Física guía para el estudiante

FÍSICA

Guía para el estudiante

Física

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DIRECTORIO

Lic. Miguel Ángel Correa Jasso Director General

Lic. Jaime Antonio Valverde Arciniega Secretario General

Dr. José Enrique Villa Rivera Secretario Académico

Dr. Efrén Parada Arias Secretario de Apoyo Académico

Dra. Ma. De la Luz Paniagua Jiménez Secretario de Extensión y Difusión

Ing. Manuel Quintero Quintero Secretario Técnico

Ing. Rafael Esquivel Pantoja Director de Educación Media Superior

M. en C. Alfonso Ramírez Ortega Director de Tecnología Educativa

Lic. Arturo Salcido Beltrán Director de Publicaciones

ACADEMIA INSTITUCIONAL DE FÍSICA DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Diana Cecilia Cartagena Herrera Felipe Morales González

CECyT 1 “Gonzalo Vázquez Vela”

Oscar Díaz Capito

CECyT 2 “Miguel Bernard Perales”

Gustavo Gallegos Maldonado y Xavier Martínez Abad

CECyT 3 “Estanislao Ramírez Ruiz”

Jorge Freeman Espinoza

CECyT 4 “Lázaro Cárdenas”

Eleazar Escamilla Colín Reyna Ma. del Socorro Romero Urbán

CECyT 5 “Benito Juárez”

José Bonifacio Barrón Alfaro

CECyT 6 “Miguel Othón de Mendizábal”

María Elena Martínez Morales y Marcos Amaro Merino

CECyT 7 “Cuauhtémoc”

Carlos Ruiz Palacios y Virginia Rodríguez Jiménez

CECyT 8 “Narciso Bassols”

Bernardo González García

CECyT 9 “Juan de Dios Bátiz”

Álvaro Díaz Porcayo y Arnoldo Kohler Carrasco

CECyT 10 “ Carlos Vallejo Márquez”

Filiberto Intriago Morales

CECyT 11 “Wilfrido Massieu”

Rogelio Cervantes Maldonado

CECyT 12 “José María Morelos y Pavón”

Rosa Estela Russi García

CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Alejandro Barrera Ayala y Victor Hugo Luna Acevedo

CECyT 14 “Luis Enrique Erro”

Inocencio Suárez Alvarado Francisco Javier Suárez Alvarado

CECyT 15 “Diódoro Antúnez Echegaray”

Víctor M. Gallardo Hernández

CET 1 “Walter Cross Buchanan”

Luis Anaya

CECyT “Gonzalo Vázquez Vela”

Gustavo Gallegos Maldonado

CECyT “Estanislao Ramírez Ruiz”

José Bonifacio Barrón Alfaro

CECyT “Miguel Othón de Mendizábal”

Filiberto Intriago Morales

CECyT “Wilfrido Massieu Pérez”

Rosa Estela Russi García

CECyT “Ricardo Flores Magón”

Alejandro Barrera Ayala y Victor Hugo Luna Acevedo

CECyT “Luis Enrique Erro”

María Elena Martínez Morales

CECyT “Cuauhtémoc”

Coordinación General

Dirección de Tecnología Educativa Coordinación Editorial

Instituto Mexicano de Investigaciones Educativas, S.C. Coordinación Técnica

María Trigueros Sonia Ursini Francisco Noreña Revisión Pedagógica

Javier Alfaro Claudia Martínez Editora

Ana María Sánchez Diseño y Formación

José Fco. Gómez de León La edición e impresión de esta guía no tiene carácter lucrativo. Los juicios y opiniones para mejorar el contenido de este material pueden ser enviados a las siguientes direcciones electrónicas: Academia Institucional de Física [email protected] Dirección de Tecnología Educativa [email protected]

PRESENTACIÓN El Instituto Politécnico Nacional, a través de la Secretaría Académica, la Secretaría de Apoyo Académico, la Dirección de Tecnología Educativa y la Academia Institucional de Física como parte de las acciones de fortalecimiento del Nivel Medio Superior, ha desarrollado la guía para el estudiante de la asignatura de Física I, en la que se abarcan las áreas: Físico Matemáticas, Sociales y Administrativas y Médico Biológicas, con la finalidad de brindar a los alumnos un elemento más que apoye los procesos de enseñanza-aprendizaje y contribuir a elevar la calidad y el rendimiento académico de nuestra institución. El contenido de la guía se desarrolla acorde con el programa institucional de la asignatura, haciendo énfasis en aquellos temas esenciales que, por su complejidad, presentan cierta dificultad para su comprensión. El enfoque metodológico que se presenta está basado en la experiencia docente de los maestros de la Academia, se desarrolla a través de una reflexión crítica de la enseñanza de los conceptos físicos, mediante análisis, autoevaluaciones y evaluaciones, aplicación de conceptos en problemas reales con sus soluciones, experimentos rápidos como complemento a las prácticas de laboratorio, imágenes y gráficos auxiliares, trivias y acertijos, además de referencias bibliográficas actualizadas. Se reconoce el trabajo de la Academia Institucional de Física del Nivel Medio Superior quienes, para el desarrollo de esta guía, aportaron experiencias valiosas para el logro de los aprendizajes en el salón de clases.

Dr. José Enrique Villa Rivera Secretario Académico

Dr. Efrén Parada Arias Secretario de Apoyo Académico

Índice UNIDAD 1 CONOCIMIENTOS GENERALES

Física

9

UNIDAD 2 CINEMÁTICA

53

UNIDAD 3 ESTÁTICA

91

UNIDAD 4 DINÁMICA

117

UNIDAD 5 ENERGÍA

147

UNIDAD 6 PROPIEDADES GENERALES DE LA MATERIA

167

7

Unidad 1 Conocimientos Generales

ANTECEDENTES En el complejo proceso evolutivo del conocimiento, el hombre siempre ha buscado comprender los fenómenos naturales. Poco a poco, al describirlos, clasificarlos e intentar manipularlos, nació lo que hoy conocemos como física y sus aplicaciones a la tecnología. La palabra física proviene del griego PHYSIKÉ que significa NATURALEZA, y es la ciencia que se encarga del estudio de la materia, la energía y las interacciones entre ambas. Es muy vasto el mundo de la física, ya que abarca desde lo inmensamente grande hasta lo infinitamente pequeño, pasando por todas las cosas que observamos en nuestra vida cotidiana. Respecto a lo muy grande, las primeras interrogantes se referían al movimiento de los astros, cuya comprensión está íntimamente ligada a una mejor planeación de las labores agrícolas. Surgieron así las primeras teorías acerca del universo y su comportamiento. De las primeras teorías geocéntricas se pasó a las heliocéntricas, basadas en las observaciones e investigaciones de científicos como Copérnico, Kepler, Galileo y Newton. Física

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Nuevas investigaciones establecieron que el Sistema Solar es parte de una galaxia y que en el universo hay millones de galaxias que se alejan unas de otras. En el terreno de lo pequeño, las primeras preguntas estaban relacionadas con la estructura de la materia: ¿de qué están hechas las cosas? También en este caso las teorías han ido evolucionando: de las primeras ideas acerca de los átomos de Demócrito, se ha llegado hasta las modernas teorías de partículas elementales regidas por las leyes de la mecánica cuántica. Mientras el mundo gira, el universo se expande, y los protones, neutrones y electrones se mueven aparentemente al azar, el hombre continúa creando, investigando e inventando. Sus descubrimientos sirven para facilitar y recrear su vida. Los descubrimientos científicos y los inventos de la técnica se nutren mutuamente. Así, por ejemplo, la comprensión de los fenómenos relacionados con la electricidad y el magnetismo ha permitido el desarrollo de aparatos útiles como el teléfono, el horno de microondas, los aparatos de rayos X, la televisión, entre otros muchos. Por otra parte, la invención de la máquina de vapor condujo al estudio del calor y al nacimiento de toda una rama de la física; la termodinámica.

CLASIFICACIÓN DE LA FÍSICA Para su estudio, la física se clasifica en clásica y moderna. FÍSICA CLÁSICA: En general se afirma que la física clásica es la anterior a la mecánica cuántica. Algunos científicos incluyen la teoría de la relatividad dentro de la física clásica; para ellos la física clásica es toda la que no es cuántica; otros incluyen la relatividad dentro de la física moderna. FÍSICA MODERNA: Se entiende por física moderna a la que se desarrolló a partir del siglo XX. Sus dos principales áreas son la relatividad de Einstein y la mecánica cuántica. En este curso estudiaremos una parte de la física clásica, en particular la mecánica clásica. MEDICIONES Y ERRORES La física está basada en teorías cuyas leyes intentan dar cuenta 10

GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

de los fenómenos naturales. Para establecer o corroborar dichas leyes, es necesario medir diversas magnitudes como tiempos, distancias, masas, pesos, temperaturas, energías, voltajes, amperajes, etc. Recordemos que medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie. La medición nunca es exacta; depende en forma determinante de los aparatos que empleamos para medir y de la forma en que los usamos. A la diferencia entre el valor medido y el valor real de la magnitud la llamaremos error en la medición. Para obtener el valor más preciso o aproximado debemos efectuar varias mediciones y obtener el promedio de las mismas. Los errores cometidos en una medición pueden ser de dos tipos: sistemáticos y circunstanciales. ERRORES SISTEMÁTICOS Siempre son constantes y aparecen debido a: • Instrumento defectuoso • Error de paralelaje • Mala calibración del instrumento • Error de escala ERRORES CIRCUNSTANCIALES Se repiten de medición en medición y están causados por: • Humedad • Temperatura • Ambiente • Iluminación • Presión Dependiendo de sus causas o de sus aplicaciones, debemos considerar diferentes tipos de errores: ERROR ABSOLUTO ( EA ) Se define como la diferencia entre la medición y el valor más probable EA = M-Vp ERROR RELATIVO ( ER) Se define como el cociente entre el error absoluto y el valor más probable ER= EA/Vp

Física

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ERROR PORCENTUAL Se define como el producto del error relativo por 100 EP= ER x 100 EJEMPLO: El equipo # 6 del grupo 301 del laboratorio de física I, mide el diámetro de una esfera y obtiene los siguientes datos : 2.23 cm , 2.22 cm, 2.21 cm, 2.23 cm, 2.21 cm y 2.22 cm. Calcular : A) El valor más probable B) El error absoluto C) El error relativo D) El error porcentual Solución del problema: Lo primero que vamos a hacer es anotar los datos obtenidos por el equipo para calcular lo que se nos pide. DATOS: m1 = 2.23 cm m2 = 2.22 cm m3 = 2.21 cm m4 = 2.23 cm m5 = 2.21 cm m6 = 2.22 cm En primer lugar calculamos el valor más probable como el promedio de los datos: Vp= (m1+m2+m3+m4+m5+m6 )/ 6 = (2.23+2.22+2.21+2.23+2.21+2.22 )/6 = 13.32/6 Vp= 2.22 cm Ahora vamos a calcular el error absoluto, que es la diferencia entre el valor medido y el valor más probable sin considerar el signo, pues únicamente nos interesa el tamaño de esta diferencia. EA= M-Vp 12

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Para cada dato tenemos qué: 2.22 cm- 2.23 cm = 0.01 cm 2.22 cm- 2.22 cm = 0.00 cm 2.22 cm- 2.21 cm = 0.01 cm 2.22 cm- 2.23 cm = 0.01 cm 2.22 cm- 2.21 cm = 0.01 cm 2.22 cm- 2.22 cm = 0.00 cm El promedio de estos valores es: 0.04 cm/6 = 0.0066 cm Calculemos ahora el error relativo: ER = EA/Vp ER = 0.0066 cm / 2.22 cm ER= 0.0297 Por último vamos a calcular el error porcentual EP = ER X 100 % EP = 0.0297 X 100 % EP = 2.97 %

Crea un problema como el anterior con tus compañeros de clase. Midan el largo de una hoja, el largo del escritorio o el largo del salón y calculen: el valor más probable, el error absoluto, el error relativo, y el error porcentual, y expliquen el significado de cada resultado. Por último: no olvides que cuando tengas que “medir” debes hacerlo varias veces con el mismo instrumento y después sacar un promedio para obtener valor más aproximado al real. Al final de esta unidad encontrarás más problemas de este tipo. SISTEMAS DE UNIDADES Para medir una magnitud física es necesario establecer un patrón o unidad de comparación. En la historia de la humanidad se han establecido diferentes formas de medir las distintas magnitudes físicas, y se utilizaron en ocasiones las partes del cuerpo como los pies, las brazas, las pulgadas, etc. Cada civilización medía a su manera las magnitudes que les eran útiles. Cuando Física

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los diferentes pueblos interactuaron con mayor frecuencia, se enfrentaron a los problemas emanados de la diferente manera de medir las cosas que había adoptado cada uno y se hizo necesario establecer convenios internacionales cada vez más amplios para ponerse de acuerdo en las unidades de medición. En el año de 1960 se reunieron en Suiza técnicos y científicos de varios países para actualizar el sistema de unidades adoptado por todos ellos con el fin de permitir una comunicación y un comercio más eficientes. En esa reunión nació el Sistema Internacional de Unidades (SI). Este sistema tiene como base el metro, el kilogramo y el segundo como unidades de longitud, masa y tiempo, respectivamente. En la actualidad se siguen usando otros sistemas como el inglés, el c.g.s , y el gravitacional. El sistema internacional tiene 7 unidades básicas que son:

MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

LONGITUD METRO m MASA KILOGRAMO kg TIEMPO SEGUNDO s TEMPERATURA KELVIN °k CANTIDAD DE SUSTANCIA MOL mol INTENSIDAD LUMINOSA CANDELA cd INT. DE CORRIENTE ELECT. AMPERE A Una UNIDAD es una base de comparación para medir. Las unidades se pueden clasificar en FUNDAMENTALES Y DERIVADAS Una unidad fundamental es aquella que no se puede definir ni expresar a partir de otras. Como ejemplo tenemos las anteriores magnitudes básicas. Una unidad derivada es aquella que se forma al combinar dos o más fundamentales; por ejemplo, la unidad de velocidad es m/s, la de volumen es el m3 y la de densidad es el g/cm3. PREFIJOS UTILIZADOS PARA FORMAR

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MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS EN EL SI FACTOR DE CONVERSIÓN 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

PREFIJO exa peta tera giga mega kilo hecto deca unidad deci cent mili micro nano pico femto atto

SÍMBOLO E P T G M k H Da d c m m n p f a

CONVERSIÓN DE UNIDADES Es importante aprender a realizar cambios de unidades, ya que en muchas ocasiones conviene usar diferentes unidades dependiendo de lo que se quiera medir. A continuación damos una tabla de conversiones que puede ser de gran utilidad:

TIEMPO 1 día = 1.44 x 103 min = 8.64 x 104 s 1 año = 8.76 x 103 H = 5.26 x 105 min = 3.15 x 107 s LONGITUD 1 m = 1 x 102 cm = 39.4 pulg = 3.28 ft 1 cm = 10 mm = 0.394 pulg 1 km = 1000 m = 0.621 mi 1 ft = 12 pulg = 0.305 m = 30.5 cm 1 pulg = 0.0833 ft = 2.54 cm = 0.0254 m 1 mi = 5280 ft = 1.61 km ÁREA 1 m2 = 100 cm2 = 1.55 x 103 pulg2 = 10.76 ft2 Física

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1 cm2 = 10 m_ = 0.155 pulg2 1 ft2 = 1.44 pulg2 = 9.29 x 10-2 m2 = 929 cm2 VOLUMEN 1 m3 = 103 dm3_= 106 cm3 = 35.3 ft3 = 6.10 x 104 pulg3 1 ft3 = 1728 pulg3 = 2.83 x 10-2 m3 = MASA 1 kg = 103 gr = 0.0685 slugs. FUERZA 1 N = 105 dinas = 0.225 lb = 1 lb = 16 onzas = 4.45 N. PRESIÓN 1 Pa = 1 N/m2 = 2.09 x 10-2 lb/ft2 1 atm = 1.013 x 105 Pa = 14.7 lb/pulg2 ENERGÍA 1 J = 0.738 ft . lb = 2.39 x 10 kcal. 1 kcal = 1000 cal = 4185 J = 3097 BTU. POTENCIA 1 w = 1 J/s = 0.738 ft lb/s. 1 kw = 1000 w = 1.34 Hp. 1 Hp = 550 ft lb/s = 746 w. PROBLEMAS Realiza los siguientes cambios de unidades:

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1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

88 km/h 110 km/min 143 m/s 120 mi/h 160 mi/h 143 pulg. 83 m 648 lb

a a a a a a a a

m/s m/s km/s pies/s m/s cm pies g

9.

9m

a

cm

10.

93 m

a

dm GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

11.

1,348 cm

a

pies

12.

681 cm

a

km

13.

916 pies

a

m

14.

310 km/h

a

m/s

15.

48 m/s

a

km/h

16.

318 pulg.

a

cm

17.

41.8 pie

a

m

18.

140 km/h

a

m/s

19.

161 pies

a

pulg.

20.

364 cm

a

Hm

21.

143 pulg.

a

cm

22.

83 m

a

pies

23.

648 lb

a

g

24.

90 km/h

a

m/s

25.

80 mi/h

a

pies/min

26.

19 Hm

a

cm

27.

9 yd.

a

cm

28.

351 km

a

mm

29.

43 mi/s

a

km/h

30.

1,493 pies

a

mi

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Características de las magnitudes escalares y vectoriales Algunos conceptos físicos, como la velocidad y la fuerza, requieren para quedar bien definidos de la especificación de su tamaño y de su dirección. Para otras, como por ejemplo el tiempo y la temperatura, esto no es necesario; basta con saber su magnitud. Por ello, las cantidades físicas se clasifican fundamentalmente en dos grupos: magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. a) Magnitudes escalares: son aquellas que quedan perfectamente determinadas por medio de un número y su unidad correspondiente; por ejemplo, la longitud de una varilla se determina completamente por su magnitud: 12 m

Física

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b) Magnitudes vectoriales: son aquellas que requieren de magnitud, dirección y sentido, para quedar completamente definidas. Su representación matemática es el vector. Por ejemplo, para que la velocidad de un automóvil que viaja de la ciudad “A” a la ciudad “B” quede bien definida, es necesario considerar que dicha velocidad es de 80 km/h en dirección este - oeste. Por lo tanto, se tiene: Magnitud de la velocidad: 80 km/h Dirección: este - oeste Sentido: de “A” a “B”

FIGURA 1.1

Diferencia entre las magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes físicas escalares, como longitud, superficie, volumen, masa, densidad, tiempo, temperatura, potencia, son ejemplos de magnitudes escalares. En cambio velocidad, aceleración, fuerza, momento de una fuerza, momento angular, campo eléctrico, campo magnético, son magnitudes vectoriales. Existe una diferencia fundamental entre las magnitudes físicas escalares y vectoriales: la manera de efectuar con ellas las operaciones de suma, resta y multiplicación o producto. Para sumar dos magnitudes escalares, se aplican las reglas del álgebra, mientras que para sumar dos cantidades vectoriales, se debe tomar en cuenta la magnitud, la dirección y el sentido de cada vector, y debe usarse el álgebra vectorial. 18

FIGURA 1.2 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

Características de un vector Un vector es un segmento de recta dirigido que, dibujado a escala conveniente, representa a cierta cantidad vectorial. Un vector se representa gráficamente por un segmento rectilíneo dirigido, con una punta de flecha en uno de los extremos. La longitud del vector AB se representa a una escala adecuada y corresponde a la magnitud del vector. Su dirección se especifica mediante el ángulo que forma el vector con la horizontal y la punta de flecha indica su sentido.

FIGURA 1.3

De acuerdo a las figuras, al punto “A” se le llama origen o Física

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inicio del vector mientras que al punto “B” se le llama extremo del vector, y la línea que une ambos puntos es una recta sobre la cual actúa. Notación de un vector Puesto que los vectores difieren de los escalares, para distinguir a los vectores se les denota en forma especial; existen varios tipos de notación: 1. Con una letra mayúscula y una tilde encima.

2. Con dos letras mayúsculas y una tilde encima.

La primera letra corresponde al origen del vector y la segunda a su extremo.

Dirección de un vectorLa dirección se puede indicar por el ángulo que forma el vector con un cierto eje de referencia. Por conveniencia se utiliza un eje horizontal, el eje “X”, como se muestra en la figura. A este tipo de representación se le llama representación geométrica de un vector.

FIGURA 1.4

El ángulo q se mide en la forma usual, es decir en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, usando un 20

GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

transportador.

Establecimiento de la escala de un vector Para representar gráficamente un vector necesitamos una escala convencional, la cual establecemos según nuestras necesidades, de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que le queramos dar. Si queremos representar un vector en una cuartilla no usaremos la misma escala que si lo hacemos en una hoja de nuestro cuaderno. Por ejemplo, si se desea representar en la cuartilla un vector fuerza de 350 N, dirección horizontal y sentido positivo, podemos usar una escala de 1 cm igual a 10N: Así, con sólo medir y trazar una línea de 35 cm el vector estará representado. Pero en nuestro cuaderno esta escala sería muy grande; lo recomendable es una escala de 1 cm = 100 N para que el vector mida 3.5 cm. Para representar gráficamente un vector es necesario tener a la mano una regla graduada y un transportador, para medir longitudes y ángulos. 1. Represente geométricamente el vector = 30 N – 120° con una escala 1: 10 10 N = 1 cm 30 N = 3 cm

FIGURA 1.5

2. Representar geométricamente el vector = 80 N – 210° con escala 1: 20 20 N = 1 cm

Física

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80 N = 4 cm

FIGURA 1.6

3. Un automóvil viaja con una velocidad de 20 km/h hacia el sureste. Representar geométricamente el vector velocidad con una escala de 1 : 5 (usando la rosa de los vientos). V = 20 km/h al sureste Esc : 1 : 5 5 km/h = 1 cm 20 km/h = 4 cm

FIGURA 1.7

SISTEMA DE VECTORES: coplanares, no coplanares, colineales y concurrentes

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GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

Sistema de vectores Es un conjunto de vectores que nos interesa estudiar, por ejemplo un conjunto de fuerzas actuando sobre un cuerpo. F = Es la fuerza que jala al cuerpo fR = Es la fuerza que se opone al movimiento (fuerza de fricción) W = Peso del cuerpo N = Es la normal perpendicular al plano

FIGURA 1.8

Los vectores que componen un sistema de fuerzas pueden ser coplanares o no coplanares. a) Un sistema de vectores coplanares es el conjunto de vectores que están contenidos en un mismo plano. b) Un sistema de vectores no coplanares es el conjunto de vectores que se encuentran contenidos en distintos planos. Los sistemas coplanares y no coplanares se subdividen en sistemas: • Colineales, donde los vectores del sistema están sobre una misma línea de acción, como se muestra en la siguiente figu-

Física

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ra:

FIGURA 1.9

• Paralelos, donde los vectores del sistema están sobre líneas de acción paralelas entre sí.

FIGURA 1.10

• Concurrentes, donde las líneas de acción de todos los vectores del sistema concurren en un punto.

FIGURA 1.11

• Arbitrarios, donde las líneas de acción de todos los vectores

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GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

del sistema no son concurrentes ni paralelas.

FIGURA 1.12

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Propiedad de transmisibilidad del punto de aplicación El efecto de la aplicación de un vector no se modifica si éste se traslada en una misma dirección, es decir, sobre su propia línea de acción. Por ejemplo, si se desea mover un cuerpo horizontalmente mediante la aplicación de una fuerza, el resultado será el mismo si empujamos el cuerpo que si lo jalamos.

FIGURA 1.13

Propiedades de los vectores libres Los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí

Física

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mismos. Esta propiedad la utilizaremos al sumar vectores por los métodos gráficos del paralelogramo, el triángulo y el polígono que se estudiaran más adelante.

FIGURA 1.14

Sumamos el primer vector más el segundo vector.

FIGURA 1.15

Sumamos el segundo vector más el primer vector. OPERACIONES CON VECTORES Las operaciones que se realizan con los vectores se hacen 26

GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

siguiendo métodos de composición y descomposición de vectores, en los que se utilizan las reglas de la geometría, de la trigonometría y del álgebra. Composición de cantidades vectoriales Cuando un sistema dado de vectores coplanares se sustituye por otro sistema del mismo tipo, con un número menor de vectores, pero que producen los mismos efectos que en el sistema original, se dice que se ha empleado el método de composición. Descomposición de cantidades vectoriales Cuando a un sistema dado de vectores se le sustituye por otro sistema del mismo tipo, con un número mayor de vectores, produciendo el mismo efecto que el sistema original, se dice que se ha empleado el método de descomposición. Los vectores se pueden sumar, restar y multiplicar: la suma y la resta o diferencia sólo se puede efectuar con vectores de la misma especie, mientras que la multiplicación o producto se puede efectuar con vectores de diferente especie. Suma y resta de vectores, método gráfico y analítico La suma de dos o más vectores de la misma especie da como resultado otro vector, al cual se le llama vector suma o vector resultante, y se le suele denotar con la letra La resultante tiene la propiedad de producir el mismo efecto que el sistema de vectores que lo originó. La resultante de dos vectores y se define como la diagonal del paralelogramo generado por y como se muestra en la figura; esta definición se conoce como la ley del paralelogramo.

FIGURA 1.16

Física

La resultante es el sistema más simple a que puede ser reducido un sistema dado de vectores, produciendo los mismo efectos. 27

Para utilizar estos métodos es necesario contar con un juego de geometría completo, regla graduada, transportador y lápices de colores I.- Métodos gráficos

a) Método gráfico del paralelogramo b) Método gráfico del triángulo

Existen dos procedimientos

c) Método gráfico del polígono

para efectuar la suma de vectores Son los que permiten determinar la suma o resultante con ayuda de la trigonometría II.- Métodos analíticos

a) Método analítico del triángulo o ley de senos y cosenos b) Método analítico de componentes rectangulares

a) Método gráfico del triángulo Para sumar dos vectores por este método, se procede de la manera siguiente: 1. Se grafican los vectores a la misma escala, de tal manera que el extremo de uno coincida con el origen del otro, como se muestra en la figura b.

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GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

FIGURA 1.17

2. Se traza un segmento rectilíneo desde el origen del primer vector al extremo del segundo. Este segmento, en la misma escala que los vectores, representa la suma o resultante de los vectores dados; su origen coincide con el origen del primer vector y su extremo coincide con el extremo del segundo, como se muestra en la figura c.

FIGURA 1.18

3. Se mide la longitud de este segmento, la cual determina la magnitud de la resultante, utilizando la misma escala en que se encuentran graficados los vectores. R=A+B R=B+A 4. Se mide el ángulo de la resultante.

Física

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R = R∠ θ • Hallar la resultante del siguiente sistema de vectores: A = 12 N ∠ 15° y B = 8 N∠ 70° por el método gráfico del triángulo, a una escala de 1: 2 Datos: A = 12 N ∠ 15° B = 8 N ∠ 70° Esc 1:2 A = 12 N = 6 cm B = 8 N = 4 cm R=A+B R = 9.2 cm = 18.1 N ∠ 33°

FIGURA 1.19

Utilizando el mismo sistema de vectores del problema anterior pero invirtiendo el orden de los vectores, grafíquelos. Datos:

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GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

A = 12 N ∠ 15° B = 8 N ∠ 70° esc 1:2 A = 12 N = 6 cm B = 8 N = 4 cm R=A+B R = 9.2 cm = 18.1 N ∠ 33° R=B+A

FIGURA 1.20

Al seguir la secuencia indicada encontramos que se cumple la ley conmutativa. A+B=B+A • Un jinete y su caballo cabalgan 3 km al N y después 4 km al O. Calcular su resultante por el método gráfico del triángulo a escala de 1:1. Datos: A = 3 km al N = 3 km ∠ 90° B = 4 km al O = 4 km ∠ 180° esc 1:1 A = 3 km = 3 cm B = 4 km = 4 cm R = 5 cm = 5 km R = 5 km – 153°

Física

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FIGURA 1.21

• Utilizando el mismo sistema de vectores del problema anterior pero invirtiendo el orden de los vectores, grafíquelos. Datos: A = 3 km al N = 3 km ∠ 90° B = 4 km. al O = 4 km ∠ 180° esc 1:1 A = 3 km = 3 cm B = 4 km = 4 cm R = 5 cm = 5 km R = 5 km. – 153°

FIGURA 1.22

A+B=B+A b) Método gráfico del polígono

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GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

Este método es una generalización del método gráfico del triángulo para más de dos vectores y consiste en una repetición sucesiva de dicho método. Para sumar vectores utilizando este método, se procede de la manera siguiente: Dado un sistema de tres o más vectores 1. Se grafican los vectores a la misma escala, de tal manera que el extremo del primero coincida con el origen del segundo, el extremo de éste debe coincidir con el origen del tercero, y así sucesivamente hasta el último vector, como se muestra en la figura para el caso de un sistema de vectores.

FIGURA 1.23

2. Trazamos un segmento rectilíneo que une el origen del primer vector con el extremo del último. Este segmento en la misma escala que los vectores representa el vector suma o el vector resultante del sistema; su origen coincide con el origen del primer vector y su extremo coincide con el extremo del último como se observa en la figura.

