Algorithmik: Die Kunst des Rechnens

David Harel Yishai Feldman Algorithmik Die Kunst des Rechnens Übersetzt von Micaela Krieger-Hauwede Mit 124 Abbildunge...

Author: David Harel | Yishai Feldman

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David Harel Yishai Feldman

Algorithmik Die Kunst des Rechnens

Übersetzt von Micaela Krieger-Hauwede Mit 124 Abbildungen

123

David Harel Department of Applied Mathematics Weizmann Institute of Science 76100 Rehovot, Israel [email protected]

Yishai Feldman The Interdisciplinary Center P.O. Box 167 46150, Herzliya, Israel [email protected]

Übersetzerin Micaela Krieger-Hauwede [email protected]

MSC-Nummer: 68Q01 ISBN-10 3-540-24342-9 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-24342-7 Springer Berlin Heidelberg New York Bibliograﬁsche Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograﬁe; detaillierte bibliograﬁsche Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverﬁlmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspﬂichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Satz: Micaela Krieger-Hauwede, Leipzig Herstellung: LE-TEX, Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: KünkelLopka Werbeagentur, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 33/3100 YL – 5 4 3 2 1 0

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Start

Name

Gehalt

John Brown

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Jack White

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Mike Green

$18 000

Joan Silver

$26 000

0

Wert der gemerkten Zahl

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und

Algorithmus A

Spezifizierung der gesuchten Ausgaben als Funktion der Eingaben

gesuchte Ausgabe

algorithmisches Problem

algorithmische Lösung

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Ende

Start

Start erster Durchlauf (a)

Ende zweiter Durchlauf

(b)

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8

Start

Ende

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Start

notiere 0; zeige auf das erste Gehalt

addiere das aktuelle Gehalt zur gemerkten Zahl

Ausgabe der gemerkten Zahl

JA

am Ende der Liste?

NEIN

Schleife

zeige auf das nächste Gehalt

Stopp

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Start

notiere 0; zeige mit P auf den ersten Angestellten

JA

addiere Ps Gehalt zur gem. Zahl

Ist Ps Gehalt höher als Qs?

Ist Q unm. Vorgesetzter von P? NEIN Ist Q NEIN setze Q auf den am Ende der n. Angestellten Liste?

NEIN

äußere Schleife

JA

innere Schleife

zeige mit Q auf den ersten Angestellten

JA

JA

Ist P am Ende der Liste? NEIN

Ausgabe d. gemerkten Zahl

setze P auf den n. Angestellten

Stopp

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Start

initialisiere Zähler und Zeiger

überprüfe die nächsten Symbole

Suche nach dem ,,Geld“

,,Geld“ gefunden?

IM TEXT

NEIN

setze den Zeiger vor (überprüfe auf Ende des Textes)

JA TEXTENDE gib den Zähler aus Stopp

überprüfe die nächsten Symbole

Suche nach dem Ende des Satzes

,,. “ gefunden?

IM TEXT

NEIN

setze den Zeiger vor (überprüfe auf Ende des Textes)

JA

TEXTENDE gib den Zähler aus

Stopp erhöhe den Zähler

Start

Unterroutine search-for X

IM TEXT

überprüfe die nächsten Symbole

X NEIN gefunden?

setze den Zeiger vor (überprüfe auf Ende des Textes) TEXTENDE

JA

initialisiere Zähler und Zeiger

Aufruf von search-for ,,Geld“

Aufruf von search-for ,,. “

gib den Zähler aus

kehre zurück

Stopp

Unterroutine

erhöhe Zähler

Hauptalgorithmus

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Stopp

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A

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C

A

C

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B

C

B

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Variable

Vektor

Feld A[1, 1] item item

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Datenstruktur item

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X

V[1] V[2]

V[N]

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item A[M, N]

