Tehnici de calcul în teoria sistemelor. Vol. 2: Sisteme optimale

t" m0 )

*) necesitatea de a considera un domeniu este impusă de derivatelor funcţiei V,

16

construcţin

w

(adică soluţia unică a ecuaţiei = f(t, x, k(l, x)), iniţia­ lizată în (1 0 , m0 )) este o comandă optimalfL relativă la !il. şi (t 0 , x 0 ). Demonstmţie. Vom aplica lema lui Camtheodory. Pentru aceasta fie introdusă :

L(t,

n (t, x) + H (t, m, y~ (t, x), 1t) = n) + Y? (t, x) +(V~ (t, x), f(t, x, 1t))

x, u) =

= L (t, x, A

lemei lui Camtheodory, unde se· introduce Î.(t, x) = O. Întradevăr L are un minim absolut unic egal cu zero în o'il deoarece

L satisface

L (t,

condiţiile

x, ll) =

> Y? (1,

a;)

n (1,

+ H (t,

=L (t, m, k (t, .r) ) =

a;)

+ H(t,

a;,

yg (t, x),

1t)

>

:r,) Y 0 (1, m), c (t, ,,,, Y"(t, m))) =

+H

Y? (t, x)

0

(t, x,

V~ (t, x) ) =

o

pentru u =/= k (t, m) şi (t, x) E Jlt. Fie atunci "' o comandă admisibilă care o'il -transferă. (t 0 , m0 ) pe S cu 12 - timpul de transfer. Notind cu J indicele de performanţ.ă generat de L şi ~ avem conform lemei menţionate A

O = J (t 0 , .r 0 , w)

=J

(''

A

L (t,

x (t),

·ii (t)) dt

<

'· A

";; J (1 0 , m0 , w) =

('• A

J L(t,

m (t), n (t)) dt

'"

Dar

L(t, m(t), n(t))= Y? (t, x(t)) + (Y~ (t, x(t)), .f(t, x(t) u, (t))+ + L u, x(t), u(t)) :!-c. 200

= Y? (t,

x(IJJ

<

+ v~ (t, x(t)), d:~~> )+

17

+

L(t, x (t), 1t(l)), in toate punctele de continuitate ale h1i 1r(. ). Dr;r primii doi termeni formează ehiar derivati1

totală dV(t, x)(t) aşa că: dl

+ d\'(l,.i'(Ql dl

L(t, X(!), if(l)) = L(t, X (1), 11(1)) şi

ana.Jog

L(t,

x(t), n(t))

= L(t,

a:(l),

11(1))

+ dV(:;1"(t))

Atunci : ' o= J('' L(l,

+ Y(t

= ['' l L (t, x(1), ii(l)) dl ~

'" 11

+

t,t

ro(l1 ) ) - V(t" .'>'0 ) = J(t 0 , x"w)- T"(l., x0 )

";;; J('' L'
x(t), 1f(t)) dl

";;;

(1, '" (1), u(l))dl = J(l., x" <->) -

'"

Consecinţe

1.

o=

J(t., ,",., w) -

r(t., ce,) f9

V(t" x 0 ) = J(l., x., 2. Dacă IE[I., 11 ] atunci (1, x(t)) şi &t, iar

vu, după

w este

w) optimală

relr;tiv la

x(t)) = J(t, x(t), w)

cum imediat se verifică. Din punct de vedere practic problemr; reg1ării optimale referitoare la &l (deci nu la tot X) se rezolvă (dacă este posibil) astfel : - se vede dacă H este regulr;tă referit'or la o'it -se rezolvă (în măsura posibilului) ecuaţia H-J -B, unele V? 1 V~ sînt continue,

111

- se vede

daeă

~: = .f(t,

solutiile

ecuaţiei

x, c (t, ;r,

n (1,

;1')))

=

Ji'(l' m)

transferă orice iniţ-ializare {t 01 ;r~ 0 ) pe 8 printr-o traiectorie integral conf,in'llfrl. in ,\1, iar !t(t) = c(l, m(t), V~ (t, m(t))) est.e o coma.ndă admisibilă. Răspunsul afil·mativ la toate cele trei teste de mai sus rezolvă problema de optim referitoare la !IL Observaţii

1. în general IA ..S este un domeniu astfel ca operaţia de derivare să fie posibil a fi definită. 2. c'ii nu este în general tot X din motive de existenţă a soluţiei ecuaţ.iei H-J -B. Intervine în acest caz aşa­ numita teorie a obstacolului ( [5.7], [5.8]). De obicei o problemă de opt.im global referitoare la tot X se rezolvă JH'in llf1lt,iţionare în diferite regiuni &"'l in care ecuaţ,ia H- J- B are soluţii. 5.1A.

Condiţii

rle necesitate pentru. optim.

l<"ără a intra în miezul acestor condiţii a căror nivel de a.bstra.ctizare a fost împins foarte departe, ne vom mărgini la consceinţele diferenţiale ale ecuaţ.iei lui Bellman şi anume la sistemul hamiltonic, fundamental în problema variaţională pătratică şi tot odată sursa de calcule dintre cele mai dificile în prezent, exprimate de problemele l1ilocale. Vom aborda : Teorema de necesitate [5.1], [5.7], [5.8]. Fie IA c TxX şi 8 C T X X o suprafaţ,[î, astfel încît 8 n IA =/= 0. Dacă sint îndeplinite următoarele condiţii : 1. Pentru fiecare (1, x) E ,9\ exist.ă o comandă optimală relativă la a'it. şi (t, a::). 2. Valoarea optimă corespunzătoare a indicelui de performanţă fiind V0 (t, x) defineşte o functie continuă cu Y? şi V~ continue. 3. Fiecare fază (t, x) din IA şi care nu este pe S are o vecinătate"<' conţinută în IA.

19

4. H(t, m, V~ (t, re), 71} are un minim absolut în raport cn " pentru orice (t, m) E o'lt în "· = lc(t, m); le(.,.) - continuă şi cu derivate parţiale continue in t şi m. Atunci V" verifică ecuaţia H - J - B în o'il. adică V~

+ H'(t,

.v, F~)

Demonstraţ-ie. Fie (1., fCo) E maţia este falsă adică :

+H

=

O

o'il. o fază pentru C[1re afir-

m0 , V~ (1 0 , m0 ) ) >O · Fie 1' o vecinătate a lui (t 0, m0 ) conţinută in &t pentru care inegalitatea este adevărată prin continuitate. Fie ro(t) = cp(t; t., .v0 , w) traiectoria optinmlă eare pleacă din (1 0 , m0) sub acţiunea lui w. Evident 1. V? (t 0 , m0 )

0 (t.,

0

H(t, x(t), 11~ (t, x(t)), u(tll ">H" (t, ro(l), r~ (t, ro(t))),

sau desvoltat L(t, x(t), u(t)) + ( F~(t, ili(t) ), J(t, x(t), 1i(t))) > H' (t, m(t), (1, ii:(t))) ţinînd cont de 1. atîta timp cît (t, ili(t)) E '"\". Vom avea L(t, ili(l), u(t)) + + ">(t, m(t)) + + < (t) unde <(t) >O atîta timp eît apartenenţa la veeinătate este îndeplinită. în final rearanjînd inegalitatea rezultă :

11:

n

-V? (t, m(t))-


L (t,

Integrind de la 10 la t' - momentul în care traieetoria de (t, iii(t)) "înţ.eapă" '"1', rezultă:

fază

ro

0

(t., mo)- 1' (1',

m')

,,

= [ (L(t, iii (t), u (1)) -

<( L(t,

J,,

E

(t)) dt

J'• iii(t), u(t)) dt

Dar traiectoria {(t, ro(t)) 1 t' ~ t < 11} , 11 - momentul de transfer, este optimală în continuare (vezi consecinţa 2 de la teorema de suficienţă) aşa că : V'(t', m') = 1-(1" m1 )

20

+ )'·,..L(t,

x(t), u(t)) dt

Rezultă

în clefinitiv

că

:

.

<

V" (f"' Xo)

),(1., x,)

+

,,

~- L(t, x(t), ii(t))dt = J(t., "'•• w) t,

adică

6i nu este optimală, ceen, ce este absurd.

Fie o vecinătate "'i' a lui (1 0 , x 0 ) pentru care inegalitatea se menţine, adică V~(t, x)

= -

+ L(t,

x, k(t, x))

+ (f(t,

x, k(t, x) ),

V~ (t, x)) =

E(t, ro) cu E (t,x) >O, atîta timp cit (t, x) E"'i'.

Fie acum qi (t) ~ tp(t; t 0, x 0 ) soluţia 1mică (datorită faptului că k( . , . ) este suficient de netedă 4.)) a ecuaţiei

dx -

clt

= f(t,

x, ],, (t, x))

în (t 0 , w0 ). Va rezulta atunci că atîta timp ([t 0 , t']) cît (t, q; (t)) se găseşte în "'l., vom avea iniţializată

L (t,

q; (t), -

le (t, (f(t,

q; (t) )) + E (t) = - Vt" (t, q; (t)) q; (t), k (t, q; (t))), yg (t, q; (t)))

-

integrind ele la t 0 la t' va rezulta V0 (10 , x 0 )

+

E

-

V 0 (t', x') = ( (L (t, ip (t), k(t, ip (!)))

(t)) dt

),,

> [" L

J,,

(t, q; (t), k (t,

+

q; (t)) dt

Fie acum comanda şi traiectoria optimală elin (t', w') 1(111 x 1 ) care va explicita Y 0 (t', x'). Considerînd cele două comenzi w1 = k(., ip(.)) pe [1 0 , t'] şi w2 comanda optimală

21

relativă la (t', m') şi m vom avea prin concatenare (alipire) o comandă wşi o tmiectorie corespunzătoare iii (. ), definite pe [t" 11 ] • .Atunci

1'0 (1 0 ,

x 0)

> ), (t"

+ Jr'' L '·

;v1 )

ceea ce este absmd . .Aşa făcută in toate punctele este satisfăcută şi pe S.

x (t),

(t,

·ii (t)) dt

dar ecuaţia H - J - B este satisinterioare. Prin continuitate ea

Consecinţe esenţiale

1. Valoa.rea comenzii optimale este

u (1) Într-adevăr

k (t,

=

dată

de

x (t))

avem evident

H (t, x(l), Y~ (f, x (t)), u(t))

>

H 0 (t,x, (t), V~(t, x (t)))

Să

presupunem că inegalitatea este strictă pe un interval [1', t"] c [t" t,] .Atunci pe baza ecuaţ.iei H - J - B avem

T'?(t,

x(t) )

+ o

x(tJJ>

+ (5.7)

pentru t E [t', t"] Integrînd pe intervalul respectiv (5.7) avem: 1"

yo (t", m")- Y(t', m')

+ J,, [ L(t,

Explieitînd pe F"(t", m") Y(t', m')

22

<

),(t" Xz)

m(t), iî(t)) dt >O

rezultă că

+ ),, r''L(t,

m(t), ·ii{t)) dt

ceea ce contrazice optimalitatea lui ii(.). Atunci inegalitatea devine egalitate şi datorită unicităţii minimului lui H(t, ro, vg (t, ro), n), conseeinţa este eYidentă. 2. EgalitfLtea rezultată se n1ai poa.te scrie atunei

H(t, w(t), vg(t, x(t)),

11)

> H(t, x(t), YZ

(t, iv(t)), ·ii(l))

pentru orice" EU. ((x(. ), ii(.)) fiind o pereche optoimală). inegalitate exprimă principiul minim11l11i. 3. ii(t) = k(t, x(t) ) este admisibilă datorită netezimii lui k. Să abordăm în fine problema ecuaţiilor canonice. Vom presup1me satisfăcute condiţiile teoremei de necesitate cu menţiunea că condiţia 4. este mai lejeră adică H este regulată referitor la Jl\ 7 iar funcţia c care defineşte minimul unic absolut este cu derivate parţ.iale continue (in mport cu t, ro, y) în Jlt. Evident condiţia 4. de la teorema de necesitate este satisfăcută deoarece k(t, ro) = O(t, x, V~ (1, ro) ). Vom mai presupune că V 0 are derivate parţiale de ordinul 2 oont-in11e în Il\ (adică este suficient de preten· tios netedă). Sii evaluăm H~ (t, x, Jf). Evident

Această

H 0(t, x, y)

= H(t, x,

y, c(t, x, y))

= L(t, re, c(t, x, y)) +

+ (f(t, ro, c(t, x, y)),

y)


x, y)

=

+ f + [[!/, j,.], + [y, .f.J, cvJ

[L7,, c.r'

o.]

= f + [L,. +

Pot apare următoarele cazuri: a) n = o(t, ro, y) este interior lui U. Atunci H,.(t, "'• y, -c(t, m, y)) = O. Cum H = L + (f, y) rezultă că

H.!

iu=c

de unde se vede

= (L,. + [j,., !1]) !"_,= O

că H~ =

1

-

f

*) {,} -produsul tensorial

23

b) În orice vecinătate (vezi ipoteza 3 din teorema de necesitate) a lui (1, m, y) E .iil X R" există cel puţin un punct (t', m', y') astfel incît 11.' = c(t', m', y') este interior lui U. Atunci se obţine prin continuitate rezultatul de la a). c) n = c(t, m, y) este totdeauna pe frontiera lui U. Acum vom face apel la ipoteza că U are frontiera netc
g'(11)=0 i=l, ... ,q
+

q

!;

v,g~

=

O

11

=

c(t, m, y)

i=l

sau scris compact

Dar g(c(t, x, y)) = O implică

De unde O=

[r,; + [j," =[L.

y]

+ [j:,

+ [ v,

c,JI

g.],

y], c,]

[U=O

=O

1 jil=C

Adică

H3 =f Fie acum

ecuaţia

V1(t, m)

24

(5.8)

Hamilton-Jacobi-Bellman

+H

0 (t,

m,

vg(t,

.v)) =O

Derivînd-o în raport cu x

adică ţ.inînd

rezultă:

cont de (5.8)

vr, + [f,

Y~xl

+ H~ =

(5.9)

O

Fie acum o pereche optimală (u(. ), ro(.)) referitoare la o'i\ şi la o iniţializare oarecare şi fie 'fi( . ) definită prin : y(t) = Y~(t, x (t)) şi

fie de asemeni : u(t)

=

k(t, x(t))

=

c(t, ir(t),

Yg(t, x(t))

Atunci

+ [ T" (t,


+ [Ygx(t,

xx

dxj, -df

X·( f )) •

x(t)), f(t, x(t), k(t, x(t)))J = -

T"1,, (f, X~( f ))

+

Hg (t, x(t), !J(t))

ultima egalitate rezultînd din (5.9) De asemenea

~~ = f(t, În

consecinţ.ă

x(t), k(t, x(t)))

u(. ),

ro(.),

=

H: (t, x(t), y(t))

fi(,) = V~(t, ro(.))

satisfilc

ecuaţiile

-d,i' = H',(t, X-( 1), 'lj-( t ) )

dt

-

dy -dt

.

-

H" . X (t,

~( t )' y-( t ))

X

25

eare formează sistemul canonic şi care ~n-eeuatii cu 2n necunoscute adică in cLv

- = H:(t, dt

este un sistem de general

x, y) (5.10)

(ly - · = - H~(t, m, y) clt

satisfi(cnt ~i de traiectoria optimală de st<1re iii(.) .~i de ro stare jj(. ). Să precizăm care sint cele 2n condiţii limită. Evident n condiţii sînt date de m(t 0 ) = m0

parte Y0 (t, m) = J,(t, m) pe S arată că Y0 ( . , . ) - i. (.,.) are pe S ca varietate de nivel, adică este constant pe S. Explicitat avem Pe de

altă

Y0(t, .v) - 1-(t, m) Varietatea

netedă

S este

/(t,,~)=O

=

o,

descrisă

(t, m)

E

S

de

i=l,2, ... ,p";;n+l

.~Uunci gmdientnl lui Y0 ( . , . ) ),(.,.) pe 8 este perpendicular în orice punct (t, m) pe planul tangent din acel punct la 8, adică :

unde ~ ER, z E R", (~, z) fiind un vector tangent arbitrar la S în (t, m). În faza de transfer (i., x,) a traiectoriei optimale ţinînd cont de ecuaţia H -J -B, avem ((- H"(t,

26

x.,

jj,)- J,,(t., iii,), jj, - t-,(1"

x,)),

(~,

z))

=o

care reprezintă condiţiile de transversalitate ~i de asemenea y'(t" x,) =

o ;=

1, ... , 1'

+

Varietatea S fiind (n 1 - p) - dimensională planul tangent în orice punct este (n + 1 - p) - dimensional, deci el este determinat de (~, z)" ... ,(~, z)•+l-v- vectori liniar independenţi. Cu alte cuvinte produsul scalar de mai sus se poate scrie de n 1 - p ori pentru fiecare vector, determinînd n + 1 - p ecuaţii care împreună cu cele p ecuaţii ale varietăţii formează n + 1. ecuaţii care determină pe (1" m1 ). Un caz extrem de important este cel al timpului de transfer t1 - imp11.B. În acest caz avem evident S c R" determinată de

+

y'(t11 x)

= O

i

= 1, ... ,

p <::;

11

C'ondij;iile de transversalitate se reduc la

(y1

1'-,(1" x1 ), z) = O

-

care se scriu de n - p· ori. În concluzie sistemul canonic are în cazul timpului ·de tmnsfer final impuR condiţiile la limită pentru transfer y'(lu x) = O

(y(11 ), z)

ia,>· pentru

iniţializare

i = 1, ... ' 1' .•

= (1,,(1" a·(t 1 )

),

z)

:

5.2. l'ro!Jiema ,·ariajionnlft

l'ătratică

[5.3), [5.4], [5.f>]

O ilustrare sub aspect aplicativ imediat a celor expuse anterior o reprezintă problema variaţională pătmtică, care în a.fară de fl>ptnl că ea corespunde uneia din cele mai 27

importante probleme de opt;im ale teoriei sistemelor liniare, eonstituie şi suportul pentru înţelegerea metodei NewtonKantoroviei care se va expune în cap. 9. În aeest sens ne-am permis o detaliere mai aprofundată, fără a pierde din vedere cii, toate dezvoltările servese unor metode de calcul din cap. G. 5.2.1.

En-unţul problemei

Fie dinamica unui sistem liniar finit dimensional neted_ de

descrisă

d,v dt

-'- =

A(t)x

şi fie un s < n : F(.)-(n-s)Xn matrice

+ B(t)

n (t)

(5.Jl)

cu rang F(t) = n-s,

continuă,

'V-1

Se (]_a,u :

a) intervalul de conducere [-r, T] ll) varietatea terminală iniţială x(•) = x c) varictfttea terminaHL finf1lă S = {xiF(T).'V =O} care este un hiperplitn s - dimensionftl. Indicele de performftnţă este dftt de J = V(-r, x, T, S; w)

=:!_lix(T)II~,T,+

z

(5.1!l)

unde R(.) - r X r - matrice

eontinuă simetrică

pozitiv dcfi-

nU/i.

Q(. ), S (.) n Xn matrici continue simetrice. Dintre comenzile ca-re tmnsfercr fnza ( ,, x) prin (5.11) pe vnrictatea 11in spaţinl fazelor · &* = { ( T, x) 1 m E S}

211

sif.. se glisca.sclî o commu1iî co, care siî mini1nizcze in-ll'iccle
Problema e'te posibiltL dacii există cel puţ.in o conmmlii care execută transferul dorit. Totuşi aşa cum se va vedea este necesară o condiţie mai tare pentru a putea, a.plica în rezolvarea problemei ecuaţia llamilton Jacobi. Se spune că problema este bine fonnulatll pe [ ,, T] dacă oricare ar fi x E X este posibilă tranziţia (-r, x) -> &*

Aven1 atnnei

urmă.toa1·ea

Propoziţie. să

Conditia necesn.ră şi suficientii ca problema, fie bine formulatii pe· [-r, T] este ca dom Cl (-r, T)

+ i3 =

X

(5.13)

unde d ( -r, T) = \T T (T, t) dt

.,

este matricea de accesibilitate, [5.4]. Demonstraţia este imediată.. Condiţia necesară cientă ca ( T, o) să fie accesibilă din ( -r, x) este ca

şi

sufi-

z-

+ w),

cum <]J este nesingulari\

z E S, w Edom t1 ( ,, T)

rezultă

cii

X = dom Cl ( ,, 'l')

+ i3 29

Se spune că problema este normaW dacă e.,te bine pe orice interval [1, T] cu 1 E [7, T)

formulată

5.2.3. Hamiltoniwnd proulemei

ş'i

ecuatiile canonice

Fie

%llrrll~ro + ~ llnll~rn +

H (1, re, y, 11) =

+ (1/, cu

Funeţ,ia H 11 = c(t,

.t·,

i~i

A(t) m

atinge

+ B (t) 11)

_'1m~n. 1~m,1fl

absolwt, 1mic, in raport

11) dat de

H" (1,

a·,

y,

11)

=O

aclieă

R (t)

11

+ B''

(t) 11 = O

de unde 11

=-

R- 1 (t) B'' (t)!!

Hamiltonianul este dat atunci de H 0 (t, m, 11)

=

H (t, m, y, c (1, m,J!))

++IIR- 1 (t) BT (t) 11111111 ,

+ (1/, 30

A (t)
+

+

IIBT

= ~ llmll~ro

(y, A (t)

(1)

re)+

111 l}r-•<•

+

n.dică

m,

JJ" (!,

= ~~ !m! lil 111

y)

+ (y,

A (1) ,;;)_-

~

1 - Y '" - ;;- 11B' (t) I,JJ-•uJ

(5.14)

~

Cunoscind JJamiltonimml, din (5.10) se pot scrie

eeuaţiile

canonice c];v _

o_

,

.

,

---Hy--"-(t).,~-B(t)R

-1 (

dt

'1·~ = eli

ll:

= -

t) B' (t)y

(5.15)

Q (1) .u- A' (1) y

Orice soluţ-ie (x(. ), !/(. )) a ecua.ţii!or canonice se va numi extremală (ele f;tpt pseudoext-remală regulată) dacă verifică condiţiile asociate varietăţii finale (inclusiv cele de tmnsversalitate, vezi (5.2.9.)). 5.2.4. Ecull{i" II nmi/ton - J acobi Ecuaţia

IT- J'

asocia.ţht

p1·o blemei este conform cu

(5.6)

cu

condiţia

ht

F 0 (T,,v)=

frontieră

!11w1i~,r,

pentru

.;;E&,

adie;'( P(T),v =O

~

Explicit ecuaj;ia se scrie : V?+
+~

llxiiS"'

=O (5.16)

cu

condiţia

la

limită amintită.

31

5.2.5. Pmblema

variaţională

ptttratictl special«

variatională enunt.ată

Problema

specială dacă

·

la 5.2.1. se

numeşte

'

~*=

{('Z', ro) 1ro

E

X}

.adică

terminalul final este liber, reprezentind tot spaţ;iul X la momentul 'Z'. îu aceste coudiţ;ii, condij;ia la limită a ecuaţiei H-J devine

1 Ţ'"(T'X·)-2 11 X 1"lstTJ pentru orice ro 5.2.6.

Ecuaţia

Riccati asociattl problemei variaţionale specittle

Fie soluj;ia

ecuaţiei

H-J de forma

V"(t, ro)

= _1: Il ro 11.1',.,

2

''

unde P(.) este o matrice sirnetrictl, eu derivata Atunci înlocuind in ecuaţ.ia H-J rezultă _1: Il ro

2

11~10 +

continuă.

(P(t)ro, A(i)ro) - _l:jj1JT (t)P{I)ro Il~-''"+

2

+

~Il ro Il~"' = 2

O

+ AT (t) P(l) + P(t) A(l)P(t) B(i) R-'(t) BT (t)P(t) + Q(t))ro =O

roT (P(t) ~i

pentru orice ro Aşa dar se

32

roT P(T)ro = roT S( T)ro obţine ecuaţ.ia diferenţială matriceală

- P= AT (t)P+PA(I)- PB(t) R- 1 (!) BT (t)P+Q{t) (5.17)

cu P( 'l') = S( T) poartă numele de cwaf,ia Biccati. Existenţtt unei soluţii a, acestei ecuaţii, cn condiţia, iuiţia,lă specificută, a,sigmă existenj;lt unei solnţ,ii a ecuaj;iei JI-J, cu condiţia la limită impusă, soluţ,ie care pentru ecuaţia ll-J este unică, conform teoremei de 1micitate a ccuaţiilor cu derivate parj;iale de ordinul 1. Următoarea teoremă leagă soluţia ecuaţiei (5.17)) de existenţ,a şi exprimarea optimu-

care

lui problemei speciale. Teoremă (de suficicnţ,ă). Dacă ecuaţia, Riccati admite o soluţie simetrică in [ T, T], atunci comanda clefinită de n(t) = -11- 1 (t)BT (t) P(t)x(t)

unele m(t) = A(t) m(t) minimizează

indicele de

+ B(t) 11(t)

performanţă

J.

Dernonstraf,ie. Aceasta se face in spiritul lemei lui Oara-

theodory de la 5.1.3. Să evaluăm

mT ( T) P( T) m( T) - mT ( T) P( T) x( T), de-a

toriei

provocată

de o

wT(t) P(t) ~t•(t)

cu

comandă arbitrară T

I~

lungul traiec:

el = ·)'' -(xT(t) P(t) x(t)) dt ~ dt

m(t) = tp(l;

T,

m, w)

Avem _ci_ mT (t) P(t) m(t) = âJ'' (t) P(t) m(t) dl

+ a;T (t) P(t) m(t)=(m

1' .fiT

+

111'

+ x''(-A''P-PA + PBR-

1

+ a;T (t) P(t) m(t) +

B'') Px+ mT P(Am -1-Bu)+ BTP-Q)m = a;TA''Pa;

+

+ 11T BT Pm + mT p Ax+ mT PBu- a:'' AT Pm-mT P Ax+ mT PBR- BT Pm- a;T Qx = 2uT BT Pm + Il B'' Pm Il~-,­ 1

-[[x[[~ 3-C.:!OO

33

Atunci

T

+ ~c

(

Re

poate scrie

că.

-u.• (t) B 1' (t) P(t) m(t)-

! 11

+

•v(/)

1 2

IIB1' (l) P(l) m(t) 11~-'lfl +

11~{1))

dt

~

de unde

Y( -r, '"' T, X;

o1)-

~

lla:( -r) 1ij'.,",= ( (

~

11 n(t) 11;'""

+ u• (!) B• (t) P(t) ••(l)-f- -~ IIB'' (t) P(t) a:(t) llj',_, 1 =

2

10

)

dt

+ =

1'

~c llu(l)-f-R- 1 (1) BT (1) P(l) lli(l) llj(l{) dt :> ()

deoarece R(.) este simetriei\ pozitiv definită. Cum asnpl't1 lui n(.) nn se impune nici o restricţie in ceea. ee priveşte posibilitatea de conducere, terminalul final fiin
-~-IIm( -r) 11;'.1c> .;.,/

pentru u.(t)

= -R- 1 (1) B 1' (t) P(t) m(t)

can(.) ~i m(.) legate de din:unica mişcării (5.11). Teorema este complet demonstrată. În cele ce urmează ne vmn ocUIJrt, eu modul în care soln1~ionarea ccuaţjiei Hiecati, d:1cU, este 11osi.bilă şi von1 vedea, în ce condij:ii, permite soluţionarea problemei variaţionale pătmtiee genemle, pe cît posibil cît mai apropiat ca, procedurii de rezolvarer1 ele nmi sus a, problemei speciale.

5.2.7. Gnmctcml slmplcctic nl cmwj,iilor canoni1•e Fie ecnatiiile canonice

B(t)R- 1 (t)B'~'(t)1J

dx = A(t)w dt !llj

Q(t)w- AT(t)y

-'- = -

clt

unele se

cu

notează

11I(t) = [ şi

.

.fi(t) -Q(I)

-B(t)R- 1(t)BT( -AT(t)

t)]

(5.18)

cu O"(t, cr) 022 (1, cr)

B(t, cr) = [ On(t, cr) _ 021 (1, cr)

J

(5.19)

matricea fundamentali\ Delini!ie : un sistem de 2n ecuaj;ii

z=(;~]

dz - = Jlf(t)z

clt

se

numeşte

hamiltonic

dacă

d:l' = H" dl

·'

(5.20)

dy = -Ho dt "

unele ll0(1, z) = }_ z1'N(t) z 2

(5.21)

cuN(.) - simetric
Sistemul canonic este lwmiltonic. Într-adevăr plecind de la expresia, (5.14) H 0(t, .1•, y) =

-!,-11 a; ll'o•ll + (y, A(t)m)

~ 11 BT(t)yll' R-'ll>=

-

~

~

= .!. [,VT IJ''J 2

de unde

.

l

JiT(f)

Q(/) A(t)

- B(t)W'(t) BT(t)

]["'] y

rezultă

Jf(t) = [ Q(t) A(t)

A_T(t)

- B(t)R- 1(t)B 1'(t)

]-simetrică

Fie 2n )( 2n - n1atrieea J = [

unde se vede

că

Jl

o

oj

-1

J-1 = JT= - J

Avem atunci următoarea : Propoziţie. 2n - sistemul de ccuaj;ii hamiltonic dacă şi nunuti daeă .J llf(t) într-adevăr.

