This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
(z w) = 0 se reduce la 9 }. Fie G de pe figură una din aceste transversale din clasa { G } . Ea limitează, pe lîngă D , şi un alt d o m e n i u D dm clasa {D }, după definiţia clasei { a } . Acesta, la rîndul lui, nu poate avea alte transversale frontieră decît de c l a s a t } . Se vede astfel că Wpim poate conţine decît transversale clasate cu indice de clasă mai mică decît p şi domenii D clasate cu aceiaşi indici ( W ' nu conţine nici un G ) . P e partea cealaltă a lui G nu se poate deci ajunge plecînd din W pe un drum continuu din W fără a tăia G . c
2
w = P (z), cu P (z) polinom, integralele abeliene sînt funcţii elementare, dacă gradul lui P (z) este 1 sau 2, integrale eliptice, dacă gradul este 3 sau 4, şi inte grale hipereliptice, dacă gradul este mai mare decît 4. Genul suprafeţei B este pj dacă gradul lui P (z) este 2p + 1 sau 2(p + 1 ) . Forma unui sistem de p integrale de speţa întîi liniar independente este
o KP(0
pentru h = 0,1, . . . , p — 1 * ) . 19. î n §§ 13—14 am demonstrat teorema lui Abel. Expunem acum formularea iniţială, datorită lui A b e l , teoreme, folosind integralele abeliene. Fie <Ţ>
a acestei
(s, io) = 0
(36)
un polinom ireductibil în z şi w iar 9
X (z, w, a a , . . . , a ) = 0 (37) un alt polinom în z şi w, depinzînd raţional de parametrii a a , . . . , a . Din punct de vedere geometric, relaţiile (36) şi (37) reprezintă curbe algebrice care se intersectează într-un număr finit n de puncte, 19
2
f
19
(z
wj,
19
Valorile z z , . . . z de gradul n 19
2
ny
(z , w ), 2
2
r
...,(s , « O -
2
t t
sînt rădăcinile unei anumite ecuaţii algebrice Q(z,a
19
...,a ) r
= 0
(38)
* ) în voi. I, cap. X I , secţ. I, p. 272—284 au fost studiate integralele eliptice de speţa întîi.
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE ÎNCHISE
259
cu coeficienţi raţionali în raport cu a , a , . . . , a . î n general, putem ad mite că valoarea corespunzătoare a lui w este dată de relaţia x
2
r
w =
ty(z,a ,a , ±
(39)
2
în care ^ este o funcţie raţională de z şi a , a , . . . , a . Dacă ±
Y(z,
V
2
r
w)dz
(40)
este o integrală abeliană oarecare, teorema lui Abel afirmă că suma
V'*'""
S = £
x
?(z,w)dz
(4
este o funcţie algebrico-logaritmică de parametrii a. într-adevăr, 8 este determinată abstracţie făcînd de o sumă de mul tipli întregi de perioadele integralei, perioade care nu depind de para metrii a. Dacă notăm cu 8 diferenţiala totală în raport cu aceşti parametri, v o m avea =
Y(^,^v)&V
Diferenţialele se calculează din (38) şi utilizînd (39), $8 v a fi o expresie liniară şi omogenă în $a . Coeficientul lui $a v a fi o funcţie ra ţională de z , z , . . . , z şi a^, a , . . . , a , simetrică în raport cu z, deci coe ficientul lui $a v a fi o funcţie raţională de a , a , . . . , a , adică Y (a,, a , a ). P r i n urmare, k
x
2
n
2
k
r
k
&
2
±
2
T
r
85 = Y j (a a , . . . , a,) 8 % + . . . + 17
Y («
2
r
1 ?
a , . . . , a ) 8a . 2
r
r
Integrînd această diferenţială totală, vom obţine pentru # o expresie de forma 8 = cp + £ o log O, (42) în care cp şi O sînt funcţii raţionale de a , a , . . . , a iar c constante. Dacă integrala abeliană (40) este de speţa întîi, suma 8 rămîne finită pentru orice valori complexe (finite sau nu) ale parametrilor a^, a , . . . , a . Din (42) rezultă deci că 8 se reduce la o constantă, iar teorema lui Abel se poate enunţa sub forma următoare: Bacă integrala abeliană (40) este de speţa întîi, suma x
2
r
2
n
r
f ( W )
<» = E V
Y (z, w) dz,
unde (zp, w^) reprezintă punctele de intersecţie, variabile cu parametrii a . . . , a , ale curbelor (36) şi (37), nu depinde de aceşti parametri.
19
r
a, 2
260
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
Suma 8 are o valoare constantă, abstracţie făcînd de sumele de mul tipli ale perioadelor integralei (40), care variază cu drumul ales pentru integrare. Fie B suprafaţa riemanniană definită de ecuaţia algebrică (36) şi F (z) o funcţie raţională pe B. După teorema demonstrată în § 17, F (z) = p (z, w), unde p este o funcţie raţională de z şi w iar <Ţ> (Z, W) = 0. Luînd ca relaţie (37) egalitatea p (#, w) — a = 0, valorile (z w^) corespunzătoare sînt punctele de pe JB în care F ia va loarea a. Să notăm aceste puncte pentru a = 0, respectiv a = o o , cu P^ şi şi cu w
o integrală abeliană de speţa întîi ( 4 0 ) ; teorema lui A b e l stabilită în acest paragraf ne arată că n
£
[«MP») -
O (Q^
=
C,
unde G este perioada lui O pe im drum a care nu depinde de O (adică o anumită combinaţie liniară de perioadele lui O pe A şi B ). Teorema lui A b e l în forma de mai sus exprimă deci necesitatea con diţiei din § 13*). k
k
* ) Dezvoltări relativ la suprafeţele riemanniene compacte şi la funcţiile algebrice (în particular asupra claselor conforme şi a modulelor acestora) pot fi găsite în următoarele tratate deja citate : E. P i c a r d, Trăită d'Analyse, H . W e y l , Die Idee der Riemannschen Flăche, precum şi în lucrările : P. F a t o u (P. A p p e 11 şi E. G o u r s a t). TMorie des fonctions algibriques et de leurs intâgrales (6d. a Il-a), t. I şi I I , Gauthier-Villars, Paris, 1929 — 1930, G. N . C e b o t a r e v, Teoria algebraiceskih funkţii, Gostehizdat, Moscova-Leningrad, 1948. C I . C h e v a l l e y , Introduction to the theory of algebraic functions of one variable, Amer. Math, Soc, New York, 1951.
CAPITOLUL I X
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE î n timp ce teoria funcţiilor pe suprafeţe riemanniene închise şi cla sificarea conformă a acestor suprafeţe erau desăvîrşite la începutul acestui secol, cercetarea suprafeţelor riemanniene deschise s-a dezvoltat ulterior, numai după cristalizarea noţiunilor de suprafaţă riemanniană abstractă şi suprafaţă riemanniană de acoperire. U n rol esenţial avea să-1 joace în această problemă definirea frontierei ideale a suprafeţelor riemanniene. E e zultatele stabilite relativ la frontiera domeniilor plane cu ajutorul măsurii armonice sau capacităţii (funcţiei lui Green) au fost extinse şi pentru su prafeţele riemanniene deschise, ceea ce a condus la o primă clasificare a lor în clasa suprafeţelor cu frontiera nulă (caracterizată prin măsura ar monică a frontierei ideale, care este nulă, sau prin neexistenţa funcţiei lui Green) şi clasa suprafeţelor cu frontiera pozitivă * ) . Suprafeţele cu frontiera nulă au multe proprietăţi care le apropie de suprafeţele închise. Pentru aceste suprafeţe se extinde principiul ma ximului şi minimului şi pe ele nu există funcţii armonice, neconstante, uni forme şi mărginite inferior sau superior. E . N e v a n l i n n a * ) a construit o teorie a integralelor abeliene pe suprafeţele riemanniene cu frontiera nulă, în care se păstrează rezultatele clasice din cazul suprafeţelor închise. Cercetări ulterioare au stabilit legături între clasa suprafeţelor eu frontiera nulă şi alte clase importante de suprafeţe riemanniene * ' * ) . Problema clasificării suprafeţelor rimanniene deschise constituie o vastă generalizare a problemei tipului, care cere să se găsească condiţii necesare şi suficiente pentru ca o suprafaţă riemanniană deschisă simplu conexă, să fie conform echivalentă cu planul euclidian (tipul parabolic) * ) R . N e v a n l i n n a , Quadratisch integrierbare Differentiaîe auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, Ann. Acad. Sci. Fenn., Seria A , I, nr. 1, 1941, p. 1—34. Relativ la funcţia lui Green, a se vedea P. J. Myrberg, Vber die Existenz der Greenschen Funktion auf einer gegebenen Riemannschen Flăche loc. cit., p. 39—79. * * ) A se vedea, de exemplu, memoriile asupra clasei Iversen: S. S t o î l o w , Sur Ies singularitis des fonctions anahjtiques multiformes, dont la surface de Riemann a sa frontikre de mesure harmonique nulle, Math. (Cluj), 1943, t. 19, p. 126 — 138, Quelques remarques sur Ies iliments frontihres des surfaces de Riemann et sur Ies fonctions correspondant ă ces surfaces, C. R. Acad. Paris, 1948, t. 227, p. 1326 — 1328 şi Note sur Ies fonctions analgtiques multiformes Ann. Soc. Polonnaise de math., 1952, t. X X V , p. 69—74; M . J u r c h e s c u , Asupra func ţiilor analitice definite prin ecuaţii diferenţiale nealgebrice, Bul. ştiinţ. Acad. R . P . R . , Secţ. mat. fiz., 1955, t. V I I , nr. 2, p. 347—354 şi Recouvrements riemanniens difinis par des âquations diffirentielles du second ordre, C. R . Acad., Paiis, 1957, t. 247, p. t,27 —L29. T. K u r o d a , O/l Analgtic Functions on Some Riemann Surfaces, Nagoya Math., Journ., june 1956,1.10, p. 27—50. 9
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
262
sau cu cercul unitate (tipul hiperbolic) * ) . Eezolvarea ei este legată d e determinarea unui sistem de invarianţi conformi, care să caracterizeze clasa de suprafeţe riemanniene conform echivalente * * ) . Astfel s-a luat drept criteriu existenţa sau inexistenţa pe suprafaţa riemanniană a diverselor categorii de funcţii armonice sau analitice * * * ) . Dacă F este o clasă de funcţii, conform invariantă şi despre care presu punem că include constantele, suprafeţele riemanniene se grupează în două clase disjuncte în raport cu F : suprafeţe pe care singurele funcţii din clasa F sînt constantele şi suprafeţe pe care există funcţii din F diferite de con stante. Prima clasă pe care o v o m nota 0 cuprinde suprafeţe cu frontiera ideală „slabă" în raport cu clasa F, iar cealaltă suprafeţe cu frontiera ideală „ t a r e " * * * * ) . F poate fi clasa funcţiilor armonice uniforme şi mărginite EB sau cu integrala lui Dirichlet mărginită ED, clasa funcţiilor analitice regulate, uniforme şi mărginite AB sau cu integrala lui Dirichlet finită AB. S-au studiat de asemenea clasele F = 8B şi F = SD ale funcţiilor analitice regulate, uniforme şi univalente, mărginite, respectiv cu inte grala lui Dirichlet finită. î n acest sens, clasa suprafeţelor cu frontiera nulă coincide cu 0 , adică cu clasa suprafeţelor fără funcţia lui Green*****). î n această clasificare a suprafeţelor riemanniene, frontiera ideală era considerată global. Treptat s-a ţinut seama şi de proprietăţile indivi duale ale elementelor frontierei ideale. Astfel a fost introdusă şi studiată o nouă clasă remarcabilă de suprafeţe riemanniene: clasa D a suprafeţelor cu frontiera absolut discontinuă * * * * * * ) . F
Q
*) Relativ la problema tipului, a se vedea, de exemplu, monografia lui L . I. V o 1k o v î s k i, Isledovania po probleme tipa odnosviaznoi rimanovoi poverhnosti, Trudi mat. inst. V. A . Stelkova, X X X I V , Moscova-Leningrad, 1950. * * ) L . S a r i o, Sur la classification des surfaces de Riemann, Den 11*® Skand. Mat. Kongress, Oslo, 1952, p. 229—238. * * * ) în loc de funcţii se pot folosi diferenţiale. A se vedea R . N e v a n l i n n a , Uni formisierung, cap. X , § 8, p. 357—367. * * * * ) L . S a r i o, Vber Riemannschen Flăchen mit hebbarem Rand. loc. cit. L . A h l f o r s , Open Riemann surfaces and extremal Problems on compact subregions, Comment. Math. Helvet., 1950, t. 24, p. 100-134. Clasificarea conformă a domeniilor plane pe baza acestor principii este dezvoltată în memoriul lui L . A h l f o r s şi A . B e u r l i n g , Conformai inuariants and function-theoretic null-sets, loc. cit. * * * * * ) Asupra claselor OHB ŞÎ OHD a se vedea şi memoriul lui A . C o r n e a, On the behaviour of analytic functions in the neighbourhood of the boundary of a Riemann surface, Nagoya Math. Journ., dec. 1957, t. 12, p. 55—58. Tot în legătură cu clasificarea suprafeţelor rieman niene a se vedea C. C o n s t a n t i n e s c u şi A . C o r n e a, Vber den idealen Rand und einige seiner Anwendungen bei der Klassifikation der Riemannschen Flăchen, Nagoya Math. Journ., 1958, t. 13, p. 169—233, A . C o r n e a , Ober eine Formei in der ExtremisierungUheorie, Rev. Math. pures et appl., 1958, t. III, nr. 4 şi Părţi singulare ale frontierei ideale, Comunicările Acad. R.P.R., 1958, t- V I I I , nr. 7, G. C o n s t a n t i n e s c u , Sur le comportement des fonctions anahtiques ă la frontiere idiale d'une surface de Riemann, C. R. Ac^d. Paris, 1957, t. 245, nr. 23, p. 1995 — 1997, Ideale Randkomponenten einer Riemannschen Flăthe, Rev. Math. pures et ^ppl. 1958, t. III, nr. 4 şi Asupra clasificării suprafeţelor riemanniene, dizertaţie de candidat, Bucureşti, 1957. * * * * * * ) L . S a r i o, Capacity of boundary and of boundary component, Ann. of Math., 1954, t. 59, p. 135—144, M. J u r c h e s c u , Suprafeţe riemanniene cu frontiera absolut discontinuă, dizertaţie de candidat, Bucureşti, 1956 sau Modulusof a boundary component, Pacific Jou n. of. Math. 1959 (sub tipar) şi Vinvariance K-quasiconforme de la parabolicite d'un eliment frontiere, C. R. Acad. Paris 1958, t. 246, p. 2997-2999. :
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE
DESCHISE
263
I . MĂSURA ARMONICĂ A FRONTIEREI IDEALE. FUNCŢIA LUI GREEN A UNEI SUPRAFEŢE RIEMANNIENE 1. F i e J R o suprafaţă riemanniană abstractă deschisă, T frontiera ideală a acestei suprafeţe (cap. V I I , secţ. V I , § 37) şi U (n = 0 , 1 , 2 , . . . ) un şir de domenii poliedrice formînd o' exhaustiune a Ini B*), n
C int n ,
U
n+1
n
G I I = B. n
n-0
Frontiera T a fiecărui domeniu I I este compusă dintr-un număr finit de curbe jordaniene, disjuncte două cîte două, pe care le v o m presupune, ori de cîte ori v a fi necesar, alcătuite din arce analitice în număr finit. V o m lua drept I I un domeniu jordanian, astfel încît n
n
0
F
n
=
n -
n
n
(*
0
=
i,
2,...)
să fie un domeniu poliedric. Frontiera lui F este formată din curbele jordaniene T şi Tp. Măsura armonică a lui T luată în raport cu F , n
n
n
n
o ( z ) = co (*, r ,;p ) = co (ş, r , r ), n
n
n
n
(i)
0
este funcţia armonică şi mărginită în F , egală cu unu pe T şi cu zero pe T (cap. V I , secţ. I , § 1 ) . Existenţa ei este asigurată de posibilitatea rezolvării problemei lui Dirichlet pentru domenii poliedrice pe o supra faţă riemanniană (cap. V I I , secţ. V I I , § 48). Ca şi în capitolul V I , secţiunea I V , § 17, se arată că funcţiile to formează şir descrescător co > co (2) n
n
0
n
tt
n+1
în interiorul Ini F . într-adevăr, pe T , co = 1 iar c o < 1, deci co„ — c o > 0, în timp ce pe T , co — c o = 0. D i n principiul extremelor**), rezultă că inegalitatea ( 2 ) este verificată în interiorul lui F . Aplicînd teorema lui Harnack**) (cap. I I , secţ. I , § 6), deducem apoi că şirul co converge uniform în interiorul domeniului B — I I către o funcţie armonică, pe care o v o m numi măsura armonică a frontierei ideale a suprafeţei B şi o v o m nota cu n
n
0
n
n
n+1
n+1
n+1
n
n
0
co (z) = co (z, T, T ) . 0
(3)
* ) în cap. V I I , secţ. V I , § 34 am stabilit existenţa şirurilor de domenii poliedrice care aproximează suprafaţa R. * * ) Această teoremă rămîne valabilă pe suprafeţe riemanniene, deoarece rezultă din proprietăţi locale ale funcţiilor armonice (cap. V I I , secţ. V I I , § 47).
264
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
Distingem şi acum, ca şi în capitolul V I , secţiunea I V , § 17—21, două cazuri (care nu depind de l l şi T ) : n
0
sau co = 0 (şi pentru aceasta este necesar şi suficient ca co (z, T, T ) să fie nulă într-un singur punct z), 0
sau co > 0 în B — I I . 0
î n primul caz, B se numeşte suprafaţă riemanniană cu frontiera ideală de măsură armonică nulă sau, pe scurt, suprafaţă riemanniană cu frontiera nulă, iar în cel de-al doilea caz, suprafaţă cu frontiera de măsură armonică pozitivă. 2. Ca exemplu de suprafaţă riemanniană abstractă cu frontieră nulă, avem domeniul din planul complex (z) — M, unde M este o mulţime com pactă de măsură armonică nulă (cap. V I , secţ. I V , § 19). 3. V o m expune, în cele ce urmează, două caracterizări ale supra feţelor riemanniene cu frontiera nulă : prima generalizează legătura sta bilită în cazul domeniilor plane între măsura armonică şi funcţia lui Green (cap. V I , secţ. I V , § 26—27), iar a doua utilizează integrala lui Dirichlet. 4. Funcţia lui Green ptmtru o suprafaţă riemanniană. î n cazul dome niilor poliedrice plane, construirea funcţiei lui Green se reduce, după cum am văzut în capitolul I , secţiunea I V , §12 şi capitolul V , secţiunea I , § 1, la rezolvarea unei probleme a lui Dirichlet. Procedeul acesta nu mai poate fi aplicat direct domeniilor poliedrice de pe o suprafaţă riemanniană. într-adevăr, dacă O este punctul de pe B, ales ca pol al funcţiei lui Green, iar z un parametru local relativ la acest punct, astfel încît lui O îi co respunde în cercul parametric z — 0, funcţia log — are sens numai local pe B. Pentru a construi funcţia lui Green a jmui domeniu poliedric I I Q B în raport cu polul O e I I , v o m adapta metoda alternată a lui Schwarz (cap. I I I , secţ. I ) , aşa cum am procedat şi în capitolul V I I I , secţiunea I I , § 5 . Prin trecere la limită relativ la un şir I I de domenii de exhaustiune, vom defini funcţia lui Green a suprafeţei B*). n
5. Eie I I un domeniu poliedric din B cu frontiera T, O un punct din II şi z un parametru local corespunzător lui O. Să trasăm în vecinăta tea parametrică (V a lui O curbele jordaniene c şi y, a căror imagine în cercul parametric | z \ < 1 este \z\ = r, respectiv | z \ = p (p < r), şi să notăm, ca şi în capitolul V I I I , secţiunea I I , § 5, cu 8 şi cu d domeniile jordaniene limitate de y şi c şi cu (y, T) subdomeniul din I I , limitat de y şi T (fig. 49). 0
*) în mod analog, vom construi pe R şi alte funcţii armonice cu anumite singularităţi.
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
2G5
V o m construi succesiv, rezolvînd probleme Dirichlet, funcţiile u armonice în (y, Y) şi funcţiile v armonice în d, definite prin condiţiile k
k
log — pe y, p 0 pe r, v
l =
u
v
u
e C
— log — P J
l
i
+
9
log - pe y, p
0
(4)
peT,
u — log — pe e 2
şi, în general, 114+1
0*
+ !og— pe y, p
0 =
pe
r,
- log — pe c. r
Fig. 49
Din relaţiile (4) şi modul cum au fost definite funcţiile u şi v se vede că % — u este o funcţie armonică în (y, T) şi că' avem k
+ 1
k9
k
Pe Y> pe r
(5)
266
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXĂ
iar v + k
—- v
t
este armonică î n d şi
k
^A+i —
v =
- % pe e.
k
(6)
Să notăm M = max \u
2
— u\ ±
c
Şi
g = max [1
-
w
(z, T, y ) ] ,
C
unde co (2, T, y ) este măsura armonică a lui r în domeniul ( y , T ) . Aplicînd principiul extremelor, putem scrie max
\u — % | = max | v — % | >< 2
2
e
c
> - max
|v —
| = max \u
2
—
3
Y
u \. 2
Y
Deci, cum w — w = 0 pe T, acelaşi principiu arată că 3
2
l«a — * i l < -M" LI
— *> (*, r, y ) ]
în (y, T ) . Prin urmare, pe e avem max
— u \ ^ M q.
\Uz
2
c
î n acelaşi mod, se demonstrează succesiv că 2
max \u —
| < M g*" ,
h
(7)
o
deci că max | u
h+1
— w j <; M t
k
2
q~.
Y
Această ultimă inegalitate, împreună cu observaţia că -
% = 0 pe T, arată că
în (y,
r). 00
,
Seria £ Jfc =
(Uk+i
—
% ) este majorată deci în (y,
T)
de seria conver-
2
oo h
2
gentă Yi M q ~ . D e aici, rezultă convergenţa uniformă a şirului % în Jfc=2
(y, T ) . Limita u este o funcţie armonică în (y, V) (cap. I I , secţ. I , § 3 ) . Ţinînd seama de (6) şi' ( 7 ) , stabilim apoi convergenţa uniformă a şirului v în d către o funcţie v armonică în d. n
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE
DESCHISE
267
î n domeniul (y, c) converg ambele şiruri u şi v . Trecînd la limită î n relaţiile ( 4 ) , deducem că k
k
u = v + log
(8)
atît pe c, cît şi pe y, prin urmare în întreg domeniul (y, c). A m construit astfel o funcţie u armonică în (y, T ) , nulă pe T şi verif icînd relaţia ( 8 ) î n ( y , c). î n baza prelungirii armonice (cap. I I , secţ. I V , § 2 0 ) , rezultă* că relaţia ( 8 ) rămîne valabilă în vecinătatea lui O. Funcţia u este deci funcţia lui Green a domeniului U : Gn (z, O). într-adevăr, ea este armonică în U — O, nulă pe F şi are în vecină tatea lui O o reprezentare de forma ( 8 ) log
+ v
9
•cu v funcţie armonică în această vecinătate. Procedeul de mai sus ne permite să construim funcţii armonice într-un domeniu poliedric I I C J B , cu anumite singularităţi în vecinătatea unui punct O din interiorul lui y, înlocuind log p-j cu o funcţie armonică în { y , c), care să aibă în 8 singularităţile cerute. 6. Pentru a trece la cazul suprafeţei riemanniene R, v o m considera o exhaustiune prin domenii poliedrice I I „ , alese astfel încît punctul O să fie interior lui I I , v o m trasa curbele y şi c de mai sus într-o vecinătate parametrică a lui O din interiorul lui I I şi v o m construi, ca în § 5, funcţiile lui Green G (z, O) ale domeniilor I I / ) . Ca şi în cazul domeniilor plane (cap. V , secţ. I V , § 1 6 ) , se arată că •şirul funcţiilor G este crescător. Se pot prezenta din nou două cazuri: sau şirul G converge către valori finite în puncte din R diferite de O, sau tinde către infinit pe R convergenţa fiind, în ambele cazuri, uniformă în orice domeniu com pact din R. î n primul caz, funcţia limită se numeşte funcţia lui Green a supra feţei R şi v a fi notată G ' (z, O). E a este armonică pe R — O, pozitivă şi are în vecinătatea lui O o reprezentare de forma ( 8 ) . î n cazul al doilea, spunem că suprafaţa R nu admite funcţia lui Green. Clasificarea aceasta este independentă de exhaustiunea I I şi de polul O. Proprietatea de simetrie a funcţiei lui Green (cap. V , secţ. 1 , § 3 şi secţ. I V , § 2 6 ) se păstrează. D e asemenea, rămîne valabilă caracterizarea acestei funcţii ca inferioara funcţiilor P (z) armonice şi pozitive în R—O, avînd o reprezentare de forma ( 8 ) în vecinătatea lui O * * ) . 0
0
n
n
n
B
N
* ) Vom avea I I = I I » şi V = T . * * ) într-adevăr, în fiecare T „ , P > G , deci la limită P > G n
n
R
în R.
268
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
7. V o m demonstra acum următoarea teoremă : Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o suprafaţă riemanniană^ R să aibă frontieră de măsură armonică nulă este ca să nu admită funcţia, lui Green. Pentru a stabili că această condiţie este necesară, se procedează ca şi în cazul domeniilor plane (cap. V I , secţ. I V , § 27). Fie A un număr arbitrar şi G o curbă jordaniană, aleasă în veci nătatea parametrică a lui O, suficient de aproape de O, astfel ca să a v e m
în domeniul jordanian D limitat de O şi pe O dacă n > n . Existenţa unei curbe G rezultă în modul următor : Pentru un indice n fix, putem alege o curbă C în vecinătatea lui O, astfel încît în D să avem 0
0
deoarece O tinde către + o o cînd z tinde către zero. însă şirul G crescător, v o m avea cu atît mai mult no
n
G>
fiind
A
n
în D dacă n > n . Deoarece G > A pe G şi G = O pe I \ , din principiul extremelor rezultă că putem scrie 0
n
n
G>
A(l
n
-
coj
(9>
în (C, TJ cu co = co (s, T , G). Dacă E are frontiera nulă, to tinde către zero cînd n tinde către infinit. P fiind un punct arbitrar ales în E — D , pentru n suficient de mare v o m avea co ( P ) < — , prin urmare, din (9) deducem că n
n
n
w
2
( r ( P , O) > — . Cum A este
arbitrar,
n
lim # ( P , O ) = + oo, n
deci J2 nu admite funcţia lui Green. 8. Pentru a arăta că orice suprafaţă JR cu frontiera de măsură armonică pozitivă admite funcţia lui Green, v o m relua consideraţiile din § 5. Fie u v şi v £> funcţiile u şi v construite pentru I I = I I „ , c şi y fiind luate într-o vecinătate parametrică a lui O din n iar T = T . Din relaţiile de definiţie ale acestor funcţii ( 4 ) , {
{
k
k
0
u^ =
log i p O
pe y, pe r„
n
FUNCŢII ANALITICEI PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
269
§1
xezultă
cu Şi f
T<«) _
i
i\
i g — I ( i — t o j — log— r
pe e.
0
Insă
«•-ir
pe
r„
Prin urmare, din principiul maximului şi minimului, obţinem ine galitatea (
max | <»> —
| < log — + g l o g — = M"> w
r
P
dacă q = max n
(1 — coj.
c
Eepetînd acum raţionamentul din §5, deducem că max |
(w
— u^
x
2
| < M > g*- .
(10)
c
Să presupunem că .B are frontiera de măsură armonică pozitivă. A t u n c i 1 — co formează un şir crescător, care tinde către funcţia armo nică pozitivă în JB — 8 : 1 — co, unde co este măsura armonică a fronti erei lui E. P r i n urmare, şirul q creşte şi tinde către w
n
q = max
( 1 — co),
e
număr verificînd inegalităţile 0 < q < 1 . Aceste observaţii ne permit să înlocuim ( 1 0 ) prin relaţia max |
—
h
2
|< M q~
e
cu M = log — + q log — • r
A m obţinut
p
astfel o majorare independentă de n a diferenţei
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
270
Funcţia limită a şirului u^ ,
este
majorată
deci,
log
h Jtf
î*- - " -
independent de n, de suma seriei convergente nsă
^
( n ) =
^»
niărginir^a superioară a funcţiilor
w
implică existenţa funcţiei lui Green G
{z, O) a lui B.
B
9. Cu ajutorul integralei lui Dirichlet (cap. V I I , § 46), putem da şi o altă caracterizare a suprafeţelor riemanniene cu frontiera nulă. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca suprafaţa riemanniană B să aibă frontiera nulă este ca, pentru orice exhaustiune a lui B prin domenii poliedrice I I , l i m I V ( c o j = 0*). (11) n
'«
V o m considera în acest paragraf o exhaustiune I I , pentru care curbele T sînt formate fiecare dintr-un număr finit de arce analitice. Aplicînd formula (42) din capitolul V I I funcţiei co , care este egală, cu unu pe T şi cu zero pe T , putem scrie n
n
n
n
0
Vr (o>n)=
d
- [
n
^*s,
integrala fiind luată în sens direct faţă de F , domeniul F la stînga. Ţinînd seama că co este armonică în F din capitolul V I I , avem însă n
(12) adică în sensul care lasă
n
n
n
şi aplicînd formula (41),
= 0.
(13)
^ds,
(14)
J r r om n+
0
Prin urmare, D
Fn
d
(<»»)=[
integrarea efectuîndu-se în sens direct faţă de F . P e T funcţia co = 0, iar în interiorul lui F , rezultă că n
0
tt
n
co > 0 ; de aici, n
du>
n
— - >
0.
dn.
Cînd n tinde către infinit, şirul co descreşte şi de asemenea n
Din convergenţa uniformă a şirului co către co rezultă convergenţa unin
* ) Ca şi în § 1, F
n
= H.» -
I I , iar o » = o> (z, T „ , T ) . 0
0
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
271
formă a derivatelor — — către — (cap. I I , secţ. I , § 3) * ) , de unde deducem egalitatea DR
^ds,
( « ) = (
(15)
dll
i
.Vo
cu ajutorul căreia teorema se stabileşte imediat. Dacă co = 0, atunci, conform cu (15), D (&) — 0. Eeciproc, dacă E
B
(co) = 0, atunci \ Jr d* = 0 pe T . însă şi
ds = 0 şi cum
&
0
dn
0
n
deducem
că
*
= 0 pe T , deoarece co = 0 pe T . Deci,
0
dn
! > 0, d
i 0
0
ds
t
funcţia analitică co + ici" este constantă pe T şi cum T este formată din arce analitice, această funcţie se reduce la o constantă iar co = 0. A m demonstrat astfel că D * ( c o ) = 0 implică co = 0. 0
0
10. î n §§1 şi 4—6, am studiat măsura armonică a frontierei unei suprafeţe riemanniene şi funcţia lui Green a acestei suprafeţe. Aceste noţiuni'pot fi definite însă nu numai în raport cu întreaga frontieră, ci şi relativ la un singur element frontieră. Utilizînd capacitatea logaritmică a unui element frontieră**) sau măsura lui armonică * * * ) , s-a caracte rizat clasa suprafeţelor riemanniene numite suprafeţe cu frontiera ab solut discontinuă, vastă generalizare a suprafeţelor cu frontiera nulă. 11. Pentru a defini măsura armonică a unui element frontieră, J u r c b e s c u rezolvă următoarea problemă de minim : Fie B o suprafaţă riemanniană deschisă, y un element frontieră al lui B şi I I u n şir de domenii poliedrice formînd o exhaustiune a acestei suprafeţe. V o m presupune că fiecare curbă din frontiera r a lui U este analitică şi divide B în două părţi disjuncte, dintre care aceea inclusă în B — I I este necompactă. Să notăm cu y curba din T care separă y de I I * * * * ) şi cu p celelalte curbe din T şi să orientăm V în sens direct faţă de I I . Fie, de asemenea, G componenta conexă a mulţimii B— U care conţine y pe frontiera ideală G = (int I I — I I ) o G şi T* partea din frontieră lui G de pe T * * * * * ) .
M.
w
n
n
n
n
n
n
n
n{
n
n
0
n
n
n
0
n
* ) Convergenţa uniformă a şirului
^ , rezultă pe arcele analitice din T datorită dn. faptului că co se prelungesc armonic peste aceste arce (cap. I I , secţ. I V , § 19). * * ) L . S a r i o, Capacity of boundary and of boundary component, loc. cit. * * * ) M . J u r c h e s c u , Suprafeţe riemanniene cu frontiera absolut discontinuă. Rezul tatele pe care le vom expune în cele ce urmează sînt cuprinse în capitolul I al dizertaţiei. * * * * ) O curbă jordaniană c separă elementul frontieră y de o mulţime K din R dacă R — c nu este conexă şi dacă una din componentele conexe ale lui R — c conţine K iar cealaltă are y pe frontiera ei ideală. * * * * * ) Dacă I I este simplu conex, G = JR — I I , G = int I I - I I iar TJ = T . 0
n
0
0
0
n
272
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
8e consideră clasa { < p } formată de toate funcţiile cp armonice şi uni forme pe G, care satisfac condiţiile 1) 9 = 0 pe y , Y
0
[ d^ =
[ dy = 0 . hm Să se determine funcţia u din clasa {
1
,
JY»
Y
Q
Y
0
0
[x <{x /. Y
(16)
Y
12. Dacă minimul (i este finit, atunci problema admite o soluţie unică. Să presupunem într-adevăr că ar exista două soluţii u' şi u" D (u') = D (u") = (z < + o o . Atunci funcţia h = u" — u' este armonică în G, nulă pe y , are integrala lui Dirichlet D {h) finită (cap. I V , § 2, 2°) şi satisface relaţiilor Y
Y
0
C dh = 0 şi [ dh = 0 . Prin urmare, pentru orice număr real s, funcţia u' + th aparţine clasei {
f
f
2
f
0
n
n
n
* ) Se demonstrează că proprietatea 2), este independentă de şirul de exhaustiune utilizat. Pentru simplificarea scrierii, vom suprima indicele G şi vom nota integrala lui Dirichlet relativă la G cu D(
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
273
13. I n acest paragraf v o m presupune că B este interiorul unui do meniu poliedric I I * ) de pe o suprafaţă riemanniană mai largă JB' C U fron tiera T formată dintr-un număr finit de curbe simple, închise, analitice, disjuncte şi v o m considera domeniul poliedric n în interiorul lui B, limi tat de curbe simple închise, analitice şi disjuncte r . V o m nota cu y un element frontieră al lui B (una din curbele lui T) şi cu y curba din T care separă n de acea componentă conexă G a mulţimii B — U pe a cărei frontieră se găseşte y. Frontiera lui G v a cuprinde deci curbele y y = y şi un număr finit de curbe din T, pe care le v o m nota cu 0
o
0
0
0
0 )
0
x
Q
Y2> Y3>
T«- Fentru simplificarea scrierii v o m însemna X y& = T*.
