Álgebra para nivel medio superior (guía para el profesor) Spanish

Libro para el profesor Matemáticas 1 (Álgebra) Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional

Libro para el Profesor

Introducción 1. Justificación de la Secuencia de Actividades de Aprendizaje 2. Sobre los MAPOA 3. Problemas 4. Ejercicios 5. Lecturas 6. Autoevaluaciones 7. Bibliografía

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Introducción El marco institucional Hay un hecho que difícilmente podemos ignorar: pocos, muy pocos, profesores de matemáticas están satisfechos con su trabajo, no hemos logrado que los aprendizajes de los estudiantes sean sólidos y duraderos. Tampoco hemos logrado que los alumnos desarrollen una actitud activa y responsable hacia su aprendizaje en la escuela. Por supuesto, hay muchas explicaciones que limitando nuestra responsabilidad nos permiten tolerar una situación tan difícilmente tolerable. La cuestión es muy compleja y hay excusas y razones. A medida que los objetivos de la educación han evolucionado hacia un aprendizaje multidimensional para todos, acordes con una sociedad que se sustenta en el desarrollo tecnológico y que se pretende democrática, el énfasis se ha desplazado del conjunto de conocimientos rígidos centrados en el dominio de técnicas y en el desarrollo de habilidades mecánicas hacia el desarrollo de las llamadas habilidades intelectuales de orden superior y la formación de actitudes que favorezcan la independencia, la autonomía y la toma de decisiones responsable, en las situaciones cambiantes y de incertidumbre, como las que enfrenta el individuo actualmente en los ámbitos personal, ciudadano y profesional. La educación matemática, disciplina que trata del aprendizaje de las matemáticas, ha florecido durante las últimas décadas aportando una gran diversidad de nuevos conocimientos acerca de las múltiples dimensiones del desarrollo de la cultura matemática. Así, se sabe que no basta que nosotros profesores “sepamos” de la materia, es necesario convertirnos en profesionales de la docencia, en ingenieros en didáctica que estemos al tanto de los resultados de la investigación en educación matemática y que tengamos claro, de manera explícita, cuáles son los principios en que fundamentamos nuestra práctica. Podemos decir que el propósito general de la educación matemática es lograr que el estudiante desarrolle una cultura matemática dinámica, que le permita enfrentar situaciones, tanto familiares como inéditas, en las que se requiera la producción o utilización de ideas matemáticas, que dé lugar a una valoración global fundamentada de estas situaciones, y logre definir varias opciones con sus respectivos costos y beneficios. El papel que se le reconoce al profesor actualmente en los documentos de la SEP como el organizador de las secuencias de aprendizaje para lograr los propósitos de sus cursos presupone una amplia solvencia, tanto matemática como didáctica, en los temas que debe enseñar, pues «…los programas no están concebidos como una progresión de temas que deban estudiarse uno a continuación del otro. Por el contrario, se recomienda al maestro modificar el orden de los contenidos y entrelazar temas de distintos ejes en la forma que considere más adecuada para el aprendizaje de sus alumnos, sin más limitación que cumplir con los propósitos del programa.» (Alarcón et al., 1994, p7).

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La profesión docente se ha vuelto terriblemente difícil a causa de los ambiciosos objetivos de la educación y, en consecuencia, de la gran complejidad de los fenómenos que enfrenta. El profesor ya no es el que tiene un conocimiento acabado y lo transmite fielmente, sino el administrador de las interacciones entre un medio enseñante y el alumno. Ahora tenemos un papel mucho más complejo e interesante. El salón de clases es el sitio de concurrencia de los principales actores de la experiencia de la matemática educativa. Es ahí donde, de manera explícita o implícita, interactúan las costumbres, los sistemas de ideas y creencias de profesores y alumnos, la institución escolar y la escuela se hacen presentes con sus planes y programas de estudio y sus propias normas, que presuponen visiones de lo que es enseñar y aprender matemáticas, que, a su vez, se apoyan en ideas de lo que son el saber matemático y las matemáticas mismas. El modelo de cátedra expositiva en el que fuimos educados ha mostrado sus limitaciones cuando se trata de lograr aprendizajes complejos, además de que fomenta actitudes en los estudiantes que son incompatibles con las competencias básicas del nivel medio superior actual. Pero no se cambian las creencias ni se modifican los hábitos de un día a otro. No hay aquí un dictamen definitivo acerca de una costumbre entrañable, “dar clase” sino una serie de evidencias que nos invitan a reflexionar sobre nuestra responsabilidad como profesores. Cada cual se tiene que convencer de que vale la pena emprender esta revisión a fondo de su trabajo, porque implica un grado muy alto de cuestionamiento. Pero también nos puede conducir a adoptar una perspectiva nueva llena de retos sorprendentes. Para organizar aprendizajes complejos a partir de supuestos cualitativamente distintos de aquellos en los que se basa nuestra formación, necesitamos identificar los conocimientos, habilidades, actitudes, así como los valores subyacentes, que debemos revisar. No nos queda más remedio que reconocer la complejidad de la problemática que enfrentamos, así como la necesidad de instrumentar propuestas que apunten a soluciones factibles, flexibles y duraderas, que tomen en cuenta los tiempos reales que se requieren para que den frutos. No hay recetas de aplicación mecánica para la enseñanza de las matemáticas. Afortunadamente en nuestra profesión se requiere del análisis de situaciones complejas según criterios múltiples, que nos conducen a la formulación de juicios matizados y a una toma de decisiones siempre consciente de los riesgos. El curso de álgebra El desarrollo de los Libros se basa fundamentalmente en el programa de Álgebra, es decir, retoma como propósitos fundamentales que los estudiantes generen modelos algebraicos de situaciones problemáticas que se le presenten, en donde, para sus soluciones, hagan uso de polinomios, transformaciones elementales de expresiones algebraicas, planteamiento y resolución de ecuaciones, sus representaciones gráficas y una primera aproximación a las funciones lineales y cuadráticas, lo que les permitirá analizar situaciones y

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problemas surgidos en su entorno, así como tener el fundamento para el desarrollo posterior de conceptos y métodos matemáticos. En el diseño de los Libros se consideró, como lo establece el Programa de Álgebra, que la resolución de problemas es la que permite generar e integrar conocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el docente es un facilitador del aprendizaje que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, al mismo tiempo que organiza el trabajo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los problemas planteados y avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, en el transcurso de las actividades, los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólico y gráfico, así como al uso de tablas y diagramas. Uno de los supuestos metodológicos para la elaboración de los Libros es que las ideas o procedimientos matemáticos se comprenden si se articulan adecuadamente en una red de conocimientos y experiencias. En este sentido, el conjunto de actividades de aprendizaje que se presenta en los Libros (problemas, problemas con guía, proyectos, ejercicios, lecturas y autoevaluaciones) constituye una secuencia de actividades que se organiza, por un lado, alrededor de las cuatro líneas de desarrollo del curso de Álgebra: lenguaje algebraico, modelación, ecuaciones y funciones, y, por otro lado, de acuerdo a las características del ambiente de aprendizaje integral que se necesita fomentar en nuestros salones de clase. La caracterización de las actividades Para conformar y caracterizar la red de actividades que el estudiante realizará en el curso, se definieron diez características: 1. Experiencia de aprendizaje 2. Modalidad de trabajo 3. Lugar de realización 4. Herramientas tecnológicas 5. Tiempo 6. Producto 7. Referencias curriculares 8. Representaciones 9. Estrategias 10. Evaluación Observaciones. Con esta caracterización de las actividades de aprendizaje, puedes establecer explícitamente la vinculación que hay entre ellas desde perspectivas diferentes que se deben articular para organizar una sesión de clase. Hay que destacar que el tránsito de hacia una educación integradora implica, en particular, una diversificación de los contenidos, hasta ahora principalmente conceptuales, para atender los de tipo procedimental y actitudinal necesarios para una formación cultural básica y equilibrada de todos los estudiantes. Así, en el rubro de ‘Referencias curriculares’ se

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consideraron, además de los contenidos que marca el programa, algunos contenidos procedimentales y actitudinales, las competencias básicas del estudiante de bachillerato y los estándares 9-12 del NCTM. La complejidad del diseño y de la instrumentación de las actividades no se riñe con una consideración del tiempo disponible, que debe ser suficiente para que los estudiantes puedan realizar realmente las actividades, y de otros factores importantes como el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes, sus ideas previas, sus expectativas y la pertinencia de los contenidos, que suelen variar para cada grupo de estudiantes en particular. Por el contrario, si el profesor dispone de más información se espera que la use para armonizar un trabajo que conduzca a un aprendizaje verdaderamente significativo para el estudiante.

El ambiente Nuestra perspectiva es la del profesor que quiere enseñar para que todos sus alumnos logren los aprendizajes que los faculten para un uso activo de sus matemáticas. Desde esta perspectiva los ambientes de resolución de problemas son potencialmente fecundos y pueden constituir uno más de los muchos recursos que el profesor necesita para organizar los aprendizajes multidimensionales de sus alumnos. Los ambientes de resolución de problemas son complejos e incluyen planes en varios niveles y decisiones frecuentes que conducen a escenarios distintos. La posibilidad de organizar los aprendizajes curriculares en estos ambientes depende de la habilidad que tengamos los profesores para administrarlos en función de ciertos objetivos. Para lograrlo necesitamos incorporar una perspectiva de trabajo que nos permita convertirnos en productores de nuestros propios saberes y prácticas. En cuanto al ambiente, es importante poner en acción un conjunto de creencias que Pirie y Kieren (1992) resumen en cuatro principios: • Aunque un profesor puede tener la intención de impulsar a los estudiantes hacia objetivos de aprendizaje matemático, estará consciente de que tal progreso puede no ser logrado por algunos estudiantes y puede no ser logrado como se esperaba por otros. • Al crear un ambiente o proporcionar oportunidades a los alumnos de modificar su comprensión matemática, el profesor actuará sobre la creencia de que hay vías distintas para una comprensión matemática similar. • El profesor estará consciente de que las distintas personas tendrán modos de comprensión distintos. • El profesor sabrá que para cualquier tema hay diferentes niveles de comprensión y que éstos nunca se alcanzan ‘de una vez por todas’. Los ejemplos En este libro se incluyen, en cada capítulo, algunos ejemplos de los documentos que se consideran útiles para el trabajo del profesor. Se presenta el desarrollo de la solución que podemos esperar que produzcan los estudiantes del nivel y que llamamos ‘de referencia’, sin dejar de lado las variantes posibles. También se incluye un comentario de la actividad que se

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detiene en las distintas vías que puede seguir un estudiante, con la aplicación de las estrategias correspondientes, para avanzar en la solución de la actividad y describe la articulación de las representaciones. Apunta algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes, en forma individual o en equipo, durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. El comentario concluye con una ficha que resume los aspectos más importantes. Así se irán conformando historias de problemas que se robustecerán cada vez que las trabajemos en clase. Estas historias se harán más detalladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que se describen en la sección siguiente. Esta labor la podremos emprender aprovechando la red de interacción académica en Internet.

El trabajo del profesor En este Libro te presentamos una propuesta de trabajo que toma en cuenta las características del quehacer docente mencionadas antes y, por tanto, se puede modificar o adaptar aprovechando la información que aporta. Cada profesor tiene su estilo de docencia, que se puede beneficiar de una práctica y una reflexión más sistemática, así como de las discusiones que se realicen alrededor de nuestras preocupaciones comunes. En nuestras academias y en la red de interacción en Internet podremos ventilar nuestras inquietudes y dificultades y beneficiarnos de los comentarios y sugerencias de nuestros colegas. Para utilizar las actividades en una sesión de clase, hay que hacer un plan, instrumentarlo y evaluarlo. Esta terna se repite en distintos niveles: la actividad, la clase, el tema, la unidad, el curso, el área, el ciclo, etc. Necesitamos desarrollar la habilidad de usar una especie de zoom que nos permita destacar los aspectos importantes que corresponden a cada nivel como el zoom lo hace con la escala. En cada acto de enseñanza, consideramos los objetivos de niveles distintos con los que se relaciona y la forma en que lo hace. Por ejemplo si se trata de una experiencia necesaria pero que no genera un aprendizaje inmediato exigible, como es el caso de algunas de las líneas que apuntan al desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior, establecemos los lineamientos de interacción con los alumnos y los criterios de evaluación correspondientes, vinculándolos con otras experiencias de aprendizaje posteriores y haciendo inferencias explícitas sobre el desarrollo de la comprensión de los conceptos y procesos que se ponen en juego. Así mismo identificamos, desde una perspectiva sistémica, los factores que influyen en su práctica para establecer estrategias de acción, aun cuando la posibilidad de actuar sobre algunos factores sea muy escasa. En este sentido, es importante que nos veamos como parte de diferentes subsistemas y nos propongamos ampliar gradualmente nuestro campo de competencia y responsabilidad. El «zoom del profesor» se constituye así en una herramienta para, desde perspectivas distintas pero pertinentes, superar algunos callejones sin salida que parecen tales cuando sólo se atiende a la perspectiva del salón de clases. A modo de ilustración te presentamos cómo puedes planear, instrumentar y evaluar una sesión de resolución de problemas.

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1. La Planeación de una Sesión de Trabajo

Marco para el análisis de los problemas

La planeación de un problema

Situación problemática embrionaria

Enunciado del problema

Descripción de la s ituación problemática embrionaria según las categorías del Marco para el análisis de los problemas

Documentos que concretan la planeación de un problema

Propósitos del problema Precepto de evaluación Solución de referencia Cuadro de soluciones Lineamientos para la interacción con los equipos Guión de la discusión Variables

del problema

Figura 1. La planeación de un problema. Aquí describimos una manera de organizar una sesión a partir de una actividad que permite generar información sobre estos aspectos en cada instrumentación conformando una ‘historia del problema’ o, en general, de la actividad de aprendizaje. La fase de planeación requiere un análisis de la actividad desde un marco de referencia y el registro por escrito de ese análisis. Esto le permitirá al profesor definir previamente no sólo la actividad que trabajará, cuál es el objetivo de la sesión y los tiempos disponibles, sino también cuáles son los obstáculos con los que se puede topar el alumno, cuáles van a ser sus actitudes ante los obstáculos, hasta donde debe llegar la sesión y en caso de no lograrlo qué hará para cumplir sus objetivos. Uno de los objetivos de la planeación es hacer explícitas nuestras expectativas.

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Por supuesto que lo que ocurrirá en la sesión de trabajo no puede estar completamente definido. Dentro del salón de clases el profesor toma decisiones constantemente con base en el marco de referencia que le brindan los documentos de la planeación y la información que va registrando durante la sesión. La planeación, entonces, debe ser flexible. Los documentos que concretarán nuestra planeación son: Propósito de la actividad: que se manejará no únicamente desde la perspectiva de un contenido programático sino considerando las representaciones que articula (gráfica, aritmética, textual, icónica, etc), los aprendizajes que prepara, las categorías de resolución de problemas y los objetivos institucionales. El propósito de la actividad debe considerar que no todos los aprendizajes pueden ser inmediatos y que hay cuestiones que sólo se logran a largo plazo. Recomendaciones durante la actividad: Cada uno de estos documentos está enfocado a los momentos que constituyen la sesión de trabajo, son una guía que nos permite dirigir la sesión hacia el objetivo establecido, sin desvirtuar la actividad. a) Lineamientos para la interacción con los equipos: darán las pautas a seguir en la interacción del profesor con los alumnos mientras realizan la actividad. La intervención de un profesor debe estar guiada por el ambiente, en el sentido de no invalidar el trabajo de los alumnos ni privarlos de la satisfacción de encontrar la solución por ellos mismos.

Lineamientos

P

A2

Profesor

E

A4

Equipo

M

A3 A1

Reporte Figura 2. La interacción del profesor con un equipo. b) Guión de la discusión: brinda un marco para la conducción de la discusión. Se consideran los posibles desarrollos de las soluciones y se establecen los lineamientos para la participación del profesor.

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Expectativas

E

A1 A2 A3 Equipo A4

P

Profesor

Guión

G R U P O

Figura 3. Las interacciones durante la discusión del trabajo de un equipo.

Recomendaciones para la evaluación de la actividad: La evaluación de la actividad debe considerar por lo menos: a) Solución de referencia: Esta solución se elabora considerando los conocimientos que se ponen en juego durante la resolución del problema o la realización de la actividad. b) Precepto de evaluación: Este documento contiene la descripción de los estándares de evaluación de un problema en particular. El precepto debe reflejar los principales aspectos del problema y aportar información útil para orientar el curso de las acciones del profesor y del estudiante ya sea para avanzar o profundizar en los contenidos que se pusieron en juego en el problema o para corregir las ideas erróneas que se hayan identificado. 2. La Instrumentación La planeación debe tomar en cuenta los cursos diversos que puede seguir la acción durante la instrumentación y sus posibles consecuencias en función de los propósitos de la sesión. No es conveniente prodigar los comentarios ni las reformulaciones. Sin embargo, hay algunas intervenciones en las que se pueden solicitar aclaraciones, precisiones, explicaciones, justificaciones, cuando el profesor advierte indicios de perplejidad o incomodidad en el equipo o en el grupo que no logran formularse. La disyuntiva fundamental del profesor es decidir cuándo conviene detenerse para profundizar algún aspecto matemático. Las intervenciones del profesor deben estar guiadas por los lineamientos para la interacción con los equipos y por el guión de la discusión de tal manera que no se vaya a desvirtuar la experiencia de aprendizaje que le corresponde disfrutar a los estudiantes con comentarios impacientes o irreflexivos. Hay un principio básico para que la planeación resulte útil: antes de hablar, hay que escuchar. Hay que dar oportunidad a que surja la participación espontánea de los alumnos.

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3. La Evaluación de la Actividad Después de realizada la actividad el profesor debe evaluar la efectividad y los resultados que se obtuvieron. No se trata sólo de la evaluación de los conocimientos, habilidades, actitudes y transferencia del alumno. La evaluación de la actividad debe aportar información útil y confiable para mejorar el diseño de la actividad. Además de la evaluación en los alumnos, se tiene la evaluación de la actividad y parte importante de ella es ‘historiar el problema’. La idea es contrastar los análisis previo y posterior a la instrumentación para hacer un registro cada vez más robusto de las interacciones posibles, las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacen los alumnos, se puede complementar muy provechosamente con la investigación de los problemas y las condiciones en que se originaron los conceptos que se ponen en juego. Pero, puesto que nuestra perspectiva es la del profesor, y lo que necesariamente hace el profesor es trabajar con los alumnos, hemos optado por basarnos en nuestra experiencia y en la disposición de hacer explícitas nuestras expectativas para que, aun cuando nuestro primer análisis sea muy rudimentario, se vaya robusteciendo en las sucesivas puestas en escena, de tal manera que esta historia del problema se constituya en un saber propio del profesor generado en su práctica. Los registros audiovisuales brindan la oportunidad de aprovechar las ventajas de un análisis más detenido para incorporar sus resultados en las historias de los problemas.

registros del profesor producciones de los estudiantes

registros audiovisuales

orga niza dores viñe tas

documentos que concretan la planeación del problema

historia del problema

Figura 4. La historia de un problema.

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Materiales Auxiliares Para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) Se tiene, además, una propuesta para la organización del aprendizaje de los alumnos que se plantea en una serie de materiales. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se pueden usar y comentar constantemente durante las actividades de aprendizaje con los estudiantes y de planeación con los profesores. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En el proceso de profesionalización de nuestro quehacer abundan, afortunadamente, las oportunidades de aprender. La mejor manera de familiarizarnos con los MAPOA es usarlos para organizar nuestro aprendizaje. Así tendremos una experiencia de primera mano que compartir con los estudiantes. El Libro del Estudiante va acompañado de un disco compacto que incluye tanto actividades interactivas como paquetes con herramientas de graficación y con sistemas de cálculo algebraico. También hay algunas animaciones y ejercicios de práctica y autoevaluación. Estos recursos que estarán a disposición de los estudiantes se deben integrar como parte de sus experiencias de aprendizaje con una planeación adecuada, ya sea en el ámbito escolar o en forma de tareas. El uso cotidiano y responsable de las herramientas tecnológicas para la comprensión de las matemáticas puede contribuir a crear un ambiente propicio para el desarrollo de los aprendizajes complejos e integradores que promete nuestra institución a todos sus estudiantes.

Desafíos Docentes Es importante que hagamos un esfuerzo sistemático por hacer explícitos los sistemas de creencias que sustentan nuestra práctica docente. Puesto que somos profesores, tenemos una idea clara de las condiciones reales en que se realiza nuestro trabajo, pero hay que evitar la autocomplacencia y el victimismo, un tránsito hacia un ejercicio profesional de la docencia implica tanto una revisión de la forma en que concebimos nuestro trabajo como una redefinición de las relaciones que tenemos con las instituciones educativas. Para que estos cambios tengan lugar se requiere de un compromiso muy fuerte y del tiempo necesario para fortalecer nuestras organizaciones y para darnos las condiciones indispensables que nos permitan convertir nuestro trabajo docente en el trabajo de un profesional reflexivo.

Hay una necesidad de plantear una reconceptualización del quehacer del profesor desde los ejes constitutivos de su trabajo. Entre estos ejes se destacan: • Las relaciones que enmarcan y posibilitan su labor académica • Los modelos educativos que orientan su práctica, • La axiología social y educativa que lo identifica con los fines y valores de una institución.

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En este sentido, los profesores tenemos un papel de intervención directa en el proyecto cultural de la institución, un proyecto que se concibe como un proyecto dinámico en construcción permanente, en el que participan todos los agentes educativos. Para que podamos asumir nuestro papel como sujeto del cambio que plantea una reforma académica integral, es necesario consolidar los espacios de reflexión en los que se define la orientación del ejercicio de la docencia. Al insertarnos en estos espacios, podremos dejar de ser entes aislados para convertirnos en sujetos participativos, cuyas acciones no solo repercutan en el estudiante sino en todo lo que implica la institución educativa. Dada la complejidad del quehacer docente en los niveles que incluyen las fases de planeación, instrumentación y evaluación para el logro de los ambiciosos, pero pertinentes, objetivos del nivel, es necesario que, además del espacio privilegiado que representa la academia, se abran y consoliden otros espacios de reflexión, discusión y producción, en donde los profesores podamos avanzar en nuestra profesionalización como docentes. En este sentido, un elemento fundamental de la instrumentación de estos libros, es una red de interacción académica de profesores de Matemáticas del NMS del IPN en Internet.

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1. Justificación de la Secuencia de Actividades de Aprendizaje

En el Libro se tienen señaladas distintas actividades de aprendizaje: problemas, problemas con guía, proyectos, lecturas, ejercicios, tareas y autoevaluaciones. De todo esto lo que más se asemeja a lo que todavía muchos alumnos esperan del profesor corresponde a ejercicios. Esta variedad de actividades es necesaria para el cumplimiento de los objetivos del programa y de la dimensión matemática de las Competencias Básicas del Estudiante de Bachillerato. Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para su aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que se considera que son -o deben sercomunes a todos los bachilleratos del país. Se considera que, en términos generales, las competencias básicas que deben estar presentes en el perfil del educando son: C1. Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, así como interpretar los mensajes en ambas formas. C2. Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos, matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.). C3. Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos para la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos. C4. Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de los conocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos de su comunidad, región y del país. C5. Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual. C6. Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formación cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social. C7. Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana. C8. Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad. No se pueden fomentar estas competencias con un solo tipo de actividad de aprendizaje, se impone el uso integral de varios tipos para ello. Las actividades propuestas en lo s Libros lo permiten. A continuación te proporcionamos comentarios sobre la importancia de cada una de estas actividades.

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Problemas: Aquí se presenta un enunciado en el que se pide la respuesta a una o más preguntas y al alumno le corresponde responder. El profesor orienta el trabajo del alumno, pero no es él quien debe resolver y responder lo que se pide. La idea es que el alumno se vaya acostumbrando a tomar decisiones y a justificarlas. Para ello debe comenzar por una lectura cuidadosa del texto, encontrarle un sentido a la situación planteada, establecer una forma de representar la situación mediante una tabla, gráfica o expresión algebraica (mejor si utiliza las tres) y al trabajar con ellas cuándo podrá responder lo que se le pide. Pero no termina aquí su trabajo. Debe darse cuenta si su respuesta tiene sentido, es decir si es aceptable a partir de la situación presentada en el enunciado. Como es una actividad de aprendizaje, encontrar una respuesta a la situación planteada no concluye el problema, éste continúa y se amplía al buscar otras formas de resolverlo o el establecimiento de un método de solución, que facilite el tratamiento de otras situaciones similares y el planteamiento de otras preguntas. Todo esto no es sencillo ni para el alumno ni para el profesor. El alumno, ante todo esto, fácilmente se puede paralizar y decir “no entiendo”. Al trabajar en equipo con otros de sus compañeros reduce esta parálisis. Es más fácil que un alumno se anime a comentar con sus iguales lo que entiende y qué puede hacer. Desde luego que no es suficiente, no faltarán alumnos que digan que prefieren trabajar solos. Ante esto el profesor no debe simplemente imponerles la decisión de trabajar en equipo, sino tratar de convencerlos de la conveniencia de ello. Trabajar en equipo no se reduce a separar temas y repartirlos entre los integrantes. Incluye discusiones para llegar a acuerdos o para una comprensión mutua de los desacuerdos y la fortaleza o debilidad de la posición de cada uno de los integrantes. Estas discusiones requieren tiempo, más de lo que alumnos y profesores estamos acostumbramos dedicarle a un tema, y provoca la sensación de que se está perdiendo el tiempo, a pesar de juzgar interesante e importante el tema tratado. Mientras los alumnos están trabajando, el profesor debe estar al pendiente de lo que está ocurriendo en cada equipo. A partir de preguntas y comentarios breves orienta el trabajo de los equipos. Debe cuidarse en no calificar el trabajo de los equipos, es decir, que ante la pregunta: “¿estamos bien profesor?”, no responda con un “sí” o un “no”. Los alumnos están acostumbrados a que sea el profesor quien establezca quiénes están bien y quiénes no. No están acostumbrados a que sean ellos mismos quienes lo determinen. Pero si se va a fomentar su independencia deben acostumbrarse a hacerlo. Así, cuando un alumno pregunte si está bien, se les replica con otra pregunta: ¿Por qué no estás seguro? Y se invita a otros alumnos del equipo a que externen sus ideas. Si manifiestan que están de acuerdo, se les pide que preparen una presentación ante el resto de sus compañeros. Cuando se trabaja un problema es el grupo en pleno quien decide qué soluciones están bien. Es cierto, se corre el riesgo de que se acepte una solución con errores y el profesor debe evitar la tentación de decirles que se equivocaron. El profesor debe decidir si desde el primer momento les presenta objeciones a su solución, o deja que pasen algunos días antes de volver a tratar el mismo problema. Para un alumno, la actividad del profesor en una sesión de resolución de problemas puede parecer bastante menor: pasearse por los equipos, observar lo que están haciendo, hacerles algunos comentarios y no decir quiénes están bien y quiénes no. Pero no es sencillo lo que tiene que hacer el profesor. Antes de proponer a los alumnos un problema, el profesor debe haberlo

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estudiado y establecer un plan de su puesta en escena. De esta forma estará en condiciones de anticipar dificultades y preparar comentarios que permitan avances en los alumnos. Pero no es seguro que lo anticipado ocurra exactamente. Así, la improvisación en sus intervenciones con los alumnos es inevitable, pero si el profesor tiene claro cuáles son los objetivos a lograr en el problema, le resultará más fácil decidir el sentido de sus intervenciones. Cuando se tienen las primeras sesiones de resolución de problemas es usual que alumnos (y profesores) perciban que aunque interesante, eso no es una clase de matemáticas, que si acaso es una actividad para quitar la tensión de lo que es la materia y las dificultades que se tienen para aprenderla. No es así, en ella se ponen en juego varios aspectos importantes: fomenta la lectura reflexiva, la discusión matemática, desarrollo de estrategias para enfrentar un problema, la importancia de lo que se aprende mientras se busca resolver un problema, la argumentación que sustenta las opiniones o conclusiones de una persona o de un equipo, la presentación ante otros de las ideas propias, la importancia de saber escuchar y ser escuchado. Es tanto todo esto que el profesor puede ser rebasado, y que sienta que no tiene control en la sesión, pues aún cuando todo el grupo esté discutiendo el problema propuesto, el ruido que se provoca y la variedad de ideas que se manejen pueden aturdir al profesor y al encontrar que no es posible tratar todo lo que surge en el tiempo que se dispone, sentir que mucho de lo tratado en la sesión se pierde y, en consecuencia, es tiempo perdido en el curso. Hay algo más que se encuentra el profesor en una sesión de problemas: cuando se busca convencer a un alumno que su idea o argumento sobre cierta situación está equivocada, no a partir de una posición de autoridad (“Soy el profesor y si te digo que estás mal, es que así es”), sino de hacerle ver que hay inconsistencias o contradicciones en su argumentación, se requiere de más tiempo y de ser cuidadoso en el argumento que el propio profesor construya para convencer a su alumno. Habitualmente los enunciados de los problemas son cortos y esto permite que los alumnos puedan pensar y seguir distintos caminos de solución. El profesor no debe prohibirles alguno sólo por no haberlo él previsto antes en la planeación del problema. Si está bien fundamentado el camino que sigue un equipo, el profesor debe respetar su trabajo. En todo caso, cuando se tenga la discusión general, de todos los equipos, del problema y se presenten varias vías de solución, el profesor tendrá la oportunidad de destacar la que más le interesa y proponer, si es necesario, una comparación entre los distintos métodos de solución.

En los problemas con guía se tienen sesiones similares a la de los problemas. La diferencia consiste en que en los primeros, el enunciado incluye preguntas o actividades que se pide a los alumnos realizar para responder la pregunta (o preguntas) principales del problema. De esta manera se dirige más al alumno hacia un camino o forma de resolver el problema. La intención es disminuir la parálisis, tensión y angustia que algunos alumnos pueden tener con los problemas que dejan abierta la vía de solución. Los proyectos son problemas para los cuales se requiere de mayor tiempo para trabajarlos y fuera del salón de clases. La intención es fomentar la importancia de la perseverancia en el trabajo y de enfrentar compromisos que se hacen. Para que un equipo pueda entregar un buen reporte de

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un proyecto se requiere que se interesen en él, que no lo vean como una tarea más que se deja en una materia para la cual basta entregar un reporte donde se anote lo que el alumno sabe que quiere el profesor. Para el curso no es necesario que se trabajen todos los proyectos que contiene, pueden ser sólo algunos de ellos. Queda en el profesor decidir cuáles son los proyectos que se destacan. Las lecturas pueden verse como simple complemento al curso, una introducción de temas que predispongan al alumno para el trabajo en serio de la materia. Pero no es así. El alumno debe desarrollar su habilidad de leer, de manera que pueda aprender de ella. En las lecturas propuestas no se espera que el alumno haga un resumen de ellas, sino que sean puntos de partida para discutir los temas que tratan. Para que esto se logre, se requiere la elaboración previa de un cuestionario que el profesor debe tener y el cual sirva de guía para la discusión de la lectura. Fomentar en el alumno una lectura crítica y reflexiva (cuidadosa) contribuye para la elaboración de argumentos mejor estructurados, y una comunicación más eficaz de sus ideas. Particularmente es importante esto porque ahora estamos inundados de información de todo tipo, y se requieren habilidades para hacer a un lado la información que no sea importante y, en cambio, analizar cuidadosamente la que sí lo es. Los ejercicios en el libro tienen un significado diferente al de los problemas. En un ejercicio ya se sabe del tipo de situación planteada y de que existe un procedimiento para resolverlo. Lo que se busca es que se utilice ese procedimiento y que, en lo posible, se desarrolle cierta soltura en el manejo de estas situaciones de manera que se adquiera rapidez y precisión en lo que se hace. Para lograrlo se requiere de un trabajo cuidadoso en el alumno, de manera que no confunda la importancia de escribir signos, paréntesis, signos de igualdad y líneas de fracción donde sea necesario. Esta actividad algunos alumnos la identificarán como lo que es y en lo que consiste una clase de matemáticas. Sin embargo, el apoyo importante lo tendrá el alumno en su libro-e de referencia. Vale la pena destacarlo de nuevo, este Libro no es un texto de matemáticas en donde se encuentra todo lo que el alumno necesita para aprender álgebra. No, contiene todas las actividades que al alumno le permitirán tener una buena comprensión de la misma, pero este Libro va acompañado de un disco que contiene un libro-e (Descartes) que sirve como texto de referencia. Conviene destacar también la importancia de los libros que se mencionan en la bibliografía y que son un complemento para el estudio. Lo ideal es que estos textos estén disponibles para él en la biblioteca de su escuela. Aunque en las tareas se señala como texto el libro Algebra con aplicaciones de Elizabeth D. Phillips y otros, es posible que la academia de matemáticas de cada escuela decida utilizar otro equivalente en contenido y calidad. Ante las primeras dudas que surjan de un ejercicio, el alumno deberá recurrir a su texto para leer las explicaciones correspondientes y revisar los ejercicios resueltos en él (aquí se destaca la importancia de la lectura). Al disponer de un texto, el profesor podrá sugerirle revisar otros temas correspondientes al que se esté trabajando. Si el profesor logra sensibilizar al alumno de la importancia de aprovechar el poco tiempo de que se dispone en el salón de clases, más fácilmente el alumno trabajara buena parte de los ejercicios fuera del salón de clases, permitiendo que en el salón de clases se discutan problemas (con guía y sin ella), lecturas y autoevaluaciones.

