Le Stelle Collana a cura di Corrado Lamberti
George V. Coyne Michael Heller
Un Universo comprensibile Interazione tra Scienza e Teologia
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Tradotto dall’edizione originale inglese: A Comprehensible Universe di George V. Coyne e Michael Heller Copyright © 2008 Springer-Verlag New York Springer is a part of Springer Science+Business Media All Rights Reserved Versione in lingua italiana: © Springer-Verlag Italia 2009 Traduzione di: Corrado Lamberti
ISBN-978-88-470-1371-1 Springer-Verlag Italia D0I 10.1007/1372-8
e-ISBN 978-88-470-1372-8
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PREFAZIONE
Ogni libro ha due vite: quella precedente e quella successiva alla pubblicazione. Dopo la sua uscita, se ha successo, il libro viene studiato dai critici e si conquista un posto nella storia della letteratura. Invece, della sua vita precedente, di norma, non si sa nulla, benché sia proprio questa la fase decisiva che ne determina il successo o lo condanna all’oblio. Questo libro nasce a seguito di un corso tenuto da uno degli autori (M.H.) agli studenti del dipartimento scientifico dell’Università Jagelloniana di Cracovia (Polonia). Gli studenti ebbero un ruolo vitale nella strutturazione di quel corso: di fatto, le loro domande e le discussioni con il docente determinarono di volta in volta quali sarebbero stati gli argomenti da trattare nelle successive lezioni. In seguito, gli autori ebbero modo di incontrarsi presso l’Osservatorio Astronomico del Vaticano, nel palazzo pontificio di Castel Gandolfo, residenza estiva del Papa. Al termine delle usuali giornate di lavoro e di ricerca, nelle lunghe serate autunnali, con i primi venti freddi che si insinuavano nei corridoi e su per le scalinate del palazzo, misero mano alla versione inglese del manoscritto. Lavorando insieme a Castel Gandolfo, capitava di sovente che fosse più comodo, facile e immediato comunicare fra loro per e-mail che cercarsi tra le vaste sale del palazzo. In tal modo, quando in seguito i due si ritrovarono separati da una distanza pari a mezza circonferenza terrestre – M.H. nella sua Università in Polonia, G.V.C. all’Istituto di Ricerca dell’Osservatorio Vaticano, in Arizona – la pratica di lavorare via e-mail, ormai ben sperimentata, non determinò alcun impedimento: anzi, si rivelò sempre più efficace. Nel frattempo, l’editore polacco Proszynski i S-ka esprimeva il desiderio di pubblicare la nostra opera in Polonia. Il libro, tradotto dall’inglese da Robert
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PREFAZIONE M. Sadowski, uscì nel 2007 con il titolo Pojmowalny WszechÊwiat (Un Universo comprensibile). La versione inglese differisce da quella polacca in alcuni punti: abbiamo trattato con maggior dettaglio la sezione sull’induzione; abbiamo aggiunto un capitolo alla fine e numerose note bibliografiche. Così, il nostro libricino si affaccia alla vita pubblica. Esprimiamo la nostra gratitudine ad Abner Shimony per i suggerimenti importanti che ci ha dato dopo aver letto la prima versione e ad Angela Lahee per l’impegno profuso in tutte le fasi della lavorazione.
dicembre 2007
George V. Coyne Michael Heller
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SOMMARIO
INTRODUZIONE XI
PARTE I IL DRAMMA DELLA RAZIONALITÀ 1 Capitolo 1 COME SI SCOPRÌ CHE IL MONDO È RAZIONALE 3 1. La grande mutazione 2. Ordine e necessità 3. Il primo conflitto tra ragione e fede 4. La presenza del mito Capitolo 2 GLI ASTRONOMI DOVREBBERO GUARDARE IL CIELO? 11 1. La filosofia della fisica in Platone 2. L’ispirazione platonica Capitolo 3 SETTE CONTRO TEBE 15 1. L’ira di Aristotele 2. La matematica e la fisica 3. La natura della matematica Capitolo 4 COME CONTARE I GRANELLI DI SABBIA 21 1. Un numero maggiore di qualunque altro 2. Il metodo 3. Tre grandi tradizioni
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Capitolo 5 IL MONDO È RAZIONALE? 27 1. Domande sulla razionalità 2. La nostra ipotesi preliminare 3. Contro la razionalità 4. L’effetto Kant
PARTE II IL CONTRIBUTO DELLA CRISTIANITÀ 33
Capitolo 6 ENTRA IN SCENA LA CRISTIANITÀ 35 1. La filosofia greca e la tradizione biblica 2. Stoltezza per i Greci
Capitolo 7 TEOLOGIA E SCIENZA ALL’EPOCA DEI PADRI DELLA CHIESA 41 1. La razionalità dei Greci e la teologia cristiana 2. La Chiesa e l’Accademia: Gerusalemme e Atene 3. La sfida della cosmologia greca 4. La rivoluzione cristiana 5. Valutazione
Capitolo 8 IL CONTRIBUTO DEL MEDIOEVO 53 1. Introduzione 2. L’Alta Scolastica 3. Il metodo 4. La trasmissione e la trasformazione della razionalità
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PARTE III LA SCOPERTA DEL METODO 61 Capitolo 9 ACHILLE E LA FRECCIA 65 1. La dialettica del moto 2. Achille e la tartaruga venticinque secoli dopo 3. Il miracolo del metodo 4. Antinomie della transitorietà 5. L’evoluzione dei problemi
Capitolo 10 LA DINAMICA DI ARISTOTELE 73 1. Il retroterra filosofico 2. Le due leggi della dinamica aristotelica 3. Il principio d’inerzia 4. Gli standard dinamici
Capitolo 11 TRE GENERAZIONI: DA TARTAGLIA A GALILEO 79 1. Un trattino sulla s 2. La scienza e l’artiglieria 3. Pietre in caduta libera 4. Galileo il relativista 5. La scoperta più grande
Capitolo 12 LA NASCITA DEL METODO 89 1. Sulle spalle di giganti 2. Definizioni e leggi del moto 3. Il calcolo differenziale 4. Concetti ben noti a tutti 5. L’eliminazione della materia 6. Calcolare o spiegare 7. La filosofia sperimentale
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Capitolo 13 È MATEMATICO IL MONDO? 99 1. Il metodo 2. Universi non-matematici 3. Cosa possiamo imparare da questi esempi? 4. La selezione naturale delle teorie fisiche 5. La giustificazione dell’induzione
Capitolo 14 MATEMATICI AL LAVORO 109 1. Introduzione 2. La matematica vede più dei nostri occhi 3. L’idea di campo 4. La rivoluzione relativistica 5. La rivoluzione quantistica 6. La matematica del caos 7. La matematizzazione “del tutto” 8. La soglia di Planck 9. I limiti del metodo 10. Un campo di razionalità
APPENDICE 129 1. Introduzione 2. La matematica di Dio 3. La matematica come morfologia di strutture 4. Realismo strutturale 5. La struttura del mondo 6. La mente di Dio e la mente dell’uomo
NOTE E CITAZIONI 137
INDICE 145
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INTRODUZIONE
Come è possibile l’irrazionalità? Ci poniamo questa domanda non per il gusto di provocare il lettore, ma perché pensiamo che l’interrogativo sia alquanto serio. Fu Immanuel Kant, nei suoi Prolegomeni ad ogni futura metafisica, a chiedersi: “Com’è possibile la matematica pura?” e “Com’è possibile la scienza della natura?”. Ai tempi di Kant non c’era alcun dubbio riguardo all’effettiva esistenza della matematica pura e delle scienze naturali: e, se esistono, vuol dire che sono possibili. Ma in che modo? Come è possibile che, quando interroghiamo correttamente la natura, seguendo un metodo d’indagine corretto, otteniamo le risposte corrette? Quali condizioni deve soddisfare il mondo, e quali condizioni dobbiamo attribuire alla nostra mente affinché questa procedura risulti così meravigliosamente efficace? Questo era il problema che Kant si poneva. L’irrazionalità esiste. Sarebbe da pazzi cercare di negare questo dato di fatto incontrovertibile. Eppure, dovremmo chiederci come sia possibile che esista l’irrazionalità in un mondo che, altrimenti, è razionale. Cade una pietra verso il basso. Fra un’infinità di possibili tragitti, essa sceglierà proprio il solo che è previsto dalle leggi di Newton. Vero è che le particelle elementari non seguono traiettorie deterministiche, ma anch’esse obbediscono alle leggi della fisica quantistica. Nel mondo fisico nulla può esistere che presenti caratteristiche di auto-contraddittorietà, o che sia esente da regolarità matematiche. Solo noi umani godiamo della libertà d’essere irrazionali. Se qualcuno dovesse affermare che “due per due fa una lampadina”, non si verificherebbe alcuna catastrofe, l’Universo continuerebbe a esistere e solo quella persona, se decidesse di comportarsi coeren-
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INTRODUZIONE temente con la sua affermazione, sperimenterebbe le conseguenze della sua peculiare metafisica. È curiosa, poi, la naturale propensione che abbiamo di difendere l’irrazionalità. C’è chi dice che i comportamenti irrazionali non sono prerogativa dei soli umani. Anche i computer possono comportarsi irrazionalmente, pur operando sempre all’interno di “una struttura logica”. Possono eseguire programmi stupidi – per esempio possono tradurre un articolo di Einstein in una sequenza di simboli senza alcun significato – ma comunque non sono in grado di lavorare senza una logica, o peggio contro la logica. E se vengono forzati da un programmatore a comportarsi in quel modo, semplicemente si ribellano e smettono di funzionare. Noi siamo liberi di essere irrazionali, ma questa libertà ha un prezzo. Viviamo nel mondo razionale: qualcosa che è nero non diventerà bianco solo perché io desidererei che lo fosse. La Terra mantiene la sua forma sferica anche se qualcuno si ostina a pensare che sia piatta. E se insistiamo a prendere decisioni irrazionali, prima o poi ci ritroveremo a pagare un conto salato per questo. In questo libro non ci porremo la questione del perché l’irrazionalità è possibile. Affronteremo invece il problema dal verso opposto: esploreremo le radici profonde di ciò che non esitiamo a chiamare il Mistero della Razionalità. Per Einstein, la razionalità era qualcosa che ha a che fare con il sentimento religioso. Nel saggio Scienza e religione egli scrive: “Può fare scienza solo chi è imbevuto in tutto il suo essere dall’aspirazione alla verità e alla conoscenza. Tuttavia, questo tipo di sentimento scaturisce dalla sfera della religione. Ad essa appartiene anche la fede nella possibilità che le regole valide per il mondo dell’esistenza siano razionali, ossia comprensibili dalla ragione. Non posso concepire un vero scienziato che non abbia una tale fede profonda. La situazione può essere descritta in questo modo: la scienza senza la religione è zoppa, la religione senza la scienza è cieca.” Contrariamente a questa convinzione di Einstein, c’è un modo di vedere il rapporto tra scienza e religione che ipotizza uno stato di tensione, se non proprio di contrapposizione, tra le due: la scienza incarnerebbe la razionalità, mentre la religione apparterrebbe alla sfera soggettiva, basata su premesse irrazionali. Contesteremo questa posizione nel seguito. È vero che la fede religiosa di molte persone presenta alcuni aspetti d’irrazionalità e che il sentimento religioso autentico penetra profondamente negli strati soggettivi della personalità umana (in Il divenire della religione, A.N. Whithehead ha scritto che “la religione è ciò che l’individuo fa al cospetto della sua propria solitudine”), ma, in realtà, razionalità e religione sono interconnesse più profondamente di quanto si sia disposti ad ammettere a
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INTRODUZIONE prima vista. La razionalità è un valore: assumere tale valore, può essere pensato come un atto religioso. Questa era la prospettiva di Einstein ed è anche quella adottata da noi, in questo libro. Per argomentarla, seguiremo un approccio di tipo storico. Seguendo il cammino evolutivo che portò al consolidamento del metodo scientifico e alla sua funzione di svelare la struttura del mondo, vedremo quanto siano profondamente intrecciate ragione e fede. Questo libro è suddiviso in tre parti. Nella Parte I inizieremo col dare uno sguardo al nostro lontano passato quando iniziò la sfida con la razionalità del mondo. In quell’epoca venne realizzata quella che probabilmente è la più grande scoperta di tutti i tempi. Fra il VII e il VI secolo a.C. un gruppo di pensatori delle colonie greche sulla costa dell’Asia Minore scoprì che valeva senz’altro la pena di cercare di capire il mondo con l’uso della sola ragione senza dover ricorrere al mito e alle leggende. Due conseguenze scaturirono da questa impresa audace: l’origine della filosofia greca e il lento disgregarsi delle religioni pagane. Per dire il vero, in taluni sistemi filosofici apparvero ancora un dio o una divinità (il Demiurgo di Platone o il Motore Primo di Aristotele) ma queste divinità, più che porsi come oggetto di adorazione e culto, rappresentavano il completamento, o una giustificazione logica, della visione filosofica del mondo da parte dei due autori. La filosofia greca, specialmente nelle sue tre grandi tradizioni, quella platonica, quella aristotelica e quella archimedea, diede il via al processo di esplorazione della struttura razionale del mondo; razionale, nel senso che questo processo svela i suoi segreti solo quando vi è costretto da metodi razionali di indagine. Nella Parte II considereremo il contributo della Cristianità al processo di investigazione della struttura razionale della realtà. La nostra cultura ha due grandi radici: la filosofia greca e la religione giudeo-cristiana. Non c’è da meravigliarsi se qualcosa di nuovo occorse quando queste due radici si unificarono. Venne infatti elaborata una sorta di sintesi dopo una fase iniziale talvolta turbolenta. Il dio cristiano divenne garante della razionalità, mentre l’idea greca di razionalità si infiltrò nel nucleo profondo della teologia cristiana. Con il passare dei secoli, la razionalità greca andò soggetta a un’ulteriore trasformazione. Senza dubbio, fu la filosofia medievale scolastica che gettò un ponte tra le fondamenta erette nell’antichità e l’origine della scienza moderna. Se i Padri della Chiesa salvarono per noi la cultura greca, fu il Medioevo a trasmettercela. E fu tutt’altro che una semplice trasmissione passiva. Il concetto greco di razionalità ebbe il destino di passare attraverso tutte le tortuosità e le astrazioni della filosofia scolastica per giungere infine
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INTRODUZIONE a preparare il terreno affinché emergesse il metodo scientifico. La Parte III tratta di questo processo. Sono molti i libri di storia e di filosofia che analizzano questo periodo e noi non vogliamo competere con essi. Noi faremo ricorso alla storia della scienza solo per svelare un nuovo disegno tratteggiato dalla logica imprevedibile dei processi storici. E il disegno è il seguente: il mondo è razionale, nel senso che può essere investigato razionalmente; ci sono molti possibili metodi di ricerca, ma quando nacque la fisica moderna – il cui metodo è di costruire modelli matematici dei vari aspetti del mondo e di verificarli sperimentalmente – il progresso della scienza si fece così tumultuoso che non ha paragoni con niente altro. Ciò ci permette di parlare della razionalità matematica del mondo, o, semplificando, del fatto che il mondo è matematico. Qui termina la nostra analisi relativa alla storia e, in un capitolo successivo, prenderemo in considerazione come il metodo matematico-empirico operi nelle teorie fisiche contemporanee (la relatività, la meccanica quantistica, la teoria dinamica del caos) e nei programmi di ricerca (l’unificazione delle leggi fisiche e la gravità quantistica). Quando si considerano queste nuove incarnazioni della razionalità del mondo, sorge la questione: può ogni cosa essere descritta in termini matematici? La natura dei limiti del metodo scientifico è certamente un importante problema filosofico, ma apre anche nuovi orizzonti. Il principio fondamentale della razionalità è che a nessuno è mai consentito di smettere di porsi domande fintantoché rimane qualcosa da ricercare. Questo libro non vuole avere il carattere di un lavoro scolastico nel senso proprio del termine, ossia quello di uno studio monografico esaustivo di tutti gli aspetti del problema. Esso prende origine da una serie di lezioni universitarie tenute da uno degli autori (M.H.) per gli studenti di matematica, fisica e di altre scienze naturali che non avevano in precedenza affrontato studi di filosofia, ma che coltivavano quella naturale curiosità che è tipica del ricercatore e dello scienziato. Nelle intenzioni degli autori questo libro vuole avere solo un carattere introduttivo. Basandosi su ciò che ci si aspetta che conosca un giovane scienziato, o semplicemente un lettore intelligente, il libro cerca di aprire visioni più ampie. In questo caso “più ampie” significa anche più profonde, fino alle radici stesse della razionalità.
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PARTE I IL DRAMMA DELLA RAZIONALITÀ
Perché il nostro mondo è comprensibile? Questa domanda è realmente qualcosa di sconvolgente. E lo è da un lato perché essa sembra così ovvia e così banale che solo poche persone trovano il coraggio di porsela, dall’altro perché, quando ci si sofferma su di essa, risulta poi estremamente difficile dare una risposta. Indipendentemente dal fatto che ci si interroghi o meno su questo argomento, è indubbio che tutti i successi conseguiti nella comprensione del mondo naturale e tutti i progressi tecnologici realizzati dipendono in modo cruciale da quella domanda. Se vogliamo tentare di dare una risposta a un quesito così impegnativo, o quanto meno giungere a una migliore comprensione della sua portata, conviene considerare le circostanze nelle quali per la prima volta esso fu posto. Ciò accadde nell’antichità greca. Fra il VII e il VI secolo a.C., a storia della cultura umana conobbe una vera rivoluzione. Alcuni personaggi di grande audacia intellettuale cercarono di capire il mondo senza ricorrere a forze soprannaturali: fu così che iniziò il primo vero conflitto tra la neonata razionalità e la religione. Il lento sbriciolamento delle religioni mitiche fu un processo irreversibile. Discuteremo questo aspetto nel primo capitolo. Già all’inizio, con la scuola di Pitagora, si intuì che la comprensibilità del mondo aveva qualcosa a che fare con la matematica. I pensatori greci affrontarono la sfida. Platone non aveva dubbi che la bellezza fosse una proprietà oggettiva. Il suo Demiurgo non aveva alternative al momento della creazione del mondo: era obbligato a scegliere le strutture geometriche più perfette (ossia le più simmetriche) come modelli della realtà fisica. Nella tradizione inaugurata da Platone la fisica è una scienza a priori: per
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PARTE I comprendere il mondo, è sufficiente identificare le forme matematiche più simmetriche. Discuteremo tutto ciò nel secondo capitolo. L’approccio di Aristotele era diverso da quello di Platone, suo maestro. La matematica fornisce una forma di conoscenza troppo semplice per essere in grado di confrontarsi con la ricchezza e con la proliferazione delle forme del mondo. La matematica studia solo la quantità e nel mondo reale esistono molte qualità che esulano dal dominio dei metodi matematici. La fisica è la scienza che si riferisce alle cause, delle quali la più importante è la causa finale, e la matematica non è in grado di cogliere i nessi causali. Nella tradizione aristotelica, la fisica è una scienza a posteriori. Si deve iniziare con la cognizione dei sensi, scoprire ogni tipo di causalità e, in questo modo, identificare la natura delle cose, ciò che è l’obiettivo della fisica. La matematica non gioca quindi un ruolo determinante nel campo delle scienze. Discuteremo questo aspetto nel terzo capitolo. Per lungo tempo, Archimede è stato considerato come “il primo tra i Platonici”, ma, di fatto, egli fondò una terza tradizione greca. Benché anch’egli prendesse in considerazione le strutture matematiche, a differenza di Platone, Archimede non le selezionava a priori, ma le identificava compiendo esperimenti con semplici marchingegni meccanici (la leva, la bilancia ecc.). Una volta che la “situazione sperimentale” era stata definita in una forma matematica, egli era in grado di dedurre (ossia di predire) il risultato degli esperimenti e poi di confermarlo attraverso nuove misure. Oggi, noi ammiriamo le tradizioni platonica e aristotelica. Ma, al tempo stesso, nei primi capitoli dei nostri testi di fisica ci ritroviamo a studiare esattamente gli stessi modelli matematici costruiti con così grande abilità da Archimede. Discuteremo tutto ciò nel quarto capitolo. Ciò che accadde alla nascita della scienza merita un’ampia riflessione. Prima o poi la scienza diventa un problema in sé e così nasce la filosofia della scienza. Una delle questioni centrali per la filosofia della scienza riguarda la razionalità che pare insita nel mondo. E così, eccoci di nuovo alla nostra domanda di fondo: perché mai il mondo è comprensibile? Non forniremo una risposta, ma nel quinto capitolo cercheremo di mostrare come la domanda sia tutt’altro che banale e la esamineremo in profondità, per quanto ci è possibile.
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Capitolo 1
COME SI SCOPRÌ CHE IL MONDO È RAZIONALE
1. La grande mutazione embra che solo le persone geniali siano capaci di porsi domande riguardo alle cose più ordinarie. In effetti, è proprio grazie a questa loro precipua abilità che meritano d’essere considerate geniali. La sollecitazione più forte e immediata è cercare di spiegare perché le cose sono così come sono. Radicato nel profondo della natura umana vi è un istinto innato a spiegare le cose e molto spesso questo istinto ci conduce a risultati positivi: per esempio, è ad esso che dobbiamo la scienza e la filosofia. Dunque, perché molte cose del mondo, e forse tutte, possono essere spiegate o comprese? Perché il mondo è comprensibile? Albert Einstein manifestò chiaramente il suo stupore a tale riguardo:
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“Il fatto stesso che la totalità delle nostre esperienze sensoriali sia tale che mediante il pensiero [...] essa possa essere ordinata, ci lascia pieni di stupore, e non lo capiremo mai. Si potrebbe ben dire che l’eterno mistero del mondo è la sua comprensibilità”.1 Ci sono domande altamente significative, anche se restano senza risposta, e “perché il mondo è comprensibile?” è una di queste. Essa comporta tre questioni: (1) che il mondo sia compreso, (2) che la mente umana cerchi di comprenderlo e (3) che la scienza sia lo strumento che ne garantisce la comprensione. La stessa domanda ci rivela già qualcosa riguardo alle mutue relazioni tra questi tre elementi, grazie alle quali il tentativo di comprensione può rivelarsi un successo, almeno parziale. Attraverso i secoli è giunta fino a noi
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CAPITOLO 1 questa massima attribuita a Democrito: “Preferirei scoprire una semplice spiegazione causale piuttosto che conquistare il trono dei Persi” 2. Questa affermazione reca testimonianza della grande mutazione genetica, per così dire, nei geni culturali dell’umanità, che ebbe luogo fra il VII e VI secolo a.C. nelle colonie greche sulle coste dell’Asia Minore, dove pochi audaci pensatori si sforzarono di comprendere il mondo facendo leva unicamente sulle loro capacità mentali, senza più fare ricorso a miti e leggende. Questo primo discorso intorno alla natura venne espresso nel linguaggio comune, il linguaggio quotidiano attraverso il quale le genti del tempo comunicavano tra loro discorrendo di faccende ordinarie. Ciò contribuì sensibilmente a una nuova percezione del mondo come di un grande “organismo sociale” abitato da varie divinità. Gli dei erano considerati come esseri dotati di una sorta di intelligenza superiore, ma che, nel loro modo di governare il mondo, stabilendone le regole, andavano soggetti più a passioni e desideri che a un pensiero razionale. Tuttavia, questa sorta di comportamento irrazionale delle divinità non escludeva che da parte degli uomini si manifestasse il tentativo di comprensione del mondo e delle sue forze. Al contrario, il mistero del mondo rappresentava una sfida, se non a comprenderlo, almeno ad imbrigliarlo. Questa era la funzione del mito. Una delle più antiche documentazioni che testimoniano l’inclinazione umana a sottomettere l’incomprensibile è il poema babilonese Enuma Elish. La più antica versione del poema è databile al II millennio avanti Cristo, ma c’è motivo per credere che le sue radici vadano ancora più indietro nel tempo. L’analisi della vicenda che vi viene raccontata rivela che il dio Marduk, di cui il poema celebra la gloria, prese il posto di una precedente divinità, probabilmente di nome Enlil. Il ben noto e sgradevole costume di modificare arbitrariamente la storia passata non è dunque un’invenzione dei nostri tempi, visto che nelle versioni successive del poema, databili al periodo della dominazione assira, Marduk venne a sua volta rimpiazzato da Assur. “In questo mito, l’origine del mondo risulta dal conflitto tra l’attività e l’inerzia, tra l’ordine e il caos. Nel conflitto, la prima vittoria sull’inattività è opera della sola autorità: la seconda, quella decisiva, dell’autorità combinata con la forza.” Il primo decreto di Marduk, non appena prese il potere, riguardò l’organizzazione del calendario. A questo fine, egli creò il Sole, la Luna e le stelle. I moti armoniosi dei corpi celesti, sincronizzati con le variazioni stagionali sulla Terra, furono tra i primi fattori che ispirarono i popoli primitivi a considerare il mondo attorno ad essi come qualcosa di ordinato: un cosmo, piuttosto che un caos.
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COME SI SCOPRÌ CHE IL MONDO È RAZIONALE 2. Ordine e necessità La nostra ricostruzione dell’origine del pensiero razionale si basa in larga parte su ipotesi e indizi, ma gli storici concordano nel ritenere che, nell’approccio puramente emotivo alla natura, il primo varco venne aperto da una riflessione sui fenomeni ciclici: i moti regolari dei cieli, le stagioni dell’anno, le ricorrenti inondazioni dei fiumi. Non a caso, le prime civiltà fiorirono nei bacini dei grandi fiumi. Per quanto lontani fossero, i corpi celesti, con i loro moti, sembravano dominare sopra ogni cosa; persino le passioni degli dei dell’Olimpo erano soggette al loro potere e alla loro precisione imparziale. Ciò condusse all’idea greca del fato, la cieca necessità che ordina e determina il destino tanto degli dei quanto degli umani. Quest’idea può essere vista come l’antenata lontana del concetto, molto più recente, dell’esistenza di leggi naturali. Olaf Pedersen scrive che “La nuova idea di una necessità insita nella natura sorse tra i Greci, mentre non se ne trova traccia in Egitto o in Mesopotamia”3. I Greci inventarono anche un nuovo “termine tecnico” per definire questa necessità: la parola greca ananke significava in origine “coercizione”, o anche “tortura”. Per esempio, Erodoto parla di un criminale che fu obbligato dalla forza pubblica a confessare i suoi crimini sotto ananke. In seguito, il termine venne assunto dai filosofi per denotare “quel qualcosa di strano presente nella natura al quale i fenomeni non possono opporsi”4. Pedersen vede in questo un esempio di un processo più generale: Nel corso dei secoli i filosofi greci condussero esperimenti con un linguaggio metaforico. Il risultato fu un vocabolario di termini tecnici la cui origine metaforica venne dimenticata nel corso del lungo processo che gradualmente portò il mondo greco a familiarizzare con questa nuova visione.5
Whitehead, dal canto suo, ritiene che: [...] Non può esserci una scienza vitale a meno che non esista una convinzione istintiva e diffusa dell’esistenza di un ordine nelle cose e, in particolare, di un ordine nella natura [...]. 6
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CAPITOLO 1 E specifica: Ho usato deliberatamente la parola “istintiva”. Non importa cosa gli uomini esprimono a parole, fintantoché le loro attività sono controllate dai loro istinti. Le parole alla fine possono distruggere gli istinti, ma finché ciò non avviene, le parole non contano.7 Oggi sappiamo che l’ordine può essere assai complesso. Può essere fatto anche di caos, e, nello stesso caos, ci possono essere regolarità nascoste che sono soggette all’analisi matematica. Se non ci fosse un ordine sottostante, e senza un’analisi matematica di esso, saremmo condannati a un linguaggio puramente metaforico e, di conseguenza, a una relazione emotiva con la natura. Anche al giorno d’oggi ci sono individui che praticano un tale approccio alla natura, ma la scienza ignora del tutto i loro sforzi. 3. Il primo conflitto tra ragione e fede La nascita del pensiero critico inevitabilmente influenzò le credenze religiose. Con linguaggio moderno potremmo dire che fu inevitabile il processo di laicizzazione delle religioni mitiche. Benché, nell’immediato, la crisi colpì solo una stretta élite di sacerdoti, i suoi effetti di lungo periodo furono enormi. Ciò potrebbe servire come ammonimento contro la convinzione che nella storia contino solo i processi di massa. Poche generazioni di pensatori greci crearono una visione del mondo praticamente svuotata da ogni elemento religioso, o almeno con le credenze religiose relegate ai margini degli interessi intellettuali. I primi scrittori cristiani avevano chiara coscienza di questo processo di erosione delle religioni mitiche. Riguardo ad Anassimene di Mileto, scrive Sant’Agostino che benché egli: Non negasse l’esistenza degli dei [...] tuttavia non riteneva che l’aria fosse fatta da loro, ma piuttosto che essi scaturissero dall’aria.8 E Clemente d’Alessandria riporta che Senofane ridicolizzava apertamente le divinità dell’Olimpo scrivendo che: Se i bovini e i cavalli o i leoni avessero le mani o fossero in grado di disegnare, [...] i cavalli rappresenterebbero i loro dei come cavalli e i bovini come bovini.9
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COME SI SCOPRÌ CHE IL MONDO È RAZIONALE Questo processo può essere considerato come il primo conflitto in assoluto tra la religione e la scienza o, più precisamente, tra la religione mitica e l’inizio del pensiero critico. Il processo fu accompagnato da un altro processo, altrettanto fecondo di conseguenze importanti. In alcuni sistemi filosofici era presente un dio o una divinità, che tuttavia non era oggetto di adorazione, ma era piuttosto considerato come una sorta di “chiusura ideale” di un dato sistema filosofico. Tale era il Demiurgo di Platone che, creando il mondo a partire da “cose che si trovavano in uno stato vuoto di ragione o misura”10, agiva in accordo con idee preesistenti, ma fuori dal tempo11, oppure la Causa Prima, o il Motore Immobile di Aristotele, che è “una sostanza eterna, immobile e separata da tutte le cose che possono essere percepite dai sensi”12.
4. La presenza del mito Quando pensiamo all’origine della scienza e della filosofia, spesso tendiamo a sottostimare il valore del mito. Fu il pensiero critico e razionale a rimpiazzare l’approccio irrazionale e mitico ai fenomeni che restavano sconosciuti. In genere, noi trattiamo i miti come favole inventate dai popoli primitivi, racconti di fantasia da tramandare a figli e nipoti. In realtà, la storia è ben diversa. C’è un qualcosa che non si comprende, qualcosa che trascende le conoscenze attuali e noi vogliamo afferrarne l’essenza, senza avere gli strumenti adeguati per farlo. Perciò ci creiamo un mito, in modo tale da potere per lo meno ricondurre l’ignoto dentro il dominio delle nostre azioni. È pur vero che la scienza e la filosofia hanno trasformato molti miti in conoscenza razionale, ma è falso pensare che noi oggi non ricorriamo assolutamente più al mito. In alcune scuole filosofiche contemporanee viene ancora ampiamente impiegato il mito, anche se tale concetto è evoluto in una sorta di termine tecnico. Il mito in questo senso si riferisce a ogni credenza o convinzione che trascenda l’umana esperienza e a una realtà che esuli da una precisa descrizione linguistica. Poiché tale realtà non può essere descritta puntualmente dal nostro linguaggio, essa non può entrare in un nesso logico con una descrizione linguistica della nostra esperienza. Ciò non significa che questa realtà non possa andar soggetta ad esperienza, ma solo che, se lo è, trascende ogni descrizione linguistica logicamente organizzata. In questo senso, il mito non costituisce una conoscenza “di seconda mano”. Al contrario, spesso riguarda alcuni dei più importanti aspetti della vita umana. Vediamo alcuni di tali miti.
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CAPITOLO 1 A. Il Mito del Valore. Quando veniamo a comprendere che alcuni componenti o aspetti della nostra esperienza hanno un valore, li includiamo all’interno di una realtà che trascende l’esperienza. Siamo in grado di descrivere la nostra esperienza ordinaria attraverso un linguaggio più o meno preciso. Possiamo anche cercare di descrivere la nostra “esperienza del valore” in qualche termine linguistico, ma questa descrizione, essendo “mitica”, non è precisa, bensì metaforica. A causa di tale “mancanza di proporzioni”, queste due descrizioni non possono entrare in interazione logica tra loro: esse sono logicamente incommensurabili. B. Il Mito della Razionalità. Questo mito riflette la convinzione che il metodo razionale di investigazione del mondo non è semplicemente la regola che si è dato qualche personaggio eccentrico, ma riflette qualcosa che ci trascende. Il Mito della Razionalità, come tutti i miti, non può essere definito razionalmente, poiché ogni argomentazione già presuppone il mito. C. Il Mito del Significato. Il mondo senza questo mito sarebbe il mondo delle istanze individuali e degli eventi casuali. Benché il linguaggio e la logica possano cercare di ricondurre a unità tale mondo, non ci sarebbe alcuna ragione per giustificare il tentativo. Questo mito si lega strettamente al Mito del Valore, o forse ne è addirittura una parte. Il Valore senza Significato non ha senso e altrettanto si può dire per il Significato senza Valore.13 Consideriamo più da vicino il Mito della Razionalità. Possiamo senz’altro dire che la più grande scoperta dei Greci riguarda il fatto che le nostre convinzioni possono essere argomentate razionalmente, il che è come dire che si dovrebbe cercare di risolvere quanti più problemi possibile appellandosi alla ragione, ovvero al pensiero razionale e all’esperienza, piuttosto che alle emozioni e alle passioni.14
Sorge però immediatamente la domanda di come si possa arguire razionalmente che le nostre convinzioni debbano essere discusse con razionalità. Il filosofo Karl Popper (1902-1994) comprese in pieno l’importanza di tale domanda e scrisse: Né un argomento logico, né l’esperienza possono infondere in qualcuno un’attitudine per la razionalità, poiché argomenti ed esperienze fanno
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COME SI SCOPRÌ CHE IL MONDO È RAZIONALE presa solo su coloro che già sono predisposti ad essa, che già hanno adottato quel tipo di atteggiamento. Ciò equivale a dire che l’attitudine razionalista deve essere già presente in un soggetto se vogliamo che argomenti o esperienze siano efficaci: e comunque, non può derivare da essi. L’atteggiamento razionale è necessariamente lontano dall’essere auto-contenuto in sé.15
Perché allora non adottiamo l’irrazionalismo? Perché quando confrontiamo il razionalismo con l’irrazionalismo, immediatamente avvertiamo che il primo è un valore. Perciò, “la scelta che sta dinnanzi a noi non ha semplicemente un carattere intellettuale, né è questione di gusti. È una decisione morale”16. In effetti, la scelta di valore è una decisione morale. Questo tipo di razionalismo viene chiamato da Popper “razionalismo critico”, quello “che riconosce il fatto che la fondamentale attitudine per la razionalità deriva da un atto di fede – dalla fede alla ragione”17.
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Capitolo 2
GLI ASTRONOMI DOVREBBERO GUARDARE IL CIELO?
1. La filosofia della fisica in Platone on c’è riforma della forma statale che non contempli una riforma del sistema educativo e Platone (427-347 a.C.) era ben conscio di questo. Quando, nella Repubblica, elaborava il progetto dell’istruzione pubblica, era sicuro che la scuola ideale avrebbe dovuto insegnare per prima cosa la matematica, in particolare la geometria piana. Glaucone, con il quale Socrate avrà un contraddittorio (nei dialoghi di Platone, il compito di rappresentare il punto di vista dell’autore viene affidato a Socrate), conveniva con questa posizione, suggerendo inoltre che l’astronomia occupasse il secondo posto. “Ciascuno può vedere”, diceva Glaucone, “che l’astronomia forza la mente a guardare in alto, lontano da questo nostro mondo, verso qualcosa di superiore”. “Ciascuno, forse, ma non io. Io non sono d’accordo”, rispondeva Socrate. “E perché no?”.
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Quelle orbite intricate che sono in cielo, non ho dubbi che siano tra le cose materiali più belle e perfette, ma sono tuttavia parte del mondo che è visibile e perciò sono ancora parecchio lontane dalle realtà vere, dai veri moti, che stanno nel mondo ideale dei numeri e delle figure geometriche responsabili di quelle rotazioni. [...] Così, se io intendo studiare l’astronomia in un modo che fa l’uso appropriato dell’intelletto innato nell’anima, dovrò procedere come faccio nello studio della geometria, lavorando sui problemi matematici, senza perdere il mio tempo a osservare i cieli.1
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CAPITOLO 2 La strana proposta di Platone era una diretta conseguenza del suo punto di vista filosofico. Nella definizione della sua filosofia, egli era influenzato dalla scuola pitagorica. Due dei maestri di Platone, Teodoro di Cirene e Archita di Taranto, erano pitagorici e lo stesso Platone visitò la Magna Grecia (le regioni dell’Italia Meridionale, specie quelle che si affacciano sullo Ionio), dove fiorì la scuola di Pitagora. I seguaci di questo pensatore semi-mitico, avevano dato vita a una comunità che era una via di mezzo tra una scuola filosofica e una setta religiosa. La loro vocazione religiosa era permeata, per così dire, dal desiderio di “incontrare il Cosmo”, alla luce delle loro conquiste scientifiche. Conosciamo le loro dottrine solo per ciò che ci venne tramandato da autori posteriori e rileggerle oggi, filtrandole attraverso le sofisticate cognizioni scientifiche moderne, rischia di essere fuorviante. Quando, per esempio, i primi pitagorici affermavano che tutti gli oggetti materiali sono costituiti da numeri interi e che il “numero” è il principio (arché) del Cosmo, è probabile che essi considerassero i numeri come noi oggi pensiamo agli atomi. Proprio a causa di questa idea, fu per loro un vero dramma la scoperta dell’esistenza dei numeri irrazionali2; uno shock terribile, tanto che si tramanda che la scoperta venne tenuta segreta e il traditore che la rivelò all’esterno della scuola venne giustiziato. La scoperta degli irrazionali rappresentò la prima vera rivoluzione globale nel campo della matematica e comportò una rivoluzione nella comprensione del mondo. I numeri interi cessarono di essere gli “atomi del mondo” e divennero entità più astratte, pure “forme matematiche”. In questa nuova forma, nel sistema di Platone vennero elevati al rango di “principio di realtà”. L’astronomo non dovrebbe sprecare il suo tempo nella contemplazione del cielo, poiché l’esplorazione osservativa del mondo conduce unicamente a una conoscenza probabile, a un’opinione. I nostri sensi possono errare, e anzi lo fanno molto spesso. La vera conoscenza la si ottiene dalla deduzione, che altro non è se non l’esplorazione del mondo delle idee, o delle forme eterne. A questi due tipi di cognizione (opinione e conoscenza vera) corrispondono due tipi di entità: la prima, la Forma immutabile, ingenerata e indistruttibile [...] invisibile e altrimenti impercettibile; quella che, di fatto, è l’oggetto del pensiero.3
Questo è il mondo delle idee, la cui parte più importante è costituita dalle idee matematiche. La seconda è ciò che porta lo stesso nome ed è simile a quella Forma; ma è percepibile attraverso i sensi; viene generata; è perpetuamente in moto,
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GLI ASTRONOMI DOVREBBERO GUARDARE IL CIELO? venendo a trovarsi in una certa posizione e poi abbandonandola; infine, può essere oggetto di pareri che riguardano la percezione.4
Le entità materiali, percepibili dai sensi, sono unicamente ombre delle corrispondenti idee. Portano i nomi di quelle; per esempio, il cubo sagomato da un artigiano è solo una similitudine imperfetta del Cubo Perfetto. A questo punto, l’ontologia platonica incontra l’estetica platonica. Per i Greci, la bellezza era quasi una proprietà fisica dei corpi e, sotto l’influsso dei pitagorici, veniva identificata con la simmetria, che poteva essere rappresentata da numeri, mediante vari tipi di proporzioni. Più tardi, di essa si parlerà come della Grande Teoria dell’Estetica. Platone non aveva dubbi che il più bello (il più simmetrico) dei solidi geometrici è la sfera e che il più perfetto dei moti è quello circolare uniforme. Non c’è bisogno di osservare i cieli per giungere alla conclusione che i corpi celesti devono andar soggetti a un moto di quel tipo. Nella Repubblica, a partire da questi principi Platone delinea un modello cosmologico che il suo discepolo Eudosso di Cnido migliorò, elaborandolo matematicamente. Nella tradizione greca, risalendo indietro fino ai primi filosofi della scuola ionica, il mondo è costituito da quattro elementi: terra, acqua, aria e fuoco. Questa volta, fu un altro suo discepolo, Teeteto, ad elaborare un lavoro geometrico che in seguito Platone adottò per applicarlo alla sua teoria del “micromondo”. Teeteto dimostrò che esistono esattamente cinque solidi regolari (i più simmetrici, dopo la sfera): il cubo, il tetraedro o piramide, l’ottaedro (con otto facce uguali), il dodecaedro (dodici facce uguali) e l’icosaedro (venti facce uguali). Platone utilizzò questa classificazione per spiegare che la terra è fatta di triangoli isosceli, il fuoco di piramidi, l’aria di ottaedri e l’acqua di icosaedri. L’ultima forma, quella del dodecaedro, Platone la attribuì al Tutto.5
2. L’ispirazione platonica I fisici moderni, come Heisenberg e von Weizsäcker, spesso vedevano in Platone il loro predecessore, e nella sua filosofia una sorta di archetipo del metodo matematico della fisica-matematica contemporanea. Quest’ultima si sforza di identificare la struttura del mondo con strutture matematiche ed è proprio questa identificazione che assai spesso conduce a un accordo straordinario tra le previsioni teoriche e i risultati empirici. In aggiunta, possiamo ritenere che senza questo “metodo platonico” sarebbero rimasti per sempre inaccessibili alla nostra curiosità scientifica molti importanti campi di ricerca,
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CAPITOLO 2 per esempio la fisica subatomica. Il fascino della dottrina platonica è rinforzato dal fatto che le più importanti leggi della fisica contemporanea hanno la forma di simmetrie, benché si tratti di simmetrie assai più astruse di quelle esibite dai solidi platonici. Possiamo capire ancor meglio il perché molti scienziati guardino alla fisica moderna come a una sorta di implementazione dell’ideale epistemologico platonico se ricordiamo in quale misura i padri della fisica moderna, Galileo e Newton, operarono subendo l’influsso della dottrina del grande pensatore ateniese. Comunque, la faccenda non è così semplice. L’accordo davvero stupefacente tra alcuni aspetti della fisica moderna con le intuizioni platoniche non deve mettere in secondo piano le differenze sostanziali che ci sono tra le proposte di Platone e l’impresa scientifica moderna. Le strutture matematiche attraverso le quali i fisici modellano il mondo sono belle o, per meglio dire, sono considerate tali da molti fisici; ma l’estetica non viene più considerata una categoria fisica. Non è possibile impiegare in fisica certe strutture matematiche solo perché queste sembrano belle a un’eminente personalità nel campo della fisica. Oggi le simmetrie dei solidi platonici ci sembrano meno belle di quelle rappresentate dai gruppi SU(2) o SL(3,1), così spesso usati nella ricerca teorica moderna, e c’è la convinzione che esistono strutture ancora più simmetriche e ancora più belle che serviranno nel prossimo futuro per fornire modelli più completi del mondo. Può anche essere che noi siamo inclini a considerare belle talune strutture matematiche proprio per il fatto che si accordano perfettamente con i nostri risultati empirici. Gli astronomi contemporanei non ritengono che esplorare il cielo sia una perdita di tempo, né che lo sia costruire strumenti complessi per riuscire a guardare sempre più in profondità e in modo sempre più preciso. Essi sanno bene che la matematica può essere applicata al mondo con successo non a priori, ma in costante dialogo con il mondo stesso, il quale ci parla attraverso il linguaggio delle osservazioni e delle misure empiriche. Comunque è vero, e questo è il punto che Platone sottolineerebbe, che una struttura matematica ben scelta spesso rivela più informazioni riguardo al mondo di quelle che erano contenute nei risultati empirici precedentemente noti; ma questa stupefacente circostanza non muta il fatto che sono l’esperimento e l’osservazione che alla fine determinano quali siano le strutture matematiche più indicate per costruire un modello del mondo.
