Topografia

FRANCESCO RESTA

LEZIONI DI TOPOGRAFIA

Anno Accademico 1998/99

PREFAZIONE

SOMMARIO PARTE I: ELEMENTI DI GEODESIA

CAPITOLO 1: GENERALITA' E DEFINIZIONI–ELEMENTI DI GEODESIA OPERATIVA

1. Problemi della Topografia..................................................................................... 3 1.1. Definizione della Topografia............................................................................. 3 1.2. Procedimento teorico per rappresentare il terreno........................................... 3 1.3. Procedimento pratico ........................................................................................ 4 2. Definizione della superficie di riferimento........................................................... 5 2.1. Equazione del geoide......................................................................................... 5 2.2. Ellissoide di rotazione ....................................................................................... 7 3. L'ellissoide terrestre............................................................................................... 8 3.1. Dimensioni dell'ellissoide .................................................................................. 8 3.2. Coordinate curvilinee sull’ellissoide................................................................. 8 3.3. Sezioni normali e raggi di curvatura............................................................... 11 4. Definizioni e misure di angoli e distanze ............................................................ 12 4.1. Generalità ........................................................................................................ 12 4.2. Definizione di distanza .................................................................................... 12 4.3. Definizione di angolo....................................................................................... 12 4.4. Un teorema sulle geodetiche ........................................................................... 12 4.5. Misure effettuabili sul terreno ......................................................................... 13 4.6. Differenze fra misure sull’ellissoide e misure sul geoide ................................ 14 4.7. Teoremi della geodesia operativa ................................................................... 14 5. Campo geodetico e campo topografico............................................................... 15 5.1. Considerazioni generali................................................................................... 15

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5.2. Campo geodetico o di Weingarten................................................................... 16 5.3. Campo topografico .......................................................................................... 17 5.4. Risoluzione di triangoli sferici. Teorema di Legendre .................................... 18

CAPITOLO 2: DETERMINAZIONE DELLE COORDINATE DI PUNTI SULLA SUPERFICIE DI RIFERIMENTO

1. Coordinate geodetiche polari e rettangolari ...................................................... 21 1.1. Coordinate geodetiche polari .......................................................................... 21 1.2. Coordinate geodetiche rettangolari................................................................. 21 1.3. Passaggio da coordinate geodetiche rettangolari a polari e viceversa .......... 21 2. Determinazione delle coordinate geografiche ellissoidiche .............................. 22 2.1. Generalità ........................................................................................................ 22 2.2. Trasporto delle coordinate geografiche: problema diretto ............................. 23 2.3. Trasporto delle coordinate geografiche: problema inverso............................ 24 3. Coordinate astronomiche e loro determinazione .............................................. 24 3.1. Generalità ........................................................................................................ 24 3.2. Sfera celeste ..................................................................................................... 25 3.3. Sistemi di riferimento....................................................................................... 26 3.3.1. Coordinate equatoriali .............................................................................. 26 3.3.2. Coordinate ecclittiche................................................................................ 27 3.3.3. Coordinate equatoriali locali .................................................................... 27 3.3.4. Coordinate altazimutali............................................................................. 27 3.3.5. Coordinate geografiche astronomiche ...................................................... 28 3.4. Tempo sidereo, tempo solare ........................................................................... 28

PARTE II: ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

CAPITOLO 1: GENERALITA' E DEFINIZIONI – ELEMENTI DI TEORIA DELLE CARTE

1. Rappresentazione dell'ellissoide sul piano ......................................................... 33 1.1. Generalità ........................................................................................................ 33 1.2. Modulo di deformazione lineare...................................................................... 34 1.3. Modulo di deformazione areale ....................................................................... 34 1.4. Modulo di deformazione angolare................................................................... 35 1.5. I diversi tipi di rappresentazioni...................................................................... 35 1.6. Definizione analitica di una rappresentazione ................................................ 36 2. I sistemi di proiezione cartografica..................................................................... 36 VI

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2.1. Generalità ........................................................................................................ 36 2.2. Proiezioni prospettiche pure............................................................................ 37 2.3. Proiezioni cilindriche pure .............................................................................. 38 2.4. Proiezioni coniche pure................................................................................... 40 2.5. Proiezioni geometriche modificate .................................................................. 41 3. I sistemi di rappresentazione cartografica......................................................... 41 3.1. Generalità ........................................................................................................ 41 3.2. Equazioni differenziali delle rappresentazioni................................................ 41 3.3. La rappresentazione conforme di Gauss ......................................................... 42 4. Nozioni di base sulle carte ................................................................................... 43 4.1. Generalità ........................................................................................................ 43 4.2. L'allestimento delle carte................................................................................. 43 4.3. Denominazione delle carte .............................................................................. 44 4.4. Carte regolari. Precisione di una carta. Errore di graficismo. ...................... 44 4.5. Carte praticamente equidistanti ...................................................................... 45 4.6. L'aggiornamento delle carte............................................................................ 46 4.7. Il taglio delle carte........................................................................................... 46 5. I sistemi cartografici più noti .............................................................................. 47 5.1. Carta di Mercatore .......................................................................................... 47 5.2. Proiezione stereografica polare ...................................................................... 48 5.3. Proiezione conica conforme di Lambert.......................................................... 49

CAPITOLO 2: LA CARTOGRAFIA UFFICIALE DELLO STATO ITALIANO LA CARTOGRAFIA CATASTALE

1. La cartografia ufficiale dello Stato Italiano....................................................... 51 1.1. Proiezione di Sanson-Flamsteed. La prima cartografia ................................. 51 1.2. La cartografia universale UTM e UPS............................................................ 53 1.3. La nuova cartografia italiana.......................................................................... 57 1.4. Orientamento dell'ellissoide ............................................................................ 59 1.5. Esempi di tavolette........................................................................................... 59 1.6. La rappresentazione dell'altimetria................................................................. 65 1.7. La convergenza e la declinazione magnetica .................................................. 65 1.8. L'ultima cartografia prodotta dall'IGMI ......................................................... 67 2. La cartografia del Catasto Italiano .................................................................... 71 3. La Carta Tecnica della Regione Sardegna (C.T.R.) ......................................... 73 VII

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PARTE III: TEORIA DEGLI ERRORI

CAPITOLO 1: ELEMENTI DELLA TEORIA DELLE PROBABILTA’ 1. Eventi aleatori e loro probabilità matematica................................................... 81 2. Probabilità e frequenza. Legge empirica del caso............................................. 82 3. Postulati fondamentali del calcolo delle probabilità ......................................... 84 4. Il problema delle prove ripetute ......................................................................... 86 4.1. La probabilità nell'esperienza delle prove ripetute ......................................... 86 4.2. La probabilità normale .................................................................................... 87 4.3. Il diagramma delle probabilità nel problema delle prove ripetute. ................ 88 4.4. La probabilità dello scarto .............................................................................. 89 5. La funzione θ(γ) .................................................................................................... 90 6. Formula semplificata della probabilità degli scarti .......................................... 90

CAPITOLO 2: MISURE DIRETTE ED INDIRETTE 1. Misura diretta di una grandezza......................................................................... 93 1.1. Definizione ....................................................................................................... 93 1.2. Classificazione degli errori.............................................................................. 93 1.3. Legge sulla distribuzione degli errori.............................................................. 94 1.4. Il principio dei minimi quadrati....................................................................... 95 1.5. Errore quadratico medio ................................................................................. 96 1.6. Errore temibile................................................................................................. 97 1.7. Errore quadratico medio della media.............................................................. 97 1.8. Calcolo dello scarto quadratico medio tramite gli scarti................................ 97 1.9. Applicazione dei concetti esposti ad un caso concreto.................................... 99 2. Misura indiretta di una grandezza ................................................................... 100

PARTE IV: STRUMENTI ED OPERAZIONI DI MISURA

CAPITOLO 1: STRUMENTI E OPERAZIONI DI MISURA DEGLI ANGOLI AZIMUTALI E ZENITALI

1. Premesse sulle misure angolari ......................................................................... 103 1.1. Misura analitica di un angolo........................................................................ 103 1.2. Misure geometriche di un angolo .................................................................. 104 VIII

Sommario

2. Generalità sul teodolite ...................................................................................... 106 3. Il cannocchiale .................................................................................................... 108 4. Mezzi di lettura ai cerchi ................................................................................... 111 4.1. Generalità ...................................................................................................... 111 4.2. Errore di eccentricità .................................................................................... 111 4.3. Sistemi di misura non micrometrici............................................................... 113 4.4. Sistemi di lettura micrometrici ...................................................................... 115 5. Strumenti per la determinazione di rette verticali e di rette e piani orizzontali. .................................................................................................................................. 118 5.1. Filo a piombo................................................................................................. 118 5.2. Le livelle......................................................................................................... 118 5.2.1. Livella torica ........................................................................................... 118 5.2.1.1. Livella per rendere assi o piani orizzontali ....................................... 119 5.2.1.2. Livella per rendere verticale un’asse ................................................ 121 5.2.2. Livella a coincidenza............................................................................... 123 5.2.3. Livella sferica .......................................................................................... 124 5.3. Messa in stazione........................................................................................... 124 6. Errori sistematici del teodolite.......................................................................... 127 6.1. Generalità sugli errori di rettifica................................................................. 127 6.2. Errore di verticalità....................................................................................... 127 6.3. Errore di inclinazione.................................................................................... 128 6.4. Errore di collimazione................................................................................... 128 6.5. Indipendenza dei residui di rettifica .............................................................. 129 7. Verifica e rettifica del teodolite......................................................................... 130 7.1. Asse di collimazione ...................................................................................... 130 7.2. Asse di rotazione del cannocchiale................................................................ 131 7.3. Un metodo empirico per la verifica delle condizioni di rettifica................... 132 7.4. Asse principale del teodolite.......................................................................... 132 8. Misura degli angoli azimutali............................................................................ 132 8.1. Regola di Bessel............................................................................................. 132 8.2. Errori delle graduazioni dei cerchi ............................................................... 133 8.3. Metodo della reiterazione.............................................................................. 134 8.4. Metodo della ripetizione ................................................................................ 134 8.5. Misura simultanea di più angoli da una stazione.......................................... 137 8.5.1. Generalità su direzioni ed angoli osservati ............................................ 137

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8.5.2. Misura di più angoli tramite il metodo ad angoli semplici a giro d'orizzonte.......................................................................................................... 138 8.5.3. Misura di più angoli tramite il metodo a strati ....................................... 139 8.5.4. Misura di più angoli tramite il metodo della direzione isolata............... 139 9. Misura degli angoli zenitali ............................................................................... 140 9.1. Generalità ...................................................................................................... 140 9.2. Determinazione di una distanza zenitale ....................................................... 140 9.3. Zenit strumentale (Errore d'indice) ............................................................... 141 9.4. Influenza degli errori residui di rettifica e di verticalità............................... 142 9.5. Indice zenitale automatico ............................................................................. 144 10. Esempi di Teodoliti........................................................................................... 145 11. Goniometri speciali .......................................................................................... 151 12. Segnalizzazioni dei punti sul terreno, collimatori. ........................................ 152 12.1. Segnalizzazioni permanenti ......................................................................... 152 12.2. Segnalizzazioni temporanee......................................................................... 155

CAPITOLO 2: STRUMENTI E OPERAZIONI DI MISURA DELLE DISTANZE 1. Generalità sulle misure di distanze................................................................... 157 1.1. Distanza topografica...................................................................................... 157 1.2. Allineamenti ................................................................................................... 157 1.3. Riduzione della distanza alla superficie di riferimento ................................. 158 1.4. Classificazione delle misure di distanze ........................................................ 159 2. Misura diretta delle distanze............................................................................. 159 3. Misura indiretta delle distanze.......................................................................... 160 3.1. La lettura alla stadia...................................................................................... 163 4. Misura mediante onde (Distanziometri) .......................................................... 164 4.1. Richiami sulla teoria delle onde .................................................................... 164 4.2. Equazione caratteristica del distanziometro ................................................ 165 4.3. Precisione dei distanziometri......................................................................... 167 4.4. Determinazione del numero intero n di mezze lunghezze d’onda.................. 168 4.5. Caratteristiche delle onde.............................................................................. 169 4.6. Caratteristiche dei riflettori........................................................................... 170 4.7. Alcuni esempi di distanziometri ..................................................................... 171 4.7.1. Distanziometri a differenza di fase.......................................................... 171 4.7.2. Distanziometri ad impulsi........................................................................ 171 4.7.3. Un piccolo distanziometro tascabile ....................................................... 174 X

Sommario

CAPITOLO 3: STRUMENTI ED OPERAZIONI DI MISURA DEI DISLIVELLI 1. Generalità e definizioni...................................................................................... 175 1.1. Definizione di quota....................................................................................... 175 1.2. Quota dinamica ............................................................................................. 176 1.3. Metodi di misura dei dislivelli ....................................................................... 177 2. Misure dirette di dislivelli.................................................................................. 177 2.1. Generalità ...................................................................................................... 177 2.2. Principio della livellazione geometrica......................................................... 178 3. Il livello................................................................................................................ 179 3.1. Il livello con vite di elevazione ...................................................................... 179 3.2. Caratteristiche del livello .............................................................................. 180 3.3. Esecuzione di una battuta di livellazione ...................................................... 181 3.4. Precisione di una battuta di livellazione ....................................................... 182 3.5. Accessori per aumentare la precisione.......................................................... 182 3.6. Verifica e rettifica di un livello...................................................................... 185 3.7. Esecuzione di una linea di livellazione.......................................................... 186 3.8. Precisione di una linea di livellazione........................................................... 187 3.9. Il mareografo ................................................................................................. 188 3.10. Autolivelli..................................................................................................... 188 3.11. Il livello digitale........................................................................................... 189 3.12. La rete altimetrica di Stato .......................................................................... 189 3.13. Esempi di livelli ........................................................................................... 191

PARTE V: RILIEVI TOPOGRAFICI

CAPITOLO 1: DETERMINAZIONI PLANIMETRICHE 1. Generalità e definizioni sulle operazioni topografiche ................................... 197 1.1. Punti di inquadramento e di dettaglio ........................................................... 197 1.2. Angolo di direzione e distanza....................................................................... 197 1.3. Trasporto di un angolo di direzione .............................................................. 199 1.4. Irradiamento .................................................................................................. 199 1.5. Poligonali non controllate............................................................................. 201 1.6. Poligonale controllata ................................................................................... 202

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Sommario

1.7. Poligonale chiusa........................................................................................... 205 1.8. Intersezione in avanti..................................................................................... 206 1.9. Intersezione multipla...................................................................................... 207 1.10. Intersezione inversa ..................................................................................... 208 1.11. Triangolazione ............................................................................................. 210 1.12. Reti geodetiche rilevate mediante tirangolazione........................................ 211 1.13. Dimensionamento della rete. Base misurata e base calcolata .................... 212 1.14. Le stazioni astronomiche ............................................................................. 213 1.15. La rete del primo ordine della Sardegna..................................................... 213

CAPITOLO 2: DETERMINAZIONI ALTIMETRICHE 1. Generalità sulle operazioni altimetriche .......................................................... 215 1.1. Livellazione trigonometrica con osservazioni simultanee e reciproche........ 215 1.2. Livellazione trigonometrica da un estremo ................................................... 217 1.3. Influenza della rifrazione atmosferica ........................................................... 217 1.4. Determinazione del coefficiente di rifrazione................................................ 219 1.5. Precisione della livellazione trigonometrica ................................................. 219

CAPITOLO 3: RILIEVO DI DETTAGLIO 1. Generalità sul rilievo di dettaglio...................................................................... 221 1.1. La fotogrammetria ......................................................................................... 221 1.2. La celerimensura ........................................................................................... 222

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PARTE I ELEMENTI DI GEODESIA

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Parte I – Capitolo 1

CAPITOLO 1 GENERALITA' E DEFINIZIONI – ELEMENTI DI GEODESIA OPERATIVA

1. Problemi della Topografia 1.1. Definizione della Topografia La complessa attività dell’uomo sulla Terra richiede un documento che permetta di conoscere in modo sintetico e metricamente valido la superficie fisica su cui egli vive ed opera. Questo documento nella maggior parte dei casi è una carta ad una scala conveniente anche se oggi si tende spesso a rappresentare il terreno per via puramente numerica ottenendo il cosiddetto terreno digitale. La Topografia, traendo le basi scientifiche da varie discipline, definisce un complesso di tecniche di misura, di calcolo e di disegno che permette di definire metricamente e di rappresentare il terreno in maniera conveniente ai vari scopi. 1.2. Procedimento teorico per rappresentare il terreno Difficoltà: - la superficie fisica del terreno ha una forma molto irregolare; - la superficie su cui sarebbe naturale rappresentare il terreno non è piana; - dimensioni eccedenti quelle dell’uomo. La superficie su cui rappresentare il terreno dovrebbe essere il geoide, superficie normale in ogni punto della terra alla verticale (filo a piombo), materializzabile con la superficie dei mari idealmente prolungata sotto le terre emerse. Il procedimento si può, schematicamente, indicare col seguente percorso (Fig. 1): a) individuazione del terreno con un numero discreto di punti, funzione ovviamente della scala della carta: più grande è la scala della carta (1:500, 1:1000, 1:2000) maggiore è il numero di punti; b) proiezione dei punti sul geoide secondo la verticale e determinazione della quota ortometrica di ciascuno (la quota ortometrica è la distanza tra il punto 1998/99 F.Resta

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Parte I – Capitolo 1

c) d)

e)

f)

sulla superficie terrestre e la sua proiezione sul geoide presa lungo la verticale); misurazione sul geoide di angoli e distanze per definire la posizione relativa di ciascun punto. Trattandosi di superficie curva è necessario definire sia gli angoli che le distanze; determinazione, sulla base delle misure fatte, della posizione dei punti e ciò mediante coordinate curvilinee (u, v). A tal scopo è necessario definire l’equazione del geoide, un sistema di coordinate curvilinee ed eseguire i dovuti calcoli sulle misure per ricavare le coordinate di ciascun punto; costruzione, in scala opportuna, della porzione di geoide interessata al rilievo, riporto su di essa del sistema di coordinate curvilinee e quindi di tutti i punti rilevati tramite le relative coordinate. A questo punto, congiungendo opportunamente con linee i punti proiettati, si possono evidenziare tutte le particolarità del terreno. Per evidenziare l’andamento altimetrico, a fianco di ciascun punto si riporta la sua quota: punti di eguale quota uniti danno luogo alle curve di livello; un esempio di ciò è il mappamondo; se però si vuole un supporto piano si deve ricorrere ad una rappresentazione cartografica. Per far ciò si deve stabilire una corrispondenza biunivoca tra le coordinate curvilinee u e v e le coordinate cartesiane del piano x ed y: x = f (u,v ) (1) y = g (u,v ) che si definiscono equazioni della carta. Poiché il geoide non è una superficie sviluppabile sul piano la rappresentazione piana che si ottiene sarà deformata.

Fig. 1

1.3. Procedimento pratico I punti b) e c) non possono, in pratica, essere effettuati in quanto noi eseguiamo le misure sul terreno; la difficoltà si supera perché, lo dimostreremo, i metodi di mi4

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Parte I – Capitolo 1

sura di angoli e distanze che usiamo forniscono gli stessi angoli e distanze che si sarebbero misurati sul geoide. Anche le quote non possono essere misurate: noi misuriamo solo dislivelli per cui basterà collegarsi ad un punto situato sul geoide per avere le quote di tutti i punti misurati. Ciò detto per risolvere i problemi detti occorre: 1) definire l’equazione del geoide; 2) definire il sistema di coordinate curvilinee; 3) definire la natura degli angoli e delle distanze da misurare; 4) definire i calcoli che permettono di ricavare le coordinate dalle misure; 5) specificare le equazioni della carta. Difficoltà enormi: per fortuna esistono delle semplificazioni che possono sintetizzarsi in: a) per piccoli intorni la superficie del geoide può considerarsi piana; b) per intorni di qualche centinaio di chilometri può considerarsi sferica; c) differenziazione tra punti di inquadramento e punti di dettaglio. I punti di inquadramento vengono effettuati con operazioni geodetiche e sono distribuiti sul territorio a distanze di tre-quattro chilometri. I punti di dettaglio si appoggiano a questi e sia per le misure che per i calcoli possono intendersi come effettuati sul piano. Tutto ciò vale solo per la planimetria non per le quote che debbono sempre essere riferite al geoide. 2. Definizione della superficie di riferimento 2.1. Equazione del geoide Il campo di forza della gravità è un campo conservativo, ammette cioè potenziale. Nel campo si individuano le linee di forza, tangenti in ogni punto alla direzione della forza; nella fattispecie queste linee sono curve gobbe e prendono il nome di verticale (la direzione della gravità in un punto è tangente cioè alla linea verticale che vi passa). Punti di eguale potenziale definiscono una superficie equipotenziale che ha la caratteristica di essere normale alle linee di forza del campo. Nel campo della gravità esistono infinite superfici equipotenziali: una di queste, cioè quella passante per un punto di posizione planimetrica nota posto sul livello medio del mare, dicesi geoide. Tutti i punti situati sul geoide avranno, ovviamente, quota nulla. Si riferisca il corpo terrestre ad un sistema di coordinate cartesiane OXYZ avente l’origine O nel baricentro della Terra, l’asse Z coincidente con l’asse di rotazione e gli assi X ed Y coincidenti con gli assi principali d’inerzia (Fig. 2). Il vettore gravità g in un punto generico P è funzione della posizione del punto, cioè g = g ( X ,Y , Z ) e si può considerare, fondamentalmente, composto da due forze:

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a) la forza f di attrazione newtoniana che ogni elemento della massa della Terra esercita sulla massa unitaria posta in P; b) la forza centrifuga sull’unità di massa dovuta alla rotazione della Terra intorno all’asse Z (con velocità angolare ω pari a 7,29x10-5 rad/sec) c = ω 2r con r = X 2 +Y 2 Il potenziale in un punto è funzione della posizione del punto W = W ( X ,Y , Z ) per la quale si verifica che ∂W ∂W ∂W = gX = gY = gZ ∂X ∂Y ∂Z che sinteticamente si possono esprimere con la notazione g = gradW ovvero: le derivate parziali del potenziale danno le componenti della gravità secondo i tre assi.

Fig. 2 Ricordiamo che in generale indicando con dP uno spostamento infinitesimo si ha:

dW = g × dP cioè la derivata del potenziale secondo la direzione dP dà la componente del vettore gravità in quella direzione; in particolare se la direzione individuata da dP è tangente alla superficie equipotenziale passante per P risulta ovviamente dW = 0 cioè g × dP = 0 da cui si deduce l’ortogonalità di g rispetto alla superficie equipotenziale. Ciò detto il potenziale W è la somma del potenziale V relativo alla forza di attrazione newtoniana e del potenziale ν relativo alla forza centrifuga. Il potenziale ν è di immediata deduzione 1 1 ν ( X ,Y ) = ω 2 r 2 = ω 2 ( X 2 + Y 2 ) 2 2

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Parte I – Capitolo 1

Per il potenziale V si consideri (Fig. 2) un elemento della Terra di massa dm posto nel punto Q di coordinate generiche a,b,c; se δ(a,b,c) è la densità in tale punto si ha dm = δ ( a ,b ,c ) da db dc Questo elemento determina sulla massa unitaria posta in P una forza di attrazione di modulo dm dm dF = G =G 2 ( l = PQ ) 2 2 2 ( X − a ) +(Y − b ) +( Z − c ) l e diretta da P verso Q (G costante di attrazione universale). Il potenziale dV dovuto a tale massa dm vale G δ ( a ,b ,c ) da db dc G dm dV = = 2 2 2 l ( X − a ) +(Y − b ) +( Z − c ) ed il potenziale dovuto a tutte le masse della Terra dm V ( X ,Y , Z ) = G ∫∫∫ (2) l ove l’integrale è esteso a tutto il volume della Terra. Il geoide ha quindi equazione (3) V ( X ,Y , Z ) + ν ( X ,Y ) = cos t Per rendere esplicita tale equazione sarebbe necessario eseguire l’integrale triplo della (2) che esprime il potenziale della forza di attrazione newtoniana; per far ciò occorrerebbe conoscere la densità della Terra in ogni suo punto, cioè la funzione δ(a,b,c). Tale conoscenza è piuttosto vaga: se ne conoscono solo valori approssimati e globali; si sa infatti che la densità media è di 5,52 gr/cm3 e che nello strato superficiale della Terra è di 2,67 gr/cm3. Per tale motivo diviene impossibile determinare rigorosamente l’equazione del geoide. 2.2. Ellissoide di rotazione Nella impossibilità di scrivere l’equazione del geoide gli studi dei geodeti si sono rivolti alla determinazione di una superficie che meglio approssimasse la forma della Terra e fosse matematicamente gestibile per gli usi geodetici.

Fig. 3 1998/99 F.Resta

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Parte I – Capitolo 1

Si è giunti così alla definizione di un ellissoide di rotazione (Fig. 3) di semiassi equatoriale a e polare c di equazione X 2 +Y 2 Z 2 + 2 =1 (4) a2 c Di esso si definiscono le due grandezze caratteristiche: lo schiacciamento a−c c α= = 1− (5) a a e l’eccentricità a2 − c2 c2 e2 = = 1 − (6) a2 a2 3. L'ellissoide terrestre 3.1. Dimensioni dell'ellissoide Diversi geodeti hanno lavorato per determinare i parametri che più si addicessero all’ellissoide da assumere come riferimento; se ne citano alcuni che hanno preso il nome dai geodeti che li hanno calcolati: Bessel (1841) Clarke (1880) Helmert (1906) Hayford (1909) Krassovsky (1942) WGS84

a = 6.377.397m a = 6.378.243m a = 6.378.140m a = 6.378.388m a = 6.378.425m a = 6.378.137m

α = 1/299,2 α = 1/293,5 α = 1/298,3 α = 1/297,0 α = 1/298,3 α = 1/298,257

Al Congresso della Unione Geodetica e Geofisica Internazionale (UGGI), tenuto a Madrid nel 1924, si è stabilito di assumere come ellissoide internazionale di riferimento quello proposto da Hayford che pertanto si caratterizza con i seguenti parametri a = 6.378.388 α = 1/297,0 Al Congresso dell’UGGI di Mosca nel 1971 è stato consigliato di adottare nuovi parametri per l’ellissoide e precisamente a = 6.378.140 α = 1/298,257 3.2. Coordinate curvilinee sull’ellissoide In generale per individuare un sistema di coordinate curvilinee su una superficie di equazione f ( X ,Y , Z ) = 0 (7) occorre scegliere due parametri u e v e determinare le equazioni parametriche della superficie X = X (u ,v ) Y = Y (u ,v ) (8) Z = Z (u ,v )

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Parte I – Capitolo 1

Dando un valore costante uo al parametro u e facendo variare l'altro parametro si determina sulla superficie una linea individuata dalle equazioni X = X (u o , v ) Y = Y (u o , v )

(9)

Z = Z (u o , v ) Dando ad uo valori diversi si individua una famiglia di curve. Ripetendo lo stesso procedimento con il parametro v si ottiene un'altra famiglia di curve. Le due famiglie di curve individuano sulla superficie un sistema di coordinate analogo al sistema formato sul piano dalle rette x = cost. ed y = cost.. Conviene scegliere i parametri u e v in modo tale che le linee coordinate u = cost e v = cost siano ortogonali, si incontrino cioè sulla superficie formando un angolo retto. Vediamo come si può specificare questo procedimento per l'ellissoide di rotazione. Ricordiamo dalla geometria analitica che in un ellissoide di rotazione i piani contenenti l’asse Z sono detti piani meridiani; tali piani intersecano l’ellissoide secondo ellissi, dette meridiani, tutte uguali e di equazione (Fig. 4) r2 z2 + =1 (10) a2 c2 La (10) si ottiene dalla (4) ricordando che in ogni punto della superficie ellissoidica vale la relazione 2 2 2 X +Y =r . Ricordiamo ancora che le intersezioni dell’ellissoide con piani normali all’asse Z sono circonferenze, dette paralleli, di raggio nullo ai poli e pari al semiasse maggiore a sul piano equatoriale (contenente il centro dell’ellissoide); questo parallelo di raggio massimo si dice equatore. Ciò detto possiamo definire due angoli caratteristici di un punto P dell’ellissoide, e precisamente (Fig. 5): - l'angolo ϕe, che è l’angolo acuto che la normale n all’ellissoide nel punto P forma con il piano equatoriale (Fig. 4); Fig. 4 l'angolo λe, che è l’angolo minore di 180° che il semipiano meridiano passante per P forma con un semipiano origine. In funzione di ϕe e λe, con opportuni calcoli, si possono determinare le equazioni parametriche dell'ellissoide:

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a cos ϕ e cos λe W a cos ϕ e sen λe Y= W a 1 − e 2 sen ϕ e Z= W X=

(

(11)

)

avendo posto W = 1 − e 2 sen 2 ϕ e I due angoli ϕe e λe possono pertanto essere presi come coordinate di un punto P sulla superficie ellissoidica (Fig. 5) e si indicano col nome generico di coordinate geografiche ellisoidiche e col nome specifico di - latitudine ellissoidica ϕe : si specifica in latitudine nord e latitudine sud a seconda che il punto giaccia nell’emisfero boreale o australe; - longitudine ellissoidica λe, che è l’angolo minore di 180° che il semipiano meridiano passante per P forma con un seFig. 5 mipiano origine, assunto come il semipiano passante per la planimetria sull’ellissoide di un punto G (osservatorio di Greenwich) della superficie terrestre: si specifica in longitudine est o longitudine ovest a seconda che il punto sia ad est o a ovest del meridiano di Greenwich. Alle linee λe = cost. corrispondono i meridiani, luogo dei punti che hanno la stessa longitudine; alle linee ϕe = cost. corrispondono i paralleli, luogo dei punti che hanno la stessa latitudine. Queste due famiglie di curve sono tra di loro ortogonali. E’ importante osservare che i parametri ϕe e λe individuano sia la direzione di una normale all’ellissoide che la posizione del punto per cui passa (coordinate curvilinee). Se misurassimo direttamente i valori di ϕe e λe per tutti i punti della superficie terrestre da rilevare avremmo con un solo atto realizzato tutte le operazioni descritte nei punti a), b), c) e d) del par. 1.2.. Queste misure in effetti si possono eseguire con stazioni astronomiche, come si vedrà in seguito, ma richiederebbero complesse apparecchiature e lunghe e raffinate osservazioni per ottenere la precisione necessaria per cui si ritengono inapplicabili allo scopo.

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3.3. Sezioni normali e raggi di curvatura Si consideri un punto P sull’ellissoide e la sua normale n; tutti i piani passanti per n, aventi cioè n come costola, intersecano l’ellissoide secondo linee piane dette sezioni normali che hanno raggi di curvatura diversi. Si dimostra che tali raggi variano con continuità da un minino ρ (curvatura 1/ρ massima) ad un massimo N (curvatura 1/N minima) detto gran normale; le sezioni normali che hanno detti raggi, dette sezioni normali principali, sono fra di loro ortogoFig. 6 nali ed i loro raggi sono detti raggi principali di curvatura. Sull’ellissoide il raggio di curvatura minimo ρ si verifica sul meridiano passante per P; per conseguenza il raggio di curvatura massimo N si verifica sulla sezione normale perpendicolare al meridiano che si indica come primo verticale (N è uguale al segmento della normale n compreso tra il punto P e l’intersezione Q con l’asse di rotazione Z) (Fig. 6). Non si confonda il primo verticale con il parallelo il cui piano è parallelo all'equatore ed il cui raggio vale p = Ncosϕe . Il raggio di curvatura di una sezione normale che forma un angolo α (azimut) con il meridiano è dato dalla formula di Eulero in funzione di ρ ed N 1 cos 2 α sen 2 α = + Rα ρ N I valori di ρ ed N sono dati, per conseguenza, dalla seguenti espressioni: a( 1 − e 2 ) a ρ= N= 3 W W avendo, come al solito, posto W = 1 − e 2 sen 2 ϕ e Si definisce infine raggio medio di curvatura dell’ellissoide in un punto P la media geometrica dei raggi minimo e massimo R = ρN (12) R può considerarsi come il raggio di una sfera che oscula l’ellissoide nel punto P e che viene detta sfera locale.

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4. Definizioni e misure di angoli e distanze 4.1. Generalità Al punto c) del par. 1.2. abbiamo visto che, dopo aver proiettato i punti sulla superficie di riferimento, è necessario poter misurare angoli e distanze fra i punti in modo da poterne determinare la posizione reciproca. Diviene quindi fondamentale definire gli angoli e le distanze che poi potremo realmente misure. 4.2. Definizione di distanza E’ noto che fra due punti di una superficie curva possono essere tracciate varie linee di natura geometrica diversa. Se la linea che a noi interessa deve rappresentare la distanza tra i due punti, valutata ovviamente sulla superficie, è chiaro che tra tutte le linee deve essere scelta quella che abbia minor lunghezza: tale linea, nota in geometria, è la geodetica. Essa si definisce come quella linea sulla superficie che gode della proprietà di avere la normale in ogni suo punto coincidente con la normale alla superficie. Per meglio chiarire quanto detto si tenga presente che, secondo la definizione data, le rette sono le geodetiche del piano (qualsiasi altra curva del piano ha la normale giacente sul piano stesso) e che sulla sfera gli archi di geodetica sono archi di cerchio massimo. Dal punto di vista della loro misura le geodetiche presentano però il difetto di essere curve gobbe, non sono cioè contenute in un piano; tale particolarità che ne rende difficile la loro determinazione metrica, non fosse altro che per la difficoltà di individuarle, viene però facilmente superata come vedremo in seguito. 4.3. Definizione di angolo Per ovvia estensione dei concetti già noti sul piano se per un punto P si considerano uscenti due geodetiche definiremo angolo tra le stesse l’angolo formato dalle tangenti in P alle due linee. 4.4. Un teorema sulle geodetiche Si consideri un triangolo infinitesimo sull’ellissoide (Fig. 7), che si può considerare piano in quanto infinitesimo, dove si è indicato con α l’angolo formato nel punto P, di coordinate X, Y e Z, fra la tangente alla geodetica e la tangente al meridiano (r è il raggio del parallelo e ρ il raggio del meridiano). Tale angolo viene definito come azimut della geodetica, è computato a partire dal meridiano in senso orario e può assumere valori compresi tra 0 12

Fig. 7

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e 2π. Ciò posto si richiama il teorema di Clairaut espresso dalla formula r senα = cos t e dall’enunciato: sulle superfici di rotazione è costante per ogni punto della geodetica il prodotto del raggio del parallelo per il seno dell’azimut della geodetica. Tale teorema è molto importante in quanto ci permette di definire con semplicità le linee geodetiche di una superficie di rotazione e di individuarne il percorso. Per es. una geodetica che esce da P con un angolo di 50° avrà il suo azimut sempre crescente mano a mano che si allontana da P in quanto il raggio del parallelo andrà diminuendo. 4.5. Misure effettuabili sul terreno a) Distanza tra due punti Se consideriamo due punti A e B sulla superficie terrestre gli strumenti ed i metodi di misura utilizzati permettono di misurare la lunghezza l dell’arco di sezione normale che congiunge le proiezioni Ao e Bo; in effetti le sezioni normali che congiungono questi due punti sono due: una quella che contiene la verticale per Ao ed il punto Bo e da luogo all’arco l, l’altra quella che contiene la verticale per Bo ed il punto Ao e da luogo all’arco l′. La lunghezza l, o l′, è la distanza che si può effettivamente misurare sul terreno (Fig. 8). b) Azimut di un punto Sempre considerando i due punti anzidetti l’azimut di B rispetto ad A che si può misurare sul terreno con osservazioni astronomiche è l’angolo che la sezione normale che contiene la verticale per Ao ed il punto Bo forma con la tangente al meridiano in Ao diretta verso Nord: come già detto tale angolo si valuta partendo dal meridiano in senso orario e può assumere tutti i valori compresi tra 0 e 2π (Fig. 8). c) Angolo azimutale tra due punti Considerando un terzo punto O insieme agli anzidetti A e B, l’angolo azimutale AOB che si può misurare sul Fig. 8 terreno è l’angolo diedro formato dalle sezioni normali OoAo e OoBo cioè l’angolo diedro tra il piano che contiene la verticale per O ed il punto A ed il piano che contiene la verticale per O ed il punto B (Fig. 8). d) Distanza zenitale Considerati due punti A e B sulla superficie terrestre, intervisibili, si definisce distanza zenitale zAB l’angolo che la verticale in A forma con la congiungente AB; tale angolo si può effettivamente misurare sul terreno con gli strumenti a nostra disposizione. e) Dislivello 1998/99 F.Resta

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Considerati due punti A e B sulla superficie terrestre, intervisibili, si definisce dislivello ∆AB fra i due punti la differenza fra la quota QB di B e la quota QA di A; tale dislivello si può misurare sul terreno: ∆AB = QB - QA La distanza zenitale ed il dislivello sono stati indicati solo per dare un quadro completo delle misure che si possono effettuare sulla superficie terrestre ma non hanno alcuna attinenza col discorso attuale. 4.6. Differenze fra misure sull’ellissoide e misure sul geoide Le misure indicate nel paragrafo precedente fanno riferimento sempre alla verticale, cioè la normale al geoide. In seguito però alla posizione fatta di assumere come superficie di riferimento l’ellissoide le misure andrebbero fatte con riferimento alla normale all’ellissoide. Ciò non è possibile in quanto la normale all’ellissoide non è fisicamente definibile. Tale situazione, nell’effettuare un rilievo per punti di inquadramento, si potrebbe realizzare in un solo punto nel quale facciamo coincidere la verticale con la normale all’ellissoide ma in tutti gli altri punti saremmo sempre costretti ad orientare gli strumenti secondo la verticale. Si può quindi dire: si misurano angoli e distanze con riferimento al geoide (verticale) ma i risultati delle misure si trattano con riferimento all’ellissoide. 4.7. Teoremi della geodesia operativa Chiarita la incongruenza indicata al par. 4.6. resta il fatto che si misurano (Fig. 9) lunghezze di archi di sezioni normali (s′) e angoli tra sezioni normali (A), fra l’altro non univocamente definite, mentre si dovrebbero misurare lunghezze di archi di geodetiche (s) ed angoli fra le tangenti alle geodetiche (α). Si può, però, dimostrare che considerando una geodetica di lunghezza s = 1000 km la differenza fra la lunghezza dell’arco di sezione normale e la lunghezza dell’arco di geodetica non supera il centimetro, ovvero 10-8 della distanza considerata. Ove si consideri che le Fig. 9 precisioni di misura sulla distanze non vanno oltre una precisione relativa di 10-6 si può concludere che: è perfettamente lecito il ritenere che le misure effettuate lungo sezioni normali diano gli stessi risultati di misure eseguite lungo archi di geodetiche.

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Analogamente si può dimostrare che la differenza fra l’azimut individuato dal piano meridiano e dalla tangente alla geodetica e l’azimut individuato dal piano meridiano e la sezione normale varia con la latitudine essendo massima all’equatore e minima ai poli. Alle nostre latitudini tal differenza è di 0,01" per una distanza di 100 km e sale a 0,13" per una distanza di 300 km. Ove si consideri che la precisione massima raggiungibile nella misura di un angolo non va oltre 0,1" – 0,2" e che la massima distanza collimabile, a causa della curvatura terrestre, non supera i 200 km, si può concludere che: una misura di azimut anche se effettuata con riferimento ad una sezione normale può sempre considerarsi riferita ad una geodetica. Analoga considerazione si può trarre per le misure di angoli azimutali in quanto gli stessi possono considerarsi come ottenuti per differenza di due azimut. Quanto detto costituisce la sostanza dei teoremi della geodesia operativa, ovvero in sintesi il fatto che qualunque misura di azimut, angolo o distanza eseguita dal topografo può ritenersi eseguita con riferimento ad archi di geodetica sulla superficie di riferimento. 5. Campo geodetico e campo topografico 5.1. Considerazioni generali Stabilito che le misure di angoli e distanze possono considerarsi riferite all’ellissoide ne deriva che qualsiasi calcolo per risolvere triangoli, quadrilateri, poligoni può essere effettuato utilizzando la trigonometria ellissoidica; tale trigonometria è però piuttosto complessa per cui conviene esaminare la possibilità di eseguire i calcoli in maniera più’ semplice in considerazione del fatto che i triangoli, o le figure che si devono risolvere, hanno lati che non eccedono 50-60 km e che tali lati sono molto piccoli in relazione ai raggi di curvatura dell’ellissoide che sono dell’ordine dei 6300 km. Vedremo che se si lavora nell’intorno di un raggio di 100-120 km utilizzando nei calcoli la trigonometria sferica si ottengono risultati praticamente uguali a quelli che si otterrebbero utilizzando la trigonometria ellissoidica; se si lavora nell’intorno di un raggio di 20-25 km si può addirittura utilizzare la trigonometria piana ottenendo risultati praticamente uguali. Va chiarito cosa si intende per "praticamente uguali". Quando sul terreno si eseguono misure di angoli e distanze, queste non possono mai considerarsi esatte; per cui le posizioni dei punti rilevati sono affette da un’incertezza più o meno alta a seconda degli strumenti e dei metodi di rilievo utilizzati. Ne consegue che: possono reputarsi praticamente uguali i risultati di due calcoli effettuati con algoritmi diversi tutte le volte che le differenze sono decisamente inferiori alle incertezze derivanti dalle misure.

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5.2. Campo geodetico o di Weingarten Si consideri (Fig. 10) la terna cartesiana ortogonale PoXYZ avente il piano XY tangente all’ellissoide nel punto Po, di coordinate geografiche ϕP e λP, l’asse Z diretto secondo la normale all’ellissoide, l’asse Y tangente al meridiano e diretto verso Nord e l’asse X diretto verso Est (terna euleriana); sia g una geodetica uscente da Po secondo l’azimut α ed s la lunghezza dell’arco di geodetica compreso tra l’origine ed un punto generico Q. Attraverso formule alquanto complesse si possono Fig. 10 determinare le coordinate cartesiane X, Y e Z del punto Q. Si consideri ora nello stesso punto Po la sfera di raggio R = ρN tangente all’ellissoide. Anche in questo caso, utilizzando le stesse formule, si possono determinare le coordinate XS, YS e ZS del punto Q. Ciò fatto si possono calcolare le differenze tra le coordinate X ed Y e le coordinate XS ed YS (quelle che rappresentano la posizione planimetrica del punto Q) al variare di ϕ, α ed s. Si trova che per s = 100 km tali differenze hanno un massimo di 27 mm, decisamente inferiore alle incertezze delle misure. Se ne conclude che, lavorando nell’intorno di un raggio di 100 km, si può utilizzare la trigonometria sferica su una sfera del raggio soprascritto. Tale sfera viene detta sfera locale. Il campo così individuato viene detto campo geodetico o campo di Weingarten. Per le quote il discorso è diverso. La differenza ZS - Z, per ϕ = 45°, assume i valori assoluti massimi (per α = 0 ed α = 90°) riportati nella seguente tabella al variare della distanza s: s (in km) Zs - Z

1 0,13 mm

10 1,3 cm

20 5,4 cm

50 0,33 m

100 1,3 m

Per le quota, quindi, i limiti entro i quali si può assumere come superficie di riferimento la sfera sono molti più’ ristretti. Tenendo conto della precisione con cui si possono ottenere i dislivelli con una livellazione trigonometrica tale limite si può stabilire sui 20 km.

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5.3. Campo topografico Se, sempre riferendosi al punto Po ed alla figura del paragrafo precedente, i valori di s non superano qualche decina di km si può fare una successiva approssimazione. Considerando il piano tangente all’ellissoide in detto punto i calcoli possono essere eseguiti utilizzando la trigonometria piana. La zona, all’interno della quale si può utilizzare la trigonometria piana, viene detta campo topografico. E’ bene avvertire però che non si può fissare un limite ben definito per individuare questo campo in quanto fortemente dipendente dalla precisione delle misure delle distanze, che varia notevolmente in funzione degli strumenti di misura utilizzati. Si consideri (Fig. 11) il piano tangente alla sfera locale in Po (è inessenziale per quanto diremo considerare la sfera locale invece dell’ellissoide). La differenza ∆s tra la distanza s = PoQ e la distanza s' = PoQ' (con Q' proiezione di Q sul piano tangente) vale ∆ s = s' − s = R tan ω − Rω = R(tan ω − ω ) Fig. 11 Sviluppando tanω in serie e trascurando i termini del 5° ordine e superiori si ottiene 2ω 3 s3 ω3 −ω ) = R = ∆ s = R( ω + 6 3 3R 2 ricordando che s = ωR. Il rapporto ∆s s2 = s 3R 2 rappresenta l’errore relativo che si commette nel sostituire s con s'. Ricavando s si ottiene ∆s s=R 3 s Assegnando a ∆s/s il valore della precisione della misura ed assegnando ad R il valore massimo 6378 km si ricava il massimo valore di s, cioè della distanza entro la quale si può lavorare sul piano tangente. Per esempio, con ∆s = 2.10 −6 si ottiene s = 15,6 km s Il problema per le quote, anche in questo caso, si pone in modo diverso. Si noti in Fig. 11 che il sostituire Q con Q’ significa commettere un errore

∆Q = CQ' − R = R 2 + s 2 − R = R( 1 +

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s2 − 1) R2 17

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avendo sostituito s’ con s in quanto ci si riferisce al campo topografico. Sviluppando in serie il radicale e trascurando il termine -s4/8R4 e quelli di ordine superiore in quanto molto piccoli si ottiene s2 s2 ∆Q = R( 1 + 2 − 1 ) = 2R 2R Tale grandezza, sempre positiva, viene detta correzione di sfericità ed assume i seguenti valori: s (km) ∆Q (m)

0,1 0,0008 m

0,5 0,02 m

1,0 0,08 m

5,0 2,0 m

10,0 7,8 m

Poiché si possono misurare differenze di quota tra punti distanti 100 m con la precisione del decimo di mm, con livellazione geometrica di alta precisione, si può constatare che non è mai lecito sostituire il piano tangente nelle misure delle quote. 5.4. Risoluzione di triangoli sferici. Teorema di Legendre Si consideri sulla sfera locale un triangolo i cui lati siano tre geodetiche, cioè tre archi di cerchio massimo, contenuti ovviamente nel campo geodetico. Siano a, b e c le lunghezze di tale geodetiche (che, come detto, possiamo misurare sul terreno) ed α, β e γ gli angoli corrispondenti (Fig. 12). Tali angoli sono, come visto, corrispondenti agli angoli azimutali che noi misuriamo sulla superficie terrestre. La geometria sferica ci insegna che la somma dei tre angoli α, β e γ è superiore a π di una quantità, che denoteremo con 3ε, chiamata eccesso sferico α + β + γ = π + 3ε Tale quantità, dal teorema di Cavalieri, si Fig. 12 calcola con la formula S 3ε = 2 R dove S indica l’area del triangolo ed R è il raggio della sfera. Ciò detto, la risoluzione di tale triangolo si semplifica notevolmente utilizzan-

Fig. 13 do il teorema di Legendre (Fig. 13) che, in forma semplificata, si può così enunciare: 18

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un triangolo sferico può essere risolto come un triangolo piano avente i lati della stessa lunghezza del triangolo sferico e gli angoli uguali ai corrispondenti del triangolo sferico, diminuiti ciascuno di un terzo dell’eccesso sferico.