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El profesor debe conocer a detalle el texto que esté utilizando para orientar más fácilmente a sus alumnos sobre la mejor manera de utilizarlo. Cuando lo juzgue necesario discutirá en clase algunos ejercicios, pero siempre después de que ya los trabajaron sus alumnos. Las tareas se refieren a las actividades que los alumnos deberán realizar fuera del horario de clase. Buena parte de ellas consiste en el trabajo que deberán realizar con su libro de texto, pero también están las lecturas y la conclusión de alguna actividad que no se terminó en clase. Las autoevaluaciones le permiten al alumno conocer su comprensión y dominio de los temas tratados. El profesor conoce las soluciones de las mismas, y su actividad principal es señalar al alumno el momento adecuado de utilizarlas y destacar un aspecto que usualmente se olvida en las evaluaciones: identificar dónde se tienen deficiencias y, en consecuencia, se tiene que trabajar más. En cada unidad se presentan actividades de aprendizaje para los alumnos. Estas actividades están presentadas por bloques de horas, suponiendo 12 horas para cada unidad. Debes revisar todas estas actividades de cada unidad y planear la secuencia que vas a llevar a cabo con tus alumnos, de manera que si juzgas no incluir todas las actividades señaladas en la unidad, sí combines distintos tipos actividades y cubras los objetivos de aprendizaje requeridos en la unidad. Recuerda que podemos identificar tres momentos importantes en nuestro trabajo como profesores: planear, instrumentar y evaluar cada actividad de aprendizaje de nuestros alumnos. No olvides que es enriquecedor compartir con tus compañeros tus inquietudes y resultados de las actividades de aprendizaje instrumentadas por ti, y más todavía si planeas y evalúas actividades en equipo con tus compañeros.

A continuación presentamos las actividades propuestas para cada unidad.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 19

Unidad 1. De la aritmética al álgebra Al término de la unidad el alumno resolverá diferentes problemas incorporando de manera paulatina la notación literal y las reglas de escritura algebraica, lo que le permitirá reafirmar sus conocimientos sobre las fracciones y sus diferentes significados, así como el uso de exponentes y su aplicación en la notación científica. Esto le permitirá desarrollar habilidades para abordar el estudio de los polinomios, las ecuaciones y las expresiones racionales. Horas 1-2

Problemas Las caritas de don Cubo

Problemas con guía La zorra y el perro

3- 4

Y el hermoso Nireo, el más hermoso ...

Las ballenas de Alaska

5-7

La tribu y los tribunos

Sucesiones

8-9

Gastroenteritis

Los ubicuos porcentajes

9-12

El vendedor de enciclopedias

Actividades Internet Una introducción a las representaciones gráficas

Ejercicios

Lecturas

Lee haciendo pp. 10-22 Resuelve los ejercicios pares del 48-60 de las pp.23-25 de ‘Álgebra con aplicaciones’ de Phillips et al

Ética y matemáticas

La función de proporcionalidad

Proyectos

Calendario del siglo XXI

Lee haciendo pp. 71-79. Resuelve los ejercicios de la forma 5n de las pp. 79-82

Los peluqueros atribulados

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 20

Unidad 2. Polinomios Al término de la unidad el alumno manejará la notación algebraica y realizará las operaciones de adición y multiplicación de polinomios, a partir del planteamiento de problemas matemáticos aplicados a situaciones cotidianas, desarrollando además sus habilidades para traducir el lenguaje coloquial al lenguaje simbólico-abstracto y para la elaboración de modelos con polinomios. Horas 1-3

Problemas Las caritas de don Cubo*

4-6

Astucias aritméticas

7-8

Problemas con guía Actividades Internet Identidades Potencias Algebraicas

Cursos de actualización

Ejercicios

Lecturas

Lee haciendo pp. 82-88 Resuelve los ejercicios de la forma 7n+1 de las pp. 88-93

Variables y pronombres

La cajita perenne

Polinomios para describir

El empresario

9-10

Departamento con Incógnita

Hamfast

11 –12

Yo, ¿típico?

Que diferencias, ¡ay! tan finitas

Proyectos

Polinomios

Lee haciendo pp. 93-99 Resuelve los ejercicios de la forma 6n+5 de las pp. 99-102

Lee haciendo pp. 103-109 Resuelve los ejercicios de la forma 5n+4 de las pp. 109-113

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 21

Unidad 3. Ecuaciones y Funciones Lineales Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del conocimiento-, que conduzcan a una ecuación lineal y para lo cual hará uso del método tabular como medio para explorar y establecer la expresión analítica de la función, obtendrá la ecuación, la resolverá por el método algebraico y/o gráfico e interpretará el resultado. Horas 1-3

Problemas El vendedor de enciclopedias*

Problemas con guía Actividades Internet Rectas y sus ecuaciones

4-6

Moira y Eris

7-8

Viajes y viajeros

9-10

Epifanía

Telmex y ATT

11 -12

El esfuerzo

Las velas

Ecuaciones de primer grado. Resolución de problemas

Ejercicios

Lecturas

Lee haciendo pp. 146-160 Resuelve los ejercicios de la forma 5n+3 de las pp. 161-165

Funciones

Proyectos

Renta de automóviles

El lenguaje de las funciones

Lee haciendo pp. 213-225 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 225-230

Unidad 4. Ecuaciones y Funciones Cuadráticas ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 22

Al término de la unidad el alumno planteará y resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del conocimiento-, que conduzcan a la formulación de ecuaciones de segundo grado, las resolverá por el método algebraico y/o gráfico asociado con funciones cuadráticas- e interpretará los resultados. Horas 1-2

Problemas

3- 4

La gris acera

5-7

8-9

Actividades Internet Ecuación de segundo grado

Ejercicios

Lecturas Un pato

Voi che sapete

El dulce chupado

La razón áurea

Dos conjuntos de puntos La gris acera*

Proyectos

Lee haciendo pp. 275-289 Resuelve los ejercicios de la forma 13n+3 de las pp. 289293 Identidades Algebraicas*

9-10 11-12

Problemas con guía Los peluqueros atribulados*

Lee haciendo pp. 349-357 y pp. 362-367 Resuelve los ejercicios de la forma 3n del 2-20 de las pp. 357-358 y los de la forma 5n+1 de la p. 368 Teorema de Pitágoras Lee haciendo pp. 371-388 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 388395

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 23

Cómo resolverlo

Unidad 5. Sistemas de ecuaciones Al término de la unidad el alumno construirá modelos matemáticos que incluyan sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas provenientes de contextos matemáticos y extramatemáticos de lo cotidiano y de otros campos del conocimiento, además resolverá correctamente los sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas utilizando los métodos tabular, algebraico y gráfico y comprobará su solución. Así mismo construirá, interpretará y vinculará las representaciones tabular, algebraica y gráfica mediante el uso de calculadoras con poder de graficación y software matemático. Horas 1-2 3- 4

5-7

8-9 10-12

Problemas La madre Gea se sacude Figaro qua, Figaro lá, Figaro su, Figaro giú

Problemas con guía Moira y Eris*

Las misceláneas: Dédalo y Calipso

La zorra y el perro* Mejor muerto que siervo

El asta reincidente

Actividades Internet Sistemas de ecuaciones lineales

Las Velas*

Galletitas Ifigenia Cruel

Ejercicios

Lecturas

Lee haciendo pp. 245-262 Resuelve los ejercicios de la forma 5n+2 de las pp. 263-268 Lee el resumen pp. 268-269 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+7 de las pp. 269-273

Ecuaciones simultáneas

Programación Lineal

Un problema de programación lineal

Programación lineal Lee haciendo pp. 433-444 Resuelve los ejercicios de la forma 7n+4 de las pp. 444-449

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 24

Proyectos

Unidad 6. Funciones polinomiales y racionales Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de variación proporcional inversa entre dos variables y aquellos que den lugar a ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales o cuadráticas para que se familiarice con las propiedades básicas de fracciones algebraicas racionales y con algunas funciones racionales simples. Así mismo, analizará cualitativamente el comportamiento de la gráfica de funciones polinomiales simples. Horas 1-3 4-6

Problemas Voi che sapete* Tarjetitas

7-8

Los tinacos: El negrito que no se raja La organización de conciertos y las matemáticas

9

10 11 -12

Pintores – Labores escolares Tiestes y Atreo en festines horrendos Las escaleras cruzadas

Problemas con guía Actividades Internet Ejercicios La cajita perenne* Que diferencias, ¡ay! Función de Tan finitas* proporcionalidad inversa Dos conjuntos de puntos* Operaciones con Lee haciendo pp. 566-579 funciones Resuelve los ejercicios de la forma 6n+2 de las pp. 580-584

Lee haciendo pp. 409-426 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 426-433

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 25

Lecturas

Proyectos

Midiendo belleza

Mis propios datos

2. Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje

2. Sobre los MAPOA No basta decirle a los alumnos que se pongan a estudiar. Lo que tiene que aprender, las habilidades a desarrollar y las actitudes requeridas no se logran simplemente al escuchar o leer acerca de ellas. Nuestros alumnos requieren de ciertos lineamientos, comentarios, referencias y sugerencias para que organicen su trabajo y esto los permita cumplir con los requerimientos que tienen. Los Materiales de Apoyo para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) se elaboraron con este fin. Por ello es necesario que los conozcas en detalle antes de que los alumnos los tengan es sus manos. De esta manera podrás referirte a ellos en el momento oportuno y es que el alumno debe incorporarlos poco a poco en su trabajo cotidiano en las diversas actividades de aprendizaje que realice. Recuerda que tú también debes utilizar estos materiales cuando sea oportuno, pues el ejemplo que refuerza o contradice el discurso tiene una influencia a veces definitiva. Parte de tu trabajo es dosificar la lectura e incorporación paulatina de lo contenido en estos materiales. Desde las primeras clases solicita a tus alumnos que recorten y enmiquen las fichas para que las tengan a la mano para una consulta rápida y al mismo tiempo evitar que se vuelvan inservibles por romperse o borrarse su contenido. Los MAPOA contienen el modelo PER, la heurística, el portafolio, las fichas y formatos de evaluación, además de documentos de introducción. Desde luego puedes agregar otros documentos que juzgues necesarios. Si encuentras que falta algo en estos materiales, agrégalo y coméntalo con tus compañeros de la escuela donde laboras (mejor aún si te comunicas con el resto a través de Internet). A continuación te presentamos un documento de los MAPOA acompañado de comentarios acerca de su uso o aspectos relevantes para su discusión con los alumnos.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 27

Para entrar en materia En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolución de problemas en el contexto de las habilidades intelectuales de alto nivel y se propone un modelo de aprendizaje esquemático, «hacer, reflexionar y comunicar», que contrasta con el tradicional «oír, ver y reproducir».

Hay algunas actividades que, a estas alturas de la vida, un estudiante ya sabe hacer, y las hace muy bien. Son acciones y realizaciones a veces más complejas que las que se aprenden en la escuela. Esta capacidad ya probada debe generarte confianza en tu capacidad de aprender también en la escuela. La escuela es el ámbito de los saberes sistemáticos. Para la mayoría de las personas, los aprendizajes más importantes de la vida se dan fuera de los muros y las rejas escolares. Sin embargo, en estos tiempos, pasamos tanto tiempo en la escuela (haz la cuenta) que lo menos que podemos exigirnos, y exigirle a la escuela, es que nos brinde algunos aprendizajes verdaderamente significativos en el presente, que además nos resulten provechosos en el futuro.

Este párrafo tiene como propósito mostrar la principal característica de los aprendizajes que se dan en la escuela. ¿Identificas esta característica en tu vida escolar?, ¿de qué manera?

Para lograr los objetivos del bachillerato, el estudiante invierte tiempo, dinero y esfuerzo, en la adquisición de conocimientos, en el desarrollo de habilidades y en la formación de actitudes. Cuando el estudiante se acerca a la escuela y no hay convicción, o interés genuino, fácilmente cae en la farsa típica de complicidades compartidas: el profesor hace como que enseña y el estudiante hace como que estudia y aprende. El estudiante acude a la escuela con una idea muy definida de lo que debe encontrar en la escuela: • Saber algo significa responder lo que el profesor considera correcto. • Se realizan actividades siguiendo procedimientos que se enseñan explícitamente. • Los exámenes se resuelven aplicando un sistema de claves de baja complejidad. Estas creencias son incompatibles con los aprendizajes que pretendes lograr en este bachillerato. Aquí se trata de que desarrolles tus habilidades intelectuales de alto nivel. Estas habilidades, de nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas, organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir las ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 28

Estas características de lo que se aprende en la escuela sólo funcionan para aquellos aprendizajes memorísticos, que si bien son importantes, debemos desprendernos de ellos para aprender en otro nivel.

consecuencias… Todo esto es más difícil, pero es lo que haces, y vas a seguir haciendo cada vez más, fuera de la escuela. Nuestro modelo de aprendizaje se puede resumir en los siguientes tres pensamientos: Oigo y olvido, veo y recuerdo, hago y comprendo. (Un viejo proverbio chino) Hacer… y reflexionar acerca de lo que se hace. (S. Papert) No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo eficazmente. (Así decian los grriengos)

Así nuestro modelo se puede sintetizar en la tríada

Hacer - Reflexionar - Comunicar

El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que debe contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje. Juntos podrán definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos. Los nuevos objetivos son más complejos, lograrlos es una tarea más difícil pero también, creemos, más atractiva e interesante. La resolución de problemas es un proceso muy complejo cuando los problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factores que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema y comprender algo de la interacción con el problema son muchos y de distintos niveles. La desatención de uno, o varios, de estos factores puede entorpecer y a veces hacer imposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacción fecunda con el problema. Una componente que influye de manera determinante corresponde a la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un problema. Piensa en un laboratorio en el que se ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 29

Recuerda estas tres palabras antes de emprender cualquier actividad.

¿De qué manera puedes contribuir a adquirir tus propios aprendizajes?

¿Recuerdas haber resuelto problemas?, ¿qué características tienen?, ¿ha sido fácil su resolución?

estudian algunos procesos, los factores que intervienen en los procesos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos se controlan. En cada una de las modalidades de participación durante la resolución de los problemas (individual, grupo chico y grupo completo) se han identificado algunas formas de actuación que obstaculizan unas y contribuyen otras a la solución y a la comprensión. Te damos algunos ejemplos y queremos que pienses en otros, los comentes con tus compañeros y propongas formas de evitarlos o favorecerlos.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 30

3. Problemas

3. Problemas En una sesión resolución de problemas se integran varios procesos. Es, tal vez, el tipo más importante de actividades debido a la riqueza tan grande que ofrece al estudiante, sin embargo también es una de las más difíciles de implementar, requiere más tiempo y presenta mayor dificultad para los estudiantes. En la resolución de problemas los alumnos trabajan por equipo, exponen y reportan y validan su solución. En todo momento está presente la discusión y argumentación matemáticas, y es pertinente el uso de casi todos los materiales auxiliares para la organización del aprendizaje (MAPOA). Una actividad de resolución de problemas difícilmente queda concluida en una primera aproximación al problema, pero dependiendo del grado de avance y el objetivo de aprendizaje, la actividad se puede retomar posteriormente en clase o extraclase. Recordemos el contenido de una de las fichas de los MAPOA acerca de las características de un problema. Un problema es una situación matemática o extramatemática que no tiene una solución inmediata, admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones, puede consumir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental, imaginación y creatividad. Además, un buen problema no es paralizante, no es inmediato, es potencialmente soluble, es generador de conjeturas y preguntas, es controlable por parte del alumno, es decir, el alumno puede generar criterios para decidir cuando está resuelto el problema, genera un conflicto emocional y contribuye a que el alumno produzca conocimientos nuevos o reorganice los que ha adquirido. En sesiones de resolución de problemas se busca la vinculación de las herramientas matemáticas con una dimensión de uso, se introducen conceptos matemáticos utilizando contextos, se interactúa con una situación familiar, o no, en la que se requiere de las matemáticas y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos. Se pretende que el alumno haga uso de las matemáticas con las que cuenta para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de la situación, busque conexiones entre diferentes registros de representación, logre diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques, generalice sus soluciones y reformule, ampliándolo, el problema en otros campos, genere criterios para validar interpretaciones y los modelos matemáticos, surjan y evolucionen los conceptos matemáticos como respuesta a sus propias preguntas, y desarrolle actitudes que le permitan enfrentar y manejar situaciones complejas con un alto grado de incertidumbre. Así, un problema ofrece una oportunidad para que el alumno logre adquirir varios aprendizajes importantes, pero para ello es necesario que cuando se le proponga un problema, él se involucre, lo acepte como propio, lo haga suyo, es decir que se olvide que el problema se lo propuso el profesor y que se concentre en la búsqueda de su solución. Es posible que nuestros alumnos no estén acostumbrados a resolver problemas, sino a ver que otros lo hagan, especialmente el profesor. Cuando varios alumnos sólo leen el enunciado del problema y de inmediato dicen “no entiendo”, podemos desesperarnos y en nuestro afán de ayudarles, terminar por ser nosotros quienes resolvamos el problema que ya no fue, mientras los alumnos sólo toman anotaciones de lo hecho en el pizarrón. Cuando esto sucede, la actividad perdió toda su riqueza como medio y fin de aprendizaje. ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 32

Desde luego tampoco hay que dejar a nuestros alumnos solos esperando simplemente a que terminen el problema. Necesitan apoyo, pero mediante preguntas y comentarios que hagamos de su trabajo. Los MAPOA son importantes para cuando los alumnos resuelven problemas. Hay que solicitarles que recorten copias de las fichas, que las enmiquen y que siempre las tengan a la mano, para poder consultarlas con facilidad. Un documento especialmente importante para resolver problemas es La Heurística de Schoenfeld. En él se describe una estrategia sistemática que facilita resolver un problema. También se describen estrategias heurísticas que llegan a ser muy útiles al resolver problemas. Conviene que tengamos este escrito a la mano para no perder oportunidad de comentarlo cuando se resuelven problemas e identificar y destacar estrategias heurísticas que se utilizan.

Una sesión de resolución de problemas Para aprovechar de la mejor manera las posibilidades de aprendizajes y desarrollo de habilidades en los alumnos es necesario preparar cuidadosamente las sesiones de resolución de problemas. Para crear las condiciones propicias para el logro de aprendizajes y desarrollo de habilidades en los alumnos necesitamos planear, instrumentar y evaluar las actividades llevadas a cabo en el curso. La importancia de esto en una sesión de resolución de problemas se manifiesta cuando nos enfrentamos ante la necesidad de improvisar durante la instrumentación. Si tenemos claro cuáles son los objetivos de la sesión y la manera de lograrlo, además de anticipar dificultades en los alumnos, es más fácil improvisar sin que se pierdan los objetivos de la actividad, es decir, sin que perdamos el control de la sesión. Una sesión completa de resolución de problemas consta de tres momentos: la resolución de la actividad, la presentación y discusión de las soluciones, y, los anexos y la retroalimentación. En la resolución de la actividad los alumnos trabajan en equipo y escriben al mismo tiempo el reporte de su trabajo. Al trabajar en equipo es más fácil que los alumnos comenten sus dudas, propongan procedimientos para resolver la situación propuesta, lo lleven a cabo y lleguen a resultados. Nosotros hacemos recomendaciones para la organización del trabajo de los equipos, planteamos preguntas y damos sugerencias a los equipos de acuerdo al trabajo desarrollado por cada uno. Debemos evitar expresiones como “Están bien, ese es el resultado”, “Están mal en su resultado. Empiecen de nuevo”. Y es que más adelante, en la presentación y discusión de las soluciones todo el grupo, no nosotros, debe validar las soluciones discutidas. El trabajo en equipo no deja de tener riesgos y que en lugar de impulsar el aprendizaje, lo dificulte. Hay fichas sobre esto en los MAPOA. Hay que pedirles a los equipos que las utilicen cuando sea pertinente. En la presentación y discusiones de las soluciones elegimos a dos o tres equipos para que presenten y discutan ante los demás sus soluciones. En cada momento el equipo que se encuentra al frente es quien dirige la discusión. Nuestra participación es como la de los alumnos, es decir, debemos solicitar la palabra al equipo que dirige la discusión. Unos minutos antes de que pase un equipo les avisamos para que se organicen. Debemos estar al pendiente de que la discusión que se tenga corresponda a los objetivos de aprendizaje identificados en la planeación.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 33

Los momentos de una sesión de trabajo Primer momento La resolución de la actividad

Los estudiantes • Trabajan en equipo o individualmente sobre la actividad propuesta por el profesor. • Elaboran un reporte por escrito en donde se registra el proceso de solución.

• Organizan la presentación oral de sus soluciones a todo el grupo de estudiantes.

El profesor • Selecciona la actividad de aprendizaje a desarrollarse en esa sesión. • Propone y organiza la actividad de aprendizaje. • Hace preguntas y sugerencias al estudiante de acuerdo a lineamientos establecidos. • Atiende el trabajo de todos los equipos. • Decide el orden de presentación de las soluciones.

Segundo momento La presentación y discusión de soluciones

Los estudiantes • Presentan, si se les solicita, su solución al resto del grupo. • Intervienen en la presentación de las soluciones de los otros estudiantes con el propósito de validarlas como grupo..

El profesor • Selecciona a los equipos y el orden de presentación. • Dirige la discusión de las soluciones según el objetivo de la actividad. .

Tercer momento Los anexos y la retroalimentación

Los estudiantes • Retoman individualmente el trabajo realizado en el primer momento y lo vinculan con la discusión general. • Evalúan su trabajo y el de otros equipos

El profesor • Comenta con los estudiantes sus reportes de sesiones anteriores. • Define, de acuerdo a los resultados obtenidos, la próxima actividad.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 34

En los anexos y la retroalimentación los alumnos evalúan su trabajo y el de otros equipos, además de que se les solicite que de manera individual la entrega de un anexo del problema tratado y discutido. En la introducción de este Libro del Profesor se tienen comentarios más amplios sobre la planeación, la instrumentación y la evaluación. Aquí sólo destacamos la importancia del contraste entre el análisis previo que se concreta en los documentos de la planeación (los lineamientos para la interacción con los equipos, el guión de discusión, la solución de referencia y el precepto de evaluación) y el análisis posterior de la situación. Esta comparación entre lo esperado y lo obtenido proporciona los elementos para la elaboración de la historia del problema que nos permitirá hacer un registro cada vez más robusto de las interacciones posibles, las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacen los alumnos. Aún cuando un primer análisis puede ser muy rudimentario, el manejo sucesivo de la actividad dentro del salón de clases hará que esta historia del problema se constituya en un saber propio de nosotros profesores.

Problemas, problemas con guía y proyectos En las actividades de aprendizaje se habla de problemas, problemas con guía y proyectos. En realidad las tres actividades son problemas. Todos ellas comparten la misma idea de problema que mencionamos en los párrafos anteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellas. I. Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo que se quiere que haga y responda el joven. El tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado. II. Problema con guía: Además del enunciado contiene un cuestionario o una secuencia de pasos que le permiten al estudiante seguir avanzando en el problema usualmente de situaciones sencillas a otras más complejas. También el tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlo trabajado. III. Proyecto: Es un problema, o problema con guía, que requiere más de dos horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que el estudiante tenga que generar él mismo los datos y una parte importante del trabajo la tenga que hacer fuera del salón de clases.

Mencionamos algo más sobre los problemas con guía. Como en los problemas y proyectos, este tipo de actividades se trabaja en equipo y es recomendable al introducir de manera deliberada alguna herramienta matemática en particular, debido a que preparan al estudiante en herramientas heurísticas importantes y generan confianza al trabajar en equipo. La resolución problemas con guía permite que se pueda llegar a resolver el problema planteado siguiendo una serie de pasos establecidos, aún cuando el problema y las instrucciones requieran una interpretación. Debemos vigilar el progreso de los equipos durante su tiempo de trabajo y destacar la importancia de los

pasos que se sugieren dentro del contexto del problema; hay que evitar que los estudiantes trivialicen la actividad, resumiéndola a una serie de procedimientos matemáticos o a contestar exclusivamente los puntos que el cuestionario está estableciendo. Hay que recordar que la experiencia de aprendizaje puntualiza cuestiones en las que el estudiante debe profundizar. Una buena herramienta para la comprensión es la hoja de cálculo y hay varias comerciales que pueden utilizar. Vale la pena que busquemos incorporarla en nuestro trabajo con los alumnos. A continuación te presentamos dos ejemplos. Un problema y un problema con guía. La intención es mostrarte cómo podemos explotar la riqueza como medio de aprendizaje que tiene un problema, a partir de un análisis cuidadoso del mismo.

Ejemplo de problema: “Voi che sapete...” ENUNCIADO: Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva versión de “Le nozze di Figaro” de Mozart-Da Ponte a $290 cada álbum. Por cada reducción de $5 en el precio por álbum, calcula que venderá 300 álbumes más. A la compañía cada álbum le cuesta $95 y sus costos fijos son de $100000. Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima. Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima por cada peso invertido.

SOLUCIÓN Sean n el número de reducciones de $5 que se hace al precio de venta de cada álbum, C el costo total para producir 7000 + 300n discos, V lo que se obtiene por la venta de todos esos discos y G la ganancia obtenida. Por las condiciones del problema contenidas en el enunciado, se tiene: C ( n) = 95(7000 + 300n) + 100000

V (n) = ( 290 − 5n)(7000 + 300n) G( n) = V ( n) − C( n) = −1500n 2 + 23500 n + 1265000 A partir de estas expresiones se puede construir la siguiente tabla. n

7000+300n

C(n)

V(n)

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 36

G(n)

G(n)/C(n)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7000 7300 7600 7900 8200 8500 8800 9100 9400 9700

765000 793500 822000 850500 879000 907500 936000 964500 993000 1021500

2030000 2080500 2128000 2172500 2214000 2252500 2288000 2320500 2350000 2376500

1265000 1287000 1306000 1322000 1335000 1345000 1352000 1356000 1357000 1355000

1.6536 1.6219 1.5888 1.5544 1.5188 1.4821 1.4444 1.4059 1.3666 1.3265

De aquí se desprende que la máxima ganancia se tiene cuando se venden 9400 álbumes, pues es con esta cantidad donde se obtiene la mayor ganancia registrada en la tabla. Ahora, para calcular la ganancia máxima por cada peso invertido se divide G(n) entre C(n). Esto corresponde a la última columna de la tabla anterior. En ella se observa que los valores siempre están decreciendo, de mane ra que el más alto es el primero, es decir, cuando se venden 7000 álbumes al precio de $ 290 cada uno. Otra forma de resolver el problema es a partir de la construcción de una tabla similar a la anterior, pero en donde no se establezcan relaciones algebraicas, sino simplemente se hagan cálculos a partir de la comprensión de las condiciones del problema. En este caso el encabezado de cada columna de la tabla sería: número de discos producidos, costos, ingresos, ganancias y ganancias por peso invertido. En cambio, si se sigue un trabajo algebraico. Al expresar las ganancias de la forma 47 4071125 47 , se sigue que la máxima ganancia se tiene cuando n = , G (n) = − 1500 (n − ) 2 + 6 3 6 es decir cuando se producen 9350 álbumes. En cuanto a la ganancia máxima por peso invertido, al efectuar una división algebraica se obtiene la siguiente expresión:

G ( n) 2423 n 322400 = − − C (n) 1083 19 1083(19n + 510) El análisis de esta expresión involucra un tratamiento algebraico más complejo (al hacerlo resulta que se tiene un mínimo en –44.09585 y un máximo en –9.58836, con una discontinuidad en – 26.84211); sin embargo al observar el denominador de la última fracción, se tiene que al tomar 510 G ( n) valores de n cercanos a − = −26 .84211 , aunque mayores a este valor, el cociente 19 C ( n) resulta ser muy grande y positivo, mientras que al tomar valores de n grandes positivos, el G ( n) cociente resulta ser muy grande y negativo. Esta observación permite justificar que para C ( n) 510 G ( n) valores mayores de − el cociente es decreciente y por ello el valor máximo del 19 C ( n) cociente es cuando se venden 7000 álbumes. ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 37

Una tercera forma de resolver el problema es mediante el uso de una calculadora con poder de graficación. Para esto es necesario llegar a las expresiones algebraicas de la ganancia G(n) y de la G ( n) ganancia por peso invertido , para luego introducirlas en la calculadora y obtener sus C ( n) gráficas. Al aprovechar opciones de la calculadora, como “zoom”, es posible obtener la ganancia máxima y la ganancia por peso invertido máxima. CLASIFICACIÓN En el siguiente cuadro se tiene la clasificación del problema.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 38

Título 1. Experiencia de aprendizaje 2. Modalidad de trabajo 3. Lugar de realización 4. Herramientas tecnológicas 5. Tiempo

6. Producto 7. Referencias curriculares

‘Voi che sapete’ 1.1 Resolución de problemas 2.2 Equipo, 2.3 Grupo 3.1 Salón de clases 4.3 Calculadora científica, 4.4 Calculadora con poder de graficación 60 minutos (si se tiene limitación de tiempo, el profesor puede seleccionar algunas preguntas para que se trabajen como tarea y ampliar la discusión en otra sesión) 6.1 Reporte de RP 7.1. Contenidos 7.1.1. Conceptuales. (2.1, 2.2, 2.3), (6.1, 6.3) 7.1.2. Procedimentales. p1, p2, p3, p4, p5, p6, p8, p10. 7.1.3. Actitudinales. a2, a3, a6, a7, a13. 7.2. Competencias básicas del estudiante de bachillerato. cb1, cb2, cb3, cb5, cb7. 7.3. Estándares 2000 del nctm. e1.2, e1.3 e2.1.2, e2.1.3, e2.1.4, e2.2.3, e.2.2.4, e2.2.5, e2.3, e2.4 e3.4.5 e4.1.1 e6 e8 e9 e10

8. Representaciones 9. Estrategias

10. Evaluación Observaciones

8.1 Textual → 8.2 Tabular → 8.4 Algebraica → 8.3 Gráfica ‘Construye una tabla’ ‘Indica sin efectuar’ ‘Trata casos particulares’ ‘Usa una notación adecuada’ ‘Reformula el problema’ ‘Cambia el registro de representación’ Evaluación del reporte Evaluación de la presentación Se recomienda trabajar esta actividad por lo menos en dos ocasiones, en la primera se puede centrar la atención en el uso de las representaciones tabular y algebraica, en las posteriores se puede destacar la representación geométrica y sus relaciones con

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 39

las otras formas de representación

COMENTARIO: En este problema se empieza por darle sentido al texto del mismo. De éste, el fragmento: “Por cada reducción de $5 en el precio por álbum, calcula que venderá 300 álbumes más”, es clave. Es posible que entre los integrantes de un equipo se suscite la discusión acerca de lo que significa. Para algunos se refiere a que cada vez que se reduce el precio de venta de los álbumes en $5 (pasando la primera vez de $290 a $285) por cada uno álbumes que se vendan más baratos, se venderán 300 más a ese precio menor (de manera que con el primer descuento en lugar de venderse 7000 álbumes se venden 2100000). Otros lo interpretan como que cada vez que se reduce el precio de venta de los álbumes en $5, se venden sólo 300 álbumes más en total (pasando la primera vez de 7000 a 7300). Es importante que el profesor no les explique a los alumnos el significado del texto si se presenta la primera interpretación en un equipo. Si hace esto, buena parte del sentido del problema se pierde. Uno de los propósitos de este problema es que el alumno pase del registro textual al algebraico o aritmético. En el caso de que en algún equipo se dé una interpretación equivocada del texto, el profesor no debe decirles que lo interpretaron mal, sino pedirles que traten de aplicar esa interpretación para dos o más casos, remitiéndolos al enunciado del problema, es decir que cuiden ajustarse a lo señalado en el texto. Si es necesario, el profesor puede provocar una discusión en el equipo acerca de la interpretación del texto. Otra dificultad que pueden tener los alumnos en la interpretación del enunciado el es tecnicismo “costos fijos”. Aquí la intervención del profesor sí puede llegar hasta ser una explicación del término, pues no es un objetivo de este problema que los alumnos discutan ampliamente el significado del mismo. El profesor puede preguntarle al equipo: “Imagínense que van a iniciar un negocio, ¿qué gastos tendrán que hacer al principio, antes de empezar a vender?” Una vez que se ha comprendido la situación, se tienen distintas formas de resolverlo. Tal vez la más accesible sea aritmética a partir de la construcción de una tabla que contenga número de álbumes, costos, ventas, ganancia y ganancia por peso invertido. En este caso el número de álbumes empieza en 7000 y luego va cambiando de 300 en 300 (el segundo valor es de 7300). Para responder la primera pregunta se observa los valores que se van obteniendo para la ganancia, los cuales van creciendo, hasta que dejen de crecer y empiece a disminuir. En cuanto a la ganancia por peso invertido se observa que siempre va decreciendo, de manera que el máximo se tiene en el primer renglón. En este problema se presentan dos formas de comparar la ganancia: mediante una diferencia simple (ventas menos costos) y mediante el cociente de la diferencia anterior y los costos. De esta manera un punto a discutir es cuál de los dos criterios es mejor para estimar los beneficios de un negocio.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 40

Si en un equipo se presenta la anterior vía aritmética para resolver el problema, hay que solicitarle al equipo que llegue a expresiones algebraicas al utilizar la estrategia de ‘indicar sin efectuar’. De esta forma se tiene que la ganancia se expresa mediante el polinomio de segundo grado G (n) = − 1500 n 2 + 23500 n + 1265000 (n es el número de veces en que se reduce el precio de venta y la reducción total llega a ser de 5n pesos). En cuanto a la ganancia por peso invertido, la G ( n) − 1500n 2 + 23500n + 1265000 expresión es = . A partir de estas expresiones se abre la C (n) 28500n + 765000 discusión, que puede surgir en la discusión grupal, de las características de las gráficas de ambas expresiones. La primera es más fácil de analizar e identificar: se trata de una parábola. El punto máximo se puede obtener a partir de la simetría de la parábola y de los puntos de cruce de la parábola con el eje X, por ejemplo, o a partir de un tratamiento algebraico al expresar la ganancia 47 4071125 de la forma G (n) = − 1500 (n − ) 2 + . En cuanto a la ganancia por peso invertido, la 6 3 expresión es más complicada de analizar y es posible que en un primer tratamiento se pase al registro gráfico y señalar lo que se observa aquí.