R=A+B+C+D+E

Física

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FIGURA 1.24

2. Se mide la longitud de este segmento, la cual de acuerdo a la escala utilizada para graficar los vectores, corresponde a la resultante del sistema. R=A+B+C+D+E 3. Se mide el ángulo que la resultante forma con la horizontal, el cual indica su dirección. R=R∠ϕ Determinar la resultante por el método gráfico del polígono del siguiente sistema de vectores, utilizando una escala de 1: 10. A = 35 N ∠ 20° = 3.5 cm B = 30 N ∠ 100° = 3 cm C = 25 N ∠ 315° = 2.5 cm R = 5.7 cm R = 57 N ∠ 30°

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FIGURA 1.25 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

Problemas complementarios 1. Una lancha de motor efectúa los siguientes desplazamientos: 300 m al oeste, 200m al norte, 350 m al noreste, y 150 m al sur. Calcular su resultante utilizando el método gráfico del polígono con una escala de 1 : 100. A = 300 al oeste ο (∠ 180°) = 3.0 cm ∠ 180° B = 200 al norte o (∠ 90°) = 2.0 cm ∠ 90° C = 350 al noreste o (∠ 45°) = 3.5 cm ∠ 45° D = 150 al sur o (∠ 270°) = 1.5 cm ∠ 270°

= 3 cm ∠ 100° = 300 m ∠ 100°

FIGURA 1.26

1. Una ardilla camina en busca de comida, efectuando el siguiente desplazamiento: 15 m al sur, 23 m al este, 40 m en dirección noreste con un ángulo de 35°, 30 m en dirección noreste con un ángulo 60°, y finalmente 15 m en dirección suroeste con un ángulo 220°. Calcular su resultante por el método gráfico del polígono con escala 1 : 10 A = 15 m al S (∠ 270°) = 1.5 cm ∠ 270° B = 23 m al E (∠ 0°) = 2.3 cm ∠ 0° Física

35

C = 40 m al NE (∠ 35°) = 4 cm ∠ 35° D = 30 m al NE (∠ 60°) = 3 cm ∠ 60° E = 15 m al SO (∠ 220°) = 1.5 cm ∠ 220° Esc 1:10 R = 3.8 cm ∠ 40° R = 38 m ∠ 40

FIGURA 1.27

II. MÉTODO ANALÍTICO a) Método analítico del triángulo (ley de Cosenos) Este método consiste en utilizar el teorema de Pitágoras y algunos resultados de la trigonometría para encontrar la magnitud y el ángulo de la resultante de un sistema de dos vectores. Si los dos vectores del sistema forman un ángulo de 90°, se utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la magnitud de su resultante, y cualquier función trigonométrica para encontrar el valor del ángulo de esta resultante. Si los vectores no son perpendiculares, se utiliza la ley de los cosenos para hallar la magnitud de su resultante y la ley de los 36

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senos para encontrar su ángulo. 1. Hallar la resultante del siguiente sistema de vectores: F1 = 30 N ∠ 30° y F2 = 38 N ∠ 0° por el método analítico del triángulo a) Primero se grafican los vectores a una escala correspondiente por el método gráfico del triángulo F1 = 30 N ∠ 30° = 3 cm F2 = 38 N ∠ 0° = 3.8 cm Esc 1 : 10

FIGURA 1.28

b) Para calcular la resultante debemos encontrar uno de los tres lados del triángulo oblicuo cuyos lados conocidos son F1 y F2. Aplicamos la ley de los cosenos tomando en cuenta que el triángulo oblicuo es el ángulo formado por los dos vectores.

FIGURA 1.29

c) Para calcular el ángulo a que forma la resultante con respecto Física

37

a la horizontal, aplicamos la ley de los senos.

R = 65.715 ∠ 13° 12 2. Hallar la resultante del siguiente sistema de vectores: F1 = 400 N ∠ 180° F2 = 250 N ∠ 40° por el método analítico del triángulo. Datos. esc 1 : 100 F1 = 400 N ∠ 180° = 4 cm ∠ 180° F2 = 250 N ∠ 40° = 2.5 cm ∠ 40° b = 40°

FIGURA 1.30

38

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R= 263.25° ∠ 143° 24´

También podemos graficar los vectores de la siguiente manera y es el mismo procedimiento:

FIGURA 1.31

c) Método analítico de las componentes rectangulares Para estudiar las componentes rectangulares de un vector, se utiliza el concepto de proyección de un vector sobre un eje. Proyección de un vector sobre un eje Para facilitar las cosas, consideremos el eje “X” como el eje sobre el cual se proyecta el vector.

Física

39

Sea V = V ∠ θ un vector con su origen en el punto “A” y su extremo en el punto “B”. Si estos puntos son proyectados perpendicularmente sobre el eje de las “X”, se consideran los puntos “C” y “D” como se muestra en la figura.

FIGURA 1.32

Definimos la proyección del vector V sobre el eje “X” como la longitud del segmento rectilíneo CD, y se denota V X. Del triángulo AEB de la figura anterior, se tiene:

Se realiza el mismo procedimiento para el eje de las “Y”: VY = V sen θ

Componentes Rectangulares de un Vector. Dado un vector V = V ∠ θ, se puede graficar en el sistema cartesiano de coordenadas (X,Y) como el de la figura.

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FIGURA 1.33

En donde θ es el ángulo formado por el vector y el eje “X” positivo, como se muestra en la figura. La proyección del vector sobre el eje “X” recibe el nombre de la componente rectangular del vector V en el eje “X”, y la proyección sobre el eje “Y” se llama componente rectangular del vector V en el eje “Y”, como se muestra en la figura. Por consiguiente, las expresiones analíticas de las componentes rectangulares del vector están dadas por:

1. Calcular las componentes rectangulares del vector A = 10 N ∠ 150° Solución: A = 10 N ∠ 150° θ = 180° - 150° = 30°

FIGURA 1.33BIS

Física

41

Utilizando las ecuaciones anteriores: AX = A cos θ = 10 N (cos 150°) = - 8.66 N AX = - 8.66 N AY = A sen θ = 10 N (sen 150°) = 5 N AY = 5 N Escala 1 : 0.5 2. Calcular las componentes rectangulares del vector B = 25 m/s ∠ 217° Solución: B = 25 m/s ∠ 217° α = 217° - 180° = 37 ° Utilizando las ecuaciones anteriores. BX = B cos α = 25 m/s (cos 217°) = - 19.96 m/s BX = - 19.96 m/s BY = B sen α = 25 m/s (sen 217°) = - 15.04 m/s BY = - 15.04 m/s

FIGURA 1.34

3. Calcular las componentes rectangulares del vector E = 10 N/C ∠ 340° Solución: E = 10 N/C ∠ 340° β = 340°- 360° = -20° EX = E cos β = 10 N/C (cos 340°) = 9.39 N/C EX = 9.39 N/C EY = E sen β = 10 N/C (sen 340°) = - 3.42 N/C EY = - 3.42 N/C

42

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FIGURA 1.35

Obtención de un vectorDadas a partir sus componentes rectangulares las de componentes rectangulares de un vector V, éste puede obtenerse llevando perpendiculares a los ejes “X” y “Y”, a partir de los respectivos componentes, como se muestra en la figura.

FIGURA 1.36

Recordando que las componentes están dadas por: VX = V cos θ VY = V sen θ Entonces:

Física

43

VX2 + VY2 = (V cos θ)2 + (V sen θ)2 VX2 + VY2 = V2 cos2 θ + V2 sen2 θ VX2 + VY2 = V2 (cos2 θ + sen2 θ) VX2 + VY2 = V2 V=

FIGURA 1.37

44

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Cuadrante

θ

Signo (VX)

Signo (VY)

I

θ=α

+

+

II

θ = 180°- α

-

+

III

θ = 180° + α

-

-

IV

θ = 360°- α

+

-

Diagrama

Obtener el vector A cuyas componentes son: AX = - 13 T y AY = 8 T

Física

45

A = 15.26 T ∠ 148°24

FIGURA 1.38 46

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1. Obtener el vector B dado por sus componentes: BX = -6 m/s y BY = - 7 m/s Graficamos con una escala adecuada. Sustituimos BX y BY en las ecuaciones.

A = 9.24 m/s ∠ 229°24

FIGURA 1.39

2. Determinar la magnitud y la dirección del vector F cuyas

Física

47

componentes son: FX = 25 N y FY = - 35 N Datos: FX = 25 N FY = - 35 N Solución:

FIGURA 1.40

Multiplicación de un escalar por un vector El producto de un escalar k por un vector r se escribe kr, y es otro vector cuya magnitud es k veces mayor que la magnitud de r, y cuya línea de acción es la misma que la del vector r. Si k es positivo, el sentido de kr será el mismo que el de r; pero si k es negativo, el sentido de kr será el contrario al de r. 1. Si r = 3 T ∠ u k = 25

2. Si r = 5 N – 30° k=6

kr = 25 (3 T ∠ u) kr = 75 ∠ u kr = 6 (5 N ∠ 30°) kr = 30 ∠ 30°

3. Si r = 4 N ∠ 90° k=-1 48

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kr = -1 (4 T ∠ 90°) kr = - 4 ∠ 90° kr = 4 ∠ 270° Producto escalar o producto punto Tanto en física como en matemáticas resulta de gran utilidad definir un producto entre dos vectores cuyo resultado no es un vector sino un número, es decir un escalar. A este producto se le llama producto escalar de dos vectores o producto punto. El producto escalar de dos vectores consiste en multiplicar la magnitud de uno de ellos por la componente del otro vector en la misma dirección del primero. Esto significa que es el producto de las magnitudes de ambos vectores por el coseno del ángulo entre sus líneas de acción.

FIGURA 1.41

Matemáticamente se expresa:

1. Determinar el producto escalar de los vectores F y d graficados en la figura. Si F = 3 N ∠ 35° y d = 4 = 0° F * d = Fd cos 35° F * d = (3)(4) cos 35° F * d = 9.8304 Nm Algunas cantidades físicas que resultan del producto escalar de dos vectores son el trabajo mecánico, las potencia mecánica, o eléctrica, etc. Observe que el producto escalar de dos vectores también presenta la propiedad conmutativa de la multiplicaFísica

49

ción.

FIGURA 1.42

¿Qué es la técnica? Tomemos un ejemplo sencillo: la alfarería. En la alfarería se puso en práctica lo que los hombres habían transmitido como experiencias de generación en generación, lo DIFERENCIA ENTRE CIENCIA Y TÉCNICA que sabían sobre arcillas para hacer el barro y las formas de elaborar vasijas. Cuando ese tipo de tareas se hace una y otra vez, se está haciendo uso de la técnica. Puede decirse que la técnica se inicia dentro de las sociedades del hombre primitivo, y es la aplicación sistemática de ciertos procedimientos bien definidos para obtener bienestar; para estos procedimientos se basan en algunos conocimientos científicos. Desde la época medieval se puso de manifiesto la división entre ciencia y técnica. La ciencia era ocupación de sabios: se estudiaba en libros y trataba sobre fenómenos naturales, mientras que la tecnología abarcaba sólo las cosas prácticas y la ejecutaba el artesano. La palabra ciencia proviene del latín scientia, que significa sabiduría. Así, la ciencia es conocimiento. Según Bunge, ciencia es «ese creciente cuerpo de ideas que puede caracterizarse como conocimiento racional, sistemático, exacto, verificable y por consiguiente falible. La ciencia es un sistema de ideas establecidas provisionalmente (conocimiento científico) y como una actividad productora de nuevas ideas (investigación científica). Kedrop y Spérkrim expresan: «la ciencia es un sistema de conceptos acerca de los fenómenos y leyes del mundo externo o de la actividad espiritual de los individuos, que permite prever y transformar la realidad en beneficio de la sociedad». 50

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Lo cierto es que la ciencia y la técnica siempre van de la mano pues no hay ciencia sin técnicas ni técnica sin ciencias.

Hasta hace no muchos años se hablaba de una serie de pasos que tenían que seguirse en la investigación científica para obtener conclusiones y nuevas leyes. A esta serie de pasos se le MÉTODO CIENTÍFICOconocía como método científico y consistía en observación, formulación de hipótesis, experimentación, comprobación de hipótesis (o modificaciones en su caso), etc. Hoy en día son tantas las ramas de la ciencia y los procedimientos seguidos para crear nuevos conocimientos, que difícilmente puede hablarse de un método científico. De hecho hay muchos métodos científicos, y lo que cuenta es la imaginación y la habilidad para crear ideas que expliquen los fenómenos naturales y sociales, y que por supuesto estén de acuerdo con los resultados experimentales y observacionales. Describiremos de todas maneras algunos de los pasos “clásicos” del método científico tradicional: 1. La formulación del problema.- En este punto se identifica un problema que requiera solución o una pregunta que necesite contestación. Para formular un problema se requiere del conocimiento básico del tema en particular que se encuentra insertado en un cuerpo de teoría o teorías. 2. Formulación de la hipótesis.- Aquí se hace una propuesta de solución al problema con carácter transitorio. Es una conjetura o una posibilidad basada en datos confiables aprobados y publicados, de preferencia en revistas de prestigio o en libros acreditados. 3.-Investigación.- Búsqueda de datos pertinentes que sirvan para resolver el problema o aceptar o impugnar la hipótesis. 4.-Análisis e interpretación de datos .- Una vez recogidos los datos de la investigación se procede a su análisis e interpretación. Aquí se observará lo mas relevante del estudio. En este punto pueden hacerse asociaciones entre variables, o el efecto de un factor sobre un fenómeno. En muchas ocasioFísica

51

nes, el cálculo estadístico será también de mucha ayuda para conocer el resultado real de los datos obtenidos. 5.-Redacción de las conclusiones.- Una vez efectuada la fase anterior, el investigador procede a obtener sus conclusiones. 6.-Proceso de verificación.- Por último, con base a las conclusiones y en conjugación con el establecimiento el problema y la hipótesis, esta última se acepta, se rechaza o se modifica. Los datos obtenidos deberán ser suficientes para proceder a aceptar o rebatir lo originalmente formulado. MÉTODO EXPERIMENTAL Al igual que ocurre con el método científico, no puede decirse que existan recetas para la realización de experimentos. Hay muchos métodos experimentales, tantos que casi podría afirmarse que para cada experimento hay uno, ya que los retos que nos plantean son siempre distintos. La habilidad del experimentador consiste en imaginar y llevar a cabo de la mejor manera posible el control de sus variables para poder obtener resultados lo más precisos posibles, y en este proceso se siguen muchos caminos distintos.

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Unidad 2 Cinemática

1. INTRODUCCIÓN Si dejas caer simultáneamente desde la misma altura un libro y una goma, ¿cuál llegará primero al piso? ¿En cuánto tiempo puede alcanzar su máxima velocidad de 350 km/h un carro de carreras fórmula uno? ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y aceleración? ¿Con qué ángulo debe lanzarse un proyectil para que llegue lo más lejos posible? Llena un pedazo de manguera transparente con un líquido viscoso, por ejemplo, miel para bebé. Si al verter la miel no se formó ninguna burbuja de aire, inyéctala tú. Inclina la manguera hacia uno y otro lado. ¿Cómo se mueve la burbuja? ¿Por qué crees que los ingenieros y los albañiles utilizan un aparato (nivel) que se parece a este dispositivo? Para lograr un buen saque en el volibol hay que pegarle a la pelota justo cuando deja de subir y empieza a bajar. ¿Por qué? La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento. Supongamos que estamos interesados en saber cómo se mueve cierto objeto. Sabemos que tiene cierta posición, Física

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cierta velocidad y cierta dirección. Si las condiciones actuales no se alteran, ¿dónde se encontrará el objeto dentro de 1 hora? ¿En qué momento el objeto en cuestión ocupará una posición determinada? Este es el tipo de preguntas que la mecánica nos permite contestar. La mecánica se divide en cinemática y dinámica. La cinemática se ocupa de describir el movimiento de los objetos. La dinámica, por su parte, nos permite predecir el movimiento de los objetos a partir de la información que se tiene acerca del objeto mismo y de su entorno. En esta parte de la guía nos ocuparemos de la cinemática y empezaremos con las nociones que se generan cuando un objeto se mueve en un espacio unidimensional, esto es, a lo largo de una línea recta, para pasar después a considerar el movimiento en un espacio bidimensional, esto es, en un plano. Sabías que... La superficie de la Tierra en el ecuador se mueve con respecto al centro del planeta a una velocidad de 4.6 x 102 m/s aproximadamente. La galaxia conocida que se aleja más rápidamente de la Tierra, se mueve a una velocidad de 2.4 x 108 m/s aproximadamente. La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/s aproximadamente. El centro de la Tierra se mueve con respecto al Sol a una velocidad aproximada de 3 x 103 m/s. La magnitud de la aceleración de un protón en un acelerador de partículas es de 1014 m/s2 aproximadamente. ¿Cómo crees que se ha llegado a saber todo esto?

2. PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA CINEMÁTICA La cinemática es la parte de la mecánica que estudia los cuerpos en movimiento. Basándote en tu experiencia, ¿cuándo dirías que un cuerpo está en movimiento? A veces resulta fácil observar el movimiento. Por ejemplo, observamos que un coche se mueve por una calle y que sus ruedas avanzan y también giran. Otras veces no resulta tan sencillo. Por ejemplo, si observas un vaso de agua encima de una mesa seguramente dirás que el agua no se mueve. Sin embargo, sus moléculas están moviéndose constantemente. Pero no sólo eso, sino que el vaso se encuentra sobre la Tierra y ésta 54

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se mueve girando sobre sí misma y trasladándose alrededor del Sol, que también se mueve. Cuando se habla de movimiento es importante, por lo tanto, definir el sistema de referencia con respecto al cual se mueve un objeto. Además, para simplificar la descripción del movimiento se conviene tratar a los objetos o cuerpos como si fueran partículas sin dimensiones o estructura. Esta convención no le resta validez alguna al desarrollo de los conceptos que siguen. ¿Qué caracteriza, según tú, a un cuerpo en movimiento? Lo que caracteriza a un cuerpo en movimiento es que éste cambia de posición en el tiempo, con respecto a otros objetos que permanecen en reposo. Esto es, el objeto se desplaza. El desplazamiento está dado en términos de la diferencia entre la posición final rf y la posición inicial ri de un objeto. El movimiento se describe en términos de las razones de cambio conocidas como rapidez, velocidad y aceleración. La rapidez es la medida de qué tan aprisa se mueve un objeto y se mide en términos de alguna unidad de distancia dividida entre una unidad de tiempo. Por lo tanto, la podemos definir como la distancia recorrida en una unidad de tiempo. En el sistema internacional de medidas se consideran los metros que un objeto recorre en 1 segundo y esto se indica con m/s. La velocidad de un objeto indica qué tan rápido se mueve el objeto y en qué dirección se está moviendo con respecto al sistema de referencia seleccionado. Para definir la velocidad conviene ante todo definir la velocidad promedio. La velocidad media vm de un objeto que se desplaza de una posición inicial ri a una posición final rf en el intervalo de tiempo que va del tiempo inicial, ti , al tiempo final, tf , está dada por la fórmula

Ahora podemos definir la velocidad instantánea como la que indica, para cada instante, qué tan rápidamente se mueve un objeto y en qué dirección. Esta velocidad viene dada por la fórmula

donde v representa la velocidad del objeto, r representa el desplazamiento del objeto y t el tiempo en que se realiza el desplazamiento. (Δ - esta es la letra griega llamada ‘delta’, y se utiliza para representar la diferencia entre dos valores de una misma variable). Física

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Observemos que la rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo, mientras que la velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo. Finalmente, la aceleración de un objeto se caracteriza por la rapidez con que cambia su velocidad, tanto en magnitud como en dirección. La aceleración es, por lo tanto, la razón de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo

Si en 1 segundo un móvil se desplaza 2 metros en 2 segundos un móvil se desplaza 4 metros en 3 segundos un móvil se desplaza 6 metros Movimiento rectilíneo uniforme ¿Cuánto se desplaza en cada segundo? Observa que en cada segundo este móvil recorre 2 metros. Por lo tanto su velocidad es constante y su aceleración es igual a cero. Cuando un móvil sigue una trayectoria recta en la cual realiza desplazamientos iguales en tiempos iguales diremos que sigue un movimiento rectilíneo uniforme. Para determinar la posición que ocupa un móvil en el espacio hay que considerar el sistema de referencia seleccionado. En un sistema de referencia determinado la posición del móvil se representa por un vector de posición, trazado desde el origen de dicho sistema de referencia hasta la posición del móvil o partícula. Considera una partícula que en el tiempo t1 se encuentra en el punto A de la siguiente figura y cuya posición en el plano xy está descrita por el vector de posición x1. Supongamos que en un tiempo posterior t2, la partícula se encuentra en B, especificando su posición por el vector x2. El vector que describe el cambio en la posición de la partícula al moverse de A a B, se llama desplazamiento y está dado por Δx = x2 – x1 . El tiempo transcurrido durante el movimiento entre estos dos puntos es Δt = t2 – t1 .

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FIGURA 2.1

Tomando como referencia los datos anteriores se realiza la gráfica siguiente:

Para calcular la tangente a la recta (es d – del valor10demla velocidad – 2 m basta8determinar m

V= elt valor decir, en cualquier punto de ella) – t de su5 pendiente seg – 1 seg 4seg f

f

i

i

FIGURA 2.2

Movimiento rectilíneo uniformemente variado

Física

57

Si la velocidad experimenta cambios iguales en cada unidad de tiempo, se habla de la razón de cambio llamada aceleración, definida como la tasa de variación de la velocidad. En el movimiento rectilíneo uniformemente variado la aceleración permanece constante. Por ejemplo, un automovilista tiene que acelerar constantemente su vehículo para aumentar su velocidad o, por el contrario, tiene que frenar para disminuirla. La aceleración relaciona los cambios de velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir, mide qué tan rápidos son los cambios de velocidad. Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia Un móvil está acelerado mientras su velocidad cambie. Ejemplos de este tipo de movimiento son: la “caída libre” o movimiento que experimenta todo cuerpo atraído por el campo gravitacional de la Tierra, cuando se deja libre en un punto del espacio; el movimiento que tiene una partícula al lanzarse verticalmente desde la superficie de la Tierra; el movimiento que tiene una partícula al ascender o descender una pendiente dentro del campo gravitatorio de la Tierra; el movimiento que tiene una partícula afectada por una aceleración constante en una trayectoria horizontal, vertical o inclinada. Recordemos que la aceleración es el cambio de velocidad en el tiempo

Donde a es la aceleración, vi y vf son la velocidad inicial y final respectivamente, y t indica el lapso de tiempo durante el que actuó la aceleración. La aceleración se expresa en unidades de velocidad entre el cuadrado de las unidades de tiempo, m/s2. La dirección de la aceleración depende del cambio de la rapidez. Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad, y si la rapidez está disminuyendo, entonces su aceleración va en sentido opuesto y decimos que el móvil está frenando. Esto puede aplicarse para determinar si 58

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el signo de la aceleración es positivo o negativo. Si un cuerpo está en movimiento uniformemente acelerado, quiere decir que está sujeto durante cierto tiempo a la acción de una aceleración en el mismo sentido del movimiento. Cuando la aceleración actúa en el sentido opuesto al movimiento, la velocidad disminuye, es decir, tiene una aceleración negativa y el cuerpo tiene un movimiento uniformemente retardado. Cuando un cuerpo parte del estado de reposo, la relación entre aceleración, velocidad y tiempo sigue dada por la expresión Sin embargo, dado que vi = 0 se tendrá

Cuando la aceleración de un cuerpo es constante, la velocidad cambia uniformemente. La velocidad media (vm) de un móvil se define como el valor de la suma de dos velocidades consecutivas dividido entre dos.

Partiendo de la fórmula v = d / t ó d = vt y sustituyendo la fórmula anterior se obtiene d = (vi + vf )/ 2t y si se considera que vf = vi + at y se hacen las sustituciones correspondientes en la expresión anterior, se obtiene

Cuando el cuerpo parte del reposo (vi = 0), esta fórmula se reduce a:

Física

59

Movimientos con la aceleración de la gravedad Realiza los experimentos siguientes: Suelta cualquier objeto desde una altura y observa qué sucede. ¿Qué pasó? ¿Por qué crees que los objetos caen? ¿Sabes qué es el campo gravitatorio de la Tierra? Compara tu tiempo de reacción con el de un amigo cuando se trata de atrapar una regla que se deja caer entre los dedos. Haz que tu amigo sostenga la regla en forma vertical. Cierra tus dedos tan pronto como veas que la regla comienza a caer. La cantidad de centímetros que pasan por tus dedos depende de tu tiempo de reacción. ¿Puedes calcular tu tiempo de reacción? ¿Qué distancia habrá recorrido la regla después de 1 segundo? ¿Cuál será su velocidad? En los movimientos uniformemente acelerados y uniformemente retardados, por haber aceleración, se modifica la velocidad del móvil; un caso particular ocurre cuando la velocidad de un cuerpo en movimiento es modificada por la acción de la gravedad. En estos casos el valor de la aceleración está dado por la magnitud de la aceleración de la gravedad; por lo tanto, en las fórmulas basta sustituir la aceleración (a) por la gravedad (g). g = 9.8 m / s2 (la aceleración de la gravedad es constante) En el siglo XVII el físico italiano Galileo Galilei demostró que en el vacío los cuerpos tanto ligeros y como pesados que caen de una misma altura emplean el mismo tiempo en alcanzar el suelo. Es decir, una pluma de ave y una regla soltadas desde la misma altura llegarán al piso al mismo tiempo. En ambos casos se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado, en el que la aceleración es constante. Cuando suponemos que el aire no opone resistencia y la gravedad es el único factor que afecta la caída, entonces podemos decir que el cuerpo está en caída libre. Si soltamos un cuerpo en las inmediaciones de la Tierra, éste describe una trayectoria recta. Se dice que cae libremente debido a su peso. Si medimos continuamente su velocidad instantánea, encontramos que crece de manera semejante a la de un cuerpo que sigue un movimiento rectilíneo uniformemente variado. Por lo tanto, la caída libre es un caso particular del movimiento rectilíneo uniformemente variado. El movimiento conocido como caída libre es un movimiento uniformemente acelerado dado que la gravedad está actuando en el mismo sen60

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tido del movimiento. Un ejemplo es el de la regla que soltaste en la actividad que realizaste al inicio de esta sección. Otro ejemplo es el de una fruta madura al caer del árbol, o el de una grúa que deja caer una carga. Para estudiar la caída libre se utilizan las mismas fórmulas que ya se introdujeron cuando se habló del movimiento rectilíneo uniformemente variado, sólo que en ellas se sustituye la aceleración a por la gravedad g cuyo valor es constante y es igual a 9.8 m/s2; y para indicar el desplazamiento en estos casos se suele usar la letra h, que representa la altura. En estos cálculos, por lo general, se desprecia la fricción del aire durante la caída. En la caída libre la velocidad inicial es igual a cero; por lo tanto, la velocidad final se calcula con la fórmula v = gt. La distancia en este caso es la altura desde donde cae el objeto y se calcula usando la fórmula h = gt2 / 2. Así, por ejemplo, en el experimento en el cual se soltaba la regla, se tendrá que después del primer segundo la regla tendrá una velocidad de 9.8 m/s, ya que ésta se calcula con la fórmula v = gt. Para saber el espacio recorrido por la regla en ese lapso de tiempo, se usa la fórmula h = gt2 / 2 y se tendrá así que h = 9.8 m/s2 x 1 s2/2 = 4.9m. La fórmula siguiente nos permite calcular el tiempo que tarda en caer un objeto cuando se conoce la altura desde la cual cae: Si la sustituimos en la formula de la velocidad tenemos:

Tiro vertical

Física

Al jugar un partido de baloncesto, la pelota realiza diferentes trayectorias. Una de ellas consiste en lanzarla verticalmente hacia arriba. En este caso se trata de una trayectoria rectilínea vertical. ¿Has medido el tiempo en que sube y baja el balón a tus manos? ¡Inténtalo tomando el tiempo con un cronómetro! Calcula tu tiempo de vuelo personal, es decir, el tiempo en que tus pies permanecen sin contacto con el suelo durante un salto vertical. A este movimiento rectilíneo de ida y vuelta del balón o de tu cuerpo, se le da el nombre de tiro vertical. En este movimiento interviene nuevamente la aceleración de la gravedad y lo analizamos a continuación. 61

El tiro vertical se presenta cuando un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba, donde la acción de la gravedad se opone al movimiento y como consecuencia se produce un movimiento uniformemente retardado. Durante su recorrido el objeto disminuye su velocidad gradualmente hasta que se detiene un instante: es el momento en que alcanza su altura máxima, hmax . En este punto su vf = 0, y después de ello empieza a caer en caída libre. Para calcular el tiempo t que tarda en alcanzar la altura máxima, despejamos la t de la fórmula vi = gt y obtenemos t = vi/g. El tiempo empleado en alcanzar su altura máxima se sustituye en la fórmula de movimiento rectilíneo uniformemente variado: h = gt2 /2 y se obtiene hmax = vi2 / 2g.

Coloca una moneda en el borde de una mesa lisa de modo que sobresalga un poco fuera de la misma. Coloca una segunda moneda sobre la mesa a cierta distancia de la primera. Desliza la segunda moneda sobre la tabla (golpeándola con un dedo) de modo que choque con la moneda que sobresale y ambas monedas caigan al piso. Observa cuál de las dos monedas llega primero al piso. ¿Depende tu respuesta de la rapidez de la moMovimiento de proyectiles neda que se desliza? Haz un dibujo de las trayectorias de ambas monedas. Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia, como la moneda, se llama proyectil. Los proyectiles que están cerca de la tierra siguen una trayectoria curva muy simple que conocemos como parábola. Para describir el movimiento es útil separarlo en sus componentes horizontal y vertical. El movimiento en la componente horizontal del proyectil es un movimiento rectilíneo uniforme, ya que en esa dirección la gravedad no influye. Cuando no tomamos en cuenta la fricción su velocidad es constante. La componente vertical de la velocidad de un proyectil se comporta de manera similar al movimiento de caída libre. Pero lo más importante es que ambos movimientos pueden trabajarse independientemente y combinados producen la trayectoria parabólica del proyectil. Cuando un proyectil se dispara con determinada inclinación con respecto a una superficie horizontal su trayectoria es una parábola y, al igual que la trayectoria descrita anteriormente, se genera a partir de la combinación de dos movimientos: uno 62

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vertical y uno horizontal. La velocidad de salida se representa por un vector inclinado, cuyas componentes son la velocidad vertical (vy) y la velocidad horizontal (vx). La componente horizontal produce un movimiento rectilíneo uniforme y permanece constante durante el movimiento del proyectil. Por otro lado, la componente vertical está dirigida hacia arriba y produce un movimiento de tiro vertical. Esta componente decrece en magnitud mientras el proyectil asciende y alcanza el valor cero cuando el proyectil alcanza su altitud máxima. Una vez que el proyectil llegó a su altura máxima inicia su caída, esto es, una caída libre. El tiempo que el proyectil emplea en alcanzar su altura máxima es el mismo que tarda en caer. Durante este tiempo avanza también horizontalmente. La velocidad de llegada es la misma que la velocidad de salida y el ángulo de inclinación con el que sale es el mismo con el cual el proyectil llega. El proyectil describe una trayectoria parabólica simétrica.

