Übungsbuch Strömungsmechanik: Grundlagen, Grundgleichungen, Analytische und Numerische Lösungsmethoden, Softwarebeispiele, 7. Auflage

Herbert Oertel jr. I Martin Böhle Übungsbuch Strömungsmechanik

Herbert Gertel jr.

I Marti n Böhl e

00

Ubungsbuch Strömungsmechanik Grundlagen, Grundgleichungen, Analyt ische und Numerische Lösungsmethoden, Softwarebeispiele 7., überarbeitete und erwe iterte Auflage Mit 174 Abbild ungen STUDIUM

11 VIEWEG + TEUBNER

Bibliografische Infor mat ion der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsch e Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationatbibliografie; detail lierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Or.-In g. habil. Herbert Dertel jr., Ordinarius Institut für Strömungslehre, Universität Kerlsruhe. Kaiserstraße 10, 76131 Karlsruhe Prof. Dr.-In g , Martin Böhl e, Universitä tsp rofessor Lehrstuhl für Strömungsmechanik und Strömungsmaschinen. Technische Universität Kaiserslautern, Gottlieb-Daimler-Straße, 67663 Kaiserslautern

Die 1. Auflage des Buches erschien unter demselben Titel im Springer Verlag. 2., übe rarbeitete und erw eiterte 3., überarbeitete und erwei terte 4., überarbeitete und erwei terte 5., überarbeitete und erwei terte 6., übe rarbe itete Auflage 2008 7., überarbeitete und erweiterte

Auflage Auflage Auflage Auflage

1998 2001 2003 2006

Auflage 2010

Alle Rechte vorbehalten

© vreweg - t eubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 20 10 l ektorat: Thomas Zipsner I Imke Zander Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science +Busines s Media. www .viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschü tzt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgeset zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere fü r Vervielfältigungen, Überset zungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt we rden dürften. Umschlaggestaltung: Künkellopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0917-9

\'

Vorwort :\Iit den Übungsaufgaben zur St r ömun gsmechanik H. Ueri el ir., M. Böhl e l!J92 sind wir einem oft goä utcrt cn \\'ullsch lI11 S(~n'r St udenten nachgokommeu , neben den Vorfesuugon und Übungen im Hörsa a l, Pille Grundlage für d ie eigens tä nd ige P r üfungsvorbereltuug zu schaffen. D ie Ühnngsaufgalx-n wurden neu bear beitet und den Vorlesungen Strihu lJ11.IJslehre und MaOwU!lltü che M ethoden der Strij1Tl1tn9Slehn~ angepasst , d ie a n der Univer sität K arls-

ruhe im fuuftcn und sechs ten Senn-ster für Studenten des Xla schim-nbaus, des Chr-mi.-ingentcurwcscns , der P hysik und der Technomathematik gelese n werden. Es werden zunächst die G rund begriffe der St römungsmechanik . die eindimens ionale St romfadentheorie lind die vereinfachte Berech nu ng technischer Strömungen vermitte lt . Es folgen Übungsa ufga ben zn den G rundgleichungen de r St r ömun gsmechanik und zu den daraus abgeleiteten Modellglclchungeu für la m ina re und tu rbulent e, inkompressible und kom pressible Strömungen. In tlen darauf fnlgon.Ion Kapit eln werden deren a na lyt ische und numorischc Lösun gsmet hodem in einem er stell Ans at z behandelt. Diesen Kapiteln kommt im Übungsbuch a bs ichtlich eine besondere Bedeutung zu, da der Iugonleu r in der P ra xis zunehmend numerisühn ~ I e.. thodcn und st röruungsmechauische Software auf vernetzten Grolsn-clx-naul ngcn für die P ro dukt ent wicklung nutzt Um den Studenten ein erste s Ühen mit Lösungssoft ware zu ermöglichen , werden die analytischen Lösungswege \'011 Soft ware- Beispieleu begleitet. Die Ühnngsaufgabon zur Strömu ngsmechanik orgänzon das Lehrbuch St römungsmeehanik H. Ocrtel ]1·., M. ßij}tll~ 1005, WOO , das als Leitfaden der St r ömungslehro Vorlesungen a n der Universit är Karlsruhc dient . Da bei ist es für den Studenten auch im Zeitalter der Sof'tware-Xut zung unerläs slich , den Leh rst off, a ngeleitet von den Übungsaufgalx-n und detailliert bcschrlebcnon Lösungswegen . selbst nachzuvollatohen. Das Erl ernen der F ähigkei t , st röruungsmechunlsche P roh lenu, mathemat isch zu formulieren und für ausgewäh lt e Allwendungsbeisplelo a na lyt isch und uumerisrh zu Idsun, ist ein wesput liclws Ausbildungsainl, das die ak tive Mitarbeit der Studenten erfordert. Dafür so ll da s Übungsbuch Anregungen geben. Dip Übnngsaufgalx-n sind \'0 11 meinen la ngjä hngon Assisteutl'u uud Mit autor (>. 1. Böhlo und U. Dohnuann ent spreehend der Vork-snu gskapltrl zusammengestellt worden. Sie sind in uu tr-rschicdlichc Schwierigkeitsgrade ein geteilt, so dass der Student sich ent sprechend seines ' Vissellsstaueles den Lehr stoff 1In meist praktischen strömungsmechanischen Übungsbcis pick-n erarbeiten kann. Die Ühn ngs aufgal x-n sind mehr fach iu dun tllllugell im Hörsaal vorge rec hnet un d die Lösungswege mit den Studenten überarbeitet worden. Die Auswahl der Übungsaufgaben ist zwangslä ufig ein Kompromiss und o rient iert sich an den St ud ienplänen de r Univers ität Kerls ruhe. Es werden a ber a uch St udent en höherer Semest er an anderen deut schsprachigen Universit äten za hlreic he Anregungen finden und d ie schwlertgcn Übungsaufgaben als Prüfs tein ihres strömungsmechanische n W issens empfinden können.

Das Manuskrip t wur de in bewahrter Weise von meinem Assisten ten U. Dohrmanu angefertigt. Unserer Mit arbeiterin L. Huber gilt besonderer Da nk für die Übera rbeit ung der Abbildungen. \Yir danken dem Vleweg Verl ag für die l:]lPruahme des Übungsbuches uu d für die erfreulich gut e Zusa mmenarbeit. Ka rlsruhe , August 1998

Herbort Ocr tel jr.

Vorwort zur 7. Auflage Das Übungs buch St röm ungsmechanik ha t sich zur P rü fungsvorbereit ung und Vorlesungsbcgleitung der Vorlesun gen Strömungslehre und Ma thema t ische Methoden der St römungsleh re inzwischen etablier t und bewährt . Die Ühnngsaufgalx-n wurden hezüglich der [ üugsten P rüfungsaufga ben a ktualisiert un d neue Ülnm gsa ufgabon zur Tur bu lonamodellier uug, Gr obstruktnrsimu lation lind La tice- Boltzmunn-M ut hode wurden eq!;iinzt. Der Zugang zur vorlesung sbcgleltendcn Strömungsmechanik Softwa re er folgt über die 110mepage des Inst it u t s für Strömungslehre der Universität Knrlsruhe www-isl.ma ch.uni-

karfsr uhe .de 11l1d w ww .ubka .uni-karlsru h e .d e .

S. Ruck un d K. Frir. sch-Kirrhncr dan ken wir für di e Manuskript er stellung u nd dem Viuweg + Teubner Verl ag für di e Fortführung der erfreulich guten Zusammcu arbcit . G a nz besonderer Da nk gilt mciuom zu frü h versterbeneu Assistenten IIlH! bisherigen Mi tau tor U. Dohnnanu , der wcscutltcbcn Anteil a n den Übungen der Strömungsmechanik ha t. Karl sruhe, Augu st 200n

Herbett. Ücrtcl j r.

VII

Inhaltsverzeichnis 1

Ein fii h r u ng

1

2

G r undla gen d e r Ström u n gsmechan ik 2.1 Strömungsbereiche 2.2 Hydr o- und Aerostatik 2.2.1 Hyd rost at ik 2.2.2 Aerostatik 2.3 Hydro- lind Aero dynamik, St romfadentheorie 2.3.1 Ki nemati sche Grundbegriffe 2.3.2 Inkompressible Strömun gen 2.3.3 Kom pressible St römungen 2.4 Technische Strömuugcn 2.4.1 Tur bulente Strömungen 2.4 .2 Im pulssat z 2.4.3 Dreh impulssat z 2.4.4 Rohrhyd ra ulik 2.4 .5 Strömungen Nicht -Newtonscher Medien 2.4 .6 Strömungsablösun g 2.4.7 St römungsmaschinen 2.5 Aerod ynamik des Flugzeuges 2.5.1 P rofilströmung 2.5.2 Tragflügelstr ömung 2.6 Strömungen m it Wärmeübert rag ung 2.6.1 Beheiz te vert ikale P latte 2.6.2 Rohrst röm un g

3

3

3 10 10 17

23 23 33

52 63 63 73 89 95 108 115

123 130 130

133 135

138 140

Grund gleichung en d er Str ö m u ngs m echa n ik

142

3.1 3.2

145

3.3

3,4

3.5

Ko nt iuui t ät sglcich ung Kavier-Stokes-Glcichungcn 3.2 .1 Lam inare Strömungen 3.2.2 Reyuol ds-G letchungcn für turbulente Strömlingen 3.2.3 Turbulenzmodelle 3.2,4 (I robst rukt ursimnl a t ion Enor gicg teichuugon 3.3.1 Lam inare Strömungen 3.3.2 T urbu lent e St römunge n Grenzschlchtgletchungen 3.4 .1 Inkompressible Strömungen 3.4.2 Kom pressible Strömungen Potcntialgk-ichnngcn 3.5.1 Kompressible St römungen

142 145

157 166 176 179

179 185 188 188 195 198 198

VIII

3.0

In halt sverz eichnis

3.5.2 Inkom pressible Suömuugon Grundglctchungou in Erhaltuugsfonu

4 N u mer ische L ös u ngs m et hod e n 4.1 Analytische Vorbereitung

4.2

5

4.1.1 Dimension sanalyse 4.1.2 Ltnca nsicrung 4.1.3 Srabilitätsanalyso .,1 .1.4 Strukturanalyse Diskret lsicrung -1.2.1 Galcrkin-Mct hodc --1.2.2 Fi liit c- Element e-l\ lct hodo 4.2.3 Finite- Diffpw IlZl'll-l\[et hot!e 4.2.4 Finite- Vohuncn-Mcthodc --1 .2.5 i\ lolck ula rd yuamischc Simula t Ionsm et hode

Anhang 5.1 Übers icht über die Aufgaben 5.2 St römungsmechanik Software

204 215

221

221 22 1 228 236 239 24-5

24;5 254 258 265 278 28 4 284 289

B e zeichnung en

293

Aus ge wählt e Li t era tur

296

Sachwortve rzei ch n is

297

1

1

E infü h rung

Mit dem vorliegenden Übungsbuch möchten wir den Studentinnen lind Studenten eine :-' liiglichkPit hinten , dun Vorlesungsstoff durch d as Rochnon VO ll Beispielaufga ben zu vert iefen und die t nchuisc-hen Anwendungen des Lohrstoffos kennenzulernen . Der Vorlosungsstoff, der auf den Lehrbüchern VOl l H. Oo ü l jr., M . ßjjhte 199;) , I O!)!) lind auf der neusten Auflage 2009 ba siert , ist zum Teil abst ra kt und für St udierende sind die tochnischun Anweudungen nicht unmit tclbar erkennbar. Man mu ss sich oft mals zuerst se h r viel tln-oretisches Wissen anei gucu , I1I1l a uschüegcnd technische Strömungsprobleme lösen zu können. Xlit dieser Aufgabensammlung möchten wir da zu bott ragon , da ss der Lehrs toff für die Stu dierend en nicht nur abst ra ktes Wissen bleibt sonde rn , da ss sie den Zweck des Erlerncns des Vorlesun gsstoffes erkennen und damit a uch Spaß an der Lösung st römung smechanis cher P rob leme gewinnen .

Die Beispielaufgabou besitzen oiuonuut ers rhiedlichen Schwierigkeit sgrad. Die moisron Kapitel dieses ß lId ws sind so aufgebaut , dass die am Anfang des jeweiligen Kapitels ste henden Aufgaben leicht und mit wenig Aufwand zu lösen sind . Der Schwicrigkuit sgraduimmt dann bis Z U lH En de des Ka pit els zu . Mit dem Rechnen der einfachen Aufgaben können sich die Studierenden allmählich mit den in der Vorlesun g lx-handr-lu-n P rohk-mcu vertraut machen. Die schwierigen Aufgaben sollen der P rüfungsvorbereitung dieneu . Da rü ber hinaus r-nt hiilt das Buch auc h Aufgaben, die als P rüfungsa ufga ben zu schwierig sind. In diesen Aufgaben werden Strömungsprobleme vorgestellt, die ent weder als Ein fiihnmg in ein umfangreiches neues Thema oder als Anleit un g zur selbst ä ndigen Lösung von aus gewählten schwierigen technischen P roblemen an gesehen werden können. Dieses trifft Insbesondere für die Ka pitel 'G rundglcirhungcn der St römungsmecham k' lind 'Met hoden der Strömuugsrncchanik ' zu. Eine Übersicht übe l' den Schwieri gkeit sgrad der einzelnen Aufgaben gibt eine entsp rechende Tabelle im Anhang dies es Buches. Allerdings muss da zu gesagt werden , da ss der Schwieri gkeit sgrad einer Aufgabe nur subj ekt iv ein geschät zt werden kann . Für den einen ist eine Aufgabe schwer zu lösen, die von einem anderen wiederuni als leicht ein gestuft wird . Insofern giht die Tala-lle im Anhang dir-ses Bur-lies dun Studcnnnncn uud Studenten die l\liiglichkeit den erlernten \Yisscllssl a nd zu überprüfen .

Obwohl einige Aufgaben als sehr schwier ig eingeschiitzt werden kön nen , empfeh len wir den Studierenden, jede Aufgab e selbst zu rechnen und sich dabei ni ch t sofort an den vorgr-rccbuctcn Lösungen zu orientieren . Die Lös ung en sind sehr ausf ührli ch buschrieben lind sollten nur zur Kont rolle diene n oder ggf iibcr Vcrst ändmsschwtertgkcit cn hinweg helfen . Kill' so hat man sicherlich den größt en Nut zen von dCIJl vorliegenden Übungsbuch. Nachfolgend sollen die einzelnen Kapitel vorgestellt werden . Im ersten Kap itel 'Grundlagen de r Strömuugsmcchantk ' werden Beispielaufgaben behandelt , die mit den Grundkenntnisseil der Suömnugsmecbantk zu ]iiscn sind . Es werden Aufgaben zu ruhenden Fluiden und zur eindimensionalen Stromfadentheorie vorgerechuot , wobei das Verhalten YOl I inkompressiblen und komprr-sxlhlon Fluiden betrachtet wird . Im Ka pit el "Ilererhnung von technischen Strömungen ' werden Beispiele turbulenter Strömungen gezeigt , die größtenteils Aus k-guugsrcchuungcn für Rohrleitungssysteme mit und ohne Strönmngsmuschincn, Umströmungcn sowie einfache Iiechnuugen für den Entwurf t echni scher Gerät e beinhalt en. Im Ka pit el 'Grundglclchuugcu der Strömungsmcrhanik ' werden Beispiele 1.11 den wicht igsten Grundgleichungen der Strömungsmechanik behandelt . Mit den Beispielen soll dem

2

I Einfüh run g

Lernenden gezeigt werden , dass die umfangreichen Navler-Stokcs-Glcichungcn Strömungell in bxw . 11111 technische Geräte beschreiben und dass sie für da s jeweils betrachtete P roblern angepasst werden müssen. Insbeso ndere soll dabei auc h gezeigt werden, dass die

vereinfachtun Gkdehungen {Grenz schicht- bzw . Pot enüalglcichungcn ) in dE'I" Technik ihre Anwendung finden. Das letzte übergeor d net e Ka pitel 'Xumurische Lösung smet hodcn ' beinhaltet Beispielau fgaben die zeigen , wie m it unalytisrhen hzw . nuun-rischenMethodr-n die im Ka pitel 'G rundg buchuu gcn der Str ömungsmc cbamk ' behandelten Gleichungen gelöst werden können. Bevor eure numerische oder analytische Rechnung durchgeführt wird , sollt e zunächst das suömuugsmech a ntschc P rob lem mittels einer Dimensionsanalyse behandelt werden und falls möglich, sollten die das Problem best immenden Gleichungen Iiuearisiert bzw. gegebenenfa lls ein e Stabilitätsanalyse du rchgeführt werden , Beispielaufga ben dazu sind in den entsprcehcnrlun Kapiteln 'Dimen sions an a lyse", 'Lineariss-rung' uud 'Stahilinitsanalyse' enthalten. Die Auswertung der hurechnetnn Srröruungsfulder erfolgt mit don kiuematischuu Metboden der Strukturanalyse. Mit den einfachen numerischen Beispielaufga ben soll deutlich werden, dass Ingenieu rprobleme zum Teil mit pes, Work stations oder Gro/i,ruchnurn gelöst werden. Es soll in diese-n Kapi teln UUf ein erster Einstieg in das sehr umfangreiche Thema 'Numerische Strömungsmcchanlk ' gegeben werden , da s in eurem gesonderten Lehrbuch E, Laurien, H, On'tel j'" 201m behandelt wird , Die T heor ie und Beispiele zur Anwendung der St a bilität saualysc finden sich in dem er gänzenden Lehr buch 'Suömungs mecha nlsche Inst a bilit äteu " H. (Jertel jr., J. Delf~ 1996 , 2005. Die vorgestellten Beispielaufgaben sowie die Software- Belspiele sollen dazu dienen , dass sich die Studenten lind Studentinnen auch nach dein Vorexamen gerne m it St r ömungsmechnnik beschäftigen. Ins besonde re da s erste Ülwn mit strömuugsmcchanischc r Software soll den Weg weisen wie in der Indust riepr axis st römungsmecha nische P ro bleme gelös t werden. Für ein e erfolgrei che Software-Nut zung sind die im Übungsbuch vermittelten analytischen Fä higkeiten eine Vorausse tzun g.

3

2 2 .1

Grundlagen d er Strömungsmechanik Strömungsberei che

Aufg ab e 2 .1.1

Kraftfah r zeuglullst röulung

E in Kraft fahrze ug w ir d vo n ein er r eib u ngsfr eie n Parallels trö m u ng d er G es chwi nd igke it Uoo a ngeströmt. Abb ild u ng 2 .1. 1a zeigt d as K ra ftfahrze ug und die P arallels t römung im M itt e lsch n itt d er (x, z)- E b e lle. U n ter Verna chlä s s igung von B o d e n e i n fl ii ssen läs s t s ich die U mat r öm u n g d e s K r aftfah r zeug- Mittelschnitte s in d r ei unte r schiedliche B ereiche ein t e il e n .

a ) Man b enenne die d r e i unterschie dlichen Str ö Ill u lIgsbe r e ic h e und gebe ihr e char a kteris tisch e n E ige n schaft e n a n .

b ] Man s k izzie re di e Strömungsbereic h e u m d as K raftfa hrzeug im Mi ttelsch n it t und trage zu sätzli ch di e Staupu n kt e sow ie d as G r enzsch ichtp r ofil a u f d em Dac h des K r aftfahr zeugs in die Sk izz e e in . Lösu ng: a ] Im St aupunkt des Kraftfah rzeugs wird die roibungsfrr-ic Paralle lst römung a uf die Geschwindigkeit Kuli verzöger t. Anschließend wird die Strömung beschleunigt , wobei sich der Bere ich: der 7'eibung.~ behaftel en Gre llzs ch i ch t.~ l7'ö m u 7lg in unmittelbarer Nähe der Oberftäehe au sbildet. Außerhal b der Grenzschicht befinde t sich der B ereich: der f'Cibll71!J.4 7'eien A uße n.~ l1"ijm tlng. Durch die Verdrii ngungswirkung, die das Kratt fahr zeug der Anst r ömung ent gegenset zt , wird die Ström ung bcschlcuntgt , bis die maxi male Höhe des Kra ftfah rzeugs erreicht ist. St rom ab der maximalen Höhe wird die Strömun g verz ögert , was ZUIll Ablösen der Grenzschicht und zur Ausbildu ng des Bere ichs der 7'Cibu7Igslwhajt etell Na chlaujstriimllng führt.

, rei bungs freie Parallclansrromu ng

A b b . 2. 1.1a Kreftfahrzougumst röm un g

2 Grundlagen de r St römungsmechanik

b)

I I I I

u,

L

reibun gsfreie Auße nstr ömung

x

Grenzschichtrand

I I

--l-.... I

,,;.« ~-~-~-~~l ~ :~~i~~:

Gre tströmung ----;; reibnzschich ungsbehaftete vorderer .... Stau punkt - -

0

'1

I

/

0

rcibungs freie Parallelarts tröm ung

Nachlaufströmu ng reibungsb ehaftete • freier ~ Staupunkt hinterer Staupunkt

Abb. 2 .1 .1 b Su-ömungsbcn-ichc der Krnftfahrzeu gumströmuug Aufgabe 2.1.2

P rofllums tr ömuug

In e inem Windkana l mit para llel en ho rizo nt ale n Wänden is t ein zur :r- A c hs e sy m met r isc h es sc h la n kes Tragß iigelp r ofil e ingeb a u t (si e he Abb. 2 .1. 2a ). Das Profil e rst r eckt s ich über d ie gesa m te K analbr e ite sen kr e cht zu r Zei chenebene und s teht in e iner s t a t io nären P a r allel a lls t r ö m u n g d er M a c h- Za h l ,\Lx; = 0, 1 (Ux = 34 m j.~ ) . a) Man set ze e ine ablös efreie Umst.römung d es P rofilh eck s vo r a us und s k izz ie re qualitativ d en Verlauf d es Druckbe iwertes cp(x / L ) am R ande der Profi lgrenzsc h icht lä n gs d er Ob ers e ite des Profils. b ) Das Profil wird nun um e inen Anste llwinkel n = 2° z u r .r-Achse angeste llt . E s gelten die gleichen Voraussetzungen w ie für T eilaufgab e a) lind nach wi e vor ist die Umströmung d es P r ofil he ck s a b lösefrei. S k izz ie ren Si e q ualitativ d en Verlauf d es Druckheiwert es rp{x / L' ) am Rande der Profilgrenzsch icht lä n gs d er Oberseite d es a n geste llten Profils wohei die U nt e rsch ie de im Vergl ei ch z u m n icht angestellte n Fa ll a us Te ila ufga b e a) d eut lich e r ke n nb a r sein sollen .

c) Dur ch e ine Ve rgrößerun g d es Anstellwinkels n tritt unter s o nst weit erhin g leichen Vorauss e t zunge n Ablö su ng bei d er U m s t röm u n g d es Profilheck s auf. Skizzi eren S ie qua litativ d en Verlauf der Stromlinien um das a ngeste llte Pro-

Profil im Windkanal

Abb. 2 .1.2a Tragflügelp rofil

angestellte s Profil

Laminarprofil

2.1 Strö ffllmgHlwreidw

5

fil wob ei d ie U ntersch iede im Strom feld zwisc h en Ober- und U nterseite d es Pro fils d eutlich h ervor t r et en so llen . d) Im g leic hen \Vindkanal wird a nsch ließend e in so ge n a n n tes Laminarprofil unt ersuch t , b ei d em s ich die m ax imal e P rofildick e a m Ort xl I. = ü,5 b efin d en so ll . Da s Profil is t s y m met risch zu r .r- A ch se , erst r eckt s ich üb er die ga n ze K anal brei t e sen kr echt zur Ze icheneb ene und s teh t in einer s t a t.io n ür e n Parallel a nström u ng d er Mach-Zah l ;\!= = 0, 1. Setzen Si e e ine a blösefreie U m s t r ö m u n g d es Profilhecks voraus u n d sk izzie r en Sie qualit a t.iv d en Verlauf d es D r uckb eiw ertes cp(xl L ) am R ande d er P ro filgre nz sc h icht längs d er O b erse ite des Profils . Di e U nterschi ede zur cp- Ver t eil u u g a u s Teilau fgab e a) solle n deut lic h zu er ken ne n sein . Lösung: Bei inkompressiblen Strömungen gilt im Staupunkt cp = 1. Stromab des Staupunktes wird die Strömung beschleunigt , wodurch der stat ische Druck lind somit der cp- Wert ab nimmt. Das Druck minimum stellt sich nähcrungsweise am Or t der ma ximalen Profildicke ein. Durch Anste llung erhält man ein a usgcprägtercs Druckminimum . a)

b)

,,I

° t\ - - - --:--c-cc x L

xlL'

Cp - Verlauf ohne Anstellung

Cp - Verlauf mit Anstel lung

Abb. 2 .1. 2b Druckverläufe

c)


"I 1

oj-\--

Ahb. 2.1.2c Stromlurienverlauf

- - Z ----,;1 x tl,

Abb . 2. 1.2 <1 c,,-\ 'crlau f beim Lami narprofil ohne Anstellung

G

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

A ufgabe 2. 1.3

U mströmung e ines H auses

Es soll d ie W indströrnuug u m e ine R eihe nha us- Zeile betrachtet werden , die im fre ie n e b e n e n Gelän d e s t e h t. D e r ankommende Wind ka nn näher u ngswe is e a ls stationäre Strömu ng m it e in h e it lic her Richtun g angeseh en werden . a) Man sk izz iere d en Verla uf d e r Strom linien im angegebenen Umfe ld d es H aus es (gestriche lter Rahmen), wob e i d ie U ntersch ie de im Stromfeld zwischen W ind z ugewa nd ter und \Vind a bgewand ter Seite d eutlich h e r vort r eten sollen, d ie Scho r nsteine können d a b ei unbe rücksicht igt ble iben.

b) Man skizziere qualit a tiv d en Ve rl auf de r Hor izont alkomponent e l1( z) d er Gesc hwindigkeit lä ngs d er vorgege b e n e n z- A ch se sow ie d en Verlauf d es D ruckes P lä n gs d e r vor gege b e n e n .r- Ac hs c auf d er H öhe z = Zo (s ie he A bb. 2 .1.3a) . D ie Schornsteine kö nnen vernach läss igt werden.

c) W a ru m ist Posit io n Pa günst ig e r fii r d e n Sc hornstein als P o sition P b?

d) W elch e R ichtung h a t d ie a us der D r uckd iffe renz zw isc hen Innen- und A ußenseite ei nes einzelnen Dachz iegels res u lt ieren de K r aft (s ie he Abb. 2 .1.3a) , wen n vo rausgese tzt w ir d , d as s alle Fe nster ge sc h lossen si nd und nur d ie H aust ür a u f d e r Wind z ugewandten Seite des H auses offen s teh t und dass vo m Erdgeschos s b is Z UlU D achs tuhl ein e offene Ve rbindung besteht, so d as s im g esamte n Hausi nne r n e in ein h e it lich e r Druck Pi h errs cht ? Man b egr ü nd e d ie A ntwort . Lösung : gesuc ht :

a} Stromlinienverlauf b) u(z), p(x ), c) Posittonsbcgründung, 11 ) Kraft ncht uu g

u) Laut Aufgabr-nstellung sollen (He beiden Schornsteine unbcrückslchttgt bleiben un d die Unterschiede zwischen Wind zugewa ndte r lind Wind ab gewandrer Seite des Ha uses sollen deutlich her vort ret en. Daher sind zur Skizxicruug des Stromlinienverlaufs folgende P unkte zu berücksicht igen: Das Haus wirkt als Hindern is gegpnüheJ" der ankommenden \Yindst riimllng und übt pbw Verdräugung swlrkung au s. Die ursprün glich pa rallelen Stromlinien werden IIIn das Dach

X ----t--------7 ~ . r--I

.

za

I

,------: x

:

0

/

p.

---- Pb

I

I I I I I

Abb. 2 .1.3a Reihenhaus-Zeile in srat ion iirer Wlndanströmung

7

2.1 St römungsbereiche

---

Abb. 2. 1.3b Stromlinienverlauf

herum um gelenkt , wobe i sich ihr gegenseit iger vertikaler Abstaud aufgr und der Vordränguugs wlrk ung des Ha uses verr ingert. Auf der Wtud zugewand t en Ha usseite ist also eine Konve rgenz der Stromlinien ober hal b des Daches zu beobachten. Der höchst e Punkt des Dach giebels wirk t als definier te Abrisskant e d. h. die Strömung reißt ab und die Stromlinien können der Kont ur des Da ches auf der wandabgewandten Seit e nicht mehr folgen. Dort ste llt sieh hinter dem Ha us ein so gena nnte s Hezlrk ula t ionsgeb lct bzw. Nachla ufgoblct ein. Oberh alb des Reairk ulnt ionsgebiut es divergier en die Stromlinien wieder, da de r Einfluss des Hau ses mit znnelunendom A bstand stroma b immer weiter ah nirmnt , Der sieh a ufgr ünd diPseI' Übork-guugon einstellende Stromlinienverlauf ist in A bblldung 2.1.3h gozoigt . b) Erst er Anhaltspunkt zur Skizzierung des Geschwindigkeit sverlaufes u(z ) ist die Haft bedtngun g a m Dachg iebel an der Stelle z = O. Folglich gilt u(z = 0) = O. Da das Haus eine Verdrängungswirkung a usübt , wird die Strönnmg oberhalb des Dachgiebels au f \\'erru größer als das Ma ximu m Ux de r ungostö n ou Auströmnng beschleuni gt. Relat iv ZU Ill \Vert Ucx:, der Anstr ömuug stellt sieh oberhalb des Dachgiebel s mit I1 (Z = 0) = 0 eine Übergeschwindigkeit mit U", ,,,, > Ucx:, ein . Diese t he rgeschw ind igkeit nimmt fiir \\'er le z --.. 00 wieder Huf den \ \"ert (Ix; ab, so dass mau den in Abbildung 2.1.3(" skizziert en Geschwindigkeitsverlauf 1l( z) erhält . Aufgr und der Strömungsbeschleunigung oberhalb des Daches st eigt der dynamische Druck lä ngs r an und der st artsehe Druck p nimmt somi t län gs .r a b. Die ma ximale Verdrängungs wirkuug finde t oberhalb des Da chgiebels st a tt . Da her stellt sieh a n dieser Stelle da s

p

\

u A h h . 2.1 .3c C esehwindigkoitsvr-rlauf u(z)

Ahb . 2. 1. 3 d Druck verlauf p(.r)

8

2 Grundlagen der St römungs mechanik

Geschwlnd lgkeitsmaxlmum und somi t ein relatives Dru ckminimum ein. Abbildung 2.1.3d zeigt qualitativ den sich an hand der Überlegungen ergebenden Druck verla uf p(x ). c) In Abbi ldung 2.1.3h erkennt man, dass sich der obe rste P unkt de s Schornsteins an Pos ition Pa im Boreich der Außeust riilllllug oberhalb der gestrichelt dargestel lten Gn 'llw zum R ez irk ulationsgebiet befindet. Die Emissionen d es Schornsteins an der Stelle P " werden d aher VOll der ..\ußcll s trü Hllillg weggf'tragcJI. Der Schornstein an rk-r St{' I1{~ 1'], emittiert d ie A bgase hingegen unterhal b der ges trich elten Grellze. Dies bedeutet , da ss d ie Abga se im Rcztrkulanonsgcblct ver bleiben. Daher ist Posit ion I>" günstiger. d ) Der Druc k Pi innerhalb des Hauses, der au f d ie Ziegelunterseite wirkt , entspricht dem Druck im Staugebiet der Anst römung vor der Ha ust ür. Der Druck p,,, der außen a uf die Zlegelo bcrselte wirk t , ist wegen der Erhöhun g der Geschwindigkeit un d der damit verbundenen Abuahme des statische n Dru ckes kleiner als der Druck Pi' Die res ult ierende Druck differenz übt folglich eiue Kraft auf den Zkgeluach außeu a us.

Aufgabe 2.1.4

F Iiissigke it - D a m p fab sch ei d er 4

2

In Abb ildu ng 2. 1.4a ist eine vereinfachte Prinzipsk izze e ines F liissi gkeitsD ampfabscheiders dargestellt. a) In we lchen Strömungs te ilen liegt e in e P lü ss lg kc trssrrö m u ng vor, in we lch en e in e M ehrphasenstr ömung u nd in we lch en e ine

Drosselventil 6

Gasst.römung?

Pumpe

b ) W elc he ch a rak t er is t ischen p hy sika lisch en Größen d es St römungsfcldes s in d im Strömungste il a und we lche im Strömungstel l 5 Abb. 2 .1.4a P rinzipskizze eines zu beriick si chtigen? Flüssigkaits- Da mpfa bscheidors c) B eschreiben S ie die St.römung sforrnen die im Str ömungsteil 2 a uftreten können . d ) Von we lch en G rößen sin d die Strömun gsbereic h e b e im Über ga n g einer inkompress ib len Fliissi gk ei t sströmung zu einer kompres siblen Gasströmung ab hä ngig? Lösu ng : a ) Im Strömun gsteil 1 wird das Meh rkomponentengemisch in der Regel in flüssiger For m dem Fliissigkd t s-Dampfa bsdwide r zugeführt , so dass hier eilw inkom pressib le Flüssigkeit sst. r önnmg vorliegt. Dan ach wird du rch die Dros sel der Druck derart abgese nkt , dass d ie zu t rennenden Komponenten in ver schiedenen P has en , d. h. flüssig hzw. gasfö rmig vorl iegen. Da mit liegt im St rö mungst eil 2 eine Moln-phasenst römung vor. Im Dem istor wird da nn die fliissige HHl der gasförm igen Komponent e getrenn t. Im St römuugsrcil ;J wird dan ach die gasförmige Komponent e weiter gefö rdert , in den St röm ungstellen 5 lind (j die flüssige Komponente. Da mit liegt in dem Strömungstell :J eine kompressible Ga sst römuug vor , in den Strömungsteilen 5 und (j eine in kom pressib le Flüsslgkcl t sströmuug. Die

2.1 StröffllmgHlwreidw

9

Expa nsion in der Tur bine füh rt im Teil 4 im Allgemeinen wieder ncntcngcmisch.

ZII

eine m Mchrko mpo-

b) Im Sr römungstoil 3 liegt eine komp ressible Gnsst römuug vor, d . h . es müssen Dichte, Dru ck, Temp era t ur und Geschwindigkeit bor flcksicht igt werden. Im St röm ung stcü ist die St römu ng inkompressibel , d . h. es müs sen nur Dr uck, Tempera tu r lind Geschwindigkeit ö

berücksicht igt werden.

c) Die ent stehenden Strömungsformen der Mehrphasen st r ömung im Strömungstell 2 hä ngen \"()IJ dem Druckabfal l über dem Drosselvent il ab. 1st die Druckabscnk ung zu gering, bleibt die Flüssigkeltsst römung erhalten. Mit steigen dem Druckabfa ll nim mt der Da mpfgehalt X der Mehrphasenströ mung imme r stä rker zu. Zun ä chs t bilde t sich eine Blasonströmling aus. in der die Ha up tst röm ung a us Flüssigkeit besteht , in der Blasen ent halten sind . Mit steigendem Dampfgehalt wachsen die Blason und lagern sich zusammen , so das s sich eine Pfropfen- bzw . PiIl C Schwallströmung ausbilde t . Mit weiter sreigeudcm Da mpfgeha lt ('uts td lt. eine so gonanure Hing- Tröpfchenst römuug, bei der Hin Ra nd des Rohres ein Flüssigkeit sfilm und in de r :\Iitte des Rohres der Da mpf strömt . Dabei sind in der Dum pfst römung Tröpfchen en t ha lten. Als Grenzfa ll ergibt sich bei ent spreelu-mk-r Dr uckabs cnkung die reine Gas st römung. In Abb ild ung 2.1.4b sind die wichtigsten dieser St römungsfonnon da rgest ellt. d] Die St römungsfonnon hä ngen W JIJ der Temperatur, vom Druck. vo m Da mpfgeh alt X und von der Strömun gsgcsch wiudt gkcit a b.

Flüs sigkeitsströmun g

Blasens tröm ung

k '<'::·,...:.,C·:......:·, :....: ;...:.., ~

0« X< I

Ring- Tröpfchcnstromung

,

t-:·:·:·.·:::'.': ::'..:.::::.: : ·.·::1 ')

X= I

Dampfström ung

A bb. 2. 1.4b Die wicht igsten St römungsformen der Mehrph asenst r ömung

10

2 G rund lagl'1l der

2.2

StröllJllllg~I!Il'('h all ik

Hydro- und Aerostatik

2 .2 .1

H ydros t a tik

Aufgabe 2.2 .1

U - Rohrmanometer

Drei g le ic he U - R oh r e s ind hlnte r einanderges ch a lt e t. In den U - R oh r e n befindet s ich j eweils e ine Flüs si gkeit mit d er Di chte p. Die Fliiss igke it sspiegeI weis en die H öhe nd ifferenzen h l • 11 2 u n d h:1 a u f (si ehe Abb. 2.2.1 ). D e r E in flus s d e r E r d sc hwe re a u f die Luft is t ve r nach läss igbar . Wie gr oß is t d e r D ruckunt e r schied ß l' = P:I - P I zw isc he n d en freie n E n d e n d es e r s ten und dri tt en Rohres ?

r I

h,

i

I

'p

Abb . 2.2 .1 zusammengeschaltete U-Rohre

Lösung : gegebe n: h l , h 2 , h :l , P,.rJ ges u cht:

ßp = ]) 3 - PI

Zur Lösun g der Aufgabe führen wir die Drücke fJ~ und P~ ein (siehe Abb. 2.2.1). Zunächst betrachten wir das linke U-Hohr in Abbil dung 2.2.1. u nmittelbar a uf der Ftüssigkett sobcrft äche im linken Schenkel des gen annten U-Rohres herr scht der Dru ck fJ3. Der gleiche Dru ck existiert in der Fl üssigkeit in dem rechten Schenkel a uf der gleich en Niveauhöhe. so dass nach dem hydrostarischen Grund geset z folgender Zusammenhang gilt: P:l = p~

+ p . .rJ . h :1

(1)

Ana loge Überlegungen ge lte n für die Drücke in dem mittleren un d rechten U-Rohr, so dass gilt: p~ = p~ + p . !J. ]J~ = P I ]J~

ba

+ {J . g . h l

(2) (3)

gemäß Gleichung (3 ) in Gle ichung (2) eingesetzt , erg ibt : ]J~ =

Gleichung (4) wiederum ges uchte Ergebnis:

1II

PI

+ P '.rJ ' h l + P '.rJ ' ha

(4)

Gk ichu llg (1) einges <'lzt , er gibt nach einer Umformung das

11

2.2 Hydro- und Aerostatik

U-Rohrmanometer

Aufgabe 2 .2 .2

0

n

p

n

T I h, I

r:

Öl

I

-

Wasser

----. ~l I

-

X

E in offener Was serbeh älter (D ichte des Wass ers: p ..... = 1000 kg / m :1) und e in d urch ein M a n omet e r ge ge n die Atmosphäre a b gesch lossenes, mit Ö l gefiilltes G efaß (D ichte des Ö ls: P Ö I = 950 I.:g/m "J ) s in d durch e in U- R o hr ver b u nden (si ehe Abb. 2 .2 .2 ), in d essen u nterem Teil s ich e in e T e t rachlor kohle n s t uff- F üllu n g ( CC!.,) b efind e t . Di e H öh e d er W a ss ersäule b eträ gt h 1 = 0, 4 m , d ie Ö lsäule hat die Höh e h "J = 0.13 111 , und die H öhe d er CCl~ ­ Säule b eträgt ha = 0, 1 m .

p"

/ 8 Tetrachlor-

' p'

I

I

h,

I X

n«

Ko hlenstoff

Abb. 2 .2 .2 CC !., -Fiillung im U- Rohr

\ Vie groß ist d ie Di chte PT ck d er Tetrac h lor koh le nst off- F ü llu n g , wen n am M anometer e in Überdruck gegen d ie Atmos p hä re von 1200 N /m z abgelesen wird ?

Lösung: gegeben : h 1 = 0,4 111 , ha = O. 1 m, h:J = 0. 13 m , pw p - ro = 1200 N / m z , 9 = !J . 81 11I /~Z gesuc ht :

= lUOO 1.:9/ m :l, PÖI =

!J50 kg / 11I\

P T ck

Auf der :'\iveauhiilw X-X (siehe Ahh . 2.2.2) sind die Drücke in dem Tct rarhlorknhlen stoff in dem linken lind rechte n Ij-R ohr schenk nl gk-ieh. Mi t n-ls des hydroxtnt ischeu Gl"llmlgpsetzes I)('r ed uwt sich der Druck 1" in der Flüssi gkeit auf der Niveaulinie X-X in dem linken U· Rohrschenkel zu: P' =P +PÖI ·g -h3 +/'Tck - y -hz

( 1)

Für deu Druck auf der ll ö!lP XeX in dem rechten If- Rohr sehenk el gilt ont sprecheud: pi = Po + P.... - 9 · h 1

(2)

Dur ch Gleichset zen der Gleichungen (1) uud (2) erhält man die Best immungsgleichu ng für P'l'ck , die nach Auflösun g nac h PTck der folgenden E rgebnisformel der Aufgabe entspricht : 111

"3

PTck =Pw ' - - 1'0 1 ' -

11 2

~li t

h2

P -Po - - --

Y - hz

den angegebenen Zahlenwerten berechnet sich PTck zu: PTck = 1541, 8 k!J /m:J

12

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

Aufgabe 2.2.3

Was serbehält.er mit Klappe Eine in e inen W a s serbeh älter e ingeb a u te r e chte ck ige K lappe d er H ö h e h und d er Breite b is t im Punkt D um e ine horizont a le A ch s e drehbar gelager t (si e he Abb. 2 .2.3) .

I H

J

'I

I

l' ,

, ...M

r-

I

a ) Wie g r o ß is t die r esult ierende D ruckkraft FD auf d ie K lappe in Abhängigk eit der Höhe lf d e s \ Va ss e r s p ie g els ?

h,

b) B ei welcher H öhe Ho d es W as sersp iege ls öffn et s ic h d ie K lappe durch die Druckkraft selbsttätig ?

D

Zehleuw erte . h, = 1

7TI,

ha

= 0, 45

/Tl

Abb. 2 .2.3 exzentrisch gela gerte K lappe

Lö sung: g egeben: h 1 , hz, 11, P

gesu cht:

a ) Dru ckkraft PD = f(lI ), h) niedrigste Höhe Ho des Wasserspiegels , bei dem sich die Klappe öffnet

a ) Der kon stante Außend ruck wirkt sowohl VOll re chts auf d ie Kla p pe a ls a uch üb er die freie Oberfläche des \\'asser sp iegd s von links a uf die Kla ppe. Da mit ist die resultierende Kra ft de s Auße ndruckes gleic h Null und der Aufendruck br a ucht n icht be rüc kslch ügt zu werden. Die Druck verteilung im wasserbebälter crg tbt sieh somi t zu :

p(z ) = p ·g ·(II - z ) Die Druckkraft auf ein Flächenelement dA = b . d a der Klappe b eträ gt d ann :

dFD = p(z ) · dA = p .y . (Il - z) · {) · dz Die

l"(~s u ltipH 'lHle

Dru ckk ra ft I'l"hiilt Ulan aus de r Int egra t ion über die gosamro P la t te: I"

I"

Fb = ! p(Z) . dA = ! ,) . y. (JJ - z ). !J . dZ

"

"

Damit Hisst sich die Abhängtgkctt der Druck kraft Fp von de r Spiegelhöhe wie folgt angebe n : (1) b ) Die in Ab bildu ng 2.2.3 da rgestellte Kla PIJe öffnet sich selbs tiindig, wenn das Xloment der result ierenden Dru ckkraft grö gcr als Null ist . Das Moment d.\1 da s a uf das Ftächeuclcmcut

13

2.2 Hydro- und Aeros tatik

dA ausgeübt wird, berechnet sich aus der Druckkraft auf dieses Flächenelement und dem Hebela rm bezüglich des Drehpunk tes D zu:

dM

= (:: -

h2) ·dPI)

= (z -

h2) 'l'(z) · dA

= (z -

h z) ' p ' g ' (1/ - z) ·b·d z

Durch Integra t ion über die gesamte Klapp e er halt man das resu ltierende Momen t :

'"

Jf = j
1 1 2 Jf = P · 9 · b · h l · ('2 . 1/ · h l - '3 · h l - h2 · 1/

1

+ '2 ·hz ·hd

Ist das Moment größer a ls Null , öffnet die Kla ppe. Die Bcstumnungsglcichuug zur Berochnung der gesuchten Höhe des Wasserspiegels lautet also : 1 1 1 2 '2' f/ o ' h 1 - '3 . h l - ha . 1/0 + '2 . h2' h l

= 0

Diese Glei chung nach Ho a ufgelöst , erg ibt das gesuchte Erge bnis:

110

_

-

Zahlenwerte einges etzt : 110 = 2, 2 Aufgabe 2 .2.4

hi 12 - 1S' - h, )

h

+-l 2

(2)

In

K e ge lve nt il In Abbildung 2 .2 .4a is t e in bis zu r Höhe 1I = 0,5 m mit W a ss er (D ich te d es W a ss ers : pw = 1000 k.(J!m:J ) gefiillter B ehälter d a r gestellt , d essen ß odenöffnung durch e in K e gel ventil ( D ichte d es K e gehnateria ls : Pk = 3910 kg /m:l ) a hged ichtet is t. D er Durchmess er d er G r u n d fläc h e d es Kegelventils 2 . r und d ess en H öhe h b etragen j e weils 2 · T' = h = 0, 25 m (s ie he A h b . 2. 2.4 a) . D er Durchmess er d er Bohrung im Behälte rbod en ist mit t- b e zeichnet. W e lche K raft IFI ist zum A n heben d es Ventils nötig?

Abb. 2.2 .4 a Kcgclvcnt.il als Verschluss Lösu ng: gegeben: H

ges uc ht:

F

= 0,5111, T = 0, 125 111, h = 0, 25 rn,

Pw = 1000 kY/1II:1, Pk

= :l91O kg /m: l

2 Gru ndlagen d er Strömungsmechanik

l~

In Abbildung 2.2.4h sind die Kriifü~ eingetragen , die auf das Kegelventil wirken . Zusätzlich ist das Ventil in zwei Volunu-nantcile \/1 und V2 zerlegt wen-den. Das \'01111111'11 VI erfährt durch das es umgebend e wasscr eine Auftriebskraft FA . Auf das Volumen V2 wirken die wasserlast FD, und die Kraft Fb ~ , die au s dem Annosphärendruck Po herrührt. Die Gewich tskraft G lind die gesuchte Kr aft F wirken a uf das gesa mte Ventil.

I

h /2

-- - f-

hl2 I

A b b . 2 .2 .4b Kräfte 11m Kogelvent il Die ges uchte Kraft F ergib t sich durch ein Kräftegleichgewicht am Kogel:

F+ Die Auftriebskraft

r~\

r~\

- G- FD,

+ F0 = 0

(1)

2

borcchuet sich gemä ß der Auftriebsformel . h . ,. 2 F A = Pw . 9 . VI VI = 1T . G f~\ = pw ·g· 1T·

h. ,.2

G Die \ Vasserla st F'[) , Hisst sich mit dem hydrost atischcn Grund gesetz ermitteln :

(2)

"

FD, = P - jT ' 4

P = Po + pw ·9 ·

(II - ~)

FP 1 = [PO + pw " !J . (11 _ ~) ] . " ,~2 jT

(3)

Auf das Kegelvent il wirkt VOll unten der Luft d ruck Po, Er ist die Ursa che fiir die Kraft F p2. Die Kraft rp2 be redlll<'t. sich zu :

,.,

r h = po ' 7( ' 4

(4)

Die Ge wichtskraft G ergibt sieh au s der nachfolgenden Rechnung: G = Pk ' y , Vk Vk = 7(" ,.2 .

" 3

G = Pk·Y· 7(· r 2

"

(5) 3 Gloichnngon (2), (3), (4) und (5) in G leichung (1) oiugeser zt , ergibt na ch einer Umformung nach F da s gewünschte Ergebnis:

F = Pw '9 , jT _ r2 ' h .( ~ , Pk

-l pw

Zahlenwurte ein gesdzt , er gibt : F - 182 N .

·

+ ! . II 4 h

_!.24.- )

15

2"2 Hydro- und Aerostatik

A u fga be 2. 2.5 R o tie r e n d e s Gefaß

gl

p

E in kei szylindrische s G efaß ( I nnen radi u s 1'Z, Höhe h) rot iert mit kons t ant e r W inkelge sc hw in d ig keit w um sein e H oche chse . Die in d em Gefaß b efindliche P l üselgkeit (D ichte p) rot iert d abei wie e in Starrkörper m it . Ü ber ih rer fr ei en Obe rflä che , die b e im Radius 1'1 a n den Behälterdeckel g renzt , herrscht der U mgeb u n gsdrnck Po (si ehe Abb . 2.2 .5)

h

a) Wie groß is t die Kraft It zl, die die F lflss lgkeit a uf d en Behälterb oden ausiibt?

Abb. 2. 2.5 rorierendes Gpfii ß b ] Wie g roß ist die K r aft iiht ?

IPII, die

c) \Vie g r oß is t der Abst and vom Dehäl t erboden?

1I", i n

die F liissigkeit a u f d en Dehälte r d e ckel a usdes tiefsten P u nktes d e r fr ei en O berflüche

Lösu ng: gegeben : p, Po, i.J.,' , 9. 1'1, ra , h ges ucht :

IPzl, 1]:\ 1, h

lll i ll

Durch die Rot a tion entsteht ein Zent rifugalfeld in radialer Richtung" Die Erdschwere wirkt iu negat ive a-Richt ung. Da mit ergibt sich für die Druck verteilung in der Flüssigkeit p (1'. z ) = 2"1 " p" i.J.,' " " 1' - p " g ' z + C

( 1)

Als Ursprung des Koordinatensystems (1' = U, Z = 0 ) wird der Schit tpunkt der Achse mit dem Beh älterboden gew ählt . Da die Oberfläche der Flüssigkeit eine freie Oberfl äche ist , her rscht dor t der Druck Po. Damit gilt am Schnittpunkt der Ftüssigkeitsobcrft äche mit dem ß ehiill('n !eekd die Handbodlnguug :

p(1' = r l,z = h) = Po Dur ch Einsetztun der Randbe dingung in Gk-iclumg (1) ergibt sich die Konst ante zu : 1 .2 2 C = PO - 2" "P·u.' · r l +p "!J·h

Da mit folgt für die Druckverteilun g in der F liissigkcit : p(r , z) = Po +

a) Für die differentielle

Kraft

1

2"

2

" p ' w . ( 1'2 -

1'r ) + P '!J " (11 - z)

(2)

dlJo1 1auf den Behäl terboden gilt: dlJo1 1=

p(1', z = ü) ' dA

(3)

.\lit der Fliiehe d A=2 '1r, r ·d1'

(4)

16

2 Gru ndlagen der St römungsmechanik

und der Druck vert eilung 1

2

2

2

p(r, z o:=O ) = PO+2" 'P 'W · (r - rd + ()' g ' " a m Boden erhält mall a us Gleich ung (3) für die Kraft

I f~l=

IF2 1da s

Integral

J" (po +~ . p . ",·2 ' (7.2 _ 1·?) + P ' 9 ' '') '2 ' 1T . r ' d'' r: O

Nach der Int egrat ion ergi ln sich die Kra ft auf den Dehält erboc!PIl zu

Ih~ l = ;r · r a2 , ( Po +p · q ·h + -·p · (;.,· , . _. I "12 [1 - 2 - ( -"') ']) . 2 "2 b) Fü r die differentielle Kraft

dli\ 1auf den

Behiil terderkel gilt: (5)

Mit Gleichung (3) lind der Druck vert eilung I 2 2 l' (r. z =h ) =po +2" ·() · W . ("

atn Deckel erhä lt man an s Gleichun g (5) für die Kraft

- J"(

IFd

=

Po + 2"1

.•: " . (r -

' {h

2 - rd

IFd

da s Int egral

rd ) · 2 · 1T · r . dr '

r =r l

Nach der Int egra t ion ergi bt sich die Kraft a uf den Bebältereekel zu

c) Der tiefst e Punk t der Oberflä che befin det sich bei T Randbedingun g p(r = 0, Z = h m i,, ) = Po

o u nd

"

auf der freien Oberfläche der Flüssigkeit folgt aus Gleichung (2) 1

2

PO=PO -2" 'P ' W

2

' Tl

+ p ' y ' (h - h"' in)

Hieraus ergibt sich als Ergebnis für den A bst und de s tiefsten Punk te s der freien Olx-rflliche VO Ill Behäl terboden 1 w2 2 hilI;" = h TI

2.

9

.

17

2.2 Hydro- und Aerost a tik

2 .2 .2

A erostat ik

Aufgab e 2 .2 .6

Atmosphäre

D er D ruck Po und d ie Tem per a t u r To s in d für e ine Luftatmosphäre (s pezifische Gasko nstante n = 287 111 2/ (82 ./\ » , in der H öhe z = 0 b ekannt (Pu = IOI:mO N /1II 2, TI) = 283 /\) . a) G emii.ß d er Annahme, dass s ic h d er Zustand d es G ases in d er Atmosphäre isot herm ändert , s olle n d er Druck und die Dichte d er Atmosphäre in A bhängig ke it d er Höh e z b e r ech n e t werden . b] Gemäß der Annahme , dass s ich der Zustand d es Gases in d er Atmosphär e polytrop änd ert , so llen der Druck und die Dichte der Atmosphäre in Abhäng ig keit d er Höh e z b erechnet werde n . Zur B erech n ung ist dazu z us ä tzlich d er T e m p era t u r gra d ie n t dT /d z = - 0 , 007 /\/ m b eka nnt. Lö sung: gegeb e n: Pu = 101300 N / m 2, Tu = 283 K , H = 287m 2/ {s2 . K ), dT/dz = - 0. 007 [(/ m ge sucht : a) bzw. b) p = f(z), p = f( z) a] Für d ie Atmosphäre ist die folge nde Glei chung gült ig:

Z = _ ~ ' J" dP !J

( 1)

P

'"

Da eine isot herme Atmosph äre vornusgosetzr wird , orgih t sieh mitt nls der Zust andsgfeidnmg fiir i( " 'al{~ Gase p

- = fl · T = H · To = konst . p

p p ~

(2)

-­

R · 7()

Iu Gleichung ( 1) fJ gemiiß G leichu ng (2) eingesetzt ergibt die folgende , no ch zu lösende Gleichung:

,

z = _ fl . To . J dp !J

'"

p

der Lösung de s in d ieser Gleichung vor handenen Integrals lind einer an schlie ßende n Umfor mu ng de r Gleichung nach z , erhält mau d as gesuchte E rgebnis: ~Iit

mi t (3)

18

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

Für die Dichte er gibt sieh mit dem obigen Ergebnis lind de r Gleichung (2) das folgende Ergeb nis:

mit po = po/ (R · To).

b) Für die polyt ro pe Zustundsänderung de s Gases gelten für die Zust undsgr öfcn d ie nachfolgenden Gleichungen: (4)

In Gleichung (4) ist Gll'id lllllg (4) durch:

Il

der Polytropenexponent . Ersetzt man

p = pe :

(!'I".- )t

1Il

Git'id lllllg (1) p gemiiß

(5)

so erhä lt ma n die folgen de G leichung :

Mit der Lösu ng des in der Gleichu ng vorhandenen Integra ls un d der auschltcjcndcn Umformung na ch p!J'o, ergibt sieh die Gleich ung I' _ (

-

Po

_

Z),:.:,

n- 1 1 - -- -11 Ho

(6)

(Ho gemäß Gleichung (3)). Die Gleichung (6) ent spri cht noch nich t der gesucht en Lösu ng, da der Polyt ropenexponent noch unbekannt ist . Da der Tcmp craturgre dtcn t dT jd z bekannt ist , ermit telt man zuniid lst eine Fun kt ion T = f(z, n) und diffpl'{mzil'rt sie anschlil'ji;Plld nach a. ~ Iit den C lok-huugen (4) und der G leichung (C) orgebon sich die nachfolgenden Gleich ung en: T TI - I z - = 1- - - -

To p

Po =

(

(7)

Hf)

11

n - l

Z )~

1 - -,-, - - Ho

(8)

Ans der G leichun g (7) ergibt sich durch Differenzier en die nachfol gende Bcst lmmungsglcichung für den Polyt ropenexponen ten Il:

dT

dz

1;)

--

//0

n - l

-- 1/

oder na ch n umgefor mt : (9)

19

2.2 Hydro- und Aerost atik

z \

lO.l, m

\

8

\

,,

\

\

- isothe rm - - polytrop

,,

\

\

\

4

o

, _ , _ '- , -'-- , _ , _ ~

0.0

0.2

0.4

0.6

a.s

o

1.0 p /po

0.0

-,

, -,

-,

,

e,

-..& ~. --->-.• - '- ' -. •

0.2

0.-1

0.6

0.8

l. Op/po

A bb. 2.2.6 Dr uck lind Dicht e in isothermer lind po lyt roper Atmosphäre Mit den er stellten Gleichungen kann IlI1I1 die Auswert ung erfo lgen: Po = 1, 2·17 kY /1II :1 g('mä ß G leichung (2), Ho = 8279 m gemäß G leichung (3) und n = I. 258 gemä ß Gleichung (9). F ü r dem Dru ck lind d ie Dicht e ergobon sieh also in Abh ängigkeit nachfolgenden Berechnungsformeln (siehe Ah b. 2.2.6):

.!!... _ Po -

(I_0, 2 1 . 8279 =",,,,, ) ~ .88 m

Aufga h e 2 .2.7

.!!... p"

= ( 1 - 0, 2 1

VOll

der lIiilw

, )3.88 8279

In

Z

die

(10)

B allon

E in Ballon sch we b t in e iner iso the rmen A tmosphäre (Lu ft d r u ck a m B od en w, = 1. 00:J bar , Luft d ichte ar n B o d e n Po = 1. 225 J.: g/ m 3 ) in d er Höhe Zo = 500 TII . U m w ie vi e l s in k t e r a b , wen n s ic h die Luftdichte a m B od e n b ei gleich b le ib e nde m Lu ft druck dur ch \Vitte ruugs einfHis se a u f p;, = 1. 0 ky /m:l ä n d ert ? H inweis: D as Volumen V d es B allons ä nder t s ich bei d em H öhenw echsel ni cht. Lös ung: gege b e n : Po = I, 0 1 ~ bar , Po = 1,225 l.:y /m 3 , Zu = 500 m , fI~ = 1, 185 kg /m 3 ge s ucht :

D.z

Im Schwebr-zust und ist d il! Auft r iebskraft FA des Ballons gleich dem Gewicht de s Ballon s. Fü r de n Schwebezust a nd na ch der \\ 'ett erä mkrn ng blei bt die Auft rie bskra ft FA des Ballons er ha lt en, da sich d as Gewicht nicht ändert . .\lit d er Auft riebsformel er hiilt man: FA = P ,'> OOm ' 9 , V = !Jz.:I' ' 9 • V

( 1)

(P5eMh" ist die Dicht e iu 500 m Hilhe vor der " 'etterä mk ru llg , Pz ,,, ist d ie Dichte in der noch un bekannten Höhe nnch der \Yett priiudprllng). Aus der Glei chung ( 1) folgt : P"O(J m

=

Pz ,x

(2)

20

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

Sowohl die Dich te p~()O ", als auch die Dicht e Pz.x können mit der Ergeb nisgleichung der Au fgabe 2.2.6 entsprechend ausgedrückt werden , so dass sich mit der Gleichung (2) für die noch unbekannte Schw(1){'hiihe Zx die folgende Best inn nungsglelchuug er gibt : _ -".ll

I

Po . e 11iJ = Pu . e

J[o =R . 7() = ~ 9

9 '(10

-~

(3)

""

u:u _ r-

R · T~ _ 9

-

....!!2..-

s

,

Po

(Der Index ' ste ht für die Armosphiirc na ch der \\'etteriinc!ertlug ).

Gleichung (3) nach

Zx

aufgelöst , ergibt : (4)

l\lit der Zahk-nrcchunng er hält mnn folgen de \\'er te: !In = 8430 111, IIfJ = 8 714 228 m. Der Ballon sinkt also infolgc des Witter ungseinflusses U lIl .6. z - 272 1/ 1.

Aufgabe 2.2.8

111, Zx

=

Stratosphärenballon

E in Stratosphärenballon w ird a m Boden nur zum Teil mit d em Traggas W a sserst off Ih gefü llt. B eim Aufsteigen b läht er s ic h durch Volumenzunahme der Füllung auf (s ie he Abb . 2.2.8 ). Dadurch wird e in zusätzlicher Auftriebs gewinn e rz ie lt . AlU Boden b esi t zt d er Ballon e in Volumen Vo = 450 m 3 , sein m a ximales Volumen b eträgt V, = 140() 1113 , a) Wie sc hwer darf die zu h ebende La st G",ax hö chs t ens sein (d ie Ballonh ülle ist e in T eil d er Last , j edoch n icht das Traggas) , we n n d e r Stratosphärenba llon e ine m a ximale Höhe vo n 2 ", ,,,, = 12 km in e iner po lytropen A tmosphäre e r reichen so ll? Am B oden h errscht d er Luftdruck Pu = 1,(1l:3IJa r und die Luftdicht e Po b eträgt dort pu = 1, 2:3-1 k91m 3 • Die Wasserstoffdichte (l1I 2.n im Ballon besi t zt am Boden d en Wert (111 2.0 = 0.087 k g/ m 3 • W ei t erh in s in d die T emperatur T, "". = 280 K in 1 km Höhe und die s pezifisc he G asko nsta nte d er Luft R = 287 m 2/ {s2 . K ) bekannt . b) In welche r Höhe 2, h at der Ballon sein größtes Vo lumen V, = 14(JO 1/1:1 e rr eicht ?

am Bode n

in großer Höhe

Abb. 2 .2 .8 St ratosphärenballon

H inw eis: Bis ZUlU E rreichen seines maximalen Volumens b esitzt d er W ass erstoff d es B allons in j eder Höhe die T emperatur und d en Druck d er A tmosphäre .

21

2.2 Hydro- und Aerostatik

Lösu ng: gegeben : Pu = 1, OI3 /JIl/", Po = 1,2:34 ky / m \ R = 287 m 2 / ( .~ 2 . K ), {J1I2.0 = 0.087 ky / m 3 , 2 T I k'm = 280 [(, ViI = 450 m\ V I = 1400 m:1, 9 = 9 , 8 1 m/.'I ges ucht : a ) G",ax, h )

ZI

a ] ZUI' Lösung der vorliegenden Aufgabe könucn die Formeln der Au fgabe 2.2.6 genutzt werden. Der Ballon schwebt in einer polytropen At mosph ä re. Um die Zust ände der At mosphäre für unt erschiedliche Höhe n a ngeben zu können, wird de r Polyt ropenexponent ben öt igt . Dieser berechnet sich mit
dT (fZ

Jft

_ R· Tr.1 ,, --

11

+ 2iL

!I

Ho

To = ~ Pu ' R

(1)

Zur Auswertung der Gleirhnngon (1) sind alle Grö/M'n außer de r 'Icnrpurnt urg rndienten dT / dz gegebell. Die Tempernr.ur nimmt in ein er polytrop en At mos ph är e linear ab (sil'he Au fgabe 2.2.6), so dass sich der Temperat ur gradient m it den gegehencil Temperaturen am Boden und in der Höhe Z i k m = 1 km wie folgt berechnen lässt . dT

TI"'" -

d,

Ta

2 1k m

0

(2)

Mit der Auswert ung der Glctchn ngen ( 1) und (2) orgebou sich die folgondon Zahl enwert e: 7;1 = 286 K , llu = 8:307 In, dT / d z = - 0, 006 /\/ m , 11 = 1, 2 1.

Die ma xima l tragba re Last G max ergibt sieh durch ein Kräftegleichgewicht der Höhe Zn,ax = 12 km :

11111

Ballon in (3)

( FA. 12km

ist die Auftriebskraft in 12 k m Höhe, G fh die Gewicht skraft des TraKgitses).

Dip Masse m it, des Tragg ases ändert sich wäh rend des Ballollaufsti eges nicht. Ih r Gewicht berochnot sich also wie folgt: (4)

Dip Auftriebskraft

F A .12 k m

berechnet sieh mit der Auft riebsformel:

(5)

In der Gleichung (5) st eht V I, da sich der Ba llon in der Höhe Z",ax = 12 k m voll ausgedehnt hat. Znr Auswertung der Gk-ir-hung muss noch die Dichte fJ I2 k m der Luft in der ben-acht eten Höhe erm ittelt werden. Sie lässt sich m it de r in Aufgabe 2.2.6 lx-rcit gest clltcn Formel (8) lx-rechnen. Die Form el lautet : 1' 12/.: ",

=

1'0 '

.,,"" ) """ n -, _1 . , Ho ( 1 - - ,-

(6)

Die Auswert ung der Glei chungen ergib t die folgenden Zahlenwerte: (J12k m = 0, 3 Hi k y / m :l g t' llIii ß Gleichung (6). F A . 12 b " = 4.34.0 N ge mä ß G leichu ng (5). G H, = :~84 N gemiiß Gleichung (4 ).

22

2 " " ",11" "" d" S<,öm,m"""',h,,,ik

Die berechneten Wer te in Gleichung (3) ein gesetzt , ergibt die ges uchte Größe G",,"x: G llla x = 3956 N. b ) Dip im Ballon hefindliehe Masse m ll2 bloiht währcud also:

d{~s

Aufstiegs uuveriindert, Es gilt (7)

oder umgeformt: PU l . l

=

HI

(8)

PIl 2.0· VI

(Der Index 1 steht für di p G riif,pll in der Hiihe Zl) .

" 'eit erhilI gilt fiir den \Yasserstoff die Zustandsglelchuug für ideale Gase: PU 2.l

= R

PU 2.1 ~ H2'lH 2 .1

(9)

DeI" Druck un d die Temperat ur d es Wa sserst offes sind in der be tr achtet en Höhe ide nt isch mit dem Druck und der Tempera tur de r Atmosphäre, so dass in Glctchuug (9) für de n Druck P Hl . ! und d ie Tem pera t ur T H2 .1 der Index ' H 2 ' weggelass en wen [eil kan n. Die GrößPIl PI und T l können m it den bereit gestellten Gle ichu ngen (6) lind (7) 11('1" Aufga be 2.2. 6 a usgedrückt werden. Man er hält also:

(11)

(12)

so da ss ma n mit der Gl eich ung ( 11) unte r Berü cksicht igung der Gleichun g ( 12) die folgende Lösung für ZI erh ält : Z1

Als Zahlenwert für

ZI

= Ho . - '' _ . 1 _ ...E. V, ) " - ' ] ( F1 11 -1 [

ergibt sich:

Zl

= 10224 rn,

2.:~

23

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheorie

2.3 2 .3. 1

H ydro- und Aer odynamik , Str om fadent heo r ie K in e mat isc he Gru n d b e griffe

Aufgab e 2.3 .1

S t a u p u nktst.röm u n g

D as zweid imen s io nale S t r ö m u ngsfe ld e iner P lat t e nans t r öm u ng ist mit d en Ges chw ind igke itsko m p o nen ten 11 = a . x lind t' = - a · 11 b es chri eben (a ist e ine posi tive K ons t ante ).

a ) E s so llen die Str o m li n ie n d es Str ö m u n gs fe ld es b e r echne t und gezeich net we r d e n . b) W ie groß is t die Dre hu ng d es Strö m u n gs fe ldes ? c) Ein Sta ubte iich e n w ir d z u m Zeitp u n kt 10 = () a u f den Punkt (.To, Yo) e iner b eliebigen Stro m lin ie gele gt. W ie groß ist d ie Zei t l e, bi s d a s S t aubteilchen d en Punkt (xI, Nd der S t r o m lin ie , a u f die es a n fa ngs gelegt w urde, err e icht ? E s so ll a nge riorrrme n werden , d ass d a s S tau b t e ilchen e in e se h r kleine M ass e b esitz t , so d as s kein Sch lupf zwisc hen ihm und d er S t r ö m u ng e ntsteh t. Lö s u n g : gegeben : a) und b )

'Il

= a . x, v = - a . N, (xo, No ), (XI , Nd

gesu cht : a) Stromlinien, h] Drehung des St römung sfeldes. c) f e a ] Die Defi nition sgleichung für eiuu Stromlinie lautet:

dy

dx

~

(1)

"

In Gleichu ng (1) die gegebenen Geschwludigkeit skomponcnton ein geset zt , ergi bt: y .r

d11
=


~


(2)

Durch Integ ra t ion der Gleidlllllg (2) auf beidlm Soin-n ('r iliilt man die Funkt ionsgleichung für die Stromlinien :

x

A hb. 2.3 .1 Stromlinien

Y J
=0}

ln (y ) =

~ l lI (x )

+C

=0}

1} =

C

-

_._ _I_

(3)

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

C ist eine Integ ra tions kons ta nte. Sie besit zt für jede Stromlinie einen speziellen Stromlinien sind Hyperbeln (sie he Abb . 2.3.1).

wert. Die

b) Dip Drehu ng in der (x , y)-Ebl'ue ist durch die folgende Gleichung definiert: (Je

n«

Ox

Oy

v..: = - - -

(4)

Die in Gleichung (4) stehenden partiellen Able itungen sind Kuli, so das s das gesamte Strömungsfeld drehungsfrei ist , also : w = O für ulk-

(X,IJ)

c) Das Staubteilchen wird zum Zeitpunkt 10 auf eine Stromlinie gelegt. Es be wegt sieh dann out lan g de r Stromlinie , da es eine so kleine ;\fasse besitz t , das s kein Schlupf zwischen ihm und der Strömung entsteht. Die \\'egliillge 8, die es vom P un kt (;ro, Yo) bis zum Punkt (XI . YI) zurücklogt, out spricht der Länge der hetraehtctcn Stromlinie zwischen den beiden genannt en P un kten . Diese Länge 8 heredulPt sich gellliiF. der nachfol gr-nden Gleichung:

1+

(- )' dy d.r

- dr

(5)

In Gleichung (5) ist d y/d;r die Ableitung der Funktion für die betrachtete Stromlinie nach .T .

Innerha lb der Zeit df legt das Staubteilchen den \\'eg ds mit der Geschwindigkeit c zur ück. Dazu gilt :

(18 elt = -

(6)

c

Das WegillkrenJ('ut (18 gemiiF. der Gleichung (5) in Gleichung (6) eingeset zt , ergibt : I

+ (~)'

(7) + 1'2 . dz In Gleichung (7) 11 = a -z , l' = - a ·y und el y/elx = _ C / J·2 einges(·tz t , füh rt auf die folgende

dt =

112

zu int egrierende Gleichung:

dt =

(~ )'

l+ I 7(a-:.-y::;),"-"+"'(7:a'-.-:'1"0 )2 . d.r = ~ .

(8)

Mit de r nachfo lgenden Integra tion er hält man da s ges uch t e Ergebnis zu: 1(' = -I .In a

(X - ') LO

2 .:~

25

Hydro- und i\ ewdy" am ik, Stromfadentheorie

A u fga be 2.3 .2

E ckenstr öm u ng D ic s tatio n äre, d r ehungsfr e ic e bene Strö mung e in es inkompressi blen F lu id s län gs einer I n n en eekc h a t die Gcsc hw in d ig ke it s ko m p oIlc nten u = {): . y

v = n 'x

( 1)

m it 0: > O. D ie Borand u ng d es h a lbunendl ich en Stro m fe ld es is t gegeb en d urch d ie h ei d en G erad en y = +x u n d y = - x für .T 2: O.

2 x

a) \ Vie v iele Staupu n kte exist ieren im Strom fe ld? Man gebe d ie Koordina t en a n . Abb . 2.3 .2a Inne necke

b ) Man b es tim m e die G leic h u ng II = f(x ) j en er Strom lin ie, d ie durch d en Punkt P , (:c, = I. y, = 0) gcht , s k izziere q u alit a tiv d en Verlauf dieser und d er b enachbar t en St rom li ni e n lind gebe dic Ström u n gsriehtu ng lä ngs d er Strom lin ie n a n . e) Man b etra ch t e a u f d er durch P I ge hen d e n Strom li n ie ein en we iteren Punk t P a, d essen .r-K oc rd'ina t e -ra = 2 sei. W e lche Ze it Llt ve rstreic ht , b is s ich e in P ln ldele ment lä n gs d ieser Strom li n ie votrr P u nkt P , z u rri P 2 b ewegt h a t ? Lö s ung :

ge ge b en :

0, .T1

= 1,

y, =

0, ra = 2

ge s uc ht : a) Staupunkte, Koor dinaten , h)

y~

= f(x ), Skizze, e) Llt

a ) In einem Stau punkt gilt für die GcschwillCligkdtskom pollellteu: u = 0, v = O. Da es sich bei den G leichungen (1) UIII linea re Gleichungen handelt , existiert folglich IIIlI' ein Staupunkt im Strömungsfeld. Die Koordiuutcn des Staupunkt s S lauten somit (xs O. lIs 0) . Der Staupunkt befindet sich also im Koordinatenursprung. b) Die Definit ionsgleichung der Stromlinie lau te t: dy

dx

~

v u

(I ' x

H ' lI

y

=

y · dy = x · dx

(2)

Eine unb est immte Integrat ion von Gleich ung (2) liefert:

!y.d y=!

x · d.r+ C

==}

1 a = _I · x Z + C 2 " 2

- ' 1'

(3)

26

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

Die Integ ru t ionskoust unt e C wird unter Ber ücksichtigung de r Randbedingung im P un kt P t m it ,l} l = Y(J: = LI = 1) = 0 be stimmt :

1

1

2

1

2 · !h =O = 2· x~ + C =2 +C

C ~ -~

===>

(")

Gleichung (4) in Gleichung (3) ein gesetzt , orgtbt : 2 ' :1/

l

A b b . 2 .3 .2h Stromtintenvorlauf

=

2

1

1 2

2

= 2" ' x

;1.2 -

1

=

===>

y = ±~

(5)

Die Strömungsrichtung er hält man aus einer Disk ussion der Vorzeichen der C cschwiudigkeit skomponeut cu u und I ' na ch Gleichung (1). Im angegebenen Dcfiuit ions bernich ist n für alle x posit iv, Für y > 0 nimmt 11 positive werte IIn und für y < () wird u negativ. Der Verla uf der St romlinien ist in Abbildung 2.3.2b skizziert. c) Das Fluidelement legt im Zeitinturvall A t die Strecke A.r = X z - .T l zurück. Da her wird als Ansatz die Dlfferenualglelchung zur Bestimmung der x - Komponen te der Teilche nbahn gewä hlt:

dx

-= u

dt

d x = I/ ·dt = 0 ·y(x ) · d t = 0 ' ~ · d t

=>

=>

1 d.r elt = - . --,;~'" n~

(6)

Die bestimmte Integra tion von Gleichung (6) erfolgt in der Zeit in den Grenzen von () bis li /und im Hilum in de n Grellzen von X I bis X2 , so da ss folgt :

ßt ~ ~ . [I" (x, + ';,l - l) -1 , (X,+';X1-1)] = , = -1 ·II I .:..:.t n

(x,+JXl-l) ;/' 1

(7)

+ v:rr=t

Durch Einsetzen de r Wer te

XI

= 1 und

li / =

J'2

= 2 erhält mall da s Endergebnis:

*. (2 lu

+ 13)

(8)

2 .:~

27

Hydro- und i\ ewdy" am ik, Stromfadentheorie

A u fga be 2 .3 .3

Richtungssta tion ä re Str ömu n g

G egeb e n is t die ins t a tionär e , e b ene Ström u n g ein es inkompr essiblen Fluids in d er [z-, y)- E Le n c fiir .1' > 0 und u > 0 durch die Ges chw ind igke itsko mponcnte n

u(x . t ) = - [A + Ii . s in( w' t)]· x

r( y,t) = [A + B · sin (",' , t) ], Y

(1)

mit d en Konsta nt en A > ß > U. a) Man b es timme die Komponente y (t ) d es B ahnkur venvekt o r s fii r- j enes Fluidt eilc h e n , das s ic h zu m Ze it p u nkt t = 0 im Punkt P (xp , 111' ) b efin d et . b) Man en t w ick le d le G le ich u ng d er Strom li n ie , die durch d en Punkt P geht , s k iz zie re d en Verlau f d er Strom lin ie durch P sowie benachbarter Strom li n ie n u nd ge he d ie St r ömungsrich tung a n. W e lcher So n der fa ll beziig lic h s tat io n ä re m und in s t a tionä rem Verha lt e n liegt hi er vo r ? c ) Man e ntwick le ei ne im p liz it e B est immungs gl ei chung fiir die Zeitdifferenz A t, die vers t r eic ht , bis ein F lu idteilch e n vom Punkt P ( J~P . !JP ) bis zu m Punkt Q (x Q. !JQ ) mit YQ = 3 '111' ge la ngt ist. d) Man b est im me die T - und die y- K om p on e nt e I)" und by d er s u bst a ntiellen B es chleunigung im Strom fe ld in Abhängi gke it von Ort und Zeit. Lösu ng: gege b en : A, 13, w,

X p , YI' , YQ =

3 ' YI'

ge s ucht : a ) y(t ), b) Stromlinie, Ski zze, Sonderfall , c) A t , d) b" , by a ) Die Definit tonsgleichung für die Teilchenbahnkomponente lautet: dy - = t' (2) dt Die gegebene G e~;('h w indi g kcit skomponent(' v( y. t) a us Gk-irhnng (1) in Gleichung (2) eingeset zt, er gibt: dy

dt

=

l'

=

.

[A + ß· sm (w· t )l · y

I

.

_. dIJ = [A + I} . sm (,,",' · y

===}

01· dt

(3)

Durch unhestinunte Int egra t ion von Gleichung (3 ) a uf de r linken Seit e nach 11 undauf der rechte n Seite na ch t erhält man: ln(y ) =

[A. t - g.(,os (w , t)] + Co

(4)

Die Int eg ra t lnns koust unt e Co wird mit Hilfe der Anfa ngsbedingung y(l = 0) = uv besti mmt zu :

ß

11l( yP) = - w

+ Co

Cu = ln (yp )

B +w

(5)

Co in Gk-it-hung (4) eingeSl'lzt , er gibt : IIl(Y) - ln (y p ) = [A .

In

t- !! .cos(",' . t)] +!! ,,",'

===}

,,",'

(!!...) ~ (A .t + ~",' . [l - ",,(w · 1)1) y/,

(6 )

28

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

Als Endergebnis erhält man für y{t ):

y(t) = YI' · exp

(A ·t + g.(I -cos{w' t)l)

(7)

b) Die Definitionsgleichung der Stromlinie lautet : dy (Lc

=

u

[A + ß · si ll(w ' (lI · Y - [A + ß . sill('<'" . t )) . I 1 1 - · dy = - - · d.r dy dr

y

Integration

VOll

y .r

= (8)

.1:

Gleichung (8 ) führt auf:

In (y) = - lll(x ) + Cl

In(y ) + IIl(X) = Cl

=}

=}

In(y · x ) = Cl

(9)

Die Integ rnt ionskon st unt o Cl wird unter ß erücksieht ignng der Handbedingung y (x = XI') = ,lJ1' ermittelt: CI = In (yl' -.TI')

( 10)

Gleichung (10) in Gleichung (0) ciugcsctzt , führt auf das Erge bnis: XI' .

y(x) = -

-

Yl'

X

( 11)

Die Stromlinien sind Hyperhe in in der {z-, y)-E hellc und in Abbildung 2.3.3 clnge zclchnct . Die Strömungsrichtung erhiilt man au s einer Vorzeichendiskussion der Geschwilldigkei tskomponuntcn WJIl Gleichung (1). Da laut Voraus setzung n > 0 sowie A > B > () gilt , folgt 11 < 0 überall im er sten Quadranten . Mit der gleichen Überlegung für y > () erhält man u > 0 übe rall im er stell Qua d ra nt en . Da mit liegt die Strömungsrichtung fest.

y,

L

-

x

Abb. 2 .3 .3 Stromlinien

Hinsicht lich st at ionärem bzw . instationärem Verhalten liegt hier der Sonek-rfall einer so geuunnren richr ungsst ationilren Strömung vor. Dies bedeutet , da ss die (Icschwindigkcusrkhtung und da mit der \ 'erlau f der Stromlinien st ationär sind. Der Gcschwi ndlgkcltsbctrag htn gogeu ist inst aüc uä r, was jedoch auf den Verlauf de r Stromlinien keinen Einflu ss ha t. Dies ist auch daran zu erkennen . dass sieh der zeit a bhä ngige Faktor in der Doflnl donsglcichung der Stromlinie nach Gleichung (8) borauskürzt .

c) Das Fluidteilchen soll sich zum Zeit punkt t = tJ.t am Ort YQ = :3 · yp befinden. Xlit GIl'idlllIlg (7) erhält man folgenden Ansatz zur Bestimmung von tJ. f:

y(t = tJ. f) = YQ = :3 . yP = yP -exp

(A. tJ.t + g.{I -cos(w · tJ.t )])

DUl'C:h Umformung von Gleichung (12) erhält man dte gesu cht e implizit e Glei chung Bestimmung von tJ.t: A· tJ.t

B w

+ - . [1 -

cos(w' D. I )] = In( 3)

( 12) Zlll'

(13)

2 .:~

29

Hydro- und i\ ew d y" a m ik, Stromfadentheor ie

d) Die subs t antiellen Beschleunigun gen b" un d by erhält ma n du rch subs t a nt ielles Differenzieren der en tsprechenden Geschwindigkeitsko mponenten u un d t' ZIl : du Du lJ.r = - = dl iJI

Du Dy

Du

+ u - - + 11 . Ox

by =

dv

df =

Dv

öl

+u

{)v

OJ'

+ 11 '

D11

Dy

(14)

Mit Ou/ i)f = - B · ia- eos(w 't) . x sowie Ou/üx = - (A + ß · sin(w - f )) u nd Du/Dy = 0 folgt für d ie .r-Komponent e der Beschleunigung:

b", = - 13 , (v'. cos(w' f ) - x

+ [A + B , si n(w · 1)12 'x

(15)

E nt sprechend er hä lt man mit n u/ DI = B · w' co:;((v" f ) 'y sowie av/Dx = 0 u nd n u/Dy = A + B , sin(w· t) für d ie y-l{ompollente d er Beschle uni gung: lJ y = B - w · co:;((v' - I) · 11 + [A

Aufgab e 2. 3.4

+ 13 · si n(w · t) ]2 -1/

(16)

Inst a tionä re P ar allel st.röruung

G egeb e n is t die instationäre e b e n e Strömung ein es inkompressiblen Fluids dur ch die Gesch wi n d ig ke it s kom p onenten :

u(1) = Uo + VI . co:;((v' - I) mit d e r Krei sfrequenz

IJ.,'

=

i

8- 1

v(t) = Vt - Sill((V' -I)

(1)

und d en K onstanten Vo , V" VI > O.

n) Man b estimme die K omponent en ,r (f) , 1/ (f) d es B a h n k urvenve ktor s für j enes F lu idteilch en , das s ich zu m Ze it p u n k t t = 0 im Punkt P (x P. Yl' = 0 ) b efindet . A n welcher Stelle Q(xQ. !JQ ) is t d a s Teilc h e n z u r Zeit t = 2 ,~ ? b] M a n e nt w ick le die G leich u ng d er S t ro m li n ie, die durch d en P u n kt P ge ht , für einen festen Zeitpunkt I = to. c ) Man s k izzie r e d en Verlauf d ies e r S t rom li ni e in der U mgehu ng d es Punktes P fflr d r ei versc h ieden e Zei tpunkt e 10 = 0 .~ . 2 .'! . 6 .~ u nd gebe die j e weilige Ström u ngsr icht u ng a n . Hierzu s oll a nge nom m e n werd e n , d a ss Vo = VI = VI = 1 m/ .'! ist. Lös u ng: gege b e n : w = 1T/ 48 - I , VO, Vt , VI, .rp, !Jp ge s uch t : .r(t), y(l ). Q(xQ.!JQ). h ) St romlinie, c) Skixzu a) Die beiden Dcfiuit ionsgleichungon zur Erm itt lung d.r

-

dt dy

= u

df = t'

VOll

J( t) und y(t) laut en :

=?

d r = u . d l = [Uo + VI ' cos(w· t )l · dl

(2)

=?

d 11 =

(3)

11 '

dl = VI ' sin (w . t) , dl

Xach Int eg rat ion erhält mau a ns den Gk-ichungcu (2) lind (3):

x (t) = V o ·1

u, .

+ _. sm (w · t ) + C I W

v, . cos(w · f ) + C

y (t) = - -

W

2

(4)

30

2 Grundlagl'1l der S t röllJ llllg~I!Il'('halli k

Die Int egra rlonskons t a ntcn C I und Cl der Gleichungen (4) bestimmt man mit Hilfe der Anfangsbedingungen zu:

x(t = 0) = Xp = C l V, y{t = 0) = () = - - + Cl

===>

W

C l = VI

(5)

W

Somit erh ält mall als Er gebnis:

x( t ) =

+ Uo' t +

.1'1'

V,

I

U 'Si ll(w' t )

[1- co*

y( t) ~ - .

w

W

· ' )]

Zur Berechnung von J:Q und !JQ werden d ie Gleichungen (6) zum Zeitpunkt aus gewertet. Somit erg ibt sieh :

x( t = 2 s) =

I Q

= Ip

(6)

= 2 s

4

4

+ 2· Vo + -rr . VI

y(/ = 2 s) = YQ = - . VI n

(7)

b) Die Defi nitionsgleichung der St rom linie lautet zum Zeitpunkt t = to: dy
~

v n

V

dy = -·dI =

11

VI . Sill(.c.' . tn]

Vo + VI . cos(w . tu)

- d.r

(8)

Nac h Integr a t ion von Gleichung (8) erhält man: (9)

Die Intr-gr ut iou skons t uut e Ca wird uutor Ber ücksicht.iguug der Randbeding ung Y(I = Xl') = YI' = 0 ermittelt: VI . sill(.c.' . t o) , x p + C:l Uo + UI . cos(w ' to) VI . sill(u..' , to) C3 = 'XI' , Vo + VI . cos (w . to)

YI' =U =

===}

PO)

Gleichung (10) in Gleichung (9) ein gesetzt fiih rt mit w = 7r/4

y(x) =

8- 1

auf das Ergeb nis :

VI 'si n(i . eo) 7r ' (X - I p ) VO +VI, cos(:r'!o)

( 11)

c) Die Stromlinien d ur ch den Punkt P a us Teila ufga be b) sind Geraden (y "-" x) mit zeitabhängiger Steigung. Die St römungsri cht ung er gibt sich au s den Vorzeichen der bet reffenden Gesd lwindigkd t skompoueuteu zu den jeweiligen Zeitpunkt un to. Unter Berückstchugung der Annahme Vo = VI = VI = 1 m]« erhält man die folgende Tabelle, m it de ren Hilfe die Skizze 2.3.4 sofor t er stellt werden kauu.

to = 0: to = 2: to = 6;

y(x) ~ 0

Y(I ) = l · (x -x p) ,,(x ) = - 1 · {z - ,TI')

u= 2> 0 11 = 1 > 0 11 = 1 > 0

t'= o t' = l> O i- = - 1 < 0

2 .:~

31

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheor ie

y

I j

/

p

x

I

- - f o "'6 s

'-- x __II , ' , Abb. 2.3 .4 Stromlinien A u fga be 2 .3 .5

Insta t ionä re St römun g

E in zweid imensio n a les e b e nes instat io nä res St r ö m u ngsfe ld ist gegeben d urch : u = B , .r . t . :-;in(w ' t )

l1 =A

m it t ;::

o lind

( 1)

d en Kons t anten A und B.

a) B e rechnen S ie die Strom li n ie ngle ich u n ge n z u m Zeitpunkt t = 0 und z u einem Zeitpunkt t > O. b ) B est im men S ie d ie Kompon ent e n J:(t ) und y(t ) d es B ahnkur venve k t or s für jenes Fl uid t eilchen, das s ich zu m Zeit p u n kt t = 0 im P u nk t P (xo, Yo ) b efinde t . c ) B estimmen S ie d ie x- und y- K om p o ne nt e bx(x ,y, t ) und by(x ,y, t ) d er s u bs tan t ie lle n Bes chleunigung im Stromfeld . Lösu ng: gegeben : A, B, w, xn, No ges ucht : a] !I,(t = 0) = f(x ), y, (t > 0) = f(J:), b) x (t) , y(t ), c) bx , by a ) Die Dcfiniuousgk-ichung tler St rom linie lautet zum Zeit pu nkt t = 0: v

"

=

v 0 dy = - ,dx = - ·
A

(2)

;'\aeh Integrenon von Gleichung (2) erhält man:

y(x ) = Cl

(3)

C I ist eine Int egra tio nskonsta nte. Sie besit zt für jede Stromlinie eine n bestimmten Wert . Die Stromlin ien VOll Gleichung (3) beschreiben eine Pa ra llelst röm ung entlang der r-Achsc. Für einen fes ten Zeitpunkt t > 0 lautet die Deflntüonsglelchung der Stromlinie : v

"

=

B ·.T · t , :-;ill(W' I) v dy =- ·dx = A - d.r u

(4)

32

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

Nach Int eg ra t ion

VOll

Gleichung (4) erhält man:

y(x)

TI·

Z

X

.

t . sill(w . I) 2.A

+

c

(0)

2

C a ist wiederum eine Integr ut.iouskonst uute. D ie Stromlinien von Gleichung (;j) für einen festen Zeit pu nkt t > 0 sin d zu r y- Achse symmet r ische Parabeln .

b)Die Leidr-n Definit ton sgleichungen zur Ermittlung

d.z

- = 11 dt dIJ dt = tr

Na ch In tegra t ion

VOll

VOll

x {t ) lind y(t) lauten:

===>

dx = u·dt =A ·df

(6)

===>

dU = v . d l = ß . x . f . sin(w . t) . dt

(7)

Gleichun g (6) erhalt man:

x(t) = A· t + C3

(8)

Die In t .egrut ionskonstunte C:l bestimmt man mit Hilfe der Anfuugsbr-dinguug zu:

(9)

Setzt mun Gleichung (9) in Gloir-hnng (8) ein erhält man als Ergebnis:

(10)

x(t) = A ·t+~

Da x = f(t ) eine Fun kt io n der Zeit ist , die Funktion (10) ein setzen:

IllUS S 111<111

vor der Jut egra t ton von Gleichung (7)

d.ll= B - (A · t + .ro) · t · siu(w· I) - dl = [A · B · t 2 si n(w· t ) + B · IO' t . sin(w· t) ]· d t

Narh Int egra tion von Gk-irhung (11) erhiilt man:

y(t) = A· ß - [

2 . I - SiH(.<.., . t ) (.<..,2

+ ß - xo ' (

Mit de r Anfangslx-dinguug y(t = 0 ) =

-

cos(",' - t) ·

SiU(W. / )

110

w2

-

(,2 w -

l .eOS(w ./ )) W

(11)

2) ]

w:l

+

C

(12)

4

erhält man für die Int eg ra t ionskoust unto C 4 :

2 y(t = O)= Yo= A · B ·(.<..-,3+ C 4

=}

2 C 4= Yo - A· ß · -

w'

Gk-ichung (13) in Gleichung (12) I'ing{'setzt liefert da s Er gebnis: y(t) = A .13 - [ 2. t . sill("'" t) _ eos(w _t ) . ",,2

+ ß ·.ru · (

Siu ("" . tj ",,2

((2_ w·l~ ) ] W

t- COS(w . t) )

w

2 + Yo - A · ß · ",,:1

(13)

2 ,:~

33

Hy dro- u nd i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheor ie

c) Die subst a nt iellen Beschleunig un gen bx und by erhält ma ll durch subst a nt ielles Differenzieren der entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten u un d t' ZIl : du {)u b-" = -dl = -ö l

+ ll '

(/n iJx

(/a

+ 11 ' -Dy

dv (/ v b, ~ -,11 ~ VI

+"

ik V""-

() v

+ v . Vy

(14)

Mit iJu/ ö l = 0 sowie Dll/ß.r = 0 und Du/ ay = 0 folgt für die .r-Kompo nente der Bcschlc unigun g:

(15) Ent sprechend erhält man mit ar/ Dt = B . x· sill("'" , t) + B ' t , ,,,,' , ;1' • cos("", , t) sowie Dv/ {)x = H. t . sin(w ' t ) lind ()v/Dy = 0 für die y~ Komp one llte der Beschleunigung : bu = ß ' x ' sin(w . t) 2.3.2

+ B ' t . IN' , J' , cos("", . t) + A ' TI . t ' sin(w . t)

(16)

Inkompressible Strömungen

Aufgabe 2.3 .6

Windkanaldiise An e in e \Vindkanaldüs e mit d em K ontrakti onsverhältnis A l/A 2 = 4 is t vor d er Vere ngu n g ein Ll- R oh r rn a nometer mit Was se rfiillun g a ngesc h losse n (s ie he A b b. 2.3.6). Im ß etri eb ze igt d a s Ma n ometer e ine H öhe ndiffe r enz von h = 94 mmW5 (mmW5 - M illime t e r W a ssers äul e ) a n . Wie gr oß is t die Aust.rit .ts gcschwindigkei t. (' 2 im Que rschni t t A 2 , we n n die Di cht e d es W a ss ers im U- R oh r pw = 1000 kg/ nr1 und d ie Di chte d er Lu ft PL = 1, 226 ky / m 3 b e t r agen?