Se pune problema să se construiască o funcţie u în clasa funcţiilor cp armonice în G **), 1 ) nulă pe y , 2 ) pentru care V du = 1 , iar \ du = 0 (i = 2 , 3 , . . . , g ) , 3 ) astfel încît 0
D(^)
pentru orice cp cu proprietăţile 1 ) şi 2 ) . V o m arăta că în c l a s a ' 9 proprietatea 3 ) este echivalentă cu pro prietatea următoare: 3 ' ) u este constantă pe curbele frontierei lui G. î n acest scop, v o m construi în clasa cp o funcţie u satisfăcînd con diţiile 1 ) , 2 ) şi 3 ' ) şi v o m arăta că această funcţie face integrala lui Di richlet minimă. F i e co măsura armonică a curbei y în raport cu domeniul G (Jc = 1 , 2 , . . q ) . Dacă există o funcţie din clasa cp constantă pe y , notînd cu x valoarea acestei funcţii pe y' şi aplicînd principiul extremelor deducem că fc
&
&
k
4
u
= 5J
®k
(
D i n proprietatea 2 ) rezultă atunci că x ecuaţii liniare ik
k
7
)
trebuie să verifice sistemul de
k
YiA x =
1
S ,
(18)
H
unde
A
ik
= ^d^
(19)
k
* ) Rezultatele stabilite aici vor fi aplicate apoi domeniilor I I ale unei exhaustiuni. * * ) Deoarece propoziţia va fi aplicată domeniilor de aproximare, această condiţie este îndeplinită. n
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
274
iar 8 este simbolul lui Kronecker, egal cu unu pentru i = 1 şi cu zero pentru i=f=l. Formula a doua lui Green H
\
to dto — co d to = 0 i
&
fc
4
Jr* arată că
A.
Ane =
ki
V o m demonstra că determinantul | | este diferit de zero. Pentru aceasta să calculăm integrala lui Dirichlet a funcţiei u dată de (17) după formula (42) din capitolul V I I , B(u)
u du = \ \ A
= \
ik
% x . t
k
însă D (u) este o formă pătratică de nedeterminatele x care este defi nită pozitivă. într-adevăr, D (u) ] > 0 şi D (u) = 0 numai dacă u = 0 ceea ce are loc atunci şi numai atunci cînd x = x . . . = x = 0. P r i n urmare, | A | > 0. Sistemul (19) are o soluţie şi numai una, care introdusă în relaţia (17) determină funcţia u cu proprietăţile 1 ) , 2) şi 3 ' ) în mod unic. V o m arăta acum că această funcţie satisface şi condiţiei 3 ) . Să formăm pentru orice
?
x
2
Q
ik
B (
=[
V Jr*^
fiindcă ^ eîft = 0 pentru orice
x
k
to dh = fcTî
V
fc
x
[ dh = 0, JY*
k
Jc.
•'Tfc
Prin urmare, D ( ) = D ( ^ ) +D(fe), 9
relaţie din care deducem că u satisface 3 ) . Conform propoziţiei din § 12, ţi fiind finit, u este unic determinat prin condiţiile 1), 2) şi'3), deci în clasa
B (u) = V u du = # Jr*
1?
deci modulul (x al elementului frontieră y în raport cu O este egal cu valoarea x luată pe y de funcţia minimizantă Y
x
275
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
14. Funcţia
u satisface in G
inegalităţile
O < u <
(20)
x
v
într-adevăr, fie m minimul şi M maximul constantelor x . Atunci în interiorul lui G avem k
<
m < U M. Să notăm cu y (m) curba y , (sau dacă sînt mai multe una din ele), fc
pe care u — m. P e y ( m ) , este verificată relaţia — ! > 0 , unde — este dn
dn
derivata funcţiei u pe normala interioară relativ la
y (m) şi u > m în G. ]STu putem avea însă — = 0 pe y ( m ) , deoarece atunci funcţia analitică u + iu&r fi constantă pe y (m), ceea ce este absurd. P r i n urmare,
finînd seama de proprietatea 2 ) , deducem că y (m) = y şi m = 0. n m o d analog, se notează cu y ( M ) o curbă y pe care u = M şi 0
k
se arată că V
du > 0, de unde rezultă că y ( J f ) = y iar Jf = ^ = J I . x
Y
î n cazul cînd genul lui G este zero, se demonstrează că w = e *o reprezintă conform G pe coroana circulară 1 < | w \ < e Y prevăzută cu tăieturi pe arce de circumferinţă cu centrul w = 0, care corespund curbelor frontieră y^. (Jc = 2, 3, . . . q). 2n
{u +
2LTJA
15. Să considerăm acum din nou o suprafaţă riemanniană deschisă oarecare JB, din § 11, şi să determinăm pentru fiecare domeniu poliedric din şirul de aproximare II funcţia u a cărei existenţă a fost demonstrată în § 13. Această funcţie este armonică în G , nulă pe y şi constantă pe curbele y şi p n
n
n
n
0
n i
* =
P
e
Tn
ŞÎ
* =
®ni
Pe P
E a satisface de asemenea condiţiilor 2) din § 11. Conform proprietăţii de monotonie (relaţia (16)), şirul [x este mo noton crescător şi n
Dacă fx este finit, ultima inegalitate şi relaţiile (20) arată că u sînt nenegative şi formează şir mărginit în G, deci, după teorema lui Harnack (cap. I I , secţ. I I , §6), mulţimea u este compactă*). Y
n
n
*) Adică din orice şir al mulţimii se poate extrage un subşir uniform convergent în interiorul lui G.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
276
î n cazul [iy = o o , după aceeaşi teoremă, există două posibilităţi: sau şirul w este mărginit în interiorul luiG (adică pe orice mulţime com pactă din G) şi deci este compact, sau converge uniform' către in finit în interiorul lui G. Ultima alternativă trebuie însă exclusă, după cum rezultă din următorul raţionament: Fie m un indice oarecare, însă fix în aceste consideraţii, şi s funcţia armonică, mărginită în G nulă pe y , egală cu a pe T* şi care satisface n
mJ
relaţia \
0
ds = 1.
Aplicînd formula a doua a lui Green funcţiilor u domeniul G putem scrie
n
(n > m) şi s, în
mJ
\ +
deoarece u
— sdu = 0, n
şi s sînt nule pe y . Cum s = a pe T* iar V ^du
n
0
ducem că V
u
n
ds = a
n
= 1, de-
sau că min
u <; a n
pentru orice n. Aceasta exclude posibilitatea convergenţei uniforme a şirului u către infinit. A m demonstrat astfel că şirul u este compact, independent de faptul că [i este finit sau infinit.] n
n
y
16. F i e u = u o funcţie limită a şirului u . Această funcţie aparţine familiei {cp} , după cum rezultă din verificarea condiţiilor 1) şi 2) din § 11 ţinînd seama de teorema lui Harnack. P e de altă parte, din proprietatea de semicontinuitate a integralei lui Dirichlet ((cap. I V , (11)) deducem inegalitatea y
n
Y
D (u) < lim D (u ) = lim (x n
şi, cum [L
n
ft
[Ji , urmează că r
D
(U)
< [ly .
D
(U)
>
[ly ,
B
(U)
=
[Ly ,
Prin definiţie însă
astfel încît putem scrie
relaţie care arată că u este soluţie a problemei de minim pentru suprafaţa B.
277
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
î n caznl {i finit, propoziţia din § 12 arată că există o unică funcţie limită a şirului u . Y
n
17. V o m demonstra acum următoarea teoremă: Pentru orice element frontieră y &l suprafeţei E există două posibi lităţi : sau [L (G) este finit pentru orice I I , sau [L (G) este infinit pentru orice I I . Dacă I I şi I I sînt două domenii poliedrice pe E, cu proprietăţile cerute domeniilor din şirurile de exhaustiune în § 1 1 , putem întotdeauna să luăm un al treilea domeniu II 6' limitat de curbe jordaniene analitice, care conţine în interiorul său domeniile n şi IIo- D e aceea, este suficient să demonstrăm teorema enunţată în cazul cînd 116 conţine în interior n . F i e I I o exhaustiune a lui B, astfel încît 1 ^ să includă domeniul I U şi u respectiv u funcţia care rezolvă problema de minim pentru domeniile G şi G , unde G = (int îl — 115) r\ G' iar G' este compo nenta conexă a lui E — 116, care conţine y P frontiera ei. Aplicînd for mula a doua a lui Green în domeniul G pentru funcţiile u şi u' , putem scrie y
0
y
0
0
0
0
0
n
nJ
nj
n
n
n
n
e
n
n
u du' — u du = \ n
n
n
n
u ău'
n
n
n
sau [x — fx„ = \
u du' -
n
n
(21)
n
JY6
Luînd un şir de valori % pentru care u către funcţiile u şi Uy, din (21) rezultă
njc
şi v'n converg respectiv k
y
[Ly
— [Ly =
V
Uy
du' . y
Prin urmare, [ i şi j z sînt simultan finite sau nu. î n primul caz, y se numeşte de tip hiperbolic iar în al doilea caz, de tip parabolic. 18. Măsură armonică a unui element frontieră. Funcţia to (2) = Y
Y
n
= ^-u {z) n
pe y
n
este armonică, uniformă în G , nulă pe y , egală cu unitatea n
şi constantă, mai mare decît zero şi mai mică decît unu, pe p . Conform principiului maximului şi minimului, ni
0 <
în
0
co < 1 n
G. n
Cînd n tinde către infinit, admiţînd că [ i este finit, şirul u con verge către limita u, deci co converge către o funcţie limită finită co = co (z), care nu depinde de exhaustiunea aleasă, ci numai de y şi de G. Y
n
n
Y
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
278
Funcţia co este armonică pe
0 < co < 1.
(22)
Y
Modulul {jLy este legat de co prin relaţia Y
£>(o> ) Y
Dacă;a = o o , şirul <* (z) = — w ( * ) converge uniform către to = 0. Y
n
n
Y
V o m numi co măsura armonică a elementului frontieră y. Un element frontieră este de tip parabolic atunci şi numai atunci cînd este de măsură armonică nulă . î n cazul cînd R are un singur element frontieră, to este măsura armonică a frontierei ideale. 19. Fiecărui element frontieră y i se poate asocia însă şi o capa citate logaritmică, care se anulează o dată cu măsura armonică. L . S a r i o * ) a introdus această capacitate, rezolvînd următoarea problemă. Fie din n o u y un element frontieră al suprafeţei R, O un punct fix din JB,
Y
0
w
0
0
y
0
t(z) = log | * | + « ( * ) , unde s(z) este o funcţie armonică în
2)
V di = 2n şi V dt = 0 pentru orice n. Jv J3 n
ni
Să se determine funcţia / integrala J-C
Y
din această familie, care face minimă
tdt = —Um[
27C jj*
tdt.
(24)
2TC n->oo
Soluţia există întotdeauna şi este unic determinată în ipoteza că minimul integralei (24), pe care î l v o m nota cu ifc , este finit. E a se obţine rezolvînd problema de minim pentru un domeniu poliedric I I şi apoi trecînd la limită. î n cazul unui domeniu I I , determinarea funcţiei minimizante echivalează cu găsirea funcţiei din familia { J } , constantă pe curbele y şi (3 din frontiera F a lui I I . Se demonstrează că valoarea maximă a funcţiei t , care rezolvă problema pentru I I , este valoarea pe y , pe care o v o m nota Jc şi este Y
n
n
Yn
n
ni
n
n
n
n
n
* ) L . S a r i o, Capacity of boundary and of boundary component, loc. cit.
n
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
279
totodată minimul integralei (24) relativ la II . Cînd n tinde către infinit, Jc formează un şir crescător a cărui limită, finită sau nu, este Jc . Dacă Jc < oo, şirul t converge către o funcţie limită t (z, O ) , care satisface condiţiile 1) şi 2 ) şi rezolvă problema de minim pentru R. Dacă Jc = oo, şirul t este compact şi orice funcţie limită t (z, 0) este o soluţie a problemei. S a r i o numeşte numărul Jc = Jc (0) constanta lui Eobin a supra feţei R, pentru elementul frontieră y, iar e (O) = e- y > capacitatea logaritmieă a lui y în punctul O. Se arată că c este pozitivă sau nulă, după cum fz este finită sau infinită, fiindcă, din formula a doua a lui Green (cap. I , (12)), aplicată în ( x funcţiilor t şi u , trecînd la limită pentru un subşir convenabil de indici n, deducem relaţia w
n
y
y
n
r
r
n
y
y
R
k
{0
r
y
n
Y
n
n
D e aici rezultă că anularea capacităţii unui element frontieră are loc atunci şi numai atunci cînd acest element este parabolic şi independent de punctul O din R sau de parametrul local utilizat*). Din funcţia lui Sario t se poate obţine o funcţie a lui Green a suprafeţei R pentru elementul y. Să notăm y
g (z,
0)
n
Dacă i
=
Jc -t (z,0). n
n
< o o , trecînd la limită, obţinem funcţia 0Y ( * , 0 ) = * Y — ty (*, O) cu următoarele proprietăţi: ) 9t ( > 0 ) armonică pe R — O şi admite în vecinătatea lui O o reprezentare parametrică de forma a
Y
z
e
s
t
e
g (z,0)
=
r
l o g ± + l c [z]
y
+
z(z),
nnde z este parametrul corespunzător vecinătăţii lui O, iar s (z) o funcţie armonică în această vecinătate şi nulă în z = 0 ; (*> O) > 0 pe R; g ( P , O) == g (O, P ) , O şi P fiind puncte arbitrare de pe R.
&) 9t
c)
y
y
* ) O definiţie echivalentă cu aceasta a capacităţii se obţine generalizînd noţiunea de perimetru al unei componente din frontiera unui domeniu plan dată de L . A h l f o r s şi A . B e u r l i n g , Conformai invariants and function-theoretic null-sets, loc. cit. A se vedea M. J u rc h e s c u , Suprafeţe riemaniene cu frontiera absolut discontinuă, cap I, § 3, 3.4, p. 26—27. Legătura între funcţiile t şi u generalizează pe cea dintre funcţia lui Green şi măsura armonică: Luînd IT domeniul poliedric f X şi notînd cu u^ funcţia care rezolvă problema de minim din § 13 corespunzătoare componentei conexe G a lui R — I I , care conţine y pe frontieră, avem y
0
y
y
0
A se vedea şi G. I a c o b, Sur le probleme de Dirichlet dans un domaine multiplement connexe.., Journ. Math. pures appl., 1939, t I X , s. 18. p. 363—383.
plan
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
280
V o m numi g (z, O) funcţia lui Green a suprafeţei B pentru elementul frontieră y şi polul O. Dacă Jc = o o , g tind către infinit uniform în interiorul lui B şi spunem că B nu admite funcţia lui Green pentru y. î n concluzie, o suprafaţă B admite sau nu funcţia lui Green pentru un element y, după cum acest element are măsura armonică pozitivă sau nulă, adică după cum este hiperbolic sau parabolic. y
r
n
20. O suprafaţă riemanniană deschisă B se numeşte suprafaţă cu frontiera absolută discontinuă sau suprafaţă de clasă D , dacă pentru orice element frontieră y a lui B măsura armonică to = 0 ( ( i = oo sau c = 0)*). Deoarece relaţia f/. ((?) = o o este independentă de O, discontinui tatea absolută a frontierei unei suprafeţe riemanniene este o proprietate exclusivă a frontierei. E a este invariată nu numai de reprezentările conforme ale lui B, ci şi de cele ale unei vecinătăţi arbitrare a fron tierei ideale. Suprafeţele cu frontiera nulă aparţin clasei D , deoarece, dacăco este măsura armonică a frontierei în raport cu B — U , to < ; co pentru orice element frontieră y al lui B. î n cazul cînd B are un singur element frontieră, sau un număr finit de elemente frontieră, suprafeţele cu fron tieră nulă şi cele cu frontiera absolută discontinuă coincid. Y
Y
y
Y
0
Y
II. PROPRIETĂŢI ALE FUNCŢIILOR ANALITICE ŞI ARMONICE ŞI ALE DIFERENŢIALELOR LOR PE 0 SUPRAFAŢĂ RIEMANNIANĂ R CU FRONTIERA NULĂ**) î n această secţiune v o m stabili o serie de leme şi teoreme relativ la funcţiile analitice sau armonice şi la diferenţialele lor pe suprafaţa riemanniană B, pe care o presupunem cu frontiera nulă. V o m studia în special, diferenţialele de speţa î n t î i : analitice regulate şi uniforme pe B, care au integrala lui Dirichlet în raport cu B finită. Astfel de diferenţiale, cu integrala lui Dirichlet finită, se numesc de pătrat sumabile. Considerarea acestor diferenţiale este necesară pentru generalizarea teoriei integralelor abeliene la suprafeţe riemanniene deschise cu frontiera nulă, după cum se v a vedea în secţiunea I V , § 36. 21. V o m demonstra mai întîi următoarea lemă generală : Fie B o suprafaţă riemanniană deschisă oarecare (nu neapărat cu frontiera nulă), I I o exhaustiune a lui B şi co măsura armonică a lui T , frontiera lui I I , în raport cu F = II — I I . Variaţia totală pe linia n
n
n
n
n
n
0
* ) în memoriul citat, Suprafeţe riemanniene cu frontiera absolut discontinuă, M . J u rc h e s c u aprofundează proprietăţile clasei D. * * ) A se vedea R . N e v a n l i n n a , Quadratisch integrierbare Differentîale, auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, loc. cit.
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
de nivel pe B
co = X a oricărei
diferenţiale
n
281
dw analitice regulate şi uniforme (25)
dw -x satisface
inegalităţii
?L*(\)d\^n (w)D (<* ). Fn
Fn
n
(26)
Jo într-adevăr, cîco^*),
.L =x Aplicînd inegalitatea Ini Schwarz (cap. I V , nota**) de la p . 75), pntem scrie dw
2
i (*)<
Jo « X
(27)
du>„
dan
însă, ca şi în relaţia (12) (san cap. V I I , (42)), (28) Jr\
Jw =
x
ambele integrale fiind lnate în sens direct faţă de F , respectiv faţă de domeniul limitat de T şi co = X (deci do> > • 0 ) . P e de altă parte, n
0
n
n
rX
deoarece putem lua derivata lui w pe orice direcţie şi folosi coordonatele co şi
n
=5
dw
(29)
X
Inegalitatea căutată (26) rezultă imediat din (27), folosind (28) şi (29). 22. Consecinţă. Dacă B are frontiera nulă iar dw este de pătrat sumabilă, pentru n suficient de mare există X astfel încît £ ( X ) <e (e > 0, arbitrar). * ) Această relaţie rezultă din utilizarea coordonatelor curbilinii o şi co» şi din faptul că d co» 0 cînd co» = X este decris în sens direct faţă de domeniul 0 < co» < X . n
282
TEORIA
FUNCŢIILOR
DE O
VARIABILĂ
Dacă dw este de pătrat sumabilă, B nn nnmăr M astfel încît
(w) este finită, deci există
R
D
COMPLEXA*
(w) < M
Pn
pentru orice n. Cum B are frontiera nulă, din teorema stabilită în § 9, rezultă că
SR.<«.> < ~ pentru n suficient de mare. Atunci, inegalitatea (26) devine ^
2
£
( * ) < * A <
z,
prin urmare există un X astfel încît i(X)<s pentru fiecare n suficient de mare. 23. V o m demonstra acum o a doua lemă. Bacă dw este o diferenţială analitică regulată, uniformă şi de pătrat sumabilă pe suprafaţa riemanniană B eu frontiera nulă şi P este un punct arbitrar din B, pentru orice s > 0 existat o linie y compusă dintr-un număr finit de curbe simple închise, analitice, care separă P de frontiera ideală T a lui R*) şi pe care variaţia totală a lui dw este mai mică decît z, 0
c
0
(
| dw | <
(30)
z.
K Să alegem I I un domeniu jordanian care conţine P în interior. V o m arăta că putem lua drept y linia co = X dacă n este suficient de mare iar X un număr convenabil. într-adevăr, concluzia din paragraful precedent arată că relaţia (30) este îndeplinită în acest caz. P e de altă parte, y separă P de frontiera lui B, deoarece separă P de T , conform proprietăţilor liniilor de nivel ale măsurii armonice. 0
0
€
n
e
0
0
n
24. Exceptînd cazul banal cînd dw = 0, dacă z tinde către zero, orice curbă (sau reuniune de curbe) y , pentru care f | dw | < z, tinde e
către frontiera suprafeţei B. î n cazul contrar, ar exista un domeniu compact A din B în care pătrund curbe y pentru valori ale lui z tinzînd către zero. P e fiecare e
*) Se spune că y separă P de frontiera ideală a lui J R , dacă mulţimea punctelor din R ce pot fi unite cu P prin drumuri continue fără a intersecta y este compactă în JR. A se vedea nota * * * * ) de la p. 271. 0
0
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
283
T Patern alege un pnnct P din A . Aceste puncte vor avea cel puţin u n punct de acumulare P în A . F i e e un şir descrescător, tinzînd către zero, astfel încît P „ să tindă către P . Eeprezentînd o vecinătate parametrică a lui P pe cercul para metric \t\ < 1, punctului P îi v a corespunde t = 0, iar punctelor P e , pentru n suficient de mare, le v o r corespunde puncte t tinzînd către sero, pe care le v o m presupune situate în 11 \ < r pentru un r < 1. Există e
e
0
n
e
0
0
0
t t
n
0
0
Fig. 50
atunci în 11 \ < r o curbă l , imaginea lui y , care duce de la t la 11 | = r şi pe care variaţia totală a lui dw este mai mică decît s (fig. 50). Conform teoremei monodromiei (cap. V I I , secţ. V I I , §47), fiecare ramură a funcţiei w(t) este olomorfă în 11 \ < 1. Deci în 1 1 1 0 ea este şi rdărginită | w(t) | < M. Q
n
8 n
n
n
0
Aplicînd lema lui Schwarz, putem scrie \w(t) -w(0) Să notăm cu s
n
| < 2 M
\t\.
segmentul ce uneşte t
n
cu 0 şi cu L mulţimea n
V o m arăta că | « ( * ) - « ( 0 ) | < 2 J f | U + e = ri n
pentru
fel
f l
n
,
într-adevăr, dacă t e
s, n
\w(t) - w ( 0 ) | < 2 J f | * | < 2 J f \t \ < */}„ n
iar dacă t e Z , w
\w(t) - w ( 0 ) | < | w ( * ) -w(t ) n
\dw\+2M\t \
R
| +!^(U -w(0)|< +
2M\t \=r . n
in
p
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
284
însă pentru orice r între 0 şi r , pe 1t | = r avem cel puţin un punct de intersecţie cu L , în care 0
n
\w{t)-w{0) | < 7) şi deci un punct de acumulare al lor, în care w(t) = w(0), deoarece lim r = 0. D e aici, rezultă însă că w(t) este o constantă sau dw = 0. in
î n acest mod, propoziţia este complet stabilită. 25. Observaţie. î n demonstraţiile lemelor de mai sus ( § § 2 1 — 2 4 ) nu au intervenit'decît mulţimile F . Lemele din §§ 22—24 rămîn deci valabile şi pe suprafaţa B — n pentru diferenţiale dw analitice regulate şi uniforme pe B — I I , cu DR-II (W) finit, dacă B este cu frontiera nulă iar I I un domeniu jordanian din B. Evident, în lema din § 23 curbele y nu mai separă un punct din B — I I de frontiera acestei suprafeţe, ci de frontiera lui B. n
o
0
0
0
s
0
26. V o m stabili acum pentru suprafeţe B cu frontiera nulă unele teoreme analoage cu cele demonstrate în capitolul V I asupra comportării funcţiilor analitice din plan în vecinătatea mulţimilor de măsură armo nică * nulă. Fie dw = du + idu o diferenţială analitică regulată, uniformă şi de pătrat sumabilă pe suprafaţa riemanniană B cu frontiera nulă, astfel încît u să fie armonică şi uniformă într-un domeniu G din B, cu frontiera interioară*) T , şi să avem u = u = const, pe T . Atunci, u — u în G, deci pe B. Dacă domeniul G este compact, T este întreaga frontieră a lui G şi aplicînd principiul extremelor, rezultă imediat teorema enunţată. Să presupunem că G nu este compact şi să stabilim mai întîi următoarea lemă : în ipotezele teoremei de mai sus, 0
0
0
0
0
(31) Să construim pentru diferenţiala dw curbele y
e
cu proprietatea
frontieră. Acest domeniu este compact. * ) Se numeşte frontieră interioară a unui domeniu G din R, frontiera lui G considerat ca submulţime a lui R, în raport cu R, adică mulţimea punctelor din R care nu sînt nici inte rioare nici exterioare lui G. * * ) Frontiera ideală a lui G este formată din elementele frontieră a ale lui R, pentru care orice şir determinant A « este inclus începînd de la un anumit indice n în G. Domeniul G se numeşte şi vecinătate a lui a pe R.
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE DESCHISE
Dacă notăm cn R , respectiv Y , arcele din T , 0N
N
pe R
p e frontiera Ini G , atunci, u = u n
0
şi f
0N
0
Cum u este armonică uniformă în G capitolul V I I ,
respectiv Y^ , de
| dw \ <
z. n
conform relaţiei (41) din
n1
[
285
du = Q.
J on+r r
w
Deci •TiOn
Cînd n tinde către infinit, curbele T lităţile de mai sus, rezultă
tind către T
Qn
0
şi din inega
du = 0 27. Folosind această lemă, v o m putea demonstra teorema enunţată şi în cazul unui domeniu G necompact. Pentru simplificarea expunerii, v o m presupune u = 0, ceea ce se obţine întotdeauna considerînd în loc de u funcţia u — u . Dacă u ar lua într-un punct din G o valoare u > 0, să notăm cu G subdomeniul din G în care 0 < u < % şi care conţine punctul P pe frontieră. Acest domeniu este limitat de arce din T , pe care u = 0, şi arce I \ , pe care u = %. Să considerăm curbele y din lemă şi domeniile G din G separate
0
x
1
0
0
1
Sn
n
1
e w
0
n
0
0 n
1
DQ
ln
(^) = \
x
6 n
n
u du = % \
du + \
u du
şi
\
du = 0, r
* 0n
+
r
(32)
m + Y»
integralele fiind luate în sens direct faţă de ffj. Cum 0 < u < % pe y
K
^
e?s
I
I * yn
u ^
|^
x
I
|
*Yn
iar (32) arată că \\
du
I
e?S
+
^
| #w | ,
n î
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
286
deci
Trecînd la limită, obţinem D i(u)
= 0,
Q
1
de unde rezultă u = 0 în G , deoarece u = 0 în P . Aceasta contrazice ipoteza u > 0 într-un punct din R. î n mod analog se înlătură posibi litatea u < 0. Prin urmare, u se reduce la o constantă pe R. 0
28. Din această teoremă, rezultă următoarea propoziţie: Pe o suprafaţă riemanniană R cu frontiera nulă, orice funcţie u armonică şi uniformă, cu integrala lui Dirichlet finită, D (u) < + oo se reduce la o constantă. într-adevăr, fie u o valoare luată de funcţia u. Dacă u nu se reduce la constanta u , există un domeniu G, format din puncte u >u pe a cărui frontieră interioară u — u ^ Teorema precedentă se poate aplica, deoarece diferenţiala dw = du + i du este uniformă regulată şi de pătrat sumabilă. P r i n urmare u = u *). R
f
0
0
0>
0
0
29. Principiul maximului şi minimului generalizat. Fie u o funcţie armonică şi uniformă într-un domeniu G cu frontiera interioară T , de pe suprafaţa riemanniană R cu frontiera nulă. Dacă integrala lui Dirichlet a lui u pe R este finită, iar m ^ u
0
0
0
19
u ( P ) > M > M. 0
x
Domeniului G* din G, care conţine punctul P u(P)
>
0
şi în care
M
19
i se poate aplica teorema din § 26, fiindcă pe frontiera sa interioară u = = M . Deci u = M în G*. Atunci însă u = M în întreg domeniul G ceea ce este absurd. î n acelaşi mod se demonstrează şi principiul minimului. t
1
1
30. Păstrînd ipoteza că R are frontiera nulă, v o m arăta acum o funcţie u armonică, uniformă şi mărginită,
r
că
\u\<M, într-un domeniu G cu frontiera interioară Dirichlet relativ la G finită DQ{U)
<
+
Y
Q
compactă, are integrala
O O .
*) Această teoremă demonstrează incluziunea
OQQOBD.
lui
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESdHISE
287
î n acest scop. v o m stabili relaţia D {u)
Mau,
={
Q
(33)
care în caznl cînd G este compact este o consecinţă imediată a formulei preliminare a lui Green şi a fost utilizată de mai muite ori ( c a p . V I I (42))*). Pentru a demonstra (33) în ipoteza că G nu este compact, dar T este o mulţime compactă, v o m considera o exhaustiune a domeniului G prin domenii G limitate de arce T din T şi y * * ) şi v o m nota cu u funcţiile armonice şi mărginite în G egale cu u pe T şi cu M pe y . Din principiul extremelor rezultă că 0
n
0 n
n
0
n
nJ
0 n
n
0 < u - u < M co n
(34)
n
în G , unde am notat cu co„ măsura armonică a arcelor y în G . n
n
Cum
n
şirul co tinde către zero o dată cu i , uniform în interiorul w
lui G, inegalităţile (34) ne asigură convergenţa uniformă în interiorul lui G a şirului u
către u, deci şi a şirurilor derivatelor parţiale
n
şi dx
a..
; prin urmare, pentru o alegere convenabilă a constantelor de înte ţi
grare şirul u converge uniform în interiorul lui G către u. Ca şi în paragrafele precedente, n
D
u
oS n)
u
=\
n du
n
= \
u du
n
+ M\
du .
Ţinînd seama de convergenţa uniformă a şirului u zultă că
n
l^
lim\
u du = \ udu. u du = ^ i
w->-oc ,
Vom
arăta acum că
n
către
re (36)
n
> fTQn
Jr
lim\
du = 0.
0
(37)
n
Aplicînd formula a doua a lui Green funcţiilor co în domeniul G obţinem n
(35)
n
armonice u
n
şi
n1
\ •>r + 0n
u ău n
n
-
o> du n
n
= U.
(38)
Y n
* ) Evident, presupunem că T satisface condiţiile de regularitate necesare pentru apli carea formulelor din cap. V I I , § 47. * * ) Se pot lua drept domenii G , domenii din intF„ o G, pentru o exhaustiune a suprafeţei R, in care I I este exterior lui G. 0
n
0
288
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
Eelaţia (38) se poate scrie şi sub forma ţ
uăto
+ M[
n
du .
(39)
=-\
d5.
(40)
n
n
însă, după rezultatele din § 9, Vo (<»»)=[
d5
n
%
Şi lim D „ ( < o „ ) = 0 .
(41)
6
Din inegalitatea
şi din relaţiile ( 3 9 ) - ( 4 1 ) , deducem (37), iar din (35) — (37) rezultă că lim D {u ) Gn
=\
n
udu.
Oricare ar fi subdomeniul A compact din G, dacă n este suficient de mare, A este inclus în G , deci n
D (u) ă
= lim D (uJ A
6 n
{u ) = \ n
udu.
n-y oo
n-+ oo
Prin urinare,
D (w)<ţ
udu,
6
* T
(42)
0
relaţie care arată în acelaşi timp că D (u) este finit, ceea ce demonstrează teorema. Lema din § 23 ne permite acum să alegem curbele Y , astfel încît Q
6 n
\
| dw | <
e
n
şi, cu atît mai mult, \
\du\<e . n
Să notăm cu 6?e domeniile din G separate prin T de frontiera ideală a lui G şi cii r e , porţiunea din T de pe frontiera lui G e . n
0
n
6 n
0
n
289
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
C u m
DQ*
U
()
= \ Jr
u dH + \ J
0e
u du Ye n
n
Şi u du > — M \
\du\^
—M z, n
obţinem n
Jr
0e
»
de unde, prin trecere la limită, rezultă DQ(U)>\
udu.
(43)
Relaţiile (42) şi (43) demonstrează complet lema enunţată. 31. Cu ajutorul teoremei din paragraful precedent putem arăta cu uşurinţă că o funcţie armonică, uniformă şi mărginită pe suprafaţa riemanniană B cu frontiera nulă, are integrala lui Dirichlet relativă la B finită, D {u)< + oo. P i e A un domeniu jordanian limitat de curba T din B». Luînd G = B — A , teorema de mai sus arată că I>a(u) < + o o . însă B (u) = B (u) + D (i*) iar B
0
R
G
DA(U)
A
<
+
O O .