Dacă

H'(t,.r,y) =

z = lll(t)z

+ llfT(t)J = o

sistemul este hmniltonic atlmci

[mTJJ"l[~~(t) Jo.~12 (t)]["'] 1'. "(t)

]'. "(t)

!1

de unde 111(1) = [

Rf,(t)

- Nu(t)

36

este

N"(t)]=JN(t) - N,,(t)

Atunci Jllf(t)

+ llfT(t)J = [-N;,(t)

-N12(t)] -N 22(t) +

-Ndt)

Ndt)] _O

N 11 (t)

+ [ NW)

Nn(t) -

2

"

Reciproc. Fie llf(t) = [ Jlfll(t) M 21 (t)

Atunci J M(t)

+ Jll''(t)J =

M 21 (t)-Jllf,(t) [ = -11fl1(t)- Jll[,(t)

Jll 22 (t)+MWl]= 0 -M"(t)+Mf,(t)

'"

de unde M1;(t) = -

M 22 (t) ~

N1;(t)

M12(t) =

1llj;(t) />

N 22(t)

Jll21 (t) =

Jll[1 (t)

~

-N11(t)

eeea ce atestă caracterul hamiltonic Definijie : O 2n x 2n - matrice L se

numeşte

simplee-

tieă dacă

LTJL

=

J

Orice matrice simplectică este det L = 1 după cum se vede şi

nesingulară

deoarece

L-' = -JL"J TeOI'cmă. l\btricea 6(!, a) dată de (5.19) este simplectici1. Demonstraţie: J!'ie 2; (t, cr) = ST(t, cr) JB (t, a)- J unele se vede că

2; (a, a) = O

37

Atunci

:E (t, a) =

OT(t, a)jJJT(t)JO(f, a) -\- W(t, a)JJlf(t) O(t, cr)

=

= 01'(t, a)(jJfT(f)J-\- JjJf(t))6(t, a)= O

cleei 2:(t, a) = ct V t,

adică

2:: (t, a) =

o,

ele unde

OT(t, cr)JO(t, a) = J .Această teormnă evideni;iază aşa

nun1itul caracter sin1-

plectic al ecuaţiilor canonice. Se vede in1ediat că aven1 O(t, cr) = JTQ 1'( cr, t.)J explicitată clă

egalita.te care

:

Odt,cr)] [ or,(cr,t) 622(t,cr) = -0;'1(a,t) Această ultimă

egalitate este

5.2;8, Sistemnl de

eeuaţi·i

Fie acum sistemul de dX dl

- Of,( a, 6!~(

t)]

a, t)

(5.20)

esenţială.

eanoniee matrieiale ecuaţii

matriciale

= A(t)X- B(t)R-

1

(t)BT(t)Y (5.21)

~ = -Q(t)X- AT(t)Y dl

cu condiţiile specificate la un moment dnt a, X( a), Y( a). Avem următoarea

38

Propoziţie. Fie (X(.), Dacă pentru t = a

Y(. )) o soluj;ie :t ecuaj.iilor (5.21).

.KT( a) Y( a) = YT( a)X( a)

atunci egalitatea are loc pentru orice t Demonstmţie

X(t) = 611(!, a).K( a) -1- 612(!, a)Y( a)

Y(t) = 621 (1, cr).K( cr) -1-

Odt, a) Y( a)

De :tsemene:t

1)1 [011(1, a)

011( a, t) [ 6 (a, t) 21

012 ( a, O.,{ a, t)

0,2 (t, a)] 622 (t, cr) =

021 (t, a)

611(a, 1)011 (!, a) -1- B12 (a, !)0 21 (1, a)

611 (cr, !)612 (1, cr) -1-l -1-B"(rr, !)6 22 (1, cr) = [ B"(cr, I)Bn(t, cr) -1- 022 (cr, /.)021 (!, cr) 021(cr, !)6,2{!, cr) -1-I-022(cr, !)022(!, cr)

= [ ~ ~}proprietatea

lle

compoziţie)

=

(5.21)

Atunci

o];{t,

cr)02,(t, a)= 022( a, !)62,(!, a) (simplectic),

621 ( a, !)011 (1, a)

=

-

=

or,(t,

(cmnpoziţ,ie),

a)011 (t, a) (simplectic,)

(5.20) (5.21) (5.20) 39

adim1 primul termen este simetric La fel se arată şi pentru ultimul termen, ci\ acesta este simetric. Pentru termenii din mijloc avem X 1'( cr) 0}1(1 cr,)O"(t, cr) Y( cr) = = X''(cr)0 22 (1, cr)O"(crt,)Y(cr) (simplectic) = X''(cr)Y(cr)- XT(cr)0 21 (cr, t)012 (cr, t)Y(cr)

(compoziţ,ie)

= X''(cr)Y(cr) -1-

-1- X''(cr)Ofi1(t, cr)012(t, cr)Y(cr) (simplectic) = X''(cr)Y(cr) -1-1- (Y''(cr)Ol;(t, cr)0 21 (t, cr)X(cr))T Aşa

dar

XT(cr)Of1(t, cr)O"(t, cr)Y(cr) -1- YT(cr)Of2(t, cr)0 21 (t, cr)X(cr)= = XT(cr)Y(cr) -1- (YT(cr)Of,(t, cr)0 21 (1, cr)X(cr))'' + +YT(cr)Of2(t, cr)0 21 (t, cr)X(cr)

Suma ultimelor două matrici este o matrice simetrică de unde rezultă, pe baza ipotezei, că întreaga sumă este simetriei\. Consecinţa. Dacă

dent, prin Y( cr) x- 1

x-

x-

1 există, o1tunci (1) există evicon1;inuitate, în vecinătatea lui cr. Atunci, dacă 1 ( cr) este simetrică, Y(t)X- (t) este simetrică în 1(

cr)

vecinătatea respectivă, Într-adevăr

Y( cr)X- 1 ( cr) = P( cr) -

simett'ică

adică,

Y( cr) = P( cr) X( cr) şi

X

Conform

1'(

cr)Y( cr) = XT( cr)P( cr)X( cr)

propoziţiei

demonstrate

X''(t) Y(t)

40

-simetrică,

= YT(I)X(t)

De tmde

.Aeea.stă consecinţă Ya preciza mai departe o propriesoluţiei ecuaţiei Riccati, privind simetria soluţiei ecuaţiei dacă iniţializarett este simetrică, fapt semnalat

tate a

la 5.2.G.

5.2.9. Exprimarea Soluţia ecuaţiei

soluţiei ecuaţiei

Riccati

(5.17) se exprimă cu ajutorulmmătoarei

teoreme. Teoremă. Fie (X(.), Y(. )) o soluj;ie a eeuaţiilor canonice matrieiale. x- 1 ( • ) există într-un anumit intenal [ rrB, rr] cu 8 > O. .Atunci

P(t) = Y(t)X- 1(t)

este o soluj;ie a ecuaFei Riccati în intenalul considerat. Demonstraţie

P(t)X(t) = Y(t)

de unde P(t)X(t)

+ P(t)X(t)

=

Y(t)

aclică

P(t) (A (t) X (t) -

B (t)R- 1 (t) B'' (t) Y (t))

+

+ P(t)X(t) = - Q(t)X(t)- AT(t) Y(t) De unde înmulj;ind cu x-'(t) P(t) A(t) -

+ F(t)

rezultă:

P(t) B(t) R- 1(t) BT(t)P(t) = -

+

Q(tl - .1tT(t) P (tl

care prin aranjarea termenilor este tocmai

ecuaţ;ia

Riceati.

41

O!Jscrva!ii esen{ialc 1. Ecuaţia (5.17) este verificată simetriei solutiei. 2. Solnţ.in, explicii!, se. serie

fără

nici o

ipoteză

a

IT(t; T, S(T))=(0 01(t, T) X(T)--1-0"(t, T) Y(T))X

x (Ou (t, '1') X('l') = (0,1 {1, T)

+0

12

{t, T)Y(tW 1

+ 6" (t, T)S(T)) x (Ou {t, T) -1-0

12

= (t, T)S('l'W 1 (5.22)

unde S(T)

= Y(T)X- 1 (T)

3. Se vede că dac•\ det X(T) 4= O atunci într-o vecin, lui T ecuaţia admite o soluţie şi numai una. 4. Dacă T( 'l')X- 1( T) este simetriei\ atunci soluţ;ia este simetrică. nătate

5.2.10. Paramctrizarca sohtfWor ccuafiilor canonice Ecuaţiile canonice (5.15) ale pătmtice •m următoarele condiţii

problemei la limită.

varia.ţionale

a) x{-r) = x

b) F(T)x(T) =O c) (y(T),z) = (S(T)x(T), z)

(5.2.3)

pentru orice z pentru care F( T)z = O ultima condiţie reprezentînd, condiţia de tmnsversalitate, care în fond explicitează faptul că Y~( T, x) este nm·nmlă pe varietn.tea finală. Condiţiile b) şi c) furnizează tle fapt n - condiţii; reprezentate prin pammetrul n - dimensional p. Acest parmnetru trebuie să caracterizeze : - apartenenţ.a lui x( T) b varietate liniară s - tlimensionali1

42

- faptul că 11( T) are două componente, după cum1·ezultă, (lÎil

(11( T) - 8( T)x( T), z) = O

o componentă liberă liniară finală, adică

j_ pe S şi una

11( T) = 8( T)x( '1') Soluţiile

în forma

(x(. ), JJ(. )) ale

conţinută

în varietatea

+ 11'""

ecnaţiilor

canonice se vor scrie

parametrizată

x(t)

=

X(l) p

(5.24)

11(t) = Y(t) p

pammetrul

p

l'ixindn-se din x(-r)

condiţia iniţială

= x =

X(-r)p

Pentru o expunere comodă se alege un sistem preferenj;ial de coordonate. Fie astfel JJ'( T) adusă b forma diagonal canonică

1!'( T) = [O 1"_,] (rang JJ'( T) = n-s) Rezultă că x E il\ P, x = (fL, O) unde fL este s - dimensional. .Atunci luînd p = (fL, v), v fiind (n-s) - dimensional, rezultă din :

S3 x(T) = X(T)p că:

[

fL ] =[X""( T) x,.( T)

o

~> X(T)

=

X,"( T)J [ fLJ X"( T) v

[~' ~] 43

Oondiţia

ele transversalitate (5.23)

dă

(Y(T)p, z) = (S(T)X(T)p, z), z e:!i

.Atunci

rezultă

z1'Y('l')p= z''S(T) X(T) p adică

Y,.,(T)] [ p.] = [p.T O] [S""(T) S",(T)] X Y"(T) _v s,,,('Z'l B"(TJ

ele unele

* = S,",(T))

p.TY" 1,('l')!L-J-p.TY,.,(T)v = I"''S"1,p.(S1

.Atunci se vede

că

Y,,,,( T)

S,,,,,

=

Y "'( T)

=

O

sau: Y(T) = [

d'" ;] V, V- rcrbitrare

cleei y(T) = (S,,"p.'

V"+

Vv)

şi unele pentru a avea o distincţie netă a lui alege U = O, V =In-" în definitiv

Y(T)

=

[S,,,, o

o

Yuben

se

1

1)1-/1

Recapitulînd X( T) = [I, O ] , Y( 'l') = [ S,,,, O ] O O

m(T) = (1"• O) cu p =

44

In-• 1/( T) = (S,,,,p., v) O

(v,

v)

(5.::!5)

Concluzii esen!iale

1) Luînd X(T), Y(T) ele formele date, construind soluţia (X(.), Y(. )) se obţine familia pammetric1! a tuturor e•l'fremalelor care an varietatea tenninali! finală S (m(.), y(.))

2)

X~

(T)Y(T)

=

(X(.)p, Y(.)p)

. t.=[ 8;" o] snne -

~nea

0

În consecinţă o familie pammetrică (X(t) p, Y(i) p) care satisface ecuaţiile canonice (libere), este ncccsal' pentru ca Sit fie o familie

parametrică

ele c:ctremalc ca

XT( T) Y( TL= YT('l')X( T)

rezultînd evident

că

X'"(t) Y(t) = Y'"(t) X(t)

pentru orice t.

Aşa

dar nu orice pe,-cche de

soluţii

(m( • ),

JJ( • )) este o etctremali!. 3) Dacă det X(t) ? O pe un intenal oarecare, (X(.) p, Y(.) p) fiind o familie parametrizată de extremale, rezultă elin cele relatate la 2) că şi Y(t)X- 1(1) = P(t) este shneti'ÎCl!. '1) p se poate determina unic numai dacă det X("-) # O adică

5) X( '1') este litatea cert mai

singulară ele fericită ca

unde reznltl\ numai posibi-

det X(t) # O pe [.-, T) 6) Dacă det X(T) ? O ( p unic determinat in fnncţ,ie de fiecare m(<) dat) traiectoriile m (.) corespunzind la fiecare iniţializare m("-) sistemului dx

-- = A(t)m dl

+ B(t)u,(t) 45

unde

ajnng la momentul T pe vm·ictatea tenninaW. Se poate enunj:a atunci prima teoremă fundamentală. Teorema

fumlamentală

(1). (de

suficienţ.ă)

Dacă (X(.)p, Y(.)p) este o bmilie pammetrizat:1 de extremale şi det X(t) #" O pe [ T, T) at;unci X(.) p este o familie de traiectorii optim.ale ( p urmînd să fie determinat corespunzător cu x(T)- dat)

Demom·tratie a) Deoarece (X(.), Y(. )) este o soluţ;ie a canonice matriciale şi det X(t) # O pe [ <, T), P(t)

=

Y(t)X- 1 (1.)

tE[-:, T).

este o soluţie simetrică (vezi 5.2.3.) a şi în eonsecinţă : l' 0 (t, m) verifică ecuaţia

eeuaţiilor

ecuaţ.iei

Riccati

= .!:_ 11 mII'Pul

H- J cu t

2

E

[-r, T)

Într·o vecinătate a varietăţii finale se poate scrie*) •"""' (ft,O) = X(t)p

* ma ţie.

fărf1

cut""' T

a mai explicita procesul de trecere la Jimilfl,

~prima

aproxiM

deuncle(m(t) = X(t)p)

l'0 (1,

m)ls·=

-!

p''X''( T) 1"( T) p

=

~

_ _!_[ t.J.,.

-

2

O]["'' " O] [IL] __!_2 ,. 8, _

''][I,

V

OOOlv

-- -1 x 7'e<(m) 111•'1" .L ro ·~ a, s< 1'J 10

2

...

1

-

{1.

~ [LIL!J• -

c eu x' E ~.

Adică verifică condiţia

la frontieră. c) Aşa cum este ennosent. 11 = Y~(t, m). Yaloarea lui n care 1ninhnizează alH:iolut functia. II este

= -R- 1(t)B''(t)y =

1t

=-

-R- 1 (1)B 7'(t) Y~(t, w)

.n-'(t)B1'(t)Y(I).X- 1 (t)m

= -

K(t):c

=

=

lc(t, m)

Să arătăm ecuaţ-ia.

â: = A(l)•r- B(I)K(t):v = (A(I)- B(I)K(t)):c (5.26) are J.ll'OlH'ie1iat;eft d1 orice soluţ;ie iniţializată hu -r, tujunge la 'L' pe vr~rietatea fina1•1. Fie lLtunci x(l) = X(t)p cu p ales corespunzător iniţ,ializării propuse. •1'(,) verifieă ecuaţia (5.26). într-lLdev(tr, A(t)X(t) p -

B(I)B- 1 (t)B''(I) l"(I)X- 1 {1) X(t) p =

= A(I)X(t)p- B(I)R- 1 (t)BT(I)l"(t)p =

X(t) p

47

şi conform unicităţii numai există altă soluţie. Pe de altă parte x(.) =X(.) p are proprietatea dorită. Verificarea coniliţ;iilor a), b), c) ne phtsează in contextul teoremei de suficienţă a optimalităţii (Kalman), consecinţ;ă ilirectă de a lemei lui Caratheoilory şi conform acestei teoreme x (. ) = X ( . ) p este o traiectorie optimală 1tnică. Conform cu punctul 6 al concluziilor esenţ,iale n, (t) = R- 1(t)BT(t)Y(t)p este comanila optimală (în circuit deschis), respectindu-se ipoteza teoremei.

Ohservafie hnportantrt. Factorul

= -

Il(l)

=

Ir'(t)BT(t) Y(t)X- 1 (t) -

=

R- 1 (t)B''(l)P(t)

= T,

comt~nda rămînînd evident finită. de-a lungul tmei extremale cantitatea unde (x(. ), y(.) ) este o extremală.

devine

ctJ pentru t Să evt~luăm acum

y(l))[~

(x(t),

~ xT(t)y(t)

= ii:JT(t)y(t)

rlt

+ xT(t)y(t) =

- B(t)R- 1 (t)BT(t)y(t))Ty(t) -

(A(t) x(t)-

+ xT(t) (- Q(t)x(t)-

AT(t)y(t) ) = -

x''(t) Q(t)x(t) - yT(t)B(t)R- 1 (t)R(t)R- 1(t) BT(l) y(t) = -

-li tr(t) II'Q"' -ll>r, (t) II'Rio .Aşadar

! (x(t), y(t))[;, =! \T (llx(t)[l'aw+lln,(t)ll'mn)dt ""'

.;,;

•T

Dar (x('l'), y(T)) = pTXT(T)Y('l')p=

! [[fLII's,,,, ~

=

48

2_ llx(T) II~
E-îi

=

De unde _:!:_(x(-.), y(-.)) =..:!:__ 2 2

lltlll~. -1-..:!:._[T (ll.r(t)II'QIIl+ 2 J, (J.Il.

-1-llllp{t)ll'mo) dt şi

în definitiv V( T, m, T, §; u, (.) ) =..:!:__(a'( •), y( •))

2

exp1'esie

valabilă

de-a lu.ngnl ol'ic
Dacă acum llet X(.,) -F unic, atunci

(ie(-.), y(-.))

=

o,

adict\ p poate fi determinat

pTX''(-.)Y(•)p, p

=

X- 1(•);1'(7)

de unde

Deci în acest caz

V(-., '"' '1', Dacă

~; ".,(.)) = ~ ~

11 x(") ll'r"'·'-''''

în fine acum det X(t) =/= O pe [-., T) atunci

egalitate dealtfel

cunoscută

din teoria H -J a optima-

lităţii. Rem.a1'că. Ultima egalitate rezultă evident condiţiile teoremei de suficienţ.ă

direct deoa-

rece în

V0( T, iC( T)) =miu Y(-., m, T, s; tu) w

4-c.~o6

49

dar s-a dorit în mod intenţionat să se expliciteze expresb inclicelui ele performanţă în diferitele cazuri (evoluîml către optimalitate). 5.2.11. Puncte conjuga.te

~i

pu.ncte focale noţiuni,

Înainte ele a aborda sensul geomei;ric al acestor

să observăm că ecuaţia Riccati (înjcelegînclu-se prin ecuaţ,ie Riccati cea asociată problemei variaţionale speciale).

-

P

= .AT(t)P

+ PA(t)- PB(t)R-

P( T) = S( T)*' -

1

(t)BT (t)P

+ Q(t)

simetrică

este neliniară şi în conseeinţă, spre deosebire ele ecuaţiile liniare unele problema nemărginirii soluţiei se pune num"i asimptotic, în acest caz se poate întîmpla crt soluj;ia P(t) = 11(1; T, S( T)) să (levină infinită pentru o valoare ("finite escape time").

finită

a t.impului

EX(\ID!llu. (Brockett)

- zi = Emmţirt

p' - 1 (1l = o, B = 1, R = 1, Q = - 1 (negativ definită)) p(O) =O

se

integrează

prin separare

__til_>

· 1

+ p'!.

= clt

de umle p(t)

= "(t, O,

Se vede că pentru 11

O,)

= "

2

=

tgt

~> r:(l 1 )

= ± oo

*) Dacii problema nu esle specială, extrema drcaplft fiind liber:1, atunci P (1') = 1" (T) X - 1 {T) = oo

50

Un punct t1 pentru cn.re limTI(t; T, S(T)) = w (cel

puţ,in

pe o

componentă n.

1-+11

matricei e suficient) numele de pnnct conju.gnt (s1•îng sau drept f:1ţă de T) asociat cn T. Se vede din expresia lui P(t) = Y(t)X- 1 (1) că punctele conjugate apar atunci cînd det X(t) = O Fie t 1 < T pentru cn.re det X(t 1 ) = O. Atunci d:1că m1 $
Coneluzit•. Posibilltat.cn de tmnsfer a orict'i;nâ p11nct
= [~· ~] [ ~J

m(t)

=O pe

= O

Să

presupunem

[t" T], adică X(t) p1

prin

absurd

că

=O

Atunci dy

dt = - AT (t)JJ

(Q(t)m(t)=O)

de unde y (t) =
deci dm =A (t) re- B (t) R- 1 (t)BT (t) '' (T, t) Y (T) p1

dt

avînd

-r

soluţia

în

consecinţă explicitată,

O = m( T) <)J

=

din care


rezultă

-

(T, t) B (t) R-'(t)BT (1) <JJT (T, l)dt) y (1') P1

t,

adică T

( (T, 1) B (1) R- 1 (1) B 1'(1)

J,,

<J•T

(T, t) dt) Y (1') p1 =O

Or integrn.la, deoarece B- 1 (t) este simetrică pozitiv defiare aeeleaşi domeniu şi nucleu cu a (t" T), adică

nită,

a (1"

T) Y (T) p1 =O

unde Y (T) p,

=

[~'''' ~] [~,] = [~,]

S~ll

a(t 1 , T) (O, v1 ) =O",. (O, v1 ) dem a(t" T) (hermitică) Ori p1 = (O, v 1 ) j_ il\, prin !nodul ele construcjoie a pmmnetrului p. Atunci din (5.13) p1 _L(§ + dem t1(t" T)) = p1 j_ X (buna formulare n. problemei). Aceast_a înseamnă că p1 = O ~ v1 = O ceea ce este absurd. In concluzie rc(t) nu este identic nulft. D~finiţia precis
52

bine formulată extremala X(t) p1 neidentic nulă (conform lemei 1) uneşte de asemenea (t1 , O) cu ('l', O), distinei« de prima. Oonal1tzie: dacă problema este bine formulată şi dacă !1 este 1m punct conjugat, există mai multe extremale cn.re unesc (t,, O) cu (T, O). Grn.fic aceasta iuseanmă reprezentn.rea din fig. 5.1. Atifea eurbec~·k~=(o,~1)sÎ'nl x(l)

x(t)

y(t)

aslfe/caX(I;)'f't=O

x(f)

T

t

t

Fig. 5.1

Fig. 5.2

Ce se întîmplă dacă există n.cum pentru un 11 un p1 = = (11" O) 111 =F O n.stfel cn. X (11 ) p1

=

O

Evident x(t) = X(t) p1 nu poate fi identic nulă deoarece x('l') =(Il" O) cu 111 =F O. În cazul pn.rticular în cn.re S,,,, =O n.vem y(T) = (S,,,, 11" v1 ) rezultă 11 (T) =O.

Un astfel de punct de genul lui t1 pentru m>re X(t1 )(11" 0)= = O(i11 =F O) se numeşte pnnat fooal (definiţie precisă) Grafic dn.că S"" = O avem fig. 5.2. desen care sugerează denumirea de foaal. Oonalnzia lr"mei 1. Dn.că pentm un 11 < T detX(t 1 )=0, aclică există p1 =FOca X(t,) p1 =O şi cbcă probleme; este bine formulrttă atunci ;,;(!) = x·(t) p1 nu este identic nulă pe [,,T] Observaţii

-in cazul problemei speciale (extrema finn.li'L liberă), fl, singu.larizaren. lui X(.) se face prin puncte focale; - în cazul problemei generale, particuln.rizrttă In. extrema finrtHt redusă. la un lHlncti, p = v singularizarea lui X(.) se face prin puncte conjugn.te. aclică p

=

53

Lama 2. Se presuplme că pentru orice "' E [-,, T), problem:o este bine formuhtă pe [ "'• 'l']. Atunci există o vecinătate a lui T IJentru care oricare ar fi -r < !1 în :oceastă vecinăta.t;e dctX(t) =!=O pe [-,, T]. Demonstraţie. Fie problema inij;ială făcută speciali't prin simpla schimbare a. variet>'iţ.ii terminale finale S =X Atunci 1

F (t)

= (0 21 (1, T)

+0

02

(t, T) S (T)) (011 (t, T)

+

+O" (t, T) S (T))-' existiî, prin coutinuitrLte in jurnl lui T deoarece det (011 (t ,'l')

+0

12

(1, 'l') S

si va rămme diferit de zero int;r-o · Atunci

fo (t, m) este

soluţia

=

ecuaj.iei H- J

(T))It~T = vecinătate

1 a lui T.

2._11mll~ll> 2

eu

coniliţ.irt

Fie pentru această problemă (specială) conilij;ia iniţială a:("') = O cu "' arbitrar Îll vecinătatea precizată mai sus a lui 'l' Fie 1!

- n- 1 Atnnci

=

-n-I (t) BT (t) fr~ (t, x)

(t) BT (t)

P (t) m =

- Îf

= -

(1) m = le (t, m)

ecuaţia

X= (A (t)-B (t) n-'(t) BT (t)

p (t))

m

cu conclij;ia iniţ,ială x( •) = O are soluţia. i1leni:ic nulă care (trivbl) ( T, O)--+ ('1', O) ou comamb opi;imă. A O. Sint astfel satisfăcute condiţiile teoremei de ;mficienţă (consecinţă n. lemei lui Camtheoclory) aşa că A A x(t) = o, " (t) = O este t.raiectoritt şi conmncln. 011timală unică. a problemei (ele fttpt unicitatea. se jmlect\ pe '11 = = k(t, a:), n.clică în circuit închis). Indicele de performanţă n.rc vttloaren.

transferă

"=

'

'

J = 1 o (o, '" ( •))

=o

Să Jll'BRUinmenl că in veeinătaiiea iniţială se singubrizeftză în ' n.dică blemn. fiinil bine fornmhltă., lenm 1

:r,,(t)

= X

mnint,ittv problenm clet X(.-) = O. Proa.firmi't că

(t) p,

nu este identic nulă pc [•, '1'). AceasUt tmiect-oric 1meşte (•, O) cu ('1', O) în mod netrivial, sub acţhmen. comenzii '11,, (.) Să considerăm perechea (u,, (. ), '"'• ( · )) plftsată în problemD- specială. Aceastrt pereche a.re sens pentru problema specială im· imlicele de perfommnţ(t >tlproblemei speciale are valon.rea zem după cum imediat se poate calcub. Îmemnnă că (',t.(.) O, ,;(.) O) şi (u, ( _),:v, (.)) distincte şi considerate in problema specială, cauzează valoarea, zero n indieelui J- eare este RÎ valom•en, minhnă a acestui indice penlru initializn,re zei·o. Înseamnă că problen1'1 speciaLi nu are .'îoluţie unică eeea ce contraziee teorema generală de suficienţă. Cansecinţt.l. Prmctele cn.re HÎ!lgnJarizen.ză X (.) ni problemei (iniţiale) sint izolate. Intr-aclcviî.r da.cft punctele ar forum 1m in1;erval [t', t"] a.trmci se repetă. mtionmnentu1 de nud sus 1wntru t" consiclera1i ca, '1' dar peniii'U a avea coinciclenţa indicilor de perfor1n~tntă în r.ele clonă. problmne se h drept 8(t")=X'' (t")Y(t"), ca.re eyideni; este Himetrică, pentru pro blenn Hpeeia.!ă.

=

=

55

Va rezulta că în vecinihtate11 lui t" nu singularizează X(.) ceea ce contrazice

sînt ]Hmcte cr~re ipoteza iniţială. în concluzie se poate enunţa cea de a. dona teorem•t funda,menta.lă (prima fiind enunţată la ii.2.10). Tcoremi"t fundamentală (Il). Da.ci!, problema variaţi­ mmlă pătmtică este bine formnlat;ă pe orice interva.J [t, T] cu t < T în vecinătatea lui T, atunci se poate al
n1atrieiale canonice, X(T)=

să

iniţia.lizate:

[~' renmrcabilă

aib>t proprietatea

că

det X (t)

tE[•, 1') (det X(T)=O!) şi în consecinţă P(t) = (6 01 (t,T)X(t)

+

+0

22

=F O

(t,T) Y(t))(On(t,T)X(t)

cu

+

012 (t, 1') y (tp- 1

definită pe [ T 1 T) rezolvă problema variaţ.ională pătmtică (vezi Teorema fundamentală I), legea de reglare optimală fiind da,tă de

bine

11

bine

definită

(t)

= - R- 1 (t)BT

{t) p (t) X (t)

pe [ T, T].

Demonstraţia şi cele două

este făcută prin Teorema fundamentală (l) leme. În exemplele care urmează se va ilustra pent111 sistem9 simple, modul de determinare al legii optim'Lle de reglare, conform celor prezentate în capitolul tratat mai sus. Exemplul 1. Fie sistemul de mai jos cu " şi x scalari, şi

56

x = m + 11t

cu Yariet11tea

finală

8 = (t"R) 1

J = -

2

~··o

'1{.~{_ '

"li

şi

+

indicele ele 1

--

2

performanţă

:t (1' 1 )"-

Se cere să se
tilă

Se 1ecle imccliaj; că i, (t,:r) = ~ x', iar L (t,il',u) = ~ ·u'. Atunci Il (1

11' ,, ")

' '·''

= 2_ "' -L '"'' 2

1

·'

_J_ 1

l''Ut ·'

care este o funcţie regulată şi, în consecinţă elin H" = o, rezultă c(t,m,JJ) = -yt, elescriinel minimul absolut unic al lui Il. Hamiltonianul problemei este atunci H 0 (t,x,y) =Ii (t,:v,y,c(t,m,y)) = - ~ y't' Ecuaţi11

Hamilton-Jacobi-Bellman ele vine

0 . ' T·- X (1_,,l,')) T10t T10t (1 ,m ) + Ji0 ( t,,l.,

cu

+ :ry

condiţia Ia limită V' (t,x)

A!egînrl Y"(t,a;) necunoscută,

se

=

=

1 -

-

2

1

2

~ p (t):r', unde 2

1'"' 12 1- {f'_.·T70X X

m', p

·

-

-o -

pentl'll orice m. este

o

funcţie

obţine

~p'l' + 1') , ., =o (~1j2 2 57

să aibă

întrucît egalii;atmt trebuie

loc pentru orice :v

rezultă ecuaţ,îa diferenţială

pcu

concliţht Scrisă

ht

p't 2 -1- 2p =

limită plt,)

o

= 1 !lemtl'ece _:1:_ p {1 1)x' = _:1:_ :v 2 • 2 2

în forma. ]J

+ :Jp =

p(l,) = 1

t'p',

ecuaţia

=

devine tle tip Bernoulli. Se face 1/p, rezultîml nomt ecuaţ,ie
q- 2q linia,ră

care estle

şi

=

-t.:.>.,

q(l)= G'e-"'

.

Aşa

de fornuu

2

t t 1 +-+-+2 2 4

condiţi"' la limită se obţine

Folosind

q=

q{l,) = 1

soluţia

a.re

substituţia

O = --:

21

i- 211 +3 4.e2rl

dar în clefini1;iv

1' {1)

=

(- :.Jti- :211

+ 3) e

2

"-'''

+ 21 2 + 21 + 1

Legea. ele regla.re optimală le (1, m) = c {f,:r, Y~ (t,:v)) Y~ (t, m)t, clevine

= -

" = l,{t,m) 58

= - -(- 2ti-21 1

Jtm ---··-·-+ 3) e2<'-t,> + 21 2 + 21 + 1

Exemplul 2. Fie sistemul scalar

cu indicele ele

performanţă

" "'l1 - )' .'V"'/t"( J =1 2 o

Se cere să se determine extrennlnl acestui sistem Avem atlmci H(l,

;I:,

y, u)

=!

