Basiswissen Medizinische Statistik, 3. Auflage

Springer-Lehrbuch

Christel Weiß

Basiswissen Medizinische Statistik 3. überarbeitete Auflage Mit 35 Abbildungen und 9 Übersichten

Dr. Christel Weiß Abteilung für Medizinische Statistik Universitätsklinikum Mannheim 68135 Mannheim

ISBN 3-540-24072-1 Springer Medizin Verlag Heidelberg Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer Medizin Verlag. Ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer Medizin Verlag Heidelberg 1999, 2002, 2005 Printed in The Netherlands Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutzgesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Produkthaftung: Für Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen kann vom Verlag keine Gewähr übernommen werden. Derartige Angaben müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Planung: Martina Siedler Projektmanagement: Axel Treiber Umschlaggestaltung & Design: deblik Berlin SPIN 11365976 Satz: Reproduktionsfertige Autorenvorlage Druck: Krips, Meppel Gedruckt auf säurefreiem Papier 15/2117/AT – 5 4 3 2 1 0

V Vorwort

Vorwort zur dritten Auflage Es gibt keine gute Medizin ohne Biostatistik. Dieser Satz wird möglicherweise bei einigen Medizinstudenten auf Unverständnis stoßen. Warum sollte sich ein Mediziner mit Biostatistik befassen, und warum ist dieses Fach Teil der ärztlichen Ausbildung? – Ärztliches Handeln muss auf Wissen basieren. Ansonsten verfallen wir Zufällen und Halbwahrheiten, die auch dadurch nicht besser werden, dass sie mantrahaft wiederholt werden. Dies wäre unter ethischen, medizinischen und ökonomischen Aspekten nicht vertretbar. Medizinische Forschung ist ohne Statistik nicht möglich. Ist Biostatistik unattraktiv? Keineswegs! Es gibt sogar Mediziner, die dieses Fach faszinierend finden. Erst eine statistische Analyse ermöglicht es, Daten zu strukturieren, Zusammenhänge aufzudecken und Ergebnisse zu interpretieren und in der Praxis anzuwenden. Der schlechte Ruf, der diesem Fach vorauseilt, ist dadurch begründet, dass statistische Methoden auf mathematischen Formeln basieren, die für manche ein Gräuel sind. Als Anwender der Statistik muss man diese Formeln jedoch nicht herleiten können oder gar auswendig lernen (zumal die Rechnungen üblicherweise mit einer geeigneten Software durchgeführt werden). Man sollte vielmehr verstehen, wie statistische Methoden sinnvoll in der Medizin angewandt werden. Jedem, der diesem Fachgebiet unbefangen begegnet, erschließen sich äußerst interessante Anwendungsmöglichkeiten. Ziel dieses Buches ist es deshalb, Studenten und interessierten Ärzten einen kompetenten Überblick über statistische Anwendungen in der Medizin zu geben. Das Buch ist breit angelegt. Es ist deshalb nicht nur Studenten bei den Examensvorbereitungen nützlich, sondern auch als Nachschlagekompendium geeignet. Manche Abschnitte behandeln Themen, die über die Anforderungen des Basiswissens hinausgehen. Diese sind mit dem Symbol ƒƒƒ gekennzeichnet. Falls erforderlich, werden Hinweise auf weiterführende Literatur gegeben; diese sind in eckige Klammern gesetzt. – Die Methoden werden verständlich dargestellt und anhand von einfachen Beispielen erläutert. Die mathematischen Formeln werden nicht nur aufgelistet, sondern auch – soweit dies mit schulmathematischen Kenntnissen möglich ist – hergeleitet. Diese Abhandlungen sind jedoch nicht in den laufenden Text eingebettet. Der Leser kann bei

VI

Vorwort

Interesse die Formeln nachvollziehen; für das grundsätzliche Verständnis des Stoffes ist dies jedoch nicht erforderlich. Wie sieht die Zukunft der Biostatistik aus? Unser Wissen und unser Handeln werden sich – im Sinne der Evidenzbasierten Medizin – immer mehr auf das kollektive Gesamtwissen stützen. Deshalb wird dieses Fach für die klinische und die forschende Medizin immer wichtiger werden. Was ist neu an der dritten Auflage? Das Buch wurde vollständig überarbeitet, sodass der gesamte Stoff nunmehr in 15 übersichtliche Lernabschnitte gegliedert ist. Der Teil IV „Epidemiologie“ (in den ersten beiden Auflagen „Versuchsplanung“) wurde wesentlich erweitert. In diesem Zusammenhang danke ich ganz herzlich meinem Kollegen und Coautor, Herrn Prof. Dr. med. Berthold Rzany, Sc. M. (Division of Evidence Based Medicine, Klinik für Dermatologie, Charité Universitätsmedizin Berlin), der als Mediziner und Epidemiologe bereits Coautor der ersten beiden Auflagen war, und der auch dieses Mal insbesondere für den Teil IV wertvolle und konstruktive Hilfe leistete. Darüber hinaus haben viele Personen maßgeblich zum Gelingen dieses Buches beigetragen. In erster Linie möchte ich mich bei meinen Mitarbeitern Herrn Joachim Brade, Frau Sylvia Büttner und Frau Rosemarie ýerný bedanken. Herr Brade hat den gesamten Text der Kapitel 1 bis 12 durchgearbeitet, kritisch kommentiert und zahlreiche eigene Ideen einfließen lassen. Frau Büttner und Frau ýerný haben mich ebenfalls mit viel Engagement unterstützt; sie zeichnen sich verantwortlich für das Layout. Danken möchte ich auch Frau Martina Siedler und Herrn Axel Treiber vom Springer-Verlag in Heidelberg für die hervorragende Zusammenarbeit. Zahlreiche Leser haben mir Verbesserungsvorschläge und wertvolle Hinweise zukommen lassen; auch ihnen sei herzlich gedankt. Nicht zuletzt danke ich meinen Töchtern Judith und Miriam für ihre große Geduld und ihr Verständnis, dass ihre Mutti in den letzten Wochen und Monaten sehr in Anspruch genommen war. Weitere Informationen zu diesem Buch findet man im Internet unter www.ma.uni-heidelberg/inst/biom. Selbstverständlich freue ich mich über Anregungen und konstruktive Kritik an meine EMail-Adresse [email protected]. Christel Weiß

Mannheim, im Mai 2005

VII Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis Teil I:

Deskriptive Statistik

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Einleitung 1 Die Bedeutung der Statistik für die Medizin 3 Zur Geschichte der medizinischen Statistik 4 Der Status der medizinischen Statistik 11 Die Phasen einer medizinischen Studie 12 Anwendungen in Beruf und Studium 14

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Theoretische Grundlagen 17 Grundgesamtheit und Stichprobe 19 Die Aufgaben der deskriptiven Statistik 20 Merkmale 21 Besondere Problematiken 29 Listen und Tabellen 32

3 3.1 3.2 3.3 3.4

Häufigkeiten 37 Häufigkeiten bei diskreten Merkmalen 39 Häufigkeiten bei stetigen Merkmalen 42 Die empirische Verteilungsfunktion 46 2-dimensionale Häufigkeiten 49

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Die Beschreibung eines Merkmals 53 Die Methoden der univariaten Statistik 55 Lagemaße 55 Streuungsmaße 64 Formmaße 69 Bemerkungen zu den Stichproben 73

5 5.1 5.2 5.3 5.4

Die Beschreibung eines Zusammenhangs 77 Die Methoden der bivariaten Statistik 79 Die Korrelationsanalyse 80 Die Regressionsanalyse 89 Weitere Techniken zum Nachweis eines Zusammenhangs 94

VIII

Inhaltsverzeichnis

Teil II:

Wahrscheinlichkeitsrechung

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Wahrscheinlichkeiten in der Medizin 99 Die Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 101 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 102 Wahrscheinlichkeiten in der Epidemiologie 111 Bevölkerungsstatistiken 114 Diagnostische Tests 118

7 7.1 7.2 7.3

Diskrete Verteilungen 123 Diskrete Zufallsvariable 125 Die Binomialverteilung 129 Andere diskrete Verteilungen 135

8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Stetige Verteilungen 143 Stetige Zufallsvariable 145 Die Normalverteilung 148 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung 155 Verteilungen zur Beschreibung von Lebensdauern 162 Prüfverteilungen 166

Teil III:

Induktive Statistik

9 9.1 9.2 9.3 9.4

Schätzverfahren 171 Grundlagen 173 Punktschätzungen 173 Intervallschätzungen 177 Abschließende Bemerkungen 184

10 10.1 10.2 10.3

Das Prinzip eines statistischen Tests 187 Die Durchführung eines Tests 189 Die Interpretation des Ergebnisses 195 Klassifikation der Testmethoden 202

IX Inhaltsverzeichnis

11 11.1 11.2 11.3 11.4

Lagetests 205 t-Tests 207 Rangsummentests 215 Vorzeichentests 222 Komplexere Methoden 224

12 12.1 12.2 12.3 12.4

Tests zum Vergleich von Häufigkeiten 227 Der Binomialtest für eine Stichprobe 229 Chi2-Tests 231 Der exakte Test nach Fisher 241 Die logistische Regression 243

Teil IV: Epidemiologie (Coautor: Prof. Dr. Berthold Rzany, Sc. M., Master of Science in Clinical Epidemiology) 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

Grundlagen epidemiologischer Studienplanung 245 Aufgaben und Ziele der Epidemiologie 247 Der Inhalt epidemiologischer Studien 248 Klassifikation nach formalen Aspekten 249 Fehlermöglichkeiten 253 Die Studienplanung 256

14 14.1 14.2 14.3

Beobachtungsstudien in der Epidemiologie 259 Risikostudien 261 Diagnostische Studien 273 Prognosestudien 279

15 15.1 15.2 15.3

Randomisierte Studien 285 Therapiestudien 287 Präventionsstudien 295 Evidenzbasierte Medizin 299

X

Inhaltsverzeichnis

Anhang 305 Tabellen 307 Glossar Englisch-Deutsch 314 Weiterführende Literatur 316 Sach- und Personenregister 317 Übersicht 1: Übersicht 2: Übersicht 3: Übersicht 4: Übersicht 5: Übersicht 6: Übersicht 7: Übersicht 8: Übersicht 9:

Die Skalenniveaus 26 Univariate Datenbeschreibung – geeignete Maßzahlen und graphische Darstellungen 72 Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten 111 Kenngrößen diagnostischer Tests 122 Analoge Begriffe aus der deskriptiven Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung 127 Diskrete Verteilungen 141 Stetige Verteilungen 167 In diesem Buch behandelte statistische Tests 204 Der Inhalt epidemiologischer Studien 248

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Einleitung 1.1

Die Bedeutung der Statistik für die Medizin 3

1.2

Zur Geschichte der medizinischen Statistik 4

1.2.1 Die historische Entwicklung der Statistik 5 1.2.2 Die Methodik in der medizinischen Wissenschaft 6 1.2.3 Anwendungen der Statistik in der Medizin 8

1.3

Der Status der medizinischen Statistik 11

1.4

Die Phasen einer medizinischen Studie 12

1.5

Anwendungen in Beruf und Studium 14

3 1.1 Die Bedeutung der Statistik für die Medizin

1.1

Die Bedeutung der Statistik für die Medizin

Jeder medizinische Wissenschaftler und jeder praktisch tätige Arzt weiß aus Erfahrung, dass alle Erkenntnisse und Entscheidungen in der Medizin mit einer gewissen Unsicherheit verbunden sind. In diesem Punkt unterscheiden sich die Biowissenschaften grundlegend von den exakten Naturwissenschaften: Während die Zusammenhänge in der Mathematik oder der theoretischen Physik determiniert und damit berechenbar sind (etwa aufgrund einer mathematischen Gleichung oder eines physikalischen Gesetzes), unterliegen die Zustände und Vorgänge bei biologischen Systemen nicht nur naturwissenschaftlichen Gesetzen, sondern auch dem Zufall. Aus diesem Grund lassen sich die Eigenschaften eines Individuums oder medizinisch-biologische Abläufe allenfalls abschätzen, aber niemals exakt berechnen oder vorhersagen. Im Allgemeinen sind zwar zahlreiche Faktoren bekannt, die ein bestimmtes Merkmal beeinflussen. So ist etwa das Körpergewicht eines Menschen abhängig von dessen Alter und Geschlecht; außerdem sind genetische Einflüsse, die Körpergröße, pathologische und psychische Besonderheiten sowie eine Reihe weiterer Einflussgrößen maßgebend. Es wird jedoch niemals möglich sein, alle das Körpergewicht bestimmenden Faktoren zu benennen und deren Einfluss im Einzelnen zu quantifizieren. Dazu sind die Vorgänge und Zusammenhänge im menschlichen Organismus viel zu komplex und von unserem Verstand nicht mehr nachvollziehbar. Man geht deshalb davon aus, dass das Körpergewicht – wie alle anderen physiologischen Parameter – letztlich auch dem Zufall unterliegt. Ebenso kennt man bei fast allen Krankheiten diverse Faktoren, die deren Entstehen möglicherweise verursachen oder deren Auftreten begünstigen. So weiß man beispielsweise, dass bei Menschen, die unter permanenter Anspannung leben, stark rauchen sowie unter erhöhtem Blutdruck und starkem Übergewicht leiden, die Gefahr eines Herzinfarkts besonders hoch ist, und jeder verantwortungsbewusste Arzt wird einen Risikopatienten darauf hinweisen. Dessen ungeachtet gibt es Personen, die mit all diesen Risikofaktoren steinalt werden, ohne jemals einen Herzinfarkt zu erleiden – wie zum Beispiel Winston Churchhill, der an seinem 90. Geburtstag auf die Frage, wie er so alt geworden sei, geantwortet haben soll: „Smoking, drinking and – first of all – no sports“. Andererseits bietet eine vermeintlich gesunde Lebensweise, die alle bekannten Risikofaktoren ausschließt, keinen zuverlässigen Schutz vor dieser Krankheit.

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Kapitel 1 · Einleitung

Schließlich ist auch hier der Zufall mitentscheidend. Aus diesem Grund kann bei keinem Menschen präzise vorhergesagt werden, ob eine bestimmte Krankheit im Laufe seines Lebens eintreten wird oder nicht. In Einzelfällen kann der Zufall zu extremen Werten oder zu unerwarteten Ereignissen führen. Deshalb erlebt jeder Mediziner hin und wieder Überraschungen – angenehmer oder unangenehmer Art. Dies gilt für den Wissenschaftler, dessen Forschungsergebnisse stets eine gewisse Irrtumswahrscheinlichkeit beinhalten, ebenso wie für den behandelnden Arzt, der den Verlauf einer Krankheit nicht vorhersehen kann und niemals mit absoluter Sicherheit weiß, ob eine therapeutische Maßnahme den gewünschten Erfolg erzielen wird. Die Statistik als die Wissenschaft des Zufalls stellt nun Methoden zur Verfügung, die es ermöglichen, trotz der Unberechenbarkeit der Einzelfälle allgemein gültige Aussagen herzuleiten. Diese bilden die Basis für jede neue wissenschaftliche Erkenntnis und jedes daraus abgeleitete ärztliche Handeln. Wann immer ein Arzt eine Entscheidung zu treffen hat, wird er sich an seiner eigenen Erfahrung sowie an diesen allgemeinen Grundsätzen orientieren. Dieses Vorgehen garantiert zwar nicht, dass eine Entscheidung in jedem Fall sinnvoll ist und zum erhofften Ergebnis führt. Sie ist aber nachvollziehbar, und das Risiko einer Fehlentscheidung ist minimiert. Der Zufall wird bei dieser Vorgehensweise nicht eliminiert, aber doch wenigstens quantifiziert. Neues Wissen in der Medizin kann nur unter Anwendung statistischer Methoden gewonnen werden. Auch wenn persönliche Erfahrungen eine wichtige Säule des ärztlichen Entscheidungsprozesses darstellen, sind die Kenntnis biometrischer Methoden und die Fähigkeit, deren Resultate sinnvoll zu interpretieren, unabdingbar. Insofern ist die Statistik für die Medizin unentbehrlich, sowohl um Forschung zu betreiben als auch, um deren Ergebnisse praktisch anzuwenden.

1.2

Zur Geschichte der medizinischen Statistik

Die Medizin ist eine Jahrtausende alte Wissenschaft. Dennoch ist es erst in den vergangenen Jahrzehnten üblich geworden, neue Erkenntnisse in der medizinischen Forschung mit statistischen Methoden abzusichern. Um diesen erstaunlich langen Prozess nachvollziehen zu können, ist es notwendig, sich mit der historischen Ent-

5 1.2 Zur Geschichte der medizinischen Statistik

wicklung der Statistik zu befassen und außerdem einige Aspekte der Medizingeschichte zu beleuchten. 1.2.1

Die historische Entwicklung der Statistikƒƒƒ

x Anfänge. Das primäre Anwendungsgebiet der Statistik bestand ur„ sprünglich in der Staatsbeschreibung. Bereits im 4. Buch Mose wird eine Volkszählung erwähnt; ferner sind aus dem Altertum Volkszählungen aus Ägypten und Griechenland bekannt. Dabei ging es vorwiegend um die Beschreibung geographischer, politischer und wirtschaftlicher Besonderheiten, wie sie heute noch im Statistischen Jahrbuch der Bundesrepublik Deutschland veröffentlicht werden. Sehr lange Zeit – bis ins 18. Jahrhundert hinein – wurde Statistik fast ausschließlich für staatliche Zwecke benutzt. Dies erklärt dieselbe etymologische Wurzel der Wörter „Statistik“ und „Staat“ (vom lateinischen Wort „status“ = Zustand, Beschaffenheit). x 16. - 19. Jahrhundert. In England begann man zu Beginn des 16. „ Jahrhunderts auf Veranlassung des Lordkanzlers Thomas Cromwell, alle Geburts- und Todesfälle systematisch in Kirchenbüchern aufzuzeichnen. Dies veranlasste John Graunt (1620-1674) dazu, basierend auf Londoner Geburts- und Sterberegistern Gesetzmäßigkeiten bezüglich der Bevölkerungsbewegung herzuleiten. Graunt gilt als der Begründer der Demographie; sein Werk bildete später die Grundlage für die Berechnung von Lebensversicherungen. Kurz danach widerlegte der Arzt und Schriftsteller John Arbuthnot (1667-1735) die These, dass Mädchen- und Knabengeburten gleich häufig seien, indem er Daten aus Kirchenbüchern auswertete. – Auch in Deutschland wurden seit Ende des 17. Jahrhunderts Kirchenbücher geführt. Das bahnbrechende Werk der deutschen Bevölkerungsstatistik mit dem Titel „Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des menschlichen Geschlechts“ wurde von dem preußischen Feldprediger Johann Peter Süßmilch (1707-1767) erstellt. Die Gesetzmäßigkeiten, die er bei der Bevölkerungsentwicklung entdeckte, führte er auf das Wirken Gottes zurück. Diese Art von Statistik, die dazu diente, die Besonderheiten eines Staates und seiner Bevölkerung quantitativ zu beschreiben, bezeichnete man als politische Arithmetik. Daraus entwickelte sich die beschreibende oder deskriptive Statistik, deren Aufgabe darin besteht, Zustände und Vorgänge übersichtlich darzustellen. Bis heute werden Methoden der deskriptiven Statistik in vielen Bereichen der Wirtschaft, der Verwaltung, des Versicherungswesens und bei der Volkszählung angewandt, wo statistische Erhebungen als Grundlage für Planungen dienen.

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Kapitel 1 · Einleitung

Daneben gab es eine Gruppe von Anwendern der Statistik mit gänzlich anderen Interessen: Ihnen ging es darum, die Gewinnchancen bei Glücksspielen zu berechnen. Dadurch wurden Mathematiker wie Galileo Galilei (1564-1642), Blaise Pascal (1623-1662), Christiaan Huygens (1629-1695) und Pierre Simon Marquis de Laplace (17491827) zur Berechnung von bestimmten Wahrscheinlichkeiten und zu theoretischen Abhandlungen angeregt. Sie haben damit die Wahrscheinlichkeitsrechnung wesentlich bereichert. In diesem Zusammenhang ist auch der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777-1855) zu nennen, der u. a. die Normalverteilung und deren Bedeutung für die angewandte Statistik beschrieben hat. x Moderne Statistik. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die „ Grundlage der induktiven Statistik, die es ermöglicht, aufgrund einer relativ kleinen Stichprobe Aussagen bezüglich einer weitaus größeren Grundgesamtheit herzuleiten. Diese Methoden wurden erst im 20. Jahrhundert entwickelt. Besonders hervorzuheben sind dabei William Sealy Gosset (1876-1937), der die t-Verteilung herleitete, Karl Pearson (1857-1936), der die Korrelations- und Regressionsanalyse vorantrieb, und Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962), auf den die Varianzanalyse zurückgeht. Diese und andere Verfahren haben entscheidend dazu beigetragen, dass die Statistik mittlerweile auch in den Bio- und Sozialwissenschaften breite Anwendung findet. 1.2.2

Die Methodik in der medizinischen Wissenschaftƒƒƒ

Die Medizin als eine Wissenschaft, deren Zweck darin besteht, kranken Menschen zu helfen, ist so alt wie die Menschheit selbst. Als eine moderne Wissenschaft im heutigen Sinne kann sie jedoch erst seit dem 19. Jahrhundert aufgefasst werden. x Antike. Über sehr lange Zeit – von der Antike bis ins 19. Jahrhun„ dert hinein – konnten Beobachtungen am kranken Menschen fast ausschließlich durch unmittelbare Sinneseindrücke des behandelnden Arztes erfasst werden. Diese Beobachtungen waren natürlich subjektiv und die daraus gezogenen Schlussfolgerungen häufig spekulativ. Generell gab es zwei unterschiedliche Ansätze bezüglich therapeutischer Verfahren: den theoretischen und den empirischen. Der Theoretiker suchte nach den Krankheitsursachen und leitete dann durch logisch-konsequente Schlussfolgerungen eine seiner Meinung nach nützliche Therapie her. Diese dogmatische Methode basierte auf unverrückbaren, nie zuvor überprüften Grundannahmen, die nie in Frage gestellt wurden. – Der Empiriker gründete seine Entscheidungen auf persönliche Erfahrungen und überprüfte

7 1.2 Zur Geschichte der medizinischen Statistik

sie in jedem Einzelfall. Allerdings waren die dadurch gewonnenen Erkenntnisse ungeregelt, da sie lediglich auf einzelnen, zufälligen Beobachtungen beruhten. – Die Autoritäten der beiden griechischen Ärzte Hippokrates von Kos (ca. 450-370 v. Chr.) und Galen aus Pergamon (130-201) führten dazu, dass die dogmatische Methode bis ins 16. Jahrhundert allgemein anerkannt war. Wegen der Autoritätsgläubigkeit jener Zeit wagte es niemand, sich kritisch mit ihr auseinander zu setzen. Eine moderne Wissenschaft im heutigen Sinne konnte auf diese Weise nicht entstehen. x Renaissance. Der Ursprung für die Wissenschaftlichkeit der „ Medizin lag in der Renaissance. Ein herausragender Wissenschaftler jener Epoche war Galileo Galilei, der weniger durch seine Einzelleistungen auf den Gebieten der Mathematik, Physik und Astronomie Bedeutung erlangte als vielmehr dadurch, dass er die moderne Naturwissenschaft auf objektiven Beobachtungen und nachvollziehbaren Experimenten aufbaute. Naturvorgänge wurden fortan nicht mehr theologisch oder philosophisch erklärt, sondern aus Naturgesetzen hergeleitet. Diese neue Methode begründete eine rasante Entwicklung der Physik und der Chemie, was später auch die Medizin beeinflussen sollte. Nach der Einführung naturwissenschaftlicher Methoden in die Medizin wurden subjektive Sinneseindrücke durch objektive Messwerte ersetzt, die sich mathematisch analysieren lassen. Erkenntnisse, die man auf diese Weise erhält, sind nachvollziehbar und bilden wiederum die Grundlage für weitere Forschungen. Die Fortschritte in den Naturwissenschaften haben sich in vielfacher Hinsicht segensreich auf die Medizin ausgewirkt. Sie führten zu einem umfangreicheren Wissen bezüglich der Vorgänge im menschlichen Körper und damit zu einem besseren Verständnis der Körperfunktionen beim gesunden und beim kranken Menschen. Basierend auf naturwissenschaftlichen Erkenntnissen wurden technische Apparate entwickelt, die eine exakte Messung von physiologischen Parametern erlaubten und im Laufe der Zeit ungeahnte Möglichkeiten in Diagnostik und Therapie eröffneten. x Aufklärung. Man erkannte allmählich, dass sich alle medizini„ schen Phänomene theoretisch auf naturwissenschaftliche Gesetze zurückführen lassen. Im 17. Jahrhundert dachten deshalb einige Ärzte euphorisch, dass man bald in der Lage sein werde, die Ursachen aller Krankheiten zu ergründen und wirksame Therapien zu entwickeln. Es setzte sich dann jedoch – beginnend im 18. Jahrhundert zur Zeit der Aufklärung – die Erkenntnis durch, dass physikalisches und chemisches Grundwissen dafür bei weitem nicht aus-

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Kapitel 1 · Einleitung

reicht. So besann man sich auf eine Methode zur Erkenntnisgewinnung, die bereits ein Jahrhundert zuvor von dem englischen Philosophen Francis Bacon (1561-1626) propagiert worden war. Sie beinhaltete die Beobachtung zahlreicher Einzelfälle, die lückenlose Aufzeichnung der erhobenen Daten und deren rechnerische Auswertung. Dieser Ansatz vermittelte objektive Erkenntnisse, die jedoch vom Zufall beeinflusst waren. Er bedeutete einen Wechsel von einem ehemals theoretisch-dogmatischen hin zu einem empirischen Ansatz. So begann allmählich die Statistik, Einzug in die Medizin zu halten. Statistische Methoden ermöglichen es, Erfahrungen abzusichern – auch dann, wenn diese (noch) nicht auf molekularer oder zellulärer Ebene erklärt werden können. x 20. Jahrhundert. Es sollte allerdings noch bis weit ins 20. Jahr„ hundert dauern, ehe statistische Methoden in den Biowissenschaften akzeptiert wurden. Dies lag nicht zuletzt daran, dass allgemein anerkannte Richtlinien bezüglich der medizinischen Forschung am Menschen fehlten. Diese wurden erst im Jahre 1964 auf der 18. Generalversammlung des Weltärztebundes in Helsinki erarbeitet. Heute herrscht weitgehend Konsens darüber, dass – außer der Anwendung naturwissenschaftlicher Erkenntnisse – die Beobachtung von Individuen und die damit verbundene Datenanalyse für die medizinische Forschung unverzichtbar sind. 1.2.3

Anwendungen der Statistik in der Medizinƒƒƒ

x Wurzeln in England. Der Forderung Bacons, zahlreiche Einzel„ fälle zu beobachten und auszuwerten, stand zunächst entgegen, dass sich die Medizin bis zum 18. Jahrhundert traditionellerweise nur mit einzelnen Patienten befasste. Bacons neuer Erfahrungsbegriff war grundlegend dafür, dass fortan klinische Studien durchgeführt und die daraus erhobenen Daten analysiert wurden. Er kam zunächst in England, wenn auch zögerlich, zur Anwendung. Aufgrund dieser Entwicklungen ist es nicht erstaunlich, dass die ersten medizinischen Publikationen mit statistischen Analysen in England erschienen. Edward Jenner (1749-1823) verifizierte statistisch die prophylaktische Wirkung der Kuhpockenimpfung. Der Rechtsanwalt Edwin Chadwick (1800-1890) beschrieb die Gesundheit der arbeitenden Klassen in England und gab damit der Hygienebewegung wichtige Impulse. Seine Daten gründeten sich auf statistische Analysen von William Farr (1807-1883), der Berichte über Todesursachen in England publiziert hatte. John Snow (1813-1858) entdeckte, dass das CholeraRisiko in London mit der Aufnahme von Trinkwasser in Zusammen-

9 1.2 Zur Geschichte der medizinischen Statistik

hang stand. Seine Forschungsarbeiten zählen zu den ersten und spektakulärsten Leistungen auf dem Gebiet der Epidemiologie. – Freilich waren die damals verwendeten statistischen Verfahren nicht zu vergleichen mit den heute gebräuchlichen. Es handelte sich um einfache arithmetische Operationen. Dennoch war diese Vorgehensweise geeignet, die theoretisch-dogmatische Medizin grundlegend zu reformieren und in ihrer Methodik den Naturwissenschaften anzupassen. Pionierarbeit auf diesem Gebiet leistete der bereits erwähnte Sir Ronald Aylmer Fisher, der sich u. a. intensiv mit den Themen „Versuchsplanung und -auswertung“ befasste. x Auswirkungen auf Europa. Im 18. Jahrhundert entstanden in „ einigen europäischen Städten wie z. B. in Paris oder Wien Krankenhäuser, die die Beobachtung größerer Kollektive ermöglichten. Als der Begründer der klinischen Statistik gilt Pierre Charles Alexandre Louis (1787-1872), der eine naturwissenschaftlich orientierte Medizin vertrat. Er überprüfte die Wirkung des Aderlasses und wies – nachdem diese Methode Jahrhunderte lang angewandt worden war – mittels statistischer Analysen nach, dass dieses Mittel nutzlos oder gar schädlich war. Ignaz Philipp Semmelweis (1818-1865) war der erste bekannte Mediziner im deutschsprachigen Raum, der den Nutzen einer neuen Therapie mit statistischen Methoden belegte. Semmelweis war seit 1846 Assistent in der Geburtsklinik des Wiener Allgemeinen Krankenhauses, die aus zwei Abteilungen bestand. Die Mortalitätsraten der Wöchnerinnen differierten sehr stark: Zwischen 1841 und 1846 starben in der einen Abteilung durchschnittlich 9,9%, in der anderen dagegen nur 3,4% der Frauen. In der Abteilung mit der geringeren Mortalitätsrate arbeiteten nur Hebammen. In der anderen Abteilung waren Ärzte und Studenten, die auch Leichen sezierten, als Geburtshelfer tätig. Die Mortalitätsrate in der Abteilung der Ärzte war großen Schwankungen unterworfen. Semmelweis beobachtete, dass sie immer dann besonders hoch war, wenn viele pathologische Studien durchgeführt wurden. In Zeiten allerdings, in denen keine Leichen seziert wurden, waren die Mortalitätsraten in beiden Abteilungen etwa gleich. Dieser Zusammenhang war für Semmelweis zunächst nicht erklärbar. Das ausschlaggebende Moment für seine Entdeckung war der Tod seines Freundes und Kollegen Jakob Kolletschka, der sich beim Sezieren versehentlich mit dem Messer verletzt hatte. Semmelweis erkannte beim Studium des Sektionsprotokolls die Parallelität der beiden Krankheitsbilder des Kindbettfiebers und des Wundfiebers. Er vermutete, dass die Ursachen in beiden Fällen dieselben waren: Die Ärzte und Studenten aus der pathologischen Abteilung übertrugen den gebären-

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Kapitel 1 · Einleitung

den Frauen „Leichenteilchen“, die das Kindbettfieber verursachten. Dies war in der damaligen Zeit, als bakteriologische Erreger noch unbekannt waren, eine sehr gewagte Hypothese. Semmelweis setzte gegen den Widerstand seiner Kollegen hygienische Maßnahmen durch; die Sterblichkeit sank daraufhin drastisch auf unter 2% in beiden Abteilungen. Im Jahr 1861 veröffentlichte er seine Entdeckung in einer ausführlichen Arbeit, die auch eine statistische Analyse beinhaltete. Obwohl Semmelweis seine Hypothese eindrucksvoll bestätigen konnte, wurden seine aus heutiger Sicht bahnbrechenden Erkenntnisse zu seinen Lebzeiten nicht anerkannt. Etwas später, im Jahr 1865, stellte der Augustinermönch Gregor Johann Mendel (18221884) seine Vererbungsgesetze vor, die er nach einer langen und mühsamen Forschungsarbeit ebenfalls mit statistischen Methoden verifiziert hatte. Auch diese Erkenntnisse fanden zunächst keine große Beachtung. x Entwicklung in Deutschland. Die in England durchgeführten Stu„ dien nahmen deutsche Ärzte kaum zur Kenntnis. Es gab Kommunikationsprobleme, die nicht nur sprachlicher Art waren. Dies lag u. a. am damals herrschenden Zeitgeist. Deutschland stand unter dem Einfluss der romantischen Naturphilosophie, bei der das Individuum im Vordergrund stand. Eine bevölkerungsbezogene und naturwissenschaftlich orientierte Medizin sowie die Anwendung statistischer Methoden konnten sich bei dieser Grundeinstellung kaum durchsetzen. Außerdem war man bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts gewohnt, dass Wissenschaftler den deterministischen Verlauf eines Geschehens angeben konnten. Man forderte Gewissheit und nicht Unsicherheit. Semmelweis konnte jedoch im Einzelfall nicht vorhersagen, ob eine Frau die Geburt überleben würde; er konnte nur gewisse Wahrscheinlichkeiten dafür angeben. Diese fundamentale Eigenschaft der Statistik – sie erlaubt keine gesicherten Aussagen bezüglich eines Einzelfalls, sondern nur für eine große Menge von Personen oder Objekten – wird auch heute noch von vielen Anwendern emotional als Nachteil anstatt als nüchterne Tatsache angesehen. Im Übrigen lässt sich das Phänomen, wonach neue Methoden zunächst sehr skeptisch beurteilt werden, bis in die heutige Zeit hinein beobachten. x 20. Jahrhundert. Aus all diesen Gründen hat sich die Anwendung „ der Statistik in der Medizin lange verzögert. Ein weiterer Grund für die mangelnde Akzeptanz lag in der Statistik selbst. Erst im 20. Jahrhundert wurden Methoden entwickelt, mit denen sich anhand einer relativ kleinen Stichprobe allgemeingültige Zusammenhänge nach-

11 1.3 Der Status der medizinischen Statistik

weisen lassen. Diese Methoden haben der medizinischen Wissenschaft enorme Impulse verliehen. Dem Internisten Paul Martini (1889-1964) sowie den Biostatistikern Arthur Linder (1904-1993) und Erna Weber (1897-1988), deren Bücher lang Zeit als Standardwerke galten, ist es zu verdanken, dass die von England ausgehenden Ideen auch im deutschen Sprachgebiet bekannt und praktisch umgesetzt wurden. Nicht zuletzt hat das Aufkommen leistungsfähiger Computer und benutzerfreundlicher Software seit Beginn der 1980er Jahre zu einer enormen Vereinfachung und Beschleunigung statistischer Berechnungen geführt. Auch diese neuere Entwicklung hat entscheidend zur Akzeptanz der Statistik in der Medizin beigetragen.

1.3

Der Status der medizinischen Statistik

x Medizinische Statistik oder Biostatistik. Sie hat sich mittlerweile „ als ein eigenständiges, interdisziplinäres Fachgebiet etabliert, das statistische Probleme behandelt, die sich aus medizinischen Fragestellungen ergeben. Im weiteren Sinne zählen dazu die Planung und Durchführung von medizinisch-wissenschaftlichen Studien sowie die Datenanalyse mit statistischen Methoden. Sie ist einerseits Teilgebiet der Biomathematik, andererseits gehört sie zur Stochastik. – In engem Zusammenhang dazu steht die Biometrie. Dieser Wissenschaftszweig befasst sich mit der mathematischen Modellierung von zufallsabhängigen Phänomenen in der Medizin. x Biomathematik. Dieses Fach behandelt die Theorie und Anwen„ dung mathematischer Methoden im Bereich der Biowissenschaften. Sie beinhaltet außer der Statistik noch weitere mathematische Disziplinen. x Stochastik. Dieser Begriff umfasst den gesamten Wissenschaftsbe„ reich, der sich mit der mathematischen Behandlung von Zufallserscheinungen befasst. Teilgebiete der Stochastik sind:

ŷ die Statistik, ŷ die Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie ŷ fachspezifische Anwendungsgebiete. x Statistik. Im allgemeinen Sinne versteht man darunter eine Me„ thode, mit der Daten analysiert werden, um so zu neuen Erkenntnissen zu gelangen. Man unterscheidet generell zwischen deskriptiver und induktiver Statistik. Während in der deskriptiven Statistik

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Kapitel 1 · Einleitung

die Daten strukturiert, zusammengefasst und übersichtlich dargestellt werden, ermöglicht die induktive Statistik den Schluss über den Beobachtungsbereich hinaus auf die darüber liegende Grundgesamtheit. Mit den Methoden der induktiven Statistik lassen sich Hypothesen, die vor Studienbeginn aufgestellt wurden, überprüfen und statistisch absichern. – In den letzten zwanzig Jahren hat sich eine weitere Form der Datenanalyse herauskristallisiert – nämlich die explorative Statistik. Deren Ziel besteht darin, bei einer großen Datenmenge mit Hilfe von graphischen Darstellungen und anderen Methoden Auffälligkeiten und Hinweise auf mögliche Zusammenhänge zu entdecken. x Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie befasst sich mit den mathema„ tisch-theoretischen Gesetzmäßigkeiten, auf denen letztlich die Verfahren der induktiven Statistik basieren. Zu den fachspezifischen Anwendungsgebieten zählen u. a. die medizinische Statistik, die Qualitätssicherung und die Entscheidungstheorie in der Unternehmensforschung.

1.4

Die Phasen einer medizinischen Studie

Die Medizin ist eine empirische Wissenschaft, deren Erkenntnisse auf Erfahrungstatsachen basieren. Ein Forschungsprozess beginnt in der Regel damit, dass ein Wissenschaftler, nachdem er hinreichend viele Erfahrungen gesammelt hat, nach längerem Nachdenken oder aufgrund einer genialen Idee einen Zusammenhang entdeckt, der bis dahin noch unbekannt gewesen ist. Diese neue Erkenntnis ist allerdings zunächst nicht mehr als eine vage Vermutung. Um sie zu verifizieren, muss eine wissenschaftliche Studie durchgeführt werden. x Beginn einer Studie. Zunächst sollte sich der Forscher in der so „ genannten Erkundungsphase anhand von relevanter Literatur über den aktuellen Wissensstand kundig machen und eventuell mit kompetenten Fachleuten darüber diskutieren, ob die geplante Studie sinnvoll und notwendig ist. Danach wird er in der theoretischen Phase seine Vermutung als Hypothese formulieren und versuchen, diese in eine logisch konsistente Theorie einzubetten. Damit ist die Hypothese theoretisch abgesichert und herleitbar. Diese Art wissenschaftlicher Methodik – das Herleiten einer neuen Hypothese aus einer bekannten Theorie – nennt man deduktiv.

13 1.4 Die Phasen einer medizinischen Studie

Erkundungsphase - Literaturstudium, Diskussion mit Fachleuten etc. _ Theoretische Phase - Formulierung einer Hypothese, Einbetten in Theorie _ Analytisch-statistische Phase - Planung, Datenerhebung und Auswertung _ Interpretation der Ergebnisse - Entscheidung für oder gegen die Hypothese Abb. 1.1 Die Phasen einer medizinischen Studie

x Statistische Analyse. Streng deduktiv arbeitet man fast nur in der „ reinen Mathematik. Neue mathematische Sätze werden aus bekannten Theorien hergeleitet; weitergehende Studien oder Experimente sind dazu nicht notwendig. Da jedoch eine Theorie in der Medizin niemals vollständig sein kann und deshalb die Realität nicht in allen Details genau beschreibt, muss die zu verifizierende Hypothese empirisch bestätigt werden. Dazu ist die analytisch-statistische Phase erforderlich. Diese beinhaltet eine detaillierte Planung sowie die Datenerhebung und Datenauswertung mit statistischen Methoden. Bei retrospektiven Studien sind die Daten in der Regel bereits dokumentiert und müssen nur noch in passender Weise aufbereitet werden; bei prospektiven Beobachtungsstudien oder experimentellen Studien sind die Daten zunächst zu erheben, ehe sie statistisch analysiert werden können. x Interpretation der Ergebnisse. Wenn die Ergebnisse der statisti„ schen Analyse die Theorie bestätigen, wird man sich für die Richtigkeit der daraus hergeleiteten Hypothese entscheiden. Diese ist damit zwar nicht bewiesen im mathematischen Sinne, aber doch wesentlich besser abgesichert als vor der statistischen Analyse. Eine falsche Entscheidung ist hierbei nicht ausgeschlossen – dieses Risiko ist jedoch kalkulierbar. Falls das Ergebnis der Datenanalyse mit der Theorie nicht in Einklang zu bringen ist, muss überprüft werden, ob die Theorie falsch ist, oder ob in der analytisch-statistischen Phase ein Fehler begangen worden ist. Eventuell kann eine Wiederholung der Studie in modifizierter Form in Erwägung gezogen werden.

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1

Kapitel 1 · Einleitung

Die Methode, wonach vom Besonderen (nämlich der Stichprobe) auf das Allgemeine (die Grundgesamtheit) geschlossen wird, nennt man induktiv. Dieses Verfahren wurde aus den Naturwissenschaften übernommen. Auch bei naturwissenschaftlichen Experimenten werden – ähnlich wie bei medizinischen Studien – Daten erhoben und ausgewertet, um funktionale Zusammenhänge zu erkennen und diese dann zu allgemeingültigen Naturgesetzen zu erklären. Allerdings unterscheiden sich naturwissenschaftliche Experimente in einem wichtigen Punkt von medizinischen Untersuchungen. In den Naturwissenschaften arbeitet man unter kontrollierten Bedingungen im Labor; der Zufall spielt dabei keine oder allenfalls eine untergeordnete Rolle. Dagegen hat man es in der Medizin mit Individuen zu tun, bei denen die Einflussgrößen wegen ihrer Vielzahl und Komplexität kaum kontrollierbar sind. Aus diesem Grund müssen sich alle Wissenschaftler, die menschliche Eigenschaften untersuchen – seien es Mediziner, Psychologen, Soziologen oder Politologen –, mit dem Zufall und mit Statistik auseinander setzen.

1.5

Anwendungen in Beruf und Studium

Die meisten medizinischen Publikationen (Artikel in Fachzeitschriften, Dissertationen etc.) beinhalten statistische Analysen. Ausnahmen bilden allenfalls Publikationen in Fächern wie Geschichte oder Ethik der Medizin sowie Einzelfalldarstellungen, bei denen nur ein einziger oder einige wenige, besonders interessante Fälle untersucht und beschrieben werden. Diese liefern möglicherweise Hinweise auf andere, ähnlich gelagerte Fälle. Sie lassen jedoch im Gegensatz zu einer Stichprobenuntersuchung keine Verallgemeinerungen zu. Alle Mediziner, die forschen und publizieren, benötigen statistische Methoden, um Untersuchungen durchzuführen, deren Ergebnisse darzustellen und zu verallgemeinern. Die Statistik ist dabei eine unentbehrliche Hilfswissenschaft – ähnlich wie die Mathematik in der Physik. Auch ein praktisch tätiger Arzt betreibt Statistik – wenn auch nicht in formalisierter Form, sondern eher auf intuitive Art und Weise. Wenn er etwa einen Laborwert danach bewertet, ob er innerhalb oder außerhalb des Normbereichs liegt, wenn er aufgrund eines diagnostischen Tests zu beurteilen versucht, ob eine bestimmte Krankheit vorliegt oder nicht, wenn er aufgrund vorhandener Sym-

15 1.5 Anwendungen in Beruf und Studium

ptome eine Diagnose stellt, wenn er den zu erwartenden Nutzen und die Risiken einer Therapie gegeneinander abwägt und sich dann für oder gegen eine bestimmte Maßnahme entscheidet – dann liegen all diesen Entscheidungen, oft unbewusst, statistische Analysen zugrunde. Theoretische Kenntnisse auf diesem Gebiet lassen erkennen, dass man bei spontanen, intuitiven Entscheidungen oft einem großen Irrtum unterliegt. Sie tragen deshalb wesentlich dazu bei, vorsichtig zu entscheiden und verantwortungsbewusst zu handeln. Im Übrigen ist jeder Arzt – unabhängig von seinem Arbeitsgebiet – angehalten, sich permanent weiterzubilden, da sich das medizinische Wissen rasant vermehrt und ständig neue Verfahren in Diagnostik und Therapie entwickelt werden. Dabei benötigt er statistische Kenntnisse, um gute von schlechten Studien zu unterscheiden und um die Relevanz der dargestellten Ergebnisse für seine Patienten oder sein Labor beurteilen zu können. Zunehmend wird die Qualitätssicherung in der Medizin ein wichtiges Thema – auch hierzu sind statistische Methoden unabdingbar. Insofern ist die Beschäftigung mit der Biostatistik als Vorbereitung für den künftigen Beruf nützlich und sinnvoll. Im Allgemeinen ist ein Student spätestens beim Erstellen seiner Dissertation gezwungen, sich mit Statistik auseinander zu setzen. Zum einen ist dies notwendig, um relevante Fachartikel und Vorträge zu verstehen und zu bewerten; zum anderen liegt fast jeder Dissertation eine statistische Datenanalyse zugrunde. Es ist für einen Doktoranden der Medizin durchaus empfehlenswert, sich dabei von einem Statistiker beraten zu lassen. Dies ist aber nur dann hilfreich, wenn er selbst zumindest über elementare, statistische Kenntnisse verfügt – so wie dieses Buch sie zu vermitteln sucht.

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2

Theoretische Grundlagen 2.1

Grundgesamtheit und Stichprobe 19

2.2

Die Aufgaben der deskriptiven Statistik 20

2.3

Merkmale 21

2.3.1 Grundbegriffe 21 2.3.2 Ziel- und Einflussgrößen 22 2.3.3 Klassifikation nach Skalenniveaus 23 2.3.4 Diskrete und stetige Merkmale 25 2.3.5 Skalentransformationen 26 2.3.6 Merkmalsausprägungen 28

2.4

Besondere Problematiken 29

2.5

Listen und Tabellen 32

19 2.1 Grundgesamtheit und Stichprobe

2.1

Grundgesamtheit und Stichprobe

Die Hypothesen, die in den Bio- und Sozialwissenschaften aufgestellt werden sind, beziehen sich meist auf eine sehr große Anzahl von Individuen oder Objekten. Es wäre aus organisatorischen und zeitlichen Gründen viel zu aufwendig oder sogar vollkommen unmöglich, die gesamte Population zu untersuchen, auf die eine Hypothese zutreffen könnte. Dies ist im Allgemeinen auch gar nicht notwendig. Die moderne Statistik stellt nämlich Methoden zur Verfügung, die es ermöglichen, basierend auf einer relativ kleinen Stichprobe allgemein gültige Aussagen bezüglich einer weitaus größeren Grundgesamtheit herzuleiten. Eine Total- oder Vollerhebung wird daher nur in Ausnahmefällen durchgeführt. Beispielsweise beruhen die Todesursachenstatistiken, die im jährlich erscheinenden Statistischen Jahrbuch der Bundesrepublik Deutschland veröffentlicht werden, medizinische Register oder die Ergebnisse einer politischen Wahl auf einer Vollerhebung. Im Allgemeinen beschränkt man sich jedoch – insbesondere in der medizinischen Forschung – auf die Untersuchung einer kleinen Teilmenge, nämlich der Stichprobe, und überträgt die daraus gewonnenen Erkenntnisse auf die Grundgesamtheit. Dies ist allerdings nur unter der Voraussetzung sinnvoll, dass die charakteristischen Eigenschaften der Stichprobe – abgesehen von zufällig bedingten Abweichungen – mit denen der Grundgesamtheit übereinstimmen. Eine solche Stichprobe heißt repräsentativ. Bei vielen Untersuchungen ist man vor das Problem gestellt, aus einer konkret vorgegebenen Grundgesamtheit eine repräsentative Stichprobe zu wählen. Ein Beispiel hierfür stellt eine Umfrage vor einer politischen Wahl dar. Die Grundgesamtheit besteht in diesem Fall aus allen wahlberechtigten Bürgern. Um eine Prognose zu erstellen, beschränkt man sich auf eine Stichprobe von einigen tausend Personen. Diese Stichprobe muss repräsentativ und hinreichend groß sein, damit sie das endgültige Wahlergebnis in brauchbarer Weise widerspiegelt. Bei Untersuchungen in der Medizin ist die Problemstellung häufig umgekehrt: Gegeben sind eine oder mehrere konkrete Stichproben (beispielsweise Patienten, die im Rahmen einer klinischen Studie beobachtet werden). Dann ist zu klären, wie die dazugehörende Grundgesamtheit beschaffen ist und ob die Stichprobenergebnisse auf diese übertragbar sind. Eine Antwort auf diese Frage beruht mehr auf sachlogischen als auf wahrscheinlichkeitstheoretischen

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20

2

Kapitel 2 · Theoretische Grundlagen

Überlegungen und ist eng mit dem jeweiligen Forschungsvorhaben verknüpft. Oft lässt sich die entsprechende Grundgesamtheit gar nicht konkret angeben. Man sollte sich in jedem Fall davor hüten, allzu weit reichende Schlussfolgerungen zu ziehen, die sich hinterher als falsch herausstellen könnten. Dieses Problem kann man zwar umgehen, indem man eine Untersuchung nur für einen speziellen, eng begrenzten Personenkreis durchführt und diesen als Grundgesamtheit auffasst. Allerdings gelten die dadurch gewonnenen Ergebnisse nur eingeschränkt auf die Menge der untersuchten Personen und lassen sich nicht verallgemeinern.

2.2

Die Aufgaben der deskriptiven Statistik

Aus dem obigen Abschnitt geht hervor, dass bei einer Stichprobenuntersuchung die statistische Analyse aus zwei Teilen besteht. Zunächst werden die Daten der Stichprobe ausgewertet mit dem Ziel, deren charakteristische Eigenschaften zu beschreiben. Dies ist das Aufgabengebiet der deskriptiven Statistik. Dazu zählen im Einzelnen:

ŷ das Zusammenfassen und Ordnen der Daten in Tabellen, ŷ das Erstellen von Diagrammen und ŷ das Berechnen charakteristischer Kenngrößen oder Maßzahlen (z. B. Mittelwert und Standardabweichung).

Abb. 2.1 Grundgesamtheit und Stichprobe

Grundgesamtheit Stichprobe

deskriptive Statistik

induktive Statistik

21 2.3 Merkmale

Wenn zwei oder mehrere Stichproben miteinander zu vergleichen sind (beispielsweise zwei Therapiegruppen bei einer klinischen Studie), sollte man zunächst für jede einzelne Stichprobe graphische Darstellungen erstellen und geeignete Kenngrößen berechnen. Damit lässt sich bereits überblicken, ob und wie sich die Stichproben unterscheiden. In einem zweiten Schritt versucht man dann, mit geeigneten Methoden der induktiven Statistik die Ergebnisse, die aus den Stichproben gewonnen wurden, zu verallgemeinern und statistisch abzusichern. So gesehen, ist die deskriptive Statistik die Vorstufe zur induktiven Statistik. Beide Teilbereiche sind zur Datenanalyse notwendig und ergänzen sich.

2.3

Merkmale

2.3.1

Grundbegriffe

x Untersuchungseinheiten. Die Personen oder Objekte einer Stich„ probe werden als Untersuchungseinheiten (oder Merkmalsträger) bezeichnet. In der medizinischen Forschung handelt es sich dabei meist um Patienten, gesunde Probanden, Versuchstiere oder Laborproben. x Beobachtungseinheiten. Das sind die kleinsten Einheiten, an de„ nen die einzelnen Beobachtungen registriert werden. Häufig sind die Beobachtungseinheiten mit den Untersuchungseinheiten identisch. Oft ist es jedoch angebracht, die Untersuchungseinheiten näher zu spezifizieren. Wenn etwa bei Patienten beide Augen untersucht werden, versteht man unter den Untersuchungseinheiten die Patienten und unter den Beobachtungseinheiten die einzelnen Augen. Wenn Patienten im Rahmen einer Studie mehrmals untersucht werden, dann ist eine Beobachtungseinheit identisch mit einem Patienten bezogen auf eine einzelne Untersuchung. x Merkmale. Die Beobachtungseinheiten sind durch bestimmte „ Merkmale charakterisiert – das sind Eigenschaften, die für die zu untersuchende Fragestellung relevant sind und statistisch ausgewertet werden. Andere Eigenschaften der Beobachtungseinheiten sind – zumindest im Rahmen der jeweiligen Studie – uninteressant. Anstelle von Merkmalen spricht man auch von Variablen oder Zufallsvariablen, insbesondere dann, wenn damit mathematische Gleichungen erstellt werden.

2

22

Kapitel 2 · Theoretische Grundlagen

x Merkmalsausprägungen. Darunter versteht man die Werte, die „ ein bestimmtes Merkmal annehmen kann.

2

Die Art der Merkmale ist entscheidend für die Studienplanung und die -durchführung, insbesondere für den erforderlichen Stichprobenumfang und die geeigneten Analysemethoden. Deshalb sind zu Beginn der Planungsphase die zu erfassenden Merkmale genau festzulegen und deren Eigenschaften zu spezifizieren. Merkmale lassen sich nach verschiedenen Aspekten klassifizieren:

ŷ nach ihrer Funktion bei der statistischen Analyse (z› Abschnitt 2.3.2),

ŷ nach ihrem Skalenniveau (Abschnitt z› 2.3.3) ŷ und danach, ob sie diskret oder stetig sind (Abschnitt z› 2.3.4). 2.3.2

Ziel- und Einflussgrößen

Merkmale lassen sich grob einteilen in Ziel- und Einflussgrößen. Der eigentliche Zweck einer Studie besteht darin, Erkenntnisse über eine oder mehrere Zielgrößen zu gewinnen. Die Merkmale, die in einem funktionalen Zusammenhang zu den Zielgrößen stehen und diese beeinflussen, heißen Einflussgrößen. Diese lassen sich wiederum unterteilen in:

ŷ Faktoren, die erfasst und ausgewertet werden (im engeren Sinne versteht man unter den Einflussgrößen nur die Faktoren),

ŷ Störgrößen, die im Versuchsplan nicht berücksichtigt sind oder nicht erfasst werden, und

ŷ Begleitmerkmale, die eventuell erfasst, aber im Rahmen der aktuellen Studie nicht statistisch ausgewertet werden (z. B. Nebenwirkungen bei einer klinisch-kontrollierten Studie).

Abb. 2.2 Einflussgrößen und Zielgrößen

Faktor(en)

Störgrößen

Begleitmerkmal(e)

Zielgröße(n)

23 2.3 Merkmale

Beispiel 2.1 Die Hypothese „Zigarettenrauchen beeinflusst das Entstehen eines Lungenkarzinoms“ impliziert, dass „das Lungenkarzinom“ die Zielgröße ist, während „Zigarettenrauchen“ der zu untersuchende Faktor ist. Üblicherweise werden noch weitere Faktoren wie etwa Alter und Geschlecht der Untersuchungseinheiten analysiert. Individuelle Besonderheiten – die erfasst, aber nicht explizit ausgewertet werden – sind mögliche Begleitmerkmale. Zu den Störgrößen zählen genetische Veranlagungen, Umweltbelastungen etc. – also Merkmale, die ebenfalls das Entstehen eines Lungenkarzinoms beeinflussen, aber nicht explizit erfasst werden. ! Störgrößen können nicht-verzerrend oder verzerrend sein. Die nichtz

verzerrenden sind verantwortlich für die zufallsbedingte Streuung der Versuchsergebnisse. Die verzerrenden (Confounder) sind gefährlicher: Sie werden mitunter fälschlicherweise in einen kausalen Zusammenhang mit der Zielgröße gebracht und können dadurch zu Fehlinterpretationen verleiten. Sie sind jedoch bei einer sorgfältigen Versuchsplanung ver› Abschnitt 13.4.2). meidbar (z

Es geht bei einer statistischen Analyse letztlich darum, herauszufinden, von welchen potentiellen Faktoren eine bestimmte Zielgröße abhängt und diese Zusammenhänge in geeigneter Weise zu beschreiben. 2.3.3

Klassifikation nach Skalenniveaus

Jedes Merkmal lässt sich einem bestimmten Skalenniveau zuordnen. Dieses gibt Auskunft über das Messniveau und darüber, wie die entsprechenden Daten weiterverarbeitet werden können. x Nominalskala. Sie hat das niedrigste Niveau; die Ausprägungen „ unterscheiden sich nur begrifflich voneinander. Beispiele stellen die Augenfarbe oder die Blutgruppe dar. Eine spezielle Form bilden die Alternativmerkmale (die auch als dichotome oder binäre Merkmale bezeichnet werden) mit nur zwei Ausprägungen. So ist etwa das Geschlecht mit den Ausprägungen „männlich“ und „weiblich“ ein Alternativmerkmal, ebenso der Rhesusfaktor mit den Ausprägungen „positiv“ und „negativ“. Auch ein Zustand, bei dem nach „pathologisch“ und „nicht pathologisch“ unterschieden wird oder Fragen, die sich mit „ja“ oder „nein“ beantworten lassen, sind als Alternativmerkmale anzusehen.

2

24

2

Kapitel 2 · Theoretische Grundlagen

x Ordinalskala (oder Rangskala). Sie besitzt ein höheres Niveau als „ die Nominalskala; die Ausprägungen dieser Merkmale lassen sich in einer Rangfolge anordnen. Ein bekanntes Beispiel bilden die Zensuren mit den Ausprägungen 1 bis 6. Auch medizinische Scores sind ordinal skaliert, ebenso das Merkmal Therapieerfolg mit den möglichen Abstufungen „vollständig geheilt“ bis hin zu „Patient verstorben“ oder ein Krebsstadium mit den Ausprägungen I bis IV. Nominal und ordinal skalierte Merkmale werden zusammenfassend als qualitative (oder kategoriale) Merkmale bezeichnet. Es ist allgemein üblich, diese Merkmale zahlenmäßig zu codieren. So kann das Geschlecht einer Person durch die Zahlen 0 (männlich) und 1 (weiblich) angegeben werden; der Therapieerfolg lässt sich mit natürlichen Zahlen 0, 1, 2... beschreiben. Diese Zahlen haben jedoch keine rechnerische Bedeutung. Man kann zwar zwei Ausprägungen A und B eines nominalen Merkmals durch A = B oder A  B miteinander in Beziehung setzen; bei einem ordinalen Merkmal lässt sich eine der Relationen A = B, A < B oder A > B angeben. Mathematische Operationen wie beispielsweise die Bildung einer Differenz oder eines Quotienten sind jedoch sinnlos. Es leuchtet ein, dass bei qualitativen Merkmalen weder der Abstand zwischen zwei Ausprägungen noch deren Verhältnis definiert ist. x Intervallskala (oder Abstandsskala). Sie hat einen höheren Infor„ mationsgehalt als die Ordinalskala. Die Ausprägungen unterscheiden sich zahlenmäßig. Bei diesen Merkmalen ist der Nullpunkt (z. B. bei der Temperatur in Celsius-Graden) festgelegt. Es ist möglich und sinnvoll, die Differenz zwischen zwei Ausprägungen A í B anzugeben. x Verhältnisskala (oder Ratioskala). Sie hat einen absoluten Null„ punkt; ansonsten können nur positive Messwerte auftreten. Außer der Differenz kann auch das Verhältnis A : B zwischen zwei Ausprägungen bestimmt werden (falls B  0). Intervall- oder verhältnisskalierte Merkmale werden als quantitativ oder metrisch skaliert bezeichnet. Diese Strukturen findet man vor allem im physikalisch-naturwissenschaftlichen Umfeld und damit auch in der Medizin.

25 2.3 Merkmale

Beispiel 2.2 Das Merkmal „Temperatur in Celsiusgraden“ hat einen festgelegten Nullpunkt (Gefrierpunkt des Wassers) und ist deshalb intervallskaliert. Beim Vergleich der beiden Ausprägungen 20qC und 40qC lässt sich zwar der Abstand berechnen; es wäre aber unsinnig, die Werte in ein Verhältnis zu setzen und zu sagen, 40qC seien doppelt so warm wie 20qC. Viele Merkmale aus der Medizin sind verhältnisskaliert: das Körpergewicht, der Cholesteringehalt oder die Leukozytenanzahl pro Pl Blut. Vergleiche der Art „10.000 Leukozyten pro Pl Blut sind doppelt so viel wie 5.000“ sind bei diesen Merkmalen durchaus sinnvoll. Auch die Temperaturangabe in Kelvin-Graden kann als verhältnisskaliert aufgefasst werden.

2.3.4

Diskrete und stetige Merkmale

x Diskret. Ein Merkmal heißt diskret, wenn es nur abzählbar viele „ Werte annehmen kann. Alle qualitativen Merkmale sind trivialer Weise diskret. Quantitative Merkmale sind dann diskret, wenn die Merkmalsausprägungen durch einen Zählvorgang ermittelt werden. Beispiele sind die Anzahl der Schwangerschaften einer Frau oder die Anzahl richtig gelöster Klausuraufgaben in Tabelle 2.1. x Stetig. Ein stetiges Merkmal kann dagegen alle Werte innerhalb „ eines bestimmten Intervalls annehmen; die Ausprägungen werden in der Regel durch einen Messvorgang ermittelt. Beispiele sind die Körpergröße oder der Blutdruck. Allerdings lässt die begrenzte Messgenauigkeit bei der Bestimmung eines stetigen Merkmals nur abzählbar viele Ausprägungen zu. So wird die Körpergröße meist in der Einheit cm in ganzen Zahlen angegeben, wobei im Einzelfall aufoder abgerundet wird. Deshalb ist bei praktischen Untersuchungen letzten Endes jedes Merkmal diskret. Andererseits sind stetige Merkmale bei Anwendern der Statistik recht beliebt, da sie sich im Hinblick auf die Informationsgewinnung effizienter und häufig einfacher analysieren lassen als diskrete Merkmale. Statistische Analysemethoden, die ein stetiges Merkmal voraussetzen, können dann angewandt werden, wenn das relevante Merkmal innerhalb eines bestimmten Bereichs zahlreiche, fein abgestufte Ausprägungen hat (wie z. B. auch die Leukozytenanzahl pro Pl Blut). – Insofern ist eine Unterscheidung zwischen diskreten und stetigen Merkmalen nicht nur theoretisch, sondern auch für praktische Anwendungen sinnvoll.

2

26

Kapitel 2 · Theoretische Grundlagen

Übersicht 1: Die Skalenniveaus

2

Merkmalsart

Vergleich 2er Ausprägungen

Skalenniveau Beispiele

Hinweise

qualitativ

Nominalskala Blutgruppe, Rhesusfaktor

niedrigstes Niveau

qualitativ

Ordinalskala (Rangskala)

Zensuren, med. Scores

Rangfolge ist definiert

quantitativ Intervallskala (Abstandsskala)

Temperatur in CelsiusGraden

Skala mit festgelegtem Nullpunkt, Abstand ist definiert

ŷ

quantitativ Ratioskala (Verhältnisskala)

Leukozytenanzahl pro Pl Blut, Körpergröße

höchstes Niveau, Skala mit absolutem Nullpunkt, Verhältnis ist definiert

ŷ

2.3.5

ŷ

A B oder Az B

A B oder Az B ŷA B, A ! B oder A B ŷ

A B oder Az B ŷA B, A ! B oder A B A B ŷ d A B oder Az B ŷA B, A ! B oder A B ŷ ŷ

d A B c A: B

Skalentransformationen

Es ist generell möglich, ein höheres Skalenniveau auf ein niedrigeres zu transformieren. Jede Verhältnisskala ist automatisch eine Intervallskala; diese wiederum kann als eine Ordinalskala aufgefasst werden. Die Nominalskala kann grundsätzlich jedem Merkmal zugeordnet werden. Das Beispiel 2.3 macht deutlich, dass eine Reduktion des Skalenniveaus einerseits mit einer einfacheren Messtechnik einhergeht, andererseits einen Informationsverlust beinhaltet. Dennoch ist eine Skalentransformation bei praktischen Anwendungen zuweilen sinnvoll. Um beispielsweise bei Routineuntersuchungen den Glukosegehalt im Blut zu bestimmen, ist es nicht notwendig, diesen exakt in mg zu erfassen. Stattdessen verwendet man Teststreifen mit den Ergebnissen „negativ“ und „positiv“. Im Einzelfall ist stets abzuwägen, ob das Skalenniveau zugunsten eines einfachen Messverfahrens reduziert werden kann.

27 2.3 Merkmale

Beispiel 2.3 Wir betrachten das Merkmal „Zigarettenkonsum eines Patienten“. Die Merkmalsart und das Skalenniveau sind abhängig von der Art, wie man dieses Merkmal erfasst: Ausprägungen Merkmalsart Skala quantitativ; Menge des pro Tag Verhältnisskala konsumierten Tabaks in Gramm stetig Anzahl der pro Tag quantitativ; Verhältnisskala gerauchten Zigaretten diskret Nichtraucher – schwacher Raucher – mäßiger Raucher – qualitativ Ordinalskala starker Raucher qualitativ; Nichtraucher – Raucher Nominalskala binär

In den folgenden Kapiteln wird gezeigt, dass statistische Analysemethoden für quantitative (und insbesondere für stetige) Merkmale erheblich differenziertere Auswertungen ermöglichen als Methoden für qualitative Merkmale. Eine Skalentransformation sollte man deshalb nur dann durchführen, wenn praktische Gründe dies erfordern, und ansonsten versuchen, ein möglichst hohes Niveau beizubehalten. Wenn jedoch Zweifel bestehen, ob ein höheres Skalenniveau überhaupt angenommen werden kann, sollte man sicherheitshalber das nächst niedrigere zugrunde legen. Beispiel 2.4 Die Wahl des adäquaten Skalenniveaus ist nicht immer einfach oder unumstritten. So werden in der Regel Zensuren als quantitativ-diskrete Merkmale angesehen, und es entspricht gängiger Praxis, Durchschnittsnoten (also Mittelwerte) zu berechnen. Dies ist aber nicht korrekt. Die Differenz zwischen zwei Noten ist nämlich nicht sinnvoll definiert. So ist etwa der Unterschied zwischen den Noten 4 (ausreichend) und 6 (ungenügend) keinesfalls gleichzusetzen mit dem Unterschied zwischen den Noten 2 (gut) und 4. Auch das Berechnen von Verhältnissen (etwa: Die Note 2 ist doppelt so gut wie die 4) ist nicht angebracht. Lediglich die Rangfolge der Ausprägungen 1 bis 6 ist sinnvoll. Demnach handelt es sich nur um ein ordinal skaliertes (also ein qualitatives) Merkmal. ! Eine Schwierigkeit bei medizinischen Untersuchungen ergibt sich bei bez

grifflich unscharfen Bezeichnungen, die hin und wieder bei ordinal skalierten Merkmalen auftreten. Während sich die Ausprägungen eines nominal skalierten Merkmals in der Regel eindeutig feststellen lassen, und die Werte eines quantitativen Merkmals hinreichend exakt gezählt oder gemessen werden, sind die Grenzen zwischen den Ausprägungen eines

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28

2

Kapitel 2 · Theoretische Grundlagen

ordinal skalierten Merkmals oft unscharf. Dies kann zu ungenauen Ergebnissen und zu fehlerhaften Schlussfolgerungen führen. Falls ordinale Daten zu analysieren sind, sollte man deshalb darauf achten, dass die Abgrenzungen zwischen den einzelnen Ausprägungen möglichst genau definiert und nachvollziehbar sind. Merke Um geeignete Analysemethoden wählen zu können, sind vor der Datenerfassung unbedingt folgende Punkte zu klären: 1. Fragestellung (Hypothese) der Studie formulieren 2. Geeignete Ziel- und Einflussgrößen auswählen 3. Spezifische Eigenschaften (Skalenniveau u. a.) für jedes Merkmal untersuchen

2.3.6

Merkmalsausprägungen

Nachdem zu Beginn einer Studie festgelegt worden ist, welche Merkmale erhoben und welche Skalenniveaus zugrunde gelegt werden, ist für jedes Merkmal eine Ausprägungsliste zu erstellen. Bei quantitativen Merkmalen handelt es sich dabei um die Mess- oder Zählwerte. Die Ausprägungen qualitativer Merkmale werden häufig numerisch codiert. Dabei ist auf zwei Dinge zu achten:

ŷ Die Liste muss vollständig sein, damit jeder Beobachtung eine

Ausprägung zugeordnet werden kann. Dies bedeutet, dass auch sehr seltene Ausprägungen repräsentiert sind. ŷ Sie muss disjunkt sein; d. h. je zwei Ausprägungen bzw. deren Codierungen sind unterscheidbar und schließen sich gegenseitig aus. Die Zuordnung Codierung ļ Ausprägung muss also eineindeutig sein. Wegen der Vollständigkeit fügt man bei qualitativen Merkmalen häufig eine Ausprägung der Art „Sonstiges“, „nicht feststellbar“, „keine Meinung“ o. ä. hinzu. Bei quantitativen Merkmalen (z. B. bei der Körpergröße) werden hin und wieder Ausprägungen wie etwa „< 150 cm“ oder „• 200 cm“ angegeben. Dabei ist allerdings zu bedenken, dass das Skalenniveau niedriger wird. Wenn man bei einem ordinalen Merkmal wie dem Therapieerfolg in die Ausprägungsliste „nicht feststellbar“ aufnimmt, reduziert sich das Niveau auf das einer Nominalskala. Wegen des damit verbundenen Informationsverlustes sollte man Merkmalswerte möglichst exakt erfassen.

29 2.4 Besondere Problematiken

Beispiel 2.5 Die Ausprägungsliste für das Merkmal „Augenfarbe“ mit den Codierungen: 1 = blau 2 = grün 3 = braun 4 = grau Summe aus diesen Zahlen = Farbkombination ist weder vollständig (es fehlt eine Ausprägung für die Augenfarbe von Albinos) noch disjunkt (die Codierungen für die Farbe „braun“ und die Kombination „blaugrün“ sind nicht unterscheidbar). Die folgende Liste erfüllt dagegen die Bedingungen bezüglich Vollständigkeit und Disjunktheit: 1 = blau 2 = grün 4 = braun 8 = grau 16 = Sonstiges Summe aus diesen Zahlen = Farbkombination Es ist auch möglich, für jede der vier Farben eine extra Variable einzuführen, die die Werte 0 (nein) und 1 (ja) annehmen kann. Wenn alle 4 Variablen den Wert 0 annehmen, würde dies „Sonstiges“ bedeuten; bei Farbkombinationen nehmen mehrere Variable den Wert 1 an.

Eine sinnvolle Ausprägungsliste ist nicht zuletzt abhängig von der konkreten Fragestellung. So ist beispielsweise für das Merkmal „Geschlecht“ eine Liste mit den beiden Ausprägungen „männlich“ und „weiblich“ in der Regel vollständig und disjunkt. Es sind jedoch auch Situationen denkbar, in denen eine zusätzliche Ausprägung wie „intersexuell“ oder „nicht feststellbar“ erforderlich ist. Bei quantitativen Merkmalen sind auch das Messverfahren und die Messgenauigkeit zu berücksichtigen. Während man das Körpergewicht von Erwachsenen in der Regel in ganzzahligen kg-Werten erfasst, sind diese Ausprägungen bezogen auf das Körpergewicht von Neugeborenen nicht sinnvoll. ! Bezüglich der Anzahl der Ausprägungen bei qualitativen Merkmalen z

sollte man darauf achten, dass sie in einem sinnvollen Verhältnis zur Anzahl der Beobachtungseinheiten stehen. Es ist wenig hilfreich bei der Datenanalyse, wenn die meisten Ausprägungen nur vereinzelt vorkommen, weil sich dann ein Zusammenhang mit einem anderen Merkmal nicht mehr nachweisen lässt.

2.4

Besondere Problematiken

Bei der Durchführung medizinischer Studien gibt es eine Reihe spezieller Besonderheiten bezüglich der Analyse der Daten: x Klinische Scores und Skalen. Quantitative Merkmale lassen sich „ effizienter auswerten als qualitative. Daraus resultierte die Tendenz, Sachverhalte, die ursprünglich nur qualitativ beschreibbar waren, quantitativ messbar zu machen. Dies führte dazu, dass in den letzten

2

30

2

Kapitel 2 · Theoretische Grundlagen

Jahren eine Vielzahl von klinischen Scores und Skalen eingeführt wurde, mit denen komplexe Merkmale – wie etwa der Allgemeinzustand eines Patienten – erfasst werden. Man spricht dabei etwas abfällig auch von „weichen Daten“ im Gegensatz zu „harten Daten“, die sich exakt messen lassen. Ein Beispiel stellt der Apgar-Score dar, der zur Beurteilung des Zustands Neugeborener herangezogen wird. Diesem Score liegen Einschätzungen für mehrere Merkmale (Herzfrequenz, Atmung, Muskeltonus, Reflexe und Hautfarbe) zugrunde, die jeweils mit 0, 1 oder 2 Punkten bewertet werden. Die Summe ergibt dann einen Scorewert zwischen 0 und 10. – Ein anderes Beispiel ist die Karnofsky-Skala, die verwendet wird, um den Allgemeinzustand eines Patienten zu beschreiben, Sie kann Werte zwischen 0 und 100 annehmen. – Zur Beschreibung der Schmerzintensität dient die visuelle Analog-Skala, auf der ein Patient auf einer 10 cm langen Linie sein Schmerzempfinden markieren kann. Es liegt nahe, solche Merkmale als quantitativ anzusehen und entsprechend zu analysieren. Folgendes ist dazu anzumerken:

ŷ Es handelt sich bei den Score- oder Skalenwerten keineswegs um Mess- oder Zählwerte, sondern um Einschätzungen, die in gewisser Weise subjektiv sind. ŷ Zwei benachbarte Ausprägungen sind nicht unbedingt äquidistant. So ist etwa beim Apgar-Score der Unterschied zwischen 0 (kein Herzschlag) und 1 (Frequenz unter 100) nicht gleichzusetzen mit dem Unterschied zwischen 1 und 2 (Frequenz über 100). Demnach handelt es sich bei diesen Scores und Skalen lediglich um ordinal skalierte, aber keineswegs um quantitative Merkmale. Dies sollte man bei der Datenanalyse und der Präsentation der Ergebnisse unbedingt berücksichtigen. x Ausreißer. Dies sind extrem hohe oder extrem niedrige Werte, „ bei denen fraglich ist, ob sie unter denselben Bedingungen wie die anderen Werte der Datenreihe entstanden sind. Die Einstufung eines Wertes als Ausreißer muss in erster Linie inhaltlich motiviert sein. Möglicherweise handelt es sich Messfehler, Dokumentationsfehler oder pathologische Besonderheiten. Man erkennt Ausreißer am ehesten anhand einer graphischen Darstellung. Wie soll man dann verfahren? Zunächst empfiehlt es sich nachzuforschen, wie diese Werte zustande gekommen sind. Wenn sich dabei herausstellt, dass es sich um fehlerhafte Werte handelt, muss man sie von der Analyse ausschließen. Ansonsten ist es sinnvoll, die Datenanalysen zweimal durchzuführen: mit und ohne Ausreißer. Wenn sich die Ergebnisse

31 2.4 Besondere Problematiken

ähneln, spielen die Ausreißer keine besondere Rolle. Wenn sie sich jedoch unterscheiden, sollte man auf statistische Verfahren zurückgreifen, die unempfindlich gegen Ausreißer sind. x Surrogatmerkmale. Manche Krankheiten können nicht direkt „ oder nur unter einem großem Aufwand diagnostiziert werden. Dann behilft man sich gerne mit so genannten Surrogatmerkmalen, die eine Funktionsstörung anzeigen und die einfach zu bestimmen sind. So wird beispielsweise der Kreatinin-Wert herangezogen, um ein Nierenversagen nachzuweisen. – Gegen Surrogatvariable ist nichts einzuwenden, sofern sie in engem und validiertem Zusammenhang mit der zu evaluierenden Krankheit stehen. Dies sollte man kritisch hinterfragen und beim Ziehen von Schlussfolgerungen eine gewisse Vorsicht walten lassen! x Ungenaue Definitionen. Vorsicht ist geboten, wenn Zielgrößen „ untersucht und beschrieben werden, die nicht klar definiert sind. Ein Beispiel ist das Merkmal „Therapieerfolg“. Im Allgemeinen verbindet man damit etwas Positives – dennoch ist dieser Begriff per se keineswegs exakt definiert: Nicht nur eine vollständige Heilung, sondern auch eine Besserung der Symptome oder des Allgemeinzustands kann als Erfolg gewertet werden. Eine exakte Definition solcher Merkmale ist erforderlich, damit der Leser einer Publikation praxisrelevante Schlussfolgerungen ziehen und Vergleiche anstellen kann. x Falsche oder unvollständige Informationen. Häufig ist man beim „ Einholen von Informationen auf die Mithilfe der Patienten angewiesen. Dabei kann es vorkommen, dass Patienten falsche oder unvollständige Angaben machen – sei es unbewusst, weil sie sich nicht richtig erinnern können, oder absichtlich, weil sie aus Scham oder anderen Gründen gewisse Dinge verschweigen. Nicht jeder Patient wird uneingeschränkt die Wahrheit sagen, wenn er nach seinem Nikotin- oder Alkoholkonsum gefragt wird. Es ist schwierig, derlei Angaben auszuwerten. Entsprechende Vorsicht ist bei der Interpretation der Ergebnisse geboten! x Zensierte Daten. Bei Überlebenszeitstudien wird die Zeit unter„ sucht, die bis zum Eintreten eines bestimmten Ereignisses (etwa bis zum Tod eines Patienten) vergeht. Mehrere Gründe können dazu führen, dass sich im Einzelfall die Überlebenszeit nicht exakt feststellen lässt: Sei es, dass der Patient während der Studie ausscheidet (etwa wegen mangelnder Bereitschaft zur weiteren Teilnahme oder weil der Kontakt zum Studienleiter abreißt) oder sei es, dass er am

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Kapitel 2 · Theoretische Grundlagen

Ende der Studie noch lebt (jede Studie ist zeitlich limitiert). Dann kennt man nur eine Zeitspanne, die überlebt wurde – was danach geschieht, bleibt unbekannt. Solche Daten nennt man zensiert. Es würde zu verzerrten Ergebnissen führen, wenn man alle zensierten Daten bei der Analyse eliminieren würde. Mit speziellen Verfahren (Kaplan-Meier-Kurve, Logrank-Test) ist es möglich, zensierte Daten so weit als möglich bei der Analyse zu berücksichtigen. Freilich sollte man eine Studie so anlegen, dass zensierte Daten weitgehend vermieden werden.

2.5

Listen und Tabellen

x Listen. Bei einer Studie ist darauf zu achten, dass für jede einzelne „ Beobachtungseinheit alle relevanten Informationen (Ort und Zeit der Untersuchungen, die untersuchenden Personen, die erhobenen Daten, Besonderheiten etc.) sorgfältig in einer Liste dokumentiert werden. Falls ein Merkmal nicht erhoben werden kann, so ist dies mit Angabe von Gründen zu vermerken. Zu einem späteren Zeitpunkt ist kaum noch nachvollziehbar, warum eine Information fehlt – ob beispielsweise nur die Dokumentation vergessen wurde (das sollte freilich nicht passieren), oder ob und warum ein Wert nicht gemessen wurde. Für die statistische Analyse sind diese Informationen mitunter sehr wichtig. x Tabellen. Die für die statistische Analyse relevanten Daten der „ Listen werden in einer Tabelle übersichtlich zusammengefasst. Alle Ergebnisse der statistischen Analyse lassen sich letztlich auf diese Tabelle zurückführen. Eine Tabelle wird üblicherweise mit einer Software (z. B. dem Tabellenkalkulationsprogramm Excel) erstellt. Sie enthält folgende Elemente:

ŷ Tabellenzeilen. Jeder Beobachtungseinheit ist eine eigene Zeile

mit einer eindeutigen Identifikationsnummer in der ersten Spalte reserviert. Namen oder Initialen sind – nicht zuletzt aus Datenschutzgründen – zur Identifikation ungeeignet. ŷ Tabellenspalten. Jede Spalte enthält die Daten eines bestimmten Merkmals. Angaben dazu findet man in der ersten Tabellenzeile, dem so genannten Tabellenkopf. ŷ Legende. Wenn die Tabelle Teil einer Publikation oder einer Dissertation ist, sollten weitere Informationen, die zum Verständnis notwendig sind (Abkürzungen, Maßeinheiten etc.), in der Legende oder Überschrift enthalten sein.

33 2.5 Listen und Tabellen ! Fehlende Daten müssen gekennzeichnet werden (etwa durch ein leeres z

Feld oder einen Punkt). Sie sollten nach Möglichkeit vermieden werden, da sich dadurch der Stichprobenumfang reduziert und die Ergebnisse ungenauer werden.

Oft enthält eine Tabelle in der letzten Zeile oder in der letzten Spalte Randsummen (die so genannten Spalten- bzw. Zeilensummen), Mittelwerte oder Häufigkeiten. Falls es zweckmäßig erscheint, kann sie nach einem oder mehreren Merkmalen sortiert sein. Die Tabelle auf der folgenden Doppelseite enthält die Daten von sieben Merkmalen, die bei 82 Studenten im ersten klinischen Semester erfasst wurden. Sie dient als Grundlage für diverse statistische Analysen, die in den folgenden Kapiteln erläutert werden. Alle Ergebnisse lassen sich anhand dieser Tabelle explizit nachvollziehen. Charakteristische Eigenschaften der erhobenen Merkmale und deren Zusammenhänge treten jedoch – zumindest auf den ersten Blick – anhand einer Tabelle nicht in Erscheinung. Deshalb ist es erforderlich, die Daten anschaulich graphisch darzustellen und die Merkmale quantitativ zu beschreiben. Dabei empfiehlt sich folgendes Vorgehen:

ŷ Zunächst wird jedes Merkmal einzeln – also unabhängig von

den anderen und separat für jede Stichprobe – mittels deskriptiver Statistik untersucht. Geeignete Methoden werden in den Kapiteln 3 und 4 vorgestellt. ŷ Danach lassen sich einfache Zusammenhänge beschreiben. Hinweise dazu findet man in Kapitel 5. ŷ Mit Methoden der induktiven Statistik lässt sich nachweisen, ob und mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit die Stichprobenergebnisse verallgemeinerbar sind. Dieses Thema ist Gegenstand der Kapitel 9 bis 12.

2

34

2

Kapitel 2 · Theoretische Grundlagen

Tabelle 2.1. Geschlecht (M = männlich, W = weiblich), Blutgruppe, Rhesusfaktor, Raucher, Körpergröße in cm, Körpergewicht in kg und die Anzahl richtig gelöster Klausuraufgaben ID

Geschlecht

Blutgruppe

Rhesusfaktor

Raucher

Größe

Gewicht

Klausur

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M W W W W W W W W W W W W W W W W W W W

A 0 B A 0 0 A A 0 B 0 0 A 0 A A A 0 A 0 AB A 0 0 A 0 A B 0 A 0 0 A A 0 A 0 B A 0 A A 0 B 0 A A

+ + – + + + + + + + – + + + + + + – + + + – + + + + – + + + + + + + – – + + + + + + – + + + +

nein ja nein ja nein nein nein nein nein nein nein ja nein nein nein ja ja ja nein nein nein ja nein nein nein nein nein nein nein nein nein nein nein nein nein ja ja nein nein nein nein ja ja nein nein nein nein

183 175 179 185 187 180 179 186 185 187 188 184 177 170 186 187 182 173 194 184 173 193 185 190 193 180 164 175 160 170 168 163 170 166 170 160 169 165 164 165 167 173 161 168 176 174 170

85 78 90 77 81 78 73 73 70 86 78 74 60 65 93 75 95 60 82 77 84 85 78 98 83 85 56 70 56 57 57 46 55 53 58 57 54 60 58 57 58 62 51 52 63 64 .