Etage 12

Hotelanalogon

318

301

302

348

Etage 2 Etage 1

Hotelzimmer

Hotelgang

gesamtes Hotel

entsprechende Kontrollstruktur Anweisung

Schleife

verkettete Schleifen

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Zeiger

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Zeiger

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Zeiger

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Feld

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Vektor von Vektoren

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Eingang Eingang

Ausgang

Ausgang

Ende

Kopf

Warteschlange

Stapel

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Ebene 1

,,blink“

173

,,door“

54.2

$20

Ebene 2

Ebene 3

,,what“

,,why“

Ebene 4

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Lösung mithilfe der dynamischen Planung, Gesamtkosten:13 (optimal)

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Start

notiere 0; zeige mit P auf den ersten Angestellten

JA

Ist Ps Gehalt höher als Qs?

addiere Ps Gehalt zur gem. Zahl

Ist Q unmittelbarer Vorgesetzter von P?

innere Schleife

JA

NEIN Ist Q am Ende der Liste?

NEIN

NEIN

setze Q auf den n. Angestellten

äußere Schleife

zeige mit Q auf den ersten Angestellten

JA

JA

Ist P am Ende der Liste? NEIN

Fehler

gib die gemerkte Zahl aus

setze P auf den n. Angestellten

Stopp

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jede zulässige Ausgabe

jede zulässige Eingabe

Algorithmus A

Algorithmus A falls dieser Punkt erreicht wird

tatsächlich wird dieser Punkt erreicht

dann ist dies die gewünschte Ausgabe

und dies ist die gewünschte Ausgabe

Ausgabe

Ausgabe

partielle Korrektheit

totale Korrektheit

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Zusicherung Zusicherung Zusicherung Algorithmus

Zusicherung

Zusicherung

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(1) X ← S; Y←Λ

Zusicherung 2 S = reverse (Y) . X

(2)

NEIN

JA

X = Λ?

Zusicherung 3 Y = reverse (S)

(3)

Y ← head(X) . Y

Stopp

X ← tail(X)

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X Y Z (a) Anfangskonfiguration: X enthält (mindestens) N kleinste Ringe; die übrigen sind schraffiert.

N−1

X Y Z (b) Induktionsannahme: Die N − 1 obersten Ringe werden korrekt von X nach Z bewegt.

N−1

X Y (c) Unmittelbarer Zug: Ein Ring wird von X unmittelbar nach Y bewegt.

Z

N

X Y Z (d) Induktionsannahme: Die N − 1 obersten Ringe werden von Z korrekt nach Y bewegt.

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Start

betrachte die ganze Eingabeliste L

Y nicht gefunden

vergleiche Y mit dem mittleren Element der betrachteten Liste

durchsuche die erste oder die zweite Hälfte der betrachteten Liste, abhängig vom Ergebnis des Vergleichs

Y gefunden

Ausgabe ,,gefunden“

Stopp NEIN

Ist betrachtete Liste leer?

JA

Ausgabe ,,nicht gefunden“

Stopp

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Casy > Boyer Heureka !! Casy < Davis

(6) Davison

Casy < Davison

(7) Glen (8) Greer (9) Haley (10) Hanson Casy < Harrison

(11) Harrison (12) Lister (13) Mendel

Start

(14) Morgenstern (15) Patton (16) Perkins

Länge = 20 Anzahl der Vergleiche = 5

(17) Quinn (18) Reed (19) Schmidt (20) Woolf

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ein O(N3) Algorithmus für P

O(N N)3)

obere Schranken von P ein O(N2) Algorithmus für P

Ps inhärente Zeitkomplexität

O(N N)2)

algorithmisches Problem P

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ein Beweis, dass P in O(N × logN) ist

O(N N) × logN)

ein Beweis, dass P in O(N) ist

N) O(N)

untere Schranken von P

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Vergleiche Folgen von vergleichsfreien Anweisungen

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Y ist 4-ter in L endgültige Schlussfolgerungen Y ist 7-ter in L

