Pascal’s paradox

ideale Fl¨ ussigkeit Imperfektion Imperfektionsmethode Impuls Impulssatz Indexnotation inhomogen inkompressibel instabil instation¨ are Str¨ omung Integrationsverfahren Invarianten isoparametrische Ansatzfunktionen isoparametrisches Element Isotropie

ideal ﬂuid imperfection imperfection method momentum principle of linear momentum index notation inhomogeneous incompressible unstable unsteady ﬂow integration method invariants isoparametric shape functions isoparametric element isotropy

Kettenlinie Kettenregel Kinematik kinematisch zul¨ assig kinematische Beziehung kinetische Energie kinetische Methode Knicken

catenary chain rule kinematics kinematically admissible kinematic relation kinetic energy kinetic method buckling

469

470

Englische Fachausdr¨ ucke

Knoten Knotenfreiwert Knotenverdrehung Knotenverschiebungen Kollokationsverfahren Kompatibilit¨ atsbedingung kontinuierliches System Kontinuit¨ atsgleichung Kontrollvolumen konvektive Beschleunigung konventionelle Dehnung konventionelle Spannung Konvergenz Kreisfrequenz Kreisplatte Kriechen Kriechfunktion kritische Last laminare Str¨ omung Laplace Operator

node nodal value nodal rotation nodal displacements collocation method compatibility condition continuous system continuity equation control volume convective acceleration conventional strain, engineering strain nominal stress convergence circular frequency circular plate creep creep function critical load

logarithmische Dehnung lokal Longitudinalschwingung L¨ osung

laminar ﬂow harmonic operator, Laplace’s operator load vector load-deﬂection curve standard linear solid, three-parameter solid logarithmic strain local longitudinal vibration solution

Massenstrom Materialgesetz materielle Beschleunigung materielle Koordinate materieller Punkt Matrix Mehrschrittverfahren

mass ﬂux constitutive law material acceleration material coordinate material point matrix multi-step method

Lastvektor Last-Verformungskurve linearer Standardk¨ orper

Englische Fachausdr¨ ucke

471

Membran Membranspannung Metazentrum Mohrscher Kreis

membrane membrane stress metacenter Mohr’s circle

Nachbeulverhalten Nachgiebigkeit N¨ aherungsansatz N¨ aherungsl¨ osung nat¨ urliche Dehnung Newtonsche Fl¨ ussigkeit nichtlinear nominelle Spannung Normalspannung numerische D¨ ampfung numerische Integration

postbuckling behaviour compliance approximating interpolation approximate solution natural strain, logarithmic strain Newtonian ﬂuid nonlinear nominal stress normal stress numerical damping numerical integration

Oberﬂ¨ achenbelastung Orthogonalit¨ atsrelation Orthotropie

surface traction orthogonal relation orthotropy

partielle Diﬀerentialgleichung partielle Integration Phasengeschwindigkeit plastische Dehnung plastischer Tangentenmodul plastisches Fließen Plastizit¨ at Platte Plattenelement Plattensteiﬁgkeit Poissonsche Diﬀerentialgleichung Potentialgleichung potentielle Energie

partial diﬀerential equation integration by parts phase velocity plastic strain plastic tangent modulus plastic ﬂow plasticity plate plate element bending stiﬀness of a plate Poisson’s equation harmonic equation potential energy

Querkontraktionszahl

Poisson’s ratio

Randbedingungen Randwertproblem reﬂektierte Welle

boundary conditions boundary value problem reﬂected wave

472

Englische Fachausdr¨ ucke

reibungsfreie Fl¨ ussigkeit Relaxationsfunktion Relaxationsspektrum Relaxationszeit Resonanz Retardationsfunktion Retardationsspektrum Retardationszeit Reynoldszahl rotationssymmetrisch

inviscid ﬂuid relaxation function relaxation spectrum relaxation time resonance retardation function retardation spectrum retardation time Reynolds number axisymmetric