Abb. 2.3.6 Windkanaldüse

Hinwei s: E s soll die r eihungsfreie K ernströmuug a ngenom men wer den ( K a p itel 2 .1 , H . Üertcl ]1'. et ol. 20(6 ) Lös u ng: gege b e n : h = 0. 094

TrI ,

pw

-1, 9

9. 81 m /,~2

ge sucht :

C2

Zur Lösung der Aufga be wird ein Stromfaden vom Quer schni t t Al zum Querschnitt A 2 geleg t. Ent la ng des Stromfad ens wird die Bcrnoulh-Glci chung für inkom pressible Strömungcn an gewendet. Sie lautet (in diesem Fa ll ohne Höhcuglicd] : PI

PI. ,c2 = P2+ Z PI. ,c2 +Z l 2

( I)

Weiter hin gilt die Konünutt ät sgletclmng : P L 'CI

· AI =

P L ° e2 · A l

(2)

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

oder um geformt :

A, A,

(3)

ci v cev -r(; 1

in Gle ichung (1) g('miiß Gleichung (3) ein gesetzt , ergibt na ch einer einfachen Umfor-

mutig:

(4)

Der Druc k auf die Querschnittsfläche A z ist gleich dem Dru ck ankerhalb der Windkana ldiise . Die in Gleic hun g (4) stehen de Druck differenz PI - Pz, die den Höhenunterschied h im U-Rohrmanometer verursacht, lässt sieh mit dem hydrostatische n Gru ndgeset z berechnen zu:

(5)

PI - pz = pw ·9 · h

Die Druckdiff er enz PI - tiz gellliiß Gleichung (5) in Gleichung (4) eingesetzt , er gibt das gesucht e Ergebnis:

s

11

(l - [~f.]') Als Zahlenwert erhiilt mau für

Aufgabe 2.3 .7

(;2

den " 'ert :

I

11

I

'V

= 40

III /S .

Ü ber lau f ei ner Badewanne Eine B adewanne d er Höhe 1/ = O. G m bes itzt in d er Höhe h = 0 , ;) m e inen Ü b e r la u f mit d er Querschnittsfläche A (si ehe Abb . 2 .3 .7). D er m a ximale Zulauf b e trägt V = 0,5 . 10- 4 11/:I/ s . Wie g roß mus s d er Quersch n itt A d es O b e rlau fs bemess en werd e n , d amit die Wanne b ei gesc h losse nem Ablau f n icht üb e rläuft?

~zu illuf

, =.11 .

(;2

!

L Übcrllluf

I-_---'E'_A-j

,

Ablauf I

.L L-_ _---..::: -

----'-

A b b . 2 .3 .7 Badew anne mit Überlauf Hinwei s : E s so ll die reihungsfre ie K erns trömung angenommen werden. Lö sung : gege ben : 11 = 0 , 6 m, h = 0,5 m; ge s u ch t :

A

(6)

i' =

0,5 .10- 4 m;l J.~ , g= 9. 81 mJ.~z

2 ,:~

35

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheorie

Zur Dimcnsionlcruug der Überlauföffn ung wird a ngenommen. dass d ie Ba dewa nne bis zum oberen Ra nd gefüllt ist und . da ss de r Volumen strom ~1 zufiief.t . Da m it die Badewanne nich t überläuft , mu ss der zuflief,cllde Volumen strom V durch die Üborlanföffnung abflief,c lI kfinnon. Desha lb mu ss folgende Ansatzgleichung aufgestellt werden :

v=

CA ' A

===>

V

A= -

CA

(1)

Zur Berechnung der Flä che muss noc h die Ausflussgeschwiudtgkett CA berechnet werden, Da zu wird die Bcruoulli-Glcichung filr inkompressible Strömungen entlang eines Stromfadens VOll der wassereberfl äche bis zur Über lau föffnung angewendet . Diese lautet : PI

p , I = PA + 2 ' CA + (I ' 9' I

p, +2 'CI + P , 9 . / /

(2)

Da tler zuflidi;elHk Volumenstrom gleich dem abtliekenden Volumenstrom ist , sinkt der Wass('l'spie gd nicht ab, so dass gilt: CI = O. Weiterhin wirkt auf den Wasserspiegel und auf de n Aust ritt der Überlauföffnung de r Umgebungsdruck Po , so das s in Glei chu ng (2) PI = !JA = Po ist. Bcrückstchügt man die s in der Gleichung (2). so vere infacht sie sich zu:

2 . CA2 + tr- Y . h

p: 9 . 1I = "

oder umgeformt : CA = j 2' y . (1I

11 )

(3)

Gleichung (3) in Glei chung ( 1) ciu gcset zt , ergibt da s gesucht e Ergebnis zu :

V / 2>9> (1/

h)

Als Zahlenwert erhält man: A = 3. G• 1O ~ 5 tl/2 = 0. 36

Aufgabe 2.3 .8

('1/1 2.

Trichter Pu

\Vie la nge sin k t d er W a sserspiegel d es in Abbildun g 2 .3 .8 gezeig ten Trich ters vo n d er Höhe z = /I bi s zu r Höhe z = 1I/ 21 Der Trichter bes it zt di e Höhe f{ = 1 m und a m ob e re n R and e inen Du rchmesser D = 0. 8 111. Die Ausflussöffnung hat di e Querschnittsßäche A = 3 . 10- 4 m 2 •

Hinwei s: Abb. 2 .3 .8 Mit Wa.'iS(·1' gefüllt er Die Ausfluss strömung soll als reibungsfre i und als qua si-s t ationär a ngen om men werTrichter d en (d. h . di e zeitlich e A b leitu ng d er Gesch wind igke it in d er Her n ou lli- G le ichu n g für instationärc Strö mungen kann vern ac h läss igt werden) .

36

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

Lösu ng: gegeben: JJ = I m , D = gesucht :

Ü. 8 1/1 ,

A = :3 cm 2 , !J = 9. 81 mj.~2

Absinkdauer T

Zur Lös ung der Aufgabe wird die Lage des \\'assefs piegd s an eine r beliebigen Stelle z zum Zeitpu nkt. t betrachtet.. An dieser St elle .r be sitzt der Trichter 11"11 D urchmesser d. Der Wa sserspiegel sinkt m it 11<,1' Geschwindigkeit i'. Es gilt die nachfolgende Kont inui t ät sglcichuug: -n . (/2

-4- ·c = A

(1)

' CA

(CA ist die Au sflu ssgeschw indigkeit durch die Ausflussöffnung}.

Die Gröjc des Du rchmessers d in Abhängigkeit VOll Z lind d ie Absinkgeschwindigkeit c des wasser splcgols können unter der Annahme A « iT ' /J?-j4 wie folgt ausgedrückt werden:

_

D d = - ·z Il

dz dt

c= - -

< 0), de shalb ste ht in d er zweite n Gleichung

(Mit zunehmender Zeit nimmt z ab (c dem Different ia l ein Minuszeichen ).

(2) \"01'

Die Ausflussgeschwindigkeit CA in Abhängigkeit von z kann mittels der BernoulliGleichung für inkom pressible St römungen ormit n-lt werden. Da zu wi rr] sie ent lang eines

St romfadens von d er \ \'assero bertliichc (Stelle z) bis zur Ausfiussöffunng angewendet . Sie lautet a lso: J'z +

P

2 . C-2 + P . 9 . z =

PA

+ P2 . CA2

(3)

Die Drücke pz uud PA an der Stelle z hzw. in der Ausflussöffnung ontsprochon dem Um gebungsdrur-k Po. Sie hoben sich also in Gloichuug (3) auf boiden Setren auf. Die Absi nk geschwlndlgkeit ;; ist so klein , d ass der Ansdruck ;;2 vernachl ässigt worden kann. W ird d ies in der Gleichung (3 ) lx-rücksichrigt, so ergibt sich für CA nach einer einfachen Umformung: (4)

Set zt man in Gleichung (1) für d; c un d CA die ents prech enden Ausdrücke der Gleichungen (2) und (4) ein , so er hä lt mall :

4

(D)' //

. z' .

(_d') dt

d.

~ .

oder um geformt :

4·A (11)' D . dt

-z ~ . dz = ~ . --;:- .

Mitt els der nachfolgenden Int cgra t ton er häl t mall :

lf

- J Z ~ ' dZ = V 2 H

A · · g · __

;;;-c 4·

rr

(5)

2 .:~

37

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheorie

(Auf der linken Seite ist die untere Integralgrenze 1/ , da zum Zeitpunkt t = 0 der wasscrs plcgel an der Stelle z = 1/ steht. T ist die gesuchte Zeit ). Die Lösung der Integ ra le dieser Gk-irhung lind eine anseh!ief'l'llCle Auflösung nach T , liofort das Ergebnis: T

~ .:. 4.;12:,2::--- .:.1 . 1T ' [) z 80

A

.

(ii

Va

Als Zahlenwert erhält mau: T = 124, 6 s .

A ufgab e 2 .3.9

I

Abflus s eines B e hält ers E in g r oß e r B ehä lt er ist bis z ur Höhe 1/ mit Wasser gefiillt (s ie he Abb . 2 .3.9a) . An den B ehä lter is t ein langes Rohr der Länge l a n gesch loss e n . Zmn Zeitpu nkt t = 0 ist das R o h r a n d er Stelle 2 ve r sc h losse n (si eh e Abh . 2.3.9a ) . Für I > 0 wird d as Rohr a n d er Stelle 2 sc h lagar t ig ge ö ffnet , s o d a ss das Was ser ausfl ießen kann. N ach folgen d s oll folgendes b erec hne t wer d e n:

~ 0

1

3

/i

Abb. 2 .3 .9a Insta t ionä rer Ausfluss

a) die s tationäre Ausfl u ss gesc hw ind igk eit Cz.\. a n der S t elle 2, a ls o cz( t) fiir I --+ oe . b) die Ausflus sgeschwindigkei t cz(t ) fiir t > O. Hinwe is: E s s oll die r eibun gsfreie K e rnstr ömung vorausgesetzt werd e n. Lö s ung: gege ben : 1, 1/ ges u ch t : a) ('z.<" b) cz(t) a) Zur Berechnung der st at ionä ren Ausflussgeschwindigkeit wird ein Stromfaden \"(JIl der Wasseroberfl äche (St elle 0) bis zur St elle 2 gelegt. Entlang des Stromfadens wird die ll ernoulli-Gleichung für st a t ion äre und inkompressible Strömungen angewendet . Sie lautet :

Po+

'p2 'coa +p' Y' 1/ = pz+ 2"p ·caz...

( 1)

Der Druc k !Jz in Gleichung (1) ist gleich dem Druck Po au f der Wasseroberfl äche . Weiterhin ist die Absinkgeschwindigkeit des wasscr splcgcls klein , so da ss der Ausdruck cS in der Gleichu ng (1) vernachl ässigt werden kann. Mit !Jz = Po und ('~ ~ () ergibt sich a us Gleichung (1) die Ge schwindigkeit ca... zu: (' z ...

=

} 2. 51 . 11

(2)

h) Zur Berec hnung der Aus tri t tsgcschwiudi gkoit cz(t) wird die Bcrnoulh-Glcichung für inkompressible und instationäre Strömungen entlan g eines Stromfadens \ 'OIl der Wasser-

38

2 Gru ndlagen d er St römungsmechanik

o bcrftäche (Stelle 0 ) bis zur Stelle 2 a ngewendet . Sie la utet: L

fJ

Po + '2 . Cu + P '!J ' lJ = ])2 + '1

'2' C2(t) + fJ' fJ

;2

j()C(8, l )

----ot . ds

(3)

"

Die ob ere Int egra lgrenz e L en t spricht der Liill/;.';e de s definierten Stromfadens. Es gelten, wie in Aufgabenteil a ) , wiede r die Ident.init /12 = Po und d ie Verei nfa chung di;:::; 0, so da ss sich d ie Gleichung (3) zur folgenden Gk-irhung vereinfacht: . /I = g

c~ (t) + 2

j

L

Oe(;; , t ) . (I.« öl

u

(4)

Bevor Gleichung (4) weiter behandelt wird . soll da s in ihr vorhandene Integ ral vereinfa cht werd en. Da die St rö mungsgeschwi ndigkeiten in dem Behä lter nahezu i\'1111 sind , ist a uch die Gr ösc {)c(s ,t )/ Dt eilt la ng des Stromfaden s im Behält er sehr klein . DeI" Integra nd ist a lso nur en tl ang de s im Roh r verlaufenden St rom faden s wesentlich von Kuli verschieden , so dass d ie Intcg ra t lou von de r Stelle 3 (siehe Abb. 2.3.Da) bis zur St elle 2 durchgefü hr t werden IllU SS . Es gilt also: L

j

()c( .~ , t) . d8 = () t

"

j

I

()c(.~ , t ) . ds

(5)

() t

"

In der Gleich ung (5) ste ht , das s c abhängig VOll 8 und t ist. Da das Rohr übera ll den gleichen Durchmesser besit zt , gilt gemäß der Kont inui t ät sgleichung: e f- f(s ). Die pa rtielle Ableitung fJelDf wird deshalb in der nachfolgenden Gleichun g (6) durch d ie gewöhnliche Ableltnug d e/d t er setzt. Da diese a ur-h keine Funkt ion VO ll .'I ist , er gibt sich fiir da..s Integral in Gleichung (5) die folgende Rechnung: I

I

I

Dc(.'I, t) . ds = j dc(t ) . d8 = dc(t ) . jd ,~ = dc (t ) . [ j ilt. dt c1f dt o u o

(6)

Gleichung (6) in Gleichung (4) ein gesetzt , ergibt d ie folgende Differ entialgleirhnng fiir e2(t ): q . //

.

-_ -e~(t)- + -dr 2 . I 2

(7)

dt

(Da c ::fi f(8) ist , kann an c der Index "2" ges chrieben werden }. Durr-h eine Umfo rm ung der Glei chung (7) erhält ma ll:

dt =

I

2'

c·W ) s : // - -----r

(8)

dc a

Gleichung (8) kann mit der st a t ionären En d geschwindi gke it

Cl ."

erweitert werden :

I C2."

r::~.~l _ ~ . (c?;) 2

(9)

39

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheorie

2.:~

Unter Ausnut zung der Gleich ung (2) au s dem Aufgabent eil a] erhält mau: (10)

-",- ) a

I - ( C2. ('

Dur ch die folge nde Int egra ti on auf Ix-iden Seiten der C lcichuug ergibt sich m it d er sich anschlicfenden einfachen Rechnung das ges uchte Ergebnis:

c, I ~

f'

La

, o

.za,

2·/ dt = ·

j.'..

Cz .c

0

I

I _

(...QL)

2

'(/

(C ') . CZ.e

C2 .c

2 ·-/ . arr-rauli ( -" ) t= -

"

0.5

C2..,

_.- = t auh CZ. e

(t)

C2.(.

-

T

2·/

r ~ -­

(:2 . ('

0.0 -----'------'------'------' . 0.0 1.0 2.0 3.0

. _ t lr

T ist ciuu Zeit grii f.e. Die Au swert un g d er Er gehnisfor mel ist. in Ab bildung 2.3.9b dargeA bb. 2.3 .9b Ausflussgeschwindigkeit als ste llt. Funkti on der Zeit

A ufgabe 2.3.1 0

,

..

n

4.0

Di ffu sor Po

0

2

I

H

- +-,d

-H

1-=,-_..1

A h b . 2.3 .1 0 Inst ationä rer Ausfluss

E in g r oß e r B e hä lt er ist bis z ur Höh e II m it W a sse r gefii llt (s ie h e A bb. 2 .3. 10). A n d en B ehält e r is t e in langer D iffusor d e r Länge I a ngesch lossen. D e r Durchmesser d es D iffusor eilltrittsqu ersc h llitts b zw . A u stritts q u erschn ittes is t d b zw. D (s ieh e A b b. 2 .3 .10) . Zum Zeitpu n kt t = () ist d e r D iffu s or a n d e r A ustrittsste lle 2 (s ie he A bb. 2 .3. 10 ) vers ch lo ssen .

Fiir t > () w ir r! d er D iffu sor a n d er Ste lle 2 sch lagartig geö ffnet, so d a ss das W a ss e r a u s fließen kan n . N ach folgen d s o ll folge ndes b e r ech n e t werden: a) d ie s t a t ion ä re A u sflu ssgesc hwin d ig keit

t --+

C2.('

a n d er S t elle 2, a ls o

C2(t)

()C .

h) die Ausfl u ss geschwind igkei t cz(t) fiir t > O. H inwei s: E s s oll eine rei bun gsfre ie K ern str ö mu n g vorausges etzt we rde n .

für

40

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

Lös u ng : gegebe n : JJ, (I , D , i , 9 g e s uc ht :

cz,," C2(t )

u) die st ationäre Ausflussgeschwindigkeit berechnet sich analog zu der Aufgubu 2.3.9: C2.c

=

.,)2 . g ' II

(1)

b) Zur Best immu ng der Ausflussgeschwindigkei t cz(t) wird ein Stromfaden VOll der Was seroherfliidw bis zur Aust r ittsquersr'hnit tfl äehe gelegt. Entlang des Srromfndons wird dle Ik-rnoulli-C k-ichu ng für ins tationäre und inkom pressible Str ömungen angewendet . Sie lautet :

J L

P 2 P 2( Po+ - ·Co + P · 9 · /I = pz + - · cz t ) +p · 2 2

()c ( .~ ,t ) - - - · d....

tu

o

(2)

L ist wieder, wie in Aufgabe 2.3.9 , die Lä nge des Stromfadens. Der Druck J!2 ist gleich dem Druck Po lind d ie Abslnkgesch wlndlgkclt der wasscrobcrßä che ist klein , so dass der Ausdruck cfJ in Gleichung (2) vernachlässigt werden kann. Die Strömungsgeschwindigkeitim sind im Behälter nahezu Xull. Da s in Gleichung (2) vorha ndene Integral kann des halb , vgl. Aufgabe 2.3.D, mit den Int cgrnlgron zon 0 und l IlI'wduwt werden. Mit d ieseIl Vorein fadnmgen und der Identit ät pz = po ergibt sieh die folgende Gloiclmug:

c~(t ) q . H =--+

.

2

J tn. I

OC(8, t )

I

(3)

- - - · C .'1

n

Bevor die Gleichung (3) weiter be ha nde lt wird, soll zunä chs t das in ihr vorhandene Integ ral gelöst werden. Die partielle Abloituug Oc(.'1 ,t ) jfJt ist eine Funktion von .'1 und t. Um sie an ge hen zu können , wird zuerst d ie Kont inuit ä tsgleichung zwischen einem beliebigen Q uer schn it t J des Diffusors lind der Aus fluss öffnung an gewendet. Sie lautet :

= Der Durchmesser

(I kan n in Ab hä ngigkelt

\ '0 11 .<;

(4)

wie folgt a ngegeben werden :

D - d d = - l· .<; +d

(5)

Gleichung (5) in Gk-ir-hung (4) eingesetzt , er gibt :

c(.,.I )

~ ,", (t)· (D{' -r- '

8

+

d

)'

G leichung (6) nach t pa rt iell differenziert , ergib t die über zu:

D'

(JLrA ' .'I +d)2

.<;

(6)

zu integrierende GröF,e c(.'I, t )

DZ

. dC2(t )

(JLrA ' .'I +d)2

elt

(7)

2.:~

41

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheorie

In da s Integra l der Gleichun g (3) die recht e Seite der Gleichung (7) als In tegra nd eingeset zt , führt auf die folgende Rechnung: I

J ()

(h{~,t)

J(D-d I

, d;; =

(Jt

D'2

'2 '

- r ' ;; + rI)

0

(t) .J I

= dC2 tl f

()

D

dC2(t ) , d;; = df

2

2 . d;; = dC2(l ) . D . [ dt

(D-r';;+r - d I)

d

(8)

Das berechnete Integral in G leichung (3) ciugcserzt , er gibt dte folgend e Dtffercnüalglclchung für C2(t): 2

v -'+ -dV2 ,-D , I =

2

dl

d

9 . 11

(9)

Die Lösung der Difforcntialgleichung erfolg t in analoger \\'eise zu Aufg abe 2.3.0. Das Ergebnis lautet :

<,(tl - - = C2.e

A u fga be 2.3 .11

(
t a nh - , -t ) D T

T~

2·I C2.\."

--

T ornado

,

In e inem Tornad o werden Dr-uckmessunge n dnrchgefiihrL Im Zentrnm des Tornad os wird a n d er Stelle 0 e in D ruck po = 0. 8 bar ge m essen (s iehe Abb . 2. 3.11 ). An ei n er zweiten Druckmessstelle I in d er Entfernung 1"1 = 50 m VO U l Zentr-um w ird ein Druck P I = 0, 85 bar ge m essen . D cr D ruck in we it er E ntfe r n u ng vo m Tornado b et räg t p"", = I bar. a) Wie g roß ist d ie m a x imal e U m fa ngsges chw ind ig ke it C llI a" die in d em T ornad o a u ftr itt und w ie groß is t d ort d er D ruck PlIl?

Abb. 2.3 .11 TOl'llado

b) In we Icher Entfernung 1"", vo rn Ze ntr-um des To r n ados t r it t d ie max ima le U mfangsges chw ind ig keit ('lila" a u f ?

H inwei s: Die St r ömung ist inkompressib el. Die Strom li ni en s in d konzentris ch e K re ise . Die äußere S t röm u ng im Tornado is t re ibungsfrei . I m Wirbelkern s tell t s ich e ine r cibungs b ehaft et e S tar r körperrot at io n mit kons t ant er Winkelges ch w indigkei t e in . D ie Sch werk raft so ll n ich t b eriicks ich tigt werden .

42

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

Lösu ng: gegeben: Po = Q,8/ml' , PI = O,S;:; baI' , p""" = 11m,., p = 1. 226 h'yl m:l, gesuc ht :

1'\

= 50

ni

a ) c",,,,,, Pm, h) r",

u) Die AIlß(,Il~triilIlll ll ,!!; des Tornados wird durch einen Potentialwi r hel beschr ieben. Dabei nimmt der Dru ck m it abnehuu-ndem Ra d ius ab und die Umfangsgeschwindigkeit mit. abnehmendem Rad ius zu. Die Strömling im Wi rhelkern wird durch eine Starrkörperrotat ion beschrieben , be i der mit zunehmendem Ra d ius sowohl der Dru ck al s auch die Umfangsgeschwindigkeit zunimmt . Da ra us folgt , dass die maximale Umfangsgeschwindigkeit dort a uft ritt , wo die Starrkörperrotat ion in den Potent ialwirbel übergeht. Dort müssen sowo hl die Umfangsgeschwindigkeit als auch <\('1" Dru ck in beiden Strömungen den sclben Wert haben. Fü r die Umfangsgeschwindigkeit der Starrkörperrotation gilt:

e(r ) = w'"

(1)

Mit der Bedingun g, dass c( r = r m) = C max ist , folgt a us G leichu ng ( 1) w Dam it erhält man filr die Umfang sgeschwindigkelt:

er _ ( ) = -c"",,, 1'",

.,.

c",a"/ 1',,,. (2)

Das Kr äfreglctchgcwlcht in radialer Iäeht ung am Volunn-nolomcnt zwisrhun Zentrifugalund Dru ckkraft ergibt:

c2

1 dp
p

~

(3)

t-

Gleichung (2) in (3) eingeset zt er gibt : 1 dp c~,ax - ' - = - - - /' P dl' /'~, Die Integra t io n de r Gleichu ng (4) führ t auf:

VOll

p -c~",x

f dp=P' C;,n,a" ·f r.dr

r~,

- /' - d l'

(4)

einem beliebigen Dru ck p(r ) bis zum Druck p( r ll , )

"IU

1'",

"

dp =

===}

2

===}

1'

P( r ) = P'"

+ p · emax 2 ' 2 - 1'",

(' ') r - rm

(5)

'

Diese Gleichung (5) gilt für den St arrkörperwirbcl im Bereich r ::; 1'.... Für den Pot ent ialwi rbel gilt die Bcr noulll-Glelchung für Wirbelströmungen auf konzent risehen Kreisen:

pt/") + ~ -c2 (1" ) = konst .

für

I'

2::

1"...

(6)

Wird Gleichung (6) zwische n dun Ra dien /'", lind r- --- 00 angewendet, orglbt sieh für c(1' --- 00 ) = 0, c(r = 1'", ) = Cu,a", p(1' m ) = Pm lind p(1' --- co) = pcx;: P""" = Pm +

a

p

"2

' C

,na"

=

Pu, = Px -

"2P . C"'2 f\"

(7)

2 .:~

43

Hydro- und i\ ew d y" a m ik, Stromfadentheor ie

Des Weiteren wird Gleichung (5) zwischen den Radien T' und p{T' = 0) = Po angewendet: p

,

0 lind

=

p

PO = Pm - '2, c ma x

1'111

mit c(r

0)

,

=

0

(8)

P II, =PIl + 2" C",ax

Durch Gleichsetzen von (7) und (8) erhält mall eine Bcst tmmungsglclchung für Ergebnis lau t et : J!c>o -

=

C ma x '

2 2 'P2 . C",ax = Po + 'P2 . eil",:<

Das

(9)

Als Zahlen wert erhält man für c max den Wert : cma x = 127,7 m] e. Set zt man Glei chung (9) in Gleichu ng (8) ein, erhiilt man don zngchörigon Druck: Pm = Po +

}J= -

2

po

p"",

Pill

+ po 2

(10)

Als Zahlenwert er hä lt man für Pm den \Vt'r t: Pm = 0 , D baT. b) Der Dru ck PI ist kleiner als der Druck Pm, d. h. der Xlcsspuu kt befindet sich inner ha lb des Berr-irhs des St a rrkörperwirbel s. Zur Besti tnmung \"(JIl Tm tnUSS also Gleichung (5) verwendet werden. Mit p(1'd = PI ergibt sich:

p, -- l'' m ~ li t

+

P · c' ' m.a.x, ' (T'l ' 2 . r'~,

a ) 1'111

-

(11)

den Ergebnissen (9) und (10) er hä lt man: PI = 1'0 +

,.,

P"" - Po 2

Damit berechne t sich die En tfernun g vom Zentrum des Tornados zu:

1))

Tm

-

der maximalen Umfa ngsgcschwiudtgkcit

Ab Zahle nwert erhält man für "m den \V<'I't: Aufgabe 2.3 .12

-

1'111

('",ax

= 70,7 m.

Druckbehälter mit R ohrl ei tung ssy stem

An einem großen B ehälter (si ehe Abb . 2.3 .1 2) ist ein zy li nd risches Rohr-leit.ungs sy stem mit dein konstanten Durchmesser D = 2 · r a ngesch lossen. Di e H öhendifferenz zw isc h e n d em konstant en Fliissi gk ei t sspiegel und d em Aus tritt a us d er Rohrleitung b eträgt H , D er Druck Pi auf d er F liiss ig keitsoberfläc h e ist über e in Ventil V r egelbar. Die Strö m u ng durch das R ohrleitungs sy s t em d er Län ge L is t ve rlust beh a ftet . Di e F liiss ig keit trit t a m E n de d er R ohrlei tung in die U m ge b u n g ( Umgehungsdruck P a ) als Freistrah l au s. Im Punkt 1 (s ie he Abb. 2.3 .12) is t im Abst and L 1 vo m R oh re n d e e ine D r uc k b oh r u ng a nge b r acht .

44

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

P,

m

H

L

l

I

R ( 1)

p.

, 2) L ,-

-

[

Abb. 2 .3 .12 Str ömling a us einem großPIl Druckbehält er

a) Berech nen S ie u nte r B erUck s ich tigung d er R eibungs ver luste die ge m ittelte Gesch win d ig ke it ca.», m it d er d ie Fliissi gk ei t a m Rühren de in die U mgeb u ng a ust r itt , we n n d a s Vent il V geöffnet is t , so d ass a u f die F Hiss ig ke itsober ßäehe d er U mgeh u ngsd r uc k Pa wirkt. D ie k inematische Zähigke it d er F tüsstgke lt

ist

/.I.

Da s Ve nt il V w ird nun gesch lossen lin d im B ehä lt er ein konst ant er D ruck P i a ngelegt . b ) An d e r Druckbo hru ng im Punk t 1 w ir d e in Druck PI = 2 · Pa ge messen. B e r e chn e n S ie unter Ber üc ksichtig u ng d er R e i b ungsverluste d ie g e m ittelte

Gesch win d igkeit <':2.•" a'm Austritt. B e stimmen Sie d ie R eynolds-Zah l St römu n g .

H p /)

d er

c) Wie gr oß ist d er D ruck Pi ? H inwe is : D ie St römun g is t inkompressibel. Im gesamten R o h rl eitun gssy s t em kann die St r ömu n g zu r B erechnung d er R eibung sverlust e n äher ungswe ise al s H a gen -Poi seu ille-St römung b e t ra ch t et we r den. D ie Ström u ng im B eh äl t er kann a ls verlus tfrei a ngesehe n werden . Lösung : gegeben : Pa , p, 1', ll , L , L }, g, gesuc ht : a)

C2 .1l"

b)

C2 . tH,

V

Re/) , c) Pi

Zur Lösung dieser Aufgabc wird ein Stromfaden VOIll Flüssigkcitssplegcl (Index '0' ) bis zum Austritt der Rohrleitung (Index '2' ) gelegt. Entl an g des Srromfadons wird dle Bornoull iGleichung für inkompressible Strömungen mit Verlustt rum angewend et. Sie lautet: Po +

"2P . Co2 + p. g ' Zo =

])2 +

"2P ' (;22 + p ' s : Z2 + l:::. pv

(

1)

" 'egen des gro ßen Behält ers kann Co = 0 gesetz t werden. \ \ 'ird das Xullnivenu auf die

2.:~

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheorie

Höhe des Aust ritts der St rö mung a us der Ro hrl eit un g gelegt , gilt Zo = 11 und Z2 = Für d en Dr uck gilt bei offenem Vent il wegen der fre ien Oberfläche Po = Pa' Am Austri tt gilt wegeIl der Frei sr.rahlbedingnng PZ = 1'" . Für die Gesrhwi ndigkeir ca wird die gomittelt o Gl'schwindigkpit Cz.,,, oingesetzt . Da mit ergibt sich a us Gleichung (1): ü.

J! =

p. s

2"P ' (~2. m + l:::. pv

(2)

Für die Hagcn-Polscuille-St rö mung im Rohr gilt : C",

~ lit dp/d.~

= - l:::.pv / L und CZ. lIl

Cm

1 = -2 ' =

CHI""

C2_tll

dp · . p . v de

1'2 = - -8- -

(3)

folgt hieraus:

1'2 l:::.pv = -8 - - · L

l:::.pv =

·p ·v

8 ·p ·v · L ,. 2

. CZ. 1"

(4)

Gleichung (4) in (2) eingesetzt , ergi bt nach einer einfachen Umfor mung eiue quad ra t ische Gleichu ng für C2 . 1l1: 2 ('Z .1I1

.

lG ·v·f. + =--;' ,,--" . C2.11] -

(5)

2 .9 . H = 0

Es kom mt nur die Lösung der quadra t ischen Gleichu ng (5) in Frage, bei der das Vo rzeichen vor der \\'ur ze! posit iv ist , da nur Lösungen ('2 .", > 0 phy sikalisch releva nt sind. Da mit laut et das Ergebnis: C2.m

v ·L

= - 8 , - ,r

+

J

v 2.L2

G-l · - -, -

r

+ 2 . 9 • 11

h) Zur Lösung wird ein St romfaden vom P unkt (Index ' }') bis ZU lU Aust ritt der Rohrleitu ng (Index '2') gelegt. Ent lan g des Stromfadens wird wieder die Bernoulli-Gloichung für inkompressible St.römungon m it Verhrst term a ngewendet. Sie lau tet: (6)

Aus de r Kont inui t ät sgleichu ng f l'l = \12 im Rohrst ück VOll 1 na ch 2 folgt wegen des konst aute n Durchmesser s CI = C2 = C2.1Il' Für die Höhe gilt bei gleiche m Nullniveau wie in Aufgabenteil a] ZI = Z2 = O. Für den Dru ck P I gilt P I = 2 · p". Am Austr itt gilt wegen der Freist ra hlbodinguu g p-, = ])" . Da mit ergibt sich a us Gloichuu g (0): 2 · Pa = Pa + l:::.PV.I _2

=?

Pa = l:::.PV,I _2

:\lit der Gleichung (3) für die Hagen-Poisouillo-St rönu mg und - l:::.PV.I_ Z/ L 1 folgt hiuruus: Pa =

8 ·p ·v· L I ,.2

C U1

(7) = ca.», und dp/ ds =

(8)

46

2 Gru ndlagen d er St römungsmechanik

Die Umstellu ng d ieser Gleichung liefer t das Er gebnis für d ie gemlu clte Geschwindigkeit:

(;2.",

= 8 . {J '

1/ .

(9)

LI

Die Revnolds-Za hl be rechnet sich aus: (: 2.",'

R eo =

2·

D

(:2 .", '

v

r

v

(10)

Mit Gleichung (9) erhält man daraus d ie Itcy uold s-Za hl zu:

c) Für d ie Strömung wird wie in Aufgabenn-il a) ein Stromfaden VOIll Flflsslgkolt ssplegel (Index '0') bis Z U IIl Austritt der Rohr leit ung {Inde x '2') gelegt. Ent lan g des St romfadens wird die Bemoulli-G k-ichung für inkompr essible St r öinungcn mit Verlus t term an gewendet . Es gilt wiederum Co = 0, Zo = 11 , ea = 0, 1'2 = Pa und C2 = C2 .", . Fiir (\ <'11 Druck Po gilt bei geschlossenem Vcnt i1, wegen der Irele u Oberfl äche 1Jo = Pi. Da mit ergibt sich a ns G leichu ng (1) nach einer geringfügigen Cmfonnuug: Pi = pa - p ' 9 · JJ +

p

,

2" . c2.IlI + !:J,.pv

(11)

Fü r ß pv kan n wiede r der Ausdruck a us Gleichung (4) eingesetzt werden, so dass man aus Gloirhu ug (11) erhält : P 2 Pi = P... - P . Y . JJ + 2" . c2.'"

Set zt man

C2.",

+

8· p · v · I.. r2 . C2 .",

(12)

a us Gleichu ng (9) ein , erg ibt sieh für den Druck Pi: Pi =

A u fga b e 2. 3 .13

]Ja '

( + L) 1

-L,

,

-

(J .

9 . 11 +

~·0 a

1 2 8 ·p · '/2 . L ~

(13)

W a ss erpump e

Aus einem See B , w ird mittel s einer verlustfrei a r b e it e n den P umpe W a ss er in ein e n B ehält er ll z ge fördert (s ie h e Abb. 2.3 .13) . Das W asser trit t al s Fre istrah l in d en Behälter ß 2 obe rhalb d es W as serspiegehl a u f d e r H öhe 11 2 e in . D er U mge b u ngsdruc k is t kons t ant Po. D a s W as ser w ir d über e in R ohrleitungssy stem mit d ein konstante n Durclunesser D iiber ei ne Pu mpe P, d e r Le is t u n g I.. Z Ul U B ehält e r ß z ge fiih r t . D er Ei n la u f d er Rohrlei tung ist in d er Höhe 11 , unte rhalb d e r W as seroberßäche a nge b racht. Am B ehält er 132 is t eine Leitung mit dem Durchmess er D z ur Versorgung ein e r B e wäss erungs anlage a nges ch losse n . Aus d em B ehälte r wird d er Volumens trom V fiir die B e wäs se rungsanlage e n t n um men . Aus d em See w ir d j e weils sov ie l W as se r in d en Behä lt er Hz ge för der t , d a ss die Höhe d es W a s se r spiegel s h 3 kons t ant bleibt .

2 .:~

47

Hydro- und i\ ew d y" a m ik, Stromfadentheorie

, P,

I

I

h,

sr 8,

-.-I

h,

o

-

P,

, I

,

h, L

8, p

I

_'_ I.

Abb. 2.3 .13 P umpa nla ge zur Bewässer ung a) Berechnen S ie die notwendige H öhe h:1 des Wassersp iegels im Behälter Bz, wenn d er Vo lumenstrom V = 100 1/13/11 in der Bewässerungsan lage benötigt wird u nd d er Druck a n der Stelle 4 (s ie he Abbildung) p~ = 2 bur b e t r agen soll . b] B e r echn e n Si e die notwe ndige Lei s tu ng L d er P u mpe. H inweis : I m gesamten Roh rle itungssystem lin d in d er B ewässeru ngs leitu ng s oll d ie reibungsfreie K crnetr ömuug angenommen werden. Di e Ström li ng in de n Behält ern ist e ben fa lls rei b u ngsfre i. Lö s u ng: g e g e b e n : p = 1000 ky /m 3 , Po = 1 oaT, 1'., = 2 bar, h , = 2U m , 112 = 4 1 111 , 9 = 10 m j.~2 ,

D =0.5 m ,V =lOO m 3 / h ges ucht : a] 113, h) Leist ung L der P umpe

a) Zur Lösun g die ser Aufga be wird ein Stromfaden vom Fl üssigkeit sspiegel (Inde x ':f) des Behä ltcrs B2 ZUIII Austritt de r Rohrleit ung an der St elle 4 [Inde x '4') gelegt. Entlang des Stromfadens wird die Bcr noulli-Gleich ung für in kom pressible Str ömungen aug ewendet . Sie la utet: P:I +

2P '(;:12 + P ' !J'

Z3 = 1',' +

2P

2

'C 4

+ P ' y' Z4

( 1)

Wegen des gro ße n Behält crs kann C3 = 0 gesetzt werden . Wird das Nullniveau a uf die Hö he des Aust ritts der Strömung a us de r Rohr leit ung an der Ste lle 4 gelegt , gilt Z3 = 11 3 und Z4 = O. Ffir 11('11 Dru ck p;~ gilt wegl'lI der Ireinn OherfHiche Pa = ]10 . Da mit ergibt sich aus Gleichung (1): pu

+ p ' 9 . h :l =

Vt

I'

,

+ 2 . c4 =

h :l =

P4 - Pu 1 + -_ · c~ p .9 2 ,9

(2)

Für tlen Volumenstrom gilt an der St elle 4:

.

, ,

V = - ,D 4

Da ra us er gibt sich die Ge schwind igkeit

C4

'C4

(3)

zu : (4)

48

2 Gru ndlagen der Strömungsmechanik

Setzt man Gleichung (4) in Gleic hung (2) ein erhält man für die gesuchte Höhe 11 3 :

11.'1 = ]J4 - Po ,

p"y

"

+ ..!. . _V_

y _D4

1r2

Als Zahlenwert erhält. mau für 11 3 den \\'ert : 11 3 = 10 m. b) Zur Bestimmung der Pumpleist ung wird ein Stromfaden vom Fhlsslgkolt sspk-gel (Index ' 1') des Behälter s BI zum Au stritt der Rohrk-ituug (Index '2') über dem Behält er Ih gelegt. Entlang des St romfudcus wird die Bcmoulli-G lcichuug für in kompressib le Strö.. mungcn mi t mechanischer Energiezufuhr angewendet. Sie lautet: (5) Wogou des groko» Behält ers kanu c\ = 0 gesetz t werden. Wird das Xullnivr-an auf dle Höhe der P umpe P gr-lr-gt., gilt z \ = 11 1 IIU el Z2 = " 2 _ Für den Dr uck PI gilt \VI'gell der freien O berfliiche ]ll = Po. Am Au stritt ergibt sich aus der Freistrahlbedingung P2 = PliDamit ergibt sich aus G leichu ng (5 ): Pli + tr - y ' h l = Po +

()

2

"2 . c2 + p' y ' h 2 -

fl i p = p - 9 . (h2 - h d

fl i p

=

+ ~ -('-~

(6)

Da die Spiegelhö he des Behäl ters ß 2 konsta nt bleiben soll. muss der Volumenstrom V auch durch die Pump e P geför de r t werden . Da a uch der Rohrd urchmesser des Rohrleit uugssystcms zwischen den Behältern 3 1 und 3 2 gleich D ist , gilt (:2 = C4. Mit die ser Bedingung und Glei chung (4) erhä lt man aus Gleichung (6 ): (7)

Die Leistung der Pumpe berechnet sich a us: (8) Gle ichung (7) in Gleichung (8 ) eingeset zt ergibt die Best immungsgleichung für die Leist ung:

. (P' !J ' (112 -

L= V·

hd

L = V. · P ( •9 - (h2 - h d

+

81'.1;2 ) ' "[j4

71"2

1;')

8 .+ -71"2 D4

Als Zahlenwert er hält man für die Leistu ng der P UIIlJle d('11 Wert : D - 5834 IV.

2 .:~

49

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheorie

A u fga be 2.3 .14

P roftlums t r ömu ng E in sch lankes sy m metrisches Profil (s ie he A b b. 2.3 .14) wi rd mi t der Geschwi ndig ke it c""" a ngeström t . Die Geschwin d ig keit ist so ger ing, d ass die gesam te Ström u ng HIn das P rofil a ls inkompressibel a ngesehen we rden ka n n . Di e S tröm u ng lö st a m Profil n icht ab. D as P rofil h at die Länge L , die Tiefe T und die Di ck e 2· h n,,,,, .

A b b. 2.3 .14 P rofilums t röm ung

D ie Geometrie d es P r ofils is t gegeben d u rch die Fun ktio n:

L ] [LX- (X)'

h(x ) ==d ·L ·

d

== 4 . !l m ax

( 1)

L

D ie Geschw incligke itsverte ilu ng a m G renzschichtra nd en tlang d es P rofils kann d urch die Fu nkt ion

e(x )

~

CX

a = ( 3 + 10 .

H'-

b

hl~"" )

(Il']

(2 )

b = (2 + 10 .

h,~"" )

n äherungswei se b eschrieben werden. Die G le ich u ng c = O.3:l2 ·

~

VI

(3)

b eschreibt n äherungs wei se die W andschubspa nnung en tla ng d er Profilo berßäehe. \ Vie groß ist d er Wider st and IV d es Profils? Hinwei s: Di e Strömu ng ka n n a ls e b e n e Ström u ng b et r acht.et werden. Di e gesa m te St r ö m u ng a nger h a lb d er Grenzschicht ist rei b ungsfrei. Die A ns t r ömung d es P rofils is t iso energet isch . Lösu ng: gegeben : c-a, p, h m..." , L, T , h (x ), c(x ), Tw (X) ge s ucht:

IV

Der widerstand des Profils berech net sich aus der Gleichung:

IV = -p - c a , A · c 2

"""

w

(4)

mit dem Wide rst a ndsbelwert C w lind de r P rojckt. iousfliiche A des P rofils, Dt,1' Wide rst a nd set zt sich au s dem Druckwidcrsra ud und dem Reibungswiderst a nd zusammen. Dam it ist in de m wldcrstnndsbclwcrt auch ein Druckanteil und ein Reibun gsa nt eil en tha lten, Der

50

2 Gru ndlagen der St römungs mechanik

Wi derst a nds beiwert berechnet sieh au s: L

' w= _1 . L (

J s.

+

J L

J •

(1/10 1,,, ,, c1" " \", ,, . -- .

d. e

Cf,ol"," . d.r

+

U

J t.

dr -

•

:"~h~"~ , ,,~,,", . dz dx

'p,"Ht .." . -

)

(5)

Cr.""t,·" . dz

(J

Dabei ist 'I' der Druckbelwer t lind cf der Hclb uu gsbclwcrt auf der P rofil ober- bzw. P r061unterseire. hohe" und h ullle" ist die Kont ur des Profils auf der Profi lober- bzw. P rofilunt erselte . Infolge der Symmet rie des Profils gilt C".oh,," = C".uul"" = cI" Cf.ol><,,, = CCuIlI" " = Cf und d hohe,,/ (Lr = - d h"ule,,/ d:r = dh /dL. Da mit ver einfacht sich Gleichung (5) zu: t.

2 -

r

:

(

dh

L )

[ C"·
(6) Zur Berechnung des cc-Wert cs benöt igt man de n Druck bei wert cI' und den Reibungsbeiwort Cf . Da die Allströmung isoonerget isch ist, ist die Ik-moulli-Kon st ante a uf a llen St rom linie n im rclb ungsfrctcn Aufcnfeld gleich. Um den Dru ckbeiwer t zu lx-stimmen , kann desh a lb die Bcr noulli-Glci chung zwische n der Ans t römu ug im Unendlichen und in ein em Punkt am Rande der Grenz schicht mit der Geschwi ndigkeit c(x) a ufges tellt werde n. Ma n er hält für den Druck verla uf a m G ren zschich t rand.

2P ·e2x

+ 1'"" =

Mit der Definitio n

cI'

2P ·c(x) 2 + 1'(X)

(7)

=>

= 2 · (1' - 1'x )/ (P ' c~) erg ibt sieh daraus


Druc kbeiwert cI' zu: (8)

Mit Gle ichung (2) folgt au s Gleichung (8) : CI'

=

l _ a2 . (f)2 + 2 ' 1\'h · C~YI

Aus der Definit ion für den lokalen Reibungsbeiwert Gleidlllllg (3):

Cf

_b2 .

«r

(0)

= 2 · 7 w (X)/ (P' c~ ) er hiilt ma n m it

(10) Die Ableitu ng der Kont ur h(x ) ist :

X)

"h= d· ( 1 - 2 · dr L

(11)

2 .:~ tl yd ro-

und i\ ew d y" a m ik, Stroll l fad\'n th\~) ri e

51

Für das er st e Integ ral aus Gleichung (6) er gibt sich jetzt mit den Gleichungen (11) und (9),

J'

c l"

dh · d ( L ,.) = d · dx

"

J'[

,.) , + 2· a ,(a+ h), 1 -2 · x - a 2 • ( L

Z

u

- h · (4 · a + b) · = d.

[z - (f)

I

L (LX)' + 2· b' · (XL )'] - d (X)

~. a 2 . (fY + ~ . a . (a + h)· J

2 -

_ ~ . b , (4. 1\ + h) ' (:")5+ ~ . I} L

v

= d.

«r

3

25

(~ . a 2 - 1~) . a ' b + 1

(zf

. ( :")'] , L u (12)

. \} )

Für das zweite Int eg ra l aus (I lcichnng (6) ergibt sich mit der Gleichung (10) :

J"'

Cf'
(X) 2 ·0 J ' [ (XI )! I = .,;c:;,' /l '

,

b·

~ 2.:.::. ! - ~o .,;c:;, . [~3 .a . (:") L ~ i.:..':. . ( ~ . a - ~ . 3

~

5

(X) I !]· d (X) I b

b)

(:") !]'() L (13)

Setzt. man d ie Gl eichungen (12 ) und (13) in Gleichung (6) ciu , erhält man für den cw = 2 · d ·

(' , 3

2 ') + -.,;c:;,:J 8·0 - . (1

- · a - - · 1\ · b + - · 1> (j 10 15

I)

- · a ~-· h

5

cw ~ ,,'('rt :

(14)

Aus Gleich ung (4) folgt da nn mit (14) uud m it der Fl äche A = L· T :

(15) ~lit den Konstanten a, b , d und c erhält man dami t für den Widersta nd \ F des P rofils das Ergebnis:

IV = 4, p' L , T,

" fc' (3-+-.4h_ =))

+ O J,12· .

(C;"su llillax . [7 + 10 . h lllax ] .z. L

-

L

'e ! '

""

m

5

3

L

52

2. 3 .3

2 G rund lagPIl der S t röllJ llllg~I!Il'('halli k

Kom pressib le Strömu nge n

A ufgabe 2. 3. 15

Tragfliige lu mströmung

Auf ein em Tragflüge l b e trä gt d ie m ax imale Strö mungsgeschwind ig ke it CI a rn Grenzsch ic htrand das 1,7 -fa ch e d er Ans t römgeschwi ndigkei t C oo (s ie he A b b. A bb. 2 .3 .15 Tragfi ügelumst r ömung 2. 3. 15). Wie groß ist a n d e r Stelle d er größten Übergeschw indigkeit CI d ie ört liche Mach-Zah l J\!] , wenn di e AuströmMach-Zah l .\1""" = 0, [) ist ? Es soll d ie r elh ungsfr ele A ußenströ m ung b ehandelt werden . Lös u ng: gegeben: ,\ [""", Cl = I , 7· coo , " = 1,4 gesuc ht: 111] Zur Lösung der Aufgabe wird die! Bcrnoulli-C leichuug für komp ressible und stat ionäre Strömungen entlang eines Stromfadens VOll der Zuströmung bis zur Stelle 1 a ngewendet. Sie la ut et: a~

c~

a~

c~

(1)

-- +- ~-- +­

K- l

2

K- l

2

Gloichnug ( I ) auf beideu Soitcn durch c~ dividiert , ergi bt :

' + ~2 ( "'-) Cl od er na ch

CJfOI

(2)

= Al] umgeformt :

(3)

Set zt man die Gleichungen Cl

= 1,7 · coo

in die Gleichung (3) ein, so erhält man die folgende Berechnungsformel zur Bestimmung der gesuchte n Mach -Zahl Al]: 1

" I . [(T,f1)' - 1] + (1 I --Tn )' . .u~

2 .:~

53

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheor ie

A u fga be 2.3 .1 6

D ruckluftkes sel

E in großer Dru ckluftkess el (Kcsseldru ck Pb K ess el t empe ratur n ) b es itzt e in e Ablas söffnung mit d er Aus t rittsquerschnittflä che A , (s ie he A b b. 2.3 .16a ) . Es soll der sekünd lic h in die Atm osp häre (der Atmosp hären druc k is t Po) a usflie ßend e Massenstrom 1it b e r ech ne t werden. D a z u soll a ngenom men werden , das s a) die S tröm u ng rei b u ngsfrei und inkomp r essibel is t ,

b) die Strömung is entrop und kompressibel ist. Vor d ie Ablas söffnung mit d er Qllerschllittsfl äche A , w ir d ein E rweiter u ngss t ilck mit d e r Austr ittsq uerschn ittßäche A z gesetzt (s ie he A b b . 2 .3.16b) . Wie groß is t m it d e m Erweiterungsstück d er sek ü nd lic h a usfließen d e Massenstrom we n n w ie der angenom men werden soll , dass c) d ie Ström u ng reib u ngs frei u nd in kom p ress ib el is t , d) die Ström u ng is ent r op u nd kompres si b el ist. Fo lgen de Zahlenwe rte s in d fii r die R echnung gege ben : Pk = :1.7 bar , Po = 1 bar, Tk = 300 I<, A , = 17 CIII Z• A z = 2. 10- 3 m Z , s p e zifis ch e Gaskon s tante R = 287 III Z / (:;z . [{ ), Is ent r o p enexpo nent

f>

= 1, 4 .

Lösu ng: gegeben : ]Jk, Po, Tk, A l , A z , R, gesucht :

f>

Für a) • 11 ) 11/

a] Für die nachfo lgenden Rechnungen wird die Dichte im Kessel benötigt . Sie lii:-;st sich mit tels der idea len Gas gleichung berechnen: fJk =

Pk

Ji , T k

Als Za hlenwer t ergibt sich für d ie Luftdicht e im Kessel: st rom /;/ berechnet sich mit der Kontinuit ät sgleichung:

{Jk

= 4. 297 kg / m 3 . Der Massen-

( 1)

In Gleichung (1) ist die Austrittsgeschwi ndigkeit CA 1I0ch unbekannt . Sie wird nachfolgend mit der Bcr noulli-Glclchung fiir inkom pressible Strömungen er mittelt . Dazu wird die Gleidnmg entlang eines Stromfadens vom Innerr-n des Kessels his zum Austrittsquerschnitt

P k .Tl<

I

- - - A,-I

Ahb . 2 .3 .16a Gasströmung durch die Kesselöffnung

Abb . 2.3 .1 6 b Ga sst römung durch die La val-Düse

5-1

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

a ngewe ndet : (2)

Die Strömungsgeschwindigkeit

Ck

im K(~sspJ ist sehr klein , so dass c~ ::::: 0 ist. Der Dru ck

PA ent spricht dem Atmosph ärendruck Pu. Für die Austrittsgeschwindigkeit C,\ ('rhält man unter Berücksichtigung der geuun nren Vereinfachung und der Bedingung PA = PO:

(3)

CA geUliiR Gleichung (3) in Gle ichun g (1) ein gesetzt , ergib t für Ih: (4)

Als Zahlenwert erhält man: Ti! = 2. ü

k9 /~.

b) Zur Lös ung dieser Aufgabe muss zuuikhst gepr üft werden, oh iu der Austr ttt squurschuittftiiche die Schallgeschwindigkeit erreicht wird . Das zwischen Kesse! und Auslassöffnung anliegen de Dmckvorhält nis PO / Pk betr ägt JlO/P k = 0,27 und ist klninor als das kritische Dru ckvurhiilt uis p * I Jlk = 0 , 528 {vgl. dazu Ka pitel 2.3 .3 H. Gefiel jr., M. nsu« 2(04 ), d. h. im engsten Querschni tt mit dor F hiche Al wird die Schallgeschwindigkeit erreicht. Der Xlasscnstrorn 1"11, der du rch die Auslassquerschnittöffnung mit der F läche At strömt , bestimmt sich mit der Konti nuitätsgleichung zu: (5) Größen , die mit dem Zeichen "*,, geken nzeich net sind , bedeuten die so gena nn ten krit ischen Werte im engs ten Querschnitt . Die Gleichung (5) wird wie folgt erweitert : .

In

• • p. c· = P . c . A l = _ . _ . A l · Pk · (lk Pk (lk

(6)

(lk steht für die Schallgeschwindigkeit im K essel und berechnet sich mit der nachfolgenden

Formel zu :

ak =

.jK

.

R . T k = 347.2 m l 8

Das in Gleich ung (0) stdwude Verhältnis p. I Pk be t rägt p. I Pk = 0.634. Der Wert des Verhältnisses c· l ak IIlUSS noch ermittelt werden. Er Hisst sich mittels der nachfolgenden einfachen Rechnung bestimmen:

Das Verhältnis T · In !Jt't rägt T· In = 0. 83:J, so dass sich für da s Verhältnis c" l ak der \\'('rt c· l ak = 0, ~Jl:~ ergibt. Setzt man die r-rmirtr-lten Grö(;('n in die Gleichung (5) ein , so er hält man für den Massenstrom den Zah lenwer t: If l = 1, 5 kyl s.

2.:~

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheorie

c) Die Aust r ittsgeschwind igkeit CA bleibt unveränd ert (siehe dazu Aufgabentell a }. In Gleichung (1) für die Fläd le A I die Querschn ittsfläche A 2 eingesetzt , ergibt die Bcrechnu ng sfornn-l für den Massenstrom 1h: m = {Jk ·CA

· .th

(7)

Die Gesc hwindig keit CA berechnet sich mit Gleich ung (3) zu CA = :154, 5 111 /.'1 , so dass sieh mit Gleichung (7) der Massenstrom zu 1h = 3, 0;:; ky / ,'i berechnet. Dur ch die vergröF,el'lmg der Aust rittsquerschn ittfläche kann also bei einer inkompressiblen Strömung der Massenst rom erh öht wer den . d) Dei oiuer komp ressiblen Strömung wird der Massens t rom durch den engs ten Q uorsrhnit t des Ausflussrohres (bzw. Ausfiussdüs e) bogrenzt, wenn sich im ongsren Quer schni t t die kritischen Gr öF,eIl einst ellen. Die Größe des Massenstroms bh-iht al so du rch (las Erwciterungsst ück unverändert . Der Massenst rom betrügt a lso: 1;/ = 1, 5 1.:9/.'1. Aufgabe 2.3 .17

Ü bersch a ih llessstrecke

F ü r den B e trieb einer Ü b e rschall messs t r ecke wird ein e Luft strömung unter d em Druck PI mit d e r T e m per at ur Tl und d e r Mach -Zah l .\1 1 durch e in Rohr mi t d e r Que r schnittsfl äche Al ge le it et und e iner Laval-Düse zugeführt (si e he Abb . Abb. 2.3 .17 C-lwrs c h a llverSllChsalllag(~ 2. 3.17). S ie e nt s pan nt die Str ö m u ng a u f d en D ruck 1'2 d e r M es estrecke , so d a ss dort e in Ü b e rsch a ll- Parallels t r a h l vo r liegt. In diesen P arallels t rahl w ir d z u Versuchs zwecken ein s t u m p fe r Verdrä n gu n gskö r per ge halten, wod urch s ich ei n Ve r d ichtungss t oß ein s tellt , d e r im in t e res si erend en B ereich vo r dem Staupunkt d e s Verd rängungskö rpers al s sen kr echter Ve rdichtuugssto ß b et ra chtet werden kann. Die Dü sensrrömung ist s tatio när , ein d im e n s ion a l und a b gese h e n vom Verdichtungsstoß is entrop. Folgende Zahlenwerte s ind gege b e n: PI = 6.5 bar, Tl = 440 !\, J\ h = 0,5, A I = 1. 6 . 10- 2 111 2 , P2 = 1, 0 bllT, spezifisc he G a skonstante R = 287 m 2/ (.o;2 . !\), Is entropene xp onent f< = 1, 4. F ü r die Ve r suchsalllage s ollen die nachfolgend a u fgeliste t en G rößen e r m itte lt we r den : a) W elche M ach- Za h l

;\[2

w ird in der M essetrecke erreicht?

b] \Vie gr oß miis sen die F lächen A- und A 2 ge wä h lt wer d e n ? c ) Wie groß ist d er M ass enstr-om durch die Versuchsanla ge? d) W el che W er-te h aben die M a ch- Za h l AJ3 , d e r Druck P:l und die Te m perat ur T 3 unmittelbar s t r om a b d es Ve rdichtungsstoßes und w ie gr oß ist die Tem p e ratu r T. im Stau p u n k t d es Verd rängungskör p ers ?

56

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

Lö s u ng : gegebe n : P], T I , All , A ], P2, R, gesuc ht :

Ii

a ) M2, h) A- , A2, c) Ih

u) Der Zusammenhang zwischen dem Druckverhält nis P2!IJo (po ist der Gesamtdruck der St römling) und der fu-tlicln-n Mach- Zahl .\1 2 ist mit der nachfolgr-nden For mel für iseutrope Strömungen gegeben: 1

(1)

(1 +?Mi) ..-=r Gleichung (1) nach ,\1 2 umgeformt , er gibt :

2 li - I

(2)

Zur Auswertung der Formel (2) ist der Gesam t druck Po der Strömung noch unbekannt. Da die Strömung isen t ro p verläuft , ist 1'1' vor und hin ter der La val-Düse gleich . Vor der Laval-D üso sind der sta t ische Dru ck PI lind die örtliche Mach-Zahl M I lx-kannt. Wird die Gleichung (I ) für die Strömung vor der Laval-Düse angewendet , so dient sie als ß est immungsglcichung für den Gesamtdruck PO: PI

r«

~

I

(1 + ? .Alt) . -=r

lJo =PI.

(I+ Ii; 1.,Hf) ..-=r

=

7,71 bar

Setzt mau die Zah lenwer te für P2 lind Po in die Gleichung (2 ) ein , so erhält man für die Mach-Zahl Al2 den Zahlenwert: A/ 2 = 2 , O. b) Für die Anwendung der Stromfadentheorie auf die La val-Dü senst r ömun g gilt zwischen dem Flächcnqucrschnlt t vcrb äl mls A /A* lind der örtlichen Mach-Za hl die folgende Gleichung (Ka pitel 2.3.3, H. Oe rtet j r., M . ßöhle 20( 4 ):

1 [K.---I. (AI' -

-A ~ - . 1 + A* J/

,,~+ I

--"±'-

1) ] ~

(3)

( A- ist die kleinste Querschnittsfläche der Laval-D üsc, A ist eine bdkbige Querschnittsfliiche im Unter- oder Ül)(,I'schallheH ~ich d(~r Diise lind .\1 ist die Mach-Zahl , d ie im Q1H ~r­ sch nitt mit der Fläche A vorherrscht).

Für die Unterschallströmung vor der Lava l-Düso sind die örtliche Mach- Zahl ,\11 lind die Q uerschnit t sfläche A I bekannt. Mit der Gleichung (3) ka nn also unmittelbar die Querschuttt sfläche A * berechnet werden . A* berechnet sich zu:

2 .:~

57

Hydro- und i\ ew d y" a m ik, Stromfadentheorie

Da nun die Fläche des eng sten Querschnitts der Düse lind die Mach-Zahl der Strömung in der Mcssstrecke bekannt sind, kann wieder unmittelbar mit der Gleichung (3) die Flädle A2 berechnet werdun . Sie bureclmet sieh zu:

r

, -_I . (Al] - I ) 1+ [

K+ I

-"-"-

= 2 .10 - 2

_

1// 2

c) Zur Berechnung des Massenstroms ,TI durch die La val-D üsc wird die Kont inui tätsgleichun g für den en gsten Querschnit t der Düse angewendet: 111 = p. 'c* · A*

(4)

Sie wird wie folgt erweitert: p* c* = - . - · 11*· P O Po (Jo

.

111-

(ö)

' (10

{po ist die entsprechende Dichte fiir die Gecunt zustundsgr ökon po, To lind (Ju die entsprechenda Schallgeschw indigkeit fiir die Gesallltgrii[i,ell ]Jo , To)· In Gk-ichnng (5) hetriigt das Verhältnis p* I po = 0, G:J.1 . Das Verhältnis c*lao bestimmt sich wie folgt:

/, -R-T"

c' {/o

=

VK, R, To -

rt"

vr;;

(6)

Da bei ist T *ITo = 0, 8:J:t Das Ver hältnis c*1(/0 besitzt dann nac h Formel (G) den Wert e*l a o = O. Ul :1. \\'t~i t('r hi ll müssen noch die Größell po und ao ermittelt werden. Dazu ist es zunächst erforderlich , die Ge samtt emperatur To zu ermitt eln. Sie berechnet sich mit der folgenden Gleichung zu ;

T,

I;,

=

=

Dip Schall geschwindigkeit 110 berechn et sich mit (/ 0 Vii' 1l , To ZIl (JO .130 .85 m l ;; und die Dichte Po mit der idealen Gasgleichung Po = ]Jo /( R · To) zu Po = 5 , 82 kYlm: l , so dass sieh mit der Gleichung (5) lind den bereit s bekannten und ermit telten Zahle nwerten für den Massenstrom 1h der wert ri, = 17, :3 kgl;; ergib t. d] Die Ermittlung der Strömuugsgröken stromab des Verdichtuugssto[i,es erfolgt mit den St osgleichungen, die die gesuchtim Strömnngsgr ökcn mit der Mach- Za hl und dcnentspreehendun St römungsgriif.ell st roma uf des \ 'e nIicht ullgsstoßl's verkuiipfen. Die Mach-Za hl .\/:1 r-rhält mau mit ,'12 = 2, 0 a us; M :l = 0.58

( 7)

Deli Druck P:I r-rhiilt mall mit Hilfe der folgenden Stokgh-ichung : P'J 2 , /'i - = 1+ - ]J2 K+ 1

, (1Hz'2 - 1)

=}

P:l = 4. 5

0111'

(8)

58

2 Gru ndlagen d er St römungsmechanik

Da die Mach- Za hl ,\/:i beka nnt. ist , gilt fiir den Zusa mmenha ng von T3 und der St a up unk t tempera tur T; die folgende Formel: (9)

Zur Berechnung VOll T l IllU SS also zunächst die St uupunktt emperut ur T, beka nnt sr-in. Da der Energiesat z üb er einen senkrechten Verdirht nug sstof hinweg angewand t werde n da rf, ist d k~ Staupunkt tcmpurutur T~ gk-ich der Ruhe- oder Gesamt temperatur 7() a us Teilaufgabe c). Mit T~ = To = 462 [\' folgt für 7":1 : (10)

Aufga b e 2 .3 .1 8

La va l- Diise

Verdicht ungsstoß

A b b . 2 .3 .18 Laval-D üsenströmuug

Aus e ine m große n Beh ä lter , in dem d e r Druck Po und die Tem per a t u r 7{) h e rrschen, s t rö m t Luft durch eine La val-Diise in ein e A tmo s phä r e m it d em Druck P" (s ie he A b b . 2 .3 .18) . Im e ngsten Que rs chnitt m it d e r F läch e A* h errs cht Sc hallges ch w indigkeit u nd we iter s tro m a bwiirts b efin det s ich a n d er S t e lle mit d er Q u e rsch n itts ßäch e A v ein sen krech ter, s t a t ion ä rer Verdichtungss t oß.

=

E s s ind fol gende Größen gege b en: Po = 5 bar, To 27:3, 15 K , A* A v = :J. l · 1O-4 m Z , A z = 4 . 10- 4 m Z , /'i = 1, 4, R = 287 m Z j (.'I2 . l\")

= 2 . 10- 4

m2,

Es so lle n fol ge nde Größe n e r m ittelt werd e n : a) die Dichte {lo im Kessel. b ) die Zu s t a ndsgrößen Pn T v , (Iv d e r Luft sow ie die Ström u ugsgeschwin digkeit unmittelba r vor d e m Ve rd ichtu n gsstoß .

Cv

c) d e r G esam tdrnck Verdichtungss t oß .

P O. v

und d ie G esamtte mpe rat u r To.v unmittelb a r vo r d em

d ) die Zusta nd sgr ößen ]J~ , T:., ()~ d e r Luft sow ie die St r ö m u ng sgesc hw ind igkeit c~ u nmittel b a r hinte r d em Ve rdichtun gss t oß . e) d e r G esa mtd r uck P~. v u nd die G esamtte m p eratur n.v un mi t t elbar hin t e r d em Verdichtungsstoß .

f ) d e r Druck pu d e r Atmos p häre. Hinw eis : D ie St römung ve r lä u ft überall isentrop , a uße r an d er Ste lle , wo s ich d e r Ve rdicht nngs st oß b efi nde t .

2 .:~

59

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheor ie

Lösu ng: gegeben : Po, To. A*, Av , A 2 •

Ii,

R

gesucht : a ) po, h) !'v, Tv, Pn r'v, c] PO.v, 7( l,v, d ) p~ , T~ , p~. , ~ , e] p!),v, ~; ,v , f ) Pli

a ] Die Dichte im Kessel bernchnut sich mit der Gas/!;leidllllll'; für ideale Gase :

l'o =po · R ·To

Pu R ·7(1

,

po = - - = 6•.l8 kg / m

==}

3

h) Um die GriiRt'Il Pv , T", p" und Cv hus tirunu'n zu können , wird zunächst die Iu-tliche Ma ch- Zahl ,\lv für de n Querschn itt m it der Fliid w A" ermittelt. Sie herechuut sich mit der in die sem Buch bereits eingeführten G leichung:

1'1 " ,j'

~

1 ]n= n 1 + - - . (M ; - 1) [ Ii + 1 K -

(1)

Die Gleichung (1) ist flieht nach Mv a uflösbar , so dass die Mach-Zahl .l/v iterativ best immt worden muss. \Veiterh in liefert die Glo ichuug (1) zwei Lös ungen: eine Unter - und eine Überschall -l\lm:h-Zahl. Da unmittelbar vor dem Verdichtungsstof eiuo Übe rschallst röiuung vorliegt , muss die therschall- l\Ia ch-Zah l mit de r It eration bestimmt werden. Als Zah lenwert erhält man: l\ /v = 1, 9. Die Grüßen p v, T,. uud pv können UUIl mit den nachfolgenden Gleichungen bes timmt w{~J'(I('Il:

T,

1 ~

T"

l +-r1 . MJ K

p,

1

Pu

21

(1+1'<

1

p,. ~

Pu

.,\/2) , ~

(1+1'<

21

.,l/2) , . --!-r

= = =

Tv = pv

=

Pv =

. 7()

l +Y ',\/J

= 158. 9 K

p"

(1 + "' 2 1'MJ) ~ p"

= 0,75 va l'

(1 + '" 2 1..uJ) ~ - l = -L

p" = 1. sn ),) k g / 1/1"

Die Geschwindigkeit cv bestimmt sieh zweckmä ßig mit de r Formel cv = Mv . (I v. Die ört liche Schallgeschwi nd igkeit (I v berechnet sich mit (Iv = \/ii . R · T; zu fl v = 253 m / s, so dass mall für die Gesch windigkeit Cv den W('rt Cv = 479 m /,<; er hält. c) Da die Strömung vom KesspJ bis unmittelbar vor dem Verdichtungsstof Iscutrop verläuft , ist der Gesallltdruck PU,v = Po = 5 bar und die Gesam t temperatur Tu." = Tu = 27a.15 K , d] Da alle Gr iißl'1l vor dem Vordichtungsstoß bekannt sind, bcre-hnr-u sich die Grö F.PII unmit telbar hinter dem Vcrdtcbtuugsstoa mit de n Gleichungen des senkrechten Verdic h-

GO

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

tuugsstoses.

),[i t

\1v2/

•

der Anwend ung der Gleichungen erhä lt ma ll die folgende n Za hlenwert e:

_

-

1+

1+

P~ = l +

t;

T;

,v

-

PO.\'

~

[

1+

- 1)

[1 +-'2'0 ' (M,a 1i + 1

'v r

P = P Pv Pv , Po,,,

+ 1 . (.\ (

1\

•

2

T~

ü

"

'I"

U

I )]

[

1_ _ 2 Ii

+1

I ) ] = 1.61 ' ( 1 __

M;

= 2 51 .

2 . "' -,' (M,'1 Ii

_ -

2 '1> -(.\1; - 1) = 4, 0:3 1\ + 1

Pv

- ~

Ii - 1 . ( ,\/2 _ 1) KTT v 2 ." . 2

+1

1)

]-"L, [ +2 ( 1)]-'" . 1 - -- , Ii 1

1 - -2 ,' ( .

= O. 77

Mi t tlen berechuct.en Zahlenwerren er hält mall für die einzelnen G rößell die folge nden Ergeb nisse: J I~ = 0,506, p~ = 3. 02 !Jar , T~ = 255 J{ , p~ = 4, 1;3 kg/ m 3 .

Die St römungsgeschwindigkeit tI.. berechnet sich wieder zw('(:kmiißig mit der Formel = (/ ~ . Die ö rt liche Scha llgeschwi nd igkeit unmittelbar hinte r I!PIll Vcrdirhtuugsstoß berechnet sich mit (/~, = R· = :J20 mj.'1, so dass man für die Geschwindigkeit den Wert Cv = 191 m/s er hält. (~

.\1:..

viii '

r:,

c) Die Gcsamucmperatur ändert sich ilber den Verdichtungsst oß nicht. Sie beträgt a lso 7(;.v = 7(1.v = 7(1 = 273.15 Je Im vorigen Aufgab ent eil ist bereits das Gesamtdruckverhältnis ]>;I. v/]>o,,, ermittelt worden . Mit diesem Zahlenwert berechnet sieh der Gesa mtd ruck unmittelbar hinter dem verdichtUIlp;sstOf, zu : P~. v = :3. 85 !IU I'.

f) In dem Austrittsquerschnitt mit der Fläche ,.h nimm t die Strömung den Druck J!u der At tuosphiire an . Zur Bestimmung des Atmosphärendrucks Pu IIlU SS also der Druck im Aust rtusquorschnitt ermittelt werden. Da die Strömung über den Vcrdlchtungsstof nicht iscntrop verl äuft ist es für die weit ere Rechnung zweckmä ßig, die Strömung im Querschnit t mit der Fläche A v hint er dem Verdichrungsst of al s eine St römling zu be trachten, die durch eine isent rope Entspannu ng in einer anderen Laval- Düse vom Kesselzust a nd ( jJ~. \" T~. \,) entstande n ist. Die "andere, nur geda chte" Laval-D üsc wird in diPse!' Aufgabe als Ersa t zd üse bezoir-hnot , Für sk~ kann mit der bereit s angcwcndcrcn Formel die Fläche A" des engsten Querschnitts berechnet

werden: (

1+

-_1 . (M a - 1)) K +1 \' K -

;1*' =

--".±L.

"·-0

2,56 cm 2

Mit der bekannt en Fläche A·' ist die linke Seite der Gleichung:

-112 A"

~

n: --1 . p I,z - 1 , ( 1+ -

Al z

n: +1

--".±L.

l) ) ~

2 ,:~

GI

Hydro- und i\ ew dy" a m ik, Stromfadentheor ie

beka nnt , so da ss mit ihr die Strömungs-Mach-Zahl '\/2 im Querschn itt m it der Flä che Al it erat iv besti mmt werden kann. Da s Flächenverhältnis beträgt AdAo l = 1, 5-!, und für die Mach-Zahl erhält ma n de n \\'ert .Hz = 0,42, Der Drn ck ]Jz der Strömung im Austrtttsqucrscbutu ermittelt sich mit der Gleichung zu: l'2 =Pu =

Aufgab e 2.3 .19

(1 +

T

p~ , v

1

.

· A/n ~

,

= .JAI bar

Wiedereintritts8ug zeug

Vo r einem Wiedereintritts8ug zeug b ildet s ich b ei m E in tritt in die A tmosphäre eine r.,», Ko p fwe lle a us. D iese kann u äb e rungs wei s e a ls sen k rechter Stoß b ehand el t werden (s ie he A b b ildung 2 .3.1 9 ) . Mit A usnah me d e r K op fwe lle is t die Ström u ng is entrop. A b b. 2.3 .19 W ie{lereiut rit t Sßllgzeug Die Atmos phäre ist a ls id eales G as z u b etrach ten mit ", = 1.4 und R = 287 J /k,g/ K . Die Ström u ng ist e ben , ad iabat und r eibungsfrei .

-

a) B erechnen S ie d ie Dichte f' x ' W el che Mach-Zah l M x s owie welc h e d a zugehöri ge Geschwind igkeit C x ist m a ximal e rlau bt , d amit die zu lässige Tem peratur To.ll lax im Staupunkt d es Orb iters nicht iiberschritten wi rd ? b) B e r echnen Sie fiir d en Elug zus t and a u s der vorherigen T eilaufgabe d ie Mach- Zah l M 2 , d ie Geschwin d ig ke it C2, d en Druck 1J2 und die Dichte fJ2 unmittelbar hint e r d e m Ve rd ichtungsst oß. Ermit teln S ie dort d en Staudruck 1JO,2 ' Lösu ng: gege ben :

K

= 1,4 ,

n=

287

11I2 / ( .<;2 .

J{ ), T'.XJ = 200 J{ , Tn.lIla " = 840

gesucht : a) I'x, ,\lx, ma", ex ,ma". h)

,\12 , C2, ]J2 ,

tc , r»,

= 1000 P a

tn. Pn.2

a) I'x lässt sich aus der idealen Ga sg teichuug bes timmen: 1'= f' x = ~

= 0, 017 ky / m''

( 1)

Die Stautemperatur lindert sich über dem Verdichtuugsstof nicht , so dass gilt 7(l.oo = Tn.lU "" ,, , Da mit kann aus der Gleichung fi 1 1+ ~

"

\ / x'

(2) _nm"

d ie Mach- Zahl ,\ Ix,tH,,"" berechnet werden :

J' I x

, lIl,,""

= / - 2_

1\ -1

.

(T- o-.= - 1) = 4 T oo

(3)

G2

2 Grundlagen der St römungsmechanik

Mit der Schall geschwi ndigkeit a x = (""", ma><

=

(I x

VI( ' R · Tc>; '

= 283,48 m]« ergibt sieh:

(4)

= 11:J3. 9 III r~

,\J"",lllax

b) Die Mach- Zahl hinter dem Verdtc ht ung sstok kann a us de r St osglcichung

l + ~ + I· (M~. ,"flx - l ) 1 + ;-+"i . (M~. "'ax - 1)

.u :j = - --':i""''----'---=='------'-

(5)

IlPl"('{:hllct wer den:

, - I 1 + 'K"TI

' ,lI'''-'' - I ) ' ( ,UX

(G)

1 + ; .:/'i · (M;'.",,,x - I) Aus den weit eren Stoßgleichungen (JX) _

r;:; -

C2

1 +2 (I 1)

_

Coo,"'''x -

-

2·K

I'?

K

l '

(7)

- JE;',,,,,,,,

2

-Px = 1 + -K+ _l . (!l/oo ."".." - 1) lassen sich

C2 , fJ2 {JZ

=

und

J!2

bcn-chm-n.Aus Gleichung (i) folgt für die Dicht e

1- b/'{ + · (1- 1 ) I

C2

=

coe , max .

("2

j

K

{}2:

(9)

x "n,,,,

\ /'

erg ib t sich aus G leichung (i) :

[ +2 ( 1- _

., {JZ = 0 , 08 kY /lII'

=

----,----7P2='----~

Fü r die Geschwindigkeit

(8)

1

.

I )]

1 - -;-;;''-;\[;" "' ",,

=

("2

= 248

m/H

(10)

Mit Gleichung (8) erhält man für dCII Dr uck J!2: 112 = TJ"", '

=

' lllax - 1 )] 2 ·, .( j\lClO [1 + f{ + 1 .

1'2 = 1,85 .10 4 Pu

(11)

Der Gesamt druck hinter dem Verdichtungsstof lässt sich entweder ilber die outsprechende St o/i,,!!;1eichuuK für den Gesamtdruck bestimrnen o der direk t a ns de r Beziehung: Po.2 = ]}2

(1 + 2 1.Mi) ~

(12)

f{, -

Hier au s folgt für den (k-samtdruck hinter dem Verdicht ungsst oß unter Verwendung Gle ichung (11): ])0 .2 =

(1 + -, -2- I · Afz,)" ,

Als Za hlenwert er hält ma u für

1'0. 2

- ]) :)0 '

d en Wert :

[ 2."

l +~ . ( Moo.lllax - l)

PO.l

= 2, 11 . lO4 Pa.

]

VO ll

03

2.4 Technische StrÖlTlUli gell

2.4 2 .4 .1

Technische Strömungen Tu r b u le nte S t röm u nge n

A u fga be 2.4 .1

P la ttengrenzschicht

Abb. 2.4 . 1a Schlchtonciuto ilung der P la t tengrenzschiclu

Luft (kinematische Zäh ig ke it v , Dichte p) strömt mi t d e r G eschwindigke it Uoo über e i· ne dünne Platte d er Länge I.. (sie he Abb. 2.4 .1a ). Die Strömung ist eben , inkompressibel u n d r eibungsbehaftet.

Auf d er Platte bildet sich im vorderen Ber eich eine laminare G renzsch ic ht und stro mab , nach d em Übersch r eiten d er kritisch en R eyno ld s- Zahl U e L k , ; " e in e t urb u le nte Gre nzsch icht a us. a) Sk izz ieren S ie d en Verlauf d er Gren zsc hichtd icke J a u f d er P la t t enoberseite . b] Sk izzie ren Sie di e Geschw indigke itsp rofile u(z ) a u f d er Oberseite d er P latte an den Stelle n X I und .ra und b egründen S ie Ihre Skizz e. c) Skizzieren Si e d a s G eschwindigkeitsprofil und di e Bereichseinteiluug d e s G eschwindigkeitsprofils an der Stelle X;l . d) Sc hätzen Sie di e Di ck e ~ d er v is kosen Untersch icht b ei X;l a b , wen n d as Geschw in d igkeitsp rofil in d er v is kosen Un tersch icht linea r vom W ert N u ll auf d en \Vert O. ;j· Uoo a nst eigt und fü r den loka le n R eibungsbeiwert a u f d er P la tte b ei turbulent er S tröm u ng gil t: ( 1)

e ) Aufgrund d er ge ri nge n ve r t ikalen Ausdehnung d er Grenzschicht w ir d b ei d er numeri schen Berech nu ng eine hohe Anzah l von R ech enze llen b enöt igt um diese aufzu lösen (s ie he Kap itel 4 . 2 ). D eshalb w ird die G renzsch icht h äufig mit e ine m loga ri th m isch en W andgeset z mod elliert. D as loga ri t h m isch e W andgesetz lautet: ü ( z) - - = 2.5 . !n(z+ ) + 5, 5

u,

In wel ch em B ereich d er Grenzschicht ist d a s logarithmisch e Gesetz g iil tig? Lösu ng: geg eben : Uoc = 10 X;l

m /8 , v =

1, 511 . 10- 5

711 2 / 8 ,

L = 2 m , .r l = 0. 05 · L, .TZ = 0, 75 · L,

= 1..

ges u ch t : a) Skizze 6(x ), h) Skizze 11 (J"I, Z), Skizze 1l(J"2, Z), c) Skizze 11(J";l , Z), Ben-ichsoiuteil uug, d ) ~ ( J";l ) , e) Giil tigkeitslx-roich des loga rit hm ischen Wandgeset zes

G4

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

Die Itcynolds-Za hlcn an den Stellen He]

=

Re2 = R e:l =

UOO

- XI

v

Uoo '

= G,G2. 104

X2

= 9, 93 . 105

X :l

= 1.32· IO()

v

Uoo ' v

X I , X2, X 3

betragen :

= = =

la mina re Strömung turbulente Strömling t nrbuleut e Strömung

a) Für d(,11 laminar-turbulenten C!)('r gan g gilt:

Xkllt

11Ck rit = Uoo . Xk ri t

I L- 0,38

-_

V

Abb . 2.4 .11> Verlauf der Grenzsch ichtdicke

Nach

Xkrit

r; • ) (l ' U"

aufgeliist erhält. man: Xkrit

L

=

R e k ri t .

v =

0 38

U"",, ' L

'

In Ahbildung 2.4.1b ist der Verlauf de r Grenzschicht dicke ciugr-tragon.

b) In Abb ildung 2A.l c sind die Geschwindigkeitsprofile a n den Stellen Xl (la minar) lind X2 (t ur bulen t} skizziert.

Abb. 2.4 .1 c Geschwindigk eitsprofi XI lind L = X 2

Je a n den Stellen L =

c) An der Ste lle X3 liegt ein t ur bulen tes Geschwindigkeit sprofil vor. Die Bcreichscintcllung ergibt sich entsprechend Abbildung 2.4.1d.

freie Turbulenz ______ Wandt urbule nz "<, viskose Untcrschicht::::::::

,,

A bb. 2 .4 .1d Einteilung des Grenzschichtprofilshei L = d) Aus der Definit io n des Reibungsbeiwert es

X;j

G5

2.4 Technische StrÖlTlUli gell

folgt mit G leichu ng (1) 7""

=

'12 - p -U ooa

(2)

Entsprechend dE'f Definition der Wan dschnbspanuung nat-h dem Newtonschon Reibungsa usat z orgibt sieh: dTI

",

Tw = 11 - ~Iit

de m linearen Gcsch windig kctt sprofil der viskosen Unterschicht er hält ma n: Tw = V -p ·

0, 5 - Uoo A.

(3)

Durch GiPichsetzl'll der rechten Se-iten der Gleichu ngen (2) und (3) ergibt sieh:

Nach de r Dicke der viskosen Unt er sch icht aufgelöst , erh ält man als Ergeb nis:

A. = (Red ! . _ 1_ . _"_ = 4,4 _10- 4 0.0577 Ux;

111

c) Das loga rithmische Geset z ist 11 \11' im Bere ich der Wand turbulenz. also im Bereich zwischen
A u fga be 2.4 .2

Turbulent e Zähigk eit d er P lattengrenzsch ic ht

Lu ft (kinem a t ische Zähigkeit v, Di ch t e p) s t rö m t m it der G eschwindigkeit Ux x iiber eine d ü n n e unendlich a u s ge d eh nte P latt e (s ie he Abb. 2.4.2a). Di e Ström u n g A h b. 2.4 .2a O ren zschtcht st r ömung is t e b en, inkompressi b el u n d re ibungs b eh a ft et . A uf d er P latte bild et s ich im vord ere n B ere ich e ine la mina r e Gre nz schicht aus, d ie nach d em E r reichen d er kritisch en R eynol d s- Zahl R e krit in e ine turbu lent e Gre nz schicht ü b erge ht. Im B ereich d er t urbu le nte n Gre n zsc hi cht kann d as G eschwin d ig ke it sp r ofil a n einer S t e lle x näherungsweise dur ch d ie Fu n ktion

b esch riebe n we rden. Dabei is t 6 die Gren zsch ichtd icke und A. die D ick e d er v is kosen U n tersch ic ht a n d er Stelle z ,

GG

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

F iir d e n M isc hu ngsweg l kann nä herungswe ise die G leichung 1 2

1(, ) ~ _., . [l - exp(- k ·z)]

(2)

m it der K ons t ant en k > 0 verwendet werden . B e r e chnen S ie die tu r bulente Zäh igkeit Ilt (Z) m it d em P r andt.lschen M isch u ngswegansatz im B e r eich 0 S z S

8 und skizzie r e n Si e Q ualitativ d en Verla uf von jl l (Z).

Lös u ng: gegeben: Uoc , k, g esuc ht :

o. 6., 6

Ilt (Z)

Für den P randt lschcu Mischungsweg gilt: /1\

= P . [2

.1d il l d,

(3)

Aus dem Ccsclr windigkeit .sprofi l (1) folgt : d ii I = d ü = ~ . _ U~_ . (1 Id z c lz 2 .6.

.:.) 6

Mit dipseI' Gk-irhnng lind mit Gloirhung (2) erg ibt sieh a us (3) für din t urbu lent e Zähigkeit: Jit = 4"1 . p . .a ' . [1 - cxp'( - k · z)

I' . '21 . t:: U~ . (1 - 'J) z

Dara us erhält man:

. (1 - ~ ) . [1 - cx p f c-k . ö

7

--

IJ' (x)

A b b . 2.4 .2 b Tur bulen ten Ziihigkeit der P la t tengrt-nzschirht

zW

Die t ur bulent en Zähigkeit ist an de r Wan d lind
67

2.4 Technische StrÖlTlUligell

A u fga be 2.4 .3

R e ibungswid e rs t and der P lat tengrenzsch icht

Luft (k inem a tische Zähigke it v , Dicht e p) strö m t m it d er G es chwindigkeit Ux über e ine d iinne Platt e mit d er Länge L und d er Brei t e B (s ie he Abb . 2 .4 .3) . Die Str ö m u ng L Abb. 2 .4 .3 Reibungswide rst and ist e b e n, inkompres sibel lind r eibungsbehafter. Auf d e r P latte b ildet s ic h im vordeder Pla t ten greuz sehk'ht ren B e r ei ch e ine la minar e Gre nzsch icht. lind s t r o m a b, nach d em Ü bersd lr e iten d e r kritischen Reynolds-Zah l HeL.,;" e in e t urbu le nte Gre nzschicht a us. a) A us welch e n Wid e rs t a nds ant eilen se t zt s ich der Gesa mtw idersta nd e ines urnat r -Srnt.en Kör p ers zusam men? b] W ie groß ist d er relative Ant eil der einzelnen W ide rstände d es o ben gen annt en B eis piel s ? c) Berech nen Sie die Stelle Xkri t d es laminar- turbulenten Übergangs, we n n die kritisch e R e ynohls- Zahl RCL h it = 5 . 10" b e t.rfig t.. d ) B e r echnen S ie d en Gesamtwiderstan d l V d e r Pla ttenob e rs ei t e , we nn bis z ur Stelle Xkrit der W id e r st andsbe iwert mi t Cfl = O. G6-t/ J Rex und a b d e r Ste lle .l'krit d er \ Viderst.and sbei we r t mit er, = O. OG09 , (Rex )-l jS a p prox im iert werden ka n n . Zahlenwe r t e : U"'" = 10 m/.'I, p = 1,2 krJ/m:l, v = 1, 511 . 10- 5 m 2 /.'I , L = 2

T1J,

ß = 2 m,

Lösu ng: gegeben: U x = lO m ;'~ , fJ = 1, 2kg /m ;j , v = 1, 511 . 10- :'> m 2/ <;, L = 2 m , 13 = 2 gesucht:

a) Widerstandsanteile.

711

b) Größe der Wi dorst a ndsant cllc, c ) Xkri t , d ) W

a) Der Gcsanuwiderstaud auf einen un ist r ömt en Körper setz t sieh aus dem Druckwiderst and \ l 'cl un d dem Reibungswiderst a nd \ Fr zusammen. h) Boi der Pl a tt uust römuug ist de r Druck widerst and im Gegensat z zum Reibungswiderst and vernachl ässigbar. d . h . Dru ckwidersta nd :;'0 %, Reibnngswiderst a nd S 100 %.

c.) Der la mina r-t urbulente Überga ng beginnt an der Stelle an der die kritische Hcyn olds Zahl ReLh it erreicht wird. R Xkri t =

_ U"", · X krit

e J_ ~rl' -

U CL

(; :

_ •V

v

= O.76 m

d .] Der widerst an d eine s tunströmtun Körpers ergibt sich durch Int egra tion der loka11'11 Werte der Wandschubspannung Tw entlang der wandstromhnte. La ut Aufgabentell b) trägt in diesem Beispiel de r Druc kwiderst a nd nicht zum Gesamt widersta nd bei. Die

üB

2 G rund lagl'1l der Sl rölIlllllgMlIl'('hani k

Berechnungen werden daher ausschücßllch für den Reib un gswiders tand du rchgeführt . Es gilt: Cf

=

~

' V X;

. e;"

Dara us ergibt sich für den Gcsamtwidcrst and H' a uf der Ober seit e der P latt e: 1

"'2

- Pc>o

, " ex

"

ß

Nach Einset zen der lokalen widerstandsbotwert e für den Bereich der la mina ren Plat tenst römnng cf) und dl m ß el"l ~i ch der t ur bulenten Plattens t römung "r, ergibt sich: \ \1 =

( 'Jhit 0, 644 o

JL 0, 060D

- dL +

lu v-x

"'hit

el~L) !

1

,

2 " Pcxo - e= "H

Der Gesamtw idersta nd der Plat tenoberseite ist: W = 0 . 38 X

Aufg a b e 2 .4 .4

C o uette- Str ö m u ng

u

Die turh u le nte C o u cr re-Strö m ung kons tanter Dicht e (J zw isch e n zwei mit d e r Geschwind igke it U e nt ge ge n ge se t z t b e we gter unendlich a usgedehnter Pla tten h a t e in ze it lich ge m it teltes G e s chwindigkei t spr ofil lI(Z) (s ie he Abb. 2. 4 .4 ). Die turbulenten R eynolds schen sc hein bar e n Sch u b s pan nungen wer den mit d er Prandtls chen M isch u ngs weglä nge h erc clme t:

-u A b b . 2.4 .4 Turbulent e St röm ung

(1)

Coue t temit d e r K onstant en K

a) Man b esfimme die Konstante K d e r a r t , d a s s d ie B edingung

-~ I dz

z ",,±h

~ ±k

(2)

e r fü llt is t ( k = konst .}. b ) Man b e s timme die G le ic h u ng d er t ur b u le n ten S chuhsp annung gege ben e Ve rte il u ng d er Prandttschcn M isch u ngsweglänge .

Tl

fü r die

G9

2.4 Technische StrÖlTlUligell

c) F iir d ie turb u lente C o uet te-St rö m u ng g ilt p = konst , Daraus r esultiert , dass auch 11- du /d z - p - u' - 11" = kon st . is t . Außerh alb d e r v iskosen U nterschicht ka n n d ie R eibung s schubspannung f = /I . du/dz gegenüber der t urb u le nten sch einb aren Sch u b span n u ng Tt vern ach lä s s igt werden. M a n b erechne das G es chw indigke it s profil n( z' ) b ez üglic h d er obe r e n W and ( Zl = Z + 11 ). Lösu n g : gegeben : h, k, p; 1(z) ge s u cht : a) K , h) Td z) , U(ZI) a ] Aus Olctchnug (1) folgt fiir den Gradienten der Mlschungswogläuge:

dl

-

d,

= - 2 · K· z

Set zt man in diese Gleichung die Bedingun g (2) ein ergi bt sieh:

± k = ±2 -K · h Hiera us er hält mnn die Konst ante K zu

K ~_k_

(3)

2 ·11

h) Für die scheinbare Schubspannung Tt gilt nach de m P ra lld t lsrheu l\li sd lllIlgswegausa tz: Tt

,

--

= - p ' tl' · 10' = P - L -

Ü)' (d d,

Mit den Ok-ichungon (1) und (3) folgt hieraus: (4) c) )'Iit der Annahme

Tl

=

- r -11' · w' =

konst , erg ibt sieh a us Gleichung (4)

k·h ( ") . (dii) dZ

- , - - 1 - h'l

= koust , = u

.