El análisis de las expresiones algebraicas plantea otro punto de discusión: sólo se consideran incrementos de 300 en 300 álbumes o se acepta hacer interpolaciones, pues el máximo de la parábola que corresponde a la ganancia no se tiene para uno de estos valores, sino para 9350 álbumes. Es decir, se discute si este es un problema de una situación discreta o continua.

Darle sentido a la situación planteada en el texto Relaciones entre ejemplares, costos, ventas y ganancias

Tabla con valores de ejemplares costos, ventas, ganancia y ganancia por peso invertido

Propiedades de las funciones cuadrática y racional

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 41

Ganancia máxima Ganancia por peso invertido máxima

Si se acepta que la situación es discreta, la ganancia máxima se obtiene con 9400 ejemplares y estrictamente la gráfica corresponde no a la parábola, que es continua, sino sólo a ciertos puntos. La decisión de lo discreto o continuo de la situación recae en el grupo, no en el profesor. También es posible que una vez establecidas las expresiones algebraicas de la ganancia y ganancia máxima por peso invertido se utilice una calculadora con poder de graficación para obtener las gráficas ahí. Dado que los valores de la ganancia y la ganancia por peso invertido son muy diferentes, no es posible ver al mismo tiempo las dos gráficas en la pantalla de la calculadora, pues las escalas que se requieren son del orden de cien mil para la ganancia y de uno para la ganancia por peso invertido. Sin embargo, no se requiere ver a un mismo tiempo las dos gráficas. Se pueden analizar por separado. 1360000 1350000

ganancia

1340000 1330000 1320000 1310000 1300000 1290000 1280000 1270000 1260000 1250000 1240000 1230000 1220000 1210000 1200000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

En la gráfica de la ganancia, si se elige una escala y valores de la “ventana de la pantalla” que permita ver los ejes de coordenadas, se observa una parábola “muy abierta”, es decir, con poca variación en los valores de la ganancia. Al cambiar de escala y “ventana de la pantalla” puede verse una gráfica más familiar de la parábola y en la cual más fácilmente se observe el máximo de la ganancia.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 42

De acuerdo a las características de la calculadora graficadora se puede obtener el máximo al usar la opción de ‘zoom’ o una opción específica de máximo de una función que tienen algunas calculadoras. En cuanto a la gráfica de la ganancia máxima por peso invertido, se pueden tomar para n valores de –2 a 10. En este caso se observa una curva decreciente. Las gráficas de la ganancia y de la ganancia por peso invertido permiten discutir la diferencia entre lo que es la situación de un problema y el modelo matemático que se utiliza para su solución. En ambas gráficas se aprecia que las curvas no se interrumpen para valores negativos de n, aunque para la situación planteada sólo tiene sentido trabajar con valores no negativos de n. También a partir de las gráficas se puede discutir la diferencia entre lo discreto y lo continuo. Si se admite que los descuentos al precio de venta sólo pueden ir de cinco en cinco pesos, los valores de n solo pueden ser números enteros y en consecuencia la gráfica que representa eso corresponde sólo a algunos puntos de los que se observan en las gráficas. De esta forma el máximo de la ganancia (para 9400 álbumes) no coincide con el máximo de la parábola que la representa. La gráfica de la ganancia por peso invertido puede analizarse más. Si se amplía la “ventana de la pantalla” se puede observar que la curva si tiene un máximo, pero para este máximo se tiene para un valor de n cercano a –10.

1.5

ganancia por peso invertido

1.0

0.5

-28 -26-24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

2

-0.5

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 43 -1.0

4

6

8 10

Si se acepta que la situación sigue siendo válida para valores negativos de n, es decir no sólo para descuentos, sino también para aumentos, el máximo de la ganancia por peso invertido no se obtiene para cuando no se ha hecho algún descuento, sino para cuando se aumenta el precio de venta en $50. Pero la gráfica tiene algo más. Varios modelos de calculadora trazan una recta vertical cuando la curva tiene una asíntota vertical, que es lo que ocurre con la gráfica de ganancia por peso invertido. Así pues, lo que se observa en la calculadora graficadora lleva a un análisis de la G ( n) − 1500 n 2 + 23500 n + 1265000 = . Para facilitar tal análisis conviene hacer la C (n) 28500 n + 765000 división algebraica del numerador del lado derecho de la expresión entre el denominador del mismo lado. De esta forma se obtiene:

ecuación

G ( n) 2423 n 322400 = − − C (n) 1083 19 1083 (19 n + 510 )

De aquí se sigue que cuando se toman valores muy grandes de n, positivos o negativos, el último cociente toma valores cercanos a cero, comportándose la gráfica como si fuera la recta de 2423 n ecuación y( n) = − . De hecho esta recta resulta ser una asíntota de la curva. En cambio, 1083 19 510 para cuando n toma valores cercanos a − (aproximadamente –26.84211), los valores 19 del último cociente llegan ser muy grandes. De hecho, la ecuación de la ganancia por peso invertido es la de una hipérbola. Al observar las gráficas de la ganancia y la ganancia por peso invertido, es posible que algún alumno señale que un indicio de que se está acercando a un máximo es el comportamiento de la diferencia de los valores de la ganancia (o la ganancia por peso invertido) para distintos valores de n igualmente espaciados (de unidad en unidad, por ejemplo). Si la diferencia va disminuyendo, se está acercando a un punto máximo. Desde luego que no basta con el señalamiento, se les tiene que pedir a los alumnos que argumenten sus señalamientos, al tratar otros casos, o al trazar curvas que tengan algún máximo.

Como puede apreciarse de lo señalado, este problema suscita varios aspectos a discutir y tratar en el grupo. El que sea así dependerá del grupo, pues si estos asuntos no aparecen de manera

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 44

natural en la discusión, poco recordarán y aprenderán los alumnos. En todo caso el profesor podrá retomar el problema en otro momento para destacar alguno de los temas aquí señalados.

En resumen, algunos aspectos del problema que conviene atender durante el trabajo de los equipos y retomar en la discusión con todo el grupo son:

Darle sentido a la situación. Representaciones Interpretación de la situación presentada en forma textual (recomendar su validación explícita de los resultados obtenidos al poner a funcionar la interpretación). Función cuadrática Representaciones

Función racional

Modelación

Textual a Tabular Textual a Algebraica

Tabular a Algebraica Tabular a Geométrica Algebraica a Geométrica Características de la Vértice forma geométrica Eje de simetría Representaciones Tabular a Algebraica Tabular a Geométrica Algebraica a Geométrica Características de la Discontinuidad forma geométrica Asíntotas Transcripción de situaciones problemáticas a un lenguaje algebraico, utilización de las técnicas matemáticas apropiadas para resolverlas y dar una interpretación, ajustada al contexto, de las soluciones obtenidas.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 45

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 46

Ejemplo de problema: “Ifigenia Cruel” de Alfonso Reyes ENUNCIADO: En la gráfica se muestran los costos de edición y los ingresos por la venta de una edición facsimilar del poema dramático de Alfonso Reyes, "Ifigenia Cruel". 100000

pesos

90000 80000

Costos

Ingresos

70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000

ejemplares -100

100

200

300

400

500

600

700

CUESTIONARIO 1. ¿Cuáles son los costos, los ingresos y la ganancia por producir y vender 0, 100, 200, 350, 550 y 600 ejemplares? 2. ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para obtener ganancias? 3. ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayo r ingreso? 4. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producción? 5. ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos? 6. ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta. Si hay una ganancia máxima calcúlala. 7. ¿Cuál es la ecuación de los costos? 8. ¿Cuál es la ecuación de los ingresos? 8. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia? 9. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia?

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 47

10. Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes. 11. Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respóndelas. 12. Si se reducen los costos, tanto el de producción da cada libro como los fijos, a $8500 y $120, respectivamente, ¿cuál es la ganancia máxima? SOLUCIÓN: 1. ¿Cuáles son los costos, los ingresos y la ganancia por producir y vender 0, 100, 200, 350, 550 y 600 ejemplares? Se parte de la gráfica. Para dar respuesta a la pregunta se pueden hacer estimaciones obtenidas de la gráfica “al tanteo”, o al obtener las ecuaciones de costos e ingresos. a) Si se resuelve por tanteo se espera que las respuestas en cada caso se encuentren en cierto intervalo. Los costos y los ingresos se obtienen de la gráfica. En cuanto a las ganancias, es el resultado de la resta de los ingresos menos los costos.

EJEMPLARES 0 100 200 350 550 600

COSTOS $ 10000 $ 24000 - $26000 $39000 - $41000 $ 62000 - $64000 $ 92000 - $94000 $ 99000 - $101000

INGRESOS $ 0 $36000 - $38000 $64000 - $66000 $87000 - $89000 $82000 - $84000 $74000 - $76000

GANANCIAS – $10000 $10000 - $14000 $23000 - $27000 $23000 - $27000 – $12000 - –$8000 – $ 27000 - –$23000

b) Obtención de las ecuaciones. De la recta que representa los costos se precisan dos puntos (0 ,10000 ) y ( 200 ,40000 ) . A partir de ellos por semejanza o la ecuación de la recta se pueden encontrar los valores del costo para los números de ejemplares señalados en la pregunta (la ecuación es C = 150 n + 10000 ) En cuanto a la curva que representa los ingresos, lo primero es pensar en una parábola; es decir, en una curva que es la gráfica de una expresión cuadrática. En la gráfica se distingue un punto: (50,20000) . Tal vez también ( 400,90000) y, desde luego, el punto (0,0) es un punto de la curva. De esta forma, la expresión es de la forma I = an 2 + bn (donde I es el ingreso; n número de ejemplares vendidos; a y b constantes a determinar). De los primeros dos puntos señalados se obtiene el sistema

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 48

20000 = 2500 a + 50 b 90000 = 160000 a + 400 b

1 Al resolverlo se obtiene I = − n 2 + 425 n 2 1 Como G = I − C , donde G es la ganancia, se obtiene G = − n 2 + 285 n − 10000 2 Al usar estas expresiones y lo que se mencionó de costos, se tiene:

EJEMPLARES 0 100 200 350 550 600

COSTOS $ 10000 $ 25000 $ 40000 $ 62500 $ 92500 $ 100000

INGRESOS $ 0 $37500 $65000 $87500 $82500 $75000

GANANCIAS – $10000 $12500 $25000 $25000 – $ 10000 – $ 25000

Desde luego que los valores negativos en las ganancias indican pérdidas.

2. ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para obtener ganancias? De la gráfica corresponde a aquella región donde la curva de los ingresos está arriba de la recta de costos. Los límites corresponden a los puntos de intersección de la curva y la recta. La respuesta se puede dar por tanteo o al encontrar algebraicamente los puntos de intersección. a) Por tanteo en la gráfica. Desde entre 35 y 45 ejemplares hasta entre 505 y 515 ejemplares. b) Al utilizar las ecuaciones. 1 Al tomar C = I , se tiene 150 n + 10000 = − n 2 + 425 n , de donde se sigue 2 1 2 n − 275 n + 10000 = 0 . Al resolver la ecuación, se obtienen valores irracionales. Si se 2 redondean se tiene que deben producirse y venderse entre 40 y 510.

3. ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso?

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 49

a) Al usar la gráfica, se observa que el punto más alto de la curva de ingresos está entre 400 y 450. Si se observa la simetría el punto máximo está cuando se producen 425 ejemplares. El ingreso está entre $90000 y $91000. b) Al usar las expresiones algebraicas calculadas y la simetría de la curva se obtiene el máximo ingreso para 425 ejemplares. El ingreso es de $90312.5 4. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producción? Ascienden a $10000 y corresponde al punto de intersección de la recta que representa los costos con el eje vertical. 5. ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos? a) De la gráfica se observa que para 200 ejemplares los costos ascienden a $40000, pero esta cantidad incluye los costos fijos de producción ( $10000). Se obtiene que, al eliminar los costos fijos, cuesta $30000 producir 200 libros. De aquí se sigue que el costo promedio por libro es de $150. Mediante un razonamiento similar se obtiene el mismo costo promedio a partir de que para 400 ejemplares los costos ascienden a $70000. Como la gráfica de costos es una recta, este costo promedio no cambia. Así pues, sin considerar los costos fijos, producir cada libro cuesta $150. b) De la ecuación de la recta de costos, C = 150 n + 10000 , se sigue que el coeficiente de n, 150, corresponde al costo por libro en pesos. 6. ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta. Si hay una ganancia máxima calcúlala. La ganancia se obtiene de la resta de los ingresos menos los costos. En la gráfica, para cada número de ejemplares dado, la ganancia corresponde a la separación entre la recta y la parábola, es decir, a la longitud del segmento vertical que tiene sus extremos en la recta de costos y la curva de ingresos. a) Por tanteo. Al utilizar escuadras graduadas se encuentra que la máxima ganancia se obtiene entre 250 y 300 ejemplares y está entre $27000 y $29000. b) Al utilizar las ecuaciones. 1 La ecuación de las ganancias es G = − n 2 + 275 n − 10000 . La gráfica de esta ecuación 2 también es una parábola. De aquí se sigue que la ganancia máxima se obtiene cuando el número de ejemplares producidos y vendidos es 275 y la ganancia es $27812.5 .

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 50

Si se quisiera usar la tabla construida para responder la primera pregunta, hay que revisar lo que sucede entre 200 y 350 ejemplares, pues en ambos casos la ganancia es la misma. Por simetría, se espera que la ganancia máxima esté en 275 ejemplares. 7. ¿Cuál es la ecuación de los costos? Ya lo señalamos antes: C = 150 n + 10000 8. ¿Cuál es la ecuación de los ingresos?

9. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia? 1 Es G = − n 2 + 275 n − 10000 2

10. Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes. A partir de la ecuación de la ganancia y mediante una tabla de valores de n y G, se obtienen puntos que luego se grafican. (También se pude usar una calculadora con poder de graficación). 100000

pesos

90000 80000

Ingresos 70000

Costos

60000 50000 40000 30000 20000

Ganancias

10000

ejemplares -100

100

200

300

400

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 51

500

600

700

11. Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respóndelas. Se puede plantear varias preguntas. Algunas sin modificar las condiciones iniciales, por ejemplo: ¿Cuál es la ganancia para 50 ejemplares? ¿Cuántos ejemplares producidos cuestan $50000? ¿Cuál es la ganancia cuando se producen 300 ejemplares, pero se venden 200? Otras involucran cambios en las condiciones iniciales. Por ejemplo: ¿Si los costos fijos son de $20000, entre qué límites de número de ejemplares se obtienen ganancias? ¿Cuál debe ser el valor de los costos fijos para que para que no haya ganancias? ¿Es posible cambiar coeficientes de las ecuaciones de costos y de ingresos de manera que la máxima ganancia coincida con el máximo ingreso? 12. Si se reducen los costos, tanto el de producción da cada libro como los fijos, a $8500 y $120, respectivamente, ¿cuál es la ganancia máxima? En este caso la expresión del costo es C = 120n + 8500 y la de la ganancia es 1 G ( x) = − n 2 + 305 n − 8500 . La ganancia máxima se obtiene cuando el número de 2 ejemplares es 305 y es de $38012.5 .

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 52

CLASIFICACIÓN

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 53

Título 1. Experiencia de aprendizaje 2. Modalidad de trabajo 3. Lugar de realización 4. Herramientas tecnológicas 5. Tiempo

6. Producto 7. Referencias curriculares

‘Ifigenia Cruel’ de Alfonso Reyes 1.2 Resolución de problemas guiada con exploración 2.2 Equipo, 2.3 Grupo 3.1 Salón de clases 4.1 Juego de geometría, 4.3 Calculadora científica 60 minutos (si se tiene limitación de tiempo, el profesor puede seleccionar algunas preguntas para que se trabajen como tarea y ampliar la discusión en otra sesión) 6.1 Reporte de RP 8.1. Contenidos 8.1.1. Conceptuales. (3.1, 3.2) (4.1, 4.2) (5.2) 8.1.2. Procedimentales. p1, p2, p3, p4, p5, p6, p8, p10. 8.1.3. Actitudinales. a2, a3, a6, a7, a13. 8.2. Competencias básicas del estudiante de bachillerato. cb1, cb2, cb3, cb5, cb7. 8.3. Estándares 2000 del nctm. e1.3, e2.1.2, e2.1.3, e2.2, e2.3, e2.4 e3.4.5 e4.1.1, e4.2.1 e6 e8 e9 e10

8. Representaciones 9. Estrategias

10. Evaluación Observaciones

8.3 Gráfica→ 8.2 Tabular → 8.4 Algebraica → 8.3 Gráfica 'localiza los puntos en la gráfica que te permiten responder las preguntas' 'haz una estimación razonable de los valores representados por estos puntos' 'haz una tabla' 'Obtén la ecuación' Evaluación del reporte Evaluación de la presentación Se recomienda trabajar esta actividad por lo menos en dos ocasiones, en la primera se puede centrar la atención en el uso de las representaciones gráfica y tabular, en las posteriores se puede destacar la representación algebraica y sus relaciones con las otras formas de representación

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 54

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 55

COMENTARIO: y 90000

80000 costos 70000

ingresos

60000

50000

40000

30000

20000

10000

100

200

300

400

500

x 600

-10000

Las ecuaciones que se utilizaron para hacer las gráficas son: Costos y=150x+10000 Ingresos y=-0.5x2+425x

En esta actividad se parte de la representación gráfica de dos funciones, los costos de edición y los ingresos por las ventas. En la gráfica se especifican las variables representadas en cada eje y las escalas con sus unidades correspondientes. Se puede suponer que se trata de una recta para los costos y de una parábola para los ingresos. Las estrategias básicas de solución son: ♦ La lectura de la gráfica y la organización de los valores obtenidos en una tabla. ♦ La lectura de la gráfica, la aplicación de algún algoritmo para la obtención de las representaciones algebraicas y el cálculo de los valores necesarios para responder las preguntas. Limitados a la lectura de la gráfica, se puede responder la mayoría de las preguntas, si se han comprendido las relaciones entre las cantidades que intervienen en la situación: la ganancia se obtiene de la diferencia de los ingresos y los costos. Así en las preguntas sobre los costos, los ingresos y la ganancia correspondientes a la producción y venta de un cierto número de ejemplares basta con la lectura sobre las gráficas de las ordenadas de los ingresos y los costos, y del cálculo de la diferencia entre ambas para la ganancia. El intervalo que corresponde a una ganancia positiva se puede ubicar visualmente donde la parábola está encima de la recta y está

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 56

limitado por las intersecciones, que se pueden leer sobre la gráfica. Para obtener el ingreso máximo se puede tratar de ubicar visualmente el vértice, o usar la propiedad de simetría de la parábola, trazando una recta horizontal y obteniendo la mediatriz del segmento determinado por los puntos de intersección de la recta y la parábola, esta mediatriz corta a la parábola en su vértice y puede ayudar a hacer una mejor lectura de las coordenadas del vértice. Para la obtención de la ganancia máxima se puede usar un recurso similar, considerando que la diferencia de una función cuadrática y una lineal es también una función cuadrática, de donde resulta que la ganancia es una parábola cuyos puntos de intersección con el eje horizontal coinciden con las intersecciones de la curva de ingresos y la recta de costos, en donde la ganancia es nula. La ganancia máxima es la ordenada del vértice de esta parábola y se puede obtener trazando una vertical por el punto medio del segmento determinado por las intersecciones, aprovechando nuevamente la propiedad de simetría de la parábola con respecto a su eje.

Lectura de puntos sobre las gráficas

Relaciones entre ingresos, costos y ganancia. (Cuestiones del contexto de la situación)

Tabla con valores de ingresos, costos y ganancia

Ingreso máximo. Ganancia máxima. Gráfica de ganancia

Propiedades de las funciones lineal y cuadrática

Para responder las preguntas se pueden obtener las ecuaciones de la recta de costos y la parábola de ingresos. Para obtener la ecuación de la recta se puede utilizar algún algoritmo, por ejemplo: ♦ Leer dos puntos para calcular la pendiente y con la intersección de la recta con el eje vertical (0,b) usar la forma y=mx+b. En este caso se pueden escoger los puntos (0, 10000) y (600, 100000), de donde m=150 y b=10000. Así que la ecuación de la recta de costos es y=150x+10000. ♦ Otro procedimiento se basa en la semejanza de los triángulos señalados: y − 10000 85000 − 10000 = , de donde resulta y=150x+10000. x−0 500 − 0

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 57

y 90000 (500,85000) 80000 70000 (x,y)

60000 50000 40000 30000 20000 10000

(0,10000) 100

200

300

400

500

x 600

-10000

Para obtener la curva de los ingresos se puede aplicar alguno de los algoritmos siguientes: ♦ Leer tres puntos de la curva y sustituir sus coordenadas en y=ax2+bx+c, suponiendo que se trata de una función cuadrática. Al resolver el sistema de tres ecuaciones (en realidad dos, si consideramos que uno de los puntos es el origen) se obtienen los coeficientes de la función cuadrática. De ser posible, es conveniente que los puntos elegidos sean simétricos con respecto al eje de la parábola, de esta manera implícitamente se estaría eligiendo el vértice, algo que con la elección de dos puntos no simétricos no puede garantizarse.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 58

y 90000 (400,90000)

80000 (200,65000)

70000 60000 50000 40000 (50,20000) 30000 20000 10000

100

200

300

400

500

x 600

-10000

Por ejemplo, algunos de los que se señalan en la gráfica: De (0,0), resulta c=0. De (50, 20000), resulta 20000=a(50)2+b(50) De (400, 90000), resulta 90000=a(400) 2+b(400) Al resolver este sistema se obtienen: a=-0.5, b=425, de donde la ecuación de los ingresos es y=-0.5x2+425x. ♦ Otra forma de obtener la ecuación de los ingresos es a partir de la forma y= K(x-x1)(x-x2), en donde x1 y x2 son las intersecciones de la parábola con el eje horizontal y K una constante. Como en este caso no aparecen los dos puntos de intersección de la curva con el eje horizontal se aprovecha nuevamente la propiedad de simetría de la parábola con respecto a su eje. Al trazar la mediatriz del segmento horizontal determinado por los puntos de intersección de una recta horizontal con la parábola se identifica el eje de la parábola, que es esta mediatriz, cuya ecuación es x=425, al reflejar el punto de intersección visible (0,0) con respecto a este eje se obtiene el otro punto de intersección (850,0). Y con otro punto, por ejemplo (200, 65000) se calcula la constante K. Así, x1=0, x2=850, de donde resulta y=K(x-0)(x-850). Y con (200, 65000), se tiene 65000=K(200)(200-850), de donde K=-0.5

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 59

y 90000

80000

70000

60000

50000

40000

30000

ganancia

20000

10000

100

200

300

400

500

x 600

-10000

La gráfica de la ganancia se obtiene graficando la parábola que representa la función cuadrática que se obtiene restando de los ingresos los costos: y= (-0.5x2+425x)-(150x+10000) y=-0.5x2+275x-10000 Para encontrar la ganancia máxima se utiliza nuevamente la simetría, la abscisa será el punto medio de los puntos de corte de una horizontal con la parábola, particularmente se pueden utilizar los ceros, pero la suma de las raíces está relacionada con los coeficientes de la función cuadrática mediante: x1 + x 2 b x1 + x 2 = − , y puesto que h = a 2 La ganancia máxima se obtiene cuando se producen y venden 275 ejemplares. En este problema es particularmente importante el manejo de las representaciones. Puesto que el planteamiento es básicamente gráfico, conviene hacer algunas observaciones sobre las características de esta representación. En un primer nivel se da una lectura local de los puntos que sólo permitiría responder algunas de las preguntas sobre los ingresos y los costos correspondientes a un número dado de ejemplares. Aun en este caso es necesario tomar en cuenta las escalas de los ejes para dar respuestas adecuadas, considerando la imprecisión naturalmente asociada con la representación gráfica. Una cuestión que se puede discutir en los equipos y, posteriormente, con todo el grupo es ¿Qué es una lectura aceptable de las coordenadas de un punto en una gráfica?

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 60

Las respuestas relativas a otras características, como los máximos o los ceros, hacen intervenir aspectos geométricos de las curvas y consideraciones sobre el significado de las intersecciones, si se mantienen relacionadas básicamente con las tablas. En caso de que se avance hacia el establecimiento de las representaciones algebraicas hay algunos aspectos visuales de las curvas que sirven de control para que se evalúe la correspondencia entre la ecuación y la gráfica que van desde la comprobación de que algunos valores obtenidos de la ecuación están en la gráfica hasta algunas características como el valor y signo de la pendiente en la recta y los coeficientes de la función cuadrática. Cada uno de estos aspectos se pueden tratar provechosamente en la discusión profundizando particularmente en las estrategias que utilizaron para pasar de la representación gráfica a la algebraica, tanto en el caso de la función lineal como en el de la cuadrática.

En resumen, algunos aspectos del problema que conviene atender durante el trabajo de los equipos y retomar en la discusión con todo el grupo son: Lectura de las gráficas Lectura local Representación gráfica e interpretación de las funciones lineales y cuadráticas a través de sus Lectura global elementos característicos (pendiente de la recta, puntos de corte con los ejes, vértice y eje de simetría de la parábola) Función lineal Función cuadrática

Sistemas de ecuaciones Modelación

Puntos, coordenadas Escalas, unidades Intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos Concavidad Representaciones Gráfica a Tabular Gráfica a Algebraica Representaciones Gráfica a Tabular Gráfica a Algebraica Características de la Vértice forma geométrica Eje de simetría Representación, algoritmo e interpretación de los resultados Transcripción de situaciones problemáticas a un lenguaje algebraico, utilización de las técnicas matemáticas apropiadas para resolverlas y dar una interpretación, ajustada al contexto, de las soluciones obtenidas.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 61

4. Ejercicios

4. Ejercicios El libro-e Descartes se toma como texto de referencia en el Libro del estudiante. Entre los libros de la bibliografía que señala el programa se escoge Álgebra con aplicaciones de Elizabeth P. Phillips y otros para las tareas. Para cada unidad se señalan pares de bloques de páginas. En el primer bloque se tienen explicaciones de temas y ejercicios y en el segundo bloque ejercicios para que los alumnos los resuelvan. Este trabajo es para que lo haga cada estudiante de tarea consultando estos textos en la biblioteca de su escuela. "Lo que hace el profesor en la clase es repetir lo que viene en el libro" es un comentario que no se aplica para este Libro. Una de las competencias básicas del estudiante de bachillerato es aprender por sí mismo. Un libro de texto sirve para este propósito. Cuando un estudiante aprende a aprender, se hace independiente y responsable de sus aprendizajes. Ante la actitud de un estudiante de no esforzarse ni comprometerse en lo que lee en un libro, hay que señalarle que cuando se lee un libro de matemáticas usualmente es con papel, lápiz y calculadora a la mano, además de que no basta con una lectura para que comprendamos lo que ahí se dice. En la clase se pueden hacer comentarios y recomendaciones sobre lo que se lee, pero no explicar lo que debieron leer los alumnos. A partir del trabajo con los libros de la bibliografía el alumno aprende y ejercita procedimientos, además de caracterizar cierto tipo de situaciones que le permiten resolver sin grandes dificultades ejercicios. Además, la consulta de los libros le permite enriquecer sus recursos y que esté en mejores condiciones para enfrentar problemas. Vale la pena recordar algunas características de un ejercicio. Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamente sencillos. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos con destrezas específicas. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros de representación, pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina o en el esquema. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja, se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente hace poco tiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la frecuentación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafórico es la suma no la integración. Puede ser laborioso, raramente difícil. Es conveniente señalar a los alumnos que este trabajo con el libro-e Descartes y los libros de la bibliografía no es una actividad menor o muy sencilla. Simplemente es una actividad que tienen que hacer fuera del salón de clases. En el libro se señalan páginas que deben trabajar, pero esto no significa que el resto de libro no sirva y que está de más. El alumno debe conocer todos los materiales que comprende su paquete didáctico incluyendo su libro-e de referencia (Descartes) y los libros que se citan en la bibliografía del programa y estudiar otros temas de acuerdo a sus necesidades. Hay que mencionarles que no somos los profesores los que debemos decirles cada

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 63

una de las cosas que deben aprender, sino que ellos mismos, de acuerdo a sus necesidades y gustos, agregar otros temas de lo indicado por nosotros. A continuación se tienen los ejercicios complementarios con sus respuestas.

Ejercicios Complementarios Unidad 1 De la aritmética al álgebra. (1)

Un electricista compró 75 metros de alambre de calibre 14. Usó las dos quintas partes en una instalación; del resto, guardó el 20% y la cantidad restante la dividió en trozos de 80 cm de longitud. ¿Cuántos trozos son? ¿Para qué otras longitudes del alambre se obtienen trozos completos? R: 45 trozos. Se tienen trozos completos para longitudes que sean múltiplos de 5.

(2)

Calcula el número de alumnos de una clase sabiendo que la octava parte de ellos no asistió a la clase, que las tres quintas partes de ellos están presentando un examen y los once restantes están estudiando. ¿Cuántos no asistieron? R: 40 alumnos forman el grupo y no asistieron 5 de ellos.

(3)

Juan gana dos tercios de lo que percibe Pedro, quién gana 4/5 de lo que percibe Tadeo. Si Tadeo gana $1,150.00, ¿cuánto perciben Juan y Pedro? R: Tadeo gana $1150; Pedro, $920; y, Juan $613.33 .

(4)

Yolanda está a cargo de una tortillería y ha decidido establecer el precio de $4.50 el kilogramo. Algunos de sus clientes compran por pesos (es decir, compran $1, $1.50, $2, ..., $29.5 ó $30) y otros por kilos (1, 1.5, 2, ..., 15 Kg). Necesita dos tablas para saber cuánto les debe dar de tortillas a los primeros y cuánto les debe cobrar a los segundos. ¿Puedes ayudarle a Yolanda en la elaboración de estas dos tablas? R:

Precio en pesos Cantidad en Kg Precio en pesos Cantidad en Kg Precio en pesos Cantidad en Kg Precio en pesos

1 0.222 6 1.333 11 2.444 16

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 0.333 0.444 0.556 0.667 0.778 0.889 1.000 1.111 1.222 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 1.444 1.556 1.667 1.778 1.889 2.000 2.111 2.222 2.333 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 2.556 2.667 2.778 2.889 3.000 3.111 3.222 3.333 3.444 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 20.5

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 64

Cantidad en Kg Precio en pesos Cantidad en Kg Precio en pesos Cantidad en Kg

3.556 21 4.667 26 5.778

Cantidad en Kg Precio en pesos Cantidad en Kg Precio en pesos Cantidad en Kg Precio en pesos

1 1.5 2 4.5 6.75 9 6 6.5 7 27 29.25 31.5 11 11.5 12 49.5 51.75 54

(5)

3.667 3.778 3.889 4.000 21.5 22 22.5 23 4.778 4.889 5.000 5.111 26.5 27 27.5 28 5.889 6.000 6.111 6.222

4.111 4.222 4.333 4.444 4.556 23.5 24 24.5 25 25.5 5.222 5.333 5.444 5.556 5.667 28.5 29 29.5 30 30.5 6.333 6.444 6.556 6.667 6.778

2.5 3 3.5 11.25 13.5 15.75 7.5 8 8.5 33.75 36 38.25 12.5 13 13.5 56.25 58.5 60.75

4 18 9 40.5 14 63

4.5 5 5.5 20.25 22.5 24.75 9.5 10 10.5 42.75 45 47.25 14.5 15 15.5 65.25 67.5 69.75

Una anciana decrépita y desdentada fue a vender una canasta de huevos al mercado. Al primer cliente le vendió la mitad de los huevos que llevaba, más medio huevo; al segundo cliente le vende la tercera parte de los huevos que le quedaban más un tercio de huevo; el tercer cliente le compra la cuarta parte de los huevos restantes, más un cuarto de huevo. Después de sus ventas, la anciana aún tenía en la canasta, 8 huevos. Si no se rompió ningún huevo, ¿cuántos huevos tenía inicialmente en la canasta? R: 35 huevos.