Saite Schale Scheibenelement Scherstr¨ omung Scherz¨ ahigkeit Schichtenstr¨ omung Schubﬂuß Schubspannung Schubsteiﬁgkeit Schwingung Schwingungsdauer Seil Spannungsfunktion Spannungskomponenten Spannungstensor Spannungsvektor Spannungszustand spr¨ ode Stab Stabelement stabil Stabilit¨ at station¨ are Str¨ omung statisch zul¨ assig statischer Druck Staudruck Staupunkt

string shell plate element shear ﬂow shear viscosity unidirectional ﬂow shear ﬂow shear stress shear stiﬀness vibration, oscillation vibration period, period rope, cable stress function stress components stress tensor stress vector stress state brittle bar truss element stable stability steady ﬂow statically admissible static pressure stagnation pressure stagnation point

Englische Fachausdr¨ ucke

473

Steiﬁgkeit Steiﬁgkeitsmatrix Stetigkeit Stoﬀgesetz Stoßverlust Stromfaden Stromlinie Stromr¨ ohre Str¨ omung St¨ utzstelle substantielle Bescheunigung Summationskonvention

stiﬀness stiﬀness matrix continuity constitutive law shock loss stream ﬁlament streamline streamtube ﬂow collocation point material acceleration summation convention

Tangentenmodul Taylorreihe Temperaturdehnungen Temperaturspannungen Torsion Torsionsschwingung Tr¨ agheitskraft Traglast turbulente Str¨ omung

tangent modulus Taylor series thermal strains thermal stresses torsion torsional vibration inertia force limit load turbulent ﬂow

Umfangsspannung unbedingt stabiles Verfahren

circumferential stress, hoop stress unconditional stable method

Variationsformulierung Verfestigung Verschiebung Verschiebungselement Verschiebungsgradient Vertr¨ aglichkeitsbedingung Verw¨ olbung Verzerrungstensor Verzweigung Verzweigungspunkt Viereckselement virtuelle Arbeit virtuelle Verschiebung

variational formulation strain hardening, work hardening displacement displacement element displacement gradient compatibility condition warping, distorsion strain tensor bifurcation, branching bifurcation point, branching point quadrilateral element virtual work virtual displacement

474

Englische Fachausdr¨ ucke

viskoelastisch Viskosit¨ at vollplastisches Moment Volumendehnung Volumenkraft Volumenstrom vorderer Diﬀerenzenquotient Vorzeichenkonvention

viscoelastic viscosity plastic moment volume strain, dilatation body force volume ﬂux forward diﬀerences sign convention

W¨ armeleitung Wassersprung Welle Wellenfortpﬂanzungsgeschwindigkeit Wellengleichung Wellenl¨ ange Wichtungsfunktion Widerstandszahl wirbelbehaftete Str¨ omung wirbelfreie Str¨ omung Wirbelvektor

heat conduction hydraulic jump wave wave velocity

z¨ ah z¨ ahe Fl¨ ussigkeit Z¨ ahigkeit Zeitschritt zentraler Diﬀerenzenquotient Zugversuch

tough, viscous, ductile viscous ﬂuid viscosity time step central diﬀerences tension test

wave equation wave length weighting function friction factor rotational ﬂow irrotational ﬂow vorticity vector

Sachverzeichnis

475

Sachverzeichnis Airysche Spannungsfunktion 119 Anfangs-bedingungen 213 – -randwertproblem 213, 373 – -wertaufgaben 372, 374 ﬀ. Anisotropie 102, 104 Arbeitssatz 143 ﬀ., 262 Archimedisches Prinzip 14 Auftrieb 13 ﬀ. Ausdehnungskoeﬃzient, thermischer 112 Bahnlinie 34 Balken 157, 235 ﬀ., 358 ﬀ. – -schwingungen 235 ﬀ. – -theorie von Euler-Bernoulli 238 – -theorie von Timoshenko 236, 245 ﬀ. Bauschinger-Eﬀekt 348 bedingt stabil 387 Beltrami-Mitchell-Gleichungen 114 Bernoullische - Gleichung 38 ﬀ., 57 – L¨ osung 218 ﬀ., 225 Beschleunigung –, konvektive 36 –, lokale 36 –, materielle 36 –, substantielle 36 Besselsche - Diﬀerentialgleichung 257, 260, 298, 312 – Funktionen 257, 312 Bettischer Satz 146 ﬀ. Beulen 271, 302 ﬀ. Beul-gleichung 302 ﬀ. – -wert 306 Biege-linie 365 ﬀ. – -schwingungen 235 ﬀ. biegeschlaﬀ 164