Hier a us folgt die Dtfforentialgleichnug für die C oschwiudigkeit svort oilun g: dn = 2 .

da

h . u*

k _(h'1

Die Integra tion dieser Gleichung mit [a] < h fiihr t

u(z) =

u*

k

z'1) 1'. 11 dem

h+ z

- ln( 1I _ ) + C

Ergebn is: (5)

Die Iut egra t ions kons tant.e C lässt sich mit der Symmet riebedingung u(z = 0) = 0 bestimmen:

u(z = 0) = C = ()

70

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

Damit ergibt sieh aus Gleichun g (5) nach der Division dur ch die Konst ante u" : ü(z) = ~ _ln( h +z) = ~ _ln( 1 + T,) u· k h- z k 1 - f,

(6)

Ans z' = z + h folgt z/h = z' / h - 1. In Gleichung (0) oiugesetzt er hä lt man das Gt'seh willdig koitsprofil bezüglich der oberen Wand zu:

u(z') = u·

Aufgabe 2. 4. 5

.!. - ln( k

t

r) 2 - Lh

Kanalströ m u ng

-it-L.--t~-- L---1

P,

Es w ir d e ine inkompres sible , e bene und t urb u le nte K anals t r ömung b etrac ht et (si ehe A b I>. 2 .4 .5). Die St römung is t b ezii gli ch des zeitlic h ge m ittelten G esch w in d ig keitspro fi ls s t a t io n ä r und in S t.rö m u ngscic h t u ng a usgeb il det. Das zeit -

lich gem it telte G eschwindigkeit sprofil ii(z) ka n n n äheru n g sweis e du r ch d a s 1/7P o t e n z ge s e t z b e schrieben w erden :

_

_

u(z) = VII""' ·

( I - h1,1) I

(1)

Abb. 2.4 .5 Turbulent e Kanal st römung Di e Prandtlsche Misc h ungsweg länge kann d urch d e n fo lgenden analytis ch en Ansatz a ngen ä her t werden : (2)

mit d er Kons tanten k > O. D er Abstand d e r b eiden Que rsclm itte I und 2 b e trägt L. D er zeit lic h ge m ittolt.e Druck ji ist q u er zu r St rö m u ngsr ic ht u ng ko n stant. E s s oll d er Druckverlust t::.. pv = PI - jh zwischcn d en b elden Que r schnitten I und 2 h es timmt werden. Hie r zu soll w ie folgt vorgega ngen werden: a) M a n stelle die Ko ntinu it ä t s gle ichung lind die Navier-Stokes- G le ich u ng in S trö m u ngsr tcht u ng in a llgeme in e r Form a u f. b ) M a n m u ltip liz ie re die K on ti nu it ä tsgle iclm ng mit d e r G es chwindigkeits komponente in S t r öm u ngss-ic h t u ng u n d ad d ie re die e ntstehen de Glei ch ung zu r N a v ie r-St okes-Gleic hu ng. A ls E rgebnis e r hält m an die partielle Differentialgle ic hu ng d er K ana lströmung . c) Wie la ute t d e r H e ynolds-Ansat z für d ie Strömun g sgrößen dies er Differentia lg le ichu ng? Es ist d abei vo ra usgesetzt , d a ss die zeitlich ge m ittelte O eschwtnd igkeit skom p o nc nt e que r zn r Ström u ngsric htu ng gle ich N u ll ist. Man sctze d en R e ynolds-Ansa t z in die Differentia lglei chung e in .

71

2.4 Technische StrÖlTlUligell

d] Man fiih r e e ine ze itliche Mitte h mg d er gesamte n Di ffere ntia lg leichung durch u nd vere in fach e die e n tstehen de Diffe r ent ialgl ei chu n g . e) \ Vie werden die jet zt zu sätz lic h e nt s tan d e n e n T erm e ge nan nt . Wie la utet d ie ß ou ssinesq-Annahme fii r dies e z u sätzlich e n Ter m e. Man set zte die B ous s ine sqAnnahme in die Differential glei chung ein und ve r ein fa c h e die G leic h u n g . f ) Die r esultie rende Different ialg lei chung b e schreibt die t urb u le nte KanaIstr öm ung. Löse n S ie d ie Di ffe r e n t ialgl ei chu n g durch Int egrat ion und h cst immcn Sie m it d em ge ge benen 1/ 7-Pot enzgcsc t z und mit Hilfe d es P randt.lsch e n Misch u ngswcga nsat zcs d e n gesuchten Druckve rlust c..pv in A h hän gigke it d e r gege benen G röße n. Lösu ng: gegeben : p . 11 , ii",ax, k, L, v gesuc ht : a) Kont inui t ä tsgleichung, Navier-S tckes-G lcichung, b] Different ia lgleich ung der Ka nalst römung. c) Reyncl ds-Ansa tz, d ) verein fachte Different ialgleichung, c) Boussinosq-Ann alu nc, f) c..pv_ 11) Die Kontiunitiit sgk-irhung laut et : 01/ Dw - +- = 0

Dx

(3)

Dz

Die Xuvior-Srokes-Gleirhnng in St römungsrichtuug [z- Hicht ung] fiir die st römung lautet :

pJ)('lI(~

Srhirhten-

Vtl ilu ilu. 1 () p (02U
(J/

Bz

p

b) Die Multiplikat ion von Gleichung (3) mit

Bx

11

f)x

(4)

/)z2

ergibt:

Du

aw

Ils:

(Jz

lI- -+11- - ~ O

Add iert man diese Gleichung zur Gleichu ng (4) erhalt man die allgemeine par t ielle Differentialgleichun g die die Kanalst römung beschreibt :

ON 2 () u Oll' öu. 1 Dp ((PU fJ2 ) -+ ' · tl ·(J. - + 1I · - + W·-= -- · - + V · --+-0/ T OZ Oz p r'JJ: O.r2 () Z 2 tl

(5)

c) Mit dem Reynolds-Ansa t z wird eine Strömungsgröße in eine zeit lich gem itt elte G röf.e und eine Schwa nkungsgrösc aufges palt en. Mit tI' = 0 folgt :

U=iI +U'

w =w'

p =p +p'

Set zt mau den Rcynolds-Ansat z in die Differentialgleichung (5) ein erhält Oii

Du'

J + ')

+

man:

2 ( ' ) tJ(fi + 11' ) ( ' ) o.« ..» V(ft + t/ ) ·1I +U · ') +tl+ U· rJ +IC · rJ (6)

72

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

d) Die zeit liche Mittcluug einer Schwankungsgröße er gibt d(,11 Wert Ku li (u' = w' = pi = o). Damit füh rt die zeit liche Miuelung VOll Gleichung (6) 1',11 Oft , _ Oft I - + 2 ' 1/ · - + 2 ' /1 öl iJ.r

ilu'

Dw'

' - + 11 · - - + U! I

f)x

I

iJz

Du'

.-~

lJz

- _1 · -Dß + v · ( -iPÜ +[PU) Eh

P

l};r'2

(7)

{)z 2

Die zeit lich gcmt t telte St römli ng im Kanal ist sta tio nä r. Es gilt all / V! = O. Der Druck ist konstant über d('11 Querschnitt und ist damit nur eine Fnnktion der .r-Koordinate (p = p{x )). Das zeit lich gcmltrelro Geschwindigkeit sprofil ist in Strömungsrlchumg a usgebildet , d. h . die zeitlich gcmit n-ln-n Gcsehwindigkr-in-n sind nur ein e Fun kt ion de r .e-Hicht ung (u = ii(z )). Mi t diesen Voraussetzungen IGlIlIl die Gleichung (7) vert-infacht werdun . :\11111 erhiilt :

Ou'

2 · u' , -

fJ.r

Ow'

Ou'

il z

fJz

+ u' , - - + w'· -

I dp = - _. p

dr

d 2f1 dz

+ /1"'--2

Durch Umformung erhä lt man hieraus die vereinfa chte Differe ntialgleichung de r Ka na lströmung:

- =' dl1 dr

1

d 2jj --d z 2

+

() ( - p

. ~)

Dx

+

fJ ( - p ' ~)

(8)

{}Z

c ) Die zusatzlieh r-ntst.andcnen Tenne werden ab Reynoldssehe scheinbare Schubspannungen bezeichnet . Nach der Boussinesq-Anna hme werden die unbekannten scheinbaren Schubspannungennuter Verwendung eiue s unbekannten P roporuonalit ätsfak tor s Iit (t ur bulente Zähi gkeit } auf die bekannten zeitlich gomit telten GriiF.lm der Grnudst römuug zurückgeführt. Da mit gilt :

--,--,

- p · lt · 1/

=

J1t '

({)U DU ) - +{Ir

-,--,

- p ' lt

{Ix

' /1.' = 11t '

(VÜ ihi' ) -;- + -cdz

(h

Set zt man die Boussiucsq- Annuhme in die Gleichung (8) ein er gibt sieh : 2

djl d -\ = II ' -\

er

j"j

er z 2

n (2 . Ilt ' -;O ii) + '---iJ, ( Pt ' [nu ih i>] ) , -;J + -'--J or

+ -;, ( J:

( X

( Z

( Z

Mit den Voraus set zungen Ü = ü(z), ü t = 0 und Ilt = Ilt ( Z) (wegen der au sgebildeten Strömung kann JI I nur von z a bhängen ) erhält man schlicklieh die vereinfacht e Differe nt ialglclchung der Kanalströmun g. d jJ ( -\ = Jl ( .1"

+ Iit

)

2 d fi

'\ cie0

dJII

d fi

+ -\. -\ ( Z ( Z

(9)

f) Aus dCIIl 1/ 7-Poteuzgeselz folgt für die Ablcitungeu des zeitlich gemitt ult cn Gcschwindigkcitsprofil s: (10)

73

2.4 Technische StrÖlTlUligell

IIlld

)'lit dem Pra nd t lschcu Mischungswegan sat z und der Ot ctcbung (10) er hält man fü r die t urbulent e Zähi gkeit :

, I
Il d z) = p "t- -
,

(1 -.,,-1'1)I . (l - exp(- k · " · [1 -.,,-1'1])' )

(12)

Die Ablei tung der turbulenten Zäh igkeit führ t zn:

(13) Aus der Int egra t ion von GleichuIlg (0) folgt für den Drurkver lust :

Unt er Ber ücksicht igung der Gleichungen (10) - (13) er gibt sieh daraus der Druckverlu st e

~. (l -eXP(-kh[I-lf.!]i)'+(I -,,,,,(-kh[I-lf.!]l)

.H (l -CXP(-k h[I-lf.!]i)+ ~ k' 2.4 . 2

1.'

(1-lf.!)' "xp(-k 1-lf.!H) I. [

Impuls sa t z

Die in diesem Abschnitt vorgercchnct un Aufgaben beziehen sieh auf die Her leit ung lind Anwendung des Impulssa t zes der Strömungsnu-chanik, wie er im Leh rbu ch VOll H" Oef"td jr. et ul. 2008. Kapitel 2.4.2 beschrieben ist. Die Vorgchcnswclsc zur Anwendu ng dieses wichtigon Sat zes zur Berechnung von Kräft en technis cher Strömungen soll nachfolgend kurz au fgelistet werd en :

i4

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

1. Fcst leg ung ein es Koordinatensystems,

2. ,,'ail! eines gcciguctr-n raumfesten Kont rollraumes . 3. Ein t ra gun g aller Imp ulskrä fte

.PI auf die

Borandung des Kont roll volumens ,

4. Ein tragun g aller iiul.', el"en Kräft e I~ , die auf das Fluid und die Borandung des Kontrollraumes wirken. Bekannte Kriiftt! werden geIllii/i, ihres Vorzeichens in die ontspr echcudc Richt ung cingezeiclmct, zu berechnende Kräfte werden in positive Achsen richtung ciugetragen. Ih re endgültige Richtung wird durch die Rechnung brst innut . ;:i.

Eint ra gun g a ller Impulsk rilfte .PI, cHe auf den Kontrollraumes wirken . Die Impulskriifte sind immer auf den Kont rollra um gorlehr et. Xlit dies er Vorgabe oder a us der Defi nitionsgleich ung

f1=- !

p· j) · (v · i"i) · dA

A

er gibt sich ihr Vorzeiche n.

u. Aufstellung der entsprechenden

Im pulsgloirhung gemäß:

7. Berechuung der unbekannten Gr ögen. Aufga b e 2 .4 .6

Prallstrahl

Ih

!

Abb. 2 .4 .6a Umgelenkter " "a ssprst ra hl

E in e ben e r W a ss e r s trahl d e r Dicht e p = 1000 /.:!J /m: l tritt mit d e r Ges chw in d ig keit c = 20 11l /.~ aus e iner rechteck igen Diise d e r Höhe h = 2. 5 . 10- 2 m und d e r Breite b = 2 . 10- 2 m a u s und w ir d durch e in U m le nkb lech um n = 135 0 u m gel enkt (s ie he Abb,2 .4 .6 a ). W ie groß ist die Kraft F , mit we lc her d er W a s se r s t r ahl auf d a s U m le n k ble ch w irkt? H inweis: E s s o ll d ie r eibung sfrei e Auß ens tröIIIUllg a nge rto rrrme n werden

i5

2.4 Technische StrÖlTlUli gell

Lösu ng: gegeben : p, c, h, b, () gesuch t :

F

Die Aufgabe soll ge mäß der oben angegebenen Vergehensweise !!;eliist werden. Da s Ko-ordinatensystem ist bereits festgdt'gt . Als zweiter Schritt folgt lIU U die Wahl des Kontrollraumr-s. Er ist in Abbildung 2.4.6h otngczclchnct. In Abbildung 2.4.6h sind auch die Impulskrä ft e fI und d ie Kräfte , d ie auf das Flu id wirke n, clngctragon (Sch ri tt 3. 4 und 5). Da zu sollen noch folgen de Anmerkungen gemacht werden: 1. Die Impulskr äfte zeigen immer a uf da s Innere de s Kontrollraumes. 2. In der Aufgabe ist die Kra ft F gesucht, die von dem Fluid auf das Umlonk blrch wirkt. In der Abbildung 2A .6b ist die Kra ft P eiugezelchuet , d ie von dem Blech auf das Fl uid wirkt . Es gilt der Zusammenhang: F = - I'.

'\',--- --,

In Schritt 6 wird die entsprechende Im pulsgleichung aufgestellt . Zuerst müs sen die Impulskr äfte for mu liert werdeu . Die Impulskraft F II lautet :

(1) F

Zur Formulier ung de r Im pulskr ä fte f h und fih mu ss zunächst die Geschwindigkeit ermittelt werden , mit der die St römung das Kont rollvolumen verlässt . Sie wird mit der Bernoulli-Gleichung für Inkompressible Strömungen er mittelt. \ \"f'udet man sie entlang eine s Stromfadens von de r Eint ritt sstelle zur Aust rtttsstelle de s wassorstrahls a n, so er hält ma n folgende Gleichung:

Abb. 2.4.6b Kont rollraum (c ist die Geschwind igkeit der get eilten \Yasst~rs t rahkn an dem Aust rit ts st ellen des Knntrollraumos) . Gl'lllfiß der Kou ttnui r ät sglok-huug bosit xen die \Yas sl'l"st ra h]en an delI Austrittsstclk-n d ie Höhe 11 /2. Die Impulskrtift e H 2 und H 3 lauten daher: (2)

:'-o ht den lx-kannten und formulierten Impulskräft en kann nun d ie en t sprechende Best.immungsglek-hung aufgestellt werden . Sie wird nur für d ie .r-c- Richt ung formuliert : (3)

Gleichungen (1) und (2) in Gleichung (3) eing esetzt , er gibt : p . e 2 . h . /! +

=

-

/2 . p . t;2 . h. /)+ /2 . p . c2 . /t . /) + 1'= 0 4

J2

, .i.. »

F = - (1 + 2""" ) ' P '(;

4

=}

F - 3-U N

76

2 Grundlagen der St römungsmechanik

A ufgab e 2. 4 .7

Kriimmer E in 90°· K r ü m m e r (s ie he A b b . 2 .4.7a ) mit e in em licht en Q ue r sc h n itt A \ = 0, I m2 is t a uf d e r e in e n Sei t e a ls D ü se a u sg e b ild et , durch d ie e in W as se r s t r ahl (D ichte d es W a s se r s: p = 1000 kY /lII :l ) ins Fre ie a u st ritt ( Druck d er A t mosphäre Po ). Der D ü se nquersc h nitt is t A 2 = 0, 05 m Z • Wie g r oß is t b e i e in e r Stra h lg es chwind igkei t ca = 8 m]» die z - und y- K o m p o llcnte d e r a u f d e n Krii m mer wirke n d e n Kraft? Die Schwerkra ft w ird v ernac h lässigt . ( A n n a h me : r ei b u ngsfrei e Strö m u n g) .

Abb. 2 .4 .7a Krümmer

Lö s u ng : gegeben : cz = 8 m /8, Al = 0, 1 m 2 , A 2 = 0,05 m 2 , p = 1000 kg /m 3 g e s uc h t :

Fx , F y

Das Koordinatensys t em ist bereits fpstgdt'gt (siehe Ab h . 2.4 .7<1). Der Kon t rollraum ist

in Abbildung 2.4.7h dargestellt. 111 dieser Ahhi lduug sincl weite rhi n die Impulskräfte FI I und F l2 eingetragen, die bestimmt w('1'(I('11 SOUCI!. Auf die Quers chnit tsfläche A 2 wirkt dte Impu lskraft f h = e- c~ . 11 2 , Zur Bcsr tm mung der Impul skraft F l i muss zuerst die Geschwindigkeit tl'1 ermittelt werden. Mit der Kontlnuit ätsgloirhung erhält man für /1.'1 :

ta

CI· A I =C2· .. CI=C2'

Dte Impulskraft

A, A,

(1)

Fb lautet dann :

A b b . 2. 4. 71> Kon trollra um Die H ~s u ltiel"lm de Druck kraft F p ", a uf die Bora ndung des Kont rollraumes ist Null. In vertika ler Richt un g wirkt auf die Ber.uiduu g die Druckkraft F p y = (PI - Po) . Al, für deren Bestimmung noch der Druck PI erm ittelt werden IllUSS. Er kann mit der Anwendu ng der Bcrnoulli-Gk-ichung ent lang eines Stromfadens von der Querschnitt sfläche Al zur Aus t.rit.tsquerschnir t flilche Ih wie folgt ermittelt werden: (2)

77

2.4 Technische StrÖlTlUligell

Cl

ge mäE Gleichun g (1) in Gleichu ng (2) elng csct zt , erg ibt: PI

+~

. (~. (~~) 2 = Po + ~ . ~ P I = Po +

I'2 . , [I_(A,4:)'] C2 '

.,

(3)

Die resultierende Druckkraft in Fb y in y- Richtung beträgt also:

r;

Die unbekannten Kruft komponentun F", und der Kra ft F (F wirkt a uf das Fluid) können nun mit dem nachfolgenden Im pu lssatz ermittelt werden:

- Fb+ Fx= O

Fit

(4)

+ FD y + r. = 0

(5)

Die cuts prechcudc n Größon in Gleichung (4) und (5 ) eingesetzt. ergibt sieh :

,

- p ' c2 , A 2 +

-,

f:t; = 0 - P, = f 'x

=-

p ' c~,

A2 = -

3200 A'

und 2 p·C 2'

A ufgabe 2.4 .8

( )' A2 A,

-

,AI

P 2 + - · C2 • 2

Düse

E in mit F liissig ke it d e r Dichte p = 1000 "91m3 getiilltes Rohr d e r Que r schnittsfläche A I = 0, 1 m 2 m ündet in e ine D üse d er Que rs chn ittsfl äche A 2 = 0, 0 1 m 2 • Es w ird dadurch geleer t , das s ein Kolb en mit d er konstanten G es chwindigke it CI = 4 ml$ durch d as Rohr geschoben wi rd (s ie he Abbildung 2 .4 .8a) . Reibungse in flüsse s in d z u ve r n ach lässig e n.

78

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

a) Wie groß is t die G eschwind igkeit

C2 ?

b ) M it welcher K raft P muss man d en Kolben versch ie ben?

c) w elche Kräfte FA und FB t re ten a n d en beiden sy m met r ischen Lagern a u f, mit d e-

F

n en das Ro hr festg eha lten wird?

Abb. 2 .4 .8a Düse Lö sung:

gegeben: A l = 0, 1 111 2 , 11 2 = 0.01 m 2• Cl = 4 rn/so p = 1000 k g/m 3

gesu cht:

a)

C2,

b) F , c)

r:\ , FB

a ) Mit der Kon t.inuitiit sgleichung r-rhiil t mau für die Crsrh windigkeit Ca

=

A, A,

CI . -

= 40

C2

den \\'('rt :

m/,<;

(1)

b) Die Kraft F , die auf den Kolben a usgeübt werden IllUSS, ergibt sich aus der Dru ckdiffcrcnz PI - Po, die zwische n den beiden Kolbcnftäehcn anliegt, also: (2) Die Druckdifferenz wird m it der Bcruoulli-Gkuchung für inkom pressible Strömungen ermit telt . Sie wird entlang eines St romfadens von der Ste lle 1 bis zur Aus t rit tsq uerschn ittHiiche A 2 angewendet und lautet : PI c2

+ 'P2 . Cl2

= Po

+ 'P2 . (:22

(3)

gl'Illiiß Gk-irhnng (1) in G lcir-huug (3) cingesetzt., ergib t: Pi

+ 'p2 . Cl2 =

Po +

'P 2 . Cl2 '

(A')' A 2

Pl - J!O =~·C~ ' [(~:r -

(4)

1]

Glet chuug (4) in Gleichung (2 ) eingeset zt , er gibt das ges uchte Ergebnis

ZIl :

c) Zunächst wird mit dem Impulssa t z die Kraft PI in .r-Richt ung r-rtnit telt , die von dem Rohr auf die Flüssigkeit a usgeü bt wird . Das Koordinatens ystem ist in Abbildu ng 2.4.8a

79

2.4 Technische StrÖlTlUli gell

eingezeichnet. In Abbildung 2A ,8h ist d ie Kont rollflä che zur Anwe nd ung des Impulssat zes gezeigt und es sind die Impuls- und Druckkr äfte ein geze ichne t. Die Impulskräfte Fu und 1'12 lassen sich sofor t angehen:

~,

-

-t-r-

PI ,A I

-

-

--

F

~

r:

Abb. 2.4.8b Kontrollraum

(5)

FI2 = p · c~ · .12

(6)

p.

e-

-

F l1 = p . ri · .1 t

--

Ersetzt man in Gleichung (6) C2 gemiiß der Gk ichun g (1), erhält man für di(~ Impulskra ft F 12 :

1i2

- . Po· A

(7) Die resultierende Druckkra ft F'ox in .r-Hicht ung berechnet sich zu :

(8)

Die Impulsgleichung la ute t mit den formulierte n Größen: Pli -

Fh + 1''ox +

t: = 0

(9)

Gleichungen (5), (i) und (8) für die entsprechenden Gröfen eingesetzt , erg ibt:

(10) W ird die Druckdifferenz PI - Po gPllliiß Gleichung (4) in Gleichung (10) ein gese tzt , erhält man: (11)

Fx ist die Kra ft , die VOll de m Fluid a uf da s Hohl' wirkt uud diese Kraft wirkt auf d ie beiden Lager. Die Kr äfte f :\ und FiJ , die auf die Lager wirken, bet ragen: 1'\ = PB = F'x /2 = :12. 4 kN ,

80

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

Aufgabe 2.4 .9

", P,

E in la u fst römu ng

r

== -

=

E s ist mit Hilfe d e s Impuls satzes der Druckv erlust (p\ - ]I'.!) im Rohreinlauf e in e s Kreisrohre s V O l ll Radius R z u e r- m itt e in. Im Einlaufquerschnit t 1 is t die G esc h w in d ig ke it konstant über d en Rohrquerschnitt . Im Querschnitt 2 h errscht die Gesch w in d ig ke it d er vo lla usgcb lld etc n lamina re n R ohrs trömung , die nach d em parab olischen Gesetz 1I2(r) = tl2m ax .[1- (r / R)2] verlä u ft .

~ u ~ (r)

r

P,

-

-s-: 2

A b b . 2. 4. 9a Rohreinlaufst r ömung

Die Wandreibung wird b e i d er R e chnung v ernachläs sigt. Wie groß is t der Ver'Iuat koefflzient d er Einlaufströmung (E = (PI - Jl2)/ «(p/2 )· u2)? (u ist die übe r d en Quers chnitt gem itte lte Geschwin d igke it ) . Lösung :

R, 111

gegeben :

(J,

gesucht :

(E = 2 , (PI - P2 )/(P ' fi2)

= -,---== =

Der Verlustkoeffizient wird mit dem Impulssa tz ermit te lt . Die Wahl des Kont rollra umes und die Impuls- und Druckkräfte sind in Abbildung 2A.9b eingetragen. Die Impulskraft FII kann sofort ang egeben werden:

F;,

P·1!:·R

2

FlI

=p·Ui ·1T · n2

(1)

Die Imp ulskraft FI2 IIlU SS m ittels einer Integra t ibest immt werden , da die Strömun gsgcschwin dig keit iiher den Radius des Iioh res an der Stelle 2 nicht konstant ist. Abb . 2. 4. 9 b Kon trollvolum en

Oll

Sie ermittelt sich mit. der folgenden Integrar.ion:

J 11

F I2 =

(I '

JlI~(r ) . H

u~(r) ·2 · 1T ' r .
o

= 2 ' 1T . P .

2·

1T ' (J .

r . dr

o

Ju~",ax n

.

[1 _

(~) 2]2, r , dr

"

= 2 ' 1T' I) ' U~ ' J" [1 - (~)'12 .r' d" = ~:3 ' 1T' I)'l1~"lIl"" , n R ~ '""X

2

(2)

o

Mit der Anwendung des Impulssa tzes ergibt sich die folgende Gleich ung : fl l

-

f l2

+ (PI -

2=0

P2) ' 1T ' n

(3)

81

2.4 Technische StrÖlTlUli gell

fl l und r iz gem äß de n Gleichungen (1) IIl1d (2) in Gle ichun g (3) eingesetzt , erg ibt:

P I - P2

=

:2 31 -p - 112",,,,, -

:2

p. 111

(4)

In Gleichung (4) entspricht U l de r über den Que rschnitt gemt t tclt en Geschwindigkeit 11 . Die gemit t elt e C eschwiudigkeit ist gl'llläf, ihrer Definit ion in jedem Q uerschnit t der Rohrstr ömung gleich. wcltorhtn gilt für die la minare Rohrst r ömu ng . dass 112 lila" = 2 . Ü ist. Berücksicht igt Ulan die se Zusanunenhängo in Gleichun g (4), so erhii lt man: I -2 -2 1 -2 PI - fJ"2 = - -p- 4 -u - p ott = ;- - p - u

,J

3

Für den Verlustkoeffizienten ( E ergibt sich mit de r obi gen Gleichung der " "ert : P I - P2

2

(E ~ "' ~ 3

2 ·u

A u fga be 2 .4 .1 0

u~

Pla t t engre n zs chicht M it Hilfe des I mpuls s at zes ist d e r W id erstand e iner einseit ig b ene t zt en , längs engeströ mte n e benen Pla tte in Abhängigkei t der Gre n zsc h ic ht d icke <5 zu berec h nen . F ür d ie G esc hw indigke itsve r t eil u ng u(z ) V Oll d er W and bis z u m R and d e r Grenzs ch ic ht gilt: u(z ) = U,"",, · (Z/<5 )1/7 fii r 0 ::::; z :::; 6, u = UOCJ fii r z > 6.

K

--7'...u -

I

8

I A b h. 2 .4 .10a st-hich ts t römung

u (z )

P la t t eng ren z-

Hinweis: B ei d e r Anwendung d es Impuls sa t zes a u f d ie K ont r ollßä che J< is t z u b eac hte n , d ass dur-ch d ie o b ere B egre nzu ng ein e ge w is s e M e nge ausströ m t .

Lösu ng: ge ge ben : Uoo , u(z ) = U':<) - (Z/ 6)1/7 gesuc ht :

Fw

Zur Lösung de r Aufgabe sind in Abbild ung 2.4.lOa bereit s ein Koordin at ensyst em und ('ille Kout rollfläehe ein gezeiduLPI. In Abbildung 2.4.1Qb sind die a uf die Borandung des Kont rollra umes wirkenden Kräfte oiugezelchuot ,

82

2 Gru ndlagen d er Strömungsmechanik

Auf die linke un d recht e Seite wirken die Impulskräfte FII lind Flz. Da sich der sta t ische Druck sowohl in vert ikaler als auc h in ho rizont aler Richt ung in einer Plattengrenzschicht nicht ändert , wirkt auf den Kont rollra um kcine resultierende Druckkraft . Desha lb sind in Abbildung 2..t.lOh dle Druck krä fte nicht ein gezeichnet. Abb. 2 .4 .10b Kon t rollvolumen

Auf die obere Betandung wirkt die Imp ulskraft f h , da dort ein Massenstrom fit:J aust ritt . Er ergibt sich aus de r Differenz des über d ie linke Borandung eintret enden lind über d ie rechte Borandung a us t ret enden Massenst roms {rh:l = 7h] - 7hz}:

"

"

"

li t:l = j p . Uoo . b .dZ - j P ' ll(Z) . b . d Z = j l' o(Ux - u(Z)) . b . c!Z u

u

(1)

u

Die Kraft i\ v ist die Kra ft , die VOll der P la tte auf das Fluid wirkt. Sie wird in die ser Aufgabe vom llet ra g lind vom Vorzeichen her a ls unbeka nnt betrachtet uud s oll mir tels der nachfolgruck-n Rechn ung ermitt elt werde-n. Die Widerstandskraft F w , die auf die P la tte wirk t. ergibt sieh dann mit f\v = - F\v. Die Impulskraft

r l l kan n unmittelbar angegeben werden: (2)

J'I I =p · U;" ./i - 6

Die Impulskrä ft e F12 lind FI:1 müs sen m ittels einer Integra t ion best imm t werden. Für H z ergibt sich die folgende Rechnung:

,

, j

h2 =

,

pru 2 (z ) ·/} · dz =

,

o

a · /i · J · = (}· Uxo

j p·u,x· (,)'8 m · b · llz 2

"

j (,)(l) (Z) = '8 . d'8

7 . p . Ux· , .o. /i g

(3)

u

Ü )('r die obere Borandung (Flä che ..1 3 ) des Kont rollra umes t ritt der be reit s erwä hnte Xla sseu strom fit :l aus. Die vemkalkomponcntc der Strömungsgeschwindigkeit ist dort W3 (X), die Horizoutnlkomponent e Ux ' Für dun \\' id(~rs t an d wird nur die Hotizont alkotnponon te der Im pulskra ft Fl :l.:t: benüt i,!!;t . Sie lx-rechnet sieh mit Gk-ir-hung (1):

,

= U:;x;, '

j o (Ux -

,

u(z ) ) - b- d z = p · U;" ·b -

o

=o

l" : -'~-(:-))

-d e

n

. j'(1 - (')'8 W). d (''8 ) = "8J '

U~ - b ·lJ·

u

p - U~· b · J

(4)

2.4 Technische StrÖlTlUligell

83

Mit den berechnete n Im puls krä ften kannnun die entsprechende Gleichung au fgest ellt werden : FI I - F12

-

Fb .", + I?"\, = 0

(5)

In G leichung (3) die Impulskräfte gemäß der Gleichungen (2 ) bis (4) ein geset zt und na ch - F", umgeformt , ergibt:

- F", = Aufgabe 2.4 .11

F", = -

7

72

. p . U;" . /). J

(6)

Nad e lv e ntil P,

I ) ) u \ 3 \,;"'----;.~--.I -~ 1---+ rt----'------~ L

}

, P,

A, A b b. 2.4 .11 a St römli ng durdt ein Nadelventil

E in inko mpre ssible s F lu id der Dichte fJ s t r ö m t a us e in e m g roße n B ehälter (ko nstante r Innendruck pd dur ch e ine Le it u n g (Länge L , Que r s chnittsßä che ..1 1.2 ) und tritt üb er e in Nadelventi l b e i 4 a ls Strah l mi t d em Q uersc h n itt A. l in die U mge b u n g ( D ruck Pa) ans (s ie h e A bb. 2.4. 11a ) . W e gen der sehr hoh e n R e ynold s-Za h l d e r Ström ung s in d d ie Gre nzsc h ichtd ick e n vernach lä s s igb a r kl ei n , so d a s s e ine e ind im e n s io na le reibun gs fr e ie Strö m ung zugr u nd e ge legt werd e n kann . Der E in flu ss der Schwerk raft kan n unb e riic ks ichtig t blei b e n . a ) W ie groß mus s der B ehälte rdruck ]Ii se in, dam it b e i volls tän d ig geöffn e tem Ve nt il e in vorgegebener Volumenstrom \1 durch d ie Le itung s t r ö m t. \ Vi e groß is t hie rb e i die G e sc hwin dig keit C20 im Q ue r sc h n itt 2? b ) W enn d a s N a delven t il geschloss e n wir d , s tell t s ich im Ze itraum 0 ::; t ::; 1:::.1 d er fo lge n d e ze itliche Ve rlau f fiir die G e sc hw ind ig ke it C2 im Que r s chnitt 2 e in : (:2(t) = C20 • [1 + co .... (tr . t/ 1:::.t) ]/ 2. Es s o ll d er zeita b h ä ngige Druck P2(t) im Querschn itt 2 fiir d en Ze itraum 0 ::;

t ::; 1:::. / b e s tim m t w e r d en . D e r Beh ä lterdruck is t h ie rbei a ls b e ka n nt a nzusehen . I m Folg e nd en w ird w ie d er d ie Durchat römung d e s vo llst ä n d ig geöffnet en N adelven t ils b etra chte t (s ie he Abb. 2.4.11b) . Hierb ei ist e ine stat ionäre Strö m u ng mit d em Volumenstrom ~1 vora u sge setzt. A l ist der dur chs t r ö m t e K r e is r lngqucr s chnit t b e i 3, A :-; is t d er Q u e r sc h n itt d e s N a dels chaftos. Die m echan isch e Kra ft F~" d ie vo n a uße n a u f den Schaft d e r

84

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

A,

J

Ventilnadel wirkt , ist nach Cröß e u nd Richtung b ekannt (si e h e Abb. 2.4 .11b).

,I

c) Man bestimme die Größe d er H a ltekraft FH. we lc he die F lanschve rbindung b ei :l auf d ie Düs e a us üben muss, d am it diese im Gle ichgew icht is t .

p.

Abb . 2. 4 .11h Vollständig geöffnetes Nadelvent il

Lösung : gege ben : p, L, A l. l , A.l' A 4 , A ;-.l , Pa, g e s ucht:

V, 6.t , F.'I.

Pi, C:;W , b ) Jl2( t) , c) F u

a ) Es wird ei n Stromfaden VOIll ß chli lterinneren bis zum Düsen aust ritt au der Stelle 4 betrachtet. Unter Vernachlässigung der Schwerkraft lautut die Bernoulli-Glcichnng liillgs des Stromfadens 1 2 1 :.1 Pi + 'P ' C; = Pa+ P' C4 (1)

2

Da es sich folgt :

UIlI

2'

einen großen Behälter ha ndelt , gilt

Ci ::::::

C4

O. Aus der Kont lnul t ät sglelchung

= -

V

A,

(2)

Somit ergibt sich für den In nendruck Pi: Pi =Pa +2"1 'P ' Die C r-schwiudigkeit

chung be stimmt :

C20

(A V .·..,)'

(3)

im QIlt'f sd lllitt 11 1 ,2 wird ebenfalls mittels der Kontinuit iit sgk-i-

v

(4)

c21l = A L'

b) Zur Ik-st lm mun g des Zl'itahhi-iugigell Druckes P'l (t ) wird ein Stromfaden vorn Bohiilrer lun cren his zur Stelle 2 geleg t. Da es sich hier IIlll einen Instauonären Vorgang han delt, ist die inst ation äre Berno ulli-Glc ichung zu benutzen :

Pi =P2(t)+2"1 . p .c,2(t ) + p .

J"

Oe (}t · d8

(5)

Das Integra l kann nach dem Sat z der Additivit ät des Int egra ls aufgespalten werden in die Summe zweier Integra le , so dass folgt : (6)

85

2.4 Technische StrÖlTlUligell

Die Geschwindigkeit lind die Geschwindig keit sänderung län gs des St ro mfadens von Si bis sind sehr klein, so dass die ses Int egra l ver uachl äss tgt werden kann. Zwischen de r Stelle 1 und de r St elle 2 iindoit sich der Querschni tt der Lolt un g nicht, so dass län gs des St romfadens gilt: c t:- c(s) " Da her kann die zeitliche Able itung der Gesd l\vind igkl'it V Ol" das Int egra l gezogen werden und man erhält der Reihe nach: SI

"

" =

d C2 .

dt

.,

.,

J

ds =

dC2 .

dt

.,

(.~2

_

sd

=

dC2 .

dt

L

( 7)

Die Gr-schwiudigk eit C2 (t ) ist in der Aufgabenstellung vorgegeben, so dass dc2/d t einfach bestimmt werden kanu: (8) Unt er Beril cksirhtigung von Gleichung (8) und Glei chung (7) lautet Gleichung (5): I c~n ( +- ·P·- · Pi = P2t)

2

4

,

- p . L " C20 ' 2 " t:>.t . sin

(" ')

(9)

.ßt

Der gesuchte Druckverla uf J.I2(t ) folgt a us Gleichu ng (!J) un ter Bea cht ung von Gleichung (-I). :\lall erhä lt :

p,(i)

~ p, -

r(i J

+p · L ·

V

Ar.a

[1+co, ("if)

r

1r

2 . t:>.t . Sill

(10)

( :;/ )

c) Zur Anwendung des Impulssa t zes wird der in Abbildung 2.4.11c eingezeichnete äuIM'I"e Ko ntr ollra um a ngewendet. Aufgrund de r Symmetr ie der Anor d nung heben sich die x

1------1 I I 1 1

I

1

A h h. 2.4 .1 1c Kont rollraum und Kriift esk izze

~

l I I

/-;~

I ~

I

1

86

2 Gru ndlagen d er Str ömungsmechanik

Druckkräft e in y- un d e-It lcht ung gegenseit ig a uf. Der Impulssa t z muss daher nur für die .1:- Richt IlUg angeschrieben werden. Es wirken Itup ulskriifte, Druckk rä fte. d ie mecha nische Kraft F:-; und die ges uchte Ha ltekraft Pli , so da ss folgt :

f h + f b:j - H 4 - FD_1-

f:" + f i-t =

()

(11)

Für die beiden Impulskräfte gilt:

IFl:l I =

p.

c5' A l

(12)

Die Druckkraft FD4 wirkt auf den gesa mten Kont rollraumquerschni t t an de r Stelle .1, der sich aus de r Summe au s durchst röm tem Q uerschni t t A a lind dem Querschnitt des Na dels chaftes A;'>I zusa mmensetz t. All der St elle 3 wirkt die Druc kkraft a usschließlich a uf den d ur chst römten Rmgkrcis querscb nit t A3 , da die auf A :-; wirken de Kraft durch die Vari able F~ bereit s berü cksichtigt wurde . Es gilt : (13) Ans Gleichung (11) folgt mit den Gleichungr-n (12) lind (13) : (14)

G leichun g (14) ent hä lt m it C3, C4 lind 1':1 noch d rei unbekannte Gr ößen , die auf gege bene Größen zur ückzuführen sind, P3 best immt man m it der Bcrnoulli- Glcich ung, die lä ngs ein es Stromfadens von der Stelle 3 zur Ste lle 4 angewa nd t wird : 1'3 +

'12 · P · C32 = 1'" + '2I ' P ·C42

Die Geschwindigkeit en (;3 und dem gegebenen Volumenstro m.

(;4

1 ' (C42 - C3' ) P:I = P,, + '2'P

(15)

be rech nen sich mittels der Kontinuit ät sgleichung a us

C4

V

(16)

= -

A,

l\lit den Gleichungen (16) lind (13) folgt a us Gk-irhung (14):

}''11 = }'' :'-/ - '2I . p. i!"2 A ~· A :1 ' Aufgabe 2. 4.1 2

(,A1')' · + a

- 1

p" . J I :'-/

(17)

Sc h u b umkeh r

Für U nters uch u ngen d es Wirkprinzips einer Trie bwerks clm b u m ke h r zu m Abbrems en VOll F lugzeu ge n w ird d er in Abbildung 2.4 .12a s k izzie r te Versuchss t a nd a u fge bau t. Ein Flüssi gk eits s trahl d er konstanten Dicht e p t r itt mit d er kons t anten G es chwindigkeit Cl a u s e iner rechteckigen Düse d er H öhe lt l und d e r B re it e b sen k rec ht zu r Zei cheneb ene in d ie fr ei e U m ge b ung d es Drucks p" a ns. M ittels e in e r in z- R ic ht u ng versch ie bbar angeordne t en Umle n ksc hau fe l w ir d e in Teil d es S trah le s I umgel enkt und ve rlässt die U m le n ks c h a u fe l mit ve ränd ert er Richtung ( \V in ke l o } und geä n d erte m R ec hteckq u e rsch n itt (H ö he

87

2.4 Technische StrÖlTlUli gell

p

, I, Abb. 2 .4 .12 a Schubumkehr beim Triebwerk

112. Breite b) . D as Geschwindigkeitsprofil an dieser Stelle 2 ist durch eine lin eare Funktion mit den W e rten (;2 = 0 an d er Sc hau felwand .~ = 0 lind C2.,,'"'' a n d er Strahloberflü ch e 8 = h 2 modelliert. D er T eilstrahl 3 hat di e variable Höhe z mit 0 :::; z :::; 11 1 und die Breite b sen k rech t zu r Zei chenebene . Die Gesch windigk eit (;3 ist konstant üb er d em Q u erschnitt a n d er St elle :t Die Strömung ist s t a t ion ä r und d er E in fluss d er Erdschwere ist ver n ac h läseigb ar , a) Bes timmen Sie die Teilstrah lgeschw in d igke it

(;:j

an d er Stelle

:J.

b ) Erm itteln S ie d ie G leic hu ng d er Geschw in d igke itsverte ilu ng C2( S) a n d er Stelle 2 a ls Fn n kt ion von .~ in A b hängig ke it d es noch unbek annt en Paramet ers h 2 sowie des vorgegebenen P aramet ers C2.",a,, ' c) Bes timmen Sie die Höhe h 2 (z ) d es Strahlquer schnitte s a n d er Ste lle 2. d) Di e U m le n ks cha u fel wird nun in e iner gegebenen Position z = h 3 a r ret ie rt. D amit sin d a uc h 11 2 lind C2.",a" festgel egt . Bestim men S ie in Ab hä ngigke it gegeb ener G röß en d ie H or izontal - und Vertika lkomponente d er H a ltekraft f~ nach Größe und R ich tung . di e a n d er Sc hau fe l a ngreifen muss, damit sich di ese im Glei chgewicht b efindet . Lös u ng: für Tellaufgabe d) zus ätzlich 11 2 • h 3

gegeben : p.

CI,

h l , b, o,

(;2 ."",,,

ges uc ht:

C3,

b)

c) h2 (z), cl ) f~

a)

C2( S),

a ] Zur Lösung wird die Bernoulli-Gleichnng von der Stelle 1 his zur St elle 3 a ngesetzt: Pa + ;'\ a dl

der Auftösuug

VOll

21 · p·C21 =

Gleichung (1) nach

Pa + (;;j

21 ' p'C32

( 1)

erhält man für dle gesuchte Geschwtndlg-

kci t:

(2)

h) Die Geschwindig keit sverteil ung a n der Stelle 2 ist linea r. Deshalb gilt der Ansat z (3)

88

2 Grundlagen d er St römungsmechanik

mit den Ko nst a nten K , lind K2 lind den Ra ndbcdtngungcn : (4) (5) Aus Gleichung (4) folgt 1<2 = O. Set zt ma ll dieses Ergebnis und d ie Randbedingung (;j) in Gleichung (3 ) ein , erhält man C'l .",ax = K ] . 11 2 , Da ra us folgt K ] = c2.1ll",,/ 1I2- Mit c!i('s('11 Konstanten und Gleichung (3) er gibt sich für die Geschwi ndigkcit svcrn-il ung an der St elle 2, C28 ( )

C2.lllax

= - _ ·s

(6)

112

c) Um d ie Höbe hz(z) zu bcstinnneu , wird d ie Kontiuuit ät sglcichung verwendet . Es gilt Til l = Tr/2 + , il.:1• Fü r die einzelnen Massenströme ergibt sieh mit (6);

TIl, =

p - c ] . !t l · b

(7)

Ih3 = P·C3 · Z ·b

! ()

!

h2

, = (! ' /I ' Tnz

C2'~

I

. ( .~ = (I "

b

u = (1 ' I) '

(8)

" 2

u

2] C2 . llla x 8 " 2 _- n , - - ,, [ 112 2 (I

C"",", h,

- - · .<; · { I s

b , 11 2

. C2,Illax

2

(9)

Setzt mun d ie Gleichungen (7) - (9 ) in die Kont luul t ät sglclchung ein , erhält man: (10)

2 Mit Gleichung (2) folgt dara us: CI'

(h l - z ) =

11.2 • CZ.",ax 2

==>

2_'':..c'.;=-(h:..c'_---":..c) hz(z ) = =. C2.max

(11)

d)

F" Abb . 2.4.12b Kont rollra um mi t Kräften

Zur Anwendung des Impulssa t zes wird der in Abbi ldung 2.4.12b eingezeichnete iiu/i,ero Kont rol lraum verwendet . Da üb erall der Dru ck Pa herrscht gibt ('S keine resultierenden Druc kkr äfte . Die Kra ft f~ ist die Kra ft , d ie d ie Sch aufel a uf das Wasser ausiibt . UIII die weitere Bet rach t ung zu vereinfachen wird sie posit iv angenommen. Es wirken auEer dieser Kra ft nur noch d ie Imp ulskrä fte. so dass de r Impulssat z in d pll haiden Raumrk'htuugcn .1' und z wie folgt la ute t:

Ifid - IF"I + IFn,xl + F.,x ~ 0 F jFl2,%I = 0 II . % -

in a- Richtung in e- Richt uug

(12) (13)

89

2.4 Technische StrÖlTlUli gell

Die Impulskräft e ergehe n sieh unt er Verwendu ng der Gleich ungen (2) uud (6) zu:

WIll = IF,:11 =

p'

o

cf . 11 \ ' /J c~ · h a · b = p :

Jc~(.<;),

cf .h:

j

(14) •

11'121 = e

b·

= P,b.

J(c;::ax) . 2

h,

ds = p . b ,

()

(10)

b

h,

2

S2 .

d,<;

(I

",'",''' , [ ( C21

)

2 •

'<3; "]:'" = 3"I . p ' ('22.'Hax . ha ' /J

(16)

Aus Gleichung (16) crgclx-n sich die beiden Kompotu-nten der Impulskraft f l 2 zu :

1F12..r1= ~ . p ' C~.ltlax · 11 2 , b · cos(o )

(17)

I

IFn zl = 3" . e- C~.lllax· 112 , b · stnfo)

(18)

Setzt man die Impulskrä ft e (14), (15) lind (17) in den Impulssa tz in .e-Htcht ung (12 ) erg ibt sich: 2

(J . c ,

, h, , b -

Dips!' Gk-iclmng nach

(J '

c2, . 11·." b+ ~'() ' 3

('~' '' , ' " a X , h", b , cos '' . , (n ) + FS, x

= 0

r:,x aufgelöst führ t zu:

F.~.x = - p' b · [cla ' (h l - h;l)

a + "3I ' cZ,lIla,, ' h 2 · co:-;(o) ]

Die .r-Kompouenre f : ,x der Kra ft /.: die die Scha ufel a uf das \\'asser ausübt ist nega tiv , d . h. das \\'assel" iiht au f die Scha ufel "i m' Kra ft in po siti ve I-Richt ung aus. An der Scha ufel selbs t Ill USS daher ein e Kraft in nega t in'r a-Richtung a ngreifen , damit sich d iese im Gleich gewicht befindet. Zur Besti mmung \1('1' Komponent e e-Richt un g (13) eingeset zt :

F.S ,z - 3~ . (I

d

wird die Impulskraft (18) in den Impulssat z iu

}~ , z

' },., . b ' sin( n) = '

' '" , n ,a X ' ''

0

P."o , = ~ 3

'(I ' d''' ,ln a X . h,,'' · b . sin (n) '

Die a-Kom poncnte F S • 2 dor Kra ft F H die die Schaufel a uf das \Vasser a usiiht, ist positiv. Das \\'ass('1' übt a uf die Scha ufel eine Kra ft in uogati vc a- Hk-htung au s. All de r Schau fel seihs t HlUSS daher ein e Kra ft in posi ti ver a- Hicht uug angreifen , dam it diese im Gleich gewicht ist. 2 .4 .3

Dre h imp u lss a t z

A ufgah e 2.4 ,13

Hohrkr ilmmer

I n n eb ens t ehen d er Skizze ist ein Krümmer m it kons t ant er Q uersc h n itts ßiic he Al geze igt, d er a n d er Stelle I d urch e ine Fl anschver bindung a n e ine m Rohr h efes tig t is t. An d er Ste lle 2 tritt W a sse r d er D ichte p m it d er G esc hwi nd ig ke it c ins Fr eie a us . Wie gr oß is t d a s M om ent JJ , m it d em di e P lanschverbi ndung h elastet wird ?

DO

2 Grundlagen d er St römungs mechanik

p.

Lösun g:

c

-,-

I I I

-'-

TF

*

gegeben: p, c, I, .11 ,

A

','

ge s uc ht : JI

2

Die Lös ung en der Aufgaben zur Anwendung des Drehim pul ssa t zes erfolgen in gleicher \Veise wie die Lösungen der Aufg ulx-n zur Anwendung des Im pu lssatzes. Das Koordinatensy st em ist be reits in Abbild ung 2.4.1311 dargest ellt . Abbi ldung 2A .13b zeigt die Fcst lcg ung des Kont rollraumcs, für den der Drehimpulssa t z angewendet worden soll. Der Beg riff "l mpulsmo men t'' wird wie folgt ein geführt :

", x

A hh . 2. 4 .13a Rohrkrümmer

.\i , =

J

p . (T'x ii) · (iY ·ii) · dA

-

(1)

A

Wird das Integ ral für d ie in Abbildung 2.4.13b gezei gte Kont rollflä che ausgewertet , so erh ält ma n dCII Vektor i i" dess en ska lare r Betrag i\ 1[ der fec ht en Seite (\ (' 1' folgenden Gle ichu ng entspricht :

(2) Po

c

-

-

,

2

I

YM

-" x

A b b . 2. 4 .13b Ko nt rollr a um d ieser Ei nzelheiten erhäl t ma n für

i /I

Zur Auswert u ng der Gk-irhnng (1) soll fo lgendes ange merk t wer den : An d er Stell e 1 st römt das Fluid ü ber die Bere udung des Kont rol lraumes. Da s Integra l in Gleichu ng (1) ist a us Syn une triegründon für diesen Abschnitt der Kont rollfläche gleich dem Xul lvektor. F ür die Stelle 2 hingegen erg ibt das Kreu zp rod u kt einen Vekt or , der in negative Achsen richt ung zeig t . E r zeigt in d ip Zeichonebuue hin ein u nd deshalb wird sein Bet ra g mit einem Minuszeichen gokonuzelrlmet . Da s Ska larprodukt (li · V) ist positi v für d ie Stelle 2 u nd bet riigt IV' A t . Unt er Ber ück sichtigung den in G leichu ng (2) formulierten skalar en Wert.

Ansonsten wirken auf d ie Kontrollfläche keine rcsulücrcndcu Krä fte d ie ein 1 IoH1{'n t ('rzeugen . Der Kr ümmer ü ber trä gt auf das Fluid da s Moment ,ff . Die Drehricht ung VOll ,ff wird zunä chst posit iv ang enommen. Die end gü lt ige Drehwirku ng wird mittels der Rechuung ermit telt . Gemä ß der Gleichung (Ka pitel 2.4.3 , H. On ü d j r. et ut. 20(8)

i /I +

:L A/

a

=

0

er hält ma n d ie folgende Gleichung für ,Ü = - i\l : p ,/ . c;'1 , A 1 +JÜ = 0

- Al == .\1 = (J·l, c;'1. Al

91

2.4 Technische StrÖlTlUli gell

Vom Flu id wird a lso ein Moment a uf den Krümmer a usge übt , da s in mat hem at isch posit ive Richtun g wir kt.

Aufgabe 2.4 .14

Drallbehaftete Rohrströmung 2

~-_ \

Abb. 2.4 .14 Drall beh aftete Hohrst r ömung a) W ie groß ist d as M ome nt

I n Abbildung 2 .4 .14 ist e in R ohr mit e iner krcisrtngförmigen Qucrschnit t sßäche geze igt. An d er Stelle I st rö m t ein e drallbeh aftet e Strömung mit d er A xi al geschw indigkei t C z I = 3 lI t / ~ durch das R oh r . Sowoh l die U m fa n gs ko m p onen t e C HI = )) m ]« als auch die A xialgeschwindigkeit C l s in d üh er d em R adius konstant. In d ein Rohr s in d we it er s t ro m a b Leitbleche ein ge b a u t , die den Drall aus d er Strömung n ehmen, s o dass die Strömung a n d er S telle 2 d r allfr ei a usstr ömt. Für die R adien gil t : T I = ;) . 10- 2 111 und "2 = O. 1 111.

"la. das

von d er Strömung a u f das R oh r w irkt ?

b] \Vie gr oß ist das Moment J / L,,!':er a u f das Lager A und in welche Drehrichtung wi rkt es?

Lös u ng: geg e ben :

CH I

= 5 m /.~ ,

C 7. 1

= :3 111/,'; ,

r l

= )) . 10- 2 m , T2 = 0, I m . p = IUOa 1.:9/ 1II:J

ges uch t : a] ,H" , h) Ah"!,:,,, a] Es gilt der Drehimpulssatz für sta t ionäre Ströiuungcn: (1)

mit

i i[ =

-

f

o : (i" x iJ) . (v· n) · dA

(2)

" A ste ht für d ie Oberfl äche der Kont roll ä äche UIlI d as Ro hr. Die Ein- und Austrittsflächen 1 und 2 sind Teile der Kn nt rollfi är-he. Das Impulsmoment Ji I wird gPlll iif, de r Kont rollfläche in zwei A ut eilt~ au fgeteilt {Borochnung des Impulsmoments a uf den 'Ioilkontrollfl ächen IUl dem Stollen 1 und 2. Durch die res tltche Kon t rollfläche st römt kein ).Iassellstrolll). Es gilt : (3)

Es wird zuuikhst der skalare Wer t von Ai[ angogeh en. Es gilt :

I(v , ii)· dAI = Cd · dA

Ii" x vi =

r . Cu l

(4 )

. dr

(5)

= Cz1 · 2 ·"Ir· r

92

2 G ru nd lage n d er

StrÖIfluJlg~""'rhaJl ik

Das Vorzeichen VOll JII in G leichung (2) ist positiv, da das Kreuz pro dukt des Int egra nden ii) . dA negativ ist in positive Koordinat enricht ung zeigt un d da das Skalarprodukt (E ins trömriehtung zeigt nach iunon , der Normalenvektor nach a ußen) . Der s kal are \\'(']"t des Im pulsmoments -,\11ergibt folglich mit dCII Gleichungen (2), (4) und (5)

ur.

,11 -11 = =

J" 2 . 7r . p . Cu} . C z 1 . T a . dr = 3"2 ' sr . o

:l

C u l . C z 1 · ( TZ -

2 . JT . p ' Cu! . Czl '

J'"r -" . dr

3 "1)

(6)

Das Impulsmoment Jll 2 ist gleich Xull, da die Strömung a n der Stelle 2 drallfrei ist. Vom Rohr wirkt auf die St römung das Momen t " fa, so dass gilt: (7)

Gomäf der Gleichung (1) erhält man mit dCII Beziehungen (3) , (6) und (7): M" =

~ , x · p · C,,] - Cd

' (1'5 - 1"1) = 27, 5 Nm

b) Da ,\fa > 0 ist , wür de sich das Rohr gegen den Uhrzeigersinn drehen wenn es nicht gelag prt wiire. Das Lngormoment droht dmnnuch im Uhr zeiger sinn. Es gilt also:

A ufgab e 2 .4 .15

Pump enlaufrad

In Abbi ldung 2 .4 .15 is t e in radia les Pumpenlaufrad d arges t ellt. B ei d em geförd ert e n F lu id h andelt es s ich 11111 W a ss er mit d er kons t anten Dicht e p = 1000 kg /m :l • Am E intri t t in d as Laufrad kann die A b solu t geschwi nd igkeit Cl in die U m fa ngsges chw in d ig ke it 1/ 1 und die R ela t iv ges chw indigk e it WI zerlegt we r d e n . Analog kann die Abso lutges chwindigkei t (;z am Aus tritt in die K omponenten t 1z und Wz zer le gt werde n . D a s Lau frad dre ht s ic h mit d er kons tant en D rehza hl n = :3000 U I m in . D e r Eintritt liegt auf d em R adiu s R ] = O. 1 111, z u sä t zlich gilt: R d R z = 0,5, h = 3 · 1O - z m u n d bJib2 = 1. 5. Di e R el ativgeschwind igkeit a m Eint r itt ist IV] = 2 m /8 . Di e Dicke d er Sch a ufeln ist ve r nach läss igb a r .

a) Wie gr oß is t d a s von d er St röm u ng a u f die W e lle üb e r tragene Drehmoment '! b) Wie g r o ß is t d as Mom e nt , we n n a m A ustritt übe r d e n U m fa ng die Sch e r s p a n nu ng

T(:p) = n. sin a ngreift (a = 20()O PH, t u ng.

T

-I- f(bz ))?

( ~)

(1)

Die Sche rspannung zeigt gege n d ie D rehri ch-

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

D3

A bh. 2 .4 .15 P umpenlaufrad

Lösu ng: ge geb e n: fJ = 1000 kg /m 3 , 1L', = 2 m/8 , n = 3000 U/lIIin , R 1 = O. llll , R I/U z = 0.5, b, = ;3. 10- 2 m , /J , /b z = 1, 5, (l = 2000 Pa

ges uch t :

Al..,..

1-1) Die Lösung erfolgt mit dem Drehimpulssat z filr stationäre Strömungen: (2)

mit (3) Die Fläche A ist die Kon rrcllftäche, die aus den Krctszyltndcrftächen am Eintritt und Austritt un d ans den Krei sfliicltun neben den Schaufeln gebildet wird . Da das Flnid unr in ra dialer Richt ung ein- und austritt , liefern die Kreisfliid lCn neben den Schaufeln keinen Deit rag zu m Drehimpuls . Das Imp ulsmoment "i ] kann also in zwei Anteile für den Eint ritt und den Austritt aufgcspaltct. werden . Da mit folgt Filr das gesamte Impulsmoment JÜ,: (4) Das von der Welle auf das Fluid übertragene Drehmoment ist Al ..... , so dass gilt : (5)

Für d ie Eintrittsfläche ist das Skalarprodukt aus Xormalcneinheitsvektor mit den Kornponcnten [z-, y, z ) und dcm Geschwindigkeit svektor. (6 ) Das Kreu zprodukt aus Ort svek tor und Geschwind igkeit ist : (7)

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ "'''rhaJli k

Das Flächenst ück dA am Eint ritt ist: (8)

..

Xlit den Gleichungen (6) - (8) ergibt sieh aus Gleichung (3) für das Xloment Mn :

,

Mn =

- p .

w, ·

J

h, - R , - d'P- R,

· /ll

=

- 2 · 1T · p - lI' , -11 1 ·

R f · b,

(9)

o

,n1

.

Ga nz analog folgt für das Moment A!]z:

,

A!]z

= p · 11'Z ·

J

h-2

-

n, - d!.p- R z · l 1Z =

2 · 1T - (J - W Z -11Z ·

R~ · bz

(10)

o

Das positive Vorzeichen ergibt sich , da der Xorm alencinhcit svckt or ii am Aust r itt in positive Achsen richtung zeigt und deshalb

(f · li) =

+ U'2

ist. Da keine weiteren Kräfte auf d ie Kont rollfläche wirken , ergibt sich a us der Gleichung (2) mit den Clclchungen (4), (5), (0) und (10):

(11)

Ans der Kont .i nuit iit sgluichun g

m, =

lil 2

folgt : (12)

Damit vereinfa cht sich Gleichung (11) für M w zu: (13)

Die Umfangsgeschwindigkeit lasst sieh durch u =l<,.' · R =2 · 1r ·n ·R

(14)

berechnen. Dam it folgt aus Gleichung (13) : (15) ~ I it

R z = 2 . R , er gibt sich :

"lw

= 12 · 1rz . 11 ' p '

w\ .

R~ . VI

= :J55 Nm

D5

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

b) Die Lösung erfolgt genauso wie im Aufga benteil a ) mit dem einzigen Unt ers chied , dass nun eine zus ätzliche Kraft auf dem Umfang angreift , die aus der wirkenden Scherspannung resultiert . Die Summe der auRcn a ngreifenden \ Ionw nte (G leidullIg{5)) ist dann:

L /li

a

= - AI.. .

+

J"

T('f') . Lz : Rz' cliP ' Rz

(16)

n

\ 1it GleidlUng{l ) erhält man :

L Ai a =

- M.. . +a ·bz

. ll~.

J"

sin

(~)

· d'f'

n

= -,U.. . + a· bz · R az· [- 4 · cos

( '4 ~) ] 0'. ' = - J I.. . + 4. a"

12· R~

(17)

\l it dem Drehimpulssa t z (2), bz = 2 . bJ!3 und Rz = 2 . R I folgt: (18) In diese Gleichung wird für J!] das Ergebnis sieh für das gesuchte Moment:

\'011

Aufgaben teil a] eingesetzt . Da mit ergibt

Durch die wirkewie Scherspannung wird die Welle noch etwas stärker belastet. 2 .4.4

Rohrhydraulik

Aufgabe 2 .4 .16

Ausfluss aus einem Druckbehälter

In e in e m g r oße n zy li ndrisc h e n Behälter d er Höhe 11 w ird Wasser m it d em Volumenstr öm V gep u m p t (si ehe Abbildung 2.4 .16 ). Von hi er gela ngt d as Wass e r (D ic hte p, kinematische Viskosität /I) über ein gekrümmtes AusHussrohr (Durchmesser D , Länge I, äquivalente mittlere Sandkornrauhigkeit ks , Abstand a vom Ausflus s bis zu m B ehälterboden) ins Freie. D abei treten folgende Verluste auf: E intr ittsvcr lnstc (Ce ), Anstritts vcrlustc (Cd , Kr-tlrnmcrverhrs t c ( K) und Rohrrei bungs verluste .

D6

2 Grund lagen de r

Za h lenwerte : V = 3, Ü . 10- 3 m :l / .~ , D = O, 027ü In , l = 2 111, a = 1 711 , /I = G 111, Po = 1 bar, k~ = 10- 6 111, (F; = 0, 05, (" = 0, 05,
L üftungs-

ve ntil

-,

,----_ _J"i'--, _ , Pumpe

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

At mr.sphärondruck}.

11

Hinweis : D er W a ss erstand so ll a ls ko n s t ant vorausgesetzt werden .

v

D as eingezeic h nete Liift u ngs vent il is t zu n ächs t geöffnet . Fiir diesen Fall s oll fol gend es e r m ittelt werd en : a ) Wie groß ist die A lls t r ittsgesch wi n d ig ke it

A b b . 2.4 .16 Ström ling aus ein em Druckbehälter

C2 d e s W a ss e r s fii r d e n Volumens t r om

V'!

b ) Is t d ie Rohrwand hydraulis ch g latt?

c) W ie gr oß is t die Was sersp iege lhöhe h im B e hält er'? D a s Lüftungs ventil sc h ließt a utomat isc h , wenn d ie \ Vas se r s pieg elhöhe ä bersc h r itten w e rden s ollte . F iir einen s olc hen Fa ll , b ei d e m W as se r mi t d e m Volumens t r o m V' = 2 . i'" in d en B e hälter geförde rt w ird und d ie n e u e W a ss e rs p iege lhö he s ich n ich t ve r ä nd e r t, s oll fo lge ndes e r m ittelt wer d e n : d ) Wie grog ist j et zt d ie R ohrausHllss geschw indigk eit c; '! e) Wie groß ist der Luftdruck p' im B e hält e r in Abh ä ngigkeit von der W a ss e rs p iegelhöhe 11' unt e r d e r Ann ahm e , das s das G as iso the rm ve r d ichtet wi rd ? f) W ie groß ist d ie W a ss e rs p iegelhöhe h' fii r d e n vor liegenden Fa ll unte r d er A nnahme , d as s d a s R o hr hydraulis ch g la tt ist '!

V'

= 2,

V

g) Is t die unte r C) get roffe n e Annahme "hyd ran lis c h glatt" richtig? Lösung : ge ge ben : oben a ufgeführ te Zahlenwerte

gesuc ht:

a) (;2 , b) hydraulisch glat t" , c) h, d ) C;, c) p' = f(h' ), f) h' , g) hydra ulisch glatt füri!"l = 2·V?

a) Da der Volumenstrom i' und der Rohr durchmesser D gegeben sind , berechnet sieh die Aust r it t sgeschwindigkeit un mittelbar mit der Kout iuu it.it sgk-irhung zu : • JT . D 2 V = - - - - C2 4

=>

(1)

b) Die Ber echnung der Dicke il der viskosen Unte rschicht erfo lgt mit der Form el (Kapitel 2.4.4, il.Ocrtc; jr. cl II/. 20(6):

D. D

~

12. 64 -r-r-s-

Reb

RC J)=

c", · D v

(2)

---

c", ist in Gleichung (2) die mittl ere Strömungsgeschwindigkeit. Sie bet rägt für das bctrachtote Rohr C m C2. Für die Reyn olds-Za hl R eD ergibt sich der Zahlenwert R e D 1,GG· 1O"

=

=

2.4 Ted lllisd l\'

D7

Strömungen

und für das Verhä lt nis f::::. j D der Wert f::::. j D = L 54 .10- 3 , so dass mall für die Dicke f::::. der viskosen Unt er schic ht den Wer t f::::. = 4.3 .10 - 5 m erhält. Die mitt lere Sandkornrauhlgkcit k. ist kleiner als f::::. , also ist die IUlleuwand hyd ra lllisl:h glatt. e) Zur Ber echnung der Hühe h wir d die Ber nou lli-G leichuug unter Ber ücksicht igung der Str ömungsverluste f::::.p" entlang eines Stromfadens YOII de r Stelle 1 zur Stelle 2 angewendet. Sie lautet; 1'1

+ 'p 2 ' CI, + p '.9 ' (a + II ) =

1'2

+ P'2 ' C22 + f::::.1' "

(3)

Die Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels wird vernachlässigt, also ist Ci ~ O. Fiir die Dr ücke PI lind P2 gilt; PI = P2 = Po, so dass sieh d ie Gleichung (3) zu der Gleichung:

P ·.9 · (« + h ) =

~ . c~ + f::::.p"

(4)

vereinfach t. Die Strömuugsvcrlusrc f::::.p" berechnen sich zu: (5)

f::::.p" gemii8 Gleichung (5) in Gleichung (4) eing esetzt , ergibt nueh einer einfa chen L mformuug eine Berechnungsformol fiir h: (J '!J ' (a + h ) =

h=

",,, '2 . + '2 ' ,(1 x. (;2

c~

2 '!J

.

c2 '

D

(1+ >... n + l

)

+ (E + ( K + ( A

( E + ( K + ( A) - a

(6)

Zur Auswertung der Gleichung (6) ist der Verlustkoeffizient >.. noch unbekannt und kann mit Hilfe des Xikuradse- Dtagramms (Ka pit el 2.4.4, H. OeT·tel jr. et ol. 2(08) ermittelt werden. Im Xikuradse- Dia gnuum ist de r Verlustkoeffizient >.. als Funktion der mit dem Iiohrdn n-hmossor gebildetnu Heynolds-Zahl nnd einem ),la8 fü r die Rau higkeit des durch.. strömtun Ro hres aufgetragen . Als charakteristisches )'Ia ß für die Ra uhigkeit dient die räumlich gerrüttelte Sandkornrauhigkcit k. , de r im Xik uradsc- Diagramm als di mensions loser l'ara nu-ter Dlk, angetragen wird, wobei k, mit dem lt ohr durr-lunes scr D entdimensionicrt wur de. Starke Ra uhigkeit en (gro ße k 8- Werte) führen also zu kleinen Wert en von Dl k, lind bedeuten hohen Dru ckverlust aufgrund des zugehörigen gro ßen Wer tes für >... Rela tiv gla tte Rohre sind d ur ch kleine k s-\\'(,1"le ausgezeichnet lind im Dia gra mm durch große Wert e von V lk, gekennzeichnet . Sie führen zu entsprechend niedrigeren Druck verlusten. Um mit dem Xikurndso-D iagramm arbeiten zu können, müssen Dat en üher den Rohrdun-hmesser D , d ie Heynolds-Za hl R ~ f) und die mittlere Sandkoruruuhigkeit k, vorlu-gon. Für technisch wichtige Fiillc ist ks in Dat unbliit t urn aufgelistet. Als Anhaltspunkte seien Gla s, Stahl und Gusseisen genannt. Ma n findet für G la s: 10- 6 nt ::; k, ::; a· 10- 6 111 , für Stahl: :~ . 10- 5 111 ::; k, :s; 8.10 - 3 111 und für Gusseisen; 2.10 - 4 1II :S; k, $" 9 . 10- 3 1/1 . Im behandelten Fa ll liegt mit dem gegebenen \\'ert ks = iu-" m a lso ein sehr gla tt es Rohr VOI", das an d ie Oberfiächenqu alt tä t von Glas heranreicht . Als Pa ra met er wer t Dlk s erhält ma n also hier den sehr großen \\'er t Dl ks = 27 , G · 10:1• Im Xtkuradse- Dla gramm kommt

D8

2 Grund lagen der

S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

folglich die Kur ve für glar te Rohre in Bet racht . Auf der Abszisse zieh t man an der Stelle der vorliegenden Reynolds -Za bl R eD = 1, ÖG· 10" eine Parallele zur Ordina te und bringt sie mit der Ku rve für glatte Roh re ZUlIl Schnitt. Am Schnitt punkt wird eine waagerechte Linie anget ragen und mit der O rd ina te ZUIll Sch nitt gebracht , an der sich ansrhliclscnd der gesuchte Wert für >. ablesen lässt . Im Ra hmen der Ablesegenauigkeit erhält man hier 100 · ). :::: 1, 6 un d so mit>. = 0, 016. Da die Innenwand des Roh res hydraulisch glatt ist , kann der Verlustkoeffizient >. bei der vorliegenden Rcy nold s-Zah l Rev = 1, 6(j . 105 auch mit der impliziten Fo rmel von P ra ndt l bes t immt werden. Er bes t imm t sieh mit der Heyn olds -Zahl Rel) = 1, ()ü . 10" lind der zuletzt genannten ~ lögliehkpit zu: ). = 0 , 0 1G2, so dass sieh mit der Gleichung (6) für h der Zahlenwer t h = 3.4:3 m ergi bt. d) Da sieh der Volumenstrom verdoppelt hat, verdoppelt sieh F;emiiF, Gloichuug (1) auch die Austrittsgoschwiudigkcit ('2, Sie betragt also: ('2= 12 m] », e} Für eine isotherme Verdichtung gilt gemäß der Gasgleichung für ideale Gase die Bczichung:]J" V = koust. Im Behä lter herrscht vor der Verdicht ung der Dru ck Po der Atmosphäre und das Volumen beträgt (I I - 11 ), (11" ' fJ 2)j 4 ( fJ ist der Durchmesser des Behält ers) , X ach der Verdich tung wirkt der Druck 1" im Behä lter und das Luft volumen hat sich auf den Wert (I I - h' ), (11"' fp )/ 4 verk leinert. Gpmäf; der idealen Gasgleichung gilt a lso: 1f · fJ2 1I" , fJ 2 - 4- ' (Il - 11 ) ' Pu = - 4-' ( Il - 11' ) .p'

JI - h

I

p = PO' - -

::::::;..

.

II - h'

(7)

f) Zur Berechnung von 11 ' wird die Bcr noulü- Glet cbung für inkompressible Strömungen un ter Ber iicksicht.igung der Strömungsverluste von der Stelle 1 zur Stelle 2 angewendet. Sie la ut et: P

2

P

I

PI +"2 ' CI + p. g ' {n + h ) =

[12 +"2

'2

(8)

. ('2 + D.pv

Die Absinkgeschwindigkeit des Wasserspit'gels ist gering. also: ('~ :::: O. DeI" Druck PI auf der Wassero!)('r fiäehe im Behä lter beträgt PI = P' und für den Dr uck P2 gilt : P2 = Po, Dam it vere infacht sieh die Gleichung (8) auf die Gleichung: I

P

,

'2

Jl + P '.rJ' (f1 + h ) = Po + "2 . (;2 + D.pv

(9)

pi gelIliiß Gleichung (7) und D.pv W~lll;iF, D. pv = (p/2)· c~2 . ( ). I . l id + (E + ( K + ( A) in Gleichung (9) eingesetzt , ergi bt die folgende Gleichung zur Berechn ung von 11' : /{ - 11 I P '2 II _ hl· PII + p · !I · (a + h ) = pu + "2 · (;2·

(

,I ) 1 +), · D + ( E + (K + ( A

(10)

Xlit eine r einfachen Rechnung lässt sieh die Gleichung (10) auf die folgende Form bringen:

11,2 + A ' h'

+B = "

°

(11)

A =a -lI - -C2·( 1 +).,' I ~+(E+(K+(A) - Pli 2 ·g D p .g

po·h P '!I

('2

" · ß ~ -- - a· J( + 2 '9

(

1 + ).

I

l D

' ~ + (E + (K + (,\

)

· 11

99

2 .4 Ted lllisd l\' Strömungen

Zur Auswert ung de r Glei chung (11) muss noch der Verlus t koeffizient X ermittelt werden. Da angenommen werden soll, dass die Innenwa nd des Rohres hyd ra ulisch gla tt ist , kann der Verlustkoeffi zien t mit de r Formel von P raudt l beruehnut werden. Für die RoynoldsZa hl Re~) erhä lt man den \\'ef t R e~) = :3,3 1 ·10" un d für X den \\'ert X = 0.0 13. Die quad ra tische G leichung (11) nac h },' a ufgelöst , erg ibt d ie endgül tige Formel zur ljestimmung von h' :

h' = -~ ±/(~r -13

(12)

Die Berechnung der Zahlenwerte lieferte d ie folgen den \\'ert e:

13 = 125 m 2

A = - :n , 2 TfI

h ~ = 2(j,5 m

Die physika lisch sinnvolle Lösung ist h' = g)

~ l it

h~

= 4, 7 m , da h', gröfsor als II ist.

der Formel :

.6. D

~

12, G4 - -,Reb

berechnet sieh d ie Dicke .6. der viskosen Unt erschicht für dCII Fa ll V' = 2 , \1 zu (Ren = 3,:31 . 10'»: .6. = 2.53 · 10- " TI! • .6. ist gr öber als die mittlere Sa udkomrauhigkei t k~ ; d .h. die Innenwa nd des Rohres kann als hyd ra ulisch glatt ang esehen werden.

A u fga be 2.4 .1 7

Pumpe n a nlage

E in e P u mpe förd ert a us e ine m See d en Vo lu m e nstrom \> = 0,06 m 3 [ « durch e in R ohr d es Dur chmes sers d = 0, 1 1Il lin d d er Länge I = 18 TI! in einen tu n II = 15 TI! höher liegenden Hoch b e hälter (s ie h e Abb . 2 .4 .1 7) . Dabei trete n folgen de Verluste a uf: Rohrre ib u ngsverluste (.\ = 0, 0:1), Verluste am Ei ntritt ( E = 0, :3) . Verlus t e im Kr ümmer ( 1\ = 0.4) und Ve rlus t e am Aus tritt ( A = 0, 8).

"

J \~

Po

S,

j

d

--'z

11 ~

--l

A bb. 2.4 .1 7 P umpena nlage

a ) W elche Höhe z über d em W a ss erspiege l d arf die Pump e hö chs t ens h a b en, dam it im Roh r d er D ampfdruck PD des W ass ers (PD = 40(}O N/ ", 2) nicht u n t ers chr it ten w ir d? Der A ußend r uck Po b e t r ä gt Po = 1 bar . b ) W elche P u m penleist u ng L is t erforderlich ?

100

2 G ru nd lagen d er

St rÖIfluJlg~ ""'rhaJl i k

Lö s u ng : gegebe n: JJ = 15 7/1, d = 0,1111 , l = 18 m,). = 0, 0:3, CE = 0.:3, (K = 0,4 , CA = 0. 8, i'" = 0,06 11/3 j s, Jlo = I/mI' , PD = 4000 N /m 2 , p = 1000 k,q j m 3 gesu cht:

a ) z, b) L

a ) Zur Berechnung der maximalen Höhe z wird d ie Bcrnculli- Gleic hung für inkompressible Strömungen entlang eine s SI rom faden s VOll der Stelle 1 zur Stelle 2 unter Ber ücksicht igung der a uft retenden Strömungsverluste angewendet. Die Stelle 2 liegt unmittelbar unterhalb der P um pe, Die Bcrnoulll-Glcichung lautet : (1)

Die Geschwindigkeit Cl ist Xull uud für den Dru ck PI gilt: PI = Pu- Da mit rief Gleichung (1) die ma ximale Höhe z lx-rechnet wird, ist für de n Dru ck J!2 der Da mpfd ru ck PD einzusutzeu , also: J!2 = PD. VOll der Stelle I zur Stelle 2 treten Einlauf- und Rohrreib ung sver luste auf. Für sie gilt:

Die entsprechenden Drücke für PI un d fJ2 sowie die Str ömungsverluste ö n, gemäß G leichuug (2) in Gleichung (1) eingeset zt , erg ibt die folgende Gleichung:

In Gleichung (3) ist die Strömungsgeschwindigkeit mit der Kont inuit ätsglcirhung bestimmt: 7r _

J2

_

c2 - - - = F 4

::::::;..

C2

C2 =

im Hohr noch unbekannt. Sie wird 4"F ,- . cf'

(4)

w' miiß Gleidnmg (4) in Gleichung (3) eingesetzt , ergibt das gesuchte Ergebnis für di e maximale Höhe z :

C2

Po - PD P

82" ill~ - {I + ( F;)

7r

- (

8 _ y2 >..

"q + ;r:-;rr "(l b) Zur Berechnung der erforderlichen P umpenleist ung wird die Bemoulli-Glcichung ent lang eine s Stromfadens VO ll der Stelle 1 zur Stelle 3 angewendet. Da bei werden die Strümungsvcrluste und d ie En ergiezufuhr d urch die P umpe berücksichtigt . Die Bcr noulliGleichung lautet : ]Jl

+ "2P 'CI2 + !:!.lp =

]J:l

P 2 + "2' c.1 + (J·!J · ll + !:!.p"

(5)

101

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

ß [I' ist die auf das Volumen bezogene Arbeit , die de m Mediu m zugeführt wird (l ß l p) = [N m./m3 ] = [N/ 1H Z]) . Die Drücke PI und 1'3 sind gleich dem Atmosphärend ruc k Po. Sie heben sieh a lso in der Glei chung (5) gogensoitig auf. Die Absink- hzw. Steiggeschw indigkeit der \Yassewherfliid u'u an d un Sn-llcn 1 und 3 sind klein, so das s sie in der Ik-ruoulliGleichung verna chl ässigt werden können. Ma n er hält a lso folgondo vereinfachte Gloichuug: ß l p = p ' g ' II

+ ß pv

(6)

Von der Stelle 1 bis zur Ste lle 3 treten Rohrroibungs - , Einlanf- , Umlenk - und Aust ritt svcrlustc auf. Ihre Summe hisst sich wie folgt. formulieren: (7) c ist. die Strömungsgeschwindigkeit im Rohr. Sie ist gleich der Geschwindigkeit cz- !::J. pv

gemäß Gleichung (7) in Gleichung (6) eingesetzt , ergibt. mit c = cz die folgende Gleichung: (8)

Erset zt man in Glei chung (8) die Strömungsgeschwindigkeit ca durch die Gleichung (4), er häl t man für die au f das Volumen bozogono P utnpenurbeit die folgende Formel : !::J. [" = p. g . 1/

+p'

8,V' ( 1 >. . d + (E + ( K + (A )

(9)

1T2 . r/4'

Die erforderliche Pumpenleis t ung ergibt sieh m it der G leichung L = ß l p ' (r dann zu: . L = ßll" V =

(I '

. g ' ll · V

+p'

8 · V,

~.

( >. . dI + (E + (K + (A )

= 20 , 9 HF

A ufgab e 2.4 .18 R ohr leitungssy s t em e iner P u m p e nanlage In e inem Kraftwe r k w ir d mit e iner Pumpe K ond ensat mit d em Massenstro m 1;1 a us e in e m Kond ens atbe hä lt er zum Speis ewa ss erbe h ä lt er ge fö rder t. D ie Rohrlei tung u nd die Rohrle it u n gsel eme nte s in d e ntsp rechend d e r A bbild u n g 2 .4 .18 a n geo r d net. Das Rohrleitu ng ssy stem h a t einen Durchme ss e r d l b is zu r P ump e lind ein en D urchmess er d:J vou der Pumpe b is z u m S p e isewasserbehä lt er . I m K onfuser 11 vor d er Pumpe w ird d er Durch m es ser a u f die G röße dz reduzi ert . D e r Druck im Konden sat b e hälter b e t r äg t PK = [) bar u u d d er d es Speis ewasserb e hälters Ps = 10 bar, D as W as se r im K ondensa t b ehält e r is t ges ä ttigt (kinem a t isc he Viskos it ä t v, Di cht e p). In a ll e n R ohre n (Lä n ge n l2, I ~, [n, h, [10, 112, 114, [Uh 120' lz2' 124, 12(>! Iaa) tre t e n R oh rre ibu n gs ve r lu s t e a uf. Di e R ohre h a b en eine ä q u iva le u t e mittle re Saud koruran higke it ks . Zu sätzlich s in d fol gende Ve rlust e zu b erücksi chtigen: E intritts verlu ste ((1), Krümmerve rlus t e (( 3. ( 7' (9. (1:10 (I !), (21. ( 2:10 ( 25. (27) , Ve rlus t e in d er Riickschla gkla pp e ((-,) , K o nfu sorverlu ste (( Il ) , K o n usverluste ( 15' ( 17) , Ventilverlus t e (( 16) im Regelve ntil und A u strit t sverluste (( Z9)' D ie zugehör ige n Ve rlu s t ko effiziente n s in d mit d en

102

2 G ru nd lage n der

StrÖIfluJlg~""'rhaJlik

P, Speisewa ssertank

1" Kond ensatbehälter

I

I

_ I I ~_

1

" Iq

I' \ompc --------'-

,; 1 1 I- -.!o_

SII

A,

R A b b . 2 .4 .18 Rohrleit un gssystem einer P umpenanlage

Geschwin d ig ke ite n in d e n j e weiligen R ohrlei tun gen zn b erechnen. Di e Fliiss ig ke its höhen h K u nd h s in d en b e iden Behältern kö nnen a ls unverän derlic h a ngese hen werden . a) Man b ere chne die Drücke p" und Pli v o r und n a ch d e r Pumpe.

b ) Man b er echne die gleich wertigen Längen lK r und fit e ines Rohres d es D urch m essers d, und d e r R auhigkei t k" in d e m die gleichen Verluste entsteh en w ie in d en K rümme rn 3 , 7 b zw , 9 und w ie in der Rücksch lagk la p pe 5. Hinwei s: D ie D icht e lin d d ie kine m a tische Viskosi tät des W as se r s s in d kons ta n t. Man kann mit d en m ittle re n S trö m u llgsgeschwind igkeite n r e chnen. Lö sung : gege ben : ri! = 2;l k y/s , fJ = !)l5. :3 ky !m;\ v = 1, 97 · 1O- 7 111 2 / 8 , !J = 9, 8 1 111 /8 2 , hK = 5 111, h s = 15 m , d, = 0, 2 m; da = 0, 15 111 , (h = 0, 125 TrI , 12 = 1 111, f4 = f 20 = hl = 5 m , /r; = f8 = 110 = h 2 = :J m , 1'2 = O, :.J m , l 14 = / 28 = 0,5 m , fl/I, = 0 . 8 m , b; = 7 m, k" = 5 . 10- 5 111 , (, = 0, 5, (3 = (7 = (9 = ( 11 = ('3 = ( '9 = (2 ' = (2;J = (2[, = (27 = 0. 2, (r; = 2,:3, (, r; = ('7 = O. 15, ( '6 = :3. 0, (29 = 1,0 gesuc ht :

a ) pv ,

p", b)

in

lK r>

a) Die Verlust koeffizienten "01' der P umpe sind auf die Geschwindi gkeit in den Bohren mit dem Durchmesser d, bezogen. Die Geschwindigkeit vor der P umpe wird mit c, bezeichnet. Sie ergib t sieh aus dem Xlassenst rom: .

111 = fJ '

c, . A , = fJ' c, .-•4 .d,I

er =

4 · ,ir 4 2 = 0. 8 1II j.~

7r •

o: '1

(1)

103

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

Der Dru ckverlust 6.p" . 1-

11

in dem Rohr leit ungssystem vor d er P umpe berechnet sich aus:

{

i = 1,:1.5, 7, 9 2.4, 6 ,8 , 10

J=

Da d ie Roh re vor de r P umpe d en gleichen Dur chmesser lin d die gleiche Sandkor nra uldgkcit besitzen , ist der Verlustbeiwert in allen Rohren gleich , d . h. >'j = >' 1' Da mit ergibt sich für d en Drnck vcrlnst :

1,:J,~,7.9 { J~ :- 2.4 ,G, 8, 10 Zur Bcs ü mm uug des Verlustbeiwertes

wird die Rey nold s-Zahl benötigt :

>' 1

CI '

(2)

dl

Re = - - = 8 12000 v

(3)

F ü r d as Verhältnis des Rohrdurchmesser s zur Sandkornrauhlgkclt ergibt sich:

~I

(4)

= 4000

"

Xlit tlcn Zahlenwerten au s de n Gle ichungen (3 ) un d (4) kann ma ll im Xiku radsc-Diagramm d en Zahlenwert >' 1 = 0, 015 für den \ 'erlus t boiwert ablesen , Mit dtescm Verlustbeiwert . der Geschwindigkeit aus Gleich ung (1) un d den gegebenen Zahlenwerten kann der Du rckverlust mit Gleichung (2) be rechnet werden. :\Ian erhält als Za hlenwert 6. P" ,I_ 11 = 1390 Pa. Die Bernoullt-Glcicäung zuzuglieh der Druc kverluste zwischen d er Sp icgr-loberfiä chc des Kondensa tb eh äl tcr s (Stelle 0) und dem P umpeneint.rit t. (St elle Pv ) la utet : P1I

+ 2"I ' p. 1":02 + p '!J' ZO =

]I)'"

2 + 2"1 . p ' ('Pv + P '!J ' ZPv + 6.P" ,I _ 11

(5)

Das Xullniveau wird auf die Höhe der P umpe gelegt. Damit gilt Zo = 111\. und Z P v = O. Der Dru ck auf de r Spiegeloberfläche im Kondensatbehiilre r ist gegeben (Pu = ]lK) und die Geschwind igkeit ist vernachlässigbar klein (ro = 0), Der Dru ck PPv ist der gesuchte Druck 1J" . Die Gesch wind igkeit am Eintritt in d ie P u mpe wird mit C2 bezeichnet , sodass gilt ('1' " = (:2 . Eingesetzt in Gletchuug (5) ergibt sich für d en gesuchten Dru ck: Pv

= PK

+ P '!J' hl\.

2"1 -p . c22 -

-

:\li t der Konti nui tat sgleichung folgt aus d em Mas sens t rom die Geschwindigkeit m. = p , c 2 '

('2

=

A2

(6)

6.1'" ,1_ 11 1":2:

=P ' C2 ' -" '([,2

4 · 1;/ 52

Jr ' P ' u2

4

= 1.42 ntj s

(7)

Set zt man Gleichung (7) in G leichu ng (6) ein, erhält ma ll mit dem berechneten Zahlenwert für den Druck verlus t 6.pv,l _ 1l und den gegebenen Zahlenwerten für den gesuchten Dru ck Pv = 5.45 bUT,

104

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ "'''rhaJli k

Die Verlustkoeffizienten nach der P umpe sind auf die Geschwindigkeit in den Rohren mit dem Durchmesser
A3

= P'C3 ''- ' ( I' 3

4 4 . ri l c:\ = fl = 2, 05 m ;'~ 1r . P . ( :J

(8)

Der Dr uckvorlus t Dopv,12- 2!1 in dem Rohrloit ungssystom nach der P umpe beruchnut sich aus: [,1', ."_,,.

mit

~~.

p.

cl ·

(z;:(, + J;= .\' ':;,)

{ ~ = 13,15, Hi.17, 19, 21. 2:3, 25, 27. 29 J = 12.14. 18,20, 22.24 .26.28

Da die Rohre nach der P umpe den gleichen Durchmesser und die gleiche Sandkornrauhigkeit bes itzen ist der Verlustbeiwert in allen Rohren gleich , d. h. Aj = A2 . Dam it ergibt sich für den Druckver lust . [, 1', . i a-as

mit

~~

(z;:(, + ~: J;= I,)

P cj

(9)

{ ~ : I !, 1 5 , Hi , ~ 7, 1~ , : 1. 23: 25 , 27, 29 J - 12,14 , 18,20 .22 ,24 .26.28

Zur Bestimmung des Verlustbeiwertes

).2

C3 '

wird die Rcynolds-Za bl benöt igt :

d'j

Re = - - ' = l,:J . 106 v

(10)

Für das Verhältnis des Rohrdurchmessers zur Sandkornranhigkeit ergibt sich :

(h

(11)

- = 2500 ks

Xlit den Zahlenwerten aus den G leichungen (10) und (11) kann man im XikuradseDia gra m m de n Zahlenwert ).2 = 0. 016 für den Verlustbeiwert ablesen . :\[jt diesem VerIusrbciwort , der C rs rh wiudig keit aus Gleichung (8) un d den gegebenen Zahlenwerten kaun der Durckvcr lust mit Gleichung (9) berechnet werden. Man erhält als Zahlenwert APv,12_2H = 15200 Pa. Die Ber noulli-Gk-it-hung zuzüglich der Druckver luste zwischen dem P umpenaust rit t [Stulle P n) lind der Spiegelob er fläche des Speisewasscrbehiilr crs (Stelle Sp) lautet : pp"

1

2

+ '2 ' p. ('p" + p ' 9 ' Zp"

= ])sp

1

2

+ '2 ' {J ' ('SI' + f! '!J' zSp + Dopv ,12-29

(12)

Das Xullntvcau wird wieder auf d ie Höhe der P UIIlJle gelegt. Da mit gilt zSp h s un d ZI'Il = O. Der Dru ck auf der Spicgclobcrft äcbc im Speisewasserbebälter ist gegeben (J)Sp -=

105

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

PS) und die Geschwindigkeit ist dort voruachl ässlgbar klein (esp = 0). Der Druck PPn ist der gesuchte Druck PU ' Die Geschwindigkeit am Pumpenaust rit t ("P u ist gleich der Geschwindigkeit in dem Rohr leit ungssystem C3 . Einges etzt in Gleichung (12) ergibt sich für den gesuchten Dru ck: Pu = Ps

+ p' y ' h s

:2I ' (J ' (;:12 + ß P" .12 _ 29

-

:\lit Gleichung (8) und dem berechneten Zahlenwert für den Druckverlust man für den gesuchten Dru ck Pli - 11, 5 bar,

(13) ßpv . 12-29

er hält

b] Zur Berechnung der gleichwert igen Rohr lä ngen müssen die Druck verlust e in den Rohren gleich dem Dru ckver lust des Kr ümmers bzw. der Rückschlagklappe sein . Da mit ergeben sieh folgende Bcstinunungsgk-iclumgon:

(14) (15)

Gleichung (14) nach der gesuchten Länge

IKr =

C:l .

lK r

i

d

aufgelöst ergibt : = 2, Ü 111

Gleichung (15) nach der gosuchton Länge in aufgelöst ergibt :

Die gleichwertige Lä nge der Rohrlei tun gselemente kann wesentlich größer werden als die Lä nge gerader Rohre. Die Berechnung von Rohr lcitun gssysrcmcn wird vereinfacht , wenn für alle Lclumgselemenrc die gleiche Bezugsgeschwindig keit verwendet werden kann. Es ist aber immer darauf zu achten, dass die für die Verlustkoeffizienten maßgebende Gpsehwind igkeit eillll;eset zt wird . Aufgabe 2 .4 .19

Spei che r- W as serkraftwerk

In d em in Abbildung 2 .4 .19 s k izzie rten Speicher- Wasser k raft wer k wird W asser d e r D ichte (J und d er kinema tischen V iskositä t 1/ aus einem seh r großen Sp eicherbehälter iiber ein e Rohrleitung d er Länge l = 25ü 111 und der mittleren Saudkornrauhigkeit k~ ein e r Turbine z ugerLih r t , in d e r die k inetis che E nergie d es W as serstroms in ele kt r isc h e Energi e umge w andelt wird. Die Lei stnng L d er Turbine s oll L = 10 Mn· = lO7 n· b etragen. D as W a ss er str öm t mit d er G eschwindigkei t C2 = ;) m j s ins Freie . D e r Höh e nunt e r schied II zwisc hen d em w a ss e rsplegel d es S peicherb ehält e rs und d er Tur-bin e b e t rä gt II = 200 1/1. In d er Rohrlei tung t reten E in lauf- ((E), U m le n k((K) lind Reib u ngsve rluste (,.\) a u f.