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CAPITOLO 2 DETERMINAZIONE DELLE COORDINATE DI PUNTI SULLA SUPERFICIE DI RIFERIMENTO

1. Coordinate geodetiche polari e rettangolari 1.1. Coordinate geodetiche polari Le coordinate geografiche ellissoidiche, ϕe e λ e, definiscono la posizione assoluta di un punto P sull’ellissoide. Analogamente a come si fa sul piano si può definire un sistema di coordinate locali. Preso sull’ellissoide un punto O come origine, detto polo, un qualsiasi altro punto P può essere individuato dalla lunghezza s della geodetica OP e dall’azimut α che detta geodetica forma in O (Fig. 14). 1.2. Coordinate geodetiche rettangolari Fig. 14 Sempre con riferimento alla Fig. 14 si possono definire le coordinate Y, come l’arco di geodetica PQ passante per P e normale al meridiano, ed X, come l’arco di meridiano OQ . 1.3. Passaggio da coordinate geodetiche rettangolari a polari e viceversa Il problema viene risolto applicando il teorema di Legendre al triangolo sferico OPQ (Fig. 14). Si ottengono le relazioni Y = s sen(α − ε ) X = s cos(α − 2ε ) e le inverse

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s = ( X + εY )2 + ( Y − 2εX )2 tanα =

X + εY Y − 2εX

2. Determinazione delle coordinate geografiche ellissoidiche 2.1. Generalità Consideriamo un insieme di punti di inquadramento Pi (Cap.1 par. 1.3.) sull'ellissoide congiunti a due a due da archi di geodetica in modo da formare una rete di triangoli e supponiamo di aver eseguito tutta una serie di misure di angoli e distanze (Fig. 15).

Fig. 15 Si determinino le coordinate ϕa0 e λa0 di in punto P0, opportunamente scelto, con una stazione astronomica (vedi seguito) e l'azimut αa0 di una geodetica uscente da P0 e passante per uno dei punti Pi , nel nostro esempio sia P1 , e si assumano tali misure come riferite all'ellissoide; ciò vale a dire che in tale punto si farà coincidere la verticale, individuata dalle coordinate astronomiche, con la normale all'ellissoide, ovvero che in tale punto si renderà l'ellissoide osculante (tangente) al geoide. In tale operazione consiste il cosiddetto "orientamento dell'ellissoide" che però va completata bloccando la possibilità che l'ellissoide ha di ruotare intorno alla normale; ciò viene fatto facendo coincidere l'azimut αa0 con l'azimut ellissoidico. In sintesi possiamo dire che in tale punto si avrà

ϕ a0 = ϕ e0

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λ a 0 = λe 0

α a0 = α e0

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Si pone ora il problema di come calcolare le coordinate del punto P1 . 2.2. Trasporto delle coordinate geografiche: problema diretto Il problema, noto col nome di trasporto delle coordinate geografiche, o come primo problema fondamentale della geodesia si pone nel seguente modo: supposte note in un punto O dell'ellissoide la latitudine ϕO , la longitudine λO e l'azimut αO dell'arco di geodetica OP, anch'essa nota, determinare la latitudineϕP , la longitudine λP e l'azimut αP della stessa geodetica in P. Sia dato, sulla superficie di riferimento, un punto O di coordinate ellissoidiche note ϕo e λo e si consideri un altro punto P e siano note le sue coordinate polari s ed αo (Fig. 16). Tutto ciò noto, si possono determinare le coordinate ellissoidiche, ϕ e λ, di P e l’azimut α che la geodetica OP forma in P. Le formule che si ottengono, molto complesse, esulano da questo corso e sono riportate alla fine del presente paragrafo per bibliografia; di seguito viene Fig. 16 solo riportata una formula approssimata per il calcolo di α, dopo aver calcolato ϕ e λ: ϕ + ϕo α = α o + ( λ − λo )sen ϕ m con ϕ m = 2 La differenza γ = α − α o = ( λ − λo )sen ϕ m viene detta convergenza dei meridiani relativa all’arco di geodetica OP e rappresenta l'angolo formata dalle tangenti ai meridiani nei punti O' e P' giacenti sul parallelo di latitudine media ϕm (Fig. 17). Le formule per determinare ϕ, λ e α, fermando gli sviluppi in serie ai termi3 ni in s , sono: Fig. 17

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ϕ = ϕ0 +

s cosα0

ρ0

−

s 2 senϕ0  sen2 ϕ0 3e2 cosϕ0 cos2 α0  s 3 sen2 α0 cosα0 1 + 3tan2 ϕ0 +  − 2 2 3 2ρ0  N0 cosϕ0 ρ0 1 − e sen ϕ0  6 ρ0

(

)

(

λ = λ0 +

 sen2α0 cosα0 2 tan2 ϕ0 sen3α0  s senα0 s 2 senϕ0 sen2α0 s3   + + + N0 cosϕ0 ρ0 N0 2N02 cos2 ϕ0 6 N02 cosϕ0  

α = α0 +

s tanϕ0 senα1 s 2 senα0 cosα0  1 tan2 ϕ0   + 2  + N0 2 N0 N0   ρ0

)

2.3. Trasporto delle coordinate geografiche: problema inverso Il problema inverso del trasporto delle coordinate geografiche consiste nel determinare le coordinate geodetiche polari del punto P2 rispetto al punto P1 note che siano le coordinate (Fig. 18) ϕ1 e λ1 , ϕ2 e λ2 .

Fig. 18

3. Coordinate astronomiche e loro determinazione 3.1. Generalità Gli argomenti trattati in questo capitolo sono utili al topografo quando esso opera in zona totalmente prive di rilievi ma, fondamentalmente quando in tale zona è necessario istituire una rete di punti di inquadramento. Si è già visto come, operando sulla superficie terrestre, mediante misure di angoli e distanze e relativi calcoli con riferimento all’ellissoide, si può determinare la posizione di un punto mediante le sue coordinate geografiche ellissoidiche, ϕe e λe , che, come già detto, danno la direzione della normale all’ellissoide in corrispondenza del punto rilevato, con riferimento al piano dell’equatore ed al piano del meridiano fondamentale di riferimento. Le osservazioni astronomiche conducono invece alla determinazione delle coordinate geografiche astronomiche o geoidiche, ϕa e λa , del punto in cui si sono eseguite le osservazioni degli astri che differiscono dalle precedenti in quanto definiscono la direzione della verticale nel punto.

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Avendo già visto che la verticale (normale al geoide) non coincide con la normale all’ellissoide se non in punti molto particolari, se ne conclude che le due coppie di coordinate differiscono da punto a punto. 3.2. Sfera celeste Il cielo ha l’aspetto di una sfera enormemente grande, sfera celeste, sulla quale si vedono proiettati gli astri (posizioni apparenti); rispetto al raggio di tale sfera la terra può considerarsi puntiforme e posta nel centro C (Fig. 19). Con ciò ogni punto può essere individuato dalla direzione della verticale passante per esso che interseca la sfera celeste in un punto chiamato zenit dell’osservatore; il piano normale alla verticale è detto piano orizzontale dell’osservatore. Le posizioni apparenti relative delle stelle possono considerarsi immutabili perchè il loro moto apparente, data la loro enorme distanza dalla terra, si può considerare trascurabile nel volgere anche di molti anni; esse, ad un osservatore terrestre, appaiono dotate di un moto di rotazione da est ad ovest intorno ad un asse, chiamato asse del mondo, ottenuto prolungando l’asse terrestre fino a definire sulla volta celeste due punti, PN e PS , polo nord e polo sud. I piani che contengono l’asse del mondo determinano sulla sfera celeste delle curve detti meridiani, mentre i piani perpendicolari a tale asse determinano delle curve detti paralleli.

Fig. 19 L’equatore celeste è il parallelo di raggio massimo, contenente il centro della sfera celeste. Contrariamente alle stelle, i componenti del sistema solare (sole, luna, pianeti, satelliti, etc.), data la loro vicinanza alla terra, non possono considerarsi immutabili; essi variano la loro posizione sensibilmente da un giorno all’altro.

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L’ecclittica è un cerchio massimo nel quale si svolge il cammino del Sole sulla sfera celeste; il piano dell’ecclittica è inclinato di 23°27′ sul piano dell’equatore e interseca tale piano in due punti, γ e γ′, detti punti equinoziali (γ equinozio di primavera, γ′ equinozio di autunno). Il punto γ si sposta lungo l’ecclittica poiché l’asse terrestre, pur rimanendo sempre inclinato rispetto al piano dell’ecclittica, descrive ogni 26.000 anni un cono di 2 x 23°27′ ≅ 47° (precessione degli equinozi). Oltre a questo movimento l’asse terrestre descrive nel periodo di circa 19 anni un altro cono di apertura molto più piccola (nutazione) che determina spostamenti del punto γ molto più piccoli di quelli dovuti alla precessione. A parte questi movimenti, ben noti, il punto γ può considerarsi fisso sulla sfera celeste. Nelle considerazioni che seguono considereremo la sfera celeste di raggio unitario poiché sono implicate soltanto direzioni e si possono applicare le formule della trigonometria sferica; ogni punto sulla sfera individua con il centro una direzione e, viceversa, ogni direzione uscente dal centro individua un punto sulla sfera. 3.3. Sistemi di riferimento Ogni direzione può essere individuata sulla sfera da due angoli una volta che sia definito il sistema di riferimento. I sistemi di riferimento si possono dividere in due categorie: quelli che sono fissi rispetto alle posizioni apparenti delle stelle, utili agli astronomi per determinare e studiare i movimenti relativi degli astri sulla sfera celeste (coordinate equatoriali e coordinate ecclittiche) e quelli che sono fissi rispetto alla terra, utili in particolare per la determinazione delle coordinate geografiche (coordinate altazimutali e coordinate equatoriali locali). 3.3.1. Coordinate equatoriali Si consideri un astro S (Fig. 20) ed il meridiano che lo contiene, detto anche cerchio di declinazione. Tale meridiano interseca l’equatore celeste in un punto R. Ciò detto le due coordinate equatoriali sono: - l’ascenzione retta AR pari all’angolo tra Il punto γ ed il punto R; - la declinazione δ pari all’angolo fra l’astro S ed il punto R. L’ascenzione retta può assumere valori tra 0° e 360° e si conta positivamente a partire dal punto γ verso est. La declinazione può assumere valori tra 0° e ± 90° contata positivamente nell’emisfero nord e negativaFig. 20 mente nell’emisfero sud. L’angolo complementare p della declinazione δ (p = 90°- δ) si chiama distanza polare. 26

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Le coordinate equatoriali di un astro a causa dei movimenti di precessione, di nutazione e del movimento di traslazione del sistema solare verso la costellazione di Ercole subiscono lentissime variazioni. Per tener conto di ciò vengono pubblicate ogni anno delle tavole numeriche, dette Effemeridi, che contengono le coordinate degli astri a cadenze temporali costanti: maggiori per gli astri lontani, minori per quelli vicini (sole, luna, etc.). 3.3.2. Coordinate ecclittiche Tali coordinate sono definite in maniera analoga alle precedenti con la sola differenza che si riferiscono al piano dell’ecclittica anziché al piano equatoriale. 3.3.3. Coordinate equatoriali locali Si consideri (Fig. 21) il piano equatoriale ed un piano meridiano passante per un punto P della superficie terrestre: tale piano meridiano conterrà ovviamente la verticale in P, il cui prolungamento individuerà sulla sfera celeste un punto Z , detto Zenit; l’opposto diametrale di tale punto, Z′, è detto Nadir. Il meridiano individuato da tale piano si considera composto da due semimeridiani detti: - meridiano superiore quello contenente lo Zenit ed individuato dalla semicirconferenza PNZPS; - meridiano inferiore quello contenente il Nadir ed individuato dalla semicirconferenza PNZ′PS . Ciò posto le due coordinate Fig. 21 equatoriali locali sono: - la declinazione δ definita come nel caso precedente; - l’angolo orario t, cioè l’angolo che il piano meridiano contenente l’astro forma col meridiano superiore del punto; l'angolo si computa a partire dal meridiano superiore in direzione est.ovest e può assumere valori da 0° a 360°. Tale angolo si può anche esprimere in ore, minuti e secondi secondo le equivalenze 1h = 1° 1m = 15′ 1s = 15′′ Il piano meridiano corrispondente a Greenwich si chiama primo meridiano. L’angolo orario si indica con la lettera t se è riferito al meridiano di un generico punto P mentre si indica con T se è riferito al primo meridiano. 3.3.4. Coordinate altazimutali Si consideri (Fig. 22) la verticale in un punto P ed il piano ad essa normale, detto orizzonte astronomico locale.

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Si definiscono come coordinate altazimutali di un astro: l’azimut a cioè l’angolo compreso tra 0° e 360° che il piano verticale contenente l’astro forma con il piano meridiano contenente P, contato in senso orario a partire dalla direzione Nord. La definizione è analoga a quella dell’azimut di una sezione normale (assimilabile come si è visto a quello di una geodetica) uscente dal punto P; - la distanza zenitale z cioè l’angolo che la congiunFig. 22 gente il punto P con l’astro forma con la verticale per P. Il complemento di tale angolo, α = 90° - z, si indica come angolo d’altezza. Tutti i cerchi massimi passanti per lo zenit si chiamano brevemente verticali e primo verticale quello normale al meridiano. -

3.3.5. Coordinate geografiche astronomiche Tali coordinate definiscono sulla sfera celeste la direzione dello Zenit in un sistema che ha come piani fondamentali l’equatore celeste e il primo meridiano (passante per Greenwich). Si definiscono pertanto: - la latitudine astronomica ϕa come l’angolo che la direzione Z (la verticale) forma con il piano equatoriale computato da 0° a 90° a partire dall’equatore in senso positivo verso Nord, negativo verso Sud. - la longitudine astronomica λa come l’angolo diedro fra il piano meridiano per il punto P ed il primo meridiano computato da 0° a 180° a partire da Greenwich in senso positivo verso Est, negativo verso Ovest. 3.4. Tempo sidereo, tempo solare Si chiama tempo sidereo locale (TSL) di un punto P della superficie terrestre (Fig. 23), rappresentato dallo Zenit Z, l’angolo orario del punto γ valutato con riferimento al meridiano superiore di P; il tempo sidereo riferito al primo meridiano, ovvero al meridiano di Greenwich, viene indicato con TSG. Il punto γ non è osservabile ma, ricordando quanto detto sui sistemi di riferimento, si può constatare che (Fig. 23) TSL = t* + AR* dove con t* si indica l’angolo orario, rispetto al meridiano per P, di un qualsiasi astro e con AR* la sua ascensione retta. L’intervallo, praticamente costante, fra due passaggi del punto γ, o di una stella qualsiasi, al meridiano superiore di P si chiama giorno sidereo.

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Più conveniente è l’uso del tempo solare dato che le azioni dell’uomo si ricollegano alla posizione del Sole; la definizione potrebbe essere uguale a quella del tempo sidereo facendo assumere al Sole il ruolo del punto γ se non fosse per il fatto che il Sole non è dotato di un moto uniforme. Si definisce allora un Sole fittizio, detto Sole medio, il quale partendo dal punto γ all’istante dell’equinozio si muove sull’equatore celeste (non sull’ecclittica) con moto uniforme impiegando lo stesso tempo che impiega il Sole vero (anno tropico) per ritornare al punto γ. Fig. 23 Si definisce come giorno solare medio l’intervallo di tempo fra due passaggi del Sole medio su uno stesso meridiano. Convenendo che l’ascensione retta del Sole medio vari in modo uniforme, il giorno medio ha durata costante. Nell’intervallo di tempo che trascorre fra due passaggi del Sole al punto γ, quest’ultimo compie 366,2422 rivoluzioni diurne o giorni siderei, mentre, per il moto del Sole sull’ecclittica, l’ascensione retta del Sole varia di 360° in senso contrario; pertanto nello stesso intervallo il Sole compie 365,2422 rivoluzioni e quindi il giorno sidereo è 3m 55s,91 piu’ breve del giorno solare medio. Per meglio chiarire ciò si consideri il Sole fisso (Fig. 24). La Terra, oltre che Fig. 24 ruotare su se stessa, si muove sull’ecclittica in senso antiorario. Si consideri ora una stella (punto all’infinito) che passa su un meridiano nello stesso istante del Sole Dopo un giro completo su se stessa (passaggio della stella sul meridiano = giorno sidereo) la terra si è spostata in una nuova posizione a causa del movimento in senso antiorario intorno al Sole (circa 1°) per cui sarà necessaria un’ulteriore rotazione affinchè il Sole passi nuovamente sullo stesso meridiano. Si chiama tempo medio (solare) locale (TML) l’angolo che il cerchio di declinazione del Sole medio forma con il meridiano inferiore dell’osservatore; Fig. 25 cioè il tempo medio locale è uguale 1998/99 F.Resta

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all’angolo orario del Sole medio diminuito o aumentato di 12h. Il tempo medio locale di Greenwich è chiamato Tempo Universale (TU). Da notare che la longitudine di un punto è uguale alla differenza, nel medesimo istante, fra il tempo medio locale ed il tempo universale λ = TML - TU oppure in termini di tempo sidereo (Fig. 25) λ = TSL - TSG ove con TSG si indica il tempo siderale di Greenwich. Infine per avere l’ora solare vera (TVL) è necessario apportare al tempo medio solare una correzione ε che rappresenta l’angolo fra il cerchio di declinazione del Sole medio e quello del Sole vero ed è chiamato equazione del tempo: TVL = TML + ε. L'angolo ε è dato dalle effemeridi in funzione del tempo medio solare di Greenwich (TU).

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PARTE II ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

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CAPITOLO 1 GENERALITA' E DEFINIZIONI – ELEMENTI DI TEORIA DELLE CARTE

1. Rappresentazione dell'ellissoide sul piano 1.1. Generalità Si consideri sulla superficie di un cilindro un triangolo ABC i cui lati a, b e c siano archi di geodetiche (in questo caso archi di eliche cilindriche); i corrispondenti angoli α, β e γ saranno gli angoli formati dalle tangenti alle geodetiche (Fig. 1).

Fig. 1 Se ora tagliamo il cilindro secondo una generatrice e lo distendiamo sul piano noteremo che il triangolo geodetico si deforma, nel senso che da figura spaziale diviene piana, però i lati, anche trasformandosi da archi di geodetiche a segmenti di retta (geodetica del piano), mantengono la stessa lunghezza; analogo discorso vale per gli angoli che mantengono inalterato il loro valore. Il cilindro infatti, come anche il cono, sono figure sviluppabili sul piano; cioè si possono distendere sul piano senza che gli angoli o lati di figure tracciate su di essi subiscano deformazioni. L'ellissoide invece, o nel caso più semplice la sfera, non è una superficie sviluppabile sul piano, nel senso che non è possibile distenderla sul piano senza che gli angoli e i lati subiscano delle deformazioni.

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Di conseguenza qualsiasi rappresentazione dell'ellissoide sul piano, cioè una carta, risulta deformata. Le deformazioni che devono essere apportate all'ellissoide per stenderlo su di un piano variano in infiniti modi e quindi si possono ottenere varie rappresentazioni in funzione degli stiramenti o contrazioni che saranno applicati; inoltre queste deformazioni non risulteranno uguali per tutta la superficie, nel senso che una figura ellissoidica identica ma posta in due posizioni diverse risulterà diversamente deformata sulla carta. Ovviamente per poter disegnare su una carta la rappresentazione dell'ellissoide dovremo opportunamente rimpicciolire le lunghezze di un coefficiente n, il cui inverso 1/n viene indicato come scala della carta. Per definire le deformazioni in un punto della rappresentazione si prendono in considerazione tre moduli, lineare, areale e angolare. 1.2. Modulo di deformazione lineare Se indichiamo con dse un archetto infinitesimo di geodetica sull'ellissoide e con

Fig. 2 dsr il corrispondente nella rappresentazione (Fig. 2), il rapporto ds ml = r ds e dicesi modulo di deformazione lineare. Esso varia con continuità da punto a punto della rappresentazione, perché nel caso contrario si avrebbe una rappresentazione priva di deformazioni; si può mantenere uguale all'unità solo in particolari linee della rappresentazione. 1.3. Modulo di deformazione areale Se indichiamo con dσe un elemento di area infinitesimo sull'ellissoide e con dσr il corrispondente elemento sulla rappresentazione (Fig. 3) il rapporto dσ r mσ = dσ e dicesi modulo di deformazione areale.

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Fig. 3 1.4. Modulo di deformazione angolare Se consideriamo un meridiano sull'ellissoide e la linea che gli corrisponde nella rappresentazione (trasformata del meridiano) ed inoltre l'azimut α di un gene-

Fig. 4 rico arco di geodetica sull'ellissoide e l'azimut α' della corrispondente linea sulla rappresentazione (Fig. 4), la differenza mα = α' −α dicesi modulo di deformazione angolare. La deformazione di un angolo risulta anche dalle deformazioni delle due direzioni che lo formano. 1.5. I diversi tipi di rappresentazioni Abbiamo visto che la rappresentazione piana dell'ellissoide comporta sempre delle deformazioni definite dai tre moduli anzidetti. La teoria delle carte studia diversi sistemi per la formazione di rappresentazioni che approssimino quanto meglio possibile la planimetria del terreno sull'ellissoide. Tra tutte queste rappresentazioni se ne possono definire alcune chiamate isogone o conformi che mantengono l'uguaglianza tra gli angoli, nelle quali cioè il modulo di deformazione angolare è nullo (mα = 0).

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Analogamente si possono definire rappresentazioni che risultino equivalenti, cioè mantengano inalterato il rapporto tra elementi areolari corrispondenti; in tali rappresentazioni il modulo di deformazione areale risulta uguale all'unità (mσ = 1). Per quanto detto, non si possono avere invece rappresentazioni equidistanti cioè con modulo di deformazione lineare uguale all'unità, in quanto ciò implicherebbe la realizzazione di rappresentazioni senza deformazioni. Le rappresentazioni che invece presentano tutte le deformazioni ognuna delle quali però mantenuta nel limite più ristretto possibile si indicano con il nome di afilattiche. Tutti questi tipi di rappresentazioni presentano ciascuna dei vantaggi per specifici usi; per es. una rappresentazione conforme è particolarmente utile per la navigazione, una rappresentazione equivalente per gli usi catastali, etc. 1.6. Definizione analitica di una rappresentazione Per stabilire la rappresentazione dell'ellissoide sul piano è quindi necessario definire: a) le due funzioni che esprimono la corrispondenza biunivoca fra la posizione di un punto P sull'ellissoide, data dalle coordinate geografiche ϕ e λ, e la posizione del corrispondente punto P' sul piano, data dalle coordinate piane ortogonali N ed E (nel sistema cartografico si usa indicare con N l'asse delle ordinate e con E l'asse delle ascisse, ossia con le iniziali dei punti cardinali Nord ed Est cui sono orientati i versi positivi di tali assi rispettivamente), dette equazioni della carta o equazioni di corrispondenza N = N (ϕ ,λ ) E = E (ϕ ,λ ) e le relative funzioni inverse ϕ = ϕ (N , E ) ;

λ = λ (N , E ) b) i moduli di deformazione in funzione di ϕ e λ, o meglio in funzione di N ed E; c) il reticolato geografico ovvero la determinazione delle linee che sulla rappresentazione indicano le trasformate dei meridiani e dei paralleli ed in particolare la definizione dell'angolo γ che la tangente alla trasformata del meridiano in un punto P forma con l'asse N.

2. I sistemi di proiezione cartografica 2.1. Generalità Le equazioni di corrispondenza possono ottenersi per via geometrica, cioè puramente proiettiva, eseguendo da un opportuno centro P la proiezione dei punti dell'ellissoide su una superficie sviluppabile convenientemente disposta e ricavando poi le deformazioni della rappresentazione sulla superficie spianata; si ottengono in tal modo i sistemi di proiezione cartografica. Le superfici sviluppabili sono il piano, il cilindro ed il cono che danno luogo a diversi sistemi cartografici appresso indicati.

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2.2. Proiezioni prospettiche pure Si è in presenza di una proiezione prospettica quando la proiezione avviene su di un piano tangente all'ellisoide, o alla sfera locale, in un punto C. A seconda della posizione del centro di proiezione P si avranno (Fig. 5): - proiezioni centrografiche con P posto al centro della terra; - proiezioni stereografiche con P in posizione diametrale rispetto a C; - proiezioni scenografiche con P ad una distanza maggiore del diametro sempre sulla direzione diametrale; - proiezioni ortografiche con P all'infinito sempre sulla direzione diametrale.

Fig. 5 A seconda della posizione del punto C di tangenza si avranno: - proiezioni polari col piano tangente al polo; - proiezioni azimutali col piano tangente in un punto qualunque della superficie della sfera; - proiezioni meridiane col piano tangente in un punto dell'equatore. Tutte le proiezioni prospettiche sono afilattiche ad eccezione della stereografica che è conforme. La centrografica possiede il pregio di far corrispondere rette agli archi di cerchio massimo, cioè alle geodetiche. E' evidente come le deformazioni aumentino allontanandosi dal punto C di tangenza; per contenerle entro limiti accettabili è necessario limitare, intorno al punto C, la zona della Terra da rappresentare. Per rappresentare zone molto ampie si ricorre alle rappresentazioni policentriche in cui si eseguono varie proiezioni spostando il piano di tangenza in modo opportuno. A parità di deformazioni, si può aumentare il Fig. 6 raggio della zona della terra da cartografare ricorrendo all'artifizio di rendere il piano secante anziché tangente (Fig. 6).

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2.3. Proiezioni cilindriche pure Si è in presenza di una proiezione cilindrica quando il cilindro viene posto, in generale, tangente all'ellissoide ed il centro di proiezione al centro dell'ellissoide o in un punto all'infinito in direzione normale alla linea di tangenza. Le più note sono: - la proiezione cilindrica diretta in cui il cilindro è tangente all'equatore ed il centro di proiezione P è situato al centro dell'ellissoide (Fig. 7); - la proiezione cilindrica inversa in cui il cilindro è tangente lungo un meridiano ed in centro di proiezione P è situato al centro dell'ellissoide ( - Fig. 8). Le proiezioni cilindriche dette sono afilattiche; la diretta è equidistante soltanto lungo l'equatore; l'inversa soltanto lungo il meridiano di tangenza.

Fig. 7

Fig. 8 In Fig. 9 è indicato lo sviluppo sul piano di una proiezione cilindrica diretta limitata ad una ampiezza di latitudine di ± 60°; si può notare che le immagini sia dei meridiani che dei paralleli costituiscono due fasci di rette parallele fra loro ortogonali. Le distanze fra i meridiani risultano proporzionali alle differenze delle loro longitudini mentre la distanza fra i paralleli è funzione della latitudine e le deformazioni della carta crescono rapidamente con la latitudine.

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Fig. 9 In Fig. 10 è indicato lo sviluppo sul piano di una proiezione cilindrica inversa relativamente al semiellissoide compreso fra le longitudini di ± 90° ; da notare in particolare che i meridiani di latitudine ± 90° si scindono in due semirette parallele all'asse delle E.

Fig. 10 I meridiani risultano fortemente deformati all'aumentare delle differenze di longitudine dal meridiano di tangenza; così pure i paralleli all'aumentare della latitudine.

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Per ridurre queste notevoli deformazioni la proiezione cilindrica inversa viene limitata ad un fuso di ampiezza ε = 6° di longitudine ed estesa in latitudine non oltre ± 80°. Per rappresentare tutta la terra si ricorre ad un sistema policilindrico formato da più fusi ottenuti ruotando l'ellissoide ogni volta di 6°; ogni fuso quindi avrà un suo meridiano di tangenza, cioè l'asse N varierà da fuso a fuso mentre l'asse E sarà sempre rappresentato dall'equatore. Anche nelle proiezioni cilindriche, per aumentare la zona da cartografare, si ricorre all'artifizio di rendere il cilindro secante alla superficie ellissoidica. 2.4. Proiezioni coniche pure Si è in presenza di una proiezione conica quando si dispone un cono tangente lungo un parallelo ed il centro di proiezione si pone al centro della terra oppure al centro del parallelo su cui giace il punto da proiettare; in quest'ultimo caso il centro di proiezione varia da punto a punto. Il cono, tagliato lungo una generatrice (un meridiano), viene poi sviluppato sul piano (Fig. 11).

Fig. 11 Le proiezioni coniche sono afilattiche, mantenendo l'equidistanza solo sul parallelo di tangenza. Per contenere le deformazione è necessario limitare in latitudine la fascia della Terra che si può restituire; anche in questo caso si può aumentare la zona da cartografare rendendo il cono secante secondo due paralleli lungo i quali la proiezione, ovviamente, diviene equidistante. Per la rappresentazione di vasti territori si ricorre ad una proiezione policonica; cioè a proiezioni coniche ottenute con coni di apertura variabile; ad esempio su coni tangenti a paralleli che differiscono di 4° di latitudine. Come casi limite la conica diviene prospettica ai poli (apertura 180°) e cilindrica (apertura 0°) all'equatore.

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2.5. Proiezioni geometriche modificate Le rappresentazioni ottenute per via puramente geometrica, descritte nei paragrafi precedenti, sono oggi in totale disuso con l'esclusione della stereografica polare ancora usata per cartografare le calotte polari. Sono invece ampiamente utilizzate rappresentazioni ottenute modificando in maniera opportuna i criteri delle proiezioni pure in modo da contenere le deformazioni in valori più piccoli o in modo da renderle conformi, o equivalenti. Accenneremo nel seguito a qualcuna di queste rappresentazioni. 3. I sistemi di rappresentazione cartografica 3.1. Generalità Le equazioni di corrispondenza indicate nel par. 1.6. possono essere stabilite per via puramente analitica, e con ampia arbitrarietà, senza alcun riferimento ad una proiezione geometrica. Approfittando di tale arbitrarietà si possono imporre alla corrispondenza le proprietà desiderate, cioè la conformità o l'equivalenza, ed insieme la equidistanza lungo una linea o la rettilineità di tutti i meridiani o paralleli oppure di un assegnato meridiano o parallelo. La flessibilità dello strumento analitico permette anche di creare corrispondenze afilattiche con moduli di deformazione molto piccoli realizzando un compromesso ottimale fra le varie deformazioni. Le realizzazione di carte con questo metodo danno luogo ai cosiddetti sistemi di rappresentazione cartografica. Il termine rappresentazione viene quindi usato in cartografia per indicare corrispondenze per via analitica, in alternativa a corrispondenze ottenute per via puramente geometrica; in questo senso le proiezioni geometriche modificate dovrebbero essere considerate delle rappresentazioni in quanto le modifiche apportate alle proiezioni derivano da condizioni imposte analiticamente. 3.2. Equazioni differenziali delle rappresentazioni Le equazioni di una rappresentazione conforme sono del tipo ∂E ∂E ∂N ∂N + =0 ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ ovvero, introducendo la latitudine ridotta u legata alla ϕ dalla relazione

ρ dϕ r con ρ ed r rispettivamente raggio del meridiano e del parallelo ∂N ∂E ∂N ∂E = =− ∂u ∂λ ∂λ ∂u Le equazioni di una rappresentazione equivalente sono del tipo ∂N ∂E ∂E ∂N − = rρ ∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ ovvero, introducendo la latitudine ridotta, ∂N ∂E ∂E ∂N − = r2 ∂u ∂λ ∂u ∂λ du =

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3.3. La rappresentazione conforme di Gauss Un rappresentazione attualmente molto usata è dovuta a Gauss che la formulò nel 1820 con l'assunto che fossero rispettate le seguenti condizioni: 1°) la carta doveva essere conforme; 2°) le immagini di un meridiano, detto meridiano centrale, e dell'equatore fossero rette (assi N ed E della rappresentazione); 3°) la rappresentazione fosse equidistante sul meridiano centrale. La rappresentazione, puramente analitica, è detta più completamente rappresentazione conforme cilindrica inversa di Gauss per il fatto che la proiezione geometrica cilindrica inversa, che però non è conforme ma afilattica, la approssima notevolmente; per tale motivo è anche nota come proiezione trasversa di Mercatore. Con tali presupposti Gauss giunse alle seguenti equazioni di corrispondenza: 1 1 5 λ Nϕ cos5 ϕ(5 − 18t 2 + +t 4 + 14η 2 − 58t 2η 2 ) E = λNϕ cosϕ + λ3 Nϕ cos3 ϕ(1 − t 2 + η 2 ) + 6 120 1 1 N = lϕ + λ2 Nϕ senϕ cosϕ + λ4 Nϕ senϕ cos3 ϕ(5 − t 2 + 9η 2 + 4η 4 ) 2 24 dove ϕ è la latitudine, λ è la differenza tra la longitudine di un punto e la longitudine del meridiano centrale, Nϕ è la grannormale alla latitudine ϕ, lϕ è la lunghezza dell'arco di meridiano compreso tra l'equatore ed il generico punto P di latitudine ϕ e longitudine λ rispetto al meridiano centrale, ed avendo posto Nϕ − ρ a 2 − c 2 η2 = = cos 2 ϕ t = tan ϕ 2 ρ c Le formule suddette derivano da sviluppi in serie che, limitati ai termini ripor-5 tati, portano ad errori relativi massimi su N ed E di 2,5.10 quando λ≤ 3°. 4 Il modulo di deformazione lineare, trascurando i termini in λ , assume la forma E2 ml = 1 + 2 Nϕ da cui si vede che esso vale 1 solo sul meridiano centrale e cresce rapidamente all'allontanarsi dall'asse N (cresce col quadrato di E). Nelle formule ponendo λ = cost si ottengono le equazioni parametriche dei meridiani, mentre ponendo ϕ = cost le equazioni parametriche dei paralleli. Le trasformate dei meridiani e dei paralleli sono curve alquanto complesse; le prime volgono la concavità verso il meridiano centrale e sono simmetriche rispetto allo stesso, le seconde sono molto prossime ad archi di parabola con la convessità verso l'equatore ed anch'esse simmetriche rispetto ad esso. In Fig. 12 è riportato il reticolato geografico relativo al semiellissoide compreso tra le longitudini –90° e +90° considerando come meridiano centrale quello di Greenwich dove si possono notare le notevole deformazioni che subiscono i meridiani ed i paralleli allontanandosi dal meridiano centrale e dall'equatore; si noti che i meridiani alle latitudini –90° e +90° si scindono in due semirette parallele all'asse E. Volendo ridurre le fortissime deformazioni è necessario limitare notevolmente il valore della differenza di longitudine tra il meridiano centrale e le zone da cartografare.

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Per ottenere deformazioni accettabili la parte di ellissoide da rappresentare viene limitata ad un fuso di ampiezza pari a 6° posto a cavallo del meridiano centrale; per rappresentare vaste zone si avranno quindi più fusi per ognuno dei quali si assume un diverso meridiano di riferimento. Con tale limitazione, alle nostre latitudini, le distanze subiscono una deformazione massima dello + 0,8‰ (80 cm/km) agli estremi del fuso (±3°). Si noti la notevole somiglianza con la proiezione cilindrica inversa che però è afilattica mentre la rappresentazione di Gauss è conforme.

Fig. 12

4. Nozioni di base sulle carte 4.1. Generalità Una carta è una rappresentazione sul piano della crosta terrestre secondo norme e segni convenzionali assegnati; per tutti gli usi cui è destinata ogni carta deve contenere la possibilità di misurare, entro tolleranze stabilite, distanze, angoli e dislivelli fra due punti qualunque in essa rappresentati. Un carta può essere formata da un unico elemento (foglio) o più elementi che non debbono presentare soluzioni di continuità; è ovvio che ciò dipende dalla scala che si adotta per rappresentare la superficie terrestre: una scala piccolissima permette la rappresentazione di tutta la Terra in un unico foglio, mentre scale grandi necessitano di molti fogli per rappresentare tutto il territorio. 4.2. L'allestimento delle carte L'allestimento di una carta deriva da una serie di rilevamenti eseguiti, nel passato, in campagna dal topografo, oggi più speditamente con metodi fotogrammetrici; tali rilevamenti hanno lo scopo di dare una rappresentazione del terreno sia planimetrica che altimetrica che porterà alla costruzione di una carta topografica ad una determinata scala. 1998/99 F.Resta

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In tale procedimento è implicito il problema che la precisione e la minuziosità del rilievo è direttamente dipendente dalla scala della carta che si vuole ottenere; in una scala grande si dovranno rilevare molti più particolari e con più elevata precisione che in una scala molto piccola. Tutti gli elementi osservati e rilevati su terreno saranno riportati in carta secondo segni convenzionali, in genere indicati su ogni foglio, ampiamente assistiti da toponimi e quote scritti per esteso. Le carte così ottenute prendono il nome di carte rilevate. Da tali carte si possono ottenere, riducendo opportunamente la scala e spogliandole di molti particolari, carte a scala più piccola dette carte derivate (Per es. la cartografia italiana è stata allestita con una carta rilevata in scala 1:25.000; da essa sono state derivate le carte alle scale 1:50.000, 1:100.000, 1:200.000). Si tenga presente che l'ingrandimento di una carta rilevata è operazione non lecita in quanto si otterrebbero carte di precisione non adeguata alla nuova scala e molto povere di particolari rispetto ad una genesi rilevata; in altre parole se, per es., si ingrandisce una carta in scala 1:25.000 per portarla in scala 1:10.000 si otterrà una carta fittizia che non ha la precisione che gli compete per la scala ma conserva quella della carta da cui deriva, quindi precisione inferiore, ed inoltre è priva di molti particolari che una carta rilevata alla scala 1:10.000 dovrebbe possedere. In generale le carte si distinguono in due grandi categorie: - carte generali che hanno lo scopo di dare una rappresentazione del terreno completa di tutti i particolari di interesse generale per tutti i possibili utilizzatori delle carte: quindi orografia, morfologia, idrografia, gli elementi antropici, vegetazione, etc.; - carte tematiche che sono allestite per particolari scopi: in linea di massima, sono ottenute dalle carte generali, opportunamente spogliate di particolari non necessari, in cui vengono introdotti i tematismi che interessano, rilevati sul terreno; si hanno cosi carte geologiche, magnetiche, pedologiche, statistiche, amministrative, stradali, forestali, archeologiche, turistiche, etc.. Esamineremo alcune tra le più note proiezioni e rappresentazioni usate per cartografie destinate a usi diversi. Di ciascuna si daranno nozioni di carattere generale e fondamentalmente qualitativo senza addentrarci nella teoria analitica che le ha generate. 4.3. Denominazione delle carte In termini generali le carte assumono nomi specifici in funzione della scala; si hanno così: - carte geografiche per scale da 1:1.000.000 in giù; - carte corografiche per scale da 1:1.000.000 fino a scale minori di 1:100.000; - carte topografiche distinte in carte a piccola scala (da 1:50.000 ad 1:100.000), a media scala (da 1:10.000 ad 1:25.000), a grande scala (da 1:5.000 ad 1:10.000); - mappe per scale da 1:5.000 fino a scale minori di 1:1.000; - piani per scale maggiori di 1:1.000. 4.4. Carte regolari. Precisione di una carta. Errore di graficismo. Una carta si dice regolare quando contiene: - tutti i particolari del terreno, interessanti il rilevamento in campagna o fotogrammerico, che la scala consente di inserire; 44

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il reticolato geografico e/o la quadrettatura del sistema di coordinate piane adottato (vedi seguito); - quando rispetta geometricamente delle tolleranze assegnate. Per indicare la precisione di una carta in generale ci si riferisce a due coefficienti: - mp detto errore medio planimetrico; - ma detto errore medio altimetrico, che indicano gli errori medi nella posizione di un punto della carta ricavato da una copia stampata della stessa. Tali errori medi (che sono inversamente proporzionali alla precisione, come si vedrà nella teoria degli errori) vengono stabiliti dagli Enti che sovrintendono alle cartografie dei vari Stati o dai Capitolati di particolari rilevamenti e sono ovviamente dipendenti dalla scala della carta. In linea generale l'errore medio planimetrico mp viene stabilito in un valore compreso tra ±0,2 e ±0,5 mm, alla scala della carta; per es. in una carta in scala 1:25.000 risulterebbe ±5,0 ÷ ±12,5 m, mentre in una carta in scala 1:1.000 si avrebbe ±0,2 ÷ ±0,5 m. Tale errore tiene anche conto dell'errore di graficismo, ossia dell'errore massimo che un buon disegnatore cartografo può commettere nel tracciamento di una linea, errore che per prassi si considera pari a ±0,2 mm effettivi; per meglio chiarire il concetto ciò significa che qualunque punto tracciato dal disegnatore sulla carta non sarà mai nella sua posizione vera ma sarà, con elevata probabilità (68,3%), contenuto in un cerchio del diametro di 0,4 mm. L'errore medio altimetrico ma viene fissato in un valore compreso tra ±0,02 e ±0,2 mm, alla scala della carta, per le quote numeriche scritte per esteso sulla carta rilevata in corrispondenza di particolari del terreno (alla scala 1:25.000 si avrebbe ±0,5 ÷ ±5,0 m, mentre alla scala 1:1.000 si otterrà ±0,02 ÷ ±0,2 m), mentre per le quote ricavate dalle curve di livello viene fissato un valore compreso tra ±0,1 ÷ ±0,5 mm, sempre alla scala della carta, (alla scala 1:25.000 si avrebbe ±2,5 ÷ ±12,5 m mentre alla scala 1:1.000 si otterrà ±0,1 ÷ ±0,5 m). Stabiliti gli errori medi si individuano le tolleranze delle carte tramite le seguenti relazioni: tp = 2 mp tolleranza planimetrica; ta = 2 ma tolleranza altimetrica. Le tolleranze indicano i valori che non debbono mai essere superati. 4.5. Carte praticamente equidistanti Nell'introduzione dei concetti di moduli di deformazione ed in tutti gli esempi di proiezioni e rappresentazioni si è visto come gli stessi tendano ad aumentare allontanandosi dalla zona di tangenza dell'ellissoide, sia esso una linea o un punto. Limitando allora convenientemente il raggio della zona da cartografare (il campo della rappresentazione) si può fare in modo che le deformazioni rientrino in limiti prefissati, per esempio entro il limite rappresentato dall'errore di graficismo introdotto al paragrafo precedente. In tali situazioni si produrranno carte in modo tale che su ogni foglio le deformazioni generino errori massimi che divisi per il denominatore della scala risultino minori del graficismo; i fogli di tali carte possono allora considerarsi, agli effetti

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pratici, equidistanti e quindi conformi ed equivalenti e si parlerà di carte praticamente equidistanti. Per altre carte il campo della rappresentazione è così esteso da non poter trascurare gli effetti della deformazione lineare rispetto all'errore di graficismo, però il modulo di deformazione lineare può ritenersi costante per qualsiasi distanza all'interno di ogni singolo foglio; quindi ogni foglio può considerarsi, agli effetti pratici, conforme e di modulo di deformazione lineare costante, come se si trattasse di una carta equidistante a scala poco diversa dalla scala della carta; ciò avviene per le tavolette della cartografia ufficiale dello Stato Italiano (vedi seguito). Per altre carte infine il campo della rappresentazione è così esteso e a scala di rappresentazione così piccola da doversi considerare il modulo di deformazione lineare non più costante nemmeno all'interno di ogni singolo elemento che quindi si presenterà a scala variabile pur mantenendo intatte le caratteristiche di conformità, di equivalenza o di afilatticità che gli derivano dal procedimento costruttivo (vedi Carta del Mercatore). 4.6. L'aggiornamento delle carte Ogni carta porta scritto l'anno in cui è stata allestita ed eventualmente l'anno del suo ultimo aggiornamento, elementi molto importanti per determinare l'attendibilità delle informazioni che ci vengono fornite tramite essa. Una carta infatti tende ad invecchiare e tanto più rapidamente quanto più è grande la sua scala; e ciò non nella morfologia e l'idrografia del terreno, che hanno tempi di modifica geologici, quanto nei manufatti creati dall'uomo quali viabilità, edifici, coltivazioni, etc. Si rendono pertanto necessari periodici aggiornamenti per mantenere una carta sempre conforme alla realtà con opportuni scadenzari : molto brevi per carte a grande scala (una carta in scala 1:1.000 di un centro urbano molto dinamico dovrebbe essere aggiornata ogni 2-3 anni), più diradati per carte a piccola scala ( una carta in scala 1:25.000 dovrebbe essere aggiornata ogni 15-20 anni) 4.7. Il taglio delle carte Le carte geografiche, data la loro piccolissima scala, sono in genere contenute in un solo foglio e per esse non si pongono problemi di taglio. Le carte corografiche, topografiche ed anche le mappe sono invece contenute in più fogli che vengono ottenuti tagliando la carta, salvo rarissime eccezioni, secondo meridiani e paralleli; il taglio in genere avviene considerando come origine dei paralleli l'equatore e come origine dei meridiani il meridiano di Greenwich o un altro meridiano ben definito. Lungo i meridiani ed i paralleli di taglio i fogli componenti una carta debbono attaccarsi senza soluzione di continuità nel terreno. Il collegamento di tutti i fogli componenti una carta risulta dal cosiddetto quadro d'unione che, in forma molto schematica, viene riportato su ogni foglio.

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5. I sistemi cartografici più noti 5.1. Carta di Mercatore Si consideri la proiezione cilindrica diretta, già descritta nel par. 2.3. Proiettando i meridiani ed i paralleli dal centro della Terra sulla superficie cilindrica e sviluppando questa sul piano si noterà che le trasformate sia dei meridiani che dei paralleli sono delle rette. Più in particolare i meridiani si trasformano in rette parallele all'asse N le cui distanze reciproche sono proporzionali alle differenze delle loro longitudini, mentre i paralleli si trasformano in rette parallele all'asse E ma la cui distanza varia al variare della latitudine; cioè a parità di ∆ϕ la distanza tra due paralleli aumenta all'aumentare della latitudine. Il Mercatore (1569) pensò di modificare tale proiezione, che come noto è afilattica, per renderla conforme. La modifica introdotta dal Mercatore consiste nel fatto di ottenere le trasformate dei paralleli non per via puramente proiettiva ma fissando la loro distanza dall'equatore tramite una relazione analitica, funzione della sola latitudine, capace di rendere la carta conforme. Con tale modifica i paralleli continuano a restare rettilinei a paralleli all'asse E ma la loro distanza da tale asse è molto minore (Fig. 13). Nella figura i paralleli della proiezione pura, alle latitudini di 20°, 40° e 60°, sono riportati in tratteggio.

Fig. 13

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L'importanza di questa carta, ancora oggi largamente usata per le carte nautiche e per la navigazione aerea, deriva dall'essere conforme e da avere meridiani e paralleli rettilinei. In conseguenza di ciò se tracciamo sulla carta una retta che congiunge due punti P e Q essa incontra sia i meridiani che i paralleli secondo angoli costanti; in marina l'angolo più usato è l'angolo ρ che tale retta forma con i meridiani e che, essendo la carta conforme, coincide con l'angolo che la linea corrispondente tracciata sull'ellissoide forma con i meridiani. Questa linea viene indicata con il nome di lossodromia e rappresenta il percorso che bisogna fare sulla Terra per andare da un punto P ad un punto Q mantenendo una angolo di rotta costante (mediante la bussola); sulla carta del Mercatore si determina semplicemente congiungendo i due punti con una retta e misurando con un goniometro l'angolo che essa forma con i meridiani. Si noti però che la lossodromia, sulla Terra, non rappresenta la rotta di minor percorso coincidente con la geodetica PQ e detta ortodromia, la quale interseca i meridiani secondo angoli sempre variabili (si ricordi il teorema di Clairaut Parte I Cap.1 par. 4.4.). Per distanze PQ non troppo elevate la differenza tra le due rotte è trascurabile, per cui si naviga secondo la lossodromia, di più facile ed immediata determinazione; per distanze PQ elevate (attraversamenti di oceani) conviene percorrere una spezzata di lossodromie che approssimi quanto meglio la ortodromia. Per il tracciamento della ortodromia sulla carta del Mercatore è necessario l'ausilio di una carta realizzata in proiezione centrografica in cui, come detto, la retta congiungente i due punti P e Q rappresenta la geodetica. Un altro pregio notevole della carta del Mercatore è che con essa si rappresenta con continuità tutta la Terra in un unico sistema di coordinate piane N ed E. Lo svantaggio della carta del Mercatore deriva dal rapido accrescimento del modulo di deformazione lineare con l'aumentare della latitudine; in conseguenza di ciò la scala della carta, all'interno di ogni foglio, non è costante ma variabile da parallelo a parallelo e viene indicata per fasce di latitudini (Fig. 13). In conseguenza di ciò la misura delle distanze sulla carta del Mercatore è scarsamente precisa ma per l'uso che se ne fa ciò ha poca importanza. Al disopra e al disotto di 80° di latitudine, a causa delle notevoli deformazioni, la carta del Mercatore non viene praticamente usata. La proiezione del Mercatore viene usata per allestire le carte nautiche e nella Carta Aeronautica di Navigazione (plotting Cart) alla scala 1:2.000.000. 5.2. Proiezione stereografica polare E' già stata definita al par. 2.2. e si è visto che è l'unica proiezione pura che mantiene la conformità. Il suo utilizzo cartografico si manifesta nelle realizzazione della cartografia delle calotte polari, ponendo quindi il piano tangente ai poli, da cui prende il nome di stereografica polare. In tale proiezione i meridiani sono rappresentati da rette uscenti dall'origine delle coordinate cartografiche N ed E formanti tra loro angoli uguali alle rispettive differenze di longitudine, mentre i paralleli si trasformano in circonferenze concentriche con il centro nell'origine degli assi; i raggi di queste circonferenze sono ov-

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viamente maggiori dei raggi dei rispettivi paralleli e tale diseguaglianza aumenta all'allontanarsi dall'origine degli assi a causa dell'aumento delle deformazioni. Il modulo di deformazione può considerarsi uguale ad 1 nei dintorni del polo e tende ad aumentare col diminuire della latitudine.