+ ym'n

,,;'n'

~

care este o flmcţ,ie regnlntă cu l{l, ""• y) = -11 H11miltonianul problemei este H

o

(l

.'t, 1,/, 'Il '

)

= -12

" ,, .

,, ., .

W"'lj"

.'!'"'//" -

1 ,, ,, = -2 "'" .lj"

Sistemul canonic (]evine llm -------· = H" - = dl y

cu

.,

m~-11

•

condiţiile terminale x(O) = 1, :r(l) = e Avem atunci elin împă.rţiren. celor două ecuaţii canoniee

ela:

'"

cly

11

59

eă

de unde se vecle Va rezulta

ft'Y - 01 , 0 1

-

constantă arbitrară.

dm
sn,u Folosiml coml*ile terminale deci ;r; (1)

rezultă

0 2 = 1, 0 1

-

-1,

= c'

De asemenea y(t)

rezultînd comanda

= -

c-<

optimală

"(t)

= - y (t) = e-•

DIBLIOGI\AFIE Pentru aprofundarca noţiunilor din paragraful 5.1 rccomandiun lucrarea [5.1] care este fundamentală tn inţelcgcrca punctului de vedere modern al teoriei optimalilăţii. în ceea ce priveşte paragraful 5.2.2. extensiuni cu privire la formularea in spaţîi infinit dimcnsionale precum şi la procesele stochastice pot fi găsite intr-o tratare elegantă in f5.2] şi [5.3].

[5.1] [5.2] [5.3] [5.4] [5.5] [5.6] [5.7] {5.8]

60

R. E. K a 1 ma n: Tlw Tlwory of Optimal Control and lbe Calculus of Varialions, in }.Ial/wmalical Oplimizalion Teclmiques. Univcrsity of California Press. 1960. R. E. Kalman, P. L. Falb, 1\I. A. Ar bib. Topies in Jlialllemafical Sysiem Tlleory. 11Ic Grow-Bi11. 1969. S. C ill in, C. B c le a: Sisteme automate complexe. Ed. tehnicii 1973. V 1. Ion c s cu : Sisteme liniarc. Ed. Acad. RSR 1973. P. L. Fa l b: Direct Mcthodcs in Optimal Control. :Mc Grow-Hill 1970. A. V. Ba 1 a k ris h n an, L. \V. N cu sl a d t. Computing .Jlfelllods in Oplimi:alion Problems. Academic Press 196•!. C. Penescu, V. Ionescu, E. Rosinger: Procese optimale, Ed. Acad. RSR 1970. V. G. B o 1 ti an si.: ii: .Matemalicesc!Jic mcfodi oplimalnogo upravIenia Izd. Nauka. l\Ioskva 1969.

Cap, 6 Ecuaţia

Rieeati in studiul optimale a sistemelor com11ortării

G.l. 6.2. 6.3. 6.4, 6.5. 6.6.

Enunjul problemei Existenja globală a soluţiei Proprietiijl de monotonie în cazul invariant in timp Mărginirea uniformă a soluţiei Comportarea asimptotică 1\letodica de rezolvare a ecuaţiei nieeati J\Ietoda
"'

G.6.2. J\letoda de rezolvare Riecati

"'

6.6.1.

ecnaţjei

eeua.ţ:-iei

lliferentiale algebrice

Bibliografie

61

Ecu~ţia Riccati este generată de problema. variaj;ion~lă pătratică specială, problemă care cu toate că este particulară sub aspectul varietăţii termimtle finale (tot spaţiul) joacă 1m rol central în problematica reglării aul;omate moderne, atît sub aspectul conducerii propriu-zise cît şi al estimării stărilor.

În cele ce urmează se va dezvolta atît teoria ecuaţiei propriu-zise cît şi metodologia ele rezolvare, consecinţă a. teoriei ce se va expune, impunîndu-se restricţii suplimentare n1atricilor sim.etrice care întervin in definirea. problemei (S şi Q), restricţii care nu an fost menţionate în capitolul precedent, a cărui destinaţie generală va viza şi aşa. nun1ita Inetodă a celei de a cloua variaţii cn.re va fi abordată într-1m capitol următor, (vezi cap. 9) 6.1.

Enunţul

Aşa

dar

problemei

ecuaţia

a

cărei

studiere

completă

se va face

este

- p=

AT(t)P

+ PA(I)- PB{I)R"

1

{1) BT(t)P -1- Q(t) {6.1)

cu P(1') şi

=

1mde coeficienţii sînt care face ca

S,

{1 <:;;; T)

(G.2)

continui, iar Q(.) ;;;, O, fapt

T

~. tii x( 1) 11 t 11 , + llu( 1) 11 ;"'' ) dl ;;;, O i\Iai mult, ipoteza că S( 1') = S ;;;, O comluce la. semipozit;ivitatea indicelui de performanţă, Y ( T, x, T, :>; w) 62

;;;.· O, fapt oferit ele majoritatea problemelor wactice ele conducere optiluală. Ţinînd cont ele condiţiile terminale finale m( T) -liber

(y(T), z) = (8m(T),z)

'v'zEX,

rezultă că

!f(T)

= 8'v(T)

Pammetrimrea solutiilor sistEmului este datfl, ai,unci de X(T) =1

1' = p =X (T) p

ele unde Y(T) = 8 .Aşa

dar familil1 ele extremale a problemei speciale este

variaţionale

m(t) = X(t)p

1/(t)=l"(l)p

nnde

ooluţb

(X(. ), T (.)) este iniţhtlimtă cu

X(T)

= 1

J'(T)

= 8

Rezultă soluţi>t formală

a

(6.3)

ecnaţiei

Ricca1>i

Il (1; T,8) = T(t)X- 1 (1) = (0 21 (t,T)

+

l%1'

+ O"(I,T) 8)(0

11

(1,1')

+0

12

(t,T)8)- 1

ceea ce implim1 că existenţa globaH\ a cu uedegenenuert lui

soluţiei

(6.4)

este echi-

·valentă

X(t) = 011 (1,T)

+ 0"(1,.1')8 63

6.2. Existen1a

glofJală

Acea 'ta este Teoremft.

Dacă

dată

a solu1:iei

ele

mmătoarea

8 :;;,- O, a.iunci X(.) nu are puncte .focale

pentm t :(; 1'. J\bi mult, a) B >0

= 11(.

;'I', 8) >0

b) 8;;, O şi (A(.),., VQ(.)), T- completconstnwtibil~> A T, ,<;) >o, t ~ t(T), (8 0 (t(T), 'I') >O)

= 11 (.;

Demo11slmţie. Să,

=/= O astfel ca

presu]nmem

X(t)p, =O

că există

/1 < 'I'

şi p1 =/=

(clet X (1 1 ) = O)

Atlmci elin <,

)T

11'

ft

(m(t), JJ{t)) 1 =

reznlk\ O= rc''('I')y(T)

(Il tc(t) 11 20 "'

+r,,

+

jjlt,,(t) 11111 ., ell

(jjm{l)jj 2011 ,-!-· jjlt,,{t)Ji1 111 ) elt

dar ~r''(T)y( 'l')

=

pfX''( T) Yl T) p1

= \1 p1 ll ~ >

însea,mnă eă

(ii"(,)li~,, +

jju,,(.)l11,.,)

ele umle

1 =O [ft• TJ

=0

It,,(.)= -B- 11.)BT(.)y(.)l

1[1,.

T]

Atunci pe [t" 'I'] sistemul canonic eleviue

-'tr = eli

64

.fl(t)x cu x(T) = p,

'

O

şi

din ~{!)

= tl:(l, 'l')p,

rczultrt di

mlică <11 Soluţi:t

(1" T) este singulfLră, cee:t ce este a.hsmrl. . este totdeuun:t simetrică d:teă T( T)X- 1{'1_') = i'!, este simett·id, aşa. cum s-a yiJ.zut in e>Cpitolul :]. In plus din

-1- r(ll:r(a)il5:a:

(:r(t), !,(1)) = (;r(T), y(T))

+

+ !lur-(u)liJI{crJ)dcr rezultă şi

p''X''(t) T{l)p = PT i'lp

r

+ (il:r(crlll~,cr)-l­

-1- ll?l,(cr)IIJ«a:dcr >O aclică

snu :r 7'(1) 11 (1; 'L', 8).<: (1)

>

O, 1 <; '1'

cu :1(l)

Da.r cum X(.) este ~"

= X{l)p, 1 <; T.

nesingulară

XT 11 (! ; T, 8) ;['

;c(l) poate fi ales orieare

> o,

1 < '1'

de unde 11 (1 ; '1', 8) [o-C. ~013

>

O c·u 1 <; T

(G.G)

Pe baza rationamentului de mai sus se vede (ipoteza a) atunci

> O cu

II (t; T, 8)

că dacă

t ,;;;; T

8 >O (6.6)

ceea ce înseamnă că şi II-' (t; T, 8) >O cu t ,;;;; '1' Fie valabilă ipotez~t b ). Să presupllllem prin absurd exista

<

(t" '''), 11

t(T),

;V

>F O, astfel ca

.vT II (t" T, 8) m = O Fie. a.tunei p,

=

x- (t,)x 1

oF

o

va rezulta T

O=pi8p,+) (ll:r{t)lla",+lln,,(t)ll~"')dt

,,

ceea ce

înseamnă

p;'8 p, =O,

datorită pozitivi1;ăţii

ll~·(.)llg,,,

=

lln,,(.)ll~<. 1 =

că

O pe

Deci :uT(t)Q(t),v(t) = O pe [1" T] şi

R-'(t)BT(t)y(t)

Prima

ecuaţie

canonică

= O pe

[tll T]

devine pe [t" '1']

, -dm = ·"-(t)m, ,, (T) = p1

dt

ailică

;r(t) = (t, T) p1 66

[tll T]

că

sau

încă

p;'


p,

=o re

[1 1, 'I'J

Deci

p;"r
,,

()

sau

pfea u"

T)

p, =o

cu t,

< t (T)

&0 (t" T) este matricea de constructibilitate a lui (A.(.)., Q(.) ), ceea ce este absurd. Astfel teorema este com-

tmcle

V

plet demonstrată. Aşa dar se reaminteşte încă o dată că (S;;;;, O, şi (A(.),., VQ(.))T -complet constructibil) ~> ~> II(t; T, S) >O, implicaţie esenţială deoarece în acest fel t~

t('l'J

este asiguraM pozilivitatea

cl~finilâ

a

soluţiei

cÎ11d S

=

O•

.6.3. Proprietiiţi de monotonie

în cazul invariant in timp Se presupune că A, B, Q, B sint matrici constante. Atunci este valabilă urmMoarea Lem
o,

S) (6.7)

unde S >O (ca x- 1(.) să existe conform teoremei anterioare, iar T =0, datorită invarianţei în timp) De111onstraţie. Deoarece 0(t, O) = eM' este simplectică fl.YeiU eă

SflU

67

sau incit

c-'"T' J Jll = J c-.11 1 JI = J J[c-" 1, dntoritit eomutrLtiYitătii, aşnd:ur

cJI 1't .J JJ c"'' = J JJ unele

JJll=[

o

-1

I] [

o

A

-Q

Explicitind eg,>litn,tea ele m:1i ms

012] =

[ -(/

-A.

0 20 şi

efeet uînd l'ezult:1 :

-

1 "O 22 OT(' 12 {, 012- nT VJ!!Ll.

-

or

1 l'R'- 1B 1'0 1012 T' 022 ) 22

22---

BR-lBT _l,

=

.Ai.nuci

Q -1- A 1'8 -1- SA -

SBR- 1 BTS = O[,Q(011 -1- 012 8) -1-

-1- SOi~Q(0 11 -1- 0128) -1- OJ',A''(0 21 -1- 6 22S) -1- SOJ',A''(O" -1- 022 8) -1- 0[1A. (611 + 012S) + 80~2 .4.(6 11 + 0"8) -

6~1 BR-1BT(0 21

+

+ 80")

-

80[,BR- 1 BT(OZJ

+

+ 80j LFY -1-

+ -

0228) =

O~,LY

-!-

-1- se[,Ax- o[,nR-'BTY - 8ol,BR-'BTY = xrQ x

+

= O[,QX

80'f2 QX -!- Of,JlTY

+ XTA''Y + TT_.l X Illi

2

TTBR-lBTT

Aşa

dar

ATS+8A-8BR- 1 B'S+ Q= .F(I)ATT(I) P'(I)BR~ 1 BTT(t)

-

că

ceea. ce 1nai n.rn_,tfl, stant!l. Atunci XT-'(t)(A.TS

+ SA

+ P(I)AX(t)-

-1- .:F(I)QX{f)

e:qn·esin. din dreapta. este eon-

-1- SBR-lBTS

+ Q)X- (t) 1

= ATP(t) -1-

dP(I) = _ dl1(t,0,8) dl clt

Concluzia este

unnătoarea

Teoremă. IT(., O, O) este ·nwnotom 1Jcmon8troţic. Din (G.7) rezu]t,!l:

rlcscrcsc
-
de 1mde 1"

IT(t', O, 0)-IT(t", O, O)= ( .F-'It)QX- 1 (t)cll;;,

Jl'

8:1U

o, t' <

t".

altfel exprima-t

t' < t"

~l 11(t'; O, O)

propriet;cte de monotonie

Cl1l'C

>

IT(t", O, O)

este

(6.8)

esenţ,ială.

GA. Mărginirea uniformă a solutiei

Fie următoarele clefiniţii : Definitia 1. Perechea (A(.), B(.)) este Jli(.) - 1tnifonn complet accesibilă unde _71f(.) > O, drtcă există /',. > O ast.fel inci1; oricare ar fi t avem 1

EIM(t-11, 1)

=

(t, cr)B(cr)ll[(cr)BT(cr)T(I,cr)dcr> O

\ ~

t- j,

(G.9)

69

Obsel'vaţh:

1.

Dacă

accesibilă

(A(.), B{. )) e'te .III(.) -uniform complet ea este şi .III(.) - uniform controlabilă. illtt"-

adevăr

&\M{t, f

+ ll.)

['+"'

= ),

= <)l{t, (

{f,

+ ll.)t!"(t, f + ll.)<jlT(f, t + ll.) > 0

(6.10)

Dacă {1i, B) este o pereche invariantt1. in timp, accesibilă {sau ceea ce este acelaşi !uct11 complet controlabilă), atunci oricare ar fi 1li O, perechea este M- tmiform complet accesibilă {controlabilă), pentru

2.

complet

>

orice ll. >O. într-adevăr datorită invarianţei in timp

Definiţia 2. Perechea (A(.), 0{. )) este N(.)- mdform complet observabilll, dO, astfel incit oricare ar fi t avem:

eN{t,

t+

ll.) = r·" 1"(cr, t) 0 1"(cr) Nicr) O{cr)0 (6.11)

Observaţiile făcute

mai sus se transpun intocmai pentru uniform complet constructibilitt>te şi pent111 cazul invll.riant in timp. Definiţia 3. Pereche O astfel încît orieate ar fi t avem

rY.l

< a"{t -

ll., t)

<

~I

Definiţii corespunzătoare se dau pentru controlabilitate şi constructibilitt>te.

observabilitate,

Evident, dacă .III >O şi {.ti, B) este o pereche inv::~­ în timp complet accesibilă ::~tunci pereche::~ este M uniform pozitiv complet accesibilă. riantă

70

Teoremă. Dacă (A(.), B(.)) este Jl- 1 (.) - uniform complet accesibil(; atunci, pen1rn orice S ;;;, O avem

TI(t; T, 8) ,;;:; lil_;;:,(t, t

+ ~) + tlo(t, t + ~), t + ~ <

T

(6.12)

A

unde <90 este matricea de observabilitr;te a lui (A(.),

YQ(.JJ· Demonstratie 1) Fie întîi

-K

ecuaţia omogenă

= AT(t)Ji:

cu

+ KA(t) =

K(T)

- KB(t) ll- 1 (t)BT(t) K

S )>O

Deoarece Q = O sistemul canonic matricial devine ti X

- = A(t)X dt

+ B(t)ll- (/.)BT(t)Y 1

-d1' = --'i'(t )" L dl

cu A

Y(T) = S, X(T) = 1

.Atunci

y (t} = <W( T,

t)S

de unde

X (1) = (t, T)

T

+ ~'

(t, cr)B(cr)ll- 1 (cr) B'. (cr) <J>T (T,cr)d,"S

71

Deci A

A

&C(t; T, 8)

=

q1T

(T, t)8(
-1-

A 1 -1-J,~
=

" ( T,t) 8
+),
><

T

1

(a)BT(a)
(1, T)
A

= <JJT

A

(T, t) 8
Deei în general !iif(t; t-1- LI,,§) = <JlT (1 -1- LI, t)S
Fie n1atrieea sinwtric:'i· :

W =Si[- g- 1 ,

g- 1

existind

-

servaţ.iei făcute Ja, Definiţia

datorită

ipotezei

.~i

ob-

1.

Atunci lV

A

cl> 1' 8
=

+ ~l ti>T 8

A

(D)- 1

-

81_-1

sau A

a!W(I -1- R
A

,9,

<11 1' 8
-1-

A

,\l <JJT 8
ele unele A

A

W = - g- 1 (l -1- ,'i]' 8di1T 1
72

1.n concluzie P{ (t; t

+ .:'.,

' (; o\1~~~ (1, t S)

2) Fie acum cele dom\

ecuaţii

+ LI)

împreuni\

- i' = A (1) P -1- PA (t)- PB (1) R-1 (l)B 1' (t) P + Q(t) - K = AT (t) K + KA (t) - KB (t) R- 1 (t) BT (t) K 1'

E(T)

=

P(T)

A

=

S

Fie LI (t) = P(t)- 11.(1), !l(T) =O, deoarece P(T)-K(T)=O făcînd diferenţa şi

Ecuatia in LI se scrie

- "" =

:ti_T (1) LI

cu

+ .:',X (t) -

grupînd termenii

tlB (t) R- 1 (1) BT (t) LI

+ Q(t)

!l(T)=O ceua,ţie

care este o rezultă

A

3) Revenind acum la = AT (t)P

aceru;ttL

cont de init,ializare,

cr't Ll(t) >O, adică

ll(l; T, S)

p-

Ţinînd

Riccati.

scrisă

> gJf(t;

'

T, S)

ecuaţia

+ PA(t)- PB(t)R- 1(t)BT

(t)P

+ Q(t)

în forma

j> = -AT (t)P-PA(t) -1- PB(t)B- 1 (t)BT (t)P-Q(t) fmnizează

soluţia implicită

TI(I; t f+~

-),

+ tl, ,§) =

<JlT (t

+ LI, t)

S(t

+ LI, t)

-

T (cr,I)P(cr)B(cr)B- 1 (rr)BT (cr)P(rr)
+ ),

T(rr,t) Q(rr) (rr,l)dcr

Dru· deoru·ece P(a)

> K(cr) 73

l:l

aceeaşi iniţ;ializare,

- (cr, 1) <; - T(cr, t)K(cr)B(cr)R- 1 (cr)BT (cr)K(cr) (cr, 1) Atunci II(I; t + L'l.,

S) <
+ L'l., 1)

s
L'l., t)

- J,(' + 6. <J>T(cr, t)K(cr)B(cr)R- 1(cr)BT (cr)K(cr) (cr, l)dcr+

-1 < &t,._, (t, t +

'

L'l.) + 0 0 (1, t + L'l.), conform cu punctul 1)

Fie acum

S = II (t + L'l., Atunci conform

T, S)

t

+ L'l. < T, 8 >O

compozabilităţii 1

A

II (t; T, S) :( &ti<-•(1, t + L'l.) + 0 0 (1, t + L'l.) t

+ L'l.<(

T

ceea ce

demonstrează teorema. Această teoremă are o serie

de

Consecinţe esenţiale

1. Fie (A, B) o pereche

invariantă

in timp complet

controlabilă.

Atunci 1 II(t; T, O)= II(O; T- t, O)<:&ti<-•(1, t + L'l.) + 0' 0 (1, t +L'l)

74

Dacă

T pentru

-+

oo, conform

'1"

proprietăţ,ii

de monotinie avem

< T" t - T" < t - T', de unde IJ(I- T"; O, O)> IT(t-T'; O, O)

sau IJ(O, T' - t, O)

<

IJ(O; T şi mărginită superior. continuă, funcţia

Fiind

IJ(O; T" - t, O)

t, O)/'

de mai sus, avem

lim IT (t; T, O) = P T-i ::o

>O

Ma,i mult, din continuitate IT(t; T, P) = IJ(t; T, Iim IT (T, 0-tro

= limiJ (t,

e, O)= P

V

t, T, (t

e, O))

< T)

= (6.13)

0-tro

.Aşa,dar

P este un

p~ct fix al aplicatiei IT (t; T,.) în-

seamnă că d IT (t; T, P)

=

o şi

deci


(6.14) ndică, în caz'lll invariant in timp claccl (A, B) este complet controlabilă ecuatia Riccati algebrică are o sol!tţie semipozitiv definiM. Ecuaţ,ia Riccati algebrice< este prin definiţie

i5

2. Fie (A(.), VQ(. )), I - 11nijonn complet constructiAttmci II - 1 (t; '1', 8) există pentm t + il :( T conform punctului b. ul teoremei de existent><. Fie II so!uţh1 eeuuţiei Riceuti eu t + il < T bilă.

Atunci

o=

d (II

dl

n- 1) = i1 n- 1 + rr tr- 1

ele trude tr- 1

= -

rr-1]']

n- 1 =

+ IIA(t)-

rr- 1(Ar(I)Il

- Il B(I)R- 1(1)BT(I) II

+ Q) rr- 1

de unele -tr-1 = (-A_T(t))"II-1

+ rr-1(-A.T(t))-

- rr- 1Q(I) rr- 1 + B(I)R- 1(t)Br(t)

+

pentru t 6. ,.;:; '1'. Prin dualitate (-A T(. ),VQ(.) r) este uniform complet eontrolabilă. Aplicincl teorema de mrti sus rezultii

+ J,(+t.
•

e;;-

1

(t,

t + 6.)

+'~n-•(f,

t

+

cr) do-= t.)

de unde în definitiv

(Îb 0 1 (1, t

+ /:,.) + &\n-•(t, t +

:( Il(l; T, 8), t 76

6W 1 <

+ 6. .(:

T

(6.15)

inversarea fiincl posibilă, deoarece minorantnl este pozitiv definit. 3. Fie (.il(.), B( .)) R- 1( .) - ?tnifonn complet accesibilzl şi (A(.), j!QTJ)I- 1mijorm complet observllbilt<, atunci

o< (tJQ"'(t, t -/";; m;..\ (1, t -/-

L'l)+liln->(1, t-/-L1W 1 .<;; IT(t; T, S) L'l) -/-

eQ (t, t-/- L'l), t -/- L1 < T

< (6.16)

Rezultă că dacă. (A, B,

j/Q) este un; sistem canonic (comcomplet observabil), invariant în timp, A''P-/- PA- PBR- 1 BTP-/- Q =O

plet controlabil

şi

are o soluţie P -pozitiv definită. Problema unicităţii soluţiei pozitiv definite a. algebrice va fi tratată mai încolo.

ecuaţiei

G.l>. CmnJIOrtarca asimptotică

Fie pentru început A, B, Q, R - constl!lzle. Atunci ~rven1

Teorema 1. Dacă (A, B, soluţie

a

j/Q) este c11nonic şi P::;,. O este o Riccati algebrice ATP-/- PA.- P B R- 1BTP-!- Q =O eClmţiei

atunci (A - BR- 1 BTP) este o mM.rice hmwitziană·. Denwnstraţie. Mai întîi să observăm că (A, B) complet controlabilă ~> existi; o solutie semipozitiY definită, dar ipotez'' că (A, C) este complet obsernthilă face ca P >

>0.

Attmci ecuatia algebrică se scrie (A- BR- 1 BTP) 1'P-/- P(A- BR-'BTP) = -Q- P B R- 1BTP

D11r deoarece Q -/- P B R- 1 B'' P ): O se poate scrie in forma QTC, să arătăm că (A, 0) este o pereche complet observabilă. în caz contrar există ;r0 =F O astfel ca ;rif

cnTp,Tt(Q-/- PBR-1BTP) enTi'1t w,=O

77

adicftr

+ ;~T(t)PBR-'BT}!'J:(t)

a:T(t)Q;~:(t)

unde ;t(.) este

soluţ,ia

=

dm

dt

=

0

ecuatiei omogene (.A- BR-IBTP)x

Rezultă eă

;~:T(t)Q;r(t)- O,

xT(t)PBR-'BTPx(t) =O

de unde, din anularea, celui de al doilea termen va rezulta că ecuatia devine dm

-=Am dt

Atunci ta, rezulta

că

Qv CAl ''O"1' = Q •XTCATt o

ceea ce contrazice faptul că (.A, VQl este complet observabilă.

Dar (.A, O) complet observabilă ~> (.A-BR~'BTP, O) complet observabilă (după cum uşor se verifică algebrie). Aşa dar avem de-a face cu o ecuaţ,ie Liapunov (.A- BR-'BTP)"'P

în care

însă (.A -

Rezultă,

că

+ P(.A-

BR-'BTP) = -GTG

<

O

BR- BT P, O) este complet observabilă. omogenă fumizează numai soluţii 1

ecuaţia

asimptotic st,abile. Consecinta. Dacă (.A,_ B, VQ) este canonic, ecuaţia Riccati algebrică are P > O ca unică soluţ,ie pozitiv

dei~f1;.-~devă.r

şi

două soluţii

definiţ_e. ~.

fie P1 P2 pozitiv Atunci pe baza_teoremei de mai sus A- BR-'BTP" şi A - BR-IBTP, sint hurwitziene. Avem

+ P,A- P,BR-lBTP, + Q =o A.TP2 + P,A- P,BR-lBTP, + Q =o ATP,

78

'1

de unde (A- BR- 1 BTJ5,)Tf),.+ !),(A- BR- 1 BTJ5,) =O Cll

/),. = J5,- J5, Avem

aşa

dar o

ecuaţie

FT!),.

de forma

+ f),.G =

cu F, G Jmrwitziene. Unica

!),. =

r

-H

soluţie

este

eFT1He"' dl

şi cum H =O=>!),.= J5,- J5, =O. Cu alte cuvinte unicul punct fi«, în conul deschis almatricilor pozitiv definite al aplicaţiei II (t, T,.) este P. Teorema 2. Dacă (A, B, VQ) este canonic atunei

(6.17)

pentru ecnaj;ia

dm -

dt

realizează

= Am

+ Bu(t)

m(O) = m

minimul (finit) al indicelui J =

~~oo (J!m(t)ll~ 2

care are valoarea

Jo

+ Jlu(t)!i),) clt

(6.18)

corespunzătoare

(6.19)

79

Dcmcmstraţic.

Fie TI (1; T,P). Atunci

li(t)

= -

BR~ 1 BT

TI (1; T, 'P) c1'(1)

este soluţ,ia optinml{L '' problemei Yariajionale (vezi capitolul anterior) speciale: r(O,a,,T,X;co) =

~

pătm1ice

llx(T)I];+

~

T

+ ~~ Jo[ ('d•t(l)l\11 +

llu(t)ll},)cll

1 !1 _.:_ oJT TI (O·, T.E' )m = - xT( T)E'•r( T) '

{) ~

clar IT (O; T, 'P) =

Făcînd

T

~>

F,

()

+

~

aşa că

w, ;t(T)-+ O, de unde

)'l')dl L Tv - - -l . )'"(ti·~( J- o o ,l,f. )ii'Q 'l ii·~( Uf.) n t--X X n n 1

~

o

~

J ro este tocmai valoarea minimă a lui J ",. Dacă prin absurd există J ro < J'" cauzat de a.Jtii comandă 11(. ), A

fie atunci

80

pentru care valoarea

J1

optimă

este

= x 1 IT(O; T,O);v

Atunci evident

J r?

,".,.IT (O; '!.', O).v

La limili\ cînd T -+ w [O,=] reznlt(L că

JT? "'TPm

adică

=

' 11(.) este considerată pe

Jro ~)J",? Joo

cecrt ce c.ste absmd. Teorema este complet demonstr,otă. St1 t,recen1 la, cazul general, variabil în tilnp. Unnă­ tom·ea teoremă în condiţii destul ele tari dă o imagine a comportării asimptotice n, soluţiei IT(.; T, S), S ?>O a eenaţ,iei genera,Je Ricca,tL T1•orcma 3. Dacă (A(.), B(. )) este R- 1 ( . ) - unijor1n paziJiD complet acccsibiltl, (A(.), VQ(.)), I -uniform pozitiv complet obscrvabUâ şi (1(.) > pi, p >O, atunci

1111 (t; T, 81 ) -IT(t; T, 8,)11
Fie

+ !'. < T,

(6.20)

y >O

ecuaţia

dx = - (A(t)-B(t)R- 1 (/)BT(t) TI (t; T, 8))Tic, dl şi

erii-TJ,

t+t.:;:;; T

fie de asemenea t

Y(t, m) = ,vT IT - 1 (1; T, 8)x,

+ !'. <: T

Datorită uniform pozitiv aecesibilităţii şi observabilităţii există /l, v o astfel ca

>

~-llxll'< Y(t,x) o-c.~oo

< vllxll 2

t

+ !'.:;:;; T III

i

Derivata

ir(t, m(t)) -

este

= mT(BR- 1 BT IT-A)

rr-l m+rcT rr- 1(ITBR- 1BT-

+ mT(A rr-l + n-'A T + rr-rq rr-l BR-lBT)m = mT(II-'Q rr-l + BR-IBT)x

AT)m -

Deoarece Q( . ) ;:;, p I,

rezultă

V(t,x(t));;;;

e ilm(t)ll'

cu 6>0

de .unde

.

e

Y(t, m(t)):;;:,.- Y(t, m(t)) V

Atunci ~dŢT

(- > ), ŢT Integrînd,

y· ( 7 - t) cu

7

+ L\. =

T

rezultă

ln Y(T- Ll., m(T- L\.)) ;;i !_(T- L\.- t) Y(t, m(t))

v

de unde o o Y(t, m(t)) ~ Y(T- Ll.,m(T- L\.))eU"tl.eu-"-T> ~

şi ţinînd

cont

şi

de marginea o

llx(t)ll'

a lui V avem o

i:;;;-"- eU"tl. llm(T-L\.)1'' eu- 11 -T1 Il

32

inferioară

Punind 6 ·r. = -->o 'J

se vede imediat ei\ A

11
+ Il :( T şi

L0 >

o_unde

A

<J>

(1, T) este matricea

fundamentală

Fie atunci II(.; T, 8 1 ), II(.; T, 8 2 )

a lui

două soluţii

Punînd Il = II, - II, rezultă

.Aşa

dar, pe baza celor de mai sus

-8,[[ [[ir>,(l., T)ll \[<Î>,(t, T)fl ~Lerlt-Tt[[S1 - 8 2 [[

Concluzie

fi II (t; T; 8 1 ) - II(t; T, 8 2 ) il -+O cînd t01 - oo, la fel cu o exponenţială. Teorema este complet demonstrată. Conseci1!ţtt în caznl invariant în timp. în ipotezele teoremei de mai sus, da,că (A., B, VQl este canonic şi Q > O at1mci

lim II (O; T, S) = lim II (O; T, O) = P, :Y. S T-taJ

T-+ro

>O 83

G.G. i\Ietodica de rezolvare a t~cuaţiei Rieeati 6.6.1.