106

2 Grund lagen de r

-
St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

2

- / c,

Turbine

Abb. 2 .4 .19 Speicher-Wasserkraft werk Zahlenwert e: 1 = 250 /Tl , II = 200 111, (J = 100() k!J/m:l , v = 1, 5 · 1O- b /Hz[ «, Dlk s = 20(), A = 0,0:1, (E = 0,25, (K = 0.15 , L = 10 M H' , ca = 5 TrI /s.

a) W elcher Rohrdur chmesser D is t u nt er di esen Bedingu nge n fü r d a s Fallrohr zu wä h le n? b ) Es soll ge p r ü ft we r den , ob d er Zah le nw ert

.x

rich t ig geschätzt wurde .

Lösung :

gege b e n : oben aufgeführte Zah lenwert e gesucht :

a ) D , b) Sch ät zwert >" nchüg"

a) Die Ausgang sgleichungen zur Lösung des Problems sin d die Kont inuit ä tsgleichung un d die Gleichung für die Lelst uu gseufnahme der Tur bine, Sie lauten: (1)

(2) \7 ist der Volumenstrom durch tim; Fa llro h r bz w. du rch die Tur bine un d A lT en ts pri cht der spuzifischcu Arbeit, die die Turbine pro Volumonr-inhr-i t F luid aufnimmt. l> gpmfj{~ Glei chung (1) in Gle ichung (2) eingesetzt , er gibt d ie folgende G leichung:

(3)

In der Gleichung (3) ist L~Ir 1I0ch unbeka nnt. Eine weitere Gleichung für LlIT erhä lt man durch d ie Anwendung der Bcrn oulli- Glcichun g entlang eines Stro mfa de ns von der Stelle I zur St elle 2 unter Berüc ksichtigung der St r ömun gsverlus te lind der En crg tccnt ua hm c

107

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

durch die Turbine. Die Gleichung la ut et: PI +

'P2 . (;12 + P '.rJ ' Jl

-

ßh = ])2 +

'P2 ' ('22 +

!:J.pv

(4)

In Gleichung (4) steht auf der linken Seite - !:J.h ·, da de111 Fluid Energie cutzogen wird. Die Drücke PI und P2 sind gleirh dem Umgeb ung sdruck Po und hoben sieh gegenseitig auf. Die Abaiukgeschwindigkeit C I des " 'asserspiegd s im Speiehcrheluilter ist klr-iu, so dass c? ::::::: 0 ist. G leichung (4) vereinfacht sich mit einer einfachen Umformung zu : (5)

Für die Strömungsverluste ergibt sieh:

!:J.pv =

~ ' c~, (>. . ~ +(E +2' (K)

(6)

!:J.pv ge mäß Gleichung (6) in Gleichung (5) eingesetzt , ergibt die endgültige Gleichung für

!:J.h·. Sie lautet :

(7)

Die Best unmungsglcichung für D erhält man nun , indem ma n die rechte Seite der Gleichung (7) gleich der rechten Seite der Gleichung (3) set zt. Xlan erhält die folgende Glctchung:

P c22 , ( I- + ( E +2 ' (K ) = p 'g · JJ -_· 1 +>" 2

D

4 ·L 2 1r · D 'C2

die mit einer einfachen Umfo rmung auf die felgende Form gebracht wird: [)2 + A ·[) + ß =O

(8)

A= -

2 · 9 . /l

n

= - p.

1':'

>' · l · c~

t1' [1 + 2 . (K + (E ] S· L c-j. [1 + 2 · ( K + (E])

(2, C2 ' s : JJ -

).Iit den gogcbonen Zahlenwerten erhält mau für A und B: A = - 0. 0483 m

B = - 1. 3108 m 2

Die Lösung sformel für die quadratischen Gleichungen (8)

ergi bt die Lösun gen D I = 1, 17m lind D 2 = - 1, 12 nc. Die physikalisch sinnvolle Lösung ist offensichtlich: D I = D = 1,1 71/1.

108

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

b) Zur Über prüfung. ob der Zahlenwert>' richt ig gesch ätzt wur de ist zue rst zu klären , ob die Innenwand des Rohr es hydraulisch glatt ist. Zur Berechnung der Dicke ß der viskosen Uutcrsr-hiehr gilt die nachfolgende For mel : Ll

12,64

- ~ --,-

D

R," . ' J)

C2'

Ucv = - -

D

"

Für d ie Iiey nold s-Zahl R e D erhält ma n de n Wert R e D = :~ . 9 .101\ so dass sich mit der For mel der Wer t!:::'/ D = l , 44 . 10- 4 ergibt. Da s Verhä lt nis k~ / D beträgt k"/ D = 1/200 = 5 . 1O ~ :l, d.h. die mittlere Sandkoruruuhigkeit k" ist größer als d ie Dicke!:::. der viskosen Unterschicht . Die Innenwan d des Rohres ist also nicht hyd raulisch gla tt, so dass der Wer t für >. zweckmäßig mit dem Xikuradsc- Diagramm überprüft wird. Das Diagra mm zeigt , dass für Re/) = :3. 9 · 10ll und D/ k" = 200 der \Yer t "\ = 0, 03 ausreichen d genau gesehätz t wurde.

2 .4 .5

S trömu nge n N ic ht - New t o nsch e r Medie n Rohrström u n g

A ufgabe 2 .4. 20

l ~t I

~

.

-

u(r)

--7

T > Tf

E in R ohr d e r Lä n ge L wird von e in e m N icht-New t o n seh e n B inghamM ed ium durch strömt. Di e Strömung is t inkompressibel, rotation ssy m met r is ch, la mina r und in Strömungs rt chtung a usgeb ildet. D ie s t at isc h en D r ücke Pt und !JZ a n d e n Stelle n 1 u nd 2 s ind kons t a n t ä b e r den Quersc hnitt. D ie Pl ießfunkt.io n duld,. = f(T) d es Bingbam -Medlums s ch re ib t s ich:

~

T > Tf T < Tf

I

L

2

A b b . 2. 4 .20 Rohr st röm un g Xicht-Xcwtonscher xlcdten f(T) = 0 f(T) =

T(f' )

für

0< -

~; . ( T~~)

-1)

-

Tf

< 1 -

für

T(r)

-

Tf

> I

mit der ko ns t ant e n Zäh ig keit p. Es g ilt we it erh in T(I' = R) > rr, D as F luid verhält s ich unt e rhalb d e r Flie ßspannung rt w ie ein feste r e la s tisc her Körper und obe r halb Tf wi e e in N ewt onsches M ediu m . In d er R andzone s t r öm t d a s Newton se h e M ed iu m mit ei nem parabolis chen G es chw indigkeitspr o HI. Die K ernzone ve r h ä lt s ich w ie ein fest e r K ör p e r . a) Man b erech n e d en Volume n s trom fu n k t io n f(T).

V in Abhäng igkei t

d e r a llge meinen F ließ-

b ) Man set zt e filr f(7} die F ließfu n kt ion d es B ingham-Med iums e in und b erechne d e n Vo lu menstrom V.

100

2 .4 Ted lllisd l\' Strömungen

Lö sung: gegeben : IL, Tf, P I, ]JZ, R, L ge s uch t :

v

a ] Für den Volumenstrom in dem Rohr gilt:

v = j 1/(1') ' dA A ~ lit

dA = 2 . 11" . r . dr folgt hieraus:

"

V = 2 ' 11" ' j l1 (r ). r ·dr u ~ Iit

der part iellen Integ rat ion erhält man :

(["(,-)--]""-J- -1'2

2

0

"

du (r )

1'2

dr

2

-.I,

)

\Y('gen der Haft bed ingung gilt 1/ (1' = R) = 0 und für I' = 0 ist 1'2/ 2 = O. Damit fällt der erst e Summand in der Kla mmer weg und es ergibt sieh für den Volumenst rom mit d u/d r = f(T):

V ~ - 2 -, -

J"

C(T)

o

"2

. dr

( 1)

Aus einem Kräftegleichgewich t an einem zylind rischen Volumenelement folgt für die Schubspannung einer aus gebildeten Rohrst römung (Ka pitel 2.4A, H . Ocrtel jr, et al. 2006 ): dp 1" T(') ~ - -
1'w

(2)

= T(r = R ): Tw

R

dp dr

= _ .2

(3)

Dividier t man Gleichung (2) du rch G leiehu lIg(3 ) erh ält ma n für die Schuhspa nuung:

1'(1') = 1'w

t'

'

R

Xach dem Radius r a ufgelöst ergibt sich:

1' = R .1' (r ) Tw

elr = R . d1'(r ) Tw

(4 ) (5)

110

2 G ru nd lagen d er

St rÖIfluJlg~ ""'rhaJl i k

Die Glclcbungon (4) IIl1d (5) werden in d ie G leichung (1) eingeset zt. Da mit berechnet sieh der Volumenstrommit 7(1' = 0 ) = 0 uud 7 (1' = R) = T", aus:

F. = - Jr · -R' · J" f(T)'7 a (r) · d7

"

w

(6)

n

b) Dur ch Aufspal tung des Int egra ls in Glei chung (6) erhält man :

Im Intervall U ~ T(r ) ::; Tf ist r(T) = 0, so d ass d as erste Integ ral zu :\1111 wird . F ür den VO!III1 I1'llstwm gilt damit : \/. =

[{J

- lT ' 7'1

J ' '.

'

r(T) . T (T) . dr

w

Für die Wa nds chubs pannung gilt Int er vall 7(1') 2': Tf ein , folgt:

Tw

> re. Setzt man die gegebene Funktion für f(T) im

Die Int egra tion führ t auf:

(7)

Ans G lck-huug (3) erhiilt Inan für die Wa nd schu hspauuuug:

Diese Wandschubspannung in (i) eingese t zt ergibt als Ergebnis für den Volumenstrom

111

2 .4 Ted lllisd l\' Strömungen

Aufgabe 2 .4 .21

S chwebekörper

v VI'

Durch e in sen k recht s tehen des Rohr d er Länge L und d em Durchme ss er D wird e in N lcht-New t o nsches Med iu m der Dicht e (Jr gep u m p t. Am Eintritt d e s Roh r e s ist d er Druck PI ' am Austritt P2. Die Dr ück e s in d iiher d en Quers chni tt konstant. Die S trörrmng im Rohr ist über die ga nze Länge ausgebildet . Das Gesc h w in d ig ke itsp r ofil ist in Abbildung 2 .4 .21 a d arge stellt:

Ig

--lt zj

I

u(r)

1J1Lt Abb. 2.4 .21 a Schwebekörper

r

Rohr srrömu ug

«(r} =

mit

Il

lllax '

[1 - (20.'.)"]

(1)

Im Rohr sc hwe b t im Abstand TJ / 4 von d er Rohrwand e ine glatte Kugel mit d em Durchme s ser d und d er Dichte (Jk ' Es g ilt d « D , d . h . die Anstr ömgeschwind ig keit d er Kugel is t über d konstant. F ü r die dynamische Zähigkeit d es N ich t -Newt o nschen Med iu ms g ilt fol gende B eziehung: Il,.tr(r ) =

Ji O

K

+ ---

(2)

I ~I

mit d er K ons tanten K. a) U m wa s fii r e in e Art vo n N ich t-Newto nsehern Med ium h andel t es s ich?

b) Wie gro ß ist d e r D ruckverlus t 6.pv = PI in d em Rohr sc hweb t

- ])2

in d em Rohr, wen n keine Kugel

c) Wie groß ist die R e ynolds-Zahl der Kugel anströumng lind d e r Widerstandsbeiwert C w d er Kugel für den vorliegenden Fall'! Lö sung: gege b e n : D = 0, 4 m , d = 5 . 10- 4 m , L = 5 m , Ulllax = 0. 5 m]e. /10 = 9 . 10- 4 ;\'.<;/m 2 , Pr = 1000 kg /m:J, Pk = 2200 kg lm:l, 9 = 10 m / s, K = 0.002 N .JSlm 2 gesuch t : a) Xlcdium , b) 6.Pv, c) Re, c",

a) Fü r d ie Schubspannung der Roh rst r ömung gilt: du

T

du

du 1'\" . (l"T

~ I'," · d;: ~ I'''· d;: + JI~I

(3)

Der Anstieg der Schubspannu ng nimmt nach G leichung (3) m it stei gendem dll/d r langsam a b. Da mit ha ndelt es sich IIIIl ein pscu do pla stischc s Xlcdtu m .

112

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

b) In Abbild ung 2.4.21b sind d ie arn Kont roll ra um wirkenden Krä ft e eingetragen . Dabei sind p p! und F~'2 d ie Druckkr äft e. Fit die Reib un gskra ft lind F~ das Gewicht der Flüssigkeit. Die Kr äftebilanz in vertikaler Richtung ergibt: (4)

Die Dru ckkrä ft e berechnen sich aus:

(5)

Kon tro llraum

/'

(6)

Für die Gewichtskraft ergibt sich: (7)

Die Reibungskraft schließlich wird mit der Schubspa n nung an der Rohrwa nd be rechnet :

- ~ !Fltl

- T(r

~

D . L . rr . D 2")

(8)

Für den Ges chwindigkeit sgradient en ergibt sich :

A b b . 2.4 .21h Kon t rollr a um F lüssigkeit

IIIl1

die

du

,. 2

cl;" = - 24 ' 11",,,,,' Ly l

(9)

Dam it gilt an der Wa nd

1111( 1' = D ) = - 6 . U lna " dr 2 D Eingesetzt in Gleichung (3) und dann in Gleichung (8) erhält man für die Reib ung skra ft .

- I = ( Ilo -Ü " VU m", IFR Die Gloh-hnngon (5 )

~

+ K.

G.

11,,D, , ,,) - L-Jr - D

(10)

.

(i) lind (10) oingesetzt in die Kriifte bilanz (4) ergibt:

rr - D ' - ( 110 ·6 · (PI - p~ - Pr ' .11' L )· '4

Um"" D

+ K-

Hiera us folgt für den gesucht en Druc kver lus t .

,

L

uP\" = P I - p~ = 4 ' D '

(

. 11 ", ,,,, K po ·ij ' D + '

~ YÜ' D j+ Pf ' 9' I.

' ,

= O, ü UH I'

Vergleicht man den Dr uckverlust durch die Reih ung (0, 61 N 1m2 ) mit dem Druckverlus t durch die Höhen ä nderu ng (50()()O N11II 2 ) erkennt man , dass der Ant eil der Reibung vcrnacblässlgbar klein ist.

113

2 .4 Ted lllisd l\' Strömungen

c) Die Ans t römg cschwindlgkctt der Kugel ergibt sich aus keitsprofil ( 1) an de r St elle I' = D / 4:

lJ 7 u(r = - ) = _.

4

8

= 0.44

ll ," a x

(kill

gege ben en Gcschwindlg-

'TI / ;;

(11)

Zur Besuuuuung der Zähig keit des Xlediums wir d de r Geschwindigkeitsgr adient (9) an der St elle r = D /4 benöt igt: du = - _ . _ dr 2 D Eingesetzt in Glei chung (2) erg ibt sieh die d ynamische Zähigkeit an de r Stelle r = D/ 4 zu: P,,'tr(1' = -D ) = Po + K · 4

If?!: IJ

.

;-. - - = 2.4· 10- .1 ,V .<;/m'l 3 tl lll a x

(12)

Die Rcynolds-Za hl der Kugr-lanst romung er giht sich dan n m it den Zahlenwer ten aus de n Gleichungen (11) und (12) lind dCII gebeneu Zahlenwert en:

Der Widerstandsbeiwer t berechnet sich m it der Querschnit t sfläche A k der Ku gel und de r W iderst andskraft p,\\" a us:

(13) Zur Best immung der W iderst andskra ft der Kugel wird eine Krä ftebila nz an der Kugel d urch geführ t:

I/"cl ~ 1/; , 1+ 1/""1 1/; , 1~ li hl -IFA ! Das Gewicht

f1: er giht mit dein Volumen Vk

-

lFe l = Die Auftriebskraft

f\

{Jk -g '

Vk =

(14)

der Ku gel:

, , ' {Jk ' g

G · ri'

(15)

berechnet sich mit

IFAI = ~

(If

-y - Vk

=

1r

.\

G.«

' [lf

(16)

'y

Set zt man d ie Gleichungen (15) un d (16) in Gleichung (14) ein un d d iese dan n in Gleichung (13) erh ält man mit Gleichung (11) für den ('",-Wert: d'lJ' - ( '" c'" = -256 - . -, -

147

jJ " m x

[Ir

- 1) = 0.04 2

_

114

2 G rundlagen der StrÖIfluJlg~"'''rhaJl ik

A ufgabe 2. 4 .22

Viskosität vo n Dlut

B lut is t ei n N ic ht-Newtonsches Medi um, dessen Sc hubspan nu ng näheru ngswe ise mit d er G le ic hu ng: (1)

a ngegeben werden ka nn, m it d en K onstanten C und K. W ei terhin gilt fiir d en Z usam men hang zwischen d er Sc hu bspan nung 7 , d er Sch er rate 7 und d er Viskosit ät d es B lutes /11' mit d er Konstanten t: (2) a) Man b erechne di e ßlutviskosi t ä t

111'

in Abhängi gkeit

V O ll

d er Scherrat e.

b) Man bilde di e G r enzwert e d er b e rechne t en Fu n k tion I l ph ) fiir 1 - 00 und

7 - o.

c] Mau s k izz ie re die ßlut vi skosit ä t in A b h ä ngigke it von der Scherrate.

Lösung :

= 4.8 · 10- 2

gegeb en: C

ky m - 1 8 -

2,

K = 7, 02· 10- 4 k y m -

I .<; -1 ,

gesuc ht : a) II p( 7) , b) lim.,....."'" II p( 7), litu.,....o II p( 7), c] Skizze

t

= 1 8, 7(7 )

II p ("r)

a) Durch Einsetzen von Gleichung (1) in Gleichung (2) ergibt sieh:

Auflösen nach

111'

er gibt:

(3)

b) Der Grenzübergang "r _ 0 von Gleichung (3) ergibt :

.

Inn

1'....0

111'

. (v'1.53· K 'VO +v'2C) v'1 + 7t

= lim

1'....0

Df'1' Grenz überg a ng 7 _

.

.11111 ! l p

, ....=

00

, ....=

= -C . t = L 2 · 10 ~'

~I ~I

(4)

= - K.- = .3 . 10 ~ 4 kym ~ l.s ~ I

(5)

4

k ym

8

von Gleichung (3) ergibt:

(

. v'K 'VO +v'2C

= .lim

2

1.5:J ' v'1+ 7t

) '

2.34

115

2 .4 Ted lllisd l\' Strömungen

c) Aus Gleichung (3) lind mit den G renzüb ergä ngen (-l) und (5) kann die Skizze 2.4.22 für die Funkt ion /lp (1 ) erst ellt wer den . 10"

A bb. 2.4 .22 Viskosit ät des Blutes

2 .4.6

Strömungsablösu ng

A u fga be 2.4 .23

Sc horn stein

E in Fabr-ikschornstein d er H öhe 1I = 100 nI , d essen Durchmesse r vo n unten (du = G m) nach oben «(10 = 0.5 1/1 ) lin ea r ab n immt , wird mit ei ner län gs d er ga nzen Höhe ko nstanten A nströmgeschw indigke it Ux; = 1, G m]» (ki nematische Zä higke it der Luft v = 15 , 1O ~ 6 m 2/ 13 , D icht e d er L uft p = L 23.t !;9/ m 3) a ngeströmt (s ie he Abb. 2. 4.23a) . Für d e n Wider s t and sb ei we r t c- eines Segm entes d er H öhe dz wird di e A bhängi gkeit ew = f(Ih~d ) des K r eiszy lin d ers zu r A bschätzung d er Wind b ela stun g d es Sc hornsteins zugru nde ge legt. Unter d er id ealisi erend en Annahme , dass der W iderstandsbeiwert fiir d e n 1I1lterkritischen Bereich ( Red < 3,5 · 10") d en konstanten Zah lenwert C H = 1, 2 b e t rä gt und na ch s p r u u gar t igem Üb ergang im iihe rk r it isch en Bereich ( Red > 3, 5 ,10:; ) d en kon s t ant en W er t Cw .i1 = 0,4 a u fwe ist (s ie he ge st richelter Verla u f in Ab b . 2.4.23b) , soll d ie W indlas t IV a u f d e n Sc h ornstein e r mittelt werden . W •

u~

/=c=\_ -} d, 11

1,2

3.5' \OS

Ab b . 2.4 .23a Sehorustem

Rct

Abb . 2.4.23b cw - Verla uf übe r Red

116

2 G ru nd lagen d er

St rÖIfluJlg~ ""'rhaJl i k

Lö s u ng : gegebe n: du = Ü 111, d" = U,5 1/1 , II = 100 m, Ux, = I. G m j.<;, v = 15 · 10- 6 (I = 1. 2:34 kq/ m\ HCkrit = ;3. 5 · 10\ ('W ,ll = 1,2 , cc.u = (J,4 ges uc ht : l F

fIl2 j.<;,

Der Wind wirk t an einer beliebigen Stelle z mit der Kraft d W auf ein Kreiszylindersegmeut des Durchmessers d(z ) und der Höhe da. ~ Iit dor Defini t ions gleichung für den Widerstandsbeiwert c.. . erhält man für d l F : dlV =

Cw '

~ .U~ . (/(z ) -
(1)

Die Windlast H' wird durch Int eg rat ion der fechten Seite der Gleichung (1) ermittelt. ihr ergibt sich:

,J

~Iit

11

2 (!( z ) . de cW' I' 2' Uoo'

H =

(2)

o Der Durchmesser d(z) kann unmittelbar m it der folgenden Gleichung angegeben werden , da er linear übel" Z von du auf
d () z =-

d,, -do 11 ·z + d"

(3)

d(z) gemä ß der Gleichung (3) in Gleichung (2) ein gese tzt , ergibt:

J H

H' =

c... . f!.2 ~

. U2

00

. ( -

d" Il - d-, . Z + d,.) . da

(4)

n

Zur Durchfüh rung der Int egre n on ist nun zu klä ren , ob sich der C w - " "ert in dem Interva ll [0, 11] ändert. Da zu sollen die Revnclds-Za hlen Re" und Rf;o ber echnet werden :

Re" = ~U~oo~._·~d~u = (L 48 . lO" v

Der untere Teil des Schornsteins wird also mit einer überkritischen , der obere Teil m it einer unterkritischen Reynolds-Za hl um strömt , da Rco < R Ck ri t < Rc" ist. :\[il der folgenden Rechnung wird d ie Stelle z = Zkr it erm ittelt , an der der Cw - wert schlagar t ig seinen wert ändert. An der Stelle Z = Zkrit hat der Dur chmesser d den Wer t d = d k rit . Xlit der Definit ionsgleichung der Reynolds-Za hl und der Gleichung (3) er gibt sieh die folgende Rech nung: R Ck r it

=

Zkr it

=

U "", ·dk rit

v ,/ . R e kri t (

o; . ( -

= _

v

u= - du

)

d,, - do II . Zk ri t

+ d" )

Il

Das in Gleichung (4) stehende Int egra l wird zur Berech nung in zwei Int egra le aufgeteilt . Der erste Teil st eht für das Intervall [0. Zk rit ], für den C w den Wert Cw = Cw . ü annimmt.

117

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

Der Borelch [Zkrit, 11] ist der zweite Teil der Integ ra t io n, für den c'" den wert annimmt. Man erhält also:

".J., - · - ·u . + J cw,u .~ .u;.,.(_rlu~rlO . z +dll) ' dz p

u

c"'." 2

,

Cw

= cw

."

d" -d,, ) · z + d 11 - de } II

(

""

H

Die in Gleichung (5) vorhandenen Integra le können sich d ie folgende For mel:

IIU II

(5)

gelöst werden. Als Ergebn is ergibt

(6)

:\Iit den entsprechendun Zahlenwerten ergibt sich für die Windlast Ir der Zah lenwer t: IV = 331. 2 N . A ufgah e 2.4 .24

KugeJums trömun g

Körp e r m n ström u n ge n b ei kl einen R e y n ohls- Zahlen (UFD < I m it U = 2·U) we rd en in d e r T ech n ik al s sc h leiche n d e Ström u n ge n b e zei chne t . S ie trete n z. B. a u f, wen n die A nströmgeschwind ig keit k le in h zw , die Viskositä t d es s t r ömenden Med iu ms groß is t . In d ieser Aufgabe s oll die sc h le ich e n de, inkompress ib le St r öm u ng nrrr e ine Kugel mit d ein D u rch messe r D b etrachtet werd e n. F iir e ine solche St r öm u ng e x is t ie r t e ine a naly tisc h e Lö sung d er N avier -S t o kesGlei chungen , die n achfo lgend in Polarkoordina t en r, iJ a ngege b e n ist. Fiir die G esc lIw in d ig keits ko lll pollelltcu 11,., Tl ,} und d e n Druck ]J gilt (vg l. A b b . 2. 4 .24a,

Voo

y I,

;-

, ,

-

Abb. 2.4.24a Sehleiehende Kngelumst römung

, ,

", r

/

Ur

118

Ux

2 G ru nd lagen d er

•

St rÖIfluJlg~ ""'rhaJl i k

Poo - Zustr ömgr öfsen) : 11 ,. =

lJ-x:; . cus(d )·

, " __3 (~)] [1 + I . ( ~) 2' ,

(1)

'

m]

u,, ~Uoo,h,(O) [-l+~ (~)' + ~ P -Px = -

:J'/ I'Uoo . ( -11) 2'1"

T

(2)

(3)

· cos(u)

M it d en Glei chungen ( 1) und (2) läss t s ich die vom F lu id a u f die Kugel ä b e rt r a genc Sch u bspan nu ng ik e rm itte ln . Für s ie e r gib t s ic h zus ä tzlich die fol gende G le ich u ng: Tk = JI '

3 Uoc ' SiU(l}) 2 11

(4)

D er U ll1s t r ö m u llgswid e rs tall d ur e ines Körpers set zt s ic h aus e in e m Dr-uckwid erstand \\'1) und e in e m R eibung swiderstand \ Vn z u sarnrnen, also : IV = II 'p + IVn (s ie he Kapitel 2.3 .2 , H. Ocrtel jr. cl (JI . 2008 ) .

In die s er Aufgabe so ll d er Druck - , R eibungs- und G e samtwide r s t and , d er a u f ein e Kugel mit d em Radius R in e in er sc h le ich e nd e n Ström u ng mit d en Zus t.r öm gr öken Uoo und p ?Q wirkt , b e r e chnet werden. Das s trömende Fluid b esitzt die Zähigkeit p . Lösung : gege b en: UOC, Px., R, Jl gesucht :

H'n , 1t'111 \1'

1. Ber echnung des Dr urk widt-rst andes: Der Druckwide rst a nd resultiert aus der lntegratiuu der in Anströmrichtung wirkenden Kompo nenten der Druckkräfte (horizontale Komponenten in dieser Aufgabe) dFo. x = Pk·cos(u) · d A (sieh e Abb . 2.4 .24b), also: lVI) = -

J

Pk ' co;;(11)· d A

(5)

A

Abb . 2.4 .2 4b DrIH:k- und Schubspannungskräftc

Auf der Flüche dA, die in Abbildung 2.4.24h angedeutet ist , ist der Druck Pk konstant. Das Xlinuszeirhen auf de r rechten Seite der Gleichung (5) berücksichtigt , dass die Kräfte dFb .x für o < 11 < 90 ° in negative . r-Richtun g und für

119

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

!J() 0

< tJ < 180 0 in positive r- Riclu ung wirken. Das Flächenelemen t dA wird wie folgt

ausgedrückt : dA = 2 · Jr - IJ · R · dd dA = 2 · Jr - n 2 - sin (tI) - (11)

(6)

Gleichung (6) in Gleichung (5) eingesetzt, ergibt : I1'p = -

j" Pk·2 - a . R

2

·cos(tJ) -sin(O) - d O

(7)

o Der Konturdruck Pk(tJ) ergibt sich mit der Gleichung (3) mit r = R zu: Jlk =

3 IL - Uoc

- '2 - -

R- . COS(lJ) + Jl"""

(8)

Gleichung (8) in Gleichung (7) eingesetzt , ergibt die folgende Bcs ü mmungsglctchung für den Druckwiderst a nd H'u : 11'1) =

j (~ ._"-H-U-~-

- COs(1)) -

]J"", )

.

2 - JT . R2 . I:os(IJ) - sin( 1)) . du

o

:\lit der Lösung des In tegrals ergibt sich die folgende For mel für Wo: H'p = 2 . 11" - /l . U"", . R

(9)

2. Berechnung des Reib ungswiderstandes : Der Reibung swiderst and lVI{ bestimmt sich mit der Int egration der horizontalen Komponeutun der Ta ngen t ialk r äfte d l·R .... = ITI . sin(JJ) - dA , die von dem Fluid auf die Kont ur übertragen werden, also:

WH =

j

17"1 ' sin(o ) · dA

(10)

A

Dur ch d ie Bet rag sst r iche entfällt die Ber ucksich tigung des Vorzeichens, das für diese Berechnung nicht nötig ist , da sin(I)) für 0 < JJ < JT grö ß('r a ls :\"1111 ist. T

g('mäB Gleichung (4) und d A gemäß Gleichung (6) in G leichung (10) eingesetzt , ergibt:

[" (3'2 ' U~" Rh'( V) )

WR = . /I '

. , . -slIl(t9) · 2· 1I" · R ·slll(tJ) · dt9

""

= j 3 ' 1I" - /I . U"",. R. Sin:l (1}). (h}

(11)

n

:\Iit der Lösung des in Gloirhung (11) vorhandenen Int ogruls er hält man für \ FR d ie folgonde For mel : H'I{ = 4 · 11"' J-l' U"",' R

120

2 G ru nd lage n d er

StrÖIfluJlg~""'rhaJl ik

Der Ges amtwider stand n' setzt sieh au s dem berechneten Druck - un d Reibungswiderst a nd zusa mmen. Er berech net sich also zu: lV = lFp

+ H'n

= 6 . Ir . 11 . Uoo

.

R

(12)

Bilde t mun den dimensionslosen Beiwert :

so er hiilt man die einfache Formel: Cw

o.:

24

D R I.:/) = '-"'---'-

=--

Re/)

\Virbel straße

Aufg abe 2.4.25

All e inem e ngest rö m ten Draht setzt b ei einer R eynolds- Zahl vo n R e kr it = -10 eine p eriodisch e Wirbelablösung e in . B eim E insetzen d er Wirbel straße is t die S t.r o u h a l- Zah l S tr = 0 , 11. Die R e sonanzfrequenz d e s Drahte s b eträ gt 40 s - l . a ) Man b erechne die Gesch w in d igkeit Uoc , b ei d er die Frequenz d er e inse t zen d en Wirhelablösnng d er Ei genfrequenz d es Zy linders entspricht .

b ) M it steigender R eynolds-Zahl steigt die Strouhal-Zahl auf d en für e inen wei t en Derei ch kons t ant en W e rt S t r = 0, 2. Man dimensi oniere d en D r ahtdurchmesse r so, d ass bis zu e iner St r öm u u gsgeschw in d igke it von 10 m]« ke ine R esonanz a u ftr it t. (Die Strouhal-Zahl und die R esonanzfrequenz s in d konstant). Der Drahtdurchmesser s oll ln in destens 10- 2 m b e tra gen. Lösung : gegeben :

R e k ri t

gesuc h t : a) Ux

= 40, St r = 0,2 , ,

in =

40

s - I, V

= 15 · 10- 6 11/2 [ « für b) Ux S 10 m / ;;

b) D

a) Reynolds-Zahl und St rouhal-Zahl sind definier t : Ux · D

Rel) = = '--''v

O-J -

8tr = -

U=

(1)

Aus der Definition der St rouhal-Zahl (1) ergibt sich: U= O = 5 fr · -

(2)

J

Gleichung (2) in die Definit ion der Rcyn olds-Zahl (1) eingesetzt führt zu :

=

v . iR S tr

R e k rit .

Als Zahlenwert ergibt sich für die Geschwind igkeit U x bei der die Freque nz der einsetzenden Wirbela bl ösung der Eigenfrequenz des Zylind ers entspricht: Uoc =: O. 47 m]»,

121

2 .4 Ted lllisd l\' Strömungen

b) Aus der Definit ion de r St rouhal-Zahl (1) folgt: / = :.,'/1' . Uex;

D Da die Frequenz mit steig ender Geschwind igkeit st eigt und mit steigendem Durchmes ser sinkt , gibt es zwei :\Iiiglichkeiten: 1. Die Ablösung muss schon bei hiiherCIl Frequenzen /

> 40

S-I

einsetzen.

Aus (1) er hält man: (3)

Gleichung (3) in die Definit ion der Reynolds-Za hl (1) eingeset zt führ t zu : D2 . / S tr . v

R ('j) = - - -

=

D = J S tr.

R f' kri t ·

7

(4)

Aus Gleichung (4) er gibt sieh für / > 40 8 - 1 ein Durchmesser D < O,OO l n2 m . Dieser wer t ist kleine r als 10- 2 m , d. h. der Dra ht ist für diesen Fall zu dünn. 2. Dip Ablösefreque nz darf die Resona nzfrequenz nicht erreichen (f Aus Gleich ung (2) folgt für / < 40 8 D > 10- 2 m. erfüll t .

Aufgabe 2 .4. 26

1

< 40 8 -

1) .

unmi t telbar D > 0.0;3 TII. Damit ist die Beding ung

Sek u nd ärsfr ömung

Es wird ein K rü mmer b e t ra ch t et , d er über einen k leinen R adius eine ve rtika le Strömung in eine h ori zon tale Strömu ng um lenkt. Im gerad en vert ika len Rohrstü ck vor dem Kr ümmer wi rd eine stat ionäre a usgeb ild ete Rohrström ung vo rausgeset zt. D ie Strömung w ird durch einen Druckgradienten in Strömu ngsrichtung a ngetrie ben . In d e n Rohrst üc ke n s t ro m a u f u nd s t ro m a b des K rümmers wird ein kons t a nte r Druck q uer zur Strömung vorausgesetzt, a) Man s kizziere q ualitativ d ie Str öm ung in dem K r -ü m mer mit den A b lösegebieten . Man erlä u t ere d ie U rsachen für d eren E ntsteh u ng. b) W e lches zusätzliche Ströru u ngsphä uo m e n t r itt bei d er K r ümmerströ m u ng a uf. Man sk izziere qualit a tiv d as St.rö mungsphänomen und erlä u tere d essen U rs a che. c) W ie laute t das Ablösekriterium? Lösu ng: gege ben : Kr ümmerst röm ung ge s ucht : a) Skizze Krüm merst römu ng. b) Skizze zusiitzlid l{'s Strönnmgsphänomcn , c)

A blös okrit nrium a] Durch dte Zentri fugalkräfte ist der Druck a n der Außenwand des Krümmers höher al s an der Innenwa nd. Das ha t zur Folge, da ss an der Außenwand im Krüm merei nla uf ein

122

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

-

B.

mnen

- - oh ne Ablösu ng - -

m it Ablösun g

Abb. 2.4. 26a Krummerst römung POSltIH'f Druckgr adient en ts t eh t , der bei eine m kleinen Kr flmmuugsradius so groß ist , dass er eiue Strömungsablösung an der Ankenwand bewi rkt. Xarh dem Krümmer IllUSS sich der Druck wieder ü ber den Quer srh nit .t ausgleichen (es wirken kcinu Zont rifugalkrüfto mehr), so dass es zu einem nega tiven Druckgradienten an der Außenwand kommt, der zu einem Wipdcfilnlcgell führ t (siehe Abh. 2.-!.2Ga) .

An der Inne nwa nd des Kr ümmers entsteht durch die Zentrifugalkrä fte ein niedrigerer Druc k, der dazu führt , dass der Dru ck an der Innen wand bis zum Krümmer a bnimmt. Nach dem Krüm mer muss der Druck sieh wie bereits erwähnt wieder ausgleichen. Da s hat a n der Innenwa nd einen Dru ckanst ieg zur Folge , das heif.t einen positiven Druckgra dien t en . Dieser führt da nn direkt nach dem Krüm mer zu einer weiteren Ablösung an der Innenwand (siehe Ab b. 2...t .2Ga ). b) Infolge der Zentrifugalkraft tritt eitle Sekundärströmung auf (siehe Abb. 2...t .2Gb).

t Abb. 2 .4 .26b Sekuud.irströmung im Krümme r

In der Xlittc des Krüm mers ist d ie Geschwind igkeit höher als in der Grenzschich t an den Seitenwänden. Da mit ist auch d ie Zent rifugalkraft in der :\Ii tte größer als an dun Seitenwiindon. Dad urch wird das Fluid in der :\Iitte nach außeu get rieben. Das ist auf Grund der Kontinu it ät uur müglich, wenn in der G ren zschich t an den Seitenwanden sowohl oben wie unten eine Ausgleichsbewegung stattfindet. Das hat einen Doppelwirbel zur Fo lge , der der Ha u pt strömung überlagert wird.

'w

c) Das Ablösekriteriumlautet = O. Hier aus folgt für ein Xewtonschcs Xlcdtum in Wandnähe, mit T = 11 ' (DuI Dn), der Strömungsgeschwindigkeit 11 und der Koord ina te 11 normal zur Wa nd

Ö1I 1 Du

= 0

w

Das heißt , sobald de r Geschwind igkeitsgra d ient an der Wa nd negat iv wird tritt Ablösung auf.

123

2 .4 Ted lllisd l\' Strömungen

2 .4 .7

Strö m u ngsmaschi n e n

Aufgabe 2.4 .27

Pumpenausle gung

P,

,- - (r.V'..t:'

h'l

"--'- t=jQ) L,

Aus e inem B ehälter mit d em Atmosphärendruck PI = 0.98 bar s oll W a s ser mit e iner Pumpe in e inen B ehälter mit p,,> = "' bar gepumpt werd e n . Die Pumpe w ir d in e iner Höhe h l über d em W as serspie gel 1 a u fge s tellt (s ie he Abb. 2. 4 .27) . D e r W as se r spie gel 5 im o b e ren B ehälte r b efinde t s ich in e iner H öhe vo n 11" = 10 111 üb er d em W a sser s pie gel 1. D e r E int ri tt d er R ohrlei tung in d en o beren B ehälter h ei 4 lie gt u m die Höhe hJ, unter d em oberen W as serspie gel 5.

D er Durchmess e r d er Saugrohrleitung (Lä nge [,,2) bet r ä g t D2 = 0 , 125 m . Die Gesch w inA b h . 2.4 .2 7 wasserpumpe digkeit in d er Pumprohrl eitung ( Länge L:l , Durchmess er D 3 ) b e trä g t (;3 = "' 1II/s. Aus e in em K atalog s oll e ine p a ss ende P u m p e a usges ucht werden. D a s W a sser st römt a n d er S t elle 4 a ls Fre istra h l in d e n o ber en B ehäl t e r . A us d em K a t alog is t e rs ich t lich , d ass d e r N PS H-Wert (n o m inal pump s uctio n h ead) d e r Pumpen mit N PS II = 4 m ange geben ist . Dies b edeutet , d ass mindestens die Z U lU ka vl tat io ns freie n B e t rieb d er Pumpe b enötig t e H alteenergie (entsp rech e n d e in e r W a ss ers äule vo n 4 m ) vo n d e r Anla ge a ls kine tische E nergie und als Le is t u ng d e r D ruckkr aft a n d er S telle 2 a bz iig lich d e r Lei s tung d es D ampfdruckes d er Fl üs si gkei t z ur Ve rfiigung gestellt we r d e n IUU SS. D e r D ampfdruck Pu is t 23 , 4 mbar, Man b estimme d en Volumenstrom. die m a ximal mögliche Höhe h l ",''x in d er die Pumpe a u fge s tellt we rden kann und die b enötigte F örd erh ö he I! d er Pump e , uln e ine geeignete Pumpe aus wählen z u können. Die Dicht e und die Vi skositä t d es W a ss e rs s in d kons t ant. Die Pump e a r b e itet ver h astfrei. Die B ehält er s ind so g r oß, d a ss die W e ss erspic g olh öhon a ls konst ant b etra cht werde n k önnen. Die R ohrleitungcn s in d hy draulis ch glatt. Lösu n g : gege ben : PI = 0.98 /mT, }I:', = 4 bar, Po = 2:3 .4 mber, (J = !J98 kg /m :l , v = 10- 6 m 2 / 8 , ra = 4 111 / 8 , D 2 = 0 , 125 m , D:l = IkL m " L 2 = 6 11I, L 3 = (i 11I ,

ges ucht :

L3 = 6

v, h l """"

111,

h" = 10 1/1 , N l'S lI = 4

/Tl ,

g = 9.8 1 m/s 2

H

Der Volum enstrom berechnet sich aus der Konü nutt ärglcichung: ( 1)

124

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ "'''rhaJli k

Die Gesch wind igkei t im Saugrohr er hä lt man mit der Kou u nuit ät sglclchung:

"4 . D 2 • ca

'11"~

V2

0=

ca == (;3'

(~:)

2

V1 ==

== 2.56 m]«

Die Bcruoullt-C lcichuug zuz üg lich de r Verl ust e folgen de Gleichung:

Xlit

CI ~

0 , Z2 -

ZI

"411"2 . D I • ca

'

0=

(2)

d er St elle 1 bis zur Stelle 2 ergibt

WJIl

== h I u nd d er Definit ion d er Haltehöhe der P u mpe folgt

P '!J ' ArPS /! 0:; P2 + f!. 2 . (;~ - PD == PI - PD - p '!J ' h l

- !....2) . C3 . '>'2' _L_,

D,

(3)

Fü r d ie maximale Aufstell höhe h l '"a" der P u mpe gilt dann: p . y ' N PS H == P I - Po - P '!J ' h 1 lll " "

h l lll ",, ==

P I - PD

,.

- A P S l l- -

p 'g

1

e.2 .C~· '>'2·.!:.:.. o,

-

L2

2

(4)

- ' ('2 ' A:Z ' D2

2·g

Der Verlu st boi wer t .>. h iingt von de r Reynolds-Za h l a b . Diese ergibt sich ans R c/) == C2 . D 2 / 1) zu Rco == a . 2· 10". Da mit kann der Verlust be iwort a us der implizit en G lcir-hung von P randt l:

:x

== 2 · log lO ( Re/) .

J>:) -

0, 8

1

.>. == [logl o(Rc7J ' '>')

(5)

0. 8]2

berechnet werden. Die Berechnung erfolgt it erativ mit G leichun g (5). Es wird mit einem Start wer t von .>. == 0 ,02 begonnen. Xnch 2 Itera t ionen ist der Verlust beiwert genügend gcnau best imm t u nd man erhält '>'2 = 0 . 0 14. Da mit kann jetzt mit Gleichung (4) d ie ma ximale Aufs tellh öhe er mi t telt werd en. Sie ergib t sich zu h l "' «x == 5, 6 1//. Zur Berechnun g d er ben öt igten Fördorhöhc de r P UIIlJle wird d ie Bernoul li-Glcichun g zuzügli ch d er Verl ust e von d er Stelle 3 b is zur Stelle 4 aufgestellt : P :\

:\Iit

C4

==

+ 1'2" ' (; ':j + P . 9

(;3 , Z4 -

P3

Z3

P

. Z:\

== h" - h 4 2

+ 2" . (;3

-

== Ps +

==

]Jol

+ 2"P ' (;42+ P

. !J . Z4

+ '2'.. p . •..~ . . '". . .

h t u nd der Freist rah lbed ingun g P 4 == (J

2

P

2

2" . (;3 + (J'!J ' (h 5 - hd + 2" . C:l ' \ \ .

P"

L3

D :\

+ p. !J . h 4 folgt: (6)

125

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

Die Reynolds-Zah l ergibt sieh hier zu Rel) = C3 ' D3 /v = -l . 105 • ). {jt der impliziten P ra nd tl-Gleichung (5 ) folgt nach 2 Itera t ionen A3 = 0.014. Aus Gleichung (3) erhält man : P2

+ -fJ . C22 2

=

PI -

o:g . 11 1 -

2

L A2 ' - 2 D2

'G-

P2 -

fJ 2 - . C2'

(7)

Für d ie benötigte F ördcrhöhe der Pumpe gilt: P ·9· 11 = A I = A pllPs = P3 +

~

~ ·c~

Xach der F ördcrhöhc aufgelöst und d ie Gtelchungen (2), (6) un d (7) eingeset zt ergibt sich:

H -= h 5

+

Aufgahe 2.4 .28

Po-

p, p'y

L, + (D,), ' ]= 52. :3 ' A2 'L -

+ - cj . [ I +A:1 ' 2 '!J

D2

D :\

D2

TrI

A xiallaufrad

Zur B e schreibung d er Strömung in e in e m Axia llaufrad (s ie he Abb. 2.4 .28a) benutzt m an Geschwindigkeitsdreiecke , insbe sondere fiir d en Strönmngsverlauf am La u fr a d - Ein- und Austritt. Mit Hilfe d e r G e schwindigkeitsdr eiecke in d en dre i e in ge z e ic h n e t e n Schnitten a n d er N a be (S ch n itt 1) , am G ehäus e (Schnitt 3 ) und in der Mitte d er Schaufel (S ch n itt 2 ) und a u f der Basis fol gend er Auslegungsda t en. Innenr adius R 1 = :1.10- 2 11I, Außenradius fl:\ -= 6 .10- 2 1/1, Vo lumens trom V -= 120 m:l/h , Drehzahl n = :30()O mir, -I , G e s amtdruckerh öhung t:J.Py,<" = 40 Pa , Wirkungsgrad 1/ = 0,4 b ere chne man:

a) die s pezifisc he Drehzahl 11, d e s A xiallaufrade s , W ah l e in es A xi allaufrade s ver n ii n ft ig ist ,

UIII

z u Ilberprflfen ob die

b) die G e schwindigke it skompollellten Cl ll. h CI"" cza.t und C2m der Ahsolutgeschw ind ig keit im E in- und Austritt und die Ein- b a w . Austrittswinkel Pl.i und

, 3

2 Schnitt I Nabe

Abb. 2.4.28a Axiallaufrad

126

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

ß2.; j e weils in d en d rei Koaxia lsch n itte n i = 1, 2, 3, we n n d ie Strö m u ug a m E in-

t ritt drallfre i is t . Lösung : gege b en: Axiallaufrad, R ] = :3 · 10- 2 m, Ra = G · 10- 2 711 , V = 120 m:J jh , n = :3000 min- 1, Ap/l;<'s = 40 P a, 'I = 0,4 , P = 1,205 kg /l1I \ 9 = 9. 8 1 m / 82 ge s u cht :

a) 1t~ , h)

C1\1,;, CI " " Cl" .;, C2""

ßI.i'

ßl.i

a ) Die spezifische Drehza hl ist definiert als : (1)

mit der Fördcrhöhc H = !:::.a/ g. Für die spezifisehe Arbeit 6,0 gilt 6, (/ = 6.[/ (1 mit der volumenspezifischen Arbeit t::.. /. Eingeset zt in G leichung (1) erhält man: Tl

_ !7; , -n·V V·

(P-l>/'9)"" -

(2)

Die volum enspezifische Ar beit entspricht der Gesa mt d rucker höhung übel" detn La ufra d (Al = 6.1',,;,," ). In G leichu ng (2) eingesetzt, ergibt sieh die spezifische Dreh za hl: Tl "

=

Tl '

p.q "" vV. · (~ ) = u. p !\,,"

220

. TIlIll -

1

Für spezifische Drehza hlen n, > 150 m in - 1 werden Axiallaufr-lider verwendet . Da mit ist mit den gegebenen Auslegungsdaten die Wahl eines Axiallaufrades vernünftig. b) Aus der Kontluuttä rsgletchung folgt , dass die beiden axialen Geschwindigkeit skomp onenten gleich sein müssen (cl m = C2", = cm ) . ;"Iit der Kontinui ät folgt dann:

V. = Hieraus erhält ma n für die axialen Cm =

CI ",

=

C", •

1T' (R '3

-

R'I )

G e~eh w indi ~ k('i t skotn ponellten :

C2" ,

v

= 1T . ( R~

.

Ri) = .3.9 m]»

Der Radius im Mittelschnitt berechnet sich als arithmctischers Mit tel des iiußf'rcIl un d inneren Hadius: (3)

Damit folgt für die Umfa ngsgeschwindigkeiten in den drei Schni tt en:

U; = 2 ·1T· H.; ·n

(4)

Eine dra llfreie Zuströmung bed eutet , dass am Eintr itt in das La ufrad die Absolu tgcschwlndigkeit keine Komponent e in Umfa ngsricht ung besitzt (cl " .} = Cl u.2 = C l u.3 = 0). Damit können die Gc schwindig kcit sdrcicckc, wie in Abbil dung 2.4 .28b gezeigt , skizziert werden.

12 7

2.4 Ted lll;sd l\' Strömungen

Für den Eint ritt swinkel (4 ),

ßI folgt dann aus dem Gcschwlndlg kelt sd rclcck und

ßl.; = uretau

( _U_,)

= aretau

CI ",

Gle ichung

(:2_,cnc,_'oJlo'_'':':' ) Clm

Als Zahlenwerte ergeben sich daraus die Winkel ßLi = 75°,

ßLZ

= .s2, 9° und

ßl.3

= 87°.

Für die Au mobslelstung L fl.~~ des ax ialen La ufra des gilt mit der Dra llfreihei t am Eintritt (die Umfa ngsgeschwindigkeit en am Ein- und Austritt sillCt gleich] :

L,,<:s = Unt er ( L",,~ ·

A b b . 2 .4 .28b Geschwindigkeitsdreiecke des Axiallaufrades am Ein- und Aust ritt

U, (cz1I -

ril'

CI1I)

= rh, U,

CZ

n , (5)

Ber ücksichtig un g des Wir kungsgrades 1/ = I, = 6.0 ' Ih) folgt aus Gleirhnng (5):

Cla = Cll = Clp"('~ = U ' CZ n '}

C2n

P "I

P "}

6.Pj1;" ~

=

P " I' U

Da mit ergibt sich für die Ax ia lgeschwindigkeiten im Austritt mit. G leichung (4): CZn.i

"' ------;o;= ;:;-,-__l>"'p"'C 2 , 1r " )' 11' p: R ;

(6)

Die Za hlenwer te er gebeu: : {'Zu. I = 8,8 m /,~, {' Z1I.Z = 5,9 m /s und {'Zu .3 = 4,4 m]«, Aus dem Geschwindigkoit sdr r-ieck in Ahhilclung 2.4.28h ergibt sieh die folgende ß eziehung:

ß2 = a ret au (

U-C '«) CZn l

:\Iit G leidlllng (4) erhiilt mau für den Austrit tswinkel. ß2.; = aret au (

2 , r . R;· n -

C211';)

:\Iit den gegebenen und berechneten Zahlenwerten folgt daraus und ß2.:! = 83. 2°.

A u fga be 2.4 ,29

(7)

CZ m

ßZ.I

= 10°, ßz.z = 71.9°

--

R adiallaufr ad

Zu r Kühlung von Bau e lem e nten so ll Luft m it ein em R adiallüft er geförd ert werd en (si ehe Abb. 2 .4. 29a ). D er Rad ia lliifter h a t ein e A n triebsleist ung vo n L = 20 W u n d fördert e ine n Vo lumen s trom V = 180 m:! /It bei ei ner Dre hz a h l VOll 11 = 3GOO /Hin - I. D er A uße nradi u s d es L üfterr ades is t Rz = 8 · lO ~ z 111 .

128

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

Abb. 2 .4 .29a Radiallüft er

a) Man ze ich n e die G esch win d igke itsd r eiecke a m E intritts- und Austrit t squersc h n itt (S t ell e 1 und St elle 2 ). b ) Man b erechne di e U m fa ngs ko m p o ne nte C ll 2 d er a b so lu t en G es chwin d igke it im Aust rittsquerschnit t (St elle 2) , we n n d er Lüfte r mit einer d rallfreien E int r itt str öm u ng arbeite t.

C2

Lö sung : gege ben: Hadiallaufrad, L = 20 W , 3 (J = 1.205 kg fm ges u cht :

V=

a ) Ges chwmdtgkett sdreteckc, h)

180 m ;Jjh ,

11

= :~()(lO m in -

I,

Hz = 8 . 10- 2 m ,

C 1l2

a ) Im ra dialen Laufra d st römt das Fluid scn kroch t zur Dreha chse ein lind wird in die La ufra deb ene utngegelenkt . Dann tritt das Fluid ra dial an der Stell e 1 in die Schaufehl des La ufra des ein, erflihrt einen Drehimpuls und tritt an der Stelle 2 ra dial m it erhöht er kim-useher Ener gie wieder aus . In Abbildung 2.4.29h sind dil' zllgehiirigen Gcschwindig keit sdn-ierku an de n St ollen 1 und 2 skizz iert. Fiir den Ra dia llüft er gilt immer C2 > ci , 112> 111 und W l > 1J!2• .Ic kleiner die Umfangskom pon ente de r Absolutgeschwindigkeit CI" im Eint ritt und je kleiner der Allst r ittswinkel (\ 2 zwische n der Absolu tgeschwindigkeit un d der Umfangsgeschwindigkeit s ist , d. h . je /;!;riißer ('2" ist , desto effizienter ist das Laufra d. b) Die Ant riebsleist ung L des ra dialen La ufrades berechnet sich aus: (1)

F ür den )'Iassenstl'O lil gilt

Til

=

[J '

V. Da mit folgt aus Gleich ung (1); (2)

120

2.4 Ted lllisd l\' Strömungen

A hh. 2 .4 .2 9h Oeschwiudtgkctt sdretecke im La ufrad am Eint ritt (Stelle I ) und am Aust ritt {Stelle 2) Aus der Drallfreiheit im Eintritt folgt

=

Cl "

o. Da mit ergi bt sieh aus L

(3)

cz" = --,.;;:-p· V ·uz

F ü r die Umfangsgeschwindigkeit

Jl2

Gleich ung (2):

gilt:

112

= 2 . 11"

• /(2 • 1!

In Gleichung (3) eingesetzt folgt schließlich für die Umfangskomponente der Absolutgeschwin digkeit im Aust rit t : C2 ,,=

L

•

2 ·1r·p· V · R 2 · u

= ll mI~

13 0

2.5

2 Grund lagen de r St rÖIfluJlg~ "'''rhaJli k

Aerodynamik des Flugzeuges

2 .5 .1

P rofilstr ö m u ng S t r öm u n gsabl ösu ng a rrr Profil

Aufga b e 2 .5 .1

c

•

"" '==-'w/

1.0

0.5

I

I

I

/

/

/

Es wird ein U nterschall p rofil b ei d e r Anström-M ach-Zahl ,Hoc b etra chtet. In Abbildung 2 .5 . l a ist d er z ugeh ör ige Auftriebsbeiw e r t Ca in Abhängigkeit d es Ans t ellw inkel sl n aufge tragen. Durch Vergrößerung d es Ans t ellwinkels w ird d e r A uftrie bsb eiw ert e r h öh t .

",, -

\

/

a ) \Vie läs s t s ich e r k lä r e n, d a ss d er A uft ri eb fin- 0 > 0 k r it z u sa m menb richt ?

a

10'

b ] Skizzieren Sie d ie Stromlinien und die DruckverteiIungen a u f d e r Obe rund U nt e rseite d es U n t e rsc hallp r ofils fiir die Anstellwinkel 0' ::::: 2°. Cl ::::: 10° und n > nkr it .

c ) B ei Star t und Landung e in es Verkehr sflugze u ges w ird b ei verringerte r F luggeschw in d ig ke it die F läche d es F liige ls mit Landeklapp en an der Vorde r- und Hint e rkante d es Pro fils erh öht , um d en Auftri ebsbeiwert Ca zu vergröße rn (si ehe gestrichelte K u rve in A bbildung 2 .5 .1a). G le ichze itig w ir d d e r Ans t ellwi nkel n d es P r ofils a u f n ::::: 10" ve r g röße r t .

A bh. 2 .5 .1a Aufr riebsbr-iwurt hiingigkeit des Anstellwinkels ( l

CR

in Ab.

Sk iz zie ren Sie d ie Strom lin ie n und die Druckve r t eilungen a u f d e r Obe r- und U n terseit e diese r Hochauft ri ebskonfigurat ion. Lösung : gegeben:

enterschullprofil umst römung

a) Ursache des Auftriebszusammenbruches bei sehr grofs-n Anstellwinkeln , h) Skizze der Druckvcrn-ilungcn für verschieden Anstellwinkel, c] Stromlinien und Druckvert eilung einer Hocha uftr iebskonfigur at ion a) Bei hohen Anste llwinkeln kommt es ZIl einer Ablösung der Strömung auf der Oberseite des P rofils. Da bei entsteht hin ter der Ablösung ein zeit lieh gemln oltcs Rückst römgeb iet mit konsrantom Dru ck. Ist schließlich der Anstellwinkel (l grö ker als der kriti sche Weft (l kr it beginnt d ie Ablösung bereits an der Vorderkann. des P rofils. Da mit ist der Bornich des konsranteu Druckes bereits im Herelch der nrsprünglichon Saugspitze des P rofils und die Druckdifferenz zwischen Ober- lind Unt erseite des P rofils wird drast isch reduziert. Damit bricht der Auftrieb zusammen. gesuc ht :

b) In Abbildung 2.5.1b sind die Stromlinien UIll die P rofile und die zugehörigen Vertcilungon der Druck beiwerte auf der Ober- lind Unterseite für die Anstellwinkel n :::::; 2", n :::::; 10" und ( l > nk rit aufgetragen .

Abb. 2.5.1b Druck vert eilungen winkel u

CI'

der Profiltunst römung für verschiedene Anstell-

Für n ;::::; 2° haben wir eine ablösefreie Umströmuug des P rofils. Auf der Oberseit e des P rofils bildet sieh im Bereich der Vorderkante eine starke Saugspitze aus . Durc h die Geometrie des Flügels wird die Strömung auf der Oberseire wesentlich stärker beschleunigt , so dass der Druck au f der Olwr seite wesentlich geri nger ist als auf der Profilun ters eit e. Durch eine Erhöhung des Anstellwinkels kommt es zu eine r weiteren Beschleunigung auf der Oberseite und einer leichten Reduzierung der Geschwindigkeit a uf der Unt erseite des P rofils , wodurch die Druckdifferenz erhöht wird und der Auftrieb ansteigt. Dei n ;::::; 10° kommt es bereits a uf der P rofiloberseit e zu einer Ablösung mit einem zeitlic h gcmiu cltcn Rückst römgebiet mit konstantem Druck im Bereich des hi nteren P rofils. Hierdurch schwächt sieh die Zunahme der Druckdifferenz übe l" das P rofil ab und es kommt zu einer Verring erung des Auftriebsaus ti eges.

°

Für > 0hi t ist die Ablösung schließlich zur Profilspit ze gewandert. Da mit ist , wie bereits in Teila ufga be a lx-schrieben, der Ber eich des konstanten Dru ckes im Bere ich der ursprünglichen Saugspitze des P rofils und d ie Druckdifferenz zwischen Ober- un d Unterseite des P rofils wird dras t isch reduziert. Dieses hat den Zusammenbruch des Auft riebs zur Folge. Da bei kommt es unter Umstä nden wie in der Skizze gezeigt im Bere ich des hinteren P rofils zu einem Wied er a nlegen der Strömung. c) In Abbildung 2.5.1c sind die Stromlinien der Hochauft riebskonfigur a t ion gezeigt . Die Strömung geht unter anderem durch die Spalte zwischen Vorflügel und P rofil bzw . P rofil und Kla ppe. Hier durch wird zum einen Energie in die Gre nzschicht des P rofils transportiert , ZUIll an deren wird die Aust römuug des P rofils verbessert . Das fiihrt daz u, dass bei (} ;::::; 10° die Ablösung auf der Obors eirn des P rofils vermieden wird, wodun :h die Druckdi ffcrcnz übe r den Pliigel höher ist (siehe ('I,-\'erteilung der Abbi ldung 2.5.1<:).

132

2 G ru nd lage n der

StrÖIfluJlg~""'rhaJlik

Z us~it z lich ist die Verdr ängnngswirknng über die gesa mte Hochauft r-iebskonfigura t ion gr üJser , so dass höhere Geschwindigkeiten und damit nied riger e Drücke au f der Oberseite ('1'reicht werde n. Schließlich vergrößert die Hocha uftr iebskon figura tion au ch noch die Fl äche a uf die der Unte rdruc k wirkt. Dieses führ t insgesamt zu einer erhebliehen Steigerung des Auftri ebs un d erm öglicht dadurch nied rige Flugge-

schwindigkoi tcn.

x. L

o

a = 10°

Abb. 2. 5.1 c St romlinien und Ver t eilung des Druckbelwe rtes e p der Hocha uft n ebsko nfigurat.ion

Aufgabe 2 .5 .2

P rofilums t r ömung komprc,,;hcl

I I

v

I

I \ \

inkompress ibel

o

0.5

1.0

\

1.5 ,\ 1",

A b b. 2 .5.2a Auftriebsbeiwert Ca in Abhfingigkeit de r Flug-Mach- Zah l Al x

U m die Druckverteilung a n einem Tra gflü ge l e ines Verkehrsflug zeuges z u d iskutie r en , wird e in t ransson isc hes P r ofil m it d e r Geo metr ie d es Tragflügelq uersc h n ittes h etr a chtet. D a s P rofil w ird mit d e r M ach-Zah l J /""" a ngest r ö m t. In Abb . 2.5 .2 a is t die z ugeh örige Auftr-iebs b eiwert Ca in A bhängigkei t d er Ans tröm-M ach- Zahl aufgetrage n. Bei d e r F lug- M a ch-Zahl "f.,. o ~ (1. tl b r ic ht d e r A u ft rieh d es transson isc hen P rofils zusamm e n .

a ] Erkläre n Sie dieses P hän omen .

h) Sk izzieren Sie die Drnckverte ilungen a u f d e r Ober- und Unte rs eite d es Profils fiir die Anst rö m -Mach-Zah len J\lx ~ 0, 5, "/oe ~ 0, 8 und J\l""" ~ 0, 9. Lösung : gegeben : transsonische P rofilums t römung gesuc ht :

a ) Ursa che des Auft riebszusa mmenbruches hei seh r hohen transsonis chen Ans t r öm-Mach-Z ahlcn, h) Skizze der Druckver teilungen für verschi eden Anst rö m- Xlaeh-Zahlen a) Der Vcrdich t uug sst ok der das lokale Überschallgebiet auf de r O berseit e des Profils ahschlie ßt ist bei der Anst rum-Mach-Za hl M x ~ 0, tl zur Hint er kante des P rofils gewandert. Da mit crstreckt sich das Überschallgebiet über die gesa mte Oberseite des P rofils.

133

2...., A"rodyn",mik ,!\os Flugzeuges

I

-v,

1

\-

Abb. 2.5 .2b Druck verteilun gen cp der transsonischen Profilumströmung für Anstr öm:'. Iach-Zahlen xi; Dadu rch ändert sich die Druc kverteilung auf der Oberseite bei weiterer Steigerung der Anst r öm-Mach-Za hl nur noch unwesentlich. Auf der Unterseite entsteht bei dieser hohen transsonischen Unt erschall a nstr öm-xlach-Zahl ebenfalls ein lokales Überschallgebiet. das mit steigender Anstrian-Mach-Zahl immer gr ößer wird . Dieses hat zur Folge, dass die Druck differenz zwischen Ob er- und Unterseite imme r weiter reduziert wird und somit der Auftrieb drastisch abnimmt. b) In Abbildung 2.3.2h ist die Vorteilung des Druckbeiwert es ('" auf dem P rofil für die Anström-ylach-Zahlcn M x ;:::: 0, 5, M x ;:::: 0. 8 lind -' Ix;:::: 0, g skizziert. Für die Anström-:'. lach-Zahl .H'X;l;:::: 0, 5 liegt eine reine Unterschallströmung vor, d. h. es entsteht kein lokales Üher scha llgobiet auf dem P rofil. Auf der O l ll ~rseit {' des P rofils ist die Beschleunigung stjirker , so dass es hier zu r-iner höheren :\Iadl-Zahlund damit zu einein goringeron Druck als auf der Unterseite kommt. Bei der Anstrian-Mach-Zahl M x ;:::: 0,8 hat sich auf der Oberseite eine lokales Übcrschallgebiet ausgebildet. Dieses führt zu einer starken Drucka bsenkung a uf der Oberseite und damit zu einem Anstieg der Druckdifferenz über das P rofil. Dieses hat einen starken Anstieg des Auftriebs zur Folge. Erhöht sieh die Anström-Mach-Zahl auf den Wer t M x ;:::: 0. 9 erstreckt sieh das lokale Überschellgebiet über die gesamte Oberseite und es bildet sich , wie berei ts in Aufgabenteil a erwähnt , auf der Unter seit e des Profils ebenfalls ein lokales Überschallgebiet aus . Da mit wird die Druckdiffer enz iiber das P rofil reduziert und der Auftrieb nimmt drastisch ab . 2.5.2

Tragftiigel strömung

Aufgabe 2.5 .3

G epfeilter t r a ns so n is cher Tra gflü ge l

Verkehrsflugzeuge fliegen mit ge p feil ten t ransson isc hen Tragfliigeln b ei d er Aus legungs- M ach- Zahl Mx::::< 0.8 . F iir einen ni cht ge pfellten Tra gfliigel e r höht s ich e ntsp rech e n d d e r Abbildung 2 .5 .3 a d er W iderstandsbei we r t C w gegenü b e r d emjenigen bei d er A n strö m -Mach - Zah l vo n Mx ;:::: ü.ö . Durch die Pfeilung des 'Tragfl üg el s w ir d d er Anstieg d es Widerstandsbeiwertes zu höhe ren AnströmMach-Zahlen vers choben.

134

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ "'''rhaJli k

a ) Erk lä r e n Sie d en E ffe kt d er Pfcilung dur ch B etrachtung d er lokal e n Mach Zah l d es gep fellt e n Tragfliigels .

b ) Skiz zi e r en Si e die Kurve n d es Widers t a n d s b e iwe r t es Cw in A b hängig ke it d e r F lug-Mac h-Zah l M x fii r die Pfeilwinkel 4> = (J0 und
o

0.5

1.5 101",

O.H 1.0

Abb. 2.5 .3 a \\" id ('r~ t aIJ(ls hei w('r t C w in Abhä ngigkeit der F l \l g- ~d a ch - Z a h l si; Lö sung . gege b en: traussonisehe P rofilnms t römuug gesuc ht :

o

a) Effekt der P feilurig. h) Skizze des Verla ufs des Widerst a nds!lt'iwert es für zwei Pfeilwinkel u) Die effektive Ans tröm-X lach-Zahl des Tragflügels ist die Mach- Zah l M n . x , die normal zur Vorder ka nte des Flügels steht. Hat der Flügel die Pfeilung
0.'

Abb . 2 .5.3b Widersta nd sbeiwert C w in Abhä ngigkeit der F l \l g- ~ I a ch - Z a h l si;

b) Ans Aufgabenteil a folgt , dass die Kur ve des wtdcr st a ndsbctwert es durch die P feilung nach rechts verschoben wird. Da mit ergibt sieh die in der Ab bildung 2.5.3b skizz ierte Verteilung des \V i e kr~ t a ll{l sb ei wert e~ in Abh ängi gkuit der Anström-Mach-Zahl für einen P feilwinkel von = 45°.

2 .6 Strömllng('ll m it

2.6

135

\VärTTl('ül)('rtragllllg

Strömungen mit W ärmeiibertragung

Aufgabe 2 .6 . 1

Aqua rium E in m it W a ss e r gefü llt es Aquarium d e r Länge L und d e r Brei t e n soll die konstante Tem perat u r To h aben (si ehe Abbildung 2.6.1 a) . Dies er Forder u ng wi rkt wä rmeentzi ehende Luft (dynam isc he Viskosit ä t JtLu fd über d er fr ei en Oberfläche des A quariums mit d e r T empera tur Tl und der S t r ö m u ngs gesch w in d igke it 111 e n t gegen . D er Wärmeübergangskoeffizi ent b er echnet s ich mit :

I

' I

x Aquarium

T"

1-

L

_I

x

Abb. 2 .6 .1 a Aquarium

11 = -

,''''·u

L

(1)

Die N ussalt- Zah l Nu/. lä sst s ich für e in e turbulente S t r ö m u ng unte r d e r Vora u sse tzu ng konstanter Prandtl-Zahl P r in d er Te m perat u rgrenzsch ich t und d e r R e ynol d s-Zahl Re !, näherungs weis e iibe r die Gleichung

• Nu/. =

O. ü..t . R eo,'!'. . P r Ol '·

1 + 2. 4 · R e!• . . (p ,.O.67 - I)

(2)

b e rechnen . F ür Luft b c trä gt die P r andtl-Zahl P r = 0,71. a) W elche Heial ei s tung (j nmss e r b r ach t we rde n , um dic Abkühlung z u ve rm eiden? b) Für die Te m perat u rgrenzs ch icht gil t n äherungs wei se : (3)

(4)

M an zci chnc d en Verlauf d er G r enzschichtdicke b zw d er T empcra t.urgrenzs ch icht d er Luft Ilber d em Aquarium in x- R ich t u ng . Hinwei s: Ve rdunstun gseffekte s ind zu vernach lässig e n . Lösung: gegeb e n : L = 501ft, lJ = 10 m; To = :lO:~ I<, TI = 28 :~ I<, 111 = 2 III l~ . !JL ll ft = 1.1 ky/m:J, II Luft = 1, 7, 10- 5 N~ /m2 , ).. = 2, 6 , 10- :\ \ V m - l .~ - l , P r = 0.71 gcs ucht : a) (j , h) Skizze I1(X), T (x ) a) Die Reynolds-Za hl der Luft st röm ung üb er der Ob erfläche des Aqu a riums ber echnet sich aus /l e L

U I · 1 ' (' = ::..:-,...:.-!:. = 6. [) . u/' JlL u ft

(5)

136

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

Dam it ist d ie St römung turbulent und Gleichung (2) kan n zur Berechnung der Xus selt- Zahl verwen det werden. Man erhält aus den Glelchuugcu (2) un d (1) für den W ärmeüberg a ngskocffizient en:

0. 0..1 . Rc~: !'. . P r

(6)

1 + 2.4 · Rel,o.l . ( P rO. 67 - 1)

Die vom \Yasspr a n dip Luft ilbert.rugene \Viirmellll'ugc pro Fliir-lu-n- lind Zeiteinheit hutri igt : q = h- (Tu -

Td

Xlit G leichu ng (6) ergibt sieh daraus die benötigte Heizleist ung im Aqu ar ium W ärmeve r lust zu vermeiden:

IHIl

de n

Q = q' L· E3 = h · PI) - Td ' L· IJ = 4. 6 /"'IV

b) Die Grcnzschtchtdt ckc berechnet sieh aus Gleichun g (3 ):

Für die Dieke der Temperaturgrenzschicht ergibt sieh aus Gleic hung (4):

I

12::.:0 L

6T = 6 · ...rr;. = 1,7· IO- z m

:8,

Abb . 2 .6 .1h Reibungsgrenz schicht uud T Clll pera t urgrcnzschlcht Aufg abe 2 .6 .2

Fa llen d e Kug el

Abb . 2. 6 .2 In Öl fallende Kugel

h(t ) = mit

In Ab bild ung 2.6.1h sind die Verlä ufe der be iden Grenzschichten ent la ng der Obcrftächc des Aqua rium s da rgestellt .

u. »w( t)

Eine Kugel mit dem Durchme s ser D" der Dichte p" d er Anfangsge schwindigkeit \ \', lind d er Temperatur T l mllt s e n k rec h t in e inen mit Öl gefü ll t e n Tank (s ie he Abb . 2 .6 .2 ) . D a s Öl hat die Dichte f!2, die Viskos it ä t It z lind die Anfangstemperatur T 2 • E in exper imen t e ll b e stimmt er Zusam men hang zwische n dem W ärmeübergangskoe ffiz ie n t h. und d er Kug elgeschw indigkeit 1l'(t ) lautet :

+b

u = 0,5 Jm - :lg - 1 und

(1)

b = 0.05 Il'm -

2g

-l

2 .6 St rö mllng('ll mi t

137

\VärTTl('ü l)('rt ra g llllg

A ls Fläche fiir d en W ärm e iib e rga n g wird d ie h alb e K uge lo ber fl äc he verwendet . W elche W ä rme m e n ge w ir d von der K u gel an d as Ö l in d en er s t en 2 Seku nden a b gege ben'! H inwei s: D ie T em p era turen d es Ö ls u n d d er K u gel ä ndern s ic h wä hre nd d en erst e n 2 Seku nde n n icht. Di e Ges chwin d igke it änd ert s ich in d e n erste n 2 Sekund en nur ger ingfiig ig , so d ass zur B erech nung d es W iderstandes die konst ante Anströmgeschwindigk e it IV I a nge n om men werden kann. Lö s ung: gege b en : V I = 1 , 10- 2 m , P I = 2, 835 , 104 kg/ m \ Irl = 0,1 m] e. T I = 500 K , fJ2 = 104 kg / m :J, tt2 = 10 /\'8 / 111 2, T 2 = :mo K , 9 = 9,81 m /8 2 ge sucht : Q (A I = 2 s ) Die ß ewegu ngsgleichu ug für die Kugel ergibt sieh a us dem Xewtons chcn Gesetz /TI ' ii = L p, Au der Kugel greifen die Schwerkraft C, der Auft rieb r""A und der Strömungswiderstand Fw an, Dam it erhä lt man mit der :\Iasse IH I der Kugel : 111 1 '

dw dt = IGI - IFAI - IFwl =

PI

' g ' VI - P2 ' g ' VI

-

- lFwl

(2)

Zur W idprst am ls!>eredulIlug lx-nöt igt mau zunächst die Hcynolds-Za hl de r Kugcla nst röJnuug: R CD

=

IVI . VI ' P2 I"

= 1

Fü r Heyuolds-Zahk-n R CD ::; 1 handelt es sich UIU eine sehleidwude St römung so d ass das Stokessehe Widerstand sgeset z für eine Kugel gilt (cw = 24/ Ren ). Da mit ergib t sich die Widerstandskraft zu :

In Gleichung (2) eingesetzt erhält ma n: PI '

r V1 dtc ' - = PI' g' IYI - P2' g ' .11

\'

1 -

.

3'1f' P 2 '

n1 ' \\' 1

bzw. mi t Vt = 1/ 6 · a . V f:

' _. :.;. 11,; " -d w = q ' ( 1 - -,~ ) - 18 · -,1 ,',dl ' PI PI .

Vi

Xlit der Anfa ngsbodln gung w(t = 0) = H'I folgt na ch einer Integ ration für d ie Geschwindigkeit :

,

w(t ) =

I dU'

,

/= 0

dt

· elt =

[9-(1 - PIP2) _ 18 . 1PI12 '' H'~ ] · t+ lF VI

l

138

2 Grund lagen de r

St rÖIfluJlg~ " "'rhaJli k

Xlit Gleichung (1) folgt für den wärtne übcrg ang skocffizten t cn:

[ (1 - -p')

h (t ) =a' y '

PI

- 18 ·

"" 11', ] · ( + (/· 11,, + 0 PI ' V I

(3)

2

Die pro Zeit- und Flächeneinheit üb ertragene Wä rmemenge bet räg t: '1 (t ) ~ h(t ) · (T, - T, ) Xlit der halben Kugeloberfläche er gibt sieh hieraus die pro Zeiteinheit übert ragene Wär mt-menge zu: .

'i (t )

~

d(J

-

c1t

~

1T

h(t ) · - . D Z, . (T, - T, )

2

Die Integra t ion in der Zeit über d ie ersten 2 Sekunden (ll l = 2 8) unter Verwendung Gleichung (3) füh rt auf die VOll der Ku gel abgegebenen W ärmemenge: 1;0 ':>1

q (t ) = --

I

t ;o ~t

-d'i . dt = df

(;0

=

,q .

rr D , h(t ) · _. l 2

.

(Tl - Tz) · dl

(", 0

'1 ""([ ( p') I "' tl

=

1

"Oll

1- -

PI

- 18 ·

""1'1 . 11'D?, ] . t + H",, + -b). -. rr n . V , . (Tl 2

Tz ) · clt

(l

,] .6-21+ 111+, b) · -rr2 · A f · /} ·Daj , (T\ -Tz) - H~ · "" 11'2 ([s ( 1 - -"') PI PI ' D a I

.\Iit den Zahlenwertun ergibt sieh für die durch die I'r zwnngPIlP Konvok tionssrrönumg abgegobono Wiirlllellll'llgp der " "er t Q(t) = 6.:3 . 10- 3 J .

2 .6 .1

B ehei zt e ve rtika le P latte

Aufgabe 2 .6 .3

Ve rtikale Platte

E ine b ehei zte ve r tika le Platte d er Länge L und kons tanter Oberftä cheute mperat u r T w b efinde t s ich in a n fa ngs ruhender Luft (Pr = O. 71) mit d er T emperatur T x . Durch d en Temperaturgradienten e rgibt s ich ein Di chteunters chied und es s tell t s ic h e ine freie Konvekt.ionsst.römung e in . a) Best im mcn S ie die W ä rmel eitfähigkei t >.. d er Lu ft. b ) H andelt es s ic h urn ei n e laminare oder turbulente Konvek t.ions s t.r ömung? c) Sk izz ieren S ie d en T e mpe r a t u r- und Geschwin d ig kei tsverlau f d e r K onvekt io nsström u ng a n d e r b ehei zt en ve rtika len Pla tte . d ) W ie groß is t das Ve rhältnis vo n v iskose r zu the rmische r Grenzsch ic htdicke und wie w ü r de es s ic h ä n der n, wenn statt der Lu ft Ö l (Pr ~ 20(0) ve r wendet w ir d?

2 .6 Strömllng('ll mi t

130

\VärTTl('ül)('rtragllllg

Lö sung: ge geben : Pr = 0, 7 1, p = 1, 1!J 1.:9/m:1, I' = 1, 82 · W- fl Pa . », n = :3. 42 · W - 3 1/ K , cl' = 1007.1/ (1.:9 ' f{ ), L = 0, 1 m, T"" = 20°C, T w = 170°C ge sucht : a ) ..\, b) La mina re oder turbulente Stromuug, c) Skizze von Tem pera t ur - und Geschwindigkeitsverlauf. d ) Verhältnis Grenz sch icht dicken

a) De r Wä rmelenkoeffi zient ..\ ergibt sich aus der Definit ion d er Pra ndtl-Za hl. 1

..\ = 1

' CI>

p,.

= 0. 0258 Il"/ (m · K )

(1)

b] Da bei der freie n K O ll \"(~kt i o il ss t rölI lI lil /;!; z lln ;il:hs t keine vorgegebene Bezugsgeschwindigkeit existiert, wird die Rayleigh-Za hl statt der Hcynold s-Za hl als charakteristische Kenn zahl verwend et, Liegt d ie Rayleigh-Z ah l zwischen 1(}4 un d los , so handelt es sieh um eine la mina re Konvek üonsström u ng. F ü r Rayleigh- Za hlcn größer loS liegt eine turbulente Strömung vor.

Ra = Pr . GI"

(2)

mit (3)

Xach Eins et zen der /;!;egebenell Zahlenwerten ergibt sich

Ra = 1, 53. 107 Es handelt sieh somit

UIlI

(4)

eine laminare Konveku onsströmung.

c) Der Verla uf von Tempera t ur und Gesch wind igkeit ist in Abbildung 2.6.3 d a rgestellt.

/

\\(X. l)

Zusä t zlich ist in Ab bild ung 2.6.3 die Dicke de r thermischen Grenzschicht OT un d d er viskosen Gren zschicht eingezeichnet. I

I~f

1~

I~

Abb. 2.6.3 Verla uf VO ll Tempe ra t ur und Geschwindigkeit an d er beheizten vertikalen Pla tt e

o

d) Dei Medien mit einer P ra ndt l-Zah l in der Grölsenmeinung von 1 (wie z. D. Luft ) ist d ie viskose und t her mische Grcnz srhieht ungefähr gleich dick. Dei :\Iedien mit einor hohen P randtl-Zahl do mi niert die viskose G renzschicht und d ie Dicke der thermischen Gren zschiehr be schränkt sich a uf d en wandnahen Bereich . Allgemein gilt für das Verhältnis mis cher Grenz schicht :

\ '011

viskoser zu ther-

(5)

14 0

2. 6 .2

2 Grund lagen de r St rÖIfluJlg~ "'''rhaJli k

R ohrs t römung

Aufgabe 2. 6.4

Rohr str ömung In ei nem undur ch lässiges Rohr m it der Länge L und dem Durchmesser D 1 b efind et sich ein F luid 1 d er Temperatur TI ' Da s Rohr ist von e ine m F luid 2 mi t d er Tem pera tur T 2 umgeben (sieh e Abb . 2.6 .4 ) . D abei is t T , > T 2 • D er W ärrneiibergangsko effi zien t vo m F luid 1 a u f das R oh r is t 11" vo m F lu id 2 a u f d a s Rohr is t 11 2 , Di e W ä rmel e itf'ah ig ke it d es R ohr es is t >. und d er mittlere Durchmesser des Rohres D", ist d efinier t durch:

Fluid 2

s

Abb. 2 .6.4 Rohrst römung

D", =

!.

[)~ - Df 2 In( D 2 ) - In(D d

(1)

\Vie groß ist d e r Wärmestrom pro Längenein heit QI L fiir d ie gegebenen \ Ver t e im verlustfreie n e ind imensionale n stat io nären Fall? Lösung : gegeben: h, = (l000 !Vm - 2 1\"- I , T, = 330 tc, hz = 100 11'111 - 2 1\' >. = 200 H"m - ' .'I- I , V I = 2 . 10- 2 /11, D 2 = ;~ . 10- 2 m gesu cht:

1,

Tl

290

tc,

(i l L

Die VO Ill Fluid I an das Rohr übert ragene \\'ärmellll'nge pro Flächen- und Zeiteinheit betragt: (2)

mit der Temperat ur Tl-U der inneren Roh rwa nd . Die vom Rohr an das Fluid 2 übertragene Wä rm emenge pro Flächen- und Zeiteinheit beträgt : (3)

mit der Tempera t ur T H •2 der äußerell Rohrwand. Im Rohr gilt der uindimcusionalc Fouri erAnsa t z für die W änncleit ung: (4)

Für die pro Zeiteinheit über t ragene Wä rmemenge, d. h. der Wä rmestrom vom Fluid 1 auf das Rohr hzw. vom Rohr auf das Fluid 2 berechnet sich ans den Gleichungen (2) und (3) zu:

o=

Ifl . 11" '

D 1 . L = h l · (TI - Tn.I ) · 11" · D I

(j =

1f2 ' 11" '

D , . L = 11 2 , (T H . 2

-

T2 )

· 11" '

.

L

D2 . L

2 .6 Strömllng('ll mi t

141

\VärTTl('ül)('rtragllllg

Daraus können die beiden wand t cmpcr at uron des Rohres bestimmt worden:

(j

TH. I = TI - --,--"',,-----,-

(5)

o + --,--"',,-----,-

(6)

.

T H •2

rr · " I , D I · L

= Tz

11" •

"2 .D z . L

Aus Gleichung (4) folgt mit (1) für den \\"är H1est rom im Rohr : D 2 - D2

I

_ •

Z

t

2 In(D z )

In(D d

1

D§ - Di

,

I.

:\Iit den Gleichun gen (5) und (6) folgt hieraus:

(2 = ->' ·2'

rr . L . (Tz - TJl

+

cl

~

Dz -D t

+

cl

~

2" ' IIl (D z ) -

11l(D t)

Xach einer Umformung erhäl t man hieraus den Wä rmest rom pro Längeneinheit:

Ci L

142

3 3. 1

Grundgleichungen d er Strömungsmechanik Kontinuität sglei chung

Aufga b e 3 .1. 1

Inkompressible S trö m u ng

e inem stationären dreid imens ionalen u ud inkompressib len Strömungsfe ld m it d em dimensi onsl osen Geschwindigkeitsve ktor

VOll

v ;=: ( ll ,V , w)

s ind d ie Geschw in digke itskOin ponentell u = ;r2 + 2 . Z2 urid vs = y2 - 2 . 11 . z in einem ka r t esi s chen (s-, y. z l- K o or-d irra t errsy atern gegeben . a) D as Gcschwi nd igkeitsfcl d v = (u, 'V, w) er fü llt d ie K on ti nu itätsgle ic hu ng. Man b erechne die K omponente 'V des Geschwin d igke itsfe ldes in y- R ich t u n g in a llgeme iner For m , b ) Es soll iibe rpriift werden , ob d ie vor liege nde Strömu ng fiir a lle (x , y , z) d rehungsfre i ist .

c) Man b erechne d ie B eschleunigung o..,(x , y, a) der gegebenen Ström u ng in .r-R icht .un g . Lö sung : = x 2 + 2 . Z2.

gegeben :

11

gesucht :

a)

'V,

W

=

.11 2 -

2.y.z

b] Drehun g-freiheit , c) o,,(x ,y, z)

a) Die Kontinuit ätsgloichuu g für eine stutiouiire inkompressible St römung lautet:

Olt Il s:

(}l'

(}w

()y

il z

(1)

-+- +- ~ ü

Aus den gegebenen Geschwlndtgkettskomponcnten Ilu - = 2 · .:r

11

un d w erhält man:

{Jw

- =- 2 · y O.r Oz Xlit dun Gle ichungen (2) folgt aus der Konr.inuit iltsgleichung (1):

iJv 2 · x + (}y - 2 · y= O

===}

01'

- = - 2 · x+ 2 · 1/ iJy .

(2)

(3)

Eine partielle Int egra tion von Gleichung (3) nac h y führt auf die gesuchte Komp onen te v , wobei C(x , e) eine Funktion bezeichnet , die au sschließlich von ;1" un d z abhängt:

v(x , y , z) = - 2.x . y+ y2 +C{x. Z)

(4)

b) Zur Übe rprüfung der Drolnmgsfroihci t wird de r Dre hungs- oder Wirbels t ärkevek tor w benötigt , der sich ans der Rot a tio n des Gosehwindigkeitsfeldes ergibt :

(5)

143

3 . 1 KOllti llu it ä tsgl('ichu llg

u

und

11'

sind in der Aufgabenstellung gegeben, so dass ma n

il u {Ju ' - - = 4 · z -=!- O für Dz lJI

wy = -

iN'y

berechnen k ann: (6)

z -=!- O

Dip gegebene St römung ist also nieht für a lle (x, y , z) d rehungsfrei. c) Die Beschleunigung b", erhiilt man an s der rotalon w itlid ll'll Ableltuug der Geschwindigkeitskomponeuto u, Es gilt:

du Uu n« öu Du b = - = - + u·-+ v · - + w·x dt Dt Dx ay äz Da eine st a üonäru Strömung vorliegt , ver schwindet Du/ Dt , ebenso Du/ Dy, da Funkt io n von 11 ist. Somit folgt :

(7) 11

keine

bx = (x 2 + 2,:;, 2 )· 2 'x + (y 2 - 2 · y · z ) ' .1 · z bx = 2 · .r:1 +4 ' X'Z2 + 4 .y2 'z - 8 . y ' Z 2 A ufgabe 3.1.2

K ompres sible Strömung

Vorge geben is t e in ideales G as (1' = p ' R , T , gle ich u ng:

n = koust .] s ow ie die Kontinuit äts( 1)

a) M an zeige , dass s ic h a us d e r K ont inuität sglei chung (1) d ie fol gende Bezie Imng für die totale ze it liche Änderung d es Druckes ableiten lä s st:

1 dp 1 dT - · - = - · - - '9· v pdl Td t b) F ür d a s gege bene d imensionslos e G es chwindigkeitsfeld

v (x , .lI ,. t ) =

.t)) ( t) (,v ) = Vi) · ..;x 2 + .IP · (,;,,(w e OSiN"

(2)

mit d er K ons t anten Vo sow ie d er konst anten Winkelgeschwindigkei t w u n d d er e ben fa lls gege benen dimensi onslos en 'Icmpcra tur vert .eilung

T (x , y ) = An ' J ;r2 +y2 +To

(3)

mit d en K ons tant en Au u nd Tu b estimme man die relat ive s u bstant ie lle T emp eraturänderung ( l / T ) · (
144

3 G run d gl('id lllllgP" d pr S trÖIflu"g~""'rh aJl ik

Lös u ng : gegebe n: R, Vi), w, Ao , 7() gesuc ht: a ) Druekilndcrun g, b) Temperat ur änderuug, Divergenz

a) 111 einem erstell Schrit t wird die Dich te gleid lllllg substit uiert. Es folgt : 1

p

d

P

(J

in Gleichung (1) mit Hilfe der idea len Gas-

dT] + --. P ('V· v) ~ ()

(4)

iT -1 - .dp - - -p -t . - + -p- ·( 'V· v)~ ()

(5)

-. - (- ) + - · ('V· v) ~ R dl T R ·T

1 -.

R

R ·T

<11' IlI . T - p '(JT T2 [ dl

R ·T

R · T 2 dt

R ·T

Durch Mult iplikation von Gleichun g (5) mit R . T t» erhält man die hung :

~ " dJ! _ ..!.. " dT + V . v = () p

d/

T

dt

p

ZIl

beweisende Bezie-

dp = 1 .dT - V . v dt Td t

"

(6)

b) Die subst ant ielle Änderung der Tem peratur T lau tet allgemein: dT

-dl

~

DT

DT

DT

DT

-öt. + u·iJ:r - + v· -iJy + tiJ ·iJz -

(7)

Da ein st ati onär es zweidi mensiona les Geschwindigkeit sfeld vorgegeben wurde , folgt: dT UT iJT = 1I' -+V ' <11 f).r Dy

-

(8)

Aus Gleichung (3) erhält ma u: UT = An . -r='i~~

D.r

iJT -Dy = An .

r+"""

(9)

Xli t Gleich ung (9) und den Gcschwlndtg keit skom poncnten a us Gleich ung (2) folgt a us Gleichung (8):

dT dt

= Vi) . Ao . ;/: . sin (w . t )

+ Vo . Ao . y . cos(w " t)

(10)

Unter Ber ücksicht igung \ "0 1\ Gleichung (3) er hiilt man schlie ßlich für die relat ive substa ntiell e Tumperaturtindcrung: 1 T

dT <11

Vn · An , . [z . sin(.:...' . t ) + Y . cos(w . t )] An . ·/ r 2 + y2 + Tu

(11)

Die Divergenz des Oeschwiudigkeit sfeldes ergibt sieh di rekt aus Gleir-lnmg (2): ilu. ll.c

iJv

- +-

Uy

. Vo = 7~~"' . . [z . sm(w · t)

/ x 2 + y2

+ y . cos(.:...' " l) ]

(12)

145

3.2

Navie r-Stokes-Gleich ungen

3 .2 .1

Laminare Strömungen

Aufgabe 3 .2 .1

Ka nalströ m u ng

'- - - h- -'

r

J

r 'I I/ I

P1.... - - - .....- - - - -

I

g

A bh. 3 .2.1 Lamin are Kanalströmung

In e inem sen krech t stehenden Kanal (sieh e A b b . 3.2.1) ßi ef~ t ein F lu id mit der ko ns tanten Dich t e p und der d ynamische n Zähi gkeit Il unte r d em E in " u s s d er Erd sc hwer e g . Der Kanal b es it zt die B re it e 11 u nd sein e Erstrecku ng b sen k rech t zur Zeic henebene ist seh r v ie l größer a ls h (zwe idimensi o nale Strömung). A n d er Ste lle 1 (x = 0) b efi n d e t s ich e in e Dru ck bohrung, a n der d er stat isc he Druck PI d e r Strömung gemessen wer den kann. D er A bstand zw isc hen der D r uckbohru ng lind d em A us t r itts q uersch n itt ist l, Im Aus t r ittsquers ch n itt he r r scht d er Umgebu ngsdru ck po.

E s wird a ng enommen, d ass es s ich u rrr e in e a usge b ild ete s t a tion äre u nd Iamin ar-e K a nalström u ng m it D r uc kgradie nt h andel t. N achein a n der s oll folgendes b e rechne t werden : a ) D as Oeschwind ig keits p r ofl l u (x , z) in A b hängigkeit d es Druck gr ad ient en [)p!;h. b] Der Druck p = f(x , e}. c ) D er Druck Massenstrom

an d er S t e lle 1, der n o t wendig is t , u m e in en vorgeg e b enen zu fördern.

P l"f, Tri

Lösu ng: gegeben: 11,11, PI, Po, 1, p, Il, g ge s uc ht : a) u = f(x, z ), b) P = f(x , z), c) P1. ,', a ) Zur Lösung wird das in Abbildung 3.2.1 gezeigte Koordi na te nsystem zugrun de gelegt. Es golton die Kout inu it.it sgleirhung und rjiu Xuvier-Stokes-Gleiclmngon fiir inkompressible und stationäre Strömungen. Sie lau ten : D/I D/I) -+ -= 0

;h

(1)

uz

iJ")

p' ( U· 0 - " + '/V· [)x iJz p'

(2)

Dw -,DW - ) ( tt · -,-+w, Öd." iJz

(3)

f x und f z sin d die Komp onent en der Volumenkräfte. die auf das Fluid wirken. Auf die g un d I , 0 ist. bet racht ete Strömung ist nur die Schwerkraft wirksam, so dass f x

=".