Prin urmare, rezultatele stabilite pentru funcţii armonice, uniforme, cu integrala lui Dirichlet finită pe JB (suprafaţă riemanniană cu frontiera nulă), sînt valabile şi pentru funcţiile armonice uniforme şi mărginite pe B. Astfel, teorema din § 28 arată că funcţiile armonice uniforme şi mărginite pe B se reduc la constante*). III. FUNCŢII ARMONICE CU SINGULARITĂŢI DATE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE CU FRONTIERA NULĂ**) 32. A m văzut că pe o suprafaţă riemanniană B cu frontiera nulă, funcţii armonice uniforme mărginite sau cu integrala lui Dirichlet finită sînt numai constantele. V o m demonstra în această secţiune o teoremă * ) în particular teoremele din § 31 şi § 28 arată că OQCOHB* * ) R . N e v a n l i n n a , Quadratisch integrierbare Differentiale auf einer Riemannschen Mannigfaltigke.it, loc. cit.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
290
generală de existenţă a funcţiilor armonice, uniforme, cu anumite singu larităţi, pe care le v o m presupune situate în vecinătatea unui punct O din B. Eepetînd procedeul utilizat în § 5 pentru construirea funcţiei lui Green, v o m lua în vecinătatea parametrică a punctului O curbele y şi c imagini ale cercurilor | z | = p, respectiv \z \ = r (P < R < 1) din cercul parametric | z | < 1 asociat vecinătăţii lui O. Ca şi în §5, v o m nota cu 8 domeniul jordanian limitat de y, cu d domeniul jordanian interior lui c şi cu (y, c) domeniul dublu conex cuprins între c şi y. Dacă 9 este o funcţie armonică şi uniformă în (y, c), care prezintă anumite singularităţi în 8, condiţia necesară şi suficientă pentru ca să existe o funcţie u armonică, uniformă şi mărginită în B — 8, care se prelungeşte armonic peste y verificînd în d relaţia u =
9 +
(44)
0,
unde v este o funcţie armonică în d, este ca funcţia 9 , conjugată armonică a lui 9 , să fie uniformă în (y, c). Eemarcăm că funcţia u are în 8 singularităţile funcţiei 9 , conform relaţiei (44). Totodată, se observă că pentru 9 = l o g — î - , 9 = arg—nu 1*1
*
este uniformă, ceea ce explică inexistenţa funcţiei lui Green pentru supra feţele riemanniene cu frontiera nulă. 33* Să arătăm că funcţiei u. * Pentru aceasta, Funcţia u fiind teorema stabilită în §
uniformitatea lui 9 este necesară pentru existenţa v o m presupune problema rezolvată. armonică, uniformă şi mărginită pe B — d, din 30 rezultă că D -- (w) B
d
< + 00
pentru w = u + i u. Aplicînd pe B — d lemele din §§ 23 şi 24 pentru diferenţiala du* ceea ce este posibil conform observaţiei din § 25, deducem existenţa curbe lor y ^, pe care e
\
y
| A * | < e „
care tind către frontiera ideală a lui B cînd n tinde către infinit. Atunci
şi cum
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE
DESCHISE
291
rezultă că ^ du =
(45)
0.
Să observăm acum că funcţia v = u — 9 este armonică în domeniul d, care este simplu conex, deci funcţia conjugată armonică v = u — 9 este şi ea uniformă în d sau ^ dv
=
(46)
0.
Din (45) şi (46) rezultă egalitatea
^#9
=
0,
care demonstrează că 9 este uniformă în (y, e ) . într-adevăr, pe orice curbă simplă închisă c* din (y, c), care include pe y în interior, \ d 9 = Jc*
\
dy = \ d
J Y
34. Mai înainte de a demonstra şi reciproca, dăm următoarea teoremă generală : Fie 8 un domeniu jordanian limitat de curba y pe suprafaţa riema nniană E {cu frontiera nulă sau pozitivă). Putem construi o funcţie U ar monică uniformă şi mărginită în E — 8, luînd pe y valori date*). Să considerăm o exhaustiune a suprafeţei JB prin domenii I I ^ , în care 8 = I I , şi să notăm cu F = I I — S şi cu M marginea superioară a valorilor date pe y, pe care le putem presupune pozitive (cap. I I I , secţ. I , § 2 ) . Construim, rezolvînd o problemă a lui Dirichlet, funcţiile U armonice în F , luînd pe y valorile date şi pe T valoarea M. Aceste funcţii formează şir descrescător, mărginit de M. Prin urmare, şirul U converge uniform în interiorul lui E — 8 către o funcţie armonică U (0 < ; U <; M), care ia pe y valorile date. 0
n
n
n
n
n
n
35» Presupunînd acum 9 uniformă în (y, c) din vecinătatea para metrică a lui O, v o m arăta că există funcţia u din teorema enunţată în § 32. î n acest scop, v o m adapta metoda alternată a lui Schwarz/aşa după cum am procedat şi în capitolul V I I I , secţiunea I I , § 5. * ) Presupunem aceste valori continue, exceptînd un număr finit de puncte, şi mărginite.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
292
Definim succesiv în domeniile R — 8 sau d funcţiile u monice şi mărginite, satisfăcînd condiţiilor
n
u =
9
x
v =
pe c,
v
= i +
u
2
ar
n
pe y,
% — 9
±
şi v
P
e
v,
v = % —
şi în general w
»
=
= n
n
Vom
* V i + /U
V
?
~
Pe
9
Pe
Yj
(
4
7
)
C.
demonstra mai întîi că 1
)d6=0.
(48)
Funcţiile t? sînt uniforme in d şi, aplicînd propoziţia 2°, din capi tolul V I I I , secţiunea I , § 2, putem scrie n
C
V» = ( V».
(49)
(50)
Tot astfel, ^
deoarece 9 este uniformă în (y, c ) , prin ipoteză. însă şi funcţiile u sînt uniforme în (y,
n
-DJS-S ( l e j <
+
este
00
( § 3 1 ) şi, în baza raţionamentului din § 33, ^ du = ^ dM = 0. n
n
Prin urmare, aplicînd din nou propoziţia 2°, din capitolul V I I I , secţiunea I , § 2, = V
(51)
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE
DESCHISE
293
Relaţiile (47) ne permit să scriem însă J u dQ = ^ v _ dQ + ^ 9 d6 n
n
x
Şi Jc
Jc
Jc
Adnnînd nltimile donă egalităţi şi folosind relaţiile (49) — (51), obţinem (48), care arată că v — v _[ = 0 în O (z = 0)! Ca şi în capitolul V I I I , secţiunea I I , § 5, se aplică propoziţia 3° din capitolul V I I I , secţiunea I , § 2 şi se demonstrează convergenţa uni formă a şirului v în d către funcţia v armonică în d. Se stabileşte apoi convergenţa uniformă în interiorul lui B — 8 a şirului u către o funcţie u armonică şi mărginită în B — S. Trecînd la limită în relaţiile (47), se arată că funcţiile u şi v satisfac în domeniul (y, c) condiţii cerute (44). Teorema din § 32 este astfel complet demonstrată. n
n
n
n
IV. DIFERENŢIALE ŞI INTEGRALE ABELIENE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE CU FRONTIERA NULA*) 36. Diferenţialele abeliene sînt în cazul suprafeţelor închise de trei speţe : diferenţiale de speţa întîi uniforme şi analitice regulate (olomorfe) pe B; diferenţiale de speţa a doua avînd poluri, dar cu reziduul nul, şi diferenţiale de speţa a treia avînd şi poluri cu reziduul diferit de zero (cap. V I I I , secţ. I I , § 10). Pentru a putea păstra însă rezultatele teoriei clasice din cazul supra feţelor închise, E . S e v a n l i n n a a considerat diferenţiale de pătrat sumabile**). într-adevăr, diferenţialele abeliene de speţa întîi pe o supra faţă închisă B formează un spaţiu liniar cu dimensiunea egală cu genul (cap. V I I I , secţ. I I , §7). Dacă extragem din B un punct, obţinem o suprafaţă deschisă Bl de acelaşi gen cu B Integralele şi diferenţialele abeliene de speţa întîi pe B rămîn integrale, respectiv diferenţiale, de aceeaşi speţă pe E*, în schimb cele de speţa a doua, avînd numai un pol în punctul extras, devin de speţa întîi. Prin urmare, diferenţialele de speţa întîi nu mai formează pentru Bl un spaţiu liniar cu dimensiunea egală cu genul. Eezultatul clasic se păstrează pentru următoarea definiţie : Numim diferenţială abeliană de speţa întîi orice diferenţială dw analitică regulată (oiomorfă), uniformă şi de pătrat sumabilă pe B. Aceste diferenţiale corespund unor funcţii analitice w fără singula rităţi pe B, dar multiforme, care sînt integralele abeliene de speţa întîi. x
x
v
x
*)R. N e v a n l i n n a , Quadratisch integrierbare Diferenţiale auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, loc. cit. * * ) Această condiţie se raportă la comportarea diferenţialei în vecinătatea frontierei ideale.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
294
37. Mai înainte de a construi astfel de integrale, v o m analiza pro prietăţile l o r : Integrala unei diferenţiale abeliene de speţa întîi, luată pe o curbă simplă închisă a de pe B, este nulă dacă a divide suprafaţa B, adică dacă mulţimea B — a este formată din două mulţ'mi conexe, disjuncte
C
dw = 0
Ja
pentru că a este frontiera domeniului poliedric G' (la o triangulare convenabilă a lui B) şi se aplică teorema lui Cauchy (cap. V I I , sect. V I I , §47,3°). Pentru a stabili propoziţia enunţată, în ipoteza că ambele domenii G' şi G" sînt necompacte, să considerăm un şir de exhaustiune I I al lui B, astfel încît lim ( | dw | = 0. n
w-yoo
V * n A
T
Dacă n este suficient de mare (n > j \ ) , curba a este inclusă în interiorul domeniului I I . Să notăm, pentru n > N?, cu G' intersecţia G'JI şi cu T « frontiera lui G' de pe T . Cum în atară de T « frontiera lui GJ mai cuprinde şi a, putem scrie, aplicînd tot teorema lui Cauchy, 0
n
n
n
n
tt
dw = — ^
dw *).
Dar ( dw j < ; V | dw |, deci ^ dw = 0. Dimpotrivă, în cazul în care a nu divide suprafaţa B (deci cînd B — cu formează un singur domeniu), $ dw este, în general, diferită de zero şi se numeşte perioada diferenţialei d w pe a. Diversele determinări ale funcţiei w diferă între ele printr-o combinaţie liniară de astfel de perioade (integrale ale lui dw pe drumuri a ce'nu divid suprafaţa B). Cînd supiafaţa B este de gen zero, nu există curbe a care să nu o dividă, deci w este o funcţie uniformă pe B, fiindcă J dw = 0 pentru a
a
*) în această egalitate integralele sînt luate în acelaşi sens faţă de domeniul G . n
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
295
orice curbă simplă închisă a. Partea reală u a lui w este şi ea uniformă. Teorema din § 28 arată atunci că u, deci şi w, sînt constante. Prin urmare, diferenţialele de speţa întîi pe suprafeţe cvasisimple cu frontiera nulă sînt identic nule, dw = 0, iar integralele abeliene de speţa întîi sînt constante. Aceleaşi consideraţii arată că diferenţialele de speţa întîi cu perioade nule pe orice curbă simplă închisă a sînt identic nule. 38. Pentru construirea unei diferenţiale de speţa întîi, v o m forma diferenţiale de speţa a treia, avînd în două puncte a şi b de pe JB poluri simple cu reziduul ± — • Fie a şi b puncte din vecinătatea parametrică a unui punct O din B iar y şi c două curbe jordaniene din această vecinătate, alese ca în teorema de existenţă din § 32 şi astfel încît y să includă pe a şi b în interior. V o m nota cu aceleaşi litere afixul acestor puncte în cercul parametric şi le v o m uni în interiorul lui y printr-un arc simplu a. Funcţia
este armonică şi uniformă în (y, c) iar funcţia armonică conjugată
z— a
—11
-
—
log
2ÎC z— b este, de asemenea, uniformă în (y, c) . î n baza teoremei din § 32, există funcţia u armonică, uniformă şi mărginită în B — 8, care se prelungeşte armonic peste y şi prezintă în 8 aceleaşi singularităţi ca şi
2TH
39. Procedînd ca şi în capitolul V I I I , secţiunea I I , § 8, construim diferenţiale şi integrale de speţa a treia pentru puncte a şi b situate * ) Remarcăm că D (w) R
= -f 00, deoarece D (
00, D (o) s
< + o o i a r u = p +
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
296
arbitrar pe B. î n acelaşi mod v o m forma diferenţiale şi integrale abeliene de speţa întîi pe o suprafaţă B cu genul mai mare sau egal cu unu. Fie a o curbă simplă închisă, care nu divide suprafaţa JB.Vom împărţi a în arce prin punctele a . . . , a alese suficient de vecine, pentru*ca> subarcul a al lui a, cuprins între a şi a (Jc = 1, 2 , . . . , n (mod. n)) să fie inclus într-o vecinătate parametrică de pe B. Pentru fiecare pereche de puncte a a , construim, ca în para graful precedent, diferenţiala de speţa a treia dw şi funcţia armonicăr corespunzătoare % . Funcţia 21
n1
k
k
k+1
kJ
r
k+1
k
n
este armonică în B, deoarece prin adunare singularităţile funcţiilor u din punctele a dispar. Să notăm cu A un domeniu închis şi compact pe jft, care conţine a în interior. Deoarece u este mărginită în A , avem k
k
B^(u)
<
oo.
+
P e de altă parte, dw fiind de pătrat sumabile în R — A , după 2% capitolul I V , § 2, putem scrie k
DE-Ă
(U)
<
+
OO.
î n concluzie, diferenţiala dw corespunzătoare funcţiei u este o diferenţială abeliană de speţa întîi, analitică regulată, uniformă şi de pătrat Wmabilă pe B. Observăm că funcţia u este uniformă în B — <x, dar cînd străbatem această curbă are un salt egal cu unu. într-adevăr, dacă traversăm curba în interiorul arcului ar , atunci u are un salt egal cu unu, iar funcţiile w„ pentru ; =f=fc,sînt continue. fc
k
40. Integralele abeliene de speţa întîi pe suprafaţa B de gen m a i mare decît unu sînt funcţii multiforme, fără singularităţi. Ca şi în cazul integralelor abeliene clasice, perioadele lor se obţin dintr-un sistem de perioade fundamentale (în număr egal cu de două ori genul) ca expresii liniare cu coeficienţi întregi de aceste perioade. Cînd genul este infinit,, deşi „ b a z a " perioadelor (sistemul de perioade fundamentale) este infinită fiecare perioadă se obţine ca sumă finită cu coeficienţi întregi din perioadele fundamentale. Rezultatele enunţate mai sus se obţin dacă ne referim la repre zentarea canonică plană a suprafeţei B (cap. V I I , secţ. V I , § 39) şi folosim teoremele din § 37. P e imaginea canonică (fig. 51) se vede că perioada pe orice curbă simplă închisă a, care nu divide suprafaţa B este o combinaţie liniară, finită, cu coeficienţi întregi, de perioadele pe curbele corespunzătoare perechilor de cercuri ( O , (7') (ale căror puncte simetrice faţă de axa reală trebuie 9
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
297
identificate) şi de perioadele pe curbele conjugate acestora, care în repre zentarea plană corespund la arce simple, unind puncte simetrice de pe
c şi cr. Dacă suprafaţa riemanniană B are frontiera nulă şi genul p,diferen ţialele abeliene de speţa întîi formează spaţiu liniar p-dimensional (faţă
c
Fig. 51
de corpul numerelor complexe). î n cazul genului infinit, aceste diferenţiale formează din nou un spaţiu liniar, cu o infinitate numerabilă de elemente liniar independente*). 41. î n § 38 şi § 39 am construit diferenţiale abeliene de speţa a treia şi întîi. Folosind aceeaşi teoremă generală de existenţă a funcţiilor armonice cu singularităţi date ( § 3 2 ) şi alegînd 9 = HI ţ - ^ J (m număr natural), construim diferenţiale de speţa a doua, uniforme şi regulate pe B — O, avînd în O un pol cu reziduul nul şi integrala lui Dirichlet •Da-s(w) finită. V. FUNCŢIA ANALITICĂ CORESPUNZĂTOARE UNEI SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DATE î n cazul unei suprafeţe riemanniene închise JS, am demonstrat în capitolul V I I I , secţiunea I I I , § 16, existenţa unei funcţii analitice pe Bj avînd B ca suprafaţă riemanniană a ei. V o m considera acum o supra faţă de acoperire
* ) Asupra organizării acestui spaţiu ca un spaţiu Hilbert a se vedea R. N e v a n l i n n a , , Vniformisierung, cap. X , § § 6 şi 7, p. 338 — 357.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
298
deschisă şi v o m construi o funcţie analitică, a cărei suprafaţă riemanniană este J?, demonstrînd astfel complet teorema enunţată în nota* * ) de la p . 205. Teoremele de existenţă a funcţiilor armonice sau analitice pe o suprafaţă riemanniană, expuse în capitolul V I I I sau în secţiunile pre cedente ale capitolului I X , utilizau metoda alternată a lui Schwarz. î n această secţiune ne v o m baza pe proprietăţile integralei lui Dirichlet şi pe principiul lui Dirichlet * ) . 42. Dacă £1 este un domeniu de pe suprafaţa R (care poate eventual coincide cu întreaga suprafaţă R), spunem că funcţia cp aparţine familiei {A} pe CI dacă cp este continuă pe £2 şi satisface condiţiei următoare : Pentru orice punct (p, z) din £2, care este ordinar, există un cerc Y din fî, avînd acest punct ca centru şi astfel încît, notînd P
?0P) = /(*)> z = T ( p ) , f(z) are derivate parţiale de ordinul întîi continue în orice punct din y exceptînd cel mult un număr finit de arce analitice situate în cerc şi pe care derivatele pot chiar să înceteze de a exista. Unele din aceste arce se pot reduce la puncte. Considerăm punctele de ramificaţie ale lui R ca astfel de arce, aşezate pe circumferinţa anumitor cercuri y . Să efectuăm o triangulare a lui £1 astfel încît fiecare triunghi să fie interior unui y cel puţin şi să fie descompus de arcele excepţionale în cel mult un număr finit de domenii $ . î n fiecare domeniu S se poate defini integrala lui Dirichlet ca şi într-un domeniu plan, trecînd la limită integrala luată pentru un şir de domenii interioare lui 8* (cap. V I I , secţ V I I , § 46). Prin definiţie, v o m lua p9
v
9
e
»a(9)
= 2 ^ ( 9 ) .
Deoarece seria (52) are toţi termenii nenegativi, Da(y) o valoare bine determinată finită sau infinită.
4
(52) va avea
43. O b s e r v a ţ i i. 1°. Proprietăţile integralei lui Dirichlet din capitolul I V , § 2 se păstrează pentru funcţii din familia { A } şi domenii de pe suprafeţe riemanniene. 2° V o m aplica principiul lui Dirichlet (cap. I V , § § 3 — 4 ) în urmă toarele condiţii : Fie r un cerc simplu sau multiplu din R şi 9 (p) funcţiile din familia {A} din interiorul lui T, continue pe T şi luînd aceleaşi valori continue pe frontiera lui V. Din toate aceste funcţii 9 , funcţia armonică u dă integralei lui Dirichlet DT{9) valoarea ei minimă. Dacă Dr{u) < 00, * ) A se vedea S. S t o i l o w , Principes topologiques . . ., cap. I I , secţ. I I I , p. 43 — 62. Me toda pe care o vom expune este datorită lui H . W e y 1, (Die Idee der Riemannschen Flâche, cap. I I , §§ 12—15, p. 78—107); ea a fost simplificată de R. C o u r a n t ( H u r w i t z şi C o u r a n t , Funktionentheorie, ed. I I I , J. Springer, Berlin, 1929) şi P. F a t o u ( P . A p p e 11 şi E. G o u r s a t , Theorie des fonctions algebriques et de leurs integrales, t. I I ) .
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
299
atunci u este singura dintre funcţiile
0
0
n
a
n
n->oo
Dacă u = 0 pe 8, şirul u converge către zero în Q. V o m demonstra această teoremă în ipoteza că 8 este im segment de dreaptă. Caznl general se tratează în acelaşi mod. Deoarece £2 este inclns într-o singură foaie a lui R, putem presupune că este un domeniu plan. Funcţiile u se prelungesc peste 8 prin sime trie, luînd valori egale şi de semne contrare în puncte simetrice în raport cu 8 (cap. I I , secţ. I V , § 17). Notînd cu Q domeniul simetric al lui £2, v o m avea lim Dn+s+^iuJ = 0. n
n
n
±
Aplicînd domeniului Q. + 8 + Q limitarea din capitolul I V , § 7, x
deducem cern ci că
şi dx
tind uniform către zero în orice domeniu închis dy
şi mărginit  £ Q + 8 + Of Cum u = 0 pe 8, care se găseşte în A , dacă alegem convenabil acest domeniu, rezultă că u converge către zero în A şi deci î n Q . n
n
44. F i e O un punct de pe suprafaţa riemanniană R, pe care, pentru simplificare, îl v o m presupune punct ordinar, cu proiecţia în z = 0 * ) în legătură cu demonstrarea acestei teoreme, remarcăm că formula preliminară a lui Green + \\ J J D
f^dxdy
+ V / JC dn
(cap. I, (10)) este valabilă pentru / continuă în D şi aparţinînd familiei { A } în interiorul lui D» şi pentru ^ continuă împreună cu derivatele parţiale de primele două ordine într-un domeniu
lJţL.2t
^.^L\ y care include pe D (s-a notat ca şi în capitolul IV, (3) cu D ( / , <|>) = \ \ + j) \dx dx dy dy) De asemenea, observăm că printr-o reprezentare conformă (o asemenea reprezentare invariază integrala lui Dirichlet şi funcţiile armonice), un cerc multiplu se poate transforma în cerc simplu. * * ) Numim astfel un domeniu din R în care nu există două puncte distincte cu aceeaşi proiecţie pe (z). D
d x d y
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
300
V o m construi o funcţie u uniformă şi armonică pe B — O, avînd în vecinătatea lui O aceeaşi comportare ca şi
Presupunem suprafaţa riemanniană B acoperită de o infinitate numerabilă de cercuri T^i = 1, 2, . . . ) simple sau multiple, astfel încît fiecare T să nu aibă puncte comune decît cu un număr finit din cele lalte cercuri (cap. V I I , secţ. I V , § 19). Mai mult, v o m admite că sistemuL cercurilor T satisface următoarele condiţii, care se pot realiza uşor : 1) Xici un cerc F nu este inclus în întregime în alt cerc I \ . 2) O este centrul cercului T şi nu aparţine nici unui alt cerc I \ * ) . Să considerăm acum un cerc G din B cu centrul O, cuprins în între gime în interiorul lui I \ şi neavînd nici un punct comun cu cercurile T^i > - 2 ) . Existenţa cercului G rezultă din condiţia 2 ) . Fie 8 funcţia definită pe B astfel încît 4
i
4
1
a) 8 = —
h — în interiorul lui C, unde am notat cu z = x + iy
2
2
x + y
proiecţia unui punct p din O, z = T(p), şi cu a raza cercului T(C). b) 8 = 0 în exteriorul şi pe frontiera lui G. V o m spune că o funcţie definită pe B aparţine familiei {} dacă satisface următoarele condiţii : a) 8 + O este continuă pe B — O. P) <£> este continuă în O, deci continuă pe JS, exceptînd pe circum ferinţa lui C. y) î n orice domeniu din B, care nu conţine nici un punct din fron tiera lui (7, O este din familia {A} în sensul dat mai sus în § 42. S) D (Q>) este finită, această mărime fiind definită ca suma in tegralelor lui Dirichlet pentru domeniile din JR formate de interiorul lui G sau exteriorul lui C. Să observăm că toate funcţiile familiei { O } au pe frontiera lui C aceleaşi salturi de discontinuitate. Diferenţa a două funcţii din { O } apar ţine familiei {A} p e i ? * * ) . Cînd O parcurge întreaga familie, B (
B
n
lim X > ( O J = d. B
Un astfel de şir va fi numit, în cele ce urmează, şir
minimizant.
* ) Condiţia 1 ) este realizată suprimînd eventual anumite cercuri r*, iar 2) se obţine înlocuind eventual un număr finit de Ti printr-un număr finit de alte cercuri. * * ) Există funcţii din familia { O } . De exemplu, funcţia N — S, unde N este definită pe -R în modul următor: 1) N —
- - - — în interiorul lui T x + y r 2) N = 0 în exteriorul şi pe frontiera lui
19
2
2
r fiind raza lui
2
T
v
TiTj);
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE
DESCHISE
301
45. O dată cu şirul minimizant O să considerăm şi un alt şir de funcţii
n
D (
< M
n
pentru un număr M fix. V o m arăta că este valabilă relaţia lim
Z>*(0„,
J =0.
9
(53)
«-•00
într-adevăr, h fiind o constantă, deoarece Q> — fe
D(O -fc n
9 n
n
fa
) > < * *)
sau, folosind relaţia (2) din capitolul I V , D( )>d
+ h[2D( ,
n
n
9 n
)-AD(
9 n
)].
(54)
Dacă relaţia (53) nu ar avea loc, ar exista un număr a > 0 astfel încît ? J > a sau D(0> , w
9
n
) <-
a
pentru o infinitate de valori n. Să presupunem, de exemplu, că Cum D{ 0 relaţia n
D(® )>d
+ h
n
Luînd
(2a-*Jf).
Ji = — , se obţine D ( O ) > d + -gn
pentru 0 infinitate de valori n, ceea ce contrazice faptul că <5 formează un şir minimizant. Astfel, relaţia (53) este demonstrată. Pentru şirul n
?« =
~
unde w creşte indefinit cu n, într-un mod oarecare, relaţia (53) poate fi aplicată, deoarece D(Q> ) şi D ( O J sînt mărginite şi deci există un număr M astfel încît m
2>(
<M.
* ) Vom suprima pentru simplificarea scrierii în expresiile
DR(<&) şi D « ( 0 ,
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
302
Prin urmare, lim D ( O
m
-
m, n-ycc
Dar 2>(
M
-
0 „ ,
şi lăsînd pe m şi % să tindă către infinit, obţinem relaţia lim D ( O
r o
-
(55)
care reprezintă o proprietate fundamentală a şirurilor minimizânte şi are loc oricum ar tinde către infinit m şi n. ţie
46. Armonizarea şirului minimizant. V o m defini pentru fiecare func O o funcţie cu proprietăţile 1) ® * = O în exteriorul şi p e frontiera lui I \ , n
n
2) <S> = — ^ — + JL _ S + V„ î n T * +y a unde F este funcţia armonică în r care ia pe frontiera lui I \ valorile n
n
19
2
2
2
w
i ?
••-(•?+•?) (astfel încît O* să fie continuă p e această frontieră). Să notăm acum cu B funcţia definită pe T după cum urmează : a) B = 0 în interiorul lui O,
b) B =
- l——
19
+ —Vm I \ -
C.
Atunci, v o m avea Oi + B = V . n
Funcţia V armonică în I \ ia p e frontiera lui I \ aceleaşi valori ca şi
W
Dr {VJ
=n (^
t
Tl
n
+ B)^B (O r%
n
+ B)
sau 2^ (*y
(56)
1
deoarece B = 0 în interiorul lui O. Ultimului termen din (56) i se poate aplica formula preliminară a lui Green, deoarece <E> — <J>i aparţine familiei { J . } în T — C, iar este continuă în acest domeniu închis împreună cu toate derivatele sale*). n
* ) A se vedea nota
* ) din § 43, 2°.
x
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE
DESCHISE
303
Or, în acest domeniu A B = 0 şi prin calcul se verifică relaţia —
= 0
dn
pe frontiera lui C iar <J> — <J>* = 0 pe I \ , astfel încît obţinem W
Prin urmai e, (56) implică inegalitatea
ceea ce arată că <J>i formează a fortiori un şir minimizant. Aplicînd acestui şir relaţia (55), putem scrie lim
D (^ R
-
d>i) = 0,
(<-
Oi) = 0
m
m, n->oo
deci, cu atît mai mult, lim
2>
r
i
m,n-+cc
sau încă, după definiţia funcţiilor i, lim
D (V Fl
-
m
V ) = 0.
(57)
n
Funcţiile O dintr-un şir minimizant nu sînt determinate decît abstracţie făcînd de o constantă aditivă, deoarece în raţionament inter vin numai prin proprietăţile integralei lui Diricblet D {
B
n
n
2n
V (0)=
±-[ V (re«)
n
40 = 0
n
(cap. I , (18)). Şirul V (0) fiind convergent, teorema din § 43, 3° arată că lim V există şi este o funcţie armonică în interiorul lui I \ , pe care n
n
o v o m nota cu V. V o m avea lim
0>i = V - B =
U
v
n-*oo
Funcţia U este definită numai în interiorul lui T E a este armonică în acest domeniu, exceptînd frontiera lui (7, unde are un salt de dis continuitate. Funcţia Î
v
U
+
s=V
^— +
+ 2
2
x + y
JL 2
a
este deci continuă şi armonică în I \ — O. 47. F i e T unul din cercurile I \ ( £ ^ l ) , avînd puncte interioare comune cu I \ . După modul cum am ales cercurile r T şi C nu au puncte 2
i9
2
304
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXĂ
comune. î n § 46, am armonizat şirul O în I \ ; v o m armoniza acum şirul Oi în T , înlocuindu-1 prin şirul O , după cum urmează : 1) O* = OI în exteriorul şi pe frontiera lui T , 2) O* este funcţia armonică în T , care este egală cu Oi pe fron tiera lui r . Deoarece O» este armonică în T fără excepţie, v o m avea, utilizînd din nou principiul de minim din § 43, 2°, n
2
w
2
2
2
2
•DN(«î)B(*i), ceea ce arată că 0 „ aparţin familiei {O} şi formează un şir minimizant. Şirul
oî, a>% o£, o î , o i , o*,... este de asemenea minimizant şi, în particular,
lim D * ( O i - 0 * ) = 0 n-t oo
deci, a fortiori,
lim D nr (Oi ri
= 0.