Fig. 14 Per mantenere le deformazioni in limiti accettabili tale proiezione si estende non oltre i paralleli di ± 70° di latitudine. All'interno di tali limiti il modulo di deformazione è così piccolo che ogni foglio della carta è da ritenersi a scala costante. Un pregio fondamentale di tale carta è che la ortodromia tra due punti è rappresentata dalla retta congiungente; unendo così i due punti sulla carta con una retta si possono misurare gli angoli di rotta da tenere per seguire il percorso minimo e sono gli angoli, sempre diversi, che la retta forma con i meridiani. 5.3. Proiezione conica conforme di Lambert Nella proiezione conica pura descritta al par 2.4. i meridiani si trasformano in rette formanti tra di loro angoli proporzionale alle rispettive differenze di longitudine, mentre i paralleli si trasformano in circonferenze concentriche il cui raggio è funzione della sola latitudine. Abbiamo visto che la proiezione pura è afilattica. Lambert (1770) pensò di modificarla, in modo da ottenere una carta conforme, lasciando inalterata la generazione proiettiva dei meridiani e modificando i raggi delle circonferenze, immagini dei paralleli, tramite una relazione analitica funzione della sola latitudine. In Fig. 15 sono riportate a tratto continuo la circonferenze generate dalla proiezione e tratteggiate dopo la modifica apportata da Lambert.

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Il modulo di deformazione in tale carta è funzione solo della differenza di latitudine dal parallelo di tangenza, che è equidistante, per cui è costante su ogni parallelo.

Fig. 15 Per contenere le deformazioni all'interno del graficismo per ogni elemento della carta è necessario che l'ampiezza della latitudine della carta non superi 4°. Quindi per cartografare vaste zone della Terra, a latitudini molto differenziate, è necessario ricorrere a più sviluppi conici che hanno l'inconveniente di essere indipendenti l'uno dall'altro, cioè hanno sistemi di coordinate N ed E diversi. Per tale motivo questa proiezione si presta meglio per cartografare Stati che si estendono in longitudine più che in latitudine. I pregi di tale proiezione sono i medesimi messi in evidenza per la stereografica polare: grande approssimazione nella costanza della scala e nella rettilineità dell'ortodromia all'interno di ogni elemento. E' una proiezione molto utilizzata; di essa sono note: - la Carta Internazionale del mondo in scala 1:1.000.000 in fogli di 6° di longitudine per 4° di latitudine estesa tra + 4° e + 72° di latitudine Nord e – 4° e – 72° di latitudine Sud ed integrata dalla carta del Mercatore tra – 4° e + 4° di latitudine e dalla stereografica polare tra ± 72° e ± 90°la carta Aeronautica del Mondo OACIWAC in scala 1:1.000.000; - la carta Aeronautica del Mondo in scala 1:1.000.000 allestita dalla Coast and Geodetic Survey degli USA; la proiezione di Lambert è stata usata per le quaranta fasce di ampiezza di 4° comprese fra – 80° e + 80° di latitudine integrata dalla stereografica polare per le calotte polari; - la Carta Aernautica regionale d'Italia in scala 1:500.000 in 11 fogli; - la carta degli USA.

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CAPITOLO 2 LA CARTOGRAFIA UFFICIALE DELLO STATO ITALIANO LA CARTOGRAFIA CATASTALE

1. La cartografia ufficiale dello Stato Italiano 1.1. Proiezione di Sanson-Flamsteed. La prima cartografia La prima cartografia ufficiale dello Stato Italiano, affidata per legge nel 1878 all'Istituto Geografico Militare Italiano (IGMI), è stata elaborata utilizzando la proiezione (termine improprio) di Sanson-Flamsteed. Si tratta di una carta ottenuta per via analitica imponendo l'equidistanza sia lungo un meridiano scelto al centro della zona da rappresentare che lungo tutti i paralleli; essa risulta quindi praticamente equivalente.

Fig. 16 La sua genesi la dovrebbe porre fra le rappresentazioni, ma viene comunemente indicata col nome di proiezione in quanto può ritenersi ottenuta col seguente procedimento: - si inscrive l'ellissoide in un poliedro le cui facce, a forma di trapezio isoscele, gli sono tangenti in punti distribuiti ad intervalli regolari di latitudine e longitudine; 1998/99 F.Resta

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si proiettano i punti dell'ellissoide su tali facce dal suo centro (proiezione centrografica). Ogni faccia rappresenta quindi una carta a se stante con un proprio centro C (punto di tangenza) diverso da quello delle altre carte del sistema e per tale motivo la proiezione viene detta policentrica. L'asse N corrisponde al meridiano centrale e l'asse E al parallelo per C. I pregi di questa proiezione derivano dal fatto che, limitando opportunamente gli intervalli di latitudine e di longitudine da cartografare, essa, oltre che equivalente, risulta anche praticamente equidistante e quindi anche praticamente conforme nell'ambito di ogni carta. L'inconveniente principale consiste nel fatto che i sistemi di coordinate piane N ed E sono diversi da carta a carta; pertanto se si vuol calcolare la distanza fra due punti appartenenti a carte diverse, anche contigue, bisogna ricorrere alle loro coordinate geografiche. Per la cartografia Italiana gli intervalli di longitudine e latitudine sono stati fissati in 30' e 20' rispettivamente; in tal modo si sono ottenuti i 284 fogli che coprono tutto il territorio italiano. Ulteriori suddivisioni dei fogli in quattro parti, denominate quadranti, e dei quadranti in quattro parti, denominate tavolette, hanno portato alla seguente organizzazione della cartografia italiana (Fig. 17): - Fogli che coprono una porzione di territorio di 30' di longitudine e 20' di latitudine, sono restituiti in scala 1:100.000 ed indicati con un numero arabo da 1 a 284; - Quadranti, ottenuti dalla suddivisione di un foglio in quattro parti, che coprono una porzione di territorio di 15' di longitudine e 10' di latitudine, sono restituiti in scala 1:50.000 ed indicati con un numero romano, I quello ad orientamento NE e gli altri tre numerati in senso orario; - Tavolette, ottenute dalla suddiviFig. 17 sione di un quadrante in quattro parti, che coprono una porzione di territorio di 7'30'' di longitudine e 5' di latitudine, sono restituiti in scala 1:25.000 e denominati con l'orientamento cardinale (NE, SE, SO, NO) ed il nome della località più caratteristica in esse cartografata. L'origine delle longitudini, che determina il taglio geografico delle carte, è il meridiano astronomico di Roma M. Mario (passante per un punto dell'Osservatorio Astronomico di Roma M. Mario) mentre l'origine delle latitudini è stato assunto dall'equatore. Come ellissoide di riferimento fu assunto l'ellissoide di Bessel orientato in un punto situato presso l'Osservatorio di Genova.

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Tale cartografia è stata rilevata considerando come scala di base la scala 1:25.000, e quindi le tavolette sono carte rilevate mentre i quadranti ed i fogli sono stati da esse derivati. I segni convenzionali utilizzati per il disegno sono tutti riportati in calce a ciascuna carta con indicate anche le date del primo rilievo e le date degli eventuali aggiornamenti. Le altimetrie sono evidenziate tramite punti quotati e curve di livello (curve che uniscono punti di egual quota) che hanno la seguente simbologia: - curve fondamentali indicate a tratto continuo in colore seppia con dislivello pari ad 1 mm alla scala della carta (nelle tavolette si avranno quindi curve fondamentali ogni 25 m di dislivello); - curve direttrici indicate a tratto continuo in grassetto sempre colore seppia, poste ogni quattro curve fondamentali (quindi nelle tavolette ogni 100 m di dislivello); - curve ausiliarie indicate a tratteggio in colore seppia e con dislivello pari ad 1/5 delle curve fondamentali (nelle tavolette ogni 5 m). 1.2. La cartografia universale UTM e UPS Durante l'ultima guerra mondiale si decise di istituire una cartografia di base

Fig. 18

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per tutta la Terra adottando la rappresentazione conforme di Gauss tra –80° e +80° di latitudine e la proiezione stereografica polare per le calotte polari ed adottando come ellissoide quello di Hayford, da allora indicato come ellissoide internazionale. I sistemi cartografici ottenuti vengono denominati UTM (Universal Transverse Mercator) la prima per la nota similitudine detta, ed UPS (Universal Polar Stereografic) la seconda. Nel sistema UTM la Terra è divisa in 60 fusi (Fig. 18) di 6° di longitudine numerati da 1 a 60 procedendo da Ovest verso Est e dando il numero 01 al fuso compreso fra 180° e 174° ovest da Greenwich; con tale numerazione il fuso 31 è compreso tra 0° e 6° est di Greenwich, il 32 tra 6° e 12° ed il 33 tra 12° e 18° (questi due ultimi sono quelli interessanti l'Italia che sborda anche nel 34 fuso per parte della penisola salentina). Per identificare in modo rapido un punto sulla superficie terrestre si è seguita la seguente procedura: - ogni fuso è stato suddiviso in 20 zone di 8° di latitudine ciascuna, individuate da una lettera maiuscola (l'Italia fa parte delle zone S e T tratteggiate in Fig. 18); - ciascuna zona è stata suddivisa in quadrati di 100 Km di lato con rette parallele agli assi N ed E individuati da due lettere maiuscole. Un punto viene identificato dal numero del fuso, dalla lettera della zona, dalla coppia di lettere del quadrato ed infine dalle sue coordinate piane. Ricordiamo che nella rappresentazione di Gauss le coordinate piane di un punto sono individuate con riferimento ai due assi N ed E in cui l'asse N è individuato dal meridiano centrale di ciascun fuso, mentre l'asse E è individuato dall'equatore. Nella cartografia UTM la coordinata N ha origine dall'equatore mentre alla coordinata E si aggiunge sempre la quantità di 500 km esatti per renderla positiva comunque; in pratica ciò equivale a far corrispondere al meridiano centrale la coordinata E0 = 500 km (Fig. 19) o, coFig. 19 me suol dirsi, ad avere un falso Est pari a 500 km (500.000 m). Si è già detto che nella rappresentazione di Gauss il modulo di deformazione lineare è uguale ad 1 sul meridiano centrale e cresce rapidamente con l'allontanarsi dall'asse N (par. 5.3.) e che, per limitare le fortissime deformazioni, si limita la zona da cartografare ad un fuso di ampiezza pari a 6°. Con tale limitazione, alle nostre latitudini si ottiene una deformazione massima (dilatazione) delle distanze ai bordi del fuso pari a 80 cm/km ( 0,8 ‰). Ricordando che le tolleranze grafiche ammissibili su una tavoletta in scala 1:25.000 sono pari a 5 m (par. 6.4.) e che su tale carta, per l'Italia, si possono misurare distanze massime di 14 km, si può notare che la deformazione massima, pari a circa 11 m, è notevolmente superiore alla tolleranza. Per ridurre tale problema, nella cartografia UTM viene applicata una contrazione a tutto il piano della rappresentazione, ottenuta moltiplicando tutte le coordinate per la costante 0,9996, detta coefficiente di contrazione; in tal modo le deformazioni lineari, invece di essere sempre dilatazioni comprese tra 0 sul meridiano centrale e + 54

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0,8‰ al margine del fuso, risultano sempre comprese tra – 0,4‰ (contrazione massima sul meridiano centrale) e +0,4‰ (dilatazione massima al margine del fuso) e quindi sempre assorbite dal graficismo (la deformazione massima risulta di 5,6 m su una tavoletta). Con tale artifizio il modulo di deformazione lineare (compreso tra i limiti 0,9996 e 1,0004 all'interno di un fuso) all'interno di ogni tavoletta ha delle variazioni talmente piccole da poterle considerare nulle e quindi tale da poter considerare la carta, all'interno di ogni tavoletta, praticamente equidistante. Un'altra caratteristica fondamentale della cartografia UTM è la presenza su ogni carta di un reticolato a maglie quadrate di 1 Km di lato sul terreno; le rette che formano questo reticolato sono tracciate parallelamente agli assi N ed E per valori tondi alle unità del Km e sono numerate di Km in Km sui bordi della carta. Ricordando come si deformano i meridiani ed i paralleli nella rappresentazione di Gauss rispetto al meridiano di tangenza ne risulta che il reticolato chilometrico risulta disorientato rispetto al reticolato geografico e tale disorientamento tende ad aumentare allontanandosi dal meridiano centrale.

Fig. 20 In Fig. 20 è stato indicato, solo in parte, il reticolato chilometrico sovrapposto al reticolato geografico; lo schema ha solo una funzione didattica per chiarire l'andamento dei due reticolati. Nelle carte in generale il reticolato geografico non viene mai disegnato per intero ma viene solo riportato sui bordi di primo in primo sessagesimale e vengono indicate sui quattro vertici le relative latitudine e longitudine.

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Il reticolato chilometrico consente di ricavare le coordinate N ed E di ogni punto misurando semplicemente l'ascissa e l'ordinata all'interno del quadrato cui si trova e sommando, o sottraendo, detti valori (dopo averli moltiplicati per la scala della carta) alle coordinate chilometriche del reticolato. Il vantaggio di tale reticolato sta nel fatto che le operazioni ora dette non risentono delle deformazioni irregolari che i fogli subiscono dopo la stampa in quanto, all'interno di una sola maglia, le variazioni di grandezza possono considerarsi trascurabili. La distanza D tra due punti P1 e P2 della carta può calcolarsi dalle loro coordinate N1 , E1 , N2 , ed E2 così dedotte, con vantaggio per la precisione, specialmente se i due punti sono molto distante o appartengono a due fogli distinti. Naturalmente la distanza così ottenuta non rappresenta la distanza effettiva sul terreno; per ottenerla si dovrà dividere tale valore per il modulo di deformazione lineare medio tra i moduli nei due punti. Il risultato ovviamente è sempre e comunque affetto dall'errore dovuto alla determinazione grafica dei due punti.

Fig. 21 Nella Fig. 21 è riportata una tavoletta in scala 1:25.000 della cartografia italiana dove si notano: - il reticolato geografico indicato solo sui bordi con tratti bianchi e neri dell'ampiezza di 1';

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il reticolato chilometrico tracciato per esteso con indicata la coordinata corrispondente a ciascun tratto in chilometri: si noti a tale proposito che la coordinata è riportata solo con le ultime due cifre significative mentre le altre cifre, una per la E e due per la N, sono solo indicate saltuariamente per non appesantire la carta. Nell'esempio è evidenziato chiaramente il disorientamento tra il reticolato chilometrico e quello geografico rappresentato dai bordi della carta che, ricordiamo, è tagliata secondo meridiani e paralleli. Volendo determinare le coordinate del un punto P indicato si misurano le distanze dai più vicini tratti del reticolo, si trasformano tali distanze in metri-terreno tramite la scala della carta e si aggiungono o sottraggono alle coordinate di ciascun tratto. Nell'esempio in Fig. 21, essendo la tavoletta in scala 1:25.000, si avrà: N = 4.299.000 – 1,2*250 = 4.298.700 m; E = 603.000 – 1,7*250 = 602.575 m. 1.3. La nuova cartografia italiana Nel 1942, in concomitanza con l'adozione dell'ellissoide internazionale e della rappresentazione di Gauss, anche in Italia si decise di abbandonare la proiezione policentrica e l'ellissoide di Bessel per adeguarsi alla nuova realtà. La cartografia prodotta è stata impostata secondo i seguenti criteri: a) il taglio è rimasto identico a quello in vigore cioè secondo meridiani e paralleli intervallati rispettivamente di 30' e 20' denominati fogli (indicati con un numero arabo e riportati in Fig. 22 solo per la Sardegna) e cartografati in scala 1:100.000, a loro volta suddivisi in quadranti (denominati con un numero romano) di 15' e 10' e cartografati in scala 1:50.000, suddivisi ancora in tavolette (denominate con l'orientamento cardinale) di 7',30 e 5' e cartografate in scala 1:25.000; b) l'origine delle longitudini si è conservata sul meridiano di M. Mario (Roma) la cui longitudine da GreFig. 22 enwich è stata fissata in 12° 27' 08",40; c) per la rappresentazione si sono adottati due fusi, detti fuso ovest o primo fuso e fuso est o secondo fuso, corrispondente con i fusi 32 e 33 dell'UTM; ciò ha facilitato l'inserimento della nostra cartografia in tale sistema mondiale. L'ampiezza del primo fuso è stata incrementata di 30' passando da 6° a 6° 30' per creare una zona di sovrapposizione con il secondo fuso e ridurre in parte l'inconveniente derivante dal passaggio fra i sistemi di coordinate dei due fusi (nelle zone cartografate ricadenti nella zona di sovrapposizione vengono inseriti sulle carte entrambi i reticolati). L'ampiezza del secondo fuso è stata 1998/99 F.Resta

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anch'essa incrementata di 30' per includervi la penisola salentina che altrimenti cadrebbe nel fuso 34(Fig. 23); d) ai meridiani centrali dei due fusi (asse N) sono state attribuite rispettivamente le coordinate E di 1500 km e 2520 km (anziché 500 km come nell'UTM); in tal modo la prima cifra esprime inequivocabilmente l'appartenenza del punto al primo fuso (1°) o al secondo fuso (2°) e la cifra delle decine evita possibili errori grossolani dovuti a scambi delle coordinate E di uno stesso punto nella zona di sovrapposizione(Fig. 23); e) purtroppo esistono in commercio diversi tipi di carte ma, in linea generale, si può affermare che il reticolato chilometrico relativo alla cartografia italiana non è mai tracFig. 23 ciato per esteso ma solo indicato sui bordi con dei simboli diversi per i due fusi; per utilizzarlo si rende necessario il suo tracciamento congiungendo con una riga i riferimenti corrispondenti destra-sinistra e altobasso. Le coordinate di ciascun riferimento, espresse in un numero intero di km, vengono ricavate consultando le coordinate chilometriche dei quattro vertici della carta indicate in uno specchietto posto fuori margine o in alto a destra o in basso a sinistra ed espresse in metri; f) in molte tavolette, ma non in tutte, è riportato per esteso il reticolato UTM (in viola o in nero); g) come ellissoide di riferimento è stato assunto l'ellissoide internazionale orientato a M. Mario; h) a tutto il piano della rappresentazione è stata applicata la contrazione ottenuta moltiplicando le coordinate di tutti i punti per la costante 0,9996, come nell'UTM; i) la simbologia adottata per rappresentare i diversi particolari del terreno sono sempre indicate in basso o sul lato destro della carta; j) la carta rilevata (la tavoletta) viene prodotta con l'utilizzo di cinque colori secondo il seguente utilizzo: il verde per la vegetazione; il nero per tutti i manufatti; l'azzurro per l'idrografia; il seppia per l'altimetria (curve di livello); il rosso per la viabilità statale.

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1.4. Orientamento dell'ellissoide Un discorso approfondito merita l'orientamento dell'ellissoide che spesso ingenera molta confusione. Si è già detto nella Parte I della necessità di utilizzare una superficie matematica che meglio approssimi il geoide individuandola in un ellissoide di rotazione. Si è anche detto che, rendendo le due superfici (geoide ed ellissoide) tangenti in un punto, i limiti da non superare per restare all'interno delle precisioni delle misure non devono superare un raggio di 500-600 km dal punto di tangenza. Nella costruzione della cartografia UTM per rappresentare tutta l'Europa è stato scelto un orientamento medio posto nelle vicinanze di Bonn in Germania; in tale punto l'ellissoide viene orientato sul geoide cioè si fanno coincidere la verticale (normale al geoide) e la normale all'ellissoide ed un azimut su una direzione prefissata. A tale punto sono collegate le coordinate di tutti i punti di inquadramento delle varie reti locali (quella italiana inclusa). Tale orientamento noto con la sigla E.D.50 (European datum 1950), reso valido per tutta l'Europa, supera di molto i limiti suddetti in particolare per tutta l'Italia meridionale (la zona estrema della Sicilia dista da Bonn circa 1700 km) per cui l'Italia nell'eseguire la sua cartografia ha preferito orientare l'ellissoide a M. Mario (Roma) ed a tale punto ha collegato tutti i vertici di inquadramento del primo ordine: l'orientamento a M. Mario è noto con la sigla Roma40. Da tale differenziazione nell'orientamento dell'ellissoide ne deriva che il reticolato chilometrico dell'UTM risulta sfalsato rispetto a quello italiano o, a dir meglio, che uno stesso punto della rete italiana, o comunque qualsiasi punto del territorio italiano, ha coordinate diverse nei due sistemi pur se derivanti dalla stessa rappresentazione (nella coordinata E ovviamente eliminando la falsa origine); è ciò vale sia per le coordinate N ed E che per le coordinate geografiche latitudine e longitudine (per la longitudine ciò vale ovviamente riportandola a Greenwich). In sintesi si può dire che uno stesso punto del terreno è indicato da coppie di coordinate diverse nei due sistemi o che le stesse coordinate indicano punti diversi. Il sistema italiano e le sue coordinate sono note col nome "Gauss-Boaga" in onore del prof. Boaga che ne ha calcolato tutti i parametri. 1.5. Esempi di tavolette In Fig. 25 è riportato un esempio di tavoletta edita dall'IGMI in cui sono stati evidenziati: - il reticolato dell'UTM in colore viola tracciato per esteso; - il reticolato Gauss-Boaga indicato solo sui bordi col segno convenzionale relativo al fuso ovest (Fig. 24). Quindi se si vogliono determinare le coordinate GaussFig. 24 Boaga di un punto P nello stesso modo in cui si è fatto nell'esempio indicato in Fig. 21 per il reticolato UTM è necessario, tramite un righello, tracciare il relativo reticolato e misurare le distanze del punto dalle linee più prossime; tali distanze, moltiplicate per la scala della carta, vanno poi sommate, o sottratte, alle coordinate dei contrassegni presenti sui bordi.

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Per determinare le coordinate dei contrassegni del sistema Gauss-Boaga, non evidenziate direttamente come invece avviene per il reticolato UTM, bisogna fare riferimento alla tabella presente sul lato destro della carta in cui sono indicate le coordinate, in detto sistema, dei quattro vertici della tavoletta espresse in metri in quanto i vertici non coincidono con i contrassegni le cui coordinate sono espresse da un numero intero di chilometri. Le coordinate dei contrassegni più vicini al vertice preso in considerazione sono quindi espresse dal numero intero di km più prossimo (per difetto o per eccesso a seconda che il vertice sia in avanti o indietro rispetto al verso degli assi) al numero che esprime la coordinata del vertice.

Fig. 25 Nella tavoletta indicata in Fig. 25 in corrispondenza del vertice NE leggiamo nella tabella le seguenti coordinate: E = 1453880 m N = 4529730 m per cui il primo contrassegno Gauss-Boaga che incontriamo nella direzione delle E avrà coordinata 1453 km e quindi disterà dal vertice 880 m, mentre nella direzione N

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il primo contrassegno avrà coordinata 4529 km e disterà quindi dal vertice 730 m. Tutti gli altri contrassegni si determineranno per conseguenza sapendo che distano tra di loro 1 km. Si noti che i due contrassegni del reticolato Gauss-Boaga hanno le stesse coordinate chilometriche dei contrassegni del reticolato UTM immediatamente vicini (ovviamente per la E ciò vale a meno di 1000 km in quanto all'origine è stata data una coordinata di 1500 km contro i 500 km dell'UTM) per cui nelle tavolette che presentano il reticolato UTM sono di immediata lettura le coordinate del reticolato Gauss-Boaga. Lo sfasamento esistente tra i due reticolati deriva, come detto nel paragrafo precedente, dal diverso orientamento dell'ellissoide e quindi la stessa coordinata descrive punti diversi. Sulla tavoletta è anche presente il reticolato geografico nel sistema GaussBoaga rappresentato dalla latitudine e dalla longitudine ellissoidiche e tracciato solo sui bordi a tratti bianchi e neri di ampiezza pari ad 1'; sui vertici sono indicate per esteso le relative coordinate geografiche: la latitudine a partire dall'equatore, la longitudine da M. Mario.

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La tavoletta di Fig. 26 è una edizione che contiene anche le coordinate geografiche nel sistema UTM e viene presentata per evidenziare che anche tali coordinate seguono l'andamento delle coordinate chilometriche, sono cioè diverse nei due sistemi. Nel caso evidenziato il vertice SO risulta avere le seguenti coordinate: latitudine UTM 39°05'06" longitudine UTM 9°19'41" latitudine Gauss-Boaga 39°05'00" longitudine Gauss-Boaga 9°19'38" Si noti che per comparare la longitudine si è reso necessario riportarla a Greenwich in quanto nel sistema Gauss-Boaga è riferita a M. Mario che ha longitudine 12°27'08",40 EG.

Fig. 26

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La tavoletta indicata in Fig. 27 è un'altra edizione ancora che contiene per esteso il reticolato UTM in colore nero; in essa sono stati evidenziati i reticolati geografici che si riferiscono, come nelle due tavolette precedenti, sempre al sistema GaussBoaga.

Fig. 27

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Nell'ultima tavoletta che si presenta in Fig. 28 è totalmente assente il reticolato UTM; in questo caso per determinare le coordinate dei riferimenti reticolari nel solo reticolo presente , cioè Gauss-Boaga, bisogna ricorrere all'ausilio della tabella contenente le coordinate dei vertici e seguire il procedimento indicato più sopra.

Fig. 28

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1.6. La rappresentazione dell'altimetria Si è già detto della simbologia adottata per le curve di livello a proposito della prima cartografia italiana; tale simbologia è stata mantenuta nella nuova cartografia. Ne viene indicato un esempio in Fig. 29 in cui sono state evidenziate tre giaciture di curve fondamentali che, si ricorda, sono poste ogni 25 m di dislivello (in genere per l'altimetria si utilizza sempre una scala pari ad 1/1000 della scala delle distanze), due giaciture di curve direttrici, poste ogni 100 m di dislivello e due giaciture di curve ausiliarie, poste ogni 5 m di dislivello. Si noti che nelle tavolette non è mai indicata la quota relativa a ciascuna curva di livello, mentre sono indicate le quote di una serie di punti particolari del terreno (cime di montagne, incroci, zone caratteristiche, etc.); tali punti, denominati punti quotati (P.Q.in sintesi), sempre distribuiti con notevole densità, sono di ausilio per determinare le quote delle curve di livello.

Fig. 29 Per esempio la curva fondamentale evidenziata a sinistra nella figura, posta sopra il toponimo "Serra de Mesu", avrà quota di 75 m in quanto rappresenta il multiplo di 25 più prossimo a 93 che rappresenta la quota della cima della collinetta; analogamente le altre due evidenziate avranno, rispettivamente prese in senso antiorario, quote di 75 m e 125 m. Analogamente le curve direttrici, dovendo essere multiple di 100, avranno entrambe quote di 100 m, mentre le curve ausiliarie, prese da sinistra a destra, avranno quote di 80 m e 65 m. 1.7. La convergenza e la declinazione magnetica Si è più volte detto che il taglio delle carte avviene secondo meridiani e paralleli e che nella rappresentazione di Gauss le trasformate di questi sono delle curve (vedi Fig. 20); orbene in molti casi diviene utile conoscere l'angolo che in un punto P della rappresentazione la tangente alla trasformata del meridiano forma con la parallela all'asse delle N ( che è individuato dal meridiano centrale del fuso), uguale all'angolo che la tangente alla trasformata del parallelo forma con la parallela all'asse E in quanto, trattandosi di rappresentazione conforme, le trasformate del meridiano e del parallelo passanti per un punto formano un angolo di 90° (Fig. 30).

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Fig. 30 Questo angolo è in definitiva l'angolo tra due meridiani, quello centrale del fuso e quello passante per il punto considerato ed è stato già indicato nel par.1.1.1. della parte I col nome di convergenza. La formula semplificata per il suo calcolo, che si richiama, è γ = ∆λ . sinϕ dove ∆λ indica la differenza di longitudine tra il meridiano passante per il punto ed il meridiano centrale e ϕ la latitudine del parallelo passante per il punto. Su molte tavolette dell'IGMI (Fig. 25) viene indicato il valore di tale angolo al centro della carta (Fig. 31) in una apposita tabella, posta in genere sul lato destro, dove viene riportato anche il valore della declinazione magnetica δ al centro della carta e l'andamento delle linee di uguale declinazione. Come si noterà, nella tabella sono indicati il Nord geografico (N) che è individuato dalla direzione dei meridiani, il Nord reticolato (Nr) che è individuato dalla direzione del reticolato, il Nord magnetico (Nm) che è individuato dalla bussola; quest'ultimo non è costante nel tempo per cui il valore della declinazione magnetica, cioè dell'angolo che tale direFig. 31 zione forma col Nord geografico, indicato nella tabella (3°32') è definito temporalmente (1 gennaio 1959) e viene anche indicata la sua variazione annuale (7') ed il suo verso (Est); volendone

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conoscere il valore oggi (1999) bisognerà sottrarre al valore indicato il valore 7'.40 = 280' ottenendo 1° 08' a destra del Nord geografico. In molte tavolette il valore della declinazione non viene riportato e la tavoletta, o parte di essa, viene riportata in tratteggio con la scritta "Z.A." ciò che sta a significare che si è in presenza di una zona anomala magneticamente; per esempio la presenza di rocce ferrose che impedisce l'uso della bussola. La convergenza, all'interno di una tavoletta, si può anche determinare in modo approssimato facendo uso della tabella delle coordinate dei vertici e considerando i meridiani come delle rette (in ciò sta l'approssimazione). Sempre riferendosi alla tavoletta rappresentata in Fig. 25 si considerino i due vertici NE e SE di cui sono note le coordinate (Fig. 32): l'angolo γ si ricava semplicemente da 60 ∆E 58 = = 0°22' tanγ = da cui γ = 0°,36∗ ∆N 9251 100 Ripetendo lo stesso calcolo per i vertiFig. 32 ci NO e SO si ottiene 71 tan γ = da cui γ = 0°26' 9251 La media di tali valori fornisce il valore della convergenza al centro della carta γ = 0°24'

cioè lo stesso valore indicato nella apposita tabella. 1.8. L'ultima cartografia prodotta dall'IGMI La nuova cartografia dell'Italia prodotta dall'IGMI, l'unica oggi in commercio, ha introdotto notevoli variazioni rispetto alla cartografia descritta nei paragrafi precedenti che, per chi si trovi ad operare con entrambe le edizioni, può ingenerare sostanziali errori interpretativi. Il taglio delle carte Il taglio viene sempre effettuato secondo il reticolato geografico, meridiani e paralleli, però dell'UTM; vale a dire che non si usano più le coordinate geografiche di Gauss-Boaga con origine delle longitudini a M. Mario (orientamento dell'ellissoide Roma40), ma le coordinate UTM (orientamento dell'ellissoide ED50) con origine delle longitudini a Greenwich: ciò significa che un punto rilevato nelle vecchie tavolette in coordinate geografiche (Gauss-Boaga) non corrisponde ad un punto sulle nuove che abbia le stesse coordinate geografiche. La suddivisione e la scala delle carte prodotte Si è abbandonata la suddivisione dei fogli in 30' di longitudine e 20' di latitudine, cartografati in scala 1:100.000, e si è adottata la suddivisione in 20' di longitudine e 12' di latitudine con produzione di una carta che ha sempre mantenuto la deno-

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minazione di "foglio" ma in scala 1:50.000 sempre indicato con un numero arabo ed anche con il toponimo della località più rappresentativa della zona. La suddivisione del foglio in quattro parti da luogo alle "sezioni" indicate con un numero romano a partire dall'orientamento NE e con il toponimo più caratteristico della zona; le sezioni coprono un intervallo di longitudine di 10' e di latitudine di 6' e sono prodotte in scala 1:25.000. In Fig. 33 è indicata la nuova numerazione dei fogli per la Sardegna mentre in Fig. 34 è riportata la suddivisione completa della Sardegna con indicate tutte le Sezioni.

Fig. 33

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Fig. 34 1998/99 F.Resta

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Le caratteristiche delle carte Tutte le nuove carte hanno tracciato per esteso il reticolato UTM, mentre hanno solo sui bordi il reticolato geografico che, si ribadisce, afferisce a coordinate geografiche UTM (orientamento E.D.50). Il reticolato Gauss-Boaga viene mantenuto sui bordi con la stessa simbologia delle vecchie carte e la relativa tabella sul lato destro con indicate le coordinate dei vertici espresse in metri (Fig. 35). Su ogni sezione è indicato il modulo di deformazione al centro della stessa.

Fig. 35

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Si notino le coordinate di Roma M.Mario riportate che, per essere riferite all'orientamento medio europeo (E.D.50), differiscono dalle precedenti riportate nelle vecchie tavolette; in particolare la longitudine risulta di 12°27'10'',93, diversa da quella indicata nel par. 1.3. e pari a 12°27'08'',40. 2. La cartografia del Catasto Italiano Il Catasto Italiano fin dal 1886 ha adottato la rappresentazione di CassiniSoldner per disegnare le mappe catastali. Preso sull'ellissoide un punto di riferimento O' di coordinate geografiche ϕ0 e λ0 le coordinate cartografiche di un punto generico P' di coordinate geografiche ϕ e λ si fanno coincidere con le coordinate geodetiche rettangolari xp ed yp di P' rispetto ad O' (Fig. 36). Nelle carte catastali l'asse X (così denominato invece di N) corrisponde sull'ellissoide al meridiano, detto centrale, passante per il punto O', detto centro di sviluppo; l'asse Y risulta perpendicolare ad X in O. Le coordinate piane del punto P (corrispondente di P' sull'ellissoide) sono quindi: - yp che corrisponde all'arco di geodetica P'Q' passante per P' e che interseca il meridiano centrale perpendicolarmente nel punto Q'; - xp che corrisponde all'arco di geodetica O'Q', presa sul meridiano centrale.

Fig. 36 La rappresentazione di Cassini-Soldner è afilattica; riducendo però la distanza dal centro di sviluppo entro un raggio di 70 km la rappresentazione si può considerare praticamente equivalente, cioè con modulo di deformazione areale pari a 1; a tale distanza la deformazione lineare raggiunge il valore massimo di 6 cm per chilometro nelle direzione del meridiano, cioè dell'asse delle X, mentre è nullo nella direzione del parallelo. All'interno di tale zona si può sostituire all'ellissoide la sfera locale e quindi i due archi di geodetiche P'Q' ed O'Q' divengono archi di cerchio massimo con notevole semplificazione nei calcoli. Il Catasto Italiano ha quindi suddiviso il territorio nazionale in 35 zone omogenee per ognuna delle quali è stato definito un centro di sviluppo, in generale coincidente con un punto trigonometrico del primo ordine (non sempre).

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Il Catasto produce le mappe alle scale 1:4000, 1:2000 ed 1:1000 e su di esse sono tracciati i parametri del sistema piano x ed y: sono cioè indicati con una crocetta i vertici dei quadrati ottenuti con rette parallele agli assi x ed y e distanti tra di loro 10 cm che alle scale suddette corrispondono rispettivamente a 400 m, 200 m e 100 m. Le coordinate sono espresse in metri assegnando all'origine la coordinata 0,0. Le mappe catastali si presentano con un contenuto fortemente teso allo scopo della determinazione dei confini proprietari, quindi non hanno ne altimetria ne tutte le informazioni presenti in una normale sezione ma l'essenziale per la individuazione dei lotti di terreno, detti mappali. Nell'esempio stralcio indicato in Fig. 37 si nota la parametratura; le coordinate riportate in corrispondenza di un parametro, x = -93700 m ed y = 11800 m, permettono di ricavare le coordinate di tutti gli altri semplicemente aggiungendo o togliendo 200 m secondo quanto detto sopra.

Fig. 37 Si noti l'essenzialità delle informazioni: i confini delle proprietà, dei numeri o lettere per la loro individuazione, alcuni toponimi fondamentali. Altra caratteristica delle mappe catastali è che le informazioni contenute non si estendono a tutto il foglio ma si interrompono su di un confine ben delimitato (una

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strada nel caso in fig.) che sarà riportato anche nel foglio adiacente (F° 22 nel caso in Fig. 37). In Sardegna vi è un solo centro di sviluppo, pur se le dimensioni eccedono i limiti anzidetti; tale centro non coincide con un punto trigonometrico del primo ordine, come di solito avviene, ma è un punto virtuale situato all'intersezione del meridiano passante per il punto trigonometrico del primo ordine situato sulla Torre di San Pancrazio a Cagliari ed il parallelo situato alla latitudine di 40°, secondo l'ellissoide di Bessel orientato a Genova. 3. La Carta Tecnica della Regione Sardegna (C.T.R.) La Regione Autonoma della Sardegna ha prodotto una sua cartografia in scala 1:10.000 il cui primo impianto risale agli anni 1968-69; era prevista la realizzazione in tre lotti, meridionale, centrale e settentrionale. Il primo lotto, relativo alla zona meridionale, fu realizzato negli anni 1970-71 mentre il secondo, relativo alla zona centrale, negli anni 1978-79; il terzo lotto, per varie vicissitudini, non fu mai realizzato dalla Regione ma, per un terzo della sua estensione (la zona comprendente Sassari) e nel 1989, dal Casmez che vi incluse anche una zona cartografata in scala 1:5000. La cartografia prodotta fu inquadrata nel sistema UTM; ogni sezione in scala 1:10000 rappresentava 1/16 di un foglio dell'IGM in scala 1:50000. Nel 1995 la Regione ha deciso di rifare tutte la cartografia iniziando dalla zona della Gallura che ne era totalmente sprovvista. La situazione nel 1999 si presenta in questi termini: - la zona della Gallura è già stata realizzata; - le altre zone, ad esclusione della zona coperta dalla cartografia realizzata dal Casmez, sono state appaltate in diversi lotti e sono in fase di esecuzione più o meno avanzate. Di seguito si riportano le descrizioni delle carte e le loro specificità. Il taglio delle carte Il taglio del 10000 avviene, come detto, secondo il reticolato geografico UTM e quindi secondo l'ultima cartografia pubblicata dall'IGMI, già definita fin dagli anni 60. In Fig. 38 è riportato uno schema della suddivisione del foglio in scala 1:50000 adottato dalla Regione con indicata la denominazione di ciascuna Sezione, in scala 1:10000, e le successive suddivisioni per scale più grandi fino al 1000 con le relative denominazioni. Lo schema si riferisce alla cartografia prodotta, o che si sta producendo, dal 1995 ad oggi; per la prima produzione cartografica si erano adottate delle denominazioni diverse per le Sezioni, pur restando uguale il taglio, indicando le Sezioni della prima riga dello schema presentato in fig., partendo da sinistra verso destra, con le lettere A1, A2, A3 ed A4; a seguire nella seconda riga con le lettere B1, B2, B3 e B4; nella terza riga C1, C2, C3 e C4 ed infine nella quarta riga D1, D2, D3 e D4. Le lettere erano precedute dal numero del foglio.

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Fig. 38 La prima cartografia prodotta L'esempio di Fig. 39 si riferisce ad una sezione del secondo lotto prodotta nel 1978. Come si può notare la carta non ha né il reticolato geografico né il reticolato UTM ma solo il reticolato chilometrico Gauss-Boaga indicato sui bordi con lo stesso simbolo utilizzato nelle carte dell'IGMI. La carta in scala 1:10.000 è in genere sempre parametrata (come le mappe catastali); con delle crocette vengono indicati i vertici dei quadrati ottenuti dalle intersezioni del reticolato chilometrico: in fig. sono indicate con tratto leggermente più spesso dal reale per motivi di chiarezza esplicativa. Si noti il quadro d'unione in cui è evidenziata in nero la posizione della Sezione all'interno del foglio contornato da tutti i fogli adiacenti; ciò si dimostra molto utile

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quando si lavora ai confini della Sezione per ritrovare immediatamente le sezioni necessarie. A fianco del quadro d'unione è anche riportato l'inquadramento della Sezione nella tavoletta corrispondente della cartografia dell'IGMI.

Fig. 39

La nuova cartografia L'esempio indicato in Fig. 40 si riferisce ad una Sezione della Gallura e, rispetto alla precedente, riporta tutti i reticolati, geografico e chilometrico UTM, chilometrico Gauss-Boaga; può ingenerare confusione il fatto che il reticolato chilometrico UTM è stato indicato con il simbolo generalmente usato per indicare il reticolato chilometrico Gauss-Boaga. Il reticolato chilometrico Gauss-Boaga, come per la precedente, è indicato in tutta la Sezione con i relativi parametri (in fig. sempre indicati a tratto più spesso). Nel riquadro sono indicati anche i parametri per convertire coordinate chilometriche UTM in Gauss-Boaga, e viceversa.

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Fig. 40

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Nella Fig. 41, sempre riferita alla sezione precedente, si può notare la simbologia utilizzata per l'altimetria che prevede curve fondamentali ogni 10 m, curve diret-

Fig. 41 trici ogni 50 m e curve ausiliarie ogni 5 m; la differenza fondamentale rispetto alla cartografia IGMI consiste nel fatto che le curve direttrici hanno indicata la quota relativa che gli compete.

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PARTE III TEORIA DEGLI ERRORI

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CAPITOLO 1 ELEMENTI DELLA TEORIA DELLE PROBABILTA’

1. Eventi aleatori e loro probabilità matematica Si definisce evento aleatorio o casuale un evento di cui non è possibile prevedere le modalità con cui si verifica e che quindi rientra nel novero dei fenomeni il cui manifestarsi comunemente viene attribuito al caso. Tipici esempi dei fenomeni aleatori sono i giochi d’azzardo (roulette, dadi, etc.). Chiamasi evento le diverse forme sotto cui può presentarsi un fenomeno aleatorio e prova l’atto che decide di tale evento. Ci limiteremo a considerare quei fenomeni aleatori che possono dar luogo ad un numero finito di eventi, detto numero dei casi possibili (per es. gettando un dado possono presentarsi 6 casi possibili). All’atto di una prova può verificarsi uno qualunque dei casi possibili; alcuni di questi saranno favorevoli ad una certa aspettativa, altri contrari: il numero dei primi, anch’esso intero e finito, viene indicato come numero dei casi favorevoli (per. es. gettando un dado il numero dei casi favorevoli che esca un numero pari è 3). Ciò detto, si definisce probabilità matematica di un evento il rapporto p tra il numero m dei casi favorevoli all’evento considerato ed il numero n dei casi possibili m p= (1) n (per. es. la probabilità che, gettando un dado, esca un numero pari è 3/6). La probabilità cosi’ definita si può quindi calcolare quando sono determinabili a priori i valori di m ed n: in tal senso la probabilità sopra definita viene anche spesso indicata come probabilità a priori. Essendo sempre m ≤ n sarà 0≤p≤1 corrispondendo a 0 (m = 0) l’impossibilità che l’evento atteso si manifesti e ad 1 (m = n) la certezza che l’evento si realizzi. L’evento atteso non si manifesta soltanto quando si presenta uno dei casi sfavorevoli che sono evidentemente in numero di n - m; in tal caso si dice che si è manifestato l’evento contrario e la sua probabilità q vale 1998/99 F.Resta

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n−m (2) n Ovviamente si deduce che la somma delle probabilità dell’evento atteso e di quello contrario è uguale all’unità p+q=1 (3) come del resto appare logico in quanto si ha "a priori" la certezza che all’atto di una prova si presentino l’uno o l’altro dei due eventi. Si consideri, per es., una prova costituita dal lancio di due dadi: in tale prova i casi possibili sono 36 in quanto ad ogni faccia del primo dado si può associare una qualsiasi faccia del secondo. Se si vuole conoscere la probabilità che la somma dei numeri usciti valga, ad esempio, 2 o 4 si deve contare il numero dei casi favorevoli che vale 1 nel primo caso (l’evento si verifica solo se su entrambi i dadi appare il numero 1) e 3 nel secondo (l’evento si verifica con le seguenti combinazioni 1+3, 2+2 e 3+1): la probabilità degli eventi detti vale quindi 1/36 e 3/36. Da quanto detto, e dall’esempio sopra riportato, sembra che la misura della probabilità sia estremamente semplice richiedendo al più una certa accuratezza nella determinazione dei casi possibili e di quelli favorevoli. Le cose in effetti non stanno in questa maniera in quanto la definizione ha una sua validità a condizione che i casi possibili siano tutti ugualmente probabili. La definizione di probabilità matematica ha quindi una sua validità quando ci si possa ridurre ad una enumerazione di casi ugualmente probabili e presuppone la formulazione "a priori" di un giudizio di uguale probabilità. Questo è evidentemente possibile in molti eventi aleatori riportabili a schemi di giochi d’azzardo o di estrazioni da urne (che anzi tali eventi sono proprio basati su tale principio); diviene invece estremamente difficile e per lo più impossibile in tutti quei fenomeni aleatori che interessano la scienza e la tecnica e che ovviamente rivestono un interesse prevalente. In tali casi la definizione classica "a priori" cade in difetto e sta in ciò la ragione della limitata applicabilità e dello scarso sviluppo che ebbe il calcolo delle probabilità classico che su tale definizione si basava. q=

2. Probabilità e frequenza. Legge empirica del caso La constatata impossibilità di enumerare in molti fenomeni fisici il numero dei casi possibili e di valutare quindi la probabilità a priori di un evento ha portato a considerare la possibilità di dare di essa una valutazione "a posteriori" su base sperimentale, legandola alla frequenza relativa con cui l’evento stesso si è manifestato in una determinata serie di prove, intendendo per frequenza relativa il rapporto f fra il numero di prove m in cui si verifica l’evento ed il numero totale n delle prove ripetute m f= (4) n La frequenza relativa così definita acquista una sua rilevanza anche quando sia possibile una valutazione a priori della probabilità dell’evento nel caso in cui tale valutazione voglia avere contenuto fisico e verificabile quindi con l’esperienza. Infatti, escludendo i casi in cui la probabilità è molto prossima a 0 (evento praticamente impossibile) o ad 1 (evento praticamente certo), è evidente che la misura

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della probabilità acquista un significato fisico solamente se ci si riferisce non alla singola prova bensì ad un insieme numeroso di prove. Per esempio l'affermazione che nel lancio di una moneta la probabilità dell’evento "testa" vale 1/2 non è suscettibile di verifica in un solo lancio né permette di fare nessuna previsione del risultato. Se invece si eseguono n lanci, con n sufficientemente grande, la frequenza dell’evento "testa" non differirà di molto dal valore 1/2 della probabilità matematica; se si eseguisse una serie di n lanci e si manifestasse uno scostamento notevole e di segno costante della frequenza dal valore di 1/2 dovremmo dedurne che la valutazione "a priori" della probabilità è in tal caso errata e che i due casi possibili all’atto di una prova non sono ugualmente probabili. Tutte le volte che si eseguono serie di prove ripetute si osserva che la frequenza relativa dell’evento atteso varia da serie a serie, assumendo valori molto vicini fra loro ed oscillanti intorno ad un valore centrale e che l’ampiezza di tale oscillazione tende a diminuire con l’aumentare del numero di serie. Tale valore centrale può essere assunto come misura approssimata della probabilità che l’evento atteso ha in quella determinata categoria di prove; qualora sia realizzabile una valutazione "a priori" della probabilità matematica, è possibile una valutazione della correttezza di tale valutazione in quanto il valore centrale deve praticamente coincidere con quello della probabilità. E' di fatto questo il legame tra realtà fisica e valutazione "a priori" della probabilità che giustifica l'uso di così fatte valutazioni nell'indagine della natura. Chi dunque ammette la definizione di probabilità "a priori" deve anche esplicitamente ammettere un postulato, noto come “legge empirica del caso”, che consente di dare una valutazione "a posteriori" della probabilità e che si può, sostanzialmente, così enunciare: in una successione di prove ripetute un numero di volte molto grande ognuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è approssimativamente uguale alla probabilità che l’evento ha all’atto di ogni prova, l’approssimazione crescendo all’aumentare del numero delle prove. In tale postulato colpisce la parola "approssimativamente", certamente fuori dall’uso del linguaggio matematico, la quale dà luogo ad una indeterminazione che nessuno penserebbe mai di introdurre, per es., in un postulato di geometria. Al postulato enunciato infatti, in quanto è risultato di una sintesi induttiva che lega la realtà fisica ad un ente astratto costruzione della nostra mente, non è affidato il fondamento logico del calcolo della probabilità; esso, ad es., non è paragonabile ad un postulato del tipo di quello che stabilisce che per due punti passa una sola retta, o che un piano è determinato da tre punti, ma, se mai, ad un postulato che stabilisca la possibilità di applicare le proprietà geometriche di un segmento di retta o di un cerchio ad enti aventi realtà fisica come un filo teso o il bordo di una ruota rispettivamente. Di fatto la applicabilità di proprietà geometriche ad oggetti fisici dà sempre luogo ad un "approssimativamente", nel senso che le condizioni di applicazione non sono mai soddisfatte con assoluto rigore, ma entro certi prefissabili limiti d’errore.