Bingham-K¨ orper 350 Bipotentialgleichung 119, 199 Bogen 157, 158 ﬀ. –, momentenfreier 162 ﬀ. Bruchspannung 345 Boolesche Matrix 424 Carnotscher Stoßverlust 59 Cauchysche Formel 75 charakteristische Gleichung 220 Clapeyronscher Satz 146 ﬀ. D¨ ampfung, numerische 383 D’Alembertsche L¨ osung 214 ﬀ. Defekt 374 Deformation 92 ﬀ. Deformationsgeschichte 103, 318 Dehngeschwindigkeit 319 Dehnung 96 –, Haupt- 97 –, konventionelle 345, 347 –, logarithmische 347 –, mittlere 98 –, nat¨ urliche 347 –, plastische 318 –, Temperatur- 111 –, Volumen- 98 Dehnungsrate 319 Deviator 85 ﬀ., 98 –, Spannungs- 86 –, Verzerrungs- 98 Diﬀerentialgleichung – der Biegelinie 325, 366 – der Kettenlinie 169 – der Seillinie 164 –, Laplacesche 118 –, Poissonsche 186

476

Sachverzeichnis

Diﬀerenzenquotient –, hinterer 388 –, vorderer 388, 394 –, zentraler 388, 394, 395 Diﬀerenzen-stern 396 – -verfahren 374, 387 ﬀ. Dilatation 98 Diracsche Delta-Funktion 249, 400 Dispersion 253 Drehtensor, inﬁnitesimaler 95 Druck –, dynamischer 39 – -energie 39 –, geod¨ atischer 40 –, Gesamt- 39 – -h¨ ohe 40 – -mittelpunkt 23 –, statischer 6, 39 –, Stau- 39 – -Verlust 57 – -Verlustzahl 57 Druckstab, imperfekter 299 ﬀ. Durchschlag – -last 284 – -problem 280, 283 ﬀ. dynamische Randbedingungen 401 dynamische Viskosit¨ at 3 dynamisch zul¨ assig 262 ebener – Spannungszustand 115 ﬀ. – Verzerrungszustand 100, 115 ﬀ. Eckkraft 200 Eigen-form 287 – -frequenz 220 – -funktion 220, 307, 373 – -schwingung 220, 254 ﬀ. – -schwingungsform 220 – -wert 220, 243, 273, 287, 373 – -wertaufgabe 372, 414

Einschrittverfahren 374, 376 Elastica 290 ﬀ., 408 elastische Grenzlast 354 elastisches - Grenzmoment 359 – Materialverhalten 103, 317 – Potential 109 Elastizit¨ ats-gesetz 102 ﬀ. –, -konstanten 103, 107 –, -modul 103, 105 –, -modul, momentaner 321 –, -tensor 103 Element-lastvektor 425 ﬀ. – -matrix 422 ﬀ. – -steiﬁgkeitsmatrix 422 ﬀ. Elliptisches Integral 294 Energie –, Druck- 39 –, Form¨ anderungs- 107 ﬀ. –, Gestalt¨ anderungs- 110 – -gleichung der station¨ aren Str¨ omung 39 – -methode 273 ﬀ., 295 ﬀ. – -prinzipien 141 ﬀ., 261 ﬀ., 373 –, Volumen¨ anderungs- 110 Ersatzquerkraft 200 erzwungene Schwingungen 230 ﬀ., 247 Euler-Bernoulli-Balken 238 ﬀ., 252 Euler-Bernoullische Balkentheorie 238 ﬀ. Eulersche Beschreibung 93 Eulersches Polygonzugverfahren 376 ﬀ. explizite Integrationsverfahren 374 ﬀ. Fachwerk 351 ﬀ. Faltungsintegral 341 Fl¨ achentragwerk 157 Fließ-gelenk 360