(6)

La razón entre los gastos y las entradas en el negocio de los Romano´s es de 5 a 8. ¿Cuáles fueron sus gastos en un mes en el que la ganancia fue de $3,675? R: $6125.

(7)

Un nanosegundo es 10-9 segundos. ¿Cuántos nanosegundos requiere la luz para darle la vuelta a la Tierra? R: Si se toma como radio de la Tierra 6378.39 Km, se requieren 1.3359x108 nanosegundos.

(8)

Supongamos que una máquina copiadora amplifica una copia de papel alrededor de 1.1 veces el original. Si usted sacara copias de copias y una hoja original fuese de 10 cm por 16 cm, ¿Cuáles serían las dimensiones de la segunda, tercera y octava copia? ¿Cuántas amplificaciones se requieren para lograr una amplificación del triple del original?

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 65

R: La segunda amplificación es de 12.1 cm por 19.4 cm; la tercera, de 13.3 cm por 21.3 cm; la octava, de 21.4 cm por 34.3 cm. Se requieren 12 amplificaciones para obtener un poco más que el triple de las dimensiones del original.

(9)

Una hoja de papel se dobla a la mitad, y luego nuevamente a la mitad. Si este procedimiento de doblar a la mitad continúa y el papel se desdobla, ¿cuántos espacios habrá después de un doblez? ¿dos dobleces? ¿tres dobleces? ¿cinco dobleces? ¿diez? ¿cien? R: Después de un doblez, habrá 2 espacios; de 2, 4; de 3, 8; de 5, 32; de 10, 1024; de 100, 13780.

(10) Hay que tender un cable desde una central eléctrica a un lado de un río de 900 metros de ancho a una fábrica en el otro lado 3 kilómetros abajo. El costo de tender el cable bajo el agua es de $400 por cada metro, mientras que el costo por tierra es de $320 por cada metro. ¿Cuál es la ruta más económica para tender el cable? 1.8 Km por tierra y el resto, 1.5 Km. El costo es de $1176000.

(11) Un viajero recorre ¼ de la distancia entre dos ciudades a pie, 1/5 a caballo, 1/8 del resto en auto y los 55 km restantes en tren. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades? R: 114.286 Km.

(12) Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los 8/17 de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado? R: Se requieren en total 31 hombres; es decir, 16 más de los 15.

(13) Carlos consigue un préstamo de $100,000 para comprarse un automóvil. Conviene en pagar su deuda de la siguiente forma: cada año pagará $10,000 más el 12% de interés de su deuda al principio de año. ¿Cuánto pagará al final por el préstamo? R: $133000.

(14) Al inicio de un viaje el odómetro de un automóvil (con tanque lleno) registra 43,219,5 km. Después del viaje, que tardó seis horas, el odómetro registra 43,

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 66

480,2 km y el conductor utilizó 39.5 litros de gasolina para volver a llenar el tanque. ¿Cuántos kilómetros por litro rindió el automóvil? ¿Cuál fue la velocidad promedio en el viaje? R: Rindió 6.6 Km/l; su velocidad promedio fue de 43.45 Km/h.

(15) A la edad de dos años, un niño promedio mide unos 86 cm y pesa 13 kg. Emplea la fórmula de DuBois y DuBois. S = (0.007184 )w0.425h 0.725

(donde w es el peso y h la estatura) para hallar la superficie S del cuerpo del niño (en metros cuadrados). R: 0.5499 m2.

(16) De un número N, de dos dígitos, se sustrae un número que tiene los mismos dígitos de N pero invertidos. El resultado es el cubo de otro número positivo. ¿Cuáles son los valores posibles de N? R: 41, 52, 63, 74, 85 y 96.

Unidad 2 Polinomios (1) Una ventana con un perímetro de 8 m tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo sobrepuesto. (a) ¿Cuál es el perímetro total de la ventana? (b) ¿Cuál es el área total de la ventana? (c) ¿Cuál es el área máxima que puede tener la ventana?

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 67

(d) Escribe un polinomio para representar el perímetro de la figura en términos de la variable r o de la variable x, solamente. (e) Escribe un polinomio para representar el área de la figura en términos de la variable r o de la variable x, solamente. (f) Grafica la función del área. R: (a) 8; (b) Depende del valor del radio del semicírculo y de la altura del rectángulo. Puede expresarse

P = 2 x + ( π + 2) r ; (e) S = 8r −

S = 2 xr + 2 π+ 4 2 r . (f) 2

πr 2 ; (c) 4.48 m2; (d) 2

(2) Dados dos círculos con el mismo centro, halla una expresión algebraica para el área de la parte sombreada. Simp lifica la expresión tanto como sea posible:

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 68

4

x

Utiliza la expresión para obtener el área de la parte sombreada si x = 10.125

R: S = π ( x 2 − 16 ) ; si x = 10.125, el área es 271.7969 .

(3) Encuentra una expresión para la cantidad de concreto que se necesita para hacer una tubería de concreto que tiene L metros de largo, un radio interior B y un radio exterior A. Si L=1000 m, B=65 cm y A=70 cm, ¿qué volumen de concreto se requiere? R: V = π ( A 2 − B 2 ) L ; si L=1000 m, B=65 cm y A=70 cm, V = 21.2058 m3.

(4) Un avión pequeño puede cargar 950 Kg de equipaje distribuidos en dos compartimentos de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 Kg más en un compartimento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimento? R: En un compartimento 400 Kg, y en el otro, 550 Kg.

(5) En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide 15º más que dos veces el otro ángulo agudo. Calcula el valor de cada ángulo. R: Un ángulo es de 25° y el otro de 65°.

(6) Un automóvil recorre 50 Km en el mismo tiempo en que un avión viaja 180 Km. La velocidad del avión es de 143 Km/h mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del automóvil. R: La velocidad del automóvil es 55 Km/h

(7) Un automóvil y un camión salen de un mismo punto de partida al mismo tiempo y en direcciones opuestas. Cuando están a 350 Km de distancia, el automóvil ha recorrido 70 Km más que el camión. Calcula la distancia que recorrió el automóvil.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 69

R: La distancia recorrida es de 140 Km.

Unidad 3 Ecuaciones y funciones lineales

(1) La suma de las edades de mis tres hijos es de 22. Sí el mayor tiene tres años más que el segundo y el doble de la edad del tercero ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos? R: Las edades de los niños son de 5, 7 y 10 años.

(2) Un cajero contó 248 billetes. Sólo tiene billetes de $200.00 y $50.00 y en total hay $22150.00 ¿Cuántos billetes de $200.00 y de $50.00 hay? R: 65 billetes de $200 y 183 de $50.

(3) Dos monedas raras tienen un valor de $90.00 Sí el valor de una de ellas es una y media veces el valor de la otra ¿Cuánto vale cada moneda? R: Una moneda vale $36 y la otra $54.

(4) Un parque de diversiones cobra $60.00 por persona, pero tiene boletos de promoción a mitad de precio. Si en un día se obtuvieron ingresos de $29, 220.00 al vender 549 boletos ¿Cuántos boletos de cada tipo fueron vendidos? R: 425 boletos de $60 y 124 de $30.

(5) La fórmula para convertir grados Celsius a Fahrenheit es de ºF = 9/5 ºC + 32 donde ºC son los grados Celsius y ºF los grados Fahrenheit ¿A cuántos grados Celsius corresponden 32º, 70º y 212º grados Fahrenheit? R: A 0°, 190°/9 y 100°, respectivamente.

(6) En una ciudad el costo de la electricidad está expresado por la fórmula C = 0.07 n + 6.5, siendo C el costo y n la cantidad de kilowatt-horas consumidos. Calcula la cantidad de kilowatt-horas que corresponde a costos de $50.00, $76.50 y $125.00 . R: A 621.4, 1000 y 1692.9, respectivamente.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 70

(7) Un señor invirtió $14,000.00, parte al 7% y parte al 12% de interés anual. El ingreso anual debido a esas inversiones fue de $1,430.00. ¿Cuánto invirtió en cada una de las tasas? R: $5000 al 7% y $9000 al 12%.

(8) ¿Cuánta agua se debe evaporar por ebullición para aumentar la concentración de 300 litros de sal, del 2 al 3%? R: Se deben evaporar 100 litros.

(9) Varias personas avanzan por la carretera a razón de 5 Km/h y forman una columna de 3 Km de largo. Una de ellas, Antonio, va hasta el final de la misma. De repente se acuerda que tiene que darle un recado a su compadre Ricardo, que se encuentra al principio de la marcha. Se sube a una bicicleta y avanza a una velocidad de 25 Km/h. ¿Cuánto tiempo le llevará a Antonio llegar hasta donde se encuentra su compadre, entregarle el recado y regresar hasta el final de la marcha? R: Requiere de 15 minutos.

(10) Un televisor tiene un costo de $3,250.00, incluyendo el IVA del 15%. ¿Cuál es el precio del televisor sin IVA? R: $2826.1

(11) El dueño de un negocio paga diariamente a sus tres empleados $135.00. Determina lo que gana cada uno, sabiendo que el primero gana $10.00 más que el segundo, y éste el doble que el tercero. R: El primero gana $60, el segundo $50 y el tercero $25.

Unidad 4 Ecuaciones y funciones cuadráticas

(1) ¿Cuál es la altura del árbol más alto que puedes asegurar con un cable de 250 m? El cable debe fijarse al suelo a una distancia de la base del árbol que sea al menos 10 m abajo de su copa. R: 249.8 m. ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 71

(2) ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo si su área es 1500 m2 y su longitud es 20 m más que su anchura? R: 30 por 50 metros. (3) Calcula la altura h del triángulo si su área es 162 cm2 y su base es (2h+3) cm. R: 12 metros. (4) Calcula el perímetro del rectángulo de base w+4, altura w y área de 96 m2. R: 40 metros. (5) La longitud de una pista rectangular de patinaje sobre hielo es 20 m mayor que el doble de su ancho. Calcula las dimensiones de la pista si se sabe que su área es de 6000 m2. R: Es de 68.1 por 88.1 metros. (6) En la figura se muestra la sección del terraplén de una autopista. La altura del terraplén es de x metros y su anchura en su parte alta es de 100 m.

100m

α

tg α = 1

x α

Obtén (a) Una fórmula para el volumen de tierra que se requerirá para construir una sección recta de 100 m de la autopista, en metros cúbicos. (b) ¿Cuál es la altura del terraplén si el área de su sección es de 525 m2? (c) ¿Qué cantidad de viajes se requerirá hacer para construir el tramo de 100 m, si cada camión transporta 10 m3 de tierra? R: (a) V = 10000 x + 100 x 2 ; (b) 5 metros; (c) 5250 viajes. (7) Rodolfo acostumbra subir corriendo dos escaleras eléctricas de 20 m de longitud cada una, desplazándose la primera hacia arriba y la segunda hacia abajo, en 15 segundos. Si se mantuviese quieto en una de las escaleras, en

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20 segundos se encontraría en el otro extremo de ella. Cuando las escaleras no funcionan, ¿en cuánto tiempo subirá por ellas? R: En 6.7 segundos. (8) El siguiente problema fue descubierto en los escritos del matemático hindú Mahavira (c. 850) La cuarta parte de un hato de camellos fue vista en el bosque, el doble de la raíz cuadrada del total de camellos del hato se fue a las laderas de la montaña, y tres veces cinco camellos fueron vistos en la orilla de un río. ¿Cuál es la medida numérica del hato de camellos? R: 36 camellos. (9) Una escalera de 13 metros de longitud, está recostada contra una pared. La base de la escalera se encuentra a 5 metros del muro. ¿Cuánto habría que desplazar la base de la escalera para que la punta superior de la misma se desplazase hacia abajo la misma distancia? R: 7 metros. (10) El ingenioso Heberto ha diseñado su bicicleta con ruedas de distinto diámetro, de forma que la delantera mide 40 cm menos que la trasera en su circunferencia exterior. Al dar un paseo en bici se da cuenta que por cada 12 m de recorrido, la rueda delantera da 5 vueltas más que la trasera. ¿Cuáles son los diámetros de cada rueda? R: La rueda delantera tiene un diámetro de 25.5 cm y la rueda trasera de 38.2 cm. (11) Un rectángulo con un área de 12 cm2 se inscribe en un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura. ¿Cuáles son sus dimensiones? R: x = 4 cm, y = 3 cm.

6c m

x y

8c m

(12) El peso de un objeto varía inversamente con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Al nivel del mar (6400 km del centro de la Tierra) un ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 73

astronauta pesa 100 Kg. Calcula el peso del astronauta en un vehículo espacial a 200 km de la superficie terrestre. R: 94.03 Kg. (13) Un cultivador de naranjas se da cuenta de que obtiene una producción promedio de 40 costales por árbol cuando planta 200 de ellos en una hectárea de terreno. Cada vez que añade diez árboles a la hectárea, la producción por árbol desciende en un costal, a causa del congestionamiento. ¿Cuántos árboles por hectárea debería plantar para optimizar la producción? R: Deberá plantar 300 árboles. (14) Un consejo municipal utiliza 200 m de valla para cercar un parque destinado a los ciudadanos minusválidos. El parque será adyacente a un centro comunitario y tendrá dos áreas rectangulares conectadas por un puente que atraviesa a un arroyo que se encuentra a 10 m del edificio. El área adyacente al centro comunitario puede tener una longitud no mayor que la del edificio. El área adyacente al centro comunitario puede tener una longitud no mayor a la del edificio, que es de 75 m, pero el área a lo largo del arroyo puede tener cualquier dimensión. Junto al río no se pondrá ninguna valla. ¿Cuál es el área máxima que pueden cercar? R.: 4800 m2.

Unidad 5 Sistemas de ecuaciones (1) Entre 1993 y 1997 el número de reproductores de discos compactos vendidos cada año en cierto país fue creciendo, y el número de tornamesas fue decreciendo. Dos modelos para calcular las ventas son los siguientes: (a) Reproductores de discos compactos:

S d = −1700 + 496 t

(b) Tornamesas:

St = 1972 − 8t

en donde Sd y St representan las ventas anuales, en miles de unidades, de reproductores de discos compactos y tornamesas, respectivamente, y t representa el año calendario, con t = 3 correspondiente a 1993. Según estos modelos, ¿cuándo se esperaría que las ventas de reproductores de discos compactos rebasarán a las de tornamesas? R: Hasta después de 1997 (ya en 1998)

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(2) En 10 Kg de una aleación hay 3 Kg de zinc, 2 Kg de cobre y 5 Kg de plomo. En 20 Kg de una segunda aleación hay 12 Kg de zinc, 5Kg de cobre y 3 Kg de plomo, mientras que en 10 Kg de una tercera aleación hay 8 Kg de zinc, 6 Kg de cobre y 6 Kg de plomo. ¿Cuántos kilogramos de cada aleación tendrán que combinarse para obtener una aleación que por cada 34 Kg de zinc, contenga 17 Kg de cobre y 19 Kg de plomo? R: 20 Kg de la primera aleación, 40 de la segunda, y, 10 de la tercera. (3) Supongamos que te ofrecen dos trabajos diferentes para vender material a dentistas. Una compañía te ofrece una comisión simple del 6% sobre ventas; la otra compañía te ofrece un salario de $250 por semana más 3% sobre ventas. ¿Cuánto tendrías qué vender en una semana para que la comisión simple sea mejor? R: Más de $8334. (4) Un avión que vuela con viento de frente recorre los 1800 kilómetros entre dos ciudades, en 3 horas 36 minutos; en el vuelo de regreso, recorre la misma distancia en 3 horas. Halla la velocidad del avión y la velocidad del viento, suponiendo que ambas permanecen constantes. R: La velocidad del avión es de 550 Km/h y la del viento, 50 Km/h. (5) Se obtienen 10 litros de una solución ácida al 30%, al mezclar una solución al 20% con otra al 50%. ¿Cuánto se usó de cada una? R: 6.7 litros de la solución al 20% y 3.3 litros de la solución al 50%. (6) Un rectángulo tiene 92 cm de perímetro y su diagonal mide 34 cm. Halla sus lados. R: Es de 16 por 30 cm. (7) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 19.5 m. Si la longitud de cada cateto aumentara 4.5 m, la hipotenusa aumentaría 6 m. Halla los catetos del triángulo primitivo. R: Uno es de 18 m y el otro de 7.5 m. (8) Un jardín de flores rectangular tiene 504 cm2 de área y está rodeado por un camino de 3 m de ancho. El área del camino es 312 m2. Halla las dimensiones (longitud y anchura) del jardín.

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R: 36 m de longitud y 14 m de ancho. (9) Una pieza rectangular de cartón tiene 120 cm2 de área. Al cortar un cuadrado de 2 cm de lado en cada una de las esquinas y doblar los lados hacia arriba se forma una caja abierta de 96 cm3 de volumen. Halla las dimensiones (largo y ancho) del cartón inicial. R: 20 cm de largo y 6 cm de ancho. (10) Un alambre de 120 cm de largo se dobla en forma de triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 51 cm. Encuentra la longitud de cada cateto del triángulo. R: De 45 y 24 centímetros. (11) Dos hombres parten de un punto y caminan formando un ángulo recto. La velocidad de uno es 1 Km por hora mayor que la del otro. Después de una hora, la distancia entre ellos es de 5 Km. Encuentra la velocidad de cada hombre. R: 3 Km/h y 4 Km/h, respectivamente. (12) Encuentra el valor de k para que la gráfica de y = 2x + k toque, pero no cruce (sea tangente) a la gráfica de la parábola y=x 2 +1. R: k = 0.

Unidad 6 Funciones polinomiales y racionales (1) Encuentra el valor de k para el cual x - 3 es un factor de k x 3 - 6x 2 +2k x - 12. R: k = 2. (2) Encuentra el valor de k tal que -2 es una raíz de 3 x 3 +5x2 +k x - 10 = 0. R: k = –7. (3) De un cubo se recorta una rebanada de 1 cm de grosor de uno de sus lados. ¿Cuál será la longitud del lado del cubo original si el volumen del cuerpo restante es de 180 cm3? R: x = 6.

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(4) Demuestra que el binomio x-c es un factor de p(x) y resuelve la ecuación p(x) = 0. p(x) = x4 + 4x3 + 3x2 - 4x - 4; x + 2. p(x) = x4 - 8x3 + 7x2 + 72x - 144; x - 4. R: Para el primer polinomio las soluciones son –2, –2 –1 y 1; para el segundo son –3, 3, 4, y 4. (5) Encuentra un polinomio p(x), de grado 3, cuyos ceros son -2, 2 y 3, y, además, p(1)=18. R: P ( x) = 3 x 3 − 9x 2 − 12 + 36 . (6) Cuando x2 + 5x - 2 se divide entre x + n el residuo es - 8. Determina todos los valores posibles de n (utiliza la división sintética). R: 2 y 3. (7) Determina d tal que x + 6 sea un factor de x4 + 4x3 - 21x2 + dx + 108 (utiliza la división sintética). R: d = -36. (8) Obtén el valor de k tal que x+2 sea un factor de x3 - kx2 + 2x + 7k. R: k = 4. (9) Un silo tiene la forma de un cilindro circular recto con una semiesfera unida en la parte superior. Si la altura total de la estructura es de 30 unidades de longitud, encuentra el radio del cilindro que resulte en un volumen total de 1008π unidades cúbicas. R: 6 unidades de longitud. (10) Según la Ley de Gravitación de Newton, ¿cómo varía la fuerza de atracción entre dos objetos si cada una de sus masas se reduce a la mitad, pero se duplica la distancia entre ellos? R: Disminuye a 1/16 de la fuerza original. (11) La ley del gas ideal señala que el volumen V que ocupa un gas es directamente proporcional al producto del número n de moles de gas y la temperatura absoluta T, e inversamente proporcional a la presión P, medida en atmósferas.

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Expresa V en términos de n, T, P y una constante de proporcionalidad. ¿Cuál es el efecto en el volumen si la cantidad de moles se duplica y tanto la temperatura como la presión se reducen a la mitad? R: V = k

nT ; el volumen se duplica. P

(12) La distancia entre dos poblaciones P y Q es de x kilómetros. Si tú conduces un automóvil en dirección de P a Q a velocidad media de V 1 Km/h, y regresa de Q a P a velocidad media de V2 Km/h. ¿Cuál es tu velocidad promedio durante el viaje redondo? R:

2V1V2 . V1 + V2

(13) Diseña un problema que pueda resolverse con la ecuación 1 1 1 + = x x +1 3

R: Dos personas, trabajando juntas, terminan en 3 horas. Si trabajan solas, la segunda requiere una hora más que la primera. ¿En cuánto tiempo termina la primera si trabaja sola?

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5. Lecturas

5. Lecturas La lectura, primero, y discusión, después, de un artículo o un video no tiene como finalidad presentarles a los alumnos un lado amable de las matemáticas y combatir con ello la llamada matematifobia de los alumnos. Como las demás actividades de aprendizaje para los alumnos, las lecturas son importantes. Ahora se tiene información por todas partes: en la radio, televisión, periódicos, revistas e Internet. Sin embargo para que resulte útil esta información disponible es necesario desarrollar una actitud crítica y reflexiva de quien recibe la información, especialmente nuestros alumnos. Esto también se aplica en la escuela. Para nuestros alumnos es natural, porque así se los hemos presentado, suponer que cada materia que estudian es independiente de las demás y que en matemáticas no se lee, sino se aprenden y aplican procedimientos. No es así, nuestros alumnos requieren desarrollar habilidades más complejas que lo anterior. Y una de ellas es que sean lectores críticos y reflexivos, que comprendan conceptos y sean capaces de fundamentar sus opiniones o conclusiones a partir de la elaboración de argumentos claros, coherentes y lógicamente estructurados. También que donde aparezca una dimensión matemática, la identifiquen y hagan uso de las matemáticas para comprender la lectura. Estas habilidades no se desarrollan simplemente solicitándole a nuestros alumnos que lean y vean ciertos artículos y películas. Es necesario que en las discusiones durante o posteriores a ellas se les señale la importancia de una revisión cuidadosa de su contenido y de los nuevos temas que surgen para una investigación posterior y que depende de cada uno de nosotros si lo hacemos o no. Nuestros alumnos deben aprender a ser buenos lectores y para ello la ficha o guía que se tiene en los MAPOA sobre la lectura resulta especialmente útil. Como en las demás actividades de aprendizaje, debes planear cada lectura antes de solicitarlas a los alumnos. Elabora preguntas que puedes entregarlas a los alumnos antes de la lectura para que las respondan en su reporte o para que te sirvan como guía de la discusión. Mediante estas preguntas destacas los objetivos de aprendizaje que buscas lograr con la actividad. También puedes anticipar las inquietudes y preguntas de los alumnos. Ante las palabras de las que no conozcan sus significados, hay que acostumbrarlos a consultar diccionarios. Los artículos y películas que se señalan en el libro deliberadamente no están muy cercanos a los temas del programa de álgebra, pues se pretende que en ellas los alumnos identifiquen la dimensión matemática que contiene y que buena parte de análisis se centre en ella. Debes ser cuidadoso de exigirles a los alumnos que cuando acepten una conclusión u otra, sea por la argumentación que la acompañe.

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Como un ejemplo, te presentamos un control de lectura del artículo “Etica y Matemáticas”.

1. Estructura. Ética y Matemáticas o cómo la matemática ayuda a comprender la ética.

2. Resumen. El artículo trata del uso de las matemáticas en la ética. En gran parte lo que se usa de matemáticas para comprender razonamientos éticos es la aritmética. La ética se refiere al comportamiento del individuo y a criterios que orienten ese comportamiento. Al analizar el comportamiento a partir de sus consecuencias, importa reflexionar sobre la cantidad de persona que se benefician o perjudican con ese comportamiento. Es aquí donde interviene la aritmética. Un pequeño cálculo aritmético puede ser muy ilustrativo. Como ejemplo el autor nos habla de la cantidad de niños que mueren por causas (enfermedades) que no deberían tener efectos tan severos. Esta situación cambiaría radicalmente si los recursos que se utilizan para continuar con hábitos o costumbres dañinas a la salud individual y social, se canalizaran para prevenir estas muertes. Señala una situación discutible. Afirma que si se toma una decisión riesgosa que en su adopción provoca un cambio de vida radical de un grupo de personas (cambiar de lugar de residencia y actividades productivas, entre otros), luego durante siglos, beneficios en la situación económica de las personas, pero luego causa la muerte de 50 millones de personas, esta decisión no fue mala para nadie, pues aún los muertos gozaron de sus beneficios mientras vivieron. Por último, con el llamado dilema del preso ilustras que el bien individual puede significar un mayor daño colectivo y que, por lo general es mejor, socialmente, tener una actitud de cooperación y no una individualista.

3. Comentarios y opiniones. ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 81

Es cierto, la matemática nos permita comprender principios éticos y “fallas” de nuestra sociedad. Si nos fijáramos más en el bien común que en el propio, tendríamos una sociedad más equilibrada, menos cruel e injusta. La toma de decisión riesgosa es un buen tema de discusión. Si las consecuencias de esa decisión fuese en lo inmediato un mayor empobrecimiento general, sería una mala decisión a corto plazo. Si antes de que esa decisión tuviese los efectos benéficos que se esperan ocurre una catástrofe no atribuible a ella, sería una decisión que no podría calificarse como buena. De esta forma es relativo decir que una decisión fue buena o mala. Para quien no sepa de Cantor y su aportación a la teoría de la cardinalidad, no entenderá bien a bien el sentido de lo que se dice en el texto. Se les puede sugerir a los alumnos que lean el artículo “¡Al infinito y más allá!” en el número 15 de la revista ¿Cómo ves?, publicada por la UNAM. 4. Preguntas y respuestas (parciales) ¿La moral y la ética son lo mismo? No, la moral es parte de la filosofía que enseña las reglas que deben gobernar la actividad libre del hombre; la ética se refiere a los principios de la moral; es decir, la ética le da sentido a las reglas de la moral. ¿La ética es parte de la matemática? No, pues la matemática no tiene como parte esencial de la misma la actividad libre del hombre. ¿Qué relación hay entre la ética y la matemática? La matemática permite comprender razonamientos éticos. ¿Spinoza utilizaría figuras geométricas en su obra Etica? No, exactamente. Escribió su libro manteniendo una estructura similar a lo que hizo Euclides con sus Elementos, dedujo principios a partir de otros que justificó por ser evidentemente aceptables (conocidos como axiomas en matemáticas). ¿Hay que obligar a las compañías tabaqueras a que en lugar de pagar para publicitar sus productos destinen ese dinero para programas de asistencia a la niñez y control de la natalidad? No, sensibilizar a la comunidad mundial para apoyar programas de bienestar social, así como actitudes que pueden causarnos pequeñas molestias, pero que colectivamente tienen un gran impacto si todos las llevamos a cabo. ¿Los responsables de tomar una decisión riesgosa deben informar de ella a las personas involucradas o simplemente tomarla? Deben informarles. ¿Quiénes deben opinar sobre una decisión riesgosa, sólo especialistas o las personas afectadas, aunque no entiendan la situación?

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Deben opinar especialistas y la toma de decisión debe ser a partir de los argumentos de los especialistas y los afectados deben ser informados de la decisión y el por qué de ella. ¿Puedes dar un ejemplo de una decisión riesgosa? ¿Puedes dar un ejemplo de una situación de tu vida cotidiana que tienen la estructura del dilema del preso? La basura. Si levanto los papeles que están alrededor de mi mesabanco, como todos mis demás compañeros, tendremos limpio el salón. Si sólo yo lo hago y nadie más, el salón estará sucio y a mí se me cargará el trabajo, pues otros lanzarán papeles en mi mesabanco. ¿Es posible calificar cada una de nuestras decisiones como buenas o malas? No. Hay decisiones que sí pueden calificarse de inmediato; otras hasta después de conocer sus consecuencias, y otras más no lo sabremos. 5. Glosario. Moral: parte de la filosofía que enseña las reglas que deben gobernar la actividad libre del hombre. Etica: relativo a los principios de la moral. John Rawls: filósofo contemporáneo. Kant (Emmanuel): filósofo alemán (1724-1804), autor de Crítica de la razón pura. Crítica de la razón práctica y Crítica del juicio. Formuló un idealismo trascendental. Trascendental: que se extiende a otras cosas. Idealismo: sistema filosófico que considera la idea como principio del ser y del conocer. Spinoza (Baruch de): filósofo holandés (1632-1677), cuyo racionalismo le dio una visión panteísta del universo. Panteísmo: sistema filosófico según el cual Dios se identifica con el mundo. Euclides: matemático griego que enseñaba en Alejandría (s. III a. de J. C.). Fundador de la geometría plana. Estoicismo: doctrina filosófica de Zenón de Citio, llamada también doctrina del Pórtico, según la cual el bien supremo reside en el esfuerzo que obedece a la razón y queda indiferente ante las circunstancias exteriores. 6. Aspectos de la lectura que se relacionan con el curso. 1. Uso de la matemática en otras áreas. 2. Uso de la aritmética para comprender argumentos. 3. Conocer de manera superficial otros aspectos de las matemáticas y de la filosofía. Videos En cada una de las escuelas se ha distribuido una serie de cinco videos con varios episodios de alrededor de 10 minutos cada uno. En el portal de la AIM encontrarás las fichas de estos videos con algunas sugerencias para la elaboración del guión de la discusión que se puede generar para convertir ‘ver la televisión’ en una experiencia de aprendizaje efectiva de las matemáticas.

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Videos de ‘El Mundo de las Matemáticas’ 1. Para una buena medida. Datos en gráficas. Una gota en el océano. Si el zapato aprieta. ¿Creería usted esto? ¿Cuál es la relación? Costo de los discos compactos. Rescate. 2. Un área de interés. En general. Necesidad de datos. ¡Qué suerte! ¿Qué se puede esperar? ¿El mismo de nuevo? Reducir a escala. Encontrando el camino. 3. Detrás de la puerta principal. En el interior de un estudio de grabación. Campos de abundancia. Un mesurado estilo de vida. Un gran salto. Altas esperanzas. Arriba y adelante. El valor de la limpieza. 4. Una medida de belleza. Embotellamientos de tránsito. El valor del rostro. Una incansable búsqueda. Panorama de cálculos. Un argumento circular. Picos gemelos. Un suelo tembloroso. 5. Lectura medida. Encuesta aparte. Algo confuso. Carrera nivelada. Agua contaminada con petróleo. La tragedia de los comunes. Una cuestión de distribución. Robots trabajando. En las lecturas de video se puede usar la guía elaborada por Discovery Channel que presentamos a continuación con un ejemplo. Guía general para ver un video de Discovery Channel INTRODUCCIÓN | ANTES DEL VIDEO | DURANTE EL VIDEO DESPUÉS DEL VIDEO | TABLA SEQUyA Introducción Los tres puntos siguientes, le dan sugerencias de cómo utilizar el video en el aula. Los tres puntos que se sugieren son igualmente importantes y completarlos le permitirá evaluar el efecto del video y los resultados del aprendizaje. Debemos recordar que ver un video en el aula no equivale a ir al cine. Tenga alguna actividad preparada que haga referencia al segmento que los chicos van a ver. Pídales información sobre un solo aspecto del video. De esta manera será más fácil que los chicos pongan atención. Enfoque su presentación en tres puntos clave que marcarán la importancia de lo que se va a hacer y a presentar. Asegúrese de tener material y actividades listas para usar: Antes de ver el video Durante el video Después de ver el video Antes de ver el video Anuncie a sus alumnos que verán un video. Dígales de qué se trata y pídales que le den ideas e

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hipótesis sobre lo que van a ver. Puede anotar esta información en la pizarra, o bien en una de las hojas que se incluyen en esta guía y que pueden duplicarse para entregar a los chicos. La hoja de Discovery en la Escuela tiene tres columnas que indican la utilidad de la hoja: Lo que sé. Lo que quiero saber. Lo que aprendí. Esta hoja facilitará la organización del trabajo de los chicos. En esta primera parte, llenarán la columna titulada: Lo que sé. Como su nombre lo indica, en esta columna podrán escribir los chicos lo que saben del tema a tratar. Tabla SEQUyA Nombre:____________________________________________________ Año: ___________________________ Materia:____________________ Maestro: ___________________________________________________ Titulo del video: _____________________________________________ Tema:______________________________________________________ LO QUE SÉ

LO QUE QUIERO SABER

LO QUE APRENDÍ

Durante el video Dé a los chicos una tarea sobre el contenido del segmento del video que van a ver. Pídales de tres a cinco detalles específicos del mismo, uno del principio, dos o tres del medio, y uno o dos del final. Deberán anotar esta información en la segunda columna de su hoja de trabajo. Con esto se

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logran dos objetivos: uno, que los chicos pongan atención durante el segmento, y dos, que estén alerta a las respuestas que se les han pedido. Recuerde, ¡no apague las luces!