FIGURA 2.3

La altura máxima que alcanza el proyectil se obtiene con la fórmula hmax = vy2/2g, donde vy representa la componente vertical de la velocidad. Si sustituimos vy por vi sena tenemos hmax = (vi2) (sena)2 / 2g. La distancia recorrida por el proyectil queda representada por la siguiente fórmula d= (vi2) (sen2a) / g.

Cuando las aspas de un ventilador giran, ¿cómo se compara la Física

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Movimiento circular

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velocidad de un punto que está cerca del eje de giro con la de uno en el extremo de las aspas? Si hacemos rodar una lata de refresco y un vaso de plástico, ¿qué diferencias observas en su movimiento? ¿Cómo es la trayectoria que siguen en su movimiento? ¿Cuál es la distancia que recorre la lata en un giro completo? ¿Cuál de los extremos de un vaso recorre mayor distancia al girar? ¿Cuál gira con mayor velocidad lineal? ¿Depende la velocidad lineal del radio de giro de la lata y del vaso? Cuando un objeto se mueve en una trayectoria circular con velocidad constante decimos que su movimiento es circular uniforme. La Luna, por ejemplo, sigue este tipo de movimiento al girar alrededor de la Tierra. Tú puedes lograr este tipo de movimiento al hacer girar una pelota de goma que está atada al extremo de una cuerda. En este tipo de movimiento, la magnitud de la velocidad permanece constante pero su dirección cambia continuamente. Puesto que la velocidad es un vector que apunta en la dirección del movimiento de partícula, o sea en la dirección tangente a su trayectoria, y la dirección de la velocidad cambia, en este movimiento hay aceleración, a pesar de que la magnitud de la velocidad sea constante. Durante un intervalo de tiempo Dt una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme se mueve del punto A al punto B que se muestra en la figura, siguiendo la trayectoria descrita por un arco de circunferencia que subtiende el ángulo Dq. El cambio en el vector velocidad en ese intervalo de tiempo es Dv que, como puede verse en la figura, es un vector que apunta hacia el centro de la circunferencia sobre la dirección de su radio de la misma. La dirección de la aceleración es la misma que la del vector Dv y por ello la aceleración en este movimiento se llama aceleración centrípeta. La magnitud de la aceleración centrípeta está dada por

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en la que v es la magnitud de la velocidad y r es el radio de la circunferencia que describe la partícula en su movimiento. Nótese que el vector velocidad y el vector aceleración en este movimiento son perpendiculares uno al otro. En muchas ocasiones es más sencillo describir el movimiento circular uniforme en términos del número de vueltas que da el objeto por unidad de tiempo. A esta cantidad se le denomina frecuencia y la denotaremos por w. Llamaremos período, T, al tiempo que tarda el objeto en dar una vuelta completa a la circunferencia. Dadas estas definiciones, el período y la frecuencia están relacionadas como y la velocidad lineal a la que viaja el objeto al dar una vuelta completa sobre una circunferencia de radio r es

puesto que la distancia que recorre el objeto es justamente el perímetro de la circunferencia. ¿Cómo responderías ahora a las preguntas planteadas al principio de esta sección? Una característica que distingue a este tipo de movimientos es que el ángulo que recorre una partícula por unidad de tiempo es constante, por lo que decimos que su velocidad angular es constante. Los cuerpos rígidos también pueden tener un movimiento de rotación. Es el caso de las aspas de un ventilador o de alguna pieza de maquinaria. Para especificar qué tanto ha rotado un cuerpo basta dar el ángulo que ha girado sobre su eje, es decir, el ángulo mide el desplazamiento angular. En lugar de medir el ángulo en grados conviene medirlo en radianes. Los radianes se definen mediante la ecuación en la que s es el arco de circunferencia barrido por el ángulo θ y r es el radio de la circunferencia, como se muestra en la figura. Con esta definición es fácil darse cuenta de que el factor de conversión entre los grados y los radianes está dado por 360 º = 2π radianes.

Física

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FIGURA 2.4

A la razón media de cambio del desplazamiento angular en el tiempo se le conoce como velocidad angular:

y, aunque puede medirse utilizando grados o revoluciones por segundo, la unidad más conveniente para la velocidad angular es el radián por segundo, o rad/s. El movimiento de rotación puede ser uniforme, con velocidad angular constante, o puede ser acelerado en el caso en que la velocidad varíe. En el caso del movimiento acelerado, es necesario definir la aceleración angular media como la variación de la velocidad angular con el tiempo; así, tenemos que Una forma más conveniente de expresar la aceleración angular es la ecuación: Si comparamos esta ecuación con la ecuación para la aceleración en el movimiento uniformemente acelerado, nos damos cuenta de que estas relaciones son muy similares: basta cambiar la aceleración y la velocidad en la fórmula para el movimiento uniformemente acelerado por la velocidad angular y la aceleración angular en el movimiento de rotación con velocidad variable y obtenemos el mismo resultado. Utilizando los mismos procedimientos que se usaron para obtener las relaciones entre las diferentes variables que necesitamos para estudiar el movimiento uniformemente acelerado, podemos concluir que en el caso del movimiento circular uniformemente variado, es decir, con aceleración angular constante, las relaciones entre las variables que nos permiten hacer un estudio del movimiento son, además de las anteriores,

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Es importante notar que al aplicar estas relaciones hay que tener cuidado con las unidades y con la elección de la dirección para usarlas en forma consistente. ¿Cuál es la relación entre la velocidad lineal que estudiamos anteriormente y la velocidad angular que acabamos de introducir? Si definimos el eje de rotación de un cuerpo en movimiento circular o de rotación como el centro de la circunferencia que describe el objeto o las partículas que componen al objeto en su movimiento, por experiencia sabemos que entre más alejada esté una partícula del eje de rotación su velocidad lineal será mayor. La partícula que gira recorre un arco de circunferencia s en un tiempo dado t. El arco de circunferencia está dado por de manera que la velocidad lineal estará dada por

como la velocidad angular se define como w=θ/t, sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior encontramos que

Física

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Movimiento armónico simple Un tipo de movimiento que se encuentra con frecuencia en la naturaleza es el movimiento oscilatorio o periódico. Algunos ejemplos de fenómenos en los que se presenta este tipo de movimiento son: el latido del corazón; la periodicidad de las estaciones; el péndulo de un reloj; las vibraciones de los átomos; y, según ciertas teorías cosmológicas, también nuestro universo sigue un movimiento oscilatorio. El movimiento oscilatorio más sencillo es el movimiento armónico simple. Un péndulo, por ejemplo, sigue este tipo de movimiento. Para que te familiarices con este movimiento haz el siguiente experimento: cuelga un hilo del techo y amarra en su extremo un objeto pesado. Ahora mueve ligeramente el objeto sacándolo de su posición de equilibrio. ¿Qué sucede? ¿Cómo se mueve el objeto? Como habrás observado el objeto empieza a oscilar de un lado a otro. El movimiento armónico se puede estudiar descomponiéndolo en sus componentes como en el caso del tiro parabólico. La componente horizontal de la posición de un objeto en este tipo de movimiento esta dada por la coordenada x que es función del tiempo t:

x = A cos (ωt + φ) en la que x representa la distancia del objeto al punto de equilibrio y se le conoce con el nombre de elongación. Cuando el objeto oscila, x varía de manera senoidal en función del tiempo entre x = A y x = A. Esta cantidad se denomina amplitud del movimiento. La variación de x está representada por la curva seno o coseno. La variable ω representa la frecuencia angular y su valor depende del ritmo de oscilación; por otra parte f se conoce como la constante de fase. La expresión (ωt + φ) representa la fase. Una característica de cualquier movimiento oscilatorio, y por lo tanto también del movimiento armónico simple, es que el mismo movimiento se repite después de un intervalo de tiempo conocido como período T. Esto es, en el intervalo de tiempo T el objeto realiza un ciclo completo de movimiento. Por lo tanto, después de un ciclo completo la fase (ωt + φ) se incrementa en 2π radianes y el tiempo se incrementa en T, lo que se representa en la expresión siguiente:

(ωt + T) + φ = (˘t + φ) + 2π 68

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y simplificando obtenemos ωT = 2π ó T = 2π/ω Observamos así que el período T es inversamente proporcional a la frecuencia angular ˘. Esto quiere decir que a mayor frecuencia angular corresponde un menor período y, entonces, el objeto completa un ciclo más rápidamente. La componente horizontal de la velocidad en el movimiento armónico simple está dada por Vx = - ω A sin (ωt + φ) y la aceleración mediante ax = - ω2 A cos (ωt + φ) Si ahora tomamos en cuenta que x = A cos (ωt + φ), tenemos que para un objeto en movimiento armónico simple ax

= ω2x.

El movimiento periódico de un péndulo ha sido desde hace tiempo utilizado para regular el mecanismo que mueve las manecillas de los relojes conocidos prescisamente como relojes de péndulo. Para desplazamientos pequeños, el movimiento de un péndulo simple sigue las reglas del movimiento armónico simple.

FIGURA 2.5

En el caso de un péndulo de longitud L, su aceleración se calcula con la ecuación siguiente: ax = - (g/L) x . Si comparamos esta ecuación con la vista anteriormente, nos damos cuenta de

Física

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que para un péndulo • = √g/L . El período de un péndulo está dado por

por lo cual, sólo depende de su longitud.

Para oscilaciones de amplitud pequeña, el período de oscilación es independiente de la amplitud A. En péndulos de longitud diferente, los períodos son proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes T1 / √L1 = T2

/ √L2 .

3. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Si un chita mantiene una rapidez constante de 25 m/s, recorrerá 25 metros cada segundo. ¿Qué distancia recorrerá en 10 segundos? ¿Y en 1 minuto? Los siguientes son los datos del problema: v = 25 m/s t = 10 seg t = 60 seg Consideremos la fórmula v = d/t; si despejamos la d obtenemos d = v x t; al sustituir los datos se tiene d = 25 m/s x 10 s = 250 m y d = 25 m/s x 60 s = 1,500 m Obtenemos así que el chita recorre 250 m en 10 segundos y 1,500 m en 1 minuto. 2. Un automóvil se mueve en dirección sur-este con una velocidad de 6 m/s y experimenta una aceleración de 3.5 m/s2 durante 15 segundos. Calcular el desplazamiento y la velocidad del automóvil en este lapso. Los datos del problema son los siguientes:

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vi = 6 m/s a = 3.5 m/ s2 t = 15 s Para calcular el desplazamiento d, usamos la fórmula d = vi t + at2/2 y obtenemos entonces que: d = 6 m/s x 15 s + 3.5 m/s2 (15 s)2 / 2 = 90m + 393,75m = 483.75 m Para calcular la velocidad final, vf , usamos la fórmula vf = vi + at y obtenemos: vf = 6 m/s +3.5 m/s2 (15 s) = 6m/s + 52.5m/s = 58.5m/s 3. Un niño deja caer una pelota desde una ventana que está a 60 m de altura sobre el suelo. ¿Qué tiempo tarda la pelota en llegar al suelo y conque velocidad choca? Los datos del problema son: vi = 0 d = 60 m g = 9.8 m/s2 Para calcular el tiempo t, usamos la fórmula t = √ 2h/g . Obtenemos entonces t = √ 2 (60 m ) / 9.8 m / s2 = 3.5 s Para calcular la velocidad con la que la pelota choca contra el suelo, esto es, su velocidad final vf , usamos la fórmula Vf = gt . Tenemos así: Vf = 9.8 m / s2 x 3.5 s = 34.3 m/s 4. Si un salmón nada en línea recta hacia arriba dentro del agua, lo suficientemente aprisa como para atravesar la superficie con una velocidad de 5 m/s, ¿hasta qué altura puede saltar fuera del agua? Aplicando la fórmula hmax = vi2 / 2g se obtiene:

hmax = (5 m/s)2 / 2 ( 9.8 m/s2 ) = 1.27 m

Por lo tanto, el salmón salta hasta 1.27 m por encima de la superficie del agua. 5. Se lanza una piedra horizontalmente a una distancia de 20 m desde lo alto de una torre de 4.9 m ¿Cuál es la velocidad con Física

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que es lanzada la piedra? La piedra se arroja en sentido horizontal y con la fórmula v = d/t se puede calcular la velocidad. No se conoce el tiempo pero lo podemos calcular considerando que cae libremente durante 1 segundo. De esta manera el tiempo de vuelo es 1 s y la piedra recorre 20 m en un segundo (v = 20 m/s). 6. ¿Cuál es la velocidad y cuál es la aceleración centrípeta de una pelota de goma de 130 g de masa que está atada a una cuerda y gira uniformemente sobre una circunferencia de radio 50 cm si da 2 vueltas en un segundo? La velocidad de la pelota se puede encontrar calculando el perímetro de la circunferencia y dividiendo entre el período:

Para calcular la aceleración centrípeta sustituimos este resultado en la relación

7. Una piedra de 200 g se amarra al extremo de una cuerda y se hace girar en una circunferencia horizontal de 1m de radio. Si la piedra da tres vueltas completas por segundo, determinar su velocidad lineal y su aceleración centrípeta. Si la piedra da tres vueltas por segundo, el período del movimiento es de 1/3 s y la velocidad lineal será

mientras que su aceleración centrípeta es

8. La rueda de una maquinaria rota inicialmente a 8rad/s; para realizar un trabajo pesado se le imprime una aceleración de 2rad/s2 ¿Cuál será su velocidad angular final? ¿Cuántas revoluciones habrá girado al cabo de 3 s? ¿Cuánto se ha desplazado en ese tiempo? Conviene, en primer lugar, encontrar el desplazamiento angular utilizando la relación 72

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Sustituyendo en esta ecuación los datos del problema tenemos que

0= 24rad+9rad = 33rad

El desplazamiento angular es de 33 rad. Puesto que una revolución es igual a 2π radianes, tenemos que la cantidad de revoluciones que ha hecho la rueda en ese tiempo es de θ=(33rad)/2π rad=16.5 revoluciones Por último, la velocidad angular final la podemos calcular utilizando la relación

= 8rad/s+(2rad/s2)(3s) = 14 rad/s 9. Un eje de tracción gira con una velocidad angular de 80 rad/s; se desea que su velocidad lineal sea de 40 m/s y para ello se le pondrán unos contrapesos. ¿A qué distancia del eje de rotación deben colocarse los contrapesos para lograrlo? Tomando como punto de partida la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal para el eje, tenemos que despejando el radio nos queda que y sustituyendo los datos encontramos

Es decir, los contrapesos deben colocarse a una distancia de 50 cm del eje de rotación del eje de tracción. 10. Determine el período de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40 cm. El único dato que tenemos es la longitud del péndulo. Para determinar su período usaremos la fórmula T = 2π√ L/g . Sustituyendo los valores para las variables que intervienen, obtenemos T = 2 x 3.14 √ 0.4 / 9.8 m/s2, esto es, T = 1.27 s. Recordemos que la frecuencia F es inversa al período, esto es, F = 1 / T . Por lo tanto, F = 1 / 1.27 s . Esto es, el péndulo oscila con una frecuencia de 0.79 oscilaciones por segundo. EXPERIMENTO: aceleración centrípeta Materiales necesarios: Una esfera de caucho 1.2 metros de hilo cáñamo arandelas (rondanas metálicas) de N (10 gf) Física

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Una pesa de 0.49 N (50 gf). Un tubo de vidrio, metal o plástico Una balanza Un cronómetro Una regla graduada de 0.3 m Plastilina Un centrifugador con accesorios Un disco horizontal giratorio Masking tape Equipo “Sisteduk” de mecánica

4. PRÁCTICA

Experimento 1 A) Arme el dispositivo de la figura, colocando en el porta-arandelas cuatro arandelas.

FIGURA 2.6

B) Gire la esfera en un plano horizontal por arriba de su cabeza. Procure que el giro sea uniforme: la uniformidad en el giro se tendrá cuando las arandelas sobre el porta-arandelas no se desplacen hacia arriba ni hacia abajo. C ) Cuando logre que la esfera tenga un movimiento circular uniforme, mida el tiempo en que la esfera da diez vueltas. Después tubo de la décima vuelta, coloque un dedo en el tubo, dese caucho por donde sale la cuerda, con el fin deesfera que no mueva esta última y pueda medir el radio de la trayectoria de la esfera. Mida el radio y regístrelo en la tabla 1. arandelas D) Calcule el período, la frecuencia, la velocidad lineal y la magnitud de la aceleración centrípeta y registre los valores en la tabla 1.

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Número de Arandelas

E) Repita el experimento agregando hasta siete arandelas al porta-arandelas. Haga las mediciones y los cálculos correspondientes y regístrelos en la tabla 1. Responda las siguientes preguntas de acuerdo a la información obtenida: Cuando la rapidez angular Velocidad de la esfera es consPeríodos Frecuencia Lineal de caucho Aceleración tante, ¿qué forma tiene la trayectoria? ¿Qué sucede con la Hz. m/s Centrípeta trayectoria si la rapidez angular no es constante? ¿Qué cantidad física es responsable de la forma de la trayectoria de la esfera de caucho cuando gira con rapidez angular constante? Si se reduce el radio de la trayectoria de la esfera, pero se conserva constante la velocidad lineal ¿qué ocurre con la aceleración centrípeta? Experimento 2 Coloque dos esferas de plastilina iguales sobre el disco horizontal giratorio, como se muestra en la figura 3.

FIGURA 2.7

Haga girar el disco, aumentando la rapidez angular poco a poco. Responda las preguntas siguientes: ¿Cómo son la frecuencia y la rapidez angular instantáneas de las esferas, interna y externa? ¿Cómo es la magnitud de la rapidez tangencial de la esfera Física

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externa respecto a la interna? ¿Cómo son las magnitudes de la aceleración centrípeta de la esfera interna y la de la externa? Experimento 3 A) Arme el circuito que se muestra en la figura.

FIGURA 2.8

B) Verifique que la relación de vueltas del motor reductor esté en 6:1; si este no es el caso, gire el arillo rojo del motor, saque el engrane que está colocado, cámbielo por el del tamaño Sensor y vuelva a asegurarlo con el arillo rojo. adecuado, Disco C) Active el motor bajando el interruptor correspondiente y asegúrese de que el movimiento del disco sea uniforme. Motor D) Coloque el obturador sobre el disco en la marca O y acérquelo al sensor, sin taparlo. E) Coloque el indicador mecánico de vueltas en 9 y arranque el motor de nuevo. Suspenda la alimentación del motor cuando Banda el indicador luminoso de vueltas esté en nueve. Fuente F) Cuando el indicador de tiempo registre el intervalo de nueve vueltas, calcule el período y la frecuencia del movimiento. G) Repita los incisos D, E y F tres veces, calcule y registre el período y la frecuencia en cada ocasión. Obtenga el promedio de los períodos y el de las frecuencias. Regístrelos. Calcule la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta. 76

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Experimento 4 El profesor le invitará a observar cómo funciona una máquina “centrifugadora“ en su mesa de trabajo. Describa en un breve párrafo lo que observó. Responda las siguientes preguntas: La máquina «centrifugadora» tiene dos poleas. Cuando giran con rapidez angular constante, ¿cómo es el periodo de la polea pequeña respecto a la grande? En el dispositivo de dos aros, que aparentan una esfera, ¿en qué puntos es mayor la rapidez tangencial? Al girar el dispositivo de vidrio en forma de copa, ¿qué partículas de agua tienen mayor rapidez angular? ¿Cuáles tienen mayor velocidad lineal? EXPERIMENTO: Péndulo Material y equipo empleados: Un cronómetro Un soporte con varilla de 1 m de longitud Un doble-nuez con varilla de 20x10-2 m Dos tramos de hilo de 100x10-2 m y 0.7 m Dos esferas de acero de masa diferente con armella Una regla graduada de 1 m Desarrollo de la práctica: Experimento 1. Análisis del péndulo simple A – Arma el péndulo simple como se ve en la figura:

FIGURA 2.9

Considera que la longitud del péndulo es de 1 m. Física

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B – Haz oscilar el péndulo con una amplitud de 0.1 m, midiendo el tiempo de 10 oscilaciones. Calcula el período T, y la frecuencia, f, y anótalos en la tabla que viene a continuación. C – Calcula la velocidad y la aceleración del cuerpo para los puntos 1, 2 y 3 de la figura de arriba y anótalos en la tabla. D – Calcula el valor de g para el lugar del experimento despejándolo de la fórmula del período y regístralo en la tabla.

Experimento 2. El período de un péndulo depende de su longitud Repite el experimento 1 reduciendo la longitud del péndulo a 0.5 m. Haz los registros correspondientes. Experimento 3. El período de un péndulo no depende de su masa Repite el experimento 1 reduciendo la masa de la esfera. Haz los registros correspondientes.

EXP

El estudio de la cinemática nos permite conocer y predecir en qué lugar se encontrará un cuerpo, qué velocidad tendrá al cabo de cierto tiempo, o bien, en qué lapso llegará a su destino. La descripción del movimiento de cualquier objeto siempre debe

L

A

m

m

T

F

v1

v2

v3

a1

s

s

m/s

m/s

m/s

m/s

1

a2

2

m/s

a3

2

m/s

g

2

m/s2

1 2 3

hacerse en relación a un marco de referencia. El movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento rectilíneo uniformemente variado solo se limitan a una dimensión (a lo largo de una recta). El desplazamiento es el cambio de posición del objeto, la velocidad y la rapidez generalmente se usan como sinónimos

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5. SÍNTESIS

de manera equivocada; la rapidez es una cantidad escalar que únicamente indica la magnitud de la velocidad, y la velocidad es una magnitud vectorial y se define como la razón de cambio de la posición. La velocidad media durante determinado intervalo de tiempo se define como el desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo. La aceleración se define como la razón de cambio de la velocidad o sea la variación de la velocidad de un móvil en cada unidad de tiempo. Un objeto se acelera cuando su rapidez aumenta, cuando su rapidez disminuye o cuando su dirección cambia. Si un objeto se mueve en una recta con aceleración constante, su movimiento es uniformemente acelerado. El movimiento circular puede dividirse para su estudio en movimiento circular uniforme y circular uniformemente variado. De la misma manera que el movimiento rectilíneo, el nombre lo recibe de la trayectoria que sigue la partícula y de cómo es la velocidad angular para cada movimiento. En el primero la velocidad angular es constante y en el segundo varía uniformemente con el transcurso del tiempo, dando lugar a una aceleración angular, que puede ser positiva o negativa. Las características cinemáticas fundamentales del movimiento circular uniforme son: • la trayectoria es circular, debido a la variación continua en la dirección de la velocidad tangencial y a que ésta tiene magnitud constante • la velocidad angular es constante El radio vector que se usa para describir el movimiento, es la recta imaginaria que une cualquier posición de la partícula sobre su trayectoria con el centro de la misma. El desplazamiento angular es una cantidad vectorial que nos indica cuánto ha girado el radio vector de una posición inicial a una final;

el ángulo se puede medir en grados, pero es más conveniente utilizar la unidad del S.I. que es el radián (rad). La relación entre ambos es: rad. La velocidad angular es la razón de cambio del desplazamiento angular con el intervalo de tiempo en que se efectúa. Es una cantidad vectorial cuya magnitud es: Física

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y tiene una dirección perpendicular al plano que contiene al radio vector. Su unidad en el S.I. es el rad/s. A su módulo se le conoce también como rapidez angular. La velocidad tangencial es una cantidad vectorial perpendicular al radio vector cuya magnitud se puede obtener con la expresión: y cuya dirección es tangente a la circunferencia en cada punto de la trayectoria. El período T es el tiempo que tarda una partícula en movimiento rectilíneo uniforme en dar una vuelta completa. La frecuencia es el número de vueltas que la partícula da en la unidad de tiempo. Se denota por f y su unidad el ciclo por segundo o el Hertz (Hz). Por la forma en que está definida resulta ser la inversa del período y viceversa, de modo que matemáticamente f=1/T. La aceleración centrípeta es una cantidad vectorial cuyo módulo se puede calcular con la expresión y cuya dirección es contraria a la del radio vector, es decir, apunta hacia el centro de la circunferencia.

Trenes y vías ¿Qué ocurre cuando un tren pasa por una curva? ¿Cómo deben diseñarse las ruedas y las vías? Podemos pensar que la curva es circular; en este caso la vía exterior debe ser más larga que la interior. Las ruedas exteriores del tren tienen que viajar más aprisa que las interiores. Cuando un tren da la vuelta tiene una tendencia a mantenerse viajando en línea recta que puede hacerlo descarrilar. Para contrarrestar este efecto las ruedas del tren se diseñan de manera que sean ligeramente cónicas; así, cuando el tren toma una curva hacia la izquierda, la zona de mayor diámetro de las ruedas del lado derecho se apoya sobre la vía derecha y la zona de diámetro menor de la rueda izquierda se apoya sobre la vía izquierda. Recordemos que las ruedas están unidas por un eje, por lo que rotan a la misma velocidad angular, pero por su diseño, la rueda 80

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derecha tiene una velocidad lineal mayor que la rueda izquierda y eso es lo que hace posible que el tren pueda tomar la curva sin descarrilar.

6. LECTURAS

Galileo Galilei El primer gran descubrimiento de Galileo ocurrió en el año de 1581 cuando tenía 17 años. Se sabe que cuando asistía a una misa celebrada en la catedral de Pisa, su ciudad natal, observó cómo la lámpara suspendida en el techo, debido a las corrientes de aire, se balanceaba. En su movimiento de vaivén, que en ocasiones era corto y en otras describía arcos más grandes, Galileo observo que aparentemente la lámpara tardaba el mismo tiempo en efectuar una oscilación, fuese grande o pequeña. Al regresar a su casa reprodujo el fenómeno utilizando bolas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes y descubrió que cualquiera que fuese la magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bola requería el mismo tiempo para completar un viaje de ida y vuelta. Únicamente la longitud del hilo afectaba el tiempo de la oscilación. Con estas observaciones Galileo había descubierto el principio del péndulo.

7. AUTOEVALUACIÓN 1.- En un movimiento rectilíneo uniforme, la pendiente de la recta en la gráfica distancia contra tiempo, ¿qué nos representa?________________ 2.- Cuando se recorren desplazamientos iguales en tiempos iguales se dice que el movimiento es _____________________ 3.- En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante en _________________,_________________y sentido. 4.- La rapidez es una magnitud________________. 5.- Unidades de la velocidad en el SI ________________. 6.- En la gráfica velocidad contra tiempo de un movimiento rectilíneo uniformemente variado, el área bajo la recta representa A).- La velocidad final Física

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B).- La aceleración C).- El desplazamiento D).- El tiempo transcurrido 7.- Cuando un móvil presenta variaciones en la velocidad se obtiene A).- Una velocidad B).- Un desplazamiento C).- Una aceleración D).- La rapidez instantánea 8.- En un movimiento rectilíneo uniformemente variado, al considerar intervalos de tiempo iguales, las distancias recorridas por una partícula son: A).- Cada vez son mayores o menores B).- Iguales C).- Cada vez son más pequeñas D).-No hay respuesta 9.- El cambio de velocidad con respecto al tiempo representa: A).- La velocidad B).- La aceleración C).- La rapidez D).- La velocidad angular 10.- Si a una partícula con movimiento rectilíneo uniformemente variado se le aplica una aceleración de sentido contrario a su movimiento, la velocidad comenzará a: A).- Disminuir B).- Aumentar C).- Variar D).- Se detiene 11.- Investigador italiano que comprobó que dos cuerpos con diferente peso caen con la misma rapidez A) Aristóteles B) Arquímedes C) Platón

D) Galileo

12.- Trayectoria descrita por un cuerpo en caída libre A) Circular B) Recta C) Parábola D) Semiparábola

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13.- Cuando un cuerpo cae libremente, su rapidez aumenta uniformemente respecto al tiempo, por ser afectado por: A) Su velocidad inicial B) Su desplazamiento C) La gravedad D) La masa 14.- El valor de la aceleración de la gravedad se considera A) 9.78 m/s2 B) 9.81 m/s2 2 C) 9.79 m/s D) 9.98 m/s2 15.- Unidades de la aceleración de la gravedad en el sistema internacional de medidas A) m/s B) cm /s C) m/s2 D) cm /s2 16. - A las proyecciones de un vector en el eje X y en el eje Y de un plano cartesiano se les llama_________________. 17. – La cinemática estudia las leyes del movimiento de los cuerpos en condiciones ideales, sin considerar la__________ ________que origina dicho movimiento. 18. – A la distancia que recorre el proyectil en un tiro parabólico se le llama____________________________. 19. – El movimiento rectilíneo uniformemente variado se encuentra sobre el eje vertical en el movimiento parabólico porque la única aceleración que actúa sobre dicho movimiento es la debida a la _____________________. 20. – La altura máxima en el movimiento parabólico se obtiene cuando transcurre un tiempo igual al que tarda en___ ______________. 21. – ¿Cambia la rapidez si la resistencia del aire es un factor significativo? 22. – Si lanzas una pelota de beisbol a 20 m/s hacia tu amigo que está en primera base, indica si la velocidad será igual, mayor o menor en el momento de atraparla, sin tomar en cuenta la resistencia del aire. 23. – Un cuerpo se mantiene en movimiento circular debido a una fuerza llamada _________________________.