6 10 8 11 2 10 8 12 3 9 10 4 8 9 11 4 10 7 9 5 8 11 8 1 7 7 9 8 12 9 6 4 10 3 9 6 9 11 11 8 10 6 7 12 7 8 6

2

35 2.5 Listen und Tabellen

Tabelle 2.1 (Fortsetzung). Geschlecht (M = männlich, W = weiblich), Blutgruppe, Rhesusfaktor, Raucher, Körpergröße in cm, Körpergewicht in kg und die Anzahl richtig gelöster Klausuraufgaben ID

Geschlecht

Blutgruppe

Rhesusfaktor

Raucher

Größe

Gewicht

Klausur

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W

0 0 A A 0 B A 0 A AB 0 A A B 0 A B A 0 A B 0 A A AB 0 A AB 0 A AB A B B 0

+ + + + + – + + + + + – + + + + + + + + + – + + + + + + + – + + – + +

ja ja nein nein ja nein nein nein nein ja ja nein ja nein nein ja nein ja nein ja nein ja nein ja nein nein nein ja nein nein nein ja ja nein ja

179 165 169 176 164 169 171 172 165 160 164 170 170 169 169 176 177 169 167 175 179 176 157 161 168 160 172 160 168 180 168 167 170 166 168

66 57 58 73 55 . . 83 55 52 59 63 62 50 54 58 75 79 52 58 76 70 60 70 52 55 71 50 58 58 57 56 67 59 62

9 9 11 10 3 10 2 9 12 7 8 4 9 12 5 11 9 4 8 10 7 10 9 5 11 8 10 9 8 6 5 11 10 8 7

3

Häufigkeiten 3.1

Häufigkeiten bei diskreten Merkmalen 39

3.1.1 Absolute und relative Häufigkeiten 39 3.1.2 Graphische Darstellungen 40

3.2

Häufigkeiten bei stetigen Merkmalen 42

3.2.1 Das Prinzip der Klassenbildung 42 3.2.2 Graphische Darstellungen 44

3.3

Die empirische Verteilungsfunktion 46

3.4

2-dimensionale Häufigkeiten 49

3.4.1 Die Kontingenztafel 49 3.4.2 Graphische Darstellungen 51 3.4.3 Ausblick auf die induktive Statistik 52

3

39 3.1 Häufigkeiten bei diskreten Merkmalen

3.1

Häufigkeiten bei diskreten Merkmalen

3.1.1

Absolute und relative Häufigkeiten

Um sich einen Überblick bezüglich wichtiger Eigenschaften eines Merkmals anzueignen, beginnt man mit der Häufigkeitsverteilung. Diese Verteilung beschreibt, mit welchen Häufigkeiten die einzelnen Merkmalsausprägungen in der Stichprobe zu finden sind. Häufigkeiten lassen sich für jedes Merkmal und jedes Skalenniveau ermitteln. In den Abschnitten 3.1 und 3.2 werden – getrennt für diskrete und stetige Merkmale – Häufigkeitsbegriffe erörtert und graphische Darstellungen vorgestellt. Zu den diskreten Merkmalen zählen alle qualitativen sowie die quantitativ-diskreten Merkmale. Die Anzahl der Ausprägungen ist in der Regel wesentlich kleiner als der Stichprobenumfang und damit überschaubar. So gehören beispielsweise zum qualitativen Merkmal „Blutgruppe“ die vier Ausprägungen 0, A, B und AB. Durch einfaches Abzählen lässt sich ermitteln, wie häufig die einzelnen Ausprägungen in der Stichprobe vertreten sind. Allgemein formuliert man diesen Sachverhalt folgendermaßen: Ein diskretes Merkmal A habe k verschiedene Ausprägungen A1 ,..., Ak . Die absolute Häufigkeit einer Ausprägung Ai wird mit ni bezeichnet. Der Buchstabe i ist der so genannte Laufindex, der zwischen 1 und k variiert. Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ni entspricht der Anzahl der Beobachtungseinheiten in der Stichprobe – das ist der Stichprobenumfang n: k

¦n

(3.1)

n

i

i 1

i Bei dem Summen-Zeichen ƶ handelt es sich um den griechischen z Buchstaben Sigma. Damit kwerden Summen in verkürzter Schreibweise dargestellt. Der Ausdruck ¦ ni entspricht der Summe n1  n2  ...  nk . i 1

Unter der relativen Häufigkeit hi einer Ausprägung Ai versteht man den Quotienten ´

hi

ni n

(3.2)

40

Kapitel 3 · Häufigkeiten

Aus dieser Definition folgt, dass 0 d hi d 1, und dass sich die relativen Häufigkeiten aller Ausprägungen zu 1 aufaddieren: k

k

¦ hi

3

i 1

¦n

i

i 1

n

n n

(3.3)

1

In der Praxis gewinnt man die Häufigkeiten am einfachsten durch das Erstellen einer Strichliste oder – weniger mühsam – mittels einer › Beispiel 3.1). geeigneten Software (z Beispiel 3.1 Wir betrachten das qualitative Merkmal „Blutgruppe“ mit den Daten der in Tabelle 2.1 aufgelisteten Stichprobe von n = 82 Beobachtungseinheiten. Es ergeben sich folgende Häufigkeiten: Ausprägung absolute Häufigkeiten relative Häufigkeiten n1 31 A1 =Blutgruppe 0 h1 38 % A2 =Blutgruppe A

n2

35

h2

43 %

A3 =Blutgruppe B

n3

11

h3

13 %

A4 =Blutgruppe AB

n4

5

h4

6%

Summe

n

82

100%

! Die relative Häufigkeit wird oft in Prozentwerten angegeben. Da der z

Ausdruck Prozent „von Hundert“ bedeutet, sind derlei Angaben nur bei einem hinreichend großen Stichprobenumfang sinnvoll. Wenn man bei kleineren Stichproben mit weniger als 50 Beobachtungseinheiten Prozente berechnet, täuscht man eine höhere Genauigkeit vor als in Wirklichkeit vorhanden ist. In diesen Fällen sollte man anstelle der Prozentangaben einfache Quotienten bevorzugen – wie z. B.: Die relative Häufigkeit der Blutgruppe A bei den männlichen Studenten beträgt 12/28.

3.1.2

Graphische Darstellungen

Graphische Darstellungen bringen die oben beschriebenen Sachverhalte prägnant zum Ausdruck.

41 3.1 Häufigkeiten bei diskreten Merkmalen

x Kreisdiagramm. Bei dieser Darstellung geben die einzelnen „ Kreissektoren die Häufigkeiten ni wieder. Anstelle der absoluten Häufigkeiten ni lassen sich auch die relativen Häufigkeiten hi darstellen; dabei ändert sich nur der Maßstab des Diagramms, nicht jedoch dessen Aussehen. Bei einem Kreisdiagramm kommt allerdings nicht (zumindest nicht auf den ersten Blick) zur Geltung, welches die kleinste oder die größte Ausprägung ist – deshalb eignet sich › diese Art der Darstellung nur für nominal skalierte Merkmale (z Abbildung 3.1). x Rechteckdiagramm (oder Blockdiagramm). Hier ist ein Rechteck „ entsprechend der einzelnen Häufigkeiten unterteilt. Diese Darstellung eignet sich auch für ordinal skalierte Merkmale, da die kleinste und die größte Ausprägung zu erkennen sind. x Balkendiagramm. Diese Art von Diagrammen eignet sich für alle „ diskreten Merkmale. Die Längen der einzelnen Balken entsprechen › Abbildung 3.2). Dabei sind zahlreiden Häufigkeiten ni oder hi (z che Varianten denkbar. Die 2-dimensionalen Balken lassen sich durch 1-dimensionale Striche oder 3-dimensionale Säulen ersetzen. Bei senkrechter Anordnung spricht man auch von einem Säulendiagramm; wenn anstelle der Säulen 1-dimensionale Striche verwendet werden, bezeichnet man dies als Stabdiagramm. Darüber hinaus können die Balken horizontal anstatt vertikal angeordnet werden; bezüglich Farben, Mustern und Hintergründen sind – nicht zuletzt dank geeigneter Software- und Hardwareprodukte – der Phantasie keine Grenzen gesetzt. Man sollte jedoch bei solchen Darstellungen vor allem darauf achten, dass die wesentlichen Eigenschaften der Häufigkeitsverteilung optimal zur Geltung kommen und nicht zugunsten optischer Effekte in den Hintergrund treten. x Punktediagramm. Dies ist eine Darstellung einfachster Art für „ quantitative Merkmale. Die Stichprobenwerte werden auf einer Achse (die waagrecht oder senkrecht angeordnet sein kann) als Punkte eingetragen. Diese Art der Darstellung eignet sich weniger zu Präsentationszwecken als vielmehr dazu, dass sich der Anwender schnell und einfach einen Überblick über die Häufigkeitsverteilung verschafft.

3

42

3

Kapitel 3 · Häufigkeiten

Abb. 3.1 Kreisdiagramm; Darstellung der Häufigkeiten des Merkmals „Blutgruppe“ (Beispiel 3.1)

Abb. 3.2 Balkendiagramm; Darstellung der Häufigkeiten des Merkmals „Anzahl richtig gelöster Klausuraufgaben“ (Beispiel 3.3, Seite 47)

3.2

Häufigkeiten bei stetigen Merkmalen

3.2.1

Das Prinzip der Klassenbildung

Bei der Erfassung eines stetigen Merkmals (z. B. der Körpergröße) werden – bedingt durch die begrenzte Messgenauigkeit – die gemessenen Werte im Einzelfall auf- oder abgerundet. Im Vergleich zum Stichprobenumfang ergeben sich zahlreiche Ausprägungen, deren Häufigkeiten meist gering und daher wenig informativ sind. So schwankt beispielsweise die Körpergröße der Studenten in Tabelle 2.1 zwischen 157 cm und 194 cm – dies sind 38 verschiedene Werte für 82 Beobachtungseinheiten. Davon haben acht Ausprägungen die Häufigkeit 0, neun sind nur einmal vertreten. Es erweist sich in solchen Fällen als sinnvoll, mehrere nebeneinander liegende Ausprägungen zusammenzufassen und Klassen zu bilden. Dies ist auch bei einem quantitativ-diskreten Merkmal mit extrem vielen, fein abgestufte Ausprägungen gerechtfertigt (z. B. die Leukozytenanzahl). Ein solches Merkmal kann für praktische Analysen wie ein stetiges Merkmal behandelt werden. Damit verbindet sich die Frage, wie die Anzahl der Klassen und deren Breiten festzulegen sind. Bei sehr vielen, schmalen Klassen ist die Darstellung unübersichtlich und der Verteilungstyp ist schwer

43 3.2 Häufigkeiten bei stetigen Merkmalen

erkennbar. Dagegen ist eine geringe Anzahl von breiten Klassen mit einem hohen Informationsverlust verbunden; charakteristische Eigenschaften der Verteilung werden eventuell verdeckt. Es gibt bezüglich der Klassenbildung zwar keine strengen Vorschriften, jedoch einige Faustregeln, die einen Kompromiss zwischen einer übersichtlichen Darstellung einerseits und einem geringen Informationsverlust andererseits beinhalten:

ŷ Die Klassenanzahl k richtet sich nach dem Stichprobenumfang n.

Als Anhaltspunkt gilt: k | n . Für größere Stichprobenumfänge n t 1000 verwendet man die Formel k | 10 ˜ lg n (wobei lg der Zehnerlogarithmus bedeutet), damit die Anzahl der Klassen nicht allzu groß wird. Eine Einteilung mit weniger als drei Klassen ist generell nicht sinnvoll. ŷ Am übersichtlichsten ist die Darstellung, wenn die Klassenbreiten konstant sind. Wenn jedoch Ausreißer vorhanden sind, ist es eventuell sinnvoll, am jeweiligen Rand eine breite Klasse zu bilden. Klassen an den Enden einer Verteilung mit den Grenzen -f oder +f sind generell zu vermeiden. ŷ Es muss eindeutig geklärt sein, welcher Klasse ein Datum zugeordnet wird, das auf eine Klassengrenze fällt. Man umgeht dieses Problem, indem man die Grenzen so definiert, dass sie nicht mit Werten der Stichprobe zusammenfallen. Ansonsten muss man die Klassen als halboffene Intervalle festlegen (meist benutzt man Intervalle, die links offen und rechts abgeschlossen sind). i In früheren Zeiten – als man einen Mittelwert noch per Hand oder z bestenfalls mit einem Taschenrechner ermittelte – erleichterte man sich bei umfangreichem Datenmaterial die Arbeit, indem man die Daten in eine überschaubare Anzahl von Klassen zusammenfasste und den Mittelwert und andere Kenngrößen aus den Klassenmitten ermittelte. Deshalb legte man Wert darauf, dass die Klassenmitten rechentechnisch günstige Werte waren. Heute – im Zeitalter benutzerfreundlicher Statistiksoftware – ist dieses Argument obsolet. Die Einteilung in Klassen wird hauptsächlich vorgenommen, um die Daten übersichtlich graphisch darstellen zu können.

Bei klassierten Daten ermittelt man die absolute Häufigkeit oder die Besetzungszahl einer Klasse und bezeichnet diese als ni . Der Laufindex i kennzeichnet die Klassen in aufsteigender Reihenfolge ( i 1 bezeichnet also die erste Klasse mit den kleinsten Messwerten, i k die letzte Klasse mit den größten Werten). Basierend auf den absoluten Häufigkeiten ni berechnet man die relativen Klassenhäufig-

3

44

Kapitel 3 · Häufigkeiten

keiten hi sowie die Summenhäufigkeiten N i und H i ebenso wie bei diskreten Merkmalen.

3

Beispiel 3.2 Die Messwerte für die Körpergröße der 82 Studenten in Tabelle 2.1 variieren zwischen 157 und 194 cm. Das Intervall (152,5 cm; 197,5 cm) wird in 9 Klassen der Klassenbreite 5 cm eingeteilt. Dadurch ist gewährleistet, dass kein Messwert auf eine Klassengrenze fällt. absolute relative absolute relative Summen- SummenLaufindex Klassengrenzen Häufigkeit Häufigkeit häufighäufigi in cm ni hi keit N i keit Hi 1 (152,5 ; 157,5) 1 0,01 1 0,01 2 (157,5 ; 162,5) 7 0,09 8 0,10 3 (162,5 ; 167,5) 14 0,17 22 0,27 4 (167,5 ; 172,5) 23 0,28 45 0,55 5 (172,5 ; 177,5) 13 0,16 58 0,71 6 (177,5 ; 182,5) 8 0,10 66 0,80 7 (182,5 ; 187,5) 11 0,13 77 0,94 8 (187,5 ; 192,5) 2 0,02 79 0,96 9 (192,5 ; 197,5) 3 0,04 82 1 Um die Häufigkeitsbegriffe zu verdeutlichen, betrachten wir die 4. Klasse mit den Klassengrenzen 167,5 cm und 172,5 cm. Die absolute Häufigkeit n4 beträgt 23, die relative Häufigkeit h4 28 %. Das bedeutet: 23 Studenten (das entspricht 28 %) haben eine Körpergröße zwischen 167,5 cm und 172,5 cm. Die absolute und die relative Summenhäufigkeit N 4 bzw. H 4 besagen, dass 45 Studenten bzw. 55 % eine Körpergröße von weniger als 172,5 cm haben und damit zu einer der Klassen 1 bis 4 gehören. i Wenn eine Intervallgrenze durch eine runde Klammer angegeben wird, z bedeutet dies, dass der Grenzwert nicht zum Intervall gehört. Eine eckige Klammer ([ oder ]) zeigt an, dass der Grenzwert zum Intervall gehört.

3.2.2

Graphische Darstellungen

x Stamm-und-Blatt-Diagramm. Dazu werden die Stichprobenwerte „ zunächst nach ihrer Größe geordnet und dann von unten nach oben aufgetragen. Der Stamm besteht aus den ersten Stellen der Stichpro› Abbildung benwerte, die Blätter stellen die folgenden Ziffern dar (z 3.3). Diese Darstellung benutzt man, um sich einen schnellen Überblick über die Häufigkeitsverteilung zu verschaffen. Für Präsentationszwecke ist sie weniger geeignet.

3

45 3.2 Häufigkeiten bei stetigen Merkmalen

x Histogramm. Bei dieser Darstellung wird jede Klasse durch ein „ Rechteck repräsentiert, dessen Flächen proportional zu den jeweiligen Klassenhäufigkeiten sind. Am übersichtlichsten ist ein › Abbildung 3.4); dann Histogramm mit gleichen Klassenbreiten (z sind auch die Höhen der Rechtecke proportional zu den Häufigkeiten. Falls Daten auf eine Klassengrenze fallen, muss gekennzeichnet werden, welcher Klasse diese Daten zugerechnet werden (üblicherweise wählt man die untere Klasse). – Die mathematische Funktion, die ein Histogramm beschreibt, bezeichnet man als empirische Dichte. Sie ist definiert als:

f ( x)

­0 für x d a0 ° ° hi für ai 1  x d ai (i ® ° ai  ai 1 °¯0 für x ! ak

1,..., k )

(3.4)

Dabei sind a i 1 und a i die untere bzw. die obere Grenze der i. Klasse, k ist die Klassenanzahl. Dieses Histogramm besteht aus Rechtecken der Fläche hi . Die Gesamtfläche hat den Wert 1. x Häufigkeitspolygon. Diese Darstellung erhält man, indem man „ senkrecht auf die Klassenmitten Strecken in Höhe der entsprechenden Häufigkeiten aufträgt und deren Endpunkte miteinander ver› Abbildung 3.5). Dadurch ergibt sich ein Polygon (griechibindet (z scher Ausdruck für Vieleck), das von den Verbindungslinien und der Abszisse begrenzt wird. Merke Anhand der Häufigkeitsverteilung oder eines Diagramms lassen sich bei quantitativen Merkmalen folgende Eigenschaften ablesen: ŷ Lage: In welchem Bereich konzentrieren sich die Werte? Welches ist der größte, welches der kleinste Wert? Welche Ausprägungen sind häufig, welche selten oder nie vertreten? ŷ Streuung: Streuen die Werte weit um den Mittelwert? Gibt es Ausreißer? ŷ Form: Hat die Verteilung eine besondere Form? Ist sie symmetrisch oder schief? Wie viele Gipfel sind erkennbar?

46

3

Kapitel 3 · Häufigkeiten

Abb. 3.3 Stamm- und Blattdiagramm; Darstellung der Körpergewichte der männlichen Studenten

Abb. 3.4 Histogramm für das Merkmal „Körpergröße“ (Beispiel 3.2), Einteilung in 9 Klassen

Abb. 3.5 Häufigkeitspolygon für das Merkmal „Körpergröße“ (Beispiel 3.2)

Eine graphische Darstellung liefert zwar auf einen Blick wesentliche Informationen; sie allein ist jedoch für eine statistische Datenanalyse unzureichend. Kenngrößen, die die oben genannten Eigenschaften quantitativ beschreiben, sind Gegenstand des Kapitels 4.

3.3

Die empirische Verteilungsfunktion

Bei quantitativen oder ordinal skalierten Merkmalen mag es sinnvoll sein, die Häufigkeiten beginnend bei der kleinsten Ausprägung in aufsteigender Reihenfolge aufzuaddieren. Dadurch erhält man die Anzahl der Daten, die eine bestimmte obere Grenze nicht überschreiten. Diese Häufigkeiten nennt man kumulative oder Summenhäufigkeiten. Unter der Annahme, dass die Ausprägungen sortiert sind mit A1  A2  ... Ak , sind die absoluten Summenhäufigkeiten definiert als:

3

47 3.3 Die empirische Verteilungsfunktion i

Ni

¦n

j

(für i 1,..., k )

(3.5)

j 1

Für die relativen Summenhäufigkeiten gilt entsprechend: i

Hi

¦h

j

(für i 1,..., k )

(3.6)

j 1

Beispiel 3.3 Für die Anzahl richtig gelöster Klausuraufgaben ergeben sich mit den Daten aus Tabelle 2.1 folgende Häufigkeiten (wobei Ai die Anzahl richtiger Lösungen bezeichnet): absolute relative absolute relative SummenSummenLaufindex Ausprägung Häufigkeit Häufigkeit Ai häufigkeit häufigkeit i ni hi Ni Hi 1

A1

0

0

0

0

0

2

A2

1

1

0,01

1

0,01

3

A3

2

2

0,02

3

0,04

4

A4

3

3

0,04

6

0,07

5

A5

4

5

0,06

11

0,13

6

A6

5

4

0,05

15

0,18

7

A7

6

6

0,07

21

0,26

8

A8

7

8

0,10

29

0,35

9

A9

8

13

0,16

42

0,51

10

A10

9

14

0,17

56

0,68

11

A11

10

12

0,15

68

0,83

12

A12

11

9

0,11

77

0,94

13

A13

12

5

0,06

82

1

Wenn zum Bestehen der Klausur 6 Punkte erforderlich sind, haben 18 % der Studenten dieses Ziel nicht erreicht.

48

3

Kapitel 3 · Häufigkeiten

Abb. 3.6 empirische Verteilungsfunktion F ( x ) für das Merkmal „Anzahl richtig gelöster Klausuraufgaben“ (Beispiel 3.3, Seite 47)

Die zu den einzelnen Ausprägungen gehörenden relativen Summenhäufigkeiten H i werden durch die empirische Verteilungsfunktion F ( x ) mathematisch beschrieben:

F ( x)

­0 für x  A1 ° ® H i für Ai d x  Ai 1 (i °1 für x t A ¯ k

1,..., k  1)

(3.7)

F (x ) gibt die relativen Häufigkeiten an, mit der in der Stichprobe Werte vorhanden sind, die gleich x oder kleiner als x sind. Für das obige Beispiel 3.3 gilt: F ( A10 9) 0,68 . Das bedeutet: 68 % der Studenten haben 9 oder weniger Punkte bei der Klausur erreicht. – Die Abbildung 3.6 verdeutlicht wesentliche Eigenschaften von F (x ) :

ŷ F (x) ist eine Treppenfunktion; ŷ F ( x) 0 für alle x, die kleiner als der kleinste Stichprobenwert x min sind; ŷ F (x) wächst ab x min monoton von 0 bis 1;

ŷ F ( x) 1 ab dem größten Wert x max . i Eine Funktion heißt monoton wachsend, wenn für zwei x-Werte mit z x1  x2 gilt: F ( x1 ) d F ( x2 ) . Falls sogar gilt: F ( x1 )  F ( x2 ) für x1  x2 , heißt die Funktion streng monoton wachsend. Die empirische Verteilungsfunktion F ( x ) für diskrete Merkmale ist demnach monoton, aber nicht streng monoton wachsend.

Die empirische Verteilungsfunktion F(x) nach (3.7) lässt sich auch für quantitativ stetige Merkmale ermitteln. Bei fein abgestuften Ausprägungen sind die Anzahl der Treppen entsprechend zahlreich und die Stufen entsprechend niedrig; die Treppenfunktion nähert sich einer glatten Kurve.

3

49 3.4 2-dimensionale Häufigkeiten

In der Pharmakologie werden Verteilungsfunktionen zur Analyse der dosisabhängigen Wirksamkeit eines Pharmakons verwendet. Dabei beschreibt die empirische Funktion F(x) den relativen Anteil der Untersuchungseinheiten, bei denen ein Effekt der Dosis x erkennbar ist. Die graphische Darstellung von F(x) bezeichnet man als Dosiswirkungskurve.

3.4

2-dimensionale Häufigkeiten

3.4.1

Die Kontingenztafel

Bisher wurde lediglich die Häufigkeitsverteilung eines einzelnen Merkmals betrachtet. Bisweilen ist es interessant, den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen, die an den Beobachtungseinheiten erhoben wurden, näher zu beleuchten. Wenn es sich dabei um zwei qualitative Merkmale handelt, spricht man von Assoziation oder Kontingenz. Wir betrachten im Folgenden zwei diskrete Merkmale mit den Ausprägungen Ai ( i 1,..., k ) und B j ( j 1,..., A) . Dann beträgt die Anzahl aller denkbaren Kombinationen k ˜ A . Die absoluten Häufigkeiten nij bezeichnen die Anzahl der Beobachtungseinheiten, bei denen die Ausprägungen Ai und B j gemeinsam auftreten. Für die relativen Häufigkeiten ergibt sich dann: nij

hij

mit i 1,..., k und j 1,..., A

n

(3.8)

Die hij erstrecken sich zwischen 0 und 1. Wenn man alle Häufigkeiten aufaddiert, erhält man: k

A

¦¦ n

ij

n

(3.9)

1

(3.10)

i 1 j 1 k

A

¦¦ h

ij

i 1 j 1

Die Häufigkeiten, die sich nur auf die Ausprägungen Ai oder B j beziehen, sind die so genannten Randhäufigkeiten oder Randsummen. Diese Häufigkeiten lassen sich übersichtlich in einer Tabelle – der so genannten Kontingenztafel – darstellen. Im Kopf und in der

50

3

Kapitel 3 · Häufigkeiten

Vorspalte sind die Ausprägungen der beiden Merkmale aufgelistet. Im Innern enthält die Tabelle Felder mit den jeweiligen Häufigkeiten. In der letzten Tabellenspalte oder der letzten Zeile können Randsummen eingetragen werden. In Beispiel 3.4 werden zwei Alternativmerkmale betrachtet; daher enthält die Tabelle im Innern nur vier Felder. Diese einfachste Form der Kontingenztafel nennt man auch Vierfeldertafel. Außer den absoluten Häufigkeiten nij lassen sich bei Bedarf zusätzlich die relativen Häufigkeiten hij (die sich auf den gesamten Stichprobenumfang beziehen) sowie die relativen Reihen- oder Spaltenhäufigkeiten (die sich auf die Reihen- bzw. Spaltensummen beziehen) angeben. Beispiel 3.4 Für die Merkmale „Rauchen und Geschlecht“ ergeben sich aus den Daten der Tabelle 2.1 folgende Zusammenhänge. Angegeben sind jeweils: die absoluten Häufigkeiten nij, die relativen Häufigkeiten hij, die relativen Reihenhäufigkeiten, die relativen Spaltenhäufigkeiten:

männlich

weiblich

Raucher

Nichtraucher

7 (0,09) (0,25) (0,27) 19 (0,23) (0,35) (0,73) 26 (0,32)

21 (0,26) (0,75) (0,38) 35 (0,43) (0,65) (0,63) 56 (0,68)

28 (0,34)

54 (0,66) 82

Daraus geht hervor, dass sich die Menge der 82 Studenten aus 26 Rauchern (32 %) und 56 Nichtrauchern (68 %) bzw. aus 28 Männern (34 %) und 54 Frauen (66 %) zusammensetzt. Die 21 nicht rauchenden Männer stellen 26 % des Gesamtkollektivs dar. 25 % der Männer und 35 % der Frauen rauchen. Die Raucher sind zu 27 % männlich; die Nichtraucher zu 38 %.

51 3.4 2-dimensionale Häufigkeiten

Abb. 3.7 Zusammenhang zwischen Rauchen und Geschlecht, 2-dimensionales Balkendiagramm (Beispiel 3.4)

Abb. 3.8 Zusammenhang zwischen Rauchen und Geschlecht, 3-dimemsionales Balkendiagramm (Beispiel 3.4)

3.4.2

Graphische Darstellungen

Die Kontingenztafeln enthalten zwar genaue Informationen bezüglich der Häufigkeiten; sie sind jedoch wenig geeignet, um den Grad eines Zusammenhangs zu erfassen. Zu diesem Zweck bedient man sich u. a. graphischer Darstellungen. Assoziationsmaße, die den Grad eines Zusammenhangs zwischen zwei qualitativen Merkmalen quantifizieren, sind Gegenstand des Abschnitts 12.2.4. x Balkendiagramm. Die Zusammenhänge zweier qualitativer „ Merkmale lassen sich mittels eines Balkendiagramms darstellen. Die Längen der Balken repräsentieren die Häufigkeiten der Ausprägungen Ai des ersten Merkmals. Außerdem ist jeder Balken entsprechend der Häufigkeiten der B j -Ausprägungen des zweiten Merk› Abbildung 3.7). Eine andere Möglichkeit der gramals unterteilt (z phischen Darstellung besteht darin, für jede Merkmalskombination einen 3-dimensionalen Balken zu erstellen, der die jeweilige Häufigkeit nij repräsentiert, und die k ˜ A Balken in räumlicher Perspektive › Abbildung 3.8). anzuordnen (z

3

52 3.4.3

3

Kapitel 3 · Häufigkeiten

Ausblick auf die induktive Statistik

In diesem Kapitel wurden Methoden vorgestellt, die dazu dienen, eine Häufigkeitsverteilung zu quantifizieren und optisch darzustellen. Die Beschreibung einer Stichprobe ist – für sich allein genommen – jedoch unbefriedigend. Bisher wurde die Frage ausgeklammert, inwieweit sich die Ergebnisse verallgemeinern lassen. Bei der Betrachtung des Beispiels 3.4 drängen sich folgende Fragen auf:

ŷ Aus der Vierfeldertafel geht hervor, dass 2/3 aller Medizinstudenten des 1. klinischen Semesters weiblich sind. Kann man daraus schließen, dass die Frauen unter den Medizinstudenten die Mehrheit darstellen? Oder ist dieser Schluss zu gewagt? ŷ 25 % der Männer rauchen, wohingegen dieser Anteil bei den Frauen 35 % beträgt. Kann man daraus schließen, dass Frauen mehr rauchen, oder sind die unterschiedlichen Anteile nur zufällig bedingt und haben ansonsten keine tiefere Bedeutung? Auf derlei Fragen kann die deskriptive Statistik keine hinreichenden Antworten geben. Dazu bedarf es Methoden der induktiven Statistik. In den Kapiteln 9 bis 12 werden wir auf darauf zurückkommen. Die oben genannten Fragen werden in den Abschnitten 12.1 (Binomialtest) und 12.2.1 (Vierfeldertest) geklärt.

4

Die Beschreibung eines Merkmals 4.1

Die Methoden der univariaten Statistik 55

4.2

Lagemaße 55

4.2.1 Das arithmetische Mittel 55 4.2.2 Der Median 57 4.2.3 Quartile und Quantile 60 4.2.4 Der Modus 62 4.2.5 Minimum und Maximum 63 4.2.6 Das geometrische Mittel 63 4.2.7 Das harmonische Mittel 63

4.3

Streuungsmaße 64

4.3.1 Varianz und Standardabweichung 64 4.3.2 Der Variationskoeffizient 66 4.3.3 Die Spannweite 67 4.3.4 Weitere Streuungsmaße 67

4.4

Formmaße 69

4.4.1 Die Schiefe 69 4.4.2 Die Wölbung 72

4.5

Bemerkungen zu den Stichproben 73

4.5.1 Der Vergleich mehrerer Stichproben 73 4.5.2 Graphische Darstellungen 74 4.5.3 Anforderungen an die Stichproben 75

4

55 4.1 Die Methoden der univariaten Statistik

4.1

Die Methoden der univariaten Statistik

In diesem Kapitel werden Methoden vorgestellt, mit denen sich die charakteristischen Eigenschaften eines einzelnen Merkmals beschreiben lassen. Die geeigneten Methoden sind abhängig von der Art des jeweiligen Merkmals, insbesondere von dessen Skalenniveau. Zur quantitativen Analyse eines Merkmals bedarf es aussagekräftiger statistischer Kenngrößen (oder Maßzahlen). Man unterscheidet hierbei Lagemaße, Streuungsmaße und Formmaße. Diese werden in den Abschnitten 4.2 bis 4.4 besprochen. Abschließende Bemerkungen zu den Stichproben finden sich in Abschnitt 4.5. i Die Daten der Stichprobe werden allgemein mit x ,..., x bezeichnet. z 1 n Diese Werte bilden die so genannte Urliste. Die tief gestellten Indizes geben die Reihenfolge an, in der die Daten erhoben wurden; sie haben darüber hinaus keine tiefere Bedeutung. Die Zahl n symbolisiert den Stichprobenumfang. – Die Kengrößen werden aus den Daten der Stichprobe ermittelt und dienen als Schätzwerte für die entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit. Man nennt sie deshalb empirische Größen.

4.2

Lagemaße

Die Lagemaße (auch Lokalisationsmaße genannt) geben an, in welchem Bereich sich die Stichprobenwerte konzentrieren. 4.2.1

Das arithmetische Mittel

Das bekannteste Lagemaß ist der Mittelwert (das arithmetische Mittel oder der Durchschnitt). Er wird mit x (sprich: x quer) bezeichnet und nach folgender Formel berechnet: n

¦ xi x

i 1

n

(4.1)

Es werden also alle Stichprobenwerte addiert und deren Summe durch den Stichprobenumfang n dividiert (zur Erklärung des ƶ-Zei› Abschnitt 3.1, Seite 39). chens: z

56

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

Beispiel 4.1 Von den Merkmalen der Tabelle 2.1 lassen sich Mittelwerte für die Körpergröße, das Körpergewicht und die Anzahl der richtig gelösten Klausuraufgaben berechnen. Für die mittlere Körpergröße erhält man: xm 182, 29 cm (männliche Studenten, n 28 ) xw

xges

4

168, 43 cm

173,16 cm

(weibliche Studenten, n (alle Studenten, n

54 )

82 )

Es fällt auf, dass die weiblichen Studenten im Durchschnitt wesentlich kleiner sind als ihre männlichen Kommilitonen. Ob dieser Unterschied nur zufällig bedingt ist oder ob er ein Hinweis darauf ist, dass weibliche Studenten generell kleiner sind als männliche, kann an dieser Stelle nicht beurteilt werden. Die induktive Statistik stellt Methoden zur Verfügung, die eine Entscheidung › Kapitel 11). diesbezüglich gestatten (z

Der Mittelwert hat dieselbe Maßeinheit wie die Daten der Stichprobe. Bei einem kleinen Stichprobenumfang bis n 10 sollte er mit einer zusätzlichen Kommastelle angegeben werden; bis n 100 erscheinen zwei und erst ab n 1000 drei zusätzliche Stellen sinnvoll (auch wenn der Taschenrechner oder der PC wesentlich mehr Kommastellen angeben). Ansonsten täuscht man eine höhere Messgenauigkeit vor als in Wirklichkeit gegeben ist. Der Mittelwert ist sicherlich die bekannteste Kenngröße der deskriptiven Statistik; allerdings wird seine Bedeutung häufig überschätzt. Viele Anwender wissen nicht, dass dessen Berechnung nicht in jedem Fall sinnvoll ist und dass andere Lagemaße existieren, die sich zur Beschreibung einer Häufigkeitsverteilung eventuell besser eignen. Ein Nachteil des Mittelwerts besteht darin, dass er von Ausreißern stark beeinflusst wird und daher bei schiefen Verteilungen › Beispiel 4.3). ein verzerrtes Bild der Verteilung wiedergibt (z Aus der mathematischen Herleitung geht hervor, dass der Mittelwert nur dann berechnet werden soll, wenn die Differenz zwischen zwei Werten definiert ist. Dies setzt quantitative Merkmale voraus. Ein Mittelwert, der einem ordinalen oder gar einem nominalen Merkmal zugeordnet wird, ist nicht sinnvoll interpretierbar › Beispiel 4.4, Seite 59). (z Merke Der Mittelwert ŷ sollte nur für quantitative Merkmale (nicht für ordinal skalierte) berechnet werden; ŷ ist vor allem bei symmetrischen, eingipfeligen Verteilungen sinnvoll; ŷ nutzt im Gegensatz zu anderen Lagemaßen alle Informationen der Stichprobenwerte.

57 4.2 Lagemaße

Ob ein Merkmal annähernd symmetrisch verteilt ist, kann anhand einer geeigneten graphischen Darstellung (z. B. Histogramm) oder › Abschnitt 4.4.1) beurteilt werden. am Wert der Schiefe (z Mathematische Herleitung des Mittelwertes Vom Mittelwert x erwartet man, dass er die Lage der Werte xi optimal repräsentiert; d. h. die Abweichungen der xi von x sollten möglichst gering sein. Die Summe aller Abstände ¦ ( xi  x ) zu minimieren ist nicht sinnvoll, da sich positive und negative Abweichungen gegenseitig ausgleichen. Daher berechnet man x so, dass die Summe der Abstandsquadrate ¦ ( xi  x ) 2 minimal wird. Dieses Vorgehen bezeichnet man als die Methode der kleinsten Quadrate. Aus der Analysis ist bekannt, dass eine Funktion im Punkt x ein relatives Minimum hat, wenn gilt: f ' ( x ) 0 und f ' ' ( x ) ! 0 . Man berechnet also für die Funktion

f(x)

n

n

n

i 1

i 1

i 1

¦ ( xi  x )2 ¦ xi2  2 x ¦ xi  n ˜ x 2

ein x , für das gilt:

n

f'( x )

2

¦ xi  2nx

0 und

f '' ( x )

2n ! 0 .

i 1 n

Offensichtlich erfüllt der Wert x

¦ xi / n

diese Voraussetzungen.

i 1

Da mit diesem x die Summe der Abstandsquadrate minimiert ist, gilt: n

n

i 1

i 1

¦ ( xi  x )2 d¦ ( xi  c )2 für alle reellen Zahlen c. Diese Ungleichung beschreibt die so genannte Minimumeigenschaft des Mittelwertes.

4.2.2

Der Median

Der empirische Median (oder Zentralwert) teilt die Stichprobenwerte in zwei Hälften: Die eine Hälfte der Daten ist höchstens so groß wie der Median, die andere Hälfte ist mindestens so groß. Um diese Kenngröße, die üblicherweise mit x (sprich: x Schlange) bezeichnet wird, zu ermitteln, sind die Stichprobenwerte der Größe nach zu sortieren. Die geordneten Werte werden mit tiefgestellten, in Klammern gesetzten Indizes versehen, sodass gilt: x(1) d x(2) d ... d x(n )

4

58

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

Demnach ist x (1) der kleinste Wert der Stichprobe (er wird auch als xmin bezeichnet); x (n ) oder x max ist der größte Wert. Die sortierten Stichprobenwerte nennt man Rangliste. Das dazugehörende Merkmal muss mindestens ordinal skaliert sein, da für nominal skalierte Daten keine sinnvolle Rangfolge definiert ist. Der empirische Median x wird in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang n nach folgender Formel ermittelt:

4 ~ x

­ x § n 1 · ° ¨© 2 ¸¹ ° ® x§ n ·  x§ n · ¨ 1¸ ° ¨© 2 ¸¹ ©2 ¹ ° 2 ¯

für n ungerade

(4.2) für n gerade

Aus (4.2) folgt, dass x entweder ein Wert der Urliste ist (falls n ungerade) oder der Durchschnittswert der beiden mittleren Werte (falls n gerade). Deshalb hat der empirische Median dieselbe Maßeinheit wie die xi -Werte und höchstens eine Stelle mehr nach dem Dezimalkomma. Beispiel 4.2 Nach der Formel (4.2) ergeben sich für die Messwerte der Körpergröße aus Tabelle 2.1 folgende Medianwerte: xm(14)  xm (15) ~ 184 cm xm (männliche Studenten, n 28 ) 2 xw( 27)  xw( 28) ~ xw (weibliche Studenten, n 54 ) 168,5 cm 2 x( 41)  x( 42) ~ xges (alle Studenten, n 82 ) 170 cm 2

Da bei ordinal skalierten Daten die Berechnung des Mittelwerts nicht statthaft ist, wird stattdessen gerne der Median als Lagemaß benutzt. Ein weiterer Vorteil des Medians liegt darin, dass er gegenüber Ausreißern robust ist. Ausreißer bewirken, dass Mittelwert und Median voneinander abweichen – in diesen Fällen ist die Verteilung schief. Wenn sie in etwa übereinstimmen, ist dies ein Hinweis darauf, dass die Verteilung symmetrisch ist. Ein Vergleich der beiden Lagemaße liefert demnach Hinweise auf die Form der zugrunde lie› Abschnitt 4.4). genden Verteilung (z

59 4.2 Lagemaße

Beispiel 4.3 Die postoperative Krankenhaus-Aufenthaltsdauer von vier Patienten nach einer Appendektomie betrug 4, 5, 5 und 6 Tage. Bei einem weiteren Patienten traten Komplikationen ein; er blieb 20 Tage im Krankenhaus. Aus diesen 5 Werten ergibt sich eine mittlere Aufenthaltsdauer von 8 Tagen; der Median beträgt dagegen nur 5 Tage. Der Mittelwert wird wesentlich vom Ausreißer bestimmt; er gibt die tatsächlichen Verhältnisse verzerrt wieder. Der Median ist dagegen von diesem Ausreißer weitgehend unbeeinflusst. Beispiel 4.4 Wir betrachten das ordinal skalierte Merkmal „Therapieerfolg“ mit den Ausprägungen 0 (Patient verstorben), 1 (Zustand verschlechtert), 2 (keine Veränderung eingetreten), 3 (Zustand verbessert) und 4 (Patient vollständig geheilt). Wenn jeweils die eine Hälfte der Patienten verstorben und die andere vollständig geheilt ist, besagt der Median ~ x 2 , dass bei der Hälfte der Patienten keine Veränderung oder ein schlechterer Zustand eingetreten ist, während bei der anderen Hälfte der Zustand unverändert geblieben ist oder sich gebessert hat. Es ist jedoch vollkommen sinnlos, aus den Codierungen einen Mittelwert von 2 zu berechnen und zu behaupten, „keine Veränderung“ sei der Durchschnitt zwischen „tot“ und „vollständig geheilt“.

Bei zensierten Daten (etwa in Überlebensstudien) hat der Median den Vorteil, dass er bereits berechnet werden kann, nachdem die Hälfte der Studienteilnehmer verstorben ist. Um einen Mittelwert zu berechen, müsste man den Tod aller Untersuchungseinheiten abwarten. – Wenn es sich bei dem Merkmal um die verabreichte Dosis eines Pharmakons handelt, ist der Median die Dosis, bei der bei der Hälfte der Untersuchungseinheiten ein Effekt erkennbar ist. Merke Die Angabe des Medians ist sinnvoll ŷ bei ordinal skalierten Daten; ŷ bei quantitativen Merkmalen, die schief verteilt sind; ŷ bei Verdacht auf Ausreißer; ŷ bei zensierten Daten. Wenn der Mittelwert und der Median stark voneinander abweichen, sollte dies bei der Präsentation der Ergebnisse und ihrer Interpretation berücksichtigt werden.

4

60

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

Mathematische Beschreibung des Medians Der Median x ist der Wert, für den die Summe der Abweichungsbeträge n

¦ x  x i

i 1

4

n

minimal ist; d. h.:

n

¦ x  x d ¦ x  c i

i 1

i

für alle reellen Zahlen c.

i 1

Diese Ungleichung beschreibt die Minimumeigenschaft des Medians. Diese Eigenschaft setzt metrisch skalierte Merkmale voraus, da Differenzen bei ordinal skalierten Merkmalen nicht definiert sind. Für die Berechnung des Medians werden jedoch nicht alle Werte benötigt; nur deren Reihenfolge ist maßgebend. Da diese Reihenfolge auch bei einer Ordinalskala definiert ist, ist die Berechnung des Medians auch bei diesen Merkmalen üblich.

4.2.3

Quartile und Quantile

Während der Median die Stichprobe in zwei Hälften einteilt, teilen die Quartile die Stichprobe in vier Viertel. x Unteres oder erstes Quartil Q1 . Dieses besagt, dass 25% der „ Stichprobenwerte kleiner oder gleich Q1 sind, während dementsprechend 75% der Werte größer oder gleich Q1 sind. x Oberes oder drittes Quartil Q3 . Analog gilt, dass 75% der Werte „ maximal so groß wie Q3 sind, das restliche Viertel größer oder gleich Q3 . x Mittleres oder zweites Quartil Q2 . Es entspricht dem Median x . „ Eine weitere Verfeinerung der Häufigkeitsverteilung gestatten die Quantile (oder Fraktile) xD , die für alle reellen Zahlen D mit 0  D  1 definiert sind. Ein D-Quantil kann folgendermaßen berechnet werden: Man ermittelt zunächst den Wert D ˜ n und davon abhängig eine Rangzahl k und xD nach folgenden Formeln:

ŷ Falls D ˜ n keine ganze Zahl ist, sei k die direkt auf D ˜ n folgende ganze Zahl und xD x( k ) ŷ Falls D ˜ n eine ganze Zahl ist, sei k x( k )  x( k 1 ) xD 2

(4.3a) D ˜ n und

(4.3b)

Spezielle Quantile sind der Median (D = 0,50) sowie die beiden Quartile (D = 0,25 bzw. D = 0,75). Von Dezilen spricht man, falls D 0,1 , 0,2 ,..., 0,9 ; von Perzentilen bei 2-stelligen Kommazahlen D 0,01 , ..., 0,99 .

61 4.2 Lagemaße

Beispiel 4.5 Wir bestimmen die beiden Quartile sowie das 9. Dezil (oder 90. Perzentil) bezüglich der Körpergröße der weiblichen Studenten ( n 54 ): 1. Quartil: D ˜ n 0,25 ˜ 54 13,5 ; also k 14 und Q1

3. Quartil:

D˜n Q3

9. Dezil:

D˜n ~ x

0,90

x(14)

165 cm (nach 4.3a)

0,75 ˜ 54 x( 41)

0,90 ˜ 54 x( 49)

40,5 ; also k

41 und

171 cm (nach 4.3a) 48,6 ; also k

49 und

176 cm (nach 4.3a)

Daraus folgt, dass eine 160 cm große Studentin bezüglich ihrer Körpergröße im unteren Viertel liegt, während eine 177 cm große Dame den oberen 10% angehört. – Für männliche Studenten ( n 28 ) ergibt sich nach (4.3b): x(7)  x(8) Q1 1. Quartil: (177  179) / 2 cm 178 cm 2 x(21)  x(22) Q3 3. Quartil: 187 cm 2 ! In der Literatur werden teilweise etwas andere Berechnungsarten vorgez

schlagen, die jedoch ähnliche Werte wie die Formeln (4.3) liefern. In jedem Fall ist zu beachten, dass derlei Angaben nur bei entsprechend hohen Stichprobenumfängen sinnvoll sind. Außerdem sei angemerkt, dass sich der Median und die Quantile durch ein Punktediagramm oder ein Stamm-und-Blatt-Diagramm schnell und einfach bestimmen lassen. Merke Der Median, die Quartile und alle sonstigen Quantile lassen sich über die empirische Verteilungsfunktion F (x) graphisch abschätzen. Es gilt nämlich nach Definition: F (x~D ) D . Für den Median und die Quartile gelten also: F ( ~x ) 0,5 , F (Q1 ) 0,25 und F (Q3 ) 0,75 .

Die Angabe eines Perzentils kann sehr hilfreich sein, um einen Messwert größenmäßig einzuordnen. So werden etwa in der Kinderheilkunde die individuellen Werte eines Kindes bezüglich Größe, Gewicht oder Kopfumfang mit den altersgemäßen 95%- und 5%Perzentilen verglichen, um zu beurteilen, ob es Auffälligkeiten in der Entwicklung gibt. – Auch in der Labormedizin arbeitet man häufig mit Perzentilen. Wenn etwa für einen Cholesterinwert x gilt: F ( x ) 0, 98 , informiert diese Angabe darüber, dass der Patient mit seinem Wert im oberen 2%-Bereich liegt.

4

62 4.2.4

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

Der Modus

Der Modus (auch Modalwert oder Dichtemittel genannt) ist die Ausprägung mit der größten Häufigkeit. Er wird mit dem Buchstaben D (oder M) abgekürzt und kann bei allen Skalenniveaus ermittelt werden. Bei Daten, die in Klassen eingeteilt sind, gibt man statt des Modalwertes gerne die modale Klasse an – das ist die Klasse mit der größten Besetzungszahl – und bezeichnet deren Mitte als Modus.

4

Beispiel 4.6 › Beispiel 3.1). Bei der Anzahl Der Modus des Merkmals „Blutgruppe“ ist A (z › richtig gelöster Klausuraufgaben (z Beispiel 3.3) ist der Modus theoretisch 9. Diese Angabe ist allerdings weniger sinnvoll, da die Häufigkeit des Modus kaum größer ist als andere Häufigkeiten.

Anhand der graphischen Darstellung ist erkennbar, ob die Verteilung eingipfelig (unimodal), zweigipfelig (bimodal) oder mehrgipfelig (multimodal) ist. Zwei- und mehrgipfelige Verteilungen beobachtet man in der Regel bei heterogenen Populationen, in denen sich mehrere Verteilungen überlappen. – U-förmige Verteilungen sind durch zwei Modalwerte an ihren Rändern und einem Tiefpunkt in der Mitte charakterisiert. Der Mittelwert einer solchen Verteilung repräsentiert einen atypischen Wert. Ein Beispiel wäre das Merkmal „Intensität der Einstellung zu einer alternativen Heilmethode“. Es gibt viele Ablehnende (niedrige Intensität), viele Zustimmende (hohe Intensität), aber wenig Neutrale (mit Werten in der Mitte der Intensitätsskala). Merke Modalwerte werden hauptsächlich angegeben: ŷ bei nominalen Merkmalen, da andere Lagemaße bei diesem Skalenniveau nicht zulässig sind; ŷ bei ordinalen und quantitativen Merkmalen, wenn es sich um einen (oder um mehrere) „ausgeprägte Gipfel“ handelt (dies setzt in der Regel einen sehr hohen Stichprobenumfang voraus). ŷ bei einer U-Verteilung. Die Angabe eines Modalwertes ist nicht empfehlenswert: ŷ bei Alternativmerkmalen (etwa Geschlecht oder Rhesusfaktor); ŷ wenn es keinen „ausgeprägten Gipfel“ gibt.

4

63 4.2 Lagemaße

4.2.5

Minimum und Maximum

Dies sind die beiden extremsten Werte eines ordinal oder metrisch skalierten Merkmals. Sie geben einen sehr groben Überblick über die Streuung der Daten. Außerdem sind diese Maße hilfreich, um die Daten auf Plausibilität zu überprüfen: Fehler, die bei der Dateneingabe entstehen (z. B. ein Dezimalkomma an der falschen Stelle), werden am ehesten durch einen Blick auf das Minimum und das Maximum offensichtlich. Das geometrische Mittelƒƒƒ

4.2.6

Das geometrische Mittel wird bei relativen Änderungen verwendet, bei denen sich der Unterschied zweier Merkmalswerte sinnvoller durch einen Quotienten als durch eine Differenz beschreiben lässt. Dies ist der Fall bei Wachstumserscheinungen (z. B. die Zunahme der Unterhaltskosten einer Klinik) sowie bei Verdünnungsreihen (z. B. Antikörpertiter). Wenn xi die relativen Änderungen bezeichnen (wobei xi ! 0 und dimensionslos), berechnet sich das geometrische Mittel als: xG

n

x1˜...˜x n

(4.4)

Beispiel 4.7 Eine Klinik verzeichnet in zwei aufeinander folgenden Jahren Zuwachsraten der Patientenanzahl von 8% und 5%; im 3. Jahr nimmt die Anzahl um 2% ab, danach bleibt sie konstant. Die relativen Änderungen x i betragen dann: x1 1, 08 , x2 1, 05 , x3 0, 98 und x4 1,00 . Daraus ergibt sich eine mittlere Zuwachsrate von: xG 4 1, 08 ˜ 1, 05 ˜ 0, 98 ˜ 1, 00 1, 027 . Durchschnittlich ist die Patientenanzahl in vier Jahren um 2,7% gestiegen.

4.2.7

Das harmonische Mittelƒƒƒ

Das harmonische Mittel dient als Lagemaß, wenn die Beobachtungswerte xi Verhältniszahlen (also Quotienten) sind, die sich nur in ihren Nennern unterscheiden. Es ist definiert als: xH

n n

1 ¦x i 1 i

(4.5)

64

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

Damit lassen sich etwa eine Durchschnittsgeschwindigkeit, eine Durchschnittsleistung oder eine mittlere Dichte berechnen.

4

Beispiel 4.8 Derselbe Weg s wird einmal mit der Geschwindigkeit v1 20 km/h und ein anderes Mal mit v2 30 km/h zurückgelegt. Die Geschwindigkeiten sind definiert als Quotienten v1 s / t1 bzw. v 2 s / t2 (wobei t1 und t2 die benötigten Zeiten darstellen). Zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit verwendet man das harmonische Mittel nach (4.5): 2 vH 24 1 1  20 30

4.3

Streuungsmaße

Wenn sich zwei Verteilungen hinsichtlich ihrer Lagemaße ähneln, können sie dennoch aufgrund ihrer Streuung sehr unterschiedlich sein. Die Streuungsmaße oder Dispersionsmaße geben Auskunft über die Variabilität der Stichprobenwerte. 4.3.1

Varianz und Standardabweichung

Bei quantitativen Merkmalen ist der Mittelwert das am häufigsten benutzte Lagemaß. Es liegt deshalb nahe, ein Streuungsmaß zu definieren, das die Abweichungen der Stichprobenwerte vom Mittelwert quantifiziert. Ein solches Maß ist die Varianz – das ist die mittlere quadratische Abweichung der Daten vom Mittelwert. Wenn man nun (wie es nahe liegend erscheint) die Varianz berechnet, indem man die Summe der Abstandsquadrate ( xi  x ) 2 durch n dividiert, erhält man die Varianz der Stichprobe. Allerdings ist diese Stichproben-Varianz im Durchschnitt etwas kleiner als die › Abschnitt 9.2.3,) Varianz der Grundgesamtheit. Es wird später (z gezeigt, dass man aus den Messwerten der Stichprobe einen optimalen Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit erhält, wenn man die empirische Varianz nach folgender Formel ermittelt: n

n

¦ ( xi  x ) 2 ¦ xi2  nx 2 Var

i 1

i 1

n 1

n 1

(4.6)

4

65 4.3 Streuungsmaße

Mathematische Herleitung der Varianz Die Methode, anstelle des mittleren Abstandsquadrats einfach den mittleren Abstand vom Mittelwert zu berechnen, erweist sich als unsinnig, da sich positive und negative Abweichungen ausgleichen: n

n

( xi  x ) ¦ xi  nx ¦ i 1 i 1

nx  nx

0

Dies erklärt, weshalb man bei der Berechnung der Varianz die Summe der Abstandsquadrate zugrunde legt. – Wenn man im Zähler von (4.6) die einzelnen Terme ausmultipliziert und addiert, erhält man: n

n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

¦ ( xi  x )2 ¦ xi 2  2 x ¦ xi nx 2 ¦ xi2  2nx 2  nx 2 ¦ xi2 nx 2 Die Division durch n 1 ist dadurch begründet, dass nur n 1 Summanden des Zählers eine Information beinhalten. Wenn nämlich n 1 Stichprobenwerte und der Mittelwert bekannt sind, lässt sich aus diesen Angaben der noch fehlende Summand ermitteln. Die Zahl f n 1 wird auch als die Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnet. Das bedeutet: Man hat die „Freiheit“, n 1 Werte nach Belieben zu verändern und den letzten Wert entsprechend anzupassen, ohne dass sich dabei der Wert der Varianz ändert.

Wegen der quadratischen Dimension ist die Varianz schwer zu interpretieren. Um ein Streuungsmaß mit gleicher Dimension wie die der Stichprobendaten zu erhalten, zieht man die Wurzel aus der Varianz und erhält die Standardabweichung: s

(4.7)

Var

Beispiel 4.9 Für die Standardabweichungen des Merkmals „Körpergröße“ berechnet man: sm 7,22 cm (männliche Studenten, n 28 ) sw

5,42 cm

(weibliche Studenten, n

sges

8, 96 cm

(alle Studenten, n

54 )

82 )

An diesen Werten wird sichtbar, dass die „gemischte“ Gruppe aller Studenten bezüglich der Körpergröße wesentlich heterogener ist als die beiden Gruppen der männlichen und der weiblichen Studenten.

Die Standardabweichung stellt ein Maß für die Homogenität bzw. Heterogenität der Stichprobe dar. Sie ist ebenso wie der Mittelwert nur bei quantitativen Merkmalen sinnvoll. Die Anzahl der sinnvollen, zusätzlichen Kommastellen richtet sich – wie beim Mittelwert – › Seite 56). Im Allgemeinen ist diese nach dem Stichprobenumfang (z

66

4

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

Maßzahl positiv; nur im Extremfall – wenn alle Werte identisch sind und die Stichprobe vollkommen homogen ist – nimmt sie den Wert 0 an. Es ist üblich, quantitative, annähernd symmetrisch verteilte Daten durch den Mittelwert und die Standardabweichung in der Form x r s unter Angabe des Stichprobenumfangs n zu charakterisieren, wie zum Beispiel für die Körpergröße der männlichen Studenten: x r s (182, 29 r 7, 22) cm ( n 28 ). Die Standardabweichung erlaubt folgende Abschätzungen:

ŷ Bei Normalverteilungen liegen etwa 2/3 aller Werte zwischen

x  s und x  s ; zwischen den Grenzen x  2s und x  2 s lie› Tabelle 8.1, Seite 152). gen ungefähr 95% aller Werte (z ŷ Bei symmetrischen, eingipfeligen Verteilungen liegen mindestens 8/9 aller Werte innerhalb der Grenzen x r 2 s und 95% im › Formel 8.21, Seite 156). Bereich x r 3s (z ŷ Generell findet man bei allen (also auch bei schiefen) Verteilungen mindestens 3/4 aller Werte im Intervall x r 2 s und 8/9 in › Formel 8.19, Seite 155). x r 3s (z

4.3.2

Der Variationskoeffizient

Eine Standardabweichung von 7,22 cm – bezogen auf die Körpergröße von männlichen Studenten mit einer Durchschnittsgröße von 182,29 cm – wiegt wesentlich weniger als dieselbe Standardabweichung bezogen auf eine Gruppe von Kleinkindern mit einer mittleren Größe von 90 cm. Dieser Sachverhalt lässt sich durch den Variationskoeffizienten quantitativ beschreiben: V

s / x (falls x ! 0 )

(4.8)

Dieses Maß ist dimensionslos und nur für verhältnisskalierte Merkmale geeignet. Sein Maximum beträgt n . Der relative Variationskoeffizienten kann daher nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen: Vr

s/ x n

(4.9)

i Ein relativer Variationskoeffizient bis zu 0,30 ist in den Biowissenschafz ten keine Seltenheit. Wenn er jedoch wesentlich höher ist, ist dies ein Hinweis darauf, dass die Verteilung extrem schief ist, oder dass zwei inhomogene Gruppen gemeinsam untersucht werden. Dies sollte man nach Möglichkeit vermeiden.

4

67 4.3 Streuungsmaße

Mathematische Herleitung des relativen Variationskoeffizienten Die Varianz ist minimal (d. h. gleich 0), wenn alle Werte der Stichprobe identisch sind. Dann ist auch der relative Variationskoeffizient 0. Die Varianz ist bei gegebenem Mittelwert x maximal, wenn eine Beobachtungseinheit den Wert n ˜ x annimmt, während die anderen n 1 Werte gleich 0 sind. Für diesen Extremfall berechnet man: 1 ˜ ( nx  x )2  ( n  1 ) ˜ ( 0  x )2 ( n  1 )2 ˜ x 2  ( n  1 ) ˜ x 2 s2 n ˜ x2 n 1 n 1 Daraus folgt: 0 d V s / x d n und 0 d Vr d 1 .

4.3.3

Die Spannweite

Das am einfachsten zu berechnende Streuungsmaß ist die Spannweite oder Variationsbreite:

R

xmax  xmin

x( n )  x(1)

(4.10)

Ebenso wie die Standardabweichung ist die Spannweite nur dann gleich 0, wenn alle Stichprobenwerte identisch sind, und ansonsten positiv. Sie ist zwar wesentlich leichter zu berechnen als die Standardabweichung; allerdings berücksichtigt sie nur die beiden extremsten Werte und ist daher sehr stark von Ausreißern beeinflusst. Deshalb wird die Spannweite hauptsächlich bei diskreten Merkmalen mit wenigen Ausprägungen verwendet. i Die Spannweite ist streng genommen nur für quantitative Merkmale z geeignet, da bei niedrigeren Skalenniveaus Differenzen nicht sinnvoll sind. Vielfach wird R jedoch auch bei ordinalen Merkmalen berechnet. Dies ist dann zu vertreten, wenn die Ausprägungen mit natürlichen, aufeinander folgenden Zahlen codiert sind. Die Spannweite ist in diesem Fall nicht als Differenz, sondern als Anzahl der Abstufungen zwischen dem größten und dem kleinsten Wert zu verstehen.

Weitere Streuungsmaßeƒƒƒ

4.3.4

x Dezilabstand. Ein Streuungsmaß, das weniger empfindlich ist als „ die Spannweite, erhält man, wenn man an beiden Rändern der Verteilung jeweils 10 % abschneidet und die Länge dieses so genannten Interdezilbereichs berechnet: I80

x0,90  x0,10

(4.11)

68

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

x Quartilsabstand. Dies ist die Länge des Interquartilsbereichs „ Q1 ,Q3 , der die mittleren 50 % der Stichprobenwerte enthält: I50

4

Q3  Q1

x0,75  x0,25

(4.12)

Beispiel 4.10 Für das Merkmal „Körpergröße“ (Daten aus Tabelle 2.1) berechnet man aus › Beispiel 4.5): den jeweiligen Quartilen (z I 50, m 187 cm  178 cm 9 cm (männliche Studenten, n 28 ) I 50, w

171 cm  165 cm

I 50, ges

179 cm  167 cm 12 cm

6 cm

(weibliche Studenten, n (alle Studenten, n

54 )

82 )

Auch diese Zahlen zeigen, dass die Gruppe aller Studenten heterogener ist als die beiden anderen, geschlechtshomogenen Gruppen.

x Mittlere Abweichung vom Median. Auch dieses Streuungsmaß „ wird – zusammen mit dem Median als Lagemaß – gelegentlich bei ordinal skalierten oder schief verteilten Daten verwendet: n

¦ x  x i

MAx

i 1

n

(4.13)

x Variation Ratio. Schließlich gibt es sogar ein Streuungsmaß für „ nominal skalierte Merkmale: die Variation Ratio VR (ein deutscher Begriff hat sich dafür noch nicht eingebürgert). Es handelt sich dabei um die relative Häufigkeiten der Beobachtungen, die nicht in die modale Kategorie fallen: VR 1  hmodal

(4.14)

(wobei hmodal die relative Häufigkeit des Modalwertes ist).VR nimmt den Wert 0 an, falls alle Beobachtungen identisch sind; ansonsten liegt VR zwischen 0 und 1. Je größer die Anzahl der Merkmalsausprägungen und je weniger sich die Häufigkeiten der einzelnen Kategorien unterscheiden, desto näher liegt VR an 1. Beispiel 4.11 Aus Beispiel 3.1 geht hervor, dass die Blutgruppe A mit 43 % relativer Häufigkeit der Modus ist. Demnach ist VR 0,57 .

4

69 4.4 Formmaße

Merke Lagemaße und Streuungsmaße müssen zusammen passen wie z. B.: ŷ Mittelwert und Standardabweichung bei symmetrisch verteilten Daten ŷ Median und Quartilsabstand (Dezilabstand oder mittlere Abw. vom Median) bei schief verteilten Daten oder Verdacht auf Ausreißer ŷ Modus und Spannweite bei diskreten Merkmalen mit wenigen Ausprägungen ŷ Modus und Variation Ratio bei nominal skalierten Merkmalen

4.4

Formmaße

Einige statistische Methoden setzen eine bestimmte Form der › Abschnitt 8.2) vorMerkmalsverteilung (z. B. Normalverteilung, z aus. Einen ersten Eindruck bezüglich der Verteilungsform liefern die graphischen Darstellungen. Sie lassen u. a. erkennen, ob eine Verteilung einen oder mehrere Gipfel hat, ob sie symmetrisch ist und ob sie stark oder eher schwach gewölbt ist. Die dritte Art der Kenngrößen – die Formmaße – dient dazu, die Verteilungsform quantitativ zu beschreiben. Die Schiefeƒƒƒ

4.4.1

Die Schiefe ist ein Formmaß, das die Symmetrie bzw. Asymmetrie einer Verteilung beschreibt. Sie ist definiert als:

g1

1 ˜ n

n

¦ (x  x)

3

i

i 1

s3

(4.15)

Die Schiefe ist dimensionslos und kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Große Abweichungen der Werte vom Mittelwert werden der 3. Potenz wegen stark betont; kleinere Abweichungen fallen dagegen kaum ins Gewicht. Falls sich positive und negative Abweichungen ausgleichen, ergibt sich für die Schiefe der Wert 0. Die Verteilung ist dann symmet› Abbildung 4.1a). Das bekannteste risch bezüglich des Mittelwerts (z Beispiel einer symmetrischen Verteilung ist wohl die Normalvertei-

70

4

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

lung. Einige, aber bei weitem nicht alle Merkmale in der Medizin sind normalverteilt – etwa die Körpergröße erwachsener Männer oder erwachsener Frauen. Die eigentliche Bedeutung dieser Verteilung werden wir in Kapitel 8 kennen lernen. Viele medizinisch relevante Merkmale sind rechtsschief (linksgipfelig oder linkssteil) verteilt (z. B. das Körpergewicht erwachsener Männer). Die Dichtefunktion hat einen Gipfel an der linken Seite › Abbildung 4.1b). Linksschiefe und einen langen Ausläufer rechts (z › Abbildung 4.1c) (rechtsgipfelige oder rechtssteile) Verteilungen (z findet man in den Biowissenschaften eher selten; ein Beispiel ist die Tragezeit bei Säugetieren. Diese Verteilungen haben einen Gipfel am rechten Rand. – Für eingipfelige Verteilungen gilt: ŷ Bei symmetrischen Verteilungen ist g1 0 und x ~x D , ŷ bei rechtsschiefen Verteilungen ist g1 ! 0 und x ! x ! D , ŷ bei linksschiefen Verteilungen ist g1  0 und x  x  D . Wesentlich einfachere, dafür etwas grobere Abschätzungen für die Schiefe unimodaler Verteilungen lassen sich nach den Formeln von Pearson ermitteln: 3 ˜ ( x  x ) s xD g1 | s g1 |

(4.15a) (4.15b)

Beispiel 4.12 Für die Körpergröße der weiblichen Studenten ergibt sich g1 0,129 . Dieser Wert weicht nur geringfügig von 0 ab; man darf deshalb annehmen, dass dieses Merkmal annähernd symmetrisch verteilt ist. Auch ein Vergleich der Lagemaße xw 168,4 cm und ~ xw 168,5 cm führt zu diesem Schluss.

Auf eine asymmetrische Verteilung kann nur dann geschlossen werden, wenn das empirisch ermittelte g1 stark von 0 abweicht und der Stichprobenumfang hinreichend groß ist. Kleinere Abweichungen von 0 können zufallsbedingt sein und sind insofern kein Hinweis auf eine schiefe Verteilung der Grundgesamtheit. Um eine „echte“ Schiefe einigermaßen sinnvoll abschätzen zu können, sollte ein Stichprobenumfang von mindestens n t 100 vorliegen.

71 4.4 Formmaße

Abb. 4.1 a-e: empirische Verteilungen mit unterschiedicher Schiefe und unterschiedlicher Wölbung

a. symmetrische Verteilung (Schiefe = 0)

b. rechtsschiefe Verteilung (Schiefe > 0)

c. linksschiefe Verteilung (Schiefe < 0)

d. symmetrische Verteilung (Wölbung > 0)

e. symmetrische Verteilung (Wölbung < 0)

4

72

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

Übersicht 2: Univariate Datenbeschreibung – geeignete Maßzahlen und graphische Darstellungen Streuungsmaße

Formmaße

graphische Darstellungen

Nominal- Modus skala

Variation Ratio

--

Kreisdiagr. Rechteckdiagr. Balkendiagr.

Ordinalskala

Variation Ratio Spannweite Quartilsabstand Interdezilabstand

--

Rechteckdiagr. Balkendiagr.

Intervall- Modus skala Median Quartile Quantile Mittelwert

Spannweite Quartilsabstand Interdezilabstand Standardabw.

Schiefe

Verhältnisskala

Spannweite Quartilsabstand Interdezilabstand Standardabw. Variationskoeff.

Skala

4

Lagemaße

Modus Median Quartile Quantile

diskrete Daten: Balkendiagr. symmetrische Punktediagr. Verteilungen: Wölbung stetige Daten: Baum-undBlattDiagramm, Histogramm, Häufigkeitspolygon

Die Wölbungƒƒƒ

4.4.2

Die Wölbung (auch Kurtosis oder Exzess genannt) beschreibt die Massenanhäufungen an den Enden bzw. um den Mittelwert der Verteilung. Sie ist definiert als:

g2

1 n ˜ ¦ ( xi  x ) 4 n i 1 s4

3

(4.16)

73 4.5 Bemerkungen zu den Stichproben

Für symmetrische, eingipfelige Verteilungen gilt:

ŷ Falls g2 0 , sind die Daten normalverteilt. ŷ Falls g2 ! 0 , ist die Verteilung schmaler und steilgipfeliger als

die Glockenkurve der Normalverteilung mit gleicher Standardabweichung, das Maximum ist größer (positiver Exzess, starke Wölbung). Die Werte häufen sich in der Umgebung des Mittel› Abbildung 4.1d). werts und an den Ausläufern (z ŷ Falls g2  0 , ist die Verteilung flacher als die Glockenkurve der Normalverteilung, und das Maximum ist kleiner (negativer Exzess, schwache Wölbung). Eine solche Verteilung hat „ausge› Abbildung 4.1e). prägte Schulterpartien“ (z Auch hier ist zu beachten: Nur größere Abweichungen von 0 lassen den Schluss zu, dass die Daten nicht normalverteilt sind. Kleinere Abweichungen sind in der Regel zufallsbedingt und haben keine tiefere Bedeutung, insbesondere bei nicht allzu großen Stichproben.

4.5

Bemerkungen zu den Stichproben

4.5.1

Der Vergleich mehrerer Stichproben

In diesem Kapitel wurden zahlreiche Methoden vorgestellt, mit denen sich die charakteristischen Eigenschaften eines einzelnen Merkmals graphisch darstellen und numerisch beschreiben lassen. Oft ist es erforderlich, zwei oder mehrere Stichproben zu untersuchen und diese miteinander zu vergleichen. Das Ziel der statistischen Analyse besteht in der Regel darin, einen Unterschied zwischen diesen Gruppen nachzuweisen. In der medizinischen Forschung finden sich dafür vielfältige Anwendungsmöglichkeiten, wie die folgenden Beispiele zeigen:

ŷ Mehrere Therapieformen (z. B. eine neue Therapie und eine

› klinischStandardtherapie) werden miteinander verglichen (z kontrollierte Studie, Kapitel 15); ŷ eine Gruppe von erkrankten Patienten wird zur Klärung eines ätiologischen Faktors einer Gruppe von gesunden Personen ge› Fall-Kontroll-Studie, Kapitel 14); genübergestellt (z ŷ Personen, die einem bestimmten Risiko ausgesetzt sind, und Personen, die diesem Risiko nicht ausgesetzt sind, werden eine › Kohortenstudie, Kapitel 14); Zeitlang gemeinsam beobachtet (z

4

74

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

ŷ zum Wirkungsnachweis einer Therapie wird der Gesundheitszustand von Patienten vor und nach einer therapeutischen Maßnahme erfasst.

4

Ein Vergleich zwischen mehreren Stichproben wird nach folgendem Schema durchgeführt: Zunächst werden geeignete Kenngrößen, die den interessierenden Effekt beschreiben (etwa relative Häufigkeiten, Mittelwerte und Standardabweichungen), für jede Stichprobe getrennt berechnet. Dann wird mittels eines statistischen Tests überprüft, ob die Unterschiede zufällig bedingt oder ob sie „signifikant“ sind. In den Kapiteln 10 bis 12 wird ausführlich auf dieses Thema eingegangen. 4.5.2

Graphische Darstellungen

Auch bei diesen Fragestellungen liefern graphische Darstellungen erste Hinweise: Unterschiede in der Häufigkeitsverteilung eines bestimmten Merkmals erkennt man daran, dass man für jede Stichprobe ein Diagramm anfertigt und diese gemeinsam betrachtet. Bei quantitativen Merkmalen eignen sich die so genannten Box-andWhiskers-Plots besonders gut. Dabei wird jede Stichprobe durch eine rechteckige Box repräsentiert, die unten und oben (bzw. links und rechts) vom 1. und 3. Quartil begrenzt wird und 50 % der Stichprobenwerte beinhaltet. Innerhalb der Box wird der Median gekennzeichnet; der Mittelwert kann ebenfalls eingezeichnet werden (er muss nicht notwendigerweise in der Box liegen). Die von der Box ausgehenden Striche (whiskers = englische Bezeichnung für Schnurrhaare) zeigen die Lage des Minimums und des Maximums der jeweiligen Stichprobe an. Die Plots liefern Hinweise zu Lagemaßen (Mittelwerte, Mediane, Quartile, Maxima und Minima) und Streuungsmaßen (Spannweite, Quartilsabstand). Sie enthalten sogar Informationen bezüglich der Schiefe: Je weiter der Mittelwert und der Median voneinander entfernt sind, desto schiefer ist die Verteilung. i Die Striche müssen sich nicht unbedingt zwischen dem Maximum und z dem Minimum einer Datenreihe erstrecken. Es ist auch möglich, sie zwischen dem 10%- und dem 90%-Perzentil oder dem 1%- und dem 99%-Perzentil zu zeichnen. Damit vermeidet man, dass die Whiskers wegen eines Ausreißers zu sehr in die Länge gezogen werden.

75 4.5 Bemerkungen zu den Stichproben

Abb. 4.2 Box-and-Whisker-Plots bezüglich des Merkmals „Körpergröße“ (Daten aus Tabelle 2.1)

Zum Vergleich zweier Mittelwerte eignet sich außerdem ein abgewandeltes Säulendiagramm, bei dem die Höhe einer Säule dem jeweiligen Mittelwert entspricht. Dabei sollte die Standardabweichung als senkrechter Strich auf den Balken gesetzt werden. Merke Eine graphische Darstellung sollte informieren und nicht manipulieren! Es gibt zahlreiche Tricks, harmlose Effekte durch geschickte Graphiken zu dramatisieren. Wertvolle Hinweise dazu finden sich in [3] und [6]. An dieser Stelle sei lediglich erwähnt, dass der Wertebereich der Achsen da› Abbildungen 4.3a und 4.3b). Es ist in jebei eine wichtige Rolle spielt (z dem Fall wichtig, sich als Leser nicht nur von Graphiken beeindrucken zu lassen, sondern zusätzlich einen Blick auf die Daten zu werfen.

4.5.3

Anforderungen an die Stichproben

Die Häufigkeiten und die empirischen Kenngrößen haben eine doppelte Funktion. Einerseits beschreiben sie die Charakteristika der Stichprobe; darüber hinaus dienen sie als Schätzwerte für die entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit. Man kann natürlich nicht erwarten, dass die Kenngrößen der Stichprobe und die der Grundgesamtheit identisch sind, oder dass die empirisch ermittelte Verteilungsfunktion mit der Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit exakt übereinstimmt. Man ist jedoch in jedem Fall daran interessiert, dass die Kenngrößen der Stichproben in brauchbarer Weise die Eigenschaften der Grundgesamtheit beschreiben. Dazu muss die Stichprobe zwei Bedingungen erfüllen:

ŷ Sie muss repräsentativ für die jeweilige Grundgesamtheit sein, ŷ und der Stichprobenumfang muss hinreichend groß sein.

4

76

4

Kapitel 4 · Die Beschreibung eines Merkmals

Abb. 4.3a Körpergrößen männlicher und weiblicher Studenten. Die y-Achse beginnt bei 0. Diese Darstellung vermittelt den Eindruck, der Unterschied zwischen den beiden Gruppen sei sehr gering.

Abb. 4.3b Die y-Achse beginnt bei 160. Der Unterschied tritt wesentlich deutlicher hervor als in Abbildung 4.3a.

Bei einer sehr kleinen Stichprobe kann es vorkommen, dass einem der Zufall einen Streich spielt und die empirischen Kenngrößen wesentlich beeinflusst, sodass die Eigenschaften der Grundgesamtheit verzerrt wiedergeben werden. Dies kann bei einer größeren Stichprobe nicht so leicht passieren; Ausreißer werden eher ausgeglichen. Daher leuchtet ein, dass eine große Stichprobe bessere Schätzungen ermöglicht als eine kleine. Andererseits bereitet eine umfangreiche Stichprobe in der Medizin oft erhebliche Probleme. Deshalb sollte der Stichprobenumfang nicht größer sein als nötig. Die optimale Stichprobengröße sollte daher vor der Datenerhebung festgelegt werden. Diese hängt von zahlreichen Faktoren ab, u. a. von den Skalenniveaus der Merkmale, den Kenngrößen, die geschätzt werden sollen und der erforderlichen Genauigkeit der Schätzung. Wir werden in Abschnitt 9.2.2 Kriterien kennen lernen, mit denen sich die Güte eines Schätzwertes ermitteln lässt.

5

Die Beschreibung eines Zusammenhangs 5.1

Die Methoden der bivariaten Statistik 79

5.2

Die Korrelationsanalyse 80

5.2.1 Die Punktwolke 80 5.2.2 Die Voraussetzungen der Korrelationsanalyse 82 5.2.3 Die Kovarianz 82 5.2.4 Der Korrelationskoeffizient nach Pearson 84 5.2.5 Interpretation eines Korrelationskoeffizienten 85

5.3

Die Regressionsanalyse 89

5.3.1 Herleitung der Regressionsgeraden 89 5.3.2 Das Bestimmtheitsmaß 92 5.3.3 Nicht-lineare Regression 94

5.4

Weitere Techniken zum Nachweis eines Zusammenhangs 94

5.4.1 Der Korrelationskoeffizient nach Spearman 94 5.4.2 Korrelation zwischen einem quantitativen und einem Alternativmerkmal 98

79 5.1 Die Methoden der bivariaten Statistik

5.1

Die Methoden der bivariaten Statistik

Bei den meisten medizinischen Studien werden mehrere Merkmale erfasst. In diesen Fällen ist es interessant, nicht nur einzelne Merkmale zu beschreiben, sondern darüber hinaus den Zusammenhang zwischen zwei oder mehreren Merkmalen zu untersuchen. Aus Erfahrung oder aufgrund theoretischer Überlegungen ist oft bekannt, ob ein solcher Zusammenhang besteht. So weiß man beispielsweise, dass das Körpergewicht eines Menschen von dessen Größe mitbestimmt wird; das Auftreten bestimmter Krankheiten ist im Allgemeinen abhängig von diversen Risikofaktoren, viele auch vom Geschlecht der Patienten. Manche Zusammenhänge sind besonders stark ausgeprägt (z. B. zwischen dem Geschlecht einer Person und der Erkrankung an Hämophilie), andere dagegen eher schwach (z. B. zwischen Körpergröße und Gewicht). Aus der Mathematik und der Physik sind Zusammenhänge zwischen zwei oder mehreren Größen hinlänglich bekannt. So besteht beispielsweise zwischen dem Umfang U und dem Radius r eines Kreises die lineare Beziehung U 2S ˜ r ; den Weg s, den ein aus dem Ruhezustand frei nach unten fallender Körper nach der Zeit t zurückgelegt hat, lässt sich ausdrücken durch s 1 / 2 ˜ gt 2 (wobei g die Erdbeschleunigung bezeichnet). Diese Art von Zusammenhängen nennt man funktional: Eine Größe kann aus der anderen mittels einer mathematischen Gleichung exakt berechnet werden. Die Zusammenhänge in der Medizin sind stochastisch, weil dabei bekanntlich auch der Zufall eine Rolle spielt. Es ist deshalb nicht möglich, exakte Aussagen oder Vorhersagen zu treffen. Man kann jedoch angeben, welche Werte – bei bekannter Ausprägung des einen Merkmals – das andere Merkmal mit größerer oder kleinerer Wahrscheinlichkeit annehmen wird. Wenn beispielsweise ein gesicherter Zusammenhang zwischen der Dosis eines Medikaments und dessen Wirkung besteht und die Art dieses Zusammenhangs bekannt ist, kann man aufgrund der Dosis einen Effekt abschätzen, ehe dieser eingetreten ist. Wenn man von einem Patienten weiß, dass mehrere Risikofaktoren vorliegen, die das Auftreten eines Herzinfarkts begünstigen, wird man eher auf entsprechende Symptome achten als bei Patienten, bei denen diese Risikofaktoren nicht vorhanden sind. So erlaubt die Kenntnis über einen Zusammenhang, bereits im Vorfeld geeignete Maßnahmen zu treffen und geschickt zu intervenieren.

5

80

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

Die Aufgaben der bivariaten Statistik bestehen darin, den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen aufzuzeigen und zu beschreiben. Welche Methoden im Einzelfall geeignet sind, hängt von den Skalenniveaus der Merkmale ab:

ŷ Der Zusammenhang zwischen zwei quantitativen Merkmalen

4 5

wird mit Methoden der Korrelationsanalyse und der Regressi› Abschnitte 5.2 und 5.3). onsanalyse untersucht (z ŷ In Abschnitt 5.4 werden Techniken vorgestellt, die sich eignen, wenn nicht beide Merkmale quantitativ sind. ŷ Assoziationsmaße, die die Stärke eines Zusammenhangs zwischen zwei nominal skalierten Merkmalen quantifizieren, erfordern die Kenntnis der so genannten Chi2-Verteilung. Sie werden in Abschnitt 12.2.4 vorgestellt.

5.2

Die Korrelationsanalyse

5.2.1

Die Punktwolke

Um einen Zusammenhang zwischen zwei quantitativen Merkmalen zu untersuchen, sollte man – um eine erste Übersicht zu erhalten – eine graphische Darstellung anfertigen. Es bietet sich an, jeder Beobachtungseinheit ein Wertepaar ( xi , yi ) zuzuordnen und diese Punkte in ein rechtwinkeliges Koordinatensystem einzutragen. Auf diese Weise erhält man eine Punktwolke (oder eine Punkteschar). Es hängt weitgehend von sachlogischen Überlegungen ab, welches Merkmal mit x und welches mit y bezeichnet wird. Wie bei mathematischen Gleichungen üblich, sollte x das unabhängige und y das abhängige Merkmal sein. Wenn eine Entscheidung diesbezüglich nicht möglich ist, dienen die Buchstaben x und y lediglich zur Unterscheidung der beiden Merkmale. Beispiel 5.1 Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht von 54 weiblichen Medizinstudenten anhand der Daten in Tabelle 2.1. Leider fehlen drei Werte bezüglich des Gewichts, sodass nur 51 Wertepaare verfügbar sind. Es erscheint sinnvoll, die Körpergröße als das unabhängige und das Gewicht als das abhängige Merkmal aufzufassen. Das Körpergewicht kann nämlich in gewisser Weise beeinflusst werden, während die Körpergröße bei jungen Erwachsenen quasi konstant ist. Somit repräsentieren die Werte x i die Körpergröße der Studentinnen und die Werte yi deren Gewicht.