Después de ver el video Pídales que escriban algo nuevo que hayan aprendido del video en la tercera columna, y luego que intercambien sus hojas con otros compañeros. En la hoja "del compañero", pídales que anoten otro dato importante. Repita esto dos o tres veces y haga que las hojas regresen a manos del "dueño". Los chicos, sin saberlo, habrán contribuido con sus compañeros a incluir datos que tal vez otros no hayan tomado en cuenta. De esta forma, el proceso de aprendizaje se habrá hecho divertido, los chicos habrán sin duda aprendido algo nuevo y habrán disfrutado de un video educativo que usted les ha hecho divertido. Tiempo: El video con las actividades de presentación del mismo, puede tomarle entre 10 y 15 minutos de una clase. Seguramente usted no presentará otro segmento hasta que cubra una nueva unidad, o tal vez lo haga en sólo unos días. De algo puede usted estar seguro, que los chicos nunca olvidarán lo fácil y entretenida que fue la clase. Lecturas de video. Plan para ‘Necesidad de datos’: Primera parte (antes del video): Van a ver un video sobre los datos que es necesario recopilar para analizar la contaminación de los ríos. Sinopsis del programa: La situación consiste en determinar los datos que es necesario recopilar para analaizar la contaminación de los ríos. Se manejan cantidades como el peso, el ancho y largo de los peces, el tipo de parásitos que tienen, así como la acidez del agua. Escribe en la primera parte de tu reporte ‘Lo que sé’. Segunda parte (durante el video): Describe con precisión los datos que utilizaron los jóvenes para determinar la calidad del agua. ¿Cómo se tomaron? ¿Cuáles son los argumentos que se usaron en el video? ¿En qué consiste la aplicación de las Matemáticas en este caso? Preguntas formuladas en el video: ¿Podrían ser estas variaciones (en las carpas de quijada plateada) el resultado de la contaminación? ¿Los peces son buenos indicadores? ¿Cómo podrías diseñar un proyecto para averiguar más sobre la contaminación del agua?

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Longitud, ancho, número de parásitos. ¿Qué datos tendríamos que recolectar para comparar los efectos de la cantidad de fertilizante en el pasto? Contenido de nitrato en partes por millón. Éste fue el resultado de sólo una muestra, ¿fue un resultado confiable? ¿Cómo podríamos recolectar muestras de agua de la localidad para probarlas de manera confiable? A pesar de que los datos no siempre pueden responder preguntas, sí pueden proporcionar evidencia para construir argumentos convincentes ¿Qué problemas podrían resolverse con las Matemáticas? ¿Qué datos se necesitarían? ¿Cómo podrían recolectarse los datos? Tercera parte (después del video): ‘Lo que aprendí’ Escribe todo lo que ahora puedes agregar a lo que sabías sobre las preguntas que se pueden responder con un argumento basado en datos. Cuarta parte: Lee el reporte de tu compañero y anota algún aspecto que haya pasado por alto o descrito insuficientemente. Participa con un comentario sintético en el foro correspondiente: http://bscw.fit.fraunhofer.de/bscw/bscw.cgi/0/43712946 Es recomendable elaborar una guía para cada lectura de video que se realice en el curso.

Lecturas para los profesores Desde luego no sólo a los alumnos les son provechosas lecturas de diversos artículos. También a nosotros los profesores. Su lectura y discusión entre colegas enriquece la vida académica tan necesitada de consolidarse en nuestras escuelas. Aprovechemos la guía para el control de la lectura que viene en los MAPOA. A continuación te presentamos tres artículos de mediana extensión. Con tus compañeros elige otros que juzgues pertinentes para su discusión.

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Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa Vol. 1, Núm. 1, marzo 1998, 23-40.

Complejidad del currículo de matemáticas como herramienta profesional Luis Rico1 RESUMEN En este trabajo se presenta el concepto de currículo como un plan de formación, que se propone responder a: ¿Qué es y en qué consiste el conocimiento matemático? ¿Qué es el aprendizaje? ¿Cómo se caracteriza el aprendizaje de las matemáticas? ¿Qué es la enseñanza? ¿En qué consiste la educación matemática? ¿Qué es y en qué consiste el conocimiento útil? ¿Cómo se evalúa el conocimiento matemático? Estas cuatro cuestiones permiten establecer cuatro dimensiones en torno a las que se pueden organizar los niveles de reflexión curricular. La funcionalidad del concepto de currículo se ha desarrollado mediante la búsqueda sistemática de niveles de reflexión, estableciendo componentes por cada nivel y relaciones entre las componentes de diferentes niveles. También se presentan los organizadores del currículo. El conocimiento didáctico sobre cada uno de los contenidos del currículo de matemáticas ha de quedar estructurado mediante la aportación que hacen cada uno de los organizadores a dicho contenido. ABSTRACT In this paper, we present the concept of curriculum as a training plan, which tries to respond to the following questions: What is mathematical knowledge and what does it consist of? What is learning? How is the learning of mathematics characterized? What is teaching? What does mathematics education consist of? What is useful knowledge and what does it consist of? How is mathematical knowledge evaluated? These four questions allow us to establish four dimensions whose levels of curricular reflection can be organized. The functionality of the concept of curriculum has been developed through systematic search of levels of reflection, establishing components for each level and relations between the components of different levels. The didactic knowledge about each part of the content of the mathematical curriculum must be structured through the contribution of each of the organizers of this content. RÉSUMÉ Dans ce travail se présente la notion du curriculum comme un plan de formation, qui se propose à répondre à: Qu'est-ce que la connaissance mathématique, et en quoi consistet-elle? Qu'est ce que l'apprentissage? Comment se caractérise l'apprentissage des mathématiques? Qu'est ce enseignement? En quoi consiste la didactique des mathématiques? Qu'est ce et en quoi consiste la connaissance mathématique? Qu'est ce et en quoi consiste la connaissances utile? Comment peut s'évaluer les connaissances mathématiques? Les quatre questions aident à établir quatre dimensions sur les quelles peuvent s'organiser les nivaux de réflexion. La fonctionalité du concept du curriculum se sont déroulées pendant la recherche systématique des niveaux de réflexion, on établissant des éléments pour chaque niveau et relations entre des elements de different niveaux. Aussi se présentent les éléments que permettent d'organiser le curriculum. Les 1

Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada, España

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connaissances didactiques, sur chacun des contenus du curriculum de mathématique doivent rester structurées pendant l'apport que font des organisateur à ce contenu.

La iniciativa y la responsabilidad, la sensación de ser útil, e incluso indispensable, son necesidades vitales del alma humana. (...) La satisfacción de la necesidad de responsabilidad exige que un hombre tome con frecuencia decisiones en los problemas, grandes o pequeños, que afectan a intereses que no son los suyos propios, pero con los que se siente comprometido. También es necesario que tenga que aportar su esfuerzo continuamente. Por último, debe poder abarcar intelectualmente la obra entera de la colectividad de la que es miembro, incluidos los ámbitos en que nunca tiene decisión que tomar o consejo que dar. Para ello es indispensable que se le dé a conocer esa obra, que se le exija tomar interés, que se le haga percibir su valor, su utilidad y, llegado el caso, su grandeza; y que se le haga comprender claramente el papel que desempeña en ella. S. Weyl, 1996

Conocimiento profesional en educación matemática En fechas recientes se ha desarrollado con fuerza la idea de que para trabajar en la enseñanza de las matemáticas son necesarios conocimientos y destrezas específicos, que sean complemento del saber convencional sobre estructuras formales y algoritmos. Las limitaciones y dificultades que los profesores encuentran para desarrollar su trabajo profesional en el sistema educativo muestran la necesidad de trabajar con esquemas fundamentados mediante los cuales organizar el conocimiento pedagógico de los contenidos, así como contrastar pautas de actuación para poner en práctica tales esquemas. Esta idea se contextualiza con las siguientes reflexiones: * Existe un campo profesional denominado matemática educativa, o educación matemática, en el que trabajan los profesores de los sistemas educativos de nuestros países y los investigadores comprometidos en la solución de los problemas de la enseñanza de las matemáticas. El campo profesional del educador matemático tiene entidad propia, es ejercido por decenas de miles de profesionales y afecta a millones de escolares (Rico y Sierra, 1991). * Los profesores de matemáticas de secundaria del sistema educativo constituyen parte importante y diferenciada del colectivo de los educadores matemáticos. Se presentan algunas características de este colectivo. * Al ejercicio como profesor de matemáticas de secundaria se llega con una formación inicial descompensada. Hay una fuerte valoración sobre algunos componentes científicos y técnicos que coincide con una ignorancia cultivada sobre los componentes didácticos y técnicos necesarios para el ejercicio de la profesión. La mala organización en la formación de los profesores de matemáticas tiene carácter estructural, repercute en la calidad de la enseñanza que reciben los escolares y afecta el nivel cultural, científico y técnico de los ciudadanos. * Con carácter general, los planes de formación inicial y permanente del profesorado tienen una estructura administrativa inadecuada, están mal diseñados, carecen de calidad en su realización, y su ejecución conlleva una mala gestión de recursos públicos. En España, en particular, las sucesivas reformas institucionales no terminan de incorporar en la universidad los planes de formación del profesorado, no encuentran el apoyo académico, estructural y económico adecuado y no contemplan la necesaria especialización profesional (Rico, 1994).

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* Aunque el perfil del profesor de matemáticas en ejercicio no es uniforme, se encuentran rasgos compartidos que indican necesidades formativas comunes a todos ellos. Los profesores de matemáticas tienen interés genérico por actividades para el aula, ejercicios y problemas, unidades didácticas elaboradas, pruebas de evaluación y, en general, por los nuevos materiales de orientación práctica. Manifiestan curiosidad por la historia y la filosofía de la matemática cuando se presentan en términos divulgativos; este interés decrece cuando los temas se presentan con cierto nivel de profundidad (Rico y Coriat, 1992). * Los profesores de matemáticas presentan acusadas carencias formativas en psicología, pedagogía, sociología de la educación, epistemología, historia y didáctica de la matemática, lo cual implica una desconexión entre su trabajo profesional y las bases y desarrollos teóricos correspondientes. Esta desconexión produce una falta de criterios claros sobre cuáles deben ser los conocimientos necesarios y el marco teórico adecuado para ejercer satisfactoriamente como profesor de matemáticas; tampoco se dispone de criterios para valorar la excelencia profesional (Rico y Gutiérrez, 1994). * Los profesores de matemáticas son razonablemente críticos ante los planteamientos innovadores. Aceptan con muchas reservas los cambios y modificaciones con profundidad sobre el diseño y desarrollo del currículo de matemáticas. * Por encima de todo el profesor de matemáticas de secundaria es un profesional honesto, que quiere realizar su trabajo lo mejor posible; a veces se encuentra desorientado por la falta de un marco conceptual preciso con propuestas claras, y por la pérdida creciente de legitimidad del plan inicial de formación con el que inició su trabajo. Necesidades formativas del profesor de matemáticas El profesor es un profesional que, por lo general, se ha iniciado en la práctica de la enseñanza mediante ensayo y error, que ha logrado un nivel de competencia y capacitación con escasa ayuda institucional. Es tarea del profesor ayudar a sus alumnos a introducirse en una comunidad de conocimientos y capacidades que otros ya poseen. Su trabajo es una actividad social que lleva a cabo mediante el desarrollo y puesta en práctica del currículo de matemáticas. El desempeño adecuado de esta actividad profesional, que consiste en la educación de niños y jóvenes mediante las matemáticas, exige el desarrollo y puesta en práctica de un complejo plan de formación. El profesor ha de tener formación y conocimientos adecuados para controlar y gestionar la diversidad de relaciones que se presentan en los procesos de enseñanza y aprendizaje. El profesor de matemáticas necesita conocimientos sólidos sobre los fundamentos teóricos del currículo y sobre los principios para el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas de matemáticas. Cuando los profesores no tienen una formación teórica adecuada ven limitadas sus funciones a las de meros ejecutores de un campo de decisiones cuya coherencia y lógica no dominan y no entienden (Howson, Keitel y Kilpatrick, 1981).

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A los profesores no les basta con dominar los contenidos técnicos de su materia. El campo de actuación en el que el profesor de matemáticas tiene que desempeñar su tarea como educador necesita del conocimiento didáctico del contenido, que tiene otras bases disciplinares. El educador matemático que se concibe es un profesional intelectualmente autónomo y crítico, responsable de sus actuaciones, con capacidad para racionalizar sus acuerdos y sus desacuerdos con sus colegas de profesión en el ejercicio de sus tareas. Para ello el educador matemático debe contar con bases teóricas e instrumentos conceptuales que le permitan planificar su trabajo, tomar decisiones fundadas y encauzar sus actuaciones en el logro de las finalidades establecidas por un plan de formación socialmente determinado (Contreras, 1997).

Campo de trabajo: matemáticas escolares El aula de matemáticas es el campo de trabajo del profesor y su argumento son las matemáticas escolares. La reflexión y valoración sobre las matemáticas escolares han experimentado en los últimos años cambios profundos y consistentes derivados de los nuevos avances en el campo de la educación, de los estudios sobre sociología del conocimiento, del desarrollo de la educación matemática y de la profesionalización creciente de los educadores matemáticos. En las modernas sociedades el sistema escolar es una institución compleja, que implica a multitud de personas y organismos y trata de satisfacer una diversidad de objetivos no siempre bien delimitados y coordinados. Dentro del sistema escolar tiene lugar gran parte de la formación matemática de las generaciones jóvenes; esta institución debe promover las condiciones para que los más jóvenes lleven a cabo su construcción de los conceptos matemáticos mediante la elaboración de significados simbólicos compartidos (Rico, 1995-a). La dimensión educativa lleva a considerar el conocimiento matemático como una actividad social, propia de los intereses y de la afectividad del niño y del joven, cuyo valor principal está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas útiles, a cuyo dominio hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo. El educador se ocupa de iniciar a los niños y adolescentes en la cultura de la comunidad a la que pertenecen y de transmitirles sus valores sociales; de esta cultura también forma parte el conocimiento matemático, que debe comunicarse en toda plenitud a cada generación. El profesor es el agente principal de la puesta en práctica del currículo de las matemáticas escolares. Por este motivo es necesario que tenga una formación diversificada y profunda, que lo dote de capacidad para controlar y gestionar la complejid ad de las relaciones entre teoría y práctica. Para contribuir eficazmente, desde las matemáticas, a la puesta en práctica de un plan educativo, al profesor de matemáticas no le basta con dominar los contenidos de su materia. El campo de actuación en que el profesor de matemáticas tiene que desempeñar su tarea como educador necesita del conocimiento de otros campos disciplinares, lo que algunos especialistas llaman conocimiento de contenido pedagógico (Rico, 1995-b). Este conocimiento tiene dos fuentes de reflexión encontradas:

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* la complejidad conceptual e ideológica con la que se presenta la educación en las sociedades modernas; * la necesidad de disponer de medios técnicos adecuados para actuar eficazmente en el sistema educativo. Noción de currículo La tensión entre organización teórica y realización técnica polariza, al menos en España, la discusión de los últimos años sobre la noción de currículo. De esta manera, el teórico, en defensa de un planteamiento humanista o crítico de la educación, elabora y estructura nuevas ideas y conceptos que dan cuenta de la riqueza y profundidad de esta noción, apoya y sostiene el desarrollo de la capacidad de reflexión del profesor y ejerce su capacidad crítica sobre propuestas ya elaboradas o en proceso de serlo. El tecnólogo, sin renunciar a la reflexión, defiende la eficacia como valor prioritario y, en su interés por mejorar el funcionamiento del sistema educativo real, propone organizaciones técnicas simples y precisas para llevar adelante las tareas de la enseñanza (Rico, Castro y Coriat, 1997).

En su acepción educativa, el concepto de currículo se ha convertido en un término genérico con el que se denomina toda actividad que planifique una formación (Rico, 1990).

El currículo de la educación obligatoria es un plan de formación, que se propone dar respuesta a las siguientes cuestiones: * ¿Qué es, en qué consiste el conocimiento? * ¿Qué es el aprendizaje? * ¿Qué es la enseñanza? * ¿Qué es, en qué consiste el conocimiento útil? La intención del currículo es ofrecer propuestas concretas sobre: * modos de entender el conocimiento, * interpretar el aprendizaje, * poner en práctica la enseñanza, * valorar la utilidad y dominio de los aprendizajes realizados. Estas cuestiones marcan dimensiones prioritarias para organizar la reflexión curricular, pero no señalan su contenido explícito. La primera cuestión, ¿qué es el conocimiento?, sirve de referencia para otras preguntas más precisas, tales como: * ¿Qué es, en qué consiste el conocimiento matemático? * ¿Qué características relevantes diferencian este conocimiento de otros? * ¿Por qué es importante este conocimiento?

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* ¿Qué relaciones sostiene el conocimiento matemático con las determinaciones culturales de nuestra sociedad? La discusión sobre ¿qué es el conocimiento matemático? no es trivial y afecta profundamente al diseño y desarrollo del currículo de matemáticas. La segunda cuestión: ¿qué es el aprendizaje? interviene en el diseño y desarrollo del currículo. También esta cuestión genérica encierra un núcleo amplio de preguntas importantes: * ¿En qué consiste el aprendizaje? * ¿Cómo se produce? ¿Cómo aprenden niños y jóvenes? * ¿Es resultado el aprendizaje de una evolución o efecto de la instrucción? * ¿Qué función tiene una teoría del aprendizaje? Por lo que se refiere a nuestra disciplina, la pregunta básica se enuncia así: * ¿Cómo se caracteriza el aprendizaje de las matemáticas? Todo currículo de matemáticas necesita estar basado en alguna teoría o esquema conceptual que permita dar respuesta fundada a cuestiones generales como las siguientes: * ¿Cómo son las personas en el trabajo con matemáticas? * ¿Cómo se desarrolla la comprensión de los conceptos matemáticos? * ¿En qué consiste la capacidad matemática? La tercera cuestión ¿qué es la enseñanza? da también lugar a una diversificación de interrogantes específicas y precisas. Entre estas cuestiones se encuentran las siguientes: * ¿En qué consiste educar? * ¿En qué consiste la educación matemática? * ¿Cómo puede llevarse a cabo la formación de niños y jóvenes en un campo específico del conocimiento? * ¿En qué consiste la instrucción? Finalmente, la cuarta cuestión, ¿para qué sirve el conocimiento?, admite una serie de cuestiones más precisas: * ¿Cómo se establece la utilidad del conocimiento matemático? * ¿Cuándo un individuo dispone de conocimiento útil? * ¿Qué criterios determinan la capacidad matemática de una persona? * ¿Mediante qué instrumentos se valora esa capacidad matemática? * ¿Cuáles son los mecanismos sociales que sostienen esa valoración? * ¿Mediante qué criterios se valora la eficacia de un currículo? * ¿Cómo y con cuáles criterios se valora la capacidad de un profesor o de unos materiales curriculares? * ¿Qué mecanismos modifican un currículo, cómo se ponen en práctica? * ¿Quiénes tienen la responsabilidad de la valoración y de los cambios?

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Dimensiones del currículo Las cuatro cuestiones consideradas tienen carácter ontológico y permiten establecer cuatro dimensiones en torno de las cuales se pueden organizar los niveles de reflexión curricular. Estas cuatro dimensiones son: * Dimensión cultural/conceptual, * Dimensión cognitiva o de desarrollo, * Dimensión ética, * Dimensión social. Se visualizan estas dimensiones mediante la siguiente representación gráfica:

Cultural/conceptual

Social Cognitiva Etica/formativa Dimensiones del currículo

Estas cuatro dimensiones admiten diversos niveles de análisis (Rico, 1997-a). Cuando se toman como nivel de análisis las finalidades, se tiene un sistema que organiza la extensa lista de finalidades para el currículo de las matemáticas escolares. Atendiendo a las cuatro dimensiones mencionadas, se organizan las finalidades como un sistema interconectado de cuatro tipos:

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Culturales

Desarrollo personal y aprendizaje

Sociales Políticas y morales

Finalidades del currículo

El conocimiento matemático que transmite el sistema educativo se ha de considerar parte integrante de la cultura, socialmente construido y determinado: en él han de intervenir las necesidades formativas de las matemáticas y tenerse en cuenta las connotaciones políticas y morales, generales y específicas, conectadas con la formación matemática de los escolares (Rico, 1997-b). Igualmente, se pueden considerar otros niveles de reflexión sobre el currículo que se pueden analizar en términos de estas cuatro dimensiones. Otro nivel de reflexión sobre el currículo de matemáticas considera las disciplinas que fundamentan el currículo (Coll, 1987):

Psicología

Epistemología e Historia de las Matemáticas

Pedagogía Sociología

Fuentes disciplinares del currículo En el diseño de un plan concreto de formación es necesario considerar su ubicación y conexión con los diferentes agentes e instituciones del sistema educativo, así como las relaciones entre ellos. Los agentes son los responsables de la administración educativa y su ámbito de reflexión son los diversos centros del sistema educativo. ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 95

El currículo se presenta como un plan que se organiza y estructura al especificar las competencias profesionales de los profesores y las funciones de los alumnos, al caracterizar cada una de las disciplinas escolares y al especificar la organización y estructura de la escuela. En este nivel los componentes del currículo son el profesor, el alumno, el conocimiento y la escuela (Romberg, 1992-b):

Alumnos

Conocimiento Escuela

Profesor Currículo como plan para la administración El currículo se presenta, la mayor parte de las veces, mediante documentos y propuestas curriculares. En este nivel el agente encargado de llevar a cabo el plan de formación es el profesor y el ámbito de actuación es el aula. El plan de formación se concreta al determinar: * objetivos, * contenidos, * metodología, * criterios e instrumentos de evaluación. Estos cuatro componentes caracterizan el currículo como plan operativo de actuación para el profesor (Steiner, 1980).

Objetivos

Contenidos Evaluación Metodología

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Currículo como esquema de trabajo para los profesores

Niveles que organizan el estudio del currículo Los diferentes niveles de reflexión han surgido al poner el énfasis sobre el currículo desde un planteamiento teórico determinado. Así, cuando se ha asumido el currículo como un plan de acción para el profesor, el nivel es la actuación en el aula. Cuando se considera el currículo como planificación para la administración educativa, el nivel de actuación es el sistema educativo. Cuando se acepta el currículo como objeto de estudio se está en un nivel de reflexión académico y cuando se atiende a los fines generales de la educación se está situado en una perspectiva teleológica. En cada uno de estos niveles de reflexión el currículo se ha podido caracterizar mediante cuatro componentes, que proporcionan un núcleo de conceptos adecuados para organizar ese nivel.

Componentes por nivel =========== Niveles Planificación para los profesores Sistema Educativo Disciplinas Académicas Teleológico o de finalidades

1ª dimensión: Cultural/ conceptual

2ª dimensión: Cognitiva o de desarrollo

3ª dimensión: Ética o formativa

4ª dimensión: Social

Contenidos

Objetivos

Metodología

Evaluación

Conocimiento

Alumno

Profesor

Aula

Epistemología e Historia de la Matemática Fines culturales

Teorías del Aprendizaje

Pedagogía

Sociología

Fines Fines políticos formativos Niveles y dimensiones en el estudio del currículo

Fines sociales

El análisis que se resume en la tabla pone de manifiesto que, en las diferentes aproximaciones al estudio del currículo, hay cuatro órdenes de ideas o dimensiones permanentes, con base en las cuales se estructura la noción de currículo. Estas cuatro dimensiones se encuentran a lo largo de los niveles de reflexión. También se puede señalar que los niveles de reflexión sobre el currículo no se agotan en las cuatro dimensiones consideradas anteriormente. Estas consideraciones ofrecen sólo un balance parcial. Los puntos de vista posibles sobre el currículo admiten una mayor riqueza de interpretaciones que dan razón de otros estudios y reflexiones sobre el concepto (Rico, 1997a).

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El problema de las unidades didácticas Cuando el profesor inicia la puesta en práctica de las directrices curriculares con un grupo concreto de alumnos, necesita tomar una serie de decisiones de carácter general que se concretan mediante criterios para la selección, secuenciación y organización de los contenidos; criterios sobre criterios para la organización, desarrollo y control del trabajo en el aula; prioridades en el proceso de construcción del conocimiento y en la asignación de significados por parte de los alumnos; y, finalmente, criterios para valorar los logros en el aprendizaje y para el tratamiento adecuado de los errores. Estos criterios se ajustan a las cuatro componentes generales del currículo: contenidos, metodología, objetivos y evaluación. Se trata de componentes que surgen cuando se considera el aula como espacio de trabajo y al profesor como agente principal del proceso educativo. Estos cuatro componentes determinan el esquema usual en el diálogo que mantiene la administración educativa con el profesorado. Por ello los documentos curriculares que elabora la administración educativa vienen estructurados mediante estas cuatro componentes. Pero la estructura de los documentos curriculares sólo aporta un marco de referencia, que no es exhaustivo. Si se considera cada uno de los tópicos o unidades de contenidos de matemáticas para la educación secundaria obligatoria y se propone establecer objetivos generales para cada una de ellas se encuentra que, con pequeñas diferencias, los objetivos para las unidades de números no son muy distintos de los objetivos para las de álgebra o para las de funciones; más bien lo que surge son concreciones o puntualizaciones de los objetivos generales para cada una de las unidades, pero no objetivos distintos para cada una de ellas. Los diferentes bloques de contenidos y unidades no se distinguen por sus objetivos. Igualmente, si se considera las orientaciones sobre metodología, es difícil establecer diferencias para los distintos bloques de contenidos. Cuando hay que mencionar la componente metodológica de cada unidad didáctica se encuentran los criterios generales como única referencia. Esta consideración es válida también cuando se trata de establecer criterios de evaluación para cada tópico. Se constata así un hecho: los bloques de contenidos y las unidades didácticas se distinguen unos de otros por sus contenidos específicos. Por ello, cuando se tiene el propósito de planificar cada una de las unidades a partir del currículo para el área de matemáticas, se encuentran enunciados generales comunes sobre objetivos, metodología y evaluación y contenidos distintos para cada una. Cuando se diseña unidades didácticas en matemáticas mediante los cuatro componentes del currículo (objetivos, contenidos, metodología y evaluación) hay algo que no encaja, ya que el análisis de los cuatro componentes se reduce al análisis de los contenidos y a consideraciones genéricas sobre los otros tres componentes. Podría derivarse de esta argumentación que el concepto de currículo no es útil para la planificación y diseño de unidades didácticas ya que de sus cuatro componentes sólo uno de ellos tiene peso especifico propio en cada unidad. No es esa la tesis que se sostiene en este trabajo. La tesis es que el profesor de matemáticas de secundaria de hoy no dispone de herramientas

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conceptuales adecuadas y suficientemente desarrolladas, a partir de las cuales pueda realizar una buena planificación. Estas deficiencias provocan las dificultades señaladas en el uso del concepto de currículo, considerado como un conjunto de objetivos, contenidos, metodología y evaluación. Los documentos para el currículo de matemáticas no proporcionan información suficiente para utilizar de manera efectiva los cuatro componentes mencionados en la planificación de temas y unidades. Esto es así puesto que no ofrecen criterios para la selección, secuenciación y organización de los contenidos, criterios para la organización, desarrollo y control del trabajo en el aula, criterios sobre prioridades en el proceso de construcción del conocimiento y en la asignación de significados por parte de los alumnos, y criterios para valorar los logros en el aprendizaje y para el tratamiento adecuado de los errores, para cada una de las unidades del currículo de matemáticas. Se necesitan nuevas herramientas conceptuales con las cuales abordar las tareas de diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas en el área de matemáticas. La caracterización operacional del currículo mediante objetivos, contenidos, metodología y evaluación no es inadecuada, sólo lo es su empleo en tareas de trabajo para el aula, sin criterios de referencia. Se tratará de poner de manifiesto algunas limitaciones que surgen al considerar el concepto general de currículo anteriormente descrito. Una de tales limitaciones se produce por olvidar la funcionalidad de ese concepto y el contexto en el que se presenta. Cuando se encuentra un discurso sobre objetivos, contenidos, metodología y evaluación no se debe olvidar que se trata de un medio dialéctico que elabora la administración educativa, o los expertos en educació n, para dirigirse a los profesores en ejercicio. Este discurso se encuentra en los documentos oficiales o en los libros elaborados para la orientación profesional. Mediante tal discurso se organiza el diálogo que la administración establece con los profesionales de la educación. La reflexión sobre objetivos, contenidos, metodología y evaluación va dirigida, casi en exclusiva, a profesores y educadores; nunca va dirigida a los alumnos. Por ello carece de sentido que, cuando los profesores reflexionan sobre su trabajo en relación con los alumnos, traten de reiterar el esquema anterior y comportarse como si cada profesor fuese el legislador o la administración para sus alumnos. No tiene sentido que el profesor organice inicialmente su reflexión y planificación sobre unidades didácticas en términos de objetivos, contenidos, metodología y evaluación, con carácter general, puesto que la relación del profesor con sus alumnos es distinta de la que tiene la administración educativa con los profesores. Empeñarse en ese esquema produce una simplificación y trivialización de las actividades de programación que, como ya se ha visto, no resulta saludable para su puesta en práctica. Se verá más adelante que es posible expresar las unidades didácticas mediante estos cuatro componentes: objetivos, contenidos, metodología y evaluación, pero como resultado de un proceso de reflexión más elaborado, cuyo hilo conductor tiene elementos conceptuales y bases disciplinares diferentes a los componentes mencionados. Tales referencias conceptuales proporcionan criterios adecuados para organizar el currículo de matemáticas. El profesor, cada profesor, no es el ministro o consejero de Educación de sus alumnos; por ello la línea de reflexión que cada profesor elabora para desarrollar el trabajo con los alumnos tiene una base argumental diferente de la línea de reflexión que la administración educativa elabora para

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organizar el trabajo de los profesores. El único elemento coincidente que se ha admitido, hasta el momento, para ambas líneas de reflexión es el que se denomina contenidos, que se va a tomar como referencia para la búsqueda de nuevos elementos que permitan caracterizar la elaboración de unidades didácticas.

La búsqueda de nuevos elementos Como los profesores disponen de información suficiente sobre los contenidos, puede parecer que éstos nunca están en discusión. Nada más lejos de la realidad. Los profesores de matemáticas suelen sostener planteamientos diversos sobre el modo de organizar cada uno de los bloques de contenidos. Al compartir una cultura matemática con cierto nivel de profundidad, los profesores pueden articular de maneras diversas sus conocimientos sobre cada uno de los temas y, aun cuando no la compartan plenamente, son capaces de entender opciones alternativas y apreciar sus ventajas o señalar sus inconvenientes. Dicho en otros términos, los profesores de matemáticas tienen formación suficiente y fuentes documentales adecuadas para dar forma y expresión coherente a sus coincidencias sobre los contenidos pero también a sus discrepancias, lo cual es aún más importante. Lo interesante de los contenidos en las unidades didácticas es que expresan una información común para todos los profesores sobre la cual se pueden establecer coincidencias pero, sobre todo, se puede disentir sin que ello suponga problemas especiales de planificación y ejecución. Esta información básica común se le encuentra en libros y documentos sobre matemáticas que están a disposición de los profesores en las bibliotecas. Pero no hay una cultura objetivamente compartida equivalente para los objetivos, la metodología y la evaluación por cada uno de los bloques de temas. Hay prácticas compartidas con multitud de variantes, pero no un marco teórico que permita tratar con objetividad tales prácticas. Los profesores encuentran muy difícil exponer con precisión sus propios puntos de vista sobre estos tres componentes, pero encuentran mucho más difícil aún dar validez objetiva a los puntos de vista de los compañeros. Si ya resulta complicado expresar las coincidencias, es casi imposible caracterizar las discrepancias y encontrar referencias comunes que permitan asumir provisionalmente el punto de vista alternativo como opción propia. Cuando los profesores de matemáticas hablan de objetivos, metodología y evaluación, salvo excepciones, emplean un discurso muy personal, genérico e impreciso, con pocas referencias externas y datos objetivos, con soporte físico concreto.