2
(58)
însă I \ n T face parte dintr-un domeniu din B cu o singură foaie. Func ţiile Oi — O sînt toate armonice în interiorul lui T şi continue pe frontiera acestui domeniu, care cuprinde un arc din cercul T , unde Oi — O = 0 . Conform teoremei din § 43, 4° rezultă atunci 2
2
n
2
n
lim (Oi -Ol) = 0
(59)
«-•oo
în interiorul domeniului r n T . P e de altă parte, şirul O» fiind minimizant, avem i
lim
2
D r ( 0 ^ - O l ) = 0. 2
« » , « - • 00
Eelaţia (59) arată însă că în interiorul lui T există un punct de convergenţă pentru O*, deci după teorema din § 43, 4° rezultă că 2
lim O* = U
%
«-•00
există şi este o funcţie armonică în T . Conform relaţiei (59), în avem 2
IV^r^
Ui = P « , deci funcţia armonică U prelungeşte în r r ^ T funcţia C,. î n mod analog se poate armoniza şirul O» în r , înlocuindu-1 prin tr-un şir O* definit, plecînd de la O*, aşa cum O* a fost definit ple cînd de la Oi2
i
2
8
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
305
Se determină astfel în fiecare T o funcţie Z7 armonică fără ex cepţie dacă i ; > 2. î n intersecţiile a două cercuri T funcţiile 17,. cores punzătoare se confundă. Mulţimea acestor funcţii U formează deci o funcţie U, definită univoc şi continuă în 22, exceptînd punctele fronti erei lui O. Funcţia u = U -t- 8 4
4
i?
i
este uniformă şi armonică în B — O iar în O se comportă ca şi funcţia
x x* + y*
E a îndeplineşte condiţiile cerute în § 44*). 48. Cu ajutorul funcţiei u de mai sus, v o m construi o funcţie ana litică corespunzătoare lui B. Pentru a pune în evidenţă faptul că u are în O un punct singular, v o m nota această funcţie cu u şi v o m conveni să însemnăm cu u funcţia construită ca şi u , avînd însă ca tranct sin gular punctul P oarecare din JR. Să considerăm mulţimile 0
p
0
A, = i\ + r + . . . + r 2
i?
formate fiecare dintr-un număr finit de domenii compacte pe B şi a căror sumă este Z\ Evident, pentru orice valoare a lui i,
V o m lua în mulţimea B = A — A un număr finit de puncte Afj astfel încît în E orice cerc al lui B cu diametrul proiecţiei pe (z) mai n
n + 1
n
n
mare decît i
să conţină cel puţin un punct A
v
Mulţimea punctelor A
i
n
este atunci numerabilă. Putem presupune încă punctele A alese astfel încît proiecţiile lor pe (z) să fie diferite între ele şi diferite de proiecţiile punctelor de ramificaţie. Convenim totodată să fixăm indicii punctelor Aj astfel încît, dacă n' < w", nici un Aj din JEv să nu aibă indice mai mare sau egal cu indicele unui Aj din E ». Să formăm acum funcţiile u , corespunzătoare punctelor A. Eie Jc (r) cel mai mare indice pentru care A este exterior lui A Funcţia Jc ir) este nedescrescătoare şi creşte indefinit cu r. Modulul | u \ este continuu în A şi, cum A a este un domeniu compact în jR, există un număr finit, pozitiv, M , astfel încît \u \ < M i
n
Aj
f
r
k{ry
Af
k{t)
(r)
r
Ar
r
* ) Se arată că funcţia U este determinată, abstracţie făcînd de o constantă aditivă, prin proprietatea că minimul lui DR(®) este atins pentru această funcţie. A se vedea, de exemplu, în tratatele lui H . W e y l , Die Idee der Riemannschen Flăche, R. C o u r a n t ( A . H u r w i t z şi R. C o u r a n t ) , Funktionentheorie şi P. F a t o u (P. A p p e 1 1 şi E. G o u r s a t ) , Thiorie des fonctions algibriques et de leurs intigrales.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
306
Seria
este atunci absolut şi uniform convergentă în orice domeniu compact din JB care nu conţine puncte Aj. F i e Jff suma e i ; H este o funcţie armonică pe B — Yi A,'
î
n
punctele A
f
ea are aceeaşi comportare ca şi 8 î n
_
dH
. dH
dx
dy
punctul O (§ 44). Funcţia
este analitică, uniformă pe JS, avînd în punctele A
poli şi fiind regulată
i
00
în punctele ordinare din B —
A^. Considerată ca funcţie
analitică
de ea v a avea elemente critic algebrice sau polare în punctele de rami ficaţie ale lui B. Fie B suprafaţa riemanniană a lui 9 (z). V o m arăta că B este identică cu E. într-adevăr, nu este posibil ca B să aibă puncte în afara lui B, deoarece prelungirea nu se poate efectua decît în B, punctele A acumulîndu-se cînd ieşim din A<. D e asemenea, nu este posibil nici ca B să fie numai o submulţime din B, deoarece, pe de o parte orice punct al pro iecţiei lui B este şi punct al proiecţiei lui i ? , iar, pe de alta, la două puncte din B cu aceeaşi proiecţie, nu poate corespunde acelaşi element al lui 9 (#), adică acelaşi punct din J B . într-adevăr, fie P şi P două puncte din B, în care dezvoltările corespunzătoare ale lui
0
0
j
0
0
0
0
x
±
2
2
x
x
19
i
0
0
2
0
x
x
x
2
±
x
1
2
0
* ) Prelungirea (adică „ridicarea" drumului L pe suprafaţă, plecînd din P ) se poate face în întregime, deoarece altfel ne-am izbi de frontiera lui R. Or, elementul din P este prin ipoteză acelaşi ca şi cel din P a cărui prelungire a dat naştere la L întreg. 0
2
2
lf
0
FUNCŢII ANALITICE PE SUPRAFEŢE RIEMANNIENE DESCHISE
307
î n concluzie, oricărei suprafeţe riemanniene R îi corespunde o funcţie analitică (şi chiar o infinitate de astfel de funcţii), a cărei suprafaţă riemanniană este B *). 49. Aplicînd teorema de existenţă din § 48 şi definiţia suprafeţei riemanniene de acoperire (cap. V I I , secţ. I V , § 10), v o m demonstra aciim următoarea teoremă, care dă caracterizarea topologică a funcţiilor ana litice. Pentru orice transformare interioară w = T(p)
(60)
a unei varietăţi 2-dimensionale V în planul complex (w), există o transfor mare topologică a lui V, care transformă V într-o suprafaţă riemanniană B si T într-o funcţie analitică cu suprafaţa riemanniană B. Fie B' suprafaţă riemanniană de acoperire R'
=
(wY • T
După teorema din § 48, există o funcţie analitică z
=f(w)
=f[T(p)},
(61)
unde f[T (p)] este uniformă pe V şi J5', avînd ca suprafaţă riemanniană pe B'. Să notăm cu w =-
(62)
funcţia inversă a lui (61) şi cu B suprafaţa riemanniană a lui
(2»]-
Suprafeţele R şi R' sînt homeomorfe între ele şi homeomorfe cu V. Există deci o transformare topologică p = T(J) care transformă seama de (60),
R în V
9
astfel încît pe R, (62) se poate scrie, ţinînd w=F(q)
=
2'[T(
ceea ce demonstrează teorema. î n concluzie, orice transformare interioară este topologic echiva lentă cu o funcţie analitică, deci teoria topologică a funcţiilor analitice se confundă cu cea a transformărilor interioare. * ) Se demonstrează că pentru orice suprafaţă riemanniană deschisă R există şi o funcţie olomorfa pe R. Extinzînd teorema relativă la produse infinite a lui Weierstrass, se obţin funcţii olomorfe pe suprafaţa riemanniană de acoperire R, deschisă, care au R ca suprafaţă rieman niană a lor. A se vedea, de exemplu, H . B e h n k e şi F. S o m m e r , Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Verănderlichen, J. Springer, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1955, cap. V I , § 6, p. 555 - 567.
CAPITOLUL X
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE Clasele de suprafeţe riemanniene deschise, studiate în capitolul I X , au fost caracterizate prin existenţa unor funcţii armonice sau analitice pe suprafaţă. î n acest capitol, v o m cerceta două clase de suprafeţe rieman niene, definite prin proprietăţi intrinseci ale unei exhaustiuni: supra feţele regulat exhaustibile şi suprafeţele normal exhaustibile. Teoria suprafeţelor regulat exhaustibile, datorită lui L . A h l f o r s * ) , se bazează pe studiul metrico-topologic al suprafeţelor riemanniene. E a a deschis drumuri noi în teoria funcţiilor, fiind aplicabilă nu numai funcţi ilor analitice, ci şi altor transformări interioare mult mai generale, numite transformări pseudoanalitice sau cvasiconforme. I. TEORIA SUPRAFEŢELOR DE ACOPERIRE DUPĂ L. AHLFORS 1. Proprietăţi metrice elementare ale sferei. Pentru studiul ce-1 avem în vedere, este mâi întîi necesar să stabilim cîteva proprietăţi elementare ale metricei obişnuite euclidiene pe sfera V . Să observăm că această metrică posedă proprietăţile următoare : 1) Oricărei curbe simple (deschisă sau închisă) de pe F , metrica îi atribuie o lungime finită sau infinită, dar întotdeauna pozitivă. T o t astfel, oricărui domeniu de pe V limitat de o curbă simplă cu lungime finită metrica îi atribuie o arie bine determinată, finită şi pozitivă. 2) Lungimile şi ariile acestea sînt înzestrate cu proprietatea aditivităţii. 0
0
0
* ) L . A h l f o r s , Zur Theorie der Vberlagerungsflâchen, Acta Math. t. 65,1935, p. 157— —194. O expunere a teoriei lui A h l f o r s se află şi în cartea lui R. N e v a n 1 i n n a, Eindeutige analgtische Funktionen (ed. I ) , cap. X I I I , p. 312, care cuprinde şi o comparaţie între această teorie şi teoria distribuţiei valorilor datorită lui R. N e v a n l i n n a .
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
309
3) Marginea inferioară a lungimilor tntnror arcelor de pe F ce nnesc donă puncte fixe P şi Q de pe această sferă este finită şi pozitivă dacă P z=f= Q. Această margine inferioară este distanta (pe V ) a punctelor P şi Q. 4) Fiecare punct P de pe V are o vecinătate ale cărei puncte sînt toate la o distanţă de P inferioară lui e, pentru orice s > 0. P e lîngă aceste patru proprietăţi evidente ale metricei euclidiene, vom menţiona aici şi o a cincia, care se poate demonstra uşor. 5) Orice punct P de pe V are vecinătăţi U pentru care există cîte o constantă Tc, depinzînd numai de U , astfel încît orice curbă închisă simplă C de lungime L, cuprinsă în TJ , limitează un domeniu de arie mai mică decît Tc L *). într-adevăr, fie TJ calota circulară (mai mică decît emisfera) cu centrul în P şi cu raza de lungime p pe sfera de rază B. Aria acestei calote este**) mai mică decît Tcp . Să arătăm că 5) este satisfăcut pentru TJ şi Tc = 7rp. Dacă L ; > p, aria limitată de (7, fiind cuprinsă în TJ , este mai mică 0
0
0
0
P
P
P
P
2
P
P
2
decît 7up = Tcp <; Tc L.
Dacă L < p, cum distanţa maximă dintre două puncte oarecari ale domeniului limitat de G şi cuprins în TJ este mai mică decît L şi deci aria acestui domeniu este mai mică decît nL , avem, a fortiori, că aria aceasta este mai mică decît 7up L = Tc L. P
2
2. Lema întîi a lui Ahlfors (caz particular pentru sferă). Dacă sfera V este împărţită în două submulţimi printrun număr finit de curbe simple {C} închise, fără puncte comune cîte două, astfel încît fiecare submulţime se compune din domenii determinate de curbele {C), există o constantă Tc, depinzînd numai de V , astfel încît dacă însemnăm prin A şi A' ariile celor două submulţimi în care a fost împărţit V şi prin L lungimea totală a curbelor {C}, avem min (A,A') <; Tc L***): Dacă considerăm numai valori ale lui L superioare unui număr pozitiv fix e, proprietatea este evidentă, deoarece nu avem decît să luăm 0
0
0
A
A
Tc = —± , unde A
0
este aria lui V . Atunci TcL > — şi este clar că cea 0
2s
2
mai mică din cantităţile A şi A' este cel mult egală cu —^ • 2
Totul revine deci la a arăta că, pentru valori destul de mici ale lui L, proprietatea este verificată. Să considerăm cîte o vecinătate U , din cele care satisfac condiţia 5), pentru fiecare P de pe V . î n fiecare din acestea, să determinăm cîte o vecinătate U' a lui P conform condiţiei 4) cu un P ^ ~ P
0
s
P
* ) Este clar că dacă există o vecinătate de acest fel, există o infinitate: cele cuprinse in cea dinţii. * * ) Aria calotei este 2TZ R h (h fiind înălţimea ei) şi avem h = R [1 \
cos £ \ < R)
. 2R
* * * ) min ( A , A ' ) înseamnă cea mai mică din cantităţile A şi A ' .
310
TEORIA
FUNCŢIILOR
DE O
VARIABILĂ
COMPLEXA
( S fiind aici distanţa minimă de la P la frontiera lui TJ ). Din aceste vecinătăţi U? teorema clasică Borel-Lebesgue permite să alegem un număr finit de vecinătăţi care, singure, acoperă tot V ; fie J C^jy . . . , Up vecinătăţile alese. Să însemnăm prin e pe cel mai mic dintre numerele s , s , . . . , e . Orice curbă închisă de lungime P
B
0
m
P i
P j
p
l < e v a fi situată în întregime în interiorul unei vecinătăţi TJ din cele m vecinătăţi J7 , J 7 p „ . . . >#p corespunzătoare celor de mai sus şi cuprinzîndu-le respectiv. Prin urmare, oricărei curbe închise de pe V de lungime l < e i se aplică proprietatea 5 ) , adică ea limitează pe V un domeniu a cărui arie este mai mică decît Jcl, Jc fiind o constantă (cea mai mare din Jc , Jc ,..., Jc corespunzătoare, după 5 ) , lui Z7 , U ,..., TJ J. Să presupunem acum că L < s. Atunci oricare din curbele C din {
Pl
m
0
0
x
2
m
Pl
Fa
P
i
i
t
4
i
tate de { C } fac toate parte dintr-unul şi acelaşi domeniu limitat de {G}, deci dintr-una şi aceeaşi submulţime în care a fost împărţit V . Submulţimea complimentară a ei este cuprinsă în domeniile limitate de {C«} şi deci este de arie mai mică decît Jc L. Lema este astfel demonstrată. 4
0
3. A doua lemă a lui Ahlfors. Această lemă este cu totul analoagă cu cea dintîi, dar priveşte nu arii A, A', ci lungimi X, X' de curbe. Este însă necesară aici o restricţiune privitoare la curbele considerate : V o m numi curbă regulată pe V curbele trase pe V , care satisfac unei condiţii analoage cu 5) din § 1 privitoare la domenii. î n mod precis o curbă y simplă (închisă sau deschisă) trasă pe V va fi numită regulată dacă oricărui punct P de pe V îi corespunde un JJ astfel încît, orice curbă închisă de lungime L, cuprinsă în Z7 , limitează un domeniu în interiorul căruia arcele lui y satisfac inegalitatea X < Jc' L, unde X este lungimea totală a acestor arce şi Jc' depinde numai de U *). Este clar că există curbe regulate pe V . D e exemplu, orice arc de cerc tras pe V este o astfel de curbă**), după cum se verifică luînd pentru U calote destul de mici cu centrul în P . Cu această condiţie a regularităţii pentru y se poate demonstra, în mod absolut identic ca prima lemă de mai sus, a doua lemă a lui Ahlfors (cazul particular pentru sferă): Dacă sfera V este împărţită în două submulţimi ca şi în lema întîi şi dacă y este o curbă regulată (în sensul definit), există o constantă Jc', ăepinzînd numai de V şi de y, astfel încît 0
0
0
0
P
P
P
0
0
P
0
0
min (X, X') < Jc' L, * ) Aceeaşi observaţie ca la condiţia 5) din § 1 . * * ) Este suficient să observăm că raportul arcului de cerc către coarda corespunzătoare 7C este cuprins Întotdeauna între 1 şi — •
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
31X
unde X şi X' reprezintă lungimile subarcelor lui y, care aparţin, respectiv celor două submulţimi în care a fost împărţit V . 0
4. Extinderea proprietăţilor precedente la suprafeţe închise şi la do menii poliedrice. Să considerăm, mai întîi, nn domeniu poliedric redus la o suprafaţă închisă V *). Se zice că am definit o metrică (liniară şi super ficială) pe F dacă am atribuit fiecărui arc de curbă simplă de pe V un număr pozitiv (finit sau infinit) numit lungime şi fiecărui domeniu de pe F , limitat de o curbă simplă închisă de lungime finită, un număr pozitiv finit numit aria domeniului. Pentru ca o metrică să fie utilă, ea trebuie să îndeplinească însă şi condiţiile pe care le-am remarcat mai sus pentru cazul sferei şi pentru metrica euclidiană a sferei. Condiţiile 1) — 4) din § 1 se cer în general oricărei metrice abstracte. Condiţia 5) din acelaşi paragraf este ceva mai particulară: v o m presupune că' metrica dată pe V satisface însă şi acestei condiţii. Cu o asemenea metrică (şi există evident o infinitate de metrici de acest fel pe fiecare F ) demonstraţiile date mai sus în cazul sferei (şi care demonstraţii nu utilizează decît tocmai aceste cinci condiţii) rămîn valabile, astfel încît lemele întîi şi a doua (cu aceeaşi definiţie a curbelor regulate) sînt valabile pentru suprafeţe închise oarecare, prevăzute cu o metrică normală (adică satisfăcînd celor cinci condiţii). Să trecem acum la cazul unui domeniu poliediic. Orice domeniu poliedric metrizat normal V poate fi completat printr-un altul identic cu el, astfel încît să formeze împreună cu acesta o suprafaţă închisă metrizată şi ea normal; este suficient, într-adevăr, să ne închipuim două exemplare din domeniul poliedric V şi să identificăm curbele frontieră corespunzătoare, punct cu punct. Atunci cele două metrici normale de pe cele două exemplare dau naştere unei metrici nor male pentru suprafaţa închisă, pe care o formează împreună. Se numeşte transversală o curbă simplă trasă pe un domeniu poliedric .şi neavînd decît cele două extremităţi ale ei pe cîte o curbă frontieră a do meniului. D e exemplu, în figura 52, care reprezintă un domeniu poliedric de gen zero, cu trei curbe frontieră, liniile punctate sînt transversale. î n dedu blarea domeniului poliedric, aceste trans versale devin curbe închise, astfel încît lemele lui Ahlfors se pot enunţa, în cazul general al unui domeniu poliedric, în modul următor: Lema î n t î i . Dacă domeniul poliedric V este împărţit în două submulţimi ale lui printr-un număr finit de curbe închise şi de transversale**) {O}, (fără puncte comune cîte două), astfel îndt fiecare din aceste submul ţimi se compune din domenii determinate de {
0
0
0
0
0
0
0
0
* ) în cele ce urmează, considerăm numai suprafeţe orientabile. * * ) în cazul suprafeţelor închise, evident nu pot exista transversale.
312
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
depinzînd numai de V , astfel încît dacă însemnăm prin A şi A' ariile celor două submulţimi în care a fost împărţit V şi prin L lungimea totală a sistemului de curbe închise şi transversale {(]), min (A, A') < JcL. Pentru cazul lungimilor avem Lema a d o u a . Dacă domeniul poliedric V este împărţit ca şi în lema întîi şi dacă y este o curbă regulată (în sensul de mai sus), atunci există o constantă Jc', ăepinzînd numai de V şi de y, astfel încît min (X, X') < Jc'L, unde X şi X' reprezintă lungimile subarcelor lui y care aparţin, respectiv, celor două submulţimi în care a fost împărţit V. Aceste două leme ne v o r servi pentru stabilirea teoremelor funda mentale ale teoriei lui Ahlfors. 0
0
0
0
0
5. Noţiuni relative la acoperirea riemanniannă a domeniilor poliedrice. Să considerăm o suprafaţă riemanniană (R)*) definită ca spaţiu de acope-
Fig. 53
rire (V )* a suprafeţei închise V de către suprafaţa topologică oarecare V, după transformarea interioară T (cap. V I I , secţ. I V §§ 10 şi 23). P e V să considerăm acum un domeniu poliedric W (care în cazul general cînd V este suprafaţă deschisă nu poate constitui decît o por ţiune din V). D e asemenea, să considerăm pe V un domeniu poliedric W şi să presupunem că imaginea T (W) a lui W este cuprinsă în W . Se poate zice atunci că W este acoperit de W, tot astfel cum V este acoperit de V, şi această acoperire trebuie considerată ca o porţiune a suprafeţei riemanniene (R) dată de cea din urmă. Fie F frontiera lui W , după cum F este frontiera lui W. Porţiunea lui T (F) care nu se află pe F se numeşte frontiera relativă a acoperirii lui W de către W. î n figura 53, F este format de curba exterioară şi W 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
* ) Vom însemna în secţiunile I şi I I ale acestui capitol, suprafeţele riemanniene cu (i?) deoarece litera R va fi utilizată, păstrînd notaţia din teoria repartiţiei valorilor, pentru raza cercului | z | < R.
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE
REGULAT
EXHAUSTIBILE
ŞI
NORMAL
313
EXHAUSTIBILE
este domeniul limitat de ea, T(W) este întreg domeniul haşurat, T{F) curba reprezentată în linie groasă şi frontiera relativă este porţiunea lui T (F), cuprinsă între punctele a şi j3. V o m mai presupune că atît T(F) cît şi frontiera relativă sînt formate din curbe cu un număr finit de puncte de întretăiere, astfel încît ele împart pe W într-un număr finit de domenii. î n figura 53 am haşurat de două ori unul din aceste domenii, pe cînd celălalt este haşurat numai o dată; aceasta corespunde împărţirii în foi a lui W , după definiţia următoare : Totalitatea punctelor lui W cărora le corespund, prin T~\ cel puţin n puncte pe W, formează ceea ce vom numi foaia n a lui W şi o v o m însemna prin W . P e figura de mai sus W este haşurat odată, iar W de două ori. Din proprietăţile transformărilor interioare, rezultă că numărul foilor este finit, pentru că în domeniul poliedric W , care este compact pe V, nu pot exista decît un număr finit de puncte cu aceeaşi imagine (cap. V I I , secţ. I V , § 3 5 ) şi numărul acesta este mărginit pe TT, cînd imaginea descrie W . 0
0
n
1
2
0
6. î n § 4 am introdus o metrică normală pe V (deci şi pe W ). P r i n transformarea interioară T această metrică este transportată pe V (şi deci şi pe W) în modul următor : Fiind dat un arc de curbă pe F , tot proprietăţile transformărilor interioare arată că el poate fi împărţit în subarce, astfel încît pe fiecare din ele transformarea să fie topologică, adică punctele să corespundă prin T biunivoc imaginilor lor. V o m atribui atunci fiecăruia din aceste sub arce lungimea arcului imagine de pe V , iar arcului întreg de pe V, suma lungimilor subarcelor în care a fost divizat. Tot astfel, fiind dat un domeniu compact pe V mărginit de o curbă simplă, teoria transformărilor interioare arată că el poate fi împărţit în subdomenii (în număr finit), astfel ca pe fiecare din aceste subdomenii, transformarea T să fie topologică. Se v a atribui atunci fiecărui subdomeniu din V aria acelui domeniu din V care este imaginea lui biunivocă şi domeniului întreg de pe V suma ariilor subdomeniilor în care a fost divizat. î n modul acesta, ţinînd seama de definiţia foilor W , aria A a lui W v a fi dată prin 0
0
0
0
n
A =A
+ A
X
+ . . . +A
2
(1)
N
dacă însemnăm prin A aria lui W pe W . Tot astfel, dacă L este lungimea frontierei relative a lui W *) şi L lungimea întregii frontiere relative a acoperirii lui W prin W, avem relaţia n
n
0
n
n
0
L = L + L + ... + L x
2
(2)
w
în care porţiunile care ar fi frontiere comune a două domenii diferite din * ) Adică a părţii din frontiera lui W
n9
care este tn interiorul lui W
(
314
TEORIA
FUNCŢIILOR
DE O
VARIABILĂ
COMPLEXĂ
W se socotesc de două ori. D e exemplu, arcul ab trebuie socotit de două ori în figura 54. Se vede că W poate fi format şi din mai multe domenii, fără arce frontieră comune. n
n
7. î n sfîrşit, să mai definim şi noţiunea de număr mediu al foilor unei acoperiri: Daca împărţim aria A a lui W, calculată după formula ( 1 ) , prin aria A a lui TT , obţinem o cantitate S care se numeşte numărul mediu al foilor lui W pe W . Dacă însemnăm prin S acest număr mediu al lui W v o m avea, după ( 1 ) , 0
0
0
n
nJ
Fig. 54
S = S + S+ 1
2
. . . +S .
(1')
N
V o m considera în cele ce urmează şi numărul mediu al foilor lui IV pe A , domeniul A fiind o porţiune din W (de aceeaşi natură ca W ) şi vom însemna această mărime prin S( A ) . A v e m , prin definiţie, 0
Q
A(A)
unde A(W) este aria acelor porţiuni în A iar A ( A ) este aria lui A . Ca şi î n ( 1 ' ) , putem scrie S(A)=S { 1
ale lui W care-şi
au
imaginea
A)+ # ( A ) + ... + ^ ( A ) .
(1")
2
8. Se pot da definiţii cu totul analoage pentru arce de curbă şi lungimi. F i e y o curbă de pe W . V o m semna cu s ( y ) numărul mediu al joilor unei curbe de pe W ce-şi are (prin T ) , imaginea pe y. Dacă * ( y ) , s (y) . . . reprezintă aceeaşi noţiune pentru diferitele foi ale acoperirii vom avea, analog cu ( 1 " ) , relaţia 0
x
2
s(y) = M Y ) + M Y ) + . . . + M Y ) .
(2')
9. Teorema întîi a lui Ahlfors {teorema de acoperire). Să considerăm un domeniu A cuprins în W şi foile TTp W ,..., ale acoperirii lui W de către W. Domeniul A este acoperit de părţi din fiecare din aceste foi şi avem relaţia ( 1 " ) de mai sus între expresiile 8 ( A ) corespunzătoare. Prin urmare, putem scrie relaţia : 0
2
0
n
fl-iSf(A)
=
5
A)]
cu notaţiile introduse mai sus. F i e A W partea din W cuprinsă în A şi, în general, A (M) aria mulţimii M. V o m avea, bineînţeles, n
n
A(AW )
n
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
315
şi deci A(AWn)
g
=
,
x
A
A(W )
<
n
^ A(W )
A{W )
0
A (A)
N
A (A)
n
A ( A ) ' A ( W
0
=
A(W ) 0
)
g
A(A)
N
Prin urmare, V
*
'
N
(A)
A
Să însemnăm prin q raportul din membrul al doilea al acestei inegalităţi. Acest q este o constantă care nu depinde decît de W şi de A. V o m avea relaţia de mai sus sub forma Q
S.(A)< i8f.-
( 3 )
ff
Să înlocuim pe W în cele de mai sus prin TT — W . Partea lui W — W cuprinsă în A este A — A W , deci în primul membru al inegalităţii analoage cu ( 3 ) v o m avea n
0
0
n
n
n
A(A—AW») _ A (A)
j
—
S {A), n
iar în al doilea membru ceea ce înmulţeşte pe q v a fi acum numărul mediu al foilor lui W — W pe W 0
n
0
Deci, pe lîngă ( 3 ) avem
1 - £ J A ) < < z ( l -SJ, q avînd aceeaşi valoare
ca
(4)
în ( 3 ) .
Deoarece q > • 1 (după definiţia lui), din ( 3 ) rezultă că max [8 , S „ ( A ) ] < g S n
n
şi tot aşa din (4) deducem max [1 - S , 1 - 8 ( A ) ] < q (1 - 8 ). Toate cantităţile 8 , 8 (A), 1 — S şi 1 — S ( A ) fiind se poate scrie prin urmare | S - S ( A ) | < max [8 , SJ A ) ] < qS | 8, -SJA)\ = | (1. - S ) - [1 - SJ A ) ] | < < max [1 - S , .1 - S ( A ) ] < q (3 - SJ deci n
n
n
H
n
n
n
n
n
n
n
pozitive (5)
H
n
n
| 8 - 8 ( A ) | < q min n
1 - SJ.
n
((5) (7)
Să presupunem acum că metrica lui W este normală în sensul § 4. 0
316
TJEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
Atunci, cnm 8 şi 1 — 8 sînt cîtnrile ariilor Ini W şi W — W prin aria constantă a Ini W , v o m putea considera că W a fost împărţit în condiţiile lemei întîi de către frontiera relativă a lui W , în două submulţimi W şi W — W . D i n această lemă rezultă că există atunci un număr Jc, depinzînd numai de W , astfel ca n
n
n
0
0
n
0
n
n
0
n
0
min [S ,
l-SJ^JcL»,
n
L
n
fiind lungimea acestei frontiere relative. Din (7) deducem deci \S -8 (A)\
n
T
şi sumînd de la 1 la A în raport cu n, obţinem |ifif-i8f(A)|<3kL,
(I)
Jc fiind altă constantă care depinde de W şi de A şi L lungimea frontierei relative a lui W pe W . Relaţia ( I ) constituie teorema întîi a lui Ahlfors. Aceasta se enunţă în modul următor: Dat fiind un domeniu A cuprins în W , oricare ar fi domeniul poli edric de acoperire W, numărul mediu al foilor lui W pe W diferă de numărul mediu al foilor lui W pe A printr-o cantitate care este majorată de JcL, adică de produsul lungimii frontierei relative al lui W pe W printr-o constantă Ic ce nu depinde de W, ci numai de W şi de A . Ca aplicaţie imediată a acestei teoreme se obţine, făcînd L = 0, rezultatul următor : Dacă acoperirea lui W de W se face fără frontieră relativă, atunc * numărul mediu al foilor este acelaşi, oricare ar fi A * ) . 0
0
0
0
0
0
1
0
10. Teorema ( I ) are un complement important relativ la numărul foilor acoperirii unei curbe regulate. Prin urmare, în acest complement, rolul lui A (domeniu cuprins în W ) este preluat de o curbă regulată y, cuprinsă în W . Teorema complementară {!') se exprimă nrin relaţia, cu totul analoagă cu relaţia ( I ) , 0
0
|£-s(y)|
(D
în care 8, s ( y ) , Jc şi L au semnificaţiile de mai sus. Să considerăm mai întîi o curbă y pe W , care împarte pe W în două domenii (y poate fi o transversală a lui W , sau o curbă închisă convenabilă). M e D domeniul de arie minimă. Aplicînd lema întîi la împărţirea lui W în DW şi W — DW obţinem A(W )
0
0
0
n
w
n
0
n
w
Aici L este lungimea frontierei relative a lui W pe W iar i ( y ) este lungimea porţiunii din y care se află pe W . î n figura 55, W este haşurat într-un sens iar D în alt sens. Partea dublu haşurată este DW . n
n
n
0
n
n
n
* ) Acesta este cazul cînd acoperirea este totală. Atunci W este domeniu normal (cap. V I I , secţ. I V , § 12, secţ. V , § 30).
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
317
Să scriem acum relaţia analoagă cu ( 8 ) , dar înlocuind BW prin D — DW (în figura 55, acesta este domeniul cel mic din nartea superioară din stînga). V o m avea n
n
A{D)-A
(DWJ <JctL (y)
-
0
Z
t
t
(y)
+
(9)
JDJ,
Fig. 55
Jc fiind acelaşi ca în (8) iar Z ( y ) lungimea întreagă a lui y (pe T T ) . Dacă împărţim acum şi (9) prin A (2)), obţinem, ştiind 0
*.(Y) =
r
T T T >
S
»
{
B
)
e
<
l
a
*
i
0
a
T 7 ^
+
Z
J
=
T^T
A(D)
1 -
că
[ Z O ( Y )
*«
(T) +
I
J
(8
'>
A(D)
S (D)
fi (y) _ i j y ) + £.]
n
0
A(D)
{ i , ( ) [1 T
+
S (y)] n
(9')
LJ.
A(D)
Dacă însă aplicăm lema întîi la împărţirea lui W în B şi W — D, obţinem, cu acelaşi Jc, 0
A ( D ) < fc£ ( y ) sau 0
0
L ( y ) > 1, A(D)
0
deci *n(Y)<-^r^o(T)
» . ( Y ) + £ J
(8")
A(D)
Şi
(9") -A(D)
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
318
Prin urmare, ţinînd seama de ( 8 ' ) şi ( 9 ' ) , de ( 8 " ) şi ( 9 " ) , avem i 8 (B) n
- s (y)!
< max
n
[0.(D), *.( )] Y
<
A (D)
şi I 8,(D) - s ( ) I = B
<
I [1 -
T
fl„(i>)]
max [1 - S (D),
-
[1 - *.(Y)] I <
1 - sjy)]
n
< - f - {X (y)
[1 - * . ( ) ] +
0
L ),
Y
n
A(D)
Deci ! S {D) - s (y) j < - i L - { Z + L (y) min K( ), 9
n
n
0
1 -
T
,.( )]}. T
A(D)
Aplicînd acum lema a doua, se obţine I SJB)
- s (y) | <
[ Z . + i ( ) VLJ
n
0
Y
=
A (D)
[1 + Tc'L ( y ) ] X . . 0
A (D)
Punînd ri + * ' £ ( Y ) ] = * " 0
A (D)
şi sumînd în raport cu w, avem |S(D)-s ( )
(10)
T
nnde
depinde numai de TF , de D şi de y0
Dar,
ţinînd seama de teorema ( I ) , care dă \S - 8{D) | < TcL,
(11)
din (10) şi (11) se deduce \8~s(y)\^JcL cu un alt Tc, depinzînd tot numai de W , de D şi de y. Cum însă D depinde numai de y şi de W , se poate spune că ultimul Tc depinde numai de Ş* de W şi relaţia ( I ' ) este demonstrată pentru o curbă y ce împarte pe W în două domenii. Pentru a demonstra relaţia (T) şi în cazul curbelor regulate oarecare, să observăm că, dacă y şi y sînt două curbe regulate oarecare de pe W , astfel încît Y' să fie un subarc al lui y, putem scrie 0
0
Y
0
0
Y
f
0
\s{y)
-s{y')
| <1cL,
(12>
unde Tc este tot o constantă depinzînd numai de W , de Y Ş* do y'. 0
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
319>
într-adevăr, raţionamentul pe care l-am făcut pentru a ajunge la, relaţia ( I ) duce şi la relaţia (12) de mai sus, dacă în loc de W şi A punem y şi Y' Şi dacă în loc de lema întîi întrebuinţăm lema a doua relativă la arce şi la lungimi. Să considerăm atunci un arc regulat oare care Y Şi fie y ' porţiune a lui. Să construim o curbă y " , care cuprinde ca subarc pe y ' şi care împarte pe W în două domenii (fig. 56). Cum y' este subarc şi al lui y şi al lui y " , se vede că putem scrie după cele de mai sus 0
0
0
I«(Y)-«(Y')I
Fig. 56
Şi I ' ( Y ' ) ~s(y")\
de unde
I *(Y)
- *(Y")
i< *
L
(cu un alt Jc).