Física

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24. – Las unidades de la velocidad angular en el sistema internacional son _______________________________. 25. - ¿Qué es un radián?_________________________. 26. – El _____________________de una partícula es el tiempo que tarda en completar una vuelta. 27. – Las unidades del desplazamiento angular son: vueltas, grados y _____________. 28. – ¿Cuál es la expresión para determinar el periodo de un péndulo simple?_______________________. 29. – ¿De qué depende el período de un vibrador armónico simple?_______________________________. 30. – Es el ángulo central al que corresponde un arco de longitud igual al radio______________________. 31. – La distancia de una partícula a su punto de equilibrio se llama _______________________________. 32. – Es la máxima elongación cuyo valor será igual al radio de la circunferencia ____________________. 33.- ¿Qué significa que un cuerpo esté en caída libre? 34.- Para un objeto que cae libremente desde una posición de reposo, ¿cuál es la velocidad al cabo del quinto segundo de caída? 35.- Para un objeto que cae libremente desde una posición de reposo, ¿cuál es la aceleración al cabo del quinto segundo de caída? ¿Del sexto segundo? ¿Al cabo de cualquier tiempo t transcurrido? 36.- Al lanzar un cuerpo en tiro vertical, la velocidad vertical a máxima altura es _______________. 37.- ¿A qué tipo de movimiento corresponde un tiro vertical?_ ________________________________. 38.- La aceleración debida a la gravedad tiene un valor prome84

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dio aproximado de ________________. 39.- Escribe la expresión matemática de la altura máxima que puede alcanzar un tiro vertical:________. 40.- Explica qué sucede después de que un cuerpo alcanza su altura máxima: ___________________. PROBLEMAS 1. Determinar el tiempo en horas de un ciclista que efectúa un desplazamiento de 5 km, llevando una velocidad media de 30 m/s. 2. Calcular la distancia que recorrerá una pelota de golf durante 8 segundos, si lleva una velocidad media de 144 km/h. 3. Dos trenes parten de una misma estación. El tren “A” sale una hora antes que el tren “B”. El tren “A” parte con una velocidad de 70 km/h y el tren”B” con una velocidad de 90 km/h. Si ambos tienen la misma dirección y sentido ¿En qué tiempo el tren “B” alcanzará al tren “A”? ¿ A qué distancia de la estación ocurrirá el alcance? 4. Si un avión disminuye uniformemente su velocidad de 960 km /h a 750 km /h durante 30 minutos, ¿cuál será su aceleración? 5. Un ferrocarril parte del reposo y experimenta una aceleración de 1.2 m/s2 durante 1.2 minutos. Determinar la distancia que recorre y la velocidad que lleva. 6.- Un avión lleva una velocidad de 110 km/h al norte en el momento que inicia su aterrizaje, y ha recorrido 1.3 km antes de detenerse. Si la aceleración es constante determinar: a) la aceleración b) el tiempo que emplea para detenerse c) la distancia que recorre a los 7 segundos de haber inicia-

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do su aterrizaje 7. Un autobús se mueve inicialmente con una rapidez de 40 m/s; después de transcurridos 25 segundos su rapidez es de 70 m/s. Calcular la aceleración y la distancia recorrida en este tiempo. 8.- Calcular la velocidad que lleva un ciclista a los tres segundos de recorrido, si baja por una pendiente adquiriendo una aceleración de 2.1 m/s2, partiendo con una velocidad de 3 m/s. 9.- Se deja caer una piedra a un pozo y tarda en tocar el agua 3 segundos. Calcular: La profundidad del pozo y la velocidad con que la piedra toca el agua. 10.- Se lanza un balón hacia abajo con una velocidad de 14 m/s. Calcular la altura que desciende adurante primer segundo y durante 2 segundos. 11.- Una maceta cae desde la azotea de un edificio que tiene 15 m de altura. Calcular el tiempo que tarda en caer y la velocidad con que chocará con el suelo. 12.- Calcular la altura de un edificio del cual se deja caer un objeto desde lo alto y tarda en llegar al suelo 4 segundos. 13.- Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Calcular: a).- La aceleración b).- La velocidad después de haber recorrido 100 m c).- El tiempo necesario para alcanzar una velocidad de 25 m/s 14.-Un muchacho lanza verticalmente un balón al aire y alcanza una altura de 20 m. Calcular: a) El tiempo que debe esperar para tomarlo de nuevo b) La velocidad inicial del balón c) La velocidad con que lo toma de nuevo 15.- Un saltamontes salta como si fuera un tiro vertical y llega a una altura con respecto al suelo de 0.85 m. Calcular: a) La velocidad con la que saltó b) El tiempo en que alcanza la altura máxima 16.- Una bala se dispara en tiro vertical con una velocidad de 86

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196 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a su altura máxima? ¿Cuál es esa altura? 17.- La velocidad de lanzamiento de un proyectil es 20 m/s a 53º arriba de la horizontal. ¿Cuál es la componente vertical de su velocidad en el momento del lanzamiento? ¿Cuál es la componente horizontal de su velocidad? ¿Cuál de estas componentes permanece constante durante el trayecto de vuelo? ¿Cuál determina el tiempo que el proyectil permanece en el aire? 18.- Un niño lanza una piedra con una honda directamente hacia un blanco que esta a una distancia tal que le toma medio segundo alcanzarlo. ¿A qué distancia bajo el blanco golpea la piedra? ¿A qué altura arriba del blanco deberá apuntar la honda? 19.- Un futbolista patea el balón con una velocidad de 34 m/s y un ángulo con respecto a la horizontal de 35º. Calcular: a) La velocidad en un punto de la trayectoria, en 2.3 segundos b) La duración del trayecto 20.- Una bala de un rifle tiene una salida de 305 m/s. Determine: a) El ángulo que debe formar el rifle con la horizontal para un alcance máximo b) El alcance máximo c) El tiempo de vuelo 21.- Una pelota se dispara con una velocidad de 200 m/s y con una inclinación de 45º. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y cual es la distancia recorrida? 22. – Una rueda gira a 90 rpm. Hallar la velocidad angular en un punto cualquiera de la misma y la velocidad lineal de un punto situado a 1 m de su centro. 23. – A un rueda girando con velocidad angular inicial de 25 rad/s se le aplica una aceleración angular de 5 rad/s2 durante 7 segundos. Calcular: a) El desplazamiento que tiene en ese tiempo b) La velocidad angular

Física

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24. – Un cuerpo recorre una circunferencia de 1.5 m de radio con una velocidad de 4 rps. Calcula la velocidad lineal y la aceleración centrípeta. 25.- Calcula la velocidad angular de una rueda de 25 cm de radio para que la velocidad lineal de un punto de su superficie sea de 400 m/min. Expresa el resultado en rpm y en rad/s. 26.- Un móvil con trayectoria circular recorre 870º ¿A cuántos radianes equivale? 27.- Determina el período y la frecuencia de oscilación de un péndulo si su longitud es de 50 cm. 28.- Un péndulo efectúa 90 oscilaciones en un minuto. Calcula el período y la frecuencia. 29.- En un experimento de laboratorio un estudiante recibe un cronómetro, una lenteja de madera y un trozo de cuerda. Se le pide que determine el valor de la aceleración de la gravedad (g). Si el estudiante construye un péndulo simple de 1 m de longitud y al medir el periodo, éste es de 2 s, ¿qué valor obtendrá para g? (Elevar al cuadrado la ecuación para despejar). 30.- Un cuerpo describe un movimiento armónico simple con un período de 3 s y un radio de 20 cm. Calcular: a) Su elongación a los 4 s b) Su velocidad máxima c) Su aceleración máxima

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Física

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Unidad 3 Estática

INTRODUCCIÓN Cierra los puños de tus manos y extiende los dedos índices; sobre ellos apoya una regla de plástico (de 30 cm aproximadamente) por sus extremos. Ahora coloca sobre la regla otro cuerpo, por ejemplo un prisma de madera o una moneda; sopórtala con tus dedos índices, aprecia la posición de los cuerpos y los apoyos. Puedes cambiar de posición los cuerpos y los apoyos. Reflexiona sobre lo que observas y anótalo. Para cada caso elabora un diagrama indicando las posiciones de los cuerpos involucrados. Toma una cuerda o lazo y con la ayuda de otro compañero, tiren de sus extremos en sentidos opuestos (como jugando a las vencidas). ¿Cómo se comportan los cuerpos involucrados si la fuerza que aplica tu compañero es mayor a la que tú aplicas? ¿Cómo se comportan los cuerpos si la fuerza que aplicas tú es mayor que la que aplica tu compañero? ¿Cómo se comportan los cuerpos si la fuerza que aplican los dos son iguales? ¿Cómo se comportarían los cuerpos involucrados si las exFísica

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periencias anteriores si se realizan sobre un barco que navega a velocidad constante? Trivia Siempre que cargamos un objeto pesado con una mano, como por ejemplo una cubeta llena de agua, ¿por qué tenemos la tendencia a estirar el brazo contrario hacia un costado? ¿Cuál es el objetivo de separar los pies y flexionar las rodillas para evitar ser derribado? ¿En dónde se localiza el centro de gravedad de las personas? ¿En dónde se encuentra el centro de gravedad de una dona? Imagina un plano inclinado; en él se encuentran dos copas de vidrio, una se encuentra vacía mientras que la otra tiene agua hasta el borde. ¿Cuál de las copas es inestable y está a punto de caer? ¿Por qué una persona se proyecta hacia delante cuando se detiene sorpresivamente un auto? Si dos personas con patines se encuentran sobre el hielo, se colocan de frente y dándose las manos y se empujan uno al otro, ¿qué es lo que ocurre? CONCEPTOS FUNDAMENTALES La estática es la parte de la mecánica que estudia los cuerpos en estado de equilibrio. Los conocimientos de la estática han hecho posible la construcción de puentes, diques, edificios, y toda clase de estructuras sujetas a grandes presiones, pesos, tensiones y torcas. Estado de equilibrio de un cuerpo rígido Basándote en tu experiencia, ¿cuándo dirías que un cuerpo está en equilibrio estático? ¿Qué caracteriza a un cuerpo en equilibrio estático? Lo que caracteriza a un cuerpo en equilibrio estático es el hecho de que si consideramos uno cualquiera de sus puntos, éste permanece en reposo con respecto a un sistema inercial de referencia. Por otro lado hay que recordar que la condición necesaria y suficiente para considerar que una partícula está en reposo es que el conjunto de fuerzas externas que actúan sobre ella tenga como resultante una fuerza igual a cero S F ext = 0. 92

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Sin embargo, bajo la acción de las mismas fuerzas externas no todos los cuerpos se comportan de la misma manera. Hay cuerpos que se deforman o cambian de tamaño. Otros, conocidos como cuerpos rígidos, no sufren alteración alguna o cambian tan poco que podemos considerar que no se alteran. Lo que nos interesa aquí es estudiar esencialmente el comportamiento de los cuerpos rígidos. ¿Cómo caracterizarías un cuerpo rígido? Una característica fundamental de los cuerpos rígidos es que si consideramos cualquier par de puntos del cuerpo y la distancia entre ellos, esta no cambia cuando actúan fuerzas externas sobre el cuerpo. Un cuerpo al moversepuede trasladarse y/o rotar. Para que un cuerpo esté en equilibrio estático es necesario que no esté ni en traslación ni en rotación. Se dice que para que un cuerpo esté en equilibrio estático es necesario que esté en equilibrio traslacional y en equilibrio rotacional. ¿Qué caracteriza al equilibrio traslacional? Diremos que un cuerpo está en equilibrio traslacional cuando la aceleración de su centro de masa (acm) es igual a cero. Por otro lado, si Acm = 0 se tiene que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo también será igual a cero dado que macm = S Fext , donde m representa la masa del cuerpo en cuestión. Como decíamos, si bien el centro de masa de un cuerpo puede quedar en reposo, el cuerpo no necesariamente está en equilibrio estático, dado que puede estar rotando, esto es, cambiando de orientación o girando alrededor de su centro de masa. Un cuerpo que no rota está en equilibrio rotacional. ¿Qué caracteriza al equilibrio rotacional? Antes de contestar esta pregunta hay que introducir el concepto de torca o momento de una fuerza. Torca alrededor de un eje Cuando se habla de la rotación de un cuerpo es fundamental tomar en cuenta tanto el eje de rotación como el punto sobre el que actúa la fuerza que produce la rotación. Para medir la rotación se recurre al concepto de torca. La torca tiene que ver con la fuerza y con el eje de rotación, y es la que provoca que un objeto rote. Para definir la torca se considera una fuerza y el punto del cuerpo sobre el que se aplica esta fuerza. ¿Cuándo diremos entonces que un cuerpo está en equilibrio rotacional? Para que un cuerpo esté en equilibrio rotacional es necesario que la suma de las torcas externas sea igual a cero. Si denotamos con la letra griega τ (tau) a la torca, lo anterior se expresa Física

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matemáticamente como sigue: S τext = 0. Condiciones para un equilibrio estático Regresando finalmente a la pregunta inicial, diremos que para que un cuerpo esté en equilibrio estático es necesario que se cumplan al mismo tiempo las dos condiciones siguientes: Σ Fext = 0

y

Σ τext = 0.

• Estas dos se conocen como la primera (Σ Fext = 0) y la segunda (Σ τext = 0) condición de equilibrio Lo anterior es válido para un cuerpo rígido en el espacio. Pero, ¿cómo hay que interpretar estas condiciones cuando se consideran fuerzas coplanares? Cuando dos o más fuerzas yacen en un mismo plano xy, se les llama coplanares, como ya vimos en la Unidad I. La torca es un vector, que en general se calcula mediante una operación vectorial llamada producto cruz o producto vectorial, que aquí no estudiaremos. En caso de fuerzas coplanares el cálculo de la torca es más simple: se considera que la torca actúa sólo a lo largo del eje z, perpendicular al plano xy, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario. Si todas las fuerzas son coplanares, todas sus torcas son paralelas, por lo que consideraremos sólamente su magnitud y su signo. Veamos cómo calcular las torcas para el caso de fuerzas coplanares. Elegimos un punto del cuerpo respecto al cual se calcularán todas las torcas. Este punto en realidad es un eje perpendicular al plano en el que yacen todas las fuerzas. La magnitud de la torca de una fuerza dada respecto a este punto se calcula multiplicando la magnitud de la fuerza por la distancia del punto a la línea de acción de la fuerza.

FIGURA 3.1

La magnitud de la torca es entonces t= Fd (nótese que la 94

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distancia d es la distancia perpendicular del punto a la línea de acción de la fuerza). El signo de la torca está relacionado con la rotación que la fuerza en cuestión tiende a producir respecto al punto elegido: Si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, la torca es negativa Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, la torca es positiva

FIGURA 3.2

En la figura anterior, la torca es positiva. Para ejemplificar calcularemos los valores de las torcas de las cuatro fuerzas de la siguiente figura, respecto al punto indicado:

FIGURA 3.3

En la siguiente tabla ponemos los datos del problema anterior y algunas de las respuestas.

Física

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Termina tú de llenar la tabla

F

d

Rotación

Signo

TORCA

20 N

6m

-

- 120 Nm

8N

6m

+

48 Nm

10 N

0m

5N

10 m

Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio estático cuando se están considerando sólo fuerzas coplanares, es necesario que Σ Fx ext = 0, Σ Fy ext = 0 y Σ τz ext = 0. Existe un procedimiento de seis pasos que puede sernos de mucha utilidad cuando tenemos que resolver problemas simples de estática. Los pasos a seguir son los siguientes: 1. Haz un croquis de la situación en el que se muestre el cuerpo rígido en equilibrio estático. 2. Construye el diagrama de cuerpo libre dibujando todos los vectores correspondientes a las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido, indicando su magnitud, dirección y punto de aplicación. Alguna de estas cantidades será desconocida. 3. Elige un conjunto conveniente de ejes coordenados y descompón todas las fuerzas a lo largo de estos ejes. 4. Escoge un eje alrededor del cual se evaluará la torca. 5. Aplica las condiciones del equilibrio estático. 6. Resuelve las ecuaciones obtenidas.

Centro de masa y centro de gravedad Se considera que el centro de masa de un cuerpo es el punto en el que puede considerarse que está concentrada su masa, mientras que el centro de gravedad es un punto en el que puede considerarse que se aplica el peso total del cuerpo. ¿Es válido suponer que el peso de un cuerpo actúa sobre un solo punto? ¿Qué sucede con el peso del cuerpo completo? Un cuerpo se puede descomponer en partes. Cada parte tendrá su masa y su peso. ¿Cómo se calcula el peso de cada una de estas partes? Para ello se multiplica la masa mi de la parte 96

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en cuestión por la aceleración de gravedad g. El peso total del cuerpo se obtendrá sumando el peso de cada una de las partes, F = Σ mi g = (Smi)g = mg , donde m representa la masa total del cuerpo. Vemos así que al sumar el peso de las partes obtenemos el peso total del cuerpo, lo que indica que el peso del cuerpo es independiente del punto al cual se aplica la fuerza que llamamos peso. Sin embargo, el punto de aplicación de cada fuerza cobra importancia fundamental cuando es necesario calcular la torca del cuerpo. Hay que señalar que el peso de cada parte en la que se descompuso el cuerpo ejerce cierta torca alrededor de algún eje. Para calcular la torca total del cuerpo debida a la fuerza de gravedad es necesario sumar las torcas de cada una de las partes. Por lo tanto, la torca de un cuerpo debida a la fuerza de gravedad depende de la distribución espacial de sus partes. Ahora podemos ampliar el concepto de centro de gravedad. Se trata del punto del cuerpo que sometido a la fuerza (peso del cuerpo) produce una torca igual a la que se obtiene al considerar la suma de las torcas de cada una de sus partes. ¿Existe alguna relación entre el centro de masa y el centro de gravedad? Cuando la aceleración de un cuerpo debida a la gravedad es igual para todas sus partes entonces el centro de gravedad y el centro de masa coinciden.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.-Encontrar la resultante del siguiente sistema de fuerzas, sabiendo que:

Sabemos que

Física

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Mag.[N]

Dir.[0]

Comp..X [N]

comp..Y [N]

200 300 300 150 200 100

270 225 300 60 135 0

(200)(cos2700) =0 (300)(cos2250) =-212.132 (300)(cos3000) =150.000 (150)(cos600) =75.000 (200)(cos1350) =-141.421 (100)(cos00) =100.000

(200)(sen2700) =-200.000 (300)(sen2250) =-212.132 (300)(sen3000) =-259.808 (150)(sen600) =129.904 (200)(sen1350) =141.421 (100)(sen00) =0

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2. El paquete de la figura tiene un peso de 10N. Dibuje el diagrama de cuerpo libre del paquete de la cuerda BD y del anillo en B

Figura 3.4

Figura 3.5

3. Encuentra la resultante del siguiente sistema de fuerzas concurrentes y coplanares por el método analítico del triángulo, sabiendo que: R = -F1 + F2 F1 =480N <1600 F2 =250N <800

Física

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Figura 3.6

4. Un cuerpo de 0.6 toneladas, se encuentra suspendido por medio de dos cuerdas como se ve en la figura. Determine la tensión en cada una de ellas. mC=0.6 Ton = 600 Kg T1 = ? T2 = ?

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Figura 3.7

WC = m Cg WC =600 Kg -9.80 m/s2 WC = 5880.000 N

FIGURA 3.8

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ΣF =0

sustituyendo el valor de T1 en (1), tendremos:

y finalmente sustituyendo este valor en T1

5.- Un puntal uniforme de 450 N de peso y 7.5 m de longitud está sostenido por un cable. El puntal se apoya en la pared y el cable forma un ángulo de 300 con respecto al puntal, que está en posición horizontal. Si se cuelga del extremo derecho una carga de 2,200 N, ¿cuál es la tensión en el cable?, ¿cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote?

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FIGURA 3.9

Datos: WP = 450 N l = 7.5 m q = 300 WC = 2200 N FX = ? FY = ?

FIGURA 3.10

Física

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6.- Una pelota de 100N cuelga de una cuerda unida a otras dos cuerdas que están sostenidas sobre una viga horizontal formando ángulos de 600 y 450 respectivamente. Calcule las tensiones que cuelgan de la viga.

FIGURA 3.11

, tomando la igualdad encontrada para T2, tendremos:

Física

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PRÁCTICA: Centro de masa, centro de gravedad y centroide OBJETIVOS • Obtener los valores de las tensiones desconocidas aplicando la primera condición de equilibrio. • Obtener los valores de las reacciones desconocidas aplicando la segunda condición de equilibrio. • Determinar el centro de gravedad de algunos cuerpos geométricos de material uniforme, de formas irregulares y regulares, por métodos experimentales. • Determinar el centro de gravedad de cuerpos planos, geométricos y uniformes, y comprobar que se localiza en el centro geométrico. • Calcular las coordenadas del centroide de figuras planas irregulares, aplicando el teorema de Varignon. • Comprobar que los puntos encontrados experimentalmente y analíticamente, coinciden equilibrando dichos cuerpos. MATERIAL Y EQUIPO Soporte universal Varilla de 60 cm Espiga con nuez y varilla sostén Plomada con hilo o similar Cuerpos planos homogéneos, regulares e irregulares Regla para equilibrio DESARROLLO EXPERIMENTAL Para cuerpos y figuras regulares, localiza el centroide como se indica en las figuras: Cuadrado Triángulo equilátero Triángulo rectángulo

Circunferencia

FIGURAS PLANAS IRREGULARES Se suspende la figura de puntos diferentes y con una plomada del mismo punto de suspensión, trazar una línea sobre el hilo, donde se crucen las líneas, el punto de intersección determina el centroide de la figura.

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MÉTODO ANALÍTICO • Se dibuja la figura en un sistema de ejes cartesianos en el primer cuadrante. • Se divide la figura en áreas regulares con centroides conocidos. • Se calculan las áreas de cada una de las figuras divididas. • Se determinan las coordenadas x y y de los centroides de cada área. • Se calcula el momento de cada área con respecto a los ejes coordenados. • Por el teorema de Varignon, las coordenadas del centroide serán: Xc = (X1A1 + X2A2 + ... + XnAn) / AT Xc = Xn An / AT Yc = (Y1A1 + Y2A2 + ... + YnAn) / AT Yc = Yn An / AT EXPERIMENTO 1 Monta una regla sobre el soporte. Determina experimentalmente el centro de gravedad acomodándole el dispositivo provisto hasta lograr el equilibrio. Realiza un análisis en base a los conceptos previos y da una explicación del fenómeno. EXPERIMENTO 2 En una hoja de papel cuadriculado, dibuja una figura como se te indique por el profesor de laboratorio y determina el centroide analíticamente, llenando la siguiente tabla: COORDENADAS DEL CENTROIDE Figura A das del centroide 1 2 3

Área A

Y

XA

YA

Coordena-

XC YC

AT Física

X

X nA n XC

Y nA n YC 107

EXPERIMENTO 3 Comprobar prácticamente la precisión de la localización del centro de gravedad, colocando un cuerpo de tal forma que al quedar sobre una punta, ésta coincida con el centro de gravedad y el cuerpo quede en equilibrio. Reflexiona I. ¿Cuáles son tus conclusiones de los experimentos? II. El punto donde se considera concentrado el peso de un cuerpo se denomina: III.

El punto donde se considera concentrada el área de un cuerpo se denomina:

IV.

¿Coincide el punto cuyas coordenadas se determinaron por el método de Varignon con el determinado experimentalmente?

V. ¿Por qué al suspender un cuerpo de puntos diferentes, se localiza el centro de gravedad? VI.

¿En dónde se localiza el centroide en las figuras regulares? VII. ¿Qué le sucede al eje que sujeta a una polea, si está mal calculado el centro de gravedad? VIII. ¿Qué finalidad se logra al determinar el centro de gravedad en las llantas de un auto?

IX.

¿En qué juegos infantiles se aplican los conocimiento adquiridos?

X. ¿Qué le sucede a un vehículo si el centro de gravedad se encuentra a una altura considerable del piso al tomar las curvas? XI.

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¿Dónde se aplica el centro de masa, el centroide y el centro de gravedad en una industria?

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SÍNTESIS Estática es la parte de la mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos. La aplicación de fuerzas sobre un cuerpo puede provocar cambios en su estado de movimiento, o deformaciones. Si el cuerpo no se deforma, se le llama cuerpo rígido. La resultante del sistema de fuerzas puede encontrarse aplicando el método del paralelogramo. Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo u objeto. La primera ley de Newton del movimiento dice: “Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él”. La tercera ley de Newton dice que cuando dos cuerpos interaccionan, la fuerza ejercida por el primer cuerpo sobre el segundo, es igual en magnitud pero opuesta en sentido a la fuerza que ejerce el segundo cuerpo sobre el primero. Nótese que cada una de estas fuerzas actúa sobre un cuerpo diferente. El centro de masa de un cuerpo es el punto en el que puede considerarse que está concentrada su masa y puede estar dentro o fuera del cuerpo, dependiendo de su forma. El centro de gravedad es un punto en el que puede considerarse que actúa el peso del cuerpo. Una partícula está en equilibrio mecánico si: ΣFext = 0 Si la partícula está en reposo el equilibrio se denomina estático. Un cuerpo rígido puede tener movimientos de traslación y de rotación. El cuerpo está en reposo si: ΣFext = 0

y

Σ τ ext = 0

Si el cuerpo está en reposo, se dice que está en equilibrio estático. Física

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A la condición sobre la suma de las fuerzas se le conoce como primera condición de equilibrio, y la referente al momento se conoce como segunda condición de equilibrio.

LECTURA: ¿Cómo se construye una bóveda? Las bóvedas, al igual que los arcos, tienen grandes superficies suspendidas en el aire. ¿Cómo es posible soportar el peso de toda esa estructura? ¿Cómo es que no se caen por su propio peso? La construcción de las bóvedas fue una hazaña en la historia de la arquitectura y de la tecnología, que se basó en los principios de la construcción del arco semicircular, otra innovación espectacular. Fueron los romanos quienes lograron construir este tipo de arcos. Las piedras que conforman las bóvedas y los arcos semicirculares tienen forma de cuña. Las piedras se colocan de tal forma que se les fuerza a apretarse unas contra otras, de manera que estén principalmente bajo compresión aún cuando tengan que soportar un peso grande como el de una pared o el del techo de las catedrales. Las fuerzas horizontales y verticales que se ejercen sobre cada una de estas piedras son transferidas hacia los soportes del arco o de la bóveda. Los cálculos que se requieren para hacer el análisis de las fuerzas que actúan sobre cada una de las piedras de un arco son complejos, pero se pueden hacer algunas hipótesis que permiten simplificarlos. Supongamos que queremos construir un arco semicircular de 6 m de diámetro; su altura será entonces de 3 m. Supongamos también que el peso que debe soportar el arco es de 8x104 N, de manera que cada uno de los soportes soporta la mitad de esa fuerza, y para estar en equilibrio deben ejercer una fuerza vertical de la misma magnitud pero en sentido opuesto. Para lograr el equilibrio rotacional es necesario que cada soporte del arco ejerza una fuerza horizontal en la base del arco. Esta es precisamente la fuerza que queremos calcular. Las fuerzas que actuan sobre una mitad del arco se muestran en la figura:

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FIGURA 3.12

Queremos que la torca neta sobre el ápice del arco sea cero, para que esté en equilibrio rotacional. Recordemos que la torca esta dada por el producto de la fuerza por el radio de giro, así que la torca neta está dada por la suma de las siguientes torcas: La torca ejercida por el peso sobre el arco en el ápice T1 = ( mitad del peso)(altura del arco) = (4x104 N)(3 m), La torca ejercida por el soporte correspondiente es T2 = ( mitad del peso)(mitad del radio del arco) = (4x104 N)(1.5 m), La torca ejercida por la fuerza horizontal de los soportes es T3 = ( fuerza horizontal)(altura del arco) = (Fh)(3 m), De manera que la torca neta es T1 - T2 - T3 = 0, de donde encontramos que Fh = 2x104 N En el caso de las bóvedas, el problema es similar aunque en tres dimensiones. La bóveda es como un arco rotado alrededor de su eje vertical y los cálculos son por lo mismo mucho más complejos. Lo interesante del caso es que el arco y la bóveda semicircular fueron construidos por los romanos mucho antes de que se conocieran las técnicas para hacer los cálculos. ¿Cómo lograron construir bóvedas, como la del Panteón, que aún están en pie? Otra hazaña de la arquitectura fue la construcción de los arcos y las bóvedas en punta de los edificios góticos. Éstos perFísica

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miten soportar la carga con arcos más ligeros, ¿por qué? ¿Podrías calcular la fuerza hotizontal de un arco gótico del mismo diámetro que el semicircular que se usó anteriormente, pero de una altura de 8 m, que soporte el mismo peso? Compara esta fuerza con la que se obtuvo para el arco semicircular. ¿Cuál es menor? Consulta estás direcciones en Internet. Son interesantes y tienen mucha información útil a nivel internacional; incluyen lecturas de amena diversión y fácil entendimiento.

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http://www.uco.es/organiza/centros/ciencias/fisica.html

AUTOEVALUACIÓN Responde las siguientes preguntas: 1. Define qué es el equilibrio. 2. ¿Cuáles son las condiciones para el equilibrio translacional? 3. ¿Cuáles son las condiciones para el equilibrio rotacional? 4. ¿Qué es un centroide? 5. ¿Qué es una torca? 6. Describe cómo se define el signo de una torca para fuerzas coplanares. 1. ¿Qué es el centro de masa de un cuerpo? 2. ¿Cuál es la diferencia entre centro de masa y centro de gravedad? Resuelve los siguientes problemas: 1. Encuentra la resultante del siguiente sistema de fuerzas, sabiendo que:

F1 : 200 N ∠ 450 F2 : 300 N ∠ 1200 F3 : 150 N ∠ 2100 2. Un cuerpo de 100N se encuentra suspendido por medio de 2 cuerdas. Determina la tensión en cada una de ellas.

Física

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FIGURA 3.13

3. Determine las reacciones en los apoyos del siguiente sistema de fuerzas que se encuentran sobre una viga, considerando el peso de la misma sin valor.

FIGURA 3.14

4. Determine el centroide de la siguiente figura:

FIGURA 3.15

5. Una regla graduada de un metro de largo queda en equilibrio si se coloca sobre un eje en la marca de los 50 cm. Si se le colocan encima dos monedas en la marca de los 12 cm, la regla se equilibra al colocarla sobre la marca de los 45.5 cm. Si la masa de cada moneda es de 5 gramos, ¿cuál es la masa de la regla? 114

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6. El andamio de la figura mide 3 m de largo y tiene una masa uniforme de 20 kg. Un albañil de 80 kg está parado a 1 m de uno de los extremos, y un bulto de 25 kg de cemento está a 50 cm del otro extremo. Calcular las dos fuerzas de resistencia ejercidas por los soportes del andamio.