Sachverzeichnis

– -polyeder 353 – -polygon 353 – -spannung 318 Fl¨ ussigkeit –, ideale 4 –, inkompressible 4 –, Newtonsche 3, 56 –, reibungsfreie 4 –, schwere 7 –, viskose 4 –, z¨ ahe 4, 55 Fl¨ ussigkeits-menge, –, abgeschlossene 33 – -teilchen 33 – -volumen, materielles 33 Fluid 5 Form¨ anderungs-arbeit, speziﬁsche 108 – -energie, speziﬁsche 109 – -energiedichte 107 ﬀ. Formfaktor 360 Frequenz –, Eigen- 220 –, Grund- 220 –, Ober- 220 Galerkin-Verfahren 374, 399 ﬀ. Gauß-Integration 403 geod¨ atischer Druck 39 Gerinne 35, 63 ﬀ. Gesamtdruck 39 Geschwindigkeits-h¨ ohe 40 – -feld 33 Gesetz von Hagen-Poiseuille 62 Gestalt¨ anderung 98 Gestalt¨ anderungsenergie 110 Girlandenkurve 307 Gleichgewichtsbedingungen 87 ﬀ., 113, 116 –, schwache Form der- 144

477

Gleichgewichts-methode 272 ﬀ. –, -modul 321 –, nachgiebigkeit 321, 333 Gleitung 97 globale Steiﬁgkeitsmatrix 425 globale Verschiebungen 424 globaler Lastvektor 425 Greensche Funktion 183 Grenz-last 280, 282, 354 –, -moment, elastisches 359 –, -schicht 57 Grund-frequenz 220, 257, 258, 261 – -schwingung 220, 257, 258, 261 – -spannungszustand 302 Hagen-Poisseuille, Gesetz von 62 harmonische - Funktion 133 – Welle 252 Haupt-achsensystem 79, 85, 97 – -achsentransformation 80 – -dehnungen 97 – -spannungen 79 ﬀ. Heaviside Funktion 323 Helmholtzsche Wellengleichung 255 Hermitesche Polynome 429 hinterer Diﬀerenzenquotient 388 homogenes Material 102 Hookesches Gesetz 102 ﬀ. Hookescher K¨ orper 317 Hydraulik 35 hydraulische H¨ ohe 40 Hydrodynamik 33 ﬀ. Hydrostatik 5 ﬀ. hydrostatischer Spannungszustand 7, 85 hydrostatisches Paradoxon 8 ideale Fl¨ ussigkeit 4 imperfekter Druckstab 299 ﬀ. Imperfektionen 278 ﬀ., 287, 299

478

Sachverzeichnis

implizite Integrationsverfahren 383 ﬀ. Impulssatz 47 ﬀ. Indexnotation 71 ﬀ. inﬁnitesimaler - Drehtensor 95 – Verzerrungstensor 94 ﬀ. inhomogen 102 inkompressible Fl¨ ussigkeiten 4 Instabilit¨ at, numerische 383 instation¨ are Str¨ omung 34 Integrationsverfahren 374 ﬀ. Invarianten 79 ﬀ., 86, 97 isoparametrische Ansatzfunktionen 448 Isotropie 102, 104 ﬀ.

–, materielle 92 –, Orts- 92 – -transformation 76 ﬀ. Kreis-bogentr¨ ager 159, 160 – -platte 204 ﬀ., 311 ﬀ. Kriechen 349 Kriechfunktion 320, 323, 329, 333, 335, 339, 342 kritische Last 271, 273 Kronecker-Symbol 74 Kugel-schale 191 – -tensor 86, 98