Ecu.aţia cliferenfială

În cazul cel mai general formula care se este P(t) = (8"(1, T)X(T)

+ fldt, T)Y(T)) (0

11

algoritmează

(1, T)X(T)

+

+ G"(t, T)Y(TW' cu t

~

T, X('l'), Y('l')-

daţi,

ceea ce presupune cunoaşterea matricei funclamentale 0 (t, T)asociată sistemului canonic, de aceea solt•abil este 1n general numai crr:zul invariant în ti-mp. În acest caz se consideră

s >-o

1) 2) Q ;;;, o 3) R >O (strict necesar pentru ca problema

să

fie

regnlată)

Se alege un pas de iterare Il > O. Se =

enlculenă

e[_f,-BR-~~n~0(T-c'l,T)=[Ou 9::!1

e"] 6::!~

care este permanent una şi aceeaşi matrice constantă. Atunci P(t- 6) = ( 821 + o" P (t)) ( 811 + 010 P UW', t = -kc'l, P(O) = S. Astfel formula de itemre este P 1,+1

= (801

+ 0" Pk) ( 0 + O" P,J11

1

,

P1

= 8y- O

6.6.2. llietocla ele rezolvare

e

eeuaţiei

algebrice Riccati

Această metodă a fost propusă de K.leinman [6.10] se bazează pe metoda generală Newton-Kantorovici ele rezolvare a ecuaţmor funcţionale in spaţii Banach. Deosebirea este de tip formal, dar în acelaşi timp detuon-

şi

st;rnrea

34

convergenţei

este

făcutft

în

condiţii

mai

uşoare

ţinincl

cont ele forma ecuaţiei algebrice Riccati. A.şa cum este cunoscut, cel puţin în cazul algebrei elementare, ecuaţia algebrică P(x) = O, in condiţii care se vor expune in c:lpitolul 9 admite o rădăcină (cel puţin) ca limită a şirului reenrsiv mk+ 1 = m,,- p- 1 (cc1J P(m1J k = 1, 2, ...

În cazul in speţă a ecuat,iei liniare

"'"+l

(6.31)

se vrt determina indirect ca soluţie (6.22)

cctl'e rtşa cum se va vedea conduce la o ecuaţie ele tip Liapunov. în consecinţă tehnica ele rezolvare se bazează pe apelarea succesivă a unei rutine (in cazul ele faţă Bingnlac) ele rezolvare a ecnaţiei Liapunov (in mod neinter,âtiv). Înainte de rt trece la algoritmul respectiv să demonstrăm unnătoa1·ea

·

Teort'mii. Fie

ATP +PA- PBR- 1 B 1'P+ Q =O ecnl!cJia Riccati, ur~de Q > O, (A, B, VQ) - canonic şi fie P unica soluţie pozitiv definită. Fie de asemenea K astfel încît (A - BK) este stabilă, iac· P* unica soluţie pozitiv definită a ecuaţiei Linpunov (A- BK)TP

Atunci

+ P("-1- BK) + K 'RE + Q =O 1

ecuaţia

(A - BK*)T P + P(A - BK*) + K~ RK*+ Q = O 1mde are o

unică soluţie

paziti,- definiti'> IT, nstfel incit (6.23)

85

iar A - BK* este stabilă. Aceasta revine în primul rînd la a

Demonstmţie.

arăta

că ecuaţia

cu

11 (t; T, O) are proprietatea

soluţia

Iim 11 (t; T, O)

există şi

este

că

finită.

T-+oo

Fie

aşadar

+ P*(A- BK) + KT RK + Q -P =(A- BK*)TP + P(A- BK*) + K~RK*+ Q O= (A- BK)T P*

de unde ~

-(P*-P)

=

T

(A-BK*) (P*-P)

1

T

(P*'-P) (A-BK*)-

-(A-BR-lBT p *)TP*-P*(A-BR- BTP*)-(A-BK)TP* + 1

+ P*(A!-JBK) + (K*- K)TR(K*- K)- 2 K~ RK* + + KT BTjP* + P*BK =(A;- BK*)T(P*- P) + + (P*- P) (A-BK*) + (K*-K)~R(K*-K)- AT p* + + P*BR- BTP*-P*A+P*BR- BTP*+ATP*-K''BP*+ + P*A- P*BK- 2P*BR- BTP* + KTBTP.+ P*BK 1

1

1

adic.ă

_......:....._

- (P*-P) =(A - BK*)T (P*- P)

+

+ (P.- P) (A- BK*) + (K*- K)TR(K*- K) Atunci T

= \ •O

86

etA-DK,)Tt

(K*-K)TR(K*- K) et-<-DK,Jtdt

>O

Adică altă

Pe de

P* parte

II (O; T, 0)=

> II (O;

1', O) V T

~: e
Q) cu-BK,Hdt >O

deoarece (A, VQ)-complet observabil. Se vede că atunci II (O,.,O) este monoton-crescătoare şi nuiTginită. !n consecinţă lim (O, T, O)

=

II >O

T-+~

şi

evident

înseamnă că

(A -

avem

BK*)T II

+ II (A -

BK*) = - K~RK,- Q

cn (A, VQ) - complet observabilă, adică (A - BK*) stabilă.

1

!n definitiv II=

Ce!A-BK,tT<(K~RK*+ Q)e'"t-BK,)< dt

>O!

Considerînd

ro

=A

X+

Bu(t)

cu î!(t) = - K,x(t), avem J

= 2. [oo( 11 x(t) li~+ llu(t) 111) dt = 2

Jo

+ K~ RK*) x(t) dt = 12- xT II x,

+- Jo('"

xT(t) (Q

+

cu x(O) = x

cum valoarea minimă a lui J este 2. xT P x rezultă că 2

II;;.P şi

astfel teorema este complet

demonstrată.

87

pe

Să revenim aeum la metoda de rezolvare. spaţiul matricilor p!ltrate şi simetrice (n

însuşi,

Fie definit X n), în el operatorul neliniar &l prin egalitatea J'l(P) = A''P +PA- PBR- 1 BTP

+Q

(6.24)

Si\ ealcnli\m deriyata acestuia în punctul P care este, operatorul liniar J'l'(P)(. ). Atunci dacă există,

+ eS) =

o'i\(P

+

SA-SBR- 1

B 1'P-

o'il(P)

+ E(ATS +

PBR- 1

BTS)- s2 SBR- 1 BT8

de unde , .&l_.,;::(P_T'--'":.:':c:')_-_::_ll:_c,(P'-!.) 1llllG:

[-)ij

Aşa.

dar

,'i\'(P)(S) = (A-BR- 1 BTP)TS

+ S(A-BR-

1

B 1'P)

sau

Teoremă. stabilă,

Daci\ P este astfel încît (A- BR- 1 BT P) este

&l'(P) admite o

Demonstraţ-ie. 1ntr-adeYăr

(A - BR- 1 BTP)T s

v-

U - simetrică, are soluţia unică este

o

inversă.

aceasta revine la a

+ S(A- BR-l BTP) soluţie unică. Aşa

arăta că

u,

= -

cum este

B = )~ efA-ER-lBTPJTt U e(A-ER-lJJTrJt dt-simetrică

r

Ou alte cuvinte, în ,'i\'-1(P)(,) =

88

condiţiile

teoremei

eiA-BR->BTp)Tt ( _

.)eiA-BR-'BTP)t

dt

ştiut

Relaţ,ia

de recursivitate în metoda Newton-Kantorovici este de forma - Pk+1 = Pk- c'il'- 1 (P,J ,'il (P,J, k= 1, 2,... că,

Se vede imediat este necesar ca

pentru ea

relaţia să

nu fie

(6.25) formală

(A- BR- 1 BTP1J, k = 1,2, ... să fie matrici stabile. Să analizăm a~a

dar

relaţia,

de tipul

P' = P- c'il'- 1 (P) &l (P)

nude P este o nmt;rice simetrid astfel aleasă incit A- BR- 1 BTP să fie stabilă, lucru posibil aşa cum se vt< vedea la sfîrşitul capitolului, rezultat dat de teoreml1 lui Kleînman. Notînd A - BR- 1 B''P = F, rezultă ,'il'- 1 (P) &l (P) = - [cPTt (i''''P

+ Q) c'" dt = 1

+ PBB-

1

-!- PF-!- PBR- 1B 1'P

-\"'~ e'--''1 P c'1 dt-1"' c"''1 (Q

. o dl

Jo

BTP) c" dt = p -

+

+

~~ciA-BR-'li"PJTI (Q

+

+ PBR- 1 B 'P) eiA-nli-'BTi•)t dt 1

Adică

= ("' 0 p-nn-•nTP)Tt (Q

J,

Cu alte cuvinte

+ PBR-1 BTP) eiA-BR-•n1'P)l
dl1că

P este

simetrică,

>o

P' >O.

Proprietate esenţială : P' este soluţia unică pozitiv a unei ecnl1ţii Liapunov. Într-adevăr avem

definit-ă

c'il'(P)(P') = c'il'(P)(P) -

,'iJ(P)

(6.26)

89

adică

+ P'(A- BR- BTP) = BTP)TP + P(A- BR- BTP)-

(A- BR- 1 BTP)'P' =(A- BR- 1

1

1

- (A-BR- 1 BT P)Tp_ P(A-BR--_ 1 BTP)-PBR- 1 B''P-Q

sau în definitiv (A-BR- 1 BTP)'P'

+ P'(A-BR-

1

BTP) = -

=-PBR- BTP-Q 1

(6.37)

soluţie

umca deoarece (A-BR- 1 BTP) este stabilă. Avînd în vedere că P' >o, dacă P este simetrică, se va alege pentru uniformitate P >O tot ca soluţie unică pozitiv definită a 1mei ecuaţii Liapunov. Pentru uşurarea înţelegerii algoritmului care se va prezenta se va nota K'= R- 1 BTP

Atunci avem (A- BK')TP'

+

P'(A- BK') = - KTRKT- Q

unde K' face A - BK' stabilă. Se poate acum descrie algoritrnul
iniţ.ializarea:

P1

Se alege un K, astfel încît A- BK1 să fie stabilă, apoi P, se determină ca soluţie unică pozitiv definită a ecuaţiei Liapunov (A- BK1 )TP1

+ P,(A- BK,) =

-KfRK1

2) generarea şirului

Se face K 2 = R-IBTP1

în cazul de

90

faţă

K 2 corespunzînd lui K'.

-

Q

Conform teoremei demonstrate la început, ecuaţia ele tipul (6.27), cm·e nu exprimă altceva clecît recusivitatea îu metoda Newton-Kantorovici, are o soluţie unică pozitiv ele finită, iar A- BK2 este stabilă. Mai mult

P < P2 < P1 Continuînd procedeul

aclică

K 3 = R- 1 BTP 2 şi ele termină şirul

unic pe P 3 conform aceleiaşi teoreme se obţine

O<

Cum fiincl

p < ... <

şil'lll este şi un şir

Să arăi;ăm că

p

P,.

< ...

C P:!

monoton descrescător ele operatori pozitivi

p.

=

<

(6.28)

P1

şi mărginit rezultă că

într-adevăr ecuaţ,ia

inferior,

ele recursivitate

fiind (A-BK,)TP,

+

P,(A- BK,)

+ KfRK, +

Q =O

a clică

+ P,(A- BR- BTP BR- BTP,_ + Q =O

(A- BR-IBTP,_ 1 )TP,

+ P,_ Tt·ecîncl la limita

p >O

1

_ ) 1 1

+

1

rezultă

(A-BR- 1 B 7'p) 7'p

.Aclică unicităţii

1

1

+ p(A- BR-'B''p) + pBR-IBTp + +fl=O

verifică ecuaţia algebrică .Aclică în definitiv

p = p.

lim P 1, = P

Riccati. Conform (6.30)

k-+r:rJ

91

ARa da.r algoritmul lui Kleinman este descris de 1), determi1iarea unei matrici II pentru cm·e A- BJI este stabilă

~)

K, = JI A 1 =A- BK1 Q1 = Q + K[R K 1

Se

rezolvă,

Se fnee P, = p

Listarea programului, din motive ele uerepetare este dat:\ _ în cap. VII. În fine să arătăm că există un K cu proprietatea dorită. Aceasta este dată ele următoarea Teoremă. (Kleinman). Dacă perechea (A, B) este complet controlabilă atunci oricare ar fi 8

> O, K 0 definit prin

cu

ace matricea A - BK0

stabilă

Demonstraţie. Deoarece (A, P 0 >O, adică există p-l

92

B) este complet

controlabilă

Atunci (A -

+ Po(A- BK )T =(A- BR- 1B 'P0 1)P +

BK,)P 0

-1- P 0(A 1

1

0

0

P 0 1 BB- 1BT) = AP0 -1- P 0 A. T -'JBB- 1 B'' _

-

= \"'(Ac-A'BB- 1 BTc-ATI -1-

e-~ 1 BB- 1 BTc--' 1 ' 1 A 1 ')dt-

·O

- 'JBB- 1 BT

=-

('~e--41 BR- 1 BTe--1 T1 dt-

J, dt

(e--' 0 BR- 1B 1'e-ATo

= -

+ BR- B 1

'JBB- 1 B 1' = 1')

Cu alte cuyinte (A - BK 0 ) P 0 -1- P 0(A - BK0 )T = -(c-A 0BR- 1BTe--ITo -1-1- BB-1BT) adică-

se obţine o ecuaţie Liapunov dua-lă, cu membrul drept semipozitiy definit. Rămîne de arătat că perechea (A - BK 0 , L) este complet controlabilă, unde

Să

presupunem prin absurd eli existl'o x =f= O astfel ca ,~r \' 0-rA-m;:0 JI ( 0 -.-lo BR-1 BT 0__.,r,

+

•O

+ BR-'BT)e-r-'-BKoJ'''dt x =o

sa.u eă Brc-r.-1-BKoJT! x=O, eeea ce înseamnă că (A -BK.,B) nu este com11let controlabili<, adică (A, B) nu este complet controlabilă, ceea ce este absurd. Teorema este complet demonstrată.

93

Următoarele exemple e>idenţiază determinarea soluţiilor pentru cazuri simple ale ecuaţiilor Riccati diferenţirrlă, respecti> algebrică.

Exemplul 1. Fie sistemul scalar

X= -X+ u şi

indicele de

performrrnţă

+\T ( 2+

J =

x

-

11

2

)rltj

•O

Se cere să se calculeze soluţia ecuaţ,iei diferenţiale Riccati corespunzătoare problemei de optim formulate. Se >ede imediat că .A.

=

-1, B

=

1, Q = 1, R

=

1

Necunoscuta P a ecuaţiei Riccati se >a nota cu p care este o funcţie scalat·ă. Ecuaţia diferenţială matricială Ric<:'ati de>ine o ecuaţie diferenţială ordinară de forma

-p

= -p - p - p'

+1

mlică

pcu

condiţia

la

2p - p 2

+l

o

=

limită

p(T) =O

întrucît termenul celui de Atunci

+

11

performanţ.ă,

H(t,x,y,1l) =

rezultînd

x( T) ~~~ nu există in expresia indiadică

+

(x 2

imediat din H"

S = O.

+ u') -

=

O că

my n

=

+ yn c(t,x,y)

= -

y.

Hmniltonianul problemei va fi H( o 1,,1',!/ ) =

Sistemul canonic

1 " 1 " 2X"2!/"-

rezultă,

.l'!f

ca fiind

,JJ=-x-y iJ=-m+y

care coineide cu sisten1ul canonic matricial, a:vind rondiţiile

,"( T) = 1, corespunzătoare

y(T) =O

respectiv cu X(T)

= I,

l'(T)

= S

:Matricea, JI a sistemului canonic este M

=r-1 -lJ -1

1

care are valorile proprii ),1 = V2, ), 2 = după un calcul simplu (vezi cap. 2) că eMrt-TJ

=

V2.

Rezultă

=

[611 (1-T) 621 (1- T)

Ţinînd

cont

că

S = O

p(t; T, O)

soluţ.ia

ecuaţiei

Riccati este

= 621 (1- T) Bii'(t- T) =

-el'Zit-T; +e- V27t-T;

2

2 V2

(-1+V2JeY 2 11-TJ+(l+V2Je-h•

]12 TJ

95

Sl1U în definitiv e-V~a-T;

p(t;T,O)=

_

(V2+1)e-r'~'-TJ

-eYifrt-T;

+ (V2-l)e Vou-,·~

Legel1 de regll1re optirnl1lă 1t=k(t,ro) = - R-IBTIT(t ; T,O)x, este l1tunci "= -p(t ;T,O)x. Se vede irnedil1t de l1semenel1 că Iim p(t; T, O)

T--tco

mlică soluţ.il1 pozitivă

p2

l1

=

y./, -... T

1

ecul1ţiei

= - 1

+ V2

algebrice RiccaU

+ 2p- 1 =o

Exem11lul 2. Fie sistemul

şi

indicele de

performanţă

J =

...:!:_ ["' (•1ro 1' 2

Se vede

Jo

+ 11 2 )dl

că

. [oo 1]o ' B = b = [o J Q = [-1o oo]· şi ViJ= [3o

A :-

1

'

Perechea (A, b) este controll1bilă după cum se vede imedil1t din bptul că sistemul este o RSCC (vezi cap. 3), il1r perechel1 (A, VQ) este complet observl1bilă întrucît [(VQ)T AT(V<m după cum Ecul1ţil1 l1lgebrică Riccati unică pozitiv definită. Avem l1Şl1 dm·

matriccl1 avînd,

=

[~ ~ ~ ~]

se vede, mngul maxima! 2. ( T = CXJ) are deci o soluţie

ATP --1- PA- PBR- 1 BTP --1- Q =O

9G

rnmîml

rezulttt

l [Pu p,,] + [Pn [~ O O

Vl1

P12

P'!.'!.

2J1'2

p,, P;;2

J [~ ~]-

0 ] [O 1] [Pu p"] + [± P"] [ -r~:: P12 p" o sau explicit [ o o J+[o Pu] [ p;, p,,-: + ['1 1

P:!.'!.

22 ]

Pu P12 O P12 în definitiv se

Sl1U

p,,p"

2'''

-p;,

+ 4 =o

obţine

O

sistemul de

ecuaţii

algebi·ice

l'u - p,,p" = O 2p 1' 2 - PE2 cărei soluţie

a

pozitiv

ndic:l

definită

11

este

- [4 2]

P= Legea de reglare

=o

optimală

2 ya fi :1tunci

2

= k(l,m) = -R- 1 B 1'Pm=-b''P;v=-[0 l] 1

= -2(m

+m

2

[± 22J[m'x'!. ] _ ~

)

lliBLIOGilAFill

Ecuapa RiCl·ati fiind un inslnnuenl uzilal frecvent in probl('malica sintezei optimale efcclive a rcgulaloarclor suferă aproape permanent imbunălflţiri sau rcconsidcniri atit din puncl de vedere al teoriei in sine cît şi nl metodologiei de rezolvare. Poate şi din accaslfl cauză cililorul interesat nu va giisi in literatura de specialitate un studiu monografie inclwgat despre ecuaţia Riccali d numai Iucriiri relativ scurte la nivelul arlicolclor sau notelor. Din pund de vedere al dezvoltilrilor teoretice recomanclfun

7-

c.

::!Oil

97

cililorului rcferîn\de G.l .. , ii.S nuc conţin 1otodnlU şi nprericri din pnnet de vedere al calculului, n'stul referinţelor nlJordind tclmien de calcul efccUYft în ncesl sens se va constata şi o tilulaluni rrferitonre la ecuaţia Riccnli discretfl, cun· nu a Iusl nbordatti in cupi!ol. G.1. 6.2. G.:~.

G.-J, G.5. G,G, (i.7 0.8.

0.9. G.10. G.11. G.12.

6.13. 6.14.

B u e y H. S. -- (;{(j{Ja/ flu·oru t1j' lire JUcwli cqualînn- .Journnl of Cu!llpul.Sbt. Sci., voi 1, 1%7. p. :H\1-:-:lG!. C C1 1 i n, S.. B elen, C., - Sisteme A.ulomalc Complc:rc. Editura Tehnic;\. Hl'7:~. J se 1 b l' r g. A., LiiU'ar so/mt/lîlif!J ancl t/!c lUrwli oprraf(!J'. Journnl of :\Ialh. A:mlysis and Applieations, voi. 22. m·. ;L HJGS. p. ili7 --581. Brockcl, H. \\'., Slnlc.lura/ prupalin; o{ file equi/ibrium solulions oj' Niccali cqualion. Spring(•r \'erlag Leclure r\oles on l\hllh. voi 1:~2, 1\lill, p. lil-li9. Fa 1 h, P. L .. K 1 ei nm n n. D. L .. Ht•IJltlrcs on lhc infinite dimensiorwf Uitcali cqJwlion. 1EEE Trans. AC-11 nr. 3. 19GG. :11 e C 1 am ro e il, ~. H., IJwJ/ily llllfl brmntls fur ilw malJ"i;~: Hicrati NJliOiion . .Journnl ofl\lnth. Analysis nnd Appl. vol 25, ur. 3, 1\JG\l, p. C22-G2'i. Port e r, \\'.A., Onthr; mulrix INeca li cquafion Inl. Jonrnal of Control, voi. 11J, m. O. \Vi b e r g, D. :\f., ..Von cxislcns o[ so/ulirmlo llw Ricwti cqualions. JEEE Tmns. AC-1·1, nr . . t, 1\Hi\l. K a 1 ma !1. r-L E., En g 1 ar, T. S .. .-ti/sn·'s manual [or Ilie automatic synlhc.~is fJl"O!Jrtllll (Program C), KASA CD-·175, 196Q, K 1 ci n m nn, D. L. Onan i!cra!ivc leclmiqttc [or Ricrali cqualion comp!IIaliuns, IEEE Trans. AC-13, nr. 1, HlGR H o w e r l o n, H. D., Ham m o n d, J. L., .Ancw complllalional so/ulion o{lhc linear optimal l'l'[Jlllalor problrm. JEEE Tnms. AC-1fi, nr. G, Hl71. Vi t, K., Jll'ralivt~ solul ion o[ lhc Ricca/i cqtwlion. IEEE Trans. AC-17, nr. 2, 1\l72. H u o, 1-1. S., De n ma n, E. D., .A {orward inlr:yralina algoril!Jm (or Ilie linear rC!Jillalor problcm. 1970 S\\'lEEECO, Hl/0. p. 192-105. P rusi n g J. E., A_ simpli[ictl mctlwtl [or so!IJing tlw malri.r Rircali ecuafion. lnl. Journal of Control. yoJ. 15, 111'. 5. Hl72.

6.15. K u cer n, V., A. amlrilmlion /o malri.-r quadralic cquulions. IEEE Tnms. AC-17, nr. 3. 1072. 6.16. 1-\: l ('in ma n, D. L., ...tn ·ueralille lcchniquc [or lliccali equatinn compulalivns. Bolt, Benmt•k a!ld Newn~rlll lne., Tcch. ::'llemorandum nr. DLK., .June HliO. 6.17, Tu el, W. G., ~·tn improned alyorilhm f'or llw .WJ/11/ion of'di.~cufc regula/ion problt'm. JEEE Trans. AC-12. nr. :i, Hl67. G.JS. Cain c s P. E., ?II u i ne, D. Q., On llw discrete limc malri;r: cqtwtion Hiccnli vf' optimal control. lnl. .Journnl of Control, \'ol. H, nr. 1, 1Dil.

G.lO.

~·ln ifcrolitN! II'C/Jniqllc f'or flw l'ompulalion o[ Ilie "'laic yaim [or Ilie di.~crdt• vptimal Il'fJH/alor, 1EEE Trans. AC-Hi, nr. -1, 1971.

H e w e r, G. A., ~IMd!J

9H

Cap. 7

l\Iet01le de det«>rminare a conducerii suboptimalc a sistemelor Iiniare 7 .1.

I1'nrmuluna prohlenlt'i d1• conduceri' suhnpthnnlrl

pro~

porţională

7.2.

llet.ode de deft•rminarc a gradului de suhoptinialHale minim şi a gradului d<• suboptimalitale

7.2.1. Calculul gmdului de suboptimalitate minim 7.2.2. Calculul gradului de suboptimalitate 7.2.3. Exemple de calcul 7.3.

l\I••fode de dett•rminare a r·mnPnzii snhO]Jfimalr proJ>Orţionalt•

7.3.1. Ca.zul problemei optimale ym·iabile în timp eu timp final fixat 7.3.2. Cazul problemei optinmle inYariante în timp cu timp final infinit. 7.3.3. Exemple rle cnleul 7.4. 7.~l.l.

][etodă de deh~rininare porţional- inl.cgrale

Detenninarmt emnenzii integmle prin val"ianta 7.4.2. Dctcrmirmrea comenzii integrale prin va.rianta 7 .4.3. Exemple de cn.!cul 7.;J.

a conwnzii suhoptin1alc prosnbopt:hnale l.

IH'Oporţ-.ionnl­

suboptimale

proporţional­

2

I . !starea unor snhprounune de t'alcuJ Bibliografic

99

Ca.pitolul de

faţă.

este rezervat prezentitrii unor metode r:onstrueţ,ia unor sisteme suboptinmle liniare pentru prohlema optimal(; liniar-piitratieă. in majoritatea r~plicaţiilor pmctice nn este posibiltL utilizarea, unei comenzi op1jÎ111fLlB fie datorită con11)lexităţ-ii calculelor necesare, impuse de obj;inerea comenzii optimr~le, fie dr~torit>t din:rselor restrictii de rer~lizr~bilitr~te sr~u de identificare a, parametrilor ·sistemul ni considerat. A~a încît ana,liza ~i f::inte.za unor sistJmne 1iniare snlwpt-.inutle este nr~tumltt şi, totodată neccsr~ră din Jmnct de vedere practic. Pentru olJţinerea unei r~precieri a, perfornmnţ:elor sistemelor snboptimale se vor intmduce noţiuni speeifice acestora., cum este, de exemplu, gradul de suboptima· li tate. in acest mpitol se vor analiza <1oni1 clase de sisteme suboptimale ~i anume, in funcţ.ie de comanda suboptimală utilizaf,ă,, sisteme suboptimale cu comenzi propmţionale şi sisteme s11boptimale cu comenzi proporţional-integrale. !n paragraful 7.3. se pune accentul pe construcţia comenzilor snboptimale proporţionale care derivă din considemrea unor subsolnţii şifsan suprasoluţii ale ecuaţiei mat;riceale diferenţiale (algebrice) Riccnti; în timp ce în 11aragra,fnl 7 ..±. Re Rtudhtză construetin eonwnzilor proporţ.ional-integrale utilizînd analogia problemei suboptimale formulate cu o problemă optimal>< auxiliară. Tmcte comenzile sulJoptimale construite au un grad de snboptiJnalitate impus; grallul de snboptimalitate se determini'; prin metodele da.t.e in paragraful 7.~. Exemplele de caleul date verifiei't reznltrttele stabilite. de calcul ce permit

100

7.1. Formulm·ea problemei 1le cmuluccrc suhoJ>timală Jlroportională

În cele ce urmează ne Yom referi b sisteme liniare continue, cu stări măsurabile, a căror performanţă este evaluată printr-un indice de calitrtte pMratic. Formubrert problemei optimale liniar-pătratice considemte este urll1ătoarea, : Fie sistemul liniar camcterizat de .ic(t) = A(t)a•(t)

+ B(l)u(t)

(7.la)

m(/.o) = "'o şi

!f(l) = O(f),v(t) (7.lb) unde w(t) reprezintă un vector '//-dimensional, 11(!) un vector •·-dimensional, !f(t) un vector m-dimensional, iar A('), B(t) şi O(l) sînt matrice de fornm, nxn, nxr şi, respectiv, mxn, eu elemente continue pe intervalul [t," ti]. Se urmăreşte determinarert comenzii optimale n* (l) care minimizează indicele de performanţă pătratic J(u)=x''(ti)Ji'w(ti)

-1-

r

[!i''(t)Q(t)y(t)-1-u''(t)R(t)u(/)]dt (7.2)

'"

unile nmtricelc }I',Q(t) şi R(t) :;înt matrice simetrice, pozitiv !lefinit;e, de forma 11 X n, m x 11, şi, respectiv ,. x ,. ; matricele Q(t) şi R(t) sînt matrice cu elemente continue pe intervalul [t 0 , ti]. Se presupune că ti este fixat şi nu există restricţii asupra comenzii 11(1). După cum este ennoscut [7.1], [7.2], comamla optimală 11*(t) este dat.ă de relaţia ·11'1'

unile matricea pozitiv Riccati

unică,

K(l.)