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3. Postulati fondamentali del calcolo delle probabilità Quanto sopra detto mostra chiaramente che è impossibile una definizione esplicita della probabilità che sia soddisfacente dal punto di vista logico e dalla sua aderenza alla realtà fisica. Conviene quindi rinunciare ad una sua definizione logica e stabilire invece alcuni postulati e principi fondamentali che ne costituiscono un definizione implicita e che consentono di costruire in maniera logica il calcolo delle probabilità. Il primo di tali assiomi è il cosiddetto assioma di univocità che si può cosi’ enunciare: in una determinata classe di prove il valore della misura della probabilità è unico. Il secondo va sotto il nome di assioma di normalizzazione e si può cosi’ enunciare: in una determinata classe di prove la misura della probabilità di un evento è un numero reale compreso nell’intervallo chiuso 0 - 1. A tali assiomi bisogna aggiungere alcuni principi o regole che consentano di studiare eventi aleatori derivanti dalla combinazione qualsiasi di altri eventi (somma logica e prodotto logico). Prima di esporre tali principi bisogna definire il concetto di eventi stocasticamente dipendenti o indipendenti in senso aleatorio. Se all’atto di una prova possono presentarsi due o più eventi ciò può avvenire con due distinte modalità: la prima avviene quando il manifestarsi di un evento modifica la probabilità che si manifesti l’altro , o gli altri, e, in tal caso, gli eventi si dicono dipendenti; la seconda quando il manifestarsi di un evento non modifica la probabilità che si manifesti l’altro, o gli altri, e, in tal caso, gli eventi si dicono indipendenti. Se, per es., la prova consiste nell'estrazione di due palle ciascuna da un'urna diversa contenenti palle bianche e nere la probabilità dell'estrazione di una palla bianca dalla seconda urna non dipende minimamente dal fatto che dalla prima urna sia stata estratta una palla bianca o nera. Se invece la prova consiste nell'estrazione di due palle dalla stessa urna senza che la prima palla estratta sia stata rimessa nell'urna l'estrazione di una palla bianca nella seconda estrazione non è più indipendente dalla prima che modifica, in maniera diversa a seconda dell'evento presentatosi, la composizione dell'urna. Ciò detto, possiamo enunciare il principio delle probabilità composte: se all’atto di una prova un evento E si produce solo se si sono verificati, contemporaneamente o successivamente, due altri eventi E1 ed E2 (o più) tra loro indipendenti, la probabilità dell’evento composto E vale il prodotto delle probabilità degli eventi componenti E1 ed E2 : p E = p E1 * p E2 (5) Se invece gli eventi sono da considerarsi dipendenti l’enunciato si modifica nel seguente modo: se un evento E risulta dal concorso di due eventi aleatori E1 ed E2 fra loro dipendenti, la sua probabilità è data dal prodotto della probabilità dell’evento E1 per la probabilità che, essendosi verificato E1 , si verifichi E2 . Nell’esempio citato, se in ogni urna vi sono tre palle bianche e due nere, la probabilità di estrarre due palle bianche, ciascuna da un'urna diversa essa sarà 3 3 9 P= * = 5 5 25 La probabilità di estrarre due palle bianche dalla stessa urna senza rimettere la palla prima estratta nell'urna sarà 84

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3 2 3 P= * = 5 4 10 Stabilita la regola valida per eventi che discendano per prodotto logico da altri eventi aleatori, rimane da considerare quelli derivanti da somma logica. Per tale problema vale il principio delle probabilità totali che così può enunciarsi: la probabilità totale di un evento E che all’atto di una prova può presentarsi secondo due o più modalità, E1 E2…En, tra loro diverse ed escludentesi vale la somma delle probabilità che a ciascuna di tali modalità compete: p E = p E1 + p E2 + .... p En (6) Come esempio consideriamo un’urna che contenga nB = 20 palline bianche, nR = 50 palline rosse ed nN = 30 palline nere: vogliamo sapere quale è la probabilità che venga estratta una pallina non nera. L’evento atteso si manifesta sia che venga estratta una pallina rossa sia che venga estratta una pallina bianca, modalità distinte ed escludentesi, per cui la sua probabilità vale (20/100) + (50/100) = 70/100. Il principio ora enunciato si presta ad alcune contraddizioni se non si tiene bene a mente che la sua applicazione è possibile solo se le modalità con cui si presenta l'evento si escludano mutuamente, e ciò comporta una analisi molto approfondita della prova e dell'evento atteso. Si consideri, per es., di lanciare due dadi e si voglia calcolare la probabilità che esca almeno una volta il numero 5 su uno o sull'altro dei due dadi; ad una analisi superficiale sembrerebbe di essere in presenza di un evento cui poter applicare il principio delle probabilità totali ed ottenere quindi 1 1 1 p= + = 6 6 3 Ad una più attenta riflessione però si può constatare che le due modalità con cui l'evento si può presentare non si escludono in quanto il 5 può presentarsi sia sull'uno che sull'altro dei due dadi. In questo caso è preferibile calcolare la probabilità q che si verifichi l'evento contrario e quindi risalire alla probabilità p dell'evento atteso dall'equazione p = 1− q L'evento contrario si verifica quando contemporaneamente su entrambi i dadi si presentano numeri diversi da 5 per cui si tratta di una probabilità composta e vale 5 5 11 q= * per cui p = 1 − q = 6 6 36 Il problema si risolve anche dando una definizione più generale del principio delle probabilità totali nel seguente modo: la probabilità di un evento E che può presentarsi in due modalità E ed E tra loro non escludentisi vale la somma delle probabilità che competono a ciascuna delle due modalità diminuita della probabilità composta delle due modalità stesse supposte stocasticamente indipendenti p E = p E1 + p E2 − p E1 * p E2 (7) Nell'esempio sopra riportato si avrebbe 1 1 1 11 p= + − = 6 6 36 36

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4. Il problema delle prove ripetute 4.1. La probabilità nell'esperienza delle prove ripetute Una applicazione classica dei principi delle probabilità totali e delle probabilità composte si ha nel problema delle prove ripetute, studiato da Bernouilli, si che esso da luogo al così detto “schema bernoulliano”. Si definiscono prove ripetute una serie di u prove in cui un evento atteso di probabilità p conservi sempre la stessa probabilità. Per es. da un’urna contenente b palle bianche ed n palle nere, tutte uguali ad eccezione del colore, si estragga una palla, si prenda nota del colore e poi la si riponga nell’urna. Eseguendo tale prova u volte si ottiene una serie di u prove ripetute. L’evento atteso sia l’estrazione di una palla bianca di probabilità b p= b+n L’evento contrario, estrazione di palla nera, avrà probabilità n q= b+n Proponiamoci ora di calcolare la probabilità che in una serie di u prove l’estrazione della palla bianca avvenga i volte senza far caso all’ordine, con i variabile da 0 a u. La probabilità che la palla bianca non venga mai estratta nelle u prove (i=0) equivale ad estrarre u volte la palla nera; trattasi quindi di una probabilità composta e vale P0 = q u u  che, ricordando che per definizione   = 1, si può scrivere 0 u P0 =  q u . 0 La probabilità che la palla bianca venga estratta una sola volta vale P1 = u p q u −1 u che, essendo u=  , si può scrivere  1 u  P1 =  pq u −1  1 Tale probabilità si ricava tenendo presente che la probabilità che la palla bianca venga estratta al primo colpo e poi di seguito u-1 palle nere si tratta come una probabilità composta e vale pq u −1 ; ma la palla bianca può essere estratta anche al secondo colpo, o al terzo, fino all’uesimo, sempre verificando il nostro evento atteso, che, ricordiamo, è l’uscita di una palla bianca senza far caso all’ordine: in questo caso si deve applicare il principio delle probabilità totali e si ottiene la formula detta. Proponiamoci ora il problema di calcolare la probabilità che la palla bianca venga estratta due volte: la probabilità composta che la serie delle u estrazioni dia luogo ad una configurazione formata dalle prime due palle bianche e dalle successive

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u-2 nere vale p 2 q u −2 ; ma di configurazioni che contengono due palle bianche cou  munque disposte ce ne sono   , per cui la probabilità totale varrà  2 u P2 =  p 2 q u −2 .  2 In generale la probabilità che si presenti la configurazione con i palle bianche ed u-i palle nere vale u Pi =  p i q u −i (8) i con u u!  = (9)  i  i!(u−i )! Infine la probabilità che si presentino solo palle bianche (i=u) vale u Pu =  p u u Eseguendo una serie di u prove la probabilità che si presenti una qualunque delle configurazioni dette (0 palle bianche, 1 palla bianca, .......u palle bianche) è una probabilità totale P= P0 + P1 + ....Pi + .....Pu che deve valere 1 in quanto rappresenta la certezza; ed infatti se sostituiamo ai valori delle probabilità le formule trovate riscontriamo che il secondo membro della formula rappresenta lo sviluppo del binomio di Newton che vale ( p+q )u ed essendo p + q = 1 si ottiene P=1

Ovviamente da quanto detto ne consegue che la probabilità che l’evento atteso sia l’uscita di una qualunque delle configurazioni comprese tra due limiti -l e +l sarà i =+ l u  P−+l l =∑   p i q u −i (10) i =− l  i  4.2. La probabilità normale Si può dimostrare che dei termini Pi della probabilità totale P soprascritta uno è maggiore, o almeno non minore, di ogni altro. Se indichiamo tale termine con Pr ciò vuol dire che l’evento di estrarre r palle bianche ed u-r nere è il più probabile: tale evento si indica col nome di probalità normale. Si può altresì dimostrare che in una serie di u prove la configurazione di probabilità normale è quella in cui l’evento atteso e quello contrario si presentano un numero di volte proporzionale alle rispettive probabilità, cioè r = pu u-r = qu. Se ad esempio in un’urna ci sono 15 palle bianche e 35 nere, in una serie di 50 prove la configurazione di probalità normale sarà quella che presenta

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15 35 * 50 = 15 palle bianche e * 50 = 35 palle nere 50 50 Se la serie di prove fosse di 80 si avrebbe la configurazione normale di 24 palle bianche e 56 nere. Ricordando la legge empirica del caso ciò significa che se eseguiamo l’esperienza (consistente in una serie di 50, o 80, estrazioni) un numero di volte molto elevato e prendiamo nota della frequenza con cui si presentano le varie configurazioni, la configurazione corrispondente alla frequenza massima dovrebbe rappresentare la configurazione di probabilità normale; si noti che avendo, nel primo esempio, preso in esame un’esperienza consistente in una serie di estrazioni pari al numero totale di palle bianche e nere, ciò ci permetterebbe di conoscere il numero di palle bianche e nere contenute nell’urna. 4.3. Il diagramma delle probabilità nel problema delle prove ripetute. Si consideri per semplicità il caso in cui l’urna contenga un egual numero di palle bianche e nere, avendosi in tal caso: p = q = 1/2. In tal caso la probabilità di estrarre i palle bianche ed u-i nere vale u  1 Pi =  u  i 2 Consideriamo ora una serie di esperienze prima con u = 4, poi con u = 5 ed infine con u = 6 e calcoliamo, nelle diverse ipotesi, i valori della probabilità. I risultati sono riportati nella tabella seguente: u=4 u=5 u=6 Po 6,25% 3,13% 1,56% P1 25,00% 15,63% 9,38% P2 37,50% 31,25% 23,44% P3 25,00% 31,25% 31,35% P4 6,25% 15,63% 23,44% P5 3,13% 9,38% P6 1,56% Con tali valori si possono costruire i relativi istogrammi riportando in ascisse le i ed in ordinate i valori della probabilità (Fig. 1).

Fig. 1

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Parte III – Capitolo 1

Si noti che per u dispari si hanno due massimi; ciò vuol dire che le configurazioni corrispondenti hanno uguale probabilità. 4.4. La probabilità dello scarto Consideriamo, come già detto, la configurazione di probabilità normale in cui si hanno r = pu palle bianche u-r = qu palle nere. Si definisce scarto di una configurazione generica con i palle bianche rispetto alla configurazione normale con r palle bianche la differenza i - r; lo indicheremo con v=i–r (11) La probabilità pv che si presenti lo scarto v è ovviamente la stessa che si presenti la configurazione con i palle bianche e vale pertanto: u p v =  p i q u −i . i Essendo i = v+ r = v+ pu u i = r + qu i = qu v si può scrivere u! pv = p pu +v q qu −v (12) ( pu +v )!(qu −v )! Questa formula importantissima permette di calcolare la probabilità dello scarto v in funzione di v, u, p e q senza passare per il calcolo del valore di r. Se agli istogrammi primo e terzo indicati nel precedente paragrafo, diamo all’origine una traslazione lungo l’asse delle ascisse pari a +2 e +3 (cioè in generale pari al numero r corrispondente alla probabilità normale) avremo in ascisse lo scarto, restando in ordinate le relative probabilità (Fig. 2):

Fig. 2 La formula (12), ove u sia molto grande talchè i rapporti v/up e v/uq risultino minori dell’unità, si può, con opportuni passaggi, trasformare nella formula semplificata pv =

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1 2πupq

e

−

v2 2 upq

(13)

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La (13) dà la probabilità dello scarto in modo approssimato, e tanto meno approssimato quanto più grande è u. Per avere un’idea circa l’approssimazione, nella tabella seguente è stata calcolata la probabilità nel caso di u = 10 e p = q = 1/2: Scarto v 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5

pv esatta 0,2460 0,2051 0,1172 0,0439 0,0098 0,0010

pv approssimata 0,2523 0,2066 0,1134 0,0417 0,0103 0,0017

differenza - 0,0063 - 0,0015 + 0,0038 + 0,0022 - 0,0005 - 0,0007

Si noti che la probabilità che si presenti lo scarto 0, cioè la configurazione corrispondente alla probabilità normale, è la massima. 5. La funzione θ(γ) Come si vedrà in seguito nei problemi del calcolo delle probabilità e della teoria degli errori ricorre spesso l'integrale γ

F = lim ∫ e − x dx γ →∞

2

(14)

0

Tale integrale, sviluppando i calcoli, risulta F=

π 2

(15)

Consideriamo ora la funzione

θ (γ ) =

2

γ

∫e

− x2

dx π 0 Essa si annulla per γ = 0 e cresce al crescere di γ e tende al limite lim θ (γ ) = 1

(16)

γ →∞

La funzione θ(γ) varia dunque da 0 ad 1 quando γ varia da 0 all'infinito; essa può pertanto essere assunta per rappresentare la probabilità. I valori di tale funzione sono tabulati in opportune tavole. 6. Formula semplificata della probabilità degli scarti Nella (5) ponendo 1 h= 2upq si ottiene h −h2v 2 pv = e

π Tale formula esprime in modo approssimato la probabilità dello scarto.

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(17)

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Parte III – Capitolo 1

Volendo conoscere la probabilità che lo scarto ν sia compreso tra due limiti -a e +a si applicherà il principio delle probabilità totali ottenendo ν =+ a h − h 2ν 2 p −+aa = ∑ e ν =− a

π

Introducendo la variabile x = hν si potrà considerare l’incremento ∆x come l’incremento al quale corrisponde un incremento di ν, cioè ∆ν ; ma poiché lo scarto ν rappresenta un numero di prove, l’incremento ∆ν sarà rappresentato dall’unità e quindi si avrà ∆x = h Sostituendo, e ponendo γ = ha si avrà 2 1 x = +γ p −+aa = ∑ ∆x e − x

π x = −γ Aumentando sempre il numero delle esperienze, la sommatoria può essere sostituita con l’integrale, ed allora si avrà +γ γ 1 2 +a −x p −a = e dx = e − x dx = θ (γ ) (18) ∫ ∫ π −γ π0 Quindi la probabilità che lo scarto sia compreso entro i limiti ±a è rappresentata dalla funzione θ(γ) assumendo per γ il valore ha. Il valore ottenuto rappresenta anche la probabilità che la configurazione con i palle bianche sia compresa nell'intervallo pu-a e pu+a. Tutte le considerazioni fatte ci permettono di fare il passo successivo conside2

2

Fig. 3 rando la funzione probabilità dello scarto come una funzione continua nel campo dei numeri reali. Se si riportano in ascisse gli scarti ed in ordinate le relative probabilità la funzione si presenta nel seguente modo, detta curva a campana, Tale curva presenta le seguenti caratteristiche: 1998/99 F.Resta

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a) è tutta nel semipiano delle ordinate positive; b) è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate; c) tende asintoticamente all’asse delle ascisse; d) presenta due flessi. La curva presenta un solo massimo per v = 0 cui corrisponde il valore della probabilità normale h p0 = (19)

π

e due flessi corrispondenti al valore degli scarti 1 m=± (20) h 2 di probabilità h pm = (21) πe L'integrale esteso tra ±∞ sarà, come detto, uguale ad 1 esprimendo la certezza che lo scarto sia compreso tra detti limiti. 1 La probabilità che lo scarto sia compreso nell’intervallo ±m, e quindi γ = , 2 vale 0,683; 3 la probabilità che lo scarto sia compreso nell’intervallo ±3m, e quindi γ = , vale 2 0,997.

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Parte III – Capitolo 2

CAPITOLO 2 MISURE DIRETTE ED INDIRETTE

1. Misura diretta di una grandezza 1.1. Definizione Si definisce misura diretta di una grandezza il numero reale che esprime il rapporto della grandezza da misurare rispetto ad un’altra assunta come unità di misura. Esempio classico è la misura di una lunghezza che si ottiene comparandola col metro campione, assunto come unità di misura. La definizione data si riferisce però a modelli astratti di grandezze misurate in quanto, andando ad eseguire la misura reale di una grandezza nella realtà fisica, ci rendiamo conto dell’impossibilità di determinare la grandezza vera ( per es. il punto non è più un’entità astratta ma concreta dotata di dimensioni, etc.). Diremo che, misurando una grandezza varie volte, ne otterremo sempre valori leggermente diversi tra i quali scegliere il valore che più sia rappresentativo della grandezza misurata. Nei prossimi paragrafi si esporrà il procedimento per effettuare tale scelta ma prima daremo una rapida descrizione degli errori che si possono commettere quando si esegue una misura. 1.2. Classificazione degli errori Quando si esegue una misura, come detto, non si potrà mai raggiungere l’esattezza assoluta in quanto essa è soggetta ad inevitabili errori dipendenti sia dalle imperfezioni dei sensi dell’osservatore, sia dai difetti degli strumenti impiegati, sia infine da un’altra grande quantità di cause perturbatrici di origine diversa e che all’osservatore, anche il più diligente, sfuggono. Questi errori di osservazione possono dividersi in tre classi: a) errori grossolani; b) errori sistematici; c) errori accidentali. Gli errori grossolani provengono dalla distrazione dell’osservatore e si possono scoprire ripetendo più volte le stesse operazioni o misurando altre quantità che con le prime abbiano una semplice ed immediata relazione. Ad esempio misurando tre angoli di un triangolo, ove la loro somma si discosti da 200g di una quantità note1998/99 F.Resta

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volmente diversa dalle precisioni degli strumenti usati, si è sicuramente in presenza di un errore grossolano. Gli errori sistematici hanno la caratteristica di presentarsi sempre con lo stesso segno e derivano da cause di natura fisica o da difetti strumentali. Appartengono alle prime, per es., gli errori personali, la rifrazione atmosferica, la dilatazione dei corpi per effetto della variazione di temperatura, mentre ai secondi la non perfetta rettifica degli strumenti, gli errori di graduazione dei cerchi, etc. Questi errori, conoscendone le cause, si attenuano con opportune procedure di misura (per es. reiterazioni, letture coniugate, etc.) Gli errori accidentali sono caratterizzati dalla loro variabilità senza alcuna successione e provengono da un gran numero di cause perturbatrici di difficile caratterizzazione. Essi non si possono eliminare; se ne possono attenuare gli effetti sottoponendo le misure a metodi speciali di compensazione che vedremo nei prossimi paragrafi. 1.3. Legge sulla distribuzione degli errori Per studiare il problema faremo le ipotesi che - la misura sia stata depurata dagli errori grossolani; - gli errori strumentali siano stati eliminati con opportuni metodi di misura; - le cause perturbatrici producano ciascuna un errore accidentale indipendente dalle altre cause coesistenti. Ciò posto, se si esegue la misura di una grandezza un certo numero di volte si noteranno valori, X1 ,X2 ....,Xi ... Xn, sempre diversi tra di loro. Supponendo di conoscere il valore vero X della grandezza misurata possiamo determinare gli errori di osservazione xi xi = X i − X (22) Consideriamo ora degli intervalli uguali ∆x e riportiamo tali intervalli in ascisse; in ordinate, in corrispondenza di ciascun intervallo, riportiamo la frequenza con la quale gli errori si sono presentati in ciascun intervallo (cioè numero di errori presenti nell’intervallo diviso numero di errori totali).

Fig. 4 Si otterrà un istogramma del tipo indicato in Fig. 4

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Parte III – Capitolo 2

Se l’istogramma si inviluppa con una curva (tratteggiata in fig.) noteremo che la stessa assume la forma della classica curva a campana. Studiando varie esperienze del tipo detto si giunge alla conclusione che la dispersione di frequenza degli errori risulta in generale simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, ammette in genere un massimo per x = 0 e tende ad intersecare l’asse delle ascisse a breve distanza dall’origine. Ciò prova che: a) gli errori positivi si presentano con uguale frequenza di quelli negativi; b) gli errori piccoli sono più frequenti di quelli grandi; c) gli errori sono sempre compresi entro due determinati limiti. Studiando tali comportamenti Gauss giunse a formulare un’equazione matematica che potesse meglio rappresentare i risultati di esperienze di questo tipo: tale equazione è della forma h −h 2 x 2 fx= e (23)

π e rappresenta la legge di frequenza degli errori o legge di Gauss. La formula, come si vede, è simile alla formula ricavata alla fine del capitolo precedente, l’una ricavata a priori tramite il concetto di probabilità, questa ricavata a posteriori sulla base dei risultati sperimentali tramite la frequenza: le due sono legate concettualmente dalla legge empirica del caso che, ricordiamo, tende a far coincidere la frequenza alla rispettiva probabilità all’aumentare del numero di prove. A tale formula si possono applicare tutte le considerazioni fatte al capitolo precedente; in particolare si ricordi che l’area sottesa rappresenta la probabilità che un dato errore sia compreso nell’intervallo preso in considerazione sull’asse delle ascisse. La formula scritta contiene la sola costante h al cui aumentare la curva tende a restringersi attorno all’asse delle ordinate, indicando con ciò un’esperienza dove la dispersione degli errori è minore. Per tale motivo la costante h viene indicata come misura di precisione del sistema di osservazioni.

1.4. Il principio dei minimi quadrati Si considerino gli errori xi di un’esperienza in cui si sono misurate n grandezze Xi ; la probabilità che si presenti l'errore xi vale h − h 2 xi2 Pxi = e (24)

π

La probabilità che si presentino contemporaneamente tutti gli n errori deve intendersi come una probabilità composta, quindi n

 h  − h 2 Σ xi2 P( x1 ,x2 ,...xn ) =  e (25)  π Il valore più probabile della grandezza osservata sarà quello che renderà massima la (25); tale probabilità risulterà massima se i =n

∑x i =1

2 i

= min

e sostituendo agli xi i relativi valori

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Parte III – Capitolo 2

i =n

∑ (X i − X )

2

=min

(26)

i =1

Si giunge così all’enunciazione del principio dei minimi quadrati: il valore più probabile di una grandezza osservata è quello che rende minima la somma dei quadrati degli errori. Il valore di X che rende minima tale funzione è quello che ne annulla la derivata prima. Derivando ed annullando si trova X + X 2 + ....X n X = Xm = 1 (27) n che è effettivamente un minimo in quanto la derivata seconda è positiva. Si può quindi dire che: il valore più probabile di una serie di osservazioni atto a rappresentare il valore di una grandezza fisica è dato dalla media aritmetica delle singole osservazioni. Si noti che il valore di Xm oltre che rendere minima la somma dei quadrati degli scarti, rende nulla la somma degli errori i =n

∑ x =0 i =1

i

come si deduce semplicemente esplicitando la sommatoria. 1.5. Errore quadratico medio Abbiamo visto che la costante h da un’indicazione della precisione del sistema di osservazioni: al suo aumentare cresce l’esattezza delle osservazioni. Ne consegue che l’incertezza, o l’imprecisione, del sistema di osservazioni sarà data da una grandezza inversamente proporzionale ad h. Gauss individuò detta grandezza in una funzione del tipo 1 m=± h 2 partendo da una funzione del tipo x12 + x 22 + ....x n2 (28) n Ad esso viene dato il nome di errore quadratico medio di una serie di osservazioni (In effetti storicamente la denominazione di m sarebbe errore medio lasciando 2 quella di errore quadratico medio alla quantità m ). Se eseguiamo l’integrale della funzione di Gauss tra i limiti +m e -m otteniamo la probabilità che uno scarto qualsiasi, ottenuto dall’esperienza, sia compreso entro detti limiti. Tale probabilità, indipendente da h, è sempre uguale a 0,683; ciò significa che, qualsiasi sia la serie di osservazioni (caratterizzata dal parametro h) la probabilità che uno scarto qualsiasi, preso ad arbitrio tra quelli calcolati, cada nell’intervallo detto è sempre del 68,3%. Per meglio chiarire: al variare della serie di osservazioni l’intervallo ±m varierà, aumentando per serie meno precise e diminuendo per quelle più precise, mentre il parametro h diminuirà per serie meno precise ed aumenterà per serie più precise: si otterranno cioè curve a campana più o meno schiacciate sull’asse delle ascisse, ma m=±

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Parte III – Capitolo 2

l’area sottesa dalla curva e l’asse delle ascisse -entro i limiti ±m sarà sempre uguale a 0,683(Fig. 5).

Fig. 5 1.6. Errore temibile Si definisce come errore temibile (o tolleranza) il valore 3 t =3m=± (29) h 2 La probabilità che uno scarto qualsiasi, ottenuto dall’esperienza, sia interno all’intervallo ± t è pari a 0,997. Praticamente la probabilità di ottenere errori esterni all’intervallo ±t è quasi nulla, si da attribuire a cause probabilmente non accidentali la eventuale presenza di scarti superiori alla tolleranza. In tale evenienze è buona norma eliminare tale valore e ricalcolare la media. 1.7. Errore quadratico medio della media Abbiamo prima definito lo errore quadratico medio di una serie di osservazioni, indicandolo con m; vogliamo ora definire un parametro che caratterizzi l’imprecisione dell’assunzione del valor medio delle grandezze osservata come valore più probabile della misura. Tale parametro, indicato con M, si dimostra essere inversamente proporzionale ad m tramite la radice quadrata del numero delle osservazioni eseguite: m M =± (30) n 1.8. Calcolo dello scarto quadratico medio tramite gli scarti Nei paragrafi precedenti abbiamo introdotto il concetto di errore quadratico partendo dal presupposto teorico di conoscere gli errori veri, il che nella pratica osservazione di una serie di misure di una grandezza fisica è, come detto, concettualmente impossibile. 1998/99 F.Resta

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Nell'esecuzione di una serie di misure di una grandezza fisica, avendo eliminato tutte le cause di errore sistematico, come detto si otterrà una serie di valori X1 ,X2 ....,Xi ... Xn, che possono considerarsi come un campione di n elementi prelevati da un insieme aleatorio. Si pone quindi il problema della determinazione del valore da assegnare definitivamente alla grandezza misurata e quello di individuare dei parametri che caratterizzino il grado di fiducia da attribuire ai risultati delle singole osservazioni ed il grado di fiducia da attribuire al valore assunto come definitivo. Indicando con Xm il valore assunto come definitivo si definisce scarto di ogni singola osservazione il valore X i − X m = vi (31) Ad esso si possono applicare tutte le considerazioni già fatte e quindi la probabilità che si presenti lo scarto vi sarà h − h 2 vi2 Pvi = e (32)

π mentre la probabilità che si presenti la configurazione formata dagli v1 , v2 ,…..vn scarti sarà (probabilità composta) n

 h  − h 2 Σ vi2  e (33) P( v1 ,v2 ......vi ) =   π  Tale funzione, come già detto, diviene massima per il valore di Xm che rende minima la funzione i =n

i =n

i =1

i =1

∑ vi2 = ∑ ( X i − X m )

2

e cioè per il valore X 1 + X 2 + ....X n n che rappresenta la media aritmetica degli n valori ottenuti dalle misure. Il parametro che caratterizza il grado di fiducia da attribuire a ciascuna misura si deriva dall'errore quadratico medio individuato da Gauss. Indicando con X l'ipotetico valore vero e con ε lo scostamento incognito Xm-X , m che si può porre approssimativamente uguale a , si avrà n xi = X i − X = X i − X m + X m − X = vi + ε da cui quadrando xi2 = vi2 + ε 2 + 2εvi Sommando n volte l'espressione predetta si otterrà Xm =

i =n

i=n

i =1

i =1

∑ xi2 = ∑ vi2 + nε 2

ricordando che

i =n

∑v i =1

i

=0

Ricordando la (10) avremo i=n

n * m 2 = ∑ vi2 + m 2 i =1

da cui infine i =n

m =±

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∑v i =1

2 i

n−1

(34)

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e di conseguenza i =n

M =±

∑v

2 i

i =1 (35) n(n − 1) La quantità m suole definirsi come scarto quadratico medio di ogni singola osservazione (s.q.m.) o come standard deviation nella letteratura anglossassone (deviazione standard). La quantità M suole definirsi come scarto quadratico medio della media. Nel seguito di questo testo si userà m per indicare l's.q.m. della media ora indicato con M.

1.9. Applicazione dei concetti esposti ad un caso concreto Si siano eseguite misure per la determinazione della latitudine di un sito tramite collimazioni di diverse stelle ottenendo i seguenti risultati Lat. 45°24’20’’,80 20’’,44 20’’,03 20’’,31 20’’,60 20’’,12 19’’,47 20’’,35 20’’,96

scarto +0,55 +0,19 -0,22 +0,06 0,35 -0,13 -0,78 +0,10 +0,71

Lat. 19’’,83 19’’,49 20’’,77 19’’,72 20’’,58 19’’,19 20’’,87 20’’,93 19’’,98

scarto -0,42 -0,76 +0,52 -0,53 +0,33 -1,06 +0,62 +0,68 -0,27

La media di tali valori risulta essere: 364 ,52 ϕ "m = =20" ,25 18 Con tale valore si possono calcolare gli scarti di ogni singola osservazione (sono stati riportati nella tabella). Si calcola ora m 5 ,11 m=± =± 0" ,55 17 Questa grandezza calcolata a posteriori assume il significato che preso a caso un qualunque scarto di quelli calcolati ed indicati in tabella esso avrà la probabilità del 68,3% di cadere nell'intervallo –0",55 e +0",55. Si può infine calcolare M 0" ,55 M =± =± 0" ,13 18 Potremo pertanto scrivere il risultato finale nel seguente modo ϕ =45°24' 20" ,25±0" ,13 Ciò significa che, ove le misure effettuate siano solo affette da errori accidentali, il valore vero della grandezza, con la probabilità del 68,3%, cade nell’intervallo 45°24 ' 20" ,12 45°24 ' 20 " ,38 1998/99 F.Resta

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e con la probabilità del 99,7% in un intervallo pari a ±3m. Si noti che nessuno scarto eccede il valore ±3m. 2. Misura indiretta di una grandezza Tutta la trattazione fatta si riferisce al caso di grandezza misurate direttamente. Avviene spesso che una grandezza, o per convenienza o per impossibilità, non venga misurata direttamente ma derivata da una relazione matematica che la lega ad altre grandezze, queste misurate direttamente. Esempio classico in topografia potrebbe essere quello di una distanza misurata indirettamente tramite misure di due angoli ed una distanza in un triangolo. La distanza in questione si otterrebbe dal teorema dei seni in funzione dei due angoli e della distanza misurati direttamente. Si pone, in questi casi il problema di sapere quale valore dare a questa grandezza e quale sia il suo s.q.m. In termini generali quando una grandezza è funzione di altre misurate direttamente X = F ( A1 , A2 ,.....Ai ) indicando con Am1 , Am 2 ,.....Ami i valori più probabili, ricavati come detto precedentemente, dalle grandezza misurate e con m1 , m2 ,.....mi i loro scarti quadratici medi delle medie (prima indicati con M), il valore più probabile di X sarà X m =F ( Am1 , Am 2 ,.....Ami ) (36) ed il suo s.q.m. 2

2

2

 δF  2  δF  2  δF  2  m1 +   m2 + ..... mx =±   mi  δAi  m  δA1  m  δA2  m

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(37)

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PARTE IV STRUMENTI ED OPERAZIONI DI MISURA

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Parte IV – Capitolo 1

CAPITOLO 1 STRUMENTI E OPERAZIONI DI MISURA DEGLI ANGOLI AZIMUTALI E ZENITALI

1. Premesse sulle misure angolari 1.1. Misura analitica di un angolo Su una circonferenza di raggio r siano s ed s' le lunghezze di due archi, α ed α' i rispettivi angoli al centro; è nota la relazione α α′ = s s′ Se poniamo α' uguale a due angoli retti s' risulterà uguale a mezza circonferenza (π r), perciò si avrà

α 2angoli retti = s πr

(1)

Se ora poniamo s = r ed indichiamo con α r il rispettivo angolo al centro si avrà

α r 2angoliretti = r πr cioè

αr =

2angoliretti

π

(2)

Questa importantissima relazione dimostra che l’angolo al centro relativo all’arco lungo quanto il raggio è costante, cioè indipendente dal raggio stesso. Il valore costante di α r si chiama radiante e, per la proprietà ora detta, può assumersi come unità di misura degli angoli. Se nella (1) sostituiamo il valore della (2) si avrà

α αr = s r

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Parte IV – Capitolo 1

e ponendo α r = 1 radiante s (3) r si ottiene la misura di un angolo in radianti come rapporto tra la lunghezza dell’arco di circonferenza corrispondente ed il relativo raggio. La (3), esprimendo un angolo come rapporto tra due lunghezze, rende questa misura adimensionale, quindi di uso comune nelle formule matematiche, e per ciò detta misura analitica di un angolo. Dalla (3), se poniamo s = 2π r, s = π r, s = π r/2, otteniamo rispettivamente le espressioni analitiche di un angolo giro (2π ), un angolo piatto (π ) ed un angolo retto (π/2).

α=

1.2. Misure geometriche di un angolo Dalla relazione generale indicata nel paragrafo precedente risulta una corrispondenza tra archi di circonferenza ed angoli al centro, per cui se si suddivide la circonferenza in n parti uguali anche i corrispondenti angoli al centro risulteranno uguali. La circostanza individua il criterio seguito per definire i vari sistemi di unità di misura angolari, fondamentalmente due di uso corrente, quello sessagesimale e quello centesimale. Sistema sessagesimale Si suddivide la circonferenza in 360 parti ed all’angolo sotteso da ciascuna parte si da il nome di grado sessagesimale; a sua volta il grado si divide in 60 primi, il primo in 60 secondi; il successivo frazionamento avviene per decimali. Il grado viene indicato col simbolo °, il primo con un apice ', il secondo con due apici '', per cui l’angolo 37°28′35′′,165 si legge: 37 gradi, 28 primi, 35 secondi e 165 millesimi. Nelle calcolatrici tascabili tale unità di misura è indicata spesso col simbolo HMS (ore, minuti, secondi) in quanto usa la stessa suddivisione in sessantesimi della unità di tempo. Sistema centesimale Si suddivide la circonferenza in 400 parti ed all’angolo sotteso da ciascuna parte si da il nome di grado centesimale; a sua volta il grado si suddivide in 100 primi, il primo in 100 secondi; il successivo frazionamento avviene ovviamente per decimali Il grado viene indicato col simbolo g, il primo col simbolo c, il secondo col simbolo cc per cui l’angolo 28g12c38cc,125 si legge 28 gradi 12 primi 38 secondi e 125 millesimi. Trattandosi però di un sistema di unità di misura a frazionamento decimale, lo stesso angolo si può esprimere come un normale numero decimale con apice g (modo più semplice e più usato) e cioè 28g,1238125.

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Per indicare il grado centesimale si utilizza anche un altro simbolo il gon e come sottomultiplo il milligon, simbolo mgon, pari alla millesima parte del gon: 1 gon = 1g = 1000 mgon 1 mgon = 0g,001 = 10cc Tale unità di misura nelle calcolatrici tascabili è indicato con la lettera G (Grad). Entrambi i sistemi di unità di misura visti, il sessagesimale ed il centesimale, sono usati negli strumenti di misura; il primo, noto da tempi antichissimi, viene però sempre meno usato a favore del centesimale, introdotto dopo la Rivoluzione Francese con l’uso del sistema metrico decimale, in particolare per la facilità con cui si può manipolare matematicamente. Sistema sessadecimale Ha come unità fondamentale la stessa definita per il sistema sessagesimale, cioè il grado sessagesimale. La differenza consiste nei sottomultipli che si presentano come suddivisione decimale del grado: cioè il primo sessadecimale è la centesima parte del grado ed il secondo sessadecimale è la centesima parte del primo (o la decimillesima parte del grado), per cui un angolo sessadecimale si scrive 38°,378546 Questo sistema fu proposto dall’ing. Salmoiraghi, intorno al 1930, per sostituire il sistema sessagesimale nella graduazione degli strumenti topografici ma non ebbe molto seguito. Nella calcolatrici tascabili viene indicato con la lettere D (degree). Sistema millesimale esatto Si definisce come unità di misura l’angolo al centro sotteso da un arco pari alla millesima parte del raggio e si chiama millesimo esatto; come sottomultipli si usano le frazioni decimali. E’ chiaramente una unità di misura 1000 volte più piccola del radiante perché deriva dal dividere la circonferenza in 6.280 parti (2π1000). Si indica col simbolo °° ed in gradi sessagesimali equivale a 1°°,00 = 3′26′′,265 Veniva usato in artiglieria per graduare l’alzo del cannone. Sistema millesimale convenzionale Si definisce come unità di misura l’angolo al centro sotteso da un arco pari alla 6400ma parte dell’intera circonferenza e si chiama millesimo convenzionale; come sottomultipli si usano le frazioni decimali. Per indicarlo si usa lo stesso simbolo del millesimo esatto ed in gradi sessagesimali vale 1°°,00 = 3′22′′,500 Viene usato in artiglieria per graduare l’alzo del cannone.

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2. Generalità sul teodolite Il tedolite è lo strumento fondamentale della Topografia ed è utilizzato per misurare angoli. Prima di introdurlo definiamo quali angoli devono essere operativamente misurati sul terreno. Per definire l’angolo azimutale e l’angolo zenitale si considerino tre punti O, A e B sulla superficie terrestre (Fig. 1).

Fig. 1 L’angolo azimutale fra A e B misurato in O è la sezione normale dell’angolo diedro formato dal piano contenente la verticale per O ed il punto A e dal piano contenente la verticale per O ed il punto B; questo angolo coincide, a meno di correzioni trascurabili rispetto ai minimi errori di misura, con l’angolo tra le due sezioni normali OoAo e OoBo dove con Oo , Ao e Bo si indicano le proiezioni dei punti O, A e B sulla superficie di riferimento. L’angolo zenitale zOA o distanza zenitale è l’angolo che la direzione OA forma con la verticale in O; il suo complemento è l’angolo d’altezza αOA. Il teodolite, come detto, è lo strumento che essenzialmente misura angoli azimutali e zenitali dopo essere stato opportunamente sistemato su un treppiede. La sua struttura è visibile in Fig. 2 dove si possono notare: - una base dotata di tre viti calanti che permettono l’orientamento dell’asse primario a1 secondo la verticale (operazione detta “messa in stazione dello strumento”); - un’alidada che può ruotare intorno all’asse primario a1 ed è dotata di un asse secondario a2 ; 106

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-

un cannocchiale che ruota intorno all’asse secondario a2 e che definisce un terzo asse a3 detto asse di collimazione. Lo strumento si dice rettificato se l’asse secondario a2 è normale all’asse primario a1 e se l’asse di collimazione a3 è normale all’asse secondario; in sintesi: a1⊥ a2 e a2 ⊥ a3 Quando uno strumento rettificato viene messo in stazione con l’ausilio delle viti calanti di conseguenza l’asse secondario a2 si dispone orizzontale e l’asse di collimazione a3 descrive un piano verticale. Si noti la differenza tra la messa in stazione che è un’operazione d’uso, cioè deve essere eseguita ogni volta che si utilizza lo strumento in campagna per effettuare misure, e la condizione di rettifica che è una condizione intrinseca dello strumento cioè posseduta dallo stesso in qualunque suo stato. Le misure degli angoli vengono eseguite con due cerchi graduati, quasi sempre in gradi centesimali: - il cerchio per le misure azimutali è perpendicolare all’asse a1 e solidale alla base durante le misure mentre l’indice di lettura è posto sull’alidada che ruota; - il cerchio per le misure zenitali è normale all’asse a2 e fisso ad esso per cui ruota insieme al cannocFig. 2 chiale mentre l’indice di lettura è fisso all’alidada. Si noti la differenza tra i due meccanismi di misura; - il cerchio zenitale funziona come uno strumento d’indice (o di zero); sono tali tutti gli strumenti di misura che possiedono uno zero, cioè in condizioni di riposo indicano zero (il voltmetro, il tachimetro dell’auto, la bilancia, etc.) mentre in condizione di misura con una sola lettura danno il valore cercato; nel nostro caso la condizione di riposo è rappresentata dalla lettura a cannocchiale verticale che dovrebbe essere zero mentre quando si collima un punto e quindi si ruota il cannocchiale insieme al cerchio la lettura che si effettua sul cerchio indica direttamente la distanza zenitale; - il cerchio azimutale funziona invece come un normale goniometro da disegno; la lettura che si fa collimando un punto (detta direzione azimutale) non ha nessun valore numerico per la topografia in quanto rappresenta un angolo con la direzione dello zero che non è nota; se si vuole determinare un angolo bisogna collimare due direzioni e poi fare la differenza delle due letture. Si potrebbe, anche in questo caso, ottenere l’angolo con una sola lettura ma ciò comporterebbe la necessità

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di far coincidere con la prima collimazione il valore zero; l’operazione, anche se possibile, si usa raramente in topografia in quanto introduce errori supplementari. Nei teodoliti il cannocchiale può ruotare liberamente sul suo asse: ciò permette di poter collimare un punto in due situazioni diverse dello strumento ruotando sia il cannocchiale che l’alidada. Queste due posizioni di collimazione, molto importanti come vedremo nel seguito, si indicano brevemente con C.D. e C.S. (cerchio a destra, cerchio a sinistra) intendendo con ciò la posizione del cerchio zenitale nei riguardi dell’osservatore anche conosciute con il nome di letture coniugate. Analizzeremo in dettaglio nei prossimi paragrafi le parti principali del teodolite e le varie operazioni da eseguire per misurare correttamente gli angoli azimutali e le distanze zenitali. Restano da aggiungere alcune considerazioni sulla precisione strumentale dei teodoliti. Lo scarto quadratico medio strumentale della misura di un angolo azimutale cc c varia entro limiti molto ampi da 0,3 a 5 . Non si confonda tale precisione con lo scarto quadratico medio di un angolo nelle misure effettive che dipende oltre che dalla precisione strumentale anche dall’ambiente in cui si lavora, dai segnali che si collimano, etc. In linea generale si può dire che per misure effettuate con strumenti poco precisi i due scarti coincidono mentre per misure effettuate con strumenti di elevata precicc sione il secondo è sempre più alto non scendendo mai al disotto di 1 . Infine una considerazione sul nome dello strumento; è ancora in uso, ma in via di eliminazione, la distinzione tra teodoliti e tacheometri riservando il secondo nome per gli strumenti meno precisi. La tendenza, usata in questi appunti, è quella di usare il nome di teodolite affiancandogli il suo s.q.m.. 3. Il cannocchiale Il mezzo migliore per realizzare un’asse di collimazione è un cannocchiale dotato di reticolo. Il tipo più in uso è quello astronomico o di Keplero che analizzeremo nella sua struttura elementare utilizzata nel passato.

Fig. 3 Esso è costituito da una lente, detta obbiettivo (Fig. 3) di distanza focale f1 montata all’estremità di un tubo cilindrico e da una lente, detta oculare, di distanza focale f2 montata su un secondo tubo, movibile con un bottone, interno e coassiale al primo.

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Lo schema ottico del cannocchiale è visibile in Fig. 4 Dicesi asse ottico di una lente la congiungente i centri di curvatura delle superfici ottiche di separazione.