Dar, ţinînd seamă de faptul că y " împarte pe W în două domenii şi că relaţia ( I ' ) este demonstrată pentru astfel de arce, avem îndată ( I ' ) pentru arcul y, deci pentru orice arc regulat. Prin urmare, avem următorul complement la teorema întîi a lui Ahlfors : Dacă y este un arc regulat de pe W , oricare ar fi domeniul poliedric W de acoperire a lui W , numărul mediu al foilor lui W pe W diferă de numărul mediu al foilor lui W pe y printr-o cantitate ce este majorată de JcLy unde L este lungimea frontierei relative a lui W pe W şi Jc o con stantă depinzînd numai de W şi y, şi nici decum de W. Acest complement la teorema ( I ) este exprimat prin relaţia ( I ' ) de mai sus. 0
0
0
0
Q
Q
11. î n capitolul V I I , secţiunea V , § 29 am introdus noţiunea de caracteristică şi de ordin de conexiune a unui domeniu poliedric. Totodată, am demonstrat teorema lui Euler (cap. V I I , secţ. V , § 29) şi formula lui Hurwitz (cap. V I I , secţ. V , § 32). P e lîngă aceste rezultate, v o m utiliza în cele ce urmează şi teorema aditivităţii caracteristicilor. Să presupunem că am trasat pe domeniul poliedric D un număr oarecare de curbe simple închise şi de transversale, fără ca două din acestea să aibă vreun punct comun. F i e D domeniile care s-au format astfel pe D şi p , caracteristica lui D . Atunci, oricare ar fi numărul curbelor închise, caracteristica p a lui D este k
&
k
+
(13)
k
unde n este numărul transversalelor trasate pe D. Să considerăm o triangulare a lui D , în care atît curbele închise, cît şi transversalele trasate pe D să fie formate din laturi ale acestei triangulări.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
320
Teorema aditivităţii se deduce uşor din observaţia că în formula lui Euler - X + JN! - N = p (14) 7
0
2
(cap. V I I , (14) şi (16)) este indiferent dacă ţinem seama de toate laturile şi vfrfurile lui D sau numai de laturile şi vîrfurile interioare ale lui D (adică dacă lăsăm la o parte în calculul lui JSf şi 2HT contururile lui D). într-adevăr, fiecare contur introduce atîtea laturi, cît şi vîrfuri, astfel încît aportul său în membrul întîi al egalităţii (14) este nul. î n calculul lui p putem neglija vîrfurile şi laturile poligoanelor provenite din curbele închise ca şi pe cele provenite din transversalele care fac parte din frontiera lui D . Deci, în suma p lipsesc din expresia 0
19
fc
k
fc
k
lui p numai vîrfurile şi laturile de pe curbele închise şi transversalele trase pe D. A m observat însă că pentru poligoanele închise, cantitatea —N + N = 0 iar pentru liniile poligonale deschise (transversalele) avem evident — JSf + N = 1, întrucît cele două vîrfuri extreme sînt pe fron tiera lui D şi deci nu intră în calculul expresiei lui p. Prin urmare, diferenţa între p şi 5J P* ^ tocmai numărul n al acestor transversale, adică avem 0
t
0
t
e s
e
k
relaţia ( 1 3 ) . 12. Teorema a doua a lui Ahlfors (teorema -fundamentală). Teorema întîi (numită şi teorema de acoperire) ne-a dat o relaţie între numărul mediu al foilor 8 al unui domeniu poliedric de acoperire W pe unul de bază W şi numărul mediu 8 (A) pentru acelaşi W pe un domeniu A £ W . î n această relaţie intervine pe de o parte o constantă Jc depinsnnd numai de W şi de A (dar fiind independentă de W) şi, pe de altă parte, lungimea L a frontierei relative a lui W ( § 9 ) . într-o ordine de idei analoagă, v o m da acum o relaţie între caracte risticile p şi p ale lui W şi W . Cînd nu există frontieră relativă (adică atunci cînd L = 0 ) , şi aco perirea este totală (cap. V I I , secţ. V , § 30), formula lui H u r w i t z (cap. V I I , (16) şi (24)) dă această relaţie sub forma 0
0
0
0
0
P = wp + r, 0
unde n este numărul foilor lui W pe W (am văzut că în cazul i = 0, orice foaie W a lui W acoperă în întregime pe W ) , iar r este numărul punctelor de ramificaţie ale acoperirii, fiecarfe socotit cu ordinul lui de multiplicitate. Cum r este mai mare sau egal cu zero, din relaţia de mai sus se de duce îndată 0
n
0
p>wp
(15)
0
Această relaţie valabilă pentru cazul L = 0 va fi acum generalizată, pentru cazul cînd există o frontieră relativă a acoperirii lui W de către W (de lungime L =/= 0), prin teorema a doua a lui Ahlfors (numită de «autorul ei teorema fundamentală metrico-topologică). 0
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE
REGULAT
EXHAUSTIBILE
ŞI -NORMAL
321
EXHAUSTIBILE
între caracteristica p a domeniului de acoperire W şi caracteristica p a domeniului acoperit W există relaţia Q
QJ
ţ>
9
o
S-JcL,
(II)
unde p = p dacă p ! > 0, şi p = 0 dacă p < 0, iar h depinde numai de W şi de metrica dată pe el şi este un număr pozitiv. Se vede numai decît analogia relaţiei ( I I ) cu relaţia (15), pe care o generalizează: numărul foilor din relaţia (15) este înlocuit în ( I I ) prin numărul mediu al foilor, ceea ce este natural, pentru că aici foile nu acoperă, în general, decît parţial pe W şi nu toate acoperă aceeaşi întindere a lui W {—TcL este un termen de corecţie, pentru cazul general, faţă de (15)). 0
0
0
-r
Se observă că p trebuie să figureze în ( I I ) în locul lui p, deoarece 8 şi L pot fi oricît de mici şi deci partea din dreapta oricît de aproape tle zero. P e de altă parte, ( I I ) nu are nevoie de a fi demonstrat pentru p < ; 0, deoarece atunci membrul al doilea fiind negativ sau egal cu zero, inegalitatea este banală. Teorema îşi are deci rostul numai în cazul p > 0 . V o m demonstra teorema pentru cazul unui W cvasisimplu*), care este cazul cel mai important, în special pentru aplicaţiile la teoria repar tiţiei valorilor funcţiilor meromorfe ce le avem în* vedere. D e altfel, cazul general se reduce la acesta printr-un raţionament care utilizează proprietăţi generale topologice ale suprafeţelor * * ) . î n cazul unui W cvasisimplu, el poate fi considerat ca un domeniu luat pe sferă şi limitat de q contururi (curbe simple jordaniene fără puncte comune). A v e m atunci p = q — 2 (deoarece ordinul de conexiune este q, genul fiind zero). Cum p v a fi presupus mai mare decît zero, se vede eă trebuie ca să avem q > - 3. V o m lua deci pentru W un domeniu de pe sferă limitat de cel puţin trei contururi. Teorema de mai sus se exprimă în cazul acesta prin relaţia 0
0
0
0
0
0
ţ>(q-2)S
-JcL,
(U ) x
pe care ne propunem s-o demonstrăm. Să tragem pe W ales cum am spus, q transversale care să-1 îm partă în două domenii simplu conexe. F i e y y , • • • > Ya aceste trans versale. Prin transformarea interioară care defineşte acoperirea lui W de către W, transversalelor y^i = 1, 2, . . . , q) le corespund pe W un număr oarecare de transversale a***) care împart pe W în domenii {D} distincte (în general nţultiplu conexe). F i e n (a) numărul transversalelor de pe W. După teorema aditivităţii caracteristicilor, (13), însemnînd 09
19
2
0
9
* ) U n domeniu se numeşte cvasisimplu cînd are genul zero (cap. V I I , secţ. V , § 26). * * ) L . A h l f o r s , Zur Theorie der Vberlagerungşflăchen, loc. cit., § 4, nr. 16. * * * ) Fiecare c uneşte puncte ale frontierei lui W, dar T (a) poate.fi numai o parte din y respectiv.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXĂ
322
prin p caracteristica lui W , şi prin p (2>) pe aceea a domeniului D , putem scrie relaţia P = *(<0 +
EP(I>), D
n
suma J] fii d întinsă la toate domeniile D în care a fost împărţit W . Cum fiecare din ele are o curbă frontieră cel puţin, fiecare are caracteristica cel puţin egală cu — 1 . Deci, din egalitatea de mai sus, se deduce, dacă însemnăm prin N(D) numărul domeniilor D , inegalitatea 9>n(a)
-N(D).
(16)
Din relaţia (16) v o m deduce teorema enunţată. 13. Pentru aceasta v o m proceda întîi, după A h l f o r s , la o clasi ficare a transversalelor G şi a domeniilor D * ) . Să presupunem că există un D limitat (în afară de curbele frontieră ale lui W) de una singură din transver salele G. Acest domeniu, îm preună cu oricare altul care satisface acestei condiţii, v a forma clasa {D } de domenii D . T r a n s v e r s a l e l e corespunză toare v o r forma clasa {G^} de transversale G. Tot astfel, clasa {D } v a fi constituită de domeniile D care, în afară de curbele fron tieră ale lui W şi de transver Fig. 57 sale din clasa {G^}, nu sînt limi tate, fiecare, decît de una singură din celelalte transversale a. Clasa { G \ de transversale v a fi for mată din transversalele care limitează cîte un domeniu din { D } « (fig- 57). Continuînd astfel, v o m ajunge să constituim două şiruri de clase, { D } , {D )y ..., {D } de domenii şi {cy }, {G } ..., {G } de transversale, fiecare din aceste clase fiind bine definită * * ) . î n general însă, nu orice domeniu D şi nu orice transversală G v a intra în această clasificare. Să însemnăm prin {G} clasa domeniilor D care nu intră în nici una din clasele { D } (c = 1, 2, . . . , p ; p < n (a)) şi să ne ocupăm deo camdată de domeniile şi de transversalele clasate. Considerăm o transversală a de clasa { G } C U indicele maxim. Cum <s face parte dintr-o clasă, ea trebuie să fie pe frontiera unui domeniu D determinat în W şi să împartă pe W în două. într-adevăr, fie W» partea din W în care este D ***) şi W cealaltă parte. Atunci în W' ±
2
2
2
x
2
p
x
2 9
P
c
p
P
D
p
P
P
P
* ) Să observăm că orice a este pe frontiera a două domenii D distincte, deoarece curbele Y au această proprietate pentru domeniile respective. * * ) Unui Djc determinat îi corespunde univoc un ak determinat de aceeaşi clasă. * * * ) Adică aceea formată din punctele lui W , care se pot atinge pe un drum continuu plecînd din interiorul lui D fără a tăia pe
p
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
323
nu poate fi nici un G care să nu aparţină uneia din clasele {G } cuc
S
3
2
3
2
2
3
2
2
2
P
P
P
P
î n ceea ce priveşte W a lui W, două cazuri se pot prezenta : (l)înWp', transversala G limitează tot un domeniu din clasa {D \, sau (2) î n W'p', transversala G limitează un domeniu G din clasa { G } . în cazul (1), raţionamen tul făcut asupra lui W* se re petă pentru W' ' şi W nu con ţine deci nici un domeniu din clasa {
P
p
P
P
C
c
P
p
S
P
P
x
C
P
2
17
V
P
* ) într-adevăr, dacă nu ar exista decît o transversală de acest fel, ea, prin definiţie, a i fi clasată, deci am ajunge la o contradicţie.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
324
la G şi se arată că există un singur G; de celelalte părţi ale transversa lelor <7 sînt numai domenii clasate şi numai transversale clasate. î n figura 59 se vede (tot cu p = 3 ) cum sînt dispuse domeniile clasate în jurul lui G. Domeniul G este cel haşurat. E l este limitat de două transversale
V
3
3
Fig.
x
59
î n acest caz toate transversalele de pe W sînt clasate, în subcazul ( 2 ) există cel puţin două transversale neclasate, şi mai multe domenii G. Aceste domeţiii le v o m împărţi în două clase n o i : clasa {G'} care va cuprinde acele domenii din {G} care au cel mult q—1 transversale fron tieră neclasate şi clasa {
C
u
1 2
2 2
14. Să presupunem că sîntem în cazul general ( 2 ) cînd există şi transversale neclasate pe W*). A t u n c i : l Domeniile D şi transversalele a clasate, dacă există se corespund în mod biunivoc: la fiecare D corespunde un a bine determinat şi reciproc. 2 ?
a
c
c
c
c
*) Se poate întimpla să nu existe de loc transversale clasate pe W (exemplu: fig. 60).
Fig. 60
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
325
2° Frontiera unui G' cuprinde cel puţin două transversale neclasate şicel mult q—1 astfel de transversale {ele sînt de tipurile numite { a } şi { a } ) . 3° Frontiera unui G" cuprinde cel puţin q transversale neclasate, de tipurile { G } sau { G } . Cazul ( 2 ) este cel mai important pentru teorema a doua a lui Ahlfors, deoarece, după cum v o m vedea, în celelalte cazuri teorema va apare ca banală. Să considerăm deci acest caz ( 2 ) . Cum în baza proprietăţi 1°, din cele trei enumerate mai sus, transversalele G (clasate) şi domeniile D (clasate) se corespund biunivoc, în relaţia (16) u
X 2
2
1 2
2
2
2
C
c
9>n(o)
-
N(D)
dispar în membrul al doilea termenii proveniţi de la a şi D clasaţi. Ceea ce rămîne sînt deci domenii {(?}, exclusiv şi transversale { a } , { G } u
sau
{ G
2
2
1 2
} .
însemnînd tot prin n(a^ numărul transversalelor din clasa {a^} şi prin N(G') şi N(G") numărul domeniilor din clasele {G'} şi { [ « ( o i i ) + \ » ( « » ) ~ -V(
2
2
) + \ »(*„)
«?")]•
(17)
Din 2° rezultă că avem +
\ »("n) ~ W
) > 0
(18)
iar din 3° deducem n ( a « ) + \ n(a ) 12
-±N{G")
> 0.
(19)
într-adevăr, fie G[ un domeniu din clasa {
1 2
%(<*12) + %(<*n) >
lx
n
2
şi deci, dacă sumăm pentru toţi G\ din { ( ? ' } , obţinem E O* (ai,) + n, ( o r ) ] > 22T ((?')•
(20)
n
i
Dar un E R nu aparţine decît unui G' pe cînd un cr aparţine întotdeauna la doi G[. Deci (20) dă prin efectuarea sumei indicate 12
i9
+2n'(a )> n
ceea ce este tocmai (18).
u
2JV(
326
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
î n acelaşi m o d se obţine (19). A v e m , într-adevăr, după 3°, G" fiind un domeniu din clasa { # " } cu numerele M | ( o r ) şi w ( a ) de trans versale, relaţia 12
»i(*u) +
i
2 2
n (c )>q, i
22
de unde se deduce întocmai, ca şi mai sus, +2n(G )>qN(G"),
W(
22
ceea ce este tocmai (19). Conform relaţiei (18), putem scrie în locul lui (17) a fortiori relaţia ?>n(G
2
2
)
+
±n(a
l t
- 2 T ( < N
)
şi, ţinînd seama de (19), avem | W ( < * » )
P >
+
\
n
(cr
1 2
)J
.
Cu atît mai mult este valabilă relaţia P > - ^ n ( a
M
)
(q>3).
(21)
Pentru demonstrarea teoremei, v a fi deci necesar să găsim o limită inferioară pentru w(or ). 22
15. Să introducem pentru aceasta, numărul mediu al foilor dome niului W pe transversalele ^(i = 1,2, . . . , q) trase, la început, pe W . F i e care transversală or se află pe una din transversalele Yi în. acoperirea lui W de către W. F i e X (or) raportul dintre lungimea lui cr şi cea a lui Y» în care, sau în al cărui subarc, se transformă cr, prin transformarea interioară ce defineşte acoperirea. Cu notaţia s (Y*) pe care am introdus-o pentru numărul mediu al foilor lui W pe Y*> avea 0
0
v
t •—1
*(Yi) =
S a
c
M*«)
o
m
+ £ X(or ) + £ u
o
u
X(<7
1 2
+£
)
X(<x ) 22
(22)
Oj»
t
(sumele din membrul al doilea fiind extinse la toate transversalele or). Dar, după complimentul teoremei întîi a lui Ahlfors, § 10, există un TCi, depinzînd numai de Y* Şi de W , astfel ca 0
imde # este numărul mediu al foilor lui W pe TT iar £ lungimea fron tierei relative a lui W pe W . Din relaţia de mai sus se deduce 0
0
s(y )>8-JcL i
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE
REGULAT
EXHAUSTIBILE
ŞI
NORMAL
327
EXHAUSTIBILE
de unde, sumînd în raport cn i,
Y s(y )>qS i
-IcL,
i
(23)
Tc fiind o altă constantă pozitivă depinzînd numai de W şi de trans versalele y 0
r
Din eliminarea lui S A(or ) + £
X ( A
c
O
«(y*) între (22) şi (23) avem N
)
+ £
<X
c
12
(^2
l
sau, a fortiori,
X(<7 ) + £ X(<7 ) 22
>
Î F L -
FC
9s2
pentru că este evident că X ( o r ) < 1 şi deci £ X(cr ) < n (
22
o»
relaţia se poate scrie sub forma n(*n) >
- JcL - [ S X(cr ) + I c
X(<x ) + S u
X(<7 )1. 12
Bămîne deci să arătăm că ultima paranteză poate fi majorată de Tc'L, cu Jc' o constantă de felul lui Tc. E a se compune din trei părţi. N e v o m ocupa pe rînd de fiecare din ele. 16. Limitarea sumei 5]X(a ) (relativă la transversalele a clasate). E i e W' şi W ' cele două domenii simplu conexe, în care transversalele y împart pe W . V o m arăta mai întîi că există o constantă Jc astfel ca, oricare ar fi domeniul poliedric de acoperire W al lui TT^(sau al lui W '), să avem c
0
c
0
0
0
|«(Y«) - * ( Y , ) | < * « &
(25)
pentru orice pereche ( y y^) de transversale y şi s ( y ) referindu-se la a din acel domeniu W. într-adevăr, avem, ca şi mai sus, aplicînd complementul teoremei întîi a lui Ahlfors, pentru y i?
4
l«(Y )
*)
4
şi pentru y. |»(Y,) -
« ' | < W
* ) S' este aici S relativ la w' (sau la W ') iar L' este frontiera relativă la aceste domenii Q
a lui W .
0
(24
328
TEORIA
de
FUNCŢIILOR
DE O VARIABILA
COMPLEXA
unde
l«(Yi)-«(T,)K(*i + *f)
L'<7cL,
Jo fiind cel mai mare din numerele & +ftj, cînd i, j = 1, 2 , . . . , q. Să aplicăm aceasta la domeniile D clasate, care sînt evident domenii poliedrice de acoperire ale lui W' (sau ale lui W' '). Pentru că sîntem în cazul ( £ ) , să ne amintim proprietatea 1° din § 14. E a ne spune că domeniile clasate D şi transversalele clasate G se corespund biunivoc. F i e G transversala corespunzătoare lui JD şi fie y de exemplu, transversala y pe care se află G . A v e m atunci, ţinînd seama de (25) (cu W = D ), 4
0
0
2
e
0
C
C
19
i
6
t
AK)<S(
Y
I
) < > ( Y , ) + *£(!>.),
L(D ) fiind lungimea frontierei relative a lui D ^ p e W sau pe W' ', după cum D acoperă unul sau altul din aceste domenii); j este aici unul oare care din numerele 1,2,... ,q. Să sumăm relativ la j . V o m obţine C
0
0
e
q X (<x )< £ * ( r , ) +
qkL(D )
e
9
3= 1
sau (pentru că în sumaţie intervine o dată fiecare din frontiere ale lui D şi numai ele)
transversalele
c
2A(a )<
£
c
\(G)+qJcL(D ),
(26)
c
unde am indicat că sumatia se face relativ la acele G care sînt pe frontiera lui D . Să sumăm relaţia (26) relativ la toate domeniile clasate {D .} Fiecare a intervine într-un singur D în cazul nostru ( £ ) . Dar, cum vom avea să utilizăm relaţia la care ajungem acum şi pentru cazurile (2) şi (1), să evaluăm, ceva mai larg şi să ne amintim că, în toate cazurile, un nu poate fi frontieră la mai mult de două domenii D . Deci c
e
e
e
2
t
c
E
X(«)|<2Ex(o ). f
P e de altă parte avem £ MD ) <; L, unde L înseamnă (tot ca şi pînă e
c
aici) lungimea întregii frontiere relative a lui W pe TT . Prin urmare, (26) sumat în raport cu toţi a poate fi înlocuit a fortiori cu 0
c
ffE X(<x ) < 2 £ X(a ) + JcqL e
0
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE
REGULAT
EXHAUSTIBILE
51 N O R M A L
329
EXHAUSTIBILE
şi cum q > 2, avem S
X(<j )
(27)
c
cu un alt Tc de acelaşi fel. Amintim că relaţia (27) este valabilă şi în cazurile (1) şi {2)^ nu numai în cazul nostru ( 2 ) . 2
17. Limitarea sumelor J]
şi Şj
X(<7 ) N
Să considerăm acum
X(<7 ). 1 2
un domeniu G ce aparţine clasei \G'}. JDupă 2° există atunci cel mult q — 1 transversale frontieră G sau
U
12
m
w
m
m
m
w
IX
m
M°u)<s(yr)<s(vJ
+TcX(G ), m
unde s ( y ) se referă la G de pe
4
m
r
N
12
m
A ( < * ) < « ( y , ) < s (y J + TcL (G J , 1 2
m
y, fiind acel y; pe care se află acest
U
12
m
S
+ I
M°i2)<(q-1)
s(yj
+ (q-l)TcL(GJ.
(28)
Să sumăm şi această relaţie relativ la domeniile G , adică relativ la toate domeniile { ( ? ' } . V o m avea (deoarece a aparţine la doi G' iar c numai la unul) în primul membru expresia m
n
2
iar în membrul al doilea,
S
X((7 ) U
s
(y ) m
s
e
+
I
X(
12
1 2
)
referă numai la y , adică la acele m
transversale ale lui W peste care nu se află nici o transversală G sau cr , ci numai transversale clasate. Or, fiecare din aceste transversale nu limitează decît un singur domeniu G' cel mult. Prin urmare, 0
u
12
şi, după (27),
S'lY.Xi'i-
(29)
330
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
P e de altă parte, £ L(Q ) < £ ; deci sumarea lui (28) relativ la M
m
toate domeniile (?' dă 2£ sau, a fortiori,
M°n) + £
X(a
1 2
)<(( -.l)£ ( ?
5
T f w
) +
(g-l)feX
ţinînd seama de (29), 2 E X(
X(<7 )
n
°11
1 2
°12
cu un alt Jc. D e aici rezultă inegalitatea E
M*n) +
°11
E
X(o- )
(30)
1 2
°12
Aceasta este limitarea căutată pentru sumele E X(
18
Din inegalităţile (24), (27) şi (30) se obţine ^(o-22.) > q &
— JCL
cu o constantă Jc convenabilă pozitivă şi depinzînd numai de W şi de transversalele y . Introducînd în sfîrşit această limitare în (21), se obţine pentru cazul (2) 0
{
2
9>(q~2)S
-JcL
cu altă constantă pozitivă Jc (g ] > 3 ) . Eelaţia ( I I ^ este deci demonstrată pentru cazul (2) . E a constituie cazul particular cel mai important al relaţiei ( I I ) . 2
18. Eămîne acum să examinăm ce se petrece în cazurile (1) şi ( 2 ) , unde nu există decît transversale clasate {a }. Aici relaţia (22) se reduce la x
c
£«(y,) =
£
X(o-J
(22')
şi relaţia (23), care este o consecinţă a teoremei întîi a lui Ahlfors, dă
adică, ţinînd seama de (24), care am văzut că este valabilă şi în cazurile (1) şi (2)j, putem scrie qS < (li +Jc)L
= Jt'L.
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
331
î n acest caz 8 este deci el însuşi limitat superior de un produs Jc'L, cu ¥ constantă convenabilă. Atunci (q-2)
S -
fci<(fc'
- Jc)L.
Dacă luăm constanta Jc> Jc' obţinem în mod banal * ) , relaţia ( I I ^
î > ( 2 - 2 ) £ - Jcl. Prin urmare, teorema a doua a lui Ahlfors care se exprimă prin relaţia {ll ) este demonstrată complet**). 19. Suprafeţe de acoperire simplu conexe ale sferei. V o m aplica acum cele două teoreme ale lui Ahlfors, după autorul lor, la cazul cel mai important al suprafeţelor de acoperire, ceea ce ne v a duce la formularea principalelor propoziţii care constituie fundamentul întregii teorii moderne a distribuţiei valorilor funcţiilor meromorfe. Să considerăm deci suprafaţa riemanniană de acoperire (B) = (VQYJ, a lui V prin V după transformarea interioară T şi să presupunem că varietatea de bază V este sfera euclidiană cu raza unitatea şi varietatea de acoperire V este o suprafaţă topologică oarecare deschisă simplu conexă. O suprafaţă deschisă simplu conexă este caracterizată prin faptul că ea este topologic echivalentă cu planul euclidian * * * ) . Fie {Wi} (i =• 1, 2, . . . ) un şir de domenii de exhaustiune alese pe (jR). Este posibil, pentru că ( B ) este simplu conex, să alegem aici domeniile W jordaniene (adică homeomorfe cu cercuri închise). Fiecare TJ^ este şi un domeniu poliedric şi luînd pe V ca suprafaţă de bază (în locul lui W din dezvoltările de pînă aici), putem aplica teoremele demonstrate fiecărui Wi în parte. Eolul lui W îl joacă aici chiar V , care este do meniu poliedric. Să considerăm deci pe sfera V un domeniu jordanian fix oarecare A şi pe tot V metrica sa sferică euclidiană naturală. Transformarea interioară T defineşte o acoperire riemanniană a lui V de către W****) (şi a lui A de către o parte din W ) , căreia i se aplică teoremele lui Ahlfors. Teorema întîi face să intervină 8 şi 8 ( A ) . V o m descompune acum pe 8 în două părţi, avînd fiecare o semnificaţie geometrică bine definită şi corespunzînd, pe de altă parte, cantităţilor ce se consideră în mod curent în teoria distribuţiei valorilor funcţiilor meromorfe a lui B . Nevanlinna. Punctele de pe W care îşi au imaginea în  formează pe W un număr finit de domenii, dintre care unele nu au nici un punct pe frontiera x
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
*) De aceea am spus că este important cazul (2) , deoarece în acest caz relaţia nu este banală şi consecinţele ce le vom trage ca aplicaţii, privesc acest caz. * * ) O altă demonstraţie a fost dată de Y . T 6 k i, Proof of Ahlfors principal covering theorem, Rev. de Math. pures et appl., 1957, t. I I , p. 277—280. * * * ) în definiţia lui (2?),. putem înlocui pe V cu planul euclidian. * * * * ) Vom neglija de aici înainte indicele i cînd vorbim de fiecare Wi în parte. 2
332
TEORIA FUNCŢIILOR DE 0 VARIABILĂ COMPLEXĂ
lui W iar altele posedă puncte formînd părţi din această frontieră. Pri mele se numesc insule celelalte peninsule (în terminologia lui A b 1 f o r s Inseln şi Zungen). Fiecare din aceste domenii acoperă după transformarea J P , domeniul A de pe V . O insulă, însă nu are frontieră relativă faţă de A : toate punctele frontieră ale unei insule îşi au imaginea, după T, pe frontiera lui A. O peninsulă, dimpotrivă, are frontieră relativă faţă de A : o parte din frontiera peninsulei (şi anume acea care este pe frontiera lui W) îşi are în general imaginea în interiorul lui A . î n termi nologia întrebuinţată (cap. V I I , secţ. I V , § 12), atît insulele cît şi peninsulele nu sînt decît domeniile maxime ( A , a) unde a este unul oarecare din punctele de pe W cu imaginea sa în interiorul lui A , aceste domenii fiind limitate la W. Insulele sînt atunci domeniile maxime compacte în interiorul lui W, pe cînd peninsulele sînt cele necompacte în acest interior. Insulele neavînd frontieră relativă faţă de A în acoperirea acestui domeniu, li se poate aplica formula lui Hurwitz, care dă ( A fiind domeniu jordanian şi deci de caracteristică —1), pentru caracteristica p a insulei 0
p =
r
— n,
r fiind numărul punctelor de ramificaţie din interiorul insulei şi n nu mărul foilor ei. Se ştie că o acoperire fără frontieră relativă a unui domeniu poliedric de către un altul are întotdeauna acelaşi număr de foi pe fiecare din punctele domeniului acoperit; cu alte cuvinte, foile ocupă, toate, aceeaşi întindere (şi anume tot A ) (cap. V I I , secţ. V , § 30). Kumărul acesta n se numeşte multiplicitatea insulei. Caracteristica p cu semn schimbat, adică cantitatea n—r, se nu meşte multiplicitatea simplă a insulei. Se vede că dacă insula este simplu conexă (p = —1), multiplicitatea simplă este egală cu unu. î n cazurile celelalte ea este întotdeauna mai mică sau egală cu unu. 20. Egalitatea ( A ) a lui Ahlfors. F i e n{A) suma multiplicităţilor tuturor insulelor din W care acoperă pe A . î n 8(A), aportul insulelor este tocmai n ( A ) (deoarece aria fiecărei insule este exact de n ori aria lui A ) . F i e m\ A) partea din 8{ A) care provine din peninsulele ce aco peră pe A . A v e m atunci, prin definiţia însuşi a lui m( A ) , relaţia n ( A ) +m(A)
=
8(A)
şi, conform teoremei întîi a lui Ahlfors, n ( A ) + m( A) = 8 + 0 ( i ) ,
(A)
8 fiind numărul mediu al foilor lui W pe V (sfera de rază egală cu unu, iar 0 ( £ ) fiind o cantitate al cărei raport faţă de lungimea L a fron tierei relative a lui W pe V (adică aici toată frontiera lui TT, deoarece V nu are frontieră) rămîne mărginit oricare ar fi W pentru un A fix oarecare. Egalitatea ( A ) a lui Ahlfors corespunde primei teoreme fundamentale a lui Kevanlinna (cap. I , § 19), pe care o generalizează. Inegalitatea 0
0
0
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
următoare corespunde, vanlinna*).
în
acelaşi
fel, teoremei a doua
21. Inegalitatea ( B ) a lui Ahlfors.
Să
333
a lui îse-
considerăm acum pe sfera Q
de bază V în locul lui A un domeniu Q = V — 0
0
A , A fiind g domenii A
A
jordaniene fără puncte comune două cîte două, luate astfel încît $]
\
să nu acopere toată proiecţia lui W pe V . Fie p(A )(Ji = 1,2, . suma multiplicităţilor simple ale insu lelor de pe W ce acoperă pe A * * ) . Să notăm Q
h
fe
SP(A»). h=l
N e propunem să găsim o limită inferioară a lui p. P e figura 61 (care în întregimea ei repre zintă pe W), am haşurat de două ori peninsulele şi o dată insulele corespunzătoare unuia oarecare din A . P e ninsulele împart pe W într-un număr de domenii simplu conexe^ pe care le numim W (în figură sînt trei do menii W). Fiecare din W cuprinde, în interiorul său, insulele, sau, eventual (ca cel de la miljoc pe figura 61), nici o insulă. Să extragem din W aceste insule. V o r rămîne alte domenii (reprezen tate în figura 61 în alb), care nu mai sînt în general simplu conexe şi pe care le numim W. Aceste domenii W v o r apare ca domenii de acoperire fie totală (adică fără frontieră re lativă), fie parţială (cu fron tieră relativă) ale domeniului A
Fig. CI
Să observăm că descompunerea unui W în insulele respective, pe de o parte, şi în TT, pe de altă parte, se face numai prin curbe * ) R . N e v a n l i n n a , Eindeutige analytische Funktionen (ed. I ) , cap. I X , p. 226—249. * * ) Eventual am putea avea p(A^) = 0, de exemplu dacă nici o insulă nu acoperă pe A*.
334
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
închise : curbele frontieră ale insulelor. Teorema aditivităţii caracteristi cilor dă prin urmare (pentru că nu avem aici transversale) ?(W)
= E ( I ) + p(Tf), w P
unde I sînt insulele din interiorul lui W. Dacă facem suma acestor egalităţi pentru diverşii W ce-i avem pe W, obţinem I
w
?{W)
=
E
w
p(J) +
E
p(ff),
w
a doua sumă fiind, acum, relativă la toate insulele de pe W. Dar am observat că toţi W sînt simplu conecşi. Deci p(W') = — 1 şi, dacă N(W) înseamnă numărul domeniilor W , în locul relaţiei pre cedente avem r
£
r
r
+ E P W + -» (w ') = o.
w w Dacă ţinem seama de definiţia lui p de mai sus, care este dată prin relaţia'
=- S
V
Pd),
obţinem pentru aceeaşi relaţie forma r
p=S
+-ar(w')-
IF
Dar, dintre domeniile W, acelea provenind din W care nu conţin nici o insulă (cum este cel din mijloc de pe figură) sînt simplu conexe. Fie HTxiW) numărul lor. Caracteristica fiecăruia din ele fiind — 1, avem p = £ ţ(W) + N(W) w
-
NAW),
+
unde p înseamnă (tot ca pînă aici) p, dacă p 0, şi zero, dacă p < 0. Cum, pe de altă parte, orice W simplu conex se confundă cu W din care provine, diferenţa p =N(W)
-N^W)
reprezintă numărul acelor W care conţin cel puţin o insulă. Putem scrie, deci, cu această semnificaţie pentru p, relaţia sub forma V = suma fiind relativă la W întreg.