(t) =

-R~ 1 (t)B''

(t)K(t)x (t)

(7.3)

simetrică Ii(t), de forma n x n, este soluţia definită a ecuaţ.iei matricea,le diferenţiale

+ ~F (t)J[(t) + K(l.) A(I.)-J[ (I)B(I) B- (1) B'' (t)Ii(l) -11

-1K (1,) =li'

O'' (1) Q(t.) O(t)

=

O (7.'1)

101

Yalof1rea.

minimă

a indicelui de

performanţă (7.~)

este: (7.G)

iar sistemul optimal in einmit; închis vn. fi descris ele

:v (t) =

[11(1)- B(t) R- 1 (t)B" (1) K(t)] x(t)

(7.fin)

şi

(7.6b)

y(t) = O(t)m(t)

Se consideră următoarea problemă optimnlă duală în raport cu problema optimală formulată mai sus. Fie sistemul liniar caracterizat de Â

+ (!T(I) 11{1)

A

1'1.

m (1) = - 11'(1) a•(t) A

(7.7a)

A

m(lo)=mo şi

Ît (1)

= B'' (1) ~(/)

(7./b)

A

A

nmle ;r(l) reprezint.it un vector n-dimensional, 11{1) un vector m-dimensional, y(i) un vector 1·-dimensional iar A(l), B(t) şi 0(1) sînt matrice de forma 11 >< 11, 11 X,. şi, respectiv, 1n x n, cu elen1en1!e continue IJC intervalul [1 0 , 11 ]. Se mmărcştc determinarea comenzii optimale ~*(t) care nlinimizează, fnncţ~ionala A

unde matricole P, (J(t) şi R(i) sînt matrice simetrice, IJozit.iv definite, de fonna 11 >~u, 'm><'IJI. şi 1 respecti\~, 1

102

r; matri cele Q(t) ~i R(l.) sint continue pe intcryalul [t 01 t1 ]. Se fixrtt şi nu există rest;ricţ.ii asupm Comanda optinmlă a p!'Oblemei este dn.tă de reln.ţia

1' x

matrice cu elemente prcsupmw cit t1 este comenzii ·u(t). ~ optimn.le duale u*(t.) ~

;,*(!) = -Q(t) C(t) Î((t) ;~;(t)

(7 .9)

unde nmtrice"' simetrică K(l), de fomm nxu, este soluţia nnieă., pozitiv de.finit11'1 a, eena.ţ;iei mn,tricenle diferenţ.iale

Ricwti cluale Â

A

K(f) -

A

J((l) _cl"(t) -

A

A(t) K(l) -

+ B(t) R-

1

A

K(l) C''(l) IJ(I) C(l) K(t)

(1) B 7 (f)

=

+

O

(7.10)

Este evident c(t [7.3]

j((t) =

J(- 1(1),

"/·tE

Există m·mătoaren. corespondenţă

malit

şi

problenm optimal(t

între problema opti·

dnn.lă:

Problema opthnnl
(7.11)

[1 11 ,11]

--+

Dacă se urn1ă.rel;it.e shl,hilirea, n1atriceală Hiccati şi ce1m.ţ-in,

1!11 a lâ

i(-1 unei 1egtdjuri între ecuaţ-,in, Jnatrieea1ă Hiecati clnaHl,,

formularea propriu-zisii a problemei optimale d1mle poate fi mnis:1. 103

Pentru sisteme inyariante în timp cu timp final infinit, t1 -+ m, problema optinmlii consiclcmtii se t;mnsfonn{; astfel : - matricele A, B, C, (J şi R sint constanLe, iar li' = O, - perechea (.A, B) este complet controlabil[\ şi perechea (C, A) este complet observabiliL l\Iatricea simctricii, consbntl<, pozitiv definitii J[ este clatii ele ecuaţia matriceală algebricii Riccati

Pentm ca sistemul optimal în circuit închis sii fie stabil este suficient ca perechea ( C, .A) să fie complet observabilii [7 .4 ]. Transformări similare au loc şi în problema optimală duală. l\"btricea simetrieii, constantă., pozitiv definitii i[ este clatii de ecuatia nmtriceală algebrică Riccati thta.lii

Pentru problema optinmlii liniar-pătmtică (7.1), (7.2) o comandă liniară proportională

să considerăm

(7.14)

unde Jll(l) este o mr~trice arbiLrară, de forma r>< n, cu elemente continue pe intervalul [1 00 11]. Performanţa obţinută. prin aplicarea comenzii proporţ;ionn.le (7.14) sistenmlui liniar (7.1) cu indicele de performanţă (7.2) este [7.6] (7.15)

unde mat;ricea unică, pozitiv liniarc

simetrică Y(t), de forum n xn, este soluţ.ia definită a ecu"ţiei nmtriccale diferenţiale

Ţ7"(t) = - F(l) [A(/)- B(t) ili{I)]-[A(t)--B{I) Jll(l)]' 1'(1)-

- CT(I) Q(l) C(l)- JlF(I) 1?(1) ili{I)

(7.16) 104

J\IatTicea l'(t) este denumitr, »wtricca cost r1taşn,ti"i, comenzii proporţionr1le (7.H), în timp ce matrieea K(t), da-tii, de rchţia (7.14), este matricea cost optimah7. Similar, pentru Jl!"Ohlema optinmlă dua.!i1 (7.7), (7.8) se eonf-Jidcră o comandtt. liniar:1 proportion::t1ă (7.17) unde 11Î(t) est.e o mat.rice rtrhitrară, de forma m x n, cu elemente continue pe intervrtlul [1 01 t1 ]. Performanţa obţinută prin aplicarea comenzii proportionale (7.17) sistemului liniar (7.7) cu indicele de performanţă (7.8) este 1\

1\

1\

1\

1\

J(uL) = ,v''(to) Y(t 0) x(t 0)

(7.18)

A

unele matricea cost simetrică Y(l), de forma n X n, este soluţ>ia unică, pozit.iv definită a ecuaţ.iei matriceale diferentiale liniare : QT(t) 11Î(t)]- [ - A''(l)-

A

Y(l,) = p-1 1~inîncl

(7.19)

seama c:1 K(l) '( Y(l)*, A

(7.20)

V tE [1 0, 11]

(7 .21)

A

K(l) '( Y(t), rezultă

!,fiE [1 0, 11 ]

ert A

y-'(t) '( K(t) '( F(t),

\'tE [10, tf]

(7.22)

În cazul problemei invariante în timp cu timp final infinit, matricele constcant.e 11! şi 11Î trebuie să fie alese " Prin defini(.ie, dac;"t .A şi B sinl matrice simelrirc, nl.unci prin inegalitatea .A>.B (A>B) se în[elegc 1::i matricea .A-B cslc pozitiv dcfinilti (scmîdefinilă).

105

A

astfel încî1; mairi cele (A- B11I) şi, respectiv (-A 7' - QT J1I) să fie stabile; nmtricele cost constante Y şi V sînt elate ele ecuaţ,ii nmtrieertle liniare de tip Liapunov şi anume Y(A -BJli)-1-(A -BJJI)'T +O''QC şi, 1\

+ Jll"R111 =o

(7.23)

respectiv, A

A

A

A

1\

Y(- .1F- O''Jlf)-1-( -AT -QT Jlf)Y -1- BB- 1BT -1- Jll"Q- 1 J1I =0 (7 .24)

Deîini[ia l. Numim gratl llc snboptimalilaJc (imlicc tlc subo1Jiimalitatc) a comenzii proporţionale (7 .1.1) numo'irul rertl pozitiv p pentru care avem J (1lrJ ~ pJ(n*)

(7.25)

pentrn orice m" unele performanţele ,J(nL) şi J(n*) sînt date ele relaj;iilc (7,15) şi, respectiv, (7.5). Oomando1 proporţională (7.14) cu un grad ele snboptimalit.ate bine determinat p se numeşte comanclă suboptimalt! ( p - 81lbo11i'imală ). Ţinînd seama ele definiţia ele mai sus şi ele relaţiile (7.fi) şi (7.15), rezultă că indicele de suboptimalitai•e p satisface inegalitatea 111atriceaJă Y(t 0 ) ~ pKUol

(7.2G)

Reciproc, satisfacerea inegalităţii ( 7.2G) implieă îmleplinirea condiţiei ( 7,25), Ott o consecinţă imediată a definiţiei lreznltlt c[t indicele ele suboptimalitate este supmnnit[1r; [1Cest lncru este adevărat ehtorită faptului că, prin definiţia comenzii optimale, există inegalitai;ea (7 .20), Ddini(in 2. Numim gracl ilc Bllboptimalitatc minhn al comenzii proporţ.ionale (7.H) cel mai mic număr real pozitiv p pentru care avem (7.27)

pentru orice m" unele perfonmm(:ele J(11L) date de relaţiile (7.15) şi, rcspeetiY, (7.5). 106

şi

J(u*) sînt

Prin construcţia, unei comenzi suboptinmle proporţio­ nale pentru problenm optinmlt\ liniar-pt\tmtict\ (7.1), (7.2) se urmăreşte determinarea nnei comenzi suboptimale proporţionale (7.H) cn nn grad de snboptinmlitate minim impns. Este evident crl, obţinerea nnei comenzi snboptiInale cu un grad de suboptin1n,litate 1na.i 1nic sau egal cu gradul de snboptinmlitate impus implict\ antomat realiza.rea aeestui deziderat, deoarece

-p

<; p

7.2. ;\Ieto!le
Pentru olJ(.increa nnor cletrtlii privind metodele ele calcul nl indicilor de suboptimalit.ate a.i comenzilor suboptimale Jn·oporţion:tle se pot consulta lucrările [7.7]- ["7.!.l]. 7.2.1. Calculul [Jmrl·ul·ui de subopthualitatc miii im Pentru determinarea gradului de suboptimalit:tte minim al comenzii proporţ,ionale (7.14) trebuie să giisim numărul scalar pozitiv -P cm·e satisfn.cc relaţ.iiJe : Y(tu) .;;;; pK(Iu)

p=

minim,

Cr'

? 1)

(7.28)

107

Pentru aceasta vom demonstra

unnătoo,rca

propoziţie

auxiliară.

l'ropozi !ia 1. Fie matri cele simetrice, de forma n X n, pozitiv definite U şi Y, astfel ca Y > U >O. Valoarea scalară 111inhnă 11ozitivă

p. l)entrn care

(7.29)

este ŢT

(lrltă

u- 1 ;

de cea mai mare valoare proprie a matricei toate valorile proprii ale matricei rru- 1 sînt supra-

unitaTe. Dmnonslratie : Existfl o Ina,triC'e nesingulartt S astfel ca să a.vem [7.10]. U = S''fl 1S

(7.30a)

y = 8''fll3

(7.30b)

unde /l 1 şi Il, sînt matrice diagonale cu elemente pozitive. Deoarece (7.31) rezultă că

(7.32)

sau (7 .33)

1mde "' şi ~' sînt elementele diagonale ale mat;ricelot· !l1 şi, respecl;iv, Il,. Din relaj;ia (7.33) rezultă că (7 .34) şi

deci (7.3G)

unde I este matricea unitate. Dm· nmtricele sînt a.scn1enen., deofl.reee

yu- 1 = deci au

S''t..,Bs-'t..!'(.S'')-'

aceleaşi

=

valori proprii <7,.

yu- 1

şi

Il

ST(fl,!'l!') (8'')-' (7.36)

Pentru îndeplinirea

relaţ,iilor

"u-r;:,o

1

fL

= minim ( :1. >O)

(7 .37)

trebuie ca (7 .38)

sau (7.3(1)

dcei unneaz:1

eă

(7.40)

Din inegalitatea (•10) rczulti\ ci\ ~. 7 .__ 1 ' • . P· .__ 9 ----- =l i9 ' v-~

(7.41)

~.

adică 1nărhnea scalară

Inarc Ta.loare IWOprie u-qr, cleei

u. trebuie să fie egal;l. cu eea n1a.i Jnatrieei ru-l·. snu H· Jnatricei

it

(7 .43)

ceeace trebuie demonstrat. Oonfonn propozitiei dmnonsLt·a.te nuti sus, grnllnl de suboptimalitate minim p, care sati;;lace relaţiile (7 .38), poMc fi calculat cu »jutorul relaţiei

75 = \,wx

[Y(Iu)K- 1 (1u)J

= \,wx

,._

~.

= \,wx

[Y(tu)K(/o)J

[K- 1(/o) Y(tu)J

= )."''""

[lc(/o) Y(foll

(iA3)

Algoritmul de calcul al gmrlulni r1c suhorllinmlitr
105)

(b)

(c)

Calculul nmtrieei cost optimale duale K(t) prin rezolvarea eenatiei nmtriceale diferentiale Riccati ' A'
(d)

Determilmrea gradului de snhoptinmlitate minim utilizînd relaţia ( 7 A3). Ob:wrnaţie : Pentru sistmne liniare invariante în 1Jin1p cu t.imp fin(11 infinit, calcnlnlmatricei cost optimale malitate

Determinm·ea gradului de snhoptinmlitate se poate face fie utilizînd coniliţitt snficienti\ l\IcOlmmoch [7. 7], fie prin metod:t propusă de Ommles [7.8], fie printr-o metodă. ce uWizcază problema optimalii Umw1cs [7.8] este aplicabiliL numai 11entrn eomenzi snboptinmle proporţionale care provin din consideJ'aJ·ea, unei RU}Wasol!ItH * n ernaţ-iei Inntriceale diferenţiale (algebrice) Riccati. In afarit de metoda Orm[1les, celelalte metode conduc ht rezolnwert unei probleme de tip}Il celei tratate in propoziţia l. In continuare se vft prezenta metoda de calcul a gTaclulni de suboptimalitate bflzrctă pe utilizarea problemei optimale du ale. Pentm problenm optimali\ liniar-p;J.tmtici\ (7.1), (7.2) se considen'\ comanda suboptinmli\ dati\ de fonna u, (1) = -Jlf(t) m(t) (7.H) noţiunea de suprnsoluţîc a ectwtici malricenle ale (algebrice) Hiccnli, \'CZi p:uagraful 7.!3.1.

* Pentru

1[0

tliferenţ.i­

unele 1ll(l) este o nmtrice de forma rx n, en elemente continue pc intervalul [In, 11], al cărei g:ra
d,

·~

p.J*

(7.45)

unile

J,

~

J(n,) = m"' Un) V(/ 0 )m(l 0 )

J* 0 J(u*) = m"' (1 0 ) K(t 0 )rc(l 0 )

(7 .46)

(7 .47)

Numărul

real pozitiv p, care este indicele de suboptimalia tate al comenzii suboptinmle (7.H), este dat de relaţip

=

1na,x 1l'oER11

mf, Y(to) "'n

------;."··"··-~-

a~z;

l'"-l(to)

(7.48)

Xo

A

unde matricele Y(t) şi Y(t) sint date ele relaţiile (7.16) şi, respectiv (7.19). Demonstrn!i<' : Amplificîncll:c stînga şi la dreapta relaţ.i:c (7.22) eu ~r3' şi, respectiv, x 0 , se obtine:

deci avem (7.50)

Dad'L introducem notaţ;ia (7.48), din relatia (7Ji0) rezultă imediat inegalitatea (7.45), ceea ce trcbui:c demonstr:ct.

111

DetermÎJHj,]'ea mărimii scalare p, dată de rela.ţia (7AS), se poate face dadi se tine semna, că inegalitatea (7.51) p =minim

se pune ,gub forma

p = tni-nimŢinînd seama rezultă. ră.

P

=

de

propoziţia A

),moz

[l'(to) Y(to)J

(7.52)

1, din ineg:1litaten. (7.52)

=

A

\,.~ [Y(tn) Y(to)J

(7.53)

Algoritmul de ealcul al gr:1dnlui de suboptimalitnte pentru comanda snboptinmlă proporţion:1lă dati\ ( 7A.t) cuprinde următoarele etape : (:1) Ottlculul matricei coBt Y(t) atn,~ată comenzii proporţionale (7.H) prin rezolvarea ecnaţiei nmtriceale diferenţiale liniare (7.1G) ~i determinarea valorii Y(t.). (b) .Alegerea matricei JÎJ(t) şi determiimrea matricei cost f7 (1) atn.~ctti1 eomcnzii proporţionnlc (7 .17) p!În rezolvarea ecnaţiei matriceale diferenţiale liniare (7.1D), şi determinarea va.lorii i7(1 0 ). (c) Calculul produsului matricea! l'(t 0 )lÎ(t 0 ) sau {'(1 0 ) Y(ln).

(d) Determinarea gradului de suboptinmli1atc minim utilizînd relrtţia (7.53). neznltatele sinbilite mai suB rămîn a.devărate şi pentru sisteme linia,re invariante în til;1p cu timp final infinit·, dacă matricole conotantc H şi H sîni; stabile, unele Il

.

= J1 -

JJJli

.

II= -A''- C''Jli

112

(7.5-J) (7.55)

A

Oitlculul matricelor cost F şi V se va face prin rezolvrtrel:1 emmţiilor matriceale linhtre de tip Liapunov (7.23) şi, respectiv, (7 .24). Se poitte demonstra imediat cii indicele de suboptimalitate astfel determina.t este nu1i nmre decît indicele de subopt.imalitate minim [7 .11. ].

Observa,fii: J) Alegerea,_ comenzii pmporţionttle (7.17),. alegere"' matricei JI(t), pentru problema optimală duală, este imlependenti'1 de eonmnda proporţională (7.44) a că.rei indice de suboptimr1litate se calculează. Evident, este de dorit ca conmmb proporţională (7.17) sf'L fie "cît n1ai apropiată" de con1andn, optin1rL1:1 dun,lă., (7.D), ceea ee are ca efect a.propierea gradului de suboptimalitate evalu::~t p de gmdul de suboptimalitate minim p. 2) Evaluarea gmdulni de suboptimalitn.tc utilizînd metod:1 descrisă nmi sus se pm1te face pentTu orice comandă proporţ,ionalii de forma (7.H), spre deosebire de metoda propusă de Oanales [7 .8] pentru care se consideră. o coma,]J(Ji\ proporţională de follna rtdică

11,

(t)

= - R- 1(t)B 1'(t) L(t) ~t'(l)

(7.56)

nude Inatricen, silnetrică., de forn1a n x n, pozitiv definită, L(l) trebuie Sti fie o supmsoluţ.ie :1 ecuaţiei matricettle tlifercnţ,iale Riccati. Deci clttstt comenzilor snboptimale pentru eare se poate cttlculrt indicele de suboptimalitate este mai brgă. În cttzul problemei optimale vmiabile în timp cu timp final fixat metoda Om1ales este pmctic inaplicabilă deoarece solicit:1 calculul normei unui operator integral, în timp ce prin metod:1 prezentati> nmi sus la aplicarea relaţ.iei (7.53) nu intervin mDllificări hţă de cazul pmblemei optimale invariante în timp eu timp final infinit.

7.2.3. Exemple de calcul În r~cest pltmgmf se vor ela rezultatele unor exemple de calcul efectur~te cu ajutorul snbprogramelor listate in 7.5, pentru detern1inarea gradului de snboptinutlitate. şi n, gradului de snboptin1a1itate n1inim. 8 - c.

~Oii

ll3

Exemplul 1. Fie problema crisă de

optimală

liniar

( o ~ J >'(t) + [ ~ -±

. = cc(t)

J

11

pătratică

des-

(t)

x(O) = x 0 Y(t)

= [ -1 2]

şi

r

[11° (1)

J(u) =

x(t)

+p

(1)] dl

pentru care s-a considemt comanda

propmţ.ionali1

-o, 78 ,..

7 0"

] .'V (t. ) = - [ - o;t-s 1. ,u-GJ X (t ) 1,oG S-au obţinut următoarele rezultate: - gradul de suhoptimalitate minim p = 1,088240G - gradul de suboptimalitat'e calculat' prin metoda 11,{1)

= -[0 1] ( ' -0,78

prezentată p

= 1,1714525

- gradul de suboptinmlitate calculat. pl'in met.oda Canales p = 1,31G [7.8] Exemplul 2 : Fie problema optinmlă liniar piitratico\ descrisă de â·(t)

=[

o

1 ] ;r(l) -1 -2

+ [ot

ol]

11

rr(O) = x 0 y(l) şi

J(u) =

r

=

[1 -2] a·(l)

[y''(l) Qy(t)

+ n''(t) Ru(t)] clt

unde

Q = [1 ], R = [ 11<1.

~ ~J

(t)

pentru rare s-;o considerat comanda 11 ,(1)=- R-1 B''La:(i)

provorţionr>lă,

= -[ -0,:35073996 O,GS298995] m(t) 1,:3:306895 -0,.3,:JOI399G

unde L

=

1,:3:356895 -0,35073996

[

-0,35073996] 0,68298995

S-tou obtinut mmătoarele rezultate: - gradui de suboptimalitttte minim p = 1,0025015 - gradul de snboptinmlitate p = 1,003 i15-J Exem]llul 3 : Fie problema optinmll\ liniar pătm1id deserisă de

o]

l

ro]

-~ -.~ ;;;(O)

'" (l)

+ l.~

11

(1)

= '''o

y(t) =

1o [0

şi

J (u) =

~o

loo]

C

m (1)

[yT(t) Qy(t)

+ uT(t) Rn(l)] dt

unde

Q=

0,5

o [ o

o o1 o şi o 1. 2

R = [1]

pentru care s-a eonsiderat comandto '1,

proporţionlă

(t) = - R- 1 BT Lm(t.)

115

;mele l.9iiODHl/ L =

1,89::11795

1,S92179:i r.,oosssn5 O,-l378099J 1,3020096

r

0,43780994 1,3020096 0,56348997

J

S-au obţinut următoarele rezultate : - gmdul de subopt;imamate minim p = 1,0367088 - gmdul de suboptimalitate p = 1, 10391SG Pe bazrt numeroaselor exemple de c>tlcul efectuate [7 .11], s-a constfltat cii deviflţia relativă a gradului de suboptimalitate (ealeulat; prin utilizarea problemei duale) faj;:\ de gradul de whoptimfllitate minim scade ocht}> cu apropiercfl gradului de wbopt.imalitate de valoam:c 1 ; totod:ctă in toate exemplele efectuate deviaţia relativă n-a depăşit 10%. 7.3. l\Ietmle de determinare a eOIUNlzii suhoptimale proporţionale

Dacii in 1mragmful anterior s-au prezentnt metode de calcul al gmrlulni ilc suboptinmlitate pent;m o cmmmcl{, ]Jroporţională datlî, în continuare se vor analiza metode de constrne(ie a unor comenzi snboptinmle proport;ionale eu grad de snhoptimalitate impus. Se vor prezent~ algoritmi pentm r·onstrueţ.ia comenzilor suboptim~lc proporţionale bazate pe considern.rett unor subwlui;iijsupmsoluţ.ii ale ecnaţici nmtriccale diferenţiale (algebrice) Rieeati. Toate rezultatele ob(inute in eazul problemei optim~lc variabile in timp cu timp fixat, vezi pma.graful 7.3.1, se vor refommla pent,rn problcm<1 optimal!\ invariantii în timp cu timp final infinit, vezi pamgmfnl 7.3.~. 7.3.1. (),ronl problemei optimale variabile ·in timp Clf timp fina/. .fimat

Pentru inceput se Y<1 demonstra o propozij;ic e<1re se va utiliza la construcţia subsoluţiilor / snprasolnţiilor ecu~ţici mat,ricen,Je diferenţiale Riccati. Totodată se va pune în evidenţă lcgMum strinsi\ întm problcnm optimal!\ şi problema optimală cluallî.

116

Deliniţia 3. l\Iatrieea simetrică, de forma n X n, pozitiv definită L(t), eu elemente continue pe intervalul [1 0 , t,], este o suprasolnţie (s11bsoluţie) a ccuaţici nmtriceale (liferenj:iale Hiccati dacă avem

L(f)

+ L(t) A(t) -1- A ''(t) L(t) - L(l) B(t)B+ C''(t) Q(l) C(t) = 8(1)

1

(1) B'"(l) L(f)

L(/1) = 1!'

+

(7 .57)

unde (7.GS)

În cflzul problemei optimale im-ariante în timp cu timp final infinit se va considera, numai cazul 8 > O (8 < O) şi, bineinţ,eles, toate m~.tricele vor fi constante. arăta imediat că rlttcă mlttricelt snpmsolnţie (snhsolnţie) lt eeuaţiei nmtriceale diferenţiale Hiecr~ti, atunci avem inegalitrLter~ [7 .8]

Ob8erva{ic : Se pottte

L(t) este o

L(t)

< Jl(l)

umle K(t) este Riccati (7A).

(L(I) ;;;, Jl(l),

soluţir~

emmţ,iei

V 1 E [t,. t,]

(7.59)

mai:riceale

diferenţiale

l'ropozi!ia 3. Da.c:1 lllrLtrieen sin1ct.rică·~ cu for1n;u 11- X n, pozit.iv definită L(l), cu elemente eont:inue pe int:ervr~lnl [1 0 , 11], este o subsoluţie (supmsoluţ.ie) a emmţiei matricealc diferenţiale Hiccn.ti atunci mat.ricer~ L- 1 (1) este o suprr~­ soluţie (subsolnţie) '" ectmţ,iei nmtriccale difcrenţi:ole Riccati dnn.le şi reciproc. Demonstraţ.ie : Dacă matricea L(l) este o supmsoluţie (subsoluţ-.ie) 01 ecuaţiei nmtriceale diferenţiale Ricmti >1tlmci sini; îndeplinite relrtţiile (7.iî7) ~i (7.08).

Dae:1 notfnn (7.60) 117

atunei ave1n (7.Gla)

(7.6lb)

.

L(/1) = L- 1(11) = p- 1

(7.6lc)

Înlocuind rehtţiile (7.01) in (7.57) se obţine

- .L- 1 L(t) i -1(1) -1- i- 1(1) A(l) A

+A"(/)

i- 1(1) -

A

-L - 1(1) B(t) I~,-1(1) B''(l) L-1(1) -1- C'' (1) {,l(t) 0(1) = 8(1)

.

L(l,) = p-1

(7.02)

Înm~tl(ind Ia. stinga şi ltt drer~pta prinm relaţie din (7,6~)

cn L(t)

şi

schimbînd semnul se

obţine

L(I)-A(t)L(/)-L(I)A 1'(1)-L(t) C''(t)Q(I) C(t)L(t)

-1- B(t) .R- 1(1) B'' (/)

-1-

= - Î"(l) 8(1) L(l)

(7,lî:l)

Daci1 8(1) ;;,. O, V tE [1 0, 11], adiett matricea, L(t) este o snpraROluj;ie fi ecuaţiei nmtriceflle diferenţiale Riccflti, a.tnnci - L(t)i'J(t) L(t) o( O, ceea ce lnr;emnnă că ma.tricea. L(l) este o snhsoluţie a ecuaţ.iei nHttriceale diferenţ.ialc duale; iar cbcă S(t) o( O, V tE [t 0, 11], rtdică matricea L(l) este o suhsoluţ.ie a ecuaţ.iei nmtriceale diferenţiale Riccati, atunci - L(l) S(t) L(l.) ;;,. o, ceea ce înseanmă cr1 matricea. L(t) este o supmsolnţie a, ecuaţiei matriceale diferenţ.iale Ricca1;i clnale. Proprietatea reciprocă se demonstrea.ză sin1ilar. A

118

A

Observaţie:

Pentru B(t) = O, V 1, rezulti1 legi1tura dintre solutia emmtiei matriceale Riccati si solutia ecnlltiei matricellle diferenţiale Riccati duale şi llnm11c relllj:ia (7.11 ). Pentru construcţia unei subsoluţii li emmţiei nmtriceale diferenjoillle Ricellti vom considem o nmtricc simetrică, de formll n X n, arbitrară, N(l), cu elemente continue pe intervlllul [1 0 , t1] şi nmtricell simetrică, ele formn, n X n, L(t) care este soluţia ecnaţiei matriceale diferenţiale liniare

L (t) + L

(!) II (l)

+N .L (!,)

=

+ JP' (t) L

(1)

(!) B (!) R- (t) B

+ 0'' (l) Q (t) C (t) + (t) N (t) = O

(7.64)

II (1) = A (1) - B (I)R- 1 (I)B 1'(t)N (!)

(7.65)

1

1'

]j'

unde s-a notat Trebuie să remarcăm faptul cii matricea .L(t) este tocmai matricea cost at[lşată comenzii proporj;ionale '1/L

(t) = -

R-l (l)BT(t)N(t)

X

(t)

(7.66)

pentm problema optimală Jiniflr-pătratică (7.1), (7.2). Din rezolvm·ea ecnaţ;iei mat.rice[lle diferenţiflle lini[lre (7.64) se obţ;ine nmtrice" simetrică .L(I) crtre este pozitiv definită deollrece C1 (t)Q(t)C(t)

-1- N(t)B(t)R-'(I)BT(t)lf(t)?>O

şiF>O

Vom arittl1 că nmtricea L(l) t1stfel determinată este o subsoluţie l1 emmţiei nmtricellle rliferent.in,le Hiccati. Intrltdevăr, din rclaţb (7. 64) reznJt,ă că

L (t) + L

(t) A (!)