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Capitolo 3
SETTE CONTRO TEBE
1. L’ira di Aristotele el XIV e ultimo libro della Metafisica, Aristotele (384-322 a.C.) si impegnò in una polemica con il suo maestro Platone. Generalmente, lo stile di Aristotele è piuttosto distaccato: di proposito, la sua prosa è scevra di fronzoli letterari, come se volesse marcare una netta separazione tra quelle che sono argomentazioni razionali e ogni eventuale orpello retorico. Invece, nella polemica con Platone, Aristotele non disdegna di lasciare emergere le proprie emozioni, come dimostra questo passo diretto contro la dottrina del maestro:
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Tutto ciò è assurdo ed entra in conflitto sia con se stesso sia con le probabilità; ci pare di scorgere in esso qualche similitudine con i lunghi discorsi inconcludenti di cui parla Simonide, perché le tirate sconnesse, come quelle degli schiavi, entrano in gioco quando gli uomini non hanno alcunché di ragionevole da dire. 1
Aristotele ridicolizza impietosamente la dottrina pitagorica dei numeri come arché (principio) del mondo: Ci sono sette lettere vocali nell’alfabeto, la scala consiste di sette corde, sette sono le Pleiadi, a sette anni gli animali perdono i denti (benché ciò valga solo per alcuni) e sette furono i guerrieri che combatterono
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CAPITOLO 3 contro Tebe. Ma forse che furono sette gli eroi, o sono sette le stelle delle Pleiadi, perché sette è il tipo di numero che è? Sicuramente, i guerrieri erano sette perché sette erano le porte della città, o per qualche altra ragione, e nelle Pleiadi noi contiamo sette stelle, come ne contiamo dodici nell’Orsa, mentre altri popoli ne contano di più in entrambi gli asterismi.2
Non doveva essere difficile per Aristotele scovare i punti deboli della dottrina pitagorico-platonica, ingenuamente applicata a varie situazioni. La differenza essenziale tra la visione di Aristotele e quella dei suoi antichi maestri risiedeva nella concezione radicalmente diversa della scienza. Per Aristotele, non era importante il fatto che ci fossero proprio sette guerrieri a combattere contro Tebe: contava il perché fossero lì a combattere. La spiegazione scientifica di un fenomeno non consiste nel trovare il suo archetipo nel mondo delle idee, quanto piuttosto nell’identificarne la causa. C’erano sette eroi a combattere contro Tebe perché questa città aveva sette porte e ciascun guerriero muoveva all’attacco di una di esse (o, forse, c’era qualche altra ragione). Istintivamente, noi ci sentiamo di simpatizzare con questo modo di ragionare di Aristotele e siamo indotti a pensare che si fondi sul buon senso. Ed è proprio questo il punto: la filosofia della scienza di Aristotele si basa saldamente sul senso comune ma, come vedremo nei prossimi capitoli, quando si opera nel campo dell’interpretazione della scienza, il buon senso spesso porta fuori strada.
2. La matematica e la fisica Aristotele era un pensatore troppo acuto per non apprezzare la matematica. Nei suoi scritti, si trovano diversi tentativi di utilizzo della matematica nella descrizione di alcuni fenomeni naturali. Il più interessante è probabilmente lo sforzo di affrontare il problema del moto in termini matematici (si veda la fine del Libro VII della Fisica), tanto che gli storici della matematica generalmente si sentono in obbligo di dedicare qualche pagina a illustrare i contributi della scuola aristotelica alla loro disciplina. Tuttavia, ciò non toglie che, nella visione di Aristotele, la matematica ha un semplice ruolo sussidiario nello studio della fisica, e non sostanziale. In aggiunta, egli ritiene che troppa matematica conduca a deviazioni in fisica e porta diversi argomenti a sostegno di questa tesi.
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SETTE CONTRO TEBE Il più importante è implicito nella sua concezione delle scienze naturali, in particolare della fisica. Nel primo paragrafo del primo libro della Fisica, Aristotele afferma che, poiché comprendere una cosa significa conoscerne le cause, è chiaro che al fine di comprendere la natura occorre scoprire le sue cause. Ci sono quattro cause fondamentali in natura: la causa materiale, ciò di cui una cosa è fatta; la causa formale, grazie alla quale una cosa appartiene al proprio tipo specifico (è ciò che le conferisce una forma); la causa efficiente, ciò che la mette in moto o che produce una nuova attività; la causa finale, lo scopo per il quale ciascuna cosa viene fatta. La matematica ha a che fare con il solo aspetto formale delle cose, ma, a dire il vero, “i numeri non possono essere una causa formale”3. Perciò, non basta la matematica a spiegare i fenomeni naturali. Nella scienza di Aristotele, un ruolo essenziale viene svolto dalle cause finali. I fenomeni naturali sono diretti a raggiungere, per così dire, i loro obiettivi e il modo più efficace per comprenderli è proprio attraverso le loro cause finali. La fisica di Aristotele è per eccellenza una scienza teleologica. Ogni obiettivo è sempre qualcosa di buono che si deve raggiungere ma gli oggetti matematici, non essendo né buoni né cattivi, non possono servire da obiettivi. Sotto questo profilo, essi sono inutili e perciò sono destinati a giocare un ruolo secondario in fisica. La fisica è la scienza delle cause e i numeri non possono essere cause in alcun modo. Aristotele chiarisce questo punto: Dunque i numeri, che siano numeri in generale o che consistano di unità astratte, non sono né la causa agente, né la materia, né il rapporto, né la forma delle cose. Né, tanto meno, ne rappresentano la causa finale.4
Tracciare la linea di demarcazione tra la fisica e la matematica, per Aristotele, era qualcosa più che una mera procedura metodologica assunta per scopi pratici. Nella sua ontologia, la realtà è divisa in talune “categorie dell’essere” e la classificazione delle scienze dev’essere “vera”, ossia deve riflettere questa classificazione ontologica dell’essere. Per loro propria natura, la matematica e la fisica appartengono a due differenti “piani epistemologici” e trasferire concetti e metodi da un piano all’altro conduce ad errori nelle categorie. Questo trasferimento era detto metabasi da Aristotele, che lo considerava un errore grossolano nel fare scienza. Egli aveva elaborato questa dottrina in opposizione all’insegnamento platonico sulla natura della matematica e sul suo ruolo nella comprensione del mondo.
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CAPITOLO 3 La pratica scientifica è però sempre più forte delle regole metodologiche che ci diamo. Lo stesso Aristotele aveva problemi, a questo proposito, con le scienze greche classiche, la musica, l’ottica e l’astronomia, che fiorirono facendo ampio uso della matematica senza prestare troppa attenzione al principio della metabasi. Aristotele le trattò alla stregua di scienze di un tipo speciale, che si collocherebbero a metà strada fra la fisica e la matematica; i suoi seguaci medievali le chiamarono scientiae mediae. Oltre a questi argomenti teorici, Aristotele ne aveva in serbo altri, di natura più pratica. Egli credeva che il mondo reale fosse troppo ricco, troppo complesso nelle sue varietà di forme, perché lo si potesse ingabbiare entro rigide strutture matematiche, oltremodo semplici. “Ma quali sono gli attributi dei numeri: sono bianchi, dolci, caldi?”, si chiedeva5. Altrove, egli scrisse che non si può pretendere una precisione matematica in ogni caso e situazione: “la si può richiedere solo nel caso di cose non materiali. Perciò, questo metodo non può essere quello adeguato per le scienze naturali, visto che in natura tutto è materiale”6. Naturalmente, è d’uopo ricordare che la frase “tutta la natura è materiale” assume in Aristotele un significato radicalmente diverso da quello che le attribuiremmo noi oggi. La nostra idea di materia ha origini di molto successive, mentre per Aristotele il termine “materia” era sinonimo di “causa materiale” e denotava una pura potenzialità destinata a trasformarsi in atto attraverso le opportune forme. Come ovvio, la visione aristotelica dell’incommensurabilità fra la matematica e la fisica ebbe conseguenze importanti nel successivo sviluppo della scienza. Sarebbe difficile individuare nella storia della scienza un’altra idea altrettanto capace di bloccarne il progresso per così tanti secoli. Cosa dunque accecò questo grande pensatore? Fu la sua stessa filosofia? Certamente, essa fornì falsi argomenti, e tuttavia dovremmo guardare a queste idee aristoteliche con un occhio benigno e tollerante, tenendo conto che esse nacquero in polemica con Platone e con i pitagorici, le cui impostazioni dovevano apparire scriteriate a un pensatore del senso comune com’era Aristotele. Questa è una bella lezione per noi: la logica della realtà molto spesso supera il senso comune, al punto che la si potrebbe considerare una vera pazzia.
3. La natura della matematica C’è anche un’altra ragione per la sconfitta di Aristotele ed è che la matematica di cui egli disponeva era ancora una scienza bambina. Se si è persuasi che “oggetto della ricerca matematica sono le superfici e i volumi, le linee e i punti”, benché essi non debbano essere trattati “come limiti dei
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SETTE CONTRO TEBE corpi fisici”7, allora se la matematica si dimostra inadeguata allo scopo, prima o poi si passerà alla fisica, a sviluppare analisi puramente qualitative. Il problema delle relazioni mutue tra la matematica e la fisica è strettamente connesso con la questione della natura della matematica. Sembrerebbe che l’idea che abbiamo della natura della matematica sia determinante nel fissare il tipo di relazioni che sussistono tra la matematica e la fisica, ma la storia della scienza ci insegna chiaramente che l’una cosa condiziona l’altra e che spesso è impossibile stabilire quale delle due sia più influente sull’intero contesto filosofico. Ciò vale nel caso di Aristotele, secondo il quale la matematica è un’astrazione dalle cose materiali. Gli enti matematici non esistono indipendentemente dagli oggetti materiali. Ci sono cose materiali che, al di là delle proprietà qualitative, possiedono un “nucleo sostanziale” che non può essere ridotto a quantità. Sotto questo profilo, il sistema aristotelico mostra una sua coerenza logica. E ciò risultò essere pericoloso. Questa sua “chiusura logica” si tramutò in una trappola per molte generazioni di pensatori. Non può infatti servire come unico criterio di verità. In molti guardano con favore alla dottrina aristotelica della natura della matematica, confondendo la questione dell’origine con la questione ontologica. Per ciò che riguarda l’origine, probabilmente Aristotele aveva ragione: in effetti, noi foggiamo i concetti matematici astraendo dagli aspetti qualitativi degli oggetti reali. Ma il modo in cui scopriamo le cose non coincide necessariamente con il modo in cui le cose sono “in sé”. Nella controversia fra Aristotele e Platone, la questione del perché il mondo sia matematico assunse una portata decisiva. Nel corso di questa disputa, i differenti punti di vista si cristallizzarono ed entrarono nel complesso reticolato delle varie dottrine filosofiche. Benché le future generazioni arricchiranno la scena con nuove sottigliezze e opinioni, la polemica tra Aristotele e Platone si porrà sempre come una sorta di punto di riferimento. Dopo molti secoli, apparirà una terza scuola, oltre a quelle dei seguaci di Aristotele e Platone: essa non prenderà apertamente posizione a favore dell’una o dell’altra, ma il fatto stesso della sua esistenza spesso influenzerà sia la formulazione del problema che la direzione delle successive ricerche. Questa terza scuola prenderà piede attraverso il progresso realizzato da quelle scienze che fanno ampio uso della matematica come strumento investigativo della realtà. Talvolta, invece di chiedere ai filosofi, è meglio considerare ciò che accade nella scienza stessa.
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Capitolo 4
COME CONTARE I GRANELLI DI SABBIA
1. Un numero maggiore di qualunque altro C’è chi ritiene, o re Gelone, che il numero dei granelli di sabbia sia infinito; e non parlo solo della sabbia che trovo sulle spiagge nei dintorni di Siracusa, o nel resto della Sicilia, ma penso alla sabbia che si trova in qualsivoglia regione del mondo, abitata o disabitata che sia.
Questo è l’incipit dell’Arenario, un trattatello scritto da Archimede (ca. 287-212 a.C.), nel quale il matematico e fisico siracusano spiega al re Gelone II che ci sono persone che pensano che non occorra un numero infinito di granelli di sabbia per riempire il volume della Terra, e tuttavia che di granelli ne esista una quantità così immensa da superare qualsiasi numero si possa immaginare. Ma ora lui, Archimede, farà qualcosa di assolutamente straordinario: indicherà un numero che è maggiore non solo di quello dei granelli con i quali si potrebbe riempire il volume della Terra, ma addirittura il volume dell’intero Universo. E non l’Universo come usualmente ce lo si immaginava, con la Terra al centro e delimitato dalla sfera delle stelle fisse, ma anche quello proposto da Aristarco di Samo, il quale ritiene che la Terra non se ne stia a riposo, ma si muova su una circonferenza che ha per centro il Sole, e valuta altresì che il rapporto tra il raggio dell’orbita terrestre e la distanza dalle stelle fisse è pari a quello che c’è tra le “dimensioni del centro di un cerchio e il suo raggio”. Archimede prosegue sottolineando come l’ultima frase abbia ad essere intesa in senso
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CAPITOLO 4 metaforico, poiché se la prendessimo alla lettera sarebbe senza senso. La si deve invece interpretare come l’espressione di quanto sia immenso l’Universo immaginato da Aristarco. Anche a voler riempire di sabbia tale Universo, esisterebbe sempre un numero che è più grande di quello dei granelli occorrenti a tale scopo. All’introduzione, segue la parte tecnica del trattato. Archimede enumera accuratamente i suoi postulati, formula teoremi, ne fornisce le prove e ne commenta le conclusioni. Alcuni storici della scienza ritengono che il vero problema con il quale Archimede aveva da confrontarsi riguardava il fatto che i Greci non disponevano di un sistema numerico in grado di trattare agevolmente i grandi numeri. Anche se così fosse, il lavoro di Archimede ci porta a considerare una questione tutt’altro che banale nella teoria dei numeri: esiste un numero che sia maggiore di qualunque altro numero si possa pensare? Per Archimede, la metafora della sabbia non era solo un artificio letterario; invece, suggeriva, in modo sottile, almeno due interessanti problemi filosofici: come utilizzare la matematica per indagare il mondo? E inoltre: l’infinito della matematica può essere in qualche modo presente anche nel mondo reale? Archimede fu il principe di tutti i matematici: qualche storico della scienza ritiene che fu il più grande matematico dell’antichità e forse anche uno dei massimi di tutti i tempi1. E cosa possiamo dire di Euclide? Il confronto tra personalità geniali è sempre un’impresa rischiosa, ma si potrebbe dire che Euclide fu anzitutto uno scienziato che classificò e ordinò, senza dubbio in maniera ingegnosa, tutte le conoscenze geometriche dei Greci (è difficile separare quelli che furono i suoi contributi originali da ciò che egli recuperò e ricompose a partire da risultati di altri), mentre Archimede fu un incomparabile inventore. Basterebbe menzionare il fatto che il suo metodo di calcolo dei volumi dei solidi (il cosiddetto metodo di esaustione), benché non lo si possa ancora considerare come una sorta di “integrazione semplificata” (infatti, non era presente in Archimede il concetto di convergenza), certamente aprì la via alla scoperta del calcolo differenziale molti secoli dopo.
2. Il metodo Le generazioni successive, fino al Rinascimento europeo, non furono in grado di comprendere appieno i risultati scientifici del matematico di Siracusa e lo ricordarono principalmente come inventore di alcuni ingegnosi marchingegni meccanici, dalle applicazioni sorprendenti. Archimede
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COME CONTARE I GRANELLI DI SABBIA godette di grande fama, più che per i suoi veri risultati scientifici, per la leggenda che si tramanda relativa al modo in cui distrusse la flotta romana che assediava Siracusa. Si dice infatti che riuscì a bruciare le vele delle navi romane sfruttando la proprietà degli specchi concavi di concentrare la luce del Sole. Le parole che egli pronunciò rivolto al tiranno di Siracusa: “Dammi un punto d’appoggio e ti solleverò la Terra!” divennero proverbiali. Si dice anche che, per convincere di questo il re, Archimede provò a sollevare con successo un vascello a pieno carico per mezzo di un sistema di pulegge. In uno dei suoi scritti, Cicerone ci racconta di come egli stesso poté ammirare un modello del sistema planetario costruito da Archimede che funzionava in modo così preciso da rendere possibile la previsione delle eclissi di Sole e di Luna. Archimede fu indubitabilmente un genio anche nell’ideazione e nella costruzione di diversi strumenti scientifici. A questo riguardo, gli scienziati dei secoli successivi sicuramente lo sottostimarono, considerando queste sue realizzazioni poco più che curiosi dispositivi, mentre invece si trattava di veri e propri strumenti scientifici, attraverso i quali Archimede riuscì a condurre molti esperimenti nel campo della statica e dell’idrostatica. Egli aveva ricevuto in dono dalla sorte un notevole talento manuale che seppe mettere al servizio del suo genio matematico. Sicuramente l’esperimento e l’osservazione costituivano il punto di partenza per lui, ma dovevano essere esperimenti e osservazioni di un tipo del tutto speciale, poiché attraevano la sua attenzione solo le proprietà dei corpi che potevano essere espresse attraverso numeri. Per esempio, due pesi uguali, sospesi ai bracci di una bilancia, restano in equilibrio solo se sono disposti a distanze uguali dal punto di sospensione. Si noti che questo non è un resoconto diretto di ciò che egli sperimentò; infatti, non troviamo alcun riferimento a pesi particolari o a qualche particolare bilancia. Dunque, l’affermazione contiene un carattere di generalizzazione, così come di idealizzazione: mentre ciascun esperimento fornisce un risultato solo all’interno dei margini dell’errore di misura, qui e altrove Archimede enuncia il risultato come qualcosa di valido in assoluto. Il risultato di un esperimento realizzato in questo modo può essere espresso in linguaggio matematico o, come diremmo oggi, nel linguaggio delle equazioni matematiche. Tuttavia, si cominciò a far uso delle equazioni solo nel XVI secolo. Archimede dovrebbe dunque essere ulteriormente ammirato per il fatto di essere stato capace di pensare matematicamente e di fare calcoli matematici senza poter disporre di un linguaggio simbolico sviluppato. Le equazioni matematiche, in genere così antipatiche a chi è poco avvezzo alle discipline scientifiche, in realtà facilitano enormemente il lavoro dei matematici.
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CAPITOLO 4 Una volta che un risultato sperimentale è stato espresso in linguaggio matematico, il resto segue come una conseguenza logica. Deriva da deduzioni matematiche. Si crea in questo modo un modello matematico di un dato fenomeno fisico. Alcune delle conclusioni che discendono dalla deduzione matematica possono essere verificate sperimentalmente e, qualora nuovi esperimenti vengano a confermare le previsioni teoriche, il modello ne guadagna in credibilità, mentre se le verifiche sono negative ci troveremo o a rifiutare il modello o, come più spesso accade, a cambiare qualcuno dei suoi elementi, ricominciando da capo il processo investigativo. Naturalmente, espressioni come “modello di un fenomeno fisico” o “guadagnare in credibilità” fanno parte del linguaggio degli scienziati dei nostri giorni e della nostra metodologia, ma il contenuto al quale queste espressioni si riferiscono era già presente significativamente nella produzione scientifica di Archimede.
3. Tre grandi tradizioni Nel secondo capitolo abbiamo visto che anche Platone applicava la matematica alle sue investigazioni del mondo. Tuttavia, gli approcci di Platone e di Archimede erano differenti. Platone fece una scelta a priori di alcune strutture matematiche che gli sembravano particolarmente belle, mentre quella di Archimede era una scelta a posteriori. Attraverso l’osservazione e l’esperimento, era la natura stessa a suggerire quale fosse la struttura matematica giusta. L’approccio archimedeo non impone alla natura la nostra idea di bellezza, ma cerca di scoprire quali sono le strutture matematiche attraverso le quali la essa opera. Noi ammiriamo Platone e certe sue intuizioni che lo portarono a sospettare l’esistenza di simmetrie che governano il mondo delle apparenze: in particolare, i fisici contemporanei condividono questa impostazione. Ma se consideriamo il senso letterale delle sue enunciazioni metaforiche, ci risulta difficile difenderlo dall’obiezione che siano ingenue. Da una prospettiva moderna, i risultati di Archimede nel campo della fisica sono piuttosto modesti, poiché egli non andò più in là del gettare le basi della statica e dell’idrostatica; tuttavia, i suoi risultati in questi campi vengono riproposti ancora oggi in tutti i testi elementari di fisica e comunque fu Archimede, e non Platone, a saltar fuori nudo ed esultante – così si tramanda – dalla vasca da bagno gridando: “Eureka!”, ho scoperto. Oggi gli storici della scienza distinguono fra tre grandi tradizioni fisicofilosofiche del mondo antico: la tradizione platonica, in cui la matematica
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COME CONTARE I GRANELLI DI SABBIA viene utilizzata nella ricerca fisica come un a priori; la tradizione aristotelica, che consiste di una fisica qualitativa, essenzialmente non matematica; e la tradizione archimedea, nella quale la matematica è applicata a posteriori alla ricerca fisica2. Tuttavia, fino a non molto tempo fa gli storici della scienza consideravano Archimede come un eminente seguace di Platone. Per quanto possa sembrare strano, fu lo stesso Archimede a rendersi in parte responsabile di ciò. Facendo proprio il costume dei Greci (così splendidamente praticato da Euclide), egli cercò sempre di presentare i suoi risultati in forma diretta, immediata, quasi assiomatica, senza render noto il tragitto laborioso che portava ad essi. Solo un’analisi dettagliata dei suoi scritti consente di ricostruire il cammino che egli via via seguì per giungere alle sue scoperte scientifiche. Inoltre, si è portati a sospettare che molte delle sue scoperte nel campo della matematica pura gli venissero suggerite dagli esperimenti che egli conduceva in campo fisico. Tale sospetto è diventato certezza quando, nel 1906, lo studioso danese Johan Ludwig Heiberg scoprì un’opera di Archimede che era rimasta precedentemente nell’ombra. Le parole di quel lavoro erano a malapena discernibili sotto quelle di un libro di orazioni d’epoca medievale, trascritte sopra un antico manoscritto. Usando metodi chimici ed elettronici avanzati, ora è stato possibile recuperare per intero il testo primitivo. L’opera è dedicata a Eratostene, al quale Archimede spiega il metodo che egli utilizza nella dimostrazione dei teoremi matematici: Ho pensato che sia corretto esplicitare a te, spiegandotela nel dettaglio nello stesso libro, la peculiarità di un certo metodo attraverso il quale ti sarà possibile provare ad affrontare alcuni problemi matematici per mezzo della meccanica. Sono convinto che tale procedura non sia meno valida anche nella dimostrazione degli stessi teoremi; questo perché certe cose mi divengono chiare dapprima attraverso un metodo meccanico, benché poi esse abbiano ad essere dimostrate dalla geometria, poiché il loro studio attraverso il metodo anzidetto non fornisce un’effettiva dimostrazione.3
La storia relativa alla morte di Archimede è ormai diventata simbolica per i matematici: Nel generale massacro che seguì la conquista di Siracusa da parte di Marcello nel 212 a.C., Archimede era così intento nello studio di un diagramma matematico che non si accorse di quanto stava capitando e, quando un soldato gli ordinò di recarsi a rendere omaggio al gene-
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CAPITOLO 4 rale vittorioso, egli si rifiutò di farlo se prima non avesse risolto il problema che lo assillava. Fu così che venne trafitto dal soldato furibondo.4
È vero che nei secoli successivi le tradizioni platonica e aristotelica furono quelle di gran lunga dominanti, ma la tradizione archimedea non sparì mai del tutto: essa riaffiorò in molte ricerche astronomiche e nel contributo arabo alla scienza; rivisse poi splendidamente nei lavori di Galileo e di Keplero. Nel considerare il pensiero di Archimede relativo ai granelli di sabbia, e ai numeri infinitamente grandi, si può vedere l’ambizione di un pensatore che vuole forzare il Grande Problema a sottostare alle regole della logica. Si narra che Sant’Agostino abbia detto che cercare di comprendere Dio è come cercare di far stare un oceano nel buco scavato da una mano nella sabbia della spiaggia. Entrambi, Archimede e Sant’Agostino, appartengono alla rara generazione dei “contabili della sabbia”.
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Capitolo 5
IL MONDO È RAZIONALE?
1. Domande sulla razionalità ei capitoli precedenti abbiamo considerato le origini del discorso scientifico e abbiamo visto come, quasi fin dall’inizio, esso si accompagnò a una riflessione metodologica relativamente al modo in cui doveva essere attuato. Tre grandi tradizioni, quella platonica, quella aristotelica e quella archimedea, avevano inaugurato modi differenti di pensare alla natura e agli sforzi umani per risolverne i misteri. In questo capitolo guarderemo, da una prospettiva moderna, a questi primi importanti risultati, al fine di comprendere quelle che sono le profonde radici dell’impresa scientifica. Gli straordinari successi della scienza moderna spesso ci fanno dimenticare gli assunti sui quali tali successi si fondano. In nessun’altra circostanza questi aspetti si palesano più chiaramente che nei secoli in cui la scienza nacque. La scienza presenta due proprietà distintive: (1) la capacità di sollevare nuovi interrogativi e (2) la capacità di inventare nuovi metodi per dare loro una risposta. Se ci riflettiamo un momento, possiamo aggiungere un terzo elemento alla lista: (3) la straordinaria efficacia con la quale la scienza è in grado di stimolare nuove ricerche e di escogitare i metodi per condurle a termine. Tale efficacia è dimostrata dal fatto che le previsioni che scaturiscono dalle teorie scientifiche risultano il più delle volte corrette e anche dalle innumerevoli applicazioni tecnologiche che sono figlie della scienza e che costantemente cambiano in meglio la nostra vita. In questo gioco scientifico “dell’inventa e risolvi” possiamo anche riscontrare certi passaggi
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CAPITOLO 5 graduali per cui vecchi problemi ne generano di nuovi che a loro volta ispirano gli scienziati a inventare nuovi metodi attraverso i quali risolverli. E qui siamo al primo livello. Ma, presto o tardi, la scienza diventa di per se stessa un problema, che dev’essere senz’altro affrontato e risolto. Questo è il secondo livello, che potremmo chiamare il meta-livello: esplorarlo è compito della filosofia della scienza. Una delle questioni preminenti a questo stadio è quella relativa alla razionalità della scienza, che può assumere diverse forme. È infatti possibile porsi domande relativamente al carattere razionale della cognizione umana che ci guida verso la conoscenza scientifica, o relativamente alle sue proprietà essenziali. Oppure si possono sollevare molti altri quesiti, come, per esempio: è possibile distinguere le forme razionali dell’attività umana da quelle irrazionali? In che senso la scienza è razionale? Perché dovremmo essere razionali sia nel fare scienza che in altre circostanze della nostra vita? È razionale l’evoluzione della scienza? Ovvero: quest’evoluzione presenta una sua logica “interna”, oppure è soggetta a fattori “esterni” e contingenti, come la psicologia degli scienziati o le condizioni sociali ed economiche nelle quali essi vivono e lavorano? Per finire, ci si potrebbe chiedere quali condizioni l’Universo deve soddisfare affinché possa essere oggetto di un’indagine razionale. Nelle pagine che seguono, quest’ultimo aspetto sarà chiamato il problema della razionalità del mondo e costituirà l’argomento centrale del capitolo, se non dell’intero libro. Poiché ci stiamo interrogando sulle condizioni che il mondo deve soddisfare per rendere possibile la scienza, sembra adeguato qualificare questa razionalità come di tipo ontologico. È da sottolineare che caratterizziamo il mondo come razionale non perché esso sia dotato di qualche facoltà cognitiva (noi non crediamo che sia così), ma per il fatto che può essere investigato da noi attraverso i metodi razionali tipicamente umani. Quello della razionalità del mondo è parte del problema che la scienza di per se stessa crea. Se non fosse per gli enormi successi che la scienza ha conseguito, probabilmente la questione della razionalità del mondo non sarebbe mai stata posta.
2. La nostra ipotesi preliminare Ci sono opinioni divergenti riguardo ai criteri che ogni discorso razionale dovrebbe soddisfare, ma il problema della razionalità ontologica del mondo è quello che suscita le discussioni più animate. È interessante rilevare che troviamo più di sovente fra i filosofi posizioni contrarie all’assunto della razionalità del mondo, mentre la gran parte dei fisici ritiene del tutto
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IL MONDO È RAZIONALE? ovvio che si debbano ascrivere al mondo proprietà che lo rendono suscettibile di un’investigazione razionale. A questo riguardo, è utile citare un famoso brano che Einstein scrisse in Pensieri degli anni difficili: Il fatto stesso che la totalità delle nostre esperienze sensoriali sia tale che mediante il pensiero (operazioni con concetti, creazione e uso di relazioni funzionali ben definite tra di essi e coordinazione delle esperienze sensoriali con tali concetti) essa possa essere ordinata, ci lascia pieni di stupore ed è un fatto che non riusciremo mai a spiegarci. Si potrebbe dire che l’eterno mistero del mondo è la sua comprensibilità.1
Il mistero di cui Einstein parla è sempre presente nella nostra percezione quotidiana del mondo, ma si rivela con particolare chiarezza nelle scienze. Il termine “comprensibilità” si riferisce non solo al fatto che il mondo può essere da noi compreso, ma anche al fatto che effettivamente, e in larga misura, esso viene da noi compreso. L’atto stesso di fare scienza determina nel ricercatore la ferma convinzione di entrare in contatto cognitivo con qualcosa che gli sta sopra, che gli è superiore, e che tuttavia rivela i suoi misteri in risposta al duro lavoro richiesto dal metodo scientifico. L’investigazione del mondo non è facile, ma possibile, e la storia dell’umanità è testimone di tale successo. Andiamo dunque a formulare la nostra ipotesi preliminare, la quale asserisce che il mondo ha una particolare proprietà, grazie alla quale esso può essere investigato dall’uomo con successo. La chiameremo ipotesi sulla razionalità del mondo (o semplicemente razionalità del mondo, con la speranza di non essere fraintesi). La considereremo come un punto di partenza per le nostre ulteriori analisi. Il fatto di considerare questa formulazione come un’ipotesi non significa che essa sia supportata da fragili argomenti; al contrario, noi riteniamo che sia ben fondata, fin dal suo inizio. Desideriamo solo evidenziare che non siamo dogmatici al riguardo, e che tale nostra ipotesi verrà sempre più fortemente corroborata mano a mano che progredisce la nostra analisi.
3. Contro la razionalità Gli argomenti contrari alla nostra ipotesi di partenza si riducono sostanzialmente a due obiezioni. La prima è l’affermazione che il mondo in sé
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CAPITOLO 5 non è razionale, ossia che non ha proprietà tali da consentirci di investigarlo, ma che piuttosto è la nostra attività a introdurre in esso, o addirittura a imporvi, un ordine apparente. In altre parole, la condizione necessaria per conseguire successi nel suo studio non è la razionalità del mondo, ma piuttosto la razionalità dei nostri processi cognitivi; protagonista è la razionalità umana e non la razionalità del mondo in sé. Questo argomento viene spesso fatto proprio dai filosofi empirici e da intellettuali di formazione umanistica. In questi ultimi, l’argomento spesso assume una forma più estrema: è l’essere umano che proietta la razionalità nel mondo. Si deve ammettere che l’argomento gode di una certa attrattiva. In molte circostanze, in effetti, noi sappiamo introdurre un ordine anche laddove l’ordine non appariva. Per esempio, spesso razionalizziamo certi nostri comportamenti che non sono necessariamente razionali. È però difficile trovare altri esempi che esulino dal campo della psicologia umana. A noi sembra di poter dire che, fuori della sfera della nostra vita soggettiva, solo a un livello descrittivo siamo in grado di introdurre un ordine anche là dove questo non esiste. Per esempio, nonostante il fatto che la gestione dell’economia nei Paesi comunisti fosse del tutto irrazionale, essa veniva presentata dalla propaganda comunista come un indubbio successo. Si trattava di un tipo di razionalizzazione puramente verbale (al livello della pura descrizione), tant’è che, alla lunga, ciò non impedì alle economie comuniste di collassare. Un esempio contrario viene offerto dai modelli matematici della fisica moderna. I modelli matematici utilizzati in fisica non solo descrivono alcuni aspetti del mondo, ma in un certo senso lo imitano; o, più precisamente, lo modellano: significa che funzionano in un modo del tutto simile agli aspetti del mondo che si propongono di investigare. In questo senso, la matematica è qualcosa di più che non semplicemente il linguaggio della fisica. Taluni ritengono metaforicamente che si tratterebbe della “materia prima di cui è fatta la fisica”. Come si deve interpretare questa affermazione? Un modello è una struttura matematica all’interno della quale si possono eseguire varie operazioni, come risolvere equazioni, studiare il comportamento delle curve, dedurre conclusioni da premesse matematiche ecc. Se il modello ha successo in fisica, allora molte di queste operazioni risulteranno essere in stretta corrispondenza con le operazioni effettive e concrete di quel particolare aspetto del mondo che si sta investigando. Per esempio, analizzando le soluzioni di un certo sistema di equazioni, noi siamo in grado di predire gli stati futuri di un sistema fisico, e studiando le curve su un certo spazio possiamo ricostruire i moti di stelle, pianeti o altri corpi. Naturalmente, è possibile che si costruisca un falso modello di un dato fenomeno (la storia della scienza è ricca di esempi al
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IL MONDO È RAZIONALE? riguardo). Questi modelli prediranno effetti che non hanno rispondenza nel mondo reale e, quando ciò si verifica, essi vengono scartati. Si giunge così al punto cruciale. È facile costruire un falso modello, ma è impossibile costruire un modello matematico di qualcosa che è irrazionale, poiché l’irrazionalità introduce elementi contraddittori e le contraddizioni distruggono di per se stesse il modello. Un altro argomento contrario alla razionalità del mondo viene dalla biologia evolutiva. Taluni filosofi sostengono che non c’è nulla di strano nel fatto che noi vediamo il mondo come una struttura razionale, poiché la nostra razionalità è il prodotto della selezione naturale nel corso di un lungo processo evolutivo. Noi scopriremmo nel mondo solo ciò che la natura ha inculcato in noi. Questo argomento, apparentemente così convincente, in realtà non solo non distrugge, ma addirittura rafforza la nostra ipotesi sulla razionalità del mondo. Se fu la selezione naturale, ovvero in ultima analisi i meccanismi di adattamento al mondo, ad avere imposto alla nostra specie un’attitudine razionale nei confronti della realtà, allora dobbiamo attribuire al mondo una proprietà (o un insieme di proprietà) che rese possibile questo processo di costrizione. È proprio ciò che abbiamo chiamato la razionalità del mondo.
4. L’effetto Kant Proseguiamo su questa linea di ragionamento. Il cervello umano è un prodotto dell’evoluzione biologica e, come tale, fa indubitabilmente parte del mondo naturale. Dunque la razionalità del mondo contiene in sé la razionalità del cervello umano. Il processo evolutivo cosmico ha dotato la specie umana di autocoscienza, vale a dire della consapevolezza della propria coscienza. Così, nacque una nuova qualità all’interno della razionalità del mondo: era iniziato il lungo processo del pensare. Dopo molti millenni, tale processo ha portato alla nascita della scienza. L’evoluzione della cultura umana dovrebbe essere riguardata in modo naturale come il proseguimento dell’evoluzione biologica e persino cosmica; di conseguenza, potremmo dire che l’evoluzione cosmica, nella sua espressione umana, è andata soggetta a una spettacolare accelerazione. Grazie a questo, la razionalità umana è diventata così ricca e così autonoma che siamo indotti a considerarla come un qualcosa di indipendente dalla razionalità del mondo. A seguito dei successi conseguiti in ambito scientifico, siamo pienamente autorizzati a pensare che stiamo via via migliorando la nostra comprensione del mondo e dei suoi meccanismi. In questa attività di
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CAPITOLO 5 comprensione, elementi della nostra propria razionalità cooperano con elementi della razionalità del mondo. In un certo senso, mentre investighiamo il mondo investighiamo anche la nostra stessa razionalità. Questo effetto, che senza dubbio esiste nella nostra cognizione, potrebbe essere chiamato effetto Kant. Come ben noto, fu proprio Immanuel Kant (17241804) a sostenere che, quando conosciamo il mondo attraverso i nostri sensi, noi impariamo a conoscere la struttura del nostro armamentario sensoriale (delle nostre “categorie sensoriali”, avrebbe detto Kant) piuttosto che la struttura del “mondo esterno”. Certamente esiste l’effetto Kant, ma è meno importante di quanto Kant ritenesse. Il suo modo di pensare era metafisico; il nostro modo di pensare dovrebbe essere evolutivo. Anche se impariamo qualcosa riguardo a noi stessi, noi stiamo imparando qualcosa relativa al mondo che ci ha generati. È l’evoluzione ad avere impostato questo meraviglioso feedback tra la razionalità del mondo e la nostra stessa razionalità.
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PARTE II IL CONTRIBUTO DELLA CRISTIANITÀ
La nostra cultura è nata dall’incontro tra la filosofia greca e la religione giudaico-cristiana. Il modo in cui tale incontro è avvenuto ha condotto molti a pensare che la Cristianità razionale non fosse direttamente interessata all’investigazione del mondo e che assimilò la razionalità greca essenzialmente perché aveva da costruire una propria teologia, fondandola sui concetti e sul linguaggio dei filosofi greci. Questa assimilazione fu però tutt’altro che passiva. Mentre il Dio cristiano diventava il garante della razionalità, l’idea greca di razionalità andava a insinuarsi nel concetto stesso di Dio. Il Dio dei filosofi, concepito come “chiusura del mondo”, si era trasformato nel Dio della religione, oggetto di venerazione. La cooperazione e il conflitto sono l’essenza del rapporto tra la Cristianità e le scienze. Cooperazione, poiché sia la Cristianità che la scienza fondano le loro radici nella razionalità greca; conflitto, perché la fondamentale pretesa cristiana che Dio faccia il suo ingresso nella storia dell’uomo va al di là del metodo scientifico. Alla luce della teologia cristiana, la razionalità del mondo altro non è che il logos di Dio immanente nel mondo (si veda il capitolo 6). La teologia cristiana nacque con i Padri della Chiesa non come frutto di curiosità intellettuale, ma dalla necessità di praticare e di predicare la nuova religione. C’erano due alternative: accontentarsi dei principi dettati dal senso comune, oppure intraprendere un processo di riflessione razionale, ciò che significava utilizzare le risorse della filosofia greca. La prima, più che una scelta era una resa. In questo processo giocarono un ruolo importante due grandi personalità: Origene, che indicò la strada, e Sant’Agostino, che fissò gli standard per le generazioni future (si veda il capitolo 7). È interessante seguire il laborioso lavoro di adattamento del modello greco del
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PARTE II mondo ai bisogni della teologia cristiana. La sfida più impegnativa riguardò la dottrina biblica della Creazione. I primi scrittori cristiani, pur non abbandonando i contenuti biblici originali, non resistettero all’istinto greco di andare alla ricerca di un “meccanismo” per l’origine del mondo ed elaborarono la dottrina della creazione ex nihilo, che rappresentò anche la reazione contro l’insegnamento gnostico che il “principio del male” è inerente e stabilmente presente nella materia. La dottrina della Creazione, insieme con il dogma dell’Incarnazione, introdusse una nuova concezione del tempo. Era ormai destinata al rigetto l’idea, assai comune nell’antichità, del tempo chiuso, della ripetizione ciclica della storia. La storia del mondo dura invece da un inizio e fino al suo completamento, passando attraverso la venuta di Cristo. È da questa posizione dogmatica che abbiamo ereditato l’idea di un tempo lineare. Nel periodo della Patristica erano presenti tre diversi atteggiamenti nei confronti del mondo: quello pagano, di contemplazione della natura come manifestazione di una divinità; quello gnostico, che guardava il mondo come il prodotto delle forze del male; e l’atteggiamento platonico, che distingueva tra il mondo trascendentale delle forme eterne e le loro repliche imperfette nel mondo materiale. La teologia cristiana adottò quest’ultimo atteggiamento e in tal modo salvò la razionalità per la nostra cultura. Se l’antica Cristianità salvò la cultura e la scienza greche per noi, bisogna aggiungere che fu il Medioevo a trasmetterle fino ai nostri tempi (si veda il capitolo 8). Non si trattò di una trasmissione puramente passiva: il concetto greco di razionalità ne uscì infatti rafforzato e trasformato. Da questo punto di vista, la Scolastica medievale può essere vista come un esercizio di definizione di concetti e di ragionamento astratto, sotto la stretta sorveglianza della logica, sviluppato a questo fine. L’arte medievale della dialettica presentava in sé forti elementi di quella che oggi viene chiamata filosofia del linguaggio. Senza questo lavoro preparatorio, è difficile immaginare come possano essere avvenute l’invenzione delle definizioni operative e la nascita del ragionamento matematico applicato ai fenomeni naturali. Nella forma medievale assunta dalla metafisica, il Dio cristiano divenne la “chiusura” di un sistema filosofico. Il Dio della religione venne identificato con il Dio della metafisica. Mai come allora nel corso della storia, né prima né dopo, l’idea di razionalità godette di un sostegno così forte. La Scolastica medievale non solo contribuì all’origine del nuovo metodo delle scienze empiriche, ma ebbe anche forti implicazioni nei contenuti della scienza e della filosofia. Per esempio, le dispute medievali riguardanti l’onnipotenza di Dio evolvettero gradualmente fino al concetto moderno di “leggi di natura”. Ciò che Dio può o non può fare ha una stretta connessione con ciò che viene attuato nel creato. I vincoli al potere di Dio divennero vincoli sul funzionamento del mondo, ciò che condusse direttamente al concetto di “leggi di natura”.
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Capitolo 6
ENTRA IN SCENA LA CRISTIANITÀ
1. La filosofia greca e la tradizione biblica incontro della filosofia greca con il Giudaismo e la Cristianità ebbe un’importanza senza precedenti nell’evoluzione intellettuale dell’umanità. Come abbiamo visto nei primi tre capitoli, l’interpretazione del concetto della divinità in quanto chiusura del “sistema del mondo” giocò un ruolo significativo nell’idea greca di razionalità. Tuttavia, questo “monoteismo filosofico” aveva ben poco in comune con il monoteismo religioso. A quel tempo, quest’ultimo era un fenomeno eccezionale, coltivato solo all’interno della nazione ebraica. La divinità dei filosofi greci era necessaria per produrre il moto e per giustificare l’ordine nel Cosmo; il Dio degli Ebrei agiva nella storia del popolo ebraico e lo conduceva all’adempimento messianico. La convinzione, piuttosto comune tra i teologi, che la cosmologia fosse solo un’aggiunta di scarsa rilevanza alla dottrina del Vecchio Testamento, benché vera nel periodo più antico, richiede di essere rivista per quanto riguarda i secoli successivi. Nella teologia dei Salmi i riferimenti alla cosmologia sono altrettanto frequenti di quelli riguardanti la storia. Nella letteratura sapienziale, la Sapienza permea il mondo e fa da mediatrice tra il Cosmo e Dio. Nel Siracide, la Sapienza parla di se stessa:
L’
Io sono uscita dalla bocca dell’Altissimo e ho ricoperto come nube la terra. [...] Il giro del cielo da sola ho percorso,
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CAPITOLO 6 ho passeggiato nelle profondità degli abissi. Sulle onde del mare e su tutta la terra, su ogni popolo e nazione ho preso dominio. (Siracide 24, vv 3-6)
Sia il libro del Siracide sia il libro dei Proverbi sottolineano la profonda relazione che c’è tra la probità dell’uomo, sorgente della quale è la Sapienza, e l’ordine cosmico della Creazione. Nei libri successivi, la Sapienza viene ad acquisire caratteri più ellenistici. Nel libro della Sapienza (scritto originariamente in greco!) essa assume qualcosa del logos (o pneuma) degli stoici. Per quanto ne sappiamo, il termine logos venne usato per la prima volta da Eraclito di Efeso (535-475 a.C.) per denotare il principio razionale che ordina il mondo. Nella dottrina stoica, il logos era contemporaneamente Dio, la Natura e la Razionalità, una sorta di sostanza presente in ogni cosa. La natura umana partecipa al logos e l’ideale della vita umana è di vivere in consonanza con esso. L’autore del libro della Sapienza è del tutto consapevole di ciò: L’amai più della salute e della bellezza [la Sapienza], preferii il suo possesso alla stessa luce, perché non tramonta lo splendore che ne promana. Insieme con essa mi sono venuti tutti i beni; nelle sue mani è una ricchezza incalcolabile. Godetti di tutti questi beni, perché la Sapienza li guida, ma ignoravo che di tutti essa è madre. (Sapienza 7, vv 10-12)
Vivere in consonanza con la Sapienza significa compenetrare l’ordine cosmico: [...] perché egli [Dio] è guida della Sapienza e i saggi ricevono da lui orientamento. [...] Egli mi ha concesso la conoscenza infallibile delle cose, per comprendere la struttura del mondo e la forza degli elementi, il principio, la fine e la metà dei tempi, i cambiamenti del corso del Sole e l’alternarsi delle stagioni, [...] Tutto ciò che è nascosto io so, e ciò che è palese, poiché mi ha istruito la Sapienza, artefice di tutte le cose. (Sapienza 7, vv 15-22)
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ENTRA IN SCENA LA CRISTIANITÀ Uno stile simile è presente nella letteratura ebraica apocalittica. Nelle scritture profetiche si poneva l’accento sull’obbedienza alla Rivelazione, mentre negli scritti della tradizione apocalittica (che proliferarono nel periodo ellenistico) veniva posta l’enfasi sulla comprensione dell’ordine cosmico. Parte di questa comprensione consisteva nella convinzione che l’ordine cosmico si spinge al di là dei confini della vita terrena. Quest’idea trova una sua continuità nei libri dei Maccabei. Quando si parla della relazione tra il Giudaismo e la cultura greca non si deve dimenticare la figura di Filone di Alessandria (ca. 20 a.C. - 45 d.C.), filosofo d’origine ebraica e di cultura greca. Egli interpretava la religione ebraica alla luce delle dottrine platonica e neoplatonica e, di fatto, gettò un ponte tra questi due mondi. Se è vero che la cultura europea nacque dall’incontro della filosofia greca con la tradizione biblica, qui siamo davvero vicini ai suoi natali. Manca ancora solo un ultimo fattore, la comparsa della Cristianità.