Lagrange-Funktion 264 Lagrangesche Beschreibung 92 Lam´esche - Gleichungen 114 Kelvin-Voigt-Gruppe 337 ﬀ. – - Konstanten 105 – -K¨ orper 322 ﬀ. laminare Str¨ omung 60 Kettenlinie 169 ﬀ. Laplace-Operator 118, 119, 120 kinematisch zul¨ assiges Leitstromlinie 37 Verschiebungsfeld 142, 262 Linearer Standardk¨ orper 331 ﬀ. kinematische Beziehungen 113, 116 Linientragwerk 157 kinematische Randbedingungen logarithmische Dehnung 347 144, 297, 401 lokale Verschiebungen 424 kinetische Methode 274 lokale Beschleunigung 36 Kirchhoﬀsche Plattengleichung 199 Longitudinalschwingungen 224 ﬀ. Knicken 271, 290 ﬀ. Ludwiksches Potenzgesetz 347 Knoten 220 Masse, reduzierte 229 – -linie 257 Massenstrom 49 – -verschiebungen 419, 424 materielle Beschleunigung 36 Kollokationsverfahren 399 ﬀ. materielle Koordinaten 92 Kompatibilit¨ atsbedingungen materieller Punkt 33 99 ﬀ., 119 materielles Fl¨ ussigkeitsvolumen 33 Kompressionsmodul 106 Maxwell-Gruppe 337 Kontinuit¨ atsgleichung 37 ﬀ. – -K¨ orper 328 ﬀ. Kontrollvolumen 50 mechanische Randbedingungen konvektive Beschleunigung 36 297 konventionelle Dehnung 345, 347 Mehr-schrittverfahren 374 konventionelle Spannung 345 – -stellenverfahren 389 Koordinaten

Sachverzeichnis

Membran 181, 185 ﬀ. – -element 439 – -schwingungen 254 ﬀ. – -spannungszustand 188 – -theorie 187 Meridian-kraft 189 – -spannung 189 Metazentrum 20 Methode – der ﬁniten Diﬀerenzen 387 ﬀ. – der ﬁniten Elemente 419 ﬀ. – der gewichteten Residuen 398 ﬀ. – von Newton-Cotes 404 Mindeststeiﬁgkeit 299 mittlere Dehnung 98 mittlere Normalspannung 85 Modellrheologie 321 ﬀ. Mohrsche Kreise 79 ﬀ., 81 momentane Nachgiebigkeit 321, 333 momentaner Elastizit¨ atsmodul 321 monoklines Material 111

479

– Instabilit¨ at 383 – Integration 402 ﬀ. Ober-frequenz 220 – -schwingungen 220, 247, 257 Orthogonalit¨ atsrelation 222, 239 Orthotropie 111 Orts-h¨ ohe 40 – -koordinaten 92

Paralleltr¨ ager 172 Pascalsches Paradoxon 8 Petrov-Galerkin-Verfahren 402 Phasengeschwindigkeit 253 Pitotrohr 44 plastische Dehnung 318 plastischer Tangentenmodul 347 plastisches Widerstandsmoment 360 Plastizit¨ at 344 ﬀ. Platte 157, 192 ﬀ. – schubstarre 198, 199 ﬀ. Nachgiebigkeit, momentane 321, 333 Platten-beulen 302 ﬀ. Nachknickkurve 273, 278, 283, 287, – -gleichung 199 – -schwingungen 258 ﬀ. 290 ﬀ. – -steiﬁgkeit 197 Naviersche - Gleichungen 114 – -theorie, Kirchhoﬀsche 198 Randbedingungen 199 – -theorie, ReissnerN-Element-K¨ orper 337 ﬀ. Mindlinsche 197 Neumann-Problem 134 Poissonsche - Diﬀerentialgleichung Neumann-Funktion 312 135, 186 Newmark-Verfahren 384 ﬀ. – Zahl 105 Newton-Cotes-Integration 404 Polygonzugverfahren, Eulersches Newtonsche Fl¨ ussigkeit 3, 56 376 ﬀ. Newtonscher K¨ orper 319, 324 Potential, elastisches 109 Niveauﬂ¨ ache 10, 11 Potentialgleichung 118, 133 Normalkraft 302 Potenzgesetz von - Ludwik 347 Normalspannung 72, 85 – Ramberg-Osgood 348 –, mittlere 85 Prandtl-Rohr 43 nominelle Spannung 345 – -sche Seifenhautanalogie 137 numerische - D¨ ampfung 383