-1- A 1'

- .L (t) B (t) R-' (1) B'' (t) .L (1)

=-

[.L (1) -

+

L (t) C (t) Q (t) C (t) =

(t)

1 '

N (t)] B (!) R- 1 (!) B'' (t) [L (1) -N (1)] '(o

şi

L (!1 ) = F

(7.67)

119

deci matricen. L(t) satisfnce definij;in, 1111ei subsolnj;ii a ecunj;iei matrice:tle diferenţ.iale I{icca.tL Calculul efectiv :ti nuci subsoluj;ii a emmţiei matriceale diferenj;iale Hiccati se reduce la rezolvarea ecuaţ.iei matriceale diferenj;iale liniare cu condij;ie finală (7.64). Procedeul de obj.inem a unei subsoluţ.ii a ecuaţiei matriceale diferenţiale Hiccati derivă din metoda iterativ:\ ele rezolvare a emmţ.iei nmtriceale diferenj.iale mccati prin aplicarea metodei Newton-I{aphson. Pentru construcţ.ia unei suprasoluţii a ecuaţiei matriceale diferenj;iale Riccati, vom considem o matrice simetrică, de forma n x n.rbitmră, ll(t), cu elemente continue pe intervalul [1 01 t1] şi ma1;rieea. simetrică, de forma

·n,

A

n x n, L (t) care este j.iale liniare ;.,

L (t)

"+ L" (t) H" (t) + JJT

-1-

i

(tfJ

N (t) 0

1 '

solnţ.ia

ecun.j;iei nmtriceale cliferen-

" (1) L (1)

(t) Q (1)

-1- B (1) R- 1 (1) B'' (t) -1-

c (1) N (t)

=

o

(7.68)

= p-1

unde s-a notat

= - AT(t) - C1'(t) Q (t)

IÎ (1)

c (t)

(7 .GD)

Şi

în acest ca.z trebuie s(i, subliniem frbptul că matricen. L (t) este matrice:b cost ataşată comenzii proporţionale A

A

/IL

A

(t) = - Q (t)

c (t) N

A

(1) "'(1)

(7.70)

pentru problema optimală duală (7.7), (7.8). Din rezolvarea ecnaţie.i matricea!; difcrenj;îale liniare (7.68) se obj;ine matricea simetrictb L (t) care este pozitiv definită deoarece

N (t) C'' (t) Q (1) j,r (1) + 120

B (1) R- 1 (1) nr (t) ;;;:,

o şi ]J'- 1 >o

A

Totodată,

matricea L (t) este o suhsolnţ.ie a emmţiei nmtricealc diferenj;iale Riceati iluale deoarece relaFa (7.68) se poate pune sub fomm Â

A

;"

L (t) - A (t) L (/) - L (t) A ''(t)

+B

(t)R' 1 (t) B'r(t) -

- L (t) C''(t) Q (t) c (1) L (t) = - [L (t) -it (1)] CT(I) Q (t) C(t) [L (1)- ii (1)] <:o

(7.71)

Deoarece L (1) este wbsoluFc a ecuaj;iei mat1~iceale diferenţiale Riccati duale rezultă că nmtricea L · l ( /.) este suprasoluj;ie a eenrtj;iei nmtriceale diferentiale Riccati, conform propoziţiei 3. Calculul efectiv al unei snpmsoluţii a eenaţiei matriceale diferenţiale Riccati constă în determinarea matricei L (t) prin rezolyare[t ecnaţ,iei mat;riceftle diferenţiale linbre (7.68) şi apoi inversarea matricei L (t) astfel încît snprasolnjiia ecuaţ.iei nmtriceale eliferenjoble Hiecati este L(t) = =i-l(!). A

OonstrncţJhL unei cmnenzi proporţjonn,le îşi a,t;inge scopul ln Inmnentnl în care gra.tlnl ele Ruboptin1alitate a acesteia este lllf1Î Inic sau egal eu o vn,loarc ilnpnsă. Deci, IJleeînd ele la posibilitate"' de a eonstrni printr-un procerlen itemti\' eon1enzi proporţ-.ionn1e bazate pe eonsiderarert unor subsolnj;ii s"n supmsolnj;ii "le eenaţiei nmtrice[tle cliferent;iale Riecati, vmn Ul'Ină,ri sft,
121

Existit posibilitatea de a construi comenzi suboptimale proporj,ionale bazîndu-ne pe obţinerea succesivă numai a. unor subsoluţii S[LU supmsoluţii a ecuaţiei matriceale diferenţiale RiccrLti, mmîncl cn, la fiecn.re iteraţie, si'L mlculăm gmclul de suboptinmlitate al comenzii suboptinmle objcinute prin utilizarea. metodei date în paragTaful 7.3. O alt(L posibilitate de " construi comenzi suboptim[Lle proporţionale cu un gmd de suboptimalitate impus const{L în construcţia simultană a 1111or subsolujcii ale ecuajiei nmtriecale diferenjcinle Riccat.i şi n unor sulisoluj;ii ale emmj;iei nmtriceale diferenţirLlc Hiccati duale, pentrn cme a\en1 urn1tLtoareJe şiruri de n1atricc L 0 (1), L 1 (t), L,(t), ... şi,

respeetiv

L0 (1) 1 L1 (1) L,(f), ..... '

unde nmtricele inij;iltle L 0 (1) şi L 0 (1) se rLleg m·bitrar. Trebuie sit subliniem fnptul d\ nmtricea, Lk+ 1 (t) este mrLtricerL cost rLtaşlLt[c comenzii snboptimale proporţionale (7.72)

şi nmtricea 1".+ 1 (1) este m[LtJ'Îcea cost atrLşată comenzii suboptinmle proporj;ionale a problemei optimale duale ~,(t) = - Q(t)O(t)L,,(f.)m(t)

(7.73)

r,a o mnuniti1 item ţie k, k > J' se \'[1 determina indicele de snboptimalitrLte nJ comenzii proporţ.ionale (7.69) utilizînd rehLj;ia p = ).",.xfL1,,.,(t 0 )L"+ 1 (1 0 )]

= ). "","'[L~c+I(I 0 )L,,, 1 (t 0 )] (7.7J)

Dacii indicele de suhoptinmlitate astfel obţinut este mai mic decît indicele de suboptinmlitate impus atunci procesul itemtiv se opreşte, în caz contmr procesul item tiv

122

se continuil, pînă la obţinerea unei comenzi suboptinmle cu un indice de subopthnalitate nu1i 1nic sau egal cu indicele de suboptimalitate impus. În sfîrşit, se poate pmpune un alt procedeu iterativ pentru construcj;ia unei comenzi suboptimale proporţ,immle cu un grael de suboptimalitate impus, mwe sil, se bazeze pe constmcj;ia altemativă a unei subsoluj;ii a ecuaj;iei matriceale diferenj;iale Rieeati şi a unei suhsoluţii a ecuaţiei nmtriceale diferenţiale Ricc"M duale. În acest caz fiecare snbsoluţ;ie construită a ecuaţ!iei 1natriceale diferenţiale l~iccati serveşte drept condiţie iniţială în eonstrucţia unei sulnoluţ;ii a ecuaţiei matriceale eliferenţiale Riccati duale şi reciproc. IVIai precis, dacil, L"(t) este o suhsoluţie determinată a ecuaFei matriceale Riccati la

iteraţia

k, atunci

.

L~:(t)

se va cletern1ina elin

ecna,ţia

matricealil, liniară (7.68) în care N(t) = L,;'(l); iar dacă

L"(t) este o subsoluţie determinată a eetmj;iei matriceale diferenţ;iale Riccati duale la iteraj;ia k, atunci L"+ 1 (t) se Ya determina elin ecuaţ,ia matriceală liniară (7 .o,;) în care N(l) = i,;'(l). În acest caz calculul gradului de subopti-

nmlitn,te se va face utilizînd una elin rcla.j;iile fifl:U

P

=

.

\nnx[L,,(lu)L,,,+l(lu)]

=

.

următoare

),"'""[Lkil(lu)L,,(to)J

:

(7.75) (7.76)

acest; lucru clepinzîncl de faptul dacă a avut loc o trecere de la problema optim:tlii In, problema optinmlil, clualii sau, respectiv, treccrert a avut loc ele la, problema optimală duală la problenm optÎlll[tlă. Procesul iterativ se va încheia în momentul obţ.inerii unui grad de snboptilnalita.te 1nai 1nic sau ega.I eu grn,dul de suboptimalitMe impus. 7.3.2. Cazul- problem.ci optinwle iuvariaulc 1-·n tin1p cu timp final infinit În continuare se vor rLnaliza nunut.i 1noclifieările ee intervin in C3·Zlll problemei optimale Î!wm·iante in timp

cu timp final infinit faj;ă de J1roblema optimală variabilă in timp cu timp final fixat. Presupunem că sînt îndeplinite condij;iile enunţate în paragraful 7.1. De la început trebuie să menţionăm necesitatea îndeplinirii unei condiţ;ii suplimentare şi anume dacă comanda suboptimală proporj;ională este u,(t)

= - Jllx(t)

(7.77)

unele Jll este o matrice constm1tă, de forma ,. >c n, atunci matricea (A - BM) trebuie si\ fie stabiliL O condiţie similarr\ existi\ şi pentru comrtnda suboptimali\ duală ;;,(t) = ' unde jll este o rna.trice

ii.r (t)

conf·rtn.ntt~;

(7.78)

de fonnn. ·m x n,

şi

anume, trebuie c
Propozij,ia 4. Dn,c:1 matricea constanti1, simetrică, ele forma n X n, pozitiv definită L este o suprasoluj;ie a ecuaţiei matriceale Riccati, adică

A''L +LA- LBB- 1 B''L

+ QTQC =

D''D >O (7.79)

atunci matricea L- 1 este o subsoluj;ie-a ecuaj.iei matriceale algebrice Riccati duale şi, totodată, matricea H este stabilă, unele (7.80) Demonstraţie :

(7.79) cu L- 1

Înmulj;iml la stinga şi la clren.pta relaţia schimbînd semnul se obţine

şi

- L- 1A 1' - AL- 1

-

L- 1 QTQQL- 1 + BB-1 BT =

- L- 1 JJ'' JJ L- 1

__,

1"'

<

(7 .81) O

deci matricea L- 1 este ~ubsoluj;ie a ecmtţ,iei matriceale algebrice Ricc>tti dn>tle. In >tcel>tşi timp >tYem L- 1 (-A'"- CTQCL- 1 ) +(-A''- C1'QCL-'JT L- 1 = = - BB- 1 B 1' - L- 1 CTQCL-' -L- 1 JJ 1'JJL- 1 ; : - W8
Se observă imedi>tt că (7.83) este o ecu>tjje nmtrice>tlă de tip Liapnnov şi deoarece L- 1 >O şi 8 1'8 >O rezultă c:1 matricea ÎI este st>tbilă. Observllfic: În reh>j.ie (7.10) se poat.e consitlcm JJ 1'1J> o, rhcă este îndeplinită condiţia suplimcntrm"L c:t

Silnilar, pentru IJroblmna duah'"'L a.ven1 Ul'nuttoarea IJl'Opoziţie:

PropoziJia 5. Dacă m>ttricea constantă., simetrică, de fornm n X n, pozitiv definită L este supmsoluj;ie a ecun.ţiei matriceale algebrice Hicct1H chmle, adică :

'

>ttunci mat.ricea L- 1 este o subsoluţie a ecmtj:iei matricet1le algebrice RiccMi şi, totodată, mt1tricca H este sţabilă, unde H = .A. - BB- 1 B''L-'

(7.85)

Demonstraj;ia propoziţiei G este simihtră cn demonpropozij;iei ·L l'ropozi!ia 6. Dacă m>ttrice>t constantă, simetrică, de forma n >< 11, pozitiv definit.i\ L este subsoluţie a ecuaj;iei 1natJriceale algebrice Hiccu.ti, adică stmţ.i>t

A''L -1- LA - LBR-'B''L

+ CTQC

= -

JJ 1'1J<0 (7.86)

125

atunci matricea L- 1 este o suprasoluj;ie a ecuaFei matriocale algebrice Riccati cluale şi, totodată, matricea H~ ele relaţia (7.80), este stabilă în cazul îndeplinirii

dată

concliţ.iei

A''L +LA+ 20''QO >0

(7.87)

Demonstraţii• : Înmulţind la dreapta şi la stinga relaj;ia (7.86) cu matricea L- 1 şi schimbînd semnul se obţine

-

L- 1 ~F-

AL- 1 -f- BR-1BT- L-IQTQQL- 1 = (7.88)

deci nutricca L- 1 este l1lgebrice R leca ti rhulle.

snprasolnţia ecuaj;iei Totodată a•em

nmtriceale

= - L- 1 (A TL +LA + 20 7'QO)L-l = - 8"8 < o (7 .80) presupunînd concliţift (7.87) îndeplinită. Se obsetTă că (7.89) este o ecunţie llllttriceală liniară ele tip Liapunoy şi deoarece L- 1 >O şi BTB >O rezultă că nmtricca IÎ este stabili\. ObseTvatie: În relrcjirt (7.86) se poate comiclcm şi semnul

egal. Similar, propoziţie

pentru problema clual:l anm

următoarea

:

ProJ>oziţia

7. Dacă matricc:c constantă, simetrică, de forma 11 X n, pozitiv definită L este mbsolnjie l1 ecnaţiei n1atrieeale algebrice TiiccaH dnale, adică,

12G

A

atunci matricea. L- 1 este o snpmsolnţie n, ecuaţiei matrireale algebrice lUccati şi, totodfttii, nmtricea li, dată de relaj;ia (85), este stabilă,, in ca,zul indeplinirii condiţiei

-AL - LP' + 'JBB-I B >o 1

la

Demonstmj.i>t propoziţia G.

propoziţiei

'

(7.91)

7 coincide cu aceer1 folositi:\,

Obscrvnfie : În propoziţiile J -7 este suficient ca nmtriceit Q să fie pozitiv semidefinit.ă (şi nu pozitiv definit:1), dneit se lncreitză eu eenatht nul,tricea]ă, a,}gehrkă Hiceati şi eu eena1~hu n1a1Jricca.lă algebrieă, Riecn,ti dua,}fi., fă,rf't, a, enunţ" problema optinmlă dmtlă. Pentrn consirncţb unei subsoluj;ii a ec•nitjiei matriceale tulgebrice JI.iecn,i!i vmn consider:u o n1atricc eonf:d:u,nfiă., de form:1, r >< ·n., Jll0 astfel ca, n1atdccfb (7 .92) să fie stabilă; formularm1 problemei optimale asigură existenta nw,tricei .ili0 • Pentru 7~~ = 1, 2, . .. , considerăn1 1natrieea eonstantă,, de fornw, n X n, L 1,-;. 1 solutia ecua.ţiei n1atriceale liniare de tip J_jia.punov

(7.93)

unde (7 .94) şi

(7.95)

Ut.ilizinrl ucecaşi descompunere a reia.jiei (7.fJ3) ca în cazul problemei variabile în timp cu timp fi1ml fixat, vezi relat.ia (7.H7),sc }Joate arăta că, Ina,trieea LH 1 este o subsolnt·ie a ecmuţ;iei nutt.ricealc algebrice Riecn.ti şi, totodată, că nmtrieea. II1,+ 1 eKte stabilă. De fapt relajoh> (7.03) se poate deduce din metoda de rezol.-n,re itemtivft Newton-R..rt.phson a ecnat-iei mat.riceaJe algebrice Riecati. 127

De rtsemenea, se poate c1emonstm

că există

inegrtlibtert

[7.13]

Ii. < L,..",-I <. L 1, pentrn h

=

1, 2, ...

(7 .96)

Construcţia efectivă a unei subsoluţii a ecuaj;iei matri>Ceale n:lg-ebrice Riccati constă în efer.tuarea Ul'lnătoarelor etape : ·(a) .Alegerea unei matrice constante, de forma ,. X n, jJ:[0 astfel ca matricea H 0 , dată de rclaţirt (7.82), să fie stabil:l. (b) Rezolvarea succesivă a ecuaj;iei mrttriceale liniare de tip !Jiapunov (7.93) pînă Iri itemj;ia 7.: prefixatii. Comanda proporj.ională bazat(< pe sulwoluţ.ia L,, este

(7.97) Pentru constrneţ.ia unei snprasoluţii a eeuaj;iei matriceale algebrice Riccati se va construi o subsoluţie a ecuaj;iei matriceale algebrice Riccati c1uale care satisface condiţia suplimentară dată de propozij;ia 7, vezi relaţia (7.91). Fie o matrice constanti't, de formrt m X 11, jJf0 rtstfel ca matricea 'I (7 .!JS) I'ro~..·1.7'- - C' 1' J'o să

fie stl1bil{t ; fonnnlarca problemei optimale chmle asignră existenj;a mrLtricei ii0 • Pentru le = O, 1, 2, ... , considerăm Inn.tricea constantă, de fornuo n X n 1 Lk+l solnţ,ia ecuaţiei matriceale liniare de tip Lirlpunov

unde • ·t'' Hj,=-I

C''' ':[A 'J.,,

(7.100)

şi

(7.101)

128

Ţinînd seama de propozij;i;t 7, rezult•1 eă matricea Lk+l este o supmsolnţic a ecmtj;iei matricealc algebrice Riccati dacru este satisfăcută condit;ia (7.102) Construcţ.ia efectivă a unei supmsoluţ;ii a ceuaj;iei matril~icc"'ti constă în efectum·ea următoarelor

ceale algebrice etape:

A

(a) Alegerea unei matrice constante, de forma mxn, JII 0 A astfel ca matricea II" datit de relaţia (7.98), să fie stabillc. (h) Determinarea unei nmtrice L 1;+u k =O, 1, :J, ... , care satisface condiţ;ia (7.102), prin rezolvarea eemtFei matriceale liniare de tip r~iapunov (7.fl9). Condiţ.i"' (7.102) este îndeplinită în cazul comenzii optimale duale, fapt ce justifică. aplicarea, procedeului itcratiY. A (c) C"'lculul nmtricei inverse L;;-;, pentru mrttricea determinată hl punctul (b ), ertre este supmsoluţie " ecuaţ.iei 1nat,ricea.lc a.lgebrice Uiccati. Comancl:t proporţională bazată pc suprawluţ;ia calculată este (7.103) 11 1, (1) = - B- 1 B'' L,~;, x (t) A

Plecîn(l de hL algorit1nii lH'Czenta,t,i nmi sus pentru conunor sobsoluj".ii şi suprasoluj;ii rtle eClmţiei matriceale algcbriec R,iecat,i se YfL rcalizfL construcţia, con1pleUi a unei comenzi su boptinmle proporţ;ionalc eu un gr"'d de suboptimalit"'te impus, dac(t se va sveeifica modul de oprire "'vrocesulni jj;erativ astfel încît comamh proporţio­ nală să aibă un grad ele snboptimfLlitate 1nai 111ic su.u egal cu _gradul ele "uboptimalitn.te impus. In principiu, toate procedeele itemtivc pentru construcţb comenzii suboptimale eu un grad de suboptimalitate impus, mcnj;ionate în c"'zul problemei optinmle varbbile în timp cu timp fimtl fixat;, se pot aplie>t direct şi in cazul problemei ovtinmlc inv>trirmte în timr' cu timp final infinit, cu observTtţ~ia cft In prilna Hcratic trebuie sit se strucţia

9-C. :!OU

129

aleagă. o conmmli't proporj,ională care stabilizează sistemul respectiv. Aşa. ine]t, in cele ce nrinează nu se vor n1ai repeta procedeele menţ,ionate în paragraiul 7 .3.1, ~i se va prezenta Jmnmi metoda propusă de IC!einman [7.12] pentru inipa.Iizm·ea procesului iterativ. Procedeul propus de Kleinnmn pentru determinarea unei matrice JI, astfel ca matricea (A - BJJI) să fie stabilă, se bazea,ză pe următoarea propoziţ.ie:

PrnJloZijia Il. Dacă se consideră perechea (A, B) complet controlalJilă, a.tnnci matricea Jlf dală de relaj;ia

JI = BT

w-

1

(t1 J

unde (7 .105)

conduce la o ma.trice (A - Blli) sta.bilă. Drn1onstra1ie : Considerărn expresia lnatricea.Iă

fl ., e- 3 T ' ) <s= } + [~ r, e_..,, BBT e- 3 T 'tsj JAT = - ~~, -(e--''BB 1

o

0

tls

(1.106)

Da.r ave1n (A, B) complet controlabilă <~> TV(11 ) pozitiv definită . .Adunînd în ambii membri ai relaţ-iei (7.106) expresia

- 2BBT = - 1Y(t1 )Tl'- 1 (t 1 )BBT- BB 1' 11'- 1 (11 )lF(t1 ) (7.107) se

obţ,ine

[A- BBT Tr- 1 (t1 JJ ll'(t1 J + lF(t 1 J [A- BBT w-'(t,JY =

= - (e-··"· BBT e-A 1'r, 130

+ BBT)

(7.108)

Notînd

A =A - BB'' (J relaţia

=

w- 1 (1

1)

=A - BJJI

c--' 1• BB 1' e-A't,

(7.109a) (7.10!lbl

(7.108) devine (7.110)

Deoarece W( 11 ) > O şi (J > O, din teorema stabilităţii Liapunov rezultă eă matricea A are yalori rroprii cu parte reală negativă dacă e~Tt(J eA:z·t ~o, Vt. Aceasta însearnnă că este suficient să arătăm c•1 wTt B =!= O, 'It, ceea ce echivalează cu faptul că perechea (A, B) este complet controlabilă. Dar există impliertţh> [7 .5] : (A, B) complet controlabilf1 (~) (A - BB 1' JF- 1 (t), B) complet controlabilă astfel încît demonstraţia este ineheiată,.

C:tlculul efectiv :tl matricei J11 care conduce la o matrice ("1 - BM) st.,bilă, utilizînd procedeul Kleinm.,n, se reduce la c'"lculul integral ei matriceale (7.105 ), calcul ce se po.,te efectua prin metoda prezentrtti1 in capitolul 4. Parametml 11 poate fi ales 01,rbitrar, preferabil se rtlegc o va,loare cît rnai rnică pentru uşnrinţ;a calculului ~;eriei ce aproxime.,ză integrab (7.105). Obscrvat·ic : Dacii nmtricm1 A este stabilă atunci se portte alege direct JJI = O. Pentru sisteme monovariabile, r = 1, există posibilitatea de a construi matricea Jll utilizînd matricea de controlabilitate rt perechii (A, B). 7 .3.3. E;t'C11t]Jlc de calcul

În cele ce urmează se vor da exemple de calcul pentru comenzilor suboptimale proporţionale cu grad de suboptimalitate impus, cazul tratat în paragraful 7.3.2. Programele de calcul, descl'ise complet in lucrarea [7.11], au posibilitatea. ele a efeetna un număr de it;em('ii fixati dinainte sa,n de a efectua un nu1ntu· de itera.ţ;ii pînă cîml se obţine o comandă suboptinmlă cu nn gracl de snboptimalitate mai mic sau egal cu graclnl de snbopticonstrucţ,ia

131

malitate impus; determinarea gradului ele suboptimalitate s-a făcut prin metoda dată, în 7.2.2. Principalele subprograme scrise în FORTRAN IV, sînt date în paragraful 7.5. Se consideră problema timp fin>1l infinit, adidi ,; (1)

=

optimală invariantă

în timp cu

Acc(t) -1- Eu (t)

:c(O) =

y(t)

=

;1'0

Cm(t)

şi

~~

J(u) =

[yT(t)Qy(t)

+ u' (t)Ru(t)] dt

.(]

Exemplul 1 : Fie

A=[ O -~J =J -l

(J

[1

n

=[o

,R

=[~ ()] 1

'

1

~)]

,O=[l

S-au obţ,inut rezultatele: (a) Subsoluţ,ia emmj~iei nmtrieen,le algebrice Iticco,ti, două iterajcii, este L _ [

iar conmnda

1,335G91G -0,3507J278

132

după

-0,35074278] 0,68299208

suboptinuolă es1~e

--R-IBTL•( )--[-0,3il07L.978 ''" (f ) ,r, t -

"

-:3]

1,33iJG9Hl

0,68:39920. 81 ( ) -0,35074278 '" t

care are graelul ele suboptimalitate p = 1,0037152. (b) Suprasoluţ.ia ecuaţiei matricerole algebrice Riccati, după 3 iteraţii, este

i - [

-0,38109613] 0,65668585

1,232608 -0,38109613

m· comanda suboptimroli\ este ,; (t)=- R-' BT Lx(t)= _ [ -0,38109613 0,65668585] x (t) ' 1,232608 -0,38109613

care are gradul ele suboptimalitate p = 1,005702. Exemplul 2 : Fie

A= [

~ ~ ~]

-1 -2

,B =

-3

o o

l1r~]

1

l

,0= ~

~l ,R =

1J

[1]

S-au obţ.iuut rezultatele : (a) Subsoluj;ia ecuaţ.iei matriceale algebrice Riccati, 6 iteraţii, este L

=

1,9509515 1,8921861 [ 0,43781331

1,8921961 5,0038385 1,3020153

0,43781321 ] 1,3020153 0,563,18902

iar comanda subop1;imaH\ este 11, (t) =

= - [0,43781321

-

R- 1 BT LiV (!) 1,3020153

=

0,563,18902]

X

(t)

care are gradul de suboptinmlitn,te p = 1,1039253.

după

(b) Snpr11soluj;ia ecuaţiei matriceale algebrice Riccati, dup[t 3 itemţii, este

i

=

1,424548 o,98oo7254 [ 0,15394026

0,9800725,( 3,2428147 0,73711393

0,15394026 ] 0,73711393 0,38086593

iar comanda suboptimalii este

~~. (t) -

-

= -

[0,15394026

R-r BT Lx(t) 0,73711393

=

0,38086593] x(t)

care 11rc gradul de suboptimalit11te p = 1,0225706. ExemJilul 3 : Fie 1 1

oo]

,a= [ o o 1 o o o o 1

Q=

"

[~

o

~]

1

o

,R = [1]

S-au obţinut rezultatele: (11) Snbsoluj;ia emmţiei algebrice Riccati, dnpii 10 este: 4,041948 7,7725265 L = 7,7725265 18,203200 [ 4,6062686 14,158180 0,7924504 2,7750370

i11r conmnda

snboptimală 11,

- [0,7924504

134

4,6062686 14,158180 15,483035 3,2752326

itemţii,

j

0,7924504 2,7750370 3,2752326 0,85783191 -

este

(t) = - R- 1 BT L.v(t) = -

2,775037

3,2752326

0,85783191} X (i)

care are gri~dul de suboptinmlitate p = 1,0017617. (b) Suprasoluţ;i[l ecuaţiei matriceale algebrice Riccai;i, după G itemţ;ii, este 3,6996355

i

=

7,0654102

,1,2017354 16,399361 12,685745 12,6857 45 13,798267 2,•1784191 2,8943124

7,0654102 4,20173/H -0,72572072

iar comanda

suboptimală A

11,

(t)

- [0,72572072

= -

este A

R- 1 B~ Lx(t)

2,1784191

0,72572072] 2,•1784191 2,8943124 0,7691568•1

= -

2,89•13124

0,76915684} x(t)

cttre are gradul de suboptimrtlitate p = 1,00.3105. 7.4.

lleto•lă

de determinare a comenzii

snboptirnale

]ll"oporţional-intll[lrale

1n acest pi~ragmf se va trata problema sintezei tmei comenzi suboptimale proporţional-integrale pentru problema optimillă liniar-po;tmtică invilriant[; în timp cn timp final infinit, cilre va conduce la o pcrformanţ.ă linboptimală cn un grad de suboptimalitilte impus. Fol"lnularea problemei suboptimille consideri~te este urmă­ toarea. Fie sistemul linim· descris de :i:(t) = Ax(t)

-1-

B11(t)

.v(t 0 ) = m0 (7.111) unde m(t) reprezintă un vector n-dimensional, 11(t) un vector 1·-dimensional, iar matricole constan1;e A şi B sînt de forma n X n şi, respectiv, n x r (1· ,;;:; n). Se urmă­ reşte să se determine o comandă suboptimală proporţional­ integrală de forma ·n,(t)

= G1m(t) -j-G 2 ( '

J,,

m(s) ds, Vt

>

t0

(7.112)

unde G1 şi G2 sînt matrice constante de forma ,. X n, astfel încît să fie minimizat "aproxim10tiv" indicele de

per:formanţ.ă

J =(ro [mT(t) Qm(t) -1- nT (t) Rn(t)]dt

J,,

(7.113)

135

Presupunem eă sînt îndeplinite următoarele condij;ii uzuale (a) Perechea (A, B) este complet controlabilă (b) J\fatricea constantă Q, de forma n x n, este simetrică pozii;iv semidefinită (c) l\fatricea eonstantă R, de forma 1' X 1·, este simetrică pozitiv definită (d) Perechea (H, A) est;e complet observabilă, unde nmtrieea Il satisface relaj;ia H 1'II

=

Q

Se urmăreşt;e determinarea unei comenzi suboptimale de forma (7.112) pentru care G2 =/=O; sistemul suboptiml11 obj;inut trebuie să fie stabil. În scopul rezolvării problemei suboptiml1le formulate mai sus se va considera următoarea problemă optimală a.uxilia.ră. Pentru sistemul (7.111) se va determina o comandă optimală care minimizează indicele de performanţă auxiliar (7.114)

unde Z este o matrice const;antă, simet;rică, de fornm x '1', pozitiv definită, iar condij;ii!e (a) - (d) sînt îndeplinite. Rezolvarea acestei probleme optimale auxiliare se va face urmind metoda propusă de :i\Ioore-Anderson [7.H].

1'

Notă1n

A

.

;1'(/)

=

[x(t)]. , 11(/) = H(t), A

Q= t3G

A=

,

A

11 ( t)

[oQ

o],

B,

[A

o (7.115)

A

A

A

A

A

A

unde elementele introduse x(t), 7<(t), .A, B, Q, şi R sînt de 1') x 1, 1' X 1, (n 1') X (n + r), (n + 1') x 1·, forma (n (n+r}X(n+1') şi,respect;iv, 1'XT. Folosindnotaj;iile(7.115) problema optimală auxiliară se transcrie astfel

+

+

;..._

A

A

A

-1-

w(t) =A :v(t)

'

w(10 ) =

A

Bn(t)

(7.116)

[x(t )]c,' ="'o 0

" (!o)

cu indicele de performan ţ.ă

J=

[~ [~T(t)Q~(t)

J,,

+ ;,T(t) R~l.(t}]dt

(7.117)

1n acest caz condiţiile uzuale (a) - (d) sînt următoarele: (a') Perechea (Â, B) este complet cont;rolabilă, ceea ce echivalează cu mng (n,ln,~~'B, .. .)"."_ 1Îil = n

+ 1·<~>

rang (B,AB,A'B, ... ,A"+'- B) = n

<~>

2

mng (B, AB, A'B, ... ,A"- 1 B) = n., unde s-a ţinut; seama de teorema Cayley- Hamilton. Deci avem relaţia (Â,

B) complet controlabilă P(A, B) complet

controlabilă adică condiţia

(a') este

îndeplinită.

(b') Matricea simetrică Qeste pozitiv semidefinită. Dacă condiţiile (b) şi (c) sînt încleplinite at;unei această condiţie este satisfăeută. (c') :i\Iatrieea simetrică Îl este pozitiv definită. Deci este necesar ca matricea Z să fie pozitiv definită. (d') Perechea (H, Â) este complet observ>tbilă, unde matrice>t H' este dată ele relaţia

ÎIT ÎI= Q Dar

' A) ' complet (H,

observabilă <~>

137

este evident satisfăcutit dacă matriceib 1'), ceeib ce este adevărat dacă matricea Q este pozitiv definită, adică matricole Q şi R silit pozitiv defillite. in concluzie, condiţiile (a') - (d') ale problemei optimale auxiliare sînt illdeplinite dacă se consideră nmi;ricele simetrice Z şi Q pozitiv definite; în cazul matricei Q pozitiv semielefinită trebuie verificată, sepamt condiţia (d'). Dacă sînt îndeplinite condiţiile (a') - (d'), soluj;in, problemei optinmle n,u:s:iliare este , Aceibstt'l

condiţie

H este ele mng (n

+

(7.118) unde mn,tricea P, ele formn, (n + r) :< (n + r), este soluţ;in, pozitiv definită " ecuaţ;iei mn,triceale algebrice Riccai;i

unică,

(7.119) Dacrt consiclerăm următo:1ren, descompunere a matricei simetrice P

p=

[Pn p21

Îll

blocuri

pg~]

(7.120)

p22

unele nmia·icele Pw P 2" P 21 sînt ele form:1 n x n, şi, respectiv, r x n, relaţia (7 .119) se po:1te scrie

;,*(t) = sau

R- 1 [P21

Ii.*(t) = - z-'(Pz,m*(t)

Deci comanch sa tisff!,ee

optimală

P 2 z] ~*(/)

+ P,zn*(l))

1'

x r

(7.121) (7.122)

a problemei optinmle muili:1re

ecuaţia

(7 .123) Dacă este cunoscutii vn,loaro:1 11·*(t 11 ), n,tunci din rehtir~ (7.123) se determină complet comanch optinmli\ a pηoblemei optimale a=iliarc.