2. Stoltezza per i Greci La Cristianità sorse come una setta all’interno della religione ebraica, ma ben presto, nel corso di poche generazioni, essa si diffuse nell’intero mondo antico. Questo fenomeno ebbe diverse cause: ne menzioneremo solo due. La prima fu il carattere universale della dottrina cristiana. L’interpretazione “giuridica” dell’Antico Testamento imponeva che chiunque volesse abbracciarne la religione doveva diventare ebreo. La Cristianità, grazie soprattutto all’insegnamento di San Paolo, ben presto prese le distanze da questa impostazione. La seconda: lo sviluppo della Cristianità fu un processo che aderì molto bene alla rete di processi che abbiamo analizzato nei capitoli precedenti. Benché lo sgretolamento delle religioni mitiche durerà ancora alcuni secoli, già a quel tempo il corso era ormai divenuto irreversibile. La decadenza delle religioni pagane lasciò uno spazio vuoto. Le dottrine filosofiche erano accessibili solo a una élite, e ciò non bastava. Il Dio dei filosofi è un’ipotesi, ma ciascun uomo deve costruire la propria vita su qualcosa di più solido. La Cristianità non era solo una religione, ma anche una filosofia di vita. Soltanto molto tempo dopo, si assisterà alla separazione tra la religione e la riflessione critica su di essa, ovvero all’origine della teologia. La “crisi del linguaggio”, notoria nelle religioni pagane e presente anche in talune correnti filosofiche, riguardò pure la nuova religione. Proprio
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CAPITOLO 6 come nel caso della neonata filosofia (si vedano i capitoli 1 e 2), si rese necessario creare una nuova terminologia “tecnica”. Il meccanismo fu lo stesso di sempre: da un lato, una parola o una frase prese a prestito dal linguaggio comune acquistarono un nuovo significato nel nuovo ambiente concettuale, dall’altro, l’uso di una data frase nelle medesime circostanze (in una confessione di fede, nella catechesi, nella liturgia) portò al “congelamento” di nuovi significati. Per esempio, i termini “tecnici” cristiani di salvezza (in latino, salus) e redenzione (redemptio), vennero assunti dal linguaggio comune, nel quale significavano rispettivamente “venir guarito” (in senso medico), e “riscattare uno schiavo” (in senso giuridico). È interessante notare che San Paolo, inflessibile nel condannare ogni sorta di errore e di condotta riprovevole da parte dei pagani, non prese posizione nei confronti dell’immagine greca del mondo. Ciò sembra testimoniare il fatto che egli non vedeva sostanziali discrepanze tra quell’immagine e la dottrina cristiana. Inoltre, negli Atti degli Apostoli possiamo trovare un’indicazione del fatto che il punto di vista di Paolo sul Cosmo risultava essere quanto meno interessante agli occhi degli intellettuali greci. Quando Paolo, ad Atene, parla di Dio che “fece il mondo e tutto ciò che contiene”, che “non dimora in templi costruiti dalle mani dell’uomo”, e nel quale “viviamo, ci muoviamo ed esistiamo” (Atti 17, vv 24-28), gli Areopagiti lo ascoltano con interesse e si ritraggono solamente quando lo sentono parlare della resurrezione dei morti. Questa storia rivela la tensione, assolutamente tipica per la Cristianità, tra l’assunto fondamentale della presenza di Dio nella storia umana e la ricerca filosofica di una nuova visione del mondo. Mitigare questa tensione sarà l’obiettivo principale della neonata teologia cristiana, che aveva già iniziato a gettare le proprie fondamenta. La nuova teologia non aveva scelta: elementi della filosofia greca dovevano necessariamente costituire le sue basi. Un’altra rivoluzione linguistica si rivelò indispensabile: termini tecnici, già adottati e definiti nella filosofia greca, dovevano ancora una volta cambiare il loro significato per adattarsi alle necessità della teologia cristiana e questa volta la crisi linguistica fu persino più profonda, poiché le dottrine religiose, per loro stessa natura, per il fatto di riferirsi al trascendente, sono ostinatamente resistenti a ogni tentativo di ingabbiarle nelle parole. Quando l’autore del quarto Vangelo scrive il Prologo, senza dubbio egli fa riferimento a idee filosofiche greche. Anche se non pensa direttamente a Eraclito, o agli Stoici, o a Filone di Alessandria, certamente egli attinge a concetti e al vocabolario propri delle idee diffuse tra i suoi contemporanei. Il contenuto del Prologo non era del tutto nuovo. Il logos, il principio
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ENTRA IN SCENA LA CRISTIANITÀ cosmico ordinatore del mondo, apparteneva infatti alla tradizione greca. Il logos, la Sapienza di Dio, che crea il mondo ed entra nella storia degli uomini, era presente già nei libri sapienziali dell’Antico Testamento. Ma proprio a questo punto assistiamo a una svolta tipicamente cristiana, causa della summenzionata tensione tra il nucleo del messaggio cristiano e la sua intelaiatura filosofica: “E il Verbo (logos) si fece carne e venne ad abitare in mezzo noi”, ma “i suoi non l’accolsero” (Giovanni 1, vv 11-14). Questa tensione sarà sorgente di tutti i futuri conflitti tra fede e ragione. Conflitti di questo tipo sono impossibili da rimuovere, nel senso che vi sarà sempre un difetto di proporzione tra i mezzi espressivi e ciò che si deve esprimere. La fede cristiana è autentica solo se incorpora in sé questo salto fondamentale, e Paolo lo sapeva bene. I Greci andavano alla ricerca della sapienza, mentre lui predicava il Cristo crocifisso, che era scandalo per i Giudei e stoltezza per i Greci (1 Cor 1, vv 22-23).
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Capitolo 7
TEOLOGIA E SCIENZA ALL’EPOCA DEI PADRI DELLA CHIESA
1. La razionalità dei Greci e la teologia cristiana l concetto europeo di ragione si basava sulla nozione greca di razionalità, ma noi abbiamo ereditato questa nozione solo dopo che essa andò soggetta a una trasformazione sostanziale operata da quella grande avventura che fu l’incontro fra la filosofia greca e la teologia cristiana. Non fu un incontro fra sconosciuti. Come abbiamo visto nel capitolo precedente, la filosofia greca si insinuò nelle fondamenta della teologia cristiana e la plasmò dall’interno. Naturalmente, si assistette anche a molti confronti e conflitti tra il pensiero greco e la dottrina cristiana: basterebbe ricordare gli attacchi di autori pagani, come Celso, Porfirio o Giuliano l’Apostata, e le risposte dal fronte cristiano, come l’Apologia del filosofo palestinese Giustino. Ma assai più importante fu il dialogo “interno”, che si sviluppò nella coscienza dei primi cristiani, i quali leggevano la Bibbia filtrandola attraverso la loro cultura intrisa di sapienza greca. La teologia cristiana germinò da questo dialogo. In quell’epoca antica, il termine “teologia” rivestiva significati molto diversi da quelli che gli attribuiamo oggi. Non entreremo qui nella questione, che pure è interessante sotto l’aspetto storico; in questo capitolo, quando parleremo della teologia dei primi scrittori cristiani ci riferiremo ad argomenti e concetti che oggi rientrerebbero a pieno titolo nella sfera della teologia. In ogni caso, non siamo interessati alla teologia di questo periodo in quanto tale, ma piuttosto in quanto essa ha contribuito alla nascita del con-
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CAPITOLO 7 cetto occidentale di razionalità. Ecco perché vogliamo mettere a confronto l’antica teologia cristiana con la scienza di quel periodo. Ma qual è il magazzino del sapere dell’antichità a cui si possa riservare la qualifica di scienza? La questione è forse ancora più complessa da risolvere che non nel caso della teologia. Senza dubbio, esistevano già a quel tempo alcune delle discipline che oggi fanno parte a pieno titolo della scienza, come la matematica (principalmente la geometria) e le cosiddette tre scienze classiche (l’astronomia, l’acustica e l’ottica), oltre che la medicina e la nascente biologia, naturalmente tutte assai lontane da quelli che sono gli standard metodologici moderni. Per esempio, non erano autonome dalla filosofia come lo sono oggi. Inoltre, anche il sapere pratico, derivato dalle scienze, in particolare il lavoro degli artigiani, era considerato scienza. Ciò che oggi facciamo ricadere sotto il termine collettivo di “scienza” ebbe come lontana antenata quella che era detta filosofia della natura. In questo capitolo, tratteremo dell’interazione fra la prima teologia cristiana, le scienze naturali dell’antichità e il retroterra filosofico del tempo.
2. La Chiesa e l’Accademia: Gerusalemme e Atene Il titolo di questo paragrafo allude a un noto brano di Tertulliano (ca. 160-220): Può esservi forse qualcosa in comune fra Atene e Gerusalemme? Quale relazione potrà stabilirsi fra l’Accademia e la Chiesa? [...] Basta con il Cristianesimo inquinato da impostazioni stoiche, platoniche, dialettiche. Che bisogno abbiamo noi di ricerche, dopo Gesù Cristo? Che cosa dobbiamo ancora richiedere, dopo che abbiamo avuto il Vangelo?1
Il brano viene spesso interpretato come espressione di una netta e radicale presa di distanza dalla sapienza pagana, ma David C. Lindberg contesta tale interpretazione. Benché Tertulliano non ammirasse particolarmente la filosofia greca, in questo caso non la stava condannando senza appello, ma piuttosto ne biasimava le deviazioni che avrebbero potuto facilmente condurre all’eresia. Per sostenere il suo punto di vista, Lindberg cita altri brani presi da Tertulliano: “Senza dubbio, si può penetrare nelle cose di Dio anche attraverso le nostre capacità naturali. [...] Ciò perché talune cose possono essere conosciute attraverso la natura”2; o anche: “la ragione è cosa di Dio, in quanto questi, creatore del tutto, [...] non volle ci fosse alcunché che non fosse governato e retto dalla ragione”3.
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TEOLOGIA E SCIENZA ALL’EPOCA DEI PADRI DELLA CHIESA Sovente si cita pure il detto attribuito a Tertulliano: “credo quia absurdum”, credo perché assurdo, e generalmente lo si considera come una manifestazione della sua posizione anti-filosofica. Lindeberg, invece, lo interpreta in modo diverso. Egli pensa che “Tertulliano stava semplicemente facendo uso di una forma argomentativa tipicamente aristotelica, sostenendo che quanto più improbabile è un evento, tanto meno è probabile che qualcuno vi presti fede se non ha prove schiaccianti del suo occorrere”4. Ad ogni modo, il punto di vista personale di Tertulliano non è così importante. I primi autori cristiani e i Padri della Chiesa, in larga maggioranza, guardavano con favore alla filosofia greca e anche quei pochi che rappresentavano un’eccezione erano semmai contro “i pericoli della sapienza” piuttosto che contro la sapienza in sé. A questa minoranza appartenevano l’autore (forse Tiziano) della Didascalia Apostolorum, che era scettico riguardo alla filosofia greca e metteva in guardia i suoi lettori nei confronti della letteratura pagana, e Giovanni Crisostomo (344/354407), che dava atto della validità delle scuole pagane, ma al contempo predicava che lo studio richiede buoni costumi, mentre i buoni costumi non richiedono necessariamente lo studio5. Un atteggiamento di maggiore apertura verso la filosofia era già presente nella Chiesa dei primissimi secoli, e andò sviluppandosi sempre più. Giustino (100-162/168), il primo apologeta della Cristianità, sosteneva che i filosofi pagani si erano avvicinati alla verità perché Dio aveva conferito loro la capacità razionale di farlo. Clemente d’Alessandria (ca. 150-215) si spinse ancora più in là scrivendo che la filosofia greca era indispensabile per difendere la fede, combattere lo scetticismo e sviluppare la dottrina cristiana6. Queste erano semplici affermazioni di principio, ma un processo importante era già iniziato prima: quello dell’edificazione della teologia cristiana sulle basi della filosofia greca. Era, in un certo senso, un processo ineludibile. C’erano due scelte possibili: accontentarsi di una visione fondata sul senso comune, oppure avviarsi sulla strada di una riflessione e di un’analisi razionale. Per chi era stato educato alla cultura classica, la prima opzione era un atto di resa, più che una scelta. La seconda, invece, significava usare le risorse della filosofia greca. Il fatto che la prima possibilità venne rigettata non deve sorprendere. È invece sorprendente come l’applicazione della sapienza greca alla dottrina cristiana produsse risultati così profondi. In effetti, l’intero periodo della Patristica consistette in un continuo processo creativo di trasformazione della filosofia greca nella teologia cri-
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CAPITOLO 7 stiana, per il quale i maggiori contributi vennero da due grandi personalità: Origene e Sant’Agostino. Origene (ca. 185-254) aveva studiato profondamente la filosofia greca. Nella sua dottrina, fece ampio uso della metafisica, della cosmologia e della psicologia di Platone, ma adottò anche concetti derivati da Aristotele. Egli fu il primo pensatore intenzionato a realizzare una sintesi del credo cristiano con la filosofia greca. Origene pensava il mondo come un tutto armonico e cercava di collocare la Rivelazione cristiana all’interno dell’immagine del mondo ereditata principalmente da Platone. La filosofia platonica affascinava i Padri della Chiesa poiché sembrava essere particolarmente aperta e permeabile alle idee cristiane. Particolarmente nella versione neo-platonica, essa giocò un ruolo anche nell’affrancamento di Agostino d’Ippona (354-430) dalla setta dei Manichei. L’esperienza personale di Agostino segnò profondamente il suo successivo insegnamento. Egli dedicò il resto della sua vita al reciproco adattamento del Neoplatonismo alla Cristianità. Contrariamente all’opinione comunemente accettata che Agostino semplicemente “battezzò” il Neoplatonismo, si deve rilevare come gli adattamenti si verificarono in entrambe le direzioni: vero è che alla fine la filosofia neoplatonica finì “battezzata”, ma è altrettanto vero che la teologia cristiana, essendo ancora in fase di strutturazione, in questo confronto adattò plasticamente la sua forma interna ai concetti filosofici e allo stile di riflessione dei Greci. Agostino nutriva un profondo rispetto per la ragione umana, considerata un dono prezioso di Dio. Nella sua lettera a Consenzio, non fa nulla per nascondere la sua genuina emozione quando scrive: Lontano da noi il pensiero che Dio abbia in odio la facoltà della ragione, in virtù della quale ci ha creati superiori agli altri esseri animati. Lontano da noi il credere che la fede ci impedisca di trovare o cercare la spiegazione razionale di ciò a cui crediamo, dal momento che non potremmo neppure credere se non avessimo un’anima razionale. Quando perciò si tratta di verità concernenti la dottrina della salvezza, che non possiamo ancora comprendere con la ragione (ma un giorno lo potremo), alla ragione deve precedere la fede; essa purifica la mente e la rende capace di percepire e sostenere la luce della suprema ragione divina: anche questa è un’esigenza della ragione!7
Il punto non è solo che la “luce della ragione” deve aprire la strada alla fede, ma anche che la fede, nel nostro stato presente, deve preparare le menti
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TEOLOGIA E SCIENZA ALL’EPOCA DEI PADRI DELLA CHIESA degli uomini affinché sappiano ricevere la conoscenza completa dopo la morte. E si tratterà di una sorta di conoscenza razionale. Per meglio comprendere questa dottrina, non dobbiamo trascurare l’insegnamento di Agostino sull’illuminazione: egli sostiene che ogni conoscenza, ogni cognizione intellettuale consiste in una speciale illuminazione divina e questa posizione è chiaramente un’eco della dottrina platonica dell’anamnesis (reminiscenza). Comunque, non basta pensare che la fede debba precedere la ragione. Più oltre, nella stessa lettera, leggiamo: Se dunque è conforme alla ragione che, quando si tratta di supreme verità, le quali non si possono conoscere, la fede preceda la ragione, sicuramente il ragionamento che ci convince di ciò deve precedere la fede.8
La strategia di Agostino, fides quaerens intellectum (la fede che cerca la ragione), presente nella prima parte del brano citato, venne completata da una tradizione successiva, che adottava anche la strategia inversa: intellectus quaerens fidem (la ragione che cerca la fede). Entrambe queste strategie hanno le loro radici nell’insegnamento di Agostino. Si tenga conto, tuttavia, che a quel tempo ancora non esisteva una chiara distinzione tra filosofia e teologia.
3. La sfida della cosmologia greca Era d’obbligo che gli uomini di cultura greci avessero una loro immagine del mondo, costruita in parte sulla scorta dei risultati delle scoperte scientifiche, ma soprattutto basata sugli standard filosofici del tempo. Questa immagine, nei suoi aspetti principali, venne accolta e fatta propria dai Padri della Chiesa. Per i pagani colti e per i Cristiani dell’epoca il mondo era sferico, di dimensioni finite, con la Terra situata al centro. Sui dettagli del modello, però, v’era qualche contrasto tra le opinioni teologiche dei Padri e le opinioni degli uomini di scienza. Lattanzio apparteneva a uno sparuto gruppo di scrittori cristiani tutt’altro che convinti della sfericità della Terra. Le sue obiezioni erano tuttavia di carattere più scientifico che teologico. Evidentemente, egli non conosceva, o non condivideva, la dottrina aristotelica per la quale l’alto e il basso
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CAPITOLO 7 sono concetti relativi e, di conseguenza, gli abitanti degli antipodi costretti a camminare a testa in giù erano per lui inconcepibili9. L’assenza d’immaginazione in Lattanzio verrà menzionata anche da Copernico nell’Introduzione al De revolutionibus: Perché è ben noto che Lattanzio, per altri versi eminente autore, ma non matematico, affronta in modo puerile la questione della forma della Terra quando dileggia coloro che sostengono che si tratti di un globo.10
Fu Sant’Agostino a introdurre un aspetto teologico nel problema degli antipodi. Egli superò la difficoltà di camminare a gambe all’aria sostenendo che “la parte inferiore della Terra, che è opposta a quella in cui viviamo” è disabitata. E la ragione era in parte teologica: l’intera umanità discende da una singola coppia, ed è “assurdo immaginare che qualche essere umano possa essere arrivato laggiù, a partire da qui, avendo attraversato le immense distese dell’Oceano”11. Alcuni Padri (fra cui San’Agostino) avevano anche un altro serio problema da affrontare, con implicazioni cosmologiche. Il racconto biblico della Creazione parla di “acque che stanno sotto il firmamento” e di “acque che stanno sopra il firmamento” (Gen 1, v. 7), queste ultime completamente estranee alla cosmologia dei Greci. Origene le interpretava in senso allegorico, accostandole alle “acque della vita eterna” (Giovanni 7, v. 38), mentre altri Padri della Chiesa si sforzarono di perfezionare la visione cosmologica greca introducendovi questo nuovo elemento biblico. Essi affermarono che, contrariamente alla tradizione classica greca, la superficie esterna del mondo non è liscia, ma corrugata, in modo da poter accogliere le distese liquide. Sant’Ambrogio (339-397) suggeriva anche una “ragione cosmologica” per l’esistenza di acque sopra il firmamento: esse sarebbero necessarie per raffreddare l’asse attorno a cui ruota il mondo e impedire che si surriscaldi, andando in fiamme12. L’astrologia non trovava posto nella cosmologia greca, ma certamente aveva giocato un ruolo positivo nei riguardi dello studio della meccanica celeste. I Padri della Chiesa disapprovavano l’arte del fare oroscopi. Arnobio, Lattanzio, Sant’Ambrogio e San Geremia, per indicarne solo alcuni, erano fermamente contrari all’astrologia, che avrebbe potuto essere vissuta come una sorta di religione astrale. L’obiezione, a dire il vero, non era del tutto corretta, poiché a quel tempo l’astrologia si era evoluta, acquisendo un carattere laico.
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TEOLOGIA E SCIENZA ALL’EPOCA DEI PADRI DELLA CHIESA Il caso di Sant’Agostino è particolarmente interessante. I Manichei, la setta di cui il giovane Agostino faceva parte, professavano una religione che era una via di mezzo tra il Cristianesimo e i culti astrali dell’Oriente. La vivida mente di Agostino notò facilmente che le conoscenze astronomiche degli “astrologi laici” (dei “matematici”, come venivano chiamati a quel tempo) erano parecchio più sviluppate di quelle dei Manichei e ciò fu motivo ulteriore per allontanarsi dalla setta. Pedersen commenta: “Così, c’era una componente astronomica nella conversione di Sant’Agostino; forse questo non fu il minor servizio reso dalla scienza antica alla vita della Chiesa”13. Col passare del tempo, il fascino esercitato dall’astrologia su Agostino diminuì, fino a dileguarsi del tutto nel De Civitate Dei, dove egli fornisce una valutazione storica dettagliata di essa, bollandola come superstizione. Un interessante personaggio che chiuse questa fase di interazione fra la filosofia greca e la scienza, da un lato, e la Cristianità dall’altro, è Giovanni Filopono (490-570), cristiano e docente alla Scuola d’Alessandria. Egli viene sovente considerato come l’ultimo dei commentatori di Aristotele dell’antichità. Fu certamente un commentatore critico. Per esempio, negò la tesi aristotelica di una dicotomia tra la fisica terrestre e celeste, portando argomentazioni sorprendentemente corrette: i diversi colori esibiti dalle stelle testimoniavano della loro differente composizione; e, d’altra parte, il fatto che le stelle fossero composte di sostanze diverse comportava che dovessero andar soggette a corruzione. Tale critica aveva evidentemente conseguenze teologiche: il mondo ultra-lunare non era più l’habitaculum di Dio. Si deve chiaramente distinguere tra la trascendenza assoluta di Dio e tutto ciò che da lui è creato. Filopono criticava anche i principi della dinamica aristotelica, spesse volte riferendosi all’esperienza concreta14.
4. La rivoluzione cristiana La novità più rivoluzionaria che la Cristianità introdusse nella cosmologia greca fu la dottrina della Creazione, ereditata dal Vecchio Testamento. La dottrina sembrava essere così chiara che fu necessario introdurla solo per i pagani convertiti al Cristianesimo (si veda Atti 17, v. 16 e segg.). Nel Prologo del quarto Vangelo non è difficile rilevare concetti che penetrano molto profondamente nella dottrina biblica della Creazione. Il VerboLogos era già apparso in Eraclito come la forza che ordina e unifica il mondo. Nella tradizione stoica, il Logos era percepito come principio (immanente) della razionalità del mondo. Filone di Alessandria si sforzò di
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CAPITOLO 7 far coincidere la visione greca del Logos con il Verbo (dabar) del Vecchio Testamento, ossia con il termine generalmente usato per indicare Dio. Indipendentemente dalla teologia presente nel Prologo, il fatto stesso che il concetto greco di Logos (benché cristianizzato) vi svolgesse un ruolo centrale fu di grande significatività nel processo di assimilazione della cultura greca nella Cristianità. In generale, il Vecchio Testamento interpretò sempre la Creazione come l’assoluta dipendenza del mondo da Dio. I primi scrittori cristiani, pur senza mai trascurare questo aspetto, non riuscirono tuttavia a resistere alla tentazione di domandarsi quale fosse il “meccanismo” dell’origine del mondo. Nel Vecchio Testamento non troviamo alcuna traccia di una tale tentazione; il suo apparire agli inizi della Cristianità è probabilmente già un sintomo della tendenza di approcciare la dottrina religiosa con la mente “contaminata” dallo spirito razionale greco. Giustino Martire15 (100-168), Ireneo di Lione16 (130-202) e Clemente Alessandrino17 (ca. 150-215) collegarono l’idea della Creazione con la loro visione platonica della costruzione del mondo a partire da una preesistente materia. Semplicemente, essi posero una maggior enfasi sull’onnipotenza di Dio, ascrivendo la Creazione alla sua libera volontà. Ma già nel Pastore di Erma18 (II sec.) era presente un’elaborazione teologica della Creazione come una transizione dal non-essere all’essere19. Questa dottrina rappresentò certamente una reazione contro l’affermazione degli Gnostici secondo la quale la materia è il “principio del male”. Molti autori cristiani obiettarono a questa asserzione ricordando che anche la materia è creazione di Dio. Questa dottrina fu sviluppata da Origene20 che si oppose fortemente all’insegnamento platonico relativo alla materia preesistente, e introdusse nell’insegnamento cristiano il concetto della creazione a partire dal nulla (creatio ex nihilo). In ogni caso, l’elaborazione completa dell’idea di Creazione è dovuta a Sant’Agostino. I Manichei mettevano in ridicolo la storia biblica della Creazione sostenendo che conteneva molte contraddizioni e incoerenze: Agostino, nel momento in cui abbandona la setta manichea, si trova ad affrontare questo problema. Non c’è da meravigliarsi che egli scrisse diversi commentarii sulla storia della Creazione, il più maturo dei quali è il De genesi ad litteram, completato nel 415. Secondo Agostino, nell’atto della creazione si devono distinguere due fasi. La prima fu la creazione ex nihilo di una materia informe, la seconda consistette nell’ordinare tale materia nella forma dell’Universo attuale. Si può chiaramente riscontrare in questo caso l’influsso della cosmologia platonica e tuttavia si deve sottolineare che nella visione di Agostino la seconda fase succedette alla prima nell’ordine logico,
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TEOLOGIA E SCIENZA ALL’EPOCA DEI PADRI DELLA CHIESA piuttosto che in quello temporale. Sotto il profilo temporale, la Creazione fu un atto istantaneo. Agostino motivò la sua posizione facendo riferimento al libro del Siracide (18, v. 1), che nella vecchia traduzione latina riporta: “Qui vivit creavit omnia simul” (Colui che vive ha creato contemporaneamente la totalità delle cose). Ma, d’altra parte, Genesi 1 suggerisce che le varie creature siano apparse con gradualità: allora, come interpretare questa discrepanza? Agostino sfruttò in questa circostanza la dottrina stoica del logoi spermaticoi (semi del Verbo). Benché Dio abbia creato il tutto nel medesimo istante, non ogni cosa si presentava nella giusta forma fin dall’inizio. Molte entità esistevano solo potenzialmente, in forma embrionale, come rationes seminales, ossia come princìpi del seme. Queste entità acquisirono poi la loro forma corretta solo quando si verificarono le condizioni opportune. Le rationes seminales di Agostino non devono essere intese nel senso biologico. Esse erano presenti all’inizio in modo analogo a come la vecchiaia è presente in un giovane. Ci sono autori che vorrebbero vedere in Agostino un precursore della teoria darwiniana dell’evoluzione, ma una visione di questo tipo può essere sostenuta solo se della teoria dell’evoluzione abbiamo un’idea molto rozza. Più precisamente, attribuire ad Agostino idee evoluzioniste sarebbe un assurdo storico: l’idea che qualche entità potesse trasformarsi in qualcosa di diverso era assolutamente assente nel suo pensiero. La sua interpretazione neoplatonica delle idee nella mente di Dio esclude una tale possibilità21. Questa prospettiva “quasi evolutiva” di Agostino escludeva un’accettazione letterale dei sei giorni della Creazione. Nel De genesi contra Manichaeos egli propose tre differenti interpretazioni del testo biblico: 1) i sei giorni della Creazione e il settimo di riposo erano intesi a sottolineare l’importanza del sabato ebraico; 2) i sette giorni simboleggiano sette stadi nello sviluppo morale dell’uomo; 3) i sette giorni denotano ere epocali nella storia del mondo22. Comunque, nel De genesi ad litteram – Liber imperfectus23 egli afferma che la storia della Creazione distribuita nell’arco di sette giorni deve essere intesa solo come una presentazione popolare dello sviluppo del mondo per cause naturali e immanenti. La dottrina della Creazione era così nuova in confronto con la cosmologia dei Greci che doveva far sorgere nuove questioni e introdurre modifiche radicali specialmente riguardanti la comprensione dello spazio e del tempo. Origene si era posto la domanda: cosa faceva Dio prima dell’inizio del mondo?24 Agostino completò la domanda con quest’altra: dove si trovava Dio prima che i Cieli e la Terra venissero creati25? Negli scritti di Sant’Agostino si possono trovare molti brani e commenti riguardanti tali
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CAPITOLO 7 questioni, culminanti in un capitolo del De civitate Dei26 nel quale egli argomenta che tutte le speculazioni sullo spazio e sul tempo prima della creazione del mondo sono un non senso, poiché nessuna espressione riguardante lo spazio e il tempo può riferirsi a Dio. Queste speculazioni condussero alla questione della natura del tempo. La famosa frase di Agostino: “Cos’è il tempo? Se nessuno me lo chiede lo so, ma se cerco di spiegarlo, non ci riesco”27 divenne motivo di molte discussioni sul tempo. Per Origene la frase biblica “All’inizio Dio creò…” significa semplicemente che il mondo cominciò a un certo istante temporale, che in un altro istante concluderà la sua esistenza e che dopo quel momento il tempo continuerà a fluire indefinitamente28. Questa conclusione venne messa in discussione da Agostino che, appoggiandosi alla fisica aristotelica, sosteneva che non poteva esistere il tempo senza il moto e che non c’è moto prima dell’inizio del mondo e dopo la sua fine. Perciò, la dottrina della Creazione ci costringe ad accettare che Dio creò il mondo con lo spazio e con il tempo e che Dio stesso non esiste in un tempo e in uno spazio infiniti, ma esiste nell’eternità, ossia al di là dello spazio e del tempo. Per spiegare questa sua idea, leggiamo questo brano meno noto, ma molto esplicito, preso dal De civitate Dei: È logico distinguere eternità e tempo, poiché non si ha il tempo senza qualche variazione e movimento, mentre nell’eternità non si ha divenire. Chi non capisce dunque che non ci sarebbe stato il tempo se non ci fosse stata la Creazione a portare il movimento e il cambiamento? E che il tempo dipende da tali moti e cambiamenti, essendo misurato dall’intervallo più lungo o più corto che intercorre tra due eventi diversi, che non possono prodursi insieme? [...] Il mondo è stato creato col tempo se, al tempo della sua creazione, cominciarono a prodursi i movimenti e i cambiamenti.29
C’è ancora un altro aspetto del problema del tempo che creò interesse tra alcuni dei Padri della Chiesa. Nella tradizione greca il tempo veniva concepito come un cerchio chiuso: Platone aveva sostenuto quest’idea, affermando altresì che il tempo circolare è la più chiara “immagine dell’eternità”. L’idea stoica di una successione ciclica di mondi venne accolta da Origene, benché con una modifica importante. Ogni mondo successivo sarà sede di eventi diversi: Mosè non guiderà Israele fuori dall’Egitto, Cristo non sarà tradito da Giuda30. La storia del mondo è ciclica, ma non lo è il tempo. Negli scritti di Sant’Agostino la storia cessa di essere ciclica,
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TEOLOGIA E SCIENZA ALL’EPOCA DEI PADRI DELLA CHIESA si apre del tutto. E la ragione di ciò è puramente teologica: “Dio proibisce che noi si creda a questo [la storia ciclica] […] Dopo essere morto una volta per i nostri peccati ed essere risorto, Cristo non morirà di nuovo”31. L’idea di un tempo lineare ora appartiene all’eredità raccolta dalla nostra cultura: siamo debitori di questo alla riflessione dei Padri della Chiesa sulla Creazione e sulla Salvezza.
5. Valutazione David Lindberg si è posto questa domanda: La scienza [...] beneficiò dell’apparire sulla scena della Cristianità e del suo trionfo o ne soffrì? È proprio vero che, secondo l’antico stereotipo, con l’affermazione della non esistenza di altri mondi, con l’enfasi accordata all’autorità della Bibbia, la Cristianità soffocò l’interesse per il mondo naturale? Oppure, la relazione fu più sottilmente ambigua?32
Per dare una risposta bisogna tener presente che le scienze dei Greci cominciarono a decadere a partire all’incirca dal 200 a.C., e che di conseguenza la Cristianità non può certo essere responsabile di questo processo. Nel periodo della Patristica erano dominanti tre atteggiamenti: il primo, determinato dalle religioni cosmiche pagane, con un misto di pitagorismo, platonismo, aristotelismo e stoicismo, che guardava la natura come manifestazione della divinità. Il secondo atteggiamento era influenzato dal punto di vista gnostico: il Cosmo era riguardato come “la scena del disordine e del peccato, il prodotto delle forze del male”. Il terzo atteggiamento derivava dalla filosofia platonica e “distingueva chiaramente tra il mondo trascendentale delle forme eterne e la loro replica imperfetta nel Cosmo materiale”33. La teologia cristiana, dopo pochissime esitazioni iniziali, optò per l’atteggiamento platonico. Questa scelta conservò la scienza greca per la nostra cultura. In ogni caso, non possiamo vagliare il periodo della Patristica con i nostri metri di giudizio: “[…] La Chiesa certamente non spingeva verso la fondazione di istituti scientifici di ricerca e nemmeno incoraggiava i più validi giovani a intraprendere carriere scientifiche”34. Nessuno lo faceva a quell’epoca. Applicarsi alla scienza era privilegio di una ristretta élite e solo raramente ne venne interessato il resto della società.
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CAPITOLO 7 Ciononostante, poniamoci un’importante domanda: i Padri della Chiesa diedero qualche contributo alla scienza? Nei loro scritti, solo occasionalmente rileviamo qualche riferimento alle scienze classiche greche e non troviamo contributi essenziali ad esse. Già nei lavori dei primi scrittori cristiani appare una “nuova qualità”. Essi trattavano le Scritture come una fonte di informazione scientifica. Sant’Agostino avvertiva che nel caso di un’apparente contraddizione tra la Bibbia e una verità scientifica certa, si sarebbe dovuto abbandonare l’interpretazione letterale del testo sacro attribuendo priorità alla ragione35. Tuttavia, quando tali contraddizioni erano assenti, anche Agostino utilizzò il testo biblico come fonte di informazione scientifica, come è testimoniato nel De genesi ad litteram. Tale uso della Bibbia per attingere conoscenza scientifica avrà poi conseguenze deplorevoli nel seguito, ma al tempo di Agostino tale pratica era inevitabile. In epoca moderna, le scienze naturali (la geologia, la biologia, la cosmologia ecc.) stimolano a depurare l’esegesi dalle interpretazioni troppo letterali del testo biblico. Nel periodo della Patristica non c’erano scienze sviluppate e gli uomini di cultura ricercavano informazioni riguardanti il mondo naturale un po’ dappertutto, anche nella mitologia e nell’immaginazione. Non deve perciò meravigliare che alla Bibbia si conferisse autorevolezza, oltre che religiosa, anche scientifica. D’altro canto, non dobbiamo dimenticare un altro processo che si sviluppò nel periodo della Patristica: quello dell’assimilazione da parte della cultura europea della sapienza greca, insieme con il concetto greco di razionalità. Non fu un processo meccanico, né a senso unico. La filosofia greca fu trasformata dal pensiero cristiano e la Cristianità vi iniettò qualcosa della sua propria vitalità. Viceversa, la sapienza greca seppe trasformare il pensiero cristiano; o, meglio, seppe plasmare la Cristianità fin dal suo inizio. È arduo separare il nucleo della teologia cristiana dalla stessa Cristianità: la teologia cristiana prese forma sia dalla Rivelazione cristiana sia dai risultati intellettuali dell’antica Grecia. Basti ricordare che concetti vitali per la Cristianità come spirito, materia, persona, natura e legge morale hanno, in larga misura, origini greche piuttosto che bibliche.
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Capitolo 8
IL CONTRIBUTO DEL MEDIOEVO
1. Introduzione on il trascorrere dei secoli, la razionalità greca subì altre trasformazioni. Poiché siamo interessati a quella forma di razionalità da cui infine nacque la scienza moderna, dobbiamo indirizzare la nostra attenzione sull’Europa. È qui che le scienze matematico-empiriche iniziarono la loro serie trionfale di successi. Senza alcun dubbio, fu la filosofia medievale a gettare un ponte tra questo processo di costruzione della scienza e la tradizione greca; perciò, in questo capitolo, cercheremo di comprendere il ruolo che essa ebbe nella genesi di quello che può essere chiamato “lo spirito scientifico della razionalità”. Contrariamente a quanto generalmente si crede, la filosofia nel Medioevo fu tutt’altro che monolitica e uniforme. Certamente, gli elementi religiosi svolsero un ruolo importante, ma si ebbero influenze da vari ambiti: cristiano, ebraico e islamico. Talvolta si registrarono chiusure dogmatiche, talvolta si aprirono nuovi panorami. Molte furono le scuole e le correnti dominanti in vari periodi e luoghi. Molte furono le grandi personalità e i pensatori indipendenti che non sempre si rivelarono succubi di autorità superiori. Intorno al 1250, la filosofia medievale conobbe una svolta. Prima di allora, era rimasta sotto l’influenza del pensiero platonico, o piuttosto neoplatonico. Dopo quella data, finalmente in Europa si conobbero i lavori di Aristotele, recuperati dagli Arabi, e si mise in moto la poderosa sintesi della teologia cristiana con la scienza aristotelica. Questa svolta ebbe tutte le caratteristiche di una grande rivoluzione intellettuale, una delle più profonde e ricche di conseguenze nella storia del pensiero umano1 e portò alla formazione dell’Alta Scolastica, che fiorì fino
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CAPITOLO 8 circa al 1350: la sua influenza si fece sentire in qualche misura sui pensatori cattolici anche nei secoli successivi. Ciò non significa che si deve sottostimare l’importanza del precedente periodo platonico, o neoplatonico. È vero che gli studi scientifici, o anche quelli teologici, non ebbero un particolare impulso in quel periodo, ma non si deve dimenticare che ad esso siamo debitori del fatto che l’eredità greca non sia andata perduta per sempre in quei “secoli bui” che separano l’antichità dal Medioevo. Grazie agli sforzi di molti uomini di cultura rimasti anonimi, ciò che della sapienza degli antichi non finì distrutto e cancellato negli anni tumultuosi delle invasioni barbariche sopravvisse nelle scuole dei monasteri e delle cattedrali, conservato per tempi migliori. Benché gli autori di quel periodo non elaborarono alcuna dottrina originale sul rapporto tra teologia e “scienza laica”, venne tuttavia salvaguardato l’insegnamento dei Padri della Chiesa sull’utilità della scienza per la teologia e sul fondamentale accordo tra di esse. Uno studioso di quel periodo che contribuì grandemente allo sviluppo del metodo della Scolastica fu Pietro Abelardo (1079-1142). Egli pensava che si dovesse attribuire universalità ai nomi e non alle cose e che ogni cosa che esiste è singolare (in questo senso può essere considerato un precursore del Nominalismo). Nella sua opera Sic et non2 egli affermava che le controversie spesso possono essere risolte semplicemente dimostrando che i disputanti attribuiscono significati diversi alle medesime parole. Questa idea, codificata sotto forma di regole precise, divenne uno dei capisaldi della Scolastica.
2. L’Alta Scolastica Sant’Anselmo di Canterbury (1033-1109) viene dai più considerato il padre della Scolastica medievale. Impostazioni e metodi analoghi vennero sviluppati successivamente a Parigi e a Chartres e ben presto Parigi e Oxford divennero i centri riconosciuti del nuovo insegnamento. A partire dalla fine del XII secolo, queste scuole erano organizzate sotto forma di associazioni di studenti e docenti. Fu in questo modo che “la scienza trovò la propria sede istituzionale nelle Università”3. Le prime Università furono fondate a Parigi, Oxford, Bologna e Padova. Nel contempo, si stavano riscoprendo gli scritti di Aristotele grazie all’intermediazione culturale di filosofi arabi ed ebrei. Il modo tradizionale di pensare venne confrontato con tali forti idee, che rappresentavano una novità, e da questo incontro prese nuovo vigore la Scolastica medievale. Roberto Grossatesta (1169-1253) fu pioniere nell’introduzione dell’aristotelismo a Oxford, pur essendo ancora fortemente influenzato dal neoplatonismo di Sant’Agostino, in particolare dalla sua dottrina dell’illuminazione. Le sue vedute
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IL CONTRIBUTO DEL MEDIOEVO su tale questione sono dette “metafisica della luce”. Egli riteneva che la luce fosse una forma primordiale di materia e, poiché la propagazione della luce è governata da proporzioni matematiche, sosteneva che la matematica avrebbe dovuto giocare un ruolo chiave nelle scienze naturali. Idee simili, con una più forte enfasi sulla sperimentazione, vennero sostenute dal frate francescano Ruggero Bacone (12141292). Tuttavia, questa non era la visione destinata a diventare dominante nel XIII secolo. Alberto Magno (circa 1200-1280) fu tra i primi a comprendere che la scienza aristotelica e araba sarebbe potuta servire alla teologia cristiana. Egli era interessato a quasi tutto ciò che poteva essere appreso grazie al “potere naturale della mente”. Assiduo studioso della natura, diede molti contributi all’eredità aristotelica dell’approccio sperimentale nello studio del mondo naturale, specialmente nel campo della biologia. Ancora più importante sembra essere la sua influenza sul metodo della ricerca filosofica e teologica, benché in questo campo egli venga considerato solo un precursore di San Tommaso d’Aquino. Di San Tommaso (circa 1225-1274), frate domenicano, si dice che abbia “cristianizzato Aristotele”. Lo fece in maniera così perfetta che alla fine si può addirittura parlare di una “aristotelizzazione della Cristianità”4. Pietra angolare della sintesi tomistica era la distinzione tra la filosofia, come conoscenza di tutto ciò che può essere inteso dal “potere del ragionamento naturale”, e la teologia, che è la conoscenza ottenuta “alla luce della Rivelazione”. Tommaso basava la sua metafisica sulla distinzione aristotelica tra potenza e atto, ma l’arricchiva introducendo la distinzione tra l’essenza e l’esistenza dell’essere. In seguito, egli applicò i suoi principi all’intero corpo della ricerca filosofica e teologica del tempo. La distinzione tra filosofia e teologia venne in un certo senso rafforzata dal problema delle relazioni mutue tra fede e ragione. I pensatori latini, partendo da Sant’Agostino, spesso assegnavano il primato alla ragione, affermando che, in caso di conflitto, le “fonti religiose” avrebbero dovuto essere interpretate in un modo più adeguato. Un problema simile era sorto fra i pensatori arabi. Il più influente di essi fu Averroé (1126-1198), che considerava Aristotele come “il fulcro di tutta la comprensione razionale, la guida infallibile alla conoscenza del mondo della natura”5: proprio per questo, venne accusato di razionalismo dalle autorità islamiche. Si comprese subito che l’insegnamento di Averroé poteva essere in conflitto anche con il dogma cristiano e, in verità, gli “averroisti latini” (come Sigieri da Brabante e Boezio di Svezia) iniziarono a propagare tesi che si contrapponevano alla Cristianità. Essi non abbandonarono mai la loro fede religiosa, ma sposarono piuttosto una sorta di teoria della “doppia verità”. Una reazione era inevitabile. Seguirono diverse condanne, delle quali la più famosa, e quella che ebbe l’impatto più significativo, fu opera, nel 1227, di Étienne Tempier (Stefano di Orleans), vescovo di Parigi. Egli condannò 219 proposizioni
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CAPITOLO 8 attribuite alla scuola aristotelica, tra le quali molte che erano state fatte proprie da Tommaso d’Aquino. Uno degli obiettivi principali di questa censura era quello di salvaguardare il concetto dell’onnipotenza di Dio. Per esempio, fra le proposizioni condannate c’erano quelle che stabilivano che il mondo è eterno, che Dio non può creare più di un mondo e che non può muovere il mondo lungo una linea retta. “Tutto ciò portava ad ammettere che Dio avrebbe anche potuto agire in modo contrario all’opinione scientifica prevalente riguardo alla struttura e ai fenomeni che avvengono nel Cosmo. In breve, Dio poteva produrre azioni che risultavano essere naturalmente impossibili nella visione aristotelica del mondo”6. L’impatto di questa condanna fu certamente pesante, anche se sembra esagerato ritenere come Pierre Duhem, fisico e filosofo francese del XIX secolo, che essa segni la nascita della scienza moderna. Duhem ha scritto che la condanna aprì la strada a nuove speculazioni sul mondo, indebolendo la posizione della fisica aristotelica e che stimolò la creatività degli scienziati. Senza dubbio, però, si può ammettere che la condanna ebbe ripercussioni in campo teologico e che indirettamente innescò la catena di eventi che si conclusero con la nascita della scienza moderna. Secondo una tesi “tomistica ortodossa”, l’onnipotenza di Dio è limitata da molti vincoli, logici e metafisici. Dio non può creare cose che sono in sé auto-contraddittorie, ed è limitato dalla natura delle cose. Per esempio, Dio può creare un cavallo, o può non crearlo, ma se decide di crearlo deve semplicemente implementare l’idea astratta di cavallo, ossia la sua “natura”. E se le nature di tutti gli esseri sono “prestabilite” in questo modo, allora la struttura del mondo può essere colta, in linea di principio, dal puro pensiero con la sola assistenza ausiliaria dell’esperienza (comune). D’altro canto, se la potenza di Dio è assoluta, il solo modo che abbiamo per scoprire la struttura del mondo è di investigare la natura a tutto campo, attraverso l’osservazione e la sperimentazione. A partire dal XIII secolo, si può rilevare una svolta decisiva nel pensiero teologico dalla prima posizione verso quest’ultima, e tale svolta certamente facilitò il sorgere delle scienze sperimentali. Questo orientamento appariva già abbastanza chiaro al passaggio dal XIII al XIV secolo nei movimenti scotistico e occamistico. Benché motivate da interessi teologici, entrambe queste correnti rappresentarono una reazione scettica in filosofia. Giovanni Duns Scoto (1266-1308), frate francescano, sosteneva che l’essenza di Dio è la sua infinità, enfatizzando la supremazia della sua volontà su tutte le altre sue proprietà e, di conseguenza, la sua assoluta libertà e potenza. Guglielmo di Ockham (1280-1349), anch’egli frate francescano, pensava che Dio è in grado di fare qualunque cosa, purché ciò non implichi una contraddizione logica. “L’effetto di questo insegnamento fu di ammettere l’idea che, in natura, è possibile tutto quanto non si auto-contraddice; in questo modo, nell’agire della natura non v’è alcuna necessità a priori da rispettare e qualunque situazione deve essere accertata attraverso la sola esperienza”7. Il suo “principio di economia”, conosciuto oggi
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IL CONTRIBUTO DEL MEDIOEVO come “rasoio di Ockham” (“gli elementi non devono essere moltiplicati più del necessario”), lo condusse al Nominalismo e alla negazione dell’esistenza degli “universali”; ai concetti generali corrispondono semplicemente i nomi (nomina). Ciò ha immediate implicazioni per quanto riguarda il modo in cui conosciamo il mondo. Nell’approccio aristotelico tutte le categorie astratte del pensiero dovevano avere una controparte reale e perciò la classificazione delle scienze doveva riflettere la reale “stratificazione” del mondo. In contrapposizione a questa dottrina, Ockham sosteneva che le sole cose realmente esistenti sono gli individui e le loro proprietà. La filosofia di Ockham si diffuse nel XIV secolo e fu detta via moderna. Essa incorporava la visione di un Universo radicalmente contingente nel suo essere, in cui l’effetto di ogni causa secondaria poteva essere evitato e immediatamente rimpiazzato dalla diretta causalità di Dio. La teoria della conoscenza sulla quale si basava era empirica e i problemi che essa affrontava erano principalmente quelli della filosofia del linguaggio.8 3. Il metodo La Scolastica non è un sistema filosofico, ma piuttosto un metodo del fare filosofia e dell’apprendimento. Questo metodo è stato spesso dileggiato, ma ingiustamente, come sterile e puramente verbale. Anche se le sue incarnazioni successive furono meno produttive, la versione originale rappresentò un deciso passo avanti nella direzione del pensiero critico. Dobbiamo ricordare che la cultura medievale (inclusa la scienza, la filosofia e la teologia) emerse faticosamente dalle ceneri del mondo greco e romano raso al suolo dalle guerre e dalle invasioni di tribù barbariche. I pensatori medievali partirono praticamente da zero e nutrivano un profondo rispetto per gli scrittori antichi. Questo è il motivo per il quale la cultura medievale ebbe “un carattere principalmente libresco e clericale”9: “Ogni scrittore, se appena lo può, si basa su uno scrittore precedente, ossia cita un autore, meglio se latino. […] Nella nostra società la gran parte delle conoscenze dipende, in ultima analisi, dall’osservazione. Nel Medioevo dipendeva in larga misura dai libri”10. La letteratura ci offre spesso la figura dell’eroe medievale come un girovago sognatore, ma “la sua principale caratteristica […] era di essere un organizzatore, un codificatore, un costruttore di sistemi. Egli voleva un posto per ogni cosa e ogni cosa al posto giusto. Distinzione, definizione, tabulazione: questi erano i suoi diletti”11. Egli formalizzava la guerra attraverso l’arte della cavalleria, le passioni attraverso il codice d’amore e l’apprendimento attraverso le rigide regole del condurre dispute e dell’analisi dei testi.