Fig. 4 Diconsi punti nodali, P1 e P2 , di un obbiettivo quei due punti, appartenenti al suo asse ottico, che godono della proprietà che qualsiasi raggio incidente nell’uno emerge dall’altro parallelamente alla sua direzione. Se la distanza tra l’oggetto ed il primo punto nodale è d l’immagine si forma ad una distanza q dal secondo punto nodale data dalla prima equazione fondamentale delle lenti 1 1 1 + = d q f1 Se consideriamo l’oggetto puntiforme e posto ad una distanza H dall’asse ottico la distanza h dell’immagine dallo stesso asse è data dall’equazione h q = =E H d dove con E si indica l’ingrandimento trasversale della lente. Dalle equazioni scritte si desume che se un oggetto è posto ad una distanza maggiore del doppio della distanza focale dell’obbiettivo (d ≥ 2f1), come in genere avviene in condizioni d'uso, si ottiene una immagine reale, capovolta e rimpicciolita. L’immagine viene fatta cadere tra il fuoco ' F1 ed il primo punto nodale dell’oculare per cui ne risulta una immagine (indicata a tratteggio grosso nella fig.) virtuale, diritta ed ingrandita (rispetto alla prima) che può essere osservata ponendo l’occhio dietro l’oculare. Fig. 5 Il reticolo è costituito da un vetrino con linee incise (alcuni esempi ne sono dati in Fig. 5) che individuano un punto centrale 1998/99 F.Resta

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chiamato centro del reticolo; esso va posto nello stesso piano in cui si forma l’immagine data dall’obbiettivo. Si definisce come asse di collimazione di un cannocchiale la congiungente il centro del reticolo con il secondo punto nodale dell’obbiettivo. Tale asse, per eventuali operazioni di rettifica, deve avere la possibilità di subire piccoli spostamenti; il problema si risolve dotando il reticolo di viti a contrasto che ne permettono piccoli spostamenti sia in orizzontale che in verticale (Fig. 6). Da quanto detto risulta evidente che per collimare punti posti a distanze diverse è necessario poter variare la distanza q tra l’obbiettivo ed il reticolo, con che si realizza il cosiddetto adattamento alla distanza che, si ribadisce, Fig. 6 consiste nel far coincidere il piano in cui si forma l’immagine con il piano in cui è posto il reticolo. Questa immagine viene osservata tramite l’oculare che quindi deve possedere la caratteristica di potersi muovere rispetto al reticolo per adattarsi alla vista dell’osservatore; in quest’ultima operazione consiste l’adattamento alla vista. Uno dei meccanismi costruttivi con cui si realizzava tale necessità nei tempi passati è indicato in Fig. 3. Per collimare un punto sono quindi necessari due adattamenti che vanno eseguiti in un ordine ben definito: 1) si esegue sempre per prima cosa l’adattamento alla vista che consiste nel muovere l’oculare fino ad avere una visione nitida e distinta del reticolo; questo adattamento conviene sia eseguito orientando il cannocchiale al cielo in modo da vedere ben chiaro il reticolo su sfondo bianco; 2) successivamente si esegue l’adattamento alla distanza muovendo relativamente i due tubi fino ad avere una visione nitida e distinta dell’oggetto sullo stesso piano del reticolo. Per controllare che tale adattamento sia stato ben eseguito si muove leggermente l’occhio controllando che l’oggetto collimato ed il reticolo rimangano solidali tra di loro; ove ciò non avvenga vuol dire che si è in presenza di un errore di parallasse cioè che l’oggetto ed il reticolo giacciono su due piani distinti. Per eliminarlo si procede per tentativi con piccoli aggiustamenti dell’adattamento alla distanza. Negli strumenti moderni l’adattamento alla distanza non avviene più muovendo l’obbiettivo relativamente al reticolo (con ciò causando la variabilità della lunghezza del cannocchiale) ma utilizzando il cannocchiale a lunghezza costante che contiene al suo interno un complesso di lenti mobili che provvedono a far sì che le immagini di oggetti collimati a varie distanze si formino sempre sul piano del reticolo. Una variante che presentano molti teodoliti moderni è l'aggiunta di una lente supplementare all'interno del cannocchiale con il compito di raddrizzare l'oggetto 110

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perciò nell'oculare si vede un'immagine virtuale, ingrandita e dritta anziché capovolta come nei cannocchiali astronomici classici. 4. Mezzi di lettura ai cerchi 4.1. Generalità Nei teodoliti moderni i cerchi graduati sono sempre costruiti in vetro ottico ed hanno sulla periferia una finissima graduazione direttamente incisa con una macchina a dividere (negli strumenti antichi erano costruiti in ottone). L’incisione dei cerchi deve essere eseguita con elevata precisione anche se soc no destinati a strumenti di scarsa precisione; basta osservare che 1 è la quarantamillesima parte dell’angolo giro e che alla periferia di un cerchio, avente un diametro c di 80 mm, 1 corrisponde ad un intervallo di circa 6 µm; ciò significa che anche in un c teodolite da 1 i tratti debbono essere tracciati con la precisione di pochi µm. La presenza di graduazioni con tratti così sottili impone l’utilizzo di un microscopio semplice ( o lente di ingrandimento) come ausilio per le letture da effettuare sui cerchi; lo schema ottico è lo stesso dell’oculare del cannocchiale con ingrandimenti pari a 10 volte (Fig. 8). Per effettuare una lettura con il microscopio semplice è necessario predisporre un indice di lettura, meglio se dotato di un nonio, sullo stesso piano della graduazione ed affiancato sul bordo. Tale sistema veniva utilizzato negli strumenti antichi; l’indice di lettura veniva posto sull’alidada. Negli strumenti moderni si usa un microscopio composto il cui schema ottico è essenzialmente identico a quello del cannocchiale; l’unica differenza consiste nel fatto che l’oggetto da osservare (la graduazione) è posto poco al di là del primo fuoco per cui l’obbiettivo dà una immagine reale ed ingrandita sul piano del reticolo; l’oculare a sua volta ingrandisce ulteriormente l’immagine per cui si possono raggiungere da 30 a 80 ingrandimenti. Lo strumento di lettura viene posto vicino al cannocchiale per cui l’osservatore con un leggero movimento della testa passa direttamente dalla collimazione alla lettura; in genere nel campo dell’oculare compaiono contemporaneamente i due cerchi (azimutale e zenitale). Per realizzare questa configurazione si rendono necessari opportuni veicoli ottici, in genere prismi rettangolari, che trasportino le immagini dei cerchi nelle posizioni volute. 4.2. Errore di eccentricità Tale errore, presente sia nelle letture azimutali che in quelle zenitali, si verifica, nelle prime, quando l’asse principale dello strumento non interseca il cerchio azimutale nel suo centro e nelle seconde quando l’asse secondario (asse di rotazione del cannocchiale) non interseca in cerchio zenitale nel suo centro. Si consideri in Fig. 7 il cerchio azimutale e sia C il suo centro ed A il punto in cui l’asse principale lo interseca dove per semplicità espositiva si è supposto che l’eccentricità AC = e sia nella stessa direzione dell’indice di lettura L0. Se ora si ruota l’alidada, e con essa l’indice di lettura, di un angolo α la differenza di lettura L1-L0

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fornisce un angolo α’ diverso da α di una quantità pari ad ε. Se r è il raggio del cerchio tale valore si può ricavare dal triangolo ACL1 applicando il teorema dei seni: e sen ε ≅ ε = sen α r Da questa formula ε risulta variabile con legge sinusoidale in funzione dell’angolo α che l’indice di lettura forma con la direzione dell’eccentricità. Se poniamo r = 50 mm ed e = 5 µm otteniamo per ε un valore massimo di circa 20" che per i teodoliti meno precisi risulta inferiore alla precisione strumentale e può quindi essere trascurato; non così per i teodoliti più precisi per i quali si rende necessaria l’adozione di un procedimento di eliminazione. Il procedimento consiste nel disporre sull’alidada un secondo indice di lettura diaFig. 7 metralmente opposto al primo ed eseguendo per ogni punto collimato le due letture. Si avrà: L1 = α ′ = α − ε L2 = α ′ + 2ε + 200 = α + ε + 200 Eseguendo la media aritmetica, a meno di un angolo piatto, si ottiene il valore dell’angolo di rotazione effettivo: L + L2 − 200 α= 1 2 Nei teodoliti antichi si ponevano effettivamente due indici di lettura sia per il cerchio azimutale che per quello zenitale (Fig. 8) mentre negli strumenti moderni si utilizza un sistema più sofisticato che analizzeremo parlando dei sistemi di misura micrometrici in uno dei prossimi paragrafi.

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Fig. 8 4.3. Sistemi di misura non micrometrici Gli intervalli di graduazioni incisi sui cerchi, per le difficoltà dette, non supec c rano certi limiti (10 , al massimo 5 per i teodoliti più precisi, è il limite estremo). Ne consegue che la lettura al cerchio viene fatta leggendo su di esso i gradi e le parti di grado incise e valutando la frazione di intervallo tra il tratto di lettura precedente l’indice e l’indice stesso con mezzi diversi che si possono distinguere in due gruppi: 1) valutando la frazione con un semplice conteggio o a stima; 2) misurando la frazione con un metodo micrometrico. Esempi del primo gruppo sono: a) il microscopio a stima: in esso si valuta a stima la frazione dell’intervallo di graduazione; a seconda dell’ingrandimento del microscopio si possono stimare da 1 a 2 decimi della graduazione.

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In Fig. 9 è riportata una lettura su graduazione centesimale suddivisa in decimi di grado: da notare che nelle lettura azimutale (H) è riportata anche la mezzeria della tacca principale, in alto per non appesantire la scala principale, per favorire la stima. b) il microscopio a nonio: il nonio, associato all’indice di lettura, viene costruito dividendo in n parti una lunghezza pari ad n-1 intervalli della graduazione del cerchio; l’indice di lettura è in genere la prima tacca del nonio. Se d è il valore dell’intervallo della graduazione principale l’intervallo d′ del nonio vale:

Fig. 9

n −1 d n L’approssimazione del nonio, cioè la differenza tra i valori degli intervalli della graduazione principale e del nonio, vale d d − d' = (4) n In genere nei noni n = 10, raramente n = 20, per cui se il valore della graduac c zione principale è 10 l’approssimazione del nonio vale 1 . Per capire il funzionamento del nonio si consideri la Fig. 11 in cui la graduac zione principale è suddivisa in 10 , il nonio è diviso in 10 parti e lo zero del nonio è stato portato in coincidenza con la tacca relativa a 18 gradi. L’approssimazione del c nonio vale 1 per cui la prima tacca del nonio si discosterà dalla prima tacca della c graduazione principale di 1 , la seconda tacca del nonio si discosterà dalla seconda c c tacca della graduazione principale di 2 , la terza di 3 e cosi via. d' =

Fig. 11

Fig. 10

Pensiamo ora di dover fare una lettura 114

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con lo zero posizionato come in Fig. 10. L’intervallo tra lo zero ed il 18 si potrebbe apprezzare a stima; con l’ausilio del nonio andiamo a vedere quale tacca del nonio coincide con una tacca della graduazione principale; per valutare esattamente la tacca coincidente possiamo aiutarci controllando che le tacche del nonio precedente e seguente quella coincidente devono risultare interne all’intervallo rappresentato dalle tacche precedente e seguente sulla graduazione principale. Nell’esempio risulta coincidente la quarta tacca per cui l’intervallo cercato c vale 4 e quindi la lettura risulta di 18,04 gradi centesimali. Quando l'indice di lettura è organizzato con un nonio bisogna pertanto in primo luogo contare le tacche del nonio, poi verificare quanto vale la minima graduazione della scala principale, indi calcolare l'approssimazione del nonio tramite la (4). Spesso nei noni utilizzati nei teodoliti il valore della approssimazione è già indicato su alcune tacche per cui la lettura diviene immediata. Due esempi di letture sessagesimale e centesimale sono indicate in Fig. 12.

Fig. 12 4.4. Sistemi di lettura micrometrici Tutti i metodi di lettura descritti non consentono un’elevata precisione perché al c massimo si riesce ad apprezzare 0,5 corrispondenti a circa 15"; nei teodoliti di elevata precisione si deve ricorrere a sistemi di lettura più sofisticati. Il metodo più usato prevede l’utilizzo di una lamina piano-parallela che si basa sull’utilizzo della legge della rifrazione. Si consideri una lamina a facce piane e parallele di spessore s (Fig. 13). E’ noto dall’ottica che un raggio di luce che incide ortogonalmente una superficie di separazione tra due mezzi (nel nostro caso aria-vetro e poi vetro-aria) li attraversa senza subire alcuna deviazione.

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Fig. 13

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Nel caso il raggio incida la superficie con un angolo i subisce il fenomeno della rifrazione cioè il raggio subisce una deviazione seguendo la legge di Snellius n sen i = n 21 = 2 (5) sen r n1 dove con n21 si indica l’indice di rifrazione relativo del mezzo 2 rispetto al mezzo 1 (nel nostro caso vetro-aria) dato dal rapporto dell’indice di rifrazione assoluto n2 del mezzo 2 (vetro) con l’indice di rifrazione assoluto n1 del mezzo 1 (aria). Nello schema indicato il raggio passando dall’aria al vetro si avvicina alla normale formando con essa un angolo r minore di i in quanto passa da un mezzo otticamente meno denso (aria) ad un mezzo otticamente più denso (vetro). Continuando il suo percorso nel vetro il raggio incide la superficie di separazione vetro-aria con un angolo r (trattasi di angoli alterni interni) e la attraversa subendo nuovamente una deviazione secondo l’equazione sen r n1 1 = = sen i n2 n21 In questo secondo passaggio il raggio si allontana dalla normale in quanto passa da un mezzo più denso ad un mezzo meno denso. Nel suo percorso il raggio riemerge quindi nell’aria con lo stesso angolo di incidenza ma subendo una traslazione pari a d. Per ricavare il valore di d notiamo che dal triangolo BDC si ha s BC = cos r mentre dal triangolo ABC d BC = sen( i − r ) Dalle due relazione si ricava s d= sen( i − r ) cos r Per angoli di incidenza molto piccoli si può porre cos i = cos r = 1 per cui sviluppando sen(i-r) si ottiene d = s(sen i − sen r ) da cui, dividendo e moltiplicando il termine entro parentesi per sen r e ricordando che seni/senr=n21 , si ottiene d = s sen r( n21 − 1 ) da cui ancora moltiplicando e dividendo per sen i e ponendo sen i = i essendo i piccolo si ottiene n −1 d = s 21 i n21 In definitiva d risulta proporzionale all’angolo di incidenza e tale proporzionalità si può ritenere valida per angoli di incidenza anche di parecchi gradi. Nei teodoliti si pone una lamina piano-parallela in posizione opportuna lungo il cammino dei raggi ottici dal cerchio al reticolo, girevole intorno ad un asse ortogonale alla direzione dei raggi, e si fa in modo che nel campo dell'oculare si possa leggere in una opportuna finestra, in frazioni dell’intervallo della graduazione principale, la rotazione della lamina. 116

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Nell'esempio riportato in Fig. 14 il reticolo consiste in un semplice doppio tratto; nel campo dell'oculare sono riportate le letture sia al cerchio azimutale (rettangolo intermedio evidenziato da una A) sia quelle al cerchio zenitale (rettangolo inferiore) mentre la piccola finestra superiore indica gli spostamenti dovuti alla rotazione della lamina. Ruotando con un opportuno bottone la lamina, l’immagine del cerchio viene spostata fintanto che un tratto della graduazione viene bisecato dal reticolo (in Fig. 14 ciò avviene per il cerchio zenitale); la rotazione ha quindi Fig. 14 determinato uno spostamento che è proporzionale alla frazione di intervallo che si vuole misurare e che si legge direttamente nella finestra superiore. Nell’esempio riportato in figura il costruttore ha suddiviso lo spostamento (dog vuto ad una rotazione completa della lamina) pari ad 1 in 50 parti; infatti nel rettanc golino superiore la minima graduazione è pari a 2 : in questo modo si può spingere cc la precisione della lettura fino a 50 , equivalente ad ¼ di tacca. Una variante molto più precisa è il microscopio a coincidenza di immagini: attraverso un sistema ottico si portano le immagini dei due lembi diametralmente opposti a contrapporsi sul piano del reticolo di un microscopio semplice (Fig. 15). Prima della coincidenza i tratti del cerchio immediatamente prima dell’indice distano da questo di due quantità a e b generalmente diverse tra loro per effetto dell’errore di eccentricità.

Fig. 15 Sul percorso dei raggi ottici sono inserite due lamine piano-parallele collegate con un bottone esterno che ne permette la simultanea rotazione di quantità uguali e contrarie. Con tale bottone si portano quindi a coincidere i due tratti contrapposti del cerchio realizzando con ciò una media ottica in quanto ognuna delle immagini ha traslato di una quantità pari ad (a+b)/2 ; lo spostamento effettuato si legge in una finestrella che appare nel campo dell'oculare in frazioni dell’intervallo da misurare.

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Questo metodo oltre a fornire la massima precisione nelle letture elimina anche l’errore di eccentricità in modo automatico. 5. Strumenti per la determinazione di rette verticali e di rette e piani orizzontali. 5.1. Filo a piombo E’ lo strumento classico ed il più semplice per materializzare la direzione della verticale. In topografia viene utilizzato per rendere verticale una palina o una stadia oppure più spesso per centrare l’asse principale del teodolite, reso verticale, sul punto materializzato a terra ( Fig. 16).

Fig. 16

5.2. Le livelle I dispositivi fondamentali che si applicano in topografia per verificare la verticalità di un’asse, l’orizzontalità di un’asse e l’orizzontalità di un piano sono le livelle. 5.2.1. Livella torica La livella torica è una fiala di vetro riempita parzialmente di un liquido poco viscoso e congelabile solo a bassissime temperature ( alcool, etere, etc.), avente la superficie interna a forma di toro (Fig. 17). Tale superficie, come noto dalla geometria, si ottiene facendo ruotare una circonferenza intorno ad una retta del suo piano non passante per il centro. Il liquido riempie solo parzialmente la fiala per cui nella parte alta si forma sempre una bolla formata prevalentemente dai vapori del liquido. La superficie del liquido che delimita i vapori si dispone sempre orizzontale per cui la tangente al toro nel punto di mezzo della bolla è sempre orizzontale. Sulla fiala è incisa una graduazione i cui tratti distano 2 mm; la tangente alla fiala nel punto centrale della graduazione dicesi tangente centrale della livella. Da quanto detto risulta che se si Fig. 17 porta la mezzeria della bolla a coincidere con la tacca centrale della graduazione la tangente centrale della livella si dispone orizzontale.

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Questa operazione, detta centramento della bolla (o mettere in bolla la livella), non avendo la bolla un suo centro materializzato, viene eseguita osservando i menischi laterali e ponendoli in modo simmetrico rispetto al centro della graduazione. Si definisce sensibilità di una livella l’angolo di cui deve ruotare la livella affinché la bolla si sposti di 1 mm 1mm 1 σ ′′ = R arc1′′ dove R è il raggio della sezione mediana del toro. Si definisce anche un altro angolo, detto valore angolare della parte, come l’angolo di cui deve ruotare la livella affinché la bolla si sposti di 2 mm cioè di una tacca della graduazione, detta parte 2mm 1 ν ′′ = R arc1′′ Ovviamente più piccolo è il numero che esprime in secondi la sensibilità maggiore è la sensibilità di una livella in quanto riesce a percepire spostamenti della bolla più piccoli. Ciò detto, a seconda dell’uso cui è destinata, la livella viene inserita in una opportuna struttura. 5.2.1.1. Livella per rendere assi o piani orizzontali Nella livella per assi la fiala è racchiusa in un cilindro metallico a sua volta vincolato ad un supporto con una cerniera da un lato e con delle opportune viti di rettifica dall’altro; tali viti servono per consentire di variare l’assetto della fiala rispetto alla retta d’appoggio. Tale supporto viene dotato di opportuni incastri quando la livella debba essere utilizzata per rendere orizzontale un’asse, in quanto lo stesso si presenta sempre in

Fig. 18 forma cilindrica (Fig. 18) oppure avrà la base d’appoggio piana se l’utilizzo è quello di rendere orizzontale un piano (Fig. 19).

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Fig. 19 La livella così costruita si dice rettificata quando la sua tangente centrale è parallela alla retta o al piano d’appoggio. La condizione di rettifica è molto importante in quanto solo se essa è verificata si può rendere orizzontale un asse appoggiando su di esso la livella e ruotandolo fino a centrare la bolla. Per verificare la perfetta efficienza della livella si opera nel seguente modo: - si consideri una livella non rettificata, la si poggi su di un asse e si ruoti tale asse fino a centrare la bolla. La tangente centrale si disporrà orizzontale ma l’asse su cui poggia la livella, causa la non rettifica, formerà con l’orizzonte un angolo ε (Fig. 20);

Fig. 20 -

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si tolga ora la livella dall’asse, che resterà fermo nella sua posizione, si ruoti la livella di 180° e la si poggi nuovamente sull’asse. In questo nuovo assetto la bolla si disporrà in una posizione non centrale subendo una rotazione pari a 2ε, misurata contando il numero delle tacche incise sulla livella di cui si è spostata la bolla (Fig. 21) (si noti che la tangente centrale continuerà a formare un angolo ε con l’asse e che le perpendicolari alla tangente centrale ed all’orizzontale formeranno un angolo pari a 2ε, cioè lo stesso angolo formato dalla tangente centrale e l’orizzontale).

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Fig. 21

Se, messa così in evidenza la non rettifica della livella, la si vuole rettificare basterà agire sulla vite di rettifica W della stessa spostando la bolla verso il centro di un angolo pari ad ε, cioè alla metà del numero di tacche. Per rendere invece orizzontale un piano basterà rendere orizzontali due rette del piano, in genere tra di loro perpendicolari per poter condurre le operazioni senza compromettere nell’una quanto già raggiunto nell’altra. Questa operazione in topografia non viene mai usata in quanto non esistono piani da rendere orizzontali. 5.2.1.2. Livella per rendere verticale un’asse Nella livella utilizzata per rendere verticale un asse la fiala deve essere montata in un’armatura che le permetta di ruotare insieme all’asse; per es. l’armatura può essere costituita da un supporto a squadra il cui lato più lungo possa essere poggiato sull’asse e ruotare insieme ad esso. In questo modo vengono realizzate tali livelle impiegate in meccanica. Negli strumenti topografici invece si usa disporre il tubo che contiene la fiala sulla parte girevole intorno all’asse che deve essere reso verticale: nei teodoliti essa si dispone sull’alidada (Fig. 22). Tale livella si dice rettificata quando la tangente centrale è normale all’asse da rendere verticale. Per rendere verticale un asse si rendono verticali due piani che lo contengono, posti, per lo stesso motivo detto per il piano orizzontale, perpendicolari tra di loro: in tal Fig. 22 modo l’asse, essendo comune a due piani verticali che lo contengono , è verticale .

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Negli strumenti topografici l’operazione di rendere verticale l’asse deve essere eseguita ogni volta che in campagna si devono misurare degli angoli ed è una operazione fondamentale per la correttezza delle misure. Viene comunemente indicata col nome di "messa in stazione" dello strumento e si esegue nel seguente modo: 1) si supponga che la livella sia rettificata, cioè la sua tangente centrale sia

pos. A

pos. B

pos. C

pos. D

Fig. 23 perpendicolare all’asse di rotazione dello strumento, e fissiamo la nostra attenzione al piano ρ che contiene tale asse ed è perpendicolare alla tangente centrale (Fig. 23 pos. A); 2) in una condizione generica di asse non verticale si ruoti l’alidada e si disponga la livella parallelamente a due viti calanti della base d’appoggio dello strumento; 3) agendo su tali viti con rotazioni simultanee, uguali ma contrarie, si centri la bolla: con tale operazione il piano ρ è stato reso verticale nella posizione ρ1 (Fig. 23 pos. B) in quanto perpendicolare alla tangente centrale che è stata resa orizzontale ma non per questo è perpendicolare l'asse di rotazione a che gli appartiene; 4) si ruoti ora l’alidada di 100g (Fig. 23 pos. C) e si centri la bolla con la terza vite calante: con tale operazione il piano suddetto viene reso verticale nella posizione ρ2 (Fig. 23 pos. D); 5) in tale situazione l’asse essendo comune ai due piani ρ1 e ρ2, entrambi verticali, è verticale (Fig. 23 pos. D). L’operazione descritta per rendere verticale l’asse del teodolite, la cui precisione dipende, ovviamente, dalla sensibilità della livella che si è utilizzata, vale, come detto, nel caso in cui la livella sia rettificata; ciò viene messo in evidenza dal fatto che, dopo aver eseguito le operazioni anzidette, ruotando l’alidada in qualsiasi posizione la bolla resta sempre centrata. Nel caso ciò non avvenga il fatto è un indice che 122

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la livella non è rettificata: si pone allora il problema di conoscere l’angolo di srettifica per poter, eventualmente, rettificare la livella. Si supponga la livella non rettificata, cioè la sua tangente centrale formi un angolo v con la normale all’asse intorno a cui ruota: 1) in una condizione generica di asse non verticale si ruoti l’alidada e si disponga la livella parallelamente a due viti calanti della base d’appoggio dello strumento; 2) agendo su tali viti con rotazioni simultanee, uguali ma contrarie, si centri la bolla (Fig. 24 1a posizione). In tale posizione la tangente centrale è orizzontale ma l’asse non appartiene ad un piano verticale ma ad un piano inclinato dell’angolo v; 3) si ruoti l’alidada di 200g: con ciò la tangente centrale descriverà un cono portandosi nella posizione opposta rispetto alla normale all’asse (Fig. 24 2a posizione) e formando quindi con la posizione precedente un angolo pari a 2v. La bolla non sarà più centrata ma spostata di un numero di Fig. 24 tacche equivalente all’angolo suddetto. Pertanto, volendo rettificare la livella, si dovrà agire sulla vite di rettifica riportando la bolla verso il centro di un numero di tacche pari alla metà di quelle osservate. 5.2.2. Livella a coincidenza Le livelle toriche, in topografia, vengono usate anche per rendere orizzontale l’asse del cannocchiale di un livello oppure per eliminare l’errore di verticalità nelle letture zenitali; in questi casi la bolla deve essere centrata con notevole precisione. Per tale caso sono state costruite delle livelle, dette a coincidenza, nelle quali, attraverso un opportuno sistema di prismi (Fig. 25), appaiono affiancate le due estremità della bolla. La livella sarà centrata quando le due immagini della bolla appariranno raccordate. Fig. 25 Con tale la sensibilità della livella di partenza risulta aumentata di cinque, intendendo con ciò che la livella è 5 volte più sensibile (una livella torica con una sensibilità σ" = 25" raggiunge una sensibilità di 5"). 1998/99 F.Resta

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5.2.3. Livella sferica La livella sferica consiste in una fiala di vetro avente la superficie interna superiore a forma di calotta sferica incastonata in una armatura metallica; nella parte superiore di tale calotta è inciso un circoletto di qualche mm di diametro intorno ad un punto detto polo (Fig. 26). Fig. 26 Centrare la bolla significa portarla all’interno del circoletto; in tale situazione l’asse polare della calotta sferica si dispone verticale per le note condizioni di equilibrio della superficie libera di un liquido e quindi il piano tangente alla livella nel punto centrale del circoletto si dispone orizzontale. Per centrare una livella sferica di un teodolite (Fig. 27), in genere poggiata sull'alidada, si ruotano le due viti calanti V1 e V2 sino a portare la bolla nella direzione a-a e successivamente con la vite V3 si porta nel circoletto; tutto ciò senza ruotare minimamente l'alidada. Sono livelle molto meno precise delle toriche (la loro sensibilità è quasi sempre c minore di 10 ) e si utilizzano in topografia Fig. 27 per rendere verticale l’asse di un teodolite in prima approssimazione oppure per rendere verticali paline, stadie, etc. . 5.3. Messa in stazione Nei paragrafi precedenti si è rilevata l'importanza dell'operazione di "messa in stazione" di un teodolite. In questo paragrafo ne analizzeremo più a fondo le modalità operative. Come già detto, quando si utilizza un teodolite in campagna per eseguire delle misure, esso viene posto su di un apposito treppiede e fissato allo stesso tramite un opportuno vitone. Il treppiede (Fig. 28) è un accessorio fondamentale per il topografo; in genere è costruito in legno e dotato di tre gambe allungabili e terminanti con una base metallica a punta in modo da poterla infiggere nel terreno in modo stabile. I treppiedi sono incernierati su una struttura, pure essa metallica, con una faccia piana e rettificata su cui si fissa il teodolite. In tale assetto, "mettere in stazione il teodolite" significa non solo rendere il suo asse principale verticale ma fare in modo che esso intercetti il punto segnalizzato a terra.

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L'operazione di rendere l'asse verticale viene effettuata con l'ausilio della livella posta sull'alidada, come visto nel precedente paragrafo, mentre il riporto a terra sul punto segnalizzato si realizza tramite un semplice filo a piombo fissato ad un gancio presente all'interno del vitone e, costruttivamente, in asse con l'asse principale dello strumento. L'operazione, dopo aver fissato il teodolite ed il filo a piombo al treppiede, si effettua cercando di centrare il punto a terra con leggeri moviFig. 28 menti del treppiede; dopo tale centramento si rende l'asse verticale tramite la livella con che, però, perdendo il centramento a terra. Si svita, allora, leggermente il vitone di fissaggio e, con piccoli spostamenti del teodolite sulla base del treppiede, si centra nuovamente col filo a piombo il punto a terra; con tali movimenti si è però perso il centramento della bolla e quindi la verticalità dell'asse che deve nuovamente con le solite manualità essere ripristinata. L'operazione si ripete con successivi piccoli aggiustamenti fino ad ottenere la completa messa in stazione cioè asse verticale e passante per il punto a terra. Questa operazione, lunga e fastidiosa, può essere notevolmente sveltita se lo strumento possiede un piombino ottico, basato sul principio della riflessione totale. Come noto una raggio di luce incidente una superficie di separazione tra due Fig. 29 mezzi, nel nostro caso vetroaria (Fig. 29 a)), con un angolo i subisce il fenomeno della rifrazione viene cioè deviato formando con la normale alla superficie di separazione un angolo r che soddisfa la legge di Snellius sen i = nva sen r dove con nva è indicato l'indice di rifrazione relativo dell'aria rispetto al vetro (praticamente è l'inverso dell'indice indicato al par. 4.4.). 1998/99 F.Resta

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E' noto che l'angolo i ha un limite oltre il quale il raggio non attraversa più la superficie di separazione ma viene riflesso. Tale valore limite iL si ottiene facilmente dalla legge di Snellius ponendo r = 90° sen i L = nva sen 90° Per l'accoppiamento vetro-aria tale angolo ha il valore di i L = 41°48' Su tale principio si realizza il prisma rettangolare (Fig. 29 b)), con la sezione a forma di triangolo rettangolo isoscele; un raggio di luce proveniente dall'aria, che incontra la prima superficie di separazione (rappresentata da un cateto del triangolo) perpendicolarmente, la attraversa senza subire deviazioni e , nel suo cammino, incontra la superficie di separazione vetro-aria (rappresentata dall'ipotenusa del triangolo) con un angolo di incidenza pari a 45°, cioè superiore all'angolo limite, subendo la riflessione totale; dopo tale riflessione il raggio, proseguendo nel suo cammino, incontra la seconda superficie di separazione vetro-aria (rappresentata dall'altro cateto del Fig. 30 triangolo) perpendicolarmente e quindi la attraversa senza subire deviazioni. In Fig. 30 è indicata schematicamente la struttura con cui viene realizzato il piombino ottico, quasi sempre incorporato nella basetta dotata delle viti calanti (In molti teodoliti la base può materialmente essere svincolata dallo strumento tramite una opportuna chiave). Il prisma viene opportunamente sistemato nella basetta e, tramite un microscopio composto (rappresentato dalle lenti L1 ed L2), permette all'osservatore di vedere il punto a terra con l'ausilio di una terza lente L3. In Fig. 31 è indicato un classico esempio costruttivo di una basetta di un teodolite. In tali casi la messa in stazione si realizza secondo le seguenti maFig. 31 nualità: - si fissa la basetta al treppiede; - tenendo il treppiede sollevato e ponendo l'occhio nel cannocchialino si cerca di individuare il punto segnalizzato a terra; - individuato il punto, purchè sia nel campo del cannocchialino, si poggia il treppiede a terra e si fissa nel terreno;

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muovendo le viti della basetta si centra perfettamente nel mirino ottico il punto a terra; si centra la livella torica sollevando o abbassando i piedi del treppiede; si controlla nel piombino ottico che il punto a terra sia centrato; se necessario, sbloccando leggermente il vitone, si sposta il teodolite per perfezionare il centramento del punto a terra; si perfeziona la verticalità dell'asse tramite la livella torica.

6. Errori sistematici del teodolite 6.1. Generalità sugli errori di rettifica Le condizioni cui devono soddisfare i tre assi a1 , a2 ed a3 del teodolite per la corretta misura degli angoli azimutali e zenitali sono state indicate nel par.2.; si deve ora osservare che, nonostante i più sofisticati metodi di costruzione, tali errori non possono mai essere eliminati da uno strumento per cui si rende necessario un loro accurato studio per ridurne le conseguenze. Tutti gli strumenti possiedono degli organi meccanici che consentono piccoli spostamenti relativi degli assi per rettificarli; tale rettifica però non può mai essere spinta fino alla completa eliminazione di tali errori, per cui si è sempre in presenza di piccoli residui. In linea generale si può dire che in strumenti poco precisi le rettifiche possono essere spinte fino a ritenere lo strumento privo di errori, cioè rendere i residui di retcc tifica inferiori alla precisione strumentale, mentre in teodoliti da 1 non si possono cc mai ridurre i residui di rettifica all’ordine di grandezza di 1 . 6.2. Errore di verticalità L’errore di verticalità si verifica ogni volta che, ponendo in stazione lo strumento, l’asse principale non si dispone secondo la verticale; tale errore è sempre presente e, si badi, non deriva da errata messa in stazione ma è intrinseco al metodo che si usa per effettuare tale operazione ( non si può andare sotto la sensibilità della livella che si usa). Per studiarne l’influenza si consideri la sfera delle direzioni (sfera di raggio unitario su cui sono riportate le varie direzioni che interessano il problema da esaminare) Fig. 32 in Fig. 32 dove il punto O indica il centro dello strumento, OV la direzione della verticale, OB la direzione dell’asse a1 formante l’angolo ν con la direzione OV ed OP la direzione del punto P da collimare, inclinata di α rispetto all’orizzonte.

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Si assuma come piano di riferimento per definire la direzione azimutale della retta OP il piano verticale BOV; se collimiamo un punto Q giacente in tale piano non si ha nessun errore nella lettura: infatti, se a collimazione avvenuta, si dispone l’asse a1 sulla verticale OV con una rotazione dello strumento nel piano BOV, il punto si può ricollimare con una semplice rotazione del cannocchiale pari a ν, senza cioè effettuare rotazioni dell’alidada. Per collimare invece il punto P fuori dal piano BOV l’alidada dovrebbe ruotare dell’angolo A mentre ruota effettivamente dell’angolo A’; si commette pertanto un errore εν = A’-A Utilizzando le formule della trigonometria sferica si ricava: εν = ν tanα sen A 6.3. Errore di inclinazione Si è in presenza di un errore di inclinazione quando l’asse secondario a2 non è perpendicolare all’asse primario a1. Per studiarne l’influenza si consideri la solita sfera delle direzioni in Fig. 33 nel caso in cui si debba collimare un punto P. Se l’asse a2 fosse normale all’asse a1 l’asse di collimazione, al ruotare del cannocchiale, descriverebbe l’arco di cerchio massimo VP che incontra il piano del cerchio in S. Se il punto P fosse sull’orizzontale di O, cioè avesse la direzione OS, una eventuale rotazione i dell’asse a2 non produrrebbe variazioni di letture, poiché l’asse di collimazione ruoterebbe su se stesso. Si supponga ora, in presenza di i, di ruotare, partendo dalla direzione OS che rappresenta la lettura corretta, l’asse di collimazione a3 per collimare il punto P; l’asse di collimazione descrive un piano ST inclinato di i rispetto alla verticale e perpendicolare ad a2 che incontra il parallelo per P in un punto P’; per collimare il punto P quindi occorre ruotare Fig. 33 l’alidada intorno ad a1 dell’angolo εi che è l’errore di lettura cercato. Dalla trigonometria, e ponendo sen εi = εi e tan i = i per la piccolezza degli angoli in gioco, si ottiene: ε i = i tan α 6.4. Errore di collimazione Si è in presenza dell’errore di collimazione a3 quando l’asse di collimazione non risulta ortogonale all’asse secondario a2.

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Per studiarne l’influenza si consideri la solita sfera della direzioni in Fig. 34 in cui l’asse a3 è ruotato di c rispetto alla normale per a2 (rappresentata dalla direzione OS); c si assume positivo quando, rispetto all’osservatore, l’asse di collimazione giace alla sinistra della normale ad a2 (OS in Fig.). Se, in assenza di errore, l’alidada è orientata in modo da poter collimare P, l’asse di collimazione, quando è orizzontale, è diretto secondo OS e per collimare P ruota di α nel piano del cerchio massimo SVP. In presenza dell’errore c l’asse di collimazione è nella diFig. 34 rezione OT e ruotando intorno ad a2 descrive sulla sfera il cerchio minore TP' per cui per collimare P è necessaria una rotazione εc che rappresenta l’errore di lettura. Dalla trigonometria, e ponendo sen εc = εc e sen c = c data la piccolezza degli angoli in gioco, si ottiene: ε c = c secα 6.5. Indipendenza dei residui di rettifica Nei paragrafi precedenti per calcolare l'errore di verticalità e gli errori di rettifica abbiamo presupposto la loro piccolezza; ciò implica la possibilità di poterne trascurare i quadrati e le potenze superiori. La conseguenza fondamentale di tale ipotesi è che l’influenza degli errori ν, i e c può essere determinata separatamente per ognuno di essi. Infatti indichiamo con L la lettura che si farebbe al cerchio azimutale quando si collima un punto P in assenza di residui di rettifica e di verticalità e con L' la lettura che si farebbe collimando lo stesso punto in presenza di ν, i e c; l'errore di lettura che si commette è una funzione dei tre errori e della giacitura dell'asse di collimazione definita dall'angolo azimutale A e dall'angolo d'altezza α, cioè L' − L = f (ν , i , c , A,α ) Sviluppando in serie di MACLAURIN questa funzione e trascurando i quadrati e le potenze superiori di ν, i e c si ottiene, poiché f0 = 0,

 ∂f   ∂f   ∂f  L' − L =   ν +   i +   c  ∂ν 0  ∂i 0  ∂c 0 ove le derivate sono funzioni di A ed α e sono calcolate per ν = i = c = 0. Come si vede, eliminando i termini superiori misti si elimina l'influenza reciproca dei vari errori. Le derivate della formula non sono altro che i valori degli errori calcolati precedentemente per cui si può scrivere L' − L = ν sen A tan α + i tan α + c sec α 1998/99 F.Resta

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Resta da analizzare il comportamento di tali errori nelle letture coniugate C.S. e C.D. E' facile constatare che gli errori εi ed ε c cambiano di segno passando da C.S. a C.D.; infatti l'asse a 2 in Fig. 33 si dispone, nelle due situazioni, simmetrica rispetto all'orizzontale e così pure l'asse a3 in Fig. 34 si dispone in posizione simmetrica rispetto alla normale OS all'asse a 2. L'errore di verticalità εν conserva lo stesso segno in quanto il passaggio da C.S. a C.D. non comporta alcuna variazione nella posizione dell'asse a 1 . Si può quindi scrivere L' − L = ν sen A tan α ± i tan α ± c sec α (6) dove ovviamente i doppi segni si riferiscono agli errori nelle due posizioni coniugate C.S. e C.D. 7. Verifica e rettifica del teodolite 7.1. Asse di collimazione Per verificare se l'asse di collimazione è rettificato bisogna ricorrere a misure azimutali che però, come visto nei paragrafi precedenti, sono influenzate anche dal-

Fig. 35 l'errore di inclinazione; si può tuttavia notare che se nella formula (6) del paragrafo precedente poniamo α = 0, cioè cannocchiale orizzontale, otteniamo L' − L = ±c cioè l'unico errore presente è l'errore di collimazione. In queste condizioni possiamo quindi controllare se esiste un eventuale errore di collimazione e come rettificare lo strumento. 130

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Si sceglie un punto P in modo che il cannocchiale sia circa orizzontale e si esegue la lettura azimutale LS (Fig. 35) con cerchio a sinistra (posizione C.S.); in questa configurazione avremo LS = L + c avendo indicato con L la lettura che si sarebbe fatta in assenza di errore di collimazione. Si collima di nuovo il punto P nella posizione coniugata C.D.; per effettuare g questa operazione si deve ruotare di 200 il cannocchiale intorno all'asse a2 , quindi esso si disporrà nella nuova posizione tratteggiata in Fig. 35 nello schema a sinistra, e successivamente ruotare l'alidada di un angolo pari a 200 – 2c. In questa nuova posizione, indicata nello schema a destra, si esegue una nuova lettura LD che risulterà LD = LS + 200 g − 2c cioè L − LD − 200 g (7) c= S 2 In conclusione si può dire che se eseguiamo le due letture nelle posizioni cog niugate di un punto posto all'orizzonte e la loro differenza è diversa da 200 lo strumento possiede un errore di collimazione la cui entità è data dalla (7). Per rettificare lo strumento, mantenendolo nella posizione C.D., basta ruotare l'alidada fino a fare la lettura LD + c; ovviamente il punto P non sarà più collimato (cioè non sarà al centro del reticolo) per cui si sposterà il reticolo con le sue viti di rettifica fino a che la collimazione non sarà ristabilita. Praticamente con questa operazione abbiamo ruotato l'asse di collimazione di un angolo pari a c.

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7.2. Asse di rotazione del cannocchiale Nei moderni teodoliti l'asse di rotazione del cannocchiale non può essere rettificato dagli utenti data la complessità dell'operazione; è buona norma tuttavia verificare di tanto in tanto lo strumento per constatarne il perfetto funzionamento. Per verificare l'eventuale presenza di un errore di inclinazione i si collima, dopo aver corretto con molta attenzione l'eventuale errore di collimazione, un punto P molto alto sull'orizzonte; in tal modo, ricordando dalla (6) che i dipende da tanα, si amplifica notevolmente il suo valore. Dopo aver eseguito le due letture C.S. e C.D., ripetendo il ragionamento fatto per l'errore di collimazione, si ottiene L − LD − 200 g i tan α = S 2 da cui si determina i dopo aver letto sul cerchio zenitale la distanza zenitale z e ricag vato α (α = 100 – z).

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7.3. Un metodo empirico per la verifica delle condizioni di rettifica Il metodo consiste nel disporre un filo a piombo in posizione ben riparata, oppure nel rintracciare sul terreno una direzione verticale e, dopo aver messo in stazione il teodolite, collimare con il centro del reticolo tale direzione. Successivamente si ruota il cannocchiale sia in elevazione che in depressione verificando il percorso che segue il centro del reticolo. Se tale percorso coincide perfettamente con la direzione verticale il teodolite è rettificato; in caso contrario, a seconda del percorso seguito dal centro del reticolo, si avranno i tre casi indicati in Fig. 36.

Fig. 36 7.4. Asse principale del teodolite Come già detto, nei teodoliti normalmente usati l'errore di verticalità non può mai essere verificato (si noti che nella (6) esso non cambia segno nell'esecuzione delle letture coniugate) ne essere eliminato con opportune procedure. Ciò implica che l'operazione di messa in stazione deve essere eseguita con molta attenzione e con una livella perfettamente rettificata (par. 5.1.2.1.). 8. Misura degli angoli azimutali 8.1. Regola di Bessel Con un teodolite perfettamente rettificato ed opportunamente messo in stazione la misura di un angolo azimutale tra due piani verticali che contengono due punti P1 e P2 ed il punto di stazione consisterebbe nel collimare i due punti ed effettuare le relative letture L1 ed L2 sul cerchio azimutale; l'angolo sarebbe semplicemente dato dalla differenza L2 - L1 . Questo modo di procedere viene effettivamente usato solo nelle misure di non elevata precisione (rilievi di dettaglio) perché presenta due notevoli inconvenienti: - non consente di rilevare la presenza di errori grossolani in quanto le letture vengono eseguite una sola volta; - non permette l'eliminazione di eventuali errori residui di rettifica.

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Il metodo di norma utilizzato è quello di eseguire le letture prima nella posizione C.S. e poi nella posizione C.D. (la sequenza C.S. – C.D. non è obbligatoria; si g può anche invertire); ne deriva che la media delle due letture a meno di 200 non è affetta dai residui degli errori di rettifica ed in più permette di tutelarsi da eventuali errori grossolani. Tale modo di procedere nella effettuazione delle misure angolari va sotto il nome di Regola di Bessel (dal nome del geodeta che per primo la formulò) che si può così enunciare: misurando un angolo azimutale nelle due posizioni coniugate dello g strumento la media, a meno di 200 , dei valori ottenuti non è influenzata dalla presenza degli errori residui di collimazione e di inclinazione. Si osservi che tale metodo non elimina l'eventuale errore di verticalità in quanto nella (6) tale errore conserva lo stesso segno per cui, nel caso delle due letture coniugate, esso vale εν = ν (sen A2 tan α 2 − sen A1 tan α 1 ) dove A1 ed A2 sono gli angoli azimutali tra il piano verticale che contiene l'asse a1 del teodolite e rispettivamente i piani verticali che contengono P1 e P2 mentre α1 ed α2 sono gli angoli di altezza di tali punti rispetto al punto di stazione. 8.2. Errori delle graduazioni dei cerchi La graduazione di un cerchio presenta sempre piccoli errori di costruzione dovuti al fatto che ogni tratto non viene tracciato esattamente nella posizione teorica che dovrebbe avere. Questi errori possono essere considerati come risultanti da una componente accidentale, propria di ciascun tratto, avente origine in varie cause intervenute a perturbare la sua incisione, e da una componente sistematica, dipendente dalla non perfetta posizione reciproca delle parti costituenti la macchina che ha effettuato l'incisione dei tratti (ad esempio a causa di ciò può risultare che su un certo diametro del cerchio le parti della graduazione sono tutte più grandi di quelle diametralmente opposte, mentre sul diametro ad esso perpendicolare sono corrette). A causa di questi errori di graduazione, la determinazione di ogni direzione osservata, azimutale o zenitale, porta inevitabilmente in sé l'errore da cui è affetto il tratto della graduazione cui viene riferita la sua lettura. Tali errori non sono affatto trascurabili se si considera che i cerchi dei teodoliti moderni sono di piccolo diametro; ad esempio l'errore di ±1µm nella incisione di un cc tratto provoca un errore nella sua posizione di ±12 se il diametro del cerchio è di 10 cm. Gli effetti di questi errori sulla misura di una direzione possono essere notevolmente attenuati ripetendo la misura in diversi settori del cerchio; i procedimenti usati sono due, detti rispettivamente di reiterazione e di ripetizione, a seconda di come è costruito il teodolite. Questi procedimenti si usano solo per le misure azimutali in quanto in tali misure si pretendono precisioni elevatissime. Non si applicano nelle letture zenitali in quanto la precisione delle graduazioni si ritiene sufficiente per tali letture; infatti, come si vedrà, le letture zenitali sono fortemente perturbate dalla rifrazione atmosferica da poter considerare che, per i teodoliti di elevata precisione, sono gli errori di graduazione del cerchio ad essere trascurabili rispetto a quelli provenienti dalla rifrazione , e non il contrario. 1998/99 F.Resta

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8.3. Metodo della reiterazione I teodoliti utilizzati sono detti reiteratori: in essi il cerchio azimutale non è fisso alla base, ma ad essa collegato con un sistema a frizione che ne permette rotazioni relative tramite un bottone detto bottone di reiterazione. In Fig. 37 è riportato un accoppiamento base-alidada che mostra chiaramente il dispositivo di rotazione del cerchio.