138

1n cazul utilizării comenzii optimi>le 'lt*(t), cli>tă ele (7.118), sistemul (7.116) devine

relaţii>

A

A

(7.124)

m(tu) = '"o

unele matricea 0, ele forma (n + T) x (n + r), este valoarea indicelui ele performanţă (7.117) este A

A

stabilă;

A

J* = xtTP
+ [u.*(t11 ) + P;;,' P

21 x3'YP 22

[u.*(t 0)

+ P;;,'P",vtJ

DacU, 11*(t0) se poate alege, rttnnci se vrt considom pentru ca.re se 1ninilnizen.z:l. Y:l..loarcn. J*, a.dică.

(7.125) situaţii>

(7.126) şi

cleei se

iniţială

este

constată că

m(t0 )

valom·ea

;

A

J ** =

Vi>lm1rea ·n*(t 0 ) depinde ele concliţi;; minimt~ a indicelui ele performanţă

,T(Pnrt-o

P''P-'P · 21 !!:?. :::1 ) ,l,u

(7.127)

:i\Iatricm1 cost, opt;iumlă (P11 - P{,P;;, P 21 ) est;o pozit;iv definitU,, n,cest lucm reicşincl imediat din relaţia, (7.125). Ţinincl sen.mn. do l1fb1'1iit.ionarerL rnatrieei P, ocua.ţ;ii1 matriceală a.lgebrică Riccati ('7.119) se poate cleseompnne în următoarele relaţii 1

+ ATP + Q- P[,Z- P =O B -1- BTPg; + B- P"Z- P =O A + BTP P 22 Z~ P 21 =O

P 11A

1

11

1

P 21

P 21 Ţinincl şi

(7.114)

1

11 -

21

(7.128)

22

(7.129) (7.130)

seama ele forma indicilor ele performanţ;ă (7.113) rezultă că pentru aceeaşi conmndă avem inega-

litatea J "( J*

(7.131)

semnul egal arc loc pentrn Z = O. 139

Rezolvarea problemei snboptimale mmăreşte determinarea matricelor constante G1 şi G, asi;fel încît comanda snbopt,inmlă (7 .112) şi conmndrL optimală amdliară dr.tă de relaţia (7.123) să comlndi, 1>1 indici ele pel"fornmn\'i"i cît 1nn.i f!lpropiaţ;i printr-o alegere convenn.biH1 n. nu1,tricei pondere Z, şi, silnuliia.n, clinmniea celor două cmnenzi

fiind cit nmi apropiată. h Relaţia ( 7.112) este eelil valent[L cu reia ţ,iile

'rinînd asi;fel

seamr~

'*) =

G1.r(t)

11(1 0)=

G,:t(/ 0 )

Din identificare:L

(7.132) (7.133)

rcla,ţb

de (7.111),

zi(t) = G1 Bn(t)

+ G,m(t) (7.132) se

+ (G A + G,).T(t)

relr.ţ;iilor

1

(7.123)

şi

(7.134)

z- 1 P,, G, + G, A = + z- 1 P 31 din identificu,rea

relaţ;iilor

(7.126)

şi

scrie

(7 .134) rezultă că

(7.135)

G,B = -

şi

por~te

(7.136) (7.133)

rezultă că,

(7.137) Hezolvarea "ideali\" a problemei subopi;imr.le constă în satisfacerea, simultană a ecuaţiilor matriceale (7.119), (7.135), (7.136), şi (7.137) pentru care avem necunoscutele P, z, G1 şi G,. Un bihmţ; general al numărului de ecuaţ;ii şi al numărului ele necunoscute conduce la egalii;a ten, ;ocestora, clar totuşi trebuie ţinut seama că matricole Z şi P sint nmtrice simetrice, pozitiv definite. Din nefericire rezolvarea, simultană '" emmţiilor (7 .119), (7 .135) - (7 .137) nu este posibilă, în cazul restricţiilor susamintii;e, a.şa încît se va propune rczolvttrea unor probleme suboptimn,le {'.are să urnlăren.scrt. satisf:ocorert nunu1i it trei din relaţ>iile (7.119), (7.135)-(7.137) şi îndepliniren, condiţ,iei ca matricele P şi Z să fie simetrice, pozitiv definite, în i;imp ce cea de n, prttm rob ţie este n,proxinmtiv îndeplinită. Pentru n,signru,rea stn,bilităţ,ii sistemului subopl;inml este suficient să se alertgă matricea Z simetriei\, pozitiv definii;ă, mn,i;ricea P s[L se detormîne elin ecun,ţ;ia (7.119), iar matricele G1 şi G, să se determine din rebţiile (7.135) şi (7.136). 14.0

Noîmlopliniren, robţiei (7.137) este consecinţn, n,legerii unei ·u(t 0 ) neoptinmlo şi are ca efect deteriomrea

condiţii

performanţ;ei obţ.inute.

În continum·e se ·vor analiz11 mimuoa mn,tricclor Z, P, a1 ohservn,ţ;iilo de nmi sm.

două variante IWntru deterşi

a"

luind in considerare

Farianla 1 (1) ecll:1ţ.iilo (7.1HJ), (7.136) şi (7.137) sint s;Ltisfăcute nmtricele P şi Z sint pozitiv definite. (2) ecuflţ.in, (7.13u) este fllH'oxinmtiv s»tisfăcutl<. F a,ria.n.ta ,Z (1) eClmţiile (7.119), (7.135)

şi (7.136) sint Sfltisfăcuto Z sînt pozit,iv definite. (7.137) est;e flproxinmtiv satisfăcută.

mflt,ricole P (2)

ecuflţia

şi

şi

şi

Obscrva.lic : Utilimrc" varin,ntoi 1 necesită verifieflrmL stn,bilitil,ţ;ii 'sistemului suboptiJn[Ll obţ;inut, deo>trece relaţ.in, (7.135) nu este indeplinită. Presupunînd că mal;ricolo al şi a, au fost Cfllculate, sistemul suboptinml va fi descris do emmţi» ·b(t)

unde s-au

făcut

=

(7.138)

notaţ.iile

v(t) = [vl(t)]· v,(t)

r

= r v(t)

1\(t) = m(t),

v,(i.)

=)

t

;c(s)tls, 'Du= ()

[A ~ Ba B: 1

2

]

[o'"o]

(7.139)

În lucrflre» [7.11] so st;r~hileşte o legătură intre v:1lorile proprii ttle m:1tricei r şi vn,lorilo proprii n,le mn,i;ricei 0, pentru mn,tricele a 1 şi a, dn,te ele relaţiile (7.135) şi (7.136), adică. variantih 2 şi illnnine : 1-il

Propozi(ia 9. Dt~că matricet~ 0 este stt~bilă t~tunci r ilre (n - ?") vt~lori proprii nnle şi celelalte (n + ?") valori proprii coincid cu vt~lorile proprii ale nmtricei 0, unde mt~tricet~

"" 1 B''P " 0 = A" - BR7.4.1. Deter-minarea comenzi-i S1lboptima.le intcrvalc prin varianta 1

(7.140) 1li'01JO>'ţional­

În cadrul acestei variante există mai multe posibilităţ;i pentru determinare-fi matricei Z şi, evident, pent;ru determinarm• celorlalte matrice necunoscute, in funcţ;ie de aproximt~ţia care se frLce la . verificarea relaţ;iei (7.135); în continuare se vor prezenta două posibilitliţ.i. Yarianta lA. Deom·ece relaţia (7.135) nu este satisfă­ entă, se urmru·eşte l11inimizarea. expresiei

.f = tr[(G1B

+ z-•p"jT(G B 1

-1- z-'Pd]

(7.141)

în mport cu Z. Înlocuind matJ•icefl G1 din (7.137) in (7.141) se obţ;ine

.f = tr[( -P;:,' P"B +Z- 1 P"JT( -P;;,'P,,B+Z- 1 P 22 )] = = tr[(R

-1- P 21 B)P:;} Pi;21 (il

+ P"B)r]

(7.142)

unde s-a ţ;inut sermm de l'Claţ.ia (7.129). Minimizarea expresiei (7 .1J2) in raport cu nmtricea Z se poat;e face printr-o metoilli de gmdient; (Z pozitiv ilefinitli), V'1lolbrelb matricei Z pentru itemţifh următolbrc fiind datli ele expresia Z,.~1 =

',

z,.. +

D[

E ---

iJZ,,

(7.143)

Procesul iterativ se va opri cînd se obţine nomm difedou(• Ylblori consecutive ale nmtricei Z mai valoare impusli.

renţei dintre mică decît o

142

Ya.rla.nta 1B. Se nrlnă.re~te sfl se flet:enninc n1a;f:.ricea A Z astfel ca pel'fommnţ.a suboptimali\ i
J**


umle perfonnan(oa J* este

dMă

(7.144)

de (7.145)

iar n1atricea silnetrieă, pozith' definită. Ii., este ecuaţici nut.t.rice:1le algebrice R.iceati

soluţ".ia

(7.HG)

i\fi\rimea scalari\ "'are ca semnificaţie gradul ele suboptimalitate al comenzii suboptimalc ideC1le faţă de comanda optimală proporţională. Trecerea de la o iteraţie la alta, în procmml Herativ de detenninnrc a n1atrieei Z, se poute face, ele exemplu, prin micşorarea tutmor elementelor matricei Z eu un amunit factor ~' ~ > 1 ; eyicleut, prin această modificare a matricei Z se obţine b fiecrtre ite· m(oie o micşorare a pcrfornmnj:ei suboptimale ob(oinute. ·valoarea fina.lfL a nuttrieei Z va deph1dc atit de valoarea iniţ.iali\ Z 0 cît şi de factorul ~- Desigur, factorul ~ poate fi modificat ele la o itera(oic la, alta. l'rocesul iterativ se opreşte in momentul ob(:inerii unui grad de suboptimalitate o: mai mic :mu egal decît o n1loare impusi\. În cazul neîncleplinirii condij:ici ele stabilitate " sistemului S11boptimal obţinut se poate trece la o rehmre a calculelor cu alte valori inijoittle. Schema logică este daU\ in fig. 7 .1. 14.3

Desigur există multe alte posibilităţi de determinare a matricei Z dorite, de exemplu, se poate ţine seama simultan de cele 2 aspecte folosite în variantele IA şi IB prin introducerea unui factor de penalizare. J'e alege o maln"ce pozitiv u'elinilă Z0

• • 1 J=J•t 1 I=fl

1

1

Calculul mak/cei /} tiin ecuoj/<1 (7. !19) .

l m11lrJcea J'e moclilic
j Calculul grilclulu/ oi? su/Joplim.;/ilak a comenzii .ruOoplimîYie io'eale- «:

J!lu


Nu

!Jil Calculul malni:eior 4 -1iflc o'!il re!iljli/e (7.137) ri(l/35) ~-

J'e./eslează

stabil/Jalea s/slemu/ui su/Jopl;inal Fig. 7.1.

144

7.4.2. Dete>"minaren comenzii S'llboptimalc grale prin varianta 2

JUopo,-ţional-inte­

De asemenea, şi în cadrul acestei variante există numeroase posibilităţ,i pentru determinarea matricei Z şi a celorlalte matrice ; în continua,re se vor prezenta două posibilităj;i.

Dacă matricea Z este cunoscută, atunci matricele Pw P,. şi P 22 se obţin din rezolvarea ecuaţiei matriceale algebrice (7.119). Din relaţia (7.135), pentru n): 1·, se poate scrie că

G1 = -

z- 1 P 22 B* -1-

Y (I- BB*)

(7 .H7)

1mde B* este matricea pseucloinversă Pemose asociată matricei B şi Y este o matrice arbitrară de forma 1· X n. Snbstituind relaţ,ia (7.147) în (7.136) se calculează matricea Go. Varim~ta 2A. Se va alege matricea arbitrară Y astfel ca relaţia (7.137) să fie cît mai bine "satisfăcută"; de aceea se va minimiza expresia ( 7.148) în raport cu matricea Y, unde f = tr (WT P 22 W) (7.148) şi

lV = G1 -1- P-;JP21 = -

z- 1 P 22 B* -1-

-1- Y (I - B B*) -1- P 021 P 21

(7.H9)

Dupii det;erminarea matricei Y, se poe1te trece la minimizareCL expresiei f, date de relaţia (7.HS), in raport cu Z printr-o metodă de gradient. Celelalte ete1pe coincitl cu acelea de la varianta lA. V'arianta 2B. Oa, şi în cazul variantei lB, se unnăreşte determinarea matricei Z astfel ca perfmmanţa suboptimală itleală J** dată de relaţia (7.137), să fie mrti mic{c sau egalii. decit o valoare hnpusă.. În a.cea.stă variantă Ininimizarert expresiei f dată de (7.148), se face tlnpă objoinerea unei soluţii suboptimrtle ideale cu un grad de suboptimalitate mai mic sau egal decît gradul de suboptinuclitat;e impus. Schemrc logic>\ este dată în figma, 7 .2. 10-c, 206

145

se alege o malrice po~iliv de!iiJil.i Z0

~ 1

f=fJ

1

1

f=f+f

1

l CalctJiul mo>lr/cei !} o'/n l'CU.?.Iia (1 11!1}

+ Calculul gradului o'e su!Joplimahlale a comenz1? suOoplima!e ideale.-o= ;Vu

l<~inpu.r.

1

Dil C(~c(7

;Vu

Da Calculul malri'cei 0 dtil relo>jt3 (7. /J5)

-+ Calcukl malricei Y1mn minimiZarea expresie {1./lt8)

l .llelerm;il,;rea compl.ddw a malrice/or 6j fi~ Fjg, 7.2.

HG

J'e m oo'ific3 1 mall'/cea Z;

Observatie : Plecînd de la acelaşi procedeu c1e identificare a dinamicii comenzii suboptimale de tipul (7.112) cu dinamica unei comenzi optimale pentru ]Jroblenm optimală auxiliară considerată se pot obj•ine şi alte metode pentru constructia comenzii suboptinmle proporţional­ integrale [7 .11 ]. Calculul grn.dului de suboptinmlitate se frbce prin utilizarenr 1.nctodei expuse in 11aragraful 7.2. Progran1e de calcul scrise în J;'ORTRAN IV pentnl varbntele 1B şi 2B se go'isesc în lucrarea [7 .11] ; in exemplele de calcul efectuate s-a ales l" = O. 7.4.3. Exemple ele calcul

în owest paragraf se yor da dom't exemple de calcul care urmăresc constrncjoia comenzilor proporţ.ional-inte­ grale după n1etodologia prezentaHL nuti sus. Progran1ele ele enlcnl se găsesc in paragraful 7.5 şi în lucrarea [7.11]. Exemplul 1 : Fie problenm snboptinmlă pentru cam aven1

1.L

-

o [-1

1]

. -2 '

-s]

~];

± Q = [ -8 16 ; J\Iatricea cost

optimală

K = [

este

1,977~ -1,0±3o

S-au

Fimp=1,02

obţ.inut următoarele

-1,0435] 1,7225

rezultlttc :

1) Primi! itemtie

z

= [0,0003125

o

]

0,003125

147

pentru eaTe gradul de suboptimalitate este 1,0H79. ::t) PTin varianta 1B

01

= [

1_,6933 -J ,7G0:3

Go = [ 25,6136 " -36,33±

-:J,32G

l

O,GG75 _

-42,5205] 19,2484

S-a verificat st::tbilitatea sistemului suboptimal. b) PTin varianta 2B :

01

-= [ 1,2598

a"= [ ~

-19,8095

-15,191] 1,2598

12,H87 -35,7417

-67,817 38,4827

J

2) A c7oua itera{ic

z=

[0,000078125

o

]

0,00078125

pentru care gmdnl de suboptimalitate este 1,0154. ::t) Prin varianta 1B :

ar_- [

1,8473 ..,...,.., -l,Sooo

Go = [ 51,8744 -71,6812 "

14.8

-2,7051 0,82263

J

-86,197] 38,269

S-n, verificn,t stn,bilitaten, sistemului suboptimn,l. b) Prin varin,ntn, 2B

. l

Gl=

1 3558

-28,2106] 1,3558

'

-37,725

Go = [ "

-136,6166] 75,2058

26,41.88 -71,U8

Exemplul 2 : Fie problemn,

suboptimală

pentru care

aven1

A= [

~

-1

1

o -2 R

Matricea cost

K = 1) P-rima

=

[1];

optimală

PimP

=

1,02

este

2,18708 1,88291 0,4U21_4] 1,88291 3,80837 0,960715 [ O,H4214 0,960715 0,,1527,13

iteraţie

z=

[1]

pentru care gradul de suboptimn,litate este 1,06988,[. a) Prin varianta 1B G1 = [ -0,134259

G2 = [ -0,389783

-0,506876 -0,222387] -0,9424974 -0,4375622]

Sistemul suboptimal este instabil. b) Prin varianta 2B G1 = [

o

o

G2 = [ -1,414209

-3,1%6

-l,2468U] _,1,017717]

Sistemul suboptinml este stabil. 2) A c1ona Ueraţ-ic

z=

[0,25] 149

pentru care gradul ele suboptinmlitate este 1,0260515 a) Prin varianta lB G1 = [ -0,2221534 G, = [ -0,807085

-0,666488 -1,906209

-0,2929552] -0,8903637]

Sistemul suboptimal este instabil. b) Prin varianta 2B G1 = [ O G, = [ -2,828422

O -6,171038

-2,334293] -7,620864]

Sistemul suboptinml este stabil. 3) A treia

iteraţie

z

= [0,0625]

pentru care gradul ele suboptimalitate f1) Prin varianta lB G1 = [ -0,295645 G, = [ -1,M15

-0,784725 -3,83191

Sistemul suboptimal este instabil. b) Prin varianta 2B o G1 = [ O G, = [ -5,65685

-12,15824

-0,350704] -1,79857]

-4,36604] -14,62933]

Sistemul suboptimal este stabil. 7.5. List an~ a unor snl1progranw

dt~

calcul

În n,ccsi; paragraf se vor ela unele suhprogmnie de calcul utilizate la determinrtrert comenzilor suboptimale proporţ;ionale pentru ct~zul problemei optimale invariante in timp. Programele ele calcul sînt scrise în limbajul FORTRAN IV. Subrutina SD13ER (Fig. 7.3) serveşte la construcj;ia unei snbsoluţii a ecuaţiei matriceale algebrice Riccati (formn, rcclusă)

ATX

+ XA- XBTBX + QTO =o

Această subrutină este prevăzută cu posibilitatert ele rt stabili numărul ele iteraţii ce se efectuează şi, totodată, cu posibilitatea de a scrie (011ţional) subsoluţia determinată la fiecare iteraţie.

150

Notaţii:

SUBER (N, IR, li'I, A, B, O, EL, NRIT, IS, *) N, IR, lVI - dimensiLmi ale nmtricelor A, B, G şi L N .,; 10, Il~ ~ 10, lYI ~ 10 n1a.tl'icea. eunoscut:1 A., de forrna. N x N A matricea. cuno;;cută B, de fornm N x IR B matricea cunoscut>> G, de forma l\I X K o numărul de iteraţii ce oe efec1>uează NRIT 1 se scrie matricea L lrL fiecare iteraFe IS ::p 1 nn se scrie n1atricea L Ia fiecare iteratie matrice de forma N x N, ce reprezintă EL subsoluţia L a ecnaţiei nmtriceale algebrice Riccati (fOI'nmredusfL), adică .:l''L +LA- LBB''L +O'' O< O * - punct de intoarcere în programul chen1ător

Subrutina SUBER utilizettză submtinclc STAB şi El\ILB ; evident, subrutina Ej\'ILB poat.e fi înlocuită eu alte subrutine ce rezolv:1 ecuttţin. matriceali1 de tip Liapunov - vezi cap. 4. Subrutina STAB (fig. 7.4) calculează matl'Îcen, Y astfel ca matricea (.:1 - B Y) să fie stabilă, folosind metoda propusă de Kleinman, în ipoteza că perechea (A, B) este comple1; controlabilil. Notaţii:

STAB (N, IR, A, B, Y, *) N,IR - dimensiuni ale matricelor A, B şi Y,N ~ 10, IR < 10 A - n1atricen, eunoscută. A, de forn1a N x N B- matricea cunoscută B, de forma NxiR Y - rna.trice necunoseută. de fornuu IH x N

*-

puneti de intoa.rcere în progratnnl

chen1ător.

SubrutimL STAB utilizează subrntinele IEXB:S::P şi l\IATINV. Subrutina RADJ\IP (fig. 7.5) calculează rftdăeina pi1tmtă clintr-o nmtrice simetricfL pozitiv (semi) definită; fiind dată rnatricea 1 1 se calcnlea,ză Tnatricen, ..A. astfel ea, AA 1' = = T. Această subrutină se poate utiliza pcnti·u aducerea ecnaţ,iei matriceale n.Jgebrice Iticcati la forma reclnsf<. 151

-·'"' -.,;~

SUBROUTI~E SUBERIN,IRoMoAtBJCoElfNRÎT,I~,•I

c c

SUBRUTINA CONSTRUIESTE O >UBSOLU lE A ECUATIE! MATRICEALE ALGEBRICE RICCATI !FORMA REDUSA! SUBPRDGRAME UTILIZATE - STAB EMLB

c

REAL A(l0,10lrB(lO,lOJ 1 C{l0rl6J 1 EL(l0 1 10J,Y(l0 1 lOJrZC10 1 10) *XClO,lO) CALL STAB(N,IR,A,B,Yr&lOI

IT=D

1 IT=IT+l

DO 2 l=lrN

2

DO 2 J=l!N ZII 1 Jl=A J,J) DO z K=l ,IR ZII 1 JI=ZII,Jl-BII 0 KI*Y.IK 0 Jl DO j I=l ,N DO 3 J=l,N X(I,Jl=OoO

DO 8 K=l JR XlloJI=YIK,r l*YIK,Jl+XIJ,JI 00 3 l=l M 3 XClrJl=CIL,Il*CCL,Jl+X(I 1 J) CALL EMLBCN,z,X,EL 1 &101 IFIJS.NE.ll GD TO f 8

WRITE(3 1 4} IT 4 FDRMAT{//SX, 'ITERATIA 1 t2Xri2/J

D051=1N 5 WRITE!3,bi IELII,Jl 1J=l1Nl 6 FORf-IAT( 1 1 SX lP6El1:1.7/ 7 !FI!T,GE,Nl!TI AETURN DO 9 I=l,IR DO 9 J=l,N

YCirJI=O.,O

DO 9 K=l,N . 9 Y ( I, J l =B ( K,I l *EL{ K, J) + Y (I , J l GO TO 1

10 RETURN 1 ENO

Fig. 7.:1.

1

Notatii: RADlHP (N, T, A, *) dimensiunen. mn.tricelor '1' şi A,N < 10 T - mt~tricefl iniţin.lă, de fornm N X N A - nmi;rice cn.lcubtă, de formn. N X N ' - punct de înton.rcere în progmmul chem(ltor Subrutinn. RADJ\IP utilizen.ză subrutina, NORJ\L Subrutinn. NORJ\'I (fig. 7.0) calculen.ză nornm matricei N -

A

după rebţin.

IIA li =miu {max unele

a"

2:

la., 1, max

2:

laii Il

sînt elementele mat'l·icei A.

Notatii: NORi\1 (N,A,X) N - dimensiune» nmtricei A, N < 10 A - matricea cunoscută. A, tle fornm N X N X - nor1na 1natricei A Subrntinn. SUBOPl (fig. 7.7) caleulen.ză ceCL mai mare valoare proprie reală a matricei B.!l - 1 • Această subrutină se întrebuinţ,eaz[tla calculul grn.dului de subopt;inmlitatc.

N ota[ii: SUBOP1 (N, A, B, 1~0) N - dllnensinnea Inatricelor A şi B, N < 10 A - 1natricea cnnoscufir~_, .il, de fornut N x N B - matricea cunoscută B, de forma N x N RO - cea mai mare vn.loare proprie real:\ a matricei BA-1 Snbrutiua, SUBOPl utilizeazCt subrutinele POT"OAB, i\IATINV, l\Ii\IULT şi PROOT. Subrntina SUBOP2 (fig. 7.8) ealenlează. eea nuti n1are valoare proprie rertlt1 a nmtrieei BA. Ace:tstă suhrutin(L se întrebuinţează Iri calenlul gmrlulni de snboptinmlibte.

153

...~ SUBROUTINE STAB!N IRĂA,B Y OJ . SUBRDUTINA CALCULEAZ MAfRfCEA Y ASTFEL CA MATRICEA A - B*Y SA FIE STABILA PRIN METODA KLEINMAN SUBPRDGRAME UTILIZATE - IEXEXFlMATINV REAL All0rlO),Btl0 1 10l 1 Cl(l0 1 10 ,C2(10 1 10),Z(l0,10},Y(l0 1 10l T=O.l -

c c c c

DO 1 I=l,N

DO 1 J=l,N Clii,Jl=-Ati,Jl C2 I 1 J l =C 1 { J, 1 l Z(I,J I=OoO

DO 1 K=l I R

Z!I,JI=ZII,JI+B!I,KI*B[J Kl CALL IEXEXrtN,N,Ct,CZ,z,ffy,z,&5l CALL MATINV!N 1Y 1 z ol,MR,M 1 . IF((MR.EQoNleANUo 1MToEQoU l GQ TO 3 WRITEI3,21 2 FORMAT!//5X,•STAB- MATRICE SINGULARA.- MODIFICA' T•IJ 5 RETURN 1 1

3004!1,IR DO 4 J 1 1 N YtI, J l o. O

DO 4 K 1 N 4 Ytl,Jl Yfi,Jl+B(K,Il*ZIK,Jl RETURN ENO Fig. 7.4.

c c

SllBROUTINE RAOMPIN,TlA ~~ SUBRUT!~IA CALCULEAZA MÂTRICEA A ASTFEL CA

T

= A*AfTRANSPUSI

SllBPROGRAME UTILIZAT=. - t10R/1 . K EAL T 1 1 O, 1 O) , A ( 10, lD l , B (l {), 10) , B!3 ( 10, 10 ) , B2 ( 1 O, 10 l , C f 1D, 10)

CALL NORM(N,T,X)

DO 2 I=l,N DO Z J=l N

BII 1 Jl=Tfi,Jl/X

2 BB!l,Jl=O,.,Q

DO 10 II=l 1 5CO DO 4 I=l,N

00 4 J=l N

B21I,JJ~o.c

DO 4 K=l N

4 BZII,Jl=Azti,Jl+BBIIrKl*aBtK,Jl DO 5 I=ltN

.

DO 5 J=l,l~ Al I,J J=B{ 1 IJJ-82 {!lJJ 5 Cll 1 Jl=BB! 1 Jl+0 .. 5".-A(I

CALL NOR~IN,A,Yl IFIY-leE-bl6,6,B

1

Jl

8 00 10 I=l,N 00 10 J=l,N 10 BB(I,Jl=C!I,Jl HR1TE{3,lll 11 FORMATI //5X 1 1 RADMP -. ALGOR!T!J.UL llU CONVERGEY/1 RETURN 1.

6 X=SQRTIXJ

DO 12 I=l,N

DO 12 J=lrN

12 All 1 Jl=X*CII 1 Jl RETURN

END

Fig. 7.5.

-"'' ~'

,....

.""" c

SUBROllTINE NORM!N A XI SUBRUTINA CALCULEĂZĂ NORMA MATRICEI REAL A!lC,lOI AL=OoO DO 3 I=l,N Al=O,O DO 2 J:l N 2 Al =AI +A BS(A ( l, J 1 1 IF!AI-ALI3r3 1 <, 4 AL=A 1

3 CONTINUE

Ac=o. o

.

DO 5 J:l,N AJ=O.O DO 6 I=l,N 6 AJ=AJ+ABS!A(I,JII IF(AJ-AC)5,5 1 7 7 AC=AJ 5 CONTINUE

X=AM!Nl!ALrACJ

RETURN

ENO

Fig. 7.6.

A

-

~IN

MAX

SUMbUTINE SUMPl!N A,i3ÂM1 .. . . SUBRUTINA CALCULEAZA CE !:lAI MARE VALOARE PROPRIE A MATRICEI B*A**I-U . . SUBPROGRAME. UTILIZATE - PDLCAB; MATINV MMULT PROOT ... REAL A!IO,lOJ,BilO,loi 1 A1110ilOI,BAIIO,{OioY!loi,C!llloU!lOI CALL MATINV(N,ArAI,D~MK 1 MTl·. . CALL MMULTIB,ATr~iNoN,BAI CALL PDLCABIN BA 0 Cl CALL PROOT!N,fo~oVo-11

c c

c

RO= Oo o·

.

DO ·2. I=l,N I F ( ABS (V I"I l-l-·loE.,..5) 3, 3, 2

3 1FIUII)-ROJ2,2,4 4

RO=U !Il RETURN ENO -

2 CONTINUE

Fig. 7.7.

SUBROUTINE SUBOP2!N 1 A,B 1 RO! SUBRUTINA CALCULEAZA CEA MAI MARE VALOARE PROPRIE A MATRICEI B*A SUBPROGRAME UTILIZATE - POLCAB MMULT 1 PROOT DIMENSION A!l0 1 IO!,B!l0 1 IO!,BA!l0 0 10l,cllll 0 U!lOI,V!lO! CALL MMULT IBrAĂN,N,N,BAJ CALL POLCAB(N 6 ,C) CALL PROOTIN,l,U,.Y,-1) RO=O.O . DO 2 I=lrN

lF(ABS{V(Ill-l.E-8)3 1 3,2 3 IF(U(IJ-RO 2,2,4 .

RO=U!Il 2 CONTINUE RE TURN ENO

~

<:it

~·

Fig. 7.8.

Notatii: SUBOP2 C!'i, A, J3, ltO) N - dimemiunea matricelor A şi B, N <; 10 A - matricea cunoscută A, de forma N X N B -matricea cunoscută B, de forma N xN RO - cea mai mare valoare proprie reală a matricei Bel

Subrutina SUJ30P2 utilizează, subrutinele POLCAJ3, Mi\'IULT şi PHOOT. Subrutina PROOT rezolvă o emiaţie polinomială cn coeficienţi reali [7 .15]. Notaţii:

PROOT (N, A, U, V, IR) N - gradul ecuaţiei polin01nina-Ie, N < 10 A - vector ce conţine coeficienţii ecuaţiei polinoIniale1 cu N + 1 eomponente U - vector ce conj;ine părţ;ile reale ale rădăcinilor ecuaţiei, cu N componente. Y - vector ce conţine părţile imaginare ale răclăcinior ecuaţiei, cu N componente IR = 1 coeficienţii ecuaţiei sînt aranja(.i după puterile crescătoare.