FIGURA 3.16

7. La viga de la figura mide 6 m de largo y tiene una masa uniforme de 20 kg. Está articulada en la pared mediante una bisagra y sujeta por una cuerda en el otro extremo. De este último extremo cuelga un peso de 80 N. Si la tensión máxima que soporta la cuerda es de 900 N, calcular la máxima distancia que puede caminar sobre la viga un hombre de 70 kg a partir de la pared, de manera que la cuerda no se rompa.

FIGURA 3.17

8. Una escalera uniforme de 6 m y 20 kg, se apoya sobre una pared vertical. Si el coeficiente de fricción entre la escalera y el piso y entre la escalera y la pared es, u = 0.73, encontrar el ángulo q más pequeño para el cual la escalera no se resbala.

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Unidad 4 Dinámica

INTRODUCCIÓN ¿Qué debes hacer para que un objeto se ponga en movimiento? ¿Que debes hacer para que un objeto en movimiento se frene? ¿Cuál es la diferencia entre chocar o que te choque un coche pequeño o un camión? ¿Por qué cuando disparas un rifle sientes una fuerza que te empuja hacia atrás? ¿Cuál es la diferencia entre masa y peso? ¿Por qué los satélites artificiales siguen girando alrededor de la Tierra, si no llevan ningún tipo de motor que los impulse? Si quieres cambiar algo de lugar, por ejemplo un mueble de tu casa, tienes que empujarlo. Si deseas recoger un objeto tirado en el piso tienes que cargarlo para ponerlo sobre la mesa. Si quieres que tu bicicleta camine debes pedalear, o si se trata de una moto hacer que el motor entre en acción para impulsarla. Mientras más duro patees una pelota de futbol, ésta saldrá disparada con mayor velocidad. Si un boxeador quiere derribar a su oponente, debe darle un buen golpe en un lugar Física

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estratégico. En todos estos casos, y en general siempre que desees que un objeto se ponga en movimiento, lo que debes de hacer es aplicarle una fuerza. Este concepto físico de fundamental importancia debemos definirlo con mayor precisión y eso es lo que haremos a lo largo de esta unidad; por lo pronto partiremos de esta idea intuitiva que todos tenemos de lo que es una fuerza. Las fuerzas no sólo son necesarias para que las cosas comiencen a moverse, sino también para detenerlas. Por ejemplo, si quieres que se detenga un automóvil debes aplicar los frenos, para que la fuerza de fricción entre las llantas y el piso lo detenga; o bien si quieres parar un penalti, debes oponer a la bola una fuerza que la detenga, ya sea con tus manos o con todo tu cuerpo; una vez que un avión al aterrizar hace contacto con el suelo el piloto echa a andar los motores al revés para que la fuerza que éstos producen detenga a la aeronave. Pero las fuerzas pueden tener además otro efecto sobre las cosas, que es el de desviarlas, es decir, causar que un cuerpo en movimiento describa cierta trayectoria. Por ejemplo, al lanzar un objeto, su trayectoria es una parábola debido a la fuerza de gravedad con la que la Tierra jala al objeto hacia su centro. Los planetas giran alrededor del Sol en trayectorias elípticas también por la fuerza de gravedad con la que el Sol los jala. De igual manera un electrón se mantiene unido al núcleo del átomo por una fuerza eléctrica que existe entre ambos. Sintetizando podemos decir, basados en nuestra experiencia, que las fuerzas son las causantes tanto de que las cosas empiecen a moverse, como de que se detengan y también son responsables de las diferentes trayectorias que observamos. En conclusión podemos afirmar que las causas de la gran diversidad de movimientos que observamos son las fuerzas. Sabías que……. Cuando en 1969 Armstrong y Aldrin pisaron por primera vez la Luna, Collins se quedó en la nave principal orbitando la Luna.

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En una de sus comunicaciones por radio con la base terrestre, Collins comentó: “Parece que es Newton quien conduce la nave”.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA DINÁMICA Para establecer las leyes del movimiento hicieron falta muchas observaciones y las ideas de muchos hombres, pero el que culminó este trabajo aportando sus ideas y haciendo una síntesis genial fue Isaac Newton, científico inglés que vivió en los siglos XVII y XVIII. Las leyes que rigen cualquier movimiento son tres y se les conoce como las leyes de Newton; constituyen la base de lo que hoy conocemos como mecánica clásica o mecánica newtoniaPrimera ley de Newtonna. o ley de la inercia

Para establecer y entender esta primera ley de la mecánica pensemos que las causas del movimiento son las fuerzas, es decir, para que un cuerpo empiece a moverse, se frene o se desvíe es necesario aplicarle fuerzas. ¿Y qué pasa si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza? ¿Podríamos concluir que entonces no habría movimiento? Esa es una posibilidad, pero las cosas van más allá. También es posible que, si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, éste se mueva con velocidad constante y en línea recta, es decir que avance sin ser acelerado, ni frenado, ni desviado. Precisamente esto es lo que establece la primera ley de Newton: todo cuerpo tiende a conservar su estado de reposo o bien su estado de movimiento uniforme rectilíneo a no ser que sobre él actúe alguna fuerza. Es decir, que si un cuerpo está en reposo, o moviéndose en línea recta y con velocidad constante, es porque sobre él no está actuando ninguna fuerza (o bien porque las fuerzas que actúan se anulan unas a otras: suman cero). De lo contrario, si ves un cuerpo que se acelera, frena o sigue una trayectoria que no es recta, puedes asegurar que sobre él está actuando una fuerza neta. Hacen falta fuerzas para cambiar el estado “natural” de un cuerpo, que es el de reposo o el de movimiento uniforme rectilíneo. Por esta razón a esta primera ley se le conoce también como ley de la inercia. La inercia es la tendencia de un cuerpo a seguir como está. Si vas en un camión y éste frena, tú tiendes a irte para adelante, a seguir el movimiento que llevabas; no hay Física

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una fuerza que te empuje hacia el frente, sino que el camión frenó y tú te seguiste. De la misma manera, cuando el camión acelera tú te vas hacia atrás, porque tu tendencia es seguir como estabas. También si el camión da vuelta a la derecha tu cuerpo se va hacia la izquierda; nadie te está empujando, es tu tendencia a seguir en línea recta la que provoca que te vayas hacia el lado izquierdo del camión. Si al lanzar un proyectil no hubiera fuerza de gravedad, seguiría en línea recta a la velocidad con que lo lanzaste; sin embargo, por la fuerza de gravedad, su trayectoria es una parábola, y termina cayendo al piso. Las naves espaciales que hemos logrado enviar lejos de la Tierra, por ejemplo las sondas Viajero I y Viajero II, que ya rebasaron la órbita de Plutón, no necesitan combustible para seguir avanzando a la velocidad de 60,000 km/h. Una vez impulsadas, la velocidad se mantiene, ya que en el espacio interplanetario no hay fricción que las detenga. Claro que estas sondas espaciales son aceleradas y desviadas cuando pasan cerca de objetos como Júpiter o Saturno. Es difícil imaginar un cuerpo sobre el que de verdad no actúen fuerzas, pero sí podemos pensar en cuerpos sobre los cuales las fuerzas que actúan se cancelan, sumando cero. De cualquier manera, la primera ley de Newton sirve para sentar las bases de lo que pasa cuando no actúan fuerzas, y es el punto Segunda ley de Newton de partida para establecer las demás leyes del movimiento.

Ya vimos que, al haber fuerzas actuando sobre un cuerpo, éste va a empezar a moverse, se va a frenar, va a ir más rápido o bien se va a desviar. Pero, ¿cómo podríamos cuantificar esto para establecer una ley precisa que describa cuantitativamente lo que está sucediendo? Newton se dio cuenta de que la clave estaba en la aceleración. Lo que produce una fuerza que actúa sobre un cuerpo es una aceleración, es decir un cambio en su velocidad. Si pensamos en la velocidad como lo que es, un vector, un cambio de velocidad puede significar ya sea que la rapidez aumentó o disminuyó, o que la velocidad cambió de dirección. En cualquier caso hubo cambio de velocidad, o sea aceleración. Por esta razón, decir que el efecto de una fuerza es una aceleración abarca todas las posibilidades que habíamos considerado. Pero, ¿cuánta aceleración produce una fuerza dada? Pensemos, por ejemplo, en aplicar una misma fuerza a objetos 120

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diferentes. El resultado es diferente, es decir, unos se aceleran más que otros. Dale un empujón a un compañero chaparrito y flaquito y dale el mismo empujón a un gordo. Quizás el flaco salga volando mientras que a tu amigo el gordito apenas podrás moverlo. La conclusión es que el efecto que una fuerza tiene sobre un cuerpo depende de su masa: a mayor masa menor aceleración, mientras que a menor masa mayor será la aceleración resultante. La segunda ley de Newton del movimiento dice así: la aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. Esto puede expresarse matemáticamente así: o bien, como es más conocida esta ley,

Esta ley hace explícita la relación causa-efecto que hay entre la fuerza y la aceleración. Si tenemos un cuerpo de masa conocida y sabemos qué fuerza neta actúa sobre él, la segunda ley de Newton nos permite saber con precisión cuál es la aceleración. También al revés, si conocemos la masa de un cuerpo y medimos su aceleración, podemos saber cuál fue la fuerza causante de ese movimiento. Respecto a la masa, esta ley nos permite decir que es una medida de cuánto se resiste un cuerpo a ser acelerado. Además de que la masa es la cantidad de materia que contiene un cuerpo, podemos decir ahora, en términos de la mecánica, que la masa es la medida cuantitativa de la inercia, o sea que mientras mayor masa tiene un cuerpo, más inercia tiene, y se resiste más a ser acelerado, frenado o desviado. Tercera ley de Newton o ley de acción y reacción Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son producidas, ya sea por contacto o a distancia, por otros cuerpos. La tercera ley de Newton nos habla de una relación mutua que hay entre dos cuerpos cuando uno de ellos ejerce una fuerza sobre el otro. Si le pegas un puñetazo a una pared, es posible que logres descarapelarla, pero a ti te va a doler mucho la mano. Si estás en patines y empujas a un compañero, tú sales hacia atrás a consecuencia de tu propio empujón. De la misma manera, si estás parado sobre una balsa flotante y brincas hacia el agua, la balsa Física

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retrocede en dirección contraria a aquella en la que brincaste. Estos son algunos ejemplos que nos ayudan a entender lo que dice la tercera ley de Newton: a toda fuerza de acción le corresponde un fuerza de reacción de igual magnitud y dirección, mas de sentido opuesto. Es importante destacar que estas dos fuerzas, la acción y la reacción, actúan sobre diferentes cuerpos cada una; es decir que si yo empujo a Tomás, la acción actúa sobre Tomás, mientras que la reacción actúa sobre mí. Si ves un caballo jalando una carreta, es evidente que el caballo ejerce una acción sobre la carreta, ya que ésta se está moviendo, pero también el caballo siente esa misma fuerza, aunque hacia atrás. Prueba de ello es que si le quitamos la carreta irá más rápido. Una forma de moverte si estás en patines frente a una pared es empujar la pared (acción); la pared ejercerá una fuerza sobre ti (reacción) que te hace retroceder. Algo similar ocurre cuando caminamos o cuando vamos en coche: con los pies o con las ruedas ejercemos una acción hacia atrás sobre el piso, el cual nos responde con una reacción hacia adelante que es la que nos impulsa. Una de las aplicaciones más importantes de la tercera ley de Newton es la llamada propulsión a chorro. Para que entiendas el principio, imagínate que estás flotando en el espacio vacío sin ningún objeto del cual agarrarte. La única forma que tienes para moverte es lanzar algún objeto lo más rápido que puedas, y tú saldrás hacia atrás por acción y reacción. Pues bien, tanto los aviones como las naves espaciales avanzan de esta manera, lanzando potentes chorros de aire o de gas hacia atrás. También las naves espaciales usan este principio cuando tienen que dar vuelta hacia algún lado. Recuerda que en el espacio no hay de dónde agarrarse como nosotros nos “agarramos” del suelo para hacer nuestros movimientos. Fuerza Con base en lo anterior, podemos concluir que una fuerza es un agente, producido por uno o varios cuerpos externos, que actúa sobre un cuerpo y que puede ejercer sobre él diferentes efectos: acelerarlo, frenarlo, desviarlo o deformarlo. Las fuerzas se miden por su capacidad de acelerar cuerpos de acuerdo con la segunda ley de Newton (F = ma). Por esta razón, la unidad para medir la fuerza en el Sistema Internacional de Unidades es el kgm/s2, a la cual se le ha dado el nombre de newton, que se representa con el símbolo N. 122

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Otras unidades de fuerza son la dina y el kilogramo fuerza, cuyas equivalencias son: 1 newton = 100,000 dinas = kilogramos fuerza La fuerza es una magnitud vectorial, por lo que para especificarla por completo es necesario decir la dirección y el sentido en el que actúa. Diferencia entre masa y peso Aunque tendemos a confundirlos, la masa y el peso son dos conceptos que, si bien están muy relacionados, son diferentes. La masa puede definirse como la cantidad de materia que tiene un cuerpo, o bien como una medida de la resistencia de un cuerpo a ser acelerado, frenado o desviado de su trayectoria; es decir, es una medida de la inercia del cuerpo. El peso es la fuerza con la que la Tierra jala a un cuerpo hacia su centro. La masa es una característica intrínseca del cuerpo mientras que el peso depende del lugar donde se encuentre. Por ejemplo, la masa de un cuerpo es la misma aquí que al nivel del mar o en el polo norte, la Luna, Júpiter o el espacio interestelar, mientras que su peso no es el mismo en ninguno de estos lugares: en la Luna pesa como la sexta parte que en la Tierra, mientras que en el espacio interestelar no pesa prácticamente nada. La masa de los cuerpos es una magnitud fundamental que se mide en kilogramos (kg). El peso es una magnitud derivada y es igual a la masa por la atracción que la fuerza de gravedad le comunica al cuerpo (mg), por lo que el peso, en el sistema internacional, debe medirse en newtons. En nuestra vida cotidiana estamos acostumbrados a medir el peso en kilogramos. En realidad se trata de kilogramos fuerza, una unidad de fuerza utilizada todavía por los ingenieros. Podemos seguir usándola siempre y cuando esto no nos haga confundir los conceptos de masa y peso, que, si no nos movemos de nuestro planeta, son casi lo mismo. Fricción de rozamiento Es la fuerza de fricción que se produce cuando un cuerpo se desliza sobre otro. Esta fuerza se debe principalmente a que las superficies de los dos cuerpos no son tan lisas como parecen, y en el momento en que uno quiere deslizarse sobre el otro, estas rugosidades tienden a resistirse al movimiento relativo de los dos cuerpos. La fuerza de fricción de rozamiento está dada por: Física

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donde θ es el ángulo entre el plano por el que se desliza el objeto y el horizontal. Esta fórmula se aplica para los dos tipos de fricción de rozamiento que hay, que son la fricción estática y la fricción cinética. La diferencia entre las dos es que la fricción estática es la que está presente cuando el cuerpo está en reposo y queremos que comience a moverse; para que logre hacerlo es necesario vencer la fricción estática. La fricción cinética está presente cuando un cuerpo ya está en movimiento y lo frena, o bien el cuerpo la vence y sigue moviéndose, para lo cual es necesario que sobre él actúe una fuerza externa cuando menos igual a la fricción cinética. La única diferencia que hay entre estos dos tipos de fricción de rozamiento desde el punto de vista de la fórmula es que hay un coeficiente de fricción diferente para cada uno: μs = coeficiente de fricción estática μk = coeficiente de fricción cinética Siempre se cumple que . Esto quiere decir que la fricción estática es siempre mayor que la cinética, o sea que cuesta más trabajo hacer que un cuerpo empiece a moverse que mantenerlo en movimiento. Fuerza centrípeta Es la fuerza responsable de que un cuerpo se mueva siguiendo una trayectoria circular. La fuerza centrípeta apunta siempre en dirección al centro del círculo (de ahí viene su nombre). Cuando un cuerpo se mueve describiendo un círculo es porque hay una fuerza centrípeta que lo obliga a hacerlo. La fuerza centrípeta puede deberse a diferentes causas: en el caso de una piedra atada a una honda, la fuerza centrípeta que obliga a la piedra a moverse en círculos la proporciona la cuerda mediante la tensión; en el caso de la Tierra, que se mueve alrededor del Sol en una órbita casi circular (en realidad es una elipse), la fuerza centrípeta necesaria la produce la atracción gravitacional entre la Tierra y el Sol; cuando un auto toma una curva, la fuerza necesaria para que se mantenga sobre la curva, es decir para que en efecto se mueva sobre un círculo (aunque no lo recorra completo), la proporciona la fricción entre las llantas y 124

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el pavimento. En cualquier caso, la fuerza centrípeta, o sea la fuerza necesaria para mantener a un cuerpo de masa m moviéndose en un círculo de radio r con una velocidad v, está dada por: fuerza centrípeta= Como puede suponerse, la fuerza centrípeta es mayor mientras mayor es la velocidad del cuerpo y su masa, y mientras más chico sea el radio del círculo. Fuerza centrífuga Es la tendencia de un cuerpo a seguir en línea recta (por su inercia) cuando está moviéndose en una trayectoria curva, por ejemplo un círculo. Cuando vamos en un coche o un camión que toma una curva hacia la izquierda, nosotros tendemos a irnos hacia la derecha; está actuando la fuerza centrífuga que es el resultado de que los cuerpos tienden a seguir trayectorias rectas, como lo afirma la primera ley de Newton (ley de la inercia). La fuerza centrífuga tiene la misma expresión matemática que la fuerza centrípeta; depende de la velocidad v del cuerpo, de la masa m y del radio r de la curva que se está tomando: fuerza centrífuga= Impulso El impulso de una fuerza es el resultado de multiplicar el valor de la fuerza F por el tiempo t durante el que actuó. Es decir I=Ft. Es claro que el impulso será mayor mientras más grande sea la fuerza y mientras mayor sea el tiempo que actúa. Cantidad de movimiento Se denomina también momento, momentum o ímpetu. Es una cantidad vectorial que se define como el producto de la masa (m) por la velocidad (v). Se denota con la letra p:

La dirección en que apunta la cantidad de movimiento de un cuerpo es la misma en la que apunta su velocidad. Como puede verse en la fórmula, mientras mayor masa y mayor velocidad tenga un cuerpo, mayor será su cantidad de movimiento. Impulso y cantidad de movimiento El impulso y la cantidad de movimiento están relacionados de Física

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la siguiente manera: donde F es una fuerza que actúa durante un tiempo t sobre un cuerpo de masa m que originalmente tiene velocidad vi , y cuando termina de actuar la fuerza tiene velocidad final vf. Esto significa que el impulso de una fuerza (Ft) produce un cambio en la cantidad de movimiento. Cuando un futbolista da un cabezazo, la pelota experimenta un cambio muy grande en su cantidad de movimiento. Este cambio fue debido a una fuerza que actuó durante un tiempo; en este caso el tiempo es muy pequeño (el tiempo durante el que están en contacto la pelota y la cabeza), pero la fuerza es muy grande. Ley de la conservación de la cantidad de movimiento Cuando dos o más cuerpos interactúan entre sí, la suma total de la cantidad de movimiento se conserva. Es decir, la cantidad de movimiento total de un sistema cerrado se conserva. Si, por ejemplo, tenemos dos cuerpos de masas m1 y m2 que van a chocar en línea recta, y sus velocidades iniciales son vi1 y vi2 respectivamente, la conservación de la cantidad de movimiento establece que

donde vf1 y vf2 son las velocidades de los cuerpos después de haber chocado. Esto quiere decir que la cantidad de movimiento inicial (antes del choque) es igual a la cantidad de movimiento final (después del choque). En el caso de una interacción en línea recta, como la anterior, hay que considerar que algunas de las velocidades son negativas, es decir que el móvil correspondiente se mueve hacia la izquierda. (Recuerda que, por convención, se establece que los vectores positivos apuntan a la derecha y los negativos a la izquierda.) Esto se debe a que la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial. Si la interacción es en dos o tres dimensiones, la ley de conservación de la cantidad de movimiento sigue siendo válida, sólo que, como se trata de cantidades vectoriales, hay que considerar los componentes horizontal y vertical del movimiento. LEYES DE KEPLER Con base en las tablas de datos de Tycho Brahe, y en el modelo planetario heliocéntrico de Copérnico, Kepler logró establecer 126

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sus tres leyes del movimiento de los planetas. Primera ley de Kepler Los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo elipses, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. En esa época se pensaba que el círculo era la figura perfecta, y en un principio no fue fácil aceptar que la trayectoria de los planetas fueran elipses. Segunda ley de Kepler La línea imaginaria que une a un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto significa que cuando el planeta está más cerca del Sol, se mueve más rápido. Tercera ley de Kepler Los cubos de las distancias medias de los planetas al Sol son proporcionales a los cuadrados de sus períodos de revolución. Es decir, donde R es la distancia media al sol, k una constante y T es el período o tiempo que el planeta tarda en dar una vuelta completa al Sol.

Fuerza de gravedad Es la fuerza con la que se atraen dos cuerpos por el hecho de tener masa. Es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza. La fuerza de gravedad está regida por la ley de la gravitación universal de Newton, que afirma que la fuerza de atracción que sienten dos cuerpos de masa M y m, respectivamente, separados una distancia r, es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir: donde G es una constante llamada constante de gravitación universal, cuyo valor es, en unidades del Sistema Internacional, G = 6.67 x 10–11 Nm2/kg2

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Como esta constante es tan pequeña, para que la fuerza de atracción entre dos cuerpos sea notable es necesario que al menos alguno de los dos tenga una masa muy grande. Una de las características importantes de la ley de la gravitación universal es precisamente su carácter de universal, que significa que afecta a todos los cuerpos por igual. La fuerza de gravedad es la responsable del peso de los cuerpos, de que la Luna gire alrededor de la Tierra, de las trayectorias que siguen las naves y sondas espaciales, de que los planetas giren alrededor del Sol, de la formación de hoyos negros, de que las estrellas se agrupen formando galaxias y de que la expansión del universo se vaya frenando aunque sea un poco. Sistema de referencia Para describir el movimiento de los cuerpos es necesario referirnos a otros cuerpos o sistemas de cuerpos, ya que el movimiento es relativo y hay que establecer respecto a qué tiene un cuerpo determinada velocidad o posición. Un sistema de referencia es precisamente un lugar establecido respecto al cual se miden las posiciones de los objetos en determinada situación. Para que el sistema de referencia esté completo es necesario establecer también a partir de qué instante se miden los tiempos. Sistema de referencia inercial Aunque en principio cualquier sistema de referencia sirve para describir el movimiento, hay algunos en los que las cosas resultan más sencillas que en otros. Sería absurdo, por ejemplo, describir el movimiento de un ciclista desde un sistema de referencia montado en una mariposa que revolotea. Un sistema de referencia inercial es aquel en el que se cumple la primera ley de Newton (ley de la inercia). Esto significa que es un sistema tal que, si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, este cuerpo debe estar en reposo o moviéndose en línea recta y con rapidez constante. Si en un sistema de referencia observamos que sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, y sin embargo el cuerpo se acelera, se frena o recorre una trayectoria curva, es porque el sistema de referencia no es inercial. Pongamos un ejemplo para aclarar las cosas: si vamos en un vagón de metro, en el momento en que frena bruscamente todos los objetos se “aceleran” hacia adelante. Sobre ellos no actuó ninguna fuerza, y sin embargo su velocidad cambió respecto al vagón. Esta “violación” a la primera ley de Newton nos hace ver que el vagón en ese momento no es un sistema de referencia inercial. El mismo vagón, si avanza 128

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con velocidad constante en línea recta, puede considerarse un sistema de referencia inercial: podemos caminar sin problemas, y los objetos tienden a quedarse como están. En cuanto el vagón acelera, frena o toma una curva, deja de ser un sistema de referencia inercial. En los sistemas de referencia inerciales las ecuaciones de la física son más simples.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Calcular la aceleración que produce una fuerza de 20 N cuando actúa sobre un cuerpo de masa 6 kg. Solución: Datos:

Segunda ley de Newton: F = 20 N M = 6 kg

F = ma

Despejando y sustituyendo:

2. Si un objeto de 5 kg cuelga de un dinamómetro fijo al techo de un elevador, determinar la lectura que indicará el dinamómetro cuando el elevador se mueva con una aceleración constante de 2.5 m/s2, a) hacia arriba, b) hacia abajo. Solución: En ambos casos el diagrama de cuerpo libre consiste en dos fuerzas verticales, F hacia arriba, que es la ejercida por el dinamómetro sobre el cuerpo y que es igual a la lectura indicada por este aparato, y otra fuerza W hacia abajo, que es el peso del cuerpo, que es de 50 N si se toma a g como m/s 2. FIGURA 4.1

Si el elevador no tiene aceleración, entonces la segunda ley de Newton nos dice que F – W = ma = m(0) = 0, por lo que F Física

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= W, que significa que la lectura del dinamómetro indicará el peso del cuerpo. a) Si la aceleración del elevador es de 2.5 m/s2 hacia arriba, la segunda ley nos dice que: F – W = ma F – 50 N = (5 kg)(2.5 m/s2) = 12.5 N F = 50 N + 12.5 N = 62.5 N

que es lo que indica el dinamómetro cuando el elevador va de subida. b) Si el elevador va de bajada con aceleración de 2.5 m/s2, la segunda ley afirma que: F – W = ma F – 50 N = (5 kg)( - 2.5 m/s2) = - 12.5 N F = 50 N - 12.5 N = 37.5 N

que es la lectura que indica el dinamómetro cuando el elevador va de bajada. 3. Te das un golpe en la cabeza con una viga cuando vas a una velocidad de 3 m/s. Si el golpe dura 5 milisegundos, calcula la fuerza promedio que actuó sobre tu cabeza. Considera que tu cabeza tiene una masa de 5 kg. Solución: tu cabeza lleva una velocidad inicial de 3 m/s y su velocidad final es cero, ya que la viga la detiene por completo. Tomando en cuenta esto y el teorema del impulso y la cantidad de movimiento, tenemos: Datos: v0 = 3 m/s – mv0 vf = 0 m/s 130

Ley del impulso y la cantidad de movimiento:: Ft = mvf

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m = 5 kg t = 5 ms = 0.005 s Despejando y sustituyendo:

El signo menos del resultado significa que la fueza actúa en sentido contrario al de la velocidad inicial. 4. Supón que tu masa con todo y lo que traes encima es de 60 kg y estás parado sobre una patineta de 5 kg. Disparas una bala de 200 gramos con una velocidad de 300 m/s. Calcula la velocidad que adquieres en sentido contrario a la bala, inmediatamente después del disparo. Solución: para resolver este problema utilizaremos la ley de la conservación de la cantidad de movimiento. Los dos objetos a considerar son la bala por un lado y tú con tu patineta por el otro. Ambos objetos están originalmente en reposo. La ecuación que describe el principio de conservación de la cantidad de movimiento es:

en donde: m1 = 200 g = 0.2 kg m2 = 60 kg v10 = 0 v20 = 0 v1f = - 300 m/s (suponemos que la bala se dispara hacia la izquierda, por eso el signo negativo) Sustituyendo en la ecuación, resulta:

de donde

0 = (0.2 kg)(-300 m/s) + (60 kg)(v) 60 kgm/s = (60 kg)(v)

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v = 1 m/s

5. Observa las dos figuras que se muestran a continuación. En ambos casos el bloque es de 100 kg, la fuerza aplicada es de 400 N y el coeficiente de fricción cinética es de 0.2 Calcula en ambos casos la aceleración del bloque. ¿Por qué se acelera más uno que el otro?