=

146

3 G run d gl('id lllllgP" d er StrÖIfluJlg~""'rhaJl ik

weiter hin handelt es sieh um eine a usgeb ildete St römling, d. h. es ist ü u!ü:r = 0 und (}w/ iÜ' = O. G leichu ng (1) erg ib t unmitt elb a r , das s au ch Vw / ö ;: = 0 gilt. An de r Ka na lwand huft ut das Fluid, som it ist die u- Kompononte dor t gleich An11 . Da Dw/{} z = 0 gilt, ist mit der gen a nnten R an dbedingung (w (z = ±h/2) = Ü) die G esc!LwilHiiF;keit skom pOllcutc Il' überall :\1111. Es gilt a lso:ll' = 0, für a lle (r-, z) . Xlit Jl) = 0, Du/iJx = 0, (3) zu:

Ir =

p. 9 un d f z = () vereinfachen sich die G leichu ngen (2) un d

iJ2 11

{}p

O= -O,r + ll·()z2 +p·g

(4)

o ~ - -öl'

(5)

Dz

t-

Aus der Gleichung (5) folgt , dass P f(z) ist uud desha lb gilt: Dpji);r = dp j d.r . Ber ücksichtigt man in Gleic hung (4), dass 11 t- f(x ), da iJu/ lJx = 0, so erh ä lt ma n nach einer "Umfor mung eine gewöhnliche Different ialgleichung für « (a ). Sie la ut et :

dZu

d z2

= .P!:. . ( l~ dP _ P . Y)

(6)

Dur ch zweimaliges Integr ieren ergibt sich:

du dz

= . !:. . ( dP _pog) oz+ C I 1I

dr

l1 (z ) = _ 1_ . ( dP _ 2 ' Jt dr

(7)

p:g) .Zl + Cl . Z + Cl

(8)

Cl und Cl sind Integra nous kons t a utcn , die gem äß de r beiden folgen de n Ra ndbcdtng uu gcn best immt werden müss en . Da da s Flu id an der Ka na lwa nd hafte t , la uten die Ra ndbcd ingungon (Haft bcdmgun gen): 1I (z = - -h ) =0 2

(9)

G e m ii ~ der G le ichung (8) ergeben sich m it den beiden Ha ndbeding ung en d ie Ix-iden folgen den ß esummun gsglcichungen für d ie Konst a nten Cl und Cl :

1 (dP ) ha + Cl, . -h2 + (dPr e:»)' h oh

o ~ -_ . -dr 8 /1

p '!1

Cl

(10)

- C 1 o- + Cl

(11)

.

0

0 = - 1- 0 -r8 /1, 111:

2

0

Die Lösung der Best immungsgleichungen ergibt :

hl C2 = _

8, 1/

dP)

· p .g _ ( dx

(12)

Cl und Cl gemä ß der Gleichungen (12) in Gleichung (8) ein geset zt , ergib t die folgen de gesuchte Ergcbutsformel:

(

d1')

p 'g - -

dx

(13)

147 b) Im Aufga ben t ell a ) wurde bereits gezeigt , dass p f:- f(z). Weiterhin ist das Geschwindigkeitsprofil u(z ) nich t VOll .r abhängig und deshalb kann der Druckgra dtcn r, der auf de r rechten Seite dor Gleichung ( 13) steh t ebenfalls nicht \'011 x abhiingig sein . dp/eLf ist folglich eine Konsta nt e, d . h. der Dru ck verläuft linear in St.römungsriehruug. An der Stelle 1 und im Austrittsquerschnitt ist der Dr uck bekannt. Da er in .r-Richt ung linear verläuft , er gibt sich:

Po - PI .x I

p(x )

+ PI

(14)

und für d pj d x entsprechend: dp

~


/;1

po - PI

(15)

berechnet sich gemäß der folgenden Integrat ion:

rit =p '

J1

(16)

u( z)· b· d z

-I

u(z ) gcmäß der G leichung (13) eingesetzt , er gib t :

. o:;1-- . h' 8 'll

m =

( p ' fI - -
(17)

-~

Xli t der folgenden Rechnung erhält man für

,

Ti l ;

<11' ) , ( 1 -4 - ( -h')')

1// . =1" ; ' - h"- - ( (J -g ~ 8 - /1 dr

-j

3

<11')

_ p _h .h ( m = - p -g - -

12'/1

dr

· b· d ('- ) h

(18)

Gleichung (18 ) liefert eine Beziehung zwischen dem Massenst rom Ti l und dem Dru ckgradienten dp / d x, In Gleichung (18 ) den Druckgra dien ten gemäß Gleichung (15) elngesetat , ergibt die folgen de Best immungsgleichung für den erforderlichen Dru ck PI,,;,:

.

TII =

p _kl _b . ( I' -q - PO-P I.,;') 12 - /1 . I

P l. th

12 - /I ' lil ) = Po + I . ( I " I - I' - g I' - I '" J

148

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

Spalt st römung

A ufgabe 3.2 .2

I- ·..r- :o

Ü ber einer horizontalen e benen W and , die s ich mit d er kons tanten Geschw in digke it U b e wegt , is t ein r u hendes Maschi nente il so a ngeord net (si ehe A b h . 3 .2.28), dass d e r

x

linke T e il d er U n terseite z usa m men mit d er b ewegten W and e ine n e bene n S palt

K p,

"

2

3

d er Länge 1, d er Höhe s und d er B re ite b (senkr echt zur Ze ic hencbene) bilde t. Im A b b . 3.2.2a La min are Spalt strömung S palt und in d er s ich a nsch lie ßende n Kammer K b efind e t s ich Ö l (New tonsch es Medium mit kons t a n t e r d ynamische r Zähigkei t 11 ). d a s im unt e ren Teil d es Spalt s infol ge d e r b e wegt en W and in die Kam mer K gesch le p p t wi r d lind im o bere n Teil d es S palts a us d er Kammer w ie der a usströ mt .

u

A n d er D ichtlippe (Stelle 3) kann ke in Öl a us treten . D e r Druck a m linken E n de d es S palts a n d er Stelle 1 ist /I... a m r echten E n de an d er Stelle 2 h errscht der K amme rdruck Pi- Die Ström u ng ist iiber die gesamt e Länge l aus ge bildet und la m ina r . a) Wie s ie ht d as G esch w in d ig ke it s p rofi l im S p a lt q ualitativ a us? b ) Wie laut e t die Di ffere n tial gl ei chung f ür die Gesc hw in d ig keit lI(X, z ) und w ie laut e t die Bez ie h ung filr d en D r u ck JI in Abhängi gk ei t von Pa und Pi? c) E s solle n d a s Goschwi n d ig ko itsp rofil u (z) und d er Druck Jli b erechnet wer den. Lösung : gegeben : U , gesuc ht:

.~ ,

I , Pa, Il

a) Skizze des Gcschwiudtg kctt sprof tl s, b) Dgl. für Pi

11 un d

Formel für p, c] u (z),

a) Das Geschwind igkeit sprofil ist in der Abbildung 3.2.2b skizziert. Folgendes gilt dazu:

y

-

1. Unm it telbar an der Wand wird da s Fluid mit der Ges chwindigkeit U bewegt, da es an rlur wand haftet. u

~( z)

Abb. 3 . 2 . 2b Ges chwindigkeit sprofil

2. Auf der O berfläche des :\Ia..schineuteils haftet das Fluid ebenfalls , dort ist die Strömungsgeschwindigkeit Xull.

3. Durch die Haftbedingung an Wa nd wird Fluid in die Kam mer geschleppt. Die gleiche Menge, die pro Zeiteinheit hineingeschleppt wird , strömt im oberen Bereich des Spaltes wieder zurück, so dass d ie Geschwindigkeitspfeile des Profils im unteren Bereich nach recht s und im oberen Teil des Spaltes nach links zeigen.

14D b) Die Differ enti alg leichung für 1I(;r, z ) ergib t sich m it der Vereinfachung des Gleichungssy stcms , bestehend aus der Kontinuit ä tsgleichung und den Xavier-Stokcs-Glcicbungen für zweidimensionale, inkompressible und stntiouiire Strömlingen (siehe Aufg . 3. 2.1 ) . Die Vereinfa chungen der Gleichungen (1) bis (3) der Aufgabe 3.2. 1 sind hier nochmals kurz Z1l 4 sammengnfasst : • Die St römung ist ausgebildet, d. h. {) uj/h: = 0 und {)UlI/lx = O. Dann folgt mit Gleichung (1) aus Aufgabe 3.2.1 unmittelbar, dass all.' /rJ z = 0 ist. Xlit der Haft bedi ngung w = 0 ergibt sich dann: w = 0 für alle (.r, z) . • Xlit w = 0 und öll j(h = 0 erhält man mit Gleichung (2) bzw. mit Gleichung (3) aus Aufgabe 3.2. 1 die beiden folgenden Gleichungen (die Volumenkräft e sind Xull, also I , ~ I , ~ 0), 01'

0= - -

UI

+1 1 '

(PU

(1)

-

{)z 2

0 = _ 8p

(2)

ih

• Da {)p/u z = Ü, hängt p nur von x ab und deshalb ist np/nI = dp/(Lr. \ \'eiterhin ist 11 nur r-ine Funktion VOll x (n /l / O.r = 0 ), so dass sich für 11 bei dem hexclu-iehenun Problem die folgende Differentia lgleichung ergibt : dp /1 dr

(3)

• Die linke Seite der Gleichung (3) ist nur von z abhä ngig. Der Druckgra die nt dp / tlx auf der rechten Seite ist also eine Konst a nte , d. h. der Dru ck verläuft in r-Iäcluung linear. Für ihn g ilt: Pi -Pa p () ;r = - -/_ . :r+ Pa

(4)

c) Dur ch zweimaliges Int egr ieren der Gleichung (3 ) auf beiden Seiten erhält man : du dp = _ . - , z + CI dz /1 dr I dp 2 Jl = - - . . z + Cl . Z 2 . 11 d.r

(5)

+ C2

(6)

Cl und C2 sind Int egra üonskons ta nten. Sie lassen sich mi t den folgen den beiden Ra ndbcdt ngungon bestimmen: l.

lI (Z

= 0) = U

2.

lI ( Z = .~) = O

(7)

Xlit den Ra ndbeding ungen (i) und der G leichung (6) ergeben sich die beiden folgen den ß cs ü mmungsglcichungen für Cl und C 2: C2 = U

- I - . -<11' '.~ 2 + C l . 8 + C 2 = 2 '/1 dr

0

150

3 Grund gl('idlllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

mit deren Lösung man für C I lind C 2 erhält: CI =

_ ~ . ( _1_ . dl' . s2 + U ) .~

(8)

2 '11 d r

Die Konst an t en CI und C 2 gt'llläE der Gleichungen (8 ) eingesetzt , ergibt für ll(z ):

z] + U - [z] 1- -

ll(z ) = - 1 . -dp . s a · [ ( -' )' - d.r

2-11

s

.~

(9)

,~

Für den D ru ckgradienten dp jd.r gilt gemiiR der Gleichung (4) dp j d x = (Pi - P/I )!l. D ur c-h Einsetzen des Dr uckgradienten in Gleichung (!)), erhält man das Ergebnis für I1( Z) zu: p. _ - Pi . s 2 . [ -, 1 lI(Z) = -._.

2 ·/,

I

( -' ) ' ] oS

s

+ U - [1 -' ] s

(10)

Zuletzt wird noc h der Druc k Pi in der Kammer ben-ehm-t . Der Druck a n Stelle 2 ist gleich dem Dru ck Pi (siehe Aufgabonstel lung]. Er stellt sieh so eiu, dass der Volnmr-ns t rom V durch den Spalt XliII ist (siehe Lösung des Aufgabent eils a)) . Die Best immu ngsgleichung für Pi erhält milli mit der Gleichung \/ = 0:

"

(11)

V = j l1 (Z) . b . d Z = O u

U( Z) gellliiR der Gleirhnng (10) in Gk-irhung (11) eing esetzt, ergibt:

,

j

o

+ U . [ 1 - =-]) . h. d, ~ O jo" ( _1. l '. - Pi . ., '. [=-s _(=-)'] s s 2 ' Jl

;;3 _b . P,, - Pl 2 '/1

1

[~ - ( ~) ']

,

.d

(~) + j

U ., . h (1 -

o

;; 3 ·IJ

12 'fl

~) . d (~) ~ 0

. p/I - Pi + _1. U. ;; . b = O. I

2

Dies e Gleichung nach Pi aufgelöst , ergibt das gesuchte Ergebnis zu : 6 - I' . {

.,

Pi = --., - ' U + p"

Aufgabe 3.2.3

Strömun g a n e iner W and

E ine F lu idsc h icht d er Di cht e p und d e r d ynamischen Zähigkei t I' strömt e ine sen krecht stehen de W and d er Brei t e /) (senkrecht z ur Zeichencbene} hinunt er. Di e Strömung ist lamina r und a usge b ildet. Auf die Oberfläche d er F lu idsch icht w ir d von d e r umgeb enden a b wärts s t rö m e nden Luft die Sc hu bspannung 70 üb e rtragen. Di e Di cke d e r P lu ldschlcht is t " (s ie he Abbildung 3.2 .3 ) .

151

-

Fiir diese Strömung gilt die folgende Different ialglei chung (Herleit u ng analog z u Aufgabe 3.2.1 und 3.2 .2) : p '.'1 I'

( 1)

(D r uckgrad ie nt lJpj lJz = 0, f z = - p ' .'1 ) . E s s olle n das G eschwindigkei t sprofil w(x) und die auf die W and iibertragene W andschubs pan n u ng Tw erm itte lt werden .

h -

Hinwei s :

Ahb. 3 .2 .3 Fluids chicht

s»

h

Lö sung: gegeben : h, p, 11 , 7u, 11, .'1 ge s uch t : w(x),

T" ,

Durch zweimaliges Integrieren der Gleichung (1) erhiil t man die folgenden Gleichungen mit den Int cgra t. ionskons ta nt cn C l und Ca: dw dr

-

~

p .g

- - 'x+ C I J1 p. .'1

w(x) = -

2 · II

' J:

2

(2) ,

+ CI, x + C Z

(3)

Zur Best immung der In tegra üonskonst an t cn werden zwei Randbedt ngungon ben ötig t. Die erste folgt durch Haften des Fluids an der Wand zu w(x = 0 ) = O. Da au f die Oberfliid w des Fluids die Schubspannung 70 ubertragcu wird , ergi bt sich die zweite Ha ndbedingung mit dem Xewtonschen Ii eibungsansa tz: TO

d wl dz

= 1/ ' -

(4)

x= /.

),[it den Ra ndbedingung en und den Gleich ungen (2) lind (3) ergeben sich die folgenden Best immnngsgleichungon für die Konst a nten C l und C z: Cz = 0 70

' .'1 . h. = JI . dw Ix=!> = JI' (P -_ dx

JI

+ Cl)

1 C l = - , (TO - p ' !J ' h ) I'

Cl un d Ca in Gleichung (3) ein gesetzt , ergibt das gesuchte Geschwindig keit sprofil w(x ): z t. w(x) = p '.'1 .h ' + -'(7o - p' y, h) , (5) 2 'II

(X)' h

11

(X) h

Die Schubspannung T w , die auf die Wand wirkt, berechnet sich mit dem Xcwtonschcn Reib ungsa nsa t z. Er lau te t:

dwl

r - = 11' -1-

e. x x : O

(6)

152

3 G ru nd gl('id lllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

Xlit der Gleichun g (2) ergibt sich für

dw -. l

d r x ~ ()

dw/ d .r l x ~ o:

I = C . = -·( To - p · y· h) Jl

und m it Gleichung (6) er hält man schließlich das gesuchte Ergebni s zu :

Tw= TO - p· g· /I Aufgabe 3 .2 .4

Ray lci gh- Stokes- P rob le m

B ei d er Lö sung d es P roblems d er "p löt zlich in Gang gese tz t e n e b e n e n Platte" ( Ray le ig h -Stoke s- Prob le m) muss ein e lineare p artielle Differenti algl ei chung 2. O rdnung ge löst werden , die z, B . durch Vereinfachung d e r Kontinu itätsgle ich u ng und d e r Navi e r-S tokes-G le ich u ng h e r gel ei t e t werden kann. In dieser A u fgabe s oll die gena n nte Different ialgl eichun g o h n e A nwendu ng d e r N a vier - S t o kes- Gle tch u n g aufgestellt we rden. Di e partielle D ifferentialgleich u ng s oll mi ttels ei nes Kräftegl ei chge wi cht s am Volumenelement h ergelei t e t we rden . D azu so lle n nacheinander die fol genden Te ila u fgab e n gelöst werden : a ) An einem Volumenel ement so llen die angreifenden Kräfte a n ge t rage n werd en. b ) E s s oll das Kräft egleichge wi cht formuli ert we r d e n . c) Die in d er result ierenden G le ich u ng vo rhandene Schubspannung s oll durch d en New t on se hen R eibungsans at z e rsetzt we rden. d ) Es s ollen die H andbedingungen fü r dieses P roblem a ngege b e n werd e n . Lö sung : gegeben: /1, p, U gesuc ht :

a) Kräft e am Volumcnelemcnt , b) Kr äftegleichg ewicht aufs tellen, c] Reibung sgeset z anwend en , d) Handbedingung en formulieren

a ) Die angreifenden Kräfte sind in de r Abbildung 3.2.4 am Volumenelement a ngetragen. Dazu wird folgendes ergä nzend erwä hnt : 1. Auf dem unteren und oberen Schnitt ufer wir ken die entsprechenden Sch ub spannungcn. Der erste Index an der Va ria blen T bezeichnet da s Schni t tufer (in diesem Fall y = konst .}, und der zweir.e zeigt an , in welche Richt un g (in diesem Fa ll in .r-Richtung ] die Schubspannuugskraft wirk t.

2. Zeigt die Xormalc des Schn ittufcr s in pos it ive Achsenrichtung so wer de n d ie

153

y

Schubspannungskr.ifru in posi tive Achsenrichtung eingetragen, zeigt die Xormale in nogarivo Richt un g werden die Schubspannungskräfte cnt sprechend in negatin~ Achsenrichtung eingezeichnet.

<:~- u -EJIdy

dm . ~

cl

,

:;;,===

-'.

3. In Abbildung 3.2...l sind die Druckkrä fte nicht eingezeichnet , da in der Strömung kein Druckgradient wirksam ist.

Ty.·d.t ·b

~ - d , - -I

4. Die Trägheit skraft dFT lautet allgemein:

A hb. 3.2 .4 Kräft e am Volumcncle... nn-nt

dFT =

O IJ

(

-

DI

DIl + u . -;+ t' . -l)U)

D.r

Oy

.

dm

DJl Du Du ) dFr =p ' ( -.-+ Il ·-;-+ v ·-;- ·b · d:r · dy tn d.l· dy

In Abbild ung 3.2.4 ist die Träg hei tskraft g('miiß der Formel d F r = (a u/ DI )· dm = p ' (Du/ a t)· b . d r . dy eingezeichnet , da für die Strömung DIl/ih = 0 und v = 0 sind . h) Gemäß der eingetragenen Kräft e am volumenelement , erg ib t sieh mit dem Kräftegleichgewicht:

L d I'i = O= - f" Ou

p' -

()t

an ,.)I ·b .d.r. dll + •

(iJT " ) T + - Dy - · dlJ · b· dx -T ' y :r

y:r

· b · d.r

DT yx

= -

(1)

Dy

c) :\[it dem Xewtonschen Reib un gsausa t z erhält man: T yx

=

DII

u. -;) (y

=

(.)T y x

V, 11

Dy

(}y 2

-

(2)

- = JI'--

Die partielle Ableitung von T y x gemiiß Glcir-hung (2) in G leichung (1) eingesetzt , ergibt folgende Differenti algleichung für das Raylci gh-Stokes-P rob lcm: ÜU

D2 u

(3)

I' · - =JI · - lJt Dy 2

d ) Für t :.:; 0 ist 11 ilbcrnll Xull . Ist t > 0 . so haftet das Fluid auf de r plötzlich in Gang gesetzten Pla tte und bewegt sich auf der Wand mit der Geschwindig keit U. Für y - - + 00 ist 11 auch zum Zeit punkt t > 0 gleich :\"1111 . Die Ra ndbedin gungen la llten also: 1.

u( y) = 0 für

tSO

2. u(y = 0) = U für u(y ........ (0) = 0 für

1> 0 1> 0

154

3 G ru nd gl('id lllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

Aufgabe 3.2.5

Zylinderspaltströmu ng

Ein Zylinder mit dem Rad ius 1", is t von einem ä ußeren Zyli nder mit d e m Radius 1'2 umgeben (s ie he A b b. 3 .2.5a) . D er innere Zylinder rotiert m it d er Winkel ges chw ind igke it u..' , lin d der ä ußere Zy li n der mit d e r Wi nkel gesch wi n digkei t W2 ' Zwischen d e n h e id e n Zylinder n b efin d e t sich e in F lu id . In d ieser Aufga b e s oll d as Geschwind ig keitsprofil d es F lu ids zwischen d en beiden Zylinde rn e r m it telt werden (laminar e Ström u ng vo rausges etzt). Dazu soll vo n d e n N a v ie r -S t o kes- G le ich u n ge n in P ola r ko ordinaten a usgegange n werd e n . Sie laut e n für e in e stat ionäre u n d inkomp r essi ble Ström u ng (s ie he Abb. 3 .2 .5 b) : Koutlnultätsglel chungr

iJUt· 11r I iJun -+-+_ ·_ iJr r r iM

(1)

~ o

1. N a vier- S t o kes- G fel chun g r

(2)

2. Navicr-S to kes-G lei chung:

o 1 Op ( 02 11 '~ + p ' -iJa iJr2

- - .r

(

II r '

Dut') iJr

1I ,~

+ -;.

ihIt'}

iJ13

II Utl) ~ r .

+ --, -

01l,~ 1 fJ2 {/ +-,.1 .-- 1It' -) +-.-+,.22- .ou -r ) + f " D,. ,.2 ,.2 DiP DJ 11

(3)

D ie G le ic hu ngen s ollen zuerst fiir d as P roble m vereinfacht werden u nd a nsc h ließen d s oll u(,» mit ein e r verei n fac hten Glei chung ermittelt werden.

y

r

Abb. 3 .2 .5a Zylinderspalts t römung

Abb . 3 .2 .5b Polarkoordinat en

155 Lösung:

rz , W I , ""2

gegeben :

1'1 ,

ges ucht :

11(1' )

Da sieh die Sr.römungsgrökcn in Umfangsrichtung nicht iindc rn, verschwinden in den Gleichungcn ( 1) bis (3) a lle Ableit ungen nach JJ und die Größen 11,_, 11{1 und p sind nur VO ll r abhängig. Xlit der Kont inuit ä tsgleichung ergibt sich dann die folgende gewöhnliche Dilfercnüalglcichung:

, -du + -UI'r dr

(4)

~ O

:\Iit der folgenden einfachen Rechnung ka nn die Gk-irhung für

du , Ur +- = 0 dr r

==>

-

Ur

Ur

Ur

r

gelöst werden: C = -

r

(5)

C ist eine Int egra t ions konst a nt e. :\lit der Randbedin gung u,.(r = rr ) = 0 ergibt sieh für C der Wert C = O. Gemä ß Glei chung (5) ist U r also für 1'1 $ r $ 1'2 Xu11 , was a uch sofort erkennbar ist.

:\[it [)j(HJ = 0 und U r = 0 erhält man mit den Gleichungen {2} lind (3) die beide n folgenden gewöhnlichen Dfffcr ontlalglelchungon für 11 mit 'U = 11,9 lind p (Vohuncnkräfte Ir und Iv gleich xuu). 1' .

d 2 1/ d ,.2

1 du

+ ~ . dr

u2

~

I'

u

-

dp dt'

(6)

= 0

1'2

(7)

In der ersten Different ia lgleichung (6) sind

1I lind p als zu best imm ende G rößen vorhanden. Die zweite Different ia lgleichun g (7) enthält nur n, Deshalb wird die zweite Differentialgleichurig weiter betrachtet. Sie kann mit der nachfolgenden Umschreibu ng sofort einmal iutegriurt werden:

<1

2

1/

<1 ,. 2

1 du

+ ~ .~ -

2

U

7.2

d 1/ = dr 2

d ( ")

+
= 0

(8)

CI (9) dr I' CI ist eine Int egra t ionskons t a nte. Sie IIlUSS später mittels der Itandbcdln guugon ermittelt werden. Zur weiteren Lösung der Gleichung (9) wird zunächst die Lösung für die homogene Differentialgleichung bestimmt. Dazu wird die folgende Rechnung du rchgeführt: du 11 -+-= 0 dr T

==> ==>

du Jl

" c = -

dr r

=

ln (u ) = - ln(r ) + C (10)

r

C ist in Gleichung (10) eine Konsta nte. In der weiteren Rechnung wird sie nun a ls eine Funkt ion C = f(7" } a ngesehen (Variation der Konst anten ). Gleich ung (10) a uf beide n Seit en nach r dlffcreuziert , ergibt: du _ 1 dC

1

~ - ;' dT - r2'

C

(11)

156

3 Grund gl('idlllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

du ld,. ge mäß Gleichung (11) und u (r ) w' mäß Gleichung (10) (C = f(7')) in Gleichung (9) eingese tzt , ergibt die folgende Differentialglelchung für C(r ), m it deren Lösung die Funk tion C(r) ermitt elt wird:

=

dC = CI . ,.. dr

=0}

(12)

C 2 ist eine weitere Int eg ra u ons kons t a nre, d ie mit den noch anzugebenden Rand bedlngun gon best immt weJ"(11'l1 muss. C gemäß Gleichung (12) in Gleichung (10) ein gese tzt erg ibt die folgende Funkt ion u(,.), für die die Konst ant en C I und C 2 mit den Randbedingung en noch zu bustirnrunn sind :

C

r U(T) = CI' -

+ -c2 2

(13)

An dem innere n und äus cren Zylinder ha ftet das Fluid , so dass sich die folgende n Ra ndbedingungen ergehen : (14)

Mit den Ra ndbcdtnguu gcn (14) und der Gleich ung (13) erhält man die folgenden beide n Bes timmungsgleichungen für die Kons ta nten CI und C 2 • Sie lauten: 1"1

C2

= C) · _ + -

1.)

2

c,

2.)

(15)

Die Lösu ng des Gleichungssystems er gibt für C I uud C 2 : (16)

Die Konstanten in dip Glek-huug (13) pÜlgesetz t führ en zum gesueht nu Ergebnis: 1 ll (r ) = - ,- - , . TZ

- "1

II (U j

1.0

0.5 /

"' '''0.1

o

0.5

1.0 a

Abb. 3 .2 .5 c Guschwindigkcitsprofile

157 U(T) ist una bhängig von der Zähigkeit JI des Fluids. Xlit der Different ialgleichung (6) könnte nun mit dem bekannten Geschwindlg kcirsproftl u tr) der Druck p(r ) ermittelt werde n . Er ist eben falls nicht von J1 abhängig, ela in der G leiehuu g (6) die Zähigkeit nicht vorkommt.

Das Ergebnis ist für die speziellen Ffille (w] =f:. 0, ",''1 = 0) und (Wl = 0, ",''1 =f:. 0) in der Abbildu ng 3.2.5c dargest ellt. Es werden dazu die folgenden Gr ößen eingeführt : h = T l/T2 , n = r i Tz, 11] = ",' ] . rr und 11'1 = ""2 . TZ , Xlit diesen G rüßen ergeben sieh mit der Ergebnisfornu-l für l1(r ) die nachfolgenden Formeln zur Auswertung: lI (r ) _

f{

~ - 1 _ 1i2'

3 ,2.2

(Ü /\ ) ~ -;;

R eynolds-Gleichuugen fiir t u r b u le nte S t rö m u ugen

Aufgabe 3.2.6

Ze itlich e M ittelu ug

Zur H crleitung d er R cynolds- Glci chuugen werden die in d en N av ic r -S t o kcsGleichungen a u ft reten den Größen f (f s teh t fü r ein e b eli ebige Größe d es St römungsfeldes) durch die S u m m e a u s zeitlich e m M ittelwe r t f plus Schwan k u ngsgröße f' er set zt , a ls o f = f +f". Aus d er s ic h a nsch lie ße n den ze itlic hen M itte lu ug res u lt ie re n d ann die b ek annt en R eynolds- Glei chungen . Zur Durchführung d er Mittelung werden die n achfolgend a u fge lis teten R eche n regeln benötigt. In dieser Aufgabe so ll gezeigt werden , d ass diese R ech e n regeln giiltig s in d . S ie la u t e n: 1. 4.

1 ~1

nr

8.,

2.

01 ~

;)8

5.

l' >:Jl ,

-

f ·g = f · ;;

:J.

f + g =f + g

cis

,

g is t e in e weitere b eliebige Strö m u ngsgröße,

8

ist ein e Längskoordinate .

Lö sung:

gegeben: oben aufgeführte Rechenregeln ge s ucht:

Xechweis der G ült igkeit der Rechenregeln

Die Rechenregeln werden nacheinander überprüft. Rechenregel 1 ist tri vial und wird nicht weiter bet rachtet. Die zeitliche :\littelung einer Größe f üb er das Intervall [0, T I geschieht mit

(1) Formel (1) auf die Mit telung der Summe f + g angewandt ergibt Rechenregel 2:

J T

-f +-g =

~.

(f + g} . elf =

n

Jr T

~.

n

J T

df +

~.

g : c1f =

n

f +g

(2)

158

3 G ru nd gl('id lllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

An alog verläuft die Überprüfung der res tlichen Rechen regeln. Rechenregel 3:

- T ·J

J-

-

r

T

- =T I · f·g

f .g . dt =f · I

o

g · dt = f · g

(3)

u

Rechenregel .t: (4)

Reche nregel 5:

! f d, ~ ~ 1([ f d')dt ~ ~! (l f

Aufgabe 3. 2 .7

· d.,

~ Jf · ds

(5)

s

U

Zweidimensiona le R eynolds -G lei chungen

M it d en in d e r A u fgabe 3 .2.6 ü b e r p rüft en R ech e nregeln werde n d ie NavierS toke s- G le ich u n ge n ze it lic h gemittelt. A u s d eren Mittelung result iere n dan n d ie R eynolds -G leiclmnge n. I n d ies er A u fga be s oll die G leichu ng

p-(

{Pu)

au Du2 [)(u - V) ) {Jp ({J 2Jl + + = + /{-Dx 2 +Dy-2 + f , [)t [)x {JIJ [)x

(1)

mittels ein e r zeitlichen M ittelu ng in d ie e n t s p r ech e n de R e y nold s- G lei chuug üb erfü h rt wer d e n . G lei chung (1 ) e n tsp rich t d e r e rst e n N a v ie r- St okes- G leich u n g in x- R icht u n g fiir ein e zweid im e n s io n a le ins t a t ionä r e u n d inkompressi b le Strömung. De i d er Lö sung dieser Aufga h e so lle n d ie fo lgenden b eiden Te ilaufgahen nachein a n d e r b earbeitet werde n : a) E s s oll gezeig t werde n, d a ss die linke Seite der G leic hung (1 ) der lin ken Seite d er G le ich u ng (2 ) e nt s p r ich t : fJ '

OU ( -I.) t + u

{Ju - -n(I X

{JJl ) + V . -noy

ap

= - 0 -

X

+ /1 '

( lPU ""'2 (I X

{Pu )

+ -;:;-z + f :r (I ,IJ

(2)

b ) D ie Größe n 11, 11 und p s ollen in Gleichung (1) d urch Jl = ii + 11' , V = V + v' und p = jj + pi e rs etzt werden und d ie daraus rcs ultier endc G le ich u ng soll iib e r das Zeitinterva ll [0. TI ge m itte lt werden.

150 Lösung: gegeben : Gleichung (1) ges ucht : a ) Gloirhung (1) = Gleichung (2)'! h) entsprechende Rcynol ds-Gleirhung a) Unt er Anwendung de r P rodukt regel lässt sich die linke Seite der Gleichung (1) in die folgende Form umschreiben:

Du

p' (m p'

+Da'l - + D{u -v) ) fu

~

= p-

(DU - + 2 - u- -Ou + u- -Ou + v- -DU ) m

8y

fu

DU) +P - 1/ - (O- U + DV)

OU +11 - -n« + v- ( -.öt. [Jx 8y

~

~

0-

dy

[)x

Der Term Ouj(h + nv/D y entsp richt der linken Seite de r Kont inuitä t sgleichung für eint' inkompressible St r ömu ng. Er ist a lso XliII, so dass gilt: p-

Oll Ou'l ( -öt. +-+ f);r

[)(1J - V)

011

)

= p-

([)11 Du [)u) - + l1 '-+ V' {}t

Du

(}J ;

(3)

h) 1/ , V und p in Gleichung (1 ) durch die ent sprechenden Ausdrticke ii + ll' , ii + v' lind ß + p' erset zt er gibt die folgende Gleichuug, die über das Zeit intervall [0, TI auf beiden Seiten gemtttelt wird. Die zeit liche xl tttclung wird durch das Übt' fstreichen der Gleichung a ngedeutet. Xlan er hä lt:

D{lI + lIl ) O(U + 11' )'1 p. ( 'lt + (')X cn. -

iJ(p + p' ) ') ( .I'

+ /( .

+

O((Il + ll' )' (l' + l,l))) _

')

-

( y

(()'l(lI + UI) 'I ' ar-

+

()'l (u +u l ) )

') "

( y~

(4)

+ 1"

\Yen leu nacheinander die Rechenregeln 2 und 4 auf die Gk-irhung (4) angewen det , erhiilt man:

aUi + U I

p'

( -

. () t

)

+

O(ii + u')'1 . rJx

D(p + p' ) " + I1 • OX

+

O((ü + u, ) . (V + VI ) ) Dy

(D(U+ UI) + D'1 (U+ U '1

I

"'1 O .J:

) )

"2

Oll

)

=

t:

+ ,,-

~li t der nochmaligen Anwendung der Reche nre gel 2 auf die Gleichung (5) und m it er gib t sich:

p

.(DU

Du'

') +')m. öt.

Op aJl

+

D(u + u' )'1

-D- "",+ 1( ' .J: O .J:

') or

( o2u

+

(5 )

1" = Ir

Ü((ll + UI) - (v + r l )) ) _

{PU'

')

-

(,I)

()'lu

02u, )

ä.e 2 + D '1 + ~+ -;-) '1 .r 0 ,1} ( y

+ 1"

(6)

Die Gleichung (G) verei nfacht sich nun weiter hin m it der Rechenregel 1 und mit 11' = ()

160

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

sowie p' = () zu: Oft

p . ( -iJ t

D(u +u' )Z

+

Ü

J'

+

D((U +U/ ) . (V + V' )) )

')

( .IJ

üj"J

- ", + 1/ ' (IX

~

(i)'lfi ;Pfi)
fI.J:

(7)

Die Ter me

DUI + 1I'F

1.

D(fi

2.

f).r

+ 11' ) ' (f' + t,,) Dy

werden lIUIl noch gesondert behandelt. Für den L Term erg ibt sich mit den Rechenregeln 1, 2, 3 und mit 17 = () die folgende Rechmlllg:

0 (1/ + /1' )2

a.1"

(J fi2

8 (11 2 + 2 · 11 ' 1/' =

+ u/t )

DuZ = ÜI

ils:

072

+

0(2 · 11 ' 11' ) iJx

+

Du'2

iJx =

~

fu +fu

Für den 2. Term ergibt sich m it der entsprechen den Rechnung:

D(u

+ 11' ) · (u + v') Oy

ü~ ')

+

(11

()~ ') (.11

=

D(u · v

+ u · v' + u' · v + u'· Vi)

=

Oy ä~

+ 01I

+

(J eu' · Vi )

ü (u'· tJ')

ü (u · v )

,. ,

=

Oll

(') !J

+

0

ON

(0)

Der 1. Ter m und der 2. Term gemäß den Gleichungen (8) und (9) in G leichung (7) eingesetzt, ergibt die folgende Heynolds-G lcichung: Du

p. ( {Jt

Dft2

Du'2

+ -[) x +-+ {)x

iJ( ü · u)

Dy

+

D(u" ay

aß + D.r

- -

/l '

VI) ) =

( -iJ211 +[Pii) f - +, {J.rz

üy 2

.

(10)

Mit einer einfachen Um form ung kann die Gleichung (10) anders geschrieben werden. Sie lautet:

Dii

p. ( ül

Dp

- ÜI

+ IJ '

Diiz

+ -{J.r +

( {PÜ D2 O.r2

D(U. ii) ) Dy

fi)

~

+ Oy2 + f ", + p . (

_ f)u' z _ 0 (11" {).r

VI))

{)y

Die Rcynolds-Gleichung unterscheidet sieh einma l durch die gctnit tclt cn G rüßen Fi, v un d WJIl der Gleichung (1). \\"eiterhin t reten auf der rechten Seite die ermittelten zusätzlichen Ter me auf, die als sr:hcillfmn: turbulente Sdmbs]!/11l1l1111!}t:71 bezeichnet werden, physikalisch gesehen jedoch Trä gheit st erme sin d. Bei der numerischen Lösung der Reynold sGlet chungeu müssen diese Ter me geeignet modelliert werden (Aufga be der Tur bulenzmodcllierung, Kapitel 3.2.3). jj

161 A u fga b e 3. 2.8

D re id imensionale R e ynolds-Glel chungen

E s w ir d eine s t a t ionäre inkompressible d reid im ension ale t urbu le nte Strömung b e t ra cht e t. Vorgeg e b e n is t d ie Navie r- S toke s- G le ic hu ng fiir die e- Rich t u n g :

Dw Dw Dw 1 Dp ( DZW a'2 w u · - + v· - + w· - = - _ . - + v , +[)y-2 iJ.r iJ!I iJz fJ;) z iJx z

+ -(PW) () z'l

( 1)

a) Man se tze d en R eynolds-Ans a t z fii r die t ur b u le nt s ch w a n ke n de n G r öße n lJ, 1.', '11' und JI in G le ich u ng (1 ) e in lind multiplizie r e d ie dabei ents t ehenden Prod u k te a us . H inweis : D e r R e ynolds-Ansa t z laut e t :

v =v+r'

11 =U+ "Il'

p =p +p'

W = W +ll"

Die Dicht e p und die k inematis che Zä h igk e it v s in d kons t ant. b] M a n s t reiche a ll e T erme in d e r r e s u ltie r e n d e n G le ic h u n g a }, die b e i e iner

ze itliche n M ittelu ug d ieser G le ic hu n g zu N u ll we r den . A nsch lie ßen d schreib e m an di e sich ergeben de, zeitlich g em ittelte Navier-S t o kes- Glelchun g in zR ichtu n g in d e r W e ise a u f, d ass a lle ve r b leiben den Ter me, d ie a ussch ließlich ze itlich gem ittelte G r u n dst r öm u n gs a n te ile u, v, w uud p enthalten , a u f der linken Se it e d er G leich u ng s t eh en. A lle a nderen Term e sollen r echts d es G le ichh eitszeichens a u fgesch rieb en wer d en. Man b enutze dab ei d e u Querstrich a ls ab k ü r ze nde Sc h reib we ise für d as Integral der ze itlich e n M itte lu ng . c) Ma n zeige unte r Ver wendung d es R e ynolds-Ansa t zes in Verbindung mit d er Ko nt inu itätsgle ic hu ng , d ass di e fol gend e Id ent it ä t er fii llt is t :

Du/

Dw'

Dw'

f)x

Dy

f) z

u'· -- + v' · -- + w'· --

~

O(u' · w' )

')

(X

+

D(v' · w')

')

Iy

+

O(w' · w' )

(2)

')

I Z

Lö sun g: gegeb en : p ,

1/

a] Xach Einse tzen des Reynclds -Ansat zcs in Gleichung (1) erhält man: _ ') iJ(w + w') ( u+ u·

ur

1 tJ(p +p' )

- p'

(}Z

+ w' ) + (_ ') + (_v+ v' ) · D(muy w + w·

+ 1/ '

( U2(W + w l )

().T2

+

U2(W +

()yZ

w' )

+

()(m + w' )

UZ U(W+W' ))

=

(}z z

(3)

Dur ch Ausmult iplizieren sämtlicher P rod ukte in Gleichung (3) folgt:

im om Dw' , Ow' ()m , () m uw' u --u r +u --lh + U' -ur-+lI --tJr- + t·· -Ull +1' --+T' --+ tJy Ull I

Fm} , · -{}m + _w · am' v' · {}w' - -+ m · -+w _ - +1I', . _Du/Dy

Hz

Dz

() 1.

0 1.

1 = - _.

P

(Op - +{}P' -) + il z

{Pli] {)21/. / {)2 TJj (PW' ()2 JjJ lPw') u . ( 0x 2 + --;-)' + 0' (X y + -0' Y +0' z + 0' z

Dz

(4)

162

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

b) Dei einer zeitlichen Mit telurig von Gleichung (4) fallen all diejenigen Terme heraus die Schwankungsterme ausschließlich in der erstell Potenz erhalten , denn für eine be liebige Schwnnkuugsgröfse f" gilt bei ein er zr-itliehen Xlit t elun g = O. :\Iall erhält also:

r

(]m +v · -f)w +w, -[fiv + -1 , -fJp - v , ( --+-D2m ('Pm +-[PT[i)

u, -

ax

()"

{}z

Dz

p

f1x '!

{) .lJ2

0 :;2

~

- ( u' · -UW'- + v' · -nI/i- + w'· -OW') ilr

Oy

(5)

Il z

c} Beim Ditfcrr-nxk-nui der rechten Seite von G leichung (2) wird die P rodukt regel der Different iation angewandt . ;\Ian erhlilt :

O(u' · w')

D.r f)w'

u', - fu

+

ü (v / · w' }

Vii f)/I '

+ w' · -

+ u'

Vw' iJ.r

Du/

fu

D(w" tC')

+

u" . - - + 1/ ' - -

ay

{) z Du/ , -~

iJu'

+w' · -

~

(lJu l /:J,r

{} w' Dz

(Jw

[)w'

fu

fu

+ w' , - -' + w' , - -

+ w' · - - +«/ . -

~

+ -Dv' + -{)({!' -) Dy {} z

(6)

Da die zeitlich gemittelten Geseh willdigkeit skom Jlonenh 'n di e Kontinnitätsgloichuug crfülIon, muss für die Schwankungsgrößen gelten: Ött'

Öl"

ÖW'

-{JJ> +{JU - +{Jz- = 0

(7)

Aus Gle ichung (6) folgt som it die Beha uptu ng von Gleichung (2) :

","c'C"C"") u' - -(}w'- + v' - -Dw'-+ w' - -Dw' - = D(lI' - ll" ) + D(v' - w' ) + "iJ-"(= iJ:r

A u fga be 3. 2. 9

DU

{Jz

DL

DU

Dz

Favre-M ittelu ng

Di e G le ic hunge n fii r Impuls und E nergie für ein kompressibles Medi u m mit ko n s t ant en Stoffwer ten }I und Cy ent halt e n unter a nderem fol gende Terme: D (p " lI" w )

(1)

ih (J"

z:

2 - }{ = 2- /t -Vw - -az

p - Cy - ( -iJT

DI

iJT) + w--

(}l')'

all+ ([) x () y

3

Dz

( -DU +Du +VW) il s:

iJy

iJz

(2) (3) (4)

Di e b etracht et e Strömu ng is t qua si- s t a tio n ä r ko mpr essib el und t urb u le nt. Die t urb u le nten Sc hwanku ngsgrößen , di e Geschwind igkeitskomponenten u nd d ie

T empe ra tur sollen m assengemlt t el t (Le Favre- Mittelu ng) und d ie D ich t e e in fach gem ittelt werden . Es ge lten die fol ge nden A nsä tze:

u = u +u" T =T +T"

v=

v + v"

IV

= iii

+ u/'

p =p +p'

(5)

Im Fo lgenden sind ei nige A nsätze a us d en G leic hu nge n (5) in ob ige Terme (1) - (4) e inzusetze n und a nsch ließend is t e ine ze itlich e M ittelu ng unter Verwendung d er R echenregeln fiir turbulente Ström u ngen durch zuführen . Verwenden Sie d abei d en Que rstrich und d as T il de- b zw , Sc h la n ge nsymh o l als a b k ürzende Schreibwei se fiir d as Integral d er zeitlich en Mittelung. a) Man setze d ie Ansätze [Ur die G eschwindigkeitskompollentell und die 'Iernp e r utue in die Ter me ( 1) - (4) e in. U m die b esonderen E igenschaften d er Favre-M itte lu ng ausz u nu tzen , is t di e Dich t e ni cht in p und p' zu ze r legen , son dern a ls Variable zu verwen den. M u lt ipliz ie ren Sie aus und führ en Si e e in e ze itlic he M ittelu ng dur ch . Strei ch en S ie a lle T erm e , di e b ei d er zeit lic hen M ittelu ng Zl1 N u ll werden. h) Man setze nun d en R eynolds- A us a t z o = p + p' in d en s ich in T eilaufgabe a) ergeb e nden Ausd ruck fiir D(p , u . w)/Dz e in , multiplizieren S ie a us und streic hen Sie a lle Terme d ie nun b ei d er ze lrllchen M ittehmg :7. U N u ll werden. c ) Man zeige , d ass di e Behauptung p . j)T" /D:r = 0 richtig ist. Hierfiir we nde m an d en Reyuolds-Ansatz für kompressible Str öm u ngen a u f d ie Tem perat u r an . Lös u ng: gegeben: Terme (1) - (4), Fa vre- Mluelung (5) gesucht:

a) zeitliehe Xltu clung der Ten ne (1) - (4) mit Favrc- Mluclung , b) ReynoldsAnsa t z für Tenn (1), c) Beweis a ) Xnch dem Einsetzen der Favrc-Xlittclung (5) in Gleichung (1) und der zeitlichen )'lit telung erhält man: O(p · ll ' IV) Dz

~

()(p ' [u + 1/"] ' [w + 10" ]) ()z D(p· ü . iv) ü(p . ü . w")

il "z + (')Z {/ (p. ü . 1V) D(ü . ~ ) + ~ ilz" ') erz ~

).Iit p.

11"

+ +

a(p . tl" . in)

')

( Z

D ( w .~ )

(')z

+ +

D(p · u" . w")

')

( Z

{/ (p

'1/ " ·

(')z

w" )

(6)

= P . u/ ' = 0 folgt aus Gleichung (6):

0 (1" 11' 11') il z

0 (1" il · w)

')

+

D(p · 11" · w" )

Uz

(7)

Setzt man die Favrc- xü t tclung (5) in Gleichung (2) ein und führt die zeitliche Mittclung

164

3 Grund gl('idlllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

durch erhält man:

(Jw

2

-,y- =2'Jl ' - - 'Jl ' z: Dz :1 = 2 ' /1'

(J(W + IV" ) lJz

((JU öo [h+{}y 2 3

- - ' Jl '

(J1I.J ) +[ }z

( 0(11 + n"] Eh

+ Vif ) + -~i),,('-~"i+:-'::'{"..!.') ) + (J(v[)y [) z

(8)

Aus Gleichung (8) folgt :

(J z z

lhv -

2

= 2· p' -

~ . JI ' lJ z.~

( -DU. + -lJlJ + -[)W) D.r

{Jw" + 2 - // · - - -2 ' /1 -

{} z ;3

lJy

ilz

(au" +O - v" + O -W -") Ox

Oy

(9)

Hz

Xach dem Einset zen der Fa vro-Mit t olung (5) in Gleichung (3) und der zeit lichen Xlittelung erhiilt man:

nT

nT)

11'. -[)z P -c~. - ( -+ (}f =c · v

= cv -

VT ( p · -[)I

( n(T+T") + 1J - ( lI'+ _ w" ) · n(T +T" )) ·~:"":--:....!. ,IJ-

·

,.

ilt

.

-

Oz

UT" _ {}T _ UT " +p · - - +p · w· - +p · w · - öt. [) z Oz

iJT" ) -,- + p -w" - -,+p ' w" · iJT (h il z

=

-

Cv

'

or- - -= DT

-a T -

lJT "

p. ,')1 + p · - -+ p-ijj · - +ijj · p- - ( () t ;}z az

OT p' w" .[}T" + __ P ' /J} " '-,-+ --) ilz Oz

(10)

Unter Verwundung der Quaai-Stat iona rit üt (fJ/fJt = 0) lind p . 10" = 0 folgt au s Gleichung (10),

p . Cv

•

(~~ + w· ~:) =

Cv '

(JT" )

" - öz p ,/V, DT - +w ·p · -UT"-+p ·w· ,Il z uz

-

-

(11)

Fü r den Term (4) ergibt sich nach dem Eins etzen de r Favrc-Xlit telung (5) und der zeitliche n xü uclung:

165 II

ÜII OV) 2 = ( O(ü + U ) ( c')x+ c') y c') x = (

O(ii + V ') cy

»)2 + 2· iJ(U+ 11" ) . iJ(V + V") + C("07:(::;;",+--'C,7:,)""),,

0(11 + UII iJx

iJy

Dx

_-(-'I)ii~)" -' 2

-

»)'

II

+

+2

ÜX

Dy

.(Ni. . au" (au")2+ '2.aü.a (j , . 71)~Ü7.-,"?-'c''' ü ') + 0 ') + 2 x

Üx

cx

x

un .r

cy

c') y

-,-,"-::-:-, (JUli · _+ (J!.i 2· _ Du" , _;-h,1I + (D"V av av" ((J- P" ) ' +2, _ - )2+ 2· _·-+ Dy

[}.r;

Dx

[}y

Dy

Dy

{}y

Dy

(12)

Aus Gleichung (12) folgt:

(J l/. DV) ' ( -ih +Dy

_(DU)' ii . -+ 0;; (liV)' ' + ,2, _Du" , O v" (Oc")' _ + ,2, -O + (DU") _+ DJ: iJJ: iJy iJy ils: Ox iJy Dy b) Unt er Verwendung des Reyu olds- Ausa t zcs in Gleichung (7) ergibt sieh :

-,O,,(I'--,';;-"_' " -,I} Dz

~

= Xlit p' =

ü

=

D(p · u. iv )

fJ([p + pi] . s . iv)

')

+

D(p ' u. iv) " oz

+

l Z

' '"_''_'-,-v'-,'I + -,-ü",(I,-p +_I'c.'i"I_ )Z

{}z

D(p' . u. 1;')

')+

D(p · u" . 11'") üZ

+

O(p ' ~) ,, oz

+

CZ

D(jl . u. 1;')

.) + erz

O(p' . u" · w" )

0Z

[}(p' . 1/" . w") ') erz

(14)

folgt aus Gleichung (14); D(p · 11 • w) D(p · ii . w) O(p . ~) ü (p' . 11" . W") ~') +') + l') Z oz ( Z o') z

c) Ausgehend von dem Term o :aT/ör folgt nach der zeit lichen Xllu olung und der \'('1'wcndung des Reynolds-A usatzcs für kompressible Strömungen T = T + T" mit den Heehenregeln der zeitlichen Xlitteluug:

---rJT ü(T + T" ) OT or- ~ ot OT " p . _, < e = p ' -, + p '-,- = p'-,-+ p . ~

fu

~

~

~

fu

(15)

\,"emdet man clie Favre-xl it telung auf den Term OTf Ox an ergibt sich :

(Jr

iJT

I" -

öx

p

-

_ [)T

=p ' -

öx

-

_ iJT

=p ' -

[}x

(16)

3 G run d gl('id lllllgP" d pr StrÖIflu"g~""'rhaJl ik

16 6

Durch Gleichsetzen der rechten Seit en der Gleichungen (15) un d (16) folgt direkt die Behaupt ung :

UT "

p ' -- ~O

Ux

3. 2 .3

Turb u le nzm odelle

Aufgabe 3.2 .10

Prandtlscher M ischungsweg

Vorgegeb en ist e ine inkompressible turbulente C o uette-St r ö m u ng in d er [z, z )E bene zwi schen zwei s ic h mit j ewe ils kons tant er G eschwindigkei t U gegenein a n d er b e w egende n unendlich a usgedeh n ten e b e ne n Pla tten (s ie he Abb. 3. 2. 10) . Unter Vernachlä ssi gun g von Messen krä fte n w ir d e ine zeit lic h gem it t e lte Strömu ng b etra cht e t , die nur e ine G eschwind igk eits-Komponente TI in r-R lcht u n g a u fwe ist , d ie ihr ersei t s nur von z a b hängig ist , d . h , Ti "" TI(z) . D ie unbekannt e Sch wan k u ngsgr öße 1/' . w' so ll n ach d e r Bous si nesq-Annahm e mode llie r t werden . Die t urb u le nte d ynamis che Viskos ität I l t so ll n ach d em P r andtlschen M isch u n gswegansatz h e r echne t we r d en, wob ei für d ie Ve r t eilung d es M isc hu n gs weges /( z) d ie folgende Bezi ehung g ilt:

/(Z) ~ K· (h' - z' )

(1)

a) M an b estimme die Konstant e K s o, d ass gil t:

d/I

dz

mit

Ii ""

-

z :+h -

-

K

kons t..

b ) \Vie laut e t die G le ich u ng Iilr die turbulent e sc heinbare Sc h ubspan nu ug - p ' 11' · w' in A b hängig ke it d es gege benen Mischungs weges l(z) und d e r gegebenen G r u n dströ m u ng Ti( z)? 7 t ""

u

•

h h

• u A bb. 3 .2 .10 Tu rbulenru Couett e-St.rönmng

167

Lös u ng: gegeb e n : h, '"', p, u (z), l (z)

ges uch t :

K,

TI

a ] Ausgehend vom gcge benclJ )'fisehuugsweg l( z ) na ch Gleichu ng (1) wird zunächst die Ab leit ung dl/ d z a n der Stelle z = +11 bestimmt. Xlan r-rhiilt :

<11

- = - Z· K· z
-<11 1 = - 2 - K· II d z z=+ "

-=0}

(2)

:\Iit der Bedingung

;:~ IZ=+h= -~ und de m Ergebnis au s Gle ichung (2) folgt :

~I

da

z =+ h

===>

=-K,=- 2 · J( · h

K = -

"

2 ·"

(3)

b) Un ter Verwend ung der Indexschreib weise gilt für die Komponenten de s Tensors "u de r scheinba ren Scbubspannungen nach der ß o usstnesq -A unahme:

-,-,

Tij = - p . ll j

• 'Uj

=

Jl t '

i E {1, 2,:J}

mit

(au, -a . + au .f

j )

-;J . (. .f,

J

j E {1,2 , :J}

und

Da in der Aufgabenstellung narh u' . w' in kart esischer Sclm-ihwoisc gefragt ist , gilt spr echend für ,lic Indexsch reibweise i = 1 und j = 3, so da ss folgt :

-,--,

T13 = -P -1l , "1l 3 =Jlt ·

hzw. Xach Voraussetzung ist

Tr z

w=

=

Tl

=

-r:

=

11' · 1/."

(4) CIlt

4

(im Ult:l) -.-, +-.V .f 3

JI I .

V.r ]

(rilrnz + rJm ) Ur

(5)

() lind TI = u( z). Aus Glei chung (5) folgt somit : TI

-d"IT(z ) = - p . 11' · n" = lit · - -

d,

(0)

Jlt soll nach dem P ra nd t lsr-hen Mischungswogansatz modelliert werden. :\Iall erhiilt :

, Id ul d,

Jl t = p· l (z ) · -

(7)

Das gesuch te Ergebni s folgt durch Einsetzen YOIl Gleichung (7) in Gleichu ng (6) sowie d urch Ver wendung de s Ansa t zes aus Gleichung (1) lind der Konsta nten I< aus Gleichung (3) zu:

=

Tl

=

fJ ·

- ('))' (2 "· Jt (h2- z ,)), . (dU dz -

_ .

(8)

168

3 G run d gl('id lllllgP" d er S trÖIfluJlg~""'rh aJl ik

B a ldwin- Lomax-Turlm le nzm odell

A ufgabe 3.2 .11

Zur Berech n ung vo n t ur b u le nten Ström ungen u m Tragftiige l h a t sich d a s Baldwin- Lomax-Turb u le nzmodell b ewähr t . a) Zu welc her K lasse von Turbulenzmodellen geh ört d a s Bald wi n- Lo maxTur-bu lenzm odell? W a s is t d er Vo r t eil d era r ti ge r M odelle? b) D a s B aldwin-Loma x-Tur b1l1enzlIlo d ell w ir d in zwe i Va riant en z u r B ere chnung d er turbulenten S t r ö m u ng in Grenzsch ic hte n und Nach läu fe n e ingesetzt. Wie unt erscheid en sich die se Va ri ant en?

Lösung : a ) Das Baldwin-Lomax-Turbulenzmodell ist ein algebraisches Turbulenzmodell. da zur Bes timmung der t ur bulenten Viskosit ä t I i t led iglich d ie Gleichungen

(pd;"",," = P , /2 'lwl

(1)

(/ldalli-ell = p ' K . Ce" . fWAKE . fKL EB

(2)

lösen sind. Die Bedeut ung der einzelnen Te rm e in de n Gleichungen 1 lind 2 sind in Ka pitel 3.2.3, H. Oertel ir. et al. 200(; zu finden. Der Vorteil der a lgebraischen Modelle liegt in den geringen Anforderungen a n d ie benöt igte Rechenzeit . Im Vergleich ZIl Einoder Mehrgleichungsmo dellen müssen keine zusät zlichen part iellen Dlffcr cntlalg lelchuugcn gelöst worden. ZU

b) Die Funkt ion f WAKE be rechnet sich mit der Gleichung: fWAK E = min(f, . f2 )

f1 =

Z", a x • C" a x

f2 = C \\' K

' Z",a" '

UfnF -f-", a x

Dabei ist f",a" da s Xlaximum der Funkt ion f(, ) ~ da s a n der Stelle

Z

=

Zlllax

,+ ' -I w 1-[I- exp(- -,1+ )1

(3)

a uftritt . Die G rö jc UD1F berechnet sieh mit der Gleichung: (4)

Inde x max bzw . m in st eht für den gr üßte n bzw . klei nsten Wer t in der Gre nzsch icht . Der zweite Summa nd der Gleichung (4) wir d für die Xlodolll er ung der Tur bulenz in Grenzschich t en zu Xull gesetz t. Für d ie Xlodclllerung de r Turbulenz von Xechläufcn muss d ie vollst ändige G leichung (4) ver wmdct werden. Aufgabe 3 .2. 12

1\ - G Iei ehun g

Turbu lenzmodelle werd e n so e ntw ickelt , d a ss s ie experimentelle Befu n de in e inem möglic hst großen P a r a m e t e rbe r ei ch b e fri edigend w ie dergeben. E in e infac her Spez ia lfall ist die is o t r o p e G ittert urb u le nz .

160 Vo r d er Messet recke e ines W indkanals befinde s ich z ur Beru h ig uug der Strömung e in sogen a n ntes Turhulenzgi tte r . Hint e r dies em stellt sich ei n e isotrope turbulent e S trömung e in, welc he im s tatistisch e n Mittel stationär und e in d im ensional ist. W eiterhin sei w ie b ei Orenzschicht atrömung en die mole kulare Diffusion in Strömung sr-ichtung verna chläs si gba r klein. a) Man ve rein fac he die a llge meine G le ichu ng für die Turbufcns enorgi c ( KG leic hu ng)

--- (()(]!. -----

ä 2 J\

ö l{ p ' f) t

~

lIlo l, -k" t" n> D ilf"...i,,,,

zpilli("he X ndt'ru"K

(Ni i -r_ , _ p o. 1/ - ' 11- {) X j

/t 'TT

J

1

Prod" kt;" "

lIj )

.

D Xj

DK '

')

D.rj

J

+ /1 ' -

Olt: D.r.j

- ' 11-

I nrh "I""l : nil f", ion

- 11 - _

,

iJlI:

. VI j

( 1)

--..-.ni "si!,,, t i,,,,

mit d er zeitlich gcm itteltc n Turbule naeucrgi o K = ](' und K ' = ( Jl?+ II ~z + 1l ~f)/ 2 . D ie Ström u ng is t statio när lind e in d imens io nal. XI is t die O rtskoordinate in Strö mungsric ht u ng. Die Ä n deru ng d e r mole k u laren Diffu si on is t in Strömu ngsr ich t u n g vernach lässig bar. Mall b eacht e in d e r G leichung ( 1) die Sum mat.io nskonventfon . Im Prod uk tio nsterm is t die zeitlich gem ittelte Ko nt in u itätsgle ic hu ng zu b eriick sichtigen. b) W el che w ic ht ig e Bez ie h u ng z u r exper imentellen B es timmung d er Tu r b u le nz ergibt s ich b ei z usätzlicher Ve rna chläs si gun g d e r t urb u le nten Di ffu sion ? Lösu ng:

a] Da es sieh um eine stationäre Strömung handelt gilt für die zeitliche Änderung: ·1/·

~ =O lJl

wegen der eindimensionalen Strömung in XI -Richt ung fallen die Ableit ung en in z'a- und x3-Richt ung im Konvckt ionsrcr m wcg: p .

( Üj

DK ) = p . (

· -.-

() Xj

iJK lJxl

lJ K _ -iJKiJK + 11:\ · - ) = p . 111· lJ.rz {);r3 {)X I

jj l · - - + 1[ Z · - -

:\lit der sclbcn Begründu ng fallen auch die entsprechenden Terme bei der molekularen Diffusion weg. Zusä tzlich kann hier die Ableit ung in XI-Richtung entfalle n, da die Änderu ng der molekularen Diffusion in St römungsr icht ung vcmachlässtgbar ist :

Der Rcynolds -Ansa t z wird in die Kou d nuuä t sglcichu ng eingesetzt un d diese wird da nn zeitlich gcmtttelt. wegen der eindi mensionalen Strömung fallen ebenfa lls die Ablei t ungen in xz- und x3-Richtung weg:

liO

3 G ru nd gl('id lllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

Im P roduktiunst nrm fallen wegen der Eind imensionalitiit die Ableitungen in X2 - lind Richt ung weg und es gilt fi2 = fi;J = O. Xlit der Kontinu itä t sgleichung (2) ergibt sich: (JUj

p.. D.r j

- , -, ll· . Il ·

J

I

= fJ .

[Jü ,

(

~

ox ,

;/:3-

- , - -, DiI , - , - -, .1l- ,, -. -, + ;)'Dü, """" . 11, . 2 + n-- . 1l, . 3 Jl ,

Jl

OX 2

Jl

OXa

iJ ü 2 -r- -, iJü2 -r- -, iJ ü 2 t r-t-r + --;-. va' U , + --:;-. 112 ' 112 + --:;-. 112 ' 1I:J OX t

+ (~)Ü3 ..[ ,

OX 2

. U:\ . 1/,

+ (~)U3 ..[2

a X3

.

u:\ .11~ + ~)) U:1 . ( ..[:1

11:1 • 11:1)

Aus der Kontiuuitä t sgleichung (2) folgt direkt Huj j(hj = O. Xlit dieser Bedingung und den wegfallen den Ableit ung en in X 2 - uud x3-Richt ung wegen der Eindimensionali tä t ergibt sieh nach einer Umformung der turbu lenten Diffusiou:

Die Dissipat ion kann nicht vereinfacht werden, da sich die Eindimcnsionalita t nur a uf statistisch gcmitt eltc Gröscn bezieht. Dami t er hält Inan :

Du'

i )j/

() Xj

{)Xj

IJ . ~ . -

' = 11 .

('J 'l,)' + (0";)' _ (.1":)' + (.1";)' -

+ ( -.1";)' + D X :l

D.rt

D·1'2

O X :J

- 11 '

-

UXj

Setzt mnn alle vereiufachtnu Ter me wieder in Gk-irhung ( I ) ein erhält man als Ergebnis: (3)

b) Vernachlässigt ma n in Gleichung (3) die turbulente Diffusion folgt die wichtige BedeI1I1lIg:

In Aufgabe 3 .2 .13

f -

Glei chung

Die ge m ittelt e Turb ulenzenergie J{ wir d m it d er zu vor b ere chnet en Differentia lgle ich u ng b erechne t . B ei Betra ch tung d er 'Iurbulenzdlssipa r lon { muss d eren Transport b erück si cht igt u n d mit t els e iner Tra nsp ortglelcln m g (e-G lelchun g ) b erechne t werden . Di e a llgemeine, exak te D issipationsgleichung lautet:

-(h D/

P' -

+P'(Ii),..ar' fh, ) ~ '-..---' K"r",.. kli,,"

+

{P t

JI ' -

,

Dx 2

----....-..",,, I..

iJ

+ ör j

ku l,,r.. Dilrus i" tl

(

_,__, - p . { ' ll )

-

.

2/1

-

P

,

(') IJ j

' -

-

ÖXI

ö p'

' -

Ö.f t

)

.

turbu lent .. D itrlls;" n

( 1) Ve rnklrlll n g

Die Dissipation ( ist d efiniert al s: (2)

Die Größe {' b edeut et : (3)

a) In dieser Aufgabe so ll die modellierte e-Gle lch u n g mit d en Bed in gu ngen a us d er vorhergehenden Aufgabe vereinfach t werd en. b] Im zwe iten Aufgabenteil s oll zudem die turbulente Diffusion ve r n ac h lässig t werden.

Lö sun g : a) Da es sieh

11111

eine stat ionäre Strömung ha ndelt , gilt für die zeitliehe Äudr-ruu g: Ü{ -= 0

Ot

Aufgru nd der eindimensionalen Strömling in Xl-Richt ung sind die Ableitungen des konvcktivcn Terms in X 2 und x:l-Riehtu ng gleich null :

(4)

172

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

Die turbulenten Diffusionst er me ergeben:

!I(- p . -t /l l) ) = -, il- - (- p . -t / u', ) +-,!I(- p ' -f' ui ) +v!I( - _ p . -( t ll ~ ) =

-, -

ö.rj

d.r ,

d.rz

.e:}

iI

-0-

0 ·1"1

( - {J . -( 1 1I ~ )

(5)

(6)

Molek ulare Diffusion lässt sich aufgrund der ein dime nsionalen St römungseigenschaften voreinfachen zu: (7)

Sie ist aber bei diesem Strömungsfall zu vernuchlfissigun (siehe Aufgabousn-llung } und som it null. Vereinfachung der Produkt ions t urme der Dissipa t ionsglei chung: Da die Strömung eindimensional ist , sind die Ableitungen in ;1:2- und x3- Rk ht ungell zu vernachlässigen , U2 = lh = O. Aufgr und der Kont.inuit ät sgleirhuug folgt ~ = O. Dam it ergibt sich für die P roduk t ionsterme:

-," 1'7' ( U, 211 - 1/ , - , J

a.fj

'1'( /li () X j '

Ox /

= 2II

-'0"'"u; I

' ll "

]

ü' 11, -

-- ' -- ~ O

()XI

(J.t?

(8)

ou,

= - 2Jl >- ,

üx,

(9)

Die Vernicht ungsterme der Dissipa t ion lassen sieh nicht vereiufarhen. Die Disstpat ionsglcichung lalltet fiir diesen Strömungsfall somit :

(10)

173 b) Unter Verna chlässigung de r turbulenten Viskosit ät ergibt sich: (11)

Aufgabe 3.2 .14

N ledr-i g- R c ynold s- Zahl-Turbulenz modell

Zur Validicrung e ines N ic d r ig- Rcyn o ld s - Za h l-Turbulenzmodells so ll e ine Rohrstr öm u ng b erechnet lind mit ex per imen telle n D a t en ve rglic he n werden . Es gibt prinzipiell zwei Ansätze zu r Ber ück si chtigung VO ll Grenzschicht en b ei R eynolrls- Turbllienzmodell en. D er wandnahe Bere ich d er Grenzschicht kann unter Verwendung e iner w andfunknon modelliert oder berechnet werden. Die s mus s b ei d er Netzerstellu n g fii r die B erechnung b eriick sichtigt werden. Bei der B erechnung d er kompletten G r e nzsch ich t mus s die s e vollständig auf-

ge lös t werden, um die St rö m u n gs grö ße n genügend genau darstellen zu könn en, da innerhalb der Grenzschicht g roße Gradienten a n ft r e ten . I n di es er Aufgabe soll eine Abschätzung d er Zellhöhen d es R echennetzes in Wandnähe durchgeführt werden, um ein e a u s re ich en de Auflösung zu gewäh r leiste n . Di e Turbulenz so ll in d er s päteren Berechnung dur ch Verwendung e ines N ied r igR eynolds-Z ahl- Tu r b u le nz m od e lls mit Wandauflösung b eriick si chtigt werd e n. A us diesem Grund muss vor a llem die vi sk os e Unterschich t und d eren strömungsnaber Bereich a u fgelöst werd en . Die Rohrs trömung soll als a usgeb ildet b etra chtet werden . Das R ohr mit d em Durchmesser D wird dabei mit d er mittler en St römungsgesehwindigk ei t Um mit d en b eiden Fliissi gkeiten A und B j eweils durch strömt. Zu r korr ekt en A us leg u ng d es j eweiligen Grenzsehichtn et zes sin d Vorausberechuugen nötig . a) Man unter-teile a llgem e in d ie Wandgr en zschicht turbule nter Strömungen in verschiedene B ereiche und b egriinden Sie Ihre U nter teil u ng. h) Man bestimme di e Höhe ZA (hzw . zu ) d er v is kosen U nt er sch ich t und di e lokal e Gesch win d igke it UA(Z) (bzw . un (z) . Zeichnen Sie di e Gesch win d igkeitsverläufe d er vi skosen Unterschichten b eider Strömungsfälle schemat isch . e) Man ve rgleich e dic E rgeb n iss e mit d en folgenden Formeln zu r Abschätzung d er v is kose n Grenzsehich thöhe fiir t u r b u le n te R ohr strömungen .

Formel 1:

'" D

=

12.64

,.

( 1)

(ReD) '

Fo r mel 2 : ß = 122 . f it (l ieD) , fllr 2:mO < R e < lO7 . D

R(~ 1J

.G

(2)

d] U nt er Verwendung d er E rge b n isse a u s Te ilau fga be a ) so llen die Ze ll höhen innerhalb d er vi skosen U n t ers ch ic ht festgelegt werd e n , so d ass di e Strömun g durch fiinf Ze lle n mit e in em W ach stum von 20 Prozent in z-Richtung pro Zelle

174

3 G run d gl('id lllllgP" d er S trÖIfluJlg~""'rh aJl ik

d a r ges t ellt w ird . Man b e rechne d ie H öhe d er Ze lle d irekt a n d er W and fii r h eide Medien. D ie K oordinate z ze igt ins Strömu ngsinnere . Lö sung :

ge ge b e n : u'" = 1 m f8 , D = 0,01 1/1, G = 1,35, F lüssigke it A : PA = 1000 ky/m\ m2 fs, F liis s igkcit B : PB = 1000 ky / m \ VlJ = 10- 7 m 2 /.~

VA = 10- 6

a] Die Grenzschich t lässt sich in d rei Bereiche unt erteilen: Der Strömungsbrcich direk t a n der Wa nd wird als viskose Unte rschicht bezeichnet . In ihm überwiegen molekula re gegenüber turbulenten Kräft e (jl» Il tl . weiter zum St römungsinneren folgt der Übcrgangsberolch, in dem molekul a re und t urhulent u Kriifte von der sclbcn Größcuordullg auftreten und som it berücksicht igt werden mii ssen (jL <::::: Ji d. 111I st römu ngsinuorcn Bereich der Grenzschicht dominieren t ur bulente Kräfte ('11 » IL) . b) Zu Beginn wird jeweils für bcldc xledtcn die Reynulds za hl bestimmt .

R CD

Um ' D

=---, V

R CD /1

Da 3.10:1 :::; R CD A , R CO /l Gesetzes bestimmbar.

:::;

1 · 0,0 1

Um- /J R CDA = - - VA

U'" . IJ = --/l1J

~

10

~

1 - 0, 0 1

6

= WUOÜ ,

= 100000

10- 7

_

(3)

105 ist der Verlustbeiwert At uutor Verwendung des Blasins-

, = 0 , O:UG4, AtlJ = ( Rcf) /d' O, 31G4

o. 3164 1

(Rc ou)'

(4)

= 0. 01779 .

Die wandschubspanuung ru- erg ibt sieh jewe ils zu: 1 _2 '>'IA N ITWAI = ~2 -p · lt", · = :1. 955 - "

4

1 '>'I1J N ITI\' /J] = - . p.u;,,' - - = 2, 224 - 2

24

m

m

(5)

Es werde n nun dimensionslose Koordinaten ein gefü hrt: 11 + = tl ( Z) . llr = jTW , z+ = z· Ur tL r P V

z+ . /I' .,fP

Z+ . /I ,

~

--

Ur

~

ZA

(7)

JTW"

Im Bereich der viskosen Unt erschicht 0 ::; y+ ::; 5 gilt

JI +

(6)

= z+ .

Z+ . /lA - .JjiÄ 5 - 10- 6 - v' 1000 ... = --~=!-'-" = m = 7 9,,1 · 10- 5 m, zn = 1, 060 .10- 5 m J TW A J:t 955 '

li5 Inner ha lb der viskosten Unterschicht ist die wands cbub spa nnun g r unewtonsehe Fluide:

dU('-) ) ITwl = 11' ( ~

~ TI

und lautet für

. u (z ) = -TI<' , z + C . rlurt-h Int egra tion It

(8)

Aus der Ha ndbedingung II( Z = 0) = 0 folgt: C = O. Da ra us ergibt sich: _

T I\'

Il(Z) = -

T I\'

. z = -- . ,

v ·P

.

(9)

a, 955· 7,C %1

. 10- 5 m]» = O. :H 45 1II/ s, [JA 10 ) · 1000 . 5 2 224 · 1 OGO · 10u u (z ) = ' 10 ; .1000 fit;'<; = 0.2357 ln /s .

7) \ "

UA( Z) = - ' - . ZA = vA'

11

(10)

Die Dicke der viskosen Unterschicht nimmt mit zun ehmender Iicynoldsza hl a b.

z

I

A

u(z )

Abb. 3 .2 .14 Viskose Unterschicht der beiden St römungsfälle c) Unt er Verwendung VOll Formel 1 ergehen sieh folgende Wer te für die viskose Grenzschicht höhe (.6. .-1 = ZA , .6. u = zu );

,(RC[)A)<

12, 64 ·0,01

1, 264 . 10- 4

11I

12, G4 ·D

12, 64 · 0, 01 5 a m = 2. 248 · 10( 100000) '

nt

12, 64· D

~

(Re[)/j) '

=

(10000) 1

m =

(11)

•

(12)

Unter Ver wendung von Formel 2 ergeben sieh;

.6. . = 122 . i n (Rev A) . D = 122· i n (10000) . 0, 01 1

.

Rf'D A · G

10000 ·1 ,35

TI!

= 8.32:1· 10- 4

111

•

(13)

176

3 G run d gl('id lllllgP" d er StrÖIfluJlg~""'rhaJl ik

ß u = 122 ·

[11 (RrJ)fl

)' D 122 · l n ( IOO()()(}) · 0, 0 1 m = 1. 040 .10 - 4 m = R v v /J ,G 100000 · 1,35

.

(14)

d) Die Hilhe der in z-Richt ung k-tun Zelle wird üb er folgende Formel bes t immt: (15)

Dabei ist

h OA

die Höhe der wand näc hsten Zelle be im Vabdtcrun gsfall n üt dem Medium A,

q ent spricht dem Zellwachst um in z-Richt ung (a lso q = 1.2). Die Gesa mt höhe der viskosen Unterschich t YA mit n = [) Zellen er gibt sich zu: n_l

YA = hOA '

L

k ""O

k q" - 1 q " = ' IOA ' - - = h OA ·7,44lG I/ - 1

(16)

Dara us ergib t sieh eine Zellhöhe der wandn ächst en Zelle von y,\ 7,951 ·10 - ;' m = 1. miS· lO- 5 m . alla l og hol/ ~ 1 , 4 2 4. 1O -Gm 7, 44 1G 7.44lG .

h , ---- 01 -

3 .2 .4

(17)

Grobstru ktursim u latio n

A u fga be 3. 2. 15

F il teru ng fiir d ie G robs trukturstmulatton

Grund lage d er Large-Ed dy-Sim u lat ion ist ei ne räu m lic he F ilteru ng. A n a log zur ze itlic he n M ittelu ug d er R eynoldsgleidmn g gilt : f( ·i,t ) ~ /(.;.1.)

I m G egen satz z u m Rey noldsansat z ist gem it .te lt ,

/(x. I.)

~

f

+ 1'(5',t )

7 jed o ch

(1)

n icht ze itlich so n dern räu m lich

G(x, ,Ci, 6.) . f( x' . / )dV'

(2)

D

Int egriert wir d iiber d a s gesam te Rechengeb iet , a lso a lle

J'j .

f ab hängig vo m A hstand vo m Punkt .'1 gew ichtet. A ls F ilter fu n ktio nen werden e.B. d er Tc p-Hat-Fflt e r , d er C ut-O ff-Filter od er der Gaußfilter verwe ndet (sie h e A hh. 3 .2 .1 5a-3.2 .1 5c ).

G is t d abei eine F ilt erfunk t ion , di e d ie Fu n kt ion

• Top- Hat- F ilter :

T

,-

;

_

Gi (X;, .T;) -

{

,

a ++a :-

0'

,

fiir

- !h 2

< - (" .,., _ ',.') . < - "'3 2

and ern falls

(3)

I i7 • C u t - O ff- F ilter :

1 C C(,; x ;. x;') = n

(4)

• G auß-Filter : G _ ,I

G ; (X"

Ü _ ~ ( ----::\2 ) :/ru., ;

Xi )

Ahh. 3.2 . I 5a Top-HatFilter

1 € :l.TJ

[- ü( x,ß -2 ')'] X;

(5 )

J~ ;

Abb . 3 .2 .15h Cnt-OffFil te r

Abb. Filt ('r

3 .2. I5c

G:mF.-

a.] M a n ze ige , dass im G egensatz zu r Reynoldsmlttelung nicht gilt : (ü)

b .] Man wende d en Filterungsausatz (1) a u f d en nichtlinearen T erm Impulsglei chung a n .

tl ;'U j

d er

U ;U j aus T eilaufgah e lr.] und d en Feinstrukturallteil T;~GS . Wie la u t e t

c . ] Man t r e nne d en gefilt e r t e n nicht.linearen T er-m

in d en G r obstru k t ura nt e il

ll; llj

T 5.G S ?

"

Lösu ng: gegeben : Filt erfunktion (3) - (5)

a.] 7(I, t) =

J

G (i', x' , ß ) ' 1 (.1-:' , t )dV '

-t

[)

f=

JJ

G · j dV 'dV'

G

[)

lJ

Da G nicht konst an t ist , kann es nicht a us dem Integra l hcrausgnommcn werden und es gilt :

J~

JJ

JC.jdV'~7

lJ

[)

C ·jdV'dV' "

C

lJ

1i8

3 G run d gl('id lllllgP" d pr StrÖIflu"g~""'rhaJl ik

J' ~f -l ~f - J e ·f dV' D

e ' fdV'] dV' ~ l ->: J e J e ' f dV'dV'

I ' > J e [f - J [)

/)

[)

[}

Da

J e J e ' f dV'dV' i' J a . rsv: »: D

D

D

f' ~ J G [f - J G' f dV'] dV' ~ J G·f dV' - J GJ G· fdV'dV' i' ° D

D

D

D

b.) - = ( ll i Il;ltj

+ U 'i )(llj + ll j') =

= U;t1j

-

+ =-7" U ill j + =-; Ujll i + tr:r ll iU j

--.-.c.,

R ;j

c.] ll iUj

=

ll i11j

+-

ll i U j

=

ll iUj

+ 11itlj -

tI;Uj

--.-.- --.-.Cu

L ;j

.,

-

..sos

T i}GS

=

ltit1j -

tI;lIj + Ui 1l j

+ 1ljll; + u ;uj

--.-.- --.-.L ;j

C ij

-

+ ll ;,uj + lljU; + tI; uj

fl ,j

H ,j

liD

3.3

E nergiegleich u ngen

3 .3 .1

Laminar e Strömungen C o uet t e-St röm u ng mit Te m p eraturgrad ie nt

Aufgahc 3 .3 .1

I n einem e benen Kanal d er Höhe lJ m it einem s ich in Ruhe b efin dend em inkompressi b len N ewt onsehen Med im n s in d a n d e n Wänd en die Temperaturen Tl u n d Tz a ufge prägt . Ü b er dem K ana l s tellt s ich eine linea re Tem p erat u r vert eil u ng ei n (s ieh e Abh . 3.3.1a ). Zu m Zeitp u n k t t = 0 wird die unt ere B cra ndu n g plö t zli ch m it d er kons t anten G eschw in d igkeit U in B ewegu n g gesetz t. Dab ei b ild et s ic h im K a n a l e in e e ben e C ou ette-Str öm u ng in d er (x , y) - Eben e a us (si eh e A b b . 3 .3 .1 b) d ie , gc nau wie d ie Tem p eraturver t eil u n g, a ls in I - R ich t u n g a us ge b ildet a n genom m e n werden ka n n . Die Ä nderu ng d e r Temp erat urve rtei lung a ufgrund d er Couette-Strömung im K a n al s oll u ntersucht werden . A usgangs p u nk t is t d ie E nergie gle ich u ng fiir die m assens p ezifi s ch e in nere E nergie e b ei St r öm u ngen mit konstant en Stoffe igen sc haft en :

C~; +(v . \7)e)

p.

(1)

= ).. · f:..T- p · (\7 · v ) + p · rj, + II · $

D ic T erme in Vektor notation a u s G leic hu n g ( I ) lau t en ausfüh r -l ich:

D

o)

(J

ilc

(Je

Oe

(v· \7)e = ( u · - + u · - + w · e=l1 ' -+P' -+W' fu ~ fu fu ~ fu

(2)

iP 1)2 iJ2 ) f:.. T = ( -2 +DZ-2 D;r2+(Jy

(3)

- 1" ('1. v )

~

- 1"

;. PT 0.( 2

0 2T iJ!l2

;PT iJz 2

T ~ - + - + -

((.V.r2. . · Vy!!... ' !!...)T (u VW)' ) ~ - 1" (iJll + Ov + iJW) il z . . V.r Oy il z

(4)

_' [(il")' + ("")' -a y + (ilW - )']+ (I -]" +il")' - + ("u> -Oy +"")' + iJ.r Ox Oy

Q' -2 ·

-

[) z

[) z

Oll + rJW) 2_ ~ . ( DU+ rJ p+ rJW) ' ( Oz ;JJ; 3 D.r {}y rJz

(5)

T,

/

?T(}'J /

T,

I

1

1::;0

A b b . 3 .3 .1a Ruhendes Fluid mit Tempora t urgradlcn t

y! ""7 T,

/

/ T(y )

~ 11

"(y l

-,

I

11

-,

1 >0

Abb. 3 .3 .1b Couc tre-S t römuug mit Tcmperaturgrndlcnt

180

3 G run d gl('id lllllgP" d er St rÖIflu Tlg~""'rhaJl i k

a) U nter Berü ck sl cht.igung d er gegebenen Vo raussetzungen und unt er Ve rn a chlä ssi gung VO ll Wärm est rahlungseintl üssen ve rein fac he m an di e E nergieg leic h u ng z u e in e r p artiellen D ifferentialgleichung fü r d ie T e m perat u r T .

b) Man erm it tle de n Temperat urver lau f im s tationäre n Endzus t and fii r die

unt er a) h ergelei tete Differentialgleichung . c) Wie ä ndert s ic h d er Te m p eratu rverlauf, we n n die unt ere Pla tte m it d em gle ic hen Geschwin d igkeitsbetrag U, j ed oc h in d ie entgegengesetzte Richtung w ie b ei a) in Bewegu ng gesetzt w ird? Lösung :

gegeben : V , /1, TI , Tz, p , cv, ..\, JI gesuc ht :

a ) Different ialgleichung für T U .y), h) T U

->

co.y) , c) Änderung

\ '011

T (y )

a ) Da eine inkompressible Strömung vorausgeset zt wur de , verschwindet nach de r Kontinuit ä tsgleichung die Divergenz des G esch wtndlgkci t sfcld cs 'V·v = O. Da mit können Gleichung (4) sowie der letzte Summand aus der Dissipa t ionsfunktio n in Gleichung (5) vernachl ässigt werden. Das Fehleu von Sr rahluugsointlüssen führt zur Vernachlässigung von (is' \\'eit t'r hill wur de eine zweidimensionale Coucttc..Strömung in der (x, U)..Eb elle vorausgesur at. Dies budeutet, dass für die Geschwindigkeit skompollcnte w gilt :w = 0, Aufgrund der Annahme eines ausgebildeten Temperaturprofils in .r- Richtung gilt DT/rJx = () sowie DIt/ DI = 0 wegen der ausgeb ildeten Gesehwilldigkei tskompoJl{'n t c. Auberdcm verschwinden alle partiellen Ableitungen na ch z. Berücksichtigt man die bisherigen Vereinfachungen und die Beziehung t: = C y ' T in Gleichung (1), so erhält man: P'C y '

T+ v '-D T) = '\ ' iPT ,- - + /1· [(D")' 2· + (1)" - +dU)'] (-D Df dU DUZ DU dU f) x

(6)

Die Kont lnult ätsglekb ung für die vorliege nde ebene St römung lau tet:

Du Dx

Du Du

-+- = 0

(7)

WeW'1l ()u/DJ' = 0 nach Vorausset zung folgt aus Gleichung (7): Du/Dy = O. Xlit der Haftbedinguug v(y = 0) = I'(y = 1/ ) = () und Du/ Dy = 0 folgt bei einer in x-Richt uug ausgebildeten Strömung n = O. Ber ücksichtigt mall diese weiteren Vereinfachungen in Gleichung (6) ergibt sieh : P ' Cy

trr =

' - ,-

ilt

;PT -. +

,\. -

f) y 2

JI'

(dU)' dy -

(8)

Bei einer Couct te-S t römung ist d u/dy konstant , so dass mit der Tempera t ur leitfähigkeit k = Af{ p ' c y ) aus Gleichung (8) folgt: f)T _ ' . . f) zT

v

t.:

C

Dt

iJy'). = ko nst . =

y

(dU)' dy

(9)

18 1

b) Im stat lon äreu Endzustand gilt Gleichun g (9):

urI ilt

eilT _ dyz -

= O. Xlit der P ra udtl-Za hl Pr =

(d1l)'

Pr

- "'4'" '

1// k folgt

aus

(10)

dy

Für die vorliegende Couct tc-Strömuug gilt du/ dy = - U/ Jl , somit folgt :

Pr

- 7-; '

U2 HZ

(11)

Durch Integra t ion erhält man aus Gleich ung (11):

U2 · _ · JJ+ C, CV IJ2 . 1 Pr l/ l T (y ) = - - . _ . - 2 . y2 +C, , y + C'l 2 C v f{ c1T dy

~

Pr

(12)

Die Ra ndbedin gung en zur Erm itt lung der Kons t anten Cl und Cl lauten: !J = 0 :

T ( y = 0) = Tl

y = Jl :

T (y = ll ) = Tz

Aus Gleichung (12) folgt mit dCII Handbedingungen .

Als End ergebnis erhält man: (13)

c) Die Bewegung der Bora ndung geht über die Fluidr eibung. also über den Geschwindigkcttsgradlcntcu du/dy in der Temperat ur verlauf ein. Da d ieser Term jedoch quadratisch in Gleichun g (9) ers cheint , spielt das Vorzeichen des Gcs chwindt gkctt sgradlentcu keine Rolle. Der Telll!wrat ur veriauf ändert sich also nieht!

Aufgabe 3.3.2

A bsaugu ug mit W ä rmet ransport

Zwi schen zwe i horizontalen porö sen Pla tten (Breite b sen kr ec h t zu r Zeichenebeno) strö mt im Spalt (ko nstan te Sp a lth öh e 11 ) e in N ewt .on sches M ed iu m (konstante kinematische Zähigkeit v , konstante Dichte p , konstant e s p ezifisch e W ä rmek apazit ä t cv) in a usgeb ild eter, stationärer und laminarer Ström u ng. Die unt ere Pla tte b eweg t sich mi t d er G eschw in d igke it Uo > 0 in p osi ti ve .c- Rlch eu n g, die ober e Platte is t in Ruhe . Durch D ruckabsenkung iiber d er o beren porösen Platte w ir d Mediu m a us d em Sp a lt m it d er konstant en Geschw ind igke it Wo > () p arallel zur c- Ach se a bgesaugt (s iehe A b b. 3 .3 .2).

182

3 G run d gl('id lllllgP" d er St rÖIfluJlg~""'rhaJl i k

Dur ch die p o r ös e u nte r e Pla tte ka n n Medium p a rallel zur e- Ach se n achfl ieße n . De r statische D r uck im S palt ä ndert sich in :1:'R ic ht u ng nicht. Die Querschnitte 1 und 2 im S palt (siehe Abb . 3 .3 .2) h ab en den A bstan d L v o nein a n de r . Die unte r e W and w ird a uf d e r ko n stan t e n T e m p eratur T l gehalt e n , wäh r e n d die o b e r e W and die kons t ant e Temperatur Tz ha t (Tz > Tl )' In Str öm ungsrichtung kann die Temperaturvertei lu n g im

h

z L

CD

(2)

Sp a lt e benfalls a ls a usgebildet betrachtet werden . Es soll kei n e zusä t zlich e E nergleeuo der a b fu hr dur ch Strah lu ng e t c. statt finde n . D urch die A bsau g u ng ändert sich die Wärmel eitfähigkei t A n ach d er fol gend en Funktion: A b h. 3 .3 .2 A bsaugu ng

>.. (z ) = Ao + P ' Wo · e,, · Z

(1)

W e ge n der poröse n W ä nd e ist d ie Haf'tb ediugung an d e n W ände n nur fiir d ie H o r izo n t alko m pon ent e d e r G eschwindigke it z u erf üllen . D ie Schwerkraft kann ve r nach lässig t werden. a ) M a n vere infa che die d reidimensio nale Kontinuit ä t sglei chung für inkompress ib le Str ö n m ngc n unter d en ge geb e nen Vorau ssctz u nge n und b es fimmc d araus die a- K o m p o n e n t e d er G esch w in d igke it in Abhängi gkei t gegebe n e r G röße n . b ) M an ve r einfache d ie dre id im ensionale n Navie r - S t o kes-G le icl m n ge n fiir inkom pressible Ströln u ngen unt er d en gegeben e n Vo rauss etz u nge n und b est.im m e die G eschwin d ig keitsve r t e ilu ng u( z) in Abhängigkeit gegeben e r Größen. c ) Man b e r echne d en B etrag d e r K raft die d urch R e ib u n g vo n d e r Ström u ng a uf die ob ere Pla tte z w isc hen d c n Querschnittcn 1 und 2 a usgeü b t w ir d. d ) W cl che Strömung erg ibt s ich fiir Wo -+ O? e) Man vere in fac h e d ie dreidimensio nale E ne rgie gle ic hu ng fiir inkomp r es sible S t r öm u ngen unter d en gege b ene n Vorauss e t zungen uud b es t irnrne unt e r Ve rwenduug d er Erge bnisses vo n A u fgab ente il a ) d ie Temperat urverteilung T( z) in Abhängi gkeit gegebe ner G r ößen . Dab ei kann die Diss ipation gege n iiher der Wärmeleitung durch d en Te m peratu rgr a d ie nt e n vern a ch lässigt werden. Lösung : gc geb e n : tFo , Uo , gesuc ht :

V , (J,

T l , T 2, h, L, b

a ) 'w(x ), b) II(Z), c)

IFHI, d ) lim wo_o «(a ), e) T (z)

a) Die Konttnult ätsgloichung für inkompressible Strömungen la ut et: Oll

Op

Dw

-ils: ++-= () aJj az

(2)

Die Strömling ist eben , da..s heißt es gilt für die Ableit ung en in Jj-Hi<:htllllg lind für die Ges<:hwind igkeit skom ponellte 1J:

D

D2

aJj

[}Jj2

- ~- = O

lI= O

(3)

183 :'o[it de r vorraussct aung einer st ationä ren Strömling folgt :

i! - = 0

(4)

0,

Die Strömling ist in .r- Hichtung ausgebildet , das bedoutnt die Geschwindigkoitskomponentcn ändern sieh in .r-Richtung nich t: Du

Öl'

Ow

(P U

{Pr

(FIV

Dx

öx

()x

üx 2

(}x 2

üx 2

(5)

- ~- ~- ~- ~- ~- ~ O

:'o[it de n Gleichungen (3) und (5) folgt da s w keine Funk t ion von .r und Y ist und aus

Gleichun g (2) ergibt sich:

aw

dU'

üz

dz

(6)

- ~- ~ O

Die Integrat ion führt a uf 11' = C mit der Intcr gra t ions konst untcn C. All den \Y;jll(!l'11 gilt \\"t'geu der Poröslt ät u'{z = 0) = w(z = h) = 11'0 . Die Ha ndbedingung in die Lösung VOll (6 ) ein gesetzt ergiht w( z ) = Woh) Die dreidimensionalen inkompressib len Xavier-Stukes-Glcichnngcn lauten:

BU

Du

() . ( -::) + u . -O.r (f au

öv

Ölt

DU )

+ V . -;) + 'IV ' -;) (y ( Z

01'

ih' )

p ' ( - + l1 ' - + V ' - + W' lJl ilr [} y lJz 1"

Dp

= f:,. - -;) + tt · /L '

ÖZt!)

iPI'

i)'ll' )

lJ.lJ 2

lJz 2


CI

Op = f Y - -O.IJ +

a2u

(02U

(i)'l V

-

ih 2

+-+-

iJW iJ w f) w iJW) iJp ( {)'l w (pw ( -lJl + U· -[} x + r · -lJy +w ' -Dz = f, - -lJz + }I ' -Dr-2 + -{}.lJ-2

Diu Schwerkraft ist vernachlässigbar. so dass gilt (3) · (5) und mit u. = 11'0 folgt:

f:l;

f,

= [u =

üp Ü 2 11 • ilu. p · n "o· - = - - + / 1 ' öz iJ.r DZ 2

= O.