IR = -1 coeficien(;ii ecuaţiei sînt aranjaj.i după puterile descrescătoare.

!Jistarerh rhcestei subrutine se poate găsi în lucmre [7.15]. Subrutinele Ei\'ILB, IEXEXP, MATINV şi Ml\IUI,T au fost prezentate în 2.3 şi ·1.5.

*** În bibliografia (1fttă mai jos, in afară de lucrările citate în acest capitol, s-au inclus şi alte referil1{;e ce pot ti utile în aprofunclarea unor aspecte legate de studiul sistemelor suboptinmle linbre [7.16]- [7A8]. 158

În lucrările [7.16], [7.18], [7.21], [7.4±], [7A8] se mmsistemele suboptimale cu stări nemăsurabile, în timp ce sistemele suboptimale cu structuri impuse ff1C obiectul articolelor [7.17], [7.19], [7.20], [7 .27] -[7.43], [7A5] -[7.4 7]. Pentru calculul pel'formanţ,elor sistemelor subopi;imale se recomamlă articolele [7.22]-[7.26]. lizează

llinUOGRAFIE

K a 1 ma u, R. E., Conlribulions lo lhe lhcoru o{ optimal control Boletin de [a Soeicdad Matematica 1'\/cxicana, vol15. 1960. p. 102-119 [7.2.] Al han s, :i\1., Fa 1 h, P. L., Optimal control, l\IcGra'iv Hill Book Co., 1DG6. [7.3.] Lup aş, L., Si.~lcme .mboplimalc Uniarc pentru problema oplimală liniar-pdtralici'i, Studii şi ccrccUiri tic Energetică şi Elcclrotellnică voi. 22, m. 3, 1972, p. 761-776. [7..1.] K a 1 ma n, R. E., Wlwn is a linear control sysi1'11l optimal? Trnns. ASl\IE, scrin D, voi. SG, nr. 1, 1964, p. 51-60. [7.5.] P o p o v, Y, i\L, Ilipcrslabililatea sistemelor automate. Editura Academiei HSR, 1.966. [7.G.] Kleinman, D. L., Forlman, T., Alhnns, 1\L, On lbc design o{ li mar syslcms wiil! pieccwise constant gai ns, IEEE Trans~" AC-13, ur. 3, lDGS, p. 35·1-361. [7. 7. J I'd c C la mr o c h, N, I-I., ErJUlualion of ~mbopUmalify and sensililiÎl!f in conlro[aml fillering processes, JEEE Tnms., AC-_H, m·. 3, 19GO, p, 282-285. [7.8.] Canal c s, R., A_ lower bmwd an lire performanec of optimal regulators. IEEE Trans., AC-15, m. 4, 1070, p. ,100-415. [7.9.] Lup aş, L., Dclcrminarea suboplimalilăJii comenzilor suboplimalc liniare penlnr sisteme Uni are cu crilerin pătratic. Studii şi cercetări de Energelictt şi Eleelrolehnidi, vol. 22, nr. 4, 1972, p. 1007-1021. [7.10.] G h e 1 fan d, 1. l\-L, Lecfii de algcbnl liniarâ. Editura Tchncă, 1953. [7.11.] Lup aş, L., Studiul unor clase de sisteme suboplima[c. Teză de doclornt, Inslilulul Politehnic Bucureşti, 1D72. [7,12. J K l ci n ma n, D. L., An easy way lo slabi[i:e a linear constant syslem. lEEE Tran5, AC-15, nr. 6, 1970, p. GD2. [7.13.] B u c y, H. S., Global tlwor!J of tire Riccati equa/ion . •Journal of Computer and Sy5lem Scienccs, voi. 1, nr. ·1, 1967, p. 3·1D--361. [7,11.] l\I o o r c, .1. 13., An de t' s o n, B. D. O., Oplimallinmr control syslcms witlt input deri/Jali/Jesconslrainls. Proc. IEE, vol. 114, nt', 12, 10G7, p. 1087-1990. [7.15.] TII c l s n, J. L., J o nes, S. K., Computer progmms for comJm~ ialional assislancc in lhe sl!!d!f of' linear contml thcory. i\1eGrnw HUl Book Co .. 1973. [7.1G.] Da h k e, K. -P., Suboplimal linear regulalors witlr ineomp[r:lc state feedback. JEEE Trans., AC-Hi, nr. 3, 1070, p. 38·1-3tiG. [7,17.] K o 5 u t, L. S., Suboplima[ eonlrol of Unwr limc-immrianl suslems subjecl lo control structmc comlrainls, lEEE Truns., AC-15, nr. 5, 1970, p. 5S7-SG1. [7.18.1 Fer g u 5 n n, J. D., Re k a 5 i u s, Z. V., Optimal linear control syslems wilh incomplete slnfc mcasllrcmenf. 1EEE Trans., AC-H, 111', 2, 10G9, p. 135-140. [7.1.]

160

{7.10.] S c h o c 11 h c r g c t', :\L, Oplimal T!~fi!l/olors will! [i.rcd stnzclurc, lnl. .Journnl of Conlrnl, voi. 11, nr. G, HliO, p. 1011-10Hl. [2.20] Pc ars o n, ,J. B., Din g, C. Y., Compensator dcsiyn for multiuariable Umar syslems. IEEE Trans., AC-1 J, nr. 2, 19lHl, p. 1 :Jo-ta.J.

{7.21] New m an n, :i\I. K., Suboplimal linear control of the linwr rC[Jlllalor usiny incomplete state feedback. EleclJ'flnic Lel.ters., voi. G, nr. 2, 1970, p. ~WO-ilG2. [7.221 l\I c C J am ro e h, N. H., Dllafity f/lul bounds for llw malrix Riecali equa/ion. Journal of :\Iathcmalieal Analysis and Applicalions, voi. 25, nr. O, lHG!J, p. li22-G27. (7.23] W i l se li h n u seu, 1-l. S., OH pcrformauec bowuls for anocrlaiu syslcms. SIAJ\I Journal on Conlrol, voi. 8, nr. l, 1\l7fl, p. 55-SD. [7.2,1] Ris sa n c n, .J. J., Per[ormanee dclerioralion n( oplimum syslems. IEEE Trans., AC-11, nr. 3, lfJGG, p. 5:l0-5:J2. [7.25] :'II c C l n m ro e h, N. 1-J., H i s sune n, ,J. .J., A. rc.wll on tlw per{ornutnc1~ dcterirmrlion o{oplimwn systcms. IEEE Trans., AC~ 12, nr. 2, 1907, p. 200-210. [7.26] B e 1 unge r, P. n., Somr a.•pert.• of con/rol /olemnccs ami firsl orrler sensilivily in optimal control problcms. IEEE Trans., AC~11, nr. l, 10GG, p. 77-!tL [7.27] K 1 ei n ma n, D. L., A l han s, i\1., Tfw dr!sign of suboplimal linear lime uarying syslems. IEEE Trans., AC-10, nr. 2, 1008 p. 150-15!), [7.28] J o h n s o n , T. L., AL It an s, 1\I., On tlw design o{ oplimal conslrainerl dyrwmic eompensalors for linear constant syslems. IEEE Trans., AC-15, nr. li, 1fl70, p. 658-Gf.iO. [7.20] J am e s o n, A., H o l It schi 1 d, D., A din~c{ apprrmch lo lhe design of' mymplodcally optimal conlrnlfcrs. lnt. .Joumal of Control, voi. 1:3, nr. fi, 1D71, p. 1041-1050. (7.30] Por l c r, B., Cros s l c y, T. H., Eiywrmluc assiuwmnl in linear limc itwarirt11l c~toscd-loop systems incorpomliny multiuaria/Jle ihrcc-term conlrollcrs. Inl. Journal of Conlrol, voi. 11, nr. 2, 1970, p. 333-3~10. [7.31] Port c r, B., Synlbcsis of U$!Jtnplolically slabfe Linear Urne-invariant closcd-lvop syslems incorporuling mttllil'ariabfe J-lcrms conlrollcrs. Elcclronies Lelll'I'S, voi. 5', nr. 22, HHi\J, p. 557-558. [7.22] Si m p s o n, A., SynlheNis oj' asymp/ofieally sfa{J{e linear limeinvarianl closed-loop Nyslcms irworpumting multiuuriablc J-lcrms conlrollers. Elet'lronics Lellers, \'oi. G, nr. 8, 1H70, p. 251-253., [7.:-131 Si m p s o n, A., Linear syslcm with multiuariable ;;.[erms c:rmlrvllers use o{ llw malri.r pswdoinPcrse in llwir synllwsis. Electronies Ll'llcrs, vul. G, m. 12, 1070, p. :nl-:375. {7.3·1] Port c r, B., JJesian o{ mullivariablc J-fcrm t'onlrollcrs: computalion o[ conlrollcr malriccs. Eleclronics Lellers., voi. ti, nr. 21, Hl70, p. 076-677. {7.:15] P o w e r, H. i\f., Por 1 e r, B., Ei[Jerwaluc assignment in multimtriable syslems incorpomlinfJ inle[fral [ecdbach. Eleclronics Lcllers, YOI. ll, nr. 25, 1070, p. 7fl5-70!i.

11

c. :!OU

Htl

[i.36J Por le r, B.. Optimal conlrol of multivariablc linear systems incorpora/ing inlcyral feedback. Ell'ctronics LeltPrs, vo1. 7, nr. 8 Hl71, p. 110-172. {7.37] W i 1 ia m s o n, D., j\f o ore, .1. B., Three-Lerms conlroller paramctcr selccfion usin[J suboplinwl regulalor llwory. IEEE Trans., AC-Hl, nr. ·1, 'l!Ji1, p. 82-/t{. [7.38] Por le r, B., P o w e r, I-1. :i\I., Dyadic moda! control of mulliinpul limc-imwriunl linear sysft•ms incorporatiny integral feedback. Eleelronics LI'! ters, voi. 7, nr. 1,1971, p. 18-19. [7.39] P o w e r, I-I. ::u., Port e r, B., Necessary awl su{ficicnf corulilions for controllability of nwlliuariable SlJBlems incorporaling infcyml feedback. Elel'froni('s LdJl'l'S, voi. li, nr. 25, Hl70, p. 815-81G. [7.401 Por le r, B., P o w e r, I-I. l\L, Mode-controllabilify mafrices o( nwllimtriable linear syslt•ms incorporaling inleyral feedback. Eleetronks LeUns, voi. G, nr. 2il, 1970, p. 800-810. (7A1] Par k e r. K. T., Desiyn of proporliorwl-inteyml-derivalive conlrnllers b!! use of optimal linear regula!or tlteory. Proc. JEE, voi. 11D, nr. 7, lH72, p. 911-914. [7.·12] Lup n ş, L., Design of proporliorwl-inlegral sulmpfimal conlrollcrs for llw linear-quadralic opfîmal problems. Hevue H.ounwinc Scicnccs, Tl'chniques, sCrie E!Cetroleehnique el EncJ•gCliquc, vol. 18, nr. 2, 1973, p. :111 -328. [7.-13] Y ah a g i, T., A new approacli /o /h(! optimal PIJJ ft!cdback con/rol • •Journa1 of lhe Facully of Enginecring, Chiha University, voi. 2-1, m. '15, 1H72, p. -15-58. [7.-J.J} R 3 m 3 r, K., R a mus w ami, B., "'1 nule 011 optimnl linear reyulators milh incnmplete state {eedlmek. lEEE Truns., ..\C--1:1, nr. -1, 19GR, p. -1-13-·1·1·1. [7."15] Levi ne, K. S., Al h ll n s, 1\I., On llw delerminafion of Ilie optimal conslanl oulplll feedback gains for linwr mulli1mriable syslcms. JEEE Trans., AC-lfJ, nr. 1, 1!170, J-1. -1·1-·18. [7.-16J Ca 1 o vie, ::u. S., On oul pul feedback proporlional-plus-inteyrul rc!Julator for mrtomalic ycnemlion control. JEEE- PES Snmml'f :.\Tccling, Vancouver, Ju1y 15-lH, 1973. [7.47] Cal o vi c, 1\L S., .4n applicafion o[ optimal linear reyulators wilh prescribcd stead!J slale.c;, lot. Journal of Control, Yol. l!i, 111'. 5. 1 972, p. 801-81 G. f7.48] Li ou, C. T., \Vei f! an d, ,V, A., Li m, I-I. C., Optimal ou/pul feedback control for sustems wifh inaccessi/Jle state Pariabfl•. JnL Journal of Control, vo1. 15, nr. 1, 1P72, p. 129-l-11.

1G2

Capitolul 8

Metode de !Jrapa de restabilirc 8.2.3. Corelarea etapelor de gmdient 8.3. i\Ieloda

direcţiilor

şi

de restabilire

conjuuate

8.3.1. l\finimizrtrcll funcţiilor pătmtice 8.3.2. l\iinimizflrca func(.iei pătratice şi rezolvm·ea sistemelor ele ccuaj;ii linillre 8.3.3. Procedmile de calcul utilizflte 8.3A. Considemţii llsupm proceclmii D.F.P. 8.3.5. Consideraţii llsupm metodei gm(lien(ilor conjugai;i 8.3.0. Extensiunea 1netodei gradientilor conjugaţ;i în cazul restrict·iilor linhtre. 8.3.7. Cmnpm·n.(.ie între metoda D.F.P. şi cea a gmclienj;ilor conjugaj;i. 8.3.8. Comparaj;ie între mcl;olla gmllicn(ilor conjngaţi şi metodll tangcntelor pllralele 8.3.9. Concluzii generale asupra celor trei proceduri

163

8.4. A!uorilmnl !Jrmlient n1inin1izan•a

eonjuual - res1ahilire, Jlen1ru

funt~liilor

8.1.1. Eta,pn, de gTfLdient conjugat 8.4 .2. ConRecintele n,proxbnă,rii eu cazul

8.4.:3.

DeHcreşterea fnncj;iei în ektpa ţi in et,n.J)ele c1unulate

l)ăt.I·a.tic

de gmclient con-

jugat

8.5. J\luorilmul !Jradil'nt-reslahilire pentru proc•ese de ducere oplimnlă S.G.l. 8.5.2. 8.5.3. 8.5 . .J-. 8.5.5. 8.5.G. 8.5. 7. 8.5.8.

t'OJJ-

Formnlarea problemei Condiţiile stnmhnl de extrem Conditiile aproximn,tive ele extre1n Eta1m de gradienl; Rezolvarea problmnei biloeale linia.re Calcnlnl prLsului etapei de gmdient Etapa de restabilire Etapele de gmdient şi de restabilire eumulate

Bibliografie

Procedurile de graclieut fmnizează algoritmi ele calcul pentru rezolvarea problemelor de optim. O problemă de opthn, aşa cun1 s-a vă.znt în e.ap. ti, 7, vizează extre1nizarea (minimizarea, nuu:xilnizarea) unui indice de }Jerformauj;ă, în prezenţa unor restricj;ii impuse de eailrul de formulare al problemei. Din punet ele vedere al extremiză­

rjj, în general, se distjing

două

aspecte : cxtren1izn,rea

funcj;iilor şi extremizarea funcj;iomclelor. 1n primul caz este vorba ele un proces staţjonar al cărui optim se descrie prin minimul sau maximul unor funcţii scalare ele mai multe variabile, sn.u de o singură vm·iabilă vectorială., obligată să parcurgă un annn1it don1eniu al spaţiului, crbre evidenj,iază restricj;iile. O astfel de problemă se încadrează în problematica programtrrii ?Jwlcmat?:cc (progTamare liniară, pătratică, convexă etc). iar metodicele de graclient se ilustrează, ele altfel în mod intuitiv geometric simplu, prin modalităţile ele căutare în mod iterativ, al minimului, formînd unul din instrumentele programării matematice. Suportul matematic este în genera,] simplu şi uşor

abordabil. În cazul minimizării funcţiona,Jelor, procesul de optimizare se referă la selectarea. dintr-un proces de conducere, lL ]Jerechii optimale (conmndă şi traiectorie) iar fenomenul în sine se descrie ll1 nivelul unui spaţiu de funcţii (infinit dimensional), din care motiv întîlnim formalismul variaţionn.l. Restricţiile se pun în evidenţă atît în spn.(ju] de funcţii, evidenj;in.te prin obligativitn.tea de respectare a tlinamici·i procesnZ.ui sau a restricţiilor globn.le, cit şi în spaţii finit dimensionale cum ar fi limi1;ă­ rile în n.mplitudine ale comenzilor, obligativitatea localiză,rii traiectoriei de stare într-o anumită, regiune etc. Din punct de vedere al "efortului de ealeul" al cn.lcubtorului între cele două cazuri este o netă distincj;ie cantiHl5

tati vă. În primul caz se stochează puncte ( n valori), în cel de al doilea, funcj;ii (n x N - valori, N - mnnărul paşilor de discretizare). În fine să precizăm că metodele de graelient, din punct de vedere formal se încadrează în ceea ce se numeşte rnctorla primei varia{ii, spre deosebire de metoda Newton-Kantorovici-:Raphson (cap. 9) care se încadren.ză în mctocla celei rlc a âo11l! variatii. 8.1. Principiul metodelor de gradient

Pentru înţelegerea pr<>cednrilor care se vor descrie în paragru.fe1e urn1ătoare, cr1re vizen,ză atît 1ninhnizwrea funcţiilor, în care caz asoeieren. unei descrieri intuitiv geometrice este imeeli[ttă, cît şi minimizarea f1tncf'ionalelor în care c>ez procesul de minîmizare are loc într-un Sp[tţiu de funcţii deci infinit dimensional, se impun cîteva consideraţii de natură calitativă care să familiarizeze cititorul cu ideile de bază cît şi cu specificul diverselor procedee folosite în tehnica de grmlient. Fie pentru început, considerată o funcţie obiectiv de n variabile f (m) = f (m\ ... m"), m E R", care [tdmite un minim (local) în punctul m*. Aş[t cum este cunoscut, în [tCest punct este îndeplinită comliţia iJf Ba}

000

=

iJj~ =

aron

o

sau fx(m*) =O adică

gradientul funcj;iei se [tnulează. Pe de altă parte, într-un punct m=Fm', elin vecinătate[t minimului, vectorul gradient este îndreptat în sensul crescător al valorilor funcţiei j şi în consecinţă orice direcţie p care face cu gradientul un unghi 11W'i mare ele 7t{2 este îndreptată în sensul descreşterii valorilor funcţiei f. Avansînd de-a lungul acestei direcţii va avea loc un proces de descreştere a funcţiei f, iar avansarea va dma [ttÎt[t timp cîi; arc loc acest proces de descreştere, după care direcţia se Y[t schimba şi procesul se repetă (vezi fig. 8.1) Aşa dar într-un punct m., direcţia care pleacă elin acest punct trebuie să îndeplinească concliţi[t (p,' g;)
unde g, = f,(m;) este gmdientul în fLCel :punct. Avansul (1e-f1 lungul direcţiei p, este descris de (8.2) mă,soară din1ensiunea IJasului D.;l~'i = mi+l AşfL cum rezultă din figură, k, trebuie astfel

unde 7c, =

7.,, p,

xi= de-

terminfLt încît (8.3)

ceea ce corespunde unei astfel de hmgimi f1 fLYansului încît să se obţină "cea n1ai 1nare" descreştere posibilă de-a lungul direcţiei p ,. Procesul continuă :pînă cînd (8.4)

unde ~ Inăsoar:1IJI'ecizin, de anulare a gradientnlui, :precizifL de fLtingere a, minimului.

adieă.

Fig. 8.1. 1(;7

Aşadar dacii "' este un punct arbHrl11' şi iii = m + cr. 1' este noul punet, procewl de minimizare incumbil două nspecl;e : a) determinarea clirecţiei p b) deter1ninarca dilnensiunii a a. prr.r-ntlni, eeea ce reyine la minimizarea in raport cu parametrul scalar " a funcj;ici

? ( ")

= .f (:c

+ "-

p)

(8.5)

Primul aspect, acUcă modul de alegere lt direcj:iei p, este elementul distinctiv in fiecare procedurii de gmdient, cu alte cuvinte cbsifiearea acestor metode este determinatft de felul cum este construitft direcj;ia p. Cel de·al doilea aspect; este comun in toate procedurile de graclieut şi poartă numele de ct!ntarc 'llnirlimcnsional
clescreştcri.

Un alt mod, superior primului, este de a rleciile tHrecşi de p11nctul imediat anterior. Calitativ, un astfel de mod, :1re avantajul de a alege noi regiuni do explorare astfel încîl; sr1 ai!Jă, loc un proces ele accelerare al convergcnţei. Sînt; genemte astfel metodele ele grall'ient conjugat, în care cef1 rnai reprezentativă·, şi care prin particnhtrizrH·e ftu·nizează diversele variante de n1etode, este cea, a. lui Davidon, Fleteher şi Powell. llfodelul primar şi totodată modelul inij;ial ele experimentare [tl procedeelor de graclient îl constituie prog>·ama1'ea ptltmtic1t, adică minimizarea fnncţ,iilor obiectiv de tipul

{ia p în p1mc/Hl "' în .fuucfle lle acesta

.f(
+ (c, m) + ~

(.r, Qm)

unele Q este o formă pătratică pozitiv definită. Aceasta se justifică prin faptul cii iu jurul punctelor de minim,

1611

dezvoltarea, unei doi este f(x) = f(x*)

fnncţ,ii pin(~

+ (f,(;r), ;v-,v''') +} (;V-;t*,f.,,J,v*)(x- :c*))

În care f..c(;v*) =O ' iar c=

f,

la aprosinmj:in, de ordinul

(a;''') m*

şi fu= f

•.1 J, (~t*)

f ..

(m*)

>O Notind O = t·

f.

, :.•.r

(m*) '

+ ! <m*, J","(,r*).v*), se obtine ~

fnncj;h1 standard a progrmmlrii p(~t.mtice. Idee"' metodelm· de gmdienţi conjugati sn.n rlirecfii conju!falc a plecat inij;ial de la metod<1 lui Hestenes şi Stiefel de rezolvare n. sistemelor de eclmţii liniare în c:tre matricea co~ficienfilor este paziti?; tl~finittl. O astfel de metodă se n.soci<1ză găsirii minimulni unei fnneţii pătrniiice, deoa.reee în ea,znl a.cesta, fjm) = c

+ Qm

de unde fx (a:*) = O conduce imedbt la '"* = - Q- 1 " adică la, problen1a ~:;triet algcbridi. a rezolvt'irii ceua1iici Qx

+ c =o,

Q> O

Specific metodei <1mintite este fn.ptnl ei\ invel'Sarea Q- 1 se faec 1~terativ întrM1tn 'Jumulr .fi'Ju't de paşi. Se <1junge astfel 1!1 noj:innea de omlverrJenf.
care nu aparţine snbspaţinlui de explorare anterior. în cazul general rînd .f este o fnnejoie neliniară, proprietatea nu este atît de generală,, dar ea este prezentă prin condiţiia permanent respectată (a•i+" y.,) =O (8.6) pentru orice i. Căutarea minim ului se complică atunci cînd apar restricţii sau constrîn!Jel'i de tip C!Jalitate sau inegalUatc, cee11 ce formează obiectul general al ]Jrogmnu1rii nclinirrrc. În cazulrestl'icjoiilor de tip egalitu.te, de exemplu, minimnl trebuie căutat pe varietatea q-climensiOJmlă

unde Yi

=

g1+ 1

-

{/1

'P (m) = O

uncle ? = col ( ·cb11ic 8lt ]Jt1n1scască rcstric/il!. .Aceasta se realize11ză prin construirea dhecj;iei de căutat·e în hiperplanul tangent b restricţie, ceea ce, în cazul metodelor de gra.dien1; simplu, revine la ]J>'oiecţi
tie resl,;~

tJi!lre form,;!.i u'in fliljJ3

tie gr.rclien! '\,

ma/multe cicluri

l1u;;; tie

_ _".=-;CA/'resl.i'P/1/re

X

Fig. 8.2.

Fig. 8.3.

în limitele unei _erori prestabilite, procesul ele căut11re poate contimm. In caz contrar este necesar un proces de restabilirc s11u rcstnunw·e a restricj;iei (fig. 8.2). Acest proces de restabilire se poate realiza într-un ciclu, s11u în mai multe cicluri, corespunzător gradului ele precizie 111 restabilirii (fig. 8.3 ). 171!

În fine treciml lrt cazul minimizării fnncjcionalclor, ceea ce corespunde proceselor ilinamice de conducere optimnW, adică de determinare a unei comenzi optimale, in sensul minimizării indicelui de perfornmujc[L al conducerii metodica nu se schimbă ca idee, cresc însiJ, comp!ica[iile de natmă calculatorie şi anume de la rezolvări de probleme ~1lgebrice la integrări de ecuaţii diferenţiale. Conform princiJli1llni mininwl1li optimul funcţional se traduce in primul rind prin minimizarea hnmiltonianulni H al problemei ee.ea ce revine la construirea de varin,t!Îi D~le functiei ele comn.ndă ·n (.) de tipul L'>!t(.) = adică definite de gratlientul comandă, al hamiltonianulni

"-H .. (.)

(8.7)

in raport cu vrtriabila de eeea ce ilustrează de fapt

tehnica de grmlienl;. în cele ce urmează ne vom ocupa ele metodele de gTailient simplu, a rcstricţiilor, după care o dezvoltare mai mare va fi acordată metodelor de gradienj;i conjuga ţi sau ilirccţ,ii conjugate, mai întîi în cazul pătratic pentru ilustrarea propriet:ljcilor de bază, şi apoi în cazul g·eneral al minimizării unei funcţii oarecare in prezenţa restricţiilor. Vom încheia cu metodele de gradient aplicate in cazul conducerii optinmle. 8.2. Algoritmul !frrulient -restabili re A. ;\li ele. II. Y. Huang, I. C. Heidman pentru minimizarea !uncjiilor [IJ Fie f o fuucţic scalanl lui X = B", in prezenţa de

definită

pe o part.e (deschisă) a de tip egalitate rlel'inite

rcstricţiilor

rp(rc)=O

•

~mde rp = ( r,o\ . , . , rp') (adică rp: R" -> B'), g < n. In ipoteza că minimul !ni f în raport cn restricţiile rp există şi că f şi rp au derivate parţiale de ordinul întîi şi doi continue să se determine un algoritm de calcul al1ninhnului. În cele ce urmează şi eu preciză,rile intuitive expuse în 8.1 se va aplica algoritmul de t;ip gradientrestabilire.

171

8.2.1. Etapa ele gmrlicnt

Fie în acest. sens deplasarea 11 = m + Llm

(8.8)

iniţilll. Această deplasare :1) tungentă lrl restric(:ie, uclică

a punctului

trebuie

să

fie: (8.9)

?x (m) Llm = O

f

b) în senmlminimizăl'ii "celei mai puternice" :1 funcţiei aclică să aibă proiecţh pe - gmd maximă sau ceea ce este acelaşi lncm cu

.f

8f (m) =.{';; (m) Llm

fie m~mma c) deplasarea Llm va fi

(8.10)

să

clefinită

în

normă

ele restrictia

K = Llm'r Llm

Pentru determinarea l11i Llx se torilor lui Lagra.nge prin fnneţ,ht D. =

g

(m) Llm

+ ),

1

'

'P. (m) Llm

(8.11)

aplică

+ Ql

regula multiplicaLlmT Llm

(8.12)

~'X

unele ), este un multiplicator q - dimensional, iar 1/2 z un multiplicator scalar Introducînd JJ' (x, l.) = şi

f

(m)

+ ).''

? (a;)

(8.13)

cleo::urece

F', (x, l.) = fx (a·)+ 'Pr (x) l.

se objoine D. =

172

F':,: (m,

l.) Llm

l + -·LlxT Llx

2oc

(S.H)

optimă

Evident dcplasare[t

impune

adim1 (8.15) Înlocuind acum (8.15) in (8.11) rezultă:

rebţie mwe exprimă depemlen(a iniTe lC ~i >. ~i care [trată că se poate renunţa b prcscl"ierea lui E, norma !ni L'im fiind măsurată indirect prin "

Întmcît L'im respectă restricţiile reznlti1

adică

'f'x

(m)

.fx

(m)

+ 'f'x

(m) ?~· (:c) ). =O

1n ipoteza nctczindi varietăţii de restricţii, rang cp" (m) = q adică [ 'i'x ( m) rp~ ( m)J- 1 există, se poate efectua determinarmt !ni 1. rezultînd (8.16) Variaţia

!ni E' (m, ),) este

31' (m, i.) =

E'~'

(m, i.) L'i;c

aclicăr

3F(m, ),)

=-

rt.IIE'x

(.T,

i.)ll'

(8.17)

cu alte euvinte daeit a > O, variaţ;ia este negf1tivă, iar " este suficient de mic (pentm valabilitatea primei aproximaţii) <1escrc~tcrca l'lli F (a;, i.) este awiguratâ. Explicitînd pe 3F( :c, i.) rezultă dacă

3F (m, i.)

= (J,;'

(m)

-1-

),T

?x (m)) M

=fi'

L'im

= 3f (w) 173

.Adică în priml1 Yl1l'il1ţie lJ' (m, 1.) şi f (m) se comportă identic şi în consecinţă şi descrc,,tm·ea l'lli f(m) este as·ig·umi
!f

= m + tlm = m -

o: Ji',

(m, i.)

), fiind determinat anterior. Atunci Ji' (y, i.) =li' (m- rt.F', (m,

Se vede
n ),) ~<)!(o:)

că

= - Ji'i'

(;r, i.) li',, (m, ),)

= - 11 Ji',

(aJ, ),)

11'
cu alte cuvinte <);(a.) descreşte cînd o: creşte de la O, valoarea optimă (cea ma,i mare posibill1) l1l1cestuia fiind în momentul cind <)! (o:) înceteazl1 si\ descreasm1, adi ci\ atunci cînd (8.18)

Rezolvarea aceste! ecuaţ.ii se face prin interpolflre [8.3] (cubid de ex.) Sttu prin metoda Newton-Raphson, pînl1 la precizirt

cu 01 = z1

1

Ya

Interpretarert

(O)

i,

<1

eeuaţ:iei

suficient de mic. ·~a (a.) = O reziU:1 Jn scrierea. ei

explicită

Ji'?; (!/, i.)

adid

"'"um

r.

(w,

n =o, 11 = m + tlm

corespunde ort.ogonn.litliţ.ii gmdienţilor modificate, în y, şi celei nemo-

corespunzători funcţiei

dificate, în w. Odată stabilit o: noul punct 11 este perfeet determinat. Dacă restricţiile sint liniare cp(y) = O, dad nu, în general