FIGURA 4.2

Solución: los diagramas de cuerpo libre de ambas situaciones son los siguientes:

FIGURA 4.3

Descomponiendo las fuerzas en sus componentes vertical y horizontal en cada caso y aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene:

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ΣFx = 400cos 30 – 0.2N = 100 a

ΣFx = 400cos 30 – 0.2N = 100 a

ΣFy = N – 1000 – 400sen30 = 0

ΣFy = N – 1000 + 400sen30 = 0

N= 1000 + 400sen30 = 1200 N

N= 1000 - 400sen30 = 800 N

346.4 – 240 = 100 a

345.4 – 160 = 100 a GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

a = 1.06 m/s2

a = 1.85 m/s2

Al empujar, la componente vertical de la fuerza presiona al bloque contra el piso aumentando la normal y por lo tanto la fricción, lo que hace que la aceleración sea menor. Al jalar, la componente vertical de la fuerza tiende a separar al bloque del piso, por lo que la normal es menor y también la fricción disminuye, por lo que la aceleración es mayor. 6. A partir de la ley de gravitación universal, deducir la tercera ley de Kepler, para el caso de planetas con órbitas circulares. Solución: queremos encontrar una ecuación que relacione el radio R de una órbita circular con el tiempo T que tarda el planeta en dar una revolución completa. Para que el planeta describa una órbita circular es necesario que sobre él actúe una fuerza centrípeta de la forma donde m es la masa del planeta y v su rapidez. La única fuerza presente es la de atracción gravitacional entre el Sol y el planeta; esta fuerza está dada por Entonces la fuerza centrípeta la proporciona la fuerza de gravedad, por lo que igualamos las fuerzas anteriores: En esta fórmula sustituimos la rapidez v del planeta por en donde el numerador es la distancia recorrida por el planeta al dar una vuelta completa y el denominador es el tiempo que tarda en hacerlo:

Haciendo alguna operaciones algebraicas y simplificando, se obtiene:

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Finalmente, reacomodando los términos de esta ecuación se obtiene: Esta expresión es la tercera ley de Kepler: los cubos de los radios de los planetas son proporcionales a sus períodos de revolución. La constante de proporcionalidad es

7. Calcular la altura sobre la superficie terrestre a la que se encuentran los satélites geoestacionarios. Solución: un satélite geoestacionario es aquel que visto desde la Tierra se encuentra siempre en el mismo punto, es decir, que al igual que nuestro planeta, tarda 24 horas en dar una vuelta completa. Por lo tanto, para resolver el problema utilizaremos la ley de Kepler que acabamos de deducir en el problema anterior: En este caso, T = 24 horas y M es la masa de la Tierra, que es el objeto central alrededor del cual giran los satélites. Datos: T = 24 h = (24)(60)(60)= 86400 s M = 5.9 x 1024 kg G = 6.67 x 10-11 Nm2/kg2 Despejando R de la ecuación de la tercera ley de Kepler y sustituyendo estos datos, se obtiene:

Haciendo las operaciones, resulta: R= 42,061,000 m = 42,061 km Esta es la distancia del satélite al centro de la Tierra. Para obtener su distancia a la superficie, falta restarle el radio de nuestro planeta, que es aproximadamente de 6,300 km. Así 134

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tendremos que la distancia de un satélite geoestacionario a la superficie terrestre es aproximadamente de: D = 42,061 – 6,300 = 35,761 km

PRÁCTICA: FUERZAS MASAS Y ACELERACIONES

EXPERIMENTO 1: Masa variable y fuerza constante Objetivo: Investigar el efecto de aumentar la masa en un sistema acelerado Material: 1) regla de 1 metro 2) carrito de laboratorio 3) 4 masas de 500 g 4) masa de 50 g con gancho 5) polea con sujetador 6) balanza 7) cordel 8) cronómetro Procedimiento a) Coloca la polea en el borde de la mesa y ata el cordel al carrito y a la pesa con gancho, como se indica en la figura:

FIGURA 4.4

Física

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b) Marca sobre la mesa una distancia conocida, menor que la altura que puede descender la pesa con gancho. c) Obtén con la balanza la masa del carrito y comprueba que las masas de 600 g sean correctas. Anota el valor de la masa en la tabla adjunta. d) Deja que el carrito sin masa extra se acelere por influencia de la pesa y mide el tiempo que tarda en recorrer la distancia marcada en la mesa. Repite lo mismo cinco veces, anota los valores de tiempo obtenidos y calcula el promedio. e) Repite lo anterior pero ahora ponle una masa de 500 g al carrito. Anota los resultados de la masa, los tiempos y el promedio de los tiempos en el siguiente renglón de la tabla. f) Repite lo anterior varias veces poniéndole cada vez más masa al carrito. Anota tus resultados en la tabla. Calcula en cada caso la aceleración (última columna de la tabla), usando la distancia recorrida por el carrito, y el tiempo promedio, utilizando la ecuación correspondiente al movimiento uniforme acelerado: Despejando la aceleración se obtiene:

a) Dibuja una gráfica de aceleración contra masa en papel milimétrico Análisis: MASA

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T1

T2

T3

T4

T5

PROMEDIO

ACELERACIÓN

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Describe detalladamente la gráfica de aceleración contra masa Cuando la fuerza que acelera a un cuerpo es siempre la misma, ¿cómo afecta el aumento de masa a la aceleración? EXPERIMENTO 2: Masa constante y fuerza variable Objetivo: Investigar cómo afecta a la aceleración de un sistema el incremento de la fuerza aplicada Material: 1) regla de 1 metro 2) carrito de laboratorio 3) 5 masas de 20 g 4) masa de 50 g con gancho 5) polea con sujetador 6) balanza 7) cordel 8) cronómetro Procedimiento: El experimento es muy similar al anterior. La masa del carrito ahora es siempre la misma, lo que cambia es la masa que cae, es decir la fuerza aplicada al carrito. Para cada una de estas masas se determina varias veces el tiempo que tarda el carrito en recorrer la distancia determinada y se obtiene el promedio. Realiza todo esto y llena la siguiente tabla:

Haz una gráfica de aceleración contra fuerza en papel milimétrico. Análisis: Describe detalladamente tu gráfica de aceleración contra fuerza. ¿Cómo afecta a la aceleración el incremento de la fuerza? Combinando los resultados de este experimento y del anterior, obtén conclusiones: ¿cómo dependen entre sí las tres cantidades, masa, fuerza y aceleración? ¿Cómo sería una fórmula que reuna toda esta afirmación? SÍNTESIS Física

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MASA Que cae

T1

T2

La mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos, su descripción, sus causas y su evolución. La mecánica es una de las ramas básicas de la física, en el sentido de que prácticamente todas las demás tarde o temprano echan mano de algún resultado o de alguna ley de la mecánica. Se acostumbra dividir a la mecánica en cinemática, dinámica y estática. Según el ámbito de estudio de la mecánica, puede dividirse también en mecánica clásica, mecánica celeste, mecánica cuánT3

T4

T5

PROMEDIO

ACELERACIÓN

tica, mecánica relativista, mecánica ondulatoria y mecánica estadística. La mecánica clásica es el estudio del movimiento de los cuerpos basado en las leyes de Newton, en las que se sintetizan todas las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos. La mecánica clásica, o mecánica newtoniana, ha dado frutos impresionantes tanto en el terreno filosófico como en el puramente científico, y también en las aplicaciones prácticas. Aplicando las leyes de Newton se han podido resolver numerosos problemas de ingeniería; con base en ellas se ha inventado infinidad de aparatos, motores, instrumentos; incluso los viajes espaciales se apoyan fuertemente en las leyes de la mecánica clásica.

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La mecánica clásica deja de ser válida en el mundo atómico y subatómico, y tambiéndemasiado cuando la grande velocidad (cercana de losaobjetos la de laes luz) o cuando las fuerzas de gravedad son demasiado intensas. En estos tres casos la mecánica clásica ha dado paso, respectivamente, a la mecánica cuántica, a la teoría de la relatividad especial y a la teoría de la relatividad general. A estas dos últimas en ocasiones se les engloba bajo el nombre de mecánica relativista o simplemente relatividad. (Podemos decir que la mecánica clásica tuvo, al comienzo de este siglo, dos hijitas, la mecánica cuántica y la relatividad.) Cabe aclarar que la mecánica clásica sigue siendo válida y se utiliza mucho actualmente en numerosos problemas. El advenimiento de las dos nuevas teorías simplemente delimitó el ámbito en el que son válidas sus leyes. La dinámica es la parte de la mecánica que estudia las causas del movimiento. Una fuerza es un agente, producido por uno o varios cuerpos externos, que actúa sobre un cuerpo y que puede ejercer sobre él diferentes efectos: acelerarlo, frenarlo, desviarlo o deformarlo. Las fuerzas se miden por su capacidad de acelerar cuerpos de acuerdo con la segunda ley de Newton (F = ma). Por esta razón, la unidad para medir la fuerza en el Sistema Internacional de Unidades es el kgm/s2, a la cual se le ha dado el nombre de newton, y que se representa con el símbolo N. Otras unidades de fuerza son la dina y el kilogramo fuerza, cuyas equivalencias son: 1 newton = 100.000 dinas= kilogramos fuerza La fuerza es una magnitud vectorial, por lo que para especificarla por completo es necesario decir la dirección y el sentido en el que actúa. La esencia de la mecánica clásica está contenida en las tres leyes de Newton del movimiento: Primera ley o ley de la inercia: todo cuerpo tiende a pertenecer en reposo o con movimiento uniforme rectilíneo a no ser que una fuerza neta actúe sobre él. Segunda ley: Tercera ley o ley de acción y reacción: a toda acción corresponde una reacción de igual magnitud y sentido contrario. De las leyes de Newton se derivan otros principios secundarios que resultan de gran utilidad. Un ejemplo de esto son los Física

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conceptos de impulso y cantidad de movimiento, la relación entre ambos y la conservación del segundo:

UNA LARGA TEMPORADA EN EL ESPACIO Han transcurrido pocas décadas desde que la humanidad logró poner un hombre en órbita. Desde entonces han sido muchos los hombres (y algunas mujeres) que han salido de la atmósfera para realizar diversas misiones allá en el espacio exterior. La duración de estas visitas espaciales ha sido muy variable, desde unas cuantas horas hasta más de un año. Es mucho lo que se ha aprendido y logrado con estas visitas en diversas áreas del conocimiento científico y técnico. Una de estas áreas es el conocimiento mismo del ser humano, ya que los astronautas han sido sometidos a diversas condiciones extremas, lo cual ha permitido que se haya aprendido muchísimo sobre el funcionamiento del cuerpo humano desde el punto de vista fisiológico hasta el psicológico. Uno de los fenómenos que afecta mucho el funcionamiento del cuerpo humano es la ingravidez prolongada, es decir la falta de fuerza de gravedad. El cuerpo está acostumbrado a soportar continuamente su propio peso, ya sea cuando estamos de pie, sentados e incluso acostados. El trabajo principal en este sentido lo hacen los huesos que soportan la estructura del cuerpo. Cuando no hay gravedad los huesos no tienen que hacer mucho esfuerzo, lo que lleva a una descalcificación continua que a partir de cierto nivel se vuelve irreversible. La descalcificación tiene como consecuencia que los huesos se vuelvan gelatinosos en vez de rígidos. Este efecto no se comienza a presentar después de que una persona ha estado varios días en ingravidez completa, por lo que en estancias cortas no es un problema a tomarse en cuenta. Sin embargo, cuando las visitas espaciales son largas ha sido indispensable resolver este problema. ¿Cómo es posible que algunos astronautas hayan permanecido en el espacio más de 400 días seguidos sin sufrir este efecto de descalcificación? La respuesta es que, aunque estos astronautas perma140

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necen en ingravidez durante sus caminatas espaciales y otras actividades que tienen que realizar en su misión, una buena parte del tiempo están sujetos a una especie de “gravedad artificial”. Este efecto se logra haciendo girar la estación espacial ( o una parte de ella), de manera que los objetos que están en su interior (incluidos los seres humanos) tienden a pegarse contra las paredes por la fuerza centrífuga como le pasa a la ropa en la lavadora en la etapa de secado. Una persona que tiende a irse hacia la pared externa de la estación giratoria siente como si cayera hacia ella y cuando está en contacto con la pared siente como si pesara contra ella. La magnitud de esta tendencia a salirse depende tanto del tamaño de la estación giratoria como de la rapidez con la que gira, ya que esta magnitud está dada por la expresión para la fuerza centrípeta

en donde r es el radio de la estación, v es la velocidad tangencial y ω es la velocidad angular expresada en radianes.

FIGURA 4.5

De esta manera, para que los astronautas se sientan cómodos mientras duermen, descansan o realizan ciertos trabajos que pueden realizarse en presencia de “gravedad”, el giro de la estación se calcula de manera que la fuerza centrífuga que sienten al estar en las paredes sea igual a su peso en la Tierra, es decir: de donde Por ejemplo, la velocidad angular a la que debe girar una Física

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estación espacial de 20 m de radio de manera que el “peso” que sientan los astronautas contra sus paredes sea el mismo que su peso en la Tierra, se calcula así:

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Mientras mayor sea el radio de la estación espacial, menor será la velocidad angular necesaria para lograr que la aceleración que sienten los cuerpos en las paredes sea igual a la aceleración de la gravedad en la Tierra. Para simplificar esto, las formas con que se han diseñado las estaciones espaciales y las naves destinadas a realizar largos viajes espaciales tripulados son ingeniosas y diversas. Un ejemplo esquemático de esto es que del cuerpo principal de la nave salen largas patas en cuyos extremos se encuentran los cuartos de los astronautas. De esta manera puede hacerse que la rotación de la nave no tenga que ser muy rápida ni su volumen muy grande.

FIGURA 4.6

Gracias a este efecto de “gravedad artificial” producido por la llamada fuerza centrífuga, ha sido posible la permanencia de seres humanos en el espacio durante largos períodos de tiempo, y serán posibles en el futuro los viajes interplanetarios tripulados.

Física

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AUTOEVALUACIÓN 1. ¿Qué fuerza imprimirá una aceleración de 2 m/s2 a una masa de 10 kg? a) 5 N b) 8 N c) 2 N d) 12 N e) 20 N 2. Una fuerza horizontal de 8 N arrastra un bloque con una aceleración de 2 m/s2, ¿cuál es la masa del bloque? a) 16 kg b) 0.25 kg c) 4 kg d) 1 kg e) 6 kg 3. Una masa de 4 kg , recibe la acción de una fuerza de 80 N y una debida a la fricción de 40 N, ¿Cuál es su aceleración? a) 60 m/ s2 b) 10 m/ s2 c) 20 m/ s2 d) 1 m/ s2 e) 30 m/s2 Las unidades de fuerza son: a) joule b) erg c) watt d) newton e) kilogramo 5. Un objeto de 100 kg se desplaza con una velocidad de 5 m/s. Si existe una fuerza de fricción de 2 N que lo frena, ¿qué distancia recorre el objeto antes de detenerse por completo? 6. ¿Cuál es la diferencia entre masa y peso? 7. Describe dos ejemplos en donde se aplica la tercera ley de Newton.

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8. Una pelota de 1.5 kg choca con una pared a 8 m/s y rebota a 7 m/s. Si el choque duró 10-3 s, encuentra la fuerza promedio que la pared ejerció sobre la pelota. 9, Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la mesa que se muestran en la siguiente figura, es μ = 0.2 , calcular: a) la aceleración del sistema y b) la tensión en la cuerda.

FIGURA 4.7

10. Una bola de 3 kg de masa se encuentra en reposo cuando choca con ella otra bola de 6 kg con una velocidad de 2 m/s. Si el choque es perfectamente elástico, encuentra la velocidad de ambas bolas después del choque. 11. Un cuerpo es jalado horizontalmente por una fuerza externa de 200 N. Si el coeficiente de fricción es m = 0.2 y la aceleración resulta ser de 2 μ/s2, encuentra la masa del cuerpo. 12. Encuentra el coeficiente de fricción entre el cuerpo de arriba y la mesa, si se sabe que la aceleración del sistema es de 1.5 μ/s2. Además encuentra las tensiones en las dos cuerdas.

FIGURA 4.8

Física

13. El coeficiente de fricción entre el bloque de la figura y145 el

plano inclinado es de 0.2; sobre el bloque actúa una fuerza externa paralela al plano y hacia arriba de 70 N. Encuentra la aceleración del bloque indicando además hacia dónde se mueve. Calcula también el valor que debería tener la fuerza externa para que el bloque se quedara quieto.

FIGURA 4.9

14. Una persona de masa m va en una rueda de la fortuna de 5 m de diámetro. La persona va sentada sobre una báscula que indica el peso en newtons. Calcula la velocidad angular constante que debe llevar la rueda para que la báscula marque cero en el instante en que la persona va en la parte superior de la rueda. ¿Qué “peso” indicará la báscula cuando la persona esté en la parte inferior? 15. Si el coeficiente de fricción entre el pavimento y las llantas de un coche es de 0.8, encuentra el radio de la curva más cerrada que puede tomar el coche a 108 km/h.

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Unidad 5 Energía

INTRODUCCIÓN La palabra energía es una de las que más se emplean en la actualidad. ¿Has pensado a qué se debe esto? El concepto de energía se emplea en todas las ciencias y es muy importante en nuestra vida social. La potencia de un país se puede medir en términos de la energía que se consume; cada día nos preocupamos más por tener autos que sean más eficientes en su consumo de energía; los científicos buscan formas de energía que contaminen menos nuestro planeta... El caso es que la energía es un concepto muy importante porque está presente en la explicación de todos los fenómenos que nos rodean y sin embargo es muy difícil de definir. La energía no es algo que las cosas posean, es más bien un concepto que podemos definir cuando somos capaces de observar sus efectos. En esta unidad nos acercaremos al estudio de este importantísimo concepto. TRIVIA En un acto del circo un payaso está acostado en el suelo y otro hombre se dispone a golpearlo con un martillo. Para hacer el acto más impresionante el payaso coloca un yunque sobre su Física

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estómago ¿Es de esta manera el acto más peligroso para el payaso? ¿De qué protege el yunque al payaso? El yunque protege al payaso de la energía cinética del martillo, pues una buena parte de ella se absorbe en el yunque, y esa energía se transforma en calor. Durante el impacto la fuerza sobre el yunque es igual y opuesta a la fuerza sobre el martillo. El impulso que detiene el martillo sobre el yunque es el impulso que se transmite por el yunque y llega al payaso. Si el martillo se detiene, el impulso cancela el momento del martillo completamente y todo el momento llega al payaso, a quien no le hace daño pues el yunque tiene mucha más masa que el martillo y por ello se mueve muy poco. En el caso de la energía cinética, en cambio, en lugar de analizar el tiempo durante el cual actúa la fuerza, tomamos en cuenta la distancia sobre la que actúa. El martillo se mueve una distancia grande, pero el yunque, bajo la acción de la misma fuerza, se mueve una distancia muy pequeña; la misma fuerza pero distancias diferentes resultan en energías cinéticas muy diferentes. El martillo pierde más energía de la que adquiere el yunque y es por eso que el yunque protege al payaso.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES Trabajo algo en vano Cualquier objeto en movimiento tiene la capacidad de hacer trabajo sobre otro objeto: un jugador de futbol americano hace trabajo sobre otro cuando choca contra él en un partido. Las fuerzas que actúan sobre los objetos pueden clasificarse en dos tipos: fuerzas conservativas y no conservativas. Llamamos a una fuerza conservativa si el trabajo hecho por la fuerza sobre un objeto en movimiento de un punto a otro depende únicamente de las posiciones inicial y final del objeto, y es independiente de la trayectoria seguida por el objeto durante el trayecto. La fuerza de gravedad es una fuerza conservativa. El trabajo hecho por esta fuerza sobre un objeto que cae desde una altura h cerca de la superficie de la Tierra es

W = Fd = mgh Supongamos ahora que en lugar de caer verticalmente el objeto se desliza, sin fricción, sobre un plano inclinado inician148

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do, su movimiento a una altura h igual que la de la caída libre. En este caso el trabajo hecho por la fuerza de gravedad es W= mgcosq(y2-y1), pero como cosq(y2-y1) es precisamente h, de manera que el trabajo efectuado por la fuerza es igual a mgh y no depende de la trayectoria que siguió el objeto en su caída. Otra manera equivalente de determinar si una fuerza es conservativa consiste en calcular el trabajo hecho por dicha fuerza sobre un objeto que se mueve sobre una trayectoria cerrada. Si el resultado de este cálculo es cero, sin importar la forma de la trayectoria, se puede concluir que la fuerza es conservativa. En el caso del movimiento sobre una trayectoria cerrada vemos algo importante: el trabajo hecho por una fuerza conservativa es recuperable, es decir, si en una parte del trayecto la fuerza hace trabajo positivo sobre el objeto, en la trayectoria de regreso el objeto hará una cantidad equivalente de trabajo negativo sobre el sistema. Otra fuerza conservativa es la fuerza elástica definida mediante la ley de Hooke: F= -kx. Si bien la fuerza elástica y la de gravedad son fuerzas muy comunes, no todas las fuerzas son conservativas; un ejemplo de fuerza no conservativa es la fricción. En el caso de la fuerza de fricción, el trabajo hecho para mover a un cuerpo entre dos posiciones depende de la trayectoria seguida por el objeto. La fuerza de fricción actúa siempre en la dirección contraria a la dirección del movimiento. El trabajo hecho por la fuerza de fricción sobre un cuerpo que se mueve en línea recta es por ello menor que el trabajo que hace la misma fuerza sobre el cuerpo si éste se mueve sobre una trayectoria curva. Además el trabajo hecho por la fuerza de fricción es siempre negativo, de manera que si el cuerpo se mueve sobre una trayectoria cerrada, el trabajo hecho por esta fuerza no puede ser nunca cero, siempre es negativo. El trabajo y la energía de movimiento están relacionados, por ello es común que se dé como definición de energía “la capacidad de realizar trabajo”, aunque estrictamente hablando esta definición no es válida para cualquier tipo de energía. La energía es un concepto sumamente importante pero muy difícil de definir, es por ello que generalmente se definen por separado las diferentes formas en las que la energía se manifiesta. En este curso, la energía que nos interesa estudiar es la que está relacionada con el movimiento de los objetos y que conocemos con el nombre de energía mecánica, de manera que concentraremos la atención en ella. Es importante recalcar que, a diferencia del concepto de Física

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fuerza, el concepto de energía se aplica a sistemas de cuerpos que interactúan y no a un cuerpo aislado. La energía cinética traslacional se define como En esta relación, m es la masa del objeto de interés y v es su velocidad. El trabajo realizado por la fuerza para cambiar la velocidad del objeto de una velocidad v1 a una v2, es exactamente el cambio en la energía cinética translacional. Podemos escribir esto de la siguiente manera: Wneto=ΔK

A este resultado, que es muy importante, se le conoce como el principio trabajo-energía. En este principio el trabajo neto se refiere al trabajo hecho por la fuerza total neta que actúa sobre el objeto en cuestión. Es importante notar que el trabajo y la energía cinética son cantidades escalares. La relación entre el trabajo y la energía cinética opera en los dos sentidos, es decir, si el trabajo hecho por una fuerza sobre un objeto es positivo, la energía cinética del objeto aumenta. Si el trabajo neto es negativo, entonces la energía cinética del objeto disminuye. Si no se hace trabajo sobre un objeto, su energía cinética no cambia. Recordemos que únicamente la componente de la fuerza que actúa en la dirección del movimiento contribuye al trabajo y por lo mismo, al cambio en la energía cinética de un objeto. Dada la conexión tan directa entre el trabajo y la energía cinética, es claro que las unidades en las que se miden son las mismas, es decir, los joules. Las fuerzas conservativas nos permiten definir un tipo diferente de energía, la energía asociada con la configuración del sistema que se encuentra en interacción. A esta forma de energía la llamaremos energía potencial. A diferencia de la energía cinética, no tenemos una definición única para la energía potencial, pero podemos definirla separadamente para cada una de las fuerzas conservativas. Como aquí hemos hablado únicamente de dos de ellas, continuaremos refiriéndonos a las mismas: la fuerza de gravedad y la fuerza elástica. Cuando subimos un objeto a una cierta altura, hacemos trabajo sobre el mismo. Si el cuerpo cae desde donde lo dejamos, la fuerza de gravedad hace trabajo sobre el cuerpo. Decimos entonces que cuando el objeto ha sido colocado a la altura 150

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indicada, se puede asociar una energía potencial al sistema formado por el cuerpo y la Tierra, puesto que si el cuerpo cae, esta energía se recupera en forma de energía cinética, de la misma manera que el trabajo que se hizo sobre el cuerpo al subirlo se puede recuperar cuando éste cae. En el caso de la fuerza elástica, si damos cuerda a un carrito de juguete, al enrollar la cuerda hemos hecho trabajo sobre el carro. Al soltarla, el mecanismo del carrito, que generalmente consiste de una liga, se desenrolla y ejerce una fuerza sobre las ruedas del carro que lo hacen moverse. Nuevamente en este caso, el trabajo hecho sobre la cuerda se puede recuperar en trabajo que el carro en movimiento puede hacer sobre cualquier otro objeto que encuentre a su paso. Este trabajo se manifiesta nuevamente en forma de energía cinética. La energía potencial ligada a la fuerza gravitacional puede calcularse de la siguiente manera: Si un cuerpo de masa m se sube verticalmente una distancia h aplicando una fuerza igual a la de la gravedad mg, el trabajo hecho por la persona que lo sube es W= -mgh Una vez que se encuentra a esa altura, el cuerpo tiene el “potencial” de hacer un trabajo igual a mgh cuando cae de esa altura. Entonces definimos el cambio en su energía potencial gravitacional como ΔU= mg(y2-y1)

En el caso de un material elástico, como un resorte, cuando el resorte se comprime o se estira, se hace trabajo sobre él. Este trabajo puede recuperarse, ya que en el momento en que el resorte se suelta, hace un trabajo sobre el objeto que se encuentra atado a él. Esto último es cierto siempre y cuando el estiramiento del resorte no sea muy grande, pues en ese caso se puede perder la elasticidad del resorte. La fuerza elástica actúa en la dirección contraria al movimiento y está dada por la ley de Hooke: F= -kx donde x es la distancia que se ha comprimido o alargado el resorte y k es una constante determinada por el material del que está hecho el cuerpo elástico. En este caso podemos hablar del cambio de energía potencial elástica, asociado a la fuerza elástica y la podemos obtener nuevamente calculando el trabajo hecho por la fuerza al comprimir el resorte. El cambio de energía potencial está dado por ΔU = 1/2kx2. Física

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En un sistema conservativo se tiene entonces que el trabajo neto hecho por las fuerzas que actúan sobre el sistema es el cambio en energía potencial, y que el cambio en energía potencial corresponde al negativo del trabajo hecho sobre el sistema. Para estos sistemas entonces se tiene que la suma del cambio en energía cinética y el cambio en la energía potencial es cero: ΔK+ΔU = 0

Si definimos una cantidad, que denominaremos la energía mecánica total del sistema y denotaremos por E, como la suma de la energía cinética del sistema más la potencial: E = K+U

La ecuación que nos dice que la suma de los cambios de ambas es cero se puede escribir como o de otra manera

K2+U2 = K1+U1 E2 = E1 = constante

Estas ecuaciones expresan un principio fundamental y profundo acerca de la energía mecánica total de un sistema conservativo: esta cantidad se conserva. Dicho de otra forma, cuando la energía cinética del sistema aumenta, la energía potencial del mismo disminuye y viceversa. A este principio se le conoce como el nombre de principio de conservación de la energía mecánica. El principio de conservación de la energía mecánica puede resumirse de la siguiente manera: Si las únicas fuerzas que hacen trabajo sobre un sistema son fuerzas conservativas, la energía mecánica del sistema no aumenta ni disminuye en ningún proceso: permanece constante, se conserva. Cuando actúan sobre el sistema fuerzas que no son conservativas, como la fricción, la energía mecánica del sistema no se conserva y la suma del cambio de la energía potencial más el cambio de la energía cinética del sistema es igual al trabajo hecho por las fuerzas no conservativas o disipativas. Otra cantidad asociada al trabajo y a la energía que es importante definir es la potencia; se define como la razón a la que se hace un trabajo, es decir, la potencia promedio se define como 152

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P = W/t

y se mide en joules/segundo=watts. Como el trabajo y la energía están relacionadas, la potencia puede definirse también como la razón a la que cambia la energía en el tiempo. La energía y la potencia son dos conceptos diferentes. Si una persona sube una escalera, la energía que utiliza para hacerlo es la misma si lo hace lentamente que si lo hace corriendo, pero la potencia no lo es; es por ello que cuando la persona sube corriendo se siente más cansada que si subió lentamente.