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CAPITOLO 8 L’erudito medievale conferiva ampia credibilità agli antichi testi. Aveva ereditato un insieme “non-coerente” di libri: giudaici, pagani, patristici e filosofici, di vario tipo e provenienza. Tra di essi c’erano cronache, poemi, opere di fantasia, trattati filosofici e così via, alcuni solo in frammenti, talvolta sotto forma di citazioni di altri autori. Inevitabilmente, si riscontravano discrepanze e contraddizioni tra di essi. “Se, in queste condizioni, v’è la propensione a credere ciecamente a qualunque cosa sia riportata in un libro, allora è ovvio che si senta un bisogno urgente e, al contempo, che si offra una splendida opportunità di riorganizzare e risistemare il tutto”12. Quest’ultima frase potrebbe essere assunta per descrivere adeguatamente quello che fu il metodo della Scolastica. Oggetto del metodo scolastico era la risoluzione di una contraddizione, oppure la risposta a una domanda. Il primo passo consisteva nel riconoscere lo stato della domanda (status quaestionis), ossia di formulare una tesi, fissare i punti di disaccordo e ricercare le fonti adeguate, selezionando qualche libro di un rinomato auctor e ogni altro utile documento (come un testo biblico, i decreti di qualche concilio ecumenico, o le lettere papali). Un testo ampiamente consultato era il Libri quatuor sententiarum di Pietro Lombardo, filosofo del XII secolo. Si trattava di una compilazione sistematica della teologia scolastica. Tenere lezioni su quel testo era la condizione per diventare magister in un’Università. Una volta chiarito il punto di disaccordo, si passava alla discussione, che generalmente prendeva la forma di una disputa tra contendenti reali o immaginari. Vi erano regole stringenti nella conduzione del dibattito. Per esempio, prima di rispondere a un’obiezione sollevata dall’oppositore, si doveva ripetere quell’argomento in modo da dimostrare che l’obiezione era stata compresa correttamente. La catena di obiezioni e risposte costituiva il nucleo della disputa. Tracce evidenti di questa strategia sono presenti negli scritti di questo periodo (per esempio, nella Summa Theologiae di San Tommaso d’Aquino). Gli strumenti usati nelle dispute erano l’analisi linguistica e logica. Venivano esaminati e ordinati i significati delle parole e venivano applicate le regole della logica formale per scovare possibili errori nel ragionamento. Non fa meraviglia che la semantica e la logica fiorirono nelle scuole medievali. Queste due discipline erano combinate in una sorta di “conoscenza pratica”, spesso chiamata dialettica, per distinguerla da un approccio più mistico alla teologia. Il periodo iniziale della Scolastica, in effetti, fu contrassegnato da discussioni animate tra i sostenitori di questi due orientamenti e l’Alta Scolastica nacque su questa controversia. Sotto questo profilo, la Scolastica può essere considerata come una reazione di stampo razionalista nei confronti del misticismo che diffidava della ragione come il modo corretto per fare teologia.
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IL CONTRIBUTO DEL MEDIOEVO 4. La trasmissione e la trasformazione della razionalità Nel capitolo 7 abbiamo visto che i Padri della Chiesa e i primi autori cristiani avevano preservato la cultura greca e il concetto greco di razionalità; ma fu il Medio Evo che li trasmise a noi. E non si trattò di pura trasmissione passiva: furono invece accompagnati da una sostanziale trasformazione. In particolare, il concetto greco di razionalità dovette passare attraverso tutte le astrazioni della metafisica medievale e i meandri del metodo scolastico prima di emergere come la razionalità che costituisce il fondamento della scienza moderna. Il metodo della Scolastica di non usare mai termini imprecisi o ambigui costrinse gli autori medievali a partire da precise definizioni. Tuttavia, neppure la definizione più rigorosa garantisce la correttezza delle conclusioni se il significato fissato in una definizione non viene conservato nel corso dell’intero processo del ragionare. Il metodo di fare distinzioni e sub-distinzioni dei significati era di grande aiuto nel conseguire l’obiettivo di escludere le contraddizioni e di proteggere la correttezza del sillogismo. L’evoluzione dei concetti è un elemento chiave nel progresso di ogni scienza. I concetti vivono nelle definizioni e nelle avventure di risoluzione dei problemi: in questi campi i pensatori medievali fecero un buon servizio. La fisica moderna nascerà non appena le definizioni scolastiche (tendenti a fissare l’essenza delle cose) si trasformarono in definizioni contenenti anche un metodo di misura della corrispondente proprietà (le cosiddette definizioni operative). Quest’ultimo passaggio non avrebbe potuto essere compiuto senza tutti i passaggi preparatori precedenti. Ma non solo questo. Non esiste scienza senza un certo grado di astrazione e la Scolastica medievale fu certamente un ottimo esercizio per i filosofi e i teologi nell’effettuazione di vari tipi di astrazioni. Vero è che il metodo di astrazione è da sempre associato con il fare filosofia, ma sotto questo aspetto la filosofia medievale ha un che di particolare. L’astrazione divenne un’arte, soggetta alle regole rigorose delle procedure e degli schemi logici della Scolastica. Quando schemi e procedure cominceranno ad assumere una forma matematica saremo già all’interno del metodo della scienza moderna. Naturalmente, questa trasformazione non poté essere istantanea: il processo di maturazione gettò un ponte tra il Medioevo e la Modernità. Quando pensiamo al contributo medievale al concetto moderno di razionalità, non dobbiamo trascurare un elemento importante: l’idea di Dio come garante supremo della razionalità del mondo e della nostra stessa razionalità. Nel paragrafo 1.3, quando abbiamo parlato dell’erosione delle religioni mitiche sotto l’impatto del neonato pensiero filosofico, abbiamo ricordato che in alcuni sistemi filosofici appariva un dio, o una divinità, che non era oggetto di culto,
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CAPITOLO 8 ma che rappresentava piuttosto una sorta di “chiusura” di un dato sistema (per esempio, il Motore Immobile di Aristotele). Tale divinità, rappresentando il completamento delle premesse costitutive del sistema, non poteva garantire la razionalità del sistema stesso. La metafisica e la teologia medievali cambiarono radicalmente questa situazione. Il dio indispensabile come “chiusura” del sistema metafisico era anche il Dio cristiano, da adorare e amare13. Mai prima di allora la razionalità aveva potuto contare su di un così solido fondamento. Non fu solo il metodo della Scolastica che contribuì alla formazione del metodo scientifico: anche il contenuto di molte dispute medievali rappresentò un anello della catena di eventi che portarono alla scienza moderna14. Un buon esempio è il concetto di “leggi di natura”, che evolse a partire dalle dispute scolastiche sull’onnipotenza di Dio. Abbiamo visto nel paragrafo 2 come, col passare del tempo, la propensione ad assegnare a Dio un potere che era limitato da alcuni vincoli metafisici, ossia dalla natura delle cose, mutò a favore dell’idea della sua potenza illimitata o assoluta, dipendente solo dalla sua volontà. Chiaramente, i vincoli di Dio si riflettono in vincoli sul comportamento della natura. Se sono immutabili le nature delle cose, che anche Dio deve rispettare, basta affidarsi alla pura speculazione teorica per capire come funziona il mondo. Se però tali vincoli non ci sono, il solo modo di scoprire il funzionamento del mondo è attraverso l’osservazione e l’esperimento. Il mondo dei pensatori medievali, per questa assenza di necessità, era un mondo contingente. Naturalmente, neppure il mondo contingente può comportarsi in un modo irregolare e imprevedibile. Già i Padri della Chiesa avevano introdotto la distinzione tra il potere assoluto di Dio (potestas absoluta) e il suo potere ordinato (potestas ordinata). “La prima considera la potenza di Dio riconoscendole una totale assenza di limiti, senza cioè imprigionarla dentro una legge o un ordine, eccezione fatta per il principio di non contraddizione; la seconda considera la potenza di Dio nella misura in cui essa è realizzata o è realizzabile in un ordinamento delle cose”15. I pensatori medievali svilupparono questa distinzione e la fecero oggetto di dispute animatissime. Le regolarità nel comportamento del mondo non sono altro che un modello del potere ordinato di Dio e, scoprendole, possiamo apprendere qualcosa riguardo a Dio stesso e alla sua opera. Studiare queste regolarità divenne compito della Teologia Naturale, che fiorì in Inghilterra al tempo di Newton. Lo stesso termine di “leggi di natura” ebbe “origini nella Scolastica e forse anche precedenti”16. Nella scienza moderna dei primi anni, lo si collegava con l’idea di “universalità e necessità” che si trovano in natura. Negli scritti di Leibniz la distinzione tra il potere assoluto e ordinato di Dio divenne la distinzione tra la necessità logica e la necessità fisica, così importante nel pensiero moderno sul mondo.
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PARTE III LA SCOPERTA DEL METODO
Quando osserviamo il mondo, una delle prime domande che ci poniamo riguarda il moto: perché i corpi si muovono? Si muovono per davvero? Il moto è la successione di tante situazioni di istantanea quiete. È mai possibile che, mettendo in fila una successione di zeri, alla fine si possa ottenere qualcosa che sia diverso da zero? E così via. Questi interrogativi, che erano già stati sollevati dai Greci, hanno dato origine alla cinematica, la scienza del moto. Zenone di Elea (V secolo a.C.) con le sue antinomie del moto (può una freccia raggiungere il bersaglio? Può Achille superare una tartaruga? E altre ancora) si spinse ancora più in là. In questa serie di domande possiamo identificare i germi di problemi molto seri: quello della continuità e della divisibilità all’infinito, della natura delle successioni infinite, del limite e della velocità istantanea. Per risolvere i paradossi di Zenone sono occorsi venticinque secoli e la nascita di nuove branche della matematica (la teoria degli insiemi, la topologia e il calcolo differenziale). Ma sono stati tutti risolti? La matematica è una scienza puramente formale e come tale non si riferisce alla realtà; però il moto è parte del mondo reale e, di conseguenza, i problemi del moto non possono essere risolti attraverso la sola matematica. Tuttavia, la matematica viene utilizzata per costruire i modelli del mondo e, quando è così, si trasforma in fisica. Il primo passo consiste nell’immaginare una struttura matematica adeguata che dobbiamo poi saper interpretare come rappresentativa della forma di un certo aspetto del mondo. La storia della scienza ci insegna che il più delle volte le nostre ipotesi e le nostre interpretazioni si rivelano corrette e,
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PARTE III quando ciò succede, il modello matematico che abbiamo elaborato di un certo fenomeno fisico ci ricompensa con previsioni empiriche. Se queste si accordano con i risultati sperimentali, possiamo dire con fiducia che il nostro modello lavora bene. In questo senso, il calcolo differenziale, insieme con altre discipline matematiche e con le appropriate interpretazioni fisiche, risolve il problema della cinematica. Di questo parliamo nel capitolo 9. Di seguito, si presenta il problema della dinamica, ossia la questione del moto di un corpo sotto l’azione delle forze. Ora si devono formulare le leggi della dinamica (che sono anche dette leggi del moto). Le prime leggi di questo tipo vennero proposte da Aristotele: la lettura attenta dei suoi testi ci aiuta a ricostruire il contenuto delle sue due leggi della dinamica. La prima stabilisce che un corpo sul quale non agiscono forze rimane in uno stato di quiete assoluta, mentre la seconda afferma che per muovere un corpo è necessaria una forza. La prima legge, proprio come nella meccanica newtoniana, stabilisce per così dire lo “standard del moto” (in questo caso, lo stato di quiete assoluta); la seconda identifica l’azione di una forza come causa della deviazione da quello standard. Le leggi di Aristotele sono state ricostruite in stretta analogia con le leggi di Newton, anche attribuendo ad Aristotele alcuni concetti newtoniani, ma, in realtà, è lunga e complessa l’evoluzione dei concetti che portano da quelli di Aristotele a quelli di Newton. Questa è la ragione principale per cui la ricostruzione che abbiamo fatto della dinamica di Aristotele è solo una rappresentazione schematizzata delle sue idee, in realtà piuttosto confuse. Di ciò parliamo nel capitolo 10. Per seguire l’evoluzione dei concetti che alla fine portarono alla formulazione corretta delle leggi del moto occorrerebbero diversi e ponderosi volumi. Perciò abbiamo scelto di riportare, nel capitolo 11, solo uno degli ultimi episodi di questa lunga catena di eventi. Ciò che iniziò con la freccia in volo di Zenone si concluse con l’analisi del moto delle palle di cannone. Nel XVI secolo, Nicolò Tartaglia studiò questo moto. Poiché la fisica aristotelica proibiva la combinazione di moti naturali con quelli che erano detti “moti violenti”, la teoria accettata era che una palla di cannone si muove dapprima lungo una linea retta e che solo quando il suo impeto è esaurito cade direttamente verso il basso in direzione del centro della Terra. Dopo molti dubbi, Tartaglia giunse alla conclusione che la traiettoria di un proiettile risulta essere curva lungo tutto il suo sviluppo. Veniva così rigettata la dottrina aristotelica, benché rimanesse ancora sconosciuta la forma geometrica precisa della traiettoria. Il problema della forma della traiettoria può essere eluso considerando
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LA SCOPERTA DEL METODO il moto dei corpi in caduta libera, ma l’insegnamento di Aristotele anche qui incontrava più di un ostacolo. Secondo Aristotele, la velocità di un corpo in caduta libera dipende dal suo peso. Questo problema venne considerato da Giambattista Benedetti, discepolo del Tartaglia. Benché all’inizio dei suoi lavori Benedetti dichiarasse che egli avrebbe distrutto la teoria di Aristotele, l’errore dello stagirita aveva gettato radici così profonde che egli non riuscì a estirparlo. Benedetti sosteneva che solo corpi “della medesima natura” cadono con la stessa velocità, indipendentemente dal loro peso. Per la risposta corretta si dovrà attendere l’entrata in scena di Galileo Galilei, che di Benedetti fu discepolo. Fu Galileo a sviluppare un’adeguata teoria del moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza costante, ossia la teoria del moto uniforme e del moto uniformemente accelerato. Anche se Galileo non utilizzò mai la dizione “principio d’inerzia”, il fatto che egli abbia applicato l’idea alla sua teoria del moto uniforme lo rende l’effettivo scopritore di tale principio. Anche la teoria della caduta libera è della massima importanza, poiché offre il “caso clinico” di un moto uniformemente accelerato che può essere isolato dal “resto dell’Universo” e studiato in modo indipendente. Questi due casi speciali sono i capisaldi della meccanica galileiana. Isaac Newton, come egli stesso ebbe a riconoscere, fu in grado di vedere più lontano di altri poiché stava sulle spalle di giganti. I giganti, come Copernico, Keplero e Galileo, avevano compiuto un lavoro preziosissimo, ma fu Newton non solo a gettare le fondamenta, ma anche a costruire l’intero edificio della meccanica. Nel capitolo 12 ci soffermiamo sui Principia di Newton, non per compiere il lavoro di uno storico della scienza, ma piuttosto per cogliere gli aspetti principali del nuovo metodo matematicoempirico che da quel momento in poi sarà il solo ammissibile in fisica. Lo faremo focalizzando l’attenzione sulle leggi del moto di Newton. Il problema era finalmente maturato fino al punto di essere risolto: i concetti riferibili al moto erano stati definiti con chiarezza e la struttura matematica per costruire il modello del moto (il calcolo differenziale e integrale) era ormai pronta per fare il suo lavoro. I risultati ottenuti attraverso il nuovo metodo si moltiplicarono in breve tempo e ben presto produssero una nuova visione del mondo. Questa durerà e sarà vincolante nei secoli successivi, ma il risultato permanente e fondamentale della storia che raccontiamo è il metodo stesso. Esso ha creato un nuovo modo di comprendere il mondo, molto probabilmente l’unico autentico e possibile. Alla fine della Parte I del libro abbiamo proposto l’ipotesi che il mondo è razionale, nel senso che gli attribuiamo una proprietà in virtù della quale
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PARTE III esso può essere investigato razionalmente. Ci sono diversi metodi attraverso i quali potremmo cercare di comprendere il mondo, ma solo quando gli scienziati incominciarono a esercitare il metodo matematico-empirico i progressi raggiunti si fecero così rapidi che non c’è paragone con ogni altro campo dell’attività umana. Ciò ci mette nelle condizioni di formulare la nostra ipotesi in maniera più precisa: noi attribuiamo al mondo la proprietà in virtù della quale possiamo investigarlo con il metodo matematicoempirico. In questo senso, spesso si dice che il mondo è matematico. Nel capitolo 13 ragioniamo sul fatto che la domanda perché il mondo è matematico non è per niente banale. È forse la domanda filosofica più fondamentale sollevata dall’esistenza stessa della scienza moderna. Infine, nel capitolo 14 considereremo come il metodo matematico operi nella scienza moderna. I miracoli della matematica non si sono esauriti nella formulazione della relatività generale, della fisica quantistica e della teoria del caos. Il suo potere si fa sentire ancora e ci sta guidando all’obiettivo finale, che è l’unificazione completa della fisica fino alla comprensione finale del mondo. Sorge a questo punto una domanda inevitabile: il metodo matematico di investigazione del mondo ha qualche limite? Possiamo sospettare che se un limite esiste sarà il metodo matematico stesso a scoprirlo. E questo, in verità, sembra che sia il caso.
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Capitolo 9
ACHILLE E LA FRECCIA
1. La dialettica del moto li occhi concentrati sul bersaglio. L’attenzione che cresce al massimo. La decisione. Ora! La freccia fende l’aria e si allontana come un puntino sempre più piccolo che vola verso l’obiettivo. Questo bel gesto sportivo dell’arciere che mira il bersaglio (lasciamo perdere l’arte meno nobile dell’uccidere) divenne materia di analisi all’epoca in cui nacque la riflessione filosofica in Europa.
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Se sempre ogni cosa è in quiete quando occupa uno spazio uguale alle sue dimensioni, e se l’oggetto che è in moto istante per istante occupa sempre tale spazio, allora dobbiamo concludere che la freccia in volo è in quiete. Questo brano fu scritto da Aristotele1 e si riferisce a una delle famose antinomie escogitate da Zenone di Elea (495-430 a.C.) per dimostrare l’impossibilità del moto. L’impalcatura storica del problema è la seguente. Il fenomeno del moto, la transizione da un posto a un altro o, più in generale, qualunque tipo di cambiamento, è così onnipresente che lo si avverte ovunque, oppure non lo si rileva affatto. La prima possibilità fu accolta da Eraclito di Efeso (VI-V sec. a.C.), del quale ci sono pervenuti solo pochi frammenti delle opere. Ciascuno di noi ricorda il detto a lui attribuito: “Tutto scorre” o “Non si può essere bagnati due volte dalla stessa acqua di un fiume”. Aggiungiamone uno forse meno conosciuto: “Abbiamo paura della morte, ma di fatto siamo morti
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CAPITOLO 9 molte volte”. Eraclito voleva dirci che il processo del moto, o di qualunque cambiamento, contiene in sé un certo grado di contraddittorietà: un oggetto si trova in un dato stato e, allo stesso tempo, abbandona quello stato. Qualcosa come morire e nascere simultaneamente. Una prospettiva radicalmente diversa fu adottata da Parmenide di Elea (V sec. a.C.). Alcuni filosofi ritengono che egli fu il più grande innovatore nel campo della filosofia, avendo introdotto per primo il concetto di essere, che è il concetto più generale che si possa immaginare. Ciascuna cosa che esiste (in ogni senso della parola) è l’essere. La scoperta di Parmenide è racchiusa nella sua massima: “L’essere esiste e il non-essere non esiste”. Lungi da noi l’intenzione di entrare in dispute metafisiche, ma senza dubbio la sua dialettica introdusse tutta una serie di incomprensioni nella tematica del moto. Se Parmenide ebbe comunque un effetto positivo sul problema, questo fu di incoraggiare i pensatori successivi a controbattere i suoi vari argomenti contro la possibilità del cambiamento. Il punto da cui Parmenide partiva aveva il carattere di una trappola verbale: il solo cambiamento a cui l’essere può andare soggetto è il passaggio dall’essere al non-essere; però il non-essere non esiste; quindi l’essere non può cambiare. Zenone di Elea, discepolo di Parmenide, andò oltre questo gioco puramente verbale, fino a identificare il nocciolo delle problematiche reali presenti in questa dialettica. Le sue famose antinomie del moto (la citata antinomia della freccia in volo è una di queste) erano intese come proposizioni matematiche tendenti a mostrare il carattere contraddittorio del moto. Tali proprietà contraddittorie non solo hanno affascinato i pensatori dell’antichità, ma furono anche i primi anelli di una lunga catena che portò a notevoli sviluppi. Due altre antinomie sono quelle note come “bisezione” e “Achille e la tartaruga”. La prima asserisce che il moto è impossibile perché “ciò che è in moto deve arrivare a metà strada prima che arrivi alla fine”. E prima ancora a metà strada della metà strada, e così via, all’infinito. La seconda antinomia è una versione più spettacolare della prima: Achille non potrà mai raggiungere e superare la tartaruga “poiché l’inseguitore deve dapprima raggiungere il punto da cui è partita la tartaruga, di modo che quest’ultima si troverà sempre un poco più avanti”2. Diversamente dallo sterile ragionamento di Parmenide, i paradossi formulati da Zenone colgono i problemi reali. Da una prospettiva moderna, possiamo identificare i seguenti: il problema della continuità e della divisibilità all’infinito, la natura delle successioni infinite, il problema della velocità istantanea e, di conseguenza, dei limiti delle serie infinite o delle funzioni. Furono necessari venticinque secoli per formulare in modo corretto queste problematiche e, per risolverle, si resero indispensabili nuovi capitoli della matematica, come il calcolo differenziale, la teoria degli insiemi e la topologia. L’evoluzione dei concetti nella scienza è un processo laborioso.
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ACHILLE E LA FRECCIA 2. Achille e la tartaruga venticinque secoli dopo Si dice che la storia degli eventi passati cambia a seconda dell’epoca in cui la si rilegge, alla luce delle acquisizioni del momento. Ciò è tanto più vero per la storia della scienza che per le altre storie. Il problema decisivo del moto nacque con i paradossi di Zenone, ma per cogliere in modo corretto i contenuti del punto di partenza dobbiamo guardare ad esso dal nostro punto di vista moderno. Anche una matricola di fisica sa bene che non esiste un solo problema di dinamica che possa essere affrontato se non si ha un’adeguata padronanza del calcolo differenziale. Viene così il sospetto che tutti i dubbi di Zenone riguardo al moto fossero dovuti al fatto che egli non poteva disporre di questo potente strumento matematico. Questa è l’opinione di molti fisici e matematici. Per esempio, secondo Carl Boyer, il concetto di derivata risolve tutti i paradossi e solo la fragilità della nostra immaginazione è responsabile delle difficoltà nell’accogliere l’idea di continuità e di limite3. Dobbiamo dunque considerare che il problema sia risolto? No sicuramente. C’è infatti una nutrita schiera di autori importanti (Pierce, James, Russell, Whitehead, Bergson, Whitrow, ecc.) che ancora recentemente ammette qualche difficoltà nell’affrontare i paradossi di Zenone. G.J. Whitrow (1912-2000) pensava che il calcolo differenziale da solo non è in grado di risolvere i paradossi, perché almeno in alcuni di essi è presente anche il problema del tempo, che va al di là del dominio della matematica pura. La sua opinione era che le antinomie logiche compaiono ogni qualvolta si colleghi il concetto matematico di continuità con l’idea di transitorietà, che è un’idea nonmatematica4. Henri Bergson (1859-1941) ebbe a dire che ogni interpretazione della sua filosofia che non ponesse al centro l’idea della transitorietà avrebbe condotto inevitabilmente a malintesi. Egli sosteneva che le scienze empiriche non sono in grado di cogliere l’essenza della realtà, e precisamente l’idea del “fluire” e della continuità. Secondo Bergson, la fisica elimina dall’immagine del mondo il vero moto e il vero aspetto della temporalità, rimpiazzando “ciò che fluisce” con “ciò che è spaziale”. Egli chiamava questo fatto strategia della “spazializzazione”, o della “geometrizzazione”, e sosteneva che ciò rappresenta una falsificazione della realtà. Adottando un tale approccio, Bergson risolse le antinomie di Zenone5. Più precisamente, dal suo punto di vista non c’era nulla da risolvere, poiché il problema fu mal posto sin dall’inizio. L’errore di Zenone consistette nel tentativo di analizzare concettualmente ciò che può essere colto solo dall’intuizione. Qui è all’opera la strategia di spazializzazione, in cui la distanza coperta rimpiazza il moto e in questa operazione viene persa l’idea di transitorietà. Se eliminiamo la nostra intuizione, la freccia non raggiungerà mai il bersaglio e Achille non sorpasserà mai la tartaruga.
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CAPITOLO 9 Nell’impostazione di Bergson possiamo scorgere un’eco della visione aristotelica secondo la quale la matematica non può adeguatamente misurarsi con la varietà del mondo e con la ricchezza dell’esperienza umana.
3. Il miracolo del metodo La visione tipicamente rappresentata da Bergson fonda su un fraintendimento molto comune, che consiste nel credere che le teorie fisiche dovrebbero descrivere un certo frammento di realtà, nel senso che dovrebbero copiarla (il più fedelmente possibile) usando un determinato materiale linguistico. Di conseguenza, la fisica, benché si occupi piuttosto bene dell’“aspetto quantitativo del moto”, viene accusata dell’incapacità di ridurre in formule l’intuizione del fluire e della transitorietà. Il fatto è che obiettivo della fisica non è descrivere questo o quell’aspetto della realtà, ma piuttosto modellarlo. A un modello fisico non chiediamo che sia una “copia in scala ridotta” o una “traduzione in formule” dell’aspetto del mondo che vogliamo modellare. Nel metodo del costruire modelli, noi assumiamo che una certa struttura matematica rappresenti un certo aspetto del mondo. Proviamo a spiegare meglio il significato di questa frase. In primo luogo, si deve disporre di una struttura matematica, che spesso è un’equazione (o un sistema di equazioni), accompagnata da tutte le condizioni indispensabili per conferirle un corretto significato (come il dominio in cui l’equazione è definita, le condizioni iniziali necessarie per risolverla, ecc.). La storia ci insegna che ci sono modi diversi per giungere a definire tale struttura: grazie a un lampo di intuizione, o andando per ripetuti tentativi, oppure a seguito di una riflessione complessa e approfondita. In ogni caso, occorre che il tutto si fondi su una conoscenza approfondita di un dato problema, tanto teorica quanto sperimentale, generalmente costruita con gradualità sul lavoro dei predecessori. La struttura matematica, quando viene correttamente azzeccata o identificata in qualche altro modo, non viene più trattata come un elemento di matematica pura, ma viene semmai riferita al mondo come una sua parte o un aspetto della sua struttura. Questo è l’aspetto più ambiguo e sottile dell’intera procedura. In parole povere, attraverso una struttura possiamo cogliere la rete di relazioni (spesso fatta anche di relazioni tra relazioni) tra alcuni elementi la cui natura rimane estranea ad essa. Se tale struttura è codificata in simboli matematici, si dice che è una struttura matematica. E se la struttura matematica si riferisce al mondo, si assume tacitamente che la stessa rete di relazioni costituisca la struttura del mondo. Questo assunto è una sorta di ordinanza, in
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ACHILLE E LA FRECCIA base alla quale assegniamo al mondo, o a qualche suo aspetto, le stesse proprietà strutturali inerenti a una data struttura matematica. In questo senso, la spiegazione del mondo in fisica è sempre una spiegazione strutturalista. Le proprietà non-strutturaliste del mondo (come la natura degli elementi connessi dalle relazioni) non vengono prese in considerazione nel processo di costruzione del modello. Ogni struttura ha una sua interezza. Si parla di aspetti di una struttura piuttosto che delle sue parti. Nella costruzione di modelli è sempre presente una idealizzazione, la quale non consiste nell’assumere che una data struttura matematica rappresenta solo in modo approssimativo la struttura del mondo, ma piuttosto che essa rappresenta solo un aspetto della struttura del mondo mentre ignora gli altri. Tuttavia, in molti casi si ritiene che lo faccia con precisione. Lo si vede con chiarezza quando elaboriamo il modello di un aspetto del mondo che non è soggetto all’osservazione diretta attraverso i nostri sensi. Per esempio, non ha senso sostenere che la funzione d’onda di un elettrone descrive con buona approssimazione il suo stato quantistico, poiché tutto ciò che sappiamo attorno allo stato quantistico di un elettrone è solo per il tramite della struttura matematica del nostro modello, in questo caso la funzione d’onda, insieme con la teoria degli spazi di Hilbert, che è necessaria per definire in modo corretto la funzione d’onda. Finora non abbiamo detto nulla riguardo alla parte sperimentale del metodo fisico. Eppure, questo aspetto è vitale. Gli esperimenti compaiono ai due estremi del metodo. La prima volta, nella fase preliminare: è ben difficile immaginare di poter scegliere la struttura matematica corretta senza che prima ci sia stata un’indagine empirica. Decidere quale struttura matematica si debba adottare può anche essere una sorta di illuminazione: comunque, non può scaturire dal nulla, ma deve risultare da una profonda conoscenza, intendendo con questo anche una conoscenza degli aspetti empirici del problema. La seconda volta, l’indagine empirica compare nella fase finale, sotto forma di giustificazione conclusiva dell’intero processo. Se, manipolando una data struttura matematica (interpretata come un aspetto della struttura del mondo), siamo in grado di dedurre da essa alcune previsioni empiriche, e se queste previsioni risultano essere in accordo (entro gli errori di misura) con i risultati degli esperimenti, allora siamo autorizzati a ritenere che il nostro rappresenta davvero il modello di quell’aspetto del mondo. È un miracolo che questo metodo funzioni. E funziona molto bene! Nonostante il fatto che le verifiche empiriche compaiano alle due estremità del metodo, in realtà esse ne costituiscono il nucleo centrale: sono infatti l’unica giustificazione della nostra decisione di provare a gettare un ponte tra la matematica e il mondo, che altrimenti sarebbe puramente formale.
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CAPITOLO 9 4. Antinomie della transitorietà Torniamo alle antinomie di Zenone. Chi ha ragione? Coloro che, come Boyer, ritengono che il calcolo differenziale di fatto le abbia liquidate, o quanti, come Bergson, asseriscono che le scienze empiriche non saranno mai in grado di cogliere l’essenza del moto e del tempo nel loro fluire? Come sempre in queste situazioni, la risposta corretta sta nel mezzo. Il moto e il tempo sono senza dubbio aspetti della struttura del mondo e, come tali, si collocano al di fuori del dominio della matematica pura. Questo è il punto centrale per Bergson. D’altro canto, le antinomie di Zenone non possono essere risolte senza l’ausilio della matematica. Da questo punto di vista, Boyer ha ragione. Tuttavia, egli trascura il fatto che, oltre alla matematica, si deve anche utilizzare la procedura metodologica della costruzione di modelli. La precisione delle strutture matematiche, combinata con la loro funzione di rappresentazione di alcuni aspetti della struttura del mondo (nello specifico, il moto e il tempo), liquida le antinomie. Nella fisica moderna, il calcolo differenziale fornisce la struttura matematica adeguata per modellare il moto e il tempo. Il concetto chiave è quello di funzione reale di una variabile reale. Le variabili indipendenti di una tale funzione variano nel dominio dei numeri reali (sull’intero dominio o in qualche suo intervallo), e anche la funzione assume un valore in quello stesso dominio (si tratta della variabile dipendente). Se costruiamo un modello del moto, la variabile indipendente è rappresentata dal tempo (denotiamola con t) e la variabile dipendente (denotiamola con s) rappresenta la posizione occupata al tempo t. Abbiamo in tal modo una dipendenza funzionale della posizione s in funzione del tempo t, e la derivata della posizione rispetto al tempo (che indicheremo come ds/dt) rappresenta la velocità istantanea. In questo modello, gli istanti temporali sono dunque rappresentati da numeri reali. L’aspetto essenziale è che questi numeri fanno parte di una struttura matematica più ampia, precisamente il dominio reale R, e quindi tutti gli aspetti strutturali del dominio vengono ascritti al tempo. A causa di ciò, (quasi) tutti gli effetti riconducibili alle nostre esperienze temporali sono contemplati nel modello: la successione degli istanti, la continuità di questa sequenza, la divisibilità di ogni intervallo temporale in intervalli arbitrariamente piccoli, ecc. Il solo elemento mancante è la sensazione psicologica della transitorietà, o del fluire del tempo. Non fa parte del modello perché costituisce semmai l’oggetto di studi psicologici, non fisici. Tuttavia, chiunque conosca qualcosa riguardo all’ordine naturale nel dominio reale e alla sua topologia, immediatamente coglie il fatto che la precisione fornita dal modello supera di gran lunga quella della nostra esperienza psicologica. Per
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ACHILLE E LA FRECCIA esempio, la durata della nostra esperienza psicologica dell’idea di “adesso” è di circa 0,6 secondi6, mentre nel modello considerato “adesso” è rappresentato da un singolo punto. In questo modello non troviamo nulla che corrisponda all’irreversibilità del tempo, forse l’elemento più dolente della nostra esperienza personale. Vale la pena di sottolineare due aspetti. Primo, il più delle volte è sorprendentemente accurata la corrispondenza tra le strutture matematiche e alcuni aspetti della struttura del mondo; e se in un buon modello matematico, contrariamente alle attese, qualche elemento non compare, normalmente c’è una ben precisa ragione per questo. Non si può escludere che l’irreversibilità non sia una proprietà essenziale del tempo. Per esempio, nella teoria quantistica dei campi troviamo molte ragioni che ci fanno credere che l’irreversibilità del tempo sia una proprietà valida solo a livello macroscopico, mentre la freccia temporale può essere ribaltata alla scala microscopica (le antiparticelle possono essere considerate come particelle che vivono in un tempo ribaltato). Secondo, non è vero che l’irreversibilità del tempo non possa essere modellata matematicamente. A questo scopo dobbiamo semplicemente usare altri modelli del tempo, basati su strutture matematiche differenti, come è il caso del modello della termodinamica statistica. Ma torniamo al modello del tempo che abbiamo discusso più sopra, che è parte del più ampio modello del moto. Come abbiamo visto, tale modello descrive molto efficacemente il processo del mutare, attraverso una funzione di una data grandezza temporale variabile. La derivata di questa funzione rispetto al tempo rappresenta la velocità istantanea del mutamento. Benché in questo modello non sia presente la sensazione psicologica del “fluire del moto”, Bergson ha torto quando afferma che la fisica “congela” il vero moto e “spazializza” il tempo vero. Il concetto di derivata modella con ottima precisione il processo del mutare, la sua continuità e la velocità istantanea del mutamento. Ci si lasci sottolineare ancora una volta questo fatto: la nostra “intuizione diretta”, a cui Bergson allude così frequentemente, non è in grado di competere con il modello matematico per ciò che riguarda la precisione delle grandezze in campo. Naturalmente, una conoscenza elementare del calcolo differenziale non è sufficiente per risolvere del tutto i paradossi di Zenone. Come è ben noto, per definire correttamente le nozioni di continuità, di limite di una funzione e di derivata è necessario attingere a una strumentazione matematica più avanzata, inerente alla teoria degli insiemi e alla topologia. Inoltre, come abbiamo cercato di spiegare in precedenza, il passaggio dalla matematica pura alla fisica si realizza attraverso il metodo del costruire modelli matematici. I paradossi di Zenone si dissolvono solo se una matematica precisa si sposa con il metodo fisico del fare modelli7. Un commento ancora. L’idealizzazione, che è un elemento ineliminabile del
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CAPITOLO 9 metodo scientifico, non falsifica la realtà che l’intuizione cognitiva ci consegna (come sostenuto da Bergson e dai suoi seguaci); è invece una strategia metodologica, grazie alla quale siamo in grado di confrontarci con la smisurata (forse infinita) ricchezza della realtà. Per convincerci di ciò, basta che ci rivolgiamo all’indagine del mondo subatomico. I modelli matematici degli oggetti quantistici non li falsificano, poiché tali oggetti non sono alla portata né dell’intuizione né dei nostri sensi. Senza i modelli matematici ci ridurremmo a raccontare storie riguardanti i “componenti invisibili della materia”.
5. L’evoluzione dei problemi La storia della scienza è anzitutto storia della risoluzione di problemi. Talvolta si dice che un problema non può essere risolto se non viene formulato nel modo corretto. In realtà, è vero il contrario: un problema non può essere posto in termini corretti se prima non è stato risolto. Solo a posteriori, a soluzione nota, siamo infatti in grado di cogliere tutte le sottigliezze e le trappole concettuali che erano presenti. Questo è il motivo per cui, all’inizio, i problemi vengono necessariamente espressi in modo confuso: solo per quelli formulati in modo creativo si avvia il processo che porta alla loro risoluzione, mentre tutti gli altri vengono depennati senza pietà dalla storia della scienza. Dal punto di vista della fisica, Parmenide aveva formulato il problema del moto in una modalità non-creativa e infatti il suo approccio è stato sostanzialmente ignorato. D’altro canto, Zenone enunciò i suoi paradossi in maniera ambigua, eppure in quella formulazione si poteva ravvisare qualche elemento di creatività. Come abbiamo visto, i paradossi alla fine portarono ai concetti di funzione, di limite, di derivata, di teoria degli insiemi, di topologia e di altri ancora, tutti fondamentali per la matematica. Fu un ramo evolutivo della matematizzazione del processo del moto. Un secondo ramo presentava un carattere più fisico. La dinamica è la scienza del moto sotto l’azione delle forze. La formulazione creativa del problema fondamentale della dinamica era qualcosa di realmente complesso: bisognava dunque sforzarsi di ridurre un problema complicato a uno più facile, applicandosi poi a risolvere quest’ultimo. Se non siamo in grado di dare risposta alla domanda di cosa capita a un corpo sottoposto all’azione di molte forze, cominciamo almeno a chiarirci cosa capita a un corpo che non è sottoposto a forze. Da qui si giungerà all’enunciazione della Prima Legge della Dinamica. Il problema del moto non sarà completamente risolto fino a che non si congiungeranno i due rami evolutivi, con il primo che porterà al calcolo differenziale e il secondo alle leggi della dinamica. Ciò avverrà con il lavoro di Newton.
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Capitolo 10
LA DINAMICA DI ARISTOTELE
1. Il retroterra filosofico li effetti delle guerre mondiali si fanno sentire per qualche decennio, ma le parole scritte da un grande pensatore influenzano la storia degli uomini anche per molti secoli. Sono pochi gli scritti che, nella storia della scienza del moto, produssero effetti più significativi delle pagine della Fisica di Aristotele. Solo nel XVII secolo Galileo e Newton corressero gli errori dello stagirita, ma, in un certo senso, anche questi successi furono frutto di Aristotele, essendo nati come reazione contro la sua dottrina, ancora imperante. In questo capitolo prenderemo in considerazione la dinamica aristotelica, entrando un poco più nei dettagli. Cerchiamo anzitutto di ricostruire l’ambiente culturale in cui si colloca il lavoro di Aristotele. Da un lato, c’è il mondo di Eraclito, che fluisce come un fiume, nella cui acqua non è dato immergersi due volte. Dall’altro, c’è il mondo statico di Parmenide, dal quale è categoricamente escluso qualsiasi mutamento. Nonostante tutte queste speculazioni, l’esperienza ordinaria, sorretta dal senso comune, ci dice che il moto esiste e che in esso c’è una certa continuità, grazie alla quale gli oggetti che si muovono conservano la propria identità. Come è possibile? Aristotele cercò di rispondere a questa domanda con la sua teoria dell’atto e della potenza. Affinché sia possibile un cambiamento, un corpo dev’essere in uno stato caratterizzato dalla potenzialità di accettare qualcosa che al momento non c’è. Si produce un mutamento quando questo qualcosa diventa atto. Scrive Aristotele: “L’appagamento di ciò che esiste in
G
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CAPITOLO 10 potenza, per quanto esista in potenza, è il moto”1. Secondo Aristotele, da un lato questo concetto garantisce la realtà del cambiamento e, dall’altro, consente alla cosa che cambia di preservare la propria identità. Ancora ai nostri giorni, ci sono filosofi che tengono in alta considerazione la soluzione di Aristotele, ma, secondo noi, è arduo difenderla dall’accusa di essere un’analisi puramente verbale. Possiamo essere d’accordo sul fatto che le idee di potenza e di atto crearono una terminologia funzionale per affrontare il tema del mutamento e del moto, ma la strada che porta dalle parole alla realtà è davvero molto lunga. Dopo aver dato la sua definizione, Aristotele scrive: Alcuni esempi chiariranno questa definizione di moto. Quando il costruibile, nei limiti in cui diciamo che è tale, è in atto, esso è costruito, ossia è diventato la costruzione. Ciò vale anche per l’imparare, il medicare, il ruotare, il saltare, il crescere e l’invecchiare.2
Possiamo renderci conto da questi esempi in che modo Aristotele concepiva il moto. Egli era un biologo più che un fisico (per usare una terminologia moderna), e questo è il motivo per cui egli pensava in termini di cambiamenti organici, piuttosto che in termini di moto fisico. Fra tutti i suoi esempi, oggi accetteremmo di considerare effettivamente come moto soltanto il ruotare e il saltare, pur nella consapevolezza che non sarebbero questi i casi più semplici per avviare un’analisi cinematica. Tuttavia, un simile approccio s’accordava con la visuale filosofica complessiva di Aristotele. Ricordiamo infatti che egli credeva che la scienza dovesse confrontarsi con la ricchezza e la complessità del mondo nella sua globalità, e che il modo migliore per farlo fosse indicare le cause e fornire un’analisi puramente qualitativa del fenomeno.
2. Le due leggi della dinamica aristotelica Ciò non significa che Aristotele non abbia cercato di affrontare anche gli aspetti quantitativi del moto. Basandosi sui suoi testi, principalmente sull’ultima parte della Fisica, è possibile ricostruire la forma delle sue leggi della dinamica. Come ovvio, la sua dinamica dipende strettamente dalla sua filosofia: non dobbiamo mai dimenticare che a quel tempo scienza e filosofia costituivano un solo corpo di conoscenze. Come è ben noto, Aristotele distingueva tra moti naturali e moti violenti.