81 5.2 Die Korrelationsanalyse

Abb. 5.1 Punktwolke resultierend aus den Daten der Merkmale Körpergröße und Körpergewicht von 51 weiblichen Studenten (Beispiele 5.1 und 5.2)

Anhand der Punktwolke sind zwei charakteristische Eigenschaften eines Zusammenhangs auf einen Blick erkennbar:

ŷ Die Stärke des Zusammenhangs. Je dichter die Punkte beiein-

ander liegen, desto stärker ist der Zusammenhang. Die Punktwolke in Abbildung 5.1 macht deutlich, dass ein Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht zwar besteht, dass dieser jedoch von anderen Faktoren überlagert wird. ŷ Die Art des Zusammenhangs. Die Art wird durch eine mathematische Funktion angegeben, die den Zusammenhang am besten beschreibt. Es ist Aufgabe der Regressionsanalyse, diese Funktion zu finden. Voraussetzung sind metrische Skalenniveaus bei beiden Merkmalen. Wenn – wie in unserem Beispiel – der Zusammenhang durch eine Gerade charakterisiert werden kann, spricht man von einem linearen Zusammenhang; dieser › Abschnitt wird durch eine Regressionsgerade beschrieben (z 5.3). Die positive Steigung der Regressionsgeraden besagt, dass zwischen Körpergröße und Körpergewicht ein gleichsinniger Zusammenhang besteht – das heißt, große Studentinnen haben tendenziell ein höheres Gewicht, während kleine Studentinnen eher weniger wiegen. Ein Beispiel für einen gegensinnigen Zusammenhang findet sich in der Anwendung volatiler Anästhetika. Je höher die inspiratorische Konzentration des Anästhetikums (z. B. Isofluran) gewählt wird, desto niedriger wird der arterielle Blutdruck (und umgekehrt).

5

82

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

5.2.2

Die Voraussetzungen der Korrelationsanalyse

Mittels der Korrelationsanalyse wird der Korrelationskoeffizient nach Pearson berechnet, der geeignet ist, um die Stärke eines Zu› Abschnitt 5.2.4). Meist schließt sammenhangs zu quantifizieren (z › Absich daran die Berechnung einer Regressionsgeraden an (z schnitt 5.3). Zunächst sollte jedoch überprüft werden, ob die Voraussetzungen für diese Methoden erfüllt sind. Es muss gelten:

4 5

ŷ Beide Merkmale x und y sind quantitativ. ŷ Der Zusammenhang ist annähernd linear. ŷ Die Beobachtungseinheiten sind unabhängig von einander. Ob der Zusammenhang als linear angesehen werden kann, sollte vorab durch fachlich-theoretische Überlegungen geklärt werden. Hilfreich zur Beurteilung dieser Frage ist außerdem die Punktwolke › Abschnitt 5.2.1). Sie muss so geartet sein, dass sich mittendurch (z eine Gerade legen lässt, um die die Punkte ellipsenförmig liegen. Die Unabhängigkeit der Beobachtungseinheiten kann ebenfalls durch sachlogische Überlegungen überprüft werden. Bei Abhängigkeit der Merkmalspaare könnte ein stärkerer Zusammenhang als tatsächlich vorhanden vorgetäuscht werden. In unserem Beispiel ist diese Voraussetzung erfüllt. Die Daten wären jedoch nicht unabhängig, wenn sich unter den Studenten Geschwister befänden oder wenn die Daten einzelner Studenten mehrfach erfasst worden wären. Wenn – wie allgemein üblich – die empirischen Maßzahlen der Stichprobe als Schätzer für die entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit dienen, müssen weitere Voraussetzungen überprüft werden. Daher ist es sinnvoll, wenn die beiden mit x und y bezeichneten Merkmale normalverteilt sind. In Abschnitt 11.1.6 wird näher auf diese Thematik eingegangen. 5.2.3

Die Kovarianz

Der Korrelationskoeffizient und die Parameter der Regressionsgeraden bauen auf der so genannten Kovarianz auf. Sie wird mit sxy bezeichnet und – basierend auf den Mittelwerten x und y – folgendermaßen berechnet: n

n

¦ ( xi  x ) ˜ ( yi  y ) ¦ xi yi  nxy s xy

i 1

i 1

n 1

n 1

(5.1)

83 5.2 Die Korrelationsanalyse

Die Formel (5.1) ähnelt der Formel (4.6), mit der die Varianz eines Merkmals berechnet wird. Während die Varianz das durchschnittliche Abweichungsquadrat ( xi  x )2 quantifiziert, erfasst die Kovarianz das durchschnittliche Produkt der Abweichungen ( xi  x ) ˜ ( yi  y ) . Die Division durch n  1 gewährleistet, dass man – analog zur Varianz – einen optimalen Schätzwert für die Kovarianz der Grundgesamtheit erhält. – Die Kovarianz ist ein Maß für das „MiteinanderVariieren“ zweier quantitativer Merkmale. Sie kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen: x Eine positive Kovarianz sxy ! 0 impliziert einen gleichsinnigen Zu„ sammenhang. Wenn beide Messwerte einer Beobachtungseinheit größer oder beide kleiner sind als der jeweilige Mittelwert, haben die Terme ( xi  x ) und ( yi  y ) dasselbe Vorzeichen, sodass deren › Abbildung 5.2a). Produkt positiv ist (z x Eine negative Kovarianz sxy  0 ergibt sich, wenn sich die beiden „ Merkmale gegensinnig verhalten. Dann haben die Abweichungen ( xi  x ) und ( yi  y ) unterschiedliche Vorzeichen, sodass deren Pro› Abbildung 5.2b). dukt negativ ist (z x Eine Kovarianz bei 0 signalisiert, dass nahe beieinander liegende „ x-Werte sowohl mit positiven als auch mit negativen Abweichungen ( yi  y ) korrelieren, sodass sich die Produkte ( xi  x ) ˜ ( yi  y ) aus› gleichen und in ihrer Summe einen Wert nahe bei 0 annehmen (z Abbildung 5.2c). Falls sxy | 0 , bedeutet dies jedoch keineswegs, dass generell kein Zusammenhang besteht. Dies zeigt lediglich, dass kein linearer Zusammenhang nachzuweisen ist. Die Einheit der Kovarianz ist das Produkt der Einheiten der beiden zugrunde liegenden Merkmale. Sowohl der Zahlenwert als auch die Einheit der Kovarianz sind abhängig von den Maßstäben der beiden Merkmale (die mitunter recht willkürlich gewählt sind) und deshalb schwer zu interpretieren. Die Kovarianz ist – für sich allein betrachtet – wenig informativ zur Beurteilung der Frage, ob ein Zusammenhang besonders eng oder eher lose ist. Sie informiert lediglich anhand des Vorzeichens darüber, ob der Zusammenhang gleichsinnig oder gegensinnig ist.

5

84

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

4 5

Abb. 5.2a gleichsinniger Abb. 5.2b gegensinniZusammenhang, ger Zusammenhang, positive Kovarianz negative Kovarianz

5.2.4

Abb. 5.2c kein linearer Zusammenhang, Kovarianz | 0

Der Korrelationskoeffizient nach Pearson

Der Pearson’sche Korrelationskoeffizient (auch Produkt-MomentKorrelationskoeffizient genannt) stellt ein normiertes Maß zur Quantifizierung eines linearen Zusammenhangs dar. Man erhält diesen Koeffizienten, indem man die Kovarianz s xy durch die beiden Standardabweichungen sx und s y dividiert: r

s xy sx ˜ s y

(5.2)

Der Korrelationskoeffizient kann nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen; er ist dimensionslos. Der Buchstabe r weist darauf hin, dass die Korrelations- und die Regressionsanalyse eng miteinander verbunden sind. Das Vorzeichen von r ist identisch mit dem Vorzeichen der Kovarianz sxy : Ein positives Vorzeichen steht demnach für einen gleichsinnigen, ein negatives Vorzeichen für einen gegensinnigen Zusammenhang. Der Betrag von r hat folgende Bedeutung:

ŷ Je näher der Betrag von r bei 1 liegt, desto stärker ist der Zusammenhang und desto dichter liegen die Punkte ( xi , yi ) an der Regressionsgeraden. ŷ Je näher r bei 0 liegt, desto schwächer ist der Zusammenhang und desto weiter streut die Punktwolke um die Gerade. ŷ Die Extremfälle r 1 oder r 1 ergeben sich bei einem funktionalen Zusammenhang, der durch eine lineare Gleichung der Form y a  bx exakt beschrieben werden kann. Alle Punkte ( xi , yi ) liegen dann auf der Regressionsgeraden.

5

85 5.2 Die Korrelationsanalyse

Beispiel 5.2 Aus den Daten der Körpergröße und des Körpergewichts von 51 Studentinnen ergibt sich eine Kovarianz von 21,954 cm · kg. Wenn man nun durch die Standardabweichungen s x 5,56 cm und s y 7,81 kg dividiert, erhält man den Pearson’schen Korrelationskoeffizienten r 0,505 . Die Stärke des Zusammenhangs ist also mittelmäßig. Einerseits ist r deutlich größer als 0 – daher besteht durchaus ein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen. Andererseits ist r kleiner als 1 – weil das Gewicht nicht nur von der Größe, sondern von zahlreichen weiteren Faktoren abhängt. Mathematische Herleitung des Korrelationskoeffizineten nach Pearson Es ist offenkundig, dass die Kovarianz sxy genau dann maximal wird, wenn der Zusammenhang funktional ist und durch eine lineare Gleichung y a  bx exakt beschrieben werden kann. Dann erhält man nach (5.1): n

¦x y i

i

n

¦ x (a  bx )  nx (a  bx )

 nxy

i

i 1

s xy

i 1

n 1 Für die Varianz s y 2 ergibt sich: n

sy2

¦( y i 1

i

 y )2

n 1

 bsx und sxy

n

b( ¦ xi2  nx 2 ) i 1

n 1

bs x 2

n

b2 ¦ ( xi  x )2

n 1 Für positives b ist s y

log: s y

i

i 1

n 1 bsx und s xy

b2 sx 2

bs x 2

sx ˜ s y . Für negatives b folgt ana-

 sx ˜ s y . Da es sich hierbei um die beiden Extremfälle

handelt, folgt für die Kovarianz:  sx ˜ s y d sxy d sx ˜ s y . Daraus ergibt sich für sxy den Korrelationskoeffizienten r : 1 d r d 1 . sx ˜ s y

5.2.5

Interpretation eines Korrelationskoeffizienten

Häufig wird ein Korrelationskoeffizient falsch interpretiert, oder seine Bedeutung wird überschätzt. Ein empirischer Koeffizient, dessen Betrag größer als 0 ist, besagt lediglich, dass ein Zusammenhang aufgrund der Stichprobe nicht auszuschließen ist. Er besagt jedoch nichts darüber, worauf dieser Zusammenhang zurückzuführen ist und welche Schlussfolgerungen gezogen werden können. Mittels geeigneter Statistiksoftware ist die Berechnung eines Korrelationskoeffizienten auch bei umfangreichem Datenmaterial problemlos möglich. Die Software berechnet diese Maßzahl jedoch auch dann, wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind; sie überprüft auch nicht, ob sachliche Gründe für den Zusammenhang spre-

86

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

chen. So kommt es, dass hin und wieder Zusammenhänge beschrieben werden, die zwar formell richtig, aber sachlogisch in keiner Weise nachvollziehbar sind. Es gibt zahlreiche Beispiele für derartige Schein- oder Nonsens-Korrelationen:

5

x Formale Korrelation. Sie entsteht, wenn relative Häufigkeiten „ miteinander verglichen werden. Ein Vergleich zwischen Grippeerkrankungen und chronischen Herz- und Kreislauferkrankungen ergibt beispielsweise eine negative Korrelation. Während einer Grippeepidemie steigt die relative Häufigkeit der Grippeerkrankungen; dies bewirkt automatisch, dass die relative (nicht die absolute) Häufigkeit der Herz- und Kreislauferkrankungen sinkt. x Selektionskorrelation. In der Stichprobe muss die gesamte Vari„ ationsbreite der zu untersuchenden Merkmale repräsentiert sein. Wenn man jedoch bei der Wahl der Beobachtungseinheiten selektiert, ergibt sich eine Korrelation, die nicht die Verhältnisse in der Grundgesamtheit widerspiegelt. Ein Beispiel hierfür ist gegeben, wenn zur Beurteilung der Frage, ob das Geburtsgewicht in Beziehung zum Zigarettenkonsum der Mutter steht, nur Risikopatientinnen einer Spezialklinik herangezogen werden. Eine Selektion wird auch dann vorgenommen, wenn einzelne Werte aus der Stichprobe eliminiert werden, um einen vermeintlich starken Zusammenhang künstlich zu erzeugen (selbstverständlich ist dieses Vorgehen zutiefst unwissenschaftlich). x Korrelation durch Ausreißer. Ein Ausreißer – das ist ein Punkt, „ › Abbildung 5.3a) der sehr weit vom Punkteschwarm entfernt liegt (z – kann mitunter einen betragsmäßig hohen Korrelationskoeffizienten verursachen. Die Punktwolke lässt Ausreißer auf einen Blick erkennen. In diesen Fällen sollte man nachforschen, wie der Ausreißer › Abschnitt 2.4, Seite 30). Es ist nicht sinnzustande gekommen ist (z voll, eine Maßzahl anzugeben, die im Wesentlichen von einem Ausreißer bestimmt ist. x Inhomogenitätskorrelation. Sie ergibt sich, wenn für zwei inho„ mogene Gruppen ein gemeinsamer Korrelationskoeffizient berechnet wird. Die graphische Darstellung besteht in diesem Fall aus zwei › AbbilPunktwolken, die sich nicht oder nur wenig überlappen (z dung 5.3b), und die – isoliert betrachtet – keinen Zusammenhang offenbaren. Wenn beispielsweise die Schuhgrößen und die Gehälter der Angestellten eines Klinikums miteinander verglichen werden, ist ein Korrelationskoeffizient zu erwarten, der deutlich größer als 0 ist. Er kommt dadurch zustande, dass Männer im Allgemeinen größere

87 5.2 Die Korrelationsanalyse

Füße als Frauen haben und gleichzeitig Positionen mit höheren Einkommen innehaben. x Gemeinsamkeitskorrelation. Wenn zwei Merkmale durch ein „ drittes beeinflusst werden, liegt eine Gemeinsamkeitskorrelation vor. So ergibt sich beispielsweise rechnerisch eine positive Korrelation, wenn man die Entwicklung des Storchenbestands in Deutschland mit der Entwicklung der Geburtenrate vergleicht – obwohl allgemein bekannt sein dürfte, dass diese beiden Größen nicht direkt zusammenhängen. Die Korrelation wird durch eine dritte Größe – nämlich die allgemeine zeitliche Tendenz – künstlich erzeugt. Sie beeinflusst gleichermaßen den Storchenbestand und die Geburtenrate und täuscht somit eine typische Nonsens-Korrelation vor. Diese Ausführungen belegen, dass es in keinem Fall ausreichend ist, einen Korrelationskoeffizienten rechnerisch zu bestimmen und diesen Wert dann kritik- und kommentarlos als Maß für die Stärke eines Zusammenhangs anzugeben. Auf zwei weit verbreitete Fehlinterpretationen sei an dieser Stelle hingewiesen: ! Ein betragsmäßig hoher Korrelationskoeffizient allein ist kein Beleg für z

eine kausale Beziehung, sondern allenfalls ein Hinweis darauf, dass eine Kausalität vorliegen könnte. Er besagt jedoch nichts darüber, welches der beiden Merkmale das andere kausal bedingt, ob die Merkmale wechselseitig aufeinander einwirken, oder ob möglicherweise beide Merkmale durch ein drittes beeinflusst werden. ! Eine andere Fehlinterpretation wird vorgenommen, wenn beim Verz gleich zweier Messverfahren x und y ein hoher Korrelationskoeffizient als Beweis dafür gewertet wird, dass beide Verfahren übereinstimmend dieselben Messwerte erzeugen. Um die Reliabilität einer Methode zu untersuchen, sollte zusätzlich die Differenz der Mittelwerte und deren Standardabweichung angegeben werden. Als graphische Darstellung eignet sich der Bland-Altman-Plot, bei dem die Mittelwerte ( xi  yi ) / 2 gegen die Differenzen ( xi  yi ) aufgetragen werden.

Zur sinnvollen Interpretation eines Korrelationskoeffizienten ist ferner wichtig, dass der Stichprobenumfang hinreichend groß ist. Allgemein gilt: Je näher ein Korrelationskoeffizient bei 0 liegt und je kleiner der Stichprobenumfang ist, umso weniger kann auf einen real existierenden Zusammenhang geschlossen werden. In diesen Fällen muss man davon ausgehen, dass die empirisch ermittelte, schwache Korrelation zufallsbedingt ist. Wenn man einigermaßen sicher sein will, dass der Zusammenhang in der Stichprobe auch für die Grundgesamtheit gilt, muss man einen geeigneten statistischen › Abschnitt 11.1.6, Seite 214). Test durchführen (z

5

88

5

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

Merke Um Fehlinterpretationen zu vermeiden, empfiehlt sich bei der Berechnung eines Korrelationskoeffizienten folgendes Vorgehen: ŷ Theoretische Herleitung. Man sollte zunächst darüber nachdenken, ob und wie der zu quantifizierende Zusammenhang begründet werden kann. Das Erarbeiten eines theoretischen Hintergrundes trägt wesentlich dazu bei, Nonsens-Korrelationen zu vermeiden. ŷ Erstellen der Punktwolke. Die graphische Darstellung ist hilfreich bei der Beurteilung, ob der Zusammenhang linear ist. Außerdem deckt sie Ausreißer und inhomogene Gruppen auf. ŷ Überprüfen der Voraussetzungen. Dies ist insbesondere dann wichtig, wenn der empirische Korrelationskoeffizient den Zusammenhang in der Grundgesamtheit schätzen soll (Abschnitt 11.1.6). ŷ Interpretation. Nachdem ein Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen x und y theoretisch hergeleitet und statistisch abgesichert ist, können vorsichtig Schlussfolgerungen gezogen werden. Dazu bedarf es überwiegend medizinisch-fachlicher Überlegungen. Folgende Möglichkeiten sind zu prüfen: x beeinflusst y y beeinflusst x x und y bedingen sich gegenseitig Beide Merkmale werden durch eine dritte Größe beeinflusst. Der Zusammenhang kam zufällig zustande.

Abb. 5.3a Korrelation, die durch einen Ausreißer verursacht ist

Abb. 5.3b InhomogenitätsKorrelation

89 5.3

Die Regressionsanalyse

5.3

Die Regressionsanalyse

5.3.1

Herleitung der Regressionsgeraden

Die Regressionsanalyse ist ein flexibles und häufig eingesetztes Verfahren, das in der Medizin u. a. für Ursachen- und Wirkungsanalysen und Zeitreihenanalysen angewandt wird. Ihre Aufgabe besteht darin, eine mathematische Gleichung herzuleiten, welche die Art des Zusammenhangs zwischen zwei quantitativen Merkmalen optimal beschreibt. Anhand dieser Gleichung lässt sich dann aus einem bekannten Wert für das x-Merkmal ein entsprechender Wert für das y-Merkmal prognostizieren. i Das Wort „Regression“ geht zurück auf den englischen Naturforscher z Francis Galton (1822-1911), der die Beziehung zwischen den Körpergrößen von Vätern und ihren Söhnen untersuchte. Er fand heraus, dass die Söhne großer Väter und die Söhne kleiner Väter eine Körpergröße haben, die weniger vom Durchschnittswert abweicht als die Größe der Väter. Dieses Phänomen bezeichnete er als „Regression (Rückschritt) zum Mittelwert“. Galtons Freund Karl Pearson hat in 1.078 Familien die Größen von Vätern und deren Söhnen verglichen und seine Ergebnisse zusammen mit dem nach ihm benannten Korrelationskoeffizienten im Jahre 1903 veröffentlicht. Im Laufe der Zeit wurde der Begriff „Regression“ allgemein verwendet, um den stochastischen Zusammenhang zwischen zwei oder mehreren Merkmalen zu beschreiben.

Aufgrund sachlogischer Überlegungen sollte vorab geklärt werden, welches der beiden Merkmale sinnvollerweise als das unabhängige x-Merkmal bzw. als das abhängige y-Merkmal bezeichnet wird. Für praktische Zwecke ist es nahe liegend, dasjenige Merkmal, das einfacher, billiger oder früher erfasst werden kann, als das x-Merkmal anzusehen. Wenn diesbezüglich keine Entscheidung möglich ist, ist die Herleitung einer Regressionsgleichung nicht sinnvoll. Man sollte sich in diesem Fall darauf beschränken, den Zusammenhang durch einen Korrelationskoeffizienten zu beschreiben. Die einfachste Form der Regressionsanalyse ist die Beschreibung des Zusammenhangs durch eine Gerade. Dies ist erlaubt, nachdem man sich davon überzeugt hat, dass der zu beschreibende Zusam› menhang annähernd linear ist. Ein Blick auf den Punkteschwarm (z Abbildung 5.1) macht deutlich, dass es bei stochastischen Zusammenhängen keine Gerade geben kann, auf der alle Punkte liegen. Dies ist dadurch begründet, dass das y-Merkmal nicht nur vom xMerkmal, sondern auch von anderen Faktoren beeinflusst wird, die in der Geradengleichung nicht berücksichtigt sind.

5

90

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

Die Aufgabe der Regressionsanalyse besteht nun darin, eine Gerade zu finden, die die Punktwolke optimal repräsentiert – die so genannte Regressionsgerade. Diese ist so konstruiert, dass das durchschnittliche Abstandsquadrat der Beobachtungspunkte von der Geraden minimal ist. Sie ist eindeutig bestimmt durch die Steigung b

s xy

(5.3)

sx 2

und den y-Achsenabschnitt

5

a

y  bx

(5.4)

Dabei sind s xy die in Abschnitt 5.2.3 eingeführte Kovarianz und s x 2 die Varianz der x-Werte. Die Parameter a und b werden auch Regressionskoeffizienten genannt. Aus (5.3) geht hervor, dass sich der Wertebereich von b generell zwischen -f und +f erstreckt. Ein Vergleich mit der Formel (5.2) auf Seite 84 zeigt, dass die Vorzeichen von b und dem Korrelationskoeffizienten r übereinstimmen. Das bedeutet: Bei einem gleichsinnigen Zusammenhang ist die Steigung der Regressionsgeraden positiv, bei einem gegensinnigem Zusammenhang ist sie negativ. Mit den Parametern a und b lässt sich bei Vorliegen eines Wertes xi nach folgender Formel ein Wert yˆ i für das abhängige Merkmal prognostizieren: yˆ i

a  bxi

y

s xy s x2

( xi  x )

(5.5)

Der Mittelwert der berechneten y i -Werte ist gleich dem Mittelwert der beobachteten yi -Werte, also y . Der Punkt ( x , y ) liegt auf der Regressionsgeraden; es ist der Schwerpunkt der Punktwolke. Wenn der Zusammenhang funktional ist ( r r1 ), liegen alle Punkte auf der Regressionsgeraden. ! Aus den Gleichungen (5.3) und (5.4) geht hervor, dass die Parameter b z

und a der Regressionsgeraden davon abhängen, welches Merkmal als das x- und welches als das y-Merkmal angesehen wird. Während der Korrelationskoeffizient r von dieser Entscheidung unbeeinflusst ist, ändern sich die Steigung der Regressionsgeraden und deren Achsenabschnitt, wenn x und y vertauscht werden. Theoretisch sind also zwei Regressionsgeraden denkbar, die sich im Schwerpunkt ( x , y ) schneiden. Praktisch sollte man jedoch vor der Analyse entscheiden, welches Merkmal als die unabhängige x- bzw. die abhängige y-Variable anzusehen ist.

5

91 5.3

Die Regressionsanalyse

Mathematische Herleitung der Regressionsgeraden Von der Regressionsgeraden y a  bx erwartet man, dass sie die y-Werte optimal prognostiziert; das heißt die Abweichungen ( yi  yˆ i ) sollten möglichst gering sein. Es gilt also, passende Werte für a und b zu finden, die eine Gerade mit dieser Eigenschaft definieren. Dazu minimiert man nach der Methode der kleinsten Quadrate die Summe: n

n

( yi  yˆi ) 2 ¦ ( yi  a  bxi ) 2 ¦ i 1 i 1

f ( a , b) .

Das Minimum dieser Funktion erhält man, indem man die Ableitungen (nach der Kettenregel der Differentialrechnung) bildet und gleich 0 setzt: df da

2

df db

2

n

( yi  a  bxi ) ¦ i 1

2n( y  a  bx ) n

n

xi ( yi  a  bxi ) ¦ i 1

2b

0 und

n

xi 2  2¦ xi yi  2anx ¦ i 1 i 1

0

Aus der ersten Gleichung folgt: a y  bx . Wenn man diesen Term in die zweite Gleichung einsetzt und nach b auflöst, ergibt sich: n

¦ x y  nx y i i

b

i 1 n

¦x

i

2

 nx

2

s xy sx 2

.

i 1

Da für die zweiten Ableitungen gilt:

d2 f da 2

2 n ! 0 und

d2 f db2

n

2

¦ xi2 ! 0 , i 1

handelt es sich bei den berechneten Ausdrücken für a und b um Minima der Funktion f(a,b) und damit um optimale Parameter für die Regressionsgerade.

Beispiel 5.3 Bezüglich des Zusammenhangs zwischen Körpergröße und Gewicht von 51 Studentinnen ergibt sich folgende Regressionsgerade: yˆi 59,64  0,709 xi . Für eine 170 cm große Studentin würde man ein Gewicht von 60,9 kg prognostizieren. Aus dieser Gleichung geht auch hervor, dass das Gewicht um durchschnittlich 0,709 kg pro cm Körpergröße zunimmt. Der y-Achsenabschnitt -59,64 hat keine praktische Bedeutung. ! Es ist wichtig zu beachten, dass eine Extrapolation über den Beobachz

tungsbereich hinaus problematisch ist. In unserem Beispiel wurden bei der Berechnung der Regressionsgeraden x-Werte zwischen 157 cm und 180 cm zugrunde gelegt. Wenn man mit dieser Geraden das Gewicht eines 90 cm großen Kindes bestimmen würde, erhielte man 4,2 kg. Dies

92

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

zeigt, dass eine Extrapolation unsinnige Werte liefern kann. Wenn man trotzdem extrapoliert, sollte man dies mit der gebotenen Vorsicht tun.

Wenn das y-Merkmal von mehreren x-Variablen bestimmt wird, verwendet man die multiple Regressionsanalyse. Die Regressionsgleichung enthält dann mehrere x-Variablen, die den y-Wert beeinflussen. Leider kann an dieser Stelle nicht näher darauf eingegangen werden. Ausführliche Informationen findet man in [2] und [4]. 5.3.2

5

Das Bestimmtheitsmaß

Ein Problem der Regressionsanalyse liegt in der Verlässlichkeit der Schätzung. Meistens wird der zu einem Messwert xi gehörende Wert y i , der durch die Gleichung der Regressionsgeraden prognostiziert wird, vom Beobachtungswert yi abweichen. Ein einfaches Maß für diese Abweichung ist das Residuum: ei

yi  yˆ i

(5.6)

Um die Schätzung durch die Regressionsgerade generell zu beurteilen, bedarf es eines Maßes, das alle Residuen berücksichtigt. Da sich die Residuen gegenseitig ausgleichen, sodass deren Summe gleich 0 ist, legt man die Summe der Abweichungsquadrate ei 2 zugrunde. Diese Summe ist ein Teil des Zählers der Varianz der yi -Werte, die sich aus zwei Komponenten zusammensetzt: n

¦ ( yi  y ) 2

n

¦ ( yi  yˆ i ) 2 ¦ ( yˆ i  y ) 2

n

i 1

i 1

i 1

(5.7)

Der Einfachheit halber sind in dieser Gleichung die Nenner ( n  1) weggelassen. Der Term auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht für die Gesamtvarianz der Beobachtungswerte yi . Der erste Summand rechts vom Gleichheitszeichen bezieht sich auf die Varianz der Residuen ei (mit dem Mittelwert 0), der zweite auf die Varianz der mit der Regressionsgleichung berechneten Werte y i . Der zweite Teil der Gesamtvarianz wird auch als die erklärte Varianz bezeichnet (diese lässt sich durch die Gleichung der Regressionsgeraden erklären). Der erste Summand, nämlich die Residualvarianz, ist dagegen auf die Abweichung der Beobachtungswerte von der Regressionsgeraden zurückzuführen. Gleichung (5.7) lässt sich also verbal folgendermaßen formulieren: Gesamtvarianz = Residualvarianz + erklärte Varianz

5

93 5.3

Die Regressionsanalyse

Es ist offensichtlich, dass die Schätzung durch die Regressionsgerade dann besonders gut ist, wenn der Anteil der Residualvarianz möglichst klein und die erklärte Varianz entsprechend groß ist. Andererseits gilt: Je kleiner die erklärte Varianz ist, desto schlechter können die y-Werte über die Regressionsgerade geschätzt werden. Aus diesen Überlegungen ergibt sich, dass die erklärte Varianz im Verhältnis zur Gesamtvarianz ein geeignetes Maß für die Güte der Schätzung darstellt. Es lässt sich nachweisen, dass dieser Quotient mit r 2 übereinstimmt: n

r2

s yˆ

2

¦ ( yˆ i  y ) 2

sy

2

i 1 n

¦ ( yi  y ) 2

erklärte Varianz Gesamtvarianz

(5.8)

i 1

Man bezeichnet r 2 als das Bestimmtheitsmaß oder den Determinationskoeffizienten. Der Wertebereich des Bestimmtheitsmaßes r 2 erstreckt sich zwischen 0 und 1. Im Extremfall r 2 1 ist die Residualvarianz gleich 0. Beispiel 5.4 Aus r 0,505 (Beispiel 5.2) ergibt sich für den Determinationskoeffizienten: r 2 0,255 . Diese Zahl besagt, dass 25 % der Varianz des Gewichts durch das Modell der Regressionsgeraden (also durch die Körpergröße) bedingt sind. 75 % sind durch andere, nicht im Modell berücksichtigte Einflüsse verursacht. Mathematische Herleitung des Bestimmtheitsmaßes Die Gleichung (5.7) lässt sich durch elementare Umformungen unter Zuhilfenahme der Gleichungen (5.3) bis (5.5) nachweisen. – Ein geeignetes Maß für die Güte der Schätzung ist die Varianz der berechneten yi -Werte (durch das Regressionsmodell erklärte Varianz) dividiert durch die Gesamtvarianz. Für die erklärte Varianz erhalten wir: n

s

2 yˆ

¦ ( yˆ

i

 y )2

i 1

n 1

n

¦ (bx

i

 bx ) 2

i 1

n 1

b 2 sx2

Daraus folgt für die Güte der Schätzung: Mit b

sxy sx

2

(Formel 5.3) erhalten wir:

s y 2 sy

s y 2 sy

2

2

b2sx 2 . sy 2 sxy 2 sx 2 ˜ s y 2

r 2 (nach Formel 5.2).

94 5.3.3

5

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

Nicht-lineare Regressionƒƒƒ

Nicht jeder Zusammenhang wird durch eine Gerade optimal beschrieben. Es gibt exponentielle Zusammenhänge (die beispielsweise durch Wachstumsprozesse bedingt sind) oder Zusammenhänge, die sich durch eine logarithmische Funktion beschreiben lassen. Diese nicht-linearen Beziehungen erfordern spezielle Methoden zur Regressionsanalyse. Ehe man einen nicht-linearen Zusammenhang genauer untersucht, sollte man überprüfen, ob es eine Theorie gibt, die diesen Trend erklärt. Danach versucht man, die Art des Zusammenhangs zu finden und eine allgemeine Regressionsgleichung mit Parametern a, b etc. aufzustellen. Diese Wahl ist oft recht schwierig und erfordert sehr viel Erfahrung sowie genaue Kenntnisse der theoretischen Hintergründe. Wertvolle Hinweise liefert auch hier die graphische Darstellung der Wertepaare als Punktwolke. Generell gibt es zwei Möglichkeiten, geeignete Werte für die Parameter a, b etc. zu finden: x Manchmal ist es möglich, die nichtlineare Regressionsgleichung „ in eine lineare zu transformieren. Anstelle der Gleichung y a ˜ ebx würde man die Funktion lny lna  bx betrachten und nach der Methode der kleinsten Quadrate optimale Werte für lna (und damit auch für a) sowie für b erhalten. x Man verwendet – ähnlich wie bei der linearen Regression – die „ Methode der kleinsten Quadrate. So würde man etwa bei der Funktion f ( x ) a ˜ ebx die Ableitungen von ¦ ( yi  a ˜ e bxi ) 2 nach a und b bilden und diese gleich 0 setzen. i Die Güte eines multiplen oder eines nicht-linearen Modells lässt sich z ebenfalls mit dem Determinationskoeffizienten r 2 (der das Verhältnis der erklärten zur Gesamtvarianz wiedergibt) abschätzen. Durch diesen Koeffizienten lassen sich mehrere Modelle miteinander vergleichen.

5.4

Weitere Techniken zum Nachweis eines Zusammenhangs

5.4.1

Der Korrelationskoeffizient nach Spearman

Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson ist an einige Bedingungen geknüpft. Es muss sich um quantitative Merkmale handeln, und der Zusammenhang muss annähernd linear sein. Als Alternative bietet sich eventuell der Korrelationskoeffizient nach

5.4 Weitere Techniken zum Nachweis eines Zusammenhangs

5

95

Spearman an (Charles Spearman, 1864 – 1945, war ein britischer Psychologe). Dies ist ein Maß für die Stärke eines monotonen Zusammenhangs, der nicht linear sein muss. Es wird auch als Rangkorrelation bezeichnet, da es auf den Rangzahlen der Beobachtungswerte ( xi , yi ) basiert. i Spearman untersuchte den Zusammenhang zwischen intellektuellen z Leistungen und einem allgemeinen Intelligenzfaktor. Er veröffentlichte seine Ergebnisse etwa zeitgleich mit Pearson im Jahr 1904. In dieser Publikation wurde die Rangkorrelation erstmals erwähnt.

Um diesen Koeffizienten zu berechnen, werden alle x- und alle yWerte sortiert und mit Rangzahlen versehen. Der kleinste Wert erhält jeweils den Rang 1, der größte den Rang n. Falls mehrere Ausprägungen übereinstimmen (man spricht dann von verbundenen Rängen), ermittelt man mittlere Rangzahlen, indem man die Rangzahlen der gleichen Ausprägungen addiert und die Summe durch deren Anzahl dividiert. Jeder Beobachtungseinheit wird also eine Rangzahl für das xMerkmal und eine für das y-Merkmal zugeordnet. Die Differenz dieser beiden Rangzahlen sei d i . Aus diesen Differenzen wird der Spearman’sche Korrelationskoeffizient nach folgender Formel berechnet: n

rs

1

6 ˜ ¦ di 2 i 1

n ˜ (n 2  1)

(5.9)

Ebenso wie der Korrelationskoeffizient nach Pearson erstreckt sich auch der Wertebereich von rs zwischen den Grenzen –1 und +1. rs nimmt den maximalen Betrag 1 an, wenn der Zusammenhang streng monoton ist (dies umfasst auch den Begriff „streng linear“). Ein positives Vorzeichen symbolisiert einen gleichsinnigen, ein negatives Vorzeichen einen gegensinnigen Zusammenhang. rs 0 bedeutet, dass kein monotoner Zusammenhang nachweisbar ist. i Die Voraussetzungen, die zur Berechnung des Spearman’schen Korrelatiz onskoeffizienten erfüllt sein müssen, sind schwächer als die Voraussetzungen, die der Berechnung des Pearson’schen Koeffizienten zugrunde liegen. Wenn allerdings eine Regressionsgleichung ermittelt werden soll, wird – wenn es statthaft erscheint – dem Korrelationskoeffizienten nach Pearson den Vorzug gegeben.

96

5

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

Beispiel 5.5 In einer Studie wird bei 10 Frauen der BMI-Wert zu Beginn ihrer Schwangerschaft verglichen mit dem Apgar-Wert des neugeborenen Kindes. Zum Nachweis eines Zusammenhangs eignet sich der Korrelationskoeffizient nach Spearman, da es sich beim Apgar-Score um ein ordinal skaliertes Merkmal handelt. Es ergeben sich folgende Werte (wobei x i der Apgar-Score, yi der BMI, R( xi ) und R( yi ) die Ränge und d i R( xi )  R ( yi ) deren Differenzen bezeichnen): xi 4 5 6 6 7 8 8 8 9 10 yi 27,1 24,9 26,4 25,9 25,3 23,2 21,0 22,4 19,6 20,1 R ( xi ) 1 2 3,5 3,5 5 7 7 7 9 10 R( yi ) 10 6 9 8 7 5 3 4 1 2 di -9 -4 -5,5 -4,5 -2 2 4 3 8 8 di 2 81 16 30,25 20,25 4 4 16 9 64 64 10

Daraus berechnet man

¦d i 1

2 i

308,5 und rs

1

6 ˜ 308,5 990

0,87 . Bei der

kleinen Stichprobe ist also ein gegensinniger Zusammenhang erkennbar: Je höher der BMI-Wert der Mutter, desto geringer der Apgar-Score des Kindes.

Merke Die Rangkorrelation nach Spearman eignet sich für folgende Konstallationen: ŷ Beide Merkmale sind ordinal skaliert. ŷ Ein Merkmal ist metrisch, das andere ordinal skaliert. ŷ Beide Merkmale sind quantitativ; der Zusammenhang ist monoton, aber nicht linear. i Streng mathematisch gesehen setzt der Spearman-Koeffizient voraus, dass z zwei benachbarte Merkmalsausprägungen äquidistant sind (was ja bekanntlich bei ordinalen Merkmalen problematisch ist). Die Rang-Korrelation W (griechischer Buchstabe tau) nach Kendall (veröffentlicht 1938) setzt dies nicht voraus; dabei werden ausschließlich die ordinalen Informationen verwendet. Ausführlich beschrieben ist dieser Koeffizient in [5].

97

5.4 Weitere Techniken zum Nachweis eines Zusammenhangs

Abb. 5.4a gleichsinniger, monotoner Zusammenhang; Rangkorrelation positiv

Abb. 5.4b gegensinniger, monotoner Zusammenhang; Rangkorrelation negativ

Mathematische Herleitung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman Dieser Koeffizient wird berechnet, indem man in die Formel zur Bestimmung des Pearson’schen Korrelationskoeffizienten (5.2) anstelle der Messwerte x i und yi deren Ränge R( xi ) und R( yi ) und für x und y den mittleren Rang R einsetzt. Durch vollständige Induktion lässt sich nachweisen, dass n

n

R ( xi ) ¦ i ¦ i 1 i 1

n ˜ (n  1) 2

n

¦R

und

i 1

n

2

( xi )

¦i i 1

2

n ˜ ( n  1) ˜ (2n  1) 6

Daraus resultiert für den Mittelwert und die Summe der Abstandsquadrate: n n n ˜ ( n 2  1) n 1 R und ¦ ( R( xi ) R ) 2 ¦ R 2 ( xi )  nR 2 2 12 i 1 i 1 Analoges gilt für die Ränge des y-Merkmals; d. h. die Standardabweichungen sind gleich, deren Produkt ist die Varianz. Damit ist der Nenner von Formel (5.2) berechnet. Für den Zähler gilt: n

¦ ( R( x )  R ) ˜ ( R( y )  R ) i

i

i 1 n

n

n

¦ ( R( x )  R )  ¦ ( R( y )  R )  ¦ d

n

di 2 n ˜ ( n 2  1) ¦ i 1 i 1 i 1 i 1 .  2 12 2 Wenn man Zähler und Nenner zusammenfasst, erhält man die Formel (5.9). 2

i

2

i

2

i

5

98 5.4.2

5

Kapitel 5 · Die Beschreibung eines Zusammenhangs

Korrelation zwischen einem quantitativen und einem Alternativmerkmalƒƒƒ

In diesem Kapitel wurde der Frage nachgegangen, wie sich der Zusammenhang zwischen zwei quantitativen Merkmalen – etwa zwischen Körpergröße und Gewicht – mittels der Korrelations- und Regressionsanalyse beschreiben lässt. Nun hängt das Gewicht bekanntlich nicht nur von der Größe, sondern auch vom Geschlecht einer Person ab. Um einen Zusammenhang zwischen einem quantitativen und einem Alternativmerkmal nachzuweisen, verwendet man üblicherweise einen statistischen Test, wie etwa den t-Test für › Abschnitt 11.1.3). Derlei Tests zwei unverbundene Stichproben (z werden dann angewandt, wenn zwei Gruppen bezüglich eines quantitativen Merkmals miteinander zu vergleichen sind. Es sei jedoch bereits an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass diese Tests lediglich geeignet sind, um einen Zusammenhang statistisch abzusichern – sie quantifizieren nicht dessen Stärke. Die Stärke des Zusammenhangs zwischen einem quantitativen und einem Alternativmerkmal kann durch die punktbiseriale Korrelation rpb ausgedrückt werden. Dabei werden für die Ausprägungen des Alternativmerkmals die Werte 0 oder 1 eingesetzt; damit lässt sich dann nach (5.2) ein Korrelationskoeffizient berechnen. Beispiel 5.6 Um die Stärke des Zusammenhangs zwischen Körpergewicht und Geschlecht zu quantifizieren, codiert man das Geschlecht mit 0 (männlich) und 1 (weiblich). Die x-Werte nehmen dann entweder den Wert 0 oder 1 an; die y-Werte sind die Messwerte für das Gewicht. Mit den Daten in Tabelle 2.1 erhalten wir einen biserialen Korrelationskoeffizienten rpb 0,713 . Der Zusammenhang ist gegensinnig – das heißt, Männer (mit dem kleineren x-Wert 0 codiert) wiegen mehr als Frauen.

In Abschnitt 12.2.4 werden Assoziationsmaße vorgestellt, mit denen sich der Zusammenhang zwischen zwei nominal skalierten Merkmalen quantifizieren lässt. Allgemein gilt: Je höher das Skalenniveau der zugrunde liegenden Merkmale ist, umso präziser lassen sich die Stärke und die Art eines Zusammenhangs beschreiben.

6

Wahrscheinlichkeiten in der Medizin 6.1

Die Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 101

6.2

Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 102

6.2.1 Zufallsexperimente und deren Beschreibung 102 6.2.2 Das Ermitteln einer Wahrscheinlichkeit 103 6.2.3 Die Verknüpfung zweier Ereignisse 105 6.2.4 Die Axiome von Kolmogoroff und deren Folgerungen 107 6.2.5 Abhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 109 6.2.6 Das Bayes-Theorem 110

6.3

Wahrscheinlichkeiten in der Epidemiologie 111

6.4

Bevölkerungsstatistiken 114

6.4.1 Spezielle Wahrscheinlichkeiten 114 6.4.2 Sterbetafeln 115

6.5

Diagnostische Tests 118

6.5.1 Die Gütekriterien eines diagnostischen Tests 118 6.5.2 Die Vorhersagewerte 119

6.1 Die Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.1

101

Die Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Unser Alltag ist bestimmt von unendlich vielen Zufälligkeiten und Irregularitäten. Wir haben gelernt, Wahrscheinlichkeiten intuitiv abzuschätzen, um unseren Alltag regeln zu können – ansonsten würden wir im Überangebot der auf uns einströmenden Informationen zugrunde gehen. Wir verlassen uns beispielsweise darauf, dass wir sicher am Ziel ankommen, wenn wir ein Auto besteigen, und wir kalkulieren bei unseren Zukunftsplänen keinen Lottogewinn ein. Ein Arzt vertraut darauf, dass die von ihm verordnete Therapie den gewünschten Erfolg bringt, oder dass ein Patient durch eine Impfung einer möglichen Epidemie entgeht. Mit einem unwahrscheinlichen Ereignis befassen wir uns erst dann, wenn dieses – entgegen unseren Erwartungen – eingetreten ist. Wir orientieren uns also nicht nur nach Sicherheiten, sondern geben uns meistens notgedrungen mit Wahrscheinlichkeiten zufrieden. Der Begriff „wahrscheinlich“ und davon abgeleitete Ausdrücke entstammen unserer Umgangssprache. Mit Sätzen wie „Morgen scheint wahrscheinlich die Sonne“ oder „Es ist unwahrscheinlich, dass nach einer Impfung dauerhafte Schäden zurückbleiben“ drücken wir Vermutungen aus bezüglich Ereignissen, die wir nicht vorhersehen können. Dabei handelt es sich größtenteils um subjektive Wahrscheinlichkeiten, die auf alltäglichen Erfahrungen basieren. Diese können wir nach unserem persönlichen Empfinden grob als hoch oder eher niedrig einstufen; es ist jedoch nicht möglich, sie exakt zu quantifizieren. Manchmal sind derlei Einschätzungen allerdings völlig unrealistisch, weil wir uns bei subjektiven Beurteilungen gerne von Wunschdenken oder anderen psychisch bedingten, intellektuell kaum nachvollziehbaren Einflüssen täuschen lassen. Auch die Prozesse und Entwicklungen in den Biowissenschaften unterliegen dem Zufall. Man bezeichnet sie als probabilistisch – im Gegensatz zu deterministischen Vorgängen, die sich exakt berechnen lassen. Für wissenschaftliche Untersuchungen ist es notwendig, den Begriff der Wahrscheinlichkeit zu präzisieren und quantitativ zu beschreiben. Diese Zahlenangaben bezeichnet man als objektive Wahrscheinlichkeiten. Die Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung bestehen u. a. darin, die Realität durch ein statistisches Modell hinreichend genau zu beschreiben und anhand dieses Modells Gesetzmäßigkeiten herzuleiten und Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Dabei ist es unerheblich, ob die zu beschreibenden Vorgänge prinzipiell nicht erfassbar sind (wie z. B. der Zerfall eines radioakti-

6

102

4

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

ven Atoms), oder ob sie so komplex sind, dass sie sich einer deterministischen Beschreibung entziehen und deshalb als probabilistisch angesehen werden. Die mathematisch-theoretischen Aussagen, die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung hergeleitet werden, bilden die Basis der induktiven Statistik. Für den praktischen Anwender sind Kenntnisse aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung hilfreich und notwendig, um die Methoden der induktiven Statistik zu verstehen und sinnvoll mit ihnen umgehen zu können. In diesem Kapitel werden zunächst in Abschnitt 6.2 einige Grundlagen bezüglich des Rechnens mit Wahrscheinlichkeiten vermittelt. In den Abschnitten 6.3 bis 6.5 werden einige für die Medizin relevante Wahrscheinlichkeiten vorgestellt.

6 6.2

Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

6.2.1

Zufallsexperimente und deren Beschreibung

Um einen probabilistischen Vorgang zu untersuchen, genügt es nicht, ihn ein einziges Mal durchzuführen und zu beobachten. Es erscheint vielmehr angebracht, diesen Vorgang mehrmals zu wiederholen, die Ergebnisse der einzelnen Experimente zu dokumentieren und auszuwerten. Diese Art von Untersuchungen bezeichnet man als Zufallsexperimente. Ein Zufallsexperiment ist durch die folgenden Eigenschaften charakterisiert:

ŷ ŷ ŷ ŷ

Es wird nach einer bestimmten Vorschrift durchgeführt, es ist (zumindest im Prinzip) beliebig oft wiederholbar, mehrere Ausgänge oder Ergebnisse sind möglich, und das Ergebnis eines einzelnen Experiments ist vorab ungewiss.

So stellen beispielsweise das Würfeln oder das Werfen einer Münze Zufallsexperimente dar. Beim Würfeln gibt es sechs mögliche Ausgänge, beim Münzwurf zwei. Auch das Erfassen der Blutgruppe oder des Rhesusfaktors einer Person lässt sich als Zufallsexperiment auffassen mit den möglichen Ergebnissen 0, A, B und AB bzw. Rhesusfaktor positiv und Rhesusfaktor negativ. Zur Beschreibung von Zufallsexperimenten bedient sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung der Mengentheorie. Die Menge aller möglichen Ergebnisse bildet den so genannten Ereignisraum. Diese Menge wird mit dem griechischen Großbuchstaben : (Omega) be-

6

103 6.2 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

zeichnet. Teilmengen von : nennt man Ereignisse, 1-elementige Teilmengen Elementarereignisse. Ereignisse werden üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben A, B usw. angegeben. Spezielle Ereignisse sind der Ereignisraum : , der als das sichere Ereignis bezeichnet wird, und die leere Menge ‡ , die dem unmöglichen Ereignis entspricht. Beispiel 6.1 Der Ereignisraum für das Zufallsexperiment „Würfeln“ ist die 6-elementige Menge : ^1,2,3,4,5,6` . Das Ereignis „gerade Zahl“ lässt sich durch die Teilmenge A ^2,4,6` beschreiben. Man sagt: „Das Ereignis A ist eingetreten“, falls ein Elementarereignis aus der Menge A eingetreten ist.

An diesem Beispiel wird der Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeitsrechung und der deskriptiven Statistik deutlich. Das Analogon zum Ereignisraum ist die Ausprägungsliste; einzelne Merkmalsausprägungen sind vergleichbar mit Elementarereignissen. Der grundlegende Unterschied ist folgender: Die deskriptive Statistik befasst sich mit Stichproben und Merkmalen; die Wahrscheinlichkeitsrechnung untersucht die mathematisch-theoretischen Eigenschaften von Grundgesamtheiten. 6.2.2

Das Ermitteln einer Wahrscheinlichkeit

x Theoretische Herleitung. Um eine Wahrscheinlichkeit quantita„ tiv anzugeben, ist es notwendig, diesen Begriff zu objektivieren. Eine erste Definition geht auf den französischen Mathematiker Pierre Simon Marquis de Laplace zurück, der sich für die Zufallsgesetze bei Glücksspielen interessierte. Er definierte basierend auf dem Begriff des Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis A eintritt, folgendermaßen: P( A )

Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse

(6.1a)

Mit der Mengenschreibweise lässt sich die Formel (6.1a) auch darstellen als:

P( A)

Anzahl der Elemente von A Anzahl der Elemente von :

(6.1b)

Die Laplace’sche Definition ordnet demnach jedem Ereignis eine Zahl zwischen 0 und 1 zu. Der Buchstabe P leitet sich ab vom engli-

104

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

schen Ausdruck „probability“. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist vergleichbar mit der relativen Häufigkeit einer Merkmalsausprägung.

4

6

Beispiel 6.2 Mit der Definition von Laplace lässt sich berechnen, wie groß die Chance ist, eine gerade Zahl zu würfeln. Unter sechs möglichen Ergebnissen gibt es drei „günstige“ (nämlich die Augenzahlen 2, 4 und 6). Damit erhält man: P( A ) 3 / 6 1 / 2 . Für das unmögliche Ereignis (beispielsweise die Zahl 7) ergibt sich: P( ‡ ) 0 , da die Anzahl der günstigen Ereignisse gleich 0 beträgt. Für das sichere Ereignis (Augenzahl zwischen 1 und 6) erhält man: P( : ) 1 , da die Anzahl der günstigen der Anzahl der möglichen Ereignisse entspricht.

Mit der Laplace’schen Definition lassen sich auch kompliziertere Wahrscheinlichkeiten herleiten – so z. B. die Wahrscheinlichkeit, sechs Richtige im Lotto zu erzielen. Dennoch ist diese Definition nur eingeschränkt anwendbar: Sie setzt nämlich voraus, dass alle Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Für das Würfeln und den Münzwurf trifft dies auch zu. So ist beispielsweise leicht nachvollziehbar, dass man bei einem idealen Würfel jeder Augenzahl die Wahrscheinlichkeit 1/6 zuordnet, oder dass die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf „Wappen“ oder „Zahl“ zu erhalten, jeweils 1/2 beträgt. Für Ereignisse im medizinischen Bereich ist dieser Ansatz jedoch im allgemeinen unbrauchbar.

x Empirische Herleitung. Bei medizinisch-wissenschaftlichen „ Fragestellungen wird eine Wahrscheinlichkeit in der Regel empirisch ermittelt. Dazu wird eine hinreichend große Stichprobe bezüglich eines Merkmals untersucht; der Wert der relativen Häufigkeit einer Merkmalsausprägung wird dann als Näherungswert für die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugrunde legt. Dieses Vorgehen › Ablässt sich durch das „Gesetz der großen Zahlen“ rechtfertigen (z schnitt 8.3.2, Seite 157). Beispiel 6.3 Aus den Daten aus Tabelle 2.1 von 82 Studenten ergeben sich folgende Häufigkeiten: 31 (Blutgruppe 0), 35 (A), 11 (B) und 5 (AB). 69 Studenten haben Rhesusfaktor positiv (R+), 13 Rhesusfaktor negativ (R–). Daraus lassen sich Wahrscheinlichkeiten schätzen: P (0) 38% , P ( A) 43% , P ( B) 13% und P ( AB) 6% ; P ( R ) 84% , P ( R ) 16% .

105 6.2 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

x Computersimulation. Bei sehr komplexen Problemen, insbeson„ dere aus dem technisch-wissenschaftlichen Bereich, ist auch diese Vorgehensweise nicht brauchbar. Um beispielsweise die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass ein Flugzeug abstürzt oder dass bei einem Atomkraftwerk ein GAU eintritt, kann man keine Zufallsexperimente durchführen. In diesen Fällen ist es sinnvoll, das Problem im Computer zu simulieren und mit Hilfe dieses Modells die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Ereignisses zu ermitteln. Die Computersimulation wird in den letzten Jahren – dank der Entwicklung hochleistungsfähiger Rechner und adäquater Software – zunehmend auch für medizinische Fragestellungen angewandt. Im Rahmen dieses Buches kann jedoch nicht näher auf diese Thematik eingegangen werden. 6.2.3

Die Verknüpfung zweier Ereignisse

Im vorangegangenen Abschnitt wurden Methoden vorgestellt, mit denen sich die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Ereignisses A ermitteln lässt. Bei vielen Fragestellungen interessieren jedoch nicht nur einzelne Ereignisse, sondern bestimmte Ereigniskonstellationen. Fragen dieser Art lauten z. B.: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

ŷ dass eine Person eine andere Blutgruppe als 0 hat? ŷ dass eine Person an zwei Krankheiten gleichzeitig erkrankt? ŷ dass eine männliche Person an Hämophilie erkrankt? Verbindungen zwischen zwei oder mehreren Ereignissen lassen sich durch mengentheoretische Operationen beschreiben. Zur graphischen Darstellung dieser Beziehungen eignen sich die so genannten VENN-Diagramme. So bezeichnen die Vereinigungsmenge A ‰ B : (sprich: A vereinigt B) die Schnittmenge A ˆ B : (sprich: A Schnitt B) die Differenzmenge A  B : (sprich: A minus B)

das Ereignis, dass A allein oder B allein oder beide Ereignisse gemeinsam eintreten (Abb. 6.1a) das Ereignis, dass A und B gemeinsam eintreten (Abb. 6.1b) das Ereignis, dass A aber nicht B eintritt (Abb. 6.1c)

6

106

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

B

B

B

4 A Abb. 6.1a Vereinigung A ‰ B

6

A Abb. 6.1b Schnitt A ˆ B

A Abb. 6.1c Differenz A  B

Beispiel 6.4 Wenn A das Ereignis „Blutgruppe A“ und R das Ereignis „Rhesusfaktor positiv“ bezeichnet, dann bedeutet A ‰ R das Ereignis, dass die Blutgruppe A oder der Rhesusfaktor positiv vorliegt. Das Wort „oder“ wird dabei im nicht-ausschließlichen Sinne verwendet: A ‰ R beinhaltet, dass nur das Ereignis A (Blutgruppe A, Rhesusfaktor negativ) oder nur das Ereignis R (andere Blutgruppe als A, Rhesusfaktor positiv) eintritt oder beide Ereignisse gemeinsam (Blutgruppe A und Rhesusfaktor positiv) eintreten.

Zwei Ereignisse A und B, deren Durchschnitt die leere Menge bildet, heißen disjunkt (oder unvereinbar). Als Beispiel seien „männliches Geschlecht“ und „schwanger“ genannt. Formal gilt für disjunkte Ereignisse: A ˆ B ‡ . Zwei disjunkte Ereignisse, die sich zum Ereignisraum : ergänzen, nennt man komplementär. Das zu A komplementäre Ereignis wird üblicherweise mit A (sprich: A quer) bezeichnet. Für A und A gelten:

ŷ A ‰ A : (die Ereignisse ergänzen sich) und ŷ A ˆ A ‡ (die Ereignisse sind disjunkt). Beispiele für komplementäre Ereignisse sind: gerade und ungerade Augenzahl beim Würfeln, männliches und weibliches Geschlecht, Rhesusfaktor positiv und Rhesusfaktor negativ oder Blutgruppe A und andere Blutgruppe als A.

107 6.2 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

6.2.4

Die Axiome von Kolmogoroff und deren Folgerungen

Um mit Wahrscheinlichkeiten zu rechnen, ist es notwendig, deren mathematische Eigenschaften zu präzisieren. Der russische Mathematiker Andrej Kolmogoroff (1903-1987) hat im Jahre 1930 drei Axiome aufgestellt, die diese Eigenschaften definieren. Demnach heißt eine Funktion P(A), die einem Ereignis A eine reelle Zahl zuordnet, Wahrscheinlichkeit, falls die folgenden Axiome erfüllt sind: 1. 0 d P( A ) d 1 2. P( : ) 1 3. P( A ‰ B ) P( A )  P( B ) für disjunkte Ereignisse A und B i Axiome sind einfache mathematische Aussagen, die nicht beweisbar sind. z Sie werden aufgestellt, um einen Begriff zu definieren oder um eine Theorie aufzubauen. Mittels der Axiome lassen sich weitere Aussagen deduktiv herleiten.

Beispiel 6.5 Wir betrachten die Funktion P, die den Blutgruppen folgende Wahrscheinlichkeiten zuordnet (Beispiel 6.3): P(0) 0,38 , P ( A) 0,43 , P( B ) 0,13 und P ( AB) 0,06 . Der Ereignisraum : ist die Menge ^0, A, B, AB` . Man kann leicht nachprüfen, dass die Axiome von Kolmogoroff erfüllt sind. Jeder Funktionswert liegt zwischen 0 und 1 (Axiom 1), außerdem gilt P( : ) 1 – denn eine der vier Blutgruppen liegt mit Sicherheit vor (Axiom 2). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Blutgruppen A oder B gegeben ist, ist: P ( A ‰ B) P ( A)  P ( B) 0,43  0,13 0,56 ; Analoges gilt für die anderen Ereignispaare (demnach ist Axiom 3 erfüllt). Somit handelt es sich bei der Funktion P um eine Wahrscheinlichkeit im Sinne von Kolmogoroff.

Die Definition der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogoroff schließt die Definition von Laplace ein – sie ist jedoch wesentlich allgemeiner als diese. Während Laplace davon ausgeht, dass alle Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten, verlangt Kolmogoroff lediglich, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, und dass deren Summe 1 ergibt. Man kann leicht nachvollziehen, dass diese Eigenschaften auch für relative Häufigkeiten und die daraus geschätzten Wahrscheinlichkeiten gelten. Aus den Axiomen von Kolmogoroff lassen sich mehrere Rechenregeln herleiten:

x Wahrscheinlichkeit für das komplementäre Ereignis. Aus P ( A) „ ergibt sich sehr einfach die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A :

6

108

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

P ( A ) 1  P ( A)

(6.2)

Daraus und aus Axiom 2 folgt für das unmögliche Ereignis:

P (‡ )

4

6

(6.3)

0

Beispiel 6.6 Die Wahrscheinlichkeit für die Blutgruppe 0 beträgt P( 0 ) 0 ,38 . Damit berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass eine andere Blutgruppe als 0 vorliegt, als P( 0 ) 1  0 ,38 0 ,62 .

x Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Er besagt, dass ein Er„ eignis A entweder zusammen mit dem Ereignis B oder B auftritt:

P ( A)

P( A ˆ B)  P( A ˆ B )

(6.4)

Das Ereignis A ˆ B ist identisch mit der Differenzmenge A  B . Des› Abbildung 6.1c): halb folgt aus der Formel (6.4) sofort (z P( A  B )

P( A )  P( A ˆ B )

(6.5)

x Additionssatz. Für die Vereinigung zweier Ereignisse A und B gilt „ allgemein: P( A ‰ B )

P( A )  P( B )  P( A ˆ B )

Wenn die beiden Ereignisse A und B disjunkt sind, ist A ˆ B Dann hat der Additionssatz eine etwas einfachere Form: P( A ‰ B )

P( A )  P( B )

(6.6) ‡.

(6.7)

Beispiel 6.7 Seien A und R+ die Ereignisse „Blutgruppe A“ bzw. „Rhesusfaktor positiv“. Dann entspricht R- dem Ereignis „Rhesusfaktor negativ“. Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (6.4) besagt, dass eine Person mit Blutgruppe A entweder Rhesusfaktor positiv oder Rhesusfaktor negativ hat. Die Wahrscheinlichkeit P ( A) 0,43 setzt sich additiv zusammen aus P ( A ˆ R ) 0,36 und P ( A ˆ R ) 0,07 (die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen werden im nächsten Abschnitt hergeleitet). Die Wahrscheinlichkeit für Rhesusfaktor positiv oder Blutgruppe A beträgt nach dem Additionssatz (6.6): P ( A ‰ R) P( A)  P( R )  P ( A ˆ R ) 0,43  0,84  0,36 0,91

6

109 6.2 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Mathematische Herleitung der Rechenregeln Alle genannten Rechenregeln lassen sich auf die drei Axiome von Kolmogoroff zurückführen. Aus den Axiomen 2 und 3 folgt sofort: 1 P( : ) P( A ‰ A ) P( A )  P( A ) Daraus ergibt sich Formel (6.2). Mit A : und A ‡ ergibt sich (6.3). Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit (Formel 6.4) folgt ebenfalls direkt aus Axiom 3. – Um den Additionssatz herzuleiten (Formel 6.6), zerlegt man die Menge A ‰ B in drei disjunkte Teilmengen: P( A ‰ B ) P( A ˆ B )  P( A ˆ B )  P( A ˆ B ) Nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt die Summe der ersten beiden Summanden P( A ) ; für den dritten Summanden gilt: P( A ˆ B ) P( B )  P( A ˆ B ) . Demnach ist P( A ‰ B ) P( A )  P( B )  P( A ˆ B ) .

6.2.5

Abhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit

In gewissen Situationen ist es nicht zweckmäßig, Wahrscheinlichkeiten anzugeben, die sich auf die Grundgesamtheit beziehen. Viele Krankheiten stehen in Zusammenhang mit dem Geschlecht der Patienten (z. B. Hämophilie, Rot-Grün-Blindheit oder Brustkrebs) oder sind abhängig von bestimmten Risiken. In diesen Fällen ist es sinnvoll, die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Teilmengen der Grundgesamtheit getrennt zu berechnen – etwa für Männer und für Frauen oder für Patienten mit und ohne Risikofaktor. Man spricht dann von einer bedingten Wahrscheinlichkeit und bezeichnet diese als P( A| B ) (sprich: „P von A gegeben B“ oder „P von A unter der Bedingung B“). Sie ist folgendermaßen definiert: P( A| B )

P( A ˆ B ) P( B )

(6.8)

Diese Formel quantifiziert die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A eingeschränkt auf die Menge, die dem Ereignis B entspricht. Beispiel 6.8 Die Wahrscheinlichkeit, an Diabetes mellitus zu erkranken, beträgt für einen Mann P( D| M ) | 0 ,07 und für eine Frau P( D|W ) | 0 ,02 . Daraus geht hervor, dass das Risiko bei Männern wesentlich höher ist als bei Frauen. Die Wahrscheinlichkeit P( D ) | 0 ,045 , die sich auf die gesamte Population bezieht, ist weniger informativ.

110

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

Durch einfaches Umschreiben von (6.8) erhält man den Multiplikationssatz, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass zwei Ereignisse A und B gemeinsam eintreten: P( A ˆ B )

4

6

P( A| B ) ˜ P( B )

(6.9)

Wenn A und B unabhängig sind, bedeutet dies, dass das Eintreten von B keinerlei Einfluss auf das Eintreten von A hat. Formal drückt man dies folgendermaßen aus: P( A| B ) P( A ) . Damit erhält man den Multiplikationssatz und den Additionssatz für unabhängige Ereignisse als Spezialfälle von (6.9) und (6.6): P( A ˆ B )

P( A ) ˜ P( B )

(6.10)

P( A ‰ B )

P( A )  P( B )  P( A ) ˜ P( B )

(6.11)

Beispiel 6.9 Die Ereignisse „Blutgruppe A“ und „Rhesusfaktor positiv“ sind unabhängig mit den Wahrscheinlichkeiten P ( A) 0,43 und P ( R  ) 0,84 . Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Blutgruppe A und Rhesusfaktor positiv hat, ist dann (siehe auch Beispiel 6.7): P ( A ˆ R) P ( A) ˜ P ( R) 0,43 ˜ 0,84 0,36

6.2.6

Das Bayes-Theorem

Das Bayes-Theorem geht zurück auf den englischen Geistlichen Thomas Bayes (1702-1761), der sich u. a. mit Glücksspielen befasste. Es erlaubt die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P ( A | B ) , wenn außer der Wahrscheinlichkeit P ( A) auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten P( B | A) und P ( B | A ) bekannt sind. Die Formel ist: P( A| B )

P( A ) ˜ P( B| A ) P( A ) ˜ P( B| A )  P( A ) ˜ P( B| A )

(6.12)

Das Bayes-Theorem ermöglicht also Rückschlüsse von der a-prioriWahrscheinlichkeit P( A ) auf die a-posteriori-Wahrscheinlichkeit P( A| B ) . Diese Formel wird in der Medizin bei diagnostischen Tests benutzt: Wenn A das Ereignis „Vorliegen einer bestimmten Krankheit“ und B das Ereignis „Testergebnis positiv“ symbolisieren, lässt sich mit obiger Formel die Wahrscheinlichkeit P( A| B ) berechnen, mit der ein Patient mit einem positiven Befund tatsächlich erkrankt ist (falls die Prävalenz P( A ) bekannt ist, siehe Abschnitt 6.5.2).

6

111 6.3 Wahrscheinlichkeiten in der Epidemiologie

Mathematische Herleitung des Bayes-Theorems Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in (6.8) ist P( A ˆ B ) . P( A| B ) P( B ) Der Zähler dieses Quotienten lässt sich – wenn man die Ereignisse A und B in der Formel (6.9) des Multiplikationssatzes vertauscht – schreiben als: P ( A ˆ B) P ( A) ˜ P ( B | A) . Analog leitet man her: P( A ˆ B) P( A ) ˜ P( B | A ) Mittels des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit (6.4) ergibt sich dann für den Nenner des obigen Quotienten: P( B ) P( A ˆ B )  P( A ˆ B ) P( A ) ˜ P( B| A )  P( A ) ˜ P( B| A ) Wenn man die entsprechenden Ausdrücke in den Zähler und den Nenner des obigen Quotienten einsetzt, erhält man für P( A| B ) die Formel (6.12).

Übersicht 3: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Name des Satzes

Rechenregeln

Satz für das komplementäre Ereignis A

P( A ) 1  P( A )

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

P ( A)

Additionssatz

P( A ‰ B)

P( A ˆ B )  P( A ˆ B ) P ( A)  P ( B )  P ( A ˆ B )

A und B disjunkt Ÿ P ( A ‰ B )

P ( A)  P ( B )

A und B unabhängig Ÿ P ( A ‰ B ) P ( A)  P( B )  P( A) ˜ P ( B )

Multiplikationssatz

P( A ˆ B)

P( A | B) ˜ P( B)

A und B disjunkt Ÿ P ( A ˆ B)

0

A und B unabhängig Ÿ P ( A ˆ B )

6.3

P ( A) ˜ P ( B )

Wahrscheinlichkeiten in der Epidemiologie

Die Epidemiologie befasst sich mit dem Auftreten von Krankheiten in einer größeren Population. Die Ziele der epidemiologischen Forschung sind: das Erkennen von Ursachen und Risikofaktoren von Krankheiten; das Bestimmen deren Verbreitung in der Bevölkerung; die Untersuchung des natürlichen Verlaufs und relevanter prognos-

112

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

tischer Faktoren, die Evaluation präventiver und therapeutischer Maßnahmen sowie das Schaffen von Grundlagen für politische Entscheidungen. Zur Beschreibung demographischer Charakteristika werden folgende Wahrscheinlichkeiten verwendet:

4

6

x Prävalenz (im engeren Sinne: Punktprävalenz).. Dies ist der rela„ tive Krankenbestand zu einem bestimmten Zeitpunkt – also die Wahrscheinlichkeit P( K t ) für eine beliebige Person, zum Zeitpunkt t erkrankt zu sein. Dieses Maß eignet sich für Krankheiten, die chronisch sind oder wiederholt auftreten; es wird üblicherweise im Rahmen einer Querschnittsstudie bestimmt. Die Punktprävalenz muss immer zusammen mit dem Zeitpunkt angegeben werden, auf den sie sich bezieht. Es handelt sich dabei nicht um einen Zeitpunkt im physikalischen Sinne, sondern meist um einen bestimmten Tag o. ä. Die Prävalenz ist eine wertvolle Hilfe für die Bedarfsplanung im Öffentlichen Gesundheitswesen. x Periodenprävalenz. Das Bestimmen einer Punktprävalenz kann „ bei Krankheiten von sehr kurzer Dauer methodische Schwierigkeiten mit sich bringen. Dann mag es sinnvoll sein, anstelle der Punktprävalenz eine Periodenprävalenz zu bestimmen, die sich auf einen längeren Zeitraum bezieht. Dabei werden alle Personen berücksichtigt, die zu Beginn, während oder am Ende eines längeren Beobachtungszeitraums erkrankt waren (üblicherweise im Rahmen einer Kohortenstudie). – Eine spezielle Form stellt die Lebenszeitprävalenz dar; sie quantifiziert die Wahrscheinlichkeit einer Person, krank geboren zu werden oder einmal im Laufe ihres Lebens zu erkranken. x Inzidenz. Dies ist die Neuerkrankungsrate, also die Wahrschein„ lichkeit P (K ) für eine beliebige Person, während der Beobachtungszeit zu erkranken. Dabei geht man von einer Population aus, deren Mitglieder zu Beginn des Beobachtungszeitraumes nicht erkrankt sind. – Die Inzidenz wird immer in Verbindung mit einem Zeitraum (z. B. pro Jahr oder während eines Klinikaufenthaltes) angegeben. Dieses Maß hat nur Aussagekraft bei Erkrankungen, die bei einer Person während der Beobachtungszeit maximal einmal auftreten. Bei länger andauernden Krankheiten lässt sich die Prävalenz aus der Inzidenz berechnen nach: Prävalenz = Inzidenz · durchschnittliche Dauer Während die Inzidenz angibt, wie groß das Erkrankungsrisiko für eine einzelne Person während eines Beobachtungszeitraums ist, in-

6

113 6.3 Wahrscheinlichkeiten in der Epidemiologie

formiert die Prävalenz über die Auswirkungen einer Krankheit auf die Gesamtpopulation. Beispiel 6.10 Im Oktober 2003 lebten in Deutschland 39.000 HIV-positive Menschen; dies entspricht bei einer Gesamtbevölkerung von 82 Millionen etwa 4,76 von 10.000 (Prävalenz). – Bei Asthma beträgt die jährliche Inzidenz aller Kinder und Jugendlichen zwischen 6 und 16 Jahren 3/1.000; die durchschnittliche Dauer beträgt etwa 11 Jahre. Dann lässt sich nach obiger Formel ermitteln, dass 33 von 1.000 Personen in dieser Altersgruppe zu einem bestimmten Zeitpunkt an Asthma erkrankt sind (Prävalenz).

x Krankheitsspezifische Mortalität. Darunter versteht man die To„ desrate – also die Wahrscheinlichkeit P ( K ˆ T ) , während der Beobachtungszeit an der Krankheit K zu erkranken und zu sterben. x Letalität. Die Tödlichkeitsrate der Erkrankten ist die bedingte „ Wahrscheinlichkeit P( T| K ) . Die Angabe der Letalität ist nur sinnvoll für Erkrankungen, deren Beginn und Ende innerhalb des Beobachtungszeitraums liegen. Nach dem Multiplikationssatz (6.9) gilt: P( K ˆ T )

P( K ) ˜ P( T | K )

(6.13)

oder in Worten: Mortalität = Inzidenz · Letalität Beispiel 6.11 Ignaz Semmelweis ermittelte für den April des Jahres 1846 in der Ärzte-Abteilung des Wiener Gebärhauses, dass 24% der gebärenden Frauen während des Klinikaufenthaltes an Kindbettfieber erkrankten (Inzidenz) und von den Erkrankten 80% verstarben (Letalität). Mit Formel (6.13) berechnet man daraus eine Mortalität von etwa 19%.

x Morbidität. Dieser Begriff ist in der Literatur unterschiedlich de„ finiert: Teilweise wird er synonym für Prävalenz, teilweise synonym für Inzidenz verwendet. ! Die Prävalenz, Inzidenz oder Mortalität sind keine absoluten Häufigkeiz

ten, sondern Wahrscheinlichkeiten. Die Angabe der Bezugspopulation ist unbedingt erforderlich. Man stellt diese Größen entweder als Prozentzahl dar oder – wenn diese sehr gering ist – als Häufigkeit bezogen auf 1.000, 10.000 oder mehr Personen.

114

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

Bei Infektionskrankheiten sind außerdem folgende Wahrscheinlichkeiten interessant:

x Kontagionsindex. Dieser Index gibt die Wahrscheinlichkeit an, „ dass sich eine nicht immune Person, die mit dem Erreger in Kontakt kommt, infiziert. Er ist also ein Maß für die Ansteckungsfähigkeit.

4

6

x Manifestationsindex. Er gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit „ eine infizierte Person manifest erkrankt (die Krankheitsbereitschaft). Je kleiner dieser Index ist, desto mehr Infektionsfälle verlaufen klinisch stumm. Beispiel 6.12 Bei Masern beträgt der Kontagionsindex fast 100 %; der Manifestationsindex liegt bei etwa 95 %. Das heißt: Fast alle Personen, die mit dem Virus in Kontakt kommen, infizieren sich. Davon erkranken 95 % manifest, während 5 % der Infektionen klinisch stumm verlaufen.

Schließlich sei noch angemerkt, dass all diese Maßzahlen keineswegs Naturkonstanten sind, die – nachdem man sie einmal bestimmt hat – für alle Zeit ihren Wert behalten. Es handelt sich vielmehr um Größen, die abhängig sind von den sozialen Rahmenbedingungen sowie den aktuellen diagnostischen und therapeutischen Möglichkeiten. Mit besseren diagnostischen Mitteln werden mehr Krankheitsfälle erkannt – dadurch steigt die Inzidenz. Wenn für eine Krankheit eine bessere Therapie zur Verfügung steht, werden mehr Personen überleben – damit steigt bei chronischen Erkrankungen die Prävalenz, während die Mortalität und die Letalität sinken. Weitere interessante Hinweise dazu findet man in [7] und [9].

6.4

Bevölkerungsstatistiken

6.4.1

Spezielle Wahrscheinlichkeitenƒƒƒ

x Natalität. Das ist die Geburtenziffer, also der Anteil lebend „ geborener Kinder im Verhältnis zur Gesamtpopulation während eines Beobachtungszeitraums. Sie ist abhängig von der Altersstruktur der beobachteten Population. Ein hoher Altenanteil impliziert automatisch eine niedrigere Geburtenziffer. x Fertilitätsziffer. Dieses Maß beschreibt die Fruchtbarkeitsrate – „ das ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau im gebärfähigen Alter

6

115 6.4 Bevölkerungsstatistiken

ein lebendes Kind zur Welt bringt (bezogen auf ein Jahr). Sie ist – im Gegensatz zur Geburtenziffer – unabhängig von der Altersstruktur der Population.

x Pearl-Index. Dies ist ein Risikomaß bezüglich der Sicherheit einer „ Verhütungsmethode. Zu dessen Schätzung müssen hinreichend viele Frauen, die eine bestimmte Verhütungsmethode anwenden, über einen längeren Zeitraum beobachtet werden. Er wird bestimmt, indem die Anzahl der ungewollten Schwangerschaften im Verhältnis zur Anzahl der beobachteten Zyklen mit dem Faktor 1.200 multipliziert wird. Er gibt somit an, wie viele von 100 Frauen in einem Jahr ungewollt schwanger werden (wobei davon ausgegangen wird, dass eine nicht-schwangere Frau zwölf Zyklen pro Jahr hat). x Sterbeziffer. Dies ist die Gesamtmortalität – also der Anteil der im „ Beobachtungszeitraum Verstorbenen. Darüber hinaus gibt es auch spezifische Sterbeziffern, wie etwa die Sterbeziffer bei Neugeborenen. Beispiel 6.13 Im Jahre 1995 betrug die Geburtenziffer im EU-Durchschnitt 10,9 pro 1.000 Einwohner. In Deutschland wurden damals 9,4 Kinder pro 1.000 Einwohner geboren – das war eine der niedrigsten Geburtenziffern der Länder der Europäischen Union. Wenn man bedenkt, dass die Sterbeziffer bei 11 Personen pro 1.000 Einwohner lag, bedeutet das einen Bevölkerungsrückgang um 1,6 Personen je 1.000 Einwohner. Die Fertilitätsrate lag bei 47 Geburten pro 1.000 Frauen im gebärfähigen Alter.

6.4.2

Sterbetafelnƒƒƒ

Eine Sterbetafel beschreibt die Verteilung von Lebensdauern. Sie basiert auf folgenden Häufigkeiten: A 0 : normierte Anzahl von Lebendgeborenen innerhalb eines Beobachtungszeitraums (z. B. in einem bestimmten Jahr) A x : Anzahl der Personen, die ihren x-ten Geburtstag erleben und danach noch unbestimmte Zeit leben. Dann ist dx

A x  A x 1

(6.14)

die Anzahl der Lebendgeborenen, die zwischen ihrem x-ten und (x+1)-ten Geburtstag sterben. Der Einfachheit halber wird die Lebensdauer als diskretes Merkmal aufgefasst mit den Ausprägungen x (Anzahl der erreichten Lebensjahre) und den absoluten Häufigkeiten d x . Die Sterbeziffern sind die relativen Häufigkeiten:

116

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

qx

4

(6.15)

Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der seinen x-ten Geburtstag erlebt hat, vor seinem (x+1)-ten Geburtstag stirbt. Dabei ist Z das letzte in der Sterbetafel berücksichtige Alter; d. h. man nimmt an: A Z1 0 (oft wird Z 100 gesetzt). Es handelt sich bei den q x um altersspezifische Mortalitätsraten. Die durchschnittliche Lebenszeit (oder Lebenserwartung) eines Neugeborenen wird geschätzt als: e0

6

d x / A x ( x = 0,..., Z )

1 1  2 A0

Z

¦A

x

(6.16)

x 1

Tabelle 6.1: Sterbetafel aus den Jahren 1901/10, entnommen aus dem Statistischen Jahrbuch der Bundesrepublik Deutschland. Die Tafel enthält folgende Angaben: Anzahl A x der Personen, die das Alter x erreichen, Sterbeziffern qx ˜1000 und Lebenserwartung e x in Jahren.

x 0 1 2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

männliche Bevölkerung bezogen auf 100.000 lebend geborene Personen Ax qx ˜1000 ex 100.000 202,34 44,82 79.766 39,88 55,12 76.585 14,92 56,39 74.211 5,28 55,15 72.827 2,44 51,16 72.007 2,77 46,71 70.647 5,04 42,56 68.881 5,13 38,59 67.092 5,56 34,55 65.104 6,97 30,53 62.598 9,22 26,64 59.405 12,44 22,94 55.340 16,93 19,43 50.186 23,57 16,16 43.807 32,60 13,14 36.079 47,06 10,40 27.136 69,36 7,99 17.586 106,40 5,97 8.987 157,87 4,38 3.212 231,60 3,18 683 320,02 2,35

weibliche Bevölkerung bezogen auf 100.000 lebend geborene Personen Ax qx ˜1000 ex 100.000 170,48 48,33 82.952 38,47 57,20 79.761 14,63 58,47 77.334 5,31 57,27 75.845 2,56 53,35 74.887 3,02 49,00 73.564 4,22 44,84 71.849 5,37 40,84 69.848 5,97 36,94 67.679 6,86 33,04 65.283 7,71 29,16 62.717 8,54 25,25 59.812 11,26 21,35 55.984 16,19 17,64 50.780 24,73 14,17 43.540 39,60 11,09 34.078 62,06 8,45 23.006 98,31 6,30 12.348 146,50 4,65 4.752 217,39 3,40 1.131 295,66 2,59

6

117 6.4 Bevölkerungsstatistiken

Die Lebenserwartung eines x-jährigen berechnet sich analog als:

ex

1 1  2 Ax

Z

¦A

(6.17)

y

y x 1

Die Verteilungsfunktion F ( x ) gibt den relativen Anteil der Lebendgeborenen an, deren Sterbealter kleiner als x ist: F ( x) 1 

Ax A0

für 0 d x d Z

(6.18)

Die Sterbetafel in Tabelle 6.1 beinhaltet – getrennt für männliche und weibliche Personen – die Lebenserwartungen zu Beginn des 20. Jahrhunderts im damaligen deutschen Reich. Die Sterbeziffern und Lebenserwartungen sind nicht alle exakt (da einige Personen, deren Lebenserwartung aufgelistet ist, noch leben). Sie werden deshalb aufgrund von Erfahrungswerten aus vergangenen Jahren geschätzt. Mathematische Herleitung der Lebenserwartungen Für die zu erwartende mittlere Lebensdauer gilt nach (6.15): e0 Nach (6.14) und unter Berücksichtigung von A Z1

Z

dx

x 0

0

¦x˜ l

.

0 ergibt sich: Z

e0

0( A 0  A1 )  1( A1  A 2 )  2( A 2  A 3 )  ...  Z(A Z  A Z1 ) A0

¦A

x

x 1

A0

Üblicherweise wird zu e0 der Term ½ addiert, da man annimmt, dass die Lebensdauer eines Menschen, der im Jahr nach seinem x-ten Geburtstag stirbt, urchschnittlich x  1 / 2 beträgt. – Für die kumulierten Wahrscheinlichkeiten erx 1

¦d hält man nach (6.15):

i 0

A0

i

A0  A x A0

1

Ax . A0

Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion (6.18).