PROBLEMAS 1. Un hombre levanta un ladrillo de masa 5 kg desde el suelo hasta un estante que está a dos metros de altura. ¿Cuánto trabajo hizo? ¿De dóndeeste sacatrabajo? energía¿Podría el hombre hacer para este hacer trabajo si no hubiera comido? Solución: La fuerza que se opone al movimiento del cuerpo es el peso del ladrillo; como en la Tierra una masa de 1 kg pesa 10 N, una masa de 5 kg pesa 50 N. Así tenemos que el trabajo hecho por el hombre es: W = Fd = (50 N)(2 m) = 100 J

El hombre obtiene la energía necesaria para hacer el trabajo de la energía elástica de sus músculos y de la energía química que le provee la comida. Una persona poco musculosa es incapaz de cargar cosas pesadas, mientras que otra más musculosa puede hacerlo aprovechando la energía elástica de los músculos. Por supuesto, si una persona no come, le es muy difícil aprovechar la energía elástica de los músculos pues no hay transformación de energía química a energía mecánica. 2. ¿Cuánto trabajo hace un estudiante sobre su mochila cuando sube dos pisos por la escalera de la escuela? Solución: Supongamos que la mochila del estudiante tiene una masa de 10 kg y que cada piso de la escuela está a una altura de 3 m del de abajo, es decir, que el estudiante tiene que subir al segundo piso que está a 6 m de altura. Las fuerzas que actúan sobre la mochila son su peso, que actúa hacia abajo, y la fuerza que el estudiante ejerce sobre la mochila para sostenerla, que actúa hacia arriba y contrarresta el peso de la mochila; es decir, la suma de estas dos Física

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fuerzas debe ser cero: Fe - mg = 0 El peso de la mochila es mg = (10 kg)(9.8 m/s2) = 98 N = Fe Para calcular el trabajo que hace el estudiante sobre la mochila al subir las escaleras, debemos tomar en cuenta que la escalera hace un ángulo q con la vertical, de manera que el trabajo es: We = Fedcosθ Pero de la figura podemos ver que dcosθ = h, donde h es la altura que debe subir el estudiante; entonces, We= (98 N)(10 m) = 980 J

3. Cuando manejas un auto, una de las cuestiones por las que te debes preocupar es la distancia a la que te mantienes del auto que viaja frente a ti. Si la velocidad a la que viajas es de 60 km/h la distancia a la que puedes detener completamente el automóvil es de 20 m, pero si viajas a 120 km/h, ¿cuál es la distancia que recorre el auto antes de detenerse completamente? Solución: Supongamos que la fuerza que actúa para detener el auto, que es la fuerza que se aplica con los frenos, es constante durante el tiempo que tarda el auto en detenerse. Si usamos el principio trabajo-energía, la fuerza que actúa para detener el auto lo hace en la dirección contraria a la que viaja el automóvil, por lo que el trabajo neto será: Wneto=-fd Por el principio trabajo-energía, Wneto= cambio de energía cinética; entonces, como la velocidad final del auto es cero, ΔK=0-1/2mv2 Puesto que la masa del auto y la fuerza de frenado permanecen constantes, lo que obtenemos de esta igualdad es que la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad a la que viaja el auto; si la distancia necesaria para detenerlo cuando viajaba a 60 km/h era de 20 m, cuando viaja a 120 km/h, que es el doble de la velocidad, la distancia será cuatro veces mayor, es decir, 80 m. 4. Una grúa en una construcción levanta un peso de 3,000 N 154

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hasta una altura de 5 m en 10 s ¿Cuál es la potencia de la grúa? Solución: Para calcular la potencia de la grúa es necesario calcular primero el trabajo que hace: W = Fd = (300 N)(5 m) = 15000 J

La potencia es el trabajo por unidad de tiempo, así que P = W/t = 15,000J/10s = 1,500watts = 1.5 kW

5. ¿Cuál es la potencia que puede desarrollar una persona con sus piernas? Solución: Supongamos primero que la persona pesa 80 k, es decir 800 N, y que esa persona sube las escaleras de su casa desde la planta baja hasta el primer piso, es decir una altura de 3 m. Si la persona tiene una buena condición física, puede subir las escaleras en aproximadamente 4 s. El trabajo que esta persona hace es de W = (800 N)(3 m) = 2,400 J y la potencia que desarrolla es de P = 2,400 J/4 s = 600 watts. Haz este experimento con varios compañeros de tu clase. ¿Quién es el que más potencia desarrolla? ¿Quién desarrolla menos? 6. Se desea subir un piano a un estrado que está a 0.8 m de altura sobre el nivel del piso de la sala de conciertos. Para hacerlo con mayor facilidad se utiliza una rampa que tiene 5 m de largo. La masa del piano es aproximadamente de 200 kg ¿Cuál es el trabajo que se hace sobre el piano? Solución: La fuerza que hace el trabajo es aquélla que es paralela a la superficie de la rampa porque es esa la dirección en la que se hace el desplazamiento. Para encontrar esta componente de la fuerza paralela al plano inclinado tenemos que: F = (200 kg)(9.8 m/s2)(0.8 m/5 m) = 313.6 N El trabajo realizado por esta fuerza es entonces: W = Fd = (313.6 N)(5 m) = 1,568 J. 7. ¿Cuál es la potencia necesaria para mantener funcionando un elevador que se mueve con una velocidad de 5 m/s cuando sube 25 pisos de un edificio a su capacidad máxima que es Física

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de 6,000 N? Solución: Como la potencia es el trabajo por unidad de tiempo, tenemos que: P = W/t = Fd/t

Pero como d/t es la velocidad, entonces podemos reescribir la potencia como P = Fv = (6,000 N)(5 m/s) = 30,000 J

¿por qué no utilizamos el número de pisos? 8. ¿Cuál es la velocidad que adquiere una persona de masa 8 kg que brinca desde un trampolín de 10 m al llegar al agua? Solución: Aunque este problema lo puedes resolver usando técnicas de cinemática, también puede resolverse de una manera simple usando el principio trabajo-energía. El trabajo que la persona hace para subir al trampolín es su peso multiplicado por la altura del trampolín, es decir, W = mgh

La velocidad inicial de la piedra es de 0 m/s y la velocidad final es la que queremos encontrar. Podemos entonces calcular el cambio en la energía cinética de la persona: ΔK = 1/2mv2 – 0

Por el principio trabajo-energía sabemos que W = ΔK, o sea que 1/2mv2 = mgh, de la cual podemos obtener la velocidad v2 = 2gh = 19.8 m/s. 9. Un objeto de 10 kg de masa se deja caer desde la parte superior de un plano inclinado a un ángulo de 30º . En la parte inferior del plano inclinado hay un resorte de longitud 2m que se comprime bajo la acción del choque con el cuerpo que desciende y el cuerpo se queda en reposo en ese punto. Se sabe que el resorte puede comprimirse una distancia de un metro bajo la acción de una fuerza de 100 N. ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando se encuentra con el resorte? Solución: El resorte se puede comprimir 1m si se le aplica una fuerza de 100N. Utilizando la ley de Hooke tenemos que la constante 156

GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

de elasticidad del resorte es de k = F/x = 100 N/1 m = 100 N/m

La masa se deja caer desde la parte superior del plano inclinado (ver figura). La masa se desliza sobre el plano y llega al resorte. Por la acción de la masa, el resorte se comprime hasta que el objeto llega a la parte inferior del plano inclinado, donde se queda en reposo. Entonces, su energía cinética en ese momento es cero. La energía cinética en ese punto debe ser igual a la energía potencial que la masa tenía al iniciar su movimiento y que está dada por mgh, es decir: 1/2kx2 = mgh

Despejando la altura de la ecuación anterior tenemos que h = kx2 /2mg = (100 N/m)(2 m)2 / 2(10 kg)(10 m/s2) = 2 m

Para hallar la altura a la que se encuentra el objeto cuando llega al resorte utilizamos el hecho de que el plano está inclinado 30º y que el resorte tiene una longitud de 2 m, de manera que la altura a la que está la masa cuando toca el resorte es: H = 2sen30o = 1 m

Como la energía total del objeto es la misma en el momento que toca el resorte, que en el momento que empieza su movimiento o en el momento en que queda en reposo en la parte inferior del plano inclinado, mgh = 1/2mv2 + mgH

en la que v es la velocidad que nos interesa. Despejándola tenemos que v2 = 2g(h – H) = 2(10 m/s)(2 m – 1 m) = 20 m2/s2 y de ahí tenemos que

v = 4.47 m/s

10. ¿Con qué velocidad llega a la parte más baja un péndulo de longitud L que se deja caer desde una posición en la que hace un ángulo q con la vertical? Solución: Coloquemos el origen de coordenadas en el punto B que se muestra en la figura. Física

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FIGURA 5.1

Por el principio de conservación de la energía mecánica, la energía del péndulo cuando se coloca en el punto A de la figura debe ser la misma que cuando está en la parte de abajo en el punto B. Dicha energía esta dada por: EA = 1/2 mvA2 + mgL(1 – cosθ) = 1/2mvB2 +mghB

en la que vB es la velocidad con la que llega abajo el péndulo. Despejando vB y teniendo en cuenta que vA = 0 y hB = 0, tenemos que

vB2 = 2gL(1 – cosθ)

PRÁCTICA Relación entre la energía cinética y la potencial en un péndulo simple. Material necesario Una pelota de goma

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Un alfiler

Un hilo delgado Un clavo Un estroboscopio Dispositivo experimental Construir un péndulo con el alfiler, la pelota de goma y el hilo. Clavar el extremo del hilo al borde de una mesa o sobre un marco de madera, de forma que el clavo no vibre. Experimento Mide la masa de la pelota y la longitud del hilo. Eleva la pelota a una cierta altura previamente determinada. Anota esta altura en tu libreta. Suelta la pelota sin empujarla. Si dispones de un estroboscopio y de una cámara fotográfica asegúrate de construir un cuarto oscuro alrededor del péndulo. Con el obturador de la cámara abierto registra utilizando el estroboscopio las imágenes del movimiento del péndulo. Si no cuentas con un estroboscopio, deja oscilar el péndulo varias veces y calcula su período de oscilación. la velocidad del péndulo en su punto más alto (desde donde lo soltaste) y en su punto más bajo calculando la variación de las componentes horizontal y vertical de la velocidad. No olvides calcular el error en tus mediciones. Repite las observaciones soltando el péndulo desde cinco diferentes alturas. Para encontrar una relación entre la velocidad del péndulo en el punto más bajo de su trayectoria y la altura de la que se soltó, haz una tabla en la que anotes las alturas y la velocidad en el punto más bajo calculada en cada caso y otra en la que anotes los logaritmos de estas mismas variables. Haz una gráfica de los valores de la tabla que contiene los logaritmos. Calcula la pendiente de la recta obtenida y su ordenada al origen. Utilizando las propiedades de los logaritmos encuentra una relación entre la velocidad del péndulo en el punto más bajo de su trayectoria y la altura de la que se soltó. Calcula la energía cinética en el punto más alto de la trayectoria y la energía potencial en el punto más bajo para cada uno de los movimientos y compáralas. ¿Qué es lo que obtienes? ¿Qué puedes concluir de tus resultados? Hasta ahora has obtenido una respuesta comparando únicamente dos puntos de la trayectoria del péndulo. ¿Qué puedes decir de la energía cinética y de la energía potencial en otros

Física

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puntos de la trayectoria del péndulo? ¿Cómo podrías comprobar estas conclusiones? ¿Cuál es la principal diferencia al hacer este experimento con el estroboscopio o al hacerlo con el cronómetro?

SÍNTESIS

El trabajo que hace una fuerza para desplazar un objeto una distancia d está dado por la ecuación W=Fdcosθ, en la que θ es el ángulo entre el vector fuerza y el vector desplazamiento. La energía cinética de un objeto que viaja a velocidad v se define como K= l/2mv2, El principio trabajo-energía dice que el trabajo neto que sobre un cuerpo hace que la fuerza resultante aplicada sobre el, es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo. La energía potencial depende, en cambio, de la fuerza involucrada al hacer el trabajo. La energía potencial está asociada siempre a una fuerza conservativa, únicamente tiene sentido hablar de los cambios en la energía potencial del sistema. El trabajo realizado por una fuerza conservativa depende únicamente de las posiciones inicial y final de la trayectoria que siguió el cuerpo, mientras que el trabajo realizado por las fuerzas disipativas depende de la trayectoria seguida. La energía potencial de un sistema está relacionada con la configuración de los cuerpos que forman el sistema. La energía potencial está asociada siempre con la interacción de dos o más cuerpos, no es algo que un objeto tenga. En este curso hemos definido dos tipos de energía potencial: la asociada con la fuerza gravitacional: U=mgh y la asociada con la fuerza elástica: F=1/2kx2. Cuando sobre un sistema actúan únicamente fuerzas conservativas, la energía mecánica total del sistema definida como la suma de la energía cinética más la potencial del mismo, se conserva. Cuando intervienen fuerzas disipativas se puede hablar de conservación de la energía únicamente si se introducen nuevas formas de energía diferentes a la mecánica. La potencia se define como la razón a la que se hace trabajo sobre un objeto o la razón a la que se transforma su energía de una forma a otra.

LECTURA Satélites y naves espaciales

¿Cómo se ponen en órbita los satélites y las naves espaciales que son lanzadas desde la Tierra? ¿Cómo es posible que escapen a la atracción gravitacional de nuestro planeta? La Tierra ejerce una fuerza de atracción sobre todos los ob160

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jetos que se encuentran cerca de ella. Sabemos que esta fuerza es la responsable, entre otras cosas, de la caída de los cuerpos y del vuelo parabólico de los proyectiles que hemos estudiado con anterioridad, y que la relación F=mg que usamos para calcularla, en la que tomamos g como una constante, es una buena aproximación si los objetos involucrados no están muy lejos de la superficie de la Tierra. Cuando éste no es el caso, sin embargo, la ley de movimiento que es necesario utilizar es la dada por la Ley de Gravitación Universal de Newton: F=-G en la que G es la constante de gravitación universal, r es la distancia entre los dos objetos que se atraen, cuyas masas son m y M respectivamente. El signo menos indica que la fuerza se ejerce en la dirección del objeto más masivo, que en el caso que nos interesa es la Tierra. Pensemos ahora en el trabajo requerido para vencer la atracción de la gravedad terrestre. Como hemos visto en esta unidad, el trabajo es el producto de la fuerza que se ejerce en la dirección del movimiento por la distancia recorrida. Supongamos que el objeto que nos interesa recorrió una distancia Dr; entonces, el trabajo hecho por la fuerza está dado por: W=G -G La fuerza de gravitación es una fuerza conservativa; por ello, es útil considerar el concepto de energía potencial para resolver el problema que nos interesa. Hemos visto que la energía potencial es el negativo del trabajo. Entonces podemos considerar que la energía potencial de un objeto que se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra puede escribirse como: U= -G

Física

Esta relación nos indica que conforme el objeto se acerca a la Tierra, su energía potencial decrece y es siempre negativa. Apliquemos ahora este concepto al problema que nos interesa. Nuestra experiencia nos indica que siempre que lanzamos un objeto hacia arriba, regresa a la Tierra. La altura que alcanza el proyectil depende de la velocidad inicial que le imprimimos. ¿Qué tan grande tiene que ser esa velocidad para que el proyectil alcance a vencer la atracción gravitacional terrestre? La velocidad mínima para que esto suceda se conoce como velocidad de escape, y para encontrarla podemos utilizar el principio

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de conservación de la energía. La energía total de la nave o satélite que se desea lanzar al espacio es Si consideramos que la masa de la nave esta dada por mn , que la masa de la Tierra es MT , que la velocidad que le imprimimos a la nave es v1 cuando la lanzamos y se encuentra sobre la superficie de la Tierra y que la velocidad final de la nave cuando está en el espacio en la posición r2 es v2 , utilizando el principio de conservación de la energía tenemos: Como la distancia r2 es muy grande comparada con el radio de la Tierra, la podemos considerar infinita, y por ello la energía potencial en ese punto es cero. Además, la velocidad de la nave en el espacio puede ser tomada como cero puesto que nos interesa la mínima velocidad de escape; entonces, v2 = 0 y la energía cinética correspondiente es también cero. Tomando estas condiciones en cuenta, la ecuación para la conservación de la energía queda como: De ella podemos despejar la velocidad inicial de la nave: Sabemos que el radio de la Tierra es de 6.38 X 106 m y que su masa es de 5.97 X 1024 kg. Además, la constante de gravitación universal tiene un valor de 6.67X10-11 Nm2/kg2 . Sustituyendo estos valores en la relación anterior encontramos que la mínima velocidad que hay que imprimirle a la nave es de 1.12 X 104 m/s.

AUTOEVALUACIÓN 1. Si en una fábrica se reemplaza el montacargas por uno nuevo que tiene el doble de potencia ¿cuánta más carga podrá levantar? a) b) c) d)

el cuádruple el doble la misma una y media veces más

2. Una motocicleta frena bruscamente cuando viaja a 60 km/h; ¿cuánta distancia más recorrerá antes de frenarse completamente que si fuera viajando a 20 km/h cuando se accionaron 162

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los frenos? a) b) c) d)

el doble el cuádruple tres veces más

nueve veces más 3. Si un defensa de futbol americano tiene la misma energía cinética que un corredor ¿cuál de los dos corre más aprisa? 4. Si se hace un trabajo de 150 J para levantar un paquete desde el suelo ¿Cómo cambió su energía potencial respecto a la que tenía en su posición inicial? ¿Cuál será su energía potencial si lo levantas una altura dos veces mayor? 5. ¿Cuáles son las cantidades físicas que intervienen en la definición de trabajo? ¿Cuáles son las cantidades físicas que intervienen en la definición de la energía cinética? ¿Por qué si estas cantidades físicas son diferentes, ambas magnitudes se miden con las mismas unidades? 6. ¿Cuál es la relación de la potencia con la velocidad? 7. Explica las diferencias entre los conceptos de energía, trabajo y potencia. 8. ¿Qué requiere de mayor trabajo: levantar una carga de 10 kg verticalmente hasta una altura de 3 m o levantar una carga de 5 kg hasta una altura de 6 m? 9. ¿Qué puede decirse de la velocidad de un cuerpo si el trabajo neto sobre él es cero? 10. Un niño juega con una patineta en un estacionamiento. Baja por una rampa, recorre una parte de camino plano y después sube por otra rampa. ¿Cómo calcularías la energía cinética del niño y su patineta cuando llegan al punto más bajo de la primera rampa? ¿Cómo calcularías la energía cinética del niño y su patineta cuando llegan al punto más alto de la segunda rampa? ¿Cuál es la diferencia entre estas dos energías y la que tiene el niño con su patineta mientras recorre la parte plana de la trayectoria?

Física

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11. Un baúl es arrastrado 25 m por el piso por medio de una cuerda que forma un ángulo de 35º con la horizontal. La tensión de la cuerda es de 10 N. ¿Cuál es el trabajo hecho por la cuerda sobre el baúl? 12. Un automóvil pesa 2,000 N, ¿Cuánto vale su masa? ¿Cuánto trabajo se requiere para levantarlo a una altura de 4 m sobre el nivel del piso? ¿Cuál será su energía potencial en ese punto? Si se soltara de la grúa que lo levanta, ¿cuál será la velocidad con la que llega al piso? 13. El martillo mecánico de una máquina para clavar pilotes pesa 800 kg y cae desde una altura de 5 m antes de golpear el pilote. El impacto hunde al pilote 30 cm en el terreno. ¿Cuál es la fuerza media que ejerce el martillo mecánico sobre el pilote? 14. Una masa de 40 kg se eleva una altura de 20 m en 3 s ¿Cuánta potencia se desarrolló? 15. ¿Cuál es la velocidad máxima a la cual un motor de 50 kW puede levantar una carga de 800 kg? 16. Observa la siguiente montaña rusa:

FIGURA 5.2

El carrito tiene una masa de 400 kg y originalmente está a 50 m de altura y se mueve a 5 m/s. Encontrar: 164

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a) La velocidad del carrito en el punto A que se encuentra a 20 m de altura. b) La velocidad del carrito en el punto B que se encuentra a 30 m de altura. c) A qué altura se encuentra el punto C en el que el carro se detiene para después regresarse.

Física

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Unidad 6 Propiedades Generales de la Materia

INTRODUCCIÓN

Física

¿Que pesa más, un kilo de plomo o un kilo de algodón? ¿Que pesa más, un balón de futbol inflado o desinflado? ¿Por qué hay objetos pequeños que pesan más que otros objetos más grandes? Cuando intentamos describir el comportamiento de cualquier sistema físico, resultan de especial interés dos magnitudes físicas que son la masa y la fuerza. Nos preguntamos, por ejemplo, qué le ocurre a un líquido cuando sobre él actúa cierta fuerza, o qué fuerzas sentimos cuando estamos inmersos en un fluido, o qué tanto pesa un líquido o un gas. En todos estos casos estamos hablando directa o indirectamente de fuerza y de masa. Existen otras dos magnitudes físicas que en cierta forma sustituyen a la masa y a la fuerza: se trata de la densidad y la presión. Esto se debe a que por ejemplo en los fluidos se tiene en general una gran extensión, y nos interesa averiguar el comportamiento local del fluido. Por ejemplo, si nos referimos al mar, por lo general no nos interesa saber la masa total del mar, sino cuanta masa hay en cierta región, por ejemplo en una unidad de volumen; o bien, si nos interesa saber las fuerzas que un

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líquido ejerce sobre las paredes del recipiente que lo contiene, resulta útil pensar en la fuerza ejercida sobre cada centímetro cuadrado de superficie. De esta manera, si estamos en Acapulco en la playa y nos interesa averiguar si cierto objeto va a flotar, (además de hacerlo experimentalmente y ya), no es necesario saber la masa de agua del Océano Pacífico, sino que basta con saber la densidad del agua de mar en Acapulco. Esto da origen a los conceptos de densidad y presión, que están íntimamente relacionados con la masa y la fuerza respectivamente. Con lo anterior no debe pensarse que los conceptos de densidad y presión son exclusivos de los fluidos. Se utilizan también para los sólidos, pero es cierto que son especialmente útiles en los fluidos. ¿Por qué hay cuchillos que cortan mejor que otros? ¿Por qué unas cucharas recuperan su forma después de que las doblas y otras quedan deformes? ¿Por qué se dobla un trampolín cuando un clavadista camina sobre él? La respuesta a estas preguntas está en las propiedades físicas de los materiales con los que están hechos el cuchillo, la cuchara y el trampolín. De hecho, en la naturaleza no existen los cuerpos perfectamente rígidos. Cualquier cuerpo sufre una deformación cuando se somete a la acción de fuerzas; lo que sucede es que en muchas ocasiones estas deformaciones pueden ser tan pequeñas que nos resultan imperceptibles. Para muchas aplicaciones tecnológicas e incluso en muchas ramas de la ciencia, el estudio de la relación entre las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y los cambios resultantes en su configuración son de gran importancia. Un ejemplo muy importante es el diseño de estructuras. Un ingeniero debe ser muy cuidadoso en el estudio y el manejo de los efectos del peso de los autos y camiones que pasarán sobre un puente y sobre la configuración de los materiales que usará para construirlo. Un ingeniero de sonido necesita decidir los materiales que usará al diseñar una sala de conciertos de manera que pueda evitar la formación de eco dentro de la misma. Pero el diseño de estructuras no es la única área en la que el estudio de las deformaciones de los cuerpos bajo el efecto de diferentes fuerzas es importante. Un médico, por ejemplo, requiere tomar decisiones acerca de la tensión que usará para tratar la lesión de un futbolista, o el peso que una persona puede soportar durante una terapia muscular; los físicos se interesan en las posibilidades de modificar la configuración 168

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de los átomos y las moléculas para diseñar nuevos materiales de tal manera que tengan ciertas propiedades elásticas que los hagan útiles para aplicaciones específicas. ¿Podrías pensar en otros ejemplos en los que el conocimiento de las propiedades de los materiales son importantes? Discútelo con tus compañeros en un grupo pequeño y escriban un breve reporte para discutir con todo el grupo.

PROPIEDADES GENERALES DE LA MATERIA La materia Cuántas veces hemos examinado un objeto o un cuerpo y nos hemos preguntado de qué estará hecho. La sustancia que los constituye es lo que llamamos materia. La materia es un concepto primario y no se puede definir. No todos los cuerpos están constituidos de igual forma y un análisis nos conduce a dividirlos en dos grupos: cuerpos simples y cuerpos compuestos. Los cuerpos simples son los constituidos por una sola clase de materia, mientras que los cuerpos compuestos son los constituidos por varias sustancias o clases de materia. Así, el hidrógeno y el oxígeno son cuerpos simples, pero el agua es un cuerpo compuesto de hidrógeno y oxigeno en proporciones bien determinadas. La materia está formada por un conglomerado de partículas que son los átomos y las moléculas. Un átomo es la menor cantidad de un cuerpo simple, o elemento, que puede existir aislada. Como dijimos antes, el hidrógeno y el oxígeno son cuerpos simples. Luego, la menor cantidad de hidrógeno o de oxígeno que puede tenerse es un átomo de hidrógeno o un átomo de oxígeno. Los átomos a su vez están compuestos de tres tipos de partículas llamadas electrones, protones y neutrones. Todas las propiedades físicas y químicas de un elemento están determinadas por la estructura o composición de sus átomos. El átomo más sencillo es el hidrógeno y el más complicado es el uranio. Los átomos de un cuerpo raramente se encuentran aislados, pues tienden a combinarse entre ellos con los átomos de otro cuerpo simple formando moléculas. Física

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Por lo tanto, una molécula es una agrupación ordenada de átomos. La menor cantidad de un cuerpo compuesto que puede existir es una molécula. Todas las moléculas de un mismo cuerpo compuesto son idénticas. Las propiedades físicas y químicas de un cuerpo compuesto están determinadas por la estructura de sus moléculas. Por el estado de un cuerpo se entiende el conjunto de propiedades que posee en un momento dado. ESTADOS DE LA MATERIA La materia se clasifica dé acuerdo con alguno de los tres estados en que encuentra: sólido, líquido o gaseoso. Algunas veces se incluye un cuarto estado conocido como plasma. Estas son algunas de sus características: 1. Forma El estado sólido se caracteriza porque los cuerpos que en él se encuentran poseen no sólo volumen sino además forma propia. Los fluidos (líquidos y gases), por el contrario, son aquellos que carecen de forma propia y toman la del recipiente que los contiene. En realidad los líquidos tienen forma esférica por efecto de la gravedad, la cohesión y las fuerzas de tensión superficial. 2. Volumen Los líquidos se distinguen por poseer volumen determinado. Por el contrario, los gases carecen de volumen determinado y ocupan completamente el recipiente que los contiene, cualquiera que sea su capacidad; a esta propiedad se llama expansibilidad. 3. Viscosidad Los fluidos se llaman ideales si adoptan instantáneamente la forma del recipiente que los contiene y poseen además gran movilidad siendo perturbados por la más mínima acción ejercida sobre ellos tal como un golpe dado al recipiente. En caso contrario reciben el nombre de viscosos. Todos los fluidos reales existentes en la naturaleza son viscosos en mayor o menor grado.

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4. Compresibilidad Esta propiedad que tienen los cuerpos de disminuir su volumen al aplicarles una presión externa. En este sentido los gases se comprimen fácilmente, es decir que es fácil disminuir su volumen al ejercer una presión sobre ellos. Sin embargo, los líquidos son mucho más difíciles de comprimir, hasta el punto de que son prácticamente incompresibles. 5. Elasticidad Propiedad de los cuerpos de recuperar su forma original después de haber sido deformados. Tanto los líquidos como los gases poseen gran elasticidad, recobrando su volumen original tan pronto como cesa de actuar sobre ellos el agente que modificó su volumen. Algunos sólidos son elásticos, como por ejemplo un resorte, y otros no lo son, como por ejemplo un pedazo de plastilina, al que deformamos con facilidad pero por sí solo no recupera la forma original. 6. Cohesión La cohesión es el nombre que se le da a las fuerzas intermoleculares. El estado sólido se debe a la gran cohesión entre las moléculas de los cuerpos, que se mantienen por ello en posiciones fijas estando sólo animados de un movimiento de vibración de muy pequeña amplitud. El estado fluido se debe a la poca cohesión entre las moléculas, las que por esta causa poseen gran movilidad pudiendo deslizarse unas sobre otras. Por otra parte, en los gases la cohesión puede suponerse nula y cada molécula es independiente de las otras. Las moléculas están animadas de rápidos movimientos que por su complejidad, presentan aspecto caótico. El cuarto estado de la materia puede ocurrir cuando ésta se calienta a muy altas temperaturas. En estas condiciones, uno o más de los electrones que rodean cada átomo pueden ser liberados del núcleo. La sustancia resultante es una colección de partículas libres cargadas eléctricamente: los electrones están cargados negativamente y los iones cargados positivamente. Un gas ionizado en esta forma con igual número de cargas positivas y negativas se llama plasma. Propiedades de los sólidos Los átomos en un sólido se mantienen en posiciones especificas unos respecto de otros debido a fuerzas que son princiFísica

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palmente de origen eléctrico. Los átomos de un sólido vibran alrededor de estas posiciones de equilibrio debido a la agitación térmica; sin embargo, a bajas temperaturas este movimiento de vibración es muy pequeño y se pude considerar que los átomos están casi fijos. A medida que se agrega energía térmica al material, la amplitud de las vibraciones aumenta. El movimiento de vibración de un átomo puede ser visualizado como aquel que ocurriría si el átomo estuviera sujeto en su posición de equilibrio por resortes unidos a los átomos vecinos. Si un sólido se comprime debido a fuerzas externas, podemos imaginar que éstas estuvieran comprimiendo los resortes internos. Cuando se dejan de aplicar las fuerzas externas, el sólido tiende a regresar a su tamaño original. Por esta razón se dice que un sólido tiene elasticidad. Los sólidos se pueden clasificar como cristalinos o amorfos. Un sólido cristalino es aquel que tiene una estructura ordenada y periódica. Por ejemplo, en el cristal de cloruro de sodio los átomos de sodio y de cloro se encuentran alternados en las esquinas de las caras de un cubo.

FIGURA 6.1

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Densidad Es importante entender la relación del peso de un cuerpo con su volumen. Por ejemplo, se dice que el plomo y el hierro son pesados, en tanto que la madera y el corcho se consideran ligeros; esto significa que un cubo de madera es más ligero que un cubo de plomo del mismo tamaño. En la figura se muestra un cubo de madera que pesa lo mismo que un cubo de plomo: sus tamaños difieren considerablemente.

FIGURA 6.2

La cantidad que relaciona el peso de un cuerpo con su volumen se llama peso específico.

Sus unidades son el newton entre metro cúbico. Sabemos que el peso de un cuerpo varía de acuerdo con su ubicación, y por ello una relación mas útil es la densidad, la cual toma en cuenta la masa del cuerpo independientemente de la gravedad. La densidad se define como la masa por unidad de volumen, es decir la masa que hay en cada centímetro cúbico, por ejemplo. Matemáticamente la definición es:

A la densidad se le denota por lo general con la letra griega ρ (rho), por lo que la definición anterior queda: Física

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La densidad es una magnitud escalar, cuyas unidades en el Sistema Internacional son kg/m3. Sin embargo, también se utilizan mucho las unidades de g/cm3. Como 1 kg = 1,000 g y 1 m = 100 cm, la equivalencia entre estas dos unidades de densidad es

o bien, despejando 1 g/cm3 = 1,000 kg/m3 A la densidad también se le llama masa específica, aunque en esta guía no utilizaremos este término. El concepto de peso específico, que has escuchado de vez en cuando, está muy relacionado con la densidad: se trata del peso de una sustancia por unidad de volumen (recuerda que masa y peso no son lo mismo). Resulta de particular importancia la densidad del agua, que al nivel del mar y en condiciones normales es de 1 g/cm3, es decir 1,000 kg/m3 . O sea que en un centímetro cúbico cabe un gramo de agua. Cuando se habla de condiciones normales se sobreentiende que se está considerando la presión atmosférica al nivel del mar y una temperatura de 20 ºC. Es muy común que las densidades de otras sustancias se comparen con la del agua, obteniendo lo que se conoce como densidad relativa. Esta comparación se hace dividiendo de la siguiente manera:

De esta manera, la densidad relativa es una cantidad sin unidades que nos dice qué tanto más densa que el agua es una sustancia. Por ejemplo, la densidad relativa del mercurio es 13.6, lo cual significa que el mercurio es 13.6 veces más denso que el agua, es decir, que su densidad es de 13.6 g/cm 3 o bien 13,600 kg/m3 . En la vida cotidiana nos topamos con sustancias de diversas densidades, que van desde el aire, con una densidad relativa de más o menos 0. 09, hasta el plomo con 12 ó el oro, con más de 20. Sin embargo, existen densidades mucho más altas y bajas que éstas. Consulta la tabla para que veas la variedad de den174

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sidades que existen en la naturaleza.