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LA DINAMICA DI ARISTOTELE Egli riteneva che ogni essere, ogni oggetto, tende verso un obiettivo e che questa propensione è la causa principale di tutti i moti. Per un corpo soggetto a un moto locale (ossia che cambia solo la posizione in cui si trova), l’obiettivo è di raggiungere il rispettivo luogo naturale. Il centro della Terra è il luogo naturale per i corpi pesanti, mentre la circonferenza del mondo è il luogo naturale per i corpi leggeri (come il fuoco). Un corpo va soggetto a un moto naturale quando si sposta verso il suo luogo naturale. Tale corpo può deviare dal moto naturale unicamente sotto l’azione di una forza. Quando una tale forza agisce, si parla di moto violento. Di possibili ricostruzioni delle “equazioni del moto” aristotelico ce n’è più d’una. La libertà interpretativa deriva innanzitutto dal fatto che Aristotele non aveva a disposizione concetti sufficientemente precisi che si riferissero al moto. Egli usava un linguaggio basato sull’intuizione. Per esempio, spesso impiegava il termine “corpo” là dove noi useremmo “massa”, oppure “fattore agente” dove noi diremmo “forza”. Inoltre, Aristotele si sforzava di non ricorrere all’idealizzazione: per l’appunto, egli cercava di affrontare il mondo nella sua piena ricchezza e complessità. Eppure, provandosi a scrivere una relazione fra le grandezze dinamiche, inevitabilmente si trovava nella condizione di compiere un’idealizzazione: per giunta, lo faceva in modo implicito, senza alcun controllo sui fattori che aveva trascurato. Ciò, naturalmente, aveva effetti sul risultato. Prendendoci una certa libertà nell’interpretazione dei testi aristotelici, proviamo a formulare le sue “leggi della dinamica” in stretta analogia con le leggi di Newton, per quanto possibile. Prima Legge (aristotelica) della Dinamica: se su un corpo non agiscono forze, esso rimane in uno stato di (assoluta) quiete. Seconda Legge (aristotelica) della Dinamica: la forza F che agisce su un corpo di massa m è proporzionale alla massa m e alla velocità v che la forza F impartisce al corpo. Questa legge potrebbe essere scritta in forma di equazione in questo modo: F = mv. Teniamo presente che abbiamo formulato le due leggi utilizzando la terminologia moderna e i corrispondenti simboli3. Le due leggi sono coerenti e compatibili, nel senso che quando F = 0, allora dalla Seconda Legge segue che v = 0, ossia che il corpo è in quiete (come afferma la Prima Legge). È però possibile anche un’altra interpretazione della fisica di Aristotele. Se prendiamo in considerazione la resistenza del mezzo, la sua Seconda Legge non corrisponde alla Seconda Legge di Newton, ma piuttosto alla Legge di Stokes, la quale afferma che la forza di resistenza agente su un corpo che si muove in un fluido viscoso è proporzionale alla velocità del corpo. Un argomento a favore di questa interpretazione potrebbe essere il
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CAPITOLO 10 fatto che Aristotele escludeva l’esistenza del vuoto, e che, di conseguenza, tutti i corpi si muovono in un mezzo resistente. Se in tali condizioni non agisse alcuna forza, effettivamente il corpo resterebbe in quiete4. Entrambe queste interpretazioni della fisica aristotelica sono, in un certo senso, anacronismi storici, ed entrambe dipendono dal modo in cui trasferiamo le intuizioni di Aristotele dentro i concetti fisici moderni. Comunque, questi “anacronismi” sembrano trovare giustificazione alla luce del fatto che la logica dell’evoluzione scientifica può essere valutata in modo appropriato solo dalla prospettiva delle soluzioni raggiunte.
3. Il principio d’inerzia La Prima Legge della Dinamica nella formulazione di Aristotele dice: “Ogni corpo in moto deve essere mosso da qualcosa”5. Nonostante l’avversione di Aristotele per ogni sorta di idealizzazione, in realtà la formulazione ne contiene una, molto netta. Se un cavallo smette di tirare un carretto, il carro si ferma, ma se io lancio una pietra, essa continua a muoversi nonostante il fatto che la mia mano abbia cessato di agire su di essa. In modo analogo, anche Newton basò la sua Prima Legge su un’idealizzazione: infatti, non si potrà mai osservare un corpo che, quando non ci siano forze agenti su di esso, continui a muoversi all’infinito a velocità rigidamente costante. Nella meccanica newtoniana, spieghiamo la circostanza che alla fine il corpo si ferma facendo ricorso alla frizione e alla resistenza del mezzo. Aristotele doveva invece ricercare le “cause” in grado di spiegare come mai la pietra, una volta lanciata, continuasse a muoversi. Lo fece in un passaggio decisamente poco chiaro: I proiettili si muovono ancora benché colui che li ha lanciati ormai non li tocchi più, e si muovono o in ragione del mutuo rimpiazzo, come sostengono alcuni, oppure perché l’aria, che è stata spinta via, a sua volta li sospinge, conferendo loro un moto più veloce di quello naturale, in virtù del quale il corpo si muove verso il suo luogo naturale.6
I commentatori compresero questo brano nella maniera seguente. Un oggetto che viene lanciato, per esempio una freccia in volo, si apre un varco nell’aria, spingendola in avanti e comprimendola. La pressione che si genera di fronte alla freccia, una specie di onda di prua, fa sì che l’aria
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LA DINAMICA DI ARISTOTELE venga indirizzata verso il retro, da dove può sospingere la freccia in avanti. Non varrebbe la pena di far menzione di questa pseudo-spiegazione, se non fosse che essa venne ripresa da molti pensatori e che per questo ebbe notevoli ripercussioni nel seguito. È interessante notare come nella Fisica di Aristotele vi sia un brano che sembra anticipare la formulazione newtoniana della Prima Legge: Un oggetto sarà in quiete o si muoverà all’infinito, a meno che non vi sia un attrito più forte.7
Sfortunatamente, nelle intenzioni di Aristotele, questo brano era un argomento, per reductio ad absurdum, contro la possibilità di un “moto all’infinito”. Se non fosse stato per l’opposizione di Aristotele nei confronti delle idealizzazioni, forse avremmo avuto le leggi della dinamica con molti secoli di anticipo.
4. Gli standard dinamici Come abbiamo visto più sopra, la Prima Legge della Dinamica è la conseguenza della Seconda Legge (sia nella dinamica aristotelica che in quella newtoniana). È dunque proprio necessario assumerla come una legge a sé? Il fatto è che la Prima Legge è qualcosa di più che una semplice conseguenza della Seconda. In effetti, la Prima Legge fissa la “prospettiva concettuale” dell’intera meccanica. Se vogliamo conoscere gli effetti prodotti dall’azione di una forza su di un corpo, dobbiamo disporre di uno “standard dinamico” tramite il quale sia possibile stimare tali effetti. Questo standard è determinato dalla situazione nella quale non agisce alcuna forza. Allora dobbiamo sapere come si comporta il corpo in assenza di forze. Se il comportamento devia dallo standard, dobbiamo cercare quale ne sia la causa dinamica; in altre parole, dobbiamo assumere che sta agendo una forza. Come abbiamo visto, senza lo “standard dinamico”, il concetto di forza è senza significato. Per usare il linguaggio aristotelico, potremmo dire che lo “standard dinamico” definisce lo “stato naturale” di un dato corpo. Fino a che un corpo si trova nel suo “stato naturale”, non è richiesta alcuna giustificazione dinamica; è la deviazione dallo “stato naturale” che richiede una giustificazione (tuttavia, non dimentichiamo che la dinamica è una teoria empirica e quindi che è l’accordo con gli esperimenti a giustificare in ultima analisi l’intero sistema).
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CAPITOLO 10 Perciò, possiamo vedere che la Prima Legge, per il fatto di fissare lo “standard dinamico”, è indispensabile sotto il profilo logico. Nella dinamica aristotelica lo standard è lo stato di quiete assoluta; nella dinamica di Newton lo è il moto uniforme. La fisica di Aristotele trovava applicazione e convalida nella sua visione cosmologica. Poiché il centro della Terra coincide con il centro immobile dell’Universo, sembrava naturale identificare lo standard dinamico con la “quiete al centro della Terra”. Qualunque cosa si muova rispetto ad esso, si sposta di moto naturale. Tutti gli altri moti sono “violenti”; deve dunque esistere una forza che li causa. La visione aristotelica del mondo venne via via abbandonata a partire dagli anni della rivoluzione copernicana. Alla fine, cessò di esistere lo “standard di quiete assoluta”. Ciò aiutò certamente Galileo, Keplero e Newton a compiere il passo finale. Se non esiste alcuno stato di quiete naturale, il successivo candidato a diventare lo standard dinamico è il moto uniforme. Naturalmente, la realtà era molto meno logica di quanto sembri suggerire l’analisi che oggi ne facciamo. Si frapposero trappole concettuali e molti equivoci prima che finalmente si giungesse a una soluzione. E, nonostante la notevole coerenza interna del nuovo sistema, c’era tuttavia ancora una lacuna nella visione newtoniana del mondo. Lo standard dinamico del moto uniforme stava fissando lentamente un nuovo paradigma scientifico e ciò portò a previsioni empiriche sorprendentemente corrette, ma ancora mancava un saldo puntello cosmologico. La cosmologia “postnewtoniana” era costituita dai risultati di Copernico e di Keplero, dai resti dell’eredità aristotelica, dalle speculazioni di Cartesio, da una particolare interpretazione della geometria euclidea, miscelati con la teoria newtoniana di gravitazione universale. Benché, a partire dal lavoro di Galileo, divenne sempre più chiaro che c’è una sola fisica che governa “i cieli e la Terra”, la piena unificazione di questi due dominii fisici era ancora un postulato, piuttosto che un fatto scientifico solidamente stabilito. Ancora nel XIX secolo alcuni tentativi di costruire una cosmologia newtoniana condussero a difficoltà e paradossi. Solo Einstein, nella sua teoria della relatività, seppe trarre le conclusioni definitive dall’esistenza dello standard dinamico del moto uniforme, che, insieme con il postulato che la velocità della luce è la massima velocità fisica, divenne il passo decisivo verso una cosmologia compiutamente integrata con il resto della fisica. Ma questa è un’altra storia.
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Capitolo 11
TRE GENERAZIONI: DA TARTAGLIA A GALILEO
1. Un trattino sulla s eggendo l’ultimo capitolo, chiunque abbia studiato la meccanica classica avrà notato che c’è solo una leggera differenza tra la Seconda Legge della Dinamica di Aristotele e quella di Newton. Nella versione aristotelica, la forza è proporzionale alla massa e alla velocità, mentre nella versione di Newton è proporzionale alla massa e all’accelerazione. Se, usando la simbologia corrente, denotiamo la velocità con s' (derivata prima della posizione rispetto al tempo) e l’accelerazione con s" (derivata seconda della posizione rispetto al tempo) allora la differenza si riduce a un semplice trattino sopra la s. In realtà, la differenza è abissale. Da Aristotele a Newton si snoda una lunga catena evolutiva. Per aggiungere quel trattino sopra la s fu necessario elaborare nuovi concetti, formulare molti problemi, risolverne alcuni mentre altri restavano aperti (ma sempre andando alla ricerca di soluzioni), e compiere molti calcoli. Questo lungo processo di tentativi ed errori portò alla fine all’invenzione del calcolo differenziale. A determinare il risultato concorse un insieme complesso di interazioni tra idee filosofiche, fisiche, matematiche e anche teologiche: ne scaturirono le basi della meccanica classica, punto di partenza della scienza moderna. Per illustrare questo arduo cammino, focalizziamo la nostra attenzione sull’ultima fase, quando le indagini meccaniche, ancora profondamente immerse dentro un contesto filosofico, compirono lo sforzo eroico di vincere l’inerzia concettuale e di adattarsi ai dati empirici.
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CAPITOLO 11 2. La scienza e l’artiglieria Come abbiamo ricordato, la preistoria della scienza del moto risale al problema di Zenone della freccia in volo. Sfortunatamente, con il passare dei secoli le applicazioni della scienza divennero sempre più potenzialmente pericolose. Nella prima metà del XVI secolo, Nicolò Tartaglia (1499-1557) studiò il moto delle palle di cannone, contribuendo in modo sostanziale a un uso più efficace dell’artiglieria. Inizialmente, Tartaglia si faceva scrupoli se pubblicare o meno le sue scoperte poiché “sarebbe una cosa biasimevole insegnare ai cristiani come potrebbero meglio massacrarsi gli uni con gli altri”1. Gli scrupoli svanirono però nel 1537, nell’imminenza dell’invasione dei Turchi: in quell’anno venne pubblicato il suo studio, La Nova Scientia, che certamente merita una menzione d’onore nella storia della meccanica. Il filosofo Alexander Koyré (1892-1964) pensava proprio a quest’opera quando scrisse che le scienze normalmente nascono da false teorie2. La teoria di Tartaglia, infatti, non era corretta, ma ebbe il merito di porre il problema in un modo realmente innovativo. Tartaglia non cerca di scrollarsi di dosso quel fardello che era la dottrina aristotelica. Sembra infatti accettarla acriticamente, senza mai addentrarsi nelle sottili analisi sui luoghi naturali e sulla natura del moto; però, si ingegna nel rilevare qualche caratteristica quantitativa e geometrica del moto. La sua opera non è semplicemente l’ennesimo trattato de motu, ma inaugura un nuovo approccio: per l’appunto, è una nova scientia. Tartaglia, pur non disdegnando di fornire soluzioni pratiche relativamente alla precisione dei tiri d’artiglieria, in generale mantiene la sua analisi a un livello astratto. Egli considera “fattore mobile” qualunque macchina costruita dall’uomo che sia in grado di scagliare violentemente i corpi in alto e quando parla di “corpi pesanti lanciati in aria” si deve intendere che pensi a oggetti sferici di piombo, di ferro o di pietra, o di qualche altro materiale similare quanto a densità e peso. Tra le altre cose, Tartaglia discute la forma che assume la traiettoria di un tiro d’artiglieria. La teoria aristotelica, allora generalmente accettata, insegnava che il moto naturale non può andare a sovrapporsi a un moto violento. Secondo questa teoria, la palla sparata dal cannone dapprima si muove in linea retta e solo più tardi, quando si esaurisce l’impeto conferitole dallo sparo, inizia a cadere verso il centro della Terra, sempre lungo una linea retta. In tal modo, la traiettoria del proiettile consiste di due parti, entrambe segmenti di linee rette. Tartaglia vedeva bene quanto questa soluzione fosse artificiosa e propose un compromesso: che i due segmenti rettilinei fossero connessi da un tratto curvo. Così la traiettoria spezzata aristotelica diventava una curva continua. Questo esempio è particolarmente istruttivo nel mostrarci quanto sia
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TRE GENERAZIONI: DA TARTAGLIA A GALILEO difficile vedere qualcosa che è escluso dalle teorie accettate. La soluzione di Tartaglia non è corretta, poiché evidentemente contraddice anche il più semplice esperimento (ammesso che qualcuno avesse avuto abbastanza coraggio per proporlo e analizzarlo con spirito critico), e tuttavia la si può considerare come una “prima approssimazione” della giusta soluzione. Tartaglia aveva comunque abbastanza coraggio da proporre anche una “seconda approssimazione”. Nella sua opera Quesiti et inventioni diverse (1546) egli ammette che la traiettoria di un proiettile è curva per tutto il suo sviluppo. Così, era stata rigettata l’errata teoria che escludeva i moti sovrapposti. Poiché, come la storia della scienza ci insegna, una cattiva teoria è sempre meglio che l’assenza di ogni teoria, Tartaglia se ne inventò una del tutto nuova, secondo la quale un corpo che perde velocità guadagna peso. I Quesiti sono scritti sotto forma di dialogo. Quando il principe Francesco d’Urbino si esprime contro questa nuova teoria (“ciascuno sa che almeno una parte della traiettoria di un proiettile è rettilinea”), Tartaglia controbatte che la debolezza dell’intelletto umano ci permette solo con grande difficoltà di distinguere il vero dal falso. L’esperienza della vita sembra dare ragione a questa osservazione. Un giorno, un artigliere chiese a Tartaglia a quale angolo di alzo il cannone avrebbe avuto la massima gittata, ottenendo come risposta che si sarebbe dovuto puntare a 45 gradi, ma gli esperti militari gli obiettarono che l’angolo era troppo elevato. Nelle controversie scientifiche bisogna dare l’ultima parola all’esperimento e “chi stava con Tartaglia vinse la scommessa a seguito di test sperimentali”3. Nel XVI secolo la teoria di Tartaglia, esposta ne La Nova Scientia godette di grande popolarità, mentre invece venne sostanzialmente ignorata la versione rivista e corretta contenuta nei Quesiti. Ancora molti anni dopo la sua pubblicazione, gli artiglieri continuavano a puntare i cannoni dirigendo le loro canne in linea retta verso l’obiettivo.
3. Pietre in caduta libera Un aspetto importante del metodo scientifico è la semplificazione dei problemi. Le difficoltà insite nella forma della traiettoria di un proiettile possono essere eluse se si considera il moto di un corpo in caduta libera. Dobbiamo allora focalizzarci su un altro dei dilemmi centrali della meccanica: la velocità di un corpo che cade. Secondo Aristotele, la velocità di caduta libera dipende dal peso: i corpi
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CAPITOLO 11 più pesanti cadono più velocemente perché maggiore è la propensione a raggiungere il loro luogo naturale (il centro della Terra). L’erroneità di questa teoria è particolarmente maliziosa. I “dati sensoriali”, apparentemente ovvi, spesso simulano abilmente i risultati sperimentali. L’idea restò in voga per molti secoli, senza doversi misurare con opinioni contrarie. Il primo a muovere un’obiezione fu Giambattista Benedetti (15301590), discepolo di Tartaglia, che sarà docente di Galileo a Pisa. Già nella Lettera Dedicatoria che apre il suo primo lavoro, il Resolutio omnium Euclidis problematum (1553), Benedetti annuncia che nel suo libro distruggerà la teoria aristotelica secondo la quale i corpi pesanti cadono con velocità maggiore di quelli leggeri. Tuttavia, l’errore aveva messo radici così profonde che sarebbe risultato impossibile correggerlo al primo colpo. Benedetti non fu capace di liberarsi completamente da certe intuizioni connesse con il concetto di “impeto”. Sostenne infatti che solo i corpi “della medesima natura” cadono con la stessa velocità indipendentemente dal loro peso. Probabilmente voleva dire che a determinare la velocità di caduta è il rapporto del peso (o della densità) di un corpo rispetto a quello del mezzo. È sempre istruttivo valutare un processo storico dalla prospettiva di chi già conosce la soluzione. Sembrerebbe che Benedetti si trovasse di fronte a una questione puramente sperimentale, per quanto abbiamo già visto che è praticamente impossibile tenere nettamente separate le questioni empiriche dalla teoria. Inoltre, i risultati sperimentali, insieme con la teoria che sta dietro ad essi, determinano quello che viene detto lo “stato del problema”, il cui costituente principale è una rete di concetti, normalmente forniti da una teoria, che chiarisce sia la formulazione della domanda sperimentale, sia l’interpretazione dei risultati ottenuti. I concetti non sono statici, ma evolvono insieme con i problemi: essi definiscono l’enigma che deve essere risolto e vengono modificati dalle necessità della soluzione. Il concetto di accelerazione era noto quanto meno dai tempi di Nicola d’Oresme (1323-1382), che aveva cercato di precisarlo nella sua teoria della latitudo formae: tuttavia, era ancora ben lontano dall’essere esplicitato chiaramente come è oggi; inoltre, le idee di velocità istantanea e di accelerazione istantanea erano al di fuori della portata concettuale dei ricercatori del tempo, che ancora non conoscevano il calcolo differenziale. Senza queste due nozioni, le applicazioni pratiche ai problemi meccanici restavano immerse in molteplici incoerenze. Il concetto di peso creava difficoltà ancora maggiori, poiché veniva colto solo in maniera intuitiva (benché non mancarono i tentativi di pre-
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TRE GENERAZIONI: DA TARTAGLIA A GALILEO cisarlo); parlando di peso, venivano confusi e sovrapposti elementi differenti, come la fatica avvertita dai nostri muscoli quando solleviamo corpi pesanti, l’attrazione di tali corpi verso il centro della Terra e l’idea filosofica della “quantità di materia”. Per prima cosa, non c’era una chiara consapevolezza che i concetti devono essere definiti in modo tale che a ciascuno di essi venga a corrispondere una “quantità”, misurata in un esperimento. Solo quando queste complicazioni vengono superate e lo “stato del problema” si fa maturo, gli esperimenti saranno in grado di confermare che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dal loro peso e dalla loro composizione. Tartaglia e Benedetti sono due tappe di un processo che presto giungerà a completamento. È interessante notare che Benedetti nei suoi lavori mirava a imitare il metodo geometrico di Archimede. C’era comunque anche qui un tranello. Il metodo di Archimede dava frutti in statica e in idrostatica, ma, trasferito acriticamente sui problemi della meccanica, condusse Benedetti alla conclusione falsa che la velocità dei corpi in caduta dipende dal rapporto tra i pesi del corpo e del mezzo. In un’altra occasione, invece, il metodo di Archimede suggerì un risultato valido. Quando, con l’aiuto della geometria, analizzò l’affermazione errata di Aristotele riguardante il moto rotatorio, Benedetti pervenne alla conclusione che un corpo che ruota, dotato di impeto, “vuole” continuare il suo moto in linea retta. Era un passo nella direzione della formulazione della Legge di Inerzia, senza la quale la meccanica è impossibile.
4. Galileo il relativista Quando parliamo delle leggi del moto, quasi subito ci imbattiamo nel principio d’inerzia, che è indissolubilmente legato al nome di Galileo. A sua volta, quando parliamo di Galileo, non possiamo esimerci dal ricordare la sua battaglia contro il sistema geocentrico. L’essenza della rivoluzione copernicana consiste nella transizione dal sistema di riferimento geocentrico a quello eliocentrico e, come tale, la si potrebbe considerare quasi solo un intervento di tipo “relativistico”. Comunque, Copernico non fu in grado di spingersi oltre l’idea del moto assoluto: lo si può rilevare dal modo in cui obiettava agli argomenti che Tolomeo e i suoi seguaci adducevano contro il moto della Terra. Essi ritenevano che, se la Terra fosse davvero in moto, tutti gli oggetti che si librano nell’aria si troverebbero a essere costantemente sospinti verso ovest, “perché la Terra si sposterebbe più velocemente di loro nel suo moto in direzione dell’est”4. La
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CAPITOLO 11 risposta di Copernico era che, se la Terra si muove, il suo moto deve essere considerato come naturale, e da ciò che è naturale non possono scaturire effetti violenti. Ecco perché sulla Terra non osserviamo alcun effetto violento. Le cose che hanno la loro causa nella natura si trovano nella condizione giusta e vengono mantenute nella loro migliore organizzazione. Perciò Tolomeo non ha ragione di temere che la Terra e tutti gli oggetti sulla sua superficie abbiano a essere dispersi nel corso di una rivoluzione che avesse una causa naturale […]5
Il solo modo per Copernico di fare a meno di un siffatto argomento, che è puramente verbale, poteva essere di convenire con il seguente principio: nessun osservatore sulla superficie di un corpo in uno stato di moto naturale può realizzare un esperimento attraverso il quale risulti possibile decidere se il corpo sia in moto oppure no. Questo principio, comparato con i concetti espressi nel De revolutionibus, ne rappresenta una generalizzazione in almeno due punti: primo, il principio riguarda ogni moto naturale, mentre Copernico era interessato unicamente al moto della Terra; secondo, Copernico parlava di “effetti dovuti alla forza”, mentre il principio che abbiamo enunciato per suo conto parla di un qualsivoglia esperimento condotto su un sistema in moto naturale. Il principio che abbiamo messo in bocca a Copernico venne poi formulato in modo esplicito da Galileo, senza alcun riferimento ai moti naturali: Sia dunque il principio della nostra contemplazione il considerare che, qualunque moto venga attribuito alla Terra, è necessario che a noi, come abitatori di quella ed in conseguenza partecipi del medesimo, ei resti del tutto impercettibile e come s’e’ non fusse, mentre che noi riguardiamo solamente alle cose terrestri.6
Il principio è valido non solo con riferimento al moto della Terra. Galileo ci vuol dire che non esiste esperimento condotto all’interno di un sistema meccanico che possa informare lo sperimentatore sull’eventuale stato di moto del sistema. In un altro brano, Galileo preciserà il suo pensiero con un esempio: per i mercanti che compiono il loro viaggio su una nave, lo spostarsi da Venezia ad Aleppo, passando per Corfù, Creta e Cipro, è “come nullo”7, ossia inavvertibile.
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TRE GENERAZIONI: DA TARTAGLIA A GALILEO Galileo continua a utilizzare il vecchio termine di “impeto”, ma ne modifica il significato. Il concetto di impeto era stato introdotto da Giovanni Buridano (ca. 1290-1358), Maestro delle Arti a Parigi, nell’ennesimo tentativo di spiegare il fenomeno della freccia che si mantiene in volo nonostante l’apparente assenza di forze agenti su di essa. La corda dell’arco impartisce alla freccia un impeto, che è una specie di fluido capace di sospingere la freccia in avanti, fino a quando si esaurisce del tutto. Per Buridano, l’impeto è una specie di causa efficiente e, come tale, è qualcosa di distinto dal corpo mobile. Per Galileo, invece, l’impeto si identifica con il moto. Per sostenersi, il moto non ha bisogno di alcun “agente estrinseco”. Il moto non è un accidente, o una proprietà del corpo mobile, ma è uno stato del corpo. E la quiete è solo un caso particolare di tale stato. Koyré caratterizza la fisica di Galileo come una fisica dei gravi, dei corpi pesanti, in contrasto con quella di Cartesio, che era una fisica dei corpi collidenti8: è questo il motivo per il quale Galileo non seppe identificare i moti inerziali con i moti uniformi. Non esistono moti uniformi “eterni” (che si sviluppano lungo una linea retta infinitamente estesa), perché i corpi sono costretti a muoversi in cerchio attorno ad altri corpi gravitanti. Possiamo trovare in Galileo un argomento sottile a supporto di questa idea: Immagino di avere un mobile lanciato su un piano orizzontale, rimosso ogni impedimento: già sappiamo, per quello che abbiamo detto più diffusamente altrove, che il suo moto si svolgerà equabile e perpetuo sul medesimo piano, qualora questo si estenda all’infinito; se invece intendiamo [questo piano] limitato e posto in alto, il mobile, che immagino dotato di gravità, giunto all’estremo del piano e continuando la sua corsa, aggiungerà al precedente movimento equabile e indelebile quella propensione all’ingiù dovuta alla propria gravità: ne nasce un moto composto di un moto orizzontale equabile e di un moto deorsum naturalmente accelerato.9
La composizione di questi due moti può dar luogo a un’orbita chiusa. Così, secondo Galileo, la legge d’inerzia è responsabile del moto circolare dei pianeti. Possiamo qui trovare qualcosa che richiama la riluttanza di Aristotele a compiere idealizzazioni. Se il pensiero di Galileo fosse stato un poco più audace, se egli avesse osato assumere che il moto sul piano può continuare indefinitamente, egli avrebbe scoperto la Prima Legge della Dinamica. Secondo P. Tannery, i principi della meccanica galileiana “sembrano essere una macchina da guerra progettata per difendere il modello
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CAPITOLO 11 copernicano”10. In quegli anni, Galileo era più interessato a vincere quella guerra che a creare una nuova fisica.
5. La scoperta più grande Galileo mosse un deciso passo in avanti quando smise di combattere i tolemaici e gli aristotelici e applicò il suo principio d’inerzia a problemi scientifici concreti. Lo fece nella sua ultima opera, i Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze11, nella quale sviluppò la teoria corretta del moto di un punto materiale soggetto all’azione di una forza costante. Due sono i casi che si possono presentare: quello del moto uniforme e quello del moto uniformemente accelerato. Il primo è il più semplice di tutti i moti possibili, l’altro lo segue immediatamente in questa graduatoria ed è il “moto naturale” di caduta libera. Benché Galileo non abbia mai usato il termine “principio d’inerzia”, il fatto che abbia applicato tale principio alla sua teoria del moto uniforme fa sì che lo si possa considerare il suo effettivo scopritore. La teoria della caduta libera è di straordinaria importanza perché il corpo che cade (almeno dal punto di vista moderno) rappresenta un “caso clinico” di moto sotto l’azione di una forza che può essere considerato come isolato dal “resto dell’Universo”. Si può ben dire che questi due casi siano le pietre angolari della meccanica classica. Il principio d’inerzia galileiano ha una conseguenza importante. Se non siamo in grado di distinguere tra un moto uniforme e lo stato di quiete, significa che non sta agendo alcuna forza. In altre parole: se non esistono forze, il corpo resta in quiete o si muove di moto uniforme. Più tardi, questo diventerà la Prima Legge della Dinamica (o Principio d’Inerzia). Galileo ne cercò una verifica empirica e la trovò in un semplice esperimento concettuale. Una pallina rotola giù lungo un piano inclinato; naturalmente si muove con un’accelerazione. Per sospingere la pallina in alto lungo lo stesso piano occorre un “impeto violentemente impressole” e allora il moto “andrebbe languendo e ritardandosi”, ossia sarebbe decelerato. Se l’angolo tra il piano inclinato e la direzione orizzontale è arbitrariamente piccolo, anche la forza che dovremo usare sarà arbitrariamente piccola. La conclusione è che se il piano è in posizione perfettamente orizzontale non si dovrà usare alcuna forza e la pallina si muoverà di moto uniforme (senza accelerazioni o decelerazioni). Koyré12 sottolinea che Galileo, senza accorgersene, introdusse una nuova ontologia del moto. Nell’approccio aristotelico il moto era un processo. Un processo si sviluppa se è guidato da un “fattore mobile”; se tale
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TRE GENERAZIONI: DA TARTAGLIA A GALILEO fattore cessa di agire, il processo finisce. Nell’approccio galileiano il moto è uno stato. Non è necessaria alcuna causa per mantenere uno stato. Un corpo continua a essere in un dato stato fino a che non ci sia qualcosa dall’esterno che lo obblighi a cambiare quello stato. Grandi sforzi di una generazione di pensatori furono necessari per comprendere gli aspetti essenziali del moto di una pietra in caduta libera. La scelta di studiare proprio tale moto fu straordinariamente felice, perché la maggioranza degli altri fenomeni naturali, più complessi, non sarebbe mai capitolata neppure di fronte alle menti più ingegnose. A rigore, nell’Universo non esistono fenomeni isolati, poiché le cose interagiscono tutte fra loro. I fenomeni e i processi danno luogo a una gerarchia di relazioni e di interdipendenze. Il tutto è così fittamente intrecciato da renderne difficile la comprensione. Si può solo tentare di realizzare disperate “misure linguistiche” per esprimere a parole la ricchezza dell’esperienza comune. Fu questa la strada seguita per molti secoli nel tentativo di comprendere il mondo, ma invano. Le misure linguistiche si limitano a simulare la comprensione delle cose. Un lampo di genio era necessario per gettare luce su un fenomeno che potesse essere isolato dal resto senza modificarne troppo la natura, e che potesse essere abbastanza ricco di informazione da condurre a una conoscenza più ampia, non ristretta al fenomeno in sé. Una pietra in caduta libera è proprio un fenomeno di questo tipo e possiamo dire con certezza che fu la comprensione di questo moto a creare la fisica moderna. In questo senso, si tratta della più grande delle scoperte. Tuttavia, dobbiamo tenere presente che anche il genio di Galileo sarebbe stato inutile se il mondo non avesse posseduto la sorprendente proprietà che la sua struttura può essere approssimata da strutture più semplici. Non si tratta di una necessità a priori. Possiamo facilmente immaginare un mondo che non goda di questa proprietà. In quel mondo, il ricercatore si troverebbe di fronte a due possibilità: arrendersi fin dall’inizio, oppure provare a confrontarsi con il mondo in tutta la sua complessità. Ammesso che respinga la prima opzione, non gli resterebbe che abbracciare la strategia di descrivere la natura in modo puramente verbale.
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Capitolo 12
LA NASCITA DEL METODO
1. Sulle spalle di giganti iene comunemente accettato, non senza ragione, che l’atto di nascita della fisica moderna sia la pubblicazione dell’opera di Isaac Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Lo stesso Newton ebbe a dire d’essere stato in grado di vedere più lontano di altri solo perché stava sulle spalle di giganti. Ed è vero che giganti come Copernico, Keplero e Galileo avevano aperto la strada e avevano costruito gran parte dell’edificio, ma comunque fu Newton ad affinare il metodo, a formulare le leggi e a gettare le fondamenta per gli sviluppi futuri. Il modo migliore per iniziare un capitolo che tratta dei risultati di Newton è di sfogliare i suoi Principia e di immergersi nella loro lettura. Il capolavoro di Newton consiste di tre libri. L’obiettivo del Libro Primo è la formulazione delle leggi del moto. Nel Libro Secondo le leggi vengono applicate a vari casi particolari; davvero qui vengono gettate le basi per nuovi capitoli della fisica: la meccanica dei fluidi, il moto dei corpi in vari mezzi, la meccanica ondulatoria e così via. Infine, nel Libro Terzo, Newton costruisce il suo “sistema del mondo”: deduce le leggi dei moti planetari di Keplero dai principi della sua dinamica e sviluppa la teoria della gravitazione universale. In questo lavoro monumentale, il lettore moderno, dotato di tutti gli attuali strumenti metodologici, può facilmente distinguere tre livelli: (1) il livello matematico, che consiste nell’analisi matematica delle leggi della natura; (2) il livello fisico, nel quale vengono esplorate le conseguenze empiriche delle leggi di natura; (3) il livello filosofico, nel quale Newton si impegna a trovare le “cause”
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CAPITOLO 12 delle leggi naturali. Nei testi di fisica dei nostri giorni sono presenti i livelli (1) e (2), con l’opportuno formalismo matematico e la sua interpretazione fisica. Il livello (3) spesso viene trascurato o ridotto al minimo, mentre invece nell’opera di Newton gioca un ruolo essenziale tanto nell’articolazione del lavoro quanto nella rappresentazione delle vedute dell’autore.
2. Definizioni e leggi del moto Dopo una presentazione generale della magnum opus di Newton, applichiamoci ora a considerarla puntualmente fin dall’inizio. I Principia si aprono con la Lettera Dedicatoria e la Prefazione dell’Autore, e proseguono con la sezione intitolata Definizioni. Senza altre spiegazioni introduttive, Newton offre al lettore la prima definizione: La quantità di materia è la misura della stessa, che si ricava insieme dalla sua densità e dalle sue dimensioni.1
Poiché non è la formulazione che daremmo noi oggi, dobbiamo imparare a interpretarla correttamente. Newton vuole dirci che la “quantità di materia” è qualcosa che può essere misurata, e che la sua “misura” si ottiene moltiplicando la densità per il volume. L’autore non cerca di spiegare al lettore cosa sia l’essenza della materia, ma è interessato unicamente alla sua “quantità”, fornendo un’indicazione su come misurarla. Ai nostri giorni possiamo parlare di una definizione operativa. Poche righe più avanti, Newton spiega che questa definizione è basata su un’idealizzazione: “A questo punto io non prendo in considerazione il mezzo, ammesso che ci sia…”, e propone di rimpiazzare il vecchio termine “quantità di materia” con uno nuovo: “A questa quantità nel seguito mi riferisco usando il termine di corpo, o massa”. Quest’ultimo termine è quello comunemente usato nella fisica moderna. Leggendo il testo di Newton, siamo testimoni della nascita del suo significato in termini puramente operativi. Se siamo d’accordo con la maggioranza dei filosofi della scienza che gli unici concetti fisici da considerare come tali sono quelli definiti operativamente, di fatto siamo testimoni della nascita della fisica moderna. Sono pochissimi al mondo i libri con un incipit di così vasta portata. Riportiamo ora la terza definizione2: La vis insita, o forza innata della materia, è la sua disposizione a resistere;
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LA NASCITA DEL METODO ciascun corpo, per quanto sta in esso, permane nel suo stato presente, che sia a riposo o che si muova uniformemente lungo una linea retta.
Newton sta ancora usando il termine tradizionale di “forza innata della materia”, ma gli conferisce un nuovo significato. Spiega infatti: Questa forza è sempre proporzionale al corpo considerato e non differisce per nulla dall’inattività della massa, se non nel nostro modo di concepirla. Un corpo, a causa della natura inerte della materia, solo con difficoltà può venire distolto dal suo stato di riposo o di moto.
Ciò giustifica il nuovo nome: “A seguito di questa descrizione, la vis insita potrebbe essere più significativamente chiamata inerzia (vis inertiae) o forza di inattività”. Oggi usiamo comunemente il termine “inerzia”. È una specie di “resistenza” che un corpo esercita solo “quando una forza applicata ad esso tenta di modificarne la condizione”. Una definizione chiara dà buoni risultati nella misura in cui spiega altri concetti. Il principio di relatività risulta essere niente più che un corollario della suddetta definizione di inerzia: La resistenza viene usualmente ascritta a corpi che sono a riposo e l’impulso a quelli in movimento; ma il moto e il riposo, come vengono comunemente concepiti, sono solo relativamente distinguibili; né sono sempre veramente a riposo quei corpi che comunemente sono assunti esserlo.
Il passo successivo in questa catena logica è, naturalmente, la definizione di forza. La quarta definizione di Newton recita: Una forza applicata è un’azione esercitata su un corpo al fine di cambiare il suo stato di riposo oppure di moto rettilineo uniforme.
E questa è la sua spiegazione: Questa forza consiste solo nell’azione, e non permane sul corpo dopo che l’azione è conclusa. […] Ma le forze applicate possono avere origini differenti, da urto, da pressione, da forze centripete.
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CAPITOLO 12 La terza definizione stabilisce lo standard del moto, mentre la quarta identifica la forza come la deviazione da questo standard; essa diventa una vera e propria definizione operativa solo se congiunta con la Seconda Legge della Dinamica. Ma, con queste definizioni, le leggi della dinamica (“Assiomi, o Leggi del Moto”, come le chiama Newton) sono quasi ovvie: PRIMA LEGGE: ogni corpo permane nel suo stato di riposo, o di moto rettilineo uniforme, a meno che non sia obbligato a modificare quello stato per l’applicazione di forze su di esso.
SECONDA LEGGE: la variazione del moto è proporzionale alla forza applicata; essa avviene nella direzione rettilinea lungo la quale viene applicata la forza.3
Da quanto abbiamo già detto in precedenza, benché formalmente la Prima Legge sia conseguenza della Seconda, sappiamo che tuttavia non è superflua, poiché fissa lo standard del moto senza il quale la Seconda Legge sarebbe senza significato.
3. Il calcolo differenziale Nella formulazione di Newton della Seconda Legge appare un’espressione cruciale: la “variazione del moto”. I paradossi di Zenone hanno dimostrato quante difficoltà siano connesse con il concetto di moto, e in questo caso non abbiamo solo a che fare con il moto, ma anche con la sua variazione. Nella formulazione moderna, noi parleremmo di accelerazione. Aristotele e molti dei suoi seguaci erano in grado di utilizzare correttamente il concetto di velocità media. Galileo si misurò in modo abbastanza efficace con il moto uniformemente accelerato. Tuttavia, è necessario il calcolo differenziale se vogliamo parlare di velocità e accelerazione istantanee, attribuendo a questi termini un significato preciso. Il calcolo differenziale era stato introdotto indipendentemente da Leibniz e da Newton, che disputarono lungamente circa la priorità della scoperta. Come avviene con tutte le grandi scoperte scientifiche, specialmente nel campo della matematica, quella del calcolo differenziale era stata anticipata da una lunga sequenza di risultati parziali su vari problemi. Nel XVII secolo, erano ormai mature le idee che avrebbero suggerito le soluzioni corrette. Per esempio,
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LA NASCITA DEL METODO il filosofo Thomas Hobbes (1588-1679), che era rimasto profondamente impressionato dai risultati di Galileo nella meccanica, aveva postulato che il moto avrebbe dovuto costituire la base di tutta la filosofia naturale. Per sviluppare quest’idea, egli aveva introdotto il concetto di conatus (tendenza, inclinazione) che, nell’analisi del moto, avrebbe dovuto svolgere lo stesso ruolo che il concetto di punto ha nella matematica dell’estensione, ossia in geometria. Proprio come un’estensione è fatta di punti, così il moto si suppone che consista di conatus. Hobbes considerava il tempo come pura “illusione”, riducendolo ad essere il “prima e dopo” nel moto. Egli diceva che il conatus doveva essere inteso come una parte infinitamente piccola del moto, piccola quanto siamo in grado di concepirla4. Il maestro di Newton, Isaak Barrow, era vicino alle idee di Hobbes, ma, contrariamente a questi, era dell’avviso che il concetto di tempo fosse cruciale nell’analisi del moto. Benché “il tempo non implica il moto, per quanto concerne la sua natura assoluta e intrinseca5, […] però implica che il moto sia misurabile; senza moto noi non percepiamo il fluire del tempo”. Per Barrow il tempo era un concetto più matematico che fisico, mostrando molte similitudini con la linea in geometria, “perché il tempo ha solo una lunghezza” e “lo si può considerare come costituito dalla semplice somma di istanti successivi o come il fluire continuo di un istante…”. G.J. Whitrow fa notare giustamente che qui, per la prima volta, incontriamo una chiara idea della geometrizzazione del tempo6. Nelle sue Lectiones geometricae, Barrow si spinse fino al punto di presentare un metodo per trovare con il calcolo la tangente di una curva, qualcosa di simile alla nostra interpretazione geometrica della derivata. Non era dunque troppo lontano dalla grande scoperta del calcolo differenziale, ma, prima di mandare in stampa le sue Lectiones, Barrow affidò il manoscritto a Newton per un’ultima lettura e poi abbandonò la matematica per dedicarsi completamente agli studi teologici. Sia Newton, sia Leibniz (per quel che ne sappiamo oggi, senza ombra di dubbio, indipendentemente uno dall’altro) definirono i concetti fondamentali del calcolo differenziale in modo tale da renderli efficaci strumenti di calcolo. Entrambi fornirono una quantità di formule relative a come calcolare la derivata e l’integrale di diverse funzioni, ed entrambi compresero che derivata ed integrale sono operazioni inverse l’una dell’altra; nessuno dei due, tuttavia, aveva un’idea chiara del concetto di limite, e questo è il motivo principale per cui il calcolo differenziale, per gettare solide fondamenta, dovette attendere diverse generazioni di matematici, fino ai lavori di Cauchy, Cantor, Dedekind e Weierstrass. Newton basava le sue definizioni sull’intuizione di un “flusso” di moto (egli giunse a chiamare il suo approccio “calcolo dei flussioni”), mentre Leibniz era portato a considerare il moto come costituito di parti arbitraria-
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CAPITOLO 12 mente piccole e indivisibili (troviamo traccia di ciò nella notazione moderna df, usata per indicare il differenziale di una funzione: la dobbiamo a Leibniz). In ogni caso, i risultati ottenuti da Newton e da Leibniz erano così simili che non era semplice risolvere la disputa sulla priorità della scoperta. Non c’è dubbio che, nella preparazione dei suoi Principia, Newton fece uso del calcolo differenziale: tuttavia, egli presentò i risultati in una forma puramente geometrica. Solo in pochi punti, il lettore attento dei Principia potrà rilevare qualche traccia di calcolo differenziale. Sotto questo aspetto, Newton seguì lo stile di Barrow: tra l’altro, adottando il metodo tradizionale, probabilmente avrebbe aumentato il numero dei suoi lettori potenziali. L’antichità greca aveva inaugurato due linee di ricerca. I paradossi di Zenone diedero origine all’analisi matematica del moto, mentre con la fisica di Aristotele iniziò la ricerca nel campo della dinamica. La fisica moderna poté decollare solo quando queste due linee si incontrarono. Ciò si verificò nell’opera di Newton.
