Математическая обработка результатов эксперимента: Методические указания для студентов специальности 120100

3

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ульяновский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА Методические указания

Составители: И. В. Антонец, Н. В. Еремин

Ульяновск 2004

4

УДК 621.9.02:519.24 ББК 22.161я7 М34 Рецензент доцент кафедры «Технология машиностроения», кандидат технических наук С. И. Рязанов Редактор зав. кафедрой «Металлорежущие станки и инструменты», профессор, доктор технических наук В. П. Табаков Одобрено секцией методических методического совета университета

пособий

научно-

Математическая обработка результатов эксперимента : методические указания для студентов специальности 120100 / составители: И. В. Антонец, Н. В. Еремин. – Ульяновск : УлГТУ, 2004. – 21 с. Дана методика проведения полного факторного эксперимента для получения математической модели объекта и проверки ее адекватности. Приведен пример проведения полного факторного эксперимента для описания зависимости показателя стойкости концевых фрез от их геометрических параметров. Работа подготовлена на кафедре «Металлорежущие станки и инструменты».

УДК 621.9.02:519.24 ББК 22.161 я7 Учебное издание МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Составители: АНТОНЕЦ Иван Васильевич ЕРЕМИН Николай Викторович Методические указания Редактор Д. В. Гайтан Подписано в печать 24.09.2004. Формат 60×84/16. Бумага писчая. Усл.п. л. 1,47. Уч.-изд. л. 1,22. Тираж 100 экз. Заказ . Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32 Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32

© Антонец И. В., Еремин Н. В., составление, 2004 © Оформление. УлГТУ, 2004

5

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………….4 1. Цель и последовательность выполнения работы нахождения математической модели объекта……………………..……5 2. Планирование эксперимента для описания зависимости показателя стойкости концевых фрез от геометрических параметров ……………………………..……………6 3. Условия испытаний……...….…………………………………………….7 4. Получение математической модели объекта………………...………….7 5. Обработка результатов эксперимента……………..…………………….9 6. Дисперсия, характеризующая ошибку опыта………………..………….9 7. Проверка однородности дисперсий…………...………………………..10 8. Регрессионный анализ……….…………………………………………..11 9. Проверка адекватности модели…………...…………………………….13 ПРИЛОЖЕНИЯ 1–6 …………………………………………..……………..15 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………………..21

6

ПРЕДИСЛОВИЕ Задача планирования эксперимента формулируется математически следующим образом: нужно получить некоторое представление о поверхности отклика факторов, которую в общем случае можно аналитически представить в виде функции или математической модели M {y} = η = φ (x1, x2, x3, …, xk), где y – параметр оптимизации (выход процесса), подлежащий изучению (например, показатель стойкости инструмента, точность операции, производительность и т. д.); xi – переменные факторы, от которых зависит отклик и которые можно варьировать при постановке эксперимента (например, конструктивные, геометрические и физико-механические параметры инструмента, режимы резания, свойства обрабатываемого материала и т. д.). Следовательно, задача заключается в нахождении какой-то приближенной зависимости математического ожидания результата (выхода) процесса от параметров (факторов). Математическая модель требуется для предсказания направления градиента, т. е. направления, при движении по которому параметр оптимизации увеличивается быстрее, чем в любом другом направлении. Предполагается, что функция отклика непрерывна, дифференцируема дважды и имеет не более одного экстремума. При этих условиях можно использовать процедуру поиска оптимума, основанную на шаговом принципе: на основе кратких испытаний строится математическая модель, последняя используется для оценки градиента, далее ставятся новые опыты только в этом направлении. Так попадают в «почти стационарную область». В общем случае исследование процесса ведется при неполном знании механизма изучаемых явлений. Естественно, что вид функции в этом случае неизвестен, но для решения экстремальных задач можно найти ее аппроксимацию. Точность, с которой степенной ряд описывает тот или иной процесс, зависит от порядка (степени) ряда, т. е. от того, с каким показателем степени представлены последние члены ряда. Представление неизвестной нам функции отклика полиномом является наиболее удобным. Для сокращения числа опытов на первой стадии исследования принимают полином первой степени или линейную модель. Такая модель хорошо предсказывает направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Кроме того, она вполне пригодна для описания какого-либо процесса в узком интервале переменных.