Fig. 37 La misura di un angolo viene eseguita nel seguente modo: si collimano i punti P1 e P2 e si esegue la lettura dell'angolo, applicando naturalmente la regola di Bessel (con ciò si è eseguita la prima reiterazione); - fissato il numero di reiterazioni n che si vogliono eseguire si ricollima il punto P1 nella stessa posizione iniziale (C.S. o C.D.) e con il bottone di reiterazione si 200 g ruota il cerchio di un angolo pari a e si esegue una seconda lettura dell'ann golo, sempre applicando la regola di Bessel (con ciò si è eseguita la seconda reiterazione); - si prosegue al solito modo tenendo presente che ad ogni ulteriore reiterazione il 200 g cerchio va preventivamente ruotato di un angolo pari a . n Si noti che per determinare l'angolo di rotazione del cerchio si è preso in consig derazione un angolo pari a 200 in quanto l'altra metà del cerchio viene coperta eseguendo le letture coniugate. Quando non erano disponibili le raffinate macchine a dividere odierne la possibilità di ridurre gli errori di graduazione per mezzo della reiterazione era assai apprezzabile; oggi lo è molto meno, ma si continua ad utilizzare il metodo della reiterazione, in particolare per le misure di elevata precisione, perché la distribuzione regolare delle letture sul cerchio è quella che dà maggiori garanzie di precisione ed inoltre la ripetuta lettura di un angolo serve a mediare i vari errori accidentali presenti. I teodoliti moderni, in particolare quelli di elevata precisione, sono sempre reiteratori. -

8.4. Metodo della ripetizione Nel teodolite ripetitore il cerchio graduato può essere fissato o alla base o all'alidada; uno schema è indicato in Fig. 38 dove si notano le viti V e v (rispettivamente dei grandi e dei piccoli spostamenti) che permettono il fissaggio del cerchio all'alidada e le viti W e w (rispettivamente dei grandi e dei piccoli spostamenti) che 134

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permettono il fissaggio del cerchio alla base. Si noti che in tale strumento l'alidada può essere fissata alla base solo tramite il cerchio. La misura con ripetizione dell'angolo azimutale tra due punti P1 e P2 si esegue nel seguente modo: 1) la vite W è bloccata e tiene il cerchio fisso alla base; si sblocca la vite V e, ruotando l'alidada, si collima il punto P1 con l'ausilio della vite dei piccoli spostamenti v e si esegue la lettura L1 ; 2) sempre lasciando il cerchio fisso alla base, con l'ausilio delle viti V e v si collima il punto P2 senza effettuare alcuna lettura (la lettura L2, per differenza con la L1, darebbe la misura dell'angolo cercato); 3) tenendo bloccato il cerchio all'alidada tramite la vite V, si sblocca il cerchio dalla base tramite la vite W e, ruotando insieme alidada e cerchio, si collima nuovamente il punto P1 perfezionando la collimazione con la vite dei piccoli spostamenti w (così facendo abbiamo portato la lettura L2 nelle direzione di P1); 4) adesso si blocca nuovamente il cerchio alla base e, sbloccando V, si ricollima il punto P2 con l'ausilio delle viti V e v; 5) si ripete l'operazione indicata al punto 3); 6) si ripete l'operazione del punto 4); 7) si prosegue con le stesse modalità per il numero n previsto di ripetizioni; 8) quando si collima per l'ennesima volta il punto P2 si esegue la lettura finale Ln+1; 9) l'angolo richiesto sarà L − L1 θ = n +1 n Teoricamente la ripetizione dell'angolo dovrebbe essere più precisa della reiterazione poiché si eliminano tutte le misure intermedie ed inoltre aumenta la rapidità delle operazioni. Si è però constatato che nelle operazioni di blocco del cerchio all'alidada si possono avere dei leggeri scorrimenti del cerchio stesso che infirmano la precisione delle misure in modo sensibile per cui tale metodo è stato per lungo tempo abbandonato almeno nei teodoliti di elevata precisione. Da notare che con questo procedimento le letture non sono distribuite regolarmente lungo tutta la Fig. 38 graduazione e che quindi la eliminazione degli errori di graduazione è meno efficace che con il metodo della reiterazione. Va però detto che anche con lo strumento ripetitore si possono eseguire

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le reiterazioni, cioè si possono eseguire le letture angolari distribuendole in vari settori del cerchio. Il vantaggio che offre il teodolite ripetitore rispetto a quello reiteratore è rappresentato dalla possibilità di poter impostare, su di un punto collimato, la lettura che si desidera con la stessa precisione offerta dallo strumento; potrebbe essere utile, per esempio, impostare la lettura 0 sul primo punto collimato per leggere direttamente l'angolo sul secondo punto. Si tenga presente che invece nel reiteratore ciò non è possibile in quanto la lettura viene impostata tramite il bottone di reiterazione che non possiede la precisione della vite dei piccoli spostamenti utilizzata nel ripetitore. Questo vantaggio, utile per rilievi speditivi, consente, ancora oggi, di costruire, cc c per strumenti di non elevata precisione (20 , 1 , etc.), teodoliti ripetitori. In Fig. 39 ne sono indicati due esempi; il modello T1 A segue la costruzione canonica spiegata nel testo ed era il modello classico del passato; il modello T 16 se-

Fig. 39 gue la tecnica costruttiva moderna che tende a sostituire il sistema di bloccaggio cer136

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chio-alidada con una molla comandata all'esterno da una chiavetta D a due posizioni che permette il fissaggio del cerchio o al basamento o all'alidada: dei bottoni precedenti ne resta solo una coppia che permette il collegamento alidada-base (come per i reiteratori). Tale strumento funziona nel seguente modo: - con la chiavetta D si blocca il cerchio al basamento; - si collima il punto utilizzando le viti W e w; - oppure, sempre utilizzando le due viti, si impone la lettura desiderata (0, per es.); - con la chiavetta D si sblocca il cerchio dalla base e lo si fissa all'alidada (l'operazione si fa con un semplice movimento della chiavetta); - ruotando l'alidada si collima il punto nuovamente con le viti W e w che non alterano la lettura imposta. 8.5. Misura simultanea di più angoli da una stazione 8.5.1. Generalità su direzioni ed angoli osservati Collimando un generico punto P con un teodolite di precisione in stazione sul punto Ps e ripetendo varie volte la misura si noterà che i risultati variano in modo casuale (vedi teoria degli errori) per cui, con le note regole, si potrà definire una lettura media ϑm su P ed uno scarto quadratico medio (s.q.m.) m. A provocare la dispersione delle letture sul punto P intervengono principalmente tre fattori: a) l'errore di puntamento propriamente detto, causata dal fatto che il segnale sul punto P non viene centrato con i fili del reticolo sempre nella stessa maniera (in ciò influisce oltre l'operatore anche lo stato dell'atmosfera e l'illuminazione del segnale sempre diversa); b) l'errore di lettura sul cerchio dovuto alla imperfetta coincidenza dei tratti realizzata dall'operatore (nei teodoliti di precisione la dispersione delle letture causata dall'errore di lettura è però sempre minore della dispersione dovuta al puntamento); c) piccoli movimenti delle varie parti dello strumento che intervengono tra un puntamento e l'altro. A questi effetti accidentali si potrebbe aggiungere un effetto sistematico dovuto essenzialmente a piccoli spostamenti della base dello strumento che determinano un variazione della giacitura dell'asse a1; tali spostamenti vengono evidenziati da un decentramento della livella torica. Da notare, però, che anche brusche variazioni termiche possono decentrare la bolla della livella creando così dei dubbi sulle effettive cause di tale fenomeno; è quindi buona norma, nei rilievi di elevata precisione, l'uso di un ombrello per coprire lo strumento quando si opera sotto il sole. In conclusione si può dire che, ripetendo varie volte la misura su un punto P, si ha una dispersione accidentale dei risultati caratterizzata da un s.q.m. m ed una eventuale variazione sistematica della lettura media dovuta a piccoli movimenti della base dello strumento. Ciò posto si consideri il caso in cui dal punto di stazione Ps si siano collimati ripetutamente i punti P1, P2 .……. Pn ; se i valori medi delle letture a tali punti sono caratterizzati da un s.q.m. sensibilmente uguale e pari a m e si ha motivo di ritenere che durante le operazioni di misura non sono intervenuti movimenti della base dello strumento, l'angolo fra una qualsiasi coppia di punti può essere ottenuto come diffe1998/99 F.Resta

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renza tra le letture medie ed è caratterizzata da un s.q.m. pari a m 2 ; le letture medie rappresentano in tal caso le direzioni osservate rispetto ad una qualunque delle direzioni Ps Pi scelta come origine. Se fra i punti collimati ve ne è uno P* che, per essere segnalizzato con un segnale migliore o meglio illuminato o meglio visibile, è caratterizzato da un s.q.m. sensibilmente minore di quello che caratterizza tutti gli altri punti si potrà dire che le direzioni osservate rispetto a Ps P* (ovvero gli angoli tra una direzione qualsiasi sugli altri punti e la direzione Ps P* ) sono praticamente caratterizzate da un s.q.m. pari a m, mentre rimane invariato il fatto che l'angolo tra due direzioni generiche PsPi - Ps Pk è caratterizzato da un s.q.m. m 2 . Da quanto detto risulta evidente che le modalità operative necessarie per misurare una direzione devono essere tali da escludere variazioni sistematiche nei risultati dovute a movimenti della base dello strumento. Si supponga ora che durante le operazioni di misura, dopo aver collimato alcuni punti e prima di aver concluso le collimazioni su tutti i punti, si renda necessario o si voglia effettuare un nuovo centramento della bolla della livella torica; ciò comporterà un nuovo assetto dell'asse a1 e quindi l'introduzione di una variazione sistematica delle letture non tollerabile: in pratica non si potrà considerare un angolo compreso tra due direzioni collimate l'una prima e l'altra dopo il centramento della bolla in quanto tale angolo conterrà una componente sistematica non nota. Quanto detto sopra ha importanza fondamentale nell'esecuzione delle misure e permette di comprendere le differenze tra le varie modalità operative di seguito descritte. 8.5.2. Misura di più angoli tramite il metodo ad angoli semplici a giro d'orizzonte Siano P1, P2 .……. Pn (Fig. 40)i punti che si devono osservare da Ps; le misure vengono effettuate nel seguente modo: 1) si misura l'angolo P1P2 eseguendo le collimazioni con il C.S. e C.D. e, se richiesto, reiterando le misure un certo numero n di volte: tra una reiterazione e l'altra si può ripetere la messa in stazione; 2) si misura con le stesse modalità l'angolo P2P3; 3) quindi, sempre con le stesse modalità, si misurano i restanti angoli fino a PnP1. Gli angoli vengono misurati tutti in manieFig. 40 ra indipendente, ma nel loro complesso non sono indipendenti in quanto sono legati dalla condizione g P1P2 + P2P3 +…… Pn-1Pn + PnP1 = 400 Le misure vanno compensate ripartendo in parti uguali l'errore di chiusura.

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Non è conveniente usare nei calcoli angoli diversi da quelli misurati, risultanti cioè da somme di due o più angoli misurati, perché avrebbero evidentemente degli s.q.m. maggiori dello s.q.m. di un singolo angolo. 8.5.3. Misura di più angoli tramite il metodo a strati Le misure vengono effettuate nel seguente modo: 1) si collimano successivamente i punti P1, P2 ,…… Pn con il C.S.; 2) si ripetono le misure con il C.D.. Con ciò si è eseguito il cosiddetto strato di osservazione; si tenga presente che durante l'esecuzione di tutto lo strato lo strumento deve restare, per quanto possibile, immobile, cioè non si può variare l'assetto dell'asse a1. Successivamente si ripetono altri strati con C.S. e C.D. reiterando (ruotando di g 200 /n) il cerchio azimutale ed eventualmente centrando nuovamente la bolla. Se in ogni strato sottraiamo alle letture su tutti i punti la lettura su P1 e poi eseguiamo la media dei valori ottenuti su ogni punto otteniamo le direzioni finali riferite a P1; queste direzioni hanno s.q.m. che, a causa del procedimento di calcolo, conglobano sia le fluttuazioni accidentali delle collimazioni su P1 che quelle negli altri punti; se m è mediamente lo s.q.m. di una lettura indipendente, le direzioni rispetto a P1 hanno un s.q.m. mediamente uguale a m 2 . 8.5.4. Misura di più angoli tramite il metodo della direzione isolata Le misure vengono effettuate nel seguente modo: 1) si sceglie un punto P0, che non coincide con nessuno dei punti interessati alle osservazioni angolari, in modo tale che la sua collimazione sia caratterizzata da un s.q.m. più piccolo di quello che caratterizza le collimazioni sugli altri punti; perché sia verificata questa caratteristica il punto P0 deve essere stabile, nitidamente visibile, uniformemente illuminato e ben collimabile; 2) si misura l'angolo P0 P1 in maniera indipendente, ovviamente con C.S. e C.D. ed eventualmente reiterando; 3) si misura successivamente l'angolo P0 P2, eventualmente ricentrando la bolla della livella di messa in stazione, con le medesime modalità dell'angolo precedente; 4) si prosegue misurando tutti gli angoli P0 Pi ciascuno in maniera indipendente. Poiché la collimazione su P0 è caratterizzata da fluttuazioni accidentali di misura più piccole di quelle che caratterizzano le collimazioni ai punti P1 , P2 , …Pi , …Pn, si può dire che questo metodo è quello che meglio realizza la misura di una direzione (rispetto a P0). Mediamente a tale direzione si può assegnare uno s.q.m. uguale a quello che si realizza collimando indipendentemente un punto, e cioè m. L'angolo tra due punti qualunque, ovviamente essendo dato dalla differenza delle relative direzione, avrà un s.q.m. pari a m 2 .

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9. Misura degli angoli zenitali 9.1. Generalità Nella misura degli angoli zenitali si richiede una precisione minore di quella degli angoli azimutali, come già detto; pertanto negli strumenti moderni i cerchi zenitali sono generalmente di diametro minore di quelli azimutali e non sono reiterabili, sicché gli errori di graduazione non sono eliminabili. D'altronde non avrebbe molto senso procedere alla eliminazione dei piccoli errori del cerchio perché le distanze zenitali per effetto della rifrazione atmosferica e dell'impossibilità di tenerne perfettamente conto risultano in genere di precisione inferiore agli angoli azimutali. Tuttavia la ripetizione delle misure, anche se eseguita nelle stesse condizioni, serve a ridurre l'influenza degli errori accidentali di puntamento e di centramento della livella zenitale 9.2. Determinazione di una distanza zenitale Il cerchio zenitale ha nella maggior parte dei casi una graduazione oraria ed è solidale al cannocchiale mentre gli indici di lettura sono fissi all'alidada (Fig. 41). Nello schema indicato in Fig. 41 sono riportati due indici diametrali; le letture ai due indici vengono effettuate per eliminare l'errore di eccentricità e, costruttivamente, si usa il metodo indicato nel par. 4.4. alla Fig. 15. Per determinare con un teodolite la distanza zenitale z di un punto A rispetto al centro O dello strumento, che si suppone messo in stazione e rettificato, si collima il punto nella posizione C.S. e si Fig. 41 esegue la lettura S (Fig. 42 a)) sul cerchio in corrispondenza dell'indice I . Questa lettura rappresenta l'angolo che l'asse di collimazione forma con l'asse a1 , e quindi con la verticale, e cioè la distanza zenitale z. g Si ruota ora l'alidada di 200 : l'asse di collimazione si dispone in posizione simmetrica rispetto all'asse a1 e la lettura S non cambia (Fig. 42 b)). Si ruota il cannocchiale fino a collimare nuovamente il punto A: l'angolo di cui è ruotato il cannocchiale, e quindi il cerchio verticale, è evidentemente 2z. Indicando con D la lettura nella posizione C.D., l'angolo 2z è dato dalla differenza delle letture, cioè S-D, poiché, come mostra la figura, al ruotare del cannocchiale e del cerchio che gli è solidale dalla posizione 1 alla posizione 2 la lettura sotto l'indice diminuisce. Si avrà pertanto S−D z= (8) 2

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Generalmente S appartiene al 1° o 2° quadrante e D al 4° o al 3° (vedi Fig. 41)

Fig. 42 g

per cui nell'applicare la (8) occorre aggiungere 400 ad S che pertanto diviene: 400 g + S − D z= (9) 2 Molto grossolanamente per dare un'indicazione delle letture che si farebbero nell'esempio riportato in Fig. se per S si legge 48g per D si dovrebbe leggere 352g e quindi, applicando la formula si otterrebbe z = 48g. Se la graduazione fosse antioraria nella formula in luogo di S-D si avrebbe D-S. 9.3. Zenit strumentale (Errore d'indice) Si noti (Fig. 42) che la media delle due letture S e D (ovviamente a meno di g 400 ), cioè S + D − 400 g Z= (10) 2 rappresenta la lettura che si farebbe quando l'asse di collimazione è diretto secondo la bisettrice dell'angolo 2z, cioè secondo l'asse a1 , ovvero, per l'ipotesi di perfetta messa in stazione, secondo la verticale. Tale lettura Z prende il nome di zenit strumentale ed in perfetta condizione di rettifica dovrebbe valere 0. In genere ciò non avviene a causa di piccoli spostamenti relativi dell'indice dovuti all'uso quotidiano dello strumento in campagna; nel qual caso la lettura zenitale, per esempio S, non darebbe a distanza zenitale corretta ma andrebbe aumentata o diminuita di una quantità pari a Z . Per tale motivo lo zenit strumentale viene spesso indicato col nome di errore d'indice; vale a dire che in condizione di partenza, cioè a cannocchiale verticale, l'indice non segna 0 ma un valore diverso Z (è come se una bilancia in condizione di riposo non segnasse 0 ma una valore ±p per cui in condizione d'uso al valore indicato dall'indice andrebbe sottratto o sommato ±p per ottenere il peso esatto).

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La conoscenza dello zenit strumentale risulta inessenziale quando si eseguono le letture nelle due posizioni coniugate in quanto applicando la (9) si ottiene sempre e comunque la distanza zenitale z (Z compare con lo stesso segno sia nella lettura S che nella D e quindi si elimina nella semidifferenza), ma acquista rilievo quando si eseguono misure speditive delle distanze zenitali consistenti nella sola lettura S; per tale motivo tutti i teodoliti permettono la rettifica dello zenit strumentale con opportuni piccoli spostamenti degli indici procedendo nel seguendo modo: si collima un punto e si eseguono le due letture S e D nelle posizioni coniugate; applicando la (9) si determina il valore corretto z; si ricollima il punto nella posizione C.S. e si spostano gli indici fino ad eseguire una lettura pari a z. Abbiamo quindi due metodi per la misura di una distanza zenitale, ma quello speditivo si applica solo per misure di scarsa precisione, perché la correzione dello zenit strumentale non è mai esatta e non si può avere la garanzia della conservazione della rettifica nel tempo; un errore residuo di zenit strumentale produce in questo casi un errore sistematico in tutti gli angoli misurati. Una distanza zenitale eseguita con una sola lettura si potrebbe anche correggere dell'eventuale errore d'indice conoscendo il valore dello zenit strumentale e sottraendolo (se è positivo) o sommandolo (se è negativo) alla lettura fatta. La conoscenza dello zenit strumentale si può desumere effettuando una serie di letture in posizione C.D. e C.S. e facendone la media a meno di 400, applicando la (10). Questo modo di procedere descritto è molto applicato con l'avvento dei distanziometri ad onde (strumenti per misurare le distanze) che, montati sul cannocchiale del teodolite, ne impediscono la rotazione e quindi l'esecuzione delle letture coniugate. 9.4. Influenza degli errori residui di rettifica e di verticalità Determinando le influenze che l'errore dell'asse di collimazione e l'errore dell'asse di rotazione hanno sulle misure delle distante zenitali si trova che queste sono proporzionali ai quadrati ed ai prodotti di i e c; tali influenze sono pertanto trascurabili, purché il teodolite sia rettificato in maniera soddisfacente. L'errore residuo di verticalità v provoca invece un errore sulle distanze zenitali dello stesso ordine di v per cui in tutti gli strumenti in cui la precisione di misura è superiore al prevedibile errore di verticalità occorre predisporre dei mezzi per eliminarne l'influenza. Nel paragrafo 9.2, nello spiegare come si determina la distanza zenitale, si è supposta la perfetta coincidenza dell'asse primario a1 con la verticale; si supponga ora che, a causa della presenza di un errore di verticalità, l'asse a1 sia inclinato di un angolo v nel piano verticale che contiene il punto collimato (Fig. 43 a)). Collimato il punto A l'asse di collimazione forma con l'asse primario un angolo uguale a z-v, se l'asse è inclinato dalla parte del punto; si indichi con S la lettura che si esegue nella posizione C.S.. g In seguito alla rotazione dell'alidada di 200 intorno all'asse a1 l'asse di collimazione assume una posizione simmetrica della prima rispetto ad a1 , cioè forma ancora con quest'asse l'angolo z-v. Per ricollimare il punto occorre ruotare il cannocchiale, e con esso il cerchio, di un angolo pari a 2(z-v) per cui si ha ovviamente

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Parte IV – Capitolo 1

400 g + S − D 2 La semidifferenza non da quindi la distanza zenitale z ma la quantità z-v; se l'asse a1 fosse inclinato dalla parte opposta la semidifferenza delle letture darebbe z+v. 2( z − v ) = 400 g + S − D

ovvero

z−v =

Fig. 43 L'esempio descritto rappresenta la situazione in cui l'errore di verticalità si trasmette alla distanza zenitale in tutta la sua grandezza; nel caso in cui l'asse a1 non sia inclinato nel piano verticale che contiene il punto collimato ma in una direzione qualunque si deve considerare la componente dell'errore di verticalità nel piano di collimazione. Per eliminare tale errore si ricorre ad una livella, in generale a coincidenza d'immagine, posta in prossimità del cerchio zenitale, con la tangente centrale parallela al piano di questo, quindi praticamente parallela al piano verticale di collimazione durante le due collimazioni del punto A. Questa livella è detta livella zenitale ed è collegata agli indici di lettura; il complesso indici-livella può essere ruotato per mezzo di una apposita vite S a piccolo passo (Fig. 44). Centrando questa livella la sua tangente, e quindi gli indici, si dispongono orizzontali e ciò indipendentemente dalla posizione dell'asse a1 (si Fig. 44 tenga presente che costruttivamente gli indici sono resi perpendicolari ad a1 ).

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Parte IV – Capitolo 1

Eseguendo prima di ogni lettura il centramento della bolla si ottiene che la semidifferenza dà il valore della distanza zenitale depurato dall'errore di verticalità. Infatti sia S la lettura nella posizione C.S. dopo il centramento della livella che g ha quindi tangente orizzontale; ruotando l'alidada di 200 (Fig. 43 b)) la tangente centrale si inclina di 2v e si indichi con D la lettura che si farebbe dopo aver ricollimato il punto; se adesso centriamo la livella, l'indice, come si vede in fig., si sposta in senso tale da far diminuire la lettura di 2v; indicando con D' questa nuova lettura si avrà perciò D' = D-2v e quindi, facendo la semidifferenza, si avrà: 400 g + S − D' 400 g + S − D + 2v 400 g + S − D = = +v = z−v+v = z 2 2 2 Poiché la livella viene centrata subito prima di ogni lettura ed essendo inoltre a coincidenza d'immagine, quindi di elevata sensibilità, la precisione che si ottiene nell'eliminazione di v è superiore a quella con cui si può rendere verticale l'asse a1 . Resta da vedere cosa succede quando si è in presenza dell'errore di verticalità v e lo zenit strumentale Z non è rettificato, precisando che con Z si intende la lettura che si fa al cerchio quando l'asse di collimazione è diretto secondo la verticale. In questo caso la semisomma delle due letture non da lo zenit strumentale Z ma g la lettura corrispondente all'asse di collimazione diretto secondo l'asse primario a1 ; indicata con Z' questa lettura si ha dunque S + D − 400 g Z' = = Z +v 2 Eseguendo invece le letture a bolla centrata si ha S + D' −400 g S + D − 2v − 400 g S + D − 400 g = = − v = Z ' −v = Z + v − v = Z 2 2 2 ottenendo cioè il vero zenit strumentale. 9.5. Indice zenitale automatico In molti strumenti moderni l'eliminazione dell'errore di verticalità viene resa automatica mediante un sistema a pendolo. Il principio del dispositivo che prende il nome di indice zenitale automatico è molto semplice: si rendano solidali gli indici di lettura ad un pendolo che abbia l'asse di oscillazione sull'asse di rotazione del cannocchiale; poiché l'asse del pendolo si dispone sempre secondo la verticale, indipendentemente dall'inclinazione dell'asse primario, l'insieme equivale ad una livella zenitale che si centri sempre automaticamente.

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10. Esempi di Teodoliti In questo paragrafo vengono riportati alcuni esempi di Teodoliti in possesso della Sezione di Topografia; molti di essi verranno usati nelle esercitazioni pratiche. T2 – Leica E' un teodolite reiteratore da 1cc, dotato di livella zenitale, piombino ottico, basetta smontabile ed immagine del cannocchiale rovescia.

Fig. 45 La lettura degli angoli avviene con il sistema micrometrico descritto al par. 4.4. e quindi con correzione automatica dell'errore di eccentricità Nella finestra del microscopio di lettura, dopo aver portato in coincidenza le tacche dei due lembi diametrali del cerchio tramite l'opportuno bottone (indicato con il n. 16 nella legenda allegata alla Fig. 45), si presenta la visione indicata in Fig. 46. Nella scala principale, in corrispondenza dell'indice si leggono numeri interi corrispondenti alla minima graduazione tracFig. 46 ciata (nel nostro caso si leggono i gradi ed i 1998/99 F.Resta

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primi in multipli di 10 in quanto l'indice può indicare la mezzeria della tacca); nella scala inferiore del micrometro, che tramite una lamina pianoparallela ha suddiviso una mezza tacca della graduazione principale (pari a 10c) in cinquecento parti, si leggono tre cifre che rappresentano il numero di primi centesimali da sommare alla lettura precedente. Theo 080A – Zeiss Jena cc E' un teodolite ripetitore con sistema a chiavetta da 20 con basetta smontabile e immagine del cannocchiale diritta. La lettura degli angoli viene effettuata a stima

Fig. 47 (Fig. 47). Nel microscopio per la lettura ai cerchi si presentano direttamente i lembi dei due cerchi indicati con V, il zenitale, ed Hz l'azimutale; la visione è riportata in Fig. 48.

Fig. 48

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Parte IV – Capitolo 1

Tg3b – Galileo cc E' un teodolite reiteratore da 50 dotato di micrometro ottico (Fig. 49).

Fig. 49 La lettura delle direzioni viene effettuata portando all'interno dell'indice, formato da due tacche parallele, una tacca della graduazione principale ruotando il bottone relativo (N. 16 in Fig. 49). Si leggerà quindi (Fig. 50) il numero di gradi indicato sulla graduazione principale ed i primi direttamente nella finestrella superiore dove è riportata la c graduazione del micrometro; qui ogni tacca vale 2 cc per cui a stima si raggiungono i 50 (1/4 di tacca).

Fig. 50 Tg4br – Galileo 1998/99 F.Resta

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Parte IV – Capitolo 1

c

E' un teodolite ripetitore da 2 ,5 dotato anche di una livella a cavaliere del cannocchiale che ne permette l'utilizzo come livello per la determinazione delle diffe-

Fig. 51 renze di quota (Fig. 51) La lettura viene effettuato con un indice dotato di nonio (vedi par. 4.3.) le cui tacche sono già graduate. Nell'esempio di Fig. 52 si hanno le seguenti letture: g cerchio zenitale 299 ,75; g cerchio azimutale 397 ,75

Fig. 52 4150 – Salmoiraghi 148

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Parte IV – Capitolo 1

cc

E' un teodolite reiteratore da 20 dotato di livella zenitale e piombino ottico (Fig. 53).

Fig. 53

La lettura ai cerchi avviene direttamente leggendo i gradi sulla graduazione principale ed i primi sulla scaletta secondaria in corrispondenza dell'indice (Fig. 54).

Fig. 54 DK 2 – Kern 1998/99 F.Resta

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Parte IV – Capitolo 1

cc

E' un teodolite reiteratore da 50 dotato di livella zenitale e piombino otti-

Fig. 55 co(Fig. 55). Il sistema di lettura ha il pregio di indicare direttamente la media aritmetica delle due posizioni diametrali dei cerchi, eliminando così in modo diretto l'errore di eccentricità. Il metodo di lettura consente di leggere direttamente sulla scala principale i gradi e le decine di primi. Per la successiva lettura si fa uso della scala secondaria indicata da piccole tacche poste al disopra della scala principale in V e al disotto in Az.

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Fig. 56

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Queste tacche rappresentano l'indice di lettura di una scala decimale per i primi centesimali che è individuata dai tratti lunghi della scala principale che cadono a cavallo dell'indice di lettura (Fig. 56). 11. Goniometri speciali c Un piccolo goniometro di bassa precisione (10 ) ma utilizzabile nei rilievi di dettaglio, o per eseguire allineamenti in direzioni variabili, è lo squadro graduato (Fig. 57) costituito da un cilindro fisso su cui è montato il cerchio graduato ed un cilindro mobile che realizza un piano verticale di collimazione mediante due fenditure, una delle quali è attraversata da un filo verticale, che costituiscono un piano di traguardo; si mette in stazione, mediante una livella sferica, su un treppiede

Fig. 57

Fig. 58

molto leggero o anche su un bastone da infiggere nel terreno. Lo squadro semplice (Fig. 58) non ha parti ruotanti e serve solo per tracciare g g g c c allineamenti sul terreno a 200 , 100 e 50 con la precisione di 20 ÷ 30 .

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12. Segnalizzazioni dei punti sul terreno, collimatori. I punti che sono stati rilevati sul terreno debbono essere segnalizzati; ciò può avvenire sia in modo permanente, se il punto si considera fondamentale per futuri usi, sia in modo temporaneo, se il suo utilizzo è limitato nel tempo, ad esempio per il periodo entro il quale avviene il rilievo. 12.1. Segnalizzazioni permanenti Per la planimetria è sufficiente che sia definito l’asse di collimazione del punto; essendo tale asse sempre verticale, basta un punto per definirlo, il che può essere fatto marcando un centrino metallico orizzontale (Fig. 59) che viene posizionato sul terreno tramite una piccola fondazione in calcestruzzo, o infisso in un manufatto già esistente o scolpito sulla viva roccia: è ovvio che in tal caso quando si dovrà collimare il punto con il teodolite esso andrà opportunamente segnaFig. 59 lizzato con un collimatore temporaneo. In altri casi tale punto viene fatto coincidere con manufatti già esistenti di non dubbia identificazione: vertice di un campanile (Fig. 60), base di un parafulmine, asse di un traliccio d’antenna, etc. Per l’altimetria è necessario che sia ben definita una retta, o un piano, orizzontale, che viene denominato piano di paragone ed indicato con la sigla p.p.. Ove non occorra elevata precisione il p.p. viene individuato facendolo coincidere con una retta orizzontale su un manufatto esistente: cornicione sotto una finestra (Fig. 60), sommità di una ringhiera, etc.. E’ questo, in generale, il caso quando si segnalizza un’asse di collimazione associando ad essa sempre un p.p. per rendere la determinazione del punto plano-altimetrica. Ove invece occorra Fig. 60 un’elevata precisione il p.p. viene individuato in modo diverso. Per la sua segnalizzazione si può utilizzare una targhetta Fig. 61 disposta verticalmente con individuato il p.p. tramite un punto o un piccolo cilindro (Fig. 61) oppure una piccola calotta sferica infissa orizzontalmente sul terreno su una fondazione di calcestruzzo opportunamente protetta (Fig. 62): tale segnali vengono detti caposaldi di livellazione. I punti trigonometrici della rete nazionale ed i capisaldi della livellazione dello Stato, trattandosi di punti di elevata Fig. 62 importanza e destinati ad un utilizzo pluriennale, sono segnalizzati con più accuratezza. Per esempio i punti trigonometrici sono segnalizzati con due centrini, uno di profondità ed uno di superficie (Fig. 63A); spesso, sui punti del primo ordine, viene innalzato un pilastrino su cui poggiare il teodolite (Fig. 63B). Intorno ad essi si collocano sempre altri riferimenti che possono presentarsi sotto forma di piastrine me152

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Parte IV – Capitolo 1

talliche con una freccia incisa (Fig. 63C) o come croci scolpite sulla roccia; di tali riferimenti viene eseguita una piantina con indicate le distanze dal centro e vengono utilizzati per ricostruire il punto quando esso venisse danneggiato o asportato.

Fig. 63 I capisaldi di livellazione invece vengono collocati in un pozzetto (Fig. 64 a)), spesso accompagnati da un caposaldo verticale (Fig. 64 b)) a forma di mensola posto nelle vicinanze sulla parete di un edificio(sono visibili entrambi sul lato destro dell’ingresso della sezione di topografia). La stadia, dopo aver aperto il pozzetto, viene posta sul caposaldo e sorretta dal portastadia in posizione verticale; il caposaldo verticale richiede invece una particolare stadia che abbia lo 0 in corrispondenza del piano di riferimento e che viene appesa alla mensolina, oppure l'utilizzo di una stadia di cui sia nota con elevata precisione la sua lunghezza. Tutti questi punti rivestono una importanza fondamentale per qualsiasi lavoro di topografia in quanto permettono, agganciando ad essi i rilievi, la esatta posizione planimetrica dei punti rilevati e/o la Fig. 64 loro quota assoluta.

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Per tutti questi punti viene sempre redatta una opportuna monografia con tutti i riferimenti necessari per ritrovarli (Fig. 65 e Fig. 66) e i dati per il loro utilizzo; sono reperibili a pagamento presso la sede dell'IGMI a Firenze.

Fig. 65

Fig. 66

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Parte IV – Capitolo 1

12.2. Segnalizzazioni temporanee I punti la cui individuazione è necessaria per un tempo relativamente breve, come la durata di un rilievo ed il suo collaudo, sono segnalizzati con picchetti in legno o in ferro infissi nel terreno oppure, se in presenza di terreno roccioso, con incisioni fatte con lo scalpello e dipinte con minio. Collimatori

Quando i punti, siano essi da determinare o già determinati, debbono essere osservati con il teodolite vanno segnalizzati con opportuni collimatori. Esistono vari tipi di collimatori in funzione della recisione del rilievo e della distanza a cui sono collocati.

Fig. 67 Il più comune è la classica palina, un’asta di legno o di metallo dipinta a fasce di 20 cm verniciate alternativamente di bianco e rosso e terminante con una punta metallica, di altezza standard di 1,60 m; a volte, per individuarle meglio, si pone superiormente uno scopo dipinto a scacchi (Fig. 67). Per collimazioni di alta precisione si utilizzano scopi metallici con parti in vetro opaco che vengono posizionati sul punto tramite un treppiede ed una basetta intercambiabile con il teodolite; hanno in genere la caratteristica di poter essere illuminati da dietro per collimazioni notturne (Fig. 68). Infine per collimazioni a grandissima distanza (50-60Km) si costruiscono opportuni colliFig. 68 matori in legno o ferro (Fig. 69).

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Parte IV – Capitolo 1

Fig. 69

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CAPITOLO 2 STRUMENTI E OPERAZIONI DI MISURA DELLE DISTANZE

1. Generalità sulle misure di distanze 1.1. Distanza topografica Ricordiamo che per distanza fra due punti A e B della superficie terrestre si intende la lunghezza dell’arco di geodetica che congiunge le proiezioni A0 e B0 dei due punti sull’ellissoide di riferimento; abbiamo anche visto che anche per distanze di parecchie centinaia di chilometri la lunghezza dell’arco di geodetica è praticamente uguale alla lunghezza di una delle due sezioni normali che li congiunge. Se la distanza fra i punti non eccede i 150 km, come avviene in tutti i rilievi topografici, si può assimilare l’ellissoide alla sfera locale di raggio R = ρN ; ciò vuol dire che è sempre consentita l’ipotesi di assimilare la distanza ad un arco di cerchio massimo sulla sfera locale. Ciò detto, per misurare una distanza è necessario stabilire: a) le modalità per individuare sulla superficie terrestre la traccia corrispondente ad una sezione normale; b) le modalità per riportare una misura effettivamente eseguita sul terreno alla superficie di riferimento. In merito al punto a) va notato che quando con uno strumento (per es. un teodolite ed un distanziometro) si misura una distanza entro la portata dello strumento di fatto si sta eseguendo la misura secondo la traccia di una sezione normale, in quanto la misura viene eseguita in un piano contenente la verticale sul punto di stazione ed il punto collimato. 1.2. Allineamenti Se si vuole misurare una distanza che eccede la portata dello strumento, per individuare la traccia corrispondente a una sezione normale sulla superficie del terreno si deve eseguire una operazione chiamata allineamento e facilmente eseguibile con uno squadro (Cap. 1 par. 10.) o meglio ancora con un teodolite. Di fatto, dovendo misurare la distanza tra due punti A e B che eccede la portata dello strumento, si pone in A il teodolite ed in B un segnale; collimato il punto B e 1998/99 F.Resta

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Parte IV – Capitolo 2

fissata l’alidada, il piano descritto dall’asse di collimazione al ruotare del cannocchiale è un piano verticale contenente la verticale in A ed il punto B ed interseca la superficie terrestre secondo una traccia corrispondente alla sezione normale AoBo; sui punti del terreno individuati dal centro del reticolo si pongono quindi dei picchetti a distanze opportune che consentono di eseguire la misura della distanze secondo tratte inferiori alla portata dello strumento. 1.3. Riduzione della distanza alla superficie di riferimento Sia dm la distanza misurata sul terreno secondo la congiungente i due punti A e B (Fig. 70), z la distanza zenitale del punto B rispetto al punto A misurata anch’essa sul terreno e Q la quota nota del punto A. Si indichi con da la distanza AB valutata secondo il piano orizzontale di A, detta distanza orizzontale (segmento AC in Fig. 70), e con do la distanza sulla superficie di riferimento, detta, nel linguaggio topografico comune, semplicemente distanza. Il calcolo rigoroso di do a partire da dm , z e Q è molto semplice; si ha (dal triangolo ABC, retto in C) d a =d m sen z

Fig. 70 tiene

quindi, indicando con ∆ la correzione di convergenza, ovvero la differenza fra da e la lunghezza del tratto di distanza orizzontale compreso tra le verticali per A e B (segmento DC in Fig.1), dal triangolo AOD, retto in A, si ot-

d −∆ AD = R arc tan a AO Q+R Per il calcolo di ∆ si ha dal triangolo BDC retto in C d o = Rω = R arc tan

∆ = BC tan ω = d m cos z

da − ∆ Q+R

(11)

(12)

notando che l’angolo DBC è uguale ad ω in quanto alterno interno e ricavando BC dal triangolo ABC. Dalla (12) si ricava quindi: d a d m cos z ∆= Q + d m cos z + R Sostituendo nella (11) si ottiene infine 158

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Parte IV – Capitolo 2

d o = R arc tan

d m sen z Q + d m cos z + R

(13)

che è la formula finale che cercavamo. E’ necessario osservare che la riduzione delle distanze alla superficie di riferimento deve essere eseguita solo per rilievi a scopo cartografico mentre la riduzione all'orizzonte deve sempre essere eseguita. Quando le misure hanno come scopo l’esecuzione di lavori quali il tracciamento di gallerie, funivie, canali ,ecc., la riduzione non deve essere effettuata poichè interessano in effetti le distanze orizzontali con riferimento al piano orizzontale in un determinato punto del rilievo. 1.4. Classificazione delle misure di distanze Le misure di distanze vengono suddivise in: a) misure dirette: un campione di lunghezza nota viene riportato lungo l’allineamento e si valuta quante volte il campione, o un suo sottomultiplo, è contenuto nella distanza da misurare; b) misure indirette: vengono misurate direttamente delle grandezze (distanze ed angoli) legate da una relazione funzionale alla distanza da misurare, che viene quindi dedotta indirettamente; è ovvio che tra le grandezze da misurare deve sempre esserci almeno una lunghezza; c) misure mediante onde: si sfruttano i principi della propagazione delle onde elettromagnetiche. E’ consuetudine indicare per le misure di distanze lo scarto quadratico medio non in valore assoluto ma relativo; per es., una misura di una distanza di 1 km effettuata con un s.q.m. di ±0,5mm si indica con il valore relativo ±0,5.10-6 (cioè 0,5mm/d = 0,5/1.000000 = 0,5.10-6); la stessa distanza misurata con un s.q.m. di ±10mm si indica con il valore relativo di ±10-5 ecc. 2. Misura diretta delle distanze La misura diretta, con l’introduzione dei distanziometri, viene oggi utilizzata raramente nei rilievi topografici e comunque sempre per distanze molto brevi; trova ancora largo impiego per semplici operazioni di cantiere. Gli strumenti utilizzati sono i classici nastri metrici centimetrati, di acciaio oppure di anima in fili di acciaio ricoperta di tessuto o materiale plastico, di lunghezza di 10m, 20m o 50m (noti anche col nome di “rollette metriche”). Con tali strumenti si possono ottenere misure di distanze con un s.q.m. di ±10-4 Altri strumenti ancora utilizzati per semplici operazioni di cantiere sono le canne metriche di bambu’ ed i triplometri in legno; sono entrambi centimetrati di lunghezza costante di 3m fra le loro testate metalliche piane e parallele e sempre da impiegare in coppia. Per effettuare la misura vengono disposti testa contro testa se il terreno è piano ed orizzontale, oppure ogni estremità viene riportata secondo lo schema di Fig. 71 tramite il filo a piombo. Il metodo viene anche utilizzato per il rilievo delle sezioni del terreno, ad uso quasi sempre per progettazioni stradali, con il nome di coltellazione.

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Parte IV – Capitolo 2

Fig. 71

3. Misura indiretta delle distanze Col nome di misura indiretta di una distanza di solito in topografia si intende una misura eseguita con un teodolite, o un tacheometro, ed una mira graduata detta stadia (nella sua veste più semplice la stadia è un’asta di legno graduata in centimetri e lunga 2,3 o 4 m) (Fig. 74) Il procedimento, molto usato in topografia fino all’avvento dei distanziometri ad onde ed ora praticamente in disuso, si basa in linee essenziali sulla misura di una grandezza lineare sulla stadia e sulla misura di un determinato angolo con il teodolite. L’angolo misurato è quello sotto cui si vede il tratto di stadia e viene indicato con il nome di angolo parallattico. Il procedimento si articola in vari metodi di misura, più o meno precisi, a seconda dei procedimenti che si usano: si hanno così metodi ad angolo parallattico variabile o costante se tale angolo varia o meno al variare della distanza e metodi a stadia verticale o orizzontale in funzione di come è posizionata la stadia. Analizzeremo solo il metodo ad angolo parallattico costante e stadia verticale.

Fig. 72

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Parte IV – Capitolo 2

Supponiamo che nel cannocchiale del teodolite, oltre l’asse di collimazione, si realizzino altre due visuali, passanti per un punto O, che formino con questo un angolo pari ad ω; collimando la stadia, posta verticalmente in B, le tre visuali determinano su di essa tre letture l1 , l2 ed l3 (Fig. 72). Per il calcolo della distanza, come vedremo, la lettura l2 non è necessaria, ma viene sempre fatta sia per controllo di eventuali errori grossolani (la media di l1 ed l3 è in genere prossima a l2 ) sia perché permette la valutazione del dislivello tra A e B. Per determinare la distanza d tra A e B, indicando con l0 l’ipotetica lettura che si farebbe sulla stadia a cannocchiale orizzontale, si ha l1 − l0 = d tan(α − ω ) l3 − l0 = d tan(α + ω ) Sottraendo membro a membro si ottiene l3 − l1 = d [tan(α + ω ) − tan(α − ω )] quindi  sen(α + ω ) sen(α − ω )  sen(α + ω ) cos(α − ω ) − sen(α − ω ) cos(α + ω ) l3 − l1 = d  − = d   cos(α + ω ) cos(α − ω )  cos(α + ω ) cos(α − ω )    da cui, esplicitando d, si ottiene (l − l )cos(α + ω )cos(α − ω ) d= 3 1 sen 2ω Sviluppando si ottiene ( l − l )[(cos α cos ω + sen α sen ω )(cos α cos ω − sen α sen ω )] d= 3 1 = sen 2ω ( l − l )(cos 2 α cos 2 ω − sen 2 α sen 2 ω ) = 3 1 sen 2ω e quindi, con evidenti semplificazioni sen 2 α tan ω cos 2 α d = (l 3 − l1 ) − (l 3 − l1 ) 2 tan ω 2 Tenendo presente che 2ω è l’angolo costante sotto cui dal punto O si vede 1 è una costante strumentale, detta costante l’intervallo di stadia H, la quantità 2 tan ω distanziometrica; si indica in genere con C e, scegliendo opportunamente ω, si fa in modo che assuma valori semplici come 50, 100 o 200. Si ha quindi  tan 2 α  H sen 2 α  d = CH cos 2 α − = CH cos 2 α  1 − 4C 4C 2   Trascurando infine il secondo termine tra parentesi in quanto molto piccolo (al massimo 1/40.000 se C = 100) si ottiene la formula finale della distanza d = CH cos 2 α (14) Se invece dell’angolo d’altezza α è nota la distanza zenitale z la formula assume la forma d = CH sen 2 z (15)

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Parte IV – Capitolo 2

Resta da vedere come si possano realizzare le due visuali che formano l’angolo ω con l’asse di collimazione.

Fig. 73 Nel cannocchiale di tipo astronomico sul vetrino del reticolo vengono incisi altri due fili ad una distanza h (Fig. 73) ed il reticolo prende il nome di reticolo distanziometrico. Ricordando come si forma l’immagine notiamo in primo luogo che il punto O descritto precedentemente coincide col fuoco anteriore dell’obbiettivo per cui la distanza d indicata dalla formula soprascritta rappresenta la distanza dal punto F1 indicato in Fig. 73 fino alla stadia: per ottenere la distanza effettiva dal punto di stazione, indicato dal centro dello strumento E, alla stadia occorre aggiungere una costante strumentale a; in secondo luogo, indicando con h la distanza fra i due tratti del reticolo, si ottiene h f tan ω = e C= 2f h da cui si può determinare h in modo che C risulti uguale a 100 (o 50). In conclusione la distanza tra il centro del cannocchiale ed il punto in cui viene messa la stadia, quando l’asse di collimazione è inclinato di α vale d = CH cos 2 α + a cos α (16) oppure se, come spesso avviene, si legge z d = CH sen 2 z + a sen z (17) I cannocchiali moderni sono tutti costruiti in modo da rendere la costante additiva a = 0 e vengono detti centralmente anallattici; ciò si realizza aggiungendo all’obbiettivo una lente convergente (lente anallattica) che ha lo scopo di far coincidere il fuoco anteriore con il centro dello strumento. Per analizzare la precisione di questo metodo consideriamo il caso semplice di una misura effettuata a cannocchiale orizzontale. Le letture che eseguiamo alla stadia hanno un loro s.q.m. che possiamo quantificare in 1mm, quando la stessa è posta ad una distanza di 100m, ricordando che le stadie sono graduate in centimetri e quindi il millimetro viene stimato; ovviamente se la stadia fosse posta ad una distanza superiore l’s.q.m. della lettura tenderebbe ad aumentare in quanto la stima diverrebbe più grossolana. Dalla teoria degli errori, ricordando che si è in presenza di una misura indiretta, si ottiene l’s.q.m della distanza 162

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md = ±C ml1 + ml2 = ±100 2 ≅ 140 mm Come si vede ci troviamo di fronte ad un metodo di scarsa precisione e di portata molto modesta; ciò nonostante, fino all’avvento dei distanziometri ad onde, è stato l’unico metodo largamente utilizzato nei rilievi topografici in cui non era richiesta un’elevata precisione. 3.1. La lettura alla stadia In Fig. 74 sono riportati due esempi di stadie di 4 m di altezza per cannocchiali ad immagine dritta; l'unica differenza tra le due consiste nel materiale essendo in alluminio quella di sinistra, mentre in legno quella di destra. Nell'ingrandimento di Fig. 74 si può notare la graduazione centimetrica ed un'altra particolarità che hanno tutte le stadie: il numero scritto nel campo del decimetro. Tale numero indica il numero di decimetri da terra, cioè dallo zero, ed è di notevole utilità per determinare la lettura in quanto nel campo dell'obbiettivo del cannocchiale si vedrà solo una porzione molto limitata di stadia. Un esempio di visione nel cannocchiale è riportato in Fig. 75. Le lettura alla stadia in corrispondenza di ogni filo del reticolo si faranno leggendo direttamente le prime due cifre, che rappresentano il numero di decimetri, poi contando le tacche che indiFig. 74 viduano il numero di centimetri ed infine stimando all'interno della tacca centimetrica il millimetro; si daranno quindi quattro cifre le prime tre lette, l'ultima stimata. Nell'esempio in Fig. 75 le letture che si faranno sono: filo inferiore 1332; filo medio 1402; filo superiore 1472. La lettura al filo medio non è neFig. 75 cessaria per la determinazione della distanza ma viene spesso eseguita per un

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controllo in quanto dovrebbe rappresentare la media delle letture ai due fili inferiore e superiore: esatta, se si lavora a cannocchiale orizzontale, con notevole approssimazione, se si lavora a cannocchiale inclinato. Tale lettura è inoltre necessaria quando si vuole determinare il dislivello tra il punto di stazione ed il punto in cui è posta la stadia, come si vedrà in seguito. 4. Misura mediante onde (Distanziometri) 4.1. Richiami sulla teoria delle onde Si è in presenza di un’onda quando in un punto A dello spazio si produce un fenomeno oscillatorio che si riproduce nei punti contigui con un ritardo proporzionale alla loro distanza da A (Fig. 76).