4. Concetti ben noti a tutti Dalla storia raccontata nei capitoli precedenti, abbiamo tratto la lezione che l’evoluzione dei concetti è una delle più importanti componenti del progresso scientifico. Sappiamo anche che i concetti non evolvono da soli, ma che partecipano a un complesso processo di risoluzione di problemi. Il problema del moto maturò fino a essere risolto dal lavoro di Newton, e i concetti relativi al moto maturarono con esso. Il punto cruciale è che da questo momento in poi i concetti fisici dovranno essere definiti operativamente, vale a dire in modo tale che possano tradursi in un numero attraverso procedure di misura. Newton aveva ben chiaro tutto ciò quando raggruppò le sue definizioni nel primo paragrafo dei Principia. I concetti che lì vengono definiti sono parte del nucleo centrale della sua meccanica. Ma una lunga tradizione aveva raccolto e conservato altri concetti riguardanti la scienza del moto che, come risulterà in seguito, non avranno un’incidenza diretta sulle leggi della dinamica. Newton non evita di discuterli, ma li tiene separati dal corpo centrale della sua fisica. Dopo il paragrafo sulle definizioni, segue lo Scolio, dedicato a quelli che noi oggi chiameremmo gli aspetti filosofici della dinamica newtoniana. Il primo paragrafo recita: Finora ho dato le definizioni di alcuni termini forse poco conosciuti, e ho spiegato il significato che vorrei ad essi fosse attribuito nel seguito. Io non definisco il tempo, lo spazio, il luogo e il moto, poiché questi sono concetti
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LA NASCITA DEL METODO ben noti a tutti. Mi limito ad osservare che la gente comune non concepisce queste quantità in altro modo se non per la relazione che esse hanno con gli oggetti sensibili. Da qui sorgono alcuni pregiudizi, per rimuovere i quali sarà conveniente distinguere tali nozioni fra assolute e relative, vere e apparenti, matematiche e comuni. Le definizioni date nel paragrafo precedente dei Principia più che “poco conosciute”, erano semmai del tutto sconosciute, quanto meno per ciò che concerne il loro carattere operativo. Le idee di “tempo, spazio, luogo e moto”, benché “ben note a tutti”, devono essere spiegate al fine di eliminare “certi pregiudizi”. Questo è precisamente lo scopo dello Scolio. È qui che troviamo le famose definizioni di “tempo assoluto, vero e matematico”, o di spazio e moto assoluti, con le loro relative controparti. Però, non sono definizioni operative, ed è questo il motivo per cui appartengono al livello filosofico del lavoro di Newton. Ciò non vuol dire che non siano importanti. Al contrario, furono vitali per lo stesso Newton e inaugurarono un nuovo filone di ricerca per molte generazioni di fisici e filosofi.
5. L’eliminazione della materia Il concetto di materia ha una lunga storia7; stranamente, però, solo in tempi relativamente recenti è stato compreso nel senso in cui lo intendiamo attualmente. Nella fisica di Aristotele il termine materia, generalmente specificato come materia primaria, denotava qualcosa di quasi totalmente “immateriale”, la pura potenzialità delle forme ospitanti. Senza dubbio, il monismo materialistico degli atomisti antichi contribuì a consolidare nella nostra coscienza filosofica l’ideale astratto di materialità. Due tendenze dominarono nell’antichità. La prima, in accordo con la definizione “geometrica” di Euclide che “un corpo è ciò che ha lunghezza, ampiezza e profondità”, identificava l’essenza di un corpo con la sua estensione. La seconda, in continuità con la tradizione stoica, connetteva l’idea di “corpo materiale” con l’inerzia, intesa come assenza di ogni attività (era l’eco del concetto aristotelico di materia primaria). La prima di queste tendenze condusse infine alla dottrina cartesiana dell’identità tra materia ed estensione; la seconda alla disputa medievale riguardante la “quantità di materia” e l’impulso (impetus) di Buridano. Il termine “quantità di materia” (quantitas materiae) venne introdotto da Egidio Romano, discepolo di Tommaso d’Aquino, che, nelle sue riflessioni sull’Eucarestia, insegnava che doveva esistere una certa proprietà fondamentale della materia, una specie di sostrato che, dopo la transustanziazione, conservava
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CAPITOLO 12 gli attributi del pane e del vino anche se le loro sostanze cessavano d’esistere. Egidio chiamava quantitas materiae questa proprietà, la più vicina alla sostanza. L’argomento proposto era ingegnoso (e non teologico): quando si cambia il volume, la “quantità di materia” rimane la stessa, nonostante il fatto che la densità cambi (è la prima formulazione di una “legge di conservazione”!). Non a caso, queste idee speculative aprirono la strada alle indagini matematiche. Notiamo anzitutto che la proprietà più fondamentale, quella “vicina alla sostanza”, risultò essere una quantità (di materia). Fu Buridano a formulare la legge secondo la quale l’impeto è proporzionale alla quantità di materia. Benché in modo non corretto, il punto di vista quantitativo veniva con ciò trasferito dalla materia al moto. Keplero fu continuatore di questa linea di pensiero, arricchendola di aspetti osservativi. Egli pensava che i pianeti avessero differenti “quantità di materia”; perciò, osservando lungo quali traiettorie si muovono e con quali velocità, possiamo verificare le nostre ipotesi sulle leggi del moto che li riguardano. Il passo successivo fu di Newton. Come abbiamo visto, egli stava ancora usando il termine “quantità di materia”, ma attribuendogli un significato nuovo, e definito con precisione. Di fatto, nel primo e secondo livello del suo lavoro (formalismo matematico e interpretazione fisica), egli avviò il processo di eliminazione del concetto di materia dalla fisica. Non si tratta, in effetti, di un concetto fisico, poiché non è definito in maniera operativa. Si possono misurare la massa (Newton ci ha insegnato come fare), l’energia, il volume e la densità, ma non si può misurare la materia. Il concetto di materia, spesso usato dai fisici, o è preso dal vocabolario dei filosofi o, più spesso, dal linguaggio comune. Nell’opera di Newton, la massa è un concetto operativo, qualcosa che può essere misurato, qualcosa di cui possiamo avere conoscenza solo attraverso la misura. Risultato della misura è un numero, e un numero, quando è presente in una formula algebrica, diventa un simbolo. In questo senso, nella struttura formale della meccanica newtoniana, la massa è stata ridotta al ruolo di un parametro, generalmente denotato con la lettera m. Lo stesso Newton probabilmente non si rese conto che, al livello matematico e fisico del suo lavoro, il concetto di materia era stato bandito per sostituirlo efficacemente con quello di massa. Si conservò, invece, al livello filosofico, e non solo: lì giocò un ruolo chiave. La tradizione filosofica pre-newtoniana distingueva tra le proprietà primarie, ascrivibili a ogni oggetto sensoriale, e le proprietà secondarie, attribuibili solo a una certa classe di oggetti. Nelle sue speculazioni filosofiche, Newton intendeva la materia come un sostrato di proprietà primarie, ossia come qualcosa di molto prossimo all’idea tradizionale di sostanza. Ai tempi di Newton venivano considerate come primarie quattro proprietà: l’estensione, l’impenetrabilità, la mobilità e l’inerzia (intesa come “passività”).
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LA NASCITA DEL METODO Newton aggiunse alla lista due ulteriori proprietà: l’abilità di attrarre gravitazionalmente e quella di essere gravitazionalmente attratti. Nella tradizione aristotelica, la materia era totalmente passiva, richiedendo “qualcosa di esterno” per cambiare o per essere messa in moto. Attribuendo alla materia la proprietà attiva di attrarre per gravità, inconsciamente Newton diede il via a un lungo processo storico che condusse infine alla nascita del materialismo moderno, la dottrina secondo la quale la materia è il “principio attivo” di qualunque cosa8.
6. Calcolare o spiegare Secondo René Thom, Newton calcolò tutto ma non spiegò nulla9. È vero che, per la prima volta e in modo esteso, fu Newton a introdurre il metodo del modellare matematicamente i vari fenomeni, ma non è vero che egli non desiderasse fornire spiegazioni. In effetti, egli era piuttosto deluso dal fatto che la sua teoria della gravità non fosse in grado di indicare la causa dell’attrazione gravitazionale e, per fornire una spiegazione, prese in esame quattro differenti ipotesi. Nella prima, l’etere cosmico era responsabile della propagazione della gravità; nella seconda, era la luce ad avere questo ruolo. La terza ipotesi aveva un che di misterioso, facendo ricorso a certi “principi attivi” che si supponeva riempissero lo spazio e fossero di natura non-meccanica. La quarta ipotesi attribuiva gli effetti gravitazionali all’azione diretta di Dio. Solo molto più tardi, quando le categorie filosofiche vennero eliminate dalla scienza, molti autori videro in Newton il precursore del modo di pensare positivistico. A partire da Newton, inizia un periodo nel quale la fisica è del tutto conquistata dal metodo della costruzione di modelli matematici dai quali dedurre previsioni che possano essere confrontate con i risultati di misure. Ma, ancora una volta, non è vero che tali modelli non spiegano nulla. Il modello matematico di un fenomeno fisico non è solo uno strumento attraverso cui ricavare vari effetti misurabili; esso getta anche uno sguardo dentro la “struttura interna” di un fenomeno e questo deve essere riguardato come l’atto del “comprendere”. L’indubbio successo della scienza moderna giustifica in pieno la convinzione che esiste una certa similitudine fra la struttura matematica di un dato modello e la struttura del fenomeno considerato. In un certo senso, vi è una risonanza tra i due: da un lato, i risultati empirici verificano il modello matematico e, dall’altro, il modello consente di interpretare i dati empirici e di progettare nuovi esperimenti. Siamo perciò autorizzati a dire che la struttura del modello riflette o rappresenta la struttura dell’aspetto del mondo che stiamo investigando. Inoltre, una struttura matematica non è isolata da tutte le altre: esiste una rete complessa di interazioni tra di esse. Se modelliamo matematicamente un dato
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CAPITOLO 12 fenomeno fisico, automaticamente lo collochiamo in una rete multiforme di interazioni con altre strutture matematiche. E quando immergiamo un fenomeno in un contesto più ampio di deduzioni logiche lo rendiamo più trasparente intellettualmente, ossia più comprensibile. Perciò, il metodo empirico-matematico di indagine del mondo non è solo uno strumento computazionale: esso ci offre una comprensione dell’intimo funzionamento del mondo, forse la sola comprensione autentica e possibile.
7. La filosofia sperimentale C’è ragione di credere che Newton non avesse piena coscienza del fatto che egli stava creando una nuova scienza, distinta dalla filosofia della natura o dalla filosofia naturale del suo tempo. Certamente egli comprendeva che le sue scoperte rivestivano un’importanza straordinaria e stavano aprendo nuove prospettive per il futuro, ma probabilmente riteneva di essere ancora nel solco della venerabile filosofia naturale. Reca testimonianza di ciò il titolo del suo capolavoro. Sia negli scritti di Newton, sia nella ricca letteratura che immediatamente fiorì abbondante attorno ai suoi risultati, venivano anche usati altri termini, come “filosofia sperimentale” o “filosofia meccanicistica”. Negli scritti di Newton, questi termini non avevano un significato ben definito, ma comunque dimostrano chiaramente che stava iniziando il processo di scissione della filosofia in discipline scientifiche particolari. Inoltre, la lettura dell’opera completa di Newton, e di alcune delle sue affermazioni, ci aiuta a formulare una vaga idea di ciò che egli aveva in mente quando usava tali espressioni. Per esempio, in uno dei suoi manoscritti leggiamo che compito della filosofia naturale è scoprire lo schema di come opera la natura e, per quanto possibile, di ridurlo a regole generali o a leggi che, comunque, devono essere fissate attraverso l’osservazione e l’esperimento10. In una lettera a Cotes, che curò la seconda edizione dei Principia, Newton spiega che la filosofia naturale, a partire dai fenomeni, formula, per induzione, affermazioni generali11. Il significato preciso di ciò è oggetto di annose discussioni tra gli specialisti, ma è difficile negare che Newton fosse del tutto conscio della novità del suo metodo. Potremmo supporre che per lui la “filosofia sperimentale” fosse un nuovo metodo, piuttosto che una nuova branca della scienza o anche una collezione di nuovi risultati. Ma i risultati erano cospicui e si stavano accumulando velocemente. Da essi cominciò a emergere una nuova immagine del mondo, un’immagine così forte che ben presto divenne il contenuto stesso del termine “filosofia sperimentale” o “meccanicistica”12.
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Capitolo 13
È MATEMATICO IL MONDO?
1. Il metodo lla fine della Parte I, nel capitolo 5, abbiamo avanzato l’ipotesi che il mondo è razionale, nel senso che è dotato di una proprietà grazie alla quale può essere investigato razionalmente. Ci sono diversi metodi con i quali il mondo può essere studiato ma, come abbiamo visto nel nostro faticoso cammino attraverso le avventure del pensiero umano, solo uno di questi ha dimostrato di essere particolarmente fecondo: si tratta dell’elaborazione di modelli matematici dei vari aspetti del mondo, seguita dalla loro verifica sperimentale. Quando la fisica ha iniziato ad applicare questo metodo su larga scala, i progressi nella comprensione del mondo si sono fatti così tumultuosi da non poter essere paragonati a quelli realizzati in nessun altro campo dell’attività umana. Ciò ci consente di esprimere la nostra ipotesi in modo più preciso: dovremmo attribuire al mondo una proprietà grazie alla quale esso può essere studiato efficientemente attraverso il metodo matematico-empirico (per brevità, nelle pagine che seguiranno lo chiameremo semplicemente metodo matematico). In questo senso, parleremo spesso della razionalità matematica del mondo, o diremo semplicemente che il mondo è matematico. Dobbiamo ora sottolineare due aspetti: primo, il fatto che talvolta ometteremo il termine “empirico” quando ci riferiremo al metodo scientifico non significa che si voglia minimizzare il ruolo della sperimentazione nella scienza. Se non facessimo esperimenti, saremmo di fronte a un insignificante giochino, consistente nella proposizione fine a se stessa di modelli
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CAPITOLO 13 matematici, ma non a una vera e propria indagine sul mondo. Secondo, dobbiamo ribadire con fermezza che se non ci fosse una forte “contaminazione” tra esperimenti e matematica, gli esperimenti sarebbero semplicemente impensabili. Ciò vale per tutti i tipi di esperimenti: dai più semplici, come quelli condotti da Archimede, ai più sofisticati, che vengono realizzati nei mastodontici e moderni acceleratori di particelle elementari. Ci sono alcuni razionalisti radicali che ritengono che tutte le informazioni riguardanti il mondo potrebbero essere dedotte a partire da un’unica teoria fondamentale, ammesso che un giorno riusciremo a scovarla. Se anche questo fosse vero (ma gli autori di questo libro non pensano che sia così), gli esperimenti sarebbero comunque indispensabili per verificare se la teoria è corretta, oppure no. Inoltre, se qui ci concentriamo sul metodo matematico-empirico, ciò non significa che sia nostra intenzione sottostimare gli altri metodi di contatto cognitivo ed emozionale con il mondo. Noi siamo interessati semplicemente al mondo fisico e, in questo preciso dominio, il metodo matematico-empirico non ha rivali.
2. Universi non-matematici Taluni ritengono che sia banale affermare che il mondo è matematico. Tra i fisici e i matematici si usa dire che un’affermazione è banale quando essa è concettualmente vuota di informazione, ossia è sterile. Dire “X è banale” significa dire che X non ci racconta nulla di nuovo. Al fine di mostrare che non è questo il caso per ciò che concerne la nostra ipotesi sulla razionalità matematica del mondo, dobbiamo decidere se il concetto di un mondo non-matematico si contraddica da sé, oppure no. Se fosse auto-contraddittorio, allora davvero la nostra ipotesi sarebbe banale (tautologica). Per dimostrare che così non è, procederemo nel seguente modo. Usando il metodo dei Gedankenexperiment (esperimenti concettuali), possiamo immaginare vari modelli non-matematici del mondo, ossia modelli che non godono della proprietà di poter essere investigati attraverso la matematica. Si possono fare esempi di modelli non-matematici ordinati in modo gerarchico: dal mondo non-matematico in senso stretto ai modelli non-matematici in senso debole. Cominciamo con il “mondo massimamente non-matematico”. Si tratterebbe di un Universo nel quale non è obbligatorio che esistano leggi matematiche e logiche: non solo quelle della nostra matematica e della nostra logica, ma di nessuna matematica e di nessuna logica immaginabili. Chiariamo meglio questo punto: in un mondo siffatto, sono escluse anche
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È MATEMATICO IL MONDO? le leggi della probabilità (la teoria della probabilità è infatti una teoria matematica). Chiameremo tale mondo Mondo Non-Matematico 1 (per brevità: MNM1). In questo tipo di mondo non ci sono regolarità o, equivalentemente, tutte le possibili regolarità sono valide simultaneamente: è consentito che succeda qualunque cosa. Faremo ora un’ipotesi ontologica: che il MNM1 non possa esistere. Il suo carattere contraddittorio (in esso ogni cosa è consentita) esclude la sua stessa esistenza. In quanto contraddittorio, il MNM1 è anche irrazionale; ma, per essere irrazionale, un Universo dev’essere matematico, almeno in un certo senso. Le nostre attuali conoscenze matematiche ci consentono di immaginare un Universo caratterizzato da strutture matematiche che superano le nostre possibilità cognitive. Nello sviluppo storico della matematica agisce un potente effetto selettivo: noi facciamo indagini solo su quelle strutture matematiche che siamo in grado di gestire. Sappiamo infatti che esistono funzioni matematiche che sono troppo complesse da manipolare, o anche semplicemente da esprimere attraverso una formula. In effetti, la grande maggioranza delle funzioni appartiene a questa categoria “esotica” (dal nostro punto di vista). Per fare un esempio, possiamo considerare un Universo ideale che può trovarsi solo in due possibili stati: lo stato “zero” e lo stato “uno”. La storia di questo Universo è una sequenza di zeri e di uno. Assumiamo ora che questo nostro Universo abbia avuto un inizio, che denoteremo con un punto all’inizio della sequenza di zeri e uno. Otterremo, per esempio, la seguente sequenza: .011000101011 L’obiettivo del fisico che vive in questo Universo1 è di costruire una teoria basandosi sulla quale diventa possibile prevedere gli stati futuri del suo Universo. Tale teoria consisterebbe in una formula, sensibilmente più corta della sequenza di zeri e uno, che ci permetterebbe di calcolare gli elementi successivi della sequenza. Il nostro fisico ha la possibilità di scovare tale formula solamente se la sequenza è comprimibile algoritmicamente, vale a dire solo se è possibile trovare un algoritmo che ci permetta di comprimere la sequenza in una forma ridotta. Ma qui abbiamo un problema! La sequenza di zeri e di uno (con un punto all’inizio) può essere interpretata come l’espressione decimale di un numero reale dell’intervallo [0,1]. È ben noto che l’insieme [0,1] dei numeri reali comprimibili algoritmicamente è di misura zero. Ciò significa che è nulla la probabilità di selezionare un tale numero dall’intervallo [0,1], se la scelta è fatta a caso. Perciò, se l’Universo in questione non è venuto al mondo ad opera di un Creatore con una mente altamente matematica, il nostro fisico non ha nes-
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CAPITOLO 13 suna possibilità di scovare la teoria del suo Universo. Questo Universo sarebbe matematico, ma non conoscibile. Naturalmente, il fisico potrebbe dire che la sequenza di zero e di uno è in se stessa una teoria dell’Universo. Tuttavia, nel caso considerato, la sequenza altro non è che una copia della storia cosmica. La conclusione è che il fisico potrebbe non avere né la copia esatta della storia cosmica, né nessun’altra teoria. L’Universo non può essere approssimato da qualche altra struttura matematica più semplice; non ha proprietà di comprimibilità algoritmica. Per noi quel mondo non è matematico. Chiameremo tale mondo MNM2. Le approssimazioni e le idealizzazioni svolgono un ruolo cruciale nella scienza. Se fossimo condannati a confrontarci con il mondo nella sua complessità, la nostra fisica probabilmente resterebbe al livello delle descrizioni puramente qualitative. L’istante in cui Newton comprese che, invece dei “corpi reali”, conveniva considerare punti materiali in moto uniforme non soggetti ad alcuna forza fu il punto di partenza della fisica moderna. C’è tuttavia un’altra possibilità. Immaginiamo un Universo esattamente uguale al nostro, con solo una “piccola” eccezione. In questo Universo, la forza di gravità tra due masse, invece di agire in proporzione inversa al quadrato della distanza, supponiamo che agisca in proporzione inversa alla potenza 1,999 della distanza. In questo Universo i pianeti compirebbero i moti attorno ai rispettivi Soli seguendo orbite complicate, generalmente non-chiuse e non-periodiche, e, se pure la vita potesse evolvere su uno di essi, gli astronomi di quel pianeta difficilmente potrebbero andare oltre un’astronomia di stampo tolemaico, provando a descrivere le orbite con ogni sorta di deferenti e di epicicli. Possiamo persino chiederci se in quelle condizioni sarebbe addirittura possibile scoprire la legge di gravità. Ecco dunque l’esempio di un Universo perfettamente matematico, ma quasi impossibile da investigare da parte dei suoi abitanti. Indicheremo tale mondo con la sigla MNM3.
3. Cosa possiamo imparare da questi esempi? Abbiamo detto che il mondo è matematico poiché esso ha una proprietà grazie alla quale lo si può studiare efficientemente con il metodo matematico-empirico. Questa proprietà ha un significato solo in funzione delle possibilità cognitive di ricercatori intelligenti. Gli esempi che abbiamo fatto mostrano che possono esistere Universi (quanto meno mentalmente, come oggetti non-contraddittori) dotati di un’intima struttura matematica,
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È MATEMATICO IL MONDO? che però non possono essere investigati da esseri intelligenti (MNM2). Nella nostra terminologia convenzionale classifichiamo questi Universi come non-matematici; ma ora affineremo la terminologia e li chiameremo ontologicamente matematici, ma epistemologicamente non-matematici. Gli Universi del tipo MNM1 sono sia ontologicamente sia epistemologicamente non-matematici. Noi crediamo che tali Universi siano solo una possibilità astratta che, di fatto, non può esistere. In questo e nei capitoli precedenti abbiamo discusso del fatto che dobbiamo attribuire al nostro Universo due proprietà: la sua razionalità e il suo carattere matematico. Ciò potrebbe suggerire che quest’ultima proprietà sia secondaria nei confronti della prima, oppure che la seconda proprietà sia un tipo speciale della prima. Tale conclusione sarebbe comunque prematura. Se l’essere ontologicamente matematico è per il nostro Universo una condizione necessaria per la sua esistenza (come discusso sopra), non può esistere un Universo ontologicamente non-matematico. Perciò, non può esistere un Universo razionale senza qualche carattere matematico. Un Universo che può essere investigato razionalmente deve essere almeno ontologicamente matematico. Sorge dunque la domanda: è possibile che esista un Universo razionale, ma epistemologicamente non-matematico? Tale Universo potrebbe essere investigato razionalmente utilizzando metodi differenti da quelli matematici. Il che non sembra insensato. Dopotutto, esistono scienze che non fanno uso di metodi matematici.
4. La selezione naturale delle teorie fisiche È interessante che le discussioni riguardanti il “carattere matematico del mondo” conducano a una polarizzazione estrema delle posizioni, molto più di quanto avvenga in altre polemiche simili: mentre alcuni ritengono che tale problematica sia una delle più importanti in filosofia, altri pensano che si tratti di una questione banale che non merita attenzioni. Perché succede questo? Noi riteniamo che la ragione stia nell’universalità della proprietà del mondo che è in discussione. Se qualche forma di matematica è condizione necessaria di esistenza, non c’è nulla che potrebbe non avere almeno qualche aspetto matematico. Venendo a mancare la “pietra di paragone” (qualcosa che ne sia del tutto priva), è difficile rendersi conto di questa proprietà. È come volare su un aereo supersonico nel buio della notte, con i passeggeri che non si accorgono di essere in movimento (tutto ciò che sta intorno a loro si muove infatti con essi).
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CAPITOLO 13 La diagnosi è corroborata dal fatto che quando gli oppositori della nostra tesi si pronunciano contro di essa, sempre assumono tacitamente ciò che essi vorrebbero eliminare. Per esempio, Bas van Fraassen, nel libro The Image of Science2, ragiona in questo modo: i fisici costruiscono molte teorie nel tentativo di spiegare il mondo e le verificano con l’esperimento; nel corso di questo processo, si avvedono che la gran parte delle teorie proposte risultano empiricamente inadeguate3. Restano così sempre meno numerose le teorie che hanno qualche probabilità di dimostrarsi adeguate sul piano empirico e, alla fine, una sola teoria risulta essere quella “obbligata”. Succede dunque qualcosa di simile alla selezione naturale e allora l’efficacia della matematica nel modellare i fenomeni naturali viene privata dei suoi supposti misteri. Avendo gli scienziati selezionato la teoria destinata ad essere quella di maggior successo, non deve sorprenderci che, sotto questo aspetto, si tratti della “teoria migliore”. Tuttavia, molto probabilmente, prima o poi la “migliore teoria” del momento verrà rimpiazzata da un’altra ancora migliore, quella che si rivelerà empiricamente più adeguata dell’attuale. Van Fraassen ha essenzialmente ragione quando dice che nel processo competitivo tra le teorie fisiche agisce una sorta di selezione naturale. Ma perché mai? Negli Universi non-matematici discussi nel paragrafo precedente ciò sarebbe impossibile. Inoltre, tutti gli effetti selettivi hanno un carattere probabilistico e, poiché abbiamo sottolineato che il calcolo delle probabilità è una buona teoria matematica come tutte le altre, di nuovo ci troviamo di fronte al solito problema: perché l’Universo è matematico? Come abbiamo visto, questa domanda è solo un aspetto di una questione più ampia: perché l’Universo è razionale? Nel caso di quest’ultimo interrogativo è ancora più semplice rendersi conto che ogni argomento tendente a dimostrare la sua supposta banalità si trasforma necessariamente in un circolo vizioso, poiché assume ciò che vuole provare. Nell’Universo ontologicamente irrazionale non c’è argomento che possa funzionare. Chiunque voglia provare qualcosa, o argomentare a favore di qualcos’altro, tacitamente assume che l’Universo non è ontologicamente irrazionale.
5. La giustificazione dell’induzione È notevole il fatto che fino a quando furono usati in campo scientifico i metodi deduttivi, che sono logicamente affidabili4, il progresso di crescita della conoscenza è stato lento e faticoso; ma non appena venne introdotto
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È MATEMATICO IL MONDO? il metodo sperimentale, che non è puramente logico (logicamente inaffidabile), il progresso si è fatto rapido e spettacolare. Ciò non mette in causa il metodo deduttivo in quanto tale (irrinunciabile nelle scienze formali, come la matematica); semplicemente, si vuole asserire che la deduzione non è l’unico metodo del fare scienza. Perché allora i metodi logicamente inaffidabili risultarono essere così fecondi nelle varie discipline scientifiche? Cosa garantisce la loro straordinaria efficacia? Quali altri assunti dobbiamo fare per trasformare questo metodo in uno logicamente affidabile? Il problema è conosciuto come giustificazione dell’induzione. In parole povere, il metodo induttivo, o semplicemente l’induzione, è il processo per il quale si ricava un’affermazione generale, ossia una “legge”, a partire da casi particolari che sono stati osservati, misurati o investigati in qualche modo5. Ciò è quanto sembra si faccia nelle scienze: sperimentalmente investighiamo un numero finito di casi (in linea di principio il maggior numero possibile, ma spesso, in pratica, relativamente pochi), e poi generalizziamo la conclusione a tutti i casi possibili. Tale strategia spesso viene identificata tout-court con il metodo empirico stesso, tanto è vero che le scienze empiriche vennero chiamate scienze induttive. Lo stesso Newton era fermamente convinto che l’induzione fosse un metodo basilare della fisica, o della “filosofia sperimentale”, per usare il suo linguaggio. Egli formulò la sua “quarta legge del ragionamento filosofico” nella seguente maniera: Nella filosofia sperimentale, le proposizioni desunte per induzione dai fenomeni, nonostante che si possano immaginare innumerevoli ipotesi contrarie, devono essere ritenute come molto vicine al vero, fino a quando occorrano altri fenomeni grazie ai quali esse possano essere rese ancora più precise o soggette a eccezioni.6 È da rimarcare che Newton ha ben presente come i risultati del ragionamento induttivo siano “molto vicini al vero”, ma non più di questo; e che ad essi si dovrebbe tenere fede solo fino a quando “occorrano altri fenomeni” che ci costringono a modificarli più o meno profondamente. Il problema dell’induzione venne formulato chiaramente per la prima volta da David Hume, il quale si pose la questione che, nella formulazione di Popper7, suona: Siamo giustificati a ragionare partendo da casi [ripetuti] dei quali abbiamo esperienza, per giungere ad altri casi [conclusioni] dei quali non abbiamo esperienza?
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CAPITOLO 13 La risposta di Hume è negativa: per quanto grande sia il numero delle esperienze fatte, non siamo mai giustificati se nel ragionamento partiamo dalle esperienze passate per prevedere i risultati futuri. La questione è molto semplice: la giustificazione di tale modo di ragionare può venire, in linea di principio, o per deduzione o per induzione. Escludiamo la deduzione, poiché il ragionamento deduttivo è giustificato solamente se, accettando le premesse e negando la conclusione, andiamo incontro a una contraddizione: nel caso del ragionamento induttivo ciò non capita mai. D’altra parte, la giustificazione dell’induzione non può essere fatta per induzione, poiché ci avviteremmo in un circolo vizioso. La critica di Hume all’induzione ha innescato una lunga serie di discussioni che proseguono ancora oggi. Seguire nel dettaglio queste dispute va al di là dell’intento di questo capitolo; così, faremo un breve cenno solo a due delle questioni emerse nella polemica. La prima di queste riguarda la relazione tra il ragionamento induttivo e l’inferenza probabilistica. Sembrerebbe che, basandoci sulle esperienze passate, siamo autorizzati a tracciare qualche conclusione probabile riguardo al futuro. Uno degli approcci più seguiti, relativamente a questo aspetto del problema dell’induzione, è la cosiddetta inferenza bayesiana8, fondata su una particolare interpretazione della probabilità (bayesiana), secondo la quale “conta” il livello di fiducia attribuibile a una data ipotesi, piuttosto che la frequenza degli eventi favorevoli, come è nel caso dell’interpretazione standard della probabilità. Nella procedura dell’inferenza bayesiana si assume che, quanto più si accumulano le prove a supporto di una data ipotesi, altrettanto cresce il livello di fiducia per l’ipotesi stessa. Per quantificare il tutto, si usa il teorema di Bayes (ben noto nella teoria della probabilità). Indipendentemente dalle interpretazioni filosofiche che si possono dare, la teoria delle probabilità viene spesso impiegata per compiere previsioni in vari campi: partendo da un insieme relativamente piccolo (campione) di casi, noi cerchiamo di trarre conclusioni riguardanti un insieme ben più ampio di situazioni che pure non sono mai state osservate in precedenza, né misurate (e che magari non lo saranno mai). L’inferenza probabilistica risolve dunque il problema dell’induzione? Gli oppositori di questa “soluzione statistica” del problema obiettano che, per applicare il calcolo delle probabilità, dobbiamo anzitutto conoscere la distribuzione di probabilità iniziale, ossia la funzione che assegna le “misure di probabilità” ai diversi eventi. Per esempio, lanciando in aria una monetina possiamo avere due esiti egualmente probabili – testa o croce – a ciascuno dei quali accordiamo una misura di probabilità uguale a 0,5. Si noti che ci comportiamo in que-
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È MATEMATICO IL MONDO? sto modo in quanto ammaestrati da una ricca esperienza nel lancio di monetine. Una volta che abbiamo una distribuzione delle probabilità, siamo in grado di compiere diversi tipi di calcoli di previsione, come ci insegna la teoria delle probabilità. La funzione di distribuzione può essere assunta a priori (ossia sfruttando le “simmetrie” presenti in una data situazione), oppure può derivare da esperimenti, ossia dall’induzione9. La seconda questione è la “soluzione” del problema dell’induzione proposta da Karl Popper (1902-1994). Egli riteneva che le scienze non usano per niente l’induzione. Nella loro pratica di ricerca, gli scienziati formulano ipotesi (che si basano sulle loro precedenti conoscenze, sull’intuizione, sull’inventiva o su altri fattori contingenti) e deducono da esse conseguenze che possono essere confrontate con i risultati degli esperimenti. Così, il modo standard di costruire le teorie scientifiche non è per induzione ma piuttosto per ciò che Popper chiama il metodo ipotetico-deduttivo. Se dall’ipotesi proposta non discende alcuna conclusione osservabile, l’ipotesi non è falsificabile e come tale non merita un posto nella scienza. Se l’esperimento contraddice la conclusione, l’ipotesi è stata falsificata e d’ora in poi può essere interessante solo per gli storici della scienza. Nessuna ipotesi può mai essere confermata o verificata in via definitiva; invece, può essere sempre più corroborata quanto più riesce a superare con successo un numero crescente di test sperimentali10. È vero che il metodo induttivo trova solo un’applicazione limitata nelle scienze empiriche, ma difficilmente si può contestare il fatto che qualche elemento induttivo sia presente e costituisca un tassello importante nel metodo della scienza. Non c’è esperimento che venga ripetuto un numero indefinito di volte nei laboratori scientifici. Dopo che il risultato è stato verificato da pochi centri scientifici, esso viene accolto dalla comunità scientifica come “universalmente” valido. Benché le teorie scientifiche, in generale, non giungano a maturazione per induzione, rimane tuttavia pressante la necessità di una giustificazione filosofica dell’induzione stessa. Hume, riguardo all’induzione, considerava il seguente problema. Supponiamo di voler formulare una conclusione generale dall’aver investigato un certo numero di casi particolari. Ciò può essere fatto legittimamente (in accordo con i principi della logica) se integriamo il ragionamento con una premessa. Hume notava che la premessa aggiuntiva viene usualmente fornita dal principio di uniformità della natura, nel quale confidano non solo gli scienziati, ma anche la gente comune. Se si suppone che la natura “non fa salti” e che di conseguenza il futuro non può che assomigliare al passato, allora siamo del tutto giustificati quando affermiamo che un “numero sufficientemente elevato” di casi studiati può essere una
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CAPITOLO 13 buona rappresentazione dell’intera classe dei casi analoghi. Tuttavia, Hume rimarcava come questa pratica comune non risolve di per sé il problema dell’induzione, poiché è proprio attraverso l’induzione che facciamo nostro il principio di uniformità della natura. Alla conclusione di questo capitolo, il lettore può giustamente immaginare che, in un approccio più moderno, il principio dell’uniformità della natura può essere rimpiazzato dalla tesi sul carattere matematico del mondo. In verità, ammesso che la struttura del mondo sia simile a una certa struttura matematica, ci sembra naturale affermare che, se afferriamo qualche aspetto che sia tipico di tale struttura, allora dovremmo essere in grado di ricostruire la struttura per intero. La stessa struttura matematica ci fornisce i passaggi mancanti indispensabili per giustificare logicamente la conclusione. È lungo questa strada che si sviluppa il progresso scientifico. In altre parole, se affianchiamo la tesi sul carattere matematico del mondo all’insieme di proposizioni che esprimono il metodo induttivo, otteniamo la descrizione di un metodo altamente affidabile. Non dobbiamo tuttavia dimenticare che la tesi sul carattere matematico del mondo non ha in sé alcuna necessità logica. È solo una tesi molto ben giustificata dall’intera storia della fisica, e questa altro non è che un processo d’antica data basato su ragionamenti induttivi. Così, il problema resta aperto. Però, c’è una differenza importante fra il principio di uniformità della natura e la tesi sul carattere matematico del mondo. Il primo è più o meno un’idea intuitiva, mentre il secondo è un assunto fondativo del metodo scientifico.
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Capitolo 14
MATEMATICI AL LAVORO
1. Introduzione a nascita delle scienze matematiche, tra la fine del XVI e l’inizio del XVII secolo, cambiò il “volto della Terra” e, di fatto, inaugurò l’era che gli storici chiamano tempi moderni. Le scienze continuano a conformare la nostra mentalità e la nostra cultura a un livello che oggi nemmeno siamo in grado di apprezzare pienamente. Nelle pagine precedenti di questo libro, abbiamo raccontato le origini, il consolidamento e l’efficacia del metodo matematico-empirico. Abbiamo detto che i grandi successi delle scienze fondano le loro radici nel tacito assunto che il mondo possiede una proprietà grazie alla quale può essere razionalmente investigato. In questo senso, diciamo che il mondo è razionale. In ogni caso, non è da ritenere che il mondo risponda ugualmente bene a qualunque metodo d’indagine. Fino a quando gli uomini cercarono di comprenderlo attraverso analisi puramente concettuali, idee intuitive, o anche applicando gli strumenti rigorosi della deduzione logica, a partire da premesse più o meno “ovvie”, il progresso fu scarso e comunque lento. Ma non appena venne elaborato il metodo di costruzione di modelli matematici da sottoporre a verifica sperimentale, il progresso fu immediato e in continua accelerazione. La razionalità che noi attribuiamo al mondo è di un tipo speciale: è una razionalità matematica. Esprimiamo questo fatto dicendo che il mondo è matematico. In quest’ultima parte del libro, prenderemo in considerazione il modo in cui il metodo matematico opera nella scienza moderna. Newton riteneva di
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CAPITOLO 14 aver praticamente fatto tutto ciò che era possibile attraverso la matematica e che ai suoi successori non sarebbe rimasta che l’analisi filosofica dei risultati ottenuti. In realtà, nel lavoro di Newton erano state rese matematiche solo alcune categorie meccaniche, come lo spazio, il tempo e il moto (lo stesso era avvenuto per i fenomeni ottici), ma subito anche altre qualità dovettero consegnarsi alla matematica: i colori, i suoni, il calore. Tutte vennero ridotte da qualità a quantità meccaniche; nel caso del calore, attraverso metodi statistici. Sembrava che l’intero Universo non fosse altro che un’enorme costruzione meccanica priva di senso. Questo è il modo in cui Alfred North Whitehead descrive la rivolta di un poeta contro la matematizzazione del mondo. Riferendosi a una poesia di A. Tennyson, “Le stelle, ella sospira, corrono alla cieca”, scrive: Tutte le molecole corrono alla cieca. Il corpo umano è un aggregato di molecole. Perciò il corpo umano corre alla cieca, e di conseguenza potrebbe non esserci alcuna responsabilità individuale per le azioni del nostro corpo […]1
Ben presto la rivolta scoppiò anche nel cuore della fisica. La scoperta della teoria elettromagnetica, nella seconda metà del XIX secolo, innescò cambiamenti rivoluzionari nelle basi stesse della fisica. Nella prima decade del XX secolo iniziò ad emergere una nuova fisica, che non aveva tra i suoi caratteri quello d’essere “meccanicisticamente noiosa”. Se i poeti avessero potuto comprendere il suo linguaggio matematico, sarebbero rimasti deliziati dalla sua fantasia astratta, che sorpassa di gran lunga ogni umana immaginazione: la luce che piega la sua traiettoria passando nei pressi dei corpi celesti, gli orologi che accelerano o rallentano, lo spaziotempo che modifica la sua geometria in funzione della presenza e del moto delle masse, per non dire della grande novità del mondo quantistico nel quale la sostanza materiale delle particelle elementari si dissolve in un’onda di probabilità. Persino i fenomeni caotici, che finora sembravano sfuggire alla gabbia delle regole, dovevano arrendersi al potere della matematica. La fisica, in un certo senso, è divenuta poesia, ma una poesia che può essere prosaicamente verificata con esperimenti sofisticati. I miracoli della matematica non si sono però esauriti con la descrizione della relatività generale, della fisica quantistica e della teoria del caos. La sua potenza è ancora al lavoro. La matematica ci sta guidando verso l’obiettivo finale, che è l’unificazione completa della fisica e la comprensione definitiva del mondo, anche se questo non è un compito agevole. Talvolta sembra che l’obiettivo sia a portata di mano, giusto dietro l’angolo, ma non appena si fa
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MATEMATICI AL LAVORO un passo in quella direzione ecco che l’obiettivo si allontana, spostandosi al di là dell’orizzonte. E ancora sorge inevitabile la domanda: il metodo matematico di ricerca sul mondo ha qualche limite? Possiamo solo sospettare che, se il limite esiste, sarà lo stesso metodo matematico abbastanza potente da scoprirlo. E, in effetti, sembra proprio che sia così.
2. La matematica vede più dei nostri occhi Newton era convinto di aver presentato la sua meccanica in una forma definitiva e che i suoi successori avrebbero dovuto aggiungervi solo alcuni dettagli di minore importanza. Il lavoro che restava da fare consisteva nello svelare le cause dei fenomeni fisici, come la gravità universale, ma questo apparteneva più alla filosofia che alla “descrizione matematica”. Sotto questo aspetto, Newton sovrastimava il suo lavoro. I Principia contrassegnarono il Grande Inizio, ma non certo la Fine. Subito la fisica newtoniana venne sottoposta a stringenti analisi. Cosa cambierebbe se noi modificassimo gli assunti fatti in modo esplicito e implicito da Newton? Come rendere più semplice il ragionamento di Newton? È possibile migliorare gli algoritmi matematici, in modo tale da raggiungere gli stessi risultati più velocemente e con maggior precisione? Risultò così che la meccanica classica newtoniana poteva essere presentata sotto due scenari matematici differenti. Oggi infatti disponiamo di una descrizione in forma lagrangiana e in quella hamiltoniana. Si tratta di due incarnazioni della stessa meccanica, ciascuna delle quali si adatta meglio dell’altra a obiettivi differenti. Prendiamo in considerazione la formulazione lagrangiana. Supponiamo che si voglia calcolare il comportamento di un sistema meccanico, vale a dire che si voglia sapere come si muoverà il sistema sotto l’azione di alcune date forze. C’è una regola abbastanza semplice che dice come calcolare la cosiddetta funzione lagrangiana per ogni sistema meccanico2. Una volta che si conosca la funzione lagrangiana, si può calcolare un’integrale che i fisici chiamano azione. Ora viene il passo decisivo: il sistema meccanico potrà andar soggetto solo a quei moti per i quali l’azione assume valore estremi (precisamente: valori minimi o, talvolta, massimi). Ecco qui un bell’esempio di esplorazione della struttura matematica del mondo, e non è per niente vero che la meccanica classica è solo un prolungamento della nostra cognizione sensoriale. I nostri sensi non avvertono che i sistemi meccanici del mondo macroscopico sono la realizzazione del “principio di minima azione”, eppure è proprio questo principio che si rende responsabile del comporta-
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CAPITOLO 14 mento del mondo nella nostra esperienza quotidiana. La validità del principio di minima azione va al di là della fisica classica: oggi sappiamo infatti che tutte le principali teorie fisiche possono essere ricavate utilizzando lo schema inventato da Lagrange. L’unico problema, benché grosso, è come scrivere correttamente la corrispondente funzione lagrangiana. Il resto richiede solo abilità matematica (talvolta ne richiede molta): le equazioni fondamentali di una data teoria emergono dal calcolo del valore estremo del corrispondente integrale d’azione. Il principio di minima azione svela una proprietà strutturale e fondamentale del mondo. Da questo principio non discende solo l’equazione di qualche teoria fisica, ma le equazioni di tutte le principali teorie fisiche. Le varie teorie differiscono solamente per il fatto che ciascuna di esse richiede una differente funzione lagrangiana. Se ambissimo a creare una “teoria delle teorie fisiche”, il principio d’azione vi giocherebbe il ruolo dell’assioma principale. Questa è una prova ulteriore del fatto che la matematica vede molto più di quanto possano i nostri occhi, anche quando utilizziamo come ausilio sensoriale le invenzioni più avanzate dell’ottica elettronica. Il processo di matematizzazione del moto fu lungo e laborioso, ma i risultati sopravanzarono tutte le aspettative. A partire da Newton, i progressi si produssero “a valanga”. Le valanghe non solo corrono velocemente, ma anche travolgono e portano con sé ogni cosa. Il processo di matematizzazione presto travalicò la scienza del moto e invase altre branche della fisica. Fu ovvio che tutte le grandezze spaziali e quelle connesse con il moto potevano essere espresse in forma matematica. La geometria ha a che fare con lo spazio e il calcolo differenziale con le variazioni e il moto. Esiste però una categoria filosofica di qualità che si riferisce a quegli aspetti del mondo afferrabili dai nostri sensi, ma che sembrano essere troppo ricchi e complessi da poterli ridurre in formule matematiche. Ebbene, con il passare del tempo anche la categoria della qualità si arrese alla matematica. Già nell’Ottica di Newton erano apparse le prime indicazioni del fatto che i colori potessero essere descritti matematicamente, e, quando entrò in scena la teoria ondulatoria della luce, la questione venne risolta. Fu Newton a elaborare la teoria matematica del moto ondulatorio, e ora questa teoria doveva semplicemente essere adattata alla nuova situazione. I colori corrispondono alla lunghezza d’onda. Il mezzo nel quale si propagano le onde luminose fu chiamato etere, e a quel tempo la soluzione sembrava soddisfacente,. La questione del suono era ancora più semplice. Le onde sonore si propagano nell’aria. Non era difficile descrivere matematicamente il moto ondoso delle particelle dell’aria e, non appena lo si fece, l’acustica realizzò progressi impetuosi.
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MATEMATICI AL LAVORO Alla fine del XVII secolo, J. Locke (1632-1704) cercò di chiarire la situazione. Egli distingueva tra qualità primarie e qualità secondarie. Le primarie, come l’estensione, l’impenetrabilità e la mobilità, sono le proprietà intrinseche e reali dei corpi. Le qualità secondarie, come i colori e i suoni, altro non sono che le reazioni dei nostri sensi a stimoli esterni. Le qualità secondarie appartengono a quel campo della fisica che indaga sugli stimoli che ne sono la causa e anche a quel campo della psicologia che studia le reazioni umane a tali stimoli. Le proprietà dell’essere freddo o caldo sono qualità primarie o secondarie? Senza dubbio i corpi sono freddi o caldi in un modo diverso da come sono verdi o rossi. Il calore, contrariamente alla forma o al colore, può “fluire” da un corpo a un altro. La teoria del “fluido calorico”, che può trasmigrare (come un fluido ordinario) da un corpo più caldo a uno più freddo, era una sorta di compromesso tra il concetto di calore come qualità che può essere solo avvertita dai sensi e quella di una qualità che può anche essere misurata. La termodinamica classica, che entrò in scena nel XIX secolo, eliminò l’idea del “fluido calorico” e ridusse il concetto di calore a quello di energia cinetica delle particelle che costituiscono un dato corpo. In tal modo, il calore è connesso al moto delle particelle e può essere misurato proprio come possono essere misurati i moti. Fu una tipica riduzione di una qualità a una quantità e rappresentò pure un grande successo per la visione meccanicistica del mondo che sosteneva come ogni fenomeno può essere ridotto ai moti meccanici di particelle materiali. Ovviamente, è impossibile seguire i moti individuali di tutte le singole particelle che compongono un campione di gas o di fluido, ma è comunque possibile studiare tali moti aiutandosi con metodi statistici. Quando, nella seconda metà del XIX secolo, si comprese che la termodinamica è solo meccanica statistica, la grande maggioranza dei fisici si convinse che tutta la fisica altro non è che “meccanica applicata”: dimostrarlo era solo questione di tempo e di abilità di calcolo.