Y ist 2-ter in L

Y ist 7-ter in L

Y ist 4-ter in L

Y ist 3-ter in L

Y ist 1-ter in L

Y ist 5-ter in L

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Funktion

exponentiell

polynomial

5N N × log2N

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354

665

2469

9966

N2

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3600

10,000

90,000

1 Million (7 Stellen)

N3

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216,000

1 Million (7 Stellen)

27 Millionen (8 Stellen)

1 Milliarde (10 Stellen)

2N

1 048 576

eine 19-stellige Zahl

eine 31-stellige Zahl

eine 91-stellige Zahl

eine 302-stellige Zahl

N!

eine 19-stellige Zahl

eine 82-stellige Zahl

eine 161-stellige eine 623-stellige Zahl Zahl

unvorstellbar groß

NN

eine 27-stellige Zahl

eine 107-stellige Zahl

eine 201-stellige eine 744-stellige Zahl Zahl

unvorstellbar groß

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1.2N

1035 N10 1030 Anzahl der Nanosekunden seit dem Urknall

1025

1020 N5 1015 eine Billion eine Miliarde

Anzahl der Nanosekunden an einem Tag

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16

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64

128 256

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40

N2

1/2500 Millisekunden

1/625 Millisekunden

N5

1/300 Sekunden

1/10 Sekunden

78/100 Sekunden

2N

1/1000 Sekunden

18.3 Minuten

36.5 Jahre

NN

3.3 Milliarden Jahre

eine 46-stellige Anzahl von Jahrhunderten

exponentielle

polynomiale

Funktion

60 1/278 Millisekunden

eine 89-stellige Anzahl von Jahhunderten

100 1/100 Millisekunden 10 Sekunden

300 1/11 Millisekunden 40.5 Minuten

400 Milliarden Jahrhunderte

eine 72-stellige Anzahl von Jahrhunderten

eine 182-stellige Anzahl von Jahrhunderten

eine 725-stellige Anzahl von Jahrhunderten

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Probleme, die keine angemessenen Algorithmen zulassen

Probleme, die angemessene Algorithmen (Polynomialzeit) zulassen

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Funktion

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Maximal in einer Stunde lösbare Kartenzahl: mit heutigen 100-mal schnel- 1000-mal schnelComputern lere Computer lere Computer

N

A

100 × A

1000 × A

N2

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ohne die zusätzliche Kante gibt es keinen Euler-Pfad (a)

ein Euler-Pfad (b)

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Polynomialzeit p1(N)

Anzahl der Knoten N

Weist T eine Tour des Handelsreisenden mit einer Länge ≤ N + 1 auf? JA

JA, G weist einen Hamilton-Pfad auf.

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(hypothetische) Polynomialzeit p2(N) Insgesamt (hypothetische) Polynomialzeit p1(N) + p2(N)

NEIN, G weist keinen Hamilton-Pfad auf.

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Presburger Arithmetik

EXPSPACE Roadblock (siehe Abbildung 7.14) EXPTIME

PSPACE Affenpuzzle (sieheAbbildung 7.1)

NPC co-NPTIME

NPTIME

PTIME LOG SPACE

Gehaltssummierung (trivial) und Primzahltest (nichttrivial)

LOG TIME

Telefonbuchsuche (siehe Abbildungen 6.1 und 6.2)

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handhabbare Probleme

Probleme, die überhaupt keine Algorithmen zulassen

Probleme, die keine angemessenen Algorithmen zulassen

Probleme, die angemessene Algorithmen (in Polynomialzeit) zulassen

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(a) Lässt eine Wortensprechung zu: 2, 1, 1, 4, 1, 5.

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(b) Lässt keine Wortensprechung zu.