E 9(W) w
+ p,
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE
REGULAT
EXHAUSTIBILE
ŞI NORMAL
EXHAUSTIBILE
335
Să aplicăm acum fiecărui p ( W ) a doua teoremă ( I I ^ a lui Ahlfors, demonstrată mai sus, rolul lui W avîndu-1 aici Q. Obţinem pentru q > 2, după sumare relativă la W întreg, 0
P>(q-2)S(Q)
-hL,
pentru că lungimea frontierei relative a lui W pe Q este mai mică sau egală cu i , unde L este frontiera lui W pe V iar (3 ; > 0 în orice caz. Aplicînd acum teorema întîi a lui Ahlfors, § 9 (pentru A = Q), deducem inegalitatea p > ( « - 2) £ -TcL (B) Q
cu notaţiile obişnuite (adică 8 este numărul mediu al foilor lui W pe F , L este lungimea frontierei relative a lui W pe V , iar Tc o constantă pozitivă ce nu depinde decît de domeniile A ) . Inegalitatea ( B ) corespunde teoremei a doua a lui ISTevanlinna, pe care o generalizează. Deşi demonstrată pentru q > 2, ea este verificată şi în cazurile 2 = 1 şi q = 2, deoarece (IIx), §13, este banală în aceste cazuri. 0
0
A
II. SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE 22. F i e din nou (B) o suprafaţă riemanniană de acoperire deschisă (JB) = ( F ) 5 , 0
unde V este sfera de rază egală cu unu, V o varietate topologică cu două dimensiuni, necompactă, şi T o transformare interioară de la V la F . Pentru a deduce din cele două teoreme fundamentale, din egali tatea ( A ) şi inegalitatea ( B ) , demonstrate în secţiunea I , consecinţe importante relativ la modul de acoperire, v o m defini, după L . A h 1 f o r s, clasa suprafeţelor riemanniene regulat exhaustibile. O suprafaţă (B) se numeşte regulat exhaustibilă dacă există pe V un şir de domenii poliedrice de aproximare {W^ cu proprietăţile 0
0
1)
w
= V,
W C
W ,
f;
t
i= l
2)
t
t+1
3)
dacă notăm cu 1^ frontiera lui W cu Li lungimea frontierei TiTi) a porţiunii din (B) corespunzătoare lui W (V )^i, şi cu 4 ^ aria acestei porţiuni din (B), definite ca în § 6*), atunci i9
i9
limi^-O**). i-*oo
0
(31)
Si
*) Atît ariile cît şi lungimile pe (R) se măsoară în metrica euclidiană a sferei de bază V . * * ) Condiţia (31) a fost introdusă pentru ca în diversele inegalităţi ( ( I ) din § 9, ( I I ) sau din § 12 şi 13, ( A ) din § 20 şi (B)'cUn § 2 1 ) termenul kL să fie neglijabil. 0
(UJ
336
TEORIA
FUNCŢIILOR
DE O VARIABILĂ
COMPLEXA
Mai înainte de a dezvolta consecinţele teoremelor fundamentale pentru suprafeţele regulat exhaustibile v o m da cîteva exemple, care arată că această clasă de suprafeţe cuprinde cele mai importanta cazuri de suprafeţe riemanniene generate de funcţiile analitice. 23. Transformări conforme şi cvasiconforme. Să luăm tipul topologic V al lui (E) simplu conex sau, ceea ce revine tot la acelaşi lucru din punct de vedere topologic, să luăm pentru V planul euclidian al varia bilelor (x, y). Suprafaţa acoperită V fiind sfera euclidiană cu raza egală cu unitatea, să exprimăm transformarea T prin funcţiile 0
u =
u(x,y),
v =
v(x,y),
unde (u, v) reprezintă un sistem de coordonate pe sfera V iar u (x,y) şi v (x, y) sînt funcţii continue, definite în tot planul (x,y), astfel ca (32) să fie transformare interioară şi pe care le mai presupunem în plus, aici, derivabile cu derivate parţiale continue. Sfera V , acoperită de planul (x, y) după (32), reprezintă o supra faţă riemanniană (R) simplu conexă. Să considerăm pe sfera Y metrica euclidiană obişnuită şi să o transportăm pe (22), aşa cum am indicat în cazul general. Elementul de arc ds pe V, se poate exprima printr-o formă pătratică diferenţială, 09
0
0
9
2
2
ds = E(x, y) dx
2
+ 2F(x, y) dx dy + G(x, y) dy ,
(33)
unde E, F şi G sînt şi ele funcţii cu derivate parţiale continue ce se exprimă cu ajutorul lui u (x, y) şi v (x, y) şi a derivatelor lor parţiale şi care depind şi de sistemul de coordonate (u, v) ales pe sferă. Dacă (x , y ) şi (u , v ) sînt puncte corespunzătoare prin (32) pe plan şi pe sferă, din (33) se vede că unui cerc infinitezimal cu centrul în (u v ) P sferă, îi corespunde o elipsă infinitezimală cu centrul în (x y ) trasă pe plan. într-adevăr, forma pâtratică diferenţială din membrul al doilea din (3) trebuie să fie definită, adică trebuie să avem 0
tras
09
0
0
0
e
0
09
2
EG - F > 0
0
(34)
şi pozitivă, adică E > - 0 şi G ; > 0. Relaţia (34) nu poate fi satisfăcută prin egalitate pentru un domeniu oricît de mic din (x, y). într-adevăr, dacă ar fi aşa, am avea, extrăgînd rădăcina în (33), o relaţie ds = M(x, y)dx + N(x,
y)dy,
cu Jf şi N funcţii bine determinate, continue şi cu derivate parţiale continue, ceea ce arată că ar exista pe (x, y) o curbă trecînd prin (x , y ) şi anume integrala ecuaţiei diferenţiale 0
dy _ dx
M(x,y) 1
N(x,y)
0
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAtlSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
337
curbă în lungul căreia ds ar fi egal cu zero. Această curbă s-ar tranforma deci prin (32) într-o de curbă de lungime zero, adică într-un punct (totul fiind aici real). Or, acest lucru este contrar ipotezei că (32) reprezintă o transformare interioară de la planul (x, y) la V . î n rezumat, avem E > 0, O > . 0 şi EG — F > 0 în tot planul şi nu putem avea EG — F = 0 în nici un domeniu din plan, oricît de mic ar fi el. Dacă ads şi bds reprezintă semiaxele elipsei definite prin (32) cu centrul în (x, y) (deci a şi b sînt funcţii de (x, y)), excentricitatea acestei elipse se poate măsura prin cantitatea 0
2
2
» V) 2
\
b
a
|
care reprezintă, oarecum, deformarea infinitezimală a cercului în (#, y). Cum a şi b sînt date de rădăcinile în a ale ecuaţiei 2
2
2
1 - (E + G) a + (EG - F )
2
OL
= 0, 2
se calculează că avem (în punctele unde EG — F =£0) pentru h valoarea A
=
?l±i!= _ I + J = .
(35)
Să observăm că nu putem avea în nici un caz 2
E+G<2
YEG-F .
într-adevăr, E > - 0 şi G > - 0 şi ridicarea la pătrat duce la o impo sibilitate. Deci, întotdeauna,
n= /
+
y £G
2
G
>i 2
— F
iar dacă avem egalitatea în relaţia de mai sus, avem neapărat şi E = G,
F =0
(36)
adică elipsa este atunci un cerc. Dacă există un număr Jc (finit) astfel ca, oricare ar fi (x, y) în plan să avem 2
E +G*C2JcYEG-F
,
(37)
atunci h este mărginit şi se poate spune că transformarea (32) este cu deformare mărginită (cu excentricitate mărginită). Cazul în care relaţia (37) * ) Excentricitatea e =
/
F
j _
JlL 2
a
(fc < a) este legată
de
h
prin relaţia 2h =
338
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
este satisfăcută cu h = 1 implică (36) în tot planul {x, y) şi corespunde cu transformarea conformă. î n cazul general, cînd i ^ r l , se mai zice că transformarea este cvasiconformă*). 2 4 . V o m demonstra următoarea teoremă: Orice suprafaţă riemanniană (R) generată de o tremsformare cvasiconformă (sau în particular conformă) a planului euclidian întreg**) în sfera euclidiană este regulat exhaustibilă. Să introducem, pentru comoditatea scrierii, variabila complexă z = x + iy în plan şi să considerăm cercurile |*|
A (r) = C d [ Jo J \z
2
]/EG - F \ăz\,
?
2
\-
(38)
P
2
unde \dz\ — ]f da> + dy (în care, pentru calculul integralei putem să ne închipuim, de exemplu, dx şi dy exprimate ca diferenţiale în raport cn unghiul 6, care fixează poziţia lui z pe | z | = p). Tot astfel avem L
W-[
( 3 9 >
Trrl**!'
unde, ca mai sus, 2
2
ds = Edx
+ 2F dxdy +G
2
dy .
* ) Această noţiune a fost introdusă de H . G r 61 z s c h, Vber die Verzerrung bei schlichten nichikonformen Abbildungen und iiber eine damit zusammenhăngende Erweiterung des Picardschen Satzes, Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss., Math. Nat. Kl., Leipzig, 1928, t. 80, p. 503—507. Dintre numeroasele cercetări asupra acestor transformări, care sînt numite şi pseudoanalitice„ cităm M. L a v r e n t i e f f , Sur une classe de reprisentations continues, Matern, sbornik, 1935, t. 42, p. 407—424, L . I. V o l k o v î s k i , Kvazikonformnte otobrajenia, Lvovskovo Universiteta, Lvov, 1954, L . A h l f o r s , On quasi conformai, mappings Journ. d'Analyse Math., 1953 — 1954, t. I I I , I , Jerusalem, p. 1 — 58, J. H e r s c h, Contribution â la ihiorie des fonctions pseudo-analytiques, Comment. Math. Helv., 1956,t. 30,fasc. 1, 19, p. C. A n d r e i a n C a z a c u Sur Ies transformations pseudo-analytiques, Rev. de math. pures et appl., 1957, t. I I , p. 383—397. Paralel cu cercetarea funcţiilor pseudoanalitice, s-au studiat şi funcţiunile pseudoarmonice, care generalizează funcţiile armonice. A se vedea monografia lui M. M o r s e , Topological methods in the theory of functions of a complex variable, Princeton University, Princeton, 1947 şi lucrarea lui I. B e r n s t e i n , A topological characterization of the pseudoconjugate of a pseudoharmonic function, Revue de math. pures et appliquăes, 1956, t. I , nr. 1, p. 45 — 48 sau Bul. ştiinţ. Acad. R.P.R., Secţ. mat.- fiz., 1955, t. V I I , nr. 1, p. 75—78. * * ) Atragem atenţia că aici este esenţial ca transformarea să fie cvasiconformă (sau con formă) pe planul euclidian întreg, după cum vom vedea în demonstraţia ce urmează.
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
Dar
ds
339
1
reprezintă o cantitate
mai mică san egală cu — dacă | dz | b bds este cea mai mică din semiaxele elipsei de deformare în deoarece \dz\^ bds. P r i n urmare, 2
ds
.
Y
\dz\*
z
z
G) -4(m-F )^
(E + G) + y(E +
După condiţia de cvasiconformitate ( 7 ) , avem deci 2
- < ( f c + Vk* — 1) )[FG - F*<2Jt}jm -F
.
(40)
|2 P e de altă parte, din inegalitatea lui Schwarz (cap. I V , §7) şi relaţia (39) rezultă
[E(r)]«<2iurC
-£-\â*\
deci, utilizînd (40), 2
[Z ( * • ) ] * < 4 nJeri Dar
]fEG -F \dz\.
(41)
din (38)
±(r) = ?dp[ Jo
im-F*
\ dz
Jui
(r) satisface la şi deci derivata lui A(r) ^
\
=
[
d r
ceea ce
YEG
- F*
\âz\,
J|i|-r
introdus în (41) dă, în sfîrşit, dă, în sfîrşit, [ i ( t - ) ? < 4 TI
dr hr^^Q-
sau
±
<
i
l
z
1
e
± ^ l .
(42) L (r)
Această relaţie ne v a duce la evaluarea raportului — — c î n d r tinde către infinit, evaluare de care depinde exhaustiunea regulată a supra feţei ( B ) . Fie H intervalele (dacă există) de pe axa valorilor r, unde r
+
L(r) iA(r)f* ° >
pentru un e pozitiv arbitrar fixat.
( 4 3 )
340
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXĂ
Din (42) se deduce atunci, prin integrare pe
H, T
dA(r)
^
dlogr<4
7cfc^ rr
<
/ « M 2
Deci variaţia pe H a lui log r este un număr finit cel mult egal cu \ r
JY<>
(integrală care se ştie că este finită). P r i n urmare, pe axa valorilor r, afară de cel mult nişte intervale H pe care variaţia lui log r este finită, avem neapărat r
2
L(r)
*
(44)
adică relaţia (43) nu este verificată. Cum'variaţia lui log r pe axa întreagă a valorilor pozitive r este infinită*), se vede' că pentru o infinitate de valori r, crescînd la infinit, avem A(r)
ceea ce înseamnă că există o exhaustiune regulată pentru suprafaţa rieman niană generată de (32) cu condiţia (37) a cvasiconformităţii în planul întreg. într-adevăr, ca domenii W de exhaustiune nu avem decît să luăm aici cercuri \z \ • < r, cu r afară din intervalele H , crescînd la infinit**). A m obţinut astfel o clasă foarte generală de suprafeţe regulat exhaustibile. {
t
25. Faptul că transformarea era definită (şi cvasiconformă) pe planul întreg era esenţial. într-adevăr, acest fapt ne-a permis să conchidem că există un şir de valori r crescînd la infinit, pentru care avem satisfă cută relaţia (44), de unde rezultă posibilitatea exhaustiunii regulate. Dar, pînă în acest loc al demonstraţiei, nu am utilizat faptul că trans formarea este cvasiconformă pe tot planul. Să vedem în ce măsură putem să ne eliberăm de această ipoteză şi, prin urmare, putem lărgi clasa noastră de suprafeţe {B) regulat exhaustibile. Să presupunem că transformarea (42) care defineşte pe (B) este definită şi cvasiconformă numai în cercul \z\
(JR = număr finit dat > 0 ) ,
(45)
adică V este aici interiorul acestui cerc. * ) Aici intervine faptul că transformarea este cvasiconformă pe tot planul, după cum am remarcat mai sus (a se vedea nota * * ) de la p. 338). * * ) Dacă A (r) nu tinde către infinit cînd r - > oo, se foloseşte metoda din lucrarea lui M. T s u j i, Theory of meromorphic functions on an open Riemann surface with nuli boundary Nagoya Math. Journ., oct. 1953, t. 6, p. 137—150. f
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
341
D i n pnnct de vedere topologic, nona suprafaţă (B) este echivalentă cu cea de mai sus, deoarece interiorul cercului şi planul euclidian sînt topologic echivalente. Dar, dacă este adevărat că există o transformare topologică a interiorului cercului în planul euclidian întreg, nu există în schimb nici o transformare biunivocă cvasiconformă a acestor două su prafeţe una în alta*). Prin urmare, dacă admitem că o suprafaţă rieman niană (B) este definită printr-o transformare interioară cvasiconformă a cercului finit (45) în sferă, aceeaşi suprafaţă (B) nu va putea fi definită si printr-o transformare cvasiconformă a planului întreg. Suprafeţele pe care le considerăm acum sînt deci altele decît acelea de care ne-am ocupat în § 24. V o m vedea de altfel că numai o parte din ele sînt regulat ex haustibile. Belaţia (42) se poate scrie şi aici pentru r < B. Dacă suprafaţa (B) nu este regulat exhaustibilă, trebuie să avem r
A ( ) < î L(r)
(q = constantă pozitivă)
într-un întreg interval H, definit prin r < r < B**) Atunci (42) dă a fortiori 0
—
<47rJk
r
d
M
r
)
( r > 0 şi < B). 0
(cu
un
alt
Jc)
[A(r)]*
şi deci prin integrare între r şi JB
log^<4.X-^<-^f
(
integrala fiind bineînţeles luată aici ca lim V • P^Bjr
(46) d
A
^
\.
IMr)}*)
Din (46) se deduce că, atunci cînd r - > i ? , avem R log — r R
r
(deoarece l o g — > 1 r
R - r
pentru r ->JB). R
Cum B este finit, atunci putem scrie
întrebuinţînd
notaţia lui L a n d a u , prin care 0[
* ) L . I . V o 1 k o v î s k i, Isledouania po probleme tipa odnosviaznoi rimanovoi poverhnosti, cap. I , § 3, p. 36, teorema 5. * * ) într-adevăr, altfel există valori r,, r , . . . tinzînd către JR astfel ca l i m — = 0. 2
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
342
funcţie al cărei raport către
(în valoare absolută)
Deci, în cazul cînd A(r) creste mai repede decît —-— , cînd r -> R*), R — r
suprafaţa riemanniană generată de (32), transformare definită şi cvasicon formă în cercul (45), este tot regulat exhaustibilă. 26. T o m aplica acum rezultatele din secţiunea I în cazul unei suprafeţe riemanniene (12) regulat exhaustibile. Să notăm deci, ca şi în § 21, cu Wi un şir de domenii poliedrice, formînd o exhaustiune regulată a suprafeţei (JR), şi cu fl numărul mediu al foilor lui pe V . 1° F i e A un domeniu jordanian fix pe V şi 8^ A ) numărul mediu al foilor lui W pe A . D i n teorema întîi a lui Ahlfors, § 9, aplicată pentru domeniile W rezultă, ţinînd seama de condiţia exbaustibilităţii regu late (31), relaţia 4
0
0
€
i9
l i m ^ i->oo
= l.
(47)
Si
Prin urmare, într-o exhaustiune regulată a unei suprafeţe riemanniene (R), raportul dintre numărul mediu al foilor domeniului W (din şirul de exahaustiune) pe sfera V şi numărul mediu al foilor lui W pe un domeniu A fix din V tinde către unu, cînd i tinde către infinit. Aceasta arată că suprafeţele regulat exhaustibile posedă oarecare regularitate în distribuţia foilor,'pentru că domeniul fix A de pe F este ales arbitrar * * ) . 2° Eelativ la teorema a doua a lui Ahlfors, observăm din forma membrului al doilea al inegalităţii ( I I ) sau ( Î I j ) că cel mai interesant caz v a fi tocmai acela cînd, într-o exhaustiune a suprafeţei riemanniene (R), 8 devine infinit de mare faţă de L. D i n § 18 rezultă că singur cazul (2) poate duce la o exhaustiune regulată. 3° Egalitatea ( A ) în cazul unei suprafeţe (R) regulat exhaustibile, cînd putem face abstracţie de termenul 0(L), exprimă că suma părţilor care provin din insule şi din peninsule în 8 (A) este „asimptotic" aceeaşi, oricare ar fi A . Iată formularea precisă a acestei proprietăţi : într-o exhaustiune regulată a suprafeţei (R) prin domenii W avem t
0
(
0
0
2
iy
A
A
lim "*< > + "*< > i-*co
=
3
(48)
y
S%
în care A este fix şi m ( A ) , n ( A ) şi S i reprezintă mărimile din § 20 cores punzătoare lui f
h
* ) Aceasta Înseamnă că lim [A (r) (R — r)] =• oo . **) k din inegalitatea ( I ) depinde de A , dar limita (47) are loc în parte (în general ln mod neuniform faţă de A ) .
pentru
orice
A
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
343
4° Cele mai importante consecinţe rezultă însă din relaţiile ( A ) şi ţ B ) , considerate împreună, după cum se v a vedea în paragrafele următoare. 27. Păstrînd, din nou, notaţiile utilizate în §§ 19—21, inegalitatea
Din relaţia lui Hurwitz (cap. V I I , secţ. V , § 32 sau cap. X , secţ. I , § 19) rezultă pentru fiecare insulă ce acoperă A , şi deci pentru suma .acestor insule, A )=n(A )-r(A )\, (49) h
P[
h
h
h
unde n (A ) este suma numărului foilor insulelor iar r (A ) suma puncte lor lor de ramificaţie, fiecare socotit cu ordinul lui de multiplicitate. Dacă înlocuim în ( B ) , obţinem deci n
h
£»(A»)- £
r(A )>(q-2)S-kL k
.au, dacă trecem pe q 8 din membrul al doilea în prima sumă, 2S + JcL>f [8-n(A )] l
+ £r(A»).
h
înlocuind 8 — n (A ), conform cu egalitatea ( A ) , prin m (A ) — — 0(L) ş i trecînd pe 0 (L) în membrul întîi, unde îl contopim cu TcL, obţi nem (cu alt Tc) h
h
28 + JcL>f m(A )+
£ r( A ). (B') h-1 care rezultă din transformarea şi combinarea am văzut, v o m deduce, pentru cazul existenţei consecinţe importante. unui domeniu A , cantitatea i
n
h
A-l
Din această relaţie, lui ( A ) şi ( B ) , după cum vnei exhaustiuni regulate, Se numeşte defectul
8(A)=\im^^ 4-* OO
(50) 5
*
la toate exhaustiunile regulate, prin domenii poliedrice T F ale lui V. Cum într-o exhaustiune regulată am văzut (relaţia (48)) că
Telativă
f
j. i-*oo
ni ( A ) 4-nu ( A )
_
1
Si
(deoarece l i m — = 0 ) , rezultă că defectul este cuprins în intervalul i-+ac Si
0<S(A)<3.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
344
Se numeşte indice de ramificaţie al domeniului A , cantitatea 6(A) = l i m - 3 ^ ,
(51)
tot relativă la toate exhaustiunile regulate prin domenii W^ Este clar că 6 ( A ) > 0 . Teoremele următoare privesc suprafeţele regulat exhaustibile. 28. Teorema defectului (generalizarea unei teoreme a lui N e v a n linna). Dat fiind un număr q oarecare de domenii jordaniene A pe sfera F , domenii fără puncte comune cîte două, suma defectelor şi a indicilor de ramificaţie a acestor domenii este mai mică sau egală cu 2. într-adevăr, din ( B ' ) şi din definiţiile lui 8 ( A ) şi 6 ( A ) se deduce îndată, ţinînd seama de exhaustiunea regulată, h
0
£
8 ( A * ) + JJ 0 ( A ) < 2 .
(52)
A
29. Teorema discurilor. Să presupunem că pe A se află numai insule care sau sînt multiplu conexe sau, dacă sînt simplu conexe, multipli citatea lor este cel puţin ţi . în asemenea condiţii, există între cei Ti coeficienţi fia corespunzători celor q domenii A , relaţia h
h
h
într-adevăr, în fiecare domeniu Wi din şirul de exhaustiune, nînd seama de sensul lui [i *), avem
ţi
h
iSf(A )>»(A i
J k
)>|i
f t
p(A ), i
(54)
deoarece n (A ) şi p (A ) privesc numai insulele, iar pentru insulele mul tiplu conexe p (A ) < ; 0. Cum, pe de altă parte, după prima teoremă a lui Ahlfors h
h
h
\8-8(A )\^JcL, h
din inegalităţile S(A )4£8 H
+ 1cL
şi (54) rezultă P ( ^ ) < - + — L . PA
PA
Să substituim (55) în ( B ) ; atunci S £— h=.i V*
>(q-2)S-JcL
*) Pentru simplificarea scrierii, suprimăm indicele i în expresiile S%, Si(A^) etc.
(55)
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
345
(cu alt Jc) sau 28 +
JcL^8
Această relaţie are loc pentru fiecare W domeniu poliedric de exhaustiune al lui V. Ţinînd seama de exhaustiunea regulată, avem, cînd trecem de la domeniile W la suprafaţa V, iy
%
adică tocmai relaţia anunţată (53). 30. D i n teoremele de mai sus, se pot deduce (amintindu-ne că func ţiile meromorfe în t o t planul dau naştere la suprafeţe riemanniene regu lat exhaustibile (§ 24) teoreme mai de mult cunoscute asupra funcţiilor meromorfe. Astfel, din teorema defectului se deduce uşor teorema lui Picard*) asupra valorilor excepţionale ale unei funcţii meromorfe în t o t planul. Să presupunem, într-adevăr, că trei puncte ale sferei V nu ar fi acope rite de suprafaţa generată de funcţia meromorfă. Atunci este clar că n^ ( A ) = 0 pentru orice domeniu poliedric TT« de exhaustiune şi deci de fectul este egal cu unu pentru orice domeniu A , cuprinzînd în interiorul lui p e unul cel puţin din cele trei puncte. D a r A pot fi aleşi astfel ca fiecare să cuprindă cîte unul din aceste puncte. P e de altă parte, conform teoremei defectului, 0
h
3
S
S(A
f t
)<2.
Este deci imposibil că trei domenii distincte să aibă defectul egal cu unu, ceea ce duce la teorema lui Picard. 31. î n ceea ce priveşte teorema discurilor, să observăm că ea îşi păstrează valabilitatea pentru cazul cînd unele din domeniile A nu sînt acoperite de nici o insulă, cu condiţia ca să le dăm atunci acestor domenii Aj> coeficientul = oo. într-adevăr, relaţia (55) rămîne valabilă pentru un asemenea A , deoarece acesta nu dă raci un aport în p, după defini ţia lui p. Deci în ( B ) aportul acestui A fiind nul, scrierea lui în (55) cu ţi = oo se poate face şi concluzia subsistă. Să presupunem că p e sfera V s-ar afla un număr de valori n ale funcţiei f(z) pentru care toate punctele z care satisfac la h
A
h
h
0
ar fi puncte de ramificaţie (adică zerouri ale derivatei sau poluri mul tiple ale lui f (z)). * ) Voi. I , cap. X I , secţ. I I , § 22, p. 295-297.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
346
O asemenea valoare b se numeşte o valoare complet ramificată a funcţiei / (z). Din teorema discurilor rezultă îndată că 3° Nu pot exista mai mult decît patru valori complet ramificate în cazul unei funcţii meromorfe ce ia toate valorile (inclusiv o o ) . 2° Nu pot exista mai mult detât două valori complet ramificate în cazul cînd f (z) are o valoare lacunară (adică pe care n-o ia niciodată). într-adevăr, în primul caz (cel general) să luăm cinci puncte b pe sfera V şi să le înconjurăm de cîte un domeniu A destul de mic pentru ca două din aceste domenii să nu aibă puncte comune. Coeficientul \L al fiecăruia trebuind să fie mai mare sau egal cu doi, se vede că suma din (53) ar depăşi valoarea doi. Tot astfel, dacă există o valoare lacunară, un coeficient [L este deja oo; dacă ar mai exista deci trei domenii cu coeficientul { i ! > 2, s-ar contrazice iarăşi (53). 3° în cazul a două valori lacunare, nu mai poate exista valoare com plet ramificată. 0
ft
H
H
A
32. Să considerăm o funcţie / (z) cu o singură valoare lacunară (de exemplu o funcţie întreagă). Atunci dacă luăm pe sfera V a valorilor lui / (z) trei domenii jordaniene A A , A fără puncte comune cîte două), neconţinînd nici unul punctul lacunar al funcţiei, putem afirma că cel puţin unul din aceste trei domenii este acoperit şi de o insulă formată dintr-o singură foaie. Teorema aceasta a fost găsită direct de V a l i r o n şi B l o c h sub forma următoare*): Suprafaţa riemanniană a inversei unei funcţii întregi conţine cercuri simple de rază oricît de mare. Este evident că în acest enunţ sfera V este înlocuită cu planul complex (w) al valorilor lui / (z) şi că domeniile A sînt luate sub forma de cercuri (care pot fi oricît de mari vrem, pentru că valoarea lacunară este aicioo ) . 0
1 ?
2
3
0
h
33. Se mai observă că toate aceste consecinţe relative la funcţiile meromorfe în tot planul rămîn valabile cînd considerăm funcţii mero morfe numai în cercul \z \ < B al planului variabilei z, dacă condiţia pentru existenţa unei exhaustiuni regulate este verificată, adică dacă sau lim A (r) (B — r) = oo, r-+R
înţelegînd prin A(r) aria, măsurată pe sfera V a valorilor lui f(z), a ţiunii de suprafaţă riemanniană provenită din transformarea, prin a cercului | z \ O (§25). D e asemenea, consecinţele rămîn valabile pentru suprafeţele manniene generate de transformări cvasiconforme ale planului sau ale cului, care satisfac condiţiei de mai sus. 0
por f(z), rie cer
* ) G. V a l i r o n , Sur Ies thiorkmes de M. Bloch, Landau, Montei et Schottky, C. R . Acad. Paris, 1926, t. 183, p. 728—730, şi A . B l o c h , Les thioremes de M. Valiron sur Ies fonctions entUres et la thiorie de Vuniformisation, Ann. Fac. Sci. Toulouse, 1925, t. 17 (3), p. 1-22.
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
347
Se vede astfel cît de departe se pot extinde proprietăţile clasice ale funcţiilor meromorfe în tot planul, proprietăţi care fuseseră de mult găsite în mod direct pentru aceste funcţii, ca de exemplu, teorema clasică a lui Picard. 34. Aplicaţiile teoremelor precedente la funcţiile meromorfe în plan sau într-un cerc! Teoria pe care am dezvoltat-o,* după A h l f o r s , îşi are originea în aceea a distribuţiei valorilor funcţiilor analitice. A m văzut în §§ 30—33 cîteva aplicaţii aproape imediate ale teoremei defectului şi teoremei discurilor, care la rîndul lor sînt consecinţe ale teoremelor ge nerale ale lui Ahlfors. N e v o m ocupa acum, în mod mai special, de teo ria distribuţiei valorilor funcţiilor meromorfe, căutînd să punem în evi denţă atît faptele pe care le relevă teoria lui A h l f o r s , în cazul cînd domeniile \ ce figurează în teoremele precedente sînt înlocuite cu puncte (adică cu valori izolate), cît şi legătura dintre aceste fapte şi rezultate mai dinainte cunoscute care se integrează toate în teoria generală a lui Nevanlinna*). î n teoria funcţiilor meromorfe se obişnuieşte a face exhaustiunea planului variabilei complexe (sau a cercului | z | < JR, în care este defi nită funcţia) prin cercuri concentrice | z | < ! r, raza r crescînd la infinit (sau pînă* la B în cazul cercului)**). Eelaţiile fundamentale ( A ) şi ( B ) rămîn valabile şi le putem scrie (pentru că W depinde numai de r, în cazul de faţă) în modul următor: n ( r , A ) + m(r, A ) - S(r) + 0 [£(*•)], P (r)
=Jp
(>', A * ) > ( « -
(A)
2) S(r) - IL (r).
(B)
într-adevăr, cantităţile S, 2>(AJ, w ( A ) , m ( A ) se referă la un W fix care, aici, depinde de r. F i e W porţiunea din suprafaţa riemanniană care provine din | z | < ; r de pe planul (0). V o m arăta acum că metrica pe sfera V a valo rilor funcţiei fiind metrica euclidiană, transportarea ei pe W prin trans formarea interioară ce defineşte suprafaţa riemanniană (transformare ce aici este chiar funcţia meromorfă dată / (z)) duce pentru aria lui W, la expresia r
0
r
T
A (r) = [ C
l r ( z ) | 2
r dr d
9
(unde 9 este unghiul pe care-1 face raza voetoare a punctului z cu axa *) R. N e v a n l i n n a , Le thioreme de Picard-Borel et la thiorie des fonctions meromorphes. * * ) Relativ la exhaustiunea planului prin domenii jordaniene arbitrare, a se vedea C a b i r i a A n d r e i a n, Asupra teoriei lai R. Nevanlinna, Bul. ştiinţ. Acad. R.P.R., Secţ. mat.-fiz., 1954, t . V I , nr. 2, p. 271-296.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
348
reală pozitivă din planul (z)) şi că
W se va obţine
pentru lungimea L(r) a conturului lui
r
L(r)=CJLW
•r ă
| dacă luăm pentru V sfera de rază ^ - J . 0
F i e într-adevăr (Z) planul valorilor / (z) = Z. î l v o m lua tangent în origine la sfera V şi v o m efectua, după cum se arată în figura 62, pro iecţia stereografică*), care face să co respundă biunivoc planul (Z) cu sfera V . Punctului^ din plan îi corespunde punc tul M de p e sferă. Unui element de arc | dZ | din plan îi corespunde un element de arc da p e sferă. V o m calcula mai întîi raportul între lungimile acestor elemente de arce. Să observăm pentru aceasta că transformarea stereografică fiind o inversiune (cu centrul în JT), unghiurile se conservă şi deci raportul v a fi independent de direcţia elemen tului \dZ\ astfel încît îl putem calcula pentru o deplasare infinitezimală a lui Z, efectuată în lungul razei vectoarei OZ. Or, se vede uşor că lungimea arcului OM de p e V este 0
0
9
G
arc t g \Z\. Dacă Z se deplasează pe raza vectoare, atunci \dZ \ — d\Z \ , iar raportul căutat este derivata expresiei de mai sus în raport cu cantitatea \Z |, adică do
da
\dz\
d\Z\
1 +
1*1
do, creşterea lungimii arcului OM p e sferă, este deci \dZ\
,
1 + |Z|»
Să exprimăm acum elementul de arc | dZ | cu ajutorul variabilei z = ret*. V o m avea \dZ\=
\f(z)\ds,
ds fiind elementul de arc euclidian p e (z) adică 9
2
2
2
2
ds = dr + r dy . * ) Voi. I , cap. I, secţ. I I I , § 23, p. 3 1 - 3 3 .
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
349
î n lnngnl Ini | z | = r = const., v o m avea deci ds = rdcp şi, prin urmare,
Jo
! +
I/WI
2
Jo
1 +
l / « l
f
Elementele de suprafaţă de pe plan obţinute prin raze vectoare şi cercuri concentrice vor fi date de r do dr şi, prin urmare,
V o m avea deci (aria sferei V fiind 7t) 0
^(
y) =
irr i/w *
JoJo
U+
!/<*>
^ „ a r . 1*1*
Cu aceste expresii pentru L (r) şi 8 (r) putem scrie
»(r, A ) + mir, A ) =
8(r) + 0 ( £ )
( | 0 ( Z ) | < fci (r))
p ( r ) = £ p ( r , A»)>(a-2)af(r)-*L(r)
(B)
Cantităţile Jc depind aci numai de A şi A . î n ceea ce priveşte (A), trebuie observat că dacă facem ca domeniul unic A , care figurează în (A), să tindă către un punct, Jc poate creşte peste orice limită, (§ 9 ) , astfel încît nu putem scrie (A) pentru un punct, în loc de un domeniu. î n (B) se poate face însă înlocuirea domeniilor A prin q puncte de pe sfera valorilor lui f (z). Cînd afirmăm acest lucru, înţelegem că p (r, A ) se va înlocui prin numărul n(r, a) al punctelor din planul (z) unde h
fc
/(«) = « şi care sînt interioare cercului | z \ r, fiecare din aceste puncte fiind socotit o singură dată, indiferent dacă este soluţie simplă sau multiplă a ecuaţiei de mai sus. într-adevăr, aceasta este noţiunea corespunzătoare pentru punctul a, cantităţii p(r, A ) relative la domeniul A , adică multiplicităţii simple a insulelor corespunzătoare lui A .
(J.)