7

1. ЦЕЛЬ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ НАХОЖДЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА Целью работы является изучение и освоение методики проведения полного факторного эксперимента для получения математической модели объекта и проверки ее адекватности. Математическое описание объекта в окрестности точки, отвечающей основным значениям факторов, может быть получено варьированием каждого из факторов на двух уровнях, отличающихся от основного (нулевого) уровня на величину шага варьирования. Полным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций N = 2k. Для трехфакторной задачи выборочное уравнение регрессии имеет вид (

3

ỹ = M{y} = b 0 + ∑ b i x i + ∑ b i, j x i x j + b123 x 1x 2 x 3 . i =1

(1)

i, j

Полный факторный эксперимент дает возможность найти раздельные оценки коэффициентов b. Нахождение модели полного факторного эксперимента (ПФЭ) состоит из: а) планирования эксперимента; б) собственно эксперимента; в) проверки воспроизводимости (однородности выборочных дисперсий); г) получения математической модели объекта с проверкой статистической значимости выборочных коэффициентов регрессии; д) проверки адекватности математического описания. Используя кодированные значения факторов (+1, –1), условия эксперимента можно записать в виде таблицы или матрицы планирования эксперимента, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Матрица планирования приведена в табл. 1. В табл. 1 столбцы x1, x2, x3 образуют матрицу плана. Эти столбцы задают планирование – по ним непосредственно определяются условия опытов. Далее поместим столбцы с возможными комбинациями произведений факторов x1x2, x1x3, x2x3, x1x2x3, которые позволяют оценить эффекты взаимодействия факторов. Добавим в таблицу еще один столбец – фиктивную переменную x0 для оценки свободного члена β0. Значение x0 во всех строчках одинаково и равно +1. Таблица 1 Матрица планирования x0 1 +1 +1 +1

x1 2 –1 +1 –1

x2 3 –1 –1 +1

x3 4 –1 –1 -1

x12 5 +1 –1 –1

x13 6 +1 –1 +1

x23 x1x2x3 7 8 +1 –1 +1 +1 –1 +1 Окончание табл. 1

8

1 +1 +1 +1 +1 +1

2 +1 –1 +1 –1 +1

3 +1 –1 –1 +1 +1

4 –1 +1 +1 +1 +1

5 +1 +1 –1 –1 +1

6 –1 –1 +1 –1 +1

7 –1 –1 –1 +1 +1

8 –1 +1 –1 –1 +1

Таблицу, содержащую такие столбцы, называют расширенной матрицей планирования. Составим матрицу планирования в системе MathCad 6 PLUS. Для этого необходимо нажать на кнопку в панели управления, которая подписана как «Vectors and Matrices Palette». Матрицу планирования эксперимента назовем «Х». Для ее ввода нажмите «Х», в результате появится надпись Х:=. После чего на появившейся в правом верхнем углу панели нужно нажать на кнопку «Matrix or Vector». В появившемся меню введите размерность матрицы Х (8×8) и нажмите «Create», а затем закройте это окно. Введите значения матрицы Х в соответствии с данными табл. 1 (см. прил.1) Зададим сразу же в качестве исходных данных количество независимых факторов r = 3 и количество точек плана n = 8. 2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЗАВИСИМОСТИ ПОКАЗАТЕЛЯ СТОЙКОСТИ КОНЦЕВЫХ ФРЕЗ ОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ Приступим к рассмотрению конкретного примера. Поставим задачу описания зависимости показателя стойкости концевых фрез от заднего угла x1, переднего угла х2, ширины ленточки х3. В качестве математической модели принимаем неполную кубическую функцию (1), а именно: M{y} = в 0 + в 1~x1 + в 2 ~x 2 + в 3 ~x 3 + в 4 ~x1~x 2 + в 5 ~x1~x 3 + в 5 ~x 2 ~x 3 + в 6 ~x1~x 2 ~x 3

(2)

Для получения оценок коэффициентов этого уравнения можно использовать полный факторный эксперимент типа 23. Выберем основные уровни факторов, близкие к применяемым в практике, а интервалы варьирования – исходя из реальных пределов колебаний значений факторов (табл. 2). Аналогично матрице Х, в составляемой программе зададим матрицы фактических значений параметров хо t (O) и матрицу интервалов их варьирования dx t( ∆~x i ) (см. прил.1). Таблица 2