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Programm oder potentielle Algorithmus Eingabe R

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EingabeProgramm W

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S

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1

2

4

3

ja

5

Diagonalprogramm

vollständige Beschreibung der Halteinformation des 5-ten Programms

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6

7

8

ja

nein

ja

alle Eingaben nein ,,Negativ“ S des Diagonalprogramms

ja nein

ja

ja

falls S das 5-te Programm war, müsste dies ,,nein“ sein

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Eingabe X

alle möglichen ,,ja“-Nachweise C weist X nicht nach erzeuge und überprüfe einen neuen Nachweis C alle möglichen ,,nein“-Nachweise C weist für X ,,ja“ nach

,,ja“

C weist für X ,,nein“nach

,,nein“

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z.B. Wiederkehr-Domino hochgradig unentscheidbare Probleme z.B. unbeschränktes Domino unentscheidbare Probleme

unhandhabbare Probleme

z.B. beschränktes Domino (vermutlich)

z.B. beschränktes Domino fester Breite

handhabbare Probleme

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Berechenbarkeit im Prinzip

Berechenbarkeit in der Praxis

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Algorithmus A

P implementiert A; ist in der Sprache L2 geschrieben

Programm P

Eingabe X

universelles Programm U, in der Sprache L1 geschrieben; simuliert die Arbeit des Programms in L2 auf einer Eingabe

Lasse P auf X laufen!

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Ausgabe (falls existent)

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Turingmaschine M

aab*bba

Eingabe X

Transformiere die Turingmaschine und die Eingabe in Kachelarten!

spezielle Kachelart t

endliche Menge T von Kachelarten

Löse das Parkettierungsproblem in der Halbebene mit der speziellen Kachel auf der Grundlinie. JA

(hypothetische) Lösung des Parkettierungsproblems in der Halbebene

NEIN

Nein: Mit T kann die obere Halbebene nicht so parkettiert werden, dass t auf der Grundlinie erscheint. Ja: Es gibt eine Lösung.

Endresultat: die (hypothetische) Lösung zum Halteproblem bei Turingmaschinen

NEIN

M hält nicht auf X an.

JA

M hält auf X an.

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# die Parkettierung kann hier nicht aufwärts fortgesetzt werden, weil nichts an diese Stelle passt!

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Originalfolge X:

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entferne diese

im Zustand s neue Folge

JA! a a a a a a b b b b b b b b b b (sollte NEIN sein!) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 der Automat verhält sich hier genauso wie auf der ursprünglichen Folge X

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d gedrückt c gedrückt

stelle Uhr

zeige Zeit an

d gedrückt

c gedrückt a gedrückt

a gedrückt a gedrückt

zeige Weckzeit c gedrückt

c gedrückt b gedrückt

Stoppuhr stelle Stunde

c gedrückt

b gedrückt b gedrückt stelle 10 Min.

stelle Min. c gedrückt

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erster Schritt (N/2 Prozessoren)

zweiter Schritt (N/4 Prozessoren)

log2N-ter Schritt (1 Prozessor)

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$68 550

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Name

Aufwand (Prozessoren)

Zeit Produkt (schlimmster Fall) (Zeit × Aufwand)

Bubblesort

1

O(N2)

O(N2)

Mergesort

1

O(N × logN)

O(N × logN) (optimal)

parallelisiertes Mergesort

O(N)

O(N)

O(N2)

odd-evenSortiernetzwerk

O(N × (logN) 2)

O((logN) 2)

O(N × (logN) 4)

O(logN)

O(N × logN) (optimal)

sequentiell

parallel

,,optimales“ Sortiernetzwerk

O(N)

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(Matrix ist bei der Bewegung nach unten konstant)

tM

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Te

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sta

Te t2

sta

Te t1

sta

Te

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90

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81

65

82

49

70

70

81

84

65

71

tN den Stu

t2 den Stu 1 nt de u t S

71

80

91

t4 den Stu t3 den Stu

72

94

0

0.1 Gewicht 1

0.23

0.125

Gewicht 2

Gewicht 3

0.3 Gewicht M

Liste mit den Endnoten

rechts ← links + (oben × unten)

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80

78

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0.25

(b)

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80

78

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92

62

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74

80

57.3

70

90

78

96

27.6

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53.4 70.05

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0.45

0.3

0.25

(c)

0.45

0.25

(d)

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74

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55.5

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0.3

0.45

(f)

0

0.3

(g)

0.45

0.25

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0.25

85.2 77.4 70.05

Gitternetz

Bienenstock

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Eingabe N

Wähle eine Zufallszahl K zwischen 1 und N − 1.