3. L’idea di campo Nel XIX secolo, i fenomeni elettrici e magnetici cominciarono ad attirare l’attenzione dei fisici. Potevano anche questi fenomeni essere ricondotti a interazioni puramente meccaniche? Newton aveva convinto i suoi successori che nella visione meccanicistica del mondo potevano esistere forze agenti a grandi distanze: il prototipo era la gravità. Perciò non era sorprendente che una carica elettrica potesse agire su un conduttore anche senza un contatto diretto. Già dall’antichità si sapeva che i magneti mostravano una proprietà simile.
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CAPITOLO 14 Quando si imparò qualcosa di più sulla geometria connessa con l’azione a distanza (per esempio, studiando le linee di forza lungo le quali la limatura di ferro si allinea nei dintorni di un magnete), sembrò naturale e attraente introdurre il concetto di campo elettrico e magnetico. Lo spazio che circonda le cariche elettriche o magnetiche veniva ad acquistare una struttura fisica sempre più complessa. Un fisico scozzese, James Clark Maxwell, propose una bella teoria matematica capace di unificare l’elettricità e il magnetismo nell’interazione elettromagnetica. Benché nel suo lavoro si fosse ispirato a modelli meccanici, Maxwell li rigettò quando la teoria fu completata. Le equazioni del campo elettromagnetico risultarono essere una struttura matematica astratta, indipendente da ogni immagine meccanica. Si può ricavare da queste equazioni che ogni perturbazione elettromagnetica si diffonde sotto forma di un’onda, ma tutti i tentativi di introdurre in questa visione un mezzo nel quale tale perturbazione si propaga altro non erano che una concessione alla nostra immaginazione, incapace di adeguarsi alla nuova idea. Le difficoltà crebbero, determinando una crisi nella fisica classica. Crisi che divenne ben presto una catastrofe dalla quale scaturì una delle più grandi rivoluzioni nei fondamenti stessi della fisica. Non è infrequente che la scienza elabori concetti destinati in seguito a riversarsi nella cultura umana. La meccanica newtoniana regalò alla nostra cultura alcuni concetti che la arricchirono enormemente. La comprensione che oggi abbiamo dei concetti di tempo, spazio, causalità e materia dipende fortemente da ciò che la fisica classica ebbe ad esprimere su di essi. Esempi di altri concetti di questo tipo sono l’idea di evoluzione e di campo. La prima entrò nel “circuito sociale” grazie alla teoria darwiniana della selezione naturale, la seconda a seguito della teoria elettromagnetica di Maxwell. Il concetto di evoluzione ha conosciuto grandi fortune, diventando quasi uno slogan buono in ogni occasione. Il concetto di campo non ha avuto una fortuna comparabile, ma in ogni caso si è conquistato uno spazio al di là del dominio di applicabilità in fisica ed è presente in molte analisi filosofiche. In matematica e in fisica il concetto di campo è oggi un insostituibile strumento di analisi. Quando, nel XX secolo, vennero scoperte nuove interazioni fisiche (le interazioni nucleari debole e forte) non ci fu dubbio che anch’esse avessero il carattere di un campo, e quando Einstein cominciò a pensare all’unificazione di tutte le forze fisiche, parlò della teoria del campo unificato. Non è perciò da meravigliarsi se la matematica (in primo luogo per le sue applicazioni fisiche, e poi per scopi suoi propri) sviluppò ampiamente i cosiddetti metodi teorici del campo. Dall’idea del campo vettoriale, introdotta dallo stesso Maxwell, sono scaturiti vari campi (vettoriali, tensoriali, spinoriali e
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MATEMATICI AL LAVORO altri ancora), che vengono trattati nella matematica contemporanea. Difficilmente oggi si può immaginare una geometria che non faccia uso di tecniche di calcolo connesse con vari campi. La circostanza può essere riguardata come la controparte scientifica del punto di vista filosofico secondo il quale non esiste uno spazio assolutamente vuoto: ogni spazio è permeato da campi di vario tipo.
4. La rivoluzione relativistica La grande rivoluzione nei concetti di spazio e di tempo in fisica cominciò alla fine del XIX secolo con la scoperta che la teoria elettrodinamica di Maxwell non poteva essere incastonata nell’intelaiatura della fisica classica. Non si trattò di una facile scoperta. Fu infatti preceduta da molti tentativi di riduzione dell’“elettrodinamica dei corpi in movimento” alla fisica newtoniana del moto. Questi tentativi non solo non furono in grado di accordarsi con tutta una serie di questioni teoriche, ma portarono anche a risultati empirici incongrui. Fu Albert Einstein a indicare la via d’uscita da questa situazione critica. La sua teoria speciale della relatività fu un ulteriore successo del processo di matematizzazione dello spazio e del tempo. Già la fisica classica aveva introdotto qualche elemento contro-intuitivo nel corpo delle conoscenze fisiche relative allo spazio, al tempo e al moto, ma la nostra immaginazione si è così prontamente adeguata ad esse che oggi le consideriamo ormai di senso comune. Il dominio delle altissime velocità (comparabili con quelle della luce) rimane però tutto al di là della portata dei nostri sensi e la nostra immaginazione non può fare altro che assumere che anche in quei domini tutto funziona esattamente come nel mondo che ci circonda. Fu il metodo della costruzione di modelli matematici del mondo a superare i limiti della nostra immaginazione e ad aprire il dominio delle altissime velocità all’esplorazione scientifica. Einstein aveva preso sul serio i risultati degli esperimenti che avevano messo profondamente in crisi i suoi predecessori, al punto di basarsi su di essi nella formulazione dei suoi assunti di partenza. Tutto il resto fu il risultato di deduzioni matematiche. Le conseguenze di questa strategia, benché contro-intuitive, trovarono conferma in molti nuovi esperimenti. La realtà fisica si arrende ai modelli matematici piuttosto che alla nostra immaginazione. Sia i fisici che gli storici della scienza sono d’accordo nel considerare la teoria speciale della relatività come il risultato di una “logica interna” dello sviluppo scientifico: ossia, se non fosse stato Einstein nel 1905, qualcun altro
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CAPITOLO 14 l’avrebbe formulata da lì a poco. Al contrario, la teoria generale della relatività rappresentò il risultato dello sforzo solitario di Einstein nei confronti di un problema che nessuno prima di lui aveva messo in luce. Il merito è della profonda intuizione di Einstein e, insieme, delle sue continue ricerche matematiche (Einstein dovette studiare interi nuovi capitoli della matematica). La strada che portò dagli assunti iniziali alla forma finale della teoria generale della relatività fu molto più lunga e tortuosa che nel caso della relatività speciale. Se Einstein non avesse suggerito la corretta struttura matematica (le equazioni del campo gravitazionale), la fisica sarebbe rimasta senza una della sue teorie più eleganti. Più tardi, si attribuì ad Einstein la frase che esistono due criteri di verità di una teoria fisica: il primo è l’accordo con i risultati sperimentali e il secondo è la sua perfezione interna. Quando, nel 1915, formulò le sue equazioni del campo gravitazionale, Einstein aveva a disposizione solo tre prove empiriche per la sua nuova teoria e, tra queste, solo la precessione del perielio di Mercurio offriva un valore quantitativo concreto da confrontare con le previsioni teoriche. Anche l’entità di questo effetto, tuttavia, che consisteva in una minuscola deviazione dalle previsioni della teoria di Newton, non era stata determinata in modo molto preciso. Soltanto molti anni dopo, anche le altre due prove divennero precise abbastanza da essere utilizzate in pratica. Di conseguenza, il primo criterio di Einstein (l’accordo con l’esperimento) non fu di grande aiuto: Einstein si trovò allora costretto ad usare il secondo criterio (la perfezione interna) e lo utilizzò ampiamente. Chiaramente, si tratta di un criterio soggettivo, ma solo fino a un certo punto. La storia delle scoperte matematiche e fisiche suggerisce che esistono alcuni ricercatori in grado di distinguere, in un modo relativamente oggettivo, una bella struttura matematica fra tutte le numerose altre che sono prive di tale qualità. Nella struttura matematica che Einstein utilizzò per costruire un modello della gravità è contenuta un’enorme quantità di informazioni relative al mondo. Nei decenni successivi sono state trovate molte soluzioni alle equazioni di Einstein e ancora oggi si continua a scoprirne. In molti casi, tali soluzioni descrivono fenomeni di cui Einstein neppure poteva sospettare l’esistenza. È il caso delle soluzioni che rappresentano i modelli di Universo e di stelle massicce. In qualche caso, le equazioni si rivelarono essere “più sagge” dello stesso Einstein. Per esempio, Einstein si opponeva ostinatamente al fatto che l’Universo potesse espandersi, nonostante che le equazioni chiaramente glielo indicassero. Addirittura, egli giunse a modificare le equazioni, aggiungendo la famosa costante cosmologica, per ottenere una soluzione statica (non-espansiva). Circa dieci anni dopo, gli astronomi scoprirono che le galassie si allontanano le une dalle altre con velocità che aumentano in funzione
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MATEMATICI AL LAVORO della loro distanza da noi. Dunque è vero che l’Universo si espande e Einstein dovette riconoscere il suo errore. Anche nel caso delle stelle massicce ci fu una sorpresa. Subito dopo che Einstein aveva scritto le sue equazioni di campo, nello stesso anno, il 1915, Karl Schwarzschild trovò una soluzione che suggeriva una configurazione di materia molto strana. Solo circa cinquant’anni dopo, risultò che tale configurazione esiste realmente. Si tratta del prodotto degli ultimi stadi evolutivi di stelle molto massicce, ciò che ora chiamiamo buco nero. Com’è possibile che le equazioni sappiano qualcosa che verrà effettivamente scoperto solo cinquant’anni dopo? Questo è esattamente ciò che spesso succede. Ancora ai giorni nostri troviamo nuove soluzioni alle equazioni di Einstein in grado di spiegare cose delle quali Einstein non aveva la benché minima idea. Alcune di queste nuove soluzioni rappresentano mondi esotici, che a prima vista sembrerebbero non avere nulla in comune con il nostro mondo, ma che poco dopo rivelano qualche proprietà cosmica inaspettata. Altre soluzioni indicano l’esistenza di possibili realtà non ancora rivelate osservativamente (un esempio potrebbero essere le onde gravitazionali); altre ancora risultano essere utili nelle ricerche sulle epoche primordiali dell’evoluzione cosmica (ad esempio, i modelli inflazionari o le stringhe cosmiche). La teoria generale della relatività, insieme con le sue applicazioni alla cosmologia e all’astrofisica, potrebbe essere considerata il più grande risultato ottenuto dal metodo matematico-empirico se non fosse che esiste, a questo riguardo, un forte concorrente, la meccanica quantistica, la teoria che, grazie ad esperimenti e a modelli matematici, spiega il mondo delle particelle elementari e delle interazioni fisiche fondamentali.
5. La rivoluzione quantistica La strada che condusse alla meccanica quantistica fu ancora più impervia di quella che portò alla relatività generale. Diversamente dalla relatività generale, la meccanica quantistica è frutto del lavoro collettivo di molti ricercatori, sia teorici che sperimentali. All’inizio alcuni risultati sperimentali, insieme con alcuni dati teorici, indicavano che, quando applicata alla scala atomica (la scala più piccola conosciuta a quel tempo), la fisica classica conduceva a paradossi, incongruenze o anche contraddizioni. La necessità di rimuovere, o almeno di ridimensionare, questi effetti indesiderati costrinse i fisici ad allontanarsi sempre più dalle leggi e dai metodi classici conosciuti. Questo modo di procedere produsse un insieme di regole euristiche e di modelli di lavoro che in seguito vennero collettivamente chiamati “vecchia meccanica quanti-
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CAPITOLO 14 stica”. Il processo fu accompagnato da animate discussioni e da dispute interpretative dovute al fatto che l’immagine del mondo microscopico che stava lentamente emergendo da questi tentativi era assai differente dagli standard del senso comune fissati dalla fisica classica. Gli elementi di questo grande puzzle cominciarono a combinarsi in un insieme coerente solo quando Paul Dirac scoprì una struttura matematica che unificava le due differenti formulazioni della meccanica quantistica, proposte precedentemente da Erwin Schrödinger e da Werner Heisenberg. La struttura matematica scoperta da Dirac è ora conosciuta come teoria degli spazi di Hilbert e degli operatori lineari che agiscono in essi. Ogni spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale dotato di alcune proprietà da cui scaturisce un’entità matematica molto ricca ed elegante. Grazie a queste proprietà, gli spazi di Hilbert non sono né più ricchi né meno ricchi di quanto richiedano i fenomeni quantistici. Ogni vettore in uno spazio di Hilbert rappresenta uno stato di un sistema quantistico (per esempio, lo stato di un atomo o di un elettrone)3. Un operatore lineare in uno spazio di Hilbert è un oggetto matematico che trasforma un vettore in un altro (sempre in questo spazio di Hilbert) o, nel linguaggio dei fisici, è un oggetto matematico che descrive un processo nel quale un oggetto quantistico (per esempio, un elettrone) cambia il suo stato. Ciò può corrispondere al processo di misura, nel quale un sistema quantistico cambia il suo stato a seguito della sua interazione con lo strumento di misura. Nella meccanica classica l’azione della misura non disturba l’oggetto misurato (la misura della velocità della mia auto non modifica significativamente la velocità stessa); questo non è più vero quando si considerino gli oggetti quantistici (ad esempio, lo stato di un elettrone cambia per effetto del processo di misura). Scegliendo adeguatamente gli operatori lineari che corrispondono agli esperimenti realmente effettuati, gettiamo uno sguardo nel mondo degli atomi, delle particelle elementari e dei campi quantistici, quel mondo che è completamente inaccessibile ai nostri sensi. L’efficacia del metodo si basa su due fatti. Il primo è l’esistenza di una struttura matematica (gli operatori lineari nello spazio di Hilbert) che in qualche modo misterioso riflette la struttura del mondo quantistico. Il secondo è l’esistenza di effetti quantistici che possono essere intensificati fino a lasciare tracce misurabili negli strumenti di misura macroscopici. Le misure effettivamente compiute, tradotte nel linguaggio degli operatori lineari che agiscono in uno spazio di Hilbert adeguato, ci consentono di stabilire una corrispondenza tra la struttura di questo spazio di Hilbert e la struttura del mondo quantistico. Grazie a ciò, possiamo leggere la struttura del mondo quantistico nella struttura degli spazi di Hilbert e degli opportuni operatori che agiscono in essi.
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MATEMATICI AL LAVORO Considerando i risultati straordinari della meccanica quantistica e delle moderne teorie del campo quantistico, e il fatto che queste teorie rappresentano i fondamenti della fisica contemporanea, ci sentiamo autorizzati a considerarli come i frutti più ricchi del metodo matematico-empirico.
6. La matematica del caos Esiste qualche dominio della fenomenologia fisica che non può essere reso in formule matematiche? Fino a pochi anni fa, si pensava che ciò avvenisse con i processi caotici. Come è possibile rappresentare con formule matematiche quello che succede alla base delle cascate del Niagara? O la formazione e l’immediata scomparsa di bolle alla superficie dell’acqua bollente? O la forma degli alberi e delle creste montuose? Eppure, recentemente è risultato che dietro tutti questi fenomeni ci sta un ordine nascosto. Benché non esistano nel mondo due alberi identici, ciascuno di noi può facilmente distinguere una quercia da un pioppo. Se ogni bolla alla superficie di acqua in ebollizione consiste di milioni di particelle, ci deve essere qualcosa che dica a queste particelle in che modo coordinare i loro movimenti in modo tale da costituire la bolla stessa. E benché le particelle d’acqua nelle cascate del Niagara diano vita a configurazioni che mutano in continuazione, è pur vero che le cascate, viste da una certa distanza, appaiono sempre uguali. A spiegare tutti questi fenomeni è la teoria del caos, anche detta teoria del caos deterministico. Inventore della teoria fu Henry Poincaré, agli inizi del XX secolo; la teoria non conobbe sostanziali evoluzioni nel corso dei cinquant’anni successivi: solo recentemente, ha conosciuto sviluppi accelerati. Ne è risultato che, contrariamente alle attese, non viene richiesta una matematica particolarmente complessa per spiegare i fenomeni caotici. In effetti, le equazioni dinamiche che modellano tali fenomeni possono perfino essere molto semplici. Devono mostrare solo una proprietà: un’alta sensibilità alle variazioni delle loro condizioni iniziali. Tutte le bollicine alla superficie dell’acqua bollente sono simili fra loro poiché sono governate dallo stesso sistema di equazioni differenziali (un tale sistema è detto sistema dinamico), ma alcune bollicine sono più grandi di altre, alcune durano più a lungo ecc., perché minuscole variazioni nelle condizioni iniziali di queste equazioni conducono a soluzioni assai diverse. La teoria dei sistemi dinamici caotici ha causato una notevole rivoluzione in fisica nel dominio della meccanica classica che era stato ritenuto fino a poco tempo fa un capitolo chiuso. Ha costituito una notevole sorpresa la scoperta che i sistemi dinamici classici sono per la gran parte caotici. In realtà, nel
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CAPITOLO 14 gergo matematico, quasi tutti i sistemi dinamici classici sono caotici, ad eccezione, forse, di un numero finito di essi. Questi risultati hanno gettato nuova luce sul determinismo classico. Naturalmente, le equazioni del moto della meccanica classica sono deterministiche, nel senso che, conoscendo le condizioni iniziali con precisione assoluta, è possibile calcolare in modo univoco il comportamento passato e quello futuro del sistema. Tuttavia, nella pratica, ciascuna misura può essere fatta solo con una precisione finita (anche trascurando l’indeterminazione quantistica), e di conseguenza le condizioni iniziali delle equazioni non possono mai essere conosciute con una precisione assoluta. In tal caso, ci troviamo di fronte a un sistema dinamico caotico, il cui futuro comportamento è impredicibile. Come vedremo, la riduzione a formule matematiche dei fenomeni fisici non implica che essi siano strettamente predicibili. Ci sono fenomeni fisici che, pur potendo essere trattati in forma matematica, tuttavia hanno un “futuro aperto”. La potenza della matematica, con le sue applicazioni ai fenomeni naturali, è molto maggiore di quanto fosse lecito supporre.
7. La matematizzazione “del tutto” Incoraggiati dagli enormi successi della fisica matematica, i fisici sognano la conclusiva “teoria del tutto”4. L’idea di unificazione era presente nella fisica moderna fin dal suo inizio. Basterebbe ricordare che la fisica moderna è nata contemporaneamente all’unificazione della fisica terrestre con la fisica dei cieli: la stessa legge di gravità governa la caduta di una mela qui sulla Terra e i moti di stelle lontane. Subito dopo, la fisica si divise in molte branche, ciascuna delle quali si sviluppò velocemente nei modi propri, ma tutte adottando essenzialmente gli stessi metodi, e tutte partecipando al processo di creazione dello stesso corpo di conoscenze, portando un contributo alla comprensione del mondo fisico. Inoltre, mentre varie branche della fisica acquisivano un carattere più teorico e più matematico, i confini tra di esse si fecero sempre più labili. Nel XIX secolo, risultò che la termodinamica non era altro che una forma di meccanica statistica e l’elettrodinamica di Maxwell unificò due domini che erano rimasti separati fino ad allora: quelli dei fenomeni elettrici e magnetici. Il primo a formulare in modo chiaro il programma di unificazione della fisica fu Einstein. Dopo aver pubblicato la teoria generale della relatività, nella quale il campo gravitazionale era rappresentato come una deformazione geometrica dello spaziotempo, egli comprese che i fenomeni elettromagnetici potevano essere inclusi in questa formulazione geometrica. Molti furono i
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MATEMATICI AL LAVORO tentativi di raggiungere l’obiettivo, intrapresi dallo stesso Einstein, da Weyl, Kaluza, Eddington e da altri, ma tutti fallirono e non produssero i risultati sperati. Eppure, tutti questi lavori non risultarono vani: grazie a loro, vennero scoperte molte eleganti strutture matematiche e molte nuove idee vennero iniettate nel campo delle conoscenze fisiche. Per esempio, Hermann Weyl compì un passo avanti essenziale verso la formulazione delle teorie di gauge che ora servono come modelli matematici in tutti i campi della fisica, eccezion fatta per la gravitazione (benché siano in corso tentativi di includere anche la gravità negli schemi di gauge). Kaluza e Klein consideravano lo spaziotempo come dotato di un’ulteriore dimensione, che si supponeva dovesse far posto all’elettromagnetismo nella relatività generale di Einstein. Oggigiorno, gli spazi multidimensionali sono uno strumento indispensabile in alcuni recenti tentativi di unificazione, come nella teoria delle superstringhe. Oggi sappiamo che il programma di unificazione originale di Einstein non poteva avere successo. Einstein non poteva sapere che oltre alle forze elettromagnetiche e gravitazionali esistevano anche le interazioni nucleari forte e debole, e che anch’esse dovevano essere incluse in uno schema di unificazione. Il metodo di gauge scoperto da Weyl risultò essere estremamente utile sotto questo aspetto. Grazie a tale metodo, adottato in modo appropriato, Steve Weinberg e Abdus Salam ebbero successo, negli anni Settanta del secolo scorso, nell’unificazione della forza elettromagnetica e di quella nucleare debole in un’unica forza, che ora è detta interazione elettrodebole. Questa unificazione è stata verificata empiricamente nel grande acceleratore di particelle del CERN, vicino a Ginevra. Secondo la teoria di Weinberg e Salam, le interazioni elettromagnetica e nucleare debole sono indipendenti l’una dall’altra quando la temperatura ambiente è al di sotto di circa 100 GeV (GeV è il simbolo del giga elettron-volt)5: al di sopra, diventano un’unica interazione elettrodebole. Quando divenne possibile riprodurre tali temperature al CERN, si ottenne la verifica empirica dell’unificazione elettrodebole. Ci sono buone ragioni per credere che la forza elettrodebole si unifichi con l’interazione nucleare forte a temperature dell’ordine di 1014 GeV: si parla in questo caso di Grande Unificazione della fisica. Sono molti gli scenari che si prospettano per questa unificazione, il più importante dei quali è basato sul metodo di gauge, ma è difficilissimo il compito di verificarli empiricamente, poiché nel prevedibile futuro non si renderanno disponibili temperature di quell’ordine di grandezza. La sola possibilità, più o meno realistica, di procedere alla loro verifica è per via indiretta con l’aiuto della cosmologia. Temperature dell’ordine di 1014 GeV erano dominanti nell’Universo circa 10-35 s dopo il Big Bang: se introduciamo il meccanismo della Grande Unificazione in un modello cosmologico, possiamo calcolare per via teorica
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CAPITOLO 14 quali possibili tracce questo meccanismo abbia lasciato ad epoche successive dell’evoluzione cosmica. In linea di principio, è possibile rivelare tali tracce attraverso osservazioni astronomiche. Se così fosse, sarebbe possibile verificare indirettamente i modelli di Grande Unificazione. Tuttavia, finora questo metodo non ha prodotto risultati. Le stesse considerazioni possono essere fatte, con l’invito ad essere ancora più prudenti, nei confronti della cosiddetta Superunificazione della fisica, ossia di quelle teorie che provano a unificare tutte le interazioni fisiche, gravità inclusa. Il miglior tentativo finora proposto è la teoria delle superstringhe, insieme con la sua più recente ingegnosa generalizzazione, la teoria M. Nella teoria delle superstringhe si combinano due idee: quella di stringa e quella di “super”. L’idea di stringa consiste nell’assumere che le particelle elementari non sono oggetti puntiformi, ma piuttosto filamenti, appunto “stringhe”. Il successo più significativo di questo approccio è la dimostrazione che i vari modi di vibrazione di queste stringhe monodimensionali forniscono lo spettro corretto delle particelle conosciute (insieme con molte altre che sono ancora da scoprire), e che le interazioni tra di esse possono essere ricondotte al comportamento geometrico delle stringhe. L’idea di “super” risale alla vecchia teoria della supersimmetria. Ci sono due tipi di particelle elementari: i fermioni e i bosoni. I costituenti della materia ordinaria (protoni, neutroni, elettroni) sono fermioni; le particelle che trasmettono le interazioni tra una coppia di altre particelle sono bosoni (per esempio, un fotone, mediatore dell’interazione elettromagnetica tra elettroni, è un bosone). La supersimmetria è un’operazione che trasforma i fermioni in bosoni, e viceversa. Matematicamente è un’operazione molto elegante, che richiede, tra le altre cose, di sostituire i numeri reali e complessi con i numeri di Grassmann (detti anche Grassmanniani). Rimpiazzando i numeri ordinari con i Grassmanniani si possono realizzare molte nuove strutture matematiche, come gli spazi di supervettori, i supergruppi, le supervarietà e così via. Tuttavia dobbiamo sottolineare che questa sostituzione non è una procedura semplice: richiede invece una buona dose di inventiva. Benché non sia possibile mettere alla prova per via diretta la Grande Unificazione e la Superunificazione, il programma di unificazione della fisica ha condotto a risultati molto interessanti, come l’unificazione tra la fisica e la cosmologia. Come abbiamo più sopra ricordato, le temperature necessarie per la Grande Unificazione erano presenti nell’Universo all’epoca cosmica intorno a 10-35 s. Si può facilmente calcolare che le temperature richieste per la Superunificazione, che sono dell’ordine di 1019 GeV, erano presenti nell’Universo a 10-44 s dal Big Bang (la cosiddetta era di Planck). Anche in questo caso, se inseriamo le teorie di Superunificazione in un modello cosmo-
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MATEMATICI AL LAVORO logico, possiamo provare a prevedere quali tracce siano state lasciate e come le si possa scoprire ad epoche successive. Ciò che non riusciamo a fare negli acceleratori di particelle, può dunque essere fatto in campo cosmologico: in questo senso, i fisici talvolta dicono che l’Universo è l’acceleratore di particelle primario e definitivo.
8. La soglia di Planck La teoria delle superstringhe e la teoria M vanno persino più in là e cercano di ricostruire l’era precedente a quella di Planck. Queste ricerche sono davvero eccitanti, ma al momento si collocano ai limiti estremi del metodo scientifico. Questo libro dovrebbe dunque concludersi qui, visto che il suo scopo principale è di esplorare l’essenza e l’efficacia del metodo. Restando nei limiti sicuri del metodo scientifico, questa è l’immagine delle strutture più intime dell’Universo che ne emerge. All’inizio c’era una simmetria matematica estremamente ricca, ma anche molto semplice dal punto di vista geometrico: potremmo chiamarla Simmetria Primordiale, o Supersimmetria Primordiale (che non ha necessariamente qualcosa in comune con la supersimmetria che conosciamo dalle teorie della supergravità o delle superstringhe). Le violazioni della Supersimmetria Primordiale che ne seguiranno (disaccoppiamenti delle forze fisiche attualmente conosciute) portò allo sviluppo di molteplicità sempre più diversificate. Il sogno dei fisici di una teoria definitiva non è altro che un sogno riguardante la Simmetria Primordiale dalla quale si è originata tutta l’attuale ricchezza del mondo. Ciò non significa assolutamente che l’intera storia futura del Cosmo, fino ai suoi più minuti dettagli, era già predeterminata, una volta per tutte, nella Simmetria Primordiale, come una melodia è registrata una volta per tutte in un nastro magnetico o in un CD. A introdurre elementi di imprevedibilità nella storia dell’evoluzione del mondo sono state le successive rotture di simmetria e quei processi che hanno portato all’emergere di strutture complesse sempre più numerose. Oltretutto, ci sono forti ragioni per ritenere che il livello più fondamentale della fisica abbia un carattere quantistico e che, di conseguenza, le indeterminazioni quantistiche siano presenti nelle leggi che governano la struttura dell’Universo. Proprio queste leggi, che in ultima analisi sono responsabili delle successive rotture di simmetria, mediate nel modo opportuno, conducono al determinismo classico del nostro mondo macroscopico. Tuttavia, come abbiamo visto, anche a questo livello il mondo presenta una gran varietà di processi caotici che sono imprevedibili e che spesso generano nuove strutture complesse. La forma del nostro pianeta, insieme
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CAPITOLO 14 con i suoi sistemi biologici, ai quali anche noi partecipiamo, è il prodotto di queste forze creative. L’evoluzione dell’Universo ha un carattere matematico, ma la matematica che è alla base di questa evoluzione è tutt’altro che grigia e noiosa. Non è come risolvere sempre lo stesso esercizio di calcolo, ma piuttosto è un continuo porre nuovi problemi che devono essere risolti.
9. I limiti del metodo Al termine delle nostre ricerche c’è una domanda ineluttabile da porci: può ogni cosa essere resa in termini matematici? La domanda rimane valida anche se per “ogni cosa” intendiamo tutto ciò che ha a che fare con la fisica. Se ci poniamo la questione dei limiti del metodo scientifico, immediatamente ci tornano alla mente i teoremi di Gödel. Se esistono limiti stringenti nel campo della matematica pura, cosa possiamo dire per ciò che riguarda la fisica? David Hilbert, lavorando sul programma di formalizzazione della matematica, espresse idee condivise da molti matematici. Come ben noto, un sistema assiomatico viene considerato come il più elevato standard di formalizzazione. Un certo dominio della matematica diventa un sistema assiomatico se si riesce a trovare un insieme di asserzioni (gli assiomi) e un insieme di regole di inferenza, tali per cui tutte le verità matematiche (i teoremi) di questo dominio possono essere arguite (dedotte o provate) a partire dalle asserzioni attraverso le regole di inferenza. Dimostrare i teoremi a partire dagli assiomi, all’interno di un dato sistema assiomatico, è quasi una procedura meccanica. Il “fattore umano”, che spesso è fonte di imprecisioni ed errori, viene qui ridotto al minimo. Per la verità, il programma di Hilbert consisteva nel ridurre l’intera matematica a un solo sistema assiomatico complessivo in grado di autenticare molti sotto-sistemi assiomatici “più piccoli”. Questo programma non era solo il risultato del fatto che ai matematici piacciono la precisione e l’economia di pensiero; si supponeva che innanzitutto rappresentasse il rimedio per i problemi e i paradossi che stavano angustiando la matematica già da qualche decennio. In tale situazione, apparve il teorema di Gödel: Gödel dimostrò che se un sistema assiomatico, ricco almeno quanto l’aritmetica, è completo, allora è in sé auto-contraddittorio. Spieghiamo il concetto. Un sistema assiomatico è completo se tutte le proposizioni vere di un dato dominio possono essere dedotte dai suoi assiomi. Un sistema assiomatico è auto-contraddittorio se dai suoi assiomi possono essere dedotti sia un determinato teorema, sia la sua negazione. In effetti, la contraddizione fa franare l’idea stessa di sistema assio-
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MATEMATICI AL LAVORO matico. All’interno di un sistema auto-contraddittorio (cioè un sistema che contiene una contraddizione) non si può dimostrare nulla. Il teorema di Gödel non impedisce che si costruisca un sistema assiomatico contenente tutta la matematica, ma asserisce che un tale sistema deve essere auto-contraddittorio, e perciò inutile. Il teorema di Gödel consente che si costruisca un sistema assiomatico senza contraddizioni e più ricco dell’aritmetica, ma in tal caso troveremo in esso affermazioni che sono vere nel dominio a cui il sistema si riferisce e che, comunque, non possono essere dedotte dai suoi assiomi. In altre parole, il teorema di Gödel afferma che non esiste un insieme di assiomi e di regole di inferenza sufficientemente forte da provare tutte le affermazioni vere dell’aritmetica, il quale, allo stesso tempo, non sia abbastanza forte da “dimostrare” anche le affermazioni false. Se questo teorema vale per l’aritmetica, allora è anche valido (e dovrebbe esserlo ancor di più) nei confronti della totalità della matematica. Il programma di Hilbert non può essere implementato. La matematica non può essere presentata come un singolo sistema assiomatico. Quando un fisico applica la matematica all’investigazione del mondo, ai limiti propri della matematica aggiunge ulteriori limiti dovuti al fatto che egli applica strutture matematiche a qualcosa che non è la matematica. Perciò, dovremmo aspettarci che la matematizzazione della fisica incontri due tipi di limitazioni: la prima inerente la matematica stessa e la seconda associata con l’applicazione della matematica alla fisica. Sembra che ci sia soltanto un sottile canale attraverso il quale possiamo bypassare le limitazioni tipo-Gödel nella ricerca fisica. Come detto, il teorema di Gödel resta valido solo per sistemi assiomatici che sono ricchi almeno quanto l’aritmetica. È possibile ridurre l’intera matematica che si usa in fisica a nient’altro che una parte dell’aritmetica? Chiunque abbia qualche cognizione di fisica teorica sarebbe propenso a dare una risposta negativa a questa domanda. Però, forse che il mondo è simile a un computer che utilizza solo le operazioni numeriche più semplici, e siamo soltanto noi, che non abbiamo le tipiche abilità del computer, a dover impiegare l’analisi funzionale, la geometria differenziale e tutto il resto della matematica più altamente sofisticata nella nostra ricerca sul mondo? Il suggerimento contenuto in questa domanda sembra assai improbabile, ma non può essere escluso a priori. Ci sono buoni motivi per ritenere che le equazioni non-lineari, il caos deterministico e diverse altre strutture matematiche essenzialmente più ricche dell’aritmetica debbano essere usate in fisica non solo come strumenti per semplificare i nostri ragionamenti matematici, ma come elementi essenziali della struttura dell’Universo. Se il mondo non è solo un “abaco veloce”, ma una ricca struttura matematica “interpretata fisicamente”, allora i limiti tipo-
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CAPITOLO 14 Gödel si devono in qualche modo trovare impressi nella struttura del mondo. Tuttavia, al momento, i matematici vivono un disagio molto più forte dei fisici dovuto alle “fondamenta traballanti” della loro disciplina. Oltretutto, quando vanno alla ricerca di basi salde per progredire, spesso i matematici danno una mano ai fisici. Se le applicazioni della matematica alla fisica forniscono risultati così stupefacenti, allora lo stato della matematica non può essere tanto brutto quanto lo si racconta.
10. Un campo di razionalità Rivolgiamo ancora la nostra attenzione al programma di Hilbert. Nella sua visione non realizzata, l’intera matematica è un singolo sistema assiomatico totalizzante costituito da un gran numero di sottosistemi assiomatici minori, ciascuno dei quali rappresenta l’assiomatizzazione di una particolare branca della matematica. Tutti questi sottosistemi sono interconnessi da molteplici dipendenze logiche. In questa super-struttura di strutture, ogni cosa è formalizzata in senso stretto, il che non lascia spazio a imprecisioni e antinomie, mentre ci dà la certezza, una volta per tutte, che la matematica sia libera da contraddizioni. I matematici erano rimasti così affascinati dalla chiarezza del programma di Hilbert che quando, a seguito del teorema di Gödel, fu chiaro che non poteva essere implementato, versarono in un’angoscia profonda per l’impossibilità di realizzare il sogno dell’unità della matematica. E cosa succederebbe se la matematica fosse qualcosa di molto più grande che non un singolo sistema assiomatico? Proviamo a immaginare un insieme di tutte le possibili strutture matematiche. Quando noi pensiamo a un imponente agglomerato di oggetti, il primo termine che ci viene alla mente è “insieme”, benché nel caso di “tutte le possibili strutture matematiche”, il termine “insieme” quasi certamente non può essere applicato nel significato standard che ha nella teoria degli insiemi. Allora useremo il termine “campo”. Questo sembra più appropriato poiché, pensando alla matematica, non dovremmo pensare a un agglomerato disperso di oggetti, ma piuttosto a una serie di multiformi strutture connesse l’una con l’altra attraverso varie relazioni di inferenza. In un certo senso, abbiamo a che fare con un campo di potenzialità, che contiene non solo le strutture matematiche note, ma anche quelle che saranno scoperte in futuro, comprese quelle che non scopriremo mai, ma che sono tuttavia possibili. Per sottolineare che questo campo contiene non solo tutte le possibili strutture matematiche, ma anche tutte le possibili dipendenze logiche tra di esse, potremmo usare il termine “campo formale”. Per ovvie ragioni, talvolta viene anche utilizzato il termine “campo di razionalità”6.
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MATEMATICI AL LAVORO Il campo di razionalità chiaramente non è un sistema assiomatico. Non ha infatti parti distinguibili o domini che possano giocare il ruolo di “assiomi universali” o di “regole universali di inferenza”. La sua potenzialità gli impedisce di essere qualificato come un sistema assiomatico e sottolinea le sue possibilità illimitate. A questo stadio, l’idea di tale campo è vaga e imprecisa, ma noi possiamo utilizzarla, come uno strumento non ancora del tutto funzionale, per afferrare il significato filosofico del teorema di Gödel. Supponiamo che noi si stia costruendo un sistema assiomatico (per esempio, il sistema dell’aritmetica). Quando formuliamo i nostri assiomi noi ci imbattiamo in un certo punto, un dominio, all’interno del campo formale. Partendo da questo dominio, aiutandoci con una catena di deduzioni, possiamo portarci in un altro dominio di questo campo. Muovendoci in questo modo in varie direzioni, possiamo creare una rete di catene deduttive all’interno del campo formale. Se restiamo in un dominio circoscritto di questo campo, tutto va bene e possiamo costruire un buon sistema assiomatico. Tuttavia, se la rete diventa un po’ troppo estesa, possono apparire contraddizioni o altre patologie logiche tra le catene deduttive che si “intersecano l’un l’altra”. In altre parole, un sistema assiomatico, rigorosamente compreso, si ritaglia parte del suo dominio dal campo formale. Se vogliamo proteggere questo dominio dalle contraddizioni, occorre che esso sia sufficientemente piccolo (meno ricco del sistema dell’aritmetica). Ma, in tal caso, il nostro sistema assiomatico risulta essere incompleto. Alcuni dei suoi teoremi veri si collocano al di là della portata deduttiva degli assiomi. Naturalmente, questi teoremi possono essere aggiunti al nostro sistema assiomatico (per esempio, come nuovi assiomi), ma allora il dominio controllato dal nostro sistema assiomatico diventa sempre più grande e si rende passibile di contraddizioni. Il concetto di campo di razionalità può essere riguardato come uno strumento per interpretare il teorema di Gödel. L’idea principale di questa interpretazione suggerisce che la matematica è un sistema olistico. Se ci si prova a isolare dal complesso un dominio del campo sufficientemente ricco, appaiono incoerenze che conducono o all’incompletezza o alla contraddizione. Il teorema di Gödel stabilisce le condizioni sotto le quali ciò accade. Il concetto di campo di razionalità può essere anche interpretato in una maniera più ontologica, come qualcosa che esiste in un certo senso, e che condiziona sia la possibilità delle strutture matematiche, sia la loro efficacia nel modellare il mondo reale. Se questa interpretazione ontologica è corretta, il mondo esiste poiché resta in una relazione molto intima con questo campo. In tale contesto, il termine “campo di razionalità” è particolarmente appropriato. Il fatto che l’Universo possa essere investigato razionalmente trova la sua giustificazione in questo campo.
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APPENDICE
1. Introduzione La tappa decisiva nell’evoluzione della razionalità fu la scoperta del metodo scientifico. Nonostante il fatto che fosse stato anticipato da un lungo e laborioso processo storico, la sua comparsa nel XVII secolo può essere comparata con la “mutazione” che diede l’avvio al pensiero filosofico greco. La nascita e il consolidamento del metodo scientifico crearono un nuovo tipo di razionalità, indubitabilmente radicata nel tacito assunto che il mondo possiede una proprietà grazie alla quale può essere investigato razionalmente, anche se non risponde ugualmente bene a tutte le domande che gli vengono rivolte. Fino a quando gli uomini si interrogarono sul mondo basandosi su analisi puramente concettuali, il progresso fu molto lento e di ridotta portata; ma non appena cominciarono a far uso di modelli matematici, verificandoli attraverso l’osservazione e l’esperimento, i progressi furono enormi e si susseguirono a ritmi vertiginosi. Ciò ci consente di affermare che la razionalità del mondo è di tipo matematico. I progressi nelle scienze sono stati spettacolari: dalla fisica classica si è passati alla meccanica quantistica e alla relatività generale, con le loro vaste applicazioni, alla teoria quantistica dei campi e alla cosmologia relativistica, fino all’attuale ricerca della superunificazione di tutte le interazioni fisiche. Benché si tratti sempre dello stesso metodo matematico-empirico, vi possiamo scorgere chiaramente una tendenza allo sviluppo. Nei primi stadi della fisica classica, sembrava ovvio che la fisica consistesse di dati empirici e di teorie matematiche; i dati sperimentali erano necessari per fornire la base teorica e poi per verificare le sue previsioni. Varie teorie coprivano diversi domini della fisica. Però, man
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APPENDICE mano che si progrediva, sempre più teorie venivano unificate e si faceva sempre più nebuloso il confine tra i dati empirici e le teorie. Ora è ormai del tutto chiaro che non esistono dati empirici “puri”; ogni dato empirico è “pregno di teoria”. Nelle teorie più avanzate della fisica moderna questa “compenetrazione” tra dati empirici e teoria è veramente di vasta portata. Per esempio, in un moderno acceleratore di particelle i risultati degli esperimenti consistono di una lunghissima catena di zero e di uno che emerge da giganteschi supercomputer. Senza teorie altamente matematiche non sarebbe possibile ottenere questi risultati e nemmeno ricercare la loro corretta interpretazione. Una quantità imponente di lavoro teorico viene anche richiesto nella stessa costruzione di un acceleratore di particelle. Quest’ultimo può essere riguardato come una grande “officina teorica” (una sorta di software) incorporata in un sistema tecnologico (una sorta di hardware). Alcuni filosofi della scienza protestano che in questo modo si viene gradualmente a perdere il carattere empirico della fisica. Al contrario, noi pensiamo che, proprio a seguito di tale processo, la fisica diventa sempre più empirica. Il metodo matematico-empirico perde il suo carattere dualistico (esperimenti e teoria) e diventa “monisticamente più coerente”: gli esperimenti e le teorie non sono altro che i poli di un modo unificato di formulare domande all’Universo e di forzarlo a dare almeno qualche risposta. Si dice spesso che la più grande scoperta della scienza è il suo metodo. Siamo d’accordo. Tuttavia, il metodo scientifico non è solo una raccolta di strumenti di ricerca con le relative istruzioni per l’uso. Nel metodo stesso, che ha dimostrato di essere così valido ed efficace, sono già contenute alcune informazioni riguardanti il mondo. Il mondo deve avere qualche proprietà, o qualche insieme di proprietà, grazie alle quali proprio questo metodo, e non altri, lavora così egregiamente. Di fatto, questa è l’idea che sottende tutte le considerazioni che abbiamo fatto nel nostro libro, ed ora che siamo ormai alle pagine finali desideriamo esplicitare meglio quest’idea. Quando si ha a che fare con una Grande Domanda, è buona norma rivolgersi agli Antichi Maestri che, scevri da troppi tecnicismi, erano capaci di vedere più in profondità e più lontano. Torniamo dunque a Leibniz.