9

Уровни факторов и интервалы варьирования Уровни факторов

Обозначение

Основной Интервал варьирования

О ∆~ xi

αо ~ x1 14 4

γо ~ x2 15 6

f в мм ~ x3 0,05 0,03

3. УСЛОВИЯ ИСПЫТАНИЙ Испытывали концевые фрезы диаметром 22 мм, изготовленные из стали Р18. Фрезы были заточены так, чтобы получить значения комбинации параметров, указанные в строках матрицы плана эксперимента. В каждой точке факторного пространства опыт повторялся по 3 раза, поэтому для каждой строки плана изготовляли по 3 фрезы. Результаты испытаний (стойкость фрез с минутах) приведены в табл. 3. Таблица 3 Результаты испытаний концевых фрез Точки плана v 0 1 2 3 4 5 6 7

y2 34,85 47,45 32,00 58,50 15,38 24,35 30,85 29,50

y1 41,00 43,85 43,30 43,85 26,70 31,52 17,32 30,75

y3 34,85 40,90 29,25 50,50 12,25 36,30 28,70 38,15

В разрабатываемой программе зададим матрицу испытаний Y. Размерность матрицы 8×3 (см. прил.1) 4. ПОЛУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА Целью проведения ПФЭ является получение описания изучаемого объекта в виде равенства (1). При этом получаются независимые оценки bi соответствующих коэффициентов βi bi →βi. Ортогональность матрицы планирования позволяет резко упростить вычисления коэффициентов уравнения регрессии, что является одним из преимуществ такого планирования эксперимента. Можно показать, что для любого числа факторов коэффициенты будут вычисляться по формуле n -1

bi =

∑x y i

v =0

n

v

,

(3)

10

где i = 0,1,1,…, k – номер фактора; y v - средний отклик по r опытам в точке с номером v: r -1

yv =

∑y

vj

j=0

r

.

(4)

Проведем в разрабатываемой программе согласно формулам (3) и (4) расчет значений bi и y v . Так как значений y v - восемь (для каждой точки v), расчеты будет проводить в векторной форме, а именно в результате расчетов необходимо получить вектор yv_s. Каждый элемент данного вектора рассчитывается по формуле (4). Покажем расчет значений элементов вектора yv_s на примере расчета yv_s0,0. Наберите на клавиатуре «yv_s [0,0:». Появится надпись «yv_s0,0=». Нажмите кнопку на панели управления, которая подписана как «Calculus Palette». На появившейся в правом верхнем углу панели нажмите кнопку «Summation». В появившемся знаке суммы введите необходимые значения (см. прил.2) yj,i. Для того чтобы проконтролировать правильность расчета, выведите на листе весь вектор yv_s, набрав на клавиатуре «yv_s=». Значение вектора yv_s приведено в табл. 4. Таблица 4 Значения элементов вектора yv_s 36,90 44,07 34,85 52,62 18,11 30,72 25,62 32,80

yv_s0 yv_s1 yv_s2 yv_s3 yv_s4 yv_s5 yv_s6 yv_s7

Аналогично расчету значений вектора yv_s проведем расчет значений вектора b, элементами которого будут являться все bi вычисляемые по формуле (3) (см. прил.2). Итак, получаем: b0 = 34,46; b1 = 5,59; b2 = 2,01; b3 = – 7,65; b4 = 0,65; b5 = – 0,64; b6 = 0,39; b7 = – 2,01. Уравнение в преобразованных переменных будет y€ (x1,x2,x3) = b0 + b1x1+ b2x2+ b3x3+ b4x1x2 + b5x1x3 + b5x2x2 + b6x1x2x3 (5) Для получения уравнения в натуральных значениях факторов ~xi подставим в уравнение (5) их значения согласно формуле преобразования xi =

~ x i − Oi ∆~ xi

Получим следующие значения:

(6)