118

4

6

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

6.5

Diagnostische Tests

6.5.1

Die Gütekriterien eines diagnostischen Tests

Diagnostische Tests – wie z. B. der HIV-Test – werden benutzt, um größere Sicherheit bezüglich des Krankheitsstatus eines Patienten zu gewinnen. Im einfachsten Fall sind nur zwei Testergebnisse möglich. Von einem guten Test erwartet man:

ŷ ein positives Ergebnis bei einer erkrankten Person und ŷ ein negatives Ergebnis bei einer nicht-erkrankten Person. Seien nun T und T die Ereignisse, dass das Testergebnis positiv bzw. negativ ist; K und K seien die Ereignisse, dass die zu untersuchende Krankheit vorliegt bzw. nicht vorliegt. Die Güte eines diagnostischen Tests wird quantifiziert durch:

x Sensitivität. Dies ist die Wahrscheinlichkeit P (T | K ) , dass der „ Test bei einer kranken Person richtig (d. h. positiv) reagiert. x Spezifität. Darunter versteht man die Wahrscheinlichkeit „ P (T | K ) , dass eine nicht-erkrankte Person ein richtiges (d. h. negatives) Testergebnis erhält. Im Idealfall – wenn alle Testergebnisse richtig sind – nehmen beide Wahrscheinlichkeiten den Wert 1 an. In der Praxis muss man leider damit rechnen, dass sich hin und wieder ein falscher Befund ergibt. Wenn der Test die Krankheit eines Patienten übersieht, erhält man ein falsch-negatives Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit dafür ergibt sich aus der Sensitivität. Da nämlich T und T komplementäre Ereignisse sind, berechnet man mit (6.2): P (T | K ) 1  P (T | K )

(6.19)

In analoger Weise lässt sich aus der Spezifität die Wahrscheinlichkeit für ein falsch-positives Ergebnis ermitteln: P (T | K ) 1  P (T | K )

(6.20)

6

119 6.5 Diagnostische Tests

Beispiel 6.14 Ein HIV-Test habe eine Sensitivität von 99% und eine Spezifität von 99,5%. Dann werden 99% der infizierten und 99,5% der nicht-infizierten Personen richtig klassifiziert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine infizierte Person fälschlicherweise ein negatives Ergebnis erhält, ist nach (6.19) 1%. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einer nicht-infizierten Person ein falsch-positives Ergebnis ergibt, berechnet sich nach (6.20) als 0,5%. Wenn dieser Test bei einer Population von 100.000 homosexuellen Männern (Prävalenz = 0,001) angewandt wird, erwartet man theoretisch folgende Häufigkeiten: positiver Befund negativer Befund infiziert 99 1 100 nicht infiziert 500 99.400 99.900 599 99.401 100.000 Nur etwa 1/6 der positiven Ergebnisse ist auf eine Infektion zurückzuführen; der Rest ist falsch positiv. Die negativen Befunde sind dagegen fast alle richtig.

6.5.2

Die Vorhersagewerte

Für den behandelnden Arzt und die betroffenen Patienten sind nicht so sehr die Gütekriterien als vielmehr die Vorhersagewerte (oder prädiktiven Werte) interessant – das sind die Wahrscheinlichkeiten, dass das Testergebnis den richtigen Krankheitsstatus anzeigt. Unter dem positiven Vorhersagewert versteht man die bedingte Wahrscheinlichkeit P ( K | T ) ; der negative Vorhersagewert ist die Wahrscheinlichkeit P( K | T ) . Mit dem Bayes-Theorem (6.12) leitet man her: P( K|T )

P( K ) ˜ P( T| K ) P( K ) ˜ P( T | K )  P( K ) ˜ P( T | K )

(6.21)

P( K |T )

P( K ) ˜ P( T| K ) P( K ) ˜ P( T | K )  P( K ) ˜ P( T | K )

(6.22)

Während die Prävalenz P( K ) die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, erkrankt zu sein, bevor das Testergebnis bekannt ist, ist der positive Vorhersagewert die Wahrscheinlichkeit, erkrankt zu sein, nachdem das positive Ergebnis vorliegt. Deshalb wird die Prävalenz auch „apriori-Wahrscheinlichkeit“ genannt, während der positive Vorhersagewert als „a-posteriori-Wahrscheinlichkeit“ bezeichnet wird.

120

4

6

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

Beispiel 6.15 Wir greifen zurück auf den HIV-Test in Beispiel 6.14 (Sensitivität 99%, Spezifität 99,5%) und betrachten die Risikogruppe „homosexuelle Männer“ (Prävalenz 0,001). Für den positiven Vorhersagewert berechnet man nach (6.21): 0,001 ˜ 0,99 P ( K | T ) 0,165 0,001 ˜ 0,99  0,999 ˜ 0,005 Dieser Wert gibt die a-posteriori-Wahrscheinlichkeit an, dass eine Person mit einem positiven Testergebnis auch tatsächlich infiziert ist. Für den negativen Vorhersagewert berechnet man nach (6.22): 0,999 ˜ 0,995 P ( K | T ) 0,99999 0,999 ˜ 0,995  0,001 ˜ 0,01 Das bedeutet, dass man bei einem negativen Testergebnis fast sicher sein kann, dass die betreffende Person nicht infiziert ist. Diese Werte entsprechen den relativen Häufigkeiten, die sich aus Beispiel 6.14 ergeben: 99 99.400 P ( K | T ) 0,165 und P ( K | T ) 0,99999 599 99.401

Der geringe positive und der hohe negative Vorhersagewert in Beispiel 6.15 sind keine Besonderheit, sondern eher typisch für einen diagnostischen Test. Ein positiver Befund kann sich nämlich auch bei gesunden Personen ergeben aufgrund von Einflüssen, die in keinem Zusammenhang mit der relevanten Krankheit stehen. Deshalb ist bei niedriger Prävalenz (wenn der Test bei weitaus mehr gesunden als bei kranken Personen durchgeführt wird) oft nur ein kleiner Teil der positiven Befunde auf die zu diagnostizierende Krankheit zurückzuführen. Die negativen Befunde sind dagegen fast ausschließlich gesunden Personen zuzuordnen; nur ein sehr kleiner Anteil ist falsch negativ. Beispiel 6.16 Für den HIV-Test ergeben sich in Abhängigkeit von der Prävalenz folgende Vorhersagewerte: positiver negativer VorPopulation Prävalenz Vorhersagewert hersagewert ohne Risiko 0,00001 0,00198 1,00000 (Rechenbeispiel) 0,0001 0,01942 1,00000 homosexuelle Männer 0,001 0,16541 0,99999 Drogenabhängige 0,01 0,66667 0,99990 (Rechenbeispiel) 0,1 0,95652 0,99888

121 6.5 Diagnostische Tests

An Beispiel 6.16 wird deutlich, dass die Vorhersagewerte von der Prävalenz abhängen. Dies kann bei klinischen Anwendungen zu Problemen führen, da ein exakter Wert für die Prävalenz oft nicht bekannt ist. Bei den meisten Krankheiten ist die Prävalenz glücklicherweise gering – was sich jedoch nachteilig auf den positiven Vorhersagewert auswirkt. Aus Beispiel 6.16 geht hervor, dass dieser insbesondere bei kleiner Prävalenz extrem niedrig sein kann. Nur bei besonderen Risikogruppen oder in Spezialkliniken sind die Prävalenz und damit auch die Aussagekraft eines diagnostischen Tests höher. – Die negativen Vorhersagewerte haben dagegen alle einen Wert, der nahe bei 1 liegt. Während also bei einem negativen Ergebnis die Krankheit mit hoher Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden kann, ist ein positiver Befund weitaus schwieriger zu bewerten. In jedem Fall muss der Arzt ihn ernst nehmen; er sollte sich jedoch hüten, voreilig falsche Schlussfolgerungen zu ziehen. Das Testergebnis ist lediglich ein Hinweis darauf, dass die Krankheit vorliegen könnte. Um eine sichere Diagnose zu erstellen, bedarf es weiterer Untersuchungen. Leider sind sich viele Anwender darüber nicht im Klaren und interpretieren ein positives Testergebnis intuitiv so, als seien Zweifel an der Erkrankung eines Patienten quasi ausgeschlossen. Sie folgern naiv, dass – wenn mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit aus der Bedingung „Krankheit vorhanden“ die Aussage „Testergebnis positiv“ folgt – auch der Umkehrschluss gilt, dass also aus einem positiven Ergebnis mit 99%-iger Sicherheit auf die Krankheit geschlossen werden kann. Dabei unterliegen sie jedoch einer kognitiven Täuschung – sei es aufgrund von Selbstüberschätzung, Bequemlichkeit oder einfach nur wegen mangelnder Erfahrung im Umgang mit Wahrscheinlichkeiten (siehe dazu [3] und [8]). Um ein Testergebnis zu beurteilen, bedarf es jedoch weniger Intuition als vielmehr fachlicher Fähigkeiten und solider Statistik-Kenntnisse. Merke ŷ Die Vorhersagewerte sind abhängig von der Prävalenz. ŷ Der positive Vorhersagewert kann bei geringer Prävalenz sehr niedrig sein – auch dann, wenn die Sensitivität und Spezifität hoch sind. ! In Publikationen taucht hin und wieder der Begriff „accuracy“ (zu z

deutsch: Genauigkeit) im Zusammenhang mit diagnostischen Tests auf. Dies bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person aus der Population, die sich dem Test unterzieht, einen korrekten Befund erhält. Allerdings ist dieses Maß für praktische Anwendungen weniger geeignet, da es keine Information bezüglich der Vorhersagewerte beinhaltet.

6

122

Kapitel 6 · Wahrscheinlichkeiten in der Medizin

Übersicht 4: Kenngrößen diagnostischer Tests Ereignis Krankheit liegt vor

4

6

Testergebnis richtig positiv Testergebnis falsch negativ Testergebnis richtig negativ Testergebnis falsch positiv Krankheit liegt vor, falls Testergebnis positiv Krankheit liegt nicht vor, falls Testergebnis negativ

Bezeichnung der Wahrscheinlichkeit Prävalenz (a-priori-Wahrscheinlichkeit) Sensitivität --Spezifität --positiver Vorhersagewert (a-posteriori-Wahrscheinl.)

formelle Schreibweise

negativer Vorhersagewert

P( K |T )

P( K ) P( T | K ) P( T| K ) P( T| K ) P( T| K ) P( K|T )

! Weitere Hinweise zu diagnostischen Tests finden sich in Kapitel 14. z

7

Diskrete Verteilungen 7.1

Diskrete Zufallsvariable 125

7.1.1 Die Bedeutung einer Zufallsvariablen 125 7.1.2 Wahrscheinlichkeiten 126 7.1.3 Lageparameter 126 7.1.4 Streuungsparameter 128

7.2

Die Binomialverteilung 129

7.2.1 Das Bernoulli-Experiment 129 7.2.2 Eigenschaften der Binomialverteilung 130 7.2.3 Die symmetrische Binomialverteilung 133

7.3

Andere diskrete Verteilungen 135

7.3.1 Die Poissonverteilung 135 7.3.2 Die Polynomialverteilung 137 7.3.3 Die negative Binomialverteilung 138 7.3.4 Die hypergeometrische Verteilung 139 7.3.5 Die diskrete Gleichverteilung 141

125 7.1 Diskrete Zufallsvariable

In diesem und dem nächsten Kapitel werden einige Verteilungen behandelt, die für die Biowissenschaften von Bedeutung sind. Häufigkeitsverteilungen, die bei empirischen Studien beobachtet werden, lassen sich oft über eine solche Verteilung approximieren und in ihren wesentlichen Eigenschaften beschreiben. – Zunächst wird in Abschnitt 7.1 der Begriff der Zufallsvariablen eingeführt, und es wird erläutert, wie eine Häufigkeitsverteilung mittels statistischer Kenngrößen beschrieben werden kann. Danach werden die Binomialverteilung und andere diskrete Verteilungen vorgestellt.

7.1

Diskrete Zufallsvariable

7.1.1

Die Bedeutung einer Zufallsvariablen

Der Begriff des Merkmals ist fundamental für die deskriptive Statistik. Die Beschreibung einer Stichprobe beruht im Wesentlichen auf den Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen und auf statistischen Kenngrößen wie Mittelwert u. a. Zur quantitativen Beschreibung eines Merkmals ist es notwendig, die Ergebnisse eines Zufallsexperiments durch Zahlenwerte darzustellen. Dies geschieht mit Hilfe einer Zufallsvariablen. Das ist eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis des Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Diese Zahlenwerte entsprechen den Merkmalsausprägungen und werden mit Kleinbuchstaben vom Ende des Alphabets (z. B. xi ) symbolisiert. Die Zufallsvariable selbst bezeichnet man in der Regel mit dem passenden Großbuchstaben (z. B. X ); sie ist vergleichbar mit dem Begriff des Merkmals. Es ist für das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr hilfreich, sich die Analogie der Begriffe „Merkmal“ und „Zufallsvariable“ immer wieder vor Augen zu halten. Die xi werden Realisationen (oder Realisierungen) der Zufallsvariablen X genannt. Bei quantitativen Merkmalen sind die xi die Mess- oder Zählwerte; bei qualitativen Merkmalen entsprechen die › xi den numerischen Codierungen der einzelnen Ausprägungen (z Beispiel 2.5, Seite 29). Ebenso wie ein Merkmal kann man auch eine Zufallsvariable einem bestimmten Skalenniveau zuordnen; ferner lassen sich diskrete und stetige Zufallsvariablen unterscheiden. Dieses Kapitel 7 befasst sich mit diskreten Zufallsvariablen und deren Verteilungen.

7

126

Kapitel 7 · Diskrete Verteilungen

7.1.2

4

Wahrscheinlichkeiten

Diskrete Zufallsvariable ergeben sich bei der Beobachtung von Zufallsexperimenten, bei denen abzählbar viele Ergebnisse möglich sind (z. B. Würfeln, Bestimmen des Geschlechts oder der Blutgruppe). Ein Elementarereignis A lässt sich allgemein beschreiben durch X xi (das heißt: Die Zufallsvariable X nimmt den Wert xi an). Für die Wahrscheinlichkeit P( X xi ) sind folgende Schreibweisen gebräuchlich: P( A)

P( X

xi )

P( xi )

pi

(7.1)

Die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse summieren sich – ebenso wie die relativen Häufigkeiten – zu 1: N

N

¦ p ¦ f (x ) i

7

i 1

i

1

(7.2)

i 1

Dabei ist N die Anzahl der möglichen Realisationen der Zufallsvari› ablen X. Diese Formel entspricht dem 2. Axiom von Kolmogoroff, (z Seite 107), nach dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisraums gleich 1 ist. – Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jeder Realisation xi die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu; sie ist definiert als: f ( x)

­ pi für x xi (i 1,... N ) ® ¯0 sonst

(7.3)

Die Verteilungsfunktion F ( x) P ( X d x) einer diskreten Zufallsvariablen (die mindestens ordinal skaliert sein muss) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich x ist. Man erhält sie durch Aufaddieren der Wahrscheinlich› Formel (3.7), Seite 48). keiten pi (z 7.1.3

Lageparameter

x Erwartungswert. Das bekannteste Lagemaß zur Beschreibung „ einer Stichprobenverteilung ist der Mittelwert; das Analogon zur Charakterisierung einer Grundgesamtheit wird Erwartungswert genannt. Während die Parameter einer Stichprobe gewöhnlich mit lateinischen Buchstaben dargestellt werden, werden die Parameter einer Grundgesamtheit mit griechischen Buchstaben bezeichnet. So wird der Erwartungswert mit P (My, sprich: mü) symbolisiert; dies

7

127 7.1 Diskrete Zufallsvariable

entspricht dem lateinischen m. Bei einer diskreten Zufallsvariablen mit N Realisationen ist P definiert als:

P

N

¦ xi ˜ pi

(7.4)

i 1

Der Erwartungswert von X wird auch mit E( X ) , EX oder P x bezeichnet. Diese Schreibweisen bevorzugt man, wenn der Variablenname X hervorgehoben werden soll. Zwei unmittelbar einleuchtende Rechenregeln seien an dieser Stelle genannt: E ( aX  b)

a ˜ EX  b

E ( X 1  ...  X n )

(7.5)

n

¦ EX

(7.6)

i

i 1

Die Gleichung (7.6) beschreibt die Additivität der Erwartungswerte. ! Der Begriff des Erwartungswertes wurde bereits im Jahr 1657 vom niez

derländischen Mathematiker Christiaan Huygens in dessen Buch „De Ratiociniis in Alea Ludo“ eingeführt. Dieses Werk war das erste gedruckte Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung und hatte großen Einfluss auf die weitere Entwicklung dieses Gebietes.

Übersicht 5: Analoge Begriffe aus der deskriptiven Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung deskriptive Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Merkmal Merkmalsausprägung Ausprägungsliste Merkmalswert einer Beobachtungseinheit relative Häufigkeit hi empirische Verteilungsfunktion Fˆ ( x) Mittelwert x

Zufallsvariable X Elementarereignis A Ereignisraum : Realisation xi der Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit pi Verteilungsfunktion F (x) Erwartungswert P

Abgesehen vom Mittelwert bzw. Erwartungswert stimmen bei den anderen Parametern die Bezeichnungen weitgehend überein. ~ (sprich: mü Schlange) einer x Median und Quantile. Der Median P „ Grundgesamtheit ist durch die Verteilungsfunktion bestimmt. Bei einer diskreten Zufallsvariablen ist der Median der kleinste Wert,

128

Kapitel 7 · Diskrete Verteilungen

~ ) t 0,5 . Analog ist ein beliebiges D-Quantil P ~ (mit für den gilt: F (P ~ ) tDD . 0  D  1 ) definiert als der kleinste Wert, für den gilt: F (P D

x Modus. Der Modus der Grundgesamtheit ist der Wert mit der „ größten Häufigkeit. Bei bi- oder multimodalen Verteilungen existieren eventuell mehrere Modalwerte.

4

7.1.4

Streuungsparameter

x Varianz. In der deskriptiven Statistik ist die empirische Varianz „ definiert als die mittlere quadratische Abweichung der StichprobenDaten vom Mittelwert. Das Analogon in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der Erwartungswert der quadratischen Abweichung der Zufallsvariablen X vom Erwartungswert P : V2

7

E  ( X  P)2

E ( X 2 )  P2

(7.7)

Das griechische V (Sigma) entspricht dem lateinischen s. Für diskrete Zufallsvariable ist die Varianz äquivalent zu: V2

N

¦ ( x  P) i

2

(7.8)

pi

i 1

Wegen der quadratischen Dimension einer Varianz gilt: Var( aX  b)

a 2 ˜ Var(X )

(7.9)

Daraus folgt sofort (für a 0 ): Var(b) 0 . Dies beinhaltet die triviale Feststellung: Eine Konstante hat keine Varianz. – Analog zur deskriptiven Statistik erhält man die Standardabweichung ı aus der Wurzel der Varianz. Für verhältnisskalierte Zufallsvariable ist der Variationskoeffizient definiert als der Quotient V / P . Für die Summe zweier Zufallsvariablen gilt allgemein: Var( X  Y )

Var( X )  Var(Y )  2 ˜ Cov( X , Y )

(7.10)

Dabei gilt für die Kovarianz: Cov( X , Y )

E  ( X  P x ) ˜ (Y  P y )

E ( XY )  P x ˜ P y

(7.11)

Die Kovarianz ist 0, wenn X und Y unabhängige Variable sind. Für die Summe von mehreren unabhängigen Zufallsvariablen gilt:

7

129 7.2 Die Binomialverteilung

n

n

Var( ¦ X i )

¦ Var(X )

(7.12)

i

i 1

i 1

Mathematische Herleitung der Rechenregeln zur Varianz Aus der Definition der Varianz ergibt sich unter Berücksichtigung der Rechenregeln (7.5) und (7.6) die Formel (7.7): E (( X  P) 2 )

E ( X 2  2P ˜ X  P 2 )

E ( X 2 )  2P 2  P 2

E ( X 2 )  2P ˜ E ( X )  P 2

E ( X 2 )  P2

Die Formel (7.8) folgt dann direkt aus (7.4), indem man xi durch ( xi  P) 2 ersetzt. Für die Variable aX  b erhält man aus der Definition der Varianz in (7.7) die Formel (7.9): Var (aX  b)

E (aX  b  aP  b) 2

a 2 ˜ E ( X  P) 2

7.2

Die Binomialverteilung

7.2.1

Das Bernoulli-Experiment

a 2 ˜ Var ( X )

Die Binomialverteilung basiert auf einem Zufallsexperiment einfachster Art, bei dem nur zwei Ausgänge möglich sind. Man bezeichnet dies als ein Bernoulli-Experiment, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654-1705). Generell lassen sich alle Experimente, bei denen ein Alternativmerkmal beobachtet wird (z. B. der Münzwurf oder die Bestimmung des Geschlechts einer Person) als ein Bernoulli-Experiment auffassen. Generell ist dieses Modell anwendbar bei allen qualitativen und quantitativen Merkmalen, deren Ausprägungen in zwei Gruppen oder Klassen eingeteilt sind (z. B. Blutgruppe A oder andere Blutgruppe, Laborwert normal oder pathologisch). Um ein Bernoulli-Experiment formal zu beschreiben, betrachten wir zwei komplementäre Ereignisse A und A . Wir führen eine Zufallsvariable X ein, welche die Werte 1 (falls A eintritt) und 0 (falls A eintritt) annehmen kann. Die dazugehörenden Wahrscheinlichkeiten seien: P ( A)

P( X

1)

p

P ( A)

P( X

0)

q

130

Kapitel 7 · Diskrete Verteilungen

Nach Formel (6.2) erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses A : q 1 p

4

(7.13)

Die Wahrscheinlichkeit p kann – wie bereits in Abschnitt 6.2.2 erwähnt – empirisch geschätzt werden, indem man ein Bernoulli-Experiment hinreichend oft wiederholt und dann die relative Häufigkeit des Ereignisses A als Schätzwert für p verwendet. › Abschnitt 8.3.2, Seite i Diese Variante des Gesetzes der großen Zahlen (z z 157) findet sich bereits in Bernoullis Schrift „Ars conjectandi“, die erst nach seinem Tod im Jahr 1713 veröffentlicht wurde. Das Neue und Besondere an diesem Werk ist die Idee, die Statistik auf wirtschaftliche und gesellschaftliche Probleme anzuwenden.

7

7.2.2

Eigenschaften der Binomialverteilung

Wenn ein Bernoulli-Experiment mehrfach wiederholt wird und diese Wiederholungen unabhängig voneinander sind, bezeichnet man dies als einen Bernoulli-Prozess. Wenn beispielsweise bei einer Wurfserie mit einem Würfel die Anzahl der 6er gezählt wird, oder wenn eine bestimmte Anzahl von Personen danach untersucht wird, wie häufig „Rhesusfaktor positiv“ vorkommt, dann handelt es sich bei diesen Beobachtungsserien formal um Bernoulli-Prozesse. Ein solcher Prozess ist folgendermaßen charakterisiert:

ŷ Es werden n unabhängige Bernoulli-Experimente durchgeführt,

die durch gleich verteilte Zufallsvariable X i ( i 1,..., n ) beschrieben werden. ŷ Jedes X i nimmt mit der Wahrscheinlichkeit p den Wert 1 (bei Eintreten des Ereignisses A) und mit der Wahrscheinlichkeit q 1  p den Wert 0 (bei Eintreten von A ) an. ŷ Der Prozess wird durch eine Binomialverteilung beschrieben, die sich additiv aus n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen X i zusammensetzt: X X 1  X 2  ...  X n Eine binomialverteilte Zufallsvariable ist durch die Parameter n und p eindeutig festgelegt und wird mit X ~ B (n, p ) angegeben. Der Erwartungswert und die Varianz sind berechenbar als: n

E( X )

¦ EX i 1

i

n˜ p

(7.14)

7

131 7.2 Die Binomialverteilung n

Var( X )

¦ Var( X ) i

n˜ p˜q

(7.15)

i 1

Beispiel 7.1 Eine Klausur in Biomathematik bestehe aus 10 Aufgaben. Es sind jeweils fünf Antworten vorgegeben, von denen genau eine richtig ist. Wenn ein Student mangels solider Statistik-Kenntnisse darauf angewiesen ist, die richtigen Antworten zu erraten, lässt sich dieses Vorgehen formal ansehen als einen Prozess bestehend aus n 12 Bernoulli-Experimenten mit den möglichen Ereignissen A (richtig raten) und A (falsch raten). Die Wahrscheinlichkeiten sind: p P ( A) 1 / 5 0,2 und q P (A ) 4 / 5 0,8 . X sei die Zufallsvariable, die die Anzahl der richtig gelösten Aufgaben angibt: X ~ B (10;0,2) . Für den Erwartungswert und die Varianz ergeben sich: P 10 ˜ 0, 2 2, 0 nach (7.14) V2

10 ˜ 0, 2 ˜ 0, 8 1, 6

nach (7.15)

Etwas komplizierter ist die Herleitung der Wahrscheinlichkeiten. Die Zufallsvariable X ~ B (n, p ) kann theoretisch jede natürliche Zahl zwischen 0 und n annehmen. Diese Zahl gibt an, wie oft bei n Zufallsexperimenten das Ereignis A eingetreten ist. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnet man nach folgender Formel:

P( X

k)

§ n · k n k für k ¨k ¸˜ p ˜q © ¹

0,..., n

(7.16)

§n· Der Term ¨¨ ¸¸ (sprich: n über k) wird als Binomialkoeffizient be©k ¹ zeichnet. Er quantifiziert die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge von n Elementen k auszuwählen, und ist folgendermaßen definiert: §n· ¨k ¸ © ¹

n! k !˜ ( n  k )!

1 ˜ 2 ˜ ... ˜ n (1 ˜ ... ˜ k ) ˜ ((1 ˜ ... ˜ ( n  k ))

(7.17)

Der Zähler dieses Ausdrucks n! (sprich: n Fakultät) bezeichnet das Produkt, das aus allen natürlichen Zahlen von 1 bis n gebildet wird. Entsprechend werden k! und (n  k )! im Nenner berechnet. – Bezüglich der Formel (7.17) sind folgende Rechenregeln zu beachten:

132

Kapitel 7 · Diskrete Verteilungen

ŷ Jeder Binomialkoeffizient ist eine natürliche Zahl. ŷ Einen Binomialkoeffizienten berechnet man am einfachsten als einen Bruch mit k natürlichen Zahlen im Zähler (beginnend bei n in absteigender Reihenfolge) und k Zahlen im Nenner (beginnend bei 1 in aufsteigender Reihenfolge). So ist z. B. §10 · 10 ˜ 9 ˜ 8 ¨¨ ¸¸ 120 . © 3 ¹ 1˜ 2 ˜ 3

4

ŷ Für alle p gilt generell: p 0 1 und p1 §n·

§ n ·

p.

§ 10 ·

§ 10 ·

¸¸ ; z. B. ¨ ¸ ¨ ¸ . ŷ Für alle k 0,..., n gilt: ¨¨ ¸¸ ¨¨ ©3¹ ©7¹ ©k ¹ ©n  k ¹ § n·

§ n·

© ¹

© ¹

ŷ Per definitionem ist: ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ 1 0 n

7

Mathematische Herleitung der Parameter der Binomialverteilung Wir betrachten den einfachsten Fall n 1 , also ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen. Nach (7.4) und (7.8) berechnet man: P 1˜ p  0 ˜ q p V 2 (1  p ) 2 ˜ p  (0  p ) 2 ˜ q q 2 ˜ p  p 2 ˜ q pq ˜ (q  p ) pq Für die Summe X X 1  ...  X n gilt nach (7.6) und (7.12): EX np und VarX npq Die Wahrscheinlichkeiten, dass bei einem Bernoulli-Experiment das Ereignis A bzw. A eintritt, seien p bzw. q. Bei n unabhängigen Wiederholungen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bei den ersten k Experimenten das Ereignis A und bei den folgenden (n-k) A eintritt, p k ˜ q nk . Diese Wahrscheinlichkeit ergibt bei jeder Kombination, bei der k-mal A und (n-k)-mal A eintritt – egal in welcher Reihenfolge. Jetzt bleibt nur noch zu klären, wie viele Möglichkeiten existieren, aus einer Menge von n Elementen eine Teilmenge von k Elementen auszuwählen. Für das 1. Element gibt es n Auswahlmöglichkeiten, für das 2. verbleiben (n  1) und für das k. Element noch (n  k  1) Möglichkeiten – dies ergibt insgesamt n! . n ˜ (n  1) ˜ ... ˜ (n  k  1) (n  k )! Da es k! Möglichkeiten gibt, diese k Elemente anzuordnen, müssen wir diesen Quotienten durch k! dividieren und erhalten: § n· §n· n! ¨ ¸ und damit: P( X k ) ¨¨ ¸¸ ˜ p k ˜ q nk . (k!) ˜ (n  k )! ¨© k ¸¹ ©k ¹

7

133 7.2 Die Binomialverteilung

Beispiel 7.2 Wir greifen zurück auf das Beispiel 7.1 (Biomathe-Klausur) und berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 3 von 10 Antworten richtig sind. Die Wahrscheinlichkeit, die ersten 3 Aufgaben richtig und die restlichen 7 falsch zu lösen, ist: p 3 ˜ q7 0, 23 ˜ 0,87 | 0, 0017 . Es gibt jedoch nicht nur eine, sondern

§ 10 · insgesamt ¨ ¸ 120 Möglichkeiten, von 10 Aufgaben genau 3 richtig zu ©3¹ erraten. Demnach beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit nach (7.16): 120 ˜ 0,23 ˜ 0,87 0,2013 . Für die anderen Wahrscheinlichkeiten › Abbildung 7.1): ergibt sich (z P( X

3)

k

P( X 1 ˜ 0, 2 ˜ 0, 8 0

0

10

P( X d k )

k) 10

0, 8

0,1074

0,1074

1

10 ˜ 0, 21 ˜ 0, 89

0, 2684

0,3758

2

45 ˜ 0, 2 ˜ 0, 8

0, 3020

0,6778

3

120 ˜ 0, 23 ˜ 0, 87

0, 2013

0,8791

4

210 ˜ 0,2 ˜ 0,8

6

0,0881

0,9672

5

252 ˜ 0, 25 ˜ 0, 85

0, 0264

0,9936

6

210 ˜ 0, 2 ˜ 0, 8

0, 0055

0,9991

7

120 ˜ 0, 27 ˜ 0, 83

0, 0008

0,99992

8

45 ˜ 0, 28 ˜ 0, 82

7 ˜ 105

0,99999

9

10 ˜ 0, 2 ˜ 0, 8

2

8

4

6

9

1 ˜ 0, 210 ˜ 0, 80

10

4

1

6

|1

107

|1

4 ˜ 10

0, 210

Die Wahrscheinlichkeit, durch Raten weniger als 6 Punkte zu erreichen, beträgt demnach P ( X d 5) 99,36% . Wenn 6 Punkte zum Bestehen der Klausur notwendig sind, hat man eine Chance von weniger als 1 %, ohne die geringste Ahnung von Biomathe die Klausur zu bestehen.

7.2.3

Die symmetrische Binomialverteilung

Für die symmetrische Binomialverteilung ( p sich die obigen Formeln zu: E( X ) Var( X )

0,5 ˜ n 0, 25 ˜ n

q

0,5 ) vereinfachen

(7.18) (7.19)

134

Kapitel 7 · Diskrete Verteilungen

0,4 0,3 0,2

4

0,1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Abb. 7.1. Binomialverteilung mit n 10 und p 0,2 0,4

7

0,3 0,2 0,1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Abb. 7.2. Binomialverteilung mit n 4 und p

9 10 0,5

0,3

0,2

0,1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Abb. 7.3. Poissonverteilung mit O n ˜ p 2

9

10

7

135 7.3 Andere diskrete Verteilungen

P( X

k)

P( X

§n· n ¨ k ¸ ˜ 0,5 © ¹

n  k)

(7.20)

Beispiel 7.3 Eine Familie habe vier Kinder, X sei die Anzahl der Jungen. Wir nehmen an, dass mit der Wahrscheinlichkeit von 0,5 ein Junge geboren wird. Nach (7.18) und (7.19) ergibt sich: E ( X ) 2 und Var( X ) 1 . Für die Wahrscheinlichkeiten berechnet man nach (7.20): P( X k ) P( X d k ) k 0

1 ˜ 0,54

0,0625

0,0625

1

4 ˜ 0,54

1/ 4

0,25

0,3125

2

6 ˜ 0,5

3/8

0,375

0,6875

3

4 ˜ 0,5

0,25

0,9375

0,0625

1

4

1 ˜ 0,54

1 / 16 4 4

1/ 4 1 / 16

i Die Schiefe einer Binomialverteilung berechnet sich nach J1 ( q  p ) / V . z Also ist die Verteilung genau dann symmetrisch ist, wenn p q .

7.3

Andere diskrete Verteilungen

7.3.1

Die Poissonverteilung

Der französische Mathematiker Siméon Denis Poisson (1781-1840) hat die Binomialverteilung für den speziellen Fall untersucht, dass die Anzahl der Wiederholungen n groß und die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten des Ereignisses A klein ist. Fragestellungen dieser Art treten in der Medizin häufig auf. So wird etwa bei epidemiologischen Untersuchungen eine umfangreiche Population beobachtet, wobei die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Person eine bestimmte Krankheit vorliegt, sehr gering ist. Ein anderes Beispiel stellt der radioaktive Zerfall dar: In einer bestimmten Zeiteinheit zerfällt nur ein minimaler Anteil von Millionen radioaktiver Isotope. Poisson hat nachgewiesen, dass für n t 30 und p d 0,1 die Binomialverteilung durch folgende Grenzverteilung approximiert werden kann:

136

Kapitel 7 · Diskrete Verteilungen

P( X

4

k)

O k O ˜e k!

(7.21)

Der Buchstabe e symbolisiert die Euler’sche Zahl, deren Wert ungefähr 2,718 beträgt. Die Formel (7.21) hat gegenüber (7.16) den Vorteil, dass sie für große n und kleine k wesentlich leichter zu handhaben ist. Der griechische Buchstabe O (Lambda) repräsentiert den Erwartungswert der Verteilung, für den nach (7.14) gilt: E( X )

O

n˜ p

(7.22)

Nach (7.15) und (7.13) lässt sich die Varianz approximieren durch: Var( X )

7

n˜ p˜q

O O n ˜ ˜ (1  ) o O n n nof

(7.23)

Beispiel 7.4 In einer Geburtsklinik werden jährlich etwa n 2.000 Kinder geboren. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes mit einem Down-Syndrom zur Welt kommt, beträgt p 0,001 . Unter der Annahme, dass die Ereignisse unabhängig sind, lässt sich die Anzahl der Neugeborenen mit Down-Syndrom durch die Zufallsvariable X ~ P (2) beschreiben. Für den charakteristischen Parameter gilt: O n ˜ p 2.000 ˜ 0,001 2 . Mit (7.21) berechnet man: P( X k ) P( X d k ) k

0

e 2

1

2 ˜ e 2 4 2 ˜e 2 8 2 ˜e 6 16 2 ˜e 24 32 2 ˜e 120 64 2 ˜e 720

2 3 4 5 6

0,135

0,135

0,271

0,406

0, 271

0,677

0,180

0,856

0,090

0,947

0,036

0,983

0,012

0,995

Man erkennt, dass die Wahrscheinlichkeiten für wachsendes k sehr schnell › Abbildung 7.3). Die Wahrscheinlichkeit, dass pro Jahr mehr als abnehmen (z 6 Kinder mit Down-Syndrom geboren werden, ist nahezu 0.

7

137 7.3 Andere diskrete Verteilungen

Demnach stimmen bei der Poissonverteilung der Erwartungswert und die Varianz überein. Durch den Parameter O ist eine Poissonverteilte Zufallsvariable eindeutig festgelegt; sie wird als X ~ P (O) angegeben. Wegen des kleinen Wertes für p bezeichnet man diese Verteilung auch als die „Verteilung der seltenen Ereignisse“. Mathematische Herleitung der Poissonverteilung Diese Verteilung ist ein Grenzfall der Binomialverteilung und kann aus dieser hergeleitet werden. Nach (7.16) ist: k

§n· 1 n ˜ ( n  1) ˜ ... ˜ ( n  k  1) k § O· § O· k ) ¨ ¸ ˜ pk ˜ qn k ˜ ˜ O ˜ ¨1  ¸ ¨1  ¸ k k ! k n n¹ n © ¹ © © ¹ Für großes n und vergleichsweise kleines k ist das Produkt der k Faktoren des n

P( X

Zählers ungefähr n k . Aus der Analysis ist bekannt, dass gilt: § O· lim ¨1  ¸ n o f© n¹

n

§ O· e  O . Außerdem ist lim ¨ 1  ¸ n of © n¹

Damit erhalten wir für obige Formel: P ( X

k

k)

1. O k O ˜e k!

i Die Poissonverteilung ist immer rechtsschief (oder linksgipfelig), da für z

die Schiefe gilt: J1

7.3.2

( q  p ) / V o (1  0) / O n of

1/ O ! 0 .

Die Polynomialverteilungƒƒƒ

Die Polynomialverteilung (oder Multinomialverteilung) stellt eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung dar. Sie beschreibt eine Serie von n Zufallsexperimenten, bei denen pro Beobachtung k Ereignisse A1 , A2 ,..., Ak mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 ,..., pk auftreten können. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Beobachtungen das Ereignis A1 mit der Häufigkeit n1 , das Ereignis A2 mit der Häufigkeit n2 usw. eintritt, berechnet sich nach:

P( n1 , n2 ,..., nk p1 , p2 ,..., pk ) k

Dabei ist

¦p

i

i 1

k

1 und

¦n

i

i 1

n.

( p1 ) n1 ˜ ... ˜ ( pk ) nk ˜ n! n1 !˜ ... ˜ nk !

(7.24)

138

Kapitel 7 · Diskrete Verteilungen

Beispiel 7.5 Die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der Blutgruppen betragen: P (0) p1 0,38 , P (A) p2 0,43 , P (B) p3 0,13 , P (AB) p4 0, 06 . Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n 10 Personen je 4mal die Blutgruppen 0 und A und je 1mal B und AB vorkommen, nach (7.24): P (4,4,1,1 0,38;0,43;0,13;0,06 )

4

7

7.3.3

0,384 ˜ 0,434 ˜ 0,131 ˜ 0,061 ˜10! 0,035 4! ˜4! ˜1! ˜1!

Die negative Binomialverteilungƒƒƒ

Während die Binomialverteilung darüber informiert, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis A bei n unabhängigen Beobachtungen 0, 1, 2, ... oder n-mal gezählt wird, beschreibt die negative Binomialverteilung NB (r , p ) , mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis A gerade bei der j-ten Beobachtung zum r-ten Mal eintritt. Diese Verteilung wird häufig zur Analyse von Wartezeiten verwendet. Der einfachste Spezialfall ist die geometrische Verteilung NB (1, p) , die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ereignis A bei der j-ten Beobachtung erstmals eintritt. Sie lässt sich leicht herleiten als: P( X

j)

q j 1 ˜ p

(7.25)

Dabei wird zugrunde gelegt, dass bei den ersten j  1 Beobachtungen jeweils das Ereignis A (mit der Wahrscheinlichkeit q 1  p ) und bei der j. Beobachtung das Ereignis A (mit der Wahrscheinlichkeit p ) eintritt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei der j -ten Beobachtung das Ereignis A zum r-ten Mal eintritt? Dabei ist zu berücksichtigen, dass unter den vorangegangenen ( j  1) Beobachtungen das Ereignis A genau (r  1) - mal gezählt worden ist. Also gilt für die negative Binomialverteilung allgemeiner Art:

P( X

j)

§ j  1· j  r r ¸¸ ˜ q ¨¨ ˜ p für j t r © r  1¹

(7.26)

139 7.3 Andere diskrete Verteilungen

Beispiel 7.6 Eine Blutbank benötigt Blut von 10 Personen mit dem Rhesusfaktor positiv. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nach der Blutentnahme bei maximal 14 Personen 10 positive Konserven hat? Nach (7.26) berechnet man für X ~ NB(10;0,85) (also r 10 und p 0,85 ): §9· P ( X 10) ¨¨ ¸¸ ˜ 0,8510 0,1969 ©9¹

P( X P( X

P( X P( X

§10 · ¨¨ ¸¸ ˜ 0,15 ˜ 0,8510 0,2953 ©9¹ §11· 12) ¨¨ ¸¸ ˜ 0,152 ˜ 0,8510 0,2436 ©9¹

11)

§12 · ¨¨ ¸¸ ˜ 0,153 ˜ 0,8510 ©9¹ §13· 14) ¨¨ ¸¸ ˜ 0,154 ˜ 0,8510 ©9¹

13)

0,1462 0,0713

Durch Addition erhält man: P ( X d 14) 0,9533 . Das bedeutet, dass mit 95%iger Wahrscheinlichkeit 14 Entnahmen ausreichen, um 10 positive Reserven zu erhalten.

7.3.4

Die hypergeometrische Verteilungƒƒƒ

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt n Beobachtungen, bei denen jeweils alternativ die Ereignisse A und A eintreten können. Im Gegensatz zur Binomialverteilung sind diese Beobachtungen jedoch nicht unabhängig voneinander – das Auftreten eines bestimmten Ereignisses beeinflusst die Wahrscheinlichkeiten aller nachfolgenden Ereignisse. i Die Binomial- und die hypergeometrische Verteilung lassen sich durch z zwei unterschiedliche Urnenmodelle veranschaulichen. Gegeben sei eine Urne mit roten und weißen Kugeln; der Anteil roter Kugeln betrage p. Wenn man aus dieser Urne nacheinander n Kugeln zieht, und nach jeder Ziehung die Kugel zurück in die Urne legt, sind die Ziehungen unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt bei jedem Zug p. Ein solcher Prozess lässt sich durch eine Binomialverteilung beschreiben. Wenn man jedoch die gezogenen Kugeln nicht zurücklegt, ändern sich bei jedem Zug die Wahrscheinlichkeiten. Die Ziehungen sind voneinander abhängig und werden durch eine hypergeometrische Verteilung charakterisiert.

7

140

Kapitel 7 · Diskrete Verteilungen

Der hypergeometrischen Verteilung liegen folgende Annahmen zugrunde:

ŷ Insgesamt stehen N Objekte (also endlich viele) zur Verfügung,

von denen genau M die Eigenschaft A und ( N  M ) die Eigenschaft A aufweisen. ŷ Von den N Objekten werden n zufällig ausgewählt.

4

Die Zufallsvariable X ~ HG (n; N , M ) gibt an, wie häufig das Merkmal A bei n Beobachtungen auftritt. Die Wahrscheinlichkeiten für k 0,..., n sind:

P( X

7

§M · §N  M · ¨ k ¸˜¨ n  k ¸ © ¹ © ¹ §N· ¨n¸ © ¹

k)

(7.27)

Der Quotient p M / N wird auch als Anteilswert bezeichnet. Damit ist der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung ähnlich wie bei der Binomialverteilung (Formel 7.14):

E( X )

np

n˜

M N

(7.28)

Für die Varianz gilt: Var( X )

N n ˜ n ˜ p ˜ (1  p ) N 1

(7.29)

Der Faktor ( N  n) /( N  1) in Formel (7.29) entspricht der Endlichkeitskorrektur. Falls N im Vergleich zu n sehr groß ist, kann die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung approximiert werden. Beispiel 7.7 Von den 82 Studenten in Tabelle 2.1 sind 28 männlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 zufällig ausgewählten Studenten 2 männlich sind? Nach (7.27) ergibt sich mit N 82 , M 28 , n 5 und k 2 :

P( X

2)

§ 28 · § 54 · ¨¨ ¸¸ ˜ ¨¨ ¸¸ ©2¹ ©3¹ § 82 · ¨¨ ¸¸ ©5¹

378 ˜ 24.804 27.285.336

0,344

7

141 7.3 Andere diskrete Verteilungen

7.3.5

Die diskrete Gleichverteilungƒƒƒ

Schließlich sei noch die diskrete Gleichverteilung DG (k ) erwähnt. Sie beschreibt ein Zufallsexperiment, bei dem k Ereignisse A1 , A2 ,..., Ak mit jeweils derselben Wahrscheinlichkeit eintreten können. Das bekannteste Beispiel ist der ideale Würfel, bei dem jede Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit p 1 / 6 erzielt wird. In der Statistik spielen diskrete Gleichverteilungen eine Rolle bei Zufallszahlen. Dies sind Ziffernfolgen, bei denen jede Ziffer mit derselben Wahrscheinlichkeit p 0,1 auftritt. Zwei nebeneinander stehende Ziffern bilden dann eine 2-stellige Zufallszahl zwischen 0 und 99. Diese sind gleichverteilt mit p 1 / 100 . Übersicht 6: Diskrete Verteilungen Name und Bezeichnung der Verteilung

Abschnitt

Anzahl und Art der Beobachtungen

mögliche Ereignisse

Binomialverteilung B ( n, p )

7.2

n unabhängige

A und A

Poisson-Verteilung P (O)

7.3.1

n unabhängige n t 30, p d 0,1

A und A A1 ,..., Ak

Polynomial-Verteilung

7.3.2

geometrische Verteilung NB(1, p)

7.3.3

negative Binomialverteilung NB(r , p)

7.3.3

r. Mal eintritt

hypergeometrische Verteilung HG (n; N , M )

7.3.4

n abhängige

A und A

Gleichverteilung DG (k )

7.3.5

1

A1 ,..., Ak

n unabhängige bis A zum 1. Mal eintritt bis A zum

A und A A und A

8

Stetige Verteilungen 8.1

Stetige Zufallsvariable 145

8.1.1 Funktionen 145 8.1.2 Lage- und Streuungsparameter 147 8.1.3 Die zentralen Momente 147

8.2

Die Normalverteilung 148

8.2.1 Allgemeine Eigenschaften 148 8.2.2 Die Standardnormalverteilung 149 8.2.3 V-Bereiche und Referenzbereiche 151 8.2.4 Normalisierende Transformationen 152

8.3

Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung 155

8.3.1 Die Tschebyscheff’sche Ungleichung 155 8.3.2 Das Gesetz der großen Zahlen 157 8.3.3 Der zentrale Grenzwertsatz 159 8.3.4 Die Bedeutung der Normalverteilung 161

8.4

Verteilungen zur Beschreibung von Lebensdauern 162

8.4.1 Einige wichtige Begriffe 162 8.4.2 Die Exponentialverteilung 163 8.4.3 Die Weibull-Verteilung 165

8.5

Prüfverteilungen 166

8.5.1 Die t-Verteilung 167 8.5.2 Die Chi2-Verteilung 169 8.5.3 Die F-Verteilung 170

8

145 8.1 Stetige Zufallsvariable

8.1

Stetige Zufallsvariable

8.1.1

Funktionen

Eine stetige Zufallsvariable (z. B. Körpergewicht oder Körpergröße), kann theoretisch alle Zahlenwerte innerhalb eines bestimmten Intervalls annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch die Dichtefunktion (oder Dichte) beschrieben. Diese Funktion ordnet jedem xi einen Funktionswert f ( xi ) ! 0 zu. Die Gesamtfläche unter der Kurve f (x) ist gleich 1: f

³ f ( x)dx

(8.1)

1

f

Diese Gleichung drückt aus, dass die Zufallsvariable X mit Sicherheit (also der Wahrscheinlichkeit 1) einen Wert zwischen -f und +f annimmt. Sie ist vergleichbar mit (7.2); das 6-Zeichen ist ersetzt durch das Integral. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist das Integral über der Dichte: x

F ( x)

P( X d x)

³ f (t )dt

(8.2)

f

Daraus folgt für das komplementäre Ereignis X ! x : f

P( X ! x)

³ f (t )dt

1  F ( x)

(8.3)

x

! Die Dichte wird in den Gleichungen (8.2) und (8.3) mit f ( t ) bezeichnet, z

weil x eine Grenze des Integrals darstellt, während sich die Variable t zwischen den Grenzen -f und x bzw. zwischen x und +f bewegt.

Aus den obigen Formeln lassen sich folgende allgemeine Eigenschaften der Verteilungsfunktion F ( x ) herleiten:

ŷ F ( x ) ist eine monoton wachsende Funktion, ŷ F ( x ) hat die Grenzwerte F( f ) 0 und F( f ) 1 , ŷ die Dichte f ( x ) ist die Ableitung der Verteilungsfunktion; es gilt nämlich: f ( x )

F' ( x ) .

146

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen a und b annimmt, wird folgendermaßen berechnet:: b

P ( a d X d b)

³ f ( x)dx

F (b)  F (a)

(8.4)

a

4

Dieses Integral beschreibt eine Fläche, die von der x-Achse, der Kurve f ( x ) und den Parallelen zur y-Achse x a und x b be› Abbildung 8.1). Dies entspricht einem Teil der Gegrenzt wird (z samtfläche unter der Dichtefunktion, deren Wert nach (8.1) 1 beträgt. Infolgedessen hat das Integral in (8.4) immer einen Wert zwischen 0 und 1. Für die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert a annimmt, berechnet man: P( X

8

a)

F (a)  F (a)

(8.5)

0

Dieses Ergebnis mag manchen Leser überraschen. Es sei an einem konkreten Beispiel erläutert: Wir betrachten die Zufallsvariable X, die das Merkmal „Körpergröße“ symbolisiert. Dann ist es sinnlos, nach der Wahrscheinlichkeit zu fragen, mit der X einen Wert von beispielsweise 178 cm annimmt. Dieser scheinbare Widerspruch zur Realität wird dadurch erklärt, dass die gemessene Körpergröße nicht exakt 178 cm beträgt, sondern sich – bei einer Messgenauigkeit von 1 cm – zwischen 177,5 cm und 178,5 cm bewegt.

Abb. 8.1 Dichte einer stetigen Zufallsvariablen. Eingezeichnet ist die Fläche, die P ( a d X d b) entspricht

P(a ≤ x ≤ b)

a

b

8

147 8.1 Stetige Zufallsvariable

8.1.2

Lage- und Streuungsparameter

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen ist: f

³ x ˜ f ( x)dx

P

(8.6)

f

Der Median und die D-Quantile sind definiert als: F( P ) 0 ,5 bzw. F( P D ) D . Der Modus ist der Wert, an dem die Dichtefunktion f ( x ) maximal wird. Die Varianz lässt sich schreiben als: f

V

2

³ ( x  P)

2

f ( x)dx

(8.7)

f

Ansonsten gelten die in Abschnitt 7.1 dargelegten Rechenregeln › Seiten 127 bis 129). analog (z Die zentralen Momenteƒƒƒ

8.1.3

Eine weitere Charakterisierung der Eigenschaften einer quantitativen Zufallsvariablen X gestatten die Momente EX k und die zentralen Momente E ( X  EX )k (wobei k eine natürliche Zahl ist). Das erste Moment EX haben wir bereits als den Erwartungswert P kennen gelernt. Das zweite zentrale Moment E( X  EX )2 ist die Varianz. Aus dem 3. zentralen Moment lässt sich die Schiefe J1 (Gamma) › Formel 4.15, Seite 69): herleiten (z J1

E ( X  EX ) 3 V 3

(8.8)

Da sich wegen der 3. Potenz negative und positive Abweichungen der X-Werte vom Mittelwert ausgleichen, ergibt sich bei symmetrischen Verteilungen für die Schiefe allgemein der Wert 0. Bei rechtsschiefen Verteilungen ist J1 ! 0 , bei linksschiefen ist J1  0 . Mit dem 4. zentralen Moment wird die Wölbung definiert als J2

E ( X  EX ) 4 V 4  3

(8.9)

› Formel 4.16, Seite 72). Das 4. Moment der Normalverteilung ist (z 3V 4 . Durch die Definition nach (8.9) erreicht man, dass die Wölbung einer normalverteilten Zufallsvariablen gleich 0 ist.

148

4

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

8.2

Die Normalverteilung

8.2.1

Allgemeine Eigenschaften

Die Normalverteilung ist für die Statistik und deren praktische Anwendung von grundlegender Bedeutung. Ihre Dichte wird durch die Gauß’sche Glockenkurve dargestellt (sie war ehemals zusammen mit dem Konterfei von Carl Friedrich Gauß auf dem 10-Mark-Schein abgebildet). Die zugrunde liegende mathematische Funktion lautet: f ( x)

8

1 2S ˜ V

( x P) 2 2 ˜ e 2V

(8.10)

Eine normalverteilte Zufallsvariable X ist durch den Erwartungswert P und die Standardabweichung V eindeutig charakterisiert. Sie wird deshalb allgemein als X ~ N (P, V 2 ) angegeben (so auch in diesem Buch); andere Autoren verwenden die Schreibweise X ~ N (P, V) . Aus (8.10) lassen sich folgende Eigenschaften der Normalverteilung herleiten:

ŷ Die Glockenkurve ist symmetrisch um den Erwartungswert P; es gilt also: f (P  x)

f (P  x) .

ŷ Sie hat zwei Wendepunkte bei x P  V und x P  V . ŷ Ihr Maximum ist an der Stelle x P . ŷ Der Erwartungswert, der Median und der Modalwert von X stimmen überein.

ŷ Die Dichte f (x) ist für jede reelle Zahl definiert und größer als 0. Für x o rf nähert sie sich asymptotisch der x-Achse.

Der Ausdruck „asymptotisch“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Glockenkurve für hinreichend große x-Beträge beliebig nahe an die x-Achse herankommt, ohne diese jedoch zu erreichen. Die spezielle Form der Glockenkurve hängt von der Standardabweichung V ab: Bei kleinem V ist sie schmal und hoch; bei großem V ist › Abbildung 8.2, Seite 151). In jedem sie dagegen breit und niedrig (z Fall ist die Gesamtfläche unter der Kurve gemäß Formel (8.1) gleich 1. Die Schiefe J1 ist – wie bei jeder symmetrischen Verteilung – gleich 0. Auch die Wölbung J 2 ist nach (8.9) so definiert, dass sie bei einer Normalverteilung den Wert 0 annimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsvariable X einen Wert zwischen zwei Grenzwerten a und b annimmt, berechnet man nach (8.4) über die Verteilungsfunktion F (x ) :

8

149 8.2 Die Normalverteilung

P ( a d X d b)

b

1 2S ˜ V

˜³

 ( x P ) 2 2 e 2V

dx

F (b)  F (a)

(8.11)

a

Diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche, die von der Glokkenkurve, der x -Achse und den Parallelen zur y-Achse x a und › Abbildung 8.1). Die Bestimmung eines x b begrenzt wird (z solchen Intervalls ist allerdings problematisch: Es ist nicht möglich, die Funktion F (x ) analytisch aufzulösen, und ein gewöhnlicher Taschenrechner hilft hier im Allgemeinen auch nicht weiter. Man kann sich jedoch heutzutage – wenn man Zugang zu einem Rechner mit geeigneter Software hat – die gewünschten Werte einfach und schnell berechnen lassen. Mathematische Betrachtung der Gauß’schen Glockenkurve Für die Ableitungen von f (x) berechnet man mit der Kettenregel der Diffe§ ( x  P) 2 1 ·  2¸. f ( x) ˜ ¨ ¨ V4 V ¸¹ V © Daraus folgt: Das Maximum (d. h. der Modalwert) ist bei x P ( f ' (P) 0 , f ' ' (P)  0 ); die Wendepunkte bei x P r V ( f ' ' (P r V) 0 ). Der Nachweis, dass die gesamte Fläche unter der Glockenkurve gleich 1 ist, erfordert die Lösung des bestimmten Integrals über den Ausdruck in Formel (8.1).

rentialrechnung: f ' ( x)

 f ( x) ˜

xP 2

und f ' ' ( x)

Um nachzuweisen, dass es sich bei den Parametern P und V 2 tatsächlich um den Erwartungswert bzw. die Varianz handelt, reichen schulmathematische Kenntnisse nicht aus. Deshalb werden die Werte der Parameter ohne Beweis hier angegeben. Für die standardisierte Variable Z ( X  P) / V berechnet man mit den Regeln (7.5) und (7.9) (mit a 1 / V und b P / V ): EZ 0 und VarZ 1 .

8.2.2

Die Standardnormalverteilung

Um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit einer normalverteilten Zufallsvariablen auszurechnen, ist man ohne geeignete Statistik-Software auf Tabellen angewiesen, in denen die Funktionswerte der Verteilungsfunktion aufgelistet sind und die in jedem Statistik-Buch zu finden sind. Diesen Tabellen liegt generell die Standardnormalverteilung zugrunde. – Jede beliebige Normalverteilung mit dem Erwartungswert Nj und der Standardabweichung ı lässt sich in die Standardnormalverteilung Z ~ N (0,1) transformieren durch:

150

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

Z

4

X P V

(8.12)

Dadurch wird die Glockenkurve entlang der x-Achse so verschoben, dass der Erwartungswert 0 wird. Außerdem wird die Kurve durch die Division durch ı in ihrer Form so angepasst, dass die Standardabweichung den Wert 1 erhält. Für die Dichte und die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung erhält man mit (8.10) und (8.2): M( z )

1 2S

z2 ˜e 2

(8.13) z

)( z )

P(Z d z )

³ M(t )dt

f

8

1 2S

z

³

t 2 e 2

dt

(8.14)

f

Die griechischen Buchstaben M (klein Phi) und ĭ (groß Phi) entsprechen den lateinischen Buchstaben f bzw. F. In der Tabelle A im Anhang dieses Buches sind diverse z-Perzentile zusammen mit den Funktionswerten M(z ) und ) (z ) aufgelistet. Beispiel 8.1 Die Körpergröße männlicher Studenten X sei normalverteilt mit P 180 cm und V 10 cm . Gesucht ist P (170 cm d X d 190 cm) . Nach (8.12) berechnet man für die entsprechenden Grenzen der standardisierten Variablen: 190  180 170  180 z1 1 und z2 1 . 10 10 Demnach ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P (-1 d Z d 1) P ( Z d 1)  P ( Z d 1) . Nun ist P ( Z d 1) I(1) . Wegen der Symmetrie der Glockenkurve gilt: P ( Z d 1) P ( Z t 1) 1  P ( Z d 1) 1  ) (1) . Demnach ist P (-1 d Z d 1) ) (1)  (1  ) (1)) 2) (1)  1 Aus Tabelle A ist zu entnehmen: ) (1) 0,84 . Daraus ergibt sich: P (170 cm d X d 190 cm) 2 ˜ 0,84 - 1 0,68 . Aus den z-Variablen geht hervor, dass die Körpergrößen 170 cm und 190 cm eine Standardabweichung unter bzw. über dem Erwartungswert liegen.

8

151 8.2 Die Normalverteilung

Abb. 8.2 Normalverteilungen mit gleichem Erwartungswert P = 0 und unterschiedlicher Streuung. Obere Kurve: V 0,6 , mittlere Kurve: V 1 , untere Kurve: V 2

0,7 0,6

0,5

0,4 0,3

0,2

0,1 0 -4

-2

0

2

4

i Eine Tabelle mit Funktionswerten der Standardnormalverteilung wurde erstz mals 1812 von Laplace in „Théorie Analytique des Probabilités“ publiziert. Ihr

Umgang erfordert einige Übung, da man die gesuchten Werte nicht immer direkt ablesen kann. Aus Platzgründen enthalten derlei Tabellen nämlich im Allgemeinen nur Funktionswerte für z t 0 . Für negative z ergibt sich ) ( z ) P ( Z d  z ) P ( Z t z ) 1  ) ( z ) aufgrund der Symmetrie der Glockenkurve. Heute lassen sich mit einer geeigneten Software derlei Wahrscheinlichkeiten für jede beliebige Normalverteilung leicht ermitteln. Dennoch mag die Transformation in die standardisierte z-Variable sinnvoll sein: Sie informiert, um wie viele Standardabweichungen der entsprechende x› Beispiel 8.1)). Wert vom Erwartungswert Nj abweicht (z

8.2.3

V-Bereiche und Referenzbereiche

Obwohl die Normalverteilung theoretisch für alle x zwischen f und f definiert ist, konzentrieren sich die Werte in unmittelbarer Umgebung des Erwartungswertes P. Einige oft benutzte Intervalle und deren Wahrscheinlichkeiten lassen sich generell für jede Normalverteilung angeben. Aus Tabelle 8.1 geht hervor, dass etwa 2/3 › Beispiel 8.2). aller Messwerte innerhalb der Grenzen P r V liegen (z Die Wahrscheinlichkeit, einen Wert außerhalb des 3V -Bereichs zu finden, beträgt nahezu 0. Deshalb wird die Normalverteilung häufig verwendet, um quantitative, symmetrisch verteilte, eingipfelige Merkmale zu beschreiben – auch wenn die Merkmalsausprägungen in der Praxis immer eine obere und eine untere Grenze aufweisen. Für medizinische Fragestellungen sind so genannte Normberei› Abbildung 8.3) wichtig, die 95% oder che (oder Referenzbereiche, z 99% aller Messwerte enthalten. So legt man bei normalverteilten Daten zugrunde, dass ein Wert außerhalb eines bestimmten Referenzbereichs überprüft werden sollte (etwa auf Messfehler, pathologische Besonderheiten etc.). Allerdings muss darauf hingewiesen

152

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

werden, dass anhand eines Normbereichs keine Entscheidung wie etwa „pathologisch / nicht pathologisch“ getroffen werden kann. Tabelle 8.1 Spezielle Intervalle und Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung

X : N (P, V )

Intervallgrenzen für Z : N (0,1)

Bezeichnung des Intervalls

Wahrscheinlichkeit P

PV d X d PV

1 d Z d 1

1V-Bereich

0,6827

P  2V d X d P  2V

2 d Z d 2

2V-Bereich

0,9545

P  3V d X d P  3V

3 d Z d 3

3V-Bereich

0,9973

P  1,96V d X d P  1,96V

1,96 d Z d 1,96

95%-Referenzbereich

0,95

P  2,58V d X d P  2,58V

2,58 d Z d 2,58

99%-Referenzbereich

0,99

Intervallgrenzen für 2

4

8

Beispiel 8.2 Die Körpergröße männlicher Studenten X sei normalverteilt mit P 180 cm und V 10 cm . Gesucht ist das Intervall um den Erwartungswert, in dem sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% ein Messwert befindet. Der Tabelle 8.1 ist zu entnehmen, dass dieses Intervall durch P r 1,96V begrenzt ist. Damit berechnet man für die untere bzw. obere Grenze: x1

P  1,96V 160,4 cm und x2

P (1,96 d Z d 1,96)

P  1,96V 199,6 cm . Also gilt:

P (160,4 cm d X d 199,6 cm)

0,95 .

Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich graphisch darstellen als die Fläche unter der Glockenkurve, bei der an beiden Seiten 2,5% „abgeschnitten“ sind. Jeweils 2,5 % aller Studenten sind kleiner als 160,4 cm oder größer als 199,6 cm; 95 % haben eine Größe zwischen diesen beiden Werten.

8.2.4

Normalisierende Transformationenƒƒƒ

Bei den Anwendern der Statistik ist die Normalverteilung aus verschiedenen Gründen recht beliebt. Zum einen lassen sich Referenzbereiche auch ohne Computer sehr leicht berechnen; zum anderen setzen – wie wir später sehen werden – viele Verfahren der induktiven Statistik normalverteilte Daten voraus.

8

153 8.2 Die Normalverteilung

Abb. 8.3 95%-Referenzbereich einer Normalverteilung 95% 2,5 %

2,5 %

Leider sind jedoch etliche Merkmale in der Medizin rechtsschief verteilt; d. h. die Dichtefunktion hat einen Gipfel am linken Rand und einen langen Auslauf an der rechten Seite. Bei empirischen Daten ist dies optisch erkennbar am Histogramm. Rechnerisch lässt sich die Verteilungsform über die empirische Schiefe nach Formel (4.15) nachprüfen; sie ist bei einer rechtsschiefen Verteilung größer als 0. Eine solche Verteilung entsteht dadurch, dass ein Merkmal nach unten eine natürliche Grenze aufweist, während im oberen Wertebereich die Einflussfaktoren multiplikativ zusammen wirken. Dadurch ist die Variabilität der Messwerte am unteren Rand eingeschränkt, wohingegen große Messwerte durch zufällige Änderungen wesentlich stärker beeinflusst werden als kleine. Als Beispiele seien das Körpergewicht der erwachsenen Bevölkerung, der systolische und der diastolische Blutdruck oder die Senkungsgeschwindigkeit von Erythrozyten genannt (jeweils mit 0 als untere Grenze). In diesen Fällen ist es eventuell möglich, durch eine logarithmische Transformation der Originaldaten eine angenäherte Normalverteilung zu erhalten. – Man betrachtet also anstelle der X-Variablen die transfomierte Y-Variable: Y

ln X

(8.15)

Wenn Y ln X normalverteilt ist, heißt X logarithmisch normalverteilt (oder lognormalverteilt). Dabei ist „ln“ der natürliche Logarithmus zur Basis e (Euler’sche Zahl) Man schreibt abkürzend X ~ LN (P, V 2 ) , wobei P den Erwartungswert und V 2 die Varianz von Y bezeichnen. Eine lognormalverteilte Zufallsvariable muss positiv sein, da andernfalls die Transformation X o ln X nicht möglich ist. Auf diese Weise werden kleine x-Werte zwischen 0 und 1 in negative y-Werte abgebildet; große x-Werte am rechten Rand der Ver-

154

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

teilung werden dagegen gestaucht. Die Rücktransformation erfolgt über: X

4

eY

(8.16)

Die Umrechnungen (8.15) oder (8.16) sind mühelos mit einem Taschenrechner zu bewältigen. Da die e-Funktion streng monoton wachsend ist, gilt für jede Zahl c ! 0 : Y d c ist gleichbedeutend mit X eY d e c . Daraus folgt: P (Y d c)

P( X d e c )

(8.17)

Aus dieser Eigenschaft lassen sich folgende Aussagen herleiten:

ŷ Der Median der transformierten Variablen Y ist gleich deren

8

Erwartungswert P (da Y normalverteilt ist). Dann ist der Median der log-normalen Verteilung X gleich e P ; denn wegen (8.17) gilt: P ( X d e P ) P (Y d P) 0,5 . ŷ Allgemein lassen sich aus den Quantilen von Y ln X nach Rücktransformation die entsprechenden Quantile von X bestimmen. ŷ Die zurücktransformierten Grenzen der Referenzbereiche von Y sind die Grenzen der Referenzbereiche von X . ŷ Der Erwartungswert von X ist nicht einfach zu bestimmen; bei › Abdieser Verteilung ist jedoch das geometrische Mittel (z schnitt 4.2.6, Seite 63) ohnedies das sinnvollere Lagemaß. Beispiel 8.3 Die Konzentrationswerte von Serum-IgM bei Kindern seien log-normalverteilt mit Werten zwischen 0,1 und 2,8 g/l. Durch Logarithmieren erhält man normalverteilte Daten mit dem Erwartungswert P y 0,36 und der Standardabweichung s y

0,51 . Dann ergibt sich für den Median der lognor-

~ malverteilten Zufallsvariablen: P x

e 0,36

0,70 g/l. Für den 95%-Referenz-

bereich von Y berechnet man folgende Grenzwerte: y1 P  1,96V 0,36  1,96 ˜ 0,51 1,36 und y2

P  1,96V

0,36  1,96 ˜ 0,51 0,64

Innerhalb der Grenzen x1

e 1,36

0,26 g/l und

x2

e0,64

1,90 g/l liegen

demnach 95% aller IgM-Werte. Nur 2,5% der IgM-Werte sind größer als 1,90 g/l und 2,5 % kleiner als 0,26 g/l.

8

155 8.3 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung i Wenn sich die 0 oder negative Werte unter den Original-Daten befinden, z bietet sich eine Transformation der Form Y ln( X  a) (wobei a eine konstante, positive Zahl ist) an. Bei sehr schiefen Verteilungen mit extrem großen Werten erreicht man eine Normalverteilung eventuell durch 2-faches Logarithmieren: Y ln ln ( X ) . Die optimale Form muss empirisch bestimmt werden.

Weit seltener werden in den Biowissenschaften linksschiefe Verteilungen beobachtet. Sie zeichnen sich aus durch einen langen Anlauf › Abbildung 4.1c, Seite links und einen Gipfel am rechten Rand (z 71). Ihre Schiefe ist kleiner als 0. Bei diesen Verteilungen finden sich viele Daten im unteren Wertebereich, während nach oben eine natürliche Grenze existiert. Beispiele sind die Schwangerschaftsdauer, die Tragezeit von Säugetieren oder der Kopfumfang von Neugeborenen. Eine Normalisierung dieser Verteilungen erreicht man durch eine Potenztransformation wie z. B.: Y

X 1,5

(8.18)

Dadurch wird der Gipfel am rechten Rand in die Breite gezogen. Bei besonders stark ausgeprägter Rechtsgipfeligkeit potenziert man mit einem höheren Wert.

8.3

Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Um die eigentliche Bedeutung der Normalverteilung ermessen zu können, benötigen wir einige bekannte Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die in diesem Abschnitt erläutert werden. 8.3.1

Die Tschebyscheff’sche Ungleichungƒƒƒ

Von dem russischen Mathematiker Pafnutij Tschebyscheff (18211879) wurde im Jahr 1874 die nach ihm benannte Tschebyscheff’sche Ungleichung hergeleitet. Sie erlaubt eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallsvariable X um mehr als eine feste Zahl vom Erwartungswert P abweicht. Es gilt: P (| X  P |! kV) d

1 k2

für alle k ! 0

(8.19)

156

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

Die Abweichung ist also abhängig von der Varianz V 2 der Grundgesamtheit. Diese Ungleichung lässt sich auch in einer anderen Form schreiben, indem man den Faktor kV durch H (Epsilon) ersetzt: P (| X  P |! H) d

4

V2

für alle H ! 0

H2

(8.20)

Die Tschebyscheff’sche Ungleichung setzt keine besondere Verteilungsform voraus – sie gilt generell für alle, also für symmetrische und schiefe Verteilungen. Allerdings sind die daraus hergeleiteten Abschätzungen recht grob. Für k 1 ergibt sich aus (8.19) lediglich die triviale Feststellung: P (| X  P |! V) d 1

Für k

2 und k

3 berechnet man:

P (| X  P |! 2V) d

8

1 4

P (| X  P |! 3V) d

1 9

Demnach liegen bei jeder Verteilung mindestens 8/9 aller Werte innerhalb der Grenzen Pr3V. Wenn genauere Informationen bezüglich der Verteilungsform vorliegen, sind bessere Abschätzungen möglich. Gauß hat 1821 für symmetrische, eingipfelige Verteilungen eine schärfere Ungleichung nachgewiesen: P (| X  P |! kV) d

Für k

2 oder k

4 9k 2

für alle k t 2

3 | 1,155

(8.21)

3 erhält man damit folgende Abschätzungen:

1 | 0,111 9 4 P (| X  P |! 3V) d | 0,049 81

P (| X  P |! 2V) d

Beispiel 8.4 Wir betrachten die Körpergröße X einer Grundgesamtheit von männlichen Studenten mit P x 180 cm und V x 10 cm . X ist symmetrisch verteilt. Dann gilt nach der Ungleichung von Gauß: 8/9=89% der Studenten haben eine Körpergröße zwischen 160 cm und 200 cm.

8

157 8.3 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mathematische Herleitung der Tschebyscheff’schen Ungleichung Zunächst betrachten wir eine Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert P, die nur positive Werte annehmen kann. Dann gilt nach der Definition des Erwartungswertes in (8.6) und nach (8.3) für alle c ! 0 : f

f

f

³0 xf ( x)dx t c³P xf ( x)dx t cP c³P f ( x)dx

P

cP ˜ P ( X ! cP)

Daraus folgt: P ( X ! cP) d 1 / c . Wenn man nun anstelle von X die Variable ( X  P) 2 mit dem Erwartungswert V 2 betrachtet (siehe (7.7)) und für c eine Konstante k 2 einsetzt, erhält man:





P ( EX  P) 2 ! k 2V 2 d 1 / k 2 .

Da der Ausdruck in der Klammer gleichbedeutend ist mit: EX  P ! kV , folgt daraus die Tschebyscheff’sche Ungleichung in der Form (8.19).

Das Gesetz der großen Zahlenƒƒƒ

8.3.2

Es ist intuitiv klar, dass sich der Erwartungswert einer Grundgesamtheit durch einen Mittelwert umso genauer schätzen lässt, je größer der zugrunde liegende Stichprobenumfang ist. Das Gesetz der großen Zahlen ist die mathematisch präzise Formulierung dieses Sachverhalts. Vorab einige Überlegungen: Wir wissen, dass der Mittelwert aus n Werten berechnet wird, die zufällig in die Stichprobe gelangen. Wenn man aus derselben Grundgesamtheit eine andere Stichprobe des Umfangs n ziehen würde, erhielte man andere StichprobenWerte und damit auch einen anderen Mittelwert. Bei einer großen Grundgesamtheit sind eine enorme Vielzahl von Stichproben des Umfangs n und fast ebenso viele verschiedene Mittelwerte denkbar. Demzufolge ist jeder Mittelwert vom Zufall abhängig und lässt sich insofern auffassen als die Realisation einer Zufallsvariablen n

¦ Xi X

i 1

n

Alle Variablen X i haben den Erwartungswert P und die Varianz V 2 . Für die Funktional-Parameter von X leitet man her:

E( X )

P

(8.22)

158

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

Var( X ) Vx

4

8

V2 n

(8.23)

V

(8.24)

n

Diese Betrachtung der Zufallsvariablen X ist für jemanden, der sich zum ersten Mal mit Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst, eine eigenartige Sichtweise. Normalerweise liegt eine konkrete Stichprobe vor, aus der ein einziger Mittelwert resultiert. Wieso spricht man dann von der Verteilung der Mittelwerte, und was bedeuten in diesem Zusammenhang der Erwartungswert und die Varianz von X ? Man muss sich – um einen Mittelwert beurteilen zu können – darüber im Klaren sein, dass dieser Wert zufällig zustande gekommen ist, und dass sich ebenso gut ein anderer aus einer immensen Vielzahl von Möglichkeiten hätte ergeben können. Die Variabilität dieser möglichen Mittelwerte wird durch die Streuung V x quantifiziert. Sie wird deshalb auch als der Standardfehler des Mittelwerts bezeichnet. Dieser ist umso geringer, je kleiner die Standardabweichung der Grundgesamtheit V und je größer der Stichprobenumfang n ist. Aus diesem Grund ermöglichen homogene Grundgesamtheiten mit kleinem V bessere Schätzungen des Erwartungswerts als heterogene Populationen mit großem V . Wir werden in Kapitel 9 bei der Behandlung von Schätzverfahren darauf zurückkommen. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass die Verteilung der Mittelwerte einer Normalverteilung entspricht. Nach diesen theoretischen Überlegungen lässt sich nun das so genannte schwache Gesetz der großen Zahlen herleiten. Es beinhaltet die Aussage, dass sich ein Mittelwert x mit wachsendem Stichprobenumfang dem Erwartungswert P nähert. Mathematisch formuliert man dies folgendermaßen: X

1 n ¦ Xi o P n i 1 n of

(8.25)

Man sagt auch: Der Mittelwert konvergiert gegen den Erwartungswert. Die schärfere Form – das starke Gesetz der großen Zahlen – besagt, dass diese Annäherung mit einer Wahrscheinlichkeit von nahezu 1 erfolgt. Sei H ! 0 eine beliebige positive Zahl; dann gilt: P | X  P | H o 1 n of

(8.26)

159 8.3 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Verbal formuliert, bedeutet die Formel (8.26), dass die Differenz H zwischen Mittelwert und Erwartungswert beliebig klein gehalten werden kann, wenn n entsprechend groß ist. Einerseits rechtfertigt dieses Gesetz einen hohen Stichprobenumfang, andererseits besagt es auch, dass ab einer gewissen Größe der Unterschied zwischen Mittelwert und Erwartungswert so gering ist, dass eine Erhöhung des Stichprobenumfangs nicht mehr sinnvoll ist. Mathematische Herleitung des Gesetzes der großen Zahlen Zunächst berechnen wir den Erwartungswert und die Varianz des Mittelwerts. Mit (7.5) und (7.6) leitet man her: n

E( X )

E(

X i / n) ¦ i 1

1 n

n

E( X i ) ¦ i 1

n˜P n

P

Für die Varianz berechnet man mit (7.9) und (7.12): n

Var ( X )

Var(

X i / n) ¦ i 1

n

¦ Var( X i ) n2 i 1 1

n ˜ V2 n2

V2 n

Dann folgt mit der Tschebyscheff’schen Ungleichung (8.20):





Var( X )

V2

o 0 H2 nH 2 n o f Wenn man nun die Wahrscheinlichkeit für das komplementäre Ereignis P | X  P |! H d

X  P  H betrachtet, ergibt sich das Gesetz der großen Zahlen nach (8.26).

Der zentrale Grenzwertsatzƒƒƒ

8.3.3

Der zentrale Grenzwertsatz sagt aus, dass – unter sehr allgemeinen Bedingungen – die Summe einer großen Anzahl von Zufallsvariablen normalverteilt ist. Mathematisch präzise formuliert lautet dieser Satz: Seien X i ( i 1,..., n ) unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert P und der Varianz V 2 . Dann ist die Summe der X i asymptotisch normalverteilt mit dem Erwartungswert n ˜ P und der Varianz n ˜ V 2 . Das bedeutet wiederum, dass die Variable n

¦X Zn

i

 n ˜P

i 1

n ˜V

X P V/ n

asymptotisch standardnormalverteilt ist. Daraus ergeben sich unmittelbar einige wichtige Konsequenzen bezüglich der:

8

160

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

x Verteilung von Zufallsvariablen. Dieser Satz rechtfertigt die An„ nahme, dass eine Zufallsvariable normalverteilt ist, wenn zahlreiche Einflüsse additiv und unabhängig voneinander zusammenwirken. Aus diesem Grund sind beispielsweise Messfehler normalverteilt. Carl Friedrich Gauß hat dies bereits im Jahre 1794 erkannt und beschrieben; deshalb wird die Normalverteilung ihm zu Ehren auch Gauß-Verteilung genannt.

4

8

x Verteilung von Mittelwerten. Aus dem Gesetz der großen Zahlen „ geht hervor, dass alle theoretisch denkbaren Mittelwerte, die aus Stichproben des Umfangs n derselben Grundgesamtheit berechnet werden, den Erwartungswert P und die Varianz V 2 / n haben. Aus dem zentralen Grenzwertsatz folgt nun, dass – falls der Stichprobenumfang n hinreichend groß ist (etwa n t 25 ) – diese Mittelwerte normalverteilt sind (auch wenn die Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist). Diese Aussage hat weit reichende Folgen für die › Beispiel 8.5). Schätz- und die Testtheorie der induktiven Statistik (z x Binomialverteilung. Nach dem zentralen Grenzwertsatz kann „ eine Binomialverteilung für hinreichend großes n durch eine Normalverteilung X mit dem Erwartungswert P np und der Vari› Abschnitt 7.2.2) approximiert werden. Als Faustreanz V2 npq (z gel gilt, dass dazu die Ungleichung npq t 9 erfüllt sein muss. Eine binomialverteilte Zufallsvariable X ~ B (n, p ) lässt sich nämlich auffassen als die Summe von n identisch verteilten, unabhängigen Variablen X i , die jeweils die Werte 1 oder 0 (mit den Wahrscheinlichkeiten p bzw. q 1  p ) annehmen können. Beispiel 8.5 Das Körpergewicht weiblicher Studenten habe einen Erwartungswert von P 61 kg und eine Standardabweichung von V 6,2 kg . Wir führen nun folgendes Gedankenexperiment durch: Aus der Grundgesamtheit werden mehrere Stichproben vom Umfang n 30 entnommen und jeweils der Mittelwert bestimmt. Nach dem zentralen Grenzwertsatz sind diese Mittelwerte normalverteilt mit einem Erwartungswert von P x 61 kg und einer Standardabweichung von V x

6,2 / 30 kg 1,13 kg . Wegen der Normalverteilung der x

definieren P x r 1,96 ˜ V x

(61 r 1,96 ˜1,13) kg einen 95%-Referenzbereich, d.h.

P (58,8 kg d x d 63,2 kg)

0,95 .

Man wird also bei einer Stichprobe des Umfangs 30 mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit einen Mittelwert zwischen 58,8 und 63,2 kg erhalten; die Wahrscheinlichkeiten, dass der Mittelwert kleiner ist als 58,8 kg oder größer als 63,2 kg, betragen jeweils 2,5 %.

161 8.3 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung i Der Zusammenhang zwischen Binomial- und Normalverteilung wurde schon z von dem französischen Mathematiker Abraham de Moivre (1667-1754) im

Jahre 1718 erkannt und in seinem Werk „The doctrine of chances“ beschrieben. De Moivre hat die Normalverteilung sozusagen „entdeckt“. Von Gauß wurde sie einige Jahrzehnte später bei der Erarbeitung seiner Fehlertheorie wiederentdeckt. Es wurde schon früh vermutet, dass die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes gilt. Der Beweis für diesen Satz in der oben angegebenen, allgemeinen Form wurde jedoch erst im Jahre 1920 erbracht.

8.3.4

Die Bedeutung der Normalverteilung

Die zentrale Bedeutung der Normalverteilung für die Statistik und deren Anwendung in den Biowissenschaften muss unter verschiedenen Aspekten beurteilt werden. Sie lässt sich ansehen als:

x Eine empirische Verteilung. Der belgische Astronom und Physi„ ker Adolphe Quetelet (1796-1874) gab ein frühes Beispiel für die Normalverteilung eines Merkmals menschlicher Individuen: Ihm war aufgefallen, dass die Daten des Brustumfangs von 5.738 schottischen Soldaten angenähert normalverteilt sind. Der Name „Normalverteilung" wurde von Francis Galton im Jahr 1880 eingeführt. Einige Wissenschaftler vertraten damals die Auffassung, dass die belebte Natur bei jedem Merkmal die Normalverteilung anstrebe. „Normal“ wird dabei im Sinne von „allgemein üblich“ oder „physiologisch“ verwendet. Wir wissen heute, dass dieser Ansatz nicht stimmt. Es gibt zwar einige medizinisch relevante Merkmale, die angenähert normalverteilt sind (z. B. die Körpergröße erwachsener Männer). Andere wichtige Verteilungen in der Medizin sind jedoch › Abschnitt 8.4). nicht symmetrisch (z. B. Lebensdauern, z x Eine approximative Verteilung. Schiefe Verteilungen lassen sich „ › Abschnitt eventuell in eine Normalverteilung transformieren (z 8.2.4). Die Binomial- und auch die Poissonverteilung lassen sich unter gewissen Bedingungen durch die Normalverteilung approxi› Abschnitt 8.3.3). mieren (z x Eine Verteilung für statistische Kennwerte. Nach dem zentralen „ Grenzwertsatz sind die Mittelwerte aus Stichproben des Umfangs n beliebiger Verteilungen normalverteilt. Bei normalverteilten Grundgesamtheiten sind auch andere Kenngrößen wie z. B. der Median, die Varianz etc. normalverteilt. Ansonsten können allerdings die Verteilungen statistischer Kennwerte – außer der des Mittelwertes – erheblich von der Normalverteilung abweichen.

8

162

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

x Eine Basisverteilung für Prüfverteilungen. Die Normalverteilung „ bildet die Grundlage für die wichtigsten Prüfverteilungen, die in der › Abschnitt 8.5). induktiven Statistik Anwendung finden (z

4

8.4

Verteilungen zur Beschreibung von Lebensdauern

8.4.1

Einige wichtige Begriffeƒƒƒ

In diesem Abschnitt werden zwei wichtige Verteilungen vorgestellt, die in der medizinischen Forschung bei Überlebensstudien benutzt werden.