2. La matematica di Dio Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) ha fatto la sua comparsa nel nostro libro solo occasionalmente, soprattutto quando abbiamo parlato dell’invenzione del calcolo differenziale. Si tratta di una grave omissione. Leibniz non è soltanto uno dei filosofi più originali e più produttivi, ma anche il primo pensa-
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APPENDICE tore che considerò l’esistenza della fisica matematica moderna come qualcosa di meritevole di una profonda analisi filosofica. Sotto questo aspetto, il suo proposito era esattamente lo stesso nostro. Nel 1677, Leibniz scrisse un saggio intitolato Dialogus. A margine del testo, si trova una frasetta latina scritta dall’autore: Cum Deus calculat et cogitationem exercet, fit mundus, che possiamo tradurre in questo modo: “Quando Dio calcola e pensa, il mondo è fatto”. Come spesso succede, quando le idee più profonde sono racchiuse in una corta sequenza di parole, si devono investire tempo e sforzi per decifrarne il vero significato. Ciascuno di noi ha qualche esperienza nell’affrontare i numeri. Se i numeri non sono molto grandi, il calcolo è quasi una routine; chi poi si è esercitato con le tecniche matematiche di base, è in grado di compiere operazioni anche con grossi numeri. Il vero pensiero matematico inizia solo quando c’è da risolvere un problema più complesso, da formulare un teorema e poi da dimostrarlo, o, per dirla in modo esplicito, quando si deve identificare una certa struttura matematica, comprendere i principi del suo funzionamento, costruire una nuova struttura a partire da quelle già conosciute, cogliere le sue profonde connessioni con altre strutture ecc. Normalmente, tale manipolazione di strutture è connessa con il calcolo, poiché alle strutture matematiche piace presentarsi sotto forma di numeri e di formule algebriche. Il loro linguaggio naturale è quello del calcolo. È più o meno questa l’immagine che dovremmo collegare alla metafora di Leibniz di Dio che calcola. Dio è visto calcolare e riflettere a fondo sulle cose nell’atto della Creazione. In questo contesto, le cose su cui Dio riflette dovrebbero identificarsi nelle strutture matematiche come elementi caratteristici del Creato. Per meglio cogliere l’idea di Leibniz, dovremmo sforzarci di immaginare come fu il suo lavoro quando egli era intento allo sviluppo del calcolo differenziale e integrale. In primo luogo, egli dovette identificare il problema e raccogliere tutti gli elementi parziali della sua soluzione che erano già contenuti negli scritti dei suoi predecessori. Poi, si trattava di compiere poche decisive generalizzazioni, formulare nuovi teoremi che esprimevano relazioni tra alcuni aspetti di una struttura che stava nascendo, e calcolare alcuni esempi al fine di verificare se la struttura neonata lavorava correttamente. In caso affermativo, era stato creato un nuovo mondo matematico. Per rendere più trasparente la metafora di Leibniz, la si dovrebbe liberare da tutte le limitazioni tipicamente umane, aggiungendo un importante elemento: Dio ottiene il risultato finale fissando i valori di tutti i parametri. Quando un fisico matematico crea una nuova struttura matematica, e cerca di applicarla ai modelli delle situazioni fisiche, definisce concetti in modo che essi si accordino ai risultati empirici. Se necessario, il fisico teorico modifica le definizioni di par-
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APPENDICE tenza e di conseguenza sincronizza l’intera rete di relazioni fra i vari concetti. Quando, infine, dopo molti tentativi ed errori, la struttura matematica raggiunge un adeguato grado di maturità, ecco che avviene il miracolo del metodo. La struttura matematica diventa una teoria fisica che non solo spiega i dati empirici conosciuti fino a quel momento, ma è anche pronta a prevederne di nuovi. Quando Dio calcola e riflette sulle strutture, spariscono tutti questi tentativi ed errori tipicamente umani. Semplicemente, ne scaturisce il mondo. Nel seguito, cercheremo di collocare la metafora di Leibniz nello scenario del mondo che la scienza studia.
3. La matematica come morfologia di strutture Sarebbe difficile trovare il pensatore che per primo usò il termine “struttura” per denotare l’oggetto che è materia della ricerca matematica. Ogni studio approfondito della matematica, specialmente di certe branche come la geometria o l’algebra astratta, dà l’impressione che ci si stia confrontando con un edificio imponente nel quale tutti gli elementi si incastrano alla perfezione. Non c’è perciò da meravigliarsi se una visione strutturalista della matematica era già in voga tra i ricercatori molto prima che diventasse parte della filosofia della matematica. L’articolo “La matematica come scienza di strutture” di Michael Resnik viene comunemente considerato come il manifesto del “movimento strutturalista”1. L’autore affermava che gli “oggetti” che la matematica studia, come i numeri o i vettori, sono qualcosa di differente dagli oggetti del mondo fisico, che sono entità individuali dotate di “proprietà interne”; d’altro canto, gli “oggetti” della matematica sono “punti senza struttura” o “posizioni in strutture”. All’esterno di una struttura, essi perdono ogni significato. Per esempio, il numero 3 acquista un significato solo se è collocato all’interno di un ambiente costituito da altri numeri. Anche se guardiamo il numero 3 da solo, sappiamo bene che è maggiore di 1 e minore di 4, e che consiste di due unità più un’altra unità sommate insieme. Se cancelliamo queste cose dalla nostra mente, di fatto cancelliamo il numero 3. Il 3 non è altro che una posizione su una struttura chiamata “retta dei numeri reali”. Fino a quando l’idea della matematica come scienza di strutture viene colta o proposta in maniera intuitiva, non suscita dibattiti o conflitti, ma l’accordo tra i filosofi della matematica cessa immediatamente non appena si provi a dare una definizione tecnica di struttura. L’approccio più popolare alla matematica si basa sull’assunto che tutta la matematica è costruita sulla teoria degli insiemi. Si potrebbe anche parlare della
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APPENDICE filosofia della matematica degli insiemi. Poiché gli insiemi sono tipicamente riguardati come oggetti, i sostenitori dello strutturalismo matematico ambirebbero rimpiazzare la filosofia della matematica degli insiemi con una filosofia della matematica strutturalista. Tutto ciò spinge a cercare aiuto in direzione della teoria delle categorie. Si sarebbe tentati di dire che una struttura è una rete di relazioni. Ma le relazioni presuppongono gli oggetti tra i quali tali relazioni si intrecciano, mentre a noi piacerebbe fare a meno degli oggetti. Più precisamente, le relazioni sono definite in termini di insiemi2, e in tal modo ecco che ritorniamo alla filosofia della matematica degli insiemi. La teoria delle categorie è una teoria matematica con un forte carattere strutturalista che ha aperto nuove prospettive. Semplificando non poco, per categoria si intende: (1) una classe di entità che sono dette oggetti, (2) una classe di mappe tra oggetti, dette morfismi, e (3) composizioni di morfismi. Naturalmente, tutte queste classi devono soddisfare opportuni assiomi. Il punto importante è che gli oggetti non occorre che siano insiemi, né occorre che i morfismi siano mappe di insiemi. Benché gli oggetti siano menzionati nella definizione di categoria, il risalto maggiore viene riservato ai morfismi. Ci sono stati anche tentativi di costruire una teoria delle categorie “senza oggetti”, che però non hanno portato ai risultati attesi3. Esempi di categorie sono: quella degli insiemi, la categoria degli spazi topologici e quella dei gruppi. Oggetti di queste categorie sono, ovviamente: gli insiemi, gli spazi topologici e i gruppi; i morfismi sono mappe fra questi oggetti che ne conservano le proprietà strutturali. Un ruolo importante nella teoria delle categorie è svolto dai funtori: questi possono essere riguardati come mappe tra categorie che ne conservano alcune delle proprietà. Lavorando sui funtori, si scoprono relazioni tra varie teorie matematiche (per esempio, tra la teoria degli insiemi e quella dei gruppi o degli spazi topologici); in altre parole, si ricostruisce qualche aspetto della struttura della matematica nel suo complesso. Il lettore che non è troppo addentro non si spaventi per la terminologia tecnica che abbiamo più sopra utilizzato. Ciò che qui ci interessa rimarcare è che le cose studiate dalla matematica possono essere raggruppate, in funzione di qualcuna delle loro proprietà strutturali, in varie collezioni (categorie), e che le relazioni tra queste collezioni (funtori) stabiliscono reciproche dipendenze, rivelando un modo in cui queste collezioni sono mappate tra loro. Quando Samuel Eilenberg e Saunders MacLane stavano creando la teoria delle categorie, il loro scopo era di cogliere l’essenza dell’idea di struttura, e di realizzare uno strumento per investigare le dipendenze tra varie teorie matematiche. MacLane sperava anche che la teoria delle categorie potesse fornire fon-
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APPENDICE damenti alla matematica più saldi di quelli garantiti dalla teoria degli insiemi. Quando queste speranze non si materializzarono, egli cambiò idea e cercò di creare una nuova filosofia. Benché la teoria delle categorie non fornisse le basi della matematica, nel senso stretto della parola, egli sostenne che comunque aveva un “significato basilare”, nel senso che organizzava il complesso della matematica nella “struttura di strutture”. Come disse E. Landry, la matematica è una scienza delle “strutture e della loro morfologia”4. Ci sono stati vari tentativi di esprimere queste idee piuttosto vaghe in una maniera più precisa, e anche per definire una “categoria di categorie” che fosse capace di implementare formalmente l’idea strutturalista di matematica. Finora, tuttavia, sono stati piuttosto modesti i risultati di questo programma altamente tecnico. Come si può vedere, l’interpretazione strutturalista della matematica è ben radicata nella ricerca matematica di tutti i giorni, ma risulta notoriamente difficile da esprimere in modo rigoroso. Inoltre, si deve ammettere che è piuttosto indefinito il confine tra le filosofie della matematica di stampo rispettivamente “oggettivista” e “strutturalista”: le strutture possono essere considerate sistemi di relazioni tra gli oggetti, e gli oggetti come “punti senza struttura” nelle strutture. In ogni caso, mettendo da parte tutti i tecnicismi, possiamo senz’altro concordare, almeno come ipotesi di lavoro, sul fatto che “la matematica riguarda le strutture e la loro morfologia”. Questo approccio ha qualche implicazione per quanto concerne la comprensione del mondo fisico?
4. Realismo strutturale Sorprendentemente, la domanda che ci siamo posti in chiusura del precedente paragrafo è strettamente correlata con il recente ritorno della vecchia disputa nella filosofia della scienza tra i difensori e gli oppositori della visione realista della scienza. È interessante notare come entrambi gli schieramenti vadano a cercare i loro argomenti nel progresso della scienza. I sostenitori del realismo affermano che “sarebbe un vero miracolo, una coincidenza su scala cosmica” se le teorie della fisica moderna, come la meccanica classica, la meccanica quantistica o la relatività generale avessero fatto previsioni empiriche così numerose e precise “senza che fossero corrette, o almeno approssimativamente corrette, le affermazioni che esse fanno circa la struttura del mondo”. Dal canto loro, gli anti-realisti sottolineano che le successive rivoluzioni nella fisica introducono stridenti discontinuità nel progresso scientifico, e sostengono che non possono essere vere le “immagini scientifiche del mondo” proposte dalle diverse teorie scientifiche se di volta in volta vengono modificate drasticamente da ogni importante cambio di paradigma. La disputa venne accesa da John Worrall, che
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APPENDICE si chiese: “È possibile avere il meglio da entrambi i mondi, per rendere conto dei successi empirici della scienza teorica?”5. Secondo Worrall, dovremmo distinguere tra continuità e discontinuità nell’evoluzione della fisica al livello dei risultati empirici e al livello della descrizione del mondo. Non ci sono grossi problemi con l’accumulazione dei risultati empirici e, per quel che concerne la descrizione del mondo, si dovrebbe distinguere tra le immagini intuitive del mondo e le strutture matematiche impiegate dalle teorie fisiche sulle quali tali immagini intuitive si basano. Quando ha luogo un’importante rivoluzione fisica, le “immagini del mondo” spesso si modificano in maniera discontinua. Per esempio, l’immagine quantistica del mondo è totalmente diversa dall’immagine che emerge dalla fisica classica, mentre è decisamente più “dolce” la transizione dalle equazioni matematiche della fisica classica a quelle della fisica quantistica. Essendo la matematica una scienza delle strutture, v’è continuità tra le strutture del mondo descritte dalla vecchia e dalla nuova teoria fisica, benché vi sia discontinuità al livello delle immagini del mondo presupposte da tali teorie. Perciò – conclude Worrall – il progresso della fisica non fornisce la prova a favore di “un realismo a tutto campo, ma piuttosto solo di un realismo strutturale”. Se la matematica è una “scienza di strutture e della loro morfologia”, e se l’essenza del metodo della fisica consiste nell’applicazione di queste strutture per investigare il mondo, l’inevitabile conclusione è che le successive teorie fisiche vengono a rivelare, passo dopo passo, la struttura del mondo. E poiché tale struttura è un sistema di varie sottostrutture, si può analogamente affermare che la fisica è una “scienza della struttura del mondo e della sua morfologia”.
5. La struttura del mondo Altra inevitabile conclusione è la seguente: cosa dovremmo comprendere dalla struttura del mondo? La risposta più semplice è che dovremmo identificare la struttura del mondo, quale è approssimata da una data teoria fisica, con la struttura matematica che quella teoria impiega. Ma allora cosa succede se la teoria fisica in questione ammette più di una formulazione matematica, come è spesso il caso nella fisica moderna? Per esempio, la meccanica quantistica ammette formulazioni matematiche diverse: quella che fa uso degli operatori negli spazi di Hilbert, degli integrali di cammino di Feynman, degli operatori densità, solo per ricordare le più comuni. Ciò crea serie difficoltà al “realismo naïf”, ma può essere riguardato come una vantaggiosa risorsa per il realismo strutturalista. L’idea consiste nell’affermare che, nel caso in cui esistano molte formulazioni diverse della stessa teoria fisica, noi disponiamo di varie rappresentazioni della
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APPENDICE stessa struttura. Il che è un punto di vista piuttosto comune tra i fisici teorici. Per esempio, essi concordano nel ritenere che la formulazione ondulatoria della meccanica quantistica, opera di Schrödinger, e la formulazione tramite le matrici, opera di Heisenberg, non sono altro che due differenti “immagini” della medesima teoria fisica. James Ladyman sembra che abbia correttamente stabilito la soluzione: “L’idea è che si abbiano varie rappresentazioni che possono trasformarsi o tradursi le une nelle altre, e allora noi abbiamo uno stato invariante sotto queste trasformazioni che rappresenta l’effettiva realtà delle cose”6. La situazione non è diversa da quella di un libro, il cui contenuto non cambia se si passa da una traduzione fedele a un’altra (per esempio, dal polacco all’inglese, oppure all’italiano). Le diverse traduzioni altro non sono che differenti rappresentazioni del significato dello stesso libro. Le traduzioni sono entità concrete che noi possiamo visionare con i nostri occhi e con l’immaginazione. Il significato è un’entità astratta che possiamo afferrare solo con la nostra capacità di comprensione. Per tornare alla metafora di Leibniz, Dio calcola e pensa le cose direttamente, dal principio alla fine, attraverso strutture astratte che noi siamo solo in grado di approssimare, debolmente e passo dopo passo, studiando con fatica le rappresentazioni che le teorie matematiche ci offrono.
6. La mente di Dio e la mente dell’uomo La matematica è una scienza di strutture. La fisica applica la matematica allo studio del mondo. Perciò, i progressi della fisica ci dischiudono la struttura del mondo. Se nel mondo c’è qualcosa di più della sua struttura, questo qualcosa non è penetrabile dal metodo scientifico. Parafrasando Leibniz, potremmo dire che “Dio pensa le cose dall’inizio alla fine” in termini di strutture e la scienza, nella sua evoluzione progressiva, decifra gradualmente la Mente di Dio, racchiusa nella sua opera creativa. La scienza è il prodotto del lavoro collettivo di molte menti umane, e il cervello dell’uomo è parte della struttura del mondo. Nel cervello umano, la struttura del mondo ha raggiunto il suo punto focale: essa ha acquisito la capacità di riflettere su se stessa. Questo punto focale auto-referenziale è ciò che chiamiamo Mente Umana. In questo scenario concettuale, la scienza appare come uno sforzo collettivo della Mente Umana per leggere la Mente di Dio a partire dagli innumerevoli punti interrogativi che ci circondano e dei quali noi stessi sembriamo essere fatti. La Mente dell’Uomo e la Mente di Dio sono stranamente intrecciate. Questo intrico è la fonte e anche la forza che guida la scienza, la più audace avventura dell’umanità.
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NOTE E CITAZIONI
CAPITOLO 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17
A. Einstein, “Physics and Reality” in: Ideas and Opinions (Dell 1978), pagg. 283315. Citata da O. Pedersen, The Two Books: Historical Notes on Some Interactions between Science and Theology (Vatican Observatory Publications 2007), pag. 25. ivi, pag. 6. ivi, pagg. 8-9. ivi, pag. 9. A.N. Whitehead, Science and the Modern World (Harper Collins 1975), pag. 14. ibidem. De Civitate Dei VIII, 2. L’aria era un elemento fondamentale nella filosofia di Anassimene. Stromata V, 109. Timaeus 53a. “[...] il demiurgo restò una strana e astratta divinità alla quale non fu mai eretto alcun altare”, O. Pedersen, The Book of Nature (Vatican Observatory Publications 1992), pag. 13. Metafisica, libro XII. L. Kolakowski, The Presente of Myth (The University of Chicago Press 2001). K.P. Popper, La società aperta e i suoi nemici (Armando, vol. 2, 1994). ivi. ivi. ivi.
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NOTE E CITAZIONI CAPITOLO 2 1 2 3 4 5
Brano riassunto dalla Repubblica di Platone. Lo shock si avverte già dal nome che venne loro attribuito: “numeri irrazionali”. Timaeus, 51E-52B. ivi. David Hilbert e S. Cohn-Vossen hanno scritto un bel libro, Anschauliche Geometrie (1932). In particolare, merita che sia letto il capitolo riguardante i “cinque solidi platonici”, grazie al quale si può comprendere meglio quale sia stato il fascino esercitato su Platone dalla scoperta di Teeteto.
CAPITOLO 3 1 2 3 4 5 6 7
Metafisica, libro XIV. ivi. ivi. ivi. ivi. Metafisica, libro I. Fisica, libro II.
CAPITOLO 4 1 2 3
4
Per esempio, G. Sarton, A History of Science. Hellenistic Science and Culture in the Last Three Centuries B.C. (Harvard University Press 1959), pag. 70. O. Pedersen, The Two Books: Historical Notes on Some Interactions between Science and Theology (Vatican Observatory Publications 2007), pagg. 12-17. “The Method Treating of Mechanical Problems”, in Great Books of the Western World, vol. 2, a cura di R.M. Hutchins (University of Chicago Press 1978), pagg. 569-570. “Biographical Note. Archimedes, c. 287-212 B.C.”; G. Sarton, op.cit. [1] pag. 400.
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NOTE E CITAZIONI CAPITOLO 5 1
A. Einstein, Pensieri degli anni difficili (Boringhieri 1974), trad. it. I. Bianchi, pag. 37.
CAPITOLO 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21
22 23 24 25 26 27
De praescriptione haereticorum, cap. 7. De resurrectione carnis, cap. 3. De Poenitentia, cap. 1. D.C. Lindberg, “Science and the Early Church” in God and Nature, (Berkeley 1986), pagg. 19-48. ivi, pagg. 24-25. ivi. Epistula 120, 3. ibidem. Divinae Institutiones 3, 24. Nicolaus Copernicus, De revolutionibus orbium coelestium, libro 1. De Civitate Dei, XVI, 9. Hexaémeron, 2, 3. O. Pedersen, The Two Books: Historical Notes on Some Interactions between Science and Theology (Vatican Observatory Publications 2007), cap. 13. D.C. Lindberg, op. cit. [4], pagg. 38-39. Apologia, 1,59. Adversus Haereses, 2,1.1; 3,8.3. Stromata. ivi II, 1, 1. Secondo H. Chadwick, i primi suggerimenti riguardo la creatio ex nihilo comparvero negli scritti dello gnostico egiziano Basilide (II sec. d.C.); si veda anche: H. Chadwick, Freedom and Necessity in Early Christian Thought about God, Concilium 166, 1983, pagg. 11-13. De Principiis, 1,3.3; 2,1.4. Relativamente ai princìpi del seme in Agostino, si veda: E. McMullin, Evolution and Creation (University of Notre Dame Press 1985), pagg. 1-56, specialmente pagg. 4-16. De Genesi contra Manichaeos, 1, 22-23. ivi, 7, 28. De Principiis, 3,5.3. Confessioni, 11, 10. De Civitate Dei, XI, 5. Confessioni, 11,14.
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NOTE E CITAZIONI 28 29 30 31 32 33 34 35
De Principiis, 3,15. De Civitate Dei, XI, 6. De Principiis, 3, 3, 4-5. De Civitate Dei, XII, 13. op. cit. [4], pag. 29. op. cit. [4], pag. 30. op. cit. [4], pag. 32. op. cit. [21], pagg. 1-2.
CAPITOLO 8 1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13
14
15 16
M. Heller, The New Physics and a New Theology (Vatican Observatory Publications 1996), cap.2. Che può essere tradotto: “Sì e no”, o “A favore e contro”, o anche “In questo modo o in quest’altro”. Si veda: W.A. Wallace, “The Philosophical Setting of Medieval Science”, in Science in the Middle Ages, a cura di D.C. Lindberg (University of Chicago Press 1978), pag. 94. P. Kibre e N. Siruisi, “The Institutional Setting: The Universities”, op.cit. [2], pag. 120. op.cit. [2], pag. 97. op.cit. [2], pag. 104. E. Grant, “Science and Theology in the Middle Ages”, in God and Nature, a cura di D.C. Lindberg e R.L. Numbers (University of California Press 1986), pag. 54. op.cit. [2], pagg. 108-109. ibidem. Adottiamo qui l’analisi presente in: C.S. Lewis, The Discarded Image (Cambridge University Press 1988), cap. 1. Benché l’autore affronti in generale “la situazione medievale”, la sua analisi si applica in particolare all’origine del metodo della Scolastica. ivi, pag. 5. ivi, pag. 10. ivi, pag. 11. Ciò, nonostante il fatto che, nel fare “scuola di filosofia”, i maestri medievali (seguendo San Tommaso) distinguevano attentamente tra il “Dio dei filosofi” e il “Dio dei teologi”. Tale distinguo rifletteva la differenza che c’è tra la filosofia, che si basa solo sulla ragione naturale, e la teologia, che tiene conto anche delle verità rivelate. Uno studio importante in questo campo è: A. Funkenstein, Theology and the Scientific Imagination from the Middle Ages to the Seventeenth Century (Princeton University Press 1986). ivi, pag. 122. ivi, pag. 123.
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NOTE E CITAZIONI CAPITOLO 9 1 2
3 4 5 6 7
Fisica, libro VI, z39b. Esiste anche una quarta antinomia, nota come “Stadio”. È più complessa e la conosciamo grazie ad Aristotele, che però la riporta in maniera abbastanza confusa. Per questo, eviteremo di discuterla. C.B. Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development (Dover Publications 1959), cap. 2. G.J. Whitrow, The Natural Philosophy of Time, seconda edizione ampliata (Clarendon Press 1980), pagg. 190-200. Lo fece in queste due opere: Essai sur les données immédiates de la conscience (1889); L’évolution créatrice (1907). op. cit. [4] cap. 2, pagg. 6-7. Alcuni ritengono che solo l’analisi non-standard, introdotta da Abraham Robinson, risolve i paradossi di Zenone. In questa analisi, esistono numeri cosiddetti non-standard che possono essere interpretati come “infinitesimalmente piccoli”. Dobbiamo ricordare che l’analisi non-standard, intesa come teoria puramente matematica, non è in grado di risolvere nulla che si riferisca al mondo reale (per la stessa ragione per la quale non è capace di farlo l’analisi standard). Comunque, è possibile risolvere i paradossi di Zenone combinando l’analisi non-standard con il metodo di costruzione del modello matematico. Capita abbastanza spesso che lo stesso fenomeno fisico possa essere modellato matematicamente in più modi diversi.
CAPITOLO 10 1 2 3
4 5 6 7
Fisica, libro III, 201a. ibidem. Il testo originale di Aristotele riporta: “se A ha mosso B per una distanza G in un tempo D, allora nello stesso tempo la stessa forza A muoverà B/2 del doppio della distanza G, e in un tempo D/2 muoverà B/2 della stessa distanza G: in tal modo saranno rispettate le regole delle proporzioni” (Fisica, libro VII, 250a). Questa interpretazione è stata proposta in: S. Toulmin e J. Goodfield, The Fabric of the Heavens (Harper and Row 1961), pagg. 97-101. Fisica, libro VIII, 215b. Questa particolare formulazione compare in un brano più lungo, nel quale Aristotele analizza le cause del moto. Fisica, libro IV, 215a. ibidem.
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NOTE E CITAZIONI CAPITOLO 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
S. Drake, Galileo Studies (The University of Michigan Press 1970), pag. 26. Études d’histoire de la pensée scientifique (Gallimard 1973), pag. 117. op.cit. [1], pag. 26. Tolomeo, “Almagesto”, Libro 1, in: Great Books of the Western World, vol.16, a cura di R.M. Hutchins (W. Benton 1978), pag. 12. Niccolò Copernico, “Sulla rivoluzione delle sfere celesti”, Libro 1, in: Great Books of the Western World (Encyclopedia Britannica, Inc. 2007), pag. 518. Galileo Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo. ivi. A. Koyré, Études galiléennes III: Galilée et la loi d’inertie (Éd. Hermann 1939), pag. 60. Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, giornata quarta. Citato da P. Tannery, “Galileo and the Principles of Dynamics” in Galileo – Man of Science, a cura di E. McMullin (Basic Books 1967), pag. 172. Galileo incluse nei Discorsi un suo precedente lavoro, il De motu. op. cit. [2] pagg. 202 e 264.
CAPITOLO 12 1 2 3
4 5
6 7 8
Tutte le citazioni di Newton in questo paragrafo sono prese da: Newton’s Principles of Natural Philosophy (Dawsons and Mall 1968). La seconda definizione riguarda la “quantità di moto”. Per completezza, riporteremo anche la Terza Legge (benché non faccia parte del piano di questo libro): “Ad ogni azione si oppone sempre una reazione uguale e contraria; o anche: le mutue azioni che due corpi si fanno l’un l’altro sono sempre uguali e dirette in senso contrario”. G.J. Whitrow: The Natural Philosophy of Time (Thomas Nelson and Sons 1961), pag. 129. Barrow continua: “Non più di quanto implichi la quiete; sia che le cose si muovano o stiano immobili, sia che noi dormiamo o siamo svegli, il tempo continua a tenere il suo passo regolare” (Lectiones geometricae, 1735, pag. 35). Possiamo identificare qui l’ispirazione per la definizione di Newton del “tempo assoluto, vero, matematico” che “per sua natura scorre uniformemente, senza relazione con alcuna cosa esterna”. op. cit. [4], pag. 132. M. Jammer, Concepts of Mass in Classical and Modern Physics (Harvard University Press 1961). E. McMullin, Newton on Matter and Activity (University of Notre Dame Press 1978).
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NOTE E CITAZIONI 9
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11 12
René Thom contrapponeva l’approccio di Newton al metodo di Cartesio che, nella sua meccanica del “contatto diretto” (per attrito e per urto), spiegava tutto, ma non calcolava nulla; si veda R. Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse, seconda edizione (Interéditions 1987). “A Scheme for Establishing the Royal Society”, in: Newton’s Philosophy of Nature - Selections from His Writings, a cura di H.S. Thayer (Hafner Press 1974), pagg. 1 e 181. ivi, pag. 7. In questo breve capitolo, non siamo stati in grado di rendere piena giustizia all’impresa di Newton. Per compensare almeno in parte questa manchevolezza, rimandiamo il lettore alla vasta letteratura disponibile su questo argomento, per esempio: The Cambridge Companion to Newton, a cura di I.B. Cohen, G.E. Smith (Cambridge University Press 2002); specialmente i saggi: G.E. Smith, The Methodology of Principia, pagg. 138-173; W. Harper, Newton’s Argument for Universal Gravitation, pagg. 174-201.
CAPITOLO 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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Naturalmente, questo Universo è troppo semplice per ospitare un sistema complesso come è la figura di un fisico; comunque, assumiamo che sia così. B. van Fraassen, The Scientific Image (Clarendon Press 1980). Van Fraassen crede che le teorie fisiche non siano né vere, né false, ma solo empiricamente adeguate o empiricamente inadeguate. La deduzione logica conduce sempre alla verità, a patto che le premesse siano vere. Questo tipo di induzione è detta incompleta. L’induzione è completa se il numero di casi è finito e se tutti i casi sono stati investigati. Principia, Libro III, “Regole dell’argomentare in Filosofia”. Objective Knowledge (Clarendon Press 1975), pag. 4. Prende il nome da Thomas Bayes (ca. 1702-1761), matematico inglese e ministro presbiteriano. Per ulteriori letture al riguardo, raccomandiamo tra gli altri: W. Salmon, The Foundations of Scientific Inference (University of Pittsburgh Press 1966); B. Skyrms, Choice and Chance, quarta edizione (Wadsworth 1999). K. Popper, Logica della scoperta scientifica (Einaudi 1998).
CAPITOLO 14 1 2
Science and the Modern World (Collins 1975), pag. 98. Questa funzione essenzialmente è la differenza tra l’energia cinetica totale del sistema e la sua energia potenziale totale.
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NOTE E CITAZIONI 3 4 5 6
A rigore, tutti i vettori che in un dato spazio di Hilbert puntano nella stessa direzione rappresentano lo stesso stato del sistema quantistico considerato. È un termine contenuto nel libro di S. Weinberg, Dreams of a Final Theory (Pantheon Books 1992). Seguendo la consuetudine dei fisici delle alte energie, qui la temperatura viene espressa in termini di energia media d’equilibrio delle particelle. J. Zycinski, “Status of Ideal Objects and Philosophical Implications of Contemporary Physics”, in: W kregu filozofii Romana Ingardena, a cura di W. Strozewski (A. Wegrzecki, Wyd. Naukowe PWN 1995), pagg. 97-109, in polacco.
APPENDICE 1 2 3
4 5 6
Il titolo completo dell’articolo di Resnik è: “La matematica come scienza di strutture: ontologia e relazione”, Nous 15, 1981, pagg. 529-550. La relazione è definita come un sottoinsieme di un prodotto cartesiano di insiemi. Si può costruire una teoria assiomatica delle categorie senza menzionare gli oggetti negli assiomi, ma risulterà comunque che gli oggetti esistono in modo implicito, ossia la loro esistenza può essere dedotta dagli assiomi. E. Landry, Category Theory: The Language of Mathematics, scistud.umkc.edn/psa98/papers/. J. Worrall, “Structural Realism: The Best of Both Worlds?”, Dialectica 47, 1989, pagg. 97-124. J. Ladyman, “What is Structural Realism?”, in: Studies in the History and Philosophy of Science 29, 1998, pagg. 409-424.
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INDICE
65, 73, 74, 75, 76, 79, 81, 85, 92, 94 Aristotele, fisica 73, 76 Aristotele, leggi della dinamica 74 Aristotele, metafisica 15 Aristotelica, tradizione 25, 51, 55, 97 Aritmetica 124, 125, 127 Arnobio 46 Assioma 25, 124, 125, 126, 127 Assiri 4 Assur 4 Astrazione 59 Astrofisica 117 Astrologia 46 Astronomia 11, 42 Astronomia tolemaica 102 Atti degli Apostoli 38 Atto (in Aristotele) 73 Autocoscienza 31 Averroé 55 Azione 111
A Abelardo, P. 54 Accademia, L’ 42 Accelerazione 79 Accelerazione uniforme 86 Achille e la tartaruga 66, 67 Acustica 42, 112 Alberto Magno 55 Algoritmo 101 Anamnesis 45 Ananke 5 Anassimene 6 Antiparticella 71 Anti-realismo 134 Apocalisse 37 Arché 12, 15 Archimede XIII, 2, 21, 22, 23, Archimedea, tradizione 25, 26 Archita di Taranto 12 Areopagiti 38 Aristarco di Samo 21 Aristotele XIII, 2, 7, 15, 16, 17, 18, 19, 47, 53, 54, 60, 62,
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INDICE Causa finale 17 Causa formale 17 Causa materiale 17, 18 Celso 41 CERN 121 Cervello 31 Cicerone 23 Cinematica 61, 62 Clemente d’Alessandria 6, 43, 48 Cognizione 2, l2, 28, 32, 45, 111 Colore 113 Comprensibilità 1, 3, 29 Comunismo 30 Conflitto 33, 39 Conservazione, leggi di 96 Contatore di granelli di sabbia 21 Contingente 60 Contraddizione 124 Cooperazione 33 Copernicana, rivoluzione 78, 83 Copernico, N. 46, 63, 78, 83, 84 Cosmo 123 Cosmologia 35, 117, 121, 122 Cosmologia aristotelica 78 Cosmologia greca 45, 46, 47 Cosmologia newtoniana 78 Cosmologia platonica 44, 48 Cosmologia post-newtoniana 78 Costante cosmologica 116 Creazione dal nulla 48 Creazione 34, 36, 46, 47, 48, 49, 50, 51 Crisostomo, G. 43 Cristianità 33, 35, 37, 43, 44, 47, 48, 51, 52, 55 Cristo 34, 42, 50, 51
B Babilonesi 4 Bacone, R. 55 Barrow, I. 93 Bayes, teorema di l06 Bayesiana, inferenza 106 Benedetti, G. 63, 82, 83 Bergson, H. 67, 68, 70, 71 Bibbia 34, 35, 37, 41, 51, 52 Big Bang 121, 122 Biologia 31, 42, 55 Bisezione 66 Boezio di Svezia 55 Bologna 54 Bosone 122 Boyer, C. 67, 70 Buco nero 117 Buridano 85, 95, 96
C Caduta libera 81, 86,87 Calcolo differenziale 22, 61, 63, 66, 70, 71, 72, 79, 82, 92, 93, 130, 131 Calendario 4 Calore 113 Campo vettoriale 114 Cantor, G. 93 Caos 4, 6 Caos, teoria deterministica 125, Caos, teoria 110, 119 Cartesio, R. 78, 85, Catechesi 38 Categoria 17 Categoria sensoriale 32 Categoria, teoria 133, 134 Cauchy, A. 93 Causa 2, 16, 75, 84 Causa efficiente 17
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Esperimento 23, 60, 69, 81, 83, 84, 98, 104, 107, 116, 129 Estensione 93 Estetica 1, 13, 14, 116 Eternità 50 Euclide 22, 25 Eudosso di Cnido 13 Evoluzione 31, 114 Evoluzione biologica 31
D Darwinismo 114 Dedekind, R. 93 Deduzione 12, 24, 105, 106, 109, 143 Definizione operativa 90 Demiurgo XIII, 1, 7 Democrito 4 Derivata 67, 70, 71, 72, 79 Determinismo 120, 123 Dinamica 62, 72 Dinamica aristotelica 73, 74, 77, 78 Dinamica newtoniana 77, 79, 94 Dio XIII, 26, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 42, 43, 44, 47, 48, 49, 50, 51, 56, 57, 59, 60, 97, 130, 131 Dirac, P.A.M. 118 Divinità 7, 35, 60 Duhem, P. 56
F Falsificabilità 107 Fato 5 Fede 6, 9, 38, 39, 43, 44, 45 Fermione 122 Filone di Alessandria 37, 38 Filopono, G. 47 Filosofia 3, 89 Filosofia 3,89 Filosofia araba 53, 54 Filosofia del linguaggio 34 Filosofia della fisica 11 Filosofia della matematica 132 Filosofia ebraica 54 Filosofia greca XIII, 33, 35, 37, 38, 41, 42, 43, 129, 135 Filosofia medievale 53, 57 Filosofia platonica 44 Filosofia sperimentale 98, 105 Fisica 15, 16, 17, 61, 67, 68, 89, 99, 102, 105, 108, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 119, 120, 121, 122, 124, 125, 126, Fisica archimedea 24 Fisica aristotelica 2, 17, 18, 76, 94 Fisica moderna 30, 70 Fisica newtoniana 111
E Eddington, A. 121 Egidio Romano 95 Eilenberg, S. 133 Einstein, A. XII, 3, 78, 114, 115, 116, 117, 120, 121 Elettrodebole, forza 121 Elettromagnetismo 121 Empirismo 69 Enlil 4 Enuma Elish 4 Equazioni nonlineari 125 Eraclito 38, 47 Eraclito di Efeso 36, 65 Eratostene 25 Erodoto 5 Esperienza sensoriale 32
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Fisica platonica 1 Fisica quantistica 110 Fisica, matematizzazione della 125 Fisica, metodologia della 135 Fisica, superunificazione della 122 Fisica, unificazione della 64, 120, 121, 122 Forma 11, 17, 34 Forme matematiche 2 Forza 62, 63, 72, 75, 76, 77, 78, 79, 84, 86, 90, 91, 92, 113, 114, 121 Fotone 122 Funtore 133 Funzione 69, 70, 71, 72
H Heiberg, J.L. 25 Heisenberg, W. 13, 118, 136 Hilbert, D. 124 Hilbert, programma di 124, 125, 126 Hilbert, spazio di 69, 118, 135 Hobbes, T. 93 Hume, D. 106, 107, 108,
I Idealizzazione 75, 76, 90 Idrostatica 23, 24 Impenetrabilità 96 Impeto 85, 96 Incarnazione 34 Incommensurabilità 18 Induzione 104, 105, 106, 107, 108 Inerzia 63, 76, 79, 83, 85, 91, 95, 96 Inerzia, principio di 63, 76, 83, 86 Inferenza statistica l07 Infinito 22 Inflazione 117 Insiemi, teoria degli 66, 72, 126, 132 Integrali di cammino di Feynman 135 Interazione debole 115, 121 Interazione forte 115,121 Ipotesi 106, l07 Ipotetico-deduttivo, metodo 107 Ireneo 48 Irrazionalità XI, 31 Islam 53, 55
G Galassie, recessione delle 116 Galileo 14, 26, 63, 73, 78, 79, 82, 83, 84, 85, 89, 92,93 Gauge, teoria di 121 Geometria 11, 25, 42, 93 Giudaismo 35, 37, 53 Giuliano l’Apostata 41 Giustino 41, 43, 48 Glaucone 11 Gnosticismo 34, 50 Gödel, K. 124 Gödel, teoremi 124, 125, 126, 127 Grande unificazione 121, 122 Grassmann, numeri di 122 Gravità 97, 111, 113, 116, 120, 121, 122 Gravità, equazioni di Einstein 116 Greci XIII, 1, 13 Grossatesta, R. 54 Gruppo 14
K Kaluza, T. 121 Kant, effetto 31 Kant, I. XI, 31
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Keplero, J. 26, 63, 78, 96 Keplero, leggi di 89 Klein, D. 121 Koyré, A. 85, 86
Matematica, limiti della 124, 125 Matematica, struttura 14, 61, 68, 69, 70, 111, 114, 116, 118, 125, 131, 132, 135 Matematica, struttura (in meccanica quantistica) 118 Matematico, linguaggio 23 Matematico, metodo 63, 64, 109 Matematico, modello 30, 97 Materia 18, 95 Materia, quantità di 90, 95 Materialismo 97 Maxwell, J.C. 114, 115, 120 Meccanica hamiltoniana 111 Meccanica lagrangiana 111 Meccanica newtoniana 62 Meccanica quantistica 117, 118, 119, 134 Meccanica statistica 113 Medicina 42 Medioevo XIII, 53, 54, 57, 59 Mente 3 Mente di Dio 136 Metafisica 27, 31, 55 Metafisica medievale 59, 60 Metafisica platonica 44 Metodo scientifico XIII, 72, 81, 99, 108, 129, 130, 136 Minima azione, principio di 111 Misura 118 Mito 7, 8 Mobilità 96 Monoteismo 35 Morale 49, 52 Morfismo 133 Mosè 50 Moto 16, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 80, 83, 84, 85,86, 87, 89, 92
L Ladyman, J. 136 Landry, E. 134 Lattanzio 45, 46 Leggi di natura 34, 60, 89 Leibniz, G. 60, 92, 93, 136 Limite (in matematica) 72 Lindberg, D.C. 42, 51 Linguaggio 8, 37, 38 Liturgia 38 Locke, J. 113 Logica XII, 8, 23, 53, 56 , 58, 60, 100, 107, 115 Logos 33, 36, 38, 39, 47 Lombardo, P. 58 Luce 112, 115
M M, teoria 122, 123 Maccabei, libri dei 37 MacLane, S. 135 Manicheismo 43, 46, 49 Marduk 4 Massa 90, 96 Matematica XI, XIV, 6, 11, 12, 16, 22, 42, 55, 59, 61, 66, 67, 72, 89, 100, 101, 103, 104, 105, 109, 110, 111, 112, 114, 118, 130, 132, 133, 134, 135, 136 Matematica aristotelica 2, 18 Matematica platonica 24
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Paganesimo 34, 37, 38, 42, 43, 45 Parigi 54 Parmenide di Elea 66, 72, 73 Particelle, acceleratore di 130 Patristica 34, 43, 51, 52 Pedersen, O. 5, 47 Tennyson, A. 110 Perielio di Mercurio 116 Peso 63, 81, 82, 83 Pianeti 23, 89 Pitagora 12 Pitagorica, tradizione 1, 11, 12, 15, 51 Planck, soglia di 123 Platone XIII, 1, 7, 11, 12, 13, 14, 24, 50 Platone, Repubblica 11, 13 Platonica, tradizione 24, 37, 43, 52 Pleiadi 15 Pneuma 36 Poincaré, M. 119 Popper, K. 9, l08 Porfirio 41 Positivismo 97 Potenzialità 73 Predicibilità 120, 123 Probabilità 101, 104, 106, 107 Progresso scientifico 140 Proprietà, primaria e secondaria 96 Proverbi 36 Psicologia 28, 30, 70 Psicologia platonica 43
Moto uniforme 92 Moto, matematizzazione del 72 Moto, ontologia del 86
N Natura 36, l07, 108 Necessità 5 Neoplatonismo 44, 54 Newton, I. 14, 62, 63, 73, 75, 76, 78, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 102, 105, 109, 110, 11, 112, 113, 114, 116 Newton, leggi del moto 92 Newton, ottica 112 Newton, Principia 63, 89, 94, 111 Nominalismo 54, 57 Numero 12, 16, 21, 22, 132 Numero reale 70, 132
O Ockham, G. 56, 57 Ockham, rasoio di 57 Oggetti quantistici 72 Oggettivismo 134 Onde gravitazionali 117 Ontologia 17, 28, 101, l03, 127 Ontologia platonica 13 Operatore lineare 118 Ordine 5, 6 Oresme, N. 82 Origene 33, 44, 46, 48, 49, 50 Origine 19 Ottica 42 Oxford 54
Q Qualità, primaria e secondaria 112
P Padova 54 Padri della Chiesa XIII, 33, 44, 45, 50, 51, 52, 59, 60
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San Geremia 46 San Paolo 37, 38, 39 San Tommaso d’Aquino 55, 58, 95 Sant’Agostino 6, 25, 33, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 51, 54, 55 Sant’Ambrogio 46 Sant’Anselmo di Canterbury 54 Sapienza 35, 36, 38 Schrödinger, E. 118, 136 Schwarzschild, K. 117 Scientiae mediae 18 Scienza XII, 3, 17, 18, 25, 441, 42, 99, 102, 103, 107, 130, 132 Scienza araba 25, 55 Scienza aristotelica 55 Scienza greca 50, 51 Scienza medievale 57 Scolastica XIII, 34, 53, 54, 57, 58, 59 Scoto, G. D. 56 Selezione naturale 31, 114 Selezione naturale delle teorie fisiche 103 Senofane 6 Sigieri da Brabante 55 Significato 8 Simmetria 13, 25 Simmetria Primordiale 123 Simonide 15 Siracide 35, 36, 49 Socrate 11 Soggettività XII Spaziotempo, geometria dello 120 Statica 23, 24 Stato quantistico 69, 117 Stella 117 Stoicismo 36, 38, 51 Storia della scienza XIV
R Ragione 6, 8, 39, 442, 44, 52, 58 Razionalismo 9, 55 Razionalismo critico 9 Razionalità XII, XIII, XIV, 1, 2, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 36, 59, 60, 105 Razionalità della scienza 28 Razionalità greca 33, 41, 47 Razionalità matematica XIII, 99, 100 Razionalità occidentale 41 Razionalità ontologica 28 Razionalità, campo della 126, 127 Razionalità, evoluzione della 129 Razionalità, ipotesi della 30, 63, 99, 109 Razionalità, mito della 8 Realismo naïf 135 Realismo strutturale 134 Redenzione 38 Relatività galileiana 83 Relatività generale 110 Relatività generale, teoria della 116, 117 Relatività speciale, teoria della 115, 116 Religione XII, 1 Religione ebraica 37 Religione giudeo-cristiana XIII, 33 Religione mitica 6 Republic 11 Resnik, M. 132 Rinascimento 22
S Salam, A. 121 Salmi 35 Salvazione 38, 50
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Stringhe cosmiche 117 Stringhe, teoria delle 122 Strutturalismo 69, 133 Strutture 70, 71, 135, 136, Supersimmetria 123 Superstringhe, teoria delle 121, 122, 123
Thom, R. 97 Tomismo 56 Topologia 66, 70, 71, 72, 133
T
V
U Università 54 Universo, espansione 117
Tannery, P. 85 Tartaglia, N. 62, 79, 80, 81 Tebe 16 Tecnologia 27,113 Teeteto 13 Teleologia 17 Tempier, E. 56 Tempo 34, 49, 70, 93 Tempo assoluto 95 Tempo circolare 50 Tempo lineare 50 Tempo, irreversibilità del 71 Tempo, nella tradizione greca 50 Tensore 114 Teodoro di Cirene 12 Teologia 33, 37, 38 Teologia cristiana XIII, 33, 34, 38, 41, 42, 43, 44, 51, 52, 53, 55 Teologia medievale 57, 60 Teorema 124 Teoria dei gruppi 133 Teoria del campo quantistico 71, 119 Teoria del campo unificato 116 Teoria di campo 113, 114 Termodinamica 71, 113 Tertulliano 42, 43 Tiziano 43 Tolomeo 83
van Fraassen, B. 104 Vecchio Testamento 35, 47 von Weizsäcker, C. 13 Vuoto 76
W Weierstrass, K. 93 Weinberg, S. 121 Weyl, H. 121 Whitehead, A.N. XII, 5, 110 Whitrow, G.J. 93 Worrall, J. 134
Z Zenone di Elea 61, 65, 66 Zenone, paradossi di 67, 71, 92, 94
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