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
350
înlocuirea lui «
prin Q
=S
n(r)
se poate face atunci în ( B ) . Pentru a demonstra aceasta, să luăm cîte un domeniu A în jurul fiecărui a , astfel încît un A să nu conţină decît un singur a . Dacă luăm A suficienţi de mici (r presupus f i x ) , domeniul | z | <1 r conţine, asupra lui A , numai insule şi toate sînt simplu conexe. Putem strînge încă pe A^ în jurul lui a , astfel încît fiecare din insulele respective să nu mai conţină decît o singură soluţie (simplă sau multiplă) a Ini A
h
ft
h
h
A
h
f(z)
= a. h
Atunci este clar că p(r, A J = n(r, a ) h
după însăşi definiţiile lui p şi n. Afirmaţia de mai sus este astfel demon strată şi din (B) rezultă
t
»{r, a ) > ( h
f
i
- 2) S(r) - 0 [ £ ( r ) ] ,
(B ) A
unde y8 (r) şi L (r) pot fi înlocuite cu expresiile obţinute mai sus sub formă de integrale dublă şi simplă, iar 0 [L ( r ) ] este (ca de obicei) o funcţie de r, al cărei raport faţă de L (r) rămîne, în valoare absolută, mărginit (cînd r variază oricum). A m văzut din relaţia (44) că în cazul unei transformări cvasiconforme de la planul euclidian (z) la V (şi deci, în particular, în cazul unei astfel de transformări conforme), putem scrie o anumită limitare a lui L ( r ) , adică dacă f (z) este meromorfă pe tot planul (#), inegalitatea 0
L
+ e
I+e
i e +
L(r) < [A(r)f = TZ* [8(r)f (e > 0), este valabilă pe toată axa pozitivă a lui r, afară de intervale a căror lungime totală logaritmică este finită.
anumite
f
35. Funcţiile meromorfe în tot planul. Noţiunile şi teoremele lui Nevanlinna relative la aceste funcţii. Teoria lui Nevanlinna se aplică la funcţii mult mai generale decît 'acelea care sînt meromorfe în planul întreg şi, în parte, înglobează chiar funcţii care dau naştere la suprafeţe riemanniene ce nu sînt regulat exhaustibile. î n schimb însă, toate rezul tatele la care se ajunge aici privesc valori izolate ale funcţiei (valori pune-
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
35L
tuale), astfel încît din cele dona doctrine (a lui A h l f o r s şi a lui N e v a n l i n n a ) nici una nu o cuprinde, în întregime, pe cealaltă. Deoarece expunerea de faţă este consacrată în special teoriei lui Ahlfors, ne v o m mărgini aici, în ceea ce priveşte teoria lui Nevanlinna, la cazul funcţiilor meromorfe în planul întreg şi v o m arăta, în acest caz, cum relaţiile stabilite de N e v a n l i n n a direct, şi prin metode cu totul diferite, nu sînt, într-o anumită măsură, decît „forme integrate" ale celor date de teoria lui Ahlfors. Dacă n, (r, a) reprezintă numărul total al tuturor rădăcinilor din | z | < r ale ecuaţiei / (z) = a, unde a este pe sfera V a valorilor lui / (z), iar n (r, a) reprezintă numărul acelora din punctele de ramifi caţie unde f (z) = a şi care sînt cuprinse în | z \ < r (socotite fiecare cu ordinul său de multiplicitate), atunci n(r, a) — n (r, a) = n(r, a). 0
±
L
n(r, a) avînd semnificaţia din § 34 în relaţia ( B j ) . Belaţia ( B ) se scrie deci x
t
In (r, a ) - n {r, a )] > (q - 2) 8{r) - 0 [£(»•)] h
x
h
(B^
cu
şi ou
(56) 2n
L(r)=r[
1 ™ ' \
1 + 1/(*>|
do,
2
după cum am văzut în § 34. Din relaţia ( B ) a lui Ahlfors, v o m ajunge, prin integrare, la teorema, fundamentală a lui Nevanlinna, care este suportul întregii teorii c e i poartă numele. Deşi ( B ) este valabilă pentru orice funcţie f (z) meromorfă în \z \ < B şi pentru orice r < B (după cum relaţiile (A) şi (B) ale lui Ahlfors sînt valabile pentru orice suprafaţă riemanniană), metoda pe care o v o m urma şi care a fost indicată de A . D i n g h a s * ) permite trecerea de la ( B ) la teorema fundamentală a lui Nevanlinna numai în cazul funcţiilor meromorfe în planul întreg. x
x
x
36. înainte de a da această metodă, v o m stabili legătura între expresiile n(r, a), n (r,a) şi 8(r), introduse mai sus, şi expresiile lui Nevanlinna N (r, a), N (r, a) şi T (r) (cap. I , secţ. V , § 19). F i e ^ punctele din cercul cu centrul în origine şi de rază r în care funcţia meromorfă considerată Z = f(z) ia valoarea a (finită sau nu). ±
x
* ) A . D i n g h a s , Eine Bemerkung zur Ahlforsschen Theorie der Vberlagerungsflăchen,. Math. Zeitschr., 1939, t. 44, p. 568-572.
352
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
Conform definiţiilor date în capitolul I , secţiunea V , § 19, N(r,
a) = N ( r
j
7
^ )
= yio !—
+n(0,
g7
a)logr.
Folosind numerele n (p, a) pentru p < ; r, suma
log — — se poate I
I
scrie sub formă de integrală Stieltjes şi, integrînd prin părţi, obţinem V
= ( ' l o g - * * [ * ( p , a) - n
log J -
^
Jo
(0, a ) ] =
C"(9>«)-"(<>>«) . d9
'
Jo
P
Prin urmare * ) , N
{
r
j
a
)
=
T nfr*)-*(0,a)
d
r
+
a
)
l
Q
g
a
)
l
r
(
5
7
)
r
Jo
şi, dacă % (0, a ) = 0,
jf(r, ) = J ' ^ i f r . a
V o m utiliza, de asemenea, expresia JV\(r, a) = C
r
(<>,«) ^
+
%
(
0
o
g
r
(
5
8
)
Jo
precum şi legătura dintre funcţia caracteristică a lui Nevanlinna T ( r ) (cap. I , (50)) şi numărul mediu al foilor S(r), care rezultă din următoarea interpretare geometrică a funcţiei caracteristice, dată de T . S h i m i z u şi L . A h l f o r s * * ) T(r)
diferă de\
dr numai Jo
printr-o
funcţie
care rămîne măr-
'
ginită cînd r oo * * * ) . Deoarece în rezultatele pe care le v o m stabili v o m lăsa pe r —• o o pentru a trece de la domeniile de aproximare W la întreaga suprafaţă r
F, v o m lua ca funcţie caracteristică T Jo
secţiuni, o v o m nota chiar prin T(r)
dr şi, în cuprinsul
acestei
r
T(r), = [
T
^ dr.
(59)
*) Pentru simplificare, am notat cu r şi variabila de integrare. * * ) T. S h i m i z u , On the Theory of meromorphic Functions, Jap. Journ. Math., 1929, t. 6, p. 119—171 şi L . A h 1 f o r s, Beitrăge zur Theorie der meromorphen Funktionen, 7 Congr. Math. Scand., Oslo, 1929, p. 84—88. (r S(r) S(r) * * * ) Integrala I dr are întotdeauna un sens, deoarece lim este finită. Jo r r->o r 2
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
353
37. Dacă aplicăm relaţiei a doua (56), cunoscuta inegalitate a lui Schwarz (cap. I V , § 7 ) , obţinem [J(r)]»
m
Z
)
?
d
r^?=2
9
T
C
r*r
2
Jo [i + i/em J
"'
(
z
)
'
8
d. 9
(60)
Jo v + \n*)W
0
Din expresia lui 8 (r) (56), se deduce prin derivare *
[i + l / « P P
" A , li+l/WI'l*
Dacă înlocuim această relaţie în inegalitatea (60), obţinem
[£(r)]«<2
««r-^-= 2w«r0'(r). dr
(61)
Să introducem şi expresia
pentru r > 0 fix. 0
Din inegalitatea (61) se deduce lL(r)]*
<
2
7
S'fr)
2
U
şi deci
ţ
r
r
Integrînd această inegalitate între r
0
şi r, avem
şi aplicînd încă o dată inegalitatea lui Schwarz, obţinem [X(r)]
2
<2TU
Dar din definiţia lui T(r)
2
T jS'(r) dr f — • se deduce prin două derivări succesive
= [rf(r)]'
S'(r)=^-lrT'(r)l dr
şi deci [X(r)]«<2*»r — r Jr
r 0
Jr
[rT'(r)Ydr, Q
TEORIA FUNCŢIILOR' DE O VARIABILA COMPLEXA
354
de unde [X(r)]« <
2TU
[rT'(r)
2
l o g r - r T ' ( r ) log r
0
-
- U T' (r ) log r + r 0 r (r ) log r ] . Toţi termenii din paranteză rămîn, pentru r suficient de mare, inferiori, în valoare absolută, primului, adică lui rT' (r) log r, deoarece rl' (r) = = 8 (r) creşte cu r. Deci, inegalitatea de mai sus se înlocuieşte cu 0
0
0
2
[ Â ( r ) ] < TcrT (r) log r,
(62)
cu un Tc fix convenabil ales. Fie acum E intervalele de pe axa pozitivă a valorilor r în care este satisfăcută inegalitatea R
Mr) >VTjjŢ
log T(r)
(63)
de la un r = r destul de mare înainte pentru ca log r şi log T (r ) să fie mai mari decît zero. Din combinarea relaţiilor (62) şi (63), se obţine pe E ±
x
x
T
2
T(r)
l o g T(r) < TcrT'(r) log r
şi deci (pentru că log r şi log T ( r ) sînt mai mari decît zero), l
^
rlogr
^>
kT\f) T ( r ).l o g
a
r ( r )9
de unde, prin integrare p 6 toate intervalele [
^ -
<
1
T
[
c
'<
H, r
r ) d r
.
(64)
j ^ T < r ) log* T(r)
Ultima integrală este inferioară integralei TC
f°°
T' (r)) odr
k
J^
_ _ T(r) r(r)log*
logT^)
v
/
0
înlocuind în (64) se vede că intervalele H
r
\
> rlogr
sînt astfel încît integrala
= variaţia [log l o g r ] peH
r
este finită, adică intervalele nu ocupă în total decît o lungime neglijabilă faţă de axa întreagă pozitivă * ) a valorilor r, axă pe care variaţia lui log l o g r este evident infinită. Fie G mulţimea complementară a intervalelor H faţă de axa pozi tivă a valorilor r. r
*) Deoarece funcţia / (z) este presupusă meromorfă in planul finit tntreg.
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
3 5 5
D e la r = r înainte vom avea deci pe G x
X ( r ) < YY(Pj log T(r). Să înmulţim acum ambii membri ai Ini (B ) cn — şi să integrăm x
r
ele la r
0
la r ; v o m obţine
t [N(r, a ) - N {r, o»)] > ( j - 2) T(r) - 0 [ X ( r ) ] A-l iar pe mulţimea G inegalitatea h
x
9
t
[ t f ( r , « * ) - 2Ti(r, «>)] > ( ? - 2) T ( r ) - 0 \}fW) log W ] .
(65)
Această inegalitate exprimă pentrn funcţiile / (z) meromorfe în tot planul, teorema (a doua) fundamentală a lui Nevanlinna. î n formularea lui Nevanlinna inegalitatea (65) este ceva mai precisă : 1° JVi (r, a) poate fi înlocuit cu JS^ (r) = numărul tuturor punctelor de ramificaţie din \z \ < r , socotite cu ordinul de multiplicitate res pectiv. 2° }fT(r) log T ( r ) poate fi înlocuit prin log r T ( r ) . Pentru a trage însă consecinţele cele mai importante din teorema lui «Nevanlinna, forma (65) este suficientă. 38. Valoarea excepţională (în sensul lui Nevanlinna) şi defect. Teoremă relativă la valorile deficiente. P e lîngă expresiile JT(r, a), N {r a) şi T(r) N e v a n l i n n a mai introduce (cap. I , secţ. V , § 19) şi expresia ±
2n
+
i C m (r, a) = —V log —
1
9
9
d
unde integrala este luată pe circumferinţa cercului înseamnă log a, dacă a ! > 1, şi zero, dacă a < 1. Pentru a = oo, se ia m(r,oo)
= —\ * Jo
| # | O , iar log a
log|/(*)|*p.
2
Prima teoremă fundamentală a lui Nevanlinna (teorema echili brului * ) , de care nu ne ocupăm aici în special (dar care este corespun zătoare cu teorema întîi a lui Ahlfors în cazul „punctual" şi sub „formă integrală") se exprimă, după cum s-a văzut în relaţia (53) din capitolul I , astfel N(r, a) + m(r, a) = T(r) + 0 (1), (66) * ) Teorema exprimă că oricare ar fi a, funcţiile N (r, a) şi m (r, a) tşi fac oarecum echilibru.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
356
0 (1) desemnînd o funcţie de r, mărginită în valoare absolută printr-o expresie depinzînd numai de a, cînd r - > oo. Deoarece m (r, a) ; > 0 din (66) se deduce r-*oo
T(r)
^
Se numeşte defect (în sensul lui N e v a n l i n n a ) al valorii a a func ţiei / ( # ) , cantitatea 8 (a)
=1
N
- l î ^ J ^ L .
(68)
Valorile a în care lim din (67) este maximă, adică egală cu unu, se numesc valori ordinare ale lui f(z). Pentru ele defectul 8 (a) = 0. Valorile a al căror defect 8 (a) > 0 (adică pentru care lim din (67) este mai mică decît unu se numesc valori excepţionale în sensul lui Nevanlinna sau valori deficiente. Pentru a justifica aceste numiri, este necesar să arătăm că valorile deficiente sînt într-adevăr o excepţie, în general o valoare a (finită sau infinită) avînd defectul nul. V o m arăta pentru aceasta că valorile deficiente formează o mulţime numerabilă. Faptul acesta este o consecinţă a teoremei defectului a lui Nevan linna, care se formulează în mod cu totul analog cu aceea a defectului a lui Ahlfors (privitoare la domenii). Să definim, şi aici indicele de ramificaţie Q {a) (al lui Nevanlinna) al valorii a prin relaţia N
N
N
Q {a) = lim N
N l { r
a )
' • *(r)
(69)
Se vede că avem întotdeauna Q {a) ; > 0 şi < ; 1 deoarece N
J T ^ r , a ) < 2 T ( r , a).
Teorema a doua fundamentală a lui Nevanlinna, care se exprimă prin inegalitatea (65), dă, pe mulţimea G 9
2T (r) + 0 [ K W Î o g T ( r ) ] > £
[ T ( r ) - 2T ( r ) ] + £ A
^
(r, a>)
printr-o simplă trecere dintr-un membru în altul a unor termeni şi gru parea lor sub semnul S . împărţind cu T ( r ) , obţinem (tot pe G) 2
+
^ { [ 0 ^ o g r
(
r
)
3
.
£
S
f
f
K
)
+
£
w
_
(
7
0
)
Să observăm acum că, din definiţia însăşi a lui T(r) dată mai sus, se vede că el tinde către infinit cu r, oricare ar fi f {z) meromorfă în planul
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
357
întreg, şi să facem r oo pe G în (70). Aceasta este posibil, deoarece G se întinde la infinit pe axa valorilor r. S e obţine astfel inegalitatea
£M<*A)+
t
9
*K)<2,
(71)
oricare ar fi numărul q al valorilor a. Eelaţia (71) exprimă teorema defectului a lui Nevanlinna : Suma defectelor şi a indicilor de ramificaţie a q valori a diferite oarecare este cel mult egală cu 2 pentru o funcţie f (z) meromorfă în planul întreg*). h
finit
39. Eeznltă îndată de aici că nn pntem avea mai mnlt de nn număr de valori a distincte cu defectul > s > 0 dat. într-adevăr, cum ^ 0 oricare ar fi a, din (71) se deduce t A=
Ma»)<2.
(72)
l 2
Numărul acestor valori este deci mai mic d e c î t — . Dacă dăm lui E , pe rînd, valorile
se vede astfel că se obţine tot un număr finit de valori cu defectul mai mare sau egal cu - i - , oricare ar fi n. P e de altă parte, se obţin astfel 71
toate valorile deficiente cînd facem n -> oo ; deci valorile deficiente formează cel mult o mulţime numerabilă**). D i n (72) se vede îndată că nu putem avea mai mult de două valori cu defectul maxim, adică egal cu unu. Dacă observăm că o valoare a, care este astfel încît f(z) = a, (73) nu are soluţii (adică a este valoare lacunară, o valoare pe care f(z) nu o i a ) , are neapărat defectul egal cu unu, rezultatul de mai sus implică teorema lui Picard. Teoria lui Nevanlinna pune pe lîngă valorile excepţio nale ale lui Picard în evidenţă şi alte valori excepţionale cu defect cel mult egal cu unu (dar pozitiv). Totdeodată, se vede,'din (71) şi (72), rolul pe care-1 joacă în aceste chestiuni numărul 2***). * ) Din N (r, a) — N (r, a) ! > 0 se deduce, pentru fiecare a în parte, x
+
6^(a)
* * ) U n exemplu de funcţie meromorfă cu o infinitate numerabilă de valori deficiente a fost dat de A . A . G o 1 d b e r g, O defektah meromorfnîh funkţii, Dokladî Akad. Nauk. SSSR, 1954, t. X C V I I I , nr. 6, p. 893-895. * * * ) în legătură cu valorile excepţionale a se vedea G h . C a l u g a r £ a n o , Sur Ies valeurs exceptionnelles au sens de M. Picard et de M. Nevanlinna des fonctions mâromorphes, C. R . Sci. Paris, 1932,, t. 195, p. 2 2 - 2 3 .
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
3 5 8
D e fapt, teorema clasică a lui Picard spime ceva mai m u l t : valorile pentru care (73) nu are decît un număr finit de soluţii, sînt cel mult în număr de două. Cum acest lucru priveşte numai ftmcţiile meromorfe transcendente (adică neraţionale), este evident că o observaţie complementară asupra lui T(r) pentru funcţiile transcendente meromorfe în planul întreg este necesară pentru a putea deduce din (65) teorema lui Picard sub această formă completată. O funcţie f(z) transcendentă poate fi caracterizată, printre toate funcţiile / (z) meromorfe în planul întreg, prin aceea că o valoare a este luată de un număr infinit de ori. Se vede atunci îndată după definiţia lui JSf (r, a ) că acesta este de un ordin de mărime mai mare ca log r cînd r - > o o , adică 0
0
T-+<X>
log
r
Din teorema primă fundamentală a lui îsTevanlinna (exprimată prin (66)) se vede atunci că pentru orice funcţie transcendentă, meromorfă în planul întreg, avem l i J ^ _ = o o . r-*oo l o g r m
Or, dacă a este o valoare luată de funcţia f{z) numai într-un număr finit de puncte din planul z, este clar, după definiţia însăşi, că N(r, a) este de ordinul de mărime a lui log r. Deci 8
j
r
( « ) = l - T S ^ â = l,
1
r->oo
T(r)
adică defectul unei asemenea valori este tot egal cu unu. D e aici teorema lui Picard sub forma ei completă. 40. Teorema valorilor complet ramificate, pe care am demonstrat-o în § 31 cu ajutorul teoremelor lui Ahlfors, se poate deduce şi ea din (65). Să observăm pentru aceasta că dacă introducem, prin analogie cu cantităţile N(r, a) şi N (r, a) (§ 36) şi cantitatea ±
W(r, a) =
? ^ d r Jo
(cu aceeaşi modificare în definiţie ca mai sus în cazul cînd n (r, 0) =£0), v o m avea N(r, a)-N (r,a)=N(r, 1
a)
şi deci, din (65), tot pe mulţimea O, rezultă
£ W(r, a
k
) > ( Î - 2 )
T(r) - 0 U¥{rjlog
T(r)]
,
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
359
ceea ce dă 2T(r)>
£ \_T{r) - N(r, a )] - 0 [VWJ
log T(r)]
h
.
Prin diviziune cn T(r), făcînd r - > o o (pe G), obţinem
i
5
<
(74)
â[ -s ^] *N(r
a)
Dar lim
7
< ! 1 ; avem deci, a
fortiori,
r-foo T ( r )
y [ i _ i n s ^ ^ l < 2 .
(75)
Să amintim că w (r, a) este nnmărnl soluţiilor multiple î n | z | < r) ale lui x
/(*)
(cuprinse
= «,
fiecare soluţie fiind socotită cu ordinul ei de multiplicitate. menea,
D e ase
n (r, a) = n {r,a) — n (r,a) x
^ste numărul soluţiilor ecuaţiei de mai sus, fiecare socotită o singură dată, indiferent dacă este simplă sau multiplă. Cum N (r, a) şi N(r, a) sînt legate prin definiţie de n (r,a) şi n(r,a) avem evident, pentru o valoare a unde fiecare soluţie a lui ±
x
f(z)=a este cel puţin de ordinul [i, inegalitatea N(r,a)
pe care introducînd-o în (75) se obţine <2,
(76)
fiind coeficientul analog lui fi pentru a . Prin urmare, nu pot exista mai mult de patru valori a complet ramificate. Acest maxim de patru valori poate fi atins : de exemplu, pentru funcţia eliptică p{z) a lui Weierstrass, polul şi cele trei zerouri ale derivatei (dintr-un acelaşi paralelogram de perioade) duc la aceste patru valori, h
41. Dacă / (z) este funeţie întreagă, ea admite o valoare lacunară a = oo, care are defectul egal cu unu.
360
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXĂ
Deci dacă a\ (h = 1 , 2 , . . q ) după (74)
sînt valori finite şi a
q+1
= oo , avem
y f i - n ^ ^ ^ l < 2 . Cnm
rezultă că pentru q valori finite oarecare
f [
_ M ^ |
1
<
l
şi (76) devine
1
]
t( -i)< '
Deci în cazul unei funcţii întregi, nu pot exista mai mult decît două valori complet ramificate. Acest număr poate fi atins : de exemplu, în cazul funcţiei cos z pentru care + 1 şi —1 sînt valori complet ramificate (derivata se anulează ori de cîte ori cos z = ± 1 ) . 42. D i n aceste consideraţii se vede cum, pentru funcţiile mero morfe în planul întreg, se pot obţine, plecînd de la teoremele lui Ahlfors, chiar şi rezultatele cele mai importante relative la valori „punctuale", care derivă din teoria lui Nevanlinna. î n acest domeniu teoria lui Nevan linna merge însă şi mai departe şi permite chiar (pe o cale mai indirectă şi prin metode care nu mai au generalitatea geometrică şi topologică a celor datorite lui A h l f o r s , este drept) abordarea şi studierea unor suprafeţe riemanniene ce nu mai sînt regulat exhaustibile şi pe care teo remele corespunzătoare aceleia a lui Picard, sau teoremei defectului de exemplu, se prezintă sub o formă diferită. ffl. SUPRAFEŢE RIEMANNIENE NORMAL EXHAUSTIBILE 43. Spre deosebire de suprafeţele regulat exhaustibile, studiate în secţiunile precedente, care au fost definite cu ajutorul unei condiţii metrice impuse domeniilor de aproximare, suprafeţele riemanniene normal exhaus tibile sînt caracterizate prin proprietăţi topologice ale acestor domenii. Ele au fost introduse în 1938 de S. S t o i 1 o w * ) . * ) S. S t o i l o w » Sur une classe de surfaces de Riemann rigulUrement exhaustibles et sur le thioreme des disques de M. Ahlfors, C. R. Sci. Paris, 1938, t. 207, p. 517—519, Sur Ies surfaces de Riemann normalement exhaustibles et sur le thâor&me des disques pour ces surfaces, Compositio Math., 1940, t. 7, fasc. 3, p. 428—435 şi Sur la thiorietopologique des recouvements reimanniens, Ann. Acad. Sci. Fenn.. A , I,Math., 1958, t. 250/35.
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
361
Fie B = o suprafaţă riemanniană iar I I un domeniu poliedric pe T , pentru care interiorul proiecţiei 2* ( I I ) este o mulţime local conexă în fiecare punct frontieră al lui 'T{II). î n aceste condiţii, se verifică imediat echivalenţa următoarelor propoziţii: 1° Transformarea T considerată de la I I la 2^11) are ca inversă I " o transformare complet continuă * ) . 2° Transformarea T considerată de la I I la 3? ( I I ) este interioară. 3° Domeniul H este normal relativ la transformarea T * * ) (cap. V I I , secţ. I V , § 12). Domeniile normale I I cu proprietăţile de mai sus determină acoperiri totale ale proiecţiei lor I ( I I ) (cap. V I I , ' s e c ţ . V , § 30). O suprafaţă riemanniană B se numeşte normal exhaustibilă, dacă admite o exhaustiune prin domenii poliedrice I I satisfăcînd condiţiile echivalente 1°, 2°, 3° de mai sus. Datorită proprietăţilor de acoperire ale domeniilor I I , suprafeţele normale exhaustibile pot fi privite ca o generalizare topologică a supra feţelor riemanniene închise***). Se stabileşte uşor propoziţia : Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o suprafaţă riemanniană B să fie normal exhaustibilă este ca domeniile maxime ale oricărui domeniu închis şi compact din T(B) să fie compacte în V, adică să fie domenii normale (cap. V I I , secţ. I V , § 12). 7
1
n
n
44. U n prim exemplu de suprafaţă riemanniană normal exhaustibilă (simplu conexă de tip parabolic) se obţine cu ajutorul funcţiilor întregi de ordin mai mic— • 2
într-adevăr, după o teoremă a lui A . W i m a n * * * * ) , w=g(z)
fiind
o funcţie întreagă de ordiiî mai mic —, există un şir crescător de numere 2
pozitive r tinzînd către infinit, astfel încît pe \ g\ = r t
t
să avem
\g(»)\>W(r )r,
(77)
t
* ) O transformare T este complet continuă, dacă pentru orice şir de puncte w din (w), care tinde către un punct w ,T^ (w ) tinde către un punct din T^ (w ) şi dacă fiecare punct din T ~ ( H ? ) este limită de puncte din T~ (w ). Transformările interioare ale suprafeţelor închise sînt complet continue. Ele coincid cu involuţiile topologice ale lui Brouwer. * * ) Dacă I I este un domeniu poliedric pe V, propoziţia 1° este echivalentă cu 2° şi implică 3° şi ipoteza relativă la frontiera lui T ( I I ) . Această ipoteză este necesară numai pentru a stabili că propoziţia 3° implică 1° şi 2°. E a exclude următoarea posibilitate : n
1
0
1
n
0
1
1
0
n
2
2
2
V : (z), T : w = z şi D : ( \z | > a)C\ \ \ z - b | < (|a |* + \b I )" ] pentru a şi b=/=0. •"**) U n studiu topologic al transformărilor deschise şi interioare, în care sînt aprofundate şi diverse proprietăţi ale exhaustiunii normale, a fost făcut de G. T. W h y b u r n , Open mapping on locally compact spaces, Memoirs of the Amer. Math. Soc, 1950, nr. 1. * * * * ) Voi. I, cap. I X , secţ. I I , §§ 1 0 - 1 2 , p. 229—233.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
362
unde M(r)
= max \ g(z) \
iar a nn număr pozitiv dat convenabil. Să considerăm în planul (w) cercul închis I \
şi în planul (z) domeniul maxim
n, = (r«, o), care este inclus în | z \
w = g{z) deci această suprafaţă este normal exhaustibilă * ) . 45. Funcţia 1
9(0)= fjaPafa* ,
(
7
8
)
n-0
unde a este un număr natural, a > • 5, considerată de If. S". L u z i n
şi
* ) Alte exemple, bazate tot pe* proprietatea că g (z) este o funcţie întreagă al cărei modui tinde către infinit pe un şir de circumferinţe ri sînt date de funcţiile lui S. M . S h a h , de ordine finite oarecare, (S. M. S h a h , A note on the minimum modulus of a class of integral functions, feull. Amer. Math. Soc, 1947, 53, p. 524—529). De asemenea, putem pleca de la funcţii Întregi g (z) de ordin finit sau nu pentru care există un şir de curbe jordaniene C» cu urmă toarele proprietăţi: 1°) min | z | oo, cînd n oo ; 2°) curba Q astfel încît
+
1
include în interior curba Q , \g(z)\
>k>0
pe Ci. Suprafaţa riemanniană R generată de P (z) g (z), unde P (z) este un polinom. va fi normal exhaustibilă. Astfel, normal exhaustibile sînt suprafeţele (z) — oo (w)
(z) — oo sau
w = z sin z*
(w) w ~ z (ef + 1)
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
363
I . I . P r i v a l o v * ) , care este olomorfă în \z | < 1 şi are circumferinţa \z | = 1 ca linie singulară, generează, de asemenea, o suprafaţă rieman niană (simplu conexă, de tip hiperbolic) normal exhaustibilă (W)UK1 to •» Q> (z)
într-adevăr, I / u z i n nele circulare
şi P r i v a l o v a u demonstrat că în coroa
1 - - n7l a^ < I * I < 1 2 n
1
1
2nl
2n
a
j (p(z)\ - > o o uniform, o dată cu n. 46. F i e D un domeniu din planul (z), mărginit de o curbă simplă închisă, care nu este analitică pe nici o porţiune, şi £ = h (z) o reprezen tare conformă a lui D pe un domeniu I)ţ din planul (t). Presupunem că Dţ este domeniu normal faţă de transformarea w = P(Q unde P ( £ ) este un polinom, iar D„ = P(Dţ) un domeniu jordanian limitat de o ourbă simplă analitică. Atunci, suprafaţa riemanniană generată de funcţia f(z) = P [h (z)~\ este normal exhaustibilă. t
z
9
47. Iată acum două metode, care pot fi utilizate pentru a construi suprafeţe riemanniene normal exhaustibile: 1° Să observăm că definiţia suprafeţelor normal exhaustibile se aplică şi acoperirilor după o tţahsformare interioară a unei suprafeţe orientabile oarecare (cap. V I I , secţ. I V , § 23). Dacă sînt suprafeţe riemannieneÎ normal exhaustibile, exhaustibile în acest sens generalizat, ^tă cu transformarea transformarea produs atunci şi suprafaţa formată 3
•#3 =
(^s^-rtir^Pi)]
este normal exhaustibilă. 2° Extrăgînd anumite puncte din tipul topologic al unei suprafeţe normal exhaustibile, obţinem tot o suprafaţă de acest fel, după cum re zultă din următoarea teoremă: Fie R = (w)*_ o suprafaţă riemanniană normal exhaustibilă, A un punct din domeniul T (V) si T' (A) preimaginea sa în V. Notînd au V* varietatea V — T " (A), suprafaţa riemanniană R* = ( w ) £ * _ (p e V*) este şi ea normal exhaustibilă. T{v)
1
1
T
{
p
)
* ) N . L u s i n şi I. I. P r i w a l o f f , Sur Vuniciti et la multipliciti des fonctions analgtiques, Ann. Ec. Norm. (3), 1925. t. 42, p. 143—191. p. 150. Alte exemple analoage se obţin utilizînd generalizarea funcţiei (78) dată de A . D a v t d o v tn dizertaţia sa de candidat Nekatortie voprost teorii granicinth znacenii analiticeskih funkţii, 1949. A se vedea şi I. I. P r i v a l o v , Granicinte svoistua analiticeskih funkţii, cap. I I , § 13. p. 167-170.
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
364
X
Fie a punctele din T~ (A), care formează o mulţime cel mult numerabilă. Să notăm cu II un domeniu din şirul de exhaustiune a lui B, pentru care A aparţine intjF (II), şi cu n gradul lui T în II. Domeniul II cuprinde n puncte a\ (distincte sau confundate) din T* (A). Să alegem în i n t T ( I I ) un domeniu închis A fără frontieră interioară, astfel încît A să aparţină int A iar domeniile maxime 8^ = ( A , să fie simplu conexe. Aceasta este posibil, după cum rezultă din teorema d e inversiune a transformărilor interioare (cap. V I I , secţ. I V § 16). într-adevăr, pentru fiecare a e T " ( A ) există un număr pozitiv*p$, astfel încît cercul C cu centrul în A şi raza p* să aibă domeniul maxim (C , a ) simplu conex. Presupunem p* suficient de mic pentru ca (7* să fie inclus în int2 (II) şi deci (C a ) să fie inclus în int II, dacă aparţine lui II. Cum în II există* un număr finit de puncte a putem lua p ( I I ) = min ş şi A cercul cu centrul {
1
1
4
%
t
t
T
Y
i9
{
i9
t
în A şi raza p. Prin construcţie, domeniile sînt simplu conexe şi disjuncte două cîte două. E l e sînt normale şi dacă notăm cu % gradul lui T în 8 atunci Yi % = ir
n
V o m arăta că domeniul închis şi evident compact II* = II — 5J int 8
€
este domeniul normal faţă de transformarea T. î n acest scop, v o m sta bili mai întîi relaţia
T(n*) =
T(IL)
- int A .
(79)
Dacă p aparţine lui II* şi P = T(p) ar fi conţinut în int A, cum în Yi int Si există n puncte din 2 " ( P ) , adăugînd la acestea punctul p in II ar exista n+1 puncte cu imaginea P , ceea ce este absurd. Prin urmare, P aparţine domeniului T( II) — int A sau 7
1
7
T(Il*) C ^(11) - int A. Incluziunea contrară este evidentă. Deoarece fr
n* = f r n + £ f r 8,
Şi T ( f r n) = fr T ( I I ) , T(fr 8 ) = fr A , 4
avem T(ÎT
II*) =
fr T(U)
+
fr
A =
fr
T(IL*).