8

x Überlebenszeit. Das wesentliche Merkmal, das bei diesen Studien „ untersucht wird, ist die Dauer, die zwischen einem definierten Anfangsereignis und dem Eintritt eines zufallsbedingten Endereignisses vergeht. Diese Zeitspanne wird Überlebenszeit genannt. Die Anfangsereignisse sind beispielsweise die Geburt eines Individuums oder der Beginn einer therapeutischen Maßnahme; bei den Endereignissen handelt es sich üblicherweise um den Tod eines Patienten, den eingetretenen Heilerfolg, das Ende der Beschwerdefreiheit, das Auftreten eines bestimmten Symptoms oder den Ausfall eines transplantierten Organs. Wenn ein Lebewesen vom Zeitpunkt der Geburt bis zu seinem Tod beobachtet wird, spricht man von Lebensdauer. Dieser Begriff wird auch in der Technik verwendet, wo er die Zeit zwischen dem Betriebsbeginn und dem Ausfall eines Objekts bezeichnet. Der Begriff „Überlebenszeit“ ist also nicht unbedingt gleichbedeutend mit der Zeit, die bis zum Tod eines Individuums vergeht. Wenn wir im Folgenden dennoch das kritische Endereignis mit „Tod“ oder „Sterben“ gleichsetzen, dann geschieht dies deshalb, weil diese Begriffe anschaulicher und prägnanter sind als Formulierungen wie etwa „das Eintreten des kritischen Endereignisses“. x Überlebensfunktion. Sei T eine Zufallsvariable zur Beschreibung „ einer Überlebenszeit. T kann sinnigerweise nur positive Werte annehmen, die im Folgenden – da es sich um Zeiten handelt – mit dem Buchstaben t (vom lateinischen tempus) symbolisiert werden. Die dazugehörende Verteilungsfunktion F(t) gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Individuum vor dem Zeitpunkt t stirbt.

8.4

Verteilungen zur Beschreibung von Lebensdauern

8

163

Daraus ergibt sich die Überlebenswahrscheinlichkeit oder Überlebensfunktion: S (t )

P(T ! t ) 1  F (t )

(8.27)

S (t ) ist also die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum den Zeitpunkt t überlebt. Der Buchstabe S ist abgeleitet vom englischen Ausdruck „survival function“.

x Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit. Sie quantifiziert die „ Wahrscheinlichkeit für ein Individuum, das den Zeitpunkt t erreicht hat, eine weitere Zeitspanne der Länge 't (Delta t) zu überleben. Sie lässt sich nach Formel (6.8) berechnen als: P (T ! t  't T ! t )

P (T ! t  't ) P (T ! t )

(8.28)

x Momentane Sterberate r(t) (auch Hazard-Funktion oder im „ technischen Bereich Ausfallrate genannt). Sie ist durch folgende Beziehung charakterisiert: r (t )

f (t ) S (t )

(8.29)

Dabei ist f (t ) die Dichtefunktion der Variablen T. Die momentane Sterberate hat gegenüber der in Abschnitt 6.3 eingeführten Mortalität den Vorteil, dass sie unabhängig vom Beobachtungszeitraum ist und für jeden Zeitpunkt t angegeben werden kann. 8.4.2

Die Exponentialverteilungƒƒƒ

Im einfachsten Fall lässt sich die Überlebenswahrscheinlichkeit darstellen als (wobei O ! 0 ): S (t )

P(T ! t )

e  Ot

(8.30)

(O = griechischer Buchstabe lambda). Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Individuum vor dem Zeitpunkt t stirbt, ist demnach: F (t ) 1  S (t )

P (T d t ) 1  e  Ot

(8.31)

Eine Zufallsvariable T mit dieser Verteilungsfunktion nennt man exponentialverteilt T ~ Exp(O ) . Für die Dichtefunktion ergibt sich:

164

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

f (t )

Oe Ot

F '(t )

(8.32)

Die Exponentialverteilung hat einige bemerkenswerte Eigenschaften. Für die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit folgt mit (8.28) und (8.30): P (T ! t  't T ! t )

4

e  Ot

e  O˜'t

(8.33)

Die Wahrscheinlichkeit, noch eine Zeitspanne der Länge 't zu leben, ist also unabhängig vom Alter. Deshalb wird die Exponentialverteilung auch gedächtnislose Verteilung genannt. Wegen dieser Eigenschaft ist die Ausfallrate über die Zeit konstant; mit (8.29), (8.32) und (8.30) berechnet man nämlich: r (t )

8

e  O (t  't )

f (t ) S (t )

Oe  Ot e  Ot

O

(8.34)

Deshalb eignet sich die Exponentialverteilung nur zur Beschreibung von Lebensdauern nicht alternder Objekte oder von Überlebenszeiten bei Individuen, deren Tod unabhängig vom aktuellen Alter eintritt. Typische Beispiele sind die Lebensdauern radioaktiver Teilchen oder das Überleben nach einer sehr schweren Erkrankung mit kurzer Lebenserwartung. Mathematische Herleitung der Sterberate Die Sterberate r (t ) basiert auf der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum, nachdem es den Zeitpunkt t überlebt hat, im darauf folgenden Zeitintervall der Länge t  't stirbt. Diese Wahrscheinlichkeit ist wegen der Definition von F (t ) und S (t ) : P(t  T d t  't ) F (t  't )  F (t ) P (t  T d t  't | X ! t ) P (T ! t ) S (t ) Unter der momentanen Sterberate versteht man nun diese Wahrscheinlichkeit bezogen auf ein infinitesimal kleines Zeitintervall der Länge 't : F (t  't )  F (t ) 1 r (t ) lim ˜ 't o 0 't S (t ) Für den Differentialquotienten gilt: lim

't o 0

Daraus ergibt sich: r (t )

f (t ) . S (t )

F (t  't )  F (t ) 't

dF (t ) d (t )

f (t ) .

8.4

Verteilungen zur Beschreibung von Lebensdauern

8

165

Weitere wichtige Kenngrößen sind der Median, der Erwartungswert (auch mittlere Lebensdauer genannt) und die Varianz: ~ P

1 ˜ ln 2 O

(8.35)

P

1 O

(8.36)

V2

1

(8.37)

O2

Diese Maßzahlen sind also umso größer, je kleiner die momentane Sterberate O ist. Die Schiefe beträgt grundsätzlich 2 – demnach ist die Exponentialverteilung ebenso wie die logarithmierte Normalverteilung rechtsschief. i Der Median lässt sich relativ einfach berechnen, indem man die Funktion z ~ ) 0,5 nach P ~ auflöst. Der Erwartungswert, die Varianz und die F (P Schiefe ergeben sich durch aufwendige Integralrechnungen.

8.4.3

Die Weibull-Verteilungƒƒƒ

Die Weibull-Verteilung ist nach dem schwedischen Ingenieur Waloddi Weibull (1887-1979) benannt, der damit die Bruchfestigkeit von Werkzeugen beschrieb. Im medizinischen Umfeld wird sie hauptsächlich zur Analyse von Überlebenszeiten verwendet. – Eine Zufallsvariable T heißt Weibull-verteilt mit den Parametern O ! 0 und J ! 0 , wenn für ihre Verteilungsfunktion gilt:

F (t ) 1  e  O˜t

J

für t ! 0

(8.38)

Durch die beiden Parameter O (lambda) und J (gamma) ist die Verteilung eindeutig festgelegt; man schreibt: T ~ WB(O, J ) . Im Vergleich mit (8.31) wird deutlich, dass die Weibull-Verteilung eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung darstellt. Durch den zusätzlichen Parameter J ist sie wesentlich flexibler; die Dichteund die Überlebensfunktion sowie die Parameter sind allerdings erheblich komplizierter zu berechnen. Aus der Verteilungsfunktion (8.38) leitet man her: S (t )

P( X ! t ) 1  F (t )

e  O˜t

J

(8.39)

166

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

f (t )

OJ ˜ t ( J 1) ˜ e  O˜t

F ' (t )

J

(8.40)

Daraus ergibt sich für die momentane Sterberate: r (t )

4

f (t ) S (t )

OJ ˜ t J 1

(8.41)

Es lassen sich nun drei Fälle unterscheiden:

ŷ Sterberate konstant ( J 1 ). Dieser Spezialfall ist die Exponentialverteilung.

ŷ Sterberate monoton wachsend ( J ! 1 ). Eine Weibullverteilung mit J ! 1 ist geeignet, ein Überleben mit Altern zu beschreiben.

ŷ Sterberate monoton fallend ( 0  J  1 ). Diese Verteilung be-

schreibt ein Überleben mit Regeneration, bei dem mit wachsendem Alter die Sterberate abnimmt.

8

Den Median einer Weibullverteilung berechnet man, indem man die ~ ) 0,5 auflöst; aus (8.38) ergibt sich unter AnwenGleichung F (P dung elementarer Rechenregeln: ~ P

1/ J

§ ln 2 · ¨ ¸ © O ¹

(8.42)

Dieser Parameter gibt an, nach welcher Zeit die Hälfte der Beobachtungseinheiten verstorben ist. i Die Berechnung anderer Parameter (Erwartungswert, Varianz) erfordert z die Kenntnis einer speziellen Funktion (nämlich der so genannten Gamma-Funktion). Ausführliche Informationen zu diesem Thema findet man in [11].

8.5

Prüfverteilungen

Wir wissen, dass nicht nur einzelne Messwerte xi , sondern auch statistische Kennwerte wie etwa der Mittelwert x oder die empirische Standardabweichung s dem Zufall unterliegen und damit als Realisationen einer Zufallsvariablen X bzw. S aufgefasst werden können. Die Prüfverteilungen dienen dazu, die Verteilung von statistischen Kenngrößen zu beschreiben.

8

167 8.5 Prüfverteilungen

Übersicht 7: Stetige Verteilungen Name und Bezeichnung der Verteilung

Abschnitt

X beschreibt

Beispiele

8.2.1 8.2.3

symmetrisch verteilte Daten, Dichte glockenförmig

Messfehler, Körpergröße

8.2.4

rechtsschief verteilte Daten

Körpergewicht, Blutdruck

Exponentialverteilung Exp(O)

8.4.2

Lebensdauern bei konstanter Sterberate

Zerfall radioaktiver Teilchen

Weibullverteilung WB(O, J )

8.4.3

Lebensdauern bei nicht konstanter Sterberate

Überleben mit Altern, Überleben mit Regeneration

Normalverteilung N (P, V ) 2

logarithmische Normalverteilung LN (P, V 2 )

Die Prüfverteilungen sind die Grundlage für die Schätz- und Testmethoden der induktiven Statistik. Deren Anwendung setzt zwar nicht unbedingt spezielle Kenntnisse bezüglich der Prüfverteilungen voraus. Mathematisch weniger interessierte Leser können daher diesen Abschnitt 8.5 überschlagen. Allerdings erscheinen die Verfahren der induktiven Statistik logischer und leichter nachvollziehbar, nachdem man sich mit dem theoretischen Hintergrund dieser Verteilungen etwas näher befasst hat. Die t-Verteilungƒƒƒ

8.5.1

Diese Verteilung wurde im Jahre 1908 von dem Engländer William Sealy Gosset (1876-1937) veröffentlicht. Gosset befasste sich mit der Schätzung von Mittelwerten, deren Verteilung nach dem zentralen › Abschnitt 8.3.3) durch die standardnormalverGrenzwertsatz (z teilte Zufallsvariable Z

X P V/ n

168

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

beschrieben wird. In der Praxis ist jedoch der Parameter V meist unbekannt. Deshalb ist die Verteilung von Z nur theoretisch interessant, aber für praktische Untersuchungen wenig aufschlussreich. Aus diesem Grund ersetzte Gosset das V durch die empirische Standardabweichung s und betrachtete anstelle von Z die Variable T

4

8

X P S/ n

(8.43)

Diese Verteilung ging als Student- oder t-Verteilung in die Literatur ein. Sie ist für alle n t 2 (also auch für kleine Stichprobenumfänge) definiert. Dabei muss allerdings vorausgesetzt werden, dass die Einzelbeobachtungen X i , aus denen X und S berechnet werden, normalverteilt sind mit dem Erwartungswert P und der Varianz V 2 . Die t -Verteilung hat ähnliche Eigenschaften wie die Standardnormalverteilung:

ŷ Sie ist symmetrisch um 0, stetig und glockenförmig, ŷ sie kann Werte zwischen f und f annehmen, und ŷ der Erwartungswert ist 0. Es gibt allerdings zwei wesentliche Unterschiede:

ŷ Sie ist nicht direkt abhängig von V (sondern nur von s), ŷ sie ist aber abhängig vom Parameter f, der die Anzahl der Frei-

heitsgrade angibt. Die t -Verteilung nach (8.43) hat f n  1 Freiheitsgrade. Diese Anzahl begründet sich dadurch, dass in die Berechnung der t -Größe n Beobachtungen einfließen, die einer einschränkenden Bedingung (durch die Vorgabe des Mittelwertes x ) unterliegen.

Es existiert also für jeden Freiheitsgrad f eine spezielle t-Verteilung. Die Varianz beträgt f / (f – 2) für alle f t 3 und ist damit größer als 1. Demzufolge hat die t-Verteilung für kleine Freiheitsgrade einen flacheren Verlauf als die Standard-Normalverteilung. Für große Freiheitsgrade geht sie in die Normalverteilung über. Einige Perzentile der t-Verteilung, die für Schätz- und Testverfahren wichtig sind, sind in Tabelle B im Anhang aufgelistet. i Gosset war eigentlich als Chemiker bei der bekannten Bierbrauerei Guinz ness angestellt und betrieb Statistik als Hobby. Weil er als Angestellter seiner Firma nicht unter seinem Namen veröffentlichen wollte, benutzte er das Pseudonym „Student“.

8

169 8.5 Prüfverteilungen

Die Chi2-Verteilungƒƒƒ

8.5.2

Die Chi2-Verteilung (sprich: Chi-Quadrat, auch mit dem griechischen Buchstaben F 2 geschrieben) beschreibt in ihrer einfachsten Form die Verteilung des Quadrats einer standnormalverteilten Zufallsvariablen Z ~ N (0,1) . Für den Erwartungswert von Z 2 gilt: EZ 2

VarZ  ( EZ ) 2

1

(8.44)

Die Gleichung (8.44) leitet man aus (7.7) her, indem man V 2 durch VarZ , X 2 durch Z 2 und P durch E( Z ) ersetzt. Falls nun mehrere Variablen Z1 ,..., Z n unabhängig voneinander nach N (0,1) verteilt sind, ist deren Quadratsumme F 2 -verteilt mit n Freiheitsgraden oder (anders ausgedrückt): F n2 -verteilt. Für den Erwartungswert folgt dann: n

¦ EZ i2

(8.45)

n

i 1

8 / n ; d. h. die Die Varianz dieser Größe ist 2n, die Schiefe ist J 1 › Abbildung 8.4). Mit wachF n2 -Verteilung ist immer rechtsschief (z sendem n nähert sich die F n2 -Verteilung einer Normalverteilung. Wir betrachten nun n unabhängige, normalverteilte Variable X i ~ N (P, V2 ) . Dann sind die ( X i  P ) / V standardnormalverteilt, und demnach gilt für deren Quadratsumme: § Xi  P · 2 ¦ ¨ V ¸  Fn ¹ i 1© 2

n

(8.46)

Wenn wir in diesem Ausdruck den Erwartungswert P durch die Variable X ersetzen, erhalten wir eine F 2 -Verteilung mit n  1 Freiheitsgraden, da die X i wegen des Mittelwerts X einer einschränkenden Bedingung unterliegen. Daraus folgt: § Xi  X · ¦ ¨ ¸ V ¹ i 1© n

2

( n  1) ˜ S 2  F2n 1 V2

(8.47)

Diese Eigenschaft ist fundamental für die Schätzung der Varianz aus einer Stichprobe vom Umfang n .

170

4

Kapitel 8 · Stetige Verteilungen

i Die Chi2-Verteilung verdanken wir Forschungen auf dem Gebiet der z Astronomie. Sie geht zurück auf den Physiker und Astronomen Ernst Abbe (1840-1905), der sie erstmals 1863 erwähnt. Abbe war Professor an der Universität in Jena und Direktor der dortigen Sternwarte. Er interessierte sich bei der Auswertung seiner Versuchsergebnisse für die Verteilung der Summe von Abweichungsquadraten ( xi  x ) 2 und entwickelte daraus die Chi2-Verteilung. Unabhängig von Abbe entdeckte sie Friedrich Robert Helmert (1843-1917), der Astronom und gleichzeitig Mathematiker war. Sie geriet dann in Vergessenheit, bis sie von Karl Pearson einige Jahre später wiederentdeckt wurde und seither vielfältige Anwendung bei den Verfahren der induktiven Statistik findet.

8.5.3

Die F-Verteilungƒƒƒ

Als dritte Prüfverteilung sei die F-Verteilung erwähnt: F

8

S12 S 22

(8.48)

S12 und S 22 sind die Varianzen zweier unabhängiger Stichproben, die aus zwei normalverteilten Grundgesamtheiten mit derselben Varianz V2 stammen. – Die F-Verteilung wird zum Vergleich zweier empirischer Varianzen benutzt und findet Anwendung u. a. bei der Varianzanalyse. Der Name ist zurückzuführen auf Sir Ronald Fisher.

Abb. 8.4 Dichtefunktionen von Chi2-Verteilungen mit unterschiedlichen Freiheitsgraden n

9

Schätzverfahren 9.1

Grundlagen 173

9.2

Punktschätzungen 173

9.2.1 Der Begriff der Punktschätzung 173 9.2.2 Kriterien zur Güte einer Schätzung 174 9.2.3 Spezielle Schätzfunktionen 175

9.3

Intervallschätzungen 177

9.3.1 Die Bedeutung eines Konfidenzintervalls 177 9.3.2 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert 179 9.3.3 Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit 182 9.3.4 Die Bedeutung des Stichprobenumfangs 183

9.4

Abschließende Bemerkungen 184

173 9.1 Grundlagen

9.1

Grundlagen

Wir haben in den vorangegangenen Kapiteln Zufallsvariablen X und deren Verteilungen kennen gelernt und durch charakteristische Parameter beschrieben. Diese Betrachtungen waren allerdings rein theoretischer Natur. Die Eigenschaften von X können in der Regel nicht exakt bestimmt werden, da man sich bei empirischen Untersuchungen normalerweise nur auf eine Stichprobe stützen kann. Man ist also darauf angewiesen, anhand einzelner Stichprobenwerte xi Informationen bezüglich der Grundgesamtheit und der Zufallsvariablen X zu gewinnen. Dazu dienen die Methoden der induktiven Statistik (auch schließende, analytische oder beurteilende Statistik genannt). Bei diesen Verfahren muss grundsätzlich vorausgesetzt werden, dass eine zufällige Stichprobe vorliegt, die repräsentativ für ein übergeordnetes Kollektiv (die Grundgesamtheit) ist. Oft sind gewisse Eigenschaften von X (etwa der Verteilungstyp) aus Erfahrung bekannt oder ergeben sich aus der Beschreibung der zugrunde liegenden Zufallsexperimente. Die charakteristischen Parameter sind dagegen meist unbekannt. So kann man beispielsweise leicht nachvollziehen, dass der Heilungserfolg eines Medikaments durch eine Binomialverteilung beschrieben werden kann, wobei die einzelnen Zufallsvariablen X i die Werte 1 (Heilung erfolgreich) oder 0 (Heilung nicht erfolgreich) annehmen können. Es liegt jedoch in der Natur der Sache, dass eine exakte Angabe der Erfolgswahrscheinlichkeit p a priori nicht möglich ist. Man ist daher bemüht, anhand der Stichprobe den oder die unbekannten Parameter der Grundgesamtheit annähernd zu bestimmen. Bisher haben wir kaum Gedanken darüber angestellt, welche Anforderungen an ein Schätzverfahren zu stellen sind und wie die Güte eines Schätzwertes zu beurteilen ist. Diesen Fragen werden wir in den folgenden Abschnitten nachgehen.

9.2

Punktschätzungen

9.2.1

Der Begriff der Punktschätzung

Es liegt intuitiv nahe, die Funktionalparameter einer Grundgesamtheit durch die entsprechenden Kenngrößen einer zufälligen Stichprobe zu schätzen. So erscheint der Mittelwert als Schätzwert für den Erwartungswert geeignet; eine Wahrscheinlichkeit wird durch

9

174

Kapitel 9 · Schätzverfahren

eine relative Häufigkeit geschätzt. Man nennt ein solches Verfahren, bei dem ein unbekannter Parameter durch einen einzigen Wert geschätzt wird, eine Punktschätzung. Die Schätzfunktion (oder der Schätzer) ist eine Vorschrift, nach der aus den Daten einer Stichprobe des Umfangs n ein angenäherter Wert für den unbekannten Parameter berechnet wird. So lautet z. B. die Schätzfunktion für den Erwartungswert: n

¦ Xi

4 X

i 1

n

(9.1)

Die Werte, die die Schätzfunktion in Abhängigkeit von der jeweiligen Stichprobe annimmt, nennt man Schätzwerte. 9.2.2

9

Kriterien zur Güte einer Schätzungƒƒƒ

Die oben genannten Punktschätzungen sind nicht so selbstverständlich, wie es auf den ersten Blick scheinen mag. Niemand bezweifelt zwar, dass der Erwartungswert durch den Mittelwert optimal geschätzt wird. Was aber spricht dagegen, bei symmetrischen Verteilungen den Erwartungswert durch den empirischen Median zu schätzen – zumal dies mit weniger Rechenaufwand verbunden wäre? Außerdem ist bisher nicht eindeutig geklärt, weshalb bei der empirischen Varianz und bei der empirischen Kovarianz durch n  1 dividiert wird (und nicht durch den Stichprobenumfang n ). Um diese Fragen zu beantworten, bedarf es objektiver und nachprüfbarer Eigenschaften, nach denen sich die Güte einer Schätzung beurteilen lässt. Hierzu orientiert man sich an den folgenden vier Kriterien, die von Sir Ronald Fisher aufgestellt wurden: x Erwartungstreue. Man kann nicht erwarten, dass eine einzelne „ Stichproben-Kenngröße den unbekannten Parameter exakt wiedergibt. Allerdings sollte die Schätz-Vorschrift nicht systematisch einen zu hohen oder zu niedrigen Wert liefern. Das Kriterium der Erwartungstreue fordert daher, dass der Durchschnitt (oder genauer: der Erwartungswert) aller theoretisch denkbaren Schätzwerte aus den Stichproben des Umfangs n mit dem unbekannten Parameter übereinstimmt. Eine erwartungstreue Schätzung heißt unverzerrt. x Konsistenz. Es ist außerdem plausibel, von einem guten Schätzer „ Folgendes zu verlangen: Je größer der Stichprobenumfang n ist,

9

175 9.2 Punktschätzungen

umso genauer sollte die Schätzung sein. Ein Schätzer ist immer dann konsistent, wenn dessen Varianz für große n gegen 0 geht. x Effizienz. Die Varianz des Schätzers sollte möglichst gering sein. „ Je geringer sie ist, desto präziser ist die Schätzung. Eine hohe Effizienz bedeutet, dass auch eine kleine Stichprobe einen brauchbaren Schätzwert liefert. Die Effizienz eines Schätzers ist insbesondere dann wichtig, wenn zwei verschiedene Schätzverfahren für einen Parameter zu vergleichen sind. x Exhaustivität. Ein Schätzer ist exhaustiv (oder erschöpfend), „ wenn er alle Informationen, die in den Daten einer Stichprobe enthalten sind, berücksichtigt. Alle diese Forderungen scheinen plausibel und wünschenswert zu sein; wir werden jedoch sehen, dass sie nicht unbedingt bei allen bekannten Schätzfunktionen erfüllt sind. 9.2.3

Spezielle Schätzfunktionen

x Erwartungswert. Wir wollen die oben genannten Kriterien zu„ nächst an dem wohl bekanntesten Beispiel überprüfen und betrachten dazu den Mittelwert x einer Stichprobe, der den Erwartungswert P der Grundgesamtheit schätzt. Wir wissen aus Abschnitt 8.3.2 › Seite 157 f), dass gilt: (z E( X )

P und

Var( X )

V2 o 0 n n of

Demnach ist diese Schätzung erwartungstreu und konsistent. Die › Konsistenz ergibt sich auch aus dem Gesetz der großen Zahlen (z Abschnitt 8.3.2, Seite 157). x Median. Etwas komplizierter liegen die Dinge beim empirischen „ Median. Man~kann zeigen: Falls die Verteilung stetig und symmet~ . In diesem Fall risch ist, ist X ein erwartungstreuer Schätzer für P ~ ist ~ aber P P ; deshalb ist etwa bei Normalverteilungen der Median X ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert P . Für ~ die Varianz von X gilt (dies sei ohne Beweis angeführt): ~ Var( X )

S V2 ˜ o 0 2 n n of

(9.2)

176

Kapitel 9 · Schätzverfahren

~ Somit ist X auch eine konsistente Schätzung. Allerdings ist die ~ Varianz von X größer als die Varianz von X ; deshalb ist der Mittelwert der effizientere Schätzer für P . Der Median ist (im Gegensatz zum Mittelwert) nicht erschöpfend, weil nicht alle Stichprobenwerte in dessen Berechnung einfließen. Der Mittelwert hat also im Vergleich zum empirischen Median die günstigeren Schätzeigenschaften.

4

x Varianz. Die daraus berechnete Standardabweichung ist bei quan„ titativen Merkmalen das am häufigsten benutzte Streuungsmaß. Die Varianz wird bekanntlich nach folgender Vorschrift geschätzt: n

¦ ( X i  X )2

S2

i 1

(9.3)

n 1

Es lässt sich nachweisen, dass gilt: E (S 2 ) V 2

9

Var( S 2 )

(9.4)

2V 4 o 0 n  1 n of

(9.5)

Demnach ist diese Schätzung erwartungstreu und konsistent. Die Schätzung der Standardabweichung V durch S ist zwar konsistent, aber merkwürdigerweise nicht erwartungstreu. x Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit p wird geschätzt „ über eine relative Häufigkeit. Deren Erwartungswert ist p : n

E (¦ X i / n) i 1

n 1 E (¦ X i ) n i1

np n

p

(9.6)

wobei Xi ~ B (1, p ) . Die Schätzung ist erwartungstreu. Die Konsistenz ergibt sich aus dem Gesetz der großen Zahlen. x Parameter der bivariaten Statistik. Man kann nachweisen, dass „ die Schätzung der Kovarianz erwartungstreu und konsistent ist, ebenso die Schätzung der Parameter der Regressionsgeraden. Die Schätzfunktion für den Pearson’schen Korrelationskoeffizient nach Formel (5.2) ist dagegen nicht erwartungstreu, wohl aber konsistent.

9

177 9.3 Intervallschätzungen

Mathematische Herleitung der Eigenschaften des Schätzers für die Varianz Für den Erwartungswert gilt: n

E (S 2 )

( X i  X )2 ¦ i 1

n

( X i  P ) 2  n ( X  P) 2 ¦ i 1

) E( ) n 1 n 1 Da nach der Definition der Varianz (Formel (7.7)) gilt: E(

E ( X i  P) 2

Var( X i )

V2 , folgt: E (

Außerdem ist E ( X  P) 2

Var ( X )

n

( X i  P) 2 ) ¦ i 1

n ˜ V2 .

V2 / n .

Wenn man dies in den Zähler der obigen Gleichung einsetzt, erhält man: nV 2  V 2 V 2 (Formel (9.4)). n 1 Dies ist die formale Rechtfertigung dafür, dass bei der empirischen Varianz E (S 2 )

durch (n  1) dividiert wird. – Nach (8.47) ist die Größe

(n  1) S 2 V2

F 2 -verteilt

mit der Varianz 2(n  1) . Daraus leitet man mit (7.9) her: Var( S 2 )

2(n  1) ˜ V 4 (n  1)

2

2V 4 (Formel (9.5)). n 1

Wenn man in (7.7) die Variable X durch S und P durch ES ersetzt, erhält man: Var( S ) E( S 2 )  ( ES ) 2 V 2  ( ES ) 2 . Daraus folgt: ( ES ) 2 V 2  Var( S ) und damit ES  V . Die empirische Standardabweichung s schätzt also V systematisch zu gering.

9.3

Intervallschätzungen

9.3.1

Die Bedeutung eines Konfidenzintervalls

Wir wissen, dass die gängigen Schätzverfahren günstige Eigenschaften haben und wenden sie an in der berechtigten Hoffnung, einen brauchbaren Schätzwert zu erhalten. Dennoch sind diese Punktschätzungen in gewisser Weise unbefriedigend – ein einzelner Schätzwert enthält nämlich keine Information darüber, wie sehr er vom „wahren“ Parameter der Grundgesamtheit abweicht. Prinzipiell kann man darüber auch keine exakten Angaben machen, da der gesuchte Parameter letzten Endes unbekannt ist. Wir dürfen jedoch bei einem geeigneten Schätzverfahren vermuten, dass er sich in der näheren Umgebung des Schätzwertes befindet. Es geht in diesem

178

4

9

Kapitel 9 · Schätzverfahren

Abschnitt darum, diesen unscharfen Ausdruck „nähere Umgebung“ zu präzisieren. › Seite 56) wurde anhand der Daten von 28 In Beispiel 4.1 (z männlichen Medizinstudenten eine mittlere Körpergröße von xm 182,29 cm berechnet. Wenn wir diese Gruppe auffassen als eine Stichprobe, dann handelt es sich bei diesem Mittelwert um eine Schätzung für den Erwartungswert der Grundgesamtheit. Wir wissen, dass dieser Mittelwert zufallsbedingt ist – eine andere Stichprobe des Umfangs n 28 würde andere Daten und einen anderen Mittelwert liefern. Die konkrete Frage, die sich nun stellt, lautet: Welcher Erwartungswert Nj könnte dem besagten Mittelwert zugrunde liegen? Es erscheint durchaus möglich, dass er aus einer Grundgesamtheit mit P 180 cm oder mit P 185 cm resultiert. Wir würden jedoch nicht annehmen, dass die Stichprobe einer Grundgesamtheit mit P 160 cm entstammt – obwohl auch diese Möglichkeit nicht ganz ausgeschlossen werden kann. Um Anhaltspunkte bezüglich der Genauigkeit der Schätzung zu gewinnen, konstruiert man aus den Daten der Stichprobe ein so genanntes Konfidenzintervall (oder Vertrauensbereich). Man hofft, bei diesem Verfahren ein Intervall zu erhalten, dass den gesuchten Parameter überdeckt. Es ist allerdings nicht auszuschließen, dass die Daten der Stichprobe ein Konfidenzintervall erzeugen, das „daneben liegt“ und das den gesuchten Parameter nicht enthält. Diese Irrtumswahrscheinlichkeit wird vor der Bestimmung des Konfidenzintervalls festgelegt. Sie wird mit D bezeichnet und beträgt üblicherweise 5%, in besonderen Fällen auch 1% oder 0,1%. Generell gibt es bei der Konstruktion eines Konfidenzintervalls zwei Möglichkeiten:

ŷ Mit der Wahrscheinlichkeit 1  D erhält man ein Intervall, das

den unbekannten Parameter enthält. Der Wert 1  D wird als Konfidenzwahrscheinlichkeit (oder Konfidenzniveau) bezeichnet. Für die Irrtumswahrscheinlichkeit D 5% beträgt die Konfidenzwahrscheinlichkeit 1  D 95% . ŷ Mit der Wahrscheinlichkeit D erhält man ein Intervall, das den unbekannten Parameter nicht enthält. Das Konfidenzintervall selbst liefert leider keinen Anhaltspunkt dafür, welche dieser beiden Möglichkeiten eingetreten ist. Es ist deshalb immer notwendig, die Irrtumswahrscheinlichkeit D mit anzugeben. In den folgenden Abschnitten wird anhand mehrerer Beispiele das Konstruktionsprinzip eines Konfidenzintervalls erläutert.

9

179 9.3 Intervallschätzungen

9.3.2

Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

Der Erwartungswert ist bei quantitativen Daten in der Regel der Parameter des wesentlichen Interesses. Er wird über den Mittelwert x geschätzt. Das Konfidenzintervall auf dem Niveau 1  D 95% ist gegeben durch: ª 1,96 ˜ V 1,96 ˜ V º ;x  «x  » n n ¼ ¬

(9.7)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erwartungswert, der kleiner als die linke oder größer als die rechte Intervallgrenze ist, zu x geführt hat, beträgt jeweils 2,5% – also insgesamt D 5% . ! Die plausibel klingende Aussage „Der Erwartungswert P liegt mit einer z

Wahrscheinlichkeit von 95 % innerhalb des Konfidenzintervalls“ ist irreführend. Der Erwartungswert ist zwar unbekannt – er ist jedoch eine feste Größe und nicht vom Zufall abhängig. Dagegen ist das Konfidenzintervall abhängig von der Stichprobe und deshalb vom Zufall mitbestimmt. Eine korrekte Formulierung lautet: „Man erhält mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ein Konfidenzintervall, das den unbekannten Erwartungswert P überdeckt“. Mathematische Betrachtung des Konfidenzintervalls für den Erwartungswert Dessen Bestimmung liegt der zentrale Grenzwertsatz zugrunde. Demnach sind alle theoretisch denkbaren Mittelwerte aus Stichproben des Umfangs n normalverteilt (zumindest für n t 25 ) mit dem Erwartungswert P und der Standardabweichung V / n . Deshalb gilt: X P d 1,96) 0,95 V/ n Die Zahlenwerte sind die Grenzen, die den 95%-Referenzbereich der Standardnormalverteilung angeben (Tabelle 8.1, Seite 152). Durch Umformen dieser Ungleichung ergibt sich: 1,96 ˜ V 1,96 ˜ V P( d X P d ) 0,95 n n Das bedeutet, dass der Abstand zwischen dem Mittelwert und dem Erwartungswert betragsmäßig mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit unterhalb P (1,96 d

von 1,96 ˜ V / n liegt. Damit ergibt sich ein Konfidenzintervall nach (9.7).

180

4

Kapitel 9 · Schätzverfahren

Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von D 1% ist der Wert 1,96 in (9.7) durch 2,58 zu ersetzen. Theoretisch ist natürlich jede beliebige Irrtumswahrscheinlichkeit denkbar; die Quantile der Standard› Tabelle A normalverteilung sind dementsprechend anzugleichen (z im Anhang). Wegen der Symmetrie dieser Verteilung unterscheiden sich die Quantile, die die beiden Intervallgrenzen bestimmen, nur bezüglich ihres Vorzeichens. Allgemein ist ein 2-seitiges Konfidenzintervall auf dem (1  D) -Niveau definiert durch die Intervallmitte x und die Grenzen: ª V V º ; x  z1 D / 2 ˜ » « x  z1D / 2 ˜ n n¼ ¬

9

(9.8)

Dabei bezeichnet der Index 1  D / 2 das jeweilige Quantil der Standardnormalverteilung. Für D 5% erhält man z1D / 2 z0,975 1,96 . Bei diesen Formeln haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass die Standardabweichung V der Grundgesamtheit bekannt ist. Dies ist aber bei praktischen Untersuchungen fast niemals der Fall. Man könnte notgedrungen das V durch die empirische Standardabweichung s ersetzen. Dies würde aber insbesondere bei kleinen Stichproben – die in den Biowissenschaften eher die Regel als die Ausnahme sind – zu einer weiteren Ungenauigkeit der Schätzung führen. Vor diesem Problem stand William Gosset, als er zu Beginn des 20. Jahrhunderts Mittelwerte für Bieringredenzien schätzen wollte und dabei nur auf kleine Stichproben zurückgreifen konnte. Dies war die Ausgangssituation für die Entwicklung der tVerteilung. Wenn die Zufallsvariable X normalverteilt ist, lassen sich die Quantile der Standardnormalverteilung in (9.8) ersetzen durch die entsprechenden t-Werte, und man erhält folgendes Konfidenzintervall:

˜sº tn 1;1D / 2 ˜ s t ª ; x  n 1;1D / 2 » «x  n n ¬ ¼

(9.9)

i Der Ausdruck t n 1;1 D / 2 ist für Anfänger gewöhnungsbedürftig. Die beiden z

Angaben im Index sind notwendig, um den speziellen t-Wert exakt zu kennzeichnen. Der Index f n  1 bezeichnet die Anzahl der Freiheitsgrade der jeweiligen t-Verteilung (es gibt nämlich für jedes f eine spezielle t-Verteilung), 1  D / 2 gibt das Quantil an.

Falls man keine geeignete Software hat, die Konfidenzintervalle berechnet, müssen die Quantile tn 1;1D / 2 in Tabellen nachgeschlagen › Tabelle B im Anhang). Der Faktor s / n ist eine Schätwerden (z

9

181 9.3 Intervallschätzungen

zung für den Standardfehler des Mittelwerts V / n . Theoretisch sind auch 1-seitige Konfidenzintervalle konstruierbar, die an einer Seite offen sind: ( f; x 

tn 1;1 D ˜ s n

]

oder [ x 

tn 1;1D ˜ s n

;f )

(9.10)

Auf ein besonderes Problem sei an dieser Stelle hingewiesen: Bisher wurde vorausgesetzt, dass die Grundgesamtheit unendlich groß ist. Wird nun eine Stichprobe des Umfangs n aus einer endlichen Grundgesamtheit des Umfangs N gezogen, muss der Standardfehler korrigiert werden. Diese Endlichkeitskorrektur ergibt sich aus der › Abschnitt 7.3.4, Varianz der hypergeometrischen Verteilung (z Seite 140). Die Grenzen des Konfidenzintervalls bei einer endlichen Grundgesamtheit sind demnach: x r tn 1;1D / 2 ˜ s ˜

N n n ˜ ( N  1)

(9.11)

Bei sehr großen Grundgesamtheiten mit N / n t 100 nimmt die Endlichkeitskorrektur einen Wert nahe bei 1 an und kann deshalb vernachlässigt werden. Beispiel 9.1 Körpergrößen männlicher Studenten (n = 28): Aus xm r sm (182, 29 r 7, 22) cm ergibt sich für die Konfidenzintervalle: [179,49 cm ; 185,08 cm] ( D 0,05 ) mit t27;0,975 2,0518 [178,51 cm ; 186,06 cm] ( D 0,01 ) mit t27;0,995 2,7707 Körpergrößen weiblicher Studenten (n = 54): Aus xw r sw (168, 43 r 5, 42) cm berechnet man: [166,95 cm ; 169,91 cm] ( D 0,05 ) mit t53;0,975 2,0057 [166,46 cm ; 170,40 cm] ( D 0,01 ) mit t53;0,975 2,6718 Man erkennt: ŷ Die Konfidenzintervalle der Frauen sind schmaler als die der Männer. Das liegt zum einen am höheren Stichprobenumfang, zum anderen an der kleineren Streuung der Daten. ŷ Die 95%-Intervalle sind schmaler als die 99%-Intervalle. Das liegt an den t-Quantilen, die für D 0,05 kleiner sind als für D 0,01 .

182

Kapitel 9 · Schätzverfahren

9.3.3

Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit

Als Punktschätzer für eine Wahrscheinlichkeit p dient bekanntlich eine relative Häufigkeit:

pˆ

4

X n

Dabei bezeichnet X die Häufigkeit des Ereignisses A bei n Zufallsexperimenten. Die Grenzen eines Konfidenzintervalls für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p lassen sich angeben als: pˆ r (

9

(9.12)

1 r z1D / 2 ˜ 2n

pˆ (1  pˆ ) ) n

(9.13)

Dabei wird vorausgesetzt, dass npˆ ! 5 und n(1  pˆ ) ! 5 – d. h. der Stichprobenumfang darf nicht zu klein und die relativen Häufigkeiten sollten nicht zu extrem sein. Das in (9.13) definierte Intervall ist vergleichbar mit dem Konfidenzintervall für den Erwartungswert nach (9.8): pˆ entspricht dem Mittelwert, die Wurzel dem Standardfehler der Schätzung. Bei endlichen Grundgesamtheiten ist auch hier der Standardfehler mit dem Faktor ( N  n) /( N  1) zu multiplizieren. Der Faktor 1 / 2n ist die so genannte Stetigkeitskorrektur. Beispiel 9.2 Der Anteil weiblicher Studenten wird anhand der Daten von Tabelle 2.1 mit pˆ 54 / 82 0,659 geschätzt. Kann man davon ausgehen, dass mehr als die Hälfte der Medizinstudenten weiblich sind – oder ist der höhere Anteil nur zufällig bedingt? Für die Grenzen des 95%-Konfidenzintervalls erhalten wir nach (9.13): 54 / 82 ˜ 28 / 82 54 1 r r 1,96 ˜ . Das Intervall ist also: >0,550 ; 0,767@ . 82 82 164 Was bedeutet dies? Wenn man eine Stichprobe des Umfangs 82 wählt, erhält man mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit einen Anteil weiblicher Studenten, der sich zwischen 0,550 und 0,767 bewegt. Aufgrund dieser Schätzung können wir mit größerem Vertrauen davon ausgehen, dass der Anteil der Frauen tatsächlich überwiegt. – Worauf ist dies zurückzuführen? Darüber schweigt sich das Konfidenzintervall aus.

9

183 9.3 Intervallschätzungen

Mathematische Betrachtung des Konfidenzintervalls für p Dieses Konfidenzintervall basiert auf dem zentralen Grenzwertsatz. Für npq t 9 ist die binomialverteilte Variable X normalverteilt mit P np und V2

› Binomialverteilung,, Seite 130 f). Also gilt: np(1  p) (z P(  z1 D / 2 d

X  np np(1  p )

d z1 D / 2 ) 1  D

Durch Umformen ergibt sich dann das Konfidenzintervall: p(1  p) n Das unbekannte p unter der Wurzel wird durch den Schätzwert pˆ ersetzt. Um das Intervall auch für kleinere Stichprobenumfänge konstruieren zu können, wird die Stetigkeitskorrektur 1 / 2n hinzugefügt (wodurch das Intervall um insgesamt den Faktor 1 / n verbreitert wird). Dadurch wird versucht, den Fehler auszugleichen, der beim Übergang von den relativen Häufigkeiten pˆ pˆ r z1 D / 2 ˜

(diskrete Variable) zur Standardnormalverteilung entsteht.

9.3.4

Die Bedeutung des Stichprobenumfangs

Die Präzision einer Schätzung wird ausgedrückt durch die Breite des Konfidenzintervalls. Je schmaler dieses Intervall ist, desto genauer ist die Schätzung. Ein sehr breites Konfidenzintervall ist dagegen für praktische Zwecke unbrauchbar. Die Breite des nach (9.9) berechneten 2-seitigen Konfidenzintervalls für den Erwartungswert beträgt beispielsweise: BK

2 ˜ tn 1;1D / 2; ˜ s n

(9.14)

Generell sind also drei Faktoren für die Präzision der Schätzung von › Beispiel 9.1): Bedeutung (z

ŷ Die Irrtumswahrscheinlichkeit D . Für D 5% ergibt sich ein

schmaleres Intervall als für D 1% . Ein schmales Intervall läßt sich also erreichen durch eine höhere Irrtumswahrscheinlichkeit und damit zu Lasten der Sicherheit. ŷ Die Standardabweichung s. Je homogener die Grundgesamtheit, desto kleiner sind die Standardabweichung und die Breite des Konfidenzintervalls. ŷ Der Stichprobenumfang n . Die Schätzung ist umso präziser, je höher der Stichprobenumfang n ist.

184

4

Kapitel 9 · Schätzverfahren

Der Anwender hat also die Möglichkeit, über die Irrtumswahrscheinlichkeit und den Stichprobenumfang die Breite eines Konfidenzintervalls zu beeinflussen. Aus (9.14) geht hervor, dass bei vorgegebener Breite der Mindeststichprobenumfang berechnet werden kann – allerdings nur theoretisch. In der Praxis ist die Standardabweichung V nicht bekannt; der empirische Schätzwert s ergibt sich erst, nachdem die Daten der Stichprobe vorliegen. Außerdem kann der t-Wert (der von n abhängig ist) nicht explizit angegeben werden, sondern allenfalls grob geschätzt werden (er beträgt für D 5% und n t 10 ungefähr 2). Aus (9.14) ist ersichtlich, dass bei gleicher Standardabweichung der vierfache Stichprobenumfang erforderlich ist, um die Breite des Intervalls zu halbieren (da der Stichprobenumfang nur mit n in die Formel eingeht). Schließlich sei noch die Breite des Konfidenzintervalls für die Wahrscheinlichkeit p angegeben. Aus (9.13) ergibt sich: BK

9

2 ˜ z1D / 2 ˜

pˆ (1  pˆ ) 1  n n

(9.15)

Auch diese Breite wird durch die Irrtumswahrscheinlichkeit und den Stichprobenumfang bestimmt. Um einen Mindestumfang festlegen zu können, ist zumindest eine ungefähre Abschätzung der Wahrscheinlichkeit p erforderlich.

9.4

Abschließende Bemerkungen

Die oben erwähnten Beispiele machen deutlich, dass die Angabe eines Konfidenzintervalls eine wesentlich bessere Beurteilung des Schätzwertes erlaubt als eine einfache Punktschätzung. Während aber ein Punktschätzer auf einfache Weise aus den Daten der Stichprobe zu berechnen ist, kann die Bestimmung eines Konfidenzintervalls äußerst kompliziert sein. Sie setzt nämlich voraus, dass die Verteilung der Stichproben-Kennwerte bekannt ist. So wird beispielsweise bei der Verwendung der t-Verteilung zugrunde gelegt, dass die Zufallsvariable X normalverteilt ist. Bei vielen Parametern ist die mathematische Herleitung eines Konfidenzintervalls sehr kompliziert und auch nur unter einschränkenden Voraussetzungen möglich. Weitere Konfidenzintervalle (für den Median, die Varianz, die Korrelationskoeffizienten, die Parameter der Regressionsgeraden u. a.) findet man in [12]. Es ist für den

185 9.4 Abschließende Bemerkungen

Anwender aber nicht unbedingt notwendig, die mathematischen Hintergründe genau zu kennen, da in der Regel diese Intervalle von einer leistungsfähigen Statistiksoftware ermittelt werden. Er sollte allerdings in der Lage sein, ein Konfidenzintervall sinnvoll zu interpretieren. Ein letztes Beispiel sei noch erwähnt: Beispiel 9.3 Für den Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht weiblicher Stu› Beispiel 5.2). Mit einer Statistikdenten ermittelten wir r 0,505 ( n 51 , z software lässt sich folgendes 95%-Konfidenzintervall bestimmen: (0,310 ; 0,700). Was besagt dieses? Da beide Intervallgrenzen jenseits der 0 liegen, können wir einigermaßen sicher sein, dass ein gleichsinniger Zusammenhang exisitert. Allerdings wissen wir nicht, ob dieser schwach oder eher stark ist. – Für die männlichen Studenten gilt: r 0,578 ( n 28 ); das Konfidenzintervall ist (0,331 ; 0,825). Dieses ist breiter, weil der Stichprobenumfang geringer und damit die Schätzung ungenauer ist.

Bei manchen Parametern (z. B. Schiefe oder Wölbung) sind die Verteilungen nicht explizit bekannt. In diesen Fällen werden MonteCarlo-Studien eingesetzt. Dabei wird mit Hilfe eines Computers zunächst eine bekannte Grundgesamtheit erzeugt. Daraus lassen sich dann beliebig viele verschiedene Zufallsstichproben vom Umfang n ziehen. Aus jeder Stichprobe wird nun der interessierende Kennwert berechnet; aus all diesen Kennwerten wird dann deren Verteilung simuliert. Mit dieser Technik lässt sich auch überprüfen, ob und inwieweit Verletzungen der Voraussetzungen eines Verfahrens tolerierbar sind. So kann man beispielsweise nachweisen, dass die tVerteilung einigermaßen robust ist gegenüber geringer Abweichungen von der Normalverteilung. In der Praxis werden die Bedingungen, die zur Berechnung eines Konfidenzintervalls erfüllt sein sollten, oft nicht überprüft, sondern stillschweigend als erfüllt vorausgesetzt – sei es aus Bequemlichkeit oder Nichtwissen oder schlicht aus Not, weil keine anderen Schätzverfahren zur Verfügung stehen. Nun bedeutet dieses laxe Vorgehen nicht unbedingt, dass die Schätzung insgesamt unbrauchbar ist – es kommt eben darauf an, wie das Schätzverfahren auf eine mögliche Verletzung der Voraussetzungen reagiert. Die Verfahren der induktiven Statistik (dazu zählen außer den Schätzverfahren auch die Tests, die in den nächsten Kapiteln behandelt werden) sind insgesamt wesentlich komplexer als die Methoden der deskriptiven Statistik. Ein Computer mit geeigneter Software ist hierbei ein sinnvolles Mittel, ohne das manche Rechnungen gar

9

186

Kapitel 9 · Schätzverfahren

nicht oder nur mit größter Mühe zu bewältigen wären. Es darf jedoch keineswegs dazu führen, dass man allzu sorglos die Voraussetzungen eines Verfahrens ignoriert. Man sollte in jedem Fall darauf achten, dass sie nicht in extremer Weise verletzt sind und die Ergebnisse mit der gebotenen Vorsicht interpretieren.

4

9

10

Das Prinzip eines statistischen Tests 10.1 Die Durchführung eines Tests 189 10.1.1 Die Funktion eines statistischen Tests 189 10.1.2 Das Formulieren der Hypothesen 190 10.1.3 Fehlerarten 192 10.1.4 Der Stichprobenumfang 194

10.2 Die Interpretation des Ergebnisses 195 10.2.1 Die Testentscheidung 195 10.2.2 Die Bedeutung des p-Wertes 197 10.2.3 Die Manipulation des Testergebnisses 199 10.2.4 Die inhaltliche Interpretation 200 10.2.5 Multiples Testen

201

10.3 Klassifikation der Testmethoden 202

189 10.1

Die Durchführung eines Tests

10.1

Die Durchführung eines Tests

10

10.1.1 Die Funktion eines statistischen Tests Der Fortschritt in einer empirischen Wissenschaft wie der Medizin beruht auf Beobachtungen, die ein Arzt bei der Patientenbehandlung oder im Labor macht. Möglicherweise entwickelt er dabei eine Therapie, von der er glaubt, dass sie der herkömmlichen Standardtherapie in irgendeiner Weise überlegen sei, oder er gewinnt neue wissenschaftliche Erkenntnisse. Aus einer Vielzahl von Beobachtungen gepaart mit fachlich-theoretischen Überlegungen entsteht so eine Vermutung und – wenn diese präzise formuliert wird – eine Hypothese. In der Regel ist es nicht möglich, derlei Hypothesen zu beweisen. Ein Forscher wird zwar meist von der Richtigkeit seiner Vermutung überzeugt sein – dies allein kann jedoch kein objektives Kriterium darstellen. Die Überprüfung einer Hypothese hat in zweifacher Hinsicht zu erfolgen:

ŷ Zunächst sollte ein theoretischer Hintergrund erarbeitet werden, um die Hypothese mit sachlichen Argumenten zu untermauern. Dazu bedarf es überwiegend medizinischer Fachkenntnisse und Erfahrungen – mit Statistik hat dies vorerst nichts zu tun. ŷ Darüber hinaus ist es erforderlich, die Hypothese statistisch abzusichern. Zu diesem Zweck müssen relevante Daten erhoben und mit einer geeigneten Testmethode analysiert werden.

In diesem Abschnitt 10.1 wird das Prinzip eines statistischen Tests anhand eines einfachen Beispiels erläutert, wofür der t-Test für eine Stichprobe herangezogen wird. Wir stellen uns folgende Situation vor: Aus der Fachliteratur ist bekannt, dass das mittlere Geburtsgewicht gesunder Kinder nach einer unauffällig verlaufenden Schwangerschaft 3.500 Gramm beträgt. Ein Mediziner hat die Vermutung, dass Babys, deren Mütter während der Schwangerschaft einem bestimmten Risiko ausgesetzt waren, im Durchschnitt weniger wiegen. Er beschließt, das Geburtsgewicht von 20 solcher Risiko-Babys in seiner Klinik zu messen und den daraus resultierenden Mittelwert mit 3.500 Gramm zu vergleichen. – Generell sind nun zwei Möglichkeiten bezüglich der (unbekannten) Ausgangssituation denkbar:

190

Kapitel 10 · Das Prinzip eines statistischen Tests

ŷ Es besteht kein Unterschied zwischen dem mittleren Geburtsge-

4

10

wicht der Risiko-Babys und dem aus der Literatur bekannten Wert von 3.500 Gramm. In diesem Fall würde man bei den 20 Babys ein Durchschnittsgewicht von 3.500 Gramm erwarten. Freilich wird man niemals einen Mittelwert von exakt 3.500 Gramm erhalten. Kleinere Abweichungen muss man tolerieren. ŷ Es besteht ein Unterschied. Dann wiegen die Kinder durchschnittlich weniger (oder auch mehr) als 3.500 Gramm, wobei der Unterschied nicht nur zufällig bedingt ist. Diese beiden Aussagen sind komplementär; d. h. sie ergänzen sich und schließen sich gegenseitig aus. Genau eine davon muss also richtig sein. Eine Entscheidung aufgrund des Testergebnisses fällt mitunter schwer. Wenn der Arzt ein mittleres Geburtsgewicht von 3.480 Gramm ermittelt, wird er kaum schlussfolgern können, dass sich das Risiko nachteilig auf das Geburtsgewicht der Kinder auswirkt. Wenn er dagegen einen Mittelwert von weniger als 3.000 Gramm erhält, wird er seine Vermutung bestätigt finden. Wo aber ist die Grenze? Welche Abweichungen vom Sollwert 3.500 Gramm sind als zufällig bedingt einzustufen – und ab welchem Punkt muss man davon ausgehen, dass die Abweichung nicht mehr allein durch den Zufall erklärt werden kann? Ein statistischer Test hilft in solchen Situationen weiter. Er funktioniert nach folgendem Prinzip: Man stellt zwei komplementäre Hypothesen auf, wählt einen für die Fragestellung passenden Test und berechnet dann aus den Daten einer (oder mehrerer) Stichprobe(n) eine so genannte Testgröße (oder Prüfgröße). Diese Größe erlaubt es, nach einem festgelegten Verfahren eine objektive und nachvollziehbare Entscheidung zugunsten von einer der beiden Hypothesen zu treffen. 10.1.2 Das Formulieren der Hypothesen Es ist wichtig, die beiden Hypothesen vor der Durchführung des Tests inhaltlich so präzise wie möglich zu formulieren. Erst dadurch wird die konkrete Fragestellung klar definiert. Diejenige Hypothese, die eine innovative Aussage beinhaltet und Althergebrachtes in Frage stellt, bezeichnet man als Alternativhypothese. In unserem Beispiel lautet sie: „Das mittlere Geburtsgewicht der 20 Risiko-Babys unterscheidet sich von 3.500 Gramm“. Die dazu konkurrierende Aussage nennt man Nullhypothese („Es gibt keinen Unterschied“).

191 10.1

10

Die Durchführung eines Tests

Die inhaltlichen Aussagen werden nun in statistische Hypothesen übersetzt. In unserem Beispiel lauten sie: H0 :

P

3.500

H1 :

P z 3.500

Dabei symbolisiert der Buchstabe Nj den Ewartungswert, der durch den Mittelwert der 20 Risiko-Babys geschätzt wird. Die Nullhypothese H 0 beinhaltet ein Gleichheitszeichen; sie ist also eindeutig formuliert. Die Alternativhypothese, die üblicherweise mit H1 (oder H A ) bezeichnet wird, ist dagegen sehr allgemein gehalten: Sie vereinigt in sich alle Hypothesen mit Ausnahme der Nullhypothese. Diese Art von Hypothesen, bei denen nichts über die Richtung eines Unterschieds ausgesagt wird, nennt man zweiseitig (oder ungerichtet). Wenn aufgrund inhaltlicher Überlegungen oder Erfahrungen bereits Kenntnisse über die Richtung eines möglichen Unterschiedes vorliegen, ist es möglich, einseitige (oder gerichtete) Hypothesen zu formulieren. Wenn der Arzt berechtigten Grund zur Annahme hat, dass die Babys auf keinen Fall mehr, sondern weniger wiegen als 3.500 Gramm, wird er folgende Hypothesen aufstellen: H0 :

P

3.500

H1 :

P  3.500

Eine Testentscheidung lässt nur diese Alternativen zu. Die Möglichkeit P ! 3.500 wird bei dieser Fragestellung gar nicht in Betracht gezogen. ! Oft wird die Nullhypothese bei einseitiger Fragestellung komplementär z

zur Alternativhypothese formuliert (also in unserem Beispiel: P t 3.500 ). Welche der beiden Formulierungen das inhaltliche Problem besser beschreibt, bleibt dem Anwender überlassen. Für die Durchführung des Tests ist dies irrelevant: Die Berechnung der Prüfgröße und die Testentscheidung basieren in jedem Fall auf einer eindeutig formulierten Nullhypothese.

Ob eine Fragestellung ein- oder zweiseitig formuliert wird, hat der Versuchsleiter vor der Durchführung des Tests festzulegen. Diese Entscheidung ist aufgrund von spezifisch-fachlichen Überlegungen zu treffen. Sie ist u. a. abhängig von den Konsequenzen einer Fehl› nächster Abschnitt und Beispiel 10.1). Falls der entscheidung (z Versuchsleiter nicht sicher ist, ob die Voraussetzungen für eine einseitige Fragestellung vorliegen, ist es zweckmäßig, die zweiseitige zu wählen.

192

Kapitel 10 · Das Prinzip eines statistischen Tests

10.1.3 Fehlerarten

4

10

Die Testentscheidung hängt von der Prüfgröße ab; diese wiederum wird aus den Stichprobenwerten ermittelt. Es ist nicht ausgeschlossen, dass das Testverfahren im Einzelfall zu einer Fehlentscheidung führt. Wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist und man sich fälschlicherweise für die Alternativhypothese entscheidet, liegt ein D-Fehler (oder Fehler 1. Art) vor. Auch dann, wenn sich die Risiko-Babys bezüglich ihres Geburtsgewichts von den anderen nicht unterscheiden würden (also wenn die Nullhypothese zuträfe), wäre keineswegs ausgeschlossen, dass allein wegen des Zufalls nur leichtgewichtige Babys in die Stichprobe gelangen, deren durchschnittliches Gewicht weit unter 3.500 Gramm läge. Der Arzt würde dann annehmen, dass diese Kinder weniger wiegen und sich irrtümlicherweise für die Alternativhypothese entscheiden. Damit würde er einen D-Fehler begehen (freilich ohne dies zunächst zu merken). Ein D-Fehler ist nicht generell vermeidbar – aber er ist kontrollierbar. Dieser Fehler kann nämlich nur bei Gültigkeit der Nullhypothese auftreten, und diese ist eindeutig formuliert. Deshalb ist es möglich, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Prüfgröße explizit › Abschnitt 8.5.1), dass unter H 0 die anzugeben. Es ist bekannt (z Größe X  P0

T

S/ n

t-verteilt ist. Nach dieser Vorschrift berechnet man aus den Daten der Stichprobe die Prüfgröße t: t

x  P0

(10.1)

s/ n

Diese Prüfgröße kann alle Werte zwischen f und f annehmen. Unter der Nullhypothese betragen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (mit D 5% ): Bereich der Prüfgröße t t  tn 1;D / 2  0

kritischer Bereich

Entscheidung Wahrscheinlichfür keit D / 2 2,5% H1

tn 1;D / 2 d t d tn 1;1 D / 2

Annahmebereich

H0

1 D

95%

t ! tn 1;1 D / 2 ! 0

kritischer Bereich

H1

D/2

2,5%

10

193 10.1

Die Durchführung eines Tests

Im kritischen Bereich hat die Prüfgröße einen Betrag t ! tn 1;1 D / 2 › Abbildung 10.1). Deshalb (wegen der Symmetrie der t-Verteilung, z ist für diesen Test folgende Entscheidungsregel relevant:

ŷ Falls t d t n 1;1D / 2 , behält man die Nullhypothese bei; ŷ falls t ! t n 1;1D / 2 , nimmt man die Alternativhypothese an. Der Wert t n 1;1D / 2 trennt den Annahme- vom kritischen Bereich und wird deshalb als kritischer Wert bezeichnet. Bei 1-seitiger Fragestellung H1 :

P ! P0

wird die Nullhypothese abgelehnt, falls t ! tn 1;1D . Wenn man dagegen die Alternativhypothese formuliert als H1 :

P  P0 ,

muss die Prüfgröße t negativ und kleiner als tn 1;1D sein, damit die Alternativhypothese angenommen werden kann. Die kritischen Werte sind also abhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade f n  1 , der Irrtumswahrscheinlichkeit D und davon, ob man 1oder 2-seitig testet. Diese Vorgehensweise gewährleistet, dass – falls die Nullhypothese richtig ist – mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% eine richtige Entscheidung getroffen wird. Das Risiko einer Fehlentscheidung beträgt demnach 5%. Diese Irrtumswahrscheinlichkeit wird durch den D-Fehler quantifiziert.

Abb. 9.1. Annahme- und Ablehungsbereich beim t-Test (2-seitige Fragestellung)

1- α Annahmebereich α/2

-tn –1;1– α/2

α/2

tn –1;1– α/2

194

4

10

Kapitel 10 · Das Prinzip eines statistischen Tests

Theoretisch kann der Anwender eines statistischen Tests die maximale Größe des D-Fehlers nach Belieben festlegen. Um jedoch eine Vergleichbarkeit statistisch abgesicherter Entscheidungen zu ermöglichen, hat sich in den Biowissenschaften ein Schwellenwert von 5 % eingebürgert. Diesen Wert bezeichnet man als das D- Niveau oder Signifikanzniveau. Bei besonderen Fragestellungen wählt man auch D 1% oder D 0,1% , hin und wieder auch D 10% . Die maximale Größe des D-Fehlers sollte vor der Durchführung des Tests festgelegt werden. Aus der Größe des D-Fehlers ergeben sich der Annahmebereich für die Nullhypothese und der kritische Bereich (oder Ablehnungsbereich für die Nullhypothese). Wenn die Prüfgröße in den Annahmebereich fällt, entscheidet man sich für die Nullhypothese, ansonsten für die Alternativhypothese. Nun ist es auch umgekehrt möglich, dass in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist und man fälschlicherweise die Nullhypothese beibehält. In diesem Fall begeht man einen ß-Fehler oder Fehler 2. Art. Dieser lässt sich im Gegensatz zum D-Fehler kaum abschätzen, da die Alternativhypothese nicht explizit gegeben ist. Der ß-Fehler hängt ab vom Wert des Erwartungswerts Nj – und dieser ist normalerweise unbekannt. Generell gilt: Je mehr sich die Parameter Nj und P 0 unterscheiden, desto eher lässt sich die Alternativhypothese absichern und desto kleiner ist der ß-Fehler. Man kann den E -Fehler durch die Wahl des D-Fehlers beeinflussen. Je größer der D-Fehler ist, umso größer ist der kritische Bereich und umso kleiner ist der E -Fehler. Ein kleiner D-Fehler bedeutet also einerseits, dass man seltener eine richtige Nullhypothese ablehnt. Andererseits geht man ein höheres Risiko ein, die Nullhypothese auch dann beizubehalten, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist. 10.1.4 Der Stichprobenumfang Dem Stichprobenumfang ist besondere Beachtung beizumessen, da er das Testergebnis massiv beeinflusst. Generell lässt sich sagen: Je kleiner der Stichprobenumfang ist, desto eher wird die Nullhypothese beibehalten. Andererseits gibt ein extrem großer Stichprobenumfang der Nullhypothese keine Chance. Daraus lässt sich schlussfolgern, dass sich jede Alternativhypothese (die minimal von der Nullhypothese abweicht) statistisch absichern lässt, wenn nur der Stichprobenumfang hinreichend groß ist. Demnach könnte man meinen, dass die Testentscheidung bedeutungslos ist. Sie ist es jedoch nicht, wenn der Anwender, der ja in der

195 10.2

10

Die Interpretation des Ergebnisses

Regel die Alternativhypothese annehmen möchte, sich vorab überlegt, wie groß der Unterschied zwischen Null- und Alternativhypothese sein sollte, damit ihm eine praktische Bedeutung zukommt. Damit kann man verhindern, dass ein Test nur aufgrund eines hohen Stichprobenumfangs kleinste Unterschiede erkennt, die in Wirklichkeit belanglos sind. Bei sequentiellen Testverfahren wird der Stichprobenumfang nicht vor dem Testen bestimmt, sondern als Zufallsvariable aufgefasst. Die Besonderheiten bei diesen Verfahren liegen darin, dass man vorab den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art (alsoD und ß) festlegt. Man beginnt mit einem kleinen Stichprobenumfang, erhöht diesen um 1 und wiederholt diese Prozedur so oft, bis eine Testentscheidung möglich ist. Der Vorteil besteht darin, dass der Stichprobenumfang optimal ist (nicht zu hoch und nicht zu niedrig). Allerdings sind sequentielle Verfahren in der Praxis nicht immer geeignet. Schließlich sollte man auch hier den Stichprobenumfang nicht ad infinitum erhöhen, sondern sich fragen, ab wann ein Testergebnis nicht nur statistisch, sondern auch praktisch signifikant ist. Näheres zu sequentiellen Tests findet man in [5]. Merke Der optimale Stichprobenumfang hängt von mehreren Parametern ab: 1. Vom Į-Fehler (üblich ist Į = 0,05), 2. von der Power (üblich ist 1-ß = 0,80), 3. von der Art der Daten und deren Skalenniveau, 4. von der Streuung der Daten, 5. vom speziellen Test und 6. von der Größe des nachzuweisenden Effekts.

10.2

Die Interpretation des Ergebnisses

10.2.1 Die Testentscheidung Ein statistischer Test endet mit einer Entscheidung, die aufgrund des Testergebnisses getroffen wird. Generell gibt es dabei zwei Möglichkeiten:

ŷ Wenn die Prüfgröße im kritischen Bereich liegt, entscheidet

man sich für die Alternativhypothese. Ein solches Ergebnis heißt in Abhängigkeit von D schwach-signifikant ( D 10% ), signifikant ( D 5% ), hoch-signifikant ( D 1% ) oder höchst-signifi-

196

4

10

Kapitel 10 · Das Prinzip eines statistischen Tests

kant ( D 0,1% ). Theoretisch kann diese Entscheidung zwar falsch sein – nämlich dann, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist und man dennoch eine Prüfgröße im kritischen Bereich erhält. Man formuliert die Entscheidung als: „Die Nullhypothese wird verworfen“ oder „Die Alternativhypothese wird angenommen“. ŷ Wenn die Prüfgröße im Annahmebereich liegt, entscheidet man sich für die Nullhypothese. Diese Entscheidung ist richtig, wenn die Aussage der Nullhypothese in Wirklichkeit zutrifft. Ansonsten ist man einem ß-Fehler erlegen. Dieser Fehler ist im Gegensatz zum D-Fehler nicht abschätzbar; er kann – insbesondere bei kleinem Stichprobenumfang – sehr groß sein. Eine Prüfgröße im Annahmebereich ist deshalb kein Beleg für die Richtigkeit der Nullhypothese, sondern lediglich ein Hinweis darauf, dass man anhand des vorhandenen Datenmaterials die Nullhypothese nicht ablehnen kann. Man formuliert deshalb sehr vorsichtig: „Die Nullhypothese kann auf dem Signifikanzniveau D nicht verworfen werden“ oder „Es ergibt sich kein Widerspruch zur Nullhypothese“. In diesen Formulierungen kommt zum Ausdruck, dass es unbefriedigend ist, wenn ein Test zur Beibehaltung der Nullhypothese führt. In der Regel ist der Anwender eines statistischen Tests bemüht, einen Unterschied nachzuweisen. Sein Ziel ist die Etablierung einer neuen, bis dahin unbekannten Alternativhypothese. Eine Ausnahme stellen Äquivalenztests dar, deren Ziel die Beibehaltung der Nullhypothese ist. Sie werden u. a. bei Bioverfügbarkeitsstudien angewandt, um die therapeutische Gleichwertigkeit zweier Behandlungen zu testen. Die Wahrscheinlichkeit eines Testes, eine richtige Alternativhypothese als solche zu erkennen, berechnet sich als 1  E . Sie quantifiziert die so genannte Güte, Teststärke, Trennschärfe oder Macht. Auch der englische Ausdruck Power wird häufig verwendet. ! Der Versuchsleiter weiß bei Annahme der Alternativhypothese nie ganz z

genau, ob er eine richtige Entscheidung getroffen hat, oder ob er einem D-Fehler erlegen ist. Deshalb klingen Sätze „Mit 95%-iger Sicherheit trifft die Alternativhypothese zu“ oder „Mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 5% ist die Alternativhypothese falsch“ plausibel. Diese Formulierungen sind zwar weit verbreitet, aber nicht korrekt. Sie würden ja implizieren, dass die Alternativhypothese meistens richtig, aber zufällig auch mal falsch sein kann. Einer Hypothese haftet nichts Zufälliges an – sie ist entweder richtig oder falsch. Zufällig sind die Daten, die in die Stichprobe gelangen, damit auch die Testgröße und die davon abhängige Entscheidung.

10

197 10.2

Die Interpretation des Ergebnisses

Tabelle 10.1 Entscheidungen bei einem statistischen Test

Wirklichkeit Testentscheidung für H 0 für H1 Summe

H 0 gilt

H1 gilt

richtige Entscheidung Fehler 1. Art

Fehler 2. Art ß richtige Entscheidung

D

1 ß

1

1

1 D

Aus diesen Ausführungen geht hervor: Die Nullhypothese ist in der Testtheorie die Basis, von der entschieden wird. Es ist wichtig, dafür zu sorgen, dass sie nicht leichtfertig oder grundlos abgelehnt wird. Man ist deshalb vorsichtig und akzeptiert die Alternativhypothese nur dann, wenn die Testgröße in den kritischen Bereich fällt – mit anderen Worten: wenn der Wert der Testgröße mit der Nullhypothese nur schwer zu vereinbaren ist. 10.2.2 Die Bedeutung des p-Wertes Vor noch nicht allzu langer Zeit war es üblich, eine Prüfgröße per Hand oder mit einem Taschenrechner zu berechnen. Um zu beurteilen, ob das Ergebnis signifikant war, hatte man den berechneten Wert mit einem kritischen Wert zu vergleichen. Die kritischen Werte fand man in Tabellen, die heute noch in fast jedem Statistik› Tabellen B – F, Anhang). Wenn beilehrbuch zu finden sind (z spielsweise die Prüfgröße, die aus einem t-Test für eine Stichprobe resultierte, größer ist als das Quantil tn 1;0,975 , kann man davon ausgehen, dass das Testergebnis signifikant ist auf dem Niveau D 0,05 . Wenn die Prüfgröße sogar größer ist als tn 1;0,995 , ist der Unterschied auf dem 1%-Niveau abgesichert (beim 2-seitigen Testen). Heutzutage ist es üblich, einen statistischen Test mit Hilfe einer geeigneten Software durchzuführen. Diese berechnet in der Regel außer der Prüfgröße den so genannten p-Wert. Dieser Wert quantifiziert die Wahrscheinlichkeit, dass das gefundene Testergebnis (oder ein noch extremeres Ergebnis) zustande kommt, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist. Wenn p kleiner ist als das zuvor festgelegte Signifikanzniveau Į, wird die Alternativhypothese angenommen. Etwas salopp ausgedrückt ist der p-Wert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis ein Zufallsbefund ist. Grundsätzlich ist Folgendes zu beachten:

198

Kapitel 10 · Das Prinzip eines statistischen Tests

x Ein p-Wert sagt lediglich aus, ob ein statistisch signifikanter „ Unterschied existiert. Er enthält jedoch keine Informationen über die Größe dieses Unterschieds. Deshalb ist es sinnvoll, zusätzlich zum p-Wert ein Konfidenzintervall anzugeben.

4

x Der p-Wert besagt nichts über die Ursachen eines Unterschiedes „ oder über die Konsequenzen, die sich daraus ergeben. Diese Fragen müssen mit medizinischem Sachverstand geklärt werden; die Statistik hilft dabei nicht weiter. Der Anwender eines statistischen Tests sollte sich von einem kleinen p-Wert nicht blenden lassen. „Statistische Signifikanz“ ist nicht gleichbedeutend mit „praktischer Relevanz“ oder „wissenschaftlicher Bedeutsamkeit“. Beispiel 10.1 Ein Arzt erhält bei einer Beobachtungsstudie mit 20 Babys von Risiko-Patientinnen für das Geburtsgewicht: x r s (3280 r 490) . Diese Werte sind zu vergleichen mit dem aus der Literatur bekannten Durchschnittswert 3500. Aus den Daten resultiert nach (10.1): p

t

0, 0509 . Der kritische Wert ist t19;0,975

x  P0 s/ n

3280  3500 490 / 20

2,0079 und

2, 0930 (2-seitiges Testen, Tabelle

B). Auf dem D 5% -Niveau müsste man also die Nullhypothese beibehalten. – Für das 1-seitige Testen beträgt der kritische Punkt jedoch t19;0,95 1, 729 ; der

10

p-Wert halbiert sich auf 0,0255. Die Nullhypothese ist im Falle des 1-seitigen Testens abzulehnen. – Das einseitige Konfidenzintervall für den Mittelwert nach ist nach (9.10): (-’; 3469). Dies zeigt zwar, dass die 20 Babys durchschnittlich weniger wiegen als 3500 Gramm, dass aber der Unterschied möglicherweise nicht sehr gravierend ist.

x Umgekehrt lässt ein nicht-signifikantes Testergebnis mit p ! 0,05 „ keineswegs den Schluss zu, es gebe keinen Unterschied. Ein solches Testergebnis kann zweierlei bedeuten: 1. Es gibt in der Tat keinen relevanten Unterschied, oder 2: Es gibt einen bedeutsamen Unterschied, der sich aber wegen eines zu geringen Stichprobenumfangs nicht nachweisen lässt. Auch in diesem Fall hilft ein Konfidenzintervall weiter. x Grundsätzlich sind alle Werte im Konfidenzintervall für die „ Größe des Unterschieds in Betracht zu ziehen. Je schmaler dieses Intervall ist (bei einem hohen Stichprobenumfang), desto präziser ist die Schätzung und desto einfacher ist die Interpretation des Testergebnisses. Problematisch ist es, wenn ein kleiner Stichprobenumfang zu einem breiten Konfidenzintervall führt. In diesem Fall kann keine

199 10.2

10

Die Interpretation des Ergebnisses

Aussage darüber getroffen werden, ob es keinen praktisch relevanten Unterschied gibt oder ob dieser nur nicht nachgewiesen werden kann. i Die p-Werte, die in den Beispielen der Kapitel 11 und 12 angegeben werz den, wurden mit Hilfe der Statistiksoftware SAS® ermittelt.

10.2.3 Die Manipulation des Testergebnisses In der Regel ist ein Forscher daran interessiert, ein signifikantes Ergebnis zu erhalten (dies lässt sich leichter publizieren als ein nichtsignifikantes). Um dies zu erreichen, ist einigen Leuten jedes Mittel recht. Einige dieser „Tricks“ werden hier aufgezählt (wobei ausdrücklich betont wird, dass sie nicht zur Nachahmung empfohlen werden).

x Auswahl des Tests. Bei vielen Fragestellungen kommen theore„ tisch mehrere Testmethoden mit jeweils unterschiedlichen Voraussetzungen in Frage. Die oben behandelte Frage, ob das mittlere Geburtsgewicht der 20 Babys mit dem Sollwert von 3.500 Gramm zu vereinbaren ist, könnte auch mit dem Wilcoxon-Test oder dem Vor› Abschnitte 11.2.1 und 11.3.1). Man zeichentest überprüft werden (z könnte nun alle in Frage kommenden Tests durchprobieren und sich dann denjenigen auswählen, dessen p-Wert am besten gefällt (irgendeine Begründung bezüglich der Voraussetzungen lässt sich sicherlich finden). Grundsätzlich sollte man sich jedoch von vornherein aufgrund der Datenlage für ein bestimmtes Testverfahren entscheiden und dessen Ergebnis dann akzeptieren. x 1- oder 2-seitiges Testen. Es mag verlockend sein, 1-seitig zu tes„ ten, nachdem man mit dem 2-seitigen Testen einen p-Wert zwischen 0,05 und 0,10 erhalten hat. Dabei halbiert sich der p-Wert, und aus einem nicht signifikanten Ergebnis wird ein signifikantes. Gegen eine 1-seitige Fragestellung ist nichts einzuwenden, falls sie sachlich begründet ist und falls die Richtung eines möglichen Unterschiedes vor der Datenerhebung festgelegt wird. Es ist aber höchst verwerflich, 1-seitig zu testen und die Richtung des Unterschieds erst festzulegen, nachdem die Daten vorliegen. Man testet 1-seitig, wenn man die Richtung eines eventuell vorhandenen Unterschiedes vorab kennt, oder wenn sich Konsequenzen nur bei einer bestimmten Abweichungsrichtung ergeben. Der Anwender sollte sich allerdings fragen, ob wirklich nur eine einzige Abweichungsrichtung interessant ist, oder ob er sich einen Unterschied in einer bestimmten

200

4

Kapitel 10 · Das Prinzip eines statistischen Tests

Richtung erhofft und deshalb einseitig testen möchte. Außerdem ist zu berücksichtigen, dass 1-seitige Tests empfindlicher auf eine Verletzung ihrer Voraussetzungen reagieren als 2-seitige. Weitere Kniffe, mit denen sich Daten „frisieren“ lassen und so zu sinnlosen oder irreführenden Ergebnissen führen, liest man auf unterhaltsame Weise in [3] und [6]. Man kann zwar mit derlei Tricks gewaltsam ein signifikantes Ergebnis herbeiführen und dieses mit etwas Glück sogar veröffentlichen. Die wissenschaftliche Arbeit ist damit aber wertlos. Fälschungen könnten bei späteren Verifikationen auffallen und sehr unangenehme Folgen für alle Beteiligten haben. Die beste Methode, zu einem signifikanten Testergebnis zu kommen und einen D-Fehler zu vermeiden, besteht immer noch darin, vor der Datenerhebung die Fragestellung theoretisch zu überdenken und inhaltlich abzusichern. 10.2.4 Die inhaltliche Interpretation

10

Viele Anwender unterliegen allzu menschlichen Schwächen und „über“interpretieren ein Testergebnis subjektiv nach ihren eigenen Vorstellungen. Dies möge an den Beispielen dieses Kapitels verdeutlicht werden. Das Ergebnis von Beispiel 10.1 erhärtet die These, dass das Geburtsgewicht der Risiko-Babys geringer ist als der allgemeine Durchschnitt. Das Ergebnis allein ist aber kein hieb- und stichfester Beweis (sondern lediglich ein Hinweis) für einen kausalen Zusammenhang. Um diese These zu erhärten, sind weitere Überlegungen fachlicher Art notwendig. › Seite 208) wird die Wirkung einer Diät an 10 In Beispiel 11.1 (z Probanden getestet; der Unterschied bezüglich des durchschnittlichen Körpergewichts vor und nach der Diät ist statistisch signifikant. Dies heißt jedoch keineswegs, dass sich das Körpergewicht allein wegen der Diät vermindert hat. Auch andere Ursachen sind in Betracht zu ziehen (möglicherweise haben die Probanden generell ihren Lebensstil oder ihre Einstellung zu ihrer Gesundheit verändert). › Seite 223) erhält man mit denselben Daten und In Beispiel 11.5 (z einem anderen Testverfahren kein signifikantes Ergebnis. Hier wäre es allzu leichtfertig, das Ergebnis dahingehend zu interpretieren, als habe die Diät keinen Einfluss auf das Gewicht. Das Ergebnis ist bedingt durch die geringe Power des Tests und den kleinen Stichprobenumfang.

201 10.2

10

Die Interpretation des Ergebnisses

› Seite 230) wurde durchgeführt, um heDer Test in Beispiel 12.1 (z rauszufinden, ob ein Zusammenhang zwischen Rauchen und Geschlecht besteht. Auch hier ist das Ergebnis „nicht signifikant“ mit Vorsicht zu interpretieren. Abgesehen vom nicht allzu großen Stichprobenumfang ist zu bedenken, dass die Beobachtungseinheiten Medizinstudenten sind. Auf andere Bevölkerungskreise ist das Ergebnis nicht übertragbar. Fazit dieser Überlegungen: Der Anwender eines statistischen Tests ist nicht nur für dessen korrekte Durchführung verantwortlich, sondern auch für die Interpretation des Ergebnisses. 10.2.5 Multiples Testenƒƒƒ Im klinischen Alltag wird häufig eine große Anzahl von Daten erhoben. Mit einer passenden Software und etwas EDV-Know-How stellen deren Analyse kein nennenswertes Problem dar. So ist man oft geneigt, einen Test nach dem anderen durchzuführen, in der Hoffnung, wenigstens ein einziges signifikantes Ergebnis zu erhalten. Aber: Bei mehrmaligem Testen steigt der D -Fehler enorm an. Bei einem einzelnen Test beträgt die Wahrscheinlichkeit, unter der Nullhypothese richtig zu entscheiden, 1  D ; bei 10 unabhängig durchgeführten Tests liegt diese Wahrscheinlichkeit nur noch bei (1  D )10 . Bei D 5% sind dies etwa 60% – das heißt, der gesamte Fehler 1. Art liegt bei 40%! Es lässt sich mathematisch nachweisen, dass bei k Tests auf dem D -Niveau der D -Fehler insgesamt etwa kD beträgt. Beim multiplen Testen wird häufig eine Korrektur benutzt. Nach der Bonferroni-Korrektur ist beispielsweise ein einzelnes Testergebnis erst dann signifikant, wenn der p-Wert kleiner als D/k ist. Der Nachteil dieses Verfahrens liegt allerdings darin, dass sich dadurch der ß-Fehler erhöht. Das Problem des multiplen Testens kann dadurch entschärft werden, dass man nicht wahllos jeden Test durchführt, der theoretisch denkbar ist, sondern dass man vorab die konkrete Fragestellung präzise formuliert und dann überlegt, welche Tests dem inhaltlichen Problem angemessen sind. Eventuell ist es sinnvoll, anstatt mehrerer einfacher Tests ein komplexeres Verfahren zu verwenden (so z. B. eine Varianzanalyse statt mehrerer t-Tests). Zum Schluss sei betont: Es ist selbstverständlich legitim, ein signifikantes Ergebnis anzustreben und dieses auch zu veröffentlichen. Dies sollte aber nicht durch Manipulation der Daten oder unsachgemäßer Handhabung der Verfahren geschehen, sondern aufgrund

202

Kapitel 10 · Das Prinzip eines statistischen Tests

einer ordentlichen Versuchsplanung. Die statistische Analyse ist dann nur noch das „Tüpfelchen auf dem i“.