480

Sachverzeichnis

Prinzip, Archimedisches 14 – der virtuellen Arbeiten 148 – der virtuellen Kr¨ afte 149 – der virtuellen Verr¨ uckungen 147 ﬀ. – vom Minimum des Gesamtpotentials 149, 373 – vom Station¨ arwert des Gesamtpotentials 149 – vom Station¨ arwert der LagrangeFunktion 264

Rheologie 321 Ritz, Verfahren von 265, 374, 410 ﬀ. Rotationsschalen 187 ﬀ. Rotationssymmetrie 127 Runge-Kutta-Verfahren 379

Saite 181 ﬀ., 212 ﬀ. Satz - von Betti 146 ﬀ. – - von Clapeyron 146 ﬀ. Schale 157, 187 ﬀ., 287 Schalenmittelﬂ¨ ache 188 Scheibe 115, 157 Querkontraktionszahl 105 Scheibengleichung 119 Radialspannung 89 Scherstr¨ omung 56 Randbedingungen Scherz¨ ahigkeit 3 –, dynamische 401 Schichtenstr¨ omung 60 –, kinematische 144, 297, 401 Schlankheitsgrad 247 –, mechanische 297 Schub-feldtr¨ ager 172 ﬀ. –, nat¨ urliche 144 – -ﬂuß 173 –, Naviersche 199 – -kraft 302 –, restliche 401 – -modul 105 –, statische 297 – -spannung 72 –, wesentliche 144, 401 – -steiﬁgkeit 197 Randst¨ orungen 124 schubstarre Platte 198, 199 ﬀ. Randwertaufgaben 372 schwache Form der GleichgewichtsRayleigh-Quotient 263, 264, 415 bedingung 144 reduzierte Masse 229 Schwingungen 211 ﬀ. reibungsfreie Fl¨ ussigkeit 4 –, Balken- 235 ﬀ. Relaxation 330 –, Biege- 235 ﬀ. Relaxations-funktion 321, 330, 333, –, erzwungene 230 ﬀ., 247 ﬀ. 335, 339, 342 –, Grund- 220, 247, 257, 258, 261 – -spektrum 340 –, Longitudinal- 224 ﬀ. – -zeit 329, 334, 336 –, Membran- 254 ﬀ. Residuum 398, 399 –, Ober- 220, 247, 257 Resonanz 222, 232, 248 –, Platten- 258 ﬀ. Retardations-funktion 320, 323, –, Saiten- 212 ﬀ. 329, 333, 335, 339 –, Torsions- 233 ﬀ. – -spektrum 339 Schwingungs-dauer 218, 220 – -zeit 322, 333, 334, 336 – -form 211 Reynoldszahl 62 – -grad 247

Sachverzeichnis

Seifenhautanalogie, Prandtlsche 137 Seil 157, 164 ﬀ. – -eck 168 – -linie 164, 168 Simpson-Regel 404 Spannung –, Bruch- 345 –, konventionelle 345 –, Meridian- 189 –, mittlere Normal- 85 –, nominelle 345 –, Normal- 72 –, physikalische 346 –, Radial 89 –, Schub- 72 –, Umfangs- 89, 189 –, wirkliche 346 Spannungs-deviator 86 – -Dehnungs-Diagramm 318, 345 ﬀ. – -diﬀerentialgleichungen 114, 118 ﬀ. – -feld, statisch zul¨ assiges 142 – -funktion 118 ﬀ., 135 – -konzentration 127 – -randbedingungen 89, 114 – -resultierende 192, 302 – -tensor 71 ﬀ. – -vektor 71 ﬀ. – -zustand 71 ﬀ. – -zustand, ebener 115 ﬀ. – -zustand, hydrostatischer 7, 85 – -zustand, Membran- 188 speziﬁsche - Form¨ anderungsarbeit 108 – Form¨ anderungsenergie 109 speziﬁsches elastisches Potential 109 spr¨ ode 349 Stab 157