Fig. 76 Se la grandezza fisica oscilla in A con legge sinusoidale il fenomeno è rappresentato da un’equazione del tipo:    x V ( t , x ) = V0 sen ω  t −  + ϕ 0    v 

(18)

dove V0 = ampiezza dell’oscillazione; ϕ0 = fase iniziale = ω t0 (con t0 tempo iniziale); ω = pulsazione = 2π f = 2π / T; T = periodo; f = frequenza. L’equazione (18) indica che la grandezza fisica all’origine oscilla con legge sinusoidale secondo la funzione V ( t ,0 ) = V0 sen(ω t + ϕ 0 ) (19) (indicata in Fig. 77) e che si propaga nello spazio (indicata in Fig. 76) con velocità v = c/m dove c è la velocità dell’onda nel vuoto (circa 3.108 m/sec) ed m l’indice di rifrazione dell’aria. All’istante t, in un punto di ascissa x, essa assume il valore dato dalla (18), cioè il valore che aveva all’origine x/v secondi prima. Ciò significa che lungo tutti i punti della traiettoria, fissato un determinato istante t, i valori di V sono ancora rappresentati da una sinusoide (Fig. 78).

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Se consideriamo un punto C distante λ da A (Fig. 78), tale che in esso la grandezza V assuma il valore che aveva in A a meno di 2π, cioè

Fig. 77

λ   V0 sen ω t − ω + ϕ 0  = V0 sen(ω t − 2π + ϕ 0 ) v   si avrà

ω

λ = 2π v

cioè

2π λ = 2π T ν

quindi v f La grandezza λ è detta lunghezza d’onda.

λ = Tv =

Fig. 78 4.2. Equazione caratteristica del distanziometro Consideriamo il caso di dover misurare una distanza mediante un’onda di lunghezza λ e che tale distanza, D = AB, sia inferiore a λ/2 (Fig. 79). In Fig. 79, per non appesantire il disegno, è stato riportato il punto A’ simmetrico di A rispetto a B, per cui l’onda riflessa, rappresentata dal percorso BA, risulta ribaltata. L’onda uscente da A all’istante t avrà equazione Vu = V0 sen(ω t + ϕ 0 )

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mentre l’onda rientrante sarà stata emessa ∆t secondi prima, essendo ∆t = 2D/v il tempo impiegato per andare da A a B e rientrare in A, e quindi avrà equazione Vr = V0 sen[ω (t − ∆t ) + ϕ 0 ] La differenza di fase tra l’onda uscente e la rientrante sarà ∆ϕ = (ω t + ϕ 0 ) − [ω (t − ∆t ) + ϕ 0 ] ∆ϕ = ω ∆t Con chiare sostituzioni avremo 2π 2 D 2π 2 D ∆ϕ = = T v λ Da cui, ricavando D, si ottiene l’equazione

∆ϕ ∆ϕ λ con 0 ≤ ≤1 2π 2 2π (∆ϕ può assumere valori compresi tra 0 e 2π). D=

Fig. 79 Da tale equazione, nel caso semplice esaminato, la distanza risulta essere una frazione di metà della lunghezza d’onda impiegata e si può ottenere misurando lo sfasamento tra l’onda uscente e l’onda rientrante. Se ora il punto B si sposta di un numero intero di mezze lunghezze d’onda (A’

Fig. 80

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si sposta di un numero intero di lunghezze d’onda) è evidente che lo sfasamento non cambia in quanto lungo il percorso 2D si è inserito un numero intero di lunghezze d’onda (Fig. 80) Si può pertanto scrivere in generale

∆ϕ λ λ λ +n =L+n (20) 2π 2 2 2 che rappresenta l’equazione fondamentale dei distanziometri ad onde. Risulta quindi evidente che per determinare la distanza D occorrerà misurare lo sfasamento ∆ϕ e valutare, senza errore, il numero intero n di mezze lunghezze d’onda. D=

4.3. Precisione dei distanziometri La precisione della misura di una distanza effettuata con il distanziometro dipenderà dalla precisione con cui si riesce a misurare la differenza di fase e dalla precisione con cui si realizza la lunghezza d’onda. Nei moderni distanziometri lo sfasamento viene misurato con uno strumento detto discriminatore di fase, o comparatore di fase, la cui precisione risulta compresa 1 1 e di 2π : ciò equivale a considerare sulla misura della distanza un tra 1000 2000 1 λ 1 λ errore variabile tra ÷ ; ad es. utilizzando un’onda con λ=20 m si ot1000 2 2000 2 terrebbe un s.q.m. sulla distanza dipendente dalla precisione del discriminatore di fase compreso tra ±10 mm e ±5 mm. La precisione relativa con cui si realizza la lunghezza d’onda può ritenersi uguale alla precisione relativa con cui si realizza la frequenza che, nei moderni oscillatori al quarzo termostatizzati, è compresa tra 10-6 e 10-7; tale precisione sulla λ è però anche influenzata dalla precisione con cui si riesce a determinare la sua velocità di propagazione nell’aria che è a sua volta dipendente dalle incertezze nella determinazione dei parametri atmosferici, temperatura pressione e tensione di vapore, necessari per determinare l’indice di rifrazione dell’aria. Queste ultime cause di incertezze si fanno sentire maggiormente sulle onde elettromagnetiche centimetriche (onde radio) rispetto alle onde luminose per cui usando apparecchiature che utilizzano onde e.m. centimetriche in cattive condizioni atmosferiche ci si deve aspettare un notevole calo sulla precisione della misura. In linea di massima, ed in buone condizioni atmosferiche, l’errore relativo sulla misura della distanza dovuto alla lunghezza d’onda si può considerare pari a 10-6. In conclusione la precisione sulla misura della distanza è caratterizzata da un s.q.m. che consta di una parte indipendente dalla distanza e deriva dal discriminatore di fase e di una parte dipendente dalla distanza che deriva dalle incertezze con cui si realizza la lunghezza d’onda; si ha pertanto mD = ± mc + k 10 −6 D I distanziometri in commercio hanno un s.q.m. variabile tra mD = ± 1,5cm + 3.10 −6 D e mD = ± 5 mm + 1.10 −6 D

(

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)

(

)

(

)

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4.4. Determinazione del numero intero n di mezze lunghezze d’onda Nella varietà dei distanziometri in commercio si riscontrano vari procedimenti per la determinazione del numero intero n di mezze l.d.o.: a) utilizzazione di l.d.o. crescenti per multipli di 10m; b) utilizzazione di tre l.d.o. di cui due poco diverse tra loro; c) utilizzazione di una l.d.o. variabile in modo continuo tra due limiti prefissati. Ci limiteremo a descrivere il metodo a) con l’ausilio di un esempio numerico che meglio si presta ad un suo chiarimento. Si voglia misurare una distanza di 41489,20m che corrisponde ad un percorso dell’onda di 82978,40m. Se iniziamo la misura utilizzando una l.d.o. di 20m otterremo un valore L10, compreso tra 0 e 10m, corrispondente allo sfasamento misurato, che rappresenta il valore della distanza a meno di un numero intero di decametri; otterremo cioè una misura del tipo D = (L10 + n.10)m = (9,20 + n.10)m con n incognito. Ricordando la precisione del discriminatore, su tale misura avremo un s.q.m. dovuto allo stesso di 5÷10mm. Ripetiamo la misura utilizzando una l.d.o. di 200m ottenendo un valore L100, compreso tra 0 e 100m, con un s.q.m. dovuto al discriminatore di 50÷100mm,che rappresenta il valore della distanza a meno di un numero intero di ettometri D = (L100 + n.100)m = (89 + n.100)m con n incognito. Già da queste due misure si evince come può funzionare il metodo: con la prima misura avremo sicuramente con certezza il numero di metri (9m) e non il numero di decimetri in quanto il 2 potrebbe essere 1 se si avesse 19 (si tenga presente che lo s.q.m. su questa misura varia tra 0,005 e 0,01 m). Con la seconda misura avremo sicuramente il numero di decametri (8). La misura quindi continua usando onde con l.d.o. crescenti: 2000n, 20.000m, 200.000m. In conclusione tale misura si presenterà con la seguente sequenza di osservazioni (le quantità sono tutte espresse in m):

λ 2 10 100 1000 10.000 100.000

∆ϕ 2π 0,920 0,892 0,489 0,148 0,414

∆ϕ λ 2π 2 9,20 89,2 489 1480 41400

∆ϕ λ λ +n ) 2π 2 2 9,20 + n.10 89,2 + n.100 489 + n.1000 1480 + n.10.000 41400 + n.100.000 D =(

s.q.m. 0,005÷0,01 0,05÷0,1 0,5÷1 5÷10 50÷100

Valore di n 4148 414 41 4 0

Da tale sequenza si può senz’altro risalire alla misura della distanza considerando per ogni l.d.o. la cifra sicuramente non affetta da errori (sottolineata in colonna 3): otterremo in conclusione una misura di D = 41489,20m ± 0,005÷0,01m tenendo presente che lo s.q.m. indicato è solo quello riferito al discriminatore di fase. 168

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Va detto che per ottenere una precisione elevata sulle cifre decimali la misura con una l.d.o di 20m viene ripetuta varie volte per calcolare in modo corretto, applicando la teoria degli errori, il relativo s.q.m.. Questo metodo, utilizzato in uno dei primi distanziometri prodotti, veniva realizzato variando manualmente la lunghezza d'onda e quindi con notevole allungamento dei tempi di misura. Il metodo fu, per tale motivo, abbandonato a favore dei metodi b) e c) ma, con il progredire dell'elettronica, è stato successivamente ripreso ed oggi tutti i moderni distanziometri lo utilizzano, ovviamente in variante più sofisticata con la realizzazione di tutto il processo di misura in maniera automatica. 4.5. Caratteristiche delle onde Lo schema che abbiamo descritto implica ovviamente che l’onda rientrante abbia sufficiente energia per determinare il corretto funzionamento dello strumento. E’ noto infatti che l’energia prodotta da un fenomeno oscillatorio si propaga nello spazio in tutte le direzioni e si distribuisce su una superficie sferica che cresce con il quadrato della distanza dalla sorgente; tale energia inoltre si dissipa perché il mezzo in cui si propaga non è perfettamente elastico (in un mezzo perfettamente elastico l’energia ricevuta da ogni punto oscillante verrebbe totalmente trasmessa al punto contiguo) e per i noti fenomeni di diffusione per cui le particelle presenti nel mezzo ed aventi dimensioni prossime alla lunghezza d’onda diventano sede di riflessioni e rifrazioni disordinate che disperdono l’energia. Ad evitare l’impiego di potenze che diventerebbero proibitive sulle lunghe distanze è necessario impiegare onde di cui riesca facile la convogliabilità in stretti angoli solidi per evitare di far propagare l’energia in tutte le direzioni. Le onde che meglio si prestano a questa coercizione sono quelle elettromagnetiche mediante opportune antenne, ed anzi tale opportunità cresce con l’aumentare della frequenza; quantitativamente si può dire che da questo punto di vista vanno usate onde di lunghezza compresa tra 1 e 3 cm cui corrispondono frequenze tra 30.000 e 10.000 MHz (La frequenza si misura in Hz, cioè 1 Hz equivale al tempo di 1 sec per compiere un ciclo; 1000 Hz = 1 KHz = 1 KiloHertz equivale al tempo di 1/1000 di sec; 1000000 Hz = 1 MHz = 1 MegaHerz equivale al tempo di 1/1000000 di sec). Ancora più facile diviene il problema della convogliabilità se si usano onde luminose, o di frequenza vicina alle luminose, usando un semplice sistema ottico. Le piccole lunghezze d’onda che saremmo costretti ad usare per superare il problema detto renderebbero però problematico il calcolo del numero n di mezze lunghezze d’onda ed il funzionamento del discriminatore di fase. Per queste ultime esigenze servirebbero lunghezze d’onda dell’ordine della decina di metri (f = 30MHz). Questa contraddizione si risolve usando onde di facile convogliabilità (onde e.m. centimetriche, onde luminose o paraluminose) ma facendone variare nel tempo una loro caratteristica in modo da riprodurre un’onda di lunghezza decisamente più elevata. Il metodo più usato è quello di modularle in ampiezza: si fa variare nel tempo con legge sinusoidale l’ampiezza V0 dell’onda che quindi avrà un’equazione del tipo V0 =V01 + Vm sen( ω t + ϕ m ) Per conseguenza l’onda avrà un’equazione del tipo: 1998/99 F.Resta

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V = [V01 + Vm sen ( ω t + ϕ m )]sen( ω t + ϕ 0 ) rappresentata graficamente in Fig. 81. Ciò equivale fisicamente a far propagare un’onda di lunghezza λm corrispondente alla pulsazione ωm, sul supporto di un’onda di lunghezza λ minore corrispondente alla pulsazione ω. Fig. 81 L’onda di lunghezza λm viene detta modulante ed è quella che viene usata per la misura della distanza, mentre l’onda di lunghezza λ è detta portante e viene scelta con le caratteristiche utili per risolvere i problemi della propagazione. Un diverso metodo per risolvere il problema si ottiene facendo variare con legge sinusoidale la pulsazione ω dell’onda emessa, ottenendo in tal modo un’onda modulata in frequenza, rappresentata in Fig. 82.

Fig. 82 Tale metodo presenta le stesse caratteristiche di adattabilità al metodo di misura delle onde modulate in ampiezza . Un’altra possibilità è rappresentata dalla generazione di un fenomeno periodico tramite la produzione di battimenti, cioè dalla somma di due onde sinusoidali isodirette di frequenza poco diversa tra loro. Il risultato è un’oscillazione con una frequenza media delle due componenti ed ampiezza che varia nel tempo sinusoidalmente; è quindi lo stesso della modulazione di ampiezza anche se diversa ne è la generazione del fenomeno. 4.6. Caratteristiche dei riflettori L’onda emessa dal distanziometro, giunta all’estremo della distanza da misurare, dovrà opportunamente essere riflessa per ritornare allo strumento con energia sufficiente per permettere il funzionamento dell’apparato di lettura. Per questo scopo negli strumenti che usano onde luminose o paraluminose si usa un riflettore nel vero senso della parola; esso è costituito da un prisma trirettangolo o retrodirettivo (detto comunemente prisma catarifrangente) che ha la proprietà di riflettere l’onda nella stessa direzione di provenienza anche se la sua faccia anteriore risulta ruotata rispetto alla direzione dell’onda purchè tale rotazione si mantenga in un limite di 20°.

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Tali prismi (Fig. 83 a)), di ridotte dimensioni, hanno una loro portata, cioè una massima distanza entro la quale hanno la capacità di rinviare allo strumento una quantità di energia sufficiente per il corretto funzionamento; tale portata, funzione sia del tipo di onda usata che della sua convogliabilità e della purezza del cristallo usato, risente notevolmente delle condizioni atmosferiche e varia da strumento a strumento (attualmente è compresa nei limiti 2÷6 km). Ove la distanza da misurare superi la portata di un singolo prisma si aumenta il numero; per questo scopo esistono opportuni supporti che permettono l’utilizzo di un singolo prisma, di tre prismi, fino a undici prismi per Fig. 84 le massime distanze misurabili dallo strumento (Fig. 83 b), c), d) e Fig. 84). Fig. 83 I supporti leggeri (da 1 a 3 prismi) si innestano su una palina, in genere estensibile (Fig. 83 e)) mentre i supporti pesanti (11 prismi) si montano su un treppiede tramite una basetta. 4.7. Alcuni esempi di distanziometri 4.7.1. Distanziometri a differenza di fase Si riportano di seguito in Fig. 85 alcuni esempi di distanziometri con le relative precisioni e portate. Viene anche riportato il posizionamento sul teodolite (Fig. 86) che necessita di un contrappeso per stabilizzare le rotazioni del cannocchiale. 4.7.2. Distanziometri ad impulsi L'idea concettuale di misurare una distanza determinando il tempo che un segnale di brevissima durata impiega partendo da un'emittente e ritornandovi dopo essere stato riflesso risale addirittura a Galileo Galilei. In tempi moderni all'inizio dell'era dei distanziometri l'idea era subito stata scartata per l'impossibilità di misurare il tempo con la necessaria precisione per ottenere s.q.m. accettabili sulla misura della distanza. Infatti per ottenere uno s.q.m. centimetrico sulla distanza D, ottenibile tramite la formula vt D= 2 10 con v velocità della radiazione nell'aria, approssimativamente uguale a 3.10 cm/sec, -10 si sarebbe dovuto misurare il tempo con una precisione di 10 sec; improponibile con i mezzi a disposizione necessari per realizzare un semplice distanziometro topografico.

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Intorno agli anni ottanta l'idea è stata ripresa e risolta dalla Leica che ha lanciato sul mercato un distanziometro, denominato Distomat DI 3000S (Fig. 87), che ha avuto subito rapido successo commerciale per la notevole portata che si raggiungeva con un solo prisma (7000 m). A grandi linee il principio su cui si basa tale distanziometro è il seguente: - nel momento in cui lo strumento emette il segnale questi apre un circuito elettronico che viene successivamente chiuso al rientro del segnale riflesso; - questo circuito emette una serie di impulsi che vengono conteggiati da un adatto "clock" e che costituiscono la scala per la valutazione del tempo di andata e ritorno. Indicando con T la durata di un impulso ed n il numero di impulsi, il tempo t di andata e ritorno sarà semplicemente t = nT A tale tempo dovranno però essere aggiunti dei residui derivanti dai segnali di inizio e fine che vengono determinati tramite un meccanismo di variazioni di tensione dei segnali. Si otterrà infine t = nT + t1 – t2 da cui si risale alla distanza. La stessa Ditta ha anche prodotto con lo stesso principio un distanziometro identico al precedente ma che utilizza una radiazione Laser e può essere utilizzato su qualunque superficie riflettente, quindi senza l'uso di un prisma, con portate fino a 100 m; ovviamente con l'uso di un prisma raggiunge le stesse portate del modello precedente.

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Fig. 85

Fig. 86

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Parte IV – Capitolo 2

Fig. 87 4.7.3. Un piccolo distanziometro tascabile Basati sul metodo indicato al paragrafo precedente esistono sul mercato dei piccoli distanziometri funzionanti con segnali Laser che permettono la misura di piccole distanze, intorno ai 100 m, senza l'utilizzo di alcun prisma con precisioni di 3-5 mm (Fig. 88). Si rivelano molto utili per le misure di abitazioni e possiedono molte funzioni per il calcolo di aree, volumi, sottrazioni di vuoti (per es. finestre) etc. Molto maneggevoli pesano intorno ai 600-700 gr.

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Fig. 88

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Parte IV – Capitolo 3

CAPITOLO 3 STRUMENTI ED OPERAZIONI DI MISURA DEI DISLIVELLI

1. Generalità e definizioni 1.1. Definizione di quota Nel procedimento indicato nel par.1.2. del Capitolo 1 – Parte I si è visto come si renda necessaria la proiezione di un punto situato sulla superficie terrestre sul geoide. In tale procedimento schematicamente la proiezione veniva effettuata lungo la verticale ottenendo con ciò la planimetria del punto. In effetti la planimetria di un punto P situato sulla superficie terrestre andrebbe fatta secondo la linea di forza del campo gravitazionale passante per P (Fig. 89) ottenendo così sul geoide il punto Po che si indica col nome di planimetria di P. La distanza di P da Po, misurata lungo tale linea di forza viene detta quota ortometrica di P. L'arco PPo è in generale molto piccolo rispetto al raggio terrestre per cui si Fig. 89 ritiene lecito considerare tale arco coincidente con la verticale passante per P (che gli è tangente in P) e che questa coincida con la normale al geoide passante per Po. In tal senso la planimetria di P risulta come la proiezione di P sul geoide ed il segmento PPo, considerato come tratto di verticale, rappresenta la quota ortometrica di P ed è indicata come QP. Ricordando che il geoide si può materializzare con il livello medio marino la quota ortometrica , come dianzi definita, è quella che comunemente si indica come quota di un punto (in Italia spesso si aggiunge al numero il riferimento s.l.m.); nel linguaggio scientifico, specie anglossassone, si indica anche come quota geoidica. In tali appunti, quando non altrimenti specificato, per quota di un punto si intende sempre la quota ortometrica.

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Parte IV – Capitolo 3

In realtà, ricordando che la posizione dei punti è definita dalla latitudine e longitudine sull'ellissoide scelto, la definizione più razionale di quota di un punto dovrebbe essere rappresentata dalla sua distanza dall'ellissoide presa lungo la normale allo stesso; tale quota si indica col nome di quota ellissoidica. La quota ellissoidica è richiesta per svariate applicazioni ma è la quota ortometrica che ha valenza più generale ed è più largamente usata. 1.2. Quota dinamica La definizione di quota ortometrica (geoidica) data nel paragrafo precedente genera una complicazione in quanto le superfici equipotenziali del campo gravitazionale, o superfici di livello, non sono tra di loro parallele; ne risulta che tutti i punti di medesima quota ortometrica non giacciono su di una superficie di livello di potenziale W costante. Analiticamente se consideriamo Fig. 90 la superficie di livello corrispondente ad un valore W del potenziale su cui giacciono due punti P1 e P2 e la superficie infinitamente vicina corrispondente ad un valore del potenziale di W-dW si avrà g 1 dh1 = g 2 dh2 = −dW (21) avendo indicato con g1 e g2 i valori della gravità in P1 e P2 e con dh1 e dh2 gli archi infinitesimi delle linee di forza passanti per questi punti o, ciò che è lo stesso, le differenze di quota ortometrica tra le due superfici per P1 e P2. La (21) deriva dalla relazione gdh = − dW (22) già indicata nel par. 2.1 del Cap.1 parte I che esprime la costanza del lavoro in opposizione alla gravità per portare l'unità di massa da W a W-dW. Essendo g funzione di punto sarà in generale g1 ≠ g2 e per conseguenza dh1 ≠ dh2 da cui si deduce che le superfici di livello non sono parallele. Consideriamo ora due punti A e B appartenenti alle superfici equipotenziali WA e WB. Per andare da A a B si potranno in generale seguire percorsi differenti sempre comunque lungo linee di forza; siano per es. AA'B, AB'B, ACDEF…MNB (Fig. 91). Seguendo il primo percorso AA'B si ottiene come risultato (differenza di quota ortometrica tra A e B) il tratto di linea di forza AA' in quanto il tratto A'B giacendo su una superficie di livello non da alcun contributo. Con il secondo percorso AB'B Fig. 91 il risultato è rappresentato dal tratto di linea di forza B'B. 176

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Parte IV – Capitolo 3

Con il terzo percorso il risultato è rappresentato dalla somma dei tratti CD, EF,…MN. Matematicamente ciò si esprime dicendo che dW dh = − g non è un differenziale esatto in quanto g non è funzione di W e che quindi l'integrale degli incrementi infinitesimi di quota lungo un percorso che congiunge due punti sulla superficie terrestre dW (23) ∫s dh = −∫s g dipende dal percorso s effettivamente seguito. E' stata quindi introdotta una definizione di quota che permettesse il superamento di questa complicazione. Tale definizione parte dalla considerazione che integrando la (22) lungo un percorso qualunque s che colleghi i punti A e B si ottiene (24) ∫ gdh = W A − WB s

che si può così enunciare: la somma dei prodotti dei relativi dh per il valore della gravità nei singoli punti eguaglia la differenza di potenziale delle due superfici passanti per A e B. Se la superficie passante per A si fa coincidere con il geoide all'integrale (24) viene dato il nome di quota dinamica. -2 Se la gravità è espressa in kilogals (1 gal equivale all'accelerazione di 1cms . 1 -2 kgal = 1000 gal = 10 ms . Mediamente la gravità al livello del mare vale 980 gal) ed h in metri l'unità di misura della quota dinamica, detta unità geopotenziale, è indicata con la sigla GPU, dove 2 -2 2 -2 1 GPU = 1kgal.metro = 100000 cm s = 10 m s 1.3. Metodi di misura dei dislivelli In topografia esistono fondamentalmente due metodi per determinare i dislivelli: le livellazioni geometriche e le livellazioni trigonometriche. Le livellazioni geometriche, inserite nel campo delle misure dirette, si eseguono con una particolare strumentazione e procedura e sono analizzate in questa Parte IV mentre le livellazioni trigonometriche rientrano nel novero delle operazioni topografiche in quanto eseguite con la strumentazione propria dei rilievi topografici e saranno trattate nella Parte V. 2. Misure dirette di dislivelli 2.1. Generalità In topografia la quota assoluta di un punto non si riesce a determinare; quello che riusciamo a determinare è la differenza di quota, meglio nota come dislivello fra punti della superficie fisica del terreno. La misura diretta di una quota non è in genere possibile per cui, definito un punto di quota nulla e partendo da esso, con successive misure di dislivelli si possono ottenere le quota assolute di tutti i punti della terra.

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Parte IV – Capitolo 3

Il punto di quota nulla, corrispondente al livello medio marino, viene determinato con opportuni strumenti detti mareografi. La misura diretta, anche se a rigore di logica si tratta di una misura indiretta, dei dislivelli in topografia viene effettuata con un'operazione detta livellazione geometrica (spirit levelling nella bibliografia anglosassone). 2.2. Principio della livellazione geometrica Per chiarire il principio della livellazione geometrica si consideri lo schema di Fig. 92

Fig. 92 Sui due punti A e B del terreno sono poste due stadie ed accanto ad esse due bicchieri contenenti acqua e collegati tra di loro tramite un tubo. Le superfici del liquido in ogni bicchiere si dispongono secondo una superficie equipotenziale del campo della gravità che, data la vicinanza dei punti A e B, può ritenersi parallela al geoide. Indicando con lA ed lB le letture fatte sulle stadie in corrispondenza della superficie del liquido si avrà Q A + l A = QB + l B da cui ∆ AB = QB − Q A = l A − l B (25) Questa operazione viene denominata battuta di livellazione e permette di ricavare il dislivello tra i due punti A e B; lo strumento utilizzato va sotto il nome di livello ad acqua di portata limitata a qualche decina di metri. Volendo determinare dislivelli tra punti distanti si ricorre a più battute fra punti disposti lungo una linea, detta linea di livellazione. Il livello ad acqua ha però un limitato campo d'uso, quasi esclusivamente per collaudi di particolari manufatti; nella pratica topografica lo strumento utilizzato è il livello a cannocchiale (semplicemente livello nell'uso comune).

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Il livello è uno strumento il cui asse di collimazione può essere disposto su un piano orizzontale, per cui posto il livello in un punto M intermedio tra A e B (Fig. 93)

Fig. 93 la differenza lA – lB delle letture fatte alle stadie fornisce ancora il dislivello QB – QA dato che le due lettura differiscono da quelle individuate dalla superficie equipotenziale di un'identica quantità h, peraltro piccolissima data la portata del livello che in genere non eccede i 100m. 3. Il livello 3.1. Il livello con vite di elevazione L'unico tipo di livello largamente utilizzato nei rilievi moderni è il livello con vite di elevazione. Schematicamente esso è costituito da una traversa T (Fig. 94) girevole intorno ad un asse a ed imperniata su di una base dotata di viti calanti o di uno snodo sferico che permettono di rendere verticale l'asse a. Il cannocchiale viene collegato alla traversa tramite una cerniera O ed una vite g E, detta vite di elevazione che ne permette rotazioni zenitali in un piccolo settore (±2 ) intorno al suo asse passante per O. Rigidamente collegata al cannocchiale vi è una livella torica, generalmente del cc c tipo a coincidenza di immagine di elevata sensibilità (10 ÷ 2 ) utilizzata per rendere orizzontale l'asse di collimazione. c Una livella sferica di non elevata sensibilità, circa 30 , è collegata alla traversa e viene utilizzata per rendere verticale l'asse principale.

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Il livello si dice rettificato quando la tangente centrale della livella è parallela all'asse di collimazione.

Fig. 94 Con un livello rettificato, dopo aver reso verticale l'asse a tramite la livella sferica, si rende facilmente orizzontale l'asse di collimazione semplicemente centrando la livella torica tramite la vite di elevazione E. Quando si ruota il livello per effettuare altre letture la bolla della livella torica tende a spostarsi a causa dell'errore di verticalità, peraltro notevole dato l'utilizzo di una livella sferica di non elevata sensibilità per la messa in stazione, per cui si rende necessario un nuovo centramento della livella con la vite E per riportare l'asse di collimazione in posizione orizzontale. Quindi il centramento della livella torica deve essere eseguito sempre prima di ogni lettura alla stadia. Si noti che tutti i teodoliti che possiedono una livella posta a cavaliere sul cannocchiale possono essere utilizzati come livelli (vedi il teodolite rappresentato in fig.51 al Capitolo 1 ); in tal caso la vite micrometrica degli spostamenti zenitali funge da vite di elevazione. Il cannocchiale dei livelli è sempre dotato di reticolo distanziometrico in quanto spesso, per i motivi che saranno spiegati nel prossimo paragrafo, si rende necessaria la misura della distanza dello strumento dalle stadie. 3.2. Caratteristiche del livello Le caratteristiche fondamentali di un livello sono: - l'ingrandimento del cannocchiale; - il diametro dell'obbiettivo del cannocchiale; - la sensibilità della livella torica. L'ingrandimento del cannocchiale determina la grandezza apparente del tratto di stadia che si collima e quindi la capacità di apprezzamento della frazione di centimetro che si riesce a stimare.

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Parte IV – Capitolo 3

Tale capacità però è anche dipendente dal potere risolutivo del cannocchiale che esprime la minima distanza di due punti sul reticolo per averne la visione distinta ed è inversamente proporzionale al diametro del cannocchiale. Le due caratteristiche devono essere armonicamente bilanciate in un livello; variano in un campo di 15-60 per gli ingrandimenti e di 20mm-50mm per i diametri. Dalla terza caratteristica dipende la precisione con cui si realizza l'orizzontalità cc c dell'asse di collimazione ed ha un campo di variazione da 10 a 2 . 3.3. Esecuzione di una battuta di livellazione Durante l'esecuzione di una battuta di livellazione la condizione fondamentale è che l'asse di collimazione del livello giaccia su un piano orizzontale. Tale condizione si realizza , dopo aver posto l'asse principale del livello verticale con l'ausilio della livella sferica, semplicemente centrando la bolla della livella torica tramite la vite di elevazione purchè il livello sia rettificato. Infatti in condizione di non rettifica centrando la bolla si rende la tangente centrale della livella orizzontale ma non l'asse di collimazione non esistendo parallelismo tra le due rette; l ' asse di collimazione formerà in tal caso un angolo ε con l'orizzontale e le letture alle stadie non porteranno a misure corrette. Nell'esecuzione di una battuta di livellazione è quindi molto importante avere il livello perfettamente rettificato. Si vedrà nel prossimo paragrafo come ciò possa essere fatto. Nonostante ciò è però sempre difficile che la condizione di rettifica sia mantenuta in uno strumento che viene utilizzato spesso in campagna in condizioni disagevoli; permarrano sempre dei piccoli errori detti errori residui di rettifica per cui si pone il problema di utilizzare un metodo di misura che tenda ad eliminarli. Il metodo, molto semplice ed intuitivo, consiste nel porre il livello in posizione equidistante dalle due stadie (Fig. 95). In tale assetto, in condizione di livello rettificato , le letture alle stadie porteranno alla determinazione del dislivello ∆ AB = QB − Q A = l A − l B (26) In assenza di rettifica l'asse di collimazione risulterà inclinato di un angolo ε rispetto alla tangente centrale, inclinazione che permarrà in qualunque direzione essendo i due assi solidali tra di loro. Tale inclinazione provoca sulle due stadie due errori uguali e dello stesso segno x A = x B = d tan ε che nel calcolo del dislivello si eliminano. Si otterrà ' ∆ AB = l 'A − l B' = l A + x A − l B − x B = l A − l B = ∆ AB Questo metodo noto come livellazione geometrica dal mezzo presenta anche altri vantaggi: - evita la messa a fuoco del cannocchiale su ogni stadia; - consente di determinare il dislivello indipendentemente dalla curvatura del geoide; - elimina eventuali piccoli errori dovuti alla rifrazione atmosferica che tende ad incurvare i raggi luminosi verso il basso.

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Nella battuta dal mezzo non è importante che il livello sia posto lungo l'allineamento AB ma in qualunque posizione purchè equidistante dalle due stadie; né è importante che tale equidistanza sia realizzata con elevata precisione: si può tollerare una differenza di 4-5 m.

Fig. 95

3.4. Precisione di una battuta di livellazione In una battuta di livellazione le uniche grandezze che vengono misurate sono i tratti di stadia tra il punto a terra e l'asse di collimazione per cui l's.q.m. del dislivello dipende dall's.q.m. delle misure eseguite sulle stadie. Indicando con m l's.q.m. di ogni misura eseguita alle stadie, posto uguale per entrambe le misure, per ottenere l's.q.m. del dislivello si applicherà la formula indicata al par. 10. del Cap.2, Parte III. Si avrà, ricordando la (26) 2

2

 ∂∆   ∂∆  m∆AB = ±  AB  m 2 +  AB  m 2 = ± m 2 (27)  ∂l A   ∂l B  Il valore di m, oltre che dalla bontà del livello, è fortemente influenzato dalla distanza a cui sono poste le stadie aumentando notevolmente all'aumentare della distanza. Per le normali stadie in legno centimetrate, con d=50m, si può porre m=1mm. 3.5. Accessori per aumentare la precisione. Lamina piano-parallela Per aumentare la precisione delle misure di dislivelli gli strumenti più precisi sono dotati di un accessorio che consente di trasformare la lettura che si esegue alla stadia da lettura a stima a lettura a coincidenza. L'accessorio è una semplice lamina piano-parallela posta, in alcuni livelli, direttamente nel cannocchiale davanti all'obbiettivo, in altri in una struttura separata che si innesta in caso d'uso sul livello. Sono note le proprietà ottico-geometriche della lamina (Parta IV- Cap.1par.4.4.); in questo particolare uso quando la lamina, posta davanti all'obbiettivo, ha 182

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le facce perpendicolari all'asse di collimazione essa viene attraversata dal raggio luminoso senza che questo subisca alcuna traslazione ne deviazione; alla stadia quindi la lettura al filo medio del reticolo è la stessa fatta in assenza di lamina: nel caso indicato in Fig. 96 a). la lettura al filo medio sarà 1142 mm. Ruotando la lamina con un opportuno bottone si realizza una traslazione ti dell'immagine del reticolo fino a far coincidere il filo medio esattamente con la tacca centimetrica più prossima (Fig. 96 b)). La rotazione della lamina è comandata da un tamburo graduato, in genere, in 100 divisioni che coprono l'intervallo di 1 cm; cioè ruotando la lamina da 0 a 100 il filo medio subisce una traslazione di 1 cm. Quindi la traslazione ti subita dal filo nell'esempio in figura si legge direttamente sul tamburo in decimi di mm e si giunge a stimare i centesimi di mm.

Fig. 96

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Stadia in invar Per misure di elevata precisione anche le stadie dovranno essere di elevata precisione; si usano per tale evenienza stadie in invar. Queste sono costituite da un'armatura in legno cui è opportunamente fissato un nastro in invar (Fig. 98) su cui sono tracciate due graduazioni con tratti di spessore non superiore ad 1 mm. I tratti (Fig. 98)sono tracciati con grande cura in modo che gli errori di graduazione siano inferiori a poche centesimi di mm. Le due graduazioni sfalsate di una determinata quantità detta costante della stadia servono a migliorare a precisione della lettura; infatti effettuando le letture alle due graduazioni e verificando che, a meno delle fluttuazioni accidentali, la loro differenza rientri nella costante della stadia si eliminano eventuali errori grossolani e si ottengono due misure della stessa grandezza. La parte terminale delle stadie in invar, costituita da una struttura metallica terminante a piano rettificato, viene sempre poggiata su una basetta metallica terminante con un perno cilindrico a testa semisferica.. In tal modo viene assicurato l'appoggio puntuale e la perfetta rotazione della stadia senza movimenti verticali. Data la loro struttura le stadie invar non sono pieghevoli come le normali stadie Fig. 97 in legno ed hanno lunFig. 98 ghezze variabili fino ad un massimo di 3 m (Fig. 97).

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Reticolo a cuneo Per leggere sulle stadie invar viene utilizzato un reticolo particolare detto recolo a cuneo o reticolo a coda di rondine. E' visibile in Fig. 99 dove si può notare come viene utilizzato per collimare una tacca della stadia. 3.6. Verifica e rettifica di un livello Come detto al par.3.3. è importante verificare saltuariamente il livello per controllare il suo stato di rettifica ed eventualmente rettificarlo. La verifica si può eseguire in modo abbastanza semplice eseguendo dapprima una battuta dal mezzo e determinando il relativo dislivello e Fig. 99 poi, sempre tenendo ferme le stadie sugli stessi punti, una battuta ponendo il livello eccentrico in una posizione S. In questo secondo caso, in assenza di srettifica, si avrebbe sempre il dislivello esatto (Fig. 100 )pari a QB − Q A = l A°" − l B°" (28) per cui se i due dislivelli, quello determinato dal centro e quello determinato con il livello eccentrico, sono uguali si può considerare il livello rettificato. In presenza di un angolo di srettifica ε, nel caso di livello eccentrico si otterrà il dislivello QB − Q A = l "A − l "B = l A°" + ε d − l B°" − ε D ≠ l A°" − l B°" per cui se i due dislivelli, quello con battuta dal mezzo e quello con battuta eccentrica, sono diversi si deduce che il livello non è rettificato. Si noti che in fig. gli errori di lettura alle stadie dovuti alla presenza dell'angolo ε sono stati indicati sostituendo l'angolo alla sua tangente.

-

Fig. 100 Per rettificare il livello si procede nel seguente modo: si considera come esatta la lettura eseguita in A, data la piccolezza del tratto εd;

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-

muovendo la vite di elevazione si impone in B la lettura che darebbe il dislivello esatto pari a l B°" = l A°" − (QB − Q A ) dove il dislivello è quello determinato con la battuta dal mezzo; - con questa operazione la bolla della livella torica non risulta più centrata per cui la si riporta al centro agendo sulla piccola vite di rettifica della livella; - si esegue infine una lettura alle stadie per verificare che il dislivello sia uguale a quello determinato con la battuta dal centro; - se esistono ancora piccole differenze si ripete tutta l'operazione una seconda volta. L'operazione di rettifica si può anche eseguire in altro modo imponendo in B la lettura voluta tramite lo spostamento del reticolo del cannocchiale che come noto modifica l'asse di collimazione. 3.7. Esecuzione di una linea di livellazione Con una battuta di livellazione si riesce a misurare il dislivello tra punti distanti qualche centinaio di metri; se, come spesso si presenta nella pratica, si vogliono determinare dislivelli tra punti molto distanti, è necessario eseguire una linea di livellazione che consiste nell'esecuzione di più battute collegate tra di loro secondo lo schema indicato in Fig. 101.

Fig. 101 Il rilievo si esegue con due stadie ed un livello con la seguente procedura: si dispongono le stadie sui punti CS1 ed A ed il livello al centro; si eseguono le letture alle stadie; quindi la stadia che era in CS1 si sposta in B, il livello si pone al centro tra A e B, mentre la stadia che era in A viene fatta ruotare su se stessa per permetterne la lettura ( si nota in questa operazione l'importanza della basetta su cui poggiare la stadia: essa permette la rotazione della stadia su di un punto senza nessun movimento verticale, cosa che invece si avrebbe se la stadia ruotasse sul terreno per ovvi motivi); - si prosegue quindi nello stesso modo per le tratte B-C e C-CS2. Il dislivello tra i punti CS1 e CS2 sarà ovviamente dato dalla somma dei dislivelli parziali delle varie battute. In genere se si individua un verso di percorrenza e si indica con i la lettura indietro e con a la lettura in avanti il dislivello della battuta k-ma sarà ∆k = ik − a k per cui il dislivello complessivo tra i due capisaldi sarà -

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k =n

k =n

k =n

k =1

k =1

k =1

∆ = ∑ (ik − a k ) = ∑ ik − ∑ a k si può cioè ottenere come differenza fra la somma di tutte le letture indietro e la somma di tutte le letture in avanti. 3.8. Precisione di una linea di livellazione Nel par.3.4. si è visto come si calcola la precisione di una battuta; in presenza di una linea di livellazione costituita da n battute, considerando l's.q.m. delle letture sempre uguale e pari ad m, con evidente estensione, si otterrà l's.q.m. del dislivello m∆ = m 2n (29) La formula (29), si badi bene, è puramente teorica, anche se nello s.q.m. di una lettura si considerano conglobati l's.q.m. di lettura propriamente detto, l's.q.m. di centramento della livella, l's.q.m. derivante dalla non perfetta verticalità della stadia e quello derivante dalla non perfetta graduazione della medesima. Non tiene per es. conto dei, sia pur piccoli, spostamenti verticali che potrebbe avere la stadia nelle rotazioni che subisce nel passare da una battuta alla successiva. Nella pratica topografica una linea di livellazione deve sempre essere controllata e ciò si ottiene semplicemente eseguendo la linea dal caposaldo iniziale a quello finale e poi ritornando sul caposaldo iniziale in genere per via diversa sempre tramite livellazione. Il metodo, concettualmente lo stesso, si distingue dicendo che si effettua una livellazione in andata e ritorno se lo scopo è il collegamento altimetrico tra due capisaldi oppure che si effettua una linea di livellazione chiusa se si segue un percorso anulare che ritorna sul punto di partenza. In tali casi, se si considerano complessivamente n battute, la differenza della somma delle letture indietro e delle letture in avanti, non darà mai 0 a causa degli inevitabili errori di misura ma indicherà un valore ε detto errore di chiusura della livellazione: k =n

k =n

k =1

k =1

ε = ∑ ik − ∑ a k Tale errore di chiusura dovrà verificare la condizione ε ≤t dove con t viene indicata la tolleranza assegnata in base allo scopo per cui la livellazione è richiesta ed è espressa generalmente nella forma t=c D dove con D viene indicata la lunghezza della linea di livellazione espressa in Km mentre c è una costante espressa in mm. In funzione dei valori assunti da c le livellazioni si dividono in: - livellazioni di alta precisione se c≤ 1mm; - livellazioni di precisione se c≤ 3mm; - livellazioni tecniche se c≤ 20÷30mm. Nelle livellazioni di alta precisione e di precisione si userà strumentazione di elevata qualità quindi livelli dotati di lamina piano-parallela, stadie in invar e basetta di appoggio ed in genere le battute non supereranno mai gli 80÷90 m, mentre nelle livellazioni tecniche si useranno normali livelli con stadie in legno avendo l'accortezza di poggiarle su terreno non cedevole. 1998/99 F.Resta

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La precisione di un livello che dipende dalle caratteristiche indicate nel par. 3.2. viene in genere espressa globalmente con l's.q.m. ottenibile su una linea di livellazione di 1 km eseguita in andata e ritorno e si indica come errore medio chilometrico. 3.9. Il mareografo Il livello medio del mare che rappresenta il punto di quota 0 è il livello che corrisponde alla media delle altezze dell'acqua (variabili per una serie di cause quali moto ondoso, azione delle correnti, del vento delle variazioni termiche e delle maree) rispetto ad un punto fisso. Il livello medio viene determinato tramite il mareografo che è costituito da un galleggiante posto in un pozzo in comunicazione con il mare, i cui movimenti vengono registrati da una punta scrivente su un foglio che trasla con velocità costante; il mareografo viene posto all'interno di un porto ed al riparo da eventuali azioni perturbatrici. Si determina in tal modo la posizione nel tempo del livello del mare rispetto ad una retta tracciata sulla carta che rappresenta il riferimento. Il mareografo viene quindi collegato con una livellazione di alta precisione ad un caposaldo costruito con particolare cura che si chiama punto di derivazione delle quote. In Sardegna il mareografo è situato nel porto di Cagliari presso la sede della Capitaneria di Porto mentre il punto di derivazione delle quote è situato sul lato destro del portone di ingresso del Convento attaccato alla Basilica di Bonaria. 3.10. Autolivelli E' stato osservato che con il livello con vite di elevazione, già messo in stazione, bisogna centrare la livella torica ogni volta che si legge alla stadia. Ciò richiede una allungamento del tempo di misura tanto più elevato quanto più sensibile è la livella ed inoltre l'eventuale dimenticanza di tale centramento, non così rara quando si eseguono decine di misure, introduce un errore grossolano nella misura del dislivello. Per ovviare a tali inconvenienti sono stati progettati dei livelli autolivellanti medianti sistemi a pendolo detti compensatori. In tali livelli l'orizzontalità dell'asse di collimazione viene realizzata automaticamente senza eseguire alcuna manovra non appena l'asse di rotazione della traversa sia stato posto verticale con l'ausilio della livella sferica e delle tre viti calanti; essi quindi non sono dotati ne di livella torica ne di vite di elevazione. Essendo tali autolivelli basati su un sistema a pendolo sono dotati di un sistema, di solito pneumatico, che ne smorza rapidamente le oscillazioni e ciò sia per non avere disturbi nelle letture sia per non dover attendere troppo tempo per ottenere la stabilizzazione del pendolo. Il campo di oscillazione del pendolo ha una ampiezza molto limitata, in genere appena maggiore della sensibilità della livella sferica applicata al livello; quando il livello non è perfettamente messo in stazione in modo che venga superato il campo di oscillazione il compensatore non agisce e quindi si eseguono letture ad asse di collimazione non orizzontale. Per avvertire la presenza di tale situazione molti autolivelli sono dotati di un opportuno segnale che compare nel campo del cannocchiale per indicare che il si188

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stema sospeso non è in libera oscillazione oppure hanno un pulsante esterno che permette di dare piccoli colpi al sistema e di controllarne nel cannocchiale la libera oscillazione. In questo tipo di livelli la condizione di rettifica assume una diversa definizione; la si può enunciare nel seguente modo: quando l'autolivello è in stazione il suo asse di collimazione deve essere orizzontale. La verifica si esegue nello stesso modo detto per il livello con vite di elevazione; l'eventuale rettifica si esegue spostando il reticolo e quindi l'assetto dell'asse di collimazione. 3.11. Il livello digitale Intorno agli anni 90 la società Leica ha lanciato sul mercato un nuovo livello, Wild NA 2000, che automatizza completamente la livellazione geometrica. Da un punto di vista ottico-meccanico questo livello ha una struttura identica ad un tradizionale autolivello; in più è dotato di tutta una serie di componenti elettronici necessari per eseguire la lettura alla stadia. La stadia, sempre in invar, si presenta come in Fig. 102 dotata di un codice a barre. Nel livello l'immagine del codice a barre viene inviata ad un gruppo di diodi rilevatori per mezzo di un divisore di fascio. La luce ricevuta viene divisa in una componente infrarossa ed in una visibile; ne risulta che la luce visibile che raggiunge l'osservatore resta inalterata mentre i diodi ricevono una sufficiente radiazione infrarossa a cui sono particolarmente sensibili. L'apertura angolare del sistema ottico nel livello è di 2 gradi: ne risulta che 70 mm di stadia possono essere rappresentati sul rilevatore ad una distanza minima di 1,8 m, mentre una stadia di 2 m viene rappresentata a circa 60 m. All'interno del livello un complesso sistema trasforma l'immagine del codice a barre in unità di misura attraverso un principio detto di correlazione. Lo strumento permette anche la lettura automatica della distanFig. 102 za livello-stadia. Tutti i dati di lettura sono visibili su un display a cristalli liquidi ma possono anche essere memorizzati su un opportuno modulo che si scarica successivamente sul computer. Allo stato attuale la Leica ha prodotto la nuova serie 3000 ed altre due ditte, Zeiss e Topcon, hanno prodotto livelli analoghi. La precisione di tali livelli per livellazioni in andata e ritorno permette il raggiungimento di un errore di chiusura di 1,5 mm/km; permette quindi l'esecuzione di livellazioni di alta precisione con il vantaggio di un risparmio in tempo di 1,5 volte rispetto ad una livellazione eseguita con un autolivello tradizionale. 3.12. La rete altimetrica di Stato L'Istituto Geografico Militare Italiano (I.G.M.I.) ha eseguito lungo tutto il territorio dello Stato delle linee di livellazione di altissima precisione con lo scopo di determinare le quote assolute di una serie di punti uniformemente distribuiti.