11

xi =

~ x i − 14 ; 4

~ x i − 15 ; 6

xi =

xi =

~ x i − 0,5 . 0,3

5. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА Планирование эксперимента исходит из статистического характера зависимостей, поэтому полученные уравнения связи подвергаются тщательному статистическому анализу. Цели такого анализа двоякие. С одной стороны, извлечь из результатов эксперимента максимум информации, с другой – убедиться в достоверности полученной зависимости, ее точности. 6. ДИСПЕРСИЯ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩАЯ ОШИБКУ ОПЫТА. Каждый эксперимент несет в себе какую-то ошибку опыта, для уменьшения ее проводят повторения опытов при тех же условиях, т. е. в каждой строке таблицы планирования. Построчные дисперсии подсчитываются по формуле r -1

s 2v =

∑ ( yv

j

− y v )2

j=0

r -1

,

(7)

где r – число повторных опытов в точках плана. Однако при написании программы, как и в случае с расчетом значения y v , значение построчной дисперсии удобнее вычислять в виде вектора. Обозначим его как sv2. Элементы данного вектора вычисляются по формуле (7). В программе расчет каждого элемента вектора ведется, как и в предыдущих случаях, отдельно (см. прил.2). Значения элементов вектора приведены в табл. 5. Таблица 5 Значения элементов вектора sv2 sv20 sv21 sv22 sv23 sv24 sv25 sv26 sv27

12,61 10,76 55,44 26,64 57,79 36,18 52,87 21,86

Дисперсия параметра оптимизации s2{y} есть средняя арифметическая из дисперсий всех n различных вариантов опытов (усредненная дисперсия). При подсчете дисперсии параметра оптимизации квадрат разности между значениями yvj в каждом опыте и средним значением из r повторных

12

наблюдений yv нужно просуммировать по числу строк в матрице, а затем разделить на n (r = 1). Итак, n -1

s2{y} =

∑s v =0

2 v

n

.

(8)

Усредненную дисперсию также необходимо вычислить в программе. Зададим ее как переменную s2_y. При вычислении ее значение должно быть равно 34,27. Если число повторных опытов различно (вследствие отброса грубых результатов, нехватки материалов и т. п.), то при усреднении дисперсий следует пользоваться средним взвешенным значением дисперсий, взятым с учетом числа степеней свободы: n -1

∑f s

s2{y} = v =n0-1

2 v v

∑f v =0

,

(9)

v

где sv2 - дисперсия отклика по результатам в v-й точке плана, где производится rv повторных опытов; fv = rv –1 – число степеней свободы для такой дисперсии; fE – общее число степеней свободы для объединенной дисперсии s2{y}. Поэтому здесь нельзя использовать расчетные формулы для коэффициентов, приведенных выше. Прежде чем производить объединение дисперсий, надо убедиться в их однородности. 7. ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ ДИСПЕРСИЙ Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев: Фишера, Кохрена, Бартлента. Использование F – критерия Фишера при числе более двух неэффективно, так как при этом в оценке участвуют только наибольшая и наименьшая дисперсии. Критерий Кохрена пригоден для случаев, когда число повторных опытов во всех точках плана одинаково. Из всех дисперсий s 2v max, которая делится на сумму всех дисперсий по точкам. Критерий Кохрена – это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий. В нашем случае max(sv 2 ) s 2 {y} 56,79 G= = 0,211 274,141

G=

(10)

При вычислении значения критерия Кохрена – G необходимо записать точно такую же функцию как функция (10). А именно – G: =

max (sv2) . s2_y

По соответствующей таблице [2] находим для fv max = 2, fзнам = N степеней свободы и уровня значимости 5 %. Критическое значение G = 0,61. Гипотеза об однородности дисперсий принимается, если, как в нашем случае,

13

экспериментальное значение критерия Кохрена не превышает критического. 8. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ На основе метода наименьших квадратов найдено уравнение связи или математическая модель. Метод наименьших квадратов использован как вычислительный прием. Теперь предстоит выполнить статистические оценки полученной модели. Обычный регрессионный анализ основан на следующих предпосылках. 1. Результаты наблюдений у1, у2,… уn параметра оптимизации в n точках факторного пространства представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины. 2. Дисперсия величины у не зависит от абсолютной величины у и значений факторов, т. е. дисперсии в разных точках плана одинаковы. Проверка выполнения этого условия была показана выше. 3. Значения факторов суть неслучайные величины. Практически это означает, что независимые переменные x~1 , x~2 , ...x~k измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению воспроизводимости для этих факторов. Нарушения этого условия приводят к трудностям реализации матрицы планирования и поэтому легко обнаруживаются в процессе выполнения. Проверка значимости коэффициентов модели. Проверка значимости каждого коэффициента проводится. Для этого можно использовать проверку по t – критерию Стьюдента. При использовании полного факторного эксперимента доверительные интервалы для всех коэффициентов равны друг другу. Прежде всего, находим дисперсию коэффициенту регрессии s2 {bi}. При равномерном дублировании опытов по точкам с числом повторных опытов r она определяется по формуле s2 {bi} =

s 2 {y} 2 , s {bi} = nr

s 2 {b i }

(11)