TABLA 2.1 Algunas densidades (kg/m3) Espacio interestelar El mejor vacío obtenido en un laboratorio Hidrógeno (0ºC, 1 atm) Aire (0ºC, 1 atm) Aire (100ºC, 1 atm) Aire (0ºC, 50 atm) Espuma plástica Agua (0ºC, 1 atm) Agua (100ºC, 1 atm) Agua (0ºC, 50 atm) Hielo Aluminio Mercurio Platino La Tierra: densidad media densidad del núcleo densidad de la corteza El Sol: densidad media centro Enana blanca Núcleo del uranio Estrella de neutrones Hoyo negro

10-18 - 10-21 ~ 10-17 9 X 10-2 1.3 0.95 65 100 1000 958 1002 920 2700 13600 21400

5,520 9,500 2,800 1,400 1.6 X 105 1010 3 X 1017 1017-1018 > 1018

LEY DE HOOKE Cuando se ejercen fuerzas sobre los objetos, éstos pueden deformarse; por ejemplo, si se cuelga un objeto de una barra o de un resorte éstos se estiran, cambian su longitud. Experimentalmen-

Física

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te se ha demostrado que ese cambio de longitud es proporcional al peso del objeto o a la fuerza ejercida sobre el objeto. A este resultado se le conoce como ley de Hooke y puede escribirse como F=-kΔL en la que ΔL es el cambio de longitud del objeto y k es una constante de proporcionalidad que depende del material del que está hecho el objeto y que se conoce como la constante de elasticidad. Esta ecuación es válida para cualquier tipo de material, siempre y cando la fuerza que se ejerce no sea demasiado grande, ya que en ese caso el objeto se estira demasiado y acaba por romperse. Mientras el objeto se encuentre dentro de su límite elástico, en el momento de dejar de aplicar la fuerza regresará a su forma original; si la fuerza aplicada es mayor que el límite elástico del objeto, éste se deforma permanentemente o se rompe. ESFUERZO Y TENSIÓN La cantidad que se alarga el objeto depende de la fuerza aplicada, pero también del material del que está hecho el objeto y de sus dimensiones. Si se comparan resortes o barras hechas del mismo material pero de diferentes longitudes o de diferentes áreas transversales, se puede ver claramente que su constante de elasticidad no es la misma. También es posible demostrar experimentalmente que la cantidad que se alarga o comprime un objeto cuando se sujeta a una misma fuerza es proporcional a su longitud original e inversamente proporcional a su área transversal. Este resultado indica que entre más largo es el objeto, más se estira, y entre más grande es su sección transversal, menos se estira. Si se combinan estos resultados con la ley de Hooke se encuentra que en la que F es la fuerza aplicada, Lo es la longitud original del objeto sobre el que se aplica la fuerza, A es el área transversal del objeto y Y es una constante de elasticidad conocida como módulo de elasticidad o módulo de Young, cuyo valor depende del material del que está hecho el objeto. Puesto que esta constante solamente depende del material del que el objeto está hecho, esta última ecuación es más práctica que la ley de Hooke. De la ecuación anterior puede verse que el cambio de longitud de un objeto es proporcional al producto de la longitud inicial del objeto y a la fuerza por unidad de área. En la práctica 176

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se define a la fuerza por unidad de área como esfuerzo, al que denotaremos por S, y a la tensión como la razón entre el cambio de longitud y la longitud original, en términos de ecuaciones estas relaciones quedan como: El esfuerzo es una medida del efecto que ejerce el agente externo sobre el objeto. Los esfuerzos se miden en la misma unidad que la presión, en el SI en N/m 2 que corresponden a un Pascal y que se designa por Pa, o en cualquier combinación de una unidad de fuerza y de área. Cuando la fuerza aplicada es perpendicular a la superficie sobre la cual actúa, se dice que el esfuerzo es normal y si, en cambio, la fuerza aplicada es tangente a la superficie, se dice que el esfuerzo es tangencial. Los esfuerzos tangenciales suelen llamarse también esfuerzos cortantes y cizalladuras porque son los esfuerzos de este tipo los que se requieren para cortar un cuerpo. Es importante notar que los esfuerzos tangenciales no modifican el volumen de un cuerpo, únicamente alteran su forma geométrica, mientras que los esfuerzos normales modifican el volumen del cuerpo aumentándolo o disminuyéndolo, aunque no necesariamente modifiquen su forma geométrica. Los esfuerzos normales pueden ser de dos clases: presión, si actúan de modo que tienden a reducir las dimensiones del cuerpo en la dirección en que actúan las fuerzas y tensión, si tienden a aumentarlas. ¿Qué efectos tienen los esfuerzos normales y tangenciales sobre los cuerpos? En general se puede decir que estos esfuerzos producen deformaciones. Consideremos por ejemplo un alambre con un extremo fijo, y en el otro se aplica una fuerza que produce una tensión. El efecto de la tensión es alargar una cierta cantidad la longitud original del alambre; decimos en este caso que el alambre sufre una deformación lineal. Pensemos ahora en una columna de un edificio. La columna está sometida a una compresión, lo que hace que su longitud disminuya ligeramente, es decir, ocurre una deformación lineal negativa. Si se trata, por último, de un cuerpo sometido a esfuerzos normales, como en el caso de un submarino sumergido en el agua, lo que se produce es una variación de volumen, una deformación volumétrica. DEFORMACIÓN Podemos medir el efecto de los esfuerzos sobre los cuerpos, es Física

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decir, podemos definir una cantidad a la que llamaremos deformación que sea una medida de qué tanto se ha deformado un objeto en respuesta al esfuerzo. La deformación unitaria D que sufre el cuerpo puede definirse como la razón a la que cambia su longitud con respecto a su longitud inicial cuando se le somete a un esfuerzo. Así, tenemos que:

en la que D es la deformación unitaria, ΔL es la variación de la longitud y Lo es la longitud original o inicial del objeto. La deformación unitaria es una cantidad sin unidades y es una medida de qué tanto se ha deformado un objeto en respuesta al esfuerzo. En términos del esfuerzo y la tensión que éste produce, la ley de Hooke puede enunciarse como: «Los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones mientras no se alcance el límite elástico del material». Dicho de otra forma, tenemos que una medida de la elasticidad del cuerpo, que llamaremos módulo de elasticidad, puede definirse como la razón entre el esfuerzo y la deformación. Como la deformación es adimensional, el módulo de elasticidad tiene las mismas unidades que las del esfuerzo. El módulo de elasticidad o módulo de Young, denotado por Y, queda entonces definido por

en la que Y es módulo de Young, S es el esfuerzo y D es la deformación unitaria. Sustituyendo las definiciones de cada una de estas cantidades, obtenemos que:

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por lo que llegamos a que Y = F L / ΔL A

La misma definición podría emplearse en el caso en que el esfuerzo produjera un cambio de volumen. CURVAS DE ELASTICIDAD La ley de Hooke es una relación que se obtiene experimentalmente, y es aproximada. Sabemos que se puede emplear con confianza mientras los esfuerzos son pequeños, pero que no tiene validez cuando los esfuerzos sobrepasan un cierto valor llamado límite de elasticidad del material. Supongamos que tenemos un objeto que se desea estudiar, por ejemplo un alambre construido con un cierto material. Podemos hacer un experimento sometiendo el alambre a esfuerzos cada vez mayores y observar las deformaciones experimentadas. Estas cantidades se pueden representar gráficamente utilizando como ejes los esfuerzos y las deformaciones. De acuerdo a la ley de Hooke, lo que encontramos al hacer esta gráfica es que la relación entre los esfuerzos y las deformaciones es una línea recta, lo que indica una proporcionalidad entre ambas magnitudes. Durante esta fase del experimento, si en cualquier momento durante el proceso suprimimos los esfuerzos, el material recupera sus dimensiones originales y desaparecen las deformaciones adquiridas. Sin embargo, si seguimos aumentando los esfuerzos observaremos que las deformaciones aumentan más rápidamente y que cada vez es más fácil deformar el material. En la gráfica esto se manifiesta en que desaparece la línea recta y aparece una curva que tiende a inclinarse hacia el eje de las deformaciones. En esta parte del proceso, si suprimimos los esfuerzos se encontrará que aun cuando el material vuelve a recobrar sus dimensiones y forma originales, tarda un mayor intervalo de tiempo en recobrarlas. El punto en el que la gráfica cambia de recta a curva señala el límite de validez de la ley de Hooke y es Física

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precisamente el límite de elasticidad del material bajo estudio. A la propiedad por la cual un cuerpo tarda en recuperar su configuración primitiva se le llama histéresis elástica. Si, por último, el objeto se deforma más allá de su limite elástico, se deformará de manera permanente. Los sólidos que no se deforman bajo la acción de los esfuerzos se conocen como cuerpos rígidos.

FIGURA 6.3

Mientras no se producen deformaciones definitivas en un proceso en el que se somete a un cuerpo a esfuerzos, se considera que el proceso está en la zona elástica del material.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Se tienen dos piezas cúbicas macizas hechas de la misma madera. Una de ellas tiene 2 cm de lado y la otra 4 cm de lado. ¿Qué tanto más masiva es una que la otra?

Solución: las dos piezas tienen la misma densidad desconocida r, puesto que están hechas de la misma madera. El volumen de las piezas es:

Como en general m= ρV, comparamos las masas de ambas piezas; así:

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Por lo tanto, la pieza grande es 8 veces más masiva que la pequeña. 2. La densidad relativa de un cuerpo es 2.3 y su masa es de 6.9 kg. Calcula su volumen. Solución: la densidad relativa coincide numéricamente con la densidad en g/cm3. Tomando esto en cuenta, cambiando kg por g y despejando V de la fórmula de la densidad, se obtiene:

3. Una cubeta cilíndrica de 15 cm de radio y 20 cm de altura está totalmente llena de un líquido. La masa de la cubeta vacía es de 2 kg y llena es de 28 kg. Encuentra la densidad del líquido y exprésala en g/cm3 y en kg/m3. Solución: La masa del líquido es de 26 kg y su volumen se encuentra mediante el volumen de un cilindro:

La densidad del líquido será entonces:

4. Una tabla de madera de 2 m de largo, 40 cm de ancho y 5 mm de grosor tiene una densidad relativa de 0.8. Encuentra su masa en kg. Solución: despejando m de la fórmula de densidad, calculando el volumen de la tabla como largo por ancho por grueso en unidades coherentes, y tomando en cuenta que la densidad relativa coincide numéricamente con la densidad en g/cm3, se obtiene:

5. Un meteorito esférico de 0.5 km de radio cae a la Tierra y los científicos determinan que su densidad media es de 4.5 g/cm3.

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Encuentra la masa del meteorito. Solución: el volumen del meteorito es el de una esfera:

La masa del meteorito será entonces:

6. Explica la diferencia entre un golpe de karate y uno de box en términos del esfuerzo y la tensión. Solución: Los golpes en el box y en el karate tienen propósitos diferentes. En el box la intención de un golpe es sacar al oponente de equilibrio; por ello, los golpes se continúan de manera que la acción de empujar al oponente sea más prolongada. La fuerza del golpe se distribuye sobre un área amplia que es la superficie anterior del guante de box; como resultado, el efecto de un golpe sobre la cabeza del oponente no es una deformación sino una aceleración rápida hacia atrás, y si es suficientemente fuerte sacará al oponente de equilibrio. En el karate, en cambio, la intención del golpe es minimizar el área de impacto para provocar deformaciones, es decir, para romper el tejido o el hueso en el momento del contacto. El contacto se hace con los nudillos o con la parte lateral de la mano o del pie para concentrar la fuerza del golpe y producir una tensión grande. Por esta razón ahora que el karate se practica como un deporte y no como una forma de defensa personal, en las competencias no se permite el contacto entre los oponentes, se hace más bien énfasis en la técnica y en la forma. ¿Podrías explicar por qué los karatekas pueden romper de un golpe una o varias tablas de madera? 7. Una cuerda de guitarra de longitud de 1 m, hecha de acero, tiene un diámetro de 0.1 cm. ¿Cuál es la tensión sobre la cuerda cuando se estira 0.2 cm para afinarla? Solución: La sección transversal de la cuerda es A = πr2= (3.14)(0.0005)2 = 7.85x10-7 m. La tensión sobre la cuerda está dada por: F=YΔLA/Lo =(2x1011 N/m2)(0.003 m/1 m)(7.85x10-7 m2) 182

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= 4.71x102 N = 471 N 8. ¿Cuál debe ser la sección trasversal mínima que una columna de concreto debe tener para soportar un peso de 1.2x10 5 N? Solución: De los datos de una tabla se puede obtener que la fuerza de compresión máxima del concreto es de 2x107 N/m2. En la industria de la construcción se utiliza 6 como factor de seguridad, de manera que el máximo esfuerzo permitido es de 2x107 N/6=3.3x106 N/m2. El esfuerzo es la fuerza por unidad de área y como sabemos que la fuerza es de 1.2x105 N, podemos resolver para el área trasversal: A= 1.2x105 N/3.3x106 N/m2 = 3.6x10-2 m2=360 cm2, o sea que un soporte de 18 cm por 20 cm sería el adecuado. 9. Explicar por qué hay menos esfuerzo sobre la parte baja de la columna vertebral si te tocas las puntas de los pies con las piernas estiradas estando sentado, que si haces lo mismo estando parado. Solución: La fuerza aplicada en ambas situaciones es la misma, la diferencia la hace el área sobre la cual se aplica la fuerza. Cuando estás de pie, la fuerza que se aplica sobre las vértebras de la parte baja de la columna vertebral se distribuye únicamente sobre el área que presentan las propias vértebras, mientras que cuando estás sentado la fuerza se distribuye sobre el área de los glúteos. 10. El tendón de un animal mide 15 cm y se estira 3.7 mm cuando se le aplica una fuerza de 13.4 N. ¿Cuál es el módulo elástico del tendón? Solución: Supongamos que el tendón tiene área trasversal circular y que su diámetro promedio es de 8.5 mm. Podemos calcular el módulo de Young de elasticidad del tendón mediante la relación E = FLo/ΔLA = 13.4 N(0.15 m)/(0.0037 m)(3.14)(0.00425 m)2 = 2.01 N/m/2,1x10-7 m3 = 9.6x106 N/m2 11. Si se ejerce una fuerza de compresión de 3.6x104 N sobre el extremo de un hueso de 20 cm de largo y cuya área trasversal

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es de 3.6 cm2, ¿cuánto cambia su longitud? Solución: Utilizando la ecuación para el módulo de Young, pero en esta ocasión para calcular el cambio de longitud del hueso, tenemos que: ΔL = FLo/EA = (3.6x104 N)(.2 m)/(15x109) N/m2)(3.6x10-4 m2) =0.0013 m= 0.13 cm 12. Una almeja abre su concha mediante un mecanismo en el que usa una sustancia llamada abductina. El módulo elástico de la abductina es de 2x106 N/m2, su espesor es de 3 mm y su área trasversal es de 0.5 cm2. ¿Cuál es su energía potencial cuando se ha comprimido 1 mm? Solución: Si pensamos que la abductina de la almeja actúa como un resorte, su energía potencial es igual al cambio en el trabajo efectuado: U=kx2/2. La fuerza que ejerce la abductina se puede obtener mediante la ecuación del módulo de Young como F = EΔLA/Lo =(2x106 N/m2)(1x10-3 m)(0.5x10-4 m2)/3x10-3 m) = 33 N Por otra parte sabemos que la fuerza que ejerce un resorte está dada por la ley de Hooke: F = -kx; entonces, la constante del resorte en este caso es de: K = 33 N/1x10-3 m=33x103 N/m Usando estos datos podemos calcular la energía potencial como U = (33x103 N/m)(1x10-3 m)2/2 = 16.5x10-3 J 13. El concepto de elasticidad se puede generalizar de la física hacia otras ciencias. Así, por ejemplo, en economía lo que interesa es conocer los efectos que un cambio en la situación del mercado (en las fuerzas del mercado, en el lenguaje de los economistas) afecta, por ejemplo la demanda de un artículo dado. En general la demanda de un producto está relacionada con su precio, y en la mayoria de los casos si el precio aumenta, la demanda disminuye. La sensibilidad de la demanda ante los cambios de los precios varía de un producto a otro. En algunos casos, un pequeño aumento en el precio tiene un efecto pequeño sobre la demanda. Ejemplos de este tipo de productos son las pilas y el detergente. En cambio, la 184

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demanda de otros productos es muy sensible a un pequeño cambio en los precios, es decir, si se aumenta un poco el precio, la demanda disminuye mucho. Este es el caso de los muebles o del chocolate. La sensibilidad de la demanda ante el cambio en los precios se denomina elasticidad de la demanda y se define de la siguiente manera: Si q es la cantidad demandada de un artículo y p su precio, la elasticidad de la demanda está dada por: e = pΔp/qΔq Supongamos que la demanda de un artículo es q y su precio es p, y que estas dos cantidades están relacionadas mediante la ecuación de demanda q = 240 –2p. Calcula la elasticidad de la demanda del artículo cuando el precio es de 50.00 y se cambia en 1%. Explica si la demanda de ese artículo es elástica o inelástica. Solución: Como e = pΔp/qΔq, cuando se cambia en 1% el precio del artículo, la cantidad demandada disminuye 2 unidades, pues ésta es la pendiente de la ecuación de demanda que nos da Δp/Δq, entonces: e = -2(p/q) = -2p/ (240 –2p) =-50/(120-100) = -0.71 Este resultado nos indica que la disminución porcentual en la demanda es menor que el incremento porcentual en el precio, es decir, ,que un incremento de 1% en el precio produce una disminución de 0.71% en la demnada. Esto nos dice que la demanda es relativamente insensible, se deforma poco, ante los cambios de precios, por lo que la demanda de este producto puede considerarse inelástica. ¿Podrías escribir una ecuación para otro artículo cuya elasticidad de demanda sea grande? Forma un equipo con algunos de tus compañeros y diseñen dos problemas en los que puedan aplicar los conceptos aprendidos en esta parte del curso. Escríbanlos junto con su solución. Ahora intercambien únicamente los problemas con otro equipo para que ellos los resuelvan. Cuando hayan teminado de resolverlos, discutan con ellos la solución.

PRÁCTICA: Masas, densidades y volúmenes

Objetivo: explorar el método de desplazamiento de líquidos Física

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para calcular volúmenes de objetos irregulares, y comparar sus masas con sus volúmenes. Material • Balanza • Cordel • Probeta graduada • Agua • Cinta adhesiva • Cinco pernos de acero de diferente tamaño • Un trozo de hierro con forma irregular • Un vaso de precipitados de 1000 ml • Un envase de película fotográfica de 35 mm lleno de perdigones • Un envase de película fotográfica de 35 mm con un tornillo adentro; el tornillo debe ser de tamaño suficiente para que el envase se hunda al ponerlo en agua. EXPERIMENTO 1 Paso 1. Mide la masa de los dos envases de película Masa del envase más pesado = ______________ Masa del envase más ligero = ______________ Paso 2. Pega un trozo de cinta adhesiva en la probeta graduada llena de agua hasta sus dos terceras partes. Marca en la cinta el nivel del agua. Con ayuda del cordel introduce el envase ligero en el agua y observa como sube el nivel. Paso 3. Haz una predicción de lo que ocurrirá con el nivel del agua al meter en ella ahora el envase más pesado, en comparación con el cambio de nivel en el caso del envase ligero. PREDICCIÓN:

Paso 4. Introduce en el agua el envase más pesado para ver realmente qué ocurre. Describe lo que encontraste:

Análisis ¿Cómo fueron las cantidades de agua desplazadas por los 186

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dos envases?

¿Esta cantidad de agua desplazada depende de la masa del objeto o del volumen del objeto? Explica:

EXPERIMENTO 2 Paso 1. Mide la masa de los cinco pernos. Mide también su volumen mediante el método de desplazamiento de agua. Anota tus resultados en la tabla: Paso 2. Dividiendo la masa entre el volumen obtén la densidad de cada perno y anota los resultados en la tabla anterior. Análisis ¿Cómo son los cocientes masa/volumen de cada uno de los pernos en términos comparativos?

¿Esperarías que la relación masa/volumen fuera la misma en pernos de materiales distintos? PERNO

MASA

VOLUMEN

DENSIDAD

1 2 3 4 5

Física

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EXPERIMENTO 3 Mide la densidad de otros 3 objetos que tengas a la mano. Anota tus resultados y saca conclusiones:

SÍNTESIS La densidad es la masa de una sustancia que cabe en una unidad de volumen. Para encontrar la densidad • de un objeto de masa M y volumen V se aplica la fórmula siguiente: ρ = m/V Se acostumbra medir la densidad en gramos sobre centímetro cúbico (g/cm3) o en kg/m3. Una densidad muy importante es la del agua, que en condiciones normales es: ρH20 = 1 g/cm3 = 1,000 kg/m3 En ocasiones se compara por cociente la densidad de una sustancia con la del agua, y a esto se lo llama densidad relativa de la sustancia. La densidad relativa no tiene unidades. Por ejemplo, la densidad relativa del mercurio es 13.6, lo cual significa que la densidad de este elemento dividida entre la del agua da como resultado 13.6; dicho de otra manera, el mercurio es

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13.6 veces más denso que el agua:

El peso específico es lo que pesa la unidad de volumen. Es un concepto análogo al de densidad, pero con peso en lugar de masa. La propiedad por la cual un material sólido cambia de forma y de tamaño debido a la acción que sobre él ejercen las fuerzas, pero recuperando su configuración original al cesar la aplicación de éstas, recibe el nombre de elasticidad. Límite elástico es la deformación máxima que puede soportar un cuerpo antes de quedar deformado de manera permanente o de fracturarse. Se le llama esfuerzo a la fuerza aplicada sobre un cuerpo medida por unidades de área, y puede encontrarse mediante la relación S= F/A El esfuerzo puede ser normal o tangencial dependiendo de la dirección en la que actúan las fuerzas sobre el objeto. La deformación unitaria D que sufre el cuerpo al someterse a un esfuerzo, puede definirse como la razón a la que cambia su longitud con respecto a su longitud inicial cuando se le somete a un esfuerzo. Así tenemos que: D = ΔL / L0 en la que D es la deformación unitaria, ΔL es la variación de la longitud y Lo es la longitud original o inicial del objeto. La deformación unitaria es una cantidad sin unidades y es una medida de qué tanto se ha deformado un objeto en respuesta al stress. Entre los esfuerzos y las deformaciones existe una relación que se conoce con el nombre de ley de Hooke, de la que puede obtenerse el módulo de elasticidad o módulo de Young, Y que queda definido por

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Este módulo guarda relación con la deformación y con el cambio de volumen reversibles producidos por esfuerzos ten-

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sores o compresores. El punto en el que el material deja de recuperar su forma original cuando deja de estar sujeto al esfuerzo se denomina límite de elasticidad. A la propiedad por la cual un cuerpo tarda en recuperar su configuración primitiva se le llama histéresis elástica. Si el objeto se deforma más allá de su limite elástico, se deformará de manera permanente. Mientras en un proceso en el que se somete a un cuerpo a esfuerzos no se produzcan deformaciones definitivas, se considera que el proceso está en la zona elástica del material. DENSIDADES EXTREMAS ¿Cuál es la densidad más baja en el Universo?¿Cuál es la más alta? Los objetos menos densos en nuestra vida cotidiana son los gases. Cuando la densidad de un gas disminuye hasta llegar a cero, decimos que hemos llegado al vacío. Si, por ejemplo, en la atmósfera subimos y subimos, la densidad disminuye y disminuye hasta que llega un momento en que deja de haber atmósfera: nos encontramos en el espacio interplanetario, donde la densidad es prácticamente cero, es decir hay vacío. El vacío, además de caracterizarse por tener densidad cero, está muy relacionado con la presión, ya que ésta también es cero en el vacío, es decir que no hay partículas, que son las que ejercen presión. Desde hace varios siglos hemos aprendido a hacer vacío artificialmente mediante bombas de vacío que extraen el aire de un cierto compartimento. Al extraer el aire estamos disminuyendo la densidad dentro del compartimento y por lo tanto la presión también disminuye. En realidad el vacío perfecto no existe; no se encuentra en la naturaleza ni lo hemos logrado artificialmente. Siempre queda algo de materia, aunque sean algunas pocas partículas por unidad de volumen, que ejercen algo de presión, aunque esta sea mínima. Por esta razón se habla de grados de vacío que se cuantifican mediante la presión lograda o bien mediante la baja densidad alcanzada. Así por ejemplo, los mejores vacíos alcanzados artificialmente en los laboratorios son de 10-17 kg/m3, mientras que en las regiones del Universo con mayor grado de vacío, es decir el espacio entre las estrellas o entre las galaxias, el vacío llega a ser de 10-18 a 10-21 kg/m3 aproximadamente. Por lo anterior, debe quedar claro que cuando decimos que 190

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hacemos vacío, lo estamos haciendo sólo parcialmente. ¿Que hay respecto a las densidades muy altas? Las densidades de los objetos que podemos tocar no son muy elevadas. Por ejemplo, las mayores densidades con las que convivimos son la del plomo (alrededor de 12), la del mercurio (13.6) y las del oro y el platino (cercanas a 20). Sin embargo, en el yniverso existen densidades mucho mayores. Los astrónomos y los físicos han descubierto que la materia puede estar compactada hasta grados inimaginables. Los objetos astronómicos en los que los científicos han detectado densidades muy elevadas son aquellos que quedan después de que una estrella llega al final de su vida y explota dando lugar a lo que se conoce como una nova o una supernova. La explosión que marca el final de la vida de una estrella lanza una parte del material del que está hecha la estrella hacia el espacio, pero en el interior de la estrella esta explosión produce unas presiones elevadísimas que son capaces de compactar el núcleo de la estrella hasta lograr densidades sorprendentes. Al terminar la explosión y alejarse los gases expulsados, queda el cadáver de la estrella, que es un objeto oscuro y denso. Las características de los cadáveres estelares dependen básicamente de la masa de la estrella original. Por ejemplo, una estrella como el Sol da lugar al final de su vida a una enana blanca con densidades relativas del orden de 107 . Estrellas más masivas que nuestro Sol dan lugar a estrellas de neutrones, con densidades relativas de hasta 1014, y estrellas aún más masivas (bastante comunes en el universo) dan lugar a los llamados hoyos negros, con densidades relativas superiores a 10 15. Para darnos una idea de estas densidades, basta pensar que una esfera con la masa de la Tierra tiene una densidad de hoyo negro si su diámetro es proximadamente de un centímetro.

AUTOEVALUACIÓN 1. ¿Qué tiene mayor densidad, 1 kg de agua ó 10 kg de agua? 2. ¿Qué tiene mayor densidad, 5 kg de plomo ó 10 kg de aluminio? 3. ¿Que tiene mayor densidad, 1 gramo de uranio ó toda la tierra? 4. Si tienes un cuadrado de un cm de lado, ¿cuál es su área? 5. Si tienes un cuadrado de 2 cm2, ¿cuál es su área? Física

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6. Considera una pieza cuadrada de pizza de 10 cm x 10 cm y otra de 20 cm x 20 cm; ¿ qué tan grande es el área de la pizza más grande? Compara. 7. Si duplicas cada lado de un cuadrado ¿cuántas veces se hace más grande su área con respecto al cuadrado original? 8. Si triplicas cada lado de un cuadrado, ¿cuántas veces se hace más grande su área con respecto al cuadrado original? 9. Si duplicas los lados de un cubo, ¿cuánto aumenta su volumen respecto al cubo original? 10.La densidad relativa de un cuerpo es 2.5 y su volumen es de 50 cm3. Calcula su masa. 11.Una tabla mide 3 m de largo, 30 cm de ancho y 8 mm de grosor. Su masa es de 4.5 kg. Calcula su densidad relativa y su densidad en g/cm3 y en kg/m3. 12.La Tierra tiene un radio aproximado de 6,300 km y su masa es de unos 5.9 x 1024 kg. Calcula su densidad media y exprésala en g/cm3 y en kg/m3. 13.Considera una niña que pesa 100 N. Durante un año ella se desarrolla de manera simétrica (hacia todos los lados) de tal manera que en cada dimensión su cuerpo aumenta un 5 %. ¿Cuánto pesará la niña al cabo de un año, suponiendo que la densidad permanece constante?

FIGURA 6.4

14. ( ) Son compresibles; sin embargo, en ellos los espacios moleculares no se alteran. a) gases b) sólidos

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c)

líquidos

15. ( ) A la propiedad que tienen los sólidos de recuperar su forma y volumen inicial se le llama a) inercia b) plasticidad c) elasticidad d) viscosidad 16.

( ) La deformación unitaria de una barra que se encuentra sometida a un esfuerzo de tensión es inversamente proporcional a a) el área b) la constante inicial c) la longitud inicial d) la fuerza

17. ( ) A las deformaciones elásticas que son directamente proporcionales a las fuerzas que las producen describe a) ley de compresibilidad b) ley de Hooke c) principio de Arquímedes d) ley de Newton 18. ( ) A la máxima deformación que puede soportar un cuerpo se le llama a) elasticidad b) límite elástico c) esfuerzo d) ley de Hooke 19. ( ) A la relación o cociente del esfuerzo lineal y la deformación unitaria se le conoce como a) módulo de Young b) módulo de compresibilidad c) ley de Hooke d) limite elástico 20. ( ) La fuerza que se aplica de manera tangencial sobre un cuerpo se denomina a) esfuerzo de corte b) esfuerzo normal Física

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c) d) 21. ( es: a) b) c) d)

esfuerzo perpendicular fuerza normal )Un cuerpo que tiene un módulo de Young muy grande muy resistente muy elástico muy rígido poco resistente

22. ( ) La relación de esfuerzo contra deformación es de tipo a) lineal b) directa c) inversa d) cuadrática 23. Se tiene un alambre de acero de 5 m de longitud y 2 mm de diámetro. Calcular cuánto se alarga bajo la acción de una fuerza de 15,000 N si para el acero y = 22 x 1010. 24. Qué sección mínima deberá dársele a un alambre de aluminio de 4 m de longitud si está destinado a experimentar una tensión de 60 N y si la máxima elongación permitida es de 0.3 cm. 25. Una columna de acero tiene 3 m de longitud y soporta el techo de un edificio. Bajo la acción del techo la columna se ha acortado 2 mm. Calcula su deformación lineal por unidad de longitud. 26. Un alambre cuyo radio es de 1 mm sostiene un cuerpo cuya masa es de 40 kg. Calcula el esfuerzo al que está sometido el alambre.

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