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Queste linee corrono in genere su strade di grande comunicazione e collegano tra di loro una serie di capisaldi posti ad una distanza media di 1 km. A secondo della cura posta nella loro costruzione ed ubicazione (vedi Fig. 64 del par.12.1. Capitolo 1)si distinguono in tre specie: - capisaldi di linea disposti ad una distanza media di 1 km; - capisaldi principali disposti ad una distanza di circa 3 km; - capisaldi fondamentali distanti in media 25 km. Le linee di livellazione sono indicate con un numero e di ciascuna linea sono pubblicati dei fascicoli che contengono le accurate monografie di tutti i capisaldi con le relative quote(vedi Fig. 66 par. 12.1. Capitolo 1). Nella Fig. 103 è riportato il grafico della rete altimetrica in Sardegna.

Fig. 103 190

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3.13. Esempi di livelli Wild NA2 E' un autolivello dotato di lamina piano-parallela di elevata precisione (Fig. 104).

Fig. 104 Utilizzato con una stadia in invar permette l'esecuzione di livellazioni di alta precisione. Errore medio chilometrico di 0,3÷0,7 mm. Dopo aver centrato, con l'ausilio della lamina, una tacca della stadia, sulla stessa si leggono direttamente i centimetri mentre nell'oculare della lamina si leggono i millimetri ed i decimi e si stimano i centesimi. Nell'esempio di Fig. 105 si leggerà 77,556 cm.

Fig. 105

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Kern GK 1 E' un livello (Fig. 106) con vite di elevazione, dotato di livella torica a coincidenza, di livella sferica, con innesto a baionetta sull'apposito treppiede.

Fig. 106 La sensibilità della livella torica è di 20". L'errore medio chilometrico è di 3÷4 mm. Salmoiraghi L 5150-A E' un livello da cantiere con vite di elevazione dotato di cannocchiale anallattico. La livella torica ha sensibilità di 15". L'errore medio chilometrico di ± 5 mm.

Fig. 107

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Jena NI 040 A E' un autolivello con errore medio chilometrico di ± 4.

Fig. 108 Leica Wild NA3000 Livello elettronico con errore medio chilometrico di 1,5.

Fig. 109

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PARTE V RILIEVI TOPOGRAFICI

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CAPITOLO 1 DETERMINAZIONI PLANIMETRICHE

1. Generalità e definizioni sulle operazioni topografiche 1.1. Punti di inquadramento e di dettaglio Nella Parte I si è spiegato che il rilievo topografico consiste nella determinazione plano-altimetrica di un considerevole numero di punti che ci consentano di ricostruire tutti i particolari del terreno. Si è anche detto che tutti questi punti si possono suddividere in due grandi categorie: punti di inquadramento e punti di dettaglio. I punti di inquadramento sono in numero notevolmente inferiore ai punti di dettaglio ma costituiscono l'elemento fondamentale di tutto il rilievo; sono perciò determinati con le più raffinate operazioni topografiche e con elevata precisione. I punti di dettaglio, in numero nettamente superiore, servono per definire tutte le particolarità del terreno e vengono determinati con misure e metodi più speditivi partendo quasi sempre da punti di inquadramento, che in tale evenienza sono considerati privi di errori. Di seguito vengono descritte le più comuni operazioni topografiche per le determinazioni plano-altimetriche di punti del terreno. 1.2. Angolo di direzione e distanza Si considerino due punti A e B di coordinate note nel piano NE (Fig. 1). Si definisce angolo di direzione della direzione AB presa da A verso B l'angolo di cui la parallela all'asse N condotta per A deve ruotare in senso orario per sovrapporsi alla direzione orientata AB e si indica con la notazione (AB). L'angolo di direzione si calcola facilmente note le coordinate dei due punti A e B con EB − E A (1) NB − NA L'angolo di direzione può assumere tutti i valori compresi tra 0 e 400 g per cui quando se ne calcola il valore con la (1) occorre poter stabilire in quale quadrante si trova; per tale evento vale la regola che l'angolo di direzione appartiene al 1°, 2°, 3° tan( AB ) =

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o 4° quadrante a seconda che i segni del numeratore e del denominatore sono rispettivamente + , +; + , −; − , − ; − , +.

Fig. 1 In altre parole dopo aver calcolato (AB) con la (1) se i segni del numeratore e del denominatore sono entrambi positivi l'angolo è quello risultante dal calcolo (AB); se il numeratore è positivo ed il denominatore negativo l'angolo sarà uguale a 200 g – (AB); se sono entrambi negativi l'angolo sarà uguale a 200 g + (AB); se il numeratore è negativo ed il denominatore positivo l'angolo sarà uguale a 400 g – (AB) L'angolo di direzione (BA) si chiama reciproco di (AB) e vale ovviamente (BA) = (AB) ± 200 g dove il segno – va usato quando (AB) è maggiore di 200 g . Dopo aver calcolato l'angolo di direzione (AB) la distanza AB può calcolarsi con le seguenti formule E − EA N − NA AB = B = B (2) sen( AB ) cos( AB ) La distanza AB si può anche calcolare con la formula AB = ( N B − N A ) + (E B − E A ) (3) nel qual caso potrebbe essere più conveniente determinare l'angolo di direzione successivamente utilizzando la formula (la cui semplice dimostrazione si lascia al lettore) ( AB ) = E B − E A tan (4) 2 AB + N B − N A 2

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Parte V – Capitolo 1

che ha il pregio di dare il valore di (AB) senza l'indeterminazione del quadrante come invece avviene per la (2). 1.3. Trasporto di un angolo di direzione Quando si è in presenza di una spezzata di vertici, P1 P2 …Pi-1 Pi Pi+1 …Pn, di cui sono noti gli angoli A1 A2 ….Ai-1 Ai Ai+1 ……An e un angolo di direzione, (Pi-1Pi) (Fig. 2), i successivi angoli di direzione possono determinarsi calcolando il reciproco dell'angolo di direzione precedente, aggiungendo l'angolo noto nel vertice e togliendo 400g quando il risultato del calcolo eccede 400g, cioè secondo la seguente relazione (Pi Pi +1 ) = (Pi Pi −1 ) + Ai = ( Pi −1 Pi ) + 200 g + Ai (5) Questa regola presuppone che nella spezzata si sia individuato un verso di percorrenza e che gli angoli Ai siano sempre quelli che permettono di sovrapporre un lato al successivo con una rotazione oraria.

Fig. 2 1.4. Irradiamento L'irradiamento è uno schema di rilievo molto semplice e pratico che con l'avvento dei distanziometri ha notevolmente incrementato la sua portata si da farlo diventare lo schema più usato da tutti i rilevatori. Per determinare la posizione di un punto basta avere a disposizione due punti di coordinate note, uno su cui fare stazione ed il secondo per orientarsi. Lo schema è indicato in Fig. 3 dove A e B indicano i punti di coordinate note ed il punto P quello di cui si vogliono determinare le coordinate. Messo in stazione lo strumento sul punto A si misura l'angolo α e la distanza d dal punto incognito P avendosi così tutti i dati necessari per determinarne le coordinate.

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Infatti, essendo l'angolo di direzione (AB) noto e ricavabile con la (1), si determina l'angolo di direzione (AP) con la relazione (AP) = (AB) + α (6) Applicando quindi le (2) si ottengono immediatamente le coordinate del punto P E P = E A + d sen( AP ) (7) N P = N A + d cos( AP )

Fig. 3 Volendo determinare l's.q.m. della posizione di P si considerano prive di errore le coordinate dei punti noti A e B e quindi dell'angolo di direzione (AB). Le coordinate di P essendo funzioni di quantità osservate avranno un s.q.m. pari a m EP = ± sen 2 ( AP )md2 + d 2 cos 2 ( AP )mα2 (8) m N P = ± cos 2 ( AP )md2 + d 2 sen 2 ( AP )mα2 L's.q.m. della posizione planimetrica di P risulterà m P = ± m E2 P + m N2 P

(9)

per cui sostituendo le espressioni date dalle (8) si otterrà m P = ± md2 + d 2 mα2 (10) Quando si esegue un irradiamento è buona norma non limitarsi ad un solo orientamento(Fig. 4) Nell'esempio indicato in Fig. 4 collimando da A più punti di coordinate note e determinando gli angoli α1 α2 α3 che le direzioni AB, AC e AD formano con AP, nonché ovviamente misurando la distanza d, si avranno a disposizione tre possibilità per calcolare le coordinate incognite di P. In tal modo ci si tutela da eventuali errori grossolani nella individuazione dei punti noti ed in più si hanno diversi valori delle coordinate di P da cui trarre i valori più probabili (le medie aritmetiche).

200

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Fig. 4 1.5. Poligonali non controllate Le poligonali non sono altro che irradiamenti successivi: è infatti ovvio che dopo aver determinato le coordinate di un punto P0 per irradiamento da un punto noto A, tale punto può considerarsi di coordinate note e quindi essere assunto come stazione per determinare un successivo punto P1 assumendo come orientamento la precedente stazione di partenza A. Tale metodo si può ripetere a catena come indicato in Fig. 5 Il metodo è molto utile per determinare le coordinate di punti situati in posti disagiati da cui non si ha visibilità; fondi-valle, zone fortemente alberate, gallerie. La sua precisione è però molto scadente giacchè gli effetti degli errori di misu-

Fig. 5 ra si accumulano di vertice in vertice divenendo rapidamente intollerabili; per tale motivo nessuna normativa di rilevamento ammette l'utilizzo di poligonali non controllate. Quando la necessità oggettiva le impone (per esempio in galleria), vanno

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eseguite con molta accuratezza utilizzando tutti i metodi disponibili per migliorarne la precisione: reiterazioni degli angoli, stazioni con centramento forzato, etc.). Per il calcolo delle coordinate dei punti, dopo aver misurato in campagna gli angoli α α0 α1 α2 e le distanze d0 d1 d2 d3 si determinano gli angoli di direzione con la (5) e le coordinate dei punti con le (7). 1.6. Poligonale controllata Il metodo della poligonale descritto al paragrafo precedente aumenta notevolmente di precisione se si opera in modo che l'ultimo vertice sia anche esso un punto di coordinate note e da tale vertice se ne possa collimare un altro anch'esso noto. Si parla in tal caso di poligonale aperta appoggiata agli estremi (Fig. 6).

Fig. 6 Il vantaggio di tale modo di procedere consiste nel fatto che si hanno misure sovrabbondanti, rappresentate dalle due coordinate note del punto Pn e dall'angolo αn e ciò permette di eseguire un controllo su tutte le misure eseguite, verificarne la congruità e quindi eseguire la compensazione. Il calcolo e la compensazione possono essere eseguiti con metodi matematici rigorosi (minimi quadrati) però spesso per poligonali tecniche si preferisce eseguire una compensazione empirica i cui risultati non differiscono eccessivamente da quelli ottenuti con un calcolo rigoroso. La compensazione empirica viene eseguita prima sugli angoli (compensazione angolare) e poi sulle distanze (compensazione lineare). Dopo aver misurato in campagna tutte le distanze di e gli angoli αi si calcolano con la (1) gli angoli di direzione (P1A) e (PnB), noti in quanto noti i punti P1, A, Pn e B E B − E Pn E A − E P1 tan( P1 A ) = tan( Pn B ) = (11) N A − N P1 N B − N PN Si calcolano quindi, facendo uso della (5) tutti gli angoli di direzione

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( P1 P2 ) = ( P1 A ) + α 1 ( P 2 P3 ) = ( P1 P2 ) + α 2 ± π ( P3 P4 ) = ( P2 P3 ) + α 3 ± π .......................................... ( Pn −1 Pn ) = ( Pn − 2 Pn −1 ) + α n −1 ± π

(12)

( Pn B ) = ( Pn −1 Pn ) + α n ± π Sommando i primi ed i secondi membri delle (12) ed uguagliando si perviene infine alla i=n

( Pn B ) = ( P1 A ) + ∑ α i + kπ

(13)

i =1

dove k è un numero intero che si individua facilmente in sede di calcolo. Sostituendo nella (13) i valori degli angoli di direzione noti (PnB) e (P1A), supposti privi di errori, a causa degli inevitabili errori accidentali di misura, si otterrà un residuo ∆, detto errore di chiusura angolare: i =n

∑α i =1

i

+ ( P 1 A ) − ( Pn B ) + kπ = ± ∆

(14)

L'errore di chiusura angolare ∆, perché la poligonale sia considerata valida, dovrà risultare in valore assoluto inferiore alla tolleranza; cioè (15) ∆ ≤ tα La tolleranza angolare tα viene assegnata a priori in base alla precisione richiesta alla poligonale; ad essa si dà l'espressione tα = c n (16) con n numero di angoli misurati e c un coefficiente che, per esempio, per i lavori acc cettati dal catasto vale 4 . Per poligonali di precisione più elevata può valere anche cc 15 . Se la (15) non è verificata bisogna ripetere tutta la poligonale in campagna; se invece la (15) è verificata si può procedere alla compensazione, cioè alla distribuzione dell'errore di chiusura angolare tra i vari angoli misurati talchè il secondo membro della (14) vada a 0. La compensazione viene effettuata distribuendo l'errore di chiusura in parti uguali tra tutti gli angoli misurati. Per comodità di calcolo si preferisce compensare direttamente gli angoli di direzione calcolati con le (12), cioè a ciascuno degli angoli di direzione si sottrae (se ∆ è positivo) o si somma (se ∆ è negativo) la quantità

∆ (17) n Questo modo di compensare gli angoli assegnando a ciascuno di essi una quantità uguale dell'errore di chiusura parte dal presupposto che la stessa sia stata rilevata sempre nelle medesime condizioni, cioè utilizzando sempre lo stesso strumento e le identiche condizioni di lettura degli angoli. Ove ciò non si verifichi perché, per esempio, in una poligonale molto lunga e di precisione non elevata, si lavora con due squadre di rilevatori in possesso di strumenti di precisione differente, è evidente che l'errore di chiusura non può essere suddiviso in parti uguali in quanto gli angoli misurati con lo strumento meno preciso saranno portatori di un errore maggiore e quindi gli dovrà essere assegnata una quantità maggiore dell'errore di chiusura ∓

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che non per gli angoli misurati con lo strumento più preciso. In tal caso la distribuzione del ∆ viene effettuata empiricamente per esempio assegnando a ciascun angolo una correzione inversamente proporzionale allo s.q.m. dello strumento utilizzato per la loro misura. Dopo aver compensato gli angoli di direzione si hanno tutti gli elementi per determinare le coordinate incognite di tutti i punti tramite le (7). Si avrà: N P2 = N P1 + d 1 cos( P1 P2 ) E P2 = E P1 + d 1 sen( P1 P2 ) N P3 = N P2 + d 2 cos( P2 P3 )

E P3 = E P" + d 2 sen( P2 P3 )

(18) ................................................................................................... N Pn = N Pn −1 + d n −1 cos( Pn −1 Pn ) E P n = E Pn −1 + d n −1 sen( Pn −1 Pn ) Sommando i primi membri ed i secondi membri di queste relazioni ed eguagliando si otterrà: N Pn = N P1 +

i = n −1

∑ d i cos( P i Pi +1 )

E Pn = E P1 +

i =1

i = n −1

∑d i =1

i

sen( Pi Pi +1 )

(19)

Se ora nelle (19) si pongono i valori delle coordinate dei punti noti P1 e Pn, supposte prive di errori, gli angoli di direzione già compensati e quindi anche essi supposti privi di errori, ed infine le distanze misurate si otterranno degli errori di chiusura dovuti solo agli errori di misura delle distanze. Si avrà pertanto i = n −1

∑d i =1

i

i = n −1

∑d i =1

i

(

)

cos( Pi P i +1 ) − N Pn − N P1 = ∆N

(

)

(20)

sen( Pi Pi +1 ) − E Pn − E P1 = ∆E

Alla quantità

∆L = ∆N 2 + ∆E 2 (21) si da il nome di errore di chiusura lineare della poligonale. Anche per tale errore vale lo stesso discorso fatto per gli angoli; esso deve risultare in valore assoluto inferiore ad una tolleranza assegnata ∆L ≤ t L (22) Alla tolleranza viene assegnata l'espressione tL = p L (23) dove L esprime la lunghezza complessiva della poligonale espressa in metri e p è un coefficiente, anche esso espresso in metri, che qualifica la precisione richiesta alla poligonale. Misurando le distanze con un distanziometro p può assumere valori compresi tra 0,001÷0,002 m. Ove la (22) sia verificata si può procedere alla compensazione dei lati, cioè distribuire l'errore di chiusura tra tutti i lati, o ciò che è lo stesso tra le componenti dei lati, in modo che i secondi membri delle (20) vadano a 0. Questa distribuzione non avviene però come per gli angoli in parti uguali in quanto gli errori commessi sulle misure delle distanze sono proporzionali alle lunghezze delle stesse: è naturale quindi distribuire l'errore di chiusura in parti proporzionali alla lunghezza di ciascun lato. Si calcolano quindi le correzioni unitarie con 204

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i = n −1 ∆N ∆E uE = − con L = ∑ d i L L i =1 e si ricavano le componenti compensate di ciascun lato con le [d i cos( Pi Pi +1 )]c = d i cos( Pi Pi +1 ) + u N d i

uN= −

[d i sen( Pi Pi +1 )]c = d i sen( Pi Pi +1 ) + u E d i

(24)

(25)

Con le componenti compensate si determinano infine le coordinate dei punti applicando le (18). 1.7. Poligonale chiusa La poligonale chiusa può considerarsi a tutti gli effetti come un caso particolare della poligonale aperta quando l'ultimo vertice Pn coincide col primo vertice P1 (Fig. 7)

Fig. 7 Nell'esempio indicato in fig, che rappresenta il caso più generale, si tratta di poligonale orientata per cui sono noti sia il punto P1 che il punto A esterno alla poligonale. La condizione cui devono soddisfare gli angoli misurati si deriva immediatamente dalla condizione cui devono soddisfare gli angoli interni di un poligono di n lati i =n

∑α − (n − 2)200 i =1

i

g

=∆

(26)

L'errore di chiusura ∆, se inferiore alla tolleranza, si distribuisce, cambiato di segno, tra tutti gli angoli misurati in parti uguali. Le componenti dell'errore di chiusura lineare si calcolano con le

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Parte V – Capitolo 1

i = n −1

∑d i =1

i

(27)

i = n −1

∑d i =1

cos( Pi Pi +1 ) = ∆N

i

sen( Pi Pi +1 ) = ∆E

L'errore di chiusura lineare ∆L, calcolato tramite la (21), se inferiore alla tolleranza, si distribuisce tra tutti i lati misurati in parti proporzionali alle loro relative lunghezze dopo aver calcolato tramite le (24) le correzioni unitarie. 1.8. Intersezione in avanti L'intersezione in avanti era un metodo molto utilizzato nel passato quando non avendosi a disposizione i distanziometri permetteva la determinazione della planimetria di un punto con sole osservazioni angolari. Il metodo (Fig. 8) prevede lo stazionamento su due punti, A e B, di coordinate note da cui si possa collimare il punto P incognito e misurare i relativi angoli α e β.

Fig. 8 Essendo nota la distanza AB, calcolabile con la (2) o la (3), ed applicando al triangolo ABP il teorema dei seni si ottiene AB AP BP = = (28) sen( α + β ) sen β sen α da cui si possono calcolare le distanze AP ed BP. L'angolo di direzione (AP) si ricava immediatamente con (AP) = (AB)-α essendo l'angolo (AB) noto e calcolabile tramite la (1). Applicando infine le formule dell'irradiamento (7) si determinano le coordinate incognite del punto P. Il rilievo si può anche eseguire stazionando nei punti A e P, oppure B e P, nel qual caso prende il nome di intersezione laterale. La scelta dell'uno o dell'altro metodo dipende solo da considerazioni pratiche sulle possibilità, o sulla convenienza, di fare stazione sui punti. Il metodo, come si può notare applicando le (28), si utilizza anche per la determinazione indiretta di una distanza quando, per esempio è materialmente impossi206

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bile raggiungere il punto P o quando la distanza da misurare eccede la portata del distanziometro. 1.9. Intersezione multipla Il metodo dell'intersezione descritto nel paragrafo precedente trova sola applicazione nei rilievi di non elevata precisione. Nella pratica operativa di rilievi di precisione il punto P viene rilevato facendo stazione su più punti noti (Fig. 9) avendo così a disposizione varie possibilità di calcolo delle coordinate incognite.

Fig. 9 Nello schema indicato in Fig., dopo aver fatto stazione sui punti noti Pi e misurato gli angoli αi, applicando il teorema dei seni si determinano le distanze PiP, quindi si calcolano gli angoli di direzione (PiP) e successivamente le coordinate del punto incognito P. Si avranno in tal modo tre valori delle coordinate di P e si potrà constatare la eventuale presenza di errori grossolani e, ove non presenti, assumere la media dei valori come valore più probabile delle coordinate di P. Ove si voglia un valore più pertinente delle coordinate di P bisognerà far ricorso ad un metodo di compensazione più rigoroso basato sul principio dei minimi quadrati.

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1.10. Intersezione inversa Un altro metodo di intersezione, noto come intersezione inversa o problema di Snellius, detto anche problema di Pothenot, permette la determinazione delle coordinate del punto incognito P facendo stazione solo su di esso e misurando gli angoli α

Fig. 10 e β a tre punti incogniti A, B e C (Fig. 10). La soluzione numerica dell'intersezione inversa può essere ottenuta con diversi schemi di calcolo; quello che si propone è dovuto a V. Galkiewictz (1936). Si considerino gli angoli di direzione (PA) = γ (PB) = (PA) + α = γ + α (PC) = (PA) + α + β = γ + α + β Applicando la (1) si otterrà E A − E P = ( N A − N P ) tan γ E B − E P = ( N B − N A ) tan( γ + α ) E C − E P = ( N C − N P ) tan( γ + α + β ) cioè un sistema di tre equazioni in tre incognite, EP , NP e γ che risolto porta alle seguenti soluzioni ( E A − E B ) cot α + (EC − E A ) cot (α + β ) + N B − N C tan γ = ( N A − N B ) cot α + ( N C − N A ) cot (α + β ) + EC − E B

E B − E A + N A tan γ − N B tan(γ + α ) (29) tan γ − tan(γ + α ) E P = E A + ( N P − N A ) tan γ Del problema esiste anche una soluzione geometrica che meglio mette in evidenza i grossi limiti del metodo. Dopo aver riportato su un foglio in scala opportuna i segmenti AB e BC (Fig. 11)si manda per il punto A una retta che formi un angolo α col segmento AB; quindi per A si manda la normale a tale retta sino ad intersecare nel punto O1 la normale alla mezzeria del segmento AB. Si ripete analoga operazione per il punto B riportando l'angolo β sino a determinare il punto O2. NP =

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Parte V – Capitolo 1

Con centro in O1 si traccia la circonferenza che passa per A, B e P e con centro in O2 la circonferenza che passa per B, C e P. Il punto P risulta quindi dall'intersezione delle due circonferenze.

Fig. 11 Il metodo cade in difetto tutte le volte che il punto P appartiene alla circonferenza che passa per A, B e C (Fig. 12 a)) perché in tal caso tutti i punti appartenenti all'arco APC soddisferebbero il problema E' questo il caso di indeterminatezza del problema che rigorosamente si presenta quando la somma degli angoli misurati e dell'angolo noto a loro opposto nel g quadrilatero ABCP, cioè l'angolo γ, è uguale a 200 α + β + γ = 200 g (30) La (30) rappresenta infatti la condizione che un quadrilatero sia inscrittibile in una circonferenza. Naturalmente è rarissimo nella pratica che la (30) sia esattamente verificata; g avviene però spesso che il risultato sia molto prossimo a 200 . In questo caso il problema, nonostante non sia indeterminato, presenta una grande imprecisione in quanto piccoli errori nella misura di α e β provocano grandissimi errori nella posizione di P. Nella Fig. 12 b) si può notare che se le due circonferenze sono distinte, ma di centri molto prossimi e raggi quasi uguali, il punto d'intersezione P risulta non nettamente definito dall'intersezione dei due archi in quanto le loro tangenti formano un angolo troppo piccolo. Il metodo di Snellius può pertanto presentare casi di criticità che ne ridimensionano il grande vantaggio che consente di determinare la planimetria di un punto semplicemente stazionandovi sopra e misurando gli angoli a tre punti noti visibili.

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Parte V – Capitolo 1

Per questo motivo il Catasto non lo accetta tra i metodi di rilievo validi per la determinazione delle coordinate di punti.

Fig. 12 Data la sua praticità il metodo viene però spesso utilizzato dai topografi che si tutelano contro i casi di criticità collimando più di tre punti noti e possibilmente a giro d'orizzonte; in genere conviene collimare tutti i punti noti visibili dal punto P. Si hanno così a disposizione  n n!   =  3  (n − 3 )! 3! coppie di coordinate del punto P incognito, con n numero di punti noti collimati. L'esame della serie di coordinate permette facilmente di individuare le terne che creano condizioni di criticità in quanto scartano notevolmente dalla media (si manifestano alla stessa stregua degli errori grossolani); tali terne si eliminano dalla serie di coordinate e si assume come valore delle coordinate il valor medio. Nei casi in cui i punti noti visibili siano pochi (come minimo almeno quattro) la situazione ideale si presenta quando il punto P è situato all'interno del quadrilatero formato dai punti noti perché in questo caso si è sicuri di non incappare nelle condizioni di criticità. 1.11. Triangolazione Da quando Snellius l'ha impiegata per la prima volta nel 1672, e prima della comparsa dei distanziometri, è stato l'unico metodo usato per la determinazione dei punti di inquadramento o di punti di elevata precisione. Lo schema è identico a quello dell'intersezione in avanti; l'unica, e sostanziale, differenza consiste nel fatto che bisogna fare stazione su tutti i punti (Fig. 13) e misurare i tre angoli del triangolo. Avendo misurato i tre angoli si può determinare l'errore di chiusura α + β + γ − 200 g = ∆ che, se inferiore alla tolleranza assegnata, si distribuirà, cambiato di segno, in parti uguali ai tre angoli. La triangolazione quindi, contrariamente a quanto accade per l'intersezione in avanti, permette di eseguire la compensazione delle misure.

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Parte V – Capitolo 1

Dopo aver eseguito la compensazione le coordinate di P si calcolano nello stesso modo che per l'intersezione inversa.

Fig. 13 1.12. Reti geodetiche rilevate mediante tirangolazione E' stato già detto sull'importanza dei punti di inquadramento, in particolare di quelli di primo impianto riguardanti un vasto territorio, come per es. uno Stato o un gruppo di Stati. Compito di rilevare e gestire tali punti è in genere demandato ad appositi Enti, spesso di derivazione militare. In Italia l'Ente demandato a tale compito è l'Istituto Geografico Militare Italiano con sede in Firenze, in sigla "I.G.M.I." Il rilievo dei punti di inquadramento viene sempre effettuato tramite triangolazioni che formano una maglia regolare, denominata rete geodetica, cercando di avvicinare il più possibile la forma dei triangoli a quella equilatera. Data la necessità di ottenere i punti di inquadramento con una densità media di 2 uno ogni 9 km , per un corretto utilizzo degli utenti, le reti geodetiche vengono suddivise in diversi ordini partendo da una rete fondamentale di inquadramento di tutto il territorio, detta rete geodetica del primo ordine, con triangoli che hanno lati di lunghezza variabile da 30 a 50 km. La rete geodetica del primo ordine è in assoluto quella che garantisce le massime precisioni; gli angoli vengono misurati col metodo delle direzioni isolate eseguendo 24 reiterazioni e gli errori di chiusura angolare dei triangoli non devono superare 1",5 secondi sessagesimali. Essa viene compensata in blocco unico per tutto il territorio. Successivamente al centro dei triangoli formati dai vertici del primo ordine si dispongono altri vertici che andranno a costituire la rete geodetica del secondo ordine. In questo caso i triangoli saranno formati da due vertici del primo ordine, considerati noti e privi di errore, ed uno del secondo, gli angoli saranno misurati con 12 reiterazioni e gli errori di chiusura non dovranno superare i 3",5 secondi sessagesimali. La loro compensazione sarà effettuata considerando, come detto, i vertici del primo ordine privi di errore. Il raffittimento successivo determina una serie di vertici che vanno a costituire la rete geodetica del terzo ordine; i vertici sono determinati appoggiandosi ai vertici 1998/99 F.Resta

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del 1° e 2° ordine, considerati noti e privi di errori, sempre tramite triangolazioni i cui angoli sono misurati con 6 reiterazioni ed i cui errori di chiusura non devono superare i 6". Infine l'ultimo raffittimento porta alla disseminazione sul territorio di tutti quei vertici che costituiscono la rete geodetica del quarto ordine. Tutti i vertici del 4° ordine vengono determinati appoggiandosi ai vertici di ordine superiore, supposti noti e privi di errore, e sono determinati anch'essi per triangolazione ma spesso anche per intersezioni multipla in avanti, specie quando sono materializzati da manufatti già esistenti, come campanili. Tutti insieme i vertici del 1°, 2°, 3° e 4° ordine, indicati anche col nome di punti trigonometrici, costituiscono la rete geodetica dello stato Italiano. Essi vengono segnalizzati sul terreno con molta cura: quelli del 1° e 2° ordine con un pilastrino in calcestruzzo recante due centrini uno in sommità ed uno in profondità; quelli del 3° e 4° senza pilastrino ma sempre con un centrino a livello terreno ed uno in profondità. Di tutti i punti vengono redatte opportune monografie con i dati necessari al loro ritrovamento e con le loro coordinate plano-altimetriche. Sulla cartografia ufficiale dello Stato Italiano, anch'essa redatta dall'I.G.M.I., sono riportati con un triangolino con la punta all'insù (∆). Per raffittire ancora di più la rete di punti trigonometrici l'I.G.M.I. ha disseminato sul territorio un'altra serie di punti, detti punti topografici, determinati quasi sempre per intersezione multipla in avanti appoggiandosi ai punti della rete geodetica, supposti noti e privi di errore. In generale essi sono rappresentati da manufatti, quali campanili, antenne, serbatoi d'acqua, torri, fumaioli, fari, etc. Nella cartografia sono indicati con un triangolino con la punta all'ingiù (∇). Sono ovviamente i punti di più scarsa precisione. 1.13. Dimensionamento della rete. Base misurata e base calcolata Le reti di triangoli descritte al paragrafo precedente ottenute con misure di soli angoli non risultano dimensionate in quanto è noto che avendo a disposizione tre angoli si possono costruire infiniti triangoli che li soddisfino. Si rende quindi necessario il dimensionamento delle reti per il quale scopo basterebbe la misura di un solo lato in un solo triangolo; applicando il teorema dei seni si potranno facilmente determinare gli altri due lati del triangolo che diventeranno lati noti dei triangoli adiacenti, e così via. La misura di una lato della rete, dovendo essere eseguito con una precisione elevatissima pari ad 1 mm/km, è stato uno dei problemi più delicati affrontato dai rilevatori, in particolare tenendo presente il periodo in cui la rete Italiana è stata impostata (alla fine del 1800). La difficoltà materiale di misurare un lato di un triangolo del 1° ordine con i vertici sempre posizionati su cime di montagne ha condotto ad escogitare un metodo indicato col nome di Fig. 14 base misurata. Si è cioè scelta una ba212

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Parte V – Capitolo 1

se in una zona opportuna, in genere pianeggiante, non eccessivamente lunga, variabile dai 3 ai 9 km, che è stata misurata con opportuni apparati fino al raggiungimento della precisione voluta. Dalla base misurata, mediante una triangolazione di sviluppo eseguita con la massima precisione (per ogni angolo si eseguivano fino a 36 reiterazioni) si giungeva ad inglobare un lato della triangolazione del primo ordine che diveniva così la base calcolata. Nel passaggio dalla base misurata alla base calcolata si perdeva una unità in -6 -5 precisione passando da 10 a 10 . In una rete geodetica di estese dimensioni, come quella italiana, le basi misurate sono più d'una distribuite in maniera strategica su tutto il territorio; si hanno 8 basi misurate. 1.14. Le stazioni astronomiche Le reti di cui si è parlato nei paragrafi precedenti vengono previste e calcolate sull'ellissoide il quale però deve essere orientato rispetto al geoide. Si rende quindi necessaria la conoscenza delle coordinate astronomiche e di un azimut di almeno un punto della rete (vedi Parte I -–Capitolo 2- par.1.2.) ciò che viene fatto eseguendo una stazione astronomica sul punto. In Italia, come più volte detto, tale punto è situato a Roma presso l'Osservatorio Astronomico di M.Mario. Nella rete geodetica Italiana, per un maggior controllo, si fanno più stazioni astronomiche su punti della rete, quasi sempre punti del 1° ordine, opportunamente distribuiti. 1.15. La rete del primo ordine della Sardegna Si riporta di seguito lo sviluppo della rete del primo ordine in Sardegna(Fig. 15). Come si può notare la Sardegna è stata collegata alla Penisola passando per la Corsica, utilizzando quindi anche la rete Francese istituita in quell'isola; nel primo impianto invece il collegamento con la penisola italiana era stato fatto in modo autonomo passando per l'isola di Montecristo. La rete indicata in Fig. 14 è stata ricalcolata nel 1983 misurando anche i quattro lati indicati in rosso (più marcati in bianco e nero) con i distanziometri. Nel primo impianto la base misurata, della lunghezza di circa 3 km, è stata situata nella piana di Chilivani a ridosso della stazione ferroviaria

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Parte V – Capitolo 1

Fig. 15

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Parte V – Capitolo 2

CAPITOLO 2 DETERMINAZIONI ALTIMETRICHE

1. Generalità sulle operazioni altimetriche 1.1. Livellazione trigonometrica con osservazioni simultanee e reciproche La differenza di quota tra due punti A e B, reciprocamente visibili, si può ricavare indirettamente misurando le distanze zenitali reciproche e conoscendo, o misurando, la distanza AB. Il nome "trigonometrica" le deriva dall'essere stata, nel passato, utilizzata fondamentalmente per quotare i punti delle reti trigonometriche già noti in planimetria, e quindi essendo nota la distanza tra di loro. Oggi con l'utilizzo dei distanziometri è largamente utilizzata per le determinazioni plano-altimetriche di qualsiasi punto del territorio. Poiché la distanza AB in genere non eccede i 10 km le formule per la determinazione del dislivello possono essere dedotte considerando la sfera locale di raggio R = ρN dove il raggio del meridiano e la grannormale vanno calcolati per una latitudine intermedia tra A e B. Con riferimento alle notazioni della Fig. 16, applicando la formula di Fig. 16 Nepero al triangolo OAB, si ha

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Parte V – Capitolo 2

( QB + R ) − ( Q A + R ) = ( QB + R ) + ( Q A + R ) ed essendo

1 ˆ ˆ tan ( A −B) 2 1 ˆ ˆ tan ( A + B) 2

ˆ − Bˆ ) = ( 200 g − Z ) − ( 200 g − Z ) = Z − Z (A A B B A ˆ + Bˆ ) = 200 g − ω (A

(31)

con evidenti sostituzioni si ottiene 1 tan ( Z B − Z A ) Q + QB 1 ω 2 QB − Q A = ( QB + Q A + 2 R ) = 2 R( 1 + A ) tan ( Z B − Z A ) tan ω 2R 2 2 tan( 100 g − ) 2 (32) Tenendo presente che D ω= R

ω si avrà 2 D D D2 tan = (1+ ) 2R 2R 12 R 2 e potremo pertanto porre D D tan = 2R 2R in quanto il secondo termine dello sviluppo in serie si può trascurare data la recisione -6 ottenibile dalla misura; per D = 30 km esso vale 2.10 . Dalla (31) si otterrà in definitiva Q 1 QB − Q A = D( 1 + m ) tan ( Z B − Z A ) (33) R 2 avendo posto Q + QB Qm = A (34) 2 La (32) è la formula che fornisce il dislivello tra i centri dei teodoliti posti in A e B per cui volendo il dislivello tra i punti A e B al suolo a detta formula va aggiunta l'altezza strumentale hA dello strumento posto in A e tolta l'altezza strumentale hB dello strumento posto in B. Conoscendo la quota di uno dei due punti si può quindi determinare la quota dell'altro. Non deve meravigliare il fatto che nel secondo membro della (32) sia presente il termine Qm dato dalla (33) che contiene l'incognita. Esso si può determinare in prima approssimazione assegnandogli il valore della quota nota, per es., QA; quindi calcolare un valore approssimato di QB da utilizzare per determinare nuovamente il valore di Qm da introdurre nella (32) per il calcolo definitivo del dislivello. Il procedimento ha una sua validità in quanto Qm è, salvo casi eccezionali, molto piccolo rispetto al raggio R per cui la quantità sviluppando in serie tan

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Qm 1 tan ( Z B − Z A ) R 2 interviene nel calcolo del dislivello per una frazione molto piccola e quindi tollerando su Qm un errore di circa 30 m si avrebbe sul dislivello un errore del centimetro ininfluente se si tiene conto che l's.q.m del dislivello tra punti distanti qualche chilometro è dell'ordine di alcuni centimetri. Quando non siano necessarie elevate precisioni, o non si operi in condizioni estreme (elevato dislivello a quote molto alte) il termine entro parentesi si trascura per cui la (32) assume la forma semplificata 1 QB − Q A = D tan ( Z B − Z A ) (35) 2 D

1.2. Livellazione trigonometrica da un estremo La livellazione trigonometrica, ed è il caso più comune, si può eseguire anche misurando una sola distanza zenitale. Supponendo di aver misurato la distanza zenitale ZA dalla seconda delle (31) si avrà 200g − Z A + 200g − ZB = 200g − ω cioè Z A + ZB = 200g + ω e quindi ZB = 200g + ω − Z A Sostituendo il valore di ZB così ottenuto nella (33) si otterrà Q Q  D ω   QB − Q A = D( 1 + m ) tan 100 −  Z A −  = D( 1 + m ) cot( Z A − ) R 2  R 2R   La formula semplificata risulterà per conseguenza D Q A − QB = D cot( Z A − ) 2R 1.3. Influenza della rifrazione atmosferica La schematizzazione fatta nei paragrafi precedenti per ricavare le formule della livellazione trigonometrica prevedeva un percorso rettilineo del raggio luminoso da A verso B; ciò può avvenire solo in assenza di atmosfera. Sulla terra il raggio luminoso si muove attraverso l'aria la cui densità diminuisce all'aumentare della quota e di conseguenza diminuisce l'indice di rifrazione. I raggi luminosi quindi muovendosi in un mezzo avente un indice di rifrazione variabile subiscono delle rifrazioni e tendono ad incurvarsi con la concavità rivolta verso la Terra. In tale situazione il cannocchiale posto in A per poter osservare B deve essere posto nella direzione della tangente alla traiettoria curva indicata in fig; ne conse1998/99 F.Resta

(36)

(37)

Fig. 17

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gue che la distanza zenitale misurata zA, detta apparente, è sempre minore di quella teorica ZA di una quantità ∆z detta angolo di rifrazione. Lo stesso fenomeno si proporrà in B. L'angolo di rifrazione, secondo studi dovuti a Gauss, è stato posto uguale a

ω (38) 2 dove k è un coefficiente di proporzionalità detto coefficiente di rifrazione. Se le due collimazioni sono eseguite contemporaneamente i due angoli di rifrazione possono ritenersi uguali; si avrà quindi Z A = z A + ∆z e Z B = z B + ∆z Sostituendo nella (35) otterremo infine 1 QB − Q A = D tan ( z B − z A ) (39) 2 che permette la determinazione del dislivello tra A e B tramite le distanze zenitali misurate eliminando le cause perturbatrici dovute alla rifrazione atmosferica. A tale metodo, che prevede la simultanea presenza di due osservatori in A e B, si ricorre solo in casi in cui sia necessaria una elevata precisione ma non nei casi correnti di rilevamento che risulterebbero attardati e più costosi. Il metodo correntemente usato è invece quello della livellazione da un estremo per cui sostituendo nella (37) il nuovo valore di ZA si avrà D D 1− k QB − Q A = D cot( z A + k − ) = D cot( z A − D) (40) 2R 2R 2R Sviluppando in serie la cotangente e trascurando i quadrati e le potenze superiori si ottiene 1− k 1 1− k cot( z A − D ) = cot z A + D (41) 2 2R sen z A 2 R e quindi 1 1− k 2 QB − Q A = D cot z A + D (42) 2 sen z A 2 R Nella (42) si può porre anche sen 2 z A = 1 in quanto nelle ordinarie condizioni di lavoro l'angolo z è molto prossimo a 100 e quindi, nei limiti di approssimazione di tale formula, si ottiene 1− k 2 QB − Q A = D cot z A + D + H s − LB (43) 2R che rappresenta la formula finale per il calcolo del dislivello avendo indicato con Hs l'altezza strumentale in A e con LB l'altezza del segnale sul punto B. Nella (43) il termine D cot z A rappresenta il dislivello che si avrebbe tra i punti A e B se la terra fosse piana ed in assenza di atmosfera(Fig. 18). Il secondo termine è composto da due 2 componenti: la prima D /2R rappresenta la corFig. 18 rezione di sfericità che abbassa il punto B e ∆z = k

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quindi aumenta il dislivello; la seconda –kD /2R rappresenta l'effetto della rifrazione che tende ad alzare il punto B e quindi a diminuire il dislivello. 1.4. Determinazione del coefficiente di rifrazione Il coefficiente di rifrazione k ha avuto varie determinazioni sperimentali; esso varia fondamentalmente con le condizioni atmosferiche ma anche con la latitudine, la quota, l'ora e le microcondizioni locali. La sua determinazione sperimentale si ottiene misurando il dislivello di due punti A e B tramite livellazione geometrica e la distanza con un distanziometro; facendo stazione con un teodolite su uno dei due punti si leggono le distanze zenitali all'altro punto ad un intervallo di tempo prestabilito, per es. ogni 15' ed applicando la (43) si determinano i valori di k. Si può così costruire un grafico che esprime l'andamento di al variare del tempo. Le varie esperienze fatte hanno dimostrato una andamento tipico del coefficiente k al variare del tempo: esso risulta massimo alle prime ore dell'alba, decresce presentando un minimo nelle ore centrali della giornata durante le quali si mantiene presso a poco stabile e torna a risalire fino al tramonto del Sole senza mai raggiungere il valore che aveva all'alba.

Fig. 19 In Fig. 19 sono riportati due grafici che indicano l'andamento del coefficiente k nel Sud dell'Italia e nel Sud della Francia. L'andamento di k dimostra che le ore migliori per effettuare una livellazione trigonometrica sono quelle centrali della giornata in cui la curva presenta un basso gradiente. In Italia mediamente si può assumere il valore di 0,12 ÷ 0,13. 1.5. Precisione della livellazione trigonometrica L'errore medio m∆ sul dislivello determinato tramite la (43) si calcola al solito modo utilizzato per le misure indirette.

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Esso dipenderà dagli errori medi mD , relativo alla misura della distanza D, mz , relativo alla misura della distanza zenitale zA ed mk , relativo al valore adottato per il coefficiente k in quanto possono considerarsi trascurabili gli errori medi di Hs ed LB. Eseguendo le derivate si otterrà ( 1 − k )2 D 2 D2 D4 2 2 ⋅ m + ⋅ m + ⋅ mk2 (44) D z 2 4 2 R sen z A 4R Il secondo termine entro la radice è una quantità molto piccola (per D=6 km vale circa 10) per cui si può trascurare, si può porre sen 4 z A = 1 ; data la prossimità m g di zA a 100 e si può introdurre lo s.q.m. relativo della distanza pari a s D = D ; si D ottiene così m∆ = ± cot 2 z A ⋅ m D2 +

D2 ⋅ mk2 (45) 2 4R Analizzando la (45) e sostituendo opportuni valori numerici si può constatare che fino ad una distanza di 10.000 m l'influenza di mk, nonostante sia proporzionale a 2 D , è bassa; entro tale limite prevale in modo preponderante l'errore sulla distanza zenitale e si può ritenere che lo s.q.m. del dislivello sia approssimativamente proporzionale alla distanza secondo la m∆ ≅ ±1,2 D dove m∆ è espresso in centimetri e D in chilometri. m∆ = ± D cot 2 z A ⋅ s D2 + m z2 +

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CAPITOLO 3 RILIEVO DI DETTAGLIO

1. Generalità sul rilievo di dettaglio Il rilievo di dettaglio di vaste aree del territorio viene oggi sempre effettuato con la fotogrammetria, mentre resta ancora largamente usato il metodo topografico (celerimensura) per rilievi di piccole zone o di particolari di cantiere. 1.1. La fotogrammetria La fotogrammetria, allo stato attuale dell'arte, può considerarsi il metodo più largamente diffuso per il rilievo di dettaglio di vaste aree del territorio. Si pensi al contenuto di una qualsiasi carta, sia a piccola che a grande scala; esso va considerato tutto come rilievo di dettaglio e mentre all'inizio del secolo quando furono impostate e rilevate tutte le cartografie dei grandi Stati esso era ottenuto con metodi topografici, oggi è totalmente rilevato tramite rilievo fotogrammetrico. La fotogrammetria è una tecnica complessa ed articolata che si presta ad un corso universitario a se stante. In termini molto sintetici si basa sull'esecuzione di fotogrammi che riprendono una determinata porzione del terreno da due punti di vista diversi in modo che si possa realizzare un modello stereoscopico della zona interessata. I fotogrammi possono essere ripresi sia da terra (fotogrammetria terrestre) sia dall'aereo (aerofotogrammetria). Per poter essere utilizzati essi debbono avere almeno quattro particolari del terreno comuni di cui si possiedano le coordinate plano-altimetriche nel sistema di riferimento della carta che si vuole produrre. In genere tali punti si rilevano in campagna dopo aver effettuato la ripresa e sono indicati col nome di punti di appoggio. Con tutti questi dati a disposizione i fotogrammi vengono montati in particolari strumenti, detti apparecchi restitutori, che con determinate operazioni (orientamento relativo ed assoluto) permettono all'operatore di vedere la porzione di terreno interessata in stereoscopia. L'operatore, aiutandosi con opportuni volantini, può esplorare tutto il modello aiutandosi con un reticolo dotato di una piccola marca presente nell'oculare; tutto il complesso è collegato ad un pantografo dotato di punta scrivente che traccia su un foglio di carta tutti i particolari seguiti dall'operatore. 1998/99 F. Resta

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Tutti i particolari disegnati vengono anche memorizzati in un file tramite triplette di coordinate; si ottiene così la cartografia numerica, gestibile con qualsiasi CAD, che ha acquistato negli ultimi tempi una importanza fondamentale per moltissimi utilizzi nel campo ingegneristico. Si pensi all'utilizzo nella progettazione stradale, nella redazione di strumenti urbanistici, nella gestione di sistemi informativi territoriali (SIT o GIS), nei progetti di recupero di beni architettonici o monumenti archeologici ed in qualsiasi altro intervento che riguardi il territorio per cui se ne consiglia agli studenti l'apprendimento, pur se da molti sottovalutato. 1.2. La celerimensura Su molti testi di Topografia si parla ancora della celerimensura come metodo fondamentale del rilievo di dettaglio. Esso si basava sul rilievo dei particolari con l'utilizzo di un teodolite di bassa c precisione (1 ) dotato di reticolo distanziometrico utilizzando il metodo dell'irradiamento con l'aggiunta delle letture alla stadia effettuate ai tre fili e della lettura dell'angolo zenitale. Con la comparsa dei distanziometri, o meglio delle stazioni totali, si può ancora assegnare il nome di celerimensura al tipo di rilievo in cui, ovviamente scompare la stadia. Ponendosi quindi in stazione su un punto di inquadramento ed orientandosi su un altro, entrambi noti, si collimano i vari punti di dettaglio misurando l'angolo azimutale, l'angolo zenitale e la distanza; si hanno così, con l'aggiunta dell'altezza strumentale e dell'altezza della palina, tutti gli elementi per calcolare le coordinate planoaltimetriche di tutti i punti di dettaglio collimati. utilizzando le formule dell'irradiamento e quelle della livellazione trigonometrica. Si tratta ovviamente di un rilievo speditivo per cui le letture agli angoli, sia azimutali che zenitali, saranno eseguite in una sola posizione del strumento (CD o CS); diviene importante pertanto conoscere l'entità dello zenit strumentale prima dell'inizio di ogni serie di misure.

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