Caracterización de los organizadores del currículo Como consecuencia de las reflexiones anteriores se plantean las siguientes preguntas: * ¿Es posible encontrar otros elementos, distintos de los contenidos, que expresen un conocimiento objetivo y útil para la elaboración de unidades didácticas? * ¿Existen fuentes objetivas de conocimientos, adecuadas para organizar unidades didácticas en matemáticas?

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* ¿Qué otros conocimientos, distintos de los contenidos, son útiles y necesarios para una adecuada programación? * ¿Sobre qué tópicos pueden discutir los profesores cuando están planificando cada uno de los temas? * ¿Es posible encontrar organizadores para este nivel de reflexión sobre el currículo de matemáticas, además de los contenidos? Está claro que la respuesta ha de ser afirmativa ya que no es cierto que la planificación de un tema se reduzca a una simple organización secuenciada de conceptos y procedimientos. En nuestra más extendida tradición de organización de unidades didácticas, es decir en los libros de texto, se encuentran otros elementos, distintos de los contenidos, mediante los cuales se organiza cada una de las lecciones. Cuando los profesores indagan en su propia práctica, sobre la base de las reflexiones anteriores, comienzan a encontrar respuestas adecuadas. Hay algunas opciones más obvias y otras más difíciles de localizar, pero, tras alguna sesión de debate sobre las características de un organizador, cualquier grupo motivado de profesores puede encontrar una lista de organizadores aceptable sobre la cual continuar la discusión. Se llamarán organizadores a aquellos conocimientos que se adoptan como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas. Se habla así de organizadores del currículo (Rico, 1997c). Dos condiciones exigidas para aceptar un tipo de conocimientos como organizador del currículo de matemáticas son: su carácter objetivo y que genere una diversidad de opciones. Un organizador debe ofrecer un marco conceptual para la enseñanza de las matemáticas, un espacio de reflexión que muestre la complejidad de los procesos de transmisión y construcción del conocimiento matemático y criterios para abordar y controlar esa complejidad. Los organizadores deben mostrar su capacidad para establecer distintos marcos de estructuración de las unidades didácticas, con una base objetiva de interpretación y discusión. Los organizadores han de ubicar las distintas opciones de los profesores para la planificación, gestión y evaluación de unidades didácticas y han de situar estas opciones en referencias comunes, que permitan precisar las coincidencias y las discrepancias. Los organizadores deben tener una base disciplinar adecuada, que permita su tratamiento objetivo. El conocimiento didáctico sobre cada uno de los contenidos del currículo de matemáticas ha de quedar estructurado mediante la aportación que hacen cada uno de los organizadores a dicho contenido. También ha de resultar posible encontrar documentos y fuentes de información sobre cada uno de los organizadores, ya que éstos no deben ser producto de la inspiración de un grupo de personas o de una moda; cada profesor debe tener acceso a diversos documentos, libros y publicaciones mediante los que sea posible profundizar en la aportación que cada uno de ellos hace a cada tópico y, además, proporcionar información contrastada sobre la validez y utilidad de estas aportaciones. De esta manera, cada organizador proporciona una base sólida y unos criterios

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para estructurar todas y cada una de las unidades didácticas y para la delimitación del conocimiento didáctico de sus contenidos.

Organizadores para el currículo de matemáticas Las diferentes disciplinas matemáticas (álgebra, análisis, aritmética, geometría, estadística, probabilidad) satisfacen todas las condiciones que se acaban de mencionar: tienen carácter objetivo, ofrecen una diversidad de opciones para estructurar unidades didácticas, permiten reconocer coincidencias y discrepancias entre distintas estructuraciones así como discutir sobre ellas; tienen, obviamente, una fundamentación disciplinar y académica, y se dispone de fuentes documentales diversificadas que proporcionan información suficiente para cada tópico. Pero las disciplinas matemáticas no agotan las necesidades organizativas del currículo de matemáticas; de ahí que, como se ha argumentado, sea necesario proceder a la búsqueda de nuevos organizadores. Resulta imprescindible tener en cuenta otros criterios, de los que en seguida se hace una selección. En primer lugar, Se consideran los errores y dificultades usualmente detectados en el aprendizaje de las matemáticas, que se presentan sobre cada tópico, así como los problemas u obstáculos de aprendizaje que se detectan o plantean para cada concepto. En segundo término, la diversidad de representaciones utilizadas para cada sistema conceptual, junto con algunas de las modelizaciones usuales de los correspondientes conceptos. En tercer lugar, la fenomenología de los conocimientos implicados, así como las aplicaciones prácticas de cada bloque de contenidos. En cuarto lugar, la diversidad de los materiales de tipo manipulativo y de los recursos que pueden emplearse en la enseñanza de cada tópico. Y, en quinto término, la evolución histórica de cada campo, e incluso, de cada concepto. Estas cinco perspectivas, junto con los propios contenidos, no agotan las posibilidades de reflexionar sobre cada una de las unidades del currículo de matemáticas desde un planteamiento didáctico. Posiblemente hay otras alternativas u otros modos de considerar los organizadores, pero son éstos los que constituyen nuestra opción. Todos ellos, conjuntamente, ofrecen la posibilidad de realizar un análisis didáctico de cada uno de los temas del currículo de matemáticas, es decir, un análisis de los contenidos de las matemáticas al servicio de la organización de su enseñanza en el sistema educativo. Este análisis forma parte ineludible del trabajo que los profesores de matemáticas deben realizar en sus tareas de planificación de unidades didácticas, y es por ello que son necesarios los organizadores mencionados u otros alternativos. Usualmente, la información sobre los organizadores se presenta incorporada en las tareas y actividades que se encuentran en los libros de texto, sin que de ello se haga mención explícita. Por ello no es usual que el profesor perciba su interés para la estructuración de las unidades didácticas.

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Ejemplos de organizadores A continuación se verán algunos ejemplos de cómo aparece información sobre diferentes organizadores en los libros de texto; se toma como referencia los textos de la editorial Algaida. Los errores se ponen de manifiesto como conocimientos inadecuados, por ello su detección se organiza mediante un escalonamiento de ejercicios, problemas y actividades; también se trata de controlarlos en las recomendaciones que los autores van haciendo al lector para que ponga atención sobre determinados aspectos o para que no confunda nociones similares. Durante la realización de los ejercicios es necesario un observador externo para evaluar la distancia entre la afirmación errónea y el conocimiento correcto, y conducir al alumno extraviado hasta el conocimiento que se ha estipulado como correcto. Se encuentra un ejemplo de aproximación a los errores en el libro de Matemáticas para tercer curso (Rico, Coriat, Marín y Palomino, 1994a): Para comparar números decimales hay que tener en cuenta algunas ideas importantes. Así, si se quiere ordenar 0.1, 0.23 y 0.115, observamos que: Mayor número de cifras en un decimal no significa que sea mayor; la comparación no puede hacerse por el número de cifras decimales. Entre dos números decimales el mayor no tiene por qué ser el de más cifras: 0.115 es menor que 0.23. p. 39 Las diferentes representaciones para los conceptos y procedimientos matemáticos se presentan explícitamente, así como las conexiones entre ellas, pero raras veces se insiste en que expresan diversas facetas y propiedades de un mismo concepto. Un ejemplo de uso explícito de diferentes representaciones se encuentra en el libro de Matemáticas para cuarto curso (Rico, Coriat, Marín y Palomino, 1994b): Cuando n no es un cuadrado perfecto, la expresión n (raíz cuadrada de n) representa: Primero, una operación para calcular números de un orden decimal determinado, cuyo cuadrado es el valor más próximo a n (por defecto o por exceso) para ese orden decimal. Segundo, un punto de la recta, con un proceso de construcción explícito y conocido. Tercero, una notación decimal con infinitas cifras no periódicas. Cuarto, un segmento de longitud n , inconmensurable con el segmento unidad. p. 31 La consideración del conocimiento matemático como modelo también la se puede encontrar con frecuencia; igualmente las modelizaciones surgen en los problemas de aplicación. En cada uno de los siguientes ejemplos, tomados del texto de tercero curso, se tiene una propuesta para considerar un tipo de modelo matemático:

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La proporcionalidad es un modo de asociar cantidades de dos magnitudes. Las personas usamos el razonamiento proporcional en una gran variedad de situaciones. El razonamiento proporcional es muy útil y frecuente, pero en muchas situaciones no resulta adecuado. Debes aprender a distinguir las situaciones en las que éste no es apropiado. p. 50 Los poliedros, como modelos de estructuras y como modelos que rellenan una región del espacio, se usan como herramientas para resolver problemas de muy diversas clases, como las modernas teorías cristalográficas y las teorías de la estructura molecular de los sólidos. p. 91 La fenomenología de cada uno de los conceptos debiera estar en la base de los diferentes ejercicios y actividades que se proponen o de las actividades de motivación y ampliación; no es usual que los libros de texto hagan un barrido explícito de las principales opciones fenomenológicas para un determinado concepto, pero está claro que, si se quiere presentar un tópico matemático con toda su riqueza y pluralidad de significados, debe considerarse en conexión con diferentes fenómenos y debe aplicarse a otros campos diferentes del conocimiento. En el texto ya mencionado, se encuentra: Hay situaciones cotidianas en las que se escoge o seleccionan grupos de objetos. La elección de un almuerzo de un menú de un restaurante es un ejemplo de selección. Con frecuencia se establece ordenaciones; las posiciones de los muebles en una habitación o las formas de alojarse cuatro personas en un vehículo implican posibles ordenaciones. Nuestro lenguaje o el sistema de numeración decimal se componen de agrupaciones ordenadas -palabras o números- tomadas del alfabeto o de los 10 dígitos. Las situaciones comentadas y muchas otras similares se denominan situaciones combinatorias. Se reconocen porque existe un conjunto sobre cuyos objetos aplicamos algún criterio de colocación, selección u ordenación, generándose varias soluciones acordes con el criterio p. 200 La caracterización histórica de cada tópico se viene incorporando recientemente a nuestros libros de texto; de nuevo se tiene un ejemplo: El Álgebra se caracteriza por sus métodos para determinar valores o cantidades desconocidos mediante las relaciones que guardan con otras cantidades conocidas; estos métodos conllevan el uso de letras y expresiones literales con las que se realizan operaciones. Descartes (1596-1650), en su Geometría publicada en 1637, se expresaba así: "Una ecuación está integrada por varios términos, algunos de ellos conocidos y algunos de ellos desconocidos, siendo unos iguales a otros, o más bien, considerados todos conjuntamente son iguales a cero."

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p. 149 Todavía resulta necesario profundizar más y mejor en los usos didácticos de la evolución histórica del concepto o conceptos que se estén considerando para cada unidad didáctica. Materiales y recursos son tópicos más familiares al profesor de matemáticas, y es usual encontrar referencias explícitas en los libros de texto: Si dispones de un balón, marca con rotulador sobre él una red de paralelos y meridianos. Elige dos puntos que estén en el mismo paralelo y, estimando, traza el círculo máximo que pasa por esos dos puntos; comprueba que la distancia entre esos dos puntos medida sobre el círculo máximo es inferior a la distancia medida sobre el paralelo. p. 100 Tres pelotas de tenis se venden en contenedores cilíndricos; se trata de un ejemplo de apilamiento de esferas congruentes. Queremos calcular la fracción del volumen del cilindro ocupado por las esferas p. 116 Es evidente que en la realización de un libro de texto intervienen, con mayor o menor extensión, profundidad y sistematicidad, los tipos de información que se acaban de revisar. Un libro de texto moderno no queda nunca reducido a la simple presentación secuenciada de definiciones, conceptos, operaciones, propiedades, estructuras y teoremas matemáticos. El trabajo de los profesores de matemáticas tampoco puede reducirse a planificar los estrictos conocimientos formales de matemáticas. Sin embargo, por la cultura en la que han sido formados los profesores, los únicos datos que parecen compartir son las informaciones exclusivamente matemáticas, y es sobre estos datos sobre los que únicamente se producen discusiones en las tareas de planificación y diseño. Se trata de una consideración obviamente deficiente que tiene su repercusión en las tareas de elaboración, puesta en práctica y valoración de unidades didácticas. También tiene implicaciones para el trabajo dentro del seminario o departamento de matemáticas en cada centro, y en la consideración de la dimensión social de ese trabajo.

Organizadores y componentes del currículo Se ha cuestionado la utilidad de la información que ofrecen los documentos oficiales sobre los cuatro componentes del currículo (objetivos, contenidos, metodología y evaluación) para la elaboración de unidades didácticas. Las deficiencias detectadas para el análisis y construcción de unidades didácticas con el esquema que proporcionan estos componentes nos llevaron a elaborar la noción de organizador y a profundizar en ella. Tomando como referencia los organizadores, se sostiene que es posible un análisis didáctico con profundidad de los distintos temas del currículo de matemáticas. Los organizadores se han escogido para satisfacer esta demanda. Obtenida la información más relevante sobre cada tópico, en relación con los diferentes organizadores, es posible establecer criterios precisos mediante los cuales estructurar la información disponible y organizar un diseño de las unidades didácticas según el esquema general de los cuatro componentes del currículo.

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El diseño general debe tener en cuenta diferentes alternativas, a partir de las cuales los profesores llevan adelante sus tareas de planificación. En cada caso es necesario establecer prioridades y seleccionar la información aportada por los diferentes organizadores. De este modo se obtienen informaciones concretas para establecer los objetivos, contenidos, metodología y evaluación de cada tema. En el paso que se da de obtener la información con respecto los organizadores a las decisiones sobre cada una de las cuatro dimensiones del currículo, se tendrá en cuenta el siguiente marco: 1. Objetivos, referentes a: 1.1. Prioridades en el dominio conceptual y procedimental de cada tema. 1.2. Conocimiento de los sistemas de representación y dominio de las tareas de conversión en los diferentes sistemas. Niveles convenientes de dominio en cada caso. 1.3. Competencias en la ejecución de procedimientos, con especial énfasis en las tareas de modelización. 1.4. Familiaridad con los contextos y situaciones en las que los conceptos y procedimientos tienen un uso y aplicación convenidos; comprensión de los principales significados de cada campo conceptual. 1.5. Control de los errores usuales y superación de las dificultades conceptuales de cada tópico. 1.6. Prioridades en los medios tecnológicos, en la selección de recursos específicos y en el dominio de tales medios y recursos. 1.7. Fomento de actitudes positivas respecto a las matemáticas tales como: satisfa cción por la tarea bien hecha, por la construcción coherente de argumentos, la resolución de problemas, búsqueda de la verdad y apreciación de la belleza en las realizaciones matemáticas 2. Contenidos, relativos a: 2.1. Criterios para organizar y estructurar cada campo conceptual. 2.2. Organización y secuenciación de dificultades que se prevén en cada caso. 2.3. Selección de los sistemas de representación adecuados, de sus relaciones y limitaciones, y de los procedimientos relacionados. 2.4. Delimitación de los campos de aplicaciones y de los fenómenos en cuya modelización se va a trabajar. 2.5. Preconceptos y errores previsibles, así como su conexión con la estructura del campo conceptual. 2.6. Prioridades en los materiales y recursos mediante los que se va a tratar cada uno de los temas. 2.7. Conexión de cada campo conceptual con algunos de los momentos relevantes de su evolución histórica. 3. Metodología prevista, con referencia a: 3.1 Criterios para seleccionar situaciones que permitan ejemplificar los principales conceptos de cada tema.

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3.2 Diseño de actividades para detectar creencias previas de los alumnos y plantearles conflictos cognitivos; diseño de estrategias para su superación. 3.3 Secuencias de actividades y ejercicios para presentar los diversos sistemas de representación y las conexiones entre ellos. 3.4 Criterios para diseñar tareas que favorezcan el aprendizaje cooperativo y la discusión de los significados asociados a cada tópico. 3.5 Selección de materiales y recursos con los que trabajar diversos conceptos y procedimientos. 3.6 Criterios para la motivación, presentación, tratamiento del tema y modo de trabajo en el aula. 3.7 Indicaciones y propuestas para reforzar el interés de los alumnos por el tema de estudio. 4. Evaluación, con respecto a: 4.1. Diseño y selección de tareas encauzados a valorar la comprensión y dominio alcanzados en conocimientos concretos. 4.2. Diagnóstico y corrección de errores conceptuales y procedimentales. 4.3. Cuestiones relevantes que controlar; detección de carencias en el uso de las representaciones y en las tareas de traducción. 4.4. Tareas abiertas enfocadas a valorar la comprensión global y las estrategias de alto nivel. 4.5. Sistemas para obtener información sobre el conocimiento adquirido por los alumnos, seleccionarla y registrarla. 4.6. Métodos adecuados para la valoración del aprendizaje alcanzado y de las actitudes desarrolladas por los alumnos. Se cierra así la propuesta que se presenta en este trabajo. Se ha argumentado que, antes de comenzar la planificación de las unidades didácticas sobre las cuatro dimensiones convencionales del currículo, es necesario hacer una reflexión amplia sobre el conocimiento didáctico de cada uno de los temas. Se pretende que esta reflexión no sea arbitraria y carente de criterios. Para ello se ha tomado como base fuentes disciplinares a las que se ha llamado organizadores del currículo, los cuales, conjuntamente, enmarcan el conocimiento didáctico de los contenidos del área de matemáticas.

Conclusiones El profesor de matemáticas necesita autonomía intelectual y capacidad crítica para el ejercicio de su profesión; para conseguirlas es imprescindible conocer las herramientas conceptuales de su profesión. De ahí la necesidad de entender y controlar el concepto de currículo y su complejidad; igualmente, destaca la conveniencia de utilizar este concepto en los diversos contextos en los que se presenta y analizar los posibles criterios para su organización.

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Objetivo principal de este artículo ha sido reflexionar sobre la necesidad de poner a disposición de los profesores de matemáticas conceptos sólidos y útiles de currículo y de sus organizadores, que sirvan para profundizar y mejorar la actividad profesional.

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LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS POR MEDIO DEL ENFOQUE DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Paul Ernest

Original: Ernest, P. The Problem-Solving Approach to Mathematics Teaching. Teaching Mathematics and its Applications, Volume 7, No. 2, 1988. Traducción: Blanca Ruiz Hernández, en 1990, del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu.

En 1980 el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM-EEUU), la mayor asociación de profesores de matemáticas en el mundo publicó “Un programa de Actividades: Recomendaciones para las Matemáticas Escolares durante los Ochenta”. Se listan ocho recomendaciones que comienzan con: “La resolución de problemas debe ser el punto central, el foco, de las matemáticas escolares de los ochenta”. En 1982 el Reporte Cockcroft recomendó que la enseñanza de las matemáticas de todos los niveles debe incluir la resolución de problemas y la aplicación de las matemáticas a las situaciones cotidianas ( para.243). En 1985 las Normas Nacionales para el examen de Matemáticas (GCSE) listan quince fines para los cursos GCSE, tres de los cuales hacen mención explícita de la resolución de problemas:

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2.5 Todos los cursos deberían capacitar a los estudiantes para resolver problemas, presentar claramente las soluciones, verificar e interpretar los resultados. Después del movimiento de “regreso a lo básico” de los setentas, que pedía una mayor atención a las habilidades de cálculo, ¿pro qué este énfasis en la resolución de problemas? La respuesta la da, brevemente, Cockcroft: “ La habilidad para resolver problemas es el corazón de las matemáticas. Las matemáticas son útiles sólo en la medida en la que se pueden aplicar a una situación particular y es a esta habilidad para aplicar las matemáticas a una variedad de situaciones a lo que llamamos ´resolución de problemas´” (parágrafo 249). A muchos alumnos no les resultan estimulantes las matemáticas porque no pueden ver su pertinencia o su utilidad. Si se les da la seguridad y la habilidad para resolver problemas, los alumnos verán la pertinencia y la utilidad de las matemáticas. Con frecuencia se dice que el mejor método para aprender a resolver problemas es resolver problemas. Antes de continuar resolvamos el problema siguiente.

Problema 1 La casa de un granjero esta a 150 metros de un camino recto. Su buzón está sujeto al granero, a 100 metros de la casa y a 90 del camino. Cada lunes deja la basura a la orilla del camino y después pasa a recoger el correo. ¿Qué punto del camino hace que el recorrido sea más corto?. Un grupo de alumnos intentó resolver este problema usando varios procedimientos. La mayoría de los estudiantes trazó un diagrama. Esta es una buena técnica de solución de problemas. Toda la información relativa al problema puede mostrarse en un diagrama. Los estudiantes comenzaron a trabajar en el problema siguiendo cualquier idea o estrategia que el mismo problema les sugiriera. Entre las ideas que usó el grupo estaban: Localización de puntos, trazando círculos; El teorema de Pitágoras (usado por tres estudiantes); Línea numérica (usada por dos estudiantes); Tratar con posiciones en el camino y ver cuál es la ruta más corta; Considerar las diagonales de los rectángulos. Cada estudiante trató con una sola de estas ideas de ayudarse para resolver el problema. Ninguno pensó en intentar la resolución con estrategias diferentes. Estos cinco procedimientos fueron anotados con la esperanza de que viendo esta lista resultara un fértil entrecruzamiento de ideas.

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Después de aplicar estas ideas, algunos alumnos formularon conjeturas. Un estudiante razonó de la siguiente manera al trazar su diagrama: La casa C se puede colocar a 150m de distancia perpendicular con respecto a camino. El buzón B está a 100m de la casa, debe estar sobre la circunferencia de radio 100m con centro en la casa. También está a una distancia perpendicular de 90m del camino por lo que hay dos posiciones posibles para el buzón G (ver ilustración 1).

El estudiante decide que basta considerar una de las posiciones posibles del buzón G (ver ilustración 2).

C 100 m G 150 m

90 m

A

P

B Ilustración 2

Leslie calculó la trayectoria CAG como CA + AG = 270m y la trayectoria CBG como CB+BG = 260m, y sugirió que por lo tanto el mínimo es 260m.

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Winston arguyó que no hay ninguna razón para aceptar 260m como el mínimo, puesto que un punto intermedio P puede dar lugar a una trayectoria más corta. Para calcular otras trayectorias es necesario calcular AB. Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la parte superior del diagrama (ver ilustración 3) se encuentra que AB mide 80m.

Ilustración 3

Los puntos p20´ p40 y p60 se marcaron a 20m, 40m, y 60m de A, a la vera del camino, respectivamente (ver ilustración 4).

Ilustración 4

De nueva cuenta se aplica el teorema de Pitágoras para calcular las trayectorias que pasan por p20´ p40 y p60 . Los resultados se presentan en la tabla I.

Tabla I

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Distancia de A (m)

Longitud (m)

0 (pasa por A) 20 (pasa por p 20 )

270 259.5

p40 ) 60 (pasa por p60 ) 80 (pasa por p80 ó B)

253.7

40 (pasa por

253.6 260

Se conjeturó entonces que la trayectoria que pasa por p70 será mayor que p60 . La trayectoria que pasa por p70 mide 256.1m. Leslie sugirió calcular la longitud de la trayectoria que pasa por p50 . Se elaboró la tabla II.

Tabla II Distancia de A (m) Longitud de la trayectoria (m)

0 270

20 259.5

40 253.7

50 253

60 253.6

70 256.1

80 260

Shirley sugirió que se representaran estos puntos en una gráfica; la distancia de A sobre el eje X y la longitud de la trayectoria sobre el eje y. Winston señaló que la gráfica de la curva sería como la de una ecuación cuadrática. Una consecuencia de esta conjetura es que el punto mínimo se puede encontrar en la gráfica y corresponde al punto más bajo, el vértice, de la curva. Esta es una manera de resolver el problema. ¿Qué otros procedimientos se pueden seguir? ¿Y si el buzón está del otro lado del camino, como lo dibujó un estudiante? La trayectoria es evidentemente una línea recta (ver ilustración 5)

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¡Cuán lejos está P de A? Se conjeturó que x = 50m. Una sugerencia adicional proponía el uso de triángulos semejantes ya que CA y PG, se AP CA 150 5 corresponden como AP y PB, = = = PB BG 90 3

Dado que AB mide 80m =50m+30m, AP=50m y PB = 30m. ¿De qué sirve esto? Supóngase que la trayectoria más corta es a través de 0 (diferente de P), como en la ilustración 6. Pero la trayectoria CPG tiene la misma longitud que CPG´. Así que COG´ debe ser más corto que una línea recta, ¿y esto no puede ser! Por lo tanto CPG debe ser la trayectoria más corta. Así el problema está resuelto.

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Adviértase que en esta solución se requirió de una idea nueva, que no estaba en el problema, la idea de reflexión. En este punto uno de los estudiantes mencionó la analogía con la luz. Sybil recordó al grupo que la luz se refleja y Winston que la ley de la reflexión establece que los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales. Pero esto da otra solución, para que la luz vaya de C a G, reflejándose sobre AB, debe seguir la trayectoria más corta. Y para cumplir con la ley de la reflexión de la luz debe reflejarse en el punto P (ver ilustración 7).

Se hizo, además, otra sugerencia: usar el cálculo para determinar máximos y mínimos. Estrategias de resolución de problemas. Este ejemplo presenta y explica algunas características básicas de los problemas y de la resolución de problemas. En primer lugar, ante todo, los estudiantes se deben comprometer, interesar; deben intentar verdadera, sinceramente resolver el problema. En segundo lugar, no hay procedimiento o algoritmo fácilmente aplicable para obtener la solución. Se requiere algo de pensamiento creativo para encontrar algún modo de resolver el problema.

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En tercer lugar, hay muchos procedimientos posibles de resolución de un problema cualquiera. No hay un solo “procedimiento correcto”. El proceso de resolución de un problema se puede ilustrar por medio de un diagrama (ver ilustración 8). Primero se debe entender el problema. Después se harán una serie de tentativas de solución, que se toparán con las dificultades que rodean el problema. Algunas de las tentativas que vencen estas dificultades aún no conducen a ninguna parte, se topan con los obstáculos para la solución. Una tentativa exitosa pasa a través (o alrededor) de los obstáculos para la solución. Al tratar de encontrar un procedimiento que condujera a la solución, se usaron una serie de estrategias al resolver el problema del hombre y del buzón: Comprender el problema. Trazar el diagrama. Idear varios procedimientos. Tratar de seguirlos. Simplificar el problema. Obtener información. Tabular la información. Buscar algún patrón o regularidad entre los datos. Hacer conjeturas. Intentar otros procedimientos. Justificar las respuestas. Estas y otras estrategias han resultado útiles en muchos otros casos de problemas. La resolución de un problema.

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Ilustración 8. Tipos de problemas. Se pueden distinguir varios tipos de problemas. Aquí se mencionan cuatro de ellos, comenzando por los problemas elementales de traducción que los niños encuentran por primera vez en la escuela primaria. 1. Problemas de traducción. Las navajas vienen en paquetes de 5. Una caja contiene 24 paquetes. El señor Ying, el farmacéutico, ordenó 1800 navajas para su tienda. ¿Cuántas cajas debe recibir el señor Ying? Los problemas de traducción dan al estudiante la oportunidad de practicar la traducción de situaciones del mundo real en expresiones matemáticas. Además de desarrollar la habilidad del estudiante para la traducción, estos problemas refuerzan la comprensión de los conceptos matemáticos y ayudan a afirmar las destrezas computacionales. 2. Problemas de procedimiento. Un club de tenis organizó una competencia de juegos individuales entre sus d15 miembros. Si cada miembro se enfrentó una vez con cada uno de los miembros restantes, ¿cuántos partidos jugaron? Los problemas de procedimiento contienen a menudo un gran número de casos que se deben organizar y examinar. Por este motivo son útiles para mostrar los procesos que implican el razonamiento y resolución de un problema. Ayudan a desarrollar estrategias generales para la resolución de problemas y ofrecen ejemplos adecuados para evaluar las tentativas de solución de los estudiantes.

3. Problemas de aplicación. ¿Cuánto papel, de todas las clases, usa tu escuela en un mes? Los problemas de aplicación brindan a los estudiantes una oportunidad de usar varias habilidades, procesos, conceptos y hechos matemáticos para resolver problemas “reales”. Estos problemas hacen que los estudiantes se percaten del valor y la utilidad de las matemáticas en situaciones problemáticas cotidianas. 4. Problemas de recreación (acertijos). Dibuja una trayectoria de a lo sumo cuatro segmentos rectilíneos que pase por los nueve puntos. No debes levantar el lápiz ni pasar otra vez sobre un segmento ya trazado.

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Los acertijos permiten a los estudiantes disfrutar de las matemáticas recreativas. Además de enriquecerlos, les muestran la importancia de la flexibilidad en las estrategias de ataque a un problema y el valor de considerar los problemas desde distintas perspectivas. El enfoque de resolución de problemas estimula y fomenta: 1. La facultad de razonar. 2. El trabajo independiente. 3. El uso de matemáticas. 4. El relacionar temas. 5. La capacidad para enfrentar retos. 6. El aprendizaje significativo. 7. El presentar y explicar cómo resuelve un problema (showing working). 8. Verificar las soluciones. 9. El comprender que hay más de un enfoque de un problema. 10. El pensamiento flexible. 11. La confianza en sus facultades. 12. Las destrezas útiles. 13. Los objetivos de alto nivel. ¿Cómo podemos promover la resolución de problemas en el salón de clase? Si estamos convencidos de que vale la pena promover la resolución de problemas en el salón de clase, surge entonces la pregunta, ¿cómo lo haremos?. La respuesta depende en gran medida de otras dos cuestiones: 1. ¿Queremos dar a los estudiantes de vez en cuando algún problema para resolver que enriquezca su curso normal de estudio? ¿O queremos enseñar el programa por medio de la resolución de problemas? Los propósitos valen la pena, pero evidentemente se requieren diferentes planes en cada caso. 2. ¿Queremos enseñar a los estudiantes a resolver problemas por medio de la práctica? ¿O queremos además enseñarles las reglas, principios y métodos de la resolución de problemas?. Los experimentos parecen indicar que la enseñanza de los métodos de resolución de problemas puede resultar útil a los estudiantes paro es menos importante que la práctica de resolución de problemas.

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Consideremos primero los factores que son importantes independientemente de las respuestas que hayamos dado a estas preguntas. La resolución de problemas exitosa comprende tres tipos de factores: factores afectivos, factores de experiencia y factores cognoscitivos. Los factores afectivos incluyen elementos tales como el interés, la motivación, la presión, la ansiedad y otros de este tipo. Estos factores tienen una importancia vital debido a que si el estudiante no está interesado o se siente amenazada o bajo presión, no es posible que tenga éxito en su empeño. Es importante que en el salón de clase haya un buen ambiente. Se deben escoger problemas que valgan la pena e interesantes. Para interesar y estimular a los estudiantes los mejores problemas son aquéllos que ellos mismos sugieren o escogen, en los casos en que pueden hacerlo. La tensión, la presión, la ansiedad obstaculizan la resolución del problema sobre todo cuando se idea el planteamiento. La confianza del estudiante en sí misma y la perseverancia son también importantes, porque le permiten seguir trabajando en un problema aunque la solución no est é a la vista. Los Factores de Experiencia también son importantes. Por medio de la experiencia aumenta más la confianza y la diversidad de enfoques. Hay otros factores que contribuyen a la resolución de problemas, tales como la edad, los antecedentes matemáticos, la familiaridad con estrategias de solución y con los contextos de los problemas. Los Factores Cognoscitivos, como la capacidad de usar la intuición para guiar una solución tentativa, son importantes. Muchas otras capacidades participan en la resolución de problemas, tales como las capacidades de lecturas, espacial, analítica y lógica. Los factores básicos como la memoria y la habilidad computacional también importan. Los factores cognoscitivos son los que hacen que algunos estudiantes mejor dotados tengan más éxito que otros en la resolución de problemas. Sin embargo, todos los estudiantes pueden obtener resultados satisfactorios en la resolución de problemas en el nivel apropiado. Con estos factores en mente, lo que necesitamos para comenzar con la resolución de problemas en el salón de clases son ¡problemas! Por estos días hay muchas fuentes de problemas incluyendo las publicaciones matemáticas y aún algunos periódicos. Si queremos usar la resolución de problemas para enseñar el programa, necesitamos escoger los problemas de tal manera que conduzcan a los conceptos, habilidades y métodos de los temas del programa y aplicarlos. Como ejemplo presentamos algunos problemas que conducen a los conceptos de la Numeración de Base Dos: Problema 2.