с fE = n(r-1) степенями свободы. В нашем случае при вычислении в программе должно получиться s2_bi:=

s2_y , s_bi = nr

s2_bi ; s_bi = 1,195.

Из формулы видно, что дисперсии для всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят только от ошибки опытов. Теперь рассчитаем значения ti –критерия по формуле ti =

| bi | . s{b i }

(12)

Однако при вычислении можно не брать bi по модулю, а учитывать это при оценке критериев ti. В составляемой программе ti, так же как и bi удобнее вычислять в виде вектора. Поэтому формула для расчета ti в системе MathCad будет выглядеть следующим образом:

14

ti,0 =

b i,0 , где i – номер элемента вектора t (см. прил.5). Значения элеs_bi

ментов вектора приведены в табл. 6. Критическое значение tкр находится по таблице работы [2] при n(r1) = 16 степенях свободы и заданном уровне значимости α = 5 %. В нашем случае tкр = 1,74. Если ti > tкр, то гипотеза отвергается и коэффициент bi признается значимым. В противном случае bi считается статистически незначимым, т.е. βi = 0. В нашем случае значимыми являются коэффициенты b0, b1 =, b3. После этого математическая модель объекта составляется в виде уравнения связи выходного параметра y€ и переменных xi, включающего только значимые коэффициенты. Для нашего примера получим y€ = b0 + b1x1 + b3x3. Аналогичную функцию зададим и в программе. Это будет выглядеть следующим образом ym_k(xm1,xm2,xm3):=b0,0+b1,0xm1+b3,0xm3. Таблица 6 Значения элементов вектора t-критерия t0,0 t1,0 t2,0 t3,0 t4,0 t5,0 t6,0 t7,0

28,84 4,68 1,68 –6,40 0,54 –0,54 0,323 –1,168

Статистическая незначимость коэффициента bi может быть обусловлена следующими причинами: 1) уровень базового режима ~xi0 близок к точке частного экстремума по переменной ~xi ; 2) шаг варьирования Д x~i выбран малым; 3) данная переменная (произведение переменных) не имеет функциональной связи с параметром y€ ; 4) велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых переменных. Если имеет место первая или третья причина, значение фактора стабилизируется на определенном уровне, во втором случае увеличивают интервал варьирования. Если имеет место четвертая причина, следует принять меры к уменьшению ошибки эксперимента. В нашем случае незначимость коэффициентов, оценивающих взаимодействие, вызвана, вероятно, отсутствием этих эффектов. Таким обра-

15

зом, уравнение регрессии практически полностью описывает результаты эксперимента. Чем больше по абсолютному значению величина коэффициента регрессии bi, тем сильнее влияние его на критерий оптимизации в заданном интервале варьирования факторов. Если bi>0, то увеличение xi приводит к уменьшению критерия оптимизации. Подобные рассуждения справедливы для модели линейной по факторам. Если же некоторый коэффициент при смешанном произведении факторов, например bij является значимым, то это свидетельствует о том, что действие одного из этих факторов, скажем xi, зависит от уровня, на котором находится другой фактор xj. Вклад слагаемого bijxixj в величину критерия оптимизации при bij>0 будет положительным, если оба фактора находятся на верхних или нижних уровнях. И наоборот, вклад этого слагаемого будет отрицательным, если факторы находятся на разных уровнях. При bij<0 картина будет обратной. 9. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ. После вычисления коэффициентов модели следует прежде всего, проверить ее пригодность или адекватность. Чтобы проверить гипотезу об адекватности представления результатов эксперимента, достаточно оценить отклонение, предсказанное уравнением регрессии выходной величины y€ от результатов эксперимента в различных точках факторного пространства. Рассеяние результатов эксперимента относительно уравнения связи, аппроксимирующего искомую функциональную зависимость, можно охарактеризовать с помощью остаточной дисперсии или дисперсии адекватности σ ад2 , оценка которой находится по формуле, справедливой лишь при равном числе дублирующих опытов 2 s ад =

r n-1 ∑ (y v - ~y v ) 2 , n - m v =0

(13)