~[it

+ -iPW) - , [} Z2

(7)

(8) (9)

den Gloichuugou

(10)

Öl'

(11)

() = - -

ü,

Da bei er gibt die 2. Xavtcr-Stokcs-Gleichung die Ident itä t = U und kann weggelassen werden. Aus den Gleir-hnngon (3) und (11) folgt , dass P keine Funktion von Jj und z ist . Der Druck im Spa lt hängt nicht von r ab. Damit gilt JI = konnt. , \\'egen der eheneu und a usgebildet en Strömung (Oleicbung on (3) un d (5)) ist n keine: Funk tion von J: und y . Es gilt u. = Il( z) lind lJu/iJ z = clu ld z . Eingesetz t in G leichung (10) ergibt sich: ü

Die Sub stitution f{ z) = c1u /d z führ t auf die Gleichung

1

f

· df

IVo

= "7 - dz

184

3 Grun d gl('id lllllgP" d pr St rÖIflu"g~ ""'rhaJli k

Die Int egra t ion dieser Gleichung erg ibt : Wo In ! (z ) = - , z +C 1 v

f (z ) ~ C, · e .!!::ll • ·z

mit der Integrationskons tanten C I und Cz. Die Rücksu bst it ut ion führt auf: d u = Cz . e~'z

d,

Dara us folgt nach nochmaliger Integra tion: v .!!::ll u( z) = C2 · W o . c ~ ·z

+ Ca

(12)

mit der Int egra t ions konstanten C 3 . Die Haft bedingung als Ha nd bed ing ung lautet an der unteren Wand u(z = 0) = Uo und an der oberen \ Va lld u(z = 11) = O. Verwendet mall diese Ra ndbedingungen zur Bestimmung der Intogra t ionskonst.antcn in C leir-hung (12) erhält mall als Er gebnis für die Geschwindigkeit u(z) :

u(z) = Uo '

e~' Z _ e ~ ' h

(13)

1 - e~ ,h

c) Die Kraft auf die obere P la tte berechnet sich für ein Xcwtcnscbcs Medium au s:

IPHI =

jr (z = h)l ·b ·L = p .v · ldU(Z = h)l ·b . L dz

(14)

Der Guschwindigkoit sgradienr benx-hnot sich ans Gleichung (13) :

Eingesetzt in die C lcichu ug (14) ergibt sich für den Bet ra g der Kra ft :

IPHI = d ) Für Wo

1"

Uo ' Wo ' b · L ·

e ~.h •

""

1 _ e7!-'"

0 ergibt sich au s Gleichung (13):

u(z ) = liiu

1 1'0 ~ 0 (

Uo "

e

~

""

·z - e " .,

"' "" 1 _ e7!-·h

I )

= Uo ' lim

e

11'"0 - 0 (

p

""

·z - e

p

\\. " "

1 _ e7!-'"

.

,

I )

Xlit der l'Hospitulschen Regel erhält man:

.i _I!.

= Uo ' v_!lv = Uo . ( 1 - ~ ) • Es handel t sich

1II11

eine Couctte-St römung.

185 e) Die dreidimensionale Energiegleichung lautet : p'

Oe Oe i!
Oe ( -Dt

+!!.- [),. iJT]) Dz

Dz

(ä [

=

-

Dr

_ p ' ( iJlDr1 + iJu + iJW) Dy Dz

A· -OT] Dr

o [),. -OT ] + -Dy Dy

+ p ' fis+ I/ . 1'

(15)

Für ein inkompressibles xlcdtum gilt e = e" . T mit e" = konst.. )" lit der Vernachl ässigung der Dissipa tio n

or+ 1to. · -iJT) ( t/· _ Dr il z

~

(-ilril [A · -iitJT] + -o [), . -iIT]) r il z Dz

(16)

Die Temperaturverteilung ist in .r- Hichtung ausgebildet , damit gilt DTflh : = O. )"lit Gleichung (3) folgt dass die Tempera tur nur ein Funktion VOll z ist: T = T (z ) und DT/Oz = dT /d z . Die Wä rmeleitfähigkeit ), ist eh enfa lls nur eine Funkt ion YOIl z . Eingesetzt in Gleichung (16 ) erhält ma ll: () . c ,• .

dT)

IVo ' dT = ~ ( ), . da dz dz

Hiera us folgt mit Gleichung (1):

,

dT

p . c,_ . H o ' -

dz

.

c1T da

= fJ ' C,.. · B' o ' -

,,2T

+ (),o + fJ ' C,. · Wo ' z) · _dz-2

hzw .

Die Integra tion d ieser Gleichung liefert :

mit den Int egrationskons tant nn C 4 und Cs . Für die Randbeding ung en T (z = 0 ) = TI lind T (z = h ) = T 2 ergibt sich die Lösung:

T (z ) = Tl 3.3.2

+ (T2 -

z Td ' h

Turbulent e S trömu n gen

A u fga be 3 .3.3

Favre- M itte lung der E nergiegleich u ng

E s w ir d d ie E n e r giegle ich u n g für die massenspeaifts ch e innere E nergie e m it e = c; . T fiir e in kompressi b les Medium m it konst a n t e n S eo ffe igensch a f'ten Cv und ), unte r Vernac h läss ig u ng von St.rah lungs ein tl üs sen b etrachtet : fJ '

Cv .

()T ( -ilt

+ lI'-+ V' Oy - + W' il-z öx

()T

()T

()T )

= ), .

02T iPT 02T) 0 11 2 + --:--1 2 _ p o -0 .1' + -0 Y + "-1 ( 0 .r2 + --:--1 (y ( 2 ( 2

(DU

DW) + 1 . 4> 1

(1)

186

3 Grund gl('idlllllgP" der StrÖIfluJlg~""'rhaJlik

Dei der Derech nu ng d e r h ie r b etr acht eten quasi-stationären kompres siblen t urb u le nten Strömung we rden d ie t ur bule nt sc hwan ke n den G rößen fü r d ie Gesch w ill d ig keitsk o m p o nellten und die T e m perat ur m a ss eug emittelt a ngesetzt und Druck s ow ie Dichte j eweils e in fa ch g emittelt. Es gelte n d ie folgend en Ansät ze :

w =u,+w" (J =P + P'

11 =11 +U"

T=T +T"

P=P +l"

(2)

Di e Ans ät ze a us G leich u ng (2) sin d in di e Energiegleich u ng (1) einz usetzen lind a nsch l ießend ist e ine ze itli che M ittelu ng unter Verwendung d er Rechen r egeln fii r t ur b u len t e S trö m u n gen durchzuführen. D ab ei b e a chte m an die B e sonde rh e iten d er F a vre-Mittelung für e ine b eliebig e Schwa n k u ugsgr b ge F". E s g ilt {! . (11 = 0 u n d f" -I- O.

H inweis: Die zeitliche M itte lu ng d es Dis s ipa t.ion s t erms kann a us Grü nden d e r Vere infach ung a ls 1I •
(

iJT" )

p . _iJT +p . _ -

Dt

Ot

= ()

(3)

ot

Da es sich u m eine q uasi-st a tio nä re St römu ng handelt , gilt I ßt = 0 un d für de n zweiten Su mmanden gelten ä h nliche Überl eg ungen wie bei d er Rechen regel p . f" = 0, so dass d er ins tation är e Term vollständig verschwindet . Stellvertretend für die anderen be iden konvektiven Ten ne wird hier die zeit liche vllttclung des er sten Ter ms genauer bet rachtet. Es gilt unter Beachtung der Hechonrogeln:

o : C\"

' 11 '

DT n(I X

T+ -ÜT" ) + n" ) · (D n0-

=

C\" .

p ' (i"i

=

c\" .

e- 11 ' -.- + p' 11' - . - + (J . 1/'"

(I X

fi X

si

DT"

Dt

irr

V.r

iJr

-. -

DT"

+ p ' 11"· -Ur-

(4)

Auf der rechten Seite d er Gleichung (4) verschwi nden de r zweite u nd der dritte Summan d, so d as s folgt :

c\"o

't

~

DT" ) = c\"· (-P '1/- ' -DT " ÜT" ) ax+ P 'l/ . _ux-

p· ü' · - + p · u" · _il i: lJ.r

(5)

Anal og d azu ergeb en sich d ie zeitlichen Mittelungen de r audcrn beiden konvektiven Te n ne

187 zu: I"

Cv ' V '

P · o, v

DT

Oy

=

Cv '

. ", . öT _ÜZ -_"ov .

(

(

P . ji '

or +p . v'" Dy

-p . tjj .

o_t + p . v/' . Ö _T_" )

ar

fl

Oy

ÜZ

)

(6)

ÜZ

Dei der zeitlichen Mit tehing der diffusivcn Ter me wird stellvert ret end der .• -Antotl gonaucr bet rachtet . Es gilt unter Bea cht ung der Rechcnregcln :

;Pr / (} J:2

x O' T2 ~ ), . ( D'T2 + D'T") ~ ), . ( O'T2 + D'T"2 ) 2 0.r

üx

{}.r

0.r

(7)

0.r

Analog dazu folgen die zeitlidH'I1 xüttolungon der anderen boiden diffusivcn Terme zu :

iPT -..\ _ . ( --:-D ' T iPT" ) 2 + ---:--)a )

ü'T iPT iPT") x. --:-) 2 = x . ( -:--) 2 + ---:--J 2 ( ,I] {,I] (,I]

>. . --:--J 2 ( 2;

( Z

( Z

(8)

Bei der zeitlichen Mittelung des Druckterms wird die Kompolleute p ' (Dul {Jx) betrachtet. Da bei ist zu beachten , dass der turbulent schwankende Dru ck einfach gcmittelt a ngeset zt wird und die Geschwtnd tgkeit skomponont en ma ssengemittclt . Somit folgt: iru Du iru Oii il u" +-= p ·-+ p · __ + p' · - +1/ ' D.r v.r {J,T O.T Ox

-fJ/i ( v,r

1/ )

fI

_

---oll _ Oü Oll" 0/1" p: äx = 1" Vx + p. Vx + p' (}x

(9) (10)

Analog folgt für die zeitlichen :\litteiungeJl des y- IIlId z-Ant eils: ------;)iJ iJii (JI''' 0,," p ' - =P' - +p ' - - + p" - Oy Oy Oy Oy

------ow

{hv

Ow"

Oll'"

p ' ä z = p ' 0: + p ' iJz + p' . Vz

(11)

Die vollst ändige zeitli ch gemtuclt e Energiegleichung für turbulent e Strömungen lautet :

lJT +i· ·lJT _ lJT ) - +w · ( i"J·Ds: äy Vz OT" OT") or+cv . ( p · n" · -fu- + p · v" · DU + p ' w" · -fu-

~

Ü'T" ) D'T D'T +Ü'T ), . ( -+ - ) + ),. (D'T" -(h'l - +ü'T" - +-iJ:r'l iJ,P iJz'l iJy'l a z'l O/J OiV) _po( OU -;- +_+_ Ox

__ p o (iJU" __ {)x

Oy

Oz

--

+ Il' ~

ÜU'") ('p ' __ + P" Oz Ox

+ {h'" __ + __ Dy

ÜI/"

öo" + p' . a__ w" ) __ Oy {)z

3 G ru nd gl('id lllllgP" dpr StrÖIflu"g~""'rhaJlik

18 8

3.4 3 .4 .1

G renzsch ichtgle ich ungen I nkom p res s ib le St römu n gen

Aufgabe 3 .4 .1

Gre nzsc h ichtgle ich u nge n

u(x.y)

x

L_, __ Abb. 3 .4 .1 P lattengrcllzschichtst riilllllllg D er Widerstand IFr einer e ins eitig b e n etz ten P latte (si ehe A bb. 3 .4.1 ) d er Länge x und der Breite b (s e n krech t z ur Zei chenehene ) b e t rägt n ach d em Impuls satz : x

" (x )

Wr(x ) = ! T",(x ) . b . dx = p . ! ll·(Ux-u )·b· dy n

(1)

"

b e zei chne t die W ands chubspannung. M it Hilfe dieser G le ichung s oll fiir e ine la m ina r e G renz sc h ic ht e ine For m el fiir die G r e n zsch ic ht d icke Ii in Abhängi gk ei t d er Lautlänge X , d e r ki n ema tischen Zä h ig ke it I) und d er A n str ömgesc hwind ig keit Ux; e r m it telt werd e n . D abe i so ll fiir die G esc hwind ig ke itsvert e ilung in d e r Gre nz s ch ic ht d a s p arabolische G es e t z

Tw

(2)

a nge n ommen werden. Di e a bzu le ite n d e Formel is t mit d e r vo n Bla sius a ngege b e n e n Fo r m el Ii(x ) = 5,2 · /(v. x)jUx; zu ve rgle ich e n . Lösung : gegeben : u (x , y) , v , Ux; gesu ch t :

Formel für 6(x )

Zur Lösung der Aufgab e wird zunä chst die linke Seite der G leichung

,

! o

!

6( x )

Tw(x ) · dx =p ·

o

11 '

(Uc<;J -

11) '

dy

(3)

189

3.4 ( ;renzschichtgl\>idHlllgel\

betrachtet. Die wands chub span nung angeben: 7 .....

T.....

lässt sich mit dem Xewtonschen Itelb ungsansat z

u. Jilu

=

I

(4)

(y lI""n

:\Iit der parabolischen Geschwindigkeit svorteilung (2) er hält man für die Ableitu ng Du/ Dylll""o :

=

Du

(} y

I

so dass sieh gemkiß der Gleichun g (4) die waudschub spannung Tw

=

(5)

lI"" ()

Tw

wie folgt ergibt:

2 · Uoo · Jl

(6)

8

Xlit der Gleichung (6) erhäl t man für die linke Seite der Gleichung (3):

,

f

,

7 ..... (.r)

· dr = 2 · Uoo ' 11 '

f

dX

"6

( 7)

u

U

Zur weiteren Lösung der Aufgab e wird nun die rechte Seit e der Gleichung (3) be t racht et . :\Iit der parabolischen Gcschwtndlgkeltsvcrt etlung wird die rechte Seite der Gleichun g (3) ber echnet. Es folgt:
p . ! 1l , (Uoc. o

pU~J

1I

) .dy =p · U;;' ·

,

f H-CO']·[1-2J+ (J)'] dCO ~ ü

2· p · U~ · 1i

(8)

15

Die ermittelten Ausdrü cke gemäß der Gleichung (7) un d der Gleichun g (8) in die Gleichung (3) eingeset zt , ergibt : x

2.U

00

' Il '

f, f n

n

dX 2 · p · /j · U2 = x Ii 15

_

dx = p . J . U:x;, J 15· I/

(9)

Durch Differenzieren der Gleichung (9) au f beiden Seiten nac h x ergibt sich die folgende Differentialgleichung für J : 1 8


p ,Uoo dr = 15 . JL . J . <16

190

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

wird diese Gleichung auf belden Seiten integriert ergibt sich mit einer zusätzlichen einfa rheu Umformung das gesuchte Ergebnis: r

J ()

J

J (x )

dX ~

0

p ·Ux · J· d; 15 · 1I

=

J~

=

p .Uoo , J 2

30 · JI

Die Blasins- Formel für J (x ) la ute t: O(T) = 5. 2.JV 'X

Ux

Die mit dem pa rab olischen Geschwlndlg kcltspro ftl ermittelte G renzschichtd icke stimmt also recht gu t mit der gcnauen Lösung VOll Blasins überein . Aufgabe 3.4. 2

G renz sc h ichtp r ofile

In d e r Abbildung 3 .4 .2 a s in d zwe i G es chwindigkei t sprofile d e r inkompres siblen Plattell g rellzschiehts trömung ge zei gt . In dies er A u fgabe s o ll üb erprüft we rde n , ob G renasclnch t p roftle a n verschiedenen Stellen x z uei nander ähn lich s ind . Die G ren zsch ic h t p r o file si nd z ueinan der ä h n lich , wen n die Gesch wind ig ke its p r o file u(y) fiir z wei b eliebig e Stellen x iiber e ine (n och a nzu gebende ) Koordinate 11 g le ic h sin d . Zur Lösung d er Aufgabe soll , w ie nachfolgend aufg efiihr t , vor g e g ang en werden : a) Es so ll e n fii r d ie Pla tte llgrellzschichts t römu u g die K on t.inu itäts- und G renzsc h ich t g le ich u n g m it d en g eltenden R andbedingungen formuliert wer den . b ) Es s o ll gezeig t w e rden, das s die S t r o m fu n k tio n , mit

die Kontinuität sgleichung e r fiillt . c) M it d er Str o mfn n ktion Tj(x , y ) und d er K o ord in a t e 'I sollen die in d er G renzsc h ich tgle ich u ng stehenden G e s chwindigkeiten und p artiellen Ableitung en b estimmt werde n.

x

A bb. 3 .4 .2a P la tt engrenz schichten

19 1

3.4 ( ;renzschichtgl\'idHlllgel\

d) Di e m it d er Strom fu n kt io n und d er Koordinate 7/ a usgedr ück ten G eschwindigk eiten und p art iellen A b le it u n ge n so lle n in die G renzsch ich tgle ichung e nts p r e ch e n d e inge setzt werden [Randbedingungen a n geben l}. Erhält rnari dann eine gewö h n liche D ifferentialg le ichung '! W enn j a , w ie ist die s zu interpretier en'! Lö sung : a ) Die Kont inui t äts- und Grenzschich t gleichu ng laut en allgemein für eine zweidi mensionale inkompressib le und stationäre Gre nzschicht st r ömun g. {Ju {JJ:

+ Du

= 0

Dy

öu

Du

Rr

() y

" 0- + 1"

(1)

1 dp p dr

= - - .-

-

= U . dU d.r

(Pli

+v ·-= () y 2

I

dU 2

-. - 2 dr

()2

11 + v 0__ ()y2

+ v , {Pu

(2)

()y 2

U ist die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand. Sie ist für die Pl a t tens t römung an jeder Stelle x gleich der Zuströmgeschwiudlgkctt. Es ist also U = Uoc und dU j dx = O. Die Gre nzsehieht differeut ialp;lc'id lllllgen für die P la t t engrenzschicht lauten: Du ()v - + - = 0 Dx {Jy {Ju ll' -

{Jx

öu

(3) {P u

+1 " -

= v·- -

{Jy

(4)

(Jy2

Das Flu id ba fü,t auf der OherHiicbe. Es gilt also die Hafthedingung:

u (x , y = 0 ) = 0 Für y

- > 00

l1(X, y =

0) = ()

(5)

geht die Geschwindig keit 1/ (x, y ) in d ie freie Außenst römung über. Es gilt:

1/(x . y

- > 00)

= Uoo

(6)

b) Gemäß der Definition der Stromfunktion gilt: 11

ihf;

iJliJ = -

11 = - -

(7)

O.r

Dy

Die Stromfunktion 1/.! (x,y) er füllt die Ko nrlnuit ät sglcichu ng. c) Xlit den Gleichungen (7) ergehen sieh mit der Stromfunkuon durch pa rt ielles Differenzieren die folgende n Ausdrü cke: u = ihjJ =

0,11

(:~'J. ih, tJ'l

Dy

e (siehe Aufgabcnst ellun g)

= Jv ' X.UOO.f/ . JUoc = U"" v . J:

.r

(8)

()'l)

11 = - ()Jj; = _ ( (),jV . X . lloo . f + Jv . /' .ll . f' . iJx öx . 00 ö x

, 1' =21' JvoUoo - ,-- . (f ' II -

f)

(9)

192

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

(f" steht für d ie Ableitung der Funktion f nach fr}. Die pa rt iellen Ableit ungen Du/Ur , (}u /Oy und 0'1 1// 0 .11'1 ergeben sich nun durch weit ere s Differenz ieren der Gleichung (8). :\Iall erhält im einzelnen : =

()1I

[) x

~ (Uoc _fJ) {J.l:

u.; .r

= U.X . i « , Üll =

/1:r

' .11'

1 JUx;. (_ ~ ) ' x·.jX 2

v

=-u"", "f" . _2 '1_ . .r

Du

-0 x

Ou =

!!..... (U

(:11

o; .[" . JU x;

Dy

=

iJy

Dy

oc

(10)

. f' ) = U

x

. I" . all ay

(11)

v ·x

0'" . s. (u=.r. JU= ) {}y2

iJy

.J'

~= {}y2

V 'x

o:

--?:!... . [111 V -I

(12)

d) Die Gesdrwilldigkl'itl'll JJ und 11 gellliiß der G leichungen (8) und (9) sowie di e Ableitungell ()lt /fJx , au /ny und (Pu /Dyz in die Greuzschu-ht gleiehung (4) eingeset zt ergibt: '1

- Ux

'

,

11

f - f - 1/ ' -

1

2' I

P

1 v . U oo +_ . - · (f 2 X

J

/!F;

" Uoc

' ll - f ) ·Uoc · f ·

U

'

'"

- - = v ' - oc- · f . I/ ' X

1) '.1:

Durch Vereinfachun g der Gleichung erhält man die folgen de gewöhnliche Different ia lgleichung: f ·f" +2·flll _O

(13)

Hand bcdingungun:

u I U", 1.0

1/ =0 :

0 .'

1/ _

0.6 0.4

Die

Theorie Btasius

0.2

1.0

3.0

00:

Gleichung

Abb . 3. 4 .2 b Gest:hwindigkei tsprr .fil

7.0 IJ

Blas lus -

f' =()

f' = I

(13) entspricht der Blasinseine gewöhnliche Diffcr en tialgleichung, die nur uorh HIIl I} abhängig ist, d. h. dass I1 j U = f (I}) (siehe GI. (8)) über I} fiir beliebige x-Stellen den gleichen Verla uf hat. Der Verla uf des Profils ist in Abbildung 3..J.2b gezeigt. Die Gesehwindigkeit sp rofi!e sind ähnlich. Gleichung. Sie ist

5.0

f= O

3 .4 ( ; renzsc hi cht g l\>i dH lll ge l\

A ufga b e 3 .4 .3

193

R a yle igh- S t o kes-P r oblem

D as in Aufga b e 3.2.4 b ehande lte R aylei gh- S t o kes- Problem e iner unend, lich a usgedeh nten Pla tte , d ie plöt zli ch z u m Ze it p u n k t t = () a us d em S t ill1= 0 s ta nd m it d e r G esc hw in d igke it Uo in B ewe g ung gesetzt wird, is t in A b b ild ung A bb. 3. 4 .3a Havlcig h-Stc kcs-Problcm 3 .4 .3 a d a r gest ellt . Beschl e unigungs vo rgä nge d er P la tte s ind zu vernach lä s s ige n , d .h . die P latte b e we g t s ich sofort m it der a n gege b e n en Geschwind igkeit . y

Aufgrund d er unendlichen A usdeh n u ng d er P latte stellt si ch s ofo r t e in in J:R ichtung a usgebilde tes G esc hwindig keitsprofil e in . D er Druck im Außenfeld e n t la ng d er P latte is t kons t ant. a) Man s k izz ie re d as G esc hwin d igkeitspr o fil fü r e ine n Zeit p u n k t t = tl > 0 , d as s ich im Med iu m iib er d er P latte e in st e llt. b) Man ve rein fache die Gru n dgle ichu ugen fiir d en s k izz ie rten Fall (sieh e A bb. 3. 4.3a ) . D as Medium is t lnkomp r es sl bel ( Dich t e p , k in e mat ische V iskosität v ).

c) W e lche Art vo n G leich u ng ist das E rge b n is d er B e t r ach t u ng. Formu lieren Sie d ie Anfangs- und Randbedingu n ge n fü r e inen Ze it p u n kt t > O.

D u r ch Einfü h r e n e iner d imensio n s lo s e n Ä h n lichke it s varia h le n 1/ = .11/(2 " ~ ) e rgib t sich e ine gewö h n liche D ifferentialg le ichuug d er Fo rm f" + 2 -1/ " i' = 0, mit d er n o r mie r t en Gesch w in d ig ke it [ = u/Uo• Die Lös ung d er D iffe r e n tial gl e ichun g ergib t :

d ) M a n sk izzie r e qualit a t iv d as G esc hwindig ke itsprofil fü r e inen Zeitpu n kt tl > 0, 1/ = f(ll/Uo), W ie verhalte n s ich die P r ofil e fii r unt ers chiedliche Ze itp u n kte I > 0 b e ziigli ch d er s k iz zie r ten Geschwind ig ke itsve r teih m g? Lös u ng: ge gebe n : p , Uo , v gesuch t : a) Skizze 1/(11, t), h) Vereinfachte Grundgletchungen , c) Art der Gleichu ngen , Anfan gs- und Randbodtngungcn, 11 ) Skizze ll/UO(I/)

194

3 Grund gl('idlllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

a)

u(y ,O

, ' >.

A bb. 3.4 .3b Ges chwindigkeitspr ofi l zum Zeitpunkt 11 b) Die Grundgleichungen für eine instation äre ebene und inkompressible Strömung lauten:

p'

011 ( -ut + Öl)

p' ( ul

Du ö v -'J +<>" = 0 er oy

(1)

011 +v· -Oll) = -{}p (0211 [PI1) - + /1 ' - - + - -

(2)

Öv) = - -äp+ /1 ' (D2 1J (PV) - - +-

(3)

IJ ' (J.r

Dv

[}y

+ u · -[Ir . +v· -UU

u.r

a.r 2

I.hP

Oll

O.r2

{}y 2

Folgende Vereinfachungen ergeben sieh aus der Aufgabcnstcllung: 1. Es han delt sieh um ein räumlich ausgebildetes Ceschwi ndigkcit spr ofil, d. h. Jl und I! sin d keine Funkt ionen von 1' . Da mit sind alle Gradienten der Geschwindigkeit in .r-Rtchtung gleich Xull:

Du

I.Pu

iJv

I.P t' ih z

(4)

-~-=-=-~ O

ax

ax z

ax

2. Der Druck entlang der Pla tt e ist konstant, (I. h. p ist keine Funkt ionen gilt:

\"011 I.

Dam it

(5) Setzt man die Gleichungen (4) und (5) in d ie Grundgleichungen (1) - (3) ein erhält mall :

iJv iJy

-= 0

(6)

1' .

(011öt. + V. Oll) _/1' {Pu ay D2

(7)

p.

lh, ) ap iP v Ol! - =- - + /1' ( -+V al ' Oll DlI ay 2

(8)

y

Aus der Kontinuitätsgleichung (G) folgt mit der Haft bed tng ung vly==ü = 0 an der undurchlässigen Platte 1! = C(t) = O. Dieses in die Gleichungen (7) lind (8) eingesetzt ergibt:

alt

P' -

BI

f)p

I.P u

=11 ' - -

-= 0 {}y

{}y 2

(0) (10)

195

3.4 ( ;renzschichtgl\>idHlllgel\

Aus der 2. Xavicr -Srckcs-Glotchuug (10) folgt für konstanten Druck entlang der Pla tte P = C (t ) = ko nst ., d. h. der Druck ändert sich im gesamten Strömungsfeld nicht. Da mit er gibt sich aus der 1. Xavior-Stokos-Gloirhung (9) clie folgende Gleichung zur Beschreilruug des Haylcigh-Stokos-Probkuus:

(11) e. )

'1=

Die erhaltene Gleichung ist eine lineare partielle Different ialgleichung. Die zugehö rigen Randbedingung en lauten

y 2· ,rv:-/

II(Y = 0,(

> 0) = VI)

und u(y

---+ 00 ,

t > 0) = 0

Die Anfang sbedingung la ut et U(y

u

> 0, ( < 0) = 0

U, A h h. 3A.3e Geschwind igkeitspro fil 'I = f(lI/ Vol d .) Die P rofile sind für ver schiedene Zeitpunkte t > 0 ähnlich, d.h. sie lassen sich durch Skalierung von y ineinander überführen (siehe Abb. 3.4.3e). 3.4.2

K omp ressib le Ström ungen

A u fgabe 3 .4 .4

Gre nzseh iehtg le iehu ug

F ür ein e st a t ion ä re laminare inkompres sible Ström u ng in d er (x , y)- E b e n e in Gre n zsch ichtapproxirnatio ll laut en die G re nz sch ichtgleic hungen b ei kons t ant er d ynamische r Zäh igkeit 1/: UII

Ur

( 1)

-0 .r +"J = () (.11 p'

( 11 '

Du

[) ,r

+ 1"

DU)

dp

Oy = - d;r

+ JI'

(PU

(2)

()y2

B ei b ekannt er Gesc hwi ndigkeit am G r e n zs ch ich t r a nd V,,(x ) lässt s ich d e r D ruck gradient mit Hilfe d e r B ernou lli-G leich ung b estim m e n :

p(x ) +

'12 ./) . V"2(x)

= koust.

==>

dp dV" - +p ·V{, · - - = d.r dr dp = _ p ' V". d U" dr d.r

()

(3)

196

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

So m it stellen di e G renzschichtgleichu uge n (1) und (2) e in System von zwe i p artiellen Differ ent ialglei ch ungen zu r Bes timmung d er zwe i U nb eka n nten 11 und v d ar. N a ch fo lgen d soll diskutiert werde n , welche Punkte beim Aufst ellen de r kom-

pressiblen Grenzechich t gl ei chung a usge h en d VOll d en G leic hu ngen (1) und (2) b esonders z u b e a chten s ind . D abei w ir d d a r auf hingewiesen , d a ss die d ynamisc he Zäh ig ke it Jl b ei kompr es siblen S trömungen e ine Fu n ktio n d er T empera tur is t , d . h . es gilt: Il ;:;; Il {T l . a) W ie laut en die Gleichungen (1) u n d (2) für d en Fall einer s t a t ion ä re n la min a ren kompr essiblen Grenzsch lcl ustr öm u ng in der [z-, y)- E b e llc? b ) W elche unbe kannten Größen en t h ä lt d as Differential gl ei chungssy s t em a us TeiIa u fga he a) und w ie vi e le zusä tzliche G leic hu ngen sind zur Sc h ließu ng d es D ifferentialglei chungssy stems nötig '! c) Man ge b e die Nam en d er in T eilaufgahe h ) zu sät zlich b enöt igt e n G leic hun gen und (soweit m ögli ch) d ie zugehörigen For m eln a n. Lösung : a] Gleichung (1) stellt d ie Kont tnuit ärsgletcbung für eine inkompressible Strö mung da r. Sie ist somit d urch die Kont tnutt ät sglcichung für eine kompressible Strömung zu ersetzen: Ü(P' '' ) Üx

+

D(p · , ) _O Üy

-

(4)

Die Formulieru ng der konvek t iven Ter me auf der linken Seite von Gleichung (2) ist im inkompressiblen lind im kompressiblen Fa ll identisch und kann somi t unverändert übernommen werd en. Gleich es gilt für den Druckgradtc nt en, de r sieh au ch im kom pressiblen Fall d urch die Ges chwindigkeit U" am Grenzschichtra nd ausdrücken lässt. Eine Änderung ist jedoch he im Itctbuugst crm auf der rechten Seite VOll Gleichung (2) vorzunehmen , da la ut Voraussetzung im kom pressiblen Fa ll I' = IL(T ) =j:. konst. gilt . Die Tem pera tur T ist. eine ska lare Feidgriiße die iiblicherweise dne Ort sabhängigkeit a ufweist . Dam it ist auch IL ort sabhän gig. Der Reibungst erm auf der rechten Seite \'011 G leichung (2) folgt bei der Herleitung der Xavier-Srokcs- Glelc hungen aus einem Gradtont on des Schubspannungsterms T. Es gilt :

~T.tJ ~

g(" .~u) y

Y

(5)

Lediglieh im inkompressib len Fall m it IL = konst , dar f 1I in G leichullg (5) \"0 1' das Differt-ntiul geschr-ieben worden. Im kom pressiblen Fall ist aufgründ der Temperat ur- und som it. der Ort sabhängigkeit der d yna mischen Zähi gkei t in den Grenzschich tg leichu ngen die For mulieru ng aus Glclchuug (5) zu verwenden . :\Iall erhält : p.

D" +v , oy DU) =- & <11' a ( /l'oy DU) +oy (Il 'o;.

(G)

b) Die Dtffercn t lalgl etchungeu (4) und (6) en thalten mit. de n Gesl:hwindigkeitskompollent en u uud .!! zun ächst die gleichen Unbekannten wie im inko mpressiblen Fa ll. Dei

19 7

3.4 ( ;renzschichtgl\'idHlllgel\

eine r komp ressiblen St römung ist als weite re Unbekan nte die Dichte p zu berechnen. Als zus ätzliche Unbekannte t r itt weiterhin die TemJlera t ur T auf sowie die Funkt ion // (T ), die die dynamische Zähi gkeit mit der Temperatur T verknüpft. Da es sich um fünf Unbeka nnte und zwei Differ eutia lgleichnngon handelt, sind zur Schlie.. ßung des G leichungssyst ems drei zusiitzliche G leichu ngeIl nötig. c) Eine zusätzliche G leichu ng, die bei Gasen die Dicht e und die Temperatur miteinander

koppelt , ist die ther mische Zust a ndsg!pid mng für ideale Gase;

~ = R ·T

(7)

p

\Yeiter hin wird die Energü'gleid llmg zur Ber echnung schirhtu pproximut ion la utet:

irr)

p ·c, · ( u · _iJT + v · -, I tJx dy

{PT

= A · - - + /! · n y2

VOll

T benöt igt , die in Grenz-

(D U) Z+ 1/ ·dp{}y

dx

(8)

Als Funkt ion J!(T ) wird bei Luft meist ens das Suthcrland-Gesetz verwen det:

I'

/lO

=

( T) ~ To

7(l+ 11OK

. T + 110K

(9)

Die Konst a nte Jlo bezeichnet eine bekannte dyna mische Zä higkeit bei einer bekannt en Referenztem perat ur 7(l. Xlit Gleichung (9) berechnet sich da nn J! bei der Tempera t ur T .

19 8

3.5

3 Grund gl('idlllllgP" dpr StrÖIflu"g~""'rhaJl ik

Potentialg leichungen

3.5 .1

Kompress ible Strömungen

Li nearisierte Potentialgleich ung linksläufige Charakteristik

Die folgende n Aufga ben basieren auf de r li ncarisicrtcn Potent lalgleicbuug für die rr-ibungsfrete Ankenst rö mung (siehe H. Oeri el j ,-. et al. 20(8 ):

(1) 'P ist das für die Lincarisierung oingoführtu Stö rpotential. Die Glei chung ( I ) ist gültig für die Uniströmungen von schlanken Profilon bei Vlaeh-Zahlen 0 S M x < (l.G un d Abb . 3.5 .0 T heor ie kleiner St örun gen )" lach- Zahleu 1.2 < Mx; < 1.4 (dte angegcbcncn Bereiche entsprechen Anbaltswcrte n). Die Gleichung (1) ist für den transsonischen xla ch- Zahlbcrekb und den Hypers challbereich nicht gültig. rechtsläufige Charakteristik

Für 1IIx > 1 {Übcr schallanst römnng} cut spricht die Gloirhung (1) der \Yd lengleid IlUlg. Im Ra hmen de r T heorie klein er St örungen kann mit ihr de r dim ensionslose Druck beiwer t C".k auf der Kont ur eines schlanken P rofils a nalyt isch bestimmt werden . Die For mel dazu lau te t (siehe Ab b. 3.5.0):

p, (x ) - Px _2"'"O~ (x~),, c"k () x = 1 = ± . 2 · f'"", · U;'" J M;, 1

(2)

oist bei sehnenpa ralleler Zusuömung der Win kel zwischen der Horizont a len und der Ta n-

gente an der Kont ur (siehe Abb. 3.5.0). Die Fo rmel (2) wird mit einem P luszeichen augcwendet , wenn eine linksläufi ge Charakter ist ik \"CJII der Kout urobortläche ins St römungsfeld verl äuft (sielu! Abb. 3.5.0), verläuft lungogen eine n-chtslänfigc Ch a rakte r ist ik \"C1Il rlur Kont uroberflache ins St römuugsfcld , so wird die Gleichung (2) mit einem Minuszeichen

angewendet .

Aufgabe 3 .5 .1

Linear-isierte Potentialg leich ung

Es so ll gezeigt werden, d as s d ie Funktion 'P = f(:l:-a·y )+g(x +a·y ) di e Hne a r-ial e r-t e Potentialgleichung e rfiillt (a = J;\[;, I ) . Lösung : Zur Überprüfung werden die folge nden G rößen eingeführt: f,= x -a'Y

7J= X +U 'y

(1)

199 :'o [it diesen Größen erhä lt ma n durch partielle Differen t ia t ion vou iP die folgenden Ableit ungen :

(2) (3)

(4) (5)

Set zt Inan die Ableit ungen gemäß dCII Gleichungen (3) und (5) in die linearisicrte Por entia lgleichung (6) ein , so erg ibt sich die lin ke Seit e der Gleichung zu :\\111. Die ang ege bene Funktion 9 = f(x - ( I . y ) + g(x + (1' y ) erfüllt also die liucarisicrtc Pot en t tatgleichung.

Aufgabe 3.5.2

Ange stellte Platte

Eine diinne e bene P latte der Höhe N u ll, d er Länge L und der Brei t e b sen krecht zur Zeichenebene ( L « b) w ir d b ei einem kleinen Anstell winkel n VOll e iner Überschall strömung der Mach- Zah l J/x; a ngeströmt (si ehe Abb. 3.5.2) . Die R eynolds-Zahl ist sehr groß , s o dass d ie Strömungs greneschicbten vernach lä ssigt we r den könne n . a) Wie groß s in d die dimensionslosen Druckbeiwerte cP ,() und hzw. U nterse it e'! b) Wie gr oß is t d er B eiwert

C:-;

Cp ,ll

a u f d er Ober-

d er N orm a lk raft F:"I (wir k t sen krech t auf d ie

y

U<X;l ,M ~

Abb. 3.5.2 Angestellt e P la tt e in einer Übcrscha llanst römung

x

200

3 G run d gl('id lllllgP" d er S trÖIfluJlg~""'rh aJl ik

Pla tte ) lind d er De iwert

d er Tange ntialkraft F r (wirkt längs d e r Pla tte )?

CT

c ",

= ,----

er

~

F", --'-":--

-

(1)

~ · fJXJ · U~.D .I) Fr

-r-----'--'-----

(2)

2 · p'X) ·U~ .L . b

c) \ Vie groß s ind die Auftriebs- und Wide rs t andsb ei wert e

Ca

und '''''.'!

Lösung : gegeben : o , .\lX) gesuc ht :

a)

(' 1'.0' ('p .ll ,

b) es , cj- , c)

Ca, Cw

a) Zur Bestimmung der Beiwerte c",o lind Formel

( ) Cp.k:r

C" ,ll

kann unmittelbar diu hcn-i ts r-rlliutert e

Pk(X) - 1'x

= 1 2 ' Px· Ul.o

(3)

angewendet werden. \'011 der Oberseite de r P la t t e verläuft eine linksläufi ge Charakteristik ins St römungsfeld. Die Formel (3) IIlUSS deshalb mit dem posit iven Vorzeichen angewendet werden . Weiterh in bet rägt der Strömungswinkel 0 für die Oberseite () = - n , so dass sieh für den Druckbeiwert cp .<> die folgende Formel ergibt: C" .o

=

Pk.o - Poo

~ ·Px · U;'"

~

(4)

VOll der Unt erseite der P la tte läuft eine recht slä ufige Charak te ristik ins Strömungsfeld. Die Formel (3) wird deshalb mit dem Minu szeichen an gewendet. Der Strömungswinkel 0 ist 0 = - 0: , so dass sich für c",u die folgende Formel ergibt : C p,1I

=

]Jk , u -

Px

~ -r», , U~

(5)

b ) Die Drücke ]/k." und Pk.o sind gemäß der Formel n (4) und (5) auf de r Unter- hzw. O b erseite kons tant. Die Xormalkraft F" berechnet sich 1'.11 :

(6)

Xlit der Dofint uousglcichun g (1) lind der Gleichu ng (6) erhält mall:

c~ = ,---_ --'-F", :-__ ~ Pk ,ll - ]/k ,o ~ · Px · U~ . L . b ~ · Px · U~ pk,,, - Px

~ · Px · U~

Pk.o - Poo

~

' Px ·U;'"

(7)

20 1 lind cp . u gemäß der Gleichungen (4) lind (5 ) eingesetzt , ergibt das gesuchte Ergebnis für den Beiwert C:-;:

CI'.O

(8) Die Ta ngenti alk ra ft ist Xull, da die P la t t e keine Höhe bzw. P rofil dicke besi tzt und die Strömung als reibungsfrei angenommen wird . Abo ist : CT = O. e) Die Auft r iebs kra ft f :\ wirkt in senkruchu-r Richt ung zur parullelun Anströmung, die W id erst an dskr aft Fw wirkt in St r ömungsricbtuug. Es ist also : FA = F.'1 . cos (o ) und F w = f':. . sill(n). Da 0 ein kleiner Winkel ist , gilt cos (n ) ~ I und sill(n) ~ n. Da mit ergeben sich für Ca und Cw d ie folgenden Formeln: 4'n

.,jA/'&o Aufgabe 3 .5 .3

1

Profllumstr ömung

E in P rofil d er B r ei t e b sen k recht zu r Zcichencbcue , dessen Konturver-lauf d er Ob e r- und U n t e rs eite durch zwei P arab el gleichungen (1) gegeb e n is t , wird mit e iner Ü b e rschallström u ng der M ach-Zahl M X) a ugestr ömt (s ie he Abb. 3.5 .3 a) .

~' =4 "/~ "Z"(I - f)

~' =4 .1~ "Z "(1 -7J

1,4, L = 4 m , b = 15 m , lt , = 0,1

Zah le nwer t e (s ie he Abb . 3.5 .3a): M x = 112 0, 05 m , p"", 0, 265 kg/1II\ Uoo 413 m/8

=

=

=

(1) 111,

a) Es so ll d er Druckver-lauf a u f der Ober- und U nt e rseite d es Profils qualitativ iiber d er x - A c hs e a u fge tragen werden. b) E s soll d er Verlauf d es e,,- \ Ve r t es a n f d er Ob er- und U nter seite d es Profils in Abhängi gkei t von r angegeben werden . c) Wie gr oß ist d a s um d en Punkt D w ir ke nde Drehmoment Mn , d as aus den Druckverteilungen auf d er Ober- und U n t e rseite d es Profils resultie rt?

I

,~

Abb. 3.5.3a Parab elprofil in einer Übor scha lla ns t röumng

I'"L

202

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

Lös u ng : gegebe n: ,Hx, = 1,4, L = 4 m , b = 15 m , h 1 = O. 1 111 , h2 = 0, 05 m , p"", = 0, 2ü;J ky /m 3 , Uoo = 4 13 m /8 gesucht: a ) Druck vcr t cilung, b) cl""(x) und c1",,(x), c) Mn a ) Die Dr uckver teilung für die O ber- und Unt erseite ist in Abbildung 3.5.3 b da rgestellt. Folgendes soll dazu ergänzt werden :

1. Die Druc kvorteilungen sind gemäß der T heor ie kleiner Störungen ermittelt worden (siehe For meln zu Begfun dieses Abschnitts). An der Vorderkant e wird die Strömung schlagartig umgelenkt . Auf der Obers eite wird das Gas komprimiert un d auf der Unterscirc expandiert. Der Druck sprung der Kompression au f d er Oberseit e ist größer als d ie E xpa nsion anf der Untersoito, da auf der Überseite die Strömung st ärker umgelenkt wird als auf der Unt erseite. 2. Der Druck verlauft sowohl auf der Ober- als auch auf der Unt erseite linear, da der Strömuugswiukr-l 0 des Geschwindigkeit svekt ors auf der Kontur linear über r verlauft. (dYo,,,/d,r == tan(8) ~ 0 ). 3. An der Stelle x ] L == 0,5 besitzt der Druck auf der Ober- und Untersr-ite d(,11 wert der Anströmung, da dor t 0 == 0 ist.

jJ'X}

4. An der Hinterka ute geht die Strömung wieder in olnc Pa ra llelst römung über. Die StröIllung der Oherseit e wird auf den Druck der Anströuumg ]J= komprimiert , die Strömung der Untersr-ite ent sprechend expandiert. Der Drucksprung auf der O berse ite ist gemii/i, der Geometrie gf ößer als der Druckspr ung auf der Unte rseire [vgl . Vorderkantc). b) Die dimensionslosen Dru ckbeiwerte

und cp.u berechnen sich mit der Formel:

(T) - Px _ '".",0e;,(T;;,)" () == p, 1 == ±

C1>k X

,

c p, o

2'P""'·UJ..,

-jM;"

(' )

1

)'lit der Gleichung (1) ergibt sieh für O(:r) für die Ober- und Unt erseite:

0" ~ tall(O,,) ==

h1 (IX == 4, r:'

d/j"

h2

d y"

( ) = &= 4 . [; , Ou~ tan8"

2 . X) T

(

1-

(

2, I- T

x)

P,

o

Q5

Abb. 3 .5 .3 b Drurkvcrt r-ilung auf Obe r- und Unter seite

xU

203

Auf de r Obers eit e laufe n linksläufige Cha rakt erist iken ins Strömungsfeld . a uf der Unterseite rech tsläufige. Die Formel (2) IlIUSS desha lb für die Oberseite mit einem P luszeichen und für di e Unterseite mit einein ),[iUllszeidll'll angewendet werden . Xlan erhält als o für Cl'.O und C".,,: (3)

c) y

x-.

I

In Abbildung 3.5.3(' ist der Xascnbcreich des P rofils grog herausgezeichnet. Die an einer festen Stelle c ] L eingezeichneten Kräft e l'k ,o . dA o und ]Jk,ll . dA " vcrursarhen UIlI (1('11 P un k t D das Moment {LUJ). Es berechnet sich zu :

;;\ x

D


+y" . Pk,ll ' d A,, · Sill(Ou)

A h h. 3 .5 .3 c Druck kr äfte a uf Ober- lind Un terseite

- 11,, ' Pk.o · dA " , Sill(Oo)

(4)

Die Str ömungswinkel 0" lind 0" sind kleine Winkel, so das s mit guter Xäherullg cos (O".o) ::::< 1 un d siu(Oll.o) ::::< () gil t. ß er ückslcht igt man diese Vereinfachungen in der Gleichung (4) erhält man: (L\ll) = x . ]J k.ll . d A" - x . l'k.o . dA "

(5)

Für die Fhichun d A" un d dA., er gibt sk-h: dA " = -


cos

dx d A" = - (- ) . b ::::< dr · 1) cos (J"

( -I · b ::::« Lr· b (J"

(6)

d A" un d d Ao gemäß Gleichungen (6) einge setz t , er gib t die einfa che Gleichung: d"! 1) =

(P k." - ]J k.o ) .

(7)

b' :r . dr

Gleichung (7) ka nn , wie nachfolgend gezeigt, erweitert. werden :

dA/ I) = (

tk."- Pooo _ tk.o -

2 'Px 'U&,

Px

2 ' PYo ' U'ic

)

I

' _ ' p~ ' U

2

~

a

~

·b· x ·d.r

(8)

Xlit den Gleichungen (3) ergibt sich da nn : I a dA![) = (cl"" - c1'.") · '2 ' PYo . U"'" . b . .r . d.r =

_[ ( 2L,,') ('"-L + -",)] L

-

-8·

1- -

.

Px .

U;., . I)

2 · j M'&,

1

·x· dx

(9)

204

3 Grund gl('idlllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

Xlit der folgenden Integrat ion er häl t ma ll für das Moment J l n die Gleichung: M n = _ 4 , Poc , U~ , b, (!lI + h 2 ) , L lAI' 1

=

Mn = +

,!•

( 1 _ 2 , ~ ) ,~, d

n

L

L

(:C ) L

~2 _.!:,P=,,--·.;;U,,~'--,.,' ,'"(:;,h;;.=;+~h2,,),-·-,,L 3 · 1 .\1;'

1

Für MI) erhält ma n als Zahlenwert "lI) = 276,8 kN rn, 3,5 ,2

Inkompressible Strömunge n

In einer inkompressiblen St römung än dert sich die Dichte nicht , so dass a us der Dcfinitionsg lcichun g der Schallgeschwindigkeit der Grenzüberga ng a --> 00 her vorgeht. Xlit n --> 00 ergibt sich für d ie reibungsfreie Aufsens t römung (siehe 1/, Ocrtel j '" ct ul. 20( 8) die lineare Porenüalg lclchung der inkom pressiblen Strömung .:

mit dem Gcschwindigkoitspo tontial
Aufgabe 3 ,5.4

U rnst r -öm u n g eines Körpers

•

A b b . 3. 5.4 Übe rlag erung einer Quel len-Senkens t römung mit einer Tra nsla t ionsst r ömung Es so ll die eb en e S t röm u ng unt ersucht werden , di e durch Ü b er lager u ng einer 'Iran elatlo n ss t r öm u ng (parallel zur x- Ach se ) mit eine r Q u ellen- und Senkens t rö m u ng en tste ht. Die Tra ne lar lousst rö m uug h abe di e G esc h windig keit Uoo und di e Quellen- h z w , Sen ke nst ä r ke b eträgt Q b zw , - Q. D ie Quelle is t an der S te lle (x = - 0 , y = 0) u nd di e Senke an d er Stelle (x = +a. Y = 0) a ngeordnet (si e he A bh. 3.5 .4 ). Ein s pezielle Stro m lin ie d er S t rö m u n g en tsp r ich t einer gesch losse nen ovalen S t ro m lin ie , di e im Fo lge nden a ls Körperkontur a ufgefasst werden so ll . D ie zu unt er suchende Sfrömung e ntsp r icht a lso d er U m strö m u ng e in es zy li n d risch en Körp ers mit ova lem Q u erschnitt . a ) W ie la u t en di e Pote ntia l- und Stromfunktion d er Strömung? b) In we lchen Punkt en (Xs,i, Ys,i) liege n di e S taupunkte Si?

205

c) Wie laute t d ie Gleichung zu r Berec h n u n g d er Kont u r des Kö r p ers? Lösung :

gegeben : Ux

,

o, a

ges u ch t : a]
X s .;'

.11,. ;, c) f(Xk.Yk) = 0

a ) Die Potential- und St romfun kt ionen fiir die Quellen- und Senkenströmung sin d:

(Y) _-.!L . arctan (!!.) 2 · JT

$ Q(x , y ) = 2 - Ci- ' are tau • JT

w s (x , y ) =

J:

X

Diese Fun kt ionen sin d angegeben fiir den Fall, dass die Quellen bzw. die Senken im Ursprung des Koordinat ensystems {z- = 0, .11 = 0) liogeu. Da her erhält man zunächst mittels einer einfachen Koordina t entransform a tio n die hier benöt igt en unduichr im Lehrbuch angogebonon Potent ial- und Stromfunküonen:


~ . 11l ( /(X + II)2+ y2 ) 2 ' 71"

1' s =

-~ ·In ( / 2 ' 1T

$Q=

(x - a)2 + .11 2)

~ - nr ct au 2 · JT

llJ s =

(-y -) x+a (-.-y-)

-.;1.are t au 2· JT

J -

(j

( 1)

(2)

Der Index "Q" deute t in Gleichung (1) auf die Quelle hin lind in Gloichnng (2) steht der Index "S" ent sprechend für die Senke. Die Potent ial- un d Stromfuuktion für die Tr auslanon sströmung parallel zur z c-Achso lauten

u.; · x + ~ .fu ( /(x +a )2 + .11 2) - ~ - In (/ (x _ a)2 +.11 2) 2 ·JT 2 · JT

und 1{1

= Uoo • .11

+ - Ci- . are t au 2 ' 71"

(Y) x+a --

- - Ci- . aretau 2' 71"

( 'I ) _.X -(j

(3)

(4)

h) In den Staupunkten gilt u = 0 und v = O. Das Strömungsfeld ist zur x - Achse symmet risch. Die u-Komponentnn der Goschwiudig keit svektoron sind liings der z -Achse iiberall Xull, also auch im St aupuukt.. Die y- Koordilla teu der beiden Staupunkt e liegen somit a uf der x-Achse mit .119.; = .11.,\ = .119.2 = O. Zur Best im mung der Lage der St a upun kte (Xs.i, O) müssen nun noch die z-Koordina tcn ermittelt wer den. an denen die 11- Komponent e Xull ist. Durch partielles Differenzieren der Stromfunktion nach .11 erhält ma ll für die 11Komp onent e. () 1{1 {) !J

=

II

= U

oc

+~ .(

Die Bestimmungsgleichung für

2 · 71" X 9 .;

O= U x

(x

.T + a _ + a )2 + y2

(x

:r - (/

a)2 + y2

)

(5)

lautet dann mit Y9.i = 0:

(x+1o 1)

+ _Ci · - - - - 2 · JT

J~ -a

(6)

206

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

deren Um for mung nach Staupunkte liefert:

T s ,1 /2

d ie beiden folgend en St ellen

;1'8.1/ 2

= ±u.

J+ 1

U

OC

.rb .l

und

X s. 2

für die Lage der

~J7r . a

(7)

c} Die Kontur en t spricht de r Stromlinie , a uf der d ie Staupunkte liegen. Die Staupunkt e liegen a uf der z- Achse {also 11 = 0) und mit Gleichung (4) erh ält man für !J = 0 den St rom funktionswert \h der Kont ur stromlinie zu Vk = 0,

Die Gleichung. die die Kontur beschreib t , laute t also: Uxo • Yk + - q_ . ( aretau 2 ' 1r

A ufga b e 3 .5. 5

( Y') - - -

X k+ (J

- aretau

(

- y, - - )) Xk -

= ()

(J

Dü senstr ömu n g

Zwe i e ntgegengeset zt d r e h e nde Pot c nt ia lw ir b e l g le icher Stärke II'I s ind gem ä ß Abbildung 3. 5.5a im Abs t and 2 (I a uf d er O r d inate e in es (.c , II)Koord ina te n sy s te m s a ngeord net. Da s so geb ild e te Strömu n gsfeld b es t eh t a us d er S u p erposi tio n u rspriin g lic h k re isfdnnige r Stromlin ien , d er en K r eis mittelpunkte a u f d er Ver bi nd u n gsli ni e d er h eiden W ir h el liegen lind ist s y m m et r isch zur .r- Ac hs e .

Zwe i d ieser Stromli n ie n so llen a ls B ereic hs b egrenz unge n d er rei b u n gsfrei e n K e rnströmung einer ebenen Luft dü s e d er Lä n ge L u n d d er A u s tritts h ö he h a u fge fass t werden. A ufg r und d e r Symmetrie d er Anordnu ng fa llen D üsen- u n d r-Ach se zuaa rn rnen , Za h le n we r te : r = 20 m2 J.~ , L = 0,6 m, a = 1 m, h = 0,4 111, P2 = 1 bar , p = 1, 226 kglm:l (P2 ist d er D ruck im Au str ittsq uersc h n itt a u f d er .r- Ac hs e , p ist die D ic hte d er Luft ).

R

/

,r,3-----r

- - L--

A b b . 3 .5 .5a Düsenst römung

I

y.

G"' , n-----'-

207

Zur A us legu ng d e r Dü s e s oll fo lgend es berech net werd e n : a ) Die G eschwindigkei t sverteilung e nt la ng d er .r- A ch se in nerhalb der Düs e. b] Die G e schwin digk e itsver t e il u ng e n tla ng d er !I- A ch s e im Austrittsquers ch n it t.

e ) Die Druckverteilung e n tla ng d er I-Ach se inne rhalb d e r D üse. d ] Wie g r o ß is t d e r d urch die D üse s t r ö m e nde Volu m enstrom \i ? D er Volu m ens t r o m s oll e in m a l m itte ls e ine r Int e g r a ti on d er G eschwindig ke ltsve r t ellung im A u s trttts q uers ch ni t t d er Dü se best im mt werd e n , z u m a nd ere n m it d e r A nwe ndung der Stro m fu n k tio n lJI. D ie Breite IJ d er D üs e sen kre c ht zu r Zeicheneben e h e t r ägt b = 2 m.

Lösu n g : gege b e n :

r

= 20 m 2 js , L = 0, 6

gesucht : a) u(r , y = 0), h]

11(X

/TI , fl

= 1 m , '1 = 0,4 m , 112 = I/m T, b = 2 m.

= O. y ), c] p(x , y = 0), d ] \i"

a) Zur Ber echnung der Geschwindigkeitskomponente u(x , y ) wird zuerst die für das Suömungsfeld gültige Stromfunktion W ermittelt. Die Stromfunktion für einen im Ursprung liegendun Pot entia lwir bel lautet für eiuon rechtsdrehenden Pot eutia lwir bel:

w= ~ . In (J;r2 + y2) 2·,

(1)

Die beiden \ \'ir!lt'!w utren in dieser Aufgabe liegen nicht im Koordinat enursprung . Xlittr-ls einer einfachen Koordinatent ran sformat ion und der Anwendung des Überlagcnmgsprinzips erhiilt mau dah er für diu hier be nötigt e Stromfunktion. (2) Der obere W ir hel ist linksdrehend. Desha lb steht in der Gleichung (2) ein Minuszeichen zwischen den iiußereu Kla mmern . Durch partielles Differ enzieren der Funktio n W nach u ergibt sieh die Geschwiudigkeit skom polle ut c 1/ (x , y ):

ü"' ~ u(x ay

,

y) ~

J.!l . ( 2· 1t

y +a x 2 + (y + (t )2

x2

y -a

+ (y

(1 )2

)

(3)

Die Goschwindigkeitsvort eiluug onr.lung der x-Achse ergibt sich nun mit der Anwendung der Gleichung (3) für y = Q. Die r- Kompouente ist wegen der Symmetrie des St r ömungsfcldes auf der :l'- Achse Xull. Für .11 = 0 erhält man nach einer einfachem Umformung der Gleichung (3): 11(x,

y = 0) =

-

11'1 _ .

Jr .(j

1

.. 2

(* ) + 1

(4)

Die Geschwindigkeitsver t eilung entlang der .r-Achsc ist für - L :::; r :::; 0 gemäß der Gk-ichung (4) in Abbildung 3.5.5b dargestellt. b) Die n-Komponcnte der St römung kann unmittelbar mit der Anwend ung der Gleichung (3 ) für den Aus t rit t squersch nit t (x = 0 ) angegeben werden . Ma n erh ält mit einer einfachen

208

3 G run d gl('id lllllgP" d er St rÖIfluJlg~""'rhaJl i k

ylh

OS

0.25 1.1

0 .75

plP ,

0.0

.975

I.

1,025

1.0501/ 1/ 2

-0.2 5 05

Abb. 3.5 .5 c Gcschwlndtgkcit sprofil im D ÜSClI il ust rlt ts q uerschnit t

Umformung dip folgende Gleichung:

l1 (X = O. y ) = -tri - . ---::....,.,

(5)

Tr' (/

Gleichung (5) stellt bereits die Lösung dar. Die u-Kompunr-nte ist entlang der y-Achse XliII, da ()w !O.clx; o = 0 ist. Die Geschwtndtgkeltsvcrt etluu g ist in Abbil dun g 3.5.5c für - t.tz 11 ::; h/2 da rges t ellt.

«

e) Zur Berechnung der Druck ver teilun g entlang der .r-Achse wird die Bcrnoulll-Glcichung für inkompressible Strömungen entlang elucs Stromfadens VOll einer beliebigen Stelle x (- L:::; I < 0) auf der .r-Achsc bis zur Stelle (x = 0) (siehe Abb . 3.5.5a) a ngewendet. Sie lautet : p (x ,!/ = 0)

+ '21 ' p' 11 :.1 (x ,y =

1 '2 0) = pz + 2" · p· lt z

p(x ,O) =

]J2

1

+ 2" . p ' (u~ -

u 2(x , 0))

(G)

Die Geschwiudigkeitsvortollung u{x , O) lind die Gosehwindigkeit 'U2 an der Stelle (s- = 0) sind bereits mit der G leichung (4) bekannt (/12 = 11(0. 0) = Ifl/ (TI" ' Il )) . Die Ergebnisse für 112 und u(x . O) gemäß Gleichung (4) eingesetzt , ergibt das gesuchte Ergebnis: P P(X) = P2 + - '

2

d) 1.

~ Iög lichkeit :

F

(TI" .a) __

-a. + 2· (X-' ' . ( (X)' a )' )

U;)~+ 2 '(W)2 + 1

(7)

Der Volumenstrom wird mittels der folgenden Integra tion bestimmt:

J

1r= + ~

fT=

=

y= _ ~

If~' b

J Ifl ·b.

y: +-,j';;

l1 (:r =O,y) ·b ·dy =

y; - .J'ä

TI"

d 1-

(M)

.'n) - arctanh ( 2-.J~ ) )

J ( arctallh( 2

(*)

2

(8)

2. Möglichkeit : Der Volumenstrom wird mittels der Stromfunktion als Differenz zweicr Stromfunktionswerte ermittelt. Da zu gilt:

f"= (W (x =o.Y =~ ) - W(.r = o.Y = -~ )) 'b ~ I it bei den Formeln (8) und (9) erhält Inan für den Volumenstrom }' de n Wert 5, Hi rn:I / 8 ,

Aufgabe 3 .5 .6

(9)

V

=

Zyl ln deru mströ m ung

Die Ü berlager u ng von einer Dipols trömung und e iner Th ans lations s trömung e rgibt die m athematische N achb ild u ng d er r ei bungsfr ei en Außenstr ömung e in es Kreisaylinders , Die Strom funktioncn WT und WD d er Trnnsl afions- b zw , Dipols t r ömung la u t e n : .•.

_

't' D -

~

fII·y + y2

.r2

( 1)

In dieser Aufgabe s olle n die Geschwin d igke its- und die Druckve rteilung a u f e ine m Krei s zylinder mit d em Rad ius R b erechne t we rden . D a zu so ll w ie folgt vorgegangen werden: a) W ic groß mus s d a s Dipolmoment In gewäh lt we rden , d amit die Ü berlagerung a us Translat io ns- und Dipols t r ömung d er K rei seylind erum et r ömung um d e n K rei s zylinde r m it d em R adius 1l e nt s p r ich t ? Wie laut e t d ann die Str om funk tion W fiir die Krei s zylinderums trömullg? b) Es soll gezeig t we rden , d a ss die K onturs tromlinie e ine Kreis lin ie mit d em Rad ius R is t . c) Di e Geschwindigke itsko m p onenten II und u d es Str ömuugsfe ldes s olle n in P ola rkoo rdina t en (1'. iP) a ngegeben werden . d ) Es soll die Strö m ungsgeschwin d tgkeit werden.

in A b hängig ke it von iP erm ittelt

Wk

e ) E s soll d er dimensi ons lo se Drnckbei we rt Cl',k fiir die K ontur-stromlinie in Ahhängi gk e it von i.p a ngegeben werden. Lö sung : gegeben : G leichungen (1) ge s ucht:


1/1 ,

b) Kontur gleichun g. c) l1 (r, iP), t' (r, 1.;'), d) 1J1k (:p), c} CI'.k(:P)

a] Die resultierende Stromfuuktion W der betrachteten St römung folgt aus dem Überl agernngsprinzi p: W(x . y) = WT + WD W(x , y ) = Uoo ' Y -

1/1 .

2

Y

x +y

2

(2)

Das Dipo lmo men t in Gleichung (2 ) muss gerade so gewählt werden, dass auf der r -..... chse an der Stelle x -:= - R (m it R als Ra d ius des Kre iszylindcrs] ein Staupun kt Hegt . Auf der

210

3 G r u nd gl('id lllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

.c-Achse ist die t'-Komponcnt e des Geschwindigkeitsvektors Xull , da da s Strömung sfeld symmetrisch ist. Die Bcst lmmu ngsglcichung für In ist also die Gleichung 1I (;r = - H, 11 = 0) = Ü. Dur ch part ielle Differenzier ung der Glei chung (2) nach y erhiilt ma n eiue G leidulllg für u(x. y) . Sie lautet : D\l! Il(X,y) = -;:;- = Ux; Oll

2 . TI!

m 2

x+ y

Die Bes ü mmu ngsgleirhnng u(x = - R , JJ = 0) = 0 für

Ux und m it ihr erhält mall für

TI!

./p

+ (x 2 + y .2) :2

2

In

(3)

la ut et dan n a lso:

m

(4)

R2 = 0

-

schließlich: m = Uoc .

n2 .

Die Stromfunkt ion für d ie Kreiszylinder um st römung la ute t dann:

,

.,. _ U U"", . R . Y 0/ x 'Y-

(5)

r 2 + y2

b) Die Konturstromlinie ist die Stromlinie, a uf der die Staupunkte liegen. Da die St aupun kte a uf de r .r-Achse bei !J = 0 liegen, ergib t sich mit der Gleichung (5) für ihren St romfunktionswert W k der Wert \lJ k = O. Die (Ilcichung für d ie Kontur lautet dann gemä ß der Gleic hung (5): Ux;' Yk ~

UiXJ

•

2

Xk

T{l . Yk 2

+ u;

(6)

= 0

d ie mit einer einfachen Umfor mung folgendc rm eke n geschri ebe n werden kan n: x~+ y~= R2

(7)

Die Gleichung (7) en t sp richt de r G leichu ng eines Kreises mit dem Radius R . Die Kon turst ro mlin ie ist a lso eine Kreislinie , deren Mit telpunkt im Ursprung liegt.

c) Xlit der Gleic hung (3) lind m = Ux; . [{2 ergibt sieh für u(x , y ): (8)

Xun gilt bei der Einführung der Polarkoordinat en . sin(rp) =

!!. r

(9)

Unte r Berücksichtigung der Gleichungen (9) er hält mall für u( l',rp):

Zur Bestimmung von v(r,l,O) wird zu nächst v(x, y) mit der St romfunktion w (x , y) der Glei chung (5) bestimmt. :\Ian er hält durch partielles Differenz ieren:

(11)

211

Unter Berü cksicht igung der Gleichungen (9) erhält man für v{ r.1p): t'(r, 'P) = 2 · Ux ' d ) Für die

11-

(~) : 1 .cos ('f) ' Sill('P)

(12)

lind e-Komponcnt c auf der Kontur gilt nach Gleichung (10) lind (11) :

(13) Die Geschwindig keit ll'k ('P) auf de r Kontur ergibt sich dann mit de r telgonden Rech nung:

(14) e) Der dimensionslose Druc kbeiwert

Cp ,k

Cp ,k

=

ist für den Kreiszylinder wie folgt definiert : Pk

~

fi x

(15)

"l.I ·fJ · U'ClC

Zur Best immu ng der Dr uckdiffere nz J)k - Px wird die Bernoulli-Glcichung für inkompre ssible Strömlingen entlang der St.aupunktst romliuie angewendet. Weit entfernt VOll der Kont ur besi t zt die Strömung die ungestö rten Au strömungsgröfcn U oo und Px sowie auf der Kont ur en t sprechend U'k und Pk. Es gilt also: ]J'XJ

~

I

.X

__ -"i~l: __ ---ttt---_ 1

C~J

1

I

0-

1

Pk - p"" =

- -

-I

-2

-3

= Pk

1

+ '2

~ . ( U~ - w~)

' fJ 'w~ (16)

Die Differ enz Pk - Pc>o gemäß Gleichung (16) in Gleichung (15) ein gesetzt , erg ib t für Cp.k:

Cp.k

-

:.I

+ '2 ' p' Ux

= 1-

( )' Wk

U

x

(17)

If'k /Uoo ergibt sich mit der Gk-irhung (14) zu Jl'k/ Uoo = 2 · sin (;p). Dies in Gleichung (17) eingesetzt , ergibt das gesu chte Er gebnis:

(18)

Abb. 3.5.6 Dru ck- und Geschwtndlgkeltsverlauf entlang de s Kreiszylinders

Die Dru ck- und d ie Cr-schwindigkeitsverteilung sind in der Abhildung 3. 0.6 üb er dem W inkel ;p aufgetragen .

212

3 G run d gl('id lllllgP" d er StrÖIfluJlg~""'rhaJl ik

Aufgabe 3 .5 .7

D achfirst

Ein Modell z u r B e schreibung der r eihungsfreien Umströmung e ines Dachfirst e s entsprechend Abbildung 3.5 .7a erhält Inan, w enn rnarr der S t r ö m u ng um e inen mit d er Ges chwindigkeit Ux ( h ie r : Ux = 120 km / h ) angeströmten Krei s-

zy li n d er mit Radius R zusätzlich die Strömung ein es Potcntialwirbel s iibe r -lager t. D er Radius R d e s Dachfirs t e s b e trägt R = 7,,) .10 - 2 111 , d er Firstwinkel n is t (\ = 120°,

a ) \Vie gr oß muss die Zirkula ti on I' d es P otentialwirbel s gewäh lt werden, d ami t die r eihuugsfrei e S t rö m u ng e ntsp r ec hen d Abbildung 3 .5. 7a um den Dachfirs t richtig n achgebilde t w ird ? b ) Wie groß ist die auf d en Dachfirs t wirkende K r aft r\ , wenn unter dem Dachfirst d er Druck ]J "" d er Zuströmung herrscht und d er Dachfirst die Länge b = 1 111 (b se n k rech t z u r Zeichenebene) h a t '! Die Dichte p d e s Anströmung b eträ g t p = 1. 226 kg / lIl 'J.

I YI

• Dachkontur

2

Abb. 3 .5 .7 a Da chfirst

Lö sung : gegeben : Uoo = 120 k JII / h , p = 1, 226 kg / 1II:!' U = 7,5 .10 - 2 ge sucht :

a)

r , b)

TIl,

b= I

tn

f~\

a) Die Zirkulation muss so groß gewählt werden , dass auf der Kon t urst romlinie an den St ellen 1 lind 2 (siehe Ahh. 3.5.7 a ) Staupunkte liegen . Dazu ist es erfor derlich, die St r ömuugsgeschwi ndi gkeit auf rlnr Kont ur zu ermitteln. Die Stromfunktion W der betrachteten St römung ergibt sieh a us der Ad ditio n der Stromfunktionen der Tran slat.ions-, Dipol- un d wirbclströmuug, wobei das Dipolmomen t 111 der Dipols t r ömung mit m = Uexo . n 2 entsprich t (siehe Aufg. 3.5.6). W lau te t a lso : W = WT +

W = Ux

'

wn + ww

y- Uoo ' U2-

I

2

Y

+y

2

+~ - In (J.r2+ y2) 2 ' 1T

(1)

Durch pa rtielles Differe nzieren der St romfunktion w ergebell sich d ie Geschwindi gkei ts-

213

kmuponenten U(.T. y) und t'(J', y ): U(.T ,y} = 0," -;-) = Uoc (y

(

'

1-

2

n'

X +y

2+

2 . n2

y2

.

(X2+ y 2)

:.I

) +~ . 2 '

''Ir

"

Y

(2)

X + y

()IIJ 2 ;r . y I" :r v(x. y ) = - Ox = - 2 · UCXJ ' R . (X Z + y2)2 - . x 2 + y2 2' 70

(3)

:\Iit der Einführung vou Pola rkoordina ten (1'.9) gemii ß

.s:

sill (iP) =

eos (9 ) = r

!!.

(4)

t-

lauten die Fu uktiOIlCIl U(I', 9 ) und v( l'.y}:

,,(q ,) ~

U~. (1_(f!.)' + 2.(f!.)' .<,,,2(9 )) I'

L'(r, 'P ) = - 2 · Urx; '

l'

+ .L : <'''(I') 2·

1T

(f!.)2 .cos(iP) . sin(y) _ _ r_ . '_0_'r_(9_) r

(6)

2 ·1f

Das Quad ra t der Strömungsgeschwindigkeit w~ auf der Kont ur lässt sieh Gleichungen (5) und (6) berechnen. Xlan erhält: W~(9) = 1? (1' = R , 'P)

w~('f') =

4·

(5)

r

+ /12(1' =

IlUll

mit den

R , !p)

U~ · SiIl 2 (rp) + 2 . Uoo ' ~7T . siu('P) + ( ~) ' . R 2 ·JT

I

(7)

HZ

\Yie bcn-its erwähnt , IIlUSS die Zirkulation r so groR gewählt werden , dass auf der K Oll o turstromlinic an den Stellen 1 und 2 bzw. für die Winkel 'Ps.! = 2100 und 'Ps.:.! = _:mo die St aupunktc der Strömung liegen . Die Best immungsgleichung ergibt sich also aus der Bezichung H·~ ( 'P~. d = O. ;"!it der Gleichung (7) undw~ ( 9~. d = 0 erhält man eine quadratische Gleichung für r . Sie laut et: (8)

Die Au flösung der Best immu ngsgleichung (8) ergibt für

r

= - 4 · 1T. U"",, ' R· Sill ( Y~ . Jl = 2·

r

nur eine Lösung. Sie lalltet :

11" '

U"",, · R

h) Zur Bestimmung der auf den Da chfirst wirkenden Kraft wird zuerst die Druckver t eilung auf der Kont ur ermittelt. Xlit der Bcmoulli-Glcichung für inkompressible St römungen erhalt man :

p"",

1

2

+ 2" . p. Ux; I' k(9 )

= Pk(Y ) +

1

2

2" . p. wk (Y )

~ I'~ + ~ . ( U~ - ",1(9 ))

(9)

Das Geschwindigkeitsquadrat w~ (y) auf der Kont ur er gibt mit Glclchuug (7) und mit = 2 · 11"' Uc>o . R die folgende Gleichung:

r

u'~(:p) = U~ . (4· sin 2 (y ) + 4 · sin (;p) + 1)

(10)

214

3 Grund gl('idlllllgP" dpr S trÖIflu"g~""'rhaJl ik

I YI

A b b . 3.5 .7b Dru ckkräfte au f Dachfirst kont ur tl'~('P) gemäß Gleichung (10) in Gleichung (9) eingesetzt , ergibt für den Druck Pk(iP) die Gleichung:

(11) Da d ie Druckvert eilung symmetrisch zur y-Achse verl äuft , wirkt in horizontaler Richt ung keine Kraft au f den Dachfirst. Dip Vertikalkraft . die in vertikaler Richt ung auf den Dachfirst wirkt , wird mittels Integrat ion der Vertikalkoruponente der Kraft d !" ermittelt (siehe Abb . 3.;:;. 7b). Ma n erhält für die Vertika lkomponente d FA der Kraft d F unter Ver wendung von G leichung ( 11) und mit dA = R · b · cl;,.?: dFA = dF · sill(9 ) = (Px - Pk ) ' Sill(i.p) . dA = (Px - Pk)' sin(i.p)· R ·IJ · diP . dr~\ = 2 · p . U;,. R · b . (sin:l(iP) + SiIl 2 (iP)) ' diP (12)

Xlit der folgenden Integrat ion

FA =

!

! ~

dr\. .y = 2 · p.

U~ . R · b ·

. ".

(sin:l(iP)

+ siIl2(iP)) ' d iP

- TI

FA, . ~

erhält ma n schließlich für FA das folgende Ergebnis:

,

2

rA=2 ·p·Uoo ·R·b ·

(v'2 3 +32' 11')

=

( v,J+ '" 34 ) · p · Ux2 ·R ·b · 1I'

Als Zahlenwert ergi bt sich für FA der Wert : FA = 604 , 0 N .

215

3.6 ( ; n lTld gleich u" g{'lI in Erh altu" gsforrn

3.6

Grundgleichu ng en in Erhaltung sform

Aufgabe 3 .6.1

Laminare S t r ö m u ng

Die st.rörnu ugsmechan isc heu Grundgl ei chungen fü r la min are St .rörnungen könn en in dimensionslos e r E r halt u ngsfor m d arges t el lt werden.

a) Man stelle diese fiir d en allgemeinen Fall a u f und b esch re ibe die B edeutung d er e inzelnen Ter me. b] M a u b egründe , war u m es von Vorte il is t die str ömu ugsmech a n isc hen Grundgleichungen in Erha ltungsform z u sc h reiben . c ) A us we lchem G r u n d werden die Größen dimensions lo s gem ach t? Lösu ng:

'1) Die strümungsmeehanischun Gr undgleichungen für la mina re St.römungon lauten:

~ DF~, DU · 1 ~ DG~, - - + L, - - - - - ' L, - l)t ·

,,,=1

l):r ~"

Rel_ ,,,=1 l).r~"

~ O

mit dem Lösungsvck tor :

den konservativen Flüssen:

F;" = (

p' ,

u:.,

' 11;" ' 1Ii + 61", ' p' (1* ' tl;" • 11 2 + 62m • p' p* . Il;" . 113 + 6:1111 • p' (1*

1t~, . ( (10 .

BO+ p' )

und den dlssipatlven Flüssen:

o

T,;,] T';'2

G ~, =

a

T[:,:l

L tti . TI:" + 4~,

1= 1

Da bei sind

e' = B * -

!. 2

)

216

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

die d imens ion sloses i nne re Enefyie, p' =

(ti - 1)· ()*

.

e"

der di me nsionslose Druck , T* = (K - 1) ·K· M~ ' c'

die d imensionslose Temperatur,

aUi )

Du; +Dl':* (()x~ '

,

2

. ~ Du;:

3 . /1* L

(Jx* . oij

k =l

k

die dimensionslosen Sp(Jmmngell lind J[* DT" 11* . I{ • M~ 1) · Pr"" . Ü.r~, = Pr""

der dimens ions lose

Wii1ill e.~ t m lll

in Richt ung

De" f)r~,

IlL

b) Die Schreibweise in Erha lt ung sform bedeutet , dass die Erh a lrungsgr öken Mass e , Impuls uud Energie als Divergenz der Größen des Lös ung svekt ors dargestellt werden. Xlan kann somit diese Fo rm der Gr und glek-hungon für die numerische Berechnung, insbesoudcru mit dem Finit e-Volum en- Verfahren, auch für groge G ra dienten im Strömungsfeld (Verdichtungsstöße) einsetzen. c) Bei dimensionslosen G rüßen innerhalb der Grundgleichungen können beliebige Skalic.. rungcn bei der numerischen Berechnung vollzogen werden . Außerdem ist d ie nachträgliehe Wa hl der Di mensionen möglich, solange das gewählte Einheitensystem konsi stent ist (z.B. Sl-System ). In Europa ist seit 19:>1 das Sl-System [Syst eu io Interna t ionale] gobräuchlieh . E~ setzt sieh a us so genannten G rund- oder Basiseinheiten un d davon abgeleiteten Einheiten zusammen. Die sieben Gru ndeinheiten sind:

I Basis größe..

I zugehörige Einheit I

Zeit [T[ Länge [LJ

Temp erat ur IT*[

Sekunde n (.~) ).Ieter (711) Kilogra mm (k.lJ) Ampere ( A ) Kelvin (K)

Stoffnn-ngo [n]

.\101 (mol)

Licht st ä rke [I]

Candela (cd)

xlassc [:\11 Elektr. Stromstärke [lI

Aufg a b e 3 .6 .2

S paltström u ng

Die \Velle e iner A rbeitsma schine (Radius R ) is t in e iu e r koa xi a len B o h r u ng m it d e m Rad iu s R + 8 und d er Läng e L g e lage rt. D ie W elle führ t e ine ko a xi ale B e we gung mit d e r Periode T a u s (si ehe Abb. 3 .6 .2a) . Die G eschwin d igkeit d er W elle ka nn n äherung s weise durch die Fu n ktio n

u,·(t) =

!t

f"t.ir O -:; t < ;

{ - Il' f"t.ir ~ < t -:; T

217

3.6 ( ;nlTldgleichung{'lI in Erhaltungsforrn

b esch rieb en werden. Am unteren E n de d es Spaltes d er B reite s b efindet s ich Ö l (Newtonsche F lüssig kei t , Dich t e (I , d ynamische Zäh ig ke it 11) mit d em Druck pi , d as durch d en Sp a lt oben in die U mgebu ng mit d em Druck p" austre t en kann . D er Ei n fluss d er E rdschwere is t ve r nach lässig bar . Die Strömung d es Ö ls is t laminar. In d en b eiden Zeit int ervallen 0 S t < T j2 und T j 2 < t -:; T kann die Ström u ng im Spalt j eweils a ls s t a t ion ä r und in a- R ich t u u g a ls a usgeb ild et angesehen werd en. W egen 8 « H kann s ie a u ßerdem a ls e ben zwischen zwei gerade \ Vänd en betrachtet werden . a) W ie la u t e n die Grundgle ich ungen in Erhaltu ugsform? Man b enenne die a u ft retenden Terme und ge b e s ie exp liz it a n . b] M a n ve rein fac he die Gruudgleichuugen d er Kont in u ität und d es Impulses , die d iese S trö m u ng b eschrei b en. (D ie E nergieg leic h u ng ist zu ver-nach l ässigen}.

c) Man b er echne die Geschwin d ig keitsverte ilu ng im Spalt fiir die b eiden Int ervalle 0 S I < T j 2 und T j 2 < I ::; T . und skizzie re s ie q ualitativ . Lö sung : gegeben : R ,

ge s ucht:

8, (I ,

11, L , IV , T , Pi , P"

a) Gr undgleichungen in Er ha lt ungsfortn, b) Vereinfachte Crund glcichuu gen, c) Skizze Ji'(x )

a] Die allgem einen Grundgleichungen (:\Iasse- . lmpuls- und Encrgiecrhal rung ) indexEnergicerhaltung in Erhal t ung sfor m ohne Xlass cnkraftc lauten : 3

()U

3

' " DF'H

'"

m= 1

m =1

oc:

( 1)

-+ L,-- - L,-- ~ U

öl

mit den Koordina ten

= x,

XI

X2

=

Y

V.r",

und

\V I

...5

z

I

~

I

p,V

R

Abb. 3.6.2 a Spa ltströmung

= z. Xlit

IV/;

r-='I 0' , I

X3

--'

L

ÖX'"


Oeschwtnd tgkett skomponcntcn

I 1_ _,

oL ,_I_,_,__ I T/2

-IV: r

T

LJ

t

218 t/ I

=

3 G run d gl('id lllllgP" d er S trÖIfluJlg~""'rh aJl ik

11, 'U2

=

V

und

U3

= w lau te t der Lösungsvektor U :

p'

U (J:"" t) =

111

p ) p ' 112 ( p ' 11:\

e

(2)

r tol

der Vektor der konvek tiven Flüsse F ",: ·u", p1I1

P ' lI m

F ", = (

+ 6 ] Ill ' p

'

p 'lI ", ' 112

+ lhlll ' [J

p'Um'II:J

+ O:I", 'P

)

(3)

1I 1ll ' {P ' Ctot+p)

lind der Vekt or der dissipat iven Flüsse G ",: () T im T2 111

a

7 :\ 111

(4)

L lI\ ' 11.", +rj", 1= 1

b) Mit dem Sto kessehen Reib ungsansetz folgt au s den Erhal t ung sgleichungen für Xlnssc und Impuls (Glclchungen (1) - (4) für eine in komp ressib le Strömung: (5)

(6)

(7)

(8)

x,

Xlit den Koordina ten = X , X 2 = Y lind X3 = Z lind den Ges chwindigkeitskomponenten = 11, 112 = v und 1/ 3 = tu folgt unter Ver wen dun g der Kont inuit ä tsgleichung (5) au s den

111

219

3.6 ( ; n lTld gleich un g{'lI in Erh altun gsforrn

Gleichungen (5) - (8):

Du

Du

() w

Dx

Dy

()z

(9)

- +- +- ~ O

il « Oll -öl- + u· -DII +V' - +/!I ' ö.c iJy ih

Du

f)v Dl

01'

() v

() v

D,r

rJy

il z

iJw

DU'

- + u' - + V' - + w· Dw

iJw

-()t +11 ' -rJ,r + v · -()!J +w --Dz

1 Dp ( (P U (P U (P11) = - _ . - + v · - -2 + -- +-p V.r IJr iJ!J2 ih 2

(10)

f)21' ) [)Z2

(11)

1

()p

p

rJy

( iP L' rJ,r2

(PV

(f)2W

IPw

= - _ .-

+ /1 ' - - + - - + - -

1 Dp = - _ .p rJ z

+ /1 - - + -+ -rJ Z-2 Dx 2 ()y2

rJ,P

D2w )

(12)

Dip Strömung ist eben: 1' = 0

(13)

st at ionä r: (14)

und sie ist in .e-Hicht ung a usgeb ildet , d. h . die Geschwindi gkeit skolilpollputell ändern sieh in z-Richtung: nicht: ilu

()v

rJ w

() 2 u

{Pv

(}2w

- ~- ~- ~- ~- ~- ~ O öz Dz Ih 2 DZ 2 f)z 2

iJz

(15)

Dip Bedin gungen (13) - (15) in die Gleichung (9) eingeset zt ergibt ö a/lh = () und n. = u (:r ). Hiera us folgt d u/ d.r = O. Eine Integra t ion führt au f u(x ) = C mit der Integra tionskonstanten C. An den Wä nden gilt die Haft bedingung, rl. h. u(x = R ) = u(x = R + ~ ) = O. Da mit ehjilt rnan fiir die n-Kompouent e der Geschwindigkeit u( x) = O. Set zt man dieses Ergebnis und die Bedingungen (13) - (15) in die Gleichungen (10) - (12) ein fällt die Gleichung (11) weg und es ergibt sich:

1 rJp 0= - - ·-

(16)

1 iJp iP w 0 = - - ' - + /1 ' - -2 p tt z f}x

(17)

p (),r

wegen den Bed ingu ngen (13) und (15) ist die Gcschwtndlg kelt skomponcn te IV nur clnc Funkt ionen von z. :\lit der Bedingung (13) un d der Gleichung (15) ist der Dru ck p nur einu Fun kt ion vou z. Da mit können die entsprechenden pa r tiollon Ablei t ungen durch die tot alen Ableitungen er set zt werden. :\11In er hält H US Gloiehung (l i) : (18)

c) Da die kinematische Zäh igkeit 11 konsta nt ist hä ngt die linke Seite der Differentialgleichung nur von x und die rechte Seite nur von z a b . Es muss deshalb sowohl

220

3 Grund gl('idlllllgP" der S trÖIfluJlg~""'rhaJl ik

(d 2w / dx 2 ) = konet , a ls auch dp /dz sich mit der Druck differenz Pa - Pi:

kor u;f . gelten. Für den Druckg ra dien ten ergibt

dp

Pa -Pi L

da

(19)

Die zweim alige Int egra t io n der Gleichung (18) führ t auf die Gleichung: 1

[Ja -Pi

2 · Jl

L

w(x) = - _ . - - - .:r

2

+ C2 • X + C3

(20)

mit den Int egra t ionskons t ant en Cl und C ;j . ~ lit der Haft bed ingung an dCII festCli \\'iinc!ell lind unter Verwendung des in Abbildung 3.6.2a dargest ellten Koordinat ensystems gelten die Handbedingungen 'lLJ{.r = R ) = w(l ) und w (x = R + 8) = O. Eingesetzt in Gleichung (20) er hält ma n für die gesuchte Geschwindigkeit sver teilung.

~. ~ ','I2 . ~ . (ifi w(x) =

{ ~ . Pa " ' Il

1)

+!f. (1 -

'f) fiirO ::; t < ~

LPi . .';2 . J: . (ir _ 1) _ IV · (1 _ :I) .'I

.~

für

1;. < t S

;;"

T

In Ab bild ung 3.6.2b sind die Gcschwtndlgkcitsverteilungen für die beiden Int erva lle () :5 t < T / 2 und T / 2 < I :5 T skizziert. w

w

IW/ 2 1ThP'" I

=

,

"""

0 < r < T /2

A b b , 3 .6. 2 b Geschwindigkeitsverteilung w(x )

,

.,

TI I

I

.W

-

T /2 < t < T

"'"

221

4 4.1 4.1 .1

Numerische Lösungsmethoden Ana lytische Vo r b erei tun g Dimensions ana lys e

Aufgabe 4.1.1

Kugelumstr ömun g Auf eine glatte Kugel d es D u rchmesse rs D , die mit d e r Geschw ind ig ke it U"", von e ine m

•

inkompre s si blen M edi u ms a ngest.rb mt w ird , w ir k t d ie Wide r stands kraft W (s iehe Abb.

4 .1.1 ). a ) Es s o llen a lle geometr isch e n und p hys ikalis chen Größen , die e in e n E in fluss auf d e n Wide r s t a nd 11' d e r stat io näre n K u gelum s t r öm u ng h aben , a u fgelistet und d e r fu n ktio nale Zusammenhang fo rmulie r t werden.

A bb. 4 .1 .1 Kugelu nist r ömung

b] W ie vie le Basis d imensio nen h a t das P roblem und welche El n ftussgr öüen w erden a usge wäh lt? c ) A uf w ie v iele K ennzahlen lä ss t sich das Problem r e d u zi eren?

d] W ie laut en die dimens ions los e n K e n nzah le n und d e r Heue fu n k t io nale Zns a m men h a ng ? W as is t m ittels der Rech nung erreicht wor de n? Lösu ng: gegeben: ges ucht:

Kugelumströmuug a] geometrische un d physi kalische Grö ßpn, b) Baslsgrö ßcn, c) Anza hl der Kennzahlen , <1) Formeln de r Kennzah len

a] Die folgenden Griißpn haben einen Einfluss auf die \Yid prst an dskra ft \ F : 1. Die Anst römgoschwindigkcit

u.:

2. Der Durdunesser V der Kugel. 3. Die Dichte

(J

des Xlr-diums.

4. Die kinematische Zä higkeit v des Xlr -diums. Der funkt iona le Zusa mmenhang lautet also:

W = f(Ueo:; , V , p, v )

(1)

h) Das Pro blem besitzt die d rei lj as isdimensioucn Kraft , Länge lind Zeit. Zur Bestimmung der dimens ionslosen Kennza hlen werde n die folgenden Basisgrößen ausgewählt: U, D, p. c) Der funktionale Zusa mmenhang (1) beinh al tet die fünf Größen W , U x , D , p und u. Xlit de n drei Basisgrö ßen U , D un d p kann das Pro blem auf zwei dimensionslose Kennz a hlen (5 - :l = 2) red uziert werde n.

222

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
d) Zur Best immung der Ken nza hlen werden die Dimensionen der nach der Auswahl der Baslsgr ökcn verbleibenden Größen IV und 11 mit dem nachfolgenden Exponentenansatz der Dimensionen der Basi s~rii Rt m ausgcdriickt:

[lVI ~ [Ux

!" . [DI"

. [I'] '

(2)

Die in G leichung (2) vorhandenen Dimous iouun lassen sich mit der Dimension der Kra ft P, dor Länge L und der Zeit T (kurz: mit P , L , T) ausdrücken :

[pI =

F 1.

[D ] = F U. LI . 7")

[U"", ]= FO . LI. T - I [1I] = F O . L 2 . y -1

[IV] = F 1 • L O • T O

L -4. T 2

(3)

Die Dimensionen gemäß der Gleichungen (3) in die Gleichungen (2) eingesetzt, ergibt die beiden nachfolgenden Gleichungen:

[lV] = F I . LO. r l = (f~J. L I . T - I) ". (p o. L I . 7"1 )ß . (F I . L - 4 . T 2)"'

Iv] =

F,f.) ·

L 2 . T - I = U -.() · L I. r - I )". (F o . LI . TO )ß . ( pi . L - 4 . T 2p

(4) (5)

Xlit einem Exponentenverglelrh für Glei chung Cl ) und Gleichung (5) ergeben sieh die folgenden bei de n Gleichungssysteme jeweils mit den Unbekannnui 0 , ß lind , :

1= +, 0 = () +ß - 4·, Q = - () +2 ·,

() = 2 = n

- 1=-0

+,

+ß - 4 ·, + 2 ·,

Die Lösung des linken Gleichungssystems ergibt die Lösu ng () = 2, ß = 2, , = 1, und die des rechten Gloichungssystrms die Lös ung 0 = 1, {j = 1, , = Q. :-'Iit den Glei rhungon (2) etgebeu sich also folgende dimensionslose Kennza hlen: Jrl

(6)

= p ·U~· D2

Die :-'Iultiplikat ion der Kennzahl Jrl mit de r Zahl 2 und der Kehrwer t der Kennza hl ergeben die endgültigen (in der Strömungsmechanik geläufigen} Kennza hlen. Cw

= 2 . 11" 1 = f! "2

R e[) = -

· U&, · tv

1

11"2

=

U"", · D ""'--=V

Jr 2

(7)

Folgendes ist erreicht worden: Das P rob k-m der Kugelumstr ömung ist VOll fiiuf Einflussgrüßen auf zwei Kennza hlen reduziert worden. Der einfache funktionale Zusammenhang Cw

= f (J-le v}

(8)

kann mit einer Messrcthc ermittelt werden .