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1. Una oficina postal vende timbres, con valores de 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pesos. ¿Cuál es el menor número de timbres que se deben comprar para formar cualquiera de los valores de 1 a 7 pesos? ¿Cuáles son los timbres? ¿Cuál es su costo total? 2. Suponer ahora que la oficina postal vende timbres con valores desde 1 hasta 15 pesos, ¿cuál es el número mínimo de timbres necesario para formar cualquiera de los valores de 1 a 15 pesos? ¿Cuál es su costo total? 3. Si la oficina postal vende timbres con valores desde 1 hasta 63 pesos, ¿cuál es el número mínimo de timbres necesario para formar cualquiera de los valores de 1 hasta 63 pesos? ¿Cuáles son los timbres? 4. ¿Cuál es el menor conjunto de números naturales que se pueden combinar por adición para formar todos los números naturales entre 1 y 1000? Listar los miembros del conjunto.

Estas preguntas pretenden desarrollar las habilidades de resolución de problemas siguientes: 1 Método de tanteos, 2 Uso de los resultados de un problema más sencillo, pero parecido, para indicar el procedimiento de solución de otro problema más complicado.

La enseñanza de las estrategias de resolución de problemas.

Los hallazgos de la investigación sugieren que los estudiantes mejoran sus habilidades de resolución de problemas si se les enseña cómo resolver problemas y además se ejercitan las habilidades. No hay un método que garantice el éxito de la resolución de problemas, si así fuera, ¡no quedarían ya problemas pendientes de resolución de matemáticas!. Sin embargo, el porcentaje de éxitos del estudiante mejora si se aplican sistemáticamente los procedimientos contenidos en la guía siguiente:

Guía para la resolución de problemas

COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA • • •

Leer el problema. Decidir lo que se está tratando de determinar. Destacar la información importante.

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RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA -Buscar un patrón. -Conjeturar y comprobar. -Escribir proposiciones numéricas. -Aplicar el razonamiento lógico. -Trabajar hacia atrás.

-Hacer un dibujo. -Hacer una lista organizada. -Hacer una tabla. -Usar objetos o representar. -Simplificar los Problemas.

SOLUCIÓN (RESPUESTA) DEL PROBLEMA Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN: Asegurar que se ha usado toda la información importante. Revisar el trabajo. Decidir si la respuesta tiene significado en el contexto del problema. Escribir la solución (respuesta) como una proposición (frase) completa.

No basta mostrar o dar la guía a los estudiantes. Necesitan ver ejemplos en los que se apliquen cada uno de los diecisiete puntos. Una propuesta es concentrarse en problemas en los que, por ejemplo, “hacer una lista organizada” sea útil, o necesario, y durante varias lecciones mostrar cómo el hacer una lista ayuda a resolverlos. Después otras pocas lecciones se pueden dedicar a problemas en los que, digamos, “trabajar hacia atrás” ayuda a resolverlos. La revista ‘El Profesor de Aritmética’ tiene una sección especial “Los reflectores sobre las estrategias de resolución de problemas”, que se concentra en una de estas estrategias por cada número. Además de dedicar tiempo a cada una de las estrategias se les puede dar a los alumnos un diagrama de flujo para sugerirles vías de aproximación a los problemas, como el de la ilustración número nueve.

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Principio Contexto del problema

¿Qué se pide? Leer Palabras clave

Platica con tu profesor sobre el problema

Escribe el problema con tus propias palabras

No Sí

¿Es el primer intento?

No

Anota los datos

¿Entiendes el problema? Sí Examina

Haz un diagrama o modelo

Escoge una estrategia

Estima Supón una solución

¿Es el primer intento? No Consulta a tu profesor

Ilustración 9

Experimenta Busca un patrón

Experimenta

Sí

Haz un esquema

Resuelve

No

¿Es correcta la respuesta? Sí

¡Bien hecho! Has resuelto el problema Consigue otros problemas para resolver

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Formula hipótesis Simplifica

El uso de las variaciones de un problema. Al enseñar la resolución de problemas puede ser útil presentar variaciones de un problema. Este recurso se puede usar para que los estudiantes adquieran práctica en la aplicación de alguna estrategia particular de resolución de problemas, o bien para conducir a algún problema o concepto particulares, como en el caso de la numeración de base dos. La serie de problemas siguientes conduce al problema 1. Problemas 6. Desde un satélite A, en órbita alrededor de la tierra, se emite un rayo láser que recibe otro satélite B, después de reflejarse en un punto C sobre la tierra (supóngase que la tierra es plana entre los dos puntos). Si A está a 450 km de la superficie de la tierra y B a 750 km, y A está a 500 km de B ¿dónde está el punto C sobre la superficie de la tierra? 7. Una bola de billar está en el punto A y recibe una tocada que la hacer rebotar en una banda y después golpear a otra bola que está en el punto B. Si A está a 50 cm de la banda, B a 10 cm de la banda y A está a 50 cm de B, ¿en qué punto de la banda debe rebotar la bola que parte de A para golpear a la bola que está en B?. 8. La compañía de electricidad planea colocar un poste en la calle (ver la ilustración 10) para tender cables a las casas A y B, de tal manera que se use la menor cantidad de cable, ¿dónde se debe colocar el poste?

Ilustración 10

9. Una cuerda está fija en A, pasa por una armella sobre la barra en C y después por el rodillo que está en B, Ver ilustración 11). La posición C de la armella sobre la barra se debe escoger de tal manera que la longitud de la cuerda desde A hasta B sea mínima, ¿dónde debe quedar C?

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 123

Ilustración 11

La primera pregunta trata de un rayo láser, menciona explícitamente la reflexión, hace que naturalmente se use la ley de la reflexión y permite a los estudiantes conocerla. La segunda pregunta trata de una bola de billar que rebota. Esta es una sugerencia menos directa, pero puede llevar a pensar en la reflexión. El planteamiento de la pregunta 8 permite imaginar un punto de solución entre A y B más sencillo que en el problema original. Enseñar una lección de resolución de problemas Para la resolución de problemas es más adecuado el trabajo con un grupo pequeño, sin embargo quizás es mejor comenzar con la resolución de un problema para toda la clase (y algunos individuales). Esto da lugar a que se propongan planteamientos diferentes y permite que las explicaciones del profesor lleguen a cada uno de los estudiantes. El cuadro siguiente presenta algunas actividades de enseñanza para aplicarlos en la resolución de problemas con el grupo completo aunque es quizás mejor comenzar con la resolución de problemas para toda la clase e individuales. Las actividades de enseñanza usadas por algunos profesores para la resolución de problemas se presentan en la tabla III.

Tabla III Actividades de enseñanza para la resolución de Problemas Actividad de enseñanza 1

2

Tiempo

Propósito

Leer el problema a la clase o hacer Mostrar la importancia de una lectura que un alumno lo lea. Cuidadosa de los problemas y concentrarse en las palabras que tienen interpretaciones especiales en matemáticas. Propiciar una discusión en toda la

Concentrarse en la información importante

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 124

3

para ayudar a la comprensión del problema. Servirse de comentarios específicos del problema y/o de la guía para la resolución de problemas.

del problema y aclarar las partes del problema.

(Optativo) Propiciar una discusión con toda la clase acerca de las posibles estrategias de solución. Usar la guía de la resolución de problemas.

Producir ideas para posibles vías de resolución de un problema.

DURANTE 4

Observar y preguntar a los alumnos Determinar los puntos fuertes y débiles de Para determinar en qué punto se los alumnos en lo que respecta a la encuentran del proceso de resolución resolución de problemas. de un problema.

5

Hacer las sugerencias que hagan falta.

Ayudar a los alumnos a superar los bloqueos en la resolución del problema.

6

Proporcionar extensiones según requieran.

Estimular a los alumnos que terminan primero para que generalicen a un problema parecido.

7

Pedir a los alumnos que han obtenido una solución que “respondan en el problema” (ver la guía para la resolución de problemas).

Exigir a los alumnos que revis e su trabajo.

DESPUES 8

Mostrar y discutir las soluciones usando la Guía para la resolución de problemas como base de la discusión.

Mostrar e identificar las diferentes estrategias usadas exitosamente para encontrar la solución.

9

Relacionar, si es posible, el problema con problemas anteriores y discutir

Demostrar que las estrategias de resolución de problemas no son específicas de

o resolver las extensiones del problema.

problema y ayudar a los alumnos a reconocer los diferentes casos en los que no pueden aplicar las estrategias particulares.

un

10

Si se considera apropiado, discutir aspectos particulares del problema, alumnos. como, por ejemplo, el dibujo que acompaña el enunciado del problema.

Mostrar la influencia de las características del problema en las ideas de los

Evaluación de las lecciones de resolución de problemas.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 125

Las lecciones de resolución de problemas se consideran, a veces carentes de estructura y difíciles de evaluar más allá de sí los estudiantes resuelven o no el problema propuesto. Sin embargo, la resolución de problemas persigue objetivos más importantes que el de sólo resolver el problema. Cuatro de estos objetivos son los siguientes. Cada objetivo va acompañado de un conjunto de preguntas que se concentrar en actividades o resultados particulares en el salón de clases. OBJETIVO 1:

LOS ESTUDIANTES SE INTERESAN EN EL PROBLEMA.

¿Cómo se expone el problema? ¿Es verdaderamente un problema para todos los estudiantes? ¿Se interesan los estudiantes en el problema? OBJETIVO 2:

EL PROFESOR ALIENTA LA DIVERSIDAD DE PLANTEAMIENTOS.

¿Participan los estudiantes, y hacen sugerencias acerca de cómo se podría resolver el problema? ¿Elogia el profesor las buenas sugerencias? ¿Usa el profesor las sugerencias de los alumnos? OBJETIVO 3:

LOS ESTUDIANTES APRENDEN PRINCIPIOS GENERALES DE RESOLUCION DE PROBLEMAS.

¿Pone el profesor énfasis primeramente en la comprensión del problema? ¿Favorece el profesor alguna estrategia particular de resolución de problemas? ¿Si es así, cuál? ¿Lo hace explícitamente? ¿Se discuten las estrategias después de que se ha resuelto el problema? ¿Es probable que los estudiantes sean mejores en la resolución de problemas en el futuro? OBJETIVO 4:

EL PROFESOR ES COMPETENTE EN LA PLANEACION DE SUS CLASES.

¿Están bien escogidos los problemas? ¿Están los estudiantes preparados para el problema? ¿Es apropiada la estrategia de enseñanza? ¿Ha analizado adecuadamente el profesor el problema y preparado sugerencias? Conclusión: Este artículo trata de resolución de problemas y de su introducción en el salón de clases. Todos los expertos están de acuerdo en que vale la pena fomentar las habilidades de resolución de problemas. Algunos argumentos se anotan a continuación. 1. La enseñanza de las matemáticas por medio de la resolución de problemas es la mejor manera de preparar a los estudiantes para enfrentar los problemas que se les presentarán en sus estudios y, a veces, también en la vida. Las habilidades adquiridas

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 126

en la resolución de problemas son flexibles y muy adecuadas para aplicarse en nuevas situaciones. 2. La enseñanza de la resolución de problemas es probablemente la mejor manera de enseñar el razonamiento lógico, el cual mucha gente cree que es importante. 3. Por medio de la resolución de problemas los alumnos pueden participar creativamente y trabajar en un alto nivel cognoscitivo. Esto y el reto que plantean los problemas da lugar a una mayor motivación, confianza y placer de los alumnos al estudiar matemáticas. La introducción de la resolución de problemas en el salón de clases no es fácil y debe ser hecho en forma gradual. Al principio los estudiantes se sienten inseguros porque no les han dado algoritmos para resolver problemas y tienen que pensar intensamente. El profesor debe escoger problemas que los estudiantes puedan intentar, fáciles al principio y más desafiantes después de un tiempo. El enfoque de resolución de problemas es un caso especial de descubrimiento dirigido, pero el propósito del enfoque de resolución de problemas sin guía. Sin embargo, los estudiantes necesitan una guía durante un tiempo, así que el enfoque de resolución de problemas comienza con un descubrimiento dirigido. Debido a que estos enfoques se entremezclan, muchas de sus potencialidades y limitaciones son las mismas. El papel que desempeña el profesor en la clase de resolución de problemas es diferente de, digamos, la lección expositiva. Él, o ella, debe fomentar una atmósfera social de confianza para que los alumnos expongan sus conjeturas o métodos de aproximación a un problema sin temor al ridículo o al fracaso. El profesor debe proporcionar y dar directrices y sugerencias adecuadas. Estas son habilidades difíciles de adquirir que sólo pueden desarrollar con la práctica. Pero, como todos afirman, los resultados realmente valen la pena.

*

E v al u ac i ó n: La s p re gu nta s d e f i na l a bi e rto

Jean Kerr Stenmark LAS PREGUNTAS DE FINAL ABIERTO Una pregunta de final abierto tiene muchas vías de acceso y permite que los estudiantes la respondan de diversas maneras. Se distingue entre las preguntas de procedimiento abierto, en las que el que elabora la prueba plantea un problema que permite la aplicación de un conjunto Tomado del libro: Jean Kerr Stenmark. Mathematics assessment: Myths, models, good questions, and practical suggestions.

Reston, VA: NCTM, 1992. Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu. ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 127

variado de procedimientos que conducen a una respuesta determinada, y las preguntas de final abierto, en las que el estudiante puede dar una variedad de respuestas exitosas. Podemos analizar, al hacer la evaluación, los diversos caminos seguidos en lugar de las respuestas mismas. Una de las cualidades más importantes de una pregunta de final abierto es que nos permite atisbar los procesos mentales de los estudiantes en vez de ver el pensamiento de quien elaboró el examen. La elaboración de preguntas de final abierto Aún se está desarrollando el currículo que nos ayude a hacer nuestras clases acordes con este tipo de evaluación, pero algunos cambios son bastante sencillos: • Cuando los estudiantes han estado usando una operación aritmética, pídeles que expliquen, por escrito o con diagramas, lo que esa operación significa y cómo funciona. • A los problemas de palabras de los libros de texto, agrega “explica cómo llegaste a tu respuesta”. • En vez de pedir una respuesta para un problema que ya existe, cámbiala por una pregunta que requiera una reflexión adicional. En la sección de “El planteamiento de preguntas”, se dan algunas ideas. • Monitorea las instrucciones y las respuestas que dan los estudiantes, de tal manera que siempre que sea posible los puedas tener explicándote en lugar de que tú estés explicándoles. • Busca situaciones que inviten a los estudiantes a formular hipótesis, escribir instrucciones, hacer generalizaciones, etcétera. La calificación en el salón de clases Para un profesor puede resultar oneroso leer todos los reportes que generan sus estudiantes con su escritura frecuente en matemáticas. Sin embargo, los profesores que han hecho escribir a sus estudiantes, dicen que los resultados valen la pena porque aprenden más acerca del pensamiento y la comprensión de sus estudiantes y acerca de las lagunas en sus conocimientos. Algunas sugerencias para aligerar la carga son: • Escoge y revisa una muestra pequeña de escritos por vez. Esto te dará una idea del desempeño de la clase como un todo. • Sé selectivo acerca de lo que comentas, escoge uno o dos aspectos para la evaluación o para puntuación y retroalimentación detallada. • Haz que los estudiantes revisen sus primeras versiones con sus grupos y que las incorporen a la versión final. • Pide a los estudiantes que subrayen las ideas que quieras destacar. Esto te ayudará a ver si pueden reconocer estas ideas importantes. • Enseña a los estudiantes a evaluar el trabajo de otros estudiantes. En “La participación del estudiante” se describe este proceso. Ésta es una comunicación muy valiosa y potente con los estudiantes acerca de los requisitos de un buen reporte escrito. • Anticipa aquellas respuestas de los estudiantes que puedan diferir mucho de tus expectativas. La evaluación de las preguntas de final abierto puede ser analítica, con puntos para diversos aspectos de la respuesta, o integral, en la que el lector o evaluador considera el reporte escrito

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 128

como un todo en lugar de buscar detalles específicos. He aquí una escala analítica de puntuación (Charles et al., 1987):

Escala analítica de puntuación Comprensión del problema

Planeación de una solución

Obtención de una respuesta

0: Incomprensión total del problema. 1: Una parte del problema mal comprendida o interpretada 2: Comprensión total del problema 0: Ninguna tentativa, o un plan totalmente inadecuado 1: Un plan parcialmente correcto basado en una parte del problema que se interpretó correctamente 2: Un plan que puedo llevar a la respuesta correcta si se hubiera aplicado adecuadamente 0: Ninguna respuesta o respuesta incorrecta 1: Error de copiado, error en los cálculos, una respuesta parcial para un problema con múltiples respuestas 2: Respuesta correcta e indicaciones correctas para la respuesta

“El planteamiento de preguntas de final abierto proporciona al profesor una mejor interpretación y entendimiento de la comprensión de los estudiantes que la que obtiene de las preguntas más típicas, que sólo piden una respuesta correcta. Una y otra vez vemos que una respuesta sola es un débil indicador de la comprensión. En contraste, cuando pedimos a los estudiantes que expliquen o justifiquen sus respuestas, podemos valorar no sólo los procedimientos que aplicaron sino las premisas sobre las se basan estos procedimientos. . . El planteamiento de preguntas de final abierto también resulta valioso para el estudiante. Cuando se pide a los estudiantes que busquen una solución y la expliquen, que apliquen sus conocimientos en contextos poco familiares, ellos deben construir significados para sí mismos relacionando lo que saben con el problema planteado. En otras palabras, deben actuar como lo hacen los matemáticos y los profesionales que se sirven de las matemáticas. Esta clase de actividades los anima a creer que la matemática es principalmente una empresa razonable, basada en las relaciones que aparecen en la vida cotidiana y accesibles a todos los estudiantes, de cualquier edad o nivel de habilidad.”

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 129

(Departamento de Educación de Massachusetts 1989, p.41)

Preguntas y problemas de muestra A continuación se presentan algunos ejemplos de preguntas de final abierto, la mayoría de ellas se puede usar en diversos niveles. Muchos de estos problemas no son muy diferentes de los problemas tradicionales, pero en ellos se pide a los estudiantes que expliquen el razonamiento que aplicaron. Cuando se evalúan las respuestas a estas preguntas, es provechoso reunirse con otros profesores que consideren el trabajo y que discutan el tipo de actividades que los estudiantes necesitan realizar para tener éxito. Es probable que descubramos que los estudiantes necesitan tener más experiencia con hacer diagramas y nombrar sus partes, hacer tablas, descubrir patrones, advertir sus errores y especialmente explicar sus pensamientos. Tú quieres enseñar a uno de tus primos chicos cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números de dos dígitos. Escribe lo que le dirás y da ejemplos de problemas que le ayuden a comprender el procedimiento. Escribe todo lo que has aprendido acerca de las fracciones hasta ahora. Si mides un objeto con cinco reglas distintas y obtienes cinco respuestas diferentes, ¿cómo decidirías la respuesta correcta? Explica. Planea, con tu grupo, una actividad que ayude a la clase a comprender cuán grande es 1 millón. La cuenta de la cena de Rosalía y Juan es $ 58.40. Quieren dejar una propina del 15 por ciento. ¿Cómo les sugerirías que se hicieran una idea de cuánto dejar de propina y la cantidad total que deberán pagar? Pafnucio no cree que la suma de una constante (el mismo número) a la puntuación de la prueba de cada estudiante cambiará simplemente la puntuación promedio del grupo en la misma 8 cm cantidad constante. Escribe una explicación que convenza a Pafnucio de la verdad o falsedad de su creencia. 45° Escribe una lista de todo lo que sepas o puedas deducir acerca del triángulo: El club de matemáticas de una escuela está planeando algunos juegos para que los estudiantes participen en un puesto del carnaval escolar. He aquí uno de los juegos: Toma dos dados comunes de colores diferentes (por ejemplo uno blanco y otro rojo). Tira ambos. El estudiante que tira gana si el número del dado blanco es mayor que el número del dado rojo. De cualquier otra manera gana el club. Explica cómo podrías determinar si los jugadores y el club tienen, o no, la misma oportunidad de ganar. Usa un diagrama si ayuda a aclarar tu explicación.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 130

Juan compró 6 álbumes dobles y 12 sencillos por $ 735. Los álbumes dobles costaron lo mismo y cada álbum sencillo costó $ 31.5 ¿Cuánto costó cada álbum doble? Explica con palabras cómo resolverías el problema anterior. Resuelve el problema siguiendo tus propias instrucciones para estar seguro de que has incluido todos los pasos necesarios. Revisa tu explicación si es necesario. Un ejemplo Esta pregunta de final abierto de muestra está tomada del Programa de Evaluación de California. Además del problema, se presenta parte del precepto de puntuación para el problema y las respuestas de dos estudiantes, una exitosa y otra fallida. Más adelante se presenta una adaptación de los preceptos generalizados que se usan en el Programa de Evaluación de California. Jaime sabe que la mitad de los estudiantes de su escuela son aceptados en la universidad pública más próxima. Además sabe que la mitad son aceptados por un colegio universitario privado local. Jaime piensa que esto suma el 100 por ciento, así que seguramente será aceptado en una o en otra institución. Explica por qué Jaime puede estar equivocado. Si es posible usa un diagrama en tu explicación

Una respuesta exitosa Una respuesta fallida

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 131

UN PRECEPTO GENERAL PARA PREGUNTAS DE FINAL ABIERTO (Adaptado del Precepto Generalizado de Grado 12 del Programa de Evaluación de California)

Se dio a los estudiantes un ejemplo de un problema lógico que trata de la aceptación en la universidad. El estudiante debe dar una explicación clara y matemáticamente correcta del razonamiento defectuoso que implica la suposición de los conjuntos ajenos en el problema. Para obtener la puntuación más alta, la respuesta debe ser completa, contener ejemplos y/o contraejemplo de conjuntos que se traslapan, o expresarse elegantemente en matemáticas. Se espera que incluya un diagrama.

Competencia demostrada Para 6 puntos:

El precepto para esta pregunta fue elaborado por los profesores que revisaron las pruebas estatales.

Para 5 puntos:

La respuesta es ejemplar. Va más allá del criterio para los 5 puntos. Por ejemplo, la respuesta puede incluir: • Ejemplos y/o contraejemplo • Matemáticas expresadas elegantemente • Una explicación que se considera completa La respuesta es correcta y la explicación es clara. Puede estar expresada en palabras, con un diagrama o de ambas formas. Respuesta satisfactoria

Para 4 puntos: Para 3 puntos:

La respuesta es en general correcta, pero carece de claridad La respuesta in dica una solución parcial (e.g. el mismo 50% fue aceptado por las dos universidades; o la respuesta indica que el estudiantes pudo haber comprendido la solución

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 132

Nota: Se debe crear un precepto especial (descripción de estándares de evaluación) para reflejar los elementos importantes específicos de cada pregunta de final abierto. El precepto general que se presenta a continuación proporciona ejemplos de los tipos de factores que se considerarán al evaluar las realizaciones de los estudiantes. Los detalles diferirán para los distintos grados, pero las ideas básicas se aplican a lo largo de todos los niveles. Para asignar las calificaciones usando una puntuación integral, primero clasifica los reportes en varios apartados, que corresponden a los reportes de nivel alto, nivel medio y nivel bajo. Si así se desea, los apartados se pueden revisar y reclasificar para formar otras categorías. La interpretación que se da a los niveles se refiere a la evaluación de las respuestas a un problema particular y no es una clasificación de los estudiantes mismos. Los estudiantes también pueden aprender al analizar ejemplos de respuestas de nivel alto y al comprender las características descriptivas del trabajo de nivel alto. I. Nivel alto • Contiene una respuesta completa con una explicación clara, coherente, carente de ambigüedades y elegante. • Incluye un diagrama sencillo y claro. • Comunica efectivamente a una audiencia identificada. • Muestra comprensión de las ideas y procesos matemáticos de la pregunta. • Identifica todos los elementos importantes de la pregunta. • Incluye ejemplos y contraejemplos. • Da argumentos con un sustento firme. • Va más allá de los requerimientos del problema. II. Nivel segundo • Contiene una respuesta buena y sólida con algunas de las características anteriores, pero posiblemente no todas. • Explica de manera menos elegante, menos total. • No va más allá de los requerimientos del problema. III. Nivel tercero • Contiene una respuesta completa, pero la explicación puede ser poco clara. • Presenta argumentos pero incompletos. • Incluye diagramas, pero inadecuados o poco claros. • Indica comprensión de las ideas matemáticas, pero no las expresa claramente. IV. Nivel cuarto • Omite partes significativas, o la totalidad, de la pregunta y la respuesta. • Comete errores importantes. • Aplica estrategias inapropiadas.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 133

•

•

¿Cuáles son las premisas fundamentales de los nuevos modelos de educación matemática? Los profesores son la clave para cambiar la forma en que las matemáticas se enseñan y se aprenden. Si los profesores son los que deben crear ambientes que potencien el trabajo de los estudiantes, necesitan tiempo y recursos para desarrollar las habilidades de enseñanza profesional indispensables para lograrlo. Deben tener verdaderas oportunidades, sistemáticas y continuas, de desarrollo profesional, flexibilidad de parte de los administradores y materiales de enseñanza y evaluación acordes con los nuevos modelos de educación matemática. Los profesores deben tener apoyos y recursos adecuados, inmediatos y a largo plazo. Estas visiones de la enseñanza de las matemáticas requieren que los profesores sean apoyados, alentados y recompensados por los encargados de la administración, los padres de familia y la comunidad en general. Esta clase de reconocimiento y apoyo colectivo quizás tarde algún tiempo para que se desarrolle (depende de los administradores, los padres y la comunidad, pero, por supuesto, también de los mismos profesores). Sin embargo, no se debe olvidar que es un elemento primordial en el cambio efectivo de los ambientes en los salones de clase y en la calidad del aprendizaje de los estudiantes.

Shirley M. Frye

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 134

6. Autoevaluaciones y autoevaluaciones

6. Evaluacions y autoevaluaciones La enseñanza de las matemáticas en el nivel medio superior del IPN tiene entre sus propósitos fomentar el trabajo en equipo y desarrollar la capacidad de los alumnos para producir, comunicar y validar conjeturas, así como desarrollar habilidades para comprender, interpretar y valorar ideas matemáticas presentadas en diversas formas. En consecuencia, la evaluación del curso toma en cuenta algo más que exámenes escritos individuales, que si bien ayudan a evaluar algunos desempeños, no permiten observar aspectos como los mencionados. Pero para recoger información sobre determinadas adquisiciones, algunas veces será útil tanto para el alumno cómo para el docente recurrir a la aplicación de exámenes escritos individuales. Es pues, el propósito de las autoevaluaciones que el alumno pueda automedirse en algunos aspectos, como son: la resolución de problemas, habilidades operativas de algoritmos etc. En cada examen de autoevaluación se retoman temas de las anteriores unidades con la idea fundamental de que no se olviden de ese conocimiento y para profundizar cada vez más en ellos. Al final de las autoevaluaciones encontrará el alumno las respuestas de cada una de las preguntas de los problemas y ejercicios. La AIM-NMS-IPN diseñó una nueva versión del examen de antecedentes para los alumnos de nuevo ingreso con la intención de aplicar el mismo tipo de examen al principio de cada semestre, incorporando una parte especialmente diseñada para los aspectos más pertinentes al curso que comienza. Después se han venido diseñando los exámenes correspondientes a los cursos siguientes, con el propósito de contar con información que permita hacer un seguimiento de la evolución de los aprendizajes a lo largo del nivel medio superior. Así se podrá hacer un seguimiento de las partes que va superando un estudiante en cada semestre. Además, como parte de un programa de evaluación sistemática, se han diseñado en las comunidades de seguimiento de la instrumentación de los paquetes didácticos exámenes de medio curso y de fin de curso que se aplican a los grupos para obtener resultados comparables, dado que los instrumentos que se aplican en las evaluaciones ordinarias son muy diversas, como lo pueden constatar los profesores que consulten la sección correspondiente en el sitio de la AIM en Internet. También se agregan 7 exámenes chicos que pueden servir para evaluar el avance de los alumnos.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 136

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso Hoja 1 No escribas en esta hoja

Efectúa las operaciones siguientes y escribe el resultado en forma simplificada. 1. 3+4·5= 2. 3·4+5= 3. 7+7·23= 4. (7+7·2)3= 5. 32÷(4-5)= 6. 32÷4-5= Escribe el número que en el denominador hace que cada proposición sea verdadera.

Encuentra el área de cada uno de los rectángulos siguientes.

25 5 = [ ] 9 3 1 9 4 10. + = [ ] 12 5 9.

3

Una mercancía cuesta $200, se hacen dos descuentos sucesivos de 10% y 20%. 7. ¿Cuánto se paga por la mercancía? 8. ¿Cuál es el porcentaje de descuento total?

⋅

11. Se tiene una habitación de 4.50 metros por 6 metros y se cuenta con losetas cuadradas de 30 centímetros por 30 centímetros. ¿Cuántas losetas se requieren para cubrir la totalidad de la habitación?

12. Área=_____________

13. Área=_____________ 14. Si AB y CD son paralelas y el ángulo x mide 45° Encuentra la medida de y.

15. Las diagonales de un rombo miden 18 y 24 unidades, ¿cuánto mide cada lado del rombo?

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 137

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso Hoja 2 No escribas en esta hoja 16. El perímetro del cuadrado de la figura es de 8 metros, determina el área de la región sombreada.

17. La suma de las soluciones de las ecuaciones 3x13=8x+2, 2z+11=1 es:

Una persona pasa frente al televisor cuatro horas diarias. 19. En un año pasará __________ horas frente al televisor. 20. En “t” años pasará __________ horas frente al televisor.

La fórmula para convertir grados Celsius (°C) a grados Fahrenheit (°F) es:

18. El costo de “x+3” cuadernos es 75 pesos, ¿cuánto cuesta cada cuaderno?

9 °F = °C + 32 5

21. ¿Qué cantidad de grados Celsius corresponde a 70°F? 22. Un cuaderno cuesta $28 más que un lápiz. y cinco lápices y dos cuadernos cuestan $91. ¿Cuánto cuesta cada artículo? 23. Traza la gráfica de y=2x-3 24. Obtén la expresión algebraica de la función que tiene la gráfica siguiente:

5 4 3 2 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 138

2

3

4

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso Nombre:

Boleta:

Hoja de Procedimientos 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 139

Grupo:

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso

Hoja de Procedimientos 2 13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 140

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso

Hoja de Respuestas Nombre: CECyT: ¿En qué número de opción escogiste este CECyT: ¿Cuántos aciertos obtuviste en el examen de admisión (EXANI-1): Secundaria de procedencia:

Boleta:

Grupo:

Pública

?

Particular

?

Instrucciones: Escribe sólo la respuesta en el espacio correspondiente. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

23.