где m – число членов аппроксимирующего полинома (включая свободный член). Ввиду того, что в разрабатываемой программе мы в основном оперируем векторами, формула (13) при ее вводе будет иметь несколько иной вид s2_ad =

r n-1 ∑ (yv_si,0 - Y_k i,0 ) 2 , s2_ad = 1052. n − m i =0

Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения между дисперсией адекватности sад2 и дисперсии воспроизводимости s2{y}. Проверка гипотезы об адекватности модели производится с использованием F – критерия Фишера. Критерий Фишера позволяет проверить нуль – гипотезу о равенстве двух генеральных дисперсий σ ад2 и σ2{y} в том случае, если F- критерий

16

формируется как отношение F =

2 s ад . Если вычисленное значение критеs 2 {y}

рия меньше критического Fкр, определяемого по таблице работы [2] для соответствующих степеней свободы fад = n-m и fE = n(r-1) при заданном уровне значимости – α %, то нуль-гипотеза принимается. В противном случае гипотеза отвергается, и описание признается неадекватным объекту. Если выборочная дисперсия неадекватности sад2 не проходит оценки дисперсии воспроизводимости s2{y}, тогда F – отношение меньше (или равно) единицы и неравенство F0. Если число точек в плане равно числу оцениваемых коэффициентов регрессии уравнения связи (n=m), то, следовательно, не остается степеней свободы (fад=0) для проверки нуль-гипотезы об адекватности представления экспериментальных данных выбранной формой аппроксимирующего полинома. В этом случае можно воспользоваться тем обстоятельством, что свободный член есть совместная оценка, т. е. b0 →β0 +

k

∑в i =1

ii

. Если имеются повторные опыты в

центре планирования, т. е. в точке с координатами (0, 0, 0,… 0), то средний отклик дает несмещенную оценку y 0 → β0. Поэтому, если разность b0 – y 0 окажется статистически значимой, то это будет указывать на неадекватность линейной модели, содержащей взаимодействия, т. е. на то, что хотя бы часть коэффициентов βii не равна нулю. Если некоторые коэффициенты регрессии оказались незначительными или ими можно пренебречь ввиду их малости или требуется доказать правомерность линейной аппроксимации в заданном интервале варьирования, то число членов проверяемого уравнения в этом случае будет, как правило, меньше числа точек в плане и одна или несколько степеней свободы останутся для проверки гипотезы адекватности. Проведем оценку адекватности в нашем примере. Вычислим значение F =

s2_ad , F = 30,71. В соответствии с [2] значение Fкр = 31. Поэтому s2_y

полученное описание можно признать адекватным объекту.

17

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Исходные данные 1.1. Зададим количество независимых факторов r r=3 1.2. Зададим количество точек плана n n=8 1.3. Матрица планирования эксперимента 2ˆ3 при количестве независимых факторов х равном r = 3 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ X= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 1 1 1 1 1 1 1

−1 1 −1 1 −1 1 −1 1

−1 −1 1 1 −1 −1 1 1

−1 −1 −1 −1 1 1 1 1

1 −1 −1 1 1 −1 −1 1

1 −1 1 −1 −1 1 −1 1

1 1 −1 −1 −1 −1 1 1

− 1⎤ 1⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ − 1⎥ 1⎥ ⎥ − 1⎥ − 1⎥ ⎥ 1⎦

1.4. Зададим матрицу фактических значений параметров xo_t и матрицу интервалов их варьирования dx_t. xo_t = (14 15 0.05) dx_t = ( 4 6 0.03) 1.5. Зададим матрицу результатов испытаний Y ⎡ 41.0 ⎢ 43.85 ⎢ ⎢43.30 ⎢ 48.85 Y= ⎢ ⎢26.70 ⎢ ⎢31.52 ⎢17.32 ⎢ ⎣ 30.75