10.3

4

10

Klassifikation der Testmethoden

Es gibt diverse Testverfahren für die unterschiedlichsten Fragestellungen. Diese lassen sich nach mehreren Aspekten einteilen:

x Nach der Anzahl der Stichproben. Es gibt 1-Stichprobentests, 2„ Stichproben- und Mehrstichprobentests. Bei den 1-Stichprobentests wird eine empirische Kenngröße (z. B. der Mittelwert einer Stichprobe) mit einem vorgegebenen Sollwert verglichen. Bei mehreren Stichproben werden deren Mittelwerte (oder andere Parameter) miteinander verglichen. x Nach der Art der Stichproben. Zwei oder mehrere Stichproben „ können verbunden oder unverbunden sein. Verbundene (oder abhängige) Stichproben haben immer denselben Umfang; zwei verbundene Stichproben werden auch paarig genannt. Jeder Wert der einen Stichprobe bildet mit einem Wert der anderen Stichprobe inhaltlich ein Paar. Verbundene Stichproben werden untersucht, wenn ein bestimmtes Merkmal im Laufe einer Therapie an Patienten zu mehreren Zeitpunkten erfasst wird. – Unverbundene (oder unabhängige) Stichproben sind bezüglich ihrer Beobachtungseinheiten unabhängig voneinander; ihre Umfänge können unterschiedlich sein. Solche Stichproben treten bei klinischen Studien auf, in denen zwei oder mehr Therapien an unterschiedlichen Patientengruppen verglichen werden. x Nach den Parametern oder Eigenschaften, die überprüft werden. „ Lagetests werden zur Prüfung von Lagemaßen verwendet. Ferner gibt es Homogenitätstests zum Vergleich zweier Stichproben bezüglich eines qualitativen Merkmals sowie Dispersions- und Assoziationstests (zur Prüfung von Streuungsmaßen bzw. Zusammenhängen) und Unabhängigkeitstests (um zu überprüfen, ob zwei Merkmale unabhängig voneinander sind). Mit einem Anpassungstest lässt sich eine empirische Verteilung mit einer theoretischen (z. B. Normalverteilung) vergleichen. x Nach der Verteilung oder Art der Prüfgrößen. Danach unter„ scheidet man u.a. t-Tests, Rangsummentests, Vorzeichentests, Chi2Tests und Binomialtests.

203

10

10.3 Klassifikation der Testmethoden

In diesem Buch werden Tests für eine oder zwei Stichproben behandelt, die sich zum Nachweis einfacher Zusammenhänge eignen. Diese Tests beinhalten das Basiswissen, das erforderlich ist, um komplexere Verfahren anwenden zu können. Dazu zählen Mehrstichprobentests oder multiple Methoden, die den Zusammenhang zwischen einer Zielgröße und mehreren Einflussgrößen untersuchen. Es würde den Rahmen dieses Buches sprengen, derlei Verfahren ausführlich zu behandeln. Eine Reihe von zahlreichen weiteren Tests mit ausführlichen Tabellen findet man in [4], [5], [11] und [12]. Für multiple Methoden empfehlen sich insbesondere [1] und [2]. Äquivalenztests werden in [13] behandelt.

204

Kapitel 10 · Das Prinzip eines statistischen Tests

Übersicht 8: In diesem Buch behandelte statistische Tests Anzahl und Art der Stichproben

Name des Tests

Art des Tests

t-Test Wilcoxon-Test Vorzeichentest

4

eine

zwei verbundene

Lagetest

X normalverteilt

11.1.1

Lagetest

X symmetrisch vert.

11.2.1

Lagetest

---

11.3.1

Binomialtest Vierfeldertest

Unabhängig2 Alternativmerkmale 12.2.1 keitstest

Chi2-Test für k ˜ A Felder

Unabhängigkeitstest

2 qualitative Merkmale

12.2.3

Fisher’s exakter UnabhängigTest keitstest

2 qualitative Merkmale

12.3

t-Test

Lagetest

Wilcoxon-Test

Lagetest

McNemar-Test

t-Test

zwei unverbundene

Abschn.

WahrscheinAlternativmerkmal lichkeitstest

Vorzeichentest

10

Voraussetzungen

Lagetest

normalverteilt Differenz X  Y symmetrisch verteilt ---

Homogeni1 Alternativmerkmal tätstest X und Y normalverteilt mit Lagetest gleicher Varianz

Welch-Test

Lagetest

U-Test

Lagetest

Median-Test

Lagetest

Vierfeldertest

Differenz X  Y

X und Y normalverteilt X und Y mit gleicher Verteilungsform

X und Y ordinal

Homogeni- 1 Alternativmerkmal tätstest (auch > 2 Stichpr.)

Chi2-Test

Homogenitätstest

Fisher’s exakter Test

Homogenitätstest

1 qualitatives Merkmal (auch > 2 Stichpr.) 1 qualitatives (auch > 2 Stichpr.)

12.1

11.1.2 11.2.2 11.3.2 12.2.5

11.1.3 11.1.4 11.2.3 12.2.2 12.2.1 12.2.3

12.3

11

Lagetests 11.1 t-Tests 207 11.1.1 Der t-Test für eine Stichprobe 207 11.1.2 Der t-Test für zwei verbundene Stichproben 207 11.1.3 Der t-Test für zwei unverbundene Stichproben 208 11.1.4 Der Welch-Test 210 11.1.5 Die Voraussetzungen der t-Lagetests 211 11.1.6 Der t-Test zur Prüfung eines Korrelationskoeffizienten 214

11.2 Rangsummentests 215 11.2.1 Der Wilcoxon-Test für eine Stichprobe 215 11.2.2 Der Wilcoxon-Test für zwei verbundene Stichproben 216 11.2.3 Der U-Test von Mann und Whitney 218 11.2.4 Vergleich zwischen Rangsummentests und t-Tests 220

11.3 Vorzeichentests 222 11.3.1 Der Vorzeichentest für eine Stichprobe 222 11.3.2 Der Vorzeichentest für zwei verbundene Stichproben 223 11.3.3 Vergleich mit anderen Lagetests 224

11.4 Komplexere Methoden 224

207 11.1

t-Tests

11.1

t-Tests

11

Diese Tests setzen theoretisch normalverteilte Grundgesamtheiten voraus. Man bezeichnet sie als parametrische Tests, da bei bekannter Verteilung der Zufallsvariablen nur noch bestimmte Parameter (z. B. Erwartungswerte) überprüft werden. 11.1.1 Der t-Test für eine Stichprobe Dieser Test vergleicht den Mittelwert x einer Stichprobe mit einem vorgegeben Sollwert P 0 . Er setzt voraus, dass

ŷ die Stichprobenwerte xi Realisationen einer normalverteilten Zufallsvariablen X ~ N (P, V 2 ) sind.

Dieser Test wurde ausführlich in Abschnitt 10.1 behandelt. Die Prüfgröße, nach der entschieden wird, berechnet sich nach (10.1) aufgrund des Mittelwerts und der Standardabweichung der Stichprobe als: t

x  P0 s/ n

11.1.2 Der t-Test für zwei verbundene Stichproben Dies ist ein Lagetest, der zur Überprüfung der Gleichheit von zwei Erwartungswerten herangezogen wird. Er setzt formell voraus:

ŷ Zwei verbundene Stichproben des Umfangs n mit Wertepaaren ŷ

( xi , yi ) , die aus Grundgesamtheiten mit den Erwartungswerten P1 und P 2 stammen; Differenzen d i xi  yi , die Realisationen einer normalverteilten Zufallsvariablen D mit dem Erwartungswert į (Delta) sind.

Die Hypothesen lauten bei 2-seitiger Fragestellung: H0 :

G

0

H1 :

Gz0

bzw. bei 1-seitiger Fragestellung: H1 :

G!0

(oder G  0 )

208

Kapitel 11 · Lagetests

Unter der Nullhypothese erwartet man für die Differenzen d i den Mittelwert d 0 . Die Prüfgröße berechnet sich analog zu (10.1) als d

t

sd / n

4

(11.1)

Dabei bezeichnet s d die empirische Standardabweichung der Differenzen d i . Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls t ! t n 1;1 D / 2 (bei 2-seitiger Fragestellung). Bei 1-seitiger Fragestellung wird die Nullhypothese abgelehnt, falls t ! tn 1;1D (für H 0 : G ! 0 ) bzw. falls t  tn 1;1D (für H 0 : G  0 ). Auch bei diesem Test ist es sinnvoll, ein Konfidenzintervall zu bestimmen, um die Größe des „wahren“ Unterschieds abzuschätzen. Beispiel 11.1 In Beispiel 11.3 sind die Körpergewichte von 10 Personen aufgelistet, die vor und nach einer Diät gemessen wurden. Die Mittelwerte sind 93,9 kg (vorher) und 91,2 kg (nachher). Die mittlere Differenz ist (2,68 ± 3,32) kg. Dies ergibt nach (11.1) eine Prüfgröße t 2,55 und p 0,0312 . Der Unterschied ist also signifikant auf dem Niveau D 0,05 . Das Konfidenzintervall für die Differenz ist: [0,302 ; 5,059]. Es könnte also sein, dass der durchschnittliche Unterschied mit 300 Gramm minimal ist; er könnte jedoch auch mehrere kg betragen. Das Testergebnis ist zwar signifikant – ein höherer Stichprobenumfang könnte aber zu einem kleineren Konfidenzintervall und einer genaueren Schätzung beitragen.

11

11.1.3 Der t-Test für zwei unverbundene Stichproben Die Prämissen dieses Tests sind folgende:

ŷ Es liegen zwei unverbundene Stichproben der Umfänge n1 und n2 vor;

ŷ die Daten beider Stichproben entstammen normalverteilten Grundgesamtheiten mit derselben Varianz, also X ~ N (P1, V 2 ) und Y ~ N (P 2 , V 2 ) .

Beide Verteilungen sollten also dieselbe Form haben und sich höchstens bezüglich ihrer Erwartungswerte unterscheiden. Die Nullhypothese lautet: H 0 : P1 P 2 . Die Prüfgröße ist:

11

209 11.1

t-Tests

t

xy

(11.2)

1 1 s  n1 n2

Da in diese Berechnung zwei unabhängige Mittelwerte einfließen, beträgt die Anzahl der Freiheitsgrade f n1  n2  2 . Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls t ! t f ;1D / 2 (bei 2-seitiger Fragestellung). Bei 1-seitiger Fragestellung ist t f ;1D bzw. t f ;1D der kritische Wert. Dabei ist s 2 die „mittlere“ Varianz, die sich aufgrund der Annahme gleicher Varianzen der Grundgesamtheiten durch einfache Mittelung aus den beiden empirischen Varianzen s12 und s 22 berechnen lässt: s2

( n1  1) s12  ( n2  1) s22 n1  n2  2

(11.3)

Die Grenzen des 2-seitigen Konfidenzintervalls sind: x  y r tn1  n2  2;1D / 2 ˜ s ˜

1 1  n1 n2

Mathematische Herleitung der Prüfgröße beim t-Test für 2 unverbundene Stichproben Die Prüfgröße beschreibt die Verteilung der Differenz X  Y , die aus den Mittelwerten der beiden Stichproben berechnet wird. Unter der Nullhypothese haben beide Mittelwerte denselben Erwartungswert; daher ist die Varianz der Differenz: Var ( X  Y )

Var X  Var Y

V2 V2  . n1 n2

Die unbekannte Varianz V 2 wird geschätzt durch das gewichtete Mittel der beiden Stichproben-Varianzen nach Formel (11.3). Wenn man diese Ausdrücke in (8.43) einsetzt, erhält man eine Prüfgröße nach (11.2).

Bei gleichen Stichprobenumfängen n obigen Formeln zu: t

xy s˜ 2/n

n1

n2 vereinfachen sich die

(11.4)

210

Kapitel 11 · Lagetests

s2

4

11

s12  s22 2

(11.5)

Beispiel 11.2 Für die Körpergrößen männlicher und weiblicher Studenten ergaben sich Mittelwerte von xm 182,3 cm bzw. xw 168,4 cm . Ist dieser Unterschied nur zufällig bedingt oder kann man ihn als signifikant werten? Mit den empirischen Standardabweichungen sm 7,22 cm bzw. sw 5,42 cm und den Stichprobenumfängen n1 28 und n2 54 berechnet man nach (11.3) für die mittlere Varianz: 27 ˜ 7,42 2  53 ˜ 5,42 2 cm 2 37,055 cm 2 s2 80 Daraus ergibt sich für die Prüfgröße nach (11.2): 182,3  168,4 13,9 9,805 t 37,055 37,055 1,418  28 54 Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt f 39  30  2 80 . Der kritische Wert t67;0,975 1,990 ist wesentlich kleiner als die Prüfgröße. Für den p-Wert gilt: p  0,0001 ; das Ergebnis ist also hoch signifikant. Für die Differenz der Mittelwerte ergibt sich folgendes Konfidenzintervall: [11,04 ; 16,68].

11.1.4 Der Welch-Test Der Welch-Test ist eine Alternative zum t-Test für zwei unverbundene Stichproben. Die Voraussetzungen sind dahingehend abgeschwächt, dass die Gleichheit der Varianzen der Grundgesamtheiten nicht vorausgesetzt wird. i Die Problematik, Mittelwerte zu vergleichen, ohne dass gleiche Varianzen z der Grundgesamtheiten vorausgesetzt werden, wurde von B. L. Welch im

Jahre 1937 beschrieben. Dieser Test ist auch unter dem Namen „t-Test nach Satterthwaite“ bekannt.

Die empirischen Stichprobenvarianzen s12 und s 22 sind Schätzwerte für die unterschiedlichen Varianzen der Grundgesamtheiten. Die Prüfgröße berechnet sich analog zu Formel (11.2) als: t

xy s12 s22  n1 n2

(11.6)

211 11.1

11

t-Tests

Die Anzahl der Freiheitsgrade ermittelt man nach: f

( s12 / n1  s22 / n2 ) 2 ( s12 / n1 ) 2 ( s22 / n2 ) 2  n1  1 n2  1

(11.7)

Meist wird sich mit dieser Formel keine ganze Zahl ergeben; in diesem Fall rundet man auf die nächst kleinere, ganze Zahl ab. In vielen Situationen stellt sich die Frage, ob der t-Test oder der Welch-Test geeigneter ist. Da beim Welch-Test weniger Voraussetzungen zu berücksichtigen sind, könnte man geneigt sein, diesen zu bevorzugen (wenn etwa die Varianzen der Grundgesamtheit unbekannt sind oder die Gleichheit aus anderen Gründen nicht angenommen werden kann). Doch Vorsicht: Wenn die Bedingungen des t-Tests erfüllt sind, hat der Welch-Test eine geringere Power. Dann kann es passieren, dass der t-Test ein Ergebnis zur Annahme der Alternativhypothese liefert, während der Welch-Test mit denselben Daten zur Beibehaltung der Nullhypothese führt. Außerdem sollte man sich Gedanken bezüglich der Interpretation des Testergebnisses machen. Beim Welch-Test werden ungleiche Varianzen und damit verschiedene Verteilungsformen angenommen. Ein Vergleich der dazugehörenden Erwartungswerte erinnert an den berühmten Vergleich zwischen Birnen und Äpfeln. Eine sinnvollere Strategie besteht in der Regel darin, Fragestellungen zu behandeln, bei denen man gleichförmige Verteilungen (mit annähernd gleichen Varianzen) voraussetzen darf und den Welch-Test nur in begründeten Ausnahmefällen zu verwenden. 11.1.5 Die Voraussetzungen der t-Lagetests

t-Lagetests sind im Allgemeinen recht beliebt. Deren Grundvoraussetzung – nämlich die Normalverteilung der Zufallsvariablen – wird dabei oft ignoriert. Leider sind jedoch viele Merkmale in der Medizin nicht normalverteilt; hin und wieder hat man es mit Merkmalen zu tun, deren Verteilung unbekannt ist. Wie lässt sich nun die Normalverteilung überprüfen? Streng genommen gar nicht – denn die Forderung nach Normalverteilung bezieht sich auf die Grundgesamtheit, und diese ist in der Regel nicht konkret gegeben. Man kann lediglich anhand der Stichprobe überprüfen, ob gewisse Argumente gegen die Normalverteilung sprechen.

212

4

11

Kapitel 11 · Lagetests

x Histogramm. Dieses informiert auf einen Blick, ob die Daten der „ Stichprobe symmetrisch oder eher schief verteilt sind. x Mittelwert und Median. Falls diese beiden Parameter stark „ voneinander abweichen, spricht dies für eine schiefe Verteilung. x Schiefe und Kurtosis. Beide Parameter müssten – falls die Daten „ normalverteilt sind – Werte um 0 annehmen. x Anpassungstest. Hin und wieder wird empfohlen, „zur Sicher„ heit“ die Normalverteilung mit einem Anpassungstest zu überprüfen. Der Nutzen dieses Vorgehens ist jedoch zweifelhaft. Wenn die mit einem Anpassungstest ermittelte Prüfgröße in den Annahmebereich fällt, ist damit die Normalverteilung keineswegs abgesichert, sondern lediglich nicht ausgeschlossen. Insbesondere bei kleinen Stichproben kann der ß-Fehler so groß sein, dass ein solches Ergebnis als Bestätigung für die Normalverteilung höchst unzuverlässig ist. Glücklicherweise ist der t-Test jedoch robust (unempfindlich) gegenüber Abweichungen von der Normalverteilung. Dies bedeutet: Trotz geringfügiger Verletzungen seiner Voraussetzungen bleiben die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen (also der D-Fehler und der E-Fehler) nahezu konstant. Folgendes ist zu beachten: x t-Test für eine Stichprobe. Bei Stichproben des Umfangs n t 10 „ genügt es, wenn die Daten annähernd symmetrisch verteilt sind. Falls n t 25 , kann man davon ausgehen, dass die Stichprobenmittelwerte nach dem zentralen Grenzwertsatz normalverteilt sind (auch wenn die Messwerte anders verteilt sind). Bei kleineren Stichproben sollte man allerdings, wenn keine Normalverteilung vorliegt, auf einen anderen Lagetest ausweichen – etwa auf den Wilcoxon-Test für eine Stichprobe (Abschnitt 11.2.1) oder den Vorzeichentest (Abschnitt 11.3.1). x t-Test für zwei verbundene Stichproben. Falls der Umfang „ n t 10 , ist es ausreichend, wenn die Differenzen d i annähernd symmetrisch verteilt sind. Diese Voraussetzung ist bereits erfüllt, wenn die Variablen X und Y ungefähr die gleiche Verteilungsform haben. Asymmetrien werden durch die Bildung der Differenz ausgeglichen. x t-Test für zwei unverbundene Stichproben. Dieser Test zum Ver„ gleich zweier Erwartungswerte ist außerordentlich beliebt, obwohl seine Voraussetzungen formal sehr streng sind. Manche Anwender umgehen dieses Problem, indem sie die einschränkenden Prämissen schlicht missachten. Andere treffen umfangreiche Vorarbeiten, ehe sie den t-Test durchführen, indem sie mit zwei „Vortests“ die Vor-

213 11.1

11

t-Tests

aussetzungen (Gleichheit der Varianzen und Normalverteilung) überprüfen. Dass mit einem Anpassungstest die Normalverteilung nicht nachzuweisen ist, wurde bereits oben erwähnt. Ähnlich verhält es sich mit dem F-Test, der üblicherweise zur Prüfung der Gleichheit zweier Varianzen herangezogen wird (dieser Test ist benannt nach Sir Ronald Fisher und basiert auf der in Abschnitt 8.5.3 genannten F-Verteilung). Bei kleinem Stichprobenumfang bedeutet die Beibehaltung der Nullhypothese mitnichten, dass die Varianzen übereinstimmen. Andererseits wird ein hoher Stichprobenumfang fast immer zur Ablehnung der Nullhypothese führen, da sich damit auch geringe Abweichungen der beiden Varianzen nachweisen lassen. Man sollte darauf achten, dass

ŷ beide Stichprobenumfänge mindestens 10 (bei nicht symmetrischen Verteilungen 20) betragen und ähnlich groß sind, und

ŷ die Zufallsvariablen X und Y ungefähr denselben Verteilungstyp

haben. Dies lässt sich über die empirischen Kenngrößen oder eine graphische Darstellung überprüfen.

Bei ungeplanten, wahllos durchgeführten Datensammlungen mag dies schwierig sein – ein sorgfältiges Studiendesign kann jedoch Einiges dazu beitragen, dass diese Voraussetzungen erfüllt sind. Was sollte man aber tun, wenn die Voraussetzungen nicht erfüllt sind? Hier bieten sich zwei Möglichkeiten an: ŷ Man kann versuchen, nicht normalverteilte Daten in geeigneter › Abschnitt 8.2.4, Seite 152 ff). Wenn Weise zu transformieren (z man rechtsschiefe Daten logarithmiert, schlägt man oft zwei Fliegen mit einer Klappe: Die transformierten Daten werden normalverteilt und die Varianzen annähernd gleich. ŷ Man kann auf einen Test mit schwächeren Voraussetzungen › Abschnitt 11.2.3). ausweichen (z. B. einen Rangsummentest, z Merke Um Unterschiede mit einem t-Test u. a. nachzuweisen, sind günstig: ŷ Ein hoher Stichprobenumfang, ŷ ein großer Unterschied zwischen den Erwartungswerten, ŷ eine geringe Streuung der Daten. Dies geht aus den Berechnungen der Prüfgrößen hervor (Formeln 10.1, 11.1 und 11.2). Je größer der Betrag von t, umso eher wird die Alternativhypothese angenommen.

214

Kapitel 11 · Lagetests

11.1.6 Der t-Test zur Prüfung eines Korrelationskoeffizienten Der t-Test ist keineswegs nur als Lagetest einsetzbar. Um zu testen, ob sich ein empirischer Korrelationskoeffizient nach Pearson signifikant von 0 unterscheidet, berechnet man die Prüfgröße: t

4

r 1 r2 n2

(11.8)

Dieses t hat n  2 Freiheitsgrade. Falls t ! tn 2;1D (bzw. t  tn  2;1D ), entscheidet man sich für die Alternativhypothese. Es mag außerdem sinnvoll sein, ein Konfidenzintervall für ein empirisch ermitteltes r anzugeben. Der p-Wert informiert lediglich darüber, ob sich r signifikant von 0 unterscheidet; das Konfidenzintervall gestattet eine › Abschnitt 9.4, Seite Abschätzung über den Größenbereich von r (z 185). Aus Gleichung (11.8) geht hervor: Je größer der Betrag des empirischen Korrelationskoeffizienten r und je größer der Stichprobenumfang n, desto größer wird die Prüfgröße t und desto eher wird die Alternativhypothese angenommen. Dieser Test hat formal sehr strenge Prämissen bezüglich der Merkmalsverteilungen:

ŷ Die Variablen X und Y müssen bivariat (also 2-dimensional) normalverteilt sein.

11

Weitere Voraussetzungen beziehen sich auf die Residuen, die zu einer bestimmten Ausprägung x j gehören. Dies hat folgenden Hintergrund: Wenn wir aus einer bivariaten Grundgesamtheit eine Stichprobe ziehen, können mehrere Beobachtungseinheiten dieselbe Ausprägung x j , aber unterschiedliche Ausprägungen yij mit dem Mittelwert y j haben. Dann muss gelten:

ŷ Die Residuen yij  y j müssen normalverteilt sein mit dem Erwartungswert 0.

ŷ Die Varianzen der zu den einzelnen x j -Werten gehörenden Residuen müssen homogen sein (diese Eigenschaft bezeichnet man als Homoskedastizität). ŷ Die Residuen müssen unabhängig voneinander und unabhängig von den x j -Werten sein. Diese Voraussetzungen werden in der Praxis eher selten überprüft. Dies lässt sich mit Monte-Carlo-Studien rechtfertigen, nach denen geringfügige Verletzungen dieser Prämissen tolerierbar sind. Der t-

215

11

11.2 Rangsummentests

Test ist also auch in diesem Fall robust. Dennoch sollte man zumindest überprüfen, ob das x- und das y-Merkmal – jeweils für sich allein betrachtet – normalverteilt ist. Bei großen Stichprobenumfängen ist es außerdem sinnvoll, die Residuen zu kontrollieren. Dazu trägt man in einem Koordinatensystem die Residuen gegen die Werte des x-Merkmals auf. Wenn bei dieser Darstellung Muster erkennbar sind, ist dies ein Hinweis darauf, dass die Voraussetzungen bezüglich der Residuen nicht erfüllt sind. – Eine weitere Anwendung des t-Tests liegt in der Prüfung der Regressionsparameter bei › einer Regressionsanalyse oder im Allgemeinen Linearen Modell (z Abschnitt 11.4).

11.2

Rangsummentests

Diese Tests werden alternativ zu den t-Lageests verwendet, Sie haben weniger strenge Voraussetzungen: Es handelt sich um verteilungsfreie (oder nicht-parametrische) Tests, die keine bestimmte Verteilungsform voraussetzen. Die Prüfgrößen werden nicht aus den Original-Messwerten, sondern aus deren Rangzahlen berechnet. Daher lassen sich diese Tests unter Umständen auch für ordinal-skalierte Merkmale verwenden. Sie basieren auf einer Methode des Mathematikers Frank Wilcoxon (1892-1965). 11.2.1 Der Wilcoxon-Test für eine Stichprobe Dieser Test überprüft, ob und in welchem Maße die Werte einer ~ abweichen. Die Stichprobe von einem vorgegebenen Sollwert P 0 Nullhypothese lautet: H0 :

~ P

~ P 0

~ der Median, der zur Stichprobe gehört. Die TestDabei ist P durchführung lässt sich wie folgt beschreiben:

ŷ Zunächst wird für jeden Stichprobenwert die Differenz zum Sollwert berechnet.

ŷ Danach werden diese Differenzen (ungeachtet ihres Vorzei-

chens) nach ihrer Reihenfolge sortiert. Differenzen des Wertes 0 werden nicht berücksichtigt. ŷ Dann werden für die Werte, die kleiner sind als der Sollwert, die Ränge aufaddiert. Ebenso verfährt man mit den Rängen der

216

4

Kapitel 11 · Lagetests

Werte, die größer sind als der Sollwert. Diese beiden Rangsummen bezeichnet man mit R  bzw. R  . ŷ Als Prüfgröße nimmt man die kleinere der beiden Rangsummen. ŷ In Tabelle C (z› Anhang) findet man kritische Werte in Abhängigkeit vom Stichprobenumfang n und der Irrtumswahrscheinlichkeit D. Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls die Prüfgröße gleich oder kleiner ist als der kritische Wert. Einfacher ist es natürlich, sich einen p-Wert berechnen zu lassen. Für Stichprobenumfänge mit n ! 25 ist die Prüfgröße approximativ normalverteilt mit dem Erwartungswert n(n  1) / 4 und der Varianz n(n  1)(2n  1) / 24 . Durch Transformation der Prüfgröße in den standardnormal-verteilten Wert lässt sich dann abschätzen, ob das Ergebnis signifikant ist. Der Wertebereich der Prüfgröße erstreckt sich zwischen 0 und n(n  1) / 4 . Der Extremfall 0 besagt, dass sich die beiden Rangsummen maximal unterscheiden. Alle Stichprobenwerte sind dann kleiner (oder alle größer) als der Sollwert. – Unter der Nullhypothese erwartet man gleich große Rangsummen der Größe n(n  1) / 4 . Bei diesem Test weisen also (anders als beim t-Test) kleine Prüfgrößen auf große Unterschiede hin. – Wenn zwei oder mehr identische Differenzbeträge auftreten, spricht man von verbundenen Rängen. In diesem Fall ordnet man jedem der beiden Werte die mittlere › Rangzahl zu, die sich aus den jeweiligen Einzelrängen ergibt (z Beispiel 11.3).

11

x Zu den Voraussetzungen. Dieser Test setzt zwar keine „ Normalverteilung voraus, wohl aber eine symmetrische Verteilung (was allerdings im 1-Stichproben-Fall keine allzu große Einschränkung bedeutet). 11.2.2 Der Wilcoxon-Test für zwei verbundene Stichproben Dieser Test ist das Pendant zum t-Test für zwei verbundene Stichproben mit jeweils dem Umfang n. Es werden die beiden Mediane verglichen; die Nullhypothese lautet: ~ H0 : P 1

~ P 2

Das Testverfahren funktioniert ähnlich wie beim 1-Stichprobentest:

11

217 11.2 Rangsummentests

ŷ Für jedes Merkmalspaar aus den beiden Stichproben werden die ŷ ŷ ŷ ŷ

Differenzen d i x i  y i gebildet. Der Test verlangt, dass diese Differenzen symmetrisch verteilt sind. Differenzen, die gleich 0 sind, werden eliminiert. Dadurch verringert sich gegebenenfalls der Stichprobenumfang. Die Werte d i werden nach der Größe ihres Betrags in aufsteigender Reihenfolge sortiert und mit Rangnummern versehen. Dann addiert man getrennt die Rangzahlen der positiven und die der negativen Differenzen. Die kleinere Summe ist die Prüfgröße. Die kritischen Werte fin› Anhang); für n ! 25 ist die Prüfgröße det man in Tabelle C (z normalverteilt mit dem Erwartungswert n(n  1) / 4 und der Varianz n(n  1)(2n  1) / 24 .

Beispiel 11.3 Zehn Personen nehmen sechs Monate lang eine Diät zu sich. Die Werte bezüglich des Körpergewichts vor und nach der Diät sind in der folgenden Tabelle wiedergegeben. Mit dem Wilcoxon-Test für zwei verbundene Stichproben soll überprüft werden, ob sich das durchschnittliche Gewicht geändert hat. Die Gewichte vor und nach der Diät der i-ten Beobachtungseinheit seien xi bzw. yi (in kg). i

xi

yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

86,2 92,7 102,1 85,9 96,3 90,2 87,5 98,0 110,2 89,9

83,4 85,8 98,3 83,6 91,1 92,7 88,6 98,7 102,9 87,1

di

xi  y i

2,8 6,9 3,8 2,3 5,2 -2,5 -1,1 -0,7 7,3 2,8

Rang für di ! 0

Rang für di  0

5,5 9 7 3 8 4 2 1 10 5,5 R

R

48 



7

Zur Rechenkontrolle bildet man die Summe aus R und R ; sie ergibt 55. Dies stimmt überein mit der Summe der Zahlen 1 bis 10, die sich berechnet als 10 ˜11 / 2 55 . Weil die Differenzbeträge der Beobachtungseinheiten 1 und 10 übereinstimmen, werden verbundene Ränge zugewiesen. – Die Prüfgröße ist R 7 . Für D 5% und n 10 ermittelt man als kritischen Punkt (bei 2seitiger Fragestellung) den Wert 8. Da R kleiner ist als 8, wird die Alternativhypothese angenommen.

218

Kapitel 11 · Lagetests

Wie beim Wilcoxon-Test für eine Stichprobe, schwankt auch dieses R zwischen 0 und n( n  1) / 4 . R n(n  1) / 4 entsteht, wenn sich die Ränge vollkommen gleichmäßig zwischen den beiden Stichproben aufteilen. R 0 bedeutet, dass alle Werte der einen Stichprobe kleiner sind als sämtliche Werte der anderen.

4

x Zu den Voraussetzungen. Diese sind bei vielen praktischen An„ wendungen annähernd erfüllt. Bei zwei verbundenen Stichproben kann man nämlich oft davon ausgehen, dass die beiden Zufallsvariablen X und Y annähernd die gleiche Verteilungsform aufweisen. Dann sind auch die Differenzen d i symmetrisch verteilt. Falls mehrere Differenzen in ihrem Betrag übereinstimmen, bildet man (wie bereits oben beschrieben) verbundene Ränge. 11.2.3 Der U-Test von Mann und Whitney Dieser Test stellt eine Alternative zum t-Test für zwei unverbundene Stichproben dar. Dabei werden zwei Mediane miteinander ver~ P ~ . Die Stichproglichen; die Nullhypothese lautet: H 0 : P 1 2 benumfänge seien n1 und n2 ; sie müssen nicht gleich sein. Der U-Test verlangt Zufallsvariable X und Y, die etwa die gleiche Verteilungsform haben. Symmetrie oder gar Normalverteilung werden nicht vorausgesetzt. Insofern basiert dieser Test auf wesentlich schwächeren Voraussetzungen als der t-Test. Er wird folgendermaßen durchgeführt:

11

ŷ Alle Werte aus beiden Stichproben werden in aufsteigender Reihenfolge sortiert und mit Rangnummern versehen.

ŷ Danach addiert man für jede der beiden Stichproben die entsprechenden Rangzahlen und bezeichnet die Summen als R1 bzw. R2 . Daraus berechnet man: U1 U2

n1 (n1  1)  R1 2 n (n  1) n1 ˜ n2  2 2  R2 2

n1 ˜ n2 

(11.9)

ŷ Es lässt sich nachweisen, dass gilt: U1  U 2 n1 ˜ n2 . ŷ Die Testgröße wird berechnet als U min(U1 ,U 2 ) . ŷ Wenn U kleiner ist als der kritische Wert oder gleich diesem › Tabelle D, Anhang), wird die Nullhypothese abgelehnt. (z

11

219 11.2 Rangsummentests

Für größere Stichproben (mindestens 10 pro Gruppe) ist die Prüfgröße normalverteilt mit dem Erwartungswert n1 ( n1  n2  1) / 2 und der Varianz n1 n2 / 6 (wobei n1 den kleineren Umfang bezeichnet). Die Prüfgröße U erstreckt sich zwischen 0 und n1 ˜ n2 / 2 . Je näher U bei 0 liegt, umso mehr unterscheiden sich die beiden Stichproben und umso eher wird die Alternativhypothese angenommen. Verbundene Ränge sind unproblematisch, wenn sie innerhalb einer Stichprobe auftreten. Die Anzahl der verbundenen Ränge, die beide Stichproben betreffen, sollte ein gewisses Maß (höchstens 20%) nicht überschreiten. Sie lassen sich bei einer hohen Messgenauigkeit vermeiden. i In manchen Publikationen wird dieser Test „Wilcoxon-test for 2 samples“ gez

nannt. Wilcoxon und die Autoren Mann und Whitney haben ihre Tests nahezu zeitgleich veröffentlicht. Formal handelt es sich um dasselbe Verfahren. Beispiel 11.4 Es soll nachgewiesen werden, dass männliche Studenten im Durchschnitt ein höheres Körpergewicht haben als weibliche. Dazu werden 12 Studenten und 10 Studentinnen aus dem in Tabelle 2.1 auflisteten Personenkreis zufällig ausgewählt. Da man beim Merkmal „Körpergewicht“ nicht unbedingt von einer Normalverteilung ausgehen kann, benutzt man den U-Test. Die Werte und Ränge der Daten sind in der folgenden Tabelle aufgelistet: Stichprobe 1 (Männer, n1 10 ) Stichprobe 2 (Frauen, n2 12 ) Gewicht xi

Rang

Gewicht y j

Rang

60 70 73 74 78 82 83 85 90 95

7,5 11 13 14 16 18 19 20 21 22

50 52 55 57 58 58 60 63 67 71 75 79

1 2 3 4 5,5 5,5 7,5 9 10 12 15 17 R2 91,5

R1

161,5

Mit (11.9) ergibt sich: U1 13,5 und U 2 106,5 . Also ist U 13,5 . Aus Tabelle D entnimmt man für den kritischen Wert 29 (2-seitiger Test, D 5% ). Da die Prüfgröße wesentlich kleiner ist, ist der Unterschied abgesichert. Der p-Wert beträgt 0,00244. Wenn man mit den selben Daten einen t-Test durchführt, ergibt sich ein etwas kleineres p von 0,0006.

220

Kapitel 11 · Lagetests

Mathematische Herleitung der Prüfgröße U Zunächst berechnen wir die Summe der Prüfgrößen. Aus (11.9) folgt: n (n  1)  n2 (n2  1) U1  U 2 2n1n2  1 1  ( R1  R2 ) 2 Da die Summe der Rangzahlen R1 und R2 der Summe aller Zahlen von 1 bis (n1  n2 )(n1  n2  1) . Wenn man diesen 2 Ausdruck in die obige Formel einsetzt, erhält man U1  U 2 n1 ˜ n2 . n1  n2 entspricht, gilt: R1  R2

4

Welche Werte können U 1 und U 2 annehmen? Wir gehen zunächst von folgendem Extremfall aus: Jedes Element xi der 1. Stichprobe ist kleiner als jedes Element y j der 2. Stichprobe. In diesem Fall unterscheiden sich die Stichproben maximal. Dann haben die xi die Ränge 1 bis n1 und die y j die Ränge n1  1 bis n1  n2 . Es gilt also: R1 n1 ˜ (n1  1) / 2 und damit nach (11.9): U1 n1 ˜ n2 , U 2 0 und U min(U1,U 2 ) 0 . Wenn die Ränge in den beiden Stichproben gleich verteilt sind, verhalten sich die Rangsummen wie die Stichprobenumfänge, also n1 / n2 R1 / R2 . In diesem Fall ist U U1 U 2 n1 ˜ n2 / 2 .

11.2.4 Vergleich zwischen Rangsummentests und t-Tests

11

Die Rangsummentests haben schwächere Voraussetzungen als die tTests und damit ein breiteres Anwendungsspektrum. Die Ränge haben nämlich die günstige Eigenschaft, dass sie von Datenmanipulationen unberührt bleiben, solange dabei die Reihenfolge der Daten nicht verändert wird. Deshalb eignen sich auch Daten, die nur als Prozentangaben vorliegen, für Rangsummentests. Unter Umständen können derlei Tests auch für metrisch-diskrete und für ordinal-skalierte Merkmale verwendet werden. Allerdings sollte man nicht vollkommen bedenkenlos einen Rangsummentest anstelle eines t-Tests bevorzugen. t-Tests sind außerordentlich beliebt, und zwar aus mehreren Gründen:

ŷ Der t-Test nutzt im Gegensatz zu einem Rangsummentest alle Informationen der Daten aus.

ŷ Basierend auf der t-Verteilung lassen sich nicht nur p-Werte

ermitteln, sondern auch Konfidenzintervalle berechnen. Diese sind sehr hilfreich, um die Größe eines Unterschiedes zu beurteilen. Bei den Rangsummentests ist die Berechnung eines Konfidenzintervalls nicht ohne weiteres möglich. ŷ Ein Rangsummentest legt zugrunde, dass je zwei benachbarte Ausprägungen äquidistant sind. Das kann aber bei Messwerten nicht unbedingt angenommen werden.

221

11

11.2 Rangsummentests

Grundsätzlich gilt: Wenn Scores mit äquidistanten Werten 0, 1, 2 etc. zu analysieren sind, eignet sich ein Rangsummentest besser als ein t-Test. Wenn dagegen bei Messwerten berechtigter Grund zur Annahme besteht, dass die Daten einer Normalverteilung entstammen, sollte man einen t-Test verwenden. Zwar sind auch Rangsummentests bei normalverteilten Daten durchaus legitim. Das Problem ist folgendes: Wenn man einen Rangsummentest verwendet (obwohl die Voraussetzungen des tTests erfüllt sind), bedeutet dies eine Verminderung der Power 1  E . So kann es vorkommen, dass man mit dem t-Test ein statistisch signifikantes Ergebnis erhält, während der entsprechende Rangsummentest mit denselben Daten zur Beibehaltung der Nullhypothese führt. Dies ist höchst ärgerlich für einen Forscher, der ja in der Regel etwas Neues etablieren und deshalb die Alternativhypothese absichern will. Einen Test, der zur Beibehaltung der Nullhypothese tendiert, nennt man konservativ. Wenn man dagegen einen Test anwendet, obwohl seine Voraussetzungen nicht erfüllt sind, nimmt man eventuell eine Erhöhung des D-Fehlers in Kauf. Das bedeutet: Der Test lässt mehr Ergebnisse signifikant werden, als dem festgelegten D-Niveau entspricht. Ein solches Testverhalten heißt progressiv. Ein signifikantes Ergebnis ist zwar meist erwünscht – es könnte aber peinlich werden, wenn sich herausstellt, dass der vermeintliche Unterschied mit einer wissenschaftlich unsauberen Methode gewaltsam herbeigeführt wurde. Die Auswahl eines geeigneten Tests muss also sehr differenziert erfolgen. Hierzu einige Anmerkungen: x 1-Stichproben-Tests. Sie sind generell mit Vorsicht zu handha„ ben. Perfekt symmetrische Verteilungen (oder gar Normalverteilungen) gibt es in der Natur eigentlich nicht. Bei einem Stichprobenumfang von weniger als 10 sollte man – wenn man sich der Normalverteilung nicht sicher ist – den Wilcoxon-Test bevorzugen. x Tests für zwei verbundene Stichproben. Hier müssen nur die Dif„ ferenzen symmetrisch verteilt sind. Diese Einschränkung ist nicht allzu stark. Bei sorgfältig geplanten Studien kann man zugrunde legen, dass die beiden Verteilungen bezüglich ihrer Form ähnlich sind. Dann sind auch die Differenzen symmetrisch. Falls der Stichprobenumfang 10 übersteigt, kann man den t-Test benutzen – er ist dann robust gegenüber Verletzungen seiner Voraussetzungen. Für nicht symmetrische Verteilungen empfiehlt sich der Vorzeichentest › Abschnitt 11.3.2). (z

222

Kapitel 11 · Lagetests

x Tests für zwei unverbundene Stichproben. Die Bedingungen des „ U-Tests sind im Vergleich zu denen des t-Tests schwach. Über den speziellen Verteilungstyp werden beim U-Test keine Angaben gemacht, während der t-Test Normalverteilung voraussetzt. Deshalb bietet der U-Test eine sinnvolle Alternative, wenn die Prämissen des t-Tests nicht erfüllt sind. Ein weiterer Test für zwei unverbundene › Abschnitt 12.2.2). Stichproben ist der Median-Test (z

4

! Der t-Test liefert nicht generell einen kleineren p-Wert als ein Rangsummenz

test. Wenn Messwerte sehr nahe beieinander liegen, wird durch die Ränge der Wertebereich weit auseinander gezogen, sodass die Ränge Unterschiede deutlicher werden lassen als die Origninal-Messwerte.

11.3

Vorzeichentests

11.3.1 Der Vorzeichentest für eine Stichprobe Die Nullhypothese ist dieselbe wie beim Wilcoxon-Test: Es wird untersucht, ob der Median einer Stichprobe mit einem vorgegebenen Sollwert vereinbar ist. Das Testverfahren ist einfach:

ŷ Man beurteilt jeden Stichprobenwert danach, ob er größer oder

11

kleiner als der Sollwert ist und ordnet ihm dementsprechend ein positives oder ein negatives Vorzeichen zu. ŷ Werte, die mit dem Sollwert identisch sind, werden eliminiert. ŷ Man zählt die Anzahl der positiven und der negativen Vorzeichen; die kleinere Zahl ist die Prüfgröße. Falls die Nullhypothese zutrifft, erwartet man, dass die Anzahl der positiven und die der negativen Vorzeichen übereinstimmen. ŷ Die Testentscheidung trifft man nach einem Vergleich mit dem kritischen Wert in Tabelle F im Anhang. Die Bezeichnung Vorzeichentest ist darauf zurückzuführen, dass in die Berechnung der Prüfgröße nur die Vorzeichen der Differenzen einfließen. Es wird also nur die Richtung der Abweichungen vom Sollwert (nicht deren Betrag oder Rang wie beim t- bzw. WilcoxonTest) berücksichtigt. Die Prüfgröße ist unter der Nullhypothese binomialverteilt mit dem Erwartungswert n ˜ 0,5 . Schranken für den Annahmebereich findet man in Tabelle F. Notfalls kann man mit einem Taschenrechner bei kleinen Stichprobenumfängen den Annahmebereich ermitteln über (7.20):

223

11

11.3 Vorzeichentests

P( X

k)

§n· ¨¨ ¸¸ ˜ 0,5 n ©k ¹

11.3.2 Der Vorzeichentest für zwei verbundene Stichproben Auch bei diesem Test ist die Nullhypothese dieselbe wie beim Wilcoxon-Test. Dabei wird lediglich vorausgesetzt, dass die Zufallsvariablen X und Y der beiden Stichproben in irgendeiner Weise vergleichbar sind (etwa: Der Zustand nach der Therapie ist besser als vor der Therapie), sodass jedem Beobachtungspaar ein positives oder ein negatives Vorzeichen zugeordnet werden kann. Die Nullhypothese lautet: P( X  Y )

P( X ! Y )

0,5

Unter der Nullhypothese müssten also etwa gleich viele Beobachtungspaare ein negatives bzw. ein positives Vorzeichen erhalten. – Das Testverfahren ist ähnlich wie beim Vorzeichentest für eine Stichprobe:

ŷ Man bildet für jedes Beobachtungspaar die Differenz

d i xi  yi . ŷ Differenzen mit dem Wert 0 werden nicht berücksichtigt. ŷ Man zählt die Anzahl der positiven Vorzeichen; diese Zahl ist die Prüfgröße. ŷ Die Testentscheidung trifft man nach einem Vergleich mit den kritischen Werten in Tabelle F. Beispiel 11.5 In den Beispielen 11.1 und 11.3 wurde das Körpergewicht von n 10 Personen vor und nach einer Diät miteinander verglichen. Mit dem t-Test und dem Wilcoxon-Test für zwei verbundene Stichproben ergaben sich signifikantes Testergebnisse. Wenn wir den Vorzeichentest anwenden, findet man mit Hilfe der Tabelle F als Annahmebereich das Intervall zwischen den Zahlen 2 und 8. Die Prüfgröße k 3 (es gibt 3 negative Vorzeichen bei den Differenzen) liegt also innerhalb des Annahmebereichs; demnach muss die Nullhypothese beibehalten werden.

Die Prüfgröße ist unter der Nullhypothese binomialverteilt; bei größeren Stichprobenumfängen ( n t 36 ) lässt sich diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert

224

Kapitel 11 · Lagetests

n ˜ 0,5 und der Varianz n ˜ 0, 25 approximieren. Die Schranken für den Annahmebereich sind dann: 0,5 ˜ n r (1,96 0, 25 ˜ n  0,5)

11.3.3 Vergleich mit anderen Lagetests

4

Ein Vorzeichentest beinhaltet quasi keine Voraussetzungen. Allerdings nutzt er bei weitem nicht alle Informationen der Stichprobendaten aus. Aus diesem Grund hat der Vorzeichentest eine wesentlich geringere Power als der entsprechende t-Test oder Rangsummentest. Wegen seiner Rechenökonomie findet er häufig als „Schnelltest“ Verwendung. Ein Wissenschaftler, dem es ja meist darum geht, die Alternativhypothese abzusichern, sollte den Vorzeichentest meiden und statt dessen – sofern die Voraussetzungen erfüllt sind – den passenden t-Test oder Wilcoxon-Test anwenden. ! Für einen Lagetest bei zwei unverbundenen Stichproben eignet sich auch z

› Abschnitt der Median-Test, der auf der Chi2-Verteilung basiert (z 12.2.2).

11.4

11

Komplexere Methoden

Die t-Lagetests und die Rangsummentests sind auf eine oder zwei Stichproben beschränkt. Die Varianzanalysen sind wesentlich flexibler und vielseitiger:

x 1-faktorielle Varianzanalyse. Dies ist eine Erweiterung des t„ Tests, wenn mehr als zwei unverbundene Stichproben vorliegen. Dieses Verfahren bietet sich beispielsweise an, wenn zu überprüfen ist, ob sich drei oder mehr Therapien bezüglich einer quantitativen Zielgröße unterscheiden. x 2- oder mehrfaktorielle Varianzanalyse. Möglicherweise hängt „ die Zielgröße nicht nur von einer Gruppierungsvariablen (z. B. der Therapieform), sondern darüber hinaus von weiteren qualitativen Faktoren (Geschlecht, Diagnose, Schweregrad der Krankheit etc.) ab. Für derlei Fragestellungen eignen sich mehrfaktorielle Varianzanalysen.

225

11

11.4 Komplexere Methoden

x Multiple Regressionsanalyse. Diese Methode wird verwendet, „ wenn die quantitative Zielgröße von mehreren quantitativen Einflussgrößen bestimmt wird. x Allgemeines lineares Modell. Damit ist es möglich, den Einfluss „ mehrerer Faktoren, die sowohl quantitativ als auch qualitativ sein können, zu untersuchen. Dies ist also eine Kombination aus Varianzund Regressionsanalyse. Am Ende wird eine lineare Gleichung erstellt, mit der ein Wert für die Zielgröße in Abhängigkeit der signifikanten Einflussfaktoren geschätzt werden kann. x Varianzanalyse mit Messwiederholungen. Während der t-Test „ für zwei verbundene Stichproben geeignet ist für Vorher-NachherVergleiche, können mit der Varianzanalyse für Messwiederholungen mehr als zwei Zeitpunkte miteinander verglichen werden. Es ist auch möglich, mehrere Gruppierungs- und Messwiederholungsfaktoren zu berücksichtigen. i Der Begriff „Varianzanalyse“ ist darauf zurückzuführen, dass analysiert wird, z

welcher Anteil der Varianz der Zielgröße durch das Modell erklärt wird. › AbDieser Anteil wird durch das bereits erwähnte Bestimmtheitsmaß r 2 (z schnitt 5.3.2, Seite 92) quantifiziert. Es dient dazu, die Güte eines solchen Modells zu beurteilen. – All diese Verfahren setzen u. a. normalverteilte Grundgesamtheiten voraus.

x Kruskal-Wallis-Test. Dies ist eine Erweiterung des U-Tests von „ Mann und Whitney für mehr als zwei Stichproben. x Friedman-Test. Auch dieser Test basiert auf der Analyse von „ Rangsummen. Er wird anstelle des Wilcoxon-Tests verwendet, wenn mehr als zwei verbundene Stichproben vorliegen. Der Kruskal-Wallis-Test und der Friedman-Test setzen keine besondere Verteilungsform voraus. Allerdings sind die Anwendungsmöglichkeiten der varianzanalytischen Methoden wesentlich vielseitiger als die der Rangsummentests. Es sei hinzugefügt, dass die technische Anwendung dieser Verfahren mit einer geeigneten Software (z. B. mit SAS) kein nennenswertes Problem darstellt. Dennoch sollte der Anwender dieser Methoden über den mathematischen Hintergrund und auch über deren Grenzen zumindest in Grundzügen Bescheid wissen, um sie sinnvoll anzuwenden und die Ergebnisse interpretieren zu können. Wer sich dafür interessiert, möge auf geeignete Literatur zurückgreifen ([2] oder [4]).

12

Tests zum Vergleich von Häufigkeiten 12.1 Der Binomialtest für eine Stichprobe 229 12.2 Chi2-Tests 231 2

12.2.1 Der Chi -Vierfelder-Test 231 12.2.2 Der Median-Test 235 12.2.3 Der Chi2-Test für k ˜ A Felder 236 12.2.4 Zusammenhangsmaße für qualitative Merkmale 237 12.2.5 Der McNemar-Test 238 12.2.6 Weitere Varianten des Chi2-Tests 240

12.3 Der exakte Test nach Fisher 241 12.4 Die logistische Regression 243

229

12

12.1 Der Binomialtest für eine Stichprobe

12.1

Der Binomialtest für eine Stichprobe

Die Geschichte dieses Tests begann in den Jahren 1710-1712, als der englische Wissenschaftler John Arbuthnot beim Studium von Kirchenbüchern feststellte, dass bei 82 Jahrgängen Knabengeburten häufiger eingetragen waren als Mädchengeburten. Aufgrund des hohen Stichprobenumfangs kann er zu dem Schluss: Das kann kein Zufall sein! Der Binomialtest ist die geeignete Methode, um eine solche Vermutung objektiv zu überprüfen. Arbuthnot hätte dazu folgende Hypothesen aufstellen müssen: H0 : H1 :

Die Wahrscheinlichkeit p für eine Knabengeburt ist gleich der Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt, oder formal: p 1 / 2 Die Wahrscheinlichkeiten sind unterschiedlich; es gilt also: p z 1/ 2 .

Ein Binomialtest basiert auf sehr einfachen Annahmen:

ŷ Es liegt eine Stichprobe mit n Beobachtungseinheiten vor; ŷ die Stichprobenwerte sind Ausprägungen eines Alternativmerkmals.

Der Test überprüft, ob die relative Häufigkeit der Ausprägung A mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit p0 vereinbar ist. Die Hypothesen lauten also: H0 : H1 :

p p0 p z p0

(bei 2-seitiger Fragestellung)

Zur Testentscheidung gelangt man folgendermaßen:

ŷ Zunächst werden in der Stichprobe die Beobachtungseinheiten

mit der Ausprägung A gezählt. Diese Anzahl sei k; sie fungiert als Prüfgröße. Die relative Häufigkeit k / n ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit p der Grundgesamtheit. ŷ Danach wird der Annahmebereich ermittelt. Falls die Prüfgröße innerhalb dieses Bereichs liegt, wird die Nullhypothese beibehalten, ansonsten wird sie abgelehnt. Das Testverfahren basiert auf der Tatsache, dass unter der Nullhypothese die Prüfgröße binomialverteilt ist mit dem Erwartungswert

230

Kapitel 12 · Tests zum Vergleich von Häufigkeiten

› np0 . Damit lässt sich für jedes Ereignis X k nach Formel (7.16) (z Seite 131) die dazugehörende Wahrscheinlichkeit berechnen: P( X

4

k)

§n· k ¨¨ ¸¸ ˜ p0 ˜ (1  p0 ) n k ©k ¹

Mit diesen Wahrscheinlichkeiten kann man dann einen Bereich bestimmen, in den die Prüfgröße mit einer Wahrscheinlichkeit von 1  D 95% bei Gültigkeit der Nullhypothese fallen würde. Bei einem nicht allzu hohen Stichprobenumfang genügt dazu ein Taschenrechner. Falls n hinreichend groß ist mit np0 (1  p0 ) t 9 , lässt sich die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert np0 und der Varianz np0 (1  p0 ) approximieren. Damit erhält man für die Grenzen des Annahmebereichs für H0 ( D 5% ): np0 r (1,96 np0 (1  p0 )  0,5)

(12.1)

Die Zahl 1,96 in Formel (12.1) entspricht dem Quantil z1D / 2 der Standardnormalverteilung. Bei einer anderen Irrtumswahrscheinlichkeit ist dieser Wert entsprechend anzupassen; bei einseitiger Fra› Tabelle A, Anhang). gestellung ist er durch z1D zu ersetzen (z Durch die Stetigkeitskorrektur von 0,5 wird der Annahmebereich erweitert. – Der Binomialtest ist als 1-Stichprobentest äußerst vielseitig anwendbar: Durch Reduktion des Skalenniveaus lässt sich nämlich jedes Merkmal als ein Alternativmerkmal auffassen.

12

Beispiel 12.1 Von n 82 Studenten sind k 54 weiblichen Geschlechts. Ist diese Häufigkeit vereinbar mit der Hypothese, dass unter den Medizinstudenten Männer und Frauen gleich verteilt sind? Die Nullhypothese lautet: p 0,5 . Man kann in diesem Fall (da np0 (1  p0 ) 82 ˜ 0,5 ˜ 0,5 20,5 t 9 ) die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert P 82 ˜ 0,5 41 und der Varianz 20,5 approximieren. Dann erhält man mit Formel (12.1) als Schranken für den Annahmebereich (bei 2-seitiger Fragestellung mit D

5% ): 41 r 1,96 ˜ 20,5 r 0,5 . Durch Ausrechnen und Runden ergibt sich als

Intervall: [31,6 ; 50,4]. Da die Prüfgröße k 54 außerhalb liegt, wird die Alternativhypothese angenommen. Der p-Wert ist 0,0023. Auch das Konfidenzintervall impliziert, dass der weibliche Anteil signifikant größer ist als 0,5 › Beispiel 9.2, Seite 182). (z

12

231 12.2 Chi2-Tests

12.2

Chi2-Tests

Chi2-Tests dienen zur Analyse von Häufigkeitsunterschieden. Da sich Häufigkeiten bei jeder Merkmalsart und jedem Skalenniveau ermitteln lassen, sind diese Tests sehr vielseitig anwendbar. 12.2.1 Der Chi2-Vierfelder-Test Im einfachsten Fall untersucht der Chi2-Test die Unabhängigkeit zweier Alternativmerkmale. Er wird deshalb auch als Chi2-Unabhängigkeitstest bezeichnet. Diesem Test liegt zugrunde

ŷ eine Stichprobe des Umfangs n und den Häufigkeiten, die sich aus der Betrachtung zweier Alternativmerkmale ergeben.

Die Ausprägungen der beiden Merkmale seien A und A bzw. B und B . Insgesamt gibt es dann vier Kombinationsmöglichkeiten mit den Häufigkeiten a , b , c und d , die sich anschaulich in einer Vierfeldertafel darstellen lassen (siehe Tabelle 12.1). Tabelle 12.1 Vierfeldertafel beim Chi2-Vierfelder-Test

B B Randsummen

A a

A b

c

d

ac

bd

Randsummen n1 a  b n2 n

cd

abcd

Unter der Nullhypothese sind die relevanten Ereignisse unabhängig voneinander; deshalb gilt nach dem Multiplikationssatz: H0 :

P( A | B)

P ( A)

Unter der Nullhypothese müsste also annähernd gelten: a ab

ac n

(12.2)

Dagegen besagt die Alternativhypothese H1 , dass eine Abhängigkeit besteht. – Die wesentliche Idee eines Chi2-Tests ist die folgende: Die beobachteten Häufigkeiten a , b , c und d werden verglichen mit den Häufigkeiten, die unter der Nullhypothese zu erwarten sind. Dazu berechnet man für jede Häufigkeit den Quotienten

232

Kapitel 12 · Tests zum Vergleich von Häufigkeiten

( beobachtete Häufigkeit - erwartete Häufigkeit) 2 erwartete Häufigkeit

4

( B  E )2 E

Die Summe dieser vier Quotienten bildet die Prüfgröße. Die unter H0 zu erwartende Häufigkeit für a ergibt sich aus Formel (12.2) aus den Randsummen (a  b) , (a  c) und n; die anderen Erwartungshäufigkeiten leitet man analog her und erhält die Häufigkeiten in Tabelle 12.2. Die Prüfgröße ist annähernd F 2 -verteilt mit einem Freiheitsgrad. Sie berechnet sich beim Vierfelder-Test als: F2

n ˜ ( ad  bc ) 2 ( a  b)( a  c )( c  d )(b  d )

(12.3)

Unter der Nullhypothese erwartet man, dass alle beobachteten Häufigkeiten mit den erwarteten übereinstimmen; in diesem Extremfall wäre F2 = 0. In der Praxis ist natürlich immer damit zu rechnen, dass F2 > 0. Kleinere Abweichungen von 0 sind mit der Nullhypothese durchaus noch vereinbar; große Werte der Prüfgröße sprechen gegen die Nullhypothese. Die Prüfgröße ist umso größer, je mehr die beobachteten von den erwarteten Häufigkeiten abweichen. Das Testverfahren wird wie folgt durchgeführt:

ŷ Aus den absoluten Häufigkeiten wird nach (12.3) die Prüfgröße F2 berechnet.

ŷ Falls der Wert der Prüfgröße innerhalb des Intervalls, [0, F12;1D ]

12

liegt, wird die Nullhypothese auf dem D -Niveau beibehalten. › Tabelle E, Anhang). Für D 5% ist F12;0,95 3,841 (z

Man kann den Vierfelder-Test auch dahingehend interpretieren, dass er bei zwei unabhängigen Stichproben relative Häufigkeiten vergleicht (d. h. überprüft, ob sie bezüglich einer bestimmten Merkmalsverteilung homogen sind). So lässt sich etwa die Situation in Beispiel 12.2 auch so beschreiben: Es werden zwei unverbundene Stichproben (bestehend aus männlichen und weiblichen Studenten) hinsichtlich des Merkmals „Rauchgewohnheiten“ untersucht. Dies ist ein anderer Ansatz, der jedoch formal mit demselben Testverfahren untersucht wird. Man spricht in diesem Fall vom Chi2-Homogenitätstest.

233

12

12.2 Chi2-Tests

Beispiel 12.2 Bei der Stichprobe unserer n 82 Studenten betrachten wir die Alternativmerkmale Rauchen und Geschlecht. Es ergeben sich folgende Werte: beobachtete Häufigkeiten erwartete Häufigkeiten Raucher Nichtraucher Raucher Nichtraucher a 7 b 21 Männer 28 8,9 19,1 28 c 19 d 35 Frauen 54 17,1 36,9 54 26 56 82 26 56 82 Es ist nicht erstaunlich, dass die erwarteten Häufigkeiten keine ganzen Zahlen sind. Es handelt sich um theoretische Häufigkeiten, die aus den Randsummen berechnet werden (Tabelle 12.2) und zum Vergleich mit den beobachteten Häufigkeiten dienen. Von den Männern rauchen 25%, von den Frauen 35%. Ist der Unterschied nun so gravierend, dass man die Nullhypothese („Es besteht kein Zusammenhang zwischen Rauchen und Geschlecht“) verwerfen kann? Die Prüfgröße ist nach (12.3): 82 ˜ (7 ˜ 35  21 ˜ 19)2 F2 0,883 28 ˜ 54 ˜ 26 ˜ 56 Dieser Wert ist kleiner als der kritische Wert 3,841 – d. h. anhand der Stichprobe ist kein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen nachzuweisen. Der p-Wert beträgt 0,3473; das Konfidenzintervall für die Differenz (Anteil Frauen - Anteil Männer) ist [-0,10 ; 0,31]. Der Raucheranteil der Frauen könnte also um 30 % über dem der Männer liegen; es könnte ebenso gut 10 % geringer ist.

x Einseitiges Testen. Bisher wurde stillschweigend vorausgesetzt, „ dass beim Chi2-Test 2-seitig geprüft wird. Nun sind auch 1-seitige Fragestellungen denkbar wie etwa: „Rauchen mehr Frauen als Männer (oder umgekehrt)?“. Einseitige Testverfahren sind bei Chi2Tests allerdings problematisch, weil die Richtung eines Unterschieds durch das Quadrieren der Abstände (B–E) eliminiert wird. Dennoch ist beim Vierfelder-Test eine 1-seitige Prüfung möglich, indem man als kritischen Wert F12;12D zugrunde legt. Man geht bei diesem Ansatz davon aus, dass – grob formuliert – bei der Hälfte der Werte, die größer sind als der kritische Wert, die beobachtete Häufigkeit a kleiner ist als die dazugehörende Erwartungshäufigkeit (und bei der anderen Hälfte kleiner). Dies entspricht jeweils dem Anteil D. Dieses Vorgehen ist allerdings nur dann statthaft, wenn man aufgrund von Vorkenntnissen die Richtung eines möglichen Unterschiedes ganz genau kennt – ansonsten hat man eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 2D. Theoretisch ist der einseitige Vierfelder-Test interessant – praktisch sollte man ihn meiden.

234

Kapitel 12 · Tests zum Vergleich von Häufigkeiten

x Zu den Voraussetzungen. Beim Vierfelder-Test sollte jede der er„ warteten Häufigkeit mindestens 5 betragen; keine der beobachteten Häufigkeiten darf 0 sein. Falls die Anforderungen nicht erfüllt sind, › kann man als Alternative Fisher’s exakten Test verwenden (z Abschnitt 12.3). Tabelle 12.2 Beobachtete und erwartete Häufigkeiten beim Vierfelder-Test beobachtete Häufigkeit B

4

12

( B  E )2 / E

(a  b)(a  c) / n

( ad  bc) 2 n ˜ ( a  b)( a  c)

b

(a  b)(b  d ) / n

(ad  bc) 2 n ˜ ( a  b)(b  d )

c

(c  d )(a  c) / n

(ad  bc) 2 n ˜ (c  d )(a  c)

d

(c  d )(b  d ) / n

(ad  bc ) 2 n ˜ ( c  d )(b  d )

n

n

F2

a

Summe

unter H0 erwartete Häufigkeit E

Mathematische Betrachtung der Chi2-Prüfgröße beim Vierfelder-Test Die Berechnung der Prüfgröße aus der Summe aller ( B  E ) 2 / E erscheint plausibel. Je mehr eine beobachtete Häufigkeit B von der erwarteten Häufigkeit E abweicht, umso größer wird dieser Quotient und damit auch die Prüfgröße. Die Division durch E erfolgt, um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass dieselbe Abweichung ( B  E ) umso schwerer wiegt, je kleiner die Erwartungshäufigkeit E ist. Mit elementaren Rechenregeln lassen sich dann die Häufigkeiten und deren Summe in Tabelle 12.2 herleiten. – Wieso ist unter der Nullhypothese die Summe der ( B  E ) 2 / E F 2 -verteilt? Dazu betrachten wir die Häufigkeiten a und c . a ist unter H 0 binomialverteilt mit dem Erwartungswert n1 p und der Varianz n1 p(1  p) . Auch c ist binomialverteilt mit dem Erwartungswert n2 p und der Varianz n2 p(1  p) . Unter H 0 hat die Differenz D a / n1  c / n2 den Erwartungswert 0 und s D2

p (1  p )(1 / n1  1 / n2 ) als

Varianz. Folglich ist D / sD standardnormalverteilt. Demnach folgt ( D / sD ) 2 einer F 2 -Verteilung mit einem Freiheitsgrad (siehe Abschnitt 8.5.2). Wenn man in ( D / sD ) 2 einsetzt: p (a  c) / n , n1 a  b und n2 nach einigen Umrechnungen die Prüfgröße nach (12.3).

c  d , erhält man

12

235 12.2 Chi2-Tests

12.2.2 Der Median-Testƒƒƒ Die Anwendung des Vierfelder-Tests ist nicht beschränkt auf zwei Alternativmerkmale. Mit diesem Test lassen sich auch zwei unabhängige Stichproben mit quantitativen Merkmalen vergleichen. Die Nullhypothese lautet in diesem Fall: H0 :

~ P 1

~ P 2

Das Testverfahren lässt sich wie folgt beschreiben:

ŷ Man bildet aus den Daten beider Stichproben den gemeinsamen

x. empirischen Median ~ ŷ Dann ermittelt man die Häufigkeiten entsprechend der folgenden Vierfeldertafel (Tabelle 12.3). ŷ Die Prüfgröße berechnet man nach (12.3). ŷ Falls der Wert der Prüfgröße innerhalb [0, F12;1D ] liegt, wird die Nullhypothese beibehalten. Tabelle 12.3 Vierfeldertafel beim Median-Test

Stichprobe 1 Stichprobe 2

d~ x

!~ x

a

b

c

d

ac

bd

n

n1

ab

n2

cd

abcd

Beispiel 12.3 Es soll getestet werden, ob sich die Klausurergebnisse von n1 28 männlichen und n2 54 weiblichen Studenten unterscheiden (Daten in Tabelle 2.1). Von › Beispiel 3.3). Unter allen n 82 Werten ergibt sich der Median ~ x 8 (z Berücksichtigung des Geschlechts erhält man folgende Vierfeldertafel: d~ x !~ x Männer 12 28 16 Frauen 28 54 26 40 82 42 Aus diesen Häufigkeiten ergibt sich eine Prüfgröße von F2

82 ˜ (16 ˜ 28  12 ˜ 26) 2 28 ˜ 54 ˜ 42 ˜ 40

0,597

Dieser Wert ist wesentlich kleiner als F12;0,95

3,841 – ein Unterschied ist

nicht nachzuweisen. Wer hätte etwas Anderes erwartet? Der p-Wert ist 0,4397. – Übrigens: Man könnte diese Fragestellung auch mit dem U-Test von Mann und Whitney überprüfen; damit ergibt sich p = 0,5315.

236

Kapitel 12 · Tests zum Vergleich von Häufigkeiten

Der Median-Test hat gegenüber dem t-Test und dem U-Test den Vorteil, dass er gleiche Verteilungsformen der Zufallsvariablen nicht voraussetzt. Der Median-Test kann auch dann benutzt werden, wenn die Verteilungen der Stichproben ungleich oder unbekannt sind. Wenn jedoch die Voraussetzungen des t-Tests oder des U-Tests erfüllt sind, sollte man diese wegen der höheren Power bevorzugen.

4

12.2.3 Der Chi2-Test für k ˜ A Felder Dies ist eine Verallgemeinerung des Vierfelder-Unabhängigkeitstests dahingehend, dass die beiden betrachteten Merkmale nicht nur jeweils 2, sondern k Ausprägungen A1,...,Ak bzw. A Ausprägungen B1 ,..., BA aufweisen. Dann erhält man bei der Darstellung der Häufigkeiten eine Kontingenztafel mit k ˜ A Feldern im Innern. Die Nullhypothese besagt, dass kein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht. Das Prinzip dieses Tests ist dasselbe wie oben beschrieben: Es werden die beobachteten mit den erwarteten Häufigkeiten verglichen. Seien nij die Anzahl der Stichprobenelemente mit der Ausprägungskombination Ai und B j und eij die unter H0 erwarteten Häufigkeiten. Dann berechnet sich die Prüfgröße als k

F2

A

¦¦ i 1 j 1

12

( nij  eij ) 2 eij

(12.4)

Sie hat (k  1) ˜ (A  1) Freiheitsgrade (dies bedeutet, dass man im Innern der Kontingenztafel (k  1) ˜ (A  1) Häufigkeiten ändern kann unter Beibehaltung der Randsummen). Die erwarteten Häufigkeiten ergeben sich aus den Randsummen. Kritische Werte in Abhängigkeit › Anhang). der Freiheitsgrade findet man in Tabelle E (z Dieser Test lässt sich auch auffassen als ein Homogenitätstest: Er überprüft, ob ein Merkmal mit A Ausprägungen in k Stichproben homogen verteilt ist. In jedem Fall wird vorausgesetzt, dass die erwarteten Häufigkeiten mindestens 5 betragen (oder dass zumindest der Anteil der erwarteten Häufigkeiten, die kleiner als 5 sind, 20% nicht überschreitet). Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, kann man versuchen, dies durch Zusammenlegen von mehreren Ausprägungen oder Klassen zu erreichen. Ersatzweise kann man den exak› Abschnitt 12.3). ten Test nach Fisher anwenden (z i Es gibt eine Variante dieses Tests (Mantel-Haenszel-Test), die verwendet z › [12]). wird, wenn eines der beiden Merkmale ordinal skaliert ist (z

12

237 12.2 Chi2-Tests

12.2.4 Zusammenhangsmaße für qualitative Merkmaleƒƒƒ Mit dem Chi2-Unabhängigkeitstest lässt sich die Existenz eines Zusammenhangs zwischen zwei nominal skalierten Merkmalen nachweisen – über dessen Stärke macht das Testergebnis jedoch keine Angaben. Es wurden mehrere Assoziationskoeffizienten entwickelt, um die Stärke eines solchen Zusammenhang zu quantifizieren. x Phi-Koeffizient. Er eignet sich, um den Zusammenhang zwischen „ zwei Alternativmerkmalen zu beschreiben und ist definiert als: I

F2 n

(12.5)

Dieser Koeffizient ist 0 (bei vollkommener Unabhängigkeit der Merkmale). Falls b c 0 , nimmt I den Wert 1 an (wie sich leicht anhand der Formel (12.3) nachvollziehen lässt). In diesem Fall kann man nämlich aufgrund eines Merkmals das andere präzise vorhersagen. Ansonsten ist I kleiner als 1. – Der Phi-Koeffizient ist signifikant größer als 0, falls das Ergebnis des Vierfeldertests signifikant ist.

x Assoziationskoeffizient nach Yule (George Yule, 1871-1951, war „ ein Mitarbeiter von Karl Pearson). Dieses Maß wird berechnet nach: Q

ad  bc ad  bc

(12.6)

Q nimmt wie I den Wert 0 an, falls ad bc (vollkommene Unabhängigkeit). Ansonsten erstreckt sich Q zwischen -1 und +1. Beispiel 12.4 In einer klinisch-kontrollierten Studie werden jeweils 50 Patienten mit einem neuen Medikament bzw. mit dem herkömmlichen Standardmedikament behandelt. Die Therapien sind in a 35 (neu) bzw. c 25 (Standard) Fällen erfolgreich und demnach in c 15 bzw. d 25 Fällen nicht erfolgreich. Mit einem Chi2-Test erhält man: F 2 4,1667 und p 0, 0412 . Die Stärke des Zusammenhangs wird quantifiziert durch I 4,1667 /100 0,204 oder Q 0,4 . Das positive Vorzeichen von Q zeigt, dass die neue Therapie besser ist als die Standardtherapie. – Der Zusammenhang ist zwar signifikant, aber eher schwach. Darin kommt zum Ausdruck, dass es unmöglich ist, aufgrund der Therapie den Erfolg vorherzusagen. Das Konfidenzintervall für die Differenz der Erfolgsraten liegt zwischen 1,2 % und 38,8 %.

238

Kapitel 12 · Tests zum Vergleich von Häufigkeiten

x Cramérs Index. Dieses Maß (vorgestellt im Jahre 1946) ist eine „ Verallgemeinerung von I für k ˜ A -Kontingenztafeln: CI

4

F2 n ˜ ( R  1)

(12.7)

wobei R min(k , A) . Es ist leicht nachvollziehbar, dass für R mit I identisch ist.

2 CI

x Kontingenzkoeffizient von Pearson. Dieser im Jahre 1904 „ vorgestellte Koeffizient ist das älteste und heute noch bekannteste Assoziationsmaß. Wegen seiner Definition ist es immer kleiner als 1: CC

F2

(12.8)

n  F2

Es lässt sich nachweisen, dass der Maximalwert von CC gleich Cmax ( R  1) / R ist. Ein Nachteil dieses Koeffizienten ist, dass er 1 nie erreichen kann und deshalb schwer zu interpretieren ist. 12.2.5 Der McNemar-Test

12

Dies ist ein Häufigkeitstest für zwei verbundene Stichproben, die hinsichtlich eines Alternativmerkmals mit den Ausprägungen A und A zu vergleichen sind. Diese treten beispielsweise dann auf, wenn Patienten mit zwei verschiedenen Therapien nacheinander behandelt werden und das Merkmal „Therapieerfolg“ mit den Ausprägungen „ja“ und „nein“ untersucht wird. Der Stichprobenumfang n lässt sich folgendermaßen aufteilen: Tabelle 12.4 Vierfeldertafel beim McNemar-Test

Stichprobe 2

A

Stichprobe 1 A A a b

A

c

d

Die Nullhypothese besagt: Die Stichproben stimmen bezüglich der Häufigkeitsverteilung überein. Das bedeutet, dass a  b a  c oder einfacher: b c . – Die Häufigkeiten, die für die Gleichheit der Stichproben sprechen, sind a und d. Die Häufigkeiten b und c stehen

12

239 12.2 Chi2-Tests

für Unterschiede. Je mehr diese vom Durchschnittswert (b  c) / 2 abweichen, desto mehr spricht für die Alternativhypothese. Der Test wird nach folgendem Prinzip durchgeführt:

ŷ Zunächst werden die Häufigkeiten ermittelt und die Vierfeldertafel erstellt.

ŷ Danach berechnet man die Prüfgröße nach: (b  c ) 2 (12.9a) bc 2 Falls der Wert der Prüfgröße größer als F1;1D ist, wird die Alternativhypothese angenommen. F2

ŷ

Die Prüfgröße nach (12.9a) wird für b  c d 30 Stetigkeitskorrektur etwas verkleinert: F2

( b  c  1) 2

durch eine

(12.9b)

bc

Im Übrigen setzt auch dieser Test voraus, dass die erwartete Häufigkeit (b  c ) / 2 mindestens 5 beträgt. i Die Stetigkeitskorrektur ist erforderlich, weil die Häufigkeiten b und c diskrez

te Werte darstellen, während F2 eine stetige Variable ist. In der Literatur werden verschiedene Stetigkeitskorrekturen für den McNemar-Test angegeben. In jedem Fall wird dadurch die Prüfgröße etwas verkleinert, um zu verhindern, dass man allzu leichtfertig die Nullhypothese ablehnt.

Beispiel 12.5 Bei 20 Patienten wird ein schmerzstillendes Präparat (Verum) mit einem Placebo verglichen. Jeder Patient wird mit beiden Therapien behandelt, wobei zwischen den Behandlungsphasen eine längere, therapiefreie Phase liegt. Die Patienten wissen nicht, wann sie mit dem Placebo bzw. dem Verum behandelt werden. Sie beurteilen die Wirkung folgendermaßen: Wirkung des Placebos schwach stark a 3 b 2 Wirkung schwach c 11 d 4 des Verums stark Als Prüfgröße berechnet man: F 2

( 2  11  1) 2

4,923 ! 3,841 . 2  11 Der p-Wert ist 0,0265. Deshalb wird die Alternativhypothese angenommen. Das Verum zeigt in 15 von 20 Fällen eine starke Wirkung, das Placebo nur 6 Mal. Das Konfidenzintervall für diese Wirkungsdifferenz ist [0,17 ; 0,73].

240

Kapitel 12 · Tests zum Vergleich von Häufigkeiten

Mathematische Herleitung der Chi2-Prüfgröße beim McNemar-Test Unter der Nullhypothese wird für jede der beiden Häufigkeiten b und c der Wert (b  c ) / 2 erwartet. Dann berechnet man die Prüfgröße nach (12.3) als: 2

4

2

bc· § bc· § ¨b  ¸  ¨c  ¸ 2 ¹ © 2 ¹ 2 © F bc 2 Nach Ausmultiplizieren und Addieren erhält man die Formel (12.9a).

Abschließend noch einige Hinweise zum McNemar-Test:

x Nullhypothese. Es wird nicht behauptet, dass es überhaupt keine „ Unterschiede zwischen den Stichproben gibt. In Beispiel 12.5 beurteilen insgesamt 13 von 20 Patienten das Verum und das Placebo unterschiedlich. Die Nullhypothese besagt lediglich, dass unterschiedliche Beurteilungen in beiden Richtungen (Verum besser bzw. Placebo besser) gleich häufig sind. x Stichprobenumfang. In die Berechnung der Prüfgröße fließt „ nicht der volle Stichprobenumfang ein, sondern lediglich die Häufigkeiten b und c. Allerdings kommt im Konfidenzintervall für › Beispiel 12.5) der gesamte Umfang n zur Geltung. die Differenz (z x Verallgemeinerung für ein Merkmal mit mehr als zwei „ Ausprägungen: Der McNemar-Test setzt ein Alternativmerkmal voraus. Bei mehr Ausprägungen entsteht anstelle der Tabelle 12.4 eine Matrix. Der Symmetrietest von Bowker [5] überprüft, ob diese Matrix symmetrisch ist.

12

x Verallgemeinerung für mehr als zwei verbundene Stichproben: „ Wenn Patienten mehrfach nacheinander auf ein Alternativmerkmal hin untersucht werden, bietet sich der Q-Test von Cochran an [5]. 12.2.6 Weitere Varianten des Chi2-Testsƒƒƒ Es gibt eine Reihe von weiteren, häufig angewandten Tests, die auf der Chi2-Verteilung basieren. Das grundlegende Prinzip bei all diesen Tests besteht darin, vorgegebene Häufigkeiten mit den unter der Nullhypothese zu erwartenden Häufigkeiten zu vergleichen. Daraus resultiert eine Prüfgröße nach (12.4). Zwei wichtige Tests seien an dieser Stelle genannt:

241

12

12.3 Der exakte Test nach Fisher

x Anpassungstest. Mit einem Anpassungstest wird überprüft, ob die „ empirische Verteilung einer Stichprobe vereinbar ist mit einer theoretischen Verteilung. Dabei kann jede beliebige Verteilung, die dem inhaltlichen Problem angemessen ist, vorgegeben werden. Ein Anpassungstest wird gelegentlich eingesetzt, um empirische Daten dahingehend zu überprüfen, ob sie aus einer normalverteilten Grundgesamtheit entstammen. Damit soll beispielsweise vor einem t-Test überprüft werden, ob die Voraussetzung der Normalverteilung erfüllt ist. In diesem besonderen Fall ist man daran interessiert, die Nullhypothese beizubehalten. Also ist man bemüht, den ß-Fehler möglichst klein zu halten. Dieser ist jedoch im Gegensatz zum DFehler schwer abschätzbar. Eine Möglichkeit, indirekt Einfluss auf den ß-Fehler zu nehmen, besteht darin, den D-Fehler zu vergrößern. Deshalb ist es üblich, bei einem Anpassungstest mindestens D 0,10 festzulegen. Man muss sich immer wieder klar machen, dass das Testergebnis eines Anpassungstests auf Normalverteilung, das zur Beibehaltung der Nullhypothese führt, keinesfalls als Beweis zu werten ist, dass die Grundgesamtheit tatsächlich normalverteilt ist. Man sollte hier nur vorsichtige Formulierungen verwenden wie etwa: „Nichts spricht gegen eine Normalverteilung der Grundgesamtheit“. x Logranktest. Schließlich sei der Logrank-Test genannt, der sich „ zum Vergleich von Überlebenszeiten eignet. Dabei werden die Überlebensfunktionen S1 (t ) und S2 (t ) zweier unverbundener Stichproben verglichen. Das Besondere an diesem Test ist, dass auch zensierte Daten (die häufig bei Überlebenszeitstudien auftreten) in der Analyse angemessen berücksichtigt werden. Näheres findet man in [13].

12.3

Der exakte Test nach Fisher

Dieser Test wird anstelle des Vierfelder-Tests oder auch des Chi2Tests für k ˜ A Felder verwendet, wenn dessen Voraussetzungen nicht erfüllt sind; d. h. wenn die erwarteten Häufigkeiten zu klein sind. Der Test heißt „exakt“, weil der p-Wert als Prüfgröße direkt berechnet wird. Er funktioniert im Vierfelderfall nach folgendem Prinzip:

242

Kapitel 12 · Tests zum Vergleich von Häufigkeiten

ŷ Man ordnet die Vierfeldertafel so an, dass die kleinste Häufigkeit oben links steht (es entspricht dann der Häufigkeit a ). Die Wahrscheinlichkeit für diese Situation berechnet sich nach: P

( a  b)!( c  d )!( a  c )!(b  d )! n !˜ a !˜ b !˜ c !˜ d !

(12.10)

ŷ Falls diese Wahrscheinlichkeit größer ist als D, ist der Test

4

beendet – die Nullhypothese muss beibehalten werden.

ŷ Ansonsten bildet man für noch extremere Situationen weitere

Vierfeldertafeln, indem man unter Beibehaltung der Randsummen die Häufigkeit a variiert, indem man a schrittweise jeweils um 1 reduziert, bis man a = 0 erhält. Für jede dieser Situationen berechnet sich die Einzelwahrscheinlichkeit nach (12.10). ŷ Die so berechneten Einzelwahrscheinlichkeiten werden aufaddiert. Deren Summe gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, die Ausgangssituation oder eine noch extremere Situation zu erhalten. Bei der 1-seitigen Fragestellung entspricht dies dem pWert; bei der 2-seitigen Fragestellung wird die Summe verdoppelt, um den p-Wert zu erhalten. ŷ Falls dieser p-Wert kleiner ist als D, wird die Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese abgelehnt.

12

Beispiel 12.6 Zwei Gruppen von Patienten werden bezüglich einer neuen Therapie verglichen. Es soll getestet werden, ob sich die Misserfolgsquoten der beiden Therapien unterscheiden (2-seitige Fragestellung). Es ergeben sich folgende Häufigkeiten: Misserfolg Erfolg a 0 b 8 Therapie 1 8 8!˜ 8!˜ 5!˜ 11! c 5 d 3 P( a 0) 0,0128 Therapie 2 8 16!˜ 0!˜ 8!˜ 5!˜ 3! 16 5 11 Eine ebenso extreme Situation wäre gegeben, wenn a 5 und c 0 ; auch in diesem Fall wäre P( a 5) 0,0128 . Die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten ergibt 0,0256  0,05 . Also wird die Nullhypothese für D 5% abgelehnt.

Fisher’s exakter Test kann nicht nur für Vierfeldertafeln, sondern theoretisch bei beliebig großen k ˜ A -Kontingenztafeln angewandt werden. Allerdings ist er dann rechnerisch sehr aufwendig, sodass selbst ein leistungsfähiges Statistikprogramm mitunter lange Zeit benötigt, um den p-Wert zu berechnen.