Aufgabe 4. 1. 2

Zyli nd er u mströ m uug

Im Nach la u fge b iet ein es a nges tröm te n glat ten Zylinder s (si ehe Abb. 4 .1.2) ents teht fiir b es timmt e R eynolds-Zahlen e ine p eriodisch e Wirbelanordnung , di e durch wech sel sei ti ges p eriodisch es Ablösen d er Strömung a u f d er

4.1

AJlal~· ti~ch ('

223

\'orl)('f"('itull g

u~

•

~- D -..j

Abb. 4.1.2 Momenta nb ild de r Xachlaufst römung hinter dem Zylinder Zyli nderob er- u n d - unte rs e it e verursacht w ird (Kärm änsche W irhel s t r a ße ). In d ieser Aufgabe sollen d ie K ennzahlen bestimmt werden , d ie die Frequen z der a b gehe n d e n \ Vir b el b es t.im m e n . Lö sung: gege hen : gesucht :

Zylinderumst rö mung Kennzahlen für die Frequenz der Wir bolablösung

Die Frequenz f ist von folgenden Größen a hh iingi ~: der Austromgoschwindigkeit Ucc , des Zylinderdurch messer s D , der Dicht e p lind der kinematischen Zähig keit v (vgl. Aufg. 4.1.1). Der funkti onale Zusammenhang F lautet also:

(1) Das P roblem der fünf G rüßen kann mit de n ausgewählten Basisgrößen u'x, D lind p a uf zwei Kenn zahlen reduziert werde n. Da zu word en die Dimensionen der Frequenz f und der Zllhigkeit v mit dun Dimuns lonen der llasisgriif,eIl m it t els des folgenden Ex pouent unuusatzos ausged rückt : (2) Die Exponenten der rechten Gleichung der Gleich ung en (2) sin d bereit s in Aufga be 4. 1.1 ermittelt worden . Sie ha ben folgende \\"(~r t e: 0: = I, ß = 1, '"'I = O. ~ I it ihnen urhlilt man die Heynol ds-Za hl als Kennza hl (siehe Aufg . 4.1.1). Es IllUSS also noch die zweite Kennza hl ermittelt werden. Die Einheit en für die vier physikalische n Gr ößen [ , Ucc , D und fJ la uten:

[D! ~ F" . L' .1'''

1f]= FO. /.,O. T - t [p] = p i . L - 4 . T 2

(3)

Setzt man die Dimensionen gemäß G leichung (3) in die linke Gleichung der Gleichungen (2) ein, erhiilt ma n: (4) ~ Iit

einem Ex pone nt envergleich ergi bt sich das folgende Glctchungssystom: () = () = n - 1 = - ()

+'"'1

+ß - 4 · '"'I

+2·'"'1

224

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Das Gleichungssystem liefert als Lösung {\ = I , ß = - 1 und I = 0, so dass man mit der linken Gleichung der Gleichungen (2) die folgende Kennz a hl er hält :

D

1t = f · Uoo

(5)

Die Kennz a hl 1T entsp richt der St ronha l-Zahl Sir, Der vureinfar-ht e funktio nale Zusa mmenhang F lautet also: Sfr = F (Rev )

S t o ß- G reneschiehr- wechse Iw ir kung

Aufgabe 4 .1. 3

Auf einem Tragfliig e lprofil, d a s mit einer t r a ns so n ischen U nterschalls tröm u ng d er M a ch-Zahl MX) anges t römt wird, ents t e ht a u f d er Saugs ei t e e in lokal es Überschallge b le r , d a s mit ein em Verdichtuugssto ß str o mabwär ts a b sc h ließt (s ie he Abb. 4 .1. 3a) . Der Verdichtungssto ß interferiert mit d er t u r b u le nten G ren zsc h ich t und kann gegebenenfalls die Ablösung d er Grenzschicht b ewirken. In dieser Aufgabe sollen die dimensionslosen K ennzahlen ermittelt we rden , die die Ablösung d er G renzsch icht h e st.immen . Nachein a nder solle n die fol genden Teilaufgaben ge löst we r d en: a ) Wie lautet in diesem Fall (zweidimensi onale Strömung ) d as Ablösekrit erium? b ) W elche in Ahbildung 4 .1. 3b eingezei chne t en physikalischen G rößen b es timm en d a s Ablösekriterium? (U,j-Strömungsgeschwindigkeit a m Grenzschichtr and , (l,j- ör tliche Schallgeschw in d ig ke it am G ro n ssch ichtrun d , R - K r ü m mungs rad ius d er Profilkontur, J - Di cke d er Gre n zsc h icht ). c) Es solle n die dimensionslosen K e n nzah le n b es timmt werden. Wie lautet d er neue funktionale Zusamm enhang ?

GS

,, I

I

I

/ - '

/

M>I

Abb. 4 .1 .3a Tra nssonischer Tragflügel

\

,I -\ t

I

a"U,

/ SIOß

s \

I\ - \

R~

Abb. 4 . 1.3b selwirkung

, St oß-Gre nzschicht -Wech-

4. 1

AJlal ~· ti ~ch('

225

\'orl)('f"('i tu ll g

Lö sung : gege b e n : Transsonische Profi lums trömnng ge s uch t : a) Ahlösekriterium , b) Einftussgr ößen, c] dimensionslose Kennz a hlen a) Das Ablösekriterium für eine zweidime nsiona le Gr enzschicht lalltet : du Tw = Jt' -lw = O dy

( 1)

T w ist

die vom Fluid auf die \ \'a nd iibert rugeue Wandschubspannung. Ist sk- aneiner Stelle XliII, so löst sich die Grenzschicht an dieser Stelle (Ablöscsrcllc) ab .

b) Die Wandschubspannung hängt von den in Abbildung 4.1.3b eingezeichneten Größen sowie \ '0 11 der Zähigkei t und der Dicht e ab : (2)

r; = F(U", a", 6. R , v, p} = 0

v ist die kinematische Zähi gkeit lind p ist die Dicht e des st romenden Xlcdiums unmittelbar

vor dem Verdlch tungsstcß. c) Zur Best im mung der dimensionslosen Kennza hlen können z.B. als neue Basis die Dimensioncn der Geschwindigkeit U;;, der Dicht e p und der Grenzschichtdicke 6 aus gewäh lt werden. Die Dimensionen der verbl eibenden Größen (16, v und R las sen sich dann wie folgt ausdr ücken:

[" , ] ~ [U, ]" . [1']" . [61' [v] ~ [U, j" . [1'1" . [61'

[RI ~ [U,]" . [1'1" . [61' (3)

Die einzelnun Dimensionen durch die Dimens ionen der Kra ft , der Längo und der Zeit a usgedrückt , orgobon:

[0,, ] = p O. LI . T- 1 [8] = F O. LI · To

IR] = p O. LI. T U

[U;; ] = F O. /} . T- I [p] = F I . L - 4 . T 2

{vJ = F O. L 2 · T -

I

(4)

Die Dlmonsloncn gemäß der Gleichungen (4) in die Gleichungen (3) eingeset zt , ergeb en die folgende n Gleichun gen: p O. I.I . T - I = ( p o . I} .T- I )" . (pi . 1. - 4 . T 2 )ß . ( pO. I} . rap

u").[} .

F O· I} . TO= (pO. [} . T - I )" . (F I . L - 4 . T 2 )ß . TO)1' I I 4 2 p O. I} . T - = ( PO . I} . T - )" . (pi . 1. - . T )ß . ( pO. I} .ru)"Y

(5)

Xlit einem Exponentenvergleich für jede Gleichu ng der Gleichungen (5) er geben sieh die folgenden Glcirhuugssyst cmc :

p , L :

T :

{I

n

-n

~

a;;

R

v

O

O

O

- 4 · ß +1' = 1 1 2 +2 · /i =- 1 0- 1

Das er ste Gleichungssystem (Kennza hl bzgl. ( 6) ergibt für o , ß, l' die Lösung 0: = I , ß = 0 und "'I = O. Die Kennz a hl lautet also (siehe Gleichungen (3)): (6)

Die noch zu bestimmenden Ken nza hlen Rechnung:

1r2

un d

1r3

ergeben sieh mit dCI" entsprechenden

(7)

Die ermittelt en Kennza hlen Jr1 lind Jr3 kön nen noch in die für die St r ömungsmech a nik geläufigr-n Kennzah len umges chrieben werden:

Der vereinfachte funktionale Zusammenhang lautet also: ~

G ( M~ .

Aufgabe 4.1.4

R

6 ' Re,,) =

0

hzw .

(8)

Vent r ik el s trömung d es H erzens Die übe r e inen gesa m t e n Zy k lus b e tracht e t e mittlere Ström u n g im H e r zen lä sst s ic h mit d er Dr-uck- Vo lu men -A rbeit A 1Jl d er mitt leren e ffe kt ive Vi skosi t ä t 1/, d e m Sch lagvolumen Vs , d e r konstant en Di cht e p, d er mi ttle re Klappengeschwindigk eit 11 und d e r Verwe ilz e it tb b es chrei b en. Le t ztere gibt a n , wi e lange es d auert , bis nur noch 20 % d es R estblut es im Ventrikel verb le ib en. M it Hilfe d er Dimensi onsanaly se s olle n K e n n zah le n e ntw icke lt we rden , die die m itt le r e Hc r sser ömung b es chreiben (A b b ild u ng 4. 1.4). a) Man wä h le ein s in n volles Basisgr öge us yst em a u s und e r stelle n Si e d ie Dimensionsm atr-ix . b ) Auf wi e vi el e K ennzahlen lä sst s ic h d a s Problem red u zie r e n ?

A b b , 4 .1.4 Vor hof, Vent rikel und Aorta des menschlichen Herzens

c) \ Varum e ig nen s ich tc, Il und Vs zur Verwe nd u ng a ls neu e Grundgröße n ? B e wei s!

d ) M an d rücke d ie Dimensi onen von A p , p uud U mi t dem E x ponentenansatz aus und erm itte le d ie d a r aus r es u lt ie r e n den dimensionsl os en K ennzahlen. e)

Man

bringe die

K ennzahlen a u f d en funktion ellen Zu sam men han g It ' o und Jr(l = Re (0 = D imensionsl os e Pumpa r b e it , R e = H e ynoldsaahl, W o = W omersl e y zahl). F (1rI , Jr 2 . 1r3 ) = 0, mit

Jr l

= 0 , Jr2 =

4.1

AJlal~· ti~ch ('

227

\'orl)('f"('itull g

Hinwei s: Zur B est im m u ng d er charakteristischen Länge w ir d das H erz al s ideale K ugel an ge no m m en. Di e Kre isfrequenz w ir d über die Ve r weilzeit a u sged r ückt. Lös u ng: gege ben : AI" /t , Fs , p, u, t /} a) Da es sich in diesem Fall um ein ph....sika lischc s Syste m handelt, macht es Sin n , al s Grundgriißeu d ie :\la sse (k.rJ), d ie Liinge(m) und d ie Zeit (.~) zu verwenden. Dam it gibt sich folgen de Dimcnsionsm a tr ix: kg m

s

Ap 1 2 -2

t, 0 0 1

I' 1 -1 -1

Vs

P

u

()

1

()

3

-3

()

()

1 -1

b) Der funkt iondie Zusammenhang hainhalte t die Größen AI" 11, Fs , p, IJ und i". Vlit de n ß asisgriißeIl :\1, L, T kann das Problem au f drei di mensionslose Kennz ahlen (6 · 3 = 3) reduziert werden. c) Die Det erminante der Teilmat rix A aus den Größen t c. I/ und erfüllt somit d ie Bed ingung Dct (A ) -I- O.

v." ist D d (A ) = 3 lind

<1 ) Zur Best immung der Ken nza hlen werden d ie Dimensionen der verbleibenden Größen AI" tb lind }I mit den neucn Grundgrößen wie folgt ausgedrückt:

[u] ~ [tb]" . [,,11' ·IVs!'

. (1)

Des Weite ren lassen sich d ie Dimensionen dieser Einfiussgröscn mit. de n Dimensionen des ß ilsisgrü&.·Ils....stems ausdrücken: tu} = ,\/0 . L I . T - I [AI'] = M I . r} . T - 2

[11] = MI. L - 1 . T - I

(2)

Die Dimensionen gelIliiß Gleich ung (2) in G leichung (1) oingesctzt, ergibt die d rei nac hfolgenden G lclchungen:

[u]

= .\ll) . L I. T - I = ( ,\10 . LI) · T I )" . (,\/1 . L - I . T - I )fj . (,\10 . ! } . TO p

Xlit dem Koeffizien tenvergleich liefert da s GIPid lllllgssysh'lIl für G leichung 3: 1 = 0: 2 ~ - ß+ 0 - 2 =0 - ß

(5)

228

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
als Lösung 0: = - 1, ß = 1 und ') = I. Analog wird für die Gleichungen (4) (0 = I , ß = 1 und 'Y = - 2/ :3) und (5) (0: = - 1, ß = 0 und "( = 1/ 3) vorgega ngen . Die er mit telten Kenn zahlen lauten also: JTl

Al" I/I = --- ,

I"

7T2

V"

,,2/ .1 = p. " I' . t/,

v"

(6)

e} Die Kennza hl ?Tz cut spricht mit den geom et rischen lind zeit lichen Annahmr-u für das Herz de r womcrslcyza hl W o:

11"0 = D · JP' W

(7)

I'

Des \Veite rell er gibt sich mit 7T!1 = !Tz . 'Ir;, die Rcynoldsza hl: p . 11 ' D Re f) = "---":-::. I'

Somit wird mit de r letz te n Grö ße

(8) Jr l

= () (dimenslonslosc P umparbcit)

O = :Tr\

A - tb 11 . Vs

= - p- -

der funk tion elle Zusa mmenhang P ( 1T \ .1TZ,1f;l ) = () mit her ges tell t .

4 .1 .2

(9) 1f t

= O ,JTz = \1'0 und a, = R eD

Ltnearisi e r ung

A ufga b e 4 .1. 5

Sch a llwe lle im R ohr

In einem langen horizont alen R ohr, in d e m s ich um r u he n d es Gas befind et , w ir d a n ein e r b eliebige n a b er fes t en Stelle eine s chwache D rucks t örung e r zeu gt. Die Stör u ng b r ei t e t s ich a ls Sc h allwelle im R ohr n ach link s und r echt s a us. U n t e r Ve r n ac hlä ssi gu n g von R elbungseintl üss e n w ird die eind ime ns iona le Sch a llausbre it u ng mit d e r nicht -lin earen Kontin uit ät s- und E u le r -G le ich u n g ap

üt

U(p · u)

+ trx

üp iJu üp = - + p -+ ll-- = O

üt

ilu

p- -

öc

ü.r öu

In +p -ll- -;)x

iJp = - Ux

(1)

e xak t b eschrieb en. Di es e G leic hu n ge n s in d a ller d in gs z u r Berech nu ng d er Sch a llau sbreitu ng zu a u fwend ig und sollen d eshalb linea r is iert werd en. D a zu w ir d d a von a u sgegange n , d a ss das unges tört e ruhende G as die Zu standsgr ößen Di cht e Po und D ruck Po b esitzt , wel ch e d u r ch kl eine Dicht e- und Dr-u ckäuderuugen pi und 11' s ow ie durch kleine G es chw ind igkeitsän d eru n ge n 11' gestört werd e n. A u fgru nd d e r a ls kl ei n vo rausge setzte n Stör u n ge n ve rlaufe n d ie Zus t ands ände runge n , d ie d as G as erfährt , isent rop. Im e in zeln e n s o lle n n achein a n d e r fo lge n d e Te ilaufgab e n gelöst we r d en:

a) D e r Stör ans a t z s oll formulie r t we rde n . h ) E s so ll ge ze igt we r d e n , das s fii r d en D ruck P = p(p, ,~) , wo h e i d es G as es b e zeichne t , die folgende B e ziehung gilt : 01' = ( Op) , Dp = äp ~ ils:

Or

(t 2 ,

,~

die E nt r o pie

Np är

(2)

( Dpl üp)~ = a 2 ist die D efinitions gl e ichung fiir die Schal1geschwind ig ke it a,

c) D er S t öransatz s oll in die K ontinuit ä t s- u nd in d ie Euler-G leichung e in gesetzt werden. D a b e i s oll üp lD.r gemä ß d e r G le ic hu n g (2) e rset zt we r d e n . Wie laut en die ve r e in fac ht e n [i m m e r- n o ch e xak ten ) G lei chungen? d) Die Schallges chw indigke it (l is t e i ne t h e r m o dynamisch e Z ustan d s größe , d a s ie durch zwei Zustandsgr öße n z. B . (l = a(p, 8) fes t gele gt is t. D as Quadr a t d er Schallgcschwindigkci t a 2 so ll in e ine geeignete Tay lo r - Rolhc c n t w icke lt we r d e n. e ) Die G le ich u nge n so lle n unt e r Ber iic ks ichtig u ug d er in A u fg a b e n t e il d ) e ntw icke lten Taylo r - Reihe Iin e a ri si ert werden. Wie laut en d ie A k ust ik-G le ic hu n ge n ? Lös u ng: ge geben : Kontinuit ät s- und Eulc r-Glci chuug a] Das ung estört e Gas besitzt. die Dichte Po, den Druck Po un d befinde t sich in Ruhe. Das gestört e Gas lx-sitzt dan n die Gr ößcn: P =Po +P'

1' =1'0 +1"

tl

= 0 + u' =

/I'

(3)

h) Das vollst ändige Differentia l für den Druck I' = p(p, s ) lautet : dl' =

( ~~)

s'

dp+

( ~~)

I' , <1 8

(4 )

Da die Zusta nds änderungen des Gases Isent ro p verlaufen , ist d8 = 0, Es gilt: dp =

G~~}. ' dp

(5)

Gleich ung (5) län gs de r Ro hra chse (x- Richt ung) ang ewendet , ergibt :

~ = ( ~}.' ~ = (J2. ~

(6 )

c) Die Dicht e I' un d die Geschwindigkeit ll' gem äß Glei chungen (3) in die Kontinuitä t sgleichu ng eingeset zt , ergibt die folgende Gleichung:

D(po + p') ( ' ) iJu' I iJ(po + (/) 'l + Po+P '-;:;- + 11 ' ') = 0 (I o s: ( X

(7)

Da Po eine Konsta nte ist un d sich desha lb zeitlich und rä um lich nicht än dert , vereinfacht sieh die Gleichung (7) zur folgenden (Imm er noch exakten] Gleichung:

iJp' iJu' -'-J + Po ' -:) rt ( I

,

+P

o«

, -:J C f

+ 11

,

iJp'

' -;-) = 0 (,1"

(8)

230

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Die zweite Gleichung erhält man mit der gleichen vorgchenswclsc. Wird in die EulerGleichung der Störansatz gCllIiiR G leichungen (3) sowie Üll/VX gemäß Gleichung (6) eingesur at, ergi bt sich die folgende Gleichung: I 0/1' (PO+ I) ) . + (PO + PI ) . u I . -Ou' =

Dt

vx

2 -

(I.

•

O(pO+ 1" )

(9)

f)x

Xlit (}Po /Dx = 0 erhält mau die folgende G leichung als Ergebnis dieser Teilaufgabe: au ' I (Ju' , (Ju' I I PO' - + p '-+PO'lI ' + p ' ll

Dt

ilr

[)t

Du'

Dp'

2

' - = -(1.

(10)

.-

Dr

Eh

d) Die Scha llgeschwindigkeit a ist durch zwei Zustandsgr ökon festgelegt , z. B. durch a = a(p,8 ). Da d ie Zust andsänderungen des Gases isontrop vorla ufen sollen , also mit s = konst., gilt: (/ = a (p ). Entwickelt ma n ausgehend vom P unkt (po, a o) das Qua d ra t a 2 der Schallgeschwindigkeit in eine Taylor-Reihc, dann lautet diese: 2

2

{/ oo:= a u +

') 2) (7iP (a

2

· (p - po ) +· · · = au +

('7iP ) 2) · t + ... ((I

l

I

(11)

e} Zunächst wird die Gleichung (8) betrachtet, Da die Größen p' und 11' sowie ihre Ableitungen /:Jp' j /:J.r und partüllu' jDx sehr klein sin d, gilt für d ie Prod ukte

, nI/'

,

p' -

()p'

U' -

ö.c

D.r

dass sie extrem klein und daher in Gleichung (8) vernachlässigt werden können. Die erste Akustik-Gleichung lautet also:

/Jp' /Ju ' fit+ PU' n;;

=0

(12)

Die zweite Akustik-Gleichung er hält man durch Einsetzen von a2 gellliiß der Gleichung (11) in Gleichung (10). Man erhä lt :

al/'

Pu . --=-)t

(

al/'

+P

--=-)t + po . II

I

= -

(

,al/'" au' ....,-) + P . u . ....,-) or ( I

(a~ + (~;;: ) . p' + ...) . ~~

Die P rodukte p'

(Ju '

iJt

Pu ' n

,

, , U,

öu'

P

iJ.J:

/:J u' (h'

(13)

(l)ud p

2

)

,

' I'

/:Jp' iJJ:

sind extrem klein und können in Gleichung (13) vernachlässigt werden. Die zweite Akust ikGleichung lautet dann:

au'

2

pu· +a 01 0

ap'

· _ ~ O

öx

(14)

Die G leichungen (12) und (14) entspr echen zwei linearen partiellen Dtffcrcnualglclchungcn I. Ord nung für die St örgröken u ' un d pi. Sie gelten für die eindimensionale Ausbreitung kleine r Stö rungen un d können analytisch gelöst werden .

4. 1

AJlal~· t i~ch ('

23 1

\'orl)('f"('i tu ll g

Aufgabe 4 .1.6

Sch la n kes Tragftiigelprofil

E in Trag fliige l m it sch lan ke m Tra gflii ge lprofil stört die unges t ö r t e A nströmuug e iner r e ibungs fr e ien, kompres s ib le n St röm u ng (si ehe A bb. 4 .1.6 ). Die A n s tröm u n g d es Profils ist p a r allel z u r .r-A ch s e des Koor d inate nsy s tems und h a t d ie Geschwi ndigke it Ux ' A n e in er belie bige n Ste lle 1 a m Grenzs chichtra n d besi tze d ie S t r ö m u ng d en G eschw in d ig ke itsve kt o r v = ((Ux + 11'). fl ', w') . Dabei b e ze ichn en 1/' , v' und 1// d ie d urch das Profil ve r urs a chten St örgeschwin d ig keite n in X- , y- und z- R ich t u ug . In d ies er A u fga be s oll d e r line a r is ie r t e Druckb e iwert in A h h ä n gigkc it d e r Störg röße n u nd d er Ans t.rö mgeschwindigkci t UCXJ e r m ittelt we r d e n . Dazu s oll , w ie nach fo lge nd sk izzie r t , vo r ge gangen werd e n . a) E s soll ge ze ig t werd e n , das s Ifir d en Dru ck b e iw ert c p fo lge nd es gilt :

CI'

=

P -Px

~.:: . f' xo . U 2

CXJ

=

2 /i . i\!;"

( p I) ]Jxo -

( 1)

is t d er I se nt ro p e n e xpo n ent d es G ases lind M x s teh t Fiir d ie M ach - Za h l d e r unges t ö r t en A n strömung .

r;

b ] M it d er ßer nou lli - G leich u ng für isentrope Zu stand sände r u n gen s oll geze ig t we rde n , das s für d as b e trac htete S t r ö m u ngs fe ld fol gendes gilt: fi _ I U 2 _U 2 = 1 + - - . = x'c;--=-TeX! 2 a~

-

T

(2)

A lle Größc n mit I nde x CO b e zi e hc n s ich a u f die unge s t .ör-t .o Ans t r ömung . G r ößen o h n e d ie se n Ind e x s in d e in e m b eliebigen P u nkt im Ström u ngsfe ld z ugeordne t. T b e zei chne t die Tem perat u r u nd (/ s t e ht f ür die ö r tlich e Schallgesch w ind ig ke it . c) Wie laut e t d as Verhält n is p!Px in A b hän gig keit der (k le inen ) St örgr öß e n und d er Zust röm gesch w in d igke it? D ie Fo r m e l f ür p!P x so ll dur ch A nwen dung d e r hin omischen R ei he ( l -x) " = I - n · x ... (Glie d e r höhe r e r Ordnun g werden ve r nach läss igt ) ve rein fa c ht we rde n . d ) D e r ve r einfachte Ausdruck für p!})"" s oll in G le ich u n g (1) e in gese tz t werd e n. M ittels e in e r Liu car-is ic r u n g is t d e r linca r isi ertc D ruckbei we r t a nzu geh e n .

I

U'X!+u'

x

A b b . 4. 1.6 Tra gflügel in kompressibler St römung

232

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Lö sung : a ) Dur ch E rweite ru ng des Xenners der Definitions gleichung (1) erhiilt mall für cl' folgen des: P - Px

J! - fix

21 ' p"",,' U'DO

[J - 1'"""

U'

1

21 "P X

l"f ·Px · fl ~ · .:::..z.. 2 ~

.:.

(1

'

"(l ?Q " '

11'::>0

(3)

oc

F ür die Schallgeschwindigkeit eines idea len Gases gilt (1,2 = K • pi p. :\Iit der Anwend un g dies er Gleichung a uf (l ~ im Xeuner d er fechten Seite d er Gleirhnng (3 ) ru- hält man: JI - fJ"",

2

21 " P"C" /i " px ' AI'x

K · M~

us:

(4)

b) Die Ber noulli-Gleirhung für isentrope Zust.andsi inderungen entlang einer Stromlinie VOll der uugostörton Anströmung bis zu einer beliebigen Stolle im St.römungsfold angewendet erg ibt:

(5)

Ersetzt man in Gleichung (5 ) auf der rechten Seite die Schallgcschwindtgkeltcn a und (1 00 durch (l = J". R· T hzw. durch (L x = JIi ' R· T x mit Hab spezifische r Gaskonstante, so er gibt sich die in der Aufgabr-nstellung erwähnt e G leichlllJ/;!; (2) ; (6) c) Da die Zustand sänderungen des Gases in der Strömung tscnt rop verlaufen , ist die folgende Iscn t ropcnglcichung gü ltig. Sie lautet : (7)

Xli t ihr und Gleichung (6) erhält man die folgen de (immer noch exa kt e) Gleichung für d as Verhält nis p/ Px : -

P

Jlx

=

(

/'i - I U;" _ U 2 ) ~ "- 1 1 + - -a 2 Q "",

(8)

Die Gesch windigkeit U setzt steh gemäß d er Fo rm el U 2 = (Uoo + 1/')2 + 1/ 2 + w, 2 aus d er Geschwindi gkeit de r Anströtnung lind d en Störgeschwindigkei ten zusammen . U2 g<'llläß der gena nnten Formel in (8) eingese tzt , ergib t ; P = Poo

(1'>. -1 , 1 - -, - ,- . (2 . 2 · (Lx

11 .

Uoo

+

~

,2,2 11 V

+

+w

/2 ) , . ,

)

(9)

4. 1

AJlal ~· ti ~ch('

233

\'orl)('f"('i tu ll g

:\[it der Mach- Za hl M :>o = Uoc/ a x lau te t Gleichung (9): _1_' = 1 _ _" _-_ 1 . ,\/2. ( 2 , _"_' [ Px 2 JO Uoc

,2 +..;:, ,2 .c.:':"_ " ) + ~"'---' ",,+

U;"

] ""

(10)

Dip Verhältnissn u' l Ux , v' /Uoc und w' I Uoc sind kleine G riif~en . :\Iit der angegebenen binumi srhen Reihe kann unter Vernachlässigung der Glieder höherer Ord nung die Gleichung (9) wie folgt vereinfacht werden: n · ,\[ 2 . _]I = 1 __

P:>o

2

(11)

x

d] plpx gemäß de r Gleichung (11) in die Gleichung (4 ) eingesetzt , ergibt: e/>

", = n ' 2M 2 . [ 1 - '"2 . M~ . ( 2 · U

X

:>0

+

2 U22 2) + ... - 1]

u' + v' +u/ ~

2+ u" 2) , __ 2 .s: u' 2 U + J2

c/, _

+t"

(

~

(12)

r ~

Die Verhältnisse 11' I Uex , l" l Ux lind /V' /U oo sin d kleine Größen, da das Tragflügelprofil schlank ist. Die Größen (11'1U",o)2 , (ViI U00 f lind (w' I Uo<:,)2 sind dann so klein , dass sie in de r Gleich ung (12) vernachlässigt werd en können . Die Formel für den ltnearlsicr tcn Dr uck beiwert lautet also :

,,'

cp = - 2 · - -

U~

St r ömungsnu-chanik Software ZU IlI Kapitel 'Linearisier un g" ist im Anhang 5.2 beschrieben .

Aufgabe 4 .1. 7 J

z !

;

Rayl eigh-Benard-Konvektion T,

001, h

x

To >T!

Abb. 4 . 1.7 Hayleigh-Bruiard- Kouvek tirm

Beim Rayl cigh-Bcnard-Problelll wird e in e horizontale E liissigkaitssch ic ht von unt en b ehei zt und vo n oben ge k ü h lt. Wird di e Erwärmung hinreichend langsam ein ges te llt ergibt sich e ine linea re Tem peratu r ve r te ilu ng über d er Sc hichth öh e (G r u n dzustand ). Dehn Überschreiten e iner kritischen Tem pera t urd ifferenz setzt Konvektion in Form von Konvektionsrollen ein (si ehe Abb . 4. 1. 7), d . h. d er s t a tio n är e Grundzust a nd wird instabil , d . h . ges tört.

234

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Di e P hysik d es besch r ie bene u Vo rgangs w ir d durch d ie BoussinesqG leich u ngen (einer Vereinfachung der Navier-Stokes-G le ichuug und der E nergiegle ich u ng) b eschrieb en . D a s ve rein fac ht e System d e r G r u n dgleich u ngen fii r Masse, Impuls und E nergie laut et : (1)

(2) (3)

H ie rin b edeut e n:

lI (x , y . a . t ) = f! -

B (x , y , z; t ) = (-) -

P s t a t io n ii r ( Z )

= P - P~

B s tationiir ( Z )

= T - T~

Po = konst .,

}1 = konst ., die E rd b esch le unig u ng 9 = koust ., d ie Te m peratu rleitfahigk eit e = kon st . lind d e r Volum e n allsdehnungskoeffi zi ent ß = konst .,

Di e U ntcrs uch u ng d er Stab il ität d es s t a t ion ä rc n W ärmcl citzus t andes kann nach d er Met hod e d e r k le ine n Stör u ngen , die z ur Linea r isi e rung des ob ig e n G le ich ungssystems fiihrt, dur chgefüh r t werden . Man linea r isi e r e das vo rgegebene G leichungssystem fii r M ass e, I mpuls u n d E nergie. D e r Störansatz laut e t mit v = 0: T = T..t atio n iir

P = p..tationä r

v=

i"t" t a tio n ii r

+ f-) ' = T~ + f-)' + 11' = p~ + ir

+ iJ'

=

vs + i!

===? ===?

(-)' =

f-)

1I' = II

===?

(4) (5) (6)

D ie S törg rößen s ow ie d eren Ablei tungen we rden a ls se h r kle in a u fgefass t. a) Man formuli cre d a s System der G r u ndgle ich u ngcn fiir Masse , Impuls und E n e rgie in kart esi schen Koor d inate n und linear-isi eren Sie es b zgl. der Störgrößen B' , II /, 1/', t/ u nd w'• b ) Man sc hreibe die St ör gl ei chu n g in Vektorform . Lösung : gegeben : Erhal t ung sgleichungen des Bene rd- P roblems ge s uc ht :

a) lincarisiertc G ruudglcichungcn, b) St örgleichun g in Vektorform

4. 1

235

\'orl)('f"('i tu ll g

AJlal ~· ti ~ch('

a] Die Erhaltungsgleichungen (1) - (3) in kar restsehen Koordina ten lallt en : [) U

-

ö-r

PO '

[)l'

[) IL'

{)IJ

[} z

+-+- = 0

(7)

au o« Du ou ) - + V' f}!J - + lV' [}-Z ( -{)t + l1 ' its: 2 11) 11 ({PU+0+ -f) 2

mI

~ - -+ JI'

iJ.r2

[) -r

f) 1} PO ' ( [)l

Ov

Ov

{)IJ

iJ.r2

aw

iN

(g)

a z2

aw + 11"aw) .

Dz

w -{):r-+ -;Pw - + -{)2 -) 2 {JIJ 2 f} 2

aB

[) B

DIJ2

+u · -Hs: +o · -f}IJ

(02w

~ - - + JI ' Dz

-

f) U)

(lPV - +fJ2-~, +lPV -)

an

f) W ( -f} t

(S)

f} z 2

+ u · -[}.r + r · -Dy + 1l' · -{)z ~ - -+ JI'

Pu'

f} IJ2

z

(10)

+ .q· po · ß · 8

{Jf) [) B OB w + u · -,- + v · -,- + w · -,- - (7(, - Td · -

D.r

Du

2

ä 8 = a . ( tJ.r 2

()z

+

[Pe Dy2

+

ä

2

h

e)

(11)

[) z2

Der Stör ausa tz (4) - (6) wird jetzt in die Erhaltungsgleichungen (i) - (11) eingesetzt. Xlan erhält :

Du' Dv' [) w' - +-+- = 0 öx

(Jo '

Dy

(12)

iJz

, DU' )

,{Ju' au' , Du' + 1/ ' + 1' ' + Il! ' (öl [) .r {)y [} z

( (PU'

DU'

[Pu'

[PU' )

- + -;) z2;h: + /1 ' --+ {J.r 2 {}!J2 ,Dv' , lJu' , DV' ) DV' 1'0 ' ( -il t +ll · -iJ.r + t' ·-+w ·iJIJ i }Z ~

- -

~

- -

DU'

+ /1 '

(13)

[P v' lPV' ) --+--+--

({J2V'

(14)

Dy ux 2 {)IJ2 {Jz2 {Jul , {}w' , Dul PO' ( -+'11 ' - +1' · + w · -il z Dt ils: (Jy DI r'

( [P m'

;Pm'

D=

D.1'2

[} IJ2

~- - + / l '

DA'

, ()W')

,D8'

;Pm' )

-- +-- +--

,Of-)'

,Df-)'

D=2

+ q · po ·ß · g .

,

(15)

ui'

-Dt- + ll ' -D.r +0 · - + w · -(To - Td· DIJ il z h: _ . ( iPf:-)'

- a

{)28'

{)28')

D.r ' +On' +O z'

(16)

236

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Da die Störgr ößen lind ih re Ableit ungen seh r klein sind , können die Prod ukte solcher Gr ößen gegenüber den an deren Termen vernachlässigt werden. Es gilt: 11

,Du'

·=v fu

,Du' ' -

010'

I

I

I~'

= 11.' ' -

fu

~

al/i

= N

,a~

·=v fu

f) f-)'

I

= v , - - =w ' - - = 1/ , - - =v ~ Dz fu

aB'

I

' -

-

~

,8~

I~'

' -

=11' ' -

~

=

=

,Dw'

11 . - -

fu

(Je'

I

U}

Dz

-- - = 0

( 17)

Dz

Die Gleichung (17) in d ie Gleichu ngen (12) - (lG) eingeset zt erg ibt als Er gebnis: Du' Ov' Ow' +- +- = 0 il s: Dy [)z

-

(18)

im'

({PUl

() I)'

»rr

(}f

(}!J

(0 2V ()'l v' (Pl") --+-- +--

;hi

PU " DI

~

;)2u'

[Pli' )

- - - + /1' - +--+-n .T O.r 2 O!J2 Dz2 I

Pll ' - ~ - - +Il '

Dw' Oll' po ' Dt = - Dz

(19)

D.r2

Dy 2

([0,1,2 )'l w + ()'lD w ' + (PU l) D i

+ }L '

(20)

()z2

y2

Z

2

+ 9 . po . (j

. f-)'

(2 1) (22)

b) Die G leichu ngen (18) - (22) in Vektorformlauten:

'V ii' Oü'

I

0

.....

Po . '";) = - 'VII + }/ · .6.v ul

ü(-)'

fit 4 . 1.3

(7(1 -

w'

Td' h

+ y . Po . ß · e . e z I

_

= a · AA '

S tab ili tätsanalyse

Aufgabe 4 .1.8

Stah ilitätsd iagram m

Zur K läru ng d er Frage na ch S tab ilität o der Ins ta bilit ät ei nes gegebenen stat ionären inkompressihlen G r u n dgeschwindigkeitsproti ls Uo (z ) wer d en die St örungsdifferentiaigi ei chullgen h enötigt , di e sich m it Hilfe des fol genden Stör-uugsansa t zes a us d en N av ier-St oke s- G leichu ngen ab le it en lasse n : 11

= Uo(z)

+u'

IV

= w'

p = po + p'

(1)

D u rch Ei nsetzen d er A nsätze (1) in die N avier-St okes - G leichu n ge n lind a nsc h ließen de Lin earisi e rung er h ä lt man di e linea risi er t en Störu ngsd ifferential-

4 _1

AJlal~- ti~ch (' \'orl)('f"('itull g

gle ich u n ge n

?,IIr

2 37

Erm ittl u ng d er St ör u ngsgröße n

11',

w' und p' , Si e lauten:

/:}u ' /:}w' - + -~ O

lJr

(2)

Dz

l ') üw' iPW + Uo -Du/ - = -- ,öp' - + v, ( -' +ö-w -') ilt iJz iJ_r üz

Z Du' + Uo _Du' + u./ _dUo = _ ! . Dp' + v. ( DZU' + Ü ur

ül

da

p

ih:

ü zz

/:}.r 2

1

i);r

1/',

Die S tö r u ngsgrößen liert :

(3)

2

2

p

(4)

2

und p' werden mit Hilfe d es W ellenansatzes model-

11"

u' (x , a, t ) = fl(z). ej -(,,-x -""-t) w' (.1', a, t ) = u'(z) , ej.{" -X -w -I) p'(x , z, t ) = iJ(z ). ei-{,, -x-w-t}

(5)

In G leich u ng (5) b edeuten i di e imaginäre E in h eit mit iZ = - I, W ellenzahl und "" di e komplexe K re isfreq u enz .

Q

die komplexe

a) M an set ze d en W elle n ansa t z aus G leic hu n g (5 ) in d ie Glei chungen (2) - (4) e in u nd erm itt le ein Differ en t ialglei chungss ys t em für di e U nb ekannte n il, U' und Ti, b) M a n iiberfiihre die dre i in Te ila u fgabe a ] er haltenen Diffe r ent.ial gleichnn geu zur Bes t im m u ng d er unbekannten W ellenampliturlen ii, 111 lind ß in ein e ein zige Glei chung zu r Bestimmung von ll.'. U m we lch e n G lei chungs t yp h and elt es s ich dab e i? Lös u ng: a) Zunächst werden sämtliche partiellen Ableit ung en ermittelt, die in den Glclchuugcu (2) - (4) benötigt werden. Man erhält im Einzelnen:

iJu'

Oll' Dt =

-

-.- = i· (l . il(z) _d- (a -x-w -t j t);r

"'

,

(I U - =

ÜX2

- fI

')"

2 . tI Z A

( )

•

e j-(a -x -

- i · W ' Ii( z) - ci-(a-x-w -t)

w -t )

(6)

') '

I"

1•

= ~ . ei-(,,-x-w -t) lJz dz '

( J1 _ ( 11 - - -d -2 · e; -(,,-x-w .. l ) () Z2

~

z

()m' ! ' 11'(') _ei-{a-x- w-t) iJf = -'''' Ü tl'' . • () - - = !· (j.· W Z

H.r

'\Z'

(} 111

Ö:;Z

=

01". = !

-

ÜJ:

I' .

~

d zZ

-e.j-(,, -x -

w- t )

(7)

ä2

,

-W - = ()J"2

- 0

2

'W A

z ·e j- (,, -x -

( )

_Ci-(a-x -w-tj

A( ) 'C j-{ a .x - w -t )

' Q' pZ

-

w -t )

(8)

Op' = dii _Ci-(a-x -",..t j <1 , il z

(9)

Die Kontinuitätsgleichung (2) lautet somit : dU., . ) 1·(j ·1l' ( Z· e da -x -w -t l + - · e ,-(,,-x -w -I) = <1,

(l

(10)

238

4 :'\UTIwrisch o: l,ösllllgs rn et ho
Aufgrund der Xullstellenfrciheit der ee-Funk t ion läs st sich der Faktor eH"-X -W.fj in Gle ichun g (10) herauskürzen. Dur r-h eine Mult iplika t ion der Gleichung mit dem Faktor i erhält man schl iefslich: -

(l .

,

JJ

' + .1 . -dJi d,

n . J1 = i .

= ()

dl.L' d,

(11)

Durch Einset zen der Ableitungen aus den Gleichungen (6 ) - (9) in Gleichung (3 ) erhält man nach Kürzen der c-Funk t ion:

(12) Eine Xlnlriplikation (j ' U O "

(

(12) mi t dem Fa ktor - i führ t auf:

\ '0 11 Gleichung

W

)

dUo . -,w=

' lI - j , A

•

1 P

- -

dz

"

( '2 ' d2il)

.

' (/ ' P+ l ' l/'

(l

'11 -

--

d Z2

(13)

Ein völlig analoges vorgehen durch Einsetzen der Ableitungen aus den Gleichungen (6) (D ) in Gloirhung (4) liefer t nach nach Kürzen der c-Funk t ion:

.

.

- 1' W ' W

+ Uo ' .I '

(l '

. = - -1 . db (J dz

W

+ 1/ '

(- a'2 . ' +
2

(14)

Durch :\Iultiplikation von Gleichung (14) mit dem Fa kto r - i folgt schließlich :

(a · Uo - w) · w = A

•

1-

I - -

p


de

I 'V '

(a2· w - -
A

2

(15)

b) 111 eine m er st ell Schritt wird die Variable ii eliminiert , indem G leichung (11) naeh Jl aufgelöst und in Gleichung (13) eingeset zt wird . Xlan erhält:

(16) In eine m weiteren Schritt ist der Druckt er m jj zu eliminieren. Dazu wird Gleichung (16) zunächst nach z differenziert, so dass folgt : ( 17)

Allschließeud wird Gleichung (15) m it dem Fa ktor ( - i .( 2 ) multipliziert und zu G lex-hung (17) hinzu addier t , so dass der Druckgr adient vorschwindet. :\ach eine r zllsiitz lidl{'u Erweiterung m it der imaginären Einh eit i erhält mau schließlich:

(18)

4. 1

AJlal ~· ti ~ch('

230

\'orl)('f"('i tu llg

Zur Ident ifikat ion des Ty ps WlII Gleichung (18) ist es vorteilhaft , ZIlI" Opera tcrenschretbweise (a. B. d 2 ti'/dz 2 -+ (d 2/dz 2 ) lll) überzugehen. Xnch weiterer Zusammenfassung folgt HIIS Gloiehung (18) :

- a') d [(a.Uo- w) · (~

(10)

Z2

Dei Gleichung (19 ) handelt es sich 11m ein Eigenwor tprobk-m , \\"('1111 auRer der unbekannten Wellon.unplitudo ti· noch ein weiterer Parameter unbekannt ist, z. D. i.J). Sind HuRer der Unbr-kannnm lb alle anderen Paramet er bekannt, so ist G lcid lllug (19) ci... IlC gewiihnliehe Differenti algleid lllllg yierter Ordnung. Gleichung (19) in dimensionsloser For m angeschrieben lautet unter Beibehalt un g der bisherigen Bezeichnungen für die einzelnun physikalischen Größen:

[(a . U" - w) ·

(~ d z - "' ) 2

_ a.d __'U_o dZ 2

+ f - _1_ . ( 'Ir ~, _ a2 ) Red

'"

' ]

11" =

0

(20)

Sie tr ägt den Xamen Orr-Sommcrfcld-Gk-ichung. Im Falle eines zeit lichen Stabilitätseigenwertproblcm s sind in Gleichung (20) die G rundströmung Uo(z) , die Rcynolds-Zahl Red = u'x · d/v lind die wellenzahl (I vorzugeben. Als Er gebnis de s Eigcnwcr t problems erhält man komplexe Eigenwerte i.J) = i.J)r + i ' ''''' i lind komplexe Eigenfunktioncn w. Die Losung en de s Eigenwertproblems werden in For m von Stabilitätsdiagrammen dargestellt , die ers tellt werden, indem d ie Wpllenzahl u über der IteynoldsA hh, 4 .1.8 St a büitä tsdiagramm Zahl Red au fget ra gen wird. Für ein jeweils gegcbelies wertepaar ( Red, a) wird die Nulls telle des Ima gin ärt cils Wj = 0 de s komplexen Eigenwertes W im Diagra mm ein getragen .

, j

stab il

Die sich ergehen de Xcntral- o der Indiff er enz kur ve mit ",,'; = (J trennt die sta bilen von den instabilen St örungen (siuhe Ahb. 4.1.8 ) . Im Gebi"t innerhalb der Indiff erenzkurve gilt Wi > 0, was Inst a bilitä t lx-deutet. Im Dereich auferhalb der Indiff erenzkurve nimm t ""'j negative werte an und die zu untersuchende Grundströmung ist som it bei der betrachteten Heyno lds-Za hl st a bil gegen iiber a ufgebra chten Störungen mit der links a n der O rdi na te abzulesenden wellenzahl. Strömun gsmechanik Software zum Ka pitel 'Ste bilt t ät sa nal ys e' ist im Anhang 5.2 bes chrieben. 4.1.4

Stru kt urana ly se

Aufgabe 4. 1. 9

Sen ke ust.rö rn u ng

F iir ein zweidimensio nales Ström u ngsfe ld g ilt fol gende D iffe rent ia lg le ic h u ng : dy dx

x +y

( 1)

240

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
a) Man b e stimme d a s charak teris tische P o ly n o m d er Diffe r entialg leichung . b ) Um welche Art vo n S in g u larität hande lt es s ich'! c) \Vie la u t e t die G le ich u ng für die Inte gra lkurvenschar'!

d ) Man s k izzic r c d ie I ntc g r alkur vcnschar. Lösung : g ege b en: obige Different ialg leichung gesucht :

a ) charaktcnsrtschcs Poly nom , b) Art der Singularität, c) y = f(.r ), d) Skizze y = f(x )

a ] F ür Stromlinien gilt die Bezieh un g dy /d.r = V/li_ Gleichung (1) lässt sich mit den Gleichungen I' = r + y und 11 = .T darstellen. Da ra us ergibt sich:

*

(
(2)

-

==}

mit der ),Iatrix A . Das r-hurukt erlst.lschu Polynom bestimmt sich aus der Gleichung det [A ), . Tl = 0, wobei I die Einheitsmatrix ist. :\Ian erhält als charakn-risrisches Polynom :

(1 - A)· (1 - A) - I . 0

~

0

=

),2 _2), +1-0

(3)

b) Die Null stellen des Poly noms sind )" = ), 2 = 1. ß cide Xullstcllcu sind ree ll und haben gleich es Vorzeichen . Es handelt sich IIIlI einen Knot en p unkt. c} Auf d ie Differenti a lgleichung lässt sich d ie folgende Integ ra tions reg el für Differ ential-

glcichungcn 1. Ord nung anwende n: y'

+ P (x ) · y =

Q (x )

P (x )

~

1 --

Q (x )

r

~

1

(4)

Die Lösung d er Different .ia lgleichuug ber echnet sieh dann mit der Gleichung

u=

('- fl' ·dx.

(!

Q. ('f l'· dx.

(13;+ C)

(5)

mit der Int egra t ionskonstantun C. Gloirhung (4 ) in (5) eingesetzt führt zu : I dx _ y = e f x·

(1 I(-:l- ) e

dz - dx+ C )

(! e-l nlxl_ dx+C) (j;
y = e lll lx l.

y~x

y = x - ln lxi + C · x

(6)

4.1

AJlal~· ti~ch ('

24 1

\'orl)('f"('itull g

.I)

Abb . 4 .1.9 Kur venschar der Integralkur ven (13) Aufgabe 4.1.1 0

D eltafl ü gel

Neben d e n kla ssi schen F lüge ln für die ziv ile Lu ft fa h rt e x is t ie r t fiir d e n Ü b e rschallflu g noch e in e we it ere Form d er F Higelge o met r ie , der D el t afl iigel (s ie he Abb. 4 .1.1 0a) . Se kundärwirbel

-

Primärwirbel

a) Man s k izz iere e ine n Deltaflüge l im Q u ersch n itt und ze ich ne d ie Str öm u ngss t r u k t u r e in . M an b ezeich ne a lle s in gu lä re n Punkt e und e rlä u ter e d eren B ed eut ung. h ) M a n begr ü nd e , waru m e in D eltaH iigel Hiegt.

A bI,. 4 .1.lOa Delt aflügel mit Wirbel Lösung: gegeben : Unist römung eines Deltaflügels ge s u ch t : a] St römungsst r uktur mit singulären P unkten, b) Begründung warum Delt uflügel fliegt. a) In Ab bildung -1.1. lOb ist die Strömungsstruktur um einen Delt aflügel da rgestellt. Xlan erkennt die zwei Foki F der P rimärwirbel. die der Halbsa tt el S' der Stalllinien und Ablöselinien a n den Vorderkanten des Delt aflügels sowie einen Sattelpunkt S im Strömungsfeld. Diu St römungsst r ukt ur im Bereich der Sekundärwirbol ist obenfalls skizziert. Es soll hier aber nicht niiher da ra uf eiugogangcn werden . h) Aufgrund der Wtr bclbtldung a uf der Übe-rfläche des Delt aflügels (siehe Abbil dung 4. 1.1Ob) ent st eht eine Verringerung des statischen Dr ucks und damit eine Sogwirkung wie beim klassis chen Uurc rschallftügel. Das Flugzeug fliegt.

242

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Abb. 4.1.10b Strukt ur um einen Delt aflügel

Aufgabe 4 .1.11

K raft fahr zcugluns trölllung

E in K raft fa hrzeug wird mit d er G eschw in d ig keit U= a ugest rö mt (si ehe A b b . 4. 1. 11a) . Man ze ich n e d ie Str uktur der K raft fahr eeugumerr ömun g im M itt elsch n itt u nd trage d ie s ingu läre n P u n kte in d ie S kizze e in. M it H ilfe d er G oldstei n-Regel überprü fe man die T op ologie d er Strömung. Lösung : gegeben: Kra ft fahrzcugums t römnng gesuc ht:

Strömungsstruktur, singulären P un kte

In Abbildung 4.1.l1b ist die Strömungsstruktur mit den singulären P unkten skizziert. An der Vorderfront des Fahrzeugs entsteht durch den Staupunkt ein Halbsat tel 5' . Am Heck des Kra ft fahrzeugs cutstehen durch den Xachlauf drei Halbsattel 5' (Ablöseluüen und Staupunkt). Der Xachluuf besteht im Xlittr-lschnitt aus zwei Xachlaufwirbelu d ie gegensinnig drehen . Dadurch bilden sich zwei Foki F . Durch die beiden Wir bel entsteht im Xachlauf noch ein freier Sta upunkt S (Sau clpu uk t) . Nach der Goldst ein-Regel gilt:

Dabei bedeut et K einen Knot enpunkt bzw . Fokus , K' einen Halbk not en bzw. Halbfok us. S einen Sattelpunkt und S' einen Halbsat tel. Setzt man die entsprechenden singulären

-".

~ O !?O

A bb. 4 .1.11a Angcströmtes Kraftfa hr zeug

4.1

AJlal~· ti~ch ('

243

\'orl)('f"('itull g

~

I

S'

(/, 0 S'

Abh. 4 .1. 11b Topologie der Kraft fahrzeugums t römung im Mit t elschni t t P unkte der Abbi ldung -l.Ll I b in die Goldste in-Regel ein erhält m au:

Da mit ist die Go ldste in-Regel erfüllt. Aufgabe 4 .1. 12

Drei dhnens ionale Ventrikelströmung

M a n s k izziere a u sg e h end vo n d er Ström u ngss tru ktu r im Längs schnitt dur ch d e n Ve ntrike l (A b b. 4 .1. 12a, links ) die d reidimens ionale Str öm u ngsstru ktur in den m ens chlichen H erzvent r ik el (A b b. 4 .1. 12a, rechts) .

Abh. 4 .1. 12a St römungsst rukt ur im Längsschnitt gegeb e n : Strömungsstruktur im Längsschn it t ges ucht:

Dreidimensionale St römungsst rukt ur

Lö sun g : Das hie r gezeigte St r ömungsbild im menschlichen Ventr ikel ist die Folge eines Einst römjets zu Beginn der Vent rikelfüllun g. Als Ausgleichs bewegung zwischen den aufeinander treffenden Geschwindigkeiten bildet sich hinter der Herzkla ppe ein so genannter Ringwirbel.

244

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Durch die seitliche Bora nd ung und die konische For m des Herzens vorstärkt sich die linke wtrbelscitc im weiteren Verla uf der Einströmung. Die rechte Seite wird an die äußere vontrikelwand ged rückt lind wa ndert an dieser entlang in Hiehtung Herzsp it ze. Der Hingwir bel kippt folglich a b.

Dad urch ent steht die in Abbildung 4.L12b dargestellte dreidimensionale Srrömuugsst ruktur , welche sieh aus der gezeigten St nunungsstruktur im Längsschnitt ableiten lässt .

Abb. 4 .1 .12b Dreidimensiona le St röm ungsst ru kt ur

245

4 .2 ()i sk ret is i" r llng

4. 2

Diskretisierung

4. 2.1

G ale rkin- M e thode

Aufgahc 4 .2.1

Ka n alströ m u ng

Für eine stat io n äre inkompressible K anal str öm u ng gilt die fol gendc Differcntial gl ei ch u ng

I

hl

- -'-I

2

d u = dy 2

x

h,l

Ahb. 4.2 .1 Flüssigkeit im St römun gskanal

P V

P = _ ~ . dp P

(1)

d.r

Es soll die N äher u ngelös u ng d er ge nan nten Differenti algleichung mit d er Galerk inMet hode numeris ch erm ittelt werden . Dazu s oll w ie folgt vo rgegangen we rd en :

a) Wie lautet die Differentia lg lei chung fiir d ie d imensionslosen Gröf~en u . v/ (p · h 2 ) und 11 = y/h ? Wie la u t e n die zugeh ör igen R a ndbcdiugungen?

u=

b) \ Velche t r igo n ometr isc hen Fu n ktio nen s in d a ls A nsatzfunktionen geeig net? c) Es soll gezeigt werden , dass g ilt:

J •

cos((l + 2 .i)·i ' 11) ,cos ((1 + 2 · j)· i ' 11) ·d,i) =

- I

{ = If"tir i = i

(2)

= Ofiir i ;;i j

d) Di e D ifferentia lglei chung s oll mit d em Ansatz

,

i1 ;:::;iJ. =

I: c; ,F;

(3)

i=O

ge löst werden . F , s ind d ie a usgewäh lten A nsatzfunkt ionen und stimmen den Koeffizie nten .

C";

d ie zu b e-

Lösu ng: a ) Xlit der folgen den Jtechnuug erh ält man die Differen t ia lgleichung mit den dimensionslosen Größen u un d y: 2

d 2 u p. 11 P -- . - "- = - 2

diP

h

v

==>

(4)

Die Randb edin gungen lauten :

11 = 1 :

ii(fj

= I) = 0

11 = - 1 :

fi (fj = - I) = O

(5)

b) Es müs sen Ansat zfnnkuoncn F , gowfihlt werden , die die Ha nd bod ingungon erfü llen . Die folgenden t rigonometrischen Funkt ionen lx-sitzen d iese Eigenschaft en . Sie lau ten:

F i = cos ( (1 + 2 . i) . ~ ' 11)

i = 0 , 1. 2, 3, . . .

(6)

246

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
c) Für die Rechnung werden d ie folgen de n Abkürzungen eingeführt. Sie lauten:

,

ilj = {I + 2 . I) . '2

,

':lj = (1+ 2 .j ) .'2

(7)

Für das Prod ukt cosfe, . y). cos(aj' y) gilt: cos(a i' y) . cos(aj . y) =

I

'2 . (cos([ai -

aj] ' y) + cos{[ai + iljJ · j)))

(8)

:\Iit der Integra t ion erh ält. man :

,

J ((1 + -, , J -, , J ~. -, cos

~ . Y) .cos ({l + 2 . j ) . ~ . y)

.dy

cos(ai . !J) . cos(aj . iJ ) .
=

= =

2 . i) .

(cus{[a; - 1Ij] . y)

+ cos ([a i +
~ . ( siU( [a i - aj] . y) + sill ([a; + ajJ . y)) +' 2


aj

ili + aj

_1

sin (aj - aj) cs i",n.c +_a,,·j") +- a,{a"i_ 11; aj + aj 1Ii - aj = (i - j ) . 11" , a , + ilj = (1 + i + j ) . 11"

(9)

=

( 10)

Bet ra cht et man nun die Ausd rücke a , - ilj und 11; + ilj so stellt man fest , dass sie für a lle Paarungen i,j Vielfache von 11" sind . Desha lb sind die Zähler in dem Ausdruck (9) Xull. Ist i f- j sin d die Xcnncr in dem Ausdruck (9) vou Xull verschieden. Da ra us folgt :

,

J cos((1 + 2 ' i)' ~ ' !7) . cos ({l + 2 . j) ' ~ ' !7). d!7 = 0

-,

,

für

i

f- j

Fü r den Fa ll i = j ist der rechte Summand des Ausdrucks (9) :'\\111 (Zähler = 0, Xenner 0). Der linke Summand besteht aus einem unbestimmten Ausd ruck 0/0. Wendet man die Regel von de I'Hospital an (Zä hler und Xenncr werden nach fli - a j differenziert) erhält ma n:

f-

Es gilt a lso:

,

J

-,

cos ( (1 + 2 . i) . ~ .

jJ) .cos ((1 + 2 . j ) . ~ . jJ) .d!7 =

1

für

i =j

402 ()iskretisi"rllng

247

d] Zur uäheruugswelscu Lösung der Different ialgleichung (4) wird mit den bereits aus gewählt en Funkt ionell F, der folgende Ansat z gemacht: fj

,

~ ii

=

L Ci . cus ( (1 + 2 . i) . ~ . Y)

Dur ch zweimaliges Differenzieren des Ansat zes na ch gen :

' c' - - -' c' 1-

:-I

.

i=O

~ df, -- - ~

d 2 il

(11] 2 o

,

:-l

~

i=O

,

(11)

i=O

y erhält

man die folgenden Ableitun-

0( 1 + 2 . i) · '::' 2 .sin ( (1 +2 0i) · '::'2 017) 2

0(I + 2 oif 0 ( :':2) . ros ( (I + 2· i) 0'::'2

oy)

(12)

Wi rd d 2ü/ d y2 in der Dlffcrontialgleichung (I) durch die X ähcrung d 2 ii / d y2 erset zt ist für einen festen Koeffizient ensatz Ci die rechte Seite der Different ialgleichung von Xull verschieden , d . h. es gilt : -

",

~ Ci' ( 1 + 2 · ., I) ' (') "2

,

. cos (( 1 +

. . _)

2 · 1) '"2 . Y + 1 -I- 0

;= 0

oder

,

,

- L Ci · ( 1 + 2 0 i )2 . ( ~ ) 0 ('os ((1 +2 'i ) , ~o Y) +I = H

(13)

i=O

n ist das R esiduum bzw. der Fehler, da s bzw. der du rch da s Einset zen des Xähcrung san sa rzcs in die Differentia lgleichung ent steht. Die Konst a nten Ci sollen nun so best immt werden , dass da s Residuum möglichst klein wird. Umso kleiner da s Residuum wird , umso gona ucr entspricht der X ähcrungsansat z der Lösung der Differe nt ialgleichung (4). Um dieses zu er reichen , wird das Residuum mit den Fun kt ionen Fj gewichtet und anschlieKcnd wird gefordert , dass das üb er den Definit ions bereich gomittelte gewichtete Residuum vorschwindet. Es ist also zu fordern:

+' I». -,

cos

((1 + 2 . j ) . ~ . Y).dy = 0

]'(- ~ ';

j = 0. 1, 2. 3.... N

(I + 2 i)' . G)' , o, ((1 + 2 i)~ jj) + I)

,C(Js ((1+ 2 · j) ·~ ·Y) · dY = 0

j =0.1 ,2 ,3 .. . . N

(14)

Die Gleichung ( 14) kann nun mit der na chfolgend en Rechnung vereinfacht werden . Dazu werden wir-der die bereits bekannten Abkürzungen ili = (1+ 2· i)·1[/ 2 und ilj == (1+ 2· /2

n«

248

4 :'\UTIwrisch o: l,ösllllgs 'n et ho
verwendet:

~

J(-L , ( J +' +1

'"

- I

Ii) ).d jj + Jcos(aj' y). dy +1

Ci'

a r · CUS{Ui ' y). cus(aj .

- I

I~O

= ?=

-

1= 0

,(

= ?=

Ci'

- I

- Ci '

~I

J+'

cos (a i . il) ' cos (aj' f}) .
ar·

,= 0

J ) + J+' -,

) + +'cos (aj ' y) . dy

ar · cos (ai ' y) . cos (aj . y) . dy

- I

cos (aj . f}) . elÜ = 0

j =0 , 1, 2. :L . . N Zur Lösung des linken Int egrals wird das Ergebnis des Aufga bent eils c) benutzt. Das rechte Integra l ist einfa ch zu ermitteln. Ma n erhält : '" - '

L

2 Ci · a i

'Oij +

i = ()

2 . (-I )j = 0 . a.

(15)

J

b"ij ist das Kron ecker-Symbol . (b"ij = 1 für i = j , b"ij = 0 für i f- j ). Alle Summanden unter dem Summenzeichen sind gleich Xull außer dem Summand mit dem Index "j". Also gilt:

- Cj · af +

2 · (-1 )'

j = 0. 1, 2.3 .. .. N

= 0

(16)

'j

wird in Gleichung (16) Cj

=

Uj

durch ( I + 2 · j ) ·tr/ 2 erset zt , erhält man:

16· (- 1)'

j =0 ,1 ,2 .a, . . . N

~(I~+""2c'.~j)';'"-.-'~'

(17)

so dass die X ähcruug slösung der Different ia lgleichung (4) wie folgt la utet :

ii::::::ü -=

L'

i -()

(

16. (-1 )' ( .)q q - cos ( 1

1 + 2 ' 1 " . 11""

rr )

+ 2·i) ·~ ·!7

2

SI römuugsmcchanik Soft ware zum Kapitel 'Galc rkln- Slct hodc' ist im Anhang 5.2 beschrieben .

Aufgabe 4 .2 .2

Potentialwirbel

Das A ll fa ugs- R a nd wert p rob lem zu r ß estimmung der U mfangsgeschwindigkei t v",(1',t) e ines e henen ze r flie ßenden Potentialw ir-hels la u t e t iu einem zy li nd r isc he n (1', y) - K o or d in a t e n sy s t ell1

UV'" -= u . ( {)2 v", + ~ . uv", _ V"' ) iN

Vr 2

r

VI'

1'2

(1)

4.2 ()isk reti s i" rllng

249

mit d e r kinema tis chen Viskos ität v , d e m H adius r- und der Ze it t sowie der A n fa ngsbedingung a v",(r. t = 0) = -

t= 0:

r

a >O

mit

und d e n b ei d e n Randhedingu nge n r = 0:

v",(r =

().t )

= 0

r

--->

00:

lim v",( r, t ) = 0

,-=

Mit Hilfe d es dimensionslosen Ä h n lic h ke itsparamete rs 8 sowie d es Ansa t zes = r/ .,jV'7t läs s t s ich d a s gegebene A nfangs- Randwertprob lem in ein Ran dwertp roble rn m it ei ner gewöh n lic hen Differentialg leichung in d e r Variab le n ,~ überfü hren .

8

f

"()+(.-, - -1) , f'() ....

2

s = O

.~

(2)

Die z ugehörigen Randbedingung en laut en: .~

=0 :

fe.. = 0) = 0

G eht man d a von a us , d as s f( lO) ;::;, b edingunge n : 8

=

ü

:

.... __ 00 :

lim f(... )= a "~=

(j

gilt e r g e ben sich d ie vere infachten Ran d-

. . = 10 :

f(., ~ O ) ~ O

f(....

= 10 ) = a

(3)

a) M it Hilfe d es Ansa t zes f(s ) = 11 (.. . ) + W(8) u n d d e r Fu nkt io n 11'(8) = (a/ I0 ) · ,.. ü b erführ e m an d as R andwe rtproblem (2) - (3) in e in homogenes R andwert proble m fiir die Fu n k tion 11(.. . ). Man ge b e die Di ffe r entialgl ei chun g zu r B estimm u ng vo n u(... ) und d ie b eiden R andbedingungen a n .

b] Man wende d ie Galerk in -Met hod e unt e r B enutzu ng e in er ein zige n A nsatzfu nkt ion g(,.,.) = "" '(10- . . ) z ur A p proximat ion von 1/ (,"' ) auf d ie unt e r a) gewon nene D ifferentialg leichu ng a n . Man gebe a ls Endergebnis d ie Näheruugslösu ng fü r f(s) d es R and we r t p roble m s ( 2) -(3) an . Lösung: a ] Der ABsatz für

f(.~ )

lautet: a f( s) = Il(s) + 1I'{s) = «(s } + 10 . .'I

(4)

Gleichung (2) enthält die erste Ableitung f' (....) sowie die zweite Ablei tung f" (8). Man erhält die beiden benöt igt en Ableitungen a us Gleich ung (4):

f' (s) = U' (8) + l~

(5)

=}

Set zt ma n Gleichung (5) in G loichuu g (2) ein , so erhält man:

" (.2, ,1) ( ,

11

(8)+

- --

a) = 0

. 11(8) + 10

(6)

250

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Die Re udbcdtngung en für die neue Fuukt ionuf s} folgen aus Gleichung (3) un d de m Ansatz = 11 (8) + w( s) :

f(.~ )

~

f(O) ~ ,,(0) + w(O) ~ 0 f(1O) = 1/(10) + 11'(10)

= 0:

,~ =

10 :

= =

a

11 (0) = 0

,

1/(10) + a = a

=*

'11 (10) = 0

(7)

=

(8) (9)

b) Die Ansatzfunk t ion lalltet g(s ) = s ' ( 10 - s) un d erfü llt die Randbedingungen für u( s ), denn es gilt: s = () :

und

g( O) = 0

.'; = 10 :

g ( IO) = O

(10)

Die ges uchte Funkt ion u{s) wird durch die Ansatzfunkt ion g(s) unter Verwendung einer unbekannten Kon st a nten Cl approximiort , so das s folgt :

1I (.~ ) = Cl 'g (s) = Cl ' 8' (10 - s ) = Cl , (10, ~ - s2)

(11)

In Gleichung (6) werden die erste und die zweite Ablei tu ng von 1I (s) benötigt . Xlan erhält aus dem Ansa t z für u(s ) in Gleichung (11): u' {s} = Cl' (10 - 2, 8)

,

11" (8) = - 2 , Cl

(12)

Aus G leichu ng (6) folgt som it : - 2- Cl + Cl '

(" 1) ( - -2 .~

( ,+ - 8

a) = R

, h- ( 1O - 2, s) ] + 10

10) + -- - - - = n

1) . _~ - -

s

11 ' S

11

20

1O " ~

(13)

Da der Ansa tz für 1/(8) aus Gleichung (11) die Differentia lgleichung (6) nich t exak t erfüllt , st eht auf der rechten Sotto der G leichung (13) nicht Xull , sondern ein VO ll Xull verschiedencs Resid uum R . Durc h d ie Ga lcr kln- Slorhodc wird das Residuu m R minimiert und so mit die Konstant e Cl bestim mt. Das Residuum wird mit der Ansa t zfunkt ion g (~ ) mu lt ipli ziert und da nach zwischen den Gr enzen des Dctinitionsber eich s int egriert. Anschließend wird gefor dert, dass das Integra l ver schwindet: io

! n - g(s ) , dS = O , n

( 14)

10) a'20-,' - 10-a]-' 8 + 8

,j

w [ Cl ' ( - s ' + 5, .~ --

W

+j n

("2'0" -

, s'( 1O - s), d,~ = O

10'" '" ,) · s· ( IU - s ) · ds = Ü .

(15)

25 1

4.2 ()isk reti s i" rllng

Ausmul tipl izier en

Gleichun g (15) und Bildung der Stammfunkt ionen fiihrt a uf:

VOll

c, .

[I -

[j

' 1'1

I'

u - _" · s- t+-" so

5

4

.,'

3

., '

~

3,,2

.,'

+ U ' I'I

- 100 ..' ],"

] ro

(16)

+a · [ - SO + fi + 20- s () = 0 er .

Xlit der Kon st anten

(

Cl

_ 40( 0 ) 3

+ a . 330 9

= ()

=}

(17)

8)

(18)

folgt für '11 (8): 11

1/ (1'1 ) = c\ . s · (10 - 1'1 ) = 400 . a · 8 ' (10 Als Endergebnis der X ähcruugslösung für f(s ) = u(s ) + w(s )

Aufgabe 4 .2 .3

11 ·a 400

c\ = -

=}

f( .~ )

f(8) =

erhält man: 11

a s ) + 10 ' .~

400 · a · 8 · (I0 -

(19)

Rossby - W elle n

~--t--_ Erde

v(.u)

G eschwindigkeitsstörungen einer vorh errs chen den Grundströmung U in d er höheren Erdatmosphäre können b edingt d urch d ie E r d rot a tion so gen an nte RossbyWellen anregen (s ie h e Abbildung 4.2 .3) . Di eser Vo rgang kann ve rein fac ht durch folgendes Randwertproblem b eschrieben werden: (1)

Abb. 4 . 2. 3 It ossby-Wcllcn .

mit rr

»(ü, t ) = - A · sm( A. B · t)

und

d A. t ) =

•

rr

+ A . Slll(:\ . B . t )

(2)

Dabei is t U = ko ns t. (z. B . W estwind) , v(x , t ) die G eschwindigkeitsstörung quer zur HauptströlllUngsrichtung U und n, ß, A, A und 13 s in d gegebene Ko n stanten. Das R andwertproblem s o ll, wa s die r - Richt u n g b etrifft , näherungsweise n a ch d er G a lerkin- M ethode g elöst we rden . Die Zeit w ir d in d er Ansatzfunktion g(x ,t ) a ls P arameter a u fge fass t , so d ass b ei d er Minimierung d es R esiduums

252

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
von G leichu ng (1) nur über x integr ier t werden muss, Die A p p r ox imat io n vo n t) soll mit d er einzige n A llsatzfu n kt ion

t{r,

g(.T, t) = siu( ~ . [x - B . t])

(3)

er folgen. Wie lautet d ie N äher u ngsl ösu ng vo n ( I )? Lösung : gegeben : obigen Gleichun g (1) für Jtossby-wcllcn gesuc ht : Xäherungslösung von (1) a) Znr Veroinfarhung werden die partiellen Ableitungen durch ;,)2ul ih·2 = ()t) = V;1:I und ()uIO.r = V::r abgokiirzt . Gle ichun g (1) lautet dann:

U::r; r,

iP v/ {ih·

(4)

U·l';r;r +t,·;rt +ß·t,·+ n= O .

Unter verwonduug der Ansatzfunktion (3) für die Geschwindigkeitsstörung er gibt sieh : .

n

u(x,t) = C·g(x, t) = C .sm( ;:. [x- 13 . l ])

(5)

Daraus folgt für die partiellen Abloitungrn:

v.., = C . ~ . cos( ~ . [x - TI . t]) V;rt = C · l!

::r::r

1T Z .,\2 •

,

(6)

13 . silJ( >: . [x - B . lJ) 1T

= - C · .::... . sin (:': . .,\2 ' . , \

(7)

Ix- TI · tl)

(8)

Set zt ma n die Ableitungen (7) uud (8) in die Differentialgleichung (4) ein und verwendet die Vorausset zun g, dass t a ls Pa rameter (z. B. t = tu) betrachtet werden soll er gib t sieh :

a - U · C · '::'" .,\2 . 'sill('::: .,\ .

a

[s- - B · t,n]) + C · '::'" .,\2 . ß· 'siu('::: . , \ . [:r ' - B · toD . n + ß · C . sm(

>: . {x -

2

C·

2

Jr Jr ( -u· V + V

mit dem Residu um H. Es muss

.ß

+ ß)

B . loD + (} =

n

n . Sill( >: . [x - B· toD + (l = TI

(9)

die Bedingung

UUII

,

J

TI ' g(x , fo) -dz = Ü

o

(10)

253

4 .2 ()isk re ti s i" r lln g

erfüllt sein. Man erhält :

j [Co (-U .~:

+ : : . l3 + #)

u

,

+0: .

.sin(~ . [J'- ß . I-o]) + o:]

J

sin( ~ . (J: - B . toD, d.r =

(11)

ü

" Die Integration von Gleichung (11) ergibt:

,\ + - . B + ß) . [I -. [x - B · ( ,',' ]' [z- [

C· - U ·-

C · ( - U . :: +

~:

_

]'

u

= ()

n

.

{3) . (~ .(), - n . tol + ~ . B . tu

~

. [Sin( 2·

4 · r,),

- (\" r,2

,

.ß +

II . tu])

cos( -' . .I

_,\ .

- 0: '

2-,

tol - . sin ( - . [x - B · 1-0]) 4 . 1T ),

2

), 2 ) . 2

1T •

[A _ B . I-n]) _ sin( _ 2 · 11' . TI . t o)] ) ),

( ~ . [cos( ~ . [), - n . to]) - cos(- ~ . n . tu)])

r,2

C· ( - U · -), 2 + -).2 · B + ß

)

+

4 · ), · (\' 11'

1I'. B. to · cos( ) = () .),

= ()

(12)

Aus Gleichung (12) folgt fiir C:

C ~

- cos ßX :t:-:tu~ ~- =-~'r,\~-=n'..:..':,,_::,-(~'::-=

} . (U - ß )- ß

(13)

Set zt man Gleichung (13) in Gleichun g (5) erhält man als N äherungslösung für die Geschwindigkeit sst örung: 4·), ·(t

v(x ,t ) =

11'

2

. .(r,. B.to)

. Cll; ; ) ,

~ .(U - ß) - ß ,\

r,

· sin( -· (x - U ·t])

>.

254

4 :'\UTIw r isc ho:

4 .2.2

Lösll llgs rn et ho
Finite- Ele m ent e-M e thode

A ufgabe 4 .2 .4

K anals t r ömung

In dieser Aufgabe soll die in d er Aufgabe 4.2 .1 gelöste Differential glei chung 11 2 11

_2 + 1 = 0

U=

(111

fj = 0 :

11 • -

"

-

ii =

ü(:ij = 0) = 0

y

y= h

, I".- ,,-

1:

p = _ ~ . df! p dx

(1) (2)

fi (:ij = I) = O

nochmals gelöst werden . Es soll wieder die Galerk in-l\leth o de a ngewen det werd en , diesmal jedoch mit d en e in fac hen linea ren A nsatz fu n ktto nen Nj (y) (s ie he A b b. 4.2 .4a). D as G eschwi ndigkei t sprofil u(y ) so ll mit d em fol genden A nsatz b erechnet we rden : fi

~ li =

L" NA iJ ) ' Uj

(3)

j = 1J

Uj ist die dimensionsl os e Geschw in d igke it an dem Knoten j , die fiir a lle Knoten mit d cr Galc r kin -Mcthod c zu b erechnen s in d . Di e äq u id ls t.anten Int ervalle zwisch en e in e m K n oten i und j + 1 werden a ls E le men te bezeich net.

Im E inzelnen soll wie folg t vorgegangen we r den: a) Der Ausdruck d 211/ d y2 soll in der zu lösenden Differ enti algl ei chung (1) durch d en Ausdruck d 2 il/dÜ2 ersetz t werden (n och ni cht die Su m me d er Ansa t zfunktionen e in set ze n ). Anschlie ßend soll die Gale r k in-Met h ode a ngewe n det werd en . A ls Oew tcht ungsfu n kr lonen s in d die Ansat zfunk tionen Nk zu verwenden. Es soll eine p a rtielle Int egr a tion ge mäß J {l · ß'·dy = {1 · ß - I ß ·(l'· d y durchge fiih r t werden. W as w ir d d adur ch zu nächst erre icht? b ) W eIches G le ichungssystem ergib t sich, wenn d er Lösungs a n sa tz (3 ) ei ngesetzt wird? c) Di e Lö sungen d er einzelnen Integrale sollen in Abhängigkeit d er E le men t lä nge A. (Länge d er Intervalle) a ngege ben werden. d ) W ie lautcn das G lei chungssy stem und seine Lösu ng unt er B criicksi chtigung d er R andbediugungcn? Die Lösung soll mit einem Com p uter erm ittelt we r den. Di e Lösu ng is t mi t d er a nalytischen Lö sung zu vergle ichen.

I

I

I

h y

, A bb. 4 .2 .4a Lineare Ansatzfunk tionon

}

,: tI y

255

4 .2 ()isk re ti s i" r lln g

Lösu ng: a ] '''in l dZu/ dyz in der Ditferentialgleichung ( 1) durch d Zit/ dii ersetzt lind wird ans chlieRem l die G ah ~r ki n· ~lethod e angewendet, erhiilt man:

J'[(d'" + ) ] , J'(d'".",) f d.iJz

1 . i'Jk

.

d!7 = 0

n

o

dyz

· d!7 +

k = 0, 1. 2. . . . ,11

Nk · d.ii = O

(4 )

o

~ Iit der partiellen Int egration eies linken Summanden der linken Seite de r Gleichung (4) ergibt sieh die folgende G leiehung:

,

· d f} +

f

(5)

Nk· df} = O o k = O.1 ,2 . . . . , n

Der Vorteil der In tegra t ion besteht darin , dass Gleichung (5) nur Ableitungen 1. Ord nung enthält . Wä ren Ableit ungen von höherer Ordnung als erst er Ord nung in Gleichung (5) ent ha lten, so wären din linearen Ansat zfunkt ionen Nj zur Lös ung de r Aufgabe unbrauchbar . b ) DIII"dl Differenzieren der Ans atzfunknon (3) nach

dü dü

~

t

j=O

fi erhält mau :

(dN; .,, ) dy J

(6)

d ii/dü gem iiß G leichung (6) in Gleirhnng (5) eingeset zt , ergibt :

,

· d11 +

f Nk .dY =O

(7)

,

k = O. 1,2... .• 11

Die G leichun g (7) wird wie folgt umgeformt :

(8)

k =O ,1 , 2. . . . . k Gleichungssystem (8 ) besteht aus

11

+ 1 Gleichungen für

die n

+ 1 Unbekannten

l/ j.

e) Bevor die einzelnen Jutegrale berechne t werden, ist noch folgende s festauhalten.

256

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
1. Der Definit ionsber eich [0, I] ist in

11

Elemente (Int ervalle) unt erteilt.

2. Es müssen an 11 + I Knoten die Ges chwindigkeit swerte lIj berechnet werden. Da jedem Knoten mit dem Index "[" eine Funkt ion N j zugeordnet ist , gibt es a uch n + 1 Fun kt ionell Nj (No,N, ... . , Nil) ' Zur Berech nung de r Int egrale wird die Grö ße ß eingeführ t. Sie st eht für die L inge eines Elements (bzw. Intervalls). Für ß gilt: ß = I / n.

Die Integrale der rechten Seite des Gleichun gssyste ms (8) können mit der Größe ß sofort ang egeben werden . Für sie gilt :

(9)

Zur Berechnung der Integrale un te r dem Summenzeichen der Gleichu ng (8) werden d ie drei Fälle (k = 0) , (k = j , k -I- 0, k -I- u) und (k = n) na chei na nde r bet rachtet . 1. Fall (k

~

0)'

' J

~

~

( d l'<_' dl'< { fiir j 0 d," . d/ ) · dij = - K fli r j = 1 o 1 J 0 für j > I

2. Fall (k

-I- O. k -I- 11 )

;

,

J( o

(10)

dN"_k . dN .) ~ · dy = dU dU

Fü r den Fall U < k - I ) lind 3. Fall (k = n) :

J,(

U>

dN_' d N_ ' j) dy

dy

o

k

+

·d.i} =

{ - -!- für j = k - 1 T für j ee k A -, - K für j= k + l

(11)

1) ist das bet rachtete Integral gleich Xull.

{ * , fH' j ~ U

(12)

- K für j= n- 1 0 fiir j
d) Setzt man d ie berechneten Integrale in das Gleichungssystem (8)

]

, I" I" , " 1y=' L,_" Uj ' J (~ ' ~ ) ' d<J ~ ( , u , ~,) + ! N" dy dy dy ,-=0 ' J-"

[

0

0

d<J'

k = O,I . 2, . . . . 1I

257

4.2 ()iskret isi" rung

ein, erh ält ma n:

1 II

d ~ I __ + I JY y_o "2

1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 2 - 1

.~

II

- 1 2 - 1 iJ,,_1

- 1 2 - I - 1 1

ii"

II dJY il ly = 1 + "21 . II

Berücksicht igt mau in dem Glclchungssysrem , dass 110 und 11" gemäß der Ra nd bcdlnguugcn gleich Xull sin d, so gilt : 1 - 1

o

- 1 2 - 1 - 1 2 - 1

d ii IY=O ' /.,J, " + 2I ' /.,J,,,:2 JY ll' (13)

- 1 2 - 1 - 1 2 - 1 - 1 1

ii ,,_ 1

o

ll' diTY ii Iy= 1 . ~ + "21 . ~ ,

In diesem Fall könne n die erst e und die letzte Zeile im Gleichungssystem (13) weggelasse n werden , da durch Uo = () und u ll = 0 die übri gen Gleich ungen des Gleichungssystems nicht verlindert werden (es wär e a nders, wenn gelt en würde; Uo -# 0 oder ii" -# 0), Das zu lösende Gleichungssystem lautet also:

2 -I - 1 2 - 1

(14) - 1 2 - 1 - I 2

Das Gleichungssystem kanu mit einfachen Computerprogrammen (z. B. mit dCIII ThonrasAlgori thmus) gelöst werden .

_I

YI 1.0

.....- anal ytisch

0' o numerisch

-=-- - -0.-----.-1 0.2 ii

0.0 ....

Abb. 4. 2 .4b Vergh-irh der numerisehen Lösung mit der anal yt ischen Lösung

In der Abbildung 4.2Ab ist die numerische Lösung für n = [j Elemente und die analytische Lösung dargestellt. Obwohl für die numerische Rechnung nu r fünf Elemen te verwendet wur den , ist die Überein st inunung der he ideJJ Lösung schon so genau , das s in der grap hischen Da rstellung kein L ntorschir-d zu er kennen ist. Die numerische Lös ung stimmt nnt .ii r lich umso besser mit der analytischen Lösung iibcrein, t1 IlJ SO mehr Elemente bei der numerischen Rechnu ng verwendet verwenden . St römu ngsmechanik Software zum Kapitel ' Ftntte-Elemen rc-Xlct bode' ist im Anh ang 5.2 beschriebe n.

238

4 .2.3

4 :'\ UTIwr isc ho: Lösllllgs rn et ho
Finite-Differenzen-Methode

Aufgabe 4 .2.5

K anals trömung

In Aufgabe 4.2 .1 wird di e Differcntialgl ei chung d er s t a tion ä rcn K analströmung U=

v

p = _ ~ . dfJ

u · p . h2

P dr

(1)

mit d en Handbedingungen fj = 0 :

11(fj = 0) = 0

fi = I :

ii(jj = I) = O

(2)

mit d er Galer kin -Met h o d e numerisch ge lös t. a ) W elches zu lösende G le ichu ngssyst e m er h ä lt m an, we n n m an die Differentialgl eiclnmg (1 ) mit d er Differenzen- M e thode numerisch lö st? Dazu is t d er Definitionsberei ch in n Int ervalle zu unt er t eilen. h ) Wie la u t et d as zu lösende G le ich u ngssys tem . we n n die Randbedingung fiir di e Stelle y = 1 wie folgt lautet: u(y = 1) = 1 (ober e K a n a lwa nd b ewegt s ich )? Lösung: a ) Zur Lös ung der Au fga be wird der Definit ionsbereich in n Intervalle der L inge t::..fi unterteilt. Abo ist t::..fj = I / n. F ür die St elle fjj (fij ist eine Int erva llgreuzn] wird in Glcir-hun g (1) der Differ eut.ialquutieu t {Pli /ar? durch den Differenzenq uot ient Uj+ l - 2· Uj

+ Üj_ 1

(l>y)' ersetz t (11j+ 1 = ü(yj+d , Uj = u(Yj ), folgende Gleichung:

ilj _ 1

= 11 (Yj _d).

~ Ia n

erhält also für d ie Stell e !}j d ie

(3) Werden für die restlichen Int ervallg renzen fil . . . fj" _ 1 die entsprechenden Gleichungen a nfgestell t un d wird dabei berückstcht lgt , d ass gcm äs der Randbcdtnguugen für 1/0 u nd ,i}" gilt: ,i}o = ,i}" = 0, so ergib t sich das nachfolgende Gleichungssystem .

2 - 1 1 . -_

(l>y)'

- 1 2 - 1

(4) - 1 2 - 1

- 1 2 Das Gleichungssystem (4) ist mit dem zn losenden Gleichungssystem der Aufgabe 4.2.2 ide nti sch! Die Lös ung ist in der Aufgabe 4.2.2 bereits diskutiert wor den. b) ~ I i t U" = 1 laute t die en t sprechende Differen zeng leichun g für die St elle 1/"- 1:

1 - 2 · iI,, _ 1 + Ü Il _ 2 (t::..fj)2 + 1= 0

(5)

250

4.2 ()isk ret isi" rllng

Berücksicht igt man sie in de m a ufzuste llen d en Glelchungssyst em , erhält mau:

2 -1

1

- 1 2 - 1

1

(6)

(.6.liF .

- 1 2 - 1

- 1 2

1 1 + (.6..11)2

Die Lösu ng d es Gleichungssystems ist für 11 = 3 in Abbildung ..J .2.5 zusa mmen mit der analyt ischen Lösu ng dargestellt. Obwohl der Defi nit ionsbereich nur d re i Inter va lle en thält , ist kein Unterschie d zwisehen der numerischen un d analyti schen Lösu ng er kennbar. 0.5

- analytisch

o num erisch

00


0.5

Abb . 4 .2,5 Vergleich der nu me rischen Lösung mit der a nalytischen Lösu ng

Anlaufvo r g ang d er K analströmung

A ufg abe 4. 2. 6

Die dimens ions lo se Different ia lgleichung

(1) mit _ v f = t ·-

ü

h'

=

/l '

P · 1I 2

1 dp dr

p = - _ .p

b e s chreibt mit den Anfangs- und R and b edingungen d e n instationären Anlaufvorgan g e iner K analstr- ömung (sie he Abb. 4 .2. 1) . In die ser Aufg a b e s o ll d er Vo r g ang numerisch mi t d er expliz iten DnFort Fran kcl-Met hode b ere chnet werden. A n schl ießend s o ll d a s Ergeb n is mit d er a nalytischen Lösung ve rglic hen we r den. Wird die DuFort- Fra nke l- M e thode z u r Lösu ng d e r D iffere nt ia lg leich u ng (1) angewendet , erhält m a n : _ ll+ t

uj

-

_ n_ t

lI j

2 . .6.[

(2)

260

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Der Index " 11" ste ht fii r di e Größen zu m Zeit p u n kt E,,, d er Index n e t d ie W ert e a n den entsprec h e nden Knoten der Stelle n Y j o

"J" kennzeich-

Im Einze lne n soll wie folgt vorgega n g e n w erden:

a) War u m is t die DuFo r t· Frallkel- M c thode ein ex p lizites Verfah ren? b ) W arullI s tehen in dem Djffere nzenquo t icnt .cn z u r Appr o ximat ion von [Pu / Ofi2 G rö ßen zum Ze itp u n kt l ,,+l u nd l ,,- I ? W as muss b ei d er Auswahl eines numerisch en Ver fahrens imme r b ea chte t werd e n ?

c) Es so ll e in R ech enprogramm zu r Lösung d er Di ffe rential gl eichung ( 1) mit d er Dufeort- Prankel- M etbode e rstellt wer d en . d ) E s s o llen drei B eispielr e chnung en m it d en folg enden Z eit- und R aums chr itt eu dur chgeführt w erd en:

1. 3.

_ 1 fi t = 50 _ 1 6. 1 = -

50

1

6. 1.} = -5

1 , 6..fj = ZO

2.

_

1

lit = 50

1 6..fj = 10

Di e Lös u ngen so lle n m it der analyt ische n Lö s u n g verglic hen we rden . man fes t ?

was s t ell t

Lösung : a) Gk-irhung (2) beinha ltet nur die eine Unbe kannte I1j'+ I. Sie kann nnmittolbar mit r-inor Umformung der Gleichung (2) ermitt elt werden . W ird die Lösung mit einem impliz iten Verfa hren berechnet , müssen mehr ere G r ößen flll+ l für verschieden e Knoten mit einem mehr oder welliger a ufwendigen Gleich ungssystem berech net worden . b) Würde der Differenzenquot ient zur App roxima t ion von ä2u /ä y2 z. B. nur Grölsen zum Zeitpunkt t n ent halten, so w~i r(' das Verfuhr en inst ab il und nicht a nwendbar. Der Bogriff "Sta bilit ät eines nunu-r ischen Verfahr ens" ist im Lehrbuch von H. (lertcl jT. d el. 2ü06 erklä rt. Dei der Auswahl oiues nnmerisrhun Verfahrens IllU SS da ra uf goa-htot werden, dass das Verfahren stabil ist. c) Das Rechenprogramm ist einfach zu er st ellen . Die Gle ichung (2) kann unmittelbar nach iij' +l a ufgelöst und ent sp rechend programmiert werden. d) Das Ergebnis der ersten Rechnung (6.f = 1/ 50. 6.1/ = 1/ 5) ist in der Ab bildung 4.2.6a , das der zweiten Rechnu ng (6.t = 1/ 50, 6. !] = 1/10) in der Abbildung 4.2.6b und das der dri tt en Rechnung (6.t = 1/ 50,6.!] = 1/ 20) in der Abbildung . 1.Z.6c da rgeste llt. Obwohl die ers te Ruehuung mit eintun großen Rau mschritt durchgeführ t ist , st immen di e bcrcrhncn-n \\ 'ert (' sehr genau mit der analytischen Lösung ilberein (die Kurvcnvcr liiufe sind wegen der wenigen Aufpunk t e eckig}. Die zweite Rechnung unterscheidet sich eb enfalls nicht sieht bar VOll der analyt ischen Lösung.

261

4 .2 ()iskretisi"rllng

-I=t· -"

y lh 1.0

ylh 1.0

h'

_

U=U ' -

v

-

P' h 1

t=O.2

00

0.0

-1.0 ~~ \ t_

oo

-1.0 ~~~

[analytisch}

0.0

0.3

0.5

0.0

U

Abb. 4 .2.6a Xumerischc Lösung für 6. [ = 1/50 , 6.Ü = 1/5

y lh 1.0

0.0

I I

t=o.

0.3

0.5

ii

•

Ahh. 4 .2 .6 c Xumertsche Lösung für 6. [ = 1/ 50, 6.,ij = 1/ 20

Aufgabe 4.2 . 7

0.3

Abb . 4 .2. 6 b

Numerische

0.5

U

Lösung

für

6.[ = I / 50, ti f) = 1/10

Die dritte Lösu ng, die mit. einem vergluichsweise kleinen Ra umschr it t erstellt ist , weicht erheblich von der analytischen Lösung a b. Es stellt sieh also die Frage: \\'il rllln wird die Lösung falsch , obwohl die numerischen Fehler infolge der Ver kleinerung des Ha uruschr itt es abnehmen'! Das Verfa hren wird ab einer bestimmten Grenze instabil, wenn der Raums chr it t ohne gleichzeitige Verr inger ung des Zeits chrittes verkleinert wird . Bei expliziten Verfa hren da rf der Zeitschritt nicht unabhängig vom Ra umschritt gewählt werden . St römungsmechanik Software zum Ka pit el ' FiniteDifferenzen- Met hod e' ist im Anha ng 5.2 heseh rloben .

Pot entialw irbel

Die Differ entialgleidmng für einen ebenen ze r fließen den Potent ia lwi r h el lalltet :

O< x <1

( 1)

1 >0

(2)

Die R andb edingung en si n d mit

<1> (1, t) = 0

, fü r

262

4 :'\UTIwrisch o: l,ösllllgs rn et ho
ge ge ben . Als Anfangsbe di ngung is t

4> (x ,O) = 0

und

. für

(3)

1' (J' = ~ ' O) =c

(4)

vorge s chrieben. Zu r nume r ischen Lösu ng d e s a ngege benen AnfangsRan dwert prob le ms m it d e r Fi n iten- D iffere nzen- Met h ode is t die sk izz ie r t e äquidistante Gitteriiberdeckung mit d en Gitterpunkten {i, m] v o rgese hen (s ieh e Abbildung 4 .2. 7a) : a) Man ühcrfiihre d a s Allfangs- Randwert p r ohlem na ch d em exp lizite n Verfahr-en in eine gee ignete Differe nz enform . D abei sin d als Sc h r ittweiten d ie en tsp rech e n den G it terwc itcn zu wählen . F ü r die r äumlichen 1. und 2. A blei tungen in d e r Diffe r e n t ialgl ei chung s in d sym m e t r isc he (zentrale)

, k

I 0,2 '0

D'iffc r onzenquot.ienten zu ve rwe nd e n.