34.85 47.45 32.00 58.50 15.38 24.35 30.85 29.50

34.85⎤ 40.90⎥ ⎥ 29.25⎥ ⎥ 50.50⎥ 12.25 ⎥ ⎥ 36.30⎥ 28.70⎥ ⎥ 38.15⎦

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Получение математической модели объекта 2.1. Вычислим вектор средних откликов по r = 3 опытам с номером v 1 r -1 r i =0 1 r -1 yv_s4,0 = ( ) ⋅ ∑ Y4,i r i =0

yv_s0,0 = ( ) ⋅ ∑ Y0,i

18 1 r -1 r i =0 1 r -1 ( ) ⋅ ∑ Y5,i r i =0 1 r -1 ( ) ⋅ ∑ Y2,i r i =0 1 r -1 ( ) ⋅ ∑ Y6,i r i =0 1 r -1 ( ) ⋅ ∑ Y3,i r i =0 1 r -1 ( ) ⋅ ∑ Y7,i r i =0

yv_s1,0 = ( ) ⋅ ∑ Y1,i yv_s5,0 = yv_s2,0 = yv_s6,0 = yv_s3,0 = yv_s7,0 =

Вектор yv_s равен: ⎡ 36.9 ⎤ ⎢44.067⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 34.85 ⎥ ⎥ ⎢ 52.617⎥ ⎢ yv_s = ⎢ 18.11 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 30.723⎥ ⎢ 25.623⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 32.8 ⎦

2.2. Вычислим вектор независимых оценок b соответствующих коэффициентам β 1 n-1 n i =0 1 n-1 ( ) ⋅ ∑ X i,0 ⋅ yv_si,0 n i =0 1 n-1 ( ) ⋅ ∑ X i,1 ⋅ yv_si,0 n i =0 1 n-1 ( ) ⋅ ∑ X i,5 ⋅ yv_si,0 n i =0 1 n-1 ( ) ⋅ ∑ X i,2 ⋅ yv_si,0 n i =0 1 n-1 ( ) ⋅ ∑ X i,6 ⋅ yv_si,0 n i =0 1 n-1 ( ) ⋅ ∑ X i,3 ⋅ yv_si,0 n i =0

b4,0 = ( ) ⋅ ∑ X i,4 ⋅ yv_si,0 b0,0 = b1,0 = b5,0 = b2,0 = b6,0 = b3,0 =

19 n -1

1 n

b7,0 = ( ) ⋅ ∑ X i,7 ⋅ yv_si,0 i =0

Вектор b равен: ⎡ 34.461⎤ ⎢ 5.59⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 2.011⎥ ⎥ ⎢ − 7.647⎥ ⎢ b= ⎢ 0.645⎥ ⎥ ⎢ ⎢ − 0.643⎥ ⎢ 0.386⎥ ⎥ ⎢ ⎣ − 2.005⎦

2.3. Составим математическую модель эксперимента в виде уравнения, записанного в преобразованных переменных xm y_k(xm1,xm2,xm3) = b0,0+b1,0·xm1+ b2,0·xm2+ b3,0·xm3+ b4,0·xm1·xm2 + +b5,0·xm1·xm3+b6,0·xm2·xm3+ b7,0·xm1·xm2·xm3 Для получения уравнения в натуральных значениях факторов введем следующие обозначения: xm1(xm_t1) =

(xm_t1 - xo_t 0,0 ) dx_t 0,0

xm2(xm_t2) =

(xm_t2 - xo_t 0,1 ) dx_t 0,1

xm3(xm_t3) =

(xm_t3 - xo_t 0,2 ) dx_t 0,2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Дисперсия, характеризующая ошибку опыта 3.1. Вычислим значение вектора дисперсии sv2 r −1