Prin urmare, II* este domeniul normal faţă de transformarea T *). Să construim acum un şir de exhaustiune normală pentru • Fie H domeniile unei exhaustiuni normale a lui B şi N primul indice Tc pentru care T (U ) conţine în interior punctul A. Luăm în intek
k
*) Această parte a demonstraţiei arată că teorema extragerii se poate enunţa într-o formă mai generală, înlocuind A cu un domeniu jordanian A din T(V) şi V cu V — 7 - * ( A ) . 1
1
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE ŞI NORMAL EXHAUSTIBILE
365
riorul lui T(U ) un şir convenabil de domenii închise A ( & > ] V ) cn proprietăţile 3) Â ^ C i n t A * , 2) A e i n t A * , 3) A este unicul punct comun al domeniilor A^, astfel încît I I * = I I — T~ ( A ) să fie domeniu normal. Domeniile II*. formează exhaustiunea căutată a lui R* *). N
&
1
F C
fc
48. Mulţimea lacunară a lui R adică mulţimea punctelor din sfera de bază (w), care nu sînt acoperite de nici o foaie din JS, conţine cel puţin un punct şi este întotdeauna închisă. într-adevăr, R fiind deschisă, domeniile I I sînt în număr infinit şi cum incluziunea y
N
T(n )cT(n ) n
n+1
este strictă, nici una din mulţimile închise J F ( I I J nu acoperă sfera în între gime. Mulţimea lacunară (w) — T (R) este închisă, deoarece este inter secţia mi^lţimilor închise (w) — T(U ). î n memoriul din 1940 citat mai sus, S. S t o i l o w aprofundează î n special proprietăţile suprafeţelor riemanniene normal exhaustibile simplu conexe, pe care le clasifică cu ajutorul mulţimii lacunare în două speţe. într-adevăr, V fiind simplu conex, putem presupune că am ales domeniile de aproximare I I simplu conexe, înlocuind fiecare domeniu al unui şir oarecare de aproximare normală prin domeniul obţinut prin adăugarea componentelor conexe ale complementarului în raport cu V, care sînt compacte în V. Atunci, formula lui Hurwitz (cap. V I I , secţ. V , § 32) arată că şi domeniile ^ ( n j sînt simplu conexe. Prin urmare, mul ţimea lacunară este un continuu sau se reduce la un singur punct. Suprafeţele normal exhaustibile simplu conexe se vor numi de speţa întîi sau a doua, după cum mulţimea lacunară este formată dintr-un singur punct său dintr-un continuu. Exemplele din §§ 44 şi 45 sînt de speţa întîi, iar exemplul din § 46 de speţa a doua. Se arată că reprezentînd conform pe cerc sau pe planul euclidian (după t i p ) o suprafaţă normal exhaustibilă, simplu conexă, funcţia carac teristică T (r) a lui E . îsTevanlinna (cap. I , secţ. V , § 19) va fi nemărgi nită sau mărginită după cum R este de speţa întîi sau a doua * * ) . n
N
49. V o m stabili acum raportul dintre cele două clase,de suprafeţe riemanniene: regulat şi normal exhaustibile**). Suprafeţele riemanniene normal exhaustibile de speţa a doua nu sînt regulat exhaustibile deoarece au o infinitate de valori lacunare, * ) C. A n d r e i a n , Teorema discurilor pentru suprafeţe riemanniene normal exhausti bile. Bul. ştiinţ. Acad. R . P . R . , Secţ. mat.-fiz., 1952, t. I V , nr. 2, p. 263—272. Teorema 2° este evident valabilă şi în cazul cînd sfera (w) este înlocuită cu o suprafaţă V orientabilă oarecare. * * ) S. S t o i l o w , Sur Ies surfaces de Riemann normalement exhaustibles et sur le thioreme des disques pour ces surfaces, loc. cit., p. 432, resp. 433. 0
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILA COMPLEXA
366
pe cînd exhaustibilitatea regulată implică existenţa a cel mult două valori lacunare (§ 30). î n schimb, suprafeţele de speţa întîi sînt regulat exhaustibile. într-adevăr, să considerăm pe sfera (w) un şir de cercuri G„ avînd ca centru punctul lacunar unic al lui B şi cu raze tinzînd descrescător către zero. Să notăm cu I \ cercurile complementare ale cercurilor O* pe sferă şi cu n domeniile maxime (T p ) în raport cu un punct p dinF, cu proiecţia T(p ) în interiorul lui T . F i e % gradul transformării T în Iii. Atunci, fiecare punct din I \ = jP(IIi) v a fi imaginea a n puncte din II* (distincte sau confundate). Luînd raza sferei egală cu unitatea şi notînd ariile cercurilor C cu aceleaşi litere C aria corespunzătoare lui Iii v a ti i
i9
0
0
0
0
€
ţ
iy
%(47u — G ) iar numărul mediu al foilor Si = n ^1 — t
%
j . în
mod
analog, dacă notăm cu JD lungimea circumferinţei C lungimea frontierei totale a lui II, va fi n £<(§ 6 ) . P r i n urmare, raportul 4
iy
t
njLi
Li
Si
Cj 4TT
tinde către zero cînd i o o , ceea ce demonstrează că B este regulat exhaustibilă. î n concluzie, clasa suprafeţelor normal exhauâtibile nu include şi nici nu este inclusă în clasa suprafeţelor regulat exhaustibile. 50. Teorema discurilor. î n § 29 am demonstrat teorema discurilor pentru suprafeţe regulat exhaustibile. Legătura între ordinul de conexiune al unei suprafeţe riemanniene normal exhaustibile şi numărul maxim de domenii complet ramificate ale ei * ) este pusă în evidenţă de urmă toarea teoremă * * ) : Fie B o suprafaţă riemanniană normal exhaustibilă şi h numărul maxim de domenii jordaniene închise, complet ramificate şi disjuncte două cîte două. 1) Pentru o suprafaţă B cu genul g = 0, h < ; 3. 2) Bacă B are gen finit g şi un număr finit de foi n, există n
<
i
+
J ^
domenii complet ramificate. 2*) Cînd şi ordinul de conexiune c al lui B este finit,
atunci
n * ) U n domeniu închis din T ( V ) se numeşte complet ramificat dacă toate domeniile sale maxime compacte (sau toate insulele care îl acoperă) au mai mult de o foaie. * * ) A se vedea C. A n d r e i a n C a z a c u , Vber die normal ausschdpfbaren Riemann schen Flăchen, Math. Nachrichten, 1956, t. 15, caietul 2, p. 77—86.
SUPRAFEŢE
RIEMANNIENE
REGULAT
EXHAUSTIBILE
ŞI
NORMAL
EXHAUSTIBILE
387
Dacă numărul foilor este infinit, atunci 3) ft<4, respectiv 3*) fc<2, după cum B are gen finit sau ordin de conexiune finit. 4) O condiţie necesară pentru ca să existe o infinitate de domenii complet, ramificate este ca genul să fie infinit *). Să presupunem că domeniile jordaniene închise A ^ A , . . . , A^ disjuncte două cîte două din T (V) sînt complet ramificate. începînd cu un anumit indice N, domeniile poliedrice I I ale unui şir de exhaustiune normală pentru B atr proiecţii T C I I ^ pe sfera (w), care includ în interior domeniile închise A (Z = 1, 2, . . . , h). F i e I I unul din domeniile I I ( i > N), n numărul foilor lui I I pe T( I I ) , c = 2g + [x, respectiv c' = fx', ordinul de conexiune al lui I I şi T ( I I ) (g genul lui I I , iar respectiv jx' numărul elementelor frontieră ale lui Î I , respectiv T{ I I ) ) , şi r numărul punctelor de ramificare din I I , socotite cu ordinul de multiplicitate respectiv. Domeniile maxime 8 ale domeniilor A , cuprinse în I I sînt compo2
i
Z
4
k
n 1
nentele conexe ale mulţimii £
I I T " " ( A , ) . Fiind incluse
în domeniul
compact I I , domeniile S^.sînt normale. V o m nota cu v numărul domeniilor 8 , cu c ordinul de conexiune, cu m numărul foilor şi cu r numărul punctelor de ramificare al lui S . Evident, fc
k
k
k
&
£ m = nh.
(80)
k
Aplicînd formula lui Hurwitz (cap. V I I , secţ. V , § 32), putem scrie r = n{2 — c') + c — 2
Şi r = ™ + c - 2. k
k
h
însă numărul punctelor de ramificare din cu numărul punctelor
I I este ţel puţin egal
de ramificare din £ 4-1
V
S
r >
r. k
Din relaţiile de mai sus rezultă deci n ( 2 - c') + c - 2 > £ m + £ (c - 2) = k
k
fc-l = nh — v + *) Rezultatele de mai sus se consideră puncte.
4-1
v
£ (c — 1) fc-idacă in loc păstrează k
de domenii compltt ramificate se
.368
TEORIA FUNCŢIILOR DE O VARIABILĂ COMPLEXA
sau v v > n *
+
n(c'
— 2) +
2 -- c +
E
(c» — 1 ) .
(81)
î n ipoteza că A sînt complet ramificate, fiecare 8 mijloceşte o aco perire multiplă a domeniului Aj corespunzător. P r i n urmare, m > 2 <& = 1, . . . , v) şi din (80) deducem t
ft
k
rt>2v.
(82)
Ţinînd seama de (82) şi de inegalităţile
tf*>l,
din (81) obţinem
nh + 2n(c' — 2) + 2 (2 — < ? ) < 0.
(83)
Inegalitatea (83) constituie o condiţie necesară pentru ca să existe h domenii Aj neacoperite de nici o foaie simplă din I I . Bacă B este simplu conexă, putem lua c = c' = 1 şi din (83) rezultă A < ! 1 * ) . Această inegalitate precizează în cazul suprafeţelor normal exhaustibile de speţa întîi relaţia Ji < ; 2 demonstrată de A h l f o r s pentru suprafeţele regulat exhaustibile simplu conexe. Mai mult, ea este valabilă şi pentru suprafeţele normal exhaustibile de speţa a doua (care nu sînt regulat exhaustibile, § 46). Deoarece T mijloceşte o acoperire totală de gradul n a i n t T ( I I ) prin int I I , iar aceste domenii sînt homeomorfe, respectiv cu sfera punctată în fi/ puncte şi cu torul de gen g din care s-au extras \L puncte, din capi tolul V I I , secţiunea V , § 31, deducem că *M*'>(x.
(84)
însă inegalitatea (83) poate fi scrisă şi sub forma n
{
h
_
f
4
) + 4 ( 1 - g) +2(nii
-
f i ) < 0,
de unde, folosind (84), rezultă h<±
+ ^
^
-
(85) r
Dacă I I este unul din domeniile de aproximare n ( i > - J V ) , cînd i - > oo numerele n, c, g tind respectiv către numărul foilor, ordinul de conexiune sau genul suprafeţei B. Prin urmare, din (85) se obţin rezultatele 1 ) , 2 ) , 3) şi 4 ) . P e de altă parte, (83) implică inegalitatea i
fe<2
+
2 ( c
~
2 )
,
(86)
deoarece c' ! > 1, iar din (86) se obţin afirmaţiile 2*) şi 3*). Compararea marginilor superioare (85) şi (86), arată că (85) este mai exactă decît (86) cînd — > 1. *) S. S t o i l o w , Sur Ies surfaces de Riemann normalement exhaustibles et sur le tniortone des disques pour ces surfaces, loc. cit., §§ 7 — 8, p. 433—435.
SUPRAFEŢE RIEMANNIENE REGULAT EXHAUSTIBILE şl
369
NORMAL EXHAUSTIBILE
51. Următoarele exemple arată că marginile superioare stabilite mai sus sînt stricte : 1° F i e w = f(z) o funcţie raţională de gradul n. Ordinul de conexiune al suprafeţei riemanniene B = (i(?)^j f~ ^)(J.e(w))satisface inegalităţile 1 O = ;JL < W . Con form teoremei 2° din §47, B este normal exhaustibilă, iar din (86) rezultă 1
/
h < 4 Bacă c = 2 sau 3 atunci h < ; 2, iar dacă o > 4, atunci A < ; 3. Aceste margini superioare sînt atinse, de exemplu în cazul funcţiilor /(*) = T T T > respectiv
/(*) =
* i '
pentru A = oo. 2° F i e w = gf (s) o funcţie întreagă cu ordinul mai mic decît 1 şi 2
w = f (u) o funcţie raţională, astfel încît /(oo) = oo şi pentru suprafaţa riemaniană ( w ) ^ ~ ' ~ să avem h = 3. Atunci suprafaţa riemanniană normal exhaustibilă (w) ^ ; j £ * ~ , pentru F(z)=f [g ( 0 ) ] , are genul nul, însă ordinul de conexiune şi numărul foilor infinite. Pentru această suprafaţă, h = 3. 3° Pentru a forma exemple cu genul g =f= 0, vom folosi funcţii algebrice. Astfel, dacă w = f(z) este funcţia definită prin relaţia 1 ( o c > )
1 ( a o )
cu tij diferite două cîte două, atunci pentru suprafaţa riemanniană ( )w-f£)y numărul h ia valoarea 2fc, egală cu marginea superioară definită prin (85). 4° F i e , din nou, w = g(u) o funcţie întreagă cu ordinul mai mic w
decît — şi «0, (i = 1, 2, . . . ) un
şir de numere care tind către infinit.
2
Mulţimea numerabilă a punctelor u pentru care g ( % , ) = tv , nu va avea nici un punct de acumulare la distanţă finită. Să notăm cu G(u) funcţia întreagă formată cu punctele « ca ii9
{
4
i
n
zerouri simple şi cu u = H (z) inversa funcţiei z = ]fG(u). Suprafaţa riemanniană generată de funcţia / (z) = g [ H ( « ) ] este normal exhaustibilă; ea are o infinitate de foi şi de domenii complet ramificate, care conţin punctele complet ramificate u\*). * ) Alte proprietăţi ale suprafeţelor riemanniene normal exhaustibile sînt cuprinse în lucrarea C. A n d r e i a n C a z a c u, Vber die normal ausschâpfbaren Riemannschen Flăchen, loc. cit. sau în memoriile C. A n d r e i a n C a z a c u , Legături între suprafeţele normal, exhaustibile şi suprafeţele A<x>, Bul. ştiinţ. Acad. R . P . R . , Secţ. mat. fiz., t. V I I , nr. 3, 1955 p. 529 — 542, şi Teorema lui Iversen pentru suprafeţe normal exhaustibile, Comunicările Acad. R.P.R., t. V , nr. 8, 1955, p. 1145 —1150. în lsgatură cu generalizarea suprafeţelor normal exhaustibile a se vedea : T. K u r o d a , Remarks on some covering surfaces, Rev. de mathpures et appl., 1957, t I I , p. 239 — 244 şi C. A n d r e i a n C a z a c u , Suprafeţe rieman, niene parţial regulat exhaustibile, Studii şi cerc. Iaşi, 1958.
INDICE ALFABETIC Abel N . , teorema lui 253, 258 acoperire totală 87, 216, 252 Ahlfors L . 171-177, 262, 279, 308, 321, 332, 338, 347, 351, 352, 360 egalitatea ( A ) a lui 332, 342, 349 inegalitatea ( £ ) a lui 333, 343, 349, 350 lemele lui 309—312 teorema defectului a lui 344 teorema discurilor a lui 344 teorema a doua (fundamentală, metricotopologică) 320, 342 teorema întîia (de acoperire) 314, 319, 342 Alexandrov P. 187, 193 Andreian Cazacu C. 5, 338, 347, 362, 365, 369 Apell P. 260, 298, 305 arc simplu analitic 10 Belinke H . 307 Bermant A . 134 Berstein I. 5, 210, 338 Besicovici A . 170 Beurling A . 171-175. 262, 279 Bloch A . 177, 346 Boboc N . 5, 45, 193 Borel E. 31, 347 Borcl-Lebesgue, teorema 36, 95, Bourbaki N . 187 Boutroux P. 177 Brelot M. 45, 101 Brouwer 197, 361
110,
310
Călugăreanu G. 357 Cantor G., mulţime 160, 183 capacitate logaritmică a unei mulţimi compacte 107, 108 a unui element frontieră 271, 278, 279 caracteristica 215 teorema de aditivitate 319 Q. 1243
caracteristică (funcţia — ) 30, 175, 352, 365 Caratheodory, inegalitatea lui 90, 91 teorema lui 23, 151 Carleman T. 137 lema lui 145, 147, 154 principiul lui (al extinderii do meniului) 154 Găitan H . 177 Cartwright M. 174 Cauchy, formula integrală a lui 14, 15, 35, 75, 170 teorema fundamentală a lui 13, 14, 229, 232, 250, 251, 294. Gauchy-Riemann, ecuaţiile 7, 74, 228, 240 teorema 5 1 - 5 3 , 168, 169 Cebotarev G. N . 2G0 cerc neeuclidian 121 parametric 188 simplu, multiplu 206 Ghevalley CI. 260 circuit 241 conexiune, ordin de 215 conjugată armonică 8 Constantinescu C. 5, 126-128, 131, 262 Gornea A . 5, 262 covariant 228 analitic 228 analitic de speţa I, I I sau I I I 250 curbă bilaterală, unilaterală 195 jordaniană (simplă închisă) 10 regulată 310 simplă analitică 10 curbe conjugate 241 cvasisimplu 212 Davîdov A . 363 defectul 343, 356 teorema 344, 345, 356, 357, 360 descompunerea canonică 242
372
INDICE ALFABETIC
derivata pe normala interioară 11 diferenţială 229 analitică 229 abeliană de speţa I, I I , I I I 250, 293, 295, 297 de pătrat sumabilă 280 Dinghas A . 351 Dirichlet, integrala lui 6 8 - 7 4 , 171, 230, 231, 270, 272, 280, 286, 298 principiul lui 68—70, 73, 298 problema lui 16, 18, 20, 42, 45, 46, 61, 65, 68, 69, 77, 114, 139, 232. problema extinsă 42, 45 problema generalizată 45 problema pe suprafeţe riemanniene 114, 232 Dirichlet-Neumann, problema (mixtă) 16, 18 discurilor, teorema 344—346, 366 dispersiunea unei mulţimi 134 •domeniu, cu sau fără funcţie Green 98, 107 D sau Ci 10 maxim 198 normal 198, 361 poliedric 210 „ de aproximare 220 Element frontieră 219, 221 de speţă I , I I , I I I 223 de tip hiperbolic sau para bolic 277, 280 Euler, teorema lui 215, 217 exhaustiune, şir de 95 extremelor, principiul 18 Fatou P. 41, 260, 298, 305 foaie 313 numărul foilor 206, 313 numărul mediu al foilor 314 forma normală a suprafeţelor topologice 214, 226 Fourier, coeficienţii lui 33 dezvoltarea în serie 33, 34 frontiera ideală a suprafeţei riemanniene 222 ideală şi interioară a unui subdo meniu 284 relativă a acoperirii 312 Frostman O. 101 funcţie algebrică 255 analitică pe o suprafaţă riemanniană 114,188,226,239,261,280 corespunzătoare unei suprafeţe riemanniene 255, 297 caracterizare topologică 307 de speţa I , I I , I I I 246, 248-250 armonică 7, 9, 17, 50, 114, 188, 226, 239, 280. de speţa I , I I , I I I 245, 248, 249
eliptică 227, 250, 252, 253, 255 meromorfă 188 modulară 118, 119, 128 olomorfă 188 pseudoanalitică 308, 338 pseudoarmonică 338 raţională 252 Gauss, formula medie a lui 16, 25, 79, 241 gen 212 Goldberg A . A . 357 Goluzin M . G . 105, 137 Goursat E . 9. 260, 298, 305 Green, formula a doua 12 formula întîia (Green-Riemann) 10 formula preliminară 12, 19 funcţia lui 2 0 - 2 5 , 49, 7 7 - 8 4 , pentru domenii D 21—23, 77 domenii Ci 95—101, 107, 108, 124, 164, elemente frontieră 280 suprafeţe riemanniene 114-121,263-270, 279, 290 polul funcţiei lui 20 Gross W . 151 Grdtzsch H . 338 Hadamard J. 69, 73 teorema celor trei cercuri 150 Harnack, teorema lui 38, 64, 96, 98, 157, 263, 275, 276 Hausdorff, măsuri 176 spaţiu 187 Heins M , 86, 209 Hersch J. 338 Hilbert 69, 73 Hopf H . 187, 193 Hurwitz A . 218, 298, 305 Hurwitz-Riemann, formula 218 lacob G. 16, 22, 23, 56, 279 Indice de ramificaţie 344, 356 insulă 332 integrale pe suprafeţe riemanniene 229, 230 abeliene de speţa I, I I , I I I 250,258, 261, 280, 293-296 eliptice 258 hipereliptice 258 Iversen F. 261, 369 Jensen, formula lui 27, 28 Jensen-Poisson, formula 27 Jordan C. 214 Jukovski 184 Julia G. 168
INDICE ALFABETIC
Jurchescu M. 5, 261, 262, 271, 272, 279, 280 Kametani S. 175 Kellog O. D . 45, 101 Kelvin, transformarea 9, 58 Kerekjârt6 B. de 223, 225, 226 Klein F. 186 Koebe P. 186, 205 tipurile topologice ale lui Krieckeberg K . 10 Kronecker, simbolul lui 71, 274 Kunugui K . 175 Kuratowski C. 187 Kuroda T. 175, 261, 369
226
Landau, notaţia lui 341 teorema lui 124, 125, 135, 346 Laplace, ecuaţiile lui 7, 9, 35, 49, 50 Laurent, serie 26, 28, 249 Lavrentiev M. A . 16, 338 Lebesgue H . 177 integrala 39, 105, 182 Lebesgue-Borel, teorema 36, 95, 110, 310 Lebesgue-Stieltjes, integrala 101 Lehto O. 86 Lindeber^ J. W . 168 Lindel5f E., principiul lui 84, 86, 89- 91, 100, 123, 124 Lindelof-Phragmen, principiul 43 teorema 144, 147, 149 linie poligonală 210 Liouville, teorema lui 38, 58, 60, 100, 119 169, 174 Ldwner, lema lui 155 Luzin N . N . 362, 363 Markuşevici A . A . 186, 229 măsura armonică (relativă) 137 — 143 a frontierei ideale 263, 268 a unui element frontieră 271, 278 absolută 156, 157 nulă, mulţimi de 157 — 166, 175-177 principiul 77, 151, 153 h 176. 182 hiperbolică 119, 121 principiul 122 124 A-dimensională 176, 183 logaritmică 176, 183 maximul modulului, principiul 144 maxim şi minim, principiul 17, 18, 43, 83, 114,261,277 extins 44, 151 generalizat 166, 286 metrică conformă 189, 197, 205 transportul ei pe supra faţa de acoperire 114, 313, 330, 348 normală 3 U
Mobius, banda lui 195 modul 272 monodromei, teorema 113, 114, Morse M . 338 Montei P. 22, 346 mulţime, lacunară 365 nulă 172 multiplicitatea insulei 332 multiplicitate simplă 332, 349 Myrberg P. J. 168, 261
373
122,
232
Natanson I. P. 105 Neumann, metoda lui 69 problema lui 16, 18, 19 Neumann-Dirichlet problema (mixtă) 16 Nevanlinna F. 137, 144 Nevanlinna R. 2 8 - 3 1 , 81, 86, 125, 137, 143, 144, 150, 153, 156, 174, 175, 177, 185, 190, 193, 195, 232, 233, 253, 261, 262, 280, 289, 297, 308, 331, 333, 344, 347, 350, 351, 357, 360, 365 fbrmula lui 27 formula de echilibru a lui 30 funcţiile m, N şi T 28, 30 352, 355 principiul lui 150, 151 teorema defectului 356, 357 teorema a doua fundamentală 333, 335, 351, 355 teorema Întîi fundamentală (de echilibru) 30, 332, 355, 358 valoare excepţională după 355, 356 Nicolescu M. 10 Noshiro K . 175 Obtsuka M. 175 orientabilitate 195 orientare indusă, coerentă, transmisă 195 Ostrowski A . 144 PainlevS P. 170, 173 parametru local 188 peninsulă 332 perimetrul unei componente frontieră 279 perioada 235, 294, 296 periodicitatea 234 Pfluger A . 186 Phragmen-Lindelof, principiul 43 teorema 144, 147, 149 Picard E. 9, 31, 36, 101, 242, 260, 347 teorema lui 90, 92, 126, 174, 345, 357, 358, 360 valori excepţionale 357 Pick G., lema lui (lema Schwarz-Pick) 89, 90,120, 121 planul proiectiv 195
374
INDICE ALFABETIC
Poincarg H . 111, 186 grupul fundamental al lui 112 metoda lui 69 metrica neeuclidiană a lui 119 PoincarS-Volterra, teorema 113 Poisson formula lui 23, 27 integrala lui 39, 42, 45 nucleul integralei 23, 41 Poisson-Jensen, formula 27 Pompeiu D . 170, 175 funcţiile lui 175 potenţial 227 de echilibru 101, 107 de strat dublu 56 logaritmic 54, 56, 60, 101, 103 newtonian 14 prelungire analitică 232 armonică 35, 47—49, 78, 232 Privalov I. I. 41, 175, 363 proiecţia unui punct 111, 196 Priifer, varietatea lui 194 punct de ramificaţie 204, 206, 257 ordinar 204 Rad6, T. 188, 193, 194 criteriu de triangulabilitate 194, 208 Radu N . 45 reprezentare canonică 214, 223, 242 reprezentare parametrică (distinsă) 188 retrosecţiune 241 reziduu 232, 250 teorema 232, 250 Riemann 16, 68—70, 186, 205 formula lui 218 integrala lui 139 relaţiile lui 250 sfera lui 54, 119, 129 teorema de reprezentare conformă 23, 99, 158 Riemann-Cauchy, ecuaţiile (relaţiile) 7,74.228, 246 teorema 5 1 - 5 3 , 168, 169 Ricmann-Hurwitz, formula 214 Robin, constanta lui 101, 108, 177, 182 — 184, 279 problema lui 101, 103 Rouch6, teorema lui 116 Sabat B . V . 16 saltul unei funcţii 234 Sario L . 174, 262, 271, 278, 279 Schottky, teorema lui 124, 126, 346 Schwarz H . 40, 41 inegalitatea lui 75 lema lui 84, 89, 155, 283 metoda alternată a lui 61, 114, 233, 234, 265, 291 Schwarz-Pick, lema 90, 12Q, 121 serii de funcţii armonice 35, 38, 59 Shah S. M. 362
Shimizu T. 352 singularitate aparentă 52 izolată 51, 59 logaritmicâ 54 şir de aproximare (exhaustiune) 95, 115, 263 determinant al unui element frontieră 219, 221 normal 222 minimizant 300 tinzînd către frontieră 87 Smirnov V . I. 13 Sommer F. 307 spaţiu de acoperire 196 spaţiu liniar al covarianţilor de speţa I 250, 297 topologic 113, 187 conex 113, 187 local euclidian 113, 187 separat 113, 187 Stieltjes, integrala 104, 105, 182, 352 Stieltjes-Lebesgue, integrala 101 Stoilow S. 7, 87, 88, 111, 114, 115, 187, 194-197, 202, 206-208, 210, 217, 218, 223, 225, 261, 298, 360, 365, 368 structura conformă 191 subtriangulare (subdiviziune) 193, 209 suprafaţă (topologică) 111, 187, 194 cu bază numerabilă 113 cu margini 211 de acoperire 111, 196, 197 neramificată 111, 114 universală 111-119 orientabilă 194, 195, 208, 209 riemaniană 186 abstractă 186-189, 193-195 a unei funcţii analitice 190, 197 caracterizare topologică 210 clasificarea conformă 261, 262 clasificarea topologică 210, 218 cu frontiera absolut discontinuă D , 262, 271, 280 nulă 0 261,264, 268, 270,280 -289,293 pozitivă 264 de acoperire 195, 196, 206-210 de clasă O^B* O^D» OEB* °HD 262, 286, 289 normal exhaustibilă 360, 361 de speţa I , I I 365 regulat exhaustibilă 335, 338, 342, 345 Taylor, serie 10, 26, 28, 32, 34, 149 teorema celor două constante 144, 146, 147, 150, 154 teorema de existenţă a unei funcţii 242, 245 255, 289, 290, 297, 298 teorema variaţiei argumentului 13, 53, 81 tipul unei suprafeţe riemanniene simplu coG
INDICE ALFABETIC
nexe 119, 365 unui element frontieră 277, 278, 280 problema 261, 262 topologic 187, 196 Tdki Y . 331 transformare, complet continuă 361 conformă 338 cvasiconformă (pseudoanalitică) 308, 336-342, 346, 350 interioară 87, 88, 111, 196, 197, 204, 209, 227, 307 lema I , I I 199, 201 teorema de inversiune locală 202 teorema de prelun gire 217 triangulabilitate 192 triangulare 113, 115, 192, 193 Tsuji M. 175, 340 Turnura Y . 175 Unicitatea problemei Dirichlet 18, 45 uniform convergenţă 35, 38, 76 uniformizator local 188 urma unui punct 111, 196 Vâlcovici V . 18 Valiron G. 346
375
valoare complet ramificată 346, 358, 359 deficientă 355-357 excepţională 31, 345, 355-357 lacunară 30, 346, 357, 359 limită 151 ordinară 356 varietate (topologică) 111, 113, 187 cu bază numerabilă 192 de acoperire 196 deschisă 194 închisă (compactă) 194 triangulabilă 114, 192. 193 Vasilesco FI. 45 vecinătate 113, 186 parametrică (distinsă) 188 relaţie de vecinătate 189 Volkovîski L . I. 262, 338, 341 Volterra-Poincare, teorema 113 Weierstrass 69 produse teorema teorema ţiale
307 despre serii 35 despre singularităţi esen 51, 93, 173
Weyl H . 186, 188, 195, 260, 297, 305Whyburn G. H . 361 Wiener N . 107 Wiman A . , teorema lui 361
CUPKINSUL Pag.
Prefaţă
5 CAPITOLUL I
Formule preliminare. Problema lui Dirichlet I. Definiţia funcţiilor armonice I I . Formulele lui Green. Problema lui Dirichlet I I I . Formula mediei a lui Gauss. Aplicaţii IV. Funcţia lui Green. Formula lui Poisson V. Formula lui R . Nevanlinna (Jensen-Poisson)
7 7 10 16 19 24
CAPITOLUL n Proprietăţi locale, ale funcţiilor armonice I. Dezvoltări în serie ale funcţiilor armonice II. Integrala lui Poisson I I I . Extinderea problemei lui Dirichlet şi a principiului maxi mului şi minimului IV. Prelungirea funcţiilor armonice V . Definiţia lărgită a armonicităţii V I . Singularităţi izolate ale unei funcţii armonice
32 32 39 42 47 49 51
CAPITOLUL in Problema lui Dirichlet pentru domenii multiplu conexe I. Metoda alternată a lui Schwarz II. Problema lui Dirichlet pentru domenii D multiplu conexe .
61 61 65
CAPITOLUI, IV Integrala lui Dirichlet şi principiul minimului
68
CAPITOLUL V Funcţia Iui Green. Principiul lui Lindeldf şi principiul măsurii hiperbolice I. Funcţia lui Green pentru domenii D mărginite de un număr finit de curbe jordaniene II. Principiul lui Lindeldf III. Aplicaţii ale principiului lui Lindeldf IV. Funcţia lui Green pentru domenii oarecare Cl V. Constanta lui Robin. Capacitatea unei mulţimi închise şi mărginite
77 77 83 90 95 100
378
CUPRINSUL
X ti-
V I . Suprafaţa de acoperire universală V I I . Măsura hiperbolică. Principiul măsurii hiperbolice V I I I . Aplicaţii ale principiului măsurii hiperbolice
. . . .
111 119 124
CAPITOLUL VI Măsura armonică I. Măsura armonică relativă I I . Teorema celor două constante. Aplicaţii I I I . Principiul lui R. Nevanlinna sau principiul măsurii armonice. Aplicaţii IV. Măsura armonică absolută V . Comportarea funcţiilor armonice sau analitice în vecinătatea mulţimilor de măsură armonică nulă V I . Proprietăţi metrice ale mulţimilor de măsură armonică nulă
137 137 144 150 156 166 176
CAPITOLUL V H
Suprafeţe riemanniene 1. Consideraţii topologice preliminare II. Suprafeţe riemanniene abstracte I I I . Suprafeţe triangulabile şi orientabile IV. Suprafeţe riemanniene de acoperire. Transformări interioare V. Clasificarea topologică a suprafeţelor riemanniene închise. Domenii poliedrice V I . Clasificarea topologică a suprafeţelor riemanniene deschise. Elemente frontieră. Domenii poliedrice de aproximare V I I . Funcţii analitice şi armonice pe suprafeţe riemanniene . .
186 186 188 192 195 210 218 226
CAPITOLUL Vm
Funcţii analitice pe suprafeţe riemanniene închise I. Propoziţii preliminare II. Funcţii armonice şi analitice pe suprafeţe abstracte compacte I I I . Funcţii algebrice şi integrale abeliene
234 234 riemanniene 239 255
CAPITOLUL rx Funcţii analitice pe suprafeţe riemanniene deschise I. Măsura armonică a frontierei ideale. Funcţia iui Green a unei suprafeţe riemanniene I I . Proprietăţi ale funcţiilor analitice şi armonice şi ale dife renţialelor lor pe o suprafaţă riemanniană R cu frontiera nulă I I I . Funcţii armonice cu singularităţi date pe suprafeţe rieman niene cu frontiera nulă IV. Diferenţiale şi integrale abeliene pe suprafeţe riemanniene cu frontiera nulă V . Funcţia analitică corespunzătoare unei suprafeţe rieman niene date
261 263
280 289 293 297
CAPITOLUL X
Suprafeţe riemanniene regulat exhaustibile şi normal exhaustibile I. Teoria suprafeţelor de acoperire după L . Ahlfors I I . Suprafeţe riemanniene regulat exhaustibile I I I . Suprafeţe riemanniene normal exhaustibile Indice alfabetic
. . . .
308 308 335 360 371
Redactor de carte: Jana Păcurariu Tehnoredactor: Alexandru Ioana Dat la ulee i7.oe.i968. Bun de tipar BS.u.i958. Tiraj **** ex. HîrUe velină 80 ojm*. Format iel70xioo. Goli editoriale 25.3. Coli de Upar « J / * Â. 06639)1958. Indicele de clasificare pentru bibliotecile mari 5 1 7 . 6 8 ( 0 2 1 ) - 5 0 . Indicele de clasificare pentru bibliotecile mici 617.5 8
Tiparul executat sub comanda nr. 1248 la Intepr. poligrafică nr. 8, B-dul 6 martie nr. 29, Bucureşti, R.PJL