481

Stabilit¨ at 271 ﬀ. Stabknicken 290 ﬀ. Standardk¨ orper, linearer 331 ﬀ. station¨ are Str¨ omung 34, 36 statisch zul¨ assiges Spannungsfeld 142 statischer Druck 6, 39 statische Randbedingungen 297 Stau-druck 39 – -punkt 43 – -rohr 44 Steiﬁgkeitsmatrix 422, 424 ﬀ. Stoßverlust, Carnotscher 59 Streckgrenze 318, 346 Str¨ omung –, instation¨ are 34 –, laminare 60 –, Scher- 56 –, Schichten- 60 –, station¨ are 34, 36 –, turbulente 63 –, wirbelfreie 35 Strom-fadentheorie 36 ﬀ. –, -linien 34 –, -r¨ ohre 36 Str¨ omungsenergie 39, 57 St¨ utzlinie 162, 168 St. Venantsche Torsionstheorie 130 Summationskonvention 73 Superpositionsprinzip 114, 115 Tangentenmodul 347 Temperaturdehnung 111 ﬀ. Tensor –, Kugel- 86 –, Spannungs- 71 ﬀ. –, Verzerrungs- 94 ﬀ. – 2. Stufe 75 – 4. Stufe 103 Testfunktion 144, 262

482

Sachverzeichnis

thermischer Ausdehnungskoeﬃzient 112 Timoshenkosche Balkentheorie 236, 245 ﬀ. Torricellische Ausﬂußformel 40 Torsions-funktion 132 ﬀ., 135 – -moment 193 – -schwingungen 233 ﬀ. – -tr¨ agheitsmoment 136 – -wellen 234 Totlast 146 Traglast 351, 361 turbulente Str¨ omung 63 ¨ Ubergangszeit 322, 333, 334, 336 Umfangs-kraft 189 – -spannung 89, 189 unbedingt stabil 385, 387

– -punkt 273, 285, 286 virtuelle Verschiebung 147 Viskoelastizit¨ at 320 ﬀ. visko-plastisch 350 viskose Fl¨ ussigkeit 4 Viskosit¨ at, dynamische 3 vollplastischer Zustand 359 vollplastisches Moment 360 Volumen-¨ anderungsenergie 110 – -dehnung 98 –, Kontroll- 50 – -strom 38 vorderer Diﬀerenzenquotient 388, 394

Wassersprung 66 Wellen 214 ﬀ. – -ausbreitung 251 ﬀ. – -fortpﬂanzungsgeschwindigkeit Variationsformulierung 373 213, 225, 234 Venturirohr 43 – -gleichung 212 ﬀ., 225, 233, 254 Verfahren von Ritz 265, 374, 410 ﬀ. –, harmonische 252 Verfestigung 318 – -l¨ ange 247, 252 Verfestigungsbereich 318, 345 – -zahl 252 Vergleichsfunktion 144 wesentliche Randbedingungen 144, Verschiebungs-diﬀerentialgleichun401 gen 114, 117, 127 ﬀ. Widerstands-moment, plastisches – -feld, kinematisch zul¨ assiges 142 360 – -gradient 94 – -zahl 62 – -randbedingungen 114 Wirbelvektor 35 Vertr¨ aglichkeitsbedingungen 99 ﬀ. wirkliche Spannung 346 Verwindung 130, 131 z¨ ahe Fl¨ ussigkeit 4, 55 Verw¨ olbungsfunktion 131, 132 ﬀ. Z¨ ahigkeit, dynamische 3 Verzerrung 92 ﬀ., 97 zentraler Diﬀerenzenquotient 388, Verzerrungs-deviator 98 394, 395 – -feld, kinematisch zul¨ assiges 142 Zugfestigkeit 345 – -maß 94 Zul¨ assigkeitsbereich 353 – -tensor 94 ﬀ. Zusammenbau 424 – -zustand, ebener 100, 115 ﬀ. Zylinderschale 191 Verzweigungs-problem 271, 272 ﬀ.