4y

2

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

-4

-6

-8

-10

Resumen: Aritmética

Álgebra

Geometría

Conceptos y Operaciones

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 141

Resolución de Problemas

Global

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Plantilla de Resultados del Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso CECyT _______________________________________ Grupo ____________ Hoja _______ de _______. Boleta

Nombre

Datos Ex Op Pú ani ció bli n ca

Áritmética 1

2

3

4

5

6

Geometría 7

8

9

10 11 12

13 14 15 16

Nota: En escuela de procedencia 0 (cero) si es particular y 1 (uno) si es pública. En cada reactivo 0 (cero) si la respuesta es errónea y 1 (uno) si es correcta.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 142

Álgebra 17 18 19 20 21 22

Ar Ge Ál it o ge 23 24 mé me br tic trí a a a

C y O

R To P tal

Observaciones sobre el examen de antecedentes. o Se aplicará a los grupos formados. o La duración del examen será de 60 minutos. o La hoja de procedimientos tiene como objeto § brindar al profesor del grupo información local para que pueda identificar mejor cuáles son las dificultades que el alumno no ha superado y cómo puede hacerlo, § además de permitir el análisis de las vías de solución y proporcionar información para la elaboración de reactivos de opción múltiple. o Se generarán informes: § Por estudiante para el grupo, para ellos y sus padres. § Por grupo para la Academia. § Por Academia para la Escuela (Pedagogía, Orientación, Básicas, Subdirecciones y Dirección). § Por CECyT para la DEMS. (Estadística Ceneval) o Se tendrá en la BSCW o en Blackboard un archivo de Excel que contenga las fórmulas para hacer los reportes. o Es indispensable que consigamos los resultados específicos de Habilidad Matemática y Conocimientos Matemáticos de los estudiantes que optaron por el IPN. Así podemos diseñar un examen que nos permita averiguar cuestiones mejor definidas y usar los resultados del Ceneval como complemento. o En este examen hay algunos reactivos que proporcionan información especialmente importante. Por ejemplo, los reactivos 12 y 13, 19 y 20, y 18, permitirán identificar a los alumnos que tienen ya un manejo (capacidad de representar y operar) de los números indeterminados. El resumen que se entregará a cada alumno contendrá: Nombre

Aritmética

Álgebra

Geometría

Conceptos y Operaciones

Resolución de Problemas

Los reportes para la Academia, el CECyT y la DEMS incluirán las distribuciones de frecuencia correspondientes a cada columna, una interpretación y un plan para superar las deficiencias detectadas.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 143

Global

Referencias del Examen de antecedentes para los estudiantes de nuevo ingreso Estructura: Aritmética 10 reactivos (8 CP, 2 RP) Álgebra 8 reactivos (7 CP, 1 RP) Geometría 6 reactivos (5 CP, 1 RP) Conceptos y Operaciones (CP-0) 20 reactivos Resolución de problemas (RP-1) 4 reactivos Temas considerados en el plan de estudios de la Secundaria, según el Ceneval. HABILIDAD MATEMÁTICA 1 Sucesiones numéricas 2 Patrones numéricos 3 Series espaciales 4 Patrones espaciales 5 Problemas aritméticos 6 Problemas de razonamiento MATEMÁTICAS 1 Aritmética 1.1 Números naturales 1.1.1 Suma, resta, multiplicación y división 1.1.2 Relaciones de orden 1.1.3 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 1.2 Números enteros 1.2.1 Suma, resta, multiplicación y división 1.2.2 Relaciones de orden 1.3 Fracciones 1.3.1 Suma, resta, multiplicación y división 1.3.2 Relaciones de orden y equivalencia 1.4 Decimales 1.4.1 Suma, resta, multiplicación y división 1.4.2 Relaciones de orden y equivalencia 1.4.3 Potencias de 10 y notación científica y/o exponencial 1.5 Proporcionalidad 1.5.1 Proporcionalidad directa 1.5.2 Porcentaje

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 144

2 Álgebra 2.1 Monomios y polinomios 2.1.1 Suma, resta y multiplicación 2.1.2 Cálculo del valor numérico de polinomios con una variable 2.1.3 Productos notables y factorización 2.2 Ecuaciones 2.2.1 Solución de ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas 2.2.2 Solución de ecuaciones de segundo grado 2.3 Plano cartesiano y funciones 2.3.1 Regiones: semiplanos y franjas 2.3.2 Gráfica de funciones: lineales y cuadráticas 3 Geometría 3.1 Ángulos entre paralelas y una secante 3.2 Triángulos 3.2.1 Clasificación 3.2.2 Ángulos interior y exterior 3.2.3 Teorema de Pitágoras 3.3 Semejanza 3.3.1 Cálculo de distancias inaccesibles 3.3.2 Transformación a escala sobre dimensiones lineales, de área y volumen en una figura o cuerpo geométrico 3.4 Polígonos 3.4.1 Clasificación 3.4.2 Perímetros y áreas 3.5 Sólidos 3.5.1 Características de los poliedros 3.5.2 Volumen 3.6 Círculos 3.6.1 Rectas, segmentos y ángulos 3.7 Trigonometría 3.7.1 Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente 4 Presentación y tratamiento de la información 4.1 Lectura, elaboración e interpretación de tablas y gráficas construidas a partir de fenómenos de las ciencias naturales y sociales 4.2 Medidas descriptivas 4.2.1 Uso de porcentajes como índices o indicadores 4.2.2 Cálculo de media, mediana y moda 5 Probabilidad 5.1 Cálculo y expresión de la probabilidad de un evento como una fracción, un decimal y un porcentaje

Efectúa las operaciones siguientes y escribe el resultado en forma simplificada.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 145

1. 3+4·5= 2. 3·4+5= 3. 7+7·23= 4. (7+7·2)3= 5. 32÷(4-5)= 6. 32÷4-5= (Ar, CP) (1,0) (1.2,0) Una mercancía cuesta $200, se hacen dos descuentos sucesivos de 10% y 20%. 7. ¿Cuánto se paga por la mercancía? 8. ¿Cuál es el porcentaje de descuento total? (Ar,RP) (1,1) (1.5,1) Escribe el número que en el denominador hace que cada proposición sea verdadera. 25 5 = 9 3 1 9 4 10. + = 12 5

9.

3

⋅

(Ar,CP) (1,0) (1.3,0)

11. Se tiene una habitación de 4.50 metros por 6 metros y se cuenta con losetas cuadradas de 30 centímetros por 30 centímetros. ¿Cuántas losetas se requieren para cubrir la totalidad de la habitación? (Ge, RP) (3,1) (3.4,1) Encuentra el área de cada uno de los rectángulos siguientes.

12.

Área=_____________

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 146

13.

Área=_____________

(Ge, CP) (3,0) (3.4,0)

14. Si AB y CD son paralelas y el ángulo x mide 45° Encuentra la medida de y.

(Ge, CP) (3,0) (3.1,0) 15. Las diagonales de un rombo miden 18 y 24 ¿cuánto mide cada lado del rombo? (Ge, CP) (3,0) (3.2,0)

16. El perímetro del cuadrado de la figura es de 8 metros, determina el área de la región sombreada.

(Ge, CP) (3,0) (3.6,0)

17. La suma de las soluciones de las ecuaciones 3x-13=8x+2, 2z+11=1 es: (Al, CP) (2,0) (2.2,0)

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 147

18. El costo de “x+3” cuadernos es 75 pesos, ¿cuánto cuesta cada cuaderno? (Al, CP) (2,0) (2.1,0)

Una persona pasa frente al televisor cuatro horas diarias. 19. En un año pasará __________ horas frente al televisor. 20. En un t años pasará __________ horas frente al televisor. (Al, CP) (2,0) (2.1,0)

La fórmula para convertir grados Celsius (°C) a grados Fahrenheit (°F) es: 9 °F = °C + 32 5 21. ¿Qué cantidad de grados Celsius corresponde a 70°F? (Al, CP) (2,0) (2.1,0) 22. Un cuaderno cuesta $28 más que un lápiz. y cinco lápices y dos cuadernos cuestan $91. ¿Cuánto cuesta cada artículo? (Al, RP) (2,1) (2.2,1) 23. Traza la gráfica de y=2x-3 4

y

2

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

-4

-6

-8

-10

(Al, CP) (2,0) (2.3,0) 24. Obtén la expresión algebraica de la función que tiene la siguiente gráfica: 5 4 3 2 ‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 148 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2

2

3

4

(Al, CP) (2,0) (2.3,0)

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 149

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Evaluación Final para Estudiantes de Primer Semestre 2003 Hoja de Respuestas Soluciones 1

2

3

23

4

17

5

63

6

7

-32

8

3

9

144

10

11

5

300

14

15

5(9+x)

15

18

19

-8

1460

22

21.1

23

4

y=x+3

y

2

-4

-3

-2

-1

1

2

1460t 24

lápiz 5 cuaderno 33

23.

4-p ˜ 0.858 20

75 x +3

21

36 16

135°

17

28 12

20

13

9261

3

4

x

5

-2

-4

-6

-8

-10

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 150

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas

Examen Intermedio de Álgebra 2003 1. El resultado dela siguiente operación es: 3 – 2 [4+6(3-1)]= A) -45 B) 43 C) -29 D) -12

2x x 11 + = , se obtiene como resultado el de la opción: 3 2 2 33 23 C) x = E) x = B) x = 33 D) x = 66 7 7

2.

Al resolver la ecuación

A) -

x=

7 6

E) 35

3. Si 23 + 32 = 42 + z, entonces z = A) 1 B) 4

C) 9

4. Sea 4p – q = 10 y p = -2, entonces p + q = A) -20 B) -18 C) -16

D) -1

E) -4

D) -4

E) 16

5. La cuarta parte del área de un cuadrado es 16 m2. ¿Cuánto mide su perímetro? A) 64 m B) 32 m C) 16 m D) 8 m E) 4 m 6.

5-2 + (-2)3 =

A) -16

C)

B) -33

−

7 25

D)

−

199 25

E) ninguna de la anteriores.

7. El resultado de la siguiente operación es: 5 + 6/4 + 3*2 = A) 8.75 B) 11.5 C) 12.5 D) 8.5

E) 19

8. ¿Cuál es el factor común de 6x2wy 3 y 21x3y 4w2 ? A) x2wy 3 B) x5y7w3 C) 3xwy

E) 3x2w2y

9.

D) 3x 2wy3

La forma genera de la ecuación que representa a esta familia de graficas esta dada por:: y 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 −9.0

−8.0

−7.0

−6.0

−5.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

x

10.0

−2.0 −3.0 −4.0 −5.0 −6.0 −7.0 −8.0 −9.0 −10.0

A) y = -x + b

B) y = x + b

C) y = mx -1

D) y = mx + 1-

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 151

E) y = mx

10. Si tiene un cuadrado A de lado p y otro B de lado (p+1).¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera(s)? I) La suma de los perímetros de los cuadrados A y B es de 8p + 4 II) La suma de las áreas de los cuadrados A y B es (2p + 1)2 III) La razón entras las áreas de A y B, respectivamente, es A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

p2 p2 +1

D) Solo I y III

E) I, II y III

11. Si Claudia hace cinco años tenia x años de edad, ¿qué edad tendrá Claudia en 5 años más? A) x - 5

B) 10x

C) x + 5

D) 5x

E) x + 10

12. ¿A cuál de las siguientes expresiones se reduce la ecuación lineal 7(18 - x) − 6(3 - 5x) = -(7x + 9) - 3(2x + 5) - 12 ? A) 36x + 144=0

B) 10x + 72=0

C) –36x - 144=0

D) –10x –72=0

E) –36x + 144=0

13. Observa la siguiente figura:

y +b

y

x+a

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la región sombrada de la figura? A) (x+a)[(y+b)+y]

B) (x+a)[(y+b)-y]

C) (x+a)(y+b)

D) (y+b)[(x+a)-a]

E) (y+b)[(x+a)+a]

D) m1 = 5 , m 2 = 1 4

E) m = − 5 , m = −1 1 2

14. ¿Cuáles son las pendientes de las siguientes recta? y

4.0

m2

3.0

2.0

1.0

−5.0

−4.0

−3.0

−2.0

m1

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

x

−1.0

−2.0

−3.0

−4.0

−5.0

A) m = − 4 , m = −1 1 2 5

B) m = − 4 , m = 1 1 2 5

C) m = 4 , m = 1 1 2 5

4

15. ¿Cuál es la simplificación correcta de la expresión algebraica 10x 5y4z 3 ÷ 5x 3y 4z ? A) 2x2z 2

B)

1 2 xz 2

C) 2x 8y8z 4

D)

1 8 8 4 x y z 2

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 152

E) 2x2yz 2

( )

 a -1 1 16. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a la expresión   a - 2a 1 2  5 5 1 a a C) A) 3 D) 6 B) a3 a a a

(

)

3

  ?   E)

1 a3

17. Dadas las siguientes expresiones: z = 5 – 3y y = 6x 2 – 2 Indica la opción donde se expresa correctamente z en función de x A) –18x 2 + 11

B) –18x 2 + 3

C) 18x 2 + 11

D) –18x 2 - 1

E) -18x 2 -11

18. ¿Cuál de las siguientes opciones indica la expresión algebraica que representa el área del siguiente rectángulo?

2xy2 - 3

8x2y + 7 A) 16x2y2 – 21

B) 16x2y2-10xy+21

C) 16x3y3+34x2y2+21

D) 16x3y3-24x2y+14xy2-21

E) 16x3y3+21

19. En un almacén el precio de venta (v) de cada producto se obtiene sumando los costos de fabricación y distribución (c) mas el 40% de esos costos. ¿Cuál es la función que describe el precio de venta? B) v = c +

A) v= c + 40c

20. La edad de Mirna es

40 100

C) v = c +

40 c 100

D) v = c +

c 100

E) v = c + 40

3 6 partes de la edad de Lola, pero dentro de 5 años será solo de la edad de 5 7

Lola. ¿Cuál ecuación permite sabe la edad de Mirna? A) (M + 5) = 6  3 M    7 5



B)

(M + 5) = 6  3 M + 5 7 5



C) ( 6 5  M + 5) =  M + 5 7 3



D) ( 75  E) ( M + 5) = 6  3 M − 5  M + 5) =  M + 5

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 153

63



75



Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Hoja de Respuestas del Examen Intermedio de Álgebra 2003 Nombre del alumno: . Grupo: CECyT: . . En cada pregunta tacha la opción que encontraste como correcta.

.

1

A

B

C

D

E

2

A

B

C

D

E

3

A

B

C

D

E

4

A

B

C

D

E

5

A

B

C

D

E

6

A

B

C

D

E

7

A

B

C

D

E

8

A

B

C

D

E

9

A

B

C

D

E

10

A

B

C

D

E

11

A

B

C

D

E

12

A

B

C

D

E

13

A

B

C

D

E

14

A

B

C

D

E

15

A

B

C

D

E

16

A

B

C

D

E

17

A

B

C

D

E

18

A

B

C

D

E

19

A

B

C

D

E

20

A

B

C

D

E

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 154

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Hoja de Respuestas del Examen Intermedio de Álgebra 2003

En cada pregunta tacha la opción que encontraste como correcta. 1

A

B

C

D

E

2

A

B

C

D

E

3

A

B

C

D

E

4

A

B

C

D

E

5

A

B

C

D

E

6

A

B

C

D

E

7

A

B

C

D

E

8

A

B

C

D

E

9

A

B

C

D

E

10

A

B

C

D

E

11

A

B

C

D

E

12

A

B

C

D

E

13

A

B

C

D

E

14

A

B

C

D

E

15

A

B

C

D

E

16

A

B

C

D

E

17

A

B

C

D

E

18

A

B

C

D

E

19

A

B

C

D

E

20

A

B

C

D

E

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 155

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen Final de Álgebra 2003 1. Calcula la siguiente operación: a) −

1 2

b) 3

3+ 2 − 4÷ 2 = 1 c) 2

d) -3

2. Se va a cercar un terreno rectangular que mide 25 por 40 m. Si cada metro lineal de barda cuesta $115.00, ¿Cuánto costará cercar todo el terreno? a) $7475 b) $8125 c) $14950 d) $ 12820 3. Simplifica el siguiente polinomio: − 71a 3 b − 84a 4 b 2 + 50a 3 b + 84a 4 b 2 − 45a 3 b + 18a 3 b a) − 48a 3b

b) − 48a 3b − a 4 b 2

c) 48a 3b + a 4b 2

d) 48a 3b

4. Juan gana dos tercios de lo que percibe Pedro, quien gana 4/5 de lo que percibe Tadeo. Si Tadeo gana $1,150.00, ¿cuánto perciben Juan y Pedro? a) Tadeo: $ 1150.00 Pedro: $ 460.00 Juan: $ 306.66

b) Tadeo: $ 1150.00 Pedro: $ 920.00 Juan: $ 613.33

c) Tadeo: $ 1000.00 Pedro: $ 766.66 Juan: $ 613.33

d) Tadeo: $ 1150.00 Pedro: $ 613.33 Juan: $ 920.00

5. Un viajero recorre 1/4 de la distancia entre dos ciudades a pie, 1/5 a caballo, 1/8 del resto en auto y los 55 km restantes en tren. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades? a) 114.29 km b) 120.22 km c) 112.12 km d) 109.28 km 6. Simplifica la siguiente expresión:

2a + 3b − {− a + [b − a ]}

a) 4b

b) 4a + 2b

c) –a – 2b

d) 2a + 4b

7. Una ventana con un perímetro de 8 m tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo sobrepuesto. Escribe un polinomio para representar el área de la figura en términos solamente de la variable x.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 156

a) A T = c) A T =

(x + 4)(4x + p )

b) A T =

2−p

( x − 4)(4x + p )

4− p d) AT = − (x + 4)(4x − p )

2(4 − x )(πx + 4x + 4 p)

(π + 2)2

p

8. Un automóvil recorre 50 km en el mismo tiempo en que un avión recorre 180 km. La velocidad del avión es de 143 km/h mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del automóvil. a) VAUTO = 45 Km/h b) VAUTO = 60 Km/h c) VAUTO = 55 Km/h d) VAUTO = 48 Km/h 9. ¿Cuál es la ecuación de la siguiente recta: 4 3 2 1 −2

a) y =

3 x+3 4

−1

1

−1 −2

2

3

−3 −4 −5

b) y = −

3 x+3 4

c) y = −

3 x 4

4

5

d) y =

3 x+4 4

10. Un televisor tiene un costo de $3,250.00, incluyendo el IVA del 15%. ¿Cuál es el precio del televisor sin IVA? a) $ 2826.1 b) $ 3737.5 c) $ 2762.5 d) $ 2781.9 11. Calcula el valor de x:

a) x =2

b) x = −

2x − 1 6x − 3 = x + 4 3x + 2

1 2

c) x =

1 2

d) x =

12. Encuentra el valor de x:

4 cm

A=52 cm2

7 cm x

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 157

1 3

a) x = 6

b) x = 8

c) x = 10

d) x = 20

13. Calcula el perímetro del rectángulo de base w+4, altura w y área de 96 m2. a) P = 40 m

b) P = 38 m

c) P = 50 m

d) P = 42 m

14. ¿Cual es la ecuación de la siguiente parábola? 8 6 4 2 −3

a) y = (x - 2)(x - 6)

−2

−1 −2 −4 −6 −8 −10 −12 −14 −16 −18 −20

1

b) y = (x + 2)(x - 6)

2

3

4

5

6

c) y = (x + 2)(x + 6)

7

8

d) y = (x - 2)(x + 6)

15. Resolver las soluciones para la siguiente ecuación cuadrática: x 2 − 3x + 2 = 0 a) x1 = 2 b) x1 = -2 c) x1 = -2 d) x1 = 2 x2 = 1 x2 = -1 x2 = 1 x2 = -1 16. Encuentra dos números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 85. a) 4 y 5

b) 6 y 7

c) 7 y 8

d) 5 y 6

17. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

2x − 3y = 7 3x − 5y = 14

c) x = −7;

a)

b)

91 7 x= ; y=− 29 29

91 385 x=− ; y=− 29 87

y = −7

d) x = 91;

y=

175 3

18. Un rectángulo tiene 92 cm de perímetro y su diagonal mide 34 cm. Halla sus lados. a) l = 20 cm

b) l = 13 cm

c) l = 19 cm

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 158

d) l = 16 cm

a = 26 cm

a = 33 cm

a = 27 cm

a = 30 cm

19. Cual es la solución de la siguiente grafica del siguiente sistema.

5x − 3y = 0 7x − y = −16

−4

−3

−2

−1

−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

a)

4 3 2 1

1

−4

c)

1

2

3

−2

−1

4

5

d)

−1 −1 −2

1

2

3

20. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y− z =1 x − y+ z =3

7x + y + z = 7 a) x = -2 y=5 z=8

b) x = -2 y = -5 z=2

1

−1 −2

7 6 5 4 3 2 1

1 −1 −1 −2 −3 −4 −5

−3

b)

c) x = 2 y = -4 z = -3

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 159

d) x = -2 y=5 z = -6

4

5

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Hoja de Respuestas del Examen Final de Álgebra 2003

En cada pregunta tacha la opción que encontraste como correcta. 1

A

B

C

D

2

A

B

C

D

3

A

B

C

D

4

A

B

C

D

5

A

B

C

D

6

A

B

C

D

7

A

B

C

D

8

A

B

C

D

9

A

B

C

D

10

A

B

C

D

11

A

B

C

D

12

A

B

C

D

13

A

B

C

D

14

A

B

C

D

15

A

B

C

D

16

A

B

C

D

17

A

B

C

D

18

A

B

C

D

19

A

B

C

D

20

A

B

C

D

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 160

Grupo

Nombre:

Fecha

Si el radio de un círculo se incrementa en un 100 %, el área queda aumentada en [A] 66.67% [B] 100% [C] 150% [D] 200% En un triángulo rectángulo ‘a’ y ‘b’ son catetos. La altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos ‘p’ y ‘q’, adyacentes a ‘a’ y a ‘b’,

a 1 p = , entonces la razón es: b 4 q 1 1 [B] [C] 6 8

respectivamente. Si

[A]

1 4

[D]

[E] 300%

1 16

[E]

1 2

Si el radio de un círculo se incrementa en dos unidades, entonces la razón de la nueva circunferencia al nuevo diámetro es:

[A]

[B] π

π +2

+

1 2

[C] π

−

1 2

[D] π

[E] π

−4

La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo regular es 1080°. Entonces este polígono tiene

vértices y

diagonales. Cada ángulo central, formado uniendo dos vértices

consecutivos con el centro, mide En la parte posterior, o en una hoja aparte, construye cuatro triángulos de lados 5, 6 y 7 cm. En el primero construye el circuncentro. En el segundo, el incentro. En el tercero, el ortocentro. En el cuarto, el baricentro. Debajo de cada construcción escribe los pasos que seguiste para localizar el punto correspondiente y sus propiedades. Las instrucciones deben ser lo suficientemente precisas para que una máquina pueda seguirlas. Nombre

Grupo

Fecha

Escribe las expresiones siguientes usando sólo exponentes positivos.

6q 2 = p−3

−3

14 a −6 = 3b − 3

w z = 2

(3x )

1 = 3z − 2 n

−5 3

Efectúa las operaciones y simplifica los resultados.

(− 10x )

(− 3z )5 = (2 pq)

6

(3 p

4 2

−2

q

)

−1 2

=

(− m n p )(− m n ) 3

2

5

3

2 3

=

− 8m 6 n = 16m 3n 5

=

5 m −3 = (2n )−4

=

(− 3x )(10xy)(− 7 y ) = (− 3z w) = (− 2 z w ) 2

3

3

2

2 3

Un grupo musical firmó un contrato para grabar un disco por 1.2 millones de pesos y el 15% de los ingresos brutos por la venta de discos, casetes y dvd con los videoclips. El grupo lo integran seis jóvenes y las ganancias se distribuyen en partes iguales. Los precios al público son disco: $135, casete: $69 y dvd: $247. En el primer mes se vendieron 23251 discos, 33892 Si se venden p discos, q casetes y r dvd, la fórmula que casetes y 5179 dvd. da las ganancias del grupo es: El grupo recibirá un total de:

A cada integrante le corresponden:

A cada integrante le corresponden:

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 161

Nombre

Grupo

Fecha

Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera. (a-7)(a+7)= (m2-3n)(m2+3n)= (y+3)(y+7)= (3p-1)(3p+7)= a 2-

(

)

( )–9n

y2+

(

15yz+5y2z2=

9-p2=

2

3p+18=

( ) ()

(

)

) +21

()()

3( + ) (3+yz) (3+ )( -p) Efectúa las operaciones y simplifica las expresiones siguientes.

(2 pq)

7

(3 p

−2

q

)

−1 3

=

− 7 m5 n = 14 m 2 n 6

Representa algebraicamente las expresiones siguientes: Un número no La diferencia de tres determinado veces el cuadrado de disminuido en un número no 17: determinado y once:

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 162

( )+( )

9p2+

49m6-64n4=

( ) +8n )(( )- ( )) 2

(

(− 2 z w ) (− 3 zw ) 3

2

2 3

=

Si m es un entero impar, el entero impar que le sigue es:

Dos tinacos del mismo volumen se vacían uniformemente, mediante llaves de diferente tamaño, de tal manera que uno de ellos queda vacío en 5 horas en tanto que el otro requiere de 8 horas. y

Volumen en litros

500

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Tiempo en horas

a) ¿Cuál es la gráfica y la ecuación que corresponde a cada tinaco? Explica con palabras lo que representa cada una de ellas. b) ¿Cuál es la pendiente de cada una? Explica el significado de la pendiente en términos de la situación. c) ¿En qué instante tiene uno de los tinacos el doble del agua que el otro? Nombre

Grupo

Fecha

Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera. (a-5b)(a+5b)= (2m3-n)(2m 3+n)= (z-8)(z+9)= (3p-5)(3p+8)= a 2-

(

)

14p+49=

( ) ()

( )–n

2

2 3

8az+a z =

(

)

(

z2+

)-72

2

4-p =

() ()

( )+( )

9p2+ 8

81m -25n6=

( )

( )- ( ) )

7( + ) (8+az2) (2+ )( -p) ( +5n3)( Escribe las soluciones de cada ecuación. Comprueba tus resultados. (x+8)(x-5)=0; w2+3w-18=0; 2x2-3x-14=0;

El círculo A tiene 16 cm de diámetro y el círculo B tiene 24 cm de diámetro. La razón del radio La razón del La razón del del círculo B al perímetro del círculo área del círculo radio del círculo A B al perímetro del B al área del es: círculo A es: círculo A es:

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 163

La curva siguiente es una parábola: y

x -5

5

-10000

a) ¿Cuál es la ecuación que corresponde a esta gráfica? b) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dada la gráfica de una parábola encuentra su ecuación’. c) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = -1500x - 4000. d) Encuentra los puntos de intersección de ambas gráficas. 2 e) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = 200(x -3x-40). f) Encuentra los puntos de intersección de la recta y esta parábola.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 164

Nombre

Fecha Grupo

Si x+2y=3x+4 ? y-x=14-3y, entonces x=_____ ; y=_____. Si

Si 2x+3y=12 ? 3x-y=1, entonces x=_____ ; y=_____. Si x -2y+3z=-4 ? 4x+3y-2z=20 ? x+3y-5z=14, entonces x=_____ ; y=_____ ; z=_____

2x 3y x y + = 2 ∧ + = −2 , 3 4 6 2

entonces x=____ ; y=_____ La ecuación de una recta que contiene los puntos (0.123, 1.657) y ( -2.136, 7.240) es _________________________. La ecuación de una recta cuya pendiente es -2 e intercepto-y es 3 es __________________________. Escribe las ecuaciones de dos rectas que se cortan en el punto (2,5) ___________________________ ? ____________________ Damocles quiere invertir $10000, una parte en acciones que pagan un interés de 12% y el resto en una cuenta de ahorros que paga 5.5% de interés. Si quiere obtener un 9% de rendimiento de su inversión, entonces debe invertir ___________ en las acciones y __________ en la cuenta de ahorros.

Nombre Grupo Fecha Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera. (p-5q)(p+5q)= p2-

(

)

(5m3-n)(5m 3+n)=

(2x-8)(2x+9)=

( )–n

4x2+

2

2 2

15yz+5y z =

( )+( )) ( ) (3+yz)

3p+18=3(

(2p-5)(3p+8)=

( )-72

2

9-p = (3+

( ))(( ) -p)

( )+( )

6p2+ 8

6

121m -9n = (

( )+3n )(( )-( )) 3

Escribe las soluciones de cada ecuación. Comprueba tus resultados. (x+7)(x-9)=0; w2+7w-18=0; 3x2+14x-5=0; Yago, un carpintero, hace y vende ‘x’ sillas en una semana, el costo de la madera que emplea en la fabricación de cada silla es de 130 pesos, además gasta en la renta del local y otros costos fijos 1500 pesos semanales. El precio de venta de cada silla es de 700 pesos semanales. Escribe una expresión algebraica que dé, en función del número de sillas fabricadas y vendidas: Los costos totales ‘yc’ de la semana. Los ingresos ‘yi’ de la semana. La ganancia ‘yg’ de la semana.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 165

Calcula el número de sillas que debe producir y vender para obtener una ganancia de $20000 o más en una semana. Las curvas siguientes son parábolas:

Calcula su ganancia por cada peso invertido cuando produce y vende 12 sillas en una semana. y

60 y2 50

40 y1 30

20

10

y3

x -5

5

10

-10

-20

-30

-40

a) ¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada gráfica? b) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dada la gráfica de una parábola encuentra su ecuación’. c) Encuentra los puntos de intersección de cada par de gráficas. d) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = -4x+20. e) Encuentra los puntos de intersección de esta recta con cada parábola. f) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dadas la gráficas de una parábola y una recta encuentra exactamente sus puntos comunes’.

Nombre

Grupo

Fecha

La fórmula para obtener la resistencia equivalente a dos resistencias en paralelo es

1 1 1 . = + R t R1 R 2

Despeja R1. Si Rt=50 y R2=100, entonces R1=

Escribe las soluciones de cada ecuación. Comprueba tus resultados.

(x+11)(x-7)=0;

w2+6w-16=0;

5x2+34x-7=0;

Lewis Carroll, autor del libro "Alicia en el País de las Maravillas", propone un problema cuyo enunciado es: Una limonada, tres sandwiches y siete bizcochos cuestan un chelin y dos peniques, mientras que una limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos valen 1 chelin y 5 peniques. Sabiendo que un chelin equivale a 12 peniques, hallar el precio de: a.

una limonada, un sandwich y un bizcocho,

b.

dos limonadas, tres sandwiches y cinco bizcochos.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 166

Tres máquinas limpiadoras A, B y C, trabajando juntas, realizan la limpieza de unos grandes almacenes en 8 horas. Si se estropea A, entonces B y C realizan el trabajo en 12 horas; pero si se estropean A y B, la máquina C realiza el trabajo en 18 horas. a.

¿Cuánto tiempo tardan, por separado, en realizar el trabajo las máquinas A y B? b. Sabiendo que en una hora, la máquina A limpia 72 m2 de superficie, ¿cuál es la superficie total de los grandes almacenes? c. ¿Cuántos m2 limpia por hora cada una de las máquinas B y C? Las curvas siguientes son parábolas: y 30 20 10 x -10

-5

5 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100

a) ¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada gráfica? b) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dada la gráfica de una parábola encuentra su ecuación’. c) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dada la ecuación de una parábola encuentra su vértice’. d) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = -3x-30. e) Encuentra los puntos de intersección de esta recta con cada parábola. f) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dadas la gráficas de una parábola y una recta encuentra exactamente sus puntos comunes’.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 167

7. Bibliografía

7. Bibliografía Los materiales que se utilizaron en la elaboración de este trabajo son:

Alarcón, J., Bonilla, E. Nava, R., Rojano, T. y Quintero, R. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. SEP. Alvarado, D. (1998). Las Creencias y Concepciones en un Ambiente de Resolución de Problemas. Tesis de Maestría del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN. Bednarz, N.; Kieran, C. y Lee, L. (1996). Approaches to Algebra. Perspectives for Research and Teaching. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, The Netherlands, 1996. Chevallard, Y.; Bosch, M y Gascón, J. (1997). Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. ICE-Horsori. De Prada, D., Martínez, I. Y Alcalde, J. (1991). El comentario de textos matemáticos. Editorial Ágora Ernest, P. The Problem-Solving Approach to Mathematics Teaching. Teaching Mathematics and its Applications, Volume 7, No. 2, 1988. Fridman, L. (1989). Metodología para Resolver Problemas de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica. Grupo Editorial Iberoamérica. Revista Educación Matemática Heid K., Sheets, C., Hirsch, C., Choate, J. y Zbiek, R. (1996). Algebra in a technological world. NCTM. López de Medrano, S. (1972). Modelos matemáticos. ANUIES. Kasner, E. & Newman, J. (1985). Matemáticas e imaginación. Biblioteca personal Jorge Luis Borges. Hyspamérica.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 169

NCTM. Revista Mathematics Teacher. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000). Principles and Standards for School Mathematics. (http://standards.nctm.org/ ). Nickerson, R.S. & Zodhiates, P.P. (1988). Technology in Education: Looking toward 2020. New Jersey: LEA. Novak, J. y Gowin D. (1984). Aprendiendo a aprender. Martínez Roca Novak, J. (1998). Conocimiento y aprendizaje. Alianza Editorial Paulos, J. (1990). El hombre anumérico. Tusquets Editores Paulos, J. (1990). Más allá de los números. Tusquets Editores Perkins, D. (1992). Smart Schools. From Training Memories to Educating Minds. New York: The Free Press. (Hay traducción al español de Gabriela Ventureira en Gedisa Editorial, 1995, con el título de La escuela inteligente.) Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. Rico, Luis (1998). Complejidad del currículo de matemáticas como herramienta profesional RELIME: Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa: Num 1, CLAME, México: Thompson Editores. Rojano, T. & Ursini, S. (1997). Álgebra con hojas electrónicas de cálculo. Grupo Editorial Iberoamérica Ruiz, B. (1999) Curso rediseñado de matemáticas remediales. México: ITESM Campus Estado de México. En la plataforma LearningSpace: RZSRZSH1/RZS/ITESM, LSPACE\VA\curmod\cemma801\. Selmes, I. (1992). La mejora de las habilidades de estudio. Paidós. Seymour, D. & Shedd, M. (1981) Diferencias finitas. CECSA Socas, M., Camacho, M., Hernández, J. y Palarea, M. (1989) Iniciación al álgebra. Síntesis Steen, L. (1990) On the shoulders of giants. The National Academy of Sciences.

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Stenmark, Jean K. (1992). La evaluación de las matemáticas. Mitos, modelos, buenas preguntas y sugerencias prácticas. NCTM, Reston, VA, 1992. (Selección y traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu). Suárez, L. (2000). El trabajo en equipo y la elaboración de reportes en un ambiente de resolución de problemas. Tesis de Maestría del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN. Sullivan, Michael. Precálculo. Prentice-Hall, 1997. Torres, J. (1997). La Metodología de Estudio en un Ambiente de Resolución de Problemas. Tesis de Maestría del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN.

‘Álgebra’. Libro para el Profesor. Hoja 171