--'"- i,m 1,2

2.2

3,2

4,2

0,1

1, 1

2,1

3,1

4,1

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

x=-!

b ) M it die s e n Dt tferen zenbes lehungen b e s timme m an ( in A b h ä ng ig ke it vo n Anfangs - uncl R andwe r t en ) in d en G itterpuu k ten d er 1. Ze itzeile «(i, I) , s ie he A b h. 4. 2. 7a) d ie W e rte , d ie tP d ort a n n im m t .

c ) W el che W e r t e erge b en s ich CHr q. in d er 2. Zeit ze ile (L 2), we n n m an c = A b b . 4 .2 .7 a Äquidist a ntcs Rec hcngit t.cr 1 lind 4· k = h 2 h zw. k = h 2 s e t z t? W e lche S tab ilität sauss agen kann m an für d ie z we i Fälle m a che n ? A n han d d e r gewon n e n E r kenntnis se e r lä u t e re m an d ie CF L- ß e d ingu ng. x =Q

xe l

Lösung : gegeben : obige Different ialg leichung mit Anfa ngs- und Randbodlngung on, k, 11 , E gesucht:

a) Differ enzenform . b)
a) Die Anwendung des expliziten Euler-Verfa hrens auf die Zeita bleit ung lind zentraler Differenzen auf die rtiumlk-hen Ableitungen führ t zu folgender Gleichung:

1 -1I 2 ' (tPi+! -

2· 'l'i.Hl + tPi_ I.111 ) -

2 -,r .-II

1

' -2 , 1t

2 ,(<1';+1.'" - tPi_ l.lll ) + :Z-I' I . I =

1

k . (tP i.Ill +1 -

tPi.",)

(5)

Xach dem unbeka nnte n Kno te nwert
~ - (I -

-r) + ( -7+ + ~ + I) .1>;" " +-b- (1+ -r).1>;- 1.'" mit i = 1. 2, 3 ·1);+1 ,,,,

(6)

263

4 .2 ()i sk ret is i" r llng

Aus den Ra ndbedingung en be i x = 0 lind x = 1 ergeb en sich: (7)

lind ~ 4 . 11l

(8)

= (J

:\lit der Anfan gsbedin gung bei t = 0 wird ~o .o

= ~ 1. 0 =

<1>3.0= <1'4.0= ()

(9)

lind

h) Die Wer te von 1> in der 1. Zeitzeile berechnen sich mit der in a) her geleiteten Dilferen zenformet (G) und Einset zen der gegebenen Anfa ngs- und Ra ndbedingungen (7) - (9) zu:

<1>4.1= 0 aus der Randbedi ngung (8) 'l'a.r = .!:-. . k + 2 ·k + 1) . '1'" " 11 2 (I- !) 3 .tj" ,,+ ( _ 2112 ~.

~. U

9 . ~

+.!:h 2 . (I+!3 ) .

4>." . . = .!:112

==}

~ ."

"

(10)

U

. (I+!3 ) .,

(11)

'~2 . (1- ~) . 10 ' ~

'1'2.I = (_ 211·2k + _2.11k_2 + 1) .E

==}

(12)

+1) . <~ ' " . s. ,,2.(1_!1 ) .<1>,., ,, + (_211· k + ~ 1.h

<1> , , =

2

~."

+ '~2

'1'0.1= <1>1.1

.(1 + T) .'l'o.o

==}

2

."

<1>1.1 = 0

aus der Randbedingung (7)

(13)

<1>0.1=

==}

0

.

(14)

c) La ut Aufgabenstellung ist E = 1 zu setzen. Wird für die Zeits chrittweile 4 · k = 11 2 gewählt , ergeben sieh in der 1. Zeitzeile mit den Gleichungen (10) - (14):

=
,

1

<1>", , -- -3

(15)

In der 2. Zeitzeile erhält man mit der Differenzenformel (6), der Gleichung (15) lind den

264

4 :'\UTIwrisch o: l,ösllllgs rn et ho
gegebenen Randbedingungen (7) und (8): '1'4,2 = 0

aus der Handbedingung (8)

(1_!) + ( __ + _Z_'_'_~ + 1 ).2.1 ( _ ! + 2.. + 1) .! +! . ~ . ~

1>"" = _ k_ , ....~ 4· k

Z_' _k

, <1> "

=

3

4·k

2

85 <1> ', ., -- -216

.s: '(1 - -ZI) ,<1>""

<1>0~. 2 ~ 4· k

+_'_ ' 4 ·k

'(1 + ! ) . 2

:JG· k

"

18

3

2·

+ ( _4 ·kk + ~ 16 ·k +
.

I

1)

4.

3 8

, <1>0~ . '

!.:I . !2 . !3 + (_!2 +!8 + 1)

=

5

8

83

'1'2.2 =

192

1>1,2 =

4 \~ .

(1 - f) .


~ : ~ + ~ : : + I)

(-

+4~· k · (I + f) ·
.1>1.1

1>1.2 = 0

=}

Randbedingung (7)

(1)0.2 = 0

=}

Die Anfangsstöru ng \"011 e = 1 klin gt a b. Das be handel te Ver fah ren ist für 4. • k - 11. 2 st.a biL Wird nun eine gr ößere Zei tschritt weite von k: = 11 2 gewählt, ergehen sich mit den G lr-ichungcn (10) - ( 14) in der 1. Zcitzeilc:

0.1 = () .

4

( 16)

. , ~ -

....

3

In der 2. Zeit zeile folgt. mit der Differenzenformel (6) , der Gleichung (16) und den gegchonen Rand bedingungen (7) und (8):

4'4.2 = 0 au s der Randbedingung (8)
<1> " ..

~

1>2.2 =

~. (1- ~) .
( - 2/

( -2 + ~

~3 .!2

9

+ 1) . ~3

_

~ : ~ + 1).
=}


~ . ( 1 - ~) . 1>:1.1 + (_2 ~k + ~ : ~ + 1).
<1>0~ . ' = !2 . ~ 3 - ( -2 + !2 + I) , !2 4> 1,2 =

+

~ . (1- i) ·'1 '2.\ +

(-

=}

'f' a.a .~

= .!..! 12

2 ~k + ~ : ~ + 1) . <1>1,1 + ~ . (1+ i) · <1)0.1

<1>1,2 = 0 , <1>0.2 = <1>1.2 au s der Randbedingung (7)

=}

<1>0.2 = 0 .

4.2 ()iskretisi"rllng

265

Für k = h 2 oszillie r t der Anfangswer t und nim mt. zu . Da mit ist das \ "erfa hren für k - 11 2 instabil. Die CF L~ ß edi ngllng für explizite Verfahren angewendet au f \Yd len· oder Konvek t iousglolchungon ist in Abbildung 4.2.7h dar gestel lt. Anschaulich bed eut et die C FL-Bedingllug eine Rest r ikt ion für den numer isch möglichen Zeitschritt k = 6..t. Die Charakteristiken sind durch die vorgegebene Differentialgleichung festgelegt I,m un d stellen die Ausbreitung von Informa t ionen im physikalischen und numerischen Ra um dar. \Yircl nun die r äumliche Diskrotisiorung z.B. durch eine Iiquid istnnte Zorh-gung mit der / d x!d r = ~ a dx /dt = a Schrit twein. h = 6.. x wie in Abbildun g 4.2.7a festgelegt , ergibt sieh mit der CF L-ßeding uug eiCharakteristiken den Zeitsc hritt 6..1. Wird , wie Ahb. 4.2 .7b Geometrische Verau- ne Obergrenze für 2 <=} 6.. t = (6...r:)2, der Zeitschritt k = h oben mit schaulichung der CFL-ß edingung zu groll. gewählt , ist in den Dtffercnzcnfc rmcln , mit denen der Wert
,

4 .2 .4

F in ite- Volumen-M e thode

Aufgabe 4.2 .8

Grenzs chlchtströmung

In einem Windkanal wird Lnft mit d er konstanten Dichte p und d er kinematis chen Viskosität v mit d e r G es chwindigk eit U (x , I) in B eweg u ng gesetzt . An ein er in d em Lufts t r om b efindlichen e b e n e n W and bildet s ic h d ab ei e ine R eibungsgren zsch ich t a us (s ie h e Abb. 4 .2. 8a ) . D er ins tation äre B ewegungs vo rgang A b b . 4 .2 .8 a G renzschicht st römung ka nn in unmittelbarer \Vandnähe durch die Prandtlschen Grenzschichtglei chnngen b eschrieben werden. Dies e lauten : U (x,t)

~

(1) (2)

266

4 :'\UTIwrisch o: l,ösllllgs rn et ho
/

mit d en R endbedlngungen

/

•

I"

~

/

.

i -I,j

~

/

•

/

a n d e r W and und

.

~

/

U(J.', t )

a m Gre n zsch ichtran d. F (x , t) is t b e kannt u nd von d er Außcns t r ölIluug gegeben . Man verwend e zweck mäßigerweis e diese A bkU r zung im fo lgen den num eris chen Verfahren.

I,; i,j - l

11 =

y = 0:

i +i , j

'.)

•

,

u=v =o

:1/ = 0 :

i, j + 1

~

a) Di e p artielle D ifferent ialgl eichun g fiir die Grenz schicht g leichung in x Abb. 4 .2 .8b Schematische Volumenzelle Richtung s o ll mit Hilfe e ines ze llz e n trie r t en Finite- Volumen- Verfahrens in e in e gewöhnliche Diffe rent.ialgl ei chung in d er Zei t z ur B e s timmung d er G e schwind ig keit Jli~j überführt werd e n . And e n ; a ls in d er Pra xis iiblich ve r we n de rn un d e r E infach h eit h albe r äq u id ist.a nt.o Volumenzellen d es n ormie r t en Vo lumen s Vi.j = ~ x · ~ y ·~ z (s ie h e Abb. 4 .2 .8 b) . ~ z is t hi e rb ei a u f 1 normie r t (~ z = 1) u nd ~ ..t"l- ~ y . u:~j ist die n- K om p on e nt e d e r G eschwin d ig ke it in d e r Volumenzelle Vl,j zu m Zeitp u n kt I = 11 . ~ I = IU • I- --~ ~,

b ) W a rum verwe n det m an in d e r P rax is ke ine äq ui distant e n Abstä nde d e r Volumenmit t elpunkt e iu y- R icht u n g? Lösung : gege ben: Grenzsch k-htgk-iehun g in z'-Richtung, Ra ndbedinguugen, F (T.t )

~ J:

"I-

~ !J , ~ z

= 1,

ges u cht:

a) gewöhnliche Differenz ialgleichung für lli~j ' b) warum ist in de r P rax is~ !J "I­ kons t. a) Zuerst wird dip part ielle Ditforen tialgleichuug (2) über das Gesamr volumen V eies betracht et CIl Iuregr ations gebiot es int ugrior t:

J(-+-+ Du

V

iJt

iJu2 D.r

J

iJ(u · V) ) . (I l.' = D!J

JDu + J

V

V

V

( !!.-(" ' ) +

dV

V

iPU )

( iJU [JU2 v , - . (I l.' = 0 - +-1 ,--+ 2

Dt

Dy2

n.r

Ü I0.1'2+ Ü(lIOy' V) - F' (x , t ) - v· -
V

01

J

fu

{) (" ." -

~

0

v._0, ) + !!.-(O)) . dV fu ~

-!

F(x ,/)· dV = O

V

J

-D" · dV +

v

01

J

'9 .

\-'

. dV - ! F(x ,t ) ·dV ==O v

(3)

267

4 .2 ()iskretisi"rllng

:\[it dem Integralsa t z von Gauß:

J

\7.j.dV =

v

J

f·n .dA

A

folgt aus G leidlllllll; (3) :

J

alt

8/ . dV

+

v

J

(

A

iJn 8/ · d V +

v

J

11

a D )

11' V -

-dti .

V •

0

J(

+

II 2 ' Il x

x

J

· dA -

F (x ,t ) ·dV = O

v

Tl z

!J")) .Jly · d A - JF(x ,I ) · d V =O .

u, v -v'

(

(n,) n

8y

A

(4)

v

Hisher wurde die Grenzschicht gleichung (4) für das Gesa mt volumen V formuliert. J etzt wird sie für jede einzelne Voluillenzelle V;~j a n der St elle i,j zu einem beliebigen Zeit punkt t = fU hot rarhr et.

Der linke Zellrand in i-Richtung wird dur ch die Seitenflächenvariable I = I lind der recht e Zellra nd durch I = 2 gekennzeichnet . Entsprechen d gelt en für den unteren Zellrand in j-Rirhtung I = 3 und den oberen Zellra nd I = 4. Die zugehörigen Fliichcn werden mit A\ , A 2 , A:1 un d A ll die zugehörigen Komponent en der Xormalenvckt oren mtt n j , na , 113 und 114 bnzeirhnet . xlan erhält:

J_ ,_.J . J + ( J au!' · d V _

V;' j

+

pu. d V

DI

'

1l21"

]:\

. Jl' . d A +

A,

V

11 '1' -1)'~ 'J )

A3

J

dy

I"

1", :1

· 1I3 · d A+

'

J

1/ 2

11",2 " . 11, · dA

A~

J(

u'V -V.~1I ? ) ()y

A,

I"

·Tl4 ·dA =O.

(5)

[",4

Weiterhin wird angenommen , dass die Wert e \"011 1/ , VI/l Ot und F zum festen Zeit punkt in der Volumenzelle i. j kons tant bleiben und damit nur Funkt ionen der Zeit sind:

71

Oll'"

....,..!::! = koust . und

ui' = konst .

F;" =

VI

konst .

Zusätzlich sind die Flüsse auf den Seitenfl ächen der Volume nzelle konstant. Da mit erhält man aus Gleichung (5): du!'· '_,J . V; . _ F,". V; . df l.J , '.J

_

+ (u.v -

V·

+

[: \ . /I'" . A, + u21 1:" 2 . 71,

u21"

Du )l" Du

[",3

' 113 . .1'1 3 + (U 'I!

-

I) '

·

,I,

_D"_ ) I" dy

1", 4

'114 ' .1'1 4 = 0

(6)

Ankerdem gilt für die Komp onent en der Flächen normalenvektoren Jl l = 1t3 = - 1 un d = 114 = 1, für die Flachen A \ = .1'1 2 = t::.. y ' 1 und .1'1 :1 = A 4 = t::...1" ' 1 und für da s

712

268

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Volumen

~~ .j

= ~ r . !:!. y . 1 Eingeset zt in Gleichung (6) ergibt sich:

dUi~j

-

• f}" T • .ö.y

dl

-

( 1/ '

- f.," . 6.:c . .ö. y 1

D y

11 -/1 ' DU

I1; \ .f>y + "2"I1: 2 .f>y'

2"

11

)1" ·ll.r + (

Jt ' 1J - V '

1: 3

U

Ü D

Y

)1"

· 6.J: =O

1= 4

Die Flüsse an einem Seitonrand werden als ur ithmutisehes :'. Iittel ans den :\achha rzelhm Iwredlllet hzw. der Oradiont ;) Il / Dy als «ymmert riseher Differ enzenquotient. ),Ian er hält:

Xach der Zeita bleit ung aufgelöst folgt dar a us die gewöhnliche Ditlcrcnt lalg loichung in der Zeit : d u".

'., Jl

= P" i

1 -

~ .

((11' )"i+l,j

-

(U ') i"-

Lj

]

1 -

~ .

[(11' V )"i.j+l

-

( U· V )"i.j - l ]

(f>y)'

b) Um die großen Gradienten in y-TI ichtuug in der Grenzschicht in Wandu ähc richtig ZII berechnen wird 6. y zur Wa nd hin verkleinert. Für eine gute Auflösung der Grenzschicht sollten mindestens 20 Git te rzellen in die lam ina re Grenzschicht fallen. Ist die G renzschicht turbulent sollt en ra. 10 P unkt e in die viskose Unterschicht fallen 11111 sie r ichtig aufzulösen. Dabei sollte l:::.y so gewä hlt werden , dass die Schichtdic ke unmittelbar an der Wan d ein en Wert für y+ VOll I hat.

Aufgabe 4.2 .9

R eibungsfr eie Außenströrnung

E ine e b en e kompressible St röm u ng in d er (x , y)· E b e ne kann a u ße r halh d es Bereic hs der Gre nzsch ichtström u ng durch di e r eibungsfr ei en E u ler-G leic hu nge n b eschri eben wer d e n . Di ese laut en zusammen mit der Kont in u itätsgleic hu ug fiir den vorliegen den Fall in Erhaltu ngs form . DU

~

or.;

-+ L-- ~ O

Dt

1II= 1

OXm

(1)

Da rin b ezei chne t U d en Lösungs vekt or u nd F m d en Vektor d er konvektiven Fliisse .

260

4 .2 ()isk re ti s i" r lln g

Zu r Lös u ng d er E u ler- Gle lch u n ge n soll e ine zellz e nt r ie r t e Pi ni t e-Vo lumen -M et .hod e mit äqu idista nt en Vol u m enzellen d es n ormierten Volumens Vi.j .k = 6..1' . 6..11 . I mit äquid is t ant en K antenlängen 6..r = 6..11 e ingesetzt werden . De r W er t e iner j ed en St rön l1lngsgröge a us U is t innerhalb j eder einze lne n Volumenzelle zu j edem Zei tpunkt konstant. Ihr W ert wird zu j ed em Zeitp u n k t jeweils im Zell m itt elp u n kt b es t immt . F flr d ie fol genden Te ilan fga ben wird a ussch ließlich d ie E u le r- G le ichu ng in y R ich t u n g b etra ch t e t : ciJ"(p",,,',,')

-

[)t

+

()(p ' 11 ' v) iJI

+ [)(p.ay1-,2)

iJp

ay

+ ~= O

(2)

a) Vo r B egt un e iner Diskre tisi erung in Fi ni t e Volum en is t die D iffere nt ia lgle ich u ng (2 ) zu nächst a ls int egrale E r h a lt u ngsgle ich u ng zu formulie ren. Int egrier en S ie d ie E u ler- G le ichu n g ( 2) übe r das Gesa mtvo lu men V m it d er G esamtober Häche A und wenden Sie den G außschen Int egra lsa t z a n . D er ä u ß ere O b er8ächelluonllalen- Ei nhei t s vek t or a uf d er G esamtober fläche A sein Tl

=

( Tl..,. Tl y , Tl z ) .

b) M it H il fe e in er ze llze ntr-ierte n Fi n ite-Vo lumen -M et hode d is kretisiere man d ie in t egr al e E r halt u ngsgle ich u ng a us A ufga ben t e il a ) und iib erfiihre s ie in e ine gewö h n lic he Di ffer en ti algle ichung in d er Ze it zur B esti m m u ng d er Ko mp o n ent e (p ' v) i~j d es Lösungsvek tors U a ls Funkt io n d e r Ter m e d e r konvek t ive n F lüsse e in sc h lie ß lic h des Dru ckes. E s ge lten d ie folge nden B ez e ichnu n gen , d ie s ich a us d er Sk izze in Abbildun g 4 .2 .9 e n t neh m en lass en :

(p . v) r~j ist die Lösu ngsgröße innerh a lb der Vol u m e n zelle Vi,j .k zu m Zeitpu nkt l = n ' 6. l = t'',

(p '

JJ ' v) : ~j

ist d er konvekt ive F luss in .r- R ich t u n g in n erhalb d er Volumenzelle

Vi,j ,k ZUlU Ze itpu n kt r'', ( p' 1' 2) :~j ist d er kon vektive F luss in y- R icht u n g innerhalb d er Volu m e nz el le Vi,j ,k zu m Zei tpu n kt t n ,

i,j+l

•

. --'n,

i-I ,j "

I"· ", • f-O'

•

i + l ,j

" j

t

11)

• i. j .1 A bb. 4. 2. 9 Finite-Volumen-Zelle

2iO pi~j

4 :'\ UTIwrisch o: l,ösllllgs rn e! ho
ist d er D ruck inne rhalb d e r Volumenzelle Vi,j _k zu m Ze it p u n kt t",

Index 1 = 1 ist d er Index der Seitenfläch e zwischen d en Volumen Vi- I J.k und Vi.j. k.

Index I = 2 is t d er I n d ex d e r Sei t enfl äche zw isc hen den Volumen Vi,j ,k und Vi+ 1.j ,k.

Index 1 =3 is t d er Inde x d er Seitenfläc he zwischen d en Volumen Vi,j - 1.k und Vi.j ,k.

Inde x I = 4 is t d er Index d e r Se iten fläc he zw isc hen d en Volumen Vi,j .k und Vi.j +1.k. 111 mit I E [1, 2, 3, 4} ist d er äußere Oberfläch ennorlna len-Einheitsvektor auf d er Seiten fläc he l ,

Aufg rund d er äq u id is tanten Di skretisi erung in Finit e- Volumen- Zellen können die b enö tig t en W erte d er F lüsse a u f den Seit en fläc hen d er Vo lu m e nz e lle n als a r it h metisches M ittel d er b et r effenden W e rte in d en Zellmittelpunkten swcicr b ena chba r t er Zellen a ngegeben werden. Beispie lsweise g ilt an d er Se iten fläc he 1=1 : (p . u . v) I,"-

, = !2 . ({ p . u ' V f'-, ,J. + (p , 11 ' V)~I.) I

I. J

Da s E ndergeb n is is t in folgender For m a nzugehen:

f«p · t/ · v )"i - 1.j ' (P' ll ' v')"i+l,j' (p' v')"i,j -I' (p · t ")"i_j +I, Pi,jn _I, Pi.j +l . '-"X · ~ Y 11

A

A

)

Lösu ng: a) Die Integra t ion der Differ eut ialgleiclmng (2 ) über das (I rs a mt volumcn V ergibt: (J (p , v) ' 11 ' v) (J(p ' t,2) ()p) IV 0,-"'" + (J(p ilr + ay + -oy ., = 0 jv ("""' 01 j ü(pDI. v) . d V + j ( Ü(p D. " . v) + D(p'8 y,,') + !!...0 a (O)) . dV + j

v

,I:

v

v

. v ' ) · dV + J\7. j iJ(piJt. V) · <1V + vJ'V .(1"p "'' () v 2

v

Xlit der Verwendung des Gau ßsc:hell Integrnlsa t zcs:

J'V ·f·,lV = ! f . fi ,dA v

.,

Öl' . d V

Üy

~0

(3)

2i1

4 .2 ()isk re ti s i" r lln g

erhält man aus Gleichung (3):

./

(~); 'J( t) ) . d V" +

v

», 1(P'''''' ) (",) P ' 1,2

1

0

A

1

0 (p , ,,) Ot

. d V"

+

v

(p.

11 •

lI z

v) . Tl.r • d A

A

+

/(0) ("')

. dA + .

J!

A

0

1

'

lI y

· dA = 0

,

Tlz

(p. v a ) . 7/ 11 • dA

A

+

f

p'

1I.1I'

dA =

(J

(4)

"

b) Der Übergang \ '0 11 Gleichung (4) zu einer beliebigen ZeHe i.j zum Zeitpun kt t = t n führt mit der Bedingung, das s die \\'erl e in der Volumenzelle un d a uf den jeweiligen Zollrändern konstant sind zu:

f +f +

(p . v2 )11: 3 . 1l;j

. d A3

A~

,1"

1'1 1=3 '

113 .

d...t a +

+

J

J

(p · v2 )11=4 . 114 . dA 4

A4

pIJ=4 . "4 . dA.t = ()

A. ,

d (p· v)i~j . 17; .j.k + (p' 11 ' j))Il~, . H, . A , + (p' 11' j) )Il~2' 112' Al dt + (p' ( 2 )11'::3 ' H3' .11 3 + (p' v 2 )11'::4 ' 114' .11 4 + P Il~ 3 . 113 . A 3 + p ll~4 . 114 . A 4 = 0 .

(5)

Die Flächen A " A 1 , Al und A t berechnen sich a us A , = .6.y · l , A 2 = .6.y · 1, Al = .6.x · 1 lind A 4 = LH ·1 . Das Volumen ist mit Vi.j.k = .6.:r ·.6.y ·1 gegeben . Die Werte der Komponenten der Oberfliiehenllorn mleu-Einheitsw ktorelL haben die werte Tl, = - 1, Tl2 = + 1, 11.3 = - 1 und 11.4 = + 1. Set zt man diese Wef te in die Gleichun g (5) ein ergib t sieh: d(p' v) ,,' !'.

1ft

d (p · l')!"

""'-7,-",,,. )= dt

-

1

6, x

I

. [(P ' Il ' v )ll~ 1 - (p' 11' v) II'::21

+ .6.y . [(p . 1,2) 1'1_'-..\ _ (p ' 1,2)11_4 ''- + pl'1_3 '-· - ,'I'e 1_ 4 ]

(6)

Die Wert e der Flüsse IIlId der Drücke auf den Seitenw änden der Volumen zelle ergehen sich

272

4 :'\UTIwrisch o: l,ösllllgs rn et ho
aus den arithmetischen Mittelwerten der werte in den Zellmit telp unkt en.

(p . 11 • v)ll~ I = (I"

1t .

~ . ({p . u . V ):~ I.j + (p . 11 • t' H~j)

V)ll~2 = ~ . (I"

u · l1)i

J + (1"/1 ' v):~l,j)

1 (I" 1'2)11", " 3, = _2 . ( I" v 2 ) "1.)_-1 + (I" V 2)"'-J.) 1 (I" v2 )1"1= 4 = _2 . ({p . 1'2)" _ + (I" v 2 ) " . ) ' I,) 1.) +1

I"

P I::!


-,,~-,-,,-", ~

1 [I

_. _ . (I" Ax 2

(8) (9) (10)

+ Pi".j )

(11)

'2 ' (" Pi .j +" J\,H] )

(12)

= '1 2 ' (" Pi .j -I

1J I1"= 4 = 1

werden die Mittelwerte (7) -

(7)

(12) in die Gleichung (6) eingeset zt erhält ma n: u . Vr '- l . l.J

+ (p . 11 ' tiP'·) 1..1

- ~ · ( P · Il ' V):~j + (P · lI ' V)i+l.j)] + ~y ' [~ · (P·J/HJ_l +(p ·t'2)i~j) - '21 ' (( p-l)-')"i .j + (p ' l -')";.j +1 ) + 21 ' (" Pij - I + P" i,j ) - '1 2 ' (" P i .j +" ]li,J+ 1 )]

(13)

Aus Gleichung (6) folgt schlicslich als Ergeb nis: d (p . l' liJ = 2 . ~x . [(I" dt

U ·

V)['-lj -

«(I ' u· v)[+I.J

+_1 _ _[(P _-')" _ (P _1,.')ni,j+! + l'in,j _ 1 _ P inj + 1I 2 . Ay V i.j - I

A ufga b e 4 .2 .10

Ins t a tionäre K analstr öm u ng

E ine e bene komprussible Strö m u n g ein es F lu id s der Dicht e p und d er d ynamisc he n Zä h ig ke it 1/ in e inem K anal e r fä hr t e ine s p on tane D ruck änderung . Die d a raus res u lt ierend e insta tionä re St römung w ir d dur ch fol gende B eweg u n gsgleichung b eschri ehen: f) m

f)p

f) 2 w

p - ,":1I ~ - ,"., ..~ + /l ' ~ o,r

(1)

D ie p art ikuläre Differentialgl ei chung (1) so ll m it Hilfe einer ze llz e nt r ie r ten Finite- Volumen- Methode in e ine gewö h n liche Differentialgleichung in d er Ze it überführt we rd en . D a zu ve r wende Inan äq u id istante Vol umenzellen d es nurmicrt cn Volumens \-~ ,j , k = ß x . ß z . I mit äq u idist a n t en Kantc n lä n gc n ß x und fu _ Der W er t einer j eden S t röm u ngsgrö ße is t innerhal h j eder ei nz elnen Volum enze lle zu j ed em Ze itp u n kt ko nstant . Ihr W er t wird zu j edem Ze it p unkt j eweils

273

4 .2 ()isk re ti s i" r lln g

i. j + I

/ 1, 1"'/ / 1, ", --" • •

. ",

~

i- I,j

x

.

i.j

i +l , j

'ß " I, •

I(

l <,

i.j-l

Ahh. 4 .2 .1 0 Finite-Volumen-Zelle im Zellmittelpunkt b es tim m t . Di e Bezeichnun gen d er F läch en und Vo lumina la ssen sich d er Abbildung 4 .2. 10 e nt neh men. L ö s u ng:

Zunächst wird die partikuläre Differentialgleichun g (1) über das Gesa mt volumen V integriert:

J ilw J( ill' J[-I" -," .(_,?w) p·1 1\7 ,( P ·{)t · dV =

o

J"0"" .

v

v

dV +

ÜX

V

~/

iJ'w ) .uv

- OZ + l l · O.r'l

ÜX

+ (}:'y (0) +

{) w

{jf' dV+

v

?l'] . d V = 0 ()Z

, iJW)

- I . TJ:i 0

v

, dV = O

(2)

(3)

P

Die Formul ierun gen in den Gloichuugou (2) lind (3) dienen dazu, einen Divergenzt urm zu erze ugen , der die Anwendung des C au kschen Int egralsat zes

1\7·{

dV =

v

I r.n.dA

(4)

A

r

erm öglich t. Da bei ist eine beliebige Vektorfunktion un d Ti der Fliichennormalenvck tor . Xlit dem C a ukschen Int egrals at z (4) folgt aus G leichung (3) :

p.

J'

";: ' dV+

t/

J(-JI'f!fJ)

f) ' I (~l;' . dV -,t ·/ ~~; v

A

(TI","') · dA ~ O

0'"

A

P

, Ttx ,dA +

Tt z

I p,1t A

z ' dA = O

(5)

274

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Der Übergang VOll Gleich ung (5), (He für das Gesam tvol umen V gilt , zu einer belieb igen Volumenzelle Lj zum Zeitpunkt f = t" führt mit konstanten werten in de r Volumenzelle IIlId a uf den jewei ligen Zellrändern un d m it den Bezeichnungen VOl l Abbildung 4.2.10 zu:

{)w !' · I, · __' _,J . \1;l,J.. k - I ' ·

vt

(6) Die Fläche n A l , .112, A:\ un d .11 4 berechnen sich a us .11 , = ö. z ·l , A z = .6. z·1, Al = ö' ..r ·l un d A l = ö.c. l . Das Volumen ist mit Vi.j.k = .6.1" -.6. z ·1 gegeben. Die Wer te der Komponent en der Ob(' rH äd \(,1I 1l 0rm al(,Il -Ei llhei t sn~k tor(,1l ha ben die wert e n r = - 1, 112 = + 1, fl3 = - 1 lind f/4 = +1. Set zt man diese werte in die Gleichung (6) ein ergibt sich : (J/J'" .

U; ·J · Ar · D..z + 11'

p'

D .wl" ilx

1= 1

'.öx)W l" . D..z

. A z - 11 "

- J! 1l~ 3

1= 2

. 8 r + 1'1 1'= 4. ß

I

=

0

(7)

Zur Diskrctisicrung der Flüsse die sich au s Gradienten er geben werden Fini t e-Differenzen benut zt . Dami t ergibt sieh a n den Seite nfläche n I = I un d 1= 2:

ow "

I ' · -.-.

ih:

I

1=1

= 11

w"I.J·

'

- w"I -I,J.

üU' I "

1/ ' ()x 1=2 = II .

t>.,

W:~I,j - w:~j .6.;t

(8)

Für Flüsse die sieh direkt aus den \ Verten in der Volumenzelle er geben wird das ari thmetlsc he Xlittel der werte in den Zellmitt elp unk ten verwendet. An den Scttenft ächen I = :1 lind 1= 4 erhält man damit :

I"- ., =

P

l -~

_ I . (" J!'I,J._ , 2

1 (" PI"l=~ = 2' ]JLj

+" J!"I,J )

+ P "i, j + 1)

(9)

Setz t man die Flüsse (8) und (9) in Gleichung (7) folgt :

iJm". öt.

p' ---2.l . .6.x . .6.z

+ II '

w" · _ ur" I.J

.6.x

.

1-1.J .

.6. z - lI '

w"

. _ w".

. + LJ

.6.x

I.J .

.6.z

1 - 21 ' (]Ji."j - I +" Pi.j ) · .6. .{ . + 2 ' (P " i .j + ]Ji,,j + l ) ' .6. .{ '= 0

(10)

Aus Gleichung (10) ergib t sich schließlich als Ergebnis die gewöhnliche Different talgleichuug in der Zeit : 1

= 0

2i5

4 .2 ()i sk ret is i" r llng

Aufgabe 4. 2.11

R ayl e igh- St okes-P roblem b ei einer Kanalström u ng

E in inkompr essibles F luid mit d er ko n s t ant en Zäh ig ke it v b efi nde t sich in ei nem ebenen Kanal zur Ze it t < () in Ruhe . Zu r Zeit t = 0 wird die unt ere W and mom entan a u f d ie kons t ante Geschwindigkeit U ge bracht (sieh e Abb ildung 4.2 .11 a ). Durch den R eibu ngseinfluss wird d as F lui d a lh näh lich mitgenom men. Dabe i is t d ie Strömung in x-Richt u ng a usgebild et. Di eser Vorgang w ird d urch d ie ve rein fac hte Navier-Stokes-Gleichu ng

b eschrie ben [Her-le it u ng sie h e A ufgab e 3 .4.3) . Zur Ze it t = 0 ist das F lu id no ch in Ruhe so d ass fii r d ie A nfangsbedingung gilt : 1/(1, y) = 0

fü r

(2)

f = O

A n den W ä nden m u ss di e H afth edingung erfiil lt sein . D a mit ergeben s ich folgen d e Randb edingunge n: tl(f, y) = U

II(t ,y) = O

f >O f>O

fiir fii r

y= O

(3)

y =h

(4)

a) Mit H ilfe e ines ze llz entrie rten Fi ni t e- Vo lu m e n- Verfa hrens iiber fiih re man d ie gegeb ene vereinfac hte Navler-Stokes-G leich u ng (1) in eine gewöhnlic h e j = D ifferentialgleichu ng in d er Zeit zur Best immung d er Geschw indigke it 1" " , m. Anders als in der P ra x is iiblich verwend e man der E in fach h eit halber äqui d is tante Volmuenzellen des no rmierten Vo lumens V; ,j,k = 1 . A.y . 1 m it d er äq uidistanten Kanten lä nge A y.

ur.

h) Wie lauten d ie A nfangsbed ingu ngen

Iljl

zu m Zeitpu n kt t = 0 fiir die Volu-

menzell e n j ?

c) Best immen Si e d ie R andb edingun gen in einer dem F initen-VolumenVerfa h ren angepassten Sc hrei bwe ise .

,

Fimnre Volumenzellen ,

I

I h y

,I

~~

.: :c.u" ' y

'y - " ---.oUj

1,

,"," - ,","

y =h

r, :

-

y =O

x

Abb. 4. 2.11a Ebener Ka na l mit mom ent an bewegter Wauel (Havleigh-Stokcs-Problo iu]

276

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
Lösung :

a) Zunächst wird die parr. ikuliire Differ entialgleirhnng (1) über das Gesamtvolumen F int eg rk-rt:

I

Du · d V = [ : (PU · dV

tJt

tJ y 2

I an dV -v·1[0.s. +.!!.- (_au) +o· .!!.-] 1- · dV - v · / 'V · .,., V

I'

()I

v

Ur

v

Dy

Üll

ilu Bi

v

Dz

Du (J ) uy

(

v

· dF = 0

(5)

T

(6)

· dl = 0

0

Die Formulieru ngen in den Gleichungen (5) und (6) dienen dazu, einen Diver genz ter m zu r-r zcugeu , der die Anwendung des Ga ußscheu Integralsa t zes

1 'V · f .,IV ~ I f . ii .dA v er möglicht. Dabei ist i. j I,

•

~ Ii t

dy

I

A

f eine belieb ige Vektorfunkt ion

I

uud ii der Flächennormalenve ktor.

dem Gau[i,seheu Integralsa tz (7) folgt aus Gloirhung (6):

1 ~~ dV - v l ( ~) . (:::)

I

~

v

•

0

A

i,j I,

(7)

I

I

Oll ()I

.av -

I

v ·

A

~,'

•

· dA = 0

nz

ö u ' 11" · dA =O

Oy

"

(8)

i.j

A bb . 4 .2 .11 b Volume n-Zelle

au'_ _J DI

Finite-

• V; ,j , k -

au'-

v .

],

Der Übergang von Gleichung (8), die für da s Gesamtvolumen V gilt , zu einer beliebigen Volumen zelle i, j zum Zeitpunkt t = t" führ t mit konsta nten werten in der Volumenzelle lind a uf den jeweiligen Zellr ändern sowie mit den Bezeichnungen \ '011 Abbil du ng 4.2.11b zu:

I I" A

-D" . Tl:\ . d A:\ - v . Dy 1=3

- , - . \; Lj .k -

öt

U

v · -D

öy

I"

1= 3

. "3' A 3

-

I A

I"

-Du . n ,1 . d A 4 = () Dy 1=4

) I"

cm

11· - ,

Oy

1= 4

• n4 .

A4

= ()

(9)

Die Flächpll A:j lind A l boreebnen sich au s A 3 = 6..r . 6. z = I lind A 4 = 6.:[ . 6. z = 1. Das Volumen ist mit V; ,j , k = 1 . 6.y . 1 gegeben . Die werte der Komponenten der

2i7

4 .2 ()iskretisi"rllng

Oberfliiclll'nuonualcu-EinheitsV('ktoren ha ben die Werte man diese Wer te in die Gleichung (9) ein ergibt sich:

Du!' .6.Ij + // ' -Du. l" - v .

__ J •

[U '

Dy

1=3

D"I"

H3

-

Oy

- 1 und n-t

+1. Setzt

(10)

= 0

1=4

Zur Dlskrotisieruug de r Flüsse die sich aus Gra dtont on ergeben werden Finite-D ifferenzen benutzt. Da mit ergibt sich a n den Seitenflächen I = 3 lind I = 4:

') I"

( /I

V ' -

Oy

=

// .

1=.1

!tJu -

üw l"

1l"J- I

v . [)x

.6.y

1= 4

= v ·

11]'.. . -

.6.,1}

ur

(11)

Setz t man die Flüsse (11) in Gleichung (10) ein folgt:

nu" _J Ot

.

.6.Y + v ,

1lr I

11]' -

(12)

.6.y

Aus Gk-irh ung (12) er gibt sieh schließlich als Ergebnis die gewöhnliche Differe ntia lgleichung in der Zeit : = 0

h) Aus der Anfangsbedingung (2) folgt direkt für die Geschwindigkeit en zum Zeitp unkt

t = 0:

c)

y=O

.",

Abb. 4 .2 .11c Geist erzelle in der unteren wand Da mit er hält man für den

Um die Hand bedingung an de n Handern des zellzentrierten Finite- Volumen- Verfa hren s zu erfü llen, werden bei der Dis kreusterung im Ra nd sogenannte Geiste rzellen verwen det. Das heißt in der unteren Wand y = 0 wird eine zusätzliche Zelle j = () eingefüh rt (siehe Abbild ung 4.2.11c). Der arithmet ische Mittelwert aus der Geiste rzelle j = 0 un d der Zelle direkt an de r unteren wand j = 1 müssen jet zt die zugehörige Randbcdingung (3) er füllen . Da mit ergibt sich die Bedingung : 11"

()

+ u"I 2

=U

wert in de r Geister zolle an

1l;: =

2.U _

der unteren w and:

Jl ~'

Entsprechend wird an der ob eren Wand y = h etnc Geisterzelle J = 111 + 1 eingeführt . Der arithmetische Mit telwert aus dieser Gelsterzelle und der Zelle direkt an de r oberen

2i8

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rnet ho
Wa nd j = m mü ssen je tzt d ie zuge hörige Ra nd bedingung (4) er füllen . Da mit er gibt sieh d ie Bed ingung:

Dam it er hiilt ma ll fiir den

4.2 .5

\Y(~r t

in der Geisw rzl'ile an der oberen \Y1\lId:

M ole ku la r d y n a m isch e S imulat ionsmethode

Aufgabe 4.2 .12

\ Vie d e r e in t r it t s8 u g

Hirn 200 / / II

/ -- - - - - ..... Landung

150

-, "" " UbcrschallslrölIlung ..

I

\

\

} max. W ärmeübertragung

I

1Trans ition

\

"

,

100 50

I

I Hyperschalls trum ung ___ / Gaskinetisch er Bereich

o 4-~,-+~,-*"""~--,---4

"'~-~-"'--:~~~ ~ Wicdcrcinlrillslrajcktoric

Abb. 4 .2 .12a wlcdorclnt rittst rajcktortc

IO' ~

10-4

10°

10 Alm

Abb . 4 .2 .12b Xlitt lcr c freie

\\'e~­

liin~e ::\ in Abhängigkeit der Höhe f{

der Erdatmosphäre

B ei m Wie d ere intrittsflug vom Orbit in d ie Erdatmosphäre (si ehe A nfgabe 2 .3 .19) wird e utla g d er W ie d ere intrittstraj ektorie d er Abbildun g 4 .2 . 12a vom Wiede r e intrittsfl u gze u g z u n ä ch st d er gask inet isc he B ere ich ve r d ü n nter Gase und b e im weit e ren Abbremse n in d er E r d a t m osp h ä r e d e r kont inuums m e chan ische B ere ich b is z u r Landung a u f d er E r de durchflogen . a ) In we lch er H ö h e d er Erda tmosphäre vo llzie h t s ic h d er Ü berga ng vo n d e r gaski netis chen zu r kont inuumsmechanischen B erechnung des W iedereintrittsfluges ? Dazu b e r e ch n e man unter Anwendung d es Höh endiagramms der US~ S t a n dar d a t m osp h ä re 19 62 die K nudsen -Zahl K u in d e n H ö h e n II = 200 k ill, II = WO km , 1I = 80 km , 1I = 40 km , 1I = 20 km . D ie charakteristische Lä nge d er Wie d e r e intritts ka p sel b eträgt L = 20 m . D ie Grenze z w isc hen der Bolt zmann- und N avie r -Sto kes-Berec h nu ng w ir d e n tsp rech e nd Kapite l 4 .2 .5 d er Strö mungsmechan ik H. Oertel jr, d (Li. 2008 b e i Knudsenzahlen K ri = 10- 1 festge le gt. b) M an formu liere die Randbed in gungen d er r eibungsbehafteten Strömung im B ereich d er fr e ien m olekularen Strömung b ei Knud s enzahlen K ri > 10,

2iD

4.2 ()i sk ret is i.>r llng

im Ü hgangshereich 10- 1 < l\n :$ 10, im kontinu ums m echa ni sch en Ber eich mit G le it bed ingu ng 10- 2 < /(,, :$ 10- ] lind mit Haff b edingu ng fii r /( /1 :$ 10- 2 • Lös u ng: gegeben : L = 20 m , );" (siehe Abbildung 4.2.12b)

a)

I II / km I K/l / I TI!

200

50

100

0.5

SO

]()

40

5 · 10

6

20

5 · 10

~

t

Der Übergang von der gas kinetischen Berechnung mit der Bolt zma nn- Glcich ung zur kontinuumsm echa nischen Ber echnung mit der Xavier-Stokcs-Glotchung erfolgt bei der Knudsenzahl K u = 10- 1 in SO km Höhe der Erdatmosphäre. b) Die Randbe dingungen lauten:

I ll/ km II > uo

I Randbed ingu ng

I h"T/ fm

K T/ > 10 130 ;:: II > SO ]() ] < /(n :$ 10

80 > ll > üO (iO ;::

II

A ufgahe 4 .2.13

10 2< K n < 1O

K n :::; 10

Diffuse Hofl ektion der Moleküle

t

Gleit bedingung der Moleküle, Unst etig keit der Geschwindigkeit , Dicht e lind Tem pera t ur a n der Wa nd kont inuumstuerhanIsche Gleit bcdiugung Haftbedingung ii _ ()

2

P roflh n n st.r öm u ng

D ie U mströmu ng ein es Profils lä ss t sich sowoh l mit den ko nt in u umsmechani sch en G rund glei chu n gen a ls auch m it d er Bol t zm a n n- Gleichuu g b er och n en (siehe Kapitel 4 .2 .5 H. (Jet·tel jr . et al. 2008). Ve rnach lässigt man in d er B olteman u-O telchu ng ä ußere K räfte und wä hlt fiir den Kollisio n s t erm die A bweich u ng von der Maxw e ll-G leichgewichtsverteil u ng 10' so ergibt sich ei n e ni chtlineare p a rtielle D iffe rent ia lg le ichu ng : iJI iJl

+ e· ()$ - iJI

mit d er T eilchengesch windigk eit

= (;) . (/0 - J)

( 1)

280

4 :'\UTIwrischo: l,ösllllgs rn et ho
a ls Summe d e r makroskopisch en Strö m u ngsgeschwtndigke lt v und der Molekiilgesch windigke it c. w is t d ie Kollisi onsfrequenz d e r Mole kü l-Ensem b le in d en G it terze lle n . B ei der Lattice-Boltzmann-LöslIugsmethode wi rd dabe i d er Trans p o r t d er Ver-t e ilungsfunkt.ion f und die Änd erung der Ve r-teilung sfunkt ion

f

durch K ollisionen der P artikel v o nei n a n der getren n t in z wei a u fe i nan d er

fo lgen d e Verfahrensschrit.t e ex p lizit b ehandel t. A b b ild u ng 4 .2.13a zeigt die diskr e t en R echen p u n kt e e ines z weid imen s io nale n Ström u ugs proh lems im B er ei ch d e r Vo rd erka n t e eines N AC A 6 5 Profils

• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • •

• • • •

• • • •

• • • •

• • • •

• • • •

• • •

• • • •

• 3 • 4 • 5 •

•

1

j"'3

1 1

I.

i=4

1"'0

j=8

• Flu id Knote n

• Wand Knoten

• • •

7

•

• •

I ie l

j"'2

•

• • •

• • • • • • •

• •

• • • •

• •

•

j=5

j=6

•

Abb. 4 .2 .13a Diskretisierrns Rechengob iet

.,

I} ' 1 1

1"'7

A hb. 4 .2. 13 b C rschwindigkeitsricht nngell im P hasenra um D2Q9

a) A m Knote n 8 in A b b ildung 4. 2. 13a s in d die fol gend en N lchtgle lchgewlc htsver t eilungen I . in den Geschwind ig ke it sricht u ngen i des D2Q9 Modells ( nach A bbildung 4 .2. 13h) zur Zeit t gegeben :

10 = !J = h

0 , 13m) ,

h

= O,O:Hl,

I(l = 0, 1:362,

0 , 034 1,

h

= 0 , 1355 ,

[t = 0 , 0:343,

/<, =0, 0:3:17,

h, = 0, 5451.

= 0, 1 :~G6 ,

Man b erechne mit d er Lattice-Bolt zlnalln- M ethode die m akroskopischen S trömung sgrö ß en Dichte p, Druck p und die G eschwi lldig ke it s ko m p onen ten 'U, v in .1 :- und !I- R icht u n g durch Mom e nte nb ild u ng. Man ve rwen de hi erzu die gegeb enen P aramet er und b e rechne die R eynolds-Zahl. Im K noten 8 fü hre m an d en Transportschritt d es n ächs t en Zeitsch rittes a us . Di e N ichtgle ichgewichtsverteil ungen d er N ach b a r k n ot en in d en j e weiligen G esc hw in d igke itsr icht u n gen la u t en :

281

4 .2 ()isk re ti s i" r lln g

0

10

t, h h I, h h

Ir

f,

0,1 3ü5 0, 03.tü 0,1362 0, 0:1-10 0,1357 0, 0341 0,1368 0, 03·12 0,5455

2 0, 1364 0, 0340 0,1365 0, 0:H2 0, 1365 O. O:H 1 O. 135n 0, 0:142 O,5-t55

Nach bar k noten n u m mer :) 4 5

0,1362 0, 0:342 0,1382 0, 0:14 7 0,1360 0. 0:1:3:3 0.1352

o. uno

0,5454

0. 1371 0. 0:H 3 0.1375 0. 0:14:1 0. 1354

0,1 382 0, 0:H6 0,1371 O, O:HO 0,1341

0. 0:3:3:3

O. O:l:l2 0,1357 0, 0:146 0,5452

0. 1355 0. 0344 0.5-t54

G

0,1 380 0, 0:H 2 0,1362 0, 0:1:18 0,1345 0. 0:1:34 0,1368 0. 034 7 O,5-t54

7 0,1 378 0, 0:34 1 0,1358 0, 0:1:17 0,1347 0, 0:1:36 0, 137 0. 0:U8 0,5-t53

F flr W andknot en is t a ls R andbedingung d as bounce buck Ve rfahren erster O rdnung zu ve rwe nden. c ) Ebenfalls a m K not en 8, führ e m an mit d em Transport schritt a us b ) d en Ko lli si onsschritt a us. gegeben : Mach- Za h l Moo = 0. 05, Auströmgeschwindigkeit Uoo = O, OI.t rn/s, Dichte p = 1, 1225kg/ rn\ d ynamis ch e Viskosität 11 = 1,78· 10- 5 Pa . s, Anströmwinkel () = 2()". ProHltiefe L = 0.25m Lö sung: Zur Berechnung der ma kroskopischen StriimuugsgriiF.en benötigte Größeu; isotherme Schallgeschwindigkeit molekulare Ei nheltsgeschwindigkeit

a =U -- =O. 28 m1.'1 oc

u; t;o = J3 . c

= 0,485

III/S

(2) (3)

Geschwlndlgkcitskomponentcn im Phasen ra um D2Q9 (vgl. Abb. 4.2.13b) Gesch wind igkeit sricht ung i

0 I

2

<, <" <"

<, 0

<" <" <"

0

<" <" <"

:)

4

5 6 7 8

0

<" <" <"

0

<" 0

0

Da ra us ergeben sich d ie ma kroskopischen Strömungsgr ösen: Dielire

p=

, L t. = .=0

1, 2205 "'g/ m:l

(4)

282

4 :'\UTIwrisc ho: l,ösllllgs rn et ho
,

statischer Dru ck

p=

0

2

.

L f; = 0,0962 Pa

(5)

; ;0

s

L f i = O. orl1l1l/ 8 , v = L ( i,y . f i = 0, ()()O:J 1Il ;'~

Geschwindigkeit in x- Richtung

=

U

{ i ,x .

(6)

; "=0

Geschwindigkeit in y- Hichtn ng

i == O

Uoc

und die gesucht e Heyn oldszahl

.

t.

H eL = - - = 2.tO, 87 I'

b) Für den Transportschritt berechnet man die Zwtschenvortellungcn: Zwischcnvertcilung

\Yer t

entspricht Verteilung

Jo !> h h

10 VO ll - von !J h- HJIl h- von

Knot en 4

0. 1:371

Knoten 5

0 . 0:346

Kn oten 6

0 , 1:362

Knoten 7

0 , 03:37

t,

I,

Knot en 0

0 , 1357

h

\ '011

ha ck bounce

ft

\ '011

Knoten 8

O. O;J41

Je

!G von Knoten 2

0 , 1359

[t

h

von K no t en 3

O, o:l40

Ix

von Knoten 8

0, 5451

h

c) Ausführen des Kolfisioussrh rit ts: Borechueu der :\loIncu te aus der Zwischenverteilung: s

Dichte

fJ

=L

,

Z= 1, 2265 kgj m 3

i=U

Geschwind igkeit in x-Rich tung

/I

= L ~i .F · ]; = 0,00 102 m]«

,

i ",O

v = L ( .y · h = 0,00024 m] «

Geschwind igkeit in y-Richtung

. ", 0

Ber echnen d er Glcichgowlchtsvcrtcllung:

J' 'I I = P . t p....

(I+ u a· ~" + ~ . ( ~" . ~(I 6,)) 2 2

.(1

2

2

c~

-

" ,I

(7) (8)

283

4 .2 ()i sk ret is i" r llng

mit dem wicluungsfakror tl'. ;:

R icht ung i

t1, = 1/ !J

für i = 0,2,4 ,6

tl' = I/:36

für i = 1, 3,5,7

tl' = 4/!J

für i = 8

Gle ichgewichtsverteilung

I '"

Xichtglcichgewichtsyerteilllug

0

0 , 1:J7(1

O, I :Hi9

1

0 , 0 34 :~

0 , 034 1

2

0 , 1 :~65

0 , 1 :~6 7

3

0. 0:3:19

0 , 0:340

4

0 , 1356

0 , 1355

5

o,m;J!J

0 , m :J8

6

0 , 1 :~6 1

0 , 1 :~6 2

7

0 , 0:342

0 , 0 :~43

8

0 , 545 1

0 , 545 1

I,

Berechnen der Kollisionsfreq uen z «r:

kiruunatische Viskosi t ät :

Zcit schritt weit c:

Kollisions frequ en z:

Berechnen des Kollisio nsschrit t cs :

v = -I'

p

!:J.t = !:J. x / t.o a'l . !:J. t w = -v~+:-Qi , =. -'~'"

,

(9)

(10)

284

5 5 .1

Anhang Übersi cht über die Aufgaben

Auf den nachfolgenden Seit en findet mall eine Ühersidlt üb er die im Übungsbuch zus ammengestellten Aufga ben . In der Spa lte mit der Glwrseh rift SG ist der Schwierigkeitsgrad der Aufga be angegeben. Der Schwierigkeitsgrad einer Aufgabe ist m it einer Zahl von 1 bis 4 gekennzeichnet. Aufgabenmit dem Schwierigkeitsgrad 1 sind leicht zu lösen, Aufg abenmit dem Schw ierigk eitsgrad 3 besit zen ungefähr den Schwierigkeitsgr ad einer P rüfu ngsaufgabe für eluc Prüfung in StT'Ömun!J.~ lell1"e bz w. Mathematische Methoden der St7'Ö1Tltln!J.~ lehre an der Unive rsit ät Ke rlsruhe für Studenten des xlaschtncnbaus und Chc miciu gcnteurwcscns. Der Schwierigkelt sgrad 4 soll an deuten , dass d ie Aufgabe ' weit er führend ' ist , d. h. es wird eine Bolsplelaufga bc vorgestellt , die auch event uell in einem Lehrbuch steht bzw. stehen könnte. Sie muss nicht unbedin gt schwieriger a ls eine Prüfungsa ufga be sein (also nur M u t !!).

K AP I T EL

A UFGABE

SG

2. 1.1 2. 1.2 2.1.3 2.1.4

1 2 2 2

2 .2.1 H ydrostatik

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

1 1 2 2 2

2.2 .2 A erostatik

2.2.6 2.2.7 2.2.8

2 2 3

2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

2 2 2 2 3

2.1

Strömungsberei che

2. 2

H ydrostatik und Ae rosta tik

2.3

H ydro- und Ae rodynamik ,

Stromfadent h eorie 2.3.1 Kinematische G rundbegriffe

285

5.1 Übers ieht iil", r die ,\ ufga h\",

KAPITEL 2 .3 .2 Inkompre s sible Strömung en

2.3 .3 Kompre s sible Strömungcn

2.4

AUFGABE

SG

2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.!.l 2.3.10 2.3.11 2.3.12 2.3.13 2.3.14

1 1 2

2.3.15 2.3.16 2.3.17 2.3.18 2.3.19

3 3 2 2 3 3 1 2 2 3 2

Technische Strö m u ngen

2 .4 .1 Turbulente S trömungen

2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5

2 .4 .2 Impuls s at z

2.4.6 2.4.7 2.4.8 2.4.!.l 2.4.10 2.4.11 2.4.12

2 .4 .3 Drehimpuls satz

2.4.13 2.4.14 2.4.15

2 2 2 2 3 1 2 2 3 3 3 3 1 3 3

2 .4 .4 Rohrhydraulik

2.4.16 2.4.17 2.4.18 2.4.W

3 2 2 3

286

;; A nha ng

A UFGAB E

SG

2A .20 2.4 .21 2.4 .22

3 2 2

2.4 .23 2.4 .24

3 3

2.4 .25 2.4 .26

2 2

2.4 .27 2.4 .28 2.4. 2g

2 2 2

2.5.1 2.5. 2

3 3

2. 5.2 Tragfliigel strömung

2.5.3

2

2.6

2.6.1

2.6.2

2 3

2.6 .1 B ehei zt e ver tika le Pla tte

2.Q.3

2

2.6.2 R ohrs t römung

2.6 .4

2

3.1.1 3. 1.2

2

KAPIT EL 2.4 .5 Str ö m ungen Nicht- N ewtonse her Medie n

2.4.6 S t r öm u ngsab l ös u n g

2 .4.7 S t r öm u n g smasch ine n

2. 5 A erodynamik d e s F lugzeugs 2. 5.1 P r ofllums tr ömung

3 .1 3 .2

S trömung en mit W ä rmeiib ertra gung

Kont in u it ätsgle ic hu ng

2

Nav ie r -Stoke s- G le ic h u ngen

3 .2 . 1 L aminare S t r ö m u n gen

3.2 .1

2

3.2.2 3.2.3

3 3

3.2.4

3 3 2 3 3 3

3.2.5

3. 2.2 R c ynclds-Glci chuugen

3 .2.3 'I'ur-bulenzrnod elle

3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.2 .9 3.2 .10

3.2.11 3.2.12

3 .2 .4 G rob str u kt u r s im u lat ion

3.2 .13 3.2.14 3.2. 15

2 1 3 3 3 4

287

5.1 Übers ieht iil", r die ,\ ufga h\",

A U F GAB E

SG

3 .3.1 La m in a r e Strömungen

3.3.1 3.3 .2

3 3

3.3 .2 Turbulente Strömungen

3.3.3

3

3.4 .1 3.4 .2 3.4 .3

3

3.4.4

3

3.5.1 K o m p r e s s ible Strömu ngen

3.5.1 3.5.2 3.5 .3

1 2

3.5 .2 Inkompre s s ible Strömu ngen

3.5.4 3.5.5 3.5.6 3.5.7

3 .6

G r undg le ic hunge n in E r haltu ngs fo rm

3.6.1 3.6.2

3 2 3 3 3 1 3

4. 1

Analy tische Vorbe reitu ng

4. 1.1 ·1.1.2 4.1.3

1 1 4

4. 1..1

3 3

K API TEL

3.3

3.4

Energiegleichung

Grenzschich tgleic h u ugen

3 .4.1 Iuko m p r e s sible Strömungen

3.4 .2 Kompressible Strömungen

3 .0"

4 4

P o t ent ialgl e iclmng en

4 .1. 1 Dimensionsanalyse

4. 1.2 Line a r is iernng

4 .1.3 Stabilität sanalys e 4. 1.4 Strukt u ranalyse

4.1.5 4. 1.6 4. 1.7

4

3

4. 1.8

4

·-1.1 .0

3 2

·U . lO 4. 1.11 4.1.12

2

3

288

;; A nha ng

A UFGAB E

SG

4.2. 1 4.2.2

3

4.2.3

3

4. 2.2 F inite-Ele mente-Met ho de

4.2.4

3

4. 2.3 F in ite- D iffere nzen -Met hode

4.2.5

2 3 3

KAPIT EL

4.2 D iskre t .isle rung 4.2 .1 Gale rkin-M e thode

4.2.6

4.2.7 4. 2.4 Finite - Volumen-M etho de

4 .2 .4 Mole kula rdynam isc he S inm lat io ns met hoden

2

4.2.8 4.2.9 4.2 .10 1.2 .11

3

4.2. 12 4.2.13

2 3

3

3 3

289

5 .2 StrömungHllIPcloanik Software

5.2

St römungs mechanik Software

Das Tätigkeitsfeld des Ingenieurs hat nicht nur im Borelch der Strömungsmechanik durch den verst ärkten Rechnereins a tz un d die Vernetzurig der Rechner erhebliche Verändcrungen erfahren . Xcbcn den analytischen Fähigkeiten, strömungsmechanische P robleme zu lösen , wird in der industriellen P ra xis zunehmend der Umga ng mit strömungsmcchanlsche r Software gefordert . Um diese Entwicklung zu fördern , haben wir begleitend zu den Übnngsaufgabon Übnngssofrwa ru bereitgestellt , die den Einstieg in die Xut aung kouuuorzieller Strömungslllcchanik·Software erleichtern soll. Dahei ist es unumgänglich, dass man den aktiven Umgang mit strotnungstncchanischcr Software a uf vernetzten Rechnern für die sp.itere Ber ufspra xis selbst ändig üht. Die Entw icklung des Intemet s bietet die Möglichkeit , vorlesungsbegleitende Strömungsmechanik Software, abrufbar auf der Homopa ge des Insti t ut es für Strömungslehre an der Universitä t Kar lsruhc , bereitzustellen und die Int eraktton zwischen Studenten und Ausbildungspersonal zu fördern. http: / /www .1Ibka.1Ini-karlsr1lhe .de /d igi bibi1illde x.ht1l11 Die das Übungsbuch begleitende Software gliedert sieh entsprechend der Buchka pitel . Die Grundla gen d er S trölIlUngslIlechanik in Kapite l 2 werden durch das Software-Ylodul

KA PPA - Stro mfa d en A

inkompressibel

A

reibungsfrei

A

stationär

K raft fahrzeug:

A O berseite

Tragflügel:

V V V

Düse: Stoßrohr:

O berseite

V V V

instationär

V

Unterseite

kompressibel reibungsbehaftet

Düscnströmung Stoßausbrcitung

Anströmgeschwindigkeit in knvh ( Kfz) Anstrum -Mach-Zahl [Tragflügel] Druckverhältnis Gcgendruck/kuhedruc k (Düse) Druckverhältnis Treibrohrdruck/Laufrohrdruck (Stcßrohr)

I Rechnung starten I

Ein9aben löSChen l

Abb. 5 .2 .1 Eiugabemenii von KAP PA· St ro mfadell

Ir

I

290

;; A nha ng

ergänzt (siehe Abb . 5.2.1). Da bei werden die algebra ischen Gleichungen der ciudimcnsionalen Stromfadentheorie Kapitel 2.3. 2 und 2.3.3 sowie d ie zweidimensiona le ;'\avicr -SrokcsGleichung für die reibungsbehaftete Strömung iterativ für vorgegebene Belspiele golöst . Als Anwendungsbeispiele wur den die Kraftfa hrz eug umst römuug und Tragftügolumstr öUlllng (inkompressibel), die Strömung durch eine Düse und im Stoßrohr (kompressibel) ausgewählt . Durch Auklickcn der angebotenen Optionen lässt sich z. B. die st.atiouiire, kompressible, reibungsfreie Strömung d urc h eine Laval-Dü sc bere chnen. Als Ergebnis erhält man Dr uckund Xla ch-Zahl-Verlauf p(r ) IIl1d M (x ) lä ngs der Düsenachse für ein jeweils gewähltes Druckver häl t nis VOll Gegendr uck PA am Düsena usgang zu Ruhedruck Po im Kessel , an dem die Düse angeschlossen ist. KAP PA-St ro mfad eu bietet somit die :\löglkhkeit , den Einflu ss des Druckverh ält nisses auf die sich einstellende charakteristische Strömungsform in der Düse zu st udieren. Beispielsweise erk ennt mau, dass bei einem Druck ver hält nis (PA/PO) = 0.98 überall in der Düse eine re ine Unterschallst.römnng mit der maxim alen Xlnch-Zahl am engs ten Querschnitt von Aln,ax ~ 0.37 vorherrscht. ljci Absenken des Druckver hä lt nisses auf beispielsweise (PA/pO) = 0.9 stellt sich st roma b des engsten Querschnittes ein senkrechter Verdicht ungss to k ein , was man am sprungar tigen Abfall der Mach-Za hl von Al > 1 auf Al < 1 erkennen kann . Bei einem geringen Druckver hä lt nis VOll z. B. ÜIA /PO) = 0.1 erhält man schließlich olne kontinuierlich besc hleunigte Strömung in der La val-D üse, bei der die XlachZahl läng s der Düsen a chse vou anfänglich Al ~ 0.22 UIIl einen Faktor 10 auf etwa Al ~ 2.2 ansteigt. Die a naly t ischen und numerischen Lösungsmethoden in Kapit ol I werden für ausgcwühlte Übung sbeispiele (z. B. d ie Kan alst römuug ) mit einer Reihe von Software-Beispielen behandelt (siehe Abb . 5.2.2). Die Aerodynamik des Ka pit els 2.5, . .1.1.2 und --1 .1.3 der Vorlesung Augewandre Strömungsmeehanik wird an Softwarebeispielen der Ber echnung von Grenzschichtströmungen sowie deren Insta bilit ät cn am Beispiel der P rofi l und Tragfiügelumst römung er gänzt . Die P ro.. gr annnpakete zu den r-inzclnun T honren besteheu jeweils aus einem Quellprogra mm in der Programmierspr ache F() HTHA:\, griißt ent eiis au s einem zusatzliehen Pa ra met er-File, sowie aus einem P rogra mm zur grafischen Aufbereitung der Ergobntsdatcu. Sofern di e analytische Lösung eines P ro blems bekannt ist , wird sie ebenfalls berechnet un d zu Verglciehszwccken mit der Lösung, die das numerische Xähcrun gsvcr fe bren liefert , in das gleiche Diagram m eingezeichnet. Durch Variation der Pa ra meter im Pa ra met er- File, z. B. die Anzahl der Ansa t zfunkt tonen lwi der Galcrktn-Mcrhode, kann da nn die Auswirkung auf die numerische Xähcrungslösung diskutiert werden.

29 1

5 .2 St rö mu ngHllIPcloanik Softwa re

Mathemattsehe Methoden de r Strumungsmccha ntk

•

Lincarisicrung

•

SlabiI itätsanalyse

•

Galcrkinvcrfahrcn

•

Finite- Differenzen- Methode

• Finite- Elemente-Methode • Finitc-Volumen-Methode Augewandte St röm ungsmec ha nik

Aerod ynamik

• Blas jus-Grenzschic ht • Turbulente Plattengrenzschicht • Ort- Sommerfeld-Gleichung - Eigenwe rtlöset • Profilumströmung

•

Tragl1üge1umströmung

Abb . 5 .2. 2 Software..Beispiele zu \ Ia tbeillatis ehe \I('t ho de n der Ströiuungsmechauik

293

B ezei chnungen A

a

u, b

b Cf CI'

Ce Cv

c'"

[m 2 ]

[1II/8J

[mI [m/8 2J

[I

[[ [l / (kgK )1 [l / (kgK )1

[I

C

[m j.~ 1

D, d

[m] [.I/kgl [NI

F tächo, Q uprsd lllit t sfliid w Sr-ha llge sr-hwindigk eit Bre it e Besch leunigu ng Reibu ngsbeiw ert Dru ckbeiwer t

spezifische wärmckapad t ät bei konst an tem Druck spezifische wärmckapad tä t bei konstantem Volumen \vidersta nd sbciwer t Geschwindigkeit in Strorufudenrichtung, Absolut geschwindi gke it :\ I( )l( ~k ül g( ~scl lw i ll(l i gk(' it

t:

F

f FA

PD fl F

Fr G G 9

ll , h h h

.I

[{

[{ '

k,

L L, I I ,11 ,11 MI m m N PS H ,Vu n

n p

[1/,1 [I [N I [N I [N I

[[ [N I [ml s 2 ]

[mI [l /k91

[1V/ (m' K )1 [m4 ] [.I/kgl [l /kgl [mI

[lVI [mI [mI

[[ [Nml

[,Vml

[kg l [k9/'1 [mI

[I [I [I

[Pal

Durchmesser , Länge spezifische innere Energie K raft Frequenz Vcrtcilungsfunk tion Auftrlcbsk raft Druck kraft Impulskraft konvektiver Fluss Froude-Zahl Gewichtskraft dissipa t lver Flus s Erdbeschleun igu ng Höhe spezifisehe E nt ha lpie \ Y än nr-üborgnngskooffizient Flarhnn t r äghcitsmoment zeitl ich gcmi t teltc T urb ulenzenergie T ur b ulenzene rg ie m it t lere Sandkornra uhtgkett Leist ung Lä nge Itschungswcglängc :\Iaeh -Zahl :\Iollu'ut Impul smoment :\Iasse Xlasscus t rom Nominal PUIllP sucrion hoad , Ha lt ehöhe Xu ßelt-Zahl poly tropen Exponent , Drehza hl Xormalenvekt or Druck

x

294 J'r

q

Hl'zcicl,nUllgl'"

[[ [m2 / <~[

o

[J [

'I

[11'1 [H"/m 2 1

R, I' Re

[m i [[

Q R

., .,

S ir

T T t

u

[J / (kg /( )I [J / (kg /( )I

[m I [[ [/(1 [,1

[,I

[m / .~]

U u

[m/8]

V V

[m3 ] [m/8]

V

[m3 / ti[

v v

[mI~] [TIl j.~]

11' 11'

[N I Im/sI

w

Im/sI

X

[[ [m I [m I [m I [[ [[ [m I

r y Z

"ß

"

"""I " p,

[J /kg l

OT

[J j m:1] [N/m 2 1 [mI [m I

'I

[[

").

[[ [[

S

, r

).

[J / (kg.,)[ [1Il2 j.~[

[ 1F(T1I.~)]

I'

[Nt;fm 2]

v

[m 2 j.~ ]

Pt

[N.~ /m2]

P randtl-Zah l Q ucllst iir ke, Senkens t ärke Wärmeinenge Heizleistung. w ärmenenge pro Zeiteinheit , wänncst rom Wärmemenge pro Flächen- und Zeiteinheit spezifische Gas konst a nte Radi us Royuolds-Zahl spezi fische Ent rop ie St romfadcnkoordinate , Spal t breite Strouhal-Za hl Tein pcra t ur Per iodendauer Zeit Geseh wiudig kcit eines Körpers in .r-Hichtung, A nstr ömgeschwlndlgkci t Lösung svekt or Gesd iwindi gkcit skolllpollelltc in .r- Richt ung, Gesd lwiudigkei tskom ponenro in t: mfangsrichr ung Volumen Gesch windigkeit eitles Kö rpers in y- Richtung, A ust n uugeschwindigkei t Volumensr rom Gcsch wind tgkctt skompcncnte in y-Rkhtung Gcschwindigkei ts vcktor Widerst a nd Gesch wind tgkctt eines Körpers in e- Richt nug, A nsuömgcschwlndlgkci t Gesch windig keit skom pon en te iu e-Richt ung , Rela t ivgeschwindigkeit Dam pfgeha lt kartesische Koo rd ina te kartesische Koordi na te kartesische Koordi na te Winkel, Anstellwinkel Winkel Dicke der viskosen Unterschicht spezi fische Arbeit volumenspezifische Arbei t Druckverl ust G rCllZS( ~llidl tdick n Tcm pera t urgrcllzsdüeht dieke Dissipat ionsrate

Wirkun gsgrad wtrbclst ärkc, Zirkulation Verhältnis der spezifischen Wärmen , Iscnt ropcncxponcnt Verlustbelwert Wä rmeleit fä higkeit dynamische Zähigk eit turbulente Zä higkeit kinematische Zähigkeit

295

H"z\·i chn u ng{'ll

•• I> I>

'" "'

a f' T T

Tw

Im22 /BI 1m j.~ 1 1m2 j.~ 1 11/s'l 1m 2 j.~ J

IN/n>! Ikg/m3 ] H 1}"'/ m2 ] IN/ m2 ]

0 w

11 11/·' 1

,

11 11

9 (

"

00

I m j.~

]

Ponmri alfunk t ion Störpotential Pfeilwinkel Dissipa t ionsfuukt.ion Stromfunktion o herfl ächenspannung , X onnalspann ung Dichte cbaraktcrisüschc Zei t Schubspannung \\'andschu bspannung Winkel Drehung, W inkelgeschwind igkeit Koll isions frnquenz Winkel \ 'crlust kocffiz icnt Teilchcugcschwtndigkci t Schwankungsgröfc, Störgr öße massengern i t tel t e Schwankuugsgr öfc kri tische Größe, dimensionslose Größe \\ 'ellcnam pli t udc zeitlich gemir.tclte Größe zeitlich mussengcmit.tclre Größe Anstriim griiRe Radi a lkomponent e Umfa ngskomponeute

296

Ausgewählte Literatur Strömung sme chanik Lehrbücher G. K. Bctchcior. An Int rod ucdon to Fluid Dyn a mtes. Cambrldgc Uuivcrsity P ress, Cambr idg o, 200i . E. Luurien; H. Ocrtel j",. Xumerische Strömungsmcchanlk. 3. Auflage, Vtcwcg-i- Teubner, Wies baden, 2009 . H. Ocrtel j t". Introduction to F luid ~l('challics. ViCK('g+Verlag, Br aunschwoig , \\'iPsb adl' ll, 2001, Universit ätsvorlag. Karlsr uhe, 2003. H. Oert el jr"" M. Bühle. Strömungsmechanik - xlcthodcn und P hä nomene. SpringerVerlag, Ber lin, Hcidclberg , 1995, Universit ät sver lag. Ka rlsru hc, 2Ü03. H. (Jed e! jr"" M. ß Mde, U. D ohrmann. Strömungsmerhanik. 5. Auflage, Vicweg t- Tcubner,

Wiesbaden , 2008.

H. Oer'tel j r., J. Detf«. Strömungsmechanische Instabilit äten . Spri nger -Verlag, Bcr tiu , Hcidclber g, 1996, Untvcrsit ätsverlag, Ka rls ruh c, 2005.

H. (Jn tel j r·., ed. Prandt l - Führer durch die Strömungslehre. w('g+ Tcu bncr, Wiesbad en , 2008 .

12. Auflage, Vie-

H. Ocrtel jr.; pt l. P rnnd t l ; Essentials of Fluid .\Iechanics. 3. edition, Springer- "erlag, Bcrliu . Hcidclbcrg, Xcw York, 2(J09. H. Sehlichtillg, K. Gerste n. Grenzschich t -Theorie. 10. Auflage, Springer-Vorlag, Ber lin , Hoidolberg, 2006.

H. S chlichting, K. Gersten. Bounda ry Layer T bcory. 8. edt tton , Springer-Verlag . Berlin, Hoidelber g, Xew York, 2003.

.1. H. SpU1·k. Strömungslehre. 7. Auflage, Springcr-Vcrlag , Bcr lin, Hcidelber g, 2007. .1. H. S]!urk. Fluid Mcchantcs. Springer-Verlag, Bcr ltn, Heidelhcr g, Xew Yor k, 20(H.

Ström ungsmechan ik Übu ngsb ücher H . (Jc, tel jr., M . ß i;hk

Übnngsbn ch Str ömungsnn-rhunik. Spriugr-r-Verlag , Ber lin , Hei-

dnlberg, 1993. H. Oert et jr., M. ßöhle, U. Dohrmcnn: Üb ungsb uch Strömungsmechanik. 6. Auflag e, Vleweg-Vcrla g, Wies baden, 200S.

.1. H. SP111-k. Aufga ben zur St römungslehre. 2. Auflag e, Spr inger-Verlag , Berlin , Hcidclbcrg, 1996.

297

Sachwortverzeich n is l,'-Gl eichllllg, 168 Ablösekr it erium . 121, 122 Ablösung, 130, 131 Absaugung, 181 Aerodyna mik, 23, 130, 284 Aerodyn a mik, 286 Aerost atik . 10, 17, 284 Akusti k-Gleichung, 229, 230 Anfang s-Randwert proble m, 248 , 249,

262 Anfa ngsbedingung. 27, 30, 32, 193, 195, 249, 259, 262, 263 Anlaufka nals t römung. 259 Ansatzfunktion, 245, 249 -252 , 254, 255 Anstellwinkel, 4, 130, 199 Antricbslclstuug, 127, 128 Approxima tion, 249, 252, 260 Arbeit spezifische, 126 At mosphä re, 11, 17, 20 -22, 53, 58, 60. 76,98 Aunospharo isotherme, 17, 19 Atm osphä re po lytrope, 17, 19- 21 At mos phä rondruck , 14, 53, 54, 60, 96, 101 Auft rieb , 131, 137 Auft.riebsbeiwert. , 130, 132,200 Aufr riebskruft , 14, 19, 21, 2ü I Aukr-nst römn ng , 3, 8, 42, 52, 74, 19 1, 198, 204 , 209 Ausfluss, 37, 39, 9 ;) Aust ri t tsvcrlust, 10 1 Axiallaufrad. 125 Ba ldwin-Lomux-Tur bulenzmodell, 168 Behälter rot ieren d, 15 Hemoulli-Gleichung, 42, 50, 76, 84, 86, 8 7, 97, 100, 101, 103, 104, 106. 124. 195, 23 1, 232 inkompressible St römung, 44 -46 Bcrnoullt-Gleichurig

inkompressible St röm ung, 33, 35- 37, 40, 47, 48, 53,75, 78, 98, 100, 208,211 ,213 Ber noulli- G leichurig instationäre Strömung, 35. 37, 40 Bcrnoulll- Gleichurig kompressible Strömung. 52 Bcr nonl ll-Gloiclumg statiouiire Strömung, 37, 52 Blasins, 190 Hlasius-Formel , 188. 190 Blasiu s-Gh-ichuug 192 ßl ut , 114 Blu t viskosit ät . 114, 115 Boussinesq- Ann a hmc, 71, 72, 166. 167 Boussincsq- Gleich ungen , 234 Charakteristik, 265 Charakteristik linksläufige, 198, 200. 203 Cha rakterist ik rucht sbiufl gc, 108, 2()0 Couetre-Strömung, 68, 179, 18 1, 18-1 Da mpfd ruck, 99, I OD, 123 Deltaflügel. 24 1, 242 Differenzen- Met hode, 258, 261, 262 , 288 Differenzenquoti unt., 258, 260. 262 Diffusion molekulare, 169 turbulente, 169, 170 Diffuso r, 39. 40 Dtmcnslonsa nalyse, 2, 221, 28 7 Dtpols t römung, 209, 212 Dlssipat ton , !G9, 170, 185 Dissipat ionsfun ktio n, 180 Drehimpuls, 128 Drehi mpulssat z. 89--9 1, 93, 95, 285 Dre hung, 23, 24 Drchungsfn-iheit., 142 Drehza hl, 125, 127 spez ifische, 125, 126 Druck statischer, 5, 7, 8, 56. 82, 145, 241 Druc kabfall . 9

298

Sadl\\'ortwrzcich 11is

Druck bel wer t . 4, 5, 50 , 132, 133 , 198-200, 202,209,211 ,23 1,

233 Druck gradlcnt , 145 , 147, 149-1 51 , 153, 195, 196. 238 Druekkraft , 12, 42, 70, 77, 79. 80, 82, 86, 88, 118 , 153, 203 , 214 Druckluft kessel. 53 Druck st ör un g. 228 Druck vcrhul tnis, 5·1 , 56 Druck verhältnis krit isches , 54 Druckverlust . 80, 97,103 -105,1 11,112 Druek ver t cilung, 201, 202 , 207-209 , 211 , 213,214 Druck widerst a nd . 49. 67 , 118 -120 D tlFo r t-Fr a ll kel- ~ l e t h od(' , 259, 260 Düsens trömung. 55, 56, 58, tt, 206 Eigeufrequeuz, 120 Eigenfunktion , 239 Eigenwert, 239 Eigcuwertproblem, 239 Einlaufströmung. 80 Einlaufverlust. 100, 101, 105 Eint rittsvr-rlust , 101 Energiegleichung. 179, 180, 182, 185 -18 7,197,234,287 Energiesatz, 58 Energiezufuhr . 48, 100 Erhaltungsform. 2li Euler-Gk-ichung. 228 , 22fl, 268, 26fl Favr e-Mt t tclung, 162, 165, 185 Fehler, 24 7 numerischer, 261 Flüsse dissipa tiv, 218 Flüsse konvektiv, 218 Plüsslgkeit -Dampfa bscheidcr. B Flüssig keit sschicht , 233 Fltissig koitss t rahl, 86 Fokus, 241 , 242 Förderhöhr-, 123 , 125 Four ier-Ansat z, 140 Freis trahl. 43 , 46

Fretst ra hlbcdlngung, 45, 48

Galcrkin-xlct hodc, 245 , 248 -25 1, 254, 255 , 258, 278, 288 Gas ideales, 17, 22, 61, 143, W7, 232 C usgkochuug ideale, 53, 57, ss, 6 1, 98 , 144 Gaskonst ante spezifische , li, 20, 53, 55 , 232 Gasst röm u ng. 8 , s, 53 Gau Ji,scher Intcgralsat z, 26 7, 276 Gebä udcums t römung , 6 Gejste rzelle, 277 Gesamt druck . 56, 58 - 60, 62 Gcsamtwidc rstand , 67 , 68 , 118, 120 Gcschw lndt gkctt sdreteck , 127-129 C oldstei n-R egel, 242 , 243 C rcnzsclricht dicke , 63 , 64 , 81, 83, 188, WO, 224 , 225 Gronzschichtgk-idumg, 2, 188, 190 -192, W5, iss, 265, 267, 28 7 Grenzsrh ichtprofil, 3 , 64 , WO Grcn zschlchtst römung, 265 Grenz schichtst römung laminar, 196 Grobst ru ktu rsimulat iou, 176 IIaft bedinguug, 7, 146 , 148, 149, 180 , 19 1, 194, 219 Halhsattel, 24 1, 242 Halt eenerg ie . 123 Hal tehöhe . 124 Hoehaufr riebskonfigurat.ion, 130, 131 Hyd ra ulisch glatt, 96 -99 , 108 Hydrodynamik, 23, 284 Hyd rost at ik, 10, 284 Impulserhalt ung. 217 Impulsgleichu ng . 74, 75, 7!:l , 162, 23 ~ Impulskruft , 74 ~ 76, ro, 80, 82, 83, 86, 88.89 Impulsmorucnt , 90 -93 Impulssatz, 73, 77- 81, 85 , 86 , 88 -90, 188, 285 Inst a bilität , 236 , 239 Iscnt ro pcncxponcnt ., 53 , 55 , 231

299

St u-hwort\-l'rll'ieli 11 is

k-f;- Tu rbuh-uzmodcll, 171

Xiclu -Xewtonsches ;"!('(Iiulll , 111, 1H ,

Kanalst r ömung . 70, 1.15, 2.15 , 254, 258, 259 , 272, 275 Kcgel vcntü , 13, H Kennzahl, 221- 226 K es ..'>I.'), 53, 54, 58, 59 Knon-np un kt , 2.10, 2.12 Kout inuit ätsg k-ichu ng , .15 Kout luui t fitsgk-iehung. 33, 36. 38, -10, 53, 5-i , 57, 75, 76, 78. 8-1 , 86 , 88, 9-&, 96, HK", 106, H 2. H 3. H5. 1-19, 152. 15-1, 155, 159, 161, 162, IBO, 182, 190, 191, 19-1 . 196 .21 8,228, 229, 237 ,

280 Xtcdng- Rp)"llolfls-Za hl-;"lodl'll, 173 Xtkurad sc-Dlagr amm. 97, l OS XPSH· \\"nt, 123 Xussolt-Za hl. 135. 136

268. 286

KOllt rollfiäd ll', 79, 8 1, 90. 9 1, 93, 94 Ko nt roll ra um . 74 -76. 79 -8 2, 85 , . 90, 112 Ko nt rol lvolumen . 74, 75, BO Kon vekt ion , 169 er zwungene. 138 Kopfwelle, 61 Kr äftebila uz , 112 Kraftfa hrzeugumst römuug. 3, 2-12 Kreiszyl inder. 115,209,211, 2 12 Kreisayl inck-nunst römuug. 209, 210 Kr ümmer, 76, 89 9 1,99, 122 Kr ümmorvcrlusr , 9;), 101 Kugel, 118, 221 Kugelumst r ömuug, 117,22 1,222 Kugelwidcrstnudv l l S La rgo- Eddy- Simulat ion , 176 Lntlce-Hcltzm ann-Xlet hodc, 278, 270 La val-D üse, 53, 55 -ss, 60 Luftdruck, 14, 1!J, 20, U6 :'>. Iac·h-Zahl , -I, ,'j, ,'j2 , 55-,'j9, GI , 62, 198, 109.2111 ,22-1 , n l , 23;~ :'>. lassl'('rhClltuug,217 :'>. !ass Pllsl rolll, 53 -55, 57, 82, 91,1-15, U7

Xavlor-Srokes -Glelchuug, 2, 117, 145, 1-19 , 152, 15-i , 157, 158. 161, 182 , 183, 195, 196, 23-1 , 236,

280 Xewtousr-hcr Reib ungsausat z. 65, 151 -1 53.1 89

Para belprofil . ZU1 Pa rallel st rahl, 55

Pa rallel st r ömung. 3 -5, 3 1, 20 I , 202 Pfcil ung. 133 P feilwinkel. 134 Pl e t teugren zschtd u , 63. 65, 67, 8 1, 82, 190. 19 1 Pol ytropc nc xpcuen t , 18,21 Pot entialfunkt ion . 20-1 . 205 Pc t ent ialg leir hung, 2. 198. 20-1 , 287 linear, 2Q..I linearisie rt , 198, 199 Potent ialwi rbe l. 42, 206 , 207, 2 12, 248,

20! Pra llslrah l,74 Pra nd t l-Fon ncl . 98, 99 Pran d rt-Gleichung . 125 P rand t l-Zahl , 135, 181 Pran d tlsche ;"Iisehuugsw('glällg<" 68, 70 P rand rlschcr ;"IiSdlllllgSW('g, G6, 60, 71, 73. IG6 P rofil grenzschtchr, -I. 5 P rofth unst r ömung, -I, -19, 130 -132, 201 P rofilumst römung transsoulsch, 132, 133 P umpe, .1G -48, !J!J, 100, 123 P umpcnanlnge, 11)1, 102 P umpenla ufrad, 92, 93 PUIIl pcnlclstung, 90 - 10I P uukt singulär, 2-12 QII('Il(', 20-i, 205 Quellon-Senkenst römuug. 21J.l . 20;) Qudll'ust är kt', 20-1 Querschnitt engster, 5-1 , 5,'j, 57, 58, 60 Radtallaufrad. 127 Ra nd bedt ugung. 26, 28, 30, 88, 1-16, H9. 15 1- 153. 155, 156, 18 1,

300

Sad l\\'ort wrzc ich 11is

190-193, 195,245,249,250,

254, 257-259, 261 -264 Ra nd wcrt problem , 2--l9, 25 1 R aylet gh- ß ena rd- Konvck t ion , 233 R aylo igh-Stokes-Prob lem , 152 , 153 , 193, 195, 275 Rcibung sgrenzsch iclrt , 136 Roibu ngskraft, 112 Reib ungswide rsta nd , 49 , 67 , 68 , 118 - 120 Resid u um , 247 Reynolds-A nsa t a, i O, 71 , 161, 163, 165, 169 R cy nolds-Glet chung , 157-161 , 286 Heyuolds- Zah l, ,14 , 46 , 64, 83 , 96 - D9, 108,111 , 113,116,117,1 20, 121, 125, 135, 137, 199 , 222, 223, 239 krit ische . 63 , 67 Reyu oklsschc sche inbare Schubspannuugen , 68, 72 Roh rein laufst römnng, 80 Rohrhyd ra ulik. D5 , 285 Rohr lclu mgssyst cm , 43, H , 46 - 48

Rohrretbungsverlust, 95, 99 -101 Roh rst römung. 80 , 81, 91 Rossby-Wellcll, 25 1 Sandkornruuhigkeit, 95 , 97 , 99 , 101, 103, 105, 108 Sattelpunkt. 24 1, 242 Schallgeschwindigkei t, 54 , 57-60 , 62 , 21H , 22-1 , 229 -232 Schallwelle, 228 Scherra te. 114 Sdmittufer, 152 Schubspaunung, 118, 150 -1 52, 196 scheinba re, 160, 166, 167 Schubspannungskraft , 118, 152, 153 Schuhumkehr. 86 , 87 Schwankungsgrö ßc, 161 , 162, 166, 186 Sckuud ärs t römung , 121, 122 Senke , 204. 205 Scnkcnstä r ke , 20-1 Stabilit ät , 234, 236 Stabilit ät numerische, 260 , 262 Stabilitä tsanalyse. 2. 236. 239. 287

Stubili tä t sdiagranun , 236 , 239 Starrkörperwirbel. 42, 43 Staudruck, 61 Sruupunktströmuug, 23 Stokesscher Reibungsanse ta . 218 Stokcsschcs Widerst andsgesotz , 137 St oß- G rcnzschicht-\\ 'ed lse!wirku ng , 224 Stoßglclchungcn , 57, 62 Strömling in komp ressibel, 44 -46 Stromfaden. 52 . 53 , 75 , 76. 78 , 84 -8 6 , 97 , 100 , 106 , 208 Stromfedcnthcorie, 1, 23 , 56, 284 Stromfunktiou, 190, 191, 20<1, 205, 20 7, 209,210,212 Stromlinie , 4, 6, 7,23 -32 ,4 1,50, 67 , 21H, 206, 209 -213 , 2·u) St römung drehungsfrel , 24 , 25, 142, 143 Strömung ebene, 25 , 27, 29 , ·19, 180,204 Strömling in komp ressibel, 5, 8 , 9, 33 , 35 -37, 40,41 ,47- 49,53,55 ,75, 78 , 98 , 100.1 17, 142, 145. 149. 154, 158, 159, 161, 16G, 180 , 188, 190, 191, 194-196 , 204. 208, 211 , 213 , 245, 285 ,28 7 St römung inst a tionä r , 27 , 29 , 35, 37 , 40. 158 , 194 , 259 Strömung kornpressibul , 8 , 9 , 52, 53 , 55 , 162, 186, 19:>- 198,231 , 268 ,272, 28:>, 287 Strömling quasi-stationär , 3:> ,162 , 18G Strömung station är , 5, 6, 25, 28, 37 , 52, 55 , 87, 91 , 93 , 142, 143, 145. 149. 154, 161 , 191, 195,221,24:>, 258 Strömung tech nisch , 28:> Strömungsablösung. 130, 286 Strömungsmaschlncn , 28G St rouh
30 1

S llfhwort H' rz\'id ll lis

St ru kt ur a nalyse, 2, 239 Tellehenbahn . 26, 27 Tempera t ur grenz schlch t , 135, 136 Topologie, 242 Torn ado, 41-43 Tragftiigcl , 52, 224, 23 1 Tragflügel gcp fcilt , 133 TragHiigel transsonisch, 133 Tragfiilgelprofi l, 4, 224, 23 1, 233 Tragfliigolums t römuug, 32, 168, 23 1 Truns lations st römuug. 204, 2U5, 209, 212 Triebwerk, 87 Tur bine , 105 -107 'Iurbulonzonergie, 169 Tur bulcnzmorlell, 168 U-Ro hr, 10, 11, 33 U-Roh rmano rnet er , 10, 11, 33, 34 Überdruck, 11 Überga ng laminar-tur bulent er , 64, 67, 115 Ühcr lag orungsprinzip, 205, 20 7, 2UO Übersrhullmessstrecku, 55 Überschallsrr ömung , 50, 198, 199, 2Ul Umlcuk vcrlus t , 101 Unt ers chall ström ung. 56, 224 Unt erschicht viskose , 63, 65, 96, 97, 99, 108, 268 Verdi cht ungsst oß . 55, 57-62, 224, 225 Verlustbeiwert , 103, 104, 124 Verlust koeffi zien t , 101, 102, 104 Vert ikale P la tte , 138 Wärme über t ra gun g, 135 wands chubspa nn ung, 49, 65, 67, 151, 188 , 189 , 225 w är mclet t fä htg kett , 140, 182 , 185 \Yär mell'it ung, 140, 182 \Yiil'lm'lllellge , 136, 138, 140 \Yiirn ll'st ro m , I,m , 141 Wärmetra nspor t , 181 wärmcübcrga ng , 137

wär mcübcrgangskocftizlen t , 135, 136, 138 , 140 \Yiil'llid ibert ra g ullg, 286 W iderstand, 40, 5 1, 67, 81 , 118 , 188,22 1 W iderst andsbeiwer t , 49 , 67, 68 , 111, 113, 115, 116, 133 , 134, 200 Widerst andskraft , 82 , 113, 201, 221 wtcdcremt n u sflugzeug, 61 \Yirbel , 206, 207 , 223, 24 1 wlrbelablösung, 120, 222, 223 wtrbclst ra ko, 120, 223 wlrbelst r ömuu g, 42, 212 W irk ung sgra d, 125, 127 Zähigkeit t urbulent , 66, 72, 73 Zentrifugalfeld . 15 Zirk ula t ion , 212, 213 Zustands ändcru ng isen trope, 228 - 232 Zustandsänderung po lytrope, 18 Zylindcrnnrhlaufströmuug, 222, 223 Zylinderspaltströmung. 154 Zyltndcrumströmu ng, 209, 223