sv20,0 =

∑ (Y i =0

0,i

r -1 r −1

sv24,0 =

∑ (Y i =0

4,i

− yv_s4,0 ) 2 r -1

r −1

sv21,0 =

− yv_s0,0 ) 2

∑ (Y i =0

1,i

− yv_s1,0 ) 2 r -1

20 r −1

sv25,0 =

∑ (Y

5,i

i =0

r -1 r −1

sv22,0 =

∑ (Y

2,i

i =0

∑ (Y

6,i

i =0

∑ (Y

3,i

i =0

− yv_s3,0 ) 2 r -1

r −1

sv27,0 =

− yv_s6,0 ) 2 r -1

r −1

sv23,0 =

− yv_s2,0 ) 2 r -1

r −1

sv26,0 =

− yv_s5,0 ) 2

∑ (Y

7,i

i =0

− yv_s7,0 ) 2 r -1

Вектор sv2 равен: ⎡12.607 ⎤ ⎢10.761⎥ ⎥ ⎢ ⎢55.442⎥ ⎥ ⎢ 26.641⎥ ⎢ sv2 = ⎢ 57.79 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢36.177⎥ ⎢52.865⎥ ⎥ ⎢ ⎣21.857⎦

3.2. Вычислим дисперсию параметра оптимизации sv_y n -1

sv_y =

∑ sv2 i =0

i,0

n

sv_y = 34,268 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Проверка однородности дисперсии Вычислим значение критерия Кохрена G=

max(sv2) s2_y ⋅ n

G = 0.211

21

ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Проверка значимости коэффициентов модели 5.1. Вычислим значение дисперсии коэффициента регрессии s2_bi s2_bi =

s2_y n⋅r

s_bi = s2_bi s_bi = 1.195 5.2. Вычислим значения вектора t-критерия: b 0,0 s_bi b t4,0 = 4,0 s_bi b1,0

t0,0 =

t1,0 =

s_bi b t5,0 = 5,0 s_bi b 2,0

t2,0 =

s_bi b t6,0 = 6,0 s_bi b t3,0 = 3,0 s_bi b 7,0

t7,0 =

s_bi

Вектор t равен: ⎡ 28.84⎤ ⎢ 4.679⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 1.683⎥ ⎥ ⎢ − 6.4⎥ ⎢ t= ⎢ 0.54⎥ ⎥ ⎢ ⎢ − 0.538⎥ ⎢ 0.323⎥ ⎥ ⎢ ⎣ − 1.678⎦

В данном случае статически значимыми будут являться коэффициенты b0, b1, b3. Поэтому математическая модель объекта в преобразованных переменных, включая только значимые коэффициенты будет иметь вид ym_k(xm1, xm2, xm3) = b0,0 + b1,0 ·xm1 + b3,0 ·xm3

22

Таким образом, число членов аппроксимирующего полинома m m=3 5.3. Вычислим вектор значений уравнения в преобразованных параметрах со значимыми параметрами Y_k0,0 = ym_k(X0,0, X0,1, X0,2) Y_k4,0 = ym_k(X4,0, X4,1, X4,2) Y_k1,0 = ym_k(X1,0, X1,1, X1,2) Y_k5,0 = ym_k(X5,0, X5,1, X5,2) Y_k2,0 = ym_k(X2,0, X2,1, X2,2) Y_k6,0 = ym_k(X6,0, X6,1, X6,2) Y_k3,0 = ym_k(X3,0, X3,1, X3,2) Y_k7,0 = ym_k(X7,0, X7,1, X7,2) Вектор Y_k равен ⎡47.699⎤ ⎢47.699⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 32.405⎥ ⎥ ⎢ 32.405⎥ ⎢ Y_k = ⎢47.699⎥ ⎥ ⎢ ⎢47.699⎥ ⎢ 32.405⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 32.405⎦

ПРИЛОЖЕНИЕ 6 Проверка адекватности модели 6.1. Вычислим значение оценки дисперсии адекватности s2_ad =

n −1 r ⋅ ∑ (yv_si,0 − Y_k i,0 ) 2 n - m i =0

s2_ad = 1.052 · 103

6.2. Вычислим значение критерия Фишера F=

s2_ad s2_y

F = 30,713

23

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Большаев, Л. Н. Таблицы математической статистики / Л. Н. Большаев, Н. В. Смирнов. – М. : Наука, 1965. – 474 с. 2. Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента / П. Г. Кацев. – Изд-е 2-е, перераб. и доп. – М. : Машиностроение, 1974. – 231 с.

24

Учебное издание АНТОНЕЦ Иван Васильевич ЕРЕМИН Николай Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА Методические указания для студентов спец. 120100 всех форм обучения Корректор Подписано в печать 00.04. Формат 60х84/16 Бумага писчая. Усл.п.л. Уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, Сев. Венец, 32 Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32