243

12

12.4 Die logistische Regression

Mathematische Herleitung der Wahrscheinlichkeiten bei Fisher’s exaktem Test Es sind n Beobachtungseinheiten (z. B. Patienten) gegeben; davon haben a  c eine bestimmte Eigenschaft (z. B. Misserfolg der Therapie). Von n Patienten werden zufällig a  b (z. B. für Therapie 1) ausgewählt; davon haben a Patienten einen Misserfolg. Unter der Nullhypothese folgt a einer hypergeometrischen Verteilung HG  ( a  b; n, a  c) . Mit (7.27) berechnet man: § a  c· § n  a  c · § a  c· §b  d · ¸ ¸˜¨ ¸ ¨ ¸˜¨ ¨¨ a ¸¹ ¨© a  b  a ¸¹ ¨© a ¸¹ ¨© b ¸¹ P( X a) © § n · § n · ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸  a b © a  b¹ © ¹ Nach Einsetzen der Binomialkoeffizienten ergibt sich (12.10).

12.4

Die logistische Regression

In Abschnitt 11.4 wurde das Allgemeine Lineare Modell vorgestellt, mit dem der Einfluss mehrerer qualitativer und quantitativer Merkmale auf eine quantitative Zielgröße untersucht werden kann. Bei derlei Zielgrößen handelt es sich meist um Messwerte aus dem klinischen Alltag, aus dem Labor oder um Zeitmessungen. In der medizinischen Forschung hat man es häufig jedoch auch mit qualitativen, oft auch mit einfachen Alternativmerkmalen als Zielgrößen zu tun. Dies betrifft Fragestellungen, die sich mit „ja“ oder „nein“ beantworten lassen, wie zum Beispiel „Therapie erfolgreich“, „Krankheit bricht aus“ oder „Patient überlebt“. Am Ende liegen zwei Gruppen vor, die zu vergleichen sind. Um diese Gruppen bezüglich eines qualitativen Merkmals zu testen, verwendet man in der Regel den in diesem Kapitel vorgestellten Chi2-Test; bei einem quantitativen Merkmal bietet sich der t-Test › Kapitel 11). oder der U-Test an (z Mit diesen Tests lassen sich Unterschiede zwischen den Gruppen absichern; allerdings lassen sich keine Wahrscheinlichkeiten für ein bestimmtes Endereignis berechnen. Außerdem handelt es sich um einfache Tests, die nur den Einfluss eines einzigen Merkmals berücksichtigen. Die logistische Regression ist ein multiples Verfahren, mit dem es möglich ist, die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Ereignisses basierend auf mehreren Einflussgrößen zu modellieren. Diese Einflussgrößen können sowohl qualitativ als auch

244

4

Kapitel 12 · Tests zum Vergleich von Häufigkeiten

quantitativ sein. Im einfachsten Fall ist die Zielgröße binär; es ist jedoch auch möglich, ordinal oder nominal skalierte Zielgrößen mit mehreren Ausprägungen zu untersuchen. Bei diesem Verfahren wird eine mathematische Gleichung modelliert, mit der die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses (z. B. „Der Patient überlebt“ oder „Die Therapie ist erfolgreich“) in Abhängigkeit von signifikanten Einflussgrößen für jeden Einzelfall berechnet werden kann. Diese Methode ist sehr vielseitig verwendbar und für die medizinische Wissenschaft und Praxis äußerst hilfreich. Ausführliche Informationen zu logistischer Regression und weitere Hinweise zur Analyse von kategorialen Daten findet man in [1] und [2].

12

13

Grundlagen epidemiologischer Studienplanung 13.1

Aufgaben und Ziele der Epidemiologie 247

13.2

Der Inhalt epidemiologischer Studien 248

13.3

Klassifikation nach formalen Aspekten 249

13.3.1

Deskriptiv versus analytisch 249

13.3.2

Transversal versus longitudinal 250

13.3.3

Retrospektiv versus prospektiv 251

13.3.4

Beobachtend versus experimentell 252

13.3.5

Monozentrisch versus multizentrisch 253

13.4

Fehlermöglichkeiten 253

13.4.1

Zufällige Fehler 253

13.4.2

Systematische Fehler 254

13.5

Die Studienplanung 256

13.5.1

Die Bedeutung der Planung 256

13.5.2

Komponenten der Planung 257

247

13

13.1 Aufgaben und Ziele der Epidemiologie

13.1

Aufgaben und Ziele der Epidemiologie

Die Epidemiologie ist die Lehre von der Entstehung und Verbreitung › Abschnitt 6.3). Dieser von Krankheiten und deren Bekämpfung (z Begriff bezieht sich nicht nur auf Infektionserkrankungen, sondern generell auf alle Erkrankungen, die mit bestimmten Risikofaktoren in Zusammenhang gebracht werden. Die Aufgaben und Ziele der Epidemiologie sind sehr vielfältig. Sie umfassen:

ŷ das Bestimmen der Verbreitung von Krankheiten in einer Bevölkerung;

ŷ das Erkennen der Ursachen und Risikofaktoren einer Krankheit; ŷ die Untersuchung des natürlichen Verlaufs von Krankheiten und die Bestimmung relevanter prognostischer Faktoren;

ŷ die Evaluation präventiver, diagnostischer und therapeutischer Maßnahmen;

ŷ das Schaffen von Grundlagen für gesundheitspolitische Entscheidungen.

Im Gegensatz zu anderen medizinischen Disziplinen befasst sich die Epidemiologie nicht mit einzelnen Patienten, sondern mit Patientengruppen (oder Populationen). Die Ergebnisse epidemiologischer Studien können dem Arzt jedoch bei der Behandlung eines individuellen Patienten nützlich sein: Sie helfen ihm bei der Entscheidungsfindung bezüglich der Diagnose und einer adäquaten Therapie und erlauben es, im Einzelfall den wahrscheinlichen Verlauf einer Krankheit vorherzusagen. Daher profitieren sowohl die Patienten als auch die behandelnden Ärzte von den Erkenntnissen aus epidemiologischen Studien. Um die Aussagen dieser Studien bei der Patientenbehandlung umsetzen zu können, ist es wichtig, dass der Arzt deren Struktur, Stärken und Einschränkungen versteht. Nur so kann er sinnvolle und nachvollziehbare Entscheidungen treffen. ! Der Inhalt der Kapitel 13 bis 15 bezieht sich nicht nur auf groß angelegte z

epidemiologische und klinische Studien, sondern ist für kleinere Forschungsvorhaben (etwa Doktorarbeiten) ebenso relevant.

248

Kapitel 13 · Grundlagen epidemiologischer Studienplanung

Übersicht 9: Der Inhalt epidemiologischer Studien Studientypus Risikostudie

Diagnosestudie

Einflussgrößen Risikofaktoren (z. B. Umweltfaktoren, genetische oder verhaltensbedingte Faktoren) Krankheitsstatus

Prognosestudie

Krankheit oder Therapieform

Therapiestudie

Medikamente oder andere Therapieformen

Präventionsstudie

präventive Maßnahme (z. B. Impfen oder Screening)

13.2

Zielgrößen Krankheit, Komplikation, Tod

Abschnitt 14.1

Ergebnis eines diagnostischen Tests Zeit bis zum Eintreten eines Ereignisses (z. B. Heilung oder Tod) Endzustand wie Heilung, Besserung, Tod Krankheit

14.2 14.3

15.1 15.2

Der Inhalt epidemiologischer Studien

Epidemiologische Studien, die sich mit klinischen Fragestellungen befassen, lassen sich nach inhaltlichen Aspekten grob in fünf Gruppen einteilen:

13

x Risikostudien. Diese Studien haben zum Ziel, zu klären, ob ein „ ätiologischer Faktor das Auftreten einer Krankheit beeinflusst. Diese Studien können retrospektiv als Fall-Kontroll-Studien (bei denen eine Gruppe von erkrankten Personen mit einer Gruppe nicht erkrankter Kontrollen verglichen wird) oder prospektiv als Kohortenstudien (bei denen ein großer Personenkreis exponierter und nichtexponierter Personen längere Zeit beobachtet wird) durchgeführt werden. Risikostudien können aber auch als Querschnittsstudie oder als ökologische Studie angelegt sein. In jedem Fall handelt es sich um Beobachtungsstudien. In Abschnitt 14.1 wird ausführlich auf die verschiedenen Formen von Risikostudien eingegangen.

249

13

13.3 Klassifikation nach formalen Aspekten

x Diagnosestudien. Der Gegenstand dieser Studien sind diagnosti„ sche Tests, die dazu dienen, erkrankte Personen von nicht erkrankten zu trennen. Dabei wird ein neues diagnostisches Verfahren mit einem Goldstandard verglichen. Ziel dieser Studien ist das Ermitteln der Sensitivität und Spezifität. Diese Studien sind Gegenstand des Abschnitts 14.2. x Prognosestudien. Bei derlei Studien wird der zeitliche Verlauf „ einer Krankheit bis zu einem bestimmten Endereignis (z. B. Tod oder Heilung eines Patienten) untersucht. Auch diese Studien sind in der Regel als Beobachtungsstudien angelegt; ein Beispiel bilden Kohortenstudien mit Überlebenszeitanalysen. Prognosestudien werden in Abschnitt 14.3 behandelt. x Therapiestudien. Dabei werden zwei oder mehr Patientengrup„ pen, die unterschiedlich therapiert werden, miteinander verglichen. Diese Studien werden meist als randomisierte klinische Studie durchgeführt. Sie haben im Gegensatz zu den oben erwähnten Studien experimentellen Charakter. Detaillierte Informationen findet man in Abschnitt 15.1. x Präventionsstudien. Sie haben zum Ziel, den Nutzen einer „ präventiven Maßnahme (z. B. einer Impfung oder eines Früherkennungsprogramms) zu evaluieren und sollten ebenfalls als randomisierte Studie konzipiert sein. Sie werden in Abschnitt 15.2 besprochen.

13.3

Klassifikation nach formalen Aspekten

Epidemiologische Studien lassen sich formal nach unterschiedlichen Aspekten klassifizieren: 13.3.1 Deskriptiv versus analytisch x Deskriptive Studien. Diese Studien sind rein beschreibend. Die „ zugrunde liegenden Daten werden ausgewertet, ohne dass ein zeitlicher oder kausaler Zusammenhang zwischen mehreren Merkmalen hergeleitet werden kann. Beispiele hierfür sind Register (etwa Krebsregister, Geburten- oder Sterberegister). Außerdem zählen zu diesem Studientypus Fallberichte, Fallserien oder Querschnittstu› Abschnitte 14.1.2 bis 14.1.4). dien (z

250

Kapitel 13 · Grundlagen epidemiologischer Studienplanung

Deskriptive Studien können Hinweise auf Auffälligkeiten und mögliche Zusammenhänge geben. Diese sollten dann im Rahmen einer analytischen Studie überprüft werden. x Analytische Studien. Wichtige Erkenntnisse der epidemiologi„ schen Forschung basieren auf analytischen Studien (z. B. Fall-Kontroll-Studien oder Kohortenstudien). In derlei Studien geht es darum, einen Zusammenhang zwischen einer Zielgröße und einer (oder mehrerer) Einflussgrößen inhaltlich herzuleiten und statistisch abzusichern. Die Übergänge zwischen deskriptiven und analytischen Studien sind fließend. Wenn verschiedene Register miteinander verknüpft werden (so genannte ökologische Studien), kann die deskriptive Studie in eine analytische übergehen. Oft bilden die Erkenntnisse aus einer einfachen, deskriptiven Studie die Basis für eine nachfolgende, analytische Studie. 13.3.2 Transversal versus longitudinal

13

x Transversale Studien. Eine transversale Studie (oder Querschnitt„ studie) ist eine Momentaufnahme einer Population. Dabei werden eine oder mehrere Eigenschaften der Studienteilnehmer erfasst. › Abschnitte 14.1.3). Einfachste Transversalstudien sind Fallserien (z Ein anderes Beispiel dieser Studienform ist eine Prävalenzstudie › Abschnitt 14.1.4), bei der die Prävalenz einer Krankheit zu (z einem bestimmten Zeitpunkt festgestellt wird. Möglicherweise werden dabei noch weitere Merkmale erfasst (z. B. ob die Studienteilnehmer einem besonderen Risikofaktor ausgesetzt sind). Man kann dann zwar versuchen, einen statistischen Zusammenhang zwischen Krankheit und Risikofaktor herzuleiten; kausale oder zeitliche Zusammenhänge können jedoch nicht nachgewiesen werden. Transversale Studien eignen sich für Zustandsbeschreibungen, jedoch nicht, um zeitliche Abläufe zu erfassen. Sie sind überwiegend deskriptiv. x Longitudinale Studien. Diese Studien (auch Längsschnittstudien „ genannt) haben zum Ziel, einen zeitlichen Verlauf zu beschreiben oder einen zeitlichen Zusammenhang herzuleiten. Sie sind insofern analytisch. Dazu zählen Fall-Kontroll-Studien, Kohortenstudien und › Abschnitte 14.1.5, 14.1.6 und 15.1). klinisch kontrollierte Studien (z

251

13

13.3 Klassifikation nach formalen Aspekten

Longitudinale Studien lassen außerdem danach unterscheiden, ob sie „retrospektiv“ oder „prospektiv“ angelegt sind. 13.3.3 Retrospektiv versus prospektiv x Retrospektive Studien. Retrospektiv heißt „zurückblickend“. Man „ ermittelt bei einer retrospektiven Studie zunächst die Ausprägungen einer bestimmten Zielgröße und versucht dann, die Ausprägungen einer oder mehrerer Einflussgrößen zu erfassen. Das Paradebeispiel sind Fall-Kontroll-Studien, bei denen eine Gruppe erkrankter Personen (Fälle) mit einer Gruppe nicht erkrankter (Kontrollen) dahingehend verglichen wird, ob und welchen Risikofaktoren sie in › Abschnitt 14.1.5). der Vergangenheit ausgesetzt waren (z Bei retrospektiven Studien sind die relevanten Ereignisse zu einem Zeitpunkt geschehen, als die konkrete Fragestellung noch gar nicht vorlag. Die Daten sind entweder dokumentiert (z. B. in Krankenakten) oder müssen durch Befragungen (Interviews, Fragebogen) erhoben werden. Der Vorteil dieser Studienart liegt auf der Hand: Man braucht nicht auf das Eintreten der interessierenden Ereignisse zu warten, sondern kann relativ schnell Ergebnisse erhalten. Dem stehen jedoch mitunter Nachteile gegenüber, die in erster Linie die Datenqualität betreffen. Es besteht im Nachhinein keine Möglichkeit, auf die Auswahl der Beobachtungseinheiten und der zu erfassenden Merkmale sowie die Mess- und Dokumentationsmethoden Einfluss zu nehmen. Unvollständige oder falsche Angaben in Krankenblättern (z. B. Arzneimittelanamnese, klinische Befunde) lassen sich in der Regel nicht ergänzen oder korrigieren (oft bleiben sie gänzlich unbemerkt). Wenn man Personen nach zurückliegenden Ereignissen zu befragen hat, ist man auf deren Erinnerungsvermögen angewiesen und kann keineswegs sicher sein, korrekte und vollständige Informationen zu › Informationsbias, Seite 255). erhalten (z Retrospektive Studien (insbesondere Fall-Kontroll-Studien) können wertvolle Hinweise auf mögliche kausale Zusammenhänge liefern. Gegebenenfalls sind sie der Anlass zu einer nachfolgenden prospektiven Studie. Sie lassen sich – sofern man sich auf vollständige und richtig erfasste Daten stützen kann – auch bei der Qualitätskontrolle einsetzen (z. B. um den Erfolg einer therapeutischen Maßnahme oder die Häufigkeiten von Komplikationen zu ermitteln). x Prospektive Studien. Prospektiv bedeutet „vorausschauend“. Bei „ diesen Studien ermittelt man zunächst die Einflussgrößen und

252

Kapitel 13 · Grundlagen epidemiologischer Studienplanung

darauf basierend die Ausprägungen der Zielgrößen. Die Untersuchungsrichtung ist somit logischer als bei retrospektiven Studien. Prospektive Studien sind üblicherweise so angelegt, dass sich die Daten überwiegend nach Studienbeginn ergeben. Der Versuchsleiter hat dabei Kontrollmöglichkeiten bezüglich der Stichprobe, der zu erfassenden Merkmale, der Messmethoden und der Dokumentation. Dem Vorteil der hohen Datenqualität steht als Nachteil ein erhöhter Zeitbedarf gegenüber. Kohortenstudien sind die bekanntesten prospektiven Studien; viele Risiko- und Prognosestudien werden als Kohortenstudie › Abschnitte 14.1.6 und 14.3.1). Auch Experimente durchgeführt (z › Abschnitte 15.1 und 15.2) und randomisierte klinische Studien (z sind prospektiv angelegt. 13.3.4 Beobachtend versus experimentell x Beobachtungsstudie. Dabei nimmt der Versuchsleiter in Bezug „ auf die interessierenden Eigenschaften der Untersuchungseinheiten eine passive Rolle ein – d. h. er beobachtet, dokumentiert und wertet die Daten aus. Er greift aber nicht aktiv in das Geschehen ein, und er versucht nicht, die Studienteilnehmer zu beeinflussen. Beobachtende Studien können sehr einfach und rein deskriptiv konzipiert sein (z. B. als Fallserie). Sie können jedoch auch als Longitudinalstudie angelegt sein und – wenn mehrere Merkmale erfasst und analysiert werden – wertvolle Hinweise auf mögliche Zusammenhänge geben und damit analytischen Charakter annehmen (z. B. Fall-KontrollStudie oder Kohortenstudie). In Kapitel 14 werden diverse epidemiologische Beobachtungsstudien vorgestellt.

13

x Experimentelle Studie. Bei einem Experiment (oder Interven„ tionsstudie) gibt der Versuchsleiter die Ausprägungen der Einflussgrößen zumindest teilweise vor. Im Mittelpunkt steht dabei meist eine nicht-menschliche Population (z. B. Tiere oder Zellkulturen). Experimentelle Studien sind in jedem Fall analytisch und prospektiv. Der Versuchsleiter hat optimale Einflussmöglichkeiten auf die Stichproben, die Datenerhebung und -auswertung. Experimente in der Humanmedizin sind ethisch nicht unproblematisch und werden deshalb selten durchgeführt. Eine Ausnahme stellen randomisierte klinische Studien dar, bei denen eine Therapieform vom Versuchsleiter vorgegeben wird. In Kapitel 15 wird auf randomisierte Studien näher eingegangen.

253

13

13.4 Fehlermöglichkeiten

13.3.5 Monozentrisch versus multizentrischƒƒƒ x Monozentrische Studie. Bei monozentrischen Studien werden die „ Patienten oder Probanden aus einer einzigen Institution (z. B. einer Klinik) rekrutiert. x Multizentrische Studie. Bei seltenen Krankheiten mag es schwie„ rig sein, in einer einzigen Klinik eine ausreichende Zahl von Teilnehmern zu gewinnen. In diesen Fällen bieten sich multizentrische Studien an, bei denen Patienten aus mehreren Einrichtungen zusammengefasst und gemeinsam analysiert werden.

13.4

Fehlermöglichkeiten

Generell unterscheidet man zwischen zufälligen und systematischen Fehlern. Systematische Fehler werden auch Bias genannt. 13.4.1 Zufällige Fehler Zufällige Fehler sind durch die Variabilität der Studienteilnehmer begründet. Man unterscheidet:

ŷ Interindividuelle Variabilität. Bei mehreren Beobachtungs-

einheiten erhält man beim Messen eines bestimmten Parameters (z. B. Blutdruck) bekanntlich unterschiedliche Ergebnisse – auch dann, wenn die zu untersuchende Stichprobe eine weitgehend homogene Population darstellt. ŷ Intraindividuelle Variabilität. Selbst bei einer einzigen Beobachtungseinheit ergeben sich beim Messen einer Größe unter denselben Bedingungen unterschiedliche Werte. Da sich diese Variabilitäten nicht eliminieren lassen, sind zufällige Fehler generell nicht vermeidbar. Sie lassen sich aber bei einer sorgfältigen Versuchsplanung kontrollieren und auf ein Minimum reduzieren. Bei der Behandlung der Schätzmethoden wurde darauf hingewiesen, dass ein hoher Stichprobenumfang und eine geringe Streuung der Daten dazu beitragen, den zufälligen Fehler gering zu › Abschnitt 9.3.4). Man sollte deshalb darauf achten, dass halten (z die Stichproben bezüglich wichtiger Einflussgrößen homogen sind. Dies lässt sich erreichen durch:

254

Kapitel 13 · Grundlagen epidemiologischer Studienplanung

x Selektion. Man wählt die Stichprobe nur aus einem bestimmten „ Teil der Grundgesamtheit aus. Die Ergebnisse sind dann allerdings nur eingeschränkt auf diese Teilgesamtheit übertragbar. x Stratifizierung (Schichten oder Blockbildung). Stratifizieren oder „ Schichten bedeutet: Man fasst mehrere Beobachtungseinheiten, die sich bezüglich eines oder mehrerer Merkmale ähneln, in einer Schicht zusammen (etwa nach Geschlecht und / oder Alter). Innerhalb einer solchen homogenen Schicht ist der zufällige Fehler reduziert; Unterschiede in den Zielgrößen sind dann klarer erkennbar. Der zufällige Fehler lässt sich – nachdem die Datenanalyse durchgeführt worden ist – anhand eines adäquaten Konfidenzintervalls kontrollieren. Während der p-Wert die Irrtumswahrscheinlichkeit quantifiziert (also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nachgewiesener Effekt nur zufällig zustande gekommen ist), informiert das Konfidenzintervall über die Größe dieses Effekts. Je heterogener die Stichprobe ist, desto ungenauer ist die Schätzung und desto breiter ist das Konfidenzintervall. 13.4.2 Systematische Fehler Während zufällige Fehler das Ergebnis einer Studie unsicher machen, verfälschen systematische Fehler (Bias) ein Versuchsergebnis in eine bestimmte Richtung und verleiten zu fehlerhaften Schlüssen. Es gibt eine Vielzahl von Bias-Quellen. Die meisten davon lassen sich jedoch eine der folgenden Kategorien zuordnen: x Systematische Erfassungsfehler. Es versteht sich von selbst, dass „ die Messgeräte einwandfrei funktionieren müssen, die Messverfahren valide und die messende Person in der Lage sein muss, mit dem Gerät umzugehen.

13

x Selektionsbias. Dieser Bias tritt auf, wenn mehrere zu verglei„ chende Gruppen sich in wesentlichen Charakteristika unterscheiden, die relevant für das Studienergebnis sind. Dies wäre beispielsweise dann der Fall, wenn alle Patienten einer Therapiegruppe a priori nur leicht erkrankt sind (z. B. ambulante Patienten), während die Patienten einer anderen Gruppe schwer erkrankt sind (z. B. stationäre Patienten). Da der Schweregrad der Krankheit eine wichtige Determinante für die Wirkung einer Therapie ist, würde ein Vergleich der beiden Gruppen zu falschen Schlussfolgerungen verleiten. Ein Vergleich ist nur dann sinnvoll, wenn die Gruppen strukturgleich sind. Bei Fall-Kontroll-Studien ist die paarweise Zuordnung

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13

13.4 Fehlermöglichkeiten

› Abschnitt 14.1.5), bei klinisch kontrollierten Studien (Matchen, z › Abschnitt 15.1.2) geeignet, strukturgleiche die Randomisation (z Gruppen zu erhalten. x Informationsbias. Dieser Bias liegt vor, wenn die Methoden zur „ Informationsgewinnung bei den zu vergleichenden Patientengruppen uneinheitlich sind. Er kann kontrolliert werden, indem auf Beobachtungsgleichheit geachtet wird. Im Einzelnen bedeutet dies: Alle Untersuchungseinheiten müssen von denselben Personen, im selben Zeitraum und mit denselben Methoden beobachtet werden. Bei klinischen Studien ist die Blindung das Mittel der Wahl. Optimal ist eine doppelblinde Studie, bei der weder der untersuchende Arzt noch die Patienten über die Therapie im Einzelfall in› Abschnitt 15.1.3). Dadurch sollen autosuggestive formiert sind (z Einflüsse auf beiden Seiten ausgeschaltet werden. – Es ist ein Manko multizentrischer Studien, dass die Beobachtungsgleichheit nur eingeschränkt gewährleistet werden kann. x Bias durch Confounder. Confounder sind verzerrende Störgrößen, „ die den Zusammenhang zwischen der Einflussgröße und der Zielgröße verfälschen und somit präventive Maßnahmen verhindern oder fehlleiten können. Verzerrende Störgrößen stehen in Zusammenhang mit der Einflussgröße und wirken sich damit indirekt auch auf die Zielgröße aus. Ein einfaches Beispiel mag dies verdeutlichen: Innerhalb einer Patientenkohorte mit einer hohen Letalität sollen Faktoren evaluiert werden, die das Risiko zu sterben (Zielgröße) beeinflussen. Ziel der Studie ist es, Präventionsmaßnahmen zu formulieren. Das Risiko zu sterben ist bekanntlich auch vom Alter abhängig. Innerhalb einer Kohorte sterben jedoch auch mehr nicht-verheiratete Patienten als verheiratete. Da der Partnerstatus sowohl mit der Zielgröße „Tod“ als auch mit der Einflussgröße „Alter“ assoziiert ist (Patienten im höheren Alter sind eher verwitwet und sterben früher), handelt es sich um eine verzerrende Störgröße. Würde der Partnerstatus als eine kausale Einflussgröße missgedeutet, könnte eine fehlgeleitete Präventionsmaßnahme sein, bei Diagnose der Erkrankung zu heiraten bzw. sich wieder zu verheiraten. Systematische Fehler sind bei einer guten Versuchsplanung weitgehend vermeidbar. Insbesondere muss – wenn mehrere Gruppen zu vergleichen sind – unbedingt auf Struktur- und Beobachtungsgleichheit geachtet werden.

256

13.5

Kapitel 13 · Grundlagen epidemiologischer Studienplanung

Die Studienplanung

13.5.1 Die Bedeutung der Planung Studien in der epidemiologischen und klinischen Forschung sind in der Regel mit einem hohen organisatorischen, zeitlichen und finanziellen Aufwand verbunden. Dies trifft auch – wenngleich in geringerem Maße – für Doktorarbeiten zu. Die Ergebnisse dieser Studien werden in der Regel publiziert und dienen anschließend zahlreichen Ärzten als Entscheidungshilfen bei der Behandlung ihrer Patienten. Es ist daher essenziell wichtig, dass die Ergebnisse valide sind. Die Güte und praktische Relevanz einer Studie lassen sich anhand von zwei Kriterien beurteilen: x Interne Validität. Eine Studie ist intern valide, wenn deren „ Ergebnisse und die daraus gezogenen Schlussfolgerungen für die Patienten, die an der Studie partizipierten, korrekt sind. Die interne Validität ist notwendig, aber nicht hinreichend dafür, dass die Studie sinnvoll ist.

13

x Externe Validität. Darunter versteht man die Generalisierbarkeit „ oder die Verallgemeinerungsfähigkeit der Studienergebnisse. Ein Arzt, der die Ergebnisse einer Studie zur Kenntnis nimmt, möchte natürlich wissen, ob und inwieweit diese auf seine Patienten übertragbar sind. Eine Studie mit hoher interner Validität kann völlig in die Irre führen, wenn deren Ergebnisse auf die falschen Patienten übertragen werden. Der Schluss auf die Grundgesamtheit ist nur möglich, wenn die Stichprobe repräsentativ ist. Ansonsten bleibt die Aussagekraft der Studie auf die Stichprobe beschränkt. Daher stellt sich die Frage: Für welches Patientenkollektiv sind die Ergebnisse gültig? Kann man von der untersuchten Stichprobe (z. B. Patienten mit Psoriasis in einer bestimmten Klinik) auf die interessierende Grundgesamtheit schließen, und wie ist diese beschaffen (etwa Psoriasis-Patienten in ganz Deutschland, Europa oder gar weltweit)? Bei solchen Schlussfolgerungen muss man sehr vorsichtig sein. Die interne und die externe Validität und damit die Anwendbarkeit einer Studie werden in hohem Maße von einer sorgfältigen und detaillierten Planung bestimmt. ! Der Imperativ einer guten Planung wird gerne vergessen, wenn es darum z

geht, schnell Ergebnisse für eine Dissertation oder eine attraktive wissenschaftliche Tagung zu bekommen. Es ist sicherlich einfacher, eine bekannte Labormethode mechanisch an einer kleinen Stichprobe einzusetzen oder für

257

13

13.5 Die Studienplanung

eine so genannte „klinische Doktorarbeit“ ohne wesentliche Vorbereitungen staubige Krankenakten zu ziehen. Bei derlei Vorgehen kommen jedoch zumeist nur schlechte Studien heraus. Auch spektakuläre Ergebnisse einer neuen Labormethode können nur kurz über ein mangelhaftes Studiendesign hinwegtäuschen. Was nutzt es beispielsweise, Zytokinpolymorphismen zu untersuchen, wenn keine Klarheit über die Repräsentativität der gewählten Stichprobe besteht? Was nutzen Unmengen aus Patientenakten entnommene Daten, wenn keine Fragestellung vorgegeben ist bzw. sich die vorgegebene Fragestellung damit nicht beantworten lässt? Daher sollten insbesondere Doktoranden sich mit dem Thema „Studienplanung“ auseinander setzen.

13.5.2 Komponenten der Planung Ziel der Studienplanung ist es, auswertbare Daten zu gewinnen, die dazu dienen, eine vorgegebene Fragestellung zu beantworten. Zu Beginn stehen folgende Überlegungen: x Ziel der Studie. Zunächst ist zu klären: Wie lautet die „ Hauptfragestellung? Keine Studie sollte begonnen werden, wenn die exakte Fragestellung nicht bekannt ist. Aufbauend auf eigenen oder fremden Vorstudien muss dann die Fragestellung als Hypothese formuliert werden. x Ziel- und Einflussgrößen. Die Ziel- und Einflussgrößen hängen „ eng mit der Fragestellung zusammen und ergeben sich inhaltlich aus der Hypothese. Da die Einflussgrößen in funktionalem Zusammenhang zur Zielgröße stehen, resultieren Erkenntnisse bezüglich der Zielgröße(n) aus den Einflussgrößen. Wenn beispielsweise im Rahmen einer Kohortenstudie der Beginn einer bestimmten Erkrankung als Zielgröße untersucht wird, ist es sinnvoll, Einflussgrößen wie Risikofaktoren (z. B. das Alter bei Eintritt in die Kohorte oder die Familienanamnese) zu untersuchen. Ohne Kenntnis dieser Faktoren ist keine Prävention möglich. Natürlich ist es nicht möglich, alle denkbaren Einflussgrößen zu erfassen. Bei deren Auswahl muss man abwägen zwischen dem, was wünschenswert ist und dem, was praktisch realisierbar erscheint. Je mehr Merkmale berücksichtigt werden, desto aufwendiger wird die Studie und desto komplexer sind die Analysemethoden. Es ist deshalb sinnvoll, sich auf wenige, wichtige Faktoren zu konzentrieren. Es ist in jedem Fall wichtig, alle Ziel- und Einflussgrößen und deren Eigenschaften (Merkmalsart, Skalenniveau, Ausprägungen) genau anzugeben. Diese Eigenschaften sind auch abhängig davon, ob die Daten bereits vorliegen (wie in retrospektiven Studien) oder erst

258

Kapitel 13 · Grundlagen epidemiologischer Studienplanung

nach Studienbeginn erhoben werden (wie in prospektiven und experimentellen Studien). x Wahl eines statistischen Modells. Jede Analysemethode ist nur „ unter einschränkenden Voraussetzungen anwendbar; d. h. es werden bestimmte Eigenschaften der zu untersuchenden Merkmale angenommen. Ein statistisches Modell kann die Wirklichkeit zwar niemals vollständig, es sollte sie aber unter bestmöglicher Ausnutzung aller zur Verfügung stehenden Informationen optimal beschreiben. Der Anwender eines statistischen Verfahrens muss sich im Vorfeld überlegen, ob dessen Voraussetzungen erfüllt sind und ob die Hypothesen der inhaltlichen Fragestellung angemessen sind. Wenn man ein Verfahren anwendet, obwohl dessen Voraussetzungen in grober Weise verletzt sind, erhält man zwar numerische Ergebnisse. Diese sind aber eventuell mit einem systematischen Fehler behaftet und damit wertlos. – Bei analytischen Studien empfiehlt es sich, im Vorfeld den Rat eines Epidemiologen und / oder eines Biomathematikers einzuholen. x Ethik. Nicht alles, was unter statistischen Gesichtspunkten sinn„ voll und machbar ist, ist auch ethisch vertretbar. Deshalb müssen alle Studien, bei denen Patienten oder gesunde Probanden involviert sind (insbesondere randomisierte Therapiestudien), von einer Ethikkomission begutachtet werden. x Logistische Überlegungen. Ist die Studie unter den vorgegebenen „ Bedingungen durchführbar? Stehen genügend Ressourcen an Zeit, Geld, Personal etc. zur Verfügung? Kann die Anzahl der benötigten Patienten in absehbarer Zeit rekrutiert werden? Sind die notwendigen Messgeräte vorhanden und funktionieren sie einwandfrei?

13

Planungsfehler können zu einem späteren Zeitpunkt kaum noch korrigiert werden. Deshalb ist es extrem wichtig, die oben angesprochenen Fragen im Vorfeld zu beantworten. ! Diese Tipps mögen sich bitte auch Doktoranden zu Herzen nehmen. Es z

kommt leider immer wieder vor, dass Studenten mit großem Eifer eine Dissertation beginnen und dann nach etlichen Monaten oder sogar Jahren feststellen, dass die Arbeit so wie vorgesehen nicht durchzuführen ist. Nur mit einer guten Versuchsplanung (und einem kompetenten Betreuer) lässt sich ein solches Desaster vermeiden. Detaillierte und nützliche Informationen zu diesem Thema findet man in [14].

14

Beobachtungsstudien in der Epidemiologie 14.1 Risikostudien 261 14.1.1 Einleitende Bemerkungen 261 14.1.2 Fallberichte 262 14.1.3 Fallserien 262 14.1.4 Prävalenzstudien 263 14.1.5 Fall-Kontroll-Studien 264 14.1.6 Kohortenstudien 268 14.1.7 Ökologische Studien 272 14.1.8 Der Nachweis einer Kausalität 272

14.2 Diagnostische Studien 273 14.2.1 Einleitende Bemerkungen 273 14.2.2 Die Güte eines diagnostischen Tests 274 14.2.3 Die ROC-Analyse 275 14.2.4 Reproduzierbarkeit 277

14.3 Prognosestudien 279 14.3.1 Einleitende Bemerkungen 279 14.3.2 Die Beschreibung einer Prognose 280 14.3.3 Die Kaplan-Meier-Methode 280 14.3.4 Die Evaluierung prognostischer Faktoren 282

261

14

14.1 Risikostudien

14.1

Risikostudien

14.1.1 Einleitende Bemerkungen Viele Menschen haben ein großes Interesse zu erfahren, welchen potentiellen Risikofaktoren sie ausgesetzt sind und wie hoch gegebenenfalls ihr persönliches Risiko ist, eine eine bestimmte Krankheit zu entwickeln. Auch ein Arzt ist daran interessiert, mögliche Risikofaktoren eines Patienten zu kennen. Sollte es sich um vermeidbare Risikofaktoren handeln (z. B. Rauchen), kann er dem Patienten raten, seine Lebensweise entsprechend zu ändern. Andernfalls kann er eventuell Maßnahmen treffen, um die Auswirkung eines ätiologischen Faktors abzuschwächen. Ignaz Philipp Semmelweis gelang es beispielsweise, durch hygienische Maßnahmen die durch Kindbettfieber verursachte Mortalität drastisch zu denken. John Snow sorgte durch die Schließung eines Brunnens in London dafür, dass das Cholera-Risiko reduziert wurde. Der Zusammenhang zwischen einer Erkrankung und einem Risikofaktor ist jedoch in vielen Fällen nicht so klar und eindeutig. Ein wichtiger Grund ist darin zu sehen, dass die meisten Krankheiten multiple Ursachen haben und dass ein bestimmter Risikofaktor (z. B. Rauchen) das Auftreten nicht nur einer, sondern diverser Krankheiten begünstigt. Andere Gründe liegen in der langen Latenzzeit vieler Krankheiten (z. B. bei Krebs) oder deren geringer Inzidenz. Um einen Risikofaktor zu identifizieren und dessen Einfluss auf eine Krankheit quantitativ zu beschreiben, sind epidemiologische Studien notwendig. Zunächst soll die Bedeutung einiger häufig verwendeter Begriffe dargelegt werden. x Risiko. Darunter versteht man die Wahrscheinlichkeit eines „ unerwünschten Ereignisses. Häufig benutzte Risiken in der Medizin › Abschnitt 6.3). sind die Inzidenz und die Mortalität (z x Risikofaktoren oder ätiologische Faktoren. Dies sind Merkmale, „ die mit einem erhöhten Erkrankungsrisiko assoziiert sind. Risikofaktoren können erblich sein oder aus dem materiellen Umfeld stammen (wie etwa Erreger von Infektionskrankheiten oder Umweltgifte). Andere sind sozial geprägt (z. B. psychische Belastungen) oder verhaltensbedingt (z. B. Rauchen, Alkoholkonsum).

262

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

x Exposition. Eine Person gilt als exponiert, wenn sie mit einem „ Risikofaktor behaftet ist bzw. mit ihm in Kontakt gekommen ist. Im Folgenden werden diverse Studientypen vorgestellt, mit denen sich Zusammenhänge zwischen Krankheiten und Risikofaktoren nachweisen lassen – angefangen bei Fallberichten einfachster Art bis hin zu groß angelegten, aufwendigen Kohortenstudien. 14.1.2 Fallberichteƒƒƒ Ein Fallbericht ist eine ausführliche Beschreibung eines interessanten Einzelfalls oder einiger weniger Fälle (bis zu 10). Er eignet sich:

ŷ um Krankheitsbilder, die erstmals beobachtet werden, einer akademischen Öffentlichkeit vorzustellen;

ŷ um ungewöhnliche Manifestationen einer Krankheit zu beschreiben.

14

Fallberichte beinhalten – bedingt durch die niedrige Patientenanzahl – keine statistische Analyse. Die sich daraus ergebenden Erkenntnisse lassen sich kaum verallgemeinern. Dem Leser eines solchen Berichts fällt es mitunter schwer zu beurteilen, ob hier eine relevante Neuentdeckung oder nur eine merkwürdige Kuriosität beschrieben wird. Es gibt diverse Krankheitsbilder, die aufgrund eines Fallberichts bekannt wurden. So gab es etwa zu Beginn der 1980er Jahre aufgrund eines Fallberichtes über das Auftreten von Kaposisarkomen bei jungen männlichen Homosexuellen in New York erste Hinweise auf eine neue Infektion. Demnach können Fallberichte erste Hinweise auf mögliche Zusammenhänge zwischen einem Krankheitsbild und einem potentiellen Risikofaktor liefern – insbesondere dann, wenn aufgrund eines solchen Berichts weitere, ähnlich gelagerte Fälle gemeldet werden. Der vermutete Zusammenhang muss dann aber im Rahmen einer größeren, nachfolgenden Studie überprüft werden. 14.1.3 Fallserienƒƒƒ Eine Fallserie unterscheidet sich von einem Fallbericht durch die Anzahl der involvierten Patienten. Es handelt sich um eine einfache, deskriptive Studie über eine Gruppe von Patienten, die an einer bestimmten Krankheit leiden. So hat beispielsweise im Jahre 1941 ein Chirurg aus New Orleans, Alton Ochsner, eine Fallserie veröffent-

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14

14.1 Risikostudien

licht, in der er nachwies, dass fast alle von ihm an Lungenkrebs operierten Patienten Raucher waren. Er stellte daraufhin die Hypothese auf, dass Rauchen mit Lungenkrebs assoziiert sei. Dies war damals eine umstrittene Hypothese, die mittlerweile aufgrund weiterer Studien eindrucksvoll bestätigt wurde. Dieses Beispiel zeigt, dass Fallserien durchaus in der Lage sind, Hypothesen zu generieren. Es ist auch möglich, einfache statistische Maßzahlen zu ermitteln. Das große Manko von Fallserien ist jedoch das Fehlen einer Vergleichsgruppe. Ochsner konnte nur aufgrund der ihm bekannten Tatsache, dass andere Leute weit weniger rauchen als seine Patienten, seine Hypothese aufstellen. Allerdings reichen zur Bestätigung einer Hypothese Fallserien nicht aus. 14.1.4 Prävalenzstudien Eine Prävalenzstudie ist eine Querschnittsstudie, in der simultan bei jedem Teilnehmer erfasst wird, ob er an einer bestimmten Erkrankung leidet und ob er exponiert ist. Ein Beispiel für eine solche Studie bestünde darin, die Mitglieder einer Population gleichzeitig danach zu untersuchen, ob sie an einer koronaren Herzkrankheit leiden und ob ihr Blutdruck erhöht ist. Der Anteil der Erkrankten entspricht der Prävalenz. Man kann nun mit einer geeigneten Analysemethode (z. B. einem Chi2-Test) nachweisen, ob ein statistischer Zusammenhang zwischen der Exposition und der Erkrankung be› steht und diesen mittels eines Assoziationsmaßes quantifizieren (z Abschnitte 12.2.1 und 12.2.4). Wenn eine Assoziation nachgewiesen wird, sollte dieses Ergebnis jedoch aus folgenden Gründen mit Vorsicht interpretiert werden:

ŷ Die Prävalenz ist kein Maß für das Risiko, die Krankheit zu

entwickeln. Sie bezieht sich auf das Überleben nach einer Krankheit; Todesfälle bleiben unberücksichtigt. ŷ Es kann kein zeitlicher Zusammenhang hergeleitet werden, da man nicht schlussfolgern kann, dass die Exposition der Krankheit vorausging. Prävalenzstudien sind überwiegend deskriptiv. Sie sind keineswegs ausreichend, zeitliche oder kausale Zusammenhänge abzusichern; sie können allenfalls Hinweise geben.

264

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

14.1.5 Fall-Kontroll-Studien Bei diesem Studientypus werden Fälle (Patienten, die an einer bestimmten Krankheit leiden) und Kontrollen (Personen, die von dieser Krankheit nicht betroffen sind) bezüglich eines oder mehrerer ätiologischer Faktoren miteinander verglichen. Die Untersucher eruieren (durch Befragungen, anhand von Patientenakten oder Laborbefunden), welche Fälle und welche Kontrollen in der Vergangenheit exponiert waren. Fall-Kontroll-Studien sind retrospektiv und – im Gegensatz zu den oben erwähnten Studienformen – analytisch. x Auswahl der Fälle. Die Fälle werden meist aus einer Klinik oder „ aus Arztpraxen rekrutiert. Es ist sinnvoll, neu diagnostizierte Fälle in die Studie aufzunehmen („Inzidenzfälle“). Wenn die Patienten bereits seit längerer Zeit erkrankt sind („Prävalenzfälle“), besteht die Gefahr, dass nur Langzeitüberlebende berücksichtigt werden. Es ist in jedem Fall wichtig, darüber nachzudenken, für welche Population die Fallgruppe repräsentativ ist. x Auswahl der Kontrollen. Diese Auswahl ist weitaus schwieriger „ zu treffen als die der Fälle. Einerseits sollten die Kontrollen den Fällen ähneln; andererseits sollte die Kontrollgruppe repräsentativ für alle nicht erkrankten Personen der Population sein. Selbstverständlich darf unter den Kontrollen niemand an der zu untersuchenden Krankheit leiden, da dann Unterschiede zwischen den Fällen und Kontrollen nicht erkannt würden. – Es sind mehrere Strategien entwickelt worden, um Kontrollen zu finden:

ŷ Populationsbasierter Ansatz. Die Kontrollen wählt man aus der-

14

selben Population, aus der die Fälle stammen; im Idealfall in Form einer Zufallsstichprobe, etwa durch zufällig ausgewählte Telefonnummern. Problematisch ist jedoch, dass diese Personen im Allgemeinen wenig Interesse an der Studie haben und daher häufig nicht kooperativ sind. Ein anderer Ansatz besteht darin, zu jedem Fall den Partner, ein Geschwister oder einen Freund als Kontrollperson heranzuziehen. Es ist anzunehmen, dass diese Kontrollen in vielen Eigenschaften mit dem passenden Fall › paarweise Zuordnung, Seite 266). übereinstimmen (z ŷ Krankenhausbasierter Ansatz. Die Auswahl der Kontrollen aus Krankenhäusern (mit einer anderen Diagnose als die Fälle) ist oft einfacher und kostengünstiger durchzuführen. Allerdings stellt sich dabei das Problem, dass diese Kontrollen nicht unbedingt repräsentativ für die Allgemeinbevölkerung sind. Es ist darauf zu

265

14

14.1 Risikostudien

achten, dass die Erkrankung der Kontrollen in keinem Zusammenhang mit dem zu untersuchenden Risiko steht. Wenn etwa ein Zusammenhang zwischen Lungenkrebs und Rauchen nachzuweisen ist und als Kontrollgruppe Patienten mit koronarer Herzkrankheit gewählt würden, könnten sich auch unter den Kontrollen überdurchschnittlich viele Raucher befinden. Es wäre dann schwierig, den interessierenden Zusammenhang nachzuweisen. – Ein weiteres Problem entsteht mitunter dadurch, dass Krankenhausärzte nicht immer motiviert sind, ihre Patienten als Kontrollen zur Verfügung zu stellen. ŷ Mehrere Kontrollgruppen. Eine dritte Strategie besteht darin, mehrere Kontrollgruppen unterschiedlicher Herkunft zu wählen (beispielsweise aus mehreren Abteilungen eines Krankenhauses und aus der Umgebung) und diese Kontrollen miteinander zu vergleichen. Systematische Fehler aufgrund der Auswahl der Kontrollen sind dann eher erkennbar. Diese Vorgehensweise ist freilich entsprechend aufwendig. x Biasquellen. Fall-Kontroll-Studien sind anfällig für diverse „ systematische Fehler (Bias), insbesondere für:

ŷ Selektionsbias. Dieser Fehler tritt auf, wenn sich Fall- und Kon-

trollgruppe in wesentlichen Eigenschaften (außer der zu untersuchenden Krankheit) unterscheiden. Dies könnte das Endresultat der Studie entscheidend beeinflussen. Diesem Bias versucht man durch paarweise Zuordnung (Matchen) zu begegnen › Seite 266). (z ŷ Informations-Bias. Eine Fall-Kontroll-Studie birgt in sich die Gefahr eines Recall-Bias; das ist eine besondere Form des Informationsbias. Fälle, die von der Krankheit unmittelbar betroffen sind, können sich an zurückliegende Ereignisse oft besser erinnern als Kontrollen. Eine Mutter, die ein krankes Kind zur Welt › Beispiel 14.2), wird sich an außergewöhnliche gebracht hat (z Ereignisse zu Beginn ihrer Schwangerschaft wesentlich besser erinnern als eine Mutter mit einem gesunden Baby, die derlei Vorkommnisse möglicherweise vergessen hat. Dies könnte zu einer Überschätzung eines möglichen Risikofaktors führen und zu falschen Schlussfolgerungen verleiten. – Eine andere Art von Informationsbias liegt vor, wenn Ehepartner oder Freunde als Kontrollen fungieren oder anstelle der Fälle (z. B. nach deren Tod) befragt werden: Sie tendieren häufig dazu, negative Eigenschaften „ihres Falles“ zu verschweigen.

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Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

ŷ Bias durch Confounding. Diese Gefahr ist bei Fall-Kontroll-Stu-

dien besonders groß. Wenn ein statistischer Zusammenhang zwischen einer Krankheit und einem Einflussfaktor nachgewiesen wird, folgt daraus nicht notwendigerweise, dass der Zusammenhang kausal ist. Es könnte sich auch um einen Confounder handeln.

Beispiel 14.1 Alkohol ist als Risikofaktor für das Auftreten einer Psoriasis (Schuppenflechte) identifiziert. Ein mit dem Alkoholkonsum assoziierter Faktor ist der Nikotinkonsum. Wenn nun in einer Fall-Kontroll-Studie nachgewiesen wird, dass Nikotimkonsum in Zusammenhang mit der Krankheit „Psoriasis“ steht, mag es nahe liegend erscheinen, diese Assoziation als kausal anzusehen. In Wirklichkeit ist das Rauchen eine verzerrende Störgröße, also ein Confounder. Präventionsmaßnahmen, die auf eine Verringerung des Nikotinkonsums ausgelegt wären, würden nicht zu einer Verminderung der Neuerkrankungen an Psoriasis führen.

x Paarweise Zuordnung (Matchen). Diese Methode wird häufig an„ gewandt, wenn die Kontrollen aus Krankenhauspatienten ausgewählt werden, Dabei wird für jeden Fall eine passende Kontrolle gesucht, die mit dem Fall in einigen prognostisch relevanten Merkmalen übereinstimmt. Auf diese Weise erhält man strukturgleiche Gruppen. Häufig erfolgt die paarweise Zuordnung nach Geschlecht und Alter. Andere Faktoren, nach denen sinnvollerweise gematcht wird, sind abhängig von der konkreten Fragestellung. Folgendes ist zu beachten:

ŷ Praktische Probleme entstehen, wenn die Zuordnung nach zu

14

vielen Faktoren durchgeführt wird. Es ist dann entsprechend schwierig oder gar vollkommen unmöglich, eine passende Kontrolle zu finden. ŷ Konzeptionelle Probleme ergeben sich dadurch, dass ein Merkmal, nach dem gematcht wurde, nicht mehr als potentieller Risikofaktor evaluiert werden kann. Wenn beispielsweise in der Fall- und der Kontrollgruppe die Altersverteilung identisch ist, kkann nicht mehr überprüft werden, ob das Alter in Zusammenhang mit der Krankheit steht. Deshalb sollte nur nach bekannten Risikofaktoren gematcht werden. x Statistische Analyse. Im einfachsten Fall untersucht man den Zu„ › Beispiel 14.2). sammenhang zwischen zwei Alternativmerkmalen (z Geeignete Methoden, um einen solchen Zusammenhang abzusi› Abchern, sind der Chi2-Vierfeldertest oder Fisher’s exakter Test (z

14

267 14.1 Risikostudien

schnitte 12.2.1 und 12.3). Bei Fall-Kontroll-Studien ist es üblich, zusätzlich die Odds Ratio (Chancenverhältnis) als Annäherung für das relative Risiko angegeben. Diese Maßzahl berechnet sich basierend auf den Häufigkeiten der Vierfeldertafel als: OR

ad bc

(14.1)

Die Odds Ratio ist 1, falls kein Zusammenhang zwischen der Erkrankung und der Exposition nachweisbar ist. Wenn mehr Fälle als Kontrollen exponiert waren, ist sie größer als 1. Um beurteilen zu können, ob der Zusammenhang signifikant ist, sollte man die Odds Ratio zusammen mit dem Konfidenzintervall angeben. i Die Odds Ratio quantifiziert das Verhältnis zwischen zwei Odds. Der z englische Begriff „Odds“ hat etwa die Bedeutung von Gewinnchancen bei Wetteinsätzen. Die Chance der Fallgruppe, einem Risiko ausgesetzt gewesen zu sein, ist a / c ; bei den Kontrollen ist diese Chance b / d . Der Quotient dieser Odds ist die Odds Ratio.

Beispiel 14.2 Wir betrachten eine (hypothetische) Studie, in der 50 Frauen, die ein missgebildetes Baby zur Welt gebracht hatten (Fälle), befragt wurden, ob sie zu Beginn ihrer Schwangerschaft ein bestimmtes Medikament eingenommen hatten. Ihnen wurden 50 Frauen gegenübergestellt, die ein gesundes Baby geboren hatten (Kontrollen) und ebenfalls befragt. Es ergab sich folgendes Bild: Daraus berechnet man: OR 9,333 . Medikament Fälle Kontrollen Dies impliziert, dass die Frauen mit genommen einem kranken Baby häufiger dem ja a = 35 b = 10 Risikofaktor ausgesetzt waren. nein c = 15 d = 40 Das Konfidenzintervall erstreckt sich zwischen 3,72 und 23,42. Damit ist der Zusammenhang zumindest statistisch abgesichert.

Falls eine paarweise Zuordnung erfolgte, verwendet man anstelle des › Abschnitt 12.2.5). Die Odds Vierfeldertests den McNemar-Test (z Ratio wird in diesem Fall als der Quotient b / c bestimmt (wobei b die Anzahl der Paare, bei denen der Fall exponiert und der Kontrolle nicht exponiert ist und c die Anzahl der Paare, bei denen es umgekehrt ist). Wenn mehr als ein potentieller Risikofaktor zu analysieren ist, bietet sich die Logistische Regression an. Diese multiple Methode ist insbesondere bei Fall-Kontroll-Studien ein sehr mächtiges Verfahren:

268

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

ŷ Mehrere Einflussgrößen (qualitative und auch quantitative wie etwa das Alter) können gemeinsam berücksichtigt werden;

ŷ die Wirkung verschiedener Einflussgrößen lässt sich adjustieren; ŷ aus einer großen Menge von vorgegebenen Faktoren lassen sich

diejenigen selektieren, die in ihrer Kombination signifikant das Endergebnis beeinflussen.

x Anwendungen und Grenzen. Fall-Kontroll-Studien sind unver„ zichtbar für die Erforschung von möglichen Risikofaktoren. Ein wesentlicher Vorteil besteht darin, dass man nicht Jahre oder Jahrzehnte lang warten muss, bis man genügend „Fälle“ gesammelt hat, sondern auf bereits erkrankte Personen zurückgreifen kann. Ergebnisse liegen deshalb relativ schnell vor. Dies ist besonders wichtig bei Krankheiten mit langer Latenzzeit oder geringer Inzidenz. – Die Nachteile liegen wie bei allen retrospektiven Studien in der eventuell mangelhaften Datenqualität. Außerdem sind Fall-Kontroll-Studien sehr anfällig für Bias verschiedener Art. Einschränkend ist hinzuzufügen, dass Risiken für einzelne Gruppen (Exponierte oder Nicht-Exponierte) nicht berechnet werden können; lediglich das Odds Ratio kann bestimmt werden. Dieses Maß ist eine Annäherung für das relative Risiko – allerdings nur dann, wenn die Inzidenz der Erkrankung gering ist. 14.1.6 Kohortenstudien Eine Kohortenstudie ist eine prospektive Studie, bei der eine Gruppe exponierter Personen und eine Gruppe nicht exponierter ausgewählt und eine Zeit lang beobachtet werden. Dann werden diese Gruppen bezüglich des zu evaluierenden Risikos (Krankheit oder Tod) miteinander verglichen.

14

Beispiel 14.3 Ein bekanntes Beispiel ist die so genannte Framingham-Studie bezüglich kardiovaskulärer Krankheiten. Sie wurde im Jahr 1948 in der Stadt Framingham (USA) begonnen und umfasste etwa 5.100 Einwohner, die zu Beginn der Studie zwischen 30 und 60 Jahren alt waren und keine kardiovaskulären Krankheiten hatten. Die Studie dauerte mehr als 30 Jahre; die Studienteilnehmer wurden regelmäßig alle zwei Jahre untersucht. Dabei wurden mehrere Einflussfaktoren studiert: Rauchen, Adipositas, Bluthochdruck, erhöhte Cholesterinwerte, Alter u. a. Es wurde nachgewiesen, dass das Risiko, eine koronare Herzkrankheit zu entwickeln, mit zunehmendem Alter, erhöhtem Blutdruck, erhöhtem Cholesterinspiegel, Zigaretten- und Alkoholabusus sowie Übergewicht assoziiert ist.

269

14

14.1 Risikostudien

x Vorteile. Anhand des Beispiels 14.3 werden die Vorteile einer „ Kohortenstudie unmittelbar deutlich:

ŷ Die Studie folgt derselben Logik wie die klinische Fragestellung:

Man geht von den Einflussgrößen aus, wartet ab und untersucht schließlich, wann und bei welchen Personen die Krankheit eintritt. ŷ Die Studienteilnehmer werden kontinuierlich beobachtet; die Gefahr eines Recall-Bias aufgrund mangelnden Erinnerungsvermögens der Teilnehmer besteht daher nicht. ŷ Man kann die Inzidenzen für die exponierten und die nichtexponierten Personen direkt berechnen und miteinander vergleichen. Deshalb werden diese Studien auch als Inzidenzstudien bezeichnet. x Nachteile. Im Vergleich zu Fall-Kontroll-Studien gibt es auch „ deutliche Nachteile:

ŷ Es dauert unter Umständen sehr lange, bis hinreichend viele

Krankheitsfälle eingetreten sind. Dies gilt insbesondere bei Krankheiten mit langer Latenzzeit. ŷ Die Studie erfordert – insbesondere bei Krankheiten mit geringer Inzidenz – extrem viele Teilnehmer. ŷ Sie ist daher sehr aufwendig und teuer, da oft Tausende von Personen etliche Jahre lang in regelmäßigen Abständen untersucht werden müssen. x Vergleich der Risiken. Um zu evaluieren, ob ein ätiologischer „ Faktor tatsächlich ein erhöhtes Risiko für eine Erkrankung darstellt, erscheint es sinnvoll, die Gruppen der Exponierten und der NichtExponierten miteinander zu vergleichen. Das Risiko einer Erkrankung bei Vorliegen eines ätiologischen Faktors R entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit P( K | R ) . P( K | R ) ist dementsprechend die Wahrscheinlichkeit, dass bei Nicht-Vorhandensein des Faktors R die Krankheit entsteht. Anstelle des Ereignisses K (Krankheit) kann auch ein anderes Risiko stehen (z. B. Tod).

ŷ Absolute Risikoreduktion (zzuschreibbares oder attributierbares Risiko). Dies ist die Differenz

ARR

P( K | R)  P( K | R )

ARR ist größer als 0, wenn R ein Risikofaktor darstellt.

(14.2)

14

270

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

ŷ Number Needed to Treat (NNT). Diese Anzahl wird sehr einfach berechnet nach:

NNT

1 / ARR

(14.3)

Dieses Maß wurde ursprünglich für Therapiestudien entwickelt, um auszudrücken, wie viele Personen durchschnittlich behandelt werden müssen, damit eine von der Behandlung profitiert. Bei Risikostudien quantifiziert die NNT die Anzahl der Personen, die vom Risikofaktor befreit werden müssen, damit eine einzige Person profitiert.

ŷ Relatives Risiko. Darunter versteht man den Quotienten RR

P( K | R) P( K | R )

(14.4)

Wenn es sich bei R tatsächlich um einen Risikofaktor handelt, ist das relative Risiko größer als 1.

ŷ Relative Risikoreduktion. Dieses Maß ist definiert als: RRR

P( K | R)  P( K | R ) P( K | R)

(14.5)

Beispiel 14.4 In der bekannten Kohortenstudie von Doll und Hill (Doll, R.; Hill, A.B.: Mortality in relation to smoking: ten years’ observations of British doctors. Brit. Med. J. 1964; 1: 1399 – 1410) wurde bei 40.000 britischen Ärzten die Auswirkung des Faktors „Rauchen“ auf die Mortalitätsrate bei Lungenkrebs untersucht. Seien R das Ereignis, dass eine Person mindestens 25 Zigaretten pro Tag raucht und T das Ereignis, innerhalb eines Jahres an Lungenkrebs zu sterben. Die Autoren ermittelten P(T | R) 2,27 ‰ für Raucher und P(T | R ) 0,07 ‰, für Nichtraucher. Demnach beträgt das zuschreibbare Risiko ARR 2,2 ‰. Die Mortalität setzt sich zusammen aus dem Anteil 2,20‰, der dem Rauchen zuzurechnen ist, und dem kleineren Anteil 0,07‰, der auf andere Ursachen zurückzuführen ist. Daraus ergibt sich: NNT 1 / 0,0022 | 455 . Wenn 455 Raucher das Rauchen aufgeben, würde durchschnittlich einer pro Jahr weniger an Lungenkrebs sterben. – Das relative Risiko berechnet sich nach (14.4) als 32. Also ist für einen Raucher das Risiko, innerhalb eines Jahres an Lungenkrebs zu sterben, etwa 32mal so groß wie für einen Nichtraucher. Die relative Risikoreduktion nach (14.5) beträgt 97%. Das Risiko, an Lungenkrebs zu sterben, kann demnach um 97 % gesenkt werden, falls das Rauchen aufgeben wird. Oder: Der Tod an Lungenkrebs ist zu 97 % auf das Rauchen zurückzuführen.

271

14

14.1 Risikostudien ! Bei der Interpretation des relativen Risikos und der relativen Risikorez

duktion ist zu beachten, dass durch die Quotientenbildung die Größe der ursprünglichen Risiken nicht mehr in Erscheinung tritt. Die relativen Maßzahlen in Beispiel 14.4 sind sehr hoch. Sie verschweigen jedoch, dass das Risiko, innerhalb eines Jahres an Lungenkrebs zu sterben, generell gering ist (auch für Raucher).

Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Krankheit kann durch die Logistische Regression beschrieben werden. Dieses multiple Verfahren ermöglicht es, mehrere ätiologische Faktoren zu berücksichtigen und deren komplexe Wechselwirkungen zu untersuchen. Anhand der Merkmale, die einen statistisch signifikanten Einfluss auf die Zielgröße haben, lässt sich dann im Einzelfall die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Krankheit eintritt.

x Biasquellen. Kohortenstudien erfordern eine gewisse Stabilität „ der beobachteten Population. Bei lang andauernden Studien ist allerdings damit zu rechnen, dass Teilnehmer vorzeitig ausscheiden (so genannte Studienabbrecher oder Drop Outs). Dies kann zu einem Selektionsbias führen, wenn die Gründe des Ausscheidens mit der Zielgröße in Zusammenhang stehen. Ferner kann es passieren, dass Teilnehmer ihre Gewohnheiten im Laufe der Zeit ändern (wenn etwa aus einem ehemals starken Raucher ein Nichtraucher wird). Dies sollte bei der Auswertung unbedingt berücksichtigt werden. Ein letzter Hinweis: Nicht jede Kohortenstudie muss Jahrzehnte in Anspruch nehmen, ehe Ergebnisse vorliegen. Wenn die Zeitspanne zwischen Exposition und dem Auftreten einer Erkrankung kurz ist (z. B. Erkrankung eines Neugeborenen infolge einer mütterlichen Infektion während der Schwangerschaft), kann die Studie – wenn genügend schwangere Patientinnen rekrutierbar sind – in wenigen Monaten beendet sein. Dennoch bleibt festzuhalten, dass der zeitliche Aufwand wesentlich höher ist als bei einer Fall-Kontroll-Studie. i Die Population, die bei Kohortenstudien untersucht wird, wird meist in der z

Gegenwart zusammengestellt und dann über einen Zeitraum von mehreren Jahren beobachtet. Es ist aber auch denkbar, solche Studien „mit Verspätung“ durchzuführen; d. h. man startet in der Vergangenheit, greift zur Erfassung der Exposition und der Zielgröße auf bereits dokumentierte Daten zurück und wertet diese prospektiv aus. Dies bezeichnet man als historische Kohortenstudie. Ihr Vorteil besteht darin, dass die Zeit zwischen Exposition und Auftreten der Krankheit nicht abgewartet werden muss. Andererseits hat dieser Studientyp ähnliche Nachteile wie eine retrospektive Studie: Auf die Qualität der Daten ist in der Regel kein Verlass (Informationsbias).

272

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

14.1.7 Ökologische Studienƒƒƒ Bei allen oben genannten Studien werden der Krankheitsstatus und die Exposition von Individuen analysiert. Bei ökologischen Studien (aggregativen Studien, Populations- oder Korrelationsstudien) werden dagegen Häufigkeiten von Gruppen oder Ländern zugrunde gelegt. Ein Beispiel stellt eine Studie dar, in der nachgewiesen wurde, dass eine negative Korrelation zwischen dem Weinkonsum eines Landes und der Mortalität bei Herzkrankheiten besteht. In Italien und Frankreich, wo traditionsgemäß viel Wein getrunken wird, ist die kardiale Mortalität wesentlich niedriger als etwa in Australien und den USA, wo der Weinkonsum deutlich geringer ist. – Diese Studien können Hinweise auf mögliche Zusammenhänge geben. Das Problem liegt jedoch darin, dass keine Aussagen über einzelne Individuen möglich sind, und dass ein Bias durch Confounding nicht ausgeschlossen werden kann. 14.1.8 Der Nachweis einer Kausalitätƒƒƒ

14

Eine kausale Beziehung zwischen einem Risikofaktor und einer Krankheit kann am ehesten durch ein Experiment nachgewiesen werden, bei dem die Hälfte der Teilnehmer nach Randomisation einem Risiko ausgesetzt wird und die andere Hälfte nicht. Aus ethischen Gründen ist dies jedoch nicht vertretbar. Laborexperimente (z. B. mit Ratten) können hier, obwohl sie in einem anderen biologischen System arbeiten, Hinweise zur Kausalität geben. Ansonsten ist man auf Beobachtungsstudien angewiesen. Den höchsten Level nach den Richtlinien der Evidenzbasierten Medizin haben dabei Kohortenstudien. Diese sind – wenn sie sorgfältig geplant und durchgeführt werden – am wenigsten anfällig für systematische Fehler (Bias) und lassen am ehesten Schlussfolgerungen bezüglich Kausalitäten zu. Das bedeutet jedoch nicht, dass die anderen Studienformen überflüssig oder generell minderwertig wären. Kohortenstudien sind in der Regel sehr aufwendig. Sie werden deshalb erst dann durchgeführt, wenn – etwa aufgrund von Fall-Kontroll-Studien – gesicherte Hinweise auf eine Assoziation zwischen einer Krankheit und einer Exposition bereits vorliegen. Im Jahre 1939 brachte der bereits erwähnte Alton Ochsner eine Lawine ins Rollen, als er einen Fallbericht veröffentlichte, in dem er einen Zusammenhang zwischen Lungenkrebs und Rauchen vermutete und zwei Jahre später eine Fallserie zum selben Thema publizierte. Dies war der Anlass für Doll und Hill, eine Fall-Kontroll-Studie durchzuführen (1952 publiziert).

273

14

14.2 Diagnostische Studien

Diese wiederum war die Basis für die extrem aufwendige Kohorten› Beispiel 14.4, erstmals 1964 publiziert). studie (z Man kann zwar mit Beobachtungsstudien nicht zweifelsfrei einen kausalen Zusammenhang nachweisen. Es gibt jedoch Richtlinien, an denen man sich orientieren kann, und die für einen kausalen Zusammenhang sprechen:

ŷ Die Exposition muss der Krankheit zeitlich vorausgehen. ŷ Je stärker ein Zusammenhang ist, desto mehr spricht für eine kausale Beziehung.

ŷ Eine Dosis-Wirkungs-Beziehung ist ebenfalls ein Hinweis auf eine Kausalität.

ŷ Die Ergebnisse der Studie müssen wiederholbar sein (in anderen Populationen).

ŷ Der Zusammenhang muss biologisch plausibel sein. ŷ Das Risiko einer Erkrankung sinkt, wenn die Exposition entfällt. Bei Querschnittsstudien mag die Überprüfung dieser Richtlinien schwierig sein. Bei Fall-Kontroll- oder Kohortenstudien sind sie jedoch sehr nützlich bei der Beurteilung, ob ein Faktor kausal für eine Krankheit verantwortlich ist oder ob es sich allem Anschein nach um einen Confounder handelt. i z Ausführliche Informationen zu Risikostudien findet man in [7] und [9].

14.2

Diagnostische Studien

14.2.1 Einleitende Bemerkungen Die Diagnosestellung gehört zu den wichtigsten Aufgaben eines Arztes. Dazu bedient er sich außer seiner Fachkenntnisse und seiner persönlichen Erfahrung eines oder mehrerer diagnostischer Testverfahren. Dies kann ein technisch aufwendiger Labortest sein; es kann sich jedoch auch um Informationen aus Anamnese, Arzt-Patient-Gespräch, klinischer Untersuchung oder einem bildgebenden Verfahren handeln. Diagnostische Studien sind für die epidemiologische Forschung und die medizinische Praxis sehr wichtig. Letzten Endes basieren die Ergebnisse fast aller Studien auf diagnostischen Verfahren, da diese ja die Voraussetzung für das Erkennen einer Krankheit sind.

274

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

14.2.2 Die Güte eines diagnostischen Tests › Seite 118 ff) wurde bereits ausgeführt, dass In Abschnitt 6.5.1 (z diagnostische Tests nicht mit absoluter Sicherheit richtige Befunde liefern. Um die Genauigkeit eines diagnostischen Tests evaluieren zu können, muss man wissen, ob die Krankheit vorliegt oder nicht. Häufig muss man ein aufwendiges, teures oder kompliziertes Verfahren (z. B. eine Biopsie) anwenden, um absolute Gewissheit bezüglich des Krankheitsstatus einer Person zu erhalten. Dieses Verfahren wird als Goldstandard bezeichnet. Im medizinischen Alltag ist man bemüht, Ersatzverfahren zu benutzen – wohl wissend, dass diese weniger genau, dafür aber einfacher in der Anwendung und mitunter weniger riskant sind als der Goldsstandard. Es ist das Ziel einer diagnostischen Studie, die Validität eines solchen Verfahrens zu beurteilen. Die Validität ist die Fähigkeit, zwischen Kranken und Gesunden zu unterscheiden. Sie wird durch zwei Komponenten bestimmt: die › Abschnitt 6.5.1, Seite 118 ff). Wenn Sensitivität und die Spezifität (z die Prävalenz bekannt ist, lassen sich daraus die prädiktiven Werte berechnen. Sie informieren den Arzt und den Patienten, inwieweit auf das Testergebnis Verlass ist. Ein Arzt muss bei der Interpretation › Beieines Testbefundes unbedingt die Prävalenz berücksichtigen (z spiel 6.16, Seite 120). Manchmal werden auch Likelihood-Quotienten benutzt, um die Güte eines diagnostischen Tests zu beschreiben. Der positive Likelihood-Quotient ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine kranke Person einen positiven Befund erhält dividiert durch die Wahrscheinlichkeit, dass sich dieser Befund bei einer gesunden Person ergibt: LH 

P(T K ) P(T K )

Sensitivität 1  Spezifität

(14.6)

Analog ist der negative Likelihood-Quotient definiert als:

14

LH 

P(T K ) P(T K )

1  Sensitivität Spezifität

(14.7)

Likelihood-Quotienten eignen sich, um mehrere diagnostische Tests miteinander zu vergleichen. Wenn ein Likelihood-Quotient einen Wert nahe bei 1 annimmt, bedeutet dies, dass der Test unbrauchbar ist. Je größer der positive Likelihood-Quotient und je kleiner der negative, desto besser ist der Test. Dies darf aber nicht darüber hinwegtäuschen, dass aufgrund des Likelihood-Quotienten ohne zu-

275

14

14.2 Diagnostische Studien

sätzliche Informationen keine Rückschlüsse auf die Vorhersagewerte möglich sind. Um die Güte eines diagnostischen Verfahrens zu verbessern, werden in der Praxis häufig mehrere Tests durchgeführt (multiples Testen). Dabei sind grundsätzlich zwei Vorgehensweisen denkbar:

x Parallele Tests. Im klinischen Bereich oder bei Notfallpatienten „ werden oft mehrere Tests gleichzeitig angewandt. Ein Patient gilt als testpositiv, wenn bereits ein einziger Test einen positiven Befund ergibt. Dies führt zu einer hohen Sensitivität. Die Wahrscheinlichkeit, eine Krankheit zu übersehen, ist bei diesem Procedere gering. Allerdings ergeben sich dabei auch einige falsch-positive Befunde. x Sequenzielle Tests. Diese Strategie wird verwendet, wenn eine „ schnelle Diagnosestellung nicht erforderlich ist. Man beginnt mit einem einfachen, leicht anwendbaren Test. Nur wenn dessen Ergebnis positiv ist, führt man einen weiteren Test durch, der aufwendiger als der erste ist. Wenn das zweite Ergebnis negativ ist, gilt der Patient als testnegativ. Ansonsten wird ein weiterer Test herangezogen. – Dieses Procedere ist zeitintensiver als das parallele Testen; andererseits beansprucht es weniger Laborkapazität. Es führt zu einer größeren Spezifität und zu einer geringeren Sensitivität. 14.2.3 Die ROC-Analyseƒƒƒ Die meisten Testergebnisse beruhen auf physikalischen Messungen im Labor. Bei solchen Größen handelt es sich in der Regel um stetige Merkmale – und nicht, wie bisher angenommen wurde, um Alternativmerkmale mit den Ausprägungen „positiv“ und „negativ“. Um eine binäre Testentscheidung zu ermöglichen, wird eine Trenngröße W (griechischer Buchstabe tau) festlegt – das ist ein Schwellenwert, der den pathologischen vom physiologischen Bereich trennt. Der Messwert einer Person, die sich dem Test unterzieht, wird mit diesem Schwellenwert verglichen. Ist er größer als W, spricht man von einem positiven, ansonsten von einem negativen Befund. Der Wert von W beeinflusst die Sensitivität, die Spezifität und damit auch die Vorhersagewerte. In Abbildung 14.1 sind für unterschiedliche Schwellenwerte die Wertepaare, die aus der Sensitivität und der Spezifität gebildet werden, als Punkte in einem Koordinatensystem eingezeichnet. Die daraus resultierende Kurve bezeichnet man als ROC-Kurve. ROC ist die Abkürzung für „Receiver Operating Characteristic“. Dieser Begriff stammt aus der Nachrichtentechnik und bedeutet „Signalerken-

276

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

nung“. Die Fläche unter der Kurve ist ein Maß für die Güte der Methode. Im Idealfall (wenn es keine falschen Befunde gibt) ist diese Fläche gleich 1. Eine Fläche von 0,5 besagt, dass der diagnostische Test nicht besser ist als zufällige Zuweisungen „krank“ oder „gesund“. Diese Flächen ermöglichen einen direkten Vergleich mehrerer Diagnoseverfahren. Aus Beispiel 14.5 und der ROC-Kurve in Abbildung 14.1 geht hervor: Je höher die Sensitivität, desto geringer ist die Spezifität. Dies ist leicht nachvollziehbar. Bei einem geringen Schwellenwert erhalten zahlreiche Personen ein positives Testergebnis. Dadurch werden einerseits viele Kranke (richtig) positiv und andererseits zahlreiche Gesunde (falsch) positiv klassifiziert. Dies ist gleichbedeutend mit einer hohen Sensitivität und einer hohen Wahrscheinlichkeit für falsch positive Ergebnisse, was wiederum mit einer niedrigen Spezifität einhergeht. Ein hoher Schwellenwert ergibt dagegen für die meisten gesunden und für relativ viele kranke Personen einen negativen Befund (hohe Spezifität, hohe Wahrscheinlichkeit für falsch-negative Ergebnisse und geringe Sensitivität). Die Frage nach dem optimalen Schwellenwert lässt sich nicht allgemein beantworten. Er ist abhängig von den Konsequenzen, die sich aus falschen Testergebnissen ergeben. Ein falsch negativer Befund kann fatale Folgen für den Patienten haben (dieser wähnt sich zunächst gesund und wird möglicherweise zu spät oder gar nicht therapiert). Falsch positive Befunde belasten zunächst die betreffenden Personen und führen zu nachfolgenden Behandlungen, die unnötig, teuer und mitunter gefährlich sind. Auf eine hohe Sensitivität legt man Wert, wenn

ŷ es sich um eine Krankheit mit schweren (oder gar lebensbedrohlichen) Folgen für den Patienten handelt,

ŷ eine Erfolg versprechende Therapie zur Verfügung steht, ŷ falsch-positive Befunde mit vertretbarem Aufwand und ohne

14

allzu große Belastungen für die betreffende Person geklärt werden können.

Eine hohe Spezifität ist anzustreben, wenn

ŷ keine Therapie mit Aussicht auf Besserung bekannt ist, ŷ die Therapie zu unverhältnismäßig hohen finanziellen Belastungen für den Patienten oder das Gesundheitswesen führt,

ŷ die Therapie mit schweren Nebenwirkungen behaftet ist, ŷ die Nachfolgeuntersuchungen mit erheblichen Risiken oder psychischen Belastungen für den Patienten verbunden sind.

14

277 14.2 Diagnostische Studien

Abb. 14.1 ROC-Kurve für den Glucosetoleranztest

(Beispiel 14.5). Eingezeichnet sind die Werte (1–Spezifität) auf der x–Achse und die Sensitivität auf der y– Achse für unterschiedliche Schwellenwerte.

100

80 60 40 20 0

0

10

20

30

40

50

60

70

Beispiel 14.5 In einer Studie (Köbberling, J; Berninger, D.: Natural history of glucose tolerance in relative of diabetic patients: Low prognostic value of the oral glucose tolerance test. Diabetes Care 3, 21-26, 1980) wurden nicht-diabetische Personen mit dem oralen Glukosetoleranztest untersucht und das Ergebnis mit dem Auftreten eines Diabetes nach 10 Jahren verglichen. Ein Testergebnis lässt sich auffassen als prognostischer Parameter für die Entwicklung eines Diabetes Mellitus nach 10 Jahren. In Abhängigkeit von W resultierte: Sensitivität Spezifizität Wenn man die Summe W in mg/dl in % in % Sensitivität und 89 38 90 127 die Spezifität als 83 48 100 131 gleich wichtig er79 65 110 144 achtet, wäre 72 74 120 146 W 120 der optimale Schwellen62 82 130 144 wert. 57 87 140 144 42 93 160 135

Ein optimaler Schwellenwert beruht also nicht nur auf wahrscheinlichkeitstheoretischen, sondern auch auf medizinischen, ökonomischen und ethischen Überlegungen. Ein Arzt muss bei der Interpretation eines Testergebnisses in jedem Fall berücksichtigen, dass dieses unter Umständen auch von einem mehr oder weniger willkürlich festgelegten Schwellenwert abhängt. 14.2.4 Reproduzierbarkeitƒƒƒ Die Validität eines diagnostischen Tests wird durch die Sensitivität › Abschnitt 14.2.2). Ein weiterer und die Spezifität quantifiziert (z Aspekt bei der Bewertung eines diagnostischen Tests oder einer Screening-Maßnahme betrifft die Reproduzierbarkeit (Reliabilität) – also die Frage: Inwieweit ist der Test zuverlässig und wiederholbar?

278

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

Viele Testbefunde sind durch subjektive Einschätzungen des jeweiligen Untersuchers geprägt. Es ist nicht selbstverständlich, dass wiederholte Beurteilungen desselben Zustands durch mehrere Untersucher, zu verschiedenen Zeitpunkten oder mit unterschiedlichen Methoden zum selben Ergebnis führen. Der N-Koeffizient nach Cohen (lj: griechischer Buchstabe Kappa) findet Verwendung, um – wie in Beispiel 14.6 – den Grad der Übereinstimmung zwischen zwei verschiedenen Beobachtern (interindividuelle Variabilität) zu quantifizieren. Er kann auch verwendet werden, um den Grad der Übereinstimmung der Beurteilungen desselben Beobachters zu zwei verschiedenen Zeitpunkten (intraindividuelle Variabilität) zu messen. Er ist folgendermaßen definiert: N

p o  pe 1  pe

(14.8)

Dabei ist po der Anteil der übereinstimmenden Urteile und pe ist der Anteil, den man unter dem Zufall erwarten würde (o und e stehen für „observed“ bzw. „expected“). Dieser Koeffizient quantifiziert den Anteil von Übereinstimmungen, der über das hinausgeht, was man unter dem Zufall erwarten würde. Wenn zwei Beobachter in allen Urteilen übereinstimmen, ist N 1 . Falls die Anzahl der Übereinstimmungen der Zufallserwartung entspricht, ist N 0 . Theoretisch kann N auch negative Werte annehmen (dieser Fall ist aber praktisch bedeutungslos). N ! 0,60 zeigt eine gute, N ! 0,80 eine exzellente Übereinstimmung jenseits des Zufalls an. Beispiel 14.6 100 Röntgenbilder werden von zwei Radiologen unabhängig voneinander bewertet. Es ergeben sich folgende Beurteilungen (in Klammer die Häufigkeiten, die rein zufällig zu erwarten sind): Beobachter A

14

Beobachter B normal pathologisch

normal pathologisch 40 (30) 10 (20) 50 20 (30) 30 (20) 50

erwartete Häufigkeiten

e11 e12

e21 e22

50 ˜ 60 / 100 30 50 ˜ 40 / 100 20

60 40 100 Daraus ergibt sich: po (40  30) / 100 0,70 , pe (30  20) / 100 0,50 . Die Untersucher haben also in 70 % der Fälle übereinstimmend geurteilt; der Anteil der rein zufällig zu erwartenden Übereinstimmungen beträgt 50 %. Daraus resultiert N 0,40 . Der Grad der Übereinstimmung ist also schwach.

279

14

14.3 Prognosestudien

Es gibt außerdem einen erweiterten lj-Koeffizienten, der sich eignet, um mehr als zwei Beobachter zu vergleichen. Außerdem wurde ein gewichteter N-Koeffizient entwickelt, mit dem Abweichungen je nach ihrem Schweregrad unterschiedlich gewichtet werden können. Diese Maßzahlen sind ausführlich in [5] beschrieben. i z Zur weiteren Lektüre seien die Bücher [7] und [9] empfohlen.

14.3

Prognosestudien

14.3.1 Einleitende Bemerkungenƒƒƒ Wenn bei einem Patienten eine Krankheit diagnostiziert worden ist, ist der behandelnde Arzt gefordert, eine adäquate Therapie zu entwickeln. Bei Krankheiten, die gut therapierbar sind, kann der Patient zuversichtlich sein, dass er in absehbarer Zeit kuriert sein wird. Einige Krankheiten beeinflussen jedoch das Leben eines Patienten massiv (etwa dann, wenn sie tödlich ausgehen oder zu gravierenden Beeinträchtigungen führen können). In diesen Fällen ist der Patient an seiner Prognose interessiert. Der Begriff klinischer Verlauf bezeichnet die Prognose, wenn eine adäquate Behandlung erfolgt. Dagegen versteht man unter dem natürlichen Verlauf die Prognose ohne medizinische Intervention. Prognosestudien werden in Angriff genommen, um einerseits eine Prognose über eine geeignete Maßzahl quantifizieren zu können und andererseits, um Faktoren ausfindig zu machen, die den Verlauf der Krankheit beeinflussen. Diese Faktoren werden als Prognosefaktoren bezeichnet. Bei Kenntnis wichtiger Prognosefaktoren ist es eventuell möglich, präzise Vorhersagen im Einzelfall zu treffen. Es ist üblich, derlei Studien als Kohortenstudien durchzuführen. Dabei wird eine Gruppe von Personen, die an einer bestimmten Krankheit leiden, prospektiv beobachtet, und zwar solange, bis ein definierter Endzustand eintritt. Dieser Endzustand kann der Tod des Patienten sein; es kann sich jedoch auch um ein anderes, für den Patienten wichtiges Ereignis handeln. Bei Studien in der Onkologie wird beispielsweise häufig die Zeit bis zum Auftreten eines Rezidivs oder bis zum Eintreten einer Remission analysiert. Der Startzeitpunkt, ab dem ein Patient beobachtet wird, muss ebenfalls klar definiert sein (etwa der Zeitpunkt der Diagnose oder der Behandlungsbeginn).