Prüfe, ob K ein Zeuge dafür ist, dass N tatsächlich zusammengesetzt ist. K ist kein Zeuge. K ist ein Zeuge.

NEIN Wurden bereits 200 K getestet? JA

Diese Antwort stimmt immer.

NEIN, N ist nicht prim.

JA, N ist prim.

Diese Antwort ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 1/2 200 falsch.

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Heureka!

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Bob entschlüsselt mit DecrB

DecrB (,,Angriff im Morgengrauen“)

Bobs signierte Botschaft S

Bob verschlüsselt mit EncrA EncrA (DecrB (,,Angriff im Morgengrauen“))

Alice entschlüsselt mit DecrA Bobs signierte Botschaft S DecrB (,,Angriff im Morgengrauen“)

Bobs verschlüsselte und signierte Botschaft

grundlegendes kryptographisches Protokoll mit öffentlichem Schlüssel

Alice verschlüsselt mit EncrB Bobs ursprüngliche Botschaft M ,,Angriff im Morgengrauen“

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Alice

ursprünglicher Kartenstapel

Bob

Karte 1 Karte 2 Karte 3 Karte 4 Karte 5 Karte 6

Alice mischt und verschlüselt mit EncrA

Karte 2 Karte 5 Karte 1 EA

EA

EA

Karte 6 Karte 3 Karte 4 EA

EA

EA

Bob wählt vier und verschlüsselt zwei davon mit EncrB

Karte 5 Karte 3 Karte 1 Karte 6 E

Alice entschlüsselt alle vier mit DecrA

EA

EA

A

EB

E

EB

A

Karte 1 Karte 6 EB

Alice’ Blatt

Karte 5 Karte 3

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Bob entschlüsselt die beiden mit DecrB

Karte 1 Karte 6

Bobs Blatt

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Prototyp 3

funktionsbereiter Prototyp

Prototyp 2 RisikoProtoanalyse BESPRECHUNG typ 1 Bedarfsplan, Simulationen, Modelle, Bewertungen Lebenszyklusplan Betriebskonzept Softwareanforderungen Produktdetaillierter entwurf Validierung der Entwurf EntwicklungForderungen Code plan

Plan der nächsten Interation

Integrationsund Testplan

Modultest Entwurf IntegrationsV&V test Akzeptanztest Entwicklung, Verifizierung Service des Nachfolgeprodukts

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Batterie entfernt

Batterie schwach

Hauptkomponente Licht

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c Sek.

c

Stunde

c c

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Tag

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d zeige Zeit

Licht an

a

b a

b freigegeben

b

zeige Wecker

a Stoppuhr (in aus)

d

c

Null

b Anzeige Betriebsmodus aus

regulär d (in d an) Runde

b

b

b

c

Piepmodus

Wecker einstellen stelle Stunde c

stelle Min. stelle 10 Min.

c

Weckzeit erreicht piept

an

b oder c

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30 Sekunden vergangen

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Systemmodell

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Chip

Speicher

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Allocate(2)

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Allocate(0)

ShowError(Cannot call yourself!)

PhoneDB.QResult=Caller

Allocate(0)

Receiver := PhoneDB.QResult Call(CallNum) ShowError(Calling ...)

Komm' in 5 Sekunden!() T := Zeit

Ich werde zu spät kommen!!!() Beeil' Dich!() Ich bin da.() Zeit > T + 5 Schlagt ihm den Kopf ab!()

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Codeerzeugung

Grundstruktur

Systemmodell Test & Verifikation

endgültiger Code

Struktur

Verhalten (Intraobjekt) Anforderungen (Interobjektverhalten)

Methoden & Synthese

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Systemstruktur

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C: Mensch oder Computer

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