280

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

14.3.2 Die Beschreibung einer Prognoseƒƒƒ Häufig wird die Prognose mittels einer Rate ausgedrückt, wie etwa die 5-Jahres-Überlebensrate, die Letalität, die Mortalität, die Remissions- oder die Rezidivrate. Eine andere Form der Darstellung ist die mediane Überlebenszeit, die die Zeitspanne angibt, die genau die Hälfte der Kohorte überlebt. Sie hat den Vorteil, dass sie – im Gegensatz zur mittleren Überlebenszeit – bereits dann berechnet werden kann, nachdem die Hälfte der Studienteilnehmer verstorben ist. All diese Maßzahlen sind leicht einprägsam. Andererseits sind sie wenig informativ. So ist beispielsweise aus der 5-Jahres-Überlebensrate nicht ersichtlich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine andere Zeitspanne zu überleben. Detaillierte Analysemethoden werden in den folgenden Abschnitten vorgestellt. 14.3.3 Die Kaplan-Meier-Methodeƒƒƒ

14

Um das Überleben einer Kohorte genau (für jeden Zeitpunkt) zu beschreiben, müsste man die Kohorte solange beobachten, bis der letzte Patient verstorben ist. Dies ist in den meisten Fällen aber nicht möglich, da man bei derlei Studien mit Studienabbrechern (Drop Outs) rechnen muss. Außerdem ist anzunehmen, dass zum Zeitpunkt der Datenanalyse nicht bei jedem Patienten das Endereignis › zensierte Daten, Abschnitt 2.4, Seite 31). Es würde eingetreten ist (z das Studienergebnis verzerren, wenn all diese Patienten, deren Daten zensiert sind, bei der Datenanalyse nicht berücksichtigt werden würden. Zwei Biostatistiker – E. M. Kaplan und Paul Meier – haben im Jahre 1958 die nach ihnen benannte Kaplan-Meier-Methode entwickelt, welche die Informationen aller Patienten (also auch die unvollständigen Angaben) so weit wie möglich berücksichtigt. Diese Methode wird häufig bei Überlebenszeitanalysen angewandt. Der Begriff „Überlebenszeitanalyse“ wird dabei ganz allgemein verwendet, um die Zeit zwischen einem definierten Anfangs- und einem bestimmten Endereignis zu untersuchen. Die Kaplan-Meier-Methode lässt sich wie folgt beschreiben:

ŷ Die Studie startet mit n Patienten. Diese Anzahl reduziert sich

im Laufe der Zeit, da Patienten ausscheiden (weil das kritische Endereignis eintritt oder auch aus anderen Gründen). ŷ Es werden alle Zeitpunkte der kritischen Endereignisse ermittelt: t1  t 2  ...  t k . Die Anzahl der Patienten, die zu diesen Zeitpunkten ausscheiden, sei d1 , d 2 etc.

14

281 14.3 Prognosestudien

ŷ Die Anzahl der Patienten, die unmittelbar vor einem Zeitpunkt ti noch in der Studie involviert sind, sei ni .

ŷ Die Überlebenswahrscheinlichkeiten S (ti ) P(t ! ti ) werden für jeden Zeitpunkt ti ( i 1,..., k ) geschätzt nach: Sˆ (ti )

n  di n1  d1 n2  d 2 ˜ ˜ ... ˜ i n1 n2 ni

(14.9)

Beispiel 14.7 Nach einer Organtransplantation wurden bei 10 Patienten die Überlebenszeiten in Tagen ermittelt. Nach 160 Tagen wurde die Studie beendet. Bei 7 Patienten konnte der Zeitpunkt des kritischen Endereignisses ermittelt werden (nach 20, 35, 62, 91, 91, 128 und 148 Tagen). Ein Patient brach nach 98 Tagen die Studie ab; zwei Patienten lebten am Ende der Studie noch. Mit diesen Angaben erhält man (unter Berücksichtigung des zensierten Wertes nach 98 Tagen) folgende Schätzwerte für S (ti ) : Zeiten

ni

di

ni  d i

t1

20

10

1

9

9 10

t2

35

9

1

8

0,9 ˜

t3

62

8

1

7

t4

91

7

2

5

t5

128

4

1

3

t6

148

3

1

2

Sˆ (ti ) 0,9

8 9 7 0,8 ˜ 8 5 0,7 ˜ 7 3 0,5 ˜ 4 0,375 ˜

0,8 0,7 0,5 0,375 2 3

0,25

Wenn es keine zensierten Daten gibt, ist ni 1 ni  d i . Dann lässt sich der Bruch in (14.9) kürzen und man erhält Sˆ (ti ) ni 1 / n (mit n n1 ). Dies ist also die Zahl derer, die den Zeitpunkt ti überlebt haben, im Verhältnis zu der Gesamtzahl der Patienten, die zu Beginn an der Studie teilnehmen. In dieser Form ist die Schätzung einfach und unmittelbar einleuchtend.

Kapitel 14 · Beobachtungsstudien in der Epidemiologie

Abb. 14.2 empirische Überlebenskurve (Beispiel 14.7). Zensierte Daten sind durch einen Punkt dargestellt.

Überlebenswahrscheinlichkeit

282

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

* ** 0

20

40 60 80 100 120 140 160 Überlebenszeit in Tagen

Wenn – wie in Beispiel 14.7 – bei einigen Patienten das Endereignis am Ende der Studie noch nicht eingetreten ist, kann die Überlebensfunktion nur bis zum Zeitpunkt der letzten zensierten Beobachtung geschätzt werden. Die graphische Darstellung der Überlebenswahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit der Zeitpunkte ti ergibt › Abbildung 14.2). Es leuchtet ein, dass die die Überlebenskurve (z Schätzung nach Formel (14.9) mit wachsendem t schlechter wird, da zu jedem neuen Beobachtungszeitpunkt ti weniger Patienten zur Verfügung stehen. Mathematische Herleitung der Überlebenszeiten Unmittelbar vor dem Zeitpunkt t1 stehen n1 Beobachtungseinheiten zur Verfügung, zum Zeitpunkt t1 sterben d1 Patienten. Die Wahrscheinlichkeit, t1 zu überleben, wird geschätzt als: n1  d1 Sˆ (t1 ) n1 Die Wahrscheinlichkeit, den Zeitpunkt t2 zu überleben, ist nach (6.9): S (t2 )

P(t ! t2 )

P (t ! t1 ) ˜ P (t ! t2 | t ! t1 )

Der erste Faktor wird geschätzt über Sˆ (t1 ) (siehe oben); den zweiten schätzt

14

man analog. So ergibt sich: Sˆ (t 2 )

n1  d1 n2  d 2 ˜ . n1 n2

Durch sukzessives Wiederholen erhält man schließlich die Formel (14.9).

14.3.4 Die Evaluierung prognostischer Faktorenƒƒƒ In den vorangegangenen Abschnitten wurde beschrieben, wie eine › einzelne Kohorte untersucht werden kann. Mit dem Logranktest (z Seite 241) können zwei oder mehrere Gruppen, die sich bezüglich

283

14

14.3 Prognosestudien

einer Einflussgröße (z. B. der Therapieform oder des Krankheitsstadiums) unterscheiden, verglichen werden. Dieser Test ist geeignet, um Unterschiede zwischen den Überlebenskurven verschiedener Gruppen zu erkennen. Bei einem signifikanten Unterschied ist anzunehmen, dass die Gruppierungsvariable prognostisch relevant ist. Im Jahre 1972 wurde von David Cox ein multiples Modell vorgestellt, das es ermöglicht, eine Kombination von prognostischen Faktoren ausfindig zu machen, die den Endzustand eines Patienten in optimaler Weise vorhersagt. Mit diesem Cox’Proportional-HazardsModell wird die in Formel (8.29) definierte Hazard-Funktion in Abhängigkeit von einer oder mehreren Einflussgrößen modelliert. Die Hazard-Funktion ist die momentane Sterberate. Für zwei Patienten oder Populationen kann dann der Quotient der jeweiligen HazardFunktionen bestimmt werden. Diese so genannte Hazard-Ratio ist ein Maß für das relative Risiko. Die Hazard-Ratio kann für jeden Zeitpunkt berechnet werden und ermöglicht dadurch – im Gegensatz zu einfachen Maßzahlen wie der 5-Jahres-Überlebensrate – Prognosen für jeden einzelnen Zeitpunkt. Die Kaplan-Meier-Methode und das Cox-Regressionsmodell ermöglichen Überlebenszeitanalysen auch beim Vorliegen von zensierten Daten. Bei der Planung einer Überlebenszeitstudie ist generell zu beachten:

ŷ Anfang und Ende des Beobachtungszeitraums sollten möglichst exakt definiert sein.

ŷ Bei der Planung des Stichprobenumfangs muss einkalkuliert werden, dass einige Daten möglicherweise zensiert sind.

ŷ Die Beobachtungszeit sollte ausreichend lang bemessen sein, da-

mit bei möglichst vielen Patienten das interessierende Endereignis vor dem Studienende eintritt. ŷ Wenn Patienten vorzeitig aus der Studie ausscheiden (ohne dass das kritische Endereignis eingetreten ist), sollten die Gründe dafür in keinem Zusammenhang mit der Prognose stehen. Ansonsten könnten die Drop Outs zu fehlerhaften Schlussfolgerungen führen. i z Für weitere Informationen bezüglich der Analyse von Ereigniszeiten sei auf [7], [9] und [13] verwiesen.

15

Randomisierte Studien 15.1 Therapiestudien 287 15.1.1 Einleitende Bemerkungen 287 15.1.2 Die Randomisation 288 15.1.3 Qualitätskriterien 289 15.1.4 Das Studienprotokoll 291 15.1.5 Protokollverletzungen 292 15.1.6 Die statistische Analyse 293 15.1.7 Alternative Designs 294

15.2 Präventionsstudien 295 15.2.1 Formen der Prävention 295 15.2.2 Screening-Untersuchungen 296

15.3 Evidenzbasierte Medizin 299 15.3.1 Die Bedeutung der evidenzbasierten Medizin 299 15.3.2 Evidenzbasierte Fallberichte 300 15.3.3 Die Cochrane Collaboration 301 15.3.4 Die Zukunft der evidenzbasierten Medizin 302

287

15

15.1 Therapiestudien

15.1

Therapiestudien

15.1.1 Einleitende Bemerkungen Wenn bei einem Patienten eine Krankheit diagnostiziert wurde, stellt sich zumeist die Frage nach einer adäquaten Therapie. Dies ist eine Maßnahme, die den Gesundheitszustand des Patienten verbessern soll: etwa ein Medikament, ein chirurgischer Eingriff oder eine Diät. Bei der Verordnung einer Therapie stützt sich der Arzt auf die Ergebnisse therapeutischer Studien, in denen deren Nutzen nachgewiesen wurde. Gleichgültig, wie eine vermutlich wirksame Therapie „entdeckt“ wurde (aufgrund Überlegungen zu den Krankheitsmechanismen, durch zufällige Beobachtungen oder langjährige Erfahrungen): Die Wirksamkeit muss einer formalen Prüfung in Form einer klinischen Studie unterzogen werden. Kontrollierte klinische Studien (auch als Interventionsstudien bezeichnet) sind quasi auf Patientenpopulationen beruhende Experimente, deren Ziel der Nachweis der Wirksamkeit und unerwünschter Nebenwirkungen einer Therapie, eines Arzneimittels, einer Vakzine etc. ist. Sie sind analytisch, longitudinal und prospektiv. Charakteristisch für diesen Studientypus ist, dass die Patienten durch Randomisation (also zufällig) einer Therapiegruppe zugeteilt werden. Die Auswahl der Patienten und die Zuordnung zu einer der Therapiegruppen können besser kontrolliert werden als bei einer Beobachtungsstudie. x Die Voraussetzungen für kontrollierte klinische Studien sind „ sehr streng und in mehreren Gesetzesvorlagen verankert (Deklaration von Helsinki, Arzneimittelgesetz u. a.). Neben den Auflagen des Datenschutzes sollten die Richtlinien der „Good Clinical Practice“ (GCP) beachtet werden. Diese Qualitätsanforderungen regulieren die Durchführung einer klinisch kontrollierten Studie. Sie sind seit 1991 gültig und werden von allen Ländern der Europäischen Gemeinschaft anerkannt. Außerdem ist die Studie vor Beginn von einer Ethikkommission zu begutachten. Alle klinisch kontrollierten Studien, die eine Zulassung eines Arzneimittels beinhalten, müssen zudem der zuständigen Landesbehörde (Regierungspräsidium) und dem Bundesinstitut für Arzneimittel und Medizinprodukte (BfArM) gemeldet werden. Arzneimittelstudien lassen sich in vier Phasen einteilen:

288

Kapitel 15 · Randomisierte Studien

ŷ Phase I. Gesunde Probanden werden mit der neuen Therapie

behandelt, um z. B. Fragen zur Pharmakokinetik, zur Wirkung und zu Nebenwirkungen beantworten zu können. ŷ Phase II. Danach wird die zu testende Therapie an einzelnen Patienten eingesetzt. Ziel ist es, Informationen zur Wirksamkeit (z. B. von verschiedenen Dosierungen) und Nebenwirkungen bei kranken Personen zu erhalten. ŷ Phase III. In dieser Phase wird eine Gruppe von Patienten, die die neue Therapie erhält, mit einer Kontrollgruppe verglichen. Wenn alle Phasen I bis III erfolgreich abgeschlossen sind, kann die Zulassung der neuen Therapie beantragt werden. ŷ Phase IV. Sie beginnt mit der Zulassung und besteht, solange die Therapie auf dem Markt ist. Sie dient der Dokumentation seltener Nebenwirkungen und der Abgrenzung der Indikation. Es ist die Aufgabe der Pharmakoepidemiologie, diese Nebenwirkungen zu erfassen und zu analysieren. Klinisch kontrollierte Studien sind für wissenschaftliche Fragestellungen sehr wichtig und beobachtenden Studien überlegen. Nur mit randomisierten Studien in Phase III kann die Frage nach kausalen Zusammenhängen zuverlässig beantwortet werden. Dabei sollte nicht vergessen werden, dass bei allen Therapiestudien das Wohl der Patienten die absolute Priorität hat. Der verantwortliche Arzt ist verpflichtet, jeden Patienten über Sinn und Zweck der Studie aufzuklären und vor Studienbeginn sein Einverständnis einzuholen. Niemand kann gegen seinen Willen gezwungen werden, an einer solchen Studie teilzunehmen. Die Patienten haben auch das Recht, nach Studienbeginn ohne Angabe von Gründen ihre Teilnahme zurückzuziehen. 15.1.2 Die Randomisation

15

Bei einer kontrollierten klinischen Studie werden die zu vergleichenden Gruppen nach einem Zufallsverfahren gebildet; d. h. der Zufall (z. B. Münze oder Zufallszahlengenerator) entscheidet im Einzelfall, welcher Behandlungsgruppe ein Patient zugewiesen wird. Damit soll erreicht werden, dass die Gruppen strukturgleich sind – und zwar nicht nur bezüglich bekannter, sondern auch bezüglich unbekannter Einflussfaktoren. Hierin liegt ein wesentlicher Unterschied zu einer Kohortenstudie, bei der die Zuordnung zu einer Gruppe von bestimmten Eigenschaften des individuellen Patienten abhängig ist (z. B. ob er Raucher ist oder Nichtraucher) und nicht von einem Zufallsverfahren bei Studienbeginn.

289

15

15.1 Therapiestudien

Die Aufteilung auf die Therapiegruppen nach dem Zufallsprinzip ist die beste Methode, strukturgleiche Gruppen zu erhalten. Allerdings ist nicht ausgeschlossen, dass – trotz Randomisation – die zu vergleichenden Gruppen bezüglich eines oder mehrerer Faktoren nicht strukturgleich sind. Deshalb wird hin und wieder die stratifizierte Randomisation angewandt. Dazu werden die teilnehmenden Patienten zunächst in homogene Schichten (oder Strata) eingeteilt. Eine Schicht besteht aus Patienten, die sich bezüglich wichtiger Merkmale gleichen oder zumindest ähneln. Bei klinischen Studien ist es oft angebracht, Schichten nach Alter und Geschlecht zu bilden und dann innerhalb der einzelnen Schichten zu randomisieren. Durch diese Stratifizierung erreicht man, dass die Gruppen weitgehend homogen bezüglich der Geschlechts- und Altersstruktur sind. Die Randomisation bietet den Vorteil, dass ein Selektionsbias vermieden wird. Dieser könnte ohne Randomisation leicht entstehen, wenn Patienten durch den behandelnden Arzt bewusst oder unbewusst – etwa aufgrund ihrer Prognose – einer bestimmten Therapiegruppe zugeordnet werden. Darüber hinaus gewährleistet die Randomisation eine hohe interne Validität: Bei strukturgleichen Gruppen ist klar, dass Unterschiede zwischen den Gruppen tatsächlich durch die Therapien bedingt sind. i Die erste randomisierte, doppelblinde Studie wurde 1948 in England z durchgeführt. Dabei wurden die beiden Therapien „Streptomycin“ und „Bettruhe“ zur Behandlung der Lungentuberkulose miteinander verglichen. Diese Studie ist eng mit dem Namen des englischen Epidemiologen Sir Austin Bradford Hill (1897-1991) verbunden. Hill hatte die Randomisation als Basiselement des Therapievergleichs erkannt.

15.1.3 Qualitätskriterien Der Wert einer Therapiestudie (d. h. die interne Validität) lässt sich anhand bestimmter Qualitätskriterien (Randomisation, Verblindung, Vergleichsgruppe) überprüfen. Falls eines dieser Kriterien nicht erfüllt ist, sollte dies stichhaltig und nachvollziehbar begründet sein. x Verblindung. Ein Arzt, der bestrebt ist, einer von ihm entwickel„ ten Therapie zum Durchbruch zu verhelfen, hat natürlich eine bestimmte Erwartungshaltung und könnte deshalb – wenn auch unbewusst – die Zielgrößen manipulieren, wenn er die Therapieform im Einzelfall kennt. Ebenso könnte ein Patient in seiner Wertung beeinflusst sein, wenn er weiß, mit welchem Arzneimittel er behandelt wird.

290

Kapitel 15 · Randomisierte Studien

Um derartige Fehlerquellen zu vermeiden, sollte – wann immer möglich – die Studie verblindet werden. Im Idealfall wissen weder der Patient noch der behandelnde Arzt, welche Therapie im Einzelfall verwendet wird. Eine solche Studie heißt doppelblind. Dieses Studiendesign ist wegen der Beobachtungsgleichheit wünschenswert. Beobachtungsgleichheit bedeutet: Jeder Patient wird in gleicher Weise behandelt und beobachtet (außer dass die Gruppen unterschiedlich therapiert werden). Leider sind manche Studien schwer oder gar nicht doppelblind durchführbar – z. B. wenn ein chirurgischer Eingriff mit einer konservativen Therapie verglichen wird. Studien, bei denen nur der Arzt (aber nicht der Patient) die Therapieform kennt, heißen einfachblind. Einfachblind kann auch bedeuten, dass die Patienten (aber nicht der Arzt) über die Behandlungsform informiert sind (wenn etwa verschiedene Diäten verglichen werden). – Eine Studie, bei der sowohl der behandelnde Arzt als auch die Patienten wissen, welche Therapieform angewandt wird, heißt offen. Derlei Studien sollten nach Möglichkeit vermieden werden. Der Versuchsleiter sollte sich bemühen, eine Therapiestudie doppelblind zu planen, wann immer dies realisierbar erscheint – auch wenn eine blinde Studie organisatorisch schwieriger durchzuführen ist als eine offene Studie. Die so genannte Double-DummyTechnik ermöglicht ein doppelblindes Design auch dann, wenn zwei Medikamente in unterschiedlicher Applikation (z. B. i.v. und p.o.) gegeben werden: Dann wird in jeder Gruppe eines der beiden Medikamente als Placebo verabreicht. x Vergleichsgruppe. Der Nutzen einer Therapie kann nur im direk„ ten Vergleich ermessen werden. Die Qualität einer Studie wird nicht zuletzt durch die Vergleichsgruppe bestimmt.

ŷ Vergleich mit der Standardtherapie. Falls eine Standardtherapie

15

bereits etabliert ist, sind andere Vergleichsgruppen wissenschaftlich und ethisch nicht vertretbar. ŷ Vergleich mit einem Placebo. Ein Placebo (Scheinmedikament, das sich im Aussehen, Geschmack und Geruch nicht von der wirksamen Substanz unterscheidet) als Vergleich sollte nur dann verwendet werden, wenn dies ethisch zu vertreten ist und keine Standardtherapie zur Verfügung steht. ŷ Vergleich mit einer historischen Kontrolle. Auf eine historische Kontrolle (also eine Gruppe, die in der Vergangenheit behandelt wurde) greift man zurück, wenn ein Placebovergleich ethisch nicht zu rechtfertigen ist. Historische Kontrollen sind jedoch

291

15

15.1 Therapiestudien

problematisch, vor allem dann, wenn sich auch andere Faktoren mit der Zeit ändern (z. B. durch verfeinerte Diagnostik oder verbesserte Begleittherapien). Beobachtungsgleichheit ist dann nicht mehr gegeben. Andererseits ist es nicht weniger problematisch, unter dem Deckmantel der Ethik schwerkranken Patienten ein teures und u. U. nebenwirkungsreiches Arzneimittel zukommen zu lassen, dessen Wirksamkeit und Nebenwirkungsprofil nicht vorher durch eine klinisch kontrollierte Studie untersucht wurden. 15.1.4 Das Studienprotokollƒƒƒ Wegen der hohen Qualitätsansprüche und der strengen Voraussetzungen sollte ein ausführliches Studienprotokoll mit folgendem Inhalt angefertigt werden:

ŷ Name und Ziel der Studie ŷ Studiendesign (z. B. mono-/multizentrisch, randomisiert, doppelblind).

ŷ Zeitplan (Beginn, Rekrutierungs- und Untersuchungszeitraum sowie Ende der Studie).

ŷ Behandlung. Die zu evaluierende Therapie und die Vergleichsŷ ŷ ŷ

ŷ ŷ

behandlung müssen vollständig beschrieben werden. Dazu zählen auch die Dauer und Dosierung der Anwendungen. Einschlusskriterien. Sie legen fest, unter welchen Voraussetzungen Patienten in die Studie aufgenommen werden können. Es ist wichtig, deren Einverständnis zur Teilnahme zu dokumentieren. Ausschlusskriterien. Sie beziehen sich auf Patienten, die zwar alle Einschlusskriterien erfüllen, aber dennoch von der Studie ausgeschlossen werden müssen (etwa weil ein erhöhtes Risiko oder eine weitere Krankheit vorliegt). Abbruchkriterien. Sie geben an, unter welchen Bedingungen einzelne Patienten von der Studie ausgeschlossen werden oder die Studie vorzeitig abgebrochen wird. Dieser Fall könnte eintreten, wenn unerwartete, gravierende Nebenwirkungen beobachtet werden. Angaben zur Biometrie. Diese beinhalten die primäre und sekundären Zielgrößen, die zu überprüfende Hypothese, Angaben zu den Stichproben, die statistischen Analysemethoden sowie die benötigte Anzahl von Patienten. Mögliche Mängel der Studie. Falls nicht alle Qualitätskriterien optimal erfüllt sind (z. B. Doppelblindheit), muss dies dokumentiert und begründet werden.

292

Kapitel 15 · Randomisierte Studien

ŷ Besondere Angaben (etwa Kostenträger oder Auftraggeber). ŷ Angaben zur ethischen und rechtlichen Basis. Dazu zählen die

Stellungnahme der Ethikkommission sowie die Beschreibung, in welcher Weise die Patienten oder Probanden über die Studie informiert wurden und welche Versicherungen abgeschlossen wurden.

Die Festlegung der Ein- und Ausschlusskriterien soll die interindividuelle Variabilität der Patienten verringern. Anhand dieser Kriterien lässt sich beurteilen, auf welchen Personenkreis die Ergebnisse der › externe Validität, Seite 256). Studie übertragbar sind (z 15.1.5 Protokollverletzungenƒƒƒ Die Randomisation wird durchgeführt, um strukturgleiche Gruppen zu erhalten. Idealerweise bleiben die Patienten bis zum Studienende in der ihnen zugewiesenen Gruppe, folgen den Anweisungen ihres Arztes und stehen bis zur letzten Untersuchung zur Verfügung. Jedoch kann dies in der Realität anders aussehen: Es ist keineswegs sichergestellt, dass die Studie mit den anfangs erstellten, strukturgleichen Gruppen protokollgemäß zu Ende geführt werden kann. Wie bei Kohortenstudien kann es auch bei kontrollierten Studien passieren, dass Patienten vorzeitig ausscheiden (Drop Outs). Dies ist nicht allzu problematisch, wenn der Grund dafür in keinem Zusammenhang mit dem interessierenden Endereignis steht. Ein weit größeres Problem ergibt sich, wenn Patienten ausscheiden oder die Gruppe wechseln aus Gründen, die mit der Therapie assoziiert sind: Wegen vermeintlicher Wirkungslosigkeit, unangenehmer Nebenwirkungen oder auf Anraten ihres Arztes. Es wurden mehrere Methoden entwickelt, um diese Protokollverletzungen zu handhaben:

ŷ Intention to Treat (ITT). Bei diesem Verfahren werden alle

15

Patienten in die Analyse einbezogen, und zwar in der Gruppe, zu der sie anfangs randomisiert worden sind. Dies setzt voraus, dass auch die Studienabbrecher wenigstens zur Enduntersuchung erscheinen. ŷ As Treated (AT). Dieser Ansatz wertet die Patienten danach aus, welche Therapie sie – eventuell nach einem Wechsel – zuletzt erhalten haben. Studienabbrecher werden dabei nicht berücksichtigt.

293

15

15.1 Therapiestudien

ŷ Per Protocol (PP). Dieses Prinzip verlangt, dass alle nicht proto-

kollgemäß behandelten Patienten (Abbrecher und Gruppenwechsler) von der Analyse ausgeschlossen werden.

Der Vorteil der ITT-Analyse besteht darin, dass die Strukturgleichheit gewahrt bleibt. Nachteilig ist jedoch, dass Unterschiede zwischen den Therapien eventuell verwässert werden; d. h. ein möglicher Vorteil der neuen Therapie wird nicht so leicht erkannt oder unterschätzt. Allerdings ist dabei zu bedenken, dass auch in der Praxis nicht alle Patienten sich an die Therapieempfehlungen halten, wodurch die tatsächliche, durchschnittliche Wirksamkeit abgeschwächt wird. Mit den AT- und PP-Analysen treten Unterschiede zwischen den Gruppen deutlicher in Erscheinung. Allerdings ist bei diesen Ansätzen die durch die Randomisation erzielte Strukturgleichheit nicht mehr gegeben. Es ist daher keineswegs sicher, dass ein nachgewiesener Unterschied durch die Therapie bedingt sind. Man sollte versuchen, durch sorgfältige Studienplanung Protokollverletzungen weitestgehend zu vermeiden. Es ist darüber hinaus empfehlenswert, während der Studie einen intensiven Kontakt zu den Patienten zu pflegen, um eine gute Compliance (Art, wie die Patienten den ärztlichen Anweisungen folgen) zu gewährleisten. 15.1.6 Die statistische Analyse Die Voraussetzungen für die statistische Analyse sind optimal, wenn strukturgleiche Gruppen vorliegen, die sich lediglich bezüglich der Therapie unterscheiden. Bei quantitativer Zielgröße eignet sich dann eventuell ein t-Test für zwei unverbundene Stichproben bzw. eine einfaktorielle Varianzanalyse, wenn mehr als zwei Therapiegruppen vorliegen. Bei einer binärer Zielgröße bietet sich ein Chi2-Test an; › Seite 269 f) vorgestellaußerdem können die in Abschnitt 14.1.6 (z ten Effektmaße (NNT u. a.) bestimmt werden. – Um den Einfluss weiterer Merkmale zu untersuchen und um eventuelle Unterschiede zwischen den Gruppen auszugleichen (die auch nach der Randomisation vorhanden sein könnten), bietet sich ein multiples Verfahren an (Allgemeines lineares Modell oder logistische Regression). Bei klinisch kontrollierten Studien werden häufig anstelle von › Kapitel 2, Seite 31) klinischen Endzuständen Surrogatmerkmale (z untersucht, um Studien schneller abschließen und publizieren zu können. Surrogatmerkmale werden hin und wieder auch dann verwendet, wenn die primäre klinische Zielgröße den Erwartungen nicht gerecht wird. Der kritische Leser einer solchen Publikation

294

Kapitel 15 · Randomisierte Studien

sollte fragen, ob dies gerechtfertigt ist und ob die Schlussfolgerungen statthaft sind. ! Es geht bei klinisch kontrollierten Studien nicht immer darum, die z

Überlegenheit einer Therapie nachzuweisen. Bei einigen medizinischen Fragestellungen soll die Gleichwertigkeit (Äquivalenz) zweier Behandlungsformen untersucht werden – etwa dann, wenn die neue Therapie weniger Nebenwirkungen hat, einfacher zu applizieren oder preiswerter ist als ein herkömmliches Standardmedikament.

15.1.7 Alternative Designsƒƒƒ Randomisierte Therapiestudien sind sehr aufwendig und unterliegen strengen, gesetzlichen Vorschriften. Sie sind zwar wegen der Strukturgleichheit der Gruppen intern valide; wegen der strengen Einund Ausschlusskriterien mangelt es ihnen aber häufig an externer Validität – das heißt, es ist mitunter problematisch, die Ergebnisse auf andere Patienten zu übertragen. Aus diesen Gründen ist es sinnvoll, Alternativen zu diskutieren. x Kohortenstudien. Nicht alle Patienten lassen sich problemlos ran„ domisieren. Manche Patienten verweigern dies, weil sie wünschen, dass der Arzt über die Therapie entscheidet. Bei anderen Patienten (z. B. bei Notfällen) ist die Randomisation (verbunden mit der Aufklärung und der Einwilligung des Patienten) nicht möglich. In diesen Fällen mag es sinnvoll sein, verschiedene Therapien mittels einer Kohortenstudie miteinander zu vergleichen. Kohortenstudien sind im Vergleich zu randomisierten, doppelblinden Studien organisatorisch einfacher in der Planung und Durchführung. Allerdings besteht die große Gefahr eines Selektionsbias (etwa wenn sich die Therapiegruppen von vornherein unterscheiden), was zu einem verzerrten Ergebnis führen kann. Mit einem multiplen Testverfahren kann man versuchen, Unterschiede in den Vergleichsgruppen auszubalancieren (allerdings nur für bekannte Einflussfaktoren).

15

x Beobachtende Studien ohne Vergleichsgruppe. Dabei handelt es „ sich um Vorher-Nachher-Vergleiche. Diese Studienform ist angebracht bei Krankheiten, die ohne Behandlung unweigerlich zum Tod oder zu einer dramatischen Verschlechterung des Zustands der betroffenen Patienten führen. In anderen Fällen haben derartige Vergleiche jedoch eine geringe Aussagekraft. Wenn sich nach einer therapeutischen Maßnahme der Zustand der Patienten verbessert, ist dies nicht unbedingt auf den Einfluss der Therapie zurückzuführen.

295

15

15.2 Präventionsstudien

Auch unspezifische Effekte könnten dafür maßgebend sein: etwa der natürliche Krankheitsverlauf oder der Hawthrone-Effekt, der dadurch entsteht, dass sich die Patienten besser fühlen, wenn ihnen Aufmerksamkeit geschenkt wird. x Cross-Over-Design. Bei diesem Design wird jeder Patient mit „ zwei unterschiedlichen Therapien behandelt. Die Therapien können gleichzeitig (Blockversuche) oder zeitlich versetzt durchgeführt werden. Jeder Patient stellt also seine eigene Kontrolle dar. Idealerweise sollte die Zuordnung der Therapien randomisiert erfolgen. Außerdem ist darauf zu achten, dass zwischen den beiden Therapien eine therapiefreie Übergangsphase liegt, um Überhangeffekte zu vermeiden. Dieses Studiendesign erfordert statistische Auswertemethoden für verbundene Stichproben. Zur Analyse eines quantitativen Merkmals bietet sich der t-Test oder der Wilcoxon-Test für › Abschnitte 11.1.2 und 11.2.2); bei verbundene Stichproben an (z › Abeinem qualitativen Merkmal eignet sich der McNemar-Test (z schnitt 12.2.5). Bei diesem Design werden weit weniger Patienten als bei einer zweiarmigen Studie benötigt. Es ist allerdings ungeeignet bei progredienten Erkrankungen und bei Krankheiten, bei denen eine der beiden Therapien zur Heilung oder zur nachhaltigen Besserung des Gesamtzustands führt. Anwendungsmöglichkeiten sind gegeben bei chronischen Krankheiten wie z. B. rheumatischen Erkrankungen oder bei chronischen Hauterkrankungen wie der Neurodermitis, wo lediglich eine Milderung der Symptome zu erwarten ist.

15.2

Präventionsstudien

15.2.1 Formen der Prävention Prävention ist ein zusammenfassender Begriff für vorbeugende Maßnahmen, die der Verhütung oder Früherkennung von Krankheiten dienen. Man unterscheidet drei Ebenen der Prävention:

ŷ Primäre Prävention. Mit diesen Maßnahmen soll das Auftreten

einer Krankheit durch Beseitigung der Ursachen verhindert werden. Ein Arzt betreibt beispielsweise primäre Prävention, wenn er einen Patienten ermahnt, auf eine gesunde Ernährung oder Lebensweise zu achten, oder wenn er einen Patienten gegen eine Krankheit impft. Auch öffentliche Einrichtungen leis-

296

Kapitel 15 · Randomisierte Studien

ten primäre Prävention, etwa bei der Reinigung des Trinkwassers. ŷ Sekundäre Prävention. Diese Form der Prävention hat zum Ziel, eine Krankheit im Frühstadium zu erkennen, sodass rechtzeitig interveniert werden kann, um die Progression oder den Tod zu verhindern. Beispiele dafür sind Pap-Test, der zum Erkennen von Gebärmutterhalskrebs eingesetzt wird, oder die Mammographie. Dazu werden Screening-Untersuchungen durchgeführt, und zwar meist in Arztpraxen oder anderen medizinischen Institutionen. ŷ Tertiäre Prävention. Dieser Begriff umfasst Maßnahmen, mit denen die Progression verhindert werden soll, nachdem eine Krankheit manifest geworden ist. Wichtig ist dies vor allem bei letalen Krankheiten wie Krebs oder AIDS. Der Tod kann durch diese Form der Prävention zwar nicht verhindert werden; durch eine adäquate medizinische Betreuung können jedoch die Lebensqualität verbessert und eventuell der Todeszeitpunkt hinausgezögert werden. Der Nutzen einer präventiven Maßnahme kann nur durch eine randomisierte Studie objektiv beurteilt werden. Beobachtungsstudien sind keine Alternative. Personen, die sich freiwillig einer Impfung oder einem Früherkennungsprogramm unterziehen, unterscheiden sich von Personen, die dies nicht tun – sei es bezüglich ihres Lebensstils oder des familiären Risikos oder aus anderen Gründen. Verzerrte Ergebnisse aufgrund eines Selektionsbias wären dabei vorprogrammiert. Leider sind randomisierte Studien zur Evaluation einer präventiven Maßnahme nicht immer praktikabel. In weiten Kreisen der Bevölkerung wird die Meinung vertreten, eine präventive Maßnahme könne in keinem Fall schaden – auch wenn deren Nutzen nicht bewiesen worden ist. Dass dies nicht unbedingt zutrifft, wird im folgenden Abschnitt dargelegt. 15.2.2 Screening-Untersuchungen

15

Screening-Untersuchungen haben zum Ziel – ebenso wie diagnostische Tests –, gesunde von kranken Personen zu trennen. Die zugrunde liegende Idee ist einleuchtend: Krankheiten sollen bereits in der präklinischen Phase entdeckt werden, ehe der Patient die ersten klinischen Symptome bemerkt. Zu diesem Zeitpunkt kann durch eine therapeutische Intervention verhindert werden, dass die Krankheit sich weiter ausbreitet und in ein Stadium gelangt, in dem eine Heilung nicht mehr möglich ist. Dies klingt so überzeugend,

297

15

15.2 Präventionsstudien

dass eine genaue Überprüfung der Effizienz eines Screenings überflüssig erscheint. Dennoch haben Screening-Methoden Risiken und Nachteile: Man denke nur an falsch-positive und falsch-negative Befunde und › Abschnitt 6.5), an die mit manchen deren Konsequenzen (z Untersuchungen verbundenen Unannehmlichkeiten oder an die Kosten. Um den Nutzen objektiv beurteilen und quantitativ beschreiben zu können, sind randomisierte Studien unausweichlich. Die Validität eines Screening-Verfahrens kann durch die Sensitivität und die Spezifität quantifiziert werden. Dabei ist jedoch zu bedenken, dass die Prävalenz der untersuchten Population in der Regel gering ist. Aus diesem Grund ist der positive Vorhersagewert sehr klein, was wiederum problematisch bei der Interpretation eines Befundes ist. Darüber hinaus spielen Kriterien wie Sicherheit, Kosten, einfache Anwendung und Akzeptanz bei der Bevölkerung eine wichtige Rolle. – Die Effizienz lässt sich beschreiben, indem man die Maßzahlen aus Abschnitt 14.1.6 berechnet. Beispiel 15.1 Die Bedeutung der Maßzahlen in Abschnitt 14.1.6 in Zusammenhang mit Screening-Methoden sei an folgendem Beispiel verdeutlicht. Zugrunde liegen die Ergebnisse von 10 randomisierten Studien, die durchgeführt wurden, um zu ermitteln, ob die regelmäßige Teilnahme am Mammographie-Screening das Risiko verringert, an Brustkrebs zu sterben (Kerlikowske K: Efficacy of screening mammography among women aged 40 to 49 years and 50 to 59 years: Comparision of relative and absolute benefit, Journal of the National Cancer Institute Monographs, 22, 79-86, 1997). Insgesamt hatten 500.000 Frauen in Europa und Amerika teilgenommen. Das Risiko, innerhalb des Beobachtungszeitraums von 10 Jahren an Brustkrebs zu versterben, betrug 3,6 / 1000 (ohne Screening) bzw. 2,9 / 1000. Daraus ergibt sich: ARR 0,0007 ; NNT 1.429 ; RR 1,24 und RRR 0,19 . Welches Maß eignet sich zur Darstellung des Nutzens? Die ARR macht deutlich, dass das Risiko durch Screening nur minimal gesenkt werden kann. Noch prägnanter kommt dies in der NNT zum Ausdruck: Wenn sich 1.429 Frauen regelmäßig screenen lassen, wird durchschnittlich eine profitieren und vom Tod durch Brustkrebs bewahrt bleiben. Das RR zeigt, dass dieses Risiko für Frauen ohne Screening etwa 1,24 mal so hoch ist wie für Frauen in der Screening-Gruppe – allerdings kommt nicht zum Ausdruck, dass diese Risiken generell sehr gering sind. Gänzlich irreführend ist die RRR. Sie suggeriert, dass 19 % aller Frauen vom Screenen profitieren – in Wirklichkeit beziehen sich die 19 % nur auf die Frauen, die an Brustkrebs erkranken.

298

Kapitel 15 · Randomisierte Studien

An Beispiel 15.1 wird deutlich, dass der Nutzen kleiner ist als vielfach angenommen wird. Allgemein wird darüber kontrovers diskutiert, ob ein Screening sinnvoll ist. Dies hängt u. a. von der Prävalenz, der Art der Erkrankung, Kosten der Screening-Untersuchungen und den zur Verfügung stehenden gesundheitsökonomischen Ressourcen ab. Bei Screening-Untersuchungen gibt es eine Reihe spezifischer, systematischer Fehler (Bias): x Lead Time Bias. Bei Patienten mit nicht heilbaren Tumoren, die „ sich einem Screening-Test unterziehen, werden die Tumore eher entdeckt als bei Patienten ohne Screening. Die Diagnose wird also vorverlegt. Die Überlebenszeit hat sich aufgrund des Screenings nicht verlängert, wohl aber die Zeit zwischen Diagnose und Tod. Dies darf aber in keinem Fall als Verlängerung der Lebenszeit interpretiert werden. In Wirklichkeit hat das Screening eher geschadet, da dadurch ein Teil unbeschwerter Lebenszeit verloren gegangen ist. x Length Time Bias. Durch Screening-Maßnahmen werden vor al„ lem langsam wachsende, weniger aggressive Tumore mit besseren Heilungschancen aufgespürt. Aggressive Tumore mit schlechten Heilungschancen werden dagegen häufig von den Patienten selbst entdeckt. Dies könnte zu der falschen Schlussfolgerung verleiten, die besseren Heilungschancen seien dem Screening-Test zu verdanken. Leider ist die Durchführung von randomisierten Studien, die den Nutzen eines Screening-Tests belegen könnten, aus verschiedenen Gründen problematisch: Diese Studien müssten sehr viele Teilnehmer umfassen und etliche Jahre dauern, um verlässliche Ergebnisse zu erhalten. Nicht jeder potentielle Teilnehmer wird gerne den Zufall entscheiden lassen, ob er regelmäßig gescreent werden soll oder nicht. Da die Nützlichkeit eines Screening-Programms von weiten Kreisen der Bevölkerung kaum in Zweifel gezogen wird, mag es schwierig sein, sie von der Notwendigkeit solcher Studien zu überzeugen.

15

299

15

15.3 Evidenzbasierte Medizin

15.3

Evidenzbasierte Medizin

15.3.1 Grundlagen der evidenzbasierten Medizinƒƒƒ Evidenzbasierte Medizin (Evidence Based Medicine, EBM) ist eine Medizin, die sich nicht an Intuition, unsystematischen individuellen Erfahrungen eines Arztes (auch nicht eines Chefarztes) oder im besten Fall an veralteten Lehrbüchern orientiert, sondern versucht, ärztliche Entscheidungen auf wissenschaftliche und objektive Belege (und so ist das englische Wort „evidence“ zu verstehen) zu gründen. Nach dem britischen Epidemiologen David Sackett (geboren 1934) ist EBM der gewissenhafte, ausdrückliche und vernünftige Gebrauch der gegenwärtig besten externen, wissenschaftlichen Evidenz in der medizinischen Versorgung individueller Patienten. Randomisierte Studien sind die Basis für eine solche Vorgehensweise, und es erscheint sinnvoll, dass ein Arzt bei der Patientenbehandlung sich an den Ergebnissen aller ihm zur Verfügung stehenden, relevanten Studien orientiert. Dies hört sich selbstverständlich an, ist aber in der Realität nicht einfach umzusetzen. Die Ergebnisse aus der medizinischen Forschung und die daraus hervorgehenden Publikationen vermehren sich immer schneller. In der knapp bemessenen Lesezeit ist dies von einem einzelnen Arzt nicht mehr zu bewältigen. Außerdem ist zumeist von einer gewissen Trägheit des behandelnden Arztes auszugehen, sich den neuesten Stand der Wissenschaft anzueignen. EBM bietet durch ein strukturiertes Vorgehen wie auch durch die Förderung von systematischen Übersichtsarbeiten Hilfe bei der ärztlichen › Abschnitt 15.3.3). Entscheidungsfindung (z Darüber hinaus stellt die evidenzbasierte Bewertung medizinischer Literatur einen wichtigen Beitrag zur Qualitätsverbesserung und Qualitätssicherung in der Klinik und in der Gesundheitsversorgung dar. Aus diesen Gründen hat die EBM in den letzten Jahren stark an Bedeutung gewonnen und findet sowohl in der klinischen Praxis als auch im Bereich der Leitlinienentwicklung zunehmend Einzug. Warum schließlich gehört ein Kapitel zu EBM in ein Lehrbuch für Biomathematik? Ohne die Methoden der Klinischen Epidemiologie und der Biomathematik können wissenschaftliche Arbeiten nicht kritisch interpretiert werden – und diese kritische Wertung stellt eine Grundlage der EBM dar.

300

Kapitel 15 · Randomisierte Studien

15.3.2 Evidenzbasierte Fallberichteƒƒƒ Im Zentrum der EBM steht der individuelle Patient, für den es gilt, die bestmögliche Diagnostik bzw. Therapie auszuwählen. Aufbauend auf dem Konzept von David Sackett erfolgt ein standardisiertes Vorgehen. An erster Stelle steht die Formulierung einer klinischen Fragestellung. Die weiteren Schritte geben den weitgehend standardisierten Prozess der Entscheidungsfindung an. Die Entscheidungsfindung basiert auf der kritischen Bewertung der gefunden Literatur; dabei werden zumeist die Ressourcen der Cochrane Collaboration genutzt. Am Schluss steht die Überprüfung der getroffenen Entscheidung. Ausführlich beschreiben ist diese Vorgehensweise in [10]. Tabelle 15.1 Struktur eines evidenzbasierten Fallberichtes 1.

Fragestellung

2.

Suchstrategie (Literaturrecherche) Kritische Evaluierung der gefundenen Arbeiten Therapieentscheidung

3.

4.

5.

15

Begründung und Diskussion

Wie behandle ich diesen Patienten am besten (Ziel der Aktion, sinnvolle Handlungsoption und Alternativen)? Auf welche Grundlagen stelle ich meine Entscheidung? Wie gut sind diese Grundlagen (interne Validität, klinische Relevanz, Anwendbarkeit für den konkreten Fall)? Basierend auf individueller Erfahrung des Arztes (interne Evidenz) und aktueller Literatur (externe Evidenz) War die Entscheidung richtig? Welche Konsequenzen ergeben sich daraus?

Dieses standardisierte Vorgehen kann anhand der evidenzbasierten Fallberichte verdeutlicht werden. Initiiert wurden diese Berichte erstmals im Jahre 1998 von F. Godlee 1998 im British Medical Journal (Applying research evidence to individual patients. BMJ 1998; 316: 1621-1622). Ziel dieser Berichte ist es, dem behandelnden Arzt Wege aufzuzeigen, wie er eine Therapieentscheidung bei einem individuellen Patienten auf eine evidenzbasierte Basis stützen kann. Dies soll an einem Beispiel verdeutlicht werden: Ein Patient, der unter verstärktem Schwitzen im Bereich der Achseln leidet (Hyperhidrose), stellt sich in der Praxis eines Dermatologen vor. Damit ergibt sich die Fragestellung: Wie kann dieser Patient am wirksamsten und nebenwirkungsärmsten behandelt werden? Ein Arzt, der diese Entscheidung nur auf seinen eigenen, individuellen Erfahrungen

301

15

15.3 Evidenzbasierte Medizin

aufbaut, wird dem Patienten eine Therapie empfehlen, die er selbst schon mehrfach erfolgreich angewandt hat, ohne über Alternativen nachzudenken. Ein Arzt aus einer operativen Klinik wird er dem Patienten eher eine operative Therapie (z. B. Schweißdrüsenexzision) empfehlen als ein Arzt, der in einer mehr konservativ orientierten Klinik tätig ist. Ein Arzt, der hingegen versucht, eine evidenzbasierte Therapieentscheidung zu treffen, wird vor seiner Entscheidung auf eine systematische Übersichtsarbeit zur Behandlung des verstärkten Schwitzens zurückgreifen wollen. Falls eine solche Arbeit nicht existiert, muss Originalliteratur herangezogen werden. In erster Linie wird man sich dabei auf randomisierte klinische Studien stützen, die man z. B. der Medline-Datenbank entnehmen kann. Die Therapieentscheidung bei einem individuellen Patienten wird sich auf die Ergebnisse dieser Literaturrecherche stützen, jedoch auch individuelle Faktoren in Betracht ziehen. Man wird etwa eine Therapie, die anfangs dreimal pro Woche in der Klinik durchgeführt werden muss (wie die Iontophoresebehandlung bei Hyperhidrose), keinem Patienten anbieten, der 100 km entfernt wohnt. Am Ende steht dann die Reflexion des behandelnden Arztes, ob er die Therapieentscheidung basierend auf EBM-Kriterien gefällt hat, oder ob er sich von anderen Faktoren hat beeinflussen lassen. 15.3.3 Die Cochrane Collaborationƒƒƒ Die Cochrane Collaboration (CC, http://www.cochrane.de) hilft, dem Arzt die bestmögliche Evidenz für eine Therapieentscheidung zur Verfügung zu stellen. Die CC ist eine internationale Organisation, deren Ziel die Erstellung, Verbreitung und regelmäßige Aktualisierung systematischer Übersichtsarbeiten zu diagnostischen und therapeutischen Fragestellungen ist. Systematische Übersichtsarbeiten, die nach den Kriterien der CC erstellt werden, werden im Gegensatz zu den klassischen Übersichtsarbeiten, die u. a. durch individuelle Erfahrungen und Netzwerke geprägt sind, strukturiert erstellt. Ziel der Strukturierung durch Richtlinien und Kontrollinstanzen ist es, die Ergebnisse der Übersichtsarbeit so objektiv und so nachvollziehbar wie möglich zu gestalten. Sind genügend vergleichbare Arbeiten zu einer Fragestellung vorhanden, steht am Ende eine Metaanalyse. Dies ist eine besondere Form der statistischen Auswertung, die vergleichbare Arbeiten zusammenfasst. Die Anzahl der von der CC erstellten systematischen Übersichtsarbeiten wächst zunehmend.

302

Kapitel 15 · Randomisierte Studien

Abb. 15.1 Logo der Cochrane Collaboration

› AbbilIm Logo der CC ist eine Metaanalyse grafisch dargestellt (z dung 15.1). Die kleine Raute im linken, unteren Teil des Kreises zeigt die gemeinsame Schätzung resultierend aus der Synthese aller vergleichbaren Studien zu einem bestimmten Thema, die in der Metaanalyse berücksichtigt werden. Die Arbeiten der Cochrane Collaboration bedeuten im Kontext der EBM einen wichtigen Beitrag, um fundierte, wissenschaftlich hochwertige Antworten zu Fragen aus der klinischen Praxis mit hoher Validität und minimaler Verzerrung (Bias) zu erhalten. 15.3.4 Die Zukunft der evidenzbasierten Medizinƒƒƒ

15

Evidenzbasierte Medizin wird in naher Zukunft nicht mehr wegzudenken sein. Sie wird gefördert durch das Bestreben nach Qualitätssicherung und die Notwendigkeit der Verwaltung eingeschränkter Ressourcen. Sie erfordert klinisch interessierte Mediziner, die sich nicht scheuen, kritische Fragen zu stellen und an alten und neuen Dogmen (z. B. „Schokolade verschlechtert eine Akne“ oder „Kartoffel-Reis-Diät hilft bei einer physikalischen Urtikaria“) zu rütteln und auch ihre Zeit opfern, um diese Fragen zu beantworten. Durch die Identifikation von Forschungsdefiziten werden neue Fragen auftauchen, die in sorgfältig geplanten, analytischen epidemiologischen Studien überprüft werden müssen. Die EBM soll den Arzt bei seinen Entscheidungen unterstützen. Nach Sackett ist sie zu verstehen als eine Kunst, bei der Behandlung eines individuellen Patienten die richtigen Fragen zu stellen und diese durch eine strukturierte Zusammenfassung der neuesten Ergebnisse aus der medizinischen Forschung zu beantworten. Jedoch sollten immer bei der Umsetzung die eigene klinische Erfahrung des Arztes wie auch das Patientenverständnis mit berücksichtigt werden. Wenn z. B. der Arzt die Krankheit nicht richtig diagnostiziert, hilft die beste Literaturrecherche nicht weiter. Wenn der Arzt eine Therapieentscheidung fällt, die nicht zum Verständnis des Patienten von seiner Krankheit passt, wird diese Entscheidung vom Patienten

303

15

15.3 Evidenzbasierte Medizin

nicht akzeptiert werden und wegen mangelnder Compliance nicht zum gewünschten Erfolg führen. Zusammenfassend lässt sich schlussfolgern, dass die ärztliche Entscheidungsfindung auf drei Säulen beruht:

ŷ Auf dem erworbenen Wissen und der klinischen Erfahrung des behandelnden Arztes (interne Evidenz);

ŷ auf den Bedürfnissen des Patienten; ŷ auf dem aktuellen Stand der Forschung (externe Evidenz).

Anhang

Anhang Tabelle A: Dichte- und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 307 Tabelle B: Quantile der t-Verteilung 308 Tabelle C: Kritische Werte für den Wilcoxon-Test 309 Tabelle D: Kritische Werte für den U-Test 310 Tabelle E: Quantile der Chi2-Verteilung 312 Tabelle F: Kritische Werte für den Vorzeichen-Test 313 Glossar Englisch - Deutsch 314 Weiterführende Literatur 316

Tabelle A: Dichte- und Verteilungsfunktion der Standardno

Anhang

307

Tabelle A: Dichte- und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,674 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Es gilt: Beispiel:

M (z )

) (z )

0,399 0,397 0,391 0,381 0,368 0,352 0,333 0,318 0,312 0,290 0,266 0,242 0,218 0,194 0,171 0,150 0,129

0,50 0,540 0,579 0,618 0,655 0,691 0,726 0,75 0,758 0,788 0,816 0,841 0,864 0,885 0,903 0,919 0,933

z 1,6 1,645 1,7 1,8 1,9 1,96 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,58 2,7 2,8 2,9 3,0

M (z )

) (z )

0,111 0,103 0,094 0,079 0,066 0,058 0,054 0,044 0,035 0,028 0,022 0,018 0,014 0,010 0,008 0,006 0,004

0,945 0,95 0,955 0,964 0,971 0,975 0,977 0,982 0,986 0,989 0,992 0,994 0,995 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987

M( z ) M( z ) und ) ( z ) 1  ) ( z ) M(1) M( 1) 0,242 ) (1,0) 0,841 Ÿ ) (1,0) 1  0,841 0,159

308

Anhang · Tabelle B:

Quantile der t-Verteilung

Tabelle B: Quantile der t-Verteilung f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

t f ;0,90

t f ;0,95

t f ;0,975

t f ;0,99

t f ;0,995

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,299 1,296 1,294 1,292 1,291 1,290

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,76l 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,676 1,671 1,667 1,664 1,662 1,660

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,009 2,000 1,994 1,990 1,987 l,984

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,403 2,390 2,381 2,374 2,368 2,364

63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,678 2,660 2,648 2,639 2,632 2,626

f = Anzahl der Freiheitsgrade

Tabelle C: Kritische Werte für den WilcoxonTest

309

Anhang

Tabelle C: Kritische Werte für den Wilcoxon-Test n 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n

Irrtumswahrscheinlichkeit D bei 2-seitiger Fragestellung 0,10 0 2 3 5 8 10 13 17 21 25 30 35 41 47 53 60 67 75 83 91 100 110 119 130 140 151 0,05

0,05  0 2 3 5 8 10 13 17 21 25 29 34 40 46 52 58 65 73 81 89 98 107 116 126 137 0,025

0,02   0 1 3 5 7 9 12 15 19 23 27 32 37 43 49 55 62 69 76 84 92 101 110 120 0,01

0,01    0 1 3 5 7 9 12 15 19 23 27 32 37 42 48 54 61 68 75 83 91 100 109 0,005

Irrtumswahrscheinlichkeit D bei 1-seitiger Fragestellung

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße gleich dem kritischen Wert oder kleiner als dieser ist.

310

Anhang · Tabelle D:

Tabelle D: 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

0 0

Kritische Werte für den U-Test

Kritische Werte für den U-Test (2-seitige Fragestellung, D 0,05 ) 2

3

0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18

4 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 17 18 19 20 21 22 23 24 24 25 26 27 28 29 30 31 31

5

6

7

8

9

10

2 3 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20 22 23 24 25 27 28 29 30 32 33 34 35 37 38 39 40 41 43 44 45

5 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27 29 30 32 33 35 37 38 40 42 43 45 46 48 50 51 53 55 56 58 59

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74

13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41 43 45 48 50 53 55 57 60 62 65 67 69 72 74 77 79 81 84 86 89

17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48 50 53 56 59 62 64 67 70 73 76 78 81 84 87 89 92 95 98 101 103

23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 58 61 64 67 71 74 77 80 83 87 90 93 96 99 103 106 109 112 115 119

Die Zahlen in der Vorspalte und der Kopfzeile bezeichnen die Umfänge der beiden Stichproben.

Anhang

311 Tabelle D: Kritische Werte für den U-Test

Tabelle D:

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Kritische Werte für den U-Test (2-seitige Fragestellung, D 0,05 )

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

30 33 37 40 44 47 51 55 58 62 65 69 73 76 80 83 87 90 94 98 101 105 108 112 116 119 123 127 130 134

37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101 105 109 113 117 121 125 129 133 137 141 145 149

45 50 54 59 63 67 72 76 80 85 89 94 98 102 107 111 116 120 125 129 133 138 142 147 151 156 160 165

55 59 64 69 74 78 83 88 93 98 102 107 112 117 122 127 131 136 141 146 151 156 161 165 170 175 180

64 70 75 80 85 90 96 101 106 111 117 122 127 132 138 143 148 153 159 164 169 174 180 185 190 196

75 81 86 92 98 103 109 115 120 126 132 137 143 149 154 160 166 171 177 183 188 194 200 206 211

87 93 99 105 111 117 123 129 135 141 147 154 160 166 172 178 184 190 196 202 209 215 221 227

99 106 112 119 125 132 138 145 151 158 164 171 177 184 190 197 203 210 216 223 230 236 243

113 119 126 133 140 147 154 161 168 175 182 189 196 203 210 217 224 231 238 245 252 258

127 134 141 149 156 163 171 178 186 193 200 208 215 222 230 237 245 252 259 267 274

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße gleich dem kritischen Wert oder kleiner als dieser ist.

312

Anhang · Tabelle E:

Quantile der Chi²-Verteilung

Tabelle E: Quantile der Chi²-Verteilung f

F 2f ;0,90

F 2f ;0,95

F 2f ;0,975

F 2f ;0,99

F 2f ;0,995

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,645 12,017 13,362 14,684 15,987 17,275 18,549 19,812 21,064 22,307 23,542 24,769 25,989 27,204 28,412 29,615 30,813 32,007 33,196 34,382 35,563 36,741 37,916 39,087 40,256 51,805 63,167 74,397 85,527 96,578 107,565 118,498

3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 55,759 67,505 79,082 90,531 101,879 113,145 124,342

5,024 7,378 9,348 11,143 12,833 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,647 41,923 43,194 44,461 45,722 46,979 59,342 71,420 83,298 95,023 106,629 118,136 129,561

6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 45,963 48,278 49,588 50,892 63,691 76,154 88,379 100,425 112,329 124,116 135,807

7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,801 34,267 35,719 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,559 46,928 48,290 49,645 50,993 52,336 53,672 66,766 79,490 91,952 104,215 116,321 128,299 140,169

f = Anzahl der Freiheitsgrade

Anhang

313

Tabelle F: Kritische Werte für den VorzeichenTest

Tabelle F: Kritische Werte für den Vorzeichen-Test n

Irrtumswahrscheinlichkeit D bei 2-seitiger Fragestellung 0,05

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

n

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10

5 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 12 13 14 14 15 16 16 17 17 18 19 19 20 20 0,025

0,02 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 8 9

0,01 6 6 7 8 9 9 10 11 11 12 13 13 14 14 15 16 16 17 18 18 19 19 20 21 21

0,01

0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8

6 7 7 8 9 10 10 11 12 12 13 14 14 15 16 16 17 18 18 19 19 20 21 21 22 0,005

Irrtumswahrscheinlichkeit D bei 1-seitiger Fragestellung

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße außerhalb der angegebenen Schranken liegt.

314

Anhang · Glossar Englisch - Deutsch

Glossar Englisch - Deutsch 2 by 2 table 2-tailed test (2-sided test) alternative hypothesis attributable risk bar chart bias carry over effect case control study case report case series censored data coefficient of determination cohort study compliance conditional probability confidence interval confounder contingency table correlation coefficient cross-over-design cut-off-point density function dependent variable distribution drop out estimator evidence based case reports experimental study frequency Gaussian distribution Hazard rate independent variable interquartile range least-square-method life table longitudinal study matching mean noising factor null hypothesis

Vierfeldertafel 2-seitiger Test Alternativhypothese zuschreibbares Risiko Balkendiagramm verzerrende Störgröße nachhaltige Wirkung einer Therapie Fall-Kontroll-Studie Fallbericht Fallserien zensierte Daten Bestimmtheitsmaß Kohortenstudie Akzeptanz der Behandlung bedingte Wahrscheinlichkeit Konfidenzintervall verzerrende Störgröße Kontingenztafel Korrelationskoeffizient Überkreuzungsstudie Schnittpunkt Dichtefunktion abhängige Variable Verteilung Studienabbrecher Schätzer EBM-basierte Fallberichte Experiment Häufigkeit Normalverteilung Ausfallrate unabhängige Variable Interquartilsabstand Methode der kleinsten Quadrate Sterbetafel longitudinale Studie paarweise Zuordnung Mittelwert unverzerrende Störgröße Nullhypothese

315

Anhang

Glossar Englisch - Deutsch

Glossar Englisch - Deutsch observation odds ratio outlier pie chart population power predictive value prevalence probability p-value random experiment random sample random variable randomized clinical trial (RCT) range reference interval regression line research risk risk ratio sample sample size scatter plot sensitivity significance level skewed distribution specificity stem-and-leaf-diagram standard deviation standard error of the mean statistical inference survey survival function ties transversal study type I error type II error unbiased value washout period

Beobachtung Chancenverhältnis Ausreißer Kreisdiagramm Grundgesamtheit Trennschärfe, Teststärke Vorhersagewert Prävalenz Wahrscheinlichkeit p-Wert Zufallsexperiment Zufallsstichprobe Zufallsvariable randomisierte klinische Studie Spannweite Referenzbereich Regressionsgerade Forschung Risiko relatives Risiko Stichprobe Stichprobenumfang Punktwolke Sensitivität Signifikanzniveau schiefe Verteilung Spezifität Stamm-und-Blatt-Diagramm Standardabweichung Standardfehler des Mittelwerts statistische Schlussweise Erhebung Überlebensfunktion verbundene Ränge Querschnittstudie Fehler 1. Art (Į-Fehler) Fehler 2. Art (ß-Fehler) unverzerrt (frei von system. Fehler) Merkmalswert therapiefreie Zwischenphase

316

Anhang · Weiterführende Literatur

Weiterführende Literatur 1. Andreß HJ, Hagenaars JA, Kühnel S: Analyse von Tabellen und kategorialen Daten. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1997 2. Backhaus K, Erichson B, Plinke W, Weiber R: Multivariate Analysemethoden, 10. Auflage. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 2003 3. Beck-Bornholdt HP, Dubben HH: Der Hund, der Eier legt. Erkennen von Fehlinformation durch Querdenken. Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, 1997 4. Bortz J: Statistik für Sozialwissenschaftler, 4. Auflage. SpringerVerlag Berlin, Heidelberg, New York, 1993 5. Bortz J, Lienert GA: Kurzgefaßte Statistik für die klinische Forschung, 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 2003 6. Dewdney AK: 200 Prozent von Nichts. Die geheimen Tricks der Statistik und andere Schwindeleien mit Zahlen. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994 7. Fletcher RH: Klinische Epidemiologie. Grundlagen und Anwendung. Ulsstein Medical Verlag Wiesbaden, 1999 8. Gigerenzer G: Das Einmaleins der Skepsis. Berlin-Verlag, 2002. 9. Gordis L: Epidemiologie. Deutsche Erstausgabe. Kilian-Verlag Marburg, 2001 10. Greenhalgh T: Einführung in die Evidence-Based Medicine. Kritische Beurteilung klinischer Studien als Basis einer rationalen Medizin. Verlag Hans Huber Bern, 2002. 11. Hartung J, Elpelt B, Klösener KJ: Statistik. Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik, 10. Auflage. Oldenbourg-Verlag München, Wien, 1995 12. Sachs L: Angewandte Statistik, 8. Auflage. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1996 13. Schumacher M, Schulgen G: Methodik klinischer Studien. Methodische Grundlagen der Planung, Durchführung und Auswertung. Springer-Verlag Heidelberg, 2000. 14. Weiß C, Bauer AW: Promotion. Die medizinische Doktorarbeit von der Themensuche bis zur Dissertation, 2. Auflage. ThiemeVerlag Stuttgart, 2004

317

Index

Sach- und Personenregister

Sach- und Personenregister D-Fehler 192, 195 a-posteriori-Wahrscheinlichkeit 110, 119 a-priori-Wahrscheinlichkeit 110, 119 Abbe, Ernst 170 Abbruchkriterien 291 Abstandsskala siehe Intervallskala Additionssatz 108 f, 111 Allgemeines lineares Modell 225 Alternativhypothese 190 Alternativmerkmal 23, 98, 229, 237 Annahmebereich 192 ff Anpassungstest 202, 212, 241 Äquivalenz 196, 294 Arbuthnot, John 5, 229 arithmetisches Mittel siehe Mittel-

Bernoulli-Prozess 130 Bestimmtheitsmaß 92 ff, 225 Bevölkerungsstatistik 5, 114 Bias siehe Fehler, systematischer Binomialkoeffizient 131 Binomialtest 229 Binomialverteilung 129 ff, 139, 160 - negative 138 - symmetrische 133 f Biomathematik 11 Biometrie 11 Biostatistik 11 Bland-Altman-Plot 87 Blockbildung 254 Blockdiagramm 41 Bonferroni-Korrektur 201 Box-and-Whisker-Plot 74 f

wert Arzneimittelgesetz 287 Arzneimittelstudie 287 As treated 292 Assoziation 49 Assoziationskoeffizient nach Yule 237 Assoziationstest 202 Ausfallrate 163 Ausprägungsliste 28, 103 Ausreißer 30, 43, 56 f, 67, 86 Ausschlusskriterien 291 Axiome von Kolmogoroff 107 ß-Fehler 194 ff Bacon, Francis 8 Balkendiagramm 41, 51 Bayes, Thomas 110 Bayes-Theorem 110 Begleitmerkmal 22 Beobachtungseinheit 21 f Beobachtungsgleichheit 255, 290 Beobachtungsstudie 248, 273, 294 Bernoulli, Jakob 129 Bernoulli-Experiment 129

Chadwick, Edwin 8 Chi2-Anpassungstest 241 Chi2-Homogenitätstest 232, 236 Chi2-Tests 231 ff Chi2-Unabhängigkeitstest 231, 236 Chi2-Verteilung 169 f, 232 Chi2-Vierfeldertest 231 Cochrane Collaboration 301 Compliance 293, 303 Computersimulation 105 Confounder 255, 266, 272 Cox-Proportional-Hazards-Modell 283 Cramérs Index 238 Cross-Over-Design 295 Deklaration von Helsinki 8, 287 Determinationskoeffizient 93 Dezil 60 Dezilabstand 67 Diagnosestudie 248, 273 ff Diagramm 21, 41 f Dichte 45, 145 Dichtemittel siehe Modus

318

Sach- und Personenregister

Dispersionsmaße siehe

Streuungsmaße Dispersionstest 202 Doktorarbeit 258 Dosiswirkungskurve 49 Double-Dummy-Technik 290 Drop Outs 271, 280, 283, 292 Durchschnitt siehe Mittelwert Effizienz 175 Einflussgröße 22, 257 Einschlusskriterien 291 Einzelfalldarstellung 14 Elementarereignis 103 Endlichkeitskorrektur 140, 181 Epidemiologie 111 ff, 247 ff Ereignisraum 102 Ereignisse 103 - disjunkte 106 f, 108 - komplementäre 106 f - sichere 103 - unabhängige 110 - unmögliche 103 Erfassungsfehler 254 erklärte Varianz 92 Erwartungstreue 174 Erwartungswert 126 f, 157, 175, 179 Ethikkommission 258 Euler’sche Zahl 136 Evidenz 300, 303 Evidenzbasierte Medizin 299 ff evidenzbasierter Fallbericht 300 Exhaustivität 175 Experiment siehe Studie,

experimentelle Exponentialverteilung 163 f Exposition 262, 273 Extrapolation 91 Exzess siehe Wölbung F-Test 213 F-Verteilung 170, 213 Faktor 22 - ätiologischer 248. 261 - prognostischer 279, 282 Fall-Kontroll-Studie 250 f, 264 ff Fallbericht 249, 262

Fälle 264 Fallserie 249, 262 falsch negatives Ergebnis 118, 297 falsch positives Ergebnis 118, 297 fehlende Daten 33 Fehler - 1. Art siehe D-Fehler - 2. Art siehe ß-Fehler - systematischer 254 f - zufälliger 253 f Fertilitätsziffer 114 Fisher, Ronald Aylmer 6, 9, 170, 174, 213 Fisher’s exakter Test 241 f formale Korrelation 86 Formmaße 69 ff Fraktil 60 Freiheitsgrade - der t-Verteilung 168, 180, 209 - der Varianz 65 Friedmantest 225 Galen aus Pergamon 7 Galilei, Galileo 6 f Galton, Francis 89, 161 Gauß, Carl Friedrich 6, 148, 160 Gauß’sche Glockenkurve 148 Geburtenziffer siehe Fertilitätsziffer Gemeinsamkeitskorrelation 86 geometrisches Mittel 63, 154 Gesetz der großen Zahlen 104, 130, 157 f Gleichverteilung 141 Goldstandard 249, 274 Good clinical practice 287 Gosset, Sealy 6, 167, 180 graphische Darstellungen 40 ff, 44 f, 51, 74 f Graunt, John 5 Grundgesamtheit 19 f, 173 Güte - eines diagnostischen Tests 118, 274 - einer Schätzung 174 f - eines statistischen Modells 93 - eines statistischen Tests siehe

Power

319

Index

Sach- und Personenregister

harmonisches Mittel 63 Häufigkeiten - absolute 39 ff - kumulative siehe

Summenhäufigkeiten - relative 39 ff, 40 - zweidimensionale 49 f Häufigkeitspolygon 45 Häufigkeitsverteilung 39, 44 f, 125 Hawthrone-Effekt 295 Hazard-Funktion 163, 283 Helmert, Friedrich Robert 170 Hill, Austin Bradford 270, 289 Hippokrates von Kos 7 Histogramm 45, 57, 212 Homogenitätstest 202, 236 Homoskedastizität 214 Huygens, Christiaan 6, 127 Hypothese 12, 19, 189 ff, 257 - einseitige 191, 199, 233 - zweiseitige 191, 199

Kenngrößen, charakteristische 20, 55 ff Klassenanzahl 43 Klassenbildung 42 f Klassenbreite 43 Kontrolle, historische 290 Kohortenstudie 248, 250, 268 ff, 294 - historische 271 Kolmogoroff, Andrej 107 Kommastellen 56, 65 Konfidenzintervall 177 ff, 198, 220, 254 - für den Erwartungswert 179 ff - für die Wahrscheinlichkeit 182 Konfidenzwahrscheinlichkeit 178 Konsistenz 174 Kontagionsindex 114 Kontingenzkoeffizient 238 Kontingenztafel 49, 236, 242 Kontrollen 264 Kontrollgruppe siehe

Vergleichsgruppe Identifikation 32 Informationsbias 251, 255, 265, 271 Inhomogenitätskorrelation 86 Intention to treat 292 Interdezilbereich 67 Interpretation - des Ergebnisses einer Analyse 13 - eines Korrelationskoeffizienten 85 f - eines Testergebnisses 195 ff, 200 Interquartilsbereich 68 Intervallschätzung 177 ff Intervallskala 24, 72 Interventionsstudie siehe Studie,

klinisch-kontrollierte Inzidenz 112, 261, 268 f Inzidenzstudie 269 Irrtumswahrscheinlichkeit 178, 183 Jenner, Edward 8 Kaplan-Meier-Methode 280 ff Kappa-Koeffizient 278 Kausalität 272 f

Korrelationsanalyse 80 ff Korrelationskoeffizient - nach Pearson 82 ff, 214 - nach Spearman 94 ff Kovarianz 82 f, 128, 176 Krankenbestand siehe Prävalenz Kreisdiagramm 41 kritischer Bereich 192 ff kritischer Wert 193 Kruskal-Wallis-Test 225 Kurtosis siehe Wölbung Laborexperiment 272 Lagemaße 55 ff, 69 Lageparameter 126 f, 147 Lagetest 202, 207 ff Längsschnittstudie siehe Studie, lon-

gitudinale Laplace, Pierre Simon de 6, 103, 151 Latenzzeit 268 f Lead Time Bias 298 Lebensdauer 162, 165 Lebenserwartung 116 f Lebenszeitprävalenz 112 Length Time Bias 298

320

Sach- und Personenregister

Letalität 113 Likelihood-Quotient 274 Linder, Arthur 11 Liste 32 Lognormalverteilung 153 f Logrank-Test 241, 282 Louis, Pierre Charles Alexandre 9 Manifestationsindex 114 Martini, Paul 11 Maßzahlen 20, 55 ff - epidemiologische 112 ff Matchen 255, 266 Maximum 63 McNemar-Test 238, 295 Median 57 f, 127, 147, 175 Median-Test 235 Mendel, Gregor 10 Merkmal 21 ff, 125 - abhängiges 89 f - binäres 23 - dichotomes 23 - diskretes 25, 39 ff, 67 - kategoriales 24 - metrisch skaliertes 24 - qualitatives 24 - quantitatives 24, 74 - stetiges 25, 42 ff - unabhängiges 89 f Merkmalsausprägung 22, 28 f Merkmalsträger 21 Messniveau 23 Metaanalyse 301 Methode - deduktive 12 f - induktive 14 Methode der kleinsten Quadrate 57, 91 metrische Skala 24 Minimum 63 Mittelwert 55 ff, 126, 157, 175 mittlere Abweichung vom Median 68 modale Klasse 62 Modalwert siehe Modus Modus 62, 128, 147 Moivre, de Abraham 161

Momente 147 Monte-Carlo-Studie 185, 214 Morbidität 113 Mortalität 113, 261 Multinomialverteilung 137 multiple Analysemethode 203, 243, 294 multiple Regressionsanalyse 92, 225 multiples Testen 201, 275 Multiplikationssatz 110 f Natalität 114 Naturwissenschaft 3, 7, 14 Neuerkrankungsrate siehe Inzidenz NNT siehe Number needed to treat Nominalskala 23, 72 Nonsenskorrelation 86 Normalverteilung 66, 69, 73, 148 ff, 161, 211, 241 Normbereich siehe Referenzbereich Nullhypothese 190, 197, 240 Number needed to treat 270, 293, 297 Ochsner, Alton 262 f, 272 Odds ratio 267 Ordinalskala 24, 27, 72, 96 p-Wert 197 ff paarweise Zuordnung siehe

Matchen Pascal, Blaise 6 Pearl-Index 115 Pearson, Karl 6, 89, 170, 237 Per Protocol 293 Periodenprävalenz 112 Perzentil 60 Pharmakoepidemiologie 288 Phi-Koeffizient 237 Placebo 290 Poisson, Siméon Denis 135 Poissonverteilung 135 f, 161 Polynomialverteilung 137 Power 195 f prädiktive Werte siehe

Vorhersagewerte Prävalenz 112, 119 f, 263, 274

321

Index

Sach- und Personenregister

Prävalenzstudie 250, 263 Prävention 295 f Präventionsstudie 249, 295 ff Prognosestudie 249, 279 ff Prüfgröße 190 f, 202 Prüfverteilungen 162, 166 f punktbiseriale Korrelation 98 Punktediagramm 41, 61 Punktprävalenz 112 Punktschätzung 173 ff Punktwolke 80, 82, 84, 88 Q-Test von Cochran 240 Quantil 60, 127, 147 Quartil 60 Quartilsabstand 68 Querschnittstudie siehe Studie,

transversale Quetelet, Adolphe 161 Randomisation 255, 288 f, 294 Rangkorrelation 95 Rangliste 58 Rangskala siehe Ordinalskala Rangsummentest 215 ff Ratioskala siehe Verhältnisskala Recall-Bias 265 Rechteckdiagramm 41 Referenzbereich 151 Register 19, 249 f Regression - lineare 89 ff - logistische 243, 267, 271 - nicht-lineare 94 Regressionsanalyse 89 ff Regressionsgerade 81, 90 ff Regressionskoeffizient 90 Relevanz 198, 300 Reliabilität 87, 277 Reproduzierbarkeit siehe

Reliabilität Residualvarianz 92 Residuum 92, 214 Risiko 261, 269 - relatives 267, 270, 283 - zuschreibbares 269 Risikofaktor 261, 272

Risikoreduktion 269 f Risikostudie 248, 261 ff ROC-Analyse 275 ı-Bereich 151 Sackett, David 299 f Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit 108, 111 Säulendiagramm 41, 75 Schätzfunktion 174 Schätzwert 174 Scheinkorrelation 86 Schichten 254, 289 Schiefe 57, 69, 147, 153, 155, 212 Schwellenwert 275 f Scores, medizinische 24, 29 f Screening 296 ff Selektion 254 Selektionsbias 254, 265, 271, 289, 294, 296 Selektionskorrelation 86 Semmelweis, Ignaz Philipp 9 f, 261 Sensitivität 118 ff, 274, 276, 297 sequentielles Testverfahren 195 Signifikanzniveau 197 Skalenniveau 23 f, 195 Skalentransformation 26 Snow, John 8, 261 Spannweite 67 Spearman, Charles 95 Spezifität 118 ff, 274, 276, 297 Staatsbeschreibung 5 Stabdiagramm 41 Stamm- und Blatt-Diagramm 44, 61 Standardabweichung 65, 128, 184 Standardfehler des Mittelwerts 158, 181 Standardnormalverteilung 149 ff Standardtherapie 290 Stärke eines Zusammenhangs 81, 237 Statistik - bivariate 79 ff, 176 - deskriptive 5, 11, 20 ff, 103 - explorative 12 - induktive 6, 11, 21, 173 ff - medizinische 11

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Sach- und Personenregister

- univariate 55 ff Statistisches Jahrbuch 5, 116 Sterberate 163, 166 Sterbetafel 115 ff Sterbeziffer 115 ff Stetigkeitskorrektur 182, 230,, 239 Stichproben 19 f, 73 f, 202, 291 - paarige siehe verbundene - repräsentative 19, 173 - unverbundene 202, 208, 212, 218, 222 - verbundene 202, 207, 212, 216, 221, 223, 238 - zufällige 264 Stichprobenumfang 22, 40, 43,, 75 f, 174 f, 183, 194 ff, 240, 253 Stochastik 11 Störgröße 22 - nicht-verzerrende 23 - verzerrende 23, 255 Stratifizierung 254, 289 Streuungsmaße 64 ff, 69 Streuungsparameter 128, 147 Strichliste 40 Strukturgleichheit 254, 266, 288, 293 Studie - analytische 250 - beobachtende siehe

Beobachtungsstudie - deskriptive 249 - diagnostische siehe

Diagnosestudie - doppelblinde 255, 290 - einfachblinde 290 - experimentelle 13, 252 - klinisch-kontrollierte 250, 287 - longitudinale 250 - monozentrische 253 - multizentrische 253, 255 - offene 290 - ökologische 248, 272 - prospektive 13, 251 f - randomisierte 249 f - retrospektive 13, 251 - transversale 250, 263 Studiendesign 291

Studienplanung 256 ff Summenhäufigkeiten 46 f Summenzeichen 39 Surrogatmerkmal 31, 293 Süßmilch, Johann Peter 5 Symmetrietest von Bowker 240 t-Test 207 ff, 220, 241

- für eine Stichprobe 189 ff, 207, 221 - für 2 unverbundene Stichproben 208 ff, 222 - für 2 verbundene Stichproben 207, 221 - nach Welch 210 - zur Prüfung eines Korrelationskoeffizienten 214 t-Verteilung 167 f Tabelle 20, 32 Test - diagnostischer 118 ff, 274 ff - konservativer 221 - parametrischer 207 - progressiver 221 - statistischer 189 ff - verteilungsfreier 215 Testentscheidung 195 f Testergebnis - signifikantes 195, 221 Testgröße siehe Prüfgröße Teststärke siehe Power Therapiestudie 249, 287 ff Totalerhebung 19 Transformationen 152, 213 Trennschärfe siehe Power Tschebyscheff, Pafnutij 155 Tschebyscheff’sche Ungleichung 155 f U-förmige Verteilung 62 U-Test von Mann und Whitney 218 Überlebensfunktion 162 f Überlebensrate 280 Überlebenswahrscheinlichkeit 163 Überlebenszeit 162, 298, 280 Überlebenszeitstudie 31, 162, 280 Übersichtsarbeit 299, 301

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Index

Sach- und Personenregister

Unabhängigkeitstest 202, 231, 236 Untersuchungseinheit 21 Urliste 55 Validität - einer Screening-Methode 297 - eines diagnostischen Tests 274 - externe 256, 292, 294 - interne 256, 289, 294 Variabilität - interindividuelle 253, 278 - intraindividuelle 253, 278 Variable 21 Varianz 64, 128, 147,, 176 f Varianzanalyse 224 Variation Ratio 68 Variationsbreite 67 Variationskoeffizient 66, 128 - relativer 66 Venn-Diagramm 105 Verblindung 289 verbundene Ränge 216, 219 Vergleichsgruppe 263, 290, 294 Verhältnisskala 24, 72 Verteilung - diskrete 125 ff - eingipfelige 56, 62, 73 - gedächtnislose 164 - geometrische 138 - hypergeometrische 139, 181 - linksschiefe 70, 155 - mehrgipfelige 62 - rechtsschiefe 70, 153 - schiefe 56, 58, 70 - symmetrische 58, 66, 73 - von Lebensdauern 162 ff - von Mittelwerten 158, 160 Verteilungsfunktion 48, 61, 126 f, 145 Vierfeldertafel 50, 231, 242 Vierfeldertest 231 Vollerhebung 19 Vorhersagewerte 119 ff, 274 Vorzeichentest - für eine Stichprobe 222 f - für 2 verbundene Stichproben 223

Wahrscheinlichkeit 101 ff, 126, 176, 182 - bedingte 109 f - nach Kolmogoroff 107 - nach Laplace 103, 107 - objektive 101 - subjektive 101 Wahrscheinlichkeitsfunktion 126 Wahrscheinlichkeitsrechnung 6, 11 f, 101 ff, 155 ff Wahrscheinlichkeitstest 204, 229 f Weber, Erna 11 Weibull, Waloddi 165 Weibull-Verteilung 165 f Welch-Test 210 Wilcoxon, Frank 215 Wilcoxon-Test - für eine Stichprobe 215 - für 2 verbundene Stichproben 216 f Wölbung 72, 147, 212 Yule, George 237 zensierte Daten 31, 59, 241 zentrale Momente 147 zentraler Grenzwertsatz 159, 161, Zentralwert siehe Median Zielgröße 22, 257 Zufall 3 f, 288 Zufallsexperiment 102 Zufallsvariable 21 - diskrete 125 f - stetige 145 f Zufallszahlen 141 Zusammenhang - funktionaler 79 - gegensinniger 81, 83, 90, 95 - gleichsinniger 81, 83, 90, 95 - kausaler 87 - linearer 81 ff - monotoner 95 - nicht-linearer 94